В. И. Погорелов

БЕСПИЛОТНЫЕ

ЛЕТАТЕЛЬНЫЕ АППАРАТЫ:
НАГРУЗКИ И НАГРЕВ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СПО

2-е издание, исправленное и дополненное

Рекомендовано Учебно-методическим отделом среднего профессионального
образования в качестве учебного пособия для студентов образовательных учреждений
среднего профессионального образования

Книга доступна
на образовательной платформе «Юрайт» игай.ги

Москва  Юрайт  2020
УДК 623.746.4-519(075.32)

ББК 39.52я723

П43

Автор:

Погорелов Виктор Иванович — профессор, доктор технических наук, про-
фессор кафедры ракетостроения факультета ракетно-космической техники
Балтийского государственного технического университета «ВОЕНМЕХ» имени
Д. Ф. Устинова.

Рецензенты:

Марченко Б. И. — доктор технических наук, профессор Военно-морской акаде-
мии имени Адмирала Н. Г. Кузнецова;

Санников В. А. — доктор технических наук, профессор Балтийского государ-
ственного технического университета «ВОЕНМЕХ» имени Д. Ф. Устинова.

Погорелов, В. И.

П43 Беспилотные летательные аппараты: нагрузки и нагрев : учебное пособие для
среднего профессионального образования / В. И. Погорелов. — 2-е изд., испр. и
доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 191 с. — (Профессиональное
образование). — Текст : непосредственный.

18ВИ 978-5-534-10061-7

В настоящем пособии излагаются основные методы расчета статических,
динамических и тепловых нагрузок, действующих на корпус летательного аппа-
рата. Главное внимание уделяется практическим приложениям, для которых при-
водятся хорошо зарекомендовавшие себя расчетные соотношения, удобные в про-
ектных расчетах.

Материал учебного пособия охватывает широкий круг вопросов, связанных
с определением силовых и тепловых нагрузок, действующих на корпус беспилот-
ного летательного аппарата.

Соответствует актуальным требованиям Федерального государственного обра-
зовательного стандарта среднего профессионального образования и профессио-
нальным требованиям.

Учебное пособие предназначено студентам образовательных учреждений сред-
него профессионального образования, преподавателям и специалистам, а также
всем интересующимся.

УДК 623.746.4-519(075.32)

ББК 39.52я723

Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена
в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.

18ВЫ 978-5-534-10061-7

© Погорелов В. И., 2014

© Погорелов В. И., 2017, с изменениями

© ООО «Издательство Юрайт», 2020
Содержание

Предисловие....................................................7

1.	Место и роль расчетов на прочность в общей задаче
проектирования ЛА..............................................9

1.1.	Связь с другими дисциплинами...........................9

1.2.	Проектировочный и проверочный расчеты на прочность....12

1.3.	Нормы прочности.......................................14

1.4.	Коэффициенты безопасности и запаса прочности..........15

1.5.	Расчетный случай......................................18

1.6.	Классификация нагрузок................................20

1.7.	Расчет нагрузок на основе методов теории случайных функций.....21

2.	Массовые нагрузки..........................................24

2.1.	Силы инерции. Перегрузки..............................24

2.2.	Перегрузки в связанной системе координат..............25

2.3.	Учет вращения ракеты при определении коэффициента перегрузки...28

2.4.	Применение коэффициента перегрузки для составления
уравнения равновесия части ракеты..........................29

2.5.	Уравнения равновесия бака, вложенного в корпус........30

2.6.	Распределенные массовые нагрузки......................33

3.	Сосредоточенные силы.......................................36

3.1.	Тяга двигательной установки...........................36

3.2.	Тяга конического сопла................................38

3.3.	Расчет тяги с отрывом потока в сопле..................40

3.4.	Реакции в узлах крепления грузов......................43

4.	Аэродинамические нагрузки..................................45

4.1.	Погонная нагрузка.....................................45

4.2.	Аналитические соотношения для расчета аэродинамического
давления...................................................50

4.3.	Расчет осевой погонной нагрузки по известному
аэродинамическому коэффициенту.............................56

4.4.	Расчет поперечной погонной нагрузки по известному
коэффициенту подъемной силы................................58

4.5.	Учет воздействия ветра при определении аэродинамических
нагрузок...................................................60

5.	Газодинамические нагрузки..................................64

5.1.	Газодинамическая картина течения в струе..............64

5.2.	Геометрические размеры струи при истечении в неподвижную среду.69
5.3.	Параметры струи на начальном участке.................72

5.4.	Геометрия недорасширенной струи в спутном потоке.....79

5.5.	Минимально допустимое расстояние между соплом и сферой.......82

5.6.	Схема Ньютона........................................85

5.7.	Расчет давления при взаимодействии струи с корпусом..86

5.8.	Донное давление многосопловой компоновки.............89

6.	Разделение ступеней.......................................97

6.1.	Схемы разделения ступеней............................97

6.2.	Давление в переходном отсеке при горячем разделении ступеней.100

6.3.	Давление между головным отсеком и отделяемой ступенью........105

7.	Осевые внутренние усилия в корпусе.......................108

7.1.	Ракета на жидком топливе............................108

7.2.	Ракета на твердом топливе...........................114

7.3.	Крылатая ракета со стартовым ускорителем............117

7.4.	Определение расчетных случаев по осевой силе для БР..........118

8.	Перерезывающие силы и изгибающие моменты.................124

8.1.	Баллистическая ракета на жидком топливе.............125

8.2.	Ракета на твердом топливе...........................130

8.3.	Перерезывающие силы и моменты маршевой ступени крылатой
ракеты...................................................131

8.4.	Правила построения эпюр по характерным точкам.......136

9.	Нагрузки, действующие на ракету при старте...............137

9.1.	Наземный старт......................................137

9.2.	Нагрузки в период подготовки старта.................138

9.3.	Расчет нагрузок при опрокидывании ракеты............140

9.4.	Нагрузки при старте из шахты или контейнера.........142

10.	Нагрузки при наземной эксплуатации......................144

10.1.	Подъем ракеты на пусковой стол.....................144

10.2.	Транспортировка по железной дороге.................146

10.3.	Транспортировка по дороге..........................148

11.	Ударное нагружение корпуса..............................150

11.1.	Физические процессы в атмосфере при ядерном взрыве.150

11.2.	Нагрузки на ракету в шахте при ядерном взрыве...............152

12.	Динамические нагрузки...................................154

12.1.	Модель ракеты для расчета поперечных колебаний.....155

12.2.	Модель ракеты для расчета продольных колебаний.....160

13.	Нагрев корпуса в полете.................................164

13.1.	Виды теплообмена............................................164

13.2.	Связь между теплопередачей и трением........................170

13.3.	Аэродинамический нагрев на траектории..............175

13.4.	Распределение тепловых потоков вдоль образующей.............177
13.5.	Тепловые потоки в характерных точках..............178

13.6.	Расчет тепловых потоков к стенкам двигателя твердого топлива.183

13.7.	Тепловое воздействие сверхзвуковой струи ракетного двигателя ....185

Библиографический список..............................................188

Новые издания по дисциплине «Летательные аппараты»
и смежным дисциплинам......................................191

Предисловие

Одним из важнейших этапов проектирования беспилотного летатель-
ного аппарата (БПЛА) является расчет нагрузок, так как без них невоз-
можно рассчитать его корпус и составные части на прочность, жест-
кость, устойчивость и назначить основные конструктивные размеры.

Сложность расчета БПЛА связана с тем, что из-за разнообразия
режимов и условий эксплуатации нагрузки и нагрев имеют различную
физическую природу, а следовательно, и собственные методы расчета,
которые во многих случаях не имеют между собой ничего общего,
но должны быть объединены в единую расчетную схему.

Для определения нагрузок необходимы сведения из таких дисци-
плин, как аэродинамика, газовая динамика, динамика полета, термоди-
намика и теплопередача, строительная механика и теория упругости.
Кроме того, появляются трудности, связанные со стыковкой различных
методов расчета.

В настоящем пособии излагаются основные методы расчета статиче-
ских, динамических и тепловых нагрузок, действующих на корпус лета-
тельного аппарата (ЛА). Главное внимание уделяется практическим
приложениям, для которых приводятся хорошо зарекомендовавшие
себя расчетные соотношения, удобные в проектных расчетах.

В первых шести разделах подробно излагаются методы расчета
статических нагрузок: массовых нагрузок и сосредоточенных сил,
аэродинамических и газодинамических нагрузок от струй ракетных
двигателей. Подробно рассматривается применение коэффициентов
перегрузки для составления уравнений равновесия части ЛА. а также
расчет структуры и газодинамических параметров струй ракетных дви-
гателей, необходимых при определении нагрузок на корпус и при горя-
чем разделении ступеней.

В седьмом разделе рассматриваются методы расчета осевых внутрен-
них усилий в корпусе баллистической и крылатой ракеты на жидком
и твердом топливе, порядок определения расчетного случая в типовых
сечениях корпуса баллистической ракеты на жидком топливе с учетом
изменения массы топлива в ее баках.

В восьмом разделе излагаются порядок расчета и правила построе-
ния эпюр перерезывающих сил и изгибающих моментов в поперечных
сечениях корпуса баллистической и крылатой ракеты.

В девятом и десятом разделах на примере баллистической ракеты
излагаются особенности расчета нагрузок, действующих на ЛА в про-
цессе предстартовой подготовки, при старте и наземной эксплуатации.
Одиннадцатый и двенадцатый разделы посвящены динамическим
нагрузкам, тринадцатый — нагреву корпуса ЛА в полете. Рассматри-
ваются особенности расчета тепловых потоков с учетом конвективной
и лучистой составляющей при аэродинамическом нагреве баллистиче-
ской ракеты, движущейся по траектории, приводятся расчетные соот-
ношения для определения конвективных тепловых потоков к стенкам
двигателя твердого топлива. Раздел завершается методикой расчета
тепловых потоков к корпусу ракеты от сверхзвуковой струи ракетного
двигателя.

Материал учебного пособия охватывает широкий круг вопросов,
связанных с определением силовых и тепловых нагрузок, действую-
щих на корпус БПЛА. Поэтому вне зависимости от того, используется
оно в учебном процессе полностью или только его отдельные разделы,
обучаемые получат специальные знания в рассматриваемой области,
а обширный библиографический список позволит расширить и углу-
бить эти знания.

В результате изучения материалов пособия студент должен освоить:
трудовые действия

•	владения методами анализа нарушения работоспособности лета-
тельных аппаратов и их силовых установок, поиска причин отказов их
и разработки мер по их устранению и предупреждению;

•	методами оценки изменения основных данных летательных аппа-
ратов и авиадвигателей и их элементов в процессе длительной эксплу-
атации по результатам современных средств регистрации и обработки
полетной информации и по результатам наземных испытаний;

•	методами расчета и построения контрольно-записывающей аппа-
раты для регистрации параметров рабочего процесса авиадвигателей
и оценки их основных технико-экономических показателей;

необходимые умения

•	анализировать особенности конструкции летательных аппаратов;

•	проводить расчет основных систем летательных аппаратов, место
и назначение основных электромеханических и электрогидравличе-
ских агрегатов в этих системах;

необходимые знания

•	основ газовой динамики и аэродинамики летательных аппаратов;

•	принципов возникновения аэродинамических сил и моментов
и основных аэродинамических характеристик крыла и самолета;

•	основных эксплуатационных ограничений режимов полета;

•	основ условий эксплуатации и нагружения конструкций летатель-
ных аппаратов.

Автор надеется, что совокупность знаний, полученных в результате
изучения материала учебного пособия, а также овладение расчетными
методами, изложенными в нем, позволят читателю суметь применить
их для расчета нагрузок, действующих на конкретную проектируемую
конструкцию ракеты или другого беспилотного летательного аппарата.
1.	Место и роль расчетов на прочность
в общей задаче проектирования ЛА

1.1.	Связь с другими дисциплинами

Расчет на прочность невозможен без знания нагрузок, а во многих
случаях и нагрева конструкции. Причем их расчет не менее сложен,
чем расчет на прочность. Именно через внешние нагрузки осущест-
вляется взаимосвязь расчетов на прочность с другими инженерными
дисциплинами. Эта междисциплинарная связь хорошо прослеживается
на схеме, изображенной на рис. 1.1.

После проектирования облика ракеты известны конфигурация,
габаритные размеры и массы основных ее частей и отсеков. На рисунке
этот этап проектирования отмечен цифрой 1. Далее переходят к расчету
траектории движения — этап 2, анализу внешнего аэродинамического
и внутреннего газодинамического течений — 3, расчету нагрева кон-
струкции — 4, расчету аэродинамических характеристик ракеты — 5
и наконец, расчету конструкции на прочность и устойчивость — 6.

3

Рис. 1.1

На приведенной схеме хорошо видно, что между различными дисци-
плинами отсутствует последовательная связь, отсутствуют этапы, сле-
дующие один за другим, и фактически для получения окончательной
конструкции приходится многократно повторять одни и те же шаги,
организуя итерационный процесс.

Схему этого процесса, на которой, в отличие от приведенной
на рис. 1.1, указаны моменты принятия решений, можно проследить
на рис. 1.2. На ней также хорошо прослеживаются этапы проектирова-
ния, на которых применяются проверочный и проектировочный рас-
четы. Из схемы очевидно, что проверочный расчет является последним
этапом проектирования конструкции и может иногда не включаться
в итерационный процесс, так как эти расчеты в большинстве случаев
настолько сложны и трудоемки, что включать их в итерации не имеет
смысла.

Рис. 1.2

Описанный итерационный процесс, включающий в себя расчеты
на прочность, более детально можно проследить на примере кон-
кретного элемента конструкции ракеты — соплового блока двигателя
на твердом топливе. Схема основных этапов его проектирования может
быть представлена в виде рис. 1.3.

Обычно основные характеристики сопла известны после общего
проектирования двигателя ракеты и вместе с требованиями и ограни-
чениями, поставленными заказчиком, служат отправной точкой для
начала проектирования.

Сначала проводится газодинамический расчет сопла, когда опре-
деляются площади проходных сечений и его геометрический контур.
Сопло разбивается на три участка: дозвуковой, область критического
сечения и сверхзвуковой. Каждый из участков профилируется в соот-
ветствии с имеющимися рекомендациями и методами расчета. Широко
используются нормативные материалы, графики и таблицы.
Рис. 1.3

После определения контура сопла начинается проектирование тепло-
защиты. На первой итерации толщина покрытия и эрозионностойких
вкладышей выбирается на основе существующего опыта и рекоменда-
ций. При этом внутренний контур ТЗП должен соответствовать ранее
полученному контуру сопла.

Теперь можно приступить к проектированию силовой конструк-
ции, полагая на первой итерации, что все нагрузки воспринимаются
силовыми элементами, а ТЗП защищает их от нагрева, не воспринимая
нагрузки. Размеры силовых элементов устанавливают на основе нако-
пленного опыта и простейших расчетов на прочность.

По завершении проектирования силовой конструкции первый
вариант сопла создан и можно перейти к его уточнению с помощью
проверочных расчетов и полномасштабных испытаний. Прежде всего
проводится термогазодинамический расчет, в результате которого
определяется поле течения в сопле с целью уточнить силовые и тепло-
вые нагрузки, действующие на сопло. Одновременно вычисляют тяго-
вые характеристики сопла.

На этом же этапе могут проводиться полномасштабные огневые
испытания, которые позволяют оценить работоспособность конструк-
ции и правильность выбора материалов. При неудовлетворительных
результатах необходимо сделать внутреннюю итерацию и вернуться
к газодинамическому расчету, т. е. рассмотреть возможность измене-
ния профиля сопла, его теплозащиты и силовой конструкции.

После термогазодинамического расчета наступает этап проверочных
прочностных расчетов, когда определяется распределение напряжений
в силовой конструкции, возникающих от внутреннего давления, тре-
ния и системы управления вектором тяги. Здесь же вычисляют дефор-
мации и перемещения вследствие перепада температур и воздействия
силовых нагрузок. Расчет проводится по наиболее точным и хорошо
зарекомендовавшим себя математическим моделям, таким, например,
как метод конечного элемента.

Если результаты расчетов на прочность неудовлетворительны,
то проводится вторая внутренняя итерация с корректированием, при
необходимости, формы профиля, ТЗП и силовой конструкции. После
получения удовлетворительных результатов по прочности рассчитыва-
ются масса сопла, его размеры, инерционные характеристики и т. п.

Невыполнение одного из требований, наложенных на конструкцию,
заставляет провести внешнюю итерацию, которая возвращает кон-
структора к началу проектирования, так как не исключается возмож-
ность полной замены схемы сопла и создания конструкции, принципи-
ально отличной от уже созданной.

Завершают процесс создания сопла наземные и летные натурные
испытания, в результате которых конструкция частично уточняется.

Приведенные схемы основных этапов проектирования конструкции
ЛА позволяют сделать следующие выводы.

1.	Расчеты конструкций на прочность являются одной из важней-
ших составных частей процесса проектирования.

2.	Для проведения расчетов на прочность необходимы данные
о нагрузках и нагреве конструкции, которые можно получить с помо-
щью траекторных, аэродинамических и тепловых расчетов.

Остановимся теперь на последовательности, в которой следует про-
водить расчеты на прочность. Отметим здесь, что, говоря «расчеты
на прочность», мы имеем, конечно, в виду расчеты на прочность, устой-
чивость и жесткость. Более того, для корпуса ЛА в большинстве случаев
расчеты на устойчивость не менее важны, чем расчеты на прочность
(в чистом виде, а не в смысле терминологии).

1.2. Проектировочный и проверочный расчеты на прочность

При создании любого инженерного устройства и ЛА в частности при-
ходится иметь дело с двумя видами расчетов: проектировочным и про-
верочным. Цель проектировочного расчета — определение основных
размеров конструкции по ее заданным габаритным размерам и внеш-
ним нагрузкам. В результате проектировочного расчета получают рас-
четные размеры, которые затем необходимо скорректировать в соот-
ветствий с ГОСТ, отраслевыми нормалями или стандартами. Важно
отметить, что перед проектировочным расчетом известны только
общая конфигурация и габаритные размеры конструкции, полученные
на этапе синтеза ЛА. При проверочном расчете, напротив, используется
полностью готовая конструкция, имеющая конкретный облик, а раз-
меры всех ее конструктивных элементов уже известны.

Цель проверочного расчета — оценка степени массового и кон-
структивного совершенства готовой конструкции. На этой стадии
определяются коэффициенты запаса прочности и устойчивости, кото-
рые служат количественными показателями степени совершенства
конструкции. И если на этапе проектировочного расчета для определе-
ния размеров конструкции широко применяются различные норматив-
ные документы, инженерные методы и методики расчета, основанные
на предшествующем опыте проектирования, то проверочный расчет
ориентирован на самые современные и точные методы, используемые
в науке о прочности.

На этапе проектировочного расчета на прочность известна кон-
структивно-компоновочная схема конструкции, но размеры ее состав-
ных частей неизвестны или требуют дальнейшего уточнения в про-
цессе итераций, поэтому расчет размеров этих элементов выполняется
в следующем порядке.

1.	Анализируются условия эксплуатации конструкции и выбира-
ются методы расчета нагрузок, а если это необходимо, то и методы рас-
чета ее нагрева.

2.	Выбираются расчетные случаи и определяются нагрузки, дей-
ствующие на конструкцию в этих расчетных случаях.

3.	Анализируется характер нагружения конструкции, выбираются
или уточняются конструкционные материалы для ее частей.

4.	Нормируются внешние нагрузки путем умножения их на коэф-
фициенты безопасности.

5.	Составляется расчетная схема, т. е. идеализированный вариант
конструкции, путем отбрасывания несущественных факторов и разде-
ления сложной задачи на более простые.

Цель создания расчетной схемы — построение такой модели кон-
струкции, для определения напряженно-деформированного состояния
которой можно было бы воспользоваться известными и хорошо апро-
бированными методами расчета, допускающими многократное повто-
рение при различных исходных данных. Составление расчетной схемы
можно представить в виде следующей последовательности шагов:

а)	расчленение задачи на более мелкие и простые;

б)	упрощение нагрузки (пренебрежение отдельными ее видами,
приведение различных нагрузок к эквивалентной, упрощение харак-
тера распределения нагрузки, замена распределенной нагрузки сосре-
доточенной и т. п.);

в)	упрощение геометрической формы конструкции сведением
ее к брусу, балке, пластине, оболочке или их комбинации;
г)	идеализация свойств материала (изотропность, независимость
свойств от температуры и т. п.).

6.	По известным нагрузкам определяются размеры конструкции.
В сложных случаях внутри расчета на прочность организуются допол-
нительные итерации, когда сначала задаются размеры и конфигурация
конструкции, а затем определяется поле напряжений, которое сопо-
ставляется с допускаемыми напряжениями. Поле напряжений с помо-
щью теорий прочности сводится к одномерному напряженному состо-
янию, которое характеризуется эквивалентными напряжениями.

7.	Полученные размеры конструктивных элементов округляются
до стандартных ближайших размеров толщин листа, размеров про-
филя, рекомендуемых типовых размеров и т. п.

В проверочном расчете на прочность, напротив, конструкция пол-
ностью спроектирована, вплоть до мельчайших деталей, известны
все ее размеры, выбранные в соответствии с требованиями нормалей
и стандартов. Основные этапы расчета несколько отличаются от при-
веденных выше и сводятся к следующему:

1)	выбору расчетных случаев;

2)	составлению расчетной схемы проверяемой конструкции;

3)	нормированию внешних нагрузок с помощью коэффициентов
безопасности;

4)	расчету поля напряжений в конструкции;

5)	расчету коэффициентов запаса прочности и устойчивости.
В сложных случаях эти коэффициенты определяются эксперименталь-
ным путем.

Из рассмотрения этапов проверочного и проектировочного расчетов
очевидна важность достоверного определения внешних нагрузок, дей-
ствующих на конструкцию. Рассмотрим теперь более подробно вопрос
о нормировании внешних нагрузок с помощью коэффициента безопас-
ности и выбора расчетных случаев.

1.3.	Нормы прочности

Даже общая характеристика условий эксплуатации конструкций
ЛА показывает, что на начальном этапе проектирования серьезные
затруднения вызывает выбор расчетных нагрузок, необходимых для
проведения расчетов на прочность и определения основных размеров
конструктивных элементов. Положение усугубляется еще и тем, что
многие факторы, от которых зависит работоспособность конструкции,
не поддаются теоретическому моделированию либо существующие
математические модели обладают невысокой точностью. Более того,
некоторые факторы носят случайный характер.

В этих условиях наиболее целесообразно воспользоваться накоплен-
ным опытом проектирования конструкций ЛА подобного класса. Этот
опыт обобщается в нормах прочности, отраслевых стандартах (ОСТ)
и других нормативных документах, используемых в проектных органи-
зациях. Нормативный метод расчета конструкций на прочность суще-
ственно сокращает время ее проектирования.

В нормах прочности обычно содержатся:

1)	случаи эксплуатации конструкции, для которых необходимо
проводить расчеты на прочность;

2)	математические модели для расчета нагрузок и напряжений
в конструкции;

3)	коэффициенты безопасности по прочности и устойчивости;

4)	объем экспериментальной отработки конструкции.

В качестве примера упомянем здесь такие нормативные документы,
как «Нормы прочности», «Нормы проектирования», используемые
в авиационной и ракетной технике, и «Таблицы Регистра» — в судо-
строении. Значение этих материалов трудно переоценить, так как
их наличие позволяет накопить и обобщить опыт теоретической и экс-
периментальной работы многих коллективов, а также скоординиро-
вать решение однотипных проектных задач.

Несмотря на огромные достоинства нормативного подхода к проек-
тированию конструкций, необходимо также указать и на его «слабые»
стороны:

1)	стремление к нормированию всех этапов проектирования кон-
струкции является своеобразным тормозом для ее совершенствования,
поиска новых конструктивно-силовых схем;

2)	возможно произвольное толкование нормативных документов,
так как в них указываются вполне определенные случаи эксплуатации
и могут быть не учтены такие, когда конструкция будет разрушена.

По этим причинам все нормативные документы постоянно уточня-
ются и совершенствуются, т. е. фактически находятся в постоянном раз-
витии. Важное место в них занимают рекомендации по выбору коэф-
фициентов безопасности, а также случаев эксплуатации, для которых
необходимо вести проектировочные расчеты.

1.4. Коэффициенты безопасности и запаса прочности

В практике расчетов на прочность принято использовать два метода
оценки несущей способности конструкции: метод допускаемых напря-
жений и метод разрушающих нагрузок. Прежде чем рассмотреть осо-
бенности этих методов, введем некоторые определения для напряже-
ний.

Предельные (или опасные) напряжения — это такие напряжения,
при которых происходит разрушение конструкции или возникают
пластические деформации. Допускаемые — наибольшие напряжения,
которые допустимы в конструкции с точки зрения ее надежной и без-
опасной работы. Расчетные — напряжения, возникающие в конструк-
ции под действием приложенных к ней нагрузок.
Начнем с метода допускаемых напряжений, который широко исполь-
зуется в общем машиностроении, где требование минимальной массы
играет второстепенную роль по сравнению с требованием безопасной
и долговечной работы конструкции.

Допускаемые напряжения составляют долю от предела пропорцио-
нальности оу или предела текучести о0 2, которые считаются предель-
ными (опасными) напряжениями, т. е. [о] = о0 2 / г), где т] — коэффици-
ент запаса прочности для различных конструкций Г| = 1,5—5. На выбор
требуемого коэффициента запаса прочности влияют следующие фак-
торы:

1)	степень точности определения действующих нагрузок и приме-
няемых методов расчета;

2)	степень однородности используемых материалов конструкции,
их чувствительность к механической обработке и уровень разброса
физико-механических свойств;

3)	ответственность детали.

Обычно коэффициент запаса прочности представляется в виде про-
изведения частных коэффициентов запаса, учитывающих влияние раз-
личных факторов на надежность работы проектируемой конструкции.

Таким образом, при использовании метода допускаемых напряже-
ний конструкция всегда работает в пределах упругих деформаций, при-
чем расчетные напряжения меньше допускаемых, т. е. ор < [о].

Так как пластические деформации в конструкции отсутствуют, то
в этом методе коэффициенты запаса прочности по нагрузкам и напря-
жениям будут одинаковыми. Как следует из диаграммы растяжения
стального образца, приведенной на рис. 1.4, это совпадение будет
соблюдаться на линейном участке кривой, вплоть до предела пропор-

За пределом пропорциональности происходит перераспределение
напряжений и пропорциональность между напряжениями и нагрузкой
нарушается. Это означает, что на участке работы конструкции с пла-
стическими деформациями запас прочности по напряжениям не позво-
ляет судить о запасе прочности по ее нагрузкам. При проектировании
ракет фактор массы играет решающую роль, поэтому конструкция
проектируется так, чтобы прочностные свойства материала исполь-
зовались полностью. Поэтому в качестве допускаемых напряжений
в ракетостроении принимают предел пропорциональности или предел
текучести (если остаточные деформации допустимы), а не часть их, как
в общем машиностроении.

Запасы прочности в этом случае перекрывают область, где коэффи-
циенты запаса по напряжениям и нагрузкам будут различными, и поэ-
тому расчет конструкции ведется по разрушающим нагрузкам, которые
в наибольшей степени характеризуют ее работоспособность.

Коэффициент запаса прочности в методе разрушающих нагрузок
равен: ц = А/разр / [АП, где [А/] — допускаемая нагрузка, т. е. обеспе-
чивающая возникновение безопасных напряжений (в данном случае
предела пропорциональности).

Если ввести понятие расчетной нагрузки ЛГр, под которой сле-
дует понимать нагрузку, действующую на конструкцию, то < [ЛГ| =
= Мразр / ц. Однако установить разрушающую нагрузку Мразр расчетным
путем, за исключением простейших случаев, не представляется воз-
можным, поэтому в методе разрушающих нагрузок поступают следу-
ющим образом.

Принимают коэффициент запаса прочности ц равным единице,
а требуемый запас вводят в расчетную нагрузку, которая теперь умно-
жается на коэффициент безопасности/. Для того чтобы различать завы-
шенную таким образом расчетную нагрузку и нагрузку, действующую
на конструкцию, последнюю называют эксплуатационной ЛГЭ, т. е.
теперь ДО =/Ыэ. Эта нагрузка и используется при расчете конструкции
на прочность в методе разрушающих нагрузок. Что касается коэффици-
ента запаса прочности, то в общем случае его можно определить экспе-
риментальным путем после вычисления ДОразр. Теперь ц = ДОразр / ДОр ~ 1
(не менее 0,98), и роль его сводится к оценке степени совершенства
спроектированной конструкции.

Значение коэффициента безопасности установить теоретически
довольно трудно, так как невозможно выявить все факторы, влияющие
на его величину. В основном роль коэффициента безопасности сво-
дится к компенсации:

1)	несоответствия между детерминистским расчетным и фактиче-
ским случайным представлением внешних нагрузок, внутренних уси-
лий и несущей способности конструкции;

2)	отклонения расчетной схемы ЛА и расчетных условий его нагру-
жения от действительных.

Это заставляет набирать статистические данные по коэффициентам
безопасности, чтобы использовать их в дальнейшем для проектирова-
ния новых конструкций.
В качестве примера рассмотрим типичные расчетные случаи, при-
меняемые при проектировании отсеков баллистических ракет.

1.5.	Расчетный случай

Во время жизненного цикла ракета подвергается большому числу
самых разнообразных нагрузок. Однако в каждом из элементов кон-
струкции лишь только в одном, характерном для него случае нагруже-
ния, возникнут напряжения и деформации, которые будут определять
его потребную несущую способность и жесткость.

Под расчетным случаем для рассматриваемой конструкции будем
понимать такой момент ее эксплуатации, при котором возможно появ-
ление наиболее опасной, с точки зрения прочности, комбинации нагру-
зок и нагрева. Введение расчетного случая позволяет существенно
сократить объем расчетов на прочность, так как отпадает надобность
в определении прочности конструкции во все время ее эксплуатации.

Для определения расчетного случая используют методы доминирую-
щей нагрузки и условной нагрузки. Наиболее правильным и достоверным
является метод условной нагрузки, в котором в качестве расчетного при-
нимается случай эксплуатации, соответствующий максимальному значе-
нию некоторой условной (фиктивной) нагрузки. Величина этой нагрузки
определяется как эффектом комбинированного действия внешних сил,
так и зависимостью несущей способности конструкции от ее нагрева.
В методе доминирующей нагрузки расчетным считается такой случай
эксплуатации конструкции, когда на нее действует максимально возмож-
ная нагрузка. Этот метод используется в тех случаях, когда конструкция
слабо подвержена нагреву либо вообще не нагревается.

В практике расчетов на прочность широкое распространение полу-
чило использование нескольких расчетных случаев, определенных
методом доминирующей нагрузки, которые в совокупности включают
в себя основной расчетный случай, определенный методом условной
нагрузки. Так, для корпуса многоступенчатой баллистической ракеты
для расчета выбираются следующие случаи эксплуатации:

1)	старт, активный участок траектории, включая его конец;

2)	максимальные осевые пх1 и поперечные пу1 перегрузки на актив-
ном участке траектории;

3)	разделение ступеней;

4)	начало и конец работы ступени;

5)	сброс обтекателей (если они имеются);

6)	отделение головного отсека от ракетной части.

Приведем в качестве примера некоторые расчетные случаи для отсе-
ков корпуса баллистической ракеты.

Головной отсек (/= 1,5):

1)	максимальные осевые перегрузки центра тяжести шах при
входе в атмосферу;
2)	максимальные поперечные перегрузки шах при входе в ат-
мосферу;

3)	максимальные осевые перегрузки шах в конце активного
участка траектории;

4)	воздействие факторов взрыва ядерного заряда антиракеты.

Если отсек не покрыт слоем ТЗП, то расчетный случай определяется
методом условной нагрузки для участка входа в атмосферу.

Приборные и переходные отсеки (/= 1,3—1,5). Расчетный случай
устанавливается по методу условной нагрузки, либо принимаются сле-
дующие случаи эксплуатации, относящиеся к активному участку траек-
тории, если головной отсек отделяется:

1)	шах

2)	тах

3)	максимальный скоростной напор;

4)	динамические нагрузки в осевом и поперечном направлениях.

Хвостовой отсек (/= 1,5):

1)	воздействие силы веса и изгибающего момента от приземного
ветра при старте (/= 2);

2)	максимальный изгибающий момент тах Мизг, действующий
от стабилизаторов;

3)	тах на активном участке;

4)	для многоступенчатых ракет тах и тах предыдущих сту-
пеней.

Баки (/= 1,75). Расчетный случай устанавливается по методу услов-
ной нагрузки, либо принимаются следующие случаи эксплуатации:

1)	максимальное давление наддува в баке тах рнад;

2)	тах	на активном участке траектории;

3)	тах	на активном участке;

4)	максимальный скоростной напор на активном участке;

5)	случай предстартовой подготовки, когда бак не наддут, но изде-
лие заправлено.

Несущую способность баков с вытеснительной системой подачи
топлива определяет внутреннее давление, и для них/= 1,3—1,5.

Основным расчетным случаем для РДТТ является его нагружение
максимальным внутренним давлением (/= 1,3).

Заряд твердого топлива:

1)	изменение температурных условий в процессе изготовления
и эксплуатации двигателя;

2)	длительное хранение ракеты в горизонтальном и вертикальном
положении при постоянной температуре;

3)	транспортировка ракеты;

4)	максимальное внутреннее давление при работе двигателя.

Прочность корпуса ракеты определяют, за исключением частных
случаев, по нагрузкам в полете, однако отсеки ракеты просчитываются
также на все случаи наземной эксплуатации в рамках проверочного
расчета на прочность. Для иллюстрации приведем рекомендуемые зна-
чения допустимых перегрузок при наземной транспортировке ракет:
по железной дороге = ±0,25;	= 1,6; на грунтовой тележке =

= 1,0;	= 2,0; подъем краном = 2,0.

Конечно, перечисленные рекомендации не охватывают всех воз-
можных случаев эксплуатации конкретных ракет, но позволяют указать
те из них, на которые следует обратить внимание в первую очередь при
определении расчетных случаев.

1.6.	Классификация нагрузок

Для определения напряжений и деформаций, возникающих в отсе-
ках ракеты и отдельных элементах ее конструкции, необходимо пре-
жде всего определить нагрузки, которые на них действуют. Особен-
ностью работы ракетной конструкции является возможность нагрева
ее силовых элементов при некоторых режимах, а иногда и в течение
всего периода эксплуатации. Поэтому для всякого расчета на прочность
исходными данными являются чертеж или эскиз конструкции, рас-
четные данные о нагрузках, данные о нагреве конструкции. За время
эксплуатации ракета подвергается воздействию самых разнообразных
внешних факторов, и проведение расчетов на прочность для каждого
из случаев потребовало бы большого объема вычислений. Однако
из всех режимов эксплуатации можно выделить только те, в которых
конструкция подвержена наибольшему внешнему воздействию, и для
них провести расчеты на прочность.

Прежде чем перейти к наиболее типичным методам определения
нагрузок, классифицируем их, объединив в группы, характеризующи-
еся общей природой нагрузки.

По моменту воздействия во время эксплуатации:

1)	нагрузки в полете,

2)	стартовые нагрузки,

3)	нагрузки при наземной эксплуатации.

По характеру распределения:

1. Объемные или массовые, распределенные по всему объему
ракеты и пропорциональные плотности ее материала:

а)	вес;

б)	силы инерции.

2.	Поверхностные нагрузки, распределенные по поверхности кон-
струкции:

а)	аэродинамические;

б)	давление газов внутри отсеков;

в)	давление жидкости при движении ракеты под водой;

г)	давление наседающей массы ВВ на стенки оболочки БЧ;

д)	силовое воздействие струй, истекающих из сопл ракетных дви-
гателей;

е)	давление газа внутри шахты, при движении ракеты внутри нее
и др.
3.	Сосредоточенные силы — точечно приложенные нагрузки:

а)	тяга ДУ;

б)	веса грузов, подвешенных к корпусу или находящихся внутри
него;

в)	силы, передающиеся на корпус в узлах крепления аэродинами-
ческих поверхностей и соседних ступеней, и т. д.

По характеру изменения во времени:

1)	статические,

2)	динамические.

К статическим принято относить нагрузки, время воздействия кото-
рых велико по сравнению с некоторым характерным для данной кон-
струкции временем. Время приложения динамической нагрузки соиз-
меримо с характерным временем, в качестве которого для конструкций
ракет обычно принимают период собственных упругих колебаний.
Примером динамической нагрузки может служить сила тяги при запу-
ске и выключении двигателя, хотя при маршевой работе его тяга явля-
ется статической нагрузкой.

По степени знания закона изменения нагрузки по координате
и времени:

1)	программные,

2)	возмущающие.

Следует заметить, что одна и та же нагрузка может относиться к раз-
личным группам в приведенной классификации в зависимости от усло-
вий эксплуатации ракеты.

1.7.	Расчет нагрузок на основе методов
теории случайных функций

Сделаем некоторые краткие замечания по поводу используемых
в дальнейшем методов расчета, рассмотрев более подробно характер
поведения нагрузок. Следует сразу же отметить, что в большинстве слу-
чаев нагрузки не являются детерминированными, т. е. принимающими
определенные значения для фиксированных физических координат
системы и времени.

Рассмотрим, например, тягу двигательной установки. На маршевом
(для определенности) участке работы двигателя принято считать, что
тяга определяется параметрами двигательной установки и временем
ее работы и может быть рассчитана по простейшим алгебраическим
зависимостям. Такое упрощение реального поведения тяги является
моделью действительно существующего процесса. В действительности,
тяга — это случайная функция времени, так как случайными являются
все геометрические и физические параметры двигательной установки.
В самом деле, диаметр критического сечения сопла, например, не может
быть изготовлен абсолютно точно. Он имеет заданный допуск, и откло-
нения от номинального значения подчиняются нормальному закону
распределения. Аналогичные явления наблюдаются и при определении
других нагрузок: массовых, аэродинамических, ветровых и т. д. Таким
образом, в большинстве случаев нагрузки являются случайными функ-
циями координат и времени.

Рассмотрим случайную функцию значение которой при любом г
является случайной величиной. Аргумент Г (не обязательно время)
будем считать величиной неслучайной — детерминированной.

Пусть проведено п опытов для определения Ж О и в результате полу-
чено п кривых, ординаты которых для фиксированного аргумента
не совпадают. Для этого значения аргумента можно определить п зна-
чений .К(^1) и построить закон распределения ординат Ж^)- Зная закон
распределения, нетрудно определить математическое ожидание —
среднее значение функции в момент и дисперсию, характеризующую
отклонение случайной величины от ее среднего значения. Однако сред-
нее значение и дисперсия вычислены для фиксированного аргумента
и поэтому не могут охарактеризовать поведение случайной функции
для всего рассматриваемого промежутка изменения аргумента.

Очевидно, необходимо взять еще несколько фиксированных зна-
чений аргумента и построить соответствующий многомерный закон
распределения случайной величины. Указанный способ не всегда удо-
бен из-за своей громоздкости, поэтому в теории случайных функций
ограничиваются чаще всего расчетом параметров, которые характе-
ризует закон ее распределения. В качестве таких параметров обычно
принимают моменты случайной величины первого и второго порядка.
Момент первого порядка ЖО = М[ЖО] — математическое ожидание
ординаты случайной функции при произвольном значении аргумента с.
Функция ЖО уже не является случайной величиной.

Центральные моменты второго порядка:

Р[Я(О = М{[ЖО -ЖО]2} — дисперсия случайной величины ЖО-

К(11} Г2) = М{[ЖЦ) -Ж^.)] ЕЖ^г)_} — момент связи случайных
величин ЖО) и Ж^2)> называемый корреляционной функцией.

Если известен дифференциальный закон /(В. / О распределения слу-
чайной величины ЖО, то

ОО

0[Я(0]= I [К-ЯИ]2/(К/О<Ж;

—ОО

К(С1,С2)= 7 I

Раздел теории случайных функций, в котором оперируют только
моментами первых двух порядков, носит название корреляционной
теории случайных функций.

Случайные функции принято разделять на следующие группы:

1)	стационарные и нестационарные, их свойства зависят от момента
времени, с которого начинается отсчет;
2)	с нормальным законом распределения для фиксированного зна-
чения аргумента и ненормальным;

3)	марковские, для которых вероятностные свойства в последую-
щий промежуток времени полностью определяются значением орди-
наты этой функции в заданный момент времени и не зависят от ее зна-
чений в предыдущие моменты времени, и не марковские.

На практике встречаются следующие типы задач, которые требуют
привлечения аппарата теории случайных функций.

1.	По заданным свойствам случайных функций необходимо опре-
делить вероятностные характеристики процесса, например дисперсию
ординаты случайной функции. Примером такого рода задач может слу-
жить определение отклонения тяги от ее среднего значения или опре-
деление рассеивания точек падения головной части.

2.	Ко второй группе относят задачи, в которых вероятностные
характеристики определяются по экспериментальным данным. Здесь
используются обычные способы обработки опытных данных, применя-
емые в теории случайных величин, с той лишь разницей, что учиты-
вают зависимости между ординатами реализаций (опытов) случайных
функций.

3.	Искомые случайные функции описываются дифференциаль-
ными зависимостями, и задачи обычно сводятся к определению вероят-
ностных характеристик случайных функций, получаемых на «выходе»
системы, по вероятностным характеристикам случайных функций,
поступающих на ее «вход».

В любой из указанных задач поведение исследуемой величины
достаточно полно может быть охарактеризовано ее математическим
ожиданием, дисперсией и корреляционной функцией.

При дальнейшем изложении будет использован детерминирован-
ный подход к расчету нагрузок, в котором фактически определяется
лишь среднее значение нагрузки и не рассматриваются ее вероятност-
ные характеристики. Следует еще заметить, что вероятностный подход
на базе случайных функций может быть применен и к расчету напря-
женного состояния конструкции, когда соответствующие напряжения
и деформации считаются случайными функциями.
2.	Массовые нагрузки

К массовым нагрузкам относятся силы инерции и сила веса, для рас-
чета которых широко используются коэффициенты перегрузки. Сначала
рассмотрим особенности расчета перегрузок и примеры их использова-
ния для расчета нагрузок, когда силы являются равнодействующими
массовых сил.

2.1.	Силы инерции. Перегрузки

При определении массовых нагрузок и сосредоточенных сил, дей-
ствующих на ЛА в полете, широко используется понятие коэффициента
перегрузки.

Рассмотрим уравнения плоского движения центра масс ракеты в ско-
ростной системе координат. На рис. 2.1 указаны все внешние силы, при-
ложенные к центру масс, которые изменяют траекторию его движения.
Согласно принципу Д’Аламбера тело, в данном случае ракета, находится
в равновесии, если ко всем внешним силам добавить силы инерции, кото-
рые всегда направлены в сторону, противоположную вектору ускорения.

У



Проекции ускорения на оси х и у — и а соответствующие
им силы инерции — и тпУУ®. Тогда уравнения движения центра
масс в проекции на оси хиу принимают вид:

+ ТСоза - X - Ур зша - Сз1п(0 - а) = 0;
+Тзта + У + Ур сова -Ссоз(0- а) = 0,

(2.1)

(2.2)
где т, С — масса и вес ракеты; У, X — подъемная сила и сила лобового
сопротивления, приведенные к центру масс ракеты. Перепишем (2.1)
и (2.2), объединив в левой части тождества силы инерции и проекции
веса, а в правой — внешние силы:

тУУ® + Сзт(0 - а) = Тсоза - X - Ур зта;

тУУО + Ссо8(0-а) = Тзта + У + Урсо8а,

и составим отношения:

0 _ Тсоза - X - Ур 8ша _	+ С8ш(0 - а).

пх ~	~	’	(^-3)

^0	Сг0

п Тзта + У + Упсоза	+Ссоз(0-а)

и? =----------------= У г -----------(2.4)

где Со — сила веса, действующая на ракету, если бы с данной массой
она находилась у поверхности Земли.

Таким образом, перегрузки центра масс и представляют собой
отношение суммы проекций всех внешних поверхностных и сосредо-
точенных сил к весу, вычисляемому у поверхности Земли при текущей
массе.

Смысл введения коэффициента перегрузки станет ясен, если пере-
писать уравнения (2.1) и (2.2) с помощью (2.3) и (2.4) в следующем
виде:

-п°С0 + Т соза - X - Ур зта = 0;

-п°С0 + Тзта + У + Ур соза = 0.

Если известен коэффициент перегрузки, то расчет массовых сил сво-
дится к простому перемножению перегрузки и веса, причем обычно
изменением ускорения свободного падения в зависимости от высоты
пренебрегают, принимая всегда § = 9,81 м/с.

В расчетах на прочность обычно используется система координат,
связанная с носком ракеты, причем ось направляется к хвостовому
отсеку, а осьу3 — перпендикулярно ей, поэтому необходимо иметь фор-
мулы для расчета перегрузок в этой системе координат.

2.2.	Перегрузки в связанной системе координат

Рассматривая плоское движение, направим оси скоростной системы
координат х, у с единичными ортами г, ) по вектору скорости V и пер-
пендикулярно ему, ось х1 и единичный орт связанной системы коор-
динат — от носка к хвостовому отсеку, ось у1 с ортом — перпендику-
лярно осихр Взаимное положение осей координат показано на рис. 2.2.
Рис. 2.2

Полный вектор перегрузки п, выраженный через его проекции
на оси скоростной и связанной систем координат, можно представить
как

П = -п°I -	- п^1г	(2.5)

где значения проекции перегрузки в скоростной системе координат
определяются по формулам:

Л Тсоза-Х-Уп8та п Тзта + У + УП соза

п° =-----------; по =----------------2.	(2.6)

Знак «минус» в выражении (2.5) указывает на то, что проекция пере-
грузки направлена в отрицательную сторону соответствующей оси.

Для определения проекции перегрузки на ось х умножим (2.5)
на единичный вектор 4=

= (Й • Д) = -П$ СО8(х, Хг) - П° СОЗ (у, X!)
или

пД = п°соза-1-п° яла,	(2.7)

так как

соз(х, хх) = соз (180° + а) = -соза;

соз (у, X!) = соз (90° + а) = -зша.

Перегрузка направлена по оси хр т. е. к хвостовому отсеку ракеты.
Аналогично проекция перегрузки на осьур

= (и • Д) =	соз (90° + а) - соза,
или

п°т = -п$ зт а + п° соз а.

(2.8)

Подставив в (2.7) и (2.8) выражения (2.6) для перегрузок в скорост-
ной системе координат, получим для значения проекции перегрузок
в связанной системе координат

Т-Хсоза + Узта п Усоза + Хзта + Ур
-------------; пЪ =------------	(2.9)
т§

или с учетом того, что угол атаки а мал:

„о _Т-Х+Уа 0 _*“ + ^+Ур
пх1 -	> “у1 -

Сила лобового сопротивления в связанной системе координат =
= Хсоз а - Узт а, а подъемная сила У! = Усоз а + Хзт а, поэтому выра-
жения (2.9) можно переписать так:

по _ 2 ~Л1.по
7 т§

И наконец, получим выражения для перегрузок, записанные через
ускорения. В скоростной системе координат:

п	+ язт(0-а) п УУ°+§со8(0-а)

л____________• __________________

1Сх	>

(2.10)

Подставляя (2.10) в (2.7) и в (2.8), получаем:

_	(УИОсоза + УИ°зта) + ^8т0

пх1=------------Т------------

«0 —

Пу1 -

§

(УУ° соз а -	зт а) + & соз 0

(2.11)

Но так как ускорения в связанной системе координат

УУ° = УУ° соз а + У/° зт а, У/у1 = соз а - УИ° зт а,
то (2.11) можно переписать так:

„о _и<г01+^1пе.
пх1 ~	’

В

УТ^ +&СО80

Я

8

8

„о _
-

8

Этими формулами удобно пользоваться, если известны ускорения
в связанной системе координат.
2.3.	Учет вращения ракеты при определении
коэффициента перегрузки

На рис. 2.3 показана связанная с носком ракеты правая система
координат (ось направлена от нас). Ракета вращается вокруг
центра масс по часовой стрелке, т. е. в отрицательном направлении,
с угловым ускорением е2. Полное ускорение любой точки, удаленной
на расстояние х2 от носка ракеты, складывается из поступательного
ускорения центра масс и вращательного ускорения вокруг центра масс.
Тогда в плоском движении проекции ускорения точки в рассматрива-
емом случае равны: 1Ух1 =	- 1УП, У/у1 =	- 1УТ, где	— про-

екции ускорения центра масс; — центростремительное ускорение;

— тангенциальное ускорение точки, расположенной на расстоя-
нии от носка ракеты. Для баллистических ракет	поэ-

тому влиянием вращения на продольное ускорение, а следовательно,
и на перегрузку, пренебрегают, т. е. РКх1 ==

Тангенциальное ускорение = <1УХ / ск, где Ут = со2(х1 -х1т) —линей-
ная скорость точки во вращательном движении; со2 — угловая скорость.
Фиксируя момент времени (х1пг меняется во времени из-за выгорания
топлива), получаем

И; = е2(х! - х1т), а 1Уу1 =	+ 82(х1т -хт).

Для определения е2 воспользуемся уравнением динамики враща-
тельного движения вокруг оси г, проходящей через центр масс перпен-
дикулярно плоскости стрельбы: 12е2 = ЕМ, где 1г — массовый момент
инерции ракеты; ЕМ — сумма моментов, действующих на ракету. Тогда
е2 = ЕМ /12, а перегрузки в произвольной точке ракеты можно опреде-
лить по формулам:

Пх1 =

И^-1 +&8Ш0 _	+&8П10

8	8
1УУ1+#СО50 И^+^соз© Ум	,

и 1 =	-------+ ^—(Х1т - Х1).

8	8	1*8

Осевые перегрузки постоянны, а поперечные меняются вдоль оси
по линейному закону. График поперечных перегрузок при отрицатель-
ном направлении вращения вокруг центра масс приведен на рис. 2.3.

2.4.	Применение коэффициента перегрузки
для составления уравнения равновесия части ракеты

Определим меридиональные напряжения в сечении I—I, проходя-
щем по межбаковому отсеку БР на жидком топливе (рис. 2.4, а). Раз-
делим ракету по сечению I—I на две части, выделим одну из них —
верхнюю (можно взять и нижнюю) — и составим для нее уравнение
равновесия в проекции на ось симметрии ракеты. Действие нижней
отброшенной части на выделенную часть заменяем по рассматрива-
емому сечению напряжением Ор Масса выделенной части ш1, и она
вместе со всей ракетой движется с ускорениями И^, в направле-
нии осей связанной системы координат (для простоты будем считать,
что ракета не вращается). Тогда в центре масс выделенной части воз-
никают силы инерции	направленные противоположно

соответствующим ускорениям.

Рис. 2.4

По наружной поверхности действуют давление и трение, являющи-
еся следствием взаимодействия выделенной части с окружающей сре-
дой. Их равнодействующая есть часть силы лобового сопротивления
всей ракеты, которую обозначим ЛГа. Проецируя все силы на ось х1э
получаем:

2^8^ + -№а +	+ т^зтв = 0,	(2.12)

где 0 — угол тангажа; § — толщина стенки; К — радиус сечения. Но

т1^х1 + т18 8^П 6 = т1 (№1 + § 81п = т18пх1’

так как осевые перегрузки ракеты, выраженные через ускорения, в свя-
занной системе координат записываются как

по _И^+^8т0

Теперь уравнение равновесия (2.12) можно переписать:

2лК8су1 + Ма +	= О,

откуда

ст

1 2лК8

Таким образом, коэффициент перегрузки позволяет существенно
упростить составление уравнений равновесия части ракеты. И вме-
сто схемы сил, действующих на выделенную часть (рис. 2.4, б), удоб-
нее воспользоваться схемой на рис. 2.4, в, в которой отсутствуют силы
инерции, а также сила веса. Сумма силы инерции и проекции силы
веса равна произведению веса выделенной части на коэффициент
перегрузки в рассматриваемом направлении. Покажем теперь на более
сложном примере, что при составлении уравнений равновесия выбор
части конструкции, верхней или нижней относительно рассматривае-
мого сечения, на конечный результат не влияет.

2.5.	Уравнения равновесия бака, вложенного в корпус

На рис. 2.5 изображена схема БР на жидком топливе с баком, под-
вешенным внутри корпуса на двух опорах, причем верхняя опора вос-
принимает осевые и боковые силы, а нижняя — только боковые. Бак
наддут давлением рн, заполнен жидкостью и вместе со всей ракетой
испытывает осевые перегрузки пх1. Определим меридиональные напря-
жения в баке в сечениях I—I и II—II.

Рассмотрим сначала первое сечение и с этой целью разделим бак
на две части, как это показано на рис. 2.6. Уравнение равновесия верх-
ней части в проекции на ось симметрии имеет вид (весом металла бака
пренебрегаем)

2лЛ8о1 -ркт[К2 +	= О,

(2.13)
где рн = рн + Рж#пх1, с = лК2Ьрж#. Тогда -рнпП2 +	= -рнлЯ2 -

- 71К2рж§пх1/1 + пК2рж§пх111 = -р^пК2, а уравнение равновесия принимает
вид

271Я5О! - лЯ2 = О,

откуда

о^РнЯ/25.

(2.14)

(2.15)

I

II

I

II

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Сопоставляя исходное уравнение равновесия (2.13) и преобразо-
ванное (2.14), убеждаемся, что если сечение проходит по жидкости,
то ее можно не учитывать при составлении уравнения равновесия,
а осевая сила определяется только давлением наддува. Теперь убедимся
в том, что окончательное выражение (2.15) будет тем же самым, если
составить уравнение равновесия нижней части. В этом случае

271К8О! - ркпК2 + С2пх1 + 2№со$ а = 0,	(2.16)

где — реакция в узлах крепления бака; С2 — вес жидкости в нижней
части бака. Реакцию определим из уравнения равновесия всего бака
(см. рис. 2.6):

(6г + 62)пх1= 2Мсоз а.	(2.17)

Подставив (2.17) в (2.16), получим

271К50! -рй71К2 +	= О,

т. е. мы пришли к уравнению равновесия (2.13), которое получено для
верхней части.

Теперь рассмотрим сечение II—II и опять возьмем сначала верхнюю
часть (рис. 2.7.) Имеем

2лЯ8о1 -р^пК2 + О3пх1 - 2Мюз а = О,

или, с учетом (2.17), а также того, что

Рм. = Рн +	С3 = 7^1Рж^	(2.18)

получаем

2лР8о3 - рнлК2 - Спх1 = 0,	(2.19)

откуда

Рн^2-Опх1

1 2тгК8

где С =	+ С2 = С3 + С4 — вес жидкости в баке.

Уравнение равновесия для нижней части

271^8(51 - Р/1171К2 - С4пхЛ = О,

или, с учетом выражений (2.18) для рк1 и С3,

271К8О! -ркпВ.2 - С3пх1 - С4пх1 = 0.

Отсюда получаем уравнение равновесия (2.19) и выражение для
напряжений (2.20).

Таким образом, при определении напряжений или внутренних уси-
лий в сечении необходимо пользоваться следующими правилами, кото-
рые сокращают объем вычислений.
1.	Уравнение равновесия следует составлять для той части, для
которой это проще сделать или ясно и очевидно, как это сделать.

2.	Если сечение проходит по жидкости, то ее можно извлечь из вы-
деленной части.

3.	Для учета силы инерции и веса следует вес выделенной части
умножить на соответствующую перегрузку.

Рис. 2.7

2.6. Распределенные массовые нагрузки

При построении эпюр внутренних усилий в сечениях корпуса,
а также в задачах динамики конструкций приходится иметь дело
с распределенной массовой нагрузкой. Расчет нагрузки начинается
с построения графика распределения погонной массы по длине ракеты.
Сначала внутри корпуса выделяются сосредоточенные грузы, которые
далее при расчете погонной нагрузки не учитываются (рис. 2.8). Затем
корпус разбивается по длине на ряд участков (обычно не более 50),
в пределах которых отсутствуют резкие скачки массы. Тогда средняя
погонная масса участка равна его массе тпр поделенной на длину Дх;-,
т. е. т7(х1) = т? / Лх;-. Далее строится график погонной массы, который
используется при определении погонной массовой нагрузки. Для БР
график осевой массовой нагрузки подобен графику погонной массы,
так как осевая перегрузка постоянна по длине.

Если ракета вращается вокруг центра масс, то поперечная пере-
грузка изменяется линейно по длине ракеты и график поперечной мас-
совой нагрузки не будет подобен графику погонной массы.

На рис. 2.9 построены примеры графиков погонной массы, попе-
речных перегрузок (ракета вращается вокруг центра масс), а также
погонной осевой дх = т(х1)&п°1 и поперечной ^у = тЮ^Пу^х^ массо-
вых нагрузок, которые дают представление о характере распределения
массы по длине ракеты, а также о характере нагружения корпуса массо-
выми нагрузками. Можно записать обобщенные выражения для погон-
ных нагрузок, учитывающие сосредоточенные грузы, если воспользо-
ваться дельта-функцией Дирака, обладающей следующим свойством:

Тогда осевая погонная нагрузка запишется так:

<7х =	- хк),

(2.21)

где тк — масса к-го сосредоточенного груза. Поперечная массовая

нагрузка:

Чу = тп^^Пу^х^) + ткпу1(х1)^8(х1 - хк).
Для определения осевой массовой нагрузки в сечении корпуса, рас-
положенном на расстоянии от носка, необходимо проинтегрировать
выражение (2.21), т. е.

х1	м *1

=	1 пгСхЖ + п^Х / тп^х-х^Лх,

О	к=1 о

где М — число сосредоточенных грузов левее рассматриваемого сече-
ния. Аналогично перерезывающая сила и изгибающий момент, созда-
ваемые массовой нагрузкой в сечении с координатой хг, равны:

=	т^1(.х)т(х)дх + ^Х / п°у10ск)тк8(х - хк^(1х;

О	к=1 о

Мт(*1) = § / I ПО1(Х)7П(Х)ЛСЙХ + ^Х / / П^Х^ТП^Х - Хк)дх(1х.

0 0	к=1 0 0

Приведенные выражения для ^(х^, и Мт(х1) позволяют
определить их значения по всей длине ракеты. Однако если их нужно
знать лишь на границах участков, то вместо интегрирования можно вос-
пользоваться суммированием, если в пределах участка считать погон-
ную массу постоянной. В этом случае (л^ — правая граница участка):

I	К

= && X М] +	X тк,

]=1	к=1

где т —;-го участка; тк — масса сосредоточенного груза; К — количе-
ство грузов между носком ракеты и рассматриваемым сечением. Пере-
резывающая сила

I	К

]=1	к=1

где Пу, Пук — поперечные перегрузки в середине участка и центре масс
груза соответственно. Изгибающий момент

I	К

Мт&^&т^-х^п^ +&тк(хг Хтк)пук,
]=1	к=1

где хтр хтк — координаты центра масс участка и сосредоточенного
груза, отсчитываемые от носка ракеты.

Следует отметить, что приведенный способ учета сосредоточенных
грузов точен, если координата их центра масс совпадает с сечением
корпуса, в котором они закреплены. Для двухопорных грузов, а также
в тех случаях, когда центр масс груза не совпадает с местом его кре-
пления, целесообразно учесть воздействие грузов на корпус с помощью
реакций в местах его крепления, так как при этом получается более
точная эпюра усилий в этой области.
3.	Сосредоточенные силы

3.1.	Тяга двигательной установки

Сила тяги равна сумме реактивной силы, силы статического давле-
ния наружной атмосферы рн на всю наружную поверхность ракеты,
исключая площадь выходного сечения, и силы давления выхлопных
газов ра на площадь выходного сечения. Согласно закону сохранения
импульса реактивная сила ракетного двигателя равна секундному
расходу импульса через выходное сечение сопла, т. е. произведению
секундного расхода массы на скорость истечения, и направлена проти-
воположно скорости истечения.

Тяга двигателя

Т = тиа+ Ра(ра -ри),	(3.1)

где т — массовый расход из сопла; иа, ра — скорость истечения и давле-
ние в выходном сечении сопла; Ра — площадь выходного сечения; рн —
давление в среде на данной высоте. Так как массовый расход т = раиаРа,
а раи2 = кМ%ра, то выражение для тяги можно записать и так:

Т=(Ш2+1)^«Ра-РаРн-

На участке запуска и выключения двигателя тяга будет динамиче-
ской нагрузкой, и ее расчет фактически сводится к определению дав-
ления в камере сгорания. В этих случаях выражение для тяги удобнее
записать так:

Т = ^крР,

где

2к + Ь^-

КТ — коэффициент тяги; Гкр — площадь критического сечения сопла;
р — текущее давление в камере двигателя.

Для РДТТ давление в камере на участке выхода двигателя на режим
определяется по формуле [1]:
где а(к) =

-= 1-

Ро [

-(1-у)а(к)7А)*крГ

1

1—у



е

— константа; V — показатель в степенном законе

скорости горения топлива; /0 = КТ0 — работоспособность топлива;
1УД — объем камеры сгорания; рг — давление в камере при I = 0; р0 —

давление в камере на маршевом режиме.

В случае ЖРД можно воспользоваться зависимостью [2]

— = 1-ее/т%
Ро

т 7/о

где те = —----постоянная времени камеры сгорания; 1Д = —*——

Ркр/о

удельный импульс давления.

Падение давления в РДТТ после вскрытия отсечных сопл определя-
ется по формуле

Р _ Ркр !

Ро |

1УД

1—е

где — суммарная площадь критических сечений основных и отсеч-
ных сопл; г — время, отсчитываемое от момента вскрытия отсечного
отверстия.

После прекращения горения в камере сгорания, когда начинается
процесс адиабатического опорожнения ее объема, для расчета давле-
ния можно воспользоваться формулой

2к

Р

Ро

а(Ю7ЛЛр к-1^ к1

(3.2)

2

при изотермическом опорожнении камеры:

р_= 1

Ро ИЪ

Остановимся теперь на способах учета воздействия тяги на корпус
ракеты. В случае ЖРД камера сгорания находится внутри хвостового
отсека и тяга будет сосредоточенной силой, которая приложена в месте
крепления двигателя к корпусу. Корпус маршевого РДТТ является одно-
временно и корпусом ракеты, поэтому здесь тягу целесообразно разде-
лить на отдельные составляющие.
По определению, тяга есть равнодействующая давления, действую-
щего по внутренней поверхности двигателя, и невозмущенного давле-
ния в окружающей среде — по наружной, т. е. Т = Твн + Тн — причем
Твн = тпиа + &аРа> а = -^аРн* ^а переднее днище двигателя действует
сила 1ЧДН = 5т(р0 - рн), т. е. равная избыточному давлению в двигателе,
умноженному на площадь поперечного сечения (здесь взята площадь
миделя). В то же время на заднее днище вместе с сопловым блоком дей-
ствует сила

— ^т^Ро ~ Рн) — ^вн "* ^аРн’

ИЛИ

ыз = $т(Ро -Рн)- (тиа + Ра(ра -р{)) = ЛГда -Т,

т. е. сила, действующая на заднее днище, равна разности силы, действу-
ющей на переднее днище, и тяги двигателя.

Деление тяги на составляющие удобно при определении осевых сил,
возникающих в сечениях корпуса ракеты с РДТТ.

3.2.	Тяга конического сопла

Будем исходить из схемы радиального движения газа в сопле,
согласно которой траекториями газовых частиц в некотором удалении
от критического сечения считаются прямые, исходящие из вершины
выходного соплового конуса. Очевидно, что в этой схеме радиального
движения газа скорость и параметры газа р, р и Т постоянны на сфери-
ческих поверхностях с центром в вершине конуса, причем направление
скорости совпадает с радиусом сферы.

Пусть в сечении х—х сопла (рис. 3.1) К — радиус сферы, нормальной
к конической поверхности сопла по их общей окружности пересечения;
а — угол между осью и образующей конуса сопла; 5 — площадь поверх-
ности сферического сегмента радиусом К; Р — площадь плоского сече-
ния конуса; а — индекс выходного сечения; уа — радиальная скорость
на сферическом срезе сопла.

Из элементарной геометрии:

Р = пР2зт2а;	(3.3)

5 = 2лК2(1 - соз а),
отсюда

? = 51±^а	(34)

Уравнения установившегося движения при гипотезе радиального тече-
ния и в предположении, что величина скорости, давление и плотность
в каждой точке сферы 5 постоянны, запишутся следующим образом:
закон сохранения массы

5ру = соне!;

закон сохранения энергии

„ (V2 к рл

5ру — +-----— = соп81;

12 к-1 Р;

закон сохранения импульса в проекции на ось сопла

-^-(ру2П + ^ = 0.
ах	ах

(3.5)

(3.6)

(3.7)

Рис. 3.1

Вынося в последнем уравнении 5ру за знак дифференцирования
р

в силу уравнения (3.4) и замечая, что — = сопзС, представим последнее
5

уравнение после сокращения на Р в виде

ру(1у + (1р = 0.

(3.8)

Интегралом этого уравнения в сочетании с уравнением энергии
является адиабата Пуассона. Таким образом, система уравнений ради-
ального течения может быть представлена в виде

5ру = сопзС;

'у2 к р] р
---+------— = СОП8Г; — = СОП8Г.

I 2 к-1 р) рк

(3.9)

Значения параметров газа и все другие величины, относящиеся
к выходному сечению сопла, будем обозначать индексом а. В схеме
радиального течения под скоростью истечения и целесообразно под-
разумевать среднее по поверхности сферы значение проекции скоро-
сти уа на ось сопла. При этом:

1 5?_	1 + СО8О.

= -----------

•Лг 0

(3.10)
В реальных соплах из-за потерь энергии на трение, теплоотдачу
и возможные местные скачки уплотнения скорость и несколько меньше
ее теоретического значения Уа. На практике с целью учета потерь вво-
дится коэффициент скорости фг и расчетная формула для скорости
истечения принимается в виде

(3.11)

причем (рт =

1 + соза

Фтр, где фтр — коэффициент, учитывающий потери

на трение, на скачки уплотнения и т. д. Для сопл современных реак-
тивных двигателей фг = 0,97—0,99. Коэффициент фтр изменяется,
по-видимому, в узких пределах (0,99—0,995).

Введем еще поправку на неравномерность потока в критическом
сечении сопла, несколько уменьшающую массовый расход из сопла,
который с учетом этой поправки равен

И1 = ф2

а(к)Егрро

где ф2 = 0,95—0,98 — коэффициент расхода, часто трактуемый как
коэффициент сужения струи в критическом сечении. Он зависит от гео-
метрии дозвуковой части сопла, а также от того, насколько равномерны
параметры газа во входном сечении сопла. Тогда выражение для тяги
через число Маха в выходном сечении можно записать в следующем
виде:

гдера=р0

Т = РаРа^2^а +1) " ^аРнд

(3.12)

к

Л /с-1__9У-1

1+—

I 2 а)

— давление в выходном сечении сопла.

3.3.	Расчет тяги с отрывом потока в сопле

Наличие трения и пограничных слоев может существенно повлиять
на работу сопл при нерасчетных режимах истечения. Это происходит
из-за взаимодействия ударных волн с пограничным слоем на стенке
сопла. Когда сопло недорасширено, т. е. давление в его выходном сече-
нии больше, чем в окружающей среде, в нем отсутствуют ударные
волны. Если же сопло перерасширено, когда давление в выходном сече-
нии меньше, чем в окружающей среде, то постепенное приспособление
давления будет происходить при помощи косого скачка уплотнения.
Течение в пограничном слое также должно преодолеть этот перепад
давлений, но так как оно обладает меньшим количеством движения,
то способно сделать это до определенного значения отношения дав-
лении, величина которого определялась теоретически и эксперимен-
тально.

Более надежные результаты дают эмпирические зависимости. Так,
в [3] давление в сечении сопла, где происходит отрыв газового потока
от стенок, предлагается определять по следующей формуле:

>=2

Рн 3

Нами предлагается зависимость, полученная в результате обработки
экспериментальных данных, опубликованных в литературе:

/	\0,83

А = Рн _0,357	,	(3.14)

Ро Ро \Ро)

(3.13)

здесь р, — давление в сечении сопла, где произошел отрыв потока; р0 —
давление торможения газа; рн — давление в окружающей среде; ра —
давление в выходном сечении сопла.

Р>	Ра	Р/ Ра

Если — > — или — > —, то поток в сопле отрывается, и в этом слу-
Рн Рн	Ро Ро

чае необходимо определить сечение отрыва, его площадь и число Маха
в нем.

На рис. 3.2 приводится эволюция течения в сопле при увеличении
давления в окружающей среде, а на рис. 3.3 — физическая модель тече-
ния в области отрыва пограничного слоя и график распределения дав-
ления на стенке сопла. Увеличение толщины пограничного слоя проис-
ходит в точке с давлением р/} которая выше по потоку от места отрыва
пограничного слоя, где давление равно р3. Давление в невязкой области
течения возрастает от р{ до рн на косом скачке уплотнения, который
и отрывает пограничный слой. На стенке сопла давление плавно изме-
няется между этими значениями. Для построения этой плавной кри-
вой в [3] вводится промежуточная точка, в которой давление состав-
ляет 0,95 от внешнего давления.

Рис. 3.2
Зона малых

Рис. 3.3

Относительная площадь сечения сопла в этой точке определяется
с помощью следующего эмпирического соотношения:

80,95 “ ещ

—-,если <-^- + 0,38

2,4	1 1,6

и

8о,95 = 8/ + е1а > если	+ 0,38,

1,45	1,6

р

где е = —, Р — площадь сечения сопла. Тогда вместо (3.1) тягу необхо-

димо определять по формуле
^0,95	Ра

Т = ГГШ1+Р1р1+ | рЙР + | р(1Р-ркРа.	(3.15)

р1	Д),95

В результате обработки экспериментальных данных в [3] получено

] р<1Р = 0,55(й + р0;95) (Г0>95 - ГД	(3.16)

р(
а интеграл

га

{	= 0,975рн(+а -+095),

Г0,95

Объединяя (3.15)—(3.17), получаем окончательно

(3.17)

Т — тпщ +Р{Р{ +0,55(р/ + Ро,95)(^0,95 _	~Рн(0,025Ра +0,975Р095). (3.18)

В этом случае

--0,357
Ро

Р/=Ро

/	\0,83

Рн
кРогу

к+1	к+1

<к+1Ък-1)	к-1	г

ч№0= —-	м, 1+—-м?

к 2 7 к 2	7

Тогда по аналогии с (3.12) выражение для тяги можно переписать
так:

Г =	+1) + 0,55(р, + р0>95) (+)195 - К,) -

-рн(0,025Га + 0,975Ро,95)-	(319)

Здесь учтено изменение давления на части сопла с оторвавшимся
от его стенок потоком. Более грубая формула получается в том случае,
когда принимается, что сопло за зоной отрыва не работает. В этом слу-
чае все площади сечений сопла принимаются одинаковыми, т. е. Ра =
= Л)95 = Рг

Теперь рассмотрим пример определения сосредоточенных сил, когда
составление уравнений равновесия упрощается с помощью коэффици-
ента перегрузки.

3.4.	Реакции в узлах крепления грузов

Внутри корпуса БР всегда имеются сосредоточенные массы, такие,
например, как подвесные баки, ЖРД, контейнеры с приборами управ-
ления, грузы внутри головного отсека и т. п. В местах крепления этих
грузов возникают реакции, которые передаются на корпус в виде сосре-
доточенных сил и моментов. Рассмотрим порядок определения этих
реакций для двух случаев крепления груза.

На рис. 3.4 изображен ЖРД, который крепится к корпусу через ферму,
причем его центр масс не совпадает с плоскостью крепления опоры.
В месте крепления груза возникают две реакции и момент, которые
можно определить из условий равновесия этого груза, т. е. В.х1 = Сдп°13
Ку1 = ^дпу1>	где перегрузки определяются в сечении, про-

ходящем в центре масс груза. На корпус действуют силы и момент, рав-
ные реакциям, но направленные в противоположную сторону.
Рис. 3.4

В приведенном на рис. 3.5 случае крепления двухопорного груза воз-
никают три реакции, для определения которых имеем следующие усло-
вия равновесия груза:

&х2 = Яу2 + Ку1 = Соп^, Ку2(а + Ь) - СоП?у1а = 0.

Отсюда

%

Рис. 3.5

Как и в предыдущем случае, на корпус действуют силы, равные
по величине реакциям, но противоположно им направленные.
4.	Аэродинамические нагрузки

Аэродинамические нагрузки действуют на ракету лишь на участке
ее полета в плотных слоях атмосферы и являются результатом взаимо-
действия корпуса ракеты с окружающей средой.

4.1.	Погонная нагрузка

Полную аэродинамическую нагрузку, отнесенную к единице пло-
щади, в каждой точке корпуса можно разложить на касательную
к поверхности (т) и нормальную (Дра) составляющие (рис. 4.1). В свою
очередь, касательную проекцию в общем случае можно разложить
на составляющие, направленные по касательной к меридиану и парал-
лели. Последней, ввиду ее малости, обычно пренебрегают. Нормальная
составляющая есть не что иное, как давление. Она-то и представляет
наибольший интерес в расчетах на прочность. Полное давление, дей-
ствующее на корпус ракеты в данной точке, равно: р = рн + Лра, где
рн — давление воздуха на высоте Н; Дра — избыточное давление воз-
духа, возникающее вследствие взаимодействия его с ракетой.

При вычислении аэродинамических нагрузок учитывается лишь вто-
рая составляющая давления, т. е. Ара, так как первая учтена в формуле
для тяги, которая определяется как интеграл от сил давления по вну-
треннему и внешнему контуру ракеты в проекции на ее ось симметрии.
Причем под внешним давлением понимается давление в окружающей
среде.

Исходными для расчета аэродинамических нагрузок являются гра-
фики распределения давления Лра и сил трения т на единицу площади
по корпусу ракеты.
Получим аналитические выражения для расчета аэродинамических
нагрузок по известным исходным данным.

Сила лобового сопротивления и подъемная сила всей ракеты равны:
^1 = сх10.^т> ^1 = су1а(1^т> гДе 9 — скоростной напор. Здесь следует отме-
тить важную особенность графика скоростного напора в зависимости
от времени, которая состоит в том, что на активном участке траекто-
рии и на участке входа в плотные слои атмосферы этот график имеет
максимум (рис. 4.2).

Рис. 4.2

На основании статистических данных, полученных для балли-
стических ракет, установлено, что на активном участке (рис. 4.3) дтах
достигается в области 0,3 <1 / Т< 0,5, где Т = гп0 / тп — время, за кото-
рое сгорела бы вся стартовая масса ракеты. Указанный диапазон
Г = С/Т соответствует числам Маха в области 2,5 > М > 1,5. Значение
максимального скоростного напора существенно зависит от удельной
тяги двигателя и стартовой перегрузки. Для определения максималь-
ной силы лобового сопротивления можно воспользоваться зависимо-
стью, полученной в результате обработки статистических данных:

 =к 5
тах	х (0,17! )у т’

где кх, Р, V — статистические коэффициенты; 7г — удельная тяга двига-
теля; п0 = То / (т^) — стартовая перегрузка. Для одноступенчатых ракет
с параметрами п0 = 1,5—2, = (2000—2600) Нс/кг можно принимать
кх = 4 • 104 Н/м2, 3 = 1,0, V = 0,25. В других случаях структура зависимости
останется прежней, а статистические коэффициенты кх, Р, V могут быть
приняты на основе ближайшего прототипа проектируемой ракеты.

Для расчета максимального скоростного напора на активном участке
траектории БР можно воспользоваться также следующими соотноше-
ниями [4].

Скорость полета, м/с:

V = -.ДЦп ц - {500 + [0,1^(7,8 + 5,33 • 10 2$к) -

-(б,ббе1-9О)]/по}С-н)‘,
где ц = т / т0 — относительная масса ракеты (т, т0 — текущее и стар-
товое значения массы),

ц = 0,8325 - (2 • 10-3 Ък2 - 0,191^ + 6,82)10-6 • (521 - 0,1/Д2 -

-О,5(3,9(О,Ы1)-1/3-//по)2;

п0 — начальная тяговооруженность ступени; — удельная тяга дви-
гателя на Земле; ка = 1,05—1,15 — коэффициент увеличения удельной
тяги в пустоте; — угол наклона вектора скорости к плоскости гори-
зонта в конце активного участка, в градусах.

Высота (км), на которой достигается максимальный скоростной
напор, равна

кг = 1/12у0(1 - у02) [I + ц(1п - 0] [9,66 • 10-4фк - 15)2 + 5,9] 10-5,

где у0 = 1 / п0 — стартовая нагрузка на тягу.

Плотность воздуха р = 1,225ехр(-/г1 / 6,3).

Для определения числа Маха, которое требуется при расчете аэро-
динамических коэффициентов, сначала находят температуру воздуха
на высоте кг км. В соответствии с рекомендациями [5] атмосферный
участок траектории в диапазоне высот 0 < к < 85 делится на участки,
в пределах которых температура аппроксимируется линейной функ-
цией вида Т = Т* + ЪОт.! - к), где индекс * относится к нижней границе
рассматриваемого слоя, а значения коэффициента Ъ и температур
на границах слоев берутся из табл. 4.1. Тогда скорость звука (м/с)
а = 20,04\/т, а число Маха на высоте кг М = V / а.

Таблица 4.1

Пара- метр	Высота, км							
	0	ИД	20	32	47	51	71	85
Ъ	-6,5 х х Ю-з	0	Ю-з	2,8 х х Ю-з	0	-2,8 х х Ю-з	-2 х  х Ю-з	—
Т*	286,15	216,65	216,68	228,65	270,65	270,65	214,65	186,65
Конечно, при проверочных расчетах на прочность значение Хтах
может быть определено по данным траекторных расчетов ракеты.
Выражения для элементарных аэродинамических сил, действующих
на кольцевой участок корпуса длиной изображенный на рис. 4.4,
запишем в виде:

Г)С

Рис. 4.4

С другой стороны, на основании данных о распределении давления
и трения по корпусу эти же силы равны:

ах1 =

2л

2тгг(*! )т + г(х2) / Ара	; ср) р<2ср

о

(4.3)

2л

дУу = -г(х!) / Лра(х,; ср)зтфйфсЬс^.	(4.4)

о

В (4.4) отброшена поперечная составляющая, создаваемая силами
трения, ввиду ее малости по сравнению с составляющей, создаваемой
силами давления. Приравнивая (4.1) и (4.3), (4.2) и (4.4), получаем

ЭсХ1 _ 1

Э*1 ^5т

2л

2 7ТГ(Х] )Т + Г(*! ) / Ара рЙф
О

(4.5)

Г(Х!)27

Э*! сщ8т ]0

ДрдЗтфйф.

(4.6)

Таким образом, производные от аэродинамических коэффициентов
могут быть вычислены в каждом поперечном сечении ракеты по извест-
ному распределению Лра и т.
Очевидно, эти производные зависят от координаты х15 что иллю-
стрирует график одной из производных, построенный на рис. 4.5 для
ракеты «Европа-1».

ЭСу1 /

0	2	6	10	14 18 22

ЭСу1 / ^^1

Рис. 4.5

По известным производным от аэродинамических коэффициентов
нетрудно определить и соответствующие аэродинамические нагрузки
в сечении, расположенном на расстоянии хх от носка ракеты. Осевая
аэродинамическая нагрузка

М„(х1) = д5т{^йх.	(4.7)

о °х

Перерезывающая сила и изгибающий момент:

х1 Эс0!
0а(х1) = ад5т^Эх;
о дх

(4.8)

Ма(х:) = | 0а(х)йх = ад5т / / ^^ЭхсЬс.

о	о о °х

Если аэродинамические нагрузки определяются на границах участ-
ков, на которые разбит корпус по длине, то

ма(х;) = X Хр ом = X V), ММ = X - х^,
]=1 >1 >1

где Хр У] — сила лобового сопротивления (без донной составляющей)
и подъемная сила )го участка; х{ — координата правой границы рас-
сматриваемого участка; — координата центра давления го участка,
измеряемая от носка ракеты.

Из приведенных зависимостей очевидно, что максимальное значе-
ние осевых аэродинамических нагрузок на активном участке дости-
гается при максимальном скоростном напоре. Полная сила лобового
сопротивления всей ракеты отличается от осевой аэродинамической
нагрузки у основания ракеты 1Ча(Г) на величину силы донного сопро-
тивления, и поэтому X] = ?/а(0 +ХД. Если подставить (4.5) и (4.6) для
производных от аэродинамических коэффициентов в (4.7) и (4.8), то

х1	х1	2л

ЛГа(Х1) = 2л/ г(х)тйх+ | г(х)| Дра1:§Р(2ф(1х;

О	0	0

XI 2л	(4.9)

0а(х1) = -1 г(х) | АрцЗтфйфсЬс.
о о

Следует заметить, что определение Дра и т в общем случае представ-
ляет самостоятельную аэродинамическую задачу, которая в настоящее
время часто решается экспериментально, и лишь в отдельных простей-
ших случаях можно получить аналитические зависимости или числен-
ные решения.

4.2.	Аналитические соотношения
для расчета аэродинамического давления

Из формул (4.9) очевидно, что расчет аэродинамической нагрузки
в любом сечении, расположенном на расстоянии х1} не составляет осо-
бых трудностей, исключая проблемы, связанные с численным интегри-
рованием, если известно распределение давления и трения по корпусу
ракеты.

Приведем некоторые аналитические соотношения для расчета аэро-
динамического давления, опубликованные в литературе, которые
позволяют определить аэродинамические нагрузки. Запишем выраже-
ния (4.9) с помощью коэффициента давления ср = Ара / д:

х1	х1 2л

ЛГа(Х1) = 2л / г(х)тйх + д]" г(х)]" ср 1§рйфйх;
о	оо

XI 2л	(4-Ю)

0а(*1) = -д / г(х) / Ср ЫПфс/фсЬс.
о о

При нулевом угле атаки (а = 0) поперечная нагрузка = 0, а для
расчета ср можно воспользоваться следующими формулами.

1.	Заостренный конус с° = (1,56+1,96/МЯ)Р^’7, где Рк — угол полу-
раствора конуса, рад; — число Маха в набегающем потоке (1 <	<

< 8). Давление по поверхности конуса в этом случае постоянное. Коэф-
фициент давления для 1,05 < Мх < °° при обтекании конуса с присоеди-
ненным скачком уплотнения равен

с°=81п2рк

, (у+ 1)^+2, Гу + 1	1 А

1 + ———— 1п   + —

(у-1)К2+2	2	К2)

(4.11)

где К = (М2 -1)зт2р^ — обобщенный параметр подобия. Этими же
формулами можно пользоваться и для расчета давления на усечен-
ном конусе, если пренебречь эффектами, связанными с перестройкой
потока при развороте его на конус.

2.	Параболическое оживало (рис. 4.6)

1 43
с°=-^-(1,014е"-1),
Р М2



гдеп = 1,2М„



- 0,157,/(хт) —уравнение образующей оживала.

ЛРа

Рис. 4.6

3.	Полусферическое затупление (рис. 4.7). Эмпирическое соотно-
шение, основанное на схеме Ньютона, для расчета коэффициента дав-
ления между точкой торможения и так называемой стыковочной точ-
кой, имеет вид

Со = ср0[1-П(со5р)А],	(4.12)

где Р — угол наклона касательной к оси симметрии; ср0 — коэффициент
давления в точке торможения. Параметры А и О являются функциями
числа Маха набегающего потока. Формулы для расчета, полученные
методом наименьших квадратов, имеют вид:

А = 2,6054749 - 0,4659981м.., + 0,09303905М2 -

- 0,00817329М2 +0,00026447М4;

Р = 1,570367- 0,565058М», + 0,2071167М2 -

- 0,0341656М2 +0,00210593М4 (для 1,5 < Мто < 3,8);

Р = 1,0081057 - 0,0132323Мк, + 0,00164959М2 - 0,00006797М2

(для 3,8<МОО< 10).
Рис. 4.7

Диапазоны изменения коэффициентов: 1,72 < А < 2,09, 0,97 < О <
< 1,08. Если принять А = 2, а О = 1, то получится модифицированная
формула Ньютона:

Ср = СрО [1 - СО82 р] = Ср0 8Ш2 р.

Давление, необходимое для вычисления ср0 в точке торможения,
определяется по формуле Рэлея:

-^=Г^ма|”[^-мн-

г- I 2	;	<у+1

и тогда

2(р0-роо)^ 2 ро__г
ур^М2 уМ2^

По формуле (4.12) вычисляется с°, а затем давление на теле

Ро уМ2

Роо 2 р

и число Маха, соответствующее этому давлению

Полученное значение М сравнивается с Мт в стыковочной точке,
которое определяется из выражения

Мт =0,724667 + 0,373147МОО -0,06498948М2 +
+ 0,00640026М2 - 0,00025873 М* (для 1,5<Мов< 10).

Между стыковочной точкой и конусом давление определяется мето-
дом скачков расширения. В соответствии с этим методом тело разби-
вается на ряд участков, в пределах которых строятся касательные усе-
ченные конусы (рис. 4.8). Давление на первом конусе, касательном
к телу в стыковочной точке, принимается постоянным, а на следующем
за ним конусе определяется методами первого или второго порядка.
В методе первого порядка давление вдоль каждой конической поверх-
ности также считается постоянным и вычисляется по известному углу
наклона образующей конуса с помощью следующих формул, описыва-
ющих расширение потока в течении Прандтля — Майера. Число Маха
находится по известному углу Прандтля — Майера — у(М):

1 + 1,3604а + 0,0962а2 -0,5127а3
1-0,6722р-0,3278р2

где а = (у / гтах)2’3, V,

-1 — максимальный угол поворота

(утяу = 2,277 для М„ оо и у = 1,4). В данном случае у = у(Мт) + Лр, где

у(М) =

^|агсг§
у-1

(М2 -1) - агси§7(^2 -1)
у-1

— функция Прандтля — Майера; Л0 — угол разворота потока от преды-
дущего конуса к последующему (разность углов наклона образующих).

Р1

Рт Р2 Р'с

Рис. 4.8

Давление определяется по изэнтропической формуле

А = Г1 + ПМ2^;

Ро V 2	7

где р0 — давление в точке торможения тела. Если конус имеет отри-
цательный угол наклона, давление на нем принимается равным давле-
нию в набегающем потоке.

В методе скачков расширения давление на конусе принимается
не постоянным, а изменяющимся по экспоненте от р2, определяемом
течением Прандтля — Майера в точке соединения конусов, до давле-
ния рс, соответствующего давлению на заостренном конусе, определяе-
мому по формуле (4.11). Тогда

Р=Рс-(Рс-р2)еЛ

(4.13)

где

'др\ х-х2

(Рс-Р2)СО8Р2'

Градиент давления в точке пересечения конусов равен

/VI _в2ГЧ(м2)	\в2 ч(м2) (V)

1^05^2 Г ^(Л^)	) Ву ^(М1) \Эзу

где В = урМ2 / 2(М2 - 1); г — безразмерный радиус тела в калибрах

миделя; д(М) = —

1 + М2(у-1)/2
(у+1)/2

у+1

2(7-1)	,

— функция расхода; 5 — коор-

дината, отсчитываемая вдоль образующей конуса. На первом конусе,

проходящем через стыковочную точку,

постоянно на начальном конусе. Производная

= 0, так как давление

в конце предыду-

щего конуса определяется численно с помощью формулы (4.13).

Описанная схема позволяет рассчитать давление на осесимметрич-
ных телах любой формы, состоящих из комбинации конусов и криволи-
нейных тел. Единственным ограничением метода является то, что гра-

диент давления

— в точке пересечения конусов должен иметь такой

<05 ;2

же знак, что и разность (рс - р2), так как в противном случае давление
на правой границе конуса не будет достигать рс.

Ддя расчета коэффициента давления за звуковой точкой можно
также воспользоваться эмпирической формулой Эндрюса:

ср = ср0 зш2 р +

°,78 й . а
——— созВзтВ
М2>27 Н Н

0,95 соз Р
ехр[2,235(Моо-1)

При несимметричном обтекании (а Ф 0), кроме осевой, появляется
еще и поперечная (*]) аэродинамическая нагрузка, а коэффициент
давления в этом случае определяется по формуле

с“=с°+Лср.

Для заостренного конуса под углом атаки

Аср = 8т2азт2рк созФ + зт2 а соз2 Р*. х

1	/21

2-— (1-182рь)- 2 + — зт2Ф

^1 /	-*<1 .

(4.14)

(4.15)
где Ф — круговой угол, равный нулю в наветренной плоскости и 180° —
в подветренной; Кг = у]м2 -1;	— угол полураствора конуса.

Формулы (4.14) и (4.15) дают надежные результаты при Ма > 1,5
и углах атаки а < 15°.

Для тел вращения, в том числе тел, составленных из нескольких
конусов, коэффициент давления

Ср = ср(х) + 8т2асозФЛ(х) + 8Ш2 а[Г(х)соз2 Ф + А(х)зт2 Ф] / 2,	(4.16)

где х — осевая координата (в калибрах миделя);

Л(х) =

1 (др/р^

Г(х) =

уМ2 Эа

2 ГЭ2р/р<

>Ф=0,а=0

уМ2 Эа2

/ф=0, а=0

2 (д2р/р,
А(х) = —

Эа2 /Ф=—,а=0

2

Весовые функции Л(х), Г(х), А(х) аппроксимируются вдоль конусов
в методе скачков расширения аналогично давлению:

Л = Лс - (Лс - Л2)е-п; А = Ас - (Ас - А2)е-п; Г = Гс - (Гс - Г2)еЛ

т. е. изменяются по экспоненте.

Значения производных от давления в весовых функциях с индексом «с»
определяются с помощью формул (4.14) и (4.15) для коэффициента дав-
ления на заостренном конусе. Что касается значений весовых функций
в начале конуса (индекс «2»), то их рекомендуется определять по следую-
щим формулам [6]:

Л-2 — (Х2 / Х1)Л1;

г 2 = [Г!+гур^м2 л2(^2 - ^) / М]Х2 / М;
Р = [(у + 1)М4 / 2 - 2М2 + 2] (М2 -1)3/2;

X = 2ур / 8Ш 2ц; ц = агсзт М-\

Здесь при вычислении весовых функций в конце предыдущего
конуса (индекс «1») используется формула для с° на заостренном конусе
(4.11). Что касается р2, то оно определяется из условия локального рас-
ширения потока в волне Прандтля — Майера в рассматриваемом мери-
диональном сечении.

При несимметричном обтекании формула (4.16) используется для
двух сечений, соответствующих Ф = 0 и л. Большим достоинством фор-
мулы является то, что весовые функции в заданной координате для
сечений вычисляются один раз.
Полученные значения давления можно затем использовать для аппрок-
симации профиля давления в окружном направлении: Ара = Арф=я +
+ Ара, где Арф=я — симметричная составляющая давления, определяе-
мая на подветренной стороне; Ара = (Арф=0 - Дрф=я)со8 Ф — антисимме-
тричная составляющая давления (рис. 4.9); Ф — угол, отсчитываемый
от направления, противоположного осиут против часовой стрелки.

Рис. 4.9

4.3.	Расчет осевой погонной нагрузки
по известному аэродинамическому коэффициенту

Корпус любой ракеты удобно представить в виде комбинации усе-
ченных конусов, в пределах которых среднее аэродинамическое давле-
ние можно считать постоянным. В то же время для коэффициентов сх1
накоплен обширный экспериментальный и расчетный материал, кото-
рый можно с большой эффективностью применить для расчета погон-
ной аэродинамической нагрузки.

Если пренебречь трением, что допустимо без большой погрешности
при сверхзвуковых скоростях полета, то формулу (4.5) для погонной
аэродинамической нагрузки можно записать так:

йг 2,1

Ча =	= г(& / Ара И§ра.	(4.17)

Но для усеченного конуса (рис. 4.10)

^8 Р = (г/ - г^) /I»

(4.18)

где т\,	— радиусы правого и левого оснований конуса; Ц — длина

конуса по его оси. Тогда, принимая Ара = сопзг в пределах конуса,
из (4.17) получаем

Эс

= г(^)2лАра = 2лАра 1§Р(г/_1 + ^Р),	(4.19)
где — осевая координата, отсчитываемая от левого основания конуса
(см. рис. 4.10).

Рис. 4.10

Сила лобового сопротивления конуса

И дс	1?

=	^Э^ = 2л2\раГ8Р(г{_14 +^-С8Р),

о	2

или, после подстановки (4.18) для и преобразований:

Хг = лАра (г-2 -	).	(4.20)

Выразим теперь Лра через сх1, коэффициент силы лобового сопро-
тивления ьго участка. Так как

(4.21)

то, приравняв (4.20) и (4.21), получим

4Р.=	(4'23

71(Г-2-гД1)

так как характерная площадь для усеченного конуса 5/ = л(г2 - г^. Под-
ставим теперь Лра из (4.22) в выражение (4.19) для погонной аэродина-
мической нагрузки и после преобразований получим

ле^1_97ТГ „0;-гг 1)2Г

Это выражение позволяет определить осевую погонную аэродина-
мическую нагрузку в любом сечении конуса, расположенном на рас-
стоянии от меньшего основания по известному коэффициенту силы
лобового сопротивления всего конуса.

Приведем несколько зависимостей для расчета сх1 при нулевом угле
атаки, которые могут быть полезны на стадии проектировочных рас-
четов на прочность.
При дозвуковых скоростях полета, когда Мх < 1, коэффициент силы
лобового сопротивления участка корпуса равен

0,0315Ке-°»1465б

71 + 0,2М25т

где 5т — площадь миделя; 5б — площадь боковой поверхности участка;
Ке =	/ ц — число Рейнольдса; <1 = ^48т / л — диаметр миделя

ракеты; ц = 1,458 • Ю^ЕТ372 / (Т+ 110,4)] — вязкость воздуха.

При сверхзвуковых скоростях полета, когда можно пренебречь тре-
нием, а М»1:

а)	полусферический носок: сх1 = 28т2ф0(1 - I / 2зш2ф0), где ф0 —
половина угла сектора полусферического затупления;

б)	усеченный конус длиной Ц с левым диаметром <1^, а правым >
>	= к$1п2 Р, где к = 3 при Мх < 5; к = 2 при Мт > 5.

Более точные значения коэффициента сх1 можно получить, если
воспользоваться формулами для коэффициента давления с°, приведен-
ными в параграфе 4.2.

4.4.	Расчет поперечной погонной нагрузки
по известному коэффициенту подъемной силы

Пусть теперь известен коэффициент подъемной силы сх1 всего
конуса, изображенного на рис. 4.10, или производная с“Р Отнесем эти
коэффициенты, в отличие от предыдущего случая, к площади миделя,
а выражение для погонной аэродинамической нагрузки будет таким:

тс

Ы&п = -Г(^) I АРа ЯПф&р.
о

(4.23)

Вдоль образующей конуса давление будем считать постоянным,
а в окружном направлении антисимметричную часть его аппроксими-
руем зависимостью

Ара = Артсо§ Ф = —Арт81п ф.

(4.24)

Симметричная составляющая давления поперечной нагрузки не соз-
дает. Подставляя (4.24) в (4.23) и интегрируя, получаем

дСу1	л

<Ч$т^- = -г(ЗДрт-.

2

Но подъемная сила всего конуса
откуда

у с«1ад5т

ЛРти = -------------------

^4(П+П-1)	+

Подставим полученное выражение в (4.24):

4 га эе 4 ту1 цг(+гм)

ИЛИ

Эсу1 д (П~П-1) Г П-14
у142(п+п-1)1(п-п-1)

(4.25)

Теперь по известному значению с^г всего конуса нетрудно опреде-
лить его производную по осевой координате, а следовательно, и погон-
ную поперечную нагрузку.

Рассмотрим практически важные случаи применения полученной
формулы.

Для головного отсека (г^ = 0, с®! = 3)

ас?1; 65
к V

Для прямого конуса (г- > гм)

с«

2

после подстановки в (4.25)

Эсу1 = Лп -П-1)2 Г П-тк +
^(п-П-1)

Для обратного конуса (г\ <

с“т = -0,07(гД! - г2) / гДр

тогда

Эс?1^о 11('1-п-1)2Г

К ’	[(гг-гн)

В последнем случае погонная нагрузка будет отрицательной.

Приведем еще формулу для коэффициента подъемной силы цилин-
дра длиной 1{ и радиусом т\\ с“2 =0,75(4 /г^а, а его производная по осе-
вой координате

Эс«1/Э^ = 0,075(а/п).
Более точные значения аэродинамических коэффициентов и их про-
изводные можно получить, если определить давление по формулам,
приведенным в параграфе 4.2.

4.5.	Учет воздействия ветра
при определении аэродинамических нагрузок

При полете ракеты в атмосфере на нее могут действовать допол-
нительные аэродинамические нагрузки, причиной которых является
ветер, всегда существующий в атмосфере. В расчетах на прочность
удобно ветровые движения разделить на следующие группы в зависи-
мости от градиентов их скорости по ординатам и времени:

1)	струйные течения — движения масс воздуха большой протяжен-
ности и относительно небольшой толщины;

2)	местные порывы ветра, у которых скорость нарастает от нуля
и до максимального значения менее чем за 2 с на протяжении 300—500 м;

3)	непрерывная атмосферная турбулентность, которую в расчетах
на прочность принято представлять в виде суммы однократных поры-
вов ветра, действующих на ракету один за другим.

Последнее условие позволяет учитывать лишь воздействие струйных
течений и порывы ветра. Наибольшую величину скорость ветра при-
нимает на высотах 10—15 км.

Для определения скорости ветра и/ (м/с) на высоте к (км) можно
воспользоваться следующими аппроксимационными зависимостями:

IV = 11,5ехр (0,195/1); 0 < к < 10,5;

и/ = 21ехр[4,93 • 10 - 3(27 - Л) 2]; 10,5 < к < 27;

и/= 21;/г >27.

Конечно, скорость ветра зависит от многих факторов, таких как
место на поверхности Земли, над которым она измеряется, время суток,
года и т. п. На стадии проектных расчетов учесть их не представляется
возможным.

На рис. 4.11 приводится профиль скорости ветра Сиссенвайна, кото-
рый относится к 30° северной широты на территории США в районе
мыса Кеннеди.

Рассмотрим влияние ветра на полные аэродинамические силы
и перегрузки центра масс всей ракеты. Ограничимся двумя экстремаль-
ными случаями, когда ветер направлен по вектору скорости центра масс
ракеты (встречный ветер) и перпендикулярно ему (поперечный ветер).

1.	Встречный ветер (рис. 4.12). В этом случае

Х1Ъ ~ сх1Чх5т; У1Е - с“1ад25т,

где = ру^ /2,ау^ = уоо + уу — суммарная скорость набегающего потока.
Представим выражение для скоростного напора в виде

ОУ2 Г IV ( IV
дЕ = р(у_ + »)2/2 = ^ 1 + 2— =д 1 + 2— ,
где и/ = и/с + и/п; ?ус — скорость струйного ветра; и/п — скорость порыва
ветра. Тогда

= сх1<?5т(1 + 2и/ / кЛ У1Е = су1ад5т(1 + 2м/ / уте).

Увеличение и Ут при учете встречного ветра обычно незначи-
тельно и не превышает (2—6)%.

2.	Поперечный ветер (рис. 4.13). В этом случае изменяется сум-
марная скорость центра масс и угол атаки: Уу = ^у2 +и/2. Угол атаки
изменится на величину Аа = IV / у^ и суммарный угол атаки = а + Аа.
К моменту воздействия ветра на ракету ее подъемная сила = су1ад5т.

В соответствии с принятой классификацией ветровое движение
можно разделить на струйное течение и порыв ветра. Установлено,
что органы управления баллистической ракеты успевают компенси-
ровать лишь струйную составляющую ветра, а порыв заставляет пово-
рачиваться ее вокруг центра масс. Вычислим поперечные перегрузки
центра масс и точек, не совпадающих с ним в этих условиях. Имеем
у1Е = с“1аЕ<?Е5пг> гДе ^=Р^/2. Кроме того, п°Е = (У1Е + Ур)/т^, где
Ур — суммарная управляющая сила. Для ее определения воспользуемся
условием равенства аэродинамического и управляющего моментов:
Мр+Мс= 0, откуда Мр = Ур(1р - х1тп) или Ур = Мс / (1р - х1Тп). Здесь Мс =
= т2сдс$т/ — аэродинамический момент, вычисляемый с учетом лишь
только струйной составляющей ветра.

Рис. 4.13

Теперь определим перегрузки в точке, не совпадающей с центром
масс, имея в виду, что она вращается вокруг него в возмущенном дви-
жении, являющимся следствием воздействия порыва ветра. Имеем е2 =
= с/и>2 / (с/г) = ЛМП /12, где 1г — массовый момент инерции вокруг оси,
проходящей через центр масс, которая перпендикулярна плоскости
стрельбы; АМП =	- Мс; = т2^д^5т/ — аэродинамический момент,

вычисляемый с учетом обеих составляющих ветра. Получаем

пу1

АМП ,	.

+ Т (^-1т ^1)’

“Пу1Е

В некоторых случаях необходимо знать лишь аэродинамическую
нагрузку, создаваемую порывом ветра. Подъемная сила, создаваемая
порывом, равна

АУщ = У1Е - У1С,

где У12 —	У[С — с“асс/с$т.

Дополнительные перегрузки центра тяжести от порыва Апу] =
= АУ1п / (т§), а перегрузки в произвольной точке ракеты, не совпада-
ющей с центром масс,

. АУ1П АМП .	.

Апу1 =	-(х1т - х2).

12§
Вычислим также погонную нагрузку, создаваемую порывом в попе-
речном направлении, представив ее в виде двух составляющих — мас-
совой и поверхностной:

дтЫ = т(х1)^Лпу1;

Эс®!

Ча (*1) =	~ ас(Ах,

(4.26)

но

(Ху — (X Н-----1----— СХс Н----

Че =

рУ^Г1 I 2И/с+И/п'

2	У.»	,

О С	\

е! 1+2и^

2	У,» ?

Если скорость ветра значительно меньше скорости центра тяжести
ракеты, т. е. и/ = (и/с + и/п) « то = Цс = ум выражение (4.26) при-
нимает вид

Ч(*1) =	-----~

ОХг Уоо

а суммарная перерезывающая сила, создаваемая порывом ветра, равна

АОп (^1) — Ч$т

ш х1 Зса	х1

— } —-(1х-8 / т(х)АПу!(х)йх;

V- о Э*1	О

изгибающий момент

/ Л^п(x)^x.

о

Таким образом, последнее соотношение позволяет замкнуть схему
вычисления воздействия ветра на ракету.
5.	Газодинамические нагрузки

Источником возникновения газодинамических нагрузок (давления
на корпус ЛА и его нагрева) являются сверхзвуковые струи, истекаю-
щие из сопл ракетных двигателей.

5.1.	Газодинамическая картина течения в струе

Газодинамическая картина течения в сверхзвуковой струе, вытекаю-
щей из плоского или осесимметричного сопла, зависит от нерасчетно-
сти струи п, равной отношению давления на выходе из сопла ра к давле-
нию окружающей среды рн, от угла раствора сопла, от состояния среды
(скорости ее движения, плотности, температуры), в которую струя
вытекает, а также от значения параметров на выходе из сопла.

В перерасширенной струе нерасчетность истечения п = ра / рн < 1,
т. е. давление в выходном сечении сопла меньше, чем в окружающей
среде. Истечение с недорасширением имеет место при и > 1, т. е. при
Ра/Рн>1-

Сверхзвуковую газовую струю принято условно разбивать на три
участка: начальный (газодинамический), переходный и основной.
Течение на начальном участке определяется градиентами давлений,
влияние вязкости и теплопроводности сказывается лишь в тонком
пограничном слое. Основная структура потока на этом участке может
быть определена при рассмотрении задачи газовой динамики в рамках
идеальной жидкости. На основном участке давление в струе равно дав-
лению в окружающей среде, а течение, определяемое вязкостью, имеет
характер источника, координаты центра которого заранее известны
и зависят от параметров на срезе сопла, из которого происходит исте-
чение газа. На основном участке осевая скорость становится макси-
мальной по сечению, и для него справедливы основные соотношения
теории турбулентных струй. Между начальным и основным участками
заключен переходный участок, где существенно влияет турбулент-
ность, но имеется ядро постоянной скорости и максимальная скорость
по сечению не лежит на оси струи. На переходном участке в общем
случае решение определяется и вязкостью, и градиентами давления,
поэтому можно приближенно считать, что давление здесь также равно
давлению в окружающей среде.

Можно выделить следующие газодинамические картины течений
на начальном участке газовых струй, истекающих из сопл основных,
управляющих или тормозных двигателей.
1.	Истечение струи в полузамкнутый объем. Окружающая струю
среда имеет дозвуковые скорости. Давление в выходном сечении сопла
меньше, чем в окружающей среде, более того, струя может начинаться
внутри сопла, в котором произошел отрыв газового потока от его сте-
нок.

На рис. 5.1 (1 — падающий скачок, 2 — отраженный скачок, 3 —
волна разрежения, 4 — внутренняя граница слоя смешения, 5 — внеш-
няя граница слоя смешения, 6 — условная граница, 7 — централь-
ный скачок, 8 — разделяющая линия тока) приводятся схемы течения
на начальном участке перерасширенной струи, истекающей в непод-
вижную окружающую среду.

в

Рис. 5.1

В перерасширенной струе повышение давления на кромке сопла
от ра до рн происходит в падающем скачке, перед которым течение
является продолжением течения в сопле. В зависимости от нерасчет-
ности возможны три характерных режима течения:

а)	при п < п± < 1 отражение падающего скачка от оси симметрии
происходит регулярным образом (рис. 5.1, а);

б)	при п<п1 падающий скачок отражается нерегулярно (рис. 5.1, б)
с образованием маховского диска, за которым течение становится дозву-
ковым. Из тройной точки В выходит линия тока 8 (в идеальном газе
линия тангенциального разрыва), разделяющая течения за отражен-
ным и центральным скачками. В реальном газе вдоль линии образуется
зона смешения. При взаимодействии отраженного скачка 2 с областью
постоянного давления образуется волна разрежения 3 и формируется
новая «бочка» струи;

в)	при п < пг из-за отрыва пограничного слоя на стенке сопла пада-
ющий скачок перемещается внутрь сопла (рис. 5.1, в).

2.	Истечение струи в неподвижную окружающую среду или
в пустоту (на высотах, превышающих границу атмосферы, — свыше
80 км). Давление в выходном сечении сопла больше, чем в окружаю-
щей среде, поэтому струя истекает с недорасширением. Схема течения
на начальном участке недорасширенной струи, истекающей в непод-
вижную окружающую среду, приводится на рис. 5.2, а при истечении
в вакуум — на рис. 5.3.

Рис. 5.3

В струе на рис. 5.2 на кромке сопла в точке А происходит расши-
рение в центрированной волне разрежения 9. Ниже по потоку внутри
струи зарождается висячий скачок уплотнения 1, образование которого
можно объяснить следующим образом.

Условие постоянства давления вдоль границы расширяющейся
сверхзвуковой струи приводит к ее искривлению и образованию волн
сжатия, идущих внутрь струи. Пересечение волн сжатия формирует
висячий скачок, имеющий бочкообразную форму, который обычно
отражается от оси симметрии с образованием маховского диска 7,
за которым течение дозвуковое. Лишь при слабом недорасширении
(например, при и < 3 для Ма = 3, а = 0) возможно регулярное отра-
жение.

Предельный случай недорасширенной струи — истечение в вакуум.
В этом случае в струе не возникают ударные волны. В рамках модели
идеального газа на кромке сопла происходит разворот потока газа
на предельно возможный при заданных Ма и а (угол полураствора
сопла) максимальный угол разворота Фтах (см. рис. 5.3).
В реальном газе отсутствует граница струи, на которой плотность
равна нулю. Истекающий из сопла газ распространяется во всем про-
странстве. На расстояниях, значительно превышающих размер выход-
ного сечения сопла, течение приобретает характер «течения от источ-
ника» с переменной в окружном направлении интенсивностью. При
этом скорость газа приближается к своему максимальному значе-
нию: и'щах =	, а линии тока асимптотически приближаются

\к-1 р0

к прямым линиям, проведенным из центра выходного сечения сопла.
Область течения сильно недорасширенной струи, ограниченная вися-
чим скачком и маховским диском, имеет такое же распределение пара-
метров, которое реализовалось бы в этом участке при истечении газа
в вакуум с теми же условиями на срезе сопла.

3.	Истечение струи в спутный сверхзвуковой поток. Давление
в выходном сечении сопла больше, чем в окружающей среде, поэтому
струя истекает с недорасширением, взаимодействуя с внешним потоком
с образованием ударных волн перед границей струи, которая в данном
случае является линией контактного разрыва между двумя сверхзвуко-
выми потоками. Структура течения на начальном участке недорасши-
ренной струи, соответствующая малым высотам разделения ступеней,
приводится на рис. 5.4 (1 — висячий скачок, 2 — отраженный скачок,
3 — ударная волна во внешнем потоке, 4 — внутренняя граница слоя
смешения, 5 — внешняя граница слоя смешения, 6 — условная граница
струи, 5 — толщина слоя смешения).

Рис. 5.4

В набегающем внешнем потоке перед струей образуется криволи-
нейная ударная волна 3, а давление вдоль границы струи 6 оказывается
переменным. С увеличением Мт диаметр маховского диска уменьша-
ется и отражение висячего скачка уплотнения от оси симметрии прак-
тически можно считать регулярным — без маховского диска.

Проявление вязких эффектов в начальном участке неизобарической
струи связано с образованием пограничного слоя на внешней и вну-
тренней поверхностях, а также процессами вязкости, теплопроводно-
сти и диффузии, протекающими ниже по течению от сопла в слое сме-
шения.

Пограничный слой в сопле повышает энтропию в струйках тока,
протекающих вблизи границы струи, и тем самым уменьшает попереч-
ный градиент энтропии в этой зоне по сравнению со случаем невязкого
течения. Пограничный слой на наружной поверхности обтекаемого
аппарата взаимодействует с истекающей из сопла струей. При истече-
нии на режиме перерасширения или на режимах с небольшими недо-
расширениями (п < 10) и при острой выходной кромке сопла реализу-
ется безотрывное взаимодействие (см. рис. 5.4).

С увеличением нерасчетности возникает отрыв наружного погра-
ничного слоя и реализуется течение, схематически изображенное
на рис. 5.5 (1 — ударные волны; 2 — зона смешения). При этом перед
зоной отрыва (как на изломе образующей твердой стенки) образу-
ется ударная волна, если спутный поток является сверхзвуковым.
При дальнейшем увеличении степени нерасчетности длина отрывной
зоны возрастает и оказывается равной длине аппарата (при ламинар-
ном режиме течения можно считать, что это практически реализуется
всегда), и далее начинает увеличиваться угол отрывной зоны (рис. 5.6).
При этом последний всегда меньше, чем угол наклона границы струи
вблизи выходной кромки сопла, так что достижение предельного угла
отклонения внешнего потока в коническом скачке уплотнения здесь
затягивается по сравнению со случаем невязкого обтекания.

4.	Истечение струи навстречу сверхзвуковому потоку. Эта
картина течения возникает при работе тормозных двигателей отделя-
емой ступени, когда струи двигателей истекают в набегающий поток
с большими нерасчетностями, так как давление на высоте, где проис-
ходит разделение, мало. Струи тормозных двигателей взаимодействуют
между собой и корпусом РБ, образуя течение, направленное навстречу
набегающему потоку. В этих условиях систему одинаковых струй тор-
мозных двигателей можно заменить одной эквивалентной по расходу
струей. Для некоторых, достаточно больших значений степени нерас-
четности (и > 106) перед отрывной зоной, имеющей угол, больший
предельного, в спутном потоке образуется отошедшая ударная волна 3
(рис. 5.7).

Рис. 5.7

В набегающем потоке и сверхзвуковой струе образуются отошедшие
ударные волны с дозвуковыми скоростями течения за ними. Между
ними располагается разделяющая поверхность, на которой давление
со стороны струи и внешнего потока одинаково. В частности, на оси
струи будут одинаковыми давления торможения за прямым скач-
ком уплотнения. На рис. 5.7 изображена описанная модель течения,
на которой 1 — критическая точка, 2 — разделяющая поверхность,
3 — скачок уплотнения в набегающем потоке, 4 — центральный ска-
чок, 5 — отраженный скачок уплотнения в струе.

5.2.	Геометрические размеры струи
при истечении в неподвижную среду

В результате экспериментального исследования недорасширенных
струй подогретого воздуха в диапазоне нерасчетностей п = 14-4 • 104,
чисел Маха в выходном сечении сопла Ма = 14-6 и углов полураствора
конического сопла а = 04-20° В. С. Авдуевским и др. [7] получены следу-
ющие эмпирические формулы для характерных продольных и попереч-
ных размеров начального участка струи (рис. 5.8):

хс/(1а = [0,8 + 0,085(Ма - 2,1)2]Ма(п - 0,5)°Л Ма = 1-3,6; (5.1)
хс / Ла = (2 + 0,435Ма) (и - 0,5)0,5, Ма = 3,6-6;	(5.2)

X! /хс0,55 - Зп~2, и > 4;	(5.3)

х2 /хс0,9, и > 6;	(5.4)

хв/хс= 14-3 + 0,5п~3, и > 1;	(5.5)

Й1 / 4. = (1,7М“-25 -1) (п0-5 -1), п > п«;	(5.6)

а, / а„ = 1, п < п', п. = [М2 / (М? - 0,59)]2;	(5.7)

йв / <1± = 1,15 + 1,5п-1, п > 2,5;	(5.8)

с/2 / = 1,38 + 2п-1, и > 5;	(5.9)

ас / аа = 0,65(п0’5 - 1)со8[л(ма - 1,9) /4,6], Ма = 1-4,2; (5.10)
ас / аа = 0, Ма> 4,2.	(5.11)

Рис. 5.8

Здесь — максимальный диаметр висячего скачка уплотнения;
д.2 — максимальный диаметр струи; д.в — диаметр струи в сечении, где
граница струи пересекается отраженным скачком уплотнения; х1? х2
и хв — расстояния от среза сопла до сечений, где диаметр висячего
скачка уплотнения и диаметр струи максимальны и граница струи
пересекается с отраженным скачком уплотнения. Поперечные раз-
меры <12 и (1В относятся к границе струи, получающейся на теневых
фотографиях и соответствующей области наибольших градиентов
плотности газа.
Сравнение экспериментальных данных с результатами расчетов
для недорасширенных струй идеального газа дает удовлетворительное
совпадение характерных продольных размеров струи. Влияние вязко-
сти приводит к некоторому уменьшению расстояния до маховского
диска хс по сравнению с расчетом. Отличие возрастает с ростом Ма.
Качественное согласование с результатами расчетов имеется и для
максимального диаметра висячего скачка уплотнения. Хорошее коли-
чественное согласие для п » 1 наблюдается при Ма = 3. В случае
Ма = 1 расчет дает завышение, а при Ма = 5 — занижение примерно
на 20—30% по сравнению с опытом.

Весьма существенное различие между экспериментальными дан-
ными и расчетом невязких струй обнаруживается в отношении диа-
метра центрального скачка уплотнения. Существенное уменьшение д.с
в реальной струе по сравнению с идеальной связано с оттеснением
висячего скачка уплотнения к оси струи слоем смешения, развиваю-
щимся на границе. Оттеснение висячего скачка имеет место при всех
числах Ма, но проявляется тем сильнее, чем Ма больше.

Для расчета геометрии сверхзвуковой струи применима также
нестационарная аналогия (закон плоских сечений), в соответствии
с которой двумерное стационарное течение сводится к одномерному
нестационарному. Применимость метода определяется постоянством
продольной составляющей скорости газа в сжатом слое между вися-
чим скачком уплотнения и границей струи и малыми углами наклона
модуля скорости газа к оси струи. В [8] получено следующее аналити-
ческое соотношение для определения координат границы струи:

1

У2 1	1	1 к 1 Е

^- = — + 1---

Ут Ут \ Ути)

где ут — максимальный радиус границы струи; х2 — его осевая коор-
дината; = х / х2. Там же приводятся следующие формулы для расчета
максимального радиуса границы струи ут и его осевой координаты х2:

2 , п Г 2 ГТ, 12*
к-Ц кМ%)	4

Для определения уравнения висячего скачка уплотнения запишем
сначала выражение для толщины сжатого слоя 5(^) между границей
струи и висячим скачком уплотнения:

8©+ ^1-5=/!©.

Тогда уравнение висячего скачка уплотнения можно записать так:

- = — -6©,
Ут Ут
или

2к=—а-^-^+л©-
Ут Ут

Здесь

I—IV

1-0,5— 1---

Ут)

ц
™а

1Ч--—

Ш2

Для распределения статического давления по толщине сжатого слоя
в [8] предлагается следующая зависимость:

Р(у) = Р1 + Гг_ йЛУ~У1
Рн Рн I Рн) А

где

Рн 2 ут у

5.3.	Параметры струи на начальном участке

Теперь рассмотрим, как можно определить параметры газового
потока в самой струе, необходимые для расчета газодинамических
нагрузок на корпус ЛА.

Течение вблизи среза сопла. Область течения ограничена выходным
сечением сопла и первой характеристикой АВ, сходящей с ее кромки
(рис. 5.9).

Полагаем, что здесь реализуется течение от пространственного
источника, центр которого (точка 0) находится на пересечении с осью
струи луча, проходящего через кромку сопла и наклоненного под углом,
равным углу полураствора сопла в его выходном сечении. Тогда, если
через В. обозначить расстояние от центра источника до данной точки М,
число Маха и другие параметры в ней определяются как

= д(М) = М

(к+1)
2+(к-1)М2

(к+1)

2(к-1)

(5.12)

скорость, отнесенная к скорости в критическом сечении сопла,

а*

(к+1)М2
2+(к-1)М2

(5.13)

плотность

(к+1)
р* ^2 + (к-1)М2

к-1

(5.14)

давление

Р _ р _1	(к+1)

к
к-1

Р* р*а*2 к|_2 + (к-1)М2

(5.15)

где индексом * помечены соответствующие значения в критическом
сечении сопла. Если сопло профилированное, то за исходные необхо-
димо принимать параметры потока на срезе сопла, а не в критическом
сечении, и тогда формула (5.12), например, примет вид

к+1

М 2 + (к-1)М2 2(к-1)

Ма^2 + (к-1)М2

(5.16)

или

Ка У д(М)
Я)

(5.17)

Если все линейные размеры относить к радиусу выходного сечения
сопла, то из рассмотрения геометрии течения (см. рис. 5.9) следует, что

х + Щ§а
соза

зта

(5.18)

(5.19)

Тогда для определения координаты хв, в которой первая характери-
стика, сходящая с кромки сопла (рис. 5.10), пересечет его ось, получа-
ется такая зависимость:
ХВ =

1 М(ма)
зт а \ д(Мв)

-сС§а,

(5.20)

где число Маха Мв в этой точке определяется равенством

у(Мв) = у(Ма) + 2а.	(5.21)

При а = 0 характеристика АВ — прямая линия, наклоненная к про-
должению сопла в точке А под углом:

1

ца = агсзт--.	(5.22)

Ма

В общем же случае, когда а Ф 0, она изогнута, а способ построения
ее ясен из рис. 5.10.

При очень больших значениях числа Маха на срезе сопла значе-
ние у(Мв) может превышать максимальный угол поворота в волне
Прандтля — Майера утах и первая характеристика не пересекает ось,
асимтотически приближаясь к одной из линий тока источника, накло-
ненной к оси под углом:

Э = а-|[утах-г(М„)].	(5.23)

Ал

Все линии тока внутри этого угла не подвержены воздействию раз-
ворота потока на кромке сопла, а течение от источника будет существо-
вать на всей оси до бесконечности. Максимальный угол равен

У шах

71 |к + 1
2^к^1

(5.24)
Распределение чисел Маха вдоль оси струи. На больших расстоя-
ниях от выходного сечения сопла в струе реализуется течение от источ-
ника с полюсом, расположенным в центре среза сопла, но с различной
интенсивностью на различных линиях тока.

Анализ опубликованных в литературе данных показывает, что линии
тока можно считать прямолинейными уже начиная с расстояний х > 10 ра-
диусов выходного сечения сопла. В результате численных расчетов уста-
новлено, что интенсивность источника зависит также и от продольной
координаты Я. Отношение плотности газа на оси симметрии к плотности
в выходном сечении сопла можно определять по формуле [9]:

-е- = В(К-2),
Ра

(5.25)

где

04

81п2^тах

2

к+1

< к + 1^2^-1)

(5.26)

Для аппроксимации чисел Маха на оси симметрии можно также
пользоваться следующей зависимостью, в которой произведена сты-
ковка с числом Мв в точке пересечения первой характеристики (АВ
на рис. 5.10) с осью струи [10]:

х = хв + ^/фСО) Г" Д
д(м)

(5.27)

где

ф(0) = —-Сах,
к-1

(5.28)

где Фтах — максимальный угол поворота потока при расширении
в пустоту, равный

_ 1к + 1	.

$тах — о А/ т. -1 г(Ма),
СУК-1 ;

(5.29)

а функция Прандтля — Маейера

у(М) = Аагс1§. р-^(М2 -1) - ага§у/(М2 -1).
\к-1	\к-1

(5.30)

На основании расчетов но методу характеристик в [11] предложена
зависимость

М(х) = Мв + -(х-хв)к,
х

(5.31)
где А = 3,35 - 4,5(0,426Ма - 1)(0,834к - 1), которой рекомендуется
пользоваться в диапазоне к = 1,2—1,4 и чисел Маха Ма > 2. В интервале
О < х < 20 в [12] предлагается пользоваться зависимостью:

м=ма-1+аСх-^-^+ъ1
х-у]м% -1 +с

(5.32)

в которой а = 3,56 + 0,01е4>77к; Ъ = 1 + 0,024е3>9к; с = 1,7 + 0,019е4’зк.

Область свободного расширения. Эта область (см. рис. 5.10) огра-
ничена висячим скачком уплотнения 2, первой характеристикой АВ,
сходящей с кромки сопла, и ее отражением от оси симметрии ВК.

Следуя Э. А. Ашратову, для определения значений чисел Маха в обла-
сти свободного расширения запишем уравнения характеристик второго
семейства в переменных Элерса — Чушкина:

(к + 1)(1 + |32)(1 + кр2) Р й₽-1) у

(5.34)

где -О; р = >/м2 -1; к =----; Ф — угол наклона вектора скорости

к + 1

к оси х, совпадающей с осью симметрии сопла.

Если принять, что характеристики, описываемые уравнениями

(5.33) и (5.34), прямолинейные, т. е.

4у_Р5-1

(1х Р + ^

= СОП81,

(5.35)

то после дифференцирования обеих частей (5.35) получим

с%_1 + ^2
ар“1+р2’

(5.36)

и тогда уравнение характеристик (5.34) преобразуется к виду

4у = р^-1	2р2_____________

У |_(к+ 1)(1 + р2) (1+ кр2) (1 + р2)

(5.37)

Так как числа Маха в этой области велики и векторы скорости
потока имеют большой угол наклона к оси струи, то из (5.37) получим

4У=В 2Р2

У Р|_(к + 1)(1 + р2)(1 + кр2)

(5.38)

Проинтегрировав (5.38), установим зависимость для определения
чисел Маха во всей области свободного расширения:

Мод(Мо).

Мд(М) ’

(5.39)
х = (у-1)С^(а0 -ЦОХ	(5.40)

где индексом «О» отмечены значения параметров у кромки сопла
. 1

на соответствующей характеристике; ц0 = агсзт-;

м0

= у(М0) - у(Ма) + сс	(5.41)

Число Маха изменяется в диапазоне Ма < Мо < Мн, причем Мо, напри-
мер, на первой характеристике, сходящей с кромки сопла, равно Ма.

Так как параметры потока определяются во всей области по числу
Маха (параметры заторможенного газа равны соответствующим значе-
ниям в камере), то нетрудно построить численно отражение ВК первой
характеристики от оси симметрии и тем самым построить одну из гра-
ниц области (рис. 5.11).

Порядок построения характеристики следующий. Задавшись рядом
значений определим числа Маха Мо/ в точке А у кромки сопла по (5.41)
и соответствующие им значения углов цо;. Проводим из точки А характе-
ристики второго семейства под углами (Фо/ - ц0/) к оси сопла. Из точки В
под углом к оси проводим элемент искомой характеристики второго
семейства, выходящей из точки А. Определяем координаты у и х точки К
и число Маха в ней. В последнем случае используются уравнения (5.39)
и (5.40).

Рис. 5.11

Изложенная схема вычислений повторяется до пересечения характе-
ристики ВК с висячим скачком уплотнения или по достижении задан-
ного сечения. Расчет удобно сопровождать графическими построени-
ями.

Для расчета параметров в области свободного расширения можно
считать, что линии тока плоского течения Прандтля — Майера и осе-
симметричного совпадают, причем в распределении чисел Маха вдоль
линии тока вносится поправка на осесимметричность. Подробный
анализ этого допущения показал, что оно выполняется вблизи кромки
сопла и приводит к существенным расхождениям с расчетами по методу
характеристик вдали от сопла. При малых недорасширениях струи
(и < 10), когда область свободного расширения невелика, этот метод,
подробно описанный в [13], может быть также использован, и удобство
его в том, что он менее трудоемок.

На радиальных расстояниях от центра выходного сечения сопла В. >
> (10—20)га, на которых скорость газового потока близка к максималь-
ной термодинамической скорости и/тах, предлагается следующее ана-
литическое выражение для плотности в зависимости от К и его угла
наклона к оси симметрии Ф [14]:

р(Э)
р*

= Сп

ч^тах >

2

СОЗ к-1

(5.42)

к-1	_ _

----; а константа С = 2л
к+1

'тах

71

п-1

где звездочкой отмечены параметры в критическом сечении сопла

(г* — его радиус);

^тах

Область разрежения. Область ограничена характеристикой ВК,
висячим скачком уплотнения 2 и маховским диском 1 (см. рис. 5.10).
В области разрежения, которая находится под характеристикой первого
семейства ВК, параметры газа изменяются при изменении угла 3. Здесь
скорость мало отличается от максимальной, а для аппроксимации плот-
ности на сферах, центр которых находится на срезе сопла, предложено
несколько зависимостей, часть из которых приводится ниже.

Распределение интенсивности источника по углу Ф определяется так
[15]:

ф(3) = ср(О)

ч.^'тах >

(5.43)

или

ф(тЗ) =ф(0)сО5к 'В,

(5.44)

причем на оси симметрии

ф(0) =

0,5к

1-к’

(5.45)

где к =

^“тах V

1

, Л — коэффициент скорости (Л.2 =

(к-1)М2

2 + (к-1)М2)‘

Для дальней области струи, где скорость газа можно принять равной

максимальной, отношение плотностей равно

— = —(Я_2)созкЯ,
Ра 2

(5.46)

где к = к(к-1)М2.
В последующих формулах плотность отнесена к своему значению
на оси симметрии. Отношение плотностей можно определять как

р(3)
р(0)

= СО82

<2Ф/

(5.47)

где угол Ф, в радианах, определяется из нижеследующей табл. 5.1 в за-
висимости от показателя адиабаты.

Таблица 5.1

к	1,67	1,4	1,2857
Ф	1,365	1,662	1,888

Существуют другие формы этой зависимости:

р(ЭД	лЭ

-— = соз^-1 ------ ;

р(0)	^2Эта^

= ехр [-Х2 (1 - соз а)2 ],

(5.48)

(5.49)

'	г АТ1  гдеХ= л/л 1		— ,С =  V ССртах)_	(к-1)М2	1  2  — скорость газа на оси
	2 + (к-1)М2	

струи, отнесенная к максимальной термодинамической скорости;

_	_	-	1 Ра	Тг( 2 ^2(к-1) / 2к	,

Ср— С;?тах4 1—	+—	>О?тах—7 7	л/7 < КОЭф-

V {.Ро)	<?(Ю Ро	^ + 1^	чк-1

фициенты тяги сопла.

Еще одна аппроксимация плотности:

-ехр

(5.50)

где 90 = агсИ§

р(а)
р(0)

2 + (к-1)М2

(к-1)М2

5.4.	Геометрия недорасширенной струи
в спутном потоке

При обтекании струи спутным потоком давление вдоль границы
струи переменное. Однако для дозвукового внешнего течения дав-
ление на всей длине начального участка изменяется незначительно
и спутный дозвуковой поток несущественно влияет на размеры струи.
Поэтому для определения характерных размеров начального участка
недорасширенной струи, истекающей в спутный дозвуковой поток,
применимы зависимости, полученные для затопленного пространства.

В спутном сверхзвуковом потоке над границей струи возникает
скачок уплотнения (рис. 5.12). Повышение давления в нем приводит
к уменьшению поперечных размеров начального участка струи тем
большему, чем больше число Маха в набегающем потоке. Отрицатель-
ный градиент давления вдоль границы струи уменьшает кривизну гра-
ницы и висячего скачка уплотнения, приводя к относительному удлине-
нию струи. Уменьшение поперечных размеров струи за счет поджатая
внешним потоком оказывается, однако, решающим, и в спутном сверх-
звуковом потоке при М > 2 расстояние до точки пересечения висячего
скачка с осью струи уменьшается с увеличением Мт. При > 2 течение
на всем начальном участке является сверхзвуковым из-за исчезновения
центрального скачка уплотнения и дозвуковой области течения за ним.

Наиболее полные и систематические экспериментальные иссле-
дования газодинамики турбулентных недорасширепных струй при
истечении в спутный поток проведены В. С. Авдуевским с сотрудни-
ками [16] в диапазоне чисел Маха в набегающем потоке (М^ = 14-10),
в выходном сечении сопла (Ма = 14-4), при нерасчетностях истечения
и = 14- Ю4 и числах Рейнольдса Кеа = 105—107. Отношение температур
торможения струи и внешнего потока 7\ = ТОа / Т0оо изменялось в диапа-
зоне 0,54-2. При этом число Рейнольдса, определенное по параметрам
набегающего потока и характерному размеру струи, было больше 106.
Исследовались модели с цилиндрической кормовой частью и отноше-
нием Ла / (1т = 0,24-1,0 (<Зт — диаметр миделя модели).

Для определения основных размеров начального участка слабо подо-
гретых воздушных недорасширенных струй в [16] приводятся следую-
щие зависимости (см. рис. 5.12):
х3 / <1а =АМап°’5 +Ао; п > 1, Ма = 14-4,	> 2;

(5.51)

А = 1,5 / (М„ + 1)0.5, До = М1.5(! -^ /4)/ма -0,6;

х1/х3= (0,92 + 0,08Мй) (0,42 - 0,0125МЯ’25> п > 10;	(5.52)

х2 /х3 = 0,84-1, п > 10;

(5.53)

ХВ /Х3 = 1,3 + 0,26М0.25, п > 10;

(5.54)

4 /4 = В(п0'5 -1)а,?»’25 -1) + Во, п > М2, Ма = 1+4, М„ > 2; (5.55)

В = 0,9 / М^, Во = 0,8<1т / Ла -1, <1т / <1а > 1,25; Во = 0, <1т / Л„ < 1,25;

й2/^1 = 1,4 +2/и, п>5;	(5.56)

й4 /4 = 1,15 + 1,5/п, п >2,5;	(5.57)

(1С / (1а = О, Л4 > 2, п > 1, 4 / 4 < 1,25.	(5.58)

Кроме рассмотренных определяющих параметров, на течение в реаль-
ной спутной недорасширенной струе влияет целый ряд других факто-
ров. Эксперименты показывают, что, как и в случае затопленной струи,
отношение удельных теплоемкостей и конденсация газа относительно
слабо влияют на размеры начального участка. В спутном сверхзвуковом
потоке, однако, имеется особенность, обусловленная вырождением цен-
трального скачка уплотнения. Эта особенность связана с тем, что рас-
стояние до центрального скачка определяется формой висячего скачка
уплотнения, поэтому изменение поперечных размеров висячего скачка
при конденсации приводит к изменению расстояния до центрального
скачка, тогда как на затопленной струе оно практически не зависит
от конденсации. Аналогично увеличение 4 при уменьшении у приводит
в спутной струе к увеличению х3, тогда как при истечении струи в зато-
пленное пространство х3 уменьшается с уменьшением у. В сходственных
сечениях струи, истекающей в спутный поток, так же как и в случае
струи в покоящейся среде, наблюдается автомодельность полей полных
напоров и избыточной тепературы торможения, если поперечную коор-
динату принять в виде у / д.а уп или у / 4-

Воспользовавшись нестационарной аналогией [8], уравнение гра-
ницы струи в спутном потоке можно описать следующей зависимостью:

--------+ 1-----Л2?
Ут Ут \ Ут у

где =2,ехр[2(1-7О1. Уравнение присоединенной ударной волны,
образующейся в сверхзвуковом внешнем потоке перед границей струи:

— = — (1-П1) + П4,
Ут Ут
\0,5

где т|4 = 3

5	5 1 к

. Уравнение висячего скачка уплотне-

ния внутри струи:

— = — (1-П1) + П2,

Ут Ут

4 -13

где Г|2=-^--^0’75

. Уравнение отраженной от оси части висячего

скачка уплотнения:

— = ^-- •

Ут 5 С 4/

В приведенных соотношениях максимальный радиус границы струи
определяется по формуле

ут = /1 + 1,202 —,
\	9 Ь

где

у = |фс2 + 40 -	К = Мжт;

ь о

1 Г 1	1	"I0,5

1-к
е2=[(к-1)(Ш2+2)]-1(1-п к ).

5.5.	Минимально допустимое расстояние
между соплом и сферой

Рассмотрим натекание сверхзвуковой струи на сферическое днище,
установленное на малом расстоянии от выходного сечения сопла. Назо-
вем это расстояние е0 минимальным, если при перемещении днища
к соплу ударная волна, образующаяся перед ним, входит в сопло, взаи-
модействует с его стенками и уменьшает тягу двигателя.

Для определения этого расстояния положим, что образующая удар-
ной волны представляет собой дугу окружности с радиусом (1 + е0),
а центр ее находится в центре сферы. Сферическая преграда установ-
лена по оси одиночного сопла, а ударная волна касается его выходного
сечения (рис. 5.13). Для удобства расчетов в полученных соотношениях
и граничных условиях скорость потока отнесем к максимальной тер-
модинамической скорости и/тах, плотность — к плотности в камере р0,
давление — к Ростах, а все линейные размеры — к радиусу сферы.
Воспользовавшись уравнением сохранения массового расхода,
можно получить следующее алгебраически трансцендентное уравне-
ние для определения минимально допустимого расстояния:

ео +

т ! (РУ)*1 2рам/а(1-созИс1)га2
(ру)а] 0 з^азт^Сру)^

(5.59)

где углы ФС1 и определяются из рассмотрения геометрии течения:

_	зш51(1 + е0)	гг.

9с1 = агсГ§-----------У-------;	(5.60)

Г“ + (1 + е0) (1 - соз$1)
зта

8г = агс1§-------—----------.	(5.61)

(1 + 80) + Гд (1 - соза)

зта

Так как все линейные размеры нормированны по радиусу сферы,
то угол 5] в радианах численно совпадает с длиной дуги з13 отсчитывае-
мой от точки торможения до звуковой точки.

Параметры течения в точках 5: и с3 определим из условий на теле
и за ударной волной. Скорость в точке равна звуковой т. е.

С5'62)

а плотность

-к	1

р51=(ф5)к-1(1-У21)к-1,

где энтропийная функция
1
(к-1)< 2к к-1\к(	2	1

(к + 1Дк + 1 а к+1) ч к-1

(5.63)

(5.64)
Скорость потока, отнесенная к и/тах, и числа Маха связаны соотно-
шением

„2=

а 2 + (к-Т)М%'

(5.65)

Воспользовавшись соотношением Ренкина — Гюгонио на ударной
волне, получим

Ра .
п

Рс1 -

(5.66)

Ус1=И/а81П(Яс1+51),

где

Л & —1

Ра = 1 + ~М2
к 2

к-1	2

к + 1 (к +1)01^ ’

тс1=Масоз(^с1+51).

(5.67)

Из соотношений (5.60) и (5.61) очевидно, что 5г и Фс1 зависят от е0
и поэтому уравнение (5.59) не может быть решено непосредственно.
Для определения е0 необходимо воспользоваться методом последова-
тельных приближений. Распределение давления по сфере в этом случае
нетрудно построить, если предположить линейность изменения скоро-
сти между звуковой точкой и точкой торможения. В данном случае

к
р = оср0(1-м/2)^-1,

|к-1 5

где и/ = .-----, а о0 определяется аналогично тому, как это сделано

У к + 1

в точке Далее за точкой можно считать, что реализуется течение
от сверхзвукового источника с центром в точке 50.

О точности изложенного метода расчета можно судить на основа-
нии сопоставления полученных с его помощью результатов и экспери-
ментов, которое приводится в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Ма	а, град	га	Ео	(к =1,4)
			расчет	эксперимент
2,0	10,5	0,188	0,09	0,0945
2,57	5	0,103	0,0625	0,0675
2,7	7	0,312	0,121	0,134
3,515	5	0,163	0,0675	0,0716
5.6.	Схема Ньютона

Во многих случаях, чтобы найти определения распределение давле-
ния по телам, находящимся внутри струи, можно использовать схему
Ньютона, согласно которой величина избыточного давления по отно-
шению к давлению среды р15 в которую происходит истечение, опреде-
ляется как произведение плотности в струе в данной точке, помножен-
ной на нормальную к поверхности тела составляющую скорости. Тогда
полное давление

р =рг + рг2со520№	(5.68)

где V — скорость в струе в данной точке; 0М — угол между нормалью
к поверхности в данной точке и вектором скорости в ней.

Выражение (5.68) можно также преобразовать к виду

— = 1 + кМ2со82 0ЛГ = (1 + Ш2)со82 0Лг +81п20^.	(5.69)

Р1

Параметры струиМ ирг определяются методами, изложенными выше.

Для определения 0м рассмотрим геометрию течения, изображенную
на рис. 5.14. Имеем

СО8 0дг = СО8 у СО8 Ф(СО8 0 81П Фт + 8Ш 0 СО8 Ф! СО8 Ф2) + 8Ш у(С08 0 СО8 Ф! -

- 81П 0 8Ш Фт СО8 Ф2) - 81П 0 8Ш Ф 8Ш Ф2 СО8 у,

(5.70)

причем у = 0 для цилиндра и плоской пластины, а Ф = 0 — для пла-
стины. Обозначения остальных углов понятны из рис. 5.14.
Для вычисления давлений можно воспользоваться также, кроме
(5.69), и модифицированной формулой Ньютона:

— = ^-соз2 0до + 31П2
Р1 Р1

где рОс — давление торможения за прямым скачком уплотнения в струе
в данной точке, или

Р = (Рос-Р1)с082^+Ръ

т. е. избыточное давление на преграду в данной точке равно избыточ-
ному давлению торможения за прямым скачком в той же точке, пом-
ноженному на соз2 9^

При малых степенях нерасчетности истечения теория и экспери-
мент плохо совпадают. Увеличение же нерасчетности, начиная при-

мерно со значения, когда ударная волна в месте пересечения идеаль-
ной границы струи с преградой становится отсоединенной, улучшает

это совпадение.

Формула (5.70) позволяет определить угол 0до для преграды любой
формы при условии, что она осесимметричная, а плоскость симметрии

преграды совпадает с плоскостью симметрии струи.

Небольшая разница в определении давления на преграду будет при
истечении струи в вакуум, когда на больших расстояниях от среза
сопла и вблизи границы струи течение будет свободномолекулярным.
Критерием нарушения сплошности течения является число Кнудсена.

В случае полной термической аккомодации и в предположении, что

падающие молекулы имеют максимальную термодинамическую ско-

рость и/тах

2к
к-1

В.Т0, где То — температура торможения, а Я — газо-

вая постоянная, получим следующее выражение для определения вели-
чины давления на преграде:

р-р1=ри/2ахсоз20до +

Р^тах

2

(5.71)

•^2т1К7§ соз Одо,

где Т8 — температура поверхности преграды. Первый член в (5.71)
представляет из себя континуальное давление, которое определяется
так же, как в предыдущем случае.

5.7.	Расчет давления при взаимодействии струи с корпусом

Значительному давлению подвержены участки корпуса ракеты,
вблизи которых работают вспомогательные двигатели, из которых
истекают сверхзвуковые нерасчетные струи, взаимодействующие с кор-
пусом. Для струй, истекающих в вакуум, хорошей аппроксимацией дав-
ления на примыкающих к ним поверхностях служит формула Ньютона
р = ру2зт2 ф , где р и V — плотность и скорость газа в струе в рассма-
триваемой точке, а ф — угол между вектором скорости газового потока
и касательной к поверхности.

На некотором удалении от сопла течение в струе аналогично ради-
альному источнику переменной интенсивности, скорость в котором
стремится к максимальной термодинамической, а плотность определя-
ется по формуле Робертса:

р _ к(гЛ

Ра чГа

(СО80)к,

где к = к(к - 1)М2; 0 — угол между осью струи и радиальным лучом,
проведенным из центра выходного сечения сопла; г — расстояние вдоль
радиального луча; га — радиус выходного сечения сопла; ра, Ма — плот-
ность и число Маха в выходном сечении сопла.

Если плоская поверхность перпендикулярна оси струи, то давление
на ней [17] определяется по формуле

х -	_ х X X -2

(со80)к+4,	(5.72)

где рга — давление торможения за прямым скачком уплотнения в выход-
ном сечении сопла:

Рга =

Ро

^ + 2У гТ2
< 2 Дга>

(сО80)к+4.

Выражением (5.72) рекомендуется пользоваться при — ---->2.

га\(к + 2)

Его можно также переписать в виде зависимости от радиальной коор-
динаты у, отсчитываемой от точки К пересечения оси струи и перпен-
дикулярной ей плоскости (рис. 5.15):

/с+4

Рк

к+4

— = (СО80) 2

(5.73)

Но так как

рга = ?/«),	(5.74)

где Т — тяга сопла, то, комбинируя (5.73) и (5.74), получаем

•ехр

^к + 4^2 у^

< 2 Дг,
Рис. 5.15

При боковом взаимодействии сверхзвуковой струи и плоскости
(рис. 5.16) распределение давления в меридиональном сечении, пер-
пендикулярном плоскости, определяется по формуле [18]:

^- = [1 -80°с]4ехр[80°0О -0,5(80°)2],
Рт

в которой

С = е+с18[е+(е°-За»!?-5)];

1

0+ = агс1§

1

Ш2

00 =0,84+1,161! +1,8а°; а0 = а/(30+4°’5);
а — угол между осью струи и плоскостью;

50° = 0° -е/е+;

рт = ып4(0т - а0 30+#5) ехр [-0,5(0° )2]

— максимальное давление на плоскости. Угол радиального луча струи,
соответствующий максимальному давлению, равен: 0т = 0° 0+.

5.8.	Донное давление многосопловой компоновки

Как известно, давление за нижним торцем тела, перемещающегося
в среде, отличается от давления в окружающем потоке. В зависимости
от геометрической формы этого тела, а также от характера его взаимо-
действия с потоком это давление больше или меньше окружающего.
В связи с этим на тело действует дополнительная сила, которую при-
нято учитывать через коэффициент донного давления, величина кото-
рого может быть определена, если известно распределение давления
по нижнему торцу тела. Особенно трудно установить донное давление
у летательного аппарата, который имеет сопловой блок, и, следова-
тельно, величина донного давления определяется не только взаимо-
действием аппарата со средой, но и воздействием со средой и между
собой (если сопл несколько) струй, истекающих из него. В настоящем
параграфе приводится физическая картина течения в донной области,
а также способ расчета распределения давления по днищу летательного
аппарата, который имеет несколько симметрично расположенных оди-
наковых сопл.

Газодинамическая картина течения в донной области. На рис. 5.17
приведена геометрическая схема нижнего днища ЛА с многосопловой
компоновкой. В дальнейшем под выступанием сопл к будем понимать
расстояние от их среза до поверхности днища, а под разносом сопл —
диаметр окружности, на которой размещаются их центры.
При малых нерасчетностях или большом разносе сопл струи, исте-
кающие из них, интерферируют друг с другом на больших расстояниях
от летательного аппарата. В этом случае струи оказывают эжектирую-
щее действие на область газа, расположенную между соплами. Из этой
области к струям непрерывно подтекает дополнительная масса газа,
эжектируемая из окружающей среды, и система струй вместе с данной
областью работает как эжектор. Увеличение нарасчетности или умень-
шение разноса сопл (уплотнение компоновки) приводит к тому, что
точка К (см. рис. 5.17), в которой начинается взаимодействие струй,
перемещается по направлению к выходным сечениям сопл и угол, под
которым пересекаются границы струй, увеличивается. Такое смещение
точки К приводит к двум явлениям: во-первых, уменьшается поверх-
ность каждой из струй, которая отсасывает газ из донной области,
а во-вторых, угол пресечения границ струй может стать таким, что часть
газа из пограничного слоя будет разворачиваться в обратном направле-
нии и течь в донную область. Наконец, возможен такой режим течения,
когда масса газа, текущего в обратном направлении, значительно пре-
вышает эжектируемую массу, которой можно практически пренебречь.

Если свободный объем между соплами мал, что бывает либо при
очень близком расположении их друг к другу, либо при больших нерас-
четностях, то весь газ, поступающий в донную область, не успевает
вытекать из зазора, который образуют сопла и истекающие из них
струи. Давление в донной области возрастает до величины, когда
образуется критический перепад между этим давлением и давлением
в окружающей среде.

Наступает режим «запирания», при котором давление в донной обла-
сти не зависит от давления в окружающей среде. При этом, конечно,
нерасчетность истечения будет переменной по окружности выходного
сечения сопла. В области, обращенной к днищу, она больше, чем в обла-
сти, обращенной к окружающей среде.

Нужно отметить, что детальная картина течения в донной обла-
сти довольно сложна, что вызвано трехмерным взаимодействием сво-
бодных пограничных слоев, которые образуются на границах струй,
и именно это взаимодействие определяет количество газа, которое
течет в обратном направлении.

Ниже приводится схема расчета, которая позволяет определить давле-
ние в центральной точке днища на режиме запирания, который реализу-
ется при тесной компоновке сопл. Давление же по днищу в радиальном
направлении можно считать линейно изменяющимся от давления в цен-
тральной точке М днища (см. рис. 5.17) до критического давления в зазоре
между соплами, который в этом случае является критическим сечением.

Донное давление на режиме запирания. В соответствии с введенной
выше классификацией режимов течения в донной области под режи-
мом запирания понимается такой, при котором давление в донной
области не зависит от давления в окружающей среде. При этом в зазоре
между соплами устанавливается звуковой режим истечения. Последнее
условие не является строгим, так как в зазоре между соплами профиль
числа Маха переменный. Это последнее упрощение действительной
модели истечения позволяет построить расчетную схему. В соответ-
ствии с описанной ранее физической моделью к дну пойдет часть газа
из пограничного слоя, образующегося на невязкой границе струи.
Поэтому сначала необходимо найти это количество газа, или, что
то же самое, найти линию тока <1 (рис. 5.18), которая разграничивает
доли пограничного слоя, текущего к днищу и от него.

Это количество газа на единицу дуги окружности, полученной пере-
сечением струи плоскостью, перпендикулярной ее оси, равно

ГТ7

----( ри<1у.	(5.75)

IV

У	)

Здесь используется система координат, связанная с невязкой грани-
цей струи (см. рис. 5.18). Для полностью развитых профилей смешения
безразмерная координата может быть представлена в виде

ц = о—,	(5.76)

х

где о = 12 + 2,758МН — параметр смешения [19]. Тогда уравнение рас-
хода (5.75) можно переписать в виде

т хУ ,	Л1_

— = — Г рш2т|.	(5.77)

" %

Здесь неизвестны профиль скорости в пограничном слое, профиль
плотности и ширина слоя — и/.
Профиль скорости по толщине пограничного слоя в пренебрежении на-
чальной толщиной его на срезе сопла может быть представлен в виде [20]

Ф = —= ^(1+ег/т]),
пн 2

(5.78)

где ин — скорость газа на идеальной (невязкой) границе струи. Так как
давление по толщине пограничного слоя можно считать постоянным,
то из уравнения состояния следует, что отношение плотности в данной
точке пограничного слоя к плотности на границе струи равно обратной
величине отношения соответствующих температур:

_Р_ = 2к
рн Т’

(5.79)

но температуру Тн на границе можно выразить через температуру тор-
можения на ней Тон и число Крокко Сн, соответствующее ей, в виде

^-=а-сз),

*он

(5.80)

где Сн =

ин _ пн
Цпах -^2Ср7^н

Определим теперь профиль температур по толщине пограничного
слоя. Если принять число Рг = 1, то можно показать [21], что интеграл

уравнения энергии равен

То = аи + Ъ,

(5.81)

где а и Ъ постоянные, а То — температура торможения в данной точке
пограничного слоя. Соотношение (5.81) называется интегралом Крокко
по имени итальянского аэродинамика, впервые его получившего.

Определим а и Ъ из следующих условий:

1)	и = 0; То = Тд — температура в донной области;

2)	и = и*,То = ТОИ,Тл = Ь,а='!^^.
и

Тогда

То=Тд+СГон-Гд)—,	(5.82)

“н

или, если разделить на Тон,

т т ( Т \ и

Л = ^- = ^ + 1——.	(5.83)

К	Тон)иИ

Кроме того,
или

^ = ^(1-С2),	(5.84)

*он -*он

Т и2

где С2 = С2 •—, и тогда

То и2

З =2° -С„2Ф2.	(5.85)

*он -*он

Разделив (5.85) на (5.80) и имея в виду (5.79), получим

(5.86)

Подставим (5.86) и (5.78) в уравнение (5.77):

— = цнРн(1-^)ху------с/п.	(5.87)

и/ а „.Л-СЗФ2

Л; н

Интеграл в правой части (5.87) разобьем на два интеграла и обо-
значим

т т V ф , 7 ф я

Тогда

- = цнРн(1-С2)х(^ _	(5.88)

IV	а

Уравнение (5.88) позволяет определить расход газа через каждое
из поперечных сечений пограничного слоя, расположенных на рас-
стоянии х от кромки сопла по идеальной границе струи при условии,
если известна координата линии тока, которая разграничивает
поток, текущий к дну в прямом направлении. Кроме того, должна быть
известна ширина слоя смешения и/. Так как используется автомодель-
ный профиль скоростей в пограничном слое, то положим, что полюс
находится внутри сопла и заканчивается там, где струи касаются друг
друга по диаметрам (см. рис. 5.18), т. е.

х = В + Ь.

(5.89)

Для определения длины В зоны смешения внутри сопла Гетерт пред-
лагает следующую зависимость:

(5.90)

где <1кр — диаметр критического сечения сопла.
Если принять, что на участке от кромки сопла до точки пересечения
струй образующая их представляет собой прямую линию, то

28П13а’

(5.91)

где Фа — угол наклона границы струи к ее оси, а д.т — диаметр струй
в точке их смыкания (см. рис. 5.18).

За ширину зоны смешения будем принимать расстояние по окруж-
ности струи между точками, в которых рассматриваемая струя сопри-
касается с двумя соседними струями. В общем случае ширина зоны
смешения будет различна для каждой из струй, но в том случае, когда
струи совершенно одинаковы и расположены симметрично на одной
окружности:

71(^(171-2)
2т

где т — число сопл в связке (например, если т = 4, то IV =

(5.92)

Теперь определим разделяющую линию тока, т. е. координату
Для этого воспользуемся гипотезой, согласно которой давление тор-
можения на разделяющей линии тока равно статическому давлению
за косым скачком уплотнения, который образуется в точке взаимодей-
ствия идеальных границ струй:

^- = ^(Ма<1).
Рд Рд

Здесь

Роа
Рд

<	^-1

1 +—

I 2 *

(5.94)

а

— = 1 +	81П2 (0н -1).

Рд к + 1

(5.93)

(5.95)

Из уравнений (5.94) и (5.95) можно определить число Маха на ней,
а следовательно, и иА, и

Масса газа, поворачивающая к дну, выходит из зазора между
соплами, т. е.

т = ЗД)-^-,	(5.96)

где = 0,5—1,0 — коэффициент расхода; Д, — площадь зазора между
соплами, а рд — искомое донное давление. Приравнивая (5.88) и раз-
деленное на и/ (5.96), а также полагая X = 1, после деления на массовый
расход сопла

та= Ра^аРа =а(к)

Ро^кр
л/^0

получим

г 2(1-С2)д(Мн)	(к-2)х

17	о<?(Ма)	(1а к

1,4(1-^(Ма)) +

2$шЗа

5 Рд
д(Ма) р0 Ра'

(5.97)

Уравнение (5.97) решается методом последовательных приближе-
ний относительно давления в донной области р . Из геометрических
„	,	360°

соображении можно записать ат=П1 зт--, где IX — диаметр окруж-

2т

ности, на которой размещены центры сопл; т — их число. Угол наклона
границы струи по формуле Прандтля — Майера равен

Фа = у(Мн) - у(Ма) + а,

(5.98)

где а — угол полураствора сопла; у(М) — функция Прандтля — Майера.
Кроме того, для определения угла сон нужно воспользоваться соотноше-
нием, устанавливающим связь между углами наклона ударной волны
и углом поворота на ней, т. е.

=2щ§сон

М% 81П2 (Он -1

М2 (к + соз 2юн ) + 2 ’

(5.99)

но



(5.100)

что является следствием предположения о прямолинейности образую-
щей границы струи. Тогда если обозначить через к выступание сопл над
дном компоновки, то

^у (^п

1

к +—ЬсозОд

2

(5.101)

Таким образом, в уравнении (5.97), которое решается численно
относительно донного давления в центральной точке днища, известны
все величины, кроме искомой.

На рис. 5.19, 5.20 приводятся в виде графиков значения интегра-
лов и 71;, которые удобно использовать при проведении расчетов.
Следует иметь в виду, что описанная расчетная схема может быть
использована при таких размерах компоновки, которые обеспечивают
режим запирания в донной области. Так, подробное эксперименталь-
ное исследование, проведенное авторами работы [22] на воздухе, пока-
зало, что при I / (1а = 1,24—1,77; к / <1а = 0—1,0; а = 10°—20°; Ма =
= 1,0—4,0 режим запирания всегда наблюдался.
б.	Разделение ступеней

6.1.	Схемы разделения ступеней

Участок движения ЛА от момента подачи главной команды на выклю-
чение двигательной установки предыдущей ступени до момента, когда
отделяющаяся часть не может влиять на дальнейший полет следующей
ступени, называется участком разделения ступеней.

Система разделения ступеней предназначена для их надежного сое-
динения во время эксплуатации РБ и при работе первой ступени. Для
разделения ступеней РБ используются две основные схемы.

Холодное разделение ступеней можно осуществить несколькими
способами.

А. Разделение торможением отделяемой ступени. В этой схеме
включение двигателя второй ступени осуществляется после того, как
первая ступень отведена от второй на безопасное расстояние, которое
исключает посадку ступеней и их соударение. Торможение отделяемой
ступени может выполняться следующими способами:

1)	тормозными пороховыми двигателями;

2)	тормозными соплами, устанавливаемыми на днище бака или
РДТТ отделяемой ступени;

3)	управляющими двигателями отделяемой ступени;

4)	аэродинамическими щитками или поверхностями, если разделе-
ние происходит в плотных слоях атмосферы.

В одной из возможных схем разделения торможением (рис. 6.1) дви-
гатель отделяющейся (второй) ступени включается после приложения
к первой ступени тормозного импульса, достаточного для расхождения
ступеней на безопасное расстояние. В этой схеме реализуется такая
последовательность операций:

1)	выключение основного двигателя отделяемой ступени;

2)	разрыв соединительных болтов и запуск тормозных двигателей;

3)	запуск основного двигателя второй ступени.

Управляющие двигатели второй ступени включаются до момента
запуска двигателей второй ступени, обеспечивая осевую перегрузку,
необходимую для обеспечения бескавитационной работы насосов
в ракетах на жидком топливе.

В этой схеме разделения осуществляются следующие операции:

1)	выключение основного двигателя первой ступени;

2)	разрыв соединяющих болтов и запуск тормозного двигателя.
Рис. 6.1

Во время разделения ступеней вторая ступень управляется при
помощи управляющих двигателей, что исключает возможность ухуд-
шения точности заданных параметров траектории в конце активного
участка.

Основные достоинства этой системы разделения:

1)	разделение под действием небольших сил, обеспечивающих
плавное движение ступеней без значительных изгибных, продольных
и угловых колебаний;

2)	небольшая масса самого узла разделения, включающая в себя
тормозные РДТТ с деталями крепления.

Из недостатков нужно прежде всего отметить довольно сложную
последовательность команд на выполнение операций разделения,
а также сравнительно большие потери дальности за счет гравитации
и отсутствие осевых перегрузок, если не работают управляющие дви-
гатели второй ступени.

Б. Разделение расталкиванием ступеней. В этой схеме переходной
отсек между ступенями герметизируется перед стартом, а внутри него
создается давление одним из следующих способов:

1)	наполнением отсека рабочим телом-газом перед стартом;

2)	подачей газа наддува из бака с топливом или РДТТ;

3)	созданием в момент разделения ступеней давления в отсеке при
помощи специального порохового аккумулятора давления.

В момент расстыковки ступеней возникает сила, которая и растал-
кивает их. Управление второй ступенью происходит в течение всего
процесса разделения, а для создания требуемых осевых перегрузок
для подачи компонентов в камеру сгорания ЖРД можно использовать
небольшие ускоряющие РДТТ.

Возможным вариантом этого способа может быть схема, в которой
плоскость разделения ступеней находится в месте соединения днища
бака или РДТТ с цилиндрической обечайкой. Днище бака отбрасывае-
мой ступени используется затем в качестве днища хвостовой части вто-
рой ступени. Управление второй ступенью осуществляется при помощи
специальных ракетных двигателей, перерезание цилиндрической обе-
чайки — при помощи детонирующего шнура с кумулятивной выемкой.
В. Разделение ускорением второй ступени. Для отведения на безопас-
ное расстояние второй ступени от первой можно воспользоваться:

1)	ускоряющими двигателями, установленными на второй ступени;

2)	управляющими двигателями второй ступени.

Горячее разделение ступеней. Одна из возможных схем огневого
разделения ступеней РБ на жидком топливе изображена на рис. 6.2, где
основными командами являются:

1)	дросселирование двигателя отделяемой ступени и переход его
на режим пониженной тяги;

2)	запуск двигателя второй ступени;

3)	выключение двигателя первой ступени;

4)	разрыв соединительных болтов между ступенями.

Для того чтобы вывести газы из зазора между ступенями, последние
соединяются между собой при помощи фермы, изготовленной из труб,
которые подкрепляют стыковые шпангоуты. Сопло двигателя второй
ступени находится внутри фермы, являющейся переходником между
ступенями. Ферма остается на отделяющейся ступени.

Достоинства системы огневого разделения:

1)	быстрота разделения, не дающая практически гравитационных
потерь скорости;

2)	простая последовательность команд на разделение ступеней;

3)	повышенная надежность запуска двигателя второй ступени,
поскольку при запуске возникают осевые перегрузки, создаваемые еще
работающим двигателем первой ступени и обеспечивающие устойчи-
вую работу заборных устройств баков;

4)	возможность ликвидировать вспомогательные РДТТ и умень-
шить вес системы разделения.

Основные недостатки огневого разделения:

1)	большие возмущения, получаемые второй ступенью при разде-
лении;

2)	достартовый расход топлива на второй ступени, так как двига-
тель второй ступени запускается еще до потери связи между ступенями;

3)	увеличение массы конструкции из-за слоя ТЗП, которым покры-
вается днище для защиты первой ступени от разрушения и возможного
взрыва гарантийных остатков топлива;
4)	увеличение потерь на силу лобового сопротивления (особенно
резкое, когда диаметры ступеней разные) из-за применения фермы-
переходника;

5)	воздействие горячих газов, отраженных от днища первой сту-
пени, на конструкцию второй ступени.

Последних двух недостатков можно избежать, если выполнить пере-
ходной отсек в виде глухого отсека с защитным экраном и окнами для
выхода газов. Окна закрываются сбрасываемыми в момент разделения
люками. Разделение ступеней осуществляется непосредственным запу-
ском двигателя второй ступени. Горячие газы от струй ударяют в кор-
пус отдельных частей ступени, а отраженные газы выходят через окна
в переходнике. Защитный экран исключает попадание горячих газов
на вторую ступень. Одновременно защитный экран в виде усеченного
конуса позволяет стабилизировать отделяющуюся ступень относительно
струи и тем самым исключает возможность соударения ступеней.

Разделение ступеней РБ с РДТТ имеет в отличие от РБ с ЖРД следую-
щие особенности:

1)	прохождение плотных слоев атмосферы с более высокими ско-
ростями из-за большей тяговооруженности;

2)	трудности с надежным выключения РДТТ перед разделением
ступеней;

3)	более быстрый запуск и выключение двигателя (меньший
импульс последействия тяги);

4)	большие продольные и поперечные перегрузки ракет.

Так как ракета с РДТТ имеет большую скорость в плотных слоях
атмосферы, то для отделения первой ступени можно использовать аэро-
динамические силы. Одновременно в период отделения первой ступени
полетом второй можно управлять с помощью воздушных рулей, так как
скоростной напор воздуха достаточно велик. Из-за трудностей выклю-
чения двигателя твердого топлива отделяемой ступени обычно допу-
скают в нем полное выгорание топлива перед разделением ступеней.
При этом отсутствие осевой перегрузки не влияет на надежность запу-
ска РДТТ последующей ступени. Быстрый запуск двигателя облегчает
задачу управления в период разделения и уменьшает потери дальности.

Разделение ступеней ракеты с РДТТ близко к схеме горячего разделе-
ния ступеней на жидком топливе, отличаясь от нее большей быстротой
процесса разделения, возможностью использования аэродинамических
сил для разделения и простотой выполнения команд.

6.2.	Давление в переходном отсеке
при горячем разделении ступеней

При горячем разделении ступеней двигатель верхней ступени запу-
скается до начала разделения ступеней и горячие газы, истекающие
из его сопл, заполняют переходной отсек, создавая внутри него пере-
менное давление <2 (рис. 6.3). По мере выхода двигателя на режим
давление <2 возрастает, ступени начинают расходиться, образуя зазор,
а газы из отсека истекают через зазор и окна, расположенные на его
боковой поверхности. Когда приход газа из двигателя становится
меньше, чем расход из зазора и окон, давление в переходном отсеке
уменьшается.

Рис. 6.3

Рассматривая плоское движение твердотопливной ракеты, для опре-
деления давления <2 воспользуемся законом сохранения массы для
переходного отсека, в соответствии с которым изменение массы газа
в переходном отсеке равно разности прихода его из двигателя и расхода
через окна и зазор между ступенями, т. е.



= т2-тп0,

(6.1)

где тп = рпи/ — масса газа в переходном отсеке; <2 / КТП = рп — плотность

газа в переходном отсеке; Тп = %2Т0 — температура газа в переходном
отсеке; %2 = 0,34-5-0,8 — коэффициент тепловых потерь в переходном

отсеке; То — температура продуктов сгорания топлива в двигателе вто-

рой ступени; УУ = УУ0 + З^х — объем газа между разделяющимися ступе-

нями; х — расстояние между ступенями; УУ0 — свободный объем пере-
ходного отсека; т2 = Ф2аЮ^кр.2Ро2 /	— массовый переход газа

из двигателя второй ступени; ф2 = 0,96-5-0,98 — коэффициент расхода;

а(к) =

к+1

' 2 Ак-1

^ + 1,

— константа; Ркр 2 — площадь критического сечения
сопла двигателя второй ступени; р02 — переменное давление в двига-
теле второй ступени; % = 0,964-0,98 — коэффициент тепловых потерь
в двигателе; т0 = фоа(/с)ГпС2 / л/%2ЯТ0 — массовый расход газа из пере-
ходного отсека; <р0 = 0,54-0,8 — коэффициент расхода; Рп = Ро + 2пКх —
суммарная площадь; Ро — площадь окон.

После подстановки соответствующих выражений в (6.1) и преобра-
зований с учетом того, что температура То в двигателе, газовая посто-
янная К, а также %2 не зависят от времени, после преобразований полу-
чим

= Ар02 - [(х0 + х)В + $ту]<2
(к	и/0 + 8тх

где х0 = Р0/ (2лК), А = Ф2а(к)ГКр.25/К7Ь%2; в = 2т1Кфоа(к)7%2ВТо •

В (6.2) неизвестны р02(г), а также расстояние между ступенями х.
Для определения р02 запишем уравнение сохранения массы для двига-
теля второй ступени:

= 8и^Рт ~ ™2>	(6.3)

ВТ0 )

где РУд — свободный объем двигателя (не занятый в данный момент
топливом); 5, рт — поверхность горения и плотность топлива; иг, V —
константы в степенном законе скорости горения топлива.

Так как процесс разделения ступеней кратковременный, то объем
УУд можно считать постоянным, и тогда (6.3) после преобразований
принимает вид

^^ = ^1Р02-Ь1Р023

<к

(6.4)

где а! = %ЯТ05и1рт / 1УД, = ф2а(к)Вкр27%ВТ0 /1УД. Уравнение (6.4)
можно проинтегрировать от I = Со, когда р02 = р00, и получить следую-
щее выражение:



1_крО-У>

1 , I	а1 02

-------1п^--±-------

Ь1(у-1)	(1-у)

аг

Осевое расстояние х между ступенями определим из уравнения
динамики относительного движения.

Уравнение движения первой ступени:

^1 =

<к	т1

где Ф — угол тангажа; 7\ — тяга первой ступени; Г = ^Т2 — газодина-
мическая сила; Т2 — тяга второй ступени; — коэффициент газоди-
намической силы; — сила лобового сопротивления первой ступени;
т1 — масса отделяемой части первой ступени.

Уравнение движения второй ступени:

&2 = Т2~Х2+ (рд -р^(8т - Ра2) ~
ск	т2

где Х2 — сила лобового сопротивления отделяющейся второй ступени;
Ра2 — площадь выходного сечения сопл второй ступени; т2 — масса вто-
рой ступени; рж — давление в атмосфере на высоте разделения; рд—дав-
ление на донную часть второй ступени. Вычитая (6.5) из (6.6), получаем

Ду _Т2-Х2 + (рд - Ро.,) ($т - Ра2) । Г + - Д
т2	т1

где у = у2 - уг — скорость относительного движения ступеней.
Расстояние между ступенями определяется из уравнения:

сЬс
(к

(6.8)

При расчете относительного движения ступеней необходимо учесть
возможный отрыв потока в сопле двигателя второй ступени. Давление
в сечении отрыва:

^- = -5—0,357
Р02	Р02

\0,83

<Р02 7

Отрыв потока в сопле возникает при рг / р02 > ра2 / р02. Ниже
по потоку от сечения отрыва сопло не работает, и поэтому в формуле
тяги необходимо принимать Ма2 = Мт; ра2 = рг; Ра2 = Рг, причем Рг =

= ^кр.2 / где д(Мх) =

< 2

к+1

С к+1 Лгск-!)

ная функция; Мг =

к-1

М?

к+1

2(к-1)

— расход-

— число Маха в сечении отрыва.

Мг 1 +

2

При расчете тяги двигателя первой ступени считаем, что твердое
топливо полностью сгорело и из его объема происходит адиабатиче-

ское истечение газа, поэтому изменение давления в камере находим
по формуле (3.2).

Коэффициент газодинамической силы зависит от расстояния
между ступенями и определяется для следующих трех режимов течения
в переходном отсеке.

1.	При малых расстояниях между ступенями происходит наддув
отсека и звуковое истечение газа через окна и зазор между ступенями.
В этом случае = 1, т. е. газодинамическая сила Г равна тяге двигателя
второй ступени.
2.	Сопло двигателя второй ступени все еще находится в отсеке,
но газ истекает со звуковой скоростью из окон и зазора между кром-
кой сопла и стенкой переходного отсека. Режим начинается с момента,
когда площадь зазора между ступенями станет равной площади зазора
между соплом и стенкой отсека. Расстояние между ступенями в этот

7*

момент равно х* = К / 2 1 - —

где га2 — радиус выходного сечения

сопла двигателя второй ступени; К — радиус отсека.

3.	Струйное истечение в отсек, когда на днище второй ступени
действует донное давление, определяемое взаимодействием струи
и внешнего потока. Сопло двигателя второй ступени полностью выхо-
дит из отсека. Этот режим начинается в тот момент, когда выходное
сечение сопла пересекает верхнюю кромку отсека и струя двигателя
второй ступени полностью раскрывается.

Из геометрических соображений можно найти расстояние хс, соот-
ветствующее этому моменту, как разницу между длиной отсека 10 и рас-
стоянием 80 между соплом и днищем первой ступени до запуска двига-
теля, т. е. хс = 10 - 80. Таким образом, этот режим течения реализуется
при х > хс.

На втором режиме течения коэффициент газодинамической силы
определяется по формуле

5=1+ас-1)^^-,
хс -х*

где = 1 + (1 - СР0 / 5т))С3 — коэффициент газодинамической силы
в начале третьего режима течения;

С3

кМ*2 .

2(1 + Ш22)’

к / 2 Г 2	к-1	2

к-2\к+1 М>2 + 2 \к-Т)М%2

к = к(к-1)М*2.

Коэффициент газодинамической силы на третьем режиме

где

^ = (1-уег) +

I )

с3а-т

г = х - хс; ет = (к + 2) / 2; е2 = ет - 2.
Подводя итог, остановимся на расчете давления в отсеке при рас-
смотренных режимах течения. Первый режим, реализующийся в диа-
пазоне 0 < х < х*, определяется в результате решения системы обыкно-
венных дифференциальных уравнений (6.2), (6.4), (6.7), (6.8), донное
давление второй ступени рд и давление в отсеке равно <2. На втором
режиме вместо (6.2) для расчета давления в отсеке и равного ему дон-

ного давления используется формула <2 = 0* +(рао -О*)——где <2* —
хс -х*

давление в переходном отсеке, которое установится в нем на первом
режиме, когда расстояние между ступенями станет равным х*. После
раскрытия струи, истекающей из двигателя второй ступени на третьем
режиме течения, донное давление рд находится в результате решения
аэродинамической задачи о взаимодействии внешнего потока и сверх-
звуковой струи, а давление в отсеке равно давлению торможения
за прямым скачком уплотнения, образующимся в струе перед отсеком.
Если воспользоваться аппроксимацией Робертса для распределения
л к + 2

плотности в струе, то это давление равно: 0, =--Т2. Уравнение сохра-

нения массы здесь также не используется. В первом приближении дон-
ное давление можно принять равным давлению в окружающей среде.

Наглядное представление о характере изменения давления в отсеке
и коэффициента газодинамической силы дают графики, приведенные
на рис. 6.4, полученные для одного из вариантов ракеты.

6.3.	Давление между головным отсеком
и отделяемой ступенью

При газодинамическом разделении ступеней и отделении головной
части от ракетной разведение блоков осуществляется давлением над-
дува между ними, которое создается газогенератором, или заполне-
нием газом герметичного объема между ними перед стартом ракеты.

Роль газогенератора может выполнить РДТТ, у которого в момент
разделения вскрывается отверстие на переднем днище и продукты сго-
рания топлива истекают в объем между двигателем и головной частью,
создавая необходимое давление <2. Для определения этого давления
составим уравнение сохранения массы в объеме (рис. 6.5) между раз-
деляющимися телами:

_ (р2Оа(к)Ро1Л) Фоа(К)ОЕп

где Ро — площадь отверстия на переднем днище; Рп — площадь зазора
между разделяющимися частями. Ввиду быстрого падения давления <2
и малого расстояния х изменением объема 1/У пренебрегаем. Учитывая
это, а также то, что рп = <2 / получаем

= ОД Г ф2оа(^)Ро1^о _ Фоа(к)(2Рп
ИЦ ТхОД л/хОД ,

(6.9)

где То — температура торможения газов в камере и объеме соответ-
ственно. Полагая также, что истечение в объем изоэнтропическое,

имеем

к-1

' <2 Ъ
чР01)

(6.10)

и после подстановки (6.10) в (6.9) и преобразований получаем следую-
щее уравнение для определения давления <2 между разделяющимися
телами:

,	1 к-1	1-к зк-1

— = О(ф2р^ к Ро-фоРо2!^ 2к РЛ

(6.11)

где И = у/КТоа(к)/^• Для определения давления в двигателе р01 запи-
шем баланс масс для его объема УИД, который также считаем постоян-
ным:

$ЩРо1Рт =

Фг^^Ро^кр

, Фградаро^р | фУУд
л ’



или, после преобразований,

^=вР^-сРо1,

(6.12)

где

_ 'ХЩ'оЩ.Рт^. _ Ф2а(^)^кр VХРТр	Ф2О^О
Рис. 6.5

Расстояние х между разделяющимися частями определим из уравне-
ний относительного движения:

& (а-рте)5т-Х2 Го + Х1-Г1+(а-рвв)(5т-Го).сЬс

— =-------------+-------------------------, — = у, (6.13)

а!	т2	т1

где Х1} Х2 — силы лобового сопротивления разделяющихся частей;
Т13 То — тяга основного сопла двигателя и отверстия на его переднем
днище. Решая систему обыкновенных дифференциальных уравнений
(6.11)—(6.13), находим давление между разделяющимися частями.
7.	Осевые внутренние усилия в корпусе

7.1.	Ракета на жидком топливе

Выше рассмотрены методы расчета нагрузок, действующих на ракету
в полете. Под действием этих нагрузок в корпусе возникают внутрен-
ние усилия, для определения которых необходимо составить уравнение
равновесия выделенной части.

Сначала мысленно проводят сечение в интересующем месте корпуса
ракеты и из двух частей выбирают одну, обычно ту, для которой проще
вычислить нагрузки и составить уравнение равновесия. К выделен-
ной части прикладываются все внешние силы, а также искомая осевая
внутренняя сила, являющаяся результатом воздействия отброшенной
части на выделенную. Составив уравнение равновесия выделенной
части, определим искомую силу. Рассмотрим одноступенчатую балли-
стическую ракету на жидком топливе и составим уравнение равновесия
для трех ее характерных сечений (рис. 7.1): I—I проходит по верхней
части ракеты; II—II — по боковому отсеку; III—III — по хвостовому,
ниже сечения, в котором приложена тяга ЖРД.

Рис. 7.1

Рассматривая сечение I—I, расположенное на расстоянии от носка,
выделяем верхнюю часть ракеты, которая изображена на рис. 7.2. вместе
со всеми силами, действующими на нее. Внутренняя силаМт(х1) направ-
лена в положительном направлении, т. е. от сечения I—I. На выделен-
ную часть действуют, кроме того, часть силы лобового сопротивления
всей ракеты, массовая сила	а также давление рте по наруж-

ной поверхности корпуса и давление р0 внутри отсека, по которому про-
ведено сечение.

Рис. 7.2

Уравнение равновесия тогда можно записать так:

Мх3) +АГт(х1) ч-МдС*!) - (р0 -р^)лК2 = О,

откуда

МхР = (Ро -РоЭ^К2 -^а(Х1) -Л^).	(7.1)

Из полученного выражения следует, что избыточное давление в отсеке
растягивает корпус, а аэродинамическая и массовая нагрузки сжимают
его. Если отсек негерметичный, когда р0 = р„, первое слагаемое равно
нулю и корпус всегда сжат. Отметим еще, что массовая сила равна весу
выделенной части, помноженному на осевую перегрузку ракеты.

В сечении II—II (рис. 7.3), проходящем по баку, появляется жидкость
и уравнение равновесия принимает вид

Мх2) + Мт(х2) +^а(*2) -РооЛ^2 +Р/12лК2 = 0

или

Мх2) = (РН2 - Роо)^2 - ^а(х2) - ВД.	(7.2)

Но так как давление жидкости в этом сечении рй2 = Рн + Рж^пх1^2з
а вес выделенной части жидкости Сж = лЯ2/12Рж^ то из уравнения равно-
весия можно получить следующее выражение для осевого внутреннего
усилия:

Мх2) = (Рн -Р-)^2 - ^а(х2) - [^т(х2) - Сжих1] •	(7.3)
Рис. 7.3

Избыточное давление наддува в баке растягивает его в осевом
направлении, как и в случае отсека без жидкости. Однако теперь
из полной массовой силы, равной весу выделенной части, умножен-
ному на перегрузку С2пх1> необходимо вычесть вес жидкости, умножен-
ной на осевую перегрузку.

Формулы (7.2) и (7.3) совершенно идентичны, однако во избежание
ошибок необходимо иметь в виду, что давление в баке берется всегда
избыточным, а при использовании формулы (7.3) массовая сила равна
весу выделенной части без веса выделенной части жидкости, помно-
женному на осевую перегрузку.

Особенность уравнения равновесия для сечения III—III в том, что
здесь для верхней части появляется сила тяги ЖРД (рис. 7.4):

ЛГ(х3) + Ма(х3) + Мп(х3) - Т° - (р0 - РоЭлЯ2 = О,

откуда

Мх3) = То + ЛГа(х3) - 1Мт(х3) + (р0 - р„)лЯ2,	(7.4)

т. е. тяга растягивает хвостовой отсек на полетном участке траектории.
Так как осевое внутреннее усилие относится только к корпусу хвосто-
вого отсека, а не ко всему сечению, то Мщ&з') вычисляется с учетом веса
двигательной установки. Кроме того, тяга двигателя, представляющая
собой равнодействующую давления, действующего по его наружной
и внутренней поверхности, должна вычисляться по формуле

Т°=тпиа + Ра(ра-ро),

где р0 — давление внутри хвостового отсека. Если для сечения III—
III взять нижнюю часть, то уравнение равновесия для нее примет вид
(рис. 7.5):
-Шз) + К2Ы +	(х3) + Хд + (Ро - Роо) (лК2 - Ра) = О,

откуда

Мх3) = ЛГ°(х3) + Хд +	(х3) + (ро - Роо) (тгК2 - Ра) = О,

гдеХд — сила донного сопротивления ракеты; Л/"® (х3), ^(х3) — массо-
вая сила и сила сопротивления выделенной части хвостового отсека.

Рис. 7.4

Рис. 7.5

Преобразуем (7.5) и получим из него выражение (7.4). Сила лобо-
вого сопротивления всей ракеты Х = ^(х3) + ^(х3) + Хд, а массовая
сила (х3) = Спх1 - Л/т(х3), где С — вес всей ракеты. Тогда (7.5) можно
переписать так:

Мх3) =Х-ЛГа(х3) + С?пх1 -ЛГт(х3) + (р0 -Р.К71Я2-Ра),
или, после подстановки выражения для перегрузок пх1 = (Т-Х) / С, где
Т = тиа + Ра(ра -р^) — тяга ракета,

Мх3) = -^(х3) + [т'иа + Ра(ра -рЛ - Ыт(.х^ + (р0 -р□ (лК2 - Ра),

откуда после приведения подобных членов придем к выражению (7.4).

В основании ракеты (х3) = 0, (х3) = 0, тогдаМх3) =ХД + (р0-р^) х
х (лК2 - Ра), а для негерметичного отсека, когдар0 =роо, 27(х3) =ХД, причем
сила будет положительной, если возникает донное разрежение, и отри-
цательной, если давление в донной области больше, чем в окружающей
среде.

Построим эпюру осевых внутренних усилий в корпусе ракеты
(рис. 7.6), ограничившись минимальным количеством участков,
на которые ракета разбивается по длине. Примем за участки отсеки
ракеты, за исключением головного и приборного, в которых находятся
сосредоточенные грузы. Головной отсек разобьем на три участка: носо-
вое затупление, участок конуса до груза и после него, а приборный —
на два с границей между ними, проходящей по грузу. Границы участков
пронумеруем от нуля в вершине ракеты до М = 13 в ее основании, тогда
номер участка совпадет с номером его нижней границы. Будем считать,
что геометрические и массовые характеристики ракеты, осевые пере-
грузки, а также параметры набегающего потока в рассматриваемом
расчетном случае известны.

Рис. 7.6

Осевое внутреннее усилие в сечении корпуса, проходящем по гра-
ницам участков, находится в результате суммирования с учетом знаков
массовой силы, силы лобового сопротивления и сосредоточенных сил,
действующих выше рассматриваемого сечения.
В сечениях, содержащих сосредоточенный груз или силу, внутреннее
усилие имеет двойное значение, так как здесь возникает скачок непре-
рывности первого рода.

Сначала выделяем сосредоточенные грузы, к которым в рассматри-
ваемом случае относятся грузы в головном и приборном отсеках, жид-
костный ракетный двигатель, жидкое топливо в баках, действующее
в осевом направлении на стыке цилиндрической обечайки с нижним
днищем. Масса несгоревшего топлива, оставшегося в баке, определя-
ется по формуле тс = [1 - (1 - ц) / цт ], где цт — коэффициент запаса
топлива; ц = т / т0 — коэффициент относительной массы ракеты
(т0 — стартовая, т — текущая масса); тс, т® — текущая и полная
массы компонента в баке.

Сосредоточенной силой является тяга двигателя То (по знаку поло-
жительная), определенная по давлению в хвостовом отсеке. Сосредото-
ченные силы при таком разбиении ракеты на участки всегда распола-
гаются на границах участков, поэтому здесь возникает скачок осевой
силы. Грузы считаем одноопорными, поэтому их реакция на корпус
равна: В.к = -тк§пх1, где тк — масса сосредоточенного груза. Тогда для
нижнего сечения участка

1>1	>1

к

+

ы

(7.5)

где к — количество сосредоточенных сил между вершиной и рассма-
триваемым сечением; Хр — сила лобового сопротивления и масса
участка.

Усилие в верхнем сечении участка (кроме 2=1, где оно равно нулю)
равно его значению в нижнем сечении предыдущего участка плюс
сосредоточенная сила в этом сечении.

После определения сил лобового сопротивления участков отклады-
ваем на эпюре аэродинамической нагрузки соответствующие силы так,
что в основании ракеты должна получиться сила лобового сопротивле-
ния без донной ее составляющей, которая приложена к ее торцу. Харак-
тер кривой между промежуточными точками можно определить с помо-
щью графика погонной аэродинамической нагрузки д81(Эсх1 /дх^.

По известной массе участков и осевой перегрузке можно найти мас-
совую нагрузку на нижней границе участков, а промежуточные точки
соединить с помощью графика погонной массовой нагрузки тСх^п^.

Объединяя эпюры аэродинамической и массовой нагрузки, а также
учитывая сосредоточенные силы в сечениях, строим эпюры осевых
внутренних усилий. На участке баков корпус частично разгружается
внутренним давлением наддува, а величина соответствующей силы
К5 = (Рн ~ Р°ЭпК2- Эта сила создает на эпюре вырез, величина которого
зависит от давления в баке. Для ракет с турбонасосной системой подачи
топлива этот вырез невелик и обечайка бака может быть сжата в осевом
направлении, несмотря на разгружающее действие давления. Что каса-
ется баков ракет с вытеснительной системой подачи топлива, то они
всегда растянуты. Пример эпюры осевых внутренних усилий приведен
на рис. 7.6. Построение эпюры удобно проводить с помощью расчетной
табл. 7.1, образец которой приведен ниже. В строчку 2 таблицы внесено
еще среднее аэродинамическое давление участка Ара/ = Хг / 5У.

Таблица 7.1

№ п/п	Данные	Номера участков				
		1	2	3		
1	9x1					
2	ДРш					
3	Ъ					
4						
5						
6	(верхнее сечение)	0	•	•		
7	Щ (нижнее сечение)	•	•	•		

7.2.	Ракета на твердом топливе

Особенности в эпюре осевых внутренних усилий в корпусе ракеты
на твердом топливе по сравнению с ракетой на жидком топливе возни-
кают по двум причинам: 1) корпус РДТТ одновременно является и кор-
пусом самой ракеты; 2) заряд твердого топлива может быть вложен
в камеру сгорания или скреплен с ней.

Проанализируем сначала случай вложенного заряда, который может
рассматриваться как сосредоточенный груз. Реакция груза на корпус
передается в месте крепления заряда к корпусу и равна: В.т = -тт^пх1,
где тт — масса топлива в расчетном случае. Уравнение равновесия
на участке двигателя между днищами имеет такой же вид, как и в слу-
чае наддутого отсека, а осевое усилие (рис. 7.7):

И(х{) = (р0

где р0 — давление в камере сгорания двигателя. Для сечения II—II, рас-
положенного на стабилизирующей юбке, уравнение равновесия имеет
вид (рис. 7.8):

Мх2) + ЛГа(х2) + ]Ят(.х2) -	+ М3 + т^пх1 = 0;

где Л/дН — сила, действующая на переднее днище двигателя; — сила,
действующая на заднее днище двигателя; тс — масса соплового блока.
Тогда Мх2) = Т - Ма(х2) - А1т(х2) -тп^п^, причем при расчете массовой
силы Мт(х2) масса соплового блока не учитывается, так как он высту-
пает в роли сосредоточенного груза.
I

Х1

Рис. 7.7

Рис. 7.8

К особенностям эпюры осевых внутренних усилий, возникающих
в корпусе в этом случае (рис. 7.9), следует отнести скачки внешних
сил в сечении, где крепится снаряд твердого топлива, на величину Вт,
а также за задним днищем в сечении, относящемся к стабилизирующей
юбке. Здесь скачок определяется суммой силы, действующей на заднее
днище, и реакции соплового блока на корпус.

Рис. 7.9

Построение эпюры осевых внутренних усилий, когда заряд скреплен
со стенками камеры сгорания, мало чем отличается от только что рас-
смотренного случая, хотя казалось бы, что из-за заряда, закрывающего
стенку двигателя, необходимо внести изменения в расчет сил, дей-
ствующих на днища. В действительности жесткость твердого топлива
настолько мала по сравнению с жесткостью конструкционной стенки
камеры, что при построении эпюры можно считать, что давление пол-
ностью воспринимается стенкой. Изменения коснутся лишь способа
учета массовой силы от топливного заряда. Теперь его необходимо
рассматривать как распределенную массу, которая составляет единое
целое со стенкой камеры сгорания. На рис. 7.9 построена вторая эпюра
осевых внутренних усилий, относящаяся к этому случаю, на которой
исчез скачок сил из-за заряда твердого топлива.

Анализируя построенные на рис. 7.9 эпюры, можно сделать следую-
щие выводы.

1.	Корпус ракеты, от носка и до работающего РДТТ, всегда сжат
в осевом направлении.

2.	Корпус работающего двигателя всегда растянут в осевом направ-
лении значительной силой, действующей на переднее днище.

3.	Стабилизирующая юбка, закрывающая сопловой блок РДТТ,
растянута, если в донной области образуется разрежение, что является
типичным для малых высот полета.

4.	Стабилизирующая юбка частично сжата на средних и больших
высотах, когда давление в донной области больше, чем в атмосфере
на данной высоте.
При определении расчетного случая для конкретного сечения пред-
ставляет интерес не вся эпюра осевых внутренних усилий, а лишь только
одно значение осевой силы в зависимости от времени полета ракеты.

7.3.	Крылатая ракета со стартовым ускорителем

Как для баллистической, так и для крылатой ракеты расчетные случаи
определяются в результате анализа ее траектории. Так, например, при
анализе траектории противокорабельной ракеты «Гарпун» (рис. 7.10)
можно установить, что наибольшие нагрузки в осевом направлении
возникают в конце работы стартового ускорителя. На этом рисунке
1 — корабль-носитель; 2 — стартовый участок; 3 — участок разворота;
4 — маршевый участок; 5 — поиск и захват цели; 6 — участок самона-
ведения; 7 — цель.

100

15 м

Рис. 7.10

Осевые перегрузки в расчетной точке траектории — в конце работы
стартового двигателя — равны

где Т — тяга стартового ускорителя; — сила лобового сопротивления
всей ракеты в этой точке траектории; т1 — масса ракеты без выгорев-
шей массы топлива в стартовом ускорителе. Составляющая массовой
нагрузки, создаваемая участками, определяется как произведение веса
участка без сосредоточенного груза на осевую перегрузку. Реакция
сосредоточенного груза на корпус В.к = -тк§пх1, где тк — масса сосре-
доточенного груза.

Сосредоточенные грузы всегда расположены на границе участ-
ков, поэтому здесь возникает скачок осевой силы, а при заполнении
таблицы результатов значение реакции относится к нижнему участку.

На корпус в осевом направлении действуют также сосредоточенные
силы Рк, которые, как и массовые силы от сосредоточенных грузов, соз-
дают скачок на эпюре осевых внутренних усилий в корпусе ракеты.
Тогда в нижнем сечении участка
Для того чтобы найти усилие в верхнем сечении участка, необхо-
димо к его значению в нижнем сечении предыдущего участка добавить
реакцию груза и сосредоточенную силу на рассматриваемом участке.

На рис. 7.11 построена эпюра осевых внутренних усилий в кор-
пусе ракеты по ее длине в этом расчетном случае. Из эпюры следует,
что от носка ракеты в направлении стартового сила осевая сила сжи-
мающая, а в том сечении, где стартовый ускоритель крепится к кор-
пусу маршевой ступени, эпюра имеет большой скачок на величину
силы, равной давлению в камере сгорания и умноженной на величину
площади поперечного сечения стартового ускорителя. Так как сила
давления на переднее днище двигателя и массовые силы имеют разные
знаки, то скачок имеет положительное направление.

Рис. 7.11

В заключение рассмотрим примеры определения расчетных случаев
для БР на жидком топливе.

7.4.	Определение расчетных случаев
по осевой силе для БР

Приборный отсек в верхней части ракеты. В верхней части ракеты
находятся отсеки, не содержащие расходуемых масс во время работы
двигательной установки. Это головной и следующий за ним приборный
отсеки, а также вообще верхние ступени на активных участках траекто-
рии нижних ступеней. Для определения расчетного случая на активном
участке траектории воспользуемся методом максимальной нагрузки,
для расчета которой необходимо представить формулу (7.1), относящу-
юся к сечению I—I на рис. 7.1, в виде зависимости от времени.
Рассматривая случай негерметичного отсека, когда р0 = р^, перепи-
шем (7.1):

< Л V	(Т ~ -^1) V

=-Е -8---------- Е щ,

>1	т% 7=1

или, так как т = т0(1 - РО, 3 = ш / т0,

= - Е 2 т] >

>1	1-ЕГ;=1

(7.6)

где принято, что разность (Т-Хг) изменяется мало, поэтому отношение
(Т-ХО

-----— можно заменить постоянным значением п0, которое здесь при-
тп#

нято равным начальному значению перегрузки.

Анализируя (7.6), убеждаемся, что второе слагаемое, определяющее
массовую нагрузку, растет по времени и достигает максимального зна-
чения в конце активного участка траектории ступени. Первое слагае-
мое сначала растет, а затем довольно быстро уменьшается, проходя
через экстремум. Для БР обычно второе слагаемое значительно больше
первого, что хорошо видно на графике изменения осевой силы Мх^),
приведенном на рис. 7.12 для одной из ракет. Таким образом, для верх-
них отсеков баллистической ракеты расчетным случаем является конец
активного участка траектории ступени.

Рис. 7.12

Межбаковый отсек. Теперь рассмотрим случай, когда отсек рас-
положен в средней части ракеты на жидком топливе и над ним нахо-
дится один из баков, из которого расходуется компонент, так что теперь
массовая нагрузка меняется не только из-за увеличения перегрузки,
но и из-за уменьшения массы той части ракеты, которая находится над
рассматриваемым сечением.
В межбаковом отсеке, служащем для соединения баков между собой,
могут размещаться приборы управления ракетой, а также вспомога-
тельное оборудование, относящееся к различным ее системам.

Сначала рассмотрим случай верхних ступеней ракеты, когда силой
лобового сопротивления можно пренебречь, а массу в выражении для
массовой нагрузки представим в виде суммы постоянной и переменной
составляющей:

^(х2) = -

1-1

Хту + (т° -тпсС
.1=1

&1ХЪ

ИЛИ

^(х2) = -

1-1

+/ссто(цт-рО

>1

(7.7)

где т® — полная масса компонента в баке; тс — расход компонента;

/ т0 = цт — коэффициент запаса топлива; кс =	— доля компо-

нента в общем запасе топлива; т0 — стартовая масса ступени. Характер
1-1

изменения силы зависит от соотношения постоянной X и перемен-

>1

ной масс. Если преобладает постоянная масса, то осевая сила растет,
в противном случае уменьшается.

Функция (7.7) не обладает экстремумом, однако можно найти усло-
вие, при котором она принимает постоянное значение во все время
полета по траектории. Найдем первую производную по времени и при-
равняем ее нулю:

(1М Р ГУ	,	р ,

—- =	----—- У т< + кгтп (цт - РО-----—

ЙС	Ю[(1-Р02|_>1	(1-РО

откуда

1-1

х ГП] + /ссш0(цт - РО - кст0(1 - РО = о,
1=1

1-1

или кс = —---, где тк = т0(1 - цт) — вес ракеты без топлива. Подставив

полученное выражение в (7.7), получим значение осевого внутреннего
усилия, которое остается постоянным во все время полета ракеты:

/Ет;-	(7.8)

(1-Нт) 1=1

Граничное значение доли компонента, находящегося выше рассма-
триваемого сечения в общем запасе топлива, позволяет указать на воз-
можные расчетные случаи.
1-1

При заданном кс, если У /тк>кс, нагрузка увеличивается или
>1

постоянна во времени и расчетным случаем будет конец активного
участка траектории, а осевое внутреннее усилие равно Л^(х2) опреде-
1-1

ляется из формулы (7.8). Если У	/ тк < кс, то расчетным будет случай

>1

старта ракеты (ступени), когда двигатель полностью вышел на режим.
При I = 0 из (7.7):

^У(х2) = -^Ло

^1-1

Ут7+тс°

М=1

Первый из рассмотренных случаев реализуется обычно для нижних
ступеней ракеты, второй — для верхних.

Для одноступенчатых ракет и первых ступеней многоступенчатых,
когда при выборе расчетного случая межбакового отсека необходимо
учитывать силу лобового сопротивления, дополнительным расчетным
случаем будет момент нагружения ракеты, соответствующий скорост-
ному максимальному напору.

Забаковый отсек. Теперь выше забакового отсека находятся оба
отсека с топливом, масса которых изменяется во времени (см. рис. 7.12).

Для сечений, расположенных выше плоскости крепления ЖРД,
в которой к корпусу приложена тяга, осевое внутреннее усилие можно
определить по формуле, аналогичной (7.7), но теперь коэффициент кс
всегда равен единице, поэтому



^(х3) = -

I

,л Ут; + то(цт-рО ,
(.1 - рг;

а условие постоянства осевого внутреннего усилия имеет вид

^тп]/тк=1,

;=1

что никогда не может быть выполнено для отсека, расположенного сразу
же за баками, так как сухая масса ракеты тк всегда больше ее части

I

Значит, для этого отсека нагрузка максимальна в момент старта

>1

ракеты, когда Г = 0, тогда

^Р(х3) = -^по

X у + тт
и=1	>

При учете силы лобового сопротивления на первых ступенях ракет
добавляется еще один расчетный случай, соответствующий макси-
мальному скоростному напору на активном участке траектории (см.
рис. 7.12).
Несущие баки. Стенка несущего бака является одновременно и стен-
кой корпуса ракеты. Рассматривая сечение IV—IV в верхнем баке (см.
рис. 7.12), выражение (7.3) для осевого внутреннего усилия, относяще-
еся к цилиндрической обечайке, перепишем так:

М(Х4)=Рн*К2 -1	1 т,,	(7.9)

7=1 Ц - рс; 7=1

где под рн здесь и далее будем понимать избыточное (относительно
окружающей среды) давление наддува в баке; X — масса выделен-
ие

ной части ракеты без жидкости.

Выражение (7.9) аналогично (7.6), которое относится к отсекам

I

ракеты в верхней ее части. Различие их в том, что в (7.6) под Х7*1/

>1
понимается полная масса выделенной части, а в (7.9) — масса выделен-
ной части без жидкости. Кроме того, в баках возникает разгружающая
сила, создаваемая давлением наддува. Если она постоянна и больше
двух других слагаемых в (7.9), то наибольшее значение осевого вну-
треннего усилия будет в начальный момент времени, когда I = 0.

Такой случай типичен для баков с вытеснительной системой подачи
топлива. В баках с турбонасосной системой осевое внутреннее усилие
чаще всего отрицательное, т. е. сжимающее, и поэтому максимум его
достигается в конце активного участка траектории. Для одноступенча-
тых ракет и нижних ступеней многоступенчатых максимальное осевое
усилие может также возникнуть в точке траектория с максимальной
силой лобового сопротивления.

Если бак нижний и над ним находится расходуемая масса второго
компонента, то выражение для осевого внутреннего усилия следует
записать так:

= РнлК2 - X	X	+ /сст0(цт - РО

7=1 и _ рс; 7=1

(7.10)

где X	— масса выделенной части ракеты без топлива; кс — доля ком-

1=1

понента верхнего бака в общем запасе топлива. Для баков с вытесни-
тельной системой подачи топлива первое слагаемое опять значительно
больше других и расчетным случаем опять будет начальный момент
времени. При отрицательном внутреннем усилии расчетный случай
всегда будет в начале работы ступени.

I	I

Исследуя (7.10), убеждаемся, что кс < Хт; / тк> так как часть Х771/
7=1	7=1

сухой массы ступени всегда меньше массы тк ступени без топлива.
В этом случае влияние переменной массы над постоянной преобладает,
поэтому наибольшее значение осевое внутреннее усилие принимает
при { = 0 и для верхних ступеней равно

^(х5) = рнлЛ2

М'=1	7

где тс — полная масса компонента в верхнем баке.

Для нижних ступеней ракеты к этому расчетному случаю, как
обычно, добавляется случай максимальной силы лобового сопротивле-
ния.
8.	Перерезывающие силы
и изгибающие моменты

Для получения наглядного представления о характере изменения
поперечных внутренних силовых факторов в корпусе ракета рассматри-
вается в виде свободной балки, уравновешенной аэродинамическими
и массовыми силами. Перерезывающей силой в сечении ракеты назы-
вается равнодействующая касательных напряжений, численно равная
алгебраической сумме проекций внешних сил на перпендикулярную
оси ракеты ось у, приложенных слева от сечения, или сумме сил, при-
ложенных справа, взятой с обратным знаком.

Изгибающим моментом называется результирующий момент нор-
мальных напряжений, возникающих в сечениях ракеты, взятый отно-
сительно нейтральной оси этого сечения. Численно момент равен
сумме моментов всех сил, приложенных слева от сечения или справа
с обратным знаком. Моменты вычисляются относительно оси, проходя-
щей через центр тяжести сечения и параллельной оси

Перерезывающую силу и изгибающий момент по длине ракеты
аналитически можно представить в виде кусочно-гладких функций,
поэтому общее выражение суммарных функций получается громозд-
ким и плохо обозримым. В практических расчетах строят графики этих
функций, которые называются эпюрами перерезывающих сил и изги-
бающих моментов. Эти эпюры позволяют выбрать способ расчета соот-
ветствующей части корпуса ракеты.
Прежде чем перейти к построению эпюр, остановимся на пра-
виле знаков для перерезывающих сил (2 и изгибающих моментов М.
На рис. 8.1 изображен ьй участок корпуса, на границах которого
(в сечениях балки) указаны положительные направления изгибающего
момента и перерезывающей силы. Момент считается положительным,
если он прогибает участок выпуклостью вниз. В левом сечении поло-
жительная перерезывающая сила направлена вверх, а в правом вниз.
На этом же рисунке указаны подъемная сила У,, участка, приложенная
в его центре давления, и массовая сила Сгпу!-, приложенная в центре
масс участка.

8.1.	Баллистическая ракета на жидком топливе

На рис. 8.2 изображена схема одноступенчатой баллистической
ракеты на жидком топливе, на примере которой рассмотрим поря-
док построения эпюр перерезывающей силы и изгибающего момента
в сечениях корпуса ракеты, представляемой в виде балки, переменной
по длине погонной массы и жесткости.

Рис. 8.2

Сначала разделим ракету по длине на участки, границы которых
совпадают с границами отсеков. Затем поделим отсеки дополнительно
на участки по местам крепления сосредоточенных грузов и месту кре-
пления ЖРД. Баки также делим на участки с границей, проходящей
по жидкости. Текущая масса жидкости в баке равна

тс = т<?(1 - (тйг / т?)) = [1 - (1 - ц) / цт].

В отличие от случая осевого усилия здесь выделять затупленный
наконечник в виде отдельного участка не имеет смысла, так как он соз-
дает пренебрежимо малую подъемную и массовую силы.

К сосредоточенным грузам отнесем грузы внутри головного и при-
борного отсеков, днища головного отсека и баков, ЖРД с турбонасос-
ным агрегатом и устройствами автоматики, расположенными на двига-
теле. Эти грузы создают реакции, которые передаются на корпус в виде
сосредоточенных сил. Сосредоточенную силу Ур создает также рулевой
привод. Момент и реакцию создает ЖРД в месте крепления к корпусу.

Пронумеруем границы участков от нуля в носке до М в основании
ракеты и составим уравнение равновесия типичного ьго участка, изо-
браженного на рис. 8.1. Сумма проекций всех сил на осьур 0^ + У( -
- 0.1 -	= 0, откуда перерезывающая сила в правом сечении участка

равна

0-1 = 0»-1 + ~ &1пуй	(8-1)

где — поперечная перегрузка в центре масс участка, вычисляемая
с учетом вращения ракеты вокруг центра масс. Подставив в (8.1) после-
довательные выражения для перерезывающей силы на левой границе
участка, получим

О/ = Х^-Х^>	(8.2)

>1 >1

т. е. перерезывающая сила равна сумме подъемных сил участков (подъ-
емной силе части ракеты, расположенной между носком и рассматри-
ваемым сечением) минус сумма массовых сил участков.

Если на границах участков имеются сосредоточенные грузы, то здесь
возникают реакции Кк и тогда выражение (8.2) нужно записать так:

^Х^-Х^ + ХДь	(8.3)

>1	>1	к=1

где К — количество сосредоточенных грузов, расположенных между
носком ракеты и рассматриваемым сечением.

Реакции грузов на корпус определяются по формулам из парагра-
фа 3.4. Так как они по условиям разбиения корпуса всегда дей-
ствуют на границах участков и относятся к нижнему участку, то
перерезывающая сила С2г1 в левом сечении ьго участка равна перере-
зывающей силе в правом сечении (/ - 1)-го участка, к которой добав-
лена реакция груза на корпус. Сосредоточенная сила, например Ур,
добавляется в правую часть (8.3), так же как и реакция груза на корпус.

Так как ракета самоуравновешенная, то в носке ее перерезывающая
сила равна нулю, а в основании Ур, создаваемой органом управления.
Действительно, здесь

м	ту	м	к

0ы = ^?1-XТП] -е2Xгтц(хт -+ X&к>	(8-4)

1=1	1=1	1=1	к=1

где М — количество сосредоточенных грузов; хт — координата центра
масс ракеты. Так как реакция на корпус одноопорного груза, а также
сумма реакций двухопорного равны его весу, умноженному на пере-
грузку в его центре масс, то Кк = -тк§пук и выражение (8.4) можно пере-
писать так:
<2„=г-«п»

м
х^+х^
1=1	1=1

Е2

М

X ТЩ (хт — Хт1) + X ГП-к (хт ~ хтк )

7=1	к=1

(8.5)

где хтк — координата центра масс груза, измеряемая от носка ракеты.
Но так как выражение в первой квадратной скобке равно массе ракеты,
а во второй — статическому моменту массы, который равен нулю,
то из (8.5) получаем, что 0^ = -Ур.

Расчет перерезывающей силы в сечениях корпуса удобно проводить
с помощью табл. 8.1.

Таблица 8.1

№ п/п	Данные	Номера участков						
		1	2	3	4			
1	са-  СУ1							
2	у.							
3	ХД1							
4	X • тг							
5								
6								
7	<2,-1							
8	<2,							
9	X;							
10	^1-1	0	•	•	•			
11		•	•	•	•			0

Остановимся на некоторых деталях ее заполнения, относящихся
к строкам 1—8. Коэффициенты подъемной силы участков вычис-
ляем по формулам из параграфа 4.4. Координата центра давления
ьго участка, измеряемая от вершины ракеты, равна

— ^7-1 + Ур

где

^д

2-ад+а)
=  3(1-52)
0,5,

с^_1>^;

хм — координата левого сечения участка; (1 = г / д.г — отношение диа-
метров участка; Ц — длина участка. Осевая координата центра давле-
ния всей ракеты определяется по формуле

Хд =—------

Д V
Поперечные перегрузки в центре масс участков

Пу/ — Пу + (хт Хт [),
§

где координата центра масс всей ракеты

ы	м

+ X ГПкХтк

_ 1=1 к=1

т1 — масса ьго участка без сосредоточенного груза; тк — масса сосре-
доточенного груза; хт1, хтк — координаты центра масс участков и сосре-
доточенного груза, измеряемые от вершины ракеты.

Угловое ускорение е2 во вращательном движении вокруг центра масс
равно

е2=-----------,

^2

м	м

где 1р — длина ракеты; 12 = ^т1{хт -хт1)2 + X тк(хт -хтк)2 — массо-
(=1	к=1

вый момент инерции ракеты относительно ее центра масс. После запол-
нения строк 1—8 табл. 8.1 можно перейти к определению изгибающих
моментов на границах участков. Из уравнения равновесия моментов,
взятых относительно правой границы участка (см. рис. 8.1):

М/ = Мм + Щ - 1дд -	~ 1пй>’

где 1д/, 1т1 — расстояние от левой границы до центра давления и центра
масс участка соответственно. Подставляя в (8.6) последовательные выра-
жения для изгибающего момента и перерезывающей силы, получаем

7=1	|_п=1	>1	|_п=1

ИЛИ

М/ = X У/Х/ - хд/) - X С;пу/(Х/ - хт;).	(8.7)

>1 >1

С учетом реакций и моментов от сосредоточенных грузов это выра-
жение нужно записать так:

I	I	I	К

М/ = X	~ Хд<) ~ X т^п^Хх/ - х^) + X мк + Е Кк&1 ~ *тк)> (8.8)

7=1	7=1	к=1	к=1

где I — количество грузов, создающих реактивные моменты; К — коли-
чество сосредоточенных грузов, находящихся левее рассматриваемого
сечения.
Реактивные моменты возникают только в том случае, когда центр
масс одноопорного груза не совпадает с плоскостью его крепления. Для
схемы ракеты, приведенной на рис. 8.2, таким грузом будет ЖРД, т. е.
I = 1. С помощью выражения (8.7) или (8.8) заполняются оставшиеся
строки 9—11 табл. 8.2, относящиеся к изгибающему моменту в сече-
ниях.

Ракета в полете самоуравновешена, поэтому изгибающий момент
на ее краях равен нулю. Перед началом заполнения таблицы целесо-
образно убедиться в этом, определив изгибающий момент в основании
ракеты. Если условие равновесия ракеты по моменту не выполняется,
то необходимо проследить этапы вычисления момента по формулам

— ^д/)-ЪттЧ&гу&р-хт^)~

1=1	1=1

м

~ ^к3^ук(1р~Хтк) +	~ -^д(^р —	(8.9)

к=1

где Мд = СдПуд2д — реактивный момент, создаваемый ЖРД в месте его
крепления; кд = Одпуд — реакция ЖРД на корпус в месте его крепле-
ния; 1Д — расстояние от центра масс ЖРД до места его крепления; х0 —
координата места крепления двигателя; пуд — перегрузки в центре масс
ЖРД. Подставляя в (8.9) выражение для перегрузки, получаем



м

м

^=^р-Х^Д1-^о 1р ^т1 + ^тк -	+

1=1

<1=1	к=1

м

к=1

-е2

Х^(^р	+ X ТЩс^р %тк)&т %тк) +

У=1

к=1

+ Сдпуд1д - СдПуД(1р - х0),

или

Мдг = Т(1р -хд)-&1°т(1р - хт) -

е2

Х^(Хт — Хпй) + X тк(хт ~ ^тк)

1=1	к=1

+ пу. (хт — хт1) + тк (хт — хтк) -.

1=1	к=1

Но п° = (У + Ур)/т#, 8212 =У(хт -хд)-Ур(1р -хт), в первой квадрат-
ной скобке стоит статический момент массы, равный нулю, а во вто-
рой — момент инерции ракеты, поэтому после преобразований полу-
чим Мы = 0.

На рис. 8.3 построены эпюры перерезывавших сил и изгибающих
моментов, возникающих в корпусе ракеты на активном участке тра-
ектории. Так как внутренние силовые факторы определялись только
на границах участков, то расчетные точки на эпюре соединены плав-
ными кривыми, вид которых определялся с помощью эпюр погонных
нагрузок, в данном случае только и используемых для этих целей.

8.2.	Ракета на твердом топливе

Порядок построения эпюр и М мало чем отличается от того, кото-
рый используется для ракет с ЖРД. Остановимся лишь на особенностях,
обусловленных конструкцией двигателя.

К сосредоточенным грузам теперь необходимо отнести переднее
и заднее днища с сопловыми блоками, органами управления на них
и т. п., а также заряд твердого топлива, если он свободно вложен в камеру
сгорания. Причем днища рассматриваются как одноопорные грузы, кото-
рые могут передавать на корпус сосредоточенную силу и момент. Момент
следует учитывать для заднего днища, так как центр тяжести всей кон-
струкции удален от плоскости, в которой она крепится к корпусу.

На рис. 8.4 показано направление реакций, действующих на корпус
со стороны заднего днища с сопловым блоком. Они равны по вели-
чине и противоположны по направлению реакциям корпуса на днище
в месте их крепления. Так, реакция Ядн = -Сднпуд, где 6ДН — вес заднего
днища с сопловым блоком; пуд — поперечные перегрузки в центре его
масс, а реактивный момент Мдн = Сднпуд/д, где 1Д — расстояние от пло-
скости крепления днища до его центра масс. Вложенный заряд твердого
топлива рассматривается как двухопорный груз с двумя реакциями
в узлах крепления.

Рис. 8.4

Воспользовавшись формулами из параграфа 3.4 для реакций, полу-
чим следующие выражения:

а

а + Ъ

Д1 — &ЗпуЗ> ^2 —

&ЗпуЗ’

где а, Ъ — расстояния между центром масс заряда и местами его кре-
пления; С3 — вес заряда. Если заряд скреплен со стенками камеры,
то реакции не возникают.

Расчеты перерезывающих сил и моментов проводятся с помощью
табл. 8.1, по заполнении которой строятся соответствующие эпюры.
На рис. 8.5 приводится пример построения эпюр ОиМ для баллистиче-
ской ракеты на твердом топливе, имеющей заряд, вложенный в камеру
сгорания. Расчетные значения соединены плавными кривыми, вид
которых определялся с помощью эпюр погонных нагрузок.

8.3.	Перерезывающие силы и моменты
маршевой ступени крылатой ракеты

На неманевренном участке траектории ракеты, форма которой
заранее известна, поперечную перегрузку можно определить заранее.
Так, для прямолинейного участка траектории (рис. 8.6, а) =соз0,
а на искривленной ее части, выполняемой по программе, поперечные
перегрузки центра масс ракеты находятся по известным радиусам
кривизны траектории (рис. 8.6, б).
Рис. 8.5

Заметим здесь, что речь идет о перегрузках в скоростной системе
координат, когда вектор скорости направлен по касательной к траек-
тории.

При маневре ракеты в формуле для поперечной перегрузки следует
учитывать не только подъемную силу, создаваемую корпусом, У = Уасс,
но и силу, создаваемую органами управления, Ур = У$8, зависящую
от угла закладки рулей 5, а для точек ракеты, не совпадающих с цен-
тром масс, еще и вращательную составляющую перегрузки.
В скоростной системе координат, когда ось х направлена, как и век-
тор скорости, по касательной к траектории, поперечные перегрузки
равны

0 _(У“+Т)а + У58

С

Отсюда балансировочный угол атаки

п°С-У58
О'тах — ,Гп , т

Входящая в Уа = с“ц5кр производная коэффициента подъемной силы
с« всей ракеты определяется суммированием соответствующих произ-
водных для других аэродинамических поверхностей ракеты с пересче-
том их на одну характерную площадь, например на площадь крыла 5кр.

Тогда для аэродинамической схемы с оперением, расположенным
за крылом, получаем

с с
га — га □_ га	т _ га оп

ьукр ' иукорп ' \уоп Vх °
*^кр	*^кр

где с“кр — производная коэффициента подъемной силы крыльев с уче-
том влияния корпуса; с“корп, с“оп — производные коэффициентов подъ-
емных сил корпуса и изолированного оперения; 8т — площадь миделя
корпуса; 50П — площадь оперения, к которой относится с“оп; еа — угол
скоса потока на градус угла атаки; ^ = — — коэффициент торможения.

Производная коэффициента подъемной силы по углу отклонения руля

с

г8 _г8 °оп Ъ
\у суоп
*^кр

Подъемные силы крыльев, оперения и корпуса найдутся теперь
.	- Ру2

по формулам, в которых скоростной напор д = -—:



^оп (с“оп(х(1 8а) + Су0п8Пред)/стд50п,

^кор ^укор

Аналогично могут быть вычислены и силы лобового сопротивления,
действующие на части летательного аппарата:

<-хД$1-

По известной подъемной силе и силе лобового сопротивления У{,
в скоростной системе координат можно перейти к их значениям в свя-
занной системе координат, которые необходимо знать при построении
эпюры перерезывающих сил и моментов:

У1 = Усоз а +Х8Ш а; Хг =Хсоз а + Уяп а.

Для контроля правильности вычислений можно пользоваться урав-
нениями равновесия всей ракеты в связанной системе координат, кото-
рые записываются так:

ЪХ^Т-п^С-.ЪТ^п^С.

Подъемная сила всей ракеты

У1 = ^Уц-

1=1

Осевая координата центра давления всей ракеты

1Уц^1
х„= —-----•

Д *1

Поперечные перегрузки центра масс ракеты 71°=}^/ тп§. Попереч-
ные перегрузки в центре масс участков определяются по формуле

Пу1 (х) — Пу2 Ч	(Хт ~ ^тт X

где е2 — угловое ускорение; хт — координата центра масс ракеты:

м

Ътхм + X ткхтк

у. _ 1=1________к=1_

лт	>

т

где тщ — масса ьго участка без сосредоточенного груза; тпк — масса
сосредоточенного груза; хт/, хтк — координаты центра масс участка
и сосредоточенного груза, измеряемые от носка ракеты; М — коли-
чество грузов; М — количество участков корпуса. Здесь принято, что
центры масс участков находятся в их середине и измеряются также
от носка ракеты.

Угловое ускорение находим из уравнения вращательного движения
ракеты вокруг центра масс, а массовый момент инерции ракеты отно-
сительно ее центра масс

м

~ 21	~ хт1^ + 21 ^к^хт ~ хткУ^ •

1=1	к=1

В носке ракеты и у ее основания перерезывающая сила равна нулю,
так как здесь сосредоточенные силы на нее в поперечном направлении
не действуют.
Расчет перерезывающей силы в сечениях, совпадающих с гра-
ницами участков, как и в случае БР, целесообразно начать с проверки
условия равновесия всей ракеты. Если перерезывающая сила в основа-
нии ракеты равна нулю, то расчет может быть продолжен, причем эта
сила в нижнем сечении участка равна алгебраической сумме подъем-
ных сил, массовых сил и реакций грузов на корпус всех участков, рас-
положенных между носком ракеты и рассматриваемым сечением, т. е.

<^ = 2 У]-8%™^ + X &к,

>1	>1	к=1

где К — число грузов, попадающих в выделенную часть ракеты.

Расчет изгибающего момента начинается также с проверки условия
равновесия всей ракеты по моменту. В нижнем сечении участка с коор-
динатой х1 изгибающий момент

I	К

М{ — [У/ (Х/ — ХД1) — ТП^ (Х; — Хт/) ] + ^} Нк (Х/ — Хтк ).

>1	к=1

Изгибающий момент в верхнем сечении участка определяется
в порядке, аналогичном перерезывающей силе, с учетом того, что ска-
чок момента здесь не возникает.

На рис. 8.7 приводятся примеры построения эпюр перерезывающих
сил и изгибающих моментов в корпусе крылатой ракеты, которые отли-
чаются от соответствующих эпюр БР только тем, что на них отражено
влияние сосредоточенных сил, передающихся на корпус от крыльев
и рулевых поверхностей.

Рис. 8.7
8.4. Правила построения эпюр по характерным точкам

В табл. 8.1, которая заполняется в процессе расчета, содержатся
перерезывающие силы и моменты на границах участков. Для соедине-
ния расчетных значений силовых факторов во время построения эпюр
необходимо воспользоваться эпюрами аэродинамической и массовой
погонной нагрузки. Из формул параграфа 4.4 следует, что на кониче-
ских участках корпуса эпюра погонной аэродинамической нагрузки
линейная, а на цилиндрических участках постоянная. Что касается
погонной массовой нагрузки, то на конусе она изменяется по параболе,
а на цилиндрических постоянная. Погонная массовая нагрузка, посто-
янная на цилиндрических участках, на конусе изменяется по параболе,
а на остальных участках ее зависимость линейная, если принять, что
погонная масса на конусах линейная, а на цилиндрах постоянная.

Имея графики погонных нагрузок, которые легко построить
по их значениям на границах участков, можно предсказать характер
изменения графиков аэродинамической (2а и массовой <2т составля-
ющих перерезывающей силы в промежуточных точках между расчет-
ными, а затем и эпюру суммарной перерезывающей силы и момента.
При этом следует пользоваться следующими правилами.

1.	Если погонная нагрузка на участке постоянна, то эпюра <2 линей-
ная, а М — парабола.

2.	Если эпюра погонной нагрузки линейная, то эпюра <2 — пара-
бола, а М — парабола третьей степени.

3.	На эпюре (2 всегда имеется скачок первого рода в местах при-
ложения сосредоточенной силы.

4.	Если на эпюре <2 > 0, то момент на эпюре возрастает, и наоборот.

5.	В точке пересечения оси эпюрой <2 на эпюре М имеется экстре-
мум.

6.	Скачку на эпюре <2 соответствует излом кривой на эпюре М.

7.	На эпюре М возникает скачок первого рода в местах приложе-
ния сосредоточенных моментов.

8.	Парабола на эпюре изгибающих моментов направлена своей
выпуклостью навстречу погонной нагрузке.

9.	В свободном полете перерезывающая сила и изгибающий
момент в носке ракеты всегда равны нулю, а в основании — нулю или
силе и шарнирному моменту (если он передается на корпус) соответ-
ственно, создаваемыми органом управления.
9. Нагрузки, действующие на ракету
при старте

По типу и месту старта существующие в настоящее время пусковые
установки можно разделить на следующие типы: стационарные (назем-
ные, шахтные (подземные), подводные) и подвижные (самолетные,
корабельные, железнодорожные, на подводных лодках, автосамоход-
ные, на гусеничном ходу).

Расчет нагрузок, действующих на ракету, для большинства из пере-
численных типов старта представляет собой комплексную научно-
техническую задачу, поэтому здесь мы ограничимся лишь описанием
возникающих процессов, которые иллюстрируют круг проблем, возни-
кающих в этих случаях.

9.1.	Наземный старт

При наземном старте ракета устанавливается на пусковой установке
в вертикальном положении (рис. 9.1). На поверхности Земли распола-
гается отражатель, который разворачивает вдоль поверхности струи,
истекающие из сопл двигательной установки. Продукты истечения
из сопл, образующие струи, имеют высокую температуру и являются
интенсивным источником теплового излучения. При этом наиболь-
шему лучистому нагреву подвергается днище первой ступени ракеты.
В момент старта струи ударяются об отражатель и разворачиваются
вдоль поверхности Земли. Часть газа, обтекающего отражатель, направ-
ляется к днищу ракеты и по поверхности растекается в атмосферу, уве-
личивая нагрев днища за счет конвективного теплообмена. На днище
образуется область повышенного, по сравнению с окружающей сре-
дой, давления с максимумом в центральной его точке. Когда ракета
поднимается над пусковым устройством на высоту в несколько диа-
метров сопла, характер взаимодействия струй с отражателем изменя-
ется и отраженные газовые потоки уже не поступают к днищу. Обычно
давление в выходном сечении сопла меньше, чем давление окружаю-
щей среды у поверхности Земли, поэтому на начальном участке старта
струи взаимодействуют между собой на большом удалении от ракеты,
а в области днища ракеты эжектируют воздух из атмосферы, тем самым
создавая разрежение на днище, которое теперь подвержено лишь лучи-
стому нагреву. По мере дальнейшего увеличения высоты точка пересе-
чения струй перемещается к соплу, так как нерасчетность струй, а сле-
довательно, и их наибольший диаметр увеличиваются.

Наконец, наступает такой момент, когда струи начинают пересе-
каться на таком малом расстоянии от выходных сечений сопл, что вза-
имодействие их приводит к возникновению обратных токов к днищу
ракеты. Давление в донной области снова начинает возрастать,
и к днищу поступают не только лучистые, но и конвективные тепловые
потоки.

Процесс увеличения давления в донной области не может быть бес-
предельным, поэтому донное давление достигает некоторого стацио-
нарного значения, которое не зависит уже от давления в окружающей
среде. Говорят, что донное давление в этом случае вышло на режим запи-
рания. Способ расчета этого давления подробно изложен в работе [32].

9.2.	Нагрузки в период подготовки старта

Рассмотрим нагрузки на ракету, установленную вертикально
на пусковом столе в период предстартовой подготовки. В этом случае
она нагружена весом и усилиями, создаваемыми приземным ветром.
Наибольший интерес представляют нагрузки, действующие на хвосто-
вой отсек, так как он подвержен сжатию практически всего веса ракеты.
Для хвостового отсека

4)	м 4)

Ж) = /+ X I - хк)еЬс.

о	к=1о

Очевидно, эта сила будет сжимающей, и хвостовой отсек работает
на устойчивость.

Теперь рассмотрим нагрузки, действующие на ракету в поперечном
направлении. Полная сила, действующая на корпус при обтекании
его приземным ветром, равна: = су1д5т, где д = ри/2 /2 — скорост-
ной напор от ветра; су1 — коэффициент аэродинамической ветровой
нагрузки. Для баллистических ракет со стабилизаторами (рис. 9.2)
су1 = 11,6 при ф = л / 4, когда плоскость стабилизаторов, обращенных
к ветру, повернута к вектору его скорости на угол 45°; су1 = 12,6 при
Ф = л / 2. Сила У: приложена в центре давления — точке приложения
равнодействующей аэродинамических нагрузок.

Определим скорость ветра, при которой произойдет опрокидыва-
ние ракеты. Составляя сумму моментов относительно линии аа (см.
рис. 9.2), получаем

С0Ь — (I - х1д) — су1	8т (I - д),

откуда

^кр =

2С0Ь
су1Р$т^_*1д)

Для оценочных расчетов можно принимать х1д = х1т, т. е. считать,
что центр давления совпадает с центром тяжести ракеты. Если скорость
ветра IV = и/кр, то произойдет опрокидывание ракеты и необходимо уста-
новить штормовые крепления. Следует также отметить, что ветровая
нагрузка изгибает корпус ракеты и наибольший изгибающий момент
действует на хвостовой отсек, причем М(/о) = Уг(10 - х1д).

Таким образом, в рассматриваемом случае наибольшему нагруже-
нию подвержен хвостовой отсек, который сжимается весом заправлен-
ной ракеты и изгибается ветровой аэродинамической силой.
При скорости приземного ветра больше критической, когда воз-
можно опрокидывание ракеты с пускового стола, необходимо поставить
дополнительные штормовые крепления. Определим усилия, возникаю-
щие в тросах-расчалках, которые удерживают ракету в вертикальном
положении (рис. 9.3).

Рис. 9.3

Уравнение моментов относительно оси ДА в этом случае принимает
вид: Уг(1 - х1д) = 60Ь + Ар/рсоз у, где 1Чр — усилие в расчалке; /р — рас-
стояние от плоскости опоры ракеты до точки крепления расчалки. При-
нимая и/ = и/тах = и/кр, получаем

2

сУ1	(I - х1д) = С0Ь + Ыр1р соз у,

откуда

ц _ Су1Р^тах$т (^— ^1 д ) — 2СдЬ

Р	2/рСО8\|/

Полученное выражение позволяет определить растягивающее уси-
лие, возникающее в одном тросе.

9.3.	Расчет нагрузок при опрокидывании ракеты

Рассмотрим схему расчета внутренних усилий в корпусе ракеты
в том случае, когда приземный ветер имеет такую скорость, что подъ-
емная сила, создаваемая им, начинает опрокидывать ракету и она стоит
на одной опоре, однако направление опрокидывающего ветрового
момента и противодействующего ему момента, создаваемого весом,
противоположное. Весь вес ракеты в этом случае целесообразно раз-
бить на ряд сосредоточенных грузов, которые создают сосредоточен-
ные изгибающие моменты, приложенные в местах крепления грузов.
Далее необходимо построить эпюру перерезывающих сил и изгибаю-
щих моментов, возникающих в корпусе из-за ветрового воздействия.
Задача решается просто, если известны графики распределения давле-
ния по корпусу ракеты, обдуваемому ветром в поперечном направле-
нии. Тогда можно вычислить производную по от су1, а затем и пере-
резывающую силу в любом сечении.

Если известно значение су1 для всей ракеты и отсутствуют графики
распределения давления, то можно воспользоваться следующей схе-
мой расчета. Пусть известно значение су1, вычисленное по площади
миделя $т в качестве характерной. Примем в качестве характерной
площадь меридионального сечения Рк всей ракеты и пересчитаем су1:
су1 = су1($т /Рк). Теперь предположим, что коэффициент подъемной
силы части корпуса ракеты пропорционален той площади меридио-
нального сечения корпуса, которая соответствует этой части, т. е.

Р(хг)

Су1(Х1) — Су1	,

*к

тогда

дсу1
Элу

Рк

0а(^1)-Су1 I



ри/2 7 <1р
Ма(х^ = су1—-]—(1х.
о ах

Эта схема определения нагрузок положена в основу построения
эпюры изгибающих моментов и перерезывающих сил, когда ракета
стоит на одной опоре и ветровой момент уравновешивается моментом,
создаваемым весом (рис. 9.4).

Как следует из этих эпюр, наибольшее значение перерезывающей
силы, равное полной подъемной силе корпуса, достигается у основания
ракеты, а изгибающий момент здесь равен нулю.
В точках корпуса, где приложены сосредоточенные моменты, на эпюре
имеется скачок, соответствующий величине этого момента. Стрингер-
ный отсек подвержен также и осевому сжатию. В наиболее неблагопри-
ятных условиях находится лонжерон, расположенный над опорой.

9.4.	Нагрузки при старте
из шахты или контейнера

Рассмотрим физические процессы, происходящие при старте ракеты
из шахты или контейнера, которые определяют величину нагрузок,
действующих на ракету.

На рис. 9.5 изображена схема ШПУ 1 с экранирующим стаканом 2,
внутри которого установлена ракета 3, стартующая при помощи тяги
основных двигателей. Характер нагружения ракеты в этом случае зави-
сит от скорости нарастания тяги двигателя при его включении. Если
запуск двигателя «пушечный», т. е. выход тяги на режим осуществля-
ется за десятые доли секунды, то в начальный момент времени первая
порция продуктов сгорания 4, истекающая из сопла, ударяется о непод-
вижный воздух, находящийся в шахте, что приводит к образованию
ударной волны 5, которая, отражаясь от дна шахты, распространяется
по ее каналам. Повышенное давление на ударной волне нагружает
корпус ракеты и стенки шахты (рис. 9.6). Далее эта ударная волна
отражается от верхней части шахты и движется навстречу продуктам
истечения из двигателя, которые заполняют объем шахты. Наиболее
опасным является нагружение ракеты при первом движении ударной
волны по неподвижному воздуху. В дальнейшем продукты истечения
из двигателя полностью заполняют шахтный объем и ракета нагру-
жается стационарным давлением, устанавливающимся в шахте.

При «плавном» затянутом выходе двигателя на режим первая пуско-
вая ударная волна вырождается в волну сжатия, а возникающее на кор-
пусе давление будет значительно меньше, чем при «пушечном» запу-
ске. Если ракета установлена в контейнере — глухой трубе, то процесс
ее нагружения во многом аналогичен уже описанному, но здесь первая
ударная волна 1, распространяющаяся в неподвижном воздухе, воз-
действует только на подракетный объем контейнера и днище ракеты.
Так как подракетный объем замкнут, то давление, возникающее в нем
по мере поступления в него новых порций газа из двигателя, может
достигать больших значений, что недопустимо с точки зрения работы
конструкции на прочность (рис. 9.7). Во-первых, повышенное давле-
ние действует на днище ракеты, а во-вторых, осевые перегрузки при
движении ракеты в контейнере могут превзойти допустимые значения.
Для снижения давления в подракетном объеме можно сделать окна
для сброса избыточного газа в окружающую среду. Необходимо также
отметить, что все описанные физические процессы сопровождаются
нагревом корпуса ракеты и шахты горячими продуктами истечения
из камеры сгорания двигателя.

Новые явления возникают при выходе ракеты из контейнера (рис. 9.8).
Процесс раскрытия контейнера, когда ракета выходит из него, сопровожда-
ется образованием ударной волны 1, которая распространяется по непод-
вижной окружающей среде. Повышенное давление на этой волне нагру-
жает элементы стартового оборудования, находящегося вблизи места
старта. Когда ракета поднимается на расстояние в несколько диаметров
выходного сечения сопла, струя, истекающая из него, может отразиться
от контейнера и течь в направлении ракеты, подвергая ее дополнитель-
ному нагреву (рис. 9.9).

Рис. 9.8

Рис. 9.9
10.	Нагрузки при наземной эксплуатации

При расчете ракеты на прочность определяющими являются
нагрузки в полете. Поэтому целями расчета нагрузок при старте
и наземной эксплуатации являются: 1) установление таких наземных
режимов эксплуатации, при которых нагрузки на ракету не превосхо-
дят полетных; 2) проверка рациональности конструкции транспортных
средств; 3) определение прочности узлов крепления ракеты к транс-
портному средству.

10.1.	Подъем ракеты на пусковой стол

Для установки ракеты на пусковой стол применяются установщики
с подъемной стрелой (рис. 10.1). На раме установщика шарнирно
закрепляется стрела подъема, на которую укладывается ракета, удер-
живаемая в передней и задней части.

Рис. 10.1

Подъем ракеты в вертикальное положение осуществляется совместно
со стрелой с помощью механизма подъема. Затем она крепится к опо-
рам пускового стола и освобождается от крепления к стреле, которая
отводится от ракеты на небольшой угол. Перед пуском стрела опуска-
ется в горизонтальное положение, а установщик отъезжает от пуско-
вого стола. Для ОТР используются самоходные установщики со стрелой,
которые одновременно служат и для транспортировки ракеты, причем
пусковой стоя переводится в пристыкованном к ракете состоянии.

Ракета, установленная на стреле, представляет собой балку на двух
опорах, которая нагружена массовыми силами и реакциями опор.
Определим эти реакции, составив условия равновесия для проекции
всех сил на осьу1з и сумму моментов относительно точки А (рис. 10.1):

I

К1+Н2=^Мпу1дх;

о

к	г1

Я2(/1 - ?2) = /	- х)сЬс - / д№пу](х - 11)(1х,

О	I

откуда

| к	к

К.2 = -—- /з(х)пу1 (^ -х)с!х- /д(х)пу1 (х - 1г)йх ;

Ч-*2|_0	I

I

К1=^Мпу1с1х-П2.

о

Тогда перерезывающая сила

Х1	2

ФттгОа) = / д(х)пу1йх + ^ / п^х-^дх,
О	1=1 О

а изгибающий момент

*1
Мт(Х1)= I <2т(х)(1х.

0

На рис. 10.2 построены эпюры перерезывающих сил и изгибающих
моментов, которые соответствуют рассматриваемому случаю нагруже-
ния ракеты.

Поперечные перегрузки произвольной точки ракеты равны

ПУ1(Х1) =

Г с/у V
— + #С08Е /&,

где V = со(Т - хг) — линейная скорость движения рассматриваемой
точки; со — угловая скорость. Тогда

^ = ё(Ь-х1)

си

и

ё ,т ч
Пу1 =СО88 + —(Т-гД

2

(10.1)

где е — угол наклона стрелы относительно плоскости горизонта, в кото-
рой находится рама установщика.
Из (10.1) следует, что наибольшие поперечные перегрузки возни-
кают в момент начала движения стрелы из горизонтального положе-
ния, когда е = 0. Вдоль оси ракеты они меняются по линейному закону
и имеют наибольшее значение при = 0. По этой причине следует
в первую очередь обратить внимание на узел крепления головной части
к корпусу, так как болты или шпильки этого узла работают на срез.

Обычно поперечные перегрузки БР на активном участке траектории
не превышают ~ 1,5, поэтому угловое ускорение ё, возникающее при
вращении стрелы, должно быть таким, чтобы наибольшие попереч-
ные перегрузки не превышали полетных значений. Подставляя в (10.1)
пу1 = 1,5, е = 0,	= 0, получаем, что допустимое угловое ускорение для

гипотетической ракеты длиной Ь = 9,8 м не должно превышать 0,5 1/с2.

10.2.	Транспортировка по железной дороге

К месту старта ракета может также транспортироваться в специ-
ально оборудованном железнодорожном вагоне. В этом случае наи-
большие продольные перегрузки возникают при резкой остановке
и трогании поезда или при спуске вагонов с горки в период форми-
рования составов. Обычно такие маневры с составами, содержащими
ракеты, не допускаются. Однако расчет нагрузок для таких случаев экс-
плуатации следует проводить с целью оценить необходимость в огра-
ничении режимов эксплуатаци. Что касается поперечных перегрузок,
то их величина зависит от искривленности железнодорожного полотна.
Статическая составляющая этой перегрузки обратно пропорциональна
радиусу кривизны поворота и равна

С у„ )2 1

^1=	-7’

где уп — скорость поезда, км/с; В. — радиус закругления железной
дороги.

Рассмотрим инерционные нагрузки в плоскости, перпендикулярной
поверхности земли (рис. 10.3), считая, что ракета и вагон представ-
ляют собой жесткие тела, которые соединены с колесной тележкой при
помощи упругих элементов — рессор.

Рис. 10.3

Источниками инерционных сил являются вибрация вагона, вызы-
ваемая толчками колес на стыках рельсов и стрелках, боковые удары
о рельсы, овальность и прогибы рельсов. Внешнее воздействие на ваго-
ны со стороны железнодорожного полотна — случайная функция вре-
мени. Обычно принято это воздействие представлять приближенно
в виде суммы установившихся собственных частот обрессоренных
частей вагона с ракетой. Наибольшие амплитуды колебаний вагона/=
= уп / наблюдаются при критических скоростях движения поезда,
когда частота собственных колебаний вагона равна частоте встречи
стыков рельс, где Ьр — длина рельса между стыками. Таким образом,
определив частоту собственных колебаний обрессоренной части вагона
и приравняв ее к/, можно определить скорость поезда, при которой
инерционные нагрузки, действующие на вагон с ракетой, будут наи-
большими.

Будем рассматривать колебания центра тяжести вагона (с ракетой)
около положения его равновесия и колебательное вращение вокруг
центра тяжести, считая вагон с ракетой твердым упругим телом. Имеем
следующие уравнения колебательного движения:

(М + Мв)ц = с(ц + 34) + с(ц + Ш2);	(10.2)

(Л+ада=-с[ Сп+ад^]+с[(п+адг2],	(ю.з)

где 72 — массовый момент инерции ракеты вокруг оси, проходящей
через центр тяжести системы; 7В — то же вагона; с — жесткость рес-
соры. Можно принимать 7В = 0,08Мв^ (1в — длина вагона в метрах).

При составлении уравнения (10.2) считалось, что правая опора
(рис. 10.3) опускается, а левая поднимается, а сам вагон поднимается
вверх. Решение уравнений (10.2) и (10.3) ищем в виде

т, = Т1ое^; а =

После подстановки в исходные уравнения получаем

[(М + М„)о>2 - 2с]По - СЙ! - !2)Э0 = 0,

[(Л+/в)<о2 + са12 + !22)]Эо-(сг1-с!2)т1о = О.	1 ' ’

Определитель системы записывается в виде

д=(М + Мв)®2-2с -6(1! ад

-(с^ - ад	и2+л)®2+< ад ’

Так как система (10.4) однородна, то для существования ненулевого
решения ц0 и тЗо необходимо, чтобы А было равно нулю. Раскрыв опре-
делитель, получим уравнение четвертой степени относительно частоты
со, из которого получим два алгебраических корня со2 для вычисления
собственных частот колебаний вагона. Одной из этих частот будет
поступательная форма движения вагона — подпрыгивание, а дру-
гой — вращательная. Величина этих частот зависит от жесткости рес-
сор с и инерционных характеристик ракеты и вагона.

10.3.	Транспортировка по дороге

Особенностью нагружения ракеты при транспортировке ее
по поверхности Земли является то, что на транспортный экипаж воз-
действуют неровности дороги, которые можно рассматривать как воз-
мущающие силы.

Колебательные процессы, возникающие в транспортном средстве
и самой ракете, зависят от скорости передвижения и от качества дороги.
Возмущения, возникающие при транспортировке ракеты по грунто-
вым дорогам и пересеченной местности, являются случайными. Под
действием этих внешних возмущений ракета, закрепленная на опорах
транспортного средства, совершает поперечные колебания, которые
создают силы инерции, нагружающие ракету.
Для качественной и количественной характеристики колебательных
процессов, возникающих в ракете, необходимы прежде всего характе-
ристики источника возмущений, которые зависят от профиля дороги
и скорости перемещения транспортного средства по ней. На различных
дорогах имеются неровности самой разнообразной формы и размеров,
причем чередования этих неровностей вряд ли подчиняются какой-
нибудь определенной закономерности. Это позволяет считать внеш-
нее возмущение случайной функцией. Установлено, что эта функция
является стационарной, т. е. не зависящей от начала отсчета времени.
Таким образом, любой дорожный профиль может быть описан стацио-
нарной случайной функцией.

Если установить наиболее часто встречающиеся неровности, то для
расчета нагрузок на ракету можно воспользоваться детерминистской
теорией. Общие характеристики дороги в этих условиях могут быть
описаны математическим ожиданием и дисперсией высоты неровно-
стей. В общей же постановке процесс колебаний транспортного эки-
пажа с ракетой должен рассматриваться как стационарный случайный
процесс, протекающий под действием внешнего случайного возмуще-
ния. Колебательное воздействие особенно опасно для зарядов твер-
дого топлива, которые получают «накопленную усталость», влияющую
на дальнейшую работу заряда на прочность.
11.	Ударное нагружение корпуса

Корпус ракеты на активном участке траектории или головной отсек
на участке входа в плотные слои атмосферы могут оказаться в зоне
облучения лазером или подрыва обычного и ядерного зарядов. Для
несущей способности конструкции наиболее опасен силовой и тепло-
вой удар на ее поверхности.

11.1.	Физические процессы в атмосфере при ядерном взрыве

При подрыве атомного заряда в атмосфере выделяется около 4 х
х 1015 Дж/Мт тротилового эквивалента [23]. На ранней стадии воздей-
ствия взрыва на корпус ракеты наибольший интерес представляют гамма-
лучи и нейтроны, возникающие в момент деления и синтеза ядерного
вещества. Так как выделение энергии происходит практически мгновенно
и в малом точечном объеме, то в области взрыва возникает темпера-
тура в несколько миллионов градусов, а сами продукты взрыва образуют
высокотемпературную ионизированную плазму высокой плотности. Эта
плазма, которую называют ядерной 1 (рис. 11.1), содержит электроны,
совершающие быстрые колебания, что, в свою очередь, приводит к воз-
буждению электромагнитных импульсов в диапазоне радиоволн.

г ~ ТО-8 с

Благодаря торможению колеблющихся электронов ядерная плазма
излучает также и рентгеновские лучи, которые проникают в окружаю-
щий зону взрыва воздух и ионизируют его, образуя плазму с низкими
температурами и плотностью, называемую рентгеновской плазмой 2
[18]. Огненный шар 6 с ядерной плазмой в середине и рентгеновской
по периферии продолжает увеличиваться в размерах, а температура
внутри него все время уменьшается, что приводит к сокращению длины
свободного пробега фотонов. И наконец, когда длина свободного про-
бега становится меньше размеров огненного шара, рост его за счет
переноса энергии излучением прекращается и дальнейшие процессы,
протекающие в зоне взрыва, определяются гидродинамическими явле-
ниями. Поскольку плотности и давления в ядерной и рентгеновской
плазме существенно различны, то процесс увеличения размеров огнен-
ного шара 6 за счет рентгеновского излучения сопровождается также
образованием ударной волны 3 в ядерной плазме. Эта ударная волна
движется по рентгеновской плазме, передавая ей часть своей энер-
гии, и образует фронт радиации 4. После прекращения роста размеров
шара из-за излучения на его поверхности образуется внешняя ударная
волна 5, которая с большой скоростью распространяется по окружаю-
щему воздуху, вызывая его нагрев и свечение. Обычно к моменту отде-
ления внешней ударной волны от огненного шара внутренняя ударная
волна 3 в ядерной плазме успевает слиться с ней в единое целое 7.

Если взрыв происходит на большой высоте, где отсутствует атмос-
фера, то внутренняя и внешняя ударные волны не возникают, а рентге-
новское излучение распространяется на значительные расстояния без
образования плотной ядерной плазмы. Таким образом, на различных
этапах развития ядерного взрыва на корпус ракеты воздействуют следу-
ющие факторы: нейтронное или гамма-излучение, электромагнитный
импульс, рентгеновское и тепловое излучения, ударная волна (отсут-
ствует на больших высотах).

Облучение конструкции нейтронами сопровождается изменением
структуры и свойств конструкционных материалов, из которых изготов-
лена ракета. Происходят изменение формы кристаллической решетки,
ионизация и возбуждение атомов, местный разогрев, что сопровожда-
ется увеличением электрического и теплового сопротивления, твер-
дости и прочности материалов. Наибольшее воздействие нейтроны
оказывают на полупроводниковые приборы, снижая их коэффициент
усиления, напряжение пробоя и т. п., так как малейшие изменения
содержащихся в них долей примесей веществ приводят к существен-
ным изменениям их рабочих характеристик. При поглощении нейтро-
нов ядрами возникают наведенные эффекты, связанные с излучением
вторичных гамма-лучей. Первичные и наведенные гамма-лучи иони-
зируют вещество, освобождая электроны, являющиеся источником
наведенных ложных сигналов и шумов в электрических цепях системы
автоматики ракеты.

Электромагнитный импульс генерирует в электрических цепях лож-
ные сигналы, которые приводят к преждевременному срабатыванию
автоматики или выходу ее из строя. Кроме того, в элементах конструк-
ции и электрических цепях возникают значительные индукционные
токи, служащие источником дополнительного нагрева.

Рентгеновское и тепловое излучения нагревают конструкции.
Однако тепловая радиация приводит только к поверхностному нагреву
и оплавлению, а рентгеновские лучи могут проникнуть на значитель-
ную глубину. По толщине конструкция прогревается неравномерно,
что служит причиной возникновения нежелательных температурных
напряжений.

Воздействие ударной волны на ракету имеет импульсный характер
с большим перепадом давлений на ее фронте и наиболее опасно в том
случае, когда ракета воспринимает боковой взрыв.

Таким образом, в той или иной степени практически все факторы,
сопровождающие ядерный взрыв, могут уменьшить несущую способ-
ность ракеты. Более того, суммарное воздействие нескольких факторов
может вывести ракету из строя даже в том случае, когда ее конструкция
не теряет несущей способности при воздействии каждого из факторов
по отдельности. Рассмотрим сначала напряженное состояние конструк-
ции корпуса при нагружении его импульсом давления. Параметры
ударной волны можно определить с помощью соотношений, приведен-
ных в [24, 25].

11.2.	Нагрузки на ракету в шахте при ядерном взрыве

В шахтной пусковой установке ракета устанавливается на специаль-
ной системе амортизации, предназначенной для защиты от динамиче-
ских нагрузок при взрыве ядерного заряда вблизи шахты (рис. 11.2).

При подрыве ядерного заряда у поверхности Земли от его центра
вдоль поверхности распространяется мощная воздушная волна. Поверх-
ность Земли под местом подрыва заряда подвергается воздействию
огромного давления, которое генерирует волны сжатия, распространя-
ющиеся по грунту. В свою очередь воздушная ударная волна, распро-
страняясь вдоль поверхности Земли, возбуждает в грунте поверхност-
ные волны сжатия и разрежения. Так как скорость распространения
волны сжатия в грунте меньше, чем скорость распространения фронта
воздушной ударной волны, то в грунте возникают продольные и попе-
речные волны сжатия.

Образованная действием взрыва совокупность волн сжатия дей-
ствует на шахту неодновременно и вызывает различные по амплитуде
и частоте колебания грунта и вместе с ним шахты, в которой установ-
лена ракета. Воздействие указанных внешних возмущений приводит
к тому, что ракета совершает продольно-поперечные колебания, в про-
цессе которых подвергается дополнительному нагружению от сил инер-
ции.
12.	Динамические нагрузки

В полете и при наземной эксплуатации на ракету действуют быстро-

меняющиеся распределенные и поверхностные силы, приводящие
к колебаниям корпуса и его частей. Такие колебания возникают, если
время воздействия силы соизмеримо с периодом собственных колеба-

ний корпуса, который составляет величину порядка 0,2—0,025 с. В про-

цессе колебаний возникают силы инерции, называемые динамиче-

скими нагрузками, которые можно охарактеризовать коэффициентом

динамической перегрузки гг

у1 аг2

д2х1

аг2

/ §, равным отноше-

д

нию ускорения точек продольной оси корпуса в процессе колебаний

в поперечном и продольном направлениях соответственно к ускоре-
нию свободного падения. При расчетах нагрузок иногда используется
коэффициент динамичности

^с+^д
Пд =—

(12.1)

равный отношению суммарной нагрузки к статической, определенной
без учета колебаний конструкции. При упругих колебаниях выраже-
ние (12.1) можно переписать через перемещения и рассматриваемого
участка корпуса:

ПС+Пд

Цд=------

(12.2)

Последняя формула более удобна для практического применения,
так как уравнение колебаний конструкции решается обычно отно-
сительно перемещений. Таким образом, если известна статическая
нагрузка, то суммарная нагрузка М = ЦдЛ^с, а расчет коэффициента дина-
мичности сводится к определению перемещений конструкции.

Рассмотрим простейший способ расчета, в котором колебания
реальной конструкции с бесконечным числом степеней свободы сво-
дятся к анализу колебаний точки приведения с одной степенью сво-
боды. Чтобы воспользоваться этим способом, необходимо знать зара-
нее форму колебаний ракеты, а также приведенные массу, жесткость
и силу, действующую на конструкцию.

Уравнение колебаний точки приведения без учета демпфирования
имеет вид

(12и

т* —— + к*и = Р(г),
а.1:2

(12.3)
где т*, к* — приведенная масса и жесткость конструкции; Р(0 — при-
веденная внешняя нагрузка.

Решение этого уравнения хорошо известно, и поэтому основные
трудности связаны с определением приведенных характеристик кон-
струкции. Тогда расчет коэффициента динамичности проводится в сле-
дующем порядке. Для статического значения нагрузки Р(г) находится
соответствующее перемещение ис = Рс / к*, затем решается уравнение
колебаний (12.3) при динамической нагрузке Р(0 и определяется мак-
симальное перемещение, которое обозначается пд. Теперь коэффици-
ент динамичности т]д находится по формуле (12.2).

Для определения перемещений в сечениях корпуса, отличных
от сечения, проходящего через точку приведения, необходимо умно-
жить ис и пд на форму колебаний/(х) в этих точках. Частота собствен-
ных колебаний приведенной массы конструкции со2 = к* / т*. Рассмо-
трим теперь балочные модели корпуса ракеты, с помощью которых
можно определить приведенные характеристики.

12.1.	Модель ракеты для расчета поперечных колебаний

Составление динамической модели ракеты рассмотрим на примере
баллистической ракеты на жидком топливе, содержащей подвижные
жидкие массы, колеблющиеся относительно стенок баков. На рис. 12.1
изображена возможная динамическая модель ракеты в виде балки пере-
менной погонной массы и жесткости, внутри которой имеются сосре-
доточенные массы гл.] (/ = 1,7), а также массы, подвешенные на пружи-
нах, т1 = (I = 1, Г), которые имитируют жидкость.

Рис. 12.1

При расчете колебаний любой конструкции наибольшие трудности
вызывает расчет форм колебаний — функций, описывающих ее про-
странственную конфигурацию в процессе колебаний. В дальнейшем
речь будет идти только о форме колебаний первого тона, которая явля-
ется определяющей с точки зрения расчета нагрузок, действующих
на конструкцию. Там же, на рис. 12.1, изображена форма колебаний
ракеты и указаны ее значения в местах крепления сосредоточенных
грузов жидкого топлива

Методы расчета форм колебаний подробно рассматриваются в кур-
сах теории колебаний, а здесь будем считать, что она известна и опре-
деляется как форма колебаний балки постоянной погонной массы
и жесткости. Для балки, находящейся в свободном полете, с точкой
приведения в ее вершине = 0) форма колебаний и ее производные
записываются так:

/ф = 5(а^)—^Г(а^);
п(а)

/Ч$ = а[7(а$-С5(<ф];

ГФ = а2[[Да^)-С7(оф].

(12.4)

Здесь С = Т(а) / [/(а) — константа; 1, = х1/1 — безразмерная коорди-
ната; а = 4,73 — константа, соответствующая форме колебаний первого
тона. Функции А. Н. Крылова определяются по следующим формулам:

$(оф = [С71(сф + соз (оф];

Т(сф = ^[5Л(сф + зт(оф];

1Г(оф = ^[СМоф - соз (оф];

4л

У(аУ = |[8Л(аО-5т(аУ].

4л

Иногда форму колебаний аппроксимируют полиномами или триго-
нометрическими функциями.

Так как модель корпуса содержит сосредоточенные массы, а также
грузы на пружинках, то приведенная масса определяется по формуле

гл* = /т(х)/2(х№+	+ Е^(/г +П///)2,	(12.5)

0	7=1	1=1

где Шу — масса сосредоточенного груза; — приведенная масса жид-
кости в 1-м баке; т|г — коэффициент динамичности для жидкости, коле-
блющейся в баке; т(х) — погонная масса, вычисляемая без учета массы

грузов и приведенных масс жидкости.

Для случая поперечных колебаний корпуса, возбуждаемых гармониче-
ской силой, т|( = 1 / (1 - Р2), где Р=сох / со/—отношение частот; со5—частота

внешней возбуждающей силы; оэг =

1,84

IX.

1,844
I п

— частота
собственных колебании жидкости в баке; Ц, К — длина цилиндрической
обечайки бака и ее радиус; их1 — осевые перегрузки ракеты.

Точка крепления приведенной массы жидкости в баке ттц = 0,4545лК3 х
д

х рсй(1,84(^ / Я)) находится на расстоянии х( =-Л(0,924 / К) от сво-

0,92

бодной поверхности жидкости. Приведенная жесткость при поперечных
колебаниях:

к* = }в(<2(х)*4ш)2,

0	1=1

где В(х) = Е^х) — жесткость балки на изгиб; 7(х) — момент инерции
текущего сечения ракеты; к[ = а>^т1 — приведенная жесткость жидкости
в баке при поперечных колебаниях.

Приведенная внешняя нагрузка определяется по формуле

Р(С) = !Р(х,1)/М<1х,	(12.6)

где Р(х, I) — внешняя погонная нагрузка.

Рассмотрим два наиболее часто встречающихся случая расчета при-
веденной нагрузки.

При циклическом порыве ветра

Р(хТ,/) =р(х1)8тсо/,

(12.7)

где р(хт) — погонная нагрузка от порыва ветра, определяемая по фор-
мулам из параграфа 4.5; со5 = л / А^ — циклическая частота порыва
ветра; А^ = 2АН / V — время прохождения ракетой зоны порыва ветра;
АН ~ (2—3)и/ — половина ширины слоя атмосферы, в пределах которого
распространяется порыв ветра; V, и/ — скорость ракеты и ветра соответ-
ственно. Для схемы ракеты, состоящей из конуса с цилиндром, статиче-
скую погонную нагрузку от порыва ветра р(хг) аппроксимируем так:

Р(*1) =

Рк 7 3 0 — ^1 — У

(12.8)

Рц,

где рк, рц — максимальные значения погонной нагрузки на конусе и ци-
линдре. Подставляя (12.8) в (12.7) и учитывая (12.6), получаем Р(0 =

= Р08т со5Г, где

Р0=^/^(х)йх + рц//(х)йх	(12.9)

‘к о	1К

— эффективная внешняя нагрузка.

В качестве второго примера рассмотрим расчет приведенной
нагрузки при работе органа управления, который создает попереч-
ную силу Ур в точке оси ракеты с координатой х1р. В этом случае

Р(Х1} I) = Ур8(Х! - Х/р)81П со/,
где 8(хг - х1р) — дельта-функция; со5 — частота колебаний органа управ-
ления. Теперь

г

Ро = /УрЗО!=Ур/(х1р),	(12.10)

о

а искомая приведенная внешняя нагрузка Р(0 = Ур/Г(х1р)з1п со/, где
/(х1р) — значение формы колебаний в точке приложения силы, созда-
ваемой органом управления.

Динамический изгибающий момент при воздействии цикличе-
ской нагрузки. В этом случае уравнение колебаний точки приведения
можно записать как

р
9(0 + и2д(0 = -^-81П(о/,
т

(12.11)

где со — собственная частота колебаний корпуса ракеты, а Ро определя-
ется по формуле (12.9) для циклического порыва ветра или (12.10) при
работе органа управления. Решение (12.11) имеет вид

Р 1
д(0=тт\, о?, (8шш5с+р5шю0,
к (1-р2)

(12.12)

9(0 =

2к*

(31П ЮС - ЮГ СОЗ С050,

со = со5,

где Р = со5 / со — отношение частот. Статическое перемещение в этом
случае равно: ис = Р0 / к*, а динамическое растет по мере приближения
к 3 = 1 и убывает при 0 > 1. При фиксированном 0 коэффициент дина-
мичности равен

|1-₽т

1, 

—(зт сое - ой: соз соО,

Р*1,

Р = 1.

В резонансном случае цд имеет колебательный характер и возрас-
тает с течением времени. На рис. 12.2 построен график изменения
коэффициента динамичности в зависимости от Р в резонансном слу-
чае, а на рис. 12.3 — при фиксированном Р в зависимости от времени.

Получим выражение для динамического изгибающего момента, вос-
пользовавшись приведенным решением. Имеем

Мд (Х1) = В(х3)	и(0.

(лХ-у

Подставляя сюда выражение для формы колебаний балки постоян-
ной массы и жесткости (12.4), а также решение (12.12), получаем
Мд ад = ВДаЩ) - СУСаО]^ х

(12.13)

X [зтсо/ - РзтшЛ,
МД(Х!) = ВадаТОоф - СУ(оф] х

Как и коэффициент динамичности, изгибающий момент резко воз-
растает в резонансном случае, когда частота со5 = со. Беря различные
значения Ро, получаем формулу для момента при воздействии цикли-
ческого порыва ветра или работе органа управления.
Отметим еще, что статический изгибающий момент от Тр и порыва
ветра равен нулю, так как под их действием ракета вращается вокруг
собственного центра масс.

Динамический изгибающий момент, выраженный через угол
наклона изогнутой оси ракеты. Простое выражение для динами-
ческого изгибающего момента можно получить, если известен угол
наклона оси ракеты в ее носке к оси симметрии. Исходное выражение
для изгибающего момента:

Мд(х1) = В(х1)^Й-,

гдеу^Хр 0 =/(х1)и(1) — смещение оси ракеты от положения равнове-
сия. Но угол наклона оси ракеты в точке приведения

екЛи(О,

иЭС-у

откуда и (г) = % //(0), тогда

Э2У1_Ги!)о

Эх2 /'(0)

а динамический изгибающий момент определяется по формуле

Мд(х1) = В^

д 1	/'(0)

которой удобно пользоваться, если известен угол 0№ определенный
из каких-нибудь других соображений. Данное выражение является
иной формой записи формул (12.13) для динамического изгибающего
момента.

12.2.	Модель ракеты для расчета продольных колебаний

Как и в случае поперечных колебаний, представим ракету в виде
балки переменной погонной массы и жесткости, внутри которой нахо-
дятся сосредоточенные грузы, закрепленные на жестких и упругих опо-
рах. На упругих опорах, изображенных на рис. 12.4 в виде пружинок,
закреплены масса жидкости в баках, а также жидкостный ракетный
двигатель. Приведенная масса определяется по формуле, аналогич-
ной (12.5):

тпр = / т(х)/2(х)с/х + X т;//(хр + X ^У2(1 + )2,
о	>1	1=1

где Ш] — масса груза, жестко соединенного с корпусом; т1 — масса
груза, соединенного с корпусом упругой связью; — значения фор-
мы колебаний в местах крепления грузов.
Коэффициент динамичности для жидкости [26]

р.= №
И о 2 ’

-аг

где со — частота собственных колебаний корпуса; со, = ^кж / тж —
частота собственных колебаний жидкости в баке; Ъ1 — коэффициент,
зависящий от формы колебаний жидкости относительно шпангоута,
к которому присоединено нижнее днище бака; /сж — приведенная жест-
кость жидкости; тж — приведенная масса жидкости. При вычислении
коэффициента динамичности для ЖРД необходимо принять 1^ = 1. При-
веденная жесткость корпуса ракеты

к* = / ЕР(х)/'2 (х)(1х + X ^Р2/2 >
О	1=1

где Р(х) — текущая площадь поперечного сечения корпуса; к( — жест-
кость упругой связи (жидкости или узла крепления ЖРД к корпусу).
Приведенная внешняя нагрузка

I

РИ = /Р(х1д№1)<(х.	(12.14)

о

Уравнение продольных колебаний имеет такой же вид, что и (12.11).
Таким образом, прежде чем перейти к расчету осевых динамических
сил в сечениях корпуса ракеты, необходимо знать форму колебаний,
приведенные характеристики жидкости в баках, а также жесткость
упругой связи между ЖРД и корпусом.
Осевые динамические усилия. Если обозначить и(хг, 0 смещение
в направлении продольной оси стержня в процессе колебаний, то осе-
вая динамическая сила в любом сечении равна

МД = ЕР(х)/'(х)д(О

(12.15)

и если представить и(х13 с) в виде произведения двух функций, т. е. и(х13
О =/(х1)д(О, то Ид = ЕР(х)/'(х)д(1:)- Формулой можно пользоваться в том
случае, если отсутствуют сосредоточенные силы инерции. В корпусе
ракеты имеются колеблющиеся массы, передающие на корпус сосре-
доточенные силы инерции, поэтому формулу (12.15) необходимо пере-
писать так:

#Д(Х1) = ЕГ(х)/'х + ХМ(1 + р1)

где М — количество грузов, расположенных между носком и рассма-
триваемым сечением. Функция д(0 находится в результате решения
уравнения колебаний при заданной внешней нагрузке. Приведем без
вывода некоторые, наиболее часто встречающиеся решения этого урав-
нения.

Некоторые решения уравнения колебаний. Решение д(0 уравне-
ния колебаний одномассовой системы, к которой приводится корпус
ракеты, зависит от вида правой части, т. е. от приведенной внешней
нагрузки. Рассмотрим некоторые случаи вычисления приведенной
нагрузки и решения уравнения, соответствующие им.

Обычно внешние нагрузки приложены в определенных сечениях
ракеты, поэтому зависимость их от координаты и времени выглядит
так:

Р(х131) = Т8(хт -х1г)ф(0,

(12.16)

где Т — амплитудное значение силы; ф(0 — функция, определяющая
зависимость силы от времени; 8(хг - х1Г) — дельта-функция; х1Г —
координата сечения, в котором приложена сила. Подставив (12.16)
в выражение для приведенной внешней нагрузки (12.14), получим

Р(0 = / Т5(х! - х1г)/(х1)сЬс1ф(О = 7У(х1г)ф(О,

где/(хп) — значение формы колебаний в сечении, где приложена сила.

1. Тяга на участке выхода двигателя на режим. В этом случае Т —
тяга на маршевом режиме, а ф(0 определяется с помощью формул
из параграфа 3.1.

Для линейной аппроксимации

ф(О = р’

1,

0<Г<т,

1>т
решение имеет вид

81ПС0С

Г--------,

со

(зтсогЛ ~ ч (1 —созсот) .

1- ------- С08СО(1-Т) +-------------81ПСО(1-Т)

V СОТ )	сот

О < С < т,
Г>т.

2. Тяга на участке выключения двигателя. Аппроксимируем ср (г)
теперь так:

ф(0 =

[О,

0<Г<т,
Г >т.

Решение:

I 8ШС0(Л

<7(0 = 

к*

т со

7/(х1г) Г§1псо^

к*

сот

,, Л 1

-С08со(1-т)------

сот

(1 - СО8 сот) 8Ш со(1 - т) , 1>Т.

3. Давление в переходном отсеке при горячем разделении ступеней.
Динамической силой, действующей на нижнюю ступень, является газо-
динамическая сила, расчет которой изложен в параграфе 3.1, а на верх-
нюю — сила, определяемая давлением в переходном отсеке. В этом случае
ИО = ГтаЛ*1дЖ0, где Ттах = (0тах - Рн)(5т - Ра2) — максимальная осе-
вая сила, действующая на донную часть второй ступени; Дх1д) — форма
колебаний в донной части ступени. Функция ср(0 определяется в резуль-
тате решения задачи о горячем разделении ступеней с помощью профиля
давления <2 в переходном отсеке. Можно воспользоваться также подходя-
щей аппроксимацией для ср(О, такой как треугольник или синусоида.

Приведем здесь решение для импульсного воздействия, когда

<р(0 =

0<Г<т,
Г>т,

где т — время изменения давления <2 в переходном отсеке. В этом случае

7~ти^Х1д\1-со;<оО,	0<е<т,

к*

_	д) 8Ш СОГ «г г \ т

2------—------------ 81П[(о(С-т) + фоЪ Г>Т,

IV	Лл

где

(1-СО8ЮТ)
ср0=агсС§---;-----.

81ПС0Т

Аналогичные решения нетрудно получить и для других быстроменяю-
щихся функций.
13.	Нагрев корпуса в полете

13.1.	Виды теплообмена

С явлениями теплообмена приходится иметь дело всякий раз, когда
между телами или их частями наблюдается перепад температур. Пере-
текание тепла от более нагретого тела к менее нагретому происхо-
дит до тех пор, пока их температура не станет одинаковой. Процесс
передачи тепла между телами в зависимости от конкретных условий
осуществляется одним из следующих способов: теплопроводностью,
вынужденной конвекцией, естественной конвекцией и излучением.
Рассмотрим сначала основные физические процессы, определяющие
механизм передачи тепла с помощью перечисленных способов.

Теплопроводность обычно наблюдается внутри сплошного тела или
на границе контакта двух тел (или сред), а само тепло перераспреде-
ляется на молекулярном уровне, когда молекулы тела с более высокой
температурой, а следовательно, и с большим запасом внутренней кине-
тической энергии ударяют по соседним молекулам, отдавая им часть
своей энергии и, значит, повышая их температуру. По прошествии
определенного времени энергия молекул тела выравнивается и во всем
его объеме температура становится одинаковой. Скорость передачи
тепла между молекулами тела, а следовательно, и его точками зависит
от коэффициента теплопроводности материала, из которого изготов-
лено само тело (X). Нужно сказать, что передача тепла теплопроводно-
стью имеет место всегда, однако доминирует только в твердых телах
и неподвижных жидкостях и газах, так как в иных случаях преобладают
другие способы передачи тепла.

Количественной мерой передаваемого тепла служит удельный тепло-
вой поток, который в случае теплопроводности определяется с помо-
щью гипотезы Фурье, состоящей в том, что величина теплового потока
пропорциональна градиенту температуры Т в данной точке и коэффи-
циенту теплопроводности X, т. е. = - ХСгайТ, Вт/м2, где знак «минус»
указывает на то, что тепло распространяется в сторону уменьшения
температуры по направлению нормали к изотермическим поверхно-
стям, проведенным внутри тела.

Если тепло передается от одной части тела к другой за счет дви-
жения внутри него скоплений молекул, т. е. макрочастиц, то пере-
дача тепла осуществляется главным образом при помощи конвекции.
Конвекция характерна для жидких и газообразных сред, причем если
причиной движения среды являются внешние источники энергии,
то конвекцию называют вынужденной. Так, например, тяга двигателя
является внешней силой, которая заставляет летательный аппарат дви-
гаться относительно неподвижной окружающей среды, а перепад дав-
лений по длине камеры сгорания вынуждает перемещаться газ внутри
нее. В случае ЖРД перепад давлений поддерживается системой подачи
топлива, а в РДТТ — зарядом твердого топлива, с горящей поверхно-
сти которого поступают все новые порции газа. При решении задач
о внешнем теплообмене удобно считать, что сам летательный аппарат
неподвижен, а движется относительно него воздушный поток, который,
обладая определенным запасом энергии, отдает часть ее обтекаемым
поверхностям в виде тепла. Эту часть тепла можно определить с помо-
щью гипотезы Ньютона, в соответствии с которой удельный тепловой
поток, поступающий к стенке от газа, равен

Чк = а(Тг-Т^,	(13.1)

где а — коэффициент теплоотдачи, Вт/м2град; Тг — температура газа
у стенки; 7^ — температура поверхности стенки.

Несмотря на очевидную простоту формулы Ньютона расчет конвек-
тивных тепловых потоков вызывает определенные трудности, так как
коэффициент теплоотдачи зависит от такого обширного числа внешних
факторов, что выделить главные из них не всегда представляется воз-
можным. По этой причине существует множество различных формул
для расчета коэффициента теплоотдачи, предлагаемых для каких-либо
конкретных условий теплообмена.

Температуру газа Тг у стенки можно также определить только после
решения задачи обтекания стенки внешним потоком. Многочислен-
ные исследования показали, что эта температура в основном зависит
от температуры торможения газа у стенки, но отличается от нее.

Механизм возникновения конвективной передачи тепла от газо-
вого потока к стенке можно представить следующим образом. Внеш-
ний поток, обтекающий поверхность тела, тормозится вблизи нее
из-за трения так, что скорость газа на самой поверхности тела равна
нулю. Тонкая область газа вблизи поверхности, в пределах которой
скорость изменяется от нуля до значения во внешнем потоке, называ-
ется динамическим пограничным слоем, толщина которого обозначена
на рис. 13.1 5(х). В лобовой точке обтекаемого тела толщина погранич-
ного слоя равна нулю, но затем она возрастает, так как все большее
количество частиц газа тормозится из-за трения.

Сначала пограничный слой ламинарный и частицы газа движутся
по параллельным траекториям, не перемешиваясь между собой,
но затем течение теряет устойчивость и образуется турбулентный
пограничный слой, характеризующийся хаотическими колебаниями
частиц газа относительно траектории. В точке перехода ламинарного
режима течения в турбулентный толщина пограничного слоя резко
возрастает, однако и в турбулентном пограничном слое имеется лами-
нарный подслой, в котором частицы движутся по параллельным тра-
екториям (см. рис. 13.1). Вблизи поверхности тела образуется также
и температурный пограничный слой, в пределах которого температура
газа меняется от температуры на стенке до температуры внешнего
потока Тж. В общем случае толщина 8г(х) температурного слоя не равна
толщине динамического 8(х) пограничного слоя. Профиль температуры
газа в тепловом пограничном слое зависит от скорости газа и соотно-
шения температур газа и стенки.

Полная энергия потока, обтекающего тело, состоит из суммы кине-
тической энергии, определяемой скоростью его движения, внутренней
энергии частиц, представляющей собой кинетическую энергию хаоти-
ческого движения молекул газа, и потенциальной энергии давления.
Сумму внутренней энергии и потенциальной энергии давления потока
т

называют энтальпией I, равной: I = | сраТ, если удельная теплоемкость
о

при постоянном давлении ср зависит от температуры. Если скорости газа
умеренные и ср не зависит от температуры, то I = срТ. Тогда уравнение
энергии для струйки тока газа можно записать как / 2) + СрТ^ = срТ0,
откуда температура торможения газа Т0 = Тоо+у^ /(2ср).

Из-за торможения газа в пограничном слое его кинетическая энер-
гия переходит в энтальпию, т. е. температура газа возрастает. На пер-
вый взгляд кажется, что на стенке, где скорость газа равна нулю,
кинетическая энергия его тоже равна нулю и поэтому энтальпия и тем-
пература равны заторможенным значениям. Однако это совсем не так,
и температура газа на стенке равна некоторой величине Т^, которая
заранее не известна. Дело в том, что из-за перепада температур в пре-
делах пограничного слоя часть тепла из-за теплопроводности уходит
от стенок внутрь и еще часть уходит в стенку, образуя тепловой поток,
определяемый (13.1). Температура газа и стенки одинакова и будет
изменяться в процессе теплообмена до тех пор, пока не установится
тепловое равновесие между ними, т. е. тепловой поток в стенку ста-
нет равным нулю. На рис. 13.2 изображены профили температуры газа
в тепловом пограничном слое при различных случаях теплообмена.
На холодной стенке, т. е. нагреваемой газом, дТ / ду > 0, а на нагретой
стенке дТ / ду < 0, потому что она отдает тепло газу.

Таким образом, если мысленно представить себе существование
полностью изолированной от тепла стенки, то на ее поверхности все
равно не возникнет температура торможения, так как часть тепла ухо-
дит обратно внутрь пограничного слоя. Температуру, возникающую
на теплоизолированной стенке, называют температурой восстановле-
ния, и она всегда меньше температуры торможения. Температуру тор-
можения определяют из зависимости

То

( т-1 "I
1+-Ц- ма,
к 2 7

(13.2)

где у — показатель адиабаты, а — число Маха внешнего потока
на границе пограничного слоя. Для определения температуры восста-
новления структуру зависимости (13.2) оставляют неизменной, вводя
так называемый коэффициент восстановления г, тогда

Характер зависимости коэффициента восстановления от параме-
тров внешнего потока можно установить из следующих качественных
соображений. Газ, имеющий большую вязкость ц, образует толстый
пограничный слой, что затрудняет отвод тепла из зоны температурного
максимума. Утечки тепла тем меньше, чем больше коэффициент тепло-
емкости ср и меньше коэффициент теплопроводности. Таким образом,
можно считать, что коэффициент восстановления прямо пропорци-
онален вязкости и теплоемкости газа и обратно пропорционален его
теплопроводности, т. е. г ~ цср / X или г = (Тг - 7;) / (То - 7;). Но комби-
нация из этих параметров образует критерий Прандтля. Коэффициент
восстановления при ламинарном режиме обтекания г = л/Рг, при турбу-
лентном г = л/Рг.

Так как в пределах пограничного слоя температура газа резко изме-
няется, то физические свойства среды, такие как вязкость, плотность,
теплопроводность, переменны и возникает вопрос о том, к какой тем-
пературе их необходимо относить при определении тепловых потоков
к стенке. Очень часто вводят понятие определяющей температуры,
зависящей от структуры пограничного слоя и числа Маха набегающего
потока. Для ламинарного пограничного слоя Г. Юнг и Э. Джанни пред-
лагают в диапазоне чисел Маха от нуля до 5 следующую формулу:

Т* =	+ 0,58(7; -	+ 0,19(7; - Т„),	(13.3)

а для чисел Маха от 5 до 10

Т* = 0,77; + 0,587; + 0,237^.	(13.4)

Э. Эккерт показал, что этими же формулами можно пользоваться
и для турбулентного пограничного слоя.

Несмотря на хорошие результаты, получаемые при использовании
определяющей температуры, этот способ не всегда удобен, так как
необходимо заранее, еще до определения теплового состояния стенки,
знать температуру на ее поверхности. По этой причине расчет обычно
проводится методом последовательных приближений.

Кроме определяющей, используют также температуру стенки или
температуру газа во внешнем потоке, поэтому необходимо обратить
внимание на указания по температуре, к которой относятся физиче-
ские характеристики газа.

Естественная конвекция возникает в неподвижной среде в том
случае, когда внутри нее наблюдаются градиенты температуры, а так
как плотность среды зависит от температуры, то массовые силы пере-
менны, а их перепад заставляет двигаться среду, образующую на стен-
ках пограничный слой. Если известен перепад температур Л7’ = Т - Тж
между двумя точками среды, то плотности в них связаны зависимостью
Р = Роо / (1 + РАТ), где Р — коэффициент объемного расширения среды.
Массовая сила, действующая на частицы с большей плотностью, застав-
ляет их опускаться вниз. Если тело движется с ускорением, то массовая
сила представляет собой сумму силы веса и силу инерции.

Кроме массовой силы, на частицу действует и архимедова сила,
а подъемная сила частицы равна разности архимедовой и массовой
сил. Холодные частицы в теплом газе опускаются вниз, так как сумма
сила у них отрицательная. И наоборот, в холодном газе теплые частицы
поднимаются вверх. На рис. 13.3 показана горячая частица объемом Уг
с плотностью рг, которая находится в холодном газе с р^. Подъемная
сила частицы равна разности архимедовой и массовой сил: У = А - С =
= Ур&СРоо - рг) и направлена от холодного к теплому, так как плотность
холодного газа больше теплого.

///////////////

Горячая

Рис. 13.3

При излучении процесс передачи тепла происходит за счет энер-
гии электромагнитных волн в инфракрасном диапазоне. Излучение —
единственный способ передачи тепла, который может осуществляться
в пустоте.

Подводя итог качественному описанию способов передачи тепла,
рассмотрим схему нагрева конструкции корпуса ракеты, изображен-
ную на рис. 13.4.

Рис. 13.4

На внешней поверхности стенки, соприкасающейся с газом, обра-
зуются динамический и тепловой пограничные слои. К стенке тепло
поступает за счет конвекции ^к и излучения нагретого газа дл. Нагре-
тая стенка также излучает тепловой поток обратно в газовый поток,
и тогда в стенку поступает суммарный тепловой поток: Я. = <1к-	+ дл.

Внутри твердой стенки тепло распространяется за счет теплопрово-
дности. Однако на внутренних поверхностях стенок корпуса возникает
излучение тепла в первоначально неподвижный газ, а также теплооб-
мен за счет естественной конвекции. Значения тепловых потоков опре-
деляются конкретной конструкцией и условиями теплообмена.

13.2.	Связь между теплопередачей и трением

Рассмотрим теперь вопрос о том, как связано трение потока, обте-
кающего твердую стенку, с количеством тепла, которое в нее посту-
пает. Ограничимся сначала модельным случаем несжимаемой жидко-
сти с числом Прандтля Рг = 1. Направляя ось у от поверхности плоской
стенки, на основании гипотезы Фурье можем записать, что для нагре-
ваемой стенки тепловой поток к ней равен

'дТ'

где Л, — теплопроводность газа, а индекс и/ указывает на то, что гради-
ент температуры определяется на стенке. Для определения градиента
температуры воспользуемся следующим из теории пограничного слоя
выводом о том, что при Рг = 1 профили скорости и избыточной тем-
пературы в пограничном слое совпадают, а толщины динамического
и теплового пограничных слоев одинаковы, поэтому

Ц :: т-т„
Тг-Т„’

откуда

'дт'

(13.5)

Но градиент скорости на стенке можно определить из закона трения

ди

Ньютона:

= —, где ц — вязкость газа, а т1(, — трение на стенке,

которое выражается через коэффициент трения су и скоростной напор
в потоке, обтекающем стенку, следующим образом:

Тогда

Тг-Т„	1 с/Рооц2

V =-——>ая=~‘~-------------ад-т;

<Э.УЛ, “оо 2ц 2 ц

или, с учетом того, что Рг = ц / Л, = 1, и поэтому 1 / ц = ср:

Я с^р^и^СрСГ,. Т^).

(13.6)
В полученном выражении, связывающем тепловой поток д и коэф-
фициент трения Ср произведение СрР^и^ пропорционально количеству
тепла, которое газ переносит в направлении движения, а множитель
перед скобками пропорционален тепловой нагрузке, которая переда-
ется стенке. Этот множитель называют коэффициентом теплоотдачи,
т. е.а = 0,5с/рооиоаср.

Наглядной характеристикой количества тепловой энергии потока,
расходуемой на нагревание стенки, является критерий Стантона, кото-
рый можно определить следующим образом. Если предположить, что
в направлении движения потока создан такой же температурный пере-
пад, как и в поперечном направлении, то тогда продольный тепловой
поток составил бы р^и^Ср^ - Т^), а в поперечном — как уже установ-
лено. Отношение этих тепловых потоков и представляет собой крите-
рий Стантона, т. е.

51 =-----------=-------= -Су.

роо^ооСрТ„) р^и^Ср 2

Для ламинарного пограничного слоя несжимаемого газа на пла-
стинке с^ = 0,664Ке °>5, а для турбулентного Су = 0,0592Ке °>2.

Полученные результаты справедливы для несжимаемого погранич-
ного слоя с числом Рг = 1. Если Рг ± 1, т. е. толщины теплового (8Г)
и динамического (8) пограничного слоев не совпадают, то в записан-
ное выражение для коэффициента теплоотдачи вводится поправка,
предложенная Крокко, тогда

81 = — Су Рг-2/3 и а = О^СуРооП^Ср Рг-2/3.

2

Выражения для коэффициентов трения получены при умеренных
скоростях потока, когда температура стенки близка к температуре
восстановления, поэтому для реальных условий вводится температур-
ная поправка в выражения для коэффициента трения и в ламинарном
/	\1.б

потоке Су= 0,664К.е °’5\|/ °>п, в турбулентном Су = О,О592Ке-0’2

где у =	/ Тг. Таким образом, для дозвуковых потоков с М < 1 можно

окончательно записать

8Г = 0,332В.е °>5Рг 2/3\|/ °>п

для ламинарного режима течения и

8г = 0,0292Ке-°’2Рг-2/3

для турбулентного.

При М > 1 начинают проявляться эффекты сжимаемости газа, а тем-
пература стенки значительно отличается от температуры восстановле-
ния, поэтому температурные поправки имеют другой вид: для лами-
нарного потока

8с = 0,332Ке-0>5Рг2/3\|/-0Д1Ж“0’15,

(13.7)

а для турбулентного

8И = 0,029Ке °>2Рг 2/3/(Т),	(13.8)

где/(7) определяется по формуле Кутателадзе

агсС§7У1 -1
7^1-1

а VI = Тг / Тх.

При вычислении критерия Рейнольдса Ке = р^и^д. / рК, где д. —
характерный размер, а также числа Прандтля Рг = цср / А. все параметры
газа берутся при температуре внешнего потока Т^. Приведенные соот-
ношения для расчета коэффициента трения на пластинке могут быть
применены и для тел иной формы, если воспользоваться формулами
В. С. Авдуевского для расчета характерного размера. Для ламинарного
пограничного слоя

для турбулентного

X

/ г1^роаиоа(Ъс

(1Т=---------:------

г1>257п и

1	Г ОО^-ОО

где; = 0 в плоском течении и; = 1 — в осесимметричном; г — радиаль-
ное расстояние от оси тела до рассматриваемой точки; х — расстояние
от начала тела до точки, измеряемое по его поверхности вдоль мериди-
ана; р^,	— давление и скорость на внешней границе пограничного

слоя.

Суть указанного пересчета в том, что для тела подбирается пла-
стинка, на которой характеристики пограничного слоя такие же, как
и на теле.

Другой способ вычисления характерного размера состоит в опреде-
лении эффективной длины, которая позволяет согласовать характери-
стики пограничного слоя в местах излома образующей корпуса. Идею
этого метода рассмотрим на примере сопряжения конуса с цилиндром
(рис. 13.5).

Характерный размер на конусе отсчитывается от носка вплоть
до излома образующей. Теперь найдем такую длину Iчтобы характе-
ристики пограничного слоя в точке излома со стороны конуса и цилин-
дра были одинаковыми. С этой целью воспользуемся равенством вели-
чины потери импульса с двух сторон:



(13.9)

Рис. 13.5

Но для конуса при ламинарном пограничном слое

51* = 0,384(1^ / р^)0-5,	(13.10)

а для цилиндра

5Г = 0,384(1ц2 /р2и2)°>5.	(13.11)

Подставляя (13.10) и (13.11) в (13.9), получаем

1 Р1 Г	ц/

3 Рг чи2 7 чМ-2 ,

Ь.

Для учета сжимаемости параметры газа вычисляются при опреде-
ляющей температуре, вычисленной по формулам (13.3) и (13.4). Для
других режимов течения эту формулу можно переписать так:

/ \п
г=к*

Р2 ки2>

М-1
чМ2>

где константы пит приведены в табл. 13.1, а плотность и вязкость
вычисляются при определяющей температуре.

Таблица 13.1

Геометрия	Режим течения	к	п	т
Пластина + клин	Ламинарный	1	3	1
	Турбулентный	1	9/4	1/4
Конус + цилиндр	Ламинарный	1/3	3	1
	Турбулентный	1/2	9/4	1/4
Цилиндр + юбка	Ламинарный	3	3	1
	Турбулентный	2	9/4	1/4
Теперь получим формулы для расчета тепловых потоков к стенкам
трубы, внутри которой движется газ, имеющий на оси скорость ит
и температуру Тт (рис. 13.6). Для градиента температуры на стенке

, а так-

и/

(Тт-Ы

имеем выражение, аналогичное (13.5): ——

и/

Но теперь, в отличие от пластинки, для определения трения
на стенке воспользуемся условием баланса сил для участка трубы дли-
ной I:

(Р2-Р1)

'я(12 '

1^1

= ти11т„,

или

г	1

(Рг-Р1) = 4-т14„
а

(13.12)

а также выражением, определяющим падение давления по длине трубы
из-за трения:

, Л 1 РЦт
а 2

Приравнивая (13.12) и (13.13), получаем

(13.13)

откуда



1 Рцт

а 2
а соответствующее выражение для теплового потока на стенке

<? = (с/ /8)(рЦиСр)(Тт -

где коэффициент трения су берется из экспериментальных данных
по трубам. Отсюда число Стантона

81: = с^/8.

В интервале чисел Рейнольдса 104 < Ке < 12 • 105 коэффициент трения
при полностью развитом турбулентном течении в трубе Су= 0,184Ке0’2,
тогда

81 = 0,023Ке°,2,

для числа Рг = 1, а с учетом поправки на него

81: = 0,23Ке-°>2Рг°>6.

Чаще всего это выражение записывают через число Нуссельта Ми =
= 81КеРг, и в этом случае

Ыи = —= 0,23Ке°’8Рг0’4,
X

где а — коэффициент теплоотдачи; X — теплопроводность газа. В каче-
стве определяющей температуры берут обычно

Т* = 0,5(Тт - Т„) + 0522Рг1/3(Т0 - Т^,

где То — температура торможения газа.

13.3.	Аэродинамический нагрев
на траектории

Источником аэродинамического нагрева является трение корпуса
ракеты об окружающую среду. С увеличением температуры конструк-
ционной стенки корпуса снижаются физико-механические свойства
материала, из которого она изготовлена, возникают температурные
напряжения. Чрезмерный нагрев может привести к разрушению кон-
струкции, поэтому ее необходимо защитить с помощью теплозащит-
ного покрытия. Нагрев корпуса БР при полете по траектории неоди-
наков, что проявляется в том, что температура его стенки переменна.
На рис. 13.7 изображена кривая изменения температуры стенки Т„ кор-
пуса БР в зависимости от времени ее полета, а также график скорости
центра масс и тепловых потоков.

На активном участке траектории температура стенки растет до тем-
пературы Т^1} обычно 150—200°С, и слабо зависит от дальности полета
ракеты, так как участок набора скорости находится в разреженных
слоях атмосферы. Влияние температуры проявляется в снижении
прочностных характеристик материала корпуса ракеты.

Рис. 13.7

На участке входа в атмосферу температура стенки резко возрастает
и достигает максимального значения Т^- Уже при небольших дально-
стях она может составлять несколько тысяч градусов и превышать тем-
пературу плавления обычных конструкционных материалов.

Этот участок траектории и определяет обычно необходимость
покрытия корпуса теплозащитой. На активном участке траектории
и при входе в атмосферу графики конвективных и лучистых тепловых
потоков (см. рис. 13.7) имеют экстремумы. На активном участке доми-
нирующим является конвективный тепловой поток, поэтому излуче-
нием газа можно пренебречь. В то же время излучение стенки ^VV рас-
тет до тех пор, пока конвективный поток не сравняется с лучистым, где
температура Гн/1 имеет экстремум.

При входе в атмосферу лучистый поток от газа может составлять
10—15% от конвективного теплового потока, поэтому его следует
учесть. Экстремум температуры стенки также возникает при равен-
стве суммарного потока к стенке (дк + ^л) излучению от стенки
График температуры стенки корпуса на участке входа в атмосферу при
дальностях, превышающих 600 км, представляет лишь теоретический
интерес, так как свыше этой дальности головная часть обычно отделя-
ется в конце активного участка траектории и летит в заданную точку
на поверхности Земли без ракетной части. Сама головная часть покры-
вается слоем теплозащитного покрытия, которое нагревается лишь
до температуры уноса Тр, которая остается неизменной на поверхности
покрытия, вплоть до того момента, когда преобладающим в теплооб-
мене становится излучение от стенки. Соответствующий график тем-
пературы стенки показан на рис. 13.7 пунктиром.
13.4.	Распределение тепловых потоков
вдоль образующей

Рассмотрим теперь характер распределения тепловых потоков вдоль
поверхности корпуса типичной баллистической ракеты со стабилизиру-
ющей юбкой. Способ их расчета зависит от аэродинамической картины
течения, которая в рассматриваемом случае может быть описана сле-
дующим образом. При сверхзвуковых скоростях полета перед затуплен-
ной головной частью образуется отошедшая ударная волна, за которой
газ тормозится до дозвуковой скорости. В критической точке (точка О
на рис. 13.8) скорость газа на стенке равна нулю, но затем возрастает
и становится равной скорости звука в звуковой точке К. За точкой К
поток сверхзвуковой.

Рис. 13.8

Около критической точки О течение в пограничном слое лами-
нарное, наибольший тепловой поток возникает в самой критической
точке, а затем убывает по мере удаления от нее, вплоть до перехода
ламинарного режима течения в турбулентный.

Если переход происходит до точки К, то в звуковой точке возникает
второй максимум тепловых потоков, больший по величине, чем в кри-
тической. Этот случай встречается наиболее часто, и поэтому практи-
чески на всем корпусе ракеты в пограничном слое наблюдается турбу-
лентный режим течения. Переход ламинарного течения в турбулентное
обычно наблюдается в диапазоне чисел Рейнольдса Не = (3—5)105.

За критической точкой скорость потока возрастает, плотность
уменьшается, а толщина пограничного слоя увеличивается. Тепло-
вой поток к стенке уменьшается, вплоть до плоскости стыка цилиндра
и стабилизирующей юбки, где образуется зона отрыва потока, в кото-
рой тепловой поток также возрастает. На рис. 13.8 приведен типичный
характер изменения конвективных тепловых потоков вдоль корпуса
ракеты. В точке Т, расположенной между точками О и К на корпусе,
ламинарный режим течения переходит в турбулентный. Наиболее
сложна газодинамическая картина течения в донной области ракеты,
где струи, истекающие из многосоплового блока или связки двигате-
лей, взаимодействуют между собой и с внешним потоком. Расчет дон-
ного давления в этой области можно провести по схеме Гетерта, опи-
санной в параграфе 5.8.
13.5.	Тепловые потоки в характерных точках

Конвективный тепловой поток в критической точке. В точке
торможения затупленного тела режим течения ламинарный, и при
сверхзвуковых скоростях полета, когда перед головным отсеком обра-
зуется отошедшая ударная волна, расчет теплового потока можно про-
водить в следующем порядке.

Сначала определяются параметры газа в критической точке
по известным параметрам в набегающем потоке (индекс °°). Давление
находим из формулы Рэлея:

р- I 2	; 1,7+1	г+1;

температуру торможения — из одномерного уравнения энергии

То

= Т

ОО

< 7-1 "I

1 + 1— м2
а- 1

\	4	)

плотность — из уравнения состояния р0 = р 0 / КТ0, где газовая посто-
янная воздуха К = 287,1 Дж/(кг • К).

Число Прандтля можно определить по формуле Эйкина: Рг = 4у / (9у -
- 5), тогда теплопроводность воздуха Хо = цоср / Рг, а вязкость ц / ц0 =
= (То / Т)°>7. До чисел Маха Мх < 6 теплоемкость воздуха при постоян-
ном давлении постоянна и равна: ср = 1070 Дж/(кг • К). В этом случае
энтальпия газа I = срТ.

При М > 8 за ударной волной воздух диссоциирует на атомы кис-
лорода и азота, что сопровождается поглощением значительного коли-
чества тепла. Одновременно у более холодной поверхности тела идут
процессы рекомбинации этих атомов с выделением тепла. Большая
часть траектории движения соответствует равновесному составу газа
за ударной волной. Параметры газа при соответствующей температуре
берутся из таблиц [27, 28].

При умеренных числах Маха, когда теплоемкость газа ср постоянна,
для определения теплового потока в критической точке можно вос-
пользоваться формулой пластинки (13.6), которая при х = 0 после пре-
образований принимает вид

дк = О,664(росрХор)0’5 \|/_о,11(1о -

где градиент скорости в критической точке

/	\°,5

Р = у~^ 2-^-1	-,	(13.14)

Ро \_ Роо )

гн — радиус затупления носка.

При больших числах Маха широкое распространение нашла фор-
мула Фэя и Риддела:

<ь = 1,2-1О-3(ри,ц„)ОД(роЦо)О.4ро.5(1о(13.15)
Ею же можно пользоваться для определения теплового потока вдоль
образующей бесконечно длинного цилиндра, взяв коэффициент 0,85 • 10 3
вместо 1,2 • 10 3.

Модель цилиндра дает удовлетворительные результаты для перед-
них кромок крыльев и стабилизаторов с учетом поправки на стрело-
видность:

Ч = (<?к)х=0(со8 %)Ч

где % — угол передней стреловидности крыла (между кромкой крыла
и линией, перпендикулярной оси ракеты). Конвективный поток (дк)х=0
определяется по формуле (13.15) с коэффициентом 0,85 • 10-3, а под гн
понимается радиус скользящего цилиндра.

На линии растекания скользящего цилиндра, который моделирует
переднюю кромку крыла, может также возникнуть турбулентный
режим течения. В этом случае коэффициент определяется по [29]:

— = 0,031Рг1/3

х0,8

Ро

(81П%)0’6

Ке

\0,8Г/

ра

<СО8%>

Ро ра

— СО5% —

V,

где а — диаметр цилиндра, 3 определяется по формуле (13.14). Пара-
метры воздуха на передней кромке крыла (индекс «О») определяются
здесь при числе Маха М = М^соз %. Более простые варианты формулы
предложены в [30]:

а также в [31]:

4,7^ = 1,110»

*0

-ср300К’

V,

дк 7^ = 1,32-Ю8

\3,25

Рз \7,93)

где Рз = 1,23 кг/м — плотность воздуха у поверхности Земли; ут =
= 7,93 км/с — первая космическая скорость. Формулы Фэя и Риддела
можно привести к виду

Все формулы записаны в системе единиц СИ, поэтому тепловой
поток измеряется везде в ваттах на квадратный метр.

Лучистый поток в критической точке. Излучение от воздуха
к стенке необходимо учитывать только на участке входа головной части
в плотные слои атмосферы при значительных температурах газа между
стенкой и отошедшей ударной волной. Оценки показывают, что лишь
при температурах более 5000 К излучение создает тепловые потоки,
которые вносят заметный вклад в суммарный тепловой поток. Приве-
дем три различные формулы для оценки этого потока:

1) дл = 4,96-104гн

Ы1'33

Рз>

( V I12’5
к3050?

Вт/м2.

Эта зависимость дает надежные результаты для температур, соответ-
ствующих условиям спуска космического летательного аппарата: 8000 К <
< То < 12 000 К.

Н. Ф. Краснов [31] предлагает зависимость:

2) дл =3,67 106

дл=5,61105

<3050;

<Рз> <3050у

В приведенных формулах скорость имеет размерность [м/с].
Отметим, что лучистый тепловой поток в звуковой точке затупленного
тела обычно принимается равным половине от теплового потока в кри-
тической точке.

Конвективный поток в звуковой точке. Так как рассматриваемая
точка находится на поверхности тела, то через нее проходит общая
с критической точкой линия тока. Тогда если число Маха М3 = 1, то тем-
пература воздуха

Т3 = 2Т0 / (у + 1),

давление

а плотность

Рз =

Рз = Г У + 1VI

РТз I 2 у КТ0

Скорость потока равна скорости звука: и3 = а3 = д/у(р3 /Рз)> вязкость
газа ц3 = ц0(Т3 / Т0)°>7, а теплопроводность Х3 = ц3ср / Рг. В звуковой
точке режим течения турбулентный, поэтому, воспользовавшись фор-
мулой для пластинки, получаем

дк = ^(р3и3ср)(Тг-Ти,),

где

81 = О,О29Ке-°’2Рг-0’6

здесь V = Т„ / Тг; Ке = р3изаз / ц3.
При определении числа Рейнольдса характерный размер с13 находим
с помощью поправки В. С. Авдуевского:

*3

| Г1,25ри^х

где х3 — расстояние от критической точки до звуковой; г — радиус
параллельного круга; 0 < и < и3 — скорость газа на линии тока.

Координату звуковой точки можно определить, если предположить,
что линейный характер изменения скорости газа соблюдается между
критической и звуковой точками. В этом случае расстояние до звуко-
вой точки, измеряемое вдоль образующей затупления, равно х3 = и30,
где градиент в критической точке определяется по формуле (13.14).
Можно воспользоваться также одной из следующих формул, рекомен-
дуемых в [30] для турбулентного режима течения:

дк=6,53-108

по формуле Хидальго и Детра

или по формуле Сибулкина

дк = 4,627 • 10-5 Рг 2/3 р°’8ы§’8СрЬ)0’2(г3 - ио),

где сверху помечены параметры газа при определяющей температуре
Т = Т3+0,5(Ти,-Т3) + 0,22(Тг-Т3), а Ъ = (1,46/гп)(р0/р0). Ламинарный
режим течения в звуковой точке никогда не возникает.

Боковые поверхности корпуса. Поверхность тела при отсутствии
зон отрыва потока и нулевом угле атаки является единой линией тока,
начинающейся в критической точке, поэтому для определения скоро-
сти газа в произвольной точке можно воспользоваться уравнением Бер-
нулли.

Коэффициент давления ср на боковых поверхностях можно опреде-
лить по формулам из параграфа 4.2. Тогда статическое давление

местное число Маха, соответствующее этому давлению:

М =

(Ро V

г-Чш

-1
термодинамическая температура

Т = Т0

(	у-1

1 + ^—-М2

I 2	;

и плотность

р=р/(ЯТ).

Теперь скорость газа в рассматриваемой точке тела и = МЛ/у(р/ р).

На головной части тепловой поток при турбулентном режиме тече-
ния определяется по формуле

Гр V’8
дк =2,5-109

<Рз7

Уро Ф

V/ Х°>2’

гдех—расстояние вдоль образующей, измеряемое от критической точки;
Ф — функция местного давления, график которой приведен на рис. 13.9.
На участках корпуса, значительно удаленных от точки торможения, для
определения тепловых потоков используются формулы (13.7), (13.8) для
пластинки в зависимости от режима течения.

Приведем еще формулу Маклафлина [29] для расчета тепловых
поверхностей на цилиндрах и боковых поверхностях крыльев, в кото-
рой используется температура Т* (см. (13.3) и (13.4)):

81во = (Кеов,х)п=А

и=оР=о

(1-п)Гт

ОО

СЛП

РГ-2/3,

4 Чи

4*0 у

в которой при ламинарном режиме течения п = 0,5; А = 0,332, а при тур-
булентном п = 0,2; А = 0,0296. Кроме того, с = (ц / Г*) (7^ / ц^) , а знаком
«Г» отмечены величины, вычисляемые при определяющей температуре.
В качестве характерного размера при определении числа Рейнольдса
используется расстояние х, измеряемое от начала эквивалентной пла-
стинки. На конусе тепловой поток возрастает, и поэтому при ламинар-
ном течении А = 0,575, а при турбулентном А = 0,03481. Характерный
размер определяется по формулам, приведенным в параграфе 13.2.
13.6.	Расчет тепловых потоков
к стенкам двигателя твердого топлива

Передача тепла к стенкам камеры сгорания РДГТ в зависимости
от режима движения газа осуществляется конвекцией и излучением.

Лучистый тепловой поток от нагретого тела определяется с помо-
щью закона Стефана — Больцмана:

Чж - 8жсо

Цоо;

где с0 = 5,673 Вт/м2 • град4) — постоянная излучения; 8^ — степень
черноты нагретого тела, которую можно принять равной 0,25. Степень
черноты — это отношение теплового потока, излучаемого стенкой,
к тепловому потоку, излучаемому абсолютно черным телом. Для уве-
личения и, следовательно, снижения количества тепла, нагреваю-
щего корпус ракеты, целесообразно применять хорошо излучающие
материалы, примером которых могут служить кварцевые теплозащит-
ные покрытия. Степень излучения зависит от температуры и состава
топлива. Так, для баллиститных топлив излучением можно пренебречь.
В двигателях, работающих на смесевом топливе, продукты сгорания
содержат твердые частицы и поэтому излучают электромагнитные
волны как в видимом, так и в инфракрасном диапазоне спектра. Лучи-
стый тепловой поток, поступающий к стенке, определим по формуле

01 ~ а0е1У

7 т А 4
1\у

1юо;

где 8Ж — степень черноты стенки (для теплозащитных покрытий 8Ж =
= 0,8);	— эффективная степень черноты продуктов сгорания. Значе-

ние 8^ можно определить так:

8^ =1-(1-8г)ехр 0,6

к
1-к

1,р/|

Рк 7

где 8Г = 0,5-;-0,75 — степень черноты газовой фазы; к — массовая твер-
дой фазы в продуктах сгорания; I — длина пути луча (I = 10 3 м); (1 —
диаметр конденсированных частиц (й = 5—10 мкм); рг — плотность
газовой фазы продуктов сгорания топлива; рк — плотность вещества,
образующего конденсированную фазу. Излучение пренебрежимо мало
по сравнению с конвекцией в области соплового блока, и им здесь пре-
небрегают.

При расчете конвективных тепловых потоков можно выделить сле-
дующие характерные зоны двигателя, обозначенные соответствую-
щими номерами на рис. 13.10: 1 — область переднего днища, 2 — зону
щелевого заряда, 3 — зону заднего днища, 4 — сопловой блок. В обла-
сти переднего днища образуется застойная зона, в которой теплооб-
мен происходит при помощи естественной конвекции, а коэффициент
теплоотдачи а = (Р / Л)Ыи , где О — диаметр двигателя; X — теплопро-
водность газа.

Рис. 13.10

Теплофизические характеристики газа вычисляются при средней
температуре Т = (Т0 +Т^)/2, а число Нуссельта определяется по следу-
ющим формулам в зависимости от размеров двигателя:

а)	для ракет малого калибра с О < (0,2—0,3) и Ми = л/Ст, где кри-

±	АТ ТХ7

терии Грасгофа Сг = —„------; 1МХ1 — осевое ускорение ракеты; АТ =

V2 То

= То -	— перепад температур; V = ц / р — кинематическая вязкость

газа;

б)	для ракет среднего и малого диаметра: Ми = 0,0192Сг0,4(Т :
: 0)0,2, где Ь — длина объема, занимаемого передним днищем (высота
а1»43
днища). Формула рекомендуется для Ь < 2,48 „ •

у 2,8о

в)	для ракет большого диаметра: Ми = 0,095(Рг 6г)//3.

Этими же формулами можно пользоваться для определения коэффи-
циента теплоотдачи в застойных зонах, изменив только характерный
размер. Теперь под характерным размером следует понимать гидрав-
лический диаметр Б = 4Г / П, определяемый площадью канала Р и его
периметром П. Так, например, для застойной зоны, образующейся
между вкладным зарядом и стенкой камеры сгорания, О = 2к, т. е. удво-
енной ширине зазора.

Для расчета теплоотдачи к стенке двигателя в области щелей можно
воспользоваться формулой пластинки с характерным размером, опре-
деляемым по формуле В. С. Авдуевского. В области щелей скорость
газового потока возрастает по линейному закону, т. е. II = <рх, где ф =
итРт / (РоЬ) — градиент скорости; ит, рт — скорость горения и плот-
ность топлива; Ъ — ширина щели; х — расстояние от начала щели (см.
рис. 13.10).

При ламинарном и турбулентном режимах течения в плоском потоке

X

о=»------=-.

фХ 2
Для заднего днища и сопла коэффициент теплоотдачи можно опре-
делить по формулам пластинки, относя все физические характеристики
газа к термодинамической температуре газа в рассматриваемом сече-
нии, а характерный размер вычисляя по формуле В. С. Авдуевского.

Получены также и специальные формулы для определения числа
Нуссельта в сопле. Так, по формуле Бартца

Ми = 0,026Ке°>8Рг°-4(4р /Кс)(/ / о);

здесь физические параметры газа отнесены к температуре тормо-

жения; скп

— диаметр критического сечения сопла; В.с — радиус его

скругления, а о =

0,5— 1 +

Г-1

х -10,068

МI 2 +0,5

у-1 V’12

— ко-

2

2

эффициент, учитывающий ускорение потока в сопле и сужение его
в критическом сечении. По формуле Лонга Ии = 0,024Ке°>8(Т / То), где

у-1

2

То

М2 , а по формуле Гринфилда Ми = 0,024Ке°’8Рг. В послед-

них соотношениях физические параметры газа также отнесены к То,

т. е. к температуре торможения.

Если продукты сгорания содержат твердые частицы, то теплоотдача
к стенкам двигателя возрастает, а коэффициент теплоотдачи определя-
ется по числу Нуссельта Ии5, учитывающему наличие частиц, т. е.

Мщ =

/ \ -|°>5
1+^- -Ии,

< ср 7 Рг _

где ск, ср — теплоемкость частиц и газа; рк, рг — плотность частиц
и газа; число Ии определяется по одной из вышеприведенных формул.

13.7. Тепловое воздействие сверхзвуковой струи
ракетного двигателя

Струи, истекающие из сопл ракетных двигателей, оказывают
не только силовое, но и тепловое воздействие на элементы конструк-
ции, попадающие в зону истечения струи. При соосном расположении
струи с плоским торцем, расположенным на ее оси (рис. 13.11), конвек-
тивный тепловой поток в центре цилиндра равен

0,5

Чт ~ 7 0.РМ>
к

(13.16)

I (у — 1)

где К =0,5—------руК77г(|лгТ0)_1 — параметр режима течения; р, у, Т —

V У

плотность, скорость, температура газа в струе; Я — радиус цилиндра;

Тг, цг — температура восстановления и соответствующая ей вязкость
газа: дРМ=0,5ру3

1-0,5

1

у — расчетная величина теплового

потока при свободномолекулярном режиме обтекания; I — механиче-
ский эквивалент теплоты.

Рис. 13.11

Параметры газа на оси струи можно определить по формулам, при-
веденным в [32].

Режим течения в точке торможения ламинарный, а вблизи нее
тепловой поток в диапазоне углов 0 < 0 < 63 между осью струи и лучом
сопла в точку на торце цилиндра подчиняется зависимости вида дк.(0) =
= дт(соз О)1’25. Формулу (13.16) можно использовать также и для рас-
чета максимального теплового потока при боковом взаимодействии
сверхзвуковой струи и плоскости (рис. 13.12), принимая в качестве
характерного размера величину

Я = 0,75/1(1-0,74а0)-1,

где к — расстояние от центра выходного сечения сопла до плоско-
сти, измеряемое по нормали к ней; а° = а/30с1р’5 — расчетный

комплекс; а — угол между осью сопла и поверхностью пластины;

0;. = агсг§

— характерный угловой размер; 1г = (1 + к-^Мй2) х

(/с-1)М2

— параметр подобия струи; Ма, к — число Маха

и показатель адиабаты в выходном сечении сопла.

Рис. 13.12
Угловое положение точки максимума теплового потока на пластине
относительно оси сопла с хорошей точностью аппроксимируется зави-
симостью:

6т = 0+(0,7 + 11 + 1,6а0).

Тепловой поток на дуге окружности, проведенной на пластине
из точки с максимальным тепловым потоком:

^ = дтехр[-0,5(^°)2],

где ^° = ^ / 0+, — угол, определяющий положение рассматриваемой
точки на плоскости (см. рис. 13.12). Ниже и выше по течению от точки
экстремума значение теплового потока меньше и различно по харак-
теру убывания.
Библиографический список

1.	Шишков, А. А. Газодинамика пороховых ракетных двигателей /
А. А. Шишков. — М. : Машиностроение, 1974.

2.	Мошкин, Н. Е. Нестационарные режимы работы ЖРД / Н. Е. Мош-
кин. — М. : Машиностроение, 1970.

3.	Как, 5. Сошса! погг1е регГогтапсе ипДег Доч/у-зерагаСеД сопДт-
Нопз / 8. Как, В. Ь. ВаДа1 // Л. оГ Зрасесгак апД Коскеез. — 1965. —
V. 2. — № 3. — Р. 447—449.

4.	Разумеев, В. Ф. Основы проектирования баллистических ракет
на твердом топливе / В. Ф. Разумеев, Б. К. Ковалев. — М.: Машиностро-
ение, 1976.

5.	ГОСТ 4401—33. Атмосфера стандартная. Параметры. — М. :
Изд-во стандартов, 1983.

6.	Б^агпеПе, Р. К. Са1си1аНоп о€ Ргеззигез оп ВоДхез а! Ьо1/у Ап^1ез
оГ Айаск 1п Зирегзошс Р1о\у / Е К. ПеДагпепе, С. Р. РогД // Л. о! Зрасесгак
апД Во скег з. — 1980. — Уо1. 17. — № 6. — Р. 529—536.

7.	Авдуевский, В. С. Течение в сверхзвуковой вязкой недорасширен-
ной струе / В. С. Авдуевский // МЖГ. — 1970. — № 3.

8.	Авдуевский, В. С. Газодинамика сверхзвуковых неизобарических
струй / В. С. Авдуевский, Э. А. Ашратов, У. Г. Пирумов. — М.: Машино-
строение, 1989.

9.	Сибулкин, М. Приближенный расчет поля течения на больших
расстояниях от сопла при истечении в вакуум / М. Сибулкин, Галла-
хер // РТК. — 1963. — № 6.

10.	Аверенкова, Г. И. Истечение сверхзвуковой струи в вакуум /
Г. И. Аверенкова, Э. А. Ашратов // Вычислительные методы и програм-
мирование. — 1967. — № 7.

11.	Емельянов, В. М. Расчет осесимметричной сверхзвуковой струи,
истекающей в спутный поток и покоящуюся среду / В. М. Емельянов //
Инж. журнал АН СССР. — 1965. — Т. 5. — № 2.

12.	Дулов, В. Г. Газовая динамика процессов истечения / В. Г. Дулов,
Г. А. Лукьянов. — Новосибирск : Наука, 1984.

13.	Гинзбург, И. П. Аэрогазодинамика / И. П. Гинзбург. — М. : Выс-
шая школа, 1966.

14.	ВоупСоп, Р. Р. ЕхНаизГ р1шпез Ггот по221ез 1/уйЬ ЪоипДагу 1ауегз /
Е Р. ВоуЩоп // Д. о! ЗрасесгаД апД госкещ. — 1968. — Уо1. 5. — № 10. —
Р. 1143.

15.	КоЪеПз // 1А8 Рарег. — 1963. — № 63—50.
16.	Авдуевский, В. С. Структура турбулентных недорасширенных
струй, вытекающих в затопленное пространство и спутный поток /
В. С. Авдуевский [и др.] // МЖГ. — 1972. — № 3. — С. 15—29.

17.	Саут мл., Р. Замечания по поводу расчета поля выхлопной струи
и соударения с поверхностью / Р. Саут мл. // РТК. — 1964. — № 5.

18.	Герасимов, Ю. И. Параметры подобия в задаче о взаимодействии
свободно расширяющейся струи с пластиной / Ю. И. Герасимов //
МЖГ. — 1981. — № 2. — С. 169—173.

19.	Соегкеп, В. Н. Вазе Е1оуу СйагасГепзНсз о! Мтззтез ууНй с1из1:ег-
Коске! ехкаиз! / В. Н. СоеШегТ // Аегозрасе Еп§шеегш§. — 1961. — № 3.

20.	Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. — М. :
Наука. 1969.

21.	Корст, Г. Теория определения донного давления в околозву-
ковом и сверхзвуковом потоках / Г. Корст // Механика (сб. пер.). —
1957. — № 5 (45).

22.	Гинзбург, И. П. Некоторые вопросы взаимодействия составных
струй / И. П. Гинзбург [и др.] // Газодинамика и теплообмен. — Л. :
Изд-во ЛГУ, 1970. — № 2.

23.	Линендес. Воздействие ядерного взрыва на ракету / Линендес,
Сугуити // Вопросы ракетной техники. — 1968. — № 12.

24.	Адушкин, В. В. Параметры ударной волны вблизи от заряда ВВ
при взрыве в воздухе / В. В. Адушкин, А. П. Коротков // ПМТФ. —
1961. — № 5.

25.	Динамический расчет сооружений на специальные воздей-
ствия : справочник проектировщика. — М. : Стройиздат, 1981.

26.	Колесников, К. С. Продольные колебания ракеты с жидкостным
ракетным двигателем / К. С. Колесников. — М. : Машиностроение,
1971.

27.	Предводителев, А. С. Таблицы термодинамических функций воз-
духа / А. С. Предводителев [и др.]. — М. : ВЦ АН СССР, 1962.

28.	Предводителев, А. С. Таблицы газодинамических и термодина-
мических величин потока воздуха за прямым скачком уплотнения /
А. С. Предводителев [и др.]. — М. : ВЦ АН СССР, 1962.

29.	Аэродинамика ракет. В 2 кн. Кн. 2 / под ред. М. Хелина, Дж. Нил-
сена. — М. : Мир, 1989.

30.	Балабух, Л. И. Основы строительной механики ракет : учеб,
пособие для студ. высш. учеб, заведений / Л. И. Балабух. — М.: Высшая
школа, 1969.

31.	Краснов, Н. Ф. Аэродинамика тел вращения / Н. Ф. Краснов. —
М. : Машиностроение, 1964.

32.	Погорелов, В. И. Инженерные методы расчета силового воздей-
ствия газовых струй на преграду / В. И. Погорелов, В. А. Тетерин. — Л.:
Ленингр. мех. ин-т, 1972.

33.	Антохин, В. М. Тепловое воздействие свободно расширяющейся
струи газа на плоскую преграду / В. М. Антохин [и др.] // МЖГ. —
1981. — № 4. — С. 119—126.
34.	Шишков, А. А. Рабочие процессы в ракетных двигателях твердого
топлива : справочник / А. А. Шишков. — М. : Машиностроение, 1988.

35.	Балабух, Л. И. Строительная механика ракет : учебник для маши-
ностроительных спец, вузов / Л. И. Балабух, Н. А. Алфутов, В. И. Усю-
кин. — М. : Высшая школа. 1984.

36.	Пешков, Р. А. Анализ ударно-волновых нагрузок на ракету,
пусковую установку и контейнер в процессе старта / Р. А. Пешков,
Р. В. Сидельников // Вестник ЮУрГУ. — (Машиностроение). — 2015. —
Т. 15. — № 2. — С. 81—91.

37.	Конюхов, С. Н. Минометный старт межконтинентальных балли-
стических ракет / С. Н. Конюхов, П. П. Логачев. — Днепропетровск :
НАН НКА Украины, Ин-т технической механики, 1997.

38.	Колесников, К. С. Расчет и проектирование систем разделения
ступеней ракет / К. С. Колесников [и др.]. — М. : Изд-во МГТУ им.
Н. Э. Баумана, 2006.

39.	Булычев, Л. А. Нагрузки на упругую ракету : учеб, пособие /
Л. А. Булычев. — М. : Изд-во МАИ, 2006.

40.	Дмитриевский, А. А. Внешняя баллистика / А. А. Дмитриевский,
Л. Н. Лысенко. — 4-е изд., перераб. и доп. — М. : Машиностроение,
2005.

41.	Кудинов, В. А. Техническая термодинамика и теплопередача :
учебник для академического бакалавриата / В. А. Кудинов, Э. М. Кар-
ташов, Е. В. Стефанюк. — 3-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство
Юрайт, 2016.
Новые издания по дисциплине
«Летательные аппараты»
и смежным дисциплинам

1.	Аносов, А. П. Теория и устройство судна: циклическая проч-
ность судовых конструкций : учеб, пособие для вузов / А. П. Аносов,
А. В. Славгородская. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Издательство Юрайт,
2018.

2.	Бажанов, В. Л. Механика деформируемого твердого тела : учеб,
пособие для бакалавриата и магистратуры / В. Л. Бажанов. — М.: Изда-
тельство Юрайт, 2018.

3.	Волъмир, А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек :
учеб, пособие для бакалавриата и магистратуры / А. С. Вольмир. —
2-е изд., стер. — М. : Издательство Юрайт, 2018.

4.	Золоторевский, Н. Ю. Материаловедение. Фрагментация и тек-
стурообразование при деформации металлических материалов : учеб,
пособие для вузов / Н. Ю. Золоторевский, В. В. Рыбин. — М.: Издатель-
ство Юрайт, 2018.

5.	Малинин, Н. Н. Прочность турбомашин : учеб, пособие для бака-
лавриата и магистратуры / Н. Н. Малинин. — 2-е изд., испр. и доп. —
М. : Издательство Юрайт, 2018.

6.	Никитенков, Н. Н. Технология конструкционных материалов.
Анализ поверхности методами атомной физики : учеб, пособие для
бакалавриата и магистратуры / Н. Н. Никитенков. — М. : Издательство
Юрайт, 2018.

7.	Подружин, Е. Г. Конструирование и проектирование летатель-
ных аппаратов. Фюзеляж : учеб, пособие для вузов / Е. Г. Подружин,
В. М. Степанов, П. Е. Рябчиков. — 2-е изд. — М. : Издательство Юрайт,
2018.

8.	Чаплыгин, С. А. Динамика полета. Избранные работы / С. А. Чап-
лыгин. — М. : Издательство Юрайт, 2018.

9.	Шерышев, М. А. Прикладная механика: расчеты оборудования
для переработки пластмасс : учеб, пособие для вузов / М. А. Шерышев,
Н. Н. Лясникова. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство Юрайт,
2018.