Н. Б. ВАСИЛЬЕВ • А. А. ЕГОРОВ
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ
юных
УЧПЕДГИЗ • 1963
к Всероссийской
олимпиаде
	•Л*Л'	
; *	*•*♦•♦*•	
Н. Б. ВАСИЛЬЕВ и А. А. ЕГОРОВ
СБОРНИК
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ
ЗАДАЧ
К ВСЕРОССИЙСКОЙ
ОЛИМПИАДЕ
ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ
Под редакцией
академика А. Н. Колмогорова
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва 1963
От РЕДАКТОРА
Наша страна нуждается в большом числе хорошо подготовлен-
ных и талантливых математиков. Очень важно, чтобы профессию ма-
тематика выбирали те представители нашей молодежи, которые мо-
гут работать в этой области наиболее продуктивно. Одним из путей
привлечения одаренной молодежи к математике являются математи-
ческие олимпиады. Участие в школьных математических кружках
и олимпиадах может помочь каждому оценить свои собственные
способности, серьезность и прочность своих увлечений математикой.
В сборнике, подготовленном Н. Васильевым и А. Егоровым, со-
браны задачи не требующие для своего решения каких-либо особых
знаний, выходящих за пределы программы средней школы, но тре-
бующие известной самостоятельности мысли и сообразительности.
В конце сборника приведены примеры задач, предлагавшихся на
всероссийских математических олимпиадах. В 1963 году предпола-
гается для лучших участников Всероссийской олимпиады, окончив-
ших IX класс 10:летней школы или X класс 11-летней школы, ор-
ганизовать в Москве „летнюю математическую школу", где в течение
месяца можно будет заниматься математикой под руководством пре-
подавателей и аспирантов Московского университета,
Желая читателям сборника всяческих успехов в решении задач
и побед на городских, областных и Всероссийской олимпиадах, я
хочу в то же время заметить что пути к серьезной работе в области
математической науки разнообразны. Одним легче дается решение
замысловатых задач, другие вначале не выделяются на этом попри-
ще, но, двигаясь медленно, овладевают глубоко и серьезно теорией
и несколько позднее научаются работать самостоятельно. В конеч-
ном счете при выборе математики как предмета основных интересов
и работы на долгое будущее каждый должен руководствоваться
своей собственной самооценкой, а не числом премий и похвальных
отзывов на олимпиадах.
А. Колмогоров
ПРЕДИСЛОВИЕ
Самое крупное в нашей стране соревнование юных
математиков — Всероссийская математическая олимпиада,
проводимая Министерством просвещения РСФСР,—стало
уже традиционным.
На заключительный тур олимпиады, проходящей в
Москве в дни весенних школьных каникул, со всех кон-
цов нашей страны съезжаются школьники, добившиеся
наилучших результатов на районных, городских и об-
ластных олимпиадах.
В связи с этим назрела необходимость в доступной
форме познакомить широкие массы школьников, интере-
сующихся математикой, с характером задач, предлагае-
мых на олимпиаде. Для этой цели выпускается настоящий
сборник, в который включено около 200 разнообразных
задач. При этом задачи повышенной трудности, пресле-
дующие цель углубить знание школьного курса матема-
тики, составляют лишь незначительную часть сборника:
существует немало книг, адресованных и школьникам и
учителям, где собраны такого рода задачи и указаны ме-
тоды их решения. (Шах но, Сборник задач по матема-
тике; Кречмар, Сборник задач по алгебре; Делоне и
Житомирский, Сборник задач по геометрии; Ад а м а р,
Элементарная геометрия; различные сборники конкурсных
задач и др.)
Целью настоящего сборника является прежде всего
познакомить читателей с такой тематикой и такой по-
становкой вопросов, которые нередко ставят в тупик даже
очень способных школьников, когда они сталкиваются с
ними впервые. В частности, много места в сборнике отво-
дится задачам на делимость, задачам о расположении
точек и фигур на плоскости, геометрическим задачам на
построение, задачам на метод математической индукции,
1
3
задачам чисто логического характера и другим, часто
встречающимся на математических олимпиадах. ' Значи-
тельная часть задач заимствована из сборника подгото-
вительных задач к Московской и некоторым другим олим-
пиадам, из книг серии „Библиотека математического
кружка", из ряда иностранных журналов.
Многие из приведенных задач потребуют для своего
решения довольно значительных усилий и немало сооб-
разительности.
Для облегчения работы над задачами все они снаб-
жены указаниями, а в отдельных случаях и краткими
решениями, которые дают представление о некоторых
приемах, часто встречающихся при решении подобных
задач.
Однако рекомендуется заглядывать в указания лишь
после достаточно продолжительных попыток найти реше-
ние; только в этом случае работа над задачей действи-
тельно принесет пользу. При этом не следует отчаиваться,
если ту или иную задачу не удастся решить самостоятельно.
В особенности это относится к трудным задачам, отме-
ченным одной или двумя звездочками.
Сборник разбит на 8 параграфов, в каждом из кото-
рых задачи, как правило, связаны либо идеей решения,
либо темой. Проще всего решить задачи каждого пара-
графа по порядку (это относится, в частности, к пара-
графам 2 и 6).
Большая часть задач доступна школьникам восьмых
классов. Перед условиями остальных имеются специаль-
ные пометки (например, цифра (X) после номера задачи
означает, что задача доступна школьникам X—XI классов).
Параграфы 4 и 5 целиком адресованы школьникам
X—XI классов.
В конце сборника приведены задачи, предлагавшиеся
на 2-й Всероссийской олимпиаде юных математиков, снаб-
женные полными решениями.
Мы пользуемся случаем, чтобы выразить нашу бла-
годарность инициатору создания этого сборника акаде-
мику А. Н. Колмогорову, взявшему на себя труд редак-
тирования сборника.
Н. Васильев, А. Егоров
§ 1.	ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ.
1.	Доказать, что если р 5= 5 —простое число, то рг — 1
делится на 24.
2.	Найти все простые числа р такие, что 14р2 + 1 —
тоже простые.
3.	Доказать, что число делителей произвольного
натурального числа N не превосходит 2
4.	Какой остаток дает число 2100: а) при делении
на 3; Ь) при делении на 5?
5.	а) При каких целых положительных п число 2" — 1
является квадратом целого числа?
Ь) Тот же вопрос для 2"+1.
6.	Какие остатки могут давать при делении на 9 кубы
целых чисел?
7.	(Продолжение.) Доказать, что существует беско-
нечно много целых чисел, не представимых в виде суммы
кубов трех целых чисел.
8*. Число 2Р—1 простое. Доказать, что р —тоже
простое число.
9*. Число 2" + 1 простое. Доказать, что п является
степенью двух (п = 2*).
10.	Доказать, что число 72"— 42" делится на 33.
11.	При каких целых положительных п число
20"+ 16" — 3"—1 делится на 323?
12.	Доказать, что п5 —5л8 + 4п при любом целом п
делится на 120.
13*. (X). 15 простых чисел составляют арифметиче-
скую прогрессию. Доказать, что её разность больше 30 000.
14.	Доказать, что число 52п+1+ 3"+2-2"-1 при любом и
делится на 19.
15.	Доказать, что произведение двух последних цифр
квадрата целого числа четно.
б
16.	Может ли квадрат целого числа оканчиваться
четырьмя одинаковыми цифрами, отличными от нуля?
17.	Доказать, что число п1 + 4 при любом целом
является составным.
18.	Доказать, что если сумма трех целых чисел
делится на 6, то сумма их кубов тоже делится на 6.
19.	Число +	—у- при любом целом т яв-
ляется целым. Доказать.
20.	Некоторое целое число записывается в десятичной
системе счисления при помощи 300 единиц и некоторого
количества нулей. Может ли оно быть полным квадра-
том?
21.	Пусть b—последняя цифра числа 2”, тогда
2"=10с4-М Доказать, что ab делится на 6.
22*. Некоторые из 15 листов бумаги разрезали
на 10 частей, затем некоторые из полученных листов
разрезали еще на 10 частей и т. д. Когда подсчитали
общее число получившихся листов бумаги, то оказалось,
что их 1963. Докажите, что подсчет был произведен
неправильно.
23.	Найти наименьшее целое положительное число,
которое при делении на 2, 3, 5, 7 и 11 дает в остатке
единицу.
24.	(Продолжение.) Найти наименьшее целое число,
которое при делении на 2, 3, 5. ..p,-...pn (р( —любое
из п первых простых чисел) дает в остатке единицу.
25*. (Продолжение.) Доказать, что существует бес-
конечно много простых чисел.
26.	Доказать, что, каково бы ни было N, существуют
N последовательных целых чисел, каждое из которых
является составным (т. е., несмотря на бесконечность
множества простых чисел, существует сколь угодно длин-
ные промежутки натурального ряда, вообще не содержа-
щие простых чисел).
27*. Доказать, что существует бесконечно много про-
стых чисел, дающих при делении на 4 остаток 3, т. е.
простых чисел вида 4п + 3. То же для чисел вида 6л+ 5.
28.	Доказать, что существует бесконечно много целых
чисел, не представимых в виде р + «2 ни при каких р,
n> 1, где р — простое число, а п — целое.
29.	Докажите равенство (2 + 1) (22 + 1)... (2гЯ + 1) =
__О2"+‘ _ 1
6
30**. Доказать, что любые два числа последователь-
ности 2”+ 1 =3, 221+ 1 =5, 222-Ь1 = 17........ 22Я+1
взаимно просты. Вывести отсюда результат задачи 25.
31.	Целой частью данного числа х называется наиболь-
шее целое число, не большее х; оно обозначается симво-
лом [х];
а)	найдите целые части следующих чисел: —1,5;
— у; 0; 1; 2у- 3,99.
Ь)	докажите следующие свойства целой части:
1)	[п + х] =п + [х] при целом п, 2)
при целом k.
32.	Доказать, что существует ровно j-y] натураль-
ных чисел, не больших данного числа N > 0 и делящихся
на данное натуральное число q(q<N).
33. Докажите, что если b > 0 — целое число, то
[f] = [-Т-] ПРИ о>0-
34*. Обозначим через п\ произведение п первых
натуральных чисел (n!= 1 -2-3 .п). Докажите, что
наибольшая степень простого числа р, на которую де-
лится и!, равна [yj +	j , где pm<n,
pm+* > п.
35*. (X). Доказать, что п\ ни при каком п не делится
на р", где р — простое число.
36*. Доказать, что число (п!)! делится на число (п!)(га-1)1.
37. Даны два натуральных числа а и Ь. При делении
на b а дает остаток, равный г,. Разделим b на г, (ясно,
что Tj < b), получим в остатке rs, далее разделим
на гг, получим в остатке rs и т. д. Доказать, что на
некотором шаге процесс оборвется (т. е. некоторый оста-
ток rn-i будет нацело делиться на гп) и что последний
не равный нулю остаток будет наибольшим общим дели-
телем чисел а и Ь.
38*. (Продолжение.) Доказать, что для любых целых
чисел а и b найдутся такие целые числа т и п, что
та -р nb — d, где d—наибольший общий делитель чисел а
и Ь. (Если, в частности, а и b взаимно просты, то из
результата настоящей задачи следует, что существуют
такие целые числа т и п, что ma-\-nb=\.)
7
39**. Доказать, что если числа 2Р—1 и 2^—1 взаимно
просты, то числа р и q тоже взаимно просты, и, наоборот,
если числа р и q взаимно просты, то и числа 2Р— 1 и
29—1 взаимно просты. Найти наибольший общий дели-
тель чисел 2Р—1 и 2? — 1, если р и q не взаимно просты.
40. Доказать, что все решения в целых числах урав-
нения хт = уп, где данные числа тип взаимно просты,
даются формулой х = у — tm, где t — любое целое число.
41. (IX). Докажите, что lg2 —число иррациональное.
42*. (IX). Какими должны быть целые числа а и Ь,
чтобы log а b был числом рациональным?
§ 2.	ЗАДАЧИ НА «ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ».
В настоящем параграфе приведено несколько задач,
решение которых опирается на следующий „принцип Ди-
рихле": если в п ящиках находится п1 предмет, то
обязательно найдутся два предмета, лежащие в одном
ящике.
43.	Доказать, что из «4-1 целого числа можно
выбрать два, разность которых делится на п.
44.	Для каждого натурального числа п существует
число вида 111... 100... 0, делящееся на п. Доказать.
45.	Для любого 100-значного числаМ найдется число,
делящееся на 1963, последние 100 цифр которого состав-
ляют число М. Доказать.
46.	Доказать, что из 1000 целых чисел можно выбрать
несколько чисел так, что их сумма будет делиться
на 1000.
47.	Рассматривается последовательность чисел 6, 6s,
6s, ... , 6"... и выписываются последние 4 цифры этих
чисел 0006, 0036, 0216, 1296, 7776, ... ; доказать, что,
начиная с некоторого номера п0, эта последовательность
будет периодической.
48.	Можно ли найти степень числа 3, оканчивающуюся
цифрами 0001?
49*. а) Доказать, что последовательность последних
трех цифр „ряда Фибоначчи" 1,1,2,3,5,8,13... (каждое
число равно сумме двух предыдущих) —периодическая.
Ь)** Доказать, что среди первого миллиона членов
этой последовательности найдется число, оканчивающееся
тремя девятками.
8
50.	Доказать, что из 26 различных натуральных чисел,
не больших 50, можно выбрать два, из которых одно
в 2 раза больше другого. Верно ли это для 25 различ-
ных чисел, не больших 50?
51*. Доказать, что из н-|-1 различного натурального
числа, меньшего 2п, можно выбрать 3 таких, что сумма
двух из них равна третьему.
52*. На площади квадрата со стороной 1 км растет
сосновый лес, состоящий из 4500 деревьев диаметром
50 см. Доказать, что в лесу можно выбрать прямоуголь-
ную площадку 10л«Х20 м, на которой не растет ни од-
ного дерева.
§ 3.	ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.
53.	Доказать, что если отрезок MN, соединяющий
середины сторон АВ и CD четырехугольника ABCD, ра-
вен полусумме двух других сторон, то этот четырех-
угольник является трапецией с основанием AD.
54.	Даны две окружности S, и S2 и прямая I.
Построить прямую, параллельную данной, такую, что
отрезок между точками пересечения ее с данными окруж-
ностями равен данной величине а.
55.	Найти геометрическое место точек, сумма рас-
стояний которых до двух данных прямых /, и 1г равна
данной величине а.
56.	Через данную точку А проведите прямую так,
чтобы отрезок, заключенный между точками пересечения
ее с данной прямой и данной окружностью, делился
в точке А пополам.
57.	Докажите, что середины сторон любого четырех-
угольника являются вершинами параллелограмма.
58*. Через точку, лежащую внутри данного угла,
проведите прямую, отсекающую от него треугольник
наименьшей возможной площади.
59.	Построить равносторонний треугольник, вершины
которого лежат на трех данных концентрических окруж-
ностях.
60.	На сторонах произвольного параллелограмма
ABCD, вне его, построены квадраты. Докажите, что
центры этих квадратов сами образуют квадрат.
61.	На стороне АВ треугольника АВО с данными
сторонами ДО = п и ОВ — Ь строится равносторонний
9
треугольник АВС. При какой величине / АОВ отрезок АС
имеет наибольшую (наименьшую) длину?
62.	На сторонах АВ и ВС данного треугольника АВС
построены квадраты А'В'ВА и В”С'СВ. Докажите, что
продолжение высоты Д.4ВС, проходящей через вер-
шину В, является медианой /\В"В'В.
63.	В данный квадрат вписать равносторонний тре-
угольник с вершиной в данной точке Р на границе
квадрата.
64.	На данной прямой I найти точку X такую, чтобы
сумма расстояний от точки X до данных точек А и В,
лежащих по одну сторону от данной прямой, была
наименьшая.
65.	Построить треугольник наименьшего возможного
периметра, одна из вершин которого совпадает с данной
точкой А внутри данного / В, а две остальные вершины
лежат на разных сторонах
66*. Через данную точку провести прямую, отсекаю-
щую от данного угла треугольник данного пери-
метра.
67*	. Дана прямая MN и точки А и В по одну сто-
рону от нее. Найти на этой прямой точку X такую, что
/ ЛХЛ4 = 22/ВХМ.
68.	Можно ли „замостить" плоскость: а) треугольни-
ками, равными данному; Ь) четырехугольниками, рав-
ными данному?
69.	Найти геометрическое место точек, являющихся
центрами кругов, вписанных в треугольники с данным
основанием АВ и с данным углом при вершине.
70.	Дана окружность S. Найти геометрическое место
середин хорд, проходящих через данную точку А.
71*. Дан равнобедренный Л АВС. Точка Л4— середина
стороны АВ. Точка О—середина основания АС. Описан-
ная окружность Л МВС пересекает высоту BD в точке К-
з
Докажите, что BK — ^R, где R — радиус описанной ок-
ружности А АВС.
72*. В данный сектор вписать треугольник, равный
данному.
73.	Две окружности S, и Sa пересекаются в точке А.
Провести через точку А прямую такую, что отрезок,
высекаемый на ней окружностями и $г, равен дан-
ному.
10
74*. Даны три точки Mv М,, Л43. Построить треуголь-
ник, равный данному, стороны которого проходили бы
соответственно через точки Л4,, АД, Мг.
75*. Вписать в данный треугольник УДВ/Д треуголь-
ник, равный данному треугольнику АВС.
76.	Найти геометрическое место точек М таких, что
T^- = k, где А и В—данные точки, а данное число,
не равное 1.
77.	Построить окружность, проходящую через две
данные точки А и В и касающуюся данной прямой I.
78.	Найти точку, из которой данный отрезок и дан-
ная окружность видны под данными углами а и р.
79*. Постройте треугольник по трем точкам, симмет-
ричным ортоцентру относительно его сторон.
80.	Построить треугольник по трем его высотам 1га,
hb, hc.
81*. На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD
даны точки М и N такие, что -rg- = а, -тн = р. В— точ-
/1£>	«г1£/
АР
ка пересечения MN и АС. Найти отношение
82.	Дан / АВС и точка Р внутри него. На стороне АВ
этого угла найти точку, равноудаленную от точки Р и
от стороны ВС.
83.	Внутри произвольного прямоугольника располо-
жена ломаная такая, что каждая прямая, параллельная
одной из сторон прямоугольника, пересекает ее не больше
одного раза. Доказать, что длина этой ломаной не больше
суммы двух различных сторон этого прямоуголь-
ника.
84*. Найти геометрическое место концов ломаных
длины 1, выходящих из данной точки и таких, что каж-
дая прямая, параллельная одной из двух данных взаимно
перпендикулярных прямых, пересекает ломаную не больше
одного раза.
85*. Докажите, что если многоугольник имеет не-
сколько осей симметрии, то все они пересекаются в од-
ной точке.
86.	Докажите, что любые 3 точки на плоскости, по-
парные расстояния между которыми не превосходят 1,
можно заключить в круг радиуса -у=
1
И
87*. (Продолжение.) а) Если любые три из п данных
точек на плоскости можно заключить в круг радиуса г,
то и все п точек можно заключить в круг радиуса г.
Ь) (Теорема Юнга.) Любые п точек на плоскости,
попарные расстояния между которыми не больше 1,
1
можно заключить в круг радиуса г = ^==.
88.	(IX). Все стороны выпуклого многоугольника
периметра 12 сдвигаются на 1 во внешнюю сторону.
Доказать, что его площадь увеличивается при этом
больше чем на 15.
89.	Доказать, что сумма расстояний от любой точки М
внутри равностороннего треугольника до его сторон
постоянна. Более общий факт: для любой точки М внутри
данного выпуклого многоугольника сумма а1й1-|-йЛ2 +
+ ... + anhn — одна и та же (а,,	.....ап — стороны
многоугольника; hlt h2, ..., hn—расстояния от точки М
до соответствующих сторон).
90.	Доказать, что внутри остроугольного треуголь-
ника АВС существует единственная точка Р, для которой
а)	/ APB = Z_ ВРС = J/CPA = 120°;
Ь)	прямые, проходящие через точки А, В, С перпен-
дикулярно отрезкам АР, ВР, СР, образуют равносторон-
ний треугольник;
с)	сумма расстояний от точки Р до вершин треуголь-
ника АВС меньше, чем от любой другой точки плоскости.
91.	а) а, b — стороны треугольника. Доказать, что
его площадь S не больше ~ .
Ь) а, Ь, с и d — последовательные стороны четырех-
угольника. Доказать, что его площадь не больше
(о-рс) (b-\-d)
4
92*. (IX). Доказать, что в круге радиуса 10 нельзя
поместить 400 точек так, чтобы расстояние между каж-
дыми двумя было больше 1.
93*. (IX). В прямоугольнике со сторонами 20 и 25
расположено 120 квадратиков со стороной 1. Доказать,
что внутри прямоугольника можно поместить круг
диаметра 1, не налегающий ни на один из квадратиков.
94. Е и F — середины сторон А В и CD четырехуголь-
ника ABCD, Р — точка пересечения отрезков ED и AF,
Q —точка пересечения отрезков ЕС и BF. Доказать, что
12
сумма площадей треугольников APD и BQC равна пло-
щади четырехугольника PEQF.
95*. На плоскости даны п точек, никакие три из
которых не лежат на одной прямой. Доказать, что можно
построить несамопересекающуюся замкнутую ломаную
с вершинами в этих точках.
96*. Построить самопересекающуюся замкнутую лома-
ную, которая каждое свое звено пересекает ровно один
раз. Доказать, что такая ломаная обязательно имеет
четное число звеньев п; для четных л^б построить
примеры.
97.	Докажите, что для любого нечетного числа п ^5
существует самопересекающаяся замкнутая ломаная,
имеющая п звеньев, которая каждое свое звено пересе-
кает ровно 2 раза.
98.	На плоскости задано 2л точек. Известно, что среди
любых трех из них имеются две, расстояние между кото-
рыми не больше 1. Доказать, что на плоскость можно
положить два круга радиуса 1, которые закроют все эти
точки.
§ 4.	ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ.
(X - XI КЛАССЫ)
99.	Доказать, что три отрезка, соединяющие середины
противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной
точке и делятся в ней пополам.
100.	Можно ли построить тетраэдр, в котором каждое
ребро было бы стороной тупого или прямого плоского
угла?
101.	Доказать, что для параллелепипеда, у которого
нет плоских прямых углов, имеет место одно из двух:
или в некоторой вершине сходятся три плоских острых
угла, или в некоторой вершине сходятся три плоских
тупых угла.
102.	Какое наибольшее число ребер правильной
л-угольной пирамиды можно пересечь плоскостью? Тот же
вопрос для правильной л-угольной призмы.
103.	Доказать, что не существует многогранника,
имеющего 7 ребер. Построить пример многогранника,
имеющего л. ребер для л. Зэ8.
104.	Некоторая плоскость пересекает все звенья замк-
нутой ломаной линии ДЛ,,... Л„Л1 в точках Bv В2..Вп.
13
Доказать, что
AtBt AZBZ	—1-^n —1 АцВц   1
BA ' BA ' " ‘ B„_1An ' BnA, ~ *•
105.	Доказать, что площадь проекции многоугольника
на горизонтальную плоскость равна Seos а, где S—его
площадь, а — угол, под которым наклонена его плоскость
к горизонтальной плоскости.
106.	Как нужно расположить в пространстве прямо-
угольный параллелепипед, чтобы площадь его проекции
на горизонтальную плоскость была наибольшей?
107*. Доказать, что площадь проекции произвольного
тетраэдра на горизонтальную плоскость будет максималь-
ной в одном из следующих 7 положений: или одна из
4 граней горизонтальна, или одна из 3 пар противопо-
ложных ребер горизонтальна. Какой случай имеет место
для правильной треугольной пирамиды с ребром основа-
ния а и боковым ребром 6?
108. Доказать, что объем многогранника, описанного
около шара радиуса г, равен -§-rS, где S —площадь по-
верхности многогранника.
109*. а) Для того чтобы существовал шар, касаю-
щийся всех ребер тетраэдра ABCD, необходимо и доста-
точно условие
AB + CD=AC + BD = BC+AD.
b)	Чем заменяется это условие, когда шар касается
трех ребер одной грани и продолжений трех других
ребер?
с)	Для каких тетраэдров существуют два шара
типа Ь), соответствующие двум равным граням? Для
каких тетраэдров существуют шар а) и один из шаров Ь)?
d)	Доказать, что если существует шар а) и два
шара Ь), то тетраэдр правильный и существуют все
пять шаров: а) и четыре шара Ь).
ПО. В пространстве даны два треугольника АВС и
А'В'С', лежащие в разных плоскостях. Найти геометри-
ческое место точек М, для которых объемы тетраэдров
МАВС и МА'В'С' равны.
111.	Дана плоскость и две точки Л и В вне ее.
Найти геометрическое место точек М на плоскости, для
которых отрезки AM и ВМ составляют с плоскостью
одинаковые углы.
14
112.	На плоскости дана окружность С и точка Р
вне ее. Через окружность С проводится произвольная
сфера и строится конус с вершиной в точке Р, касаю-
щийся этой сферы по некоторой окружности с центром
в точке /И. Найти геометрическое место точек М.
113.	Доказать, что любой четырехгранный угол можно
пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился
параллелограмм.
114.	Доказать, что сечение плоскостью трехгранного
угла, все 3 плоских угла которого прямые, может быть
любым остроугольным треугольником.
§ 5. ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ МЕТОДОМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ИНДУКЦИИ.
115.	Доказать, что 4" + 15л—1 делится на 9 при
всех л2э 1.
116.	Доказать, что 13 + 23+3’+ .. - + л’= (1+2 +
-|-34-...-]- л)2.
117.	Доказать, что 4+у + ++ ' -+^>гдля л>1.
118.	Найти сумму
^ + С^+С^ + ---+Сп-
119.	В последовательности чисел 1, 1, 2, 3, 5 ...
каждое число равно сумме двух предыдущих. Доказать,
что каждое 4-е число последовательности делится на 3.
120.	Доказать, что с помощью гирь весом 1 Г, 2 Р,
..., 2п Г можно набрать любой вес от 1 Г до 2"+1— 1 Г.
121.	Имеется набор гирь весом 1 Г, 3 Г, 9 Г, ...,
3" Г. Доказать, что с помощью этих гирь можно взве-
сить любой предмет от 1 Г до —— Г (гири разрешает-
ся класть на обе чаши весов).
122.	а) Доказать, что З2" — 1 делится на 2”+s и не
делится на 2П+3.
Ь) Доказать, что 2зЛ+1 делится на 3>+' и не делится
на Зп+£.
123*. Доказать, что число, записываемое 3" едини-
цами, делится на Зп+1 и не делится на Зп+2.
124. На плоскости задано л^эЗ точек. Доказать, что
можно так провести отрезки от каждой точки к некото-
рым из остальных, что отрезки не будут пересекаться
15
между собой и образуют выпуклый многоугольник, раз-
битый на треугольники.
125*. Длина каждого из п^З данных отрезков боль-
ше 1. Известно, что никакие k из них (k=3, 4, ..., п)
не могут быть сторонами какого-либо многоугольника.
Доказать, что сумма длин всех отрезков больше 2"_*.
126. В таблицу из трех строк и п столбцов расстав-
лено произвольным образом п белых, и красных и п
черных фишек. Доказать, что можно переставить фишки
в каждой строке так, что в каждом столбце будут стоять
3 фишки разных цветов.
127. Доказать, что сумма углов пространственной
замкнутой ломаной линии, состоящей из п звеньев,
меньше 180° (п —2).
128*. а) На плоскости задано п прямых, из которых
никакие две не параллельны и никакие 3 не проходят
через одну точку. На сколько частей они делят плоскость?
Ь) Доказать, что п плоскостей в общем положении
(никакие 3 не параллельны одной прямой и никакие 4
не проходят через одну точку) делят пространство на
п8 + 5п . ,
—g----1- 1 частей.
129*. п окружностей делят плоскость на несколько
частей. Доказать, что плоскость можно выкрасить двумя
красками так, что каждая часть будет выкрашена одной
краской и две части, граничащие по дуге, будут выкра-
шены в разные краски.
130.	Число ° + —целое. Доказать, что ап + ~—
целое при любом п.
131*. Доказать, что участников шахматного турнира,
в котором каждый сыграл с каждым по одной партии,
можно занумеровать в таком порядке, что окажется, что
каждый выиграл или свел вничью партию с шахмати-
стом, имеющим номер на 1 больше.
132*. Имеется 2п положительных чисел аг<аг<..
<а2п. Как их нужно разбить на пары, чтобы
а)	сумма попарных произведений была наибольшей?
Ь) сумма попарных произведений была наименьшей?
с) произведение попарных сумм было наибольшим?
d) произведение попарных сумм было наименьшим?
133*. Сумма положительных чисел постоянна. Дока-
зать, что их произведение наибольшее, когда они все
16
равны. Вывести отсюда, что для любых п положитель-
ных чисел xt, х2, хг...хп
yw,...x,^+x-+x-+-+’1-
(среднее геометрическое не больше среднего арифмети-
ческого).
134*. а) Из строки иг, и2, ..., длины 2", состав-
ленной из -|-1 и —1, получается следующая строка:
^3^4, • • •> ll-tfl—
длины 2" из Ц-1 и —1, из этой —новая строка по
тому же правилу и т. д. Доказать, что не позднее чем
через 2" шагов получится строка, состоящая из одних
единиц.
Ь)	(Продолжение.) Доказать, что из строки нечетной
длины, где встречается хоть одна Ц-1 и хоть одна — 1,
никогда не получится строка из одних единиц.
с)	(Продолжение.) Описать все строки длины т
(т — любое натуральное число), из которых в конце
концов получается строка из одних единиц.
135**. Дано 2" целых чисел а2, а2, ..., а^. Состав-
ляется ряд модулей попарных разностей
|а2 — aj, |а3 — аг\, ....	|а2п—аг|.
С полученными числами проделывается то же самое
и т. д. Доказать, что через несколько шагов получится
ряд, составленный из одних нулей.
§ 6. ЗАДАЧИ НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ.
136. Доказать, что любой замкнутый путь на клет-
чатой бумаге, состоящий из нескольких отрезков сетки,
имеет четную длину (сторона клетки принята за 1).
137. Улитка ползет по столу с постоянной скоростью.
Через каждые 15 минут она поворачивает на 90°, а в
промежутках между поворотами ползет по прямой.
Доказать, что она'может вернуться в начальную точку
только через целое число часов.
138*. Площадь многоугольника с вершинами в узлах
сетки, нарисованного на клетчатой бумаге, равна
2 Заказ Лк 10
17
j 4-у—1, где / — число узлов, лежащих внутри много-
угольника, г—число узлов, лежащих на его сторонах
и в вершинах (узлами сетки мы называем точки, где
пересекаются линии сетки; сторона клетки принята за 1).
Доказать эту формулу:
а)	для прямоугольника тхп клеток, у которого сто-
роны идут по линиям сетки;
Ь)	для прямоугольной трапеции,у которой основания
и одна боковая сторона идут по линиям сетки;
с)	для произвольного выпуклого многоугольника.
139*. а) Сколько решений в натуральных числах
имеет уравнение х-фу 4-z = 100?
b) Сколько существует треугольников периметра 200,
стороны которых выражаются натуральными числами?
140*. (X). Сколько решений в натуральных числах
хр х2, ..., xk имеет уравнение х, + х2 -j- ... + х/?=л?
141.	На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник
тхп клеток; требуется провести по линиям сетки замк-
нутую ломаную линию, которая бы проходила по одному
разу через каждый узел сетки внутри и на сторонах
прямоугольника и не выходила бы за его пределы.
а)	Определить длину этой ломаной.
Ь)	При каких /пил можно провести такую ломаную?
с)	Определить площадь многоугольника, ограничен-
ного этой ломаной (доказать, что она для всех таких
ломаных одна и та же).
142.	(X). Сколько существует ломаных длины л/Ц-л,
идущих по линиям сетки из одной вершины прямоуголь-
ника тхп в противоположную?
143*. (X). Доказать, что (С«)2 + (6Д)2 + ... +(С«)2 =	.
144*. (X). Доказать, что число замкнутых ломаных
длины 2л, идущих по линиям сетки и имеющих начало
и конец в фиксированном узле сетки, равно (С£п)2. (Лома-
ная может проходить через один и тот же узел и даже
по одному и тому отрезку несколько раз.)
145** (X). Доказать, что число ломаных длины 2л,
идущих по линиям сетки из одной вершины квадрата
лхл в противоположную и целиком лежащих под диа-
гональю, равно С£п-_*2 —C£n-_%.
(Все вершины ломаной, кроме первой и последней, лежат
под диагональю.)
18
§ 7.	РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ.
146.	Можно ли соединить 1963 телефона так, чтобы
каждый из них был соединен ровно с 5 другими?
147*. Доказать, что среди любых 99 последователь-
ных целых чисел найдется число, сумма цифр которого
делится на 14.
148.	Доказать неравенство	п (тА = 1-2-3-...
... -л).
149.	На окружности расставлено несколько плюсов и
минусов Пусть о —число плюсов, Ь — число минусов,
р — число пар плюсов, стоящих подряд, q — число пар
минусов, стоящих подряд. Доказать, что a — b—p—q.
150.	Дано п чисел х,, х2, ..., хп, каждое из которых
равно 4-1 или —1. Доказать, что если х,х2 4-х2х3 + ...
... Ч-х,/, = 0, то число п делится на 4.
151*. (X). Доказать, что число Ckn при взаимно простых
п и k делится на п.
152.	На плоскости дано п точек. Известно, что три
из любых четырех данных точек лежат на одной прямой.
Доказать, что все точки, кроме, быть может, одной,
лежат на одной прямой.
153.	Сумма 1963-х положительных чисел, каждое из
которых меньше 1, равна 5. Доказать, что эти числа
можно разбить на 3 группы так, что сумма чисел
в каждой группе будет больше 1.
154*. Дано 50 различных положительных чисел
av ait ..., й50. Как их надо занумеровать, чтобы вели-
чина | at — as | + |tz2 — as |4- ... ф-| a50 — | была наиболь-
шей?
155*. (X). Доказать, что если —!. = — + 4- + >
' '	'	а4~Ь4^с а 1 Ъ с
1 1 , 1 । 1 Л
то ---------= -й4-гй4--й при любом нечетном п.
ап^-Ьп+сп а Ьп 1 сп г
156*	. (X). Дано п комплексных чисел с,, с2, ..., сп
таких, что если их представить себе как точки плоско-
сти, то они являются вершинами выпуклого «-угольника.
Доказать, что если комплексное число z обладает тем
свойством, что
то точка плоскости, соответствующая z, лежит внутри
этого «-угольника.
3 Заказ № 10
19
157.	Найдите сумму коэффициентов многочлена, полу-
чающегося после раскрытия скобок и приведения подоб-
ных членов в выражении (х’Дх4—l)iees-(x2—x-j-l)”64.
158.	Даны две бочки бесконечно большой емкости.
Можно ли, пользуясь двумя ковшами емкостью (2—У 2) л
нУ 2 л, перелить из одной в другую ровно 1 л?
159*. Существует ли такое целое число р, что л!
делится на 2п~р при всех целых л?
160*. Докажите неравенство
(«Л + оЛ + • • • + апЬпУ ==£ (л* + о* + ... -фа*п)X
Ж + ^+---+^).
где av az, ...,ап, bv bit ..., bn~любые вещественные
числа.
При каких аг......ап, bv ..., bn имеет место знак
равенства?
161*. (X). Доказать, что для любого целого числа п
число (У 2 — 1)" можно представить в виде разности
У/и +1 — У т, где т — целое.
162.	Один школьник задумал 5 положительных чисел
х,, x2, xs, х4, х5 и сообщил другому всевозможные
попарные суммы этих чисел х,+х5, х,-фх8, х,-|-х4,
..., хв + х10. Как по этим 10 числам второй школьник
может угадать, какие числа задумал первый?
163*. Из четверки чисел a, b, с, d получается новая
четверка a-\-b, b-\-c, c-\-d, d-\-a, из этой — следующая
по тому же правилу и т. д. Доказать, что в этой после-
довательности не встретится двух одинаковых четверок
чисел (кроме того случая, когда a = b = c — d = 0).
164*. Имеются две произвольные строки из +1 и
— 1 одинаковой длины. Разрешается изменять знак
одновременно у 15 любых чисел первой строки. Дока-
зать, что, повторив эту операцию несколько раз, можно
первую строку превратить во вторую (т. е. добиться
того, что на одинаковых местах будут стоять одни и
те же числа).
Показать, что если нужно изменять знак одновре-
менно у 14 любых чисел первой строки, то утверждение
задачи становится неправильным.
165*. На бесконечной шахматной доске стоит конь
(т, п)— фигура, которая ходит буквой Г на т полей по
горизонтали и на п полей по вертикали или наоборот.
20
а)	Определить, при каких п конь (1, п) может попасть
с данного поля на любое другое поле доски (за несколько
ходов).
Ь)	Отметить все поля, на которые может попасть с
данного поля конь (т, п) (за несколько ходов).
с)	(Продолжение.) Доказать, что эти поля можно от-
метить двумя карандашами — красным и синим — так,
что на красные поля конь (т, п) попадает с начального
поля обязательно через четное число ходов, а на синие —
обязательно через нечетное число ходов.
166.	Показать, что доску 4x5 можно обойти шах-
матным конем (конь (1, 2)], побывав на каждом поле
один раз.
167.	Доказать, что доску 8x8 нельзя обойти конем
(1, 2), начав путь в левом верхнем углу, окончив в пра-
вом нижнем углу и побывав на каждом поле один раз.
168**. Доказать, что доску 4хп нельзя обойти конем
(1, 2) так, чтобы побывать на каждом поле один раз и
последним ходом вернуться в исходную точку.
169*. Доказать, что доску 7 хм нельзя обойти конем
(2, 3), побывав на каждом поле один раз.
170*. На 25 полях, расположенных в ряд, стоят в
произвольном порядке 24 фишки, на которых написаны
номера 1, 2, ..., 24, одно поле свободно. За один ход
разрешается любую фишку переставить на свободное поле.
Доказать, что за 36 таких ходов можно расставить фишки
в порядке номеров. Придумать пример начального рас-
положения, при котором за 35 ходов этого сделать нельзя.
171*. На первом из п полей, расположенных в ряд,
стоит фишка. Одним ходом ее разрешается передвинуть
на 1, 2 или 3 поля вперед. Двое играющих поочередно
делают ходы; выигрывает тот, кто поставил фишку на
последнее поле. Кто из двух играющих (при правильной
игре) выигрывает при разных п — первый (начинающий)
или второй? Как нужно играть?
172*. В правом верхнем углу доски 8x8 стоит фи-
гура. Одним ходом ее разрешается сдвинуть на соседнюю
клетку — влево, вниз или по диагонали — влево, вниз.
Выигрывает тот, кто первым придет в левый нижний угол.
Как нужно играть в эту игру? Кто выигрывает на дос-
ке тхп?
173*. В таблицу из т строк и п столбцов записаны
произвольные числа. Разрешается изменять знак одновре-
3’
31
менно у всех чисел одной строки или одного столбца.
Доказать, что, повторив эту операцию несколько раз,
можно добиться того, что сумма чисел в каждой строке
и в каждом столбце таблицы будет положительна или
равна 0.
174**. С невыпуклым многоугольником производятся
следующие операции: если А и В — любые две не соседние
вершины и многоугольник лежит по одну сторону от
прямой АВ, то часть контура, лежащая между точками
А и В, симметрично отражается от середины отрезка АВ.
Доказать, что через несколько таких операций любой
многоугольник превратится в выпуклый.
175**. Доказать, что в десятичном разложении числа
(]/26 + 5)180’ первые 1963 знака после запятой — нули.
§ 8.	ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА 2-Й
ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЕ ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ.
VIII КЛАСС
1.	На продолжениях сторон АВ, ВС, CD и DA выпук-
лого четырехугольника ABCD откладываются отрезки
ВВ' = АВ, СС — ВС, DD' =CD и АА' — DA. Доказать, что
площадь четырехугольника A'B'C'D' в 5 раз больше
площади четырехугольника ABCD.
2.	На плоскости заданы окружность S и прямая I,
проходящая через центр О окружности S. Через точку О
проводится произвольная окружность S' с центром на
прямой I. Найти геометрическое место точек М, в кото-
рых общая касательная окружности S и S' касается ок-
ружности S'.
3.	Даны целые положительные числа а0, а , ..., а
Известно, что а,>а0, аг = За, — 2а0, аг = За2 — 2at,
— Доказать, что а100>288.
4.	Доказать, что не существует целых чисел a, b, с, d
таких, что выражение ахг + Ьхг -}- сх + d равно 1 при
х= 19 и равно 2 при х = 62.
5.	В каждую клетку квадратной таблицы 25x25
вписано одно из чисел 1 или—1 (произвольным образом).
Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел,
стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется
произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Дока-
зать, что сумма 50 написанных произведений не равна 0.
22
IX КЛАСС
1.	Построить треугольник по двум данным сторонам
так, чтобы медианы этих сторон пересекались под пря-
мым углом.
2.	а, Ь, с, d — положительные числа, произведение ко-
торых равно 1. Доказать, что o£ + fc2 + c24-d2 + ob + fcc +
+ cd + da + ас + bd 10.
3.	Дан правильный пятиугольник; М — произвольная
точка внутри него (или на границе). Занумеруем рассто-
яния от точки М до сторон пятиугольника в порядке
возрастания:	Найти все положения
точки М, при которых величина г8 принимает наиболь-
шее значение, и все положения точки М, при которых
величина г, принимает наименьшее значение.
4.	Наугад выбрано 1962-значное число, делящееся на
9. Сумму его цифр обозначим через а, сумму цифр чи-
сла а обозначим через Ь, сумму цифр числа b— через с.
Чему равно с?
5.	Задача № 5 из VIII класса для таблицы пхп с
любым нечетным п.
. X КЛАСС
1.	Из середины М основания АС равнобедренного
треугольника АВС опущен перпендикуляр МН на сто-
рону ВС. Точка Р — середина отрезка МН. Доказать,
что АН_[_ВР.
2.	Какую наибольшую площадь может иметь треуголь-
ник, стороны которого а, Ь, с заключены в следующих
пределах: 0<o=Cl=Cfe=c2=Ccs^3?
3.	х, у, z —произвольные попарно неравные целые
числа. Доказать, что (х — у)5 + (у — z)s + (z —x)s делится
на 5(х —у)(у —z)(z—x).
4.	Про числа а0, at,..., an_t, ап известно, что о0=
=а„ = 0 и что аЛ„, —2oA + oA+1S&0 при всех k(k=\,2,...
..., п— 1).
Доказать, что все числа ak неположительны.
5.	Даны положительные числа о,, о£,..., ат, bv
Ьг,..., Ьп, причем 0,4-0, +...+am = fe1 + &2 +
Доказать, что в пустую таблицу из т строк и п столбцов
можно поставить не более чем m + n—1 положительное
число так, чтобы суммы чисел по строкам равнялись
о,, о£	ат, а суммы чисел по столбцам равнялись
bv Ьг.... Ьп.
23
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ.
§ 1-
1.	Первое решение. Докажем сначала, что простое число
рЗгб при делении на 6 дает в остатке 1 или 5, т. е. представляется
в виде 6А+1 или 67г + 5, где k—целое.
Действительно, если число р?г5 дает при делении на 6 оста-
ток, равный 2,3 или 4, то оно либо четно, либо делится иа 3 и,
значит, не может быть простым. Используя доказанное утвержде-
ние, в случае р = 6&+1 немедленно получаем (6k -j-1)2—1 =
= 12Л(3& + 1); далее легко видеть, что одно из чисел k и 3/г 1
четно, а это и означает, что р2—1 делится на 24. Случай р = 6& + 5
рассматривается аналогично.
Второе решение. Рассмотрим числа р—1, р, р + 1. Так
как р^5—простое, то р—1 и р + 1 — четные и, значит, одно из
иих делится на 4, т. е. р2—1 делится на 8. Далее, одно из чисел
р — 1, р, р + 1 делится на 3 (это три последовательных целых
числа), а так как р«г5 простое, то либо р—1, либо р + 1 делит-
ся на 3.
2.	р==3. Если р+3, то 14р2+1 делится на 3. В самом деле,
p = 3fe+l или р = ЗА—1; возводя в квадрат, получаем, что р2—
=9A2 + 6fe+l или р2 = 9й2—6&+1, а это значит, что остаток от
деления числа р2 на 3 равен 1.
Отсюда следует, что 14р2+1 делится на 3 при любом р, не де-
лящемся на 3, т. е. не является простым числом. Если же р = 3, то
число 14р2+1 = 127 простое.
3.	Воспользуйтесь тем, что если ab—N, то либо	либо
Ь^УТГ.
4.	Рассмотрим, какие остатки дают числа 2, 22, 2’,..., 2”,...
при делении на 3 и па 5; получаем:
а)	2, 1, 2, 1, ...;
Ь)	2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 1..
Теперь заметим, что при п, делящемся на 4, остаток от деле-
ния числа 2" на 5 равен 1, кроме того, остаток от деления 2” на
3 при четном п также равен 1.
Отсюда следует, что оба искомых остатка равны 1.
5.	а) Число 2”—1, если п>1, при делении на 4дает востатке 3.
Докажите, что квадрат целого числа при делении на- 4 дает в ос-
татке 0 или 1, При п—1, 21—1 = 1—квадрат.
24
b) Если 2”+l—квадрат, то 2”+l=fe2 и 2" = (fe-4~l) (й—1),
т. е. &+ 1 =2г, k —1=2™. Отсюда, вычитая из первого числа вто-
рое, получаем 2 = 2Z—2™, откуда видно, что т—1, I—т=1 или
т=1, 1 — 2, т. е. п = 3.
6.	Ответ: 0, 1,8. Если число п делится на 3, то п* делится на 9.
Если п не делится на 3, то п = 3^ + 1 или n = 3k-[-2. Осталь-
ное ясно.
7.	Пользуясь результатом предыдущей задачи, докажите, что
числа вида 9/г + 4 и 9^+5 не представимы в виде суммы трех ку-
бов ни при каких целых k.
8.	Если р не просто, то p — k l и число 2й—1 легко раскла-
дывается на множители:
2й—1 =(2ft—1)	+2ft(<-t> 4- ... 4-2*+ 1].
9.	Если п не является степенью двух, то п — 21п', где п'>1
нечетно, тогда 2” + 1=(2г/)” 4-1 делится на 22< + l.
(Воспользуйтесь тем, что xk-[-yf! при нечетном k Делится на
*+Р-)
10.	72п—42” = (72)"—(42)". Воспользуйтесь теперь тем, что
*—yk делится на х—у при любом натуральном k
11.	При п четном. Заметим, что 323=17-19. Определим, какой
остаток дает число 20”+ 16”—3"—1 при делении на 17 и 19, и
докажем, что при четных п оба остатка равны 0, а при нечетных п
не равны нулю Найдем, например, какой остаток дает число, ука-
занное в условии задачи, при делении на 19. Имеем: 20 дает в ос-
татке 1, 16 дает в остатке—3 и, значит, 20” +16”—3”—1 дает тот
же остаток, что и
1" + (—3)"—3”—1=3”[(-1)”— 1].
Рассматривая аналогично остаток от деления заданного числа
на 17, легко получаем, что при четном п это число делится на 17
и на 19, а при п нечетном—не делится.
12.	п5—5п’ + 4п = (п—2) (п—1) п (n + 1) (п +2). Среди пяти
последовательных целых чисел найдутся два четных числа 2k и
2k +2, из них одно делится иа 4 и, значит, их произведение,
а вместе с ним и все число делится на 8. Среди любых трех после-
довательных целых чисел найдется число, делящееся на 3, а среди
любых пяти последовательных целых чисел—делящееся иа 5.
Откуда и следует утверждение задачи (120 = 8-5-3).
13.	Прежде всего заметим, что в данной прогрессии не может
встретиться ии одно из простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13. В самом
деле, если бы какое-либо из этих чисел (например, 13) встретилось
среди данных, то первый член р, прогрессии был бы равен одному
из чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13. Тогда число Pi + Pid тоже было бы
членом прогрессии и, значит, было бы простым. Далее докажем,
что разность прогрессии d должна делиться на 2, 3, 5, 7, 11, 13.
Докажем, например, что d делится на 13. Пусть по-прежнему
Pi—первый член данной прогрессии. Тогда все числа
Pi, Pi + d, Pi+2d, .... p, + 12d
простые.
Предположим, что d ие делится иа 13; тогда все числа р,,
pt + d... Pt + 12d дают при делении иа 13 различные остатки,
т, е. одно из них делится на 13. Точно так же доказывается, что
25
d делится на 2, 3, 5, 7, 11. А так как d делится на все простые
числа, не большие 13, тс оно ие меньше, чем 2-3-5-7-11-13 = 36030.
14.	52'‘+' + 3'‘+£.2'!~1 = 5-25'! + 27-6п-'. Число 25 при делении
иа 19 дает в остатке 6. Значит, наше число дает при делении иа
19 тот же остаток, что и 5-6” + 27-б"-1 = 57-б"-!, а последнее
число всегда делится на 19.
15.	Представьте число в виде 10a + fe, где b—его последняя
цифра, и возведите в квадрат.
16.	Не может. Используйте результат предыдущей задачи.
17.	Разложите многочлен п4+4 = (п2 + 2)£—(2п)£ на множители.
18.	Число a’ + 63+cs—а—b—с = а(а—1)(о+1) + 6(6— 1)х
X (b + 1) + с (с—1) (с+1) всегда делится на 6. Значит, а’ + Ь’+с’
и a + fe + c делятся или не делятся на 6 одновременно.
то т2 ! т ,	_ (т + 1) (ш + 2)
У +	6"	6
20.	Определите сумму цифр указанного числа и убедитесь, что
оно делится на 3 и не делится на 9 и, значит, не может быть
полным квадратом.
21.	Сравните остатки от деления иа 3 числа 2" и его послед-
ней цифры. Эти остатки в случае, когда последняя цифра числа 2”
отлична от 6, совпадают, а это значит, что число а делится на 3.
22.	Определите, какой остаток дает общее число листов бумаги
при делении на 9, и используйте то, что разрезание на 10 частей
одного листа бумаги увеличивает общее число листов на 9 и, сле-
довательно, остаток от деления общего числа листов бумаги на 9 ие
изменяется. Числа же 15 и 1963 дают при делении на 9 разные
остатки.
23.	2-3-5-7-11 + 1=2311.
24.	2-3-5-...-₽„+!.
25.	Если бы множество простых чисел было конечно, то число
РхРгРз- -Р« +1. гДе PiPiPs-• -Рп—произведение всех простых чисел—
было бы составным и, следовательно, делилось бы иа одно из них.
26.	Рассмотрите число 1-2-3-4-...-(А + 1) = (А + 1)1; тогда все
числа (А + 1)1+2, (А + 1)1+3..... (А	+ 1)! + А + 1 составные.
27.	Пусть существует конечное число таких простых чисел.
Рассмотрите число 4р1р2...р„—1 (где р,р2.. .рп—произведение всех
простых чисел вида 4Л + 3). Докажите, что это число имеет простой
делитель вида 4/г +3, который отличен от pt, р2,..., р„, или само
просто.
28.	Рассмотрим все числа вида А2, где А—целое, и докажем,
что существует бесконечно много таких чисел, не представимых
в виде, указанном в условии задачи. Пусть А£ = р + п£, тогда
(А—п)(А + «) = р; так как р простое, то А—п—1, т. е. p = 4.N—1,
и, значит, для того чтобы число А2 представлялось в указанном
виде, необходимо, чтобы число 2А—1 было простым. Ясно, что
существует бесконечно много целых чисел А, для которых число
2 А — 1 — составное.
29.	(22°+ 1) (22,+ 1) (222+ 1).. ,(2£"+ 1) = (2—1)(2£0 + l)(2£l+ 1)...
... =(2£ — 1) (22+ 1) (22“ + 1)... = (24— 1) (24+ 1)... =22П+1 —1.
30.	Используя результат предыдущей задачи, получаем
(22" + 1)—2 = 22"—1 = (2 + I) (2£’ + 1) (222 + 1)...(22"* + !),
26
т. е.
22” 4- 1 = (2 + 1) (22,+1) (22> + !)• (22"~' + 1) + 2,
откуда и следует утверждение задачи. А поскольку всякие два
числа вида 22” + 1 взаимно просты, то либо число 22"+1 просто,
либо имеет простой делитель, па который не делится ни одно дру-
гое число последовательности 22” 1. Отсюда легко следует утвер-
ждение задачи 26.
31.	а) [-1,51 = -2; [-у] =~ 1
[3,99] = 3.
kci
b) 1. Очевидно. 2. Заметим, что —
b
=2>,
а, где Cfeacl;
= Л Г-^-j +^Р‘> отсюда непо-
средственио следует, что
32. Все целые числа д, 2<;,
д ие больше N и делятся
на ч’ ([v]+ *)4>N'
33.	Если -ySsm, где т и Ь—целые числа (fe>0, m^O), то и
[о]
~^т.
b
34.	В соответствии с результатом задачи 32 имеется ровно
[п 1	Г П1
— чисел, не превосходящих п и делящихся иа р, |-2-| — деля-
Г nl
щихся иа р2, —делящихся на р2, и т. д. Для определения
степени р, на которую делится п!, нужно все эти числа сложить.
Здесь k таково, что pk^,n, рк+'>п. т. е. -«ггт| =0.
LpK+1J
35.	Наибольшая степень числа р, иа которую делится nl, равна
Докажем, что это число меньше п. Действительно,
36. Пусть р—любое простое число. В силу результата задачи 34
наибольшая степень числа р, на которую делится (я!)!, равна
27
37. По условию задачи
+ ... Используя формулу задачи 31, получаем:
+ .. .^(п-1)
0 = ^6+ г„ где 0<rt<b;
b=Wi+rtr где 0<г2<г1;
г^У^г + г» где 0<г5<г2;
гт-г = 4mrm-i + rm, где 0<rm<rm_v
последовательность натуральных чисел b, rt, г2, rt.гт—убываю-
щая, а это и означает, что процесс последовательного деления
в конце концов оборвется, т. е. один из остатков гт_, будет де-
литься на гт, или гт_2=дт+1гт.
Наша цепочка равенств принимает теперь следующий вид:
a = 9i* + g;
*=‘72''i+'-s;
—2 gmfm — 1 +^m»
rm — 1 = 4m+lrm-
Теперь докажите, что rm делится на любой общий делитель
чисел а и b и, наоборот, гт является общим делителем чисел а и Ь.
А это и значит, что гт—НОД а и Ъ. Настоящая задача дает про-
стой и удобный способ нахождения НОД двух чисел. Этот способ
называется алгоритмом Евклида.
38.	Выразить гт через а и Ь, используя цепочку равенств
предыдущей задачи.
39.	Пользуясь алгоритмом Евклида, докажите, что НОД чисел
2-р-1 и 29”1 равен 2d-1, где d—НОД р и д.
40.	Подставляя в уравнение хт=уп вместо х и у их раз ложе-
ния на простые множители: х=р'‘р"2.. ,р"г; у = р' р*...р‘гТ, по-
лучим р+т р^т... р^т = pz/n р'2П... р1;п.
Сравнивая показатели при р, в обеих частях равенства, полу-
.	,	ki п
чаем = т. е. -j—=—; поскольку т и п взаимно просты,
„ п
дробь — несократима, следовательно,
kt = dln, lt = dlm,
где dt—некоторое целое число.
Точно так же доказывается, что
k2 = d2n, l2 = d2m,
kr = drn, lr = drm,
где d2,.... dr—некоторые целые числа,
28
Если обозначить через t число р,1 р^2.. .р,г, то из полученных
равенств видно, что x = Z", y — tm.
Очевидно, что при любом целом ( = 0, +1, ±2,... формулы
x — tm, y = tn дают решение уравнения хт=уп; мы доказали выше,
что любое решение представляется в таком виде, т. е. что эти
формулы дают все решения уравнения хт=-уп.
41,	Пусть 1g 2 = —. Тогда 10т = 2”, что невозможно при це-
лых т и п.
42.	Если logfl6 = -^—целые взаимно простые числа, то aP—ifl.
Из задачи 40 следует, что существует целое положительное
t такое, что а =	b = tP.
8 2.
43.	При делении на п любое число дает в остатке одно из
чисел 0,1, 2... п—1, т. е. существует всего п различных остат-
ков. Поэтому среди «4-1 числа найдутся два, дающие одинаковые
остатки при делении иа п. Разность этих чисел делится на п.
44.	Рассмотреть числа 1, 11, 111. 11. ..1, после чего задача
п+1
сводится к предыдущей.
45.	Рассмотреть числа, получающиеся из одного, двух, трех.
1964 чисел М, написанных подряд, как в предыдущей задаче.
46.	Пусть л,, хя,..., х1000—эти числа. Рассмотреть остатки от
деления на 1000 чисел
4“	-|- хя,...,	-р х2	.. 4- xioo0-
Либо среди этих остатков встречается 0, либо найдутся две суммы,
дающие одинаковые остатки. Далее решение проводится так же,
как в задаче 43.
47.	Существует лишь конечное число (104) различных наборов
четырех цифр, поэтому в нашей последовательности встретятся два
одинаковых набора; другими словами, найдутся два таких но.мера
п0 и «04С что числа 6П° и 6''“ | z имеют одинаковые последние
4 цифры (б”"^7—6'l°=104-m, где т—целое). Но тогда, конечно,
у чисел б”1' 1' и б'10"*’74 последние цифры тоже будут одинако-
выми (6'г°+*+1—6'г‘,+1 = 104-6пг) и вообще у чисел 6" и 6"+z при
любом п>п0 четыре последние цифры тоже будут одинаковыми
(6"+*— 6"= Ю4-6”“”°).
48.	Можно. В последовательности 3, З2,..., 3" встретятся два
числа, имеющие одинаковые последние 4 цифры: З4 и 3Z, k<l,
Зг—3*=104-m. Нетрудно показать, что 3l~k—искомая степень 3,
т. е. что 3l~k—1 = 10*-»?!, где /п,—целое.
49.	Следует рассуждать так же, как при решении задачи 47.
Среди 10’4-1 членов ряда обязательно встретятся две пары сосед-
них членов с соответственно одинаковыми последними тремя циф-
рами (всего комбинаций из двух трехзвачных чисел 106). Но нетрудно
видеть, что по известным трем последним цифрам у пары соседних
29
членов ряда определяются три последние цифры у следующих за ни-
ми членов ряда и у предшествующих им членов ряда. Отсюда следует,
что последовательность трех последних цифр — периодическая и пе-
риод ие больше 10"+1. Но, продолжая ее влево с самого начала,
мы получили бы числа 999, 001, 000, 001, 001. Отсюда следует вто-
рое утверждение задачи.
50.	Рассмотреть 25 пар чисел (1,2) (2,4) (3,6) (4,8) ... (25,50) и
доказать, что среди любых 26 натуральных чисел от 1 до 50 неко-
торая из этих пар содержится целиком. Для 25 чисел утверждение
задачи ие верно, пример—числа 26, 27, . . ., 50.
51.	Пусть 0<а1<а2< ... <а„+1 —эти числа. Рассмотреть п чи-
сел а2—at, а, — а1; ..., an+t—а, и п чисел а2, а8, ..., ап+1. По-
скольку все они меньше 2п, найдется число из первой группы,
равное некоторому числу из второй группы: ak—щ — откуда
ak=ai + ai-
52.	На площади 1 кмх 1 км можно разместить 4560 прямоуголь-
ников 10 л«х20 м—95 по одной стороне и 48 по другой, так что
между ними останутся полоски шириной больше 0,5 м- так как в
лесу всего 4500 деревьев, найдется не меньше 60 из этих прямо-
угольников, на которых не растет ни одного дерева.
§ 3.
53.	Стороны ВС и AD перенесите параллельно самим себе так,
чтобы точки В и А соответственно попали в точку М. Соедините
концы С и D' полученных отрезков и докажите, что MN будет
медианой AMCD'. Затем докажите, что медиана MN треугольника
Л Г) I кг
MCD' меньше полусуммы сторон AD' и /ИС', т е меньше.-—.
54.	Перенесите окружность в направлении, параллельном пря-
мой I, иа расстояние а.
55.	На прямой /, имеются две точки А и С, расстояние от
которых до /£ равно а. Аналогично, на прямой 12 имеются две
точки В и D, расстояние от каждой из которых до I, равно а. Ис-
комым геометрическим местом является контур прямоугольника
ABCD с вершинами в этих точках.
t .	56. Поверните окруж-
F В/	п ность S вокруг точки А иа
v---уг--------ууи 180°.
//	57. Пусть A BCD-—дан-
уХ /	F** / иый четырехугольник. То-
\ Is' /	гда отрезки, соединяющие
/	/	середины сторон АВ и ВС,
/	/	BD и CD, параллельны диа-
у/\ЛГ / X	гоиали АС и равны ее по-
у//^	/лови не.
_____________I \	58. Отрезок между точ-
и	С F	ками пересечения искомой
р ,	прямой со сторонами угла
должен делиться в точке А
пополам. Докажем это. Рас-
смотрим Д DBC такой, что его сторона ВС проходит через точку А
и АВ = АС (см. рис. 1). Пусть Д OEF—любой треугольник, такой,
что его сторона EF проходит через точку А (ОЕ<ОВ). Докажем,
30
что S ДОЕ/7>5ДОВС. Действительно, S^ABE<S^AFC< так как
5ДAFC^S&AF’B (F' такова> что отрезок BF' параллелен и ра-
вен CF). Кроме того, S^0EF = S^0BC—S^AEB + S^ACF>S^B0C ,
тем самым доказано, что £±ОВС имеет наименьшую возможную
площадь. Построение ВС видно из чертежа (ОД = ДЕ>, BD || ОС).
59.	Возьмите произвольную точку на одной из окружностей и
поверните на 60э вокруг этой точки любую из остальных окруж-
ностей.
60.	Пусть О,, О2, О3 и 04— центры квадратов, построенных на
сторонах АВ. ВС, CD н AD параллелограмма ABCD. Докажите,
что при повороте на 90° вокруг точки О2 точка О, совпадает с О,.
61.	Можно считать, что отрезок О А фиксирован. Тогда вершины
всевозможных треугольников ОАВ, сторона ОВ которых равна Ь,
лежат на окружности S с центром в точке А и радиусом, равным
Ь. Геометрическим местом вершин С равносторонних треугольников
АВС является окружность, получающаяся путем поворота окруж-
ности S вокруг точки А на угол, равный 60°. Отсюда видно, что
ОС будет максимальным для случая, когда ОС = a-\-b, а / АОВ = 120°.
Минимум ОС равен а—b (если а>Ь) и достигается, когда / АОВ = 60°.
62.	Поверните Д В'ВВ" на 90° вокруг точки В.
63.	Поверните квадрат вокруг точки Р на 60°.
64.	Рассмотрите точку Д', симметричную точке А относительно
прямой I. Точка X получается как точка пересечения прямой А'В с
прямой I.
65.	Пусть Д' и Д"—точки, симметричные точке А относительно
сторон данного угла. Точки пересечения отрезка А'А" со сторонами
угла дают вершины искомого треугольника.
66.	На каждой из сторон угла отложите от его вершины от-
резки, равные^- . Проведите окружность, касающуюся сторон угла
в концах этих отрезков. Решение задачи дает касательная к этой
окружности, проходящая через точку А и пересекающая обе сто-
роны угла в точках, лежащих между точками касания сторон угла
с окружностью и вершиной.
67.	Постройте точку В', симметричную точке В относительно
прямой MN, затем постройте окружность с центром в точке В',
касающуюся прямой MN. Точка X пересечения MN и касательной
к этой окружности, проведенной из точки А, является искомой.
68.	а) Можно; Ь) можно.
69.	Дуга окружности. Считая, что задан угол при вершине,
определить угол между биссектрисами углов прн основании.
70.	Пусть О—центр данной окружности S и S'—окружность,
построенная на отрезке ДО как на диаметре. Искомое геометриче-
ское место точек состоит нз тех точек окружности S', которые
лежат внутри данной окружности S.
71.	Пусть О—центр окружности МВС. О,—центр окружности
ABC, N—середина ВМ, L—точка пересечения ON и BD. Докажите,
что ДОО]£—равнобедренный.
72.	Пусть даны ДДВС и сектор круга радиуса R с централь-
ным углом а. Вместо того чтобы вписывать Д АВС в сектор, опи-
шите вокруг данного треугольника сектор, равный данному. Для
этого на каждой из сторон треугольника постройте сегмент, вме-
81
щающий угол а, и найдите на дуге каждого из сегментов точки,
расстояние которых до противоположной вершины равно 7?. Эти
точки и дадут нужные положения вершин сектора, Задача имеет
не более 6 решений.
73.	Пусть 01 и 02—центры данных окружностей, а I—произ-
вольная прямая, проходящая через точку А и пересекающая Sj
в точке Ви a S2—в точке Вг. Проведите через О! прямую, парал-
лельную Z, и из точки Ог опустите на нее перпендикуляр ОгК-
Докажите затем, что (\К равен половине отрезка ВАВ^. После этого
построение требуемой прямой уже не вызывает затруднений.
74.	Пусть данный треугольник имеет углы а, Р, у и стороны
а, Ь, с. На отрезках М^Мг, M2MS постройте дуги, вмещающие соот-
ветственно углы а и Р (или а и у, р и у); дополните эти дуги до
окружностей, затем воспользуйтесь предыдущей задачей.
75.	Задача сводится к предыдущей.
76.	Искомым геометрическим местом при k А 1 является окруж-
ность, построенная, как на диаметре, на отрезке К\Кг, где точки
и лежат на прямой АВ и таковы, что
АК, _АКг_.
BKt ВКг
Для доказательства рассмотрите ДАТИВ, где М—произвольная
точка искомого геометрического места точек, н проведите биссек-
трисы угла АМВ и соответствующего внешнего угла Докажите
затем, что эти биссектрисы взаимно перпендикулярны и пересекают
прямую АВ в точках Kt и Кг-
77.	Пусть X—точка касания искомой окружности н прямой Z,
М — точка пересечения прямых АВ и Z (в случае, когда эти прямые
параллельны, точка X легко находится). Легко видеть, что
МВ-МА =АХг, после чего точка X находится без труда.
78.	Найдите геометрическое место точек, из которых данный
отрезок виден под данным углом, и геометрическое место точек, из
которых данная окружность видна под данным углом. Точки пере-
сечения указанных геометрических мест и дают решение задачи.
79.	Докажите сначала что точки, симметричные ортоцентру
относительно сторон треугольника, лежат на окружности, описанной
около этого треугольника, и дуги между ними делятся вершинами
треугольника пополам.
80.	Пусть даны отрезки ha, hb, hc, являющиеся высотами ис-
комого треугольника. Докажите, что треугольник со сторонами hb,
ha и -п—* подобен искомому.
81.	Через точку N проведите прямую, параллельную CD.
Пусть S—точка пересечения этой прямой и АС. Из подобия А АМР
AM АР
и £\PNS получаем: -д7щ = -кб_- Так как из подобия Д ANS н
/V О
/\ACD следует -Tn=-Fpp = -j7r=P> т0 A'S = fC£), AS = pAC и
/\.D	/iC
BS = pAC—АР, и первое равенство
x AM AP
щим образом:
AP _ a₽
AC~ a + p '
Отсюда
переписывается следую-
уже легко получаем, что
32
82.	Возьмите на прямой АВ произвольную точку Q и найдите
затем на прямой ВР точку, расстояние которой до точки Q равно
расстоянию от точки Q до прямой ВС. Затем воспользуйтесь мето-
дом подобия.
83.	Пусть Л, Аг... А„—данная ломаная. Воспользуйтесь
тем, что длина отрезка не превосходит суммы длин его проекций
на две взаимно перпендикулярные прямые.
84.	Пусть О—точка пересечения двух данных взаимно перпен-
дикулярных прямых. Искомое геометрическое место состоит из
тех точек круга радиуса 1 с центром в точке О, которые лежат
вне квадрата с вершинами в точках пересечения окружности этого
круга с данными прямыми. Для доказательства воспользуйтесь
результатом предыдущей задачи и найдите геометрическое место
точек, сумма расстояний которых до данных прямых равна 1.
85.	Прежде всего докажите, что если lt и 1г — оси симметрии
некоторой фигуры, то прямая симметричная прямой относи-
тельно /2, также будет осью симметрии этой фигуры. Затем дока-
жите, что если какие-то 3 оси симметрии не пересекаются в одной
точке, т. е. образуют треугольник, то симметричными отражениями
этого треугольника относительно его сторон можно получить бес-
конечно много различных осей симметрии, чего быть ие может.
86.	Пусть А, В и С—данные точки. Если ДЛВС—тупоуголь-
ный или прямоугольный, то круг с центром в середине стороны,
лежащей против тупого или прямого угла, и радиусом, равным
половине этой стороны, будет содержать все три точки А, В а С.
Ясно при этом, что радиус его не больше —<-т=. Если ДЛВС—
* уз
остроугольный и 7?— радиус его описанного круга, то поскольку
одна из дуг — АВ, ВС, АС больше 120°, а соответствующая
хорда не больше 1, то -4= .
/3
87.	а) Заключим все эти точки в какой-нибудь круг и будем
его сжимать (в случае надобности передвигая центр). Нам не
удастся уменьшить радиус круга только в одном из следующих
случаев: 1) две нз данных точек являются диаметрально противо-
положными точками круга; 2) три из данных точек образуют
остроугольный треугольник, вписанный в этот круг. Но трн (и, тем
более, две) точки, по условию, можно заключить в круг радиуса г,
поэтому в обоих случаях радиус круга, который мы получим, не
больше г.
Ь) Непосредственно следует из результатов задачи а) и преды-
дущей задачи.
88.	Полоса, которая присоединяется к многоугольнику, состоит
из прямоугольников высоты I, построенных на сторонах, и остаю-
щихся около каждой вершины четырехугольников.. Сумма площадей
прямоугольников равна 12. Четырехугольники можно параллельно
сдвинуть так, что они составят один многоугольник, описанный
около круга радиуса 1, поэтому сумма их площадей больше л>3.
89.	Соединить точку М с вершинами многоугольника и рас-
смотреть площади получившихся треугольников.
90.	а) Точку Р можно найти как пересечение двух дуг, вме-
щающих угол 120°, построенных на двух сторонах треугольника.
33
b)	Углы между построенными прямыми равны 60е.
с)	Ясно, что можно ограничиться рассмотрением точек, лежащих
внутри треугольника АВС. Для этих точек сумма расстояний до
вершин А, В, С больше суммы расстояний до сторон построен-
ного равностороннего треугольника, которая согласно предыдущей
задаче постоянна и равна РД-|-РВ + РС.
91.	а) Высота, опущенная на сторону а, не больше Ь.
Ь) Площадь каждого из четырех треугольников, образованных
двумя сторонами и диагональю четырехугольника, оценить, пользуясь
(а). В сумме эти площади составляют удвоенную площадь четырех-
угольника.
92.	В круг радиуса 10 нельзя поместить 400 кругов диаметра
1, не налегающих друг на друга, поскольку сумма их площадей
400-равна площади круга 100 л.
93.	Центр искомого круга не должен располагаться ближе 0,5
к сторонам прямоугольника или к одному из квадратиков. При-
соединив к каждому квадратику 1X1 точки, находящиеся от него
на расстоянии не больше 0,5, получим фигуру (квадрат со скруг-
ленными вершинами) площадью 3 +0,25л. Эти фигуры не могут
покрыть прямоугольник 19x24, даже если они не будут налегать друг
на друга, так как 120(3 +0,25л) < 19x24.
94.	Площадь треугольника DEC равна сумме площадей тре-
угольников ADF и FBC.
95.	Одно из многих возможных решений: выберем одну из этих
точек А; проведем из нее луч и будем, вращая его вокруг верши-
ны А, соединять точки в том порядке, в каком их проходит луч;
первую и последнюю из ннх соединим с точкой А.
96.	Все звенья ломаной разбиваются на пары, пересекающие
друг друга, поэтому их число четно. Один из примеров для п — 6 —
ломаная A^^BiA^B^, где Д„ Д2, А,—вершины правильного
треугольника с центром О; BiB1B,—середины отрезков OAlt ОАг,
ОД8. Из этого примера нетрудно получить примеры для п — 8, 10,
12 и т. д.
97.	Пусть Д,Д2.. .Ап—правильный n-угольник. Рассмотрите
ломаную Д8Д8Д8... (все вершины соединяются через одну).
98.	Возьмите две наиболее далекие точки и постройте два круга
радиуса 1 с центрами в этих точках. Докажите затем, что все точ-
ки лежат внутри этих кругов.
§4.
99.	Эти отрезки являются диагоналями трех параллелограммов,
образованных средними линиями граней.
100.	Нельзя. Рассмотреть самое большое ребро тетраэдра.
101.	Пусть ABCDA'B'C'D'— параллелепипед без прямых плоских
углов. Можно считать, что углы А и А' в основаниях ABCD и
A'B'C'D' тупые, и, следовательно, В и В' острые. Рассматривая
грань АВА'В’, видим, что либо к вершине А прилежат два тупых
угла, а к вершине В—два острых, либо к вершине Д'—два тупых,
а к вершине В'—два острых. Теперь ясно, что, как бы ни распо-
лагались тупые углы в гранях ADD'А' и ВСС'В', ровно в одной
из вершин А, В, Д', В' сходятся три тупых или три острых угла.
34
В вершинах С, D', С, D, в силу симметрии параллелепипеда отно-
сительно центра, плоские углы будут те же самые.
102.	п+1 ребро. Многоугольник, получающийся в сеченин,
не может иметь больше чем п+1 сторону, поскольку число граней
пирамиды n-f-1; с другой стороны, плоскость, проходящая через
середины двух смежных ребер основания и середину высоты пира-
миды, пересекает все ее грани, т. е. п-|- 1 ребро. Для призмы ана- -
логично получается ответ п + 2 ребра.
103.	Одно из возможных решений: многогранник с 7 ребрами
не может иметь граней с 4 (и более) сторонами, н так как 4 сто-
роны грани и еще по крайней мере 4 ребра, выходящие из вер-
шин,—уже 8 ребер; но из треугольников его тоже нельзя составить:
3m
если грани многогранника—т треугольников, то он имеет ——
ребер.
Пример многогранника с 2п ребрами (п^З)—п угольная пи-
рамида, с 2п + 3 ребрами (п5гЗ)—n-угольная пирамида, к одной
из боковых граней которой, как к основанию, приклеен тетраэдр. -
104.	Пусть hv h2,..., hn—расстояния точек Alt Аг, ..., Ап
до данной плоскости. Тогда указанное в задаче произведение равно
в t hn—i я
hn
105.	Любой многоугольник можно разбить на треугольники и
трапеции с основаниями, параллельными горизонтальной плоскости:
для этого достаточно через все его вершины
провести горизонтальные плоскости. Для
этих треугольников н трапеций утвержде-	X.
ние задачи очевидно, поскольку их основа- j'	''Х
ния не изменяются при проектировании, У'^^гтггптттШП^
а высоты умножаются на cos а.	уЖ/
106.	Нужно провести плоскость через	/
концы трех ребер параллелепипеда, выхо- I	/
дящнх из одной вершины А, и расположить \ хЙИу/
его так, чтобы эта плоскость была горизон- ''XMtW'
тальной. Для доказательства достаточно	Хфг'
заметить, что площадь шестиугольника
(рис. 2) — проекции параллелепипеда—все-	ис'
гда в 2 раза больше площади заштрихован-
ного треугольника—проекции сечения параллелепипеда указанной
выше плоскостью (считаем, что вершина А — самая верхняя).
Осталось воспользоваться тем, что площадь
с " ил л проекции треугольника максимальная, когда
\	Ш як	s/	он параллелен	горизонтальной плоскости
\™/ // //////	/	(это следует из	результата предыдущей за-
Шшш/	дачи).
\ Ш1	107. Проекция тетраэдра может иметь
/	вид треугольника или четырехугольника.
В первом случае, очевидно, площадь про-
жv	екции не больше площади одной из граней.
Рис. 3.	Во втором случае (рис. 3) она в два раза
больше площади проекции параллелограм-
ма—сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через середины че-
тырех ребер и параллельной двум остальным. Далее рассуждаем так
35
же, как впредыдущей задаче. Правильную треугольную пирамиду при
т/" з
Ь^а~— нужно располагать так, чтобы одно ребро основания и
л
1/ о
перпендикулярное боковое ребро были горизонтальны, а при &<а
нужно ставить основанием на горизонтальную плоскость (площадь
ab	а2У"3\
проекции в первом случае равна -% , во втором —-— ).
108.	Соединить центр шара с вершинами многогранника и
нантн сумму объемов полученных пирамид.
109.	а) Для существования такого шара необходимо и доста-
точно, чтобы вписанные окружности граней касались каждого
ребра в одной и тон же точке: ребра ДВ—в точке Р, ВС—Q,
CA—R, AD— L, BD—М, CD—N; для точек Р, Q, R, L, М, N
должны выполняться равенства: AP=AR^AL=^a\ BP=BQ=BM=b
и т. д.
Нетрудно показать, что для существования таких точек необхо-
димо и достаточно условие: AB-pCD— AC-\-BD = BC-\- AD [ а —
ГдВ+ДС—ВС^-=~ (AC+AD—CDy, Ь=-1 ^ВД+ВС—Дс) =
(вД+BD —До)=-1 (bC + BD—CD j ит. д.]
Ь)	Если шар касается ребер ДВ, ВС, СД и продолжений ребер
AD, BD и CD, го условие имеет вид: ДВ—CD=BC—AD = CA—BD.
Доказательство аналогично намеченному в а), только три вписан-
ные окружности заменяются вневписанными.
с)	Непосредственно из полученных условий следует, что два
шара типа Ь) существуют тогда и только тогда, когда противопо-
ложные ребра равны; при этом существуют и два других шара
типа Ь). Шар а) и один из шаров Ь) существуют только для пра-
вильных пирамид [шар Ь) касается ребер основания].
d)	следует из с).
110.	Отношение расстояний точки М до плоскостей ДВС н
А'В'С равно отношению площадей треугольников А'В'С н ДВС.
Искомым геометрическим местом будут две плоскости, проходящие
через линию пересечения плоскостей треугольников ДВС и А'В'С
(строго говоря, нужно исключить линию их пересечения).
111.	Пусть Д' н В' — проекции точек А и В на плоскость. Нас
интересуют те точки М, для которых А'М-.В'М = А' А-.В'В. Геомет-
рическим местом точек М будет окружность (или прямая, если
Д'Д=В'В; см. задачу № 76).
112.	Проведем нз точки Р касательные РА н РВ к окружности
С. Пусть С—центр окружности, D—пересечение отрезков ДВ н
СР. Искомым геометрическим местом является окружность, постро-
енная на отрезке DP, как на диаметре, в плоскости, перпендику-
лярной к данной, с исключенной точкой Р. Для доказательства
достаточно заметить, что любая окружность касания сферы и ко-
нуса проходит через точки Д и В, т. е. плоскость этой окружности
вращается вокруг прямой ДВ, а РМ—перпендикуляр к этой плос-
кости. Другое решение задачи можно получить, сведя ее к плани-
метрической задаче в плоскости, перпендикулярной данной н про-
ходящей через точки Р и С.
36
113.	Следует продолжить две пары плоскостей противополож-
ных граней угла до пересечения и провести плоскость, параллельную
двум получившимся прямым.
114.	Построение треугольника со сторонами a, Ь, с сводится к
решению системы уравнений:
откуда
X2-j-t/2 = fi2, 4/2-}-Zz=£2, z2+x2 = cz,
2	a2~f~c2—If 2	а2+&2—с2 2	—а2
Х =-------5---- • * =-------2----- 2 =-------2----
§ 5.
115.	При п—1 число 4”+15п—1 = 18 делится на 9. Предполо-
жим, что 4"+15п—1 делится на 9 при некотором п.
Докажем, что это будет верно и при п на 1 большем, т. е, что
4"+* + 15 (n+ 1)—1 также делится на 9. Для этого достаточно вос-
пользоваться равенством 4n+1 + 15 (n + 1) —1=4 (4" +15п — 1)—45/г -J-
+18.
116.	Непосредственной проверкой по индукции нужно доказать,
что 1+2 + 3+... + n=^^ilL 1’+2’ + 3’+ ... +п’ =
Гп (п +1)1 ’
- L 2 J ’
117.	При п=1 имеет место равенство . Предположим,
1,1,1.	,1 п
что выполнено неравенство -^- + — + — + •••
х-Дт каждое из 2" слагаемых заменить
Если в
сУмме2«-|-1 +2" + 2
1 1 , 1 , , 1
меньшим то сумма уменьшится:	+^-^+ ... + ^+1
1 1 , 1 , 1 ,
> чу > сложив это неравенство с первым, получим:—+ -^- + — + .
Л о 4
-к 1	1 — "+1
••• ”I“2'!+I	2 ~г 2	2 ’
118.	Сумма равна С^ф}. Доказательство основано на том, что
гт । ст+'_____/-т+1
с„+1 "г ь «4-1 ~	•
119.	а4 = 3 делится на 3. Если а4П делится на 3, то а9п+9 +
+ аап+2 = 2а4п+2 + а9п+1 = За9п+1 + 2а4П делится иа 3.
120.	Предположим, что мы умеем составлять любой вес до
(2”+1 — 1) Г из гирь 1Г, 2Г,..., 2пГ. Пусть теперь М—любое целое
число от 2”+1 — 1 до 2"+!—1. Тогда Л4—2П+1 не больше 2"+2—
—2n+1—l = 2n+I—1, поэтому вес М можно составить из гнрь 1Г,
2Г, 4Г,..., 2пГ, 2п+1Г. Утверждение доказано по индукции.
121.	Задача решается аналогично предыдущей. Если М—любое
3"+*	3«+2_1	з«+1_ 1
число от ——р I до -----------, то или —=----< М 3 п +’ н тогда
Z	z	Л
37
i	3"+2—1
0^3n+1—M(3"+1—1), нлн 3"+1<7И^—-------------------- и Т0ГДа
О < /И—3"+* < ~ (Зи+' — 1).
122.	а) 32”+1 — 1 = (ЗгТ— 1 = (3’Я—1)(32”+1). При п=1
утверждение справедливо. Предположим, что З2”—1 делится на2и+2.
Так как 32"+1 делится на 2, то 32"+1— 1 =( З2”-)-1) ( З2"—1) де-
лится на 2"+’, С другой стороны, можно считать доказанным, что
З2 —1 не делится на 2"+*. Но З2 +1 не делится на 4, так как
(З2 + 1)—2 = 32 —1 делится на 4 (даже на 4-2"); отсюда следует,
что 32"+‘—1 не делится на 2П+4.
Ь) Решение точно такое же, как в а); нужно воспользоваться
формулой 2’"+1 + 1 = (2а")’+1 = (2’"+2’"+1)= (22”+1)Х
Х[(2’"+1)2—3-2’ ]. Выражение в квадратных скобках делится на 3
и не делится на 9.
123.	111.. .1=Д„-111.. .1,где Ап= 100.. .0100.. .01 (между двумя
371+1	зп
соседними единицами 3"—1 нуль), Ап делится на 3 и не делится
на 9 (сумма цифр Ап равна 3), поэтому по индукции заключаем, что
111...1 делится на 3" и не делится на 3"+1.
124.	Можно считать, что п точек соединены между собой и
образуют выпуклый многоугольник, разбитый на треугольники,
п-]-1-ю точку соединяем отрезками с теми точками, которые вид-
ны из нее (т. е. не заслонены от нее уже проведенными отрезками).
125.	Воспользоваться следующим правилом: из нескольких от-
резков можно сложить многоугольник тогда и только тогда, когда
самый большой среди них меньше суммы остальных.
126.	Индукция по числу столбцов. Нетрудно показать, что в
любой таблице Зх» можно перестановкой фишек в строках добиться
того, что в первом столбце будут стоять фишки разных цветов.
127.	Рассматривая ломаную, состоящую из п -)-1 звена, заме-
нить два смежных звена АВ и ВС одним АС и воспользоваться тем,
что в трехгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух,
других.
128.	а) НаП - + 1 частей. Одна прямая делит плоскость на
две части; (п-|-1)-я прямая пересекается с другими в п точках,
т. е. рассекает пополам п -)-1 из имеющихся частей.
Ь) (п-|-1)-я плоскость пересекается с предыдущими по п пря-
n(n-)-l) ,
мым общего положения, которыми она рассекается на----—-+I
,	п (п +1)
часть. Следовательно, (п + 1)-я плоскость прибавляет-g--- но-
пг 4- 5п
вую часть в пространстве. Проверка формулы—g----1-1: при п—1
ns -f- 5п , . п (п +1) , , (»4-1)’ + 5(п+1)
получаем 2 части, —g—+1 -|----------1-1 —-------g--------f-1.
38
129.	Пусть области, на которые разбивают плоскость п окруж-
ностей, раскрашены так, как требуется в задаче. Проведем произ-
вольную (« + 1)-ю окружность. Если заменить внутри этой окру-
жности цвет областей иа противоположный, то полученная раскраска
плоскости будет удовлетворять условиям задачи.
130.	Воспользоваться тем, что а"+14—ятт=(	I X
а +	\ a j
Х (в + 4')“(аП~1 + ^)-
131.	Предположим, что п шахматистов размещены в требуемом
порядке. Место (/г-|-1)-го шахматиста можно определить следующим
образом: если он не проиграл никому, то ставим его вначале, а в
остальных случаях ставим его после самого последнего (по номеру)
нз тех, кому он проиграл.
132.	а) 0,0,+^,+ ... + а2п_1агп;
Ь)	о,а
2П + ^2а2П — 1 + ...+а„ап+1;
с)	(«! + а2„) (а2 + «гп _ J.. - (а„ + ап+,);
d)	(а, + а2) (as + aj • • • (а2и _ 1 + агп).
Доказательства аналогичны. Докажем, например, Ь). Дляп=1
очевидно. Предположим, что для 2п чисел утверждение доказано, и
докажем его справедливость для 2(п + 1) чисел a0<at<a2<... <а2п+1.
Покажем, что а0 н агп+1 всегда выгоднее объединить в пару между
собой, чем с какнмн-либо другими числами aAaz.
Действительно, a0a2„+1-)-aftaz < аоаА4-а2п+1аг, так как
(at—а0)(агп+1—ak)>0. Поэтому наименьшая сумма произведений
имеет вид а0-а2гг+1-|-..., но по предположению индукции остальные
2п чисел выгоднее объединить так же: aIaen-\-a2asn_1-\- .. ,-]-anan_t.
183.	Доказательство подобно предыдущему. Пусть Xj+...-f-
+ хп+1 = (и-|-1) а. Можно считать, что не все числа х1,	, хп+1
равны а. Пусть, например, х, > а, х2 < а. Заменим xl = a + d на а
н х2 на x2 — x2-[-d, тогда произведение х,х2 увеличится, так как
(a-J-d) хг < a (x2 + d), следовательно, и все произведение х,-х2.. .х„+1
увеличится: х,х2 ... хп < ахг ... хп, хотя сумма чисел не измени-
лась: а + х'2 + х,+ ... + х„=а («+ 1). Но для п чисел х2......
сумма которых равна па, мы можем считать доказанным, что их
произведение максимально, когда они все равны а. Поэтому
х2хг ... х„+1<а”, т. е. х,х2 ... х„ < ах2 ... х„<а"+*. Утвер-
ждение доказано по индукции.
Неравенство, указанное в задаче, достаточно записать в виде
/х1 + хг4- ... +х,Д"
Х!-х2 ... х„<1----------------, чтооы свести его к доказан-
ному утверждению.
134.	а) Для доказательства достаточно заметить, что за два
шага числа, стоящие на нечетных местах (и числа, стоящие на чет-
ных местах), преобразуются, как строка нз 2П-* единиц и минус
единиц по аналогичному правилу: б/„ Us.....{Д’1—i преобразуется
в UJJs, Usllt, ... , L/»"—it/j. Будем считать доказанным, что лю-
бая строка нз 2" 1 единиц и минус единиц за 2"“' шагов превра-
щается в строку из одних единиц, отсюда сразу заключаем, что
39
через 2”-1 пару шагов на нечетных (и точно так же на четных)
местах будут стоять одни (+ 1).
Ь)	Перед тем как е первый раз получилась строка из единиц,
должна была быть строка из одних минус единиц, а перед ней —
строка, где плюс и минус единицы чередуются (мы считаем, что
они расположены „на окружности", т. е. за последним числом стоит
первое). Но этого, очевидно, в наборе нечетной длины быть не
может.
с)	m = r-2k, где г—нечетно; тогда строка должна состоять из
следующих друг за другом одинаковых групп по 2* единиц и ми-
нус единиц в каждой (т. е. должна иметь период 2к).
Сначала нужно доказать индукцией по k, что через каждые 2*
шагов числа, отстоящие друг от друга на 2ft (т. е. 1-е, (2*-|-1)-е,
(2-2*+ 1)-е и т. д ; 2-е, (2л-|-2)-е, (2• 2*-|-2)-е и т. д. ... ), преоб-
разуются так, как будто они составляют самостоятельную строку
длины г [сравните с a); k— 1]; с помощью Ь) отсюда сразу полу-
чается требуемый результат.
135.	Прежде всего заметим, что если четные числа обозначать
-|-1, а нечетные —1, то указанное в задаче преобразование над
числами в точности соответствует преобразованию строки + 1 н — 1
нз предыдущей задачи. Значит, через несколько шагов все получен-
ные нами числа будут четными: это соответствует тому, что строка
будет состоять из одних 1. С другой стороны, самое большое из
чисел прн операции, указанной в задаче, не может расти. Этих
указаний достаточно для решения задачи. Полное доказательство
можно записать, например, так: для ряда нз одних нулей утверж-
дение очевидно; предположим, что для всех рядов, составленных
из чисел, меньших 2м'1, утверждение доказано, и докажем его для
произвольного ряда чисел, меньших 2m (тл&1). Мы знаем, что
через несколько шагов этот ряд превратится в ряд из четных чисел:
25], 2Ь2	2&2п,	где каждое число меньше 2”, т. е. каждое bk
меньше 2т-1. Но мы предположили по индукции, что ряд bx, bz,
... , Ьг», где все числа меньше 2,л-*, через несколько шагов станет
нулевым. Ясно, что то же самое произойдет и с рядом 2&р 2&г, ..., 262«
§ 6
136.	р отрезков пути направлены вверх, р— вниз, q—вправо,
q — влево. Длина пути равна 2p-\-2q.
137.	Предыдущая задача: p = q
138.	а) Внутри прямоугольника тхп расположено (т—-1) (п—1)
узлов, на его сторонах —(2/п + 2н) узлов.
1)	+ 2	+п^—\ = тп — площади прямоугольника.
Ь)	Пусть г —число узлов внутри трапеции, /,— число узлов на
ее наклонной стороне, /2 — число узлов на остальных сторонах и в
вершинах. Из двух одинаковых трапеций можно составить прямо-
угольник, приложив их наклонными сторонами друг к другу
(рис. 4). Площадь этого прямоугольника в соответствии с а) равна
2/ __________2
2r-p/2-|—-------1. Площадь одной трапеции в 2 раза меньше:
л + ь±Ь-1.
40
с)	Проведем вертикальную прямую в стороне от многоуголь-
ника (рис. 5) и от каждой его вершины проведем горизонтальный
отрезок до этой прямой. Площадь многоугольника равна разности
между площадью трапеций, наклонные стороны которых не видны
Рис. 4.	Рис. 5.
с вертикальной прямой, и площадью трапеций, наклонные стороны
которых видны с вертикальной прямой. Площадь каждой трапеции
определяем согласно Ь). Остается проверить, что при этом каждый
узел внутри многоугольника и на границе считается требуемое
число раз.
139.	а) Нужно определить, сколько существует пар натураль-
ных чисел (х, у), для которых х + у<100 (тогда z=100—х — у).
I. Решение. Пар (х, 1)—98, х=1, 2, 3, ... , 98; пар
(х, 2) —97, х=1, 2, ... , 97 и т. д.; пар (х, 98) — 1, х=1. Всего
пар (х, у), у которых х + у< 100, будет 98 +97 + ... + 2 4-1 =
= (98 + 1)+ <97+ 2)+ (96 + 3)+...+(50+ 49) = 99-49 = 4851.
II. Решение. Каждую пару целых чисел можно изобразить
узлом сетки клетчатой бумаги, именно: „целая точка" (х, у) отстоит
от начальной точки (0, 0) на х клеток по горизонтали и на у по
вертикали. Интересующие нас пары целых чисел (х, у) изобража-
ются „целыми точками", лежащими внутри треугольника х + у < 100,
х > 0, у > 0. Для того чтобы подсчитать их число, воспользуемся
результатом задачи 138. Площадь треугольника х + «/<100, х > 0,
у > 0 равна • 100-100 = 5000; на его сторонах лежит 300 „целых
точек". Пользуясь обозначениями задачи 138, получим:
/+^—1=5000, г = 300, откуда / = 5000 — 5^+1=4851.
Ь) Натуральные числа х, у, 200 — х — у могут служить сторо-
нами треугольника тогда и только тогда, когда
х + «/>200—х—у, х+(200—х—у) > у, у + (200—х—у) > х,
т. е. х + «/> 100, х< 100, у < 100. Число пар целых чисел (х, у),
удовлетворяющих этому условию, равно 4851 [подходит любое из
решений, предложенных для а)]. При таком подсчете треугольники
с тремя разными сторонами (а, Ь, с) считались по 6 раз [при этом
считались различными треугольники: (а, Ь, с), (а, с, Ь), (Ь, с, а),
(Ь, а, с), (с, а, Ь), (с, Ь, а)], а треугольники с двумя равными
сторонами: (2, 99, 99), (4, 98, 98), (6,97, 97), (8, 96, 96),.. .,(98, 51, 51)—
49 штук считались по 3 раза. Поэтому всего разных треугольников
опп «	4851+3-49 1617 + 49
периметра 200 будет;---g----=-----2---“ °33.
41
140.	C^_J. Задача сводится к следующей: выписаны подряд п
единиц, и в п—1 промежуток между ними нужно поставить k — 1
нуль, разделяющий эти единицы иа k групп по нескольку единиц
в каждой: х, в первой группе, х2 во второй и т. д.
141.	а) (т+1)('! + О: из каждого узла внутри и иа сторонах
прямоугольника выходит по одному звену ломаной.
Ь)	Одно из чисел тип должно быть нечетно (см. задачу 136).
Для этого случая легко построить пример.
с)	1 (« + !)(« + !).
142.	С”+„, Занумеруем по порядку числами 1, 2....т-\-п
отрезки произвольной ломаной, идущей из одной вершины прямо-
угольника тхп в противоположную. Ясно, что из т + п номеров
ровно т соответствует горизонтальным отрезкам; при этом, какие
бы т из т + п номеров ни выбрать, существует ломаная, у которой
горизонтальные отрезки стоят как раз на выбранных т местах, и
такая ломаная .определяется однозначно. Но известно, что т эле-
ментов из т-\-п можно выбрать С^.п различными способами.
143.	Если эту сумму представить в виде
Сп’С„-|-С’С"_1+...+С^С®, воспользовавшись тем, что С* =
= C”~fc, то равенство следует из определения числа сочетаний:
разобьем 2п элементов на две кучки по п; тогда, чтобы выбрать из
2п элементов п, нужно или выбрать 0 из первой кучки и п — из
второй, или 1 из первой кучки и (п — 1) — из второй, или 2 из пер-
вой кучки и (п—2) из второй и т. д.
144.	I. Наиболее естественное решение—подсчитать, сколько
существует ломаных, у которых р отрезков направлены вверх,
р — вниз, п—р—вправо и п — р — влево, и просуммировать эти
числа по р. При доказательстве равенства
(2и)!	(2п)1	(2п)!
[п!	[I!]2 [(п- 1)!]2‘Г [2!]г [(п-2)!]2-г ’ " ’г
4.	(2»)! I (2п)! = (С
“[(п —1)!]г[1!]2-Г [п!]2	'
 нужно воспользоваться результатом предыдущей задачи.
II.	Более короткое решение: отметим среди номеров 1, 2, ... , 2п
те п, которым соответствуют отрезки, идущие вправо или вверх
(С"п способов). Независимо от этого можно отметить п номеров, ко-
торым соответствуют отрезки, идущие вправо или вниз (тоже С"п
способов). Ясно, что этим ломаная однозначно определяется. Итак,
общее число способов равно (С",)2.
145.	Число всех замкнутых ломаных, идущих нз А в В, длины
2п—2, равно C2~J2 (рис. 6). Среди них число таких ломаных, ко-
торые в некоторой точке выходят на диагональ, равно С2п^: на
42
каждой из них можно выбрать первую точку М, лежащую иа диа-
гонали, и заменить кусок ломаной AM симметричным—А'М-,
тогда каждой ломаной АМВ будет соответствовать некоторая ломаная
А'МВ и обратно; но число ломаных
длины 2п— 2, соединяющих А' и В,
очевидно, равно C"~2t (мы исполь-
зуем здесь результат задачи 142).
§ 7.
146.	Нельзя. Пусть есть k теле-
фонов, каждый из которых соединен
ровно с т другими. Число km — обя-
зательно четно, так как оно в 2 раза
больше числа проводов, соединяющих
телефоны. Число же 5-1963 — не-
четно.
147.	Воспользуйтесь тем, что сре-
ди 99 последовательных целых чисел
найдется группа из 50 последовательных чисел, последние две
цифры первого из которых равны либо ... 00, либо ... 50.
Пусть сумма цифр такого числа равна а. Тогда легко определить
суммы цифр всех чисел этой группы. Выписывая эти суммы цифр,
получим:
а, а4-1, а4-2, а4-3, ... , а4-9, «4-1, «4-2.....«4-Ю, «4-2,
... , «4-11, ... , «4-13.
Решение задачи получается немедленно, если заметить, что одно из
чисел а, «4-1, «4-2, ... , «4-13 обязательно делится на 14.
Среди 98 последовательных целых чисел может не быть числа,
сумма цифр которого делится на 14. Например, среди 98 чисел
951, 952, .... 1048 нет ии одного такого числа.
148.	Воспользуйтесь тем, что (n!)!== (1-2-3- ... • n)s =
= [п-1] [(«—1)-2]-[(п—2)-3]............. Цп-Й)	(Й4-1)]  
..... [2(п—1)]-[1-п]. После этого докажите, что каждый из сомно-
жителей в квадратных скобках не меньше п
149.	Обойдем окружность против часовой стрелки и вернемся
к начальной точке. Ясно, что при этом числа переходов от плюса
к минусу и от минуса к плюсу равны. Обозначим это число через d.
Поскольку после каждого плюса стоит или плюс, или минус,
a = p-|-d; поскольку после каждого минуса стоит или минус, или
плюс, b=q + d. Отсюда d = a—p = b—q.
150.	Является простым следствием предыдущей задачи: p4-</=2d,
откуда a4-fc = 4d. Однако возможно и другое решение: число всех
слагаемых в сумме XiXs4-----равно п. Так как каждое из
спагаемых равно + 1, а вся сумма равна нулю, то число слагаемых,
равных 4-1» равно числу слагаемых, равных —1, и, значит, п
четно. Кроме того, произведение
(х1хг)(хгхг) ... (хпхл) = х‘х1 ... хгп = 1,
а это значит, что число сомножителей, равных —1, четно. Отсюда
следует, что п делится на 4.
43
151.	kC* = nCkn~\.
152.	Из данных точек возьмем какие-нибудь три точки А, В, С,
лежащие на одной прямой. Пусть среди данных точек есть какие-то
две К, L, не лежащие на этой прямой. Если прямая KL парал-
лельна прямой АВС, то из четырех точек А, В, К, L нельзя вы-
брать три, лежащие на одной прямой, что противоречит условию.
Если прямые KL и АВ пересекаются, то среди трех точек А, В, С
есть по крайней мере две, не совпадающие с точкой пересечения
этих прямых. Пусть, например, это точки В и С. Тогда из четырех
точек К, L, В, С нельзя выбрать три, лежащие на одной прямой,
что снова противоречит условию. Отсюда следует, что все точки,
кроме, быть может, одной, лежат на прямой АВ
153.	Пусть а„ аг,	, а,968—эти числа. Выберем группу из k
чисел так, чтобы было a, -f-a2-f-... +°fe_i < 1. а\ + а2 + • • • + °k ^1.
Это можно сделать в силу того, что каждое из этих чисел не боль-
ше 1. При этом ясно, что а,+ а2 + ... -\-ak < 2. Далее, аналогично
выберем вторую группу ak+i + ... так, чтобы было аЛг1-|-
+ ...	ak+l + ... +cm^i < 1- Остальные числа относим
к третьей группе. Тем самым получаем требуемое разбиение.
154.	Пусть at < а2 < а, < ... < а50. В сумме, указанной в ус-
ловии задачи, освободимся от знаков абсолютной величины. Полу-
чаем:
± (01—«г) ± («г—о3) + ... ± (а50—а,).
Если раскрыть круглые скобки, то в полученной алгебраической
сумме 50 слагаемых будут стоять со знаком плюс и 50—со знаком
минус. Эта сумма, очевидно, не больше, чем
2aS0 + 2а„ + ..-. + 2а29—2a2S —... — 2а,.
Для того чтобы получить наибольшую возможную сумму, достаточно
расположить числа в следующем порядке: а5Э, alt а2, ...» а26, а25.
155.	Пусть —А-р-=-l-f-l +	Тогда abc== (a-f-b + c)(ab +
-f-fec-f-ac), Положим а-}-ЬА-с=А, abЬсас ~ В и рассмотрим
уравнение хг + Ах2 + Вх—Л В = 0. Числа а, Ь, с являются корнями
этого уравнения. Решите теперь это уравнение, разлагая на мно-
жители его левую часть, и докажите после этого, что одна из сумм
а-\-Ь, Ь+с, а + с равна нулю. Отсюда уже легко получается реше-
ние задачи.
156.	Прежде всего условимся отождествлять точки плоскости
и соответствующие им комплексные числа. Пусть точка Z лежит
вие многоугольника С,С2 ... С„. Так как многоугольник С,С2 ... Сп
выпуклый, то он виден из точки / под углом, меньшим 180°. Это зна-
чит, что все точки, соответствующие числам Z—С„ Z—Сг,..., Z—Сп,
лежат внутри некоторого угла А, меньшего 180°, с вершиной в на-
чале координат. Теперь заметим, что для любого комплексного
числа Z точка получается из Z поворотом на угол 180° вокруг
начала координат и умножением на Это означает, что все
I I
1 1
точки -—, =—у также лежат внутри угла, получающе-
А--------‘*-'1	'-'л
44
Гося из / А поворотом на угол 180°. Очевидно, далее, что сумма
комплексных чисел, не равных нулю и лежащих внутри некоторого
угла, меньшего 180°, не может быть равна 0.
157.	Ответ-. 1. Подставьте в выражение, данное в условии,
х — 1.
158.	Нельзя. Действительно, из одной бочки в другую можно
перелить k У 2 +Z(2-K 2) литров, где Ли/— целые числа.
159.	Не существует. Докажите сначала, что число (2*)! при
любом целом k делится на 2s Заметьте теперь, что число (24—1)!
делится лишь иа 22 ~k~l (задача 34). Если бы существовало число
р, требуемое условием задачи, то при всех k было бы 2*—1—
—р — 1, т. е. Л=Ср, что невозможно.
160.	Пусть х—любое вещественное число. Рассмотрим выраже-
ние (а2—xbjf + fa^—хЬг)г+ ... +(а„—xfe„)2^0.
Раскрывая скобки, получаем:
*2 (^i + ^2 + • • • +	—2 (°i^i + • • • +°tAi) х +й! + °2 + • • •
В левой части последнего неравенства стоит квадратный трехчлен
относительно х. Но так как этот трехчлен неотрицателен, то его
дискриминант неположителен, т. е.
(0,Ь, + «Л + • • • + апЬпУ - («2 + а2 + ... + a2 )(fe2 + О2 + ... + 62) < 0;
at as	ап
знак равенства возможен лишь тогда, когда J=-?=... ==-й.
&i 62	Ьп
161.	После возведения в n-ю степень и приведения подобных
членов получим: (У2—1)п = АУ2— В, где А и В—целые. Дока-
жите, что (/2+1)п = Л/2 + В. Перемножая эти равенства, полу-
чаем: 1 = (У 2— 1)" (У 2 + 1)" = 2Д2— В2, или В = /2Л2—1, а это
и дает требуемое представление: (У2—1)п = У2Аг—~У2Аг—1.
162.	Будем считать, что числа х,, х2, х,, xt, х, расположены
в порядке неубывания: x1<x2<x#<x4<xs. Расположим по возра-
станию всевозможные попарные суммы этих чисел: а,<а2<а,<...
... <ав<а10. Тогда можно утверждать, что
х1 + х2 = а1, Xi+x, = a2, x, + xs = at, x4 + xs = o10,
кроме того, a1-j-a1! + • • • +«i0 = 2 (х,+х2+х3-|-х4+х5). Для опреде-
ления х„ х2, х3, х4, xs остается решить полученную систему урав-
нений с пятью неизвестными.
163.	Сумма четырех чисел при указанной операции умножается
на 2, поэтому случай, когда a-J-fe4-c-f-d 0, ясен. Если сумма
чисел равна 0, то иа втором и на каждом следующем шаге будут
получаться четверки вида at, blt —а„ —bt. Нетрудно показать,
что в этом случае модуль самого большого из чисел четверки каждый
раз увеличивается (можно показать, что за два шага он увеличи-
вается в 2 раза).
164.	Изменим знак у 15 каких-нибудь чисел at, а3, а4, ...,п16
и затем у 15 чисел а2, аг, а3..а1в. В итоге двух этих операций
поменяются знаки только у двух чисел at и аг. Точно так же по-
меняем знак у чисел а, и а4, as и а6....а1г и а14. Если теперь
поменять знак у 15 чисел alt аг...aJS, то по сравнению с началь-
ным положением знак изменится только у одного числа als. Осталь-
45
Рис. 7.
Ное ясно. Если нужно изменять знак у 14 (вообще у четного числа)
чисел, то заведомо нельзя получить из первой строки такую, кото-
рая отличается от нее в нечетном количестве мест.
165.	а) При любом четном п. В этом случае, как показано на
рисунке 7, конь может п 4-1 ходом попасть на поле, соседнее
с начальным. Остальное ясно. При
нечетном п конь (1, п) будет ходить
по полям одного цвета (мы считаем,
что доска раскрашена в обычном
„шахматном" порядке).
Ь) При решении можно считать
числа т и «взаимно простыми; если
т ~dmi, n — drii, то картина для
коня (т, п) получается, очевидно, из
картины для коня (m,, nJ растяже-
нием в d раз по обоим направлени-
ям. Для взаимно простых шип най-
дутся такие а и Ь, что ат—Ьп = 1,
т. е. а-2т—Ь-2п — 2 (задача 38).
Отсюда выводится, что 2a-}-2fe ходами
конь (т, п) может попасть через
или вертикали от начального. Поль-
одно поле по горизонтали
зуясь этим, нетрудно показать, что при m-j-n нечетном конь (т, п)
может попасть на любое поле доски, а при т-^п четном — на лю-
бое поле доски того же цвета, что и начальное.
с) Будем обозначать через (х, у) поле,
отстоящее от начального поля (0, 0) на х полей
по горизонтали и на у по вертикали. Можно
считать, что т и п взаимно просты. Если mj-n
нечетно, то красным карандашом отметим те
поля (х, у), у которых х-\-у четно, си-
ним— поля, у которых х-\-у нечетно. Если
m-f-n четно, то красным—поля, у которых
х и у четны, синим—поля, у которых х и у
нечетны.
166.	Решение указано на рисунке 8.
167.	На доске четное число полей, а конь
И	20	о о	14	I
6		10	S	4
ж	г	И	8	
16	S	112		18
Рис. 8.
всегда ходит на поле
другого цвета.
168.	Предположим, что можно обойти доску 4хп конем так,
как указано в задаче. Разрежем доску на отдельные поля и рас-
положим эти 4п полей на окружности в том порядке, как их
обходил конь; черные и белые поля чередуются. Где будут распо-
ложены 2п полей, стоявшие в двух крайних рядах доскн 4хп?
Никакие два из них не стоят рядом, так как с крайних полей конь
всегда ходит на средние. Значит, они стоят через одно. Но тогда
все они должны иметь одинаковый цвет.
169.	Аналогично предыдущему: с 4 крайних рядов конь ходит
в один из 3 средних рядов. Здесь нельзя обойти больше 6n -J-1
поля из 7п.
170.	Поставим произвольную фишку а,, которая стоит на чу-
жом месте, на свободное поле; на освободившееся от ал место ста-
вим ту фишку а2, которая должна на нем стоять, на освободившееся
от о2 место—фишку а,, которая должна на нем стоять, и т. д.,
пока мы не должны будем поставить на свое место фишку а, (ее
46
место освободилось после перестановки некоторой ak на свое место).
Если еще не все фишки стоят по порядку, то мы повторим такую
перестановку, начав с некоторой другой фишки ak+v и т. д., пока
не расставим все фишки на свои места. На расстановку каждой
цепочки, подобной at, аг, аг, ..ak (k> 2), тратится один „лишний"
ход (кроме k ходов, при которых фишки at, а2, ...,ak ставятся на
место) Всего таких цепочек не больше 12. Пример наиболее не-
удачного расположения: 2, 1, 4, 3, 6, 5....
171.	Нетрудно догадаться, что каждому игроку выгодно стано-
виться на 5-е, 9-е и вообще 4k -f-1 поле от конца и не выгодно—иа
остальные. Поэтому первый игрок проигрывает, если п = 5, 9,
13, . ,.,4Л-|-1, и выигрывает в остальных случаях: он сразу зай-
мет „выигрывающее" поле, и каждый ход противника будет „до-
полнять до 4“.
172.	Здесь „выигрывающими" полями будут те, у которых и но-
мер горизонтали, и номер вертикали нечетны (в том числе и левый
нижний угол (1, 1), в котором заканчивается игра). На доске mxn
выигрывает начинающий, кроме того случая, когда и т и п нечетны.
173.	Решение: будем изменять знаки в строке или столбце,
где сумма чисел отрицательна; при этом сумма всех чисел в таблице
увеличивается, т. е. мы получаем все новые и новые таблицы; так
как заменой знаков можно получить только конечное число разных
таблиц, то через несколько шагов мы не сможем повторить подоб-
ную операцию, т. е. придем к таблице, где сумма чисел в каждой
строке и в каждом столбце неотрицательна.
174.	Идея решения та же, что в предыдущей задаче. Обратить
внимание на то, что при указанных в задаче преобразованиях пло-
щадь многоугольника каждый раз увеличивается. С другой стороны,
существует только конечное число различных многоугольников,
которые мы можем получить, поскольку все они составлены из
одних и тех же отрезков, только расположенных в другом порядке.
175.	/26 - 5=-^--------<1, но число (У26 + 5)*9в2-
_	1^26-|-5 10
— (1/Л26—5)'9”—целое (воспользоваться решением задачи 130 или
формулой бинома Ньютона).
§ 8-
V III КЛАСС.
1.	Медиана делит площадь треугольника пополам. Поэтому
площади треугольников АВС, СВВ', СВ'С равны. Отсюда следует,
что площадь треугольника ВВ'С' в 2 раза больше площади тре-
угольника ABC: S^BB,C,—2S&ABC. Точно так же доказывается,
что S^cc,d,^=2S^bcd- S^dd’A' = 2S^cda; S^aa,b, = 2S^dab.
Сложив все эти равенства, получаем:
5ДВВ'С' ^-S&CC'D’ '^S/\DD'A’~^S/\AA'B,==
— 2 (sa^bc^“sz\bcd + S^C£)A Ч-5д£>лв).
47
Если площадь четырехугольника ABCD обозначить через S, то
5длвс+5дсол = 5лвсо+-5долв = 5; Е3 написанного выше ра-
венства следует, что сумма площадей четырех пристроенных тре-
угольников равна 45. Чтобы получить четырехугольник A'B'C'D',
нужно к этим треугольникам добавить четырехугольник ABCD,
имеющий площадь S. Таким образом, площадь четырехугольника
A'B'C'D' равна 4S-|-S=5S.
2.	Искомым Г.М.Т. является пара прямых, касающихся окруж-
ности 5 в точках ее пересечения с данной прямой I (рис. 9).
Доказательство. Пусть С—центр окружности 5'
Л4 — точка пересечения S' с перпендикуляром КМ к прямой I,
МР—касательная к окружности 5, проведенная из точки М.
Докажем, что Д РМС прямой, т. е. что РМ— общая касательная
окружностей S и S'; отсюда будет следовать, что точка М при-
надлежит искомому геометрическому месту. Действительно, / ОЛ4С=
= /_ МОС, так как ОС=Л4С; /_ МОС— /_МОР, так как ДЛ40К =
= ДЛ4ОР; наконец, Д РЛ4О+ /_ МОР = 90°, поэтому /_РМС —
— Д РЛ4О-ЕД ОМС— /_ РМО 4-МОР = 90°. Мы доказали, что для
произвольной окружности 5' соответствующие точки геометриче-
ского места лежат на перпендикуляре к прямой I, восставленном
в точке К (или в точке L, если центр С окружности S' лежит по
другую сторону точки О). Обратно, через любую точку Л4 этих
перпендикуляров можно, очевидно, провести окружность S' с. цент-
ром на прямой I, проходящую через точку О. По доказанно-
му точка М будет точкой геометрического места, соответствующей
этой окружности S'. Таким образом, любая точка перпендикуля-
ров принадлежит геометрическому месту. Доказательство закон-
чено.
3.	По условию а, — а0 > 0, аг — Ot = 2(at— а0), ...,а100—а99 =
= 2(с99—а88), отсюда следует, что все разности а2—а„ as—az.
°joo—°ss положительны, причем
43
@2	^2
at — a0 a2—ax
^loo __ 2
сев
Перемножив эти 99 отношений, получим: И1“!—— = 2", откуда
°ioo = ase + 299 (°i — сг)- Мы знаем, что п89 > a, at — а0Э=1, поэтому
а100 > 2м. Замечание: более точно оценивая ах, at, а„....можно
показать, что а100	2,м>.
4.	(ах* 4- Ьх% 4- сх2 + d) — (ах‘ -f- bx* + ex, + d) = a (x’—x J) +
+ b (x|—x*) + с (хг—x,) = (x2—xt) [a (x* + x,x2 -f- xj) -f- b (x2 + xt) -f- c].
Если a, b, с, х,, xs—целые числа то в квадратных скобках стоит
целое число, т. е. (ах‘ +bx‘±cxs+ d) — (cx' + bx, 4-cx, + d) делится
на (x2—х,). Это противоречит требованиям задачи ax’ + fex9 +
4-cXj4-d=l прих,= 19, ax’^pfexj + cx2+d = 2 при х2 = 62, но
2—1 = 1 не делится на 62—19 = 43.
5.	I решение. Перемножим все 50 произведений. В получен-
ном большом произведении каждое число таблицы встречается два
раза: один раз в произведении по строке, другой — по столбцу;
поэтому это произведение равно 1. Отсюда следует, что среди 50
произведений (—1) встречается четное число раз, и, значит, сумма
произведений не может равняться 0.
II решение. Если изменить в таблице одну 1 на —1, то
поменяются произведение чисел в одной строке (на 2) и произве-
дение чисел в одном столбце (тоже иа 2), а остальные произведе-
ния не изменятся. Следовательно, сумма всех 50 произведений
останется прежней или изменится на 4 в ту или другую сторону.
Для таблицы, состоящей из одних единиц, сумма произведений
равна 50. Любую таблицу можно получить из этой, заменив после-
довательно несколько 1 на (—1). При этом согласно сказанному
выше сумма произведений будет равняться 50—4/г, где k — некото-
рое целое число. Ясно, что число вида 50—4/г не может равняться 0.
IX КЛАСС.
1.	I решение. Пусть в треугольнике АВС АС —а, ВС—Ь,
медианы AD и BE перпендикулярны, М—точка их пересече-
ния. Проведем f>F||SE (точка F лежит на ДС). Тогда /_ ADF=
= /Д7ИВ=9О° и ^f=^ = 2, т. е. AF= ДС=4 а. Отсюда
EF MD	4	4
вытекает следующее построение: откладываем на прямой отрезок
АС=а и строим точку F, которая делит отрезок АС в отно-
шении 3:1. На отрезке AF, как на диаметре, строим окружность.
Из точки С радиусом
b
-g- засекаем
на этой окружности точку D:
CD=~,	ADF=90°. Продолжаем отрезок CD за точку D на
расстояние Е>В=—. Треугольник АВС — искомый: АС —а, ВС—Ь,
его медианы BE и AD пересекаются в точке М под прямым
49
АЛ4 АЕ
углом, так как — следовательно, BE\\DF и АМЕ =
Ми Ьг
—	ADF=90°. Задача имеет решение, если<-g-< а, т. е. если
£
2
< — <2. При этом решение единственно.
II решение основано на том, что третья сторона с треуголь-
ника с взаимно перпендикулярными медианами удовлетворяет ра-
венству 5c2 = ns4-fea.
2.	Для любых положительных чисел х и у имеет место нера-
венство х+у 2 У\у (оно эквивалентно очевидному неравенству
(Ух—Уу)2^>0). Пользуясь этим неравенством и учитывая, что
abcd—1, получаем: abcd ^2, ac-\-bd^2, ad-f-bc^2,
(аг 4- 62) + (с2 4- d!)	2 У aV 4- 2 Уc2d2 йг 4.
Сложив эти 4 неравенства, получим требуемое.
3.	Пусть ABCDE — правильный пятиугольник (рис. 10). Про-
ведем из его центра О радиусы ко всем вершинам и перпендикуляры
к сторонам. Тогда пятиугольник разобьется на 10 одинаковых треуголь-
ников. Очевидно, достаточно рассмотреть тот случай, когда точка М ле-
жит внутри или на сторонах одного из них, например ДОДК(К— сере-
дина ДВ). Заметим, что точки, ле-
жащие внутри некоторого угла, бли-
же к одной или другой стороне
этого угла в зависимости от того, по
какую сторону биссектрисы угла они
лежат. Пользуясь этим простым за-
С мечанием, нетрудно установить для
расстояний точки М до сторон пяти-
угольника следующие неравенства
(мы считаем, что точка М лежит
в Л ДОК; расстояние точки М до
стороны АВ обозначаем через гАВ,
ит. п ):
rAB<rAE> rAE<rBC- rBC<rDE,
rDE<rDC-
Другими словами, для точки М
имеем: гх = гАв. rt = rAB, r„ = rBC,
г^Грр, rs = rp)c. Очевидно, что гвс наибольшее, когда М совпа-
дает с вершиной Д, и наименьшее, когда М совпадает с середи-
ной стороны АВ. Из соображений симметрии заключаем, что г,
наибольшее, когда точка М находится в одной из вершин пяти-
угольника, и наименьшее, когда она совпадает с серединой одной
из его сторон.
4. Если число делится на 9, то и сумма его цифр делится на 9,
поэтому все числа а, Ь, с делятся на 9. С другой стороны,
а<9-1962 < 9-2000—18 000, b <9-5 = 45, т. е. Ь = 9,18,27 или 36.
Следовательно, с=9.
5. Любое из двух решений, предложенных для решения задачи
5 из VIII класса, переносится без изменений на случай любого
нечетного п.
50
X КЛАСС.
1. Опустим высоту AD на сторону ВС /\АВС (рис. 11). По-
скольку AD\\MH и АМ — МС, получаем, что DH = HC. Далее,
£^ADC<j~>£^BHM (прямоугольные треугольники с равными острыми
углами) и, следовательно, /\ADHtri/\BHP (соответственные ме-
дианы АН и ВР отсекают от подобных треугольников ADC и ВНМ
подобные треугольники). Отсюда следует, что / DAH = / НВР.
Так как AD±BH и	НВР, то ВР±АН.
2. Предположим вначале, что
длина третьей стороны с не подчи-
нена никаким условиям. Площадь
треугольника со сторонами а и b и
углом а между ними вычисляется по
формуле S — ^-ab sin а. Если о и &
подчинены условиям 0 < а < 1 <fe<2,
то произведение ab sin а будет макси-
мально, когда каждый из сомножи-
телей максимален: а—1, b = 2, sin
а = 1, т. е. а = 90°. Таким образом,
наибольшую площадь имеет прямоу-
гольный треугольник с катетами 1
и 2. Третья сторона этого треуголь-
ника с=У5 удовлетворяет условиям
2^с<3. Поэтому и среди всех треугольников, стороны которых
подчинены условию 0 < а <1^&^2<с<3, максимальную пло-
щадь будет давать тот же треугольник. Эта площадь равна 1.
3. Обозначим у—х=р, г—У = д, тогда г—x=p-{-q,
(х—у/ -Н</—z)5 + (г—х)5 = (—р)5 + (— <7)3 + (р + <?)5 =
= — ps — q* +ps + 5р4<? -]- Юр V + Юр2;;3 + 5рф* -]- qs —
= 5pq (р9-]- q” 2psq + 2рф) = 5pq (р + <?) (Р2 + Р9 + 92)
Ясно, что это число делится на 5 (х—у) (у—z) (г—х) = 5р<? (p-J-q).
4.	Предположим, напротив, что среди чисел а,, а2...ап_,
есть положительные и аг—первое среди них: сГ_1<0, аг > 0,
тогда аг—ar _t>0, Воспользуемся тем, что по условию задачи
пА+1—ak^ak — ak_t для всех k (k = 1, 2...п — 1). Начиная с k—r,
последовательно получаем из неравенства аг—ar_t > 0 следующие:
“г+1—ar>0, ar+2—ar+l > 0......а„_2> 0, ап—ап_2 > 0, т.е.
0 < ar < ar+i < аг+2 < ... < an_t < ап. Но это противоречит тому,
что ап — 0.
5.	Отложим на прямой отрезок длины I = at -|- ... -f-ат = Ь2 -]-...
... Разделим его точками At........Ат-1 на т частей а,.....ат
и точками В,...... В„_, на п частей bt,...,bn. Всего т-}-п — 2
точки разобьют отрезок I на т-\-п— 1 маленьких отрезков dj, где
/ = 1, 2...m-j-n — 1 (или на меньшее число маленьких отрезков dj,
если некоторые точки совпадут). Каждый отрезок dj расположен
в некотором отрезке п(- и в некотором отрезке feA(i = l, 2,
А = 1, 2...п). В соответствии с этим поставим число dj в клет-
ку, находящуюся в i-й строке и в й-ом столбце. Ясно, что все
требования задачи будут удовлетворены.
Замечание: Задачу можно решить иначе — индукцией по
т-\-п.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора . ............................................. 2
Предисловие................................................. 3
§ 1.	Задачи	на	делимость	чисел ........................... 5
§ 2.	Задачи	на	„принцип	Дирихле".......................... 8
§ 3-	Задачи	по	геометрии	на плоскости .................... 9
§ 4.	Задачи	по	геометрии	в пространстве...................13
§ 5.	Задачи, решаемые методом математической индукции ... 15
§ 6.	Задачи на клетчатой бумаге.............................17
§ 7.	Разные задачи ........................................ 19
§ 8.	Задачи, предлагавшиеся на 2-й Всероссийской олимпиаде
юных математиков............................................22
Ответы и указания...........................................24
Николай Борисович Васильев. Андрей Александрович Егоров
СБОРНИК ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ
к Всероссийской олимпиаде юных математиков
Редактор В. Г. Долгополов
Технический редактор Т. И. Зыкина. Корректор Г. Л. Нестерова
Сдано в набор 29/XII 1962 г. Подписано к печати 29/1 1963 г. 84Х108,/эа
Печ. л. 3,25 (2,67). Уч.-изд. л. 3,07. Тираж 25 000 экз.
Учпедгиз; Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Московского городского совнархоза. Москва, Ж’54, Валовая, 28.
Заказ № 10.
Цена 8 коп.