Text
П. Е. ДАНКО, А. Г. ПОПОВ, Т. Я. КОЖЕВНИКОВА
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
В УПРАЖНЕНИЯХ
И ЗАДАЧАХ
В ДВУХ частях
ЧАСТЬ I
Издание четвертое, исправленное и дополненное
Допущено
Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1986
ББК 22.11 Д 17
УДК 517+519
Рецензент: кафедра высшей математики Московского энергетического института (зав. кафедрой чл.-кор. АН СССР С. И. Похожаев)
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я.
Д17 Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб, пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч. II.— 4-е изд., испр. и доп. — М.: Высш, шк., 1986.—415 с., ил.
Содержание II части охватывает следующие разделы программы: кратные и криволинейные интегралы, ряды, дифференциальные уравнения, теорию вероятностей, теорию функций комплексного переменного, операционное исчисление, методы вычислений, основы вариационного исчисления.
В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения. Типовые задачи даются с подробными решениями. Имеется большое количество задач для самостоятельной работы.
1702000000—246 ББК 22.11
А 001 (01)—86 73—86 517
© Издательство «Высшая школа», 1974
© Издательство «Высшая школа», 1986, с изменениями
оглавление
Глава I. Двойные и тройные интегралы
§ 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах........... 6
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле.................. 10
§ 3. Вычисление площади плоской фигуры.................... 14
§ 4. Вычисление объема тела............................... 16
§ 5. Вычисление площади поверхности....................... 17
§ 6. Физические приложения двойного интеграла............ 20
§ 7. Тройной интеграл....................................... 23
§ 8. Приложения тройного интеграла......................... 28
§ 9. Интегралы, зависящие от параметра. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла . ...................... 30
§ 10. Гамма-функция. Бета-функция.......................... 35
Глава II. Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности
§ 1. Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам . . 42
§ 2. Независимость криволинейного интеграла II рода от контура интегрирования. Нахождение функции по ее полному дифференциалу ................................................... 47
§ 3. Формула Грина........................................... 50
§ 4. Вычисление площади.................................... 51
§ 5. Поверхностные интегралы................................. 52
§ 6. Формулы Стокса и Остроградского — Гаусса. Элементы теории поля ......................................................... 56
Глава III. Ряды у
§ 1. Числовые ряды........................................... 66
§ 2. Функциональные ряды..................................... 77
§ 3. Степенные ряды.......................................... 81
§ 4. Разложение функций в степенные ряды..................... 86
§ 5. Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов 91
§ 6. Применение степенных рядов к вычислению пределов и определенных интегралов........................................... 95
§ 7. Комплексные числа и ряды с комплексными числами......... 97
§ 8. Ряд Фурье.............................................. 106
§ 9. Интеграл Фурье....................................... 113
Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка '........... 117
§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков............. 139
§ 3. Линейные уравнения высших порядков..................... 145
§ 4. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядэв 161
§ 5. Системы дифференциальных уравнений..................... 166
Г лава V. Элементы теории вероятностей
§ 1. Случайное событие, его частота и ^вероятность. Геометрическая вероятность.................................................. 176
3
§ 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность................................................... 179
§ 3. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события ........................................................ 183
§ 4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса........ 186
§ 5. Случайная величина и закон ее распределения....... 188
§ 6. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины 192
§ 7. Мода и медиана . . •.............................. 195
§ 8. Равномерное распределение......................... 196
§ 9. Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона .... 197
§ 10. Показательное (экспоненциальное) распределение. Функция надежности.................................................... 200
§ 11. Нормальный закон распределения. Функция Лапласа .... 202
§ 12. Моменты, асимметрия и эксцесс случайной величины .... 206
§ 13. Закон больших чисел..................................... 210
§ 14. Теорема Муавра—Лапласа.................................. 213
§ 15. Системы случайных величин............................... 214
§ 16. Линии регрессии. Корреляция............................. 223
§ 17. Определение характеристик случайных величин на основе опытных данных.................................................... 228
§ 18. Нахождение законов распределения случайных величин на основе опытных данных......................................... 240
Глава VI. Понятие об уравнениях в частных производных
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка в частных производных ................................................ 260
§ 2. Типы уравнений второго порядка в частных производных. Приведение к каноническому виду............................. 262
§ 3. Уравнение колебания струны.............................. 265
§ 4. Уравнение теплопроводности .............................. 272
§ 5. Задача Дирихле для круга.................................. 278
Г лава VII. Элементы теории функций комплексного переменного
§ 1. Функции комплексного переменного..................... . 282
§ 2. Производная функции комплексного переменного............. 285
§ 3. Понятие о конформном отображении......................... 287
§ 4. Интеграл от функции комплексного переменного............. 291
§ 5. Ряды Тейлора и Лорана.................................... 295
§ 6. Вычисление вычетов функций. Применение вычетов к вычислению интегралов................................ . . 0 . . . . 300
Глава VIII. Элементы операционного исчисления
§ 1. Нахождение изображений функций............................ 305
§ 2. Отыскание оригинала по изображению........................ 307
§ 3. Свертка функций. Изображение производных и интеграла от оригинала..................................................... 310
§ 4. Применение операционного исчисления к решению некоторых дифференциальных и интегральных уравнений............... 312
§ 5. Общая формула обращения.................................. 315
§ 6. Применение операционного исчисления к решению некоторых уравнений математической физики . ................... 316
Г лава IX. Методы вычислений
§ 1. Приближенное решение уравнений........................... 321
§ 2. Интерполирование.......................................... 330
§ 3. Приближенное вычисление определенных интегралов........... 334
§ 4. Приближенное вычисление кратных интегралов . . 0 . □ . . 338
4
§ 5. Применение метода Монте-Карло к вычислению определенных и кратных интегралов......................................... 350
§ 6. Численное интегрирование дифференциальных уравнений . . . 362
§ 7. Метод Пикара последовательных приближений............... 368
§ 8. Простейшие способы обработки опытных данных............. 370
Глава X. Основы вариационного исчисления
§ 1. Понятие о функционале................................... 385
§ 2. Понятие о вариации функционала.......................... 386
§ 3. Понятие об экстремуме функционала. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера.................................... 387
§ 4. Функционалы, зависящие от производных высших порядков 393
§ 5. Функционалы, зависящие от двух функций одной независимой переменной .................................................. 394
§ 6. Функционалы, зависящие от функций двух независимых переменных ...................................................... 395
§ 7. Параметрическая форма вариационных задач................ 396
§ 8. Понятие о достаточных условиях экстремума функционала . . . 397
Ответы........................................................... 398
Приложение................................................... 409
ГЛАВА I
ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. ДВОЙКОЙ ИНТЕГРАЛ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
Пусть функция f (х, у) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости хбу. Разобьем область D произвольным образом на п элементарных областей, имеющих площади До!, До2, ..., До„ и диаметры d2, .dn (диаметром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку Р/г (^; т]/г) и умножим значение функции в точке на площадь этой области.
Интегральной суммой для функции f (х, у) по области D называется сумма вида
п
2 Пл)ДаЛ = /(£1> П1)Д<Ь + / ($2> Пг)Д^2+---+/(U Пп)Дал-Л=1
Если при max d#—>0 интегральная сумма имеет определенный конечный п
предел I = lim V f (g#, -q^) До^, не зависящий от способа разбиения D max -> 0 ।
на элементарные области и от выбора точек в пределах каждой из них, то этот предел называется двойным интегралом от функции f (х, у) в области D и обозначается следующим образом:
п
2 f пл)Дал-
о Л = 1
I (х, У) do = lim
D max dk -
Если f (x, у) > 0 в области D, то двойной интеграл J J f (x, y) do равен D
объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, у), сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, и снизу областью D плоскости хОу.
Основные свойства двойного интеграла
i°- do = y)d(j± (*> У)do-
D D D
2°. ^с/(х, y)do~c\^ f (х, у) do, где с—постоянная. D D
3°. Если область интегрирования D разбита на две области D± и D2, то
f(x, у) da = р (х, у) da+^ J f (х, у) do.
D Dt D2
4°. Оценка двойного интеграла. Если m^f(x, у)^М, то mS^^f(x, у) do MS, где S — площадь области D, а т и М — соответст-D
венно наименьшее и наибольшее значения функции f (х, у) в области D.
6
Правила вычисления двойных интегралов
Различают два основных вида области интегрирования.
1. Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми х = а и х=Ь (а < Ь), а снизу и сверху — непрерывными кривыми y — q^x) и = (х) [фх (х) ф2 (х)], каждая из которых пересекается вертикальной пря-
мой только в одной точке (рис. 1).
Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле
Ь <р2 (х)
f (х, у) dxdy= ^dx f (х, y)dy, D a (Pi (х)
(Р2 (*)
причем сначала вычисляется внутренний интеграл f (х, у) dy, Ъ котором
Ф1 (х) х считается постоянным.
2. Область интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми у = с и y=^d (с < d), а слева и справа — непрерывными кривыми х = фт(у) и х —
У
У=Ч
У-с
1
Рис. 2
== Фг (У) [фТ (У) Ф2 G/)]» каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке (рис. 2)
Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле
d ф2 {у) \\f(x, y)dxdy=\dy f f(x,y)dx,
' D c 1M</)
-фг (У)
причем сначала вычисляется внутренний интеграл f (х, у) dx, в котором
(«/)
у считается постоянным.
Правые части указанных формул называются двухратными (или повторными) интегралами.
В более общем случае область интегрирован 1я путем разбиения на части сводится к основным областям.
1. Вычислить х\пу dxdy, если область D — прямоугольник
D
4 е
х In у dxdy — Jx dx J о i
In ydy =
X2 1 4
=8(e-«+l) = 8. Д
7
2. Вычислить (cos2 % + sin2 У) dxdy, если область D — квад-
D
рат 0^х^л/4, O^y^je/4.
л/4 л/4
Л (cos2 x-f-sin2 y)dxdy = dx (cos2 x+sin2 у) dy =
D 0 0
л/4 Л/4
= J Г(/соз2х+у —TSin2z/l^/4 dx= j f-j-cos2*— T) dx=i о о
Г Л / ,1 . - \ ' ( л' 1 \ 1 л/4 Л f Л .1 \ . ( Л 1 \ Я Л2 .
~L'8V^”2 31п2а7~Ц 8~~ 4 )X J'o ~8 4^2 8 4J4~ 16'^
!2 x2
3. Вычислить /= dx J (2x—y) dy.
=[tx4-^x--4*3]i=o’9- *
4. Вычислить —y)dxdy, если область D ограничена ли-
D
ниями у = 2—х2, z/ = 2x—1.
Д Построим область D. Первая линия — парабола с вершиной в точке (0; 2), симметричная относительно оси Оу. Вторая линия—прямая. Решая совместно уравнения у = 2—х2 и г/ = 2х—1, найдем координаты точек пересечения: А(—3; —7), В (1; 1) (рис. 3).
Область интегрирования принадлежит к первому виду. Находим
1 2-%2 1
(х—у) dxdy — § dx J (х—y)dy=§ [ху—у z/2l dx=t
D -3 2х—1 -3 L
1
= У^2х—х3—2-±- 2х2—у х4—2х2 + х+2х2—2х + у ) dx=s
1
= J (-ух4—х3 + 2х2 + X—у)^Х= -3 4
Г 1 5 1 4 I 2 3 I 1 2 3 I1 л4 А
— [ юх 4Х+зХ^2Х 2Х]_з"“415‘^
5. Вычислить (х-[-2у) dxdy, если область D ограничена
D
прямыми у = х, у = 2х, х=2, х= 3.
3 2х 3
Д (x+2y)dxdy=^ dx J (х^2у) dy = [xy-±y2}f dx =
D 2 X 2
3 3
= (2x24-4x2—x2—x2) dx~4 У x2dx =y x31 = 25y . 2 2
8
6. Вычислить ev+sinv cosy dxdy, если область D — прямо-
D
угольник 0<х^л, Ол/2.
7. Вычислить (х2 + у2) dx dy, если область D ограничена ли-
D
ниями у = х, х = 0, у=\, у = 2.
8. Вычислить (Зх2—2ху + у) dxdy, если область D ограни-
D
чена линиями х = 0, х = у2, у = 2.
9. Изменить порядок интегрирования в интеграле
1 1-х2
5 dx f (*> У) dy.
- 1 -У 1 -Х2
Д Область интегрирования D ограничена линиями х~—1, х=1, у = = — У1 — х2, у~1—х* (рис. 4). Изменим порядок интегрирования, для чего
заданную область представим в виде двух областей (второго вида): ограниченную слева и справа ветвями параболы х=± У1—z/(O<;z/^l), и D2, ограниченную дугами окружности х=± У1 — у2 (—l<:z/<:0). Тогда
I 1-х2 1 У~у о V1 - ^2
J dx f (х, у) dy = dy f (х, y)dx-\- dy f (х, у) dx. А
“ 1 - У 1-х2 ° ~V\-y “1 -11- у2
2л а
10. Вычислить cos2x dx J у dy. о о
3 х
И. Вычислить J dx J (х—y)dy.
1 X3
12. Вычислить у In х dx dy, если область D ограничена ли-D_
ниями ху =1, у = Ух, х = 2.
9
13. Вычислить (cos 2% + sin у) dxdy, если область D ограни-
D
чена линиями x = Q, у = 0, 4x4- 4z/—л = 0.
14. Вычислить (3% -j- y)dx dy,если область D определяется не-
D
равенствами х2 + //2^С9, у^ (2/3) x-i-3.
15. Вычислить sin (х + у) dxdy, если область D ограничена
D
линиями х = 0, у = п/2, у = х.
16. Вычислить ^xdxdy, если область D—треугольник с D
вершинами А (2; 3), В (7; 2), С (4; 5).
Изменить порядок интегрирования:
2 2-х
17. \dx J f(x,y)dy.
— 6 x‘/4 — 1
i i+vT^p
19. dy f(x, y)dx.
0 2-y
1 [14 - x2
21. dx § f(x, y)dy.
0 (1—x)2/2
4 V25 -y2
23. dy f (x, y) dx.
О 41//3
9/16 V7 3/4
e In x
18. dx f(x, y)dy.
i о
1 X
20. dx f (x, y) dy. о о
Л sill x
22. dx f (x, y) dy. о о
3/4
24. dy f(x, y)dx+ dy $ f(x, y)dx. 6 у 9/16 у
2 lx 4 V x 6 2
25. J dx f (x, y) dy+ $ dx f (x, y) dy+ § dx J f У) dy.
0 0 2 t'TTJ 4
§ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
1. Двойной интеграл в полярных координатах. Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат х, у к полярным координатам р, 0, связанным с прямоугольными координатами соотношениями Jt = pcos0, г/ = == р sin 0, осуществляется по формуле
J j f (х, у) dx dy= j j f (p cos 0, p sin 0) p dp dQ.
D D
Если область интегрирования D ограничена двумя лучами в = <х, 0=4 (а < р), выходящими из полюса, и двумя кривыми р = рх (0) и р = р2(0), где pi (0) и р2 (0) —однозначные функции при и pi (0)р2 (0), то двой-
ной интеграл вычисляется по формуле
3 р2(0)
J J F (р, 0) р dp </0= р0 J F (р, 0) р dp,
D a Pi (0)
10
где F (р, 0) = f(pc°s0, psin0), причем сначала вычисляется интеграл р2(0>
5 F (р, 0) р Зр, в котором 0 считается постоянным.
Pi(0)
2. Двойной интеграл в криволинейных координатах. Пусть двойной интеграл преобразуется от прямоугольных координат х, у к криволинейным коор-
динатам и, и, связанным с прямоугольными координатами соотношениями х=х(и, и). у = у(и, и), где функции х(и, о) и у~(и, о) имеют непрерывные частные производные в области D' плоскости иО'и и определитель преобразования, называемый якобианом, в области D' не обращается в нуль:
дх дх ди до ду ду ди до
#0.
При взаимно стороны ствие между точками области D плоскости хОу и точками области D' плоскости иО'и (рис. 5). Замену переменных в двойном интеграле
этом устанавливается однозначное и в обе непрерывное соответ-
рекомендуется производить так, чтобы упрощались подынтегральное выражение и область интегрирования.
Формула преобразования двойного интеграла в этом случае имеет вид
J =
55 / (х, у) dx dy~ J J / [x (и, о), у (и, ц)] | J | du do. D D'
Для случая полярных координат
дх др ду др
дх дв д_У 30
| cos 0 —р sin 01
I sin 0 р cos 01
26. Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл l^x2+y2 dxdy, если D — I четверть круга х2 + у2 ^а3.
D
Л Полагая x = pcos0, у=р sin 0, имеем
5 5 К*2 + У2 dx dy — 5 5 V^P2 cos2 + Р2 sin2 0 Р dp dQ = D D
л/2 а я/2 л/2
0 0 о 0
27. Вычислить In (x2-|- y2) dxdy, если область D—кольцо D
между окружностями x2-|-(/2 = e2 и x2+z/2 = e4.
Д Перейдем к полярным координатам:
2л е2
$ 5 In (х2+У2) dxdy=^ In р2-р dp dQ = 2 5 5 р In р Зр 30 = 2 5 30 5 р In р Зр.
0 D D 0 е
ц
Взяв по частям интеграл, зависящий от р, получим
2л
2S [4ра 1пр_ тр2]Гde=^2 (3е2~А о
28. Вычислить JJ(x+t/)3(x—у)2dxdy, если область D—квад-D
рат, ограниченный прямыми х + у—1, х—у=1, x-j-y=3, х—у——1 (рис. 6).
Л Положим х-\-у = и, х—y = v, откуда х= (1/2) (и-[- v), у ~ (1/2) (и— v). Тогда якобиан преобразования
Следовательно, (х-{-у)3 (х—у)2 dxdy = ~
D
также является квадратом (рис. 7), то
u3v2dudv. Так к*к область D'
D'
з 1
(х-\-у)3 (х—у)2 dxdy—^^ и3 du § v2dv^
D 1-1
3 3
=у (« du = ^~ ( “s(14-l)rf“=-^“4|3=y • ▲
J L о j — i о J 11 о
1 1
29. Вычислить
x .~l^xlJ^ dxdy, если область D ограничена
четырьмя параболами х2 = лг//3, х2 = 2лу/3, у2 = 2х, у2 = 4х (рис. 8).
Л Произведем замену переменных так, чтобы xy = uv и x2/y = v\ тогда x=jj/wt>2, y=yfu2u и область D' окажется прямоугольником: и = 2, u = 4f v = n/3, у = 2л/3 (рис. 9). Находим якобиан преобразования:
J =
2-и-2/3 v2/3 3
4«-1/з^/з о
4«1/зу-1/з
о
> м2/Зу-2/3
_ 1 4_ 1 . .. 1
— 9 9— 3 ’ Т’е' 3’
12
Следовательно,
x2sin(x#/2) , 1 СС «2/3 у4/3 sin (uv/2) , ,
D
2Л/3 4 2л/3
J vdv J sin (uv/2) du = ~ j* (cosy — cos 2v) dv=
Л/3 2 л/3
Переходя к полярным координатам, вычислить двойные интегралы:
3°- JW-SW' D
если область D—круг x2-|-i/2^n2.
Рис. 9
31. 4^24-1 ’ если область D ограничена полуокружностью
D
1/=К 1—X2 и осью Ох.
32. $$ (x2 + t/2)dxJz/, если область D ограничена окружностью D
х2-[-у2 — 2ах.
nsinlA х2 I и j
— dxriy, если область D ограничена линиями и V х2+у2
х2 + у^л2/9, хг + у2 = л2.
34. J^x2 + Уг dx dy, если область D ограничена линиями
D
х2 + у2 = а2( х2 + //2 = 4а2. 1 2х
35. Вычислить dx dyf введя новые переменные х = и (1—у), О х
y = uv.
13
36. Вычислить ^dxdy, если область D ограничена линиями
D
ху=1, ху = 2, у = х, у = 3х.
© Произвести замену переменных х~ (u/v)1/2, y = (uv)1^2.
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Площадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле S = J dxdy.
D
Если область D определена, например, неравенствами а^х^Ь, Ф1(х)<; то
b <р2(х)
S = dx dy.
a TiW
Если область D в полярных координатах определена неравенствами ф (0)<р^/(0), то
3 Г<0)
S = р dp dQ = dQ pdp.
D а ф(0)
37. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями х = ^=4г/~z/2, x+z/ = 6.
А Найдем координаты точек пересечения заданных линий, решая систему уравнений x = ty—у2 и х-[-у = 6 (чертеж рекомендуется выполнить самостоятельно). В результате получим А (4; 2), В (3; 3). Таким образом,
з 4у-у2 з
S=^dxdy=^dy dx=^ х^У_^У dy^= D 2 6-у 2
3
= (~r’ + fy—6)cty=^—+ у2 —6г/^ = +(кв.ед.).
2
38. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями р=1, р= (2/КЗ) cos0 (вне окружности р=1; рис. 10).
А Найдем координаты течки А, имеем 1 = (2/]/" 3) cos 0, cos0 = pr 3/2, 0 = л/6, т. е. Л(1; л/6). Тогда
jt/6 (2/V3)cos0 л/6
р Р С Р Р Г 1 1 3) cos 0
S=A \ pdpd8 = 2 \ d® \ р dp = 2 \ -^-р2 | dQ =
''о oi o'
jt/6 л/6
= j f ycos20—1) d0= j (4+4 cos 20-1) d0 = 0 0
Jt/6
=4- C (2 cos 20—1) d0=-|-[sin 20—0]"/e =
o J о
0
= ’ (sin^—?Л=1(ЗКЗ-л)(кв.ед.). A
3 \ 3 о ) lo
14
39. Найти площадь, ограниченную лемнискатой (х2+г/2)2=2а2ху.
д Полагая x=pcos0, д/=р sin 0, преобразуем уравнение кривой к полярным координатам. В результате получим р2 = 2а2 sin 0 cos 0 = a2 sin 20.
Очевидно, что изменению полярного угла 0 от 0 до л/4 соответствует четверть искомой площади. Следовательно,
л/4 а V sin 20 л/4 . ____
5= 4 р dp dB = 4 dQ pdp = 2 j р2 V sm 20 d0 =
D oo о
л/4
= 2a2 sin20d0 =— a2 cos 20 j^4 = a2. A о
40. Найти площадь фигуры, ограниченной линией х3-\-у3 = аху (площадь петли; рис. 11).
Л Преобразуем данное уравнение к полярным координатам: р3 (sin3 0+ + cos3 0) = ар2 sin 0 cos 0, т. е. р = a sin 0 cos 0/(sin3 04~cos3 0). Осью симметрии петли является луч 0 = л/4, поэтому
л/4 a sin 0 cos 0/(sin3 0 + cos3 0)
p dp dQ = 2 dQ p dp =
о 0
Л/4 л/4
C sin2 0 cos2 0 2 P tg20 cos40
J (sir,3 04-cos3 0j2 C J cose0(r+tg3 0)2dt’_
о 0
л/4 л/4
a2 C 3tg20d(tg0)__a2 P d (1 +tg30)__ Г a2 1л/4 a2
3 J (14-tg30)2 “3 J (l + tg30)2-[ 3(14-tg36)Jo
о 0
Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями:
41. х = у2—2у, х + у = 0. 42.
43. у2 = 4х—х2, у2 = 2х 44. (вне параболы).
45. у2 + 2у—Зх+ 1 = 0, 46.
Зх—Зу—7 = 0.
47. у = 4х—х2, у = 2х2— 5х. ‘
у = 2—х, z/2 = 4x4~4.
Зу2 = 25х, 5x2 = 9z/.
y = cosx, z/ = cos2x, t/ = 0 (площадь ближайшей от начала координат фигуры).
8. х = 4—у2, х+2у—4 = 0.
15
49. р = 2—cosQ, р = 2 (вне 50. р = 2(1+cos0), p = 2cos0. кардиоиды)
51. z/2 = 4(l—к), х2 + у2 = 4 (вне параболы).
§ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА
Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f(x, у), снизу плоскостью z = 0 и сбоку цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости хОу область D, вычисляется по формуле
V = J y)dx dy.
D
52. Найти объем тела, ограниченного поверхностями у=1+%2, z = 3x, у =5, 2 = 0 и расположенного в I октанте.
А Тело, объем которого надо вычислить, ограничено сверху плоскостью z = 3x, сбоку — параболическим цилиндром г/=1 + %2 и плоскостью у= 5. Следовательно, это — цилиндрическое тело. Область D ограничена параболой и прямыми у =5 и х = 0. Таким образом, имеем
2 5 2
V = Зх dxdy = 3 xdx dy = 3^X'[y]l+x2dx =
D о 1+х2 о
с Г 1 12
= 3 \ (4х—х3) ц’х = 3 2х2 —~х4 = 12 (куб. ед.). А
о
53. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями г = = 1—х2 — z/2, у = х, f/^хКЗ, 2 = 0 и расположенного в I октанте.
А Данное тело ограничено сверху параболоидом г=1—х2— г/2. Область интегрирования D — круговой сектор, ограниченный дугой окружности х2+#2= 1, являющейся линией пересечения параболоида с плоскостью z = 0, и прямыми у = х и у=хУ 3. Следовательно,
v = JJ (l—x2~y2)dxdy. ъ
Поскольку областью интегрирования является часть круга, а подынтегральная функция зависит от х2-{-у2, целесообразно перейти к полярным координатам. Уравнение окружности х2-\-у2=1 в этих координатах примет вид р= 1, подынтегральная функция равна 1 — р2, а пределы интегрирования по 0 определяем из уравнений прямых: tg0x= 1, т. е. 0х = л;/4; tg02=j/' 3, т. е. 02 = л/3. Таким образом, имеем
л/з 1
V = (1— p2)pdpd0= J de J (p—p3)rfp =
D л/4 0
л/3 л/3
= J [4р2“И?0=Т J й0 = ^(куб-ед.). ▲ л/4 ir/4
54. Найти объем тела, ограниченного поверхностями x2+y2=a2, х2 Д- 22 = а2.
16
Л Рассмотрим восьмую часть заданного тела (рис. 12):
а V а2-х2
уа2 — х2 dxdy = J 'j/’a2—%2 dx j dy =
D 0 0
a
= J (a2—x2) = — у x3 J o = -|-a3.
0
Следовательно, V=16a3/3. Д
Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:
55. х2 + г/2 = 8, х = 0, г/= 0, г-0, г 4- и 4- z — 4.
56. х = 2у2, x+2z/ + z = 4, z/ = 0,
z = 0.
57. x2 + 4r/2 + z=l, z = 0.
58. z = x2 + y2, «/ = x2, y=\, z = 0.
59. z = 4—x2, 2х-[-г/ = 4, x = 0, y = 0, z = 0.
60. z2 = xy, x=0, x=l, y=0, y = 4, z = 0.
61. z = 5x, x2 + r/2 = 9, z = 0.
62. x+y + z = 6, 3x-f-2r/=12, 3.r+ Рис. 12
-J-z/ = 6, y = 0, z = 0.
63. z = x+«/+l, y2 = x, x= 1, y = 0, z = 0.
64. z = 0, z — xy, x2 + z/2 = 4.
65. x2/a2 + y2jb- = 1, y — 0, z = x)2, z — x.
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ
Если гладкая поверхность задана уравнением z—f(x, у), то площадь поверхности выражается формулой
МУ /<:)
D
где D — проекция данной поверхности на плоскость хОу. Аналогично, если поверхность задана уравнением x=f (у, z), то
D
где D — проекция поверхности на плоскость yOz; если же уравнение поверхности имеет вид y~f(x, z), то
МММ® +(!)’“ •
D
где D — проекция поверхности на поверхность xOz.
17
66. Найти площадь части сферы х2 +у2 +z2 = a2, заключенной внутри цилиндра х2-'гу2 = ау (рис. 13).
Л Из уравнения сферы имеем (для I октанта):
Часть сферы, расположенная в I октанте, проецируется в полукруг, огра-х2-\-у2 = ау и осью Оу. Этот полукруг и является областью интегрирования D.
Поверхность расположена в четырех октантах$ а потому искомая площадь
С С ____dxdy
—у2 ’
ниченный окружностью
Рис. 13
D
S=4a
Перейдем к полярным координатам, тогда уравнение окружности примет вид p = asin0 и
л/2 a sin 9
f d0 f =
— P2 /a2—p2
D
р ---------a sin 9 Л р
= — 4а \ /а2 — р2 I dQ= — 4а2 \ (cosO— l)d0 =
О о
= — 4a2 [sin 0—0]J/2 = 4a2(y—1) (кв. ед.).
67. Найти площадь части конуса г = У х2-\-у2, заключенной внутри цилиндра х2-\-у2 = 2х (рис. 14).
А Из уравнения конуса имеем __........, ——у Об-
Зх рх2 + г/2 дУ /х24-р2
ластью интегрирования D является круг, ограниченный окружностью х2-|-у2=2х, или p = 2cos0. Тогда
S=W Vl+lfi+y2+^y2dxdy= D л/2 2 cos 9
= /2 dxdy=-f"2 $ dd pdp = D -л/2 0
Л/2 Jl/2
,_Pl 12 COS 9 .--1 p
= 2}<2 \ yp2 d0 = 2p 2.у 1 4cos2040 = 9 9
Л/2
= 2У~2 § (1 + cos 20) dQ = 2y 2 ^0-|-y sin 20 =лУ 2 (кв. ед.) О
18
68. Вычислить площадь поверхности цилиндра х2 = 2г, отсеченной плоскостями х—2у=0, у = 2х, х=2]/г2 (рис. 15).
Д Областью интегрирования служит треугольник ОАВ. Из уравнения дг dz а „
цилиндра имеем -^=х, -^=U. Тогда
2 V 2 2х
S = /Т+Т2 dxdy = /Г+Р dx dy =
О О х/2
2V“2 2V~2
= J j (l+x2)^2d(l + x2) =
о 0
= 4 4(l+*2)3/2 M 2=13 (кв. ед.). A О |U
69. Вычислить площадь части поверхности параболоида х = —^2—г2, вырезанной цилиндром г/2 + ?2^=1.
Д Область интегрирования — окружность у2 -f-z2 = 1 (она расположена дх дх
в плоскости yOz). Из уравнения параболоида имеем — —2z/, = —2г.
Тогда
D D
Перейдя к полярным координатам, получим
2л 1 2л
S = J <19 jpKT+4?rfpd0 = J [4 4(1+W/2 ]4 = 0 0 0
._ 2л ___
5^5-1 C ,Q 5 К 5—1 . . .
—p2----- ( dQ=——----л (кв. ед.). A
0
70. Найти площадь части поверхности y = x2 + z2, вырезанной цилиндром x2 + z2—1 и расположенной в I октанте.
19
71. Найти площадь части сферы x2 + y24-z2 = 4, вырезанной цилиндром х2/4 + у2 = 1.
72. Найти площадь той части плоскости г = х, которая заключена внутри цилиндра х2-{-у2 = 4 выше плоскости z = 0.
73. Найти площадь части поверхности цилиндра z = x2, вырезанной плоскостями х-\-у = У2, х = 0, у = 0.
74. Вычислить площадь поверхности конуса х2—у2 — г2 = 0, расположенной внутри цилиндра х2 + у2=1.
75. Вычислить площадь поверхности цилиндра x2 + z2 = 4, расположенной внутри цилиндра х2 Ч~ г/2 = 4.
76. Найти площадь части поверхности z2 = 2xy, вырезанной плоскостями х=1, у = 4, 2 = 0.
§ 6. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Если пластинка занимает область D плоскости хОу и имеет переменную поверхностную плотность у = у(х, у), то масса М пластинки выражается двойным интегралом:
М = у (х, у) dx dy.
D
Статические моменты пластинки относительно осей Ох и Оу находятся по формулам
Мх = уу (х, у) dxdy, Му = ху (х, у) dxdy. D D
В случае однородной пластинки у ~ const.
Координаты центра тяжести пластинки можно вычислить по формулам х~Му1М, у=Мх/М,
где М — масса пластинки, а Мх, Му—ее статические моменты относительно осей координат.
В случае однородной пластинки эти формулы принимают вид
хdxdy уdxdy
— D — D
X § , у- s
где S—площадь области D.
Моменты инерции пластинки относительно осей Ох и Оу вычисляются по формулам
1Х = У2у (х, у) dxdy, 1у=\ \ х2у (х, у) dx dy,
D D
а момент инерции относительно начала координат — по формуле
/о = $$ (*2+*/2) ?(*, y)dxdy=Ix+Iy
D
Полагая в этих формулах у(х, г/) = 1, получим формулы для вычисления геометрических моментов инерции плоской фигуры.
20
77. Найти кооординаты центра тяжести фигуры, ограничен ной линиями «/2 = 4хф-4, у2 = — 2x4-4 (рис. 16).
Л Так как [фигура симметрична относительно оси Ох, то у = 0. Остается найти х.
Найдем площадь данной фигуры;
2 (4-г/2)/2
S = dxdy= 2 § dy § dx =
D 0 (r/2—4)/4
2
0
2
Тогда
2 (4—r/2)/2
х==-& У У xdxdy^-^ • 2 dy § xdx = D 0 (z/2-4)/4
2 2
=4 J [т to’-4’’] '«-H (3-4«' +4"‘ > =
о 0
Ц[3!,_4+.|)Г_.?..а
О L J 0 0
78. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной эллипсом х2/25 + z/2/9 = 1 и его хордой х/5 + у/3 = 1.
Д Найдем площадь сегмента:
5 (3/5) К25-Х2
S = dx dy = dx dy =
D б 3(1 — х/5)
5
= j ( у V25— х2 — 3+у х) dx=^- (л—2). о
Тогда
х = у УУ xdxdy
5 (3/5) К25-х2
15(л_2) dtJZ="
0 3(1-х/5)
5
15 (л-2) J ["5 x|<25“x2“3x(1“‘5’)] rfx== о
1—Г_1. 15 (л—2) [ 5
4 — 15 (л—2)
1.|(25-ху/2 (25-т+25)=-
Зх2 2
10 3(л—2)
х3 j5 5 Jo
D
21
5 (3/5) V 25 — х2
D 0 3(1-x/5)
5
- w-=2j • 4 n & - «•-> -9 (1 - 4)' ]л -
0
5
2-9-2 C/r 24 л I2 Г 5*2 1 з!5
= TF7---ox o~F \ (5X —X2) dx = l5e ,-—5------^-X6 =3
15(л —2)-25J 4 z 125(л —2) [2 3 Jo
о
__ 12 / 125 125 \ 2
“ 125(л—2) \ 2 3 J “л—2 ’
79. Вычислить полярный момент инерции фигуры, ограниченной линиями xla-\-ylb~ 1, х=0, у = 0.
Д Момент инерции относительно начала координат равен
а (b/а) (а-х)
I0=^(x2+y2)dxdy = \ dx § (x2-\-y2)dy =
D оо
а а
= j [^+4 ^]Га) la~X) dx = J [4*4a-x)+~(a-x)3]<fc = О о
-Г1^ . Ча Л)Я^(а2 + ^) А
| 3 4а 3 а3 4 ( ’ Jo 12 ‘ Ж
80. Вычислить момент инерции относительно оси Ох фигуры, ограниченной кардиоидой p^a(lj-cos0).
Д Перейдя к полярным координатам в формуле Iх
= j j у2 dx dy, D
получим
2 л a (1 + cos 0)
/A. = p2 sin2 ® pdpdG = sin2 0 dG p3 dp =
D 0 0
2л 2л
P 1 la (1 + cos 0) 1 P
= \ sin2 0 • — p4 d0 = -^-a4\ sin2 0 (1 -J-cos 0)4 dG =
о о
2Л
T ‘ 21
= — a* \ sin2 0 (1J-4 cos 0-|- 6 cos2 0-J-4 cos3 0J-cos4 0) d0=^ ла4.
4 J 32
0
81. Определить центр тяжести площади, ограниченной линиями у = у = 2х2, х= 1, х=2.
82. Определить центр тяжести площади, ограниченной кардиоидой р = а(1 +cos9).
83. Определить центр тяжести полусегмента параболы у2 = ах, отсеченного прямыми х = а, у = 0 (у > 0).
84. Найти центр тяжести площади, ограниченной одной петлей кривой р = a sin 20.
22
85. Найти центр тяжести площади, ограниченной параболами у2 = х, х2 = у.
86. Найти центр тяжести площади, ограниченной параболой у2=2рх и прямой х=^2р.
87. Найти центр тяжести площади, ограниченной линиями у = У 2х—х\ у = 0-
88. Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями y = х-Уу — 3, у=0, относительно оси Ох.
89. Вычислить полярный момент инерции площади, ограниченной прямыми х-Уу= 2, х = 0, z/ = 0.
90. Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями z/=4—х2, y = Q, относительно оси Ох.
91. Вычислить момент инерции площади эллипса х^!а2-\-у21Ь2= 1 относительно его большой оси.
92. Вычислить массу квадратной пластинки со стороной а. плотность которой в любой точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки от одной из вершин квадрата.
93. Вычислить массу круглой пластинки радиуса г, если плотность ее обратно пропорциональна расстоянию точки от центра и равна б на краю пластинки.
94. Вычислить статический момент пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетами | О А | = а, | ОВ | = b, относительно катета ОД, если плотность ее в любой точке равна расстоянию точки от катета О А.
§ 7. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
Пусть функция f (х, у, г) определена в ограниченной замкнутой пространственной области Т. Разобьем область Т произвольным образом на п элементарных областей Tlt Т2, Тп с диаметрами dlt d2, ..., dn и объемами А Vlf ДИ2, •••> АК„. В каждой элементарной области возьмем произвольную точку Pk(£k> Ц/г; £k) и умножим значение функции в точке Pk на объем этой области.
Интегральной суммой для функции / (х, у, г) по области Т называется п
сумма вида 2 Пъ &*) k-
k= 1
Предел интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех элементарных областей АР^ называется тройным интегралом от функции / (х, у, г) по области Т и обозначается следующим образом;
Щ/(*> У, z) dV = lim 2 Па, ?а) А Юг-
Конечный предел такого вида может существовать только для ограниченной функции.
Если f (х, у, г) > 0 в области Т, то тройной интеграл f (х, У, z)dV т
представляет собой массу тела, занимающего область Т и имеющего переменную плотность у=/(х, у, г) (физическое истолкование тройного интеграла).
Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствахМ двойных интегралов.
23
В декартовых координатах тройной интеграл обычно записывают в виде f (х, d* dz* т
Пусть область интегрирования Т определяется неравенствами Xi<x<x2, У1 (х)< # < у2 (х), Zj. (х, у) < z < z2 (х, у\ где у± (х), у2 (х), гг (х, у) и z2 (х, у) — непрерывные функции. Тогда тройной интеграл от функции f (х, у, z), распространенный на область Т, вычисляется по формуле
х2 у2 (х) г2 (х, у)
J J f (х, у, z) dx dy dz = dx dy f (x, y, z) dz,
T Xi yx (x) Zi (x, y}
Если при вычислении тройного интеграла требуется перейти от переменных х, г/, z к новым переменным и, v, w, связанным с х, у, z соотношениями х = х(п, с», оу), у = у(и, v, w), z = z (и, v, w), где функции х (и, v, w), у (и,v, ш),
z (и, п, оу), непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка, устанавливают взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками области Т пространства Oxyz и точками некоторой области Т' пространства Ouvw и якобиан J в области Т' не обращается в нуль;
дх дх дх
ди ди dw
д1. ду
ди ди dw
dz dz dz
ди ди dw
#0,
то пользуются формулой
ш т
f (х, у, z) dx dy dz =
= f [х (w, vt w), у (и, v, &y), z (и, v, ^)] -| J | du dv dw.
В частности, при переходе от декартовых координат х, у, z к цилиндрическим координатам р, ср, z (рис. 17), связанным с х, у, z соотношениями
x = pcos(p, у = р sin ср, z — z (О^Ср < 4-оо, 0=Сф^2л, —оо < z < 4~°°),
24
якобиан преобразования J=p и формула преобразования тройного интеграла к цилиндрическим координатам имеет вид
5 5 5 z) dz = J J J (Р cos Р sin Р
Т т
Ср2 Р2 *2
“ $ ^ф J р dp Нр cos ф’ р sin 2) dz. <Р1 Pl Z1
При переходе от декартовых координат х, у, г к сферическим координатам р, ф, 0 (рис. 18), связанным с х, у, z соотношениями
х=р sin 0 cos ф, у = р sin 0 sin ф, z = pcos0 (0*Ср^Ч-оо,
0<ф<2л, О*С0<л),
якобиан преобразования J = p2sin0, и формула преобразования тройного интеграла к сферическим координатам имеет вид
ш
Т
f (х, у, z) dx dy dz =
= 5 5 (Р sin G cos Ф» Р sin 6 sin Ф’ Р cos 6) Р2 ® Ф dQ т
Фг 02 Рг
dy sin 0 dQ р2/ (р sin 0 cos ф, р sin 0 sin ф, р cos 0) dp.
Ф1 0i Pi
95. Вычислить I = zdxdydz, где область Т определяется т _________
неравенствами 1/2, х 2х, —У2-
96. Вычислить I = jj x*yz dx dy dz, если область Т ограни-т
чена плоскостями х = 0, (/ = 0, z = 0, x-{-y-{-z — 2 = 0.
Д Область Т ограничена сверху плоскостью z = 2—х—у, а снизу — плоскостью z = 0. Проекцией тела на плоскость хОу служит треугольник,
25
образованный прямыми х = 0, г/ = 0, у = 2— х. Следовательно,
2 2-х 2-х-у
l = ^x2dx J ydy J zdz ООО
(2-х)* 4
2
J x2 dx о
2-x
О
(2 —x—у)2 2
dy=
2
О
97. Вычислить /= $$ z dxdydz, где Т — верхняя половина т
эллипсоида х2/9 + у2/4 + г2 1.
Л Проекцией тела на плоскость хОу является эллипс х2/9+у2]4 1. По-
этому
3 (2/3) /9-х2 /1 —х2/9 — г/2/4
, I = dx J dy § zdz =s
“3 -(2/3)/9 -Хг~ 0
3 (2/3) /э^х2
“3 - (2/3)/9-х2
3 3 л/2
;=^1 J (9 — х2)3/2 dx—J (9 — х2)3/2 dx=~ j 81cos4/df = -зо 0
QT (H-cos 2/)2 o Г. , . o, , t , 1 . ..1я/2 3 л__3л
—8 j - dt~2 ^Z + sin2/+ 2 -f- 8 sm4qo —2- 2 • 2 — 2
'o
(при интегрировании сделана подстановка x = 3sin/, dx = 3 cos t dt). A
98. Вычислить I — jj x2 dx dy dz, если T — шар x2 + y2 + z2 т
^R*.
Д Перейдем к сферическим координатам. В области Т координаты р, ф и 0 изменяются так: 0р, 0^ф<2л, О^СО^л. Следовательно,
MSS г
л 2л 7?
р4 sin3 0 cos2 ф dp dtp dQ = sin3 0 dQ cos2 ф dcp p4 dp = 0 0 0
л
/?5 p Г 1 12л
J sin30rfe [т+ysin 2<pJ o «
0
л
л/?5 p . 9 a 14 ,z m 4л/?5
s= -g— \ (cos2 0 — 1) d (cos 0) = -j-g— .
о
26
99. Вычислить х2-[- у2 dxdy dz, если область T ограни-т
чена цилиндром х2-\-у2 = 2х и плоскостями z/ = 0, z = Q, z = a.
Д Перейдем к цилиндрическим координатам. Уравнение цилиндра в этих координатах примет вид р2 cos2 ср + р2 sin2 ф = 2р cos ф, или р2 (cos2 ф + sin2 ф)= = 2р cos ф, т. е. р = 2со5ф. Следовательно, в области Т координаты р, ф и г
о о л/2
=4аг fсс о
=— а2
3 а
J J z У x2-^-y2dxdydz = zp-pdpdq dz =
т т
Tt/2 2 cos ф а ti/2 2 cos ф
У zdz = ~ a2 J t/ф У р2 dp = о о о
л/2
у (1 _ Sin2 ф) d (sin ф)=; о
1 • з 1я/2 8 2 д
)--5тЗф|о =-а2. А
in3
100. Вычислить $$$ (*2 + У2) dxdydz, если область Т — верх-т
няя половина шара х2Д у2-\- z2 г2,
Д Введем сферические координаты; новые переменные изменяются в пределах О^р^г, 0^ф<:2л, 0^0^ л/2. Таким образом,
S S 5 + dxdydz=^^ р4 sin3 0 dp dtp dQ =
т т
г л/2 2л г Л/2
= р4 dp sin3 0 dQ J б/ф = 2л^р4ф^ (cos2 0 — 1) d (cos 0) = oo о oo
r
P Г 1 Я л/2 4
= 2л \ p4 t/p у cos3 0 — cos 0 — is лг5. A
о
101. Вычислить J (x2 + y2 + ^2) dx dydz, если область T — т
прямоугольный параллелепипед, определенный неравенствами 0^.х^а, О^у^Ь,
102. Вычислить xyz dx dy dz, если область Т ограничена т
сферой x2-\-y2-\-z2=\ и плоскостями х = 0, г/= 0, z = 0.
103. Вычислить J xy2z3 dxdydz, если область Т ограничена т
поверхностями z — xy, у = х, х=1, г = 0.
104. Вычислить (2% + 3^-^g) dxdy dz, если область Т — т
трехгранная призма, ограниченная плоскостями г = 0, z = a, * = 0» f/ = 0, x-\-y^b (^>0, Ь>0).
27
105. Вычислить ^^z dxdydz, если область Т ограничена т
конической поверхностью z2 = x2 + y2 и плоскостью г = 2.
106. Вычислить J J J xdxdydz, если область Т ограничена т
плоскостями х=0, у = 0, г = 0, у=3 и x + z = 2.
107. Вычислить $ $ $ (*2 + У + г2)3 dx dy dz, если область Т огра-т
ничена цилиндром х2 + г2=1 и плоскостями г/ = 0, у=1.
108. Вычислить 5П (xJry + z)2dxdydz, где область Т — об-т
щая часть параболоида z (%2 + г/2)/(2я) и шара х2 + у2 4- z2 Зя2.
109. Вычислить (*2 + У2) dxdydz, где область Т ограни-т
чена поверхностями z = (х2 + z/2)/2, z = 2.
ПО. Вычислить <^\^dxdydz, где область Т— шар х2 + у2 + т
+ г2<г2.
111. Вычислить УI + (^2^-^/2 + г2)3/2 dxdydz, если Т — т
шар х2 4 у2 + 22 < 1.
§ 8. ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Объем тела, занимающего область Т, определяется по формуле
V = dxdydz. т
Если плотность тела переменная, т. е. у~у(х, у, г), то масса тела, занимающего область Т, вычисляется по формуле
И = у (х, у, г) dx dy dz. т
Координаты центра тяжести тела определяются по формулам ухdxdydz, 'у=-^-^^ ууdxdydz, Т т
1=iirSS-Syzdxdffdz-т
При 7=1 имеем
х=-рГ xdxdydz-, ~y^=Y ^^ydxdydz; zdxdy dz
T ° т т
(x y'y, z — координаты геометрического центра тяжести).
28
Моменты инерции (геометрические) относительно осей координат соответственно равны
Т
^(z2 + x2)dx dy dz, т
И dx dy dz*
т
112. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями hz — x2-{- у2, z = h (рис. 19).
Д Данное тело ограничено снизу параболоидом z = (x2-}-y2)/h, сверху плоскостью z = h и проецируется в круг x2-}-y2^h2 плоскости хОу. Используем цилиндрические координаты, в которых уравнение параболоида примет вид z = p2//i. Объем тела равен
2л h h
V = dxdy dz=^^ p dp dtp dz= § dtp J p dp J dz =
T T 0 0 р2/Л
2л h 2л 2л
nhp2 p4lh , f h3 h3 \ С , n,h3
-T-yod<₽=U-Tji dc₽=-r
о 0
о о
113. Найти координаты центра тяжести призматического тела, ограниченного плоскостями х = 0, z = 0, у=1, у = 3, х + 2г = 3.
Л Найдем объем рассматриваемого тела:
3 3 (3- х)/2 3 3
V= dxdydz = ^dx^ dy J dz~ dx dy = т bio oi
3
Ц(3-х)^х=Гзх-1х2]°=| 0
Тогда
3 3 (3-x)/2
x= — x dxdydz = ~ § xdx § dy § dz = 0 10
3 3
, C3 — X , 2 P o 2 Г 3 „ 1 ,13
Kdx -2- dy=- j X (3-x) dx=y X2--з-x3] 0= 1;
6 1 0
3 3 (3-x)/2
УУУ ydxdydz = ~ dx у dy C dz = т oio
зз з
1 P . P _ . . 4 C _ 4 Г 1-2 43
з
0
0
29
114. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = ]/*№ + у2, г = х2 + у2.
115. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью 2 = 0, цилиндрической поверхностью х= (х2 +у2)/2 и сферой х2 + у2 + + г2 = 4 (внутри цилиндра).
116. Найти массу куба Os^ys^a, О^г^а, если
плотность в точке (х; у, г) есть у(х, у, г) = х + у + г.
117. Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями % + у=1, 2 = х2 + у2, х = 0, у=0, z = 0.
118. Найти координаты центра тяжести, ограниченного поверхностями z2 = xy, х = 5, у = 5, 2 = 0.
119. Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного плоскостями 2х + 3у—12 = 0, х = 0, у = 0, 2 = 0 и цилиндрической поверхностью z — у*/2.
120. Найти момент инерции куба О^х^а, О^у^а, 0^2относительно его ребра.
§ 9. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
Рассмотрим интеграл
ъ
I (X) = J f (X, X) dx, (1)
а
в котором X—переменный параметр, а функция f(x, X) двух переменных определена для всех значений х в промежутке [а, Ь] и всех значений X во множестве {Z}. При этих условиях интеграл (1) является функцией параметра %.
Большое значение имеет вопрос о производной функции / (к) по параметру X. Пусть функция f (х, X) и частная производная непрерывны
в прямоугольнике а^х ^Ь, В этом случае существует производная
Т = ?f (х’ Х) ?ТГ dx- (2)
а а
Если допустима перестановка знаков производной (по %) и интеграла (по х), то говорят, что функцию (1) можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла, В формуле (2) предполагается, что пределы интегрирования а и b не зависят от параметра X. Если же а и b зависят от %, то
Р d!S^ dx+b' (X) f [& (1), М-а' (X) f [а (X), К]. (3)
ал J ал
а (X)
30
Пусть функция f (х, Z) задана для всех значений х'^ а и всех значений % в некоторой области Z), причем при каждом Л в этой области существует интеграл
оо b
t (х, X) dx = litn f f (x, A) dx.
•J £>~>CO
a a
Если этот интеграл стремится к / (X) равномерно относительно X в области D, то интеграл I (X) называют равномерно сходящимся относительно к для указанных значений параметра.
Из этого следует, что для любого 8 > 0 найдется не зависящее от число bQ аг что как только b Ьо неравенство
оо b оо
| f (х, X) dx—- f (х, 1} dx | = | f (х, Л) dx | < 8
а а b
будет выполнено для всех значений % в области D. ся
Для дифференцирования по параметру несобственного интеграла f (х, X) dx о
00
с бесконечным пределом необходимо, чтобы интегралы f (х, X) dx и
о
00
С df (х X)
\ —- dx существовали при 0 < X < оо.
о
Формула интегрирования по параметру % определенного интеграла (1) под знаком интеграла в промежутке [а, р] имеет вид
р р ь ь р
j /(Х)<а=рХ р (х, X)dx=^ dx р(х, (4)
а а а а а
Подынтегральная функция /(х, X) должна быть непрерывной функцией двух переменных в конечной области интегрирования. В случае бесконечной области интегрирования получится несобственный кратный интеграл.
Подробное изложение условий применения формул дифференцирования и интегрирования несобственных интегралов по параметру можно найти в «Курсе высшей математики» В. И. Смирнова (том II).
1
121. Найти хт (In x)ndx, где т и п—положительные целые о
числа.
Д Рассмотрим интеграл
1
С л 1
\ хт dx =—г-г;
J 1
о
здесь f(x, т) = хт — непрерывная функция в интервале 0 < х < 1 при т > 0.
Найдем производную этого интеграла по /и:
1 Г 1
о о
31
Продифференцировав по т еще раз, получим
1
р 2’
\ хт (In х)2 dx .
J v (m+ I)3
о
После /г-кратного дифференцирования по tn находим
1
С хт (1пх),г dx = (—A)n--,— . А
о
oo р б/х
122. Найти j (X2^_^n+i, гДе «—целое положительное чис. о '
а X > 0.
Л Рассмотрим интеграл
00 С dx 1 , х л 1
J -7Tarc g 7Т |о “Т • •
Дифференцируя по параметру %, имеем
00
С dx ______ 1 л
J (х3 + ^—2 '^7Т-О
В результате n-кратного дифференцирования получим
С dx _________1-3-5...(2/г—1) л .
J (х2+Х)« + 1~ 2*4«6...(2п) ’ 2Х"- <
А '
со со
123. Найти I (k, X) = С e~kx sin ^х dx и (Л) = С —- Л* dx.
J X J X
о о
Л Дифференцируя интеграл / по X, находим
00
di р Г e~kx "Iх k
= \ е~пх cos Хх dx~ (X sin Хх—k cos Хх) ==9 ,
dX J р Jo ^2 + V
о
k
^2 + V
Теперь из уравнения
можно найти /; имеем
/(й, Х) = j е-^ Sm^X dx = arctg-^ .
О
Интеграл /х (X) найдем, подставив в выражение для I (k, К) значение k =
* . « л ( —л/2 при X < О,
Л (М = \ Sin Х dx= lim arctg—= ' о при Х = 0,
о х /г->+о I л/2 при X > 0.
32
со
v .1. , Г /А\ С sin Хх ,
1 рафик функции Л (л) — \ —-—dx состоит о
из двух полупрямых и точки О (рис. 20). Д р -х -Хх
124. Найти Z = j-—y—•
о
Д Дифференцируя по параметру X, имеем
d7 __1_ dk ~ X ’
^L— С с/Х J о
е Kxdx = ~, т.
Л
е.
/=1пХ. А
со
125. Вычислить I =\е~'х2 dx (интеграл Эйлера — Пуассона). о
Л Положим х —X/, где X > 0; тогда dx — 'kdt и / = Х^е **** dt. Умно-о
жим обе части последнего равенства на е~к~ dh и, используя формулу (4), проинтегрируем по X от 0 до оо:
00 00 00
/•p"vdX = /2 = J J dt. 0 0 0
Изменив порядок интегрирования, получим
________p-(i+/2) V
2(1 + 0
1 Р Л 1 . .1“ л , 1^л .
Tj Т+72 ~'2arctg/|o —Т’ т‘ е’ 1 2~ •
О
оо
126. Найти I (X) - J е~х2~W dx. о
Л Дифференцируя по параметру X, имеем
___ 9 С х2 —Л2/л'2л о
Произведем замену переменной интегрирования: X/x=z, (—X/x2)rZx — аг, х2 = М/г2; при этом z изменяется от оо до 0. Таким образом,
0 00
44=2 Се“л2/22~22 dz~ — 2 e~^2jz2~z2 dz, пли 4т =?—2Л dx J J dk
оо О
2 Ы4
33
Следовательно, -ф = —2dX, ln/ = — 2X4-lnC, / = Се-2\ Для нахождения С 00
положим Х = 0; тогда I (0) = dx— У я/2 (интеграл Эйлера—Пуассона), _ о
т. е. С = У л/2. _
Итак, искомый интеграл I —
К
127. Найти 1= С dx.
J 1 + х2 о
d I
Л Найдем полную производную —т~ по формуле (3): «Л
г
di _ Р х , In (1Z-X) dK
J (1 + Хх) (1 + х2) Г+Х2~ ’ di9
о
или
г
677_1П (1Ч-Х2) Р х
di~ i + X2 (1 Ч-Хх) (1-j-x2) о
dx.
о
Подынтегральную дробь разложим на простейшие дроби и проинтегрируем:
Л К А/
л _С —kdx . Р %+Х __
+ **) J (1+X2)(1 + M+J (WK) о о
In (1 Н-Хх) +2 in (14-х2) +1 arctg xj 0=;
. *n (1+ Х)2 . In (14~Х2) . X
14-Х2 + 2(1-|-Х2) + 14-Х2 gA'
Таким образом, di ln(l + X2) , X dX—2 (14~Х2) 14-Х2 arcg^'
Отсюда г
Ч[^+т^’'Чд-о
Обозначив X = tg <р, получим
<Р ф Ф Ф
. С In sec2 ф 9 , . Р t g ф Р
/= J 2se~c2m SeC фб/ф+0 вёс2ф'ф5еС ф{/<Р=~ J lncos<pdq>4-^ <p tg ф d<p. О О 0 0
Взяв первый интеграл по частям, находим
Ф ф
I = — Ф In COS ф J ф tg ф d(p 4~ J ф tg Ф бйр = — ф In COS ф?
о о
34
или окончательно
/=larctgX-ln(l+V). Д
Найти интегралы:
Л/2 1
128. V arctg (X sin х) dx. 129. С dx.
J x у 1 — X2
о о
130. C-arctgjZtgx)dx. 131. f In(1 +<=inacosx)
J l& X J
о 0
oo , co
132. C e ~ dx. 133 C ..arctg d:c
J x Jx(l+x2)
о 0
p A LI
134. \ x~* dx- Z>0, p>0. 0
135. \ ------------dx; a > 0, ₽ > 0.
0
136. f dx; < 1.
J X2 К 1—X2 л r
§ 10. ГАММА-ФУНКЦИЯ. БЕТА-ФУНКЦИЯ
1. Гамма-функция. Гамма-функцией (или интегралом Эйлера второго рода) называется интеграл вида
00
Г (р) = e~xxP~r dx. о
(1)
Интеграл (1)—функция параметра р — является несобственным, так как верхний предел равен бесконечности и, кроме того, при х—>0 и р < 1 подынтегральная функция неограниченно возрастает. Интеграл (1) сходится при р > О и расходится при р^О. Гамма-функция является одной из важнейших (после элементарных) функций для анализа и ею приложений.
Основные свойства гамма-функции
1°. Функция Г (р) непрерывна и имеет непрерывную производную Г' (р) для р > 0.
2°. Имеет место равенство
Г(р+1)=рГ(р). (2)
3°. После n-кратного применения формулы (2) получается соотношение
Г(р+п)=(р+п-1)(р + п-2)...(р + 1)р.Г(р). (3)
00
4°. Если в формуле (3) положить р = 1 и учесть, что Г (1) = e~xdx = 1,
О
2*
35
то получится равенство
Г(и+1)=и!. (4)
Если п = 0, то 0! = Г(1) = 1.
5°. Функция Г (р) дает возможность распространить понятие факториала л!, определенного лишь для натуральных значений и, на область любых положительных значений аргумента. Из формулы (2) следует, что если р—*~0, то Г (р) = ---—>+©о, т. е. Г(0) = 4~оо.
6°. При р = — п из формулы (2) следует, что>
г ^Г(-и+1)^Г(-и4-2) _ ;-Г(-п+3)
1 —п ~ п(п— 1) п (п — 1)(л —2)
= ...=(-!)« !> = (-!)«.
т. е. Г(— п) = (—!)”• 00 (п = 1, 2, 3, ...).
7°. Вообще, функцию Г (р) можно распространить на случай отрицательных значений аргумента р. Так как Г (р) = , то Г(р4~1) имеет смысл при
— 1 < р < 0.
Если —п < р <—(и—1), то из формулы (3) следует, что
Г (р) =--------.
w р(рЧ-1)(р+2)...(р4-п-1)
С помощью подстановки рф-п = а, откуда р = — последняя формула преобразуется к виду
г (а — и) = v~~ 7 х v 7
1 (1—00(2 — 00... (п—а)
(5)
и для —п < р <—(и— 1) знак Г (р) определяется множителем (—1)п.
8°. Используя формулу (2), можно получить значения Г (р) для полуцелого аргумента:
или
Г fm+lU(2m-1)!!. г г (1
+2 J 2“ т!22“ Ц 2
9°. Имеет место формула дополнения
(6)
(7)
Если в этой формуле положить р= 1/2, то [Г (1/2)]2 = jr/sin (л/2) = п, т. е. Г (1/2)= К л.
Пользуясь основными свойствами, можно вычислить Г (р) для любого р.
Значения гамма-функции приведены в табл. I на с. 409.
График функции Г (р) изображен на рис. 21.
36
137. Вычислить интеграл 00
Эйлера — Пуассона e~x2dx. о
Д Произведем подстановку х2 = t, откуда x = V Т, dx = dt/(2V't) и, следовательно, со со
e~4~ll2dt =
о О
о
2 2 J 2 ж
138. Вычислить Г(—1/2).
Л Пользуясь формулой Г (р) =
Г (р+1)
= —, получим
Рис. 21
Г (- П-Г(-1/2 + 1) Г(1/2)___
k 2j (-1/2) -(-1/2)- 2F А
139. Вычислить Г (—9/2).
Д Используя формулу (5) при а = 1/2 и п = 5, получим
г fl_5Vrf_2V-—___________(~1)5-Г(1/2)
к 2 У \ 2) (1-1/2) (2-1/2)... (5-1/2)
_ — Ул 32 У л
“ (1/2)-(3/2)-(5/2)-(7/2)-(9/2) ~ 945 ’ А
140. Вычислить Г (5/2).
А Полагая т = 2 в формуле (6), имеем
f_9+lVrf 5 К4!Г(1/2)-24КЯ-3 Гл k+2j к2/ 2J-2* — 2-16 — 4Г
141. Вычислить Г(—4/3).
Л Используя соотношение Г (р) = t имеем’
Т( 4 \_ Г(4/3+1)_Г(-1/3)_ Г (-1/3+1) _9 /2\
к з; —4/3 —4/3 (—4/3)-(—1/3) 4 к3/
_9 Г(5/3) /5\
— 4 ' 2/3 к 3 / '
Из табл. I на с. 409 находим Г (5/3) =0,9033; следовательно, Г(—4/3) = = (27/8)-0,9033 = 3,0486. А
142. Вычислить: 1) (—1/2)!; 2) (1/2)!; 3) (3/2)!; 4) (0,21)!
37
Л По формуле (4) находим:
1) (—1/2)! =Г (—1/2+ 1) = Г (1/2) = Кл = 1.772;_
2) (1/2)! = Г (1/2+ 1) = Г (3/2) = (1/2) Г (1/2) = К л/2= 0,886j_
3) (3/2)! = Г (3/2+1) = (3/2) Г (3/2) = (3/2)• (1/2) Г (1/2) = 3^ л/4 = 1,329;
4) (0,21)! =Г (0,21 + 1) = Г (1,21) = 0,9156 (из табл. 1). Д
143. Вычислить Г(5/3)-Г(—5/3).
Д Находим
\ о / \ о / о \ О / -Э/О
(-|/з)____1Г(1Ы1-Д
3 \3 J (-5/3) (-2/3) 5 Ч 3 } Ц 3 ; •
'т* . к. / 1 \ n / i 1 \ Л 2л
Гак как по формуле дополнения Г — Г 1------ —-----—— то
\ 3 / \ 3 J sin (л/3) з
/ 5 \ / 5 \ _ 3 2л 2л]/'3 .
Ur г“- А
144. Показать, что Г f-4+ рV Г —р\ ——™—'•
’ \ 2 1 1 ) \ 2 l ) cos рл
Д Полагая в формуле (7) р = со Ц- 1/2, получим
Г (^ + 2 У Г J 1 2 у sin (л/2 + сол) ’
или
г( 1 . \ г( 1 \ _ Я А
Г TS—F 0) • Г "X— 0) —------ .
\ 2 1 J \ 2 J cos сол
Вычислить:
145. Г (0,8). 146. Г (—2,1). 147. Г (3,2). 148. Г (7/2).
149. (—1/4)!. 150. (1/3)!. 151. (—2)!.
152. Г (7/3).Г (—7/3). 153. Г (10/3).Г (—10/3).
154. Г (1/4).Г (—1/4). 155. Г (5/4).Г (—5/4).
156. Показать, что Г —+ ’ \ 2 у (2m—1)!!
157. Показать, что Г^т-Ь^-Г^—т + —1)тл
(m=lt 2, 3, ...).
2. Бета-функция. Бета-функцией (или интегралом Эйлера первого рода) называется интеграл
1
В (р, q) = хР~х (1—х)Ч~х dx. (1)
о
Интеграл (1) есть функция двух парахметров р и q\ он сходится при р > 0, q > 0.
Функция В является симметричной относительно параметров, т. е. В (р, а) = = В (7, р).
Если сделать замену переменной интегрирования, полагая x = sin2/, dx~ = 2 sin / cos / с//, причем t изменяется от 0 до л/2, то формула (1) примет вид
Л/2
В (р, q) = 2 sin2/5"11 cos2^-11 dt,
0
38
или
Л/2
sinzzz х cos" х dx = ~ В f -у- > ~2~ \ (т > 0, п > 0). о
(2)
К интегралам (1) и (2) приводятся многие интегралы, встречающиеся в прикладных задачах.
Для вычисления значений бета-функции пользуются следующей зависимостью между бета- и гамма-функцией:
В(Р19)=ТРДТМ.
П Г(р+д)
(3)
1 Т> / 1 Ч Г (р)- Г (I — р) п м
Если 7 = 1—р, то В(р, 1—р г/1;—-------------- (0 < р < 1).
Г(1) sin рл v
Используя бета-функцию, легко найги значение Г (1/2) Пусть р=р=1/2; тогда В (1/2, 1/2)=-^—^-. Так как 13(1/2, 1/2) = В(1/2, 1-1/2) = = л/sin (л/2) = л, а Г(1) = 1, то Г (1/2) =/'л.
158. Вычислиib sin'5 xcos8 xdx. о
А Используя формулу (2) при т = 6 и п = 8, получим Л/2
sin6 х cos8 х dx = — В о
(значения Г (7/2) и Г (9/2) вычислены по формуле (6) п. 1
а Г (8) = 7!). А
1 Г (7/12) Г (0/2) 5л
212
при т — З и /72 = 4,
л
159. Вычислить \ ——==- . J У3—cost
Д Положим cos £ = 1 — 2 У и ; тогда di =
du
У3 —cos t =
2 Г Ц)
= У 2/1+ У и, причем t изменяется от 0 до 1. Тогда получим
dt
J__
J /З—cos/~~2 К 2 j
1 пр Ц_ ’ Г(1/4)Г(!/2)_ Ул [Г (1/4)]2
~ 2У~2 \4’2/ 2У2 Г(3/4) 2|Л 2 Т(3/4) Г (1/4) ’
Так как Г
-V2 du =
sin (л/4)
= —9’.25) =4-0,9064=3,6256, то 1/4
Л
Г dt
Рда(3,62^_1>8И51 д
У л _________
J У 3 — cos 2^/2 л У 2 4 |/ л
39
1
160. Вычислить f , =.
1
Д Перепишем данный интеграл в виде (1—х2 5)-i/2 dx. Воспользуемся о
подстановкой х2/б = /; тогда х = /5/2, dx = (5/2) t32 dt и, следовательно, 1 1
С - № (I—0"1(Л =
2/
_5_/5 1 \ 5 Г(5/2)-Г(1/2) 15л
“ 2 b V 2 ’ 2 / 2 Г (3) ~ 16 ' *
1 1
161. Доказать, что если Д — f —. и f 1Д= , то
1 J К1 — х* 2 J Г 1-х1 о о ’
I I — — '14 — 4 •
Л Положим х4 = /, откуда dx = (l/4) /1/4-1 dt. Тогда получим
Л = 1С (1 _0-1/2dt =1 В fl lkl®£M.
1 4 J u ’ 4 V 4 ’ 2 / 4 Г (3/4)
О
A-lCpj-ia-A-i^-J-B fl -1 Y- 1 Г(3/4).Г(1/2)_Г(3/4)Г(1/2) 2~4j (1 ») аГ —4В\4’2у—4 Г (5/4) — Г (1,1) ’
О так как Г (5/4) = (1/4) Г (1/4). Следовательно, 1 Г(1/4).Г(3/4).[Г(1/2)]2_1
11 - 4 ’ Г (3/4) Г (1/4) — 4 П — 4 • А
Вычислить:
л/2 л/2
162. J sin3 х cos5 х dx. 163. Jsin4xdx. о о
л/2 л/2
164. sin5 4х cos12х dx. 165. J sin10 х cos1 х dx. о о
1 а
166. С ; а>0. 167. x2nya^x2dx- а > 0.
J у 1 —ха J ’
о г о
® Подстановка xa — t. ф Подстановка х2/н2 = /.
А 00 1
168. f л-6 dx. 169. С dx = 7м •
J J l-j-x& о sin (ая/Ь)
о о
ф Подстановка (1 -f-x&)4'& = \/у.
40
170. ?—0<а<1. 171. f---------------dX3--- ‘
’ J x«(l-f-x)’ Jfl+x)3./*
о о 4 1 } V
ф Подстановка х~и/(1—и). л 1
172. f sin® х cos2 (х/2) dx. 173. Г -dx .
J J у x—x2
о 0 r
1 1
174. Jx3(l—\/x)2 dx. 175. x^-1 (1—x^)™"1 dx; 0, m> 0. о о
ф Подстановка x — t*. ф Подстановка xK — t.
Л/2 1
17.. frtFd*. П7. J * . 0 or
ф Подстановка tgx — u2.
1 Л/2
178. f T7^= . 179. f tg2”-1 x dx; 0 < n < 1.
J l/ 1 — X4 J
or 0
Л/2
180. Выразить J sin" x dr через гамма-функцию, о
ГЛАВА II
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО ДЛИНЕ ДУГИ И ПО КООРДИНАТАМ
1. Криволинейный интеграл по длине дуги (криволинейный интеграл I рода). Пусть функция f (х, у) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой К.
Разобьем дугу АВ произвольным образом на п элементарных дуг точками А = А0, Alf А2, .Ап = В; пусть As/,—длина дуги На каждой элементарной дуге выберем произвольную точку трг) и умножим значение
функции f (^, т»/г) в этой точке на длину As/, соответствующей дуги.
Интегральной суммой для функции f (х, у) по длине дуги АВ называется п
сумма вида 2 / (ёь Л/t) к = 1
Криволинейным интегралом по длине дуги АВ от функции f (х, у) (или криволинейным интегралом I рода) называется предел интегральной суммы при условии, что max As/, —> 0:
V f(x, y)ds = lira 2 Нъ.'о’lA’) Asfe
ДВ max Asft^0A,= 1
(ds— дифференциал дуги).
Криволинейный интеграл I рода в случае, если кривая задана уравнением у = ср (%) (ц=с L), вычисляется по формулам
Ь
f (х, у) ds = f [х, <р (х)] У1 + (х)]2 dx,
АВ а
с f^dsJ^p
J J I cos a I
AB a
где a — угол между касательной к кривой и осью Ох.
Если кривая К задана параметрическими уравнениями х = х(/), y = y(t) t2), то
^2 ___________
р(х, f/)ds=p[x(/), j/(/)]/x'2(/) + </'2(/)rft к л
Аналогично определяется и вычисляется криволинейный интеграл I рода от функции трех переменных f (х, у, г) по пространственной кривой. Если пространственная кривая задана уравнениями х = х(/), y = y(t), z = z(f) t2), то
^2 __________________
p(x, у, z)ds=^f[x(f), у (f), 2(/)]Kx'2(/) + z/'2(/) + z'2(/) dt.
К h
42
Если f (х, у) > 0, то криволинейный интеграл I рода j f (х, у) ds пред-К
ставляет собой массу кривой К, имеющей переменную линейную плотность у = /(х, у) (физическое истолкование).
Если f (х, у) 0, то криволинейный интеграл I рода f (х, у) dS численно
К
равен площади части цилиндрической поверхности, у которой направляющая Д лежит в плоскости хОу, а образующие перпендикулярны ей; эта цилиндрическая поверхность ограничена сверху поверхностью z = f(x, у), а снизу плоскостью хОу (i еометрическое истолкование).
Основные свойства криволинейного интеграла I рода
Г. Криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования:
/ (х, у) ds = f (х, у) ds.
АВ ВА
2°. [fi (*, У) ± /2 (х, */)] ds = ft (х, у) ds ± j f2 (х, у) ds.
к к /<
3°. cf (х, y)ds = c^ f (х, у) ds, где с = со л st.
К К
4°. Если контур интегрирования К разбит на две части Ki и К%, то р(х, y)ds=^ f (х, y)ds+^ f(x, у) ds.
К Ki К2
2. Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл
II рода). Пусть функции Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны в точках дуги АВ гладкой кривой Д, имеющей уравнение y = q (х) (а^ х<; Ь).
Интегральной суммой для функций Р (х, у) и Q (х, у) по координатам называется сумма вида
п
k= 1
где Ах^ и куь — проекции элементарной дуги на оси Ох и Оу.
Криволинейным интегралом по координатам (или криволинейным интегралом II рода) от выражения Р (х, у) dx-\- Q (х, у) dy по направленной дуге АВ называется предел интегральной суммы при условии, что шах А х^—>0 и шах А уь —> 0:
Sn
Р (х, y)dx= lim 2 Р (^, т]&) Ax^—криволинейный интеграл АВ шах Дх^->0^=1
по координате х;
Sn
Q (х, y)dy= lim 2 Q (£ь Л/г) А Ук—криволинейный интеграл АВ max
по координате у,
5 Р (х, у) dx-j- Q (х, у) dy = ? (х, у) dx + J Q (х, у) dy—полный криволиней*
АВ ав АВ
ный интеграл.
Криволинейный интеграл II рода есть работа, совершаемая переменной силой F = P(x, i/)i + Q(x, у) j на криволинейном пути АВ (механическое истолкование).
43
Основные свойства криволинейного интеграла II рода
1°. Криволинейный интеграл II рода меняет свой знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования:
Pdx~[rQdy==— PdxJ~Qdy.
в А АВ
2°. Р dx-}- Q dy = Pdx-}- Qdy.
АВ АВ АВ
Остальные свойства аналогичны свойствам интеграла I рода.
Криволинейный интеграл II рода вычисляется по формуле
ь
р (х, У) dx+ Q (х, у) dy = {Р [х, ф (х)] 4- <р' (х) Q [х, ф (х)]} dx.
К а
Если кривая К задана параметрическими уравнениями х = х(/), у = у (I), где /2, то
/г
Р (х, у) dx+ Q (х, y)dy=\ {Р [х (/), у (/)] х' (/) + <? [х (/), у (/)] у' (/)} dt.
К G
Аналогичная формула имеет место для вычисления криволинейного интеграла II рода по пространственной кривой К: если кривая задана уравнениями x=x(t), y = y(t), z~z(t), где то
у, z) dx-}-Q(x, у, z) dy ф- Я (х, у, z)dz =
К
^2
= J {Р[х(0, УЧ), z(/)]x'(Z) + Q[x(Z), y(t), z(t)]y'(t) +
4-Я [х(0, у (0, z(t)]z'(t)}dt.
Существование и величина криволинейного интеграла $Pdx-}-Qdy по с
замкнутому контуру не зависят от того, какую точку контура выбрать за начало интегрирования.
Если путь интегрирования (С) есть простая замкнутая кривая, то (j)Pdx-}-Qdy берется по этому контуру в направлении против хода часовой с
стрелки (положительное направление).
181. Вычислить J (х—у) ds, где К — отрезок прямой от А (0; 0) до В (4; 3).
Л Уравнение прямой АВ имеет вид г/ = (3?4)х. Находим у' = 3/4 и, следовательно,
f(x-j/)rfS=J(x-|x) д/~l+^dx=ijxdx^^l^l. ж
к о о
44
182. Вычислить
х2у dy—y2xdx,
если % = у cos/,
у = Vsin/, 0С/<л/2.
Л Найдем dx—------S%f-„ dt, dy=—S2s_j— dt. Тогда
2 jAcos / 2 / sin t
К cos t
2 У sin t
sin t
2 У cos t
183. Найти массу M дуги кривой x=t, y=t2/2, z—t3/3 (()</< 1), линейная плотность которой меняется по закону Т = У2у.
1 r t
Д у 2-jt2Vx'2+y'2 + z'2 dt =
К о
=j/.ri+7TH.«_±j /(p-i4),+2,i(f.+l) = О о
/2_|_ J_ 1
=4|_—2^- • КГ4 + /2+1+|1п +
= '(3/3-_1+з|п2±|£з).а
184. Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x—t—sin/, у=Л—cost (0С^^л)-
Л Координаты центра тяжести однородной дуги кривой К вычисляются
. - 1 f л - 1 С л тл
по формулам х=— \ xds, у —— \ yds, где s—длина дуги. Имеем s j s d
К К
п л
s= х'Ч у'2 dt — §У (1—cos /)24~sin21 dt = 2 о о
л
с. / л / Н л ^sin — dt = —4 cos— I =4.
Тогда л гл
- 1 с , 1 с,. . «о . t 1 V/ - * . / . л
х=— \ xds=— \ (t — sin /) 2 sin — dt—usin -77 —sin — sin / dt=i 4 J 4 J ' 7 2 2 J \ 2 2 J
KO 0
1 Г n/ t , л . t , 4 . . t 1л 1 / 4 \ 8
~ 2[_ 2Zc0S 2 +4sin 2 3 Sm 2J0 2/+3; 3'
Л — IP IP /
y = -^\yds=-^ \ (1—cos Z)2sin-jd/ = К о
Л
(V . / . t
\ I sin у — Sin -g- cos t
n z 1 1 3t /]Л 4
2cosy+jcos-2—COS2-|osT
45
185. Найти координаты центра тяжести дуги окружности x2 + y2 = R2 Q<Zy<^R).
Л Так как по условию задана четверть дуги окружности, то ее длина s = nR/2. В силу того, что биссектриса I координатного угла является осью симметрии, имеем х = у. Теперь находим
R R________
х = — С xds=2 С хК 1 + у'2 dx=—~ \ х 1/ 1+~2 dx^=
s J л/< J л/? J Г у2
ко о
R R
= dx=-- f <<!_=-- /^72 |Л=2Д
л7? J у л J тЛR2 — x?i п |о л
о о г
Итак, x = y = 2R /л. Д
Вычислить криволинейные интегралы:
186. у (х2— у2) dx + ху dy, если путь от Л(1; I) до В (3; 4) — АВ
отрезок прямой.
187. j (х—y)2dx+(x + y)2dy, если К — ломаная ОАВ, где 0(0; 0),КЛ(2; 0), 5(4; 2).
188. С , если АВ—дуга полукубической параболы у2= d У X
АВ
= (4/9) х3 от Л(3; 2/3) до 5(8; 32 Г 2/3).
189. ^ydx—(у + Л'2)^У> если К— дуга параболы у = 2х—х2, к
расположенная над осью Ох и пробегаемая по ходу часовой стрелки.
190. у dx-]-2xdy, если К— пробегаемый против хода часовой к
стрелки контур ромба, стороны которого лежат на прямых х/3 -j- у/2 — —|— 1, х/3—у/2 — -4-1.
191. ^2xdy—3ydx, если К — контур треугольника с верши-к
нами Л(1; 2), 5(3; 1), С (2; 5), пробегаемый против хода часовой стрелки.
192. Jy—у, если К—I четверть окружности x=rcost, к
y = r sin t, пробегаемая против хода часовой стрелки.
193. J х2у б/х +х3 ку, если К—контур, ограниченный парабо-к
лами у2 = х, х2--=у и пробегаемый против хода часовой стрелки.
194. Найти массу дуги окружности x^cos/, y = sinZ (0^^$Сл), если линейная плотность ее в точке (х; у) равна у.
195. Найти координаты центра тяжести однородной дуги кривой y = chx (0=Сх=С1п2).
46
196. Найти координаты центра тяжести однородной дуги кривой x = ezcos/, y = etsmt, z = e* (—оо^/^СО).
197. Вычислить § Ух2у2 ds, где К—окружность х2-\-у2 = ах.
к
р cfs
198, Вычислить -|-г/2 + ^ ’ где ^ — пеРвый виток винтовой к
линии я = a cos/, y = asint, z = bt.
199. Найти массу первого витка винтовой линии x = cos/, j/ = sin/, z = t, если плотность в каждой точке равна радиусу-вектору этой точки.
200. Вычислить ху yz dy-\- zxdz, где OA—четверть о/
окружности х = cos/, у = sin/, г=1, пробегаемая в направлении возрастания параметра /.
§ 2. НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА II РОДА ОТ КОНТУРА ИНТЕГРИРОВАНИЯ. НАХОЖДЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ПОЛНОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛУ
Пусть функции Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в односвязной области D и контур К целиком находится в этой области.
Тогда необходимым и достаточным условием независимости криволинейного интеграла \ Р (х, у) dx-\- Q (х, у) dy от контура интегрирования является
К
выполнение в области D тождества
dP._dQ ду dx *
При соблюдении указанных условий криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру С, содержащемуся в области D, равен нулю'.
£ Р (х, у) dx-^ Q (х, у) ау = 0. а с
Для вычисления интеграла
Спил)
Р (х, у) dx-{- Q (х, у) dy, (х0; у0)
/ дР dQ \
не зависящего от контура интегрирования ( т. е. условие — == — выполненоL в качестве наивыгоднейшего пути интегрирования следует выбрать ломаную, соединяющую точки (ху; у0) и (хп у±), звенья которой параллельны осям Ох И Оу.
Подынтегральное выражение Р (х, у) dx-\- Q (х, у) dy при указанных условиях является полным дифференциалом некоторой однозначной функции U = U (х, у), т. е.
dU (х, у) ~Р (х, у) dx-\- Q (х, у) dy.
Функцию U (х, у) (первообразную) можно найти, вычисляя соответствующий криволинейный интеграл по ломаной АцА±В, где До (х0; Уо) — произволь-
47
.Кг
Ki
M(XO} &
Рис. 22
ная фиксированная точка, В (х; у) — переменная точка, а точка имеет координаты х и yQ. Тогда вдоль Л0Л1 имеем у = у0 и dy = O, а вдоль АУВ имеем х = const, dx = 0. В результате получаем следующую формулу:
х у
и (X, У ')='\ р (х, Уо) dx+ 5 Q U, У) dy-X-C.
хо У о
Аналогично, интегрируя по ломаной А0А2В, где А2(х0; £/), получим
у х
и (X, у) = J Q (х0, У) dy+ \> Р (х, у) dx-\-C.
Уо *о
(2; з)
201. Вычислить /= J (%+ 3z/) dx+ (у + 3х) dy.
(i; 1)
Л Данный интеграл не зависит от контура интегрирования, так как
^=1(х+3у) = 3; ^=^-(«/ + Зх) = 3, ду дух 1 ! дх дх™ 1 7
дР dQ „
т. е. — =--2 (на всей плоскости хОу).
ду дх v
Выбираем в качестве пути интегрирования ломаную, звенья которой параллельны осям координат. Имеем на первом участке у=\, dy — 0, 1 ^х^2, на втором участке х = 2, dx~0, \^у^3. Следовательно,
2 3
/= ^ (хЧ-3) dx-\- J (у + 6) dy= ^-2~ + Зх^ ~ + 1==х
Т 1
— 24-6—0,5—3+4,5+18—0,5—6 = 20,5. Д
202. Найти первообразную функцию (/, если
dU = [у+1п(х+ l)]dx+(x+ 1— еу) dy.
Л Имеем Р = #+ln (х+1), Q = х+ 1 —eV, = Пусть х0 = 0, уо = О
и контуром К является ломаная 0MN (рис. 22). Тогда
х у
U (х, !/)=pn (x+l)dx+^ (х+ 1— ely)dy = о о
= [х In (х+1)—x+ln (х+ l)]j+[xf/ + ?/—еУ]У =
= (х+1) In (х+1) — х-^ху-\-у—е^ + 1 + С. Д
203. Найти U (х, у), если
1Г т ( 1 , 1 \ х у ( 2 х \ ,
dU = ( —}— ) ах Ч~ (-> , dy.
У J \ У
Л Имеем
Р —J_i 1 /3—А- —_____ * —
~~ Х~^ у 9 ~~У~~У2' ду~~ У2~охя
Здесь в качестве точки (х0; у0) нельзя взять начало координат, так как при х = 0 и у = 0 функции Р (х, у) и Q (х, у) не определены. Поэтому в качестве точки (х0; Уо) возьмем, например, Ло(1; 1). Тогда
l/(x, </) = J (у4-1 ) dx+§ ^rfz/ = lnx4-x + 21ni/+y—14-С. Д 1 1
204. Решить дифференциальное уравнение
(4х3 z/3 — Зу2 + 8) dx 4- (Зх*у2—бху — 1) dy = 0.
Л Здесь Р = 4х3у3—3z/2J-8, Q~3xAy2— бху—1, ~-=^== 12х3#2—бу; следовательно, dU =Р dx-\-Q dy, т. е. U = C. Пусть А (0; 0) и В (х; у); тогда
х у
О —8dx+ (Зх4//2—бху — 1) dy = С, т. е. 8x-j-x4r/3—Зху2—у = С. А о о
205. Решить дифференциальное уравнение
(2е2х + у + sin у) dx + (е*у + х + х cos y)dy = 6.
Л Имеем |^=|^= 1-fcos откуда dU = Р dx-j-Q dy, т. е. U = C. Пусть А (0; 0) и В (х; у); тогда
х у
U = 2e2xdx-'r (eW -j-x-J-xcos у) dy = C, о о
или
e2x4“Ve3y + A# + xsin У=О. О
Найти первообразную функцию U (х, у) по ее полному дифференциалу:
206. dU — [ех+у + cos (х— у)] dx 4- [ех+у—cos (х— у) 4- 2] dy.
207. dU — (1 —ех~у + cosx) dx 4- (ex~y 4- cos y) dy.
208. dU = (x2—2xy2-j-3) dx + (z/2—2x2y-]-3) dy.
209. dU — (2x—3xy2 4- 2y) dx + (2x—3x2z/ + 2y) dy.
210. dU = (shx4-chy) dx-]- (xshy+ 1) dy.
211. dU = (arcsinx—xln y) dx— (arcsiny
Решить дифференциальные уравнения:
212. (2x sin у у cos x + 2x) dx + (x2 cos у 4- sin x—sin у—Sy2) x ~xdy = 0.
213. (2xyex‘+\ny) dx-\- 4-у 4*e'J ^dy == 0.
(л; л)
214. Вычислить J (% + у) dx+ (х—y)dy по различным кон-(°; °)
турам, соединяющим точки 0(0; 0) и М (л; л); 1) по прямой ОМ; 2) по кривой г/ —x- sinx; 3) по ломаной ОРМ, где Р (л; 0); 4) по параболе у = х2!п.
49
215. Вычислить (j) xdy + ydx по различным замкнутым кон-к
турам: 1) по окружности х —cos/, z/ = sinZ; 2) по контуру, ограниченному дугой параболы у = х2 и отрезком прямой у=1.
§ 3. ФОРМУЛА ГРИНА
Если С — граница области D и функции Р (х, у) и Q (х, у) вместе со своими dQ ~дР - *
частными производными и непрерывны в замкнутой области и
(включая границу С), то справедлива формула Г рана
к D
причем обход контура С выбирается так, что область D остается слева.
216. Применяя формулу Грина, вычислить 1= <£> 2 (х2ф- у2) dx-h с
+ (x-\-y)*dy, если С — контур треугольника с вершинами L(l; 1), М. (2; 2), N 3), пробегаемый против хода часовой стрелки. Проверить результат непосредственным интегрированием.
Д Здесь Р(х, z/)=2(x2+z/2), Q (х, у) = (х+у)2. Находим^ — ~ = = 2(х-]-у)— 4у = 2(х—у). Таким образом,
/= $2 (х2 + у2) dx+(x+f/)2d</ = 2 (х—у) dxdy,
С 'd~
где область D — треугольник LMN. Уравнение прямой LM: у~х, уравнение MN: у =—хф4. Вычислим двойной интеграл по данной области:
2 4-х 2
7 = 2 ^dx § (х—у) dy = 2 J [ху—у z/ф * dx=
1 X 1
2
z=2j pc(4—х)-у (4-х)2-х24-Х x2j dx=
1
2
П Г 1 12 4
= 4 \ (4х—х2—4) dx = 4 2х2 —х3 — 4х — ——.
J I б j 1 з
1
Вычислим теперь непосредственно криволинейный интеграл по контуру С, состоящему из звеньев LM, MN, NL:
1= J 2(x2 + y2)dx+(x+y)*dy+ J 2(x2 + y2)dx+ LM MN
+ (x+y)2'dy+ 2(x2 + y2)dx-[-(x + y)2dy.
NL
Уравнение LM: y=x\ следовательно, dy = dx, l^x^2. Уравнение MN: y = —x-j-4; следовательно, dy = — dx, Уравнение ML: x=l; значит, dx~0, 3^z/^l.
50
Таким образом, 2 1
/ = ^ [2 (х2 + х2) dx-}-(хх)2 dx] + ^{2 [х2 + (4 — x)2]dx-|-(x— хЦ-4)2(—dx)}-\-
1 2
12 1 1
+ (1 +//)2 dy = 3 х2 dx + (4х2— 16х+ 16) dx-}- (1 +//)2 dy =
3 12 з
Г 8 4 12 ] |1 4
= I 4 *3-3 *3 + 8х2 - Ч • + 3 |з= " 3 • А
217. Применяя формулу Грина, вычислить —х2у dx~\-ху2 dty,
с
где С — окружность х2 + у2 = /?2, пробегаемая против хода часовой стрелки.
А Здесь Р (х, у) = — х2у, Q (х, у) = ху2. Тогда |?-~ = х2 + у2. Следо
вательно,
1= S — *2У dx + х2у dy = (х2 + у2) dx dy.
С D
Введем полярные координаты: x = pcosO, у = р sin 0, 2л; значит,
2л R 2л
218. С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный интеграл /= £ [хф- In (х2ф-у2)] dx-\-y In (х2ф-//2) dy, где контур С с
ограничивает область D.
219. Применяя формулу Грина, вычислить £VX-{-y2dx-}-yx _________________ с
x[xy-j-ln(x + Vrx2 + y2)]dy, где С—контур прямоугольника 1 <1x^4, О С; у ;С 2.
§ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ
Площадь S фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром С, находится по формуле
5=~ х dy— у dx.
z с
Контур интегрирования пробегается так, что ограниченная им область остается слева (положительное направление).
220. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми у= =х2, х = у2, 8ху=1 (имеется в виду площадь, примыкающая к началу координат; рис. 23).
51
Д Решая совместно уравнения кривых, найдем А (1/2; 1/4), В (1/4; 1/2). Следовательно,
I С 1 С 1 С
\ xdy—ydx-\~-^\ xdy~ ydx p--^ \ xdy—ydx~
ОА АВ ВО
1/2 1/4 О
1 С 2 Л 1 [ ^Х 1 Cl/------1 ~Ь 3 In 2 Л 1Q / \ А
=у j x~dx-- у J ——J- V xdx=-J^4— ® 0,13 (кв. ед.). Д
0 1/2 1/4
221. Вычислить площадь, ограниченную астроидой x = #cos3/, y = asin3t9 предварительно построив кривую.
Д Для вычисления площади воспользуемся формулой S = $ xdy—ydx, где dy~3a sin2 t cos t dt, dx = —3a cos21 sint dt, 0^t^2n. Следовательно,
2л 2л
(За2 cos4 t sin2 Z-f~3a2 sin4 tcos21) dt=~ a2 § sin2 t cos2 t dt = о о
2 л 2 л
За2Г .2О, За2 f „ ..... 3 2Г. 1 . .Д2л Зла2 А
\ sm22/^=-—\ (1 — cos 4/) dt~^ а2 I/—rsm4M == —3— . Д
о J Io J 10 | 4 J0 о
О О
222. Вычислить площадь, ограниченную параболами у2 = х, х2 = у.
223. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом х = a cos t,y = bsiut.
224. Вычислить площадь четырехугольника с вершинами А (6; 1), В (4; 5), С (1; 6), D (—1; 1).
225. Вычислить площадь фигуры, ограниченной контуром ОАВСО, если А (1; 3), В (0; 4), С (—1; 2), О (0; 0), О А, ВС, СО — отрезки прямых, а АВ—дуга параболы у = 4—х2.
226. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой х = = 2г cos t — г cos 2t, y = 2r sin t — r sin 2/.
§ 5. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пусть F (x, у, г) —непрерывная функция и z = f(x, у) — гладкая поверхность S, где f(x, у) задана в некоторой области D плоскости хОу. Поверхностным интегралом I рода называется предел интегральной суммы при условии, что maxd&—>0:
Пт 2 F Ий- ^к) д5й = ? ? F (х, у, г) dS, maxtZ^->0 /г=1 3
где ASfe—площадь &-го элемента поверхности S, точка (^; ^) принадле-
жит этому элементу, d^—диаметр этого элемента, F (х, у, г) определена в каждой точке поверхности S.
Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны поверхности S, по которой производится интегрирование.
52
2
dx dy.
Если проекция D поверхности S на плоскость хОу однозначна, то соответствующий поверхностный интеграл I рода вычисляется по формуле
j f F(x, у, z)dS=§ j F [х, у. S D
Рассмотрим двустороннюю поверхность S и выберем нр ней определенную сторону S+. Функция F (х, у, z) определена в точках данной поверхности. п
Предел интегральной суммы 2 (?Ь Ль Zk) (х> У)> гДе (х, у) — пло-
щадь проекции элемента на плоскость хОу, при условии тах^—>0 называется поверхностным интегралом II рода, распространенным на выбранную сторону поверхности S, и обозначается символом I = F (х, у, z) dx dy. s+
Если P (x, у, z), Q (x, y, z), R (x, y, z)—непрерывные функции и S+ — сторона гладкой поверхности S, характеризуемая направлением нормали n(cosa; cosp; cosy), то соответствующий поверхностный интеграл II рода выражается так:
Р dy dz-\- Q dzdx-\~R dx dy=^ (P cos tz + Q cos f-j-P cos y) dS. s+ vs
При переходе на другую сторону поверхности этот интеграл меняет знак на противоположный.
Если поверхность S задана уравнением в неявном виде Ф (х, у, z) = 0, то направляющие косинусы нормали этой поверхности определяются по формулам дФ/дх
cos a =-----....- .... ..........,
± К (дФ/дх)2 + (дФ/ду)2 + (дФjdz)2
дФ]ду
cos R =-----z.. __ - .................. — ,
± У (дФ/дх)2-{-(дФ/ду)2-]-(дФ/дг)2
дФ/dz
cos v =---- —— ,
± К(дФ/дх)2 + (дФ/ду)2 + (дФ/дг)2
где знак перед радикалом должен быть согласован со стороной поверхности. Моменты инерции части поверхности относительно осей координат выражаются поверхностными интегралами:
1ох = $ $ (</2 + г2) dS, 1оу = \\ (х2 4-z2) dS, 10г= J J (x2+г/2) dS.
s s s
Координаты центра тяжести части поверхности можно найти по формулам
4П-, -НН. НУН
S
х~
~s
s
где S — площадь данной части поверхности.
Масса материальной поверхности выражается формулой
т = ydS,
s где у— поверхностная плотность.
Статические моменты поверхности относительно [координатных плоскостей определяются по формулам
Мху=ИdSi Myz=dSi Mzx=Иtjy dS' s s s
53
227. Вычислить I = J (x2 + y2) dS, где S—часть конической s
поверхности z2 = x2 + y2, заключенной между плоскостями z = 0 и z — 1.
Д Имеем
бх Y х2+г/2 дУ К х2н-у2
т У 1 . ( dz V . / dz \2 , , т / ! । х2 . у2 . , dS~y +\<?х) 1 \ду) ахаУ~У х* + 1/: dxay~
= У 2-dxdy.
Тогда искомый интеграл преобразуется в двойной интеграл:
I = (х2 + У2) • У 2 dx dy.
D
Областью интегрирования D является круг х2 -|-у2 1; поэтому
л/2 1 л/2 —,
7=К'2^ yx2 + t/2)rfxdy = 4K'2 ДО р3ф=/“2 j rf6 = - ^ 2 . £
D ООО
228. Вычислить интеграл 5 х2У2? dxdy по верхней сторо-s
не верхней половины сферы x2-\-y2 + z2 = R2.
Л Проекцией сферы на плоскость хОу является круг D, ограниченный окружностью х2-\-у2 = R2. Уравнение верхней полусферы имеет вид z =
f f х2у2 У R2
= У R2— х2—у2;
следовательно,
—х2—у2 dx ху.
Переходя
/ =
D
к полярным координатам, получим
л/2 R
1= J р5 cos2 0 5in2 0 У R2—р2б/рб/0 = 4 cos2 0 sin2 0 dQ р5 У R2—р2^/р= D 0 0
л/2
R
-1.~C2OS..4Q dQ § /2Л = _2_я^7ф
о
R
При вычислении р5 У R2—р2 dp была сделана подстановка У R2 — р2= о
= /, откуда R2 — р2=/2, pdp = —tdt, p^ = (R2 — t2)2. &
229. Найти момент инерции полусферы г = j/a2—х2— у2 относительно оси Oz.
54
Л Имеем
Областью интегрирования является проекция полусферы на плоскость хОу, т. е. круг x2J~y2^a2-} поэтому, переходя к полярным координатам, получим л/2 а
IOz = *\ С р2 ,-_JL_-pdpd9 = 4a \ dQ С—= — ла1
V Та2-Р2 3 V а2 —р2 3
(внутренний интеграл можно вычислить с помощью подстановки р —asiii Z). А
230. Вычислить координаты центра тяжести части плоскости г = х, ограниченной плоскостями х + у = 0, л' = 0 (рис. 24).
Д Найдем площадь указанной части плоскости z~x. Имеем1,= еле. дх ду довательно,
Рис. 24
S=H V jdy=
0 *Q
(использовано уравнение плоскости z~х). А
231. Найти массу поверхности сферы и статический момент МХ1/ верхней полусферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию этой точки от вертикального диаметра.
Д Совместим начало координат с центром сферы, направим ось Oz по вертикали и перейдем к сферическим координатам: x = R sinOcosqp, y = R sin 0 sin ф, z — £cos0 \R—радиус сферы). Тогда dS== J d® dtp = R2 sin Qdfidy, поверхностная плотность у = x2-\-У2 — R sin 0. Следовательно,
m = J = J Sifl2A^0бйр = J J sin20dOdtp —
S3 oo
[01 '12л
ТГ-4 sin 20 = л/?3.л = л2/?3;
2 4 Jo
2 л л/2
MXy ~ J J ZY dS = Я4 J C0S ® Sin2 G ^ф =
3 0 0
3 10 3
232. Найти координаты центра тяжести части поверхности г = 2 — (х2 + у2)/2, расположенной над плоскостью хОу.
233. Найти момент инерции параболоида z = (xz + y2)/2 относительно оси Oz при 0
234. Вычислить J ^xyzdS, где S—часть поверхности z = x24-s
+у2, расположенная между плоскостями г = 0 и z=l.
§ 6. ФОРМУЛЫ СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО - ГАУССА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Если функции Р = Р(х, у, z), Q = Q(x, у, z), R = R(x, у, z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности 5 и С — замкнутый контур, ограничивающий поверхность S, то справедлива формула Стокса
$ Р dx-\- Qdy-j-R dz =
с
dR dQ\ , (дР dR\ . fdQ dP \ J \dy dz J 1 \dz dx j ‘ \ dx dy J * J ’ s
где cos a, cos(3, cos у—направляющие косинусы нормали к поверхности S; направление нормали определяется так, чтобы со стороны нормали обход контура С казался происходящим против хода часовой стрелки.
Если функции Р = Р(х, у, z), Q = Q(x, у, z), R = R(x, у, z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области Т пространства, ограниченной замкнутой гладкой поверхностью S, то справедлива формула OcmpozpadcKozo—Гаусса
<$(Pcosa+QcosP + £cosy)dS = j j j dxdydz^
3 d T d
где cos a, cos p, cosy — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.
56
Если каждой точке М области V поставлена в соответствие скалярная и = и(М) [векторная F = F (Л4)] величина, то говорят, что в области V задано скалярное (векторное) поле.
В декартовой системе координат задание скалярного поля равносильно заданию одной функции трех переменных:
и(М) = и(х, у, z), а векторного поля—трех функций трех переменных: F(Af)=P(x, у, z)i-f-Q(x, у, z)j4-/?(x, у, г)к, где Р = (х, у, z), Q = (x, у, z), R~(x, у, z)— проекции вектора F на соответствующие координатные оси. Предполагается, что функции и (х, y,z),P (х, у, z), Q — (x, у, z), R (х, у, z) являются непрерывно дифференцируемыми в области V. Векторной линией называется кривая, направление которой в каждой ее точке М совпадает с направлением вектора F, соответствующего этой точке. Векторная линия определяется системой дифференциальных уравнений
dx dy dz ~P~~~~12~~~~R~ '
Градиентом скалярного поля и—и(х, у, z) называется вектор , ди . , ди . . ди,
Дивергенцией векторного поля F (Л4) = Pi + Qj-(-/?k называется скаляр
_ дР . dQ , dR div F=—— .
дх ‘ ду 1 dz
Вихрем (ротором) векторного поля F (М) =Pi-|- + называется вектор
( dR dQ\.,fdP dR\..fdQ dP\t
i j k
= Д Д Д
dx dy dz
P Q R
Потоком векторного поля F (/И) через поверхность S в сторону, определяемую единичным вектором нормали n = cos a«i4~cos j + cosy«k к поверхности 5, называется поверхностный интеграл
п=^ FndS = .s s s
\ J Fn dS = (Р cos а + Q cos (3 -J- R cos у) dS,
где Fn—скалярное произведение вектора поля и единичного вектора выбранного направления нормали.
Линейным интегралом от вектора F по ориентированной кривой R называется криволинейный интеграл
F dr = Р dx-]- Q dy-]-R dz,
К К
представляющий собой работу векторного поля вдоль кривой Л. Если контур С — замкнутый, то линейный интеграл
F dr = ф Р dx-]-Q dy-]-R с с
dz
называется циркуляцией векторного поля F (Л1) вдоль контура С.
57
Формула Остроградского —Гаусса в векторной форме имеет вид
f div FdV =
V T
Fn dS,
т. e. интеграл от дивергенции векторного поля F, распространенный по некоторому объему Т, равен потоку вектора через поверхность S, ограничивающую данный объем.
Формула Стокса в векторной форме имеет вид
j) F dr= \ n-rot F dS, с ’'s'
т. е. циркуляция, вектора вдоль замкнутого контура С, ограничивающего некоторую поверхность S, равна потоку вихря через эту поверхность (направлен ния обхода контура и нормали должны быть согласованы друг с другом).
Вводе?I символический вектор (в декартовой системе координат)
д . , д . , д ,
V — ™ i -р- “ j -р а - к, ох 1 ду ‘ dz
называемый оператором Гамильтона (или набла-опе ротором). Он обладает как свойствами вектора, так и свойствами дифференциального оператора. С его помощью выражения для градиента, дивергенции и ротора можно кратко записать в следующем виде:
grad// = \и, divF = vF, rotF = vxF.
Векторное поле F (Л1) называется безвихревым, если rotF = 0.
Векторное поле F (Л4) называется потенциальным, если F=gradz/, т. е.
п ди ,, ди п ди п , _ , , , . „
если Р = -р- , Q —-г- , R —-ч— . В этом случае rot F = rot (grad и) = V X ?w=0; дх dy dz 7
следовательно, потенциальное поле является безвихревым.
Векторное поле F (М) называется соленоидальным (или трубчатым), если divF = 0, т. е. в области задания поля V отсутствуют и стоки, и источники. Так как div (rot F) = у (у XF) = 0, то поле вихрей является соленоидальным.
235. Применяя формулу Стокса, найти I = фх2у3 dx-j- dy ф- zdz, если С—окружность х2Дг/2 = г2, г = 0.
Д Данный контур С ограничивает часть плоскости z = 0 с единичным вектором нормали n k; следовательно, cos<z = 0, cos р = 0, cos 7 = 1. Учиты« вая, что Р = х2у*, Q = l, # = z, по формуле Стокса получаем
* I — ф х2у3 dx-\-dy-}-z dz — с
dR dQ \ , / дР dR \ Q ( dQ дР \ "1 с
—-------- cos а 4- ~д-----д~ cos Р + ----д~ cos у dS =
\ ду dz j v\dz дх J 1 1 \ дх ду J 'J
= — f f Зх2у2 cos у dS.
Так как cos 7 dS = dx dy, то последний интеграл примет вид
Z=—3
х2у2 dx dy,
58
где плоская область D ограничена окружностью x2jry2 = r2. Вводя полярные координаты x = pcos0, у — р sin 0, получим
л/2 г
—3 р5 sin2 0 cos2 0 dp d0 = —12 sin2 0 cos2 0 d0 J p5 dp =
D oo
л/2 л/2
= —2r6 sin2 0 cos2 0 dO =—J sin220 d0 =
0 0
Л/2
rS p rQ Гл 1 • л/W2 А
==__ (1— cos 40) 40 = — -j- |e--^-sin40J^ = —— • Д
и
236. Найти интеграл (% cos а-Ду cos 6 z cos у) dS, распро-s
страненный по поверхности S тела, ограниченного этой поверхностью.
Д По формуле Остроградского— Гаусса имеем
(jj) (% cos а-Д у cos р + 2 cos У) dS = s
f V
где V — объем тела.
237. Применяя формулу Остроградского — Гаусса, преобразовать поверхностный интеграл по замкнутой поверхности S
I = (fh dy dz + 4“ dxdz -Д — dx dy № dx J dy 1 dz J s
в интеграл по объему, ограниченному этой поверхностью.
А Данный интеграл можно записать так:
, X / ди ,du D . du \
I = Th cos ой—г— cos В -4—~ cos v dS,
Я \ dx 1 dy 1 1 dz ‘ /
S'
а последний интеграл на основании формулы Остроградского — Гаусса равен
Следовательно,
Z = \ ^ Дп dx dy dz, J т
A d2u , d2u , d2u / a2 , d2 , d2 где Аг/— -J- dxi -p -f-
называется оператором Лапласа. Д
\ Л2 Л2
]и. Символ А = — —
/ dx2 1 dy2 * dz2
59
238. Найти дивергенцию векторного поля F = x2i 4-г/2jz2k.
Д Согласно определению, имеем
dQ д(у*) , а (г2)
дх dy dz ’ дх т dy ‘r dz ~ = 2х4-2//+2г = 2(х+//-!-г). £
239. Дано скалярное поле и (х, у, z). Найти div (grad и).
А ~ . ди . . ди . , ди ,
Д Так как grad j+^- к, то
,. . . . д f ди \ д ( ди \ . д ( ди \
d.v (grad и) = Тх j j -- J =
__ д2и . д2и . д2и__ ~~ 'дх2' + 'ду2 '"dz2 = Л//’
или
V (vw) = Aw, т. е. Д = v2
(оператор Лапласа равен квадрату набла-оператора). А
240. Дано электрическое векторное поле, в каждой точке ко-торого по закону Кулона действует вектор F = -yrr0, где г — расстояние данной точки от начала координат, е — положительный электрический заряд, г0—единичный вектор, направленный по радиусу-вектору данной точки, k = const. Определить поток векторного поля через сферу х2 4-z/2 + г2 = /?2.
Д Имеем
n = Jj FndS=^J^-rondS. s s
Так как r = R — const и гоп = 1, то
п=^ Jps=-^sc,],=^4«??2 = 4.^. д
S
241. Найти поток радиуса-вектора г = xi 4- уj 4- zk через замкнутую поверхность z=l—Ух2-}-//2, z = 0 (O^Cz^Zl).
А Найдем дивергенцию данного векторного поля:
dx.dy.dz о divr=^- + /+^- = 3.
дх * ду * dz
Искомый поток найдем по формуле Остроградского — Гаусса (при вычислении интеграла используем цилиндрические координаты):
2л 1 1-р
П = div г dV = 3 dV = 3 dq р dp dz~
v Т V Т 0 0 о
2 л 1
= 3) JpO— р)<о=-3-2л (-1—= Д
о о
60
242. Найти поток радиуса-вектора r = xi-|-t/j4-2k через внешнюю сторону поверхности прямого кругового цилиндра, если начало координат совпадает с центром нижнего основания цилиндра, 7?— радиус основания цилиндра, h—его высота (рис. 25).
/\ Для вычисления потока вектора г через внешнюю сторону поверхности цилиндра нужно подсчитать поток этого вектора через нижнее основание, боковую поверхность и верхнее основание цилиндра.
Имеем Пн>осн = rndS’, так как проекция
S
радиуса-вектора г на внешнюю т° Пн. осн =0.
Проекция радиуса-вектора
диусу основания цилиндра, т.
нормаль к основанию цилиндра равна нулю,
= 2лЯ2/г.
Проекция радиуса-вектора следовательно, Пв осн
на нормаль к боковой поверхности равна pa-с. rn — R; тогда пов = 7? dS = RSe, пов 3
S
на нормаль к верхнему основанию равна h; =Ь^<18=118от = пНЧ.
S
Таким образом, поток вектора г через внешнюю сторону цилиндра равен
H = 2nR2h}-nR2fi = 3nR2fi. А
243. Найти поток векторного поля F = (2z—х) i + (% + 2г) j + + Згк через сторону треугольника S, вырезанного из плоскости + г — 4 = 0 координатными плоскостями в том направлении нормали к плоскости, которая образует с осью Oz острый угол.
Л Единичный вектор нормали к плоскости x-}-4y-}-z—4 = 0, обеспечивающий требуемое направление ориентации поверхности, имеет вид n = (l/|<T7)_i_4-(4//’T7) j+(l/yi7)k, т. е. cosa=l//i7, cos₽ = 4/]<T7, созу = 1/^17. Имеем cos a, dS = dy dz; cosfidS = dxdz; cosyd8 = dxdy. Для данного векторного поля P = 2z—х, Q=x-}-2zt R=3z и по определению потока получаем
П = ^ (Р cos a + Q cos p + R cos y) dS = s
(2z—x) dy dz-\-(x-\-2z) dz dx-}3z dx dy =
s
= (2z + 4r/ + 2—4) dy dz + (x + 2z) dz dx-}-3 (4—x—4y) dxdy =
V
f 4- 4y 44_2 4 1-x/4
= dy (3z-[-4y—4) dz-}- J dz (x}-2z)dx-}-3 J dx (4—x—4y)dy~
0 0 0 0 0 0
61
1 4
=S [4-i6(i-^2-i6(i-i/)2J^+j [4(4-г)2+2г(4-г)] rf?+ о 0
_|_3f [l(4-x)2-(-i=^px = 42|. Д
244. Вычислить линейный интеграл от радиуса-вектора r = xi4-+ уЛ~гк вдоль дуги винтовой линии x = Rcost, y — Rsint, z~aR если 0^/^2л,
Д Имеем
С С
j rdr = \ xdx-\-y dy-^z dz =
К К
2л р Л2/2 ]2л
;= \ [^2 (~ cos sin / ф" sin t cos t) ф- я2/] dt = =2л2а2.
о
Эта величина равна работе вектора г вдоль заданной дуги винтовой линии. Д
245. Найти циркуляцию вектора F = — ayi-^-ax] по окружности x = acost, z/ = asinZ в положительном направлении.
Д По определению циркуляции получаем
2л
£ Fdr=(^) —(оу dx-^-(Dxdy =^cd (a2 sin2 t-f-a2 cos21) dt = 2na2(d. A
C c 0
246. Найти циркуляцию векторного поля F = (x4-3z/4-2z)i + + (2x4-2) j + (*—У) k по контуру треугольника MNP, где Л1(2; 0; 0), N (0; 3; 0), Р (0; 0; 1).
Л Согласно формуле Стокса, Ц =
F dr = и rot F dS. Здесь С—контур s
треугольника M.NP, лежащего в плоскости Зх-ф-2г/4~6z — 6 = 0, проходящей через три данные точки. Найдем ротор данного векторного поля:
i j k
дх ду dz x-^3yJr2z 2r-|-z х—у
Г (*—#) _____d(2x-{-z) 1 j _ Г $ (х—У) __^(хф-3г/ф-2г)
L ду dz j |_ дх dz
1 L dx dy J
62
Следовательно,
Ц= и-rot F dS = (rot F)x dy dz + (rot F)y dz dx+(rot F)2 dxdy = S S
3 1 - y/3 1 2 — 2z
= —2 dydz-{-^ dzdx—^ dxdy~—2^dy dz-\-^dz J dx—
Dyz Dzx Dxy 0 0 0 0
2 3-3x/2
— § dx dy = — 2 ^/— -^-]^ + [2z—i2]o — ^3x— -|-x2j^=— 5. Д
о о
247. Тело вращается вокруг оси с постоянной угловой скоростью о. Найти вихрь скорости в произвольной точке тела.
Д Имеем rot v = rot (о>Хг), где г = xi + yj + zk. Далее, находим
j
к
со2
со Хг = соА
= Pi+ Qj4-z?k,
X
У г
причем P = z®y—y(oz, Q = x(£>z—zox
R = yodx— х(ду. Следовательно,
к
rot (to X г) =
i j
д 2 дх ду Р Q
д_ dz
= 2 (coj + co^j + со2к) = 2(0,
R
т. е. вихрь скорости v точки равен удвоенной угловой скорости ю вращения тела. А
248. Найти циркуляцию вектора F = z/i—xj + ак (а = const) вдоль окружности х24~У2 = 1, z = 0 в положительном направлении.
Д 1 способ (непосредственное вычисление циркуляции). Параметрические уравнения данного контура С имеют вид x = cos/, r/ = sin£, г = 0, Далее, имеем P = y = sin/, Q —— х = —cost. По определению циркуляции получаем
2л
Ц = Р dx-\- Q dy-]~R dz= sin t (— sin t) dt—cos /-cos t dt — с о
2л
= — (sin2/4~cos2 0 ——2л.
0
II способ (применение формулы Стокса). Ротор вектора F равен
i j k
д_ д_ д_ дх ду dz
= — 2k?
у —х а
63
а нормаль, обеспечивающая положительное направление обхода контура, n = k. Следовательно,
Ц = J J n rot F dS = —2 nk dS = —2 dxdy=z
s s *s
2л 1
= -—2 J dQ J pdp = — 2-2л~ = — 2л. Д о о
249. Показать, что поле F = (2ху + Зу2 + 9у) i + (х2 + Зху + 9х) j является потенциальным, и найти потенциал этого поля.
Л Данное векторное поле определено на всей плоскости хОу, являющейся односвязной областью. Покажем, что rotF = 0, т. е. что поле безвихревое, а следовательно, и потенциальное. Действительно, так как Р = 2ху4-3у24-9у, Q = x2 + Qxy+9Xj —О, то
I j к
2xr/+3r/2 + 9r/ x2 + 6xz/-7-9x О
Потенциал и = и(х, у) вычислим по формуле
х V
« (х, у) = р (х, у0) dx+ J Q (х, у) dy-'- С, Хо уа
т. е.
X у
п (х, У) — J 9 dx-}- (х2 + Qxy-j-9х) dy-}- С = х2у+Зху2+9ху. о о
Здесь в качестве начальной точки взята точка /VI0 (9; 0). А
250. Найти потенциал ньютоновского поля притяжения.
Л Пусть точка с массой т помещена в начало координат О; тогда согласно закону Ньютона на помещенную в каждой точке А плоскости единичную массу действует сила F, модуль которой F = т!г21 где г = | О А | = рЛх2+^2.
Ньютоновское поле является потенциальным, так как его ротор, как в этом можно убедиться, равен нулю.
Найдем потенциал этого плоского поля:
« (X, у) = J Р (х, Уо) dx+ J Q (х, у) dy-\-C =
Уо
У
__, Г —mydy t с =
‘ J /(х2+г/2)3-г
Уо
где Сг~С----j
х0
х
Г —тх dx =J Tv+ж хо
т г
у Х2 + </2
251. Применяя формулу Стокса, найти криволинейный интеграл $ (y + z)dx^Az + x)dy-}-(x-}-y)dz9 где С—окружность с
х2 + у2 + z2 = a2, х-\- у + z = 0.
64
252. Найти интеграл (х3 cos ау3 cos Р + г3 cos у) dS, взятый \s
по поверхности шара х2 + у2 + ^2 = ^2, где а, (3, у — углы внешней нормали с осями координат.
253. Найти [(г2— z/2)cos& + (x2 — г2) cos |3 + (у2—x2)cosy]dS,
s
где S—внешняя сторона поверхности полусферы х2 + у2 + г2 = = а2 (г>0).
254. Вычислить (xcosa + z/cosp4-zcosy)dS, где S — внеш-s
няя сторона поверхности эллипсоида х2/а2 + y2/b2 + z2/c2 = 1.
255. Вычислить xdy dz^rydxdz^- 2 dxdy, где S—внешняя s
сторона поверхности цилиндра х2 + у2= а2 (—/i^x^/i).
256. Найти поток вектора F = x3i + у3j + г3к через боковую поверхность конуса х2 + //2^(/?2/Л2) г2,
257. Найти поток векторного поля F=(y—х) i + (* + У) j + yk через сторону треугольника S, вырезанного из плоскости х + у + г —1=0 координатными плоскостями.
258. Найти поток вектора F = x2i + //2j + г2к через часть сферы х2 + у24-г2 = 4, если 0^х^2, 0^z/^2, 0^z^2.
259. Найти поток радиуса-вектора г через внешнюю сторону поверхности прямого кругового конуса, если h—высота конуса и R—радиус основания.
260. Найти циркуляцию векторного поля F = (х +у) i+ + (x—z) j + Q/ + z) k по контуру треугольника ABC, где A (0; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1).
261. Найти циркуляцию вектора A=—yi + xj по окружности x2-b (f/— I)2 = 1.
262. Найти циркуляцию вектора u = (x +г) i + (x—z/)j + xk по эллипсу x2!a2 + y2!b2 = 1.
263. Найти дивергенцию градиента функции и = е*+У+г.
264. Найти div (u xv), где и = xi + у] + zk, v = у\ + zj -фхк.
265. Найти rot (г-а) г, где r = xi + yj + ?k, a —i-J-j + k.
266. Найти rot (г-а) Ь, где r = xi+ z/j + гк, a = i + j + k, b = i—j — к.
267. Показать, что div(axb) = brota—arotb.
268. Показать, что div (/А) = / div А + A grad/.
3 № 1814
65
ГЛАВА III
РЯДЫ
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Пусть Ui, и2, и?), ..., ип, . . где un = f(n),— бесконечная числовая последовательность. Выражение
^1 + и2 + из + • • • + ип + • • •
называется бесконечным числовым рядом, а числа 14, и2, и%,..., ип,...— членами ряда; un = f (п) называется общим членом. Ряд часто записывают 00
в виде 2 ип-п~ 1
Сумму первых п членов числового ряда обозначают через Sn и называют n-ii частичной суммой ряда'.
Sn = Wi-j-z/24-w3+ • • • ~\~ип-
Ряд называется сходящимся, если его /г-я частичная сумма Sn при неограниченном возрастании п стремится к конечному пределу, т. е. если lim Sn = S.
П->Х>
Число S называют суммой ряда. Если же n-я частичная сумма ряда при п —> оо не стремится к конечному пределу, то ряд называют расходящимся. Ряд
а + ад-}-ад^+ ...+aqtl~1+ ... (|<?| < 1), составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму «/(1—q).
Ряд
1+4+у+т+---+4+---’
называемый гармоническим, расходится.
Приведем основные теоремы о сходящихся числовых рядах.
1. Если сходится ряд
+ + + • • •,
то сходится и ряд
um + i~irtlm + 2-irtlm + 3-{~ • • • »
получаемый из данного ряда отбрасыванием первых т членов (этот последний ряд называют m-м остатком исходного ряда); наоборот, из сходимости т-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда.
2. Если сходится ряд
^1 + и2-\- ^з + ...
и суммой его является число S, то сходится и ряд
аи± + аи2 + аи3
причем сумма последнего ряда равна aS.
3. Если сходятся ряды
Ui-j-u2-j-//3 + • • • > • • •»
66
имеющие соотвгтстсечко суммы S и а, то сходится и ряд
0'1 + 1'1) -Г (и2 + г'г) + (^3 + ^з) + • • • 1
причем сумма последнего ряда равна
4. Если ряд
Z7i -J- Z/2 4~ li3 Т • • •
сходится, то lim zz„ = 0, т. е. при п—> оо предел общего члена сходящегося ряда равен нулю (необходимый признак сходимости ряда).
Таким образом, если lim ип 0, то ряд расходится.
п-^-л
Перечислим важнейшие признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами.
Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда
ZZ1 + zz2-p ^3-р • • • 4^W/z4 • • • (1)
и
г’1 4~ v2 4" £'3 + * * * + Vn + • • •, (2)
причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т. е. un^vn (п=\, 2, 3,...). Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).
Этот признак остается в силе, если неравенства ип < vn выполняются не при всех п, а лишь начиная с некоторого номера n = N.
Второй признак сравнения. Если существует конечный и от-(Л ОС
личный от нуля предел lim (ип]сф) =k, то оба ряда 2 11п и 2 Vn °дноере-п~^- п-1 п= j
менно сходятся или одновременно расходятся.
Признак Коши. Если для ряда
z/i и2 + 11з + • • • + ип + • • •
существует lim у/ ип = С, то этот ряд сходится при С <1 и расходится п-><х
при С > 1.
Признак Д а л а м б е р а. Если для ряда
и± -р и2 4- 4- • • • 4- ип 4" • • •
существует lim (un + 1/un) = D, то этот ряд сходится при D < 1 и расходится при D > 1.
Интегральный признак. Если f (х) при х~У> 1—непрерывная, по-ос
ложительная и монотонно убывающая функция, то ряд 2 ип> где Un~f{n)> сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится
интеграл / (х) dx (N 4-1).
.V
Рассмотрим теперь ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т. е. ряды вида
zzt —zz24-zz3 —zz4+ ... 4-(—1)^-4/,^4-..
где ип > 0 (zi = 1, 2, 3, ...).
Признак сходимости знакочередующегося ряда (приз-и а к Л е й б н и и а). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю, т. е. если выполняются следующие два условия: 1) zzx > zz2 > и3 >... и 2) lim z/„ = 0.
/2—>00
3*
67
Возьмем n-ю частичную сумму сходящегося знакочередующегося ряда, для которого выполняется признак Лейбница:
—— ^4+---+( l)n i Un*
Пусть Rn—n-й остаток ряда. Его можно записать как разность между суммой ряда 8 и и-й частичной суммой Sn, т. е. Rn=S— Sn. Нетрудно видеть, что
Rn ~ ( 1)И (^n + 1 + 2 Ч- Ип + 3 Ип +4“Ь • • •)•
Величина ] Rn | оценивается с помощью неравенства | Rn | < un + i.
Остановимся теперь на некоторых свойствах знакопеременных рядов (т. е. знакочередующихся рядов и рядов с произвольным чередованием знаков своих членов).
Знакопеременный ряд
U1 + «2 + из + • • • + ип + • • • сходится, если сходится ряд
| 111 | + I «2 I + I и3 I + • • • + | ип | + • • ° •
00
В этом случае исходный ряд 2 ип называется абсолютно сходящимся, п— 1
00
Сходящийся ряд 2 ип называется условно сходящимся, если ряд 71=1
со
2 I ип | расходится. п= 1 со
Если ряд 2 ип абсолютно сходится, то ряд, полученный после любой п= 1
перестановки бесконечного множества его членов, абсолютно сходится и имеет ту же сумму, что и первоначальный ряд.
00
Если ряд 2 ип условно сходится, то при перестановке бесконечного п — 1
множества его членов сумма ряда может измениться. В частности, при соответствующей перестановке членов условно сходящегося ряда можно превратить его в расходящийся ряд.
Если ряды и1-|-п2 + «з+ • • • и + у2 “Н'з л-• • • сходятся абсолютно и имеют соответственно суммы 84 и 82, то сходится абсолютно и ряд
Uivi + (^1^2 £’i^2) 4" (^1узЧ_^2у2^1^:Д'1) + • • • + “г u2vn -1 + • • • + Hnvi)~i~ • • • •
Этот ряд называется произведением рядов (по Коши). Его сумма равна 8i82.
269. Дан общий член ряда = куЦ-Г Написать первые четыре члена ряда.
Л Если п=1, то и±= 1/11; если и = 2, то z/2 = 2/101; если п = 3, то Пз = 3/1001; если п = 4, то п4 = 4/10001; .... Ряд можно записать в виде
1 , _1 । 3 . _А_
11^ 101^ 1001^10001
270. Найти общий член ряда
+ •••• А
Л Последовательные числители образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7...; и-й член прогрессии находим по формуле ап = а±-\-d (п—1). Здесь ai= 1, d = 2, поэтому ап = 2п—1. Последовательные знаменатели об
68
разуют геометрическую прогрессию 2, 22, 23, 24, ...; n-й член этой прогрессии = Следовательно, общий член ряда ип = (2п—1)/2".
Вообще нужно иметь в виду, что несколько первых членов ряда полностью ряд не определяют. А
271. Найти общий член ряда
Л Показатель степени каждого члена совпадает с номером этого члена, поэтому показатель степени п-го члена равен п. Числители дробей 2/3, 3/7, 4/11, 5/15,... образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью 1. Поэтому n-й числитель равен n-j-1. Знаменатели образуют арифметическую прогрессию с первым членом 3 и разностью 4. Следовательно, п-й знаменатель равен 4/г —1. Итак, общим членом ряда является
272. Найти сумму ряда JL । L । _L । _L । • j________!______l
1 «3 ^3«5 ‘ 5*7 ‘ 7*9 (2n—1) (2/г-!-1) '
Л Общий член ряда можно представить в следующем виде: = _1_/_J____________________1 \
2 \2«—1
откуда
1 /, 1 \ 1/1 1 \ _ 1 (1 1 \ _ i /1 И
“1-2\ 3 )’ “2- 2 \ 3 — 5 )’ U3~ 2 \ 5 “ 7 J’ Ui~ 2 \ 7 9/'”'
Следовательно, 1 / П >£/Д_Д\ 1 Д/1________________LV '1Z_1________1
6"~2V 3/"’"г \ 3 5j'2\5 7 2 ^2я—1 2«4-1/
_______________________м
— 2\ З^3 5~^5 7 '"'Г2/г— 1 2n4-lJ 2\ 2л 4-1/
Так как lim 5„=ф lira ( 1 — 5-^-7 ) =4, то ряд сходится и его сумма П->00 * П->00 \ zn-f- 1 / Z
равна 1/2. А
273. Найти сумму ряда
1 I 1 I 1 I [ 1 . .
1-2-3"* 2-3-4“r3-4-5^'"^n(n+l)(n + 2) '
Л Представим общий член ряда ип в виде суммы простейших дробей:
1 = Л_____В____._С_
п (л 4- 1) (л 4-2) п п 4-1 л 4-2
Умножая обе части этого выражения на знаменатель, придем к тождеству ЫЛ(п+1) (п 4-2) 4- Вп (п+2)+Сп (л 4-1).
Полагая последовательно л = 0, —1, —2, находим: при л = 0: 1=2Л;Л = 1/2; при п = — 1: 1 = — В; В = — 1; при л = —2: 1=2С; С=1/2. Таким образом, 11 1.11 -1Г±_________L.J__
Un ~ 2 ’ п «4- 1"** 2 ‘«4-2’ Т‘ е‘ Un 2 \ п п-}- 1”1*п4-2У’
69
Отсюда
Итак, lim = 1/4; следовательно, /7—> 00
ряд сходится и имеет сумму 1/4. Д
274. Исследовать сходимость ряда
3 ' 3^6^ 12 3 < 2 J -!-••••
Д Данный ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и поэтому сходится. Найдем его сумму. Здесь tz = 2z3, <7=1/2 (знаменатель прогрессии). Следовательно,
__ а _ 2/3 _ 4 '1—q 1 — 1/2“ 3* А
275. Исследовать сходимость ряда
J_ _l JL । J_ г j__!—*
11 12 ‘ 13 ' * /г+10 1 ’ ’ ’ '
Л Данный ряд получен из гармонического отбрасыванием первых десяти членов. Следовательно, он расходится. Д
276. Исследовать сходимость ряда
1- I 11 !
2 + 5'8*’” ‘ 3/г—1 ‘ *
Д Так как
,. ,. п 11
lim ип= lim ? = lim
и->ооЗ/г—1 /г_>оо 3—1л 3
т. е. lim ип 0, то ряд расходится (не выполняется необходимый признак
сходимости). Д
277. Исследовать сходимость ряда
0,6 + 0,51 +0,501+ ... +[0,5+ (0,1)"]+ ... .
Л Здесь Пти„ = 0,5т=0 и ряд расходится. А
П->00 00
278. Исследовать сходимость ряда .
n= 1 ~ ‘
оо
Д Члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда \ —L, п- 1
т. е. ряда у+-^- + • • Но последний ряд сходится как бесконечно
70
убывающая геометрическая прогрессия. Следовательно, сходится и данный ряд. А
279. Исследовать сходимость ряда
1 1
1 + 2р + зр ’ если Р <
А Члены этого ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов гармонического ряда. Следовательно, ряд расходится. Д
280. Исследовать сходимость ряда с общим членом ип = ——-.
Д Сравним этот ряд с рядом, у которого общий член t'„=l/2Z2 (т. е. с бесконечно убывающей геометрической прогрессией). Применим второй признак сравнения рядов:
и )п 11
]im А= lim Г2^3= lim 4=W= 4 • сп n-+x> * z ° гг—o/z
со
Так как предел конечен и отличен от нуля и ряд —L- сходится, то
сходится и данный ряд. Д
281. Исследовать сходимость ряда
1,1 । 1 । _i_—!—А
2'5* 8 ’ ^3/z — l......
А Сравним ряд с гармоническим рядом, у которого ип~ 1/п:
V ип г п 1
lim —= lim
П-кх Vn 11-+CZ) 1 <3
Следовательно, данный ряд расходится. Д
282. Исследовать сходимость ряда
3 А 5 / А 7 ) + А2п+0 ф
А Здесь удобно применить признак Коши, поскольку у/ ип а предел последней дроби находится просто:
п
2п+~Р
„ т «/------ V п т 1 1
С lim у ип Ьгп р . lim . о .
Так как С = 1/2 < 1, то ряд сходится. ▲
00
283. Исследовать сходимость ряда А ( 1 "А п= 1
А Снова применим признак Коши:
Так как С > 1, то ряд расходится. Д
71
284. Исследовать сходимость ряда
2 , 22 22 , 2П
Т^2^+зТо-Г • • • +^+ • • • •
Д Применим признак Даламбера; имеем «„ = 2,i/n10, кл +1=2'г + \'(/г+1)10, wz:+i/wn —2п10/(п+ I)10; значит,
2м10 2
D = lira (,г-МТ^= iim 7--rv»=2’
;г->ос И Л->оо I 1 ] 1 ;
\ * п )
Так как D > 1, то ряд расходится. А
285. Исследовать сходимость ряда
Д=——н—. н——+... .
/з ‘ з зуз Зп>2
А Здесь u„ = n/3«/2, ип + 1 = (п + l)/3«+i>/2, ип+1/и„ = (п + l)/(n V 3), поэтому
П Г Л“|“1 г 1Ц-1//1 1 .
D= lim ——хд = lim —; D < 1.
з „->« /з /з
Следовательно, ряд сходится. A
286. Исследовать сходимость ряда
ю Ю2 Ю3 , , Ю" 1
1’ + 2! + 3! ‘ ‘ + п\ ’ *
А Имеем un — lQn/n'., ип ; i=^ 10/z + 1/(n+1)1, + = 10/(п+ 1), D =
= lim 10/(/г-[-1) — 0; D < 1—ряд сходится. А п->»
287. Исследовать сходимость ряда
1——+—+ + — + . .
1 । 23 З2 ‘ ‘ п2
ДИмеем г/п=1/н2, tin+x l/(n+ I)2, w„ + iM = n2/(l+ п2) = 1/(1 + 1/м)2, D= lim- (un + 1/uti) = 1. Так как D = l, то с помощью признака Даламбера П->оо не удается решить вопроса о сходимости ряда.
Применим интегральный признак: ип=1/п2', следовательно, f(x) = l/x3, со р dx 1 I 30
\ — =------=1. Интеграл сходится (является конечной величиной), по-
3 х 11
1
этому сходится и данный ряд. А
288. Исследовать сходимость ряда
- _J__L 1 I
2 In 2 1 31п3~г41п4’г • • •'r(n + l)ln(«-H) “г •'
72
Л Применим интегральный признак:
1 fl \ = 1
(«+ 1) In («+ 1) ’ '(Х) (х+1) ln(x+l)’
со со fix 00
I dx i X-L- 1
I 7 •. IN / I Л = =<»•
J (*+ 1) In (x~!- 1) J In (*+l) 1 1 1
Интеграл расходится, поэтому расходится и данный ряд. А
289. Исследовать сходимость ряда
J_____2 Д_____3______4 I I (_1 \П п I
2 22+ 1 ‘ 32+1 424-1 ^‘“^ И Л2+1-Г“- •
Л Применим признак Лейбница. Так как
2 — 1 3 _ 1 4 _ 1
22д_1 “ 24-1/2 ’ 324- 1 “34-1/3 ’ 4-4-1 “44-1/4 ’ ’
то
1 2 3 4
2 > 224- 1 > з24-1 > 424-1 >--*-
Следовательно, выполнено первое условие признака Лейбница. Далее, так как
г г п г 1 П
lim ип = lim -^-7-т = hm ——т—= О,
П -> оо П-> оо П 4- 1 fi _> сю И 4~ 1 /П
то выполнено и второе условие. Значит, данный ряд сходится. А
290. Исследовать сходимость ряда
1,1 —1,014-1,001 —... +(—I)"-1 [1 + (0,1)"] + ... .
Д Первое условие признака Лейбница выполняется: 1,1 > 1,01 > 1,001 >
> ...; с другой стороны, ип — 1 4- туг/, ип = lim (14-тку ) = 1 • Так как 10 п->оо /г -> jo у 1иу
lim ип Ф 0, то не выполнен необходимый признан сходимости ряда. Ряд рас-п-+<х>
ходится. А
291. Исследовать сходимость ряда
1-1 + 1-.. .+(-1)п-1+... .
Д Общий член ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится. Д
292. Исследовать сходимость ряда
1_1_±+±_±_±+....
2 22 ‘ 23 24 2ji
А Составим ряд из абсолютных величин:
14-~4___-4—-4—-4—L
‘ 2 ‘ 22 ‘ 2:3 ‘21 ‘25
Этот ряд есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и, следовательно, сходится. Значит, и данный ряд сходится, причем абсолютно. Д
73
293. Найти произведение абсолютно сходящихся рядов
, 3 . З2 , З3 , 3* . ,3”
+2!’+зГ'*"Т’+---+И--- •
Л Произведение рядов (согласно данному на с. 68 определению) есть ряд
1.17 2+2. W2. > 2 2l£W£j2 2'2
Щ и + j, J + (^ 2! + Ji ‘ и + 2! ) ' \ 3! 2! " 1! 1 1! ’ 2! 2 3! ) '
f2n . 2"-1 3 . 2П“2 З2^ _l 3"2д_
+ п! ' (п—1)! * 1! + (п-2)! ’ 2? ' 1 пГ_/ + ’" ’
или
14-2 (24-3)4-2(22+2.2.з+з2)4-
+ 2.(234-3.22-34-3-2-324-33)4-... +2 ^2« + ^-2-п.2'-1.3+ +(+Ь'2"--з,+-+з’)+-
Так как
п\ (n—k)\k\
= Сп (k=\, 2, ...), то ряд можно переписать в виде
2 + 3 (2 + 3)2 , (2 + 3)3 , (2 + 3+ ,
1! 2! 3! ~г‘“ 3! ~г” ’
или
1+А+Л+^+...+ ‘ 1! * 2! ‘ 3! ~
5” и!
со
294. Написать первые четыре члена ряда V уу,,”.--п— 1 ~Г
ОС
V'5 9
295. Написать первые четыре члена ряда ++ п= 1
Найти суммы рядов:
296. 1.2 + 2.з 3.4+’ • • +П(л4-1) + ’ ’ ’ ’
298, ЬЗ-б + з-б-У^ ••• ’ (2/1—1)(2п+П(2п+3) + • • • •
299. l + 2z2+f^z2y+... -+2±+уг4-... ;
1 т 1 \ т J 1 \ т J
00
(2n4- 1V
300. Показать, что ряд 2^ расходится.
Исследовать сходимость рядов с помощью первого признака сравнения:
301 ! । ! 1 La_ 2______!--1— .
1п2^ 1п3^1п4 ‘ 1 1п(п-г1; < • * •
74
/1=1 1
Исследовать сходимость рядов с помощью второго признака сравнения:
303.
2+1 22+1
5+1 + 52-г 1
J J2±J -
* 5« +1 т " ‘
2 / 2 \2 / 2 V
• Сравнить с рядом у-Ц у ) + ( у ) +••• •
404 1 • _О_ ' Г~з , , Ип
• 2-1-1т2-2-1т2.3-1г 1 2/1 — 1 "Г • ’ • *
Пользуясь признаком Коши, исследовать сходимость рядов;
зо5. Е ('ШЙ4У'-
_ ! \ 5az2 + 2/г + 1 у
306. з”+(2,1)2 + (2,01)3+ ... +[2Н-(0,1)«-1]+ ... .
Пользуясь признаком Даламбера, исследовать сходимость рядов:
307. + + •
308- П + .
Пользуясь интегральным признаком, исследовать сходимость рядов:
1
309. У, , если р > 1.
п= 1
3,0ф (Пп9 19 In 19^~ • • • + (10n —1) ln(10n—1) + • • • •
Исследовать сходимость знакопеременных рядов и установить характер сходимости (абсолютная, условная):
311.
312.
313.
314.
315.
1,1-1, 02+1,003-1,0004+...+(-1)"-1(1+^) + ...
у (-!)«-! (п+1)
+ п2 + «+1 •
_1_ , _1+ j_ 19 । .g5 31
10 “И 102 103 1 104 ' 10> 10й'г • • ’ *
3
I+31-3 4-3 гб+3 з4+3 й-3 ii-3 i+
75
Исследовать сходимость рядов:
ю . юо , юоо , , юп ,
316. т+_+—+...+g_^+... .
317. 4+4+4+--- •
2 * 4 6 1 1 2п
о 02 оз
318- т+га+т+--!|г+-
3'9-
320. |_Щ_|+,..4.(_1).-.±4.... .
S21. 1_1+4_2±+...^(_1).-.з_1гт...
322-й+я+я++ж + - •
323, 8' + le"*'2e+ ‘ ‘ + 10„—2 Т" • ’
324. 1+|+|+..•+=++... .
325. 21+* + 3! + 5 -Г 5а т 5з "Г • • . Д- —4- . . • Ьп ‘ • •
326. !+§+$+••• +-+••• • * Пп ‘
327. 1 + 2.+ Ч-- -
328, 2 In 2-ln In 2+3 In 3-In In 3 + '"+(«+!) In (n+1) In In («+!)+”' '
329‘ 2 + гз+ 1 + 33+l+ ‘ ' + n3-H + ' ’ ‘ ‘
ООЛ _______3 . 4 , z ]\,l -1 W~H 1 I
oou. 2з+1 3з+2-Г4з+з •••-!-<. О (n+l)3 + n 1 ••• •
331. 1 —2 + 3—4+...+(—l)'!-1n+... .
qqo i !_____L , !__!__L_u
• 24 З1 т 41 54 64.......
3334+4-t+4+I-t+--- •
334. 1-+ + +-+ + -..-гЬДр-1+--. •
00=1 11 1 (-1)"-1 ,
• In 2 In3 + ln4 1п5^'" 1 1n(«+l) ’ *
336. Найти произведение абсолютно сходящихся рядов 1 + ,1,1,1, , 1 , 1 1 , 1 1 , , (—i)"-1 ,
+ 3 + 9 + 27+" •+з«-1 + ’ ” И з + э 2?+’ ’,-1 З"-1 +••• •
337. Показать, что ряд 1——37+ •••+(— 1)” • • •
абсолютно сходится, и возвести его в квадрат (умножить на себя).
76
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Ряд
W + ll2 (*) + W3 (х) + • • • + (х) + . . . у
члены которого—функции от х, называется функциональным. Совокупность значений х, при которых функции ^(х), и2(х), ...» ип (х) ... определены 00
и ряд 2 un W сходится, называют областью сходимости функционального п~1
ряда. Областью сходимости функционального ряда чаще всего служит какой-нибудь промежуток оси Ох. Каждому значению из области сходимости X
п
соответствует определенное значение величины lim 2 ип (х). Эту величину, П->оо П=1
являющуюся функцией х, называют суммой функционального ряда и обозначают через S (х).
Представим сумму ряда в виде S (х) =Sn (х)-|-7?п (х), где
Sn (х) = «1 (х) + и2 (х) 4-... + ип (х), Rn (х) = ип+1 (х) + ип+2 W + .. .
[/?„ (х) — остаток функционального ряда].
Сходящийся функциональный ряд 2 ип W называется равномерно сходя-п~ 1
щимся в некоторой области X, если для каждого сколь угодно малого числа 8 > 0 найдется такое целое положительное число N, что при n^N выполняется неравенство 1(х) | < & для любого х из области X. При этом
со
сумма S (х) равномерно сходящегося ряда 2 в области X, где ип(х) п= 1
(n— 1, 2, 3, ...)—непрерывные функции, есть непрерывная функция.
Сформулируем достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда — признак Вейерштрасса.
Если функции «1(х), и2(х), ..., ип(х), ... по абсолютной величине не превосходят в некоторой области X положительных чисел а±, а2, ...,ап, причем числовой ряд
+ а2 + а3 +... -J- ап + • • •
сходится, то функциональный ряд
ui (*) + п2 (х) + и3 (х) • • • + пп (х) +...
в этой области сходится равномерно.
В заключение сформулируем две теоремы, относящиеся к интегрированию и дифференцированию функциональных рядов.
1. Если ряд Ui (x)4-^2 W+ • • • 4" ип W+ • • • , где и± (х), и2(х), ..., ип (х), ... —непрерывные функции, равномерно сходится в некоторой области X и имеет сумму S (х), то ряд
b b ь
ui (х) dx-p J и2 (х) dx+... 4~ J ип (*) • • о
а а а
b
сходится и имеет сумму S (х) dx (промежуток [а, 6] принадлежит области X).
а
2. Пусть функции (х), и2 (х), ...» нп(х), ... определены в некоторой области X и имеют в этой области производные ц^(х), Цг(х), ..., и'п(х), ... .
77
Если е этой области ряд 2 tl'n W сходится равномерно, то его сумма п — 1
равна производной от суммы первоначального ряда'.
оо ( оо ) '
2 и'п w = 2 u>i w ( *
/1=1 1 п— 1 )х
338. Дан функциональный ряд
4 — х 1 / 4 — х \2 1 / 4 — х \3 , , 1 / 4 — х \п
7x4-2 ‘ *5"\7х + 2/ ~ 2^=Л \ 7х + 2) + ••••
Исследовать сходимость ряда в точках х=0 и х=1.
Л В точке х = 0 получаем ряд
Здесь ип = 2п/(2п—\), ип+1 = 2?z + 1/(2/i4- 1). Применяем признак Даламбера:
D = lim
п -> оо
lim
П -> оо
2^+1 (2п— 1)_ 2п (2/г4-1)
2 lim
П -> с
2п — 1
2//4-1
2 lim
П -> 00
2— 1/п _
2-f- 1/п ~
2,
т. е. D > 1. Следовательно, ряд расходится. В точке х=1 получаем ряд
ЫД'Дл , 1 1
3Т3 З3 5 З3 ~г”’~2п — 1 3*
Здесь и„=1/(3”(2я—1)), un+1= l/(3,! + 1 (2n-j-1)); находим
D= lim !в1+1
П-+ 00 ип
Зп (2/2—1) __ 1 2/2—1__ 1
3^1(2/г-Ь1)-3 Дпа 2/14-1-3
< h
т. е. ряд сходится. Д
339. Найти область сходимости ряда
_L_ + __L_ _н +—!— + . ..
14-х2 ' 14-х1 14-х'1 ~ 14- х2" г
Л Если |х| < 1, то lim ип= lim у—у=1; так как lim ип ф 0, то
П-+ X п -> ОО i “Г п~>
ряд расходится. Если |х] = 1, то также получаем расходящийся ряд
21 2 “Г 2 -V---
Если | х | > 1» то члены заданного ряда меньше членов бесконечно убы-1.1,1,
вающеи геометрической прогрессии -jr4—• • • > т-е- ряд сходится.
Итак, область сходимости ряда определяется неравенством | х | > 1. Отсюда следует, что ряд сходится, если 1 < х < 4~со —оо < х < —1.
340. Показать, что ряд
_J______L_+_J_
x24-l x1-j-2 1 x54-3
1 xs+4
X2n 4-n
сходится равномерно при всех значениях х(—оо<х<оо).
78
Л Данный ряд при любом значении х сходится по признаку Лейбница, поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства | Rn (%) | < | ип + 1 (х) |, т. е.
I (^) I < on -г 9 i Г Г < i 7 • 4 * х2п-г2_1_АгЦ_ J И-[-I
Так как неравенства £ и ~—1 равносильны, то, взяв n^N, где
#—какое-нибудь целое положительное число, удовлетворяющее условию N ——1, приходим к неравенству | Rn (х) | < 8. Итак, данный ряд сходится равномерно в промежутке ]—оо, 4-оо[. А
341. Показать, что ряд 2 х” сходится неравномерно в ин-
1
тервале ]—1, 1[.
Д В указанном интервале ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Имеем Rn (х) — xn + 1Jrxn + 2-irxn + 3jr • • ., т. е. Rn (х) = = хп + 1/(1—х). Flo lim | Rn (x) | = 1/2, iim 7?„(x) = oo. Следовательно, x -> - 1 + 0 x -> 1 - 0
приняв 8 > 1/2, мы не сможем добиться выполнения неравенства при любом х
значении х. Итак, ряд 2 хП сходится неравномерно. А п= 1
342. С помощью признака Вейерштрасса показать, что ряд sin х + -Л- • sin2 2х 4- • sin3 Зх + ... + sinn пх + • • •
сходится равномерно в промежутке ]—оо, +оо[.
Л ~ I 1 • „ I * 1 , 1 , 1 ,
Л Так как \-^ sinn пх и ряд 1 +-92- + -д2"+ • • • сходится, то дан-
ный ряд сходится равномерно при любых значениях х. А
343. Можно ли к ряду
arclg х + arctg + arctg . + arctg -^+ ...
применить теорему о почленном дифференцировании рядов?
Л Сравним данный ряд со сходящимся рядом , X . _X t t X , х ‘ 23/'2 * З3/2 “г * * * “г *+*•••
(при любом фиксированном х). Тогда ип (х) = arctg (х/яз/2), (х) = х/п3^2.
Так как arctg а и а — эквивалентные бесконечно малые, то lim Un = 1 и /woo
согласно второму признаку сравнения заключаем, что данный ряд сходится. Найдем производную общего члена данного ряда:
' г \ 1 __ п2'2
“п W 1 + х2/п3 ~х2 + п3 •
79
Ряд, составленный из производных, имеет вид
1__। 2^2 , ЗКЗ ,
х24-1 ‘ x2 + 23"*” х2 + З3 ~г~
Заметим, что сходящегося ряда
члены последнего 1-]---!---1---!---L
1 23/2 33/2
ряда меньше соответствующих членов .. . Поэтому на основании признака
Вейерштрасса ряд, составленный из производных, равномерно сходится в промежутке ]—oo, -j-oo[ и, значит, к заданному ряду можно применить теорему о дифференцировании рядов. Л
344. Законно ли применение к ряду
cos х + у • cos 2х + • cos Зх + ... + 2г=-г cos пх 4-...
теоремы об интегрировании функциональных рядов в промежутке [л/4, л/3]?
Д Члены заданного ряда при любом значении х по абсолютной величине меньше соответствующих членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1-|—24-4+ • • • • Поэтому данный ряд согласно признаку Вейерштрасса равномерно сходится в промежутке ]—оо, Ч-оо[ и, следовательно, к нему можно применить теорему об интегрировании рядов для любого конечного промежутка [а, 6], в частности, для промежутка [л/4, л/3]. А
345. Дан функциональный ряд
Зх+1 . / Зх+1 \2 . . / Зх+1 \” .
X2 + *+ 1 + \ Х2 + *+ 1 / + * * * \ Х2 + %+ 1 ] + * ’
Сходится ли ряд в точках х=1, х = 2 и х=3?
346. Исследовать сходимость функционального ряда
4 (*2-4х+ 6) + 4 (ха-4х + б)2+ ... + 4 (х2-4х + 6)" + ...
в точках х= 1 и х=2.
347. Найти область сходимости ряда
14-е_* + е-2*+ • • • +е~(п~11 -v-|- ....
348. Найти область сходимости ряда
349. Найти область сходимости ряда
ха+ 1 -l" 22 (х2+ I)2 • • • +п2 (Л2+ ])«+’•• •
(__lyz Ц
350. Показать, что ряд "УДа" равномерно сходится в п — 1
промежутке ]—оо, -f-oo[.
80
351. Показать, что ряд
' 2x4-1 j 1 /2x4-lV . 1 /2x4-1 \3 , , 1
х+2 + 2 х+2 J + 4 \ х+2 + 2«~i
равномерно сходится в промежутке [—1, 1].
352. Показать, что ряд j^2 х3 х+зг+^г
хп
%n~i
в интервале ]—2, 2[ сходится неравномерно.
353. Показать, что ряд
sin х-)~ К3 cos х , (sin x-j- )/~3 cos х)2 , . (sin х-ф- К3 cosx)n .
3 I 32 ‘ г • • • и 3^ Г • • •
сходится в промежутке ]—оо, -фоо[ и установить характер сходимости.
354. Можно ли к ряду
sin % +sin у 4-4г-sin у-Ь ••• + 4“’sin ~+-.-применить теорему о дифференцировании функциональных рядов? оее >Г < , COSX . COS2X . . cosn-1x .
355. Можно ли к ряду 1 +— Н—21~ + * * * —(^1)! + ’ * ’ применить теорему об интегрировании функциональных рядов в любом конечном промежутке [а, Ь]?
356. Можно ли к ряду
(х2+1) + 2(х2+1)2 + 3 (х2+1)3+ ... 4-п(х2+1)«4-... применить теорему о дифференцировании функциональных рядов?
§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Функциональный ряд вида
а0 + «1 (х—а) + а2 (х—а)2 + ... + ап (х—а)п + ...,
где а, а0, at, ..., ап—действительные числа, называется степенным.
Основное свойство степенных рядов состоит в том, что если степенной ряд сходится при х = х0, то он сходится (и притом абсолютно) при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству |х—а \ < | х0 — а\ (теорема Абеля).
Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости | х—а | < 7?, или а—R < х < < a-\-R с центром в точке а, внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого он расходится. На концах интервала сходимости (в точках х = а ± 7?) различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни сходятся абсолютно на обоих концах, другие — либо условно сходятся на обоих концах, либо на одном из них условно сходятся, на другом расходятся, третьи—- расходятся на обоих концах.
Число R—половина длины интервала сходимости — называется радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности. Если 7? = 0, то степенной ряд сходится лишь при х=а; если же 7? = оо, то ряд сходится на всей числовой оси.
Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться одним из следующих способов.
81
1. Если среди коэффициентов ряда at, а2, .ап, ... нет равных нулю, т. е. ряд содержит все целые положительные степени разности х—а, то
R = lim |-^-| (1)
П -> х I ап + 1 I
при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует.
2. Если исходный ряд имеет вид
#о Д' @1 (-^ Д' ^2 (-^— Cl)~P -j- . . . -j- ап [x — CL)nP -j- • • •,
(где p — некоторое определенное целое положительное число: 2, 3, ...), то
щ/л-.Ш- (2)
3. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последовательность оставшихся в ряде показателей степеней разности х—а любая (т. е. не образует арифметическую прогрессию, как в предыдущем случае), то радиус сходимости можно находить по формуле
R =------Ц__. (3)
lim Д/Д а„|
П -> 35
в которой используются только значения ап, отлииные от нуля. (Эта формула пригодна и в случаях 1 и 2.)
4. Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.
Записав ряд в виде
ио (х) Д“ и1 (х) Д' и2 (х) Д' • • • + Д') -г • • •
(здесь «0 = ^0, игЛх} = ап(х—a)1V, где зависимость V от п может быть любой, причем через ап обозначен не коэффициент при Д—а}п, а коэффициент /г-го члена ряда), находят интервал сходимости из неравенств
lim < 1 или lim l/lWnl < Ь
Отметим следующее свойство степенных рядов: ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.
X
Таким образом, если S (х) = 2 ап U—а)п> то
/1=0
X х X
S'(х)=^ па„(х—a)"-1, j S (х) dx = £ Д.0------’
п = 1 а /2=0
где —R < х—а < R.
Операцию почленного дифференцирования и интегрирования можно производить над степенным рядом сколько угодно раз. Следовательно, сумма степенного ряда внутри его интервала сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией.
357. Исследовать сходимость степенного ряда
х ~^"2х2 + Т %3 ~п х” ’
& О /4-
82
А Здесь an = Vn, ап+1 = 1 /(nA 1). Найдем радиус сходимости ряда:
R = lim I — ч- • | ===== lim —1 ? = lim =
x I +• 1 1 n —>x n —> X \ П J
Следовательно, ряд сходится для значений х, удовлетворяющих неравенству —1 < X < 1.
Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если х=1, то получаем гармонический ряд 1 _г'ггЧ~• •> который, как известно, расходится. Если х ——1, то получаем ряд —1 + ’ * * Этот Ряд схо"
дится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница.
Итак, область сходимости степенного ряда определяется двойным неравенством —1 <х < 1. А
358. Исследовать сходимость ряда
(х-2) + (х-2)2 + у - 2)3 + ... + У - 2)« 4-... .
Д Здесь ап = Vn2, ап+1= 1/(пА I)2, имеем
(п Д_ 1)2 / 1 \ 2
R = ]-1т = Нт I 1Д_± =i.
n -> X Л2 n -> X \ nJ
Следовательно, ряд сходится, если —1 < х — 2 < 1, т. е. 1 < х < 3.
Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если х = 3, то получаем ряд 1 Ау+ у Ч~у~Г • • •’ который сходится, так как ряд 1А-—- + 4—|•• сходится при р > 1 (на основании интегрального признака). Если х=1, то получаем ряд —1 А-^2—“32—^"42—••• • Этот ряд сходится (и притом абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных величин его членов.
Итак, степенной ряд сходится для значений х, удовлетворяющих двой-
359. Исследовать сходимость ряда
1! (х— 5) 4- 2! (х— 5)2 А 3! (х— 5)3 А • • • Ч~ п\ (х— 5)" А .
Д Здесь ап = п\, ап + 1 = (п А 1)!; значит,
D г п\ .. 1-2.3.../г r 1 _
/?= lim —г-тт.-= bm Y-—--------------- = Пт ——Т = 0.
Ряд сходится только при х — 5 = 0, т. е. в точке х = 5. А
360. Исследовать сходимость ряда
А Имеем ап = 1 ,'и!, ап + 2 = 1 / (п А 1) ’, ао = 0 ;
R~ lim ]jm (пд_1) — со.
п -> эо п\ ц _> оо
83
Следовательно, ряд сходится при любом значении х. Отсюда, между прочим, заключаем, что предел общего члена ряда при любом значении х равен нулю, т. е. lim — 0. А
П оо п1
361. Исследовать сходимость ряда 1 I *3 I я6 I 4_х3<"-1> , 1 "* 10 + 102 * • • • + 10«-1 "Г-”-
Д Ряд является геометрической прогрессией со знаменателем q = x3/l0. Он сходится, если |х3/10| < 1, и расходится, если | х3/10 | 1. Следовательно,
промежуток сходимости ряда определяется двойным неравенством — р/10 < < х < 10. Тот же результат можно получить, используя формулы (2) и (3). А
362. Исследовать сходимость ряда
9v5 I 4%1° I 8х15 | , 2пхэП
3 5 ’ ' 2/1—1
Л Полагая х5 = /, получаем ряд
*+¥+¥
(*)
Здесь а„ = 2"/(2п—1), fl,i+i = 2n+1/(2«-|- 1). Находим радиус сходимости ряда (*):
о_ lim 2«(2п+1)_1 2п+1_1 2+1/п_1
R 1)~ 2 „^2/г—1“ 2 „Ь™„ 2—1/я “2 '
Таким образом, ряд сходится, если |/| < 1/2.
Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если /= 1/2, то получаем ряд 1+4’“h4’4"4“ + ••• • Этот ряд расходится (его можно сравнить
О о /
1 , 1 , 1 I 1 ,
с рядом ‘о+тТ7+-т+“«> членами которого являются члены гармониче-Z т: О О
ского ряда, умноженные на 1/2). При / =—1/2 получаем ряд —1+4-----4 +
о 5
+ ——... . Этот ряд сходится условно. Следовательно, ряд (*) сходится, если —1/2^/< 1/2. Таким образом, заданный ряд сходится, если —1/2^ ^х5 < 1/2, т. е. —1/^/2^х < 1/|/2. Тот же результат можно получить, используя формулу (2). А
w ( k I 1 \
363. Исследовать сходимость ряда (2*4-1} (х 2)гА’
Л=1
/ ^_1_ 1 \ R
ДВ данном случае имеем ап = 0 при n = 2k— 1 и ап= 1 при
n = 2k. Для отыскания радиуса сходимости удобнее всего использовать формулу (3). Находим
1
R =------
lim /г -> 00
+7-^1
V 12£+1
A
lim /гт=,/1-
k -> ОО Г /?+ 1
84
Исследуем ряд на концах интервала сходимости. Полагая х—2=]/"2, получаем числовой ряд
k= 1
Zu ! , , 1 ) — Zu I ‘ 2/г+1) '
*='V + -2 / *=>
, 1 \Й г— г_
Но lim l-bobTT = ? е 7= 0. Таким образом, при х—2= у 2 ряд расхо-k -> со \ 1 /
дится. То же самое имеет место и при х—2 =—|/~2. Итак, область сходимости данного ряда 2—У 2 < х < 2-j- У 2 . Д
00
364. Исследовать сходимость ряда z, --------------•
п— 1
(X__П«(«+1)
Л Применяем признак Коши, полагая ип — ---------. Тогда
п/------ 1х—1И + 1 v п/~----------; и при |х—
у \ип = -------!; lim у Ш = \ ,
У ' П| П fl-*™ |оо при |х—1 | > 1.
Таким образом, ряд сходится, если | х— 1 | 1, т. е. в промежутке О х 2. А
365. Исследовать сходимость
рада 2-—^!— /2=1
Д Применяем признак Даламбера, полагая ип = хп{п~1} 12/п\, un + f — == x«(w+i)/2/(n-|_ 1)! Тогда
I ци + 11 I *Г ]im 1“и + 1 |Г° при |х|<1, I ип I п-У 1 ’ п-*оо I ип I (оо при | х | > 1.
Итак, ряд сходится, если | х | 1, т. е. на отрезке —А
366. Найти сумму ряда 1 + 2х + Зх24-... 4-/гх/2-1 (|х| < 1),
продифференцировав почленно ряд 1 4-х + х2+х3 + .. .Д-х"'1-)-... (И<1).
Д Воспользовавшись формулой суммы членов бесконечно убывающей гео-
метрической прогрессии
, получаем
1+х+х24-х3+...=Д-_.
Остается продифференцировать полученное равенство:
1 + 2х+Зх2+-..=^Др. А
367. Найти сумму ряда % + • • • +77+ • • • (И < Р-
Д Продифференцируем почленно заданный ряд и найдем его сумму по
формуле S —
где а=1 и q=x; получим
14-x+x2+x34-... =-j—
85
Проинтегрировав затем в пределах от 0 до х, находим г2 г3 г4
х+т+Нт+• • =“1П (1 “Л)-
Этот ряд сходится в промежутке [—1, 1]. А Исследовать сходимость степенных рядов: х-Н , (х-ЬП= (хЧ-1)з (х+1)« ,
368. — Т-3Г- + —— + •• •+(2-^1ут-.. •
369. (.-4) -Н (л-4)- + U-4)- - ... +
Ч7П х—1 (X—1)2 , (х-1)3 , (Х-1)« ,
2 ' 22 ' 23 I • • • + 2>‘ ~Г • • •
371. х + (2х)2 + (Зл-)3 -?...+ (пх)" + ... .
372. бх + ^ + ^+.-.+^Ч-... •
373. x244 + j+-- •+?+••• •
• Положить X2 = I.
374.
375.
376.
377.
X3 . Xs , X9 , . Х'!'!
~8 + 8^5 _|' FcP’ • + (4/1—3) 8"
24-3'г224-32*г 2=Ч-33 ' ' ' “ 2”-3" 1 х—1 , 2 /х— I)2 , 3 /х—1\3 , 2 ’ 2 + 3 \ 2 ) + 4 \ 2 ) 1 ' X , X2 ! X3 , , Хп !
Ь2^ 2ЙЗ 1 34 ' ' » («4-1) ' " ’
+41(*-^У+...
Найти суммы рядов:
о-о 1 , 2х Зу2 пхп-г , . .
378. —Ь -о + -о- + • • • Н--+ • • •, если х < а.
а 1 а2 1 а3 1 1 ап 1 1 '
у2 уЗ у 4 yfi 4-1
379. и--f-q-»4--г-г + • • 1 + 7—। n + • • •> если —а^х < а. 2а ' За2 4а1 1 1 («4-1) ап 1
оол I * 2 , 2 • 3 । 3 • 4 п. . п (п -4-1) ,7 1 । । I
380. —»- + ~г • ХЧ—г • х + • • • + nTi хп 4- ..., если х < а. а2 а6 а4 ап + 1 1 1
381. —2х4-4х3 — 6х54-...4-(—1)" 2/г-х2"-1 4-• • •, если |х|<1.
§ 4. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
1. Ряд Тейлора для функции одной переменной. Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале | х—х01 < г, т. е. х0 — г < х < XpJ-r, может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора
f «=/(х0)4-Ц^ (х-х0) + ^ (х-х0)2+... 4-^ДДо) (х_Хо)п+ . . „
если в этом интервале выполняется условие
f(n 4-1) /М
lim /?„(x) = lim Z (х—х0)^ + 1^°,
П->оо /1 -> оо 1)!
85
где Rn (х)—остаточный член формулы Тейлора (или остаток ряда), с=х0 + + О(х-хо), О<0< 1.
При хо = О получается ряд Макларена:
/М-/(0)+фх+д2г+.,+^,..+....
Если в некотором интервале, содержащем точку х0, при любом п выполняется неравенство | f<n> (х) | < М, где М — положительная постоянная, то lim Rn = ® и функция f (х) разложима в ряд Тейлора.
/2->а
Приведем разложения в ряд Маклорена следующих функций:
Y у2 уЗ у/2 - 1
еХ=1+л+5!+ш+--сЬт)!+--’+ -°° <*<+*;
У У3 Уэ у2/? — 1
5^ = в+з!+5! + ---+(^!+--- —<*<+“;
У2 У** У® у2 (П—1)
У У^ у> у? у2м — 1
Si^=f-3-+S!-7! + -+<-I)n-1(fcTj! +-• —<*<+«»;
У2 У^ У3 у2( п ~ 1)
cosx=l-|l+fT-|l+...+(-l)"-iI^-w-i-...> —оо<х<+оо;
(1 +х}т = ! ++m ^.-9 ^ ... +
। т(т— 1). . .(и — л + 2) ,
(^+)! +••• '
Это последнее разложение имеет место:
при т 0, если — 1 х =С 1;
при —1 < т < 0, если —1 < х^ 1;
при —1, если —1 < х < 1;
у 2 уЗ у 4 у ti
1п(1+х) = х-^+^-^-+...+(-1)»-1^+..., -1 < х<1;
Z О *± ГС
уЗ у5 у? у2« 1
arctgx = x-^+^-^+.--+(-l)'!-1J—j + ---.
2. Ряд Тейлора для функции двух независимых переменных. Если функция f (х, у) дифференцируема л-|-1 раз в некоторой окрестности точки Ро (х0; yQ), то в любой точке Р(х; у) из этой окрестности функция f (х, у) может быть разложена в ряд Тейлора:
f(x, </)=/(x0,z/0) + ^[(x—х0Щ(х0, г/о) + (г/—уй) Щх0, z/0)] +
, [(х—х0)2/«(Хо, г/0) + 2 (х—х0) (z/—z/0) fxy (х0, yj + (у—у0)2 fyy (х0> z/0)J +
l(*—*о)3 f'xxx («о> Уо) + 3 (•<—+)2 (У—txx-j (x0, y0)+3 (x—x0) (y—z/0)2X
У-fxyy (x0, Уо)-[-(У—Уо)3 fyyy (xOi ?/o)] + ••• +
[(X~%o)<S Hx0’^o) + o(p"), где p = /(x-x0)2+(r/— y0)a.
67
В частном случае при х0 = yQ = 0 получается ряд Маклорена: f(x,y)=f(O,O) + ^[xf'x(O,O) + yfy(O, 0)]4-1 ^Д0, 0) +
-\-2xyfxii (0, 0) -j-y2fyy (0, 0)] -f- • • • ? (O’ ®) + ° (P”)>
где p = |^x2+z/2.
382. Разложить в ряд по степеням х функцию f (х) = 2х.
Д Найдем значения функции и ее f(x)=2*, f' (х) = 2Х In 2, Г(х) = 2*1п22,
производных при х = 0: /=(0) = 2° = 1, /' (0) = 1п 2, Г (0) = In2 2,
fw (х) = 2х • In" 2; (0) = In" 2.
Так как 0< In 2 < 1, то при фиксированном х имеет место неравенство | fkn} (х) | < 2х для любого п. Следовательно, функция может быть представлена в виде суммы ряда Маклорена:
Дх) = Д0) = фх+фхЧ
В данном случае
2х =14-х1п2
х2 In2 2 , х3 In3 2
-I 2! 1 3! ’ *
— оо < х<фоо.
Это разложение можно получить и иначе: достаточно в разложении X2 X3
ех = 1±х^+^---
заменить х на xln2. А
383. Разложить в ряд по степеням х функцию f (х) = sin2,г.
Д Продифференцируем функцию пД! раз:
f (х) =sin2 х, f' (х) = 2 sin х cos х = sin 2x, j" (x) = 2 cos 2x — 2 sin 2x-|-~ J , f"' (x) = —22 sin 2x = 22 sin ^2хД 2~ J , f\v (x) = —2; cos 2x = 23 sin f 2x-{-3~^ ,
(x) = 2""1 sin 2x Д у (n — 1) j, + (x) = 2" sin ^2хЦ—nJ .
Находим значения функций f (x), f' (x), f"(x), /(л) (x) в точке x=0,
а значение /(п + 1)(х) определяем в точке х = с (см. равенство для определения Rn). Получаем /(0) = 0, f' (0) = 0, f" (0) = 2, f'"(0) = 0, /iv (0) =—23, /v (0) = 0, /vi(0)=23, ...» + (с) =2"-sin (2с-{-лп/2).
88
Находим остаточный член:
D 2п• sin (2с — ап /2) —
т. е. Rn=-.^L—sin (2с+т/2).
(«+!)!
(2x)^ + 1
—0 при любом х, a sin (2c-j- ап/2)— величина ограничен-
Так как lim п->« х ная, то lim Rn = 0. Следовательно, функцию /(x) = sin2x можно представить в п ->оо
виде суммы ряда Маклорена
2 23 25 27
Sin2* = 2V2-^+^e-§!*8+--- •
Задачу можно решить и иначе. В равенстве sin2x = -^-(l—cos 2х)
заме-
ним cos 2х его разложением в степенной ряд:
Q , (2х)2 . (2х)4
cos 2x=l-i-4-^
(2х)6 6!
Выполнив несложные преобразования, получим найденное выше разложение sin2x. А
384. Разложить е~х'2 в ряд по степеням х.
А В разложении у у2 уЗ eX=1 + Ti+Ti+li+--- (-“<*<+“)
заменим х на — х2; получим
„ v2 уб у8
е-А =1-Ti+5!-3!+l!--- (—<*<+“)• А
385. Разложить 1пх в ряд по степеням х—1.
А В разложении
у2 г3 г4
1п(1+х)=х-^-|Л— Х1+... (—1<х<1)
заменим х на х—1; получим
, / м (х—I)2 , (х-1)3 (х-1)4 , ,п „ _<v. А
1пх —(х— 1)— 2 4-х—— 4 - -4---- (0<х<2). А
386. Разложить 1/х в ряд по степеням х—2.
. Правую часть этого ра-+ (х—2)/2 r J г
А Воспользуехмся равенством венства можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом а = 1/2 и знаменателем q = — (х—2)/2. Отсюда
получаем
J__ 1 1 х—2 1 (х—2\2 1 /х—2\3
х “ 2 2 * 2 ‘ 2 \ 2 у 2^2;+’”*
т. е.
Так как | (х—2)/2 [ < 1, то 0 < х < 4.
89
387. Разложить в ряд Тейлора функцию f(x,y) = x2—ху + + 2у2— Зх-У4// —8 в окрестности точки Ро(—3; 1).
Д Найдем частные производные и вычислим их значения в точке Ро: f'x(x, у)=2х— у—3, f'y(x, у) = ~ хЧ-4(/ + 4, /Ц(х,г/) = 2, fxy (х, у) =— 1, fyy(x,y)=4;
/ (—3, 1) = 35, fx(—3, 1) = —10, /у(—3, 1)=11, fxx(—3, 1)=2, ^(“3> = /^(-3. 1) = 4.
Искомое разложение в ряд Тейлора имеет вид
/ (х, у) = 35-10 (х+3) + 11 (у— 1) + (х+3)2-(х+3) (у-1) + 2 (у~ 1)2+- • • •
388. Разложить в ряд Тейлора функцию f (х, у) — х2 In у в окрестности точки Ро(1; 1) ДО членов второго порядка.
Д Найдем частные производные первого и второго порядков:
f’x (х, у) = 2х In у, f'y (х, у) = р Гхх(х, у) = 2 In у, f'^(x, У) = ^, Гуу (х, у)=
Вычислим значения функции и производных в точке Ро(1, 1):
/(1,1)=о, /;(1,1)=о, /'(1.1) = 1, гхх(Г1)=о, (1,1) = 2,/" (1,1)=-1.
Искомое разложение записывается так:
f (X, у) = (у-1)+2 (X-1)^-1)—1(;у- 1)2Д-0 (р2), где р=К(х—1)2+(Z/—I)2. Д.
389. Разложить в ряд Маклорена функцию / (х, z/) = cos х sh z/ до членов третьего порядка.
Л Найдем частные производные первого, второго и третьего порядков: Гх(х, у)=— sinxshz/, f'y(x, ;/) = cos х ch I/, f'xx (x, y) = — cosxsh y, fxy(x, «/) = —sinxch y, Гуу(х, y) = cosxsh у, fx’x (x, y) = sin x sh y, fxxy <*> f/) = — cos x ch У’ txyy (*’ = — sin x sh У’ f'yyy <-v> У) = cos x ch У-
Вычислим значения функции и производных при х0 = г/о = 0:
f (0,0) = о, гх (0,0)=о, Гу (0,0) = I, Гхх (0.0) = 0, гху (о, 0) = о, /;у (О, О)=о, Гххх(0> о)=о, f- (о, o)=-i, гхуу (о, О)=о, г-у (0, о) = 1.
Следовательно,
/(х, (/) = //—! x2z/+-T z/34-o (р3), где у = Ух2-Гу2.
Разложить в ряды по степеням х следующие функции:
390. /(х) = ЗЛ 391. f(x) = e~2\ 392. f(x) = cos2x.
393. f (x) = sh2 х. 394. f (x) = In (x4- a), a > 0.
395. f(x) = {/хф-ц, a > 0. 396. f (x) = ch2 (x2).
Разложить в ряды Тейлора следующие функции:
397. f(x, г/) = х3 — 2у3-}-Зху в окрестности точки Р (2; 1).
90
398. f (%, y) = 4x3— x2 + 2xy—y2 + $x+y—8 в окрестности
точки Р (1; —1).
399. /(х, у) = 5х2 +9 у2—2х+ Зу—5 в окрестности точки Р(1; -1).
400. /(х, у) = х/у в окрестности точки Р (—1; 1) до членов третьего порядка.
401. f (х, у)~ хе~у в окрестности точки Р(1; 0) до членов второго порядка.
402. /(х, z/) = xcos2y в окрестности точки Р (—1; 0) до членов третьего порядка.
§ 5. приближенные вычисления значений функций
С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Здесь полезно иметь в виду приведенные в предыдущем параграфе разложения в степенные ряды функций ех, sh х, ch х, sin х, cos х, (1-фх)'л, In (1 +х), arctg х.
Для вычисления логарифмов эффективна формула
In (/+ 1) = In/ + 2 [27+1+3(2/4-1)3 + 5 (2/+1)5’Т"‘] *
Ряд в правой части равенства сходится тем быстрее, чем больше t.
Для вычисления приближенного значения функции f(x) в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые п членов (п— конечная величина), а остальные члены отбрасывают. Для оценки погрешности найденного приближенного значения нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знакопеременного ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, используется оценка | Rn | < ип + 1> где ип + 1 — первый из отброшенных членов ряда.
403. Оценить погрешность приближенного равенства
Y Y2 Yn
^1++ + +- + ...++, 0<х<п + 1.
А Погрешность этого приближенного равенства определяется суммой членов, следующих после хп/п\ в разложении ех\
уП 4-1 уП + 2 уП + 3
р л________| л______I л_____I
" («4-1) !~^(п-|-2),! ' (п + З) I-*-" ’ ’
или
X X2 X3 *1
RnZ==^. I /Тн + (/г+ 1) (n + 2) + (n+ 1) (п + 2) (n + 3)+ • • • J •
Заменив каждый из сомножителей п + 2, /г + 3, п + 4, ... меньшей величиной /г+1, получим неравенство
р <А х ! f х YI f х YI 1 п < п! [ п + 1 * \ п + 1 / ' \ п + 1 / * ]
Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в квадратных скобках:
хп х/(/г+1) р хп х .
п < п ’. ’ 1 —х/(/г+ 1) ’ Т’ е’ п < п\ п+ 1 —х’
404. Вычислить У е с точностью до 0,00001.
91
Л Используя разложение ех в ряд, получаем
'•-'+тг1+^+^+--
Определим число п так, чтобы погрешность приближенного равенства
Т/— _1! 1 । 1 । । 1
Ye ~ 1 + 1!-2 ' 2!-22“Г ''' + ,-г!2«
не превышала 0,00001. Воспользуемся оценкой погрешности, данной в предыдущем примере. Полагаем х=1/2; тогда
D 1 Х>2 D ' 1 1
п <п!2« ’«4-1/2’ Т' е’ Кп < л!2« ’ 2«4-Г
Путем подбора определим, при каком значении п будет выполняться неравенство Rn < 0,00001. Полагая, например, п = 3, получаем 7?3 < 1/(8«6«7), т. е. Яз < 1/336. Пусть, далее, п = 5; отсюда Т?5 < 1/(32.120*11), т. е. Т?5 < 1/42240. (Пусть, наконец, п = 6; отсюда Я6 < 1/(64-720-13), т. е. R6 < < 1/100 000. Итак, принимаем п = 6:
i/"^=1 j_—L_|—J_ j—Li___!__I__!_u—L
к 1!2 ‘ 2122 * 3!23^4!24 ‘ 5'25 ‘ 6!2Й‘
Суммируем слагаемые:
1,000000
0,500000
0,125000
-(-0,020833 (в 6 раз меньше предыдущего слагаемого)
0,002604 («8 « « « « )
0,000260 (« 10 « « « « )
0,000022 (« 12 « « « « )
1,648719.
Значит, Уе « 1,648719. Каждое слагаемое мы вычислили с точностью до 0,000001, чтобы при суммировании не получить погрешности, превышающей 0,00001.
405. Вычислить 1/|/е с точностью до 0,00001.
Л Имеем
1/У7 ==ё~1/5=1___!—I___!______!_х....
1/у 115 ^2!-52 3’53 1
Воспользуемся приближенным равенством
1/|/е и 1
1 I 1 1 I 1
1’5 ‘2!52 3!53'4!54’
Мы взяли 5 слагаемых, так как знакопеременный ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, а поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Первый из отброшенных членов равен 1/(5’55). Нетрудно видеть, что 1/(5!55) < 0,00001.
Произведя вычисления, в результате получаем l/jLе ~ 0,81873. А
406. Пользуясь разложением cosa; в ряд, вычислить cos 18° с точностью до 0,0001.
92
Л Имеем
1 оо я 1 1 ( я V . 1 ( л V
cos 18 =003^1-^) -... ;
я/10 = 0,31416, (я/10)3 = 0,09870, (я/10)4 = 0,00974.
Достаточно взять три члена ряда, так как (1/6!) • (л/10)6 < 0,0001. Тогда 00,13^1-^+^; „МдаЦ
407. Вычислить f/1,1 с точностью до 0,0001.
А Воспользуемся разложением (1+*)от в ряд, полагая х = 0,1, m = 1/5. Имеем
== (1+о, i)i/?=1+4-• °-1°-01+ о ZI
(1/5) (1/5—I) (1/5—2) 0 001 + _ = 1 _|_о,О2 —0,00084-0,000048—....
Четвертый и следующие за ним члены отбрасываем, так как четвертый член меньше 0,0001. Итак, 1,1 1,0192. Д
408. Вычислить j/z 130 с точностью до 0,001.
Д Так как 53 является ближайшим к числу 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде суммы двух слагаемых: 130 = «= 53 + 5. Тогда
1 '771 F, ... V 14-1=5(14-0,—
=51!4-1 0,044-1'3><'-'3-'> . О.ООЮ-Ь1'/311-2/,311-5-'3» 0,000064 + ...], | о 2! о! J
I 1 5
= 5+4 • 0,2—4.0,008+4 • 0,00032- ... . и У о 1
Четвертый член меньше 0,001, поэтому "его и следующие за ним члены можно отбросить. Итак, 130 5 + 0,0667—0,0009, т. е. j/^130 5,066. А
409. Вычислить In 1,04 с точностью до 0,0001.
А Воспользуемся разложением 1п(1 + %) в ряд:
lnl,04_1„(i+o,04)»o,04=l!!l-+l«!,151‘+..., А О т:
или
In 1Л4 = 0,04—0,0008 + 0,000021 — 0,00000064 +...,
откуда In 1,04 0,0392. А
410. В прямоугольном треугольнике катеты равны 1 и 5 см. Определить острый угол треугольника, лежащий против меньшего катета, с точностью до 0,001 радиана.
93
Л Так как tg а=1.5, то a = arctg (1,5). Воспользуемся разложением f /1П 1 1 , 1 1
a=arctg(l,5)^--y . ^+5 --57—.. .
откуда 7. « 0,2 — 0,0027, т. е. а и 0,197. А
411. Оценить погрешность приближенного равенства
In (/ + 1) « In / + 2 ^4. ! + 3 (2/1)3 + +_______!__+ +_______________1________1
1 5 (2/4-1) ’ ‘ ’ ‘(2п — 1) (2т Н-,1)2"-1 J
Л Задача сводится к оценке суммы остатка ряда
Лл = 2 [(2nd-1) (2/ +1)2'!+1 + (2/i-J-3) (2/-Н 1)2« + 3
‘ (2/г + 5) (2/4-1)2" + 5^ J
Заменив каждый из множителей 2п-+-3, 2гг + 5, 2^+7, ... меньшим числом 2/г+1, получим неравенство
Я < _1Г 1 _ _ I 1 . 1 I 1
/z 2«+l L(2/+ l)2zz + 1 ' (2/ + 1)2" + 3 * (2/4-l)2« + 5^‘“ J*
Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в квадратных скобках:
2 1/(2/+1)27+1__ 2 1 _
i<n < 2n-f-l ’ 1 —1/(2/-i-l)2“2/г4-1 * (2/4- I)2"-1 [(2/ 4-I)2—1]~
— 2 1 р 1 А
~2п4-1 ' (2/4-1)2'’-1-4/(/4-1) ’ Т’ е’ ,г< 2 (2zz-4- 1) Z (Z-4-1) (2/-f-1)2«-1 " А
412. Вычислить In 2 с точностью до 0,0001.
Л В формуле для определения 1п(/+1) и неравенстве дтя оценки Rn полагаем t — 1:
1п2 =
1 , 1 ,_L
З-З3^ 5-ЗзП" 7-37
D ______
“ 4(2/г+ 1)32”-1е
Путем подбора определим п так, чтобы выполнялось неравенство Rn < 6,0001. Если п = 2, то R2 < 1/(4-5-33); R2 < 1/540; если п~3, то R3 < 1 (4-7-35); < 1/6804; если п = 4, то < 1 (4-9-37); Т?4 < 1/10000.
Итак, п = 4 и для вычисления In 2 получаем приближенное равенство
Суммируя эти четыре слагаемых, получим
In 2 0,66667 + 0,02469 + 0,00165 + 0,00013 = 0,69314 0,6931. Д
413. Вычислить In 5 с точностью до 0,0001<
/\ Полагаем / = 4. Тогда
In 5 = 2 In 2 + 2 f -
3-93^
1 , 5-95-т
D _______
л 40(2n+l)92i-i*
94
Если п=\, то /?1 < 1(40-3-9); 2?х< 1/1080; если п = 2, то Я2 < < 1/(40-5-S3); /?2 < 1/10000. Значит, достаточно взять два члена ряда. Следовательно,
In 5 2 In 2 J-2 ~ 1,38628 + 0,22222 + 0,00090= 1,60940. Д
414. Доказать справедливость тождества л/4 = arctg (1/2) + + arctg (1/3) и вычислить л с точностью до 0,001.
Л Полагая в равенстве . х4-у , , ,
arctg -—— — arcigx-{-arctg у 1 ху г/= 1/3, получаем
arctg 1 = arctg-^~+arctg, или л = 4 [ arctg -P + arctg .
2 о \ 2 о /
Воспользовавшись разложением arctg х в ряд, имеем
. Г / 1 1 । 1 UP 1 _j_ 1 1 । М
Я Ц 2 3-23'5-25 "'у-Цз З-З3 1 5-35 7-3’+“JJ'
Выполняя вычисления, находим л = 3,1416.
Для вычисления числа л можно было воспользоваться рядами, которые сходятся быстрее, чем только что приведенные. А
Вычислить:
415. е с точностью до 0,00001.
416. 1/Уе с точностью до 0,00001.
417. sin 9° с точностью до 0,0001.
418. ch 0,3 с точностью до 0,0001.
419. ^1,06 с точностью до 0,0001.
420. К27 с точностью до 0,001.
421. In 0,98 с точностью до 0,0001.
422. In 1,1 с точностью до 0,0001.
423. 1пЗ с точностью до 0,0001.
424. In 10 с точностью до 0,0001.
425. Найти наименьшее положительное значение х, удовлетворяющее тригонометрическому уравнению 2 sin %—cosx=0.
426. Вычислить л с точностью до 0,001, полагая х= 1/К 3 в разложении arctg х.
§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ПРЕДЕЛОВ И ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
лп-7 и ° г 2ех — 2 — 2х—х2
427. Наити lim ------:.
х_>0 x—smx
Д Заменив ех и sin х их разложениями в степенные ряды, получим
95
428. Найти lim s-^~arctg *. л^О #
Л Используя разложения sin х и arctgx в степенные ряды, имеем
X3 , X5 Д-— Х'Э I
,. sinx—arctgx Х~ ЗГ+ТГ— Х~< 3
lim------5----= hm -----------------=-------------=
1/2
429. Вычислить § ^—^-^dx с точностью до 0,0001. о
Л Заменив в подынтегральном выражении cos х его разложением в степенной ряд, получим
□_______L_+_2__
21-2 4!-З-23 ' 6!•5-25
хО,25 — 0,0017 = 0,2483. Д
о,1
430. Вычислить У МН-х) с точностыо до 0,001. о
А
0,1 0,1 у — у2 1 уЗ , у4 I
е 1п(1+х)^_ е 2^з 4
J X ~~ J X
о о
Jx =
од
о
=0,1 —I. 0,01+ 4-0,001—...«0,098. Д 4*9
431. Вычислить \)e~xZdx с точностью до 0,001. о
о о
_Г X3 . X5 X7 X9 X11 . 11
— К 3"+1Г5—6^7+24^9 120.11'1'”' Jo ~
« 1—0,3333 + 0,1000— 0,0238 4-0,0046 — 0,0008-Ь... =0,747. Д
432. Найти lim £~arctg х.
X3
96
433. Найти lim ~—с-°-_х. х-+о ex — l—x 0,2
434. Вычислить J ^^-dx с точностью до 0,0001. о 0,1
р ех_ 1
435. Вычислить \ —-—dx с точностью до 0,001. о 0,5
436. Вычислить х In (1 +х2) dx с точностью до 0,001.
о
§ 7. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ
ЧЛЕНАМИ
1. Комплексные числа. Комплексными
числами называются числа вида
х-4-Ц/, где х и у—действительные числа, i—мнимая единица, определяемая равенством t2 =—1. Действительные числа х и у называются соответственно
действительной и мнимой частями комплексного числа z. Для них вводятся обозначения: x = Rez; у= Im z.
Геометрически каждое комплексное число z = x-[-iy изображается точкой М (х; у) координатной плоскости хОу (рис. 26). В этом случае плоскость хОу называют комплексной числовой плоскостью, или плоскостью комплексного переменного z.
Полярные координаты г и ср точки М, являющейся изображением комплексного числа z, называются модулем и аргументом комплексного числа z; для них вводятся обозначения: т — | z |,<p = Arg z.
Так как каждой точке плоскости соответствует
бесчисленное множество
значений полярного угла, отличающихся друг от друга на 2/гл (k—целое положительное или отрицательное число), то Argz—бесконечнозначная функция z.
То из значений полярного угла (р, которое удовлетворяет неравенству — л<ф^л, называют главным значением аргумента z и обозначают argz.
В дальнейшем обозначение ф сохраним только для главного значения
аргумента z, т. е. положим ф = а^г, в силу чего для всех остальных значений аргумента z получим равенство
Arg z = arg z Д- 2k л = ф 4- 2kn.
Соотношения между модулем и аргументом комплексного числа z и его действительной и мнимой частями устанавливаются формулами
Х=ГСО8ф; Г/ = Г81Пфо
Отсюда
r=|z| = Vx2 + (/2;
cos qp = x/| z \ = x!Vx24-(/2; sin <p =y/\ г\=у/Ух2-)-г/2.
Аргумент z можно определить также по формуле
arg z = arctg (у/х) + С,
где С = 0 при х > 0, С = -|-л при х < 0, у > 0; С — — л при х < 0, у < 0.
Заменяя х и у в записи комплексного числа z = x-\-iy их выражениями через г и ф, получаем так называемую тригонометрическую форму комплексного числа:
z = r (cos ф + Z sin ф).
4 № 1814
97
Комплексные числа 2'1 = Xi + ir/1 и z2 = x2 + n/2 считаются равными тогда и только тогда, когда у них равны по отдельности действительные и мнимые части:
Zi = z2, если х! = х2, У1 = У2-
Для чисел, заданных в тригонометрической форме, равенство имеет место, если модули этих чисел равны, а аргументы отличаются на целое кратное 2л:
21 = 2-2, если |zi| = |z2| и ArgZi = Arg ?2 + 2&л.
Два комплексных числа z = x~iy и z = x — iy с равными действительными и противоположными мнимыми частями называются сопряженными. Для сопря-
женных комплексных чисел выполняются соотношения
|zi| = |z2|; argz1 = — argz2
(последнему равенству можно придать вид Arg Zx + Arg z2 = 2£л).
Действия над комплексными числами определяются следующими правилами.
Сложение. Если Zi — Xi-^-iyt, z2 = x2-|-iy2, то
21 + 22 = (xi + Х2) + * (#1 + #2)»
Сложение комплексных чисел подчиняется переместительному и сочетательному законам:
21 -j- z2 = z2 -J- Zf, (zi -J- z2) -j- z3 = Zi + (z2 + z3) = zi + z2 + z3.
В ы ч и т а н и е. Если Zi = х± + iy±, z2 = х2 + iyz, то
21 — 22 = (Х — Х2) + i (уг — у2).
Для геометрического пояснения сложения и вычитания комплексных чисел полезно изображать их не точками на плоскости z, а векторами: число z = =.x-\-iy изображается вектором ОМ, имеющим начало в точке О («нулевой» точке плоскости — начале координат) и конец в точке М (х; у). Тогда сложение и вычитание комплексных чисел выполняется по правилу сложения и вычитания векторов (рис. 27).
Такое геометрическое истолкование операций сложения и вычитания векторов позволяет легко установить теоремы о модуле суммы и разности двух и сумме нескольких комплексных чисел, выражаемые неравенствами:
I I 21 I — | 22 I I I Zi ± Z2 I I Zi | +1 Z2 I, | 21 + 22-р . . . 4-Z& I I Zi I + I 22 I + . . . + I 2£ |.
Кроме того, полезно помнить, что модуль разности двух комплексных чисел Zi и z2 равен расстоянию между точками, являющимися их изображениями на плоскости z: | zx — z2| — d(Zi, z2).
Умножение. Если Zi = x1Jriy1, z2~x2~\-iy2, то
2iZ2 = (xix2 — y±y2) + i (x±y2 + x2r/i).
Таким образом, комплексные числа перемножаются как двучлены, причем i2 заменяется на —1.
Если Zi = ri (cos (pi+f sin фД, z2= r2 (cos (p2-H sin <p2), to
2i22 = Г1Г2 [cos ((Pi + cp2) + i sin ((Pi + cp2)].
Таким образом, модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения—сумме аргументов сомножителей.
98
Умножение комплексных чисел подчиняется переместительному, сочетательному и распределительному (по отношению к сложению) законам:
2i22 = (^122)23 = z1(z2z3) = z1z2z3; + +
Деление. Для нахождения частного двух комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, следует делимое и делитель умножить на число, сопряженное с делителем:
2 ,г __Х1 + Ф1 _ (*1 + »У1) (х2 — iy2) __ (х,х2 4-у,уг) +1 (х,У1 — Л-j,г/,) _
Х' 2 x2-\-iy> (x2-'riy2) (x2—iy2) xl+yj
=WAlhl/г . х?У1 — Х;у2
Если 21 и г2 заданы в тригонометрической форме, то
21: г2=У- [cos (ф! — ф2) + i sin (<рх—<р2)].
г2
Таким образом, модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Возведение в степень. Если z=x-[-iy, то по формуле бинома Ньютона имеем
г" = (% + iy)“ = х" + fix" -1. «/+•••+ (+)”
(п —целое положительное число); в полученном выражении надо заменить степени i их значениями:
/2 = —1; i3 = —г; i4=l; i5 = i, ...
и, в общем случае,
/4/г=1; f4« + l = Z; f4^ + 2 = __l; =
Если г — г (cos фЦ- i sin ф), то zn = rn (cos пф i sin пф) (здесь п может быть как целым положительным, так и целым отрицательным числом).
В частности,
(cos ф + i sin ф)" =cos пф-|-1 sin /ир
(формула Муавра).
Извлечение корня. Если п — целое положительное число, г — = г (cos фЦ-t sin ф), то корень /г-й степени из комплексного числа z имеет п различных значений, которые находятся по формуле
{/7= У7 ( cos Ф±а^+1 sin ,
V V \ п ' П 1 где 6 = 0, 1, 2, ..., п — 1.
437. Найти (z^/Zg, если z1 = 3 + 5i, г2 = 2 + 3г, z3=l+2i.
Д 2122 = (3 + 5») (2 + 3i) = 64-9i+10i—15 = —94-19i,
zrz2 —9+ 19г _ (—9+ 190 (l—2i) _
z3 - 1+21 (1 + 2i) (1—20
—9+18i+ 19i' + 38 _29 37.
~~ 1+4 ~5 +1' А
438. Представить в тригонометрической форме комплексное число z = 2 + 5i.
4*
99
Д Находим модуль комплексного числа: г = У 4 + 25 = 1^29 5,385.
Находим главное значение аргумента: tg ф = 5/2 = 2,5, ф = 68°12'. Следовательно, гъ 5,385 (cos 68°12' + i sin 68°12'). X
439. Представить в тригонометрической форме комплексное число ? = 2КЗ—2L
Д Находим г = 12 + 4 = 4, sin ф =—2/4 = —1/2; cos ф=2}^ 3/4 = )^ 3/2;
ф = — л/6, т. е.
2 = 4 [cos (— л/6) + i sin (— л/6)]. А
440. Представить в тригонометрической форме комплексные числа 1, с —1, —Л
Д 1 = 14-0-i= 1-(cos 0-{-t sin 0), i = 04- 1 • i — 1 • [cos (л/2) 4-i sin (л/2)], — 1 = —1+0- i— 1 -(cos л + / sin л), — 4 = 0—1-4 = l-[cos (—л/2)4- 4 sin (—л/2)]. Д
441. Представить числа zt = 1 +i, z2 = |/*3 + f, ?3 = 1 + i |/3 в тригонометрической форме, а затем найти комплексное число Zi/(Z2Z3).
Л Находим
Г1 = |Z11 — Т-!4-1 = V~2, tgcpj^l, <p1=argz1 = n/4,
Zt = У 2 [cos (л/4)+ / sin (л/4)] ;
/"2 = 1^2 |=ХКЗ+ 1 = 2, 1£ф2 = 1/К 3, ф2 = arg z2 = л/6, z2 = 2 [cos (л/6) 4~ i sin (л/6)];
г3 = 1 ?з 1 = К34-1 =2, tg ф3 = уг 3, ф3 = arg z3 = л/3, z3 = 2 [cos (л/3) 4- i sin (л/3)].
Следовательно,
z2z3 = 2-2 [cos (л/64- л/3)+ / sin (л/6+ л/3)] = 4 [cos (л/2) + / sin (л/2)] и
Zi У 2 cos (л/4) 4- / sin (л/4)
z2z3 ~~ 4 cos (л/2) 4 sin (л/2)
У~2 1
=[cos (— л/4) + i sin (— л/4)] = (1 — /). Д
442. Найти все значения ^8 + г.
Д Запишем комплексное число z=p/8 + / в тригонометрической форме. Имеем г = | г |= 1^64+1 = 1^65 8,062, ф = arg z = arctg (1/8) = 7°6', т. е.
г к 8,062 (cos 7°6' 4- i sin 7°6'). Следовательно,
3/О-7-. з/FnTo ( 7°6' + 360% . . . 7°6'+360%\
р/ 84-4 у 8,062- (cos------Ь------plsm-----
к 2,0052 [cos (2°22'+ 120%) + / sin (2°22' + 120%)].
Если 6 = 0, то Wq « 2,0052 (cos 2°22'4-4 sin 2°22')‘,
» k = l, » 2,0052 (cos 122°22'4- i sin 122°22');
» k = 2t » ~ 2,0052 (cos 242с22' -j- 4 sin 242°22').
Следовательно, wQ » 2,0034 + 0,0828/; & — 1,0734+ 1,7120/: «
0,9300— 1,7764/. Д
443. Решить двучленное уравнение ^54 32/ = 0.
100
л Перепишем уравнение в виде ыъ~—32/. Число —32/ представим в тригонометрической форме:
до5 = 32 [cos (—90°) 4- / sin (—90°)], или w = 2 р/ cos (—90°) -]-/ sin (—90°),
г —90° + 360% . . . —90°+ 360% 1
w = 2 cos------£-------H1 sm------------- =
L a о j
= 2 [cos (—18°+ 72%) + / sin (—18°+ 72%)].
Если 6 = 0, то [0O =2 [cos (—18°) + /sin (—18°)] = 1,9022—0,6180/(Л).
« 6 = 1, « c^i=2 (cos 54° +Z sin 54°) = 1,1756+ 1,6180/(B).
« & = 2, « tt>2 = 2 (cos 126° +Z sin 126°) = —1,1756+1,6180/(C).
» 6 = 3, « [03 = 2 (cos 198°+/sin 198°) = —1,9022 — 0,6180/ (D).
« £ = 4, « ю4 = 2 (cos 270° +/sin 270°) = — 2/(£).
Корням двучленного уравнения соответствуют вершины правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса 7? = 2 с центром в начале координат (рис. 28).
Вообще корням двучленного уравнения wn~a, где а—комплексное число,
соответствуют вершины правильного п-угольника, вписанного в окружность
с центром в начале координат и радиусом, равным у/\ а |. А
444. Пользуясь формулой Муа-вра, выразить cos5cp и sin5q) через cos ср и sin ср.
А Левую часть равенства (cos ф + + i sin ф)5 = cos 5ф + i sin 5ф преобразуем по формуле бинома Ньютона:
cos5 ф + 5/ cos4 ф sin ф—10 cos3 ф sin2 ф —
— 10/ cos2 ф sin3 ф + 5 cos ф sin4 ф +
+ i sin5 ф = cos 5ф + / sin 5ф.
Остается приравнять действительные и мнимые части равенства: cos 5ф = cos5 ф — 10 cos3 ф sin2 ф + 5 cos ф sin4 ф, sin 5ф = 5 cos4 ф sin ф —10 cos2 ф sin3 ф + sin5 ф. Д
445. Дано комплексное число г = 2 — 2/. Найти Re г, Imz, |z|, argz.
446. Представить в тригонометрической форме комплексное число г = —12 + 5/.
447. Вычислить по формуле Муавра выражение (cos 2°+f sin 2°)45. / т/"з । i \12
448. Вычислить по формуле Муавра ( ~~2—) •
449. Представить в тригонометрической форме комплексное число z = 1 + cos 20° + i sin 20°.
450. Вычислить выражение (2 + 3/)3.
ЛС1 тэ (1—2z)(2 —3/)
451. Вычислить выражение ——
1 (3—4z) (4 — 5i)
452. Вычислить выражение 1/(3 — 2/)2.
453. Представить в тригонометрической форме комплексное число 5—31.
101
454. Представить в тригонометрической форме комплексное число —1 +1.
n (cos 77°4- i sin 77°) (cos 23° + i sin 23°)
455. Вычислить выражение ---------------!. . +--------------- •
COS ОЭ —f-1 sin OO
лгс ТЭ (1 + 0 (—V 3 + 0
456. Вычислить выражение •) (}/'~з ’ пРедааРительЕ° представив в тригонометрической форме множители в числителе и знаменателе.
457. Найти все значения i.
458. Решить двучленное уравнение +— 4 К 2 (1 + i) = 0.
459. Выразить cos4cp и sin 4<р через cos ср и sin ср.
460. Показать, что расстояние между точками и г2 равно |г2 —2J.
ДИмеем гх = л'х4-г?/!, г, = ^ + (1/2, г2—г1= (г, — л-J + '(уг — (/i), откуда I г2 — гх | = У (х2—Х1)2 + ((/2—Л)2,
т. е. | г2 — ?! | равно расстоянию между данными точками. Д
461. Какая линия описывается точкой г, удовлетворяющей уравнению |г — c\ = R, где с — постоянное комплексное число, a R >0?
462. Каков геометрический смысл неравенств: 1) |г—c|<R; 2) |z—c|>R?
463. Каков геометрический смысл неравенств: 1) Re z > 0; 2) Im г < О?
2. Ряды с комплексными членами. Рассмотрим последовательность комплексных чисел ?!, г2, г3, ..., где zn = xri + iyn (п = 1, 2, 3, ...). Постоянное число с = а-\-Ы называется пределом последовательности zlf ?2, ?3, ..., если для всякого сколь угодно малого числа 8 > 0 найдется такой номер N, что все значения zn с номерами п > N удовлетворяют неравенству \zn — с| < 8. В этом случае пишут lim zn = c.
r>-> оо
Необходимое и достаточное условие существования предела последовательности комплексных чисел состоит в следующем: число c = a-{-bi является пределом последовательности комплексных чисел x1-1riyl, x^iy^, x3-\-iy3, ... тогда и только тогда, когда lim хп = а, lim ун = Ь.
Ряд
^'1 + ^2 +^3 + • • • > (1)
членами которого являются комплексные числа, называется сходящимся, если п-я частичная сумма ряда Sn при п —> оо стремится к определенному конечному пределу. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.
Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды с действительными членами
Re + Re г2>2 +Re &*з+... (2)
и
Im ^'i+Im ^+Im сс»з+... . (3)
Если суммой ряда (2) является число S', а суммой ряда (3) — число S", то суммой ряда (1) служит комплексное число S = S' + iS''.
102
Если ряд
^1 + ^2 + ^з+--- (где wn = u4 + ii)
сходится, то lim wn = 0 /т. е. lim ип — 0, lim суг = О\.
ZZ->JC \ /2—>00 '
Если сходится ряд
I ^'1 1 + 1 ^’2 | + I ^’3 | + • • • + I ^/2 I + • • •» то сходится и ряд
^’1 + ^2-Г^з+--.+^+... .
В этом случае последний ряд называется абсолютно сходящимся.
Пусть дан степенной ряд
^o + ^i (2 2о) + а2 (z— ^о)2 + • • • 4~^z2-i (z — го+ + • • • »
где Zq, aQ, ад, <ь, • • • —комплексные числа, причем коэффициенты ряда отличны от нуля, a z—комплексное переменное.
Этот ряд сходится в круге [z—z0 | < 7?, где R — lim I ап[ап + 11, и расхо-П->Х I I
дится вне указанного круга, т. е. при значениях г, удовлетворяющих неравенству | г — z01 > R.
464. Исследовать сходимость ряда
С1 +0 + (у++’) + (т++’)+- • •
Л Ряды
1+-j+-4’+* • • + 2«~1 + ’ * * И 1+'з+‘9+-,-+ ЗП-1+---
сходятся, так как они составлены из членов ческих прогрессий. Следовательно, сходится членами.
Найдем суммы этих прогрессий:
1
бесконечно убывающих геометри-и заданный ряд с комплексными
S1 1 —1/2
2’ 5 1 —1/3 — 2 ’
3
Следовательно, сумма рассматриваемого ряда есть комплексное число S = 2 + (3,2) i. Д
465. Исследовать сходимость ряда
(1+0,11) + (1 + 0,01 ij + (l+0,00hj + . .. + (7 ++) 4
Л Рассмотрим ряды
1+4+4+---+4+--- и 0,1+0,01+0,001+...+(0,1)«+... . Z О Н
Первый из них расходится, следовательно, расходится и данный ряд с комплексными членами. А
466. Исследовать сходимость ряда
/\ Ряд расходится, так как общий его член wn
п + 1 .
—1 не
fi-^-2
стре-
п
п + 1
мится к нулю (в этом рекомендуем убедиться самостоятельно). А
103
467. Показать, что ряд
1 + ; . Л+Д2 , /1+Д3 .
2+^2j+^2;+--
+(+)+••
сходится абсолютно.
Д Так как 1 + i — j/" 2 [cos (л/4) + i sin (л/4)], то
1 + i \ п_Feos (л/4) -]- * sin (л/4)
~j l /Т
Следовательно, | сг/п | = l/2n/2. Составим ряд из модулей:
—1 L-J-J !_____L J------!—L . .
21/ 2 ~ 2 т23'2 ' ' 2л2'
Этот ряд, члены которого образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, сходится; следовательно, заданный ряд с комплексными членами сходится абсолютно. А
468. Найти область сходимости ряда (г-0’4- • • (*-')+ • •
Л Имеем /^3+АП п /Кз+А"+1 ап _ 3 " \ 3 ) ’ 0,1+1 < 3 ) ’ a„+1 /з + i’
I а» I 3 __ 3 3 „Д
hn+il Ю+И /'з+i 2’ 2’
Областью сходимости ряда является круг |z—< 3/2. А
469. Показать, что ряд
(4+ 0+(i—4 0+(i-4 *)+•••+(4~ 4)+• • •
сходится и найти его сумму.
470. Исследовать сходимость ряда
/1 , 1 Д , / 1 , 1 Л , / 1 . 1 Л , , / 1 , i \ ,
471. Исследовать сходимость ряда с общим членом .
472. Показать, что ряд
1+^ и+о+4 +1’)2+• • • +4<1+1‘)"~х+---
сходится абсолютно.
473. Найти область сходимости ряда
г2 , z3 Л^З!
п!
474. Найти область сходимости ряда
(г —1—0 + 2! (г—1 —02+ ... +п! (г —1—Z)«+ ... .
104
3. Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного. Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного z определяются равенствами, верными для любого z:
Z Z1 2 Z3
z z3 . z3
sinz— ТУ-
, z- , г4 гя .
C°S2—1 2!-Г4, 6, + ... .
Эти ряды сходятся во всей комплексной плоскости.
Между указанными функциями существуют следующие соотношения:
ezi = cos z-\-i sin z, (1)
e~zi = cos z — i sin z, (2)
pzi An-zi
cosz=—у------’ (3)
ezi—e~zl
sin2 =-- ----f (4)
называемые формулами Эйлера.
С помощью формулы (1) комплексное число, заданное в тригонометрической форме z = r (cos ср~Н sin ф), может быть представлено в показательной форме г = геШ.
475. Представить в тригонометрической и показательной формах комплексное число г = 3 + гКЗ.
Л Находим г = /*9+3 — 2 У 3, ф = arctg (/*3/3) = л/6. Следовательно, тригонометрическая форма данного числа имеет вид z—2 /* 3 [cos (л/6)+isin (л/6)], а показательная форма — вид с = 2/* Зеш/6. Д
476. Представить в показательной форме число г = рЛ2— i К2.
Л Имеем г=У 2 + 2 = 2, — У 2//* 2 = —1, ф = — л/4, т. е.
г = 2е-^'/4. Д
477. Записать в алгебраической форме
Л Воспользуемся формулой (1):
епй 2 __ cos (л/2) + i Sin (л/2) = i. Д
478. С помощью формулы Эйлера доказать, что cos3 х = ~ cos Зх + 4- cos х.
4 1 4
Л Так как cos х = (<+ + <?“л7)/2, то
ч е3л"‘ + ЗеХ1‘ + Зе ~ + е -3 cos3 X =-----------------51--------------
1 ; 3
~Т 2 • 4*
2
4-cos3x+~ cos х. А
479. Представить в показательной форме число г = 1^3-у1.
480. Представить в показательной форме число —i.
481. Записать в алгебраической форме eni.
105
1 5 5
482. Показать, что cos5x = jgcos5x + y^cos3x + -g-cosx.
483. Выразить sin3x линейно через sinx и sin3x.
484. С помощью формулы Эйлера показать, что il имеет бесчисленное множество значений, которые все являются действительными.
§ 8. РЯД ФУРЬЕ
Рядом Фурье периодической функции / (х) с периодом 2л, определенной на сегменте [—л, л], называется ряд
X
(ат cos тх-±Ьп sin тх), (1)
т = 1
где
л
0^=-^ J f (х) cos тхdx (m = 0, 1, 2,.. .)f -л
л
J f (х) sin тх dx (т =1,2, ...).
-л
Если ряд (1) сходится, то его сумма S (х) есть периодическая функция с периодом 2л, т. е. S (х+2л) =5 (х).
Теорема Дирихле. Пусть функция f (х) на сегменте [— л, л] имеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечное числа точек разрыва I рода (т. е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле'). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента [— л, л] и сумма S (х) этого ряда:
1) S(x) = /(x) во всех точках непрерывности функции f (х), лежащих внутри сегмента [—л, л];
2) S (х0) = [f (х0—0)4~f (хо4-О)], где х0—точка разрыва I рода функции Дх);
3) S(x)=-^-[/(—л + О)-}-/(л—0)] на концах промежутка, т.е. прих~±п.
Если функция f (х) задана на сегменте [—1,1], где Z—произвольное число, то при выполнении на этом сегменте условий Дирихле указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье
X
тлх , . тпх
cos —---\-bm sin —
где
. . nuix , , 1 С г / ч • т^х;
(х) cos -j— dx, bm = ~ \ f (х) sin — dx.
В случае, когда f (х) — четная функция, ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т. е.
х
f / ч ао I m:v-c
+ l^^cos —,
т = 1
106
где
l
2 С г / ч т^х J а^ = ~ \ t(x)cos—dx.
О
В случае, когда f (х) — нечетная функция, ее ряд Фурье содержит только синусы, т. е.
2^ bm sin“7“’ т -1
где
I
t 2 С f . /илх , 6“ = TJ /Wsin — dx.
О
Если функция f (х) задана на сегменте [О, Z], то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ее на сегменте [— Z, 0] произвольным способом, а затем разложить в ряд Ф\рье, считая ее заданной на сегменте [— Z, I]. Наиболее целесообразно функцию доопределить так, чтобы ее значения в точках сегмента [— Z, 0] находились из условия f (x)~f (— х) или
f (х) = — f (— х). В первом случае функция f (х) на сегменте [— Z, /] будет четной, а во втором—нечетной. При этом коэффициенты разложения такой функции (ат в первом случае и Ьт — во втором) можно определить по вышеприведенным формулам для коэффициентов четных и. нечетных функций.
485. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (х) с периодом 2л, заданную в интервале]—л, л[уравнением/ (х)=л+х.
А Г рафиком этой функции в интервале ]— л, л[ является отрезок, соединяющий точки (—л; 0) и (л; 2л). На рис. 29 изображен график функции z/ = S(x), где S (х)—сумма ряда Фурье функции f(x). Эта сумма является периодической функцией с периодом 2л и совпадает с функцией f (х) на сегменте [—л, л].
Определяем коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим
•ГЦ JT «ГТ «ГС
Цо = — \ f (x)dx = — \ (л-фх) dx= \ cfx-ф — \ xdx. ли Л t) tJ Л tJ
-Л -л -л -л
Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким образом,
а0 = dx = 2л. -л
107
Далее, находим коэффициенты ат. Имеем
л л
ат~— \ f (х) cos mxdx = ~ \ (л+х) cos rnxdx — л и Л J
-л -л
л л
С я । 1 с = \ cos тх dx-}-~ \ х cos тх dx. ""Л “~Л
Нетрудно видеть, что оба интеграла равны нулю (подынтегральная функция второго интеграла является нечетной как произведение четной функции на нечетную). Итак, ат=0, т. е. ах ~ а2 = а3= ... = 0.
Найдем теперь коэффициенты Ьт:
л л
1 С 1 с
Ьт — — \ f (х) sinmxdx = — \ (лф-х) sin тх dx — — Л — л
л л
sin mxt/x + -i- § xsin mxdx.
-л -л
Первый интеграл равен нулю. Подынтегральная функция второго интеграла— четная как произведение двух нечетных функций. Таким образом, л
2 С
Ьт= — \ х sin тх dx. о
Интегрируя по частям, получим и — х, dv = sinmx dx, du — dx, v = = — (1/m) cos тх, t. e.
л
/ 2* |Л I 2 С , 2 I 2 • Iя
bm =-----cos mx\ -4-\ cos mxdx —------- cos mn -4-rsinmx =
ш о msi J m sim2 о
о
2 2
=-----(— iw=-±(_iw + i.
m m
Следовательно, разложение функции f (x) в ряд Фурье имеет вид
f(x) = n+2 ---sinmx =
m = 1
, _ / sin 2x , sin 3x sin 4x , \ A
= л + 2 [ sinx------1 з------4 H-- J- A
486. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с периодом 2, заданную на сегменте [—1,1] уравнением /(х) = х3 (рис. 30).
Д Рассматриваемая функция является четной. Ее график — дуга параболы, заключенная между точками (—1; 1) и (1; 1). Так как /=1, то
1 1
а0 = ~^ f (х) dx = 2 J x2dx=~, о о
Z 1
2 С Г / Ч тПХ J О С 2 7
ат = — \ f (х) cos— dx = 2 j хл cos тлх dx. о о
108
Здесь нужно дважды проинтегрировать по частям:
1) ц = х2 *, dv = cos тпх dx, du = 2xdx, v=—sinmnx; am =— sin mnx — 7 nm mn |o
1 1
4 f . , 4 C . ,
----\ x sin тих dx = — — \ x sin mnx dx', mnJ mn J
о о
1 4x
2) u = x, du — sin mnxdx, du=dx, u =--------cos mnx; am = —
7 mn m2n2
i
I1 4 Г , 4 ,
X cos mnx-----5—9 \ cos mnx dx — —9
о m2n2 J m2n2
о
Так как рассматриваемая функция — четная, то Ьт = 0. Следовательно,
1 4
+ X -^С08/Ш1Х =
m = 1
1 4 I cos 2пх . cos Зпх cos 4пх . \ .
= 3~НЦС03ЯХ------2^~+~3^----------+ А
487. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, задан-ную на полупериоде [0, 2] уравнением /(х) = х—х2/2.
Л Функция может быть разложена в ряд Фурье бесчисленным количеством способов. Рассмотрим два наиболее важных варианта разложения.
1) Доопределим функцию f (х) на сегменте [—2, 0] четным образом (рис. 31). Имеем 1 = 2,
2
ЧН-’НЖН.
2
С / 1 «Л тпх ,
о.т = (X — у х2 I cos -у- dx.
о 4 * * 7
Интегрируем по частям.
1 о , тпх , . , 2 тпх
и~х—х2, du = cos —т-- dx, du = (l~x)dxt v = —sin-;
2 2 mn 2
2
2 / 1 2\ . mnx I2 2 C mnx ,
Jsin — —=
2
2 C zi x • j
=----\ (1 — X) Sin —7— dx.
mn 2 2
о
109
Еще раз интегрируем по частям:
, , . тлх , 2 тлх
п=1—х, av = sin—z— dx, du =— dx, c =---cos———;
2 тл 2
4 mnx
(1 —*)COS ——-m m2 л2 } 2
4 4
cos тл----5—?
т~л~ т2л/
. 4 С тлх ,
H—\ cos “5“ dx^
1 т2л2 j 2 о
(-!)“]> bm = Q.
Итак,
1 + (—1)т тлх
COST"
m2
т- 1
1 8 ( 1 ,1 о , 1
'v 22СО5Лх+^СО5 2ях+^СО5
Рис. 32
2) Доопределим функцию f (x) на сегменте [—2,0] нечетным образом рис. 32):
2
, С / 1 Л . тлх ,
b™ = \ [x-^x-\sm — dx;
о
1 о . тлх , , , 2 тлх
и = х—- х2, dy = sin—т— dx, du —(л—x)dx,v~-cos—— ;
2 2 7 тл 2
, 2 / 1 Л тлх 2 2 С . тих ,
Ьт =---— х—х2 cos —п -4--------\ (1 — х) cos —х— dx=-
т тл \ 2 ) 2 |о 1 тл J 4 * * 7 2
о
2
2 С/1 ч тях
=---- I (1—х) cos —dx\
тл J v 7 2
о
. , тлх , , 2 тлх
и=1—х, dv = cos^—x—dx, du = — dx, v =-sin—— ;
2 тл 2
. 4 Z1 . тлх
bm=——2 (1— X) sin —— т2л2 v 7 2
8 тлх 2 8 ,8
77-7- cos • =--т-r cos тл +•—-7-77 =
Лт* 2 j о т3л° 1 т3л3
L_ [l-(-l)»]; ara = o (m = o, 1, 2, ...).
Итак,
1—(—1)^ m3
. тлх
Sln—2~ —
m= 1
110
488. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2/ (рис. 33), заданную на сегменте [—/, I] следующим образом:
( 0 при — I 'С х^ О,
= ] х при 0^х<//2,
V Z/2 при
Л Находим
I 0 1'2 I
а0=у Cf(x)d*+y f(x)dx4-y f(x)dx~
1/2 l
1 Г , 1 С 1 л _ 1 *2 1?/2 1 1 lz _ 1 । 1 -3 /• — z j xdx+ z j 2 dx z • 2 |0 + 2 *|,/2 8 + 4 8 Z'
0 Z/2
I 0
1 C £ / 4 J 1 C £ / \ m7tX J I
= J f W COS—dx = J \ /WCOS—j—dx-H -I -I
1/2 I
. 1 p . max , , 1 P n . mnx ,
-|- — \ / (x) cos —-— dx-py- \ f (x) cos —-— dx=a
I l Ь *j Ь
0 Z/2
К первому интегралу применяем интегрирование по частям:
, тлх , , , Z тлх
и = х, dy = cos—-—dx; du = ax) v =-sin——,•
l тл I
откуда
a rr,
. mnx p/2 sin——
l о
1/2
1 p . mnx ---- \ sin—-— mn J I
о
nuvc \l
dx+'T^— sin —.— .
2mn I |//2
X
I
mn
Определяем коэффициенты bm:
1/2 I
, Ip. mnx , , 1 p . mnx , \ xsin ——dxJu-2 \ sm~/—dx'
0 Z/2
111
К первому интегралу применяем интегрирование по частям: mnx , I тпх
J - COS----—.
u==x, dv = sin
I
dx. du = dx, v — mn
Имеем
bm mn
//2
С mnx . I
\ COS -:-dx--~--
J I 2mn
о
mn . I . mnx И/2 I f mn
~sin —-— — -7;- cos тл—cos —n—
2 1 m2n2 I |o 2mn \ 2
I t
=—o-r sin-—-------(—1)^.
т2л2 2 2mn 4 '
1 и _ 1 i 1 2 + ^
> 01 л2 ’ 1 Л2+ 2л 2л2
I . __ I
_ Z I I 3л—2
a*~ 9л2’ °3~ 9л2 + 6л ~Z‘ 18л2 ‘
= ^ = -^’
_L-_L 25л2 ‘ 10л
x mnx z/2
— cos —-— l о
I
------cos 2тл
Если
m= 1,
то
»
»
m = 2,
т = 3,
m = 4,
m = 5,
Следовательно,
»
»
»
»
«5 =
25л2
f(x) = Z
. / 1 nx , 24-л .
1 2лх 1 . 2лх \
cos —----— sin ——
2л2 /4л I J
3nx . —2-4-Зл . Зпх \ , )+
mnx U cos —-—
l |Z/2
2 5 л
50л2
Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с периодом Т, 489. 490. 491. 492. 493.
заданную на указанном сегменте.
f (х) = х; Т = 2л /(•<) = И; Т = 2;
f(x) — x3', Т = 2л;
[-1, 1].
T = 2л; —л, л]. ™ ~ "—л, л].
f (х) = л—2х; Т = 2л; [0, л]. Продолжить /(х) на сегмент [—л, 0]: 1) четным образом; 2) нечетным образом.
Т = 2л.
h при
Т = 2л.
* • ' ' | Зх при
496. f(x) = x2} Т = 2л; [0, л]. Продолжить f (х) на сегмент [—л, 0] нечетным образом.
497. /(х) = / при “п ' ' ' ( 0 при 0
498. f (х) = cos 2х; Т = 2л; [0, л]. Разложить в ряд по синусам.
Т = 2л.
112
499. f(x) = x; T=2; [О, 1]. Разложить в ряд по синусам.
500. f(x) = -Lx т = 4. Разложить в ряд по ко-
' ' 7 (2 — х при 1 < х^2;
синусам.
§ 9. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Если функция f (%) удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном (+ 00
т. е. | f (х) | dx
— оо
сходится^, то для нее справедлива интегральная формула Фурье (получаемая предельным переходом из ряда Фурье периодической функции с периодом 2/ при I —> оо):
4-оо 4-оо
f(x)=2_ dz f (и) cos z (и — х) du
О — оо
(в точках разрыва I рода по-прежнему за значение f (х) принимается (1/2) [f (х0— 0) + / (хо + 0)], где х0—-абсцисса точки разрыва).
Интеграл Фурье можно представить в комплексной форме'.
eiz (и-х) du—.2_. J e~iZxdz J eiZuf(u)du.
Для четной функции интеграл Фурье может быть представлен в виде
4- 00 4-оо
f (х) = -^- J cos zxdz J f (и) cos zu du, о о
а для нечетной функции — в виде
4- 00 4-оо
f (х) =~ J sin zx dz f (и) sin zu du, о о
С тремя последними формулами связаны так называемые интегральные преобразования Фурье:
1. Преобразование Фурье общего вида'.
4- со
F (г) =—Д=- f ei2Xf (х) dx (прямое), V 2л J
— 00
4- х
f(x) = —-L=- Г e~lzxF (z) dz (обратное),
У 2л J — со
113
2. Косинус-преобразование Фурье (для четных функций):
__ + 00
fc (г) = j/ —- j f (х) cos zxdx (прямое),
'о
f(x)=j// ~ fc (г) cos zxdz (обратное),
’о
3. Синус-преобразование Фурье (для нечетных функций): ____________________________ + х
/ 2 Г
fs (?) = )z ~ ) f (-) zx dx (прямое),
"о
______________+ х f (х)=________fs (г) sin zxdz (обратное).
co
Синус- и косинус-преобразсвания Фурье могут применяться к функциям, заданным лишь на положительной полуоси Ох, если они абсолютно интегрируемы вдоль этой полхоси и удовлетворяют на любом ее конечном отрезке условиям Дирихле. При этом синус-преобразование продолжает функцию f (х) на отрицательную полхось нечетным образом, а косинус-преобразование — четным.
Примечание. В интегральных формулах Фурье все интегралы вида со
J f (и) du понимаются в смысле главного значения, т. е. — со
501. Найти косинус- и синус-преобразования функции f(x) = e~x Ц>0).
А Имеем
____________+ х fc(z)=j/rj е~11 cos zu du.
b
+ 00
T С -а 1
1ак как \ е а cos zuau = -^—то
J ?“-:-i *
о __
Аналогично получаем
U (г)= jX —
В свою очередь, применив косинус- и синус-преобразования Фурье к функциям fe (г) и fs (г), получим функцию f (х), т. е.
2_ л
со
о
cos ZX
Л+Т
dz = e~x,
z sin zx z2-H
dz = e~x.
114
Отсюда получаем интегралы Лапласа:
С cos zx , л; Г z sin zx , л v .
\ --о "i—f az^-^-e-x, \ dz = -T е~х. А
J z2 +1 2 J г2 +1 2 **
о о
502. Пусть функция f (х) определена равенствами
( 1 при О^у х < а;
f (х) = ] 1/2 при х = а\
V 0 при х > 0.
Найти ее косинус- и синус-преобразованпя (рис. 34).
У,
Рис. 34
Л Находим косинус-преобразование данной функции: л- сс а + со
tc (2) ~ ~ J f (и) cos zu du = j cos zu du -ф j/"~ J 0 • cos zu du=
0 C a
a ___
/~2~ С , п Г 2 sin az
-^szudu^y 0
Найдем теперь синус-преобразование:
/Дг) =
f (и) sin zu du =
co
J/^“ j 0 • sin zu du = a
/2р. , -./2 1 — cos az
-\^inzudu=y ---------
о
Отсюда получаем
2 P sin az .
— \ ----------cos xz dz —
л J z
0
при при
О су х < а\ х — а\
при х > а,
(разрывный множитель Дирихле) и
г ( 1
1 — cos az . , I Л
-----------sin xz dz = 1/2
г I 0
при при при
О С х < а*г х = а\ х > а.
503. Найти преобразование Фурье функции
х+1 1
— %+1 о
при При при при
— 1/2;
И < 1/2;
1/2 х < 1;
1 < 1х[.
115
Л По формуле преобразования Фурье
+ 0О
f(z)=—U- f f{u)e^du, К 2л J
— оо
используя вид функции f (г), находим
-1 -1/2
O-ei~u du(«Ц- 0 eiZu du-У
— оо — 1
1/2 1 + х
1.г'ги</«+ (— «+l)e'z“d«+ O-e‘zudu.
-1 '2 1/2 1
Первый и последний интегралы, очевидно, равны нулю. Обозначим остальные интегралы соответственно через /1, /2 11 и вычислим их:
-1/?
Л = J 0+1) =
-1
= _L 1 г-* - - .2-‘г'~ -г-Лг-И -_= ’ е-^72_|_J_ e-2i/2 _ Ц e-Zi
zi 2 i~z2 1 t2z* 2zi 1 z2 z2
1,2
. Г ;*« Л 1 1 / zi/2 -zt/^x 2sin(z/2)
J Zl |-l/2 Zl Z
-1 2
1
/3= J 1/2
Итак,
1 z2
F (z) =^= Г— e~ J‘72 + — e- г./2_2_ e-zt ^gsin(^/2)
У 2л [ 2zi z2 z2 z
i____Lezil2 1 1ег,/г] =_U Г 2cosz sin(z/2) 2cos(z/2)
2zi z2 J / 2л L г2 z ' z2
504. Найти преобразование Фурье функции г, л J cos (*/2) ПРИ | х | л, / (Л') Q прИ |*| > я.
505. Найти преобразование Фурье функции
f — ех при — 1 х < 0;
j [е~х при O^cx^l; 0 при | х [ > 1.
506. Найти синус- и косинус-преобразования Фурье функции f —1 при —1 1/2,
f (х) = j 0 при —1/2^х < 1/2,
1 при 1/2 ^х^ 1»
ГЛАВА IV
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным', если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:
1) х2уг -]-5ху ~у2— обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;
d2y . dy n . , ,
2) —4хУ~р-~х —обыкновенное дифференциальное уравнение второго
нения
порядка;
3) У'3 + у,'У'" ~х—обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;
4) F (х, у, у', у") = ®—общий вид обыкновенного дифференциального урав-второго порядка;
9 dz . 9 dz ~
5) х2 +у2, = 0—уравнение в частных производных первого порядка.
В этом параграфе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида F (х, у, #') —О или (в разрешенном относительно у' виде) y'=f(x, у).
Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция г/ = ср (х), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у' — = / (х, у) в области D называется функция у=~ ср (х, С), обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству; 2) для любого начального условия //(х0)=^0 такого, что (х0; Уо)£&, существует единственное значение С = Сф, при котором решение у = ^(х, Со) удовлетворяет заданному начальному условию.
Всякое решение у~у(х, Со), получающееся из общего решения г/=ф (х, С) при конкретном значении С = С0, называется частным решением.
Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y'=f (х, у), удовлетворяющее начальному условию у(х0) = г/0, называется задачей Коши.
Построенный на плоскости хОу график всякого решения ^/ = ф(х) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению ^ = ф(х, С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра — произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию у(хо) = Уо, — кривая этого семейства, проходящая через заданную точку мо (х0; Уо).
Если функция f (х, у) непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, то решение дифференциального уравнения у'=f (х, у) при начальном условии у(хо) = Уо существует и единственно, т. е. через точку (х0; у%)
117
проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема Коши).
Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.
Особые решения не получаются из общего решения дифференциального управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе и при С == ± оо).
Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.
Например, общее решение уравнения у'= 1 — У2 записывается в виде
у — sin (хД-С). Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие: у— 1 и у = —1, которые и будут особыми решениями.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида
fl (*) Ф1 (у) dx + fz W <Р2 (у) dy = O
относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций /1 (х), /2 (*), Ф1 (у)> фг (У) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f2 (х) (у) оно приводится к виду
!^Ldx+S^Ldy=0, h (X) <Р1 (у)
Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению
^rdy = c, J h(X) ф! (У)
которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.)
507. Решить уравнение х(у2—tydx-^-ydy^O.
Л Разделив обе части уравнения на у2—4 0, имеем
xdx-!j--~dy =0.
У2 —4
Интегрируя, находим
х2 + 1п|у2 — 4 | = 1п | С |, или у2—4 = Се~л2.
Это общее решение данного дифференциального уравнения.
Пусть теперь у2—4 = 0, т. е. у=±2. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что у=4-2— решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как его можно получить из общего решения при С = 0. А
508. Найти частный интеграл уравнения у' cos х = у/ln у, удовлетворяющий начальному условию у(0)=1.
Л Полагая у' = ||, перепишем данное уравнение в виде
118
Разделяем переменные:
In у , dx .—^-dy —-----.
у COS X
Проинтегрируем обе части уравнения:
Pin//, С dx , ~ 119 , . ( х . л \ , ~
\ —- dy = \-------кС, или In2 у — In tg — -4—- -4-С.
d у J cos х 1 2 * ь 2 1 4 / ‘
Используя начальное условие у= 1 при х = 0, находим С = 0. Окончательно получаем
509. Найти общий интеграл уравнения у' = tgxtgz/. л гт , dy
Д Полагая у = и разделяя переменные, приходим к уравнению ctg у dy = tg х dx. Интегрируя, имеем
J ctg ydy= J tg xdx, или In | sin у | = —In |cos x |-(- In C,
Отсюда находим sin y = C)zos x, или sinycosx = C (общий интеграл). Д
510. Найти частное решение дифференциального уравнения (1 +*2) dy-rydx=0 при начальном условии у (1)=1.
А т~г dy dx т ,
Д Преобразуем данное уравнение к виду —=———• Интегрируя,
У i т х получим
С2^. = — ^-г^, или 1п|г/| = —arctgx+C.
d У ь 1 "т* х
Это и есть общий интеграл данного уравнения.
Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С; имеем In 1= — arctg 1 -|-С, т. е. С = л/4. Следовательно,
In у = — arctg х-(- л/4, откуда получаем искомое частное решение y~e^4~arctsx. А
Решим несколько геометрических и физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям рассматриваемого типа.
511. Найти кривые, у которых сумма длин нормали и поднормали есть величина постоянная, равная а.
Д Длина поднормали равна | ууг |, а длина нормали равна |УК1+/г|. Таким образом, уравнение, которому должны удовлетворять искомые кривые, имеет вид
\УУ' 1 + 1 У V 1+у'21=а.
Разрешая его относительно у', находим (учитывая оба возможных знака):
*/'=±
(2 2— ^2 2ау
119
Разделяем переменные:
а2+ !/2
2ydy dx
О2— У* а
Интегрируя, получаем общий интеграл: In | а2—у2 | = Т х/а-|-1п С, Выполнив потенцирование, приводим уравнение искомых кривых к виду
у2 = а2—Се^х!а»
Условию задачи отвечают только значения С > 0. В самом деле, из уравнения семейства кривых находим:
Поэтому для выполнения условия | уу' | +1 у V 1-[-у'21=а нужно, чтобы | а2—у2\ — а2—у2, т. е. у2 < а2; отсюда и следует, что С принимает только положительные значения. А
512. Цилиндрический резервуар с высотой 6 м и диаметром основания 4 м поставлен вертикально и наполнен водой. За какое время вода, заполняющая резервуар, вытечет из него через круглое отверстие радиуса 1/12 м, сделанного в дне резервуара?
Л Для решения поставленной задачи надо воспользоваться формулой Бернулли, определяющей скорость v (в м/с) истечения жидкости из отверстия в резервуаре, находящегося на h м ниже свободного уровня жидкости:
v = g У
Здесь g = 9,8 м/с2—ускорение силы тяжести, о — постоянный (безразмерный) коэффициент, зависящий от свойств жидкости (для воды о « 0,6).
Пусть через t с после начала истечения воды уровень оставшейся в резервуаре воды был равен h м, и за время dt с понизился еще на dh м (d/i<0). Подсчитаем объем воды, вытекшей за этот бесконечно малый промежуток времени dt, двумя способами.
С одной стороны, этот объем da) равен объему цилиндрического слоя с высотой | dh | и радиусом, равным радиусу г основания резервуара (г=2м). Таким образом, da) = nr2\dh\ =— яг2 dh.
С другой стороны, этот объем равен объему цилиндра, основанием которого служит отверстие в дне резервуара, а высота равна vdt(rppv— скорость истечения). Если радиус отверстия равен р (р = 1/12 м), то da) = np2v dt == = лр2о У 2gh dt.
Приравнивая эти два выражения для одного и того же объема, приходим к уравнению
— r2dh~(jp2 У 2ghdt.
t=C
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
dt —-----—= • —7= ; t = С-----—= V h
ср2 К 2g К h op2 К 2g
При t = 0 имеем /i = /i0 = 6 м. Отсюда находим 9г2 .-
С ~—~r-=V h„
Y 2s
Таким образом, связь между t и h определяется уравнением
ар2 у 2g
120
а полное время истечения Т найдем, полагая в этой формуле /i = 0:
т 2г2К/£ , ар2 К 2g
Используя данные задачи (г = 2 м, Я0 = 6 м, о = 0,6, р=1/12 м, g = = 9,8 м/с2), находим Т & 1062 с « 17,7 мин. Л
513. В комнате, где температура 20° С, некоторое тело остыло за 20 мин от 100 до 60° С. Найти закон охлаждения тела; через сколько минут оно остынет до 30° С? Повышением температуры в комнате пренебречь.
Д В силу закона Ньютона (скорость охлаждения пропорциональна разности температур) можем записать:
^L = k(T—20), или = т. е. 1п(Т—20) = А/ + 1пС. CLL 1 ZAJ
Если / = 0, то Т=100°; отсюда С = 80. Если t = 20, то Т — 60°; значит, In 40= =20&4~1п80, откуда k = —(1/20) In 2. Итак, закон охлаждения тела имеет вид
Т—20 = 80-e-(1/2°>rln2=80(l/2)<z''20>, или 7 =20-|-80 (1/2)а/20).
При Т = 30° имеем 10 = 80 (1/2)^20, или (1/2)^20= 1/8. Таким образом, //20= = 3, откуда / = 60 мин. А
514. Определить время, необходимое для установления одинакового уровня жидкости в двух сообщающихся сосудах. Малое отверстие между сосудами имеет площадь со м2. Площади горизонтальных сечений первого и второго сосудов составляют м2 и S2 м2, в начальный момент уровень жидкости в первом сосуде находился на высоте ht м от отверстия, а во втором—на высоте h2 м (Л2 < /н).
Д Пусть через t с после начала истечения жидкости уровень воды в первом сосуде понизился до zt м, а во втором повысился до z2 м- За дальнейший бесконечно малый промежуток времени dt с в первом сосуде уровень жидкости понизился на dz± м (dzi < 0), а во втором повысился на dz2 м (dz2 > 0).
Так как уменьшение объема жидкости в первом сосуде равно его увеличению во втором, то Si | dzi | = S21 dz2 |, или —S1dz1 = S2dz2, откуда dz2 — = — (Si/S2) dz-i_.
Если ввести обозначение u = zr — z2, то скорость протекания жидкости через отверстие между сосудами можно найти по формуле v = o У 2gu; она определяется формулой Бернулли (см. задачу 512), в которой следует положить, что отверстие находится на глубине u = z±—z2 под свободным уровнем жидкости.
Поэтому объем жидкости, протекающий за время dt, равный согласно предыдущему —Sidzi, в то же время равен tro dt = осо У 2gu dt. Приравнивая эти выражения для одного и того же объема, приходим к уравнению
— Si dz1 = осо У 2gu dt.
Но du = dz1—dz2 = dzl-j-(S1/S2')dz1, т. е. dz! = S2 du/(S1~j-S2). Подставляя полученное для dz± выражение в предыдущее уравнение, находим дифференциальное уравнение, связывающее и и t:
SpS2 j 1/* г»------ jj. л S1S2
———— du =осо у 2oudt, или dt =-------------------7=- • —•
Si~|-S2 C$i + *52) сяо У 2g1 У и
121
Интегрируя, находим
I = С--------5,52 -z_- • 2 / и .
(51 + 52)о<оК 2g
гт 1 г\ 11 ^1^2 V 2 (/zj—hi) тт г-,
Пои t = 0 имеем и —hi— h2, откуда С==—-- — ---- . Искомое время Т,
(Si + S,)™ У 2g
необходимое для выравнивания уровней в сосудах, найдем, полагая и = 0:
in cos у dx -f х tg у dy = 0.
-^+^ = 0; t/(l) = 0.
Зех tg у dx 4- (1 + ех) sec2 у dy = 0; у (0) = л/4. е1+*2 tg ydx—£^-dy--=0; у (1) = л/2.
(1 4~е2*) y*dy = ex dx; у(0) = 0.
у' 4- cos (х 4- 2у) = cos (х—2у); у (0) = л/4.
y' = 2JC-x; у(— 3) = —5.
yin3у + у' Кх4- 1 = 0; у(—15/16) = <?.
х К1 + У2 dx 4- у К1 + х2 dy = 0. xdy ________у dx _ g
у' + sin (х + у) = sin (х—у).
уу' — — 2х sec у.
у' = ех+? + ех~У; у(0) = 0.
у' = sh (x4-y)4-sh (х—у).
у' = К (а2—у2)/(а2—х2).
—/--п+ TdI-9v=Q; у(1)=1.
х(у— 1) у(х+2) J ' ’
у._q___ <51*^2 I 2 (/?1 /ь) *
~ (S1 + S2)o© \ГТё ‘ А
Решить уравнения: 515. ’ ' ' - -
516. 517. 518. 519. 520. 521. 522. 523. y/y' = lny; у(2)= 1. 524. 525. 526. 527. 528. 529. 530. 531.
532. x(ye4~ l)dx4-y2 (х44-1) dy = Q; у(0)=1.
533. (Кху—Кx)dx + (y ху + УУ) dy = Q.
534- = z/W4)=o.
535. yf= c^~s4nX7» .
536.
K%2 + 4%+13 *4-1
537. sec2* tg ydx + sec2y igxdy = 0; у (п/4) = л/4. 538. 5e* tg yd*4-(l—ex) sec2 ydy=^.
539. Найти кривую, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
540. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый данный момент времени его
122
фактической стоимости. Начальная стоимость равна Ло. Найти стоимость оборудования по истечении t лет.
541. Некоторое вещество преобразуется в другое со скоростью, пропорциональной количеству непреобразованного вещества. Известно, что количество первого равно 31,4 г по истечении 1 ч и 9,7 г по истечении 3 ч. Определить: 1) сколько вещества было в начале процесса; 2) через сколько времени после начала останется 1 % первоначального количества.
542. Цилиндрический резервуар длиной 6 м и диаметром 4 м расположен горизонтально. За какое время вода вытечет из резервуара, если отверстие радиуса 1/12 м находится на уровне самой нижней из образующих цилиндра?
543. В коническую воронку с отверстием площадью со см2 и углом 2а при вершине конуса налита вода до уровня Я см над отверстием. Найти зависимость между переменной высотой уровня воды h в воронке и временем истечения t. Определить полное время истечения. Вычислить его при со = 0,1 см2, а = 45°, Н = 20 см.
544. Найти время, в течение которого вся вода вытечет из конической воронки, если известно, что половина воды вытекает за 2 мин.
3. Однородные дифференциальные уравнения. Уравнение вида Р (х, у) dx-\~ + Q (х, y)dy = Q называется однородным, если Р (х, у) и Q (х, у) — однородные функции одного измерения. Функция f (х, у) называется однородной измерения т, если
f(Xx, Xy)=lmf(x, у).
Однородное уравнение может быть приведено к виду у' = f (у/х). С помощью подстановки y = tx однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции t.
545. Найти общий интеграл уравнения
(х2 + 2ху) dx + xydy = 0.
Д Здесь Р (х, у) = х2-[-2ху, Q (х, у)=ху. Обе функции —однородные второго измерения. Введем подстановку y = tx, откуда dy = х dt +1 dx. Тогда уравнение примет вид
(х2 + 2х20 с/х+ tx2 (х dt-{-t dx) = 0, или (х2 -|-2х2/-(- /2х2) dx-{- tx3 dt = 0.
Разделяя переменные и интегрируя, имеем
dx . tdt Р dx . Р t dt __
; J WT2
Преобразуем второй интеграл:
ln|x| + j dt = C, или In|x| + ln| /4-1 | + -Ц-р = С.
Возвращаясь к прежней неизвестной функции у (t = y/x), получаем окончательный ответ:
1п х+у|+тт?=с- *
123
546. Найти частное решение уравнения yr =^4-sin^- при начальном условии у(1) = л/2.
Д Произведем подстановку yjx~t, откуда y = tx, dy = х dt +1 dx. В результате получаем
х dt-}- tdx~ (/-[-sin t) dx\ xdt = sin t dx', -^-7==—•
1 1 ' sin t x
Интегрируя, имеем
In | tg (t/2) | = In | x 14- In С, откуда //2 = arctg (Cx).
Производя обратную замену t=y/x, находим общее решение исходного уравнения у = 2х arotg (Сх). Используя заданное начальное условие, получим л/2 = 2 arctg С, откуда С = 1. Итак, искомое частное решение имеет вид у = = 2х arctg х. А
547. Найти кривую, проходящую через точку А (0; 1), для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кривой в произвольной ее точке и радиусом-вектором точки касания,— равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).
Д Пусть y=f(x) — искомое уравнение кривой. Проведем касательную MN в произвольной точке М (х; у) кривой до пересечения с осью Оу в точке N (рис. 35). Согласно условию, должно выполняться равенство | ON | = | ОМ |. Но | ОМ 1=Ух2-±-у2, а | ON | найдем из уравнения касательной Y—у = = yr (X—х), полагая Х = 0, т. е. Y = \ON\=y—ху'.
Итак, приходим к однородному уравнению
V х2 + у2 = у—ху’.
Полагая y=tx, после замены и разделения переменных получим
—, -^ = — — или In (t ]А1 4-/2) = 1п С — Inx,
/1 + /2 *
откуда
х2 = С(С — 2у)
(семейство парабол, осью которых является ось Оу).
Подставляя координаты точки А в найденное общее решение, получим 0 = С(С—2); из двух значений С = 0 и С = 2 годится лишь второе, поскольку при С = 0 парабола вырождается в ось Оу. Итак, искомой кривой является парабола х2 = 4(1—у), или у=1—х2/4. А
548. Найти форму зеркала, собирающего все параллельные лучи в одну точку.
Д Очевидно, что зеркало должно иметь форму поверхности вращения, ось которой параллельна направлению падающих лучей. Примем эту ось за ось Ох и найдем уравнение кривой y = f(x), вращением которой образуется искомая поверхность.
Начало координат поместим в точку, в которой собираются отраженные лучи. Обозначим падающий луч через КМ, а отраженный — через МО (рис. 36). Проведем касательную ТТ± и нормаль MN в точке М к искомой кривой. Тогда треугольник О МТ — равнобедренный с вершиной в точке О (так как бмТ — КМТ^ОТМ = &). Следовательно, | ОМ | = | ОТ но | ОМ 1 = }^х2 + У2, 124
а | ОТ [ найдем из уравнения касательной Y—у = у'(X—х), полагая У = 0; имеем Х = х-ч-4-, откуда | ОТ | = | X | = — Х = — х-]--^-.
У У
Таким образом, получаем дифференциальное уравнение
V^x2 + у2 = — х+у-, или (x+/”x24-t/2) у' = у, Т. е. (х+Кх2+у2) dy—ydx=A.
Это дифференциальное уравнение является однородным. Для его интегрирования целесообразно ввести подстановку x~ty> принимая за аргумент у, а х (и /) за неизвестные функции этого аргумента. Тогда получим
(Vi2y2 + y2 + iy) dy—y(tdy+ydt) = O, или У t2 +1 dy—ydt — O.
Разделяем переменные и интегрируем:
---, dt - =0; lny= In (t + /Г+72)+ In С.
У У14-/2
Отсюда у = С (t + Y1 + ^2) или, возвращаясь к первоначальным переменным х и у, имеем
* + Ух2+у2—~ .
После упрощения находим окончательное решение в виде
t/2 = 2c(x+-^) .
Искомая кривая является параболой, а зеркало имеет форму параболоида вращения. Д
549. Найти ортогональные траектории семейства парабол х — ау2 (а—параметр семейства).
Л Ортогональными траекториями данного семейства кривых называются такие кривые другого семейства, каждая из которых пересекает каждую из кривых первого семейства под прямым углом.
Если уравнение заданного семейства F (х, у, а), то для отыскания ортогональных траекторий нужно:
125
1) составить дифференциальное уравнение заданного семейства / (х, у, у')=0\
2) исходя из условия ортогональности (у'1Уц =—1), заменить в этом дифференциальном уравнении у' на —1/г/';
3) проинтегрировать полученное уравнение f (х, у,—\]у') = Ъ. Для решения поставленной задачи дифференцируем уравнение заданного^ семейства парабол: 1 = 2ауу'. Исключая параметр семейства а из уравнений х = ау2 и }=2ауу', находим дифференциальное уравнение заданного семейства парабол: 2хп'= у. Заменяем у' на —\!у' и получаем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий:
2х-[- уу' = 0, или 2х dx-\-y dy = O.
Интегрируя полученное уравнение, находим уравнение семейства ортогональных траекторий:
1 х2 и2
пли ^+-^=1-
Таким образом, ортогональными траекториями заданного семейства парабол являются подобные друг другу эллипсы, у которых большая полуось (вертикальная) в У 2 раз больше малой. А
Решить уравнения:
550. ху' sin (у/х) фх = у sin (t//x).
551. ху + у- = (2х2 4- ху) у’.
552. ху' In (уД) = Л'Д у In (z/Д).
553. хуу' = у2 Д 2.г2.
554. ху' — у = х tg (у!х); у(1) = л/2.
555. у' = (у/х) 4- cos (у/х).
556. у'= 4 +уД4~ (z/Д)2; у(1) = 2.
557. (х2 4- у2) dx—ху dy — 0.
558. у' = (хА-у)/(х—и).
559. ху'= хе"'х + у, у(1) = 0.
560. x/-y = aro-t/(^.
561. (x4 + 6x°z/2 + z/4)dx + 4xz/(x24-z/2)dz/ = 0; у(1) = 0.
562. ху' = 2(у—Уху).
563. Зу sin (Зх/у) dx + [y — Зх sin (Зх/у)] dy = 0.
564. Найти кривую, у которой произведение абсциссы любой точки, принадлежащей кривой, на отрезок, отсекаемый нормалью на оси Ох, равно удвоенному квадрату расстояния этой точки от начала координат.
565. Найти ортогональные траектории семейства окружностей (х—l)2 + (z/—I)2-/?2.
4. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным. Уравнения вида
/ _ £ / \
при а±Ь2— a2bf р 0 приводятся к однородным подстановкой х = и + а, //=у-фР, где (а; (3)— точка пересечения прямых а1х-\-Ь1у—с1 = ® и a2x-}-b2y-}-c2 = b.
Если же а±Ь2 — ct2b1 = (di то подстановка a1x-\-b1y = t позволяет разделить переменные.
126
566. Найти общий интеграл уравнения (2x4-// + l)dx+(x + 2y—V)dy=0.
Л \r г 2x-{-f/-|-l
Л Уравнение принадлежит к первому типу, поскольку у =-----/
х— 2у— 1 12 11
и L 2 “3 # 0. Находим точку пересечения прямых 2xJryJr 1=^ 11 х~г2у—1=0; имеем х = а = — 1; у = Р = 1.
Производим в исходном уравнении замену переменных, полагая х = tz+cz= =и—1, z/ = t’+|3 —1; dx~du, dy~dv. Уравнение преобразуется к виду (2/z + a) du + (и + 20 du = 0.
В полученном однородном уравнении положим v = ut, откуда di' = udt-\-* 4- t du\ придем к уравнению с разделяющимися переменными
2 (/2 +1+ 1) и du + u2 (1+2/) dt = 0,
общий интеграл которого есть ^]/"/2 + /+1 = С, или (после замены t = v]u и возведения в квадрат)
и2uvо2 = С2.
Возвращаясь к переменным х и у (и = х-\-\, и = у—1), после элементарных преобразований найдем общий интеграл исходного уравнения
х2+у2 + ху + х—у = С1
(здесь положено С± = С2—1). А
567. Найти общий интеграл уравнения
(х + у + 2) dx + (2х + 2у— 1) dy — 0.
Л Уравнение принадлежит ко второму типу, поскольку jQ Q | = 0. Положим поэтому y-\-x=t, dy~dt—dx. Данное уравнение примет вид
(/ + 2)</х+(2/—1)(б// —t/x)=0, или (3 —/)dx+(2/—l)d/=0.
Разделяя переменные и интегрируя, имеем С 2/—1 J 3-/
Возвращаясь к старым переменным (/=х+//), получим окончательный ответ:
или — 2/— 5 In |/—3 | + х = —С.
(х—2у + 3) dy + (2х + у— 1) dx= 0.
Решить уравнения:
568. 2(х + //)ш/+(3х + 3у—l)dx=0; у(0) = 2.
569. \ \
570. (х—y + 4)dz/+(x + y—2)dx = 0.
571. Найти интегральную кривую дифференциального уравнения / = (х + у—2)/(у—х—4), проходящую через точку Л1 (1; 1).
5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение
Р (х, у) dx+ Q (х, у) dy = 0,
дР oQ .. ,,
где ~z=z-~^, называется уравнением в полных дифференциалах, т. е. левая часть такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции и (х, у)
127
в односвязной области. Если это уравнение переписать в виде du = 0, то его общее решение определяется равенством и = С. Функция и (х, у) может быть найдена по формуле
х у
и~^р^х' у) dx+§ Q у) dy-
хо У о
При этом в последней формуле нижние пределы интегралов (х0 и z/0) произвольны; их выбор ограничен единственным условием — интегралы в правой части этой формулы должны иметь смысл (т. е. не быть расходящимися
несобственными интегралами второго рода). Если условие
дР _ dQ ду дх
не вы-
полняется, то в некоторых случаях можно привести рассматриваемое уравнение к указанному типу умножением его на так называемый интегрирующий множитель, который в общем случае является функцией от х и у. р (х, у). Если у данного уравнения существует интегрирующий множитель, зависящий только от х, то он находится по формуле
ц = е
где отношение Q должно являться функцией только от х. Ана-
логично, интегрирующий множитель, зависящий только от у, определяется по формуле
где \ -----) j Р должно являться функцией только от у (отсутствие
в этих отношениях в первом случае у, а во втором х является признаком существования интегрирующего множителя рассматриваемого вида).
572. Найти общий интеграл уравнения
(е* + У + sin У) dx + (еУ + х + % cos y)dy = Q.
дР
Д Здесь Р (х, у) =e* + #4-sin у, Q (х, у)=еУ+ x-\-xcos у, -^-=l + cos#, = 1 + cos у. Следовательно, левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции и (х, у), т. е.
ди v- ! , . ди .
_^^ + // + sin у, + x + xcos у.
т-т ди
Проинтегрируем по х:
w = (е^ + // + sin у) dx-\-C (у)=ех + ху^х sinz/ + C (z/).
Найдем функцию С (z/), продифференцировав последнее выражение по у: |^=x+xcos у+С' (у).
Получаем уравнение
x+xcos z/ + C' (z/) =x+xcosy-\-eyt
128
откуда находим С'(у)=еУ, т. е. С(у)~еУ. Таким образом, общий интеграл уравнения имеет вид ех -\-xy-\-x siny-^-еУ = С. Д
573. Найти общий интеграл уравнения (х-\-у— 1) dx-}-(ey-}-х) dy = 0.
Д Здесь Р (х, у)=х-\-у—1, Q (х, у)=еУ-\-х, таким
образом, условие полного дифференциала выполнено, т. е. данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем общий интеграл по формуле
X у
р (х, у) dx+ Q (х0) у) dy = C.
Хо Ус
Взяв х0 —О, Уо~О> получим
X у
У (х+у— 1) dx + § еУ dy = Clt или х24~ху —|^=Ci.
о о
Подставляя пределы, находим
^х2-]-ху—хе-V — 1 = С\, или еУ-}~ х2-^ху — х = С, где С = Сх-}-1. Д
574. Найти общий интеграл уравнения
(х cos у—у sin у) dy Ц- (х sin у Ц- у cos у) dx = 0.
Д Имеем
Р(х, y)=xsiny+ycosy, Q (х, у) =--х соз у—у sin у, дР , . dQ
-—х cos y+cos у—у sin у, = cos у,
/ дР dQ \ i xcosy—у sin у
\ dy dx JI4 xcosy—у sin у
Поэтому данное уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от х. Найдем этот интегрирующий множитель:
\ Qdx \dx
= дх j I ~ = ех.
Умножая исходное уравнение на ех, получим уравнение
ех (х cos у—у sin у) dy~[~ex (х sin у-|-у cos у) dx~0t которое, как нетрудно убедиться, уже является уравнением в полных дифференциалах; в самом деле, имеем Рг (х, у) =ех (х sin у-\-у cos у), Qi (х, у) = = ех (х cos у— у sin у). Отсюда
^y~=Fy^eX (xsin^+^ cos У)]=еХ (xcosy + cos у—у sin у);
= cos y^—y sin у)] =ex [xcos у—у sin y-|-cosy].
Эти производные равны и, следовательно, левая часть полученного уравнения имеет вид du (х, у). Таким образом,
du v . ч ди „ . . г ч
(х cos у—у sin у), (х sin у 4>у cos у).
5 № 1814
129
Интегрируя первое из этих равенств по у, находим
и = \ ех (х cos у — у sin у) dy-\-C (х) = хех sin у-\-еху cos у—ех sin у-\-С (х).
Найдем производную по х от полученной функции:
^=ех sin yJrxex sin у—ех sin у-^-ех у cos у-\-С' (х) = ех (xsin у-\-у cos //)-[-С'(х).
Сравнивая найденное значение ~ с Р (х, у), получим С'(х) = 0, т. е. С (х) =0.
Следовательно, общий интеграл исходного уравнения имеет вид
и (х, у)=хех sin у~геху cos у—ех sin у—С, или ех (xsin у-\-у cos у—sin у)=С. А
Решить уравнения:
575. (х + sin у) dx + (х cos у + sin у) dy = 0.
576. (y-j-e* sin у) dx-\- (х-\-ех cosy) dy= 0.
577. (ху + sin у) dx~Y (0,5x2 + xcos у) dy 0.
578. (х2 + у2+ у) dx + (2хухеу) dy = у(0) = 0.
579. (2xyex2 + \ny)dx + (^ex2+^ dy=0; у(0)=1.
580. [sin z/+ (1 —у) cosx] dx-\- [(1 4-x) cosy—sinx] dy = 0.
581. (y + x\ny)dx + ^~+x+ l)dz/=O.
582. (x24-sinz/)dx4-(l+xcos*/)dz/=0.
583. yex dx-{- (y-\-ex) dy= 0.
584. (ex sin у 4- x) dx 4- (ex cos у 4- у) dy = 0.
585. (In у—5z/2 sin 5x) dx-j- (y 4-2z/cos 5x) dy = 0; y(0) = e.
586. (arcsin x4- 2xy) dx 4- (x2 -j- 1 4- arctg y) dy = O.
587. (3x2r/4- sinx) dx-{- (x3—cosy) dy = 0.
588. (ex+y + 3x2)dx + (ex+ll + 4y3)dy^Q-, z/(0) = 0.
589. (tg у—у cosec2 x) dx 4- (ctg x 4- x sec2 y)dy — Q.
59°-
Проинтегрировать следующие уравнения, имеющие интегрирующий множитель, зависящий только от х или только от у:
591. ydx—xdy-}-\nxdx=0 (p = cp(x)).
592. (x2cosx—у) dx + xdy=0 (ц = ср(х)).
593. ydx—(x + y2) dy = 0 (р = ф(у)).
594. z/j/1 — z/2dx4-(x/1 —f/24- y)dy=Q (p = q>(y)).
595. Доказать, что уравнение Р (х, у) dx + Q (х, у) dy = 0, которое одновременно является и однородным, и уравнением в полных дифференциалах, имеет общий интеграл Px + Qy = C‘.
• Воспользоваться теоремой Эйлера об однородных функциях, согласно „ дР , дР .п . . , .
которой x-g^—\-у -щ- = 1Р (х, у), где t — показатель однородности функции Р (х, у) И Q (х, у).
6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения
Бернулли. Уравнение вида
y' + P(x)y = Q (х)
130
называется линейным (у и у' входят в первых степенях, не перемножаясь между собой). Если Q(x)^0, то уравнение называется линейным неоднородным, а если Q(x) = 0— линейным однородным.
Общее решение однородного уравнения у' -]-Р (х) у~ 0 легко получается разделением переменных:
—Р (х) dx; J у == — J Р (х) dx; 1пу~—J Р(х) dx-]-ln С,
или, наконец,
y = Ce^PWdx, где С — произвольная постоянная.
Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лаг-/о / ч - f Р (х) dx ранта, варьируя произвольную постоянную, т. е. полагая у — С(х)е J , где С (х)— некоторая, подлежащая определению, дифференцируемая функция от х.
Для нахождения С (х) нужно подставить у в исходное уравнение, что приводит к уравнению
г/1 \ ~ Г р dx п / \
С (х)е J = Q(x).
Отсюда
С (х) = J Q (х) J Р W dxdx+C, где С — произвольная постоянная. Тогда искомое общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид
у = е~ Q(v)e.f P^dxdx + c .
Линейные уравнения первого порядка можно интегрировать также методом Бернулли, который заключается в следующем. С помощью подстановки y = uv, где и и v—две неизвестные функции, исходное уравнение преобразуется к виду
u'v-\-uv' -\-Р (х) uv = Q (х), или и [у' -фР (х) у] -\-ои' = Q (х).
Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций (например, о) может быть выбрана совершенно произвольно (поскольку лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению), за v принимают л ю б о е част-/ ! п / \ л ( - f Р (*) dx\
ное решение уравнения w' + P(x)w = 0 \например, v = e J J, обращающее, следовательно, в нуль коэффициент при и в последнем уравнении.
Тогда предыдущее уравнение примет вид
, zx / \ , Q (х) , f Р (х)
vu=Q(x), или и = ,т. е. и =Q(x)eJ s
откуда
! Г гх / \ I Р (х) dx
и = С+ \ Q(x) eJ dx.
Общее решение исходного уравнения находится умножением и на v;
- f Р (х) dx\ С fp (х) dx у=е J \ Q (х) eJ dx-]-C .
5*
131'
Уравнение (нелинейное) вида
У' + Р (x)y=Q (x)ymi где т Ф 0, m / 1, называется уравнением Бернулли. Его можно преобразовать в линейное уравнение, производя замену неизвестной функции при помощи подстановки z = z/1~Z7Z, в результате чего исходное уравнение преобразуется к виду
y-l^z' + P(x)z = Q(x).
При интегрировании конкретных уравнений Бернулли их не надо предварительно преобразовывать в линейные, а сразу применять либо метод Бернулли, либо метод вариации произвольной постоянной.
596. Проинтегрировать уравнение у' cos2x у — tg х при начальном условии у(0) = 0.
А Интегрируем соответствующее однородное уравнение у' cos2x-f-«/ = 0; разделив переменные, получим
^+Л-=0, In «/-f-tg x=ln С, y=Ce~tgx . у 1 cos2x * 1 *
Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде у~С (x)e~tg*, где С (х) — неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение у — С(х)е~[ёх и уг ~С' (x)e-tgx —С (х) e-tg * sec2x, придем к уравнению cos2xC' (x)e-tg*—С (х) e-tg *sec2 xcos2 x-j-C (x)e~tg* = tg x, или
C' (x) cos2 xe“tg* = tg x, откуда
c (x) = HSr dx=ets X X-1)+C. WO
Таким образом, получаем общее решение данного уравнения: y = tg х— 1 +
Используя начальное условие г/ (0) = 0, получим 0= — l-f-C, откуда С = 1. Следовательно, искомое частное решение имеет вид r/ = tgx—l-^-e~tgx. ±
597. Проинтегрировать уравнение у'—ythx=ch2x.
Л Это — линейное уравнение. Решим его методом Бернулли. Полагая у = ии, имеем
u'v-^-v'u—ra’thx = ch2x, или и (v'—v th x)-]-u'v = ch2 x.
Полагаем и' — uthx = O, откуда ——thxdx', интегрируя, находим In v = In ch x или v = ch x (постоянную интегрирования не вводим, так как достаточно найти какое-либо частное решение этого вспомогательного уравнения).
Для определения и имеем уравнение zz'y = ch2x или u'chx = ch2x, откуда находим и= chxdx = sh х+С. Умножение и на v, получаем общее решение r/ = ch х (sh x+Q. А
598. Проинтегрировать уравнение
У -1- arcsln х + х-
132
Д Интегрируем соответствующее однородное уравнение: 1>г . ху л dy xdx . I . I i
У 1____y2 0» „ 1__y2 ’ n У ъ In (1 X ) -]- In С,
* Л Vi 1 ЛС- £
t. e. у~СУ 1—x2. Полагаем теперь r/ = C(x) У1 —x2; тогда г/'=С'(х)К1^--------------------------.
1 -x2
После подстановки в исходное неоднородное уравнение получим
С' (х)К 1— х2 — (х)/1 —X2 = arcsinx+x,
У 1—х2 1—х
т. е. . aresin х . х
С' (х) = -—=4—--- .
К1—X2 V 1—X2
Интегрируя, находим arcsin х . х 1 , 1 , . ч2 -------5- ,
—^=4—г . dx~— (arcsin х)2 — У 1 — х24-С.
yi_x^yi__x2 2V
Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид
у — У1 —х2 Г — (arcsin х)2 — У1 —х2С1. А
C(x) = J
599. Решить уравнение у' +~- = Л/4.
Д Это—уравнение Бернулли. Проинтегрируем его методом вариации произвольной постоянной. Для этого интегрируем сначала соответствующее , , у Л С
линейное однородное уравнение у i “ = решение которого У = ~ •
тл п С (X)
Ищем решение исходного уравнения Бернулли, полагая у =—— , у =
С'(х) С (х)
— —. Подстановка у и у' в исходное уравнение дает
С'(х) С(х) С(х) ГС(х)]4 С'(х)__[С(х)]4
—-----*г+-#-х [—J , ИЛИ-Ч^ •
Интегрируем полученное уравнение:
dC (х) _ dx е [С(х)]4~х ’
1 3[С(х)]2
= 1п х—In С;
С(х) = -т-==. ^3 In (С/х)
Таким образом, общее решение исходного уравнения
С(х)_ 1
х Хр/3 In (С/х)
600. Проинтегрировать уравнение
у’ = 4 т/пД arctS х-
14-х2 у 14-х2
Д Это — также уравнение Бернулли. Проинтегрируем его методом Бернулли, для чего положим y = uv. Подставляя в исходное уравнение y = uv,
133
у' ~ u'v-\- uv't сгруппируем члены, содержащие и в первой степени: 2хи Д- г2
u'v-\-u
arctg x.
2
Примем за v какое-либо частное решение уравнения vr— = 0* Раз-
деляя в нем переменные, находим
du 2х dx . i /1 i ox ii2
— = рг^2; 1пу = 1п (1+х2); и=1 + х2
(постоянную интегрирования не вводим).
Для отыскания и имеем уравнение
и'у = 4 —arctg х, К1 + х2
или (поскольку V = 1 4- X2)
, __ 4 )/" и arctg х
“ ГДТ2
Разделяем переменные и интегрируем:
du 2arctg х , _/— , 9 .
—------------— dx; V w = arctg2x + C.
2/u l + x2
Таким образом, и — (arctg2хДС)2 и у = ии = (1 -|-х2) (arctg2 x-{-Q2 есть общее решение исходного уравнения. А
601. Проинтегрировать уравнение у = ху' Д- у' In у.
Д Данное уравнение можно легко проинтегрировать, если поменять в нем ролями х и у: принять за аргумент у, а за неизвестную функцию х. Для этого нужно только (используя формулу дифференцирования обратной функции) положить у'х=^1ху. Тогда данное уравнение преобразуется в следующее:
уху = х-\Лп у.
Это — линейное уравнение относительно х. Интегрируем соответствующее однородное уравнение ух' =х; имеем
dx du „ — ; х = Су.
х у
Ищем решение исходного неоднородного уравнения, полагая x = C(y)yt откуда Ху^С' (у) у-}-С (у). Подстановка в уравнение дает
с (у)у2+С(у)у = С(у)у+\пу, откуда С'(у) = ^У-, С (у) 1 ~^П - .
Умножая С (у) на у, находим решение исходного уравнения: х = Су—1—In у. А
602. Проинтегрировать уравнение (х21пу—х)у' = у.
Д Данное уравнение можно проинтегрировать с помощью того же преобразования, что и предыдущее. Принимая у за аргумент, х — за неизвестную функцию, преобразуем это уравнение к виду
х2 In у—х = ухг, или г/х'4-х = х2 In
Это—уравнение Бернулли относительно х. Интегрируя соответствующее линейное однородное уравнение #х' + х=0, находим х=^С{у.
134
У2
„ С (у) С' (у) С (у)
Полагаем в исходном уравнении х = —откуда х' = —-----р— ; при-
ходим к следующему уравнению для определения С (у):
гчх С(У)\С(У) [CG/)]2i о, / ч [C(r/)l2lnz/
С' (у)——у=~—^"'1п или с =-—~~
Разделяем переменные и интегрируем:
АС (у) _^у________1 lny+1. ______________________
[C(z/)p~ г/2 ау’ С(у)~С у 1 С (У>-1пу+1-Су •
Умножая С (у) на 1/у, находим общее решение исходного уравнения:
У
х In у+1—Су'
Решить уравнения:
603. ху'—y = x2cosx.
604. у’ + 2ху =-хе~*\
605. y'cosx + y=l—sinx.
606. = у(1)=0.
607. (1 4- x2)t/' + у = arctg х.
608. — х2 + у = arcsin х; у(0) = 0.
609. у'---— = cos2 In tgi .
17 sin х ° 2
610. у — ^^ = xlnx; у (e) = e2/2.
611. t/'sinx—ycosx=l; t/(n/2) = 0.
612. у' (x + z/2) = у.
• Принять за неизвестную функцию х.
613. у' 4-Зу tg Зх= sin6x; г/(0) = 1/3.
614. (2xi/4- 3)dy—y2dx = Q.
^Принять за неизвестную функцию х.
615. (у* + 2х)у' = у.
Принять за неизвестную функцию х.
616. у' 4- = Зх2 у^3.
617. / У У2 У
618. , , 2у__ 2У~У X COS 2%
619. 4,уу'4-31/ =—e*x4t/5.
620. у' + у = ех/2 У~у\ 1/(0) = 9/4.
621. i/' + jUi = у2 (х34-1) sinx; i/(0) = 1.
622. у dx + (x + х2у2) dy~O.
135
• Принять за неизвестную функцию х.
623. у'—2 у tgx+ i/2sin2% = 0.
624. (f/24-2z/ + x2) г/' + 2х = 0; t/(l) = O.
• Принять за неизвестную функцию х.
7. Уравнения вида х = ф(у') и у = ф (уг). Эти уравнения легко интегрируются в параметрической форме, если положить у' — р и принять р за параметр, через который следует выразить как х, так и у. В самом деле, полагая у' —р в уравнении х = ф(р'), сразу получаем выражение для х через параметр р:х = ф(р). Отсюда, дифференцируя, находим dx = q' (р) dp, а так как dy~y'dx~pdx, то, следовательно, dy~pq>'(p)dp и у находится интегрированием: у = рф' (р) dp + С.
Таким образом, решение уравнения х = ф(р') запишется в параметрической форме:
х = ф (р),
У= 5 Рф' (p)dp + C.
Аналогично, полагая у'=р в уравнении р = ф(р'), находим р = ф(р). Дифференцируя у, получаем dy ~ф' (р) dp. Но по-прежнему dy — pdx. Таким образом, pdx = q (р) dp, откуда dx= ? ~ и х находим интегрированием: х~ У—С. Общее решение уравнения р = ф(/) имеет вид
р=ф(р)-
Если удается, в обоих случаях можно исключить параметр р и найти общий интеграл уравнения.
625. Проинтегрировать уравнение х = у' sin //' + cos у'.
Л Положим у’~р. Тогда х = р sin р-\- cosp. Продифференцируем это равенство:
dx = (sin р-\-р cosp—sin p)dp = p cosp dp
и подставим это значение dx в равенство dy ~pdx:
dy = p2 cos р dp, т. е.
у = р2 cos р dp = (р2 — 2) sin р + 2р cos р + С.
Таким образом, общее решение в параметрической форме имеет вид
х = р sin р-j- cos р,
у ~ (р2 — 2) sin р + 2р cos р + С. Д
626. Проинтегрировать уравнение у' =arctg (у!у'2).
Л Предварительно найдем y = y'2tg у'• Положим у'=р', тогда p=p2tgp. Продифференцируем это равенство: dy = (2p tgp + p2 sec2p) dp и, заменяя dy на р dx, получим р dx = p (2 tg р —р sec2 р) dp, откуда, сокращая на р и интегрируя, находим
х = (21 g р -f- р sec2 р) dp = р tg р — In cos р -f-С.
136
Общее решение данного уравнения имеет вид
I y=p2tgp>
( x = ptgp— Incosp + C.j^
627. Проинтегрировать уравнение х=уг -\-\ny'.
Д Положим у' = р. Таким образом, х=р + 1пр; дифференцируя, находим dx=dp . Так как dy=pdx, то
dy = р^dp4-= (р + 1) dp.
Интегрируя, находим г/= 0,5 (р + 1)2-|-С.
Общее решение данного уравнения, записанное в параметрической форме, имеет вид
( х = р + ^п Р»
I г/ = 0,5(р+1)2 + С.
Здесь параметр р легко исключить; из второго равенства получаем р = = У~2(у—С) — 1 (р > 0 и поэтому перед корнем надо взять знак плюс). Подставляя найденное для р выражение в первое равенство, находим общее решение уравнения в следующем виде:
х = /2(j/-Q -1 + In [/2(y-Q -1]. Д
Решить уравнения:
628. arcsin (%/«/') = у'.
629. у=^’(у' — \).
630. x = 2 (In у'—у').
631. z/(l+/2)i/2=/.
632. х = 2у' + 3у'\
633. х — у' (1
634. х=егУ'(2у'г—2/+1).
635. у = у' In у'.
8. Уравнения Лагранжа и Клеро. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение первого порядка, линейное относительно х и у, коэффициентами которого служат функции от у':
P(y')x+Q(yf)y + R(y') = O.
Уравнение Лагранжа интегрируется следующим образом. Разрешим его относительно у и примем за параметр у', полагая у'=р'.
y = xf{p) + q(p).
[Здесь введены обозначения f (у') = —Р (y')/Q (/), <р (y') = —R (y')/Q (/)•] Дифференцируя полученное уравнение и заменяя в левой части dy на р dx, приходим к уравнению
pdx=f(p) dx+xf' (р) dp + ф' (р) dp.
Полученное уравнение—линейное относительно х (как функции от р) и поэтому может быть проинтегрировано. Если его решение есть x = F (р, С), то общее решение исходного уравнения Лагранжа запишется в виде
x = F (р, С),
y = xf (p)-Y<f(p)=F (р, C)f (р) + <р(р).
137
У равнением Клеро называется уравнение вида = + ф (/),
которое является частным случаем уравнения Лагранжа. Интегрируя его указанным способом, легко получить общее решение y = Cx-\-q> (С), которое определяет семейство прямых на плоскости.
Однако уравнение Клеро, кроме общего решения, имеет еще и особое решение, определяемое следующими параметрическими уравнениями:
f х=— ср' (р),
I у~—~ w' (р)+ф(р).
Особое решение уравнения Клеро (оно сушествует, если ф' (р) const) является огибающей семейства прямых, определяемых общим решением (иными словами, общим решением уравнения Клеро служит семейство касательных к особому решению).
Уравнение Лагранжа также может иметь особые решения, причем особыми решениями этого уравнения (если они существуют) являются общие касательные ко всем интегральным кривым, определяемым общим решением.
636. Проинтегрировать уравнение у— ху'—еуг.
Л Это—уравнение Клеро. Положим у' = р и перепишем уравнение в виде у = рх—ер. Дифференцируем его: dy = pdx-\-xdp—ер dp\ но dy=pdx, поэтому последнее уравнение примет вид xdp—epdp = 0, или (х—ep)dp = 0. Таким образом, либо dp = 0, либо х = ер. Если положить dp = 0, то р = С; подставляя это значение р в равенство у = рх—ер, получаем общее решение данного уравнения:
у = Сх—ес.
Если положить х=ер, то у = рер—еР = (р—1) ер, и приходим к особому решению исходного уравнения
( х~ер
I У = (р— !)ер.
Исключая параметр р (в данном случае р = 1п х), находим особое решение в явном виде:
у = х (1п х— 1).
Проверим, что совокупность прямых, определяемых общим решением, есть семейство касательных к особой интегральной кривой.
Дифференцируя особое решение, находим у' = \пх. Уравнение касательной к особой интегральной кривой в точке М (х0; Уо) [где у0 = х0 (1п х0—1)] запишется в виде
У—Уо = У'о(х—*о)> или у—х0(1пх0— 1) = 1п х0(х—х0), что после упрощения дает у = х 1п х0—х0. Если здесь положить 1пх0 = С, то уравнение семейства касательных к особой интегральной кривой примет вид у = Сх—ес, что и требовалось установить. А
637. Проинтегрировать уравнение у = ху'2~-у'2.
Д Это — уравнение Лагранжа. Поступаем аналогично предыдущему, т. е. положим у' = р, тогда р = хр2-[-р2. Продифференцируем последнее равенство: dy = p2 dx-\-2pxdp-\-2p dp. Производя замену dy = pdx, приходим к уравнению р dx = p2 dx-\-2px dp-\-2p dp. Отсюда, сокращая на р, получаем уравнение с разделяющимися переменными
(1—p)dx=2(x+l)dp, или
138
Интегрируя его, находим
In (x-f- 1) = —2 In | 1— р| + 1пС; х+1=С/(р— I)2.
Используя данное уравнение у = р2(х+ 1), получим
У = Ср2/(1—р2).
Произведенное сокращение на р могло привести (и в данном случае привело) к потере особого решения; полагая р = 0, находим из данного уравнения у = 0: это—особое решение.
Итак,
х+1=С/(р-1р
по —общее решение; у = 0 — особое решение.
у = Ср2Цр— I)2
В общем решении параметр р можно исключить и привести его к виду (КГ+К^ТГ)2=с. а
Решить уравнения:
638. у = ху' + . 639. х = | + ±.
640. у = ху' + у'—у'2. 641.
642. 2г/(/ + 1) = ху'2.
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение вида
F(x, у, у', у"...«/<">) = 0.
Решением такого уравнения служит всякая п раз дифференцируемая функция = которая обращает данное уравнение в тождество, т. е.
F [х, ср (х), ф' (х), ф" (х), ..., ф(/г> (х)] = 0.
Задача Коши для этого уравнения состоит в том, чтобы найти решение уравнения, удовлетворяющее условиям у = у$, Уг • ••» У{п~1} = Уог~1) при x = Xq, где х0, Уо, у'ц, .У^~1}—заданные числа, которые называются начальными данными, или начальными условиями.
Функция г/= ф (х, Ci, С2, ..., С„) называется общим решением данного дифференциального уравнения n-го порядка, если при соответствующем выборе произвольных постоянных Ci, С2, Сп эта функция является ь решением любой задачи Коши, поставленной для данного уравнения.
Всякое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях постоянных Ci, С2, • ••, Сп, называется частным решением этого уравнения. Для выделения из множества решений дифференциального уравнения определенного частного решения иногда используют и так называемые краевые условия. Эти условия (число которых не должно превыщать порядка Уравнения) задаются не в одной точке, а на концах некоторого промежутка. Очевидно, что краевые условия ставятся лишь для уравнений порядка выше первого.
Интегрирование дифференциальных уравнений n-го порядка (в конечном .виде) удается произвести только в некоторых частных случаях.
139
2. Уравнения вида J(n) = /(x). Решение этого уравнения находится /i-кратным интегрированием, а именно:
«/<п) = f (X), - » = J f (х) dx+Сг = К (X) + Ci,
ytn - 2) = J [Z1 (х) + С1] dx = f2 (х) + с1Х+С2,
’"“+^=2)! • + С”-'+С»’ где
п раз
т Ci С2
Так как 7---гт-. > , ••• являются постоянными величинами, то
(п— 1)! (п —2)!
общее решение может быть записано и так:
У = !п W + C1x"-1+C2x«-2+...4-C„.1x4-C„.
643. Найти частное решение уравнения у" = хе~х, удовлетворяющее начальным условиям z/(0)=l, у'(0) = 0.
Д Найдем общее ’ решение последовательным интегрированием данного уравнения:
у' — хе~х dx= —хе~х—е~х-^-С1,
у = [— хе~х —dx=xe-XJ[-2e-x-rC1xJrC2i или
у = (х+2)е~х + С1х+С2.
Воспользуемся начальными условиями: 1^=2-'-С2; С2= — 1; 0= — l-j-Cx; Ci = 1. Следовательно, искомое частное решение имеет вид
у = (х + 2)е~х+х— 1.
Это же решение можно найти и следующим образом, используя сразу заданные начальные условия:
X
у' — уг (0)+ хе~х dx= [—хе~х—e~x]xQ = — хе~х—е~х-\-1; о
у = у (0)4- —хе~х—е~х 1] dx= 1 + [(x-f-2) е~х-}-х]ъ ~ (х-}-2)е-х-\-х— 1. А о
Решить уравнения:
644. z/IV = cos2x; i/(0)= 1/32; / (0) = 0,/(0)= 1/8, г/"'(0) = 0.
645. f/'" = xsinx; у (0) = 0, у' (0) = 0, у" (0)^2.
646. y"f sin4 х = sin 2х.
647. у' = 2 sin хcos2 х—sin3x.
648. у"' = хе-х\ г/(0) = 0, у'(0) = 2, г/"(0) = 2.
3. Дифференциальные уравнения вида F (х, Д\(Л) .. ., не
содержащие искомой функции. Порядок такого уравнения можно понизить, 140
взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных данного уравнения, т. е. полагая y^ = z. Тогда получим уравнение
F (х, z, z', . .., 2(«-Д))—0.
Таким образом, порядок уравнения понижается на k единиц.
649. Найти общее решение уравнения ху” — у' In (у'[х).
Л Полагая у' = z, преобразуем уравнение к виду xz' = z In (z/x), или z' = (z/x) In (z/x).
Это однородное уравнение первого порядка. Полагая z/x—t, откуда z = tx, z' = /'х-|-/, получим уравнение
if I 1 «I 1 dt ______dx
VX-\-t = t\ntt или T71—I---7T = — •
‘ /(In/ —1) X
Интегрируя, находим
In (In / — 1) — In x+ In Ci, или In/ — l=CiX,
откуда Z=e1 + Cix; возвращаясь к перехменной у, приходим к уравнению у' = xe1+cix. Следовательно,
у — С xe1 + ci* dx=±- xe1 + cix—e1 + cix4-C2. А
J ci Ci
650. Тело массы т падает по вертикали с некоторой высоты без начальной скорости. При падении тело испытывает сопротивление воздуха, пропорциональное квадрату скорости тела. Найти закон движения тела.
ds
Л Введем обозначения: пусть s — пройденный телом путь, v—ско-d^s
рость, ускорение. На тело действуют силы: его вес P = mg (по на-
f ds \ 2
правлению движения) и сопротивление воздуха F — kv2 = kl — \ (против направления движения).
На основании второго закона Ньютона приходим к следующему дифференциальному уравнению движения тела:
d2s I ds \ 2
mw — P — kv2, или m-r-^mg—k ( — ) .
dt2 b \ dt J
ds
Воспользуемся начальными условиями: если / = 0, то s = 0, v—~=0.
г, ds
•Заменяя на v, перепишем уравнение в виде
dv k „
---=0----.
dt & m
mg о dv k „ -г
откуда, полагая —~—au, имеем —-dt. Интегрируя, находим (у^а):
k
т
2а а — v
/Д-Ci.
141
Если / = 0, то у = 0, откуда Сх = 0. Таким образом,
Отсюда p'laktim.___________________ 1 pakt,m___p-akt'm
v = a ————— — a-----------------= a th (aktlm).
gZaktun _j_ 1 gaktim_^e--a.ktiin
TT ak f mg k п fkg ds
Ho — = I/ -£ • — == I/ — ; заменяя^ на — , полхчаем для определения s
т V k т У т dt
уравнение
4l=athi/*n dt Ут
откуда, интегрируя, находим
Поскольку s = 0 при / = 0, имеем С2 = 0.
Итак, закон падения тела при сопротивлении воздуха, пропорциональном квадрату скорости, описывается формулой
s=£lnch
k Ут
а скорость движения —формулой u = ath 1/ —здесь а= 1/ . Отме-
у т у к
тим, что скорость падения не возрастает беспредельно, так как lim v=a —
поскольку lim th
, где Р — вес тела, причем прак
тически скорость падения достигает своего предельного значения весьма быстро, отличаясь от него на весьма малую величину. Именно такую картину наблюдают на практике при затяжных прыжках с парашютом с большой высоты.
Решить уравнения:
651. /-^ = x(x-l); г/(2)=1, w'(2) = —1.
652. (1 — х2)у" — ху'--=2.
653. 2ху'"у" = у"2 — а2.
654. (1 +х2)/+1 + г/'2-0.
655. у'" (х-1)-/ = 0; у (2)^2; /(2)=1, у" (2)^1.
4. Дифференциальные уравнения вида F (у, у', у", . . Ул)) = 0, не содержащие независимой переменной. Уравнение этого вида допускает понижение порядка на единицу, если положить y' = z, а за новый аргумент принять сам у. В этом случае у", у'", ... выразятся по формулам (они выводятся dz
по правилу дифференцирования сложной функции) y” = z~, у'" — гХ иу
.. через z и производные от z по у, причем порядок
Z
уравнения понизится на единицу.
656. Решить уравнение 1 + у'2 = уу".
142
д Положим yf = z, y'' = z~. Уравнение примет вид \z2 = yz ; это— ui/ CLy
уравнение первого порядка относительно z с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:
ln(l+z2) = 21n</ + 21nCi; 1+га = с!//2; г = ± j/C^2~ 1 •
1 -т 2 У
Отсюда, возвращаясь к переменной у, имеем
/=±/с^П, p^==±dx, lin (ciy+KqF=T)=± (x+Q,
или
t/=4- (e±{x+c2> с, +ет(л: + с2) c,j ' ch С1 (Л- + С,) =с* ch . £
657. Найти / из уравнения у2" = b smy — ky'2 при начальных условиях у (0) = 0, у' (0) = 0.
Л Положим y'2 = z; тогда 2у'у” — ze — у' , т. е. . Уравнение
примет вид sin у — kz. Это—линейное уравнение первого порядка
z ау
относительно z:
~-[~2&z = 25 sin у.
Решая его методом Бернулли, т. е. используя подстановку 2 = ии, получим
— 25 sin y\
и = е~2&У, du = 2Ье2кУ sin у dy.
Интегрируя, находим
25
v — У2ГТТ2 e2fiy (2^ sin у — cos у) 4- С
И
25
z — au = Cg ~ 4fe2 № sin y~cos У) ~У'2
25
Используем начальные условия: С—т. е- '2'=-
25 отк^а
получаем
25
У'
-j-—^-(e-2^ + 25siny —cos//) . Д
658. Найти кривую, у которой радиус кривизны равен кубу нормали; искомая кривая должна проходить через точку М (0; 1) и иметь в этой точке касательную, составляющую с осью Ох угол 45°.
Л Так как радиус кривизны плоской кривой выражается формулой U+ ^/'2)3/2У"> з длина нормали A7 =yV 1 у'2, то дифференциальное
143
уравнение задачи примет вид
у
(1 + ^'2)3/2, приходим к уравнению у"-у*—\.
„ dz dz ~ ,
У~г‘(1у* ПОЛУЧИМ лля 2 уравнение .^=1.
Отсюда, сократив на Полагая у'—z, Интегрируя его, находим
zdz = y~2dy, или у г2=— У y~2+jCi, т. е. г2 = С1—у-2;
возвращаясь к переменной у, приходим к уравнению y,2 — Ci — у~2.
Произвольную постоянную Ci найдем из условия, что касательная в точке М (0; 1) составляет с осью Ох угол 45°, т. е. tg45° = y^ = l, или г/'(0)=1. Следовательно, 1 — С±—1, т. е. —2.
Таким образом, для определения у получено уравнение первого порядка ,2О2 , V — 1
у = 2 —г/2, откуда у' = -—; разделяем переменные и интегрируем:
-7-^y=dx- 1/2^=Т = х+|с2; у*=А[(2х+Сг)2+П.
у 2у*—j z z z
Произвольную постоянную С2 находим из условия прохождения кривой через точку М (0; 1), т. е. 1=-^-[(2-04-С2)2+1]; С2 —1. Следовательно, искомая кривая определяется уравнениегМ
у2 = 2х2 + 2х+1. Д,
Решить уравнения:
659. /(2z/ + 3)—2z/'2 = 0.
660. у/-/2 = 0;Л(0) = 1, /(0) = 2.
661.
662.
663.
664.
665.
--'ту =°;л<°) = 1’ /(°)=2-«V =1+/ •
уу"—у'2—у2 In у.
у (1 — In у) у" + (1 + In У) y'z = 0.
У (1 + У) — у' + У''
5. Уравнения вида F (х, J, ...,Уп)) = 0, однородные относительно .у, у', у", . .Уравнение указанного вида допускает понижение порядка на единицу при замене у'/y = z, где z—новая неизвестная функция.
666. Решить уравнение Зу'2 = 4уу'' -}-у2.
А Разделим обе части уравнения на у2: 3(П2_4.^1.
\ У J У
ГТ УГ у" у'2 / У" f ! 2
Положим —=2, откуда --^=2, или —=2 4-2".
У У У У2 У
уравнение
В результате получим
3z2—4z2—4z' = l, или —4г'=1+г2, т. е.
dz
4- dx.
4
141
Отсюда, интегрируя, находим
arctg— х, или 2 = — или = tg —
Интегрируя последнее уравнение, получим
In r/ = 4 In cos ( С±~ ~ ) + 1п С2, или у — С2-сс& ( Сг~~ ). А
667. Решить уравнение у'2 + уу" =^уу'.
Д Хотя это уравнение принадлежит к предыдущему виду, его можно проинтегрировать более простым способом. В этом уравнении левая часть есть j f\f / , d (цу')
(уу) , в силу чего уравнение принимает вид (уу ) =уу , или —^7-L=dx.
УУ
Отсюда 1п (уу') =х4-1п Сх, или уу'^Суг*, т. е. ydy = Сгех dx.
Интегрируя, находим окончательный ответ:
z/2/2 = C1ex + C2. А
Решить уравнения:
668. уу"—у'2 = 0. 669. (у+у')у” + у'* = 0.
670. 2xy,ntf=y,2 — a\ 671. /-//X л/(0) = 0, у' (0)=1.
672. Найти у' из уравнения 2yy” = ky— у'2 при начальных условиях у (0) = 1, у'(0) = 0.
• Подстановка yf2 — z.
673. Найти кривую, если проекция радиуса кривизны на ось Оу постоянна и равна а, а ось Ох касается искомой кривой в начале координат.
674. Найти кривую, у которой радиус кривизны в любой точке равен sec а, где а — угол, образованный с осью Ох касательной в соответствующей точке. Искомая кривая проходит через точку М (0; 1) и касательная к кривой в этой точке параллельна оси Ох.
675. Тело, находившееся в начальный момент в жидкости, погружается в нее под действием собственного веса без начальной скорости. Сопротивление жидкости прямо пропорционально скорости тела. Найти закон движения тела, если его масса т.
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
1. Основные понятия. Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение вида
(/<«> +Й1 (%) + а2(х) (x)y' + an(x)y = f(x). (1)
Здесь функции аг (х), а2 (х), ..., ап (х) и f (х) заданы и непрерывны в некотором промежутке ]а, 6[.
Уравнение (1) называется линейным неоднородным, или уравнением с правой частью. Если же Дх) = 0, то уравнение называется линейным однородным. Однородное уравнение с той же левой частью, что и данное неоднородное, называется соответствующим ему.
Зная одно частное решение у± линейного однородного уравнения, можно
145
с помощью линейной замены искомой функции y~yi-\^ zdx понизить порядок, а следовательно, и порядок соответствующего неоднородного уравнения на единицу. Полученное уравнение (п—1)-го порядка относительно z также является линейным.
,,, 2 1
676. Дано уравнение у +~У"—У + ~|п х У и известно частное решение у± = In х соответствующего однородного уравнения. Понизить порядок уравнения.
Д Воспользуемся подстановкой у = In х- z dx, где z—новая неизвестная функция. Тогда, подставляя соответствующие производные
i/' = T Jzdx+zlnx, у" = — Jzdx-|—^-4-z' Inx,
,,, 2 С Л 3z . 3z' . „
У =-^-ydx—^+—+г 1пх
в данное уравнение, получим уравнение второго порядка
„ . , 2 In х , ( 1 \
z'inx-j---з----z +1 ^2—lnxlz = x. А
Примечание. Отметим, что применяя указанную подстановку к линейному уравнению второго порядка и учитывая, что линейное уравнение первого порядка интегрируется в квадратурах, можно проинтегрировать в квадратурах всякое линейное уравнение второго порядка, если известно одно частное решение соответствующего однородного уравнения.
2
677. Проинтегрировать уравнение у"-\—у + у = имеющее sin х
частное решение уг .
л гт sinx Р ,
Л Произведем замену у = ——-\ zdx; тогда
. xcosx— sin х Р , . sin х у=--------г----^х+—Z,
„ sin х . . 2 (xcosx—sin х) (х2 — 2) sin х4- 2х cos х Р z/=.-----г' 4- —--5z — ------------------------\ z dx.
v х 1 х2 х3 J
Получаем уравнение
С, sin x-z' + 2cos х-г = 0, т. е. z — —Ц— . sin2x
Следовательно,
sin х Р Ci dx sin х z „ _ , . _ sin х _ cos х .
у=“ ^T=~(C2~C1Ct2x) = C2‘~T—С1 — -Ь Л Olli Д' Л, Л Лг
678. Понизить порядок и проинтегрировать уравнение у" sin2 х— = 2у, имеющее частное решение y^ctgx.
679. Уравнение у"—= 0 имеет частное решение у = х.
Понизить порядок и проинтегрировать это уравнение.
680. Уравнение #"+(tgx—2ctgx) r/' + 2ctg2x-// = 0 имеет частное решение z/ = sinx. Понизить порядок и проинтегрировать это уравнение.
146
2. Линейные однородные уравнения. Одним из замечательных свойств линейных уравнений является то, что общее решение таких уравнений можно найти по их известным частным решениям. Приведем теорему о структуре общего решения линейного однородного уравнения.
Теорема. Если у1у у2, ..., уп — линейно независимые частные решения уравнения
У^+сЬ. (х) (/n"1> + a2 (х) г/<"-2>+ ... +а„ (х) у = 0,
то y = C1y1JrC2yi^~ -гСпуп есть общее решение этого уравнения (Сь С2, •••, Сп — произвольные постоянные).
Примечание. Функции у^ (х), у2 (х), уп (х) называются линейно независимыми в промежутке ]бх, Ь[, если они не связаны никаким тождеством
&1У1 + &2У2 + • • • + апУп —
где аг, а2, ап—какие-нибудь постоянные, не равные нулю одновременно. Для случая двух функций это условие можно сформулировать и так: две функции у! (х) и у2 (х) линейно независимы, если их отношение не является постоянной величиной: у±/у2 7= const. Например: 1) f/i = x, у2=^х2—линейно независимы; 2) у± = ех, у2 = е~х —линейно независимы; 3) у± = = 2е3х, у2 = 5е3* — линейно зависимы.
Достаточным условием линейной независимости п функций, непрерывных вместе со своими производными до (п—1)-го порядка в промежутке /?[, является то, что определитель Вронского (вронскиан) W [уъ у2, ..., уп] этих функций не равен нулю ни в одной точке промежутка ]а, Ь[, т. е.
W7 [</1> Уг............Уп1 =
У1 (х) у2 (х)
Уг (х) у2 (х)
• • Уп (х)
Уп (х)
/0.
,/«-D (Y\ (Y\ J^-i) /И
У1 W У2 (X) • • • Уп IX)
Если данные п функций являются частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то это условие (необра-щение в нуль) является не только достаточным, но и необходимым условием линейной независимости этих п решений.
Вронскиан п решений линейного однородного уравнения n-го порядка
^n) + ai (х) z/<n-D+ ... 4-а„ (х) у = 0
связан с первым коэффициентом этого уравнения а± (х) формулой Лиувилля — Остроградского'.
аг (х) dx
W \Уъ У2> • • • > Уп\ — W \У1> Уъ> • • • ’ Уп\ 1х=х0'е
Совокупность п решений линейного однородного уравнения /г-го порядка, определенных и линейно независимых в промежутке ]а, Ь[, называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
у"+а, (х) у’ + а2 (х) у = 0
фундаментальная система состоит из двух линейно независимых решений у± (х) и г/2(х); его общее решение находится по формуле
У — С1У1 (х) + С2у2 (х).
Если для такого уравнения известно одно частное решение у± (х), то второе его решение, линейно независимое с первым, можно найти по формуле
147
(являющейся следствием формулы Лиувилля—Остроградского)
- \ (x)dx С в
У2 (*)=У1 (х) ----—------dx.
J yi W
Это дает возможность интегрировать линейные однородные уравнения второго порядка, для которых известно одно частное решение, сразу, не прибегая к понижению их порядка.
2
Так, в примере 677 для уравнения /' + —+ = O известно решение
. . sin х u „
У1 W — • Найдем по приведенной выше формуле второе решение:
Г -Л —
х' J /sinx\2 X J sm2x X
\ к 1
Поэтому общее решение данного уравнения имеет вид
sin х cos х
У — С1----С о — — •
X X
Рекомендуем решить этим способом примеры 678 — 680.
681. Показать, что у^С^ -\-С2е~зх является общим решением уравнения у"—9г/ = 0.
Д Подстановкой в уравнение легко убедиться в том, что функции r/x = e3* и у2 = е~3х являются его решениями. Эти частные решения линейно независимы, так как yi/Уъ = е3х/е~3х = eQx ф const, а потому они составляют фундаментальную систему решений и, следовательно, г/ = Схе3х4_С’2^“3л— общее решение. Д
682. Дано уравнение у"'— у' = 0. Составляют ли фундаментальную систему решений функции е*, е~х, chx, являющиеся, как легко проверить, решениями этого уравнения?
ДДля проверки линейной независимости этих решений вычислим вронскиан:
е~х
W (х) —
ех —е-х
ех е~х
ch х sh х ch х
Этот определитель равен нулю, так как элементы 1-й и 3-й строк одинаковы.
Следовательно, данные функции линейно зависимы, а потому составить общее решение по этим частным решениям нельзя. Тот же результат можно получить быстрее, поскольку ch х = (ех-]-е~х)/2 и, следовательно, данные три функции линейно зависимы. А
683. Уравнению у"—у = 0 удовлетворяют два частных решения у± — shx, y2 = chx. Составляют ли они фундаментальную систему?
684. Можно ли составить общее решение уравнения у" +
148
+ ф*/ + (1------4^2-')у = ^ по двум его частным решениям
, 1 1
У -sinx, p2 = y^--cosx?
Установить, являются ли линейно независимыми в промежутке своего существования следующие функции:
685. х+1, 2х+1, х + 2.
686. 2х2+ 1, х2—1, х + 2.
687. Yх, J/^x-j-a, Кх + 2а.
688. 1п(2х), 1п(3х), 1п(4х).
3. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейным однородным уравнением п-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
^л) + «1/+ _ х> + п~ 2) + • • • + ап- 1У' + «»!/ = °, (9
где коэффициенты alt а2, .an-i, ап—некоторые действительные числа. Для нахождения частных решений уравнения (1) составляют характеристическое уравнение
kn + a1kn-1 + a2k^-2+ ... +an_1k + an = 0, (2)
которое получается из уравнения (1) заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями k, причем сама функция заменяется единицей. Уравнение (2) является уравнением п-й степени и имеет п корней (действительных или комплексных, среди которых могут быть и равные).
Тогда общее решение дифференциального уравнения (1) строится в зависимости от характера корней уравнения (2):
1) каждому действительному простому корню k в общем решении соответствует слагаемое вида Cekx\
2) каждому действительному корню кратности т в общем решении соответствует слагаемое вида (С14-С2х-(- • • • rCmx’n-1) ekx\
3) каждой паре комплексных сопряженных простых корней № = a-j-fta* и &(2) —a —|3i в общем решении соответствует слагаемое вида еах (Cr cos Рх + + С2 sin ₽х);
4) каждой паре комплексных сопряженных корней £(1> = cc-|-Pf и £(2V= ~а — р/ кратности т в общем решении соответствует слагаемое вида е™ [(Ci + С2х + ... + Ст_ухт ~х) cos рх] + [(С^ + С^хД ... + С^_-х) sin рх].
689. Найти общее решение уравнения у"—7у' + 6у = 0.
Д Составим характеристическое уравнение k2 — 7^Д6 = 0; его корни kr — = 6, k2~\. Следовательно, е^х и ех — частные линейно независимые решения, а общее решение имеет вид
z/=Ci^+c2^. А
690. Найти общее решения уравнения i/IV—13z/"-|-36г/ = 0.
Д Характеристическое уравнение имеет вид №—13&2-}-36 = 0; его корням 2~ ±3, 4= ±2 соответствуют линейно независимые частные решения
е3л, e~ix, е2х и е~2х. Следовательно, общее решение
у = С1е3х + С2в-^х + С3е2х + С^е-2х. А
691. Найти решение уравнения х—х—2х=0, удовлетворяющее начальным условиям х=0, х — 3 при t = Q.
149
Л Характеристическое уравнение 62—6—2 = 0 имеет корни 6i = 2, k2 = = —1. Следовательно, общее решение x = C1e2tJrC2e~t. Подставляя начальные условия в общее решение и его производную, получим систему уравнений относительно С1 и С2:
( 0 = СН-С2,
( 3 = 2СХ—С2,
откуда Сг= 1, С2 =—1. Значит, решение, удовлетворяющее поставленным начальным условиям, имеет вид y = e2t—e~t. А
692. Найти решение уравнения х—2х=0, удовлетворяющее краевым условиям х=0 при t = 0 и х = 3 при / = 1п2.
Д Характеристическое уравнение k2— 26 = 0 имеет корни kf = Q, 62 = 2. Следовательно, общее решение записывается в виде x = C1-^-C2e2t. Подставляя краевые условия в найденное общее решение, получаем
j С1Ч~С2 —0, ( =
j С1-]-С2е2^п2 = 3, или ( Cj + 4C2 = 3.
Отсюда Сх =—1, С2=1. Итак, х = е2х— 1—искомое частное решение, удовлетворяющее заданным краевым условиям. А
693. Найти общее решение уравнения у" — 2у" + у' = 0.
Д Характеристическое уравнение 63— 2k2-]-k = 0 имеет корни &i = 0, k2 = = 63=1. Здесь 1 является двукратным корнем, а поэтому линейно независимыми частными решениями служат 1, ех, хех. Общее решение имеет вид
у = С1 + С2ех + С3хех. А
694. Найти общее решение уравнения у"—13у = 0.
Л Характеристическое уравнение k2— 46—13 = 0 имеет корни 6 = 2 ± 31. Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, а потому им соответствуют частные решения е2х cos Зх и е2х sin Зх. Следовательно, общее решение есть
у = е2х (Сх cos Зх-]-С2 sin Зх). А
695. Материальная точка массы т движется по оси Ох под действием восстанавливающей силы, направленной к началу координат и пропорциональной расстоянию движущейся точки от начала; среда, в которой происходит движение, оказывает движению точки сопротивление, пропорциональное скорости движения. Найти закон движения.
Д Пусть х—скорость точки; х—ее ускорение; на точку действуют две силы: восстанавливающая /д =—ах и сила сопротивления среды /2 =—Ьх. Согласно второму закону Ньютона, имеем
тх~—Ьх—ах, или тх-\- Ьх-\-ах = 0.
Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его характеристическое уравнение /пб266 + а = 0 имеет корни
*i, 2 = (—b ± V Ь2—4та)/(2т).
1) Если Ь2— 4та > 0, то корни—действительные, различные и оба отрицательные; вводя для них обозначения
ki = (—6 Ь2^ 4 та)/(2 т) = —/т, 62 = — (Ь + У Ь2—4та)/(2т) = —г2,
150
находим общее решение уравнения движения в виде х = С±е г^-\~С2е
(это—случай так называемого апериодического движения).
2) Если Ь2— 4та = 0, то корни характеристического уравнения — действительные равные:
k1 = k2 =—b/(2m) = —г.
В этом случае общее решение уравнения движения имеет вид х^С^ + С^е-г*.
3) Наконец, если Ь2— 4та < 0, то характеристическое уравнение имеет комплексные сопряженные корни:
kr = —a-f-РЛ k2 = —u — pi, где
a=Z?/(2m), ft = (У 4am— b2)/(2m).
Общее решение уравнения движения имеет вид
x = e~at (Ci cos р/ + С2 sin р/), или x = Ae~at sin (Р/ + <Ро), где
Л = КС1Н-С1> sin фо =Сх/Л, созф0 = С2/Д (затухающие колебания).
Найти общие решения уравнений:
696. у"—у' — 2у=0. 697. /-|-25у = 0.
698. у"—у' = 0. 699. у"—4у' + 4у = 0.
700. у™ — 2у'" + у" = 0. 701. yiV 4- а4у = 0.
702. /v4~5/'4-4z/= 0.
Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным или краевым условиям:
703. у" + 5/4- 6у = 0; z/(0) = 1, /(0) = —6.
704. /—10/ 4-251/= 0; г/(0) = 0, у’ (0) = 1.
705. у"—2/4-10г/=0; у(л/6) = 0, / (л/6) = ел/6.
706. 9/4- у = 0; н(Зл/2) = 2, /(Зл/2) = 0.
707. /4-3/ = 0; у(0)=1, /(0) = 2.
708. /4-9i/ = 0; t/(0) = 0, у(л/4)=1.
709. у" + у = 0; у' (0) == 1, у' (л/3) 0.
710. Решить задачу 695, если сила сопротивления среды равна нулю.
4. Линейные неоднородные уравнения. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения, т. е. уравнения с правой частью:
4- Щ (*) У{п~ + • • • 4- ап -1 (х) У' 4- ап W У = f (х), определяется следующей теоремой.
Если и~ и (х) —- частное решение неоднородного уравнения, a yt, у2, ..., уп — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид У = и-[-С1у1-\''
154
+ С2уг+• • •иными словами, общее решение неоднородного уравнения равно сумме любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.
Следовательно, для построения общего решения неоднородного уравнения надо -найти одно его частное решение (предполагая уже известным общее решение соответствуюшего однородного уравнения).
Рассмотрим два метода отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения.
Метод вариации произвольных постоянных. Этот метод применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения /г-го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.
Метод вариации заключается в следующем. Пусть известна фундаментальная система решений у1У у2, ...,уп соответствующего однородного уравнения. Тогда общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде
и (х) = С± (х) у± 4~ С2 (х) у2 + ... + Сп (х) уп,
где функции (х), С2(х), ..., Сп (х) определяются из системы уравнений
Ci W У14~^2 W У2 + • • • + сп W уп—
С*1 (х) У1 + С2 (х) у2 + • • • 4"Сп (х) уП~®>
Cl(x)y[n 2 4- С'2 (х) У2П 2) + . . • -\-Сп(х) У г? = О,
Ci (X) уГ*’ + С'2 (х) у(<Г” +... + Сп (х) у1пп~Х) = f (х)
I/ (х) — правая часть данного уравнения].
Для уравнения второго порядка у" + 0^ (х) f/' + «2 (х) y = f (х) соответствующая система имеет вид
( Ci (х) yi + С2 (х) у2 ~ О, ( C'i(x) У1 + С2(х) y2 = f (х).
Решение этой системы находится по формулам
г <..Х — С УгГ (х) dx yif (х) dx
г(У1>г/2) > г/2)’
в силу чего и (х) можно сразу определить по формуле
„ м _ „Г y*f W dx I „ f yif W dx
— J W (ylt y^ J WT’H
(здесь W (г/i, r/2)—вронскиан решений y± и r/2).
Пусть, например, требуется проинтегрировать уравнение
„ , 2 , ctgx
У + — У =
Для соответствующего однородного уравнения мы нашли частные решения у± — х_ и У2 = ~ (см. с. 146); их вронскиан W (уъ #2) =—
Поэтому и (х) можно найти по формуле
р cos х ctg х Л sin х ctg х
. , sin х \ x x , , cos x*\ x x ,
u(x)=--------------7—7-^7----dx 4------$ ]-------------ЦХ =
7 x J (—1/x2) x J {—1/X2)
sinx Ccos2x , cosx P , sinx r1 . . z _ cosx .
~~x— * ) sin~x' -----x— * j C°S X dx~—~ I n ‘ l+cos x]-----------
152
'г * sin x In I tg (x/2) I
Таким образом, u(x) =--------L-2.A.-L ZJ., a общее решение данного урав-
нения имеет вид
„ sin х . „ cos х . sin х , , , , ,лч , У = Cl ——+с2 ——I---------— In I tg (х/2) |.
Примечание. Еще раз отметим, что линейное неоднородное уравнение второго порядка может быть проинтегрировано в квадратурах, если известно одно частное решение i/i (х) соответствующего однородного уравнения; общее решение такого уравнения имеет вид у==С1у1-\-С2у2-{-и (х), где у2 определяется через У1 по формуле
Г - J* М dx
У2 = У1 1 ~----2----dx,
J У1
а и (х) определяется через yt и у2 по вышеприведенной формуле.
Метод подбора частного решения (метод неопределенных коэффициентов). Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и только в том случае, когда его правая часть имеет следующий вид:
f (х) (х) cos Рх + Qm (х) sin ₽х]
(или является суммой функций такого вида). Здесь а и0 — постоянные, Рп (х) и Qm(x)— многочлены от х соответственно п-й и /п-й степени.
Частное решение уравнения /г-го порядка
У™ + « + а^" -2) +... + апу = f (х)
(где f (х) имеет указанный вид, а аъ а2, ап—действительные постоянные
коэффициенты) следует искать в виде
и (x) = xreax [Pi (х) cos (Зх-j- Qz (х) sin Рх].
Здесь г равно показателю кратности корня аЦ-р/ в характеристическом уравнении ^п + а1/гп~1+ ... -\-ап = 0 (если характеристическое уравнение такого корня не имеет, то следует положить r = 0); Pi(x) и Qi (х) — полные многочлены от х степени / с неопределенными коэффициентами, причем Z равно наибольшему из чисел п и т (1 = п~^т, или
Pi W = AQxl + Л1Х;-1-)- ... + Ai', Qi(x)~ Bqx1 -j- Bix*“i-{- Bj.
Подчеркнем, что многочлены Pi (x) и Qi (x) должны быть полными (т. е. содержать все степени х от нуля до /), с различными неопределенными коэффициентами при одних и тех же степенях х в обоих многочленах и что при этом, если в выражение функции f (х) входит хотя бы одна из функций cosPx или sin рх, то в и (х) надо всегда вводить обе функции.
Неопределенные коэффициенты можно найти из системы линейных алгебраических уравнений, получаемых отождествлением коэффициентов подобных членов в правой и левой частях исходного уравнения после подстановки в него и (х) вместо у.
Проверку правильности выбранной формы частного решения дает сопоставление всех членов правой части уравнения с подобными им членами левой части, появившимися в ней после подстановки и (х).
Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких различных функций рассматриваемой структуры, то для отыскания частного решения такого уравнения нужно использовать теорему наложения решений: надо найти частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой части, и взять их сумму, которая и является частным решением исходного уравнения (т. е. уравнения с суммой соответствующих функций в правой части).
153
Примечание. Частными случаями функции f (х) рассматриваемой структуры (при наличии которых в правой части уравнения применим метод подбора частного решения) являются следующие функции:
1) / (х) = Аеах, А — постоянная {а + |3г^а}.
2) f (х) = A cos (Зх-фВ sin |3х, А и В — постоянные +
3) f (х)=Рп (х) (многочлен степени п) {а + 6/ == 0}.
4) f (х) = Рп (х) еах {а + В? = а}.
5) f (х) =Рп (х) cos px+Q^ (х) sin Рх {а + Р^^РО-
6) f (х) =еах (Л cos Рх-ф-В sin рх), А и В — постоянные.
711. Найти частное решение уравнения у" — 2 у'— 3y — eix, удовлетворяющее краевым условиям у |х= in 2 = 1; у |х=2 in 2 = 1.
Д Характеристическое уравнение k2— 2k — 3 — 0 имеет корни k± = 3, k2 =—1. Общее решение соответствующего однородного уравнения у = Сге3х-[-А~С2е~х. Частное решение исходного уравнения следует искать в виде и=Ае*х (так как в правой части отсутствуют синус и косинус, коэффициентом при показательной функции служит многочлен нулевой степени, т. е. 1 = п = 0, и г = 0, поскольку а = 4 не является корнем характеристического уравнения).
Итак,
— 3
— 2
1
и = Ае*х и'= 4Aeix и" = 10Ае±х
и" — 2и' — Зи = 5 Aeix = е*х
Таким образом, А = 1/5. Следовательно, общее решение данного уравнения у = Cie3x + С2е-х+4 eix.
О
Для нахождения Сх и С2 воспользуемся краевыми условиями:
( С1е’1пз+С2е->п2+1е*1п2=1> f 80, 4-1с2+^=1,
1 О I Z о
J 1 или < । 9’6
I Clg6 In 2_j_(;2e-2 In 2_|_ * es In 2= 1, 64С14-фС2 + ^-=1.
I D 4 О
Отсюда Cx =—491/600, C2 — 652/75. Итак,
, = le4x + ^e_.__491
У 5 75 600 A
712. Проинтегрировать уравнение у” -ту'— 2z/ = cosx—3sinx при начальных условиях z/(0) = 1, у’ (0) = 2.
Д Характеристическое уравнение k2-Pk~2 = 0 имеет корни &х = 1, k2 — =— 2, а потому общее решение однородного уравнения у = С1е~2х + С2ех. Частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
и = A cos х-]-В sin х
(в данном случае а = 0, (3=1, ос-4-Rf =Z; поскольку такого корня у характеристического уравнения нет, то r = 0; т = п = 0, а следовательно, и / = 0)е Итак,
— 2
1
1
и = A cos хф-В sin х и' = — A sin х + В cos х и" = — A cos х — В sin х
— 2и = (В — ЗА) cosx-ф- (—ЗВ — A) sinx= cos х — 3 sin х.
154
т. е. А = 0, В — 1.
Таким образом, имеем систему J В — 34 = 1, (33 + 4 = 3,
Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид у = С1е~2х + С2ех 4-sin х.
Найдем Ci и С2, используя начальные условия:
( C1e° + C2e° + sin0 = l, ( Ci + C2 = l,
\ — 2C1e° + C2e° + cosO = 2, ИЛИ ( — 2С1 + С2 = 1.
Отсюда Ci = 0, С2=1, т. е. у = ех ~-sin х. А
713. Проинтегрировать уравнение у" — y' = ch2x при начальных условиях у(6) = у' (0) = 0.
Д Характеристическое уравнение k2— k = 0 имеет корни + = 0, #2 = 1. Общее решение однородного уравнения y = Ci-\~C2ex. Частное решение неоднородного уравнения в данном случае можно искать в виде и = А ch 2х + 3 sh 2х. Дифференцируя и подставляя в исходное уравнение, получим:
0
и = 4 ch 2х + В sh 2х и' = 24 sh 2х+ 2В ch 2х и" = 44 ch 2х4- 43 sh 2х
и" — и' = (44 — 2В) ch 2х+ (43— 24) sh 2x=ch 2х,
Таким образом,
44-23=1, — 24+43 =0;
4=1/3, 3=1/6. ,
Значит, общее решение исходного уравнения имеет вид y = CiArC2ex + -|-ch 2*+-1- sh 2x.
О О
Для нахождения Ci и С2 используем начальные условия:
' C1 + C2-e<’ + 4-chO + TshO = O, f Ci+C2=--i,
OU I о
< 9 i ИЛИ /
C2.e° + ^- sh 0 + 4 ch 0 = 0, c2+4 = 0.
. <J о t о
Следовательно, Ci = 0, C2 = — 1/3. Итак, искомое частное решение имеет вид
у = —e* + -|-ch 2x+-^-sh 2х. А О О о
Примечание. Согласно общей теории мы должны были бы правую часть заданного уравнения представить в виде (1/2) (е2* + е“2х) и применить теорему наложения, т. е. искать отдельно решения, соответствующие слагаемым (\/2)е2х и (1/2) е-2* правой части. Мы имели бы:
для (1/2) е2х:а = 2, (3=0; а + (3/ = 2; г = 0; п = / = 0; таким образом, «1 (х)= 4++
для (1/2)е-2*:а] = —2, Pi = 0; ai + Pif = — 2; г = 0; ц1 = /1 = 0; таким образом, и2 (х) = Bie~2x.
Поэтому частное решение следовало искать в виде
и (х) = «1 (х) + и2 (х) = А±е2х + 31e~2v,
155
Xit?2*_p Bi£-2* — Ai (ch 2x-f- sh 2x) + (ch 2x—sh 2x) = = (Ai4~Bi) ch 2x+(^i — Bi) sh 2x = A ch 2x4-В sh 2x.
Именно в этом виде мы и искали решение данного уравнения.
Вообще следует заметить, что при изменении метода подбора частного решения последнее всегда отыскивается в виде функции такой же структуры, как и правая часть заданного уравнения, но при этом целесообразно дополненной добавочными слагаемыми и множителями, чтобы обеспечить возможность отождествления полученных после подстановки в левую часть уравнения членов со всеми (подобными им) членами правой части.
714. Решить уравнение у"—2у' -\-2у = х2.
Л Характеристическое уравнение k2—2k4-2 = 0 имеет корни &ii2=l ± *, а потому общее решение однородного уравнения у = ех (Ci cos x-f-C2 sin x). Частное решение следует искать в виде и = Ах2-}-Вх-\-С (в данном случае а = 0, Р = 0, a4~₽i=0; так как 0 не является корнем характеристического уравнения, то г = 0; п = / = 2). Итак,
2 и = Ах2 + Вх-\-С
4----2 и’=2 АхВ
1 и" = 2А
и"—2и' 4- 2и = 2Ах2 4- (2В—4А) х+ (2С — 2В + 2А) = х2.
Отсюда 2А = 1, 2В—4А = 0, 2С — 2В + 2А = 0, т. е. Л=1/2, В=1,С=1/2. Следовательно, общее решение исходного уравнения
r/ = ^(C1cosx4-C2sinx)4-Y U+1)2- А
715. Решить уравнение у" + у = хех + 2е
Л Характеристическое уравнение &2-]— 1 =0 имеет корни 2 = ±/, поэтому общее решение однородного уравнения у = С± cos х4-С2 sin х. Пользуясь принципом наложения, частное решение исходного уравнения будем искать в виде u = Wi4-w2 = (Ax4-B) ех-}-Се~х (имеем для 1ц: fi(x) = xex, «1=1, pi = 0, «14-61* = 1; поскольку такого корня нет, гх=0; п=1=\\для и2: /2(х) = = 2е~х; а2 =—1, Р2 = 0, а24-Р2* = —Ь г2 = 0; щ = /1 = 0). Итак,
1 и = (Ах + В)ех + Се~х
4- 0 и' = Аех + (Ах+В)ех—Се-х
1 и" = 2Аех + (Лх+В)ех+Се~х
и" 4- и = 2Ахех 4- (2А 4- 2В) ех 4- 2Се - х = хех 4- 2е - х.
Отсюда 2А=1, 2А + %В = 0, 2С = 2, т. е. А = 1/2, В = — 1/2, С=1. Следовательно, общее решение исходного уравнения
y = Cr cos х4~С2 sin х 4-“2 (х—1)ех~е~х. А
716. Решить уравнение у^Л-у”— 2у =х—ех.
Л Характеристическое уравнение &34-&2— 26 = 0 имеет корни k± = 0, k2 = 1, k3 = — 2, а потому общее решение однородного уравнения ^ = Ci + 4- С2ех -\-С3е~2х. Частное решение ищем, пользуясь принципом наложения, в виде u = Ui4~**2 = * (Ах4~В) 4-Схе*. Итак,
0
— 2
и = (АхА~В) х-\-Схех
и' = 2Ах4- В 4- Сех 4- Схех
и" = 2А + 2Сех-\-Схех
= ЗСех + Схех
и’ ’' -f- и" — 2и' = — 4Ах4-(2А —ЗВ) 4-ЗСеЛ’ = х — ех.
156
Отсюда —4А = 1, 2А— 2В = 0, ЗС =—1, т. е. А =—1/4, В =—1/4, С — —1/3. Следовательно, общее решение исходного уравнения
? = С1ТС./ + Сзе-2Л-^(Н А
717. Найти решение уравнения у" + У — % sin х, удовлетворяющее краевым условиям у (0) + у' (0) = 0, у (п!2) + у' (я/2) — 0.
Л Характеристическое уравнение &24-1=0 имеет корни 2 = ± h а потому общее решение однородного уравнения y = Cj cos х4-С2 sin х. Частное решение следует искать в виде и = х (A cos х4~В sin х) (в данном случае а=0, р = г, = так как i является простым корнем характеристического уравнения, то r=l; т = п = / = 0). Итак,
1 u = (A cos х-\-В sin %) х
4- 0 и'=(—A sin х4-В cos х)4~(А cos х4-В sin х)
1 и" = 2(—A sin х4~В cos х)4~(—A cos х—В sinx) х и" 4- и = — 2А sin х4~ 2В cos х 3 sin х.
Отсюда —2А—3, 2В = 0, т. е. А = — 3/2, В = 0. Следовательно, общее решение исходного уравнения
3 у = С± cosx + C2 sinx—j х cos х-
Постоянные Cf и С2 найдем, используя краевые условия. Имеем 3 3
у' = — Ci sin х4-С2 cos *4~у х sin х — cos х, и, далее,
3
у (0) = Ci cos 0 4- С2 sin 0 ——•0* cos 0 = Сь
3 3 3
у' (0) = — Ci sin 04-С2 cos 04-у*0*sin 0—— cos 0 = С2—-%, (от \ ~ л . ~ . л 3 л тс ~
~2 J~C1 cos у + С2 sin у—у ’ ycos у = С2,
, / л \ о . тс . 3 тс . тс 3 тс ~ , Зя
У ( у —Cisiny4-C2 cos 2-4-у • ysmy~y cos у — Сх4- —.
Таким образом,
У(Щ + у' (0) =С14-С2 —3/2 = 0,
у (л/2) 4-У' (л/2) = С2 — Ci 4- Зя/4 = 0, откуда получим систему уравнений
f Сi4- с2 = 3/2,
Ci — С2 — Зл/4,
решая которую, находим Ci = 3 (2-|-л)/8, С2 = (2 — л)/8. Значит, решение исходного уравнения, удовлетворяющее поставленным краевым условиям, имеет вид
3 3
[(л4~2) cos х—(л —2) sinx] —у х cosx. Д
718. Найти решение уравнения y"4-6y'4- 10y=80e*cosx, удовлетворяющее начальным условиям у (0) = 4, у' (0) = 10.
157
Характеристическое уравнение &2 + 6&+10 —О имеет корни 2 == —— 3 ± i и общее решение соответствующего однородного уравнения ’ у ~ = е~3х (Ci cos x-j-C2 sin x). Частное решение данного неоднородного уравнения будем искать в виде и =ех (Л cos х + В sin х). Тогда
10
и = ех (A cos х + В sin х)
и' =ех (Л cos х+В sinx—A sin х + В cosx) и" = ех (— 2 A sin х-|-2В cos х)
ц"+6&'+ Юн — ех [(16Л + 8В) cos х+ (16В— 8Л) sin х] == 80ех cos х.
Отсюда 16Л+8В = 80, 16В — 8Л=0, т. е. А = 4, В = 2, и общее решение исходного уравнения таково:
у = е~3х cos хЦ-С2 sin х) + 2г* (2 cos x-f-sin х).
Постоянные Сг и С2 найдем, используя начальные условия. Имеем
у' —е-зх (___ зсх cos х—ЗС2 sinx—Ci sin x-j-C2 cos х)А~2ех (3 cos х—sinx)
и, далее, у (0) = Сг + 4 = 4, г/'(0) — — ЗС1 + С2 + 6= 10, откуда Сх = 0, С2~4. Итак, решение исходного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид
y=z4e~3x sin х-\~2ех (2 cos x+sinx). А
719. Найти решение уравнения y" + y = igx, удовлетворяющее краевым условиям у (0) = у (л/6) = 0.
Д Характеристическое уравнение k*-{-1 =0 имеет корни &1\2=±Л а по" тому общее решение однородного уравнения y = Cr cos х+С2 sinx. Частное решение исходного уравнения методом неопределенных коэффициентов искать нельзя (функция /(х), в отличие от предыдущего, имеет другую структуру), а потому воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Будем искать решение уравнения в виде
y = Ct (х) cos х+ С2 (х) sin х,
где функции С± (х) и С2 (х) нужно найти из системы уравнений
{С[ (х) «/1 + ^2 (х) Г/2=О, или ( C*i(х) cosхС*2(х) sinх = 0, С1(х) «/1+^2 (х) y'2 = f (х), I—Ci (х) sinx+Сг (x)cosx = tgх.
Решая эту систему, получаем С[(х) = — sin2 x/cos х, C2 = sinx, откуда
Jsin2 х , , Л . 1 . ( х . п \ Л
-^-dx+4 = smx-lntg ^—4-—^ 4-Л;
С2 (х) = —-cos х + В.
(Вместо решения этой системы можно было воспользоваться формулами, приведенными на с. 152.)
Таким образом, общее решение исходного уравнения
/ х л X у = A cos х + В sinx—cos x-ln tg t —+~ j,
где А и В —произвольные постоянные, которые нужно определить из краевых условий:
J Л cos 0 + B sin 0 —cos 0-ln tg (л/4) =0, | A cos (л/6) + В sin (л/6) — cos (л/6) In tg (л/3) = 0.
Отсюда Л=0, B = (pr"3/2) 1пЗ. Следовательно, решение, удовлетворяющее поставленным краевым условиям, имеет вид
У 3 . 1 . ( х , л \ .
(/ = -——In 3 sin х—cos х In tg I —+—J
158
720. Свободно висящая на крюке однородная цепь соскальзывает с него под действием силы тяжести (трением можно пренебречь). Определить, за какое время соскользнет с крюка вся цепь, если в начальный момент цепь покоилась, а длина цепи с одной стороны крюка была равна 10 м, с другой 8 м.
Л Пусть масса одного погонного метра цепи равна т. Обозначим через х длину большей части цепи, свешивающейся с крюка через время t после начала движения. К центру тяжести цепи приложена сила F = [x—(18—х)] mg. Масса всей цепи равна 18m, ее ускорение равно х. Итак, приходим к уравнению движения центра тяжести цепи:
18тх = (2х—18) mg, или х—х = — g.
Это уравнение надо проинтегрировать при начальных условиях: х=10, х = 0 при 1 = 0.
Ко/рни характеристического уравнения 2 = ± частное решение
неоднородного уравнения следует искать в виде и = А\ после подстановки в уравнение находим 4=9. Таким образом, общее решение уравнения имеет вид
х = Сге* У ~/3 + С2 е~* У~!3 + 9,
Используя начальные условия, получим
(Ci + C2+9 = 10,
. НК§/з)(С1-с2)=о,
откуда С! = С2 = 0,5. Значит,
х = (е< у~& /3 4- е -(У^/3)/2 + 9 = 9+ch (t Kg/3).
Время, за которое соскользнет вся цепь, определится из условия: х=18 м при t = T. Следовательно,
z г- ч егУ7/з , е-гГ7/з
18 = 9-f-ch (Т g/З), или -----—%---------=9.
Решая полученное уравнение относительно Т, находим
Т = (3//”1)1п(9+4 К"5) ® 2,76 с. А
Решить уравнения:
721. у"—4/ + Зу = е^; t/(0) = 3, /(0) = 9.
722. у"—8/ + 16у = е4Л; у (0) = 0, у' (0) = 1.
723. у"—6y' + 25z/ = 2sinx4-3cosx.
724. у" + у = cos Зх; у (л/2) = 4, у'(л/2) = 1.
725. у"—6z/' + 8z/ = 3x2 + 2x+l.
726. 2у"—у' = 1; у(0) = 0, /(0)=1.
727. у" + 4у = sin 2х +1; г/(0) = 1/4, у'(0) = 0.
728. у"—4t/' = 2sh2x.
729. у" 4-4z/ = cos2x; у (0) = у (л/4) = 0.
730. у" + 3у' — 10у = хе-2*.
731. ytt—(a + ^)y' + a^y = aeax + b^x.
732. у"—y = xcos2x.
733. у"—9z/'4-20y = x2elx.
734. у"—j/ = 2shx; у(0) = 0, /(0) = 1.
735. у"—4y = ch2x.
159
736. у"—2у cos <р + у = 2 sin х cos <р.
737. у"—2у' -\-2у = ех sAnx.
738. у” + 9// = 2sinxsin 2х; у (0) = у (л/2) = 0.
739. z/"—4y' + 8z/ = 61eMsinx; у(0), у' (0) = 4.
740. Показать, что общее решение дифференциального уравнения у"—т?у = 0 можно представить в виде у = Сг ch тх + Сг х х sh тх.
741. Показать, что общее решение дифференциального уравнения у"—2а,у'—p2)z/ = 0 можно представить в виде у = = еах (С1 ch Рх + С2 sh Рх).
742, Определить закон движения материальной точки массы т, перемещающейся по прямой под влиянием восстанавливающей силы, направленной к началу отсчета перемещений и прямо пропорциональной расстоянию точки от начала отсчета, если сопротивление среды отсутствует, а на точку действует внешняя сила F= A sin и/.
Решить уравнения методом вариации произвольных постоянных:
743. у"-]-у= 1/Kcos2х. 744. j/" +5z/'+ 6// = 1/(1 + е2х).
745. z/"-j-4i/ = ctg 2х. 746. z/"cos (х/2) (1/4) ycos (х/2) — 1.
747. Решить задачу 720 с учетом трения цепи о крюк, если сила трения равна весу одного погонного метра цепи.
ф Уравнение движения центра тяжести цепи имеет вид
18x=gx—(18—х) g—g-1.
5. Уравнение Эйлера. Линейное уравнение с переменными коэффициентами вида
х«(/(«)4-а1х'г-1(/<',-1)+... 4-c„_iX(/'4-a„z/ = /(x) (1)
или более общего вида
(ax+b)n z/^’ + ai (ax + &)'!-L + + («х-|-6) y' + any=f(x) (2)
называется уравнением Эйлера. Здесь а{—постоянные коэффициенты. С помощью подстановок х = е* для уравнения (1) и ах~Ьу=--е* для уравнения (2) оба эти уравнения преобразуются в линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
748. Решить уравнение х^у"—ху' + у — О.
. . . dt 1 f
д Полагая х = ег, или t= In х, откуда -^-=—=е-1г получим
у dx dt dx у 9
у"=-^ 1е~‘у] ^ = (ye~i)t-e-i = (y—y)e-2t
(дифференцирование по t обозначаем точками). Тогда исходное уравнение примет вид
e2t-e~2t (у — у)—е*-е~*-у-{-у = 0, или у—2у-\-у = $.
160
Характеристическое уравнение k2—26 4-1 =0 имеет корни А’1==/г2=1. Следовательно, общее решение
t/ = (C1 + C20^, или */ = (Ci + C2 In %) %. А
749. Решить уравнение (4х—I)2//" — 2(4х—1) у' + 8у = 0.
Д Положим 4х—1 = е*; тогда dx=~ е* dt, -^-=4e~C Отсюда
у'= . -^_=4е-1.у y"=16e~2i(y—у).
dt dx у J
Исходное уравнение принимает вид
16е2*-е”2* (у—у)—4-2е*-е~*-у-^8у~0, или 2у—Зг/ + // = 0.
Характеристическое уравнение 2k2— 3k + 1 = 0 имеет корни &!=!, &2 = 1/2, Следовательно, общее решение
у = С^ + С2е*/2, или у = С1(4х— 1) + С2 Д
750. Решить уравнение у"—xy' + y — cos Inx.
Д Положим х—е*; тогда /=1пх, следовательно, у' = ух
их X
Хе~*, у" = (у— y)e~2i. Данное уравнение примет вид
у —2y + y = cos t.
Общее решение однородного уравнения есть у= (Q + С2/) е*, а частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде и = А cos / + В sin/. Тогда
1 и = A cos / + В sin /
+ —2 и' = —4 sin / + В cos /
1 и'1 = —4 cos t — В sin t
и" — 2и' + и = —2В cos t + 24 sin / == cos /,
откуда B = —1/2, 4 — 0. Следовательно, общее решение исходного уравнения y = (C1-\-C2t)et—i-sin /, или y = (Ct + С2 In х) х—-^-sinlnx. А
Решить уравнения:
751. х2р"—ху' 4-2г/ = 0.
752. хгу"—3xi/' + 3t/ = 31n2x.
753. хгу" + ху' z/ = sin(21nx).
754. х*у" + 3ху' + у= 1/х; t/(l)=l, /(1) = 0.
755. x^y"-3xy'+4y = xs/2-, у(1)=1/2, у (4) = 0.
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
1. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений. В некоторых случаях, когда интегрирование дифференциального уравнения в элементарных функциях невозможно, решение такого уравнения ищут в виде степенного ряда
У= 2 Сп(,х—ха)п.
м-0
6 № 1814
161
Неопределенные коэффициенты Сп (п = 0, 1, 2, ...) находят подстановкой ряда в уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях разности х—х0 в обеих частях полученного равенства. Если удается найти все коэффициенты ряда, то полученный ряд определяет решение во всей своей области сходимости.
В тех случаях, когда для уравнения y' = f(x, у) требуется решить задачу Коши при начальном условии у\х=Ха = Уо, решение можно искать с помощью ряда Тейлора:
2
п — О
где у(хо)~Уо, у' (xQ) = f (х0, Уо), а дальнейшие производные у(п} (xG) находят последовательным дифференцированием исходного уравнения и подстановкой в результат дифференцирования вместо х, у, у', ... значений х0, Уо, Уо и всех остальных найденных последующих производных. Аналогично с помощью ряда Тейлора можно интегрировать и уравнения высших порядков.
756. Проинтегрировать уравнение у"—х2у=0.
Д Будем искать решение этого уравнения в виде ряда
У = С0-\-С]Х-[-С2х2... + Спхп + ... .
Подставляя у и у” в исходное уравнение, находим
[2- 1С2 + 3-2С3х + 4-ЗС4х2+ ... + (п + 2) (/г + 1) Сп + 1хп + ...]-
- х2 [Со + С1Х + С2х2 + • • • + Спхп + ... ] 0.
Сгруппируем члены с одинаковыми степенями х:
2.1С2 + 3-2С8х3+ 2 [(" + 4)(п + 3)С,г + 1-С„]х« + 2^0.
n-Q
Приравнивая нулю все коэффициенты полученного ряда (чтобы уравнение обратилось в тождество), находим
С2-С3-0; c» + 4-(-~3)n(zj"+4j
(п = 0, 1,2, ...).
Последнее соотношение позволяет найти последовательно все коэффициенты искомого разложения (Со и С\ остаются произвольными и играют роль произвольных постоянных интегрирования):
__________Ср_________. р_______________Ci_________ .
4Л 3-4.7-8... (4k — 1)-4£’ 4ft + 1~4-5-8-9... 4k(4k + 1) ’
C1/; + 2 = C.u. + 3 = 0 (k = 0, 1, 2, ...).
Таким образом, x4ft x4^+1
У==С° fe"0 3-4-7-8 ... (44—1)46 +C1 4.5-8-9 ... 44 (44+ 1) ’
Полученные ряды сходятся на всей числовой оси и определяют два линейно независимых частных решения исходного уравнения. Д
С помощью разложения в ряд по степеням х проинтегрировать следующие уравнения и определить область существования полученного решения:
757. у —р ху = 0.
758. у'— х—2у\ у(0) = 0.
162
ф В силу начального условия положить Со = О.
759. у" + ху' + у = О.
760. у"—ху' — 2г/= 0.
761. у" + хЧу = 0- г/(0) = 0; г/'(0)=1.
ф В силу начальных условий положить Со=О, Сх = 1.
762. Проинтегрировать приближенно с помощью ряда Тейлора уравнение у' = х2 + у2, г/(0)=1, взяв шесть первых членов разложения, отличных от нуля.
Д Из уравнения начальных условий находим у' (0) = 02 -ф I2 = 1. Дифференцируя данное уравнение, последовательно получаем
у” = 2х + 2уу'', yffl=2 + 2y^ + 2yy\ yW = 6у'у" + 2уу"', z/V = 6/'2 + W"+2^v8
Полагая х = 0 и используя значения г/(0) = 1, уг (0) = 1, последовательно находим у" (0) —2, у'" (0) = 8, yi v (0) =28, z/v(0) = 144. Искомое решение имеет вид
. . х . 2х2 . 8х3 . 28 х4 . 144 х5 . .
у=1+пЪгЪт+-4г+-5г+---- ±
763. у" = х + у2, г/(0) = 0, у'(0) = 1. Найти четыре первых (отличных от нуля) члена разложения.
Л Дифференцируя уравнение у" = х-\-у2, имеем
y'" = l+2yy't у^ = 2уу" + 2у'2, у^ = 2уу'" + 6у'у\ y^=2yy^ + 8yryrr, + 8yf>2.
При х = 0 получаем
У (0) = 0, у' (0) = 1, г/"(0)=0, у”' (0) = 1, z/iv (0) = 2, z/V(O)=O, r/Vi(0) = 16.
Решение имеет вид
х . х3 . 2х4 . 16х3 . . х3 . х1 . х3 . .
г/=-П-+зг+чг+-бГ+-"=х+т+й2 + 45+--- • *
764. у' = х2г/ + у3, г/(0) = 1. Найти четыре первых (отличных от нуля) члена разложения.
765. г/'=х + 2г/2, г/(0) = 0. Найти два первых (отличных от нуля) члена разложения.
766. у"—хуг = 0, г/(0) = 1, у' (0) = 1. Найти четыре первых (отличных от нуля) члена разложения.
767. у' = 2х—у; г/(0) = 2. Найти точное решение.
768. г/'= г/2 + х; г/(0) = 1. Найти пять первых членов разложения.
769. г/" = (2х—1) у—1; г/(0) = 0, г/'(0) = 1. Найти пять первых членов разложения.
2. Уравнение Бесселя. Линейное дифференциальное уравнение с переменны-
ми коэффициентами, имеющее вид
х2//" + х/+ (х2—Х2)// = 0 (X = const), (1)
называется уравнением Бесселя (к этому же виду сводится уравнение х2/'4-+ ху' + (m2x2—V) у = 0 заменой тх = £),
6* 163
Решение уравнения (1) будем искать в виде обобщенного степенного ряда, т. е. произведения некоторой степени х на степенной ряд:
ОО
у = хг (а0 + C1-V + а2х2 4- ...) = 2 °* xr+R' k=o
(2)
Подставляя обобщенный степенной ряд в уравнение (1) и приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени х в левой части уравнения, получим систему
хг
xr+1 хг + 2
(г2—X2) я0 =0, [(r+l)2_.Z2]6Z1 = o, [(г + 2)2 — V] а2 + яо = о,
хг + к k)2 — /.2] ak+ ак_2 = 0.
Считая, что а0 0, из данной системы находим 2= ± X. Пусть ri~h. Тогда из второго уравнения системы находим ах==0, а из уравнения [(/* + &)2 — Х2]х Хак~— ак_2, придавая k значения 3, 5, 7, , заключаем, что а3 = а5 =
= а» = <ъ/г4 1 = 0. Для коэффициентов с четными номерами получаем вы-
ражения
— #0 __ — а2 ___________а0___________
G2“(2X + 2).2’ а4“(2Х + 4).4"'(Х+ 1) (X 4~ 2). П2-24 ’
а __ _ (_ nk+1___________________Ер------------------
(2X4-2).2.^"“^ ' 2.4.6 ... 26(2X4-2) (2Х 4-4)... (2Х 4-26)
Подставляя найденные коэффициенты в ряд (2), получим решение
Г %2
У1(х) = а0-хх р — 2 (2Л,-Ь2У2-4 (2X4-2) (2X4-4) “
X6 1 'V (—1)* x^+2fe
- 2• 4• 6 (2/. + 2) (2Х + 4) (2Х + 6) + ’'' J 4*й! (Х4-1) (Х4-2).. .(МИ) ’
где коэффициент а0 остается произвольным.
При г-2 — — все коэффициенты ак аналогично определяются только в случае, когда X не равно целому числу. Тогда решение можно получить, заменяя в предыдущем решении у± (х) величину X на —X:
[, х2 , х4
1 - 2 (-2X4-2) + 2-4 (—2X4- 2) (—2X4-4) ~
Х^ । ”|
~ 2 • 4 • 6 (—2Х 4- 2) (—2Х -j- 4) (—2Х 4- 6) + ‘' J =
(—1)AX-U2fe
““° /гТо k! (-Х 4-1) (—X4-2)...(-Х+ k) •
Полученные степенные ряды сходятся для всех значений х, что легко устанавливается на основании признака Даламбера. Решения уг (х) и у2 (х) линейно независимы, так как их отношение не является постоянным.
Решение у± (х), умноженное на постоянную J называется
(Л 4- 1)
функцией Бесселя (или цилиндрической функцией) порядка X первого рода и обозначается символом А (х). Решение у2 обозначают J_^(x).
Слеоовазелыю, общее решение уравнения (1) при Х} не равном целому 41 г ту, имеет вид
'у (х) (х) 4- С27_х (х),
г\- Cj и С2— произвольные постоянные величины.
В общепринятом выборе постоянной а0 участвует гамма-функция Г (Z-ф 1), которая определяется несобственным интегралом (см. с. 35):
со
Г (X) = е~х x^^dx (Z > 0).
о
Можно показать, что при Z, равном половине нечетного числа, функция Бесселя выражается через элементарные функции, так как в этом случае гамма-функция, входящая в определение функции Бесселя
2^Г (Z +1) 4*-&! (Z+ 1) (Z + 2).. .(Z-фЛ:) —
(—1)* ZxV+2/г
k\r(K + k+l) *\2у
[произведение (Z-ф 1) (X-ф2) ... (Z+&) Г (Z + 1) заменено, согласно свойству гамма-функции, на Г (Z-фk-ф 1)], принимает следующие значения:
Г
(здесь использовано значение интеграла Пуассона);
Функцию Бесселя Jпри Х — п (натуральном) можно записать так:
j (х\ __ .... ( .Jj___
п[) L* k\ г(п+^-ф1)
л=о
+ n (—l)ft f x\-k+n
2J
Для отрицательного и целого Z частное решение не выражается функцией Бесселя первого рода и его следует искать в форме
Кп (х) = Jn W • In х4-х_л 2 bkxk-
k=Q
Подставляя это выражение в уравнение (1), мы определим коэффициенты
Функция Кп (х), умноженная на некоторую постоянную, называется функцией Бесселя п-го порядка второго рода.
770. Найти функцию Бесселя при Z = 0.
Л Воспользовавшись равенством
V1* (—1)й / х \ 2k+\
j*. W = фл| Г(Л+^4-1) (Т)
165
при Z = 0 получим
(— 1)* / х\2Аг__\-< (—1)/г-х2/г_
J0 W —2-i 6!Г (/г+D v 2' I ~~ Z_* ~№-k\-k\ /г=0 4 1 ’ v ' fc=0
(—1^-X2^ 1 *2 I *4 I
“2-i 4^-(^!)2'“1 ~ T ‘ 42 (1 • 2)2“ 43 (1 • 2• 3)2“ * k-о
771. Решить уравнение x2z/" + xy' + (x2—
Л Так как %=l/2, то общее решение уравнения имеет вид y = C1J1^2 + + C2J_1/2, где
_________!___+/2 Г1 _ । _________________। 1/2 “ п1/2 ГР\ L 2-3^2.4-3-5 2-4-6-3.5-7^*
2 1 / х3 . х5 х7 \ __ 1 /" 2 sin х
“TbTVTv зГ+5Г_7!’+’'j У «’А
Точно так же получим
/ 2 cosx
-1/2= у
. Следовательно, общее решение
У= у — (Cl Sin х-\-С2 cosx).
772. Найти J1(x).
773. Решить уравнение х2у"ху'+ ^х2—^у = 0.
774. Решить уравнение х2у" ху' -Ц х2— + г/ = 0.
§ 5. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Нормальная система дифференциальных уравнений. Система дифференциальных уравнений вида
( dxl £ (4- \
—/1 (/> х1, х2, x/z),
dx2 г (4. ч
। Х1> Х2> •••> Хп)>
~ff = fnV’ Х^ *2’ •••>
где Xi, х2, хп — неизвестные функции независимой переменной /, назы-
вается нормальной системой.
Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно Xi, х2, хп, то система дифференциальных уравнений называется линейной.
Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению n-го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного (так называемый метод исключения).
166
В некоторых случаях, комбинируя уравнения системы, после несложных преобразований удается получить легко интегрируемые уравнения (так называемый метод интегрируемых комбинаций), что позволяет найти решение системы.
775. Решить систему дифференциальных уравнений dx . dy -dt'-=x + y,
при начальных условиях х (0) = 2, у (0) = 0.
dx du
Д Продифференцируем по t первое уравнение: = исклю-
dy dy-x n n „
чая из полученного уравнения и у, имеем —2х = 0. Характеристическое уравнение № — 2 = 0 имеет корни ki 2— ± V 2. Следовательно, общее решение для х запишется в виде
х^СУ V - 4-С2е_/1 2 .
Общее решение для у находим из первого уравнения:
Воспользуемся начальными условиями для нахождения произвольных постоянных:
С1 + С2 = 2, Т"2(С1-С2)-(С,+С2)=0.
Отсюда Ci —(У 2-|~2)/2, Сг = (2— У 2)/2. Таким образом, искомое частное решение имеет вид
776. Решить систему дифференциальных уравнений dx — х dy __ У dt 2xJy3y' d^ 2х-'ГЗу
при начальных условиях х(0) = 1, у(0) = 2.
Л Составим первую интегрируемую комбинацию. Разделив первое уравнение на второе, получим
dx=_x = In X = ln z/ + ln Сь т. е. x=Cty.
dy у х у ’
Составим вторую интегрируемую комбинацию. Сложив удвоенное первое и утроенное второе уравнения, получим
2dx-\-3dy = dt, т. е. 2x+3y = t+C2. a I, Lil
Из системы уравнений х = Суу, 2x-{-3y = t -\-С2 находим общее решение системы
__Ci(^+C2) _ ^ + С2
2СХ + 3 ’ У~~2С^Г3'
167
Используя начальные условия, получаем
1 __ 018*2
j“2Ci + 3 ’
2-2-Дз- ’ ' с1-4’с<“8-
Подставив в общее решение найденные значения Су и С2, получим частные решения, удовлетворяющие начальным условиям: х = (1/8)/ф-1, У = = (1/4) ^ + 2. А/
777. Решить систему дифференциальных уравнений
— — 2z — = 2х
dt~^' dt
Л Продифференцируем no t первое уравнение: ^*=2 . Исключая из
dy d2% л т- ,, j.
полученного уравнения , имеем —^ = 4z. Еще раз продифференцируем пог d^x dz dz
полученное уравнение второго порядка: -^д-^4—. Исключая — , получим d^x •^-8x^0, dt6
т. е. мы пришли к уравнению с одной неизвестной функцией. Решив это линейное однородное уравнение третьего порядка, находим
х — С-У* -\-e~t (С2 cos t У 3 + C3smZ|/r 3).
Общее решение для у получим из первого уравнения системы:
У= 4--^- = 4- [2Cie«-e-* (С2 cos t V З-Сз sin t / 3) + Z til x
4-e-< V 3 (C3 cos t К 3-C2 sin t Y 3)],
ПЛИ
у=Схе-* H-j е-Ц(Сз Y 3 + C2) cos t К 3-(C,) Y 3+ C3) sin t Y 3].
Из второго уравнения системы найдем z:
г=^-%-=c^2t - 4е"' [ (сз Y3 + С2) cos t Y5- (С2 Y 3 - Сз) sin t / 3]. A
Решить системы дифференциальных уравнений:
778. -g- = 2.v4-//, -J- = л-4-2//; л(0)=1, у (0) = 3.
779. -^- = 4x4-6//, -g- = 2л-г3// Yt.
780. У, ^-=-2е^—х.
dt J ’ dt
781. yf ==ex — z, zf = e~x + y.
782. 4;- = y4-^, = л-(0) = 1, y(0) = 0.
7CQ dx X dy о /Л\ 4
^3- Yt = A<0) = 2( z/(0) = 4.
784. ~ = 2x4-z/4-cost, ^ = — xY2sint.
138
785. ^- + ^- = 2(х + «/), ^- = 3х+у. dt 1 dt v 1 Jn dt 1 J 70л I %x 1 v ! и ' ^*_1
786- w + т^1’ -^ = * + f/-rT—1-
787. -g- = x2 + xz/, ^L = xy±y\
ф Рассмотреть две интегрируемые комбинации: 1) сложить уравнения; 2) разделить почленно первое уравнение на второе.
788- 5+¥-2<л'-^=3< S+l+2x+^=4e2<-
789. 45- + т2г/ = 0, -5 —m2x = 0.
dt* 1 J dt44
dx x dy __ у dz __ z
W~x2 + + +?2’ ~di"~ x2 + //2+z2’ ~dt~~ x2 + y2+z^
2. Решение линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью матриц (видоизмененный метод Эйлера). Пусть дана система п линейных дифференциальных уравнений с п неизвестными функциями, коэффициенты которой постоянные:
( dxi . , ,
= #11*14" #12*2 + • • • + а1пхт
«Х, I I !
—7—= #21*1 + #22*2 + • • • + #277*77»
— #/21*1 + #//2*2 + • • • + С1пп Хп.
Эту систему можно записать в виде одного матричного дифференциального уравнения
Здесь
/#11 #12 • • • #17/
Д I #21 #22 • • • #2/7
*1
*2
dX dt “
f dxi ~dT
dx2 dt
#771 #7/2* ••#7/72
dxn dt
Ищем решение системы в виде
xi=p!eu, x2=Pieu.......v„ = p,/',
где X = const, p[ = const (i = 1, 2, ..., n). Подставив значения Xf, Xo, ..., x в систему дифференциальных уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно plt р2, ..., рп: 1 1
r (#ii A) pi + #12/^2 + • • • ~г ainPn =
#21/^1+(#22 А) /72 + . . • + #2л/^н = О,
< ап1Р1 + ап2р% + • • • + (#77/7-А) рп = 0.
Система должна иметь ненулевое решение, поэтому для определения Л получаем уравнение п-й степени
#11— X #12 • • • СЦп
а21 #22— X ••• #2/2 _0
®ril ап2 • • • апп X
Последнее уравнение является характеристическим уравнением матрицы А и в то же время характеристическим уравнением системы.
Предположим, что характеристическое уравнение имеет п различных корней Хх, Х2, Хп, которые являются характеристическими числами матрицы А. Каждому характеристическому числу соответствует свой собственный вектор. Пусть характеристическому числу Х& соответствует собственный вектор (Pi*; РгЬ', •••; Pnk)> где 6 = 1, 2, ..., п. Тогда система дифференциальных уравнений имеет п решений:
1-е решение, соответствующее корню Х = Хх:
*ii = Pne?'1Z> х21=р21ек’1, , хн1--=
2-е решение, соответствующее корню Х = Х2:
*12 = Р12^ , Х22=Р22^у •••> ^п2 = Рп2^ \ f f • • •it s ttissgissitti*
п-е решение, соответствующее корню Х = Х/7:
%ln = Pine П > ^2п=Р2пР п > •••> Хпп = Рппе п •
Мы получили фундаментальную систему решений. Общее решение системы таково:
*1 = £1*11 “Г 0*2*12 + • • • + О/гХ1п,
*2 = £1*21 + О2Х22 + • • • + СпХ2п,
•••tit............g g t • g »
%n ~ Cl%nl 4“ O2*/72 ”b • • • 4“
Случаи комплексных и кратных корней рассмотрим на примерах.
791. Найти общее решение системы уравнений
^=7Л, + 3,2,
Д Составим характеристическое уравнение матрицы системы
= 0, или X2 — 11Х+Ю=0.
Его корни Хх = 1, Х2=Ю— характеристические числа матрицы.
ПриХ=1 уравнения [для определения собственного вектора имеют вид (7— 1) р1_|_Зр2 = 0 и 6pi4-(4—1) р2 = 0 и сводятся к одному уравнению 2pi4~p2 = 9. Последнее определяет вектор (1; —2).
При Х = 10 получаем уравнения (7—10) рх4-Зр2 = 0, 6рх4~ (4— 10) р2 = 9, или р2 = 0. Это уравнение определяет вектор (1; 1).
Получаем фундаментальную систему решений: для Х = 1: *хх=е*, *2Х =—2е*; для Х = 10: хХ2=е104 *22 = £1С£
Общее решение системы имеет вид
+ х2 = -ЧС^+С^.
17—X 3 I
6 4—1
170
792. Найти общее решение системы уравнений
г’
-^-=-4х+12^+Зг.
Л Составляем характеристическое уравнение матрицы системы:
6-Х —12 —1
1 —3 —X —1 = 0.
—4 12 3-Х
Раскрывая определитель, находим
(6 —Х)(Х2—9) —48—12+12 + 4Х+72—12Х + 36—12Х=0,
или окончательно X3—6Х2+11Х—6 = 0. Это уравнение имеет корни Xi=l, Х2 = 2, Х3 = 3. Определяем собственные векторы матрицы А,
При Х= 1 получаем систему уравнений
( 5рх — 12р2 — р3=0, < Pi— 4pz— Рз = 0> I —4pi +12р2 2рз = 0,
одно из которых — следствие двух других. Возьмем, например^ первые два уравнения:
5рх—12р2—р3 = 0, Pi—4р2 —р3 = 0.
Отсюда
P1 = |Z12 z! 1-^=8^ P2=-|f zj|-*=4fc, P3 = |fzJ2p—86-
Приняв k = 1/4, получаем собственный вектор (2; 1; —2).
При Х = 2 имеем систему
( 4pi— 12р2 —р3 = 0, < Pi — 5р2 —р3 = 0, I —4pi + 12р2 -|- Рз = 0.
Снова используя первые два уравнения (третье—их следствие), находим
pi=|z52 zj|-*=7*> P2=-|i z!|-^=3ft. pg=|j zJ2p=-8*.
Полагая k=l, находим собственный вектор (7; 3; —8).
При Х = 3 имеем систему
[ 3^ —12р2 —р3 = 0,
< Pi— 6Р2~ Рз = 0, I —4pi 4~ 12р2 —0-
Из последнего уравнения находим р^ = 3р2. Подставляем это значение pf в первое уравнение и находим ра = —Зр2. Приняв р2=1, получаем Pi = 3, рз = —3, т. е. собственный вектор (3; 1; —3).
Фундаментальная система решений:
для Х=1: xn = 2et, x2f = eft х31 = —2е^
для Х=2: х12 = 7e2t, x22 = 3e2t, x32 = —8e2t9
для Х=3: x13 = 3e3f, х23 = еЧ х33 = — ЗА
171
Общее решение записывается в виде
Хг = + 7С,е'2« 4- ЗС3е3/,
х2 = С1е< + ЗС2е2г+С3е3(,
х3 = — 2C1ei —8C2e2i —ЗС3е3(. Д
793. Найти общее решение системы уравнений
I
J аг
I dX2 О ! Л = ^1-г4х,.
Л Составляем характеристическое уравнение матрицы системы:
|47Л4-1| = 0; (4-А)2 = — 9, х-4=±3«, Л=4±3(.
Определяем собственные векторы.
При Ах — 4 + 3/ получаем систему уравнений
( 3ip1 — 3p2~0,
I 3pi + 3ip2 = 0.
Таким образом, р2~ ipi. Приняв рх=1, находим р2=г, т. е. собственный вектор (1; /)•
При Х2 = 4 — 31 получаем систему уравнений
J — 3ip1~- Зр2=0,
1 Зщ —3ip2 = 0.
Отсюда находим собственный вектор (1; —/).
Фундаментальная система решений:
для Хх = 4 + 3с
x11r=e(4+3z’)^= <+ (cos 3/ + / sin 3/), х21— fg(4+3f)t = ezt (— sin з/+/ cos 3/);
для X2 = 4 — 3i:
х32 = е<4“3/’>* = e^ (cos 3t — i sin 3/),
x22 = (— sin 3t—i cos 3i).
Итак, получаем общее решение
(cos 3t + i sin 3/) + С2е^ (cos 3t — i sin 3/),
x2 = (— sin 3t + i cos 3t) + C2elt (— sin 3t — i cos 3/),
t. e.
X1 = [(Cx + C2) cos 3t + (Ci—C2) i sin 3/], x2 = e^ [— (Cx + C2) sin 3/ + (Cx —C2) i cos 3/].
Полагая Cx + C2 = Cx, (C3— C2)i = C2, получаем
Xi = (Cx cos 3t + C2 sin 3/), = (—Cx sin 3/ + C2 cos 3t).
Общее решение может быть найдено и иначе. В решениях, соответствующих одному из комплексных характеристических чисел, отделим действительною и мнимую части (сопряженное характеристическое число мы не рассматриваем, так как решения, соответствующие корню а — Ы, линейно зависимы с решениями для корня а-{-Ыу.
g(4+3z)f _ eit С05 3/_|_ ielt Sjn fe(4-r3z)f_ — eit Sjn 3/_j_ соз з/е
172
Получаем два линейно независимых частных решения: Хц = e4t cos 3/, x2i =— e4tsin3/, xi2 = e4t sin 3/, x22 = e4t cos 3/. Общее решение
Xi = С1ХцС2Х12, x2 — С1Л21 4" С2Х22»
t. e.
Xi — e4^ (Ci cos З/4-С2 sin 3/), x2=eu(—Cx sin 3t-j-C2 cos 3t). A
794. Найти общее решение системы уравнений
’1 ^3,
dxi dt dx2 „ dt ~X1' dx3
dt —Xl — X2‘
Л Составляем характеристическое уравнение
1 —X
1
1
О -1
—л О
-1 -X
или (1—X) (1 4-Х2) =0.
Характеристические числа: Хх = 1, Х2 = /, Х3 —— i.
При Х= 1 для определения собственного вектора получаем систему уравнений
( —Рз = 0,
< Р1—р2=0.
I Pi—Pz~Рз = 0-
Эта система определяет собственный вектор (1; 1; 0).
При Х = / получаем систему уравнений
I (1—0Р1—Рз = 0.
< Pi — ipz = 0,
I Pi — Pz~‘Рз = 0-
Эта система определяет собственный вектор (1; —г, 1 — /)•
Собственный вектор, соответствующий характеристическому числу Х = — Г, мы рассматривать не будем.
Значению Х=1 соответствуют решения
Хц~е*> x21 = et, Хз1 = 0.
Значению k — i соответствуют решения
&t = cos 14- i sin /, — ie!i = sin t — i cos t, (1 — i) elt — (cos Z + sin t)-{-i (sin/ —cos /).
Отделяя действительные части, получим решения
х12 = cos /, х22 = sin/, Х32 — cos / 4~ sin/.
Отделяя мнимые части, находим решения
Xi3 = sin/, х2з — — cos/, x33 = sin/ —cos/.
Общее решение
Xi = 4- С2 соз / 4" С*з sin /,
х2 — 4- С2 sin t — С3 cos /,
х3 = С2 (cos / + sin /) С3 (sin / — cos /). Д
173
795. Найти общее решение системы уравнений
+ = 5.q —х2, + = Х1 + Зх2.
Л Решаем характеристическое уравнение:
|5уХ 3~\| = 0; (5— К) (3—Л)+1 = 0; Л2—8X4-16 = 0; Х1 = Х2 = 4.
Если Xi — корень характеристического уравнения кратности т, то этому корню соответствует решение Xi = pi(t) , х2 = р2 (0 , •••> хп = рп (/) ,
где pi (/), р2 (0> •••> Рп (0 —многочлены степени не выше т—1.
Таким образом, двукратному корню Х = 4 соответствует решение
Xi = e4t («1/ + «2)> х2~е^
Дифференцируя х± и х2, получим
—- = aieit _l4 + а») 4* 4 (V + fr2)
al al
Значения хъ х2, подставим в систему j равнений. После сокра-
щения на имеем
Щ+4 (a±t+ я2) = 5 (art4-а2) — (bit-у-Ь2\
&14-4 (Ь^-\-Ь2) = а^-}-а2-\-3 (bit-{-b2).
Приравнивая коэффициенты при t и свободные члены, получаем системы уравнений
( 4а1 = 3а1—blt J я1 + 4«2 = 5«2—
\ 4Z?i = «1 + 3^i, \ bi + 4^2 = а2 + ЗЬ2.
Отсюда следует, что ai = bf, a2 — b2 = ai = bv Полагая ai = Ci, а2 = С2 (С1в С2—произвольные постоянные), находим bi — Ci, Ь2 = С2 — С±. Следовательно,
Xi = (ОД + С2)> %2= Д + С-2—^1)*
Эта система проще решается методом исключения. Действительно, выразив из первого уравнения х2 и продифференцировав, подставим затем значения х2 dx2 «
и во второе уравнение. В результате получим линейное однородное уравнение второго порядка относительно хг. Рекомендуем самостоятельно решить данную систему методом исключения. А
Найти общие решения систем уравнений:
796.
f dxi 'dF==~
dx2 __ dt
797.
axi.
dxj. о — = 8*,-*!,
dx, .
—=Х14-Х2.
798.
X14-X24-X3,
^==Л'1—Х2~\-Хз, ~7T- = *14* *2 + x3-
799.
dxi ,
— _Х1-Х24-Хз,
dx2
—- —2*! —Х2.
174
800.
( d%l __ Y с)у
dt ~~X1 2X2 ’
801. { f
I dx2
\’dt'==zXl~'X2'
802.
804.
•^l-=12x1 —5x2, dt
^^=5xj.+ 12x2.
-^7-=—1 5xj — 6x2 +16x3,
uf /* /7r
dx, |~=(а+1)х-/л
—=—15x^7x2+18x3, 803. J dt
dx, 1-+=x + (a-l)l/-
±21=___lOv__Pv._i_oiv_ V dt
dt
19xx — 8x2 + 21x3.
( dx
rx~4y'
\4i=X+y-
(7=3x+^’
805. { 7
I Л
{-dt—^-v-
ГЛАВА V
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ, ЕГО ЧАСТОТА И ВЕРОЯТНОСТЬ.
геометрическая вероятность
Основными понятиями в теории вероятностей являются понятия события и вероятности события.
Под событием понимается такой результат эксперимента или наблюдения, который при реализации данного комплекса условий может произойти или не произойти.
События будем обозначать буквами А, В, С, .... Если событие неизбежно произойдет при каждой реализации комплекса условий, то оно называется достоверным} если же оно не может произойти — невозможным.
Если событие А при реализации комплекса условий может произойти, а может и не произойти, то оно называется случайным.
Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В, будем называть суммой (объединением) событий А и В и обозначать А + В или AJB-
Событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В, будем называть произведением (совмещением) событий А и В и обозначать АВ или А Г) В.
События называются несовместными, если появление одного из них из* ключает появление других событий в одном и том же испытании.
Пусть, например, нас интересует появление определенного числа очков на грани при одном бросании игральной кости: i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Выпадение конкретного числа очков назовем элементарным событием (исходом), которое обозначим со/. Таким образом, для каждого связанного с этим опытом события А можно выделить совокупность тех элементарных исходов со, наступление которых влечет за собой наступление события А.
Пусть событие А состоит в появлении нечетного числа очков на грани. Этому событию благоприятствуют элементарные события соь со3, со5, т. е. некоторое подмножество множества всех элементарных исходов с£ц, со2, со3, со4, со5, cofi.
Совокупность элементарных событий обозначается й и называется иро-странством элементарных событий.
Элементарные события взаимно исключают друг друга и в результате данного опыта обязательно произойдет одно из них. Пространство элементарных событий образует так называемую полную группу попарно несовместных событий, так как появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.
Два несовместных события, образующих полную группу, называются про-тивоположными. Для противоположных событий одновременно выполняются два условия: A-j-A—достоверное событие и А А — невозможное событие.
Для количественной оценки возможности появления случайного события А вводится понятие вероятности.
Вероятностью события А называют отношение числа т исходов, благоприятствующих этому событию, к числу п всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:
р (Л) = т/п (классическое определение вероятности).
В рассмотренном примере вероятность выпадения грани с нечетным числом очков составляет Р (А) =3/6 = 1/2.
Приведем аксиоматическое определение вероятности, предложенное А. Н. Колмогоровым.
176
1°. Каждому случайному событию А из поля событий ставится в соответствие неотрицательное число Р (Л), называемое вероятностью.
2°. P(Q)=1.
3°. Аксиома сложения. Если события Alf А2, ...» Аь попарно несовместны, то Р (Ai + А2 4“ • • • _Ь А/г) = Р (Aj) 4- Р (А2) 4~ ... + Р (А^).
Отсюда следует, что:
1) вероятность невозможного события равна нулю;
2) для любого события А Р(А)=1—Р(А), где А — противоположное событие;
3) каково бы ни было случайное событие А, 0=с Р (А)^ 1.
Используя эти аксиомы, свойства вероятностей выводят в качестве теорем.
К числу основных понятий теории вероятностей также относится частота события, под которой понимают отношение числа испытаний, в которых это событие произошло, к общему числу фактически произведенных испытаний. Частоту события называют статистической вероятностью. Для вычисления частоты события необходимо произвести в действительности испытания (опыт), что не требуется для определения вероятности.
Массовые случайные события обладают свойством устойчивости частоты: наблюдаемые в различных сериях однородных испытаний (с достаточно большим числом испытаний в каждой серии) значения частоты данного случайного события колеблются от серии к серии в довольно тесных пределах и стремятся (по вероятности) к некоторому постоянному числу. При этих условиях частоту можно принять за приближенное значение вероятности.
При классическом определении вероятности не всегда можно определить числа тип для вычисления вероятностей событий, и поэтому непосредственно пользоваться формулой Р(А) = т/п не удается. В таких случаях вводят понятие геометрической вероятности, т. е. вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости, часть тела и т. д.).
Пусть, например, на плоскости имеется некоторая область бив ней содержится другая область g. Требуется найти вероятность того, что точка, взятая наудачу в области G, попадет в область g. При этом выражению «точка, взятая наудачу в области G» придается следующий смысл: эта точка может попасть в любую точку области G. Вероятность попадания точки в какую-либо часть области G пропорциональна мере (mes) этой части (длине, площади, объему и т. д:) и не зависит от ее расположения и формы:
mes g Р~ mesG
(геометрическое определение вероятности).
806. В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?
Л Так как номер любого шара, находящегося в ящике, не превышает 10, то число случаев, благоприятствующих событию А, равно числу всех возможных случаев, т. е. /n = n=10 и Р(А)=1. В этом случае событие А достоверно. Д
807. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?
А Синих шаров в урне нет, т. е. т = 0, а п — 15. Следовательно, Р (А) = = 0/15 = 0. В данном случае событие А — невозможное. Д
808. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?
Л Здесь т = 4, п = 12 и Р (А) =4/12= 1/3. Д
177
809. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара — белые?
Д Здесь число всех случаев n = Cio = (10-9)/(1 -2) = 45. Число же случаев, благоприятствующих событию А, определяется равенством т = Сб, т. е. т = = (6-5)/( 1 • 2) = 15. Итак, Р (Л) = 15/45 = 1/3. Д
810. В лотерее 2000 билетов. На один билет падает выигрыш 100 руб., на четыре билета — выигрыш по 50 руб., на десять билетов— выигрыш по 20 руб., на двадцать билетов — выигрыш по 10 руб., на 165 билетов —выигрыш по 5 руб., на 400 билетов — выигрыш по 1 руб. Остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по билету не менее 10 руб.?
А Здесь ^ = 14-4 + 10 + 20 = 35, п = 2000, т. е. Р (А) = т/п = 35/2000 = = 0,0175. Д
811. В урне 20 шароз с номерами от 1 до 20. Какова вероятность вынуть шар с номером 37?
812. Монета подброшена два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет герб?
813. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором — с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров: 1) не меньше 7; 2) равна 11; 3) не больше 11?
814. В лотерее 1000 билетов. Из них 500—выигрышные и 500 — невыигрышные. Куплено два билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные?
815. В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 учеников получили оценку «отлично», 10 учеников—«хорошо», 9 учеников— «удовлетво р и т е л ь-но». Какова вероятность того, что все три ученика, вызванные к доске, имеют неудовлетворительные оценки по контрольной работе?
816. На отрезке О А длины L числовой оси Ох наудачу нанесена точка В(х). Найти вероятность того, что отрезки ОВ и В А имеют длину, большую L/4.
А Разобьем отрезок О А на четыре равные части точками С, D, Е (рис. 37). Требование задачи будет выполнено, если точка В попадет на отрезок DE, длина которого равна L/4. Следовательно, р = (L/4) :L = 1/4. Д
817. Внутри эллипса х2/25 + у2/16 = 1 расположен круг %2 + + у2 = 9. Найти вероятность попадания точки в кольцо, ограниченное эллипсом и кругом.
А Пусть событие А — попадание точки в кольцо. Тогда Р (Д) = 5К0Л/5эл, где 5К0Л =5ЭЛ — SKp = 3iab—яг2. Так как а = 5, b = 4, г = 3, то
Р (Д) = (20л—9л)/(20л) = 11/20 = 0,55. Д
а 1 д——г
Рис. 37
178
Примечание. В случае классического определения вероятность невозможного события равна нулю. Справедливо и обратное утверждение, т. е. если вероятность события равна нулю, то событие невозможно. При геометрическом эке определении вероятности обратное утверждение не имеет места. Вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти и, следовательно, не является невозможным.
818 (Задача о встрече). Два студента Л и В условились встретиться в определенном месте во время перерыва между 13 ч И 13ч 50мин. Пришедший первым ждет другого в течение 10мин, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных 50 мин может произойти наудачу и моменты прихода независимы?
А Обозначим момент прихода студента А через X, а студента В — через у. Для того чтобы встреча Произошла, необходимо и достаточно, чтобы | х—у | 10. Изобразим х и у как декартовы координаты на плоскости, а в качестве единицы масштаба выберем одну минуту (рис. 38). Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со стороной 50, а исходы, благоприятствующие встрече,— точками за
штрихованной области. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата:
р = (502 —402)/502 = 0,36. 4
819. Точка взята наудачу внутри круга радиуса R. Найти вероятность того, что эта точка окажется от центра на расстоянии, меньшем г (г < R).
820. Точка взята наудачу внутри круга радиуса R. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от расположения внутри круга.
821. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.
§2. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Эта теорема обобщается на случай произвольного числа попарно несовместных событий:
/ п X п
р[ 2 ЛН=2 pw-
V— 1 У i— 1
179
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).
Условие независимости события А от события В можно записать в виде Р(А/В)~Р(А), а условие зависимости—в виде Р (Л/В) Р (Л).
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:
Р(АВ)=Р(А)-Р (В/А) или Р (АВ) = Р (В)-Р (А/В).
Если событие Л не зависит от события В, то и событие В не зависит от события Л; тогда
Р (АВ) = Р (А)*Р (В).
Условная вероятность события Л#, определенная в предположении, что осуществились события А1} Л2, ...» Л^_х, обозначается Р (Л^/ЛХЛ2... Л^_х).
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:
Р(А,Аг
/ k \
..Ак)=Р{ П А‘ /Р <А1)-Р (A2/At)-P (ЛзМ1А2)...Р (Ак/А1А2...Ац..1).
V=1 J
В случае независимых событий справедлива формула / k \ k
р[ IP' =1рио-
\ i — 1 J i — 1
822. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: белый; черный; синий; красный; белый или черный; синий или красный; белый, черный или синий.
Д Имеем п = 10 + 15 + 20 + 25 = 70, Р (Б) = 10/70 = 1 /7, Р (Ч) = 15/70 = 3/14, р (С) =20/70 = 2/7, Р (1\) =25/70 = 5/14. Применив теорему сложения вероятностей, получим
р (Б + Ч) = Р (Б) + Р (Ч) = 1/7+3/14 = 5/14;
Р (С + К) = Р (С) + Р (К) = 2/7+ 5/14 = 9/14;
Р(Б + Ч + С) = 1— Р (К) = 1 — 5/14 = 9/14. Д
823. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?
Д В данном случае речь идет о совмещении событий Л и В, где событие Л — появление белого шара из первого ящика, событие В — появление белого шара из второго ящика. При этом Л и В — независимые события. Имеем Р (Л) = 2/12= 1/6, Р (В) = 8/12 = 2/3. Применив теорему умножения вероятностей, находим
Р (АВ) =Р(А)-Р (В) = (1/6) • (2/3) = 1/9. Д
824. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой—черный.
180
л Пусть:
^бытие А— появление белого шара из первого ящика;
» В — » » » » второго »
» С— » черного » » первого » (С-----А);
» D— » » » » второго » (D — B).
Тогда Р (Л) = 1/6, Р(В)=2/3, Р (С) = Р (Л) = 1 — 1/6-5/6, P(D) = P(B) = 1 — _2/3=1/3.
Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, белый, а из второго ящика-—черный:
Р(ЛР) = Р(Л)-Р(Р) = (1/6). (1/3)= 1/18.
Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, черный, а из второго ящика—белый:
Р (ВС) = Р(В)-Р (С) = (2/3). (5; 6) - 5/9.
Определим теперь вероятность того, что шар, вынутый из одного ящика (безразлично из первого или второго), окажется белым, а шар, вынутый из другого ящика,— черным. Применяем теорему сложения вероятностей:
Р = Р (AD)~P (ВС) = 1/18 + 5/9= 11/18. Д
825. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.
Л Пусть событие А — появление белого шара при первом вынимании; событие В — появление белого шара при втором вынимании. По теореме умножения вероятностей для случая зависимых событий имеем Р (АВ) = Р (А)-Р(В/А). Но Р (Л) — 6/(68) = 6/14 — 3/7 (вероятность появления первого белого шара); Р(В/Л) = (6—1)/(6 + 8—1) = 5/13 (вероятность появления второго белого шара в предположении, что первый белый шар уже вынут). Следовательно, Р(АВ) = = (3/7)- (5/13) =15/91. Д
826. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго—0,8, для третьего—0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.
А Р (Л) = 0,75, Р(В)=0,8, Р(С) = 0,9; Р (АВС) = Р (Л). Р (В)-Р (С) = = 0.75.0,8.0,9 = 0,54. Д
827. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что в цель попадает хотя бы один стрелок.
Д Здесь Р (Л) = 1—0,75 = 0,25 (вероятность промаха первого стрелка); Р(В) = 1—0,8 = 0,2 (вероятность промаха второго стрелка); Р(С)=1—0,9=0,1 (вероятность промаха третьего стрелка); тогда Р (АВС) — вероятность одновременного промаха всех трех стрелков — определится следующим образом:
Р (АВС) = Р (А)-Р (В)-Р (С) = 0,25-0,2.0,1 = 0,005.
Но событие, противоположное событию АВС, заключается в поражении цели хотя бы одним стрелком. Следовательно, искомая вероятность Р=1—Р (АВС), т. е. Р = 1 — 0,005 = 0,995. Д
828. Вероятность выхода станка из строя в течение одного рабочего дня равна а (а — малое положительное число, второй
181
степенью которого можно пренебречь). Какова вероятность того, что за 5 дней станок ни разу не выйдет из строя? Решить задачу при а = 0,01.
Л Так как 1—а — вероятность того, что станок не выйдет из строя в течение дня, то по теореме умножения вероятностей (1—а)? — вероятность того, что станок не выйдет из строя в течение 5 дней.
Воспользовавшись биномиальным разложением и пренебрегая членами, содержащими а2, а3, а4 и а5, получим приближенное равенство (1 —ос)5 « 1 — 5а, т. е. Р & 1 — 5а. Приняв а = 0,01, получаем Р » 0,95. 4k
829. В ящике а белых и b черных шаров. Какова вероятность того, что из двух вынутых шаров один белый, а другой—черный? (Вынутый шар в урну не возвращается).
Л Пусть:
событие А — появление белого шара при первом вынимании;
» В — » черного » » втором » ;
» С — » » » » первом » ;
» D— » белого » » втором » .
Вычислим вероятность того, что первый вынутый шар белый, а второй — черный:
г.. р <л>.р (в/л) =
Найдем вероятность того, что первый вынутый шар черный, а второй — белый:
р, - р (о-ртс).^.
Таким образом, вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой — черный, определится по теореме сложения: Р = + т. е.
р=------. д
(a + b){a + b-\)
830. В ящике а белых, b черных и с синих шаров. Вынули один шар. Вычислить вероятность того, что вынутый шар: 1) белый; 2) черный; 3) синий; 4) белый или черный; 5) белый или синий; 6) черный или синий.
831. В первом ящике а белых и b черных шаров; во втором ящике с белых и d черных шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара черные?
832. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна р19 а вторым стрелком — р2. Стрелки выстрелили одновременно. Какова вероятность того, что один из них попадет в цель, а другой не попадет?
833. Вероятность того, что в южном городе N температура в июле в любой день меньше 5°, равна а (а—малое число, квадратом которого можно пренебречь). Какова вероятность того, что в течение первых трех дней июля температура будет не меньше 5°?
834. В первом ящике 1 белый, 2 красных и 3' синих шара; во втором ящике 2 белых, 6 красных, 4 синих шара. Из каждого
182
^рдика вынули по шару. Какова вероятность, что среди вынутых
JPaPOB нет синих?
835. Вероятность того, что в течение дня произойдет неполадка станка, равна 0,03. Какова вероятность того, что в течение четырех дней подряд не произойдет ни одной неполадки?
836. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность (если считать выбор случайным), что выбраны: 1) два мальчика; 2) две девочки; 3) девочка и мальчик?
837. В урне 9 белых и 1 черный шар. Вынули сразу три шара. Какова вероятность того, что все шары белые?
838. Производят три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,5. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов произойдет только одно ^опадание.
§ 3. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО НАСТУПЛЕНИЙ СОБЫТИЯ
Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна р, то вероятность того, что событие А появится в этих п испытаниях т раз, выражается формулой Бернулли
р —г™- гРПпп-т
* т, п —Р Ч ?
где <7=1 — р. Таким образом,
Р —лП р —Ра —_______________________- П2/7^ “2 р — пП
Г0, п—Ч > * 1, п — “РЧ i П J.2 Ч » П— Р •
Число т0 называется наивероятнейшим числом наступлений'события А в п испытаниях, если значение Рт,п при m = m0 не меньше ^остальных значений Рт,п< т. е. Ртг,п^Рт[1П при’m; i та.
Если р =t 0 и р Ф 1, то число т0 можно определить из двойного неравенства
пр — q ^т0^прА~ р.
Разность граничных значений в этом двойном неравенстве равна 1. Еслипр+р не является целым числом, то двойное неравенство определяет лишь одно наивероятнейшее значение т0. Если же пр+р — целое число, то имеются два наивероятнейших значения: т'^ = пр — q и т" —лрД-р.
839. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?
А Вероятность извлечения белого шара р= 20/30 = 2/3 можно считать одной и той же во всех четырех испытаниях; 7=1—р=1/3. Используя формулу Бернулли, получаем
= С2гА72 =
4.3 < 2 у/1 8
1-J V 3 ) \ 3 / “27‘ А
183
840. Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трех раз?
Л Здесь р=0,4, <7 = 0,6. Имеем:
вероятность появления события А 0 раз: Ро^~<710;
» » » » 1 »: Р111о= 10/Л79;
» » » » 2 раза: Р2 ю = 45/?2<78;
» » » » 3 »: Р3\0 = 120/7377.
Вероятность того, что событие А появится не больше трех раз, составляет
Р ~ Ро,Ю 4“ Л,Ю + ^2,10 + ^3,10» т. е.
p = 10р<794-45р2^ч+120р3</7, или Р=^7 (73 +10</2р4-45^р2+120р3).
Полагая‘1р = 0,4, <7 = 0,6, получим Р = 0,67 (0,216-|-1,44-{-4,32-|-7,68)«0,38. Д
841. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.
Л Вероятность рождения девочки р=0,5, тогда q=l—/7=0,5 (вероятность рождения мальчика). Значит, искомая вероятность
Рз,5 = Сз^=^.(0,5)Ч0,5)2=А . £
842. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что среди детей будет не больше трех девочек.
/ 1 V 1 п с ( 1 V 5
А ^0,5 — 2 J 32 ’ 2 J 32’
P = ^,5 + P1.5-i-/’2>5+^,5 = yf • А
843. Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она упадет гербом вверх?
844. ЛЪонету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что она упадет гербом вверх не больше трех раз?
845. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, чго среди ответивших было два мальчика и одна девочка?
846. В каждом из четырех ящиков по 5 белых и по 15 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность вынуть два белых и два черных шара?
847. В урне 10 белых и 40 черных шаров. Вынимают подряд 14 шаров, причем цвет вынутого шара регистрируют, а затем шар возвращают в урну. Определить наивероятнейшее число появлений белого шара.
184
Л Здесь п =14, р~ 10/50= 1/5, 7= 1—р = 4/5. Используя венство np—q^m^^np^p при указанных значениях /г, р и 14/5—4/5^ m0 14/5+1/5, т. е. 2^т0^3.
двойное нера-q, получим
Таким образом, задача имеет два решения: то = 2, то = 3. А
848. Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.
Л Здесь п = 25, р = 0,7, q~ 0,3. Следовательно, 25-0,7—0,3 <т0< 25-0,7+ 0,7, т. е. 17,2^ т0 18,2.
Так как т —целое число, то т0 = 18. А
849. В результате многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения дождя 1 октября в данном городе равна 1/7. Определить наивероятнейшее число дождливых дней 1 октября в данном городе за 40 лет.
Л Имеем п = 40, р=1/7, q — tyl, Таким образом,
40 —— у <mo<40.y+y , 4у<т0<5у, т. е. т0 = 5. Д
850. Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном взятом наудачу ящике детали окажутся стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все детали стандартные.
851. В урне 100 белых и 80 черных шаров. Из урны извлекают п шаров (с возвратом каждого вынутого шара). Наиверояг-нейшее число появлений белого шара равно И. Найти п.
Л Из двойного неравенства пр — q ^т0^пр-\-р следует, что (т0 — Р)/Р < п< + q)/p.
Здесь /?г0 = 11, р= 100,180 = 5,9, </ = 4/9; следовательно, 11—5/Э_ 11+4/9 ОПЙ
—5?9- <"<-579— ’ Т- е' 18>8<«<20,6.
Итак, задача имеет два решения: пх = 19, и2 = 20. А
852. Можно ли в предыдущей задаче изменить числовые значения ш0 и р так, чтобы задача не имела решений?
853. Первый рабочий за смену может изготовить 120 изделий, а второй—140 изделий, причем вероятности того, что эти изделия высшего сорта, составляют соответственно 0,94 и 0,8. Определить наивероятнейшее число изделий высшего сорта, изготовленных каждым рабочим.
854. Имеется 100 урн с белыми и черными шарами. Вероятность появления белого шара из каждой урны равна 0,6. Найти наивероятнейшее число урн, в которых все шары белые.
185
§ 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БЕЙЕСА
Если известно, что событие А может произойти вместе с одним из событий Н2, ..., Нп (гипотез), образующими полную группу попарно несовместных событий, то событие А можно представить как объединение событий АНЪ АН2, ..., АНП) т. е. А = АН1~ ДЯ2 + • • • + АНп- Вероятность события А можно определить по формуле
Р И) - Р (ЯП • Р (А/Н±) + Р (Я,) • Р (А/Н2) + ... + Р (Нп) • Р (А/Нп), или
Р(Л)=2 Р(Н-).Р(А/Н-). 1 = 1
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Условная вероятность события Н( в предположении, что событие А уже имеет место, определяется по формуле Бейеса-.
I-’2.......">
i= 1
Вероятности Р(НфА), вычисленные по формуле Бсйеса, часто называют вероятностями гипотез.
855. Имеются четыре урны. В первой урне 1 белый и 1 черный шар, во второй — 2 белых и 3 черных шара, в третьей — 3 белых и 5 черных шаров, и четвертой—4 белых и 7 черных шаров. Событие — выбор i-й урны (£ = 1,2, 3, 4). Известно, что вероятность выбора Сй урны равна СЮ, т. е. Р (Иг) = 1/10, = 1/5, Р (РЦ) =3/10, 7s* (/74) = 2/5. Выбирают наугад одну из урн и вынимают из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Д Из условия следует, что Р (А/Н1) = 1/2 (условная вероятность извлечения белого шара из первой урны); аналогично Р (Д/Я2) = 2/5, Р (Л/Я3) = 3/8, Р (Л/Я4) =4/11. Вероятность извлечения белого шара находим по формуле полной вероятности:
Р (А)=Р(НфР (A/HJ + P (Я2).Р (Л/Я2)+Р (Я3).Р (Л/Я3) + Р (Я4).Р (Д/Я4) = 1 1 । 1 2 д_3 3 г2 4__1707
"10 ’2"1"5’5+10’8"Г'5’ 11"4400 ‘ &
856. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором—10 белых и 10 черных шаров, в третьем — 20 чёрных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика.
Д Пусть Яь Я2, Я3 — гипотезы, состоящие в выборе соответственно первого, второго и третьего ящика; событие А — появление белого шара. Тогда Р (//4) = р (Я2) =р (#3) = 1/3 (выбор любого из ящиков равновозможен); Р (Л/Я1) = 1 (вероятность извлечения белого шара из первого ящика); Р (А/Н2)~ = 10/20=1/2 (вероятность извлечения белого шара из второго ящика); Р (А/Н3) = 0 (вероятность извлечения белого шара из третьего ящика).
Искомую вероятность Р (Р\/Д) находим по формуле Бейеса:
Р (Н /А} =_________- * /3-_______________= — А
1 17 ' 1 «(1/3) + (1/2).(1/3) + 0.(1/3) 3’Ж
186
I
857. В ящике имеется N изделий, среди которых могут быть и бракованные. Вынутое наугад изделие оказалось небракованным. Определить вероятность того, что: все изделия в ящике небракованные; N— 1 изделий небракованных и одно изделие бракованное; N— 2 изделий небракованных и два изделия бракованных; ...; все N изделий в ящике бракованные.
Д Гипотезы до опыта: Н$—все изделия в ящике небракованные; — одно изделие бракованное; Н2 — два изделия бракованных; ...; —все изделия бракованные. Событие А— появление небракованного изделия. Требуется найти P(HJA), Р(Н2/Л), Р (HN/A).
Пусть до опыта все гипотезы равновозможны:
Р (Яо)=Р (/Л)=Р (Н2)=...=Р (HN)=jJL,
т. е.
Р(Л///0) = 1, Р(Д/Я1) = ^Ь1> Р(А/Н2)=~?, ....
Р(Л/ЯЛг_1)=Т-, Р(А/Н„)=О.
Отсюда находим
^(^оМ) — 1 д/__ 1 1 1 1 1 —
1 . _!_1__---1.—i---L .,-I—- .—!----1-0 • !
___________1__________=__________N __ 2
1 2 ( Д/ — 1 — 1 4-2+ ... 4-2V— 1 -4-7V~-/V-4- 1 ’
N "Г N + ’ ‘ N ~r
Аналогично получаем
p ду____1 9 M — 9
Р(/71/Л)=жп.-у-, Р(Нг/Л)=¥-п.-7Г, .... Р(//Л./Л) = =^-o=o. A
858. В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй— 3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар — белый.
Л После того, как из второй урны переложили в первую один шар, в первой урне оказалось две совокупности шаров: 1) 5 белых и 10 черных шаров, первоначально находившихся в этой урне; 2) один шар, переложенный из второй урны. Вероятность появления белого шара из первой совокупности составляет Р (А/Н^ = 5/15= 1/3, а из второй совокупности Р(А1Н^ = = 3/10. Вероятность того, что произвольно вынутый шар принадлежит первой совокупности, есть Р (Н^ = 15/16, а второй совокупности — Р (Н2) = 1/16.
Используя формулу полной вероятности, получим
Р (Л) = р ш р (A/HJ+Р (Н2). Р (Л/н2)=Л. 14-1. А=. д
859. В первой урне 1 белый и 2 черных шара, во второй — 100 белых и 100 черных шаров. Из второй урны переложили
187
в первую один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар ранее находился во второй урне, если известно, что он белый?
§ 5. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЗАКОН ЕЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Если каждому элементарному событию со из некоторого множества событий Q можно поставить в соответствие определенную величину Х = Х(ш), то говорят, что задана случайная величина. Случайную величину X можно рассматривать как функцию события со с областью определения Q.
Случайная величина может принять то или иное значение из некоторого числового множества, однако заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины принято обозначать большими буквами X, Y, ..., а принимаемые ими значения — соответствующими строчными буквами х, у, ... .
Если значения, которые может принимать данная случайная величина X, образуют дискретный (конечный или бесконечный) ряд чисел xlt х2, ...,хп, ..., то и сама случайная величина X называется дискретной.
Если же значения, которые может принимать данная случайная величина X, заполняют конечный или бесконечный промежуток ]п, /?[ числовой оси Ох, то случайная величина называется непрерывной.
Каждому значению случайной величины дискретного типа х^ отвечает определенная вероятность рп\ каждому промежутку ]ц, Ь[ из области значений случайной величины непрерывного типа также отвечает определенная вероятность Р (а < X < Ь) того, что значение, принятое случайной величиной, попадет в этот промежуток.
Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.
Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения:
xi хг *2 x3 xn
Pi Pl P2 Рз Pn
п
При этом 2 Pi~ Ь где суммирование распространяется на все (конечное или 1 = 1
бесконечное) множество возможных значений данной случайной величины X.
Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью так называемой функции плотности вероятности f(x). Вероятность Р (а < X < Ь) того, что значение, принятое случайной величиной X, попадет в промежуток ]а, &[, определяется равенством
ь
Р (а < X < b) = f (х) dx.
а
График функции f (х) называется кривой распределения. Геометрически вероятность попадания случайной величины в промежуток] а, Ь[ равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми х = а, х = Ь (рис. 39).
Функция плотности вероятности f (х) обладает следующими свойствами:
188
1°. fWSsO.
+ CO
2°. f(x)dx=l
^если все значения случайной величины X заключены в промежутке 1а, Ь[, то ь
последнее равенство можно записать в виде J f (х) dx= 1 Y а '
Рассмотрим теперь функцию F(x)~P(X < х). Эта функция называется функцией распределения вероятности случайной величины X. Функция F (х) существует как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Если f (х)—функция плотности распределения ве- * роятности непрерывной случайной величины
Х’ Т0 х >
F (х) = Г f (х) dx. О И b X
-□о Рис. 39
Из последнего равенства следует, что
Иногда функцию f (х) называют дифференциальной функцией распределения вероятности, а функцию F (х) — интегральной функцией распределения вероятности.
Отметим важнейшие свойства функции распределения вероятности:
1°. F (х) — неубывающая функция.
2°. F (— оо)=0,
3°. F (+оо) = 1.
Понятие функции распределения является центральным в теории вероятностей. Используя это понятие, можно дать другое определение непрерывной случайной величины. Случайная величина называется непрерывной, если ее интегральная функция распределения F (х) непрерывна.
860. Даны вероятности значений случайной величины X: значение 10 имеет вероятность 0,3; значение 2—вероятность ОД; значение 8 — вероятность 0,1; значение 4 — вероятность 0,2. Построить ряд распределения случайной величины X.
А Расположив значения случайной величины в возрастающем порядке, получим ряд распределения:
*i 2 4 8 10
Pi 0,4 0,2 0,1 0,3
Возьмем на плоскости хОр точки (2; 0,4), (4; 0,2) и т. д. Соединив последовательные точки прямолинейными отрезками, получим так называемый многоугольник (пли полигон) распределения случайной величины X (рис. 40). А
139
861. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью /(х), причем
С 0 при х < О, f (х) = (Зх — х2) при 0<х<3,
у 0 при х > 3
Требуется: 1) Найти коэффициент а\ 2) построить график распределения плотности z/ = /(x); 3) найти вероятность попадания X в промежуток J1, 2[.
Д 1) Так как все значения данной случайной величины заключены на з
отрезке [0, 3], то а (Зх—x2)dx=l, откуда о
ГЗ 2 1 Лз /27 п\ 2
а =- х2—ух3 | — Ь или а ту—r= 1, т- тг • [2 з j о \ " / у
2) Графиком функции f (х) в интервале [0, 3] является парабола у =
2 2
= -х-'-х2, а вне этого интервала трафиком служит сама ось абсцисс
3 У
(рис. 41).
3) Вероятность попадания случайной величины X в промежуток ]1, 2[ найдется из равенства
2
D/1 . V О' - С/ 2 2 2\ Л И-4 16 1 I ~2_ 13 А
Р(1<А<2) Ц3х [з 27 Ji 3 27 3 ^27^27'^
1
862. Дан ряд распределения случайной величины X:
X/ 10 20 30 40 50
Pi 0,2 0,3 0,35 0,1 0,05
Найти функцию распределения вероятности этой случайной величины.
Л Если х=с Ю,
то F(x)=P(X < х) = 0;
» » » »
10<х<20, » F(x)=P(X < х)=0,2;
20<х<30, » F(x) = P(X < х) = 0,2 + 0,3 = 0,5;
30<х<40, » F(x) = P(X < х) = 0,2 + 0.3+0,35 = 0,85;
40<х<50, » Г(х) = Р(Х < х) = 0,2+ 0,3+045+ 0,1 =0,95;
х > 50, » F (х) = Р(Х < х) = 0,2 + 0,3 + 0,35+0,1+0,05=1.Д
190
863. Случайная величина X задана функцией распределения (интегральной функцией)
( 0 при х < 1
F (%) = ] (х— 1)/2 при 1 <х<3, у 1 при х > 3.
Вычислить вероятности попадания случайной величины X в интервалы ]1,5; 2,5[ и ]2,5; 3,5[.
Д P1 = F(2,5) — F (1,5) = (2,5—1)/2—(1,5—1)/2 = 0,75—0,25=0,5, P2 = F (3,5)—F (2,5)= 1- (2,5—1)/2 = 1 —0,75 = 0,25.
864. Случайная величина X задана функцией распределения
( 0 при х < 2, F(x) = j (х—2)2 при 2<х<3, ( 1 при х > 3.
Вычислить вероятности попадания случайной величины X в интервалы ]1; 2,5[ и ]2,5; 3,5[.
Д P! = F(2,5)—F(l) = (2,5-2)2—0 = 0,25,
P2 = F (3,5)—F (2,5) = 1 — (2,5 — 2)2 = 1—0,25 = 0,75. Д
865. Случайная величина X задана функцией распределения, указанной в предыдущей задаче. Найти плотность распределения (дифференциальную функцию распределения) случайной величины.
Д Плотность распределения равна производной функции распределения, г. е. f (х) = F' (х), поэтому
( 0 при х < 2,
/(х)=< 2(х—2) при 2sCx=c3, ( 0 при х > 3.
866. Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий.
0 Воспользоваться формулой Бернулли.
867. В урне имеются четыре шара с номерами от 1 до 4. Вынули два шара. Случайная величина X — сумма номеров шаров. Построить ряд распределения случайной величины X.
868. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью
а а2 — х2 при | х | < а,
0 при | х | Дэ а.
Требуется: 1) найти коэффициент а\ 2) найти вероятность попадания случайной величины X на участок ]а/2, а[; 3) построить график распределения плотности вероятности.
869. Показать, что функция f (х) = 1 /(х2 4- л2) является плотностью вероятности некоторой случайной величины X, и вычи
ш = {
191
слить вероятность попадания случайной величины X на участок
]л, оо[.
870. Дана функция плотности распределения случайной величины X:
( 0 при х < 0,
f (%) = a sin х при 0 s-с х^е л, 0 при х > л.
Определить а и F (х).
871. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули один шар. Случайная величина X—число вынутых белых шаров. Построить функцию распределения F (х).
§ 6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений значений случайной величины на вероятности этих значений.
Если случайная величина X характеризуется конечным рядом распределения:
Xi Xi х2 х3 • « • хп
Pi Pi Р2 Рз ... Рп
то математическое ожидание М (X) определяется по формуле
М(Х)=х1р1 + х2р2-\-...+хпрп, или М(Х) = 2 *iPi- 0) i = l
Так как pi + p2+ • • • + Рп = h то
Z^Q Ч~ Х2Р2 » » • ~Т~ ХпРп
Р1 + Р2 + • • • + р«
Таким образом, М (X) является взвешенной средней арифметической значений случайной величины Xi, х2, ..., хп при весах р2, •••> Рп-
00
Если л=оо, то М (X) = 2 Pixi (ПРИ условии, что ряд абсолютно схо-i= 1
дится).
Понятие математического ожидания распространяется и на непрерывную случайную величину. Пусть f (х)— плотность вероятности случайной величины X. Тогда математическое ожидание непрерывной случайной величины X определяется равенством
+ 00
М{Х)= J xf(x)dx
— 00
(при условии, что интеграл абсолютно сходится).
Геометрически математическое ожидание как непрерывной, так и дискретной случайной величины равно абсциссе центра тяжести площади, ограниченной кривой (или полигоном) распределения и осью абсцисс. Поэтому при
192
симметрии кривой (или полигона) распределения относительно некоторой прямой, параллельной оси ординат, математическое ожидание совпадаете абсциссой точки пересечения этой оси симметрии с осью абсцисс.
Точка оси Ох, имеющая абсциссу, равную математическому ожиданию случайной величины, часто называется центром распределения этой случайной величины.
Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X) = M[X—M(X)]2.
Если ввести обозначение М(Х) = т, то формулы для вычисления дисперсии дискретной случайной величины X запишутся в виде
D (X) = 2 Pi (х<— тУ> |
‘Z1 У ®
D (X) = 2 Pi (xi~m)2 (ПРИ » = oo), I
i = 1 J
а для непрерывной случайной величины X—в виде
+ со
D (X) = J (x-m)2f (х) dx. (3)
— 00
Для дисперсии случайной величины справедлива формула
D(X) = M [(X—а)2] —[Л4(Х)—а]2, или D (X) == М [(Х—а)2] — (т—а)2, (4) где а—произвольное число. Этой формулой часто пользуются для вычисления дисперсии случайной величины, так как вычисление по этой формуле обычно проще, чем по формулам (2) и (3).
Средним квадратичным отклонением случайной величины X называется величина о* = 0 'D(X).
Среднее квадратичное отношение есть мера рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.
872. Дана функция
(О при х < О,
(1/2) sinx при
О при х > л.
Показать, что f(x) может служить плотностью вероятности некоторой случайной величины X. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
Д Имеем + 00 Л
f (х) dx = f (х) dx=
Л о ’ | тт 5
л
=4 рпх</х=-|со3х|оЯ=1. Рис. 42
О
Кроме того, f (х) 0. Следовательно, f (х) может служить плотностью вероят-
ности некоторой случайной величины. Так как прямая х = л/2 является осью симметрии соответствующей дуги кривой у— (1/2) sinx (рис. 42), то математическое ожидание случайной величины X равно л/2, т. е. Л1(Х) = л/2.
7 № 1814 193
Найдем дисперсию. Для этого в формуле (4) положим а —О, М (Х)=л/2, тогда остается только вычислить интеграл, определяющий М (X2); имеем
+ со л
М (X2) = у х2/ (х) dx=~ у х2 sin х t/x=s — оо О
1 Г 1 л 1
= у — х2 cos x+2xsin х+2 cos х I =— (л2—4).
Поэтому
D (Х) = 1(л2-4)-(|)2=^-2, <тх=)/^-2»0,б9. Д
873. Случайная величина X характеризуется рядом распределения:
Xf 0 1 2 3 4
Pi 0,2 0,4 0,3 0,08 0,02
Определить математическое ожидание и дисперсию.
Л По формуле (1) находим математическое ожидание:
(Х) = 0-0,2 + Ь0,4+2-0,3 + 3-0,08 + 4-0,02= 1,32.
Дисперсию найдем по формуле (4), полагая п = 2; отсюда М (X) — а== t= 1,32—2 = — 0,68. Составляем таблицу:
X/ 0 1 2 3 4
х/ — а —2 —1 0 1 2
(Xi-ay 4 1 0 1 4
Pi 0,2 0,4 0,3 0,08 0,02
Pi (Xi — ay 0,8 0,4 0 0,08 0,08
Теперь находим
4
М[(Х-а)2] = 2 ?,•(*<-«)2=1 >36;
1=0
D (Х) = 1,36—(—0,68)2=1,36—0,4634 = 0,8966; аА. =/0,8966 = 0,95. А
874. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну и шары перемешивают. Приняв за случайную ве
194
личину X число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию.
875. Дана функция
/ 0 при х < О,
f (х) = ' X, (4х—х3) при 0 «с х 2,
I 0 при х > 2.
При каком значении Л, функция / (х) может быть принята за плотность вероятности случайной величины X? Определить это значение X, найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение соответствующей случайной величины X.
§ 7. МОДА И МЕДИАНА
Модой дискретной случайной величины X называется ее наиболее вероят* ное значение.
Модой непрерывной случайной величины X называется то ее значение,
при котором плотность распределения максимальна.
Моду будем обозначать символом М.
Медианой непрерывной случайной величины X называется такое ее зна-
чение ц, для которого одинаково вероятно, меньше или больше ц, т. е. Р (X < ц) = = Р(Х > р,)=0,5.
Геометрически мода является абсциссой той точки кривой (полигона) распределения, ордината которой максимальна. Ордината же, проведенная в точке с абсциссой х=р, делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения. Если прямая х = а является осью симметрии кривой распределения y~f(x), то ц = ц = М (X) = а (рис. 43).
окажется ли случайная величина
Рис. 43
876. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины f (х) = ае2х~х2 (а > 0). Найти моду этой случайной величины.
Л Найдем максимум функции y = f(x). Для этого находим производные первого и второго порядков:
f' (х) = 2а (1 —х) е2х~х2, f" (х) = --2ае2х-х2+ 4а (1 —х)2 е2х~х2.
Из уравнения f' (х)=0 получаем х=1. Так как f”(l) = —2ae < 0, то при х= 1 функция f (х) имеет максимум, т. е. М = 1. Мы не определяли значения постоянной величины а, так как максимум функции f (х) = ае2х~*2 не зависит от числового значения а. А
877. Дана плотность вероятности случайной величины X:
/ 0 при х < 0,
f(x) — { х—х3/4 при 0<;х<2, 0 при х > 2.
Найти медиану этой случайной величины.
Л Медиану ц найдем из условия Р (X < ц) = 0,5. В данном случае
Р(Х< (x~Tx3)rfx = JF_u‘S’-о 4
7*
195
Таким образом, приходим к уравнению ц2/2 — р,4/16= 0,5, или р4— 8ц24-8 = о, откуда p,= ±V4±]/'8. Из четырех корней этого уравнения нужно выбрать тот, который заключен между 0 и 2. Таким образом, р — V4— 1,09. Д
878. Дан ряд распределения дискретной случайной величины:
*i 10 20 30 40 50 60
Pi 0,24 0,36 0,20 0,15 0,03 0,02
Найти моду.
879. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины:
0 при
а(х—2) (4 — х) при
0 при
х < 2, 2^х^4, х > 4.
Определить значение а, моду и медиану.
§ 8. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Равномерным называется значения которых лежат на
Рис. 44
распределение таких случайных величин, все некотором отрезке [а, Ь] и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке (рис. 44). Таким образом,
( 0 при х < а, / (х) = { h при а^х^Ь, 0 при х > Ь.
Так как h(b — а)=1, то h=l/(b — а) и, следовательно,
0 при х < а, 1!(Ь — а) при а^х^Ь, при х > Ь.
880. Определить математическое ожидание случайной величины с равномерным распределением.
А Имеем
ь ь ь
а а а
1 Ь2— а2
Ь — а 2
т. е. А4 (Л) = (а-\-Ь)12> как это и должно быть в силу симметрии распределения. Д
881. Вычислить дисперсию и среднее квадратичное отклонение для случайной величины с равномерным распределением.
Д Используем формулу D (X) = М (А2) — [М (X)]2, учитывая найденное в предыдущей задаче значение М (X) = (а-{-Ь)/2. Таким образом, остается 196
^числить М (X2); имеем Р Г2 1
а а
__ Ь3— а3 b2~\-ab~}-a2
"3(5—0)^ 3
Отсюда
b2 + ab + a2 (а + b)2 (Ь~а)2
D(X) =----------------_____
Следовательно, ох = У D (X) — (Ь — а)/(2 У 3) . А
882. Все значения равномерно распределенной случайной величины лежат на отрезке [2, 8]. Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток ]3, 5[.
883. Поезда данного маршрута городского трамвая идут с интервалом 5 мин. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее чем через минуту после ухода предыдущего поезда, но не позднее чем за две минуты до отхода следующего поезда?
$ 9. БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЗАКОН ПУАССОНА
Если вероятность наступления случайного события в каждом испытании равна р, то, как известно, вероятность того, что при п испытаниях событие осуществится т раз, определяется формулой Бернулли:
рт, n = Cnpmqn~m (где <7 = 1—р).
Закон распределения случайной величины X, которая может принимать п+1 значение (0, 1, ..., п), описываемый формулой Бернулли, называется биномиальным.
Закон распределения случайной величины X, которая может принимать любые целые неотрицательные значения (0, 1,2, ..., п), описываемый формулой
ат
Р (Х = т) = —г-v ’ ml носит название закона Пуассона.
Закон Пуассона является законом распределения вероятностей, например, для следующих случайных величин.
а) Пусть на интервале ]0, Х[ оси Ох случайно размещаются п точек независимо друг от друга, причем события, заключающиеся в попадании одной точки на любой наперед заданный отрезок постоянной (например, единичной) длины, равновероятны.
Если N—>оо, п—>оо и а = lim , то случайная величина X, равная числу точек, попадающих на заданный отрезок единичной длины (которая может принимать значения О, 1, ..., т, ...), распределяется по закону Пуассона.
б) Если п равно среднему числу вызовов абонентов, поступающих за один час на данную телефонную станцию, то число вызовов, поступающих за одну минуту, приближенно распределяется по закону Пуассона, причем а = п/60.
Математическое ожидание и дисперсия случайных величин, распределенных ПО биномиальному закону и закону Пуассона, определяются по следующим формулам:
для биномиального закона: М (Х) = пр; D (X) = npq;
для закона Пуассона: М(Х) = а', D(X)~a.
197
884. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит точно два вызова?
Д За минуту АТС получает в среднем 300/60 = 5 вызовов, т. е. а = 5. Требуется найти Р2- Применив формулу Пуассона, находим
52 25
P2=-Ffi-5=^0’09-А
885. Книга в 1000 страниц имеет 100 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее четырех опечаток?
А Среднее количество опечаток на одну страницу есть а = 100/1000 = 0,1. В данном случае следует применить формулу Пуассона:
р —««од т~ т\ е
Здесь Рт — вероятность иметь т опечаток на одной странице.
Если т = 0, то Р0 = е-М; если т=1, то Р1 = 0,Ье-°»1; если т = 2, то Р2 = 0,005-е-0»1; если т = 3, то Р3 = 0,000167-е-0»1. Сумма Ро +
является вероятностью того, что на странице окажется не более трех опечаток. Эта сумма равна 1,105167-е-0»1. Вероятность же того, что на случайно выбранной странице не менее четырех опечаток, равна
1 — 1,105167. е0’1 = 1 — 1,105167 - 0,904837 = 1 — 0,999996 = 0,000004. Д
886. Среди семян ржи имеется 0,4% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
887. Определить математическое ожидание и дисперсию частоты т/'п появлений случайного события при п испытаниях, если вероятность появления события при одном испытании равна р.
888. Показать, что биномиальное распределение обращается в пределе в распределение Пуассона, если п—>оо, р—>0, но пр = а.
ф Воспользоваться равенством
(яр)772
Cnpmqn~m =--------
пр ---пг
т\
(1-р)р
и перейти к пределу.
889. Случайная величина X подчинена биномиальному закону распределения Р (X m) = C„pmqn~rn. Определить математическое ожидание этой случайной величины.
Д Имеем п п п
М (Х) = у, mCnPmqn~m = У mCnPmqn~m = пр — СпРт~^п~т.
т—0 m = 1 т —1
Но
т^т_т л (л—1) (л —2) ... (л—m+1) _ п п п' 1-2-3... (т—1)т
198
Следовательно,
п
М(Х)=пр 2 =
т — 1
т. е. М(Х) = пр.
890. Определить дисперсию случайной величины X, подчиненной биномиальному закону распределения.
Л Предварительно найдем математическое ожидание случайной величины X2: п п
М(Х2) = V rn1C’^pmqn~m = пр V т-— с™ =
т=1 tn-1
п
= Пр 2 tnCnZ\pm -1) —
= пр( 2 (т— 1)С',?С1ря’-1^-1,-(«»-1)+ 2
\/72 = 1 т= 1 J
Первая из сумм в скобках является математическим ожиданием случайной величины- Xt подчиненной биномиальному закону Р(Х = т—1) = = поэтому она равна (п—1) р (см. предыдущую задачу).
Вторая же сумма равна (p-}-q)n~1=l.
Итак, М(Х2) = пр(п—1)р-}-пр. Но D(X) = M(X2) — \М (X)]2, поэтому
D (Х)=п2р2-пр2-}-пр—п2р2 = пр (1—p)=npq. А
891. Найти математическое ожидание случайной величины X, подчиненной закону Пуассона Р (X — т)
ате ~ а ml
Л Имеем
...v. V ате-“
Л1(Х)= т~^Г
т-1
ат .е- а
----:— ~ае ml
ага-1
Д-, (т— 1)! * т= 1
- а
ат-1
Но / т--------пГ = б<2’ слеД°вательН0> М (Х)=а. А
1/72 1у.
/71= 1
892. Найти дисперсию случайной величины X, подчиненной закону Пуассона.
Л Сначала находим
Е„ате~а V ате~а т ~XX~=1 2- т
Ш- 1 * 772 = 1
(т— 1)!
= 2>->><^+Е
772 = 1 772=1
dme~a
V , ,.ат~1е~а , „ V а'л-1
= а 7. (т— 1)-7--------+ . т------пт»
v 7 (tn — 1)! 1 (т — 1)1
m=1 ' т=14 '
199
Первая сумма является математическим ожиданием случайной величины X, подчиненной закону Пуассона, а вторая сумма равна еа. Отсюда получаем М (X2) = а2-^а. Следовательно, D(X)—a2-j-a — а2 = а. Д
893. Вероятность попадания стрелком в мишень равна 2/3. Стрелком сделано 15 выстрелов. Случайная величина X—число попаданий в мишень. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
Л Здесь следует воспользоваться значениями математического ожидания и дисперсии для биномиального закона распределения: М (Х) = пр = 15-(2/3)=10, D (X) = = 15 - (2/3) - (1/3) = 10/3. Д
§ 10. ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ (ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. ФУНКЦИЯ НАДЕЖНОСТИ
Аналогом закона Пуассона для непрерывных случайных величин служит показательный (экспоненциальный) закон, функция плотности распределения которого имеет вид е, ч ( 0 при х < 0,
/и)~^е-Кх при х^О,
где X > 0—постоянный параметр. Функция распределения (интегральная функция) показательного закона
X X
F (х) = f (х) dx = ^ хе~^х dx=\ — е~^х, — оо О
т. е.
г / \ J 0 при х < °’
* | 1—е~^х при х^О.
Вероятность попадания случайной величины X в интервал ]а, Р[ составляет Р (а < X < fi) = F (В)—F (а) = (1—е~№)— (1—е~^) =е~^а —
т. е.
Р (а < X < р) =е-^а — е~№.
Определим числовые характеристики показательного закона распределения: математическое ожидание оо
М (X) = С xke~^x dx = [ — хе~^х—= 4“ ’ J L A J о л
О дисперсия 00
£>(X) = J x9-/.e->-*dx—[M (Х)]2 = О
среднее квадратичное отклонение
е(Х) = /Р(Х)= ’ т. е. М(Х) = а(Х) = ф. А Л
200
Если Т—непрерывная случайная величина, выражающая продолжительность времени безотказной работы какого-либо элемента, а X—интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени), то продолжительность времени t безотказной работы этого элемента можно считать случайной величиной, распределенной по показательному закону с функцией распределения F (/) = z=P(T < /) = 1 — > 0), которая определяет вероятность отказа элемента
за время t.
Функция надежности R (/) определяет вероятность безотказной работы элемента за время R
894. Для какого значения k функция
НН — J 0 при х <0> ' ' ' ke~‘,-x при х^О
является функцией плотности показательного закона?
ОО 00
Л Так как /(х)=0 при х < 0, то J f (%) dx =J ke~^x dx = 1. Отсюда о о
[р— \х 3 оо Ъ
—Ц— =1. v=l, т. е. k = L Д
Л Jo Л
895. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону:
ни — / 0 при х< °’ ' ' ' ( 4е~4л? при х^О.
Найти вероятность того, что в результате испытаний X попадет в интервал ]0,2; 0,5[.
Д Используя формулу Р (а < X < —е~№, имеем
Р (0,2 < Х< 0,5) =е-4-о,2 —е-4-о,5 =е-о,8_е-2 = о,4493—0,1353 = 0,314
(для вычисления значений функции е~х мы воспользовались табл. II на с. 410). А
896. Время t расформирования состава через горку—случайная величина, подчиненная показательному закону. Пусть л=5— среднее число поездов, которые горка может расформировать за 1 ч. Определить вероятность того, что время расформирования состава: 1) меньше 30 мин; 2) больше 6 мин, но меньше 24 мин.
Д Используем функцию распределения показательного закона F (0 = = Р(Т < t) = l — e-^.
1) Вероятность того, что расформирование состава займет менее 30 мин—-0,5 ч, есть
F (0,5) =Р (Т < 0,5) = 1 — е-5 о,5 = i _е-2,5 = 1 — 0,082 = 0,918.
2) Вероятность того, что время расформирования составляет от 6 мин—0,1 ч до 24 мин —0,4 ч, такова:
Р(0,1 < Т < 0,4) =е~ 5'0’1 — е”5‘°’4 = е“0’5 — е~2 = 0,6065 — 0,1353=0,4712. Д
897. Вероятность безотказной работы элемента распределена по показательному закону f (/) = 0,02^"0,02t (/>0). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 50 ч.
201
Л Используя функцию надежности ^(/)=е~^, получим R (50) == = е~ °’02'50 =е~1 = 0,3679. Д
898. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону /(х) = 2,5е"2‘!* при х^О и /(х) = 0 при х < 0. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
899. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону с функцией плотности
— J 0 при X<Q> ' w“ ( 7e-i* при х^О.
Найти вероятность того, что в результате испытаний X попадет в интервал ]0,15; 0,6[.
900. Найти математическое ожидание случайной величины X, распределенной по показательному закону, если функция распределения имеет вид
/7/гч f 0 При X < 0,
''' | 1—е~о,25х При х^О.
901. Время t расформирования состава через горку—случайная величина, подчиненная показательному закону. Пусть Х = 5 — среднее число поездов, которые горка может расформировать за 1 ч. Определить вероятность того, что время расформирования состава составит более 0,3 ч.
902. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F (/) = 1—e“°’02t (t > 0). Найти вероятность того, что за / = 24 ч элемент: 1) откажет; 2) не откажет.
903. Вероятность безотказной работы телевизора распределена по показательному закону f (/) = 0,002e“°’002t (/>0). Найти вероятность того, что телевизор проработает 1000 ч.
§ И. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ФУНКЦИЯ ЛАПЛАСА
Нормальный закон распределения характеризуется плотностью
/ (х)=—1 е-о-'ппм,
о У 2л
Нетрудно видеть, что функция f (х) удовлетворяет двум условиям, предъяв-
ляемым к плотности распределения: 1) f (х) > 0; 2) f (х) Jx=l.
— х
Кривая y~f(x) имеет вид, изображенный на рис. 45. Она симметрична относительно прямой х = т, максимальная ордината кривой (при х — т) равна 1/(0]/" 2л) и ось абсцисс является асимптотой этой кривой. Так как ф сс
j xf (х) dx = m, то параметр т является математическим ожиданием случай-— X
+ X
ной величины X. С другой стороны, (х—m)2/(x) dx = o2, откуда Р(х)=о2,
— х
202
т. е. (У является средним квадратичным отклонением величины X, Введем обозначение
х Ф(х)=^=-
V Л J о
Функция Ф (х) называется функцией Лапласа, или интегралом вероятностей, Эту функцию называют также функцией ошибок и обозначают erf х. Иногда используются и другие формы функции Лапласа, например, Ф (х) = х
s=—==• I dt (нормированная функция Лапласа), которая связана
V 2л J
о
х
с функцией ошибок Ф(х)=~—- | e~t2 dt соотношением Ф (х) =0,5Ф (х//”2)у У Л J
о
или Ф (х У~2) =0,5Ф (х).
Для вычисления значений функции Лапласа пользуются специальной таблицей (см. табл. III на с. 411).
Вероятность попадания в интервал ]а, Ь[ случайной величины X, подчиненной нормальному закону, определяется через значения функции Лапласа по формуле
Р(а< Х< 6) =0,5
ф А-^Л-ф ( \
\ а У 2 / \ о/* 2 /
Отметим следующие свойства функции Лапласа.
о
1°. Ф(0)=0, так как ^e~^2J/=0;
0
00 /—
2°. Ф (4~оо) = 1, поскольку Ф (+ оо) = —Ге“*2 dt— ——
У л J У л 2
о
3°. Ф (х) — нечетная функция.
Справедлива также формула
Р(|Х—ml < е) = ф( — \ о К 2 /
С помощью этой формулы можно находить вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, в интервал, симметричный относительно точки т.
904. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием т= 40 и дисперсией D = 200. Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал ]30, 80[.
Д Здесь а = 30, Ь — 80, т = 40, сг = уг200= 10 У 2; пользуясь табл. III на с. 411, находим
Р (30 < X < 80) =0,5 Г Ф ( 80~4° 'l = Ф (
L \Ю/2-К2/ \ 10 к 2-К 2 )\
= 0,5 [Ф (2) + Ф (0,5)] =0,5 [0,9954-0,521 ] =0,758. 4
203
905. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина равна т = 40см и среднее квадратичное отклонение равно о =0,4 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?
Л Требуется найти положительное число 8, для которого Р (| X— 40 | < 8) = 0,8. Так как
Р(|Х-40| <е) = ф(—1_)=ф (1,77е),
то задача сводится к решению неравенства Ф (1,77s) > 0,8. С помощью табл. III устанавливаем, что 1,77s > 0,91. Остается найти наименьшее значение 8, удовлетворяющее этому неравенству, откуда 8 = 0,52. А
906. Стрельба ведется из точки О вдоль прямой Ох. Средняя дальность полета снаряда равна т. Предполагая, что дальность полета X распределена по нормальному закону со средним квадратичным отклонением о =80 м, найти, какой процент выпускаемых снарядов даст перелет от 120 до 160 м.
907. Случайная величина X подчинена нормальному закону с математическим ожиданием т и средним квадратичным отклонением о. Вычислить с точностью до 0,01 вероятности попадания X в интервалы ]m, m + a[, ]m + o, m + 2a[, ]m + 2o, т + 3о[.
908. Показать, что вероятность попадания в интервал ]а, Ь[ случайной величины X с математическим ожиданием т и средним квадратичным отклонением о, подчиненной нормальному закону, не изменится, если каждое из чисел а, Ь, т и о увеличить в X раз (X > 0).
909. Масса вагона—случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратичным отклонением о=0,9 т. Найти вероятность того, что очередной вагон имеет массу не более 70 т, но не менее 60 т.
910. Мастерская изготавливает стержни, длина которых I представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением, равными соответственно 25 и 0,1 см. Найти вероятность того, что отклонение длины стержня в ту или другую сторону от математического ожидания не превзойдет 0,25 см.
911. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона — случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а = 65 т и средним квадратичным отклонением сг= 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.
912. Диаметр детали, изготавливаемой на станке,— случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а = 25 см и средним квадратичным отклонением о= 0,4 см. Найти вероятность того, что две взятые наудачу 204
детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.
Л Вероятность того, что наудачу взятая деталь имеет отклонение 6 в ту или другую сторону от математического ожидания, составляет
Р (a—6 < X < а + 6) =Р (| Х — а\ < 6)=2Ф(6/а).
Отсюда
Р(| X —251 <0,16) =2Ф (0,16/0,4) =2Ф (0,4) = 2-0,1554 = 0,3108.
Тогда для двух наудачу взятых деталей искомая вероятность есть 0,31082 = 0,096. Д
913. Пусть X— случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием а =1,6 и средним квадратичным отклонением а=1. Какова вероятность того, что при четырех испытаниях эта случайная величина попадет хотя бы один раз в интервал ]1, 2[?
Л Найдем вероятность попадания случайной величины X в интервал ]1, 2[ при одном испытании:
Р(1 < X < 2)=Ф ^2~~/ —) -Ф ^*2112®)==ф(0>4) + Ф(0,6) =
= 0,1554 + 0,2257 = 0,3811.
Тогда вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал ]1, 2[ при одном испытании, есть 1—0,3811 = 0,6189, а при четырех испытаниях 0,61894 «0,1467. Значит, искомая вероятность составляет 1—0,1467 = 0,8533. Л
914. Диаметр выпускаемой детали — случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием 5 см и средним квадратичным отклонением 0,9 см. Установить: 1) вероятность того, что наудачу взятая деталь имеет диаметр в пределах от 4 до 7 см; 2) вероятность того, что размер диаметра наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 2 см; 3) в каких границах следует ожидать размер диаметра детали, чтобы вероятность не выйти за эти границы была равна 0,95.
Л 1) Р (4 < d < 7)=ф(1=±) - Ф = Ф (2,22)+ Ф (1,11) =
= 0,4867 + 0,3664 = 0,8531;
2) P(\d — 5| < 2) =2Ф (2/0,9) = 2Ф(2,22) = 2-0,4867 = 0,9734;
3) Р (| d — 5| < 6) = 2Ф (6/0,9) = 0,95, Ф (6/0,9) = 0,475. Используя таблицу значений нормированной функции Лапласа, имеем 6/0,9 = 1,96, откуда 6= 1,76. ±
915. Случайная величина X подчинена нормальному закону с математическим ожиданием 2,2 и средним квадратичным от-клонением 0,5. Какова вероятность того, что при первом испытании случайная величина окажется на отрезке [3, 4], а при втором испытании — на отрезке [1, 2]?
916. Случайная величина X подчинена нормальному закону с математическим ожиданием а= 10. Каково должно быть среднее
205
квадратичное отклонение о этой случайной величины, чтобы с вероятностью 0,8 отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не превышало 0,2?
§ 12. МОМЕНТЫ, АСИММЕТРИЯ И ЭКСЦЕСС СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Начальным моментом s-ro порядка дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения
Xi xi x2 .. • • • •
Pi Pi P2 ... Pn • • •
называется сумма ряда
as ~ xiPi 4" Х%Р2 4~ • • • 4~ хпРп 4" • • • •
Для непрерывной случайной величины X с плотностью распределения / (х) начальным моментом s-ro порядка называется интеграл
+ 00
as = xsf (х) dx.
— 00
Нетрудно видеть, что начальный момент первого порядка случайной величины X равен математическому ожиданию этой случайной величины: = М (X).
Центральным моментом s-vq порядка дискретной случайной величины X называется сумма ряда
= Ui — ™ху Pi 4- fe — tnx)s р2 + ... 4- (х„—тху рп+..^
где тх — математическое ожидание случайной величины X.
Для непрерывной случайной величины центральным моментом s-ro порядка называется интеграл
+ 00
Ms =4 {x—mxyf(x)dx.
— 00
Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю, т. е. Ц1 = 0.
Центральный момент второго порядка любой случайной величины равен дисперсии случайной величины, т. е. (X).
Центральные и начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков связаны соотношениями:
Н1 = 0,
U2==tz2 —CZ1,
Рз = CZ3 — За4а2 4* 2oti, р4 = а4 — 4а4а3 4~ 6а4а2 — За*.
Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то все центральные моменты нечетного порядка равны нулю, т. е. pi = p3 = = р5=...=0.
206
Отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратичного отклонения называется асимметрией:
—Чз+х-
Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то для кривой распределения (гистограммы) 5^ = 0.
На рис. 46 и 47 изображены гистограммы для > 0 и S& < 0.
Эксцессом случайной величины X называется величина Ех, определяемая равенством
— 1М/°х—3.
Для нормального закона распределения Ех~0.
Кривые, более островершинные по сравнению с нормальной (так называемой кривой Гаусса), обладают положительным эксцессом; для кривых, более плосковершинных, Ех < 0 (рис. 48).
917. Дан ряд распределения случайной величины X:
X/ 1 3 5 7 9
Pi 0,1 0,4 0,2 0,2 0,1
Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков этой случайной величины, а также определить асимметрию и эксцесс.
Л Начальный момент первого порядка
1-0,1+3-0,4 + 5-0,24-7.0,2 + 9-0,1=4,6.
Начальный момент первого порядка является математическим ожиданием, поэтому Л1(Х)=4,6.
Найдем начальный момент второго порядка:
а2= 1-0,1+9-0,4+ 25-0,2+49-0,2 + 81-0,1=26,6.
Начальный момент третьего порядка
сс3 = 1 -0,1 + 27-0,4 + 125-0,2 + 343-0,2 + 729-0,1 = 177,4.
Начальный момент четвертого порядка
а4= 1-0,1+81-0,4 + 625-0,2 + 2401-0,2 + 6561-0,1 = 1293,8.
Найдем теперь центральные моменты. Как известно, 41 — 0- Центральный момент второго порядка найдем по формуле
= а2 — а? = 26,6 — 4,62 = 26,6 — 21,16 = 5,44.
207
Этот центральный момент является дисперсией случайной величины, т. е. £>(Х) = 5,44.
Отсюда легко определить среднее квадратичное отклонение:
аА. = VD (X) = КМ4 = 2,33.
Центральный момент третьего порядка определится по формуле
Нз = ^з — 3aia2 + 2a? = 177,4 — 3-4,6-26,6 + 2-4,63 =
= 177,4 — 367,08+ 194,672 = 4,992.
Теперь нетрудно определить асимметрию:
Sh — ,Цз — 4,992 — 4,992 — о3 5,44-2,33 “ 12,675 ~ ’
Для центрального момента четвертого порядка воспользуемся формулой p4 = a4—4a1a3 + 6a?a2—3at= 1293,8 — 4-4,6-177,4 + 6-4,62-26,6 — 3-4,64== = 1293,8 — 3264,16 + 33,77,136— 1343,227 = 64,55.
Теперь можно найти эксцесс:
^=#-3=-ёй-3=;11г-3=2’18-3=-0>82- А
918. Дана функция г 0 при х < 0,
< ах* ПРИ О’СЖЬ
' ' ' а (2—х)2 при 1=Сх<2, < 0 при х^2,
(рис. 49). При каком значении а функция f (х) является плотностью распределения случайной величины X? Определить началь-
Рис. 48
ные и центральные моменты первых четырех порядков, асимметрию и эксцесс.
А Для нахождения а имеем уравнение
1 2
а х2 dx + а (2 — х)2 dx = 1,
о 1
откуда
0.4р_й.е=^г=
3 о 3 1
, 3
= 1, т. е. а--—.
208
Находим начальные моменты:
3 С 3 , , з f , 3 1 , 3 Гс 28 . 15\ ,
“1==Т J xdx+ J J х(2 —х) dx= 2"z+"2 l6—3 + 4 / = 1; о 1 4
2
Q р
x^dx-}—^- \ х2(2 — x)2dx =
1
-И
О
__ 3 . 3 Г 4х3 4 , х5!2 3 । п 45 . 93 f ,
“10+2 [з Х + 5 J1 ~io+14 2+10“ ’ ’
1 2
аз~У У x5dx-f~y J х3(2—x)2dx= о 1
=1+_3_ ± Х5 I ^12=1+45_ 186 63_
12*2 [ 5 6 Ji 4*2 5 +4“’^
1 2
а4~-|- j* х6 dx-{-~-§ х4 (2—x)2dx=
b 1
_3 3 Г4х5 2x6.x7p 3 186 381 22
~14 * 2 [5 3*7 Ji~~14 ‘ ~5 bJ+TT"”135’
Находим центральные моменты:
Pi = °;
p2 = a2 —a2 = 1,1—-1 = 0,1;
р-з == 0C3 — 3aja2 4~ 2a3 =1,3 — 3*l,l-|“2 = 0
(действительно, кривая имеет вертикальную ось симметрии);
р-4 — &4 — 4aia3 + 6aia2 — 3&i = 1^- — 4« 1,34- 6* 1,1 —3=—.
35 35
Отсюда получаем:
£> (X) = ц2 = 0,1 (дисперсия);
Од; = (X) = ]/* 0,1=0,316 (среднее квадратичное отклонение).
Находим асимметрию: 5^ ~g3/o3 = 0.
Находим эксцесс: 3—1/55. _ 3 —-----L. А
; Or 0,01 7
919. Дан ряд распределения случайной величины:
Xi 2 4 6 8
Pi 0,4 0,3 0,2 0,1
Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков этой случайной величины, а также определить асимметрию и эксцесс.
209
920. Плотность распределения случайной величины X задана следующим образом:
{0 при х < 0,
х при 0<х < I,
2 — х при 1 ^х < 2,
О при х^2.
Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков, асимметрию и эксцесс.
921. Случайная величина X подчинена закону с плотностью распределения f (х) = 'ке~\х\ Определить значение Z и эксцесс случайной величины X.
§ 13. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
1. Теорема Чебышева. Говорят, что случайная величина Хп сходится по вероятности к а, если при всех достаточно больших п выполняется неравенство
Р(| а| < е) > 1 - б,
где 8 — произвольное малое положительное число, а значение б зависит от выбора 8 и п. В терминах данного определения теорему Чебышева можно сформулировать следующим образом: при достаточно большом числе независимых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию, т. е.
Р
п — М(Х)
1-6.
В этом неравенстве можно принять 0 < б < > где W — дисперсия
случайной величины X.
Теорема Чебышева является одним из законов больших чисел, которые лежат в основе многих практических применений теории вероятностей.
2. Теорема Бернулли. Другим и притом простейшим (и ранее всех установленным) законом больших чисел является теорема Я. Бернулли.
Теорема Бернулли устанавливает, что при неограниченном увеличении числа испытаний частота случайного события сходится по вероятности к вероятности события, т. е.
(1)
^причем можно принять, что 0 < б < , если вероятность события от
испытания к испытанию не изменяется и равна р (7=1—р).
922. Монету подбрасывают 1000 раз. Оценить снизу вероятность отклонения частоты появления «герба» от вероятности его появления меньше чем на 0,1.
Л Здесь п=Ю00, р—д = 1/2, 8 = 0,1. Используя неравенство (1), получаем
(\ т 1 LoiVl (1/2).(1/2) _39 V11000 2 Р ’ / 1000-0,01 “40*
210
Неравенство | — < 0,1 равносильно двойному неравенству 400 < т <
’!z 600; поэтому можно сказать, что вероятность числа попаданий «герба» >:g интервал ] 400, 600 [ больше 39/40. Д
923. В урне 1000 белых и 2000 черных шаров. Вынули (с возвращением) 300 шаров. Оценить снизу вероятность того, fto число т извлеченных при этом белых шаров удовлетворяет двойному неравенству 80 < т < 120.
Д Данное двойное неравенство можно переписать в виде
~“20 < т—100 < 20,
Итак, требуется оценить вероятность неравенства I —5- < •== ; следова-
I Омм о [ 10
тельно, 8=1/15 и
р(\т Ч/Чм (1/3).(2/3)_ 5
Ч300 3 I 15> 300-1/225 6*Ж
924. Пусть в результате 100 независимых опытов найдены значения случайной величины X: х2. ..., х100. Пусть математическое ожидание Л4 (Х) = 10 и дисперсия D(X)=l. Оценить снизу вероятность того, что абсолютная величина разности между средним арифметическим наблюдаемых значений случайной вели-( 10° \
чины । 2 xi } 100 и математическим ожиданием будет меньше 1/2. \i = 0 //
А Воспользуемся неравенством
Полагая п=100, Л1(Х) = 10, D(X)=1, е=1/2, получаем
( № \/ 1\ 1 24
Р Х/ У 100~ 10 < 2 / > 1 100.(1/4) =25
Таким образом, искомая вероятность больше 0,96. Д
925. В каждой из двух урн имеется по 10 шаров с номерами от 1 до 10. Испытание заключается в вынимании (с последующим возвращением) из каждой урны по шару. Случайная величина X—сумма номеров шаров, вынутых из двух урн. Произведено 100 испытаний. Оценить снизу вероятность попадания суммы 100
2 xi в интервал ]800, 1400 [.
А Найдем закон распределения случайной величины X. Эта случайная величина (сумма номеров извлеченных из двух урн шаров) может принимать значения х±~2; х2 = 3; •••; Xi9 = 20.
Найдем вероятность того, что X примет значение = Если 10, то сумма номеров вынутых шаров может быть равна &-J-1 в следующих k равновозможных случаях:
211
на первом шаре стоит номер 1, на втором — номер k;
» » » » » 2, » » — » k—1
• ............................... • .............< . * • 4 • . .
» » » » » k, » « --- » 1 .
Так как вероятность каждой из этих комбинаций равна (1/10) • (1/10) = = 1/100, то вероятность получить на двух шарах сумму номеров, равную 6-/1 (если 10), составляет 6/100. Итак, = 6/100 (если 6^ 10).
Если 6 > 10, то сумма номеров вынутых шаров может быть равна 6-j- 1 в следующих равновозможных случаях (число которых равно 20 — 6):
на первом шаре стоит номер 6—9, на втором —номер 10,
» » » » » 6 — 8, » » — » 9,
...............................»»•••*..................» , . . .
» » » » » 10, » » — » 6 — 9.
Так как вероятность каждой из этих комбинаций по-прежнему равна 1/100, то при 6 > 10 имеем р^ = (20— 6)/100.
Для определения М (X) и D (X) составим таблицу:
k xk Pk Wk *к-М(Х) [xft- Af(X)]2 рл[^-лкх)]2
1 2 0,01 0,02 —9 81 0,81
2 3 0,02 0,03 —8 64 1,28
3 4 0,03 0,12 —7 49 1,47
4 5 0,04 0,20 —6 36 1,44
5 6 0,05 0,30 —5 25 1,25
6 7 0,06 0,42 —4 16 0,96
7 8 0,07 0,56 —3 9 0,63
8 9 0,08 0,72 —2 4 0,32
9 10 0,09 0,90 —1 1 0,09
10 11 0,10 1,10 0 0 0
11 12 0,09 1,08 1 1 0,09
12 13 0,08 1,04 2 4 0,32
13 14 0,07 0,98 3 9 0,63
14 15 0,06 0.90 4 16 0,96
15 16 0,05 0,80 5 25 1,25
16 17 0,04 0,68 6 36 1,44
17 18 0,03 0,54 7 49 1,47
18 19 0,02 0,38 8 64 1,28
19 20 0,01 0,20 9 81 0,81
S 1,00 11,00 — — 16,50
19
Значит, /И(Х) = 2 Р№ = 11, D(X) = 16,5. Очевидно; что /г=1
800
100 \ / 100 '
< 2 < 1400) 1 '• —300 < 2 -1100 < 300 ) <=>
i = 1 J \ i = 1
Таким образом, в = 3. Следовательно,
7
212
926. Шестигранную кость подбрасывают 10 000 раз. Оценить вероятность отклонения частоты появления шести очков от вероятности появления того же числа очков меньше чем на 0,01.
927. В урне 100 белых и 100 черных шаров. Вынули с возвращением 50 шаров. Оценить снизу вероятность того, что количество белых шаров из числа вынутых удовлетворяет двойному неравенству 15 < т < 35.
928. В результате 200 независимых опытов найдены значения случайной величины х19 х2, ..., х200, причем М (X) = D(X) = 2. Оценить снизу вероятность того, что абсолютная величина разности между средним арифметическим значений случайной вели-/2™ \/
чины 12 xi )/ 200 и математическим ожиданием меньше 1/5.
§ 14. ТЕОРЕМА МУАВРА - ЛАПЛАСА
Если производится п испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, то частота т/п появлений события является случайной величиной, распределенной по биномиальному закону, математическое ожидание и дисперсия которой равны соответственно р и /pqln* Случайная т/п—р
величина т — ~7~— ~ > математическое ожидание которой равно нулю, а дис-” У pq/n
Персия—единице, носит название нормированной частоты случайного события (ее распределение — также биномиальное).
Теорема Муавра—Лапласа устанавливает, что при неограниченном возрастании числа п испытаний биномиальный закон распределения нормированной частоты в пределе превращается в нормальный с тем же математическим ожиданием (равным 0) и дисперсией (равной 1). В силу этого при больших значениях п для вероятностей неравенств, которым должна удовлетворять частота (или число наступлений) случайного события, можно использовать приближенную оценку с помощью интеграла вероятностей (функции Лапласа), а именно, справедливы следующие приближенные формулы:
Р (а < < А = Р [а < < 4 « 1 /Ф (4=\-Ф (-2=4 .
( Vpqln f I У npq I 21\/2/ \К2//
929. Какова вероятность, что при п испытаниях событие А появится от а до Р раз? Вероятность появления события А равна р.
А Очевидно, что
а < < b ) 4=>(пр + а Кnpq < х < пр-\-Ь Уnpq).
V npq /
Полагаем пр + а У npq = а, пр-\-Ь У npq = р. Отсюда а = (а—рп)/У npq, 6 = (р—пр)!Уnpq. Применив теорему Муавра — Лапласа, получим
Р(а<Х<Р) = 1
<т>
\ У 2npq / \ У 2npq /
930. Вероятность события А при каждом испытании равна 0,7. Сколько раз достаточно повторить испытание, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что частота появления события А будет отклоняться от вероятности не больше чем на 0,05?
213
Л Из условия следует, что |——0,71 < 0,05. Отсюда 0,65/г < X < 0.75ц. В формуле, полученной при решении задачи 929, положим a = 0,65n, р = 0,75ц. Тогда
Р (0,65n < X < 0,75и) = у Г Ф
/ 0,65/2 — 0,7п \ \У2п (1/2).(1/217
0,75/г — 0,7/г
У2« (1/2).(1/2)
_ ф / У2п \. \ 20 )
Из уравнения Ф (У 2п /20) =0,9, используя табл. III на с. 411, находим /2п/20 = 1,17, т. е. п = 273. Д,
931. Какова вероятность, что при 100 бросаниях монеты «герб» появится от 40 до 60 раз?
ф Воспользоваться результатом решения задачи 929 при а = 40, р = 60, л = 100, p=q = 1/2.
932. В урне 80 белых и 20 черных шаров. Сколько шаров (с возвращением) нужно вынуть из урны, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать, что частота появления белого шара будет отклоняться от вероятности меньше чем на 0,1?
§ 15. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Часто результат опыта описывается не одной случайной величиной X, а несколькими случайными величинами: Х{, Х2, ..., Хп. В этом случае принято говорить, что указанные случайные величины образуют систему (Хх, х2, ...»Х„).
Систему двух случайных величин (X, Y) можно изобразить случайной точкой на плоскости.
Событие, состоящее в попадании случайной точки (X; У) в область D, принято обозначать в виде (X; У) с D.
Закон распределения системы двух дискретных случайных величин может быть задан с помощью таблицы
Х^^ У У1 Уъ • • • Уп
Xi РП Pit ... Pin
х2 P2i Р22 • • • Р2п
. • • •
• • • • •
• • • •
Pmi Рт2 • • • Ртп
где Xi < х2 < ... < xmt УК у2< • • • < Упу Pij—вероятность события, заключающегося в одновременном выполнении равенств Х=х/, У = уу. При этом
214
T2 р;у=1. Таблица может содержать бесконечное множество строк и /51 / = 1 столбцов.
Закон распределения системы непрерывных случайных величин (X, У) будем задавать с помощью функции плотности вероятности / (х, у).
Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в область D определяется равенством
P[(X; Y)cD]=^f(x, y)dxdy.
D
Функция плотности вероятности обладает следующими свойствами:
1°. f(x, г/)^0.
4- оо 4- оо
2°. J J f (х, y)dxdy=i.
-о> - 8
Если все случайные точки (X; У) принадлежат конечной области D, то последнее условие принимает вид f (х, у) dxdy — 1.
D
Математические ожидания дискретных случайных величин X и У, входящих в систему, определяются по формулам
т п т п
тх = М (Х)= 2 2 Х‘Р‘/’ ту = М(Х)~ 2 2 У/Р1)’
а математические ожидания непрерывных случайных величин — по формулам
4- оо 4- оо 4- со 4- оо
тх = М(х) = xf(x, y)dxdy, ту = М(Х) = yf (х, y)dxdy.
— оо — оо — СО 00
Точка (тх; ту) называется центром рассеивания системы случайных величин (X, У).
Математические ожидания тх и ту можно найти и проще, если случайные величины X и У независимы. В этом случае из законов распределения этих случайных величин можно определить математические ожидания тх и ту по формуле, приведенной в § 6 этой главы.
Дисперсии дискретных случайных величин X и У определяются по формулам
т п т п
°w=2 2^Лх'—т^’ D
i = 1 j = 1 i = 1 j = 1
Дисперсии же непрерывных случайных величин X и У, входящих в систему, находятся по формулам
О(Х) = (x—mx)2f(x,y)dxdy, D(Y) = J (у — ту)2 f (х, у) dxdy. — 00—00 —00—00
Средние квадратичные отклонения случайных величин X и У определяются по формулам
Для вычисления дисперсий могут быть применены формулы
D (X) = М (X2) — [М (X)]2, D (У) = М (У2) — [М (У)]2.
215
Важную роль в теории систем случайных величин играет так называемый корреляционный момент (ковариация)
СХу = ^ [(X тх) (Y ту)].
Для дискретных случайных величин корреляционный момент находится по формуле
Сху = 2d (%п тх) (ут ту) Pnmt
т п
а для непрерывных — по формуле
+ 00+00
СХу= 5 5 (х—тх)(у—my}f(x, у) dxdy.
— 00 — 00
Корреляционный момент можно также найти по формуле
Cxy = M(XY)-M(X)M(Y).
Здесь
М ~ <2 2] %пУтРтп т п
для дискретных случайных величин X и Y и
+ оо + 00
М (Х50 =5 $ xyt dx dy — оо — оо
для непрерывных величин.
Случайные величины X и Y называются независимыми, если вероятность одной из них принять значение, лежащее в любом промежутке области ее значений, не зависит от того, какое значение приняла другая величина. В этом случае
М (XY) = М(Х)-М (У); Сху = 0.
Для характеристики связи между величинами X и Y рассматривается так называемый коэффициент корреляции
г — СхУ ху~^' являющийся безразмерной величиной.
Если случайные величины X и Y независимы, то гХу = О. Если же случайные величины X и Y связаны точной линейной зависимостью Y = аХ -yb, то гху = sgn а, т. е. rxy = 1 при а > 0 и гху = —1 при а < 0.
Вообще же коэффициент корреляции удовлетворяет условию —1 ^rxy^ 1.
933. В двух ящиках находятся по шесть шаров; в 1-м ящике: 1 шар — с №1,2 шара — с № 2, 3 шара—с № 3; во 2-м ящике: 2 шара — с № 1, 3 шара — с № 2, 1 шар — с № 3. Пусть X — номер шара, вынутого из первого ящика, Y—номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу закона распределения системы случайных величин (X, У).
Л Случайная точка (1; 1) имеет кратность 1 X 2 = 2;
» » (1; 2) » » 1 X 3 = 3;
» » (1; 3) » » 1 х 1 = 1;
» » (2; 1) » « 2 X 2 = 4;
>> » (2; 2) 2 X 3 = 6;
216
» » (2; 3) »
» » (3; 1) »
» » (3; 2) »
» » (3; 3) »
» 2x1=2;
» 3x2 = 6;
» 3x3 = 9;
» 3 х 1=3.
Всего случайных точек 6 X 6 = 36 (п-кратную точку принимаем за п точек)*
Так как отношение кратности точки ко всему количеству точек равно вероятности появления этой точки, то таблица закона распределения системы случайных величин имеет вид
Y X 1 2 3
1 1/18 1/12 1/36
2 1/9 1/6 1/18
3 1/6 1/4 1/12
Сумма всех вероятностей, указанных в таблице, равна единице. А
934. Найти математические ожидания случайных величин X и У по условию предыдущей задачи.
Л Имеем
т*=14+24+з4+14+24+з4+14+2'тз+з4==4;
ту=14+24+з4+14+24+з‘Г8+14+24+з4=4
Точка (7/3; 11/6) является центром рассеивания для заданной системы (X, Y).
Так как случайные величины X и Y независимы (см. задачу 933), то математические ожидания тх и ту можно подсчитать проще, используя ряды распределения:
Xi 1 2 3 У/ 1 2 3
Pi 1/6 1/3 1/2 Pi 1/3 1/2 1/6
Отсюда находим 1 , 2 , 3 7
mx-^PiXi—g- + у+у —g ,
1 । i । 1 11
mv~ X Pjiyj~~3 +1 + 6" •
935. Найти дисперсии случайных величин X и Y по условию задачи 933.
ДоОт системы^ величин (X, Y) перейдем к системе центрированных величин (X, У), где Х = Х — тх = Х — 7/3, Y— Y—my~Y—11/6. Составим таблицу
217
X —5/6 1/6 7/6
—4/3 1/18 1/12 1/36
-1/3 1/9 1/6 1/18
2/3 1/6 1/4 1/12
Имеем
+В)Ч+(1)Ч+НЯ+ИК+Ш -44
Отсюда <тх = ]/'5/3, Оу = }^ 17/6.
Заметим, что D (X) и D (У) можно найти по формулам D(X) = M(X2) — — [M (X)]2, D (У) = М (У2) - [Л4 (У)]2. £
936. Найти коэффициент корреляции по условию задачи 933.
Л Воспользуемся таблицей распределения системы (X, У) центрированных случайных величин.
Определим ковариацию:
С -f-AU-AY-W-AY-L-W-.lV ±4-ХУ \ зЦ 6 J 18^Д 3 / 6 12 1 \ 3^6 36 +(4Н4)4+(-И44+(-И44
2/ 5X1211271
+ 3‘\ 6 /б + 3‘б‘4 + 3‘б‘12-
J lIVILI_1 I Z-V
3< 108"г72~г 216 у 3 < 54 ‘36^108/*
-X — (— A_i_J_ । _L^—__ А.о—-1.0Д-—.о=о
^3 V 36^24^72 J 3 3 ^3 •
Так как Сху = 0, то и коэффициент корреляции гху~®.
Этот же результат мы могли бы получить и не определяя ковариации Сху. Действительно, полагая У = 1, получаем, что значение Х= 1 повторяется 2 раза, значение Х = 2 — 4 раза, а значение Х = 3 — 6 раз. Значит, при У=1 получаем ряд распределения случайной величины X:
1 2 3
Pi 1/6 1/3 1/2
218
Если Y = 2, то значение Х=1 повторяется 3 раза, значение Х = 2—6 раз, ; значение Х = 3 —9 раз. Следовательно, при Y = 2 получается ряд распределения случайной величины X:
Xi 1 2 3
Pi 1/6 1/3 1/2
Наконец, если Y = 3, то значение Х = 1 повторяется 1 раз, значение Х=2 — 2 раза, а значение Х = 3 — 3 раза. Ряд распределения случайной величины X при Y = 3 имеет вид
Xi 1 2 3
Pi 1/6 1/3 1/2
Итак, при различных значениях Y получаем один и тот же ряд распределения случайной величины X. Так как ряд распределения случайной величины X не зависит от значений случайной величины У, то случайные величины X и Y независимы. Отсюда следует, что коэффициент корреляции равен нулю. Д
937. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью
а(х2 + #2) при х2 + */2^г2, О при x2 + z/2 > г.
Найти коэффициент а.
Л Коэффициент а определяем из уравнения а (x2+#2) dxdy— 1, D
где D — круг, ограниченный окружностью х2+#2 = г2. Перейдя к полярным координатам, получаем
2л г
aJJp3rfpdO=1. Т‘2яа==1, Т- е- a = ^i- А о о
938. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью
а(х-\-у) в области D;
О вне этой области.
Область D—квадрат, ограниченный прямыми х = 0, х = 3, г/ = 0, у = 3. Требуется: 1) определить коэффициент а\ 2) вычислить вероятность попадания случайной точки (X; У) в квадрат Q, ограниченный прямыми х=1, х = 2, у = 1, у = 2; 3) найти математические ожидания тх и ту\ 4) найти средние квадратичные отклонения ог и о. л у
f(x, у)—
f (*, У) = {
219
Л 1) Коэффициент а находим из уравнения а
з з
J J (*+*/) dxdy — 1, откуда о о
зз з з
а у j* (*+#) dx dy = a J j 3dx = a J ^3x-[-y^ ^x==
0 0 0 L 0
Г 3 , I 9 13 /27 . 27\ , 1
+“2XJo==aU+2’J== ’ ’ T,e^ = 27-
2 2
2) РЦХ; y)C<?] = ^J J (x+y)dxdy= о о
2 2
=M Д+4]/х=М Д+г-х-Д dx = o Y
2
1 (V | 3 \ , __ 1 L3^]2 1 I Q 1 3^ 1
“27 J 2 J dx 27 [2 2 Ji-27 V^3 2 2 / “ 9 '
1
3) Находим математические ожидания mx и my', имеем
зз з
mx—-^ j ^x(x+y)dxdy=-^ [x2^ + ^"]odx== 0 0 0
3
+4') Л-57 P +t *’] ’-i (27+t)-7''4-
0
Следовательно, и mv = 7/4.
4) Находим средние квадратичные отклонения ох и сгу:
3 3 2
o| = (X—тЛ)27(х, y)dxdy=±§ j* ^х— у) -У+</) dy dx —
D 00
3 3 о о
3 3 3 3
0 0 0 0
1 С ( 7V 13 1 е f 7 у f . 7\213
~27J \ 4 J y|odX’*“27-2’HX 4 / V+4 J |odx~
О о
/ _7_у 3
__ 1 V 4; 1 1/ 7 у /361 49\|з__11
"“9* 4 о"* 27*2*3 \ 4 J Д 16 16>|0—16*
Итак, (Ух = оу = 11/4. £
939. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью
е/ к ____ ( <2 sin (%-{-г/) в области £);
• \ 0 вне этой области.
220
Область D определяется неравенствами 0^х^л/2, 0^у^л/2. Найти: 1) коэффициент а\ 2) математические ожидания тх и ту; 3) средние квадратичные отклонения вх и ву\ 4) коэффициент корреляции гху.
Л/2 л/2
Л 1) Коэффициент а находим из уравнениям- sin (* + #) dydx= 1. От-
о о
сюда
л/2 л/2 Л/2
а sin (x4-r/) dydx = — а cos (*+#) l^/2 dx = оо о
л/2
= а (sinх + cos х) dx = a (sinx—cos х) l^2 = 2а. о
Итак, а =1/2, т. е. f (х, у) = (1/2) sin (x-f~z/) в области D.
Л/2
”-=7 J о л/2
-И о
2)
Л/2
J xsin (х-\-у) dy dx= о
л/2 л/2
xdx § sin (*+#) dy=~— cr>s(x+y) |Q xdx = о о
1 С 1
у \ x(sinx+cosx) Jx= 2“X(sinx—-cosx) о
Л/2
У (sinx— cos х) б/х=~+у (cos x-f-sinx) | о
Точно так же и ту = л/4.
л/2 л/2
3) (X2) — [М (Х)]2 = у J X2 sin (х+у) dydx—^—
о о
л/2 л/2
1 Р |л/2 л2 1 С л2
= — 2" \ х2 cos (х4-у) I J х2 (Sin х + cos х) dx-
о о
Л/2 2
^=-i- X2 (sinx—cos х) — j x(sinx — cos x) dx —
о
Л/2
Л2 I / . |Л/2 C 7 • ! \ J 3l2
= — -|-x(sinx +cosx) — \ (sinx+ cosx) dx—77=
о |0 J 10
0
Л2 . Л . . . 4 1^/2 л2 Л2 . Л Q
=-8-+T+(sinx-cosx)|o -i6=i6+2— 21
Следовательно, о2 ~ = 0х2 + 8л — 32)/16.
221
4) Определим ковариацию:
Л/2 л/2
Сху = м (XY) — М (Х)-М (V) = 2- j J xf/sin (x+y) dydx—7-7 = о 0
Л/2 л/2
1 С Г л2
=у \ xdx \ у sin (х-[-у) dy—-&= О о
л/2
1 С Л2
-g- \ х ( sin х+ cos х—sin х j dx—yi=i о
1 / Л , \ |Л 2
=—%( sinx—— cosx+cosx) —
Л/2
If/. л , \ л2
--g- \ I sin X-g- COS X-}- COS X J dx — —
b 4
Л 1 / . Л . \ |Л/2 я2
----X- Sinx—77 Sinx—COS X — — = 4--2 \ 2 /|ol6
__л 1 . л 1 л2______8л—16 — л2 "“Т“У+Т_'_2 ~Тб“ 16 *
Отсюда
8л—16 — л2
ху ~ gx- Gy ~ л2 + 8л—32
0,73688
3,00232
« —0,2454. Д
940. Дана таблица, определяющая закон распределения системы двух случайных величин (X, У):
Y X 20 40 60
10 ЗА, X 0
20 2А U 2Х
30 Л 2Х 5Х
222
Найти: 1) коэффициент X; 2) математические ожидания тх и ту\ 3) дисперсии oj и о2у\ 4) коэффициент корреляции гху.
941. Система случайных величин (X, У) подчинена закону распределения с плотностью
г , х ( аху в области D, IX » У) । о вне эт0£ области.
Область D—треугольник, ограниченный прямыми х + у—1 = 0, х = 0, у = 0. Найти: 1) коэффициент а\ 2) математические ожидания тх и ту\ 3) дисперсии и 4) коэффициент корреляции гху.
942. Система случайных величин подчинена закону распреде-
ления с плотностью
/(X, 1/) = {а2-х2~у2 прн
' ' ( 0 при
*2+#2 (а > 0), х2 + у2 > о2.
Найти: 1) коэффициент а\ 2) математические ожидания тх и ту\ 3) дисперсии и 4) коэффициент корреляции гху.
§ 16. ЛИНИИ РЕГРЕССИИ. КОРРЕЛЯЦИЯ
Дана система случайных величин (X, Y). Пусть в результате п испытаний получено п точек (jq; f/i), (х2; у2), ..., (х„, уп) (среди этих точек могут быть и совпавшие). Требуется вычислить коэффициент корреляции этой системы случайных величин.
Приняв во внимание закон больших чисел, при достаточно большом а в формулах для определения о2, и Сху можно заменить математические ожидания М (X) и М (Y) средними арифметическими значений соответствующих случайных величин. При этом имеют место следующие приближенные равенства:
Отсюда можно найти коэффициент корреляции по формуле
гху~~
СХ1.
л У
°х°у
Если | гху | Vп—1^3, то связь между случайными величинами X и Y достаточно вероятна. Если связь между X и Y установлена, то линейное приближение ух от х дается формулой линейной регрессии
_ — V If — —
Ух — У=гху~ (х—х), или ух=ах+Ь.
223
Линейное же приближение ху от у дается формулой линейной регрессии ху — х=гху^(у~7j)t или Xy = cy + d.
Следует иметь в виду, что ух = ах-]-Ь и xy — cy-]-d—различные прямые (рис. 50). Первая прямая получается в результате решения задачи о минимизации суммы квадратов отклонений по вертикали, а вторая — при решении задачи о минимизации суммы квадратов отклонений по горизонтали.
Для построения уравнений линейной регрессии нужно:
1) по исходной таблице значений (X, У) вычислить х, у, (Ух, ву, Сху, гху;
2) проверить гипотезу о существовании связи между X и Y;
3) составить уравнения обеих линий регрессии и изобразить графики этих уравнений.
943. Дана таблица
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X 0,25 0,37 0,44 0,55 0,60 0,62 0,68 0,70 0,73
Y 2,57 2,31 2,12 1,92 1,75 1,71 1,60 1,51 1,50
i 10 11 12 13 14 15 16 17
X 0,75 0,82 0,84 0,87 0,88 0,90 0,95 1,00
Y 1,41 1,33 1,31 1,25 1,20 1,19 1,15 1,00
Определить коэффициент корреляции гху и уравнения линий регрессии.
224
Л Составим расчетную таблицу:
i X Y х* У2 XY
1 0,25 2,57 0,0625 6,6049 0,6425
2 0,37 2,31 0,1369 5,3361 0,8547
3 0,44 2,12 0,1936 4,4944 0,9328
4 0,55 1,92 0,3025 3,6864 1,0560
5 0,60 1,75 0,3600 3,0625 1,0500
6 0,62 1,71 0,3844 2,9241 1,0602
7 0,68 1,60 0,4624 2,5600 1,0880
8 0,70 1,51 0,4900 2,2801 1,0570
9 0,73 1,50 0,5329 2,2500 1,0950
10 0,75 1,41 0,5625 1,9881 1,0575
11 0,82 1,33 0,6724 1,7689 1,0906
12 0,84 1,31 0,7056 1,7161 1,1004
13 0,87 1,25 0,7569 1,5625 1,0875
14 0,88 1,20 0,7744 1,4400 1,0560
15 0,90 1,19 0,8100 1,4161 1,0710
16 0,95 1,15 0,9025 1,3225 1,0925
17 1,00 1,00 1,0000 1,0000 1,0000
S 11,95 26,83 9,1095 45,4127 17,3917
17 17 17
Из таблицы получаем: 2^=11,95, 2^=26>83’ 24=29,1095> 1 = 1 i = 1 1 = 1
17 17
2^? = 45,4127, 2 Х1У1 = 17,3917. Теперь находим г = 1 i = 1
х= 11,95/17 = 0,7029, у= 26,83/17 = 1,5782;
а* = 9,1095/17— (0,7029)2 = 0,0418, = 0,2042,
а2у = 45,4127/17 — (1,5782)2 = 0,1806, <уу = 0,4250;
Сху = 17,3917/17—0,7029.1,5782 = —0,0863; гху = (—0,0863)/(0,2042 - 0,4250) = —0,09943.
Вычисляем значение произведения | rxy | Vп—1; так как | гху | Уп— 1 = = 0,9943.4 — 3,9772 > 3, то связь достаточно обоснована.
Уравнения линий регрессии:
- - ° и
Ух—У = гху-—'(х-х), * Од;
т. е.
ух-1,5782 = -O,99o)32o°J-'"(^—0.7029); ~ух = -2,0695х+3,0329} ху Х==гхув (У У}»
т. е.
^-0,7029 = -°’"^— • (у—1,5782); ^ = 0,4776^+ 1,4566.
Построив точки, определяемые таблицей, и линии регрессии, видим, что обе линии регрессии проходят через точку М (0,7029; 1?5782). Первая линия
8 № 1814
225
отсекает на сси ординат отрезок 3,0329, а вторая —на оси абсцисс отрезок 1,4566. Точки (х/; у[) расположены близко к линиям регрессии.
944. В результате 79 опытов получена коорреляционная таб-лица величин Х = а$/вв и Y:
Y X 0,5 о,6 0,7 0,8
0,5 0 2 0 8
0,6 0 4 2 9
0,7 2 12 3 1
0,8 21 14 0 0
0,9 1 0 0 0
Через обозначен предел текучести стали, а через вв—предел прочности стали; Y—процентное содержание углерода в стали. Целые числа, приведенные в таблице, являются кратностями значений соответствующих случайных точек. Так, например, точка, для которой х = 0,8, у = 0,6, имеет кратность 14, т.е. в результате 14 опытов значению х=0,8 соответствовало значение у = 0,6.
Требуется определить коэффициент корреляции и уравнения линий регрессии.
Д Используя табличные данные, находим
У*2 Уу2 Уху „
X = 0,703; у = 0,622; -^-=0,505; 0,398; -^-±==0,427.
Определим дисперсии и ковариацию:
су2=0,505 — (0,703)2 = 0,505 — 0,493 = 0,012; ах=0,11;
о2 = 0,398 — (0,622)2 = 0,398 — 0,387 = 0,011; = 0,105;
Сху = 0,427—0,703 • 0,622 = 0,427 — 0,437 = — 0,01.
Определим коэффициент корреляции:
Схц 0,01 Q
ху Wu 0,11.0,105- ,867,
л у 7
Вычисляем значение произведения \гху\У"п^-Л; имеем
Ггху | Уп— \ = 0,867 ^78 = 0,867• 8,84 = 7,66.
226
Так как | гху | У п—1 >3, то связь достаточно вероятна.
Уравнения линий регрессии:
Ух У — гху • • (* х) >
°*
Т.Е.
0,622=—0,867-^^ • (х—0,703), 1/А. = —О,828х-1- 1,204;
Ху~Х= гХу • иУ
т. е.
хи—0,703=— 0,867 • 0,622), ~х„ = —0,908» + 1,268. А
J U,luo J J
945. Дана корреляционная таблица для величин X и У, где X—срок службы колеса вагона в годах, a Y—усредненное значение износа по толщине обода колеса в миллиметрах:
у 0 2 7 12 17 22 27 32 37 42
0 3 6
1 25 108 44 8 2
2 3 50 60 21 5 5
3 1 11 33 32 13 2 3 1
4 5 5 13 13 7 2
5 1 2 12 6 3 2 1
6 1 1 2 1 1
7 1 1 1
Определить коэффициент корреляции и уравнения линий регрессии.
946. Дана корреляционная таблица для величин X и У, где X—стрела кривизны рельса в сантиметрах, а У—количество дефектов рельса (в сантиметрах на 25-метровый рельс):
8* 227
Y X 0 5 10 15 20
7,0 2
7,5 1 1 1 1
8,0 1 1
8,5 2
9,0 2 1 1 3
9,5 2
10,0 3 2 4 3 3
10,5 4 5 1 3 1
11,0 3 3 2 6
11,5 3 5 1 9
12,0 5 3 6 4 4
12,5 1 1 3 10 6
13,0 1 1 4 5
13,5 1 1 1 6
14,0 2 1 3
14,5 2 1
15,0
15,5 1 1
16,0 3
Определить коэффициент корреляции и уравнения линии регрессии.
§ 17. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ОСНОВЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
1. Генеральная и выборочная совокупности. Выборочной совокупностью (или выборкой) называется совокупность случайно отобранных однородных объектов.
Генеральной совокупностью называется совокупность всех однородных объектов, из которых производится выборка.
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов этой совокупности.
228
Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо представляет количественные соотношения генеральной совокупности.
2. Частота и относительная частота. Пусть имеется выборка объема п. расположим результаты выборки в таблице
i 1 2 3 ».. п
Si 8 • •
где I2, •••> %>п— значения случайной величины X соответственно в 1, 2,
3, п-м испытаниях. Среди приведенных значений случайной величины X
могут быть и равные. Объединив равные значения случайной величины, получим таблицу
X | xf x2 X3 • * 1 Xl
^x *4 n2 П3 nl
где п/— число появлений значения х/(г = 1, 2, /). Величины nlt п2, ...
..., nt называются частотами соответствующих значений х1} х2, ..., х^ случайной величины X. Очевидно, что 2 ni = fl> т. е. сумма частот всех значе-i = 1
ний случайной величины равна объему выборки.
Отношение частоты п/ к объему выборки п называется относительной частотой значения х/ и обозначается через W[ (t = l, 2, ..., I). Очевидно, что
1 1 \ 1 1
у K>J.= 2-^=-Snz=l.n=i,
1 п п 1 п
1=1 1=1 1=1
т. е. для случайной величины X сумма относительных частот всех ее значений равна единице.
Таблица, устанавливающая соответствие между значениями случайной величины и их относительными частотами, называется статистическим распределением случайной величины X:
X Xi x2 Хз Xl
W Wi w2 Шз ... Wl
Следует заметить, что довольно часто статистическим распределением называют также таблицу, определяющую соответствие между значениями случайной величины и их частотами.
229
Если X— непрерывная случайная величина, то ее статистическое распределение целесообразно представить в виде
I Но. Ы Hi. ы Ш-i, Ы
w w2 ... Wt
Здесь W[ — относительная частота попадания случайной величины в интервал 2, /.
Если случайная величина примет X значений, равных xz-, то в случае четного значения Л половину этих значений можно отнести к интервалу
а вторую половину— к интервалу Н/, gz-+1[, — 1. При нечетном X к
Рис. 51
Л? Ц *
Рис. 52
одному из этих двух интервалов можно отнести (Х+ 1) 2 значений, а к другому (X—1)(2 значений. При большом объеме п выборки не имеет существенного значения, к какому из интервалов отнесено большее число значений.
Для наглядности статистическое распределение дискретной случайной величины иллюстрируется полигоном распределения. Для этого последовательные точки (хх; шх), (х2; &’2), •••> (хь wi) изображают на координатной плоскости и соединяют их прямолинейными отрезками. Необходимо отметить, что точки, не являющиеся вершинами полигона, не представляют интереса с точки зрения математической статистики.
Для иллюстрации распределения непрерывной случайной величины пользуются диаграммами, которые называются гистограммами.
1. Гистограмма, устанавливающая зависимость частот от разрядов интервалов, в которые попадают значения случайной величины.
Пусть непрерывная случайная величина X определена таблицей:
I ]§0, Ы Их. Ы Иг. Ы •.. Ш-ь ы
пх п2 Пз •.. «г
Предполагая, что разности постоянны, положим — gz-_1 = /i для
1 = 1, 2, I (h — шаг таблицы). На оси Ох отметим точки g0, gx, ..., Рассмотрим функцию, определенную равенствами y = ni/h, если xCRf-i, £z[, Z = 2, ...,/. Вычислим площади Sz прямоугольников, нижними основаниями
которых являются отрезки gz] оси Ох, а верхними—соответствующие отрезки графика функции y = n[jh (рис. 51); имеем
Si = (ni!h)-h = ni (i=l, 2, ..., /).
230
2. Гистограмма, характеризующая статистическое распределение случайной величины. Она устанавливает зависимость между разрядами и относительными частотами значений случайной величины, попавших в эти разряды.
В этом случае рассматривается функция вида у— With (/=1, 2, ..., Z). Аналогично предыдущему, площадь соответствующего Z-го прямоугольника численно равна W[, Таким образом, площадь фигуры, ограниченной прямыми х==х0, х==Х[, у = 0, у—щ/h (i ~ 1, 2, ..., /), равна 1 (рис. 52).
947. В результате испытания случайная величина X приняла следующие значения:
11 = 2, ?2 = 5, ?з = 7, g4=l, |5=10,
ёв = 5, Е, = 9, Ев = 6, le = 8, CD II 0
ет 11 N3 ?12=з, £13 = 7, lu = 6, £15 = 8,
Е„ = 8, ^18 = 10, |19=6. U = 7,
521=з, ^ = 9, fOrt* to со 11 4^ L. = 5, CO II 1O
Требуется: 1) составить таблицу, устанавливающую зависимость между значениями случайной величины и ее частотами; 2) построить статистическое распределение; 3) изобразить полигон распределения.
Д 1) Найдем объем выборки: и = 25. Составим таблицу
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
nx 1 2 3 1 3 5 3 3 2 2
2) Статистическое распределение имеет вид
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ю
W 1/25 2/25 3/25 1/25 3/25 5/25 3/25 3/25 2/25 2/25
„ 1 ,2,3, 1,3, 5,3, 3,2,2,
Контроль. 25+25+25+25+25+25+ 25+25+25+25"" b
Последнюю таблицу можно переписать в виде
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
w 0,04 0,08 0,12 0,04 0,12 0,2 0,12 0,12 0,08 0,08
3) Возьмем на плоскости xOw точки (1; 0,04), (2; 0,08), (3; 0,12) и т. д. Последовательно соединив эти точки прямолинейными отрезками, получим полигон распределения случайной величины X (рис. 53). А
231
948. В результате испытания случайная величина X приняла следующие значения:
^=16, g2=17, g3 = 9, g4=13, ^5 = 21,
g6=ll, £7 = 7, £8 = 7, £9=19, g10 = 5,
g11=17, U = 5, g13 = 20, L4 = 18,
L6 = 4, U = 6, g18 = 22, g19 = 21, U=15,
g21 = 15, £22 = 23, g23 = 19, ^24 = 25, g25 = l.
Требуется: составить таблицу статистического распределения, разбив промежуток ]0,25[ на пять участков, имеющих одинаковые длины; построить гистограмму относительных частот.
Рис. 53
Рис. 54
Л Предварительно составим таблицу
I ]0, 5[ ]5,10[ ]10,15[ ]15,20[ ]20,25[
nx 3 5 4 8 5
Статистическое распределение имеет вид
I ; ]0,5[ ]5,10[ ]10,15[ ]15,20[ ]20,25[
W 0,12 0,2 0,16 0,32 0,2
Гистрограмма относительных частот изображена на рис. 54.
3. Статистическая функция. Пусть F* (%) — относительная частота появления значений случайной величины X, удовлетворяющих неравенству X < х. Функция F* (х) называется статистической функцией распределения. Таким образом,
( 0
I
F*(x)=< 2 WJ
/ = 1
I 1
При X < Xl,
при x/v>Cx<^+1 (&=1, 2, ..., s—1),
при x^xs.
232
Так как согласно теореме Бернулли относительные частоты при неограниченном возрастании п стремятся по вероятности к соответствующим вероятностям события, то при большом объеме выборки статистическая функция распределения F* (х) близка к интегральной функции распределения F(x)~P(X < х).
Точки х1} х2, ... , Xi являются точками разрыва I рода функции Г*(х).
949. Дано статистическое распределение:
X 11 12 13 14
Wx 0,4 0,1 0,3 0,2
Найти статистическую функцию распределения и построить ее график.
Л Имеем
/0 при х^ ;11,
0,4 при 11 < С х^ 12,
F* (х) = < \ 0,5 при 12 < : х^ ; 13,
0,8 при 13 < ' х< 14,
U при X х > 14.
* о 1
Я 10 ~ 0^
DA-1,г'-
Рис. 55
График функции F* (х) изображен на рис. 55. А
4. Определение среднего значения случайной величины. Средним значением случайной величины X, заданной статистическим распределением, называется выражение
_ 1
X = W1X1-\-W2X2 + . . . + Wtxt = 2 wixi>
i=l
или
n1x14-n2x2+ ••• +^lXl __ 1 4 „ v rn
X- ” — n £jnixi- W
1 = 1
Равенство (1) определяет среднее значение X для выборки.
Аналогично определяется ^среднее значение случайной величины X для генеральной совокупности:
- _ ВД + л2х2 + • • • + nNxN
X--------------ft , (2)
233
где N — объем генеральной совокупности. Так как n^N = pi — вероятность, с которой X принимает значение Х[ (1 i X), то равенство (2) можно записать в виде
X=ХгРг + хгр2 + ... + х vftv = XI (X).
В соответствии с законом больших чисел Бернулли можно считать, что для выборочной совокупности х М (X). В дальнейшем, предполагая п доста* точно большим, будем писать х~М(Х).
Если все значения случайной величины X близки к постоянному числу а, то вычисление х упрощается:
Z I I I _________ I
wixi='2i w‘<х<—а+°)=2 °)+а 2 wi=x~а+а 2 ш'’
1 i= 1 i = 1 i= 1
т. е.
х = а4~х—а,
(3)
где х—а — среднее значение случайной величины Х — а. Таким образом, при достаточно большом п выполняется равенство
М(Х)==а + М(Х — а). (4)
950. Найти среднее значение случайной величины, заданной распределением
X 13,8 13,9 14 14,1 14,2
4 3 7 6 5
Д Все значения X близки к а =14. Вычислим относительные частоты и составим таблицу:
X—14 -0,2 “0,1 0 0,1 0,2
W 0,16 0,12 0,28 0,24 0,2
Теперь находим
5
х—14 = 2 Wi(xi— 14) = —0,16-0,2 — 0,12-0,1 +0,28.0 + 0,24.0,14-0,2-0,2 = i = i
= —0,032— 0,012 + 0,024 + 0,04 = 0,02.
Следовательно, х= 144-0,02= 14,02. А
5. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Статистической дисперсией случайной величины, заданной статистическим распределением, называется выражение
D* (Х) = о>1 (Xi—х)2 + ш2 (х2—х)2 + ... + wi (х,—х)2. (1)
Из равенства (1) следует, что статистическая дисперсия является средним значением случайной величины (X—х)2. С возрастанием п среднее значение х стремится по вероятности к М (X), а относительные частоты Wi—
234
К соответствующим вероятностям. Таким образом, при большом объеме выборки имеет место приближенное равенство D* (X) « D (X). Величина а* (X) = ==уг£)*(Х) называется средним квадратичным отклонением. Она имеет ту же размерность, что и случайная величина X.
В дальнейшем, считая объем выборки п достаточно большим, вместо D* (X) и а*(Х) будем писать соответственно D (X) и о(Х).
Если значения случайной величины X близки к постоянной величине at то вычисление статистической дисперсии упрощается:
1-1 -
о*(Х)= 2ш‘<х‘~х)2== 2 а)—(х—°)i2=
1 — 1 i— 1
I — 1 — 1
= 2 а)8—2(х—а) 2Ш/ (х< — a) + U—°)2 2Ш‘ =
1 = 1 1 = 1 1 = 1
I __ _____ __
= 2 wi (xi—a)2 — 2(x—a) (х—а) + (х—а)2.
t=i
Из равенства (3) п. 4 следует, что х—а~х—а, поэтому
D* (X) = (х^а)2 — (х^)2, (2)
где (х—а)2—среднее значение случайной величины (X—а)2, а (х—а)2 — квадрат среднего значения случайной величины X—а. Так как левая часть равенства (2) не зависит от а, то в правой части равенства после упрощений а должно исключиться. Если, в частности, а = 0, то получается формула
Z)(X)=x2 — (х)2.
Аналогичная формула часто используется в теории вероятностей.
Если случайные величины X и У связаны линейной зависимостью Y = kX-\-br то средние значения этих величин связаны той же линейной зависимостью:
y = kx-\-b или М. (У) = kM (Х)+ Ь. (3)
Если дисперсию величины Y выразить через дисперсию величины X, то
D (У) =D (kX-{-b) = D (kX) +D (b) =k2D (X),
так как D(b)=0. Следовательно,
D (Y)=k2 [^-(7)2]. (4)
951. Вычислить D (X) и cr(X) для статистического распределения, заданного в примере 950.
А Составим таблицу
(X—14)2 0,04 0,01 0 0,01 0,04
0,16 0,12 0,28 0,24 0,2
Далее, имеем х—14 = 0,02, (х—14)2 = 0,0064-f-0,0012-{-0,0024-{-0,008 =
= 0,018. ______
Следовательно, £)(Х) = 0,018 — 0,0004 = 0,0176; о (X) = V0,0176 » 0,133. Д
952. Определить у и D (У) для статистического распределения
235
Y 3 7 11 15 19 23
W 0,02 0,18 0,35 0,3 0,1 0,05
л Значения Y образуют арифметическую прогрессию с первым членом 3 и разностью 4. Поэтому У = 3 + 4(Х—1), т. е. Y = 4x—1, k = 4, b = — 1. Если X последовательно принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, то Y примет соответственно значения 3, 7, И, 15, 19, 23. Таким образом, можно записать статистические распределения величин X и X2:
X 1 2 3 4 5 6
W 0,02 0,18 0,35 0,3 0,1 0,05
X2 1 4 9 16 25 36
Wx 0,02 0,18 0,35 0,3 0,1 0,05
Отсюда находим
1=0,02 + 0,36+ 1,05+1,2 + 0,5 + 0,3 = 3,43;
х2 = 0,02 + 0,72 + 3,15 + 4,8 + 2,5 +1,8 = 12,99
Используя формулу (3), получим
у = 4.3,43— 1 = 12,72,
а по формуле (4) находим
D (У) =42 (12,99— 11,76) = 16-1,23 = 19,68. А
953. Найти среднее значение, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины, заданной распределением
X 9,8 9,9 10 10,1 10,2
пх 1 5 8 4 2
954. Определить у и D (У) для статистического распределения
Y 2 5 8 14 17 20 23
W 0,10 0,20 0,15 0,25 0,05 0,12 0,08 0,05
236
6. Определение моментов случайной величины по данным выборки. Асимметрия и эксцесс. Нанальным моментом s-ro порядка случайной величины X называется величина as (X) = М (Xs), а центральным моментом — величина
(Х)=Л4 [(X—rnx)s], где тх—математическое ожидание случайной величины X.
Если считать выборку репрезентативной и имеющей достаточно большой объем, то для определения as (X) и (X) имеют место приближенные формулы
l I _
1= 1 4=1
Центральный момент первого порядка любой случайной величины тождественно равен нулю. Действительно, Ц! = Л4(Х—тх)~М(Х)—тх = ®.
В случае симметричного распределения случайной величины X относительно математического ожидания равны нулю и другие центральные моменты нечетного порядка.
Следует также иметь в виду, что at(X) = М (X), а ц2 W = £> (А).
Если значения случайной величины близки к некоторому числу а, то для вычисления центральных моментов первых четырех порядков целесообразно пользоваться формулами
М!(Х)=0,_____ ____
р2 (X) =(х—а)2~(х—а)2,
цз (Х) = (х — а)3—3 (х—а)-(х—а)2-\-2(х—а)3,
(X) =(х—а)4—4 (х—а) (х—а)3 4-6 (х — а)2 (х—а)2 — 3 (х—а)4.
С помощью обозначения vs~(x—a)s эти формулы преобразуются к виду Ц1=0, Нз = ^3 — 3v2Vx4“2Vi, P4 = V4 — 4V3V1 4~ 6v2Vi — 3V1« (1)
Если, в частности, а = 0, то получаются равенства, устанавливающие зависимости между центральными и начальными as моментами первых четырех порядков:
Pi=0, р2 = сс2 — af, рз = ^з — За!а24-2а1, —а4—4ct1a3 4-6«ia2—3aJ. (2)
Начальный и центральный моменты s-ro порядка имеют размерность, равную размерности s-й степени случайной величины.
Если случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью Y = — kX^b, то центральный момент s-ro порядка случайной величины Y определяется следующим образом:
Hs (П = (kX +b) = ksps (X + b/k) - (X). (3)
Легко доказывается, что р5 (ХД-С) = ps (X), где С—произвольная постоянная. Среднее квадратичное отклонение определяется так:
о (У) = КМП = /= I * I КМХ) = Р|а(Х). (4)
Пусть X — непрерывная случайная величина. Для определения ее числовых характеристик составим таблицу
X х2 *1
wx w2
где Xi — какое-нибудь число из интервала 1, £/[, i — 1, 2, ..., I. Обычно полагают = + Выразив асимметрию и эксцесс случайной величи
237
ны Y — kX-\-b через асимметрию и эксцесс случайной величины X, формулы для которых приведены на с. 206, 207, получим
<5>
р (у\ — _з — _з — £ (%)
hx(Y)~G^Y) 6~ I к I4 о4 (X) (0)
Очевидно, что если k > 0, то (kX -j- Ь) = (X); если же k < 0, то (kX-j- b) =
= ~Sk (X).
955. Вычислить центральные моменты первых четырех порядков случайной величины, имеющей следующее статистическое распределение:
X 11 12 13 14
W 0,35 0,25 0,15 0,25
Л Примем а =10. Для вычисления vb v2, v3, v4 составим расчетную таблицу:
Х-а W W (Х-а) W (Х-а)2 W (Х-а)3 W (Х-а)*
1 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35
2 0,25 0,50 1,00 2,00 4,00
3 0,15 0,45 1,35 4,05 12,15
4 0,25 1,00 4,00 16,00 64,00
2,30 6,70 22,40 80,50
Итак, Vi = 2,3; v2 = 6,7; v3 = 22,4; v4 = 80,5. По формулам (1) находим
Ц1(Х) = 0; ц2 (Х) = 6,7—2,32= 1,41;
р3 (X) = 22,4—3• 6,7- 2,3 + 2-2,33 = 0,504;
щ (X) = 80,5—4 • 22,4 • 2,3 + 6 • 6,7 • 2,32—3 • 2,34 = 3,1257. Д
956. Вычислить центральные моменты первых четырех порядков случайной величины, имеющей следующее статистическое рас- j пределение: I
Y 4 9 14 19
W 0,4 0,2 0,3 0,1
238
Л Числа 4, 9, 14, 49 образуют арифметическую прогрессию, поэтому у = 4 + 5(Х—1), т. е. Y = 5Х—1, k = 5, b = —1. Составим таблицу
X W WX WX2 WX3 1УХ4
1 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4
2 0,2 0,4 0,8 1,6 3,2
3 0,3 0,9 2,7 8,1 24,3
4 0,1 0,4 1,6 6,4 25,6
2,1 5,5 16,5 53,5
Следовательно, сс1 = 2,1; сс2 = 5,5; а3 = 16,5; а4 = 53,5. По формулам (2) находим
Рх(Х)=0; р2(Х) =5,5-4,41 = 1,09;
(X) = 16,5 — 6,3 - 5,5 + 2 - 2,13 = 0,372;
(X) = 53,5 —8,4-16,5 + 6-4,41-5,5 —3-4,412 = 2,0857.
Теперь, используя формулу (3), получим (Y) =551п5 (X), т. е.
И1(Г)=0, р2 (У)=25-1,09=27,25; р3 (П = 125-0,372 = 46,5;
(У) = 625-2,0857 = 1303,5625. А
957. Пользуясь данными выборки, определить начальные и центральные моменты первых четырех порядков, асимметрию и эксцесс, если случайная величина X определена таблицей
/ ]0,2[ J2,4[ 14,6] J6,8[ ]8,10[
Мд. 3 4 10 5 3
Л Объем выборки я =25. Составим таблицу
X wx WxX WxX* WxX*
1 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12
3 0,16 0,48 1,44 4,32 12,96
5 0,40 2,00 10,00 50,00 250,00
7 0,20 1,40 9,80 68,60 480,20
9 0,12 1,08 9,72 87,48 787,32
5,08 31,08 210,52 1530,60
Следовательно, ai = 5,0S; а2 = 31,08; а3 = 210,52; а4= 1530,60, т. е.
Л4(Х)=5,08; ^ = 0.
239
Используя формулы (2), находим
ц2 = 31,08—25,8064 = 5,1736, т. е. £> (X) =5,1736;
”ц3 = 210,52 — 3-5,08-31,08 + 2-5,08s = —0,9462;
ц4 = 1530,60 — 4-5,08-210,52 + 6-5,082-31,08 — 3-5,08* = 67,3004.
Отсюда получаем
<т (X) = /5Д736 =» 2,275;
о т_МХ) 0,9462
S* (А) -БЦХ) ~ ^2753 ~ “°’0804'
р о 67,3004
958. Пользуясь данными выборки, определить начальные и центральные моменты первых четырех порядков, асимметрию и эксцесс для случайной величины, заданной таблицей
I ]1, 3[ ]3, 5[ ]5, 7[ ]7, 9[ ]9, 11[
пх 2 4 10 6 3
§ 18. НАХОЖДЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ОСНОВЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
1. Распределение с равномерной плотностью. Пусть задано статистическое распределение
I Ко. £1[ Ri, Ы fo-i. &[
W w2
Если числа шг, ш2, ...» wt близки друг к другу, то для обработки наблюдений удобно воспользоваться законом распределения с равномерной плотностью. Как известно (см. с. 196), плотность распределения в этом случае определяется следующим образом:
при при при
( 0
0
х < а; а^х^Ь;
х > Ь.
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение для распределения с равномерной плотностью находятся по формулам
Л4(Х) = (а+*)/2, Р(Х) = (6—я)2/12, о (X) = (Ь— а)/(2 /1).
Таким образом, решив систему уравнений
1 (а+&)/2 = Л4_(Х),
I (6-a)/(2f 3) = а(Х),
можно найти а и Ь, а затем искомую плотность распределения.
240
959. Выравнять опытные данные, применив закон распределе-яия с равномерной плотностью:
/ ]0, 10[ ]10, 20[ ]20, 30[ ]30, 40[ ]40, 50[ ]50, 60[
пх 11 14 15 10 14 16
А Здесь я = 80. Составим таблицу
X 5 15 25 35 45 55
W 11/80 14/80 15/80 10/80 14/80 16/80
Полагая Х = 57\ получим следующую таблицу:
т W WT W Т2
1 11/80 11/80 11/80
3 7/40 21/40 63/40
5 3/16 15/16 75/16
7 1/8 7/8 49/8
9 7/40 63/40 567/40 121/5
11 1/5 11/5
25/4 509/10
Далее, имеем
М (Х)=5М (Т) = 5-(25/4) =31,25; М (Х2) = 52 М(Т2) = 25.(509/10) = 1272,5; ( (а + ^)/2 = 31,25,
D(X) = 1272,5 — 976,5625 = 295,9375; ’ г___________
'' 1(&—а)/(2 КЗ) = 1^295,9375.
Решив последнюю систему, найдем а=1,46, 6 = 61,04, откуда 1/(6—а) = = 1/(61,04—1,46) = 0,017. Следовательно,
( 0 при х < 1,46,
/(*) = ] 0,017 при 1,46^x^61,04, ( 0 при х > 61,04.
Для построения гистограммы составим таблицу (где h= 10):
I J0, Ю[ ]10, 20[ ]20, 30[ ]30, 40[ ]40, 50[ ]50, 60j
W/h 0,0138 0,0175 0,0188 0,0125 0,0175 0,02
241
На рис. 56 изображена гистограмма относительных частот данного статистического распределения и график плотности распределения.
Так как распределение с равномерной плотностью симметрично относительно математического ожидания, то ц3 (X) =0, Sk (X) =0. Известно также, что при таком распределении эксцесс равен —1,2 независимо от значений а и Ь. А
960. Произвести вы
равнивание опытных данных с помощью закона распределения с равномерной плотно
стью:
/ 1-1,1[ 11, 3[ 13, 5[ J5, 7[ 17, 9[
6 7 4 5 8
2. Распределение Пуассона. Распределение Пуассона устанавливает соответствие между значениями случайной величины X и вероятностями этих значений с помощью равенства
р— А»
Р=-£—X* х!
(1)
где х принимает значения 0, 1, 2, 3, ... .
Таким образом, ряд распределения случайной величины X имеет вид
X 0 1 2 3 ...
Р е~ е~ 1 р—X 1 ;з 3! •..
На практике случайная величина X принимает ограниченное число зна-р—л i чений 0, 1, 2, ..., /, так как при достаточно большом X величина —j-— яв' ляется малой.
Напомним, что для распределения Пуассона Л1 (X) =D (X) = К.
Пусть дано статистическое распределение
X 0 1 2 ... 1
п0 «1 и2 ...
242
Это распределение можно записать и в виде
X 0 1 2 1
W Wi
Если для данного распределения величины Л1 (X) и D (X) не близки друг к Другу, то оно не является распределением Пуассона. Если же М (X) « X и D (X) « X, то для решения вопроса о характере распределения следует подставить значение Л в выражение (1) и вычислить значения этого выражения при х = 0, 1,2,..., I. В том случае, когда значения Р окажутся близкими чс-соответствующим значениям IF, можно считать, что случайная величина распределена по закону Пуассона.
961. Дано статистическое распределение
X 0 1 2 3 4 5 6 7
7 21 26 21 13 7 3 2
Показать, что оно близко к распределению Пуассона и установить зависимость между значениями случайной величины и вероятностями этих значений.
7
Д Найдем п= 2 nz=74~21 + 26+13+7 + 3 + 2 = 100. Составим таб-
1=0
лицу
X 0 1 2 3 4 5 6 7
IF Опреде.т Состави 0,07 [им матех М (X) м теперь 0,21 итическО' = 0,214-1 таблицу 0,26 е ожидан 0,52+0,6 0,21 ие случае 34-0,524 0,13 иной вел! [-0,35+0 0,07 1чины: ,184-0,14 0,03 = 2,55. 0,02
X2 0 1 4 9 16 25 36 49
W 0,07 0,21 0,26 0,21 0,13 0,07 0,03 0,02
Следовательно,
М (X2) = 0,21 + 1,04 + 1,89 + 2,08 + 1,75 +1,08 + 0,98 = 9,03,
243
откуда
D(X) = M (Х2)—[М (X)]2 = 9,03 — 6,503 = 2,527.
Положим Х = 2,52; тогда зависимость между значениями случайной величины и их вероятностями можно записать в виде
р-2,52
Р=—,— 2,52х.
х!
Подсчитав по этой формуле значения Р для х = 0, 1, 2, 7, получим
таблицу
X 0 1 2 3 4 5 6 7
р 0,08 0,20 0,25 0,21 0,13 0,07 0,03 0,01 д
962. Решить задачу, аналогичную предыдущей, для статистического распределения
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 3 8 14 17 17 15 10 7 5 2 1
3. Нормальное распределение. Пусть статистическое распределение
I Ro. Ы Ri, ы Rz-i, Ы
W Wi w2
имеет гистограмму, изображенную на рис. 57. Составим таблицу
X Xi x2 *1
w Wi w2 Wl
244
полагая х/= (§/_i + ё/)/2, г = 1, 2, .I. На рисунке плавной линией соединены точки (Xi, w1/h), (x2, w2/h), ..., (xz, wi/h), где h — шаг таблицы.
Если полученная плавная кривая близка к кривой Гаусса, то можно обработать статистические данные с помощью нормального закона распределения. Определив математическое ожидание т = М (X) и среднее квадратичное отклонение а = а(Х), рассмотрим функцию
f(x)=—(1) о V 2л
Найдем значения этой функции в точках Х{, х2, .xt. Нетрудно видеть, что произведения hf (л^), hf(x2), hf (хг) равны вероятностям попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону (1), соответственно в интервалы ]g0, Ы» •••> ]Sz —i> Ы- Если заданное статисти-
ческое распределение близко к нормальному, то будут выполнены приближенные равенства hf (хг-) «w;, i— 1, 2, ..., I. В дальнейшем приведем более точные критерии согласования эмпирического и теоретического законов распределения.
963. Дано статистическое распределение:
I ]0, 3[ ]3, 6[ ]6, 9[ ]9, 12[ ]12, 15[ ]15, 18[ ]18, 21[ 121, 24[ ]24, 27[ ]27, 30[
пх 1 3 4 6 11 10 7 5 2 1
Показать, что оно близко к нормальному распределению, и построить гистограмму его относительных частот.
Д Здесь п = 50. Составим таблицу
X 1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5
W 0,02 0,06 0,08 0,12 0,22 0,2 0,14 0,1 0,04 0,02
Произведя замену переменной по формуле Х=ЗТ—1,5, запишем статистические распределения для Т и Т2:
Т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
W 0,02 0,06 0,08 0,12 0,22 0,2 0,14 0,1 0,04 0,02
У2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Г 0,02 0,06 0,08 0,12 0,22 0,2 0,14 0,1 0,04 0,02
245
Далее, имеем
М(Г)=О,024-0,124-0,244-0,48+1,1 +1,2 + 0,98 + 0,8 + 0,364-0,2 = 5,5;
A4(T2)=0,02 + 0,24 + 0,72+1,92 + 5,5 + 7,2 + 6,86 + 6,4 + 3,24 + 2 = 34,1;
М(Х)=ЗМ (Т) —1,5 = 3-5,5—1,5=15;
о2(Х) = 9 (34,1—30,25) = 34,65; О(Х) = у"9-3,85 =3-1,962 « 5,9.
Следовательно, f(x) =----------------------1 g-lx-isJW.a.
5,9 К2л
Положим (х—15)/5,9 = м; тогда
f(x)= -е~и^2 х 0,17zai где га=-^~.е~иг/2.
5,9 У 2л у 2л
Значения функции приведены в табл. IV на с. 412. Используя эти значения, составим теперь таблицу (6 = 3)
X и za f (X) hf (х) X и 2а Цх) hf (х)
1,5 -2,29 0,029 0,005 0,02 16,5 0,25 0,387 0,066 0,20
4,5 —1,78 0,082 0,014 0,04 19,5 0,76 0,299 0,051 0,15
7,5 —1,27 0,178 0,030 0,09 22,5 1,27 0,178 0,030 0,09
10,5 -0,76 0,299 0,051 0,15 25,5 1,78 0,082 0,014 0,04
13,5 —0,25 0,387 0,066 0,20 28,5 2,29 0,029 0,005 0,02
Заметим, что полученные результаты могут быть сопоставлены с вероятностями попадания случайной величины на данный участок, вычисляемыми по формуле
Р (а < X < Ь) =
\ о К2 / \стК2
X
где Ф (х) = — _ I е ~dt—функция Лапласа, значения которой приведены V л J
о
в табл. III на с. 411, и лг = А4(х) = 15. Пользуясь этой таблицей, находим
Р (0 < X < 3) = 0,5 [— Ф (1,44) 4- Ф (1,80)] = 0,5 (-0,9583 + 0,9891) =
= 0,0154 « 0,02;
Р(3 < X < 6)=0,5[—Ф(1,08) + Ф(1,44)]=0,5(—0,8733 + 0,9583) =
= 0,0425 « 0,04;
Р(6< X < 9)=0,5[—Ф(0,72) + Ф(1,08)]=0,5(—0,6914 + 0,8733) =
= 0,0905 х 0,09;
Р (9 < X < 12)=0,5[—Ф(0,36) + Ф(0,72)] = 0,5(—0,3893 + 0,6914) =
= 0,151 х 0,15;
Р(12< X < 15) = 0,5[—Ф (0) + Ф (0,36)] =0,5-0,3893 = 0,1946 к 0,19;
Р(15 < X < 18) = 0,5[Ф (0,36) —Ф (0)] =0,5-0,3893 = 0,1946 x 0,19;
Р (18 < X < 21) =0,5 [Ф (0,72) —Ф (0,36)] =0,5 (0,6914—0,3893) =
= 0,151 х 0,15;
Р (21 < X < 24) = 0,5[Ф (1,08) —Ф (0,72) =0,5 (0,8733—0,6914) =
= 0,091 х 0,09;
246
Р(24< X < 27) = 0,5 [Ф (1,44) —Ф (1,08)] = 0,5 (0,9583—0,8733) = — 0,0425 0,04;
Р(27< X < 30) = 0,5 [Ф (1,80) —ф (1,44)] = 0,5 (0,9891 —0,9583) = — 0,0154 0,02.
В результате получаем таблицу
1 ]0, 3[ ]3, 6[ ]6, 9[ ]9, 12[ ]12, 15[ ]15, 18[ ]18, 21[ ]21, 24[ ]24, 27[ ]27, 30[
р 0,02 0,04 0,09 0,15 0,19 0,19 0,15 0,09 0,04 0,02
Сравнивая значения w и hf (х) (или w и Р), убеждаемся в том, что заданное статистическое распределение можно считать подчиненным нормальному закону (рис. 58). A J
964. Решить задачу, аналогичную предыдущей, для статистического распределения
I ]1,2[ ]2, 3[ ]3, 4[ ]4, 5[ 15, 6( ]6, 7[ 17, 8[
пх 4 4 8 16 18 20 30
I J8, 9[ ]9, Ю[ ]10, 111 ]11, 12[ ]12, 13[ ]13, 14[ ]14, 15[ J
пх 28 22 18 14 10 4 4
4. Распределение Шарлье. Нормальное распределение является симмет-1 ““ (х (2О2)
ричным, т. е. кривая у=----• е симметрична относительно пря-
о У 2л
мой х = /п. Однако на практике часто встречаются и асимметричные распределения. В том случае, когда асимметрия по абсолютной величине не очень велика, распределение может быть выравнено с помощью так называемого
247
закона Шарлье. Плотность закона Шарлье определяется равенством
fmW=/W + -J-[^^-2a(«3-3«) + -^^-ZB(«4-6«a + 3)] , (1)
где f (х) — плотность нормального закона распределения, и=(х—zu=z = (1/]/*2л ) e“u2/2, S/г W — асимметрия, Ех (X)—эксцесс. Таким образом, второе слагаемое в правой части равенства (1) является поправкой к нормальному закону распределения. Нетрудно видеть, что если S/j(X) = 0 и Ех(Х) = 0, то распределение Шарлье совпадает с нормальным. Распределение Шарлье можно записать в виде
Р = |гя[1+^^-(И’-3И)+-^2-(««-6^+3)] . (2)
965. Воспользоваться распределением Шарлье применительно к данным статистической таблицы
/ ]0, 3[ ]3, 6[ ]6, 9[ ]9, 12[ ]12, 15[ ]15, 18[ ]18, 21[ ]21, 24[ ]24, 27[ ]27, 30[
пх 1 5 8 15 28 21 10 6 3 3
Л Здесь п = 100. Составим таблицу
X 1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5
wx 0,01 0,05 0,08 0,15 0,28 0,21 0,1 0,06 0,03 0,03
Пе Статис' прейдем гическо к ново е расп] й перел ределен денной :ие слу1 Т, связ чайной анной с величин X завис 1ы Т им :имостьк еет вид > Х = 37 ’—1,5.
Т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,01 0,05 0,08 0,15 0,28 0,21 0,1 0,06 0,03 0,03
Приведем расчетную таблицу:
т W WT WT- WT* IFF4
1 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01
2 0,05 0,10 0,20 0,40 0,80
3 0,08 0,24 0,72 2,16 6,48
4 0,15 0,60 2,40 9,60 38,40
5 0,28 1,40 7,00 35,00 175,00
6 0,21 1,26 7,56 45,36 272,16
7 0,1 0,70 4,90 34,30 240,10
8 0,06 0,48 3,84 30,72 245,76
9 0,03 0,27 2,43 21,97 197,73
10 0,03 0,30 3,00 30,00 300,00
5,36 32,06 209,52 1476,44
248
Далее, имеем
/И (Г) =5,36; М(Х) =3-5,36—1,5=14,58; М (Т2) = 32,06;
Р(Г) = 32,06 —28,73 = 3,33; а (Г) = /ЗДЗ = 1,83; а (X) =3ст (Г) = 5,49;
Из (Г) = а3 - 3ai<x2 + 2а? = 209,52 —3• 5,36• 32,06+2-5,363 =1,98;
Sk (Т)=ц3 (Т)/о3 (Т) = 1,98/1,833 = 0,32;
(Т) = а4—4aia3+6aia2—За? =
= 1476,44 — 4-5,36-209,52 + 6-5,362-32,06 — 3-5,364 = 34,59;
о4 (Г) = 3,332 = 11,0889; £Д.(Г)=34,59/11,09 — 3 = 0,12; £х(Х)=0,12.
Так как h = 3, М (X) = 14,58 = т, <т(Х)=5,49, и = (х—14,58)/5,49, Sk (X) = = 0,32, Ех(Х) = 0,12, то относительная частота распределения Шарлье вы-ражается равенством
3 Г1 I 0,32 , о о\|0,12,л /? a I 1 л ке с*
^ = -с-7(Г^ Н-----(ц3—Зи)-\—(и*—6на4-3) , или ш = 0,55га5,
Oj ХчУ I О £ X I
где 5 = 1 + 0,05 (и3 — Зи) + 0,005 (и4—6н2 + 3).
Составим таблицу для определения выравненных по закону Шарлье частот:
X и и2 t/3 и* 3 С7 6 и2 0,05х (U2-3U) 0,005Х (U*-6U2 + 3) S р
1,5 —2,38 0,02 5,66 —13,48 32,08 —7,14 33,96 —0,32 0,005 0,69 0,01
4,5 —1,84 0,07 3,39 —6,23 11,46 -5,52 20,34 —0,04 —0,03 0,9 0,04
7,5 —1,29 0,17 1,66 —2,15 2,77 —3,87 9,96 0,09 —0,02 1,05 0,09
10,5 —0,74 0,30 0,55 —0,41 0,30 —2,22 3,30 0,09 0,00 1,09 0,18
13,5 —0,19 0,39 0,04 —0,01 0,00 —0,57 0,24 0,03 0,015 1,06 0,23
16,5 0,35 0,38 0,12 0,04 0,01 1,05 0,72 —0,05 0,01 0,97 0,20
19,5 0,90 0,27 0,81 0,73 0,66 2,7 4,86 —0,10 —0,005 0,89 0,13
22,5 1,44 0,14 2,07 2,99 4,30 4,32 12,42 —0,07 —0,025 0,88 0,07
25,5 1,99 0,06 3,96 7,88 15,68 5,97 23,76 0,10 —0,025 1,05 0,03
28,5 2,54 0,02 6,45 16,39 41,62 7,62 38,70 0,44 0,03 1,5 0,02
Сравнивая частоты, полученные после выравнивания по закону Шарлье, с частотами, заданными статистической таблицей, приходим к заключению, что соответствующие частоты достаточно близки друг к другу. Однако об окончательном решении вопроса о согласованности статистического и теоретического распределений мы сможем судить лишь после того, как будут рассмотрены критерии согласия (Пирсона, Романовского, Колмогорова). А
5. Критерии согласия Пирсона и Романовского. Рассмотрим вопрос о согласованности статистического и теоретического распределений. Пусть статистическое распределение выравнено с помощью некоторого известного закона распределения (с равномерной плотностью, нормального закона, закона Шарлье и т. д.).
Пирсоном предложен следующий критерий согласованности статистического и теоретического распределений. Сначала вводят величину
i=l
(^z~-Pz)2 Pi
где W[ — относительные частоты, заданные статистической таблицей, а р/— вероятности, полученные по некоторому теоретическому закону распределения. Затем рассматривают разность г — I—t, где I—число разрядов статистической таблицы, а t—число условий, налагаемых на частоты w-ь число г
называется числом степеней свободы.
249
Например, для нормального закона распределения / = 3, так как используются следующие условия:
l l 1
1) 2) 2 wixi = mx'< 3) 2 (xi~ mx)2Ui = Dx,
i=l 1 = 1 1 = 1
где mx и Dx—математическое ожидание и дисперсия в теоретическом законе распределения.
Для закона Шарлье / = 5, так как имеются пять линейных уравнении, связывающих значения pi, р2, ...» рр.
I I I
1) 2 %) 2 3) 2 (xi тх)2 Pi=^x»
I=1 i=l i=1
I I
4) 2 (x'~тО3Р|=Из(М; 5) 2 (x<—тл-)4Р< = И4(х)-i=i i=i
Используя табл. V (см. с. 413, 414), по значениям %2 и г определяют ве* личину р, характеризующую вероятность согласованности теоретического и статистического распределений. Если р < 0,1, то можно сделать вывод, что теория плохо воспроизводит эксперимент. Если же р > 0,1, то это означает, что гипотеза о принятом теоретическом распределении не противоречит опытным данным.
В. И. Романовским предложен следующий критерий согласия: если величина | %2—г [/1^2г больше или равна 3, то расхождение теоретических и опытных частот надо считать неслучайным; если же она меньше Зг то это расхождение можно считать случайным,
966. Проверить, согласуется ли статистическое распределение задачи 959 с теоретическим, имеющим равномерную плотность.
Д По данным статистической плотность распределения
таблицы в задаче 959 была определена
( о
/(*) = { 0,017
I 0
при х < 1,46, при 1,46 61,04,
при х > 61,04.
Найдем значения вероятности попадания случайной величины, распределенной по указанному закону с равномерной плотностью, в интервалы ]—10, 0[, J0, Ю{, ]10, 20[, .... J60, 70£, ]70, 80[:
1 1-10, 0[ ]0, 10[ Ц0, 20[ ]20, 30[ ]30а 40[ ]40, 50[ ]50, 6О[ J60, 70[ ]70, 80[
р 0 0J4 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,01 0
Следует отметить, что Р (0 < X < 10) = Р (1,46 < X < 10) = (10—1,46)«0,017 = = 0,14; Р (60 < X < 70) = Р (60 < X < 61 г04) = 0,01. Приведем расчетную таблицу для вычисления %2;
250
W р W-P (W — P)2 (W — P)2 р
0,14 0,14 0 0 0
0,17 0,17 0 0 0
0,19 0,17 0,02 0,0004 0,0023
0,13 0,17 —0,04 0,0016 0,0094
0,17 0,17 0 0 0
0,2 0,17 0,03 0,0009 0,0052
0 0,01 —0,01 0,0001 0,01
0,0269
Следовательно, %2 = 80.0,0269 = 2,152; / = 7, / = 3, г = 4. При г = 4 из табл. V находим: если %2 = 2, то р~ 0,7358; если %2 = 3, то р = 0,5578; если ^2 = 2,152, то р = 0,7358 — 0,152*0,178 = 0,7358 — 0,0271 =0,7087.
Итак, можно считать, что заданное статистическое распределение полностью согласуется с законом распределения, имеющим равномерную плотность. А
967. Дано статистическое распределение
1 ]0, 5[ 15, 10[ ]10, 15[ ]15, 20[ ]20, 25[ ]25, 30[ ]30, 35[ ]35, 40[ ]40, 45[ ]45, 50[
пх 2 12 8 4 14 6 10 2 1 11
Выяснить, согласуется ли это распределение с теоретическим, имеющим равномерную плотность.
Л Здесь и = 70. Составим таблицу
X 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5
W 0,029 0,171 0,114 0,057 0,2 0,086 0,143 0,029 0,014 0,157
Далее, находим
Ю
Л1(Х)= 2 UW = 2,5(0,0294-3-0,1714-5.0,114 + 7-0,057 + 9-0,24-11Х г=1
Х0.086+ 13-0,14+ 15-0,029+ 17-0,014+ 19-0,157) = 24,4285;
М (Х2) = 2,52 (0,029 + 9-0,171+ 25-0,114 + 49-0,057 + 81-0,2+121-0,086 + + 169-0,143 + 225-0,029 + 289-0,014 + 361-0,157) =782,67;
D (X) =782,67—596,75= 185,92; о(Х) = К 185,92 =13,63.
Составим и решим систему для определения а и Ь*.
(а-\-Ь)/2 — 24,43,
(b— а)/(2КЗ) = 13,63
а+ b = 48,86, Ь — а = 47,16
(6 = 48,01; а=0,85);
1/(6 — а) = 1/47,16 = 0,0212.
251
Итак,
( 0 при
f (х) = •! 0,0212 при ( 0 при
х < 0,85, 0,85 48,01,
х > 48,01.
Теперь найдем вероятности попадания случайной величины, распределенной по указанному закону, в интервалы ]0, 5[, ]5, 10[, ]10, 15[, ..., ]45, 50[:
I 1-5, 0[ ]0, 5[ ]5, 10[ ]10, 15[ ]15, 20[ ]20, 25[
р 0 0,088 .0,106 0,106 0,106 0,106
I ]25, 30[ ]30, 35[ ]35, 40[ [40, 45[ ]45, 50[ ]50, 55[
р 0,106 0,106 0,106 0,106 0,064 0
Отметим, что
Р(0 < X < 5)=Р(0,85 < X < 5) = 4,15-0,0212 = 0,088; Р (45 < X < 50) = Р(45 < X < 48,01) =3,01 - 0,0212 = 0,064.
Расчетная таблица для вычисления %2 имеет вид
W Р W-P (W-Р)2 (W-P)2 р
0,029 0,088 —0,059 0,003 0,034
0,171 0,106 0,065 0,004 0,038
0,114 0,106 0,008 0,006 0,057
0,057 0,106 —0,049 0,002 0,019
0,2 0,106 0,094 0,009 0,085
0,086 0,106 —0,020 0,000 0,000
0,143 0,106 0,037 0,001 0,009
0,029 0,106 —0,077 0,006 0,057
0,014 0,106 —0,092 0,008 0,075
0,157 0,064 0,093 0,009 0,141
0,515
Итак, %2 = 70*0,515 = 36,05; 7=10, / = 3, г~7. При значении г = 7 для %2 = 30 из табл. V находим р = 0,0001. Так как при постоянном значении г с увеличением %2 вероятность Р уменьшается, то для %2 = 36,05 вероятность Р < 0,0001. Значит, в данном случае теория плохо воспроизводит опыт.
Тот же вывод можно сделать, используя критерий Романовского. Действительно, находим
|^=W5-7| = 2W5
У 2г ]Л14 3,742
Итак, гипотезу о том, что заданное статистическое распределение является распределением с равномерной плотностью, следует считать неправдоподобной. А
252
968. Применить критерии Пирсона и Романовского для установления правдоподобности гипотезы о нормальном распределении случайной величины в задаче 963.
Л Расчетная таблица имеет вид
W Р W-P (Ц7-Р)2 (w-py р
0,02 0,02 0 0,0000 0,00
0,06 0,04 0,02 0,0004 0,01
0,08 0,09 —0,01 0,0001 0,001
0,12 0,15 —0,03 0,0009 0,006
0,22 0,20 0,02 0,0004 0,02
0,2 0,20 0,00 0,0000 0,00
0,14 0,15 —0,01 0,0001 0,0007
0,1 0,09 0,01 0,0001 0,001
0,04 0,04 0 0,0000 0,00
0,02 0,02 0 0,0000 0,00
0,0387
Далее, имеем n V4 ——^ = 50-0,0387 = 1,935; 1= 10, / = 3, г =
у Pi
= 10 — 3 = 7. Из табл. V для г = 7 находим: если %2 = 1, то Р = 0,9948; если %2 = 2, то Р = 0,9598. Следовательно, при %2 =1,935 получим промежуточное значение Р, Это значение можно найти, применив способ интерполирования. При %2=1 и %2 = 2 значения Р отличаются на величину 0,9948 — 0,9598 = = 0,035. С увеличением %2 вероятность Р уменьшается, поэтому при %2 = 1,935 имеем
Р = 0,9598 + 0,065 0,035 = 0,9621, или иначе Р = 0,9948-0,935-0,035 = 0,9621.
Полученная вероятность больше, чем 0,1. Согласно критерию Пирсона, это дает основание считать, что нормальный закон достаточно удовлетворительно воспроизводит заданное статистическое распределение.
Согласно критерию Романовского, имеем
|Х2—г| 11.935-71 5,065 3
У2г /14 3,742 ~
Таким образом, расхождение между данным статистическим распределением и выравнивающим его теоретическим распределением можно считать случайным. 4k
969. Произвести выравнивание с помощью нормального закона распределения данных статистической таблицы:
I J4.1; 4,2[ 14,2; 4,3[ 14,3; 4,4[ 14,4; 4,5[ ]4,5; 4,6[ 34,6; 4,7[ ]4,7; 4,8[ ]4,8; 4,9[ ]4,9; 5[
1 2 3 4 5 8 8 9 10
253
Продолжен не та б \
/ ]5,0; 5,1[ ]5,1; 5,2[ ]5,2; 5,3[ 15,3; 5,4[ }5,4; 5,51 ]5,5; • 5,6[ J5.-6; 5,7[ ]5,7; 5,8[ ]5,₽; 5,9[
10 9 9 7 5 4 3 2 1
Проверить согласованность статистического и теоретического распределений по критериям Пирсона и Романовского.
Л Здесь п = 100. В дальнейшем будем предполагать, что значения случайной величины совпадают со средними арифметическими значениями границ интервалов:
X 4,15 4,25 4,35 4,45 4,55 4,65 4,75 4,85 4,95
W 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,08 0,08 0,09 0,1
X 5,05 5,15 5,25 5,35 5,45 5,55 5,65 5,75 5,85
W 0,1 0,09 ! 0,09 0,07 . 0,05 0,04 ! 0,03 0,02 0,01
Так как значения случайной величины близки к 5, то составим таблицу:
х-5 W <Х-5)Г 5)2 W
—0,85 0,01 —0,0085 0,0072
—0,75 0,02 —0,0150 0,0113
—0,65 0,03 —0,0195 0,0127
—0,55 0,04 —0,0220 0,0121
—0,45 0,05 —0,0225 0,0101
—0,35 0,08 —0,0280 0,0098
—0,25 0,08 —0,0200 0,0050
—0,15 0,09 —0,0135 0,0020
—0,05 0,1 —0,0500 0,0003
0,05 0,1 0,0500 0,0003
0,15 0,09 0,0135 0,0020
0,25 0,09 0,0225 0,0056
0,35 0,07 0,0245 0,0086
0,45 0,05 0,0225 0,0101
0,55 0,04 0,0220 0,0121
0,65 0,03 0,0195 0,0127
0,75 0,02 0,0150 0,0113
0,85 0,01 0,0085 0,0072
—0,001 0,1404
Следовательно,
Д4 (X—5) = —0,001; М [(X—5)2] =0,1404; М (X) = 5 + М (X—5) =4,999; D (X) = М [(X— 5)2]—£Л4 (X—5)]2 = 0,1404; о (X) = /0,1404 = 0,3747 » 0,375.
254
Плотность распределения случайной величины X определяются равенством /(х) =----------------------!=.<,-(х-*)г/(г-о,з76‘) (+)
0,375 К2л
или
f (х) = 2,67.?й, где ц = (х—5)/0.375 2,67 (х—5).
Определим вероятности попадания случайной величины, распределенной до указанному нормальному закону, в интервалы ]4,1; 4,2[, ]4,2; 4,3[, .]5,8, 5,9[ и проверим согласованность статистического и теоретического распределений по критериям Пирсона и Романовского. Составим следующие таблицы:
X и f (X) hf (х)
4,15 —2,27 0,03 0,08 0,01
4,25 —2,00 0,05 0,13 0,02
4,35 —1,74 0,09 0,24 0,02
4,45 — 1,47 0,13 0,35 0,04
4,55 — 1,20 0,19 0,51 0,05
4,65 —0,93 0,25 0,67 0,07
4,75 —0,66 0,32 0,85 0,09
4,85 —0,40 0,37 0,99 0,10
4,95 —0,13 0,39 1,04 0,10
5,05 0,13 0,39 1,04 0,10
5,15 0,40 0,37 0,99 0,10
5,25 0,66 0,32 0,85 0,09
5,35 0,93 0,25 0,67 0,07
5,45 1,20 0,19 0,51 0,05
5,55 1,47 0,13 0,35 0,04
5,65 1,74 0,09 0,24 0,02
5,75 2,00 0,05 0,13 0,02
5,85 2,27 0,03 0,08 0,01
г Р W-P (W-P)2 (W-p)2 p
0,01 0,01 0,00 0,0000 0,000
0,02 0,02 0,00 0,0000 0,000
0,03 0,02 0,01 0,0001 0,005
0,04 0,04 0,00 0,0000 0,000
0,05 0,05 0,00 0,0000 0,000
0,08 0,07 0,01 0,0001 0,001
0,08 0,09 —0,01 0,0001 0,001
0,09 0,10 —0,01 0,0001 0,001
0,10 0,10 0,00 0,0000 0,000
0,10 0,10 0,00 0,0000 0,000
0,09 0,10 —0,01 0,0001 0,001
0,09 0,09 0,00 0,0000 0,000
0,07 0,07 0,00 0,0000 0,000
0,05 0,05 0,00 0,0000 0,000
0,04 0,04 0,00 0,0000 0,000
0,03 0,02 0,01 0,0001 0,005
0,02 0,02 0,00 0,0000 0,000
0,01 0,01 0,00 0,0000 0,000
0,014
Значит, х2— 100*0,014 = 1,4, 7=18, 7 = 3, г= 18 — 3 = 15. Из табл. V для г =15 находим: если %2= 1, то Р = 1,000, если %2 = 2, то Р = 1,000. Поэтому при/2 =1,4 искомая вероятность* Р = 1,000. Таким образом, согласно критерию Пирсона, гипотеза о том, что статистическое распределение является нормальным распределением с математическим ожиданием, равным 5, и дисперсией, равной 0,14, правдоподобна.
Используем теперь критерий Романовского:
|Х2-г|^ [14-151 = 13,6
К2г У"30 5,477
2,483 < 3.
Это еще раз подтверждает, что заданное статистическое распределение согласуется с нормальным, имеющим плотность, определяемую равенством (*).
970. Проверить гипотезу о том, что статистическое распределение, рассмотренное в задаче 965, согласуется с распределением Шарлье.
* Так как в таблице значения приведены с точностью до 0,001, то искомое значение Р немного меньше единицы.
255
Л Расчетная таблица имеет вид
w p W-P (W-P)2 (UZ-P)2 p
0,01 0,01 0 0,0000 0
0,05 0,04 0,01 0,0001 0,003
0,08 0,09 —0,01 0,0001 0,001
0,15 0,18 —0,03 0,0009 0,005
0,28 0,23 0,05 0,0025 0,011
0,21 0,20 0,01 0,0001 0,001
0,10 0,13 —0,03 0,0009 0,007
0,06 0,07 —0,01 0,0001 0,001
0,03 0,03 0,00 0,0000 0,000
0,03 0,02 0,01 0,0001 0,005
0,034
Следовательно, %2 = 100*0,034 = 3,4; /=10, ^ = 5,т. е.г = Ю— 5 = 5.Изтабл. V для г = 5 находим: если %2 = 3, то Р = 0,7000; если %2 = 4, то Р = 0,5494. Поэтому при %2 = 3,4 имеем
Р = 0,7000 —0,4*0,1506 = 0,63976 > 0,1.
Используя критерий Романовского, находим
2г /10 3>162
Таким образом, согласно критериям Пирсона и Романовского, гипотезу о том, что рассмотренное статистическое распределение согласуется с распределением Шарлье, можно считать правдоподобной.
6. Критерий согласия Колмогорова. Пусть дано статистическое распределение
X Xi X* Хз • • • 4
Wx Wi w2 ... Wt
где Xi, х2, ...» Х[ — средние значения соответствующих интервалов случайной величины. В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями в критерии Колмогорова рассматривается максимум значений модуля разности между статистической функцией распределения F*(x) и соответствующей теоретической (интегральной) функцией распределения F (х).
Интегральная функция распределения, как известно, определяется соотношениями
{0 при х < Xi, k
2 Pj при xk<x<xk+i(k = l, 2,...-, I—I); j— 1
1 При X^Xi,
256
где pj = hf(xj) (/ = 1, 2, /), a f (х)— плотность распределения случайной
величины X.
Сначала находят величину
%==D/rt, (1)
где D = max | Е* (х)—F (х)[, а п — объем выборки. Затем из равенства
Р(Х) = 1- 2 (-1У’е-2/Ч2 (2)
/= - СО
определяют вероятность того, что за счет чисто случайных причин максимальное расхождение между F* (х) и F (х) окажется не меньше, чем фактически наблюдаемое.
Если вероятность Р (к) мала (меньше 0,05), то гипотезу следует отвергнуть, как неправдоподобную; при сравнительно больших значениях Р (X) гипотезу можно считать совместимой с опытными данными. А
Для нахождения значений Р (к) удобно пользоваться таблицей (см. табл. VI на с. 415).
971. Оценить степень согласованности статистического распределения, рассмотренного в задаче 961, с распределением Пуассона.
Л Составим таблицу
X W Р F* (х) Д(х) F* (a)-F(.y)
0 0,07 0,03 0,07 0,08 —0,01
1 0,21 0,20 0,28 0,28 0
2 0,26 0,25 0,54 0,53 0,01
3 0,21 0,21 0,75 0,74 0,01
4 0,13 0,13 0,88 0,87 0,01
5 0,07 0,07 0,95 0,94 0,01
6 0,03 0,03 0,98 0,97 0,01
7 0,02 0,01 1 0,98 0,02
Очевидно, что D = тах | Г*(х)—Е(х)|=0,02. Так как п = 100, то, пользуясь формулой (1), находим X = 0,02- 100 = 0,2. Из табл. VI получим Р (0,2) = 1,00. Таким образом, рассмотренное статистическое распределение не противоречит теоретическому распределению по закону Пуассона. А
972. Пользуясь критерием Колмогорова, установить, согласуется ли с нормальным распределением статистическое распределение
/ ]0, 2[ ]2, 4[ ]4, 6[ ]6,8[ ]8, Ю[ ]Ю, 12[ ]12, 14[ ]14, 16[ ]16, 18[ ]18, 20[
пх 10 29 51 58 102 90 81 39 30 10
9
Л е 1814
257
Л Запишем заданное распределение в виде
X 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
W 0,02 0,06 0,10 0,12 0,20 0,18 0,16 0,08 0,06 0,02
Перейдем к новой переменной Т по формуле Х = 2Т—1. Составим расчетную таблицу
т W WT WT*
1 0,02 0,02 0,02
2 0,06 0,12 0,24
3 0,10 0,30 0,90
4 0,12 0,48 1,92
5 0,20 1,00 5,00
6 0,18 1,08 6,48
7 0,16 1,12 7,84
8 0,08 0,64 5,12
9 0,06 0,54 4,86
10 0,02 0,20 2,00
5,50 34,38
Далее, имеем
Л4(Т) = 5,5О, М (Т2) = 34,38, D (Т) = 34,38 —30,25 = 4,13; а(Т)=р/'4"ДЗ=2,032; М (X) = 2Л4 (Г) — 1 = 2• 5,5 — 1 = 10; о (X) = 2о (Г) = 2-2,032 = 4,064.
Тогда плотность распределения запишется в виде
1 10)2/(2 • 4,0 6 42)
4,064 /'2л/
или, f(x) = 0,246-za, где // = (х— 10)/4,064.
Составим две таблицы:
X и z« f (X) hf (х) X w hf(x) F* (x) F(x) F*(x)-F(x)
1 —2,214 0,035 0,009 0,02 1 0,02 0,02 0,02 0,02 0,00
3 -1,722 0,091 0,022 0,04 3 0,06 0,04 0,08 0,06 0,02
5 — 1,230 0,187 0,046 0,09 5 0,10 0,09 0,18 0,15 0,03
7 —0,738 0,303 0,075 0,15 7 0,12 0,15 0,30 0,30 0,00
9 —0,246 0,387 0,095 0,19 9 0,20 0,19 0,50 0,49 0,01
11 0,246 0,387 0,095 0,19 11 0,18 0,19 0,68 0,68 0,00
13 0,738 0,303 0,075 0,15 13 0,16 0,15 0,84 0,83 0,01
15 1,230 0,187 0,046 0,09 15 0,08 0,09 0,92 0,92 0,00
17 1,722 0,091 0,022 0,04 17 0,06 0,04 0,98 0,96 0,02
19 2,214 0,035 0,009 0,02 19 0,02 0,02 1 0,98 0,02
258
Из второй таблицы видно, что почти все значения относительных частот близки к соответствующим значениям вероятностей, найденных с помощью плотности распределения, определенной равенством (*). Отсюда сразу следует, что данное статистическое распределение является нормальным. Однако для окончательного решения вопроса о согласованности статистического распределения с нормальным применим критерий Колмогорова.
Как видно из второй таблицы, D = max | F* (х)— F (х)| = 0,03. Поскольку я = 500, имеем Z = 0,03• 500 ^ 0,67. Из табл. VI находим Р (0,65) = 0,7920,
р (0,70) = 0,7112. Так как с увеличением Л вероятность Р (X) уменьшается, то 0,7112 < Р (0,67) < 0,7920.
Итак, можно утверждать, что верхняя граница абсолютной ошибки приближенного равенства F* (х) « F (х) будет не менее 0,03 для любого значения х. А
9*
ГЛАВА VI
ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
1. Примеры простейших дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрим некоторые примеры уравнений в частных производных.
973. Найти функцию г = г(х, у), удовлетворяющую дифферен-dz 1
цпальному уравнению ^=1-
Л Интегрируя, получим г==хД-ф(у), где ф (у) — произвольная функция. Это—общее решение данного дифференциального уравнения. А
d^z
974. Решить уравнение = гдег = г(х, у).
Л Дважды интегрируя по у, получаем —--ср (х), z = £/3 + у-ф (х)+ + ф(х), где ф (х) и ф (х)— произвольные функции. А
975. Решить уравнение -^-^ = 0.
Л Интегрируя уравнение по х, имеем = f(у). Проинтегрировав получен-
ный результат по у, находим z = cp (х) + ф (у), где ф(у)=^ f(y)dy. Д
d2z
976. Найти общее решение уравнения 1.
С/Ик С/ V7 d^z 977. Найти общее решение уравнения = 0.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка, линейные относительно частных производных. Рассмотрим дифференциальное уравнение
(1)
дх 1 ду ' 7
где X, Y и Z—функции х, у и z.
Предварительно решим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
dx___dy__dz
Пусть решение этой системы определяется равенствами
(01 (х, у, г) = Съ со2 = (х, у, z) = C2.
Тогда общий интеграл дифференциального уравнения (1) имеет вид Ф[(0х(х, у, z), со2,(х, у, z)]=0.
где Ф (coi, со2) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
2G0
978. Найти общий интеграл уравнения х~ + = г.
А ~ „ dx dy dz dx
Л Рассмотрим систему уравнении — = = —Решая уравнение — =
dy У п dx dz z
= получим -~ = Ci, решение уравнения —=— есть — = С2. Теперь можно найти общий интеграл заданного уравнения:
Ф (у/х, z/x) = 0, или z/x = ф (у/х),
т. е. z = xty (у/х), где ф>—произвольная функция. Д
979. Найти общий интеграл уравнения
(’,+!',)s + 24/J“O.
А о „ dx dy dz
А Запишем систему уравнении —
Воспользовавшись свой-в виде
ством пропорции, представим уравнение
dx ___ dy
х2 + у2~~2ху
dx-Udy dx—dy d(x-~y) __d(x—у)
x2у22xy~~ x2у2 — 2xy ’ ИЛИ (х-]-у)2 — (х—у)2 ‘
Интегрируя, получаем
----Д =-----?—1-С, —--------= О 2=с х-[-у х—у Х — у Х-\гУ х2—у2
Последнее равенство можно переписать в виде -------5=
X У
Второе уравнение системы dz — 0. Отсюда z = C2. Общий интеграл имеет вид
ф f -о--"6 , zU°, ИЛИ Z —ф/ -2^—2 V А ух2 —у2 J r\x2 — y2J *
980. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению
дг . дг п „
yz + xz=—2ху и проходящую через окружность .v-pу- —
(-/✓V Uy
= 16, г-3.
А „ „ dx dy dz
А Решим систему уравнении . Освооодившись от знаме-
xz ^ху
нателя, имеем
xdx — ydy, 2xdx — — z dz.
Интегрируя оба уравнения, получим
z2 х2-у2 = С1, х2+^- = С2.
Общий интеграл заданного уравнения имеет вид
Z2
х2 +-g- = tp (х2— у2).
(*)
Из семейства поверхностей, определяемых этим уравнением, нужно выделить поверхность, проходящую через окружность х2Д//2-=16, г = 3. Для того чтобы найти функцию ф, в равенстве (>•) положим х2 = 16 — у2, z = 3. Тогда
261
получим 16 — г/2 Д-9/2 = гр (16— 2г/2). Пусть 16 — 2y2 = t, откуда у2 = 8 —t/2. Следовательно, гр (/) = (/4~25)/2, т. е. гр (х2 — z/2) = (x2— z/2-|-25)/2. Подставляя найденное выражение в соотношение (*), имеем
х2 4--^ = %2 —^+_25 , нли х2 + + г2 = 25>
Итак, искомой поверхностью является сфера. Д
981. Найти общий интеграл уравнения
dz . , dz .
ч-sm % + x-sin у = sin г.
dx 1 dy J
982. Найти общий интеграл уравнения yz + =
983. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению
+ = 4 и проходящую через параболу #2 = г, х = 0.
§ 2. ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Рассмотрим уравнение второго порядка
a-^+2b^+c^L+F (х, у, г,^, *lU0> (1)
dx2 1 dxdy 1 dy2 1 \ dx dy J v
где a, b, c—функции x и у.
Говорят, что указанное уравнение в области D принадлежит гиперболическому типу, если в этой области Ь2 — ас > 0. Если же Ъ2 — ас = 0, то уравнение принадлежит параболическому типу, а если Ь2 — ас < 0—эллиптическому типу.
Уравнение
d2z dz dz\
—~=p i x у z \
dxdy \ dx dy j
называется каноническим уравнением гиперболического типа; уравнение d2z „ ( dz dz \
— каноническим уравнением параболического типа; уравнение
d2z . d2z f dz dz \
dx2 ‘ dy2 \ ’ У’ г’ dx ’ dy j
— каноническим уравнением эллиптического типа.
Дифференциальное уравнение
a (dy)2 — 2b dxdy с (dx)2~d называется уравнением характеристик уравнения (1).
Для уравнения гиперболического типа уравнение характеристик имеет два интеграла: ф (х, у) = С1, ф (х, y)~C2i т. е. существуют два семейства действительных характеристик. С помощью замены переменных £ = ф (х, у), т)=ф (х, у) дифференциальное уравнение (1) приводится к каноническому виду.
Для уравнения параболического типа оба семейства характеристик совпадают, т. е. уравнение характеристик дает лишь один интеграл ф (х, у) = С.
В этом случае нужно произвести замену переменных £ = ф (х, у), т) = ф (х, у),
262
. / \ „ dg dq dg dq , л
где ф> У)— какая-нибудь функция, для которой 0.
После такой замены уравнение приводится к каноническому виду.
Для уравнения эллиптического типа интегралы уравнения характеристик имеют вид ф (х, у) ± ар (х, у) = С1,2, где ф (х, у) и ф (х, у) — действительные функции. С помощью подстановки’£ = ф (х, у), т]=ф(х, у) уравнение (1) приводится к каноническому виду
984. Привести к каноническому виду уравнение
2 д2и х 2--^-v дх2
д2и ду2
Л Здесь а = х2, Ь = 0, с~ — у2, Ь2 — ас~х2у2 >0; следовательно, это — уравнение гиперболического типа.
Составляем уравнение характеристик:
х2 (dy)2 — y2(dx)2 = 0, или (х dy-J-у dx) (х dy — ydx)=Q.
Получаем два дифференциальных уравнения
xdz/ + //dx = 0 и xdy — ydx = Q't
разделяя переменные и интегрируя, имеем
^-Д-—=0, т. е. In z/4-ln x = ln Ci, У х
—=0, т. е. In у — In х = 1п С2.
У х
После потенцирования находим ху = Сх и у!х~С2— уравнения двух семейств характеристик. Введем новые переменные ^—ху, ч\=у/х. Выразим частные производные по старым переменным через частные производные по новым переменным:
ди___ди д^ . ди dq____ди ди у
~дх~~ д^ дх *" dq дх ~dg dq х2 1
ди___ди dt, . ди dq____ди ди 1
ду ~~ d; ду ‘ dq ду dg dq ’ х ’
д2ц____ д f ди \ д f ди у \__________( д2и dt, д2и dq \ ___________
дх2 дх \ д^ J дх \ dq х2 J \ d|2 дх * дс, дч\ дх )
( д2и dt, ( д2и dq \ у .ди 2у____{ д2и „ д2и у \ „
\ dq df ’ дх ‘ dq2 дх ) х2 ‘ dq х3 — \ dg2 dHdq х2 )
/ д2и д2и у \ у_____________.ди 2у __ д2и 2 д2и у2
\ д% dq ’ dq2 х2 )’ x2^dq х3 dg2 dg dq х2 ‘
. д2и . г/2 . 2 d^ . _у_'
* д.|2 х4 * dq х3 ’ д2и___ / д2и dg . д2и dq \ . 1 / д2и д^ . д2и dq \ __
ду2 \ д^2 ’ ду ‘ dgdq ду J * х \dqdду ‘ dq2 'ду J
__ / д2и d2t/ 1 \ . 1 / d2t/ . д2и 1 \
~~Х \ dg2 Х * d^dq х ) ‘ х \ dgdq * ‘ dq2 х J
-г2 - д2и 1 2 д*11 I 1 -
d£2 ‘ dgdq ‘ х2 dq2 ’
233
x4 1 dq x3
Подставив в данное дифференциальное уравнение найденные для вторых производных выражения, получим
„2 ( о2 О
\d^ y д^дх\ x2'rdi12 о ( д2и „ , о d2u .
У (dg2 Х +2 dg Л]+ х2 ' дц2) ’
__л ^2// 2 I 9 iL—о- д2и_________L J_—о- d2/z_________L —о
dgdq’^ ‘ dq х ’ dg dr] 2 dq ху ’ dgdq 2g dq
т. e. уравнение приведено к каноническому виду. Д
985. Привести к каноническому виду уравнение d2z . 9 о • d2z . 9 d2z п -г-, • sm2 х—2у sm х • л—г+у* • -з-т = °-dx2 dxdy 1 J dy2
А Здесь tz==sin2x, b~—//sinx, с —у2. Так как Ь2 — ас = г/2 sin2 х — — p2sin2x = 0, то данное уравнение — параболического типа.
Уравнение характеристик имеет вид
sin2 х (dy)2 + 2y sin xdxdy-\-y2 (dx)2 = 0, или (sin xdy-\-y dx)2~Q.
Разделяя в уравнении sin x dy-\- у dx = 0 переменные и интегрируя, имеем
+++Л==0; lnj/+lntg|=lnC; г/4Я|=С. У Olli Л и £
Произведем замену переменных: ^ = r/«tgi, г]==г/ (произвольная функция). Тогда получим
dz___dz d^ .dz dv\____ 1 dz 2 x ,
dx dg dx dq dx 2 dg У SeC 2 ’
dy~~ dg dy ‘ dq dy ~~ dg
d2z dg d2z dr] \ 2 x , 1 dz 9 x . x
-д“ У sec2 +++-7+ -<<- tj sec2 — tg — =
dg2 dx 1 dg drj dx / 2 1 2 dg 2 2
1 d2z x . 1 dz 9 x . x
=T У2 sec4 y+-2 sec2 tg - ;
d2z dg . d2z dt]\ , x d2z dg . d2z dt]
d2z
1
dx2 "" 2
d2z_
dr/2 dg2 ду "rdgdqdr/ J 'b TTdq dg ’dr/’~r dq2 ~dy‘~~^j
~^L tg2A+2 — dg2 ь 2 ' dl,dr\ * 2 > 5n2 ’
d2z 1 f d2z dg , d2z dq \ 9 x , 1 dz Q x
dxdy~ 2 (ty+dgdi) dy JySec У+Т dTSeC
= ~ ( Й ^~+~ } У sec2 4+4 4 sec2 4-2 dg2 2 1 dg dq / 2 1 2 dg 2
Подставляя в данное дифференциальное уравнение выражения для вторых производных, имеем
1 d2z х . 9 . 1 dz 9 х . х . 9
1"д^у sec ~2 Sm * ‘ Т dg"У SeC 2*tg “2 Sin x-'
( ()-z x . d2z \ « x . (Jz о x .
“A3?tg T+++)y sec +SIn x~TF y sec Tsin x+
i 2 ( d2z . 9 x . n d2z . x
+4^‘g 2+;Wg2
0.
264
d2z d2z
Можно легко показать, что члены, содержащие и , взаимно уничтожаются, и уравнение принимает вид
1 -g- у sec2 ± tg | sin* Х-i-у2 g- у sec2 | sin х=О,
или
d2z dz , У sin х*
* dq2 dt, 2tg(x/2) . x t, , 2gr]
Так как sin x=—р^2-(л./2)- > ’ T0 - Окончательно no-
d2z 2s dz ж
лучаем qr • A
986. Привести к каноническому виду уравнение ^-_2—Т-9 —=0.
dx2 dxdy^ dy2
А Здесь а~\, Ь = —1, с = 2, Ь2—ас= \ <0, т. е. уравнение эллиптического типа.
Уравнение характеристик имеет вид
(dy)2-{-2dx dy-{-2 (dx)2 = 0, или у'2 + 2уг 4~ 2 = 0.
Отсюда у' = —1 ± i; получаем два семейства мнимых характеристик: у-\-х — ix = Cl и имеем
z/ + x'+ix = C2. Произведя замену переменных t, = y-}-xt т]-=х,
dz dz dt dz dr] dz . dz
dx dt, dx ‘ dr] dx dt, ‘ drj *
dz dz dt, dz dr] dz dy dt, dy * dr] dy dt, ’
. d2z drj \ / d2z dt, . d2z dr] \___d2z . Q d2z . d2z .
* dg dq dx ) * \dr]dt. dx drj2 dx J dt,2 ‘ d£dr]"* dr]2’
d2z __d2z dt, . d2z drj d2z . d2z .
dxdy dt,2 dx ‘ dgdq dx d£2 * d£drj’
d2z _d2z dt । d2z dr] __ d2z
d^—’dF dpH'
Подставив найденные выражения в дифференциальное
d^2^ dgd>p dq2 dt2 dt,d^ dt2 ’
Привести к каноническому виду уравнения:
Х2. + 2X11 • ~ + и2 • —=0
х Д;;3 ±£ху дхду-ГУ dyi и-
. d2z о d2z n dz . r dz
— 4 5—^----3 ---2 —-|-6 -^- = 0.
дх ди ду2 дх ду
d2z . 1 d2z р
дх2 ‘ у2 ду2
д2г d2z dt, dx2 \d~2 дх
уравнение, получаем
~“z _l. г-г. — 0. А
Л]2 А
987.
988.
989.
-2
dx2 d2z dx2
§ 3. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
1. Решение уравнения колебания струны методом характеристик (методом Даламбера). Струной называется тонкая нить, которая может свободно изгибаться. Пусть струна находится под действием сильного начального натяже
265
ния То. Если вывести струну из положения равновесия и подвергнуть деист* вию какой-нибудь силы, то струна начнет колебаться (рис. 59).
Ограничимся рассмотрением малых, поперечных и плоских колебаний
струны, т. е. таких колебаний,
при которых отклонения точек струны от положения покоя малы, в любой момент времени все точки струны находятся в одной и той же плоскости и каждая точка струны колеблется, оставаясь на одном и том же перпендикуляре к прямой, соответствующей состоянию покоя струны.
Принимая эту прямую за ось Ох, обозначим через и = и(х, /) отклонение точек струны от положения равновесия в момент времени /. При каждом фиксированном значении t график функции и = и(х, /) на плоскости хОи дает форму струны в момент времени t.
Функция и = и(х, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
д2и д2и
--^+Л
где а2 = Т0/р, f = F/р, р — масса единицы длины (линейная плотность струны), F— сила, действующая на струну перпендикулярно оси абсцисс и рассчитанная на единицу длины.
Если внешняя сила отсутствует, т. е. / = 0, то получится уравнение свободных колебаний струны
д2и „ д2и ----— аг ----. dt2 дх2
определения движения струны нужно задать в начальный скорость струны, т. е. положение ее точек и их скорость / = о^(х).
Для полного момент форму и в виде функций абсцисс х этих точек. Пусть и | t_0 = <p (х), Эти условия называются начальными условиями задачи. д2и д2и
Приведя уравнение ---------а2-^- = 0 к каноническому виду, получим
С/ 4 СЛХ
д2и
уравнение — = 0, где £> = х—at, v\~x-]-at. Общее решение последнего урав-6*5 ОД
нения запишется так: и = &1 (£) + ©2 (Л)> где £ = x — at, K] = x-[-at, 015 02 — произвольные функции.
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения свободных колебаний имеет вид
г/ = 01 (х —я/) + 02 (x-[-at).
Подобрав функции 0Х и 02 так, чтобы функция и = и(х, /) удовлетворяла приведенным начальным условиям, приходим к решению исходного дифференциального уравнения в виде
Ф (х—at) + Ф (х+ at)
2
х + at
Та j ^(г)с/г'
х - at
990. Найти решение уравнения
д2и д2и । 2 ди | п
^/2 ^2 ’ если U | f—o X , р = о
л т* 1 ,/\ а ф (х — а/) + ф (х+аО о
Л Так как а=1, а ф(х) = 0, то и = —---, где ф(х)=х-.
266
Таким образом,
(х-/)2+(х+/)2 2 ’ /2 А
и— ------------!—— , ИЛИ и = X2 + /2. А
991. Найти решение уравнения
д2и л д2и I п ди I
~di*~ 41х2’’ еслимЬ=о —0, йГ|/=0 — х-
Д Здесь а = 2, ф(х)=0, ф(х)=х. Отсюда
х + 2/
и=~ \ z dz = ~z2 |X+2Z = _L [(х_|_2/)2 — (x—2/)2], т. e. u—xt. A
4 J о |х-2/ о
x-2t
д2и
992. Найти форму струны, определяемой уравнением
„ д2и , л । ди I ,
—я в момент / = —, если uL_0 = sinx, =1.
дх2 2а ’ 1 т-и dt I /=0
А Имеем
х + at
__ sin (x-\-at) + sin (x—at) . 1 P
« 2 J 2’
x-at
t. e.
1 I x+at
w = sin x cos atf-hx- z\ , или и = sin x cos at +1*
2a I x-at
Если t = n!(2a), то и = л/(2а), т. e. струна параллельна оси абсцисс. А
993. Найти решение уравнения если г/|/=0 = х,
ди I
д2и д2и
994. Найти решение уравнения если ^|f=o=O,
ди I
1Гр=о = cosx.
995. Найти форму струны, определяемой уравнением д2и д2и , 1 ди I
-д-т- = в момент / = л, если и L_0 = sinx, -чг =cosx.
dt2 дх2 ’ 1 ’ dt t-a
2. Решение уравнения колебания струны, закрепленной на концах, методом разделения переменных (методом Фурье). Пусть требуется найти решение д2и д2и
уравнения ’ удовлетворяющее начальным и граничным (краевым)
условиям
и (х, 0) — ф (х), — —гр (х), и (0, t) =0, и (I, t) =0.
Будем искать (не равное тождественно нулю) решение уравнения в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая — только от t, т. е.
п(х, t) = X (х) T(t).
267
Подставляя это выражение в данное уравнение, имеем
Х(х) T"(t) = a2X"(x) T(t), откуда, разделив переменные, получим
Т" (0 __ X" (х) а2Т (/) X (х) ’
Это равенство двух отношений, зависящих только от х и только от I, возможно только в случае, если оба отношения равны постоянному числу —X (где X > 0):
т- е- *"« + Шх) = 0 и Г(/) + *«2Г(0=О.
Общие решения этих уравнений имеют вид
X (х) = A cos УX х-\-В sin ]/* X х, Т (/) = С cos а УX t-^D sin а У К t, где А, В, С, D — произвольные постоянные, а функция
и (х, t) =-- {А COS КX х+В sin Л х) (с cos а УX t-\-D sin а УX Z).
Постоянные А и В можно найти, используя краевые условия. Так как Т (/)^0, то X (0) = 0 и X (Z) = 0. Следовательно,
х (0) = Л = 0, X (l) = A cos /х Z + Bsin /X Z = 0,
т. е. Л = 0 и В sin У К I = 0 ив силу того, что В Ф 0, имеем sin У X I = 0, ___________ fa
откуда У X =kn/l (6 = 1, 2,...). Итак, X=Bsin—у~х.
Найденные значения X называются собственными значениями для данной краевой задачи, а функции X = Bsin-^-x—собственными функциями.
При найденных значениях X получаем _ z,. акл . , n . акл .
Т (Z) = С cos —j— t + D sin —— /,
, ,4 . kn f akn . , , . акл ,\ .
Ufa(x, t) =sin —— X I Ufa COS—— Z + &/eSin—— t\ (k = 1, 2, ...).
Каждому значению k отвечают свои постоянные С и D. поэтому пишем а/г, bfa, а постоянную В включаем в и Ь^. Так как уравнение -^- = а2Х д2и
X ^2~ линейное и однородное, то сумма решении также является решением, которое можно представить в виде ряда
/ f akzt . . акл , \ . kn
и (x, /) = 2^ uk U, ч = у ( akcos —-j— sin —~ j sin ~7~ X'
Этот ряд служит решением уравнения, если коэффициенты и bfa таковы, что сходится сам ряд, а также ряды, получающиеся после двукратного дифференцирования по х и по t. При этом решение должно удовлетворять начальным условиям:
и (х, 0) = ajz sin х = ф (х).
k= 1
268
Если функция ф (х) разлагается в ряд Фурье в промежутке (О, I) по синусам, то
== у ф (х) sin х dx. (1)
о
ди (х, 0)
Из условия -----------= ф(х) имеем
/г=1
akn , . kn , , .
—j— bksin — х = ф(х).
Определяем коэффициенты Фурье этого ряда:
I
akzi t 2 С* , . . . kit ,
—— b]Z= — \ ф (х) sin — х dx, о
откуда
I
и 2 С . / ч . J
bh = —т— \ Ф (х) sin —г- х dx.
к akn д I
о
(2)
f akn , . , . akn Л . kn
I a/t cos —— t + bk sin —— t j sin —p x,
Таким образом, решение уравнения колебания струны может быть представлено как сумма бесконечного ряда:
00
«(*> о=52 k- 1
где afr и b^ определяются по формулам (1) и (2).
ГТ T7 r'(0
Примечание. Если положить Д = --- _-=Л > 0, то уравнения CL"“ 1 \L) -Л (X)
для определения X (х) и Т (t) имели бы вид Х"(х)—ЛЛ'(х) = 0 и Т" (t) — — аРкТ (t)=Q. Общее решение первого из них Х = Ае^ x-j-Be~^ х не может удовлетворять граничным условиям.
996. Струна, закрепленная на концах х = 0 и х = 1, имеет в начальный момент форму параболы и = (4Л//2)-х(/—х). Определить смещение точек струны от оси абсцисс, если начальные скорости отсутствуют (рис. 60).
Л Здесь ф (х) = (4/i/Z2)-x(/—х), ф(х)=0. Находим коэффициенты ряда, определяющего решение уравнения колебания струны:
о о
Для нахождения коэффициента a;z дважды интегрируем по частям:
= 1х—х2, dv± = sin —у— dx, du± = (l — 2x) dx, =-------r— cos —y— ;
L Kw I
l
8/1 ,, о. I knx I/ , 8/i C . knx ,
x-) cos -j- |Q (Z-2x) cos dx,
0
269
т. е.
8Й С 7/ П Ч ^Х J о
, « , knx , о , I . knx м
и2~1—2х, cfc’.2 = cos—— ах, du2~— 2dx, r2 = -^-sm—— ;
l
8/1 _ ч Клх |Z . 16zz C . k^x .
ak=Wi«- 2x) sm ~r Io+Mi ) sin ~T dx= 0
16/1 kwc \l 16/z ]6h ftl
= rrrcos—F“ =-----------ГГТ (cosbe— 0= r. T [1 —(—1) b
/Лл3 / |o k3n3 v /гйл3 1 z
Подставляя выражения для и в равенство (1), получим
/ 16/1 г 1 / 14/21 knat • кюс
U(X' /)==Е A]c°s —sm—.
/г= 1
Если k = 2n, то 1 —(—1)й = 0, а если & = 2^4-1, то 1 —(—1)^ = 2; поэтому окончательно имеем
. .. 32/г 1 (2n+l)naf . (2п+1)лх .
«<*’ ДгТГ+Лр-cos-----i----sin-----1----• ±
n- 1
997. Дана струна, закрепленная на концах х —0 и х=/. Пусть в начальный момент форма струны имеет вид ломаной О АВ,
изображенной на рис. 61. Найти форму струны для любого момента времени /, если начальные скорости отсутствуют.
Д Угловой коэффициент прямой ОА равен т. е. 2A/Z. Следова-
тельно, уравнение этой прямой есть u = (2Zt/Z) х. Прямая АВ отсекает на осях координат отрезки I и 2h\ значит, уравнение этой прямой имеет вид x/l-{-u/(2h)=l, или u = (2h/l)(l—х). Итак,
( (2h/l) х при 2,
( (2/?//) (/ — х) при //2^х^/,
ф (х) = 0.
Находим
I 1'2 Ч
2 f / ч . knx , 4/i Р knx , , 4'i Р л . knx ,
аь = ~ WW-sin——dx = -^- \ xsm—j—dx\ (/—x)sm—~dx,
0 0 //2
^ = 0.
270
Интегрируя по частям, получаем
4/i knx I Z/2
ak =----T—T-X-COS -—у—
‘ knl l о
knx .
cos —j— dx—
4/i knx Z 4h C
-Г—у (Z—x) • cos—7- —7—r \
knl I [z/2 knl J
Z/2
knx , cos —j— dx =
2/z kn . 4/i knx | Z/2 2/г kn 4h knx [Z
to •C03 v+Ttor •sin — |o + to • cos-2“T^'sin “Г U
4h kn . 4h , kn 8h . kn
~ Fji2'‘Sln — 1tor’Sln ~2~
Следовательно,
«(*-
. kn . knx knat ’
• sin • sin —— cos —— .
Выпишем несколько членов ряда:
, .ч 8/г / . пх nat
и (х, Z) = —sin — cos —
л2 \ I I
. 1 5пх 5nat 1
..sin __.C0S —---—
3nx
3nat
1 . Злх
__.SIn_.cos—
. 7лх
-z—
I ~
..vzv Inat
•sin —r—• cos —>—
2
т
о
а начальная скорость выражается
998. Пусть начальные отклонения струны, закрепленной в точках x = Q и х = 1, равны нулю, формулой
ди dt
с0 (const) 0
Определить форму струны для
при | х—//21 < /i/2, при | х—Z/2 | > Zi/2.
любого момента времени t.
Л Здесь ф(х)'=0, а 'ф(х) —с0 в вне этого интервала.
Следовательно,
интервале ](/—/0/2, (l-\-h}l2[ и (х) =0
, 2 C knx , 2c0 I knx (Z + h)/2
bk = -t— \ cnsin—7—dx =-------у—--у—cos—r-
K kna J I fena kn I |(Z-/i)/2
(Z-/i)/2
2с0/ Г to (/-/г) ,nkn(l + h)
k^a C0S’ 2/ S 21
4c0Z . kn . knh
-^^-sin-^-sin-gj-
Отсюда
I
z zv 4c0Z 1 kn knh knat . knx u(x' k= 1
или
/ 4c0Z / nh . nat , пх 1 3nh
u(x' t)=~^ (Sln-2F-Sm— •sin—-^"sin^Fx
3nat . 3nx , 1 . Snh . Snat . 5лх \
Xsin—z—sin—z——z^-SHl-T-j—sin—z—«sin—z--... .
I I 1 52 2Z Z Z j
271
999. Струна закреплена на концах х = 0 и х = 3. В начальный момент форма струны имеет вид ломаной О АВ, где 0(0; 0), А (2; —0,1), В(3; 0) (рис. 62). Найти форму струны для любого момента времени /, если начальные скорости точек струны отсутствуют.
1000. Струна, закрепленная на концах х = 0 и х — 1, в начальный момент имеет форму u = /i(x4 — 2х3 + *)- Найти форму струны для любого момента времени t, если начальные скорости отсутствуют.
1001. Струна закреплена в точках х = 0 и х = 1. Начальные отклонения точек струны равны нулю, а начальная скорость выражается формулой
Найти форму струны для любого момента времени t.
§ 4. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
1 . Уравнение теплопроводности для нестационарного случая. Обозначим через и~и(М, t) температуру в точке М однородного тела, ограниченного поверхностью S, в момент времени t. Известно, что количество теплоты dQ, поглощаемой телом за время dt, выражается равенством
dQ = k.~dSdt, ' (1)
где dS — элемент поверхности, k — так называемый коэффициент внутренней ди , „
теплопроводности, — производная функции и по направлению внешней нормали к поверхности S. Так как теплота распространяется в направлении по-нижения температуры, го dQ > 0, если >0, и dQ < 0, если <0. Из равенства (1) следует, что
Q=dt- С С k~ dS.
J J дп s
Вычислим Q другим способом. Выделим элемент dV объема V, ограниченного поверхностью S. Количество теплоты dQ, получаемой элементом dV за время dt, пропорционально повышению температуры в этом элементе и массе самого элемента, т. е.
dQ=y~dt-pdV, (2)
где р— плотность вещества, у — коэффициент пропорциональности, называемый теплоемкостью вещества. Из равенства (2) следует, что
V
272
Таким образом, получаем
V S
9 k ди , , , , ди . . ди . , ди t
где а2 = —. Учитывая, что -^-== grad и\ и grad и = —-14--г— ] + ~т- к, ру дп 1 1 дх ду dz
преобразуем полученное равенство к виду
И j IF dv = а* П [ S’cos (n’ x)+|г cos ("’ y)+17cos (n’ 2) ] dS-
V s
Заменив правую часть равенства с помощью формулы Остроградского — Гаусса, имеем
V V
или
С С С Г ди 2 i д2ц I д2и I d2tl А 1 717 Л
J J J л'-°
V
для любого объема V. Отсюда получаем дифференциальное уравнение ди________________________ 2 / д2и . д2и . д2и \
1/ а \ 1x^+1^+1?"/ ’
называемое уравнением теплопроводности для нестационарного случая.
Если тело является стержнем, направленным по оси Ох, то уравнение теплопроводности имеет вид
ди „ д2и ~dt~~a ‘
Рассмотрим задачу Коши для следующих трех случаев.
1. Случай неограниченного стержня. Ставится задача о нахождении решения и (х, I) уравнения
ди „ д2и , Л ,
1Г=а-ЦГ’ />0’ -«<*< + <».
удовлетворяющего начальному условию и (х, O)=f(x), —оо <х<4-°о. Применив метод Фурье, получаем решение уравнения в виде
+ 00
и(х, Z) =-4^- f
2а у nt J
— 00
— интеграл Пуассона.
2. Случай стержня, ограниченного с одной стороны. ди 2 д2и
Решение уравнения -^-~а удовлетворяющее начальному условию
и (х, 0) — f (х) и краевому условию и (0, /) = ср (Z), выражается формулой
и (х> () =--1 f f (g) . Гб+л)7(4а»О] dg +
2a У nt J
о t
-j----. Г ф ()]) • e”- n)) — t|) - 3/2 t
2a У nt J
о
273
3. Случай с т е р ж н я, о г р а н и ч е н н о г о с обоих концов х = 0 и x — L Здесь задача Коши состоит в том, чтобы найти решение уравнения ди о д2и , . г z \
-^~=а2 , удовлетворяющее начальному условию и (х, г)|/=о = / (х) и двум
I л ди\ ди\ А
краевым условиям, например wx=0 = и = 0 или 0~'Эх"| _ =и*
В этом случае частное решение ищется в виде ряда
и (х, 0 — ^2 ^k' ,
/г=1
где
Ьк = J- (x)sin-^rfx 0
(для краевых условий zz|x=0 = 0), и в виде ряда
и (х, t) — ^•g-^:ria/Z)“'/-cos
/г=1
где i i
2 С £ . ч knx t 1 С с х i
ak = — j f(x).cos—dx, flo = yj f (x) dx
о 1
/ o dtЛ ди I A
( для краевых условии-^ 0 =
ди d2u
1002. Решить уравнение = Для следующего начального распределения температуры стержня:
( и0 при Хх < X < х2, u(x,t)\t=0 = f(x) = <
( 0 При X < хх или X > х2.
А Стержень является бесконечным, поэтому решение запишется в виде интеграла Пуассона:
+ со
И(х, 0=-4=- Ш-е_(’’л)2/(4а!М-
2ау nt уоо
Так как /(х) в интервале [хь х2[ равна постоянной температуре «0, а вне интервала температура равна нулю, то решение примет вид
и (х, /) = —• С
7 2aV nt J xi
Полученный результат можно преобразовать к интегралу вероятностей (см. с. 203):
Z
ф(г) = А= ?е-ц2</ц.
/ nJ
274
Действительно, полагая х—$/(2а ]/*t ) = pi, d$ =—2а У получим
(x-x2)/('2aV i)
и (х, /) =----~z \ е~ =
у л J _ч
(х-^)/(2аУ t)
Таким образом, решение выразится формулой
= Ф
X— Х1 А ф / Х-*2 \
2аУТ ) \2аУГ J
Графиком функции Ф (г) является кривая, изображенная на рис. 63. А
1003. Найти решение уравнения ди д2и
удовлетворяющее начальному
Cz 4 С/Л-
условию u\t= о = f (х) — ий и краевому условию и|х=о=О.
Л, Здесь мы имеем дифференциальное уравнение теплопроводности для полубеско-нечного стержня. Решение, удовлетворяющее указанным условиям, имеет вид
Ы(х, f) = —L= С и0 2/nt J
или
оо
и(х, 0=-^= С [e-r5-AT/(iO_e4^W/)]dg.
2 V nt
Полагая х—£/(2 У t ) = pi, d£ =—2 У t d[i, преобразуем первый интеграл, пользуясь интегралом вероятностей, т. е.
оо х/(2 V ~)
Полагая х + £/(2 с?5 = 2]/г/ф, получим
____С е-(х l-s)7(4/)
2 У nt J У л
х/(2 УГ)
Таким образом, решение принимает вид и (х, /) = ц0*Ф ▲
1004. Найти решение уравнения = (0<х</), t > О,
275
удовлетворяющее начальным условиям:
( х при 0 < х < / 2, u\f=.Q=f(x)=^\f .
1 ' ' ( /—х при l:2^x < I
и краевым условиям и |х= о = и |v=z = 0.
Л Решение задачи Коши, удовлетворяющее указанным краевым условиям, будем искать в виде
«(х, =
/е=1
где
I 1/2 I
. 2 . knx . 2 С knx , , 2 С . knx ,
b^=—\ f (х) sm——dx = — \ xsin—z— dx+y \ (I—x) sin —— dx.
I I Id L C d I
0 0 1/2
Проинтегрируем по частям, полагая u = x, dv = dx, du = dx и v =
I knx
= —z— cos ; получим
kn I J
. 2 f lx knx . I2, , knx \ p/2
^=7Гъ?-С05—+₽sm-r;|o +
2 / Z2 knx , lx knx I2 . knx 4Z . kn T{~ bi-cos-z-+77-cos-—77'siri~Jk = 77-sin—
Следовательно, искомое решение имеет вид
со
/ 4Z 1 . kn —k?‘T\bt№ . knx
u /) = ^X^-Sln'2"e AnZ/Z-sm —.
/?= 1
или
u(x> t)=^ У (_lp . 1 e-(^n^.sin (2П.+ 1) ЯХ
v 7 д2 v / 2tl -4- 1 I
n=Q
1005. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям
{1—х/l при 0jCx?cZ,
1+x/Z при —Z<x< 0,
0 при х^1 и х^—I.
ф Решение выразится формулой о I
и(х, /)=—V fl+-f-V~(A'~5,2/<1°d6 + —7=? f l--T-')e_(-v-6)2/(4Z)rf5.
Заменой x—g/(2 У t ) = p упростить ответ.
1006. Найти решение уравнения теплопроводносги, если левый конец х=0 полубесконечного стержня теплоизолирован, а на
276
чальное распределение температуры
г 0 при х < О,
и|/ = 0 = / (%) =
и{} при О < х < /,
ч О при I < х.
1007. Дан тонкий однородный стержень длины Z, изолированный от внешнего пространства, начальная температура которого равна f(x) = cx(l—х)/1i 2. Концы стержня поддерживаются при температуре, равной нулю. Определить температуру стержня в момент времени t > 0.
О Закон распределения температуры стержня описывается уравнением начальным условием и р=0 = f(x)~ СХ ---и краевыми условиями п |х==0 = и ]х=/ = 0.
2. Уравнение теплопроводности для стационарного случая. Уравнение теплопроводности для стационарного случая обращается в уравнение Лапласа
дх2 * ду2 ' dz2 ’
(1)
так как — ==0. Уравнение Лапласа можно записать в виде Дп = 0. Здесь и есть функция только точки и не зависит от времени.
Для задач, относящихся к плоским фигурам, уравнение Лапласа записывается в виде
д2и .д2и__п
дх2'ду2
(2)
Такой же вид имеет уравнение Лапласа и для пространства, если и не зависит от координаты г, т. е. и (М) сохраняет постоянное значение при перемещении точки М по прямой, параллельной оси г. Заменой x = rcos0, y=--rsinQ уравнение (2) можно преобразовать к полярным координатам:
ди ди _ , ди . _ — — — COS 0H--T- Sin 0, дг дх ‘ ду
^4—^4 cos2 0 + 2 Д4- sin 0 cos 0Д-^4 sin2 0, dr2 дх* dxdy 1 dy2
du du . „ , ди
= r sin 04- — r cos 0,
<90 dx 1 dy
d2u d2u d2u
^4 r2 Sin2 0-2 rz sin 0 cos 0 +
d02 dx2 dx dy 1
i ^2u 2 о гл ди гл ди .
фут г2 cos2 0— v- ''cos 0 — v-r sm 0.
1 ду* дх ду
Отсюда
2 д2и . ди . д2и g (д2и । д2и \ ^д2и . ди , д2и л
дг2 дг 1 о02 \дх2 ду2 J дг2 1 дг б02
С уравнением Лапласа связано понятие гармонической функции. Функцию называют гармонической в области D, если в этой области она непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа. Так, для уравнения (1) функция и~1/г, где
277
r=V\x—x„)2 + (!/ — Z/0)2 + (z — 20)2, является гармонической в любой области исключая точку Л40 (х0; у0; z0). Для любой плоской области такой функцией служит ц = 1п (1/г) (или ц = 1п г), т. е. эта функция удовлетворяет уравнению (2).
Задача отыскания функции и, гармонической в области D, непрерывной в D, включая и поверхность S, ограничивающую эту область и удовлетворяющей краевому условию и |на s = f (Af), где f (Л4) = f (х, у, z)— заданная непрерывная на S функция, называется задачей Дирихле.
1008. Найти стационарное распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, если на концах стержня tt|x=0 = u0, u|x=z = ur
А Задача Дирихле для одномерного случая состоит в нахождении из d?u
уравнения Лапласа -^ =0 функции и, удовлетворяющей краевым условиям ц|х=0 = ц0, ц|х=;_щ. Общее решение указанного уравнения есть и = Ах-}-В, а учитывая краевые условия, получим и = -^—-x-[-uQ, т. е. стационарное распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью линейно. А
1009. Найти стационарное распределение теплоты в пространстве между двумя цилиндрами с общей осью Oz при условии, что на поверхностях цилиндров поддерживается постоянная температура.
ф Перейти к цилиндрическим координатам, считая, что и не зависит от 0 и г.
§ 5. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА
Пусть дан круг радиуса R с центром в полюсе О полярной системы координат. Будем искать функцию и (г, 0), гармоническую в круге и удовлетворяющую на его окружности условию ц|г=д = /(0), где f (0) — заданная функция, непрерывная на окружности. Искомая функция должна удовлетворять в круге уравнению Лапласа
9д2и , ди . д2и
г д^+г&+д&=
(1)
Ограничимся применением метода Фурье при решении этой задачи. Допустим, что частное решение ищется в виде
« = <2(л).Г(0).
Тогда получим
г2• Q" (г) • Т (0) + г• Q' {гуТ (0) + Q (г) • Т" (0) = 0.
Разделяем переменные:
Т"(0)__ r2-Q"(r) + r-Q' (г)
Т(0)~ Q (г)
Приравнивая каждую часть полученного равенства постоянной —k2, получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:
Т" (0) + k2 • Т (0) = 0, г2 • Q" (г) + г • Q' (г) — k2. Q (г) = 0.
Отсюда при k = 0 имеем
Т (0) = А + В0, Q {r) = C-\-D In г.
(2)
(3)
278
Если же k > 0, то
Т (0) = A cos kQ Д-В sin k®, (4)
а решение второго уравнения будем искать в виде Q(r)~rm, что дает т2пг(т—1) rm~2 4-rmrm~Y— k2rm = 0, или rm (m2— k2) = 0, t. e. m=±k.
Следовательно,
Q (r) = Cr&-j-Dr-b. (5)
Заметим, что и (г, 0) как функция от 0 есть периодическая функция с периодом 2л, так как для однозначной функции величины и (г, 0) и и (г, 0Д-2л) совпадают. Поэтому из равенства (1) следует, что В = 0, а в равенстве (4) k может принимать одно из значений 1, 2, 3, ... (k >0). Далее, в равенствах (3) и (5) должно быть D = 0, так как в противном случае функция имела бы разрыв в точке г = 0 и не была бы гармонической в круге. Итак, мы получили бесчисленное множество частных решений уравнения (1), непрерывных в круге, которые (несколько изменив обозначения) можно записать в виде
Но (г, 0) = Л0/2; ип (г, 0) = (Ап cos п@-\-Вп sin и0) гп (п=1, 2, ...).
Составим теперь функцию
А ™
и (г, 0) = Д- (Л п cos и0 Д- Вп sin и0) гп,
п= 1
которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также служит его решением. Остается определить величины До, Ап, Вп так, чтобы эта функция удовлетворяла условию u\r=R = f (0), т. е.
со
f (®) = у + У, Ип cos п&-\-Вп sin п0) Rn.
п= 1
Здесь мы имеем разложение функции f (0) в ряд Фурье в промежутке [—л, л]. В силу известных формул находим
л л
1 С 1 с
Ач = — J лп = ^- J / (т) cos пт dr, Вп
— Л —л
1 с nRn J
-л
Таким образом,
Упростим полученный результат. Полагая г/7? = р, т — 0 = /, представим выражение в квадратных скобках в виде
со со
Д- рп COS nt = pzz COS nt — .
n=l n-0
Рассмотрим ряд
2 (pet7)n = 2 р"созл/Д-4 2 pw sin/г/. n—Q n=0 n=Q
Этот ряд сходится при р < 1 и его сумма равна
1 ___________1___________ 1 — р cos t Д- iр sin t
j р€*Д 1 — р cos t — ipsint 1 — 2p cos/Д-р2
279
Следовательно,
V5 „ ,1 1 — р cos t
> p" cos /?/ ——=-——i---— -
1 2 1—2pcos/4~P"
72 = 0
1—p2
2 ~~ 2 (1 — 2p cos t p2) ’
или, возвратившись к прежним обозначениям, получим
л
1 с /?2 —г2
“ (Г’ 0) = 2л J f (т) R2 — 2Rr cos (т —0) + /2 dX' -Л
Мы получили решение задачи Дирихле для круга. Интеграл, стоящий в правой части, называется интегралом Пуассона.
1010. Найти стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластинке радиуса R, верхняя половина которой поддерживается при температуре 1°, а нижняя — при температуре 0°.
Д Если — л < т < 0, то f (т) = 0, а если 0 < т < л, то / (т) = 1. Распре-
деление температуры выражается интегралом:
л
1 р /?2 —г2
И(Г’ 2л J /?2 —2/?r cos (т —0) —г2 о
Пусть точка (г; 0) расположена в верхнем полукруге, т. е. 0 < 0 < л; тогда т—0 изменяется от —0 до л—0, и этот интервал длины л не содер-т—0
жит точек ± л. Поэтому введем подстановку tg—-—=/, откуда cos (т — 0) =
1 —/2 2dt ~
= 1^7/2 ’ dX:== [Трг • Тогда получим
Ctg (0/2)
/ ох 1 С /^2——Г2 1 . (R + r \ I ctg(0/2)
u(r, 0) = — \ —-=...... ...---——dt = ~ arctg --------/ =
nJ (R — r)2 + (R^r)2t- л \R — r J I-tg(e/2)
-tg(0/2)
1 Г + ( R + r + в \ । . ( R + r. 0\1
= л [arctg ( R^~r Ctg T ) + arctg { R=-rtg Т Л =
/? + r ( . 0 . . 0 \
1 f R — ДС2ТГ g 2 / 1 R2 — r-
R + r R — r
л 2Rr sin 0 ’
или
R2 — r2
tg (!/n) = — 2^f sill 0 •
Так как правая часть отрицательна, то и при 0 < 0 < л удовлетворяет неравенствам 1 2 < и < 1. Для этого случая получаем решение
/?2 —г2 1 R2 — r2
tg (л— пл) = -Y75——Г , или и= 1-arctg———- (0 < 0 < л).
4 7 2Rrsm& п 2Rrsm& 4 1
2S0
Если же точка расположена в нижнем полукруге, т. е. п < 0 < 2л, то интервал ]—0, л—0[ изменения т—0 содержит точку —л, но не содержит О, @ ^2 — |
и мы можем сделать подстановку ctg—-— = t, откуда cos(t —0) = ^2 , - р dx — x-tt-- , Тогда для этих значений 0 имеем 1 -j-
tg(0/2)
1 С R2 — г2
и (г, 0)=---- j (R+ry+(R_ryt2 dt =
-ctg(©/2)
1 Г ♦ (R — r f 0 \ , t (R — Г . © \1 =-nLarctg\wtg^J+arctgl^T7-ctg’2-J]-
Производя аналогичные преобразования, найдем 1 /?2 —г2
п =----arctg ———- (л < 0 < 2л).
л 2Rr sin 0 7
Так как правая часть теперь положительна (sin 0 < 0), то 0 < и < 1/2.
1011. Найти решение уравнения Лапласа для внутренней части кольца 1 г 2, удовлетворяющее краевым условиям и|г=1 = 0, U\r=2 = lJ-
ф Ввести полярные координаты.
ГЛАВА VII
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Пусть комплексное переменное z--x-\-yi принимает всевозможные значения из некоторого множества Z. Если каждому значению z из Z можно поставить в соответствие одно или несколько значений другого комплексного переменного w~u~\-vi, то комплексное переменное w называют функцией z в области Z и пишут W-- f (г).
Функция w = f(z) называется однозначной, если каждому значению z из множества Z можно поставить в соответствие только одно значение w. Если
же существуют значения z, каждому из которых можно поставить в соответствие несколько значений ш, то функция w = f(z) называется многозначной.
Если w = u-}-vi есть функция от z = x~[-yi, то каждое из переменных и и v является функцией х и у, т. е. и = и(х, у), v — v(x, у). Обратно, если w = u(x, y)-{-v(x, y)i, где и (х, у) и v (х, у)—действительные функции х и у, то w можно рассматривать как функцию комплексного переменного z = x-\-yi. Действительно, каждому комплексному числу z = x^-yi соответствует определенная пара действительных чисел (х; у), а этой паре чисел соответствует одно или несколько значений w.
Говорят, что однозначная функция w = f(z) при z—*с имеет конечный предел С (с и С — комплексные числа), если для всякого числа 8 > 0 найдется такое число 6 > 0, что из неравенства \z — с|<6 следует неравенство \f(z) — С[ < 8. В этом случае пишут lim f (г) = С. z->c
Функция w = f(z) называется непрерывной в точке г0, если ]im f (г) ==f (г0).
z->z0
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области D, называется непрерывной в этой области.
Рассмотрим область D, ограниченную замкнутой не самопересекающейся линией Г. Эта область называется односвязной (рис. 64).
Если область D ограничена двумя замкнутыми не пересекающимися и не самопересекающимися линиями Гх и Г2, то область D называется двусвязной (рис. 65).
Пусть Г1 — внешняя линия, а Г2 — внутренняя. Область является двусвязной и в том случае, если линия Г2 вырождается в точку или в дугу непрерывной линии. Аналогично могут быть определены трехсзязные, четырехсвязные и т. д. области. На рис. 66 изображена четырехсвязная область.
Функции комплексного переменного ez, sin г, cos г, sh г, ch г определяются как суммы следующих рядов, сходящихся во всей плоскости комплексного
282
переменного:
2 Z3 Z3
ez — 1 I Д_Д_ ___L __ _L . . •
rl! 2! 1 3! ’
z z3 , z5
Для функций комплексного переменного справедлива формула Эйлера: ezi = cos z-j- i sin z.
Из этой формулы следует, что
sh zi = i sin z, ch zi = cos z.
Известные из элементарной математики формулы
ez\>ez2 = ezi+z2> ezi/ez2~ezi~z2, sin (zx ± z2) = sin zx cos z2 ± cos zx sin z2, cos (zi ± z2) = cos zi cos z2 T sin zx sin z2
справедливы и для комплексных значений аргументов zx и z2.
Функции z1/n (/z£N), In z, arcsin z, arccos z, arctg z определяются как обратные по отношению соответственно к функциям z", ez, sin z, cos z, tg z =
= sin z/cos z. При этом функции z1^, In z, arcsin z, arccos z, arctg z являются многозначными.
Можно показать, что
In z = In р + (ф + 2£л) i (k£Z),
где p = |z| и <p = argz.
1012. Дана функция w = z2-{-z. Найти значения функции при: 1) z = 1 + i; 2) z = 2 —г; 3) г = 4) z = — 1.
д 1) (1 ч-02Ч-1 +1 = 14-2t — I-|_14-z = I-4-3/;
2) ^=(2 —024-2 —Z = 4 — 4i — l+2 — i = 5(l—/);
3) w — i2 + i — — 1 +1;
4) ^=1 — 1 = 0. A
283
1013. Дана функция /(г) = х2 + y-i, где z = x-\-yi. Найти: 1) /(1 + 20; 2) /(2-30; 3) /(0); 4) /(-0-
Д 1) х=\, у = 2, / (1+2i) = 1+4t;
2) х=2, </ = —3, /(2—30 = 4 + 9«;
3) х = 0, у = 0, f (0)=0 + 0-i = 0;
4) х = 0, у —— 1, /(—«) = ». А
1014. Показать, что функция да = |г| непрерывна при любом значении г.
Л Так как разность двух сторон треугольника не больше третьей стороны, то || г] — j zQ 11 =С| z— z0 | (рис. 67). Пусть 0 < 6 < £. Тогда из неравенства I z — z01 < 6 следует неравенство | | z | — | z0 [ | < е, т. е. lim | z | = | г0 |.
z->z0
Таким образом, | z | — непрерывная функция, А
1015. Показать, что w = z2— непрерывная функция при любом значении г.
Д Имеем z2— zo = (z — z0) (г-|-г0). Если z—> г0, то существует такое положительное число М, при котором выполняются неравенства | z ( < М, | г01 < М. Но
|г2 —гб| = |г—г0|-|г+г0| < | г—г0 |-( | г | +1 z0 |) < 2Л4 | z—z0 |.
Возьмем б < е/(2М). Из неравенства | z—г0 | < 6 следует, что
|г2 — го| < 2Л46 < 2ЛЬе/(2Л1), т. е. | г2 —zo I < 8.
Итак, lim г2 = го, т. е. ш = г2 — непрерывная функция. А
2->Z0
1016. Найти 1п(Кз+0.
Д_Имеем z—У ЗД/, р = | z | = 2, ср = arg z — arctg (1/j/" 3) = л/6, т. е. 1п()/ ЗД 0 = In 2Д (л/6-|-2£л) i, k^Z. А
1017. Вычислить cos(r/2) с точностью до 0,0001.
А Поскольку
* z2 z^ z^
COSZ=1—^у+^у—-gj-+... , находим
c°si=i+^+1ILr+^Lr+... = 1,1276. А
1018. Дана функция w = ez. Найти ее значение при: 1) г = л//2; 2) 2 = л(1—i); 3) г = 1 + (л/2 + 2лй) t, где k£Z.
1019. Дана функция /(z) = l/(x—yi), где z — x-j-yi. Найти /(1 + 0, /(0, /(3-20.
1020. Показать, что С0 = 2г3— непрерывная функция.
1021. Найти In (1 — i).
1022. Доказать справедливость равенства sin Л ch 1 = i cos i • sh 1.
1023. Решить уравнение cos z = 2.
1024. Найти arcsin i.
1025. Вычислить sini, подсчитав действительную и мнимую части с точностью до 0,0001.
284
1026. Чему равен Мп (л/6 + /)? Вычислить действительную и мнимую части с точностью до 0,001.
1027. Дана функция f(z) = eeZ. Найти ее значения в точках: 1) z = i; 2) г = 1 ф- ni/2.
§ 2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Производной однозначной функции комплексного переменного w = f(z) на-Д&' f (z + Аг) — f (г) „ .
зывается предел отношения =——1—, если Аг любым способом
стремится к нулю. Таким образом,
/ (г + Аг)—/(г) Аг
f (г) = lim -7—= lim Аг+о Аг Дг-*-0
Функция, имеющая производную при данном значении г, называется дифференцируемой (или моногенной) при этом значении г. Если функция w = f(z) однозначна и имеет конечную производную в каждой точке области Z), то эта функция называется аналитической в области D.
Если функция w = f (г) = и (х, г/)-}-ш(х, у) дифференцируема в точке г =
, . о ди ди ди ди
= х 4-щ, то в этой точке существуют частные производные •ч~, .
' у ~ дх дх ду ду
причем эти производные связаны условиями
ди до ди до
дх ду1 ду дх1
которые называются условиями Коши — Римана.
Условия Коши — Римана являются необходимыми условиями дифференцируемости функции w = f(z) в точке z = x-}-yi.
ди до ди до
Обратно, если частные производные непрерывны в точке
. . TZ „ ди до ди до
z = x4-yi и условия Коши—Римана , -ч—=--т- выполнены, то
‘ J дх ду ду дх
функция w = f(z) дифференцируема в точке z — x-\-yi.
Производная функции / (г) выражается через частные производные функций и (х, у) и о (х, у) по формулам
-. , ч ди , . до ди . ди до . ди до . . 'до
I (?) — “3-— = -3----“3—-----------1 "5—z= *3-1“^~3—•
дх 1 дх дх ду ду ду ду 1 дх
Производные элементарных функций г72, ez, cos г, sin г, In г, arcsin г, arccos г, arctg г, sh г, ch г находятся по тем же формулам, что и для действительного аргумента:
(zri)' = п-гп~1, (ezy =ez, (cos z)f =—sin г, (sin г)' = cos г, (In г)' = 1 /г,
(arcsin г)'= l/p^ 1 —г2, (arccos z)' =— X/V' 1—г2, (arotg z)' = 1/(1 4-г2), (sh z)' = ch г, (ch z)' = sh г.
1028. Дифференцируема ли функция f (г) = у + xi> ли д// л ди , до , до л
Л Находим и = у, о--=х, ^- = 0, ч-=1, ч-=1, з~ = °- Одно из условий
дх ду дх ду J
Коши — Римана не выполняется. Таким образом, данная функция не является дифференцируемой. А
1029. Дифференцируема ли функция Дг) = (%2—y2)+2xyi?
285
Д Имеем u = x2—y2, v = 2xy; ^~ = 2x, ^-=—2уу ~ — 2y, ^-^=2x\ dx dy J dx dy
du dv dv du лт Tr
= ~dx~—’ Условия Коши — Римана выполняются. Следовательно, функция дифференцируема. Так как f' (z) = -^-j- , то
С/Л С/ Л
f' (г) = 2х 4- 2yi = 2 (х+УО = 2z.
Производную /' (г) можно найти и иначе:
f (г) = (х + у/)2 = г2, f'(z) = 2z. Д
1030. Является ли дифференцируемой функция f(z) = excosy+ -\-i-ex sin у?
Л Находим w = e*cosy, v — ex sin у\ ~=excosy, — ех sin у,
dv v . dv du dv 'dv du __ ТЛ „
=exsmyt -т——ех cos y\ -5—, 3—=----------5— . Условия Коши—Римана
dx y dy v dx dy dx dy выполнены. Далее, имеем
f' (z) = ^--[-i^-=ex cos у + iex sin y — ex (cos y-\-i sin у)=ех-еУ1 = ех+У'1 = ez, (JXf ox
или иначе
f (?) = ex (cos у 4~ i sin y) = ex • еУ'1 = ex +У'1 = ez, f (z) —ez. Д
1031. Дана действительная часть и (х, у) = х2—у2—х дифференцируемой функции /(г), где z = x + yi. Найти функцию /(г).
Л т, du П 1 Т du dv . „ TZ
Л Имеем —-=2х— 1. 1ак как ~^==='^~ (в силУ одного из условий Ко-dv
ши—Римана), то —=2х—1. Интегрируя, находим
у(х, у) = 2ху—у + ф (х), где ф (х) — произвольная функция.
т т tz о 'г dv
Используем другое условие Коши — Римана: =--5— • 1ак как -у~ =
С/v/ С/Л С/Л
= 2у+ф/ W, то ^' = ——ф' (х). Но из условия задачи находим, что du Л
-—=—2и. Следовательно, dy
—2y—(f'(_x)=—2y, ф'(х)=0, <р(х) = С,
откуда
f (z) = x2—y2—x+i (2xy—y-\-C) — x2—y2-]-2xyi—(x~\-yi)-{-Ci,
ИЛИ
f(z) = (x + </z)2 — (x+</i) +Ct, T. e. f (z)=z2 — z + C1. ±
1032. Дана мнимая часть v(x, у) = х + у дифференцируемой функции f(z). Найти эту функцию.
Л Имеем ^-=1; следовательно, = 1 (согласно условию Коши—Римана). Отсюда
, . . ди , . . dv .
и = х+срф), •^-=4’ (i/)> й7=1‘
286
тт ди ди
Но ~ду~~ ~ ~дх '
Следовательно,
ср' (у) = —1. Интегрированием
находим,
что
ф(у) =—У + С. Отсюда и = х — у-[-С. Итак,
f(z)==x^-yJrC-]-i(x + y) = {\ +0 U + r//) + C, т. е. / (г) = (14-0 z-^C. Д
1033. Является ли дифференцируемой функция f (г) = (х2 + у2) — — 2xyi?
1034. Показать, что функция f(z) = (x2— 3xy2)-\-i(3x2y—у3) дифференцируема и найти ее производную.
1035. Дифференцируема ли функция f (^)=sinxch y-\-i cosxshy? Если это так, то найти ее производную.
1036. Определить действительные функции ср (у) и ф(х) так, чтобы функция f (г) = ср(у)4-гф(х) была дифференцируемой.
1037. При каком значении X функция f (г) = у 4- Xxi дифференцируема?
1038. При каком значении а функция f (г) = az (где г = х—yi) дифференцируема?
1039. Дана действительная часть и = 2х cos (у In 2) дифференцируемой функции /(г). Найти эту функцию.
1040. Дана мнимая часть y = sinxsh у дифференцируемой функции /(г). Найти эту функцию.
§ 3. ПОНЯТИЕ О КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ
Пусть дана функция w~f(z), аналитическая в области D. Зададим определенное значение z = x-]-yi. Этому значению г соответствует определенное значение w = u-\-vi. Итак, каждой точке (х; у) на плоскости хОу соответствует определенная точка (и\ о) на плоскости uOv.
Если точка (х; у) на плоскости хОу описывает некоторую линию Г, расположенную в области D, то точка (и; v) на плоскости uOv опишет линию Г'. Линию Г' будем называть отображением линии Г на плоскость uOv с помощью аналитической функции w~f(z).
Возьмем на линии Г точку г0 = хо4-#о*- Этой точке на линии Г' соответствует точка wo — uo-Yvoi. Проведем к линии Г касательную L в точке (х0; г/0)> а к линии Г' — касательную L' в точке (/70; ^о)- Пусть а — угол, на который нужно повернуть прямую L, чтобы ее направление совпало с направлением прямой L' (угол между первоначальным и отображенным направлениями). В теории аналитических функций доказывается, что а = arg f' (г0), если V (г0) * 0.
Рассмотрим другую линию у, которая также проходит через точку (х0; t/0), и ее отображение—линию -у', проходящую через точку («0; г?0). Пусть I—касательная к линии у в точке (х0; г/0)> а Z'— касательная к линии у' в точке («о; ^о)-
Для того чтобы направление прямой Z совпало с направлением прямой Г, нужно и в этом случае прямую Z повернуть на угол а, так как угол поворота равен f' (zQ) [значение производной не зависит от выбора кривой, проходящей через точку (х0; у0); рис. 68].
Если (р и ф—углы, составленные касательными L и Z с осью Ох, а ф' и ф'— касательными L' и V с осью Ои, то ф' — ф = а, ф'—ф = а и ф' — ф = = ф'—ф. Следовательно, ф — ф = ф' —ф'. Но ф — ф — угол между касательными L и Z, а ф' — ф' — между касательными L' и Z'. Таким образом, две произвольные линии, пересекающиеся в точке (х0; i/0), отображаются в две соответствующие линии, пересекающиеся в точке (ц0; так что угол £ между касательными к данным и отображенным линиям один и тот же.
287
Легко доказывается, что модуль производной в точке (х0; Уо), т- е- I f' (zo) I, выражает предел отношения расстояний между отображенными точками ш0 + А^о и и70 и первоначальными точками zQ-}-\z0 и z0 (рис. 69).
Рассмотрев другую кривую и ее отображение, приходим к выводу, что | f' (z0) | выражает предел отношения расстояний между отображенными точками 1£>0-|-Д'ф0 и wQ и первоначальными точками z0+ Д'г0 и zo-
Таким образом, | f' (z0) | является величиной искажения масштаба в точке z при отображении с помощью функции w = f(z).
Итак, если бесконечно малый треугольник в плоскости хОу отобразить с помощью функции u==f(z) на плоскость uOv, то получится бесконечно малый криволинейный треугольник, подобный первоначальному вследствие равенства соответствующих углов и пропорциональности сходственных сторон (в пределе).
Отображение с помощью аналитической функции w = f (z) называется конформным отображением.
1041. С помощью функции w= \/z отобразить на плоскость uOv точки: 1) (1; 1); 2) (0; —2); 3) (2; 0).
Д 1) Точке (1; 1) соответствует значение г=1 + 0 следовательно, 1 _ 1 — i ___ 1 — i __ 1 1 •
w~ 1Ц-1 "“(1 + 0(1-0“ 2 2 2 l'
На плоскости uOv получим точку (1/2; —1/2);
2) z = — 2t, w= l/(—2i) = (1 /2) i; получим точку (0; 1/2);
3) z = 2, w=l/2-t получим точку (1/2; 0). A
288
1042. С помощью функции w = z3 отобразить на плоскость uOv цинию у = х.
Л Находим
^=(х4-^03 = х34-3x2yi—Зху2—у31 = (х3—Зху2) + (Зх2#—у3) i.
Таким образом,
и = х3—Зху2, v — 3x2y~y3.
Из полученных уравнений и уравнения у = х исключим х и у:
и — — 2х3, у = 2х3, т. е. v =—и.
Итак, отображением биссектрисы I и III координатных углов системы хОу является биссектриса II и IV координатных углов системы uOv. А
1043. Пусть w — z2 и г описывает квадрат, определяемый неравенствами 0х1, Какую область описывает w>
Л Имеем
ш=(х4-г/02 = х2—y2-\-2xyi, и — х2~у2, v = 2xy.
Найдем отображения вершин квадрата (рис. 70). Если х = 0, «/ — 0, то u = 0, i/ = 0; если х = 0, z/=l, то и~— 1, у = 0; если х=1, у = 0, то и=1, и = 0; если х=\, у=1, то и = 0, у = 2.
Найдем отображения сторон квадрата.
ОВ: у —0у и = х2, и ~0, т. е. у —0, — отрезок ОВ1 оси абсцисс Ои.
О А: х = 0, и —— у2, v = 0, т. е. у = 0, — отрезок ОАг оси абсцисс Ои.
АС: у=1у и — х2—1, и = 2х; исключая Ху получим u = v2/4—1—дугу параболы, соединяющую точки Ai (—1; 0) и СИ0; 2).
ВС: х=1у и=1—у2, v — 2y\ исклю-
чая у у получим и — 1 — у2/4 — дугу парабо- Рис. 70
лы, соединяющую точки BY (1; 0) и
Сх(0; 2).
Итак, отображением квадрата является криволинейный треугольник, ограниченный линиями у = 0, u = v2j4—1, и~Л—v2/4 и расположенный в верхней полуплоскости. А
1044. С помощью функции w = 2z-\-1 найти отображение окружности х2 + у2 = 1 на плоскость uOv.
Л Имеем w — 2 (*+*/0 + 1 = (2x-f- l) + 2r/i, откуда u = 2xArl) v~2y. Из этих равенств находим х = (и —1)/2, y — v/2 и, подставляя эти выражения в уравнение окружности, получим (и~ 1)24-и2==4. Итак, искомым отображением является окружность, радиус которой равен 2, а центр—точка 0(1; 0). А
1045. Найти угол поворота и коэффициент искажения масштаба в точке z0 = — 2г при отображении w —
Л При отображении с помощью функции w = f(z) угол поворота есть a=arg^' (г), а коэффициент искажения масштаба S точке г0 равен = (г0) |.
Находим
2(г + 0(г-0-(г + 02_4 + (г-/)2 (г—г)2 ~ (г — I)2 ’
Ю № 1814
289
В точке z0 =—2i имеем
Г4 + (г0 — г)2! / 5 \ |4 + (г0—02| 5 . . . .
“=argH^-T24=argW : I (ъ-v- гэ-<1 (сжатие)- 4 1046. В каких точках плоскости угол поворота при отображении = равен нулю? В каких точках коэффициент искажения масштаба равен 1?
Д Прежде всего отметим, что предполагается отыскание таких точек, где заданное отображение конформно, так как только при этом условии можно говорить об угле поворота и коэффициенте искажения масштаба. Находим
, _ i (1 — tz)~H (1 + f‘z) _ — 2i
W ~ (1 —tz)2 “"(1—-tz)2”’(z+t)2’
Так как w' (z) /0 ни при одном значении z, кроме z = —t, то заданное отображение конформно во всей плоскости с выколотой точкой г =—i. При этом отображении угол поворота а в точке z есть
а = arg а/ (z) = arg
-2i 1 = я„ -4*(у+1)-2/[л2-(у+1)П (z-H)2] dr°
Число w' (г) является действительным, если Im а/ (z) = 0, и положительным, если, кроме того, Re^' (z) > 0:
Imo/(z) = 0 при (г/+ 1)2 = х2, 1
Re w' (z) > 0 при х Ц < 0. f
Отсюда д =—х—1 (х # 0)-. Итак, угол поворота данного отображения равен нулю в точках прямой у =—х—1 (с выколотой точкой г — —и).
Коэффициент искажения масштаба в точке z равен k=\w' (z) |; по условию
I ___2i I
он должен быть равен 1. Следовательно, | w' (z) | = 1, т. е. = 1, или
_ I
l(z + 02| —2, откуда | zг | 2. Это — уравнение окружности с центром
в точке z =— i и радиусом У 2. 4k
1047. С помощью функции w = z2 отобразить на плоскость uOv прямые х = 2 и у= 1.
1048. С помощью функции w= — z2 отобразить на плоскость uOv прямую %+у=1.
1049. , С помощью функции w=iz-}-l найти отображения осей координат на плоскость иОи.
1050. Разъяснить смысл отображения на плоскость uOv с помощью функции w^e^z, где ср—постоянная’ величина.
1051. Дана парабола у = %2. Отобразить эту параболу на плоскость uOv с помощью функции w = z2.
1052. Показать, что угол между прямыми у=1 и у = х—1 не изменится при отображении w= (1 4-Z) г — (1 — f).
Найти угол поворота и коэффициент искажения масштаба в точке z0 при отображении w = f(z)\
1053. w — z3, г0=1— i. 1054. w=\/z, zQ = 2i.
1055. w = u + iv, где u = ^cosx, v = — elJ sinx, zQ = i.
290
Найти точки плоскости, в которых равен 1 коэффициент искажения масштаба при отображении:
г 1056. w = z2. 1057. w=z2— 2z.
Найти точки плоскости, в которых равен нулю угол поворота при отображении:
1058. w = z\ 1059. w = iz2.
§ 4. ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Кривая Г, как известно, называется гладкой, если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.
Кривая называется ку сочно-гладкой, если она состоит из конечного числа гладких дуг.
Дана функция комплексного переменного w = f ($, непрерывная в некоторой области D. Пусть Г — произвольная гладкая кривая., лежащая в области D. Рассмотрим дугу кривой с началом в точке z0 и концом в точке z. Разделим эту дугу на и частей произвольными точками z0, zlf z2, .zn — z, расположенными последовательно на линии Г.
Составим сумму
$n — f (*o) &zQ-\-f (zx) Azi+ ... +f (z«-i) Az„_j,
где Az£ = z/e+i—Zk (k = 0, 1, n—1). Пусть %—наибольшая из величин |Дгд.|. Если X—>0, то п—>оо и сумма Sn стремится к определенному пределу. Этот предел называется интегралом функции f (z) по дуге кривой Г, заключенной между точками z0 и z, т. е.
f / (z) dz = Hm [f (z0) Az0 + / (zj Azx+ ... +f (zn^) Az„_i].
J Z->0
Если f(z) = u(x, y)-]-w(x, у), то интеграл f (z) dz сводится к двум кри-г
волинейным интегралам от действительных функций по формуле
f (z) dz = и (х, у) dx—v (х, у) dy-\-i о (х, у) dx-[-u (х, у) dy.
Г Г г
Пусть Г — кусочно-гладкая линия, состоящая из гладких частей Гх, Г2, ... ..., Гт; тогда интеграл по этой линии можно определить с помощью равенства
f (z) dz = f (z) dz + / (z) dz + ... + f (z) dz.
Г Г1 1Д Г/я
Если f (z) — аналитическая функция в односвязной области D, то значение интеграла f (z) dz, взятого вдоль произвольной кусочно-гладкой линии Г, Г
принадлежащей области D, не зависит от линии Г, а определяется лишь положениями начальной и конечной точек этой линии.
Для всякой аналитической функции f (z) в некоторой односвязной области D интеграл f (z) dz, взятый по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру -у, v
лежащему в области D, равен нулю (теорема Коши). z
Рассмотрим выражение F (z) = f (t) dt. Здесь за путь интегрирования
принимается произвольная кусочно-гладкая линия Г, лежащая в области D 10*
291
и соединяющая точки z0 и г. Функция f (t) предполагается аналитической в области D. Можно легко показать, что F' (z) = f (z). Функция F (z), производная которой равна f (z), называется первообразной функцией по отношению к функции f (z). Если известна одна из первообразных F (z), то все другие первообразные содержатся в выражении F где С—произвольная посто-
янная. Это выражение F(z)4-C называется неопределенным интегралом от функции /(z). Так же как и для действительных функций, здесь выполняется равенство
Z
\f(t)dt = ®(z)-®(zQ)
z0
(формула Ньютона—Лейбница), где Ф (z) — какая-нибудь первообразная функция по отношению к f (z).
Для нахождения первообразной функции по отношению к аналитической функции f (z) применяются обычные формулы интегрирования.
Рассмотрим и4-1 замкнутых кусочно-гладких линий -у0, -уъ у2, • ••> таких, что каждая из линий -yi, у2, •••> Уп лежит вне остальных и все они расположены внутри -у0. Множество точек, лежащих одновременно внутри у0 и вне у2, ... уп, представляет собой (п4~ 1)-связную область D.
Пусть f (z) — аналитическая функция в области D (включая значения на контурах у0, -уь *у2, ..., уп). В этом случае выполняется равенство
J f (г) dz = р (г) dz + J f (г) dz + ... + J f (г) di.
Vo Vi V2 Vn \
1060. Вычислить интеграл <\)f(z)dz, где f(z) —(y+1)—xi, AB
AB—отрезок прямой, соединяющий точки zA=l и zB = — i.
А Имеем w = y+l, v =— x- Отсюда f(z)dz= (y + \)dx-\-xdy—i xdx—(y+\)dy = AB AB AB
|x=O,j/=-l . X2 io . +
= (#4-l)-X — n 7
’ |x=i,y=o 2 |i * 2 |o
1 , 1 • 1 •
= -!+-2 -L
Можно поступить и иначе. Легко видеть, что /(г)=1— iz и
С .... С., ... (1 —tz)2|—* (1 + «‘2)2 . (1—0а
J f(2)dz=pl-(z)dz = —=—2Г+^Г~
АВ 1
~ 2i ~
1061. Вычислить интеграл J f(z)dz, где f (z) = х2 4- У21, АВ — АВ
отрезок прямой, соединяющий точки А = 1 4- I и В = 2 4-3/.
А Имеем w = x2, v = y2\ значит,
f(z)dz= J х2 dx—y2dy-]-i у2 dx-\-x2 dy.
АВ АВ АВ
292
Первый из интегралов в правой части равенства вычисляется как определенный интеграл:
2 з
АВ 1 1
Для вычисления второго интеграла составим уравнение прямой АВ:
(г/—1)/(3—1) = (х—1)/(2—1), т. е. л/ = 2х—1.
Отсюда dy = 2dx и
2 2
у2 dx +%2 dy— [(2х— I)24-2х2] dx — (6х2 —4х+ 1) dx —
АВ 1 f
= (2х3—2х2 + *) [1=10— 1 = 9.
Итак, f (г) dz = - 19/3 +9г. ±
АВ
1+i
1062. Вычислить интеграл J zdz.
i
Д Подынтегральная функция является аналитической. Используя формулу Ньютона — Лейбница, находим
1 + i р z2 11 + i 1 1 1
J =±[(l+<)2-i2] = ±(14-2i-l + l) = ± + /. А
i
1063. Вычислить ^zdz, где у — замкнутый контур x = cos/, v
у = sin t.
Л Так как z = x—yi, dz = dxJri dy, то
z dz = x dx-}~ У dy + i xdy—y dx,
vv v
Первый интеграл в правой части равен нулю, как интеграл от полного дифференциала по замкнутому контуру.
При вычислении второго интеграла следует учесть, что dx ——sintdt, dy =z cos t dt. Отсюда x dy—ydx = cos21 dt + sin21 dt = dt и окончательно получаем
2л
z dz = i dt = 2т, Д
' у 0
Р dz
1064. Вычислить где Y— эллипс х = 3cos/, у = 2sint.
V
А Подынтегральная функция является аналитической в области, огранп-Р dz л .
ченнои этим эллипсом, поэтому \ -—4 = ^* А
У
Р dz
1065. Вычислить \ —> гДе V—окружность | z—(i~-1) [ — 1.
J z k1 i 4
У
Л Уравнение окружности можно записать в виде
(х—1)2 + 0/—I)2—1> ИЛИ x=l-f-cosf, #=1 + sin/, или z=l~sri-5reti.
В области, ограниченной окружностью у, подынтегральная функция не является аналитической, поскольку в точке z=l-|-f, служащей центром этой окружности, функция обращается в бесконечность.
Так как dz-i-e^dt, то
Г dz
J 2-(1 + 0
V
Cie^dt . Р ,, о . .
J—
О о
1С66. Вычислить
С 2г— 1-t , \ /---гп----где
J (г—!,),(?—I)
V
7—окружность
|г| = 2.
А Подынтегральная функция имеет разрывы только в точках z = 1 и z = i. Функция f (z) является аналитической, в трехсвязной области, представляющей собой круг с граничной окружностью у, из которого вырезаны два круга |т—1 | < г, | z—i | < г, где г >0—достаточно малая величина (рис. 71). Следовательно,
jj f (?) dz= J f (г) rfz+ $ f (z) dz, V Vi Tfe
где Yi—окружность |z—l| = r, y^ — окружность | Z’— i\ = r. Так как
^г)-(г-1Иг-1)—-+г—’
TO
V Vi
. Р dz . P dz , P dz
+ J г-1
Vi Vs V2
Первое и четвертое слагаемые в правой части равны нулю, поскольку подынтегральные функции являются аналитическими в соответствующих областях. Следовательно,
Окружность у1 имеет уравнение z=\drrei^>, а у2 — уравнение г = 1-\-ге'^. Отсюда
2л 2л
Г г / \ 1 С /ret<p d® . Р ire1® d® . . .
\ f (z) dz = \ \ ------г~- = 4лг. A
J * v ' J fel<P J re1^
v о о
1067. Вычислить интеграл если f (г) = y-]- xi, Г — ло«
г
маная О АВ с вершинами в точках го = 0, zA = i, zB^lA~^
294
1068. Вычислить интеграл z2dz, где АВ — отрезок прямой,
АВ
соединяющий точки гл=1, zR = i.
1069. Вычислить интеграл J г10 dz, где у — эллипс х2/а2 + у2/Ь2=1. v
1070. Вычислить интеграл J || , где у— окружность (х—4)2+
+ (у-3)2=1.
1071. Вычислить интеграл где У— окружность z = e1i. V
1Ф72. Вычислить интеграл J Y — КРУГ
v
|z|^/?, a z± и z2—внутренние точки этого круга, причем
§ 5. ?яда»1 ГЕЙ ЛОТА й ЛОРАНА
Пусть дана функция f (z), аналитическая в некоторой окрестности точки а. Рассмотрим ряд
г, ч . /' (а) . ч . /" (л) ( 2 . (а) , ч3
ШН—я)Н—gj-(z—я)2Н----------------^(z—.
Этот ряд называется рядом Тейлора функции f (z) и внутри своего круга сходимости выражает функцию f (z), т. е. в круге сходимости выполняется равенство
/(г)=Н«)4-Ц^(г_а)+Н^(2_а)2+... .
Если а~0, то последнее равенство записывается в виде
/W_/(0)+Lm2+g?2.+qm2.+.„.
В этом случае говорят, что функция / (z) разложена в ряд Маклорена. Рассмотрим теперь два ряда:
XlIj-. л~?_/п
z — a * (z—a)2^(z— a)3 ‘ '
и
,4o + 41(z-£2) + A2(z-^)24-A3(z-n)3+... . (2)
Область сходимости первого ряда (если она существует) определяется неравенством |z — а \ > г. Если существует область сходимости второго ряда, то она определяется неравенством |z — a| <R. Тогда при условии г < R для ряда
I "4-3 I ^-2 I
* (z — a)3”* (z — а)'2 * z — а ‘ + Ао +Al (z — а) + Л2 (z — ^)2--Дз (z — a)3+ ..
Полученного сложением рядов (1) и (2), областью сходимости служит кольцо г <|z—а | < R, ограниченное концентрическими окружностями с центром в точке а и радиусами г и R (рис. 72).
295
Пусть f (г) — однозначная и аналитическая функция в кольце г < ]z—а|< < R. Эта функция в указанном кольце может быть представлена в виде суммы ряда
f (г) = • • • + (г_ а)з+(2_ а)2+7Г^+
+ Ло + (z— a) + А2 (z — я)2 + Л3 (z—я)3Ч~ • • • •
Ряд в правой части равенства называется рядом Лорана функции f (z). Коэф-фициенты этого ряда можно вычислить по формуле
(n£Z).
2ш J (z — a)n + 1 v 7
Г
Ряд (1) называется главной частью ряда Лорана, а ряд (2) — правильной частью ряда Лорана.
Если ряд Лорана содержит главную часть, то а называется изолирован-ной особой точкой. Коэффициент Л_! называется вычетом функции f (z) относительно изолированной особой точки z — a.
Особая точка называется устранимой, если функция f (z) — аналитическая в окрестности z = a и ограничена по модулю в этой окрестности, т. е. су-ществует конечный предел lim/(z). Особая
z-+a точка называется полюсом функции f (z), если f (z) — аналитическая функция вблизи z = a и стремится к бесконечности при z —> а.
Особая точка z = a называется существенно особой, если при z, близких к а, мо-дуль | f (z) | не остается ограниченным, но функция не стремится к оо при z —> а, предел lim/(z) не существует.
z->a
Изолированная особая точка является: устранимой, если главная часть разложения в ряд Лорана отсутствует. Напри-, г / s sinz л
мер, для функции f (z) = —точка z = 0
служит устранимой особой точкой, так как
1 Г -уЗ Z^ ^-’)=7(2-ir+ir
I
И ‘5!
полюсом n-го порядка, если главная часть содержит конечное число членов, т. е. имеет вид
А -1 । А . А _п
z — a~r{z~a)2t^r ’ ’ ’ "* (z—а)п
{А_п^ 0).
Например, для функции f (z) = ^-? точка z = 0 есть полюс первого порядка, так как
1 / 2^ \ 1 2 2$
•)=7-3!<5Г— •:
существенно особой, если главная часть содержит бесконечное число членов. Например, функция /(z)=e1/2 в точке z = 0 имеет существенно особую точку, так как
/(г)=е1г=1+1+_1_+_к34.....
296
Между нулем и полюсом функции существует следующая связь. Если z== а — нуль кратности k функции f (г), то z — a—полюс того же порядка функции 1//(z); обратно, если z = b— полюс порядка k функции f (z), то z = b—нуль той же кратности функции \/f (г).
Следует заметить, что если lim (г — a)k f (г) =с Ф 0, то z — a — полюс k-ro z~> а порядка функции f (г).
1073. Разложить в ряд Тейлора по степеням бинома z—i функцию f(z) = z*.
Л Находим производные функции /(z) = z5: f' (z) = 5z4, f" (г) = 20z3, /'*'(z) = 60z2, fiv (Z) = i20z, fv (z) = 120, fVi (z) =/VII (z) = ... = 0.
Определяем значения производных в точке a — i: f' (i)=»p,
j" (i) = — 20/, /"' (0 = —60, /iv (/) = 120t, /v (i) = 120.
Отсюда
/ (z) = i+5 (z — i) — 1 Of (z—02 — 10 (z—r)3 4- 5/ (z—04 + (z—05.
Рядом Тейлора функции] / (z) = z5 является многочлен пятой степени. 4k
1074. Разложить в ряд Тейлора по степеням двучлена г — — (1—ш‘/2) функцию f(z) = ch(l—z).
Л Находим
/ (z) — ch (1 —z), /' (г) = — sh (1 — z), /" (г)ch (1 — z), /'" (z) = —sh (1 — z),
f (a) = ch (л//2) = cos (л/2) = 0, /' (a) = —sh (л//2) = —i sin (л/2) = — it /"(*)=o,
Следовательно,
1075. Исследовать сходимость ряда
j_____!____I____!______|_ 1 _и
• • • ^23(г— 1)зТ22 (г—1)зТ2 (г—1)
4-1 । , (г-1)3 ,
“Г1 -i- 5 + 52 т 5з -Г • • • •
Л Рассмотрим два ряда
2 (г—1)~22 (г— 1)2^23 (г— I)3‘ ’
1 । г~* । (г~0а (г-1)» , "г 5 ' 52 'г 5« * ''' '
Если в ряде (а) положить г— 1 = 1/г', то получаем степенной ряд
y+gF4*2з’+> •• •
(а)
(б)
(в)
Радиус сходимости последнего ряда найдем по признаку Даламбера:
р= lim
/1->оо
1/2"-1 1/2«
2.
Итак, степенной ряд (в) сходится, если | z' | < 2. Следовательно, ряд (а) сходится, если | l/(z—1)| < 2. Отсюда получаем | z—1| > 1/2. Значит, ряд (а)
297
сходится вне круга радиуса г =1/2 с центром в точке г=1. Находим радиус сходимости ряда (6):
7?= lim п ->»
1/5" -1 __ 1/5"
Таким образом, область сходимости ряда (б) определяется неравенством | г— 1 | < 5.
Из сказанного заключаем, что областью сходимости заданного ряда является кольцо 1/2 < | г— 1 | < 5.
Решение этой задачи можно упростить. Ряды (а) и (б) являются геомет-
1 z— 1
ри чес к ими прогрессиями соответственно со знаменателями —— и .
Они сходятся, если I ~ - — I < 1 и I-V— I < 1. Следовательно, |z—1 | > 1/2 I (z 1)1 [ о I
и |z—1 | < 5. Итак, область сходимости — кольцо, определяемое двойным неравенством 1/2 < [z—1 | < 5. А
1076. Исследовать сходимость ряда
(3 + 4/)3 (3+4Q2 । 3 + 4f L г2 .
‘ Т z2 Т 2 т J Т Т - Т Т • • • •
Л Рассмотрим два ряда
3 + 4i f (34-4Q2 , (3+4Q3 , z * z2 ‘ г3 * * * * * ( '
z z^ z$
1+4+л+л+---- (б>
Ряды (а) и (б) — геометрические прогрессии со знаменателями (3-1-4i)/z и z/i. Они сходятся, если |(34-4t)/z|< 1 и | z/i | < 1. Так как | 3-J-4Z | = У^9+ 16=5, | г | = 1, то 5/| z | < 1 и | z i < 1, или |г|>5и[г|<1. Но эти неравенства несовместны, следовательно, данный ряд не сходится ни в очной точке плоскости . ▲
1077. Разложить в ряд Лорана по степеням г функцию /(г) = 1/(2г — 5) в окрестности точки г = 0.
Л Представим данную функцию в виде
Z (г)=Т^1Д5-
В окрестности точки г = 0 выполняется неравенство | 2z/5 | < 1, поэтому дробь — 1 /5 .
1----g можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометриче-
ской прогрессии с первым членом а= —1/5 и знаменателем д = 2г/5. Отсюда получаем
fZ4 1 2z 22z2 23^ fZ4 Л 2"-1г"-1
5 52 53 51 •••’ или f (2)~ X 5'г
П - 1
Это разложение содержит только правильную часть. Из неравенства | 2г/5 | < 1 заключаем, что областью сходимости ряда является круг | г | < 5/2. А
1(178, Разложить в ряд Лорана по'степеням z функцию /(г)= б=1/(2г — 5) в окрестности точки г=сю.
29Я
Л Имеем
В окрестности точки z=oo выполняется неравенство | 5/(2z) | < 1, поэтому f (z) можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом a — l/(2z) и знаменателем # = 5/(2z). Следовательно,
1 52 52 53
или f 2«г« *
п=1
В разложении нет правильной части. Ряд сходится в области |z|>5/2 (вне круга). А
1079. Разложить по степеням z в ряд Лорана функцию /(2) = (zZ-l)1(-z=3) в кольце 1 < I г| < 3.
А Разложим данную функцию на простейшие дроби:
1 A R
---г-,---или 1 = A (z —3) + В (z—1).
(z— 1) (z — 3) Z—1 1 Z —3 /IV /
Полагая z=l, получаем 1 =—2A, т. e. A — —1/2; полагая z = 3, имеем 1 = 2B, т. e. В = 1/2. Таким образом,
FM- 11,11
Г[г)~ 2 ’ z—1^2 ’ z—3е
Учитывая, что 1 < |z[ < 3, можем записать
2 I—1/z 2 1—z/3
Следовательно,
1080. Разложить в ряд Лорана функцию f {г) — по сте-
(Z 2)
пеням z— 2.
А Положим z—2 = z'. Тогда
z* __(zz+2)4__z'4 + 8z'3 + 24z'24-32z'4-16 _
/W-"(z-2)2““ - z,2 -
=^+f+24+82'+2^
z7 z
t. e.
^г)==г7^2й+г^2 + 24 + 8(г“2) + (г-2)2-
Здесь главная часть содержит два члена, а правильная — три члена. Так как разложение содержит конечное число членов, то оно справедливо для любой точки плоскости, кроме z = 2. Эта точка является полюсом второго порядка функции /(?). Вычетом этой функции относительно полюса z = 2 является коэффициент при (z — 2)"'1, т. е. 32.
299
1081. Исследовать сходимость ряда
_1_ -L 1 _l_ _L j _i_ 1_ _i_ (V । । AV _±_ • * • ^z3 ^z2 z 1 2 \ 2 У + \ 2 J -р . . . .
1082. Исследовать сходимость ряда 4 4 9 1
...+24 + | + ^+4 + 1+2г + (22)г-(22)з+... .
1083. Разложить в ряд Лорана по степеням г функцию f(z)= 2 2
е=——у в окрестности точки: 1) г = 0; 2) г=оо.
1084. Разложить в ряд Лорана функцию
( sh z— z , ~
/и J "Р”
[ оо при г = 0.
1085. Найти полюсы функции /(г) = » ^2-
1086. Разложить в ряд Тейлора по степеням z— 1 функцию f(z)=l/z. Найти область сходимости ряда.
1087. Разложить в ряд Маклорена функцию
( 1 — COS Z . п
е / ч -----2-- ПРИ Z =0= 0,
/(г)={ г2 1
( 1/2 при г = 0.
1088. Разложить в ряд Лорана функцию / (г) = 22 4-21/z— 2, определенную во всей плоскости, кроме точки z = 0.
§ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫЧЕТОВ ФУНКЦИЙ. ПРИМЕНЕНИЕ
ВЫЧЕТОВ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ИНТЕГРАЛОВ
Пусть а—полюс п-го порядка функции /(z). Вычет функции f (z) относительно ее полюса п-го порядка вычисляется по формуле
(residue — вычет).
Если а—полюс первого порядка (простой полюс) функции f (z), то res f (z) = lim (z — a) f (z). a z->a
Пусть функции ф (z) и Ф (2) регулярны в окрестности точки z=a, <р (я) 0 и ф(г) в точке z = a имеет нуль первого порядка. Тогда при вы-
числении вычета функции / (z) = ф (z)/ip (z) в простом полюсе z — a удобно пользоваться формулой
t ( х Ф (а) r:s/|!)=w-
Пусть f (z) — аналитическая функция в замкнутой области D, кроме ко-печного числа изолированных особых точек а19 а2, ..., (полюсов или существенно особых точек). Тогда интеграл от функции по контуру у, содержащему внутри себя эти точки и целиком лежащему в области D', равен произведению
309
2ju на сумму вычетов в указанных особых точках, т. е.
&
\ f (г) dz = 2ш V res f (г)
v /= 1 ai
(основная теорема о вычетах).
Рассмотрим частный случай. Пусть f (г) — аналитическая функция в области D, число а принадлежит области D и f (а) Ф 0. В этом случае функция F(z)=j-^~ имеет в области D полюс а первого порядка. Найдем вычет функции F (?) относительно полюса а:
res F (?) = lim (?—a)-F (?) = lim f (z)=f (a), a z-+a z-+a
Отсюда, применив основную теорему о вычетах, получаем
F (?) dz = 2nif (а),
v или
1 C (а).
2ш J ?—а 4 1
v
Мы получили веоьма важную формулу в теории функций комплексного переменного—формулу Коши.
Необходимо, однако, отметить, что вывод формулы Коши должен предшествовать доказательству основной теоремы о вычетах. Здесь мы воспользовались случаем для того, чтобы познакомиться с этой важной формулой.
Пусть f (?) — аналитическая функция в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа полюсов а^ (6=1, 2, ..., т), расположенных над действительной осью. Кроме того, предполагается, что произведение z^f (?) при |?|—>-|-оо имеет конечный предел.
+ 00
В этом случае для вычисления определенного ^интеграла f (х) dx функции
— 00 действительного переменного применяется формула
+ 00
f (х)(/х = 2л((г1 + г2+...+гя).
— ОО
где (£ = 1, 2, т)—вычет функции / (?) относительно полюса а^.
1089. Найти вычеты функции f(z) = 7—тД-------
Л Простыми полюсами функции являются точки ?=1 и ? = 3: 2 2 1
resf (г) = Шп (г-1) • (г_1)(г_зГ1<ш —3= -Т, resf (г)= lim (г-3) . —_=ит —Ц-=1. д
3 Z-*3 -1) (?-О) 2->з2-1 2
1090. Найти вычеты функции /(г) = ^а^_4 •
301
Л Имеем f(z) = -2----—пут. Простыми полюсами функции являются
(Z — 2lj \Z -j- 2l)
точки 2i и —2i:
, 1 4
T(2-a>>-2i)(,-i-2.) -,'Л Г7Й-4,
1091. Найти вычеты функции f (z) = .
Л Простыми полюсами функции являются корни знаменателя:
Следовательно, f 2i)(z —1 + 20~ * Находим
г z~l — 21
res/(z)= lim ---:—гут-у--—— = lim ------- , — ~
1+24 2 -> 1+2г (Z-1-20 (z— l-J-20 z 1+24 Z—1 “p 2l
e / 4 r 2— 14-2Z 1 i
res f (z) = lim -:—------r-гтгч = hm -----;—tr = -r
1-24 2 ->1-24 (2— 1—2l) (z 1+20 2->1 — 24’ Z— 1—2i 4
4Z
z=l ± 2i,
Z“
1092. Найти вычет функции f(z) = — \Z Z)
Л Так как z = 2 — полюс третьего порядка, то
Г z^ 1
, + ^2F'(Z~2)3j =_L 9
2 dz2 2! f,2 № 21
res/(20=4-2 2 -> 1
1093. Найти люса г = 0.
вычет функции f(z) = z относительно по-
Л Точка z = 0
является полюсом второго порядка. Действительно,
lim -F-=2
2 _> о sin z
является конечной величиной. Тогда
1
1
4 ’
4
4 ’
lim t
z -> о 1 — cos z
P 2-4-1
1094. Найти (г_2) (2—3) ГДе V — замкнутый контур, v
внутри которого находятся полюсы z=l, z = 2, г = 3.
302
Л Определим вытеты подынтегральной функции:
1 24- 1
?fw,
Г z-4-1
Следовательно, J (г_21) (г_3)’= 2л; (1-3^2) = №. A
V
C z^dz
1095. Найти \ 7-2-7777—57 > где 7—окружность |г|' = 3-.
J (Z -j- 1) (Z Z)
Л Имеем f (z)=7------—г-—;-----—
4 (z—/) (z + r) (z—2>
- замкнутого контура у. Отсюда
. Полюсы г, —Г, 2 находятся внутри
res/ (г) = 1« (2-4)/й>= Ки (z + ,^_^=^=0*.
”IW ,<г+‘) IИ . fe-4-2> — 5(S+0
?2 4
resf(z) = Mm (г—2)f(z) = lim .-=77; 2 z -> a z -» a ^~r *>
! § (г24-Г)(г—2) rfz = 2nt [2/(2-0“2» (2+0^'5'] e
I 7
' ( 1 1 f 8 Л ( 21 - f 8 Л 0 • A
—Tt<2-i 2 + » + 5 5 l+ 5 J-2™- ▲
1096. Вычислить определенный интеграл
dx
(x2 + 4)2‘
Л Функция 2/л\2~ является аналитической в верхней полуплоскости, (z “Г ч)
Z2
за исключением полюса 2i. Кроме того, lim zTf (z) = lim ; o- , -=0, I Z | -> + 00 |Z| ->+oo (Z2 + 4)2
т. e. является конечной величиной.
Найдем вычег функции / (г) = 1/(z2 + 4}3 относительно полюса второго порядка 2i:
. .. d Г (z — 202 ] v d Г 1 1
res f (z) = mn ~ — lim — , 4-ry- =?
zi z 2>dz L (г + 4)2 J 2 -+ 2idz [ (z + 202 J
. —2 __ 2 __ 1 .
~2 t (z + 2i)J — 641 — 321 ’
Следовательно,
dx
(x2 + 4)2
n . / 1 Д л A
2ш —=7^ • A \ 32 J 16
1097. Найти г(г-j-2)(г4) » если У — окружность: 1) г=1;
2) |г| = 3; 3) И = 5.
303
/\ Найдем вычеты подынтегральной функции относительно полюсов z = 0, z = —2, z = — 4:
resf (z)= lim zf(z) = lim , , J, . 4,
resf(z) = lim (z + 2)f(z)= lim - ' ф
-2 Z -> -2 4
res f(z)= lim (z+4)f(z)= lim - J .=!.
-4 Z -> -4 Z -> -4 Z (Z-f-Z) О
1) Внутри контура у—окружности |z[=l — находится только полюс Р 1 л/
z = 0; тогда \ f (z)dz = 2ni- ——.
v
2) Внутри контура у—окружности |z| = 3—находятся полюсы z = 0 и о С г / \ J п • ( 1 1 \ Ш
г = —2; тогда \ f (z) dz = 2ш ( у — v
3) Внутри контура у—окружности | z | - 5—находятся полюсы z —О,
z = — 2, z = —4; тогда f (z) dz = 2ni А
v
z I i
1098. Найти вычет функции = •
^2 1 1
1099. Найти вычеты функции f (г) = .
1100. Найти вычет функции /(г) = 1/sin z относительно полюса z = л.
1101. Найти вычет функции / (г) = (г-ф 1 )/г2.
1102. Найти интеграл у — окружность |z| = R > |а|.
1103. Найти интеграл L у t/г, у —окружность |г| =
J а) и)
R. > |а|, R > |6|, а^=Ь.
С dz
1104. Найти интеграл \ —9—v-q , у—окружность, внутри ко-J Z 2Z - j- 2 v
торой содержатся полюсы знаменателя.
1105. Найти интеграл у—окружность |z| = 2.
v
+ 00
fdx
—2 .-3--.
ГЛАВА VIII
ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. НАХОЖДЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ФУНКЦИЙ
1. Основные определения. Пусть функция / (/) обладает следующими свойствами:
1°. /(/)== О при t < 0.
2°. 1/(01 < при t > 0, где М > 0 и s0 — некоторые действительные постоянные.
3°. На любом конечном отрезке [а, Ь] положительной полуоси Ot функция / (0 удовлетворяет условиям Дирихле, т. е.: а) ограничена', б) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода', " в) имеет конечное число экстремумов.
Такие функции в операционном исчислении называются изображаемыми по Лапласу, или оригиналами.
Пусть p = a-|-pt — комплексный параметр, причем Re р = а^ > s0.
00
При сформулированных условиях интеграл е~Р*} (/) dt сходится и яв-о ляется функцией от р:
I р“^/(О^=/(р).
/ 0
Этот интеграл называется интегралом Лапласа, а определяемая им функция комплексного аргумента р называется преобразованием Лапласа от функции / (/), или лапласовым изображением / (/), или просто изображением f (t).
Тот факт, что функция / (р) является изображением оригинала / (/), обозначают следующими символами:
7(P) = L{f (0}, или 7(р)4->/(/).
Уславливаются за значение оригинала / (/) во всякой его точке разрыва I рода t0 принимать полусумму его предельных значений слева и справа от этой точки:
/(/о)-(1/2)[/(/о-О) + /ао + О)] при
/(°) = /(+°) при /о = °-
При соблюдении этого условия соответствие между оригиналами и изображениями обладает следующими свойствами:
это соответствие взаимно однозначно (т. е. всякому оригиналу соответствует единственное изображение и обратно),
любой линейной комбинации конечного множества оригиналов в качестве изображения отвечает соответствующая линейная комбинация их изображений.
Таким образом, если /# (р) fk (0 (& = Ь 2, ..п), то
k~n k = n
2 ckfn w -н- 2
k=l /г=1
2. Нахождение изображений функций. В таблице и в каждом из приведенных ниже примеров указывается только значение / (Z) при t > 0 (всегда имеется в виду, что /(/) = 0, если t < 0).
305
Таблица изображений основных элементарных функций
№ f (0 при t > 0 f (p) № f (0 при t > 0 f(p)
I i 1 VT aa/•cos p/ p — a
p V 1 (P—a)2+₽2
IT in 1 VII e^-sfnp/ E
11 n\ (p-a)2 + P
III pat 1 VIII tn *eat nl t
p — a (p—a)'’"1*1
IV COS P IX t-COS pt
p2+fi2
V sin p£ p X
P2+P ; (p24W
1107. Найти изображение функции
Л Так как = то f 1па. Применив формулу III, получаем
I OZ I 3
-г- cos 3/4--г cos/.
4 1 4
1108. Найти изображение функции f (Z)==cos3t.
Л Воспользуемся формулой Эйлера cos / = Тогда
/ ptl A_p — tl \ з 1 cos3 t = f ------j = — (e3tl -
_ 1 e3^’ + e"3^’ 3 etl' -^e~^
~~4 2 U § :
Применив формулу IV, получаем
7( n) — J ? l 2 ?——______________________
lW) 4 p2 + 9^4 p2-H (p2+1)(p2_|_9) •
1109. Найти изображение функции f (t) = shbt.
Л По определению гиперболического синуса имеем f (t) _ (1/2) ebi — — (1/2) Следовательно,
Tz X 1 1 _ b
lW~2(p-b) 2(р + ЬУ~pt-Ь2' A
1110. Найти изображение функции f (t) = shat sinW.
Л Так как sh at = (eat— e~at)/2, to
f (t) = sin bt-—-^- e~ai sin bt>
Применим формулу VII:
-т/ x 1 b 1 b __ 2pab
t{P)~ 2 (p—n)2+&2 2 (p + a)2 + £2 “[(p — n)2 + H [(p + n)2+ 62] ‘ Д
1111. Найти изображение функции f (t) = t chW.
306
Л Так как
pbt\p-bt 1 1
/еЬ/+4 te~bt>
то, применив формулу VIII при п=1, а=± Ь, получаем
_ 1 , 1 _ Р2 + Ь2
1 {Р} 2 (р — ьу 2 (р + 6)2 “ (р2 —62)2 ’ ж
Найти изображения функций:
1112. /(0 = sin2/. 1113. /(/) = ^cos2/. 1114. f(/) = chW.
1115. f(t) = shat cosbt. 1116. f(t) = chal sin bt.
1117. /(i) = ch^cosW. 1118. f(t)~tshbt.
§ 2. ОТЫСКАНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
При отыскании оригинала по изображению в простейших случаях используют таблицу изображений основных элементарных функций и теоремы разложения (первую и вторую).
Вторая теорема разложения позволяет найти оригинал для изображения, являющегося дробно-рациональной функцией от р, т. е. Т(р) = и (p)/v (р), где и (р) и v (р) — многочлены от р соответственно степени т и п, причем т < п.
Если разложение v (р) на простейшие множители имеет вид
v{P) = (p—Pi)*7(P—Pz)k2 ... (Р—Pr)kr +-----\-kr = n),
то, как/известно, функцию f (p) можно разложить на сумму элементарных
J Aj s
дробей вида-----г2——, где / принимает все значения от 1 до л a s —
(р-р/'
все значения от 1 до kj. Таким образом, j = rs=kj Т/ ч VV A^s
' ' . .К .—5 + 1
/=1 s = l (р —Ру) >
Есе коэффициенты этого разложения можно определить по формуле
(1)
(2)
Вместо этой формулы для определения коэффициентов Луэ 5 могут быть использованы элементарные приемы, применяемые в интегральном исчислении при интегрировании рациональных дробей. В частности, это целесообразно делать в тех случаях, когда все комплексные корни знаменателя v (р) простые и попарно сопряженные.
Если все корни v (р) прост ые, т. е.
t’(P) = (P—Pl) (Р—Pz) ... (Р — Рп) (Pj # Pk при j £ k),
то разложение упрощается:
__ Аи (р .♦)
гд'л'—STpJ- (3)
При отыскании тем или иным способом разложения / (р) на простейшие дроби оригинал f (/) находится по следующим формулам:
307
а) в случае кратных корней знаменателя v (р):
S = k . l-r J k.-s
f (0 = ;S s5 Aj' S VеJ—S» ’ ePj ’ (4)
б) в случае простых корней знаменателя v (р);
Если изображение искомой функции может быть разложено в степенной ряд по степеням 1/р, т. е,
^)=у+>+-+^+-
(причем этот ряд сходится к f (р) при |р[ > R, где R = lim [ап + 1/ап[ оо),
П -> 00 то оригинал f (/) находится по формуле
f (О = «o + ai • ур+ а2 * 2!*+’ • • + • ^Г"Ь • * •»
причем этот ряд сходится для всех значений / (первая теорема равло-ж е н и я).
1119. Найти оригинал функции f (р)
Д Используем элементарные приемы для разложения этой дроби на сумму таких дробей, оригиналы которых известны:
Р р—1 + 1 Р—1 1
Р2-2р+5 (р—1)24-4 (р-1)2 + 4~t“(p_ 1)2 + 4 •
По формулам VI и VII таблицы имеем
(p-l)2 + 4 et'C0S 2t’ (р-1)24-4='2 * (р-1)2 + 4 ~2 et'Sin 2t‘
Поэтому
_£__+е< . {cos2/+l sin 2/} . A
1120. Найти оригинал функции /(р)=-д Д.
Л И в этом примере используем элементарные приемы разложения, известные из интегрального исчисления. Разложим данную дробь на простейшие дроби:
1 А Вр + С р3 — 8~ р~2+р2+2р + 4‘
Для определения коэффициентов имеем тождество
1 А (р2 + 2р + 4) + (Вр + С) (р-2).
Полагая р = 2, находим 1 = 12.4; Д = 1/12. Приравнивая коэффициент при р2 нулю и свободный член — единице, получим ДД-В = 0, 44 — 2С=1. Отсюда В = — Д=—1/12; С = 2Д —1/2 =—1/3. Следовательно,
1 _1 1 1 Р + 4 1 1 1 (P+1) + V3
рЗ-8 12’ р-2 12’р2+2р + 4 12’ р-2 12 ’ (р+ 1)2+(|< 3)2 ‘
•308
Таким образом,
Т( п\=1. —!___1. Р+1 О. КЗ
12* р —2 12* ^+1)24.(К З)2 12 *(р+1)2 + (}<з}2-
Отсюда, используя формулы III, VI, VII таблицы изображений, находим
/(0 = 72^—{cos//3 + /3.sin//3}. А
1121. Найти оригинал функции f\p) = —т^-_.
Д Разложение f (р) на простейшие дроби имеет вид
— , ч ^1,1 । 1 ^1,3 ( ^2,1 f ^2,2
/ (р) = (Р-1)3+(р_ 1)2+угг+(р + 2)2 + Г+2 ’
Находим коэффициенты этого разложения, используя формулу (2):
Л,,,=-1 Um (|Р-1)4 И| -lim 1
•^-тт,'” i {(^г
_ г J 1 2р 1 _ 1
1(р + 2)* (р+2)’/ 27 :
__ 1 ( 4 6р | _ 1
“ 2 р™ \ (р + 2)’+(р + 2)3/ 27’
u2.,=Jj-^m 5 ((,+2)> .flrtl -Д™ г 5^=4 ;
Л-.-=ТТ Д” , £ «'I + 2>!'7 W1- "™ Д [c+ip] =
~pim_2 L(P-1)3 (p-l)d~27-
Таким образом,
7/ 1 J 3 д_ 1 1 , 2 1 1
' (Р) 27 Цр-1)з+(р-1)2 р-1 *т-(р + 2)2фр + 2/ •
Отсюда, используя формулы III и VIII, находим
f (z)=27 { 4 z V +tet ~et + 2te -2t + e ~2t} =
_3/a + 2/-2 ( 2Щ f ~ 54 e + 27 e ’ A
1122. Найти оригинал функции f(p) .
Д Поскольку в данном случае все корни знаменателя действительные и простые, лучше всего воспользоваться формулой (5). Имеем
И (р) = р+ 1> V (р) = р(р— I) (р—2) (р—3) =р4—6р3+ 11р2 —6р;
v' (р)=4рз—18р2 + 22р—6.
'309
Находим корни v (p):pi = 0, pz = l, Рз = 2, р4=3. Далее, получим
Ц(Р1) 1 L. 2 = v
Vf' (Pl) — 6 6 ’ v' 2 *
и (Рз) __ 3 ___3_ . и (pj___А —Л
v" (Pa) "" — 2 “ 2 ’ v' (p4) “ 6 3 ‘
Отсюда по формуле (5)i находим
'«=4
р'+4л *
1123. Найти оригинал f(p) = p , используя первую теорему разложения.
Л Имеем
T( \ 1 — 1 1 — 1 1 4- 1
1 tp)“W -m “ />s ‘ i » _l ~>3 p& + p1
Этот ряд сходится при | р | > 1!. Отсюда находим
/(а=21_11+41_±4+ ж
' { ’ 41 8Ш 12! 16! ‘ ‘ • А
— I
1124. Найти если Нд»)= , „~г ' v ’ 1 р(р2+ 1) (₽24-4)
ф Разложить f (р) на простейшие дроби.
Найти оригиналы по данным изображениям:
1125‘ /Г -1, (р2—4) ' 112в‘ Т/’> „ (р2Ср^З)‘
^TW = P^-'V+(I-
1128. С помощью первой теоремы разложения найти оригинал для функции / (р) = l/(pk-]-aky где k—целое положительное число.
§ 3. CBFPTKA ФУНКЦИЙ. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛА ОТ ОРИГИНАЛА
Сверткой двух функций (/) и (0 называется функция t
F{t) = \h (x)d%. О
Интеграл, определяющий свертку, не меняет своего значения от перестановки функций fi и f2, поэтому свертка двух функций симметрична относительно свертываемых функций.
Изображение свертки двух оригиналов равно произведению их изображений (теорема свертывания оригиналов): если /х (р) -> /х (/), А (р) 4- О), то t
5 h (^ —T)-f2 (т) dx v 71 (Р)?2 (р). о
310
Пусть оригинал f (/) дифференцируем п раз и его производные до п-го порядка в свою очередь являются оригиналами. Тогда справедлива теорема дифференцирова