Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы - Зив Б.Г.

Author: Зив Б.Г.
Tags: математика геометрия задачи по математике задачи по геометрии 11 класс
ISBN: 5-87445-056-4
Year: 1998
Similar
Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы
Учимся решать задачи по геометрии. 7-11 класс
Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7-11 классов общеобразовательных учреждений
Нестандартные задачи по математике в 7-11 классах
Text
                    Серия учебной и познавательной литературы "Магистр"
<
"?** "*.
•с
4^£д;сО^
4***
*. Д» Л ■*»
яр .*• •
^м^м» -ws^"^~
- р\ ■
« - №\
\-4
IT .
** f "»' "ft Г 2**\ w, ^Яв?"-1^
•t»
■ , './ * • ■ ft!**--
5
u. I
i.h-<*4'>i
•SBPS
v I
• Л
« \Jktm>
4 . \вЛ
, •./t4.
Jf " <-k
•I , ^
, V'
«5 Л
* J *
Мир и Семья-95, Интерлайн. С-Петербург, 1998

Б.Г.&ИБ
ЗАДАЧИ
К УРОКАМ
ГЕОМЕТРИИ
7-11 КЛАССЫ
Рекомендовано
Главным управлением развита
общего среднего образование
Министерства образование
Российской Федерации
Издание 5-е,
исправленное
НПО "МИР И СЕМЬЯ-95"
Санкт-Петербург
1998

ISBN 5-87445-056-4
ЗИВ Б.Г.
3-59 Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы. — С.-Петербург, 1998.
НПО «Мир и семья-95» — 624 с: илл.
Книга известного петербургского математика, методиста и педагога Бориса
Германовича Зива составлена на основе весьма популярных дидактических материалов,
изданный ранее издательством «Просвещение», но со значительными доработками и
изменениями. Также в рамках этой книги впервые публикуются дидактические материлы
по курсу геометрии II класса.
Охраняется Законам РФ об авторском праве. Воспроизведение всей книги или любой
ее часта запрещаете* без письменного разрешения издателя. Любые попытки нарушения
закона будут преследоваться в судебном порядке.
Издание подготовлено в НПО «МИР И СЕМЬЯ-95»
(С.-Петербург, ул. Уральская 17. т. 3501774, 3502721 /доб.244/)
Редакторы:
Татьяна Ильинична Клименко, завуч 196 средней школы Санкт-Петербурга
Анна Семеновна Пивоварова, учитель математики 526 школы Санкт-Петербурга
Александр Витальевич Сычев, учитель математики 196 школы Санкт-Петербурга
Компьютерный набор: Екатерина Пеняева
Компьютерная верстка: Ирина Константинова, Ирина Межебурская
Художник: Игорь Хойхин
Ответственный за подготовку издания: Александр Полуда
Ответственный за выпуск: Наталия Емельянова
Ответственная за распространение: Елена Михайлова
© НПО «МИР И СЕМЬЯ-95», текст, оригинал-макет, иллюстрации, 1995 г.
© Гольдич В., предисловие, 1995 г.
В оформлении книги использована гравюра
Альбрехта Дюрера «Меланхолия»
По вопросам оптовых продаж обращаться в
О.О.О. "Книжный Дом ЛОКУС"
125212 г. Москва, Ленинградское шоссе, д. 58.
т/ф. (095) 452-07-72, 459-90-39
^^<__^^
Вы держите в руках уникальную книгу. Если Вы начинающий
учитель математики, немедленно вынимайте деньги, остальную часть
предисловия прочитаете дома, в спокойной обстановке. Впрочем,
опытный преподаватель и вовсе не станет читать предисловие —
фамилия Автора, стоящая на обложке, является абсолютной гарантией
качества. Если же — и тут Вам можно только посочувствовать — Вы не
являетесь учителем, или не привыкли доверять рекламным
заверениям, читайте дальше.
Данный сборник содержит полный набор задач для уроков и
контрольных заданий по всему курсу геометрии с 7 по 11 классы по
учебнику Атанасяна — самому распространенному сейчас в России. Кроме
того, здесь Вы найдете диктанты, обширные работы на повторение и даже
задачи олимпиадного характера. Все контрольные задания — Автор
представил по четыре варианта каждого — имеют одинаковый уровень
сложности, рассчитанный на проверку усвоения пройденного
материала средним учеником. Совсем иное дело задачи к уроку — тут Вы
получите истинное удовольствие. Охвачены все темы курса — в строгом
соответствии с действующим учебником. Варианты 1 и 2 рассчитаны
на совсем слабого ученика — это минимальный уровень, за который
можно поставить «три». Варианты 3 и 4 — базовый уровень, короче —
«четверка». Варианты 5 и 6 достаточно сложны — их следует
предлагать наиболее способным учащимся. Варианты 7 и 8 вполне можно
использовать для кружковой работы — попробуйте решить их сами и,
если Вам будет сопутствовать успех, гарантирую, Вы получите истинное
эстетическое удовольствие. Если же какая-то задача и не поддается, не
расстраивайтесь — решения, которые приводит Автор, изложены
настолько четко, что Вы легко в них разберетесь. Таким образом, если
Вы станете счастливым обладателем этой Книги, Вам не потребуется
перерывать десятки решебников в поисках подходящей задачи —
избавьтесь от них, не захламляйте свой дом, у Вас теперь есть все, что
необходимо для того, чтобы научиться или научить решать любые
задачи по геометрии.
учитель-методист физико-математического лицея № 366
Санкт-Петербурга
Владимир Гольдич
3

ОТ АВТОРА
Основная цель данной книги — помочь учителям организовать
работу с учащимися по решению геометрических задач в классе и дома с
учетом их индивидуальных особенностей и уровня подготовки. Книга
состоит из 5 глав, каждая из которых содержит необходимый задачный
материал по курсу 7—11 классов. Каждая глава содержит следующие
разделы:
1. Задачи для работы на уроке и дома, сгруппированные по четырем
уровням сложности от простейших до достаточно сложных, которые
можно использовать и для работы в классах с углубленным изучением
математики.
2. Контрольные задания в четырех вариантах, составленные из
наиболее типичных задач соответствующих тем (звездочками отмечены
дополнительные задачи для наиболее сильных учеников).
3. Устные задачи ко всем основным темам курса.
4. Работы на повторение, в том числе и для подготовки к
экзаменам в 9 и 11 классах.
В конце книги приведены ответы, даны указания к задачам,
могущим вызвать затруднения, и помещены решения наиболее сложных
задач.
Книга ориентирована на изучение геометрии по учебникам
геометрии 7—9 и 10—11 классов под редакцией Л. С. Атанасяна, но может с
успехом использоваться и при работе по другим учебникам. Книга
может быть полезна и учащимся для их самостоятельной работы дома.
При составлении материала для 7-х и 8-х классов непосредственное
участие принимал нижегородский учитель Вениамин Михайлович
Мейлер.
Автор выражает искреннюю благодарность методисту
С.-Петербургского Университета педагогического мастерства Владимиру
Борисовичу Некрасову за труд прочтения всей рукописи и за весьма ценные
замечания и советы.
Автор благодарит всех редакторов книги и сотрудников издательства
«МИР И СЕМЬЯ—95», в особенности Ирину Константинову,
Екатерину Пеняеву и Наталью Емельянову, которые в необычайно
короткий срок подготовили эту книгу к изданию.
4
7 КЛАСС

ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
Параграф
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10*
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23*
24
25*
26
Тема
Прямая и отрезок
Луч и угол
Сравнение отрезков и углов
Измерение отрезков и углов
Перпендикулярные прямые, смежные и вертикальные углы
Треугольник
Первый признак равенства треугольников
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Свойства равнобедренного
треугольника
Второй и третий признаки равенства треугольников
Равенство треугольников
Окружность
Построение циркулем и линейкой
Признаки параллельности двух прямых
Практические способы построения параллельных прямых. Аксиома
параллельных прямых и следствия из нее
Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и
секущей. (Свойства параллельных прямых)
Параллельные прямые
Теорема о сумме углов треугольника. Остроугольный, прямоугольный и
тупоугольный треугольники
Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника
Неравенство треугольника
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника. Прямоугольный
треугольник с углом в 30е.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до прямой. Расстояние
между параллельными прямыми
Множество точек, равноудаленных от данной прямой
Построение треугольника по трем элементам
Более сложные случаи построения треугольников
Итоговое повторение
* Задачи предназначены для классов с углубленным изучением математики
6
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
§ 1. Прямая и отрезок
1. (Рис. 1)
1. Пересекаются ли отрезки АВ и CD1
2. Пересекаются ли прямые АВ и CD1
3. Отметьте точку М так, чтобы она
лежала на прямой CD, но не лежала
ни на отрезке АВ, ни на отрезке CD.
4. Отметьте точку ./V, которая лежит
на прямой CD между точками А и В.
Как вы назовете такую точку?
Рис. 1
2. (Рис. 2)
1. Пересекает ли прямая KL отрезок EF7
2. Пересекает ли прямая KL прямую
ЕЛ
3. Отметьте точку А, которая лежит на
прямой EF, но не лежит на прямой
KL.
4. Существуют ли точки, которые
одновременно лежат на отрезке EF и
прямой LK7
3. (Рис. 3)
1. Сколько существует различных
отрезков с концами в точках А, В, С и
D.
2. Пересекаются ли прямые АВ и CD?
3. Какая из точек, А или D, лежит
между точками В и С?
4. Отметьте точку М, которая лежит на
прямой AD, но не лежит на отрезке
ВС.
5. Проведите прямую, проходящую через точку Е, которая пересекает
прямые АВ и ВС, но не пересекает отрезок AD.
Рис.3
7

4. (Рис. 4)
1. Сколько существует различных
отрезков с концами в точках Е, F, М и
N7
2. Пересекаются ли прямые EN и FM1
3. Какая из точек, А или TV, лежит
между точками EuF?
4. Отметьте точку В, которая лежит на
отрезке MN, но не лежит на прямой
EF.
5. Проведите прямую, проходящую
через точку А, которая пересекает
прямые EF и MN, но не пересекает
отрезок FM.
Рис.4
1. Начертите две пересекающиеся прямые и
расположите на них два отрезка, не
имеющие общих точек.
2. Сколько точек надо взять между точками А и
В, чтобы вместе с отрезком АВ получилось
шесть различных отрезков?
3. Даны отрезок АВ, точка Е, не лежащая на
прямой АВ, и точка С, лежащая на прямой
АВ. Каково взаимное положение прямой ЕС
и отрезка АВ1
4. Можно ли провести прямую, не проходящую
через точку А, так, чтобы она пересекла
одновременно прямые АВ, АС и AD (рис. 5).
8
6.
1. Начертите две пересекающиеся прямые и расположите на них два
непересекающихся отрезка так, чтобы точка пересечения прямых
принадлежала одному из них.
2. Проведите прямую, которая пересекает некоторые из указанных на
рисунке 6 отрезков, так, чтобы вместе с данными отрезками
образовалось шесть отрезков.
3. Дана прямая EF, A ^ EF, В ^ EF. Может ли прямая АВ не
пересекать отрезок EF7
4. Может ли прямая, не проходящая через точку О, одновременно
пересекать прямые О А, ОВ, ОС и OD (рис. 7)?
А О
Рис. 6 Рис. 7
7. ^В
1. Сколько различных прямых можно
провести через четыре точки?
Сделайте чертежи.
2. По рисунку 8 определите число
отрезков с концами в обозначенных
точках.
Рис.8
9

8.
1. Сколько точек пересечения могут иметь четыре попарно
пересекающиеся прямые? Для каждого случая сделайте рисунок.
2. По рисунку 9 определите число отрезков с концами в обозначенных
точках.
Рис.9
10
§ 2. Луч и угол.
1. 1) Сколько лучей с началом в точке О изображено на рисунке 10?
2) Сколько углов изображено на этом рисунке?
3) Постройте луч ОМ так, чтобы угол АОМ был развернутым.
2. Начертите угол. Отметьте точку М, которая лежит на стороне угла,
точку N, лежащую во внутренней области угла, и точку Е,
принадлежащую его внешней области.
В
О
Рис. 10
1. 1) Сколько лучей с началом в точке О изображено на рисунке 11?
2) Сколько углов изображено на этом рисунке?
3) Начертите луч О А так, чтобы угол AON был развернутым.
2. Начертите угол. Изобразите отрезок: а) все точки которого лежат во
внутренней области угла; б) все точки которого лежат во внешней
области угла; в) часть точек которого лежит во внутренней области
угла.
о
/ к
М N
Рис. 11
11

3.
1. 1) Сколько неразвернутых и сколько развернутых углов
изображено на рисунке 12?
2) Проведите лучи с началом в точке В, один из которых пересекал
бы луч АС, а другой не пересекал бы его.
2. Даны угол MEF и точка А, лежащая в его внутренней области
(рис. 13). Проведите луч с началом в точке Е так, чтобы
образовались два угла, такие, что точка А не принадлежала бы их
внутренним областям.
Рис. 12 Рис. 13
1. 1) Сколько неразвернутых и сколько развернутых углов
изображено на рисунке 14?
2) Начертите луч CD, проведите два луча с началом в точке А, один
из которых пересекал бы луч CD, а другой не пересекал бы его.
2. Даны угол EKL и точка М, не лежащая в его внутренней области
(рис. 15). Проведите из точки К луч так, чтобы образовалось еще
два угла, такие, что точка М не лежала бы в их внутренней области.
UV
Рис. 14 Рис. 15
12
1. Сколько неразвернутых и сколько развернутых углов изображено
на рисунке 16?
2. С началом в точке Е (рис. 17) проведите лучи, один из которых
пересекает луч С А, а другой не пересекает луч ВС. Рассмотрите
возможные варианты.
3. Дан неразвернутый угол ABC. Проведите лучи с началом в точке В,
чтобы образовались при этом шесть углов, из которых один был бы
развернутым.
Рис. 16 Рис. 17
1. Сколько неразвернутых и сколько развернутых углов изображено
на рисунке 18?
2. С началом в точке Е проведите лучи, один из которых пересекает
луч ВС, а другой не пересекает луч АС (рис. 19). Рассмотрите
возможные варианты.
3. Через заданную точку проведите столько прямых, чтобы при их
пересечении образовалось шесть углов.
Рис. 18 Рис. 19
13

7.
Углы АОВ, ВОС, COD, DOE и ЕОА имеют общую вершину О. Прямая
а, не проходящая через точку О, пересекает не менее двух лучей,
которые являются сторонами этих углов. Рассмотрите все возможные
случаи. Сделайте чертежи.
8.
Углы MAF, FAK, КАР, PAQ, QAM имеют общую вершину А. Прямая
/и, не проходящая через точку А, пересекает не более трех лучей,
которые являются сторонами этих углов. Рассмотрите все возможные
случаи. Сделайте рисунки.
14
| 3. Сравнение отрезков и углов
1.
1. На рисунке 20 СВ = BE, DE > АС. Сравните отрезки АВ и DB.
2. На рисунке 21 L АОВ = L DOC. Есть ли еще на рисунке равные
углы?
Рис.20
2.
1. На рисунке 22 ЕО - NO, OK > OL. Сравните отрезки ЕК и NL.
2. На рисунке 23 L MOL - L KON. Есть ли еще на рисунке равные
углы?
Рис. 22
Рис. 23
15

3.
1. На прямой а от точки А в одном
направлении отложены два
отрезка АВ и АС (АС > АВ). От точки С
на этой прямой отложите такой
отрезок СЕ, чтобы АС = ВЕ. Что
вы можете сказать о длине
отрезка СЕ1
2. L АОС = L BOD, ОМ —
биссектриса L АОВ (рис. 24). Докажите,
что ОМ — биссектриса L COD.
4.
На прямой т от точки А отложены два
отрезка так, что АС > АВ и точка А
лежит между точками В и С. От точки С
отложен отрезок СМ так, что ВМ - АС.
Сравните отрезки МС и АВ.
На рисунке 25 L АОС - L ВОС и
L АОЕ = L BOF. Является ли луч ОС
биссектрисой угла EOF1.
Рис.25
5.
Если на прямой даны точки А, В, С и
D (точка С лежит между А и В) так,
что АВ = CD, то является ли середина
отрезка AD также серединой отрезка
ВС? Обоснуйте ответ.
На рисунке 26 ОВ — луч,
принадлежащий внутренней области угла
АОС. Как нужно провести луч ОЕ,
чтобы L АОС = L ВОЕ? Покажите
на рисунках возможные варианты.
16
6.
АВ и АС — отрезки одной прямой (А
лежит между точками В и С), точка
М — середина отрезка АВ, N —
середина АС. Верно ли, что ВС = 2MN?
Ответ обоснуйте.
На рисунке 27 ОС — луч,
принадлежащий внутренней области угла
АОВ. Как нужно провести луч OD,
чтобы L AOD = L COW. Покажите
на рисунке возможные варианты.
Рис. 27
7.
1. На прямой а от точки А
отложены два отрезка АВ и АС, причем
АВ < АС < 1,99АВ. Сравните
отрезки ВС и АВ. Ответ обоснуйте.
2. На рисунке 28 L АОС = L BOD, ОМ
и ON — биссектрисы углов АОВ и
COD. Сравните углы MON и АОС.
Рис. 28
8.
На прямой т от точки А отложены два
отрезка АВ и АС, причем
0,51 АВ < АС < АВ. Сравните отрезки
ВС и АС. Ответ обоснуйте.
На рисунке 29 ОМ и ON —
биссектрисы углов АОВ и COD, L MON =
= L АОС. Сравните углы А( )С и BOD.
Рис. 29
17

jj4.Изменение ....отрезков;...и углов
1. На прямой т лежат точки M,N и К, причем MN-S5 мм, NX**
= 1,15 дм. Какой может быть длина отрезка МК в сантиметрах?
2. L ЛОВ — 90°. Проведите луч ОС так, чтобы угол АОС равнялся 45°
(рассмотрите два случая).
1) Чему равен угол СОВ?
2) Каким углом: острым, тупым или развернутым — является угол
СОВ?
3) Является ли луч ОС биссектрисой угла ЛОВ!
1. Точки А, В и С лежат на прямой а, причем АВ - 5,7 м, ВС в 730 см.
Какой может быть длина отрезка АС в дециметрах?
2. L АО В "120°. Проведите луч ОС так, чтобы угол АОС равнялся 60°
(рассмотрите два случая).
1) Чему равен угол СОВ?
2) Каким углом: острым, тупым или развернутым — является угол
СОВ?
3) Является ли луч ОС биссектрисой угла АОВ?
3.
1. На отрезке MN, равном 8 дм, лежат точки А и В по разные стороны
от середины С отрезка MN, СА в 7 см, СВ в 0,24 м. Найдите длины
отрезков AN и BN в дециметрах.
2. L АОВ - 80°. Луч ОС делит этот угол на два угла так, что
L AOC-4L СОВ.
1) Найдите эти углы. 2) Найдите угол DOB, если луч OD проведен
так, что О А — биссектриса угла DOB. Каким углом: острым или
тупым — является этот угол?
1. Точка М — середина отрезка EF, длина которого равна 1,2 м. От
точки М, по разные стороны от нее, отложены два отрезка MP"
- 1,6 дм и MQ - 40 см. Найдите длины отрезков ЕР и QF в
сантиметрах.
2. L АОВ - 100°, луч Отделит этот угол на два угла так, что L ВОЕ -
- 3/. АОЕ.
1) Найдите эти углы.
2) Найдите угол AOF, если луч OF проведен так, что ОЕ —
биссектриса угла FOB. Каким углом: острым или тупым — является этот
угол?
18
5.
1. На отрезке АВ, равном 192 дм, дана точка С, такая, что АО.СВ в 1:3.
На отрезке АС отложен отрезок CD, равный — ВС. Найдите
расстояние между серединами отрезков AD и СВ.
2. Угол АОВ расположен во внутренней области угла COD. ОЕ и OF—
биссектрисы углов СОЛ и BOD соответственно. Объясните, почему
угол EOF прямой, если L COD + L АОВ - 180°.
6.
1. На прямой отложены два равных отрезка АС и СВ. На отрезке СВ
дана точка D, такая, что SCD - 4DB. Найдите длину отрезка,
концами которого являются середины отрезков АС и DB, если CD ■
-12 м.
2. Угол АОВ принадлежит внутренней области угла COD; L COD -
- 140°, a L АОВ - 100°. Найдите угол, образованный биссектрисами
углов АОС и BOD, если луч ОВ принадлежит внутренней области
угла AOD.
7.
1. Длина отрезка АВ равна 14 см. Найдите на прямой АВ все такие
точки D, для которых DA^bDB.
2. Прямой угол разделен лучом, исходящим из его вершины, на два
угла, такие, что половина одного угла равна трети другого. Найдите
эти углы.
8.
1. Длина отрезка АВ равна 12 см. Найдите на прямой АВ все такие
точки М, для которых MA e 2MB.
2. Прямой угол двумя лучами, исходящими из его вершины, разделен
на три угла, один из которых равен разности двух других углов.
Найдите величину большего из этих углов.
19

§ 5. Перпендикулярные прямые, смежные
и вертикальные углы
1.
1. Смежные углы относятся как 4:1.
Найдите эти углы.
2. На рисунке 30 прямые а и Ь
перпендикулярны, L\- 40°. Найдите углы 2,
Зи4.
Рис. 30
2.
1.
2.
Один из смежных углов больше другого
на 40е. Найдите эти углы.
На рисунке 31 прямые а и Ь
перпендикулярны, L 1 = 130°. Найдите углы 2,3
и 4.
Рис. 31
3.
Из точки О проведены лучи ОА,
ОВ и ОС, причем ОВ ± ОА
(рис. 32). Угол, образованный
биссектрисами углов АОВ и
ВОС, равен 75°. Найдите углы ————
АОВ,ВОСкАОС. А
При пересечении двух прямых Рис. 32
образовалось четыре угла
меньше развернутого. Найдите эти углы, зная, что один из них на 60°
больше половины другого.
20
4.
1. Из точки О проведены лучи ОА, ОВ и
ОС (рис. 33), причем ОВ ± ОА.
Угол, образованный биссектрисами
углов АОВ и ВОС, равен 20°.
Найдите углы АОВ, АОС и СОВ.
2. При пересечении двух прямых
образовались четыре угла меньше
развернутого. Найдите эти углы, зная, что
градусные меры двух из них
относятся как 4 : 5.
Рис. 33
5.
1. Даны два угла АОВ и ВОС с общей
вершиной. Стороны одного угла
перпендикулярны к сторонам
другого (рис. 34). Найдите эти углы,
если разность между ними равна
прямому углу.
2. Углы АОВ и ВОС смежные, ОМ —
биссектриса угла АОВ, луч ON
принадлежит внутренней области угла
ВОС и перпендикулярен ОМ.
Является ли ON биссектрисой угла ВОС1
Почему?
6.
1. Два равных тупых угла имеют общую сторону, а две другие стороны
взаимно перпендикулярны. Найдите величину тупого угла.
2. Из вершины развернутого угла проведены два луча, которые делят
его на три равные части. Покажите, что биссектриса среднего угла
перпендикулярна сторонам развернутого угла.
21

7.
Докажите, что сумма каждых трех углов, не прилежащих один к
другому и образуемых тремя прямыми, проходящими через одну точку,
равна двум прямым углам.
8.
Докажите, что сумма каждых пяти углов, не прилежащих один к
другому и образуемых пятью прямыми, проходящими через одну точку,
равна двум прямым углам.
22
тштттжттттж
|6. Т^угольник
1.
1. А МЕР - A ABC, LE = 45°.
Найдите угол В.
2. На рисунке 35 BD - DC. Сравните
периметры треугольников ABC и
ABD.
Рис. 35
2.
1. AAPC = AMFB, LP=LM, FB =
= 17 см. Найдите АС.
2. На рисунке 36 ED - DK. Сравните
периметры треугольников DFK и
EFK.
Рис. 36
3.
1. А АВС - A ADC, L ABC - 70° (рис. 37). Найдите L MDC.
2. На рисунке 28 АВ^ВС^АС, AD = CD. Периметр треугольника
АВС равен 36 см, а
периметр
треугольника ADC
равен 40 см.
Найдите длины сторон
этих
треугольников.
Рис. 37
Рис. 38
23

4.
1. На рисунке 39 A ABD = ACDB, L FAB - 160°. Найдите L BCD.
2. На рисунке 40 АВ - ВС и ВС = #D - DC. Периметр треугольника
ASC равен 42 см, АС - 12 см. Найдите периметр треугольника ШЭС.
Рис. 39
Рис. 40
5.
1.
На рисунке 41 A ABD = ACBD,AD = DC, L ABC= 110°, L BAD =
- 90°. Найдите угол ABD и докажите, что ВС A. CD.
В треугольнике ABC АВ - ЯС, АС - 8 см, £е ЯС, причем Я£ - £С.
Точка £ делит периметр треугольника ЛЯС на две части, из которых
одна больше другой на 2 см. Найдите АВ.
24
6.
1. На рисунке 42 AABE = AECD, L АВЕ =
= L CDE, АЕ=1 см, АВ± АС. Найдите АС
и L ECD.
2. В треугольнике ABC АВ - ЯС - 12 мм.
Точка М лежит на стороне ВС, причем ВМ =
= МС. Точка М делит периметр
треугольника ABC на две части, из которых одна
меньше другой на 3 мм. Найдите сторону
АС.
Рис.42
7.
В треугольнике ABC АВ = АС.
Внутри треугольника выбрана точка О
так, что L АОВ - L AOC, L АОВ -
- 120°. Докажите, что АО —
биссектриса угла ВАС, и найдите угол
ВОС.
На рисунке 42 А АВС - AADC, АВ -
- С£> - 20 см, Ж) - DO - 5 см. Пе- *
риметр треугольника ЛЯС равен
50 см. Найдите периметр
треугольника АОС, если АО больше АС на 15 см.
Рис. 43
8.
В треугольнике АВС выбрана точка
О так, что А АОВ - А СОВ, ОА -
- ОС, Z. ЛОС - 140°. Докажите, что
ВО — биссектриса угла АВС, и
найдите угол АОВ.
На рисунке 44 AAOM = AFOE,
L АМО - L AEF. Периметр
треугольника OEF равен 40 см, AF =
= 20 см. Найдите периметр
треугольника AEF.
Рис. 44
25

: 7. Пе (вый п i изнак •. венства т • - гольников
1.
1. На рисунке 45 BD - АС, ОВ - ОС. Докажите, что А АОВ - ACOD.
2. На рисунке 46 О А - ОС, L 1 - L 2. Докажите, что ЛЯ - ВС.
Рис. 45
Рис. 46
2.
1. На рисунке 47 ААХ - ССХ,ВС-ВХСХ, ВС± АС, ВХСХ± АХСХ.
Докажите, что А АСВ*= ААХСХВХ.
2. На рисунке 48 АВ - ВС, L 1 - L 2. Докажите, что L ADB - L CDB.
В
С At
Рис. 47
Of
26
3.
1. На рисунке 49 L BDC - Z. Я£/4, Л£> - ЕС, BD - Я£. Докажите, что
А Л/Ш - ДЯЯС. Чему равен L BAD, если L ВСЕ - 40°?
2. На рисунке 50 ЛЯ - AD, AC^AEwL BAD - Z. САЕ. Равны ли
отрезки ВС и £>£, углы МСМ и /С£Л?
А -^с
Л D Е
Рис. 49 Рис. 50
4.
1. На рисунке 51 L ABE - L ECD, ВЕ~СЕиВК = LC. Докажите, что
А ВЕК - A ELC. Чему равен L ELC, если L ВКЕ - 110°?
2. На рисунке 52 AC-BC = DC = EC, AC± CD и ВС А. ЕС.
1) Докажите, что АВ - DE.
2) Сравните периметры треугольника ABD и £2Ш.
ЛвК LCD " 4Е
Рис. 51 Рис. 52
27

5.
1. На рисунке 53 ОА = ОС и LAOB =
= L ВОС. Докажите, что А АВК -
=А СВК.
2. В треугольнике ABC и А\ВХСХ АС =
= Л,С,, АВ-AtBt и LA = LAU
£>G ВС и DC^IBD, A G Я,С, и
£),Ci=2fi,A. Докажите, что Л£) =
= Л,А.
6.
На рисунке 54 ОА = ОС и LAOD =
= Z. СО£>. Докажите, что AABD*=
= A СЯ Я.
Даны треугольники DEF и A 2?i /\,
точки М и Mi лежат соответственно на
сторонах DF и А^ь причем DM = 3MF
и AM, = 3M,F,, DE*=DtEu EM =
= £iM, и L DEM** L DXEXMX.
Докажите, 4toEF = EiFi.
7.
На рисунке 55 CO = 0£> и ЛО = ОЯ,
M — середина отрезка АВ. Докажите,
что МС = MD.
28
8.
На рисунке 56 АО = OB, OD = OCvlDE = CF. Докажите, что АЕ - Я/ч
А В
Е D С F
Рис. 56
29

§ 8. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
1.
1. Проведите общую для всех изображенных на рисунке 57
треугольников высоту. Для какого из треугольников эта высота расположена
вне его?
2. На рисунке 58 АВ - ВС, BE — медиана треугольника ABC. L ABE -
- 40°30'. Найдите L ABC и L FEC.
В
Рис. 57
2.
1. Проведите общую высоту для всех изображенных на рисунке 59
треугольников. Для каких треугольников эта высота лежит внутри
треугольника?
2. На рисунке 60 АВ - ВС, L FEC - 90°, АЕ = 10 дм, L ABC - 130°30'.
Найдите АС и L ЕВС.
Рис. 59
30
3.
1. На рисунке 61 L ADB - L CDB, AD » DC. Докажите, что L ВАС =
= L ВСА и BD± AC.
2. На рисунке 62 АВ — ВС и АО — ОС, ОК — биссектриса треугольника
ВОС. Найдите угол АОК.
Рис. 61
4.
1. На рисунке 63 AD = DC, L ADB - L CDB. Докажите, что L ВАС -
= LBCAwAM = MC.
2. На рисунке 64 АВ - ВС, ОМ — биссектриса треугольника АОВ,
L МОС - 135°. Докажите, что L АВО - L ОВС.
31

5.
1. На рисунке 65 АВ = ВС и AE = FC.
Докажите, что L АЕС = L AFC.
2. В треугольнике ABC на продолжении
стороны ВС за точку С отложен отрезок
CD, равный СА, и точки А и D
соединены отрезком, СЕ — биссектриса
треугольника АСВ, a CF — медиана
треугольника ACD. Докажите, что CFA. СЕ.
Рис. 65
6.
1. На рисунке 66 АЕ^ЕС и BE = ED.
Докажите, что L ACD = L CAB.
2. На отрезке АС по разные стороны от
него построены два равнобедренных
треугольника ABC и ADC. Вершины
этих треугольников соединены пря- Рис 66
мой BD. Докажите, что BD± AC.
7.
В треугольнике ABC АВ = ВС = АС. На его сторонах взяты точки М, Р
и К так, что АМ:МВ = ВР.РС = СК.КА = 1:3. Докажите, что
ДМР/С равносторонний.
8.
Стороны равностороннего треугольника ABC продлены на отрезки
AM, СР и ВК так, что МА:АВ - РС.АС - Я/Г:СЯ -2:1. Докажите, что
треугольник МРК равносторонний.
32
§ 9. Вто£ой итретий признак равенства треугольников
1.
1. На рисунке 67 АВ = ВС, АК = КС, L АКЕ = L РКС. Докажите, что
ААКЕ = АКРС.
2. На рисунке 68 АВ - ВС и AD = DC. Докажите, что BD —
биссектриса угла ABC.
Рис. 68
2.
1. На рисунке 69 АВ - ЯС, МЛ - PC, Z. АМО - Z. ОРС. Докажите, что
АЛМО = АОРС.
2. На рисунке 70 АВ - С А ЯС - Л£>. Докажите, что L \ = L2.
В
Рис. 70
2 Зип Б. Г.
33

3.
1. На рисунке 71 АМ = МС, АЕ^ DC,
L BDA = L FEC. Докажите, что
АВ - FC.
2. На стороне АС как на основании
построены по одну сторону от нее два
равнобедренных треугольника ABC и
АМС. Докажите, что прямая ВМ
пересекает сторону АС в ее середине.
Рис. 71
4.
1. На рисунке 72 АВ = ВС, AF = KC,
L DKA - L EFC. Докажите, что AD =
= ЕС.
2. На отрезке АС как на основании
построены по разные стороны от него два
равнобедренных треугольника ABC и ADC.
Докажите, что BD ± АС.
Рис. 72
5.
1. На рисунке 73 L А = L D, L 1 » L 2,
AB = CD, ЕС = 10 см, £ АЕС = 90°.
Найдите высоту треугольника BKD,
опущенную из вершины В.
2. Отрезок прямой АВ точками Р и Q
делится на три равные части. Вне
отрезка АВ по одну сторону от него взяты
точки С и D так, что АС = /Ш и CQ =
- DP, L DPB + L CQA - 140°.
Найдите углы £>/>£ и CQA.
В
II
С
Рис. 73
34
6.
1. На рисунке 74 L ВАС = LF,L\ = L 2,AD = CF, L Е= 90°, EF =
= 15 дм. Найдите высоту треугольника АМС, проведенную из
вершины А.
2. Отрезок прямой EF точками К и L
делится на три равные части. Вне
отрезка EF по разные стороны от
прямой EF взяты точки А и В так, что
АЕ - BF и AL = ВК. Градусные меры
углов AEL и KFB относятся как т: 1.
Найдите т.
7.
На одной стороне угла с вершиной А отмечены точки D и В, на
другой стороне — С и Етак, что AD = АС = 3 см, АВ = АЕ = 4 см.
Докажите, что:
а) ВС - ED;
б) KB = A"£", где К — точка пересечения отрезков ВС и ED.
ABC и А\Вх Сх — равнобедренные треугольники с основаниями АС и
АХС\, точки М иМ\ — середины сторон ВС и B[Ct, АВ = А\В{, AM =
= AiМх. Докажите, что А ЛВС - АА\В{С\.
8.
1. На одной стороне угла с вершиной В отмечены точки М и О, на
другой — К и Р так, что ВМ - ВР, ВО< ВМ, ВК < ВР, a L ОРВ -
= Z. КМВ. Докажите, что:
а)МК = ОР;
б) ТЛ/ = 7У5, где Т — точка пересечения отрезков МК и ОР.
2. АС и А\С\ — основания равнобедренных треугольников ABC и
АхВ\С\, точки М и Мх — середины сторон ВС и ВхС\, АС = А{С\,
АВ - Ах В]. Докажите, что А АВМ - АЛ, /?i М].
35

J 10*.^ Равенсгво..^£^^г^ьнжов_
1.
В треугольниках ABC и А{В{СХ ЛД = А,В,, £- A- L Л,, Z. B= Z. В,,
точки D и D, лежат соответственно на сторонах ЛС и А\Си причем
CD - Ci D,. Докажите, что Л Ш)С - ЛЛ, A Ci. Сравните отрезки BD и
В, А-
2.
В треугольниках ЛБС и А, /?i Ci AS = Л i Б,, AC = Ai C\, Z. Л = L A\,
точки Z? и А лежат соответственно на сторонах ЛС и AiCi, L DBC =
= L DXB\C\. Докажите, что Л ЯОС = A2?i A Ci. Сравните углы BDC и
Вх А С,.
3.
Дан равнобедренный треугольник ЛВС с основанием АС. Точки DwE
лежат соответственно на сторонах АВ и ВС, AZ? = СЕ. DC пересекает
АЕ в точке О. Докажите, что треугольник АОС равнобедренный.
4.
Два равнобедренных треугольника ABC и ADC имеют общее
основание АС. Вершины BuD расположены по разные стороны от АС. Точка
Е лежит на отрезке BD, но не лежит на отрезке АС. Докажите, что
L ЕАС = L АСЕ.
36
5.
Два прямоугольных треугольника ВОК
и COL, где углы ВОК и COL прямые,
имеют общую вершину О (рис. 75), О—А—К,
O—D—L, L КАВ = L CDL, AO = OD и
ЛК = DL. Докажите, что KB = CL.
Рис. 75
6.
Отрезки AD и BE пересекаются в точке С,
L ВАС - L DEC. Углы, смежные с углами
ABC и CDE, равны между собой, АВ - DE.
Докажите, что А АВЕ - A ADE (рис. 76).
7.
В треугольниках ABC и АХВХСХ ВС = ВХСХ> L С = L С, и АВ + АС -
= АХВХ + АХС\, BD и BiA —медианы этих треугольников.
Докажите, что BD = BX £>,.
8.
Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые
медиана разбивает угол треугольника.
37

I 11. Окружность
1.
1. На рисунке 77 хорды АВ и CD равны. Докажите, что L АОВ =
= L COD.
2. Начертите отрезок и луч. На данном луче от его начала отложите
отрезок, длина которого в 2 раза больше длины данного отрезка.
2.
1. На рисунке 78 L MON - L QOP. Докажите, что хорды MN и QP
равны.
2. На данной прямой отметьте две точки так, чтобы расстояние между
ними было вдвое больше данного отрезка.
38
3.
А
На рисунке 79 АВ = CD и точки Е и F
— середины хорд АВ и CD. Докажите,
что ОЕ = OF.
Постройте окружность данного
радиуса, которая проходит через
данную точку М и центр которой
лежит на данной прямой а (М (£ а).
4.
На рисунке 80 MN = EF, OP ± MN и
OD ± EF. Докажите, что OP = OD.
Постройте окружность данного радиуса
Л, которая проходит через данную
точку М и центр которой лежит на данной
окружности (точка М не принадлежит
данной окружности).
Рис. 80
5.
1. На рисунке 81 АВ = CD. Докажите, что АС - BD.
2. На сторонах угла ВАС найдите точки, удаленные от точки М на
заданное расстояние а (рис. 82). Рассмотрите возможные случаи в
зависимости от длины отрезка а.
»~2-н
Рис. 81
Рис. 82
39

6.
1. На рисунке 83 АС - BD. Докажите, что АВ - CD.
2. На сторонах угла ВАС постройте точки, удаленные от точки М на
заданное расстояние b (рис.84). Рассмотрите возможные случаи в
зависимости от длины отрезка Ь.
Рис. 83 Рис. 84
7.
Отрезок BD — высота треугольника ABC. От вершины В на прямой СВ
по обе стороны от точки В отложены отрезки BE и ВК, равные АВ. На
АС от точки D отложен отрезок DF, равный DA. Докажите, что точки
Л, Е, К и F лежат на одной окружности.
8.
АВ и CD — два диаметра окружности с центром в точке О. Луч ОЕ —
биссектриса угла АОС. ОЕ пересекает окружность в точке К, причем
КЕ = КО. Периметр треугольника КСО в 3 раза больше радиуса
окружности. Докажите, что точки £,ДСиО лежат на одной
окружности.
40
112. Шмщюение циркулем и линейкой^
1.
1. Даны острые углы ABC и MON. От стороны АВ во внешнюю область
угла ABC отложите угол, равный углу MON.
2. Постройте прямой угол и его биссектрису.
2.
1. Даны острый угол MNK и тупой угол А ВС. От стороны АВ во
внутреннюю область угла ABC отложите угол, равный углу MNK.
2. Постройте отрезок, соединяющий середины двух данных отрезков.
3.
1. Начертите произвольный остроугольный треугольник ABC и
постройте точку пересечения высоту BD и биссектрисы AL этого
треугольника.
2. От данного луча отложите угол, равный -т данного угла.
4.
1. Начертите произвольный остроугольный треугольник ABC и
постройте точку пересечения высоты AD и медианы ВМ этого
треугольника.
2. От данного луча отложите угол, который в полтора раза больше
данного угла.
5.
1. 1) Постройте угол, равный 135°.
2) От его вершины А на сторонах
отложите два равных отрезка АВ и АС и
постройте окружность, проходящую
через точки А, В и С.
2. Дан треугольник ABC. На прямых АС
и ВС постройте точки X и У, такие,
чтоXA = XBnYA= YB (рис.85).
Рис. 85
41

6.
1. 1) Постройте угол, равный 45°.
2) От его вершины В на сторонах
отложите отрезки ВЛ и ВС, такие, что
В А — 2ВС. Постройте окружность,
проходящую через точки А, В и С.
2. Дан треугольник FEK (рис. 86). На
прямых ЕК и FK постройте точки М u N,
такие, что ME = MF и ME = NF.
Рис. 86
7.
1. Постройте точку, равноудаленную от
точек А и В и удаленную от точки С на
расстояние, равное PQ (рис. 87).
Выясните число решений этой задачи в
зависимости от расположения данных точек
и длины отрезка PQ.
2. Как с помощью циркуля и линейки
можно разделить угол в 54° на три
равные части?
Ph
•В
Q
Рис. 87
8.
2.
С помощью циркуля и линейки
постройте точку М, такую, чтобы она
была удалена от точки А на
расстояние, равное Р£), и так, чтобы L МЕО=
= L MFC (OE = OF) (рис. 88).
Выясните число решений этой задачи в
зависимости от длины отрезка PQ.
Как с помощью циркуля и линейки
можно разделить угол в 35° на 7
равных частей?
Рг-
н Q
Рис. 88
42
§13. Признаки параллельности двух прямых
1. Параллельны ли прямые а и Ь (рис. 89), если:
\) L l = L 3;
2) L 1 = L 4;
3) L 1 + L 2 = 180°;
4) L 5 + L 6 = 90°?
2. На рисунке 90 А АВС = A CDE,BC = DE. Докажите, что AB\\CD.
с
б
6
а\
\i
з\
а
у2
\ 4 Ь
Рис. 89
2.
1. Параллельны ли прямые а и Ъ на рисунке 91, если:
1) L 1 = L 2 = 90°; 3) L 4 = L 5;
2)Z.3 = /L4; 4) L 4 + Z. 6=180°?
2. На рисунке 92 A ABD = A ECF, AD = CF. Докажите, что AB\EF.
2 b
Рис. 91
Рис. 92

3.
1. На рисунке 93 АВ = ВС, L А = 60°, CD — биссектриса угла ВСЕ.
Докажите, что АВ \CD.
2. На рисунке 94 АВ - CD и ВС =AD. Докажите, что ВС \\AD.
В D В и С
/M.CJ
А С £ А О
Рис. 93 Рис. 94
4.
1. На рисунке 95 АВ = ВС, L А =30°,
LDCE~^LBCE. Докажите, что
AB\CD.
2. Отрезки BD и АС пересекаются в а с ~е
точке О так, что АО = ОС и ВО = Рис.95
- OD. Докажите, чтоBC\AD.
5.
1. На рисунке 96/1 1 = L 2, ВС - £F, AD = CF. Докажите, что AB\\DE.
2. На рисунке 97 L 1 = L 2, BD ± АС, АС — биссектриса угла ВАЕ.
Докажите, что ВС || АЕ.
В
В Е
А О С F
Рис. 96 Рис. 97
44
6.
1. На рисунке 98 L1 = /12, ED - ЯС, £F = ЛС. Докажите, что ДО1ДС.
2. На рисунке 99 ЛС — биссектриса угла BAD, BE ± AC и АЕ = ЕС.
Докажите, что AD^BC.
Рис. 98
7.
На рисунке 100 AM = MD, DE = DF
и v4Zi = AF. Докажите, что MD\AF.
Рис. 100
8.
На рисунке 101 АС — биссектриса угла
ВАМ, AD - СЕ, BE = BD, L BDA -
= L ВЕС. Докажите, что AM \BC.
45

§14. Практические способы построения прямых.
Аксиома пар^ и следствие из нее
1.
1. С помощью угольника и линейки через вершины В и D (рис. 102)
проведите прямые а и Ь, параллельные АС. Будет ли а || Ы
Объясните.
2. На рисунке 103 прямая d пересекает прямую Ь. Пересечет ли эта
прямая прямую di Почему?
В
too
Рис. 103
2.
1. С помощью угольника и линейки проведите через точки А и С
(рис. 104) прямые тип, параллельные BD. Будет ли т ||п? Дайте
объяснение.
2. На рисунке 105 а ± с и Ь ± с. Прямая d пересекает прямую а.
Пересекает ли эта прямая прямую Ы Почему?
Л.
д.
о
Рис. 104
Рис. 105
46
3.
1.
2.
С помощью угольника и линейки через вершины Л, В и С проведите
прямые а, Ьи с, параллельные прямой /. Параллельны ли эти
прямые между собой? Пересечет ли прямая АС прямую /? Дайте
объяснение (рис. 106).
На рисунке 107 L 1 - L 2, L 2 - L 3. Докажите, что а || с.
d
Рис. 106
Рис. 107
4.
1.
С помощью угольника и линейки через вершины В, А и С
треугольника ABC проведите прямые а, Ь и с, параллельные /
(рис. 108). Параллельны ли эти прямые между собой? Пересечет
ли эти прямые прямая, проведенная через вершину А и отличная
от а? Почему?
На рисунке 109 L 1 + L 2 = 180° и L 2 = L 3. Докажите, что а \с.
Рис. 108
Рис. 109
47

5.
1. С помощью циркуля и линейки через вершину С треугольника ABC
проведите прямую, параллельную АВ.
2. Используя данные, приведенные на рисунке 110, выясните,
пересекает ли прямая а прямую DE. Ответ поясните.
150
Рис. ПО
6.
1. С помощью циркуля и линейки постройте прямую, параллельную
одной стороне треугольника и проходящую через середину одной из
двух других его сторон.
2. На рисунке 111 прямая т пересекает прямую DE. Пересекает ли эта
прямая прямую АВ1 Ответ поясните.
160
т
Рис. 111
48
7.
1. На рисунке ШАВ = CD и ВС = DE, L ABC = L BCD = L CDE.
Докажите, что точки А, Си Е лежат на одной прямой.
2. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС) BD — медиана.
Пусть М— середина ВС. Пользуясь циркулем и линейкой,
постройте прямую, проходящую через точку Ми параллельную BD.
D Е
\ 1
Рис. 112
8.
1. На рисунке l\3AB = BC = CD= DE, L ABC = L BCD = L CDE.
Докажите, что точки А, С и /i лежат на одной прямой.
2. В треугольнике ABC BD — биссектриса угла ABC, M — середина
АВ. Постройте прямую, проходящую через точку М и
параллельную BD (используя циркуль и линейку).
В
D
Рис. 113
49

§ 15. Теоремы об углах, образованных двумя
параллельными прямыми и секущей.
(Свойства параллельных прямых)
1.
1. Один из внутренних односторонних углов, образованных при
пересечении двух параллельных прямых третьей, в 3 раза больше
другого. Чему равны эти углы?
2. Дан прямоугольный треугольник АСВ (Z. С = 90°), Е G AC, F G АВ,
причем EF \\СВ, ЕК — биссектриса треугольника AEF. Чему равен
угол АЕКР.
2.
L Один из внутренних односторонних углов, образованных при
пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, больше
другого на 64°. Чему равны эти углы?
2. Дан прямоугольный треугольник MEF (Z. Е = 90°). С G ME,
D G MF, причем CD \\EF, К G MD, L KCD = 40°. Чему равен угол
МСЮ.
3.
1. На рисунке 114 AC \\ BD и АС - АВ, L MAC = 40°. Найдите L CBD.
2. Отрезки CD и АВ пересекаются в точке О так, что АО - OB, AC \\DB.
Докажите, что А АОС = A DOB.
Рис. 114
50
4.
1. На рисунке 115 АВ || CD и АС = АВ, L BCD =20°. Найдите угол
CAB.
2. На рисунке 116 ВС = AD и ВС \\AD. Докажите, что A ABC = A ADC.
Рис. 115
Рис. 116
5.
1. На рисунке 117 АВ = BD - ВС, BE \\DC. Докажите, что DC LAC.
2. На рисунке 118 BE \\ AF, АВ || DE, АВ = CD. Докажите, что А ВСЕ
= A ADF.
Рис. 118
51

6.
1. На рисунке 119 АВ = АС, AD = DE, DE \\AC. Докажите, что
АЕ А. ВС.
2. На рисунке 120 АВ \\ CD, BC\\AD, DF \\ВЕ. Докажите, что A FAD -
= А СВЕ.
Рис. 119
Рис. 120
7.
На прямой MN между точками MnN выбрана точка А и проведены по
одну сторону от MN лучи АВ, АС и AD. На луче АВ выбрана точка К и
через нее проведена прямая, параллельная MN и пересекающая лучи
АС и AD соответственно в точках РиЕ,КР = РА = РЕ. Докажите, что
АВ ± AD.
8.
На отрезке АВ взята точка С. Через точки А и В проведены по одну
сторону от АВ параллельные лучи. На них отложены отрезки AD - АС
иВЕ = ВС. Точка С соединена отрезками прямых с точками D и Е.
Докажите, что DC ± СЕ.
52
§ 16. Параллельные прямые
1. Используя данные на рисунке 121, найдите углы 1, 2 и 3.
2. На рисунке 122 АХВХ \\АВ, АХКХ — биссектриса угла МАХВХ, АК —
биссектриса угла МАВ. Докажите, что L МАХКХ = L МАК. Могут
ли пересекаться прямые Ах Кх и АКР.
2d
о с
Рис. 121
Рис. 122
2.
1. Используя данные рисунка 123, найдите углы 1, 2 и 3.
2. На рисунке 124 DE || АС, ЕМ — биссектриса угла DEC, CN — бис
сектриса угла ВСК. Докажите, что L МЕС = L ECN. Имеют ли об
щие точки прямые ME и C7V?
Рис. 123
53

3.
1. Один из углов, образованных при пересечении прямой d прямыми а
и Ь, равен 50° (рис. 125). Может ли один из остальных семи углов
равняться 20°? Почему?
2. На рисунке 126 В А || DE. Докажите, что L BCD = L В + L D.
d\ A
\ я
m
Рис. 125
Рис. 126
4.
1. Может ли еще один из семи остальных углов, образованных при
пересечении прямых а и b прямой d (рис. 127), быть равен 110°? Равен
60°? Почему?
2. На рисунке 128 В А | DE, L СВА = 140°, L CDE= 130°. Докажите,
что ВС ± CD.
40
ЫО
130
Рис. 128
1. На рисунке 129 L BED = 70°,
L EDC = 20°, АВ \\CD. Найдите угол
ABC.
2. Внутри треугольника ABC отмечена
точка F. Через нее проведены прямые,
параллельные сторонам АС и АВ и
пересекающие сторону ВС
соответственно в точках М и Е, FM = МС,
FE = ЕВ. Докажите, что F — точка
пересечения биссектрис треугольника
ABC.
54
6.
На рисунке 130 АВ \\ CD, L АВС =
= 30°, L CDE =40°. Найдите угол
BED.
Внутри треугольника ABC выбрана
точка М. Через нее проведена
прямая, параллельная АС и
пересекающая стороны АВ и ВС соответственно
в точках D и Е, причем MD = AD и
ME = ЕС. Докажите, что М — точка
пересечения биссектрис
треугольника.
Е ЗО1
Рис. 130
7.
На рисунке 131 BD — медиана
треугольника ABC, причем АВ = 2BD.
Докажите, что ВС — биссектриса угла
DBF.
8.
На рисунке 132 АВ = ВС, AO = OD и
ВО = ОС. Докажите, что BD —
биссектриса L ЕВС.
Рис. 132
55

1.
§ 17. Теорема о сумме углов треугольника.
Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный
треугольники
1. Могут ли углы треугольника быть равными 60° 13', 69°48', 50"?
2. Внешний угол треугольника больше углов, не смежных с ним,
соответственно на 60° и 50°. Является ли этот треугольник
остроугольным?
2.
1. Внешний угол треугольника равен 150°. Могут ли два его угла быть
равными 90°31'и 58°42'?
2. Первый угол треугольника на 30° меньше второго и на 30° больше
третьего. Является ли этот треугольник прямоугольным?
3.
1. В треугольнике ABC AB = ВС, L В = 80°. Биссектрисы углов А и С
пересекаются в точке М. Найдите угол АМС.
2. В треугольнике ABC L.C- 15°. На стороне АС отмечена точка D
так, что L ABD = 12°, L ADB = 80°. Докажите, что треугольник
ABC не является прямоугольным.
4.
Сторона АВ треугольника ABC продолжена за точку В. На
продолжении отмечена точка D так, что ВС = BD. Найдите угол ACD, если
L АСВ = 60°, L ABC = 50°.
В треугольнике ABC биссектрисы АА\ и ВВ\ пересекаются в точке О,
L ЛВС = 30°, L АОВ = 107°. Докажите, что треугольник ABC не
является остроугольным.
56
5.
1. На сторонах угла А, равного 45°, отмечены точки В и С, а во
внутренней области угла — точка D так, что L ABD = 95°, L ACD = 90°.
Найдите угол BDC.
2. В треугольнике ABC L В = 60°. Внутри треугольника отмечена
точка О, равноудаленная от его вершин. Докажите, что треугольник
АОС является тупоугольным.
1. На сторонах угла А, равного 127°, отмечены точки В и С, а внутри
угла — точка D так, что L ABD = 25°, LACD= 19°. Найдите угол
BDC.
2. Треугольники ABC и DAC имеют общую сторону АС. Отрезок BD
пересекает отрезок АС. Известно, что BD-AD = CD. Докажите,
что треугольник ADC является тупоугольным, если L ABC = 130°.
1. В треугольнике ABC угол В тупой. Внутри треугольника отмечены
точки О и Р. На луче PC вне треугольника взята точка D.
Существует ли расположение точек О и Р, при котором L ABO > L ACD1
2. В треугольнике ABC АС = ВС, D — точка пересечения биссектрис
треугольника, а О — точка, равноудаленная от всех вершин
треугольника. Известно, что отрезок OD пересекает сторону АВ в точке
Е и точкой пересечения делится пополам. Найдите углы
треугольника ABC.
8.
1. В треугольнике ABC угол В тупой. Можно ли внутри треугольника
отметить точки О и Р так, чтобы угол О ВС был не меньше угла АРС1
2. В треугольнике ABC АВ = ВС. Биссектрисы внешних углов при
вершинах АтлС лежат на прямых, пересекающихся в точке О. Может
ли выполняться равенство АО - OB = OC1
57

§18. Теорема о соотношении между сторонами
и углами треугольника
1.
1. Даны треугольники АВСаМРК, АВ=* MP = 5 см, АС = МК = Зсм,
L А = L М. Сравните углы В и К.
2. В треугольнике ABC L A = L С,М — середина стороны АС. Найдите
угол AM В.
2.
1. Даны треугольники ABC и МРК, АС - МК, L A = L М = 60°, L С -
= L К = 50°. Сравните отрезки АВ и РК.
2. В треугольнике ABC L Л = L В, СЕ — биссектриса. Сравните
отрезки АЕ и BE.
3.
1. В треугольнике ABC L С = 90°. Точка М лежит на стороне АС.
Докажите, что ВС < ВМ < АВ.
2. В треугольнике ABC АВ = ВС. На продолжении сторон АС и ВС за
вершину С отмечены точки D и Е соответственно. Известно, что
DE\AB. Докажите, что треугольник CDE равнобедренный.
4.
1. В треугольнике ABC L СМ = 90°, СМ — медиана треугольника.
Докажите, что L СМВ > L CAB > L ACM.
2. В треугольнике ABC AC - ВС. Отрезки ВС и ВА продолжены за
вершины С и Л. На продолжениях отмечены точки Е и D
соответственно. Известно, что DE\AC. Докажите, что треугольник BDE
равнобедренный.
58
5.
1. В треугольнике ABC BD — медиана, LABD<L BAC + L ВСА.
Докажите, что BD > 0,5ВС.
2. Дан треугольник ABC. Прямая CD параллельна биссектрисе
внешнего угла треугольника при вершине В и пересекает сторону АВ в
точке D. Из точки D к прямой ВС проведен перпендикуляр DK.
Сравните отрезки DK и ВС.
6.
1. В треугольнике ABC BD — медиана, АВ > 2BD. Докажите, что
L ВАС + L BCD < L DBC.
2. В треугольнике ABC через вершину С проведена прямая,
параллельная биссектрисе BD и пересекающая прямую АВ в точке К.
BE — высота треугольника ABC. Сравните отрезки BE и ВК.
7.
1. Отрезки АС и BD пересекаются во внутренней точке так, что
АВ > АС. Докажите, что BD > CD.
2. В треугольнике ABC медианы пересекаются в точке М. Известно,
что L МАВ - L MB A, L МСВ - L МВС. Найдите угол ABC.
8.
1. Внутри треугольника ABC взята точка D. Известно, что L BCD +
+ L BAD> L DAC. Докажите, что АС > DC.
2. В тупоугольном треугольнике ABC продолжения высот
пересекаются в точке О так, что L ВОС - L BCO, L BOA = L В АО. Найдите
угол ВСА.
59

§19. Неравенство треугольников
1.
1. Можно ли из проволоки длиной 12 см согнуть равнобедренный
треугольник с боковой стороной в 3 см?
2. На сторонах АВ и АС треугольника ABC отмечены точки D и Е,
причем точка D является серединой отрезка АВ, АЕ =12 см, DE = 1 см.
Может ли длина отрезка АВ быть равной 27 см?
1. Можно ли из проволоки длиной 15 см согнуть равнобедренный
треугольник с основанием 8 см?
2. На протяжении стороны АВ треугольника ABC за вершину В
отмечена точка D, АС - 18 см, ВС = 5 см. Может ли отрезок AD быть
равным 12 см?
3.
1.
Расстояние между центрами двух
окружностей (рис. 133) равно 10 см.
Может ли радиус окружности с
центром 0\ быть равным 5 см, а
радиус окружности с центром 02 быть
равным 3 см?
Треугольники ABD и BCD
расположены по разные стороны стороны от
прямой BD, L ABD = L BDC,
L ADB = L DBC. Докажите, что
BD + BOAB.
Рис. 133
Радиус окружности,
изображенной на рисунке 134, равен 6 см.
Отрезок АВ пересекает окружность,
ЛО=13 см. Может ли отрезок АВ
равняться 4 см?
Треугольники ABD и BCD
расположены по разные стороны от прямой
BD, L ADB = L BDC, L ABD -
= L DBC. Докажите, что BD < AB +
+ ВС.
Рис. 134
5.
1. В треугольнике ABC BB\ —медиана.
Докажите, чтоВВХ < 0,5(АВ + ВС).
2. В треугольнике ABC L Л = 40°, L В = 70°. Из вершины С вне
треугольника проведен луч CD так, что угол BCD равен 109°59'. Может
ли выполняться равенство AD = АС + CD?
6.
1. В треугольнике ABC ВВХ — медиана.
Докажите, чтоВВХ > 0,5 (АВ—ВС).
2. В треугольнике ABC L А - 35°, L В - 7 Г. На продолжении стороны
АС за вершину С взята точка D. Из вершины С проведен луч СЕ так,
что точки Е и В лежат по разные стороны от прямой AD и L ECD =
« 74° 1'. Может ли выполняться равенство BE + СЕ = ВС1
7.
1. Докажите, что сумма двух медиан треугольника больше полусуммы
двух сторон, к которым эти медианы проведены.
2. Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена точка Е.
Докажите, что ЕА < ЕВ + ЕС.
8.
1. Отрезки АС и BD пересекаются во внутренней точке. Докажите, что
2WD + АС) > BC + AD + AB + CD.
2. Вне равностороннего треугольника ABC отмечена точка Е, а внутри
его — точка М. Докажите, что MA < BE + EC.
61

§ 20. Сумма двух острых углов прямоугольного
треугольника. Прямоугольный треугольник
с углом в 30°
На рисунке 135 L BAD= L BCD =
= 90°, LADB=\5°, LBDC = 15\
Докажите, что AB\\DC.
В треугольнике ABC, L С = 60°,
L В - 90°. Высота ВВ{ равна 2 см.
Найдите В А.
Рис. 135
2.
На рисунке 136 L AOD = 90°,
L OAD = 20°, LOCB = lW.
Докажите, что Л£) = СВ.
В треугольнике Л^С Z. С = 90°,
CCi — высота, CCi = 5 см, /iC =
= 10 см. Найдите угол CAB.
3.
На рисунке 137 L ВАС = ^ £>£С =
= 90°, L ABC = 55°, /-CDE=35°.
Докажите, что ВС ± CD.
В треугольнике ABC LC- 90°,
внешний угол при вершине В
равен 150°, АА\ — биссектриса, АА\ =
= 20 см. Найдите Ах С.
4.
1.
На рисунке 138 LABC = LCDE =
= 90°, L ВАС = 46°, L CED = 44°.
Докажите, что ВС ± CD.
В треугольнике ABC L В = 90°, ССХ —
биссектриса, СС\ = 16 см, ВС\ = 8 см.
Найдите внешний угол при вершине А.
D
С с
Рис. 138
62
5.
1. В треугольнике ABC угол АСВ тупой. Продолжения высот АА{, ВВ\
и CCi пересекаются в точке О. Докажите, что L ABC = L АОС и
L О АС = L ОВС.
2. В треугольнике ABC L С = 90° , CD — высота треугольника, ВС =
= 2BD. Докажите, что AD - 3DB.
6.
В треугольнике ABC угол В тупой. Продолжения высот АА{, ВВХ,
СС\ пересекаются в точке О. Докажите, что L ABC =180° —
— L АОС.
В треугольнике ABC L В = 90°, BD — высота, АВ - 2BD. Докажите,
что ЗЛС - 4AD.
7.
1. В треугольнике ABC L С = 90°, L В = 40°. На сторонах АВ и ВС
отмечены точки D и Е соответственно, L EAD = 5°, Z. £CD = 10°.
Найдите L EDC.
2. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ЛВС взята точка Е,
а внутри треугольника — точка D. Перпендикуляр ЕМ к прямой АС
делит катет АС пополам, L В = 45°, Z. С£>Л = 90°, L DC A - 60°.
Докажите, что £?М = DC.
8.
1. В треугольнике ABC L В = 90°. Из точки £>, взятой на стороне ВС,
проведен отрезок DE, перпендикулярный к ВС и пересекающий АС
в точке О, zL DOC - 70°, zl £>£C = 45°, zl ЯЛ£) = 50°. Найдите угол
ЛЯЛ
2. В треугольнике ABC L С = 90°, Z. Я = 45°. Отрезок СЕ пересекает
сторону АВ, L СЕ А = 90°. На сторонах АВ и АС взяты точки Р и М
так, что М — середина АС и РМ _1_ ЛС, РМ - £Л. Найдите угол
£ЛС.
63

§21. Признаки равенства прямоугольных
треугольников
1. На рисунке 139 диаметры АВ и CD
окружности лежат на перпендикулярных
прямых, МО = ЕО. Докажите, что АМ -
= BE.
2. Внутри неразвернутого угла А взята
точка D. Из этой точки проведены
перпендикуляры DB и DC к сторонам угла.
L ADB = L ADC. Докажите, что луч
AD — биссектриса угла А.
1. На рисунке 140 О — центр
окружности. Через концы отрезка АВ
проведены прямые AD и ВС,
перпендикулярные к прямой АВ. Докажите,
что L ADO= L ОС В. А
1. Два прямоугольных треугольника
ABC и ABD имеют общую
гипотенузу АН и лежат по разные стороны от
нес. Известно, что AD = ВС.
Докажите, что L CAB = L DBA. c
Рис. 140
3.
1. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC отмечены точки D и Е
соответственно. Из этих точек к прямой АС проведены перпендикуляры
DK и ЕР, причем AK = PCuDK = РЕ. Докажите, что АВ = ВС.
2. Треугольники ABC и А\В\С\ равны, причем ВС = В\С\, ВА = В\А\.
Докажите, что высоты BD и B\D\ треугольников равны.
1. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC взяты точки DwE
соответственно. Из этих точек опущены перпендикуляры DK и ЕР к
прямой AC, DK = ЕР, L ADK = L РЕС. Докажите, что АВ = ВС.
2. Треугольники ABC и А\В\С\ равны, причем высота BD
треугольника ABC равна высоте Вх Д треугольника А\ В\ С\, L С = L С{.
Докажите, что L A ~ L А\.
64
5.
1. Через середину стороны АВ треугольника ABC проведена прямая,
перпендикулярная к АВ, пересекающая ВС в точке Е. ВС = 24 см,
периметр треугольника АЕС равен 30 см. Найдите АС.
2. Две биссектрисы треугольника пересекаются в точке О. Докажите,
что третья биссектриса проходит через точку О.
1. Через точку К, взятую на стороне АВ треугольника ABC, проведена
прямая, перпендикулярная АВ и пересекающая сторону АС в точке
D. Известно, что L KDB = L KDA, АС = 30 см, ВС - 15 см. Найдите
периметр треугольника BDC.
2. Докажите, что биссектриса угла А треугольника ABC проходит
через точку пересечения прямых, содержащих биссектрисы внешних
углов при вершинах В и С.
1. В треугольнике ABC высоты АА\ и СС\ равны, АС\ = ВА\. Найдите
угол В.
2. На рисунке 141 L ABC = 35°, L ВАС = 55°, L АМХМ = 90°. Точки
А\ и В] — середины отрезков ВС и АС соответственно, АА\ = AM,
ВВХ - Вх К. Докажите, что АМХ = ВАХ.
ЗЗивБ Г.
65

8.
В треугольнике ABC высоты ААХ и СС\ пересекаются и точке О,
L ВААХ = L АСС{, АхО = СхО. Докажите, что АС = 2ВАХ.
На рисунке 142 L ABC - 50°, L ВАС - 40°, L АМХМ = 90°, ЛМ, =
= ЯД, АхА = ЛМ. Докажите, что DC\ = СХС, если точки А\ и С\ —
середины ВС и АВ соответственно.
66
§ 22. Перпендикуляр и наклонная.
Расстояние от точки до прямой.
Расстояние между параллельными прямыми
1.
Даны две параллельные прямые а и Ь. На прямой а взяты точки А и
В, из которых к прямой Ь проведена наклонная АС и перпендикуляр
BD. Сравните отрезки АС и BD.
В треугольнике ЛВС L С = 30°, Л С - 10 см, ВС = 8 см. Через
вершину А проведена прямая а, параллельная ВС. Найдите:
а) расстояние от точки В до прямой АС;
б) расстояние между прямыми а и ВС.
2.
По разные стороны от прямой а взяты точки А и В, равноудаленные
от этой прямой. Из точки А к прямой а проведена наклонная АС, а
из точки В — перпендикуляр BD. Сравните отрезки АС и BD.
В треугольнике МКР сторона MP равна 20 см. Расстояние от точки
К до прямой MP равно -^КР. Через точку М проведена прямая jc,
параллельная КР. Найдите:
а) угол МРК;
б) расстояние между прямыми х и КР.
3.
1. Из точки А к некоторой прямой проведены две наклонные АВ и АС и
перпендикуляр AD так, что точка D лежит на отрезке ВС, L DAC -
= 45°. Сравните отрезки АВ и DC.
2. Через концы Ач В отрезка АВ проведены параллельные прямые а и
Ь соответственно. Прямые АВ и Ь не перпендикулярны. С —
середина отрезка АВ.
а) Докажите, что точка С находится на одинаковом расстоянии от
прямых а и Ъ.
б) Докажите, что сумма расстояний от точки С до прямых а и Ъ
равна расстоянию между этими прямыми.
67

4.
1. Из точки М к прямой и проведены две наклонные MP и ME и
перпендикуляр МК так, что луч МК проходит внутри угла РМЕ.
LP ЕМ = 50°. Сравните отрезки РМ и КЕ.
2. Точка С — середина отрезка АВ. Через точки С и В проведены
параллельные прямые с и Ь соответственно так, что прямые АВ и Ь не
перпендикулярны.
а) Докажите, что расстояние от точки А до прямой с равно
расстоянию от точки С до прямой Ь.
б) Докажите, что расстояние от точки А до прямой Ь вдвое больше
расстояния между прямыми Ьис.
5.
Из точки А к некоторой прямой проведены перпендикуляр АВ и
наклонная АС, а из точки D — наклонная DE так, что отрезки DE и АВ
пересекаются в точке О, OD - OB, L OAD + L ВОЕ = 90°. Сравните
отрезки АС и DE.
В треугольнике ABC L Л = 70°, L В = 80°, BE — биссектриса. Через
точку Е проведена прямая а, параллельная ВС, ЕС = х.
а) Найдите расстояние между прямыми а и ВС.
б) Найдите расстояние от точки Е до прямой АВ.
6.
1. Из точки М к прямой а проведен перпендикуляр MP, а из точки К —
наклонная КН. Отрезки MP и КН пересекаются в точке О, ОН =
= ОМ, L ОМК < L ОН Р. Докажите, что отрезок НК меньше любой
наклонной, проведенной из точки М к прямой а.
2. В треугольнике ABC проведена медиана ВМ, AM = ВМ - МС = х.
Через точку М проведена прямая, параллельная прямой ВС.
а) Найдите расстояние от точки Л до прямой ВС.
б) Найдите расстояние между прямыми а и ВС.
68
7.
1. Из точки А к некоторой прямой проведены наклонные АВ и АС и
перпендикуляр AD так, что точка С является серединой отрезка BD.
Может ли выполнятся неравенство АВ > 2АС1
2. В треугольнике ABC L С = 90°. На стороне АВ взята точка М так,
что АВ - ЗАМ. Через точку М проведена прямая а, параллельная
АС. Докажите, что расстояние от точки В до прямой а вдвое больше
расстояния между прямыми а и АС.
8.
1. Из точки А к некоторой прямой проведены перпендикуляр АС и
наклонная АВ. Точки EnD принадлежат отрезкам АВ и АС
соответственно. Докажите, что ED < АВ.
2. В треугольнике МКР L Р = 90°. Через точки АиВ, взятые на
сторонах МК и КР соответственно, проведена прямая АВ, параллельная
MP. Расстояние между прямыми АВ и MP вдвое больше расстояния
от точки К до прямой АВ. Докажите, что MP = ЗАВ.
69

§ 23*. Множество точек, равноудаленных
от данной прямой
1.
в х
о
1. Середина отрезка АВ перемещается по
некоторой прямой а так, что прямые —
АВ и а в любой момент времени
взаимно перпендикулярны (рис. 143). Что
представляет собой фигура, которую
описывают точки А к В?
2. Даны неразвернутый угол ABC и
отрезок QP. На стороне ВА угла ABC постройте точку, удаленную от
прямой ВС на расстояние QP.
Рис. 143
2.
Сторона АВ треугольника ABC
перемещается вдоль некоторой прямой,
на которой она расположена
(рис. 144). Что представляет собой
фигура, которую описывает
вершина С?
Даны треугольник ABC и точка М,
лежащая на стороне ВС. На стороне
АВ постройте точку, удаленную от
прямой АС на то же расстояние, что
и точка М.
Рис. 144
3.
1. На рисунке 145 точки А и В
равноудалены от прямой CD, а точки А
и D — от прямой ВС. Докажите,
что ЛЯ = CD.
2. Даны прямая а, точка А, не
лежащая на этой прямой, и отрезок
ОР, больший, чем
перпендикуляр, опущенный из точки А на
прямую а. Постройте точки,
удаленные от прямой а и точки А на расстояние, равное отрезку ОР.
Рис. 145
70
4.
1. На рисунке 146 точки Р и К равноудалены
от прямой ME, а точки К и Е
равноудалены от прямой MP. Докажите, что
LMPK= LMEK.
2. Даны прямая а, точка А, взятая на этой
прямой, и отрезки ОР и КМ (КМ > ОР).
Постройте точку В, удаленную от прямой
а на расстояние, равное ОР, так, чтобы
АВ = КМ.
5.
На рисунке 147 точки В и С
равноудалены от прямой AD, ВО = ОС.
Докажите, что треугольники ABC и
CBD равны.
Даны неразвернутый угол и
отрезок. Внутри данного угла постройте
точку, удаленную от сторон угла на
расстояние, равное данному
отрезку.
Рис. 147
6.
На рисунке 148 точки М иТ равноудалены
от прямой РК. L КМТ - L РТМ.
Докажите, что треугольники РМК и РКТ равны.
Даны прямая а, точка А, не лежащая на
данной прямой, и некоторый отрезок.
(Точка А удалена от прямой а на расстояние,
меньшее удвоенной длины данного
отрезка.) Постройте точки, удаленные от
прямой а и точки А на расстояние, равное
данному отрезку.
Рис. 148
71

7.
На рисунке 149 точки В и Е равноудалены от прямой AD, а точки С и
М — середины отрезков AD и ВС соответственно. Докажите, что
ВС = ED.
Даны две точки А и В, отрезок РО. Постройте точки, удаленные от
прямой АВ на расстояние РО и равноудаленные от концов отрезка
АВ.
8.
1.
На рисунке 150 АВ - ВС, точки Ви D равноудалены от прямой АС.
Докажите, что 2ВС < AD + DC.
Дан угол ABC, через вершину которого вне угла проведена прямая
а, и отрезок РО. Внутри угла ABC постройте точку, удаленную от
прямой а на расстояние РО и равноудаленную от прямых АВ и ВС.
72
§ 24. Построение треугольника по трем элементам
1.
1. Дан треугольник МРК. Постройте треугольник ABC, в котором
LA=LM, АВ = MP, AC = 2МК.
2. Постройте равносторонний треугольник, у которого сторона вдвое
меньше данного отрезка.
2.
1. Дан треугольник МКР. Постройте треугольник ABC, в котором
LA = LM,LB=LK,AB = 2MK.
2. Постройте равнобедренный треугольник, у которого боковая
сторона равна данному отрезку, а основание в 2 раза меньше боковой
стороны.
3.
1. Даны неразвернутый угол и отрезок. Постройте треугольник, у
которого одна сторона в 2 раза больше другой и равна данному
отрезку, а угол, заключенный между этими сторонами, равен данному
углу.
2. Постройте остроугольный равнобедренный треугольник по
основанию и разности двух неравных сторон.
4.
1. Даны два острых угла и отрезок. Постройте треугольник, у которого
сторона равна половине данного отрезка, а прилежащие к ней углы
— двум данным углам.
2. Постройте равнобедренный треугольник по периметру и боковой
стороне.
5.
1. Постройте треугольник ABC со стороной АВ, равной данному
отрезку, и с углами А и С, равными 60° и 105° соответственно.
2. В треугольнике ЛВС биссектрисы ВВХ и СС\ пересекаются в точке О.
Постройте треугольник ABC по отрезкам ОВх, ОС, Вх С.
73

6.
1. Постройте треугольник ABC со сторонами АВ и АС, равными
соответственно данным отрезкам, так, чтобы L В- 120°, L С - 45°.
2. В треугольнике ABC высоты пересекаются в точке О. Постройте
этот треугольник по отрезкам О А, ВО, АВ.
1. Даны прямая а и отрезок АВ, пересекающий эту прямую. Постройте
на прямой а точку С так, чтобы эта прямая содержала биссектрису
угла треугольника ABC.
2. На сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC взяты соответственно
точки М, Р, К так, что МК \\ВС, РК \АВ. Как построить
треугольник ABC по отрезкам KM, KB, КР и углу РКС!
8.
1. Даны угол А и точка М внутри его. Постройте на сторонах угла
точки В и С так, чтобы отрезок AM был медианой треугольника ABC.
2. Даны отрезки PQ, Pi Qx, P2Q2 и угол hk. Как построить треугольник
ABC, в котором отрезок AM, равный PQ, лежал бы на стороне АВ,
отрезок СЕ, равный P\Q\, — на стороне ВС, АС — МЕ = P2Qi,
ME \АС, L AMC =Lhk1
74
§ 25*. Более сложные случаи построения
треугольников
1.
1. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и
медиане, проведенной к основанию.
2. Дан треугольник ABC. Постройте треугольник МРК, в котором
MP = 1AB, LM=LA,a высота КЕ равна высоте CD треугольника
ABC.
2.
1. Постройте равнобедренный треугольник по биссектрисе,
проведенной к основанию и углу, противолежащему основанию.
2. Дан треугольник МКР. Постройте треугольник ABC так, чтобы
АВ - МК, АС= 2МР, высота CD была равна высоте РЕ треугольника
1. Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане,
проведенный к другому катету.
2. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу,
противолежащему этому основанию.
4.
1. Постройте остроугольный треугольник по высоте и двум острым
углам, которые эта высота образует со сторонами треугольника.
2. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и высоте,
проведенной из вершины прямого угла.
5.
1. Постройте треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему
одной из этих сторон. Всегда ли эта задача имеет решение?
2. Постройте треугольник по углу и двум высотам, проведенным к
сторонам этого угла.
75

6.
1. Постройте треугольник по двум углам и стороне, противолежащей
одному из этих углов. Всегда ли эта задача имеет решение?
2. Постройте остроугольный треугольник по углу и двум высотам,
одна из которых проведена из вершины угла, а другая опущена на
одну из его сторон.
7.
1. На стороне АС треугольника ABC взята точка М. Постройте
треугольник ABC по отрезкам АВ, ВМ и углам АМВ, ВСМ.
2. Постройте остроугольный треугольник ABC по сумме углов В и А,
высоте BD и стороне АС.
8.
1. На стороне АС треугольника ABC взята точка М. Постройте
треугольник ABC по отрезкам ВС, AM и углам ABM, AMB.
2. Постройте остроугольный треугольник ABC по разности углов А и В,
высоте CD и стороне ВС.
76
§ 26. Итоговое повторение
1.
На рисунке 151 L ВАС = 50°, L ABC =
= 80°, L DBC = 50°, точка О —
середина отрезков АВ и МС.
1) Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный.
2) Докажите, что прямые BD и АС не
пересекаются.
3) Найдите L МАВ.
4) Сравните отрезки AM и АС.
2.
На рисунке 152 L ЕМ К = 40°, L МКЕ = 70°, прямые МС и ЕК не
имеют общих точек, отрезки BE и КА являются высотами треугольника
ЕМК.
1) Докажите, что треугольник ЕМК равнобедренный.
2) Найдите угол СМЕ.
3) Докажите, что К А = BE.
4) Сравните отрезки MB и АК.
Е К
Рис. 152
Рис. 151
77

3.
На рисунке 153 L ADB - L DBC = 90°, AD = ВС, L ABD = 60°.
1) Докажите, что прямые AD и ВС не пересекаются.
2) Между какими целыми числами заключена длина отрезка AD, если
Ш> = 4?
3) Докажите, что треугольник AED равнобедренный, если DE —
медиана треугольника ADB.
4.
На рисунке 154 L ЕРМ = L РМК = 90°, L МЕР = L МКР = 30°,
МЕ = 10.
1) Докажите, что прямые ЕМ и КР не имеют общих точек.
2) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР?
3) Найдите длину медианы MD треугольника РМК.
78
5.
На рисунке 155 АВ = ВС = CD = DA.
1) Докажите, что АВ |CD, AD \\BC.
2) Докажите, что ВТ = £>7\
3) Докажите, что АС > DB, если L ТВС = 90° и ТС > AT.
4) Докажите, что точка Т равноудалена от прямых АВ и AD.
о
Рис. 155
6.
На рисунке 156 КТ = ТМ = МР = РК.
1) Докажите, что ТМ \\КР и КТ \\РМ.
2) Докажите, что ТО = ОР.
3) Докажите, что ТР > КМ, если L ОТК = 44° иКО> ОМ.
4) Докажите, что точка О равноудалена от прямых ТМ и MP.
р
Рис.156
79

7.
На окружности с центром О последовательно отмечены точки Д В, С,
D так, что прямые AD и ВС параллельны, точка О лежит между ними,
AD > ВС и L ОБА = L OCD.
1) Докажите, что L АОВ = L COD.
2) Докажите, что АС = BD.
3) Докажите, что L DBC « L CAD.
4) Сравните расстояния от точки О до прямых AD и ВС.
8.
В некоторой окружности проведены две равные хорды КМ и PHt
пересекающиеся в точке Т. Центр окружности О расположен внутри
треугольника КНТ, причем расстояние от точки О до прямой НК
меньше расстояния от точки О до прямой PMt L МРН - L МКН.
1) Докажите, что L КОМ = L РОИ.
2) Докажите, что L POK + 2/L ОМН= 180°.
3) Докажите, что РМ \\КН.
4) Сравните отрезки РМ и КН.
80
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
№ 1. Начальные геометрические сведения
Вариант 1.
1. На рисунке 157 луч ОС является
биссектрисой угла АОВ. Найдите угол
BOD, если угол АОВ прямой.
2. На прямой отмечены точки Л, В,
С, D так, что точка С лежит между
точками А и В, а точка В принадлежит
отрезку CD. AC = 65 см, BD = 6,4 дм.
Сравните отрезки АВ и CD.
3. Прямые AD и ВС пересекаются в
точке О. Внутри угла АОВ взята точка
М, а внутри угла COD — точка К.
/LAOB = S0°, /LMOB = 30°, LKOD =
= 40°.
а) Найдите углы АОМ и СОК.
б) Являются ли углы MOB и СОК вертикальными? Ответ
объясните.
4*. Даны три прямые, каждая из которых пересекает хотя бы одну
другую. Сколько всего точек пересечения могут иметь такие прямые?
Вариант 2.
1. На рисунке 158 угол ВОС прямой.
Найдите L1, если L 2 = 70°.
2. Точка С — середина отрезка АВ,
точка D — середина отрезка AC, BD =
= 15,3 см. Найдите длину отрезка АС.
Ответ выразите в миллиметрах.
3. Отрезки РЕ и НМ лежат на
перпендикулярных прямых и
пересекаются в точке К. Внутри угла РКН взята
точка Л, а внутри угла МКЕ — точка
В, LAKH = 40°, LMKB = 50°.
а) Найдите углы РКА и ВКЕ.
б) Лежат ли точки А, К, В на одной
прямой? Ответ объясните.
4*. Расположите шесть отрезков так, чтобы каждый из них имел
общие точки ровно с тремя другими и число всех этих точек было
равно пяти.
Рис. 158
81

Вариант 3.
1. На рисунке 159 прямые АВ и CD
взаимно перпендикулярны. LKOD =
= 135°. Является ли луч ОК
биссектрисой угла АОС'1 Ответ объясните.
2. На отрезке РН отмечены точки К
и М так, что точка К лежит между
точками Р и М, НК = 53,5 см, РМ = ттштттшт
= 535 мм. Сравните отрезки РК и НМ. q
3. Развернутый угол АОВ разделяет
плоскость на две части. Точка Е
лежит в одной части, точка Р — в
другой; /LEO В- 50°, LPOB= 130°.
а) Равны ли углы ЕОВ и РОЛ?
б) Являются ли углы ЕОВ и РОЛ
вертикальными?
Ответы на вопросы объясните.
4*. Можно ли расположить шесть точек на четырех отрезках, не
лежащих на одной прямой, так, чтобы каждому отрезку принадлежало
по три точки?
О
В
Рис. 159
Вариант 4.
1. На рисунке 160 прямые а и b
взаимно перпендикулярны. Найдите
сумму углов I и 2.
2. Точка Е лежит на прямой между
точками Р и К, а точка К
принадлежит отрезку ЕМ\ РЕ = 5 см, ЕК =
- 6 см, КМ = 8 см. Найдите
расстояние между серединами отрезков РЕ и
КМ. Ответ выразите в миллиметрах.
3. Развернутый угол АОВ разделяет
плоскость на две части. Луч ОМ
лежит в одной части, а луч ОК — в
другой. Известно, что углы МОА и КОВ
прямые.
а) Равны ли углы ВОМ и КОА1
б) Являются ли прямые МК и АВ взаимно перпендикулярными?
Ответы на вопросы объясните.
4*. На сколько частей могут разделить плоскость три прямые, среди
которых есть пересекающиеся?
Рис. 160
82
№ 2. Треугольники
Вариант!.
Рис. 161
1. На рисунке 161 отрезки АВ и CD
имеют общую середину. Докажите, что
треугольники АОС и BOD равны.
2. Даны прямая и отрезок. Постройте
точку, такую, чтобы перпендикуляр,
опущенный из этой точки на прямую,
равнялся данному отрезку.
3. В треугольнике ABC АВ = ВС. На
медиане BE отмечена точка М, а на
сторонах АВ и ВС — точки Р и К
соответственно. (Точки Pt M и К не лежат на одной прямой.) Известно,
что LBMP= LBMK. Докажите, что:
а) углы BMP и ВКМ равны;
б) прямые РК и ВМ взаимно перпендикулярны.
4*. Дан угол в 54°. Можно ли с помощью циркуля и линейки
построить угол в 18°?
Вариант 2.
1. На рисунке 162 луч BD является
биссектрисой угла ABCt а луч DB является
биссектрисой угла ADC. Докажите, что треугольники
ABD и CBD равны.
2. Дан отрезок. Постройте две какие-либо
взаимно перпендикулярные прямые и на одной
из них от точки пересечения отложите
отрезок, равный данному.
3. Внутри треугольника ABC взята точка О,
причем LBOC = LBOA, АО = ОС.
а) Докажите, что углы ВАС и ВСА равны.
б) Докажите, что прямая ВО проходит через
середину отрезка АС.
А*. Как с помощью циркуля и линейки
построить угол в 11°15' ?
83

Вариант 3.
1. На рисунке 163 отрезок АВ равен
отрезку CD, а отрезок ВС равен
отрезку AD. Докажите, что треугольники
ABD и CBD равны.
2. Даны неразвернутый угол и
отрезок. Постройте точку, удаленную от
вершины угла на расстояние, равное
половине данного отрезка.
3. На высоте равнобедренного
треугольника ABC, проведенной к
основанию АС, взята точка Р, а на сторонах
АВ и ВС — точки М и К соответственно. (Точки М, Р и К не лежат
на одной прямой.) Известно, что ВМ = ВК.
а) Докажите, что углы BMP и ВКР равны.
б) Докажите, что углы КМР и РКМ равны.
4*. Дан угол в 34°. Можно ли с помощью циркуля и линейки
построить угол в 12°?
Рис. 163
Вариант 4.
1. На рисунке 164 отрезки АВ и CD
являются диаметрами окружности.
Докажите, что треугольники AOD и
ВОС равны.
2. Даны неразвернутый угол и
отрезок. Постройте какой-либо угол,
равный данному, и на его стороне
постройте точку, удаленную от вершины
угла на расстояние, равное половине
данного отрезка.
3. На сторонах АВ, ВС, АС
равнобедренного треугольника ABC с
основанием АС отмечены точки М, К, Р
соответственно так, что LAMP =
= LPKCuAM=KC.
а) Докажите, что MP =■ РК.
б) Докажите, что прямые МК и ВР
взаимно перпендикулярны.
4*. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 67°30' ?
84
^^З.^^^ра^ельные^пршые,
Вариант 1.
1. На рисунке 165 L1 + L2 = 180°,
/13 = 50°. Найдите Z.4.
2. Могут ли две стороны
треугольника быть параллельными одной
прямой?
3. На сторонах АВ, ВС, АС
треугольника ABC отмечены точки Т, Р,
М соответственно; L МРС = 51°,
LABC = S2°, LATM = ST.
а) Найдите угол ТМР.
б) Докажите, что прямые MP и ВТ
имеют одну общую точку.
4*. Из картона вырезан шаблон в
виде полосы с параллельными краями
(рис. 166). Как с помощью этого
шаблона построить угол, равный данному?
Рис. 166
Вариант 2.
1. На рисунке 167 L\ = LI, Z.3 =
= 140°. Найдите Z.4.
2. Через точку, взятую во
внутренней области угла ABC, проведена
прямая, параллельная прямой АВ.
Пересекает ли эта прямая прямую
ВС1
3. На прямой последовательно
отложены отрезки АВ, ВС, CD. Точки Е
и Р лежат по разные стороны от этой
прямой. L ABE = L PCD =143°,
Z.PBD=> 49°, £ACE=W.
а) Докажите, что прямые BE и PC
параллельны.
б) Докажите, что прямые РВ и СЕ
пересекаются.
4*. Из картона вырезан шаблон в
виде полосы с параллельными краями
(рис. 168). Как с помощью этого
шаблона построить два не смежных угла,
дающих в сумме 180°?
Рис. 167
Рис. 168
85

Вариант 3.
1. На рисунке 169 L 1 - L2t /13= 120°. Найдите LA.
2. Даны три прямые а, Ь, с; a\\b, b\\c. Сколько общих точек имеют
прямые а и с?
3. Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой, проведены
перпендикуляры АС и BD к этой прямой; LBAC = 117°.
а) Найдите угол ABD.
б) Докажите, что прямые АВ и CD пересекаются.
А*. Из картона вырезан шаблон в виде неразвернутого угла
(рис. 170). Как построить с помощью этого шаблона два отрезка,
лежащих на параллельных прямых?
А в
С/3 яГ
Рис. 169 Рис. 170
Вариант 4.
1. На рисунке 171 L 1 = Z.2, АН±а. Найдите Z.3.
2. Даны три прямые а, Ь, с; а\\Ь, прямая а пересекает прямую с.
Сколько общих точек имеют прямые Ъ и с?
3. На сторонах угла Л, равного 43°, отмечены точки В и С, а внутри
угла — точка D так, что LABD = 137°, LB DC - 45°.
а) Найдите угол ACD.
б) Докажите, что прямые АВ и DC имеют одну общую точку.
4*. Из картона вырезан шаблон в виде неразвернутого угла (рис.
172). Как с помощью этого шаблона и линейки без делений проверить
параллельность двух прямых?
А
1_ вии5
Рис. 171 В Ь
Рис. 172
86
№ 4. Соотношение между сторонами
и углами треугольника
Вариант 1.
1. В треугольнике ABC LB = 70°, LC = 60°. Сравните отрезки АС и
ВС.
2. Даны два треугольника ABC и МРК, LA = LM = 90°, LC = LK,
ВС = КР, АС = \ВС. Найдите угол Р.
3. В треугольнике ABC LA = 90°, LC = 15°. На стороне АС отмечена
точка D так, что LDBC= 15°.
а) Докажите, что BD »1AB.
б) Докажите, что ВС<ААВ.
4*. В треугольнике все стороны имеют разные длины. Можно ли
этот треугольник разрезать на равносторонние треугольники?
Вариант 2.
1. В треугольнике ABC АВ>ВОАС. Найдите LA, LB, LC, если
известно, что один из углов треугольника равен 120°, а другой 40°.
2. В треугольниках ABC и МКР LA = LM = 90°, АВ = MP, ВС = КР,
LB = 30°. Докажите, что КМ = ^КР.
3. В треугольнике ABC LC = 60°. На стороне АС отмечена точка D
так, что LBDC = 60°, LABD - 30°.
а) Докажите, что AD = ВС.
б) Докажите, что периметр треугольника ABC меньше пяти длин
отрезка ВС.
4*. Можно ли из каких-либо четырех равнобедренных
треугольников сложить равнобедренный треугольник?
Вариант 3.
1. Внешний угол при вершине В треугольника ABC равен 40°, а
один из внутренних углов этого треугольника равен 20°. Сравните
отрезки АВ и ВС.
2. Даны треугольники ABC и МРК, в которых LA = LM = 90°,
ВС = Р/С, LC = LK. Докажите, что АВ + РК>АС.
3. В треугольнике ABC угол В прямой, BD — высота треугольника.
а) Докажите, что LA = LDBC.
б) Докажите, что если LA<LC, то AD>DC.
А*. Можно ли какой-либо прямоугольный треугольник разрезать на
два треугольника, один из которых равносторонний, другой
равнобедренный?
87

Вариант 4.
1. В треугольнике ABC углы А и С равны, BD — высота
треугольника. Докажите, что треугольники ABD и CBD равны.
2. В треугольнике ABC LA - 90°, LC = 60°. Докажите, что
АВ<1АС.
3. На сторонах АС и ВС треугольника ABC отмечены точки М и Н
соответственно так, что углы ABC и СМИ равны.
а) Докажите, что углы МНС и CAB равны.
б) Докажите, что если МН<СМ, то АВ<ВС.
4*. В треугольнике все стороны имеют разные длины. Можно ли
этот треугольник разрезать на два равных треугольника?
88
№ 5. Построение треугольника по трем элементам.
Повторение.
Вариант 1.
В треугольнике ABC LA - LC = 45°.
а) Установите вид треугольника и постройте его на стороне АВ.
б) Докажите, что медиана BD делит треугольник ABC на два
равных треугольника.
в) Докажите, что прямая ВК, перпендикулярная медиане BD
треугольника ABC, не имеет общих точек с прямой АС.
г) Докажите, что прямая ВК, перпендикулярная медиане BD
треугольника ABC, содержит биссектрису одного из внешних углов этого
треугольника.
д)* Возможно ли равенство АЕ = ЕС, если точка Е не лежит на
прямой, содержащей медиану BD треугольника ABC?
Вариант 2.
В треугольнике ABC LA = LC = 60°.
а) Установите вид треугольника и постройте его по стороне АВ.
б) Докажите, что треугольник МВН равен треугольнику ИКС, если
М, Н, К — середины сторон АВ, ВС и АС треугольника ABC
соответственно.
в) Найдите угол ВМН и докажите, что МН\\АС, если МиЯ —
середины сторон АВ и ВС соответственно.
г) Докажите, что расстояние от точки В до прямой НМ равно
расстоянию между прямыми МН и АС, если М и Н — середины сторон
АВ и ВС треугольника ABC соответственно.
д)* Как построить точку, равноудаленную от вершин треугольника
ABC?
Вариант 3.
В треугольнике ABC LA = 60°, LC - 30°.
а) Установите вид треугольника и постройте его по стороне АВ.
б) Докажите, что треугольники СМА и ABC равны, если точка М
расположена вне треугольника ABC так, что МА\ВС и МС\АВ.
в) Докажите, что АВА.МА, ВС±МС, СМ±МА, если точка М
расположена вне треугольника ABC и МА\ВС, МС\\АВ.
г) Найдите угол BOA, если О — середина отрезка АС.
д)* Можно ли провести окружность через точки А, В, С, М, если
точка М расположена вне треугольника ABC и МА±ВС, МС\АВ?
89

Вариант 4.
Равные отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является
серединой каждого из них, причем AD = AO.
а) Установите вид треугольника ADO и постройте отрезки АВ и CD,
о которых говорится в условии задачи, если дан отрезок AD.
б) Докажите, что ВС \\AD.
в) Сравните отрезки ОМ и СО, если М — середина отрезка AD.
г) Найдите угол АЕС, если Е — точка пересечения биссектрис
углов ВСО и DAO.
д)* Является ли точка О серединой отрезка МН, если М —
середина AD, Н — середина ВС1
90
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ
№ 1. Начальные геометрические сведения
ВАРИАНТ 1
в
Рис. 173
1. Начертите две пересекающиеся
прямые и выберите на одной из них
отрезок, не имеющий общих точек с
другой прямой. Укажите точку,
которая одновременно принадлежит
обеим прямым.
2. Сколько лучей с началом в
указанных точках изображено на рисунке
173?
3. Начертите неразвернутый угол АОВ.
Проведите луч ОМ во внутренней
его области. Отметьте точку К,
которая принадлежит внутренней области угла АОМ, и точку N,
принадлежащую внешней области угла АОВ.
4. а) Серединой отрезка называется...
б) На рисунке 174 ОС — биссектриса угла АОВ.
Сравните углы АОМ и MOB.
5. Точки А, ВиС лежат на одной прямой; АВ = 4 см, АС » 10 см.
Длина отрезка ВС равна...
6. АС = 17 см, АВ =10 см, ВС = 8 см. Лежат ли точки А, В и С на
одной прямой?
7. Угол, равный 160°, делится лучом с началом в вершине угла на два
угла, один из которых больше другого на 20°. Тогда эти углы
равны...
8. На рисунке 175 LCOA = 40°, ОМ — биссектриса LCOB. Тогда
LMOB = ...
Рис. 174
91

Рис. 177
9. Какой еще из углов, изображенных на рисунке 176, равен 40°?
Почему?
10. На рисунке 177 ABA.BF. Может ли угол ACF быть равным 90°?
Почему?
ВАРИАНТ 2
1. Начертите две пересекающиеся прямые и выберите на одной из них
отрезок, который имеет общую точку с другой прямой. Укажите
точку, которая лежит на одной из этих прямых, но не принадлежит
выбранному отрезку.
2. Сколько лучей с началом в указанных точках изображено на
рисунке 178?
3. Начертите неразвернутый угол COD. Проведите луч ОЕ по
внутренней его области. Отметьте точку А, которая принадлежит
внутренней области угла DOE, и точку В, которая одновременно
принадлежит внутренней области угла COD и внешней области угла
DOE.
4. а) Биссектрисой угла называется...
б) На рисунке 179 О — середина отрезка АВ. Сравните отрезки АС
и СВ.
5. Точки Е, F и М лежат на одной прямой; EF=5 дм, ЕМ= 12 дм.
Длина отрезка FM равна...
н—ь
о с
Рис. 179
в
92
В О F
Рис. 180
6. £F=25cm, £М=10см, MF =
= 16 см. Лежат ли точки Et M и F
на одной прямой?
7. Угол, равный 80°, делится лучом
с началом в вершине угла на два
угла, такие, что градусная мера
одного угла в три раза больше
другого. Тогда эти углы равны...
8. На рисунке 180 LAOF= 100°,
OB — биссектриса LAOE. Тогда
LAOB=...
9. Какой еще из углов, изображн-
ных на рисунке 181, равен 150°?
Почему?
10. На рисунке 182 с±Ь. Может ли бь
№ 2. Треугольники
ВАРИАНТ 1
1. A ABC = A AtBid, ВС = BiCi, LA = 35°. Тогда LAX =...
2. На рисунке 183 АВ = FM, АС = ЕМ, LBAC = LFME. Найдите Щ.
А *М
Рис. 183
93
Рис. 182
ять, что сХ а? Почему?

Рис.184 Рис.185
Рис. 186
3. Медианой треугольника называется...
4. При помощи линейки и угольника начертите высоты, опущенные
из вершин В и С (рис. 184).
5. На рисунке 185 АВ = ВС, LBAC = 40°, AD = DC. Найдите L\ и
LBDC.
6. Укажите пару равных треугольников, изображенных на рисунке
186. Обоснуйте.
7. На рисунке 187 АВ = AD и ВС = CD. Является ли С А биссектрисой
угла BCD?
8. На рисунке 188 укажите отрезки с концами в обозначенных
точках, которые являются радиусами, диаметрами и хордами
окружности.
9. Начертите произвольный угол и произвольный луч. С помощью
циркуля и линейки от данного луча отложите угол, равный
данному.
10. Начертите отрезок и с помощью циркуля и линейки разделите его
пополам. _
D р р
Рис.187 Рис.188
ВАРИАНТ 2
1. AEFM = AEiFlMl, LF= LFX,E]MX = 7 см. Тогда ЕМ= ...
2. На рисунке 189 EL = AF, LK = AM, LELK= LMAF, ...LE = W.
Тогда LF=...
3. Высотой треугольника называется...
4. При промощи линейки и угольника начертите высоты,
проведенные из вершин К и N (рис. 190).
5. На рисунке 191 EF=FM, LEFA = /LMFAt LFEA = 50°. Найдите
L\ и LFAE.
6. Укажите пару равных треугольников, изображенных на рисунке
192. Обоснуйте.
Рис. 189
"К
Рис. 190
Рис. 192
95

Рис. 193 Рис. 194
7. На рисунке 193 AD = DC и АВ = ВС. Является ли BD биссектрисой
угла АВС1
8. На рисунке 194 укажите отрезки с концами в обозначенных
точках, которые являются радиусами, диаметрами и хордами
окружности.
9. Начертите произвольный угол и с помощью циркуля и линейки
постройте его биссектрису.
10. Начертите произвольную прямую и выберите на ней
произвольную точку. С помощью циркуля и линейки постройте прямую,
которая проходит через данную точку перпендикулярно к данной
прямой.
№ 3. Параллельные прямые
ВАРИАНТ 1
1. Укажите пары накрест лежащих, односторонних и
соответственных углов на рисунке 195.
Рис. 195
2. Какие из указанных прямых на рисунке 196 параллельны?
Почему?
3. На рисунке 197 АВ = CD, АС = СЕ, /.ВАС = LDCE. Имеют ли
общие точки прямые ВС и DEI
4. Пересекаются ли изображенные на рисунке 198 прямые а и с?
Почему?
5. а±с, Ь±с. Прямая d пересекает прямую а. Пересекает ли эта
прямая прямую Ы Почему?
6. При помощи угольника и линейки проведите прямые,
параллельные прямой / и проходящие через концы отрезка АВ (рис. 199).
7. Начертите произвольную прямую и выберите точку вне ее. С
помощью циркуля и линейки через данную точку проведите
прямую, параллельную данной прямой.
8. На рисунке 200 а\\Ь. Чему равен L1. Почему?
Рис. 196
В
D
С
Рис. 197
Рис. 198
i£?
Рис. 199
»ис. 200
4 Зив Б. Г.
97

Рис. 201
Рис. 202
9 На рисунке 201 а\Ь. Чему равен угол ВАС1
10. На рисунке 202 L\ - L2. Равны ли углы 3 и 4? Почему?
ВАРИАНТ 2
1. Укажите пары накрест лежащих, односторонних и
соответственных углов, изображенных на рисунке 203.
2. Какие из указанных прямых на рисунке 204 параллельны/
Почему?
Рис. 203
110°\ о
109*
Рис. 204
98
3. На рисунке 205 АВ = CD, АС = СЕ, ВС = DE. Имеют ли общие
точки прямые АВ и CD1
4. Пересекаются ли изображенные на рисунке 206 прямые тик?
Почему?
5. В прямоугольном треугольнике ABC LC - 90°, Е Е ВС. Через
точку Е проведена прямая, перпендикулярная к ВС. Пересечет ли эта
прямая прямую АС1 Почему?
6. При помощи угольника и линейки проведите прямые,
параллельные прямой т и проходящие через концы отрезка Ей F (рис. 207).
7. Начертите произвольный треугольник ABC и с помощью циркуля
и линейки проведите прямую, проходящую через вершину В и
параллельную прямой АС.
8. На рисунке 208 т\\п. Чему равен Z.1? Почему?
Рис. 206
Рис. 207
Рис. 208
П

9. На рисунке 209 т\п. Чему равен угол ВАС?
10. На рисунке 210 L\ + L2 = 180°. Равны ли углы 3 и 4? Почему?
Рис.210
№ 4. Соотношение между сторонами и углами
треугольника
ВАРИАНТ 1
1. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 20°.
Тогда угол при вершине треугольника равен...
2. В треугольнике ABC АВ = 10 см, ВС =11 см. Сравните углы С и Л.
3. В треугольнике ABC LA = LC, BD — медиана. Тогда LBDC
равен. ..
4. Две стороны треугольника равны 1 см и 0,9 см. Найдите третью
сторону, если ее длина выражается целым числом.
5. Треугольники на рисунке 211 прямоугольные. По данным рисунка
АС
найдите отношение .■•■>, .
6. В прямоугольном треугольнике ABC (LC = 90°) АС = 10 см, LB =
= 60°. Тогда расстояние от вершины С до гипотенузы АВ равно...
100
Рис. 211
7. а\Ъ, A Е а, В Е Ь, С Е а, АВ ± Ь, АВ = 7 см. Расстояние от точки
С до прямой Ь равно...
8. Начертите две параллельные прямые и изобразите множество
точек, равноудаленных от этих прямых.
9. Начертите тупоугольный треугольник ABC {LC тупой).
Постройте остроугольный треугольник с основанием АС и имеющий
высоту, опущенную на сторону АС, равную высоте данного
треугольника, опущенной на прямую, содержащую их общую
сторону.
10. Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный
треугольник по основанию и углу при основании.
ВАРИАНТ 2
1. В треугольнике ABC LA = 30°, LB =\00". Тогда внешний угол
при вершине С равен...
2. В треугольнике ABC LA = 40°, LC = 41°. Сравните стороны ВС и
АВ.
3. В треугольнике EFK LE= LK, FM±EK. Сравните углы EFM и
MFK.
4. Две стороны треугольника равны 0,9 см и 1,9 см. Найдите третью
сторону, если ее длина выражается целым числом.
5. Треугольники на рисунке 212 прямоугольные. Поданным
рисунка найдите разность NF—Ni F{.
6. В прямоугольном треугольнике ABC (LC = 90°) LB = 60°.
Расстояние от вершины С до гипотенузы АВ равно 8 см. Тогда АС = ...
1. a$b, AEa, BEb, АВ±а, АВ= 12 см. Тогда расстояние между
прямыми а и Ь равно...
8. Начертите прямую и некоторый отрезок. Изобразите множество
точек, удаленных от данной прямой на расстояние, равное длине
данного отрезка.
101

M F My П
Рис.212
9. Начертите остроугольный треугольник ABC. Постройте
тупоугольный треугольник с основанием АС и тупым углом при
вершине С, такой, чтобы его высота, опущенная на прямую
АС, была равна высоте данного треугольника, проведенной из
вершины В.
10. Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный
треугольник по боковой стороне и углу при вершине.
102
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К ЗАДАЧАМ ДЛЯ УРОКА
1. 4. Точка пересечения прямых.
2. 4. Нет.
3. 3. Точка D.
4. 3. Точка N.
5. 3. Пересекаются или не имеют общих точек. 4. Можно.
6. 3. Может. 4. Может.
7. 1. Шесть, четыре или одну (рис. 213). 2. 15.
8. 1. Шесть, четыре или одну (рис. 214). 2. 15.
12.
1. 1. 1) Три; 2) три.
2. 1. 1) Три; 2) три.
3. 1. 1) 12 неразвернутых углов и 6 развернутых углов.
4. 1. 1) 16 неразиернутых углов и 8 развернутых углов.
5. 1. 12 неразвернутых углов и 3 развернутых угла.
6. 1. 8 неразвернутых углов и 2 развернутых угла.
Kit
Рис.213
"АЛ
Рис.214

§3.
1. 1. AB<DB. 2.LAOC-LDOB.
2. 1. EK>NL. 2. Z.MOK- LNOL.
3. \.CE = AB.
4. l.MC - AB. 2. Да, является.
5. 1. Да.
7. 1. BC<AB или ВОАВ. 2. LMON = LAOC.
8. 1. ВО АС или BC<AC. 2. £Л0С - Z.BO0.
§4.
1. 1. 20 см или 3 см. 2. 1) 45° или 135°; 2) острым или тупым; 3) да, если
луч ОС проведен во внутренней области угла АОВ.
2. 1. 130 дм или 16 дм. 2. 1) 60° или 180°; 2) острым или развернутым; 3) да,
если луч ОС проведен во внутренней области угла АОВ.
3. 1. 4,7 дм и 1,6 дм, или 3,3 дм и 6,4 дм. 2. 1) 16°, 64°; 2) 160°, тупым.
4. 1. 44 см и 20 см или 76 см и 100 см. 2. 1) 25° и 75°; 2) 50°, острым.
5. 1. 102 см.
6. 1. 33 м. 2. 120°.
7. 1. Точка D лежит между точками А и В, DB - 3,5 см или точка В лежит
между точками А и D, DB « 7 см. 2. 36° и 54°.
8. 1. Точка М лежит между точками А и В, MB-4 см или точка В лежит
между точками А и М, MB - 12 см. 2. 45°.
§5.
1. 1. 36° и 144°. 2. 50°, 40°, 130°.
2. 1. 70° и 110°. 2. 50°, 50°, 40°.
3. 1. 90°, 60°, 150°. 2. 80°, 100°, 80°, 100°.
4. 1. 90°, 50°, 40°. 2. 80°, 100°, 80°, 100°.
5. 1. 45°, 135°. 2. Да.
6. 1. 135°.
§6.
1. 1. 45°. 2. Pabc>Pabd.
2. 1. 17 см. 2. Pdfk<Pkfk-
3. 1. 110°. 2. 12 см, 12 см, 12 см; 12 см, 14 см, 14 см.
4. 1. 20°. 2. 45 см.
5. 1. 55°. 2. 10 см или 6 см.
6. 1. 14 см; 90°. 2. 9 мм или 15 мм.
7. 1. 120°. 2. 35 см.
8. 1. 110°. 2. 60 см.
§7.
3. 1. 40°. 2. Да; да.
4. 1. 110°. 2. PAbd=Pebd.
104
§8.
1. 1. Для AADC. 2. /.ЛВС = 81°, LFEC-9QT
2. 1. Для AEFK и ALFK. 2. 20 дм; 65° 15'.
3. 2. 135°.
§9.
5. 1. 10 см. 2. 70°, 70°
6. 1. 15 дм. 2. т - 1.
§10.
Рис.215
1. BD-BiDi.
2. LBDC = LB\D\C\.
7. На прямых ЛС и /liCt за точки А \л А\ отложены отрезки АЕ и А\Е\,
соответственно равные АВ и А\В\ (рис. 215). Точки Е и В, Е\ и В\ соединим
отрезками, Д ЕВС « Д Е\В\С\, так как ВС~В\С\, LC = LC\ и СЕ-С\Е\ (СЕ-
- АС + АВ и Ci£i - А\С\ + AiBi). Из равенства этих треугольников следует, что
ЕВ = Е\В\ и LBEC- LB\E\C\. Тогда Д ЕАВ - Д Я| А\В\ и А£-Л|£|. В таком
случае АС^АхСх и дальнейшее доказательство очевидно.
8. Пусть ВМ и В\М\ — медианы треугольников ABC и А\В\С\, причем
ВМ=В\М\. Кроме того, LABM- LA\B\M\ и LMBC-LM\B\C\ (рис. 216).
Продолжим ВМ и В\М\, как указано на рисунке, так, что MZ) — MB и MiZ)i -М\В\,
Д ВМС = Д DMA и Д В\ М\ С\ =АО| Mi А\. Отсюда следует, что L BDA - LMBC и
LB\D\A\ = LM\B\C\. Так как BD = B\D\, LABM~LA\B\M\ и LBDA =
- L B\D\A\, то Д ABD - Д /li #i A. Отсюда ИВ - Ai Bi. Аналогично можно доказать,
что BC = BiCi. В таком случае ААВС - Л1В1С1 по двум сторонам и углу между
ними.
§1Ь
7. Точки Л, J5, К и /■' лежат на окружности с центром в точке В (рис. 217).
8. Точки А, Е, С и О лежат на окружности с центром в точке К.
Рис.216
105

§12.
7. 2. Необходимо учесть, что 54° : 3 - 18° и 54° • 3 - 162°. Тогда, учитывая, что
162°- 180° - 18°, легко построить угол в 18° и разделить данный угол в 54° на три
равные части.
8. 1. Точка М является точкой пересечения окружности с центром в точке А и
радиусом, равным PQ, с биссектрисой угла EOF. Таких точек может быть две, одна
или ни одной. 2. Необходимо учесть, что 35° : 7 - 5° и 35° -5-175°. Тогда, учитывая,
что 175°-* 180° — 5°, легко построить угол в 5° и разделить данный угол в 35е на
семь равных частей.
§13.
1. 1. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) да.
2. 1. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) да.
7. Соединим точки А и D, A AED - Д AFD по трем сторонам. Отсюда Z.EAD -
= /-DAF. Так как треугольник AMD равнобедренный, то /.EAD — Z.MDA. В таком
случае /-MDA - LDAF, тогда MD\\AC.
8. Д ADB - Д СЕВ по двум сторонам и углу между ними. Тогда АВ - ВС, и
отсюда /.ВАС-LBCA. По условию /.ВАС - /.MAC. Поэтому /.MAC - /-BCA и
АМ\\ВС.
§14.
1. 1. Да. 2. Да.
2. 1. Да. 2. Да.
3. 1. Да, да.
4. 1. Да, да.
7. 1. Соединим точки А и С, В и D, С и Е, Д ABC - Д BCD - Д CDE по двум
сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников вытекает, что LDBC —
- LACB и LBDC-LDCE. Тогда CA\\BD и CE\\BD. Но через точку С можно
провести только одну прямую, параллельную BD. Поэтому точки А, С и Е лежат
на одной прямой.
8. 1. Задача решается аналогично задаче 7 (1).
§15.
1. 1. 45° и 135°. 2. 45°.
2. 1. 58° и 122°. 2. 50°.
3. 1. 20°.
4. 1. 140°.
5. 1. Д DBC равнобедренный, а потому LBDC - /.BCD. Т. к. BE\\DC, то
LABE^LBDC и LEBC-LBCD. Из этого следует, что /.ABE- LEBC, BE —
биссектриса равнобедренного треугольника ABC и потому ВЕХ АС. А так как DC \\ВЕ,
то DCX АС.
6. 1. Так как DE\\AC, то LDEA- LEAC, а так как треугольник АОЕ
равнобедренный, то LDEA — LDAE. Тогда имеем, что LDAE — LEAC и АС — биссектриса
равнобедренного треугольника ВАС, а потому АЕХ ВС.
106
Рис.218 Рис.219
7. Пусть /.РКА-х и /.PEA-у (рис. 218). Так как КР-РА и РЕ-РА, то
/-КАР-х и /.РАЕ-у. По условию KE\\MN, а потому LKAM-x и LEAN-у. Так
как /.MAN — развернутый угол, то 2х + 2у - 180°. Отсюда ж + у - 90°, т.е.
Z.K/U5 - 90° и ЛВ± АЛ
8. Через точку С проведем луч СМ, параллельный AD и BE (рис. 219). Пусть
LADC—x и /.СЕВ-у. Так как треугольники Л DC и C/J/J равнобедренные, то
LACD—x и /.ВСЕ-у. По построению СМ параллельна AD и Д£, а потому
/-DCM - х и /.ЕСМ - у. LACB развернутый, а потому 2х + 2у- 180" и х + у-*
-90°, т.е. LDCE- 90° и DC±CE.
|16.
1. 1. 50°. 130°. 50°. 2. Нет.
2. 1. 120°, 120°, 120°. 2. Нет.
3. 1. Нет.
4. 1. Нет.
5. 1. 50°. Указание. Через точку Е провести луч ЕМ параллельно лучу CD.
6. 1. 70°.
7. Продолжим отрезок BD за точку D и отложим отрезок DE, равный BD. Точки
А и Е соединим отрезком; Д В DC — Д ADE по двум сторонам и углу между ними.
Отсюда следует, что LCBE— /.ВЕА, а потому ВС\\ЛЕ. Так как AB-2BD, то АВ-
- BE и А АВЕ равнобедренный. Поэтому LBAE- LBEA. По доказанному ВС\\АЕ,
отсюда LEBC - LBAE и /.ВАЕ - /.СВР. Таким образом, LEBC - /.СВР, т.е. ВС —
биссектриса угла DBF.
8. Задача решается аналогично задаче 7.
§17.
1. 1. Нет. 2. Да.
2. 1. Нет. 2. Да.
3. 1. 130°.
4. 1. 85°.
107

С А
Рис. 220
Рис. 222
Рис. 224
5. 1. Сумма углов двух треугольников ABC и BCD равна 360" (рис. 220). Значит,
LABD + LACD + LA + LBDC - 360% откуда LBDC - 130°.
2. Продлим отрезок ВО до пересечения со стороной АС в точке (рис. 221).
Тогда L1 - Z.2 + Lb, L4 - LS + Z.6. Так как ОА = ОВ и OS - ОС, то Z.3 - Z.2,
LS - Z.6. Тогда Z.АОС - 2/.ЛДС - 120°.
6. 1. Продлим отрезок AD, как показано на рисунке 222. LBDE=> LBAD +
+ /.ЛЯД, Z.EDC- LCAD + LACD. Значит, LBDC ■= LABD + LACD + LA - 17Р.
2. Так как AD-DB, то LADB-Ш° -2LDBA (рис. 223). Аналогично
получаем, что £ДОС - 180" - 2LDBC. Значит, /.ЛОС - 360° - HLDBA + Z.DBC) -
- 360° - 2LABC - 100°.
7. 1. На продолжении стороны ВС за точку С отметим точку Е (рис. 224).
LACE-LA + LABC >LABC. Но LABO <LABC, a LACE<LACD, значит,
LACD>LABO при любом расположении точек О ч Р.
108
«■^°~~ ^с
Рис. 226
Рис. 227
2. Пусть £ — середина стороны АВ (рис. 225). Из того, что АО-ВО и АС -
- ВС, можно доказать, что точки О, Е, D лежат на одной прямой и DOA.AB. Пусть
/.Л0Д - х. Тогда /.ЛСО - 90° — |, так как ЛО - СО. Из треугольников АСЕ и ЛО£
получаем, что LCAB~\, LOAE- 90° — дс. Значит, LDAE = % (так как Ли —
* 4
биссектриса угла CAB). Но треугольники ZMJ5 и ОАЕ равны. Следовательно,
90 — X - -г» откуда дс - 72. Значит, можно доказать, что углы треугольника ABC
равны 36°, 36° и 108°.
8. 1. Так как внешний угол треугольника больше внутреннего несмежного с ним
(рис. 226), то LAPOLAKP>LABOLOBC. Ответ. Нельзя.
2. Предположим, что ОА-ОВ = ОС. Из того, что треугольники ABC и АОС
равнобедренные, можно доказать, что середина отрезка АС — точка Е (рис. 227)
- лежит на прямой ВО и ВО± АС. Пусть LAOB^x, тогда LABO = 90° — ^, так
как АО-OB. С другой стороны, из треугольника АОЕ получаем LOAE-90° - х,
LKAO-90° - х (так как АО — биссектриса угла КАЕ). Значит, LBAC - 180° - (180°
- 2х) - 2дс, откуда 2х - — и х - 0. Полученное противоречие говорит о том, что
равенство О А - ОБ - ОС выполняться не может.
§18.
1. 1. LB<LK. 2. 90°.
2. 1. АБ<РК. 2.АЕ-ВЕ.
5. 1. Продлим медиану BD на ее длину, как показано
на рисунке 228. Так как треугольники ADE и CDB
равны, то ВС-АЕ, LCAE-LBCA. Значит,
LABE<LBAE. Следовательно, в треугольнике ABE
ВЕ>АЕ, откуда 2BD>BC.
2. У к а з а и и е. Докажите, что BD - ВС, и Рис. 228
сравните DK и DB.
109

Рис. 229
Рис. 230
Рис.231
6. Задачи решаются аналогично задачам 5 (1, 2).
7. 1. LBCA>LABC, так как АВ>АС (рис. 229). Значит,
LBCD>LBCA>LABC>LDBC, откуда из треугольника BDC получаем BD>CD.
2. Указание. Докажите, что МА - MB - МС. Отсюда следует, что
медианы треугольника ABC являются его высотами. Значит, треугольник ABC
равносторонний.
8. 1. Z.1-Z.2+Z.3, Z.4-Z.5 + Z.6 (рис. 230). Значит, Z.l>£3, £4>Z.6. Отсюда
следует, что LADC> LBCD + LBAD. Учитывая условие задачи, получаем, что
LADOLDAC. Значит, АО DC.
2. Указание. Аналогично тому, как это сделано в задаче 5 (2), докажите,
что треугольник АОС равносторонний (рис. 231). О т в с т: Z.BCA- 30°.
§19.
1. 1. Нет. 2. Нет.
2. 1. Нет. 2. Нет.
3. 1. Нет.
4. 1. Нет.
5. 1. Продлим отрезок ВВ\ на его длину, как
показано на рисунке 232. Можно доказать, что
треугольники АВВ\ и DCB\ равны. Учитывая, что
BD<BC + CD, получаем, что 2BBi<BC + AB.
2. Не может.
6. Задачи решаются аналогично задачам
5 (1, 2).
Рис. 232
ПО
7. 1. Пусть в треугольнике ABC медианы AAi и ВВ\ пересекаются и точке О.
Тогда AO + OBi>ABi и ВО + ОА\>ВА\, значит,
АО + ОВ\ +ВО + ОА\ >АВ\ + ВА\.
Следовательно,
АА\ + ВВ\ >0,5(АС + ВС).
2. Пусть прямая АЕ пересекает сторону ВС в точке D, тогда один из углов
ADB или ADC не острый. Пусть для определенности это будет угол ADB. Тогда из
треугольника ADB AB>AD, а из треугольника ВЕС ЕВ + ЕОВС. Так как АВ - ВС,
то ADKEB + EC. Но EA<AD.
8. 1. Пусть отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Тогда
АО + ВО>АВ, АО + OD>AD, OD + OODC, ВО + ООВС.
Значит,
АО + ВО + АО + DO + OD + ОС + ВО + ООАВ + AD + DC + ВС,
откуда получаем, что
2(АС + BD)>AB + AD + DC + ВС.
2. Пусть прямая AM пересекает сторону ВС в точке D. Можно доказать, что
AB>AD>AM (см. задачу 7(2)). С другой стороны, СЕ + ЕВ>СВ, но СВ - АВ. Значит,
МЛ<ВЕ + ЕС.
§20.
1. 2. 4 см.
2. 2. 60°.
3. 2. 10 см.
4. 2. 150°.
5. 2. Так как BD-2BC, то LDCB-ЪОГ (рис. 233). Значит LCAB- 30°. Отсюда
получаем, что АВ - 2ВС - 4BD, тогда AD-AB-BD- 3DB.
6. 1. LABB\ -Z.1+Z.2, так как LABB\ — внешний угол треугольника АВО
(рис. 234). Аналогично LCBB\ - Z.3 + Z.4. Тогда LABC - L1 + Z.2 + Z.3 + Z.4 -
-/.ЛОС + /.2+/.4. Из треугольников Л0С1 и CO^li получаем Z.2-90" - LAOC,
Z.4 - 90° - /1Л0С. Значит, Z.ABC - 180° - /.ЛОС.
2. Задача решается аналогично задаче 5 (2).
Рис. 233 Рис. 234
111

Рис. 235
7. 1. В треугольнике ABC ABAC - 90° — Z.CZM = 50" (рис. 235). Тогда LEAC -
= 45°, oi куда L.CEA — 45". Значит, ЕС "АС. С другой стороны, /..DCA-80° и из
треугольника CZM LCDA — 50°. Следовательно, CD-СЛ, значит, СЕ— CD. Из
треугольника СЯО находим, что LEDC — 85°.
2. В треугольнике ЛВС LCAB - 90° — Z.Z? - 45" (рис. 236). В треугольнике
АЕМ Z.MEA-90'- LMAE-4S'. Значит, МЕ-МА. В треугольнике CDA LCAD-
- 90° - /.ДСЛ - 30°. Значит, СД - 0.5ЛС - МА. Следовательно, CD - ME.
8. 1. В треугольнике DOC LOCD- 20°, в треугольнике ABD LBDA- 40°
(рис. 237). Значит, LADE -50° и Z.ADC-140° . Тогда в треугольнике Л£>С
LDAC -20°. Следовательно, DA-DC. С другой стороны, в треугольнике EDC
LECD-4S" и DC-DE. Тогда AD-DE, и из треугольника /ЖА имеем LDEA-
= 65°.
2. В треугольнике ЛВС Z.BАС-90" - Z.CBA-45° (рис. 238). В треугольнике
РМЛ LMPA-4S°. Значит, МР-МА и АС-2ЕА, откуда ^ £СЛ - 30° и LEAC-
= 60°.
112
§21.
5. 1. Пусть Z? — середина стороны АВ. Тогда треугольники ADE и DBE равны
но двум катетам. Следовательно, АЕ — ВЕ. Периметр треугольника ЛЕС равен
АС + АЕ + СЕ-АС + BE + СЕ - АС + ВС -АС + 24, откуда находим, что АС - 6 см.
6. 1. Треугольники ADK и BDK равны по катету и острому углу. Значит,
AD-BD. Далее задача решается аналогично задаче 5 (1).
2. Пусть ВО и СО — биссектрисы внешних углов при вершинах В и С
треугольника ABC (рис. 239). Из точки О проведите перпендикуляры ОМ, OK, OP
на прямые АВ, ВС, АС соответственно. Докажите сначала, что ОМ - ОК и ОК -
- ОР, а затем, что LMAO - LP АО.
7. 1. Треугольники АВА\ и .ACCi равны по двум катетам. Значит, АВ — АС.
Далее можно доказать, что ВС\ — А\С и ВС — АС. Следовательно, треугольник ABC
равносторонний и LB — 60°.
2. Из треугольника ABC находим LC — 90°. Треугольники ВВ\С и В\АК равны
по двум сторонам и углу между ними. Значит, можно доказать, что LMAM\ —
= LAA\C. Следовательно, треугольники МАМ\ и АА\С равны по гипотенузе и
острому углу. Значит, АМ\ — А\С, а так как А\ — середина отрезка ВС, то ЛМ\ —
-ВА\.
8. 1. Треугольники АОС\ и А\ОС равны по катету и острому углу (рис. 240),
значит, LOCA\ - LA\AB и АО —ОС Следовательно, СС\ — АА\ и треугольники
.4CCi и АСА\ равны по катету и гипотенузе. Значит, LA\AC°* LC\CA. Таким
образом, каждый из отрезков АА\ и СС\ является одновременно высотой и
биссектрисой треугольника ABC. Следовательно, этот треугольник равносторонний и АС —
- 2ВА\.
2. Из треугольника ABC находим, что угол ВСА равен 90°. Так как А\ —
середина ВС, то АМ\ — А\С и треугольники АММ\ и АА\С равны но катету и
гипотенузе. Отсюда можно доказать, что прямые ВС и DA параллельны.
Следовательно, LDAB — LABC. Значит, треугольники ADC\ и ВС\С равны по стороне и
двум прилежащим к ней углам и DC\ — СС\.
Рис. 239 Рис. 240
113

§22.
1. 1. AOBD. 2. a) 4 см; 6) 5 см.
2. 1. AOBD. 2. а) 30е; б) 10 см.
3. 1. AB>DC.
4. 1. PM>KE.
5. 1. Один из возможных чертежей к задаче изображен на рисунке 241. Из
условия /-OAD + /.ВОЕ - 90" получаем, что /.ADO = 90°. Треугольники ВОЕ и AOD
равны по катету и острому углу. Значит, АО-ЕО, откуда AB-DE. Но АОАВ,
следовательно, AC>DE.
2. а) 0,5х; б) 0,5х.
6. 1. Отложим от луча MP угол ЕМР, равный углу ОНР (рис. 242). Треугольники
ОМЕ и ОНР равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда ОЕ - ОР
и НЕ "MP, но НЕ>НК, значит, НК<МР. Любая наклонная, проведенная из точки
М к прямой а, больше MP, и, следовательно, она больше НК.
2. а) Можно доказать, что треугольник АВМ равносторонний (рис. 243).
Значит, все его углы равны 60°. Зная внешний угол равнобедренного треугольника
ВМС при вершине М, найдем, что LС - LMBC - 30°. Тогда /.ABC -90°. Значит,
АВ — расстояние от точки А до прямой ВС. Из треугольника АВМ находим, что
АВ-х.
б) Проведем МК JL ВС, МС — расстояние между прямыми а и ВС. Из
треугольника МКС находим, что МК-0,5х.
7. 1. Если предположить, что АВ>2АС, тогда на продолжении отрезка АС за
точку С можно отложить последовательно отрезки СК и КЕ так, что СК-АС и
АВ — АЕ (рис. 244). Треугольники ВКС и ACD равны но двум сторонам и углу
между ними. Значит, LKBC — 90° и LBKC острый. Следовательно, L ВКС</-КВС.
Но LABE>/-KBC, а /.ВКС>/.ВЕС. Получаем LABE>LBEC, чего быть не может,
т. к. АВ — АЕ. Значит, неравенство АВ>2АС выполняться не может.
2. Пусть прямая а пересекает сторону ВС в точке К (рис. 245). Пусть Е —
середина отрезка MB. Проведем МТ JL АС, ЕР JL а, ЕО JL ВС. Треугольники АМТ,
МЕР, ЕВО равны но гипотенузе и острому углу. Тогда МТ - ЕР - ВО. Но ЕР - ОК.,
так как можно доказать, что ЕО ||а, значит, ВК — 2МТ, причем ВК — это расстояние
от точки В до прямой а, а МТ — расстояние между прямыми а и АС.
8. 1. Если /.DEA>90", то и в треугольнике ADE AD>ED (рис. 246). Но
AD<AC<AB, значит, ED<AB. Если /.DEA<90", то LDEB — тупой и в треугольнике
Рис. 242 Рис. 243
Рис. 241
114
А Т
Рис. 244
Рис. 245
Е
А
К
О
С
*
В
D
Рис. 246
М Т Р
Рис. 247
BDE DB>DE. С другой стороны, LBDA>LBCA - 90°. Значит, в треугольнике ABD
AB>DB. Следовательно, ED<AB.
2. Здесь Е — середина MA, ED\\MP (рис. 247), ЕТ\\КР, АО\\КР. Далее задача
решается аналогично задаче 7 (2).
§23.
1. 1. Параллельные прямые.
2. 1. Прямую, параллельную прямой АВ.
5. 1. BC\\AD, так как точки В и С равноудалены от прямой AD. Учитывая, что
ВО-ОС, можно доказать, что /.ОСВ-/.ОВС и AO-OD. Треугольники ABC и
CBD равны по двум сторонам и углу между ними.
2. Построим две прямые, соответственно параллелльные сторонам угла,
115

Рис. 249
О
М--
II I
С В
My
О
Рис. 251
удаленные от них на расстояние, равное данному отрезку (рис. 248). Точка А пересечения
данных прямых будет искомой.
6. 2. Пусть даны прямая а и точка А, не лежащая на ней (рис. 249). Построим
окружность с центром А и радиусом, равным данному отрезку, и прямую Ь,
параллельную а, удаленную от прямой а на расстояние, равное данному отрезку. Точки
В и С пересечения построенных окружности и прямой b являются искомыми.
7. 1. BE\\AD, так как точки В и Е равноудалены от прямой AD. Проведем
отрезки BE и BD (рис. 250). Треугольники ВМЕ и АМС равны по стороне и двум
прилежащим углам. Значит, АС - BE - CD. Треугольники BCD и BED равны по
стороне и двум прилежащим углам. Значит, ВС - ED.
2. Через точку С — середину отрезка АВ проведем прямую а,
перпендикулярную АВ (рис. 251). От точки С на прямой а отложим отрезки МС и М\С,
равные РО. Точки М и М\ будут искомыми. В самом деле, треугольники АМС и
ВМС равны по двум катетам, значит, MA = MB, МС - РО по построению. Аналогично
проводится доказательство для точки М\.
8. 1. BD\\AC, так как точки В и D равноудалены от прямой АС. Построим
ЕС JL BD, ЕО-ОС (рис. 252). Тогда ED=CD, так как треугольники EOD и COD
равны но двум катетам. Аналогично BE - ВС. В треугольнике AED AE< AD + DE.
Тогда, учитывая доказанное и условие, получаем, что 2BC<AD + DC.
2. Построение дано на рисунке 253.
§24.
5. 1. Так как Z.B= 15°, то треугольник ABC можно построить по стороне АВ и
двум прилежащим к ней углам.
116
2. Построим треугольник В\ ОС по трем сторонам. Затем построим треугольник
ВОС по стороне ОС, углу ВСО, равному угла В\СО и углу ВОС, смежному с углом
В\ОС (рис. 254). Аналогичным образом строим треугольник АВВ\.
6. 1. Если Z.Z?=120°, Z.C = 45", L-A - 15°. Для построения угла в 15° построим
произвольный равносторонний треугольник и разделим один из его углов на четыре
равные части. Теперь треугольник ABC можно построить по двум сторонам АВ и
АС и углу между ними.
7. 1. Пусть прямая А пересекает отрезок АВ в точке D. Построим отрезок BE:
BE J. a, BO^OE (рис. 255). Искомая точка С получается при пересечении прямых
а и АЕ.
2. Построим треугольник МВК по трем сторонам так, чтобы MB - РК. Затем
построим ВР\\МК, РК\\МВ (рис. 256). Треугольник РКС построим по стороне РК,
углу КРС, смежному с углом ВРК, и данному углу РКС. Точку А получим
пересечением прямых MB и СК. Треугольник ABC искомый. В самом деле, МК\\ВС,
КР\\АВ по построению. Можно доказать, что треугольники МВК и ВРК равны по
стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, МБ - РК.
8. 1. Пусть стороны угла А лежат на прямых Ь и с. Построим отрезок AD с
серединой в точке М (рис. 257). Затем через точку D проведем прямую а,
параллельную прямой с. В — точка пересечения прямых а и Ь. Точку С построим как
нересечение ВМ и с. Точки В и С являются искомыми. В самом деле, можно
С а
Рис. 254
Рис. 255
Рис. 256
117

А С с
Рис. 257 Рис. 258
доказать, что треугольники BMD и АМС равны по стороне и двум прилежащим к
ней углам. Значит, ВМ - МС и отрезок AM является медианой треугольника ABC.
2. Построим треугольник AM К по трем сторонам так, чтобы AM-PQ, МК-
-PlQl, КА - РгОг (рис. 258). Треугольник АМС построим по стороне AM, углу А
и углу АМС, равному hk. Построим МЕ\\АС, ЕС\\МК. Точку В получим как
пересечение прямых AM и ЕС. Треугольник ABC будет искомым.
В самом деле, МЕ^АС но построению. Можно доказать, что треугольники МКС
и МЕС равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, МК - ЕС. Кроме
того, LAMC, АС — ME, AM равны данным по построению.
§25.
3. 1. Пусть требуется построить треугольник ABC с прямым углом С по катету
ВС и медиане ВМ. Построим сначала треугольник ВМС по катету и гипотенузе.
Далее построим треугольник ЛВС по двум катетам ВС и АС - 2МС.
2. Пусть угол при вершине искомого треугольника равен х. Тогда угол при
основании равен 90° — 0,5х. Построив этот угол, можно затем построить искомый
треугольник по основанию и двум прилежащим углам.
4. 1. Пусть требуется построить остроугольный треугольник ABC по высоте ВМ
и углам АВМ и МВС. Треугольники АВМ и СВМ строим но катету и прилежащему
острому углу. Треугольник ABC будет искомым.
2. Пусть требуется построить треугольник ABC с прямым углом С по высоте
CD и углу В. Вначале построим треугольник CBD по катету CD и противолежащему
углу В. Треугольник ABC строим по катету ВС и острому углу В, прилежащему к
этому катету.
5. 1. Пусть даны отрезки PiOi и РгОг и угол hk. Требуется построить треугольник
ABC, в котором AB-PiOi, LA- Lhk, BC-P2O2.
Проведем прямую а, на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный
отрезку Р\ 0\ (рис. 259). Затем построим угол ВАМ, равный данному углу hk. Далее
построим окружность с центром В и радиусом РгОг. Соединил точку В с точкой
С— точкой пересечения окружности и луча AM, построим искомый треугольник
ABC. Задача может не иметь решения, если окружность не пересечет луч AM, или
иметь два решения, если окружность пересечет луч AM в двух точках.
2. Пусть требуется построить треугольник ABC по высотам ВВ\ и СС\ и углу
А. Построим треугольники АВВ\ и АСС\ по катету и противолежащему углу
(рис. 260). Далее соединим точки В и С отрезком.
118
Рис. 259 Рис. 260 Рис. 261
6. 1. Вначале постройте угол, равный третьему углу треугольника, а затем
выполните построение треугольника по стороне и двум прилегающим углам. Задача
может не иметь решения, если сумма данных углов не меньше 18°.
2. Пусть требуется построить треугольник ABC по высотам ВВ\ и ЛА\ и углу
A. Построим сначала треугольник АВВх по катету и противолежащему углу, а затем
треугольник АВА\ по гипотенузе АВ и катету АА\ (рис. 261). Точка С получается
пересечением прямых АВ\ и ВА\.
7. 1. Вначале построим треугольник АВМ по двум сторонам АВ и ВМ и углу
АМВ, противолежащему одной из них. Затем строим треугольник ABC по углам А
и ВСМ и стороне АВ.
2. Вначале построим угол С, равный 180° — (Z.JS+ LA). Затем построим
треугольник CDB по катету BD и противолежащему ему углу С. Треугольник ABC
строится по сторонам АС и ВС и углу С между ними.
8. 1. Сначала построим треугольник АВМ но двум углам АВМ и АМВ и стороне
AM, противолежащей одному из них. Треугольник ABC строится но сторонам АВ
и ВС и углу А, противолежащему стороне ВС.
2. Сначала построим треугольник BCD по катету CD и гипотенузе ВС. Затем,
используя данную разность углов А и В, построим угол hk, равный углу А. После
этого построим угол, равный разности прямого угла и построенного угла hk. Угол,
равный построенному, отложим от луча CD в сторону, противоположную вершине
B. Сторона этого угла пересечет прямую BD в точке А. Треугольник ЛВС — искомый.
§26.
1. 3. 80°. 4. АО AM.
2. 2. 70е. 4. МВ>АК.
3. 2. 4<AD<%.
4. 2. 5<ЕР<10. 3. 5.
5. 3. Треугольник BAD равнобедренный, АС — биссектриса угла BAD. Тогда
AC ± BD. Пусть О — точка пересечения отрезков АС и BD. Можно доказать, что
АО-ОС, BO-OD, LOBA- LOBC, LABO>45°, так как LABOW и ТО AT.
Значит, LBAO<45\ LABO>LBAO. Следовательно, АО>ВО и AOBD.
4. Если из точки Т провести перпендикуляры ТМ и ТК соответственно на
прямые AD и АВ, то получившиеся прямоугольные треугольники АМТ и АНТ равны
но гипотенузе и острому углу. Отсюда следует, что ТМ — ТН.
6. 3. Пусть ТР и КМ пересекаются в точке А. ТА-АР, МК±ТР, так как
треугольник ТМР равнобедренный. Так как КТ—ТМ, то ЛК- AM, LKTA — LATM,
119

LKTA<45°, так как КО>ОМ и LOTK = 44°. Значит, LTKA>45\ Следовательно,
АТЖА и ТР>КМ.
4.. Пусть ОВ и ОС — перпендикуляры, проведенные к прямым ТМ и MP
из точки О. Треугольники ОВМ и ОСА/ равны по гипотенузе и острому углу, значит,
ОВ = ОС.
7. Рис. 262. 1. Так как ОВ-ОЛ, то LBOA - 180° — 2LABO, аналогично ZCOZJ
- 180° — 2LOCD. Значит, LAOB= LCOD.
2. LAOC - LAOB + ZtfflC, LBOD - Z.COD + ZДОС. Значит, Z./10C - /.ДОЛ
Тогда треугольники АОС и ВО/) равны но двум сторонам и углу между ними.
Следовательно, АС = /?/Х
3. Треугольники ЛДО и COD равны по двум сторонам и углу между ними.
Значит, АВ = CD. Тогда треугольники ЛВС и BDC равны по трем сторонам. Тогда
LDBC = LACB. Аналогично LCAD-BDA. Но LDBC- LADB, так как BC\\AD.
Следовательно, LDBC - LCAD.
4. Проведем перпендикуляры ОР и ОК из точки О к прямым AD и ДС;
АР - /V), ZJ/l - /lC, так как треугольники ЛО/> и ДОЛ равнобедренные, значит,
PD>KC. Отметим на отрезке PD точку Е так, что РЕ "КС. Проведем ЕТ\\ОР и
TH\\PD. РЕ-НТ, так как ЕТ±ОР, значит, треугольники ОКС и 0//7 равны по
гипотенузе и катету, поэтому ОН "ОК. Так как ОН>ОР, то ОК>ОР.
8. I. Треугольники .КОЛ/ и РОЯ (рис. 263) равны по трем сторонам, значит,
LKOM - Z.PO/7.
2. /ПРО* - /.КОМ — POM, LMOH - ZPOtf — Z.POA/, значит, Z.PO* =
= LMOH. Тогда треугольники PO/l и МОИ равны по двум сторонам и углу между
ними. Значит, LKPO - LOMH. Но LPOK+1LKPO - 180°, так как треугольник РКО
равнобедренный. Значит, LPOK + 2LOMH - 180°.
3. РК = МН, так как треугольники РОК и МОП равны. Тогда треугольники
КРМ и НМР равны по трем сторонам. Значит, LKMP = LHPM. Аналогично
LMKU=LPHK. Но так как по условию LMPH = LMKH, то LKMP" LMКН. А
отсюда следует, что РМ\\КН.
4. Опустим перпендикуляры ОА и ОВ из точки О на прямые КН и РМ
соответственно. Тогда ОА<ОВ, АН °= АК, РВ"ВМ, так как треугольники РОМ и
КОН равнобедренные. Отложим на луче О А отрезок ОС, равный ОВ (см. рис. 263).
Проведем CD±OA, DE\\AC. Треугольники ОВМ и OCD равны по катету и гипотенузе,
значит, BM-CD. С другой стороны, AE = CD, так как AC%ED. Но АЕ<АН,
следовательно, ВМ<АН и РМ<КН.
Рис. 262 Рис. 263
120
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ
№1
1. 1. 135°. 2. AB>CD. 3. а) 50°, 40°; б) углы MOB и СОК не являются
вертикальными, так как их градусные меры не равны. 4. Одну, две или три точки
(рис. 264).
2. 1. 20°. 2. 102 мм. 3. а) 50°, 40°; б) если бы точки А, К, В лежали на одной
прямой, то углы АКН и МКВ были бы вертикальными, но эти углы не равны.
Значит, точки Л, К, В не лежат на одной прямой. 4. См. рис. 265.
3. 1. Да. 2. РК-НМ. 3. а) Да; б) LEOB + LPOB - РОЕ. Значит, LPOE- 180°,
т.е. угол РОЕ является развернутым и точки Р, О, Е лежат на одной прямой.
Следовательно, углы ЕОВ и РОА будут вертикальными. 4. Можно (рис. 266).
4. 1. 90°. 2. 125 мм. 3. а) Да; б) задача решается аналогично задаче 3 (36).
4. На шесть или семь частей (рис. 264).
№2
1. 4. Построить угол, равный разности прямого и данного, и разделить полученный
угол пополам.
Рис. 264
Рис. 265 Рис. 266
121

2. 4. Разделить прямой угол на восемь равных частей и взять одну из них.
3. 4. Отложить данный угол последователь!ю 3 раза и вычесть из построенного
прямой угол.
4. Построить угол, равный 0,25 прямого, и найти разность между прямым и
построенным.
№3
1. 1. 50е. 2. Не могут. 3. а) 51°.
2. 1. 40°. 2. Да.
3. 1. 120°. 2. Ни одной, так как а\\с. 3. а) 63°.
4. 1. 90°. 2. Одну. 3. а) 135е.
№4
1. 1. АС>ВС. 2. 2. 30е. 3. б) По неравенству треугольника BC<DC + BD-
-2BD - 4АВ. 4. Если все стороны треугольника имеют разные длины, то методом
доказательства от противного можно доказать, что один из его углов меньше 60°.
Значит, при любом разрезании данного треугольника один из образовавшихся
треугольников будет иметь угол меньше 60е, а следовательно, не будет равносторонним.
Ответ: нельзя.
2. 1. Z.C-120°, LA -40е, LB-20'. 3. б) Находим LDBC-W. Значит, ВС-
— DC — AD, AB<AC - 2ВС, откуда и следует утверждение, которое требуется доказать.
4. Рис. 267. Можно доказать, что при данном составлении равнобедренных
прямоугольных треугольников ADP, BDP, ВЕР и РЕС точки Р, D и Е будут лежать
соответственно на отрезках АС, АВ, ВС, а отрезки АВ и ВС будут равными. Ответ:
можно.
3. 1. АВ - ВС. 3. б) Аналогично заданию а) можно доказать, что LABD — LC.
Тогда в треугольнике ABD AD>BD, а в треугольнике BCD BDLDC. Значит, AD>DC.
4. Рис. 268. Здесь LBAC-Ж, LABD-30°, Z.A0C-9O*. Можно доказать, что
треугольник DBC равносторонний, а треугольник ABD равнобедренный. Ответ:
можно.
4. 3. Из треугольника МНС получаем LC<LMHC, значит LC<l.BAC. Тогда в
треугольнике ABC AB<BC.
4. Треугольник можно разрезать на два треугольника только прямым разрезом,
проходящим через вершину. Пусть отрезок AM (M £ ВС) разделил разносторонний
треугольник ABC на два равных треугольника АМВ и ЛВС, тогда LB — Z.C. Значит,
АВ — АС, чего быть не может. Ответ: нельзя.
В В
Рис. 267 Рис. 268
122
№5
1. д) Если предположить, что АЕ - ЕС, то отрезок ED будет высотой и медианой
треугольника ЛЕС. Тогда через точку D на прямой АС будут проведены две прямые
BD и DE, перпендикулярные АС, чего быть не может.
2. д) Можно доказать, что точка пересечения биссектрис треугольника ABC
равноудалена от его вершин.
3. д) Так как LBCA - 30°, LABC - 90°, то АВ - 2АС. Можно доказать , что
ВО-АО- ОС. С другой стороны, треугольники ВСО и МОЛ равны по двум сторонам
и углу между ними. Значит, ВО-ОМ. Таким образом, точка О равноудалена от
точек А, В, С, М. Значит, через эти точки можно провести окружность с центром
О.
4. д) Можно доказать, что треугольники НСО и MOD равны, причем НО -
-ОМ и LCOH- LMOD- 30°. Тогда LHOM- LAOM + LAOC + + LCOH- 180е,
значит, точки Н, О, М лежат на одной прямой. Следовательно, точка О является
серединой отрезка МН.

8 КЛАСС

ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
Параграф
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24*
25
26
27
28*
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
Тема
Многоугольник, четырехугольник
Параллелограмм и его сиойства
Признаки параллелограмма
Трапеция
Задачи на построение параллелограмма и трапеции
Прямоугольник
Ромб и квадрат
Задачи на построение прямоугольника, ромба, квадрата
Свойства площадей многоугольников, площадь квадрата и
прямоугольника
Площадь параллелограмма
Площадь треугольника
Площадь трапеции
Теорема Пифагора
Площади многоугольников
Пропорциональные отрезки
Определение подобных треугольников.
Отношение площадей подобных треугольников
Первый признак подобия треугольников
Второй и третий признаки подобия треугольников
Средняя линия треугольника. Свойство медиан треугольника
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Задачи на построение, решаемые методом подобия
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника и их
значение для углов 30°, 45° и 60°
Решение прямоугольных треугольников
Подобие треугольников
Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к
окружности
Теорема о вписанном угле
Теорема о произведении отрезков хорд
Окружность
Четыре замечательные точки треугольника
Вписанная окружность
Описанная окружность
Понятие вектора
Сложение векторов
Вычитание векторов
Умножение вектора на число
Применение векторов к решению задач
Средняя линия трапеции
Итоговое повторение (четырехугольники, площади, подобные
треугольники)
Итоговое повторение (окружность)
* Задачи предназначены для классов с углубленным изучением математики
126
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
1.
§ 1. Многоугольник, ^cmgex^oAwajati
1. В выпуклом пятиугольнике ABCDE вершина В соединена равными
диагоналями с двумя другими вершинами. Известно, что /.ABE"
= LCBD, LBEA = LBDC. Докажите, что периметры
четырехугольников ABDE и BEDC равны.
2. Дан выпуклый девятиугольник с равными углами. Найдите эти
углы.
2.
3.
В выпуклом шестиугольнике ABCDEF АВ = AF. Из вершины А к
двум не соседним вершинам проведены равные диагонали, причем
LBAC = LEAF. Докажите, что периметры четырехугольников
АВСЕ и ACEF равны.
Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его
углов равна 540"?
Выпуклый четырехугольник ABCD имеет две пары равных между
собой смежных сторон: АВ - AD, ВС - CD, О — точка пересечения
диагоналей четырехугольника. Сравните периметры
пятиугольников ABCOD и ABOCD.
Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника не
зависит от числа сторон многоугольника.
4.
1. Диагональ АС невыпуклого четырехугольника ABCD разделяет
этот четырехугольник на два треугольника, причем АВ > ВС,
AB = AD, ВС-CD, а прямые, содержащие диагонали
четырехугольника, пересекаются в точке О. Сравните периметры
пятиугольников BCODA и DCOBA.
2. Докажите, что разность сумм углов выпуклых /i-угольника и
(п — 1)-угольника не зависит от п.
127

5.
1. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все стороны равны. Большая
диагональ, проведенная из вершины А, параллельна стороне ВС,
LBAD- LCD А. Сравните периметры пятиугольников ABDEF и
ACDEF.
2. Сумма углов выпуклого 2/1-угольника в к раз больше суммы углов
выпуклого /1-угольника, где к — нечетное число. Найдите к.
6.
1. В выпуклом пятиугольнике ABCDE все стороны имеют равные
длины. Диагональ, проведенная из вершины Л, параллельна стороне
ED, LEAC = LDCA. Сравните периметры четырехугольников
ЕАВС и DCBA.
2. Сумма углов выпуклого n-угольника в к раз больше суммы углов
выпуклого (п — 1)-угольника (к — натуральное число). Найдите к.
7.
1. Может ли многоугольник иметь 25 диагоналей?
2. Сколько углов с градусной мерой меньше 10° может быть в
выпуклом многоугольнике?
8.
1. Существует ли многоугольник с 27 диагоналями?
2. В выпуклом многоугольнике имеется 5 углов с градусной мерой
140° каждый, остальные углы острые. Найдите число сторон этого
многоугольника.
128
§ 2. Параллелограмм и его свойства
1.
1. В четырехугольнике ABCD АВ || CD, ВС || AD, АС = 20 см, BD =
= 10 см, АВ= 13 см. Диагонали четырехугольника пересекаются в
точке О. Найдите периметр треугольника COD.
2. Из вершины В параллелограмма ABCD с острым углом А проведен
перпендикуляр ВК к прямой AD; ВК = -~АВ. Найдите L С и L D.
В четырехугольнике ABCD AB \CD, ВС \AD, О — точка
пересечения диагоналей. Периметр треугольника AOD равен 25 см, АС =
= 16 см, BD= 14 см. Найдите ВС.
Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. Из вершины В
опущен перпендикуляр ВК к прямой AD, АК-ВК. Найдите /.Си
LD.
3.
1. В четырехугольнике ABCD L А + LB = 180°, АВ \\CD. На сторонах
ВС и AD отмечены точки М и К соответственно так, что ВМ = KD.
Докажите, что точки М и К находятся на одинаковом расстоянии
от точки пересечения диагоналей четырехугольника.
2. На сторонах РК и МН параллелограмма МРКН взяты точки А и В
соответственно, MP = РВ = АК, LMPB = 60°. Найдите углы
параллелограмма и сравните отрезки ВМ и АН.
4.
1. В четырехугольнике МРКН L РМК = LHKM, РК \МН. Через
точку пересечения диагоналей проведена прямая, пересекающая
стороны РК и МН в точках А и В соответственно. Докажите, что
АР = НВ.
2. На сторонах ВС и AD параллелограмма ABCD взяты точки М и К,
АВ = ВМ= KD, LAMB = 30°. Найдите углы параллелограмма и
сравните отрезки AM и СК.
5 Зин Б. Г.
129

5.
1. В выпуклом четырехугольнике ABCD L Л + LB = LB + LC = 180°.
Через точку О пересечения диагоналей четырехугольника
проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках М и К
соответственно; L ВОМ = 90°. Докажите, что ВК = ВМ.
2. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены точки М и
Н соответственно так, что отрезки ВН и MD пересекаются в точке
О; LBHD = 95°, LDMC = 90°, L BOD =155°. Найдите отношение
длин отрезков АВ и MD и углы параллелограмма.
1. В выпуклом четырехугольнике МРКН L М + LP= 180°, L МКН =
= LKMP. На сторонах МН и Р/С отмечены точки А и В так, что
/7? = РА. Отрезок АВ проходит через точку пересечения
диагоналей четырехугольника. Докажите, что HP ± АВ.
2. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD взяты точки К и
М соответственно. Отрезки ВМ и KD пересекаются в точке О,
LBOD= 140°, LDKB =110°, Z£MC = 90°. Найдите отношение
длин отрезков МС и Л!) и углы параллелограмма.
1. В параллелограмме ABCD на сторонах AD и ВС взяты точки /С и Е
соответственно так, что LKBE = 90° и отрезок £/С проходит через
точку О пересечения диагоналей. Докажите, что ВО = ОЕ.
2. На сторонах АС и ВС треугольника ABC отмечены точки D и Е
соответственно, а внутри треугольника — точка М так, что
четырехугольник DCEM является параллелограммом и DE \АВ. Прямая
DM пересекает отрезок АВ в точке К, а прямая ЕМ — в точке Н.
Докажите, что АК = НВ.
8.
1. В параллелограмме ABCD через точку О — пересечения диагоналей
— проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках К и
Е соответственно, ВО = ОЕ. Найдите угол КВЕ.
2. На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD взяты точки М и К
соответственно, МК \BD. Прямая МК пересекает луч СВ в точке
Е, а луч CD — в точке Р. Докажите, что ЕМ = КР.
130
§ 3. Признаки параллелограмма
В выпуклом четырехугольнике ABCD АВ = CD. L В = 70°, LBCA =
= 60°, L ACD = 50°. Докажите, что ВС = AD.
Середина отрезка BD является центром окружности с диаметром
АС, причем точки Л, В, С, D не лежат на одной прямой. Докажите,
что L ABC = LADC.
2.
В выпуклом шестиугольнике ABCDEP все стороны равны, LA =
= L D. Докажите, что ВР \СЕ.
Дан параллелограмм ABCD. На продолжении диагонали АС за
вершины Л и С отмечены точки А\ и С] соответственно так, что АА{ =
= ССХ. Докажите, что L В А, D = L BCX D.
3.
1. На основании АС равнобедренного треугольника ABC отмечена
точка К, а на сторонах АВ и ВС — точки М и Р соответственно,
причем РК = MB, LKPC = 80°, LC = 50°. Докажите, что L К MB +
+ LMBP= 180°.
2. Внутри треугольника ABC отмечена точка М, а на сторонах АВ и
АС — точки К и Н соответственно так, что отрезки AM и КН
имеют общую середину, a LKMH= L С. Докажите, что треугольник
ABC является равнобедренным.
4.
1. В треугольнике МРК LM = 65°. На сторонах МК, MP, PK
отмечены точки Л, В, С соответственно так, что середина стороны РК —
точка С, AM = КС, ВР = АС, L ВАМ =50°. Докажите, что
LCPB+ LABP=\W.
2. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием АС. На
сторонах АВ, ВС, АС отмечены точки D, Е, Р соответственно так, что
отрезки АЕ и DP имеют общую середину. Докажите, что L DEP =
= L ВСА.
131

5.
1. Точки М и К являются соответственно серединами сторон АВ и ВС
треугольника ABC. Через вершину С вне треугольника проведена
прямая, параллельная АВ и пересекающая луч МК в точке Е.
Докажите, что КЕ = -уАС.
2. На сторонах ВС и AD выпуклого четырехугольника ABCD
соответственно взяты точки М и К так, что пары отрезков AM и ВК, КС и
MD имеют общие середины. Докажите, что Л В AD* LBCD.
1. Точки А к В принадлежат соответственно сторонам РЕ и ЕТ
треугольника PET. Прямая, проходящая через вершину Т вне
треугольника, пересекает луч АВ в точке К, АР = КТ. АВ = ВК = -^РТ.
Докажите, что точка А является серединой отрезка РЕ.
2. На стороне ВС выпуклого четырехугольника ABCD отмечена точка
М, а вне четырехугольника — точка К так, что пары отрезков АК и
ВМ, KD и МС имеют общие середины. Докажите, что LABC**
= LADC.
1. На сторонах ВС и AD выпуклого четырехугольника ABCD
отмечены точки К и М соответственно. Отрезок АК пересекает диагональ
BD в точке Р, а отрезок СМ — в точке Е. Известно, что АК \\СМ,
РК = ЕМ, ВР = ED, КС - AM. Докажите, что L BAD - LBCD.
2. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в
точке О, ВО = OD, АО < ОС. Докажите, что L BAD > LBCD.
1. На сторонах ВС и AD выпуклого четырехугольника ABCD
отмечены точки К к Р соответственно. Диагональ BD пересекает отрезок
PC в точке Е, а отрезок АК — в точке Т. Известно, что КС « АР,
AT - ЕС, ТК = ЕР. Докажите, что L ABC - LADC.
2. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в
точке О, ВО = OD, LBAD > L BCD. Докажите, что АО < ОС.
132
§ 4. Трапеция
1.
1. В трапеции ABCD ВС — меньшее основание. На отрезке AD взята
точка Е так, что BE ||CD; L ABE = 70°, LBEA - 50°. Найдите углы
трапеции.
2. В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°. Меньшая
боковая сторона и меньшее основание равны по 10 см. Найдите большее
основание.
1. В трапеции МНРК МК — большее основание. Прямые МН и РК
пересекаются в точке Е, LMEK = 80°, LEHP= 40°. Найдите углы
трапеции.
2. В прямоугольной трапеции острый угол равен 60°. Большая
боковая сторона и большее основание равны по 20 см. Найдите меньшее
основание.
3.
1. В равнобедренной трапеции диагональ составляет с боковой
стороной угол в 120°. Боковая сторона равна меньшему основанию.
Найдите углы трапеции.
2. В прямоугольной трапеции острый угол и угол, который составляет
меньшая диагональ с меньшим основанием, равны по 60°. Найдите
отношение оснований.
В равнобедренной трапеции большее основание в два раза
превосходит меньшее. Середина большего основания удалена от вершины
тупого угла на расстояние, равное длине меньшего основания.
Найдите углы трапеции.
В прямоугольной трапеции диагональ перпендикулярна к боковой
стороне, острый угол равен 45°. Найдите отношение оснований.
133

5.
1. Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции ABCD проведен
перпендикуляр СЕ к прямой AD, содержащей большее основание.
Докажите, что АЕ = -= (AD + ВС).
2. В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны.
Большая диагональ составляет с меньшей боковой стороной угол в
60°. Докажите, что меньшая диагональ равна полусумме оснований
трапеции.
1. Диагонали равнобедренной трапеции ABCD взаимно
перпендикулярны. Докажите, что расстояние между прямыми AD и ВС,
содержащими основания, равно ^ (AD + ВС).
2. Из вершины прямого угла меньшего основания прямоугольной
трапеции под углом 45° к этому основанию проведен луч, который
проходит через середину большей боковой стороны. Докажите, что
меньшая боковая сторона этой трапеции равна сумме оснований.
1. Докажите, что сумма боковых сторон любой трапеции больше
разности ее" большего и меньшего оснований.
2. Найдите связь между сторонами трапеции, если известно, что
внутри трапеции существует точка, равноудаленная от прямых,
содержащих се стороны.
8.
1. Докажите, что сумма диагоналей любой трапеции больше суммы
ее оснований.
2. Найдите связь между противоположными углами трапеции, если
известно, что внутри се существует точка, равноудаленная от
вершин трапеции.
134
§ 5. Задачи на построение параллелограмма
и трапеции
1.
1. Постройте параллелограмм по большей стороне, меньшей
диагонали и углу между ними.
2. Постройте прямоугольную трапецию по меньшему основанию и
боковым сторонам.
2.
1. Постройте параллелограмм по меньшей стороне, острому углу и
углу между этой стороной и меньшей диагональю.
2. Постройте прямоугольную трапецию по меньшей диагонали,
большему основанию и большей боковой стороне.
3.
1. Постройте параллелограмм по двум диагоналям и большей стороне.
2. Постройте равнобедренную трапецию по боковой стороне,
большему основанию и отрезку длиной, равной расстоянию между
прямыми, содержащими основания трапеции.
4.
1. Постройте параллелограмм по меньшей диагонали, меньшему углу
между диагоналями и углу между меньшей диагональю и меньшей
стороной.
2. Постройте равнобедренную трапецию по диагонали, большему
основанию и перпендикуляру, проведенному из вершины тупого угла
к прямой, содержащей большее основание трапеции.
5.
1. Постройте параллелограмм по диагонали, стороне и отрезку
длиной, равной расстоянию между прямыми, содержащими данную
сторону и ей противоположную.
2. Постройте равнобедренную трапецию по острому углу, диагонали
и перпендикуляру, проведенному из вершины острого угла к
прямой, содержащей меньшее основание трапеции.
135

6.
1. Постройте параллелограмм по двум диагоналям и перпендикуляру,
проведенному из конца одной диагонали к прямой, содержащей
другую диагональ.
2. Постройте равнобедренную трапецию по двум углам, на которые
диагональ делит тупой угол, и отрезку длиной, равной расстоянию
между прямыми, содержащими основание трапеции.
7.
1. Постройте параллелограмм по стороне, диагонали и углу,
противолежащему этой диагонали.
2. Постройте трапецию по двум диагоналям, углу между ними и
одной из боковых сторон.
8.
1. Постройте параллелограмм по стороне, диагонали и углу, который
эта диагональ составляет с другой стороной.
2. Постройте трапецию по четырем сторонам.
136
; 6. ГТ|ЯМО ГОЛЬНИК
1.
1. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Е —
середина стороны АВ, LBAQ = 50°. Найдите угол EOD.
2. Дана окружность с диаметрами АВ и CD. Докажите, что
четырехугольник ACBD является прямоугольником.
2.
1. В прямоугольнике МРКН диагонали пересекаются в точке О.
Отрезок О А является высотой треугольника МОР, ЛАОР=\5°.
Найдите LOHK.
2. В параллелограмме ABCD с острым углом А диагонали
пересекаются в точке О. На отрезках АО и ОС взяты точки Р и К
соответственно, OP " OD, ОК ■» ОВ. Докажите, что четырехугольник PBKD
является прямоугольником.
1. В прямоугольнике ABCD О — точка пересечения диагоналей,
ВН и DE — высоты треугольников АВО и COD соответственно,
LBOH -60е, АН - 5 см. Найдите ОЕ.
2. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О;
АО - OD, ВО - OCt L ВАС - LDCA. Найдите L ABC.
1. В прямоугольнике МРКН О — точка пересечения диагоналей, РА
и НВ — перпендикуляры, проведенные из вершин Р и Н к прямой
МК. Известно, что МА = ОВ. Найдите угол РОМ.
2. В четырехугольнике МРКН диагонали пересекаются в точке О,
LOMH - LOHM, РН « МК, РК - МН. Найдите угол МНК.
137

5.
1. В прямоугольнике ABCD точки М и К — середины сторон АВ и AD
соответственно. На прямой АС взята точка Р, на прямой BD —
точка Е, MP ± AC, KE ± BD. Известно, что 4КЕ = AD. Найдите
отношение сторон АР и PC.
2. На основании АС равнобедренного треугольника ABC взята точка
Р, а на сторонах АВ и ВС — соответственно точки М и К, AM = СК,
2МК = АС = 4АР. Найдите угол РМК.
1. В прямоугольнике МРКН О — точка пересечения диагоналей.
Точки А и В — середины сторон MP и МИ соответственно. Точка С
делит отрезок МК в отношении 1 : 7, считая от точки М; АС ± МК.
Найдите отношение сторон ВО и РН.
2. Некая прямая, параллельная основанию МК равнобедренного
треугольника МРК, пересекает стороны MP и РК в точках В и С
соответственно. Точка А делит отрезок МК в отношении 1:3, считая от
точки М; ВС = 2АМ. Найдите угол МАВ.
1. На диагонали АС прямоугольника ABCD взята точка Е. Известно,
что L EDC = LCAD= 15°. Докажите, что BE< 5ED.
2. Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На отрезке АС как
на диаметре построена окружность, которая пересекает луч DB в
точке Е, лежащий вне параллелограмма; Z.BAE+ LBCE = 60°.
Найдите расстояние между прямыми ВС и AD, если АВ =10 см.
8.
1. На отрезках МИ и МК в прямоугольнике МРКН взяты точки Е и
Г соответственно, L КЕН = 30°, ЕТ _1_ МК, L КМ И = 15°.
Докажите, что РТ > 0,49 КН.
2. Дан параллелограмм МРКН с тупым углом Р. На диагонали РН
как на диаметре построена окружность, пересекающая отрезок МК
в точке A; LKPA + LKHA = 45°, KB — перпендикуляр,
проведенный к прямой ИМ. Найдите НВ, если KB = 10 см.
138
§ 7. Ромб и квадрат
1.
В ромбе ABCD LA = 3V.
Диагонали пересекаются в точке О.
Найдите углы треугольника ВОС.
На рисунке 1 четырехугольник
ABCD — квадрат, AK = PD =
= ЕС = ВМ. Докажите, что
выпуклый четырехугольник МЕРК
также является квадратом.
Рис. 1
2.
В ромбе МРКН с тупым углом К
диагонали пересекаются в точке
Е. Один из углов треугольника
РКЕ равен 16°30' . Найдите
остальные углы этого треугольника
и угол РМН.
На рисунке 2 четырехугольник
ABCD — прямоугольник, Z. 1 =
= L2, L3 = L4, Z5=Z6, LI =
= Z.8. Докажите, что выпуклый
четырехугольник МКНР является
квадратом.
В
\8
А
1/
Y2
в/
/5
С
4s
D
3.
1. В ромбе ABCD О — точка пересечения диагоналей, ОМ, OK, OE
— перпендикуляры, опущенные на стороны АВ, ВС, CD
соответственно. Докажите, что ОМ = ОК, и найдите сумму углов MOB и
СОЕ.
2. В треугольнике ABC L В= 90°, АВ = ВС. На сторонах АВ и ВС
взяты точки М и Р, а на стороне АС — точки КиН так, что
четырехугольник МРНК является квадратом, MP = а. Найдите АС.
139

4.
1. В ромбе МРНК диагонали пересекаются в точке О. На сторонах МК,
КН, РН взяты точки А, В, С соответственно, АК = KB = PC.
Докажите, что О А - ОВ, и найдите сумму углов РОС и МО А.
2. В треугольнике МРК Z.M = 90°, МР = МК. На сторонах MP, РК,
МК отмечены точки А, В, С соответственно так, что
четырехугольник МАВС является квадратом, АС = а. Найдите РК.
1. В ромбе ABCD угол В тупой. На стороне AD взята точка К,
ВК ± AD. Прямые ВК и АС пересекаются в точке О, АС = 2ВК.
Найдите угол АОВ.
2. На сторонах ВС и CD квадрата ABCD отмечены точки М и К
соответственно, МС - KD. Отрезки DM и АК пересекаются в точке О,
20М = AM. Найдите угол АМО.
1. В ромбе МРНК угол М острый. Отрезок РЕ является
перпендикуляром к прямой МК, О — точка пересечения диагоналей, аГ — общая
точка прямых РЕ и МН, LMTP =120°, ОН = а. Найдите РЕ.
2. На сторонах АВ, ВС, CD квадрата ABCD отмечены соответственно
точки М, К, Р, MP ± АК. Сравните отрезки MP и АК.
1. Два равных ромба имеют общую точку пересечения диагоналей,
причем меньшие диагонали этих ромбов взаимно
перпендикулярны. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения
диагоналей и середину стороны одного ромба, перпендикулярна
стороне другого.
2. На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника ABC построены
квадраты АМКС и CFPB. Докажите, что сумма расстояний от
точек М и Р до прямой АВ равна АВ.
8.
1. Два равных ромба ABCD и АВ\ С\ D\ имеют общую вершину острого
угла, причем LCAC\ = 90°, а лучи BD и DXB\ пересекаются в точке
Е; О — точка пересечения диагоналей ромба ABCD, OP —
биссектриса треугольника ВОС. Докажите, что РА = РЕ.
2. На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника ABC построены
квадраты АКМС и СРЕВ. Прямые КМ и РЕ пересекаются в точке
Т. Докажите, что ТС ± АВ.
140
§ 8. Задачи на построение прямоугольника, ромба,
квад •. та
1.
1. Постройте прямоугольник по его стороне и периметру.
2. Дан отрезок, равный перпендикуляру, опущенному из вершины
некоторого квадрата на диагональ. Постройте этот квадрат.
2.
1. Постройте ромб по тупому углу и меньшей диагонали.
2. Дан отрезок, равный перпендикуляру, проведенному из точки
пересечения диагоналей некоторого квадрата на его сторону.
Постройте этот квадрат.
3.
1. Постройте прямоугольник по диагонали и углу, который эта
диагональ образует со стороной.
2. Внутри данного острого угла постройте квадрат с данной стороной
так, чтобы две вершины квадрата принадлежали одной стороне
угла, а третья — другой.
4.
1. Постройте ромб по диагонали и углу, который образует другая
диагональ со стороной.
2. Постройте квадрат по данной диагонали так, чтобы две
противоположные вершины этого квадрата лежали на разных сторонах
данного острого угла.
5.
1. Постройте прямоугольник по углу между стороной и диагональю и
перпендикуляру, проведенному из вершины прямоугольника к
прямой, содержащей эту диагональ.
2. Постройте квадрат ABCD по отрезку PQ, равному биссектрисе АЕ
треугольника ABC.
141

6.
1. Постройте ромб по острому углу и отрезку, длина которого равна
расстоянию между прямыми, содержащими противоположные
стороны ромба.
2. Постройте квадрат ABCD по отрезку PQ и углу М, если PQ = ВМ,
L hk= L DBM (М — середина отрезка AD).
7.
1. Постройте прямоугольник по диагонали и периметру.
2. Постройте квадрат по разности диагонали и стороны.
8.
1. Постройте ромб по стороне и разности диагоналей.
2. Постройте квадрат по сумме диагонали и стороны.
142
§ 9. Свойства площадей многоугольников,
площадь квадрата и прямоугольника
1. Составьте формулу для
вычисления площади фигуры,
изображенной на рисунке 3.
2. Периметр прямоугольника равен
26 см, а одна из его сторон 9 см.
Найдите сторону квадрата,
имеющего такую же площадь, как этот
многоугольник.
1. Составьте формулу для
вычисления площади фигуры,
изображенной на рисунке 4.
2. Периметр квадрата равен 32 см, а
одна сторона прямоугольника 4 см.
Найдите другую сторону
прямоугольника, если известно, что он
имеет площадь такую же, как
квадрат.
3.
1. На стороне ВС параллелограмма ABCD взята точка М. Докажите,
что площадь параллелограмма вдвое больше площади треугольника
AMD.
2. На продолжении стороны AD квадрата ABCD за вершину А взята
точка М, МС = 20 дм, LCMD = 30°. Найдите площадь квадрата.
4.
1. В трапеции ABCD AD — большее основание. Через середину
стороны CD и вершину В проведена прямая, пересекающая луч AD в
точке Е. Докажите, что площадь трапеции равна площади
треугольника ABE.
2. Биссектриса угла В прямоугольника ABCD пересекает сторону AD
в точке К, АК = 5 см, KD = 7 см. Найдите площадь
прямоугольника.
Л
о
Рис. 3
<
f
1
Af
"1
1
а
ijj>
d
»'
1
j/
1
♦
Рис. 4
143

5.
1. На стороне АВ параллелограмма ABCD отмечена точка Е так, что
DE X АВ. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD равна
DE*AB.
2. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его
диагоналей.
1. На стороне АС треугольника ABC отмечена точка D так, что
BD JL АС. Докажите, что площадь треугольника равна -zBD*AC.
2. Докажите, что площадь квадрата равна половине квадрата его
диагонали.
1. Докажите, что медиана любого треугольника делит этот
треугольник на треугольники с равными площадями.
2. В трапеции ABCD LA = 45°, L С = 100°. Диагональ BD составляет с
боковой стороной CD угол в 35°. На стороне АВ построен
параллелограмм АВРК так, что точка D принадлежит отрезку ВР и
BD : DP = 2:1. Найдите площадь параллелограмма, если его
периметр равен 30 см.
8.
1. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BD. Точка D\
симметрична точке D относительно точки В. Найдите отношение
площадей треугольников AD{ С и ABC.
2. В трапеции МРКО LM - 45° и L К=135". На стороне MP построен
параллелограмм MPDT так, что его сторона параллельна прямой
КО и пересекает сторону МО в точке А, причем РА : AD =1:3.
Площадь параллелограмма равна 36 см2. Найдите его периметр.
144
§ 10. Площадь параллелограмма
1. В параллелограмме ABCD угол В тупой. На продолжении стороны
AD за вершину D отмечена точка Е так, что LECD = 60°,
LCED - 90°, АВ = 4 см, AD - 10 см. Найдите площадь
параллелограмма.
2. В параллелограмме ABCD точки М и К — середины сторон ВС и
AD соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника
АВМК равна площади треугольника ACD.
1. В параллелограмме МРКТ на стороне МТ отмечена точка Е,
LP ЕМ = 90°, LEPT = 45°, ME = 4 см, ЕТ = 7 см. Найдите площадь
параллелограмма.
2. В параллелограмме ABCD точки М, Р, К, Т являются серединами
сторон АВ, ВС, CD, AD соответственно. Докажите, что площади
четырехугольников АВРТ и AMKD равны.
3.
1. Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 20 см2, а
высота, проведенная из вершины тупого угла, делит одну из сторон
на отрезки 2 см и 8 см, считая от вершины острого угла.
2. Сравните площади параллелограмма и прямоугольника, если они
имеют одинаковые основания и одинаковые периметры.
1. Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 40 см2, а
стороны 10 см и 8 см.
2. Сравните площади квадрата и параллелограмма, если они имеют
одинаковые параметры и сторона квадрата равна высоте
параллелограмма. (Параллелограмм не является прямоугольником).
145

5.
Высоты, проведенные из вершины
тупого угла параллелограмма,
составляют угол 45°. Одна из высот делит
сторону, на которую она опущена, на
отрезки 2 см и 8 см, считая от вершины
острого угла. Найдите площадь
параллелограмма.
На рисунке 5 ABC —
равнобедренный треугольник с основанием АС,
КТ \\ВС, MP \\АВ, ЕО \\АС. Докажите,
что площади четырехугольников
АЕМН и МОСТ относятся как
ВР: ВК.
6.
1.
В ромбе ABCD ВМ — биссектриса треугольника ABD, LBMD =
= 157°30'. Найдите площадь ромба, если его высота равна 10 см.
На рисунке 6 ABCD — ромб. НТ ||Л£, MP \\BC. Докажите, что
произведение площадей четырехугольников АМОТ и ОНСР равно
произведению площадей четырехугольников МВНО и TOPD.
146
7.
1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с. От вершины
меньшего острого угла на катете отложен отрезок длиной а, из
конца которого к гипотенузе проведен перпендикуляр длиной Ь.
Найдите меньший катет исходного треугольника.
2. В параллелограмме ABCD угол А тупой. На стороне ВС взята точка
М, а через вершину D проведена прямая, параллельная AM и
пересекающая луч МС в точке К. Точка Е принадлежит отрезку AM.
На прямой ЕМ отмечена точка Р так, что DE\\KP. Сравните
площади невыпуклых пятиугольников ABMED и DKPMC.
8.
1. В прямоугольной трапеции боковые стороны равны а и Ъ (а > Ь).
Меньшее основание равно с. Найдите расстояние от вершины
прямого угла меньшего основания до прямой, содержащей большую
боковую сторону.
2. В параллелограмме ABCD угол А тупой. Вне параллелограмма на
луче ВС отмечены точки Ми К, а на луче DC — точки Ей Р,
причем AM \\DK, EA\\BP. Докажите, что площади невыпуклых
пятиугольников АВРСМ и ADKCE равны.
147

§11. Площадь треугольника
1.
1. В прямоугольнике ABCD BD - 12 см. Вершина В удалена от прямой
АС на 4 см. Найдите площадь треугольника ABC.
2. В треугольнике ABC Z.C = 135°, AC = 6 дм, высота BD равна 2 дм.
Найдите площадь треугольника ABD.
2.
1. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с
гипотенузой 10 см.
2. На стороне АС треугольника ABC с площадью 36 см2 взята точка D,
AD : DC =1:5. Найдите площадь треугольника ABD.
3.
1. В треугольнике ABC LB = 130°, АВ = а, ВС = Ь, а в параллелограмме
МРКН МР = а, МН = Ь, /1М = 50°. Найдите отношение площади
треугольника к площади параллелограмма.
2. В прямоугольном треугольнике ABC точка О — середина медианы
СН, проведенной к гипотенузе АВ, АС = 6 см, ВС = 8 см. Найдите
площадь треугольника ОВС.
4.
1. В треугольнике ABC AB = x, AC = y, LA=\5°, а в треугольнике
MP К КР = х, МК = у, L К = 165°. Сравните площади этих
треугольников.
2. В ромбе ABCD диагонали равны 5 см и 12 см. На диагонали АС взята
точка М так, что AM: МС = 4:1. Найдите площадь треугольника
AMD.
5.
1. Внутри параллелограмма ABCD отмечена точка М. Докажите, что
сумма площадей треугольников AMD и ВМС равна половине
площади параллелограмма.
2. В треугольнике ABC LC = 90°. На сторонах АС, АВ, ВС
соответственно взяты точки М, Р, К так, что четырехугольник СМРК
является квадратом, АС = 6 см, ВС =14 см. Найдите сторону МС.
148
1. Докажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре
треугольника, имеющих одинаковую площадь.
2. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются
в точке О, которая удалена от прямой CD на 4 см. Найдите
площадь треугольника АОВ, если CD = 8 см.
1. В четырехугольнике диагонали равны 8 см и 12 см и пересекаются
под углом 30° друг к другу. Найдите площадь этого
четырехугольника.
2. Точка Е — середина стороны АВ треугольника ABC, а точки Ми Н
делят сторону ВС на три равные части, ВМ = МН - НС. Найдите
площадь треугольника ЕМН, если площадь треугольника ABC
равна S.
8.
1. В треугольнике точка пересечения биссектрис удалена от прямой,
содержащей одну из сторон, на 1,5 см. Периметр треугольника
равен 16 см. Найдите его площадь.
2. На сторонах АВ, ВС, АС треугольника ABC отмечены точки М, К,
Р соответственно так, что AM: MB = BK : КС = PC : АР = 2:1.
Площадь треугольника ABC равна S. Найдите площадь
четырехугольника МВКР.
149

§12. Площадь трапеции
1. Периметр равнобедренной трапеции равен 32 см, боковая сторона
5 см, площадь 44 см2. Найдите высоту трапеции.
2. В трапеции ABCD основания AD и ВС равны 10 см и 8 см
соответственно. Площадь треугольника ACD равна 30 см2. Найдите
площадь трапеции.
1. В прямоугольной трапеции площадь равна 30 см2, периметр 28 см,
а меньшая боковая сторона 3 см. Найдите большую боковую
сторону.
2. В трапеции МРКТ меньшее основание РК равно 6 см, а высота
трапеции 8 см. Найдите площадь трапеции, если площадь
треугольника МКТ равна 48 см2.
3.
1. В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна 3 дм и
составляет с меньшей диагональю угол 45°. Острый угол трапеции
также равен 45°. Найдите площадь трапеции.
2. Высоты, проведенные из вершин меньшего основания
равнобедренной трапеции, делят большее основание на три отрезка, сумма
двух из которых равна третьему. Найдите площадь этой трапеции,
если ее меньшее основание и высота равны по 6 см.
1. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 4 см и
составляет с меньшей диагональю угол 45°. Найдите площадь трапеции,
если ее тупой угол равен 135°.
2. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого
угла и делящая большее основание на два отрезка, один из которых
равен половине меньшего основания, равна 6 см. Большее
основание превосходит меньшее на 2 см. Найдите площадь трапеции.
5.
1. В трапеции ABCD AD — большее основание, LD = 60°.
Биссектрисы углов С и D пересекаются в точке О, OD = а, ВС = Ъ, AD = с.
Найдите площадь трапеции.
2. В трапеции МРНК МК — большее основание. Площади
треугольников МЯК и КНР равны Si и S2 соответственно. Найдите площадь
трапеции.
1. В трапеции МНРК МН = НК, точка А — середина большего
основания МК, а точка В — середина боковой стороны МН, ВА ± МН,
МК = a, HP - Ь. Найдите площадь трапеции.
2. Отрезок ЕР пересекает основания ВС и AD трапеции ABCD так,
что точки АиЕ лежат по разные стороны от прямой ВС и ЕР ± ВС.
Основания трапеции делят отрезок ЕР на три равные части.
Площади треугольников ВЕС и APD равны S, и S2 соответственно.
Найдите площадь трапеции.
1. В трапеции ABCD AD — большее основание. Прямые, проходящие
через середины сторон АВ, ВС, DC перпендикулярно к этим
сторонам, пересекаются в точке О; LBCD= 150°, АВ = а, ВС = Ъ,
AD = с. Найдите площадь трапеции.
2. В трапеции МНРК основания МК и HP относятся как 3:1. На
отрезке МК отмечены точки Ли В так, что MA = AB = KB. Отрезки
НВ и АР пересекаются в точке О. Найдите площадь трапеции, если
площадь треугольника НОР равна 5 см2.
1. В трапеции МРКН МН\РК. Биссектрисы углов М, К, Н, Р
пересекаются в точке О. Расстояние от точки О до прямой РК равно а,
РМ = Ъ, КН = с. Найдите площадь трапеции.
2. В трапеции ABCD AD — большее основание. Диагонали
пересекаются в точке О. Площади треугольников БОС и AOD равны 5 см2 и
20 см2 соответственно. Найдите площадь трапеции.
151

§ 13. Теорема Пифагора
1.
1. Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 13 см, а большее
основание 12 см. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее
основание равно 8 см.
2. Определите углы треугольника со сторонами 1, v3, 2.
2.
1. Основания прямоугольной трапеции равны 9 см и 18 см, а большая
боковая сторона 15 см. Найдите площадь трапеции.
2. Определите углы треугольника со сторонами 1, 1, V2.
3.
1. В некоторой трапеции диагональ и боковая сторона, выходящие из
вершины тупого угла, равны 26 см и V577 см соответственно,
высота трапеции 24 см, меньшее основание 7 см. Найдите площадь
трапеции.
2. В треугольнике ABC AB - V2, ВС = 2. На стороне АС отмечена
точка М так, что AM = 1, ВМ = 1. Найдите LABC.
4.
1. В параллелограмме меньшая высота и меньшая сторона равны 9 см и
V82 см соответственно. Большая диагональ 15 см. Найдите площадь
параллелограмма.
2. В треугольнике МРК РК = 2. На стороне МК отмечена точка А так,
что МА = АР - V3, АК=\. Найдите LМРК.
152
5.
1. В равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными
диагоналями боковая сторона равна 26 см. Высота, проведенная из
вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, меньший
из которых равен 24 см. Найдите площадь трапеции.
2. Боковые стороны трапеции равны 9 см и 12 см, а основания 30 см и
15 см. Найдите угол, который образуют продолжения боковых
сторон трапеции.
6.
1. В равнобедренной трапеции диагональ равна 25 см, а высота 15 см.
Найдите площадь трапеции.
2. Диагонали некоторой трапеции равны 5 см и 12 см, а основания
3 см и 10 см. Найдите углы между диагоналями этой трапеции.
7.
1. В остроугольном треугольнике ABC BH — высота. Докажите, что
ВС2 = АВ2 + АС2 — 2АС*АН.
2. Дан треугольник со сторонами а, Ь, с. Определите вид
треугольника, если с2 > а2 + Ьг.
8.
1. В треугольнике НРК угол Н тупой, РЕ — высота треугольника.
Докажите, что РК2 = HP2 + НК2 + 2НЕ*НК.
2. В треугольнике со сторонами а, Ь, с с — большая сторона.
Определите вид треугольника, если с2 < а2 + Ь2.
153

§ 14. Площади многоугольников
Перечертите фигуру,
изображенную на рисунке 7. Проведите
необходимые измерения и вычислите
площадь этой фигуры.
На стороне АВ квадрата ABCD,
равной 12 см, отмечена точка М так,
что МС- 13 см. Найдите площадь
четырехугольника AMCD.
Рис.7
2.
1.
Перечертите фигуру, изображенную на
рисунке 8. Проведите необходимые измерения
и вычислите площадь этой фигуры.
На стороне РК прямоугольника МРКН
отмечена точка Е, ME =15 см, РМ=12см,
ЕК = 6 см. Найдите площадь
четырехугольника МЕКН.
- —— ■ ■
Рис.8
3.
1.
Ученику надо было вычислить площадь многоугольника,
изображенного на рисунке 9. В его распоряжении оказалась только
масштабная линейка. После измерений ученик установил, что АВ = РЕ =
= 3 см, АР = BE = 4 см, АЕ = 5 см, ВС = 1 см, DC = 12 см, DE = 13 см
и точки С, В, Е лежат на одной прямой. Может ли ученик, пользуясь
этими результатами измерений, вычислить площадь? Чему равно ее
значение?
Рис.9
2. В равнобедренной трапеции диагональ, меньшее основание и
высота равны V 35 см, 3 см и см соответственно. Найдите площадь
трапеции.
154
4.
5.
Ученику необходимо было вычислить площадь многоугольника,
изображенного на рисунке 10. В его распоряжении была только
масштабная линейка. В результате измерений установлено, что
МР = #Т = 4см, МТ = РИ = Зсм, МН = 5 см , ЕН = 10 см, РК =
- 5 см, КЕ= 12 см. Точки Р, Н, Е лежат на одной прямой. Мог ли
ученик вычислить площадь по этим результатам? Чему эта
площадь равна?
Рис. 10
Меньшая высота параллелограмма равна 4 см и делит большую
сторону на отрезки, каждый из которых равен по 3 см. Найдите
большую высоту параллелограмма.
В треугольнике два угла равны 105° и 45°, а площадь равна Ыз +
+ 1) см2. Найдите меньшую высоту треугольника.
Диагональ ромба в четыре раза больше расстояния от точки
пересечения его диагоналей до стороны. Найдите площадь ромба, если его
сторона равна 2 см.
6.
1.
Большее основание трапеции равно 6 см, а меньшее 4 см. Углы при
большем основании 30° и 45°. Найдите площадь трапеции.
Высоты параллелограмма равны 6 см и 7,8 см, а его площадь
78 см2. Найдите длину меньшей диагонали.
155

7.
1. В трапеции МРКЕ точка А принадлежит большему основанию ME,
AM = MP = а, АЕ = ЕК. Найдите площадь трапеции, если ее
диагонали проходят через точку пересечения медиан треугольника РАК.
2. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его высота,
проведенная к основанию, и отрезок, соединяющий середины
основания и боковой стороны, равны по 12 см.
8.
1. В трапеции ABCD М — середина большего основания AD, AB -
= ВС = CD = а. Точка пересечения диагоналей трапеции совпадает
с точкой пересечения высот треугольника ВМС. Найдите площадь
трапеции.
2. Диагональ параллелограмма составляет со сторонами углы 90° и
15°. Найдите площадь параллелограмма, если его большая сторона
равна 12 см.
156
.]|..15.>а<Щюпо]д^он^ьные отрезки
1.
1. Отрезки AB, CD и EF, MN пропорциональны друг другу. Найдите
EF, если АВ = 5 см, CD = 80 мм, MN - 1 дм.
2. В прямоугольном треугольнике АСВ (Z.C = 90° ) АС - 6 см, ВС =
= 8 см, CD — биссектриса. Найдите AB, AD, DB.
2.
1. Отрезки КР, MN и DO, AL пропорциональны друг другу. Найдите
AL, если КР = 8 дм, MN = 40 см, DO = 1 м.
2. В прямоугольном треугольнике ABC {LC = 90°) AB = 20 см, АС =
= 16 см, АК — биссектриса. Найдите ВС, ВК, КС.
3.
1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О,
CD =10 см. Найдите периметр параллелограмма, если ^ = ^.
2. В равнобедренном треугольнике основание меньше боковой
стороны на 9,6 см, а биссектриса делит боковую сторону на отрезки,
которые относятся как 3 : 5. Найдите периметр треугольника.
4.
1. В треугольнике ABC точка К лежит на стороне АС. Площади
треугольников АВК и КВС относятся как 1:3, ВС =10 см. Найдите
2. Основание равнобедренного треугольника равно 18 мм, а
биссектриса делит боковую сторону на отрезки, из которых прилежащий к
основанию равен 12 мм. Найдите периметр треугольника.
157

5.
Даны два отрезка АВ и ЕК. Точки СиМ лежат соответственно на
отрезках АВ и ЕК. Отрезки АС, СВ и ЕМ, МК пропорциональны.
Докажите, что АВ*МК=СВ*ЕК.
Треугольник А непрямоугольный (L С = 90°), D G АС и Е G АВ,
причем DE \ВС и DE=DC, AE=\5 мм, ЕВ - 20 мм. Найдите
периметр треугольника ABC.
6.
1. Даны два отрезка КР и ЕС. Точки М и L лежат соответственно на
отрезках КР и ЕС. Отрезки КР, MP и ЕС, LC пропорциональны.
Докажите, что KM*LC = MP*EL.
2. Треугольник ABC прямоугольный (/.С = 90°), Р G АС и К G АВ,
причем РК \ВС и РК = КБ, АР = 5 дм, PC - 4 дм. Найдите
периметр треугольника ЛНС.
7.
1. В треугольнике Л5С на стороне АС взята точка D. Докажите, что
если j£ > ||, то /.Л/Ш > Z.£>i?C.
2. В треугольнике Л/?С АВ = 8 см, ВС = 9 см, ЛС = 2 см. На сколько
нужно продолжить сторону АС до пересечения с биссектрисой
внешнего угла при вершине В1
8.
1. В треугольнике ABC на стороне АС взята точка D. Докажите, что
если LABD > LDBC, то -^ > -^.
2. Стороны треугольника ABC (Z. В меньший из углов треугольника)
равны 16 см, 20 см, 24 см. Найдите расстояние между точками
пересечения биссектрисы угла В и биссектрисы внешнего угла при
вершине В с меньшей стороной треугольника и ее продолжением.
158
§16. Определение подобных треугольников
1.
1. Треугольники ABC и DEF подобны. LA = LD, LC = LF, EF= 14,
DF = 20, ВС -21. Найдите АС.
2. Площади двух подобных треугольников равны 16 см2 и 25 см2.
Одна из сторон первого треугольника равна 2 см. Найдите
сходственную ей сторону второго треугольника.
2.
ь'м пр isv
1. Треугольники KPF и ЕМТ подобны, причем ^ = ^ = ^f» LF =
— 20°, LE = 40°. Найдите остальные углы этих треугольников.
2. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 2 см и
5 см. Площадь первого треугольника 8 см2. Найдите площадь
второго треугольника.
3.
1. На рисунке 11 АВЕС со ААВС, АЕ =
= 16 см, СЕ= 9 см. Углы ABC и ВЕС
тупые. Найдите ВС.
2. Периметры подобных треугольников
относятся как 2:3, сумма их
площадей равна 260 см2. Найдите площадь
каждого треугольника.
Рис. 11
4.
На рисунке 12 треугольники ABC и
DEC подобны, причем DEjfrAB, AD =
* 3 см, DC = 5 см, ВС = 7 см.
Найдите СЕ.
Площади двух подобных
треугольников равны 50 дм2 и 32 дм2,
сумма их периметров равна 117 дм.
Найдите периметр каждого
треугольника.
159

5.
Диагональ АС делит трапецию ABCD на два подобных
треугольника ABC и ACD, ВС = 4 см, AD = 9 см. Найдите АС.
Прямая DE, параллельная стороне АС треугольника ABC, отсекает
от него треугольник DBE, стороны которого в три раза меньше
сторон данного треугольника. Найдите площадь трапеции ADEC, если
площадь треугольника ABC равна 27 см .
В трапеции ABCD (AD\\BC) AC — биссектриса угла А делит
трапецию на два подобных треугольника ABC и ACD, AB = 9 см,
С£)= 12 см. Найдите периметр трапеции.
Прямая DE, параллельная стороне АС треугольника ABC, отсекает
от него треугольник DBC, стороны которого в четыре раза меньше
сторон данного треугольника. Найдите площадь треугольника
ABC, если площадь трапеции ADEC равна 30 см2.
7.
Отрезок ВК {К G АС) разбивает треугольник ABC на два подобных
треугольника АВК и КВС, причем -^~ = \. Найдите углы
треугольник?..
Отрезок FP разбивает треугольник EFM на два подобных
треугольника EFP и PFM, причем LPFM = 60°. Площадь треугольника PFM
равна 30 см2. Найдите площадь треугольника EFM.
16С
§ 17. Первый признак подобия треугольников
1.
1. Через вершину А параллелограмма ABCD проведена прямая,
пересекающая сторону ВС в точке Е, а продолжение стороны DC —
в точке F. Докажите, что ААВЕ со AEFC.
2. В треугольниках ABC и АХВХСХ LBX=LC, LB= LAU AC = 2,
BXC\ = 4, AXC\ больше AB на 2,2, AXBX = 2,8. Найдите неизвестные
стороны треугольников.
2.
1. Через вершину С параллелограмма проведена прямая,
пересекающая сторону AD в точке Е, а продолжение стороны ВА — в точке
F. Докажите, что AECD со AFBC.
2. В треугольниках ABC и DEF LA = LE, LC= LF, АС = 6, EF=2,
AB = 3,3. Сторона DF меньше стороны ВС на 3,2. Найдите
неизвестные стороны треугольников.
3.
1. В треугольнике ABC через точку Р, лежащую на стороне ВС,
проведены прямые, пересекающие стороны АВ и АС соответственно в
точках Q и R и параллельные АС и АВ. Докажите, что PQPR =
= BQCR.
2. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади
треугольников ВОС и AOD относятся как 1 : 9. Сумма оснований ВС и
AD равна 4,8 см. Найдите основания трапеции.
4.
На продолжении сторон DC (за точку С) и ВА (за точку А)
параллелограмма ABCD взяты соответственно точки К и Е. КЕ
пересекает сторону ВС в точке М, а сторону AD — в точке F. Докажите,
что AEMC = KCAF.
Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Периметры
треугольников ВОС и AOD относятся как 2:3, АС = 20. Найдите
длины отрезков АО и ОС.
63ивБ. Г.
161

5.
В остроугольном треугольнике ABC BD и АЕ — высоты. Докажите,
что DC-АС = ЕС ВС.
В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) точка К лежит на
стороне CD, причем СК: KD -1:2. АК пересекает BD в точке О.
Докажите, что если ВС : AD = 1 : 2, то ВО - OD.
6.
1. В остроугольном треугольнике ABC его высоты BD и АЕ
пересекаются в точке О. Докажите, что ВО- OD * АО- ОЕ.
2. В трапеции ABCD (А£)||ВС) точка М лежит на стороне CD, причем
СМ : MD = 2:3, АВ = AD, ВС: AD= 1:3. Докажите, что BD J. AM
7.
1. В треугольнике ABC угол А в два раза больше угла В, ВС = а,
АС - Z>, Ав -.с. Докажите, что а2 = Z>c + А2.
2. В треугольнике ЛВС на сторонах АВ и ВС выбраны соответственно
точки D и Е. CD и ЛЕ пересекаются в точке О, SAdo " Sceo = 8,
Sdoe " 4. Найдите площадь треугольника ABC.
8.
1. Катеты прямоугольного треугольника АС В (Z.C8* 90°) ВС** а,
АС - 6, ЕЕ ЛВ, причем АЕ: ЕВ = 1 : 2. Докажите, что
2. В треугольнике ABC точки D и Е лежат соответственно на сторонах
АВ и ВС; АЕ и С£) пересекаются в точке О, SAdc e Saec , Sdoe ■ 2,
Saoc = 8. Найдите площадь треугольника ЛВС.
162
§ 18. Второй и третий признаки подобия
треугольников
1.
1. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, -^Б - Ттг- Докажите,
4toLCBO=LDAO.
2. Докажите, что треугольники, изображенные на рисунке 13,
подобны, и выясните взаимное положение прямых АВ и DE.
В
12
Рис. 13
2.
1. Дан параллелограмм ABCD. Точки Е, F, М, N принадлежат соот-
ЕВ DM
ветственно сторонам АВ, ВС, CD, AD, — = j--. Докажите, что
LBEF= LNMD.
2. Докажите, что треугольники, изображенные на рисунке 14,
подобны, и выясните взаимное положение прямых ВС и DF.
Рис. 14
3.
1. В треугольниках ABC и АХВХС\ BD и В,£>, — медианы, LA = LAX,
LBDA - LBXDXA\. Докажите, что треугольник BDC подобен
треугольнику В\ D\ C\.
2. В треугольнике ABC АВ - 4, ВС - 6, АС = 9. Точка Е лежит на сто-
"7
роне ВС. Внутри треугольника взята точка М так, что MB - 1^,
2
ME = 2-5, СЕ= 2. Докажите, что МЕ\\АС.
163

1. В треугольниках ABC и А\В\С\ BE и ВХЕХ — биссектрисы, LB =
= L вх, 4£ = ^-- Докажите, что А АВЕ со Л А, Б, Е,.
£,С Е\С\
2. В треугольнике А^С ЛЯ = 4, £С - 6, АС = 7. Точка Е лежит на
стороне АВ. Внутри треугольника взята точка М так, что MB = 5-т,
ME = 4у, АЕ = 1. Прямая ВМ пересекает АС в точке Р. Докажите,
что ААРВ равнобедренный.
1. В трапеции ABCD основания AD = a, BC = Ь, AC = \fab. Докажите,
что /.ВАС = L ADC.
2. В четырехугольниках ABCD и AiB\C\Di LBAC = LB\A\C\,
LADB= LA\D\B\, LCAD = LC\A\D\, и LACD = LA\C\D\.
Докажите, что A ABC oobs.A\B\C\.
1. В треугольнике ABC точка D лежит на стороне АС, DC = a, AC =
= b,BC = лГаЬ. Докажите, что LB AC - LDBC.
2. В четырехугольниках ABCD и A\B\C\D\ диагонали пересекаются в
точках О и Oi, причем АО = ОС и А\0\ =0\С\, LAOD= LA\0\D\
и LADO= LA\D\Ou LABO = LA\B\0\. Докажите, что
A ABC со A A\B\C\.
1. Внутри треугольника ABC взята точка D и соединена с его
вершинами А и В. На стороне ВС вне его построен треугольник ВСЕ
так, что LEBC = LABD и LECB= LBAD. Докажите, что
A DBE со А АВС.
2. В треугольнике АВС ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Докажите, что если
а2 = be + б2, то LA = 2LB.
164
§ 19. Средняя линия треугольника.
Свойство медиан треугольника
1.
1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, К —
середина стороны АВ, АК = 3 см, КО = 4 см. Найдите периметр
параллелограмма. Сравните углы КОА и ВС А.
2. В треугольнике АВС АС =12 см. Через точку пересечения медиан
проведена прямая DE (D G АВ, Е G ВС), параллельная АС.
Найдите DE.
2.
1. В ромбе ABCD О — точка пересечения диагоналей, ЕиР —
середины сторон ВС и DC. Докажите, что EF=BOnEF± AC.
2. Через точку пересечения медиан треугольника МРК проведен
отрезок CD, параллельный МК (С G MP, D G PK), CD= 18 см.
Найдите МК.
3.
1. Четырехугольники ABCD и DCEF имеют общую сторону CD.
Точки A, D, F не лежат на одной прямой, AB = CD = EF, AB\CD\EF.
Диагонали четырехугольников ABCD и DCEF пересекаются
соответственно в точках 0\ и 02. Докажите, что AF \0\02 и AF =
= 20,02.
2. В треугольнике АВС АВ = ВС. Медианы треугольника
пересекаются в точке О, О А - 5, ОВ - 6. Найдите площадь треугольника АВС.
4.
1. ABCD — параллелограмм. От вершин А и В на сторонах AD и ВС
отложены равные отрезки AQ и ВР, Е и F — точки пересечения
диагоналей четырехугольников ABPQ и QPCD. Докажите, что
EF\BCnEF = hiC.
2. В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C = 90°) ВС = 9. Медианы
треугольника пересекаются в точке О, ОВ =10. Найдите площадь
треугольника АВС.
165

5.
1. В четырехугольнике ABCD точки М, N, Р, Q соответственно
середины сторон АВ, ВС, CD, DA. Докажите, что отрезки MP и NQ
точкой пересечения делятся пополам.
2. В параллелограмме ABCD F — середина ВС. AF пересекает BD в
точке Е, СЕ пересекает АВ в точке К; KB = 5, AD e 12, LA - 30°.
Найдите площадь параллелограмма.
6.
1. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD равны между собой.
Точки М, Р, К, Т соответственно середины сторон АВ, ВС, CD, AD.
Докажите, что МК -L РТ.
2. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найдите
расстояние от точки пересечения медиан треугольника до
гипотенузы.
7.
1. В параллелограмме ABCD LA острый, СЕ ± АВ, ВС e TAB, М —
середина AD. Докажите, что LEMD-* 3LAEM.
2. В треугольнике ABC медианы АЕ и CD пересекаются в точке О;
АЕ = 9, CD - 12, АС = 10. Найдите площадь треугольника ABC.
8.
1. ABCD — ромб. Сторона ромба равна а, АЕ и DF — биссектрисы
внешних углов А и D, BE J. АЕ и CF _L DF. Докажите, что EF™
= 2а.
2. Площадь треугольника ABC равна 12 см2. Медианы АЕ и CD
пересекаются в точке О, LAOC e 150°, АЕ — 3 см. Найдите CD.
166
§ 20. Пропорциональные отрезки в прямоугольном
треугольнике
1.
1. В прямоугольном треугольнике АСВ (LC = 90°) CD _L AB,
AC 1
-~j: = -j. Найдите отношение площадей треугольников ACD и CDB.
2. В параллелограмме ABCD BD J. AB, BE ± AD, BE =6 см, АЕ =
= 3 см. Найдите площадь параллелограмма.
2.
1. В прямоугольном треугольнике АСВ (LC = 90°) CD ± AB,
AD 2
"Т^т = -$• Найдите отношение площадей треугольников ADC и АСВ.
2. ABCD — прямоугольная трапеция (LD = LC - 90°), ВС = 3, CD"
= 6, BD _L AB. Найдите площадь трапеции.
3.
1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена
медиана BD, DE -L ВС, -=г= = у. Площадь треугольника DEC
равна 20 см2. Найдите площадь треугольника ABC.
2. ABCD — прямоугольник. АВ - 4, ВС - 6, BE _L АС. Через точку Е
проведена прямая, параллельная AD, до пересечения в точке F со
стороной CD. Найдите EF.
4.
1. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, АС : BD = 3 : 2,
ОЕ J. АВ. Площадь треугольника АЕО равна 27 см2. Найдите
площадь ромба.
2. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = С В) BD — биссектриса,
АЕ 4
DE J. АВ, -== = ^, BD + АС =14. Найдите периметр треугольника
ABC.
167

5.
1. В прямоугольнике ABCD BE _L AC, AE: EC =1:3. Найдите углы,
которые составляет со сторонами прямоугольника его диагональ.
2. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) BE _L AD, BC:AD=
= 1:2, BE: ED = 3 : 4. Площадь треугольника ABE равна 18 см2.
Найдите площадь трапеции.
6.
1. В трапеции ABCD AB ± AD, AC ± CD, ВС = 6,AD= 8. Найдите
углы трапеции.
2. В параллелограмме ABCD BD ± AB, AB:AD=\ : 2, BE JL AD, AE =
= 4 см. Найдите площадь параллелограмма.
7.
1. В трапеции ABCD AC _L BD, СЕ ± AD, AC - 15 см, AE = 9 см.
Найдите площадь трапеции.
2. В треугольнике ABC CM — биссектриса внешнего угла С,
ВМ -L СМ. Угол В в два раза меньше этого внешнего угла,
BF ± AM, AF: FM -3:1. Найдите угол ВАМ.
8.
AC v^I
1. В трапеции ABCD AC ± BD, -jrzr = -туг. Высота трапеции равна
2Vo~ см. Найдите площадь трапеции.
2. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке О, OK ± AD,
*вс ■ = -у. Найдите углы ромба.
168
§ 21. Задачи на построение, решаемые
методом подобия
1.
1. Постройте треугольник ABC по данным углам А и С и медиане AM.
2. Данный отрезок разделите в отношении 2:3:5.
2.
1. Постройте треугольник ABC по данному углу С, отношению двух
сторон АС : СВ = 2 : 3 и биссектрисе CD.
2. Данный отрезок разделите в отношении 1:4:7.
3.
1. Постройте треугольник ABC по тупому углу В, отношению сторон
АВ : ВС = 3 : 2 и высоте AD.
а2
2. Даны два отрезка а и Ь. Постройте отрезок х = -г.
о
4.
1. Постройте треугольник ABC по углу А, отношению сторон АВ : АС =
= 1 : 3 и расстоянию от точки пересечения медиан до вершины В.
2. Даны два отрезка а и Ь. Постройте отрезок а: = —.
5.
В остроугольный треугольник впишите прямоугольник, у которого
одна сторона в два раза больше другой, так, чтобы большая сторона
прямоугольника лежала на одной стороне треугольника, а две его
вершины лежали на двух других сторонах треугольника.
На рисунке 15 т\\п. Постройте на
прямой п только с помощью линей- , в, ^. 9
ки отрезок C\D\ такой, чтобы ' т
АВ _ АХВХ
CD СТОГ *
At Si
Рис. 15
169

6.
1. В остроугольный треугольник впишите равнобедренный
прямоугольный треугольник так, чтобы вершина прямого угла лежала на
стороне треугольника, а гипотенуза была параллельна этой стороне
и ее концы располагались на двух других сторонах треугольника.
2. На рисунке 16 а\Ь. При помощи только линейки построите отрезок
С\ D\ такой, чтобы -^ = . _ .
А В С D
I I 1 I
о
A, 6i
Рис. 16
7.
1. Постройте прямоугольный треугольник, если катеты относятся как
2:3, и, если известен его периметр.
2. Постройте треугольник ABC по двум острым углам А и С (/.А +
+ LC > 90°) и расстоянию от точки пересечения высот до
вершины В.
8.
1. Постройте равнобедренный А АВС {АВ = ВС), если высота BD
относится к боковой стороне как 1 : 4, и если известен его периметр.
2. Постройте треугольник АВС по данному углу В, по
расстоянию от точки пересечения биссектрис до вершины В, если
АВ:ВС=1:2
170
§ 22. Синус, косинус и тангенс острого угла
прямоугольного треугольника и их значение
1.
1. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 20, а боковая
сторона 15. Найдите синус, косинус и тангенс острого угла трапеции.
2. В окружности АВ и CD — два не взаимно перпендикулярных
диаметра, DE J. АВ, CD - 4, DE = V3. Найдите острый угол между
диаметрами.
2.
1. В прямоугольном треугольнике АСВ (LC = 90°) CD J_ АВ, AD = 2,
DB = 3. Найдите синус, косинус и тангенс угла А.
2. ABCD — прямоугольная трапеция {LD- LC = 90°), ВС = 2, AD =
- 4, CD = iVb. Найдите угол А.
3.
1. В прямоугольной трапеции ABCD (LD= LC = 90°, АС и BD —
основания) АВ = 9, BD =12, AD =* 15. Найдите синус, косинус и
тангенс угла CBD.
2. В трапеции ABCD AD = 2ВС, BD = 3V^J, AC = 3,BD±. AC. Найдите
углы, которые образуют с основанием диагонали трапеции.
1. В трапеции ABCD (AD^BC) АВ = 12, BD= 16, AD =20, СЕ _L BD.
Найдите синус, косинус и тангенс угла ВСЕ.
2. Площадь ромба равна 4V2, а его сторона 2^2. Найдите углы
ромба.
171

5.
1. В прямоугольном треугольнике АСВ (Z.Ce 90°) СЕ J_ АВ, CD —
медиана, АВ = 4, ED = Найдите углы треугольника.
2. В треугольнике ABC АВ = ВС = 5, АС = 6. Найдите синус, косинус и
тангенс угла ABC.
6.
1. В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C = 90°) D G AB, DE \\AC,
DE = EC, -prj = —г?. Найдите углы треугольника.
2. Диагонали ромба равны 8 см и 6 см. Найдите синус, косинус и
тангенс острого угла ромба.
7.
1. Постройте угол, синус которого в два раза больше его косинуса.
2. Вычислите sin 75°.
8.
1. Постройте угол, косинус которого в три раза меньше его синуса.
2. Вычислите sin 15°.
172
§ 23. Решение прямоугольных треугольников
1.
1. В параллелограмме стороны равны а и Ь, острый угол а. Найдите
площадь параллелограмма. Вычислите эту площадь, если а = 2,3,
Ь= 3,7, а = 40°37'.
2. В прямоугольном треугольнике АСВ (LC - 90°) L ВАС = 45°, АВ -
= 10, D G ВС (В — D — С), LDAC = 30°. Найдите DC.
2.
1. Высота ромба равна Л, острый угол а. Найдите площадь ромба.
Вычислите эту площадь, если h = 17,3, а = 52°43'.
2. В треугольнике ABC L А « 60°, LC = 45°, BD ± AC, AD = 3.
Найдите ВС.
3.
1. В ромбе ABCD острый угол равен а. Меньшая диагональ равна d.
Найдите площадь ромба. Вычислите площадь, если d— 12,3, а =
= 62°50'.
2. В прямоугольном треугольнике ABC {LC-90°) точка М лежит на
катете ВС. Эта точка находится на равном расстоянии от АВ и АС,
МС = 2,7, АМ= 4,1. Найдите углы треугольника ABC.
4.
1. В трапеции ABCD (AD\\BC) AD = 2a, ВС = a, BD ± АВ, LCBD =
= а. Найдите площадь трапеции. Вычислите площадь, если
а = 7,6, а=54°2Г.
2. В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C = 90°) CD — медиана.
Найдите угол DCB, если CD = 5,3, ВС - 4,7.
173

5.
1. Площадь прямоугольного треугольника равна S, а один из острых
углов а. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу. Вычислите
длину высоты, если S = 42,3 иа = 50°27'.
2. В прямоугольной трапеции ABCD (LD= LС»90°) LBAD**
- 40°27', АВ = 12,7, ЛС =18,1. Найдите угол CAD.
6.
1. В равнобедренной трапеции ABCD AB = CD. Площадь трапеции
равна S, LBDA = a. Найдите высоту трапеции. Вычислите высоту,
если S = 234,6 и а = 23°46'.
2. В треугольнике ABC ВС - 2,7, АВ - 4,2 Z. ЛСЯ = 132°40'. Найдите
угол #ЛС.
7.
1. В трапеции ЛЯС£> (АС и BD — основания) LCAD=p, LCBD = a,
BD - rf. Найдите ЛС. Вычислите ЛС, если с/= 15,9, « = 27°30',
/3 = 40°15'.
2. В равнобедренном треугольнике медиана составляет с
основанием угол а. Найдите угол при вершине треугольника, если а =
= 37°23'.
8.
1. В трапеции ABCD LA +L £> = 90°, AD = 2ВС, Е G AD, причем
АЕ 1
-=т: = ^-, ЯЕ = а, LA = a. Найдите площадь трапеции. Вычислите
h*D j
площадь, если а = 17,3, а - 40°23'.
2. В равнобедренном треугольнике угол при вершине таков, что его
косинус равен т. Найдите тангенс угла между высотой, опущенной
на боковую сторону, и основанием.
174
j 24*. Подобие т ■ - гольников
1.
1. В прямоугольном треугольнике АСВ (Z.C = 90°) ЛС = 4, ЯСв6,
Е G АВ (Л — Е — В), EF А. ВС, ED J. AC; EF: ED = 1:2. Найдите
площадь прямоугольника DEFC.
2. В ромбе ABCD LA = 60°, а высота равна ~ . На продолжении
стороны АВ за точку В взята точка М, ВМ = 4. Отрезок MD пересекает
ВС в точке К. В каком отношении точка К делит отрезок ВСЧ
2.
1. В прямоугольном треугольнике АСВ (LC = 90°) D Е АВ
(A — D — В), DE А. ВС, DE = 3, DC - 5, ЛС - 2ЯС. Найдите
площадь треугольника ЛЯС.
8^3"
2. Диагональ ЛС прямоугольника ABCD равна ~5~~ и составляет со
стороной AD угол 30°. Сторона AD продолжена за точку D на
отрезок DE, равный 3. Отрезок BE пересекает сторону CD в точке К. В
каком отношении отрезок BE делит сторону CD1
3.
1. В равнобедренный треугольник вписан прямоугольник, стороны
которого относятся как 1:3. Меньшая сторона прямоугольника лежит
на основании треугольника, а две его вершины лежат на боковых
сторонах треугольника. Стороны треугольника равны 10, 10, 12.
Найдите площадь прямоугольника.
3
2. В прямоугольном треугольнике ЛЯС (Z.C = 90°) cos LB--=.
Найдите соотношение отрезков, на которые биссектриса угла Л делит
катет ВС.
4.
1. В равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) вписан
равнобедренный прямоугольный треугольник так, что вершина прямого угла
лежит на основании данного треугольника, а гипотенуза
параллельна основанию (вершины острых углов лежат на боковых сторонах
треугольника). Найдите площадь прямоугольного треугольника,
если высота BF = 16 см, а АВ в 20 см.
2. В прямоугольном треугольнике ЛЯС (Z.C = 90°) BD — биссектриса.
Площади треугольников ABD и BCD относятся как 17:8. Найдите
синус угла ABC.
175

5.
1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 4, а угол 30°. В
этот треугольник вписан прямоугольник, у которого одна сторона в
два раза больше другой. Найдите площадь прямоугольника, если его
большая сторона лежит на гипотенузе, а две вершины — на катетах.
2. В треугольнике ABC угол АСВ тупой, ВО ± AC, OF ± AB,
OD ± ВС. Докажите, что LACB = LDFB.
1. В ромб вписан прямоугольник так, что все его вершины лежат на
сторонах ромба, причем большая сторона прямоугольника
параллельна большей диагонали ромба. Найдите площадь
прямоугольника, если его стороны относятся как 1:2, сторона ромба равна а,
острый угол 60°.
2. В остроугольном треугольнике ABC BD ± AC, DE ± АВ и DF ± ВС.
Докажите, что A EBF со А АВС.
1. Основание треугольника равно Ь. В этот треугольник вписана
трапеция, у которой три стороны равны а, а острый угол 60°. Меньшее
основание трапеции лежит на основании треугольника, а большее
основание трапеции параллельно основанию, и его концы лежат на
двух других сторонах треугольника. Найдите площадь
треугольника.
2. В A ABC BD — медиана, М — произвольная точка, лежащая на
медиане. Прямые AM и СМ пересекают стороны треугольника
соответственно в точках En F. Докажите, что EF\AC.
8.
1. В треугольник АВС вписана прямоугольная трапеция FDEM
(LDFM = 90°), у которой большее основание DE параллельно АС,
D Е AB, E Е ВС, а меньшее основание FM лежит на АС. Меньшее
а>Г5 л
основание а, высота трапеции —у-» а большая диагональ делит
острый угол пополам. Найдите площадь треугольника, если высота
треугольника, опущенная из вершины В, равна К.
2. В остроугольном треугольнике основание делится высотой на части,
равные а и Ь. Найдите эту высоту, если ее часть от основания до
точки пересечения высот равна т.
176
§ 25. Взаимное расположение прямой и окружности
1.
1. В прямоугольном треугольнике АСВ (Z.C = 90°), AB= 10, /.АВС =
= 30°. С центром в точке А проведена окружность. Каким должен
быть радиус этой окружности, чтобы:
а) окружность казалась прямой ВС;
б) не имела с ней общих точек;
в) имела с ней две общие точки?
2. На касательной к окружности от точки касания по обе стороны от
нее отмечены две точки М и Т, удаленные от центра окружности
на расстояние, равное 20 см; ТМ - 32 см. Найдите радиус
окружности.
2.
1. ABCD — квадрат, АС = 10\^, О — середина AD. С центром в точке
О проведена окружность. Каким должен быть радиус этой
окружности, чтобы:
а) окружность касалась прямых АВ и CD?
б) не имела с ними общих точек;
в) имела бы две общие точки с каждой прямой?
2. На касательной к окружности от точки касания С отложены по обе
стороны от нее два отрезка С А и СВ, причем LAOC = LBOC (О —
центр окружности). Радиус окружности равен 8, АВ = 30. Найдите
расстояние от центра окружности до точек А и В.
3.
1. АВ и CD — два взаимно перпендикулярных диаметра окружности.
Хорда СВ проложена за точку В на отрезок BE, равный СВ. Каково
взаимное положение прямой DE и окружности?
2. Диаметр АВ окружности продолжен за точку В на отрезок ВС,
CD — касательная к окружности (D — точка касания). Через
точку В проведена хорда, параллельная CD. Радиус окружности равен
10 см, а расстояние от центра окружности до хорды равно 4 см.
Найдите АС.
177

4.
1. Катеты прямоугольного треугольника ABC (Z.Ce90°) АС**Ъ,
ВС - 4. С центром в точке С проведена окружность радиуса, равного
2,4. Каково взаимное положение этой окружности и прямой АВ1
2. На касательной к окружности от точки касания Р по обе стороны от
нее отложены два отрезка РА и РВ. Точки А и В соединены
отрезками с центром окружности О. АО пересекает окружность в точке
С, а ВО — в точке D. Найдите CD, если радиус окружности равен
7, а ОА - ОВ = 25.
1. В трапеции Л#С£> АВ = ВС = CD, AD - 2ЯС. С центром в точке Л
проведена окружность радиусом, равным АВ. Каково взаимное
положение этой окружности и прямой BD1
2. Из точки проведены две касательные к окружности, которые
образуют между собой угол а. Радиус окружности равен г. Найдите
расстояние между точками касания.
1. В прямоугольной трапеции ABCD (LCDА «90е) ВС "CD, AD~
= 2ВС. С центром в точке D проведена окружность радиусом,
равным BD. Каково взаимное положение этой окружности и прямой
АВ?
2. Из некоторой точки проведены две касательные к окружности,
которые образуют между собой угол а. Расстояние от центра
окружности до хорды, которая соединяет точки касания, равно т.
Найдите длины отрезков касательных от данной точки до точки касания.
1. Две окружности разных радиусов внешне касаются. Докажите, что
отрезок их общей касательной, заключенный между точками
касания, есть среднее пропорциональное между диаметрами этих
окружностей.
2. Через концы диаметра АВ окружности проведены две касательные
к ней. Третья касательная пересекает первые две в точках С и D.
Докажите, что квадрат радиуса этой окружности равен
произведению отрезков СА и DB.
178
8.
1. Две окружности разных диаметров внешне касаются. К ним
проведены две общие касательные AC hBD, где А и В — точки касания
с первой окружностью, а С и D — со второй. Докажите, что ACDB
— равнобедренная трапеция.
2. АВ — диаметр окружности с центром в точке О. Окружность
радиуса г и с центром в точке 0\ внутренне касается первой окружности
в точке В. Через конец А диаметра большей окружности проведены
две хорды, которые касаются меньшей окружности. Угол между
хордами равен 60°. Найдите длины этих хорд.
179

§ 26. Теорема о вписанном угле
1. Дуга АВ окружности с центром в точке О равна 60°. Найдите
расстояние от точки А до радиуса ОВ, если радиус окружности равен 6 см.
2. АВ и АС — хорды окружности. L ВАС = 70°, kjAB = 120°. Найдите
градусную меру дуги АС.
1. В окружности с центром в точке О проведены два радиуса О А и ОВ
так, что расстояние от точки А до радиуса ОВ в два раза меньше
длины радиуса. Найдите градусную меру дуги АВ.
2. В окружности проведены диаметр АВ и хорда АС. Найдите угол
ВАС, если градусные меры дуг АС и СВ относятся как 7 : 2.
1. МА и MB — хорды окружности с центром в точке О, LAMB = 30°.
Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 10 см.
2. На катете АС прямоугольного треугольника ABC (jLC = 90°) как на
диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу АВ в
точке D; BD = 4 см, AD = 9 см. Найдите CD.
1. КА и KB — хорды окружности с центром в точке О, LAKB = 45°,
АВ = 3\Т. Найдите длину радиуса этой окружности.
2. В равнобедренном треугольнике ABC AC = СВ. На стороне АС как
на диаметре построена окружность, пересекающая сторону АВ в
точке D; CD = 18, AD =16. Найдите площадь треугольника.
1. На диаметре окружности АВ отмечена произвольная точка С. На
отрезке СВ как на диаметре построена окружность, BE и BF —
хорды большей окружности, которые пересекают меньшую окруж-
ность соответственно в точках Р и К. Докажите, что -== = ^.
2. В точке А к окружности проведена касательная АВ, АС — хорда
этой окружности, LBAC острый, w AM = w МС (точка М лежит
на дуге АС и расположена во внутренней области угла ВАС).
Расстояние от точки М до АС равно 5 см. Найдите расстояние от точки
МдрАВ.
180
6.
1. На диаметре АВ окружности отмечены точка М. С центром в этой
точке проведены две окружности, которые расположены внутри
данной; ВК и ВКХ — хорды большей окружности, которые касаются
двух меньших окружностей в точках Р и Pi соответственно. Дока-
КР КгРг
жите, что ^ = w
2. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. На
боковой стороне как на хорде построена окружность, которая
касается основания в его конце. Две вершины и точка пересечения
окружности с другой стороной делят окружность на три части.
Найдите их.
Через точку пересечения окружности с биссектрисой вписанного
угла проведена хорда, параллельная одной стороне угла.
Докажите, что эта хорда равна другой стороне вписанного угла.
Через точку К окружности с центром О проведены хорда КА и
касательная ВС (В — К — С). Прямая, проведенная через центр О
перпендикулярно к радиусу О А, пересекает АК в точке М и ВС —
в точке N. Докажите, что NK = NM.
8.
1. Окружность проходит через вершины В, С, D трапеции ABCD (AD
и ВС — основания) и касается стороны АВ в точке В. Докажите,
что BD = y/BCAD.
2. Вершины четырехугольника ABCD принадлежат окружности с
центром в точке О, w АВ + w CD = 180°. Диагонали АС и BD
пересекаются в точке Е. Вершины A AED принадлежат окружности с
центром в точке 0\, 0\Е = 8 см. Найдите AD.
181

n 27. Тео 1ема о п • низведении от • - ков хо • д
1.
1. Через точку М, расположенную внутри круга, проведены две
хорды АВ и CD, причем AM - MB, CM - 16 см, DM : МС -1:4.
Найдите Л/?.
2. АВ — диаметр окружности. Точка С лежит на окружности.
CD ± AB,AD = 3, DB = 5. Найдите CD.
2.
1. Хорды АВ и С£> окружности пересекаются в точке Е. АЕ: ЕВ**
= 1:3, CD = 20, DE = 5. Найдите ЛЯ.
2. Л/? — диаметр окружности. Точка Е лежит на окружности
EF ± АВ, FB = 4, EF= 6. Найдите радиус окружности.
3.
1. Диаметр CD окружности перпендикулярен хорде АВ, АВ и CD
пересекаются в точке Е, СЕ = 2 см. Сумма АВ и СЕ равна диаметру
окружности. Найдите радиус окружности.
2. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок средний
пропорциональный между отрезками, длины которых равны 1 см и 2 см.
4.
1. Диаметр CD окружности с центром в точке О пересекается с хордой
АВ в точке К, ОК = 5 см. Расстояние от центра окружности до
хорды равно 4 см. Найдите радиус окружности, если длина хорды
равна 16 см.
2. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок, длина которого
равна см.
182
5.
1. АВ — диаметр окружности с центром в точке О. На отрезке ОВ как
на диаметре построена окружность с центром в точке 0\. Хорда
большей окружности ВС пересекает меньшую окружность в точке
Е. Через точки 0\ и Е проведена прямая, которая пересекает
большую окружность в точках К и F (К — Е — F), КЕ = 2 см, EF = 8 см.
Найдите ВС.
2. Две окружности пересекаются в точках А и В. На продолжении их
общей хорды АВ выбрана точка М. Из этой точки проведены
касательные ME и MF к этим окружностям (Е и F — точки касания).
Докажите, что ME = MF.
1. Вершины треугольника ABC лежат на окружности, АВ : ВС = 2:3.
Точка D делит дугу АС пополам. BD пересекает АС в точке Е. Через
точку Е проведена хорда КМ, КЕ = 4 см, ME = 6 см. Найдите АС.
2. Две окружности внешне касаются в точке F. Через эту точку
проведена общая касательная к этим окружностям. На этой касательной
выбрана точка М. Из этой точки к этим окружностям проведены
секущие, которые пересекают первую окружность в точках А и В
(М — А — В), а вторую — в точках CnD(M-C-D), MA - МС.
Докажите, что АВ = CD.
1. QP — диаметр окружности с центром в точке О. На диаметре QP
между точками О и Р выбрана точка 0\ и с центром в этой точке
радиусом 0\Р проведена окружность. Прямая, проходящая через
центр 0\ меньшей окружности, пересекает большую окружность в
точках Л и D, а меньшую — в точках В и С. Найдите —, если
АВ: ВС: CD = 2: 4:3.
2. Две окружности касаются внешне в точке К. Через эту точку
проведена прямая, которая, пересекаясь с окружностями, образует хорды
КР и KQ. Из точек Р и Q проведены к окружностям касательные РТ\
и ОТг, где Т\ и Тг — точки касания. Докажите, что РТ\ + QT\ =
= PQ2.
1. На диаметре CD окружности выбрана точка Е. Через эту точку
проведена хорда АВ, АЕ = 4,ВЕ = 3, AD - 6,5, LABC - 60°. Найдите СЕ
uED.
2. В треугольнике ABC угол В тупой. Постройте на основании АС
точку D такую, что АВ2 = AD x АС.
183

§ 28*. Окружность
1. Две окружности имеют общий центр. Радиус большей окружности
равен R, а меньший — г. Найдите длину хорды большей
окружности, которая касается меньшей.
2. Две окружности имеют равные радиусы и пересекаются в точках А
и В. Через точку А проведена прямая, которая пересекает одну
окружность в точке С, а другую — в точке D. Докажите, что ВС =
= BD.
1. АВ — диаметр окружности с центром в точке О. На отрезке ОВ как
на диаметре построена окружность радиуса г. Из точки А проведена
касательная АК к меньшей окружности (К — точка касания).
Найдите АК.
2. На окружности отмечены четыре точки Л, В, С, D. w ВС = w AD.
Докажите, что AB\\CD.
1. Две окружности, радиусы которых равны 8 см и 2 см, касаются
внешним образом. Найдите длину их общей касательной.
2. Точка D лежит на радиусе ОА окружности с центром в точке О.
Хорда ВС, проходящая через точку £>, перпендикулярна АО. В
точке С к окружности проведена касательная до пересечения с
продолжением О А в точке Е. Докажите, что С А — биссектриса угла
ВСЕ.
1. Две окружности, радиусы которых 4 и 6, касаются внешним
образом. Их общие внешние касательные пересекаются в точке М.
Найдите расстояние от точки М до центра меньшей из окружностей.
2. В окружности проведены хорды АВ и ЛС, DE и DF, причем AB\\DE
и AC\\DF. Докажите, что FB\\CE.
184
5.
1. Две окружности, радиусы которых равны 1 и 3, внешне касаются
в точке С; АВ — их общая внешняя касательная (А и В — точки
касания). Найдите площадь треугольника АСВ.
2. Вершины Л, В, С остроугольного треугольника ABC лежат на
окружности с центром в точке О; АН ± ВС. Докажите, что LOAC =
= LBAH.
6.
1. Окружности с радиусами, равными 4 см и 1 см, внутренне
касаются. Хорда АВ большей окружности касается меньшей окружности,
и прямая АВ образует с общей касательной в окружности угол 60°.
Найдите АВ.
2. Две окружности пересекаются в точках Л и В. Через точку Л
проведены отрезки АС и AD, каждый из которых является хордой
одной из окружностей и касается другой. Докажите, что АС*ВА =
= AD*BC.
7.
Даны два круга одного и того же радиуса г. Расстояние между их
центрами равно d. Вычислите площадь четырехугольника, образованного
касательными, проведенными к каждому кругу из центра другого.
Вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности, причем АС
— биссектриса угла DAB. Докажите, что AOBD - AD*DC + АВ*ВС.
8.
1. Вершины квадрата ABCD лежат на окружности с центром в точке
О. Квадрат EMPF расположен так, что сторона EF лежит на
стороне ВС данного квадрата, а вершины МиР лежат на окружности.
Найдите сторону квадрата EMPF, если сторона квадрата ABCD
равна а.
2. Две окружности касаются внутренним образом в точке М. Пусть
АВ — хорда большей окружности, которая касается меньшей в
точке Т. Докажите, что МТ — биссектриса угла АМВ.
185

§ 29. Четыре замечательныеточки т^угольника
1.
1. В остроугольном треугольнике ABC AD ± ВС, CF ± AB, AD
пересекает CF в точке М. Докажите, что L АВМ = LMCA.
2. В прямоугольном треугольнике АСВ (LC = 90°) АЕ — биссектриса,
СЕ = 5, АВ = 14. Найдите площадь треугольника ABE.
2.
1. В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C = 90°) р — серединный
перпендикуляр к АВ, р пересекает АС в точке К, АК « 5, ВС - 4.
Найдите периметр треугольника ВКС.
2. В равнобедренном треугольнике ABC АВ = ВС, медианы АЕ и CF
пересекаются в точке К, ВК^б, АС= 10. Найдите площадь
треугольника ABC.
3.
1. В треугольнике ABC биссектрисы AD и СЕ пересекаются в точке
М, ВМ - т, LABC ■ а. Найдите расстояние от точки М до стороны
АС.
2. Высоты AD и СЕ остроугольного треугольника ABC пересекаются в
точке О, ОА «=• 4, OD - 3, BD = 4. Найдите расстояние от точки О до
стороны АС.
4.
1. В остроугольном треугольнике ABC Лир — серединные
перпендикуляры к сторонам ВС и АС. Они пересекаются в точке F, CF =10,
АВ = 16. Найдите расстояние от точки F до стороны АВ.
2. Вершины треугольника ABC лежат на окружности. L А - 2LB.
Биссектрисы AF и СЕ пересекаются в точке О, АО пересекает
окружность в точке К. Докажите, что КС\\АВ.
186
5.
1. В треугольнике ABC LACB= 120°, АС = СВ = а. Серединные
перпендикуляры к сторонам АС и СВ пересекаются в точке М.
Найдите расстояние от точки М до середины стороны АВ.
2. Из точки М к окружности с центром в точке О проведены
касательные МА и MB (А ж В — точки касания), BF ± AM. BF пересекает
МО в точке К, МО - 20В. Найдите угол КАВ.
6.
1. В треугольнике ABC LABC тупой. Продолжения высот AD и СЕ
пересекаются в точке М, MB - 5, АС - 10. Найдите площадь
четырехугольника АМСВ.
2. Во внутренней области треугольника ABC взята точка О,
равноудаленная от его сторон. Найдите LAOC, если LABC * 2а.
7.
1. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором
расстояние между точками пересечения медиан и биссектрис равно
данному отрезку т.
2. Основание АС равнобедренного треугольника ABC равно 6, а
боковая сторона равна 5. Найдите расстояние между точками
пересечения медиан и высот этого треугольника.
Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором
расстояние между точками пересечения высот и биссектрис равно
данному отрезку р.
Основание АС равнобедренного треугольника равно 6, а боковая
сторона равна 5. Найдите расстояние между точками пересечения
медиан и биссектрис этого треугольника.
187

I 30. Вписанная окщжность
1.
1. Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний
треугольник, если сторона треугольника равна 2v3 см.
2. Вокруг окружности описана равнобедренная трапеция, периметр
которой равен 10 см. Найдите длину боковой стороны.
2.
1. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник,
равен \3 см. Найдите сторону треугольника.
2. Вокруг окружности описана равнобедренная трапеция, угол при
основании которой равен 30°. Высота трапеции равна 4 см. Найдите
сумму длин оснований трапеции.
3.
1. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со
сторонами 10 см, 10 см, 12 см.
2. Периметр ромба равен 80 см, а одна из диагоналей 32 см. Найдите
радиус вписанной в ромб окружности.
4.
1. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка ее
касания с гипотенузой делит ее на части, равные 6 см и 4 см. Найдите
радиус окружности.
2. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную
трапецию, если ее основания равны 8 см и 2 см.
5.
1. В прямоугольный треугольник с углом 60° вписана окружность,
радиус которой равен 2V3 см. Найдите площадь этого треугольника.
2. Расстояния от центра вписанной в прямоугольную трапецию
окружности до концов большей боковой стороны равны 6 см и 8 см.
Найдите площадь трапеции.
188
6.
1. В равнобедренном треугольнике расстояние от центра вписанной
окружности до вершины не равного угла равно 5 см. Боковая
сторона равна 10 см. Найдите длину этого радиуса.
2. Около круга, радиус которого равен 2, описана прямоугольная
трапеция. Меньшее основание трапеции равно 3. Найдите площадь
трапеции.
1. В треугольник со сторонами 20, 20, 24 вписана окружность. Другая
окружность касается основания, боковой стороны и данной
окружности. Найдите радиус этой окружности.
2. В трапеции ABCD биссектриса угла А пересекает основание ВС
(или его продолжение) в точке Е. В треугольник ABE вписана
окружность, касающаяся стороны АВ в точке М и стороны BE в точке
Р. Найдите угол BAD, если известно, что ВМ = MP.
8.
1. В равнобедренную трапецию, основания которой равны 2 см и 8 см,
вписана окружность. Другая окружность касается большего
основания, боковой стороны и данной окружности. Найдите радиус этой
окружности.
2. В ромб ABCD со стороной, равной 4 см, и углом BAD, равным 60°,
вписана окружность. К ней проведена касательная, пересекающая
АВ в точке М и AD — в точке Р. Найдите MB и PD, если MP = 2 см.
189

§31. Описанная окружность
Вокруг равностороннего треугольника описана окружность, радиус
которой равен 3V3~. Найдите периметр треугольника.
В окружность, радиус которой равен 10, вписан прямоугольный
треугольник, один из катетов которого равен 16. Найдите площадь
этого треугольника.
2.
1. Треугольник ABC вписан в окружность. Найдите радиус этой
окружности, если АВ - 24 см, а центр окружности удален от этой
стороны на 5 см.
2. Найдите периметр прямоугольного треугольника, вписанного в
окружность радиуса 7,5 см, если один из катетов равен 9 см.
3.
1. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со
сторонами 10 см, 10 см, 12 см.
2. Четырехугольник ABCD вписан в окружность так, что сторона AD
является диаметром этой окружности, LABC = 130°, LBCD = 140°.
Найдите углы BAD, CDA, АСВ.
4.
1. Основание тупоугольного равнобедренного треугольника равно
24 см, а радиус описанной около него окружности 13 см. Найдите
боковую сторону треугольника.
2. Сторона равностороннего треугольника ABC равна см. Высоты
треугольника AD и BE пересекаются в точке М. Докажите, что
вокруг четырехугольника MDCE можно описать окружность, и
найдите ее радиус.
190
5.
1. Около равнобедренного треугольника ABC с основанием АВ и
углом 120° при вершине описана окружность. Докажите, что отрезок,
соединяющий центр описанной окружности с точкой пересечения
продолжения высот треугольника, равен диаметру описанной
окружности.
2. Трапеция вписана в окружность. Ее основания равны 6 дм и 8 дм, а
высота 1 дм. Найдите радиус этой окружности, если известно, что
основания трапеции находятся по одну сторону от центра.
1. Угол при вершине В равнобедренного треугольника ABC (АВ = ВС)
равен 72°. Через вершину А и центр описанной окружности
проведена прямая до пересечения в точке К со стороной ВС, ВК - а.
Найдите радиус описанной окружности.
2. Трапеция ABCD (AD и ВС — основания) вписана в окружность,
радиус которой равен 4 см; АС — биссектриса угла A, LBCA - 30°.
Найдите площадь трапеции.
1. Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот
треугольника ABC относительно его сторон, лежат на окружности,
описанной около этого треугольника.
2. Вокруг треугольника ABC описана окружность, радиус которой
равен R; АС - а, ВС*= Ъ. Точка D лежит на стороне AC, L ABC -
= LBDC. Найдите радиус окружности, описанной около
треугольника BDC.
1. Пусть АА\, ВВХ, СС\ — высоты треугольника ABC. Докажите, что
биссектрисы треугольника АхВ\С\ лежат на этих высотах.
2. В окружность вписан треугольник ABC, AC = b,AB = c.K
окружности в точке А проведена касательная. Прямая СВ пересекает эту
касательную в точке М (С — В — М). Радиус окружности,
описанной около треугольника АМС, равен R. Найдите радиус
окружности, описанной около треугольника АМВ.
191

1.
ABCD — параллелограмм. Укажите
пары векторов, изображенных на
рисунке 17, которые: а) коллинеарны;
б) сонаправлены; в) противоположно
направлены; г) равны.
Можно ли на прямой АС от точки А
отложить вектор, равный вектору ~а!
Рис. 17
2.
ABCD — параллелограмм. Укажите
пары векторов, изображенных на
рисунке 18, которые:
а) коллинеарны;
б) сонаправлены;
в) противоположно направлены;
г) имеют равные длины.
Можно ли на прямой АВ от точки В
отложить вектор, равный вектору е?
Рис. 18
3.
ABC — прямоугольный треугольник
(Z С = 90°), L А = 45°. Какие из
следующих записей имеют смысл:
а) АВ^> ВС; ^
б) ЦЛЯ \> \ВС\;
в) АС^ВС; ^
г) \АС\ = \ВС\;
. Какие из векторов, изображенных
на рисунке 19:
а) коллинеарны;
б) сонаправлены;
в) противоположно направлены;
г) имеют равные длины?
Отложите эти векторы от одной точки.
\
/
X
У
в
N
У
- .
д
/
/
Рис. 19
192
4.
1. ABCD — прямоугольник. Какие из
следующих записей имеют^смысл:
а) AD^<AC; ^ в) ACj= BD; ^
б) | AD | < | АС |; г) | АС \ = \ BD |?
2. Какие из векторов, изображенных на
рисунке 20:
а) коллинеарны;
б) сонаправлены;
в) противоположно направлены;
г) имеют равные длины?
Отложите эти векторы от одной
точки.
1Ь
У
У
-
N
с/
X
Рис. 20
5.
1. В четырехугольнике ABCD АВ = DC. Через точку О пересечения
его диагоналей проведена прямая, пересекающая стороны В£ и AJD
соответственно в точках Е и F. Какие из векторов АЕ, ЕС, AF,
DF:
а) коллинеарны;
б) сонаправлены;
в) противоположно направлены;
г) равны;
д) имеют равные длины?
2. В круге проведены диаметр АС и хорда АВ. Внутри круга выбрана
точка М. От этой точки_£тложены векторы MN и MF,
соответственно равные векторам АВ и АС. Чему равен угол MNF?
середина ВС. Пця-
6.
1. В четырехугольнике ABCD АВ = DC, точка Е — середина ВС. Пця-
м£я АЕ пересекает продолжение DC в точке F. Среди векторов АВ,
BE, СЕ, AD, CF укажите пары:
а) коллинеарных векторов;
б) сонаправленных векторов;
в) противоположно направленных векторов;
г) равных векторов;
д) векторов, имеющих равные длины.
2. В ромбе ABCJD \ АС | = 12 см, | Вр | = 16 см. От вершины А
обложен вектор АЕ, равный вектору BD. Найдите длину вектора ЕС.
7 Зин Б. Г.
193

7.
На рисунке 21 ABCD и EFCD —
параллелограммы. Сколько
существует различных векторов с
началом и с концом в вершинах
данных параллелограммов?
Точка М лежит внутри
треугольника ABC. От дтой трчки_ртложе-
ны векторы MF, ME, MD соо^г-
BejCTijeHHO равные векторам АВ,
АС, ВС. Докажите, что MFED —
параллелограмм.
8.
На рисунке 22 ABCD и FADE —
параллелограммы. Сколько существует
различных векторов с началом и с
концом в вершинах данных
параллелограммов?
ABC — правильный треугольник.
Точка М лежит вне треугольника.
От точки М отложены векторы МК,
ML, МР,^ соответственно равные
векторам АВ, АС, ВС. Докажите, что
ML ±KP.
194
§ 33. Сложение векторов
На рисунке 23 изображены векторы
аи <\ Постройте вектор *f + сГдвумя
способами.
М, Н, Р, О, S — произвольные точ-
кд. Наймите с^мму^ _^
МН + РО+ SM+ НР+ OS.
Рис. 23
2.
1. На рисунке 24 изображены два
вектора т и 1г. Постройте вектор т + п
двумя способами.
2. Даны произвольные ^рчки_^, В, Q D,
Е. Докажите, что АВ^+ CD + ВС =
= АС + ЕВ + СЕ + BD.
7&
Рис. 24
3.
1. На рисунке 25 изображены векторы "а, £ <\ т, п.
1) Постройте сумму ct+ ZT+ £
2) Постройте сумму m + /?.
2)
tn
Рис. 25
2. В параллелограмме AgCD _л,иагощ1ли пересекаются в точке М.
Докажите, что AM + DC + MZ> + СВ - AC + DA
195

4.
1. На рисунке 26 изображены векторы т, и", /?, «", £
1) Постройте сумму т + 1г + ]).
2) Постройте сумму *?+ £
г;
Рис. 26
2. ABCD — прямоугольник^ Диагонали его^пересекаются в точке О.
Докажите, что | АО + DC + OD | = | £>Л + DC |.
5.
1.
->
с
равен 120°
Угол между векторами <? и S, о" и^
| *f | = | ZT| = | ?|. Докажите, что о"+ZT+<Г= 0.
На рисунке 27 _£BCD_p CFEp — царал.целоц}аммы. Укажите такой
вектор jf, что АВ + AD + DE + CD + х = AD.
196
6.
1. Угол между векторами *? и 2f равен
90°, а углы между векторами аи^ /q
2Ги Нравны 135°, | ?| = | 2Г| - 1,
| с | = v2. Докажите, что
*+ 2f+ ?= tf
2. На рисунке 28 ЛДС£> и ADEF —
параллелограммы, ^кажиде так§й век- _^
тор з^ что ЛЯ + ЛЯ + CD + AF + >Г= AF.
7.
1. Д§ны два параллелограмма ABCD и A\BC\D. Докажите, что
AAi =dC.
2. В треугольнике ABC M — точка пересечения медиан. Докажите,
что МА + MB + Kfc = tf
8.
1. Даны два треугольнику АВС^л АВ{С\, имеющие общую медиану
АА\. Докажите, что СВХ = С,В.
2. ABCD — параллелограмм. 0_^— точ^са пересечения его диагоналей.
Докажите, что РА + РВ + PC + PD = 4РО, где Р — любая точка
плоскости.
197

§ 34. Вычитание векторов
3.
На рисунке 29 изображены векторы ~а
и Ж. Постройте вектор а — ZT.
Дан треугольник ABC. _JBbipaj3HTe
вектор СВ через векторы АС и АВ.
В равнобедренном треугольнике ABC
точка М — середина основания АС.
Найдите | MB — МС + ВА |, если
АВ =■ 5 см, ВМ - 4 см.
Рис. 29
2.
1. На рисунке 30 изображены векторы tt и
<? Постройте вектор ё?—с\
2. Д^н треугольник Л^С. В_ыразите вектор
В А через векторы С В и СЛ.
3. СМ — медиана равнобедренного
прямоугольного треугольника ЛВС,
проведенная из дершиды С прямого угла.
Найдите I АВ - АС + ВМ I, если АВ = 10.
д
Рис. 30
3.
1. На рисунке 31 изображены векторы j?,Jt,m,a,l)l
1) Постройте вектор /f—Jt+ т.
2) Постройте вектор Zf— Zf.
2;
Рис. 31
В параллелограмме ABCD СА — a, CD = с. Выразите векторы АВ ,
ВС, DA через векторы а и с.
В прямоугольнике ABCD^AD=_£2, CQ = 5, Q — точка пересечения
диагоналей. Найдите | АВ + AD — DC — OD |.
198
4.
1. На рисунке 32 изображены векторы "а, 1), а, т, 1г.
1) Постройте вектор cf— ZT— ^
2) Постройте вектор п — т.
2)
7h
Рис. 32
В^пардллелограмме ABCD АВ = а, ЛС = а. Выразите векторы СВ,
AD, DC через векторы ~атл ZT.
В ромбе ABCD AJD = 20^ #D =^24, О^— точка пересечения
диагоналей. Найдите I AD + АВ - ВС - ОВ I.
5.
1. Выразит^ вектор^ЛЯ в виде алгебраической суммы следующих
векторов: ЛС, DC, BD.
2. Даны параллелограмм ABQD непроизвольная точка О. Выразите
вектор ОА через векторы ОВ, ОС, OD.
3. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) с прямым углом Л
проведена диагональ AC, LBCA = AS", L ACD = 90°, АС = а. Найдите
| СВ - СА + CD |.
6.
1. Выразит^ вектор^Л/* в виде алгебраической суммы следующих
векторов: DA, DC, СВ. _»_»_»_»
2. В четырехугольнике ABCD ОВ + OD = ОА + ОС, где О —
произвольная точка плоскости. Докажите, что ABCD —
параллелограмм.
3. В трапеции РКНМ (РМ и КН — основания) с прямым углом Р
проведана диагональ HP, L РНК = 30°, L РИМ = 90°. Найдите
I КР+ МК — МН I, если РМ = а.
199

7.
1. В треугодьнике^ЛЯС Q — точка пересечения его медиан. Постройте
вектор ОА + ОВ — ОС и найдите его длину, если медиана СС\
равна т.
2. В треугольнике ABC М и N соответственно середины сторон АВ и
АС, О — произвольная точка, Mi — точка, симметричная точке М
относительно центра О, a N\ — точка, симметричная точке N
относительно того же центра. Используя векторы, докажите, что
MiNi \BC и что MiNi = i ВС.
8.
1. О —зрчка цересецения медиан треугольника ABC. Постройте
вектор ОА — ОВ — ОС и найдите его длину, если медиана ААХ равна
т.
2. Дан треугольник ABC. О — произвольная точка, Ах, Вх, С\ —
точки, симметричные соответственно точкам Л, В, С относительно
точки О. Используя векторы, докажите, что Л ABC = Л А{ В\ С\ и
что стороны их соответственно параллельны.
200
§ 35. Умножение вектора на число
1.
1. Начертите два неколлинсарных вектора ^и Z? Постройте вектор
2t+\t.
2. В параллелограмме ABCD О — точка пересечении диагоналей, К
— середина стороны CD. Выразите векторы ОА и АК через векторы
AB = !iu AD = K
2.
1. Начертите два неколлинеарных вектора тип. Постройте вектор
0-» 1 -*
5т—* п.
2. В параллелограмме ABCD Р — точка пересечения диагонале^, М
— ^ередина ВС. Выразите векторы DP и DM через векторы DA - р
и DC = т.
3.
3 -* -* 1 -*
1. Дан треугольник ABC. Постройте вектор — -^ (АВ + ВС — т> АС).
2. На стороне ВС параллелограмма ABCD взята точка К так, что
ВК : КС = 1:4. Выразите векторы А\ и кЪ через векторы V И
АЪ = t.
4.
1. Дан треугольник ABC. Постройте вектор —3 (АС — АВ + -~ СВ).
2. На стороне НК ромба МНКС взята точка Етак, что КЕ = -^НЕ,
Т — середина стороны МН. Выразите векторы СЕ и ЕТ через
векторы СК - р и СМ = ~а.
201

5.
1. Даны четыре точки О, А, М, В такие, что ОМ = -тОА + -т ОВ.
Докажите, что точки Л, М, Z? лежат на одной прямой.
2. Точка М лежит на диагонали АС параллелограмма ABCD, а точка
Я — на стороне ЛД причем ЛМ : МС = 2:1 и АН^= HD. Выразите
вектор М*Н через векторы а'и /Г, где if= А*В и р"= ЛЛ
6.
-» о -» 9 •♦
1. Даны четыре точки Е, К, F, О такие, что ОЕ = -= ОК — ■= OF.
Докажите, что точки Е, К, F лежат на одной прямой.
2. Точка Т лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, а точка Е —
на его диагонали BD, причем BE : ED = 2:1 и В£ = ТС. Выразите
вектор Е*Г через векторы а'и р*, где if= DA и ~р = DC.
7.
1. На сторонах ВС, СА, АВ треугольника АЦС отмечены^соотв.етствен-
но точки Ах, Вх, Сх такие, что АСХ = kAB, ВАХ = кВС, СВХ = кСА.
Найдите сумму векторов ЛАХ, ВВ{, ССХ.
2. В шестиугольнике ABCDEF АВ \\DE \CF, ВС \EF \\AD, CD\FA.
Используя векторы, докажите, что BE \AF.
8.
1. На сторонах АВ, BCjjCD, ЦЕ параллелограмма^ABCJD даньцточки
Р, Е, F, М так, что АР = kAB, BE = кВС, CF - kCD, DM - Ш4.
Докажите, что PEFM — параллелограмм.
2. В окружности с центром О проведены две перпендикулярные хорды
АВ и CD. Хорды или их продолжения пересекаются в точке М.
Докажите, что
ОМ=^(ОА + ОВ + ОС+ OD).
202
§ 36. Применение векторов к решению задач
1.
1. В треугольнике ABC ААХ — мещшна, М — середина ААХ. Выразите
вектор ВМ через векторы ~а = ВЛ и о = ВС.
-» 1 -*
2. В четырехугольнике ABCD ВС = ^AD. В каком отношении
диагонали этого четырехугольника делятся точкой их пересечения?
2.
1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в уточке О, К—
середина ВО. Выразите вектор А^к через АВ = m и АС = р.
2. Даны^четьгоехугодьник ABCD и произвольная точка О. Известно,
что АВ + OD = ОС , L А - 15°. Найдите остальные углы этого
четырехугольника.
3.
1. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC отмечены соответственно
точки М и Н так, что АВ = ЗВМ, ВС = ЪВН. Используя векторы,
докажите, что МН \\ЛС и МН = -х АС.
2. Е и F — середины сторон ВС и Л/> четырехугольника ABCD.
Выразите вектор ЕТ через векторы В А и CD.
4.
1. Отрезки В А и CD пересекаются в точке О, причем АО = 20В и
OD = 20C. Используя векторы, докажите, что ВС \\AD и ВС - -^ AD.
2. Дан треугольник ABC. Точки Л., Вх, Сх — середины
соответственно сторон ВС, АС, АВ. Докажите, что ОА + ОВ + ОС =
= ОАх + ОВх + ОСх , где О — произвольная точка плоскости.
203

5.
1. ABCD и AXB\C\D\ — параллелограммы, M, Р, F, H — середины
соответственно отрезков АА{, ВВ{, СС\, DD{. Докажите, что точки
М, Р, F, Н являются вершинами параллелограмма или лежат на
одной прямой.
2. Докажите, что в треугольнике ABC ОМ < -= {ОА + ОВ + ОС), где
М — точка пересечения медиан, а О — произвольная точка
плоскости.
1. ABCD — произвольный четырехугольник, Е и F — середины
соответственно сторон АВ и CD. Докажите, что середины отрезков ЕС,
BF, AF, ED служат вершинами параллелограмма или лежат на
одной прямой.
2. Используя векторы, докажите, что диагонали параллелограмма
пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
1. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Точка
К лежит на стороне ВС, а точка Е — на стороне AD, причем
ВК : КС = DE : АЕ - 1:2. Используя векторы, докажите, что точка
О — середина КЕ.
2. Используя векторы, докажите, что в любом треугольнике медианы
пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в
отношении 2:1, считая от вершины.
8.
1. Два параллелограмма ABCD и AB{CiDi имеют общую вершину А.
Докажите, что СС{ < ВВ{ + DDX.
2. Точка А\ лежит на стороне ВС, а точка Вх — на стороне АС
треугольника ABC', О — точка пересечения отрезков ААХ и ВВХ,
причем АО : ОА\ - ВО : ОВ{ =2:1. Используя векторы, докажите, что
AAi и ВВ\ — медианы треугольника ABC.
204
§37. Средняя линия трапеции
1.
1. Разность оснований трапеции равна 4 см, а средняя линия 10 см.
Найдите основание трапеции.
2. В равнобедренной трапеции ABCD перпендикуляр, проведенный из
вершины В на большее основание AD трапеции, делит его на
отрезки, равные 4 см и 10 см. Найдите основания и среднюю линию
трапеции.
2.
1. В трапеции одно из оснований больше другого в два раза. Средняя
линия трапеции равна 15 см. Найдите основания трапеции.
2. В равнобедренной трапеции МНКР проведен перпендикуляр НЕ к
большему основанию MP, ME = 6 см, НК~ 10 см. Найдите
большее основание и среднюю линию трапеции.
3.
1. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) LA = 90°, L С - 135°,
АВ = 2 см. Найдите среднюю линию трапеции, если ее диагональ
перпендикулярна к боковой стороне.
2. В равнобедренной трапеции острые углы равны по 60°, боковая
сторона равна 10 см, а большее основание 15 см. Найдите меньшее
основание и среднюю линию трапеции.
4.
1. В трапеции МНКР (MP и НК — основания) ZM = 90°, £К= 150°,
НК = 2 см. Найдите среднюю линию трапеции, если известно, что
ее диагональ перпендикулярна к боковой стороне.
2. В равнобедренной трапеции острые углы равны по 45°, меньшее
основание равно 5 см, а высота трапеции 4 см. Найдите большее
основание и среднюю линию трапеции.
205

5.
1. В равнобедренной трапеции диагональ, равная 4 см, составляет с
основанием угол 60°. Найдите среднюю линию трапеции.
2. Докажите, что если трапецию можно разделить двумя прямыми на
три равносторонних треугольника, то средняя линия такой
трапеции в полтора раза больше меньшего основания.
1. В равнобедренной трапеции диагональ составляет с основанием
угол 45°. Высота трапеции равна 8 см. Найдите среднюю линию
трапеции.
2. Докажите, что если трапецию можно разделить одной прямой на
ромб и равносторонний треугольник, то средняя линия трапеции
составляет -т большего основания.
1. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) К — точка пересечения
биссектрис внешних углов А и В трапеции, a L — точка
пересечения биссектрис внешних углов D и С. Вычислите периметр
трапеции ABCD, если KL - 25 см.
2. В прямоугольной трапеции ABCD (L C= LD = 90°) ВС : CD= 1:2.
Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Средняя линия
трапеции равна 10 см. Найдите основания трапеции.
8.
1. В равнобедренной трапеции ABCD (AD \BC) диагонали взаимно
перпендикулярны, высота трапеции равна 12 см. Расстояние от
вершины А до прямой CD в три раза больше, чем расстояние от
вершины В до этой прямой. Найдите основания трапеции.
2. В трапеции ABCD угол при вершине А прямой, а угол при вершине
D равен 30°. Окружность, центр которой лежит на стороне AD,
касается прямых АВ, ВС, CD. Найдите радиус окружности, если
средняя линия трапеции равна 6 — V3.
206
§ 38. Итоговое повторение (четырехугольники,
площади, подобные треугольники)
1.
ABCD — квадрат со стороной 4 см. На сторонах АВ и CD отложены
отрезки AM и КС так, что AM = КС = 3.
а) Докажите, что MBKD — параллелограмм.
б) Найдите его периметр и площадь.
2.
В прямоугольнике ABCD на сторонах ВС и AD отмечены точки М и К
соответственно так, что L ВАМ = 40°, L DC К = 50°. Известно, что С К =
= 8 см, ВС = 20 см.
а) Докажите, что ВМ : CD = AM : КС.
б) С помощью микрокалькулятора вычислите отрезки KD, CD, ВМ и
площадь четырехугольника АМСК.
3.
ABCD — прямоугольник. АВ = 8 см, ВС = 4 см. На сторонах АВ и CD
отмечены точки К и Р соответственно так, что АК : АВ = СР : CD = 3:8.
а) Докажите, что KBPD — ромб.
б) Найдите его периметр и площадь.
4.
В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону АВ в отношении 2:1,
считая от вершины А. Прямые MD и ВС пересекаются в точке Е,
LMDA = 40°, AD = 10 см.
а) Докажите, что треугольники AMD и ECD подобны.
б) С помощью микрокалькулятора вычислите площадь треугольника
DCE.
5.
В ромбе ABCD АВ = 5 см, BD = 2VT см. На сторонах АВ и CD
отмечены точки М и К соответственно так, что AM: MB = CK : KD = 1,5.
а) Докажите, что MBKD — прямоугольник.
б) Найдите его периметр и площадь.
207

6.
1. В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна стороне
ВС. На стороне ВС выбрана точка Е. Отрезки АЕ и BD
пересекаются в точке О, причем ВО : OD = 2:3, ВС = 9 см и АЕ = 20 см.
С помощью микрокалькулятора вычислите L AOD.
2. В треугольнике ABC на сторонах ВС и АС соответственно отмечены
точки Я и Р так, что PC = 8 см, LHPC= LABC. Площади тре-
4
угольников РНС и ABC относятся как 4:25, cos LC-^. Найдите
высоту BE треугольника ABC.
1. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) LABC= LACD, ВС =
- 2 см, AD - 8 см, LCAD = 40°. Используя микрокалькулятор,
найдите площадь трапеции.
2. В параллелограмме ABCD угол А острый. Из вершины А проведены
высоты параллелограмма AM и АН к сторонам ВС и CD
соответственно, МН : АС = 3:4. Найдите отношение площадей
треугольников МАИ и ABC.
8.
1. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) L ABC = LACD, ВС =
= 2 см, AD ■= 8 см, LCAD = 40°. Используя микрокалькулятор,
найдите площадь трапеции.
2. В параллелограмме ABCD угол А острый, ВМ и ВН — высоты
параллелограмма, проведенные к сторонам AD и DC соответственно,
МН : BD = 2 : 3. Найдите отношение площадей треугольников
МНВ и BDC.
208
§ 39. Итоговое повторение (окружность)
1. Через точку А, лежащую на окружности радиуса 10 см с центром
О, проведена касательная AM. Отрезок ОМ пересекает окружность
в точке В. Найдите градусную меру меньшей из дуг АВ, если
ЛМ=10\^3"см.
2. Треугольник вписан в окружность так, что одна из его сторон
проходит через центр окружности, а две другие удалены от него на
3 см и 3vJ см. Найдите радиус окружности.
1. Отрезок АВ — диаметр некоторой окружности радиуса 5 см, прямая
ВС — касательная к ней, АС - 10v2 см. Найдите градусную меру
дуги данной окружности, заключенной внутри треугольника ABC.
2. В треугольник ABC, в котором LA = 90°, вписана окружность с
центром О. Найдите отрезки, на которые точка касания этой
окружности и прямой АС делит сторону АС, если ОС = 5 дм и АО =
= 3^/2" дм.
1. Через концы хорды АВ окружности с центром О проведены
касательные, пересекающиеся в точке М. Найдите градусную меру
меньшей из дуг АВ, если AM = 10 см, а периметр четырехугольника
О AM В равен 40 см.
2. Диагональ трапеции составляет с большим основанием угол 30°, а
центр окружности, описанной около трапеции, принадлежит этому
основанию. Найдите площадь трапеции, если ее боковая сторона
равна 2 см.
1. АВ и AD — две касательные к некоторой окружности радиуса 5 см
(BnD — точки касания). Точка С принадлежит большей из дуг BD.
Найдите /.BCD, если АВ = 5 см.
2. В некоторой трапеции один из углов прямой, а другой равен 30°.
Большая боковая сторона трапеции равна 12 см. Найдите площадь
трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность.
209

5.
1. АВ и АС — касательные к окружности с центром О (С и В — точки
касания). Найдите градусную меру меньшей из дуг ВС, если
расстояние от центра окружности до точки А равно 8 см, а до хорды
ВС равно 6 см.
2. Где внутри трапеции: вне или на основании — расположен центр
окружности, описанной около равнобедренной трапеции с
основаниями 10 см, 24 см и высотой 17 см?
6.
1. Из точки А к окружности диаметром ВС проведена касательная АС.
Отрезок АВ пересекается с окружностью в точке D, AD — 2 см,
BD = 6 см. Найдите градусную меру дуги окружности,
заключенной внутри треугольника ABC.
2. В выпуклом четырехугольнике ABCD угол А прямой. Диагональ BD
образует со сторонами ВС, CD, AD углы 90°, 45°, 30°
соответственно. Могут ли биссектрисы углов данного четырехугольника
пересекаться в одной точке?
7.
Два круга, касающиеся друг друга, вписаны в полукруг. Найдите
отношение радиусов этих кругов, если радиус одного из них в три раза
меньше радиуса полукруга, а точки касания с диаметром полукруга
лежат по разные стороны от его центра.
8.
В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС) на стороне АС
выбрана точка D, причем AD = a, DC = Ь. В треугольники ABD и DBC
вписаны окружности. Первая окружность касается BD в точке Е, а
вторая — в точке F. Найдите расстояние между Е и F.
210
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
№ 1. Четырехугольники
Вариант 1
1°. В трапеции ABCD точка Е —
середина большего основания AD, ED =
= ВС, L В= 120°. Найдите углы АЕС и
ВСЕ.
2°. Постройте ромб по его диагонали
и стороне.
3. В прямоугольнике ABCD точка О
является центром симметрии, а точки
Р и К — середины сторон АВ и ВС
соответственно.
а) Определите вид выпуклого
четырехугольника ОРВК.
б) Докажите, что РК = OD.
4*. Найдите сумму углов,
отмеченных на рисунке 33.
Рис. 33
Вариант 2
1°. Дан четырехугольник ABCD, в котором диагонали имеют
общую середину. На продолжении стороны AD за вершину D взята
точка Е, DC = ЕС. Докажите, что четырехугольник АВСЕ является
равнобедренной трапецией.
2°. Постройте прямоугольник по стороне и углу, который эта
сторона образует с диагональю.
3. В ромбе ABCD точка О является центром симметрии, а точки Р
и К принадлежат сторонам АВ и ВС соответственно, так что ОР\\ВС,
ОК\\АВ.
а) Определите вид выпуклого четырехугольника ОРВК.
б) Найдите угол ВСЛ, если угол ВРК равен 40°.
4*. Может ли выпуклый шестиугольник иметь четыре острых угла?
211

ВариантЗ
1°. В четырехугольнике ABCD АВ-
= CD, ВС = AD. L А = 30°. На стороне
ВС взята точка Е так, что L CDE =
= 60°. Докажите, что четырехугольник в
ABED является прямоугольной трапе- J
цией. /
2°. Постройте квадрат по его пери- I/
метру. А т
3. На сторонах АВ, ВС, CD, AD ром- ^
ба ABCD взяты точки Р, К, Н, М соот- \ \
ветственно. Каждая из прямых РМ, \
КН, РК параллельна одной из осей \
симметрии ромба. Диагональ АС пере- Y
секает отрезок РМ в точке Е, а отре- j
зок КН — в точке Т.
а) Докажите, что диагонали
четырехугольника ЕРКТ равны.
б) Определите вид выпуклого
четырехугольника МРКН.
4*. Чему равна сумма углов,
отмеченных на рисунке 34?
Вариант 4
1°. В трапеции ABCD на большем основании AD взята точка Е.
Известно, что L ABC- 130°, L ВСЕ = 50°. Докажите, что отрезки АС и
BE имеют общую середину.
2°. Постройте ромб по диагонали и углу между стороной и этой
диагональю.
3. Ось симметрии прямоугольника ABCD пересекает его стороны
ВС и AD в точках М и К соответственно. На стороне АВ взята точка
Р, на стороне CD — точка Т, причем РМ\\КТ, РМ = РК.
а) Определите вид выпуклого четырехугольника РМТК.
б) Докажите, что расстояние от точки пересечения диагоналей
четырехугольника РМТК до точки С равно РК.
4*. В некотором выпуклом /г-угольнике сумма (п — 1) углов равна
359°. Найдите п.
212
№ 2. Площадь
Вариант 1
1°. На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка Е так, что
АЕ = 4 см, ED = 5 см, BE- 12 см, BD= 13 см. Докажите, что
треугольник BED прямоугольный, и найдите площадь параллелограмма.
2°. В остроугольном треугольнике
ABC проведены высоты АК и СЕ,
СЕ=\2 см, ВЕ = 9 см, АК= 10 см.
Найдите площадь треугольника ABC.
3. В равнобедренной трапеции
ABCD AD\\BC, L A = 30°, высота ВК .
равна 1 см, ВС = 2уГЗ см.
а) Найдите площадь трапеции.
б) Найдите площадь треугольника
AMD, если М — середина отрезка
BD.
4*. На рисунке 35 площади
четырехугольников ABDE и ACDE равны.
Докажите, что BC\\AD. Рис.35
Вариант2
1°. В трапеции ABCD AD и ВС — основания, L А = 90°, ВС = 4 см,
CD- 10 см. Высота СК равна 8 см. Найдите площадь трапеции.
2°. В остроугольном треугольнике ABC L А = 45°, J3C = 13 см. На
стороне АС взята точка D так, что DC = 5 см, BD*= 12 см. Докажите,
что треугольник BDC прямоугольный, и найдите площадь
треугольника ABC.
3. В параллелограмме ABCD L А = 60°, диагональ BD
перпендикулярна к стороне АВ. Прямая, проходящая через середину отрезка BD
— точку М — параллельно AD,
пересекает сторону АВ в точке К,
МК=4 см.
а) Найдите площадь
параллелограмма ABCD.
б) Найдите площадь треугольника
AMD.
4*. На рисунке 36 BC\\KD.
Докажите, что площадь
четырехугольника AKCD равна площади
треугольника А В D.
Рис. 36
213

ВариантЗ
1°. В трапеции ABCD AD — большее основание, СК — высота,
АВ = 5 см. На отрезке АК взята точка Е так, что АЕ - 3 см, ЕК =
= 6 см, KD = 1 см, BE-А см. Определите вид треугольника ABE и
найдите площадь трапеции.
2°. В треугольнике ABC угол А тупой, ВК и CD — высоты, ВК =
= 12 см, АК = 9 см, CD = 10 см. Найдите площадь треугольника ABC.
3. В ромбе ABCD АС = 10 дм, #D =
- 24 дм. Высота Л/С проведена к
стороне ВС.
а) Найдите А К.
б) Найдите площадь треугольника
АОМ, если О — точка пересечения
диагоналей ромба, М — середина
стороны АВ.
А*. На рисунке 37 площади
четырехугольников АВСР и DTBC равны.
Докажите, что TP\\AD. Рис 37
В а р и а н т 4.
1°. В параллелограмме ABCD ВК и ЯГ — высоты. Точки К и Т
принадлежат сторонам Л1> и DC, /Ж = 10 см, ВТ = 9 см, ТС = 12 см.
Найдите площадь параллелограмма.
2°. В треугольнике ABC L А = 45°, Z С — тупой, ВС =17 см. На
продолжении стороны ЛС за точку С взята точка D так, что CD =
= 8 см, BD= 15 см. Докажите, что треугольник BCD прямоугольный,
и найдите площадь треугольника
ABD.
3. В трапеции ABCD LA = 90°,
боковая сторона CD перпендикулярна
диагонали AC, CD = 3 см, AD = 5 см.
а) Найдите площадь трапеции.
б) Найдите площадь треугольника
AMD, если М — середина CD.
4*. На рисунке 38 площади нсвы-
пуклых пятиугольников ABOCD и
АВОСВ равны. Докажите, что AB\\DC.
214
№ 3. Подобные треугольники
Вариант 1
1°. В выпуклом четырехугольнике ABCD все стороны имеют разные
длины. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке О, ОС =
= 5 см, ОВ - 6 см, ОА = 15 см, OD = 18 см.
а) Докажите, что четырехугольник ABCD является трапецией.
б) Найдите отношение площадей треугольников AOD и ВОС.
2. В треугольнике ABC на сторонах АВ и ВС взяты точки К и М
соответственно, причем L КМС + L А = 180°.
КМ ВК
а) Докажите, что —г^- = -=~.
б) Найдите отношение АВ: ВМ, если площадь четырехугольника
АКМС относится к площади треугольника ВКМ как 8:1.
3*. В трапеции ABCD на меньшем основании ВС и на боковой
стороне CD взяты точки Е и К соответственно, а на отрезке АЕ отмечена
точка О. Найдите отношение ttf» если КС = 2 см, KD - 3 см, OK\\AD,
BE
L OB A = L OBE.
Вариант 2
1°. Через точку М стороны АВ треугольника ABC проведена
прямая, перпендикулярная высоте BD и пересекающая сторону ВС в
точке Р; ВМ = 5 см, ВР = 8 см, ВС = 24 см.
а) Найдите АВ.
б) Найдите отношение площадей треугольников МРВ и ABC.
2. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ BD делит угол В
пополам, -г^г = АВ.
а) Докажите, что L BAD = L BDC.
б) Найдите отношение площадей четырехугольника ABCD и
треугольника ABD, если DC = 1,5 ЛА
3*. На боковых сторонах АВ и CD трапеции ABCD взяты точки Р и
К соответственно так, что PK\\AD, L DBK= L КВС, ВС :BD = 3:4.
Найдите ВР: РА.
215

Вариант 3
1°. На сторонах АВ, ВС, АС треугольника ABC отмечены точки D,
Е, Р соответственно, АВ = 9 см, AD = 3 см, АР = 6 см, DP = 4 см, BE =
= 8 см, DE=\2cm.
а) Докажите, что DE\AC.
б) Найдите отношение площадей треугольников DBE и ADP.
2. В трапеции ABCD L А = 90°. Высота СЕ делит основание AD на
два равных отрезка, точка О — середина отрезка АС.
ВО CD
а) Докажите, что -^ = -^.
б) Найдите площадь треугольника ACD, если площадь невыпуклого
пятиугольника AOBCD равна S.
3*. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC взяты точки М и К
соответственно так, что L МКВ = L А. Отрезок ВО является
биссектрисой треугольника МВК, МО - 2 см, ОК = 3 см. Найдите #С : АВ.
Вариант 4
1°. В трапеции ABCD точка О — середина меньшего основания ВС.
Прямые АО и CD пересекаются в точке Е, AD = 6 дм, ВС = 4 дм.
.ЕС
а) Найдите ^.
б) Найдите отношение площадей треугольников ЕОС и AED.
2. В выпуклом четырехугольнике ABCD AD = 2/?С, ЛС = CD, О —
середина AC, L ОВС = /1 ОСВ.
а) Докажите, что /?С||Л1>.
б) Найдите отношение площадей треугольника ВОС и выпуклого
пятиугольника AOBCD.
3*. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC отмечены точки D и Е.
Биссектриса ВК этого треугольника пересекает отрезок DE в точке Т,
DT = 3 дм, ТЕ = 4 дм, АК = 8 дм, КС = 6 дм. Докажите, что Z С =
= LBDE.
216
№ 4. Применение подобия, решение прямоугольных
треугольников
Вариант 1
1°. На рисунке 39 BCLAC, ЕС±МВ,
О — точка пересечения медиан
треугольника ABC, МС = 30 мм, ME =
= 20 мм. Найдите cos LEMC и ОМ.
2°. Постройте отрезок, равный -^
данного отрезка. /
3. В трапеции ABCD BC\AD,
ABJlBD, точки М и К — середины
отрезков ВС и CD соответственно, МК =
= VJ см, AD - 2VlO см.
а) Найдите L DBC.
б) Найдите BE, если СЕ — высота треугольника BCD, а тангенс
угла ECD равен 3.
4*. Будут ли подобны внешний и внутренний прямоугольники
рамки для картины, если ее ширина в любом месте одинакова?
Рис. 39
Вариант 2
1°. На рисунке 40 ABl.BC, BDLAC,
точки Ей Т — середины отрезков BD и
ВС, AD = 25 дм, ЕТ = 8 дм. Найдите BD и
2°. Даны отрезки PXQU P2Q2, P3Q3.
Постройте отрезок АВ такой, что
PjQi = P3Q*
P2Q2 АВ •
3. В треугольнике ABC медиана BD
составляет со стороной ВС угол DBC,
равный 60°. Точка пересечения медиан удалена от прямой ВС на V^ см.
а) Найдите BD.
б) Найдите АВ, если L ABD = 30°.
4*. Прямая, проходящая через середины противоположных сторон
прямоугольника, разделяет этот прямоугольник на два. Может ли
один из образовавшихся прямоугольников быть подобным данному?
217

Вариант 3
Г. На рисунке 41 L ВСА = 90°, О —
точка пересечения медиан треугольника
ABC, L СОМ = 90°, ОМ = V2 дм. Найдите
ОС и tg LOBC.
2. Постройте отрезок, равный -= данного
отрезка.
3. В трапеции ABCD L А = 90°.
Расстояние между серединами большего
основания AD и боковой стороны CD равно
VT8 см, ВС = 6 см.
а) Найдите угол CAD.
б) Найдите расстояние от точки D до прямой АС, если тангенс угла
ACD равен 2.
4*. Можно ли разрезать квадрат на два подобных не равных
прямоугольника?
Вариант 4
1°. На рисунке 42 АС±ВС, CD±MB.
Точки Е и К — середины отрезков АВ
и AM, EK= 12,5 см, DM = 9 см.
Найдите СМ и sin L МВС.
2°. Даны отрезки PXQX и P2Qi.
Постройте отрезок АВ так, чтобы
РхОх = P2Q2
P2Q2 АВ '
3. В треугольнике ABC BD —
медиана, О — точка пересечения медиан,
L BDC = 60°. Из точки О опущен
перпендикуляр ОМ к прямой АС, ОМ =
= 2V3 дм.
а) Найдите BD.
б) Найдите расстояние от точки
пересечения прямых ОМ и АВ до
вершины А, если L ABD = 30°.
4*. Можно ли разрезать прямоугольник на два подобных не равных
прямоугольника?
Рис. 42
218
№5. Окружность
Вариант 1
1°. В равностороннем треугольнике сторона равна 2V3 см. Найдите
радиус окружности, вписанной в треугольник.
2°. Около остроугольного треугольника ABC описана окружность.
Точка О пересечения серединных перпендикуляров удалена от
прямой АВ на 6 см. Найдите L ОВА и радиус окружности, если L АОС =
= 90°, L ОВС =15°.
3. В параллелограмм ABCD с углом А, равным 45°, и стороной AD,
равной 10^2" дм, вписана окружность.
а) Найдите радиус окружности.
б) Найдите с помощью микрокалькулятора сумму расстояний от
вершины D до точек касания окружности с прямыми AD и DC.
4*. Даны окружность диаметра АВ и точка О внутри нее.
Используя только линейку без делений, опустите перпендикуляр из точки О
на прямую АВ.
Вариант 2
1°. В равнобедренном треугольнике ABC L В = 120°. Радиус
окружности, описанной около треугольника, равен 2 см. Найдите сторону
АВ.
2°. В треугольник ABC с прямым углом С вписана окружность с
центром О, касающаяся сторон треугольника АВ, ВС, АС в точках М,
Т, Р соответственно. Расстояние от точки пересечения биссектрис
треугольника ABC до вершины С равно см. Найдите радиус
окружности, угол ТОР и угол ТМР.
3. Стороны АВ и CD четырехугольника ABCD, вписанного в
окружность радиуса 4 см, параллельны и имеют равные длины, L ADB =
= 60°.
а) Найдите АВ.
б) Какие значения может принимать угол МВС, если М — точка
окружности равноудалена от концов отрезка ВС?
4*. Даны два отрезка PQ и ЕТ (ET>PQ). Постройте
четырехугольник ABCD, в котором АВ - ВС = PQ, BD = ЕТ, диагонали
пересекаются в точке О и АО*ОС - BO*OD.
219

Вариант 3
1°. В треугольнике ABC L Л = 60°. Радиус окружности, вписанной в
этот треугольник, равен 1 см. Найдите расстояние от точки касания
окружности и прямой АС до вершины А.
2°. В А АВС с тупым углом ВО — точка пересечения серединных
перпендикуляров, АС = 4\/У дм, L АОС = 90°. Найдите радиус
окружности, описанной около треугольника, и L АВС.
3. В трапецию ABCD вписана окружность с центром О и радиуса
6 см, L CAD = 45°, L ACD = 90°.
а) Найдите ВС + AD, если АВ = 10^1 см.
б) Найдите OC*OD.
4*. Даны окружность диаметра АВ и точка О вне ее. Используя
только линейку без делений, опустите перпендикуляр из точки О на
прямую АВ.
Вариант 4
1°. Радиус окружности, описанной около Д ABC, V8 см, а два угла
треугольника равны по 45°. Найдите стороны Д АВС.
2°. В равнобедренном треугольнике ABC L В = 120°, О — точка
пересечения биссектрис. Окружность радиуса 2^3 см вписана в этот
треугольник и касается прямых ВС и АС в точках Du E
соответственно. Найдите ВО и BED.
3. Трапеция ABCD вписана в окружность, L А — 60°, L ABD = 90°,
CD = 4 см.
а) Найдите радиус окружности.
б) Какие значения может принимать угол ВМС, если М —
произвольная точка окружности?
4*. Даны два отрезка PQ, ЕТ и угол Я. Постройте четырехугольник
ABCD, в котором О — точка пересечения диагоналей, ВО = PQ, DO =
= ЕТ, L DOC - L Н и АО*ОС = DO*OB.
220
№ 6. Векторы
Вариант 1
1°. Начертите параллелограмм ABCD и постройте векторы ■=■ Св +
+ СЪ, ^(&А — ЙС).
2. В треугольнике АВС Вх — середина АС, М — точка пересечения
медиан.
а)0 Выразите МВХ через KfA и KtC.
б) Выразите СМ через СВ и С*А.
в) Выразите МАХ через А*В и Л£, если Л, G #С и ВАХ : АХС - 1 : 2.
г)* Используя векторы, покажите, что середина отрезка Z?Z?i лежит
на прямой ААХ, если Л, G ЯС и ЯД, : Ах С - 1 : 2.
Вариант 2
1°. Начертите два неколлинеарных вектора о" и ^ отложенных от
разных точек. Постройте векторы ?» у<?+ 2Ги ёГ = ~а — -Jf>.
2. В трапеции ABCD основания AD и #С относятся как 3:1.
Диагонали трапеции пересекаются в точке О.
а)0 Выразите А*С через ЛВ и ЛЪ.
б) Выразите /?Ь через ЛЪ и ЛЪ.
в) Выразите АЪ через itkи DM, если точки £иМ — середины
сторон АВ и ВС соответственно.
2 1
г)* Докажите, что DE < -~DA + -yDC, если точка Е — середина
стороны АВ.
221

Вариант 3
1°. Начертите треугольник ЛВС и постройте векторы /Oi + ^ifC и
UfiA-Bt).
2. В параллелограмме ABCD точка М — середина стороны ВС,
отрезки BD и AM пересекаются в точке О.
а)0 Выразите А%1 через А*В и А*Ь.
б) Выразите БЬ через В*А и /3fc.
в) Выразите (ft) через Ля и А&/, если Я — середина отрезка CD.
2 1
г)* Докажите, что OP<-~AD + -т-ЛВ, если Р — середина отрезка CD.
Вариант 4
1°. Начертите Два неколлинеарных вектора if и £ отложенных от
разных точек. Постройте векторы с = -~а + Zf и <?= ^— а.
2. Основания /JC и AD трапеции ABCD относятся как 1 : 2, Е —
середина стороны CD, О — точка пересечения диагоналей.
а)0 Выразите (ТЕ через CSC и (ft).
б) Выразите ВХ) через А*Ь и А*В.
в) Выразите СЪ через /Й? и» уЙ).
г)* Используя векторы, докажите, что точка М, делящая отрезок
АЕ в отношении 1:4, считая от точки Е, принадлежит прямой BD.
222
№ 7. Итоговое повторение
Вариант 1
1. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы А и В — прямые,
ВС = 6, AD = S, AB = 2V3.
а)0 Найдите площадь четырехугольника ABCD.
б)° Найдите углы С и D четырехугольника ABCD.
в)0 Найдите длину отрезка, соединяющего середины сторон АВ и
CD.
г)° Выясните, можно ли вписать в четырехугольник ABCD
окружность.
д)° Выясните, можно ли провести окружность через точки А, В, С,
D.
е) Выясните, подобны ли треугольники ABC и ACD.
ж) Выразите вектор С*А через векторы С*В и СЪ.
2*. Постройте отрезок, длина которого в раз больше данного
отрезка.
Вариант 2
1. В равнобедренном треугольнике ABC угол В равен 120°, точки М
и Я — середины сторон АВ и ВС соответственно, АС - 4\^Г.
а)0 Найдите площадь треугольника ABC.
б)° Найдите расстояние между серединами отрезков AM и НС.
в)0 Докажите, что треугольники ABC и М/?# подобны, и найдите
отношение их площадей.
г)° Выразите вектор ЙВ через векторы Хс и Н*В.
д)° Выясните, можно ли провести окружность через точки А, М, Н,
С.
е) Найдите синус угла НМЕ, если точка Е — основание
перпендикуляра НЕ, проведенного к прямой АС.
ж) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник МВН.
2*. Постройте отрезок, длина которого в V12 раз больше данного.
223

Вариант 3
1. На окружности с центром О и диаметром АВ, равным 4, взята
точка М, расположенная ближе к точке А, чем к точке В. Через точку
М проведена касательная к окружности, а через точки А и В — лучи,
перпендикулярные к АВ и пересекающие касательную в точках D и С
соответственно, L DCB - 60°.
а)0 Найдите углы ОСВ, ADC, ODC.
б)° Найдите отрезки AD и СВ.
в)0 Найдите площадь четырехугольника ABCD.
г)° Найдите углы четырехугольника МОВС.
д)° Докажите, что треугольники AOD и СОВ подобны.
е) Докажите, что расстояние от точки О до середины отрезка DC
равно 0,5(MD + BC).
ж) Выразите 0%f через (fb и CfC.
2*. Постройте отрезок, длина которого в vl4 раз больше данного.
Вариант 4
1. В параллелограмме ABCD L А = 45°, AD = A. На продолжении
стороны АВ отложен отрезок ВР так, что угол PDA равен 90°. Отрезки
ВС и PD пересекаются в точке Т, PT:TD = 3:1.
а)0 Докажите, что треугольники J5/T и TCD подобны, и найдите
отношение их площадей.
б)° Найдите площадь параллелограмма ABCD.
в)0 Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и TD.
г)° Выясните, можно ли провести окружность через точки А, В, Т,
D.
д)° Выразите вектор А*В через векторы С*А и 1*В.
е) Найдите синус угла CAD.
ж) Найдите градусные меры дуг, на которые точки касания делят
окружность, вписанную в треугольник ВРТ.
2*. Постройте отрезок, длина которого в v3 раз меньше данного.
224
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ
^
ВАРИАНТ 1
1. Найдите углы четырехугольника, если три угла его равны между
собой, а четвертый меньше одного из них на 40°.
2. В параллелограмме ABCD Z_C = 40°. Точка Е лежит на стороне
ВС, причем LBAE = 20°. ЕС - 2 см; АВ = 10 см. Найдите AD.
3. В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 10 см. Диагонали АС
и BD пересекаются в точке О и соответственно равны 14 см и
10 см. Найдите периметр треугольника АОВ.
4. В четырехугольнике ABCD AB = CDnAB ||С£>. LCBD = 15°.
Чему равен LBDA1
5. В параллелограмме ABCD на сторонах АВ и CD от вершин Л и С
отложены равные отрезки AF и СЕ. В четырехугольнике FBED
LBFD - 50°. Чему равен угол BED4
6. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О.
LCOD - 60°. CD = 10 см. Чему равны диагонали прямоугольника?
7. Угол между высотами ромба, проведенными из одной из его
вершин, равен 30°. Высота ромба равна 5 см. Найдите периметр
ромба.
8. В квадрате сумма расстояний от его центра до сторон равна 20 см.
Чему равен периметр квадрата?
9. В равнобедренной трапеции ABCD (AD и ВС — основания)
диагонали взаимно перпендикулярны. BE ± AD. ED = 4 см. Чему
равна высота трапеции?
10. В прямоугольном треугольнике ABC LA - 45° (LC - 90°). Е —
середина АВ. Через точку Е проведена прямая, параллельная АС,
которая пересекает ВС в точке F. EF= 10 см. Найдите ВС.
ВАРИАНТ 2
1. Найдите углы четырехугольника, если три угла его равны между
собой, а четвертый больше одного из них на 80°.
2. В параллелограмме ABCD LB = 140°. Точка F лежит на стороне
ВС, причем LADF= 70°, BF= 5 см. AD = 20 см. Найдите АВ.
3. В параллелограмме диагонали пересекаются в точке О. Сторона
ВС равна 18 см, BD= 16 см. Периметр треугольника ВОС равен
38 см. Найдите длину диагонали АС.
8 Зив Б. Г.
225

В четырехугольнике ABCD ВС-AD и ВС ^AD. L ВАС + L ACD -
- 80°. Найдите эти углы.
В параллелограмме ABCD на сторонах AD и ВС от вершин В и D
отложены равные отрезки BE и DF. В четырехугольнике AECF
диагонали пересекаются в точке О. АС+ EF- 30 см. Найдите
АО + OF.
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаюся в точке О.
LACD - 60°. J3D - 10 см. Чему равна сторона CD1
Высота ромба делит его сторону пополам. Чему равен угол между
высотами ромба, проведенными из одной из его вершин.
Периметр квадрата равен 80 см. Чему равно расстояние от его
центра до стороны?
В равнобедренной трапеции ABCD {AD и BD — основания).
Диагонали взаимно перпендикулярны. ВК ±AD, BK— 7 см. Чему
равна длина отрезка KD1
В прямоугольном треугольнике ABC {LC - 90е, LB — 45°). О —
середина АВ. Через точку О проведена прямая, параллельная АС,
которая пересекает ВС в точке К. ВС" 18 см. Найдите длину
отрезка ОК.
№ 2. Площадь
ВАРИАНТ 1
Сторона квадрата равна 4 см. На его диагонали построен новый
квадрат. Его площадь равна ...
В параллелограмме ABCD диагональ АС - 12 см, а сторона AD-
- 10 см. LCAD- 30°. Найдите площадь параллелограмма.
В параллелограмме ABCD на диагонали АС взята точка М.
Площадь треугольника ВМС равна Q. Чему равна площадь
треугольника DMC1
Основания треугольника равны, а высота одного из треугольников
в три раза больше высоты другого. Найдите отношение площадей
этих треугольников.
В треугольнике ABC AEvlBD — высоты. АС = 10, BD = 8, ВС - 16.
Найдите АЕ.
В прямоугольной трапеции ABCD {AD и ВС — основания),
LCDA - 90°. ВС - 2 см, AD - 6 см, АВ - 10 см; Z. Л - 30°.
Площадь трапеции равна ...
В прямоугольнике диагональ равна 25, а одна из сторон — 15.
Найдите катеты равновеликого ему равноберденного
прямоугольного треугольника.
8. В треугольнике ABC АВ = т, ВС = п {п > т). BD — высота
треугольника и BD - А. Найдите АС.
9. В ромбе один из углов равен 60°. Меньшая диагональ равна
Высота ромба равна ...
10. Стороны треугольника равны 7, 24 и 25. Найдите площадь
треугольника.
ВАРИАНТ 2
1. На диагонали квадрата построен новый квадрат, площадь
которого равна 8 см2. Сторона квадрата равна...
2. В параллелограмме ABCD диагональ АС = 10 см, а расстояние от
вершины В до этой диагонали в два раза меньше ее длины.
Найдите площадь параллелограмма.
3. В параллелограмме ABCD на продолжении диагонали BD за точку
D взята точка Р. Площадь треугольника ADP равна S. Чему равна
площадь треугольника CDP1
4. Высоты треугольников равны, а основание одного из них в два
раза меньше другого. Найдите отношение площадей этих
треугольников.
5. В треугольнике ABC BD и CF — высоты. BD - 12, CF= 10; АС -
= 5. Найдите АВ.
6. В прямоугольной трапеции {AD и ВС — основания) LCD A - 90°.
LA - 45°; ВС = 2; CD - 6. Площадь трапеции равна...
7. В прямоугольнике расстояния от точки пересечения диагоналей
до вершин и до одной из его сторон соответственно равны 6,5 и 6.
Найдите сторону равновеликого ему квадрата.
8. В прямоугольном треугольнике ABC {LC** 90°). Точка D
принадлежит стороне ВС, АВ-а; AD - Ь; АС = т. Найдите BD.
9. В ромбе один из углов равен 60°. Высота ромба равна V3. Найдите
длину меньшей диагонали.
10. Сторона треугольника равна 8, 15 и 17. Найдите площадь
треугольника.
N9 3. Подоб^
ВАРИАНТ 1
АВ 3
1. В треугольнике ABC -j^ — -=. AD — биссектриса угла . Площадь
треугольника ABD равна 9 см2. Площадь треугольника ACD
равна...
227

АВ 2
2. В треугольниках ABC и MPL LA = LM;LC=LL, -^ - ^; АС =
= 10 см. Сторона ML равна...
3. В треугольнике ABC на сторонах АВ и ВС взяты соответственно
точки Е и F; Ц = ^|, Z5FJS - 40°. Чему равен угол А1
„ АВ ВС АС 5 „
4. В треугольниках ABC и АХВХСХ -j-s- - ~в~с~ ~ А~С~ ~ 2~ иумма
площадей этих треугольников равна 58 см2. Найдите площадь
каждого треугольника.
5. В треугольнике ABC медианы АЕ и BF пересекаются в точке О.
Площадь треугольника ABC равна 12 см2. Найдите площадь
треугольника АВО.
6. Площадь треугольника ABC равна 12 см2. DE — средняя линия
(D G АВ; Е G ВС). Найдите площадь трапеции ADEC.
7. СК — высота прямоугольного треугольника ABC (/LC = 90е),
— = 4. Как относятся площади треугольников АКС и ВКС1
ВС 4
8. В равнобедренном треугольнике ABC АВ = ВС, BD ± AC, BD = 12;
АС = 10. Найдите: cosZ. А и sinZ.ABD.
9. В ромбе ABCD LA = a;AC = d. Найдите сторону ромба.
10. Диагонали параллелограмма равны тип, угол между ними равен
60°. Найдите площадь параллелограмма.
ВАРИАНТ 2
1. В треугольнике ABC BM — биссектриса. Площади треугольников
АВМ и СВМ относятся как 1:3; АВ = 4 см. Сторона равна...
ЕР 2
2. В треугольниках EPF и CDK LP = LD и LF = LK. — = -g,
DK = 10 см. Сторона PF равна...
3. В треугольнике ABC на сторонах АВ и ВС взяты соответственно
точки D и К, Щ = ^§; Z. ЯСМ - 50°. Чему равен угол 1НЖ?
. «^ л п г, ЛВ ВС _ AC SABC _
4. В треугольниках ABC и ДЯ.С, _ = ^ - -^ ^-^- -
о
= -72-. ЛС + Л,Л, = 14 см. Найдите эти стороны.
16
5. В треугольнике ЛЯС медианы ВК и CD пересекаются в точке О.
Площадь треугольника СОК равна 30 см2. Найдите площадь
треугольника ABC.
228
6. EF — средняя линия треугольника ABC (E G АВ; F G АС).
Площадь трапеции EBCF равна 9 см2. Найдите площадь треугольника
ABC.
7. CD — высота прямоугольного треугольника ABC (Z.C = 90°).
Sadc 25 v _
= itf. Как относятся катеты АС и C/J?
Sci^i^i 36
8. В равнобедренном треугольнике ABC AB = ВС, BD ± АС, АВ =
= 25, АС = 48. Найдите: sin LA и cos LABD.
9. В ромбе ABCD LA-а; сторона ромба равна а. Найдите диагональ
АС.
10. Диагонали параллелограмма равны d\ и йг, угол между ними
равен 45°. Найдите площадь параллелограмма.
№ 4. Окружность
вариант 1
1. В прямоугольном треугольнике ABC (L С = 90°) LB = 60°, ВС =
= v3 с центром в точке А проведена окружность, радиус которой
равен 2,7. Сколько общих точек имеет эта окружность с прямой
ВС1
2. Дана окружность с центром в точке О. Радиус окружности равен
5 см. Прямая / касается окружности в точке А. На касательной от
точки А отложен отрезок АВ, равный 12 см. Отрезок ОВ
пересекает окружность в точке К. Отрезок KB равен...
3. Из точки М к окружности с центром в точке О проведены две
касательные МА и MB (А и В — точки касания). Радиус окружности
равен 2^3 , LAMB = 60°. Расстояние между точками касания
АВ равно...
4. Вписанный в окружность угол ВАС, равный 45°, опирается на
дугу ВС. Радиус окружности равен а. Найдите площадь
треугольника ВОС (О — центр окружности).
5. АВ — хорда окружности. Прямая / касается окружности в точке
А. На прямой / выбрана точка М такая, что L МАВ — тупой.
Вписанный в окружность угол АС В опирается на дугу АВ и равен 20°.
Чему равен угол МАВ?
6. Из точки С, принадлежащей окружности, на диаметр АВ опущен
перпендикуляр СК. АК = 2; СК = 4. Чему равен отрезок KB?
7. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12. Радиус
вписанной в треугольник окружности равен...
229

8. В прямоугольную трапецию ABCD вписана окружность (AD и
ВС — основания). CD I AD. L Л-30е. CD- 10 см. Периметр
трапеции равен...
9. В прямоугольном треугольнике ABC (Z. C-90°)Z.A-a, ВС»а.
Найдите радиус описанной вокруг треугольника окружности.
10. Вокруг трапеции описана окружность. Один из ее углов равен 40°.
Остальные углы трапеции равны...
ВАРИАНТ 2
1. В прямоугольном треугольнике ABC (L С - 90°) LA - 30°, АС -
= 2^3\ С центром в точке В проведена окружность, радиус
которой равен 2,2. Сколько общих точек имеет эта окружность с
прямой АС1
2. Прямая / касается окружности с центром в точке О. Радиус
окружности равен 8 см. На касательной от точки Р отложен отрезок
РМ. Отрезок ОМ пересекает окружность в точке F. FM - 9 см.
Отрезок РМ равен...
3. Из точки Р к окружности с центром в точке О проведены
касательные РА и РВ (А и В — точки касания) LAPB - 90°.
Расстояние между точками касания АВ равно v5. Чему равно расстояние
ОР?
4. В окружность с центром в точке О вписан угол ВАС, равный 30°.
ВС - а. Найдите площадь треугольника ВОС.
5. РК — хорда окружности. Прямая т касается окружности в точке
Р. На прямой т выбрана точка F такая, что L FPK- 160°. Угол
PDK вписан в окружность и опирается на дугу РК. Чему равен
угол PDK1
6. Из точки Р, принадлежащей окружности, на диаметр EF опущен
перпендикуляр РК. ЕК = 4; KF-* 9. Чему равен отрезок РК?
7. Стороны треугольника равны 13, 13 и 24. Радиус вписанной в
треугольник окружности равен...
8. В прямоугольную трапецию ABCD вписана окружность (AD и ВС
— основания), CD ± AD, Z.A- 30°. Периметр трапеции равен
24 см. Чему равны стороны АВ и CD?
9. В прямоугольном треугольнике ABC (Z. С-90°) ZJ3-/3. АС" Ъ.
Найдите радиус описанной вокруг треугольника окружности.
10. Вокруг трапеции описана окружность. Один из углов трапеции
равен 160°. Остальные углы трапеции равны...
№ 5. Векто1Ы
ВАРИАНТ 1
1. В параллелограмме ABCD диагонали АС и BD пересекаются в
точке О. М G AD.
1)_,Какие_из указанных век^оров_коллинеарны:
AM и ВС; АВ и MD; АО иСА?
2^ Какие неуказанных, векторов равны:
АВ и CD; ВО u OD; АС и §р? ^ ^ ^
2. Найдите сумму векторов: АВ + CD +_B[C + JDA.
3. Выразите вектор FK через векторы EJF и ЩС. _^
4. При каких к в^рно равенство: АВ + ВС + CD - k(DE + ЁА)?
5. Векторы д * 0 и ZT* 0 неколлинеарны. Найдите х и у из
равенства: 3 ct + 5#= ха + <2у + 1)£
АК 1
6. В параллелограмме ABCD К G AD, причем -=== = -~,Р — середина
АВ. Выразите вектор ВК через векторы ВР и ВС.
1. В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C =90°); AS-10, С А +
+ СВ = 2СМ. Найдите \ СМ \. ^ _^ _^ _^
8. Из точки О выхддят два вектора О А -аи ОВ - Ь. Найдите какой-
нибудь вектор ОМ, идущий по биссектрисе угла АОВ.
9. В трапеции^АЯСЯ (В£ и Ар — основания) EF — средняя линия.
Выразите EF через ВС и DA.
10. В равнобедренную трапецию с углом 30° вписана окружность.
Средняя линия трапеции равна 12. Чему равен радиус вписанной
окружности?
ВАРИАНТ 2
1. В параллелограмме ABCD диагонали АС и BD пересекаются в
точке О, Е G АВ.
Ц Какие из^указднных векторов коллинеарны:
BE и CD; AD и BE; OD и DB?
2^ Какие из^указднны^с векторов равны:
AD и ВС; ОА и ОС; АВ и Ар! _^ ^ ^
2. Найдите сумму векторов: CD + FK+J)F + КС.
3. Выразите вектор КМ через векторы ЦМ и РК.
4. При каких к щерно равенство: РК + КЕ + ЕС - k (АР - АС)?
5. Векторы д * 0 и ZT* 0 неколлинеарны. Найдите х и у из
равенства: (2х - 6) а + 3?» 2а + (у - 3) Ж.
231

6. В параллелограмме ABCD E G ВС, причем -=^ — -r\ F —
середина АВ. Выразите вектор АЕ через векторы AF и AD.
7. В параллелограмме ABCD BD= 14; 2BF = BA + BC. Найдите
8. Из точки О выходят два вектора О А = m и OJ3 = jf. Найдите
какой-нибудь вектор ОМ, идущий по биссектрисе угла,
вертикального с углом АОВ.
9. В трапеции ABCD {ВС и AD — основания) РК — средняя
линия. Выразите вектор РК через векторы СВ и AD.
10. В равнобедренную трапецию с углом 90° вписана окружность с
радиусом, равным 6 см. Чему равна средняя линия трапеции?
232
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К ЗАДАЧАМ ДЛЯ УРОКА
1. 2. 140°.
2. 2. 5.
3. 1. Периметры равны.
4. 1. Периметры равны.
5. 1. Периметры равны. 2. г- — к, откуда 2 + = к. Значит, п — 2 -
П — L П — L
— 1 или п — 2-2. Учитывая нечетность к, получаем к - 3.
6. 1. Периметры равны.
2. Задача решается аналогично задаче 5 (2). Ответ, к-2.
7. 1. Нет, не существует. Можно доказать, что число диагоналей п-угольника
равно . Тогда п(п — 3) - 2x5x5, чего быть не может.
2. Можно доказать, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника,
взятых по одному при каждой веррине, равна 360°. Тогда такой многоугольник может
иметь не более двух внешних углов, больших 170°. Это означает, что острых углов
с градусной мерой, меньшей 10°, может быть не более двух. Случай наличия двух
таких углов реализуется для треугольника с углами 1°, 2°, 177°.
8. 1. Задача решается аналогично задаче 7 (1). Ответ. Существует, девяти-
угольник имеет 27 диагоналей. 2. п - 6.
§2.
1. 1. 28 см. 2. 30°, 150°. 3. 2. 60°, 120°; ВМ-АН.
2. 1. 10 см. 2. 45°, 135°. 4. 2. 60°, 120°; АМ-СК.
5. 1. Докажите сначала, что ОК-ОМ.
2. В четырехугольнике МОНС LMOH- 155°, LOHC-%5\ L ОМС -90°.
Значит, /.С-30°. Тогда MD-0.5CD и MD-0,5АВ. Углы параллелограмма равны
30° и 150°.
6. Задачи решаются аналогично задачам 5 (1, 2).
2. Углы параллелограмма равны 60° и 120°.
7. 1. Последовательно доказываем, что Д ВОЕ - Д KOD, Д ВКО - Д OED, ED\\BK,
ED - ВК, Д ВКЕ - Д BED, L ВКЕ - LBDE, L КЕВ - L DBE. Значит, ОВ - ОЕ.
2. В параллелограммах ADEN и KDEB АН-DE и KB - DE. Значит, АН -
-КВ. Следовательно, АК-НВ.
8. 1. Задача решается аналогично задаче 7 (1), L КВЕ- 90°.
2. Докажите сначала, что ЕК - BD - MP.
233

§3.
5. 1. Докажите, что LMBK-&KCE, АМЕС — параллелограмм и МК-КЕ.
2. Докажите, что четырехугольники АВМК и MKDC являются
параллелограммами.
6. Задачи решаются аналогично задачам варианта 5 (1, 2).
7. 1. Докажем последовательно, что &BPK-AMED, BC\\AD, ВС-AD, ABCD
— параллелограмм.
2. Отметим на отрезке ОС точку Е так, что АО - ОЕ. Тогда четырехугольник
ABED будет параллелограммом. Используя теорему о внешнем угле треугольника,
докажем, что L BED>L BCD. Значит, L BAD> L BCD.
8. Задачи решаются аналогично задачам 7 (1,2). В задаче 2 доказательство
приведите методом от противного.
§4.
1. 1. 60°, 120% 50°, 130е. 2. 20 см.
2. 1. 60°, 120°, 40°, 140°. 2. 10 см.
3. 1. 40°, 140е. 2. 1 : 2.
4. 1. 60°, 120°. 2. 1:2.
5. 1. AE-AD — ED-AD — 0,5(AD — ВС) -0,5(AD + ВС).
2. Пусть дана трапеция ABCD, в которой L А - 90°, AD — большее основание,
диагонали пересекаются в точке О, L ABD - 60°, L AOD - 90°. Тогда L ADO -
= L СВО - 30°, AD - 2АО, ВС - 2СО. Значит, AC- j(BC + AD).
6. 1. Проведем через точку О — точку пересечения диагоналей трапеции,
перпендикуляры ОК. и ОМ к прямым ВС и AD соответственно. Тогда ОК-0,5ВС
и ОМ - 0,5A D, так как треугольники БОС и AOD равнобедренные и прямоугольные.
Значит, KM-0MAD + BC).
2. Продлите большее основание до пересечения с лучом.
7. 1. Пусть в трапеции ABCD AD — большее основание. Через вершину В
проведем прямую, параллельную CD, пересекающую AD в точке Е.
Тогда АЕ<АВ + BE. Значит, АВ + CD>AD — ВС.
2. Пусть в трапеции ABCD с основаниями AD и ВС О — точка, равноудаленная
от всех сторон. Проведем перпендикуляры ОК, ОМ, ОР, ОЕ к прямым ВС, CD,
AD, ВА соответственно. Из равенства треугольников следует, что КС - МС. Аналогично
MD-PD, АР-АЕ, ВЕ-ВК. Значит, BC + AD-AB + CD.
8. 1. Пусть в трапеции ABCD AD — большее основание. На продолжении отрезка
AD за вершину D отметим точку Е так, чтобы
прямые BD и СЕ были параллельны. Тогда
g С АС + СЕ>АЕ. Значит, АС + BD>AD + ВС.
2. На рисунке 43 ABCD — трапеция. Точка
О равноудалена от вершин трапеции. По теореме
о сумме углов многоугольника Z.1 + Z.2 + /.3 +
+ Z.4+Z.5 + Z.6 + Z.7 + Z.8-360°. Но L 1 -
* Z. 7, Z.2-Z.3, /L 4 - Z. 5, Z.6-Z.8. Значит,
Z. 1 +Z. 2+Z. 5 +/.6-180°, т.е. Z.BCD +
+ L BAD - 180°. Аналогично L ABC + L ADC -
- 180".
Рис. 43
234
§5.
5. 1. Один из треугольников, на которые данная диагональ разделяет искомый
параллелограмм, строится по двум сторонам и высоте, проведенной к одной из них.
Затем построенный треугольник достраивается до параллелограмма.
2. Пусть требуется построить равнобедренную трапецию ABCD с большим
основанием AD по отрезку АС, углу BAD и перпендикуляру АК, проведенному к
прямой ВС. Сначала строим треугольник АКС по катету и гипотенузе, затем проводим
прямую AD параллельно прямой КС и на отрезке КС отмечаем точку В так, что
L BAD равен данному. Далее треугольник ABC достраиваем до трапеции.
6. 1. Пусть требуется построить параллелограмм ABCD, в котором О — точка
пересечения диагоналей. Треугольник АОВ строится по двум сторонам и высоте,
проведенной к одной из них. Затем этот треугольник достраивается до
параллелограмма.
7. 1. Один из треугольников, на которые данная диагональ разделяет
параллелограмм, строится по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. Затем
этот треугольник достраивается до параллелограмма.
2. Пусть следует построить трапецию ABCD с большим основанием AD, в
которой О — точка пересечения диагоналей, по отрезкам AC, BD, CD и углу AOD.
Рассмотрим треугольник САЕ, где EG. AD, CE\\BD. В этом треугольнике BD-CE,
L АСЕ — L AOD. Значит, треугольник САЕ можно построить по двум сторонам и
углу между ними. Точку D можно получить, проведя окружность с центром в
вершине С и радиуса CD. Далее треугольник ACD достраивается до трапеции.
8. 1. Задача решается аналогично задаче 7 (1).
2. В задаче выполняется дополнительное построение, аналогичное построению
в задаче 7 (1) из §4.
|6.
1. 1. 140°. 2. 1. 75°. 3. 1. 5 см. 2. 90°. 4. 1. 60°. 2. 90°.
5. 1. 2KE — KD. Значит, L ADB-30° и треугольник АВО равносторонний, О —
точка пересечения диагоналей прямоугольника, АР —0,5AM. Значит, АР —0,25АО,
АР: PC- 1 : 7.
2. Из условия задачи следует, что МК — -~АС, АР — -тАС. Отметим на отрезке
АС точку Е так, чтобы ЕС - АР. Тогда РЕ - МК и Д АРМ - Д ЕКС. Значит,
четырехугольник РМКЕ — параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно
равны. Но РК — ME из равенства треугольников АМЕ и СРК. Следовательно, РМКЕ
— прямоугольник и L РМК — 90°.
6. 1. ВО: РН— 1 : 4. 2. 90°. Задачи решаются аналогично задачам 5 (1, 2).
7. 1. Пусть О — точка пересечения диагоналей данного прямоугольника. Тогда
L ACD - 75°, L DEC - 90°, L EOD - 30°, ED - \&D - \bD, BE<ED + BD- 5ED.
2. 4
2. Пусть окружность пересекает прямую BD в точке Р. Тогда четырехугольник
АЕСР является прямоугольником, L АЕС — 90°. С помощью свойства внешнего угла
треугольника можно доказать, что L ABC - L АЕС + L ВАЕ- 150°.
Значит, L BAD — 30°. Искомое расстояние равно 5 см.
235

8. 1. £.МКЕ-\5°. Значит, МЕ-ЕК и MT-
- ТК. Следовательно, РТ>0,5КН>0,49КН.
2. Задача решается аналогично задаче 7 (2),
НВ- 10 см.
§7.
1. 1. 15°30', 74°30\ 90°.
2. I. 90°, 73°30\ 147°.
3. I. 90°. 2. За.
4. 1. 90°. 2. 2а.
5. 1. Докажите, что диагональ АС составляет
со стороной ромба угол в 30°, L АОВ— 120°.
2. Треугольники AKD и MCD равны.
Значит, L MDK + L AKD - 90°. Но L AOD - L. AKD +
+ Z.MDK по свойству внешнего угла треугольника
OKD. Значит, L AOD - 90°, L АМО - 60°.
6. Задачи решаются аналогично задачам 5 (1,2). О т в е т: 1. а. 2. МР — АК.
7. 1. На рисунке 44 изображены ромбы, данные в условии задачи, CM — MD.
Следует доказать, что угол MPD\ прямой. Проведем МК±ОС, ME1.0D. Так как
Д СКМ - Д MED, то ME - OK - СК и L МСО - L МОС. Значит, L POD\ - L ОСМ.
Тогда L POD\ + LPDxO- 90°, LPDxO- LODC и OP±AiD\.
2. Пусть ME, CO, PD — перпендикуляры к прямой АВ. Тогда можно доказать,
что Д МАЕ - Д АОС и Д ВОС - Д BPD, причем ME - АО, PD - ВО.
8. 1. Пусть 01 — точка пересечения диагоналей ромба AB\C\D\. Тогда
четырехугольник АОЕОх является квадратом и прямая ООх содержит отрезок РО. Точки
А и Е являются концами другой диагонали квадрата. Значит, РА - РЕ.
2. Пусть прямые ТС и АВ пересекаются в точке О. Обозначим L МТС — а.
Тогда L TCP — a-L АСО. Треугольники АСВ и МСТ равны по двум катетам. Значит,
L. ОВС - a; L ОСВ - 90" — а. Поэтому L СОВ - 90°.
90°
5. 2. Сначала постройте треугольник ABE по L ABE - 90°, L ВАЕ - —г- и стороне
АЕ, а затем достройте этот треугольник до квадрата.
6. 2. Сначала постройте треугольник BMD по углу MBD, углу BMD, равному
180° — LMBD—45° и стороне BM-PQ. А затем достройте этот треугольник до
квадрата.
7. 1. Пусть требуется построить прямоугольник ABCD по диагонали АС и
периметру Р. На продолжении стороны ВС за вершину В отметим точку М так,
чтобы выполнялось равенство АВ-МВ. Тогда треугольник АМС можно построить
по стороне МС, равной -=Р, стороне АС и углу М, равному 45°. Затем треугольник
АМС достраивается до прямоугольника.
2. Пусть требуется построить квадрат ABCD. На диагонали BD возьмем точку
90°
М так, чтобы MD - AD. Тогда в треугольнике ВМА ВМ - BD — AD, L ABD - —,
L ВМА - -гх90°. Сначала построим треугольник ВМА, а затем достроим его до
4
квадрата.
236
8. 1. Пусть требуется построить ромб ABCD с точкой пересечения диагоналей
О, в котором АС — меньшая диагональ. На отрезке ОВ возьмем точку М так, чтобы
а ДА) АС^
ОМ - ОС. Тогда L ВМС - ^х90°, ВМ - 2 "*~ . Значит, сначала можно построить
треугольник ВМС, а затем достроить его до ромба.
2. Пусть требуется построить квадрат ABCD. Продлим отрезок АС за вершину
А и отложим на продолжении отрезок АЕ — AD. Треугольник ECD можно построить
90° 90°
по стороне ЕС, равной АС + AD, LE- ——, L ECD-^-. Затем достроим этот
треугольник до квадрата.
1. 1. (a + b+c)U + f)—г+-х-. Предполагается, что площадь выреза в
виде
прямоугольного треугольника вычисляется достраиванием этого треугольника до
прямоугольника. 2. 6 см.
2. bd
2. 1. Г + (о + b + c)l — -=-. Площадь выреза в виде прямоугольного треугольника
вычисляется достраиванием до прямоугольника. 2. 16 см.
3. 2. 100 см2. 4. 2. 60 см2.
5. 1. Достройте каждый из треугольников ADE и BDE до прямоугольника.
2. Проведите прямые, параллельные диагонали ромба и проходящие через его
вершины.
6. Задачи решаются аналогично задачам 5 (1, 2).
7. 1. Пусть в треугольнике ABC ВМ — медиана. Если ВА-ВС, то решение
задачи очевидно. Пусть АВ>ВС. Проведем через точку М прямую МР\\АВ (рис. 45)
и перпендикуляры МТ, СЕ, ВР. Тогда Д ТВМ - Д ВРМ, Д ATM - Д МСЕ, Д ЕКС -
= Д ВКР, откуда получаем, что площади треугольников АВМ и ВМС равны.
2. Из треугольника BCD находим L CBD - 45°. Так как L ABC - 135°, то
L ABD — 90°. Значит, параллелограмм АВРК является прямоугольником, Z. ADB -
- 45°. Следовательно, АВ - BD и АВ : ВР -2:3. Зная периметр прямоугольника
АВРК, находим, что его площадь равна 54 см .
8. 1. Дополнительное построение показано на рисунке 46. Пользуясь полученным
чертежом, можно доказать, что площадь треугольника AD\ С равна половине площади
прямоугольника АРЕС, а площадь
треугольника ABC равна половине площади
прямоугольника АТКС. Но площади
прямоугольников ЛТКС и АРЕС относятся как 1 : 2.
2. Задача решается аналогично задаче
7 (2). О т в е т. 30 см.
§10.
1. 1. 20 см2.
2. 1. 77 см2.
3. 1. 45°, 135°.
2. Площадь прямоугольника больше
площади параллелограмма.
4. 1. 30°, 150°.
2. Площадь квадрата больше площади
параллелограмма.
Р
237

01
j у
/ п
г г
в\
D
Рис. 46
с другой
МР*а, откуда получаем, что РМ-—.
5. 1. Находим, что углы параллелограмма
равны 45° и 135°. Отсюда его площадь равна
20 см2.
2. Saemh ■ Sbpmk - АЕ : ВК,
Sbpmk '. Stmoc — РВ:ОС. Перемножая
записанные равенства и учитывая, что АЕ - ОС,
получаем то, что требуется доказать.
6. 1. L MDB-2L MBD- 15°. Значит,
острый угол ромба равен 30°, а его высота 10 см.
Находим, что сторона ромба равна 20 см.
О т в е т. 200 см2.
2. Sam от' Sm вно - ОТ : ОН -
— Stopd '• Sohcp, откуда получаем то, что
требуется доказать.
7. 1. Пусть дан треугольник РМК, в котором
Z.P-90", РМ<РК. Проведем дополнительное
построение параллелограмма КТЕМ, как
показано на рисунке 47. Тогда площадь этого
параллелограмма, с одной стороны, равна be, a
be
2. Площадь параллелограмма ABCD равна площади параллелограмма AMKD,
так как эти параллелограммы имеют общее основание AD и равные высоты.
Аналогично равны площади параллелограммов AMKD и EPKD. Тогда равны и площади
параллелограммов ABCD и EPKD. Четырехугольник EMCD общий для этих
параллелограммов. Отсюда можно доказать, что Sabmea — Sdkpmc-
8. 1. Пусть дана прямоугольная трапеция МРКЕ, в которой LM — 90°, MP - b,
РК-с, КЕ-а. Проведем РТ^КЕ, Р01.КЕ, как показано на рисунке 48. Тогда
площадь параллелограмма ТРКЕ, с одной стороны, равна РО*а, а с другой — Ь*с.
be
Значит, РО — —. 2. Задача решается аналогично задаче 7 (2).
§1Ь
1. 1. 24 cmz. 2. 8 см"6.
2. 1. 25 см2. 2. 6 см2.
3. 1. 1 : 2. 2. 6 см2.
2
4. 1. Площади равны. 2. 12 см .
5. 1. Докажите, что сумма высот этих треугольников, проведенных к
противоположным сторонам параллелограмма, равна его высоте.
2. Пусть МС - х. Тогда, выражая площадь треугольника АСВ различными
.. 6x^14* ._ 21
способами, получаем уравнение -т- + —— — 42, откуда находим х — — см.
6. 1. Задача решается аналогично задаче 5 (1).
2. Площадь треугольника COD равна 16 см . Далее можно доказать, что
площади треугольников АОВ и COD равны.
7. 1. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О и
L АОВ — 30°. Проведем перпендикуляры ВК и DE к прямой АС. Тогда площадь
238
Рис. 47
Рис. 48
ВК*АС . РЕ*АС l.„ iDV^ __
четырехугольника равна —г— + — —АС (ВК + DE)
АС*ВР
4
■и*
ВО + ±OD\
-24 смг.
1
2. Semh --zSebc
К1к S
8. 1. Пусть в треугольнике ABC О — точка пересечения биссектрис. Можно
доказать, что точка О удалена от каждой из сторон треугольника на 1,5 см. Тогда
2
Sabc
\,5АВ \,5ВС \,5АС 1,5..и . пг . .„, 1,5 v ,, .. ,
2 12 2
2. Samp : S- (АМ*АР) : (АВхАС) ~ЧХЧХЪ- Значит, 5ла/р - д. Аналогично
2 5
Spks-^:S, откуда искомая площадь равна •gS.
•12.
1. 4 см. 2. 54 cmz.
1. 5 см. 2. 72 см2.
1. 13,5 см2. 2. 54 см2
2 о ,0 2
1. 24 см\ 2. 18 см'
1. Из точки О опустим перпендикуляры ОР, ОК, ОМ на стороны AD, CD,
ВС соответственно. Можно доказать, что ОР-ОК-ОМ. Из треугольника OKD
находим ОК — 0,5а. Тогда площадь трапеции будет равна 0,5а(Ь + с).
2. Можно доказать, что площади треугольников МРН и РНК равны. Тогда
площадь трапеции равна 5i + Sz-
6. 1. AM-АН, так как АВ±МН и МВ-ВН; НА±МК, так как МН-НК и
АМ-АК. Значит, отрезок НА является высотой трапеции и равен -rtz. Площадь
трапеции равна -та (а + Ь).
2. Проведем диагональ АС трапеции ABCD. Тогда Sabc-Si, Sacd-S2-
Площадь трапеции равна Si + S2.
239

7. 1. Можно доказать, что точка О равноудалена от всех вершин трапеции. Тогда
из задачи 1 варианта 8 § 4 следует, что L А - 30°. Площадь трапеции будет равна
\а(Ь+с).
2. Проведем через точку О прямую, параллельную МК, пересекающую отрезки
МН и РК в точках Е и Т соответственно. Можно доказать, что АЕ\\РК, ВТ\\МН.
Таким образом, трапеция разбивается на 8 треугольников, равных треугольнику НОР.
Следовательно, площадь трапеции равна 40 см .
8. 1. Можно доказать, что точка О равноудалена от всех сторон трапеции. Тогда
из задачи 2 варианта 7 § 4 вытекает, что РК + МН-Ь+ с. Площадь трапеции будет
равна —а (Ь + с).
2. Можно доказать, что площади треугольников АОВ и COD равны. Тогда
Saob : Sboc - Saod : Sdoc, откуда получаем Saob - Scod - Saod * Sboc - 100.
О т в е т. 45 см2.
§13.
1. 1. 50 см2. 2. 90°, 60°, 30°.
2. I. 162 см2. 2. 90°, 45°, 45°.
3. 1. 216 см2. 2. 105°.
4. 1. 99 см2. 2. 75°. ,__^__r
5. 1. Высота трапеции равна V 26z — 24^ - 10 см. Так как диагонали трапеции
взаимно перпендикулярны, то полусумма ее оснований равна высоте (см. задачу
6 (1) из §4.) Значит, площадь трапеции равна 100 см .
2. Пусть в трапеции ABCD АВ-9 см, ВС- 15 см, DC- 12 см, AD-30 см.
Проведем прямую BE\\CD (EG. AD). Тогда можно доказать, что ЕВ = CD — 12 см.
ED — ВС, АЕ — 15 см. Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, устанавливаем,
что L ABE - 90°. Значит, искомый угол прямой.
6. 1. Задача решается с использованием задачи 5 (1) из § 4. Площадь трапеции
равна 300 см .
2. Пусть в трапеции ABCD AD- 10 см, ВС-3 см, АС-5 cm, BD- 12 см.
Через вершину С проведем прямую, пересекающую луч AD в точке Е и параллельную
BD. Тогда можно доказать, что СЕ « BD, DE - ВС. По теореме, обратной теореме
Пифагора, устанавливаем, что L АСЕ - 90°. Значит, искомый угол также прямой.
7. 1. ВС2 — СН2 - АВ2 — АН2, ВС2 - СН2 + АВ2 — АН2 - АС2 — АН2 + АВ2 —
— АН2 - АС2 + АВ2 — 2ЛС*ЛН.
2. Пусть в треугольнике МЕР большая сторона равна с, ME - а, ЕР - Ь.
Докажите методом от противного, что треугольник МЕР тупоугольный. В самом
деле, треугольник МЕР не может быть прямоугольным, так как это противоречило
бы обратной теореме Пифагора. Если предположить, что треугольник МЕР
остроугольный, то по утверждению задачи 1 данного варианта МР^кМЕ^ + ЕР2, что
противоречит тому, что с >а +Ь . Значит, треугольник МЕР тупоугольный.
8. Задачи решаются аналогично задачам 7 (1, 2).
§14.
1. 1. 9,5 см2. 2. 114 см2.
2. 1. 6 см2. 2. 126 см2.
3. 1. Следует доказать, что треугольники DEC, ABE, APE прямоугольные.
Площадь многоугольника равна 42 см . 2. 5VT0 см .
240
4. 1. Задача решается аналогично задаче 1 варианта 3. О т в е т. 42 см2.
2. 4,8 см.
5. 1. Третий угол треугольника равен 30". Пусть меньшая высота равна х. Можно
доказать, что большая сторона равна xWJ + 1). Составляем уравнение —— --
= V3" + 1, откуда х - V2.
2. Следует доказать, что острый угол ромба равен 60°. Ответ. 2V3" см2.
6. 1. Задача решается аналогично задаче 5 (1). О т в е т. 5(\f3~ —1).
2. Пусть дан параллелограмм ABCD с площадью, равной 78 см2. BE и ВК —
высоты, проведенные к сторонам AD и ВС соответственно, BE - 6 см, ВК - 7,8 см.
Используя формулу площади параллелограмма, находим AD- 13 см, CD- 10 см. Из
треугольника ABE AE-8 см, тогда ED-S см, и из треугольника BED получаем
BD-VET см.
7. 1. На рисунке 49 изображена трапеция МРКЕ, о которой говорится в условии
задачи. Так как О — точка пересечения медиан треугольника АРК, то РТ-АТ и
Д МТА - Д РТК. Следовательно, РК - а. Далее площадь равнобедренной трапеции
3 2
МРКЕ легко найти. Ответ. —,a V3.
4
2. Пусть в треугольнике ABC АВ - ВС, М и К — середины сторон АС и ВС
соответственно, ВМ - МК -12 см. Проведем КР±ВМ, КЕ±АС, PGBM, E G. МС.
Тогда Р — середина ВМ, т.е. ВК - КМ. Следовательно, L МВК - 60°. Площадь
треугольника ABC равна 144V3" см2.
8. 1. На рисунке 50 изображена трапеция, о которой говорится в условии задачи.
Так как О — точка пересечения высот треугольника ВМС, то АСХ.ВМ. Значит,
AT — ТС. Далее, Д ATM - Д ВТС. Следовательно, AM -a- MD. Площадь равнобед-
ЛП™ е. 3aVj
реннои трапеции ABCD будет равна —т—.
2. Пусть в параллелограмме ABCD L ABD- 90°, L ADB-\5°, AD -12 см.
Отметим на диагонали BD точку К так, что L ВАК -60°. Тогда LAKB- 30°,
L KAD- 15°. Пусть ВА- х. Получим AK-KD-2x,BK-зЫ~Ъ, BD-хЫЪ + 2), AD2
- АВ2 + BD2. Тогда х2 + х2 (V5 + 2)2 - 144, откуда х2 - j~^J- Площадь
параллелограмма равна АВ х BD -х2^ + 2), или 36 см2.
§15.
1. 1. 6,25 см. 2. 10 см, 4^ см, 5? см.
7 7
2 1
2. 1. 5 дм. 2. 12 см, 6— см, 5^ см.
3. 1. 60 см. 2. 62,4 см.
241

4. 1. 30 см. 2.. 90 мм.
5. 2. 84 мм. Докажите, что СЕ — биссектриса угла С. 6. 2. 36 дм. Докажите,
что ВР — биссектриса угла В.
7. 1. Пусть BD\ — биссектриса угла ABC. Тогда ■-—= ■ -=^. По условию "HF* яс
°™»»&Ш- %*1>ш*1- fem Тогаа ос<лс и ' ABD>L DBC-
2. 16 см. Продолжим сторону ВС за точку В на отрезок ЯД равный АВ.
Пусть биссектриса внешнего угла при вершине В пересекает продолжение стороны
АС в точке Е. Легко доказать, что AE-DE и что ЕВ — биссектриса угла DEC.
ВС ЕА + АС
Тогда -z-z ш =^—• Отсюда можно получить АБ- 16 см.
«, « », AD AB „_,
8. 1. Если предположить, что Тэг"* "яг* т0 тогда можно доказать, что BD —
AD AB
биссектриса угла ABC. Если же 75^ яё' т0 L ABD<L DBC (см. задачу 1 варианта
7 § 15). В том и другом случае мы получаем результат, который противоречит
ADAB
условию. Поэтому 75г яг"
з
2. 87ту см (см. задачу 7 (2)).
§16.
1. 1. 30. 2. 2,5 см.
2. 1. L Т- 20е, L К- 40е, LP-LM- 120°. 2. 50 см2.
3. 1. 15. 2. 80 см2, 180 см2.
4. 1. 5^ см. 2. 65 дм, 52 дм.
5. 1. 6 см. 2. 24 см2.
6. 1. 46 см. 2. 32 см2.
7. 30°, 60е, 90е. Нужно исключить случаи: 1. L ABC* 90° и ВК±АС. 2. L ВКС
тупой (или острый). 3. ВКХ.АС и L АВК - L КВС.
Во всех этих случаях треугольники АВК и КВС не могут быть подобны. Остается
единственно возможный вариант, когда L ABC - 90е и ВК±АС. Так как -= —,
АК 1 АК KB
то "^р-ТУ* Из п°Д°бия треугольников АВК и КВС следует, что "Pb"~TF- Так как
АК-*£, то АС - BXVJ. Из треугольника ABC следует, что ВС2 - ДА2 + ЗВК2, т.е.
^-^. Отсюда Z ВСК -30е.
8. 40 см2 (см. задачу 7 (7)).
§17.
1. 2. АВ-2,2, ВС-1,4, AiCi-4,4.
2. 2. ВС-4,8, Z>F- 1,6, /Ж-1,1.
3. 2. 1,2 см, 3,6 см.
4. 2. 8 см, 12 см.
242
5. 2. Необходимо продолжить АК до пересечения с продолжением ВС в точке
Е и доказать, что ABED — параллелограмм.
6. 2. Необходимо продолжить AM до пересечения с продолжением ВС в точке
£ и доказать, чтг ABED — ромб.
7. 1. Продолжим отрезок АС за точку А на отрезок AD, равный АВ. Очевидно,
что L BDC - L ABC. Тогда Д BDC со ААВС и ^-^ BC2-CD*ACt a2-
ВС АС
- (6 + с) £, т.е. a2-bc + b2.
2. 48. Sade = Scde- Отсюда следует, что DE\\AC. Так как 5л do ~8, a
Sdoe - 4, то -^ - у, Д DOE со Д .ДОС. Коэффициент подобия к - -^. Тогда S^ ос -
1 3
-16 и Sadec -36; DE--=AC и A DBE со A ABC. Тогда SxDiBC -т^лвс Отсюда
/ 4
Sabc-48.
8. 1. Через вершину А проведем прямую, параллельную ВС и пересекающую
AF АЕ EF 1
продолжение СЕ в точке F; Д AEF со Д С£В. Отсюда -^ = т^ ~ ТГБ ~ ^» так как
/»С /SZ» Сс Z
по условию АЕ : ЕВ -1:2; AF - -=. Из прямоугольного треугольника CAF следует,
CF-^T^-^yTWH?, C£-|cF-^ltfl.
4 * о j
2. 24 (см. задачу 7 (2)).
§18.
1. 2. Прямые АВ и Z)£ параллельны.
2. 2. Прямые ВС и DF параллельны.
5. 1. Необходимо доказать подобие треугольников ABC и ACD.
2. Так как Z. CAD- L C\A\D\ и Z. ACD- L A\C\D\, to A ADC со A A\D\C\.
AC AD
Отсюда -г-т; т-=г- (1). Так как LADB - LA\D\B\ и LBAD= LB\A\D\, то
A|C| AiA
AABDco AA\B\D\. Отсюда . д = . _ (2). Из равенств (1) и (2) следует, что
Кроме того, L ВАС - L В\ А\С\, а поэтому Д ABC coAA\B\C\.
AiBi AiCi
6. 1. Необходимо доказать подобие треугольников BDC и ABC.
2. Так как L AOD- L A\0\D\ и Z. ADO-LA\D\Oi, то A AODco AA\0\D\.
~ АО AD - _ ЛС
Отсюда . ^ » . п , и так как О и Oi — середины АС и AiCi, то
А\0\ AiA' - « -. ^^«г.л„. ^ г. ^.^., .и -^су
AZ)
AiA
(1). Так как LABO - LA\BxO\ и Z.AD0 - Z.AiZ)|Oi,
уУ5 АХ)
ДАВ/) со ZL4jBiZ)| и . - . n (2). Из равенств (1 ) и (2) следует, что
АС АВ
Легко доказать, что L ВАС - LB\A\C\. Отсюда Д ABC AAiBiCi.
AiCi AiBi
7. 2. Продолжим сторону АС за точку А на отрезок AD, равный АВ. По условию
<Г - Ь (с + М, т. е. ВС1 -AC* DC, или -^ = ^; Z. ВСА у треугольников ABC и
/)ВС общий, а потому Д ABC со Д DBC. Отсюда легко доказать, что L А - 2L В.
243

8. 1. Л ADB со Л ВЕС. Из этого следует, что -^тг--^- Но АВ-ВС, поэтому
Л»С DC.
4^ - ir§. Легко доказать, что L DBE - L DAB. Тогда Л ADB со Д Я/Ж и L BDE -
АВ ВЬ
= L ADB.
2. 0,5. Необходимо доказать, что треугольники AMP и КСТ подобны. Отсюда
следует, что КТ\\МР и МКТР — трапеция. Из подобия треугольников МЕР и КЕТ
имеем ME : ЕТ —1:2.
§19.
1. 1. 28 см, L KOA-L ВСА. 2. 8 см.
2. 2. 27 см.
3. 2. 36.
4. 2. 108.
5. 2. 60 см2.
6. 2. 0,8 см.
7. 1. Соединим отрезком прямой точки Е и М. Пусть Mi — середина СЕ. Тогда
ММ\ — медиана треугольника ЕМС. Так как ММ\ \\АЕ, то MMi ±CE. В таком
случае Л ЕМС равнобедренный и L ЕММ\ - LM\ Л/С. Обозначим точку пересечения
ММ\ со стороной ВС буквой F. Тогда A/FCZ) — ромб и L М\МС - Z. CMD. Кроме
того, Z. АЕМ- L ЕММ\. Отсюда следует, что L EMD-Ъ/. АЕМ. 2. 72.
8. 1. Пусть АЕ пересекает прямую ВС в точке Р, a DF — в точке Т. Треугольник
РВА равнобедренный (РВ = ВА) и ВЕ±АЕ. Отсюда Е — середина АР. Аналогично
Г — середина DT. Легко доказать, что EF\\PT. Пусть EF пересекает АВ в точке А/,
a CD — в точке N. Имеем EM-NF--=a, MN-BC-a. Поэтому EF-2a. 2. 12 см.
§20.
1.
2.
3.
4.
с
1.
1.
1.
1.
1
\. 2. 90 см2.
4
|. 2. 54 см2.
200 см2. 2. 4^г.
156 см2. 2. 47ТЗ + 8
, Sabe 9 Sbcd 1
5. 1. 30°, 60°. 2. 75 см . Нужно учесть, что -к ~ TZ и -с Ч-
OBED 16 ЪаВО 2
6. 1. 60% 120°, 90°, 90°. 2. 64 73" см2.
7. 1. 150 см2. Через вершину С провести прямую, параллельную BD, до
пересечения с продолжением AD в точке М и рассмотреть прямоугольный треугольник
АСМ.
2. 30°. Необходимо доказать, что АВМ — прямоугольный треугольник.
8. 1. 10 76 см. (см. указания к задаче 7 (1)).
2. 60°, 120°, 60°, 120°.
§21.
5. 2. Найти точку М пересечения прямых А\А и В\В. Прямые А/С и MD
пересекают прямую и соответственно в точках С\ и D\. Легко доказать, что отрезок
C\D\ искомый.
244
6. Найти точку А/ пересечения прямых A\DwB\C. Прямые AM и ВМ пересекают
прямую Ь соответственно в точках D\ и С\. Легко доказать, что отрезок C\D\
искомый.
7. 1. Отрезок, равный периметру, разделить в отношении 2:3: 7ТЗ" и построить
треугольник по трем сторонам.
8. 1. Отрезок, равный периметру, разделить в отношении 4 : VS : VS и построить
треугольник по трем сторонам.
§22.
1. 1. |, |, |. 2. 60°
2.
3.
1.
1.
73" 2
75"* 7Т0~'
3
5'
4 3
5* 4'
76
2 -
2. 30'
2. 60°.
, 60°.
4. 1. |, |, |. 2. 45°, 135°.
5. I. 60°. 30°, 90°. 2. f, £, ^.
6. 1. 60°, 30°, 90°. 2. Ц, £, f.
7. 1. Пусть а — искомый угол. По условию sin a - 2 cos а. Отсюда tg a - 2.
Поэтому необходимо построить прямоугольный треугольник ABC (L С-90°), у ко-
ВС 2
торого -тр- - —. Тогда Z. Л будет искомым.
2. — (76+72"). Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник ABD
(Z. ADB - 90°) и прямоугольный треугольник BDC (Z. BZ)C - 90°) с углом DBC,
равным 30°. Точки A, D, С лежат на одной прямой (.А — D — С). Очевидно, что
L ABC - 75°. Пусть AD-BD-X. Тогда Sabc - ^ * 1 * (l + ^j-] -1(3 + 73") (1).
72" 273" 76
С другой стороны, Sabc--^- • —з-sui 75°--^-sin 75° (2). Из равенств (1) и (2)
следует ответ — (76 + 72").
8. 1. См. решение задачи 7 (1).
2. — (76—72"). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (Z.C-90") с
углом А, равным 30°. Пусть AD — биссектриса треугольника; L DAC- 15°. Пусть
ВС-1, тогда АВ-2 и АС - 73. Используя свойства биссектрисы треугольника,
можно доказать, что CD - 273" — 3. Из треугольника ACD имеем AD -
= V24-1273-- 273" хТг^ГТУ, sin 15°-^-^Ж = УА^.
AD 2 4
§23.
576
1. 1. S-ab sin а; 5,54. 2. ^-.
И2
2. 1. S--P—; 376,16. 2. 376.
sin a
245

d2
3. 1. S--~; 123,85. 2. 82e23', 7°37'.
4. 1. S - 3g2 sin a • cos a; 82,07. 2. 63"4Г.
5. 1. A-V2Ssinacosa; 6,44. 2. 27°5'.
6. 1. h-^Ttga; 10,16. 2. 28"13'.
7. .. ^; „.36. 2. 47-8'.
8. 1. 6a2 sin a cos a; 886,24.
Через вершину В проведем прямую, параллельную CD, до пересечения с AD в
точке F. Треугольник ABF прямоугольный, так как L ABF- 90е. Исходя из условия
Е— середина AF, а потому AF-2a\ АВ-2а cos а. Высота трапеции Л-
- АВ sin а - 2а cos a. Тогда площадь трапеции 5 - 6a2 sin a cos a.
. Vl — nf n
2. —. . Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с углом С при
вершине, равным а, причем cos а - т, ВЕ±АС. Обозначим L ЕВА - х. Пусть BE -
Л А
-Л. Из треугольника СЕВ имеем ВС - АС - -:—; СЕ - . Из треугольника АЕВ
sin a \ga
Л Л . . 4 __ , 1 — cosa
-:—--— + " tg ■*• Отсюда te jc-
sina Xga * e sina
г
1 + m—'
§24.
1. 1. Щ 2. «.
* 49 3
/.i. 4 . 2. 3.
3 1 14^- 2 i
4. 1. 47^ см2. 2. if.
5. 1. 24 (7 — 4VT).
BO2
2. Из прямоугольного треугольника АОВ следует, что FB-—r=r (1). Из пря-
BCf"
моугольного треугольника ВОС следует, что BD--=pr (2).
FB В(л
Из равенств (1) и (2) имеем "д^=-Гд- Кроме того, в треугольниках DFB и АСВ
угол ЛВС общий. Отсюда следует, что Д ABC tv> Д DFB, а потому Z. АСВ - Z. /)FB.
6. 1. 6a2 (2 — VJ)2.
2. Из прямоугольного треугольника ADB следует, что ЕВ--—— (1). Из
АВ
BD2
прямоугольного треугольника В DC следует, что FB-—— (2). Из равенств (1) и (2)
ВС
FR НС
имеем — - —. В треугольниках EBF и ABC угол ABC общий. Отсюда следует,
что Д EBF tv> Д ABC.
246
ab2V3
7. 1.
4(Л —2л)'
2. Через точку М проведем прямую, параллельную АС и пересекающую
стороны АВ и ВС соответственно в точках К и L. Так как BD — медиана, то легко
доказать, что КМ — ML. Из подобия треугольников KFM и AFC следует, что
FM КМ „ - ..__ .__ £М ML
-Р77 в -77Г- И3 подобия треугольников M£L и АЕС следует, что -ттг ~ т^» но
КМ - ML. Поэтому -р^г - -jTT, т. е. -гг* - -ггг. Тогда, так как L FME - АМС,
Д FME <v> Д АМС. Отсюда L EFM - L МСА. Поэтому EF\\AC.
8. 1. _ /-. 7TV"- 2. —. Пусть в треугольнике ABC высоты BD и АЕ
2 I2fi — a V31 т
BD DC
пересекаются в точке О; Д BDC го Д АЕС. Отсюда -г^, - -=^ (1); Д АЕС со Д AOD.
ЕС АЕ ._. „ ... ._. D_ ADDC аЬ
Отсюда -руп~~АЪ равенств (1) и (2) следует, что BD-—тгтт—-—.
§25.
1. I. а) R -5; б) Ж 5; в) R> S. 2. 12.
2. I. а) R-S; б) R< 5; в) R> S. 2. 17.
3. 1. Прямая DE является касательной к окружности. 2. 35 см.
4. 1. Окружность касается прямой АВ. 2. 13,44.
5. 1. Прямая BD касается этой окружности. 2. 2r cos —.
6. 1. Прямая АВ касается этой окружности. 2.
а . а
*2'8Ш2
7. 2. Пусть О — центр окружности. Необходимо доказать, что Д COD
прямоугольный. Радиус окружности ОК, проведенный в точку касания CD с окружностью,
является высотой треугольника COD. Поэтому ОК - СК ■ KD, но АС = СК и
DB ■ KD, а потому OK2 = ACDB.
8. 2. —.
§26.
1. 3VJ см. 2. 100°.
2. 1. 30°. 2. 20°.
3. 1. 10 см. 2. 6 см.
4. 1. 3. 2. 288.
5. 2. 5 см.
6. 2. 220°, 80°, 60°.
7. 1. Пусть угол ABC вписан в окружность и BD — его биссектриса (D лежит
на окружности). Хорда DE параллельна АВ. Нужно доказать, что DE — ВС. Так как
DE\\AB к BD — биссектриса угла ЛЯС, то L ABD - L BDE - L DBC; L DCB -
= L DEB как вписанный, опирающийся на одну и ту же дугу; Д DCB — ADEB по
стороне и двум углам. Отсюда DE-BC.
2. L 1 измеряется половиной дуги КА (рис. 51), kj KA — \J KF+\j FA —
=:\jKF+ 90°; L 2 измеряется полусуммой дуг KF и ЕА, но w EA — 90°. Отсюда
L \— L 2. Поэтому Д KNM равнобедренный и NK — NM.
247

в
к
N
Рис. 52
8. 1. Так BC\\AD, то L 1 - L 2 (рис. 52); L 3 измеряется половиной дуги BED;
L 4 измеряется половиной этой же дуги, поэтому L 3 - L 4. Тогда Д ABD со Д BCD
по двум углам. Дальнейшее решение очевидно.
2. 16 см. Необходимо доказать, что Д AED прямоугольный.
§27.
1. 1. 16 см. 2. VT5.
2. 1. 20. 2. 6,5.
3. 1. 5.
4. 1. 4^5.
5. 1. 8 см. Докажите, что точка Е — середина хорды ВС.
6. 1. 10 см.
1 3 3
7. 1. ^. Имеем ВС - 2г, АВ - г, CD - — х 2г - ^г. Необходимо учесть, что
OiPOiQ-OiA ■ OiD. Так как OiQ-2R — r, 0\Р-г, OiA-r + r-2r, OiD-
°* г +-тг-°-~г, запишем (2г — г) *г~5г. Отсюда — = ^.
2. Воспользуйтесь теоремой о касательной и секущей.
8. 1. 12; 1.
2. Необходимо построить окружность, проходящую через точки В и С и
касающуюся АВ в точке В. Эта окружность пересечет сторону АС в искомой точке
D.
1. 1. 2VrT
2. 1. 2гуП.
3. 1. 8 см.
4. 1. 20.
-?.
5. 1. ^х~. Пусть О и 01
центры соответственно большей и меньшей
окружностей. Необходимо доказать, что L АОС - 60°, a L ВО\ С - 120°. Кроме того,
треугольник АСВ прямоугольный.
2. Проведем диаметр AD; Д CDA прямоугольный; L CDA - L СВА как
опирающиеся на одну и ту же дугу АС. Из этого вытекает, что L О АС — L ВАН.
248
6. 1. ^63. Пусть О и 0| — центры соответственно большей и меньшей
окружностей; 00| - 3. Через точку 0 проведем прямую, параллельную АВ. Обозначим
точку касания АВ с меньшей окружностью через К; 0\К пересекает проведенную
3
V
прямую в точке Р. Из треугольника СЮ\Р следует, что РО\
L РОО\ = 30°; ОМ±АВ, ОМ-РК- РО\ — КО\
так как по условию
3-1-1
2 2
Из Д АОМ : AM
4 2.
2. Докажите, что Д ABC со Д ABD.
rd2
7l'2y/di-S
2. Пусть АС пересекает BD в точке О; L DAC — L ВАС по условию, а
L ВАС — L BDC как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу- Тогда
АС
CD
AD
Д ADC со Д COD по двум углам (Z. DC А общий). Отсюда следует, что —^
и AD х ВС - АС х /)0 (1). Аналогично можно доказать, что Д ABC со Д ВОС. Тогда
АВ х ВС - АС * ВО (2). Складывая почленно равенства (1) и (2), можно получить
ЛС х BD - i4Z) х DC + АВ х ВС.
8. ,. f.
2. Проведем общую касательную двух окружностей, и пусть АВ пересекает
эту касательную в точке С (рис. 53). Так как СТ - СМ как отрезки касательных,
проведенных из точки С к меньшей окружности, то L СМТ - L СТМ. Кроме
того, L САМ - L ВМС, L АМТ - L СТМ — L САМ - L СТМ — L ВМС -
- L СМТ — Z.BMC - L ВМТ. Следовательно, МТ — биссектриса L АМВ.
§29.
1.
2.
3.
4.
5.
2.
1.
1.
1.
1.
35.
12. 2. 45.
m х sin—. 2. 2,4.
6.
^г. 2. 30°.
6. 1. 25. 2. 90° + а.
7. 1. Строим вспомогательный прямоугольный
треугольник с некоторым катетом, равным а, и
построением находим отрезок, соединяющий точки
пересечения биссектрис и медиан. Пусть этот отрезок
имеет длину, равную Ь. Все равнобедренные
прямоугольные треугольники подобны. Обозначим сторону
искомого треугольника через х. Тогда
■■*•. По-
m
Рис. 53
строением находим отрезок х. Дальнейшее построение очевидно. 2.
12'
8. 1. Задача решается аналогично задаче 7 (1). 2.
1
249

§30.
1. 1. 1 см. 2. 2,5 см.
2. 1. 6 см. 2. 16 см.
3. 1. 3 см. 2. 9,6 см.
4. 1. 2 см. 2. 2 см.
5. 1. 6V3~(V3~+ 1)2.
2. 94,08 см2. Если обозначить центр вписанной окружности через О, то нужно
доказать, что Д АОВ прямоугольный. Высота этого треугольника равна радиусу
вписанной в трапецию окружности. Высота трапеции равна диаметру этой окружности.
Кроме того, AD + BC-AB + CD.
6. 1. 3 см. 2. 18.
7. 1. 3(3—^5).
АВ ^ BE
ВМ = ВР'
Тогда Д МБР со Д ABE. Из подобия треугольников следует, что Д BMP
равнобедренный и L BMP - L ВРМ; так как по условию ВМ - MP, a L ВРМ - L МРВ, то
Д МРВ равносторонний, а потому и подобный ему треугольник ABE равносторонний
и LBAE-W, т.е. L BAD- 120е.
8. 1. 3 — V5" см.
2. MB - PD - 2 см. Очевидно, что радиус вписанной окружности равен VJ см
и AE-AF-3 см (рис. 55). Исходя из свойств касательных, проведенных из одной
точки к окружности, имеем АР + РК — АЕ и AM + МК — AF.
2. 120е. Очевидно, что АВ - BE и ВМ - ВР (рис. 54). Отсюда -^z-z = —.
Рис. 54
Складывая эти равенства, получим, что Рм№ - 6 см, а так как MP - 2 см, то
ЛР + AM - 4 см. Пусть МТ — высота Д AMP. Обозначим AM через х. Тогда МТ -
= ^^, ЛТ-4, ЯТ-4 — Ц-. Из Д М7Р следует, что ^j-+ 16 — 12х + ^-- 4.
Отсюда х - 2. Итак, AM -АР-2 см. Тогда и MB - PD - 2 см.
§31.
1. 1. 27. 2. 96.
2. 1. 13 см. 2. 36 см.
3. 1. 6,25 см. 2. 40°, 50е, 50е
4. 1. 4ЛЗ" см. 2. 0,5 см.
5. 2. 5 дм.
250
6. 1. а. 2. 12VJ см. Необходимо доказать, что AD — диаметр описанной
окружности.
7. 1. На рисунке 56 точки Ai, B\, Ci симметричны точке пересечения высот Н
относительно сторон ВС, АС, АВ. Очевидно, что AACiB-AAHB. Отсюда
LACxB-LAHB, но L DHE- L АНВ. В четырехугольнике EHDC углы НЕС и
HDC прямые, а потому L DHE+ L ВС А - 180". Следовательно, L АС\В + L ВС А -
- 180°. Это значит, что точка С\ лежит на окружности, описанной около треугольника
ABC. Аналогичные рассуждения можно провести относительно точек А\ и В\.
2 ^
а '
8. 1. На рисунке 57 Я — точка пересечения высот АА\, ВВ\, СС\. Около
четырехугольника ACiHBi можно описать окружность; L НС\В\ - L НАВ\ как
вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Обозначим эти углы через а;
AAiBCi со A ABC, ABCiAi-BCA-W — a. Тогда L А\С\Н- 90° — 90е +а -а.
Следовательно, Z.A1C1H- L НС\В\, т.е. CiC — биссектриса L А\С\В\. Аналогично
можно доказать, что А\А — биссектриса L С\А\В\, а ВВ\ — биссектриса L С\В\А\.
, cR
2* ь-
§32.
1. 1. йи^аис1?и^и?2.йи^и?3. ви^?и&
4. 7*и ei нельзя.
2. 1. с и сГ, с и е| сГ и е, а и £ 2. ё*исГ. 3. с*и<%ёГи«£?и£
4. а и #; да, можно.
3. 2. а) с* и if, с? и it, я и с; б) ? и о; в) it и a; it и с, г) а и £
. 2. a) m и и, m и с, и и с; б) m и п; в) m и с, п и с; г) а и с.
5. 1. a) BE и £С, i4F и DF, BE и й^1, Я£ и DF, ЕС и AF, ЕС и
DF, б) В*Е и ЁЬ, В*Е и AF, ЁЪ и AF, в) BE tt DF, ЕС и DF, AF и DF,
г) ЕС и AF, д) ЕС и AF, BE и DF. 2. 90е.
6. 1. л) АВ и DC, АВ и CF, DC и CF, BE к СЕ, BE и AD, СЕ и
AD; 6) Л и DC, АВ и CF, DC и CF, BE и AD; в) СЕ и AD, СЕ и £&;
г) Л5 и DC, АВ и CF, CF и DC; p} BE и СЕ. 2. 20 см.
7. 1. 21. Необходимо учесть 0.
8. 1. 21. Необходимо учесть 0.
Рис. 57
251

Рис. 59
§33.
1. 2.J?. J. 2. ED. £. 2. EF.
8. CB\ -CAi +A?Bi, CiB-CvAi + Л?Д, aTb\ -C?A\, CAi -A^B. Отсюда сле-
-» -»
дует, что СВ\ -С\В.
§34.
1. 2. АВ-АС 3. 6 см.
2. 2. СА - СВ. 3. 5.
3. 2. — £ с*— a, a — cl 3. 6,5.
4. 2. ?-£ ?-а, а! 3. 16.
5. 1. АС - DC - BD. 2. (УЬ + бв - бС. 3.
аЛ.
2 '
6. 1. —DA + DC + СВ. 3
Am -»-»-»-»-»
7. 1. -=-; ОЛ + ОВ — ОС = ОВ + СА. Построение показано на рисунке 58.
8. 1.
Am -»-»-»-»-»
—; ОА — ОВ — ОС = ВА — ОС. От точки О откладываем вектор
ОЕ — ВА (рис. 59). Тогда ОЕ - ОС = СЕ. Продолжим AAi, как показано на
рисунке, на отрезок А\Р, равный ОА\. Тогда ОВРС — параллелограмм и
РС\рв^АЕ, РС-ОВ-АЕ. Отсюда следует, что ЕАРС — параллелограмм и
\CE\-f.
2. аТв\ = ОВ\ — ОА\ ОВ — (— ОА) -ОА — ОВ-ВА. Отсюда следует,
что AiBi - ВА и AiBi \\BA. Дальнейшее очевидно.
§35.
1 - 1 * Л,
1 -
1. 2. OA'-^a-^t, AK = ^a + t
2. 2. DP = ^m + ^p*. DM - m + ^p!
3. 2./r+i£|*r-£
252
4 « -» . 1 -» 5 -»
4. 2. p + -r a, — a
о о
5.
2 -» 2 -* 1 -»
3a"3P+2P
Ifl"6p-
6. 2.1?+|p*
7. 1. 0; AAi + BB\ + CCi = B% — B*A + C% —C*B + Ati — At- кВС + АВ +
+ kCA + BC + кАВ + С A - к * (ВС + С А + AB ) -0.
2. Пусть AB = a, BC = t, CD = T (рис. 60), FE = OD = a+ ?, AF- kCD
-kc, BE = BA + AF+ FE= -a- *c + (a+ 3 - tf + 1) ci Это значит, что BE\\AF.
8. 1. РЕ = BE — BP- кВС — (к — 1 ) AB. Аналогично можно получить, что
MF-kAD — (к — 1) DC. Так как ВС = AD и AB = DC, то РЕ = MF, а потому
PEFM — параллелограмм.
2. Пусть хорды АВ и CD пересекаются в точке М (рис. 61); OK ± AB,
OE±CD, ОМ = ОК+ ОЕ,
ОК = ОА + АК=ОА + 0,5АВ= ОА + 0,5 (ОВ - О А) = 0,5 ОА + 0,5 <Ж
Аналогично 0£ - 0,5 ОС + 0,5 0D,
оЪ = ОК + ОЕ = 0,5 (ОА + ОВ + ОС + OD).
§36.
1. 1. Я"М = 4« + Т#\ 2. 4-
2 4 3
2. 1. Л* = ^ m +-^ р! 2. 15°. 165°, 165°.
2. 4
1 -* 1 -*
3. 2. ^ ЯЛ + ^ CD.
5. 2. Докажите, что ОМ = ^ (ОА + ОВ + ОС ).
7. 1. Легко получить ОК = -=ОВ + ^ОС и ОЕ =-~OD + jjOA.
Рис.60
Рис. 61
253

Имеем OD — — OB, OA = — ОС. Отсюда OK — —OE. Это значит, что точки
К, О, Е лежат на одной прямой и О — середина отрезка КЕ.
2. Пусть медианы АА\ и ВВ\ пересекаются в точке М и пусть
= —; AM — —-— АВ\ + —-— АВ = -г-р—т—\ АС Н ;—АВ (1),
МВ\ и' т + п т+п 2(т + и) т+п
AM - *ЛЛ| - | ЛС + | ЛЯ. (2)
Из выражений (1) и (2) следует, что у и —■— = -=■• Отсюда
~ ^ . ч Л т+п 2.
2 (т+п) = ^
m 2 ДМ 2 „ __
— = -г"» т. е. тт^= Т- Если теперь предположить, что медианы ВВ\ и СС\
П I МП 1
ДМ 2
пересекаются в точке Mi, то аналогично можно доказать, что .. = у.
Следовательно, точки М и Mi совпадут. Этим и доказывается данное положение.
8. 1. СС| - СВ + ВВ\ + #i"C| = ZM + ВВ\ + Л0| ■ ZM + аЪ\ + Д»1 ■
— DD\ + АВ|. Отсюда | СС\ \<\ DD\ \ + \ ВВ\ |, т. е. СС\ < ВВ\ + DD\.
2. АВ- АО+ ОВ = 20Ai — 20% = 2Bi"Xi (*), АВ = СВ — СА =
= хСЛ| — yCBi; ВА\ = СЛ| — СВ\. Из равенства (*) следует, что
xCAi — yCBi = 2СЛ| — 2C"Si; (дс — 2) СЛ| = (у — 2) cS|. Отсюда х-2 и у- 2.
Это значит, что Ai и Bi — середины сторон ВС и АС, т. е. АА\ и BBi —
медианы.
§37.
1. 1. 12 см и 8 см. 2. 14 см, б см, 10 см.
2. 1. 10 см и 20 см. 2. 22 см, 16 см.
3. 1. 3 см. 2. 5 см, 10 см.
4. 1. 5 см. 2. 13 см, 9 см.
5. 1. 2 см.
6. 1. 8 см.
7. 1. 50 см. Необходимо доказать, что KL параллельна прямым ВС и AD и
находится на равном расстоянии от них. Пусть KL пересекает АВ в точке Р, a CD
— в точке Т. Тогда РТ — средняя линия трапеции. Треугольники ВКА и CLD
прямоугольные, и АВ - 2х КР, CD - 2* LT. Отсюда периметр трапеции равен 50 см.
2. 4 см и 16 см.
8. 1. 18 см и 6 см. 2. 2. Из прямоугольного треугольника DK.O (рис. 62) находим
DK-RV5 и DO-2R, где R — радиус окружности. Из треугольника CPD имеем
DC-2R, KC-2R—R лЯГ. Необходимо учесть, что CM -CK-2R — R VJ, AD - ЗЛ;
ВС - R + 2R — Л\/3~ = ЗЛ — /?VJ. Так как средняя линия трапеция равна 6 — V3",
то = = 6 - v3. Отсюда Л - 2.
§38.
1. б) 4 см2; 12 см.
2. б) 6,1 см, 5,1 см, 4,3 см, 13,9 см2.
254
Рис. 62
3. б) 20 см, 20 см2.
4. б) 94,4 см2.
5. а) Легко доказать, что MB-KD-2 см и MB\\KD. Значит, MBKD —
параллелограмм. Далее проведем высоту ромба DE к стороне АВ. Тогда из треугольника
DBE DE2 - (2 V5")2 — BE2, а из треугольника DAE DE2 - 52 — (5 — BE)2. Если
(5 — BE)2,
точка £ не попадает на отрезок АВ, то DET = 52
s,2
(BE — Sr-25
т. е. 20 — BE2 - 25 — (5 — BE)1", откуда Д£ - 2 см. Значит, точки Е и М совпадают
и, следовательно, Z. ДМ/) - 90е, т. е. MBKD — прямоугольник, б) DM - DE - 4.
Значит, периметр прямоугольника равен 12 см, а площадь 8 см .
6. 1. 48в35'. 2. 12 см.
7. 1. 12,9 см
*С-^ т.е. АС2
Можно доказать, что треугольники ABC и ADC подобны, причем
BC*AD, откуда АС — 4. Высота СЕ трапеции находится из
AC AD'
прямоугольного треугольника ВАЕ.
2. Пусть угол ABC равен х, тогда LMCH— 180" — х, LMAH — x\ так как
сумма углов четырехугольника АМСН равна 360°, то L МАН — L ABC. Известно
также, что две высоты параллелограмма обратно пропорциональны сторонам парал-
АМ АН AM АН _
лелограмма, на которые они опущены. Тогда -^г^ = ~^тг или -т^г e "S7T- Следова-
CD ВС АВ ВС
тельно, треугольники МАН и ABC подобны по двум сторонам и углу между ними.
Их коэффициент подобия равен МН:АС- 3:4. Тогда искомое отношение равно 9:16.
8. 1. 12,9 см . 2. 4:9. Задача решается аналогично задаче 7 (2).
§39.
1. 1. 60°. 2. 6 см.
2. 1. 90°. 2. 3 дм, 4 дм.
3. 1. 90е. 2. 3 VJ см2.
4. 1. 45°. 2. 54 см2.
5. 1. 60°. 2. Внутри трапеции. Пусть ABCD — данная трапеция, в которой
Л/)-24 см, ВС-10 см, высота BE равна .17 см. Окружность, описанная около
трапеции, будет также описана около треугольника ABD. Можно доказать, что
АЕ-1 см, ED- 17 см. Тогда угол DBE равен 45е. Отложим на луче ЕА от точки
Е отрезок ЕК, равный 17 см. Тогда L КВЕ-45', a L ABE -45°. Следовательно,
L ABD<90°. Таким образом, очевидно, что треугольник ABD является остроугольным.
Значит, центр окружности, описанной около него, лежит внутри этого треугольника.
6. 1. 60°.
255

2. Нет, не могут. Пусть BD - х, тогда из прямоугольных треугольников ABD
и BCD находим АВ-0,5х, AD-0,5V3x, ВС-х, CD-xVl. Если предположить,
что биссектрисы всех углов четырехугольника ABCD пересекаются в одной точке,
то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника, т. е. в этот
четырехугольник можно вписать окружность. Значит, должно выполняться условие
АВ + CD - ВС + AD. Но 0,5л: + х лП * х + 0,5 V3~Jt. Значит, наше предположение
неверно и биссектрисы в одной точке не пересекаются.
7. Примем радиус окружности с центром в точке 01 за 1, а с центром в точке
02 — за х (рис. 63). Тогда радиус полукруга равен 3, <Ю\ - 2, О02-3 — х. Из
Д 0|ЕО имеем ОЕ- Уз, а из Д OiFO OF- V(3 — xf - S - V9-6* ; EF-
-OE + OF-V1 + V9-6*. Рассмотрим Д 0|J«?2 (Oitf-L 02*): 0201 - 1 +x, 02* =
-x_ i, 0\K-EF-yf3+y/9- 6x.
Тогда, используя теорему Пифагора, имеем (\^3 + V9 - 6х)2 - Сх+ 1) — Ос —-1) .
Учитывая, что дс > -=, получаем
Отсюда 3V3-2jt-5jt — 6 и 25X2 — 42х + 9-0.
21 +6У6
*~ 25
8. Пусть в некоторый треугольник MPN вписана окружность и пусть PN - т.
Тогда расстояние от вершины до точек касания окружности со сторонами MP и MN
равно р — т, где р — полупериметр Д M/W. В нашем случае, используя этот факт,
имеем
АВ+ BD+ а
BE ~ = а,
BF=BC + BD+b-b,
EF= | BE - BF |
AB+ BD-a BC + BD-b
\b-a\
2
256
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ
№1.
1. 1. 120°, 60°. 3. а) Прямоугольник. 4. Сумма отмеченных углов равна сумме
углов пятиугольника АСЕКТ, т. е. 540°.
2. 3. а) Ромб; б) 40°. 4. Сумма углов выпуклого шестиугольника равна 720".
Сумма четырех острых углов меньше 360°. Значит, сумма двух оставшихся углов
больше 360°, чего быть не может.
3. 3. б) Пятиугольник. 4. Сумма отмеченных углов равна сумме углов
шестиугольника ACEHNO.
4. 4. n-угольник может быть четырехугольником, в котором один из углов равен
1°. Докажем, что и-4. и не может быть равно 3, так как сумма углов треугольника
всего лишь 180°. При и > 5 сумма углов n-угольника не меньше 720°. Тогда и-й
угол будет больше 361°, чего быть не может. Значит, п-4.
№2.
1. 1. 108 см2. 2. 75 см. 3. а) 3 V3" см2; б) —г- см2. 4. Если равны площади
четырехугольников ABDE и ACDE, то равны и площади треугольников ABD и ACD.
Значит, точки В к С равноудалены от прямой AD, откуда следует, что BC\\AD.
2. 1. 56 см2. 2. 102 см2. 3. а) 16 V3" см2; б) 4>/1 см2.
4. Задача решается аналогично задаче 4 варианта 1.
2 2 120 2
3. 1. 32 см . 2. 75 см . 3. a) -j^- см; б) 15 см . 4. Задача решается аналогично
13
задаче 4 варианта 1.
4. 1. 150 см2. 2. Щ- см2. 3. а) ^ см2; б) 3 см2
№3.
1. 1. б) 9:1. 2. б) 3:1. Можно доказать, что -q= = -^=z% но -=rjj ~ -тгй, так как
АВ 3
луч ВО — биссектриса угла ABE. Значит, •== = —.
ВЬ. 2
2. 1. а) 15 см; б) 1:9. 2. 13:4. 3. -т. Задача решается аналогично задаче (1)3.
4
3. 1. б) 4:1. 2. б) -=. 3. Треугольники МВК и ABC подобны по двум углам.
- ВС MB MB МО 2 „_
Значит, — = -j—, но -=j= = -г— = —, так как ВО — биссектриса треугольника
МВК.
4. 1. а) 1:2; б) 1:9. 2. б) 1:5. 3. Задача решается аналогично задаче 3(3).
93ивК.Г. 257

№ 4.
2 у/1
1. 1. -г, 15 мм. 3. а) 45"; б) -г- см. 4*. Пусть внешний прямоугольник имеет
измерения а и b (a>b), а ширина рамки равна с. Тогда для подобия внешнего и
внутреннего прямоугольников рамки должно выполняться одно из условий:
Ь — 2с а — 2с Ь— 2с а — 2с .,
—г— = или = —г—. Можно доказать, что выполнение этих равенств
о а а О
невозможно.
2. 1. 20 дм, -=. 3. а) 3 см; б) 3 V3 см. 4*. Пусть данный прямоугольник имеет
измерения а и Ь. Тогда для подобия образовавшегося прямоугольника и данного
должно выполняться одно из условий: хт- ™ т или хг = — • Последнее условие
выполняется при а-\Пь, что говорит о том, что обр: •; вшийся и данный
прямоугольники могут быть подобными.
3. 1. 2 дм, -=-. 3. а) 45е; б) 4 V 2. 4*. Пусть квадрат со стороной а разрезан
на два прямоугольника со сторонами а.Ьиа — Ь, а. Для подобия этих прямоугольников
„а а а а — b
должно выполняться одно из условий: т ™ —ЗТ или 7) = • м<>жно доказать,
что эти равенства невозможны.
3 28
4. 1. 15 см, —. 3. а) 12 см; б) —г? см. 4*. Пусть прямоугольник со сторонами
а и b разрезан на прямоугольники со сторонами Ь, с и а — с, Ь. Для того чтобы
образовавшиеся прямоугольники были подобны, должно выполняться одно из условий:
с а — с b а — с п
-г = —г— или — = —г—. Последнее условие может выполняться, например, при
0 О СО
а - 2,5, b — 1, с - 2, что говорит о том, что образовавшиеся прямоугольники могут
быть подобными.
№5.
1. 1. 1 см. 2. 30", 12 см. 3. а) 5 см; б) 4,1 см. 4. Через точку О проведем лучи
АО и ВО, пересекающие окружность в точках М и Н соотвественно. Пусть прямые
АН и ВМ пересекаются в точке О. Можно доказать, что L АНВ - L АМВ - 90°.
Тогда искомый перпендикуляр лежит на прямой СО.
2. 1. 2 см. 2. 2 см, 90°, 45°. 3. а) 4 VI см; б) 15° или 75°. 4. Построим
окружность с диаметром BD — ET и окружность с центром в точке В и радиусом,
равным отрезку РО. Пусть вторая окружность пересекает первую в точках А к С.
Четырехугольник ABCD будет искомым.
3. 1. VI см. 2. 4 см, 135°. 3. а) 22 V2 см; б) 72 V2. 4. Задача решается
аналогично задаче 1 (4).
4. 1. 4V2 см, 4 см, 4 см. 2. 4 см, 15°. 3. а) 4 см; б) 30°, 150°. 4. Задача
решается аналогично задаче 2 (4).
258
№6.
1. 2. a) MBi -^MAi + ^МС; б) СМ = 4сЛ + |cl?; в) МА\ = ^АВ + 0АС;
-* 1 -* 1 -»
г) пусть точка Т — середина отрезка ВВ\. Тогда AT - — АВ + — АС. С другой
-* 2 -* 1 -* -» 4 -»
стороны, AAi —-^АВ + — АС Следовательно, АА\ = -т AT. Значит, А, Т, А\ лежат
на одной прямой.
2. 2. а) АС = АВ + ^ AD; б) ВО - | Л~Ъ - |ib; в) лЪ = 1,5 ЯМ - 1,5 ДЕ;
г) DE ш L da + L DB = LDA + ± ^ + 1 ^ ш £ Ш + ± />С.
2 1 -» -»
Значит, DE < -z DA + -zDC, так как векторы DA и DC неколлинеарны.
3. 2. а) ЛА/= y4J? + ^AD; б) ДО = |ЯЛ + |ВС; в) оЪ = |лР-|л"л/;
г) ОР - АР - АО = Л/) Ч™ АВ - % ЛВ - ± AD = ± AD - ± АВ. Значит,
L 6 6 6 О
2 1 -* ■*
ОР < х Л/) + ^ ЛД так как векторы ЛЯ и АВ неколлинеарны.
4. 2. a) DE^^OC + ^ODi б) /Ю = | Л"Ь - | ЛВ; в) СО = - |лЬ - ^Л^);
I L 6 6 ОО
-» 1 -» 4 ■* ■* ■*
г)* ОМ = -=ОА + —ОЕ. С другой стороны, OD = ОЛ + 40£. Следовательно,
OZ) - 50М. Значит, точки О, D, А/ лежат на одной прямой.
№7.
1. 1. а) 14^3; б) 120°, 60°; в) 7; г) нет; д) нет; е) да; ж) CA = CD + ^CB.
2. Примите данный отрезок за единицу и постройте прямоугольный треугольник
с катетами 1 и 2.
2. 1. а) 4 \/1; б) з/З; в) 4:1; г) MB - LaC + НВ; д) можно; е) -ту,
ж) 2 VI — 3.
2. Пусть дан отрезок РО. Отложим на некоторой прямой последовательно два
отрезка АВ — ЪРО и ВС - 4РО. Построим полуокружность с диаметром АС. Через
точку В проведем прямую, перпендикулярную АС, которая пересечет полуокружность
в точке D. Отрезок BD будет искомым.
3. 1. а) 30°, 120°, 60°; б) —у, 2>Гб~; в) —г—; г) 90°, 60°, 90°, 120°;
-* 3 -* 1 -*
ж) ОМ = — OD + — ОС. 2. Задача решается аналогично задаче 2 (2).
4. 1. а) 1:9; б) 4; в) 3,5; г) нет; д) АВ - 177? - СА; е) -£-; ж) 90°, 135°,
6 /о
135°. 2. Постройте прямоугольный треугольник по катету, равному данному отрезку
и прилежащему углу в 30", тогда другой катет будет искомым отрезком.
259

9КЛАСС

ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
Параграф
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Тема
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Координаты вектора
Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.
Простейшие задачи в координатах
Применение метода координат к решению задач
Уравнение окружности
Уравнение прямой
Использование уравнений окружности и прямой при решении задач
Площадь треугольника
Теорема синусов
Теоема косинусов
Решение треугольников
Скалярное произведение векторов, скалярное поизведеиие векторов в
координатах
Свойства скалярного произведения векторов. Применение скалярного
произведения векторов к решению задач
Правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного
многоугольника. Окружность, вписанная в правильный многоугольник
Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его
стороны и радиуса вписанной окружности. Построение правильных
многоугольников
Длина окружности
Площади круга и кругового сектора
Понятие движения. Осевая и центральная симметрии
Параллельный перенос
Поворот
262
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
§ 1. Разложение вектора
по дв м неколлинеа шым векто ■. м
1.
1. На рисунке 1 ABCD—
трапеция, у которой AB = CD = 4,
ВС = 2, AD = 5. Найдите, если
это возможно, такое число к,
Mjp: ^
1) ВС = kAD; 2) АВ = kDC.
2. В треугольнике ABC точка М
— середина стороны ВС, аЕ —
середина отрезка AM.
Разложите вектдр АЕ по векторам
АВ = а и АС = t.
Рис. 1
2.
1. На рисунке 2 ABCD —
трапеция, у которой AC^BD** 15,
ВС - 7, AD - 20. Найдите, если
это возможно, дакое число /п,
что: 1)£>4 = mBQ;
2) АС = mDB.
2. В треугольнике ЕМК точка Р —
середина стороны ЕК, а Т —
середина МК. Разложите вектор
MJ3 по векторам ME = /и и
МТ = п.
Рис.2
263

3.
1. В трапеции ABCD AD и ВС — основания. АС и BD пересекаются в
точке О, причем_^40 : Q£ ™ 3 : \. Найдете, если возможно, такое
число *, что: 1) AD = кВС\ 2) СО - кАО.
2. В параллелограмме ABCD ME. ££> причем^ СМ: MD = 3 : 2.
Разложите вектор DM по векторам АС = ?и iM = Zt
4.
1. В треугольнике ABC медианы BE и СК пересекаются в точке О.
Через точку О проведена прямая, параллельная АС и
пересекающая стороны АВ и BCjb точках Р и Д\ Найдите, если возможно,
такое число к, что: 1) ТР = ЫС; 2) ЯО = Ю£.
2. В параллелограмме ABCD КЕ^В, причем АК : KB = 4:3.
Разложите вектор KB по векторам AD = m и ЛС = /Г.
5.
1. В треугольнике ABC ЕЕ^ ВС, прцчем BE:ЕС = 3:5. Разложите
вектор АЕ по векторам АВ = *?и ЛС = Zt
2. В треугольнике Л5С /)6Л5и££ ВС, причем -=-т = ^7 - ^.
Используя векторы, докажите, что DE\\ AC.
_
1. В треугольнике МРО KEJ4P, причем МК: КР = Ъ : 7. Разложите
вектор ОМ по векторам ОК = /и и ОР = ~п.
2. В параллелограмме ABCD ЕЕАВ, РЕВС, TECD, MEAD, причем
AE:EB = AM:MD = 2:5 и ВР : РС = DT : 7Г = 3:7. Используя
векторы, докажите, что МЕ^РТ.
_
1. В треугольнике ABC ЕЕВС и DEAC, причем -== - -= и ^7 - ^, Л£
ДО
пересекает BD в точке О. Найдите -ргуг. 2. В трапеции ABCD, где
>4D и /?С — основания, МЕАВ и NECD, причем MN^AD.
Докажите, что если BN\\MD, то и MC||A/V.
264
8.
1. В треугольнике МЕТ АЕМТ, ВЕЕТ, АЕ и MB пересекаются в точ-
_ ЕО 4 МА 2 тт „ £Я
ке О, причем -^ - ^ и -^- - j. Найдите —.
2. В параллелограмме ABCD NEAC и MEAD, причем A/V: NC =1:5
и AM: MD =1:4. Докажите, что точки В, N и М лежат на одной
прямой.
265

: 2. Koo • динаты векто ■.
1.
1. Запишите координаты векторов:
1) а =5?— 4уГ2) t= —3J?
2. На рисунке 3 ОАВС — квадрат, ОВ = ЪП. Разложите вектор ОВ
по координатным векторам i и у.
3. Даны два вектора а*{ — 2; 3} и Zf{l; 1}:
1) найдите координаты вектора а*+ Z»;
2) будут ли векторы а*+ 2Ги ?{ — 2; 8} коллинеарными?
1
0
с
1 У
\
А
В
X
Рис.3
2.
Ш~
Рис.4
1. Запишите координаты векторов:
Dm 37*+7yf2) р Аи
2. На рисунке А ОРТЕ — квадрат,
QT - 5-/I. Разложите вектор
ОТ по координатным векторам i
у и/Г
3. Даны два вектора р { — 3; 4} и
Г{1; 2}.
1) Найдите координаты вектора
2) Будут ли векторы р — Ги
к {А; — 2} коллинеарными?
266
3.
1. Докажите, что лучи, задающие векторы ~а= 7*4- у*и Z* = 7*—уГ
взаимно перпендикулярны.
2. Ца цисунк^ 5 ОЛ = ОВ - 5, ОМ * 3 (АВ\Ох). Разложите векторы
АВуОВ и О А по координатным векторам 7*и у*
3. Даны два вектора а { — 2; 4}и Ь {1; 3}
1) Найдите координаты вектора т = 2а — 3Z*.
2) Сонаправлены или противоположно направлены векторы т и
?Г{-14; -2}?
А В
О
м У
X
м
К
г
N
и
р
О х
Рис.5
Рис.6
4.
1. Докажите, что лучи, задающие векторы т — — 7*4- у*и /Г = 7*4- у*
взаимно перпендикулярны.
2. Ца рис^унке^ ОМ = ОР= 17, Otf=8 (МЯЦОУ). Разложите векторы
MP, ОМ и ОЯ по координатным векторам 7*и у*
3. Даны два вектора 7*{3; — 2} и р*{ — 4; 1}.
1) Найдите координаты вектора <а = 37*— 2р*.
2) Сонаправлены или противоположно направлены векторы а* и
#"{ —34; 16}?
267

5.
Рис.7
"а= ti — 3/, ZT = 7*4- 2 уГ
Постройте вектор, равный сумме векторов
"а и £ Какие координаты имеет
этот вектор?
На рисунке 7 треугольник ОАЙ
равносторонний со стороной,_рав-
н§й а. Разложите векторы ОМ и
BN по координатным векторам ил
/Г если М и N — середины сторон
АВ и ОА. ^
х3. ct {— 1; 5}, Ь {т; 2}. При каких
значениях т эти векторы будут
коллинеарными?
6.
1. т = 3 i — 4 у, /Г = — Si + 6/. Постройте вектор, равный разности
векторов /и и "п. Какие координаты имеет этот вектор?
2. На рисунке 8 треугольник QJiB равносторонний со стороной,
равной т. Разложите векторы АЕ и BF по координатным векторам i и
у* если Fn E — середины сторон О А и ОВ.
А
X
О
в
?.
X
Рис.8
3. <?{4; — 3}, Ь \т\ 0}. При каких значениях т векторы а и ^кол-
линеарные
268
7.
1. Даны три вектора "а {3; — 1}, Щ\\ — 2} и t[ — 1; 7}. Найдите
разложение вектора JT= ?+ ZT+ <*по векторам аи^
2. На рисунке 9 AM = 5, Mi? =12. Разложите вектор ЛМ по
координатным векторам Ги /*
Рис.9
3. Цекторы АВ и CD заданы своими координатами _j Ав {3; 4},
CD { — 2; 1}. Найдите координаты вектора — АВ + 4DC.
8.
1. Даны три вектора т { — 1; 2}, ZT{4; — 2} и Г{2; — 3}. Разложите
вектор а = т + Ifno векторам /и и /Г.
2. На рисунке 10 АВ = ВС = 5, АС = Ь, AF±BC. Разложите вектор
КА по координатным векторам 7*и у*
3. Векторы ЛУЗ и CD заданы своими координатами АВ{2;
и CD {3; 1}. Найдите координаты вектора 2ВА + DC.
-1}
269

§ 3. Связь между координатами вектора
и координатами его начала и конца.
П i остейшие задачи в коо • динатах
1.
1. Точка А лежит на положительной полуоси Оу, а точка С — на
положительной полуоси Ох.
1) Найдите координаты вершин трапеции ОАВС, если ОА = АВ = 3,
ОС = 5.
2) Каковы координаты середин диагоналей трапеции?
3) Чему равно расстояние между этими серединами?
2. а = 2i — 5]*^= — ЗГ+уГНайдите \а+ 1\.
2.
1. Точка А лежит на положительной полуоси Оу, а точка С — на
отрицательной полуоси Ох.
1) Найдите координаты вершин трапеции ОАВС, если ОА = А,
ОС = 2,АВ~ 8.
2) Каковы координаты середин диагоналей трапеции?
3) Чему равно расстояние между этими серединами?
2. /й = — 2?*+ Зу, /Г = 31*+ 5)? Найдите | /и — п\.
3.
На рисунке 11 О А = 5, ОВ =
= 4уГ2. Луч ОВ составляет с
положительным направлением
оси Ох угол 45°. Точка А
удалена от оси Ох на расстояние,
равное 3.
1) Найдите координаты точек А
и В.
2) Найдите длину отрезка АВ.
*3) Найдите длину медианы
треугольника АОВ, проведенной
из вершины О.
2. Даны точки А ( — 1; 3) и
В (1; 1). На оси Ох найдите точку, удаленную от точки А на
расстояние, в два раза большее, чем до точки В.
Рис. 11
270
4.
1. На рисунке 12 ОЛ = 8/1,
ОВ - 10. Луч О А составляет с
отрицательным направлением оси
Ох угол 45°, а точка В удалена
от оси Оу на расстояние, равное
8.
1) Найдите координаты точек А и
В.
2) Найдите длину отрезка АВ.
3) Найдите длину медианы
треугольника АОВ, проведенную из
вершины О.
2. Даны точки М (3; — 1) и
Р ( 8; 2). На оси Оу найдите
точку, удаленную от точки М на
расстояние, в два раза меньшее,
чем до точки Р.
Рис. 12
5.
1. Даны точки А (2; 3), В (5; 5), С (8; 3) и D (5; 1). Докажите, что
отрезки АС и AD пересекаются и точкой пересечения делятся
пополам.
2. Треугольник? задан координатами своих вершин: А (1; 3),
В ( — 1; 1), С (2; 2). Определите вид треугольника. Найдите
координаты центра описанной вокруг треугольника окружности и ее
радиус.
6.
1. Даны точки А ( — 4; — 6), В (2; 8), С (16; 14) и D (10; 0).
Докажите, что отрезки АС и BD пересекаются и взаимно
перпендикулярны.
2. Треугольник задан координатами своих вершин А (1; 0), В (2; 1),
,3 — уГЪ уГЗ + 1,
С(" 2 ' 2
ника окружности.
-). Найдите радиус описанной вокруг треуголь-
271

7.
1. Точки А и В имеют координаты А (1; 2), В (7; 10). Найдите
координаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении 1:3, считая от
точки А.
2. Лежат ли точки А ( — 3; 2), 5 (2; 2) и С (2; 14) на одной прямой?
3. Найдите координаты единичного вектора е (| е \ — 1), сонаправ-
ленного с вектором а = Ъг + 4/.
8.
1. Точка М делит отрезок РК в отношении 3:1, считая от точки Р.
Найдите координаты точки Р, если заданы координаты точек М и
К:М(2; —4), КО; 5).
2. Лежат ли точки МО; — 2), Я (3; — 5) и Я (5; — 8) на одной
прямой?
3. Найдите координаты единичного вектора Ж\ (?\ =1),
противоположно направленного вектору ms5i — \2]Т
272
§ 4. Применение метода координат к решению задач
1.
В треугольнике ABC проведена высота ВН. Найдите длину медианы,
проведенной из вершины А, если LABH = 45°, ВН - 6, НС = 8.
2.
В треугольнике МКР с углом М, равным 45°, высота КН делит
сторону MP на отрезки, длины который 4 и 6, считая от вершины М.
Найдите длину медианы, проведенной из вершины М.
3.
В треугольнике ABC АВ = 4, АС = 6, LA = 60°. Найдите медиану,
проведенную из вершины А.
4.
В треугольнике КНР КН = SV1, КР =18, L К - 45°. Найдите медиану,
проведенную из вершины К.
5.
В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C = 90°), AC = 3, AB = 5,
AM —биссектриса угла CAB. Найдите длину медианы ME
треугольника АМВ.
6.
В прямоугольной трапеции ABCD AD и ВС — основания, LBAD =
- 90°,АВ = AD - 4, АС пересекает BD в точке О, причем ВО : OD =
= 1:3. Найдите длину медианы СЕ треугольника BCD.
7.
Докажите методом координат, что медианы треугольника
пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от
вершин треугольника.
273

8.
Дан прямоугольник ABCD и точка М. Докажите, что равенство
MB2 + MD2 = MA2 + МС2 не зависит от положения точки М.
274
5. У • внение ок ■ жности
1.
1. Окружность задана
уравнением
(х — 2)2 + (у + 4)2 = 20.
1) Найдите координаты центра —
этой окружности и ее радиус.
2) Проходит ли эта окружность
через начало координат?
3) На рисунке 13 окружность
касается осей координат,
00\ = 2\Г2. Напишите
уравнение этой окружности.
Рис. 13
2.
1. Окружность задана
уравнением
(х+ 1)2 + (у— 2)2 = 40.
1) Найдите координаты центра
этой окружности и ее радиус.
2) Пересекает ли эта
окружность ось Ох в точке
(5; 0)?
2. На рисунке 14 окружность
касается осей координат,
00\ = 3V7!. Напишите
уравнение этой окружности.
Рис. 14
275

3.
1. Окружность задана уравнением (л + I)2 + (у— 2)2 =16.
Докажите, что отрезок АВ, где А ( — 1; 6) и 2? ( — 1; — 2), является
диаметром этой окружности.
2. На рисунке 15 окружность касается оси Ох в точке F, а луча ОМ
— в точке Е\ LFO\E= 120°, 00\ = 2/3". Напишите уравнение этой
окружности.
4.
,
О
к
S
1
<г
^
01
р
У
X
^\
[. Окружность задана уравнением
(х + З)2 + у2 = 9. Является ли
отрезок МЯ, где М ( — 1; /5)
и Я ( — 5; — у/~5) , диаметром
этой окружности?
2. На рисунке 16 окружность
касается оси Оу в точке AT, а луча
ОЯ — в точке Я, Z. КОР = 60°,
АГЯ = 2уГЗ. Напишите
уравнение этой окружности.
Рис. 16
276
5.
1. Докажите, что линия, заданная уравнением х2 — 8jc + у2 + 15 = 0,
есть окружность. Каково взаимное положение этой окружности и
окружности (jc — 2)2 + (у + I)2 = 4.
2. В прямоугольной системе координат треугольник ABC задан
координатами своих вершин: А ( — 4; — 1), В (0; 2), С (4; — 1).
Напишите уравнение окружности, вписанной в этот треугольник.
1. Докажите, что линия, заданная уравнением х2 + у2 — 6у + 5 = 0,
есть окружность. Каково взаимное положение этой окружности и
окружности (jc — 4)2 + у2 = 9?
2. В прямоугольной системе координат треугольник ABC задан
координатами своих вершин. А (1; 3), В (1; — 3), С ( — 3; 0).
Напишите уравнение окружности, описанной около этого треугольника.
1. В квадрат вписана окружность. Докажите, что сумма квадратов
расстояний от любой точки окружности до вершин квадрата есть
величина постоянная.
2. Дана окружность х2 + у2 — 4х — 5 = 0и точка С (5; 4). Напишите
уравнение окружности, имеющей центр в данной точке и
касающейся данной окружности внешним образом.
8.
1. Около квадрата описана окружность. Докажите, что сумма
квадратов расстояний от точки окружности до вершин квадрата не
зависит от выбора точки на окружности.
2. Дана окружность х2 + у2 — 4х — 2у — 11=0 и точка М (3; 1).
Напишите уравнение окружности, имеющей центр в данной точке
и касающейся данной окружности внутренним образом.
277

6. У • внение п «ямой
1.
1. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А (9; 3) и
перпендикулярную оси Ох.
2. Треугольник задан координатами своих вершин: А (2; —6),
В (4; 2) и С (0; — 4). Напишите уравнение прямой, содержащей
среднюю линию треугольника, которая параллельна стороне АС.
2.
1. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку В (— 3; 10)
и перпендикулярную оси Оу.
2. В треугольнике ABC PK — средняя линия треугольника,
параллельная АВ, Р (2; 3), К ( — 1, 2) и С (0; 0). Напишите уравнение
прямой, содержащей сторону АВ.
3.
1. Даны три последовательные вершины параллелограмма ABCD.
А (2; 2), В (4; 8) и С ( — 6; 10). Напишите уравнение прямой AD.
2. Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми у + х = 0,
у — jc + 6 = 0 и осью Ох.
4.
1. Даны три последовательных вершины параллелограмма МРКТ
М ( — 1; 2), Р (3; 1) и АГ (1; — 2). Напишите уравнение прямой
РТ.
2. Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми у — х —
— 4 = 0, >> + х = 0 и осью ординат.
5.
1. Составьте уравнение прямой, если точка С (3; 4) служит
основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат на эту
прямую.
2. Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми
у — jc = 0, у + х - 0 и у — 2х + 4 = 0.
278
6.
1. Прямая у + 2х— 1=0 пересекает ось Оу в точке А. Напишите
уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной
к данной прямой.
2. Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми у + х » 0,
у + 2х — 4 = 0 и >> — Зх — 4 = 0.
7.
1. При каких значениях к прямая у — кх — 5 = 0 удалена от начала
координат на расстояние, равное 3?
2. Пусть М — точка пересечения медиан треугольника ABC,
А (—1; 2), В (2; 3) иМ(1; 2). Напишите уравнение прямой АС и
найдите координаты вершины С.
8.
1. Прямая у — шх — 4 = 0 пересекает оси координат в точках А и В.
При каких значениях m длина медианы ОЕ треугольника АОВ
равна 7?
2. Даны вершины треугольника ABC: А (4; 6), В ( — 4; 0),
С ( — 1; — 4). Составьте уравнение биссектрисы угла В.
279

§ 7. Использование уравнений окружности и прямой
щи i шении задач
1.
1. Выясните взаимное положение прямой лс=19 и окружности
(х — 7)2 + (>>+6)2 = 81.
2. Найдите множество точек, удаленных от окружности х2 + у2 = 16
на расстояние, равное 3.
2.
1. Выясните взаимное положение прямой у =20 и окружности
(х — 5)2 + (>> — 10)2 = 100.
2. Даны две точки А (2; 0) и 5 (6; 0). Найдите множество всех таких
точек Л/, для которых MA = MB.
3.
1. Выясните взаимное положение прямой х + у — 3 = 0 и окружности
х2 +У2 = 4.
2. Даны точки А (0; 0) иВ (0; 2). Найдите множество таких точек М,
что MB = 2МА
4.
1. Выясните взаимное положение прямой у — х — 4 = 0 и
окружности х2 + у2 = 8.
2. Даны точки А ( — 1; 2) и 5 (2; — 2). Найдите множество точек М
таких, что МА = М5.
5.
1. Прямая 2у + х — 4 = 0 пересекает окружность х2 + у2 = 5. Найдите
длину хорды, которая отсекается этой окружностью на прямой.
2. Даны две точки А и В, расстояние между которыми равно 4.
Найдите множество всех точек М, для которых MA2 + MB2 = 10.
6.
1. На прямой Ау + Зх — 12 = 0 окружность с центром в начале
координат отсекает хорду, длина которой равна 2. Напишите уравнение
этой окружности.
2. Даны две точки А и В, расстояние между которыми равно 4.
Найдите множество точек М, для которых МА2 — MB2 = 4.
280
7.
1. Составьте уравнение окружности, если ее центр находится в точке
С (5; 4) и окружность отсекает от прямой х + 2у — 3 = 0 хорду,
длина которой равна 8.
2. Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами а и Ь (LC = 90°).
Найдите множество точек М, для которых МА2 + MB2 = 2AfC2.
8.
1. Прямая у + 2х — 4 = 0 пересекает окружность (х — 4)2 + (у — 2)2 =
= 16. Найдите длину хорды, которая отсекается этой окружностью
от прямой.
2. Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами а и Ь (LC = 90°).
Найдите множество точек М, для которых МА2 — MB2 = 2MC2.
281

j 8. Пло п. i ь т i * голышка
1.
1. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его боковая
сторона равна 2 см, а угол при основании 15°.
2. Найдите сторону ромба, если его площадь равна 8\^2см2 , а угол
равен 45°.
2.
1. В треугольнике ABC Z.ABC - 120°, АВ - 6. Площадь треугольника
равна ЬуГЪ. Найдите ВС.
2. В параллелограмме ABCD 5C-3VI см, L BAD = 30°, BD-BC.
Найдите площадь параллелограмма.
3.
1. В треугольнике ABC Л#«3, £С«4, BD — биссектриса,
LABD - а. Найдите площадь треугольника ABD.
2. Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны
10 см и 8 см и угол между ними равен 60°.
4.
1. В треугольнике ABC ЛС = 8, #С = 6, Z.C-C, ААХ и ВВХ медианы
треугольника. Они пересекаются в точке О. Найдите площадь
треугольника АОВ\.
2. Диагонали параллелограмма равны 6 см и 10 см, а угол между
ними — 45°. Найдите площадь параллелограмма.
5.
1. В треугольнике ABC ААХ и СС\ — медианы. Они пересекаются в
точке О. АА\ - 9 см, СС\ - 12 см, Z.AOC - 120°. Найдите площадь
треугольника.
2. Трапеция ABCD (AD и ВС — основания) вписана в окружность
так, что основание AD — диаметр окружности. Диагональ
трапеции равна 10 см, а ее площадь — 25 см2. Найдите углы трапеции.
282
6.
1. В треугольнике ABC ААХ и СС\ — медианы, они пересекаются в
9
точке О, АА\ = тс, СС\ - 6. Площадь треугольника ABC равна 9.
Найдите LAOC.
2. В равнобедренной трапеции ABCD (AD и ВС — основания)
AD - m, BD±AB, LBAD = a. Найдите площадь трапеции.
7.
1. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в
точке О. SBOC - 20 см2, SCOd - 40 см2, SAOD - 60 см2, АВ - 12 см,
ОА- 10 см, LAOB > ЗГ. Найдите LBAO.
2. В треугольнике ABC АВ = я, ВС" Ь, LABC - а. Точка D лежит на
стороне ЛС, LABC' - /8. Найдите BD.
8.
1. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и ЯО пересекаются в
точке О, SW - 30 см2, SCOd - 60 см2, SAO/) - 90 см2, ОА - 10 см,
ОЯ - 9\^1 см, £ЯЛО + LAOB < 46°. Найдите LAOB.
2. В треугольнике Л5С точка D лежит на стороне ЛС, BD = m, Z?C -
- л, LABD - or, LDBC =/8. Найдите длину стороны Л#.
283

§ 9. Теорема синусов
1.
1. В треугольнике ABC LA = 45°, LC = 15°, ВС = 4^о". Найдите АС.
2. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) LA = a, AC = b,
АЕ — биссектриса. Найдите АЕ.
2.
1. В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C = 90°) CD —
биссектриса, LA = 15°, AC - лГЗ. Найдите AD.
2. В остроугольном треугольнике ABC BD±AC> LA = ay LB=fit BD =
= h. Найдите AC.
3.
1. В параллелограмме ABCD диагональ АС разбивает угол А на два
угла: а и /?; АС - d. Найдите площадь параллелограмма.
2. В треугольнике ABC LA = 10°, LC = 20°, AC = 10 см. Найдите
радиус окружности, описанной около этого треугольника.
4.
1. В равнобедренной трапеции ABCD (AD и ВС — основания),
LBCA =P> LCD A =a, AD = т. Найдите площадь трапеции.
2. Треугольник ABC вписан в окружность, радиус которой равен
2VI, LA - 80°, LC = 40°. Найдите АС.
5.
1. В треугольнике ABC LA = at LC-y. Точка D лежит на стороне
ВСt LDAC = fi. Найдите отношение площадей треугольников ABD
nADC.
2. В треугольнике ABC АВ = 5,ВС = 9, ВЕ±АС, ВЕ = Ъ (А — Е — С).
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
6.
1. В треугольнике ABC АВ = ВС, BD — высота. Через середину
высоты проведена прямая, пересекающая стороны АВ и ВС в точках Е
и F соответственно. Найдите EFt если BD = h, LABC=fi и
LBEF = а.
2. Треугольник ABC вписан в окружность, радиус которой равен 5,
BDA.AC (Л — D — С), АВ = 5, AD = 3. Найдите ВС.
284
7.
1. Из вершины А равностороннего треугольника ABC проведен луч,
пересекающий сторону ВС и на нем выбрана некоторая точка М,
LAMB = 20°, LAMC = 30°. Найдите LMAB.
2. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны т и и, а
прилежащие к основанию т углы равны а и /?.
8.
1. Угол при вершине В, противолежащий основанию АС
равнобедренного треугольника ABC, равен 20°. На стороне АВ выбрана
точка D так, что Z.j4CD = 50°, а на стороне ВС — точка F так, что
LFAC~ 60°. Найдите LAFD.
2. Около треугольника ABC описана окружность, ВС = а, LB = at
LC~p. Биссектриса угла А пересекает окружность в точке К.
Найдите АК.
285

: 10. Teoi ма косин сов
1.
1. Найдите сторону треугольника, лежащую против угла в 120°, если
две другие стороны равны 6 см и 10 см.
2. Остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является
треугольник, стороны которого равны 3, 5, 7?
2.
1. Найдите сторону треугольника, лежащую против угла в 135°, если
две другие стороны равны 2VZ см и 3 см.
2. Остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является
треугольник, стороны которого равны 4, 5, 6?
3.
1. В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине В равен
120°, АС - 2уГП. Найдите длину медианы AM.
2. Стороны треугольника равны 5, 7 и 8. Найдите угол, лежащий
против средней по величине стороны.
4.
1. В параллелограмме ABCD AD-2, LBAD = 60°, BE±ADt BE =
» 2VX Найдите длину большей диагонали параллелограмма.
2. Стороны треугольника равны 3, 5 и 7. Найдите наибольший угол
треугольника.
5.
1. В треугольнике ABC AB - 4, ВС ■»5. Площадь треугольника равна
5\^3. Найдите высоту, опущенную из вершины В, если
cos LABC < 0.
2. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите радиус
описанной около треугольника окружности.
286
6.
1. В треугольнике ABC AB = 4уГ5,ВС - 3. Площадь треугольника
равна 3V3. Найдите радиус описанной около треугольника
окружности, если ее центр лежит внутри треугольника.
2. Стороны треугольника равны 25, 39, 56. Найдите высоту,
опущенную на большую сторону.
1. Пусть CD — диаметр окружности с центром в точке О и АВ —
параллельная этому диаметру хорда. На диаметре CD выбрана точка
М. Докажите, что сумма MA2 + MB2 не зависит от положения
хорды АВ.
2. Докажите, что в любом треугольнике углы Л, В и С связаны
соответственно соотношением:
cos2 A = cos2 С + sin2 В - 2sin A sin В cos С.
8.
1. Дан угол ВАС. Внутри него выбрана точка М, удаленная от сторон
угла на расстояния а и Ь. Найдите ЛМ, если 2.ВАС ™ а.
2. Докажите, что в любом треугольнике углы Л, В и С связаны
соответственно соотношением:
2 sin A sin В cos С - 1 = cos2 С - cos2 A — cos2 В.
287

111. Решение т^угольников
l.
1. В треугольнике ABC £ = 0,3; LA = 32°; LB = 70°. Найдите
неизвестные элементы треугольника.
2. В треугольнике ABC а - 28, b = 35, с = 42. Найдите угол, лежащий
против меньшей стороны.
2.
1. В треугольнике ABC Ь = 18; с = 12; Z-Л = 50°. Найдите неизвестные
элементы треугольника.
2. В треугольнике £*Р ЕР = 0,75; Z.P = 40°, LK=2S\ Найдите Р/С.
3.
1. В треугольнике ABC LA = 25°30' ; * = 10,8 ;ВЕ L АС ; J3£ = 7,6.
Найдите неизвестные элементы треугольника.
2. В треугольнике Л.ЙС LA = 52°, Z.J3 = 70°. Радиус описанной около
треугольника окружности равен 7. Найдите площадь треугольника.
4.
1. В треугольнике Л/?С а = 3,9, £ = 4,1, с = 2,8. Найдите неизвестные
элементы треугольника.
2. В треугольнике ABC а = 20, b = 48. Радиус описанной около
треугольника окружности равен 25. Найдите площадь треугольника.
5.
1. В треугольнике ABC а + 6 = 21, LA = 64°, LB = 50°. Найдите
неизвестные элементы треугольника.
2. В треугольнике ABC ВС = 3,4, LABC = 130°. Площадь
треугольника равна 3,6. Найдите АС.
_
1. В треугольнике ABC а — £ = 0,85, LA= 112°, LB = 36°. Найдите
неизвестные элементы треугольника.
2. В треугольнике ABC Ав = 2,1, ВС = 3,2, LABC = 53°. Найдите
радиус окружности, описанной около треугольника.
288
7.
1. В параллелограмме ABCD АВ = 21,\, ЛС = 34,5, LCAD = 36°15'.
Найдите периметр параллелограмма.
2. В четырехугольнике ABCD АВ = 3, ВС = 5, CD = 6, AD = 4, АС = 7.
Диагонали пересекаются в точке О. Найдите LAOB.
8.
1. В параллелограмме ABCD ЛС = 28,3, CD = 25,7, LBCA = 55°30'.
Найдите площадь параллелограмма.
2. ABCD — выпуклая ломаная линия. АВ = 4, ^С = 5, CD = 7,
LABC = 110°, LBCD= 140°. Найдите расстояние между точками А
и D.
103ивБ.Г.
289

§ 12. Скалярное произведение векторов,
скалярное произведение векторов в координатах
1.
1. В квадрате ABCD сторона равна 1. Диагонали пересекаются в точ-
ке^О. Цайдите^калщшые произведения:
1) АО • BD; 2) СО • CD; 3) АВ ■ DB.
2. Используя микрокалькулятор, найдите угол между векторами а и
3£ если а{ — 1; 3}, ZT{2; 1}.
2.
1. Сторона равностороннего треугольника ABC равна 1, MN —
средняя линия (МЛ^ЛО^Найдит^е скалярные произведения:
1) MN • СА; 2) NM • СВ; 3) АС • СВ.
2. Используя микрокалькулятор, найдите угол между векторами т и
- 7>/f, если m (3; — 1), п (2; 4).
3.
1. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС) BD — медиана,
EGBD.AC - %±BD = 3. Нацдите_£калярные произведения:
1) АВ • АС; 2) АВ • BD; 3) BE • СА.
2. Прямая задана двумя точками А(4; — 7) и В ( — 2; 3).
Используя микрокалькулятор, найдите угол между прямой АВ и
положительным направлением оси Ох.
4.
1. Сторона ромба ABCD равна 10, диагональ АС равна 16, FEAC,
/Г£2Ш^Найдите скдлярные^прои^ведения:
1) АВ • АС; 2) АВ ■ BD; 3) KD ■ FC.
2. Прямая задана двумя точками Р( — 4; 6) и Т (2; — 3). Используя
микрокалькулятор, найдите угол между прямой РТ и
положительным направлением оси Оу.
290
5.
1. В прямоугольной трапеции ABCD (AD и ВС — основания)
LA - 90°, AD = 6, ВС = 2, АВ = 3. Найдите скалярные
произведения: _^ _^
1) ВА • CD; 2) AD • DC; 3) ВС- DA.
2. В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C = 90°), Л U; 3), Я (1; 1)
и С (— 2; 4). Используя микрокалькулятор, найдите угол между
медианой СЕ и гипотенузой АВ.
6.
1. В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и ВС
соответственно равны 15 и 5, CD= 13, CELAD. Найдите скалярные произ-
ведение _, _ _,
1) DC • DA; 2) СЕ • АВ; 3) ВС • AD.
2. В четырехугольнике ABCD А(\; —3), Я Ос; —1), С (2; 1),
D (1; 2), AC±BD, M — середина АВ. Используя
микрокалькулятор, найдите угол между прямыми DM и DA.
7.
1. В прямоугольной трапеции ABCD LA = 90°, AD и JgC —
основания,, j\D~J, ^ВС = 3. Найдите АВ ВС + ВС • CD +
+ DA • АВ + CD ■ DA .
2. В треугольнике ABC A (3; 2), В (4; 5) и С (7; 10). Найдите высоту,
опущенную из вершины А.
8.
1. В^равцобедденнор трщецтл^АВСр ADji ВС — основания. Найдите
АВ ■ ВС + ВС • CD + CD DA + DA - АВ, если разность оснований
равна т.
2. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин
А (—1; 2), В (1; — 2), С (2; 0) и D (1; 6). Докажите, что ABCD —
трапеция, и найдите ее высоту.
291

§ 13. Свойства скалярного произведения векторов.
Применение скалярного произведения векторов
к решению задач
1.
1. | а\ =2V7, | ?| = 4, о2Г=135°. Найдите \a + 2ff\.
2. ABCD — квадрат, F — середина CD, a E — середина AD.
Используя векторы, докажите, что BEA.AF.
_
1. | t\ = 2VI, | t\ =2, o2f= 150°. Найдите \1а- t\.
2. В прямоугольнике ABCD AD = jAB* EECD, причем DE = ^DC.
Используя векторы, докажите, что BD±AE.
3.
1. Используя микрокалькулятор, найдите угол между векторами а и
а+ t, если | ~а\ = 2, | t\ = 1 и М= 60°.
2. В треугольнике ABC АВ = 2, АС - 3V7, /.ЯЛС = 45°. Найдите
длину медианы AD.
4.
1. Используя микрокалькулятор, найдите угол между векторами т и
т — Тг, если | m | = 3, | 7г\ =2 и mn - 120°.
2. В треугольнике EFK FE= 2, F/C = ЗуП, ^£7Ж = 135°. Найдите
длину медианы FM.
5.
1. В треугольнике^ АВС^ AD_^ BE и CF—медианы. Вычислите
ВС ■ №> + С А ВЕ+ АВ • CF.
2. В треугольнике ABC CD — медиана, причем CD2 > -^ АВ2.
Докажите, что LC — острый.
292
6.
1. Даны три точки, для которых АС2 + ВС2 = т*АВ2. Докажите, что
АС+ ВС = 0.
2. В треугольнике ABC ВС > AC, CD — медиана. Докажите, что
LBDC — тупой.
7.
1. ABCD — прямоугольник. Докажите, что МА2 + МС2 =
= MB2 + MD2, где М — произвольная точка плоскости.
2. Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны.
Докажите, что высота трапеции есть среднее пропорциональное
между ее основаниями.
8.
1. Докажите, что в трапеции ABCD с основаниями АВ и CD
выполняется равенство: АС2 + BD2 = AD2 + ВС2 + 1АВ • DC.
2. В треугольнике ABC LB = 60°, AD — медиана, EG AC, причем
СЕ : ЕА = 1 : 3, ADA. BE, AB - 2. Найдите ВС.
293

§ 14. Правильный многоугольник.
Окружность, описанная около правильного
многоугольника.
Окружность, вписанная в правильный многоугольник
1.
1. Найдите углы правильного двадцатиугольника.
2. Меньшая диагональ правильного шестиугольника равна а.
Найдите сторону шестиугольника и его большую диагональ.
_
1. Угол правильного многоугольника равен 144°. Найдите число его
сторон.
2. Сторона правильного шестиугольника равна Ь. Найдите его
диагонали.
_
1. Вокруг правильного многоугольника описана окружность, радиус
которой равен R. Стороны многоугольника удалены от его центра
на расстояние, равное -у. Чему равно число сторон этого
многоугольника?
2. Докажите, что в правильном пятиугольнике ABCDE диагонали АС
и AD делят угол ВАЕ на три равные части.
_
1. Вокруг правильного многоугольника описана окружность, радиус
которой равен R. Сторона этого многоугольника удалена от центра
R VI „
окружности на расстояние, равное —~—. Чему равно число сторон
этого многоугольника?
2. Докажите, что произведения отрезков двух пересекающихся
диагоналей правильного многоугольника равны между собой.
_
1. ABCDEF — правильный шестиугольник. Площадь треугольника
ABC равна 12 см2. Найдите площадь шестиугольника.
2. Сторона правильного пятиугольника ABCDE равна 2. Диагонали
AD и BE пересекаются в точке О. Найдите АО.
294
6.
1. Площадь правильного шестиугольника ABCDEF равна 144 см2.
Найдите площадь треугольника ABC.
2. В правильном пятиугольнике ABCDE диагонали АС и BE
пересекаются в точке О, ВО - 2. Найдите сторону пятиугольника.
1. Какими равными правильными многоугольниками можно покрыть
плоскость без просветов?
2. От каждой вершины квадрата на его сторонах отложены отрезки,
равные половине его диагонали. Полученные восемь точек
последовательно соединены отрезками. Определите вид полученного
восьмиугольника.
8.
1. Можно ли покрыть плоскость без просвета правильными
четырехугольниками и восьмиугольниками? Если да, то в каком-то из
возможных случаев найдите отношение их сторон.
2. Прямоугольник пересечен двумя парами параллельных прямых
так, что получился правильный шестиугольник. Найдите
отношение сторон прямоугольника.
295

§ 15. Формулы для вычисления площади правильного
многоугольника, его стороны
и радиуса вписанной окружности.
Построение правильных многоугольников
1.
1. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен
\Г5см. Найдите периметр и площадь треугольника.
2. Хорда окружности, равная а, стягивает дугу в 90°. Найдите радиус
окружности.
3. С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность
правильный четырехугольник.
2.
1. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник,
равен ЪГЪ см. Найдите периметр и площадь шестиугольника.
2. Хорда окружности, равная т, стягивает дугу 120°. Найдите
радиус окружности.
3. С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность
правильный треугольник.
3.
1. В окружность вписаны квадрат и правильный треугольник.
Площадь квадрата равна Q. Найдите сторону и площадь треугольника.
2. В окружность вписан правильный шестиугольник, и вокруг
окружности описан правильный шестиугольник. Найдите отношение их
площадей.
3. С помощью циркуля и линейки опишите около окружности
правильный четырехугольник.
4.
1. В окружность вписаны правильный шестиугольник и квадрат.
Площадь шестиугольника равна Q. Найдите сторону и площадь
квадрата.
2. В окружность вписан правильный треугольник, и вокруг
окружности описан правильный треугольник. Найдите отношение их
площадей.
3. С помощью циркуля и линейки опишите около окружности
правильный треугольник.
296
5.
1. По данному радиусу R найдите сторону и площадь правильного
вписанного в окружность двенадцатиугольника.
2. Центры двух окружностей расположены по разные стороны от их
общей хорды. Хорда равна а и служит в одной окружности стороной
правильного вписанного треугольника, а в другой — правильного
вписанного шестиугольника. Найдите расстояние между центрами
этих окружностей.
3. С помощью циркуля и линейки постройте правильный
шестиугольник по отрезку, равному его апофеме.
1. По данному радиусу R найдите сторону и площадь правильного
вписанного в окружность восьмиугольника.
2. Центры двух пересекающихся окружностей расположены по одну
сторону от их общей хорды. Хорда равна а и служит в одной
окружности стороной правильного вписанного треугольника, а в
другой — вписанного квадрата. Найдите расстояние между центрами
этих окружностей.
3. С помощью циркуля и линейки постройте правильный
шестиугольник по отрезку, равному его меньшей диагонали.
1. Сторона правильного двенадцатиугольника AiA2...Ai2 равна
сЫг — уГз . Найдите площадь четырехугольника А\А(,АтАц.
2. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) меньшее основание
равно а, углы, прилежащие к этому основанию, равны 105°, диагонали
взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.
3. С помощью циркуля и линейки постройте правильный
шестиугольник, площадь которого в два раза больше площади данного
правильного шестиугольника.
297

8.
1. Сторона правильного восьмиугольника А1А2...А8 равна
asll — V2 . Найдите площадь четырехугольника A\A^AsAf,.
2. В окружность, радиус которой равен R, вписана трапеция, ее
вершины делят окружность в отношении 2:3:2:5. Найдите площадь
трапеции.
3. С помощью циркуля и линейки постройте правильный
шестиугольник, площадь которого в два раза меньше площади данного
правильного шестиугольника.
298
| 16. ^лина ок£ужности
1.
1. Длина окружности, описанной около квадрата, равна 8л: см.
Найдите периметр квадрата.
2. С помощью микрокалькулятора найдите длину дуги, содержащей
105° и радиус которой равен 22 дм.
2.
1. Длина окружности, описанной около правильного треугольника,
равна 12л см. Найдите периметр треугольника.
2. С помощью микрокалькулятора найдите радиус дуги окружности,
если дуга содержит 138° и ее длина равна 15 см.
3.
1. Найдите периметр заштрихованной фигуры, изображенной на
рисунке 17, если радиус окружности с центром О равен /?, а
k.jAMB= 120°.
2. Окружность радиуса 12 см разогнута в дугу, центральный угол
которой равен 135°. Найдите радиус дуги.
4.
1. Найдите периметр заштрихованной фигуры, изображенной на
рисунке 18, если радиус окружности с центром О равен R,
^АМВ = 90°.
2. Дуга, радиус окружности которой равен 6 см и центральный
угол 120°, свернута в окружность. Найдите радиус окружности.
Рис. 17 Рис. 18
299

1. На рисунке 19 АМВ, АКС, CLD, DPB полуокружности с
диаметрами АВ, AC, CD и DB. Докажите, что путь от А до В по
полуокружности АМВ равен пути по полуокружностям АКС, CLD и DPB.
2. В сегмент, дуга которого содержит 120° и длина дуги которого равна
/, вписана наибольшая окружность (рис. 20). Найдите длину этой
окружности.
^©
A CD В
Рис.19 Рис.20
1. На рисунке 21 AT В, АЕС, CFD и DM В полуокружности с
диаметрами АВ, AC, CD и DB. Докажите, что путь от Л до В по
полуокружности АТВ равен пути по полуокружностям АЕС, CFD и DMB.
Т
Рис. 21
2. Из точки М к окружности проведены касательные МА и MB
(рис. 22), дуга АРВ= 120°, а ее длина равна /. Найдите длину
окружности, вписанной в фигуру МАРВ.
300
7.
Рис. 22
1. Три окружности, длины которых равны с, касаются друг друга.
Найдите длину окружности, которая внутренним образом касается
трех данных окружностей.
2. Найдите длину приводного ремня (рис. 23), если Ох и 02 —
центры двух шкивов, радиусы которых 8 дм и 2 дм. Расстояние между
центрами равно 12 дм.
Рис. 23
301

8.
Рис. 24
1. Даны четыре окружности, каждая из которых касается двух
других. Длины окружностей равны с. Найдите длину окружности,
которая внутренним образом касается всех данных окружностей.
2. Найдите длину приводного ремня (рис. 24), если 0\ и Ог —
центры шкивов, радиусы которых равны 25 см, а расстояния между
центрами — 100 см.
302
§ 17. Площади круга и к£^гового сектора
1.
1. Площадь круга больше площади правильного вписанного в него
шестиугольника на 4я - Ь\Г5. Найдите радиус круга.
2. С помощью микрокалькулятора найдите площадь сектора, дуга
которого содержит 115° и радиус которого равен 12,7 см.
3. Постройте круг, площадь которого в 9 раз больше площади данного
круга.
2.
1. Площадь правильного треугольника больше площади вписанного в
него круга на 27V^ — 9тг. Найдите радиус круга.
2. Радиус сектора равен 9,7 см, а его площадь — 162 см2. Сколько
градусов содержит дуга сектора? Вычислите с помощью
микрокалькулятора.
3. Постройте круг, площадь которого в 4 раза меньше площади
данного круга.
3.
1. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найдите
площадь заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке 25.
2. Дуга АВ содержит 120°, а радиус равен R. Найдите площадь
заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке 26.
Рис. 25 Рис. 26
3. Постройте круг, площадь которого равна разности площадей двух
данных кругов.
303

4.
1. Стороны треугольника равны 5, 5 и 8. Найдите площадь
заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке 27.
Рис. 27
Рис. 28
Дуга АВ равна 60°, а радиус окружности — R. Найдите площадь
заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке 28.
Постройте круг, площадь которого равна сумме площадей двух
данных кругов.
5.
Рис. 29
1. Даны две концентрические
окружности. Хорда большей
окружности, которая касается
меньшей, равна а. Найдите площадь
кольца.
2. На рисунке 29 изображен
полукруг с диаметром AD, дуга АВ
равна дуге CD и равна 30°.
Площадь полукруга равна Q.
Найдите площадь заштрихованной
фигуры.
3. Данный круг разделить
окружностью, концентрической его
окружности, на две равные по
площади части.
304
6.
Рис. 30
1. Даны две концентрические
окружности. Хорда большей
окружности касается меньшей.
Найдите длину хорды, если площадь
кольца равна 4тг см2.
2. На рисунке 30 изображен
полукруг с диаметром AD, дуга АВ
равна дуге CD и равна 45°.
Площадь заштрихованной фигуры
равна Q. Найдите площадь
полукруга.
3. Постройте круг, имеющий такую
же площадь, что и данное
кольцо.
7.
1.
Две окружности, имеющие радиусы г и Зг, внешне касаются. АВ
— их общая касательная. Найдите площадь заштрихованной
фигуры, изображенной на рисунке 31.
Рис. 31
2. ABC — прямоугольный треугольник (Z.C = 90°), АС = Ь, ВС = а,
CD LAB. Длина окружности, вписанной в треугольник ADC равна
с. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник CDB.
3. Данный круг разделить двумя окружностями, концентрическими
окружности круга, на три части, имеющие равные площади.
305

8.
1. В сектор с центральным углом в 60° и радиусом, равным R,
вписана окружность. Найдите площадь заштрихованной фигуры,
изображенной на рисунке 32.
Рис. 32
2. В треугольнике ABC EGAB и FEBC, причем LBEF~ LBCA,
BF "* т, АВ - п. Длина окружности, вписанной в треугольник EBF,
равна с. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник ABC.
3. Постройте круг, площадь которого равна сумме площадей трех
данных кругов.
306
§ 18. Понятие движения.
Осевая и ент». ьная симметрии
1.
1. На рисунке 33 изображен угол ABC. Постройте угол,
симметричный данному относительно оси /.
2. Докажите, что при движении вертикальны углы отображаются на
вертикальные углы.
2.
1. На рисунке 34 изображен угол ABC. Постройте угол,
симметричный данному относительно центра О.
2. Докажите, что при движении смежные углы отображаются на
смежные.
Рис. 34
3.
1. Постройте произвольный треугольник и его образ при симметрии
относительно прямой, содержащей биссектрису одного из его
внешних углов.
2. Докажите, что при движении подобные ромбы отображаются на
подобные ромбы.
307

4.
1. Постройте произвольный треугольник и его образ при симметрии
относительно точки пересечения его высот.
2. Докажите, что при движении подобные прямоугольники
отображаются на подобные прямоугольники.
5.
При помощи одной линейки постройте ось симметрии
равнобедренной трапеции.
При некотором движении отрезок АВ отображается на отрезок ЕР,
АВ= 12 см. Точка М принадлежит отрезку АВ, АМ = 2 см. Точка
М отображается на точку Н. Найдите НЕ.
6.
На рисунке 35 отрезки АВ и А\В\ центрально симметричны
относительно некоторого центра. С помощью одной линейки постройте
образ точки М при этой симметрии.
Рис. 35
2. Точка К принадлежит отрезку МН и делит его в отношении 3 : 2,
считая от точки М. При некотором движении отрезок МН
отображается на отрезок ЕР, а точка К — на точку Т. Найдите
отношение ЕТ: ТР.
308
7.
1. На рисунке 36 изображены две окружности и прямая /. Найдите на
этих окружностях точки, симметричные друг другу относительно
прямой /.
©1°
Рис. 36
2. Докажите, что равнобедренные трапеции ABCD и A\BxCiD{ {АВ и
CD — основания) равны, если АВ = А\ВХ, AD = A{ D\ и
LBAD= LBXA{D{.
8.
1. На рисунке 37 изображены прямые а и Ь и точка О. Найдите на
этих прямых точки, симметричные друг другу относительно центра
О.
Рис. 37
2. Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и угол
между ними одного параллелограмма равны диагоналям и углу
между ними другого параллелограмма.
309

Ш^.
§ 19. Па» ельный net hoc
1.
1. Постройте образ угла МОИ
(рис. 38) при параллельном
переносе на вектор АА\.
2. Используя параллельный
перенос, докажите, что если
одна из двух параллельных
прямых перпендикулярна третьей
прямой, то и вторая прямая
перпендикулярна этой
прямой.
Рис. 38
2.
Рис. 39
1. Постройте образ угла EOF
(рис. 39) при параллельном
переносе на вектор ММХ.
2. Используя параллельный
перенос, докажите, что углы при
основании равнобедренной
трапеции равны между собой.
3.
1. В произвольном треугольнике ABC BD — медиана. Точки Е и F
принадлежат медиане BD {В—F—E). Постройте^образ
треугольника ABC при параллельном переносе на вектор FE.
2. Даны две равные окружности с центрами в точках О и 0\, СЮ\ ■
= 15 см. Прямая /, параллельная прямой OOi, пересекает эти
окружности в точках А, В, С и D (А—В—С—D). Найдите длину
отрезка АС.
310
4.
1. В прямоугольном треугольнике ABC АЕ — биссектриса. Точки К и
Р принадлежат биссектрисе АЕ (А—К—Р). Постройте_^>браз
треугольника ABC при параллельном переносе на вектор РК.
2. Даны два равных треугольника ABC и АХВХС\, основания которых
АС и А\С\ лежат на одной прямой /. Расстояние между точками
пересечения медиан этих треугольников М и М\ равно 8 см. Прямая
р, параллельная /, пересекает стороны этих треугольников в точках
Е, F, К и Р (E—F—K—P). Найдите длину отрезка FP.
5.
В
1. На рисунке 40 изображена
прямоугольная трапеция ABCD.
Постройте образ этой трапеции при
параллельном переносе на вектор а!
Затем только при помощи циркуля^
постройте образ точки X при этом
переносе.
2. Постройте трапецию ABCD с
основаниями AD и ВС такую, чтобы
L BAD -90°, ACLBD и диагонали
были бы равны двум данным
отрезкам (BD> AC).
□L
Рис. 40
6.
1. На рисунке 41 изображена трапе
ция ABCD. Постройте образ этой /т)
трапеции при параллельном
переносе на вектор т. Затем только при
помощи циркуля постройте образ
точки Y при этом переносе.
2. Постройте трапецию по двум
диагоналям, углу между ними и одной
из боковых сторон.
• У
Рис. 40
311

7.
1. На рисунке 42 изображены две окружности с центрами в точках
0\ и 02 и прямая т. Провести прямую /, параллельную т так,
чтобы эти окружности на этой прямой высекали равны хорды.
2. Докажите, что если в треугольнике медианы равны, то
треугольник равнобедренный.
т
Рис. 42
8.
1. Даны два неравных равнобедренных треугольника,
расположенные так, что их основания лежат на одной прямой / (рис. 43).
Проведите прямую /и, параллельную /, так, чтобы отрезки прямой т,
которые образуются при пересечении этой прямой со сторонами
треугольника, были равны (отрезки, заключенные между
сторонами треугольников).
В
л
А С A, Ci /
Рис. 43
2. Прямые, которые принадлежат боковым сторонам трапеции,
перпендикулярны. Докажите, что отрезок, соединяющий середины
оснований, равен полуразности оснований.
312
§ 20. Поворот
1. Постройте образ АХВХ хорды АВ при ее повороте вокруг центра
окружности на 45° против часовой стрелки. Сравните длины АВ и
АХВХ.
2. Докажите, что при вращении правильного шестиугольника вокруг
его центра на 120° он отображается сам на себя.
1. Точки А и В принадлежат окружности с центром О. Постройте
образ А] ОВ\ сектора АО В при вращении вокруг центра О на 60° по
часовой стрелке. Сравнить дуги АВ и Ах В{.
2. Докажите, что при вращении квадрата вокруг его центра на 180°
он отображается сам на себя.
3.
А
1. Постройте образ угла ABC
(рис. 44), полученный
поворотом вокруг центра О на 60°
по часовой стрелке.
С
Рис. 44
2. Хорды одной и той же
окружности находятся на
одинаковом расстоянии от центра
окружности. Докажите, что они
равны.
313

4.
1. Постройте образ угла МНР (рис. 45), полученного поворотом
вокруг центра О на 120° против часовой стрелки.
2. На окружности, центром которой является точка О, отмечены в
одном направлении последовательно точки А, В, С и D, так что
LAOB - LCOD. Докажите, что АС - BD.
Рис. 45
Рис. 46
5.
1. На двух данных окружностях (рис. 46) найдите такую пару точек,
что поворот вокруг данной точки О на 60° отображает одну точку
этой пары на другую.
2. Через центр О правильного треугольника ABC проведены две
прямые, образующие между собой угол, равный 60°. Докажите, что
отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника, равны.
314
6.
Укажите соответственно на
данных прямой и отрезке такие
две точки (рис. 47), чтобы одну
из них можно было бы
отобразить на другую поворотом
вокруг данной точки О на 30°.
Дан квадрат ABCD. Через
центр квадрата проведены две
взаимно перпендикулярны
прямые, отличные от прямых
АС и BD. Докажите, что
отрезки этих прямых, заключенные
внутри квадрата, равны.
Рис. 47
7.
1. Постройте правильный треугольник так, чтобы одна его вершина
совпадала с точкой Р, другая принадлежала прямой а, а третья —
прямой Ь (рис. 48).
Рис. 48
2. На сторонах АВ и АС треугольника ABC постройте квадраты АВЕР
и АСНМ, расположенные с треугольником ABC в разных
полуплоскостях соответственно с границами АВ и АС. Докажите, что PC -
= ВМ и PCLBM.
315

8.
1. Постройте правильный треугольник, одна вершина которого
совпадает с данной точкой А, а две другие принадлежат двум данным
окружностям (рис. 49).
А
Рис. 49
2. Даны два одинаково ориентированных квадрата ABCD и AEFK.
Докажите, что EB = KDnEB ± KD.
316
РАБОТЫ НА ПОВТОРЕНИЕ
№ 1. Треугольники
1.
Рис. 50
1. На рисунке 50 ААВС — равнобедренный (АВ = ВС), DF\\AC и
CF\\AB, AB= 13, BD = 7, AC =10.
1) Докажите, что AADE = ACED.
2) Докажите, что AECF со ААВС.
3) Найдите EF.
4) Найдите высоту треугольника ABC, опущенную на боковую
сторону.
5) Найдите отношение площадей треугольников ADE и DCF.
2. Начертите тупоугольный треугольник и постройте точку
пересечения прямых, которым принадлежат высоты треугольника.
2.
На рисунке 51 ААВС —
равнобедренный (АВ = ВС), BD ± AC, LAKM =
= LBMA, АВ=\1, АС =16, MD = b.
1) Докажите, что ААВМ = АВМС.
2) Докажите, что ААКМ с» АВМС.
3) Найдите КМ.
4) Найдите радиус окружности,
вписанной в ААВС.
5) Найдите площадь треугольника
АКМ.
Начертите остроугольный треугольник
и опишите около него окружность.
317

3.
1. На рисунке 52 ААВС — прямоугольный,
LC - 90°, М — середина АВ, DM ± AB,
AF\BC, CK\\DM, DM-8, MB -15.
1) Докажите, что AAFM =* ADMB.
2) Докажите, что AAFM со ААВС.
3) Найдите стороны ААВС.
4) Найдите радиус вписанной в
треугольник DMB окружности и длину
медианы в треугольнике ABC, проведенной
из вершины прямого угла.
5) Найдите отношение площадей
треугольников АКС и СКВ.
2. Начертите тупоугольный треугольник и опишите около него
окружность.
Рис. 52
4.
На рисунке 53 ААХ и ВВХ — медианы, ААХ - 12, ВВХ - 9, ВХЕ^Ъ,
BiK = 9, Z?,P-21, LAMBX -60°.
1) Докажите, что АВХ СЕ - ААМВХ.
2) Найдите АС и докажите, что АВХРК со ААМВХ.
3) Найдите КР.
4) Докажите, что КР\ААХ.
5) Найдите площадь треугольника ABC.
Начертите треугольник и впишите в него окружность.
Рис. 53
318
5.
В треугольнике ABC АВ = 7, ВС - 8, АС - 3
(рис. 54), ВВХ — биссектриса, LBB\A =
= LBBXE, MC\BXE.
1) Докажите, что АВВХА = АВВХЕ.
2) Докажите, что АВСМ со АВАВХ.
3) Найдите МС.
4) Найдите площадь треугольника ABC.
5) Найдите радиус окружности, описанной
около треугольника ВХЕС.
Начертите треугольник и постройте какой-
либо треугольник, площадь которого в 2,25
раза больше данного.
Рис. 54
6.
1.
На рисунке 55 AF = AE=4, LA = 25°, LAFC= LAED= 100°,
BC\DE.
1) Докажите, что AFKD - AEKC.
2) Докажите, что ААВС со A AFC.
3) Найдите стороны треугольника AFC.
4) Найдите отношение периметров треугольников AFC и ABC.
5) Найдите площадь треугольника ABC.
Начертите прямоугольный треугольник и постройте точку
пересечения его медиан.
Рис. 55
319

№ 2. Четырехугольники
1.
Через середину О диагонали АС прямоугольника ABCD проведена
прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках Р и К
соответственно.
1) Докажите, что АРСК — параллелограмм.
2) Найдите площадь АРСК, если АК = 4, KD = % и АС= 13.
3) Найдите РК.
4) С помощью микрокалькулятора найдите угол АОК.
2.
На сторонах АВ, ВС, CD и DA квадрата ABCD выбраны точки Р,
Е, F и К такие, что АР - BE - С/1 - /Ж - 1, £К=10, £Я и PF
пересекаются в точке М.
1) Докажите, что PF J. /Ж. Найдите площадь PEFK.
2) Найдите стороны квадрата ABCD.
3) Докажите, что около четырехугольника АРМК можно описать
окружность.
4) Найдите радиус этой окружности.
3.
В параллелограмме ABCD через середину О диагонали BD
перпендикулярно к ней проведена прямая, пересекающая ВС в точке М,
a AD — в точке F, BD = %, MF=b, AF = 5.
1) Докажите, что BMDF — ромб.
2) Найдите радиус вписанной в этот ромб окружности.
3) С помощью микрокалькулятора найдите угол ODF.
4) Найдите периметр параллелограмма ABCD.
320
4.
В равнобедренной трапеции ABCD диагонали АС и BD взаимно
перпендикулярны, Е, F, М и К — середины сторон АВ, ВС, CD и
DA соответственно, Sefmk = 100.
1) Докажите, что EFMK — квадрат.
2) Найдите диагонали трапеции и ее площадь.
3) Найдите высоту трапеции.
4) Найдите основания трапеции, если ее средняя линия пересекает
АС в точке Т, BD — в точке Q и TQ - 2 Vl.
5.
Диагонали ромба ABCD равны 16 и 12. Через точку пересечения
диагоналей О проведена высота ромба FE (ЕЕ. ВС, FE AD). Через
точки Е и F проведены прямые, параллельные АС до пересечения
со сторонами АВ и CD в точках М и К соответственно.
1) Докажите, что MEKF — прямоугольника.
2) Найдите диагонали этого прямоугольника.
3) С помощью микрокалькулятора найдите острый угол ромба.
4) Найдите площадь прямоугольника.
6.
ABCD — параллелограмм, АВ = 5, AD = 8. Высота параллелограмма
равна 4. На стороне ВС выбрана точка Е.
1) Найдите BE так, чтобы трапеция ABED была равнобедренной.
2) Докажите, что в эту трапецию можно вписать окружность и
найдите площадь вписанного в эту трапецию круга.
3) Найдите диагонали параллелограмма.
4) С помощью микрокалькулятора найдите острый угол между его
диагоналями.
11 Зив Б. Г.
321

№ 3- Окружность
1.
Треугольник ABC вписан в окружность, LC-A5". Из точки М,
расположенной вне круга, проведены касательные MP и МТ,
касающиеся окружности в точках А и В соответственно (Р—А—М,
Т—В—М), МА + MB = 20, ВС = 5.
1) Докажите, что ОАМВ — квадрат, где О — центр окружности.
2) Найдите сторону АВ.
3) Докажите, что LCBT=LCAB.
4) Найдите градусные меры дуг ВС и СА.
2.
АВ — диаметр окружности с центром в точке О, хорда EF пересекает
диаметр в точке К (А—К—О), ЕК = 4, KF=6, OK = 5.
1) Найдите радиус окружности.
2) Найдите расстояние от центра окружности до хорды BF.
3) Найдите острый угол между диаметром АВ и хордой EF.
4) Чему равна хорда FM, если ЕМ — хорда, параллельная АВ.
3.
Точка М находится вне круга с центром О. Из точки М проведены
три секущие: первая секущая пересекает окружность в точках В и А
Ш—В—А), вторая — в точках D и С (М—D—С), а третья пересекает
окружность в точках FnE (М—F—Е) и проходит через центр
окружности, АВ = 4, ВМ = 5, FM = 3.
1) Докажите, что если AB = CD, то Z.AME= LCME.
2) Найдите радиус окружности.
3) Найдите длину касательной, проведенной из точки М к
окружности.
4) Найдите величину угла АЕВ.
ЪП
4.
Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность с центром О,
BE — диаметр этой окружности, ВС = 4 V3. Сторона ВС удалена
от центра окружности на расстояние, равное 2, BN± AC, BN = 5.
1) Докажите, что LEBC= LABN.
2) Найдите радиус окружности.
3) Найдите АВ.
4) Найдите градусную меру дуги АВ.
5.
В прямоугольном треугольнике ABC LC = 90°, Z.v4 = 60°. В этот
треугольник вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС
и АС соответственно в точках D, Е и F. На дуге DF выбрана точка
К и проведена касательная к окружности в этой точке. Касательная
пересекает АВ в точке Р, а АС — в точке Т.
1) В каком отношении точки D, Е и F делят окружность?
2) Найдите радиус окружности, если се центр удален от вершины
С на расстояние, равное 4 v2.
3) Найдите периметр треугольника APT.
4) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
6.
АВ — диаметр окружности с центром в точке О. Радиус этой
окружности равен 4, 0( — середина ОА. С центром в точке 0\
проведена окружность, касающаяся большей окружности в точке А.
Хорда CD большей окружности перпендикулярна к АВ и пересекает
АВ в точке К. Ей F — точки пересечения CD с меньшей окружностью
(C—E—K—F—D), АК = 3.
1) Найдите длины хорд АЕ и АС.
2) Найдите градусную меру дуги AF и ее длину.
3) Найдите площадь части меньшего круга, отсеченной хордой EF.
4) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АСЕ.
323

№4. Координаты и ^
1.
ABCD — параллелограмм, Л (1; — 2), В (2; 4), С (—1; 5).
1) Найдите координаты вершины D.
2) Торчка Е принадлежит CD, причем СЕ = 2DE. Разложите вектор
ЕВ по векторам АВ и AD.
3) Найдите угол А.
4) Напишите уравнение прямой АС и уравнение окружности с
диаметром, равным АС.
2.
Треугольник ABC задан координатами своих вершин: А (—6; 10);
#(8;8); С (2; 2).
1) Определите вид этого треугольника.
2) Медианы ААХ и ^J5, треугольника^пересекаются в точке М.
Разложите вектор AM по векторам СА и СВ.
3) Найдите острый угол между этими медианами.
4) Напишите уравнение прямой ААХ и уравнение описанной около
этого треугольника окружности.
3.
Трапеция ABCD задана координатами своих вершин: А (— 1;0),
В (— 1; 3), С (4; 6), D (4; 0), М — середина ВС.
-> ->
1) Разложите вектор AM по векторам АВ и AD.
2) Найдите координаты^ точки Я пересечения прямых АС и /Ш.
3) Разложите вектор АН по векторам г и у.
4) Найдите острый угол между прямыми AM и BD и площадь
четырехугольника ABMD.
324
4.
Треугольник Л/JC задан координатами своих вершин: А (0; 12),
В (9; 0), С (0; — 12), О — центр вписанной в треугольник
окружности.
1) Найдите длину медианы СМ этого треугольника.
2) Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности и
уравнение этой окружности.
3) Найдите угол межд^ прямыми АО и ВС.
4) Разложите вектор ОВ по векторам ОА и ОС.
5.
Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин
А (— 2; — 3), В (1; 4), С (8; 7), Я (5; 0).
1) Доказать, чт§ ABQD -^ромД.
2) Вычислите АВ - АС +АС • BD +ВС • АС.
3) Найдите углы ромба.
4) Напишите уравнение окружности, вписанной в ромб.
325

6.
Треугольник ABC задан координатами своих вершин: А (2; — 1),
В (2; 2), С (— 3; 5), MG ЛС, причем AM : МС = 1 : 3.
-> -> ->
1) Разложите вектор /?М по векторам В А и /*С.
2) Найдите координаты точки /С пересечения медиан этого
треугольника.
3) Цайдите координаты вектора Hi, сонапра_§ленного с вектором
АС, длина которого равна длине^вектора АВ.
4) Найдите угол между вектором АС и осью абсцисс.
326
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
№ 1. Метод координат
Вариант 1
1. Даны точки: А (1; —2); В (2; 4); С (—1; 4); D (1; 16).
1) Разложите вектор А В по координатным векторам Ги /*
2) Докажите, что AB\\CD.
3) Напишите уравнение прямой AD.
2. Треугольник ABC задан координатами своих вершин А (—4; 1),
В (0; 1), С(—2; 4).
1) Докажите, что LA = Z.B.
2) Найдите длину высоты CD треугольника уШС.
2 2
3. Сколько общих точек имеют линии (л: — 2) + (у + 1\ = 1 и
j = —2? _^ V >
4*. Даны векторы ZT{—4; 3}, ^{1; — 4}, ?{6; 2}. Разложите вектор
с по векторам if и £
Вариант 2
1. ЛЯ = 27*— 3/Т
1) Найдите координаты точки А, если 5 (—1; 4).
2) Найдите координаты середины отрезка АВ.
3) Напишите уравнение прямой АВ.
2. Даны точки А (—3; 4), В (2; 1), С(— 1; а). Известно, что АВ =
= ВС. Найдите а.
3. Радиус окружности равен 6. Центр окружности принадлежит
оси Ох и имеет положительную абсциссу. Окружность проходит через
точку (5; 0). Напишите уравнение окружности.
4*. Вектор *Гсонаправлен с вектором Z*{—1; 2} и имеет длину
вектора с {—3; 4}. Найдите координаты вектора о!
327

Вариант 3
1. Даны точки Е (— 1;Д), М (2; —3), F (1; —3) и К (4; 4).
1) Разложите вектор ЕМ по координатным векторам i и ]?
2) Докажите, что ЕМ пересекает FK.
3) Напишите уравнение прямой MF.
2. Треугольник ABC задан координатами своих вершин А (0; 1),
Л (1;— 4), С (5; 2).
1) Найдите координаты середины D стороны Z?C.
2) Докажите, что ADLBC.
2 2
3) Сколько общих точек имеют линии: (х + 2\ + (у — 1) =4и
Х 3? ч> -
_^4*. Даны векторы т {—4; 5}, дГ{—7; 1}, / {6; 8}. Разложите вектор
/ по векторам тип.
Вариант 4
1. EF = 6?—6J?
1) Найдите координаты точки F, если Е (—2; 1).
2) Найдите координаты середины отрезка EF.
3) Напишите уравнение прямой EF.
2. Даны точки: С (т; 3), D (4; 1), F (2; 4). Известно, что CD = DF.
Найдите т.
3. Радиус окружности равен 4. Центр окружности принадлежит оси
Оу и имеет отрицательную ординату. Окружность проходит через
точку (0; —2). Напишите уравнение окружности.
4*. Вектор т противоположно направлен вектору ZT{—2; 4} и
имеет длину вектора ~а{2\ 2). Найдите координаты вектора т.
328
№ 2. Соотношение между сторонами
и углами треугольника
Вариант 1
1. В треугольнике ABC LA = 40°, LC = 75°, ВС - 17. Найдите
неизвестные элементы треугольника и радиус описанной около него
окружности.
2. В треугольнике РКН РК = 6, КН = 5, LPKH = 100°, NF —
медиана. Найдите HF и площадь треугольника PFH.
3*. В треугольнике ABC AB = BC, LBAC = 2a, AE — биссектриса,
BE - а. Найдите площадь треугольника ABC.
Вариант 2
1. В треугольнике ABC АВ = 4, ВС = 5, Z.Z? = 110°. Найдите
неизвестные элементы треугольника.
2. В параллелограмме ABCD Е — середина ВС, АВ = 5, LEAD =
= 30°, L ABC =100°. Найдите площадь параллелограмма и радиус
описанной около треугольника ABE окружности.
3*. Площадь треугольника РКТ равна 5, LP-a, LT = fi. Найдите
сторону РК.
Вариант 3
1. В треугольнике ABC LA - 20°, LC = 50°, AC - 15. Найдите
неизвестные элементы треугольника и радиус описанной около него
окружности.
2. В параллелограмме ABCD AB=*4, AD = S, #D = 6. Найдите
LCBD и площадь параллелограмма.
3*. В ромбе ABCD АР — биссектриса треугольника CAD, LBAD =
= 2а, PD — а. Найдите площадь ромба.
329

Вариант 4
1. В треугольнике РКМ LK = 40°, РК = 2, КМ = 5. Найдите
неизвестные элементы треугольника.
2. В равнобедренном треугольнике ЛВС АВ = ВС, LA = 65°. Через
середину Е стороны АВ проведена прямая, пересекающая ВС в точке
К, LKEB — 20°. Найдите площадь треугольника ВЕК и радиус
окружности, описанной около треугольника ABC, если ВК = 5.
3*. Площадь треугольника равна S и два угла его равны а и/3.
Найдите радиус описанной около треугольника окружности.
330
№ 3. Скалярные произведения вектора
Вариант 1
1. В равнобедренном треугольнике ЛВС АВ = ВС = 4, Z.B = 120е, М
и N — середины АВ и ВС соответственно. Найдите: 1) В А • ВС;
2) ВА АС; 3) MN • АС.
2. Треугольник ABC задан координатами своих вершин А (0; 4);
В(—3;5),С(—1;3).
1) Найдите острьш угол ме^кду ^едианой AM и стороной АС.
2) Вычислите: ЛЯ • ВС + АВ • СМ.
3*. Найдите координаты вектора "а, если *?±ZT и ZT {1;—3},
| а\ = VlO и угол между вектором if и осью Ох острый.
Вариант 2
1. В прямоугольнике ABCD АС = 6, LACD = 60°.
Найдите: 1) СМ • CD; 2) лЪ • СМ; 3) Ж? • ZM.
2.ДаныточкиЛ (—1; 4), /? (1; —2),С (0; —4), D (2; 2), £и F —
середины АВ и CD соответственно.
1) Найдите острый угол между EF и CD.
2) Вычислите: CD • ВС — CD BD.
3*. В треугольнике Л/2С AD, BE и CF — медианы. Вычислите:
ВС ■ AD + СМ • ВЕ + АВ • CF.
Вариант 3
1. В прямоугольном треугольнике ABC LC = 90°, LABC = 30°, ЛС =
= 2, Е и F — середины АВ и ВС соответственно.
Найдите: 1) ВА ■ ВС; 2) ВА ■ АС; 3) EF ■ ВС.
2. Треугольник ЛВС задан координатами своих вершин: А (—1; 4),
ВО; 2), СО; —3).
1) Найдите острый угол между медианой CF и стороной АС.
2) Вычислите: CF • FA — FC • АС.
3*. Найдите координаты вектора т, если in±Jtvi it{2; —1}, \т\ =
= 4v5 и угол между вектором m и осью Оу тупой.
331

Вариант 4
1. ABCD — ромб, Л# = 6, /1Л = 60°. Найдите: 1) АВ • АС;
2) AD ■ DB; 3) (АВ + AD) (AB — AD).
2. Даны два отрезка ЕК и РМ, причем ЕК±РМ, Е (—3; 1),
/С(1;4),М(2; 1), Р (—4; а).
1) Найдите острый угол между РЕ и ЕК.
2) Вычислите: ЕК МК — КЕ КР.
3*. ABCD — прямоугольник, М — произвольная точка. Докажи-
—> —> —> —>
те, что МА - МС = MB • MD.
332
№ 4. Правильные многоугольники.
Вариант 1
1. Около правильного шестиугольника
описана окружность и в него вписана окружность.
Длина большей окружности равна 4л.
Найдите площадь кольца и площадь
шестиугольника.
2. Хорда окружности равна 5V2 и стягивает
дугу в 90°. Найдите длину дуги и площадь
соответствующего сектора.
3. На рисунке 56 хорды АВ и АС стягивают
дуги в 60° и 120°. Радиус окружности равен R.
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
4*. Докажите, что в правильном
многоугольнике сумма длин перпендикуляров,
проведенных из точки, взятой внутри этого многоугольника, на все его
стороны, равна радиусу вписанной в этот многоугольник окружности,
умноженному на число сторон.
Вариант 2
1. Около правильного треугольника описана
окружность и в него вписана окружность.
Длина меньшей окружности равна 8л:.
Найдите площадь кольца и площадь треугольника. ^
2. Хорда окружности равна 6 и стягивает
дугу в 60°. Найдите длину дуги и площадь
соответствующего сектора.
3. На рисунке 57 хорды CD и СИ стягивают
дуги в 90°. Радиус окружности равен R.
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
4*. На сторонах правильного 8—угольника
Л,Л2...Л8 вне его построены квадраты. Докажите, что многоугольник,
образованный вершинами этих квадратов, отличных от Д, А2, А3, ...,
Л8, не является правильным.
ззз

Вариант 3
1. В квадрат вписана окружность и около
него описана окружность. Длина большей
окружности равна 8 п. Найдите площадь кольца
и площадь квадрата.
2. Хорда окружности равна 12 и стягивает
дугу в 120°. Найдите длину дуги и площадь
соответствующего сектора.
3. На рисунке 58 хорды МК и МТ
стягивают дуги в 60° и 120°. Радиус окружности равен
R. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
4*. Докажите, что площадь правильного
„ nanR
In—угольника равна —=—, где R — радиус
описанной окружности, а„ — сторона правильного п—угольника,
вписанного в ту же окружность.
Вариант 4
1. Около правильного треугольника описана
окружность и в него вписана окружность.
Сторона треугольника равна 4. Найдите площадь
кольца и длину меньшей окружности.
2. Хорда стягивает дугу в 60°. Длина дуги
равна 2тг. Найдите длину хорды и площадь
соответствующего сектора.
3. На рисунке 59 хорды EF и ЕК стягивают
дуги в 90°. Радиус окружности равен R.
Найдите плотадь заштрихованной фигуры.
4*. ABCDEF — правильный
шестиугольник. Стороны FA, АВ, ВС, CD, DE и EF
продолжены за вершины А, В, С, D, Е и F на
равные отрезки АЛ], ВВ\, СС{, DDX, EEX и
АхВх С\ Dx E\ F\ — правильный шестиугольник.
Рис. 59
FF\. Докажите, что
334
№ 5. Движение
Вариант 1
1. Начертите квадрат ABCD и отметьте на диагонали точку М, не
совпадающую с точкой пересечения ддагоналей. Постройте образ
этого квадрата при переносе на вектор AM.
2) Дан прямоугольный треугольник ABC (LC = 90°). Постройте его
образ при повороте вокруг центра С на 90° по часовой стрелке. Чему
равен угол между АВ и А\ВХ, если АВ -» АХВХ1
2. Каким условиям должны удовлетворять два угла, чтобы один из
них можно было получить из другого при помощи параллельного
переноса.
3. Докажите, что прямая, содержащая середины двух
параллельных хорд окружности, проходит через ее центр.
4*. Начертите два непараллельных отрезка АВ и CD, длины
которых равны. Постройте центр поворота, отображающего отрезок АВ на
CD 04-» С; В-* D).
Вариант 2
1. 1) Начертите параллелограмм ABCD и отметьте на стороне ВС
произвольную точку_£/. Постройте образ этого параллелограмма при
переносе на вектор AM.
2) Начертите произвольный треугольник ABC и постройте его
образ при повороте вокруг центра С на 60° против часовой стрелки.
Чему будет равен угол между АВ и А\Ви если АВ -* A#i?
2. Дан угол АОВ, ОС — биссектриса этого угла, М G ОА и
К Е ОВ, причем ОМ = ОК. Докажите, что точки М и К симметричны
относительно прямой ОС.
3. Даны две точки А (—5; 3) и В (3; 5). Докажите, что точка В
может быть получена из точки А поворотом вокруг начала координат на
90° по часовой стрелке.
4*. Постройте
треугольник, равный
данному, так, чтобы осно- g
вание его принадлежа- уу
ло данной прямой а, а У^ \
вершина — данной д ^^^ \
прямой Ъ (рис.60). ^^''^.^Д
С
Рис. 60
335

Вариант 3
И
1. 1) Начертите трапецию ABCD (AD
и ВС — основания) и отметьте на
диагонали BD точку М. Постройте образ
эт£й трапеции при переносе на вектор
MD.
2) Начертите прямоугольник ABCD и
постройте его образ при повороте вокруг
центра А на 90° по часовой стрелке.
Чему будет равен угол между BD и BXDX,
если В -* В\ и D -> Dj ?
2. Каким условиям должны
удовлетворять два угла, чтобы один из них
можно было получить из другого при помощи центральной симметрии?
3. Отрезок АВ отображается параллельным переносом на отрезок
At Bt, который другим параллельным переносом отображается на
отрезок А2В2. Можно ли отрезок АВ отобразить на А2В2 одним
параллельным переносом? Сделайте рисунок и укажите соответствующий
вектор.
4*. На данных окружности и прямой найдите такие пары точек,
что одна точка является образом другой при повороте вокруг данной
точки Н на 60° (рис.61).
Рис. 61
Вариант 4
1. 1) Начертите прямоугольную трапецию ABCD (AD и ВС —
основания, LA-90°) и отметьте на стороне CJDточку Р. Постройте
образ этой трапеции при переносе на вектор РА.
2) Начертите правильный треугольник ABC и постройте его образ
при повороте вокруг середины АС на угол 60° по часовой стрелке.
Чему будет равен угол между АВ и АхВх, если АВ -* АХВХ?
2. Докажите, что любая прямая, проходящая через центр
параллелограмма, делит его на две равные фигуры.
3. Даны две точки А (—2; —2v3) и В (2VJ; 2). Докажите, что
точка В может быть получена из точки А поворотом вокруг начала
координат на 150° против часовой стрелки.
4*. На рисунке /^
62 а\Ь и c\\d.
Укажите такой вектор, / у ~~ —-^_ с
что при
параллельном переносе на
этот вектор а -* Ь и
с -* d. Рис. 62
336
№ 6. Повторение
Вариант 1
В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C = 90°), CD±AB, AC =
= 3 см, CD = 2,4 см.
1) Докажите подобие треугольников ABC и ADC и найдите
неизвестные стороны треугольника ABC и его площадь.
2) Найдите площадь вписанного в треугольник круга.
3) Найдите отношение длин окружностей, описанных около
треугольников ADC и BDC.^ _^ _^
4) Разложите вектор Ср подсекторам СА и СВ.
5) Вычислите (ВС — В А) (АС + СВ).
Вариант 2
В параллелограмме ABCD AD =12 см, АВ = 6 см, LBAD = 60°.
Биссектриса угла D пересекает ВС в точке Е.
1) Найдите высоты параллелограмма и его площадь.
2) Определите вид треугольника ECD и найдите длину описанной
около треугольника окружности.
3) Найдите длину большей диагонали даралделограмма.
4) Разложите вектор QE по^вектодам CD и СВ.
5) Вычислите: (АВ + BE) (СЕ — CD).
Вариант 3
В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и ВС равны
соответственно 10 см и 6 см, LA = 30°.
1) Найдите высоту BE и площадь трапеции.
2) Докажите подобие треугольников AOD и ВОС и найдите
отношение их площадей, если О — точка пересечения диагоналей
трапеции.
3) Найдите радиус описанной около тцапецци окружности.
4) Разложите вектор ЦЕ по_ректо£|ам ВА и BD.
5) Вычислите: (ВС + CD) (AE — AB).
337

Вариант 4
В равнобедренном треугольнике ABC АВ = ВС = 5 см, АС - 6 см,
BD и АК — высоты.
1) Найдите площадь треугольника ABC и sin LABC.
2) Докажите, что треугольники АКС и BDC подобны и найдите
длину СК.
3) Найдите длину окружности, описанной около треугольника
ABC. _» -> ->
4) Разложите вектор АК пс^векторам АС и СВ.
5) Вычислите: (ВА + ВС) АС .
338
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ
№ 1. Координаты вектора
ВАРИАНТ 1
1. а и ZT— неколлинеарные векторы, ха + у&= — За. Найдите л: и
У- ^ ^ ^
2. Запишите координаты вектора га = — 3*' + 2/Г
3. Среди векторов i?{— 4; 5}, ZT{— 8; 10}, ~с[2\ — 2,5} укажите пару
коллинеарных векторов.
4 .а*{3; — 2}, ZT{— 2; 3}, ~с{—1; 1}. Чему равен угол между лучами,
задающими векторы ct+ ?Ги ^
5. Найдите расстояние между точками А (а; 0) иВ(^О).
6. Е(— 2; 3), F (1; 2). Найдите координаты вектора EF и его длину.
7. АВ — диаметр окружности, Л (1; —5), В (3; 1). Найдите
координаты центра окружности.
8. Напишите уравнение окружности с центром в точке С (— 4; 3) и
радиусом R = 5.
9. Найдите площадь треугольника, ограниченного линиями
у = х — 2, у = — л: — 2, у — 0.
10. *2 + У2 = 4, у = а. При каких значениях а эти линии имеют две
общие точки?
ВАРИАНТ 2
1. тип — неколлинеарные векторы, хт + уп = 5п. Найдите л: и у.
2. Запишите разложение вектора it{5; — 2} по координатным
векторам i и /.
3. Среди векторов ? J у; —4 ., га {— 1; 8}, /Г {0,25; 2} укажите
пару коллинеарных векторов.
4. а*{2; — 3}, о{\\ —2}, с {1; 1}. Чему равен угол между лучами,
задающими векторы с?— ?Ги ~с.
5. Найдите расстояние между точками Е (0; га) и F (Оуг).
6. F (1; — 4), М (3; 1). Найдите координаты вектора FM и его
длину.
7. /Ж — диагональ параллелограмма EFKD, Е (— 4; 3), К (2; 5).
Найдите координаты точки пересечения диагоналей
параллелограмма.
8. Напишите уравнение окружности с центром в точке М (2; — 4) и
радиусом R = 3.
339

9. Найдите площадь треугольника, ограниченного линиями
у = х — 3, у = — jc + 3 и х = 0.
10. х2 + у2 = 16, х = т. При каких значениях т эти линии не имеют
общих точек?
№ 2. Соотношение между сторонами и углами
ВАРИАНТ 1
1. В треугольнике ABC AB=\, ВС = 2, LA = 20°, LC = 10°. Найдите
площадь треугольника.
2. Сторона ромба равна 2 см, а его площадь — 2 см2. Найдите
острый угол ромба.
3. В треугольнике ABC Z.A = 30°, Z.5 = 45° . Найдите отношение
яс
АС
4. В треугольнике ABC АВ = 2 VJ, LC = 45°. Найдите радиус
окружности, описанной около этого треугольника.
5. Стороны треугольника равны 4, 7, 8. Как по отношению к этому
треугольнику расположен центр описанной около него
окружности?
6. о2Г= 70°. Найдите угол между векторами 2а и — Зо.
7. Стордна квадрата .ЛЖЦ^равна _^. Наедите:
1) АС • AD; 2) АС • BD; 3) AD ■ СВ.
8. *?{2; — 3},Z>{1;1}. Какой угол (острый, прямой или тупой) между
этими векторами?
9. AAgC —^прямс^уголыплй, £Св90°. Вычислите:
(ВС — Вк) {АС — АВ).
10. е\х;у), | е | ■ 1. Угол между вектором ~еъ положительным
направлением оси Ох равен а. Найдите х.
ВАРИАНТ 2
1. В треугольнике МЕК ME - VJ, ЕК - 2. Внешний угол при
вершине Е равен 120°. Найдите площадь треугольника.
2. Стороны параллелограмма равны 1 см и v3 см, а его пло-
3
щадь — Ту см2. Найдите острый угол параллелограмма.
3. В треугольнике ABC LA**60°, Z.C = 45°. Найдите отношение
ЛЯ*
340
4. В треугольнике EHF LH- 60°. Радиус описанной около
треугольника окружности равен Найдите сторону .EF.
5. Стороны треугольника равны 4, 6, 9. Как по отношению к этому
треугольнику располагается центр описанной около него
окружности?
6. пгп = 130°. Найдите угол между векторами — - m и 5дГ.
7. Сторона дрмба А£СО_оавна 1^ Найдите:
1) АВ ■ AD; 2) АС • BD; 3) АВ ■ DC.
8. m {2; — 1}, ?f{3;2}. Какой угол (острый, прямой или тупой)
между этими векторами?
9. ABCD — прямоугольник. Вычислите (CD — СА) (BD — ВС).
10. е {х; у}, | е\ =1. Угол между вектором ?и положительным
направлением оси Оу равен /3. Найдите у.
№ 3. Длина окружности и площадь круга
ВАРИАНТ 1
1. Сторона правильного /г-угольника стягивает дугу, равную а.
Чему равен внешний угол этого многоугольника?
2. Угол правильного м-угольника равен 160°. Найдите п.
3. В окружность радиуса R вписан треугольник, две стороны
которого равны Ли R v3. Найдите площадь треугольника.
4. Найдите отношение сторон правильного вписанного
шестиугольника и описанного квадрата около одной и той же окружности.
5. В окружность, радиус которой равен R, вписан правильный
12-угольник. Чему равна его площадь?
6. Длина окружности увеличилась на 1 м. На сколько при этом
увеличился радиус окружности?
7. Длина окружности равна 6 п. Ее дуга, содержащая 120°, свернута
в окружность. Чему равен радиус этой окружности?
8. Один из углов ромба равен 30°. Найдите отношение длины
вписанной в ромб окружности к его периметру.
9. Радиусы двух концентрических окружностей равны 1 и 3. Как
относится площадь кольца к площади меньшего круга?
10. Площадь сектора с углом 30° равна 3 л. Найдите радиус сектора.
ВАРИАНТ 2
1. Внешний угол правильного n-угольника равен /3. Найдите
величину дуги, которая стягивается стороной этого многоугольника.
2. Угол правильного n-угольника равен 140°. Найдите п.
341

3. В окружность, радиуса R вписан треугольник, две стороны
которого равны по R у/Т. Найдите площадь треугольника.
4. Найдите отношение сторон правильного вписанного треугольника
и описанного квадрата около одной и той же окружности.
5. В окружность, радиус которой равен R, вписан правильный
8-угольник. Чему равна его площадь?
6. Радиус окружности увеличился на 1 м. На сколько при этом
увеличилась длина окружности?
7. Длина окружности равна 8 л. Ее дуга, содержащая 90°, свернута
в окружность. Чему равен радиус этой окружности?
8. В равнобедренную трапецию с углом 30° вписана окружность.
Найдите отношение длины этой окружности к периметру
трапеции.
9. Радиусы двух концентрических окружностей равны 2 и 5. Как
относится площадь кольца к площади большего круга?
10. Площадь сектора с углом 20° равна 20 л. Найдите радиус сектора.
№ 4. Движение
ВАРИАНТ 1
1. а\\Ь. При некотором движении а -* а{, и Ъ -* Ь\. Каково взаимное
положение прямых а.\ и Ъ\ ?
2. Назовите четырехугольник, который имеет только одну ось
симметрии.
3. Прямые у=Зх+Ьиу=кх+4 симметричны относительно
начала координат. Найдите к и Ь.
4. Фигура состоит из трех прямых, из которых две параллельные, а
третья пересекает первые две. Имеет ли эта фигура центр
симметрии?
5. Параллельный перенос задан парой точек О (0; 0) -* М (— 2; 0).
Запишите координаты образа точки В (4; 1).
6. Существует ли параллельный перенос, при котором одна сторона
квадрата отображается на другую его сторону?
7. При некотором параллельном переносе квадрат ABCD
отображается на квадрат А\ВХС\ А, при этом общей частью квадрата и его
образа тоже является квадрат. Укажите направление
параллельного переноса.
8. Начертите прямую а и отметьте точку О вне ее. Постройте образ
прямой а при повороте вокруг точки О на 45° против часовой
стрелки.
9. Прямоугольник ABCD при повороте на 170° против часовой
стрелки вокруг центра D отображается на прямоугольник A\BXC\DX,
АС -* А\С\. Чему равен острый угол между этими прямыми?
342
10. Даны две прямые х = 3 и у = 2. Укажите координаты точки на оси
Ох, при повороте вокруг которой одна прямая отображается на
другую.
ВАРИАНТ 2
1. Прямые а и Ъ пересекаются под углом а. При некотором движении
а -* ах и Ь-* Ъ\. Чему равен угол между прямыми а{ и Ь{?
2. Назовите треугольник, который имеет более одной оси
симметрии.
3. Прямые >•= — 2х + Ъ и у = кх + 1 симметричны относительно
начала координат. Найдите к и Ь.
4. Какие правильные многоугольники имеют центр симметрии?
5. Параллельный перенос задан парой точек О (0; 0) -* Р (3; 0).
Запишите координаты образа точки Т (— 2; 5).
6. Существует ли параллельный перенос, при котором одна сторона
треугольника отображается на другую его сторону?
7. При некотором параллельном переносе параллелограмм ABCD
отображается на параллелограмм А{ /?, Сх А. Общая часть этих
параллелограммов есть некоторый четырехугольник. Определите
его вид.
8. Начертите прямую Ъ и отметьте точку О вне ее. Постройте
образ прямой Ь при повороте вокруг точки О на 60° по часовой
стрелке.
9. Параллелограмм ABCD при повороте на 160° по часовой стрелке
вокруг центра А отображается на параллелограмм Ай, С\ А,
BD -* В{ А • Чему равен острый угол между прямыми BD и Вх А ?
10. Даны две прямые л: = 3 и у = 2. Укажите координаты точки на оси
Оу, при повороте вокруг которой одна прямая отображается на
другую.
№ 4. Повторение курса 7—8 классов
ВАРИАНТ 1
1. В треугольнике ABC LB = 20°. Биссектрисы ААХ и ССХ
пересекаются в точке О. Найдите угол АОС.
2. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) АС — биссектриса угла
Л, АВ = 6, AD= 10. Найдите среднюю линию трапеции.
3. В треугольнике ABC точка Е принадлежит стороне AC, LABC =
= LBEC, АС = 5, ВС = 3. Найдите отношение площадей
треугольников ВЕС и ABC.
343

4. В трапеции ABCD AC - 4, AD = 8, LCAD - 30°. Найдите площадь
треугольника ABD.
5. В равнобедренном треугольнике основание равно 8. Высота,
опущенная на основание, равна 3. Найдите высоту, опущенную
на боковую сторону.
6. В прямоугольном треугольнике ABC (L С = 90°), CD ± AB,
AD = 2, АВ - 8. Найдите АС.
7. Угол АМВ — вписанный в окружность с центром О, LAMB =
- 30°. Радиус окружности равен 5. Найдите периметр
треугольника АОВ.
8. Из точки М, удаленной от центра окружности О на расстояние,
равное 10, проведены касательные МА и MB (А и В — точки
касания), LAMB = 120°. Найдите МА + МВ.
9. Точка М, расположенная вне окружности, соединена отрезком
с концами диаметра АВ, МА пересекает окружность в точке Е,
АЕ = 3, ME » 2. Радиус окружности равен 2,5. Найдите площадь
треугольника АМВ.
10. Хорды АВ и CD пересекаются в точке М, MD = 4, МС = 5,
AM = 2. Какая из хорд расположена ближе к центру?
ВАРИАНТ 2
1. В треугольнике ABC биссектрисы АА\ и СС\ пересекаются в
точке О, LAOC- 140°. Найдите угол В.
2. В прямоугольной трапеции ABCD {LA = 90°, AD и ВС —
основания) DB — биссектриса угла D, CD = 5, АВ = 4. Найдите
среднюю линию трапеции.
3. В треугольнике ABC точка К принадлежит стороне АВ,
LBCK=> LBAC, ВК=>4, ВС-1. Найдите отношение периметров
треугольников ВКС и ABC.
4. В параллелограмме ABCD BD = 10, AD - 6, LBDA - 30°. Найдите
площадь треугольника ACD.
5. Диагонали ромба равны 6 и 8. Найдите его высоту.
6. В прямоугольном треугольнике ABC (LC = 90°), CD ± АВ,
AD = 2, 1Ш = 8. Найдите CD.
7. Угол АМВ вписан в окружность с центром О, LAMB = 45°.
Радиус окружности равен 2. Найдите длину хорды АВ.
8. Из точки М, расположенной вне окружности, проведены
касательные МА и MB (А и В — точки касания). LAMB = 90°, АВ= 10.
Найдите расстояние от точки М до центра окружности О.
9. Из точки М проведена касательная МА к окружности (А —
точка касания), АС — диаметр окружности, МС пересекает
окружность в точке Е, МА = 5. Радиус окружности равен 6.
Найдите АЕ.
10. Хорды АВ и CD пересекаются в точке М, AM = 5, MB = 8,
CM = 4. Какая из хорд расположена дальше от центра?
344
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К ЗАДАЧАМ ДЛЯ УРОКА
§1
1. 1. 1) к = т; 2) Такого числа нет. 2.. АЕ = т?+ т£
5 4 4
2. 1. 1) к = — ^ 2> Такого числа нет. 2. MP = ^ m + п.
3. 1. 1) * = 3; 2) к = — j. 2. ЯМ = |а+|£
4. 1. 1) А - — |; 2) Л = 2. 2. ЛЯ = | и — | т.
5. 1. л1? = л1* + ЛЗЕ = ЛЯ + |яС =
о
= ля + | (лс — ля) = ля + |лЪ —|ля = |ля + |лс.
Ответ: ЛЕ = г? а + -^ £
о о
2. DE = BE: — дЪ = | ZJC — | i/t = | АС. Так как 1Ж = | АС, то DE||/iC.
6. I. ОМ' = — m — — и. 2. Задачи решаются аналогично задачам 5 (1, 2).
7. I. Пусть -^ = —, АО ■— АВ + ■— AD = АВ +
OD п т+ п т+ п т + п
+ 5 i \ ч АС (1), АО = кАЕ = ^АВ+2~АС (2). Из равенств (1) и (2) следует,
п 5к 1т Лк _ m 2 Л ВО 1
™-т-ТЦ = Ти 5(т + п) =-9-0^юда- = т. Ответ:—= т.
2. Пусть продолжения сторон Л2? и CD пересекаются в точке О. Тогда
ОА = кхОВ и оЬ = *,ОС; ОМ = кгОВ и OD = k2ON. Отсюда ОВ-^-ОМ и
ON = \-OD. Тогда CW = -^ ОМ и ON =-^ ОС; NA = ОА — ON =
= j- (ОМ — ОС) = р СМ. Итак, NA = j- CM, значит ЛЛ^||МС.
рп о
8. I. -= = jr. Задача решается аналогично задаче 7 (1).
2. Л W = - АВ + - AD, AM^^AD, BN = AN — АВ = ± AD — ^ АВ,
о о о 6 6
NM * AM — AN = -jqAD — ^АВ. Тогда BN - 5 (^ лЬ — 1 Ав) - 5Л/М
Имеем: ДА' = 5NM. Это означает, что точки В, N и М лежат на одной прямой.
345

§2
1. 1. 1) a"{5; — 4}; 2) Zf{0; — 3}. 2. OB = if— if.3. 1) a+ Zfимеет координаты
{— 1; 4}; 2) да, будут.
2. 1. 1) т {— 3; 7}; 2) ${— 4; 0}. 2. ОТ = — 5f~ 5]Т 3. 1) {— 4; 2}; 2) да,
будут.
3. 2. АВ = &f OB = 4i*+ ЗуГ ОЛ = —41*+ ЗуГ 3. 1) m {— 7; — 1}; 2) сонапран-
лсмы.
4. 2. МР= — 30/ГОМ = — 8Г+ 15уГ<ОЯ = — 8Г— 15/Гз. 1) а"{17; — 8}; 2) про-
тииоположно направлены.
5. 1. {3; - 1}. 2. ОМ = |аГ+ ^/T/W = -| а/Ч ^Г 3. « - - |.
6. I. {8; - 10}. 2. АЕ ^-ff-^f BF = -Jf f- *£/? Ъап = 0.
7. I. Очевидно, что /?{3; 4}, jf= ха + у£ Так как i?{3; — 1} и ZT{1; — 2}, то
р"{За- + у; — а' — 2у}. Отсюда следует, что
J За- + у = 3
{ — а — 2у = 4
Тогда а = 2,у = — 3. Ответ: /Г = 2с?— 3F.
2. ААМВ — прямоугольный. Пусть МК ± АВ. Тогда легко найти, что АК =
25 ж#„ 60 л „-•, _ 25 *. 60 ,>
= — и МК = —. Отсюда, AM = yj i + -^ у.
3. {5; —8}.
8. 1. if=— — m + — р! Задача решается аналогично задаче 7 (1).
2. Находим высоту AF треугольника ABC. AF — —\ FC = V36 — = —.
АО КО 9 -* -* -*
Так как АЛКО подобен ДЛТС, то ^ = 7^ и /СО = |, /С4 = О А - ОК -
= —ЗГ— ^у.О т в е т: КА = ЗГ— ^Т
3. {- 7; - 1}.
§3
1. I. 1) (0;0), (0;3), (3; 3), (5;0); 2) (|; |], [|;|]; 3) 1. 2. ^7.
2. I. 1) (0;0), (0;4), (—8; 4), (—2;0); 2) (—4; 2); (—1; 2); 3) 3. 2. \Tl9.
3. I. 1) А (— 4; 3), В (4; 4); 2) ^65. 3) 3,5.
„ /5 + Лл Л (5 — V3J „.
2. —-—;о или —~—;° •
346
4. I. 1)Л(— 8; 8); В (8; — 6); 2) 2\ГпЗ; 3) 1.
2. ^0; J или ^0; § j.
,,(I:f).*^.
У к а з а н и е. Необходимо доказать, что треугольник ABC равносторонний.
7. I. С (2,5; 4). 2. Нет, не лежат. 3. W^; 4l-
8. I. Р (— 1; —31). 2. Да, лежат. 3. е"
Л 5_. J_2l
} 13' 13J"
§4
1. V109.
2. уГ5Ъ.
3. уГ\9.
4. VT85.
5. Поместим треугольник ABC в прямоугольную систему координат так, чтобы
вершина С совпала с началом координат, а вершины А к В располагались на
положительных полуосях Оу и Ох соответственно. Используя свойства биссектрисы
угла треугольника, находим -тт^т = -=. Тогда СМ = ^ и Af hr; 0 . Пусть Е — середина
АВ. Тогда Е 12; |] и МЯ = ^-. Ответ: ^уЧ
3
6. -хVTD. Указание. Необходимо поместить трапецию в прямоугольную
систему координат так, чтобы вершина А совпадала с началом координат, а вершины
В и D располагались на положительных полуосях Оу и Ох соответственно. Из
подобия треугольников ВОС и AOD находим С гт; 4 . Дальнейшее решение очевидно.
7. Поместим треугольник ABC в прямоугольную систему координат. Пусть
А (0; 0), С (а; 0) и В (Ь; Л). Рассмотрим медиану BE и точку М на ней, такую,
что -гтр = -г. Зная координаты точек Z? (Ь; Л) и £ —; 0 находим координаты точки
М: М —г—;х . Рассмотрим теперь медиану Л^ и точку Mj на ней такую, что
у. Зная координаты точек А (0; 0) и .F —-—; — 1, находим координаты
AMi
MiF
347

(a+b h)
{ 3 ' 3j
точки Mi: M| I —о—i "o • Отсюда следует, что точки МиМ| совпадают. Аналогично
поступаем и с третьей медианой. Этим доказывается, что медианы треугольника
пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1.
8. Поместим прямоугольник ABCD в прямоугольную систему координат. Пусть
Л (0; 0), В (0; 1>), С (а; Ъ) и D (а; 0). Рассмотрим на плоскости произвольную точку
М Ос; у). Имеем:
MB2 + MD7 = jc2 + (у — М 2 + (х — а) 2 + у2 = 2JC2 + ly2 — 2ах — 26у, (1)
MA2 + MC2 = x2 + у2 + (х — 2) 2 + (у — Ь\ 2 = 2Х2 + ly2 — lax — Thy. (2)
Из равенств (1) и (2) следует, что равенство MB2 + MD2 = Л/Л2 + МС2 не
зависит от положения точки М.
§5
1. I. 1) С (2; —4), Л-2^5; 2) да, проходит.
2. 2) /х+2)2 + (у + 2)2 = 4.
2. I. 1) С(—1;2), Л-2Л0"; 2) да, пересекает
2 . / . „ч 2
2. (*-3)'+ (у+3) =9.
3. 2. (х + З)2 + (у - лГС)2 = 3.
4. 1. Да, является. 2. (х — 2) 2 + (у + 2у/~3\ = 4.
5. 1. Окружности пересекаются. Указание. Необходимо доказать, что
расстояние между центрами этих окружностей меньше суммы их радиусов и больше
модуля их разности.
2. Легко увидеть, что треугольник ABC — равнобедренный, причем АВ =
- ВС = 5 и АС - 8. Неравная высота треугольника равна 3. По этим данным находим
4
радиус вписанной в этот треугольник окружности: г = -г-. Находим координаты центра
этой окружности 0\ \0;-z . Отсюда уравнение искомой окружности имеет вид:
6. 1. Окружности касаются. Необходимо доказать, что расстояние между
центрами этих окружностей равно сумме их радиусов.
2 б25
2. \х — ^-| + у — ~тг- Задача решается аналогично задаче 6 (2), при этом
1
н ^-
радиус описанной вокруг треугольника окружности равен З^г
348
7. 1. Поместим квадрат ABCD в прямоугольную систему координат так, чтобы
центр квадрата совпадал с началом координат. Пусть А (—а; а), В{—а;—а),
С {а; а) и D (а;—а). Уравнение окружности, вписанной в квадрат, имеет вид:
х2 + у2 — а . Выберем на окружности произвольную точку М с координатами х и
у. Тогда МА - ^~{х + а)2 + (у + а)2, MB = у/\х+ а)2 + (у — я)1, МС =
= ^(х — а)2 + (у — а)2 , MD = уГ(х — а)2. Учитывая, что х2 + у2 = о2, имеем
MA2 + MB2 + МС2 + МГ? = 12а2, где 12с2 — величина постоянная.
2. (*-5)2+ (у-4)2 = 4.
8. 1. Задача решается аналогично задаче 7 (1).
2. (*-3)2+ (у-1)2 = 9.
§6
1. 1. jc = 9. 2. у + х — 1 = 0.
2. I. у = 10. 2. Зу — х —14 - 0.
3. 1. 5у + х — 12 = 0. 2. 9 кв. ед.
4. 1. Зу — х = 0. 2. 4 кв. ед.
5. 1. Пусть через точку С (3; 4) проведена прямая АВ, перпендикулярная к ОС,
причем точка А принадлежит положительной полуоси Оу, а В — положительной
полуоси Ох. АОСВ — прямоугольный (LOCB — 90"). Проведем CD X. OB. Очевидно,
25 (25 \
что OD-3, a CD-Л. Тогда легко найти длину ОВ: ОВ = -=- и В -5-; 0 . Зная
координаты точек С и В, можно написать уравнение прямой.
Ответ: Зх + 4у — 25 = 0.
2. 5^ кв. ед.
6. 1. 2у — х — 2 = 0. Задача решается аналогично задаче 5 (1).
2. 10 кв. ед.
7. 1. Прямая у — кх — 5 = 0 пересекает оси координат в точках А (0; 5) и В
т-. Проведем ОМ j
ОАОВ 25
К ')•
ОЛ = 5, ОВ = -г-гг. Проведем ОМ ± АВ. ОМ — расстояние от начала
координат до прямой. ОМ — —тт; / чс ~ > >
лв |*|V25 + — V* + !
Л2
5 4
По условию ,л = 3. Отсюда к — ±-=г.
2. Зу+ jc —5 = 0. С (2; 1).
349

8. 1. m = ±„ ,у, Указание. Необходимо учесть, что медиана прямоугольного
треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Задача решается аналогично задаче 7 (1).
2. 1у + х + 4 = 0.
§7
1. 1. Пряма» и окружность не имеют общих точек.
2. Дне окружности с центром и начале координат и с радиусами, равными 7
и 1.
2. 1. Окружность и пряма» имеют одну общую точку.
2. Прямая х = 4.
3. 1. Прямая и окружность не имеют общих точек.
2
7 I 2
2. Окружность jc + \у +
9"
4. 1. Окружность и прямая имеют одну общую точку.
2. 11рямая 8у — Ьх + 3 = 0.
6v^3"
5. 1. —р—. Указание. Необходимо найти расстояние от центра окружности
(0; 0) до прямой 2у + х — 4 = 0. Зная радиус окружности и расстояние от се центра
до хорды, легко найти длину хорды.
2. Окружность с центром в середине отрезка АВ и радиусом, равным 1.
Рис. 63
? 7 169
6. 1. хг + уГ = -^=-. У к а з а н и е. Необ-
С (5'*i) ходимо найти расстояние от центра
окружности (0; 0) до прямой 4у + Зх — 12 = 0.
Зная расстояние от центра окружности до
хорды и длину хорды, находим радиус
окружности.
2. Пусть А (— 2; 0) и В (2; 0). Иско-
1
мым множеством является прямая х = тт.
7. 1. Для решения задачи нужно найти
расстояние от точки С (5; 4) до прямой
х + 2у — 3 = 0. Па рисунке 63 BE = 2,
3
СЕ = 4, Ой - 3, О А - —. В таком случае
ДС#£ подобен ААОВ. Поэтому, LABO +
350
+ LCBE = - 90°. Отсюда СВ I. Л.В и СД — расстояние от точки С до прямой
у = — — jc + —; СД = V16 + 4 = 2 \^5. Так как длина хорды равна 8, то R-
V^20 + 16 =6. Таким образом, уравнение искомой окружности имеет вид:
(л-5)2+ (у-4)2 = 36.
2. Поместим прямоугольный треугольник ABC в прямоугольную систему
координат так, чтобы вершина прямого угла С находилась в начале координат, а
вершины А и В на положительных полуосях Оу и Ох соответственно. А (0; а) и Д
(fr; 0). Рассмотрим произвольную точку М(х;у), МА = дг + (у — а\ ,
МС2 = х2 + у2,MB2 = (х — b\2 + у2. По условию МЛ2 + Л/В2 = 2МС2, а поэтому
х2 + (у — а)2 + (х — Ь)2 = 2Х2 + гу2.
Отсюда "lay + 2ta = a2 + b2 — уравнение прямой. Ответ: прямая.
„ . 4^55" „
8. I. —=—. В задаче используются идеи, рассмотренные при решении задачи
7 (1).
2. Задача решается аналогично задаче 7 (2). Если положить А (0; а) и
2 2 э о
8 Ф;0), то получим: \х — -у] + у + ~\ = ^—. А это есть уравнение
окружности (Ь < а\3). Ответ: окружность.
§8
1. I. 1 см2. 2. 4 см.
2. 1. 4. 2. Sf „A
4
3. I. -^ sin 2a. 2. 20^ см2.
4. I. 4sin«. 2. 15 V^ см2.
5. I. 36\Гз см2. 2. 75"; 105°; 105°; 75°.
6. 1. 30° или 150°. 2. ^m2sin2asin2a.
„ . $лоб АО $aod АО _
7. I. -^ т^; -* ^. Отсюда:
$ЛОВ SAOD SAOB _ 60
Snnr Sen n 20 40
— "7^;. ^лов — 30.
С другой стороны, SAOn = -z OAAB sin LB АО. Тогда sin/. В АО = ТТГТо = Т" В таком
случае, Z.BAO- 30° или LBAO= 150°, но второй случай невозможен, так как
LAOB>31°. Ответ: 30°.
351

Отсюда: х =
2. Пусть BD = x. Так как Sabc ~ Sabd +$dbc. то
— ab sin а - -= ха sin В + — xb sin fa — B\
об sin a
a sin /3 + b sin (a — B)'
mn sin /3
и sin /a + B\ — m sin a'
§9
/>sin a
1. 1. 12. 2.
. 3a
sm-y
2. l V2. 2. . *,*?* м-
sin a sin (a + p\
_ . rf2 sin a • sin /3 _
3- I. —r-7—, оч . 2. 10 см.
sin (a + /3)
. , m2 sin2 a -sin 20 _ ,
4. I. ^—; —. 2,. O.
2 sin2 fa + B\
_ . siny sin (a + B) , BD
5. 1. . о . v—. /Л • Необходимо найти отношение -=-?г. применив теорему
sin/3 sin|a + р\ DC
синусов для треугольников ABD и ACD.
3 ВС 9 • 5
2. sin А — -=. ВС — 2R sin А. В таком случае R = -г—:—г = V7 = 7,5.
5 2 sin Л 2-3
Ответ: 7,5.
A sin/3-sin a + (н
6. 1. „ . ., \z—:—*-. 2. Задача решается аналогично задаче 5 (2).
2sin(a + ft)-sin a
7. I. Из ААВМ имеем: ——. ..... = . -„«,, а из ДЛСМ —
sin LABM sin 20
AM AC .. .„ .^ sin /.ЛСА/ sin 30° ... „
— ;. Учитывая, что АВ = ЛС, получим: —— = ——х^т (*). Пусть
sin LACM sin 30°" -■"——• ™ "~ '"" '"'J " sin ^.ЛЯМ sin 20°
Z-МЛД - x. Тогда /.ЛЯМ = 180° — (x + 20°), LCAM = 60° — jc и /.ЛСА/ - 90° + x. Из
равенства (*) следует, что ^п /х + 20°^ ~ 2 sin 20°' Далее sln (* + 20°) =
- 2 sin 20°cos х; sin (х — 20°) = 0 и х - 20 . Ответ: 20°.
-. (w2 — я2) sin /3 sin a л
2. A . у jjr . Пусть ABCD — трапеция и ее основания AD и ВС
2 sin fa +~Ж
соответственно равны тип, LBAD = a, LCDA-B. Необходимо'через вершину В
352
провести прямую, параллельную CD до пересечения с AD в точке Е. После этого
рассмотреть треугольник ABE, где LA = a, LBEA-*fi и АЕ = m — и.
8. 1. 30°. Задача решается аналогично задаче 7 (1).
а-В
a cos—т—
2. —.—-.— . . Необходимо рассмотреть треугольник АКС и учесть, что
LAKC = LB~a.
§10
1. 1. 14 см. 2. Тупоугольный.
2. 1. \/29 см. 2. Остроугольный.
3. I. 7. 2. 60°.
4. I. 2^7. 2. 120°.
10VT83
5. I.
61
2. 1) По теореме косинусов 225=169+196 — 2-13-14-cos а. Отсюда
_ 35 . 84 _ ,* ,„ • о 15-91 455
cos а — — и sin а = —. Так как 15 = 2R sin а, то R = - „ - -^-.
2) Можно воспользоваться формулой Л = ~т~; а площадь треугольника найти
по формуле Герона. Ответ: -г-.
8
6. 1. V^T.
2. 15. Можно по теореме косинусов найти, например, косинус угла, лежащего
12
против стороны, длина которой равна 25. cos а = —, тогда
Л = 39 sin a = 39-— = 15. Проще же найти площадь по формуле Герона и тогда
воспользоваться тем, что п„ — —.
а
7. 1. Соединим концы хорды АВ с центром окружности. Из треугольника имеем:
ВМ2 = R2 + ОМ2 — 2R ■ ОМ ■ cos LBOM, а из треугольника МО А : МА2 =
= R2 + ОМ2 — 2ROM-COS LAOM. Так как AB\\CD, то LAOM- 180° — LBOM и
cos LAOM — — cos LBOM. Тогда, сложив полученные равенства, имеем:
MA + MB = 2R + 20М , т. е. эта сумма не зависит от положения хорды АВ.
2. По теореме косинусов с2 — a2 + b2 — 2bc cos С, a — 2R sin Л,
b = 2R sin Д, с = 2R sin С. Тогда
123ивБ.Г.
353

sin2 С = sin2 A + sin2 В — 2 sin A sin В = cosC,
no
sin2 С = 1 — cos2 С и sin2 A = 1 — cos2 Л.
Отсюда cos2 A = cos2 С + sin2 JS — 2 sin Л sin Д-cos C.
8. 1. Пусть ME ± AB и MD J. AC, Af£ - a, MD-b. Так как в четырехугольнике
AEMD сумма противоположных углов равна 180°, то около него можно описать
окружность, диаметр которой равен AM. LEMD = 180°—а. Из треугольника EMD
имеем:
ED = >/~ar~+ b2 + 2ab cos a.
W + bl + 2aftcosa
С другой стороны ED = 2R sin a "AM- sin a. Тогда AM= : .
sin a
/a2" + ft2 + iaftcos a
Ответ: ; .
sin a
2. Задача решается аналогично задаче 7 (2).
§П
1. 1. a» 0,17, с» 0,31, Z.C» 78°. 2. » 4Г25'.
2. I. a» 13,8, Z.C» 41°47' , LB** 8843'. 2. » 1,6.
3. 1. o» 9,2, LB~ 30°21', Z.C» 124°9'. 2. » 61,5.
4. I. Z.A* 64D44', LB~ 73"24', Z.O 41°52'. 2. » 475,8.
5. 1. a» 11,3, ft» 9,7, c» 11,6, Z.C-66". 2.» 5,6.
6. 1. a» 2,32, ft» 1,47, c» 1,33, Z.C-32". 2.» 1,6.
7. 1. P(« 145,6 или Рг" 74,2.
2. » 93°9'. Из треугольника ABC находим угол ВАС, а из треугольника ACD
— LCAD. В таком случае LBAD известен. Тогда из треугольника ABD можно
найти BD, а затем и LABD. После этого из треугольника АВО легко найти и
LAOB.
8. I. $!» 627,4 или S2» 119,9.
2. » 11,8. Из треугольника ABC находим АС, а затем и LACB. После этого
находим LACD и тогда из треугольника ACD находим AD.
§12
1. 1. 1) 0; 2) ^; 3) 1. 2. » 8Г52'.
2. I. 1) — ^; 2) i; 3) — ^. 2. » 98°8'.
2 4 2
354
3. I. 1) 32; 2) —9; 3) 0. 2. » 120°58'.
4. 1. 1) 128; 2) - 72; 3) 0. 2. » 146°19'.
5. 1. 1) 9; 2) — 24; 3) — 12. 2. » 36"52'.
6. 1. 1) 75; 2) — 156; 3) 75. 2. » 56°19'.
7. 1. Обозначим £СШ=а. Тогда
АВВС+ CDDA + ДС-сЪ + ЯЛ/Ш = 0 + Ъ-CDcma + 5CD(— coser) + 0 =
= CD cos a- (3 — 5) = — 2CD cos а.
Ho CD cos а = AD — ДС = 2. Ответ: — 4.
, 2^3?
Л 17 ■
8. 1.— m2. Задача решается аналогично задаче 7 (1).
8 л/5"
2. ——. Необходимо найти угол между диагоналями АС и BD и площадь
трапеции по формуле — d\ йг sin а, где а — угол между диагоналями. Дальнейшее
решение очевидно.
§13
1. I. 2V10.
2. 1. 2^19.
3. I. » 19°6'. 2. ^-.
4. I. » 23°25'. 2. -^.
5. 1. BCAD + САВЕ + ABCf=^(BC (АВ + АС\ + СА (ВА + ВС\ +
+ АВ(СА + СВ)) =^(ВСАВ+ ВСАС + АВ- АС — ВС- АС — АС- АВ —
— АВВС) = 0.
-» ]-» -» -» -» -»
2. CD = — (СА + СВ\ и ЛВ — СВ — СА. Из условия следует, что
CD2>^ АВ2. Тогда: j (СА + СВ\2>\ (СВ — СА\2, 2СА• СВ> —1СА■ СВ и
СЛ-СВ>0. Следовательно, Z.C — острый.
-» -» i -» -» -»
6. 1. Из условия следует, что АС2 + ВС2 - -=АВ2,АСг + ВС2 =
= ^ /АС — ВС\ , АС2 + ВС2 = ± АС2 — АС ВС + \ВС2, 2АС2 + 2JSC2 =
= AC2 —J.AC JfC + ВС2, АС2 + 2АС-ВС + ВС2 = 0. Отсюда (АС + ВС\ 2 = 0 и
значит АС + ВС = 0*.
355

2. CD = ~ (CB + CA), AB = CB — CA, CD AB = }r (CB2 + CM2). Так как
-» -» -» -»
BC>AC, то CD-AB>0 и угол между векторами CD и АВ острый. Следовательно,
LBDC — тупой.
-» -»
7. 1. Предположим, что МА2 + МС2 = MB2 + MD7. Тогда МА2 + МС2 =
= MJS2 + MD2. Составим разность МА2 + МС2 — MB2 —MD2. Имеем:
(МА + MD\ (МА — MD\ (МС + МВ\ (МС — МВ\ =
= (МА + MD\ DA + (МС + МВ\ ВС = DA- (МА + А/Ь — МС — МВ\ =
= ZM- (ВА + ЙЛ = 2DABA = 0.
Отсюда обратными преобразованиями получим искомое равенство. При доказательстве
было использовано то, что DA = СВ и DA X. ВА.
2. Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD (AD и ВС — основания),
LBAD- 90°. ЛСШ> = 0, так как по условию АС S.BD,
(АВ + ВС)- (AD — /b\ =0, ABAD + BCAD — АВ2— ВСАВ =
= 0, 0 + BCAD — АВ2— 0 = 0.
Отсюда следует, что BC-AD = AB и AB = \BC-AD. При решении учли, что
АВ J. AD, ВС ± АВ и ВС сонаправлен AD.
8. I. Предположим, что АС2 + BD2 = AD2 + ВС2 + 2ABDC. Тогда:
АС2 + BD2 = AD2 + JSC2 + 2АВ DC (AB f\ DC).
Составим разность: АС2 + BD2 — AD2 — ВС2 — 2АВ DC.
Имеем:
(АС — AD\ (AC + AD\ + (BD — ВС\ (BD + BC\ — 2ABDC =
= DC (AC + AD\ + CD (BD + BC\ — 2AB-DC =
= DC (AC + AD — BD —BC\ —2ABDC = DC (AB + AB\ — 2AB DC =
= 2AB DC = 0.
Отсюда обратными преобразованиями мы получим искомое равенство.
2. AD = BD — ВА = ^=ВС — ВА,ВЕ = ± ВА + =г ВС,
2 4 4
4iJC — ЯЛ] \jBA +
f«fc)=o.
1-»-* 1"*-. 3 "* ■> 3 -* -* 3 ~* •> 1 "* •> 5-*-»
^£С -1М — ±ВА2 + |ЯС2 -ЛВСВА = 0, £/?С2 — -^ВЛ2 — ^ВСВА = 0.
о 4 8 4 о 4 в
Пусть ВС - х, тогда f Jt2 — -J- 4 — ^х- 2- = О.Здс2 — 5jc — 8 = 0. Отсюда
о 4 о L
2 2
х = 2—. Ответ: ВС = 2—.
356
Рис. 65
§14
1. I. 162°. 2.
2а
737' 737'
2. I. 10. 2. ЬлГЪ; 2Ь.
3. I. п = 3.
4. I. л = 6.
5. 1. 72 см2. Необходимо доказать, что Sabc
1
2^ &ABCDEF-
2. V 5 — 1. Необходимо оказать, что AODE — равнобедренный и рассмотреть
подобие треугольников АОЕ и Л1)£.
6. I. 24 см2.
2.^5 + 1. Задачи решаются аналогично задачам 5 (1,2).
7. I. Правильные треугольники, четырехугольники и шестиугольники.
2. На рисунке 64 CQ = PD- DN = АМ = АК = BL = BF- СЕ. По условию длина
этих отрезков равна половине диагонали квадрата. Пусть сторона квадрата равна а.
сгП , а VI, г=г
Тогда CP-DQ-а — -у- и PQ = а—2(а ^—\ = а/2 — а. Очевидно, что
AW = JCL - EF- PQ. Из треугольника FCP следует, что FP = a>f2~ — а. Тогда можно
утверждать, что стороны многоугольника FPQMNLKE равны между собой. Кроме
того, углы этого многоугольника равны 135°. Следовательно, данный восьмиугольник
является правильным.
8. 1. Да, стороны должны быть равными.
2. На рисунке 65 пара параллельных прямых а и а.\, b и Ь\ пересекают
прямоугольник A\B\C\D\ так, что образовался правильный шестиугольник ABCDEF,
причем F и С — середины сторон А\В\ и C\D\. Пусть сторона шестиугольника
х
равна х. В прямоугольном треугольнике AB\F /.^Л^-600. Тогда В\А~-= и B\F =
= —j-. Отсюда следует, что В\С\ = 2х и Л].В] = х/ЗГ. Следовательно, стороны
прямоугольника относятся между собой, как V3 : 2.
357

§15
1. 1. 18 см, 9V*3 см2. 2. -%.
2. 1. 24 см, 24 V*3 см2. 2. ^j.
, . УМ 36^3~ 3
л' и 2 ' 8*4'
4. 1. §VW, foVJ. 2. i
2aV3~
5. I. Ry/2 — V3, ЗЛ2. 2.
3 '
6. 1. R V2 — уП, 2R2 VI. 2. | (3 — VT) .
7. I. Площадь четырехугольника А\А^АтА^ равна -=А\А'А(,А%, А{А7 ■ 2Л,
ЛбЛ8 "Л, S ■ ^-2ЛЛ = R2. Но легко доказать, что R = а. Значит, S- о2.
2. Опишем вокруг трапеции окружность. Углы при большем основании равны
75°. Так' как диагонали взаимно перпендикулярны, то LCAD - LBDA — 45°. Тогда
LBAC - 30° и w ВС ■ 60°. В таком случае, радиус окружности равен а. С другой
стороны угол между диагоналями равен полусумме дуг ВС и AD. Поэтому
г? /? + л/Т\
\j AD = 120° и AD-aVb. Дальнейшее решение очевидно. Ответ: \—г /-.
8. 1. с?уП. Задача решается аналогично задаче 7 (1).
2. Трапеция ABCD, где ЛГ> и JSC — основания, вписана в окружность радиуса
Л, w ЛЯ «* w CD = 60°, w JSC - 90° и иЛО= 150°; w ЛС = w ЛЯ + \j ВС «
■ 150°. В таком случае ЛЛ-ЛС. /.СЛЛ- 30е и CD-Л, так как uCD" 60°. Пусть
ЛС - Л/) = Jt. По теореме косинусов имеем:
R2 = zjc2 - 2JC2 • ^, х2»/?2 (2 + VJ).
Угол между диагоналями ЛС и JSD равен 120°. Тогда Sabcd ~
= 2^"2" ~4~'Те- 5abcd-T(3+2V3).
§16
1. I. 16 >Г2 см. 2. «40,3 дм.
2. 1. 18 V^ см. 2. «6,23 см.
3. I. 2р ■ (4 + 3 */3). 2. 32 см.
4. 1. ^(V7+l).2. 2 см.
358
5. 2. *
4
6. 2. /.
с (2 — V3~\
7. I. —\ it—t-- 2. 12 (VJ + я\ дм. Необходимо доказать, что LAO\D —
- LB02C" 120".
1 fVl ._
8. 1. с /V2~ — 1\. 2. —— (2л + 3 V3j см. Задача решается аналогично задаче
7 (2).
§17
1. I. 2. 2. » 161,9 см2.
2. I. 3. 2. » 19748'.
>2
3. I. (6 — я) см2. 2. ^ (4л — 3V*3)
4. 1.
108— 16л
3.£(2*-3Vs).
5 1 Я£
д. I. 4 .
2
2. -=ф Необходимо доказать, что площадь фигуры равна площади сектора с
дугой ВС.
6. 1. 4. 2. 2j2- Задача решается аналогично задаче 5 (2).
г2
7. I. — (24V3~ — 11я\. Необходимо доказать, что LAO\C-120°, a LB02C =
- 60°. Площадь искомой фигуры равна площади трапеции АВ020\ без площадей
двух секторов АО\С и В02С.
2. =-. Треугольники ЛЛС и CJSD подобны и радиусы вписанных окружностей
4я£г
относятся между собой как b : a.
3. Необходимо построить окружности с радиусами, равными -р? и —тг-
R2 /—
8. 1. — (5я — 6v3 j. 2. Необходимо доказать, что радиус вписанной окруж-
ности г ш — и затем найти площадь фигуры, состоящей из четырехугольника ОСО\ D
и сектора CEDO\, дуга которого равна 240°. Дальнейшее решение очевидно.
2. =". Задача решается аналогично задаче 7 (2).
4ялг
359

Рис. 66
Рис. 68
Рис. 69
3. Необходимо построить прямоугольный треугольник с катетами Л] и R2, а
затем на гипотенузе построенного треугольника, как на катете, построить еще один
прямоугольный треугольник с катетом /?з- Гипотенуза последнего треугольника и
будет являться радиусом искомого круга.
§18
5. 1. Решение показано на рисунке 66. 2. 2 см или 10 см.
2 3
6. 1. Решение показано на рисунке 67. 2. -= или —.
7. 1. Необходимо построить окружность, симметричную относительно прямой /,
например, с центром О. Дальнейшее решение смотри на рисунке 68. При данном
расположении окружностей и прямой имеется две пары симметричных точек X и
X,, У и У,.
8. 1. Необходимо построить прямую Ь\, симметричную прямой b относительно
центра О. Дальнейшее решение смотри на рисунке 69. При данном расположении
360
Рис. 70
прямых а и Ь и центра О имеется одна пара центрально-симметричных точек X и
§19
3. 2. 15 см.
4. 2. 8 см.
5. 1. Пусть А -» А\ к D-* D\. Так как при движении сохраняются расстояния,
то следует провести окружности с центрами в точках А\ и D\ и радиусами, равными
АХ и DX. Точка пересечения этих окружностей, располагающаяся ниже прямой
A\D\, и будет искомой точкой Х\.
2. Предположим, что трапеция ABCD построена. Осуществим параллельный
перенос диагонали BD на вектор ВС. Пусть BD -»CD\. Треугольник ACD\ —
прямоугольный (LACDX = 90°) с известными катетами АС и CD{. Отсюда вытекает
построение: строим прямоугольный треугольник ACD\ по двум катетам, равным
данным отрезкам. Затем через точку А строим прямую, перпендикулярную AD\ и
через точку С прямую, параллельную AD\. Точка их пересечения и^ есть
вершина В. После этого отрезок CD\ параллельно переносим на вектор СВ, при
этом Dx -» D. Трапеция ABCD — искомая.
6. Задача решается аналогично задачам 5 (1,2).
7. 1. Опустим перпендикуляры О, F и 02F (рис. 70) на прямую т. Осуществим
параллельный перенос окружности с центром 02 на вектор EF. Полученная
окружность пересекает окружность с центром в точке 0\ в точках А и В. Через эти точки
проведем прямую /. Эта прямая пересекает окружность с центром в точке 02 в
точках А\ и В\. Легко доказать, что АВ"А\В\.
2. Пусть АЕ и CF медианы треугольника ABC, причем AE-CF. Осуществим
параллельный перенос медианы CF на вектор FE, при этом FC -» ЕС\. Мы получим
равнобедренный треугольник АЕС\. Отсюда следует, что LEAC\ = LEC\A. Так как
LFCA- LEC\At то LEAC = LFCA. Дальнейшее доказательство очевидно.
361

8. 1. Задача решается аналогично задаче 7 (1).
2. Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и ВС. Р — середина ВС,
а. К — середина AD. Осуществим параллельный перенос АВ на вектор ВР, a CD
— на вектор КР. Тогда В А -* РАХ, a CD -* PDX, треугольник AXPDX — прямоугольный
(LA\PD\ -90°) и РК медиана этого треугольника (докажите!), РК--= А\Dx.
Дальнейшее доказательство очевидно.
§20
1. 1. АВ-АХВХ.
2. 1. kjAB-kjAxBx.
5. 1. Следует осуществить поворот окружности с центром в точке Ох относительно
центра О на 60° против часовой стрелки.
2. Пусть прямая / пересекает стороны АВ и АС соответственно в точках Е
и F, а прямая т — стороны ВС и АС в точках Р и К. При повороте вокруг центра
О на 120° АВ -> ЛС, ЛС -> ДС и / -> т. Очевидно, что Е-* К и F-* Р. Тогда
EF-* КР к EF-KP.
6. Задачи решаются аналогично задачам 5 (1,2).
7. Необходимо осуществить поворот прямой а относительно центра Р на 60°.
Построение показано на рисунке 71.
Рис. 71
2. При повороте на 90° относительно центра АР-*В\лС-*М. Следовательно,
РС-* ВМ и РС-ВМ и PC JL РМ.
8. 1. Задачи решаются аналогично задачам 7 (1,2).
362
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К РАБОТАМ НА ПОВТОРЕНИЕ
№1
1-|-»4Пг4)9П!5)^-П-
2. 1. 3) 5£; 4) 4.8; 5) Ш
3. 1. 3) 4-£. 26^. 30; 4) 3, 15; 5) |^ - ^
4. 1. 2) 14; 3) 24; 5) 36 */3.
5. 1. 3) 1,6; 4) 6V3. 5) -iyj4
6. 7. 3) 4, « 2,2, « 4,8; 4) -^-^»0,8; 5) -5,9.
№2
1. 2) 20; 3) уГаТ; 4) »28°13' . Воспользоваться тем, что
Sapck ш ^АСРК sin LAOK.
2. 1) 50; 2) 8; 4) ^;
12 4
3. 2) -^-; 3) 36°52' ; 4) 32. Необходимо найти cos LODF - j.
4. 1) 20, 200; 3) 10\^2. Необходимо учесть, что если ВР — высота трапеции,
то длина отрезка PD равна ее средней линии. SABCD = РВ2, так как из условия
следует, что ABPD — равнобедренный. 4) 8 V2, 12^. Необходимо доказать, что
тп AD~BC
1Ц- 2
5. 2) 9,6; 3) »73°44' ; 4) »44,2. Для нахождения площади прямоугольника
можно найти sin LMOF * bmLBAD — 0,96.
6. 1) 2; 2) 4я; 3) уГаТ, VT37; 4) «58г39°.
№3
1. 1) 10 уП\ 3) «28°58', »241°02'.
2. 1) 7; 2) 2v^6; 3) »78°28'; 4) «13,7.
3. 2) 6; 3) 3^5; 4) »19°28'.
4. 2) 4; 3) ^j; 4) »92°23' .
363

5. 1) 4 : 5 : 3; 2) 4; 3) 8 ^3; 4) 4 (^3 + l) .
6. 1) 2^3, 2\ГЬ\ 2) 120°, у; 3) у - VI; 4) 2v^2.
№4
1. 1) Z)(—2; —1); 2) £2? = |лЯ —/Ш; 3) «81"2'; 4) у = — |*+§;
_> 2 -> 1 ->
2. 1) Треугольник прямоугольный; 2) AM = — ^г С А + -= СВ\ 3) «35°45';
4) у=_Ах + |0.^_^2+ ^_9j2=5()
3. 1) лЪ=*~АВ+ ^AD; 2) Я (|; 2]; 3) ЛЯ = | Г+ 2/Г 4) -88°6\ « 15.
4. 1) «18,6; 2) 4, (х — 4)2 + у2 = 16; 3) »55°18'; 4) ОБ = — f ОД _ f ОС.
* ' 8 8
5. 2) 200; 3) 43°36\ «136"24'; 4) (х-3)2 + (у — 2\2 - ^°-°-.
6. 1) iAf-i«: + |A; 2) *(^2J; 3) ?j_^;^-j; 4) «12948'.
364
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ
№1
1. 1. 1) АВ = Г+ 6/Г 3) х- 1. 2. 2) 3. 3. Одну общую точку.
4*. ct+ 1? имеет координаты {— 3; — 1}, а вектор ?{6; 2}. Тогда
?= _ 2?_ ЯГ
2. 1. 1) А (— 3; 7); 2) (— 2; 5,5); 3) у = -|х + |.
2. о = 6 или о = — 4.
3. (х-И)2+ ^ = 36.
4*. Так как of f£ то ?= Л £ где *>0. Пусть if{x; у}. Тогда
х - —А, у = 2*, Vк1 + 4кг « V9+ 16. Так как *>0, то к = \Ts.
Ответ. ?{— V^; 2 v^}.
3. 1. 1) JSAf = ЗГ+7/Г 3) у 3. 2. 1) (3; —1).
3. Две общие точки.
4*. Г= 2т — 2п.
4. 1. 1) F(4; —5); 2) (1; —2); 3) у = —х—1.
2. т - 7 или m = 1.
3. х2 + (у + б)2 - 16.
л -> [2VT0 4VT0]
4. да|_-;___|.
№2
1. 1. АВ»25,5, АС»24, LB-b5\ Л-13,2.
2. Я^»6,3, S»7,4.
^sin2 За
3*. 5
2 sin а
2. 1. ЛС»7,4; ZA»39°25', ZC»30°35'.
2. 5«75,4; Л - 5.
3*. РК = V25 sin /3 (sin a sin (а + /3))~' .
3. 1. ЯС»5,5, >U?»12,2, Z5=110% Л-8.
2. £C2?D»41"25'; 5«19,8.
с2 sin2 — • sin 2a
3*. 5 .
• 2 а
sin 22
365

4. 1. PM«3,7; Z1A/-20"20'; ZP»119°40'
2. 5»26,3; Л» 15,1.
3*. Л - Vs (2 sin a sin/3 sin (a + /?))""' .
№3
1. 1. 1) —8; 2) —24; 3) 24.
2. 1) *5°54'; 2) —90.
3*.a{3; 1}.
2. I. 1) 9; 2) —27; 3) —27.
2. 1) 45°; 2) —40.
3*. ВС-AD + CA-BE + AB-CF = ВС *Ц^ + СЛ *Ц-^ 4- Л Щ^-
ВСАВ + ВСАС + САВА АС-ВС + АВ-ВС + САВА „
3. 1. 1) 12; 2) —4; 3) 0.
2. 1) »15°57' ; 2) —36. 3*. m {— 2; —4}.
4. 1. 1) 54; 2) —18; 3) 0.
2. «60° 15'; 2) 0.
3. МАМС = (MD + DA\ ■ (MB + BC\ =
= MDMB + DAMB + MDBC + DABC= MDMB + DAMC + MD ВС
= MDMB + DAMC — DA-MD = MDMB + DA-DC -
= MDMB + 0 = MD MB.
№4
, гт: ~. 5л 25л
1. 1. л; 6V3. 2. -тт. -г--
2 4
d2 —
3. -у- /я + V 3). Площадь фигуры складываем из площади прямоугольного
треугольника ВАС с катетами R и R v3 и площади полукруга.
4*. Пусть длины перпендикуляров, опущенных из точки М на стороны
многоугольника, равны /], /2, .... /„. Рассмотрим треугольники с вершиной в точке М и
с основаниями, которыми служат стороны многоугольника. Тогда площадь
многоугольника равна -ха„ (1[ + ^ + ... + 1„\, где а„ — сторона многоугольника. С другой
366
стороны, площадь многоугольника равна ~~--г„, где г„ — радиус вписанной
окружности. Тогда /] + /г +... + /„ = г„-п.
г- R2
2. 1. 48л, 48 V3. 2. 2л, 6л. 3. -г-(п — 2]. Площадь фигуры можно получить
как разность площади полукруга и площади прямоугольного треугольника, катеты
которого равны R у/1.
8nV3~
3. 1. 8л, 32. 2. ^р-, 16л. 3. ~ (л - у/ъ)
4*. Рассмотрим четырехугольник, образованный двумя соседними сторонами
правильного 2/1-угольника АВ и ВС и радиусами ОЛ и ОС, где О — центр многоугольника.
В таком случае, АС — сторона правильного п-угольника. Так как AC -L ОВ, то
1 <*nR
$оавс ~ -z AC-OB = —г—. Наш 2п-угольник состоит из п таких четырехугольников.
nanR
Поэтому S2„ » 2 •
4. 1. 4л; ^д-. 2. 6, 6л. 3. ^-(я + 2).
№5
1. 1. 2) 90°. 2. Величины углов равны и стороны сонаправлены.
3. Нужно доказать, что прямая, содержащая середины параллельных хорд,
является осью симметрии окружности.
4*. Центром поворота является точка пересечения серединных
перпендикуляров АС и BD.
2. 1. 2) 60°. 4*. Строим треугольник А\В\С\, равный данному треугольнику
ABC так, чтобы его основание А\С\ лежало на прямой а. Затем через вершину В\
проводим прямую, параллельную а, до пересечения с прямой Ь в точке Bj- После
этого осуществляем перенос треугольника А\ВХС\ на вектор BiB2.
3. 1. 2) 90°.
2. Величины углов должны быть равны, а стороны противоположно
направлены.
4*. Необходимо построить образ этой прямой при повороте на 60" вокруг
данной точки Н по часовой стрелке (против часовой стрелки) и затем найти точки
пересечения образа этой прямой с окружностью. Дальнейшее решение очевидно.
4. 1. 2) 60°.
4*. Пусть а пересекает с в точке X, а Ь пересекает d в точке У. Тогда XY —
искомый вектор.
367

№6
1. 1) 4 см, 5 см, 6 см2; 2) л см2; 3) 3 : 4; 4) 0.64СМ + 0.36СЯ; 5) 9.
2. 1) 3 V^ см, бл/'З см, 36\^3 см2;
2) Треугольник правильный 4л Л^З см. 3) 2 Vb3; 4) —CD + 0.5СЯ; 5) 0.
2V3" 16v^3~ ,
3. 1) -|— см, -у— см2; 2) 9: 25;
14VT 1 -> 4 -> 4
3) —j— см; 4) ^rBZ) + |ДЛ; 5) |.
4. 1) 12 см2, ||; 2) 3,6 см; 3) 6,25л см; 4) АС + 0.72СВ; 5) О.
368
10 КЛАСС

ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
Параграф
Тема
Аксиомы стереометрии и следствия из них
Взаимное расположение прямых в пространстве
Параллельность прямой и плоскости
Параллельность плоскостей
Тетраэдр и параллелепипед
Задачи на построение сечений
Перпендикулярность прямой и плоскости. Параллельные прямые,
перпендикулярные к плоскости
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Расстояние от точки до плоскости
Теорема о трех перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью
Двугранный угол
Перпендикулярные плоскости. Прямоугольный параллелепипед
Прямые призма и параллелепипед
Площадь поверхности прямой призмы
Наклонная призма. Площадь поверхности
Правильная пирамиды
Неправильная пирамида. Площадь поверхности
Сечения в пирамиде. Усеченная пирамида
Понятие вектора в пространстве
Сложение и вычитание векторов
Умножение вектора на число
Компланарные векторы. Применение векторов к решению задач
Повторение
Параллельная проекция фигуры. Изображение фигур
Многогранные углы. Теорема косинусов для трехгранного угла
Задачи предназначены для классов с углубленным изучением математики.
370
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
§ 1. Аксиомы стереометрии и следствия из них
1. Точки Л, В и С не лежат на одной прямой. М£ АВУ КЕ АС,
ХЕ МК. Докажите, что точка X лежит в плоскости ABC.
2. Плоскости а и /3 пересекаются по прямой т. Прямая а лежит в
плоскости а и пересекает плоскость /8. Пересекаются ли прямые а
и т? Почему?
1. Прямые а и Ь пересекаются в точке О. АЕ a, BE b; YE AB.
Докажите, что прямые а и Ь и точка У лежат в одной плоскости.
2. Даны пересекающиеся плоскости а и /8. Прямая а лежит в
плоскости а и пересекает плоскость /8 в точке А. Прямая Ъ лежит в
плоскости /8 и пересекает плоскость а в точке В. Докажите, что АВ —
линия пересечения плоскостей а и /3.
1. В чем ошибка чертежа на рис. 1. Дайте объяснение. Сделайте
верный чертеж.
2. По данным рисунка 2 постройте:
1) точки пересечения прямой EF с плоскостями ABC и А\В\С\;
2) линию пересечения плоскостей ADF и EFD;
3) линию пересечения плоскостей EFD и ABC.
Рис. 1 Рис. 2
371

4.
1. В чем ошибка чертежа, где О Е EF (рис. 3)? Дайте объяснение.
Сделайте верный чертеж.
2. По данным рисунка 4 постройте:
1) точку пересечения прямой РМ с плоскостями DCC\ и АА\ВХ;
2) линию пересечения плоскостей РВХ М и АВ\ М\
3) линию пересечения плоскостей РМС\ и DD\ C\.
Рис. 3 Рис. 4
1. В трапеции ABCD (AD и ВС —
основания) АВ пересекает CD в
точке М, Е — середина AD.
ОЕ. ВС. Точка К расположена
вне плоскости трапеции. При
каком условии точки К, М, О и
Е лежат в одной плоскости?
2. Постройте линию пересечения
плоскостей АВ\С и АХС\В
(рис. 5).
fii
С
Рис.5
6.
В треугольнике ABC
биссектрисы углов А и С
пересекаются в точке О; Ав : ВС = 2:3;
££ AC. D лежит вне
плоскости ABC. При каком условии
можно провести плоскость
через точки D, В, Ои£?
Постройте линию пересечения
плоскостей РКТ и МСЕ
(рис. 6).
м
РИС.6
7.
1. Точка К лежит в плоскости
ABC. Постройте точку
пересечения прямой DK и плоскости
EFM (рис. 7).
2. Точка О — центр окружности,
описанной около треугольника
ABC. Принадлежит ли точка С
плоскости, в которой лежат
точки Л, В и О?
Рис. 7 с
8.
1. Точка М лежит в плоскости
BDC. Постройте точку
пересечения прямой AM с плоскостью
DBE (рис. 8).
2. Точка О — центр окружности,
описанной около
четырехугольника ABCD. Точки Л, О и
С принадлежат плоскости а.
Принадлежит ли этой
плоскости вершина D?
373

§ 2. Взаимное расположение прямых в п • «ст •. нстве
1.
1. На рис. 9 плоскости а и /б пересекаются по прямой EF. Прямая АВ
лежит в плоскости а. В плоскости/? через точку С провести прямую
так, чтобы она:
1) пересекала прямую АВ;
2) была бы скрещивающейся с прямой АВ;
3) была бы параллельна прямой АВ.
2. На рис. 10 ЛЛ,||СС,, ААХ \ВВХ, ВВХ = ССХ. Докажите, что ВХСХ -
=ВС.
Рис. 10
374
1. На рис. 11 плоскости а и /3 пересекаются по прямой EF. Прямая
АВ лежит в плоскости а и параллельна EF. В плоскости /б через
точку С провести прямую так, чтобы она:
1) пересекала прямую АВ;
2) была бы скрещивающейся с прямой АВ;
3) была бы параллельна прямой АВ.
2. На рис. 12 Л,С, =АС; АХСХ \\АС; АХВХ -АВ; АХВХ ||Л#. Докажите,
что ССХ ||ЯЯ,.
Рис. 11 Рис. 12
*" 61 С,
1. Докажите, что прямые ААХ и
CjD,; ААХ и BXD; AC и BXDX
являются скрещивающимися Ау
(рис. 13).
2. Прямая Ь лежит в плоскости а.
Прямая а не лежит в плоскости
а и параллельна прямой Ь. Через
точку М, лежащую в плоскости
а (М £ Ь), проведена прямая с,
параллельная а. Докажите, что с
лежит в плоскости а. А о
Рис. 13
375

4.
Докажите, что прямые AD и
С,A; AXD и АС; АС и А0,
являются скрещивающимися
(рис. 14).
Даны две параллельные прямые а
и Ь и точка М, не лежащая ни на
одной из них. Лежит ли точка М
в одной плоскости с прямыми а и
Ь, если известно, что через точку
М можно провести прямую,
пересекающую только одну из
данных прямых.
Рис. 14
5.
1. На рис. 15 прямые а и Ь — скрещивающиеся. Каково взаимное
положение прямых EF и a, EF и Ь1
2. На рис. 16 точки Е, F, Р и М — середины отрезков AD, CD, ВС и
АВ соответственно. Докажите, что ЕР и MF пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам.
Рис. 16
Рис. 15
376
1. На рис. 17 прямые а и Ь — скрещивающиеся. Каково взаимное
положение прямых PQ и a, PQ и Ы
2. На рис. 18 Е, F, Р и М — середины Л, А, АС, CD и AXD
соответственно. Докажите, что ЕР и MF пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам.
Рис.17 Рис.18
1. Точка О не лежит на плоскости у, которая задается параллельными
прямыми а и Ь. Плоскость а проходит через точку О и прямую а,
а плоскость ft проходит через точку О и прямую Ь. Докажите, что
линия пересечения этих плоскостей параллельна прямым а и Ь.
2. В плоскости а расположен треугольник ABC. Через его вершины
проведены параллельные между собой отрезки АД,, ВВХ и CCi,
расположенные по одну сторону от плоскости а; АА\ = ВВХ «= CCi.
Точки Е, Fh М — середины отрезков АВ, ВС и АС соответственно.
Докажите, что отрезки А\F, BtM и С\Е пересекаются в одной
точке. В каком отношении точка пересечения делит эти отрезки?
8.
1. Пусть а и Ъ — скрещивающиеся прямые и точка М не
принадлежит ни одной из них. Всегда ли существует прямая, проходящая
через точку М и пересекающая обе данные прямые?
2. В плоскости а расположен треугольник ABC. Через его вершины
проведены параллельные между собой отрезки AAU BBt и CCi,
расположенные по одну сторону от плоскости а; АА\ = ВВХ =СС\.
Точки F, Е и М — середины отрезков ВХС, АС\ и А\В
соответственно. Докажите, что треугольники EMF и ABC подобны.
377

§ 3. Параллельность прямой и плоскости
**и*л.
1.
1. В параллелограмме ABCD точки Е и F принадлежат сторонам АВ
и СА причем BE : EA-CF: FD. Через эти точки проведена
плоскость а. Докажите, что ВС\а.
2. Прямая а параллельна плоскости а. Через прямую а проведена
плоскость /б, пересекающая плоскость а по прямой Ъ. В плоскости
а существует прямая с, которая параллельна а. Докажите, что Ь\\с.
2.
1.
Точки Ей F принадлежат сторонам АВ и ВС треугольника ABC
соответственно, причем ВЕ'.ЕА * 2:3. Через эти точки проведена
плоскость, параллельная АС. Найдите отношение BF: FC.
В плоскости а выбраны точки А и В. С концами в этих точках
проведены в одном направлении от плоскости а равные и
параллельные между собой отрезки АА\ и ВВХ. Докажите, что АХВХ \а.
3.
1. а||Ь\ а\\а. В каком взаимном
положении находятся прямая Ь и плоскость
а? Дайте объяснение.
2. На рис. 19 ABCD — параллелограмм.
L ABC - 130°. ААХ \\ВВХ \\ССХ \\DDX и
ААХ =BBX~CQ -DDX.
1) Постройте линии пересечения
плоскости AMD с плоскостями ЛЛХВХ, ВВХСХ
и DDXCX.
2) Найдите угол между прямыми АВ и
Ах Д.
Рис. 19
378
4.
1. а\а, MGa. Докажите, что в
плоскости а существует прямая Ь,
проходящая через точку М и
параллельная прямой а.
2. На рис. 20 ABCD —
параллелограмм, L ADC - 100е, ААХ - ВВХ -
- ССХ - DDX и ААХ \ВВХ \ССХ \DDX.
1) Постройте линии пересечения
плоскости ААХЕ с плоскостями AxDxCXt
DDXCX и ABC.
2) Чему равен угол между прямыми
ADn АС?
Рис.20
5.
1. Треугольники ABC и DBC не лежат в одной плоскости. Точки М,
И и К — середины соответственных отрезков BD, CD и АС
соответственно. Плоскость МКН пересекает отрезок АВ в точке Р.
Докажите, что отрезки РН и МК пересекаются и точкой пересечения
делятся пополам.
2. На рис. 21 ABCD — параллелограмм, L ВССХ - 120°, ААХ - ВВХ -
- ССХ - DDX и ААХ \\ВВХ |СС, \DDX.
1) Постройте линию пересечения
00\ плоскостей, проходящих
через прямую ААХ и точку М и
прямую DDX и точку К.
2) Каково взаимное положение
прямых ООх и АА\1
3) Чему равен угол между прямыми
ООх и AD1
Рис. 21
379

6.
Треугольник APD и трапеция ABCD имеют общую сторону AD и
лежат в разных плоскостях. Через основание ВС трапеции и
середину отрезка PD — точку К проведена плоскость, которая
пересекает прямую АР в точке М, AD = 2ВС. Докажите, что отрезки МС
и ВК пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам.
2. На рис. 22 ABCD —
параллелограмм, L ABC =110°, ААХ - ВВХ =
= ССХ = DDX и ААХ \\ВВ, \\CCx \\DDX.
1) Постройте линию пересечения ККХ
плоскостей, проходящих через
прямую AD и точку М и прямую
AXDX к точку Е.
2) Каково взаимное положение
прямых ККХ и ВС1
3) Чему равен угол между прямыми
Рис. 22 ККХ И DC?
7.
1. Параллельна ли плоскость АМС прямой, проходящей через точки Н
и Нх пересечения медиан треугольников MAD и MCD1 Дайте
объяснение (рис. 23).
2. На рис. 24 точки М, F и Е — середины отрезков CD, ВС и АВ
соответственно.
1) Постройте линии пересечения плоскости MFE с плоскостями ABC,
CDB, ADC и ADB. Дайте объяснение.
2) Найдите угол между прямыми АС и DB, если АС =10, BD = 20, а
площадь четырехугольника, образованного построенными линиями
пересечения равна 25^3.
м
380
8.
1. Параллельна ли плоскость АНС прямой, проходящей через точки
М и М{ пересечения медиан треугольников ABC и НАВ (рис. 25)?
2. На рис. 26 ABCD — параллелограмм. АД, = ВВХ = СС\ = DDi и
ААХ \\ВВХ \\CCi ||#А- Точки К, МиР — середины отрезков АВ, АХВ
и AD соответственно; ААХ = 20; BD «= 40. Угол между прямыми СС\
и BD прямой.
1) Постройте линии пересечения плоскости МКР с плоскостями
ААХВ, BAXD, AAXDX и ABC.
2) Найдите площадь четырехугольника, образованного построенными
линиями пересечения.
Рис. 25 Рис. 26
381

§ 4. Параллельность плоскостей
Дано: L ЕМС = /. МСА и L PEB=/L EBC (рис. 27). Докажите,
что плоскости МЕР и ABC параллельны.
Отрезок CD лежит в плоскости а. Концы отрезка ЕМ лежат на
параллельных плоскостях а и/3 (рис. 28). Постройте линии
пересечения плоскостей ECD, ЕМС и EMD с плоскостью /3.
D
Рис. 27
Рис. 28
2.
, „ DE DK
L Дан0:ДЛ=ДС
DM
DB
(рис. 29). Докажите, что плоскости ЕКМ и
Л/?С параллельны.
2. Концы отрезков ЛЯ и CD лежат на параллельных плоскостях а и
Р (рис. 30). Постройте линии пересечения плоскости ABC с
плоскостью а и плоскости В DC с плоскостью /3.
Рис. 29
Рис. 30
382
3.
1. На рис. 31 EF\\EiFi и ЕМ\\ЕхМи Докажите, что L DFM =
= L DFiMu
2. Отрезки АВ и CD лежат соответственно в параллельных
плоскостях а и/3 (рис. 32). Что можно сказать о взаимном расположении
прямых AD и ВС!
1. На рис. 33 о||6||с и не лежат в одной плоскости. АВ$А{В{ и
/?С|Я] С\. Докажите, что ЛС = Л, С,.
2. Отрезки ЛЯ и CD лежат соответственно в параллельных плоскостях
а и /3 (рис. 34). Что можно сказать о взаимных положениях
прямых АС и Ш)?
Рис. 33 Рис. 34
383

5.
1. Три плоскости параллельны. Скрещивающиеся прямые U и /2
пересекают эти плоскости в точках Alt A2l Л3 и Вх, В2у Въ. Известно,
что В\В2 - 5 см, А2АЪ = 6 см, АХА2 : В2ВЪ = 8:15. Найдите длину
отрезков А{АЪ и В\В3.
2. Пересекающиеся прямые р и д лежат в плоскости а; А$. а; АВ^р,
АС$д, АЕ /3; СЕ /3. Каково взаимное положение плоскостей а и/3?
1. Три плоскости параллельны между собой. Скрещивающиеся
прямые А и /2 пересекают эти плоскости соответственно в точках Ах,
Л2, А3 и J9,, J52, J53; Л^2 * 4 см, J32J33 = 9 см> ^Л3 ■ #i #2- Найдите
длину отрезков A\A$ и В{В3.
2. Дано: а\\а; яЦ/9; А||а; АЦ/9. Каково должно быть взаимное положение
данных прямых, чтобы плоскости а и /3 были бы параллельными?
1. На рис. 35 АА\ \ВВХ \СС\ и АА\ « ВВ\ - СС\. М лежит в плоскости
AAiCi. Через точку М проведена плоскость, параллельная
плоскости В\ ВК. Постройте линию пересечения этой плоскости с
плоскостью АА\В\.
2. М$. а. Где расположены все прямые, проходящие через точку М и
параллельные плоскости а?
Рис. 35
384
8.
1. На рис. 36 ААХ \ВВХ \ССХ ||£>А и ААХ = ВВХ - ССХ - DDX. Точка М
лежит в плоскости АА\В\. Через точку М проведена плоскость,
параллельная плоскости С\СЕ. Постройте линию пересечения этой
ПЛОСКОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ AA\D\.
2. Дано: а ||/9. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке М. Точки А и С
лежат в плоскости a, a D и В — в плоскости /3. Докажите, что
AM _ CM
MB MD'
D
Рис. 36
133ивБ.Г.
385

§ 5.Тетдаэд^ и па^а^елепипед
1.
1. ABCDAiBiCiDi — параллелепипед. BE лежит в плоскости AXBD.
Докажите, что BE параллельна плоскости B\DXC.
2. В тетраэдре DABC L DBC - L DBA - L ABC - 90°. BD = BA = BC =
- 2 см. Найдите площадь грани ADC.
2.
1. ABCDAXBXCXDX — параллелепипед. АК лежит в плоскости ADXC.
Докажите, что АК параллельна плоскости Aх Сх В.
2. В тетраэдре DABC L DBC - L DBA » L ABC - 60°. BD = BA = BC =
= 4 см. Найдите площадь грани ADC.
3.
1. В параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ точки Е и F — середины BXCX
и С\ Dx соответственно, ААХ ± EF. Докажите, что BXD = BDX.
2. В тетраэдре DABC L DBC = L DBA = 60°. BA = BC = 5 см; DB =
= 8 см, AC = 8 см. Найдите площадь треугольника ADC.
4.
1. В параллелепипеде ABCDAX Вх C\ D\ точки Р и К — середины АВ и
ВС соответственно, АХС = АСХ. Найдите угол между прямыми DDX
нРК.
2. В тетраэдре DABC ребро DA = bVl см, АВ = АС = 14 см, L DAB =
= Z. DAC = 45°, ВС - 16 см. Найдите площадь грани В DC.
5.
1. В параллелепипеде ABCDA\BXC\D\ EEB{C\, FG AD, причем
ВхЕ: ЕС\ — FD : AF = 5:2. Докажите, что точки Ек Fсимметричны
относительно точки пересечения диагоналей параллелепипеда.
2. Докажите, что сумма квадратов ребер тетраэдра в четыре раза
больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины
противолежащих ребер.
386
6.
1. В параллелепипеде ABCDAiBiCiDi /CG AtBi и РЕ DC, причем
Ai К : К{ В - СР : PD - 3:1. Докажите, что точки К и Р симметричны
относительно точки пересечения диагоналей параллелепипеда.
2. Докажите, что прямые, проходящие через вершины тетраэдра и
точки пересечения медиан противолежащих граней, пересекаются
в одной точке.
1. Дано: ABCD — четырехугольник. ЛЛ, ||J5#, ||CC, \\DDX и ААХ =
= ВВХ = СС\ — DDX, причем указанные отрезки расположены по
одну сторону от плоскости ABC. Отрезки АС\, АХС, B{D\i BD{
пересекаются в одной точке. Докажите, что ABCDA{B{C\D\ —
параллелепипед.
2. В тетраэдре DABC боковое ребро равно 3 см. Углы при основании в
боковых гранях равны 75°. Точка А начинает двигаться по грани
ADC, затем по грани CDB и наконец по грани ADB и возвращается
в исходное положение. Какой наименьший путь проходит эта
точка?
1. Докажите, что диагональ АСХ параллелепипеда ABCDAXBXC\D\
проходит через точку пересечения медиан сечения BDAX.
2. В тетраэдре DABC угол при основании боковых граней равен 70°.
Точка А начинает двигаться по грани ADC, затем по грани CDB и
наконец по грани ADB и возвращается в исходное положение.
Наименьший путь, который проходит точка, равен 12v3. Найдите
длину бокового ребра.
387

: 6. Задачи на пост • ♦ ие сечений
1. Постройте сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через
точки Я.Ми/С, где РЕ AD, ME DB и КЕ ВС, причем АР - PD и
DM'MB.
2. В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основание ABCD — квадрат со
стороной, равной 8 см, остальные грани — прямоугольники.
Боковое ребро равно 3 см. Е — середина АХВХ. Постройте сечение
параллелепипеда плоскостью, проходящей через АС и точку Е, и
найдите периметр сечения.
1. В тетраэдре DABC DA - DC - 13, AC - 10; E — середина ВС.
Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку Е
параллельно плоскости ADC, и найдите площадь сечения.
2. В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX РЕ. AXDX и КЕ ВХСХ.
Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки
Р и К и параллельной ААХ.
1. В тетраэдре DABC точка М — середина AD, P E DC и DP: PC -
- 1:3. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через
точки МиРи параллельно ВС. Найдите площадь сечения, если все
ребра тетраэдра равны а.
2. Постройте сечение параллелепипеда ABCDAXBXCXDX плоскостью,
проходящей через точки М, Р и Е, где ME ВХСХ, РЕ ССХ и ЕЕ АВ.
1. В тетраэдре DABC точка Р — середина AD, ЕЕ DB, причем
DE: ЕВ" 1:3. Постройте сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки Р и Ей параллельной АС, и найдите площадь
сечения, если все ребра тетраэдра равны а.
2. В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX ME DXCX, РЕ DDX и КЕ ВС.
Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей
через точки М, Р и К.
388
5.
1. Дан куб ABCDAXBXCXDX, ребро которого равно 8 см. Точки Р, М
и Т соответственно середины ребер АХВХ, СХС и AD. Постройте
сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Р, М
и Г и найдите площадь сечения.
2. DABC — тетраэдр. Р Е АВ; DE — медиана грани CDB. Постройте
сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки С и Р и
параллельной DE.
1. Дан куб ABCDAxBxCyD\, ребро которого равно 4 см. Диагонали
оснований ABCD и AXBXCXDX пересекаются в точках О и Ох
соответственно. Р — середина AD, а Г — середина CD. Постройте сечение
параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Р, Т и
середину отрезка ООх и найдите площадь сечения.
2. В тетраэдре DABC РЕ АВ, СЕ — медиана грани DCB. Постройте
сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки ВиРи
параллельной СЕ.
1. В тетраэдре DABC AE —
высота треугольника ABC,
О — середина AE; DO ± AE
и DO ± ВС; К Е АС, причем
АК: КС -3:1; ВС = а; DO =
■ b. Постройте сечение
тетраэдра плоскостью,
проходящей через точку К и
параллельной прямым ВС и DO, и
найдите площадь сечения.
2. ABCDAXBXCXDX —
параллелепипед. Точка Р лежит в
грани ААХВХВ, R — в грани
AAXDXD и TECXDX;
М Е ААХ. Постройте сечение
параллелепипеда
плоскостью, которая проходит
через точку М и параллельна
плоскости PRT (рис. 37).
389

8.
1. В тетраэдре DABC АС =12; DB = 9; О — точка пересечения медиан
треугольника ABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью,
которая проходит через точку О и параллельна прямым АС и DB.
Найдите площадь сечения, если угол между прямыми АС и DB
равен 60°.
2. ABCDAtB\C\Di — параллелепипед; ГЕ А{Вх; ME. DD{; Улежит в
плоскости грани DDXC\C, а Е — в плоскости грани AAXD\D.
Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, которая проходит
через точку М параллельно плоскости ТЕК (рис. 38).
Bi d
Рис. 38
390
§ 7. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Параллельные прямые,
перпендикулярные к плоскости
1.
1. АВС — правильный треугольник, О — его центр, ОМ —
перпендикуляр к плоскости АВС, ОМ = 1. Сторона треугольника равна 3.
Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника.
2. ABCD — параллелограмм, BE и FD — перпендикуляры к
плоскости АВС. Докажите, что плоскости ABE и DFC параллельны.
2.
1. ABCD — квадрат со стороной, равной Vl, О — точка пересечения
его диагоналей, ОЕ — перпендикуляр к плоскости ABC, OE- V3.
Найдите расстояние от точки Е до вершин квадрата.
2. Дан треугольник ABC. AD и BE — перпендикуляры к плоскости
АВС. Каково взаимное положение линии пересечения плоскостей
DAC и ЕВС и прямых AD и ВЕР.
3.
1. Отрезок А В не пересекает плоскость а, АС±. а и BDL а, АС = 20,
BD - 30, MG AB, причем AM : MB = 2:3, ММ, ± а. Найдите ММХ.
2. а± а и аЛ /3. Плоскость у пересекает плоскость а по прямой Ь, а
плоскость /3 — по прямой с. Каково взаимное положение прямых b
и с?
4.
1. Отрезок А В пересекает плоскость а, АО. а и BD± а, АС= 14;
BD = 10, Е — середина АВ, ЕЕХ ± а. Найдите ЕЕХ.
2. а± а; Ы. а (Ъ £ а). Через прямую b проведена плоскость/?,
пересекающая плоскость а по прямой с. Каково взаимное положение
прямых b и с?
391

Рис. 39
1. Через вершину А
треугольника ABC проведена плоскость а,
параллельная ВС, ВВХ ±а _и
ССХ JL а; ССХ - 4; АСХ - V209;
АВХ - Vtt. L ВАС - 60е.
Найдите ВС.
2. Плоскости а и 0 параллельны.
а± а и пересекает плоскость а в
точке A, b±0 n пересекает
плоскость /8 в точке By РРХ
пересекает плоскость а в точке М.
Постройте точки пересечения
прямой а с плоскостью 0 и прямой Ь
с плоскостью а. Дайте
обоснование (рис. 39).
б.
1. Через вершину Е треугольника
EFM проведена плоскость а,
параллельная FM, ММх±а;
ММ\ - 12 см; Р — точка
пересечения медиан треугольника,
РРх±а. Найдите РР,.
2. Плоскости а и 0 параллельны,
т±0 и п± а. Прямая п
пересекает плоскость а в точке Р, а
прямая т пересекает плоскость
/3 в точке М. Прямая ЕТ
пересекает плоскость /3 в точке К.
Постройте точки пересечения
прямой m с плоскостью а и прямой и
с плоскостью 0. Дайте
обоснование (рис. 40).
Рис.40
392
7.
1. ABCD — параллелограмм. Из точек А, J3, С и D на плоскость а
опущены перпендикуляры АА,, ВВХ, ССХ и DDX. ААХ - 13; ВВХ - 36 и
ССХ - 19. Найдите DDX.
2. На данной прямой найдите точки, равноудаленные от двух данных
точек.
8.
1. Плоскость а параллельна наибольшей средней линии
прямоугольного треугольника ABC U С-90е). AAxLa\ ВВх±а и СС,JL а;
CiBi = 11 см; СХАХ - 12 см; АХВХ - 19 см. Найдите площадь
треугольника.
2. На данной плоскости найдите точки, равноудаленные от двух
данных точек.
393

§ 8. Признак перпендикулярности
прямой и плоскости
1.
1. ABCD — квадрат, ЕА± ВС ; KG ЕВ. Докажите, что ВС Л. АК.
2. Через сторону АС треугольника ABC (LC = 90°) проведена
плоскость а. ВВХ± а, СВХ± AC, AB-25t AC-24. Найдите площадь
треугольника ABC.
2.
1. Дан прямоугольный треугольник ABC (ZLC = 90°), ЕЕ. ВС,
ЕМ± ABC. Докажите, что АС± MB.
2. ABCD — параллелограмм. AD = 4, CD = 6. Отрезок МС
перпендикулярен плоскости ABC, MDJL AD. Найдите площадь
параллелограмма.
3.
1. ABCD — квадрат. Отрезок MD перпендикулярен плоскости ABC.
Докажите, что МВ± АС.
2. ABCD — прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен плоскости
ABC. EB= 15, ЕС = 24, ED^ 20. Доказать, что треугольник EDC
прямоугольный и найдите АЕ.
4.
1. Треугольник ABC — равнобедренный, АВ = АС, точка D —
середина ВС, прямая ED перпендикулярна плоскости ABC. Докажите,
что AEL ВС.
2. Точка А принадлежит окружности, АК — перпендикуляр к ее
плоскости, АК = 1 см, АВ — диаметр, ВС — хорда окружности,
составляющая с АВ угол 45°. Радиус окружности равен 2 см. Докажите,
что треугольник КСВ прямоугольный и найдите КС.
5.
1. В тетраэдре DABC АВ = ВС, L DBC = L DBA. Докажите, что
АС± DB.
2. DABC — тетраэдр, все ребра которого равны а, точка Е — середина
ВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через
точку Е и перпендикулярной DB, и найдите площадь сечения.
394
6.
1. В тетраэдре DABC L DAC - L DAB и L ADC = L ADB. Докажите,
что BCL AD.
2. В тетраэдре DABC ребро DB перпендикулярно плоскости ABC.
L ACB - 90°, ВС = BD, точка F — середина AD. Постройте сечение
тетраэдра плоскостью, проходящей через точку F и
перпендикулярной CD.
1. Все грани параллелепипеда ABCDA\B\CXDt — равные ромбы; углы
между ребрами, имеющие общую точку Ах, равны. Докажите, что
AiC± B{DX.
2. Все грани параллелепипеда ABCDA\B\C{D\ — прямоугольники.
М — внутренняя точка сечения АА\С\С. Постройте сечение
параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М и
перпендикулярной ВВ\.
1. В параллелепипеде МРКНМ\Р\КХНХ все грани — ромбы,
L МХМН+ L МХМР= 180°. Докажите, что РХН±. МК.
2. Все грани параллелепипеда ABCDAXBXCXDX — прямоугольники.
М — внутренняя точка сечения ААХСХС. Постройте сечение
параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М и
перпендикулярной ВС.
395

f 9. Расстояние от точки до плоскости
Из точки М к плоскости а проведены две наклонные, длина которых
18 см и 2vl09 см. Их проекции на эту плоскость относятся как
3:4. Найдите расстояние от точки М до плоскости а.
Из точки М к плоскости а проведены две наклонные, которые
образуют со своими проекциями на плоскость а углы 30°. Угол между
наклонными равен 90°. Найдите расстояние между основаниями
наклонных, если расстояние от точки М до плоскости а равно
VJcm.
Плоскости а и 0 параллельны. Из точки М (плоскости а и /3
расположены по одну сторону от точки М) проведены две прямые. Первая
прямая пересекает плоскости а и 0 соответственно в точках А и В,
а вторая — в точках С и Z), AM - CD, MC - 16, АВ = 25.
Расстояние от точки М до плоскости а равно 12. Найдите расстояние
между плоскостями.
Точка М расположена между параллельными плоскостями а и /5.
Через точку М проведены две прямые. Первая прямая пересекает
плоскость а в точке А, а плоскость /3 — в точке В. Вторая
пересекает эти плоскости соответственно в точках С и D; MA = MD;
МС - 32; MB - 50. Расстояние от точки М до плоскости а равно 24.
Найдите расстояние между плоскостями.
Вершины А и D параллелограмма ABCD лежат в плоскости а, а две
другие — вне этой плоскости, А0в 15 см, ВС** 19 см. Проекции
диагоналей параллелограмма на плоскости а равны 20 и 22 см.
Найдите расстояние от стороны ВС до плоскости а.
396
6.
Одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Средняя линия
трапеции параллельна плоскости а и удалена от нее на 13 см,
точка пересечения диагноналей трапеции удалена от плоскости на
15 см. Найдите расстояние от оснований трапеции до плоскости а.
Дан квадрат ABCD со стороной, равной 1, МВ± ABC, MB - 1.
Найдите расстояние между прямыми АС и MD.
Отрезки АВ и CD упираются своими концами в две параллельные
плоскости й-и/1, причем точки АиС лежат в плоскости а, а точки В и
D — в плоскости0, ABL а. Найдите расстояние между АВ и CD, ec-
лиЛВ-20;СЯ-25;ЛС-14иЯ£>-13.
397

§ 10. Теорема о трех перпендикулярах.
Угол между прямой и плоскостью
1. В треугольнике ABC АВ = ВС = 25, АС — 48, BD — перпендикуляр
к плоскости ABC. BD = Найдите расстояние от точки D до
прямой АС.
2. В параллелепипеде ABCDAXB\C\D\ ABCD — квадрат со стороной,
равной 2 см. Все боковые грани — прямоугольники. BiD"5 см.
Найдите углы между ВхD и плоскостью ABC и между BXD и
плоскостью DD{ C\.
1. Треугольник ABC — прямоугольный (Z. С = 90°). L А = 30°, ЛС =
= а, МС± ABC, МС = э . Найдите расстояние от точки М до
прямой АВ.
2. В параллелепипеде ABCDA\BXC\DX ABCD — прямоугольник. Все
боковые грани тоже прямоугольники. Л!) =12, CD = 5, Л|С=15.
Найдите углы между А\ С и плоскостью ABC и между Ах С и
плоскостью ВВХ С\.
1. ABCD — ромб со стороной, равной a, Z. А = 60°, ЛМ± Л^5С, АМ*=
= «г. Найдите расстояние от точки М до прямой CD.
2. В треугольнике ABC АС = СВ - 8, L АСВ = 130°. Точка М удалена
от плоскости i4J5C на расстояние, равное 12, и находится на равном
расстоянии от вершин треугольника ABC. Найдите угол между МА
и плоскостью ABC.
1. В треугольнике ABC АС = ВС = т; L АСВ = 120°; PAL ABC. Точка
Р удалена на расстояние, равное т, от прямой ВС. Найдите
расстояние от точки Р до плоскости ABC.
2. Треугольник ABC — прямоугольный (/L С = 90°), Z. А = 20°; АС =
= 15. Точка М удалена на расстояние, равное 25, от каждой
вершины треугольника. Найдите угол между МС и плоскостью ABC.
398
5.
1. Точка М удалена от каждой стороны равнобедренной трапеции на
расстояние, равное 12 см. Основания трапеции равны 18 см и
32 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости трапеции.
2. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена наклонная AM
к плоскости прямоугольника, составляющих угол 50° со сторонами
AD и АВ. Найдите угол между этой наклонной и плоскостью
прямоугольника.
1. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 6. Острый угол
равен 30°. Точка М удалена от плоскости трапеции на расстояние,
равное 2v3, и находится на равном расстоянии от ее сторон.
Найдите расстояние от точки М до сторон трапеции.
2. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая AM,
составляющая с плоскостью прямоугольника угол 40°, L MAD =
= Z. МАВ. Найдите эти углы.
1. В параллелепипеде ABCD A \ B\ G А все грани — квадраты, Е и
F — середины ребер AD и ААХ соответственно, К — точка
пересечения диагоналей грани DDX С} С. Докажите, что Вх EX. FK.
2. В тетраэдре DABC ABC — правильный треугольник со стороной,
равной 2^. DA = DB = DC, DO± ABC; DO - VJ. Найдите угол
между АС и плоскостью BDC.
8.
1. В параллелепипеде ABCD А х В{ С\ Dx все грани — прямоугольники.
К — середина ААХ, L — точка пересечения диагоналей грани
DDX С, С; ЕЕ AD; AD = 4; CD = 2;АЕ = w. Докажите, что Вх Е ± KL.
2. ABCD — квадрат. О — точка пересечения его диагоналей.
МО ± ABC, F — середина АВ. Сторона квадрата равна 4, МО -
- 2v3. Найдите угол между FD и плоскостью DMC.
399

11. iB Г i ННЫЙ ГОЛ
1.
1. Чему равен угол между ребром двугранного угла и любой прямой,
лежащей в плоскости его линейного угла?
2. Треугольник ABC — прямоугольный (Z. С = 90°), L А «30°, АС =
- a, DC± ABC. DC - -~-а. Чему равен угол между плоскостями
ADB и ACW.
2.
1. Плоскость а пересекают грани двугранного угла по прямым АВ и
АС. Две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости а,
перпендикулярны к ребру этого угла. Докажите, что L ВАС — линейный
угол этого двугранного угла.
2. ABCD — ромб. L Л-60°, АВ = т, BEL ABC, ВЕ^^~. Найдите
угол между плоскостями AED и ABC.
3.
1. На гранях двугранного угла взяты две точки, удаленные от ребра
двугранного угла на 6 см и 10 см. Известно, что одна из этих точек
удалена от второй грани на 7,5 см. Найдите расстояние от второй
точки до противоположной грани двугранного угла.
2. Через сторону ромба ABCD проведена плоскость а. Сторона АВ
составляет с этой плоскостью угол 30°. Найдите угол между
плоскостью ромба и плоскостью а, если острый угол ромба равен 45°.
4.
1. Две точки лежат на грани двугранного угла и удалены от второй
грани соответственно на 48 см и 60 см. Одна из этих точек отстает
от ребра двугранного угла на 50 см. Найдите расстояние от второй
точки до ребра двугранного угла.
2. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного
треугольника ABC проведена плоскость а, параллельная
гипотенузе и составляющая с катетом угол 30°. Найдите угол между
плоскостью ABC и плоскостью а.
400
5.
1. Концы отрезка АВ - 25 см лежат на гранях двугранного угла,
равного 60°. Из точек А и В опущены перпендикуляры АС и BD на ребро
двугранного угла. АС = 5 см, BD = 8 см. Найдите CD.
2. ABCD — квадрат, О — точка пересечения диагоналей, ОМ± ABC,
ОМ = 3. Сторона квадрата равна 4v2. Найдите угол между
плоскостями ВМС и DMC.
6.
1.
Концы отрезка АВ = 16 см лежат на гранях двугранного угла,
равного 120°. Из точек А и В опущены перпендикуляры АС и BD на ребро
двугранного угла. Найдите CD, если АС = 7 см и BD =11 см.
ABC — правильный треугольник, О — середина AC, OD± ABC,
OD = 3. Сторона треугольника равна ——. Найдите угол между
плоскостями ABD и CBD.
7.
1. Равнобедренные треугольники ABC
и ADC образуют острый двугранный
угол (рис. 41). Прямая т, которая
перпендикулярна к ребру угла АС,
пересекает одну из граней в точке X.
Постройте точку пересечения этой
прямой с другой гранью.
2. ABCD — квадрат со стороной, равной
а, ВМ± ABC, BM = а. Найдите
двугранный угол, образованный
гранями AMD и CMD.
8.
1. В плоскостях а и/3 расположены
равнобедренные трапеции ABCD и
ADEF (рис. 42). Прямая а
перпендикулярна ребру а острого двугранного
угла, образованного этими
плоскостями. Прямая а пересекает
плоскость /3 в точке X. Постройте точку ее
пересечения с плоскостью а.
2. В параллелепипеде ABCDA\BXC\DX
все грани — квадраты. Найдите
величину двугранного угла, который
образован сечениями параллелепипеда AB\C\D и CB\A\D
Рис. 42
401

§ 12. Перпендикулярные плоскости.
Прямоугольный параллелепипед
1.
1. Треугольник АМВ и прямоугольник ABCD расположены так, что
их плоскости взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол
MAD — прямой.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX точки Е, F и
К — середины ребер Ах Ви Ах А и AD соответственно; АВ = А,
ААХ =6, АхС = Лб.
1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей
через точки Е, F и К, и докажите, что плоскости сечения и основания
взаимно перпендикулярны.
2) Найдите AD.
2.
1. Прямоугольник ABCD и параллелограмм ВЕМС расположены так,
что их плоскости взаимно перпендикулярны. Докажите, что
L MCD — прямой.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX точка Е —
середина С А, AD = 5, АВ = 4, BXD = Vfj.
1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей
через AD и точку Е и докажите, что плоскость сечения
перпендикулярна плоскости боковой грани DDXCXC.
2) Найдите ААХ.
3.
1. Два правильных треугольника ABC и DBC расположены так, что
их плоскости взаимно перпендикулярны. Найдите тангенс
двугранного угла, образованного плоскостями ADC и ABC.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основание
ABCD — квадрат, AD = 2; АСХ - 2VZ.
1) Найдите СС
2) Докажите, что плоскости АССХ и BBXDX взаимно
перпендикулярны.
402
4.
1. Сторона правильного треугольника ABC равна 4. Треугольник
DBC — равнобедренный (DB = DC). Их плоскости взаимно
перпендикулярны. Плоскость ADC составляет с плоскостью ABC угол
60°. Найдите площадь треугольника DBC.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX боковая грань
DDXCXC — квадрат, DC - 3; BDX = лГп.
1) Найдите ВС.
2) Докажите, что плоскости BCDX и DCXBX взаимно
перпендикулярны.
1. В прямоугольнике ABCD АВ = 3; AD = 4. Этот прямоугольник
перегнут по диагонали АС так, что образовался прямой двугранный
угол. Найдите расстояние между вершинами В и D.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDAX AB = 4; АВХ =
= 15; BXD = v305. Найдите расстояние между АВ и BXD и
изобразите на рисунке общий перпендикуляр этих скрещиваемых
прямых.
1. В параллелограмме ABCD АВ = 4; АС = 5. L ВАС = 60°. Этот
параллелограмм перегнут по диагонали АС так, что образовался
прямой двугранный угол. Найдите расстояние между вершинами В и
D.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основание
ABCD — квадрат со стороной 5 см. Расстояние между ВС и АСХ
равно 4 см. Найдите АСХ и изобразите на рисунке общий
перпендикуляр этих скрещивающихся прямых.
1. Катет и гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника
лежат в разных гранях прямого двугранного угла. Вершина
прямого угла треугольника удалена от ребра на расстояние, равное 2 см,
а вершина острого угла — расстояние, равное VTE см. Найдите
площадь треугольника.
2. Стороны основания и боковое ребро прямоугольного
параллелепипеда равны 3, 4 и 14 см. Найдите площадь сечения, проведенного
через середины двух смежных сторон основания и точку
пересечения диагоналей параллелепипеда.
403

8.
1. Два равных квадрата ABCD и CEFK расположены в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях так, что их стороны CD и СЕ лежат
на линии пересечения этих плоскостей по разным сторонам от
общей вершины С. Найдите угол между прямыми DB и ЕК.
2. В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX AD~4; CD = 3 и ССХ » 14.
Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через
середины AD и DC и параллельной Вх D. Найдите площадь сечения.
404
: 13. ГЬямые тизма и nai. елепипед
1.
1. В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ стороны основания
равны -=-, а боковое ребро — 2v3, М — центр грани ССХВХВ.
Найдите угол между прямой AM и плоскостью основания.
2. В правильной четырехугольной призме стороны основания равны
4 см. Через диагональ основания под углом 45° к плоскости
основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найдите
площадь сечения.
2.
1. В правильной четырехугольной призме ABCDAXBXCXDX сторона
основания равна 1, а боковое ребро — V5, К — центр грани ААХВХВ.
Найдите угол между прямой КС и плоскостью основания.
2. В правильной треугольной призме через среднюю линию основания
под углом 60° к плоскости основания проведена плоскость,
пересекающая боковое ребро. Найдите площадь сечения, если сторона
основания равна 4 см.
3.
1. В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ сторона основания
равна 4 см. Через середину Ах Сх и сторону основания ВС проведена
плоскость. Найдите площадь сечения, если длина бокового ребра
равна 2 см.
2. В прямом параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основанием служит
ромб со стороной, равной a, L BAD = 60°. Через сторону AD и
вершину В\ проведена плоскость, составляющая с плоскостью
основания угол 45°. Найдите длину бокового ребра и площадь сечения.
405

4.
1. В правильной четырехугольной призме ABCDAy B\ Сх Dx сторона ос-
aVU
нования равна а, а боковое ребро т—• Через диагональ
основания BD и середину D\ Сх проведена плоскость. Найдите площадь
сечения.
2. В прямом параллелепипеде ABCD AXBXCXDX основанием служит
ромб со стороной, равной m, L ADC= 135°. Через сторону DC и
вершину А\ проведена плоскость под углом 60° к плоскости
основания. Найдите длину бокового ребра и площадь сечения.
5.
1. В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ все ребра равны
ЪГЪ. Через сторону основания под углом 60° к его плоскости
проведена плоскость. Найдите площадь сечения.
2. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы
равна Q. Найдите площадь сечения, перпендикулярного к меньшей
диагонали основания и делящего эту диагональ пополам.
6.
1. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна
8 см, а боковое ребро — 3v2 см. Через диагональ основания под
углом 45° к его плоскости проведено сечение. Найдите его
площадь.
2. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы равна
Q. Найдите площадь сечения, которое перпендикулярно к большей
диагонали основания и делит эту диагональ пополам.
7.
1. В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ все ребра равны
между собой. Найдите угол между диагоналями АС\ и ВХС ее
боковых граней.
2. В правильной шестиугольной призме меньшая диагональ основания
равна боковому ребру. Проведено сечение, которое
перпендикулярно меньшей диагонали призмы и делит ее пополам. Найдите
площадь сечения, если сторона основания равна а.
406
8.
1. В прямой треугольной призме АВСАХВХС, основанием служит
прямоугольный треугольник ABC U С = 90°), АС = А;ВС = 3, ВВХ - 4.
Найдите угол между диагоналями А С, и Вх С двух боковых граней!
I. В правильной шестиугольной призме ABCDEFAXBXCXDXEXFX
сторона основания равна а, а боковое ребро — 2а. Через середину
диагонали FXC и перпендикулярно к ней проведено сечение. Найдите его
площадь.
407

^ 14. Пло адь поверхности шямой тизмы
В основании прямой призмы АВСАХВХСХ лежит прямоугольный
треугольник АСВ U С = 90°), АС - 4, ВС - 3. Через сторону ЛС и
вершину Вх проведена плоскость; L ВХАС = 60". Найдите площадь
боковой поверхности призмы.
В основании прямой призмы АВСАХВХСХ лежит прямоугольный
треугольник АСВ (LC = 90°). Через сторону ВС и вершину Ах
проведена плоскость; L ВАХС = 30°, АХВ = 10, АС = 5. Найдите площадь
боковой поверхности призмы.
В прямом параллелепипеде ABCDAXBXC\DX AB=\, ВС = 7v3.
L ABC e 150°. Через диагональ АС и вершину Вх проведена
плоскость, составляющая с плоскостью основания угол в 60°. Найдите
площадь боковой поверхности параллелепипеда.
В прямом параллелепипеде ABCDAXBXCXDX ВС - 7; CD - 15. L BCD -
- 60°. Через диагональ BD и вершину Сх проведена плоскость под
углом 45° к плоскости основания. Найдите площадь боковой
поверхности.
_
В прямой призме АВСАХВХСХ АВ= 13; ВС -21; АС = 20. Диагональ
боковой грани АХС составляет с плоскостью грани ССХВХВ угол 30°.
Найдите площадь полной поверхности призмы.
В прямом параллелепипеде ABCDAXBXCX Dx AD =17; DC = 28; AC -
= 39. Диагональ боковой грани AXD составляет с плоскостью
боковой грани DDXC\C угол 45°. Найдите площадь полной поверхности
параллелепипеда.
408
7.
Основанием прямого параллелепипеда ABCDAXBXCXDX служит ромб
ABCD. Угол между ребром ААХ и диагональю BXD равен 60°, а
расстояние между ними равно 3 см. Расстояние между диагональю
основания АС и BXD равно 2 см. Найдите площадь полной
поверхности параллелепипеда.
Основанием прямого параллелепипеда ABCDAXBXCXDX служит ромб
ABCD, L BAD = 60е. Длина бокового ребра равна 4 см, а расстоя-
12
ние между AD и DXC равно -=- см. Найдите площадь полной
поверхности параллелепипеда.
409

- 15. Наклонная шизма. Пло! . /ь поверхности
1. В наклонной треугольной призме АВСА\В\С\ основанием служит
прямоугольный треугольник АСВ (Z. С = 90°). Плоскость грани
ААХСХС перпендикулярна к плоскости основания. Докажите, что
ССХВХВ — прямоугольник.
2. В наклонной треугольной призме площади двух граней равны
70 см2 и 105 см2, угол между ними 60°. Боковое ребро равно 10 см.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.
1. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDAXBXCXDX служит
прямоугольник ABCD. Грань АА\ Dx D перпендикулярна к
плоскости основания. Докажите, что DDXСХС — прямоугольник.
2. В наклонной треугольной призме площади двух граней равны
15 см2 и 25 см2. Угол между ними 120°. Длина бокового ребра
равна 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
1. Основанием наклонной призмы АВСА\В\С\ служит правильный
треугольник со стороной, равной а. Длина бокового ребра равна 6,
L АХАС - L АХАВ. Найдите площадь грани ССХВХВ.
2. В наклонном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX боковое ребро
равно 10, а площадь боковой поверхности — 420. Расстояние между
ребрами АА\ и DDX на 11 больше расстояния между ребрами ААХ и
ВВХ. Расстояние между ребрами ВВХ и DDX равно 19. Найдите углы
между смежными боковыми гранями.
1. В наклонном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основанием служит
квадрат ABCD со стороной, равной а, ААХ = b, L AXAD- L АХАВ.
Найдите площадь диагонального сечения BBXDXD.
2. В наклонном параллелепипеде ABCDAXBXCXDx боковое ребро равно
10, а площадь боковой поверхности — 880. Расстояния от ребра
DDX до ребер ССХ и ААХ относятся, как 7:15. Расстояние между
ребрами ААХ и СС\ равно 26. Найдите углы между смежными
боковыми гранями параллелепипеда.
410
5.
В наклонной треугольной призме АВСАХВХСХ все ребра равны
между собой. Ребро ААХ составляет с плоскостью основания угол 60е,
L АХАС - L АХАВ < 90°. Площадь грани ССХВХВ равна Q. Найдите
площадь боковой поверхности призмы.
В наклонном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX расстояние от ребра
ААХ до ребра DDX равно 10, а от ААХ до ВВХ — 17. Площадь
диагонального сечения ВВХ Dx D равна 210. Расстояние между ребром ААХ
и диагональю Вх D равно 8. Найдите площадь боковой поверхности
параллелепипеда.
6.
1. В наклонном параллелепипеде ABCDAXBXCXDx основанием служит
квадрат ABCD. Все ребра параллелепипеда равны между собой.
Боковое ребро ААХ составляет с плоскостью основания угол 60°,
L AXAD= L АХАВ<90". Площадь диагонального сечения BBXDXD
равна Q. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
2. В наклонной треугольной призме АВСАХВХСХ двугранныые углы с
ребрами ССХ и ВВХ соответственно равны 45° и 30°. Расстояние от
ребра АА\ до диагонали Вх С грани ССХ Вх В равно 1. Площадь грани
ССХВХВ равна 4(1 +v3). Найдите площадь боковой поверхности
призмы.
7.
1. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDAXBXCXDX служит
ромб ABCD, АС - 40; BD - 30; ААХ - 2Vl7, L AxAD =
— L Ах АВ < 90°. Высота параллелепипеда равна 2. Найдите
площадь боковой поверхности параллелепипеда.
2. Основанием наклонной треугольной призмы АВСАХВХСХ служит
прямоугольный треугольник ABC (Z. С = 90°), у которого ВС = а.
Вершина Вх проектируется в точку С. Двугранный угол с ребром
ВВХ равен <р. Боковые ребра составляют с плоскостью основания
угол а. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
411

8.
1. В наклонном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основанием служит
параллелограмм ABCD, AD= 15, BD = 7, L BDA = 60°. L AXAD =
- L A\AB < 90°, AXD составляет с плоскостью основания угол 45°.
Вершина Ах проектируется на BD. Найдите площадь боковой
поверхности параллелепипеда.
2. Основанием наклонной призмы АВСАХВХСХ служит прямоугольный
треугольник ABC (/. С~ 90°). Вершина Вх проектируется на
середину ВС. Боковое ребро равно / и составляет с плоскостью
основания угол <р. Двугранный угол с ребром ВВХ равен а. Найдите
площадь боковой поверхности призмы.
412
: 16. П • • вильная пи • • мида
1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4 см, а
длина диагонали основания — Ьу/2 см. Найдите площадь полной
поверхности пирамиды.
2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а
высота — 2а. Найдите углы наклона боковых ребер и боковых
граней к плоскости основания.
1. В правильной треугольной пирамиде высота равна 12 см, а высота
основания — 15 см. Найдите площадь полной поверхности
пирамиды.
2. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна
а, а высота — За. Найдите углы наклона боковых ребер и боковых
граней к плоскости основания.
1. В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к
основанию под углом 60°. Расстояние от вершины основания до
боковой грани равно 3v3. Найдите площадь боковой поверхности
пирамиды.
2. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна
4 см, а расстояние от центра основания до бокового ребра — 2 см.
Найдите:
1) угол между смежными боковыми гранями;
2) плоский угол при вершине пирамиды.
1. В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани
наклонены к основанию под углом 60°, а расстояние от середины стороны
основания до противоположной боковой грани равно 4\/з\ Найдите
площадь боковой поверхности.
2. В правильной треугольной пирамиде высота основания равна 2\/з\
а расстояние от середины стороны основания до противоположного
бокового ребра — 3 см. Найдите:
1) угол между боковыми гранями;
2) плоский угол при вершине пирамиды.
413

5.
1. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна
а, угол между смежными боковыми гранями равен 120°. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
2. В правильной n-угольной пирамиде боковые грани наклонены к
основанию под углом у>. Найдите плоский угол при вершине
пирамиды и вычислите его при <р = 40° и п — 10.
1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна т.
Угол между смежными боковыми гранями равен 120°. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
2. В правильной n-угольной пирамиде плоский угол при вершине
равен а. Найдите угол наклона боковых граней к плоскости
основания и вычислите его, если а = 10° и п = 20.
1. В правильной треугольной пирамиде МАВС сторона основания
равна а, а высота — 2а. Найдите угол между стороной основания
АС и плоскостью грани СМВ.
2. В правильной шестиугольной пирамиде PABCDEF сторона
основания равна а, угол между гранями РВС и PAF равен а. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
8.
1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сторона
основания равна а, а высота — а\2. Найдите угол между боковым ребром
МА и плоскостью DMC.
2. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна а,
угол между смежными боковыми гранями <р. Найдите площадь
боковой поверхности пирамиды.
414
§17. Неправильная пирамида. Площадь поверхности
1. Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный треугольник
ABC {L С = 90"), ВС = а, Z.A-30". Боковые ребра пирамиды
наклонены к основанию под углом 60°. Найдите высоту пирамиды.
2. В пирамиде МАВС боковое ребро МА перпендикулярно к
плоскости основания ABC, а грань МВС составляет с ним угол 60°, АВ =
= АС= 10, ВС* 16. Найдите площадь боковой поверхности
пирамиды.
1. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник ABC, у которого
АВ = а и L АСВ = 150°. Боковые ребра наклонены к основанию под
углом 45°. Найдите высоту пирамиды.
2. Основанием пирамиды PEFM служит равнобедренный
треугольник, EF= EM, MF =20Vb. Боковое ребро РЕ равно 10 и
перпендикулярно к плоскости основания. Угол между РЕ и плоскостью MPF
равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
1. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция,
основания которой равны 2 см и 8 см. Боковые грани наклонены к
основанию под углом 60°. Найдите высоту пирамиды и площадь ее
боковой поверхности.
2. В основании пирамиды лежит ромб со стороной, равной а, и углом
60е. Боковые грани, проходящие через стороны острого угла ромба,
перпендикулярны плоскости основания, а остальные две боковые
грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
1. Основанием пирамиды служит ромб, сторона которого равна а, а
острый угол 60°. Боковые грани наклонены к основанию под углом
45е. Найдите высоту пирамиды и площадь ее боковой поверхности.
2. В основании пирамиды DABC лежит равнобедренный треугольник
ABC, AC = CB = a, L АСВ - 120°. Грани DAC и DAB
перпендикулярны к плоскости основания, а грань DBC составляет с ней угол
45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
415

5.
1. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник ABC, у которого
АВ = ВС у АС *=b и L А=*а. Боковые грани наклонены к плоскости
основания под углом р. Найдите высоту пирамиды и площадь ее
боковой поверхности.
2. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник ABC, у которого
АВ = АС = 50, ВС - 80, L MAC - L МАВ < 90°. Плоскости МВС и
ABC взаимно перпендикулярны. Основание высоты пирамиды
удалено от грани АМС на расстояние, равное 12^3. Найдите площадь
боковой поверхности пирамиды.
6.
1. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник ABC, у которого
АВ*=АС, ВС** a, L В АС** а. Боковые ребра пирамиды равно
наклонены к плоскости основания, а боковые грани, проходящие
через равные стороны основания, наклонены к плоскости основания
под углом <р. Найдите высоту пирамиды и площадь каждой из этих
граней.
2. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник
ABC U С = 90°), АС = 4 см; ВС = Ъ см. Грань MAC
перпендикулярна к плоскости основания, а остальные две грани равно
наклонены к плоскости основания. Расстояние от основания высоты до
грани ВМС равно ; - см. Найдите площадь боковой поверхности
пирамиды.
7.
Основанием треугольной пирамиды служит правильный
треугольник со стороной, равной а. Боковые грани имеют равные площади.
Высота пирамиды равна а. Найдите площадь боковой поверхности
пирамиды.
Бели высота треугольной пирамиды проходит через точку
пересечения высот основания, то суммы квадратов скрещивающихся
ребер пирамиды равны между собой. Докажите.
416
8.
1. В пирамиде МАСВ основанием служит равнобедренный
треугольник ABC, у которого АВ - АС, ВС = 24, а высота АК = 5. Высоты
боковых граней, проведенные из вершины М, равны между собой.
Высота пирамиды равна 12. Найдите площадь боковой
поверхности, если известно, что L МАВ * LMAC.
2. Если одна из высот треугольной пирамиды проектируется в точку
пересечения высот соответствующей грани, то и другая высота
имеет такое же свойство. Докажите.
143ивБ. Г.
417

§18. Сечения в пирамиде. Усеченная пирамида
1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а
боковые грани наклонены к нему под углом 60°. Найдите площадь
сечения, проведенного через среднюю линию основания
параллельно боковой грани.
2. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны
оснований равны 6 см и 8 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания
под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
1. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна
а, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом
60°. Через диагональ основания параллельно боковому ребру
проведена плоскость. Найдите площадь сечения.
2. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований
равны 6 см и 8 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания
под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
1. В правильной четырехугольной пирамиде стороны основания
равны а, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом
60°. Через центр основания параллельно боковой грани проведена
плоскость. Найдите площадь сечения.
2. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны
оснований равны 10 см и 6 см, а площадь диагонального сечения —
8^Т0 см2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
1. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна
а, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом
60°. Через сторону основания перпендикулярно к
противоположной боковой грани проведена плоскость. Найдите площадь сечения.
2. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований
равны 8\/3^ и 6V3 см. Через боковое ребро и середину
противоположной стороны верхнего основания проведена плоскость. Пло-
щадь сечения равна —~— см2. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
418
5.
1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD через середины
сторон АВ и AD параллельно боковому ребру AM проведена
плоскость. Найдите площадь сечения, если сторона основания равна а,
а боковое ребро — Ь.
2. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований
равны 8v3 и 6v3. Через вершину верхнего основания
перпендикулярно к плоскости основания и параллельно противолежащей
стороне основания проведена плоскость. Площадь сечения равна AV2.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды и высоту полной
пирамиды, частью которой является данная усеченная пирамида.
1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а
боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°.
Через центр основания проведена плоскость, параллельная стороне
основания и перпендикулярная грани, проходящей через эту
сторону. Найдите площадь сечения.
2. В правильной треугольной усеченной пирамиде сторона верхнего
основания равна 2. Плоский угол при вершине нижнего основания
равен 60°. Через сторону верхнего основания параллельно
боковому ребру проведена плоскость. Площадь сечения равна 8. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды и высоту полной
пирамиды, частью которой является данная усеченная.
1. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна
а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°.
Через вершину основания проведена плоскость, перпендикулярная
противоположному боковому ребру. Найдите площадь сечения.
2. В основании пирамиды лежит правильный треугольник со сторо-
„ 20V3 л л
ной, равной —=—. Одна боковая грань перпендикулярна к
плоскости основания, а остальные две наклонены к нему под равными
углами. Высота пирамиды равна 12. На одном из боковых ребер
выбрана точка, которая делит его в отношении 2:3, считая от
вершины. Через эту точку проведена плоскость, параллельная
основанию. Найдите площадь боковой поверхности образовавшейся
усеченной пирамиды.
419

8.
1. В основании пирамиды MABCD лежит ромб с диагоналями АС =
- 32 см и BD- 18 см. Грани, проходящие через стороны АВ и AD
основания перпендикулярны к плоскости основания. Их общее
ребро равно 24 см. Через точку А и середину ребра МС проведена
плоскость, параллельная BD. Найдите площадь сечения.
2. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, катеты
которого 32 см и 10 см. Боковые ребра пирамиды равно наклонены
к плоскости основания. Высота пирамиды равна 12 см. На боковом
ребре выбрана точка, которая делит боковое ребро в отношении
1:3, считая от вершины. Через эту точку проведена плоскость,
параллельная основанию. Найдите площадь боковой поверхности
образовавшейся усеченной пирамиды.
420
§ 19. Понятие вектора в пространстве
1.
1. Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX, ABCD — прямоугольник, Е
и F — середины ребер В\С\ и CXDX соответственно. Запишите
векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые:
1) сонаправлены с вектором EF,
2) противоположно направлены вектору А~ВХ,
3) имеют длину, равную длине вектора А]СХ.
2. Прямая а не лежит в плоскости а. Через прямую а проходит
плоскость /3, пересекающая плоскость а по прямой Ъ. Даны четыре
точки: AG a, BE a, CG b, DE Ь. При каком условии векторы А*В и
СЬ будут коллинеарными?
2.
1. В прямом параллелепипеде ABCDAXBXCXDX точки К и М —
середины ребер AD и DDX соответственно. Запишите векторы с началом
и концом в вершинах параллелепипеда, которые:
1) противоположно направлены вектору K%f;
2) сонаправлены с вектором iTC;
3) имеют длину, равную длине вектора Л?В.
2. Пусть плоскость у пересекает плоскости а и /3 по прямым а и Ь
соответственно: АЕ a, BE: a, CE b, DE Ь. Могут ли векторы А*В и
С*Ь быть коллинеарными? Если да, то укажите хотя бы одну из
таких возможностей.
3.
1. Дана призма АВСАХВХСХ, АВ = AC; L АХАС = L АХАВ, Е и F —
середины ребер АС и АВ соответственно. Запишите векторы с
началом и концом в вершинах призмы, которые:
1) сонаправлены с вектором EF;
2) противоположно направлены вектору С?С;
3) имеют длину, равную длине вектора СВХ.
2. Прямые АВ и CD параллельны. Через эти прямые проведены
соответственно плоскости а и /3, которые пересекаются по прямой EF.
Будут ли коллинеарными векторы EF и СЪ; ёУ и Л&? Если да, то
почему?
421

4.
1. Дан параллелепипед ABCDA\ Bx С\ Dx, ABCD — ромб, L AXAD=*
= L А\АВ, точки Е и F — середины ребер А\ВХ и AXDX
соответственно. Запишите векторы с началом и концом в вершинах
параллелепипеда, которые:
1) сонаправлены с вектором EF;
2) противоположно направлены вектору /5t*i;
3) имеют длину, равную длине вектора B^D.
2. Плоскости а и 0 перпендикулярны к плоскости у и пересекаются по
прямой АВ. Прямая CD, не принадлежащая этим плоскостям, тоже
перпендикулярна плоскости у. Будут ли коллинеарными векторы
А*В и СЬ? Если да, то почему?
1. В правильной треугольной пирамиде DABC точки Е, М, Т и К —
середины соответственно ребер DC, DB, ВА и АС.
1) Перечислите пары противоположно направленных векторов, не
лежащих на одной прямой и с началом и концом в точках Е, М, Т и
К.
2) Перечислите пары равных векторов с началом и концом в точках
Е, М, Т и К.
3) Перечислите векторы, имеющие равные длины, с концами в
точках Е, М, Т и К.
2. На рис. 43 MABCD — правильная пирамида, ME - EC. Какие из
указанных на рисунке векторов коллинеарны? Почему?
Рис. 43
422
6.
1. В правильной четырехугольной
пирамиде PABCD точки К, М,
Т и Е — середины
соответственно ребер АВ, PA, PC и ВС.
1) Перечислите пары сонаправ-
ленных векторов с концами в
точках К, М, Т и Е.
2) Перечислите пары равных
векторов с концами в точках К, М,
ТиЕ.
3) Перечислите векторы,
имеющие равные длины, с концами
в точках К, М, Т и Е.
2. На рис. 44 АВСА\В\С\ — правильная призма, EvlF — середины
ребер СС\ и В\В. Какие из указанных на рисунке векторов
коллинеарны? Почему?
7.
1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA\BXC\D\E\F\ О —
центр нижнего основания, ME AA\.
1) Запишите векторы с началом и концом в вершинах призмы,
которые: а) сонаправлены с вектором ($3; б) равны вектору РЪ.
2) От точки М отложите векторы, равные векторам FD и (Тс.
2. В тетраэдре DABC F и Е — точки пересечения медиан граней ADB
и CDB соответственно, ME AB; NE. ВС, причем AM: MB -
= CN: NB.
1) Докажите, что векторы РЕ и KtN коллинеарны.
2) Найдите | FE \, если АС - 18 см.
8.
1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA\ В\ С\ Д Ех F\ 0\ —
центр верхнего основания.
1) Запишите векторы с началом и концом в вершинах призмы,
которые:
а) противоположно направлены вектору 0\F;
б) имеют равные с вектором Р(2 длины.
2) От точки А\ отложите векторы, равные векторам S?D и (ТЕ.
2. В пирамиде PABCD основанием служит параллелограмм ABCD. P
и Т — точки пересечения медиан граней ВРС и DPC, точки Е и
F — середины ребер АВ и CD соответственно.
1) Докажите, что векторы Pt и РЕ коллинеарны.
2) Найдите I FE I, если РТ - 6 см.
423

§ 20. Сложение и вычитание векторов
1.
1. ABCDAXBXCXDX — параллелепипед. Укажите вектор, равный
сумме Яв + В^СХ + Ubi + СЪ.
2. Докажите, что векторы Afcx — Хс + С?А\ и Л?А — СВ + Л*В
противоположны.
2.
1. ABCDA\B\C\D\ — параллелепипед. Укажите вектор, равный
сумме Bt + С?ЬХ + Л?А + DBX.
2. Докажите, что векторы — JfE + D*F — ftP и ЙС - ЙК — ЕС
противоположны.
3.
1. ABCDAXBXCXDX — параллелепипед. Укажите вектор, равный сумме
В^СХ + А*В + Ь~ЬХ + СВХ + ЙС + Л?А.
2. В пирамиде MABCD основанием служит прямоугольник ABCD,
АВ = Ъ см; ВС = 15 см. Найдите 1ЙВ + АЪ - ЙА\.
4.
1. ABCDAiBiCiD\ — параллелепипед. Укажите вектор, равный сумме
В*А + ЛЪ + А\ЪХ + СЪ + ЙА + бС.
2. В треугольной призме АВСАХВХСХ основанием служит правильный
треугольник ABC, сторона которого равна 2V3 см, О — середина
АВ. Найдите: | А?А - СТА - А?С |.
5.
1. EABCDF — правильный октаэдр с ребром, равным а. Найдите
| FA + ВЪ+ DC+ FA\.
2. Два треугольника ABC и А\В\С\ произвольно расположены в
пространстве. Докажите, что £&\ + ВВХ + ССХ = А~ВХ + ВСХ + С*А\.
6.
1. PABCDT — правильный октаэдр с ребром, равным а, К —
середина ребра PC. Найдите: | £Ь + АВ + Ст + С*Р |.
2. Два четырехугольника ABCD и AXBXCXDX произвольно
расположены в пространстве. Докажите, что АВХ + ВСХ + СЪХ + D~%x =
= А%х + БВХ + ССХ + ПЬХ.
424
7.
1. Дан параллелепипед ABCDAXBXC\ Dx. Представить вектор A~ftx как
алгебраическую сумму векторов D~%Xt ВСХ и ЁВХ.
2. ABCDA\BXC\D\ — параллелепипед. Укажите такую точку М,
для которой верно равенство ЙА + ЙВ + ЙС + KtD + МАХ +
+ ЙВХ + ЛЛ, + ЙЬХ = (f
8.
1. Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Представить вектор ЙВ как
алгебраическую сумму векторов ЙАХ, ЙВХ и D~CX.
2. EABCDF — правильный октаэдр. Укажите такую точку /С, что
£е+£Х + £в + £с + /?Ь + £р=1Т.
425

- 21. Умножение вектора на число
1.
1. DABC — тетраэдр. Изобразите вектор ЁМ = 2D*A - -~b*C.
2. Точка К не лежит в плоскости треугольника ABC, Е и Р —
середины отрезков АВ и ВС соответственно. Выразите ЕЕ — 1?Р через
вектор лг.
2.
1. FABC — тетраэдр. Изобразите вектор ЙС = 1,5 СВ + 0,5 C*F.
2. В треугольнике ABC точки Е и F — середины сторон АВ и ВС
соответственно. Точка М не лежит в плоскости треугольника ABC.
Выразите вектор (Та через разность векторов KTF и KfE.
_
1. В треугольной призме ABC А \ Вх С\ диагонали грани ВВХ Сх С
пересекаются в точке М. Выразите вектор AM через векторы Ас, ВВХ и
ВЬ.
2. Диагонали параллелепипеда ABCDA\BXC\D\ пересекаются в точке
О. При каком значении к справедливо соотношение
АВ + В^х + СЬ = кСхА1
4.
1. В тетраэдре МАВС СЕ — медиана грани ВМС, точка К —
середина СЕ. Выразите вектор Ак через векторы Хс, С*В и ЕМ.
2. Диагонали параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ пересекаются в точке
О. При каком значении к справедливо соотношение
к (СЪ + 0А + АЬ) = A~tC!
5.
1. Точка М расположена вне плоскости правильного треугольника
ABC на равном расстоянии от его вершин, МО — перпендикуляр,
опущенный из точки М на плоскость треугольника. Выразить
вектор М\) через векторы ЛТв, ВС и С*А.
2. Векторы "а и Zfотличны от нулевого вектора и неколлинеарны.
Найдите тип, если За + 5?= та+ ( 2л +1 ) Ъ*.
426
6.
1. В наклонной треугольной призме АВСА\В\С\ точка Е — середина
В\ В\ С\ В пересекает СЕ в точке Р. Выразите вектор А*Р через
векторы АСХ, СВ и ССх.
2. Векторы ?и Zf отличны от нулевого вектора и неколлинеарны.
Найдите х и у, если Ос + у - 1) а + (2jc - у) Ъ*= (£
1. В тетраэдре DABC L DAC = L DAB. Грань DBC перпендикулярна
плоскости ABC, DM — высота тетраэдра; АС =* а\ АВ = b; AD = с.
От точки А отложены единичные векторы е\, е\ и е\, сонаправлен-
ные соответственно с векторами ХС, АВ и АЬ. Выразите вектор
DM через векторы е\, Ъ\ и ^.
2. Точка О находится вне плоскости трапеции ABCD (AD и ВС —
основания) , AD в к раз больше ВС. Выразите вектор <УЬ через
векторы (ТА = a, (ТВ = Ъ*и бС = Z
_
1. В параллелепипеде ABCDA\B\CXD\ L A\AD- L A\AB, AD = a\
АВ - b (a>b); AA\ = с, А\М — высота параллелепипеда, AM
пересекает ВС в точке Р. Выразите вектор А~?Р через единичные
векторы е\, ег и е\, отложенные от вершины А и сонаправленные
соответственно с векторами АЬ, АВпА%{.
2. В треугольнике ABC точки Е и F лежат на сторонах АВ и ВС, при-
АЕ CF 3
чем -=rz — -== = -х. Точка О расположена вне плоскости треуголь-
ника ABC. Выразите вектор (TF через векторы бЕ = т, (Та^р" и
6C = Z
427

§ 22. Компланарные векторы.
Применение векторов к решению задач
1. Дан тетраэдр DABC, К — середина ребра АС, М — середина
отрезка KD, ITa — ct, &В = £ tPo - <\ Разложите вектор ИМ по векторам
а, о, <?
2. В параллелепипеде ABCDA\B\CXDX М — точка пересечения
медиан треугольника АВХВ. Разложите вектор J5M по векторам &А,
6С и Ш)х.
1. ABCDA\B\C\D\ — параллелепипед. М — точка пересечения DC\ и
Di С; Хв = сТ; AT) = Z>; А%х = сТ. Разложите вектор Ам по векторам "а,
Zf и сТ.
2. В тетраэдре DABC M — точка пересечения медиан треугольника
ABC. Разложите вектор J5M по векторам С*А, С*В и СТ).
3.
1. В параллелепипеде ABCDA\BXC\DX ME AD, причем AM: MD =
= 1:3, a P£ DC, причем DP: PC\ = 2:5. Разложите вектор ЙР по
векторам Хв, AT) и АА\.
2. Используя векторы, докажите, что отрезки, соединяющие
середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке
и делятся ею пополам.
1. В тетраэдре DABC О — точка пересечения медиан треугольника
ABC, F Е AD, причем AF: FD = 3:1. Разложите вектор (TF по
векторам С*А, С*В и СЪ.
2. Используя векторы, докажите, что диагонали параллелепипеда
пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
428
5.
Длина стороны основания ABCDEF правильной шестиугольной
призмы ABCDEF A\B\C\D\EXF\ равна а. Диагональ АВХ боковой
грани АА\В\В наклонена к стороне АВ основания под углом tp.
Пусть в\, ег и е3 — единичные векторы, сонаправленные с
векторами А*В, A*F и ЛА\ соответственно. Разложите вектор А~Ъ\ по
векторам ^, <?2, <%■
В наклонной треугольной призме проведена плоскость,
пересекающая три боковых ребра и параллельная основаниям. Докажите, что
точки пересечения медиан оснований и сечения лежат на одной
прямой.
6.
1. В правильной шестиугольной пирамиде МABCDEF сторона
основания равна а, а боковые ребра составляют с плоскостью основания
угол <р, Р Е МС, причем MP : PC = 2:3. Пусть 1>[, ~ег и ~еъ —
единичные векторы, сонаправленные с векторами FA, FE и F%f.
Разложите вектор FT по векторам е,, ег и е3.
2. В треугольной пирамиде проведены две плоскости, параллельные
основанию и пересекающие три боковых ребра. Докажите, что
точки пересечения медиан основания и полученных сечений лежат на
одной прямой.
_
1. Основанием пирамиды PABCD служит параллелограмм ABCD.
М Е BD и N Е PC, причем MN\\AF, где F — середина РВ. Найдите
MN
отношение —rw.
AF
2. Даны четыре точки А, В, С и D, причем А £ ВС. Докажите, что
если (ft) — хСТА + уС?В + z(PO, причем х + у + z= \ и О —
произвольная точка пространства, то эти точки принадлежат одной
плоскости.
_
1. В параллелепипеде ABCDAXBXC\DX ME BD и NE. ВХС, причем
MN\AC\. Найдите отношения -—-=- и -гттг-
MU /VC
2. Даны четыре точки А, В, С и D, причем А £ ВС. Докажите, что
если эти точки принадлежат одной плоскости, то
(Й) = хСТа + уС?В + z(Tc, причем х + у + z= \ и О — произвольная
точка пространства.
429

§ 23. Повторение
1.
В правильной треугольной призме АВСАХВ\С\ АВ = 2 см, АА{ = 1 см.
1) Найдите площадь полной поверхности призмы.
2) Найдите площадь сечения призмы плоскостью АСВХ.
3) Найдите угол, который составляет прямая АВХ с плоскостью ABC.
4) Найдите угол между плоскостями АВХ С и ABC.
5) Найдите длину вектора AAi ~ & + 2Я?В — С?С.
6) Докажите, что прямая АХС\ параллельна плоскости АСВХ.
2.
В правильной четырехугольной пирамиде EABCD ребро ЕА = 2v2 см,
АВ - 2 см.
1) Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
2) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью АЕС.
3) Найдите угол, который составляет прямая ЕС с плоскостью ABC.
4) Найдите угол между плоскостями ECD и ABC.
5) Найдите длину вектора ЙЁ + ЕС — А*В + &Ё.
6) Докажите, что плоскости АЕС и ABC взаимно перпендикулярны.
3.
В прямой призме АВСАХВХСХ L ABC = 90°, L САВ = 60°, ЛЯ = 2 см,
ЛЛ, - 2VJ см.
1) Найдите площадь полной поверхности призмы.
2) Найдите площадь сечения призмы плоскостью А\ВС.
3) Найдите угол между плоскостями А\ВС и ABC.
4) Найдите угол между прямой СС\ и плоскостью А\ВС.
5) Разложите вектор А~?М по векторам Л^Л, А?В, А?С, если М —
точка пересечения медиан треугольника ABC.
6) Найдите угол между плоскостями АА\ВХ и А\ВС.
430
4.
В пирамиде DABC ребро Л/) перпендикулярно основанию, Л£) =
- 4VJ см, ЛЯ = 2 см, L ABC - 90°, Z. A4C - 60°, М — середина
отрезка DA.
1) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ВМС.
3) Найдите угол между плоскостями МВС и ABC.
4) Найдите угол, который составляет прямая BD с плоскостью ВМС.
5) Разложите вектор 00 по векторам ITa, &B, ЕС, если О — точка
пересечения медиан треугольника ABC.
6) Найдите угол между плоскостями МВС и ABD.
5.
В прямой призме АВСА\ВХС\ АС= 13 см, АВ- 14 см, ВС- 15 см,
АА\ = 10 см. Точки М и Я — середины ребер ЛЛ1 и #Bj
соответственно.
1) Найдите площадь полной поверхности призмы.
2) Найдите площадь сечения призмы плоскостью МНС.
3) Найдите угол между плоскостями МНС и ABC.
4) Найдите угол между прямой ААХ и плоскостью МНС.
5) Разложите вектор МК по векторам А%.\, Л£? и Л5?, если /С —
середина отрезка СН.
6) Постройте линию пересечения плоскостей МНС и ABC.
6.
В пирамиде DABC DA = DB = DC = АС = 2 см, АВ = BCt L ABC = 90°.
Точки М и Н — середины ребер AD и DC соответственно.
1) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ВМН.
3) Найдите угол между плоскостями ВМН и ABC.
4) Найдите угол между прямой BD и плоскостью ВМН.
5) Разложите вектор МК по векторам ЛЪ, Хв, A^Ct если К — середина
отрезка ВН.
6) Постройте линию пересечения плоскостей МВН и ABC.
431

7.
В прямом параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ основанием служит ромб
ABCD, АС = 8 см; BD = 6 см, ВВХ = 6 см.
1. Через сторону AD и точку Р (PG ВВХ и РВ = 2 см) проведена
плоскость. Найдите площадь боковой поверхности образовавшейся
треугольной призмы.
2. Через диагональ параллелепипеда Вх D параллельно диагонали АС
основания проведена плоскость
1) Найдите площадь сечения.
2) Найдите расстояние ОК от точки пересечения диагоналей ромба
ABCD до плоскости сечения.
3) Найдите расстояние между ААХ и BXD.
4) Разложите вектор (Ук по векторам Л^, ЛЪ и >Й,.
5) Найдите угол между AD и плоскостью сечения.
8.
Основанием пирамиды MABCD служит квадрат ABCD со стороной,
равной а. Грань МАВ — правильный треугольник —
перпендикулярна к плоскости основания.
1) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2) Найдите площадь сечения, проведенного через середину ребра MD
перпендикулярно плоскости основания и параллельно АВ.
3) Найдите угол между плоскостями АМВ и DMC.
4) Найдите угол между MD и плоскостью сечения.
5) Пусть Н — точка пересечения диагоналей сечения. Разложите
вектор АЪ по векторам А*В, АЪ и А1л.
6) Найдите расстояние между ВС и MD.
432
§ 24*. Параллельная проекция фигуры.
Изображение фигур
1.
1. Три точки проектируются на плоскость. Сколько при этом может
получиться точек на плоскости проекции?
2. Изобразите ромб с перпендикулярами, опущенными из середины
одной из сторон на его диагонали.
3. Изобразите правильный шестиугольник с перпендикуляром,
опущенным из его центра на одну из его сторон.
2.
1. Что из себя представляют проекции двух параллельных прямых на
плоскость?
2. Изобразите равнобедренный треугольник с перпендикуляром,
опущенным из середины боковой стороны на основание.
3. Изобразите правильный шестиугольник с перпендикуляром,
опущенным из его центра на меньшую диагональ.
3.
1. Перечислите, какие свойства прямоугольника сохраняются при
параллельном проектировании.
2. Изобразите правильный шестиугольник с биссектрисой одного из
его внешних углов.
3. Катеты АС и ВС прямоугольного треугольника ABC (Z. С = 90°)
относятся как 2:3. Изобразите треугольник вместе с высотой,
опущенной из вершины прямого угла.
433

4.
1. Перечислите, какие свойства ромба сохраняются при параллельном
проектировании.
2. Изобразите ромб с углом 60° и перпендикуляром, опущенным из
точки пересечения диагоналей на сторону.
3. Изобразите равнобедренный треугольник ЛВС, у которого АВ =
- ВС - 4 и АС = 5 с центром вписанной в треугольник окружности.
5.
1. Что из себя представляют проекции двух скрещивающихся прямых
на плоскости?
2. Изобразите квадрат ABCD с перпендикуляром, опущенным из
вершины С на отрезок BE, где Е — середина AD.
3. Изобразите равнобедеренную трапецию ABCD (AD и ВС —
основания) с углом при основании 45° и с центром описанной около нее
окружности.
6.
1. Проекции двух прямых на плоскости параллельны. Каково
взаимное положение самих прямых?
2. Дано изображение некоторого треугольника и центра его
описанной окружности, расположенного внутри треугольника. Постройте
изображение высот этого треугольника.
3. Изобразите равнобедренный прямоугольный треугольник с
квадратом, построенным на его гипотенузе (квадрат расположен вне
треугольника).
434
§ 25*. Многогранные углы.
Теорема косинусов для трехгранного угла
1. Существует ли трехгранный угол с плоскими углами: а) 90°; 20°;
120°, б) 40°; 30°; 70°?
2. В трехгранном угле ОАВС все плоские углы равны 60°. Какой угол
с плоскостью ВОС составляет ребро ОА1
3. Плоские углы трехгранного угла равны 45°, 60° и 90°. Найдите
двугранный угол, лежащий против плоского угла в 60°.
1. Существует ли трехгранный угол с плоскими углами: а) 100°; 150°;
110°, б) 60°; 90°; 120°?
2. В трехгранном угле ОАВС L АОС = L АОВ; L ВОС = 90°. Ребро
ОА составляет с плоскостью противолежащего плоского угла угол
45°. Найдите равные плоские углы.
3. В трехгранном угле плоские углы равны 120°; 120° и 90°. Найдите
двугранный угол, лежащий против меньшего плоского угла.
3.
1. В трехгранном угле два плоских угла равны 110° и 100°. В каких
границах может находиться третий плоский угол?
2. В пирамиде DABC L DAC - L DAB = 30°. Двугранный угол при
ребре AD равен 90°, DC± AC и DB± AB, DC = DB = 20. Найдите
прощадь грани BDC.
3. Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. Если сечение
этого угла плоскостью, перпендикулярной к грани с наибольшим
плоским углом, имеет форму равнобедренного треугольника
(основание треугольника лежит в плоскости прямого угла), то секущая
плоскость отсекает на ребрах трехгранного угла равные отрезки.
Докажите.
435

4.
1. В каких границах могут изменяться плоские углы при стороне
основания правильной пятиугольной пирамиды?
2. В пирамиде DAJiC L DAC = L DAB = 60° . Двугранный угол при
ребре AD равен 120°, DC± AC, DBA. AB, ВС = ^39. Найдите
радиус окружности, описанной около треугольника BDC.
3. Плоские углы трехгранного угла 60°, 60° и 90°. Докажите, что
плоскость, отсекающая от ребер три равных отрезка, перпендикулярна
плоскости прямого угла.
5.
1. Докажите, что в трехгранном угле против равных плоских углов
лежат равные двугранные углы.
2. В наклонной треугольной призме АВСАХВ\С\ L AiAC-A5°;
L /МЯ = 60°, L ВАС = 90°, AC = Vb; AB = 2л/з". АЛ, = 5. Найдите
площадь боковой поверхности призмы.
3. Основанием пирамиды MABCD служит квадрат со стороной а.
Грань МАВ — правильный треугольник, плоскость которого
перпендикулярна плоскости основания. Найдите двугранный угол при
ребре MD.
6.
1. Докажите, что в трехгранном угле против равных двугранных
углов лежат равные плоские углы.
2. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при
боковом ребре равен 120°, а высота боковой грани т. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
3. Основанием пирамиды MABCD служит квадрат со стороной а.
Ребро MB равно а и перпендикулярно плоскости основания.
Найдите величину двугранного угла с ребром MD.
436
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
№ 1. Аксиомы стереометрии. Взаимное положение
прямых. Параллельность прямой и плоскостей
Вариант 1
1. На рис. 45 точки А, С, М и Р лежат в
плоскости а, а точка В<£ а. Постройте
точку пересечения прямой MP с
плоскостью ЛВС. Поясните.
2. Треугольники ABC и ADC лежат в
разных плоскостях и имеют общую
сторону АС. Точка Е лежит на
стороне AB, a F — на стороне ВС, причем
EF параллельна плоскости ADC. P —
середина AD, a К — середина DC.
1) Докажите, что EF\\PK.
2) Каково взаимное положение прямых
РК и АВ7 Чему равен угол между
этими прямыми, если L ABC = 40° и L ВС А = 80°.
3. Плоскости а и /? пересекаются по прямой т. Прямая а лежит в
плоскости а. Каково возможное взаимное положение прямой а и
плоскости /?? Сделайте рисунок и поясните.
4*. Используя рисунок 46, постройте линию пересечения плоскости
EFM с плоскостью а. Поясните.
Рис. 45
Рис. 46
437

Вариант 2
1. На рис. 47 точки А к В лежат в плоскости а, а С — в плоскости
/3. Постройте линии пересечения плоскости ABC с плоскостями а
и р. Поясните.
Рис. 47
2. Треугольники ABC и ВСЕ лежат в разных плоскостях и имеют
общую вершину С, AB\\DE.
1) Постройте линию пересечения плоскостей ABC и DCE. Поясните.
2) Каково взаимное положение прямых АВ и DF, где F лежит на
стороне СЕР. Чему равен угол между этими прямыми, если L FED =
- 60° и L DFE = 100°? Поясните.
3. Прямая а параллельна плоскости а, точка М и прямая с лежат в
плоскости а (М (£ с). Через точку М проведена прямая Ь,
параллельная а. Каково взаимное положение прямых Ь и с? Поясните.
4*. Плоскости а и р* пересекаются по прямой т (рис. 48). Прямая АВ
лежит в плоскости a, a CD — в плоскости р\ Что нужно изменить
в условии, чтобы прямые EF и МК могли быть параллельными?
Поясните.
438
Вариант 3
1. На рис. 49 точки Л, С, Е и F
лежат в плоскости а, а точка Вф. а.
Постройте точку пересечения
прямой EF с плоскостью АВС.{
Поясните.
2. Трапеция ABCD (AD и ВС —
основания) и треугольник AED
имеют общую сторону AD и
лежат в разных плоскостях. Точка
М лежит на стороне АЕЬ а Р —
на стороне DE, причем MP
параллельна плоскости трапеции.
1) Докажите, что МР\\ВС.
2) Каково взаимное положение
прямых MP и АВ'! Чему равен
угол между этими прямыми,
если L ABC =110°? Поясните.
3. Плоскости а и 0 пересекаются по прямой т. Прямая а лежит в
плоскости а, а Ъ — в плоскости р. Какие возможны взаимные
положения прямых aw b. Сделайте рисунок и поясните.
4*. Используя рисунок 50, постройте линию пересечения плоскости
МРК с плоскостью а. Поясните.
Рис. 49
Рис. 50
439

Вариант 4
1. На рис. 51 точки Е и /'лежат в плоскости /9, а М — в плоскости
а. Постройте линии пересечения плоскости EFM с плоскостями а
и /9. Поясните.
(Ж
Рис.51
2. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости а. Через точки
В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость
а в точках Е и F соответственно.
1) Докажите, что BCFE — параллелограмм.
2) Каково взаимное положение прямых EF и АВ? Чему равен угол
между ними, если L АВС= 150°? Поясните.
3. Отрезок АВ параллелен плоскости сг, а отрезок CD лежит в этой
плоскости, причем АВ = CD. Можно ли утверждать, что
четырехугольник ABDC — параллелограмм? Поясните.
Рис. 52
4*. Плоскости а и@ пересекаются по прямой т (рис. 52). Прямая АВ
лежит в плоскости a, a CD — в плоскости /3. Что нужно изменить
в условии, чтобы прямые АС и BD могли пересекаться? В каком
случае это возможно?
440
№ 2. Параллельные плоскости.
Построение сечений
Вариант 1
1. Параллелограммы ABCD и ADFE лежат в разных плоскостях и
имеют общую сторону AD. Прямая т, параллельная ВС, пересекает
плоскости ABE и DCFсоответственно в точках Н и Р. Докажите, что
HPFE — параллелограмм.
Рис. 53
2. На рис. 53 плоскости а и/? параллельны, a||ai. Прямая а
пересекает плоскости а и /3 соответственно в точках А и В, а прямая а\
пересекает плоскость а в точке А\. Постройте точку пересечения а.\ с
плоскостью /?. Поясните.
3. В тетраэдре DABC L DBA =
= L DBC = 90°, DB = 6, АВ =
= /iC = 8, ЛС=12. Постройте
сечение тетраэдра
плоскостью, проходящей через
середину DB и параллельной
плоскости ADC. Найдите
площадь сечения.
4*. Постройте сечение
параллелепипеда плоскостью,
проходящей через точки Е и F и
параллельной прямой а
(рис. 54).
Рис. 54
441

Вариант 2
1. Вне плоскости а расположен треугольник ABC, у которого медианы
ЛА\ и ВВХ, параллельны плоскости а. Через вершины В и С
треугольника проведены параллельные прямые, которые пересекают
плоскость а соответственно в точках Е и F. Докажите, что ECBF
— параллелограмм.
Рис. 55
2. На рис. 55 плоскости а и /3 параллельны. Прямая а пересекает
плоскости а и 0 соответственно в точках А и В, а прямая Ъ — в точках
С и D. Найдите взаимное положение прямых а и Ь. Поясните.
3. Все грани параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ квадраты со стороной а.
Через середину ребра AD параллельно плоскости DAXB\ проведена
плоскость. Найдите периметр сечения.
4*. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через
точки С и К и параллельной прямой а. (рис. 56).
Рис. 56
442
Вариант 3
1. Прямоугольники ABCD и EBCF
лежат в разных плоскостях и имеют
общую сторону ВС. Прямая а
параллельна AD и пересекает плоскости
ABE и DCF соответственно в точках Р
и Я. Докажите, что РВСН —
параллелограмм.
2. На рис. 57 плоскости а и /3
параллельны. Прямые а и Ь пересекаются в
точке М. Прямая а пересекает
плоскости а и /3 соответственно в точках
А и В, а прямая Ъ пересекает
плоскость /3 в точке D. Постройте точку
пересечения прямой Ь с плоскостью а.
3. В тетраэдре DABC точка М — середина AC, DB^b, MD** 10,
L DBM —90". Постройте сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через середину ребра DC, параллельной плоскости DMB, и
найдите площадь сечения.
4*. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей
через точки Е и Р и параллельной прямой а (рис. 58).
B^ С,
Рис. 58
443

Вариант 4
1. Трапеция ABCD (AD и ВС — основания) расположена вне
плоскости а. Диагонали трапеции параллельны плоскости а. Через
вершины А и В проведены параллельные прямые, которые пересекают
плоскость а в точках Е и F соответственно. Докажите, что EABF
— параллелограмм.
Рис. 59
2. На рис. 59 плоскости а и 0 параллельны. Прямая а пересекает
плоскости а и/3 соответственно в точках ЛиВ,а прямая Ь — в точках
Си А Каково взаимное положение прямые aw Ь? Поясните.
3. Дан параллелепипед ABCDAXBXC\D\, все грани которого
прямоугольники, AD = 4, DC - 8; СС\ = 6. Постройте сечение
параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра DC и
параллельной плоскости АВХ С\, и найдите периметр сечения.
4*. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через
точки С и М и параллельной прямой а (рис. 60).
Рис. 60
444
№ 3. Перпендикулярность прямых и плоскостей
Вариант 1
1. В треугольнике ABC АС - СВ = 10 см, L А = 30°, ВК—
перпендикуляр к плоскости треугольника и равен см. Найдите
расстояние от точки К до АС.
2. Точка М равноудалена от всех вершин равнобеденного
прямоугольного треугольника АСВ (Z. С = 90°), АС = ВС = 4 см.
Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 2v3 см.
1) Докажите, что плоскость АМВ перпендикулярна плоскости ABC.
2) Какой угол плоскость ВМС составляет с плоскостью ABC?
3) Найдите угол между МС и плоскостью ABC.
3*. Найдите расстояние от точки Е — середины стороны АС — до
плоскости ВМС.
Вариант 2
1. Через сторону АС треугольника ABC проведена плоскость «,
удаленная от вершины В на расстояние, равное 4 см, АС = ВС = 8 см,
L ABC - 22°30' . Найдите угол между плоскостями ABC и а.
2. ABCD — квадрат со стороной, равной 4 см. Треугольник АМВ
имеет общую сторону АВ с квадратом, AM = ВМ = 2vo см.
Плоскости треугольника и квадрата взаимно перпендикулярны.
1) Докажите, что ВС± AM.
2) Найдите угол между МС и плоскостью квадрата.
3*. Найдите расстояние от точки А до плоскости DMC.
Вариант 3
1. ABCD — ромб со стороной 4 см, L ADC - 150°, ВМ—
перпендикуляр к плоскости ромба и равен 2^Ъ см. Найдите расстояние от
точки М до AD.
2. Точка М равноудалена от всех сторон правильного треугольника
ABC, сторона которого равна 4 см. Расстояние от точки М до
плоскости ABC равно 2 см.
1) Докажите, что плоскость АМО перпендикулярна плоскости ВМС
(О — основание перпендикуляра, опущенного из точки М на
плоскость ABC).
2) Найдите угол между плоскостью ВМС и плоскостью ABC.
3) Найдите угол между МС и плоскостью ABC.
3*. Точка Е принадлежит АС, причем АЕ : ЕС = 2:1. Найдите
расстояние от точки Е до плоскости ВМС.
445

Вариант 4
1. Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость а, удаленная
от ВС на расстояние, равное 3v3 см. Сторона ромба — 12 см,
L BCD - 30°. Найдите угол между плоскостью ромба и плоскостью
а.
2. Треугольник АСВ — прямоугольный (Z. С = 90°), АС = СВ= Зсм.
Треугольник АМС имеет общую сторону АС с треугольником АСВ;
AM = СМ = V6 см. Плоскости треугольников взаимно
перпендикулярны.
1) Докажите, что МС± ВС.
2) Найдите угол между MB и плоскостью ABC.
3*. Найдите расстояние от середины АВ — точки Е — до плоскости
ВМС.
446
№ 4. Многогранники
Вариант 1
1. В основании прямого параллелепипеда ABCDAXBX C\ D[ лежит ромб
ABCD со стороной, равной а, и углом BAD, равным 60°. Плоскость
BC\D составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите
площадь полной поверхности параллелепипеда.
2. В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник
ABC, L С « 90°, L А - 30°, ВС = 10. Боковые ребра пирамиды равно
наклонены к плоскости основания. Высота пирамиды равна 5.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3*. В указанной выше пирамиде найдите угол между прямыми АС и
DB.
Вариант 2
1. Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм со
сторонами 3 см и 5 см. Острый угол параллелограмма равен 60°.
Площадь большего диагонального сечения равна 63 см2. Найдите
площадь полной поверхности параллелепипеда.
2. Основанием пирамиды MABCD служит ромб ABCD, ЛС = 8; BD-
- 6. Высота пирамиды равна 1. Все двугранные углы при основании
равны. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3*. В указанной выше пирамиде найдите угол между гранями ВМС и
DMC.
Вариант 3
1. В основании прямого параллелепипеда ABCDAXB\C\D\ лежит
параллелограмм ABCD, у которого BD± АВ; АВ - 3 см; BD » 4 см.
Плоскость АВХ С\ составляет с плоскостью основания угол 45°.
Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
2. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной,
равной 12. Грани MB А и МВС перпендикулярны к плоскости
основания. Высота пирамиды равна 5. Найдите площадь полной
поверхности пирамиды.
3*. В указанной выше пирамиде найдите расстояние между прямыми
ВС и MD.
447

Вариант 4
1. В прямом параллелепипеде ABCDAXB\ С\D\ основанием служит
параллелограмм ABCD, AD = 2, DC - 2v3, L A - 30°. Большая
диагональ составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите
площадь боковой поверхности параллелепипеда.
2. Основанием пирамиды МЛВС служит прямоугольный треугольник
ABC, катеты которого АС = 8 см; ВС = 6 см. Высота пирамиды
равна 3VJ см. Двугранные углы при основании пирамиды равны
между собой. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3*. В указанном выше параллелепипеде найдите угол между АХС и
плоскостью грани DD\ C\ С.
448
№ 5. Векторы в пространстве
Вариант 1
1. Дан параллелепипед ABCDA\ Вх С\ А. Изобразите на рисунке
векторы, равные: _^ _^
1) АСХ + Ш, + В{В + ВА;
2) BA — bTCi.
2. В тетраэдре DABC М — точка переселения медиан грани Щ)С,
Е+— середина АС. Разложите вектор ЕМ по векторам АС, АВ и
AD.
3. Даны три неколли неарных вектора *f, ZT и с\ Найдите значения р и
q, при которых векторы т = ра + д^+ 8?и ~п = a+pl?+ </<?колли-
неарны.
4*. В тетраэдре DABC точки Ми// — середины соответственно ребер
AD и ВС. Докажите, используя векторы, что прямые АВ, ИМ и DC
параллелльны одной плоскости.
Вариант 2
1. Дан параллелепипед ABCDA\B\C\D\. Изобразите на рисунке
векторы, равные: _^ _^
1) ZJjCi + АВ + ССх + ВХА;
2) DC — CBi.
2. В тетраэдре DABC точка Е — середина ребра AD, з^М — точка
пересечения ^едиан грани BDC. Разложите вектор ЕМ по векторам
АВ, АС и AD.
3. Докажите, что векторы т = 1?+Т) — <^ ~п = 1а — ZT + ~с и
р*= %а — 2Г+ ^компланарны.
4*. В тетраэдре DABC точки М и N — середины АВ и CD
соответственно. Докажите, что середины отрезков МС, MD, NA и NB
являются вершинами параллелограмма.
153ивБ.Г.
449

Вариант 3
1. Дан параллелепипед ABCDAXB\C\D\. Изобразите на рисунке
векторы, равные: _+ _^
1) #С+ CiD± + BtB+ DiAr,
2) ДС, — AxB.
2. В тетраэдре DABC точка E — середина DB, a M — точка
переселения медиан грани ABC. Разложите вектор ЕМ по векторам DA,
DB и DC. ^ ^
3. Даны три неколлинеарных вектора <f, Ъ* и с*. Найдите значение к,
при котором векторы т — ка + к2Ъ*+ 1с и п = а + AZT+ сГколлине-
арны.
4*. В кубе ABCDA\BXC\DX точки Е и F — середины отрезков BD и
С\С. Докажите, используя векторы, что прямые ВС\, EF и DC
параллельны одной плоскости.
Вариант 4
1. Дан параллелепипед ABCDA\B\C\D\\ изобразите на рисунке
векторы, р^вные^ _+
1) АВ + ВхВ + CD+ DA;
2) DB — ABX.
2. В тетраэдре DABC М — точка пересечения медиан грани^ЛС^), а
К^— середина АВ. Разложите вектор КМ по векторам В А, ВС и
BD. _
3. Докажите, что векторы т = а>+ 2?+ Зс*, ~п= 2а— Ь*—~с и
~р= За — АЪ*— 5?компланраны.
4*. В пространстве расположен параллелограмм ABCD и
произвольный четырехугольник A\BXC\D\. Докажите, что точки пересечения
медиан треугольников А\ВВХ, В\СС\, C\DD{ и A\AD\ являются
вершинами параллелограмма.
450
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ
№ 1. Аксиомы стереометрии.
Параллельность прямых и плоскости
ВАРИАНТ 1
1. В каком случае три точки в пространстве не определяют
положение плоскости, проходящей через эти точки?
2. Могут ли две различные плоскости иметь только одну общую
точку?
3. Точка М не лежит на прямой а. Через точку М проводятся прямые,
пересекающие прямую а. Лежат ли эти прямые в одной плоскости?
4. Каково взаимное положение прямых:
1) ADi и MN; 2) ADX и ВСХ\ 3) MN и DCI (рис. 61).
5. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и Ь
пересекаться?
Рис. 61 Рис. 62 Рис. 63
6. Прямая а параллелльна плоскости а. Существует ли на плоскости
а прямые, не параллельные а? Если да, то каково их взаимное
положение?
7. На рис. 62 прямые тип пересекаются в точке М, АЕ т\ J9G п; Ь лежит
в плоскости а, а\Ъ. Каково взаимное положение прямых А и с?
8. Даны треугольник ABC и плоскость а, АВ\\а; АС\\а. Каково
взаимное положение прямой ВС и плоскости а?
9. На рис. 63 плоскости а и 0 параллельны. Пересекающиеся в точке
М прямые а и Ь пересекают плоскость а в точках Л и С, а плоскость
/3 — в точках В и D, 4тг = f • Найдите отношение ~.
ли j MD
10. Плоскость а пересекает только боковые ребра параллелепипеда.
Определите вид сечения.
451

ВАРИАНТ 2
1. Что можно сказать о взаимном положении двух плоскостей,
имеющих три общие точки, не лежащие на одной прямой?
2. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки?
3. Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая с, не проходящая
через точку М, пересекает прямые а и Ь. Лежат ли все эти три
прямые в одной плоскости?
4. Каково взаимное положение прямых:
Рис. 64 Рис. 65 Рис. 66
5. Прямые а и Ъ скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b
быть параллельными?
6. Две прямые параллельны одной и той же плоскости. Можно ли
утверждать, что эти прямые параллельны между собой? Если нет, то
каково их взаимное положение?
7. На рис. 65 прямые тип параллелльны. Точки А и В
соответственно принадлежат прямым тип; Улежит в плоскости а, а\\Ь. Каково
взаимное положение прямых Лис?
8. Даны четырехугольник ABCD и плоскость а. Его диагонали АС и
BD параллельны плоскости а. Каково взаимное положение АВ и
плоскости а?
9. На рис. 66 плоскости а и 0 параллельны. Пересекающиеся в
точке М прямые а и b пересекают плоскость а соответственно в точ-
ЕМ 1
ках В и А, а плоскость в — в точках Е и F. -г-г= = -=. Найдите
r MF 5
MB
отношение -ттт-
МА
10. Плоскость а проходит через диагональ основания
параллелепипеда и середину одной из сторон верхнего основания. Определите вид
сечения.
452
№ 2. Перпендикулярность прямых и плоскости
ВАРИАНТ 1
1. АВ± a; CDL a; BE a; DE a; АВ = CD. Каково взаимное
положение прямой АС и плоскости а?
2. К плоскости поведены две равные наклонные. Равны ли их проекции?
3. Точка М равноудалена от всех вершин прямоугольного
треугольника, катеты которого 6 см и 8 см. Расстояние от точки М до
плоскости треугольника равно 12 см. Найдите расстояние от точки М до
вершин треугольника.
4. Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат со
стороной, равной а. Расстояние от бокового ребра до
скрещивающейся с ним диагонали параллелепипеда равно ...
5. На рис. 67 ABCD — квадрат.
АЕ — перпендикуляр к
плоскости квадрата. КЕ ЕВ. Чему
равен угол между ВС и АКР.
6. В треугольнике ABC AB =10;
L А = 30°, BDL ABC, BD= 12.
Расстояние от точки D до АС
равно ...
7. Основанием прямоугольного
параллелепипеда служит квадрат
со стороной, равной 4.
Диагональ параллелепипеда равна 8.
Угол между диагональю и
боковой гранью равен ...
8. Точка М равноудалена от всех сторон квадрата ABCD, сторона
которого равна 8 см. Расстояние от точки М до плоскости квадрата
равно 4 см. Угол между плоскостью MCD и плоскостью квадрата
равен ...
9. Прямая а и плоскость а перпендикулярны плоскости/3. Каково
взаимное положение прямой а и плоскости а?
10. Треугольник МАВ и квадрат ABCD имеют общую сторону АВ и их
плоскости взаимно перпендикулярны. Угол MAD равен ...
Рис. 67
ВАРИАНТ 2
1. АВ± a; CD\\AB {BE. a; DEa), ЕЕ a, L ECD= 40°. Тогда L CED
равен ...
2. Две наклонные, проведенные к плоскости, имеют равные
проекции. Равны ли сами наклонные?
3. Точка D равноудалена от всех вершин правильного треугольника и
находится на расстоянии в 3 см от его плоскости. Высота треуголь-
453

Рис. 68
ника равна 6 см. Расстояние от
точки D до вершин треугольника
равно ...
4. Основанием прямоугольного
параллелепипеда служит квадрат со
стороной, равной а. Расстояние
между скрещивающимися
диагоналями противоположных граней
параллелепипеда равно ...
5. На рис. 68 ABCD — квадрат.
АЕ — перпендикуляр к плоскости
квадрата, ME. ЕС. Угол между BD
и AM равен ...
6. В треугольнике ABC АВ - 16 см, L А - 30°, ВК — перпендикуляр к
плоскости треугольника. Найдите ВК, если расстояние от точки К
до АС равно 17 см.
7. В прямоугольном параллелепипеде основанием служит квадрат.
Диагональ параллелепипеда равна 10 см и составляет с плоскостью
боковой грани угол 60°. Найдите стороны основания.
8. Точка D равноудалена от всех сторон правильного треугольника
ABC. Расстояние от точки D до плоскости треугольника равно
2^3. Радиус описанной около треугольника окружности равен 4.
Угол между плоскостью CDB и плоскостью треугольника равен ...
9. Две плоскости перпендикулярны к третьей. Линии пересечения
этих плоскостей с третьей плоскостью параллельны. Каково
взаимное положение этих плоскостей?
10. Прямоугольный треугольник АСВ {LC** 90°) и треугольник СМВ
имеют общую сторону ВС. Плоскости треугольников взаимно
перпендикулярны. Угол АСМ равен ...
454
№ 3. Многогранники
ВАРИАНТ 1
1. Сторона основания правильной четырехугольной призмы
ABCDA\BXC\D\ равна 4 см, а боковое ребро — 5 см. Найдите
площадь сечения, которое проходит через ребро АА{ и вершину С.
2. В правильной треугольной призме сторона основания равна 3 см, а
диагональ боковой грани составляет с плоскостью основания угол
60°. Площадь боковой поверхности призмы равна ...
3. В наклонном параллелепипеде основанием служит квадрат. Две
противоположные боковые грани перпендикулярны к плоскости
основания. Все ребра параллелепипеда равны 4 см. Найдите площадь
каждой из наклонных боковых граней.
4. В наклонной треугольной призме АВСА\В\С\ основанием служит
правильный треугольник со стороной, равной а. Боковое ребро
равно b, L А\АС - L А\АВ. Площадь грани СС\В\В равна ...
5. В наклонной треугольной призме боковое ребро равно 10 см.
Площади двух боковых граней равны 30 см2 и 40 см2, угол между ними
прямой. Площадь боковой поверхности призмы равна ...
6. В правильной четырехугольной пирамиде угол между диагональю
основания и скрещивающимся с ней боковым ребром равен ...
7. В правильной четырехугольной пирамиде угол между
противоположными боковыми гранями равен 40°. Найдите угол наклона
боковых граней к плоскости основания.
8. Основанием пирамиды служит треугольник со стороной, равной
8 см, и противоположным этой стороне углом в 150°. Боковые
ребра наклонены к основанию под углом 45°. Высота пирамиды
равна ...
9. Основанием пирамиды служит трапеция, основания которой равны
2 см и 8 см. Боковые грани пирамиды равно наклонены к
плоскости основания. Высота одной из боковых граней равна 10 см.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
10. В пирамиде MABCD основанием служит квадрат со стороной,
равной а. Грань МАВ — правильный треугольник, плоскость которого
перпендикулярна к плоскости основания. Площади граней MAD и
МВС равны ...
ВАРИАНТ 2
1. Сторона основания правильной четырехугольной призмы
ABCDAX B\ C\ Di равна 3 см, а боковое ребро — 4 см. Найдите
площадь сечения, которое проходит через сторону основания AD и
вершину С\.
455

2. В правильной треугольной призме боковое ребро равно 4 см, а
диагональ боковой грани составляет с плоскостью основания угол
45°. Площадь боковой поверхности призмы равна ...
3. В наклонном параллелепипеде основанием служит квадрат. Две
противоположные боковые грани перпендикулярны к плоскости
основания. Все ребра параллелепипеда равны между собой. Площадь
наклонной боковой грани равна 25 см2. Длина ребра
параллелепипеда равна ...
4. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ служит
квадрат со стороной, равной а. Боковое ребро равно Ъ. Вершина Ах
равноудалена от всех вершин нижнего основания. Площадь
диагонального сечения ВВ\ Dx D равна ...
5. В наклонной треугольной призме боковое ребро равно 5 см.
Площади двух боковых граней равны 20 см2, угол между ними — 60°.
Площадь боковой поверхности призмы равна ...
6. В правильной треугольной пирамиде угол между
скрещивающимися ребрами равен ...
7. В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани
наклонены к основанию под углом 50°. Угол между противоположными
боковыми гранями пирамиды равен ...
8. В пирамиде основанием служит треугольник со стороной в 6 см и
противолежащим углом 30е. Боковые ребра наклонены к
основанию под углом 60°. Длина бокового ребра равна ...
9. Основанием пирамиды служит трапеция, боковые стороны которой
равны 2 см и 4 см. Боковые грани пирамиды равно наклонены к
плоскости основания. Высота одной из боковых граней равна 5 см.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
10. Основанием пирамиды MABCD служит квадрат со стороной 6 см.
Ребро MB перпендикулярно к плоскости основания. Равные
боковые ребра равны 8 см. Площадь наклонных боковых граней
равна ...
456
№ 4. Векторы в пространстве
ВАРИАНТ 1
1. DABC — правильная треугольная пирамида. Сторона основания
равна v3. Боковые ребра наклонены к о снованию под углом 60°.
Найдите: | ЙА + СВ + Л£ |.
2. Ребро куба ABCDAXBXCXDX равно 1. Найдите: | DCX — Пкх |.
3. ABCDA\B\C\D\ — параллелепипед, А\С пересекает BxDb точке М,
B~?D = х £JM. Найдите х.
4. ABCDAXB\C\D\ — параллелепипед. Укажите какой-нибудь вектор
с началом и концом в вершинах параллелепипеда, который был бы
компланарен с векторами АВХ и АС.
5. At? = xfiB + уА^Ь. Могут ли прямые АС и BD быть
скрещивающимися?
6. т = а — 2? + с; /Г = 2а*— 2Г+ 2с* ~р= За*— 4ZT+ с; Jt=
= За*— 2?+ Зс*. Укажите тройку компланарных векторов.
7. ABCDAXBXCXDX — параллелепипед. Найдите: ЙА + ЙС + В~ВХ.
8. ABCDA\BXC\C\ — параллелепипед. DXC пересекает C\D в точке М.
Выразите вектор A%f через векторы АЬХ и Л£.
9. PABCD — пирамида, ABCD — параллелограмм, ЙА = а*\ Рв = Ту,
Ptj = с*. Выразите вектор РЪ = х* через векторы a*, ZTи с*.
10. В правильной треугольной пирамиде DABC отрезок DO — высота.
Разложите вектор /Jt) по векторам D*A, D*B и DC.
ВАРИАНТ 2
1. Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный треугольник
АСВ (Z. С = 90°); ЛС = 6; ВС = Ъ. Боковые ребра пирамиды
наклонены к основанию под углом 60°. Найдите: | rft! + ВМ + С*В \.
2. В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ сторона основания
равна 1, точка Е — середина Ах С\. Найдите: | СЕ — СВХ |.
3. ABCDA\B\C\D\ — параллелепипед, А\С пересекает BxDn точке М,
А*С = хС%4. Найдите х.
4. ABCDAXBXCXDX — параллелепипед, EviF — середины AD и CD
соответственно. Будут ли компланарны векторы Л£, EF и D~hx ?
5. т = 2d*— ZT+ Ъ*\ аГ= —а*+ ZT— 2с*. ~р = а*+ 22?+ с* ХГ=
= За*+ 2?+ 2с*. Укажите тройку компланарных векторов.
6. А*С * хА*В + уЛЪ. При всех х и у А^В и ЛЪ не являются коллинеар-
ными. Могут ли пересекаться прямые АС и BD1
7. ABCDAXBXCXDX — параллелепипед. Найдите: СХЪХ + С^ЬХ + С*С.
8. ABCDAXBXCXDX — параллелепипед. АВХ пересекает АХВ в точке Е.
Выразите вектор ЙЕ через векторы ВВХ и ПА.
457

9. _J3 пирамиде EABCp основанием служит параллелограмм ABCD.
ЕВ = т; ЕС = аГ; ED = р*\ ЕА = у! Выразите вектор jf через
векторы т, п пр.
10. В тетраэдре DABC отрезки DE и CF — медианы грани BDC. QE
ngpecej^acT CF в точке О. Выразите вектор AD через векторы АО,
АС и АВ.
458
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К ЗАДАЧАМ ДЛЯ УРОКА
§1
1. 2. Да, пересекаются.
3. 1. Точки Л, М и В должны лежать на одной прямой.
2. 1) Прямая EF пересекает ВС в точке X, а /?, С, — в точке У. Тогда X — точка
пересечения EF с плоскостью ABC, а У — с плоскостью Л, /?, С,.
2) Линией пересечения плоскостей уШТ7 и EFD является прямая FD.
3) Линией пересечения плоскостей EFD и ABC является прямая XD.
5. 1. При условии, что ВО - ОС.
2. Пусть Л/?, и А. В пересекаются в точке X, а /?С, и /?,С — в точке У. Тогда
можно доказать, что Xг — линия пересечения плоскостей Л/?, С и Л, С, .0.
6. 1. При условии, что АЕ : ЕС - 2:3.
2. Пусть MZJ пересекается с РТ в точке X. Тогда можно доказать, что ХК —
линия пересечения плоскостей РТК и МСЕ.
7. 1. Пусть /Ж пересекает АС в точке Я, a PD пересекает EF в точке L. Искомой
точкой X является точка пересечения DK и LM. Это требует доказательства.
2. Если Z.C- 90°, то центр описанной окружности О принадлежит АВ. Через эту
прямую можно провести шюскость, в которой только С не лежит. Поэтому точка С не
обязательно лежит в плоскости ABC.
8. 1. Пусть DM пересекает ВС в точке L, a AL пересекает BE в точке Р. Искомой
точкой У является точка пересечения AM и DP. Это требует доказательства.
2. Не обязательно.
§2
1. 1. I) Прямая ВС.
2) Любая прямая, лежащая в плоскости /5 и проходящая через точку С, но не
совпадающая с ВС.
3) Таких прямых нет.
2. 1. 1) Таких прямых нет.
2) Любая прямая, лежащая в плоскости /3 и проходящая через точку С, но не
параллельная EF.
3) Прямая, проходящая через точку С и параллельная прямой EF.
4. 2. Нет, не лежит.
5. 1. Прямые EF и с, EF и Л — скрещивающиеся, т.к. в противном случае прямые
ЛЛ, и /?#| лежали бы в одной плоскости, что невозможно.
6. 1. Задача решается аналогично задаче 5.(1).
7. 1. Прямые си а лежат в одной плоскости и не пересекаются. Вели предположить,
что с и а пересекаются в точке X, то тогда легко установить, что точка X принадлежит
трем плоскостям а, /5 и у, а значит, что она лежит и на линиях пересечения этих
плоскостей, взятых попарно. Но тогда прямые awb будут иметь общую точку X, что
противоречит условию. Аналогично доказывается, что с\\Ь.
2. Рассмотрим отрезки Л, F и С, Е. EF\\AC, т.к. EF — средняя линия
треугольника ABC. Легко доказать, что ЛС||Л,С,. Отсюда следует, что EF\[AXC{. В таком случае
EFCiAi — трапеция, основания которой EF и А^С^, причем EF: А.С\ - 1:2. Пусть
диагонали этой трапеции A^F и С,Е пересекаются в точке К. Из подобия
треугольников А^КСХ и EKF следует, что Л,л : KF~ C{K : КЕ~* 1:2. Рассмотрим теперь отрезки
Л, F и В^ М. Аналогично можно доказать, что они пересекаются в некоторой точке /С,,
причем Л,^ : /С, /•'-/?, /С, : /l,M~ 1 : 2. В таком случае точки /С и К^ совпадают. Этим
и доказывается данное утверждение.
459

8.1. Через прямую а и точку М проходит плоскость а. Если эта плоскость
пересекает прямую Ь в некоторой точке X, то прямая ХМ, если она не параллельна а, является
искомой.
2. Легко доказать, что СС,/?,/?, АД, С, С и АА{ВХВ — параллелограммы и точки
F, Е и М — точки пересечения их диагоналей; EF — средняя линия треугольника
АСХН и EF-*—AB. Аналогично, MF- — AC и ЕМ-—ВС. Отсюда следует подобие
треугольников EMF и ABC по трем сторонам.
§3
2. 1. BF: FC - 2:3.
3. 1. Прямая b либо параллельна плоскости а, либо лежит в этой плоскости.
2. 2) 50°.
4. 2. 2) 80°.
5. 1. Необходимо доказать, что четырехугольник РКНМ является
параллелограммом.
2. 2) 00{\\ААг
3) 60°.
6. 1. Задача решается аналогично задаче 5(1).
2. 2) КК, ||ДС.
3) 70°.
7. 1. Пусть ME и МТ7 медианы треугольников AMD и DMC. Рассмотрим треуголь-
МН МН{ 2
ники ЕМЯ и НМН., -7—= = = —. Кроме того, у этих треугольников L EMF — об-
1 ME Mr 5
щий. Отсюда следует, что Л EMF подобен Л НМН{. В таком случае //Я, \\EF, т.к. EF
— средняя линия треугольника ADC, то EF\\AC. Поэтому Я//, \\АС и ННХ параллельна
плоскости AM С.
2. MF и EF — линия пересечения плоскости MFE с плоскостями CDB и ABC.
Линия пересечения с плоскостью ADC проходит через точку М и параллельна АС.
Пусть ее точка пересечения с AD есть точка Р. Тогда РЕ — линия пересечения с
плоскостью ADB, PMFE — параллелограмм, Z. EFM — угол между скрещивающимися
прямыми АС и DB, EF=5; MF- 10, S-EF* MFsinZ. EFM, 25V3 -50 sinZ. EFM;
VI
sin Z. EFM — —^-\ £■ EFM — 60° (угол между скрещивающимися прямыми острый или
прямой).
8. 1. Да, параллельны.
2. 200. Задача решается аналогично задаче 7. (2).
§4
3. 2. Если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то AD и ВС тоже скрещивающиеся
прямые. Если же АВ \\CD, то AD и ВС пересекаются или параллельны.
4. 2. АС и BD скрещивающиеся, пересекающиеся или параллельные. См. ответ к
задаче 3 (2).
5. 1. 10 см; 12,5 см.
2. О положении плоскостей судить нельзя.
6. 1. 10 см; 15 см.
2. Прямые должны пересекаться или скрещиваться.
7. 1. Через точку М проводим прямую, параллельную ВВ{ до пересечения с АС в
точке Е. Через точку Е проводим прямую, параллельную KB до пересечения с прямой
АВ в точке Р. Через точку Р проводим прямую, параллельную ВВХ. Легко доказать, что
эта прямая является линией пересечения указанной плоскости с плоскостью ABB..
2. В плоскости, проходящей через точку М и параллельно плоскости а.
460
8. 1. Задача решается аналогично задаче 7.(1).
§5
1.2. 2Vi см2.
2. 2. 4Vi см2.
3. 2. 4Vi3~ см2.
4. 1. 90°.
2. 48 см2.
5. 2. Каждые два из указанных отрезков являются диагоналями параллелограмма,
причем стороны этого параллелограмма являются средними линиями соответствующих
граней тетраэдра. Для доказательства следует воспользоваться теоремой о сумме
квадратов диагоналей параллелограмма.
6. 2. Рассмотрите любые два отрезка указанных прямых и докажите, что,
пересекаясь, они делятся в настоящем отношении (1:3).
7. 1. Для решения задачи нужно доказать, что ABCD — параллелограмм. Пусть
указанные отрезки пересекаются в точке О. АА{С{С — параллелограмм, т.к. ЛЛ, \\СС{
нААх-= ССХ. Тогда Л, 0 •= ОС и Л0 -= ОС,. ВВХ D, D — параллелограмм, т.к. ВВХ \\DDX
и ВВХ ■= DDX. Тогда В, О - OD и ВО- ODx. В четырехугольнике Л, В, CD А. О - ОС и
Вх О ■= OD. В таком случае А, /?, CD — параллелограмм и А, Л, \\CD, но А, Вх \АВ, а
потому AB\\CD. Аналогично можно доказать BC\\AD и тогда ABCD — параллелограмм. В
таком случае ABCD А х В{ С, D, — параллелепипед.
2. Необходимо сделать развертку боковой поверхности тетраэдра (рис. 69).
Наименьший путь равен длине отрезка АА'. L ADA' — 30" х 3 ™ 90°. Тогда ЛА' ■=
- 3Vi см.
8. 1. Плоскости BDAX и У1Л,С, пересекаются по прямой АхО, где О — точка
пересечения диагоналей параллелофамма ABCD. АС. пересекает ЛхО в точке М. Это и
есть точка пересечения ЛС, и плоскости BDA{. Обозначим точку пересечения АСХ и
Л,С через Р. Тогда ЛЯ и АхО —медианы треугольника ААХС. В таком случае
Ах М : МО - 2:1, а это и означает, что М — точка пересечения медиан сечения BDAX.
2. 12 см. Задача решается аналогично задаче 7 (2).
§6
1.2. (10+12V2) см.
2. 1. 15.
*2V2
4- *• IT-
5. 1. Построение сечения показано на
рис. 70. Необходимо доказать, что в
сечении получился правильный
шестиугольник со стороной, равной 4V2 см. Его
площадь равна 48 VI см .
2. Построение сечения показано на
рис. 71. Секущая плоскость пересекает
плоскость В DC по прямой СХ,
параллельной DE. Доказательство построения
очевидно.
461

6. 1. Построение сечения показано на рис. 72. Необходимо доказать, что в сечении
получился правильный шестиугольник со стороной, равной 2V 2 см. Его площадь
равна 12"/i см2.
2. Задача решается аналогично задаче 5.(2).
7. 1. Построение сечечения показано на рис. 73. В сечении получилась трапеция
KPTL, у которой основание KI, - —г и РТ - —. Высота трапеции FM - —. Тогда площадь
Sab
16'
трапеции равна
2. Построение сечения показано на рис. 74. При построении использовалось
свойство параллельных плоскостей.
8. 1. Сечением является параллелограмм, стороны которого равны 8 и 3, а угол —
60°. Тогда площадь сечения равна 12V 3.
2. Задача решается аналогично задаче 7.(2).
§7
1.1. 2.
2. 1. 2.
2. Линия пересечения параллельна прямым AD и BE.
3. 1. 24.
2. Ь\\с.
4. 1. 2.
2. Ь\\с.
5. 1. 13.
2. Точка пересечения прямой Ь с плоскостью а есть точка пересечения прямой
AM с прямой Ь. Точкой пересечения прямой а с плоскостью /3 является точка
пересечения а с прямой, проходящей через точку В и параллельной прямой AM.
6. 1. 8 см.
2. Задача решается аналогично задаче 5 (2).
7. 1. Рассмотрим случай, когда вершина параллелограмма расположена по одну
сторону от плоскости а. Пусть АС и BD пересекаются в точке О, а -Л, С, и #, Z>, — в
точке О,. Легко доказать, что ООх параллельна прямым АА^, ВВ^ ,СС1 и DDi. В
таком случае ОО. — средняя линия в трапециях
АССХ Ах
462
Рис. 71
Рис. 72
463

00, = -(ЛЛ, + CCX ) и 00, =2^BBi + DD\ >• °TCIO«a Лу11 + cci = B#i + *>D, •
Исходя из условий задачи 13 + 19 - 36 + DDX, чего быть не может. Это означает, что
точка D находится по другую сторону от плоскости по отношению к точкам А, В и С.
В таком случае в плоскости BBf ZXD мы имеем пересекающиеся отрезки BD и B.D.,
ВВ]± #, D, и DD{ ± Я, D,, ВВХ -36. Расстояние 00, между серединами BD и ВхD.
равно 16. Тогда легко получить, что DDX — 4.
2. Рассмотрим две точки А и В и искомую прямую т. Множеством точек,
одинаково удаленных от точек А к В, является плоскость а, перпендикулярная АВ и
проходящая через середину АВ. Если m||ct, то таких точек нет, если а пересекает прямую т,
то искомой является эта точка пересечения, если m лежит в плоскости а, то условию
удовлеторяет каждая точка прямой т.
8. 1. Легко доказать, что АВ\]рс и АВ — А{ВХ =19. Через точку С проведена
плоскость/3, параллельная плоскости а. Эта плоскость пересекает ВВХ в точке В2, а ААХ — в
точке А2. СВ2 - 11 см; СА2 - 12 см и А2В2 - 19 см. Треугольники СВ2В и СА^А —
прямоугольные. Пусть ВВ2 - АА2 - х. СВ2 - х2 + 121; С А2 - х2 + 144; АВ2 - С А2 +
+ СВ2; х2 + \21+х2+ 144 -361. Отсюда ж2 -48. CM-V48+ 121 -13;
СВ-У/48-i 144 = 8"/з. 5ЛСВ - ^ • 8"/1 • 13 = 52"\Ai см2.
2. Множеством точек, равноудаленных от двух данных точек А и В является
плоскость /3, перпендикулярная к АВ и проходящая через середину АВ. Если плоскость /3
пересекает данную плоскость а, то искомым множеством является линия пересечения
плоскостей а и /3. Если /3 ||а, то таких точек нет. Если же а и /3 совпадут, то данному
условию удовлетворяет любая точка плоскости а.
§8
1. 2. 84.
2. 2. 24.
3. 2. 7.
4. 2. 3 см.
5. 1. Из равенства треугольников DBC и DBA вытекает, что DA — DC. Пусть Е —
середина АС, тогда DE и BE медианы треугольников ABC и ABC. Так как эти
треугольники равнобедренные, то АС±. ЕВ и АС± ED, т.е. АС — перпендикуляр к
плоскости DEB, а значит, АО. DB.
2. Пусть F — середина DB. Так как все грани тетраэдра правильные
треугольники, то CF± DB и AF± DB. Строим EM\\CF и MK\\AF, ME DB. Тогда треугольник
КМЕ — искомое сечение. Его площадь равна ——:—.
16
6. 1. Задача решается аналогично задаче 5(1).
2. Строим FE параллельно АС и соединяем точки Е и В\ FEB — искомое
сечение. Легко доказать, что FE± CD и EBL CD, т.е. плоскость FEB перпендикулярна CD.
7. 1. Треугольники AAXDX и АА.ВХ равны, а потому АВ. — AD{. Пусть О —
середина отрезка BXD{. Тогда В{Dx± АО и J5,D,± Л,С,, т.е. В{D, — перпендикуляр к
плоскости АССХ, а потому Вх Z), ± Л, С, т.к. Л, С лежит в этой плоскости.
2. Через точку М проводим прямую, параллельную АС, через точку пересечения
этой прямой с ребром ААХ, проводим прямую, параллельную АВ. Дальнейшее
построение очевидно.
8. Задачи решаются аналогично задачам 7(1) и 7(2).
§9
i.6Vi см.
464
2. 4 см.
3. 15.
4.54.
5. 12 см. Необходимо воспользоваться теоремой о сумме квадратов диагоналей
параллелограмма.
6. Пусть АЛ., ВВХ, ССХ и DDX — перпендикуляры к плоскости а. Плоскости
определены параллельными прямыми ААХ, ССХ и ВВХ, DDX пересекаются по прямой 00,.
Очевидно, что 00, -L а и 00, - 15 см. Так как средняя линия трапеции параллельна и
основания трапеции AD и ВС. Пусть ААХ -х. Так как средняя линия трапеции удалена
от плоскости а на расстояние, равное 13, то ВВ{ -26 — х. Рассмотрим трапецию
BDDX Вх. Так как основания трапеции относятся как 1:2, то очевидно, что и ВО : OD -
- 1:2. Итак, в трапеции BDDX /?, ВВХ - 26 — х\ DD{ - х\ ООх ||Д#,, причем BO'.OD-
- 1:2. Отсюда легко найти, что х- 7. Тогда расстояния от оснований до плоскости а
равны 7 см и 19 см.
7. В треугольнике MBD необходимо опустить перпендикуляр ОК на прямую MD,
где 0 — точка пересечения диагоналей квадрата. Легко доказать, что ОК — искомое
расстояние. Из подобия треугольников MBD и OKD находим, что ОК — ——.
8. Из точки С опустим перпендикуляр СС{ на плоскость а; ССХ - 20. Из
треугольника ССХ D находим, что DC, - 15. Легко доказать, что искомое расстояние будет равно
высоте треугольника ВС, D, опущенной на сторону DC,.
Ответ: 11,2.
§10
1. 1. 8.
2, 55"33' ; 23°35' .
2. 1. а.
2. 29°56' ; 19°28' .
3. 1. а.
2. 5 Г45' .
2. 28-42' .
5. 1. Точка М лежит в плоскости трапеции.
2. 32°57' . Пусть ММ{ ± ABC. M, лежит на биссектрисе угла BAD. Опустим из
точки М, перпендикуляр М, Е на сторону AD и соединим точки М и Е. Легко доказать,
что МЕ± AD. Пусть AM - а. Тогда из треугольника АМЕ находим АЕ, а затем из
треугольника АЕМХ — АМХ. Зная АМ{, находим косинус искомого угла.
6. 1. 4.
2. 57° 12' . Задача решается аналогично задаче 5(2).
7. 1. Пусть ККХ± ABC (/:,£ CD). Очевидно, что АКХ \\FK. Легко доказать, что в
квадрате отрезки BE и АК{ взаимно перпендикулярны. Тогда, используя теорему о
трех перпендикулярах, можно доказать, что В, Е± АКХ, а так как FK\\AKX, то и
ВХЕ± FK.
2. 48°35' . Вершина D проектируется в центр 0 правильного треугольника ABC.
Опустим перпендикуляр AM на плоскость CDB. Необходимо доказать, что точка М
лежит на высоте DF грани CDB. L АСМ — искомый. Для нахождения синуса этого угла
достаточно найти высоту AM треугольника ADF.
8. 2. 50°46' . Обе задачи решаются аналогично задачам 7(1), 7(2).
§11
1. 1. 90°.
2. 60°.
465

2. 2. 45°.
3. 1. 4,5 см.
2. 45°.
4. 1. 62,5 см.
2. 45°.
5. 1. 24 см.
2. 118"4' .
6. 1. 3.
2. 87°48' .
7. 1. Необходимо построить линейный угол, одна из сторон которого проходила бы
через данную точку X. Стороны этого угла параллельны высотам, опущенным на
общую сторону треугольников.
2. 120°. Необходимо из точки О пересечения диагоналей квадрата опустить
перпендикуляр ОК на ребро MD и точку К соединить отрезками с вершинами А и С. Тогда
L. АКС — линейный угол искомого двугранного угла. Из треугольника BMD находим,
aV2
что ОК-ш.
Дальнейшее решение очевидно.
8. 1. Задача решается аналогично задаче 7(1).
2. 120°. Ребром двугранного угла является прямая Bl D. Линейным углом
двугранного угла является угол, образованный высотами А{К и С.К равных треугольников
ByAyD и B.C.D, опущенными на общее основание ByD. Легко подсчитать, что этот
угол равен 120°.
Bi Ci
§12
1.2. 2) 2.
2. 2. 2) 6.
3. 1. 2.
2. 1) 4.
4. 1. 6.
2. 1) 2.
5. 1.
4V1045
17
(рис. 75).
На этом рисунке АЕ± Л, D, EF\\ CD и
QP || АЕ, QP — общий перпендикуляр
скрещивающихся прямых АВ и В. D. Рис. 75
6. 1. 5.
5\^34~
2. —-— см. Задача решается аналогично задаче 5(2).
7. 1. Пусть АС -СВ-* х. Тогда АВ~х\2 (рис. 76). Из прямоугольных
треугольников А1ЕСи_СЕВ имеем АЕ-ВЕ- Ух2 — 4. Из треугольники EFB: EF -
- V*2 — 4 — 15 - Vjc2 — 19, AF-У/х2 — 4 + Vjc2 — 19. Из треугольника ЛГО
получаем уравнение
2JC2-*2
4 + jc2 — 19 + ly/ix2—4XJC2—19) + 15.
466
Рис. 76
Отсюда х4—23JC2 + 60 = 0 и х2 = 20. Тогда SACB - 10. О т в е т: 10 см2.
2. На рис. 77 показано искомое сечение ML\\EF; EF-—; ML"5. Строим
Wf-L /ГУ7 и точки О к К соединяем отрезком. Тогда ОК± EF. PK равняется половине
высоты треугольника ADC, т.е. РК - -=. Из треугольника ОРК имеем:
0*-V|!+49 = \^fr SULPB-\ (EF+MD)OK = |^12бТ.
т™ 5с<™ = 2-W* -fvnf26f. Ответ: |/Т2бТ см2.
8. 1. Построим квадрат DCKM, как это показано на рис. 78. Тогда СМ\\ЕК. На
квадрате DCKM построим куб. Очевидно, что MT\\DB. Треугольник МТС —
равносторонний и L СМТ - 60°, а это и есть угол между данными скрещивающимися прямыми.
Ответ: 60°.
2. Построение сечения показано на рис. 79. MN\\B^ D и KL\\AC. Строим ВР± EF.
Тогда и MP1EF. 5сечения - SK M L +
kml-2ACQM'
+ SFKLF. Пусть MP - h. S
(KL-AC); SEKLF-^ ■ I ACQP. Из
подобия треугольников МБР и QTP следует,
'У h
что MQ~-h и С^-з- Тогда Течения "
1 ил> 2/,^! 3 лг h _1 ■ АС • h
= 2ЛС 3Л+2"2ЛС-3 12
18 А/Я-3-
у, MB--,
Легко получить, что ВР •
21
ВВХ =—. Это следует из подобия
треугольников BXBD и MBN. Тогда из
треугольника МБР следует, что MP - h •
Рис. 78
467

Ci
I;. й\-*
Рис. 79
= v/441 3'2ТдП1 с
4 25 Ю ' сечения
7x5x111 259 _
12x10 =Т°ТВеТ: 8
Рис. 80
259
§13
1.1.60°.
2.
2. 1.
2.
3. 1.
2.
8\^2 см2.
45°.
2 VI см2.
3\^7 см2.
oVI о2^
2 ' 2
4. 1.
2.
За'
!VI
4
mVe
; m2VI.
5. 1. Построение сечения показано на рис. 80; BE —
2 VI х VI
= 3; FB-ЪуП.
Тогда FBX =V3. Из подобия треугольников fi?!АС и #Е следует, что
КЯ
1 1
468
РТ
/С/?!=1. Из подобия треугольников РВ^Т и Л^,С, следует, что = — и
РТ
-VI.
Из треугольника /СМ>? (Z. ЛМЕ - 90°) имеем, что КЕ -
VI 16 VI
Ответ: —-—,
2VI
sin 60
г = 4:
1 16
5 =^(РТ+АС) ■ КЕ -
сечения 2 3 3
2. 2Q.
6. 1. 30V2 см . Задача решается аналогично задаче 5(1).
2. gVI.
7. 1. Необходимо достроить призму до прямого параллелепипеда ABCDA[BlClDl
основанием которого будет ромб ADBC. В таком случае угол между ЛС, и В, С равен
величине угла D,i4C,. Этот угол можно найти, используя теорему косинусов, из
треугольника D,i4C,, где .AD, - ЛС, —а\2 и D{C{ —a\3 (ребро призмы принято за а).
Ответ: arccos -г »75°31' .
4
2. Искомое сечение изображено на рис. 81. Сечение строим перпендикулярно
диагонали Ft В. Следует отметить, что т. к. В^ F{ FB — квадрат, то меньшая диагональ
FXB перпендикулярна B{F. Кроме того легко доказать, что F^B± ВС, а т. к. РТ\\ВС, то
BF{ _L РТ. Таким образом диагональ F, В перпендикулярна двум пересекающимся
прямым РТ и /?, F, которые и задают плоскость сечения. Плоскость сечения составляет с
S„CH 3a2VI 3o2V6
основанием угол 45°. Тогда S
'сечения cos 45°
72
'■'''•■■ -/i ■"■:'■';■■*
■'/■"■' /\'.'': ■••'//.'
(/у,/////////////,
Рис. 81
469

Si
Ci
F Рис. 82
О т в е т:
Зо
8. 1. arccos
2
2^2
55°33' . Задача решается аналогично задаче 7(1).
2. Искомое сечение изображено на рис. 82. Следует отметить, что FF.C.C —
квадрат, а потому F, C.LC, F. Кроме того F, С± АЕ, а т.к. PQ || АЕ, то F, С ± PQ. Таким
образом, диагональ f,C — перпендикуляр двум пересекающимся прямым C.F и PQ,
которые задают плоскость сечения. При построении учитывалось, что плоскость
сечения пересекает плоскость ВВ{ D{ по прямой МТ, параллельной PQ. Плоскость сечения
составляет с плоскостью основания угол 45". St
Зо2^
Ответ: —х—.
3a2V6
сечения COS45"
§14
1. 12\^39.
2.50(^2 +1).
3. ~(7\^3 +1).
470
231
4.
oV3"
13
5. 36(7 + 6VTT).
6. 30(3V161 +28).
7. Пусть диагонали основания пересекаются в точке О. Тогда АО - 3; L ВВ{ D - 60".
В плоскости BBt D опускаем из точки О перпендикуляр ОК на В. D. Можно доказать,
что длина ОК есть расстояние между АС и В^ D, которое равно 2. Дальнейшее решение
очевидно.
г» 16 /1
О т в е т: — (1
0\^3
+ 9) cmz
8. Расстояние между AD и DXC равно расстоянию между AD и плоскостью сечения
ВА] DyC. Из точки А опускаем перпендикуляр AM на прямую ВС (М не принадлежит
стороне ВС) и точку М соединяем с точкой А^. В треугольнике А{ AM опускаем высоту
АК на А. М. Можно доказать, что длина АК и есть расстояние между AD и D. С, кото-
12
рое равно -=-. Из треугольника А^М находим, что AM" 3. Дальнейшее решение
очевидно.
О т в е т: 44
VI
§>5
1.2.
2.2.
3. 1.
2.
350 см7.
75 см2.
аЬ.
120°; 60°
abVi.
60"; 120°
G>(2 + V73~).
2
Строим
перпендикулярное сечение параллелепипеда
Тогда
А2В2 равно 17, а Л,/), - 10. Длина высоты А2К треугольника В2А21)2 и есть
расстояние между ЛА. и В. и, которое равно 8. Из треугольника Z?,^? 2 пйх°Лим> что ^^Рт.
равно 21 или 9. Зная площадь диагонального сечения BBlDlD, находим возможную
70
длину бокового ребра, которая равна 10 или —. В таком случае площадь боковой
поверхности равна 540 или 1260.
Ответ: 540 или 1260.
6.1. qVi.
2. 4(3 + V2 + VI ). Задача
решается аналогично задаче 5(2).
7. 1. Высота А{К параллелепипеда
проектируется на диагональ основания АС.
Из точки К опускаем перпендикуляр на
AD и точки А. и М соединяем. Легко
доказать, что А{М — высота боковой грани
AAlDlD. Из треугольника АА{К находим,
что АК = 8. Используя подобие
треугольников АКМ и AOD (О — точка иересече-
24
ния АС и BD), находим, что КМ — —. Из
Рис. 83
471

9Л
треугольника А. КМ находим, что А.М' — -j-. Тогда S^QK — 520. Отпет: 520.
2. Применяя теорему о трех перпендикулярах, можно доказать, что АС±. В. В
(рис. 83). Перпендикулярным сечением призмы является прямоугольный треугольник
ACF (Z ACF-W). CF-a ■ sin а; АС = о sin а • tgp; AF = ^A
COSp
Периметр перпендикулярного сечения Р -
(1 ^ /1+ costt) + sin «Л ., А „ „
1 + tg«) + -оsin а — . Из А В.СВ находим, что
cospj у cosp J '
о о tga (1 + costt) + sintt)) 2
/?/?, . 5finK =—2 1- ££ = о ztga (secp + ig<p + 1).
1 cosa бок cosp
О т в е т: .a tg a (sec p + tg p + 1)
8. 1. Пусть AjK — высота параллелепипеда, KG BD. Так как L A^AD — L A.AB,
то AK — биссектриса треугольника ABD. По теореме косинусов находим, что АВ — 13
и, используя свойство биссектрисы треугольника, находим, что KD — -т-. Тогда высота
параллелепипеда А {К - — (L Ax DK - 45°). Из точки К опускаем перпендикуляр KF на
AD и точки А. и F соединяем. A^F — высота боковой грани AAJDlD. KF—KD*
15V3
х sin 60" — —-—. Из треугольника A. KF находим, что
о '
Л1Р-У/(Щ2 + (15)\3 ш
15VT
15V7
Легко доказать, что высота грани АА. В. В тоже равна
15\^7
I л* * *j iv/i\v рашщ —
15V7 г Г
56ок -56—g—= 105 V7.Ответ: 105 V7.
2. / sin Ър (1 + sec a + tg a). Задача решается аналогично задаче 7(2).
§16
1. 1. 96 см2.
2. arctg « 73°54' ; arctg 4\fi «• 81 "47'
2. 1. 270 Vi см2.
2. arctg 6» 80°32' ; arctg 3\^2 «. 76°44' .
3. I. 24\^3.
2. 1)2 arctg \^2 » 109°28' ; 2) 60°.
4. 1. 128.
2. 1) 2 arctg I •» 67°23' ;
VT7
2) 180° —2 arctg—т—»5Г 19'.
5. 1. aVL
2. 2arctg (cos p • tg -^- ) » 27°57' .
3m2V2
6. 1. -j-.
472
M
P
Рис. 84
180°
2. arccos (tg — • ctg-
1 n
)» 56°28'
7. 1. На рис. 84 AK± MF. Можно доказать, что АК — перпендикуляр к плоскости
СМВ. Тогда L АСК есть угол между АС и плоскостью СМВ, OF —
2/3'
MF-
-хГ7Т~1Г_ 1а
= V 4а + -rz —г—-
12 2V3
.„ ,.„ ..„ .„ _ .„ МО ■ AF 6а . . .„„ АК
АК • MF-MO • AF. Отсюда следует, что АК гт=— = -=-. sin L АСК°°-г-^
Mr 1 ЛС
= —. L АСК » 59°. Ответ: arcsin—
59°
2. Плоскости РВС и PAF пересекаются по прямой NP (рис. 85), КМ± PN.
Можно доказать, что L ВМА-а; МК-—- ctg-j. Из подобия треугольников NMK и NPO
РО NO _ __ NO ■ МК лл КГЛ/Г_,
следует, что -гтр = тттт- Отсюда РО = —-гтг:—. Из треугольника NMK следует, что
aVb
MN
о V 3 ctg —
-V3£_<£ct2«=^V3_clg2« в таком случае РО- , Д
4 4 ° 2 * * V 3 — ctg -r
Из треугольника POL следует, что апофема пирамиды
PL-
Зо"
о 2 .2 а\
3 a ctg
ctg
2«
ауГз V3 + 3 ctg2 %
/з~Г
Л"
2—
За
ctg'^ 2sin|V3-ctg2|
бОК
Z^och •"•-
9az
2 sin|V3-ctg2|
.Ответ:
9az
2sin-V3 — ctgz^
8. 1. На рис. 86 ЕК — перпендикуляр к плоскости CMD. Плоскость, определяемая
прямыми АВ и ЕК, пересекает плоскость CMD но прямой, параллельной АВ; АР\\ЕК,
ат.к.ЕК — перпендикуляр к плоскости CMD, то и АР — перпендикуляр к той же
плоскости. В таком случае L AMP *=a — искомый; MF- \2a2 + —r = -z-. MO-EF —
473

EK ■ MF. Отсюда ЕК •
МО EF
MF
аУП
-, но АР-ЕК-
аУП
2
AMP имеем, что sin а «=-—7; AM- V2 а2 + —-т-
АМ 4
OY10
xVs
а = arc sin
15
» 36"36' . О т в е т: arc sin
4V5
36°36'
2.
Зо2уГз
Из треугольника
4Vi
Тогда sin a =
2Лл^-уГ\
3ctg 2
Задача решается аналогично задаче 7 (2).
15
§17
1. 1. аУ/1.
2. 12 (5^ + 8).
2. 1. а.
2. 100(3 + 2\^6).
3. 1. 1) см; 2) 40 см .
2. y(3 + 2V^3).
a\Tb а2\^6
4. 1. 1)
;2)
2. ^-(3 + \^6 + VI>.
4
5.1.
b a
1) т*8т
tgp;
Рис. 86
2)
6" tgq
4cosp*.
2. 480 (5 + ). Необходимо учесть, что грани MAC и МАВ наклонены к
основанию под углом 60°.
6. 1. 1) - -; 2) 8s.na ;
4cos^
2.3 (1+2^2 ) см . Необходимо учесть, что грани МАВ и MAC наклонены к
основанию иод углом 45°.
7. 1. Так как площади боковых граней равны между собой и в основании пирамиды
лежит правильный треугольник, то высоты боковых граней, опущенные из вершины
пирамиды, равны между собой. Это значит, что вершина пирамиды одинаково удалена
от сторон основания или от прямых, на которых лежат эти стороны. В таком случае
вершины пирамиды проектируются либо в центр вписанной в основание окружности,
либо в один из центров вневписанных окружностей. Для данного случая возможно
только два различных варианта (см. рис. 87о, Ь). В случае а) радиус вписанной окруж-
а <■ - J 2" й* aVl3
ности равен —т=- и высота боковой грани равна V о + — = г- .
474
м
м
Рис. 87
1 „ За aV\3 a2V39 n
1огДа 5бок - 2 ' росн • h6oK.tPuHv " т • "гТз"~ ~~Т~' в случае б) радиус вне"
вписанной окружности определяется по формуле га — , где га — радиус вневпи-
санной окружности, которая касается стороны a. S — площадь треугольника, ар — его
полупериметр. В нашем случае радиус вневписанной окружности
a2Vb asfb r-2—r т аУ/l
' —=—. Тогда высоты боковых граней равны V аг *г 0,75а = —~—.
г =
За_
2
с _1р . А =Зо
бок. 2 осн боклранм 2
dsfl За 2Vl
а2^3~9 За\П
Ответ: — или
4 4 *
2. Пусть высоты AD, BE и СК треугольника ABC, лежащего в основании
пирамиды МАВС пересекаются в точке О. По условию МО — высота пирамиды. По
теореме о трех перпендикулярах МЕ± АС. Тогда из треугольников МЕА и МЕС следует, что
МЕ2-МА2 — АЕ2 и МЕ2-МС2 — ЕС2. Отсюда МА2 — МС2 - АЕ2 — ЕС2
(1). Из треугольников ВЕА и ВЕС следует, что АЕ2 - АВ2 — BE2 и ЕС2 - ВС2 — BE2.
Отсюда АЕ2 —ЕС2 - АВ2 —ВС2 (2). Из (1) и (2) имеем: МА2 — МС2 - АВ2 — ВС2,
т. е. МА + ВС - МС + АВ (МА и ВС; МС и АВ — скрещивающиеся ребра
пирамиды) . Аналогично можно получить, что МА + ВС — MB + АС .
8. 1. Задача решается аналогично задаче 7 (1). Следует только учесть, что, т. к.
L МАВ * L MAC, то вершина пирамиды может проектироваться только в центры
вневписанных окружностей, которые касаются равных сторон основания. SABC — 60;
р - 25. Радиус вневписанной окружности г - -=^ — = 5. Тогда высота боковых гра-
ней равна 13 и S^ - - \ Р осн • А 6ок грани - 25 х 1 з - 325. Ответ: 325.
2. Пусть высоты АЕ, ВР и СТ треугольника ABC, лежащего в основании
пирамиды МАВС, пересекаются в точке О и пусть МО — перпендикуляр к плоскости
ABC. Докажем, что высота АК пирамиды, опущенная из вершины А, проектируется в
точку К — точку пересечения высот грани МВС. По теореме о трех перпендикулярах
МЕ± ВС (рис. 88). По построению АК± ME. Тогда легко доказать, что АК —
перпендикуляр к плоскости МВС. Теперь имеем: АК±. МВС, АС — наклонная к этой пло-
475

м
м
Рис. 88
скости, СК — ее проекция на эту плоскость. MB лежит в этой плоскости и МВ± АС
(доказывается элементарно). Тогда на основании теоремы о трех перпендикулярах
СК± МБ, т. е. и CF±MB. Это значит, что точка К — точка пересечения высот грани
МВС. Для остальных высот пирамиды доказательство аналогично.
§18
1. 1.
a2yfl
24
- i a
л. 1. у.
3. 1.
4. 1.
5. 1.
За'
8 "
За2\^3
8 •
SabVJ
16
2. 28у/1 см2.
2. 14V^3 см2.
2. 96 см2.
2. 42"/i см2.
Сечение показано на рис. 89. Необходимо учесть, что EQTF —
прямоугольник.
2. 105 VI; 8 Vb.
„2
6. 1.
17<Г
96
Сечение показано на рис. 90. ОК — перпендикуляр к плоскости АМВ.
РТ\\ АВ и находится из подобия треугольников РМТ и АМВ.
2. 24 VI; 2V6. Необходимо доказать, что сечением служит прямоугольник.
Тогда длина бокового ребра равна 4. Дальнейшее решение очевидно.
7. 1. Сечение показано на рис. 91; API. MC и EF\\BD, причем KE-KFvl EF± АР.
1 „„ ,Г VI о\^6
центр правильного треуголь-
1 aVe 2 /- o2VI
_.__._.aV2=-1—.
я2 VI
Ответ: —-—.
^ения =\АР ■ EF. АР-а<1 ■ -Т = а-1~. Точка К
2 2 !~
ника BMD, а потому EF-- BD = г а V 2; S
476
М
М
Рис.90
Рис. 91
2. Необходимо сначала найти площадь боковой поверхности полной пирамиды,
380 VI
которая равна г . Площади боковых поверхностей треугольной отсеченной
пирамиды и полной пирамиды относятся, как 4 : 25. Тогда S6ok усеченной пирамиды =
21 „ 21 380"/! 532"/! 532V^3
25
.2 - .^ 1
25 "бок --•*- "~ 25 3 5 •"•--•• 5
8. 1. 120 см2. Сечение показано на рис. 92. Необходимо учесть, что ЛК-у МС и
точка Р — точка пересечения медиан треугольника BMD. В остальном задача решается
аналогично задаче 7(1).
15
2. — (77 + 3 V 281) см2. Принцип решения задачи аналогичен задаче 7(2).
§19
1.1. 1) в^Ьх;вЬ.
2) В^А; C^D.
3) С?АХ; ВХ~ЪХ; DX*BX; BD; DB; AC; CA.
2. Если о||я.
2. 1. 1) htK; Di*A; C?B.
2) rfB; A?BX; DX^CX.
3) B%x ; A~bx; B~?A\ D^C; СЪХ; D~CX; C~x*D
2. Да, могут. Например, если а р.
3.1. 1) СВ; С,~Ъ,.
2) ССХ; В~ВХ; ААХ.
3) B~i*C; C~i*B; B~tx.
2. Да, будут.
4. 1. 1) В?ЬХ;ВЪ.
477

2) C~?D; ЩА.
3) D% ; ВЪХ; D~?B.
2. Да, будут.
5. I. 1) ЁМ v\fk\i?Tn М*Е; ТМ и j?k; ftfl'и Aft.
2) Л' и /ifa; ffc и лТЬ'; £7< и Л??'; /Ф и TM.
3) Л', ffc, /?XV и jtffc; /&\ /<fc, Л?7' и ГХ/; jfr, 7%, /U/ и КТк.
2. ЛИ/ и (ТЕ.
6. 1. 1) И?Г и &:, ТМ и Ёк, М*К и Tfc, *И/ и £^\
2) ЛТ^ и /Ф, 7$/ и £fc, KtK и 7%, /Й^ и £^.
3) л?7\ /Л/, /Ф и бк\ ьТк, tfk, те и i?i\ /?r, fk, м>: и Ем.
2. £Я, и ft.
7. 1. 1) a) ft, Ли, Tib, Л^,, £,~Ъ,, f,~t,.
б) ЛС, F,"b,, Л^,.
2) Необходимо через точку М провести плоскость, параллельную плоскости
основания. Пусть эта плоскость пересечет ребра ВВХ и СС\ соответственно в точках К
и Р. Тогда ЙР = Fb н КТк = 0С.
2. 1) Точки F и Е лежат на медианах АР и СР треугольников ADB и CDB. Так
ЕР ЕР 1
как —-= = -^р = Т. то №||ЛС. Из второго условия следует, что MN\\AC. Тогда №|[MN
и векторы № и MN коллинеарны.
2) | 7% | - 6 см.
8. 1. 1) a) />i"t,; /t; Л^?,; ii',1),; Ли; ЕЪ.
б) С^, ЛЬ, /&, /Jfc, £7J, CI*/7], /-'iti, Л,!?!, Dj%, B^EX, £^?,.
2) A?E и Л^",.
2. 1) Задача решается аналогично задаче 7(1,2).
2) I /7> I - 9 см.
§20
1.1. лЪ
2. 1. ft
3. 1. л£
г
2. 17 см.
4. 1. /?С.
2. 3 см.
Необходимо учесть, что ЙС = ЛЪ и /?1 = С5?. Тогда
/й + BV + &£ + FA = FA + jCb + D*C + C£ = FE. \ FE | - ovGI.
2. Составим разность:
ЛЛ, + В~ВХ + СС] — Л7), — //£, — СИ, =
= (Алх —аЪл + (ввх —вЪл + /ее, —ел,] =
= в^ах + су*, + а^сх = л,"с, + с^вх + #pi, = лр1, = о!
Этим и доказывается справедливость этого равенства.
478
6. 1. | KD + АВ + CT + СР | = | KD + DC + С7 + ТА | - | KA |. Треугольник
АРС — прямоугольный (Z. АРС - 90°). Тогда
АЛ - УЛР2 + Р/С2 ■» Va2 + ^ = ^г-.
4 2
Ответ: ——.
2. Задача решается аналогично задаче 5(2).
7. 1. ЛЛ, =Ш,-Ш = Ш, - СВХ = ZMi — (Яв| — DCt) = ЯЛ,— D#,+/X:,
2. М — точка пересечения диагоналей параллелепипеда.
8. 1. D*B = ЕС + Св - Л^?, + С,~Ъ, -
- Z>~B, — /Й| + /J/>, — DC<, = 2/Jfc, — ЙЙ| — Dti.
2. /С — центр симметрии октаэдра.
§21
2.2. 2{M*E — h?F).
а. 1 -> 1 ->
3.1. Л + i д/ii — ^ вс,
,-1
4.1. л + 4сь + ];Дм.
2 4
5.1. м*В + | /1С + ^ C5i.
2. Из данного равенства следует, что (3 — т) •?= ( 2и — 4) •£ Отсюда m - 3 и
п-2.
6. I. Л> - АСХ + С^Я = АСХ + |с,/? = ЛС, + | (СВ - ССХ) =
-» 2 -> 2 -»
= ЛС1 + — СВ - — СС, Необходимо учесть, что Р — точка пересечения медиан
треугольника СВ. В.
1 2
2. х - ■=■; у - ^. Задача решается аналогично задаче 5(2).
7. 1. Основание высоты DM точка М лежит на стороне ВС, причем AM —
биссектриса треугольника ABC. В таком случае
■^ = ?;/JV = Л1/- ЛЪ; Л1/=-^-г Л7^ +-fr Лг.
MB b a+b a+b
Отсюда UM = —2-г ЛЪ + —£-г ЛС — ЛЯ; Ли =ft^; ЛС = о^ и ЛЪ = се^.
а + о а + о
*л. ob -> ab -> -> _ ab -* t ab -> ->
Югда Z5V = ^Tfr ^i + ^7J^2 -«з. О т ве т: ^-^е, + ^^е2 -се3.
479

2. OD = OA + AD = OA + к ВС = OA +k(OC — OB) = a+ kc"— kb*.
Ответ: if + к ?— it b*.
8. 1. Исходя из условия следует, что вершина Л, проектируется на биссектрису АР
угла BAD (P G ВС). В таком случае
АВ-ВР = Ь; А^Р = АУ — А%; аУ = АУ + ВУ ~ АУ + - АЪ .
1 а
Тогда А*Р = AB + -AD — A% = АР = АВ + ВР -
1 а '
-* b -* -* -> -> -»
= АВ + - AD — АЛ, = Ьех + Ье2 — сеу
-> -> ^>
О т в е т: Ь е, + b е2 — с е3.
EF 2
2. Из подобия треугольников EPF и ABC следует, что -г^ = -г.
2
OF=OE+ EF=OE+±AC = 6e+^ (ОС — ОА\ =т + | к*— |
Р-
г>. -» , 2* 2 ->
Ответ: m + ^ к — ^ р.
§22
4 4
2. /fa + | zft; +1 я2>,.
2.1. Ъ*+ ±?+ \г
2. ^С*А + ~СУ — СЪ.
3. 1. | ЛЪ + | ЛЪ + | АА,.
2. Рассмотрим тетраэдр DABC. Пусть Е — середина ребра AC, a F — середина
-> j -> -»
ребра DB и пусть О — середина отрезка EF. СО = -= (СЕ + CF\ =
1 -* 1 1 -*
= — СА + -? СВ + — CD. Пусть теперь Р — середина AD, F — середина ВС и О, —
-*. 1 ^* 1 -> 1 ->
середина PF. Тогда СО, = — СА +— СВ + — CD. Если теперь рассмотрим точку 02 —
середину отрезка, соединяющего середины ребер АВ и ВС, то и в этом случае получим,
что Ct)2 = —С*А + —СУ + — СЪ. Отсюда вытекает, что СЪ = Cbx = С~02, т. е. точки
О, О, и 02 совпадают. Этим и доказывается данное утверждение.
4. 1. -кс*А — |cfe + §CD.
12 3 4
2. Задача решается аналогично задаче 3(2).
5.1. ЛД = АУ+ FE + Dbx = 2ЛУ + 2АУ + Dbx = 2dex + 2de2 + a tg<p ^.
Ответ: 2dex + 2ae2 + a tgtp e$.
2. Рассмотрим призму АВСЛ, 2?, С,. Пусть А2В2С2 — сечение призмы
плоскостью, параллельной основаниям. М. и М — точки пересечения медиан соответственно
верхнего и нижнего оснований, а М~ — точка пересечения медуан сечения. Выберем в
пространстве произвольную точку О. Тогда М, М2 = ОМ2 — ОМ^ —
480
= ^{6а2 + ов2 + 6с2 - о\ - 6в1 - ос,) = ^(л,~л2 + в^в2 + с^с2)
Аналогично, М, М = - (Л, А + /?,/?+ С, С ) .
Отметим, что
АХВ2 _ ВХВ2 СХС2
АХА В{ В CiC
= к.
Тогда М, М2 = it •—(Л,Л + .В, Я + С,С) = ЛМ, М. Это значит, что точки М,, М2
и М лежат на одной прямой.
6. 1. ^o^ + 7flej + -с ^з- Задача решается аналогично задаче 5(1).
2. Задача решается аналогично задаче 5(2).
_ - „ ВМ х PN т
1. 1. Пусть —— = — и -rjp; = —;
J MD у NC n
MN = MD + DC + CN =
BD+ AB +
Тогда
_ У
x + у
ВЪ = АЪ — ХВ;
СР = — АВ — AD+ АР
п
т + п
СР
MN =
_ У
х + у
(AD — АВ) + АВ +
п
-^~ — -~— AD+ (
х+у т + п) \
AD+ (I
т+ п
1 и
(—АВ — AD + АР) =
(1)
т+ п) ~~ V х + у
АУ = - JCB + - АУ. Так как MW||ylF, то
m
тд
АВ +
п
т + п
АР
Из равенств (1) и (2) следует, что
JL
KfN = k- аУ = ^Хв + ^аУ
(2).
JC +
]
п
m+i
у т + п
У п
х + у
к
п 2
т +
п
к
2
Отсюда можно получить, что
/: = ■=■. Так как
MN = к ■ АУ, то
i д7м i - i и i з*1г i I MN I _ i l i MN 2
| M^V | = | к | ■ | AT | и ' ^j = \ к\,т.е. -^ = j.
2. _g = 1 —jc — j^ OD^xOA %yd\+(l — x+— y)QC с\=дЪ^-ОС =
= x-OA + y-QB + ОС — xOC —yOC — ОС ^x-(QA —J)C) + y(OB — ОС) =
= x-CA + y-CB. Отсюда следует, что векторы CD, С А и СВ компланарны, т. е. точки
А, В, С и D лежат в одной плоскости.
й1 _ ВМ т B\N
8.1. Пусть 77^ = — и
MD n " NC
м*ы = m*d + бс + <?N = —5— дЪ + zft: + —^— cS, =
т + п х + у '
163ивБ.Г.
481

= " ( AD — AB ) + AB + —2— (AA. — AD) -
^m+« Jt + yJ V m+n) x + y l (l).
Т. к. МЛ^|ИС,, то MN = к ■ ACl - * • AD + к AB + к • AAX (2). Из равенств (1)
и (2) следует, что
т к
т+ п х + у
1 !L-*
т+п
У -
= *
. 1 m 1 х 2 _ ВМ 1 ^,iV 2
Отсюда следует, что *-■=■; — в ■=: и ~ = —• Следовательно, -т—=- =» ■=- и -rr^- e т-
д П Z у 1 М£/ 2 7VC 1
О i в е т: т; —.
2. Если точки А, В, С и D принадлежат одной плоскости, то CD = х-С А + у-СВ.
Пусть О — произвольная точка пространства, тогда СЪ = ОЪ — вС\?А**<ТА — бС;
(*В = (Ув — бС. В таком случае ОЪ — бС = х 0*А — хбС + уби — у бС и
ОЪ = хО*А + убв + (1 — х — y)6t = xOA + y6a + z бС, где х + у + z = 1.
§23
1.1) (6 + 2^3) см2. 2) 2 см2. 3) arclg у 4) 30°. 5) 2 см.
2. 1) 4 ЫЙ + 1) см2. 2) 2\G см2. 3) 60". 4) arccos-4-; 5) 2V2 см.
3.1) 4 ( 4V^3 + 3) см2 ; 2)4VI см2 ; 3) 60°; 4 30°; 5) А^М - ^А~?А +
= ^А*В + ^А*С; 6) 90е.
4. 1) (12^3 +VT56) см2. 2) 4 VI см2. 3)60°. 4) arclg 2у[ъ - 60°.
5) /Ю = | ZM + ^ ZM? +^ DC. 6) 90°.
5. По данным задачи легко найти площадь треугольника ABC. SABC - 84. Площадь
поверхности S-PABC • АА{ + 2 SABC *= 588 (рис. 93).
МНС — сечение, площадь которого надо найти. Плоскости МНС и ABC
пересекаются по прямой PQ, причем PQ\\AB. Из точки А опускаем перпендикуляр АР на прямую
PQ и точки М и Р соединяем. MP — высота треугольника МНС. АР-
2SABC 2-84
-—-г=—«—r-r— — 12. Из треугольника MAP следует, что МЯ-13. SMHC -
— ■=■■ 14- 13 — 91;Z. MP A — линейный угол двугранного угла, образованного плоско-
АР 12 12
стями МНС и ABC ; cos Z. MP A - -гтт; = тт. отсюда L MP А - arccos -rz', *- AMP —
Ми 1 о 10
угол между прямой АА{ и плоскостью МНС ; Z. AMP - arccos-po-
482
Рис. 93
Рис. 94
1 .?.
1 .?, . 1 ^
МК = -=МС + -хМН = -=МА +-АС + irAB = — ^ AA. + ^ АС + ^ АВ. Ответ:
2 Z 2 2 2 4 ' 2 2
1) 588 см2. 2) 91 см2. 3) arccos ||; 4) arccos -^; 5) - ^ ЛИ, + | ЛС + ^ Ли. 6) рис. 93.
6. Так как ZM - ZM? - Z)C, то вершина D проектируется в центр описанной около
основания окружности, в данном случае на середину гипотенузы АС (рис. 94). Из
точки О опускаем перпендикуляр ОЕ на АВ и точки D и Е соединяем. DE — высота бо-
Г ^
ковой грани ADB, DO - V 3; ОЕ - -у-. Из треугольника DOE следует, что DE -
- V3 + I - Vl; S6oic-blC • DO + 2 • i • AB ■ DE-Vl + VI; FB — высота сече-
2 2 2 2
V3— ~4i
— + 1 = -r-. sce4 -
- i А/Я • /» =^ AC • FB =^ • 2
2 4 4
1 „ V7 V7
; Z. FBO — линейный угол двугранного
FO
OB
уГъ
Отсюда L FBO
угла, образованного плоскостями ВМН и ABC; lg LFBO -
- arctg -у-; Z. Z)BF — угол между прямой BD и плоскостью ВМН; tg Z. Z)BO -
ов УЛ-
Отсюда
L DBO - 60°
-* 1 -* 1-* l-* 1-» 1-»
М/С = ^ A/B + ^ MH = i;MA + ±AB + -trAC
Z Z Z I 4
Тогда
1
VI
Z. ZM?F - 60° - arctg -y-;
-» 1 -• 1 -»
. AD + ~ AB + 4 AC.
4 2 4
r~ r~ V7 V3 V3
О т в e т: 1) (V7 + V3) см2; 2) -^ см2; 3) arctg-у-; 4) 60° — arctg —;
5) - -J- Л) + ^ >4^ + ^ AC; 6) рис. 94.
4 2 4
7. 1. Сечение, проведенное через AD и точку Л показано на рис. 95, а ; PQ\\AD. Из
точки В опускаем перпендикуляр ВТ на сторону AD и точки РчТ соединяем. Очевид-
483

a)
Рис. 95
но, что PTl. AD; РВТ — перпендикулярное сечение призмы APBDQC. S^0K = Ррвт х
х AD*AD-5; ВТ-
24
РТ = \
тт
26
+ 4 = —• Р
^ + ^+2=12. S6c
5 ' " ' ' 25 ' ' 5 ' " перп сеч
= 12x5 = 60.
2. Сечение, проходящее через BlD и параллельное ЛС показано на рис. 95, 6,
причем EF\\AC и £F X В, D;
Sce4=\EFPB\D* H0 EF-AC. Тогда 5сеч = -~
#fl, D, опускаем перпендикуляр ОК из точки О на Вх D. Можно доказать, что ОК нер-
пендикулярно плоскости сечения. ОК"—=—. Расстояние между АА{ viBxD является
длиной отрезка АО. АО = 4. Очевидно, что В{К: KD = 3 : 1. Тогда имеем
8 ■ 6\^2 = 24 V2. В плоскости
-» 1 -» 3 -*
ОК = ^ОВ. + ± OD
4 ' 4
1 / ^*
4(ОВ+Щ) +fBD =
*н
1 / Л.
BD +AA, | + ^BD = ^BD+ ^АА{ = j (AD - АВ\ + ^ АА,
- — ^А^В + ^АЪ+ ^гА%.
4 4 4 '
Плоскость, заданная пересекающимися прямыми АС и ОК, пересекает плоскость
сечения по прямой XY, которая параллельна АС. В этой плоскости проводим AN\\OK.
Очевидно, что AN перпендикулярно плоскости сечения и L ADN - а есть угол между
AN 3Vi 3V2 ,
AD и плоскостями сечения, sin а - -г= — , п • а. = arc sin—777-. Ответ: 1. 60 см .
AD 10 10
Г 1 *2 2 1 а 1 ■* 1 -» 3\^2
2. 1) 24 V2 см2. 2) З^г- см2. 3) 4 см. 4) - ^ ЯВ + ± AD + ±АА.; 5) arcsin ——-.
2 4 4 4 ' 10
8. 1) Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых
граней, причем треугольники MAD и МВС равные равнобедренные прямоугольные тре-
угольники. Высота пирамиды МО"—=— (рис. 96).
На рисунке ОЕ± CD, тогда и МЕ± CD. Высота треугольника DMC ME-
-V
ТсГ
aVl
+а2 -^. Тогда S^
a2V3
1 aV7 fl2
+ 2-\а2 + \а^-=^-- (Vi + V7+4).
2 2 2 4
484
При построении сечения учитывалось, что плоскость сечения и грани АМВ параллель-
а 1 а™ 1
ны. РТ — —; FK — а, а высота сечения равна — МО, т. е. —-—. Тогда Sre„ - ■=: (а +
2 2 4 2
а aVl Ъс?^Ъ
+ — ) х ——- = ———. Легко доказать, что линейным углом двугранного угла, обра-
ОЕ 2VI
зованного гранями DMC и АМВ, является L ОМЕ — a; tg а= ^~тт = —=— и
2Vi
а = arctg —5—• 1ак как A-D — перпендикуляр к плоскости АМВ, то L AMD есть угол
между AD и плоскостью АМВ, но плоскость сечения параллельна плоскости АМВ, а
потому искомый угол равен величине угла AMD, т. е. 45°. Из подобия треугольников
РНТ и FHK следует, что HT:HF=\:2.
Тогда
2 -* 1 -* 2 1/-* -*ч 1 1-*
iAT+3AF=3-2{AM+AC)+32AD
I -* I"* I"» 1 "* I,"* v 1 ■* 1 -* I -* I -*
в^ЛА/+ ±АС + ±AD = ±AM + ± (AD+ АВ\ + ±AD=±AM+ 2AD+ ^Ав-
Расстояние между ВС и MD равно расстоянию между ВС и плоскостью AMD,
которая параллельна ВС. Это расстояние равно длине высоты BN треугольника АМВ,
аУП
т. е.-у-.
О т в е т: 1) ^-(Vi+V7+4). 2) 3q, - 3. 3) arctg ^Д 4) 45°.
4 loo
1 -» 1 -* 1 -» а >Гъ
5) ^ АВ + ± AD + ± AM. 6) —2~.
485

§24
1.1. Одна, две или три точки.
2. 1. Две параллельные прямые, одна прямая или две точки.
3. 1. Сохраняются все свойства прямоугольника как параллелограмма.
2. Рис. 97. На рисунке биссектриса / параллельна 0, Л/.
3. Изображением служит произвольный треугольник А[В[С1. Так как катеты
треугольника относятся как 2 : 3, то их проекции на гипотенузу относятся, как 4 : 9.
Поэтому на изображении гипотенузы нужно построить такую точку /С,, что
/l|/Cj : KiBl "4:9. Тогда С,/С, — изображение высоты треугольника.
4. 1. Сохраняются все свойства ромба как параллелограмма.
2. Пусть ABCD ромб с углом BAD, равным 60°. Тогда треугольник ABD
правильный, и высота BE, опущенная на сторону AD, делит ее пополам. Перпендикуляр OF,
опущенный из точки пересечения диагоналей О на AD параллелен BE. Изображением
ромба служит произвольный параллелограмм A.BlClDl. Строим медиану В{Е{
треугольника AlB{D{ и проводим 0{f\ || B{El; OlFl — искомый перпендикуляр.
3. Центр вписанной в треугольник окружности есть точка пересечения его
биссектрис. Пусть произвольный треугольник А\ В\ С\ есть изображение данного
треугольника. Медиана В\Е\ есть изображение одной из биссектрис этого треугольника. Чтобы
построить изображение другой биссектрисы, необходимо на стороне В{ С\ построить
такую точку К\, чтоВ\К{ : К\С\ - 4 : 5. Тогда А\К\ — изображение второй биссектрисы.
Точка их пересечения и есть изображение центра вписанной в треугольник
окружности.
5. 1. Две пересекающиеся прямые, две параллельные прямые, прямая и точка.
2. Пусть параллелограмм A{BlClDl есть изображение данного к j • та и точка
Ех — середина A j D.. В оригинале катеты треугольника ВАЕ относятся как 2:1.
Строим изображение А, Л/, высоты этого треугольника (см. указание к задаче 3(3)). Теперь
на изображении строим С,Р, ||/l,M,. Это и будет изображение перпендикуляра,
опущенного из точки С на BE.
3. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных
перпендикуляров. Один из этих перпендикуляров есть ось симметрии данной трапеции, а
другой проходит через основание высоты BE этой трапеции. Построение показано на
рис. 98.
6. 1. Прямые параллельные или скрещивающиеся.
2. Пусть треугольник А1В^С1 есть изображение треугольника ABC и Ol —
изображение центра описанной окружности. На рис. 99 D{ и Е{ — середины сторон В^ С,
и Л,/?,. Тогда £>,£>, и OlEl — изображение серединных перпендикуляров. В таком
Рис. 97
486
Рис. 98
случае изображения высот А{Р. и С,/С,
параллельны 0{D{ и 0{Е{.
Изображение третьей высоты В, Т{ проходит через
точку Я, пересечениия изображений
первых двух высот.
3. Построение показано на рис. 100.
Параллелограмм AlBlClDl —
изображение искомого квадрата.
§25
Ау 7-1
Рис. 99
1.1. а) Нет. б) Нет.
2. arccos-r
70°32'
3. 45°. При решении необходимо использовать теорему косинусов для
трехгранного угла.
2. 1. а) Нет. б) Да.
2. 60°.
3. arccos ( -1) « 109°28'
См. указание к задаче 1 (3).
3. 1. Пусть х — величина третьего плоского угла. Исходя из свойств плоских углов
трехгранного угла имеем: х > 10°
х < 210°
х+100° + 110°< 360°
Отсюда 10° < х < 150°.
Ответ: 10° < jc <150°.
2. Рассмотрим трехгранный угол DABC, у которого два плоских угла ADC и ADB
равны 60°. Двугранный угол с ребром AD равен 90°. Тогда по теореме косинусов
cos L BDC - cos2 60° + sin2 60° х cos 90° - \\
_ 4
SBDC " \ • 400 ^1~Тб = 20° ' ~Т~ = 50 ^*' 0ТВСТ: 50 ^* •
3. Рассмотрим трехгранный угол ОАВС, у которого L АОВ — L АОС - 60°;
L ВОС = 90°. Плоскость ВАС перпендикулярна к плоскости ВОС и АВ - АС. Тогда
перпендикуляр AM, опущенный из точки А на плоскость ВОС, попадет в точку Л/ —
середину ВС, т.е. в центр описанной около прямоугольного треугольника ВОС окруж-
487

ности. Отсюда следует, что АВ - АС - АО. Так как L. АОС - L АОВ = 60°, то тогда
О А = ОВ - ОС, что и требовалось доказать.
4. 1. 54°< х < 90°. Необходимо учесть, что сумма плоских углов при вершине
пирамиды должна быть меньше 360°.
2. Задача решается аналогично задаче 3(2). По теореме косинусов находим, что
5 V^39 ВС ^39 • 8
cos L ВВС - g. Тогда sin L ВВС - — и R - ^ ^ - -^^ - 4. Ответ: 4.
3. Рассмотрим трехгранный угол О ABC, у которого £ ЛОВ - Z. ЛОС - 60°,
L ВОС - 90°. Пусть ОА - ОВ - ОС. Легко доказать, что тогда АО - АВ - АС, и точка
проектируется в центр описанной около прямоугольного треугольника окружности,
т. е. на середину ВС. В таком случае плоскость ВАС перпендикулярна плоскости
прямого угла.
5. 2. Построим перпендикулярное сечение призмы А2В2С2\ Л2С2 ~ AC sin 45° =
= Vb • -у— = VI; A2B2 - АВ sin 60° - 2VI • -у- = 3. Угол В2А2С2 находим,
используя теорему косинусов для трехгранного угла. Имеем: cos 90° - cos 45° • cos 60° +
+ sin 45° x sin 60° • cos L B2A2CV
Vl Vb 1
——I—j- ■ cos LB2A2C2 = 0; cos LB2A2C2 — — —f=: Сторону В2С2 находим по
теореме косинусов. В2С2 - V9 + 3 — 2 ■ 3 ^3 (— -jj) = 3 \^2~; PA B c -3 + -/3 +
+ VI + 3VI = VI(VI + i +Ve). s^ -sVI (VI +1 + Ve).
Ответ: sVb (VI + 1 + VI).
3. Необходимо рассмотреть трехгранный угол ВАМС, у которого L МВА - 45°;
L ABC - 90° и cos L МВС - —т=\ Пусть искомый двугранный угол — а. Тогда
1 Vl г 1
cos 90° - cos 45° • -тг-р? + sin 45° • —— V 2 -cos а. Отсюда: cos a - — —?=■ и
а = arccos I—-г— I « 112° 12' .
Ответ: arccos (- -р=-) » 112°12'
6. 2. Рассмотрим правильную пирамиду МАВСВ. В трехгранном угле СМВВ один
плоский угол ВСВ прямой, а два других МСВ и МСВ обозначим за а. Двугранный угол
при ребре МС равен 120°. Тогда по теореме косинусов для трехгранного угла имеем:
cos 90° - cos2 a + sin a cos 120°. Отсюда tg a - 2. Пусть МК — высота боковой грани
ВМС. Тогда КС - т ■ clg а = —р-. В таком случае сторона основания равна m V2.
S6ok = 2 Я°сн ■ MK=2mVl ■ m = 2m2V2. Ответ: 2 m 2 V^2.
3. Необходимо рассмотреть трехгранный угол ВАМС, у которого
cos Z. MD/1 = cos L МВС = -т=-; L ABC - 90°. Пусть а — величина искомого двугран-
1 1 (^2\
ного угла. Тогда cos 90° = —г— • —гг + —гг
2
• cos а . Отсюд a cos а = — —
ий- 120°. Ответ: 120°
488
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ
№1
1.2. 2) Прямые скрещивающиеся; 60°.
3. Любое.
2. 2. 1) Линия пересечения проходит через вершину С и параллельна прямым АН
к BE.
2) Прямые скрещивающиеся; 20°.
3. Пересекаются или параллельны.
4. Прямые EF и МК являются скрещивающимися. Они могут быть параллельными,
если АВ пересекает С В или АВ \\СВ.
3. 2. 2) Прямые скрещивающиеся; 70°.
3. Прямые могут быть в любых взаимных положениях.
4. 2. 2) Прямые скрещивающиеся; 30°.
3. Нет, нельзя.
4. Прямые АС и ВВ являются скрещивающимися. Они могут пересекаться, если
АВ пересекает С В или АВ\\СВ.
№2
1.3. 12.
2. 2. Прямые скрещивающиеся.
3. la + aVl.
3. 3. 6
4. 2. Прямые скрещивающиеся.
3. 18.
№3
1.1. 15 см.
V6*
2. 2) 60°. 3) arctg -у.
з*. VI см. Необходимо учесть, что ЕО \\ВС, где О — основание перпендикуляра
МО, опущенного из точки М на плоскость ABC; О — середина гипотенузы. Расстояние
от точки Е до плоскости ВМС равно расстоянию от точки О до этой плоскости.
2. 1. 45°.
2. 2) 45°.
4Vi
3*. —-—. Необходимо учесть, что АВ\\СВ.
3. 1. 4 см.
VI
2. 2) 60°. 3) arctg -5-.
3*. 1 см. Необходимо учесть, что ЕО\\ВС, где О — основание перпендикуляра,
опущенного из точки М на плоскости ABC.
4. 1. 60°.
2. 2) 30".
489

злЛТо
3*. —g— см. Необходимо учесть, что ЕО\\ВС, где О — основание
перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость ABC.
№4
1. 1. а2 (6 + ^3).
2. 25 (4 + ^6).
3*. Необходимо достроить пирамиду до пирамиды, основанием которой будет
прямоугольник ACBF. Для решения задачи следует найти величину угла DBF. В
треугольнике DBF DB-DF-sVs. FB-10 VI. Тогда cos L DBF'^—X- = —^-.
5\5 s
Ответ: arccos —^—.
2. 1. 3 (48 + 5V3) см2.
2. 50.
3*. Необходимо из основания высоты точки О опустить перпендикуляр ОЕ на
ребро МС. Тогда угол BED искомый. Из треугольника МОС ОЕ -
МО • ОС 1 • 4 4 Л Л 3 VTT
^— в "г55* в -г--- Отсюда tg L OED - —-—. В таком случае L OED -
уПп зу/Tj 3-/Т7
- arctg —-г— и L BED " 2 arct8 —4—' 0твет: 2 arct8 —7—•
3. 1. 62,4 см2.
2. 360.
3*. Расстоянием будет являться длина высоты треугольника MB А, опущенная из
« ^ 60
вершины В. Ответ: -г=-.
4. 1. 8V7 (1+/3).
2. 108 см2.
3*. Необходимо в плоскости верхнего основания из вершины Л, опустить
перпендикуляр А{К на C{D{. Так как L. A{D{CX - 150 ", то точка К не принадлежит стороне
Z), С, ; Л,/С - ^Л, Z), - 1. Л, С - 2 VT4. Для решения задачи следует найти величину
А{К 1 j
угла Л. СК; sin Z. А, С/С - —г = —р=. Ответ: arcsin—7=^.
1 1 А{С 2V14 2V14
№5
1. 1. 1) ЛЛ,; 2) СЛ.
1 -» 1 -* 1 -*
2. ^АВ — ^ЛС + ^Л#.
3. Векторы т и /Г будут коллинеарными, если m = A/f (А * 0). Тогда р а + q Jf+
+ 8 ?- A <?+ Ар ZT+ kq с". Отсюда:
p-Jfc
? = Ар
8 = А?
Решая систему, получим, что А-2, р-2и§-4. Ответ: р - 2, 0 - 4.
490
4*. Необходимо доказать, что векторы НМ, АВ и DC компланарны.
ИМ" DM— DH=*^DA — \d*C — ^ DB (1); АВ + DC - Ш — /м + DC (2). Из
(1) и (2) следует, что НМ = - -х АВ — - DC, т. е. векторы ИМ, А*В и бС
компланарны, а потому прямые НМ, АВ и DC параллельны одной плоскости.
2. 1. 1) АЪ. 2) Л?С.
2. -~АЪ + ^АВ + ^ХС.
обо
3. 2 m « 2 ?+ 2 #"- 2 с! 3 « « 6 ?— 3 #"+ 3 с!
Отсюда 2 m + 3 /Г = 8 ?— #"+ £ т. е. р*= 2 m + 3 /Г. Это и значит, что указанные
векторы компланарны.
4*. Пусть Р[, Р2, Рз ч Ра — середины соответственно отрезков NA, MD, NB и
МС. Выберем в пространстве произвольную точку О.
Р*Р2 = ОР2 —ОР{ « ^ {ОМ + OD—OA —ОЫ\ - ^ МЛ/ + ЛИЛ (1),
/у»3 - ОЯ3 — ОР4 - ^ (QB + 6V — ОА# — ОС ) -j (MB + CN ) (2),
но л"м = MBuND^CN. Тогда из (1) и (2) вытекает, что Р{Р2 - Я4Р3. т. е. Р{Р2ръра
— параллелограмм (предварительно нужно доказать, что точки Р{, Р2, Р3 и />4 не лежат
на одной прямой).
3. 1. 1) В^А\2) ССГ
2. \d*A — ]r0B + ^fiC.
000
3. А - 2. Задача решается аналогично задаче 1. 3.
4*. Задача решается аналогично задаче 1 (4*).
4. 1. 1) £>7л. 2) С?В.
1 -* 1 -* 1 -*
2. ± BD — ± В А + ^ ЯС.
о О о
3. Необходимо доказать, что р* *= 2 и — т.
4*. Пусть Afj, А/2, А/з, А/4 — точки пересечения медиан соответственно
треугольников АХВВ\, В\СС\, C\DDx и A\AD\. В пространстве выбираем произвольную
точку О. Тогда Л/,~Л/2 - ОМ2 — ОЛ/, = ^ (ОЯ, + OCi + ОС) —
- I (ОД, + о\ + ОБ) « | (A,"C, + ВС) (1)
Л/^/3 = ОМ3 — ОМ4 = | (OD + Otx + бЪЛ —
-±(0%у+СГа + оЪ{) =| (л^:, + АЬ) (2)
Так как ABCD параллелограмм, то ЕС = ЛЪ. Тогда из (1) и (2) следует, что
М^М2 *= Л/4^/3. т- е- М\М2МзМа — параллелограмм (предварительно нужно
доказать, что точки М\, М2, Мз и Л/4 не лежат на одной прямой).
491

11 КЛАСС

ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
Параграф
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20*
Тема
Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора
Связь между координатами векторов и координатами точек.
Простейшие задачи в координатах
Угол между векторами. Скалярное произведение векторов
Вычисление углов между прямыми в пространстве
Движения
Применение движений пространства к решению задач
Цилиндр. Комбинация цилиндра с многогранниками
Конус, усеченный конус
Площадь поверхности тел вращения.
Комбинации конуса с многогранниками
Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости
Сфера -
Комбинация сферы с другими геометрическими телами
Объем прямоугольного параллелепипеда
Объем прямой призмы и цилиндра
Объем наклонной призмы
Объем пирамиды
Объем конуса
Объем усеченной пирамиды и усеченного конуса
Объем шара и его частей. Площадь сферы
Уравнение плоскости
* Задачи предназначены для классов с углубленным изучением математики.
494
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
§ 1. Прямоугольная система координат
в пространстве. Координаты вектора
Куб ABCDAiBiCiDi помещен в прямоугольную систему координат
(рис. 1). Л (2; —2; 0).
1) Найдите координаты всех остальных дершщ» куба.
2) Найдите координаты векторов OD, ОС{, ОМ и разложите их
по векторам i, j и к.
Даны векторы t {2; - 1; 3}, t {- 3j 2; 1} и с {-10; 6; -4}.
Будут ли коллинеарными векторы ci—fin с?
Рис. 1
495

2.
Куб ABCDAXBXCXDX
помещен в прямоугольную
систему координат
(рис. 2) С (— 2; 4; 0).
1) Найдите координаты
всех остальных вершин
куба.
2) Найдите^координаты
векторов ОС, ОВ\ и
ОК и разложите их по
векторам ГТ7*и Jt.
Даны векторы
а{-\; 3; -2};
#42; —1; 3} и
?{-3; -1; -4}.
Будут ли коллинеарны
векторы а + It и р с
Рис.2
3.
Тетраэдр DABC помещен в
прямоугольную систему координат
(рис. 3). LACB = 90°; LBAC =
= 30°; АВ=\0; DB± ABC;
плоскость ADC составляет с
плоскостью ABC угол 60°.
1) Найдите координаты вершин
тетраэдра.
2^ Найдите координаты вектора
СМ, где М — точка пересечения
медиан Д ADB, и разложите этот
вектор по векторам 7Г7*и Jt.
В пространстве заданы четыре
толчки А, В, С q О, причем
OAJ\\ -1; 2}; ОВ {3; -2; 4}
и ОС {5; — 3; 6}. Лежат ли
точки Л, В и С на одной прямой?
Рис. 3
496
4.
1. Тетраэдр DABC помещен в
прямоугольную систему координат
(рис. 4). LACD = 90°; АВ = 8;
LBAC = 60°. DB± ABC;
плоскость ADC составляет с
плоскостью ABC угол 60°.
1) Найдите координаты вершин
тетраэдра.
2^ Найдите координаты вектора
АК, где К — точка пересечения
медиан грани DBC, и разложите
этот вектор по векторам *Т7*и Jt
2. В пространстве д^ны точки А, В
и^ С, причем АВ {2; 3; — 1} и
АС {— 4; т; п}. При каких т и
п эти точки лежат на одной
прямой?
С у
Рис.4
5.
Тетраэдр DABC помещен
в прямоугольную
систему координат (рис. 5)
АВ = АС = 25; ВС = 30;
ВО = ОС. Грань ADC
составляет с плоскостью
основания угол 45°.
1) Найдите координаты
вершин тетраэдра.
2) Найдите координаты
вектора ОК, где К —
основание
перпендикуляра, опущенного из точки
О на грань ACD, и
разложите этот вектор по
векторам гТ/*и Jt
При каких значениях т
векторы а {2; — 1; 3},
^{1;3;—2} и?{ш;2; 1}
компланарны?
497

6.
1. Правильная треугольная пирамида DABC помещена в
прямоугольную систему координат (рис. 6). Сторона основания равна 2,
боковая грань наклонена к основанию под углом 60°.
1) Найдите координаты вершин пирамиды.
2) Найдите координаты вектора СЖ, где OKI. AD и разложите
этот вектор по векторам i, j и it.
2. При каких значениях у векторы m {2; — 1; 3}, /Г{3; 4; — 2} и
~р {10; у; 2} компланарны?
Рис.6
1. В прямой треугольной призме АВСА\В\С\ точки F, М и К —
соответственно середины ребер ААХ, A\B\ и ВС, а точка Е делит
ребро В\С\ в отношении 1 : 5, считая от вершины В\, LABC** 90е.
Боковые ребра призмы и катеты основания равны между собой.
Используя метод координат, установите, лежат ли точки F, М, Е
и К в одной плоскости.
2. Даны три некомпланарных вектора р" {1; — 2; 1}, <f {2; 0; — 1},
m {— 1; 1; 2}. Разложите вектор ~а {1; 2; — 2} по векторам ~р, <f
и т.
498
8.
1. В кубе ABCDAiBiCiDi точки М, Р, F и К — середины ребер AD,
A/4i, i4(J?i и CjC соответственно. Используя метод координат,
установите, лежат ли точки М, Р, F и К в одной плоскости.
2. Разложите вектор /и {1; 1; 1} по трем некомпланарным векторам
£{1;1;-2}, ff{l; — l;0} и ?{0;2;3}.
499

§ 2. Связь между координатами векторов
и координатами точек.
Простейшие задачи в координатах
1.
1. Даны два вектора ~а {— 2; 1; — 1) и ZT{1; —3; 2;}.
Найдите: | а + it\ и | а\ + \ 2F\.
2. В треугольнике ABC BM — медиана.
А (— 1; 2; 2); В (2; —2; — 6); М (1; 1; — 1).
1) Найдите координаты точки С.
2) Найдите длину стороны ВС. _^ _^ _^
3) Разложите вектор ВС по векторам i, у и к.
2.
1. Даны два вектора m {— 2; 1; — 1} и ~п{\\ 3; 2}.
Найдите: | 2т — /Г | и | 2т | — \~п\ .
2. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О.
А (1; 3; — 1); В (—2; 1; 0); О (0; 1,5; 0).
1) Найдите координаты вершин С и D.
2) Найдите длину стороны ВС.
3) Разложите вектор AD по векторам гТ /**и к*.
3.
Дан равнобедренный треугольник ABC (АС = СВ). А (1; —2; 1),
В (3; 2; — 3). Вершина С лежит на оси ординат.
Найдите площадь треугольника ABC.
Вектор а сонаправлен с вектором ZT {—2; 2; 1}.
Найдите координаты вектора ct, если | ~а | =12.
4.
1. В треугольнике ABC ВС = у!Ъ АС. А (1;— 1; 1); В (— 1; — 1; 3).
Вершина С лежит на отрицательной полуоси OZ.
Найдите длину медианы СМ.
2. Вектор т противоположно направлен вектору j? {— 1; 2; 1}.
Найдите координаты вектора т, если | т | = 3 V6.
500
5.
1. В правильной четырехугольной призме ABCDA\B\C\D\ сторона
основания равна 2, а боковое ребро — 4. Е — середина CD и
К — середина С\С. DK пересекает D,C в точке Р. Найдите
расстояние между серединой М отрезка ВХЕ и точкой Р.
2. Прямая АВ задана двумя точками А (— 1; 2; 1) и В (2; 1; — 1).
Найдите координаты точки М, лежащей на этой прямой, если
AM = 3V\A.
1. В прямой треугольной призме АВСАХВХС\ LABC = 90°, АВ - 6,
ВС - 8, ВВ\ = 8. Через вершину А и середину Р ребра 2?i J?
проведена плоскость, параллельная ВС. Найдите расстояние от центра
К описанной вокруг основания окружности до точки М
пересечения медиан сечения.
2. Прямая EF задана двумя точками Е (— 1; 2; 2) и F (2; 1; 3).
Точка Р лежит на луче, противоположном лучу EF. EP-
= 5 VlT. Найдите координаты точки Р.
7.
1. В тетраэдре DABC DB± ABC DB = 4, АВ = ВС, ВЕХ. АС, ВЕ =
= АС = 4. Точка Р равноудалена от всех вершин тетраэдра.
Найдите расстояние от точки Р до вершин тетраэдра.
2. Решите уравнение: V(jc — I)2 + у2 +z2 + Vjc2 + (у— I)2 + z2 =
= 1.
8.
1. В тетраэдре DABC AD± ABC, AD = 2, LACB = 90°, AC = CB = 4.
Точка М равноудалена от всех вершин тетраэдра. Найдите
расстояние от этой точки до вершин тетраэдра.
2. Укажите в пространственной системе координат все решения
уравнения V*2 + у2 + (z — I)2 4- V(x— 1 )2 + у2 + z2 =Ург.
501

§ 3. Угол между векторами.
Скаля • ное п • оизведение векто • ов
1.
1. Ребра правильного тетраэдра DABC равны а. К — середина ВС.
Найдите: _^
1) Sfi - А£.
2) DA • ВС.
2. В кубе ABCDAXB\C\DX M — центр грани DD^QC. Какой угол,
острый, прямой или тупой, между векторами AM и BD\!
1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD все ребра равны
а. Найдите,:
1) Щ • А£
2) МА • DB
2. В кубе ABCDAXB\C\D\ К — центр грани АА\В±В. Какой угол,
острый, прямой или тупой, между векторами А\С и KD1
3.
1. В прямом параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ все ребра равны а.
LBA£ = b%. Найдите:
1) CjD • Af,
2) BXD- AC.
2. Точки А (1; 1; 5); В (4; 7; 5); С (8; 5; 5); Z> (5; — 1; 5)
являются вершинами прямоугольника ABCD. Найдите больший угол
между диагоналями прямоугольника.
4.
1. В правильной треугольной призме АВСА\В\С\ все ребра равны а.
Р —^середина А\ВХ. Найдите:
1) QP • fi,C
2) ЛР • РСХ
2. Точки Л (14; — 8; — 1); В (7; 3; — 1); С (— 6; 4; — 1);
Z) (1; —7;—1) являются вершинами ромба ABCD.
Найдите острый угол ромба.
502
5.
1. Вектор "а образует с векторами Ги ^соответственно углы в 120°
и 135°. Найдите угол между векторами <ан]Т
2. В кубе ABCDA\B\C\DX M — центр грани АА\В\В\ К — середина
AD. Найдите площадь треугольника МСХК, если ребро куба
равно 1.
1. Вектор т образует с векторами 1*и 7*УГЛЫ п0 60°. Найдите угол,
который образует этот вектор с вектором Jt.
2. В кубе ABCDAXB\C\D\ Е — середина А4,, a F — центр грани
DD\C\C. Найдите площадь треугольника EB\F, если ребро куба
равно 1.
1. В основании пирамиды MABCD, помещенной в прямугольную
систему координат, лежит ромб ABCD. А (—3; 10; — 5);
С (3; 4; 1), М (5; 8; — 3). LMAD- LMAB. Найдите высоту
пирамиды.
2. Используя скалярное произведение векторов, найдите наибольшее
значение выражения vsin2 х + 0,5 + Vcos2 х — 0,5 + V0,5. При
каком значении х оно достигается?
1. В тетраэдре DABC, помещенном в прямоугольную систему
координат, основанием служит равнобедренный треугольник ABC.
АВ""АС. Высоты граней ADC и ADB, проведенные из вершины
Z), равны между собой. А (1; 0; — 2); D (2; — 1; 1); К (0; 1; — 1)
— середина ВС. Найдите высоту пирамиды.
2. Используя скалярное произведение векторов, найдите наибольшее
значение суммы Vl + х + Vl — х + 1. При каком х это значение
суммы достигается?
503

§ 4. Вычисление углов между прямыми
в пространстве
1.
| а | = V 2; | ZT| = 1; afr= 135°. Найдите угол между векторами
а + ^и ~а—2 Zt
В тетраэдре DABC основанием служит равнобедренный
треугольник ABC. АВ = AC. LDAC = LDAB. Используя векторы, докажите,
что AD± ВС.
2.
1. | а | = 2; | ?Г| = 1. "аЙ= 120°. Найдите угол между векторами
"а — ^и "а+ 2Zt
2. В параллелепипеде ABCDAXB\C\D\ основанием служит ромб
ABCD. LAXAD= LA\AB. Используя векторы, докажите, что
BD± ААХ.
3.
1. В тетраэдре BACJD LBpC =_£BDA. = LQCA = 90°. BC = 3; AC = 4.
Найдите сумму АВ ■ АС + ВС • ВА + СА ■ СВ.
2. В прямой треугольной призме АВСА\ВХС\ основанием служит
равнобедренный треугольник ABC. AC = CB = a. LACB= 120°.
АА\ — а. Ей F — середины соответственно ребер СА и ВВ\.
Найдите: 1) длину EF,
2) угол между прямыми EF и ААХ.
4.
1. В пирамиде РНКМ ре£ро РМ является ^ысотс^й. LPKH = 90°.
Найдите сумму МН • МК + НК • ИМ + КМ • КН, если МК = 6;
КН = 8.
2. В тетраэдре МАВС МС± АСВ; LACB= 135°; АС = а ^2\ ВС =
- МС = а; Е и F — середины соответственно ребер С А и ВМ.
Найдите:
1) длину EF\
2) угол между прямыми EF и СМ.
504
5.
1. В прямой треугольной призме АВСА\В\С\ основанием служит
равнобедренный треугольник ABC (АВ = ВС). BDL AC. BD =
= АС = 4. ВВ\ = 2. Через середину диагонали Вх С боковой грани
перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите угол между
прямой АВ\ и этой плоскостью.
2. В тетраэдре ABDC BD = BC = BA; LABD= £АВС = Ь0°; LCBD =
= 90°. Используя векторы, докажите, что плоскости DAC и DBC
перпендикулярны.
1. В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник
ABC (ZC = 90°), BD± ABC, AC = CB=l, BD = 2. Через середину
ребра DC перпендикулярно к нему проведена плоскость. Найдите
угол между AD и этой плоскостью.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\BXC\DX АВ = 2, ВС =
= АА\ = 1. Докажите, что диагональ BD\ не перпендикулярна
плоскости A\C\D.
1. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник
ABC (LC = 90°), AC = 3, ВС = 5. Ребро AM перпендикулярно
стороне основания AC. AM = 4, MB = Найдите высоту
пирамиды.
2. В тетраэдре DABC углы ADB, ADC и BDC — тупые. AD = BD =
= CD. Докажите, что треугольник ABC остроугольный.
8.
1. В тетраэдре DABC DB = DC = CB = AC = 3 VI. AD = 3, LACB =
= 90°. Найдите высоту пирамиды, опущенную из вершины D.
2. В пирамиде MEFKP плоские углы при вершине М равны а.
Вычислите угол /3 при вершине диагонального сечения ЕМК.
505

£ 5. i вижения
l.
1. Найдите координаты точек, в которые переходит точка
А (100; 200; 1) при:
а) центральной симметрии относительно начала координат;
б) зеркальной симметрии относительно плоскости OXY.
2. Докажите, что при движении треугольник отображается на равный
ему треугольник.
2.
1. Найдите координаты точек, в которые переходит точка
В (0,01; 0,02; — 1) при:
а) осевой симметрии относительно оси OZ;
б) параллельном переносе на вектор jif {0,09; 0,08; 1}.
2. Докажите, что при движении угол отображается на равный ему
угол.
3.
1. а) Докажите, что точки А (1; 2; 3) и В (— 1; — 2; — 3)
симметричны относительно начала координат.
б) Докажите, что точки В (3; — 4; 5) и С (3; 4; 5) симметричны
относительно плоскости OXZ.
2. Докажите, что при движении двугранный угол отображается на
равный ему двугранный угол.
4.
1. а). Пусть при параллельном переносе на вектор ~р точка
А (1; 2; 3) переходит в В (4; 5; 6). Найдите координаты р!
б) Докажите, что точки А (5; 6; 7) и В (— 5; 6; — 7)
симметричны относительно оси OY.
2. Докажите, что при движении прямая и плоскость, составляющие
угол tp, отображаются на прямую и плоскость, составляющие угол
<р.
506
5.
1. Прямая а содержит биссектрису угла, образованного
координатными осями ОХ и О У. Найдите координаты точки А\, в которую
переходит точка Л (10; 20; 0) при осевой симметрии относительно
прямой а.
2. Является ли движением отображение пространства на себя, при
котором любая точка с координатами (х; у, z) переходит в точку
с координатами (2х; 2у; 2z)?
1. Плоскость а содержит ось ОХ и биссектрису угла, образованного
осями OZ и О У. Найдите координаты точки, в которую переходит
точка В (0; 20; 10) при зеркальной симметрии относительно
плоскости а.
2. Является ли движение отображением пространства на себя, при
котором любая точка с координатами Ос; у; z) переходит в точку
Ос — 5;>> + 3;z — 7)?
1. Пусть т\ тл тг — пересекающиеся перпендикулярные прямые.
Докажите, что композиция симметрии относительно этих прямых
есть симметрия относительно прямой, которая перпендикулярна
этим прямым.
2. Является ли движением отображение пространства на себя, при
котором любая точка с координатами (jc; у; z) переходит в точку
(— х + 2; — у —3; — z +1). Если да, то каким образом может
быть получена такая точка?
8.
1. Докажите, что композиция трех центральных симметрии
относительно точек А у В и С (точки не лежат на одной прямой) есть
центральная симметрия относительно точки D, являющейся
вершиной параллелограмма ABCD.
2. Является ли движением отображение пространства на себя, при
котором любая точка с координатами (jc; у; z) переходит в точку
(х — 1; — у — 2; z + 1). Если да, то каким образом может быть
получена такая точка?
507

§ 6. Применение движений пространства
к решению задач
1.
1) Докажите, что при движении прямая, перпендикулярная
плоскости, отображается на прямую, перпендикулярную плоскости.
2) Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что если одна из
двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и
другая перпендикулярна этой плоскости.
2.
1) Докажите, что при движении плоскость, перпендикулярная
прямой, отображается на плоскость, перпендикулярную прямой.
2) Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что если одна из
двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, то и
другая плоскость перпендикулярна этой прямой.
3.
1) Докажите, что прямая, содержащая высоту правильной
четырехугольной пирамиды, является ее осью симметрии.
2) Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что любое сечение
правильной четырехугольной пирамиды, содержащее ее высоту,
является равнобедренным треугольником.
4.
1) Докажите, что прямая, содержащая точки пересечения
диагоналей противоположных граней прямоугольного параллелепипеда,
являются его осью симметрии.
2) Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что любое сечение
прямоугольного параллелепипеда плоскостью, содержащей точки
пересечения диагоналей противоположных граней, является
прямоугольником.
508
5.
1) Докажите, что прямая, содержащая середины противоположных
ребер правильного тетраэдра, является его осью симметрии.
2) Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что каждая
плоскость, проведенная через середины противоположных ребер
правильного тетраэдра, делит этот тетраэдр на две равные части.
1) Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда
является его центром симметрии.
2) Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что каждая
плоскость, проведенная через точку пересечения диагоналей
параллелепипеда, делит его на равные части.
1. Даны осевые симметрии Sp и Sq пространства, р и q — оси
симметрии, которые не совпадают. Sq-Sp и Sp'Sq — композиции
этих симметрии. Докажите, что если 5q-Sp = Sp-Sq, то р и q —
пересекающиеся прямые.
2. На данной прямой / найдите точку, симметричную данной точке
А относительно точки, лежащей в плоскости а (/ пересекает
плоскость в точке М).
8.
1. Докажите, что биссектриса линейного угла двугранного угла
является осью симметрии двугранного угла.
2. Из вершины параллелепипеда проведены три диагонали его
граней. На этих отрезках, как на ребрах, построен параллелепипед.
Докажите, что противоположная вершина данного
параллелепипеда служит центром симметрии построенного.
509

^^^^^^
1. Через образующую цилиндра проведено два сечения, из которых
одно — осевое с площадью, равной S. Угол между плоскостями
сечений равен 30°. Найдите площадь второго сечения.
2. В правильную треугольную призму вписан цилиндр. Найдите
площадь его поверхности, если сторона основания призмы равна 2V3, а
высота — 3.
1. Через образующую цилиндра проведено два сечения, из которых
одно осевое. Площадь меньшего из сечений равна Q. Угол между
плоскостями сечений равен 60°. Найдите площадь осевого сечения.
2. Вокруг правильной треугольной призмы описан цилиндр. Найдите
площадь поверхности цилиндра, если высота призмы равна 4, а
высота основания призмы — 6.
1. Диагональ развертки боковой поверхности цилиндра составляет со
стороной основания развертки угол <р. Найдите угол между
диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания.
2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна 10, боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. В
эту пирамиду вписан цилиндр, одно основание которого лежит в
плоскости основания пирамиды, а окружность верхнего основания
касается боковой поверхности пирамиды. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра, если радиус основания равен 2.
1. Угол между диагоналями осевого сечения цилиндра и плоскостью
его основания равен а. Найдите угол между диагональю
развертки его боковой поверхности и стороной основания развертки.
2. В правильную треугольную пирамиду вписан цилиндр, нижнее
основание которого лежит в плоскости основания пирамиды, а
окружность верхнего основания касается боковой поверхности
пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если
сторона основания пирамиды равна 8 V3, а высота цилиндра —
2. Боковые грани пирамиды составляют с плоскостью основания
угол 45°.
510
5.
1. В цилиндр, высота которого равна а, вписан прямоугольник, у
которого одна сторона равна а, а вторая наклонена к плоскости
основания цилиндра под углом в 60°. Зная, что вершины
прямоугольника находятся на окружностях оснований цилиндра,
найдите площадь осевого сечения цилиндра.
2. Все ребра правильной треугольной призмы равны по а; боковые
ребра ее являются осями цилиндрических поверхностей радиуса а.
Найдите площадь боковой поверхности тела, ограниченного
указанными цилиндрическими поверхностями и плоскостями
оснований призмы.
1. Вершины прямоугольника лежат на окружностях оснований
цилиндра. Стороны прямоугольника относятся как 1 : 2, причем
меньшие стороны лежат в плоскостях оснований. Высота цилиндра
равна 5, а радиус основания — 2 V5. Плоскость прямоугольника
пересекает ось цилиндра. Найдите площадь прямоугольника.
2. Все ребра правильной треугольной призмы равны а. Боковые
ребра ее являются осями цилиндрических поверхностей радиуса
ту. Найдите площадь боковой поверхности тела, ограниченного
указанными цилиндрическими поверхностями, плоскостями
оснований призмы и лежащего внутри призмы.
1. ABCD и EFKL — два взаимно перпендикулярных осевых сечения
цилиндра, причем AD и EL — диаметры одного основания. М —
середина образующей АВ. МЫ. АС. Площадь осевого сечения
равна 4. Найти площадь поверхности цилиндра.
2. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сторона
основания равна а, а боковые грани наклонены к плоскости основания
под углом <р - arctg 2. В эту пирамиду вписан равносторонний
цилиндр (осевое сечение — квадрат), у которого одна образующая
принадлежит плоскости основания, а окружности оснований
касаются апофем граней АМВ и DMC. Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра.
511

8.
1 ABCD и EFKL — два взаимно перпендикулярных осевых сечений
' цилиндра, причем AD и EL — диаметры одного основания. М -
середина FA, л N - середина AL, MJV = V17. Площадь осевого
сечения равна 16. Найдите площадь поверхности цилиндра.
2 Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна
а Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом
60° В эту пирамиду вписан цилиндр, боковая поверхность
которого касается пирамиды, а окружности оснований — боковых
граней причем образующая цилиндра расположена на диагонали
основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если
его высота равна h.
512
§ 8. Конус, усеченный конус
1. В конусе через его вершину проведена плоскость, пересекающая
основание по хорде, длина которой равна а и стягивающей дугу
90°. Наибольший угол между образующими конуса равен 60°.
Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2. Длины окружностей оснований усеченного конуса равны 4 я и
10 я. Высота конуса равна 4. Найдите площадь поверхности
усеченного конуса.
1. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая
основание по хорде, длина которой равна т. Угол между образующими
в сечении прямой, а наибольший угол между образующими конуса
120°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2. Найдите радиусы основания усеченного конуса, если его боковая
поверхность равна 208 я, образующая — 13, а высота — 5.
3.
1. Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен
120°. Площадь боковой поверхности равна 12 я. Найдите площадь
осевого сечения конуса.
2. Образующая усеченного конуса равна / и составляет с плоскостью
основания угол а. Диагональ его осевого сечения перпендикулярна
образующей. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
1. Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен
240°. Высота конуса — 5 V5. Найдите площадь боковой
поверхности конуса.
2. Образующая усеченного конуса составляет с плоскостью нижнего
основания угол <р. Диагональ его осевого сечения перпендикулярна
образующей конуса. Сумма длин окружностей оснований равна
In т. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
17 3ивБ. Г.
513

5.
1. Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса
равен 270°. Через вершину конуса проведено сечение наибольшей
площади. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью
основания.
2. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная
основанию. Площади полных поверхностей частей конуса, которые
при этом образовались, относятся как 3:11. Найдите угол между
образующей конуса и плоскостью основания.
6.
1. Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен
200°. Через вершину конуса проведено сечение наибольшей
площади. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью
основания.
2. Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 1 : 2. Через
середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная
основаниям, которая делит конус на части, полные поверхности которых
относятся как 23 : 39. Найдите угол наклона образующей к
плоскости основания.
7.
1. Точки А (1; 2; — 2); В (4; 2; — 2); С (3; 4; — 2) лежат на
окружности основания конуса, высота которого равна 3. Конус
пересекает плоскость z = 0. Найдите площадь сечения конуса этой
плоскостью, координаты вершины конуса и площадь боковой
поверхности конуса.
2. Диагонали осевого сечения усеченного конуса взаимно
перпендикулярны. Площадь боковой поверхности усеченного конуса относится
к площади боковой поверхности конуса, образующей которого
служит диагональ сечения, а радиусом основания его высота, как
Vo": 3. Найдите угол наклона образующей к плоскости основания.
8.
1. Точки А (1; — 1; 2); В (— 2; — 1; 2); С (— 2; 3; 2) лежат на
окружности основания конуса. Точка М (0; -~; 6) лежит на его боковой
поверхности. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2. Образующая усеченного конуса равна 1, диагонали осевого
сечения взаимно перпендикулярны. Площадь полной поверхности
конуса равна у (VJ+1). Найдите угол наклона образующей к
плоскости основания.
§ 9. Площадь поверхности тел вращения.
Комбинации конуса с многогранниками
1. Прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 и 4,
вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найдите площадь
поверхности тела вращения.
2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а,
а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом
45°. Найдите площадь боковой поверхности, вписанного в
пирамиду конуса.
1. Равнобедренный треугольник, у которого основание равно 4V3,
а угол при вершине 120°, вращается вокруг прямой, содержащей
основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.
2. Вокруг правильной треугольной пирамиды описан конус. Найдите
площадь боковой поверхности конуса, если сторона основания
пирамиды равна а, а боковые ребра наклонены к основанию под
углом 30°.
3.
1. В прямоугольной трапеции ABCD (ВС и AD — основания) LBAD
- 90°; ВС = АВ = a; AD = 2а. Найдите площадь поверхности тела,
образованного при вращении этой трапеции вокруг прямой,
содержащей основание трапеции AD.
2. В основании пирамиды DABC лежит равнобедренный треугольник
ABC, у которого АС = АВ = a, LBAC = а. Вокруг пирамиды описан
конус. Найдите площадь его боковой поверхности, если LDAC =
= /*•
1. Диагонали ромба равны 6 и 8. Этот ромб вращается вокруг
прямой, содержащей одну из его сторон. Найдите площадь
поверхности полученного тела.
2. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник,
боковая сторона которого равна а, угол при основании а. Боковые
грани пирамиды наклонены к основанию под углом <р. Найдите
площадь боковой поверхности вписанного в пирамиду конуса.
515

5.
6.
1.
7.
1.
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна а, а угол
при вершине равен 120°. Треугольник вращается вокруг прямой,
проходящей через вершину треугольника, которая параллельна
биссектрисе угла при основании. Найдите площадь поверхности
тела вращения.
В правильной пятиугольной пирамиде боковые ребра наклонены к
плоскости основания под углом уз. Образующая вписанного в
пирамиду конуса равна т. Найдите площадь осевого сечения конуса.
Периметр параллелограмма равен Я, а диагональ — d.
Параллелограмм вращается вокруг оси, проходящей через вершину
параллелограмма и перпендикулярной его диагонали. Найдите
площадь поверхности тела вращения.
В правильной пятиугольной пирамиде угол наклона боковой грани к
плоскости основания равен <р, образующая описанного около
пирамиды конуса равна /. Найдите площадь осевого сечения конуса.
На рис. 7 изображена 8-звеньевая ломаная линия, все звенья
которой равны а, а угол между звеньями а. Найдите площадь
поверхности, которая образуется при вращении этой ломаной
вокруг оси /.
Все ребра правильной треугольной призмы равны а. Четыре
вершины призмы лежат в плоскости основания конуса, а две другие
— на его боковой поверхности. Образующая конуса составляет с
плоскостью основания угол <р. Найдите площадь осевого сечения
конуса и ее наименьшее возможное значение. При каком значении
угла <р это достигается?
Рис.7
8.
1. На рис. 8 изображено три квадрата со стороной, равной а. Найдите
площадь поверхности, которая образуется при вращении этой
фигуры вокруг оси /.
2. Правильная треугольная призма, все ребра которой равны а,
вписана в конус, причем три ее вершины лежат на боковой
поверхности конуса, а три — в плоскости основания. Образующая
конуса составляет с плоскостью основания угол <р. Найдите
площадь осевого сечения конуса и ее наименьшее значение. При
каком значении <р оно достигается?
Рис.8
517

§ 10. Уравнение сферы. Взаимное расположение
сферы и плоскости
1.
1. Точка А (0; V2; V5) лежит на сфере с центром О (3; 0; 0).
а) Напишите уравнение сферы.
б) Принадлежат ли этой сфере точки с координатами
(5; 0; 2 V3); (4; - 1; 0)?
2. Вершины прямоугольного треугольника с катетами 15 и V351
лежат на сфере. Найдите радиус сферы, если расстояние от центра
сферы до плоскости треугольника равно 5.
2.
1. Центр сферы имеет координаты (0; 0; 4). Сфера проходит через
точку (2^2; 0; 5).
1) Напишите уравнение сферы.
2) Принадлежат ли сфере точки с координатами (3; 1; 5);
(0; у/5; 6)?
2. Все стороны квадрата касаются сферы. Диагональ квадрата равна
10 \П. Найдите радиус сферы, если расстояние от центра сферы до
плоскости квадрата равно 12.
3.
1. Составьте уравнение сферы, радиус которой равен 2, если
известно, что центр сферы лежит в плоскости OXZ, а сама сфера
проходит через начало координат и точку А (1; 1; 0).
2. Сторона ромба равна а, острый угол в ромбе а. Все стороны ромба
касаются шара, площадь большего круга которого равна -о-.
Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба.
4.
1. Составьте уравнение сферы с радиусом, равным 3, если известно,
что центр сферы лежит на оси OZ и сфера проходит через точку
К (—2; —2; 1).
2. Точки Л, В и С лежат на поверхности шара. Хорды АВ и ВС
равны а, угол между ними а. На каком расстоянии от центра
шара находится плоскость ABC, если площадь большего круга
Tta2
шара равна —~-.
518
5.
1. Дана сфера х2 + у2 + z2=4 и на ней точка А (\П; \П\ z). Через
точки А и В (-уП \2уП ;уП ) проведена прямая. Найдите
координаты точек пересечения этой прямой и сферы.
2. Плоскость проходит через точки А (3;0;0); /*(0;4;0);
С (0; 0; 1). Пересекает ли эта плоскость сферу
х2
+ у2 + z — 9]= = Тап- Если да, то найдите длину линии
пересечения.
6.
1. Прямая задана точками А (1; 2; — 1) и В (3; 0; 2). Найдите ко
низ
17
2
ординаты точек пересечения прямой АВ со сферой (х—1) +
+ (у-2) 2 + (z+ 1)2= 4.
Плоскость проходит через точки А (2;0;0); В (0;0;3);
С (0; 1; 0). Выясните взаимное положение сферы х2 +
+ \У — т] + z2 = R2 и плоскости ABC в зависимости от R.
7.
1. Сферы х2 + у2 + z2 — 2x+2z — 2 = 0 и х2 + у2 + z2 +
+ 2 х — 2 у — 2z —6 = 0 пересекаются. Найдите длину линии
пересечения этих сфер.
2. Найдите множество точек, расположенных вдвое ближе к точке
А (2; 0; 0), чем к точке В (— 4; 0; 0).
8.
1. Даны две сферы х2 + у2 + z2 — 2х — 4у — 20 = 0 и сфера с
центром в точке 02 (2; 4; 2). Они пересекаются по окружности, длина
которой равна 2 п у[2\. Найдите уравнение второй сферы.
2. Найдите множество точек, расположенный вдвое ближе к точке
М (0; 2; 0), чем к точке Р (0; 4; 0).
519

v 11. CHI.
1. Линия пересечения сферы и плоскости, удаленной от центра
сферы на 8, имеет длину 12 я. Найдите площадь поверхности
сферы.
2. Плоскость пересекает шар. Диаметр, проведенный в одну из точек
линии пересечения, составляет с плоскостью угол 45°. Найдите
площадь сечения, если диаметр шара, равен 4 V3.
1. Сечение шара плоскостью, удаленной от его центра на 12, имеет
площадь 25 я. Определите площадь поверхности шара.
2. Плоскость пересекает сферу. Диаметр сферы, проведенный в одну
из точек линии пересечения, имеет длину 4 v2 и составляет с
плоскостью угол 45°. Найдите длину линии пересечения.
1. Сечения шара двумя параллельными плоскостями, между
которыми лежит центр шара, имеют площади 144 л: и 25 я. Найдите
площадь поверхности шара, если расстояние между
параллельными плоскостями равно 17.
2. Через точку, не лежащую на сфере, проведены две плоскости,
касающиеся сферы. Найдите расстояние от центра сферы до линии
пересечения плоскостей, если угол между плоскостями равен 60°,
а площадь сферы 32 я.
1. Сечения сферы двумя параллельными плоскостями имеют длины
10 я и 24 я. Найдите площадь сферы, если расстояние между
плоскостями равно 7 и центры сечений лежат на одном радиусе.
2. Через точку на поверхности шара проведены две плоскости,
пересекающие его. Обе плоскости удалены от центра сферы на
расстояние 2v3, угол между ними равен 60°. Найдите площадь
получившихся сечений.
520
5.
1. Два взаимно перпендикулярных сечения шара имеют общую
хорду длиной 12. Зная, что площади этих сечений 100 я и 64 я,
найдите радиус шара.
2. Конус, осевое сечение которого прямоугольный треугольник, и по-
лушар с радиусом R имеют общее основание. Параллельно
основанию полушара проведена плоскость. Найдите расстояние от
проведенной плоскости до центра полушара так, чтобы площадь кольца,
которое образовалось при пересечении полушара и конуса с этой
плоскостью, была наибольшей.
1. Площадь большего круга шара равна 50 я. Два взаимно
перпендикулярных сечения шара имеют общую хорду длиной 6. Найдите
расстояние от центра шара до плоскостей сечений, если площадь
одного из них 25 я.
2. Полушар пересечен плоскостью, параллельной основанию.
Получившееся сечение служит верхним основанием цилиндра,
нижнее основание которого лежит в плоскости основания полушара.
Найдите расстояние от плоскости сечения до центра полушара
так, чтобы площадь боковой поверхности цилиндра была
наибольшей.
1. Из точки поверхности шара проведены три равные хорды под
углом а одна к другой. Найдите их длину, если радиус шара равен
R.
2. Из одной точки сферы проведены три попарно перпендикулярные
хорды длиной а, Ь и с. Найдите площадь сферы.
8.
1. Четыре шара радиуса R расположены так, что каждый шар
касается трех других. Найдите радиус сферы, которая внутренним
образом касается данных шаров.
2. Шар касается всех ребер тетраэдра. Сравните суммы длин
скрещивающихся ребер тетраэдра.
521

§12. Комбинация сферы с другими
геометрическими телами
1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3,
а боковые ребра наклонены к основанию под углом 60°. Найдите
радиус описанной вокруг пирамиды сферы.
2. В правильную четырехугольную призму вписана сфера. Найдите
отношение площади полной поверхности призмы к площади
сферы.
1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4,
а боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Найдите
радиус вписанной в эту пирамиду сферы.
2. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 2,
а боковое ребро — 2 v2. Найдите площадь описанной около
призмы сферы.
1. В основании пирамиды лежит треугольник, одна из сторон
которого равна 4, а противолежащий ей угол равен 30°. Боковые ребра
пирамиды равны 5. Найдите расстояние от центра описанного
около пирамиды шара до плоскости основания.
2. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб с острым
углом а. В этот параллелепипед вписан шар. Найдите угол между
большей диагональю параллелепипеда и плоскостью основания.
1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, катеты
которого равны 3 и 4. Вершина пирамиды удалена от каждой
стороны основания на расстояние, равное 3. Найдите радиус
вписанного в пирамиду шара.
2. В основании прямой призмы лежит треугольник со стороной,
равной 5. Угол, лежащий против этой стороны, равен 150°. Высота
призмы равна 24. Найдите площадь описанной около призмы
сферы.
522
5.
1. В шар с радиусом R вписана пирамида, в основании которой лежит
квадрат. Одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости
основания, а наибольшее боковое ребро образует с ней угол 30°.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2. Около шара описана правильная треугольная усеченная пирамида,
стороны основания которой равны а и Ь. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а.
Поверхность вписанного в пирамиду шара делит высоту пирамиды
пополам. Найдите боковое ребро пирамиды.
2. В шар с радиусом R вписана правильная шестиугольная призма.
Радиус, проведенный в вершину призмы, образует с плоскостью
боковой грани угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности
призмы.
1. Все ребра четырехугольной пирамиды равны по а. Высота
пирамиды является диаметром шара. Найдите длину линии
пересечения поверхностей этих тел.
2. В куб с ребром, равным а, вписан шар. Затем в один из
трехгранных углов при вершине куба вписан второй шар, касающийся
первого шара. Найдите радиус второго шара.
8.
1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а.
Боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Высота
пирамиды является диаметром шара. Найдите длину линии
пересечения поверхностей этих тел.
2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а,
двугранный угол при основании пирамиды 60°. В пирамиду
вписаны три равных шара, каждый из которых касается двух других
шаров, плоскости основания и одной из боковых граней пирамиды.
Зная, что точки касания шаров с основанием лежат на апофемах
основания, найдите радиус шара.
523

§ 13. Объем .прямоугольного параллелепипеда
1.
1. Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как
2:3:4. Диагональ параллелепипеда равна V29. Найдите его
объем.
2. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник
с углом 30°. Расстояние от бокового ребра, проходящего через
вершину прямого угла, до противолежащей боковой грани равно
боковому ребру и равно 6. Найдите объем призмы.
2.
1. Стороны оснований и диагональ прямоугольного параллелепипеда
относятся как 1:2:3. Длина бокового ребра равна 4. Найдите
объем параллелепипеда.
2. В основании прямой призмы лежит равнобедренный
прямоугольный треугольник. Диагональ большей боковой грани равна 12 и
составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем
призмы.
3.
1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат.
Диагональ параллелепипеда равна d и составляет с боковой гранью
угол 30°. Найдите его объем.
2. Основанием прямой призмы АВСА\В\С\ служит прямоугольный
треугольник ABC (С - 90°). АС - 4; С - 2 V3; LAB\C - 30°.
Найдите объем призмы.
4.
1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат со
стороной а. Диагональ параллелепипеда составляет с боковой
гранью угол в 30°. Найдите объем параллелепипеда.
2. Основанием прямой призмы АВСА\В\С\ служит прямоугольный
треугольник ABC (LC = 90°). AC = 5. Плоскость АВ\С составляет
с плоскостью основания угол 45°. Расстояние от вершины В до
этой плоскости равно 2 V2. Найдите объем призмы.
524
5.
1. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 и
8. Через диагональ основания проведена плоскость, параллельная
диагонали параллелепипеда. Эта плоскость составляет с
плоскостью основания угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.
2. Основанием прямой призмы АВСА\ВХС\ служит прямоугольный
треугольник ABC (t-C = 90°); АС - ВС = а. Диагональ боковой
грани В\С составляет с плоскостью грани АА\В\В угол а. Найдите
объем призмы.
6.
1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ А8 = 6; ВС =
=-т-г. Через диагональ основания и вершину В\ проведена
плоскость, удаленная от вершины В на расстояние, равное 2,4.
Найдите объем параллелепипеда.
2. В прямой призме АВСА\В\С\ основанием служит прямоугольный
треугольник ABC (LC = 90°); LABC =/9. Через диагональ боковой
грани В\С проведена плоскость, перпендикулярная грани ААХВ\В
и составляющая с плоскостью основания угол а. Высота призмы
равна А. Найдите объем призмы.
7.
1. Стороны АВ и ВС основания прямоугольного параллелепипеда
ABCDA\B\C\D\ равны соответственно 6 и 8. Через середины
сторон AD и CD и вершину В, проведена плоскость, составляющая
с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем
параллелепипеда.
2. Основанием прямой призмы АВСА\В\С\ служит прямоугольный
треугольник ABC (Z.C = 90°). ВС = 4; ВВ\ =3. Угол между диа-
3\^2~
гоналями граней АС\ и СВХ равен arccos .„ . Найдите объем
призмы.
525

8.
1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX АВ = 5, ВС =
= 12. Через диагональ параллелепипеда BXD параллельно
диагонали основания АС проведена плоскость, составляющая с
плоскостью основания угол в 60°. Найдите объем параллелепипеда.
2. Основанием прямой призмы АВСАХВХСХ служит прямоугольный
треугольник ABC (LC = 90°). АС = 3; СВ = Ь. М — точка
пересечения медиан треугольника ABC, a P — центр симметрии грани
ССХВХВ. Прямая MP составляет с плоскостью грани ААХСХС угол
arcsin yj. Найдите объем призмы.
526
§ 14. Объем прямой призмы и цилиндра
1. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами
10, 10 и 12. Через большую сторону нижнего основания и середину
противоположного бокового ребра проведена плоскость под углом
60° к плоскости основания. Найдите объем призмы.
2. Сечение цилиндра, параллельное его оси, отсекает от окружности
основания дугу 120°. Радиус основания цилиндра равен R, а угол
между диагональю сечения и осью цилиндра равен 30°. Найдите
объем цилиндра.
1. Основанием прямой призмы АВСАХВХСХ служит треугольник ABC,
у которого АВ = ВС = 10; L ABC - 30°. Через ребро ААХ проведена
плоскость, перпендикулярная к грани ССХВХВ. Диагональ сечения
составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем
призмы.
2. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отстоит от нее на
расстояние, равное 15. Диагональ получившегося сечения равна 20,
а радиус основания цилиндра — 17. Найдите объем цилиндра.
3.
1. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали
которого равны 6 и 8. Плоскость сечения, проходящего через два
противоположных ребра верхнего и нижнего оснований,
составляет с основанием угол 60°. Найдите объем палаллелепипеда.
2. Радиус основания конуса равен 4, а его высота — 10. В этот конус
вписан цилиндр так, что его верхнее основание касается боковой
поверхности конуса, а нижнее лежит в плоскости его основания.
Осевое сечение цилиндра — квадрат. Найдите объем цилиндра.
1. Основанием прямого параллелепипеда ABCDAX Вх Сх Dx служит
параллелограмм ABCD. BD - 6; LABD = 90°; LBDA - 30°. Плоскость
сечения, проходящая через большие два ребра оснований,
составляет с основанием угол 30°. Найдите объем параллелепипеда.
2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна 8, а ее высота — 16. В эту пирамиду вписан цилиндр так,
что окружность верхнего основания касается боковой поверхности
пирамиды, а нижнее основание лежит в плоскости ее основания.
Осевое сечение цилиндра — квадрат. Найдите объем цилиндра.
527

5.
1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFAXBXCXDXEXFX
диагонали BXF и ВХЕ равны соответственно 24 и 25. Найдите объем
призмы.
2. Сечение, параллельное оси цилиндра, отсекает от окружности
основания дугу 120°. Найдите отношение объемов частей, на
которые эта плоскость разделила цилиндр.
1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFAXBXCXDXEXFX
С[£' = 3, £FCXE ^arctg -т?. Найдите объем призмы.
о
2. Сечение, параллельное оси цилиндра, отсекает от окружности
основания дугу 60е. Найдите отношение объемов частей, на
которые эта плоскость разделила цилиндр.
1. Около куба описана призма так, что все вершины куба являются
серединами сторон оснований призмы. Основанием призмы служит
трапеция, основания которой равны а и Ь. Найдите объем призмы.
2. Корыто полуцилиндрической формы наполнено до краев
жидкостью. Скольно процентов жидкости выльется, если корыто
наклонить на 30° так, чтобы образующие цилиндра оставались
горизонтальными.
8.
1. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы равна
Q. Через боковое ребро проведено сечение, которое разделило
призму на части, объемы которых относятся как 1:3. Найдите
площадь сечения.
2. Две образующие цилиндра с квадратным осевым сечением лежат
на основаниях другого цилиндра, а окружности его оснований
касаются боковой поверхности другого цилиндра. Найдите
отношение объемов этих цилиндров.
§15.Объем наклонной призмы
1. Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник.
Одна из боковых граней является ромбом с диагоналями, равными
6 и 8. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 60°.
Найдите объем призмы.
2. В наклонном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ боковое ребро равно
10. Расстояние между ребром АА\ и ребрами ВВ\ и DD\
соответственно равно 5 и 12, а расстояние между АА\ и СС\ равно 13. Найдите
объем параллелепипеда.
1. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб, одна из
диагоналей которого равна 6. Диагональ одной из боковых граней
равна 5 V3 и перпендикулярна к плоскости основания. Боковые
ребра наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите
объем параллелепипеда.
2. В наклонной треугольной призме АВСА\В\С\ боковое ребро равно
10, расстояния от ребра АА\ до ребер CCi и ВВ\ равны 13, а
расстояние от АА\ до противолежащей боковой грани — 5. Найдите объем
призмы.
1. Основанием наклонной призмы АВСАХВХСХ служит правильный
треугольник ABC. LAXAC = /.АХАВ = 60". Сторона основания
равна а, а боковое ребро — Ь. Найдите объем призмы.
2. В наклонном параллелепипеде боковое ребро наклонено к
основанию под углом 60°. Высота параллелепипеда равна 5 V3.
Площади двух смежных боковых граней равны 40 и 60. Угол между
ними равен 45°. Найдите объем параллелепипеда.
1. Основанием наклонного параллелепипеда служит прямоугольник
со сторонами, равными а и Ь. Боковое ребро, равное с, составляет
с прилежащими сторонами основания угол 60е. Найдите объем
параллелепипеда.
2. В наклонной треугольной призме высота равна 10 V2, а боковые
ребра составляют с плоскостью основания угол 45°. Площади двух
граней равны 100 и 200, а угол между ними 120°. Найдите объем
призмы.
529

5.
1. Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник.
Все ребра призмы равны между собой. Одно из боковых ребер
составляет с прилежащими сторонами основания угол 45°.
Площадь боковой поверхности призмы равна 4(l+v2). Найдите
объем призмы.
2. В наклонной треугольной призме расстояние от бокового ребра
до диагонали противолежащей боковой грани равно 5, а площадь
этой грани 40. Найдите объем призмы.
6.
1. Основанием наклонной призмы АВСАХВХСХ служит
прямоугольный треугольник ABC (Z.C = 90°). Плоскость грани ААХСХС
перпендикулярна плоскости основания. Боковое ребро призмы
наклонено к основанию под углом 60е и равно катетам основания.
Площадь боковой поверхности призмы равна 2(v7+v3+2).
Найдите объем призмы.
2. В наклонной треугольной призме угол между боковым ребром и
скрещивающимся с ним стороной основания равен 45°. Длина этой
стороны равна 6, а расстояние от бокового ребра до боковой грани,
содержащей эту сторону, равно 4. Длина бокового ребра равна 5.
Найдите объем призмы.
1. Основанием наклонной треугольной призмы АВСАХВХСХ служит
правильный треугольник ABC со стороной, равной а. Боковое
ребро равно b. LAXAC = 60°; LAXAB = 45°. Найдите объем призмы.
2. В наклонной четырехугольной призме ABCDA\B\C\D\ основанием
служит четырехугольник ABCD, у которого АС = 5; BD - 4 и
АС± BD. Диагональное сечение BB\D\D — прямоугольник, а
площадь сечения АА\С\С равна 30. Найдите объем призмы.
8.
1. Основанием наклонной призмы АВСАХВХСХ служит треугольник
ABC, у которого АВ = 50; ЛС = 40 и LВАС -60°, ААХ =25.
Расстояние от вершины Ах до стороны АС равно 7, а до стороны
АВ — 20. Найдите объем призмы.
2. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDAXBXCXDX служит
квадрат со стороной, равной а. Боковые ребра тоже равны а.
LAxAD=l. AXAB<9W. Двугранный угол при ребре АЛ] равен 120°.
Найдите объем параллелепипеда.
530
Jj 16. Объем пирамиды
1. В правильной треугольной пирамиде высота основания равна А,
боковые ребра наклонены к основанию под углом а. Найдите
объем пирамиды.
2. Основанием пирамиды MABCD служит ромб со стороной а и
острым углом Л, равным а. Боковое ребро МБ перпендикулярно
к плоскости основания, а грани MAD и MDC наклонены к нему
под углом 0. Найдите объем пирамиды.
1. В правильной четырехугольной пирамиде диагональ основания
равна (1. Боковые грани наклонены к основанию под углом а.
Найдите объем пирамиды.
2. Основанием пирамиды DABC служит равнобедренный треугольник
ABC. AB = BC = a, LABC = a. Ребро BD перпендикулярно к
плоскости основания, а грань ADC составляет с ним угол /9. Найдите
объем пирамиды.
3.
1. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h, а плоский
угол при вершине а. Найдите объем пирамиды.
2. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами v5,
V5 и 4. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°.
Найдите объем пирамиды.
1. Высота правильной треугольной пирамиды равна А, а плоский
угол при вершине пирамиды — а. Найдите объем пирамиды.
2. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция с углом
30°. Боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Высота
пирамиды равна 3 v3. Найдите объем пирамиды.
531

5.
1. Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный треугольник
ABC. Z.C = 90°, LA = a. Грань АМВ перпендикулярна плоскости
основания, а остальные две грани наклонены к нему под углом
/9. Расстояние от основания высоты до грани ВМС равно d.
Найдите объем пирамиды.
2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а,
а угол между смежными боковыми гранями а. Найдите объем
пирамиды.
1. Основанием пирамиды DABC служит равнобедренный треугольник
ABC. AB - ВС, LABC = а. Грань ADC перпендикулярна плоскости
основания, а остальные две грани наклонены к нему под углом /9,
Расстояние от основания высоты до боковой грани BDC равно d.
Найдите объем пирамиды.
2. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна
а, а угол между смежными боковыми гранями а. Найдите объем
пирамиды.
1. В основании треугольной пирамиды МАВС лежит правильный
треугольник ABC со стороной, равной МА = V 2. Боковые
грани пирамиды имеют равные площади. Найдите объем
пирамиды.
2. В тетраэдре DABC ME. AB, причем AM - ^ AB. P — середина
медианы AF грани ABC, а К — середина медианы AL грани ADB.
Через точки М, К и Р проведена плоскость. В каком отношении
эта плоскость делит объем пирамиды?
8.
1. В основании пирамиды МАВС лежит правильный треугольник
ABC со стороной, равной МА = 6. Боковые грани имеют
равные площади. Найдите объем пирамиды.
2. В треугольной пирамиде МАВС МА = 4, MB = 6, МС = 5. На
ребрах МА, MB и МС выбраны точки А\, Вх и С\ так, что МАХ = 1;
МВ\ =3 и МС\ = 2. В каком отношении плоскость АХВХС\ делит
объем пирамиды?
532
§ 17. Объем конуса
1.
1. Через вершину конуса проведена плоскость под углом 60° к
плоскости основания и пересекающая основание по хорде,
стягивающей дугу 60°. Высота конуса равна 4 VJ. Найдите объем
конуса.
2. В правильную четырехугольную пирамиду вписан конус. Найдите
отношение объемов конуса и пирамиды.
2.
1. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая
окружность основания по хорде, равной 6 v3 и стягивающей дугу
120°. Плоскость составляет с плоскостью основания угол 45°.
Найдите объем конуса.
2. Вокруг правильной четырехугольной пирамиды описан конус.
Найдите отношение объемов конуса и пирамиды.
3.
1. Угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120". Площадь
боковой поверхности конуса равна 3 п. Найдите объем конуса.
2. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Сторона
основания пирамиды равна 10 V3. Расстояние от середины высоты
пирамиды до боковой грани равно -р,. Найдите объем конуса.
4.
1. Длина хорды и радиус развертки боковой поверхности конуса
соответственно равны 6 V3 и 6. Найдите объем конуса.
2. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Сторона
основания пирамиды равна 6V3. Расстояние от вершины основания
до противоположной боковой грани равна V56. Найдите объем
конуса.
533

5.
1. Два конуса расположены так, что основания их параллельны и
вершина каждого из них расположена в центре основания другого.
Найдите объем общей части конусов, если образующая одного из
них равна а и составляет с высотой угол /?, а наибольший угол
между образующими другого конуса равен а.
2. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция,
основания которой равны 10 и 20, а боковая сторона равна 10. Объем опи-
1000 луГЪ тт „
санного около пирамиды конуса равен « . Найдите угол
наклона боковых ребер к плоскости основания.
6.
1. Два конуса расположены так, что основания их параллельны и
вершины каждого из них расположены в центре основания
другого. Найдите объем общей части этих конусов, если радиусы их
оснований равны 4 и 6, а общая высота — 15.
2. Конус вписан в пирамиду, основанием которой служит
прямоугольная трапеция, основания которой равны 2 и 4. Объем конуса равен
Rt . Найдите угол наклона боковых граней к плоскости основания.
7.
1. Через вершину конуса проведено сечение, имеющее наибольшую
площадь. Плоскость этого сечения составляет с плоскостью
основания угол arccos —гг. Образующая конуса равна /. Найдите объем
меньшей части конуса, отсеченной этой плоскостью.
2. Длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды равна 10,
длина стороны основания — 12. Боковая грань пирамиды вписана в
окружность основания конуса, образующей которого принадлежит
боковое ребро пирамиды. Найдите объем конуса.
8.
1. Через вершину конуса проведено сечение, имеющее наибольшую
площадь. Плоскость этого сечения составляет с плоскостью
основания угол arctg v2. Высота конуса равна Н. Найдите объем
большей части конуса, отсеченного этой плоскостью.
2. Основанием пирамиды служит прямоугольник, стороны которого
12 и 4. Боковые ребра пирамиды равны 10. Боковая грань,
проходящая через большую сторону прямоугольника, вписана в
окружность основания конуса, а образующая конуса принадлежит
высоте противоположной боковой грани, проведенной из вершины
пирамиды. Найдите объем конуса.
534
§18. Объем усеченной пирамиды
и усеченного конуса
1.
1. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной
пирамиды равны 6^2"и4\^2. Площадь диагонального сечения равна
90. Найдите объем пирамиды.
2. Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 1 : 3.
Образующая конуса равна 4 и составляет с плоскостью основания угол
60°. Найдите объем конуса.
2.
1. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды
равны 8 V3 и 4 V3. Площадь сечения, проходящего через боковое
ребро пирамиды и середину противоположной стороны основания
равно 54. Найдите объем пирамиды.
2. Высота усеченного конуса равна 5, а диагональ осевого сечения
— 13. Радиусы оснований относятся как 1 : 2. Найдите объем
конуса.
3.
1. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны основания
равны а и Ъ (а>Ь). Боковое ребро равно а — Ъ. Найдите объем
пирамиды.
2. В равнобедренном треугольнике ABC АВ = ВС =10; АС =12.
Треугольник вращается вокруг оси, проходящей через вершину С и
перпендикулярный АС. Найдите объем тела вращения.
4.
1. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны ос-
новании равны т и 1т , апофема пирамиды равна —~—. Найдите
объем пирамиды.
2. В равнобедренном треугольнике ABC АС = СВ = 25, АВ = 48.
Треугольник вращается вокруг оси, проходящей через вершину В и
перпендикулярной АВ. Найдите объем тела вращения.
535

5.
1. Основаниями треугольной усеченной пирамиды служат
правильные треугольники со сторонами 4 и 12. Одна боковая грань
перпендикулярна плоскости основания, а две другие составляют
с ней угол 60°. Найдите объем пирамиды.
2. Параллелограмм ABCD вращается вокруг прямой, проходящей
через вершину А параллельно меньшей диагонали BD. Найдите объем
тела вращения, если в данном параллелограмме LA- 60°, большая
сторона 6, а меньшая диагональ перпендикулярна стороне.
1. Основаниями усеченной пирамиды служат ромбы. Диагонали
нижнего основания равны 12 и 16, а верхнего — 8 и 6. Две боковые
грани, проходящие через стороны тупых углов ромбов,
перпендикулярны плоскости основания, а остальные две из них составляют
с основанием угол 45°. Найдите объем пирамиды.
2. Расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из
вершины тупого угла ромба на его стороны, равно 20. Найдите
объем тела, полученного от вращения ромба вокруг оси, проходящей
через вершину острого угла, равного 60°, и перпендикулярной
большей диагонали.
1. Стороны основания правильной четырехугольной усеченной
пирамиды равны а и Ь (а>Ь). Через противоположные стороны
верхнего и нижнего оснований проведена плоскость. В каком
отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
2. Прямоугольный треугольник ABC (Z. С - 90°), у которого катет ВС =
= а и L А = 60° вращается вокруг прямой, проходящей через
вершину А и перпендикулярной биссектрисе угла А. Найдите объем тела
вращения.
8.
1. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной
пирамиды относятся как 1 : 2. Через центр нижнего основания и
среднюю линию одной из боковых граней проведена плоскость. В
каком отношении эта плоскость разделила объем пирамиды?
2. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120°, а
основание — а. Этот треугольник вращается вокруг оси,
проходящей через точку пересечения высот треугольника и
параллельной основанию этого треугольника. Найдите объем тела вращения.
536
§ 19. Объем шара и его частей.
Площадь сферы.
1.
1. Площадь поверхности полушара равна 48 п. Найдите его объем.
2. В конус, осевое сечение которого правильный треугольник, вписан
шар. Найдите отношение их объемов.
2.
1. Объем шара равен ,- . Найдите площадь поверхности
полушара.
2. Вокруг конуса, у которого осевым сечением служит правильный
треугольник, описан шар. Найдите отношение их объемов.
3.
1. Шар, радиус которого равен 5, касается плоскости. Через точку
касания проведена плоскость, пересекающая шар под углом
3
arccos -= к касательной плоскости. Найдите объем меньшей части
шара, отсеченный этой плоскостью.
2. Образующая конуса равна 10, а площадь его боковой поверхности
— 60 л:. Найдите объем вписанного в конус шара.
4.
1. Шаровой сегмент и конус вместе составляют шаровой сектор.
Высота сегмента равна 1, а объем конуса — 12л:. Найдите объем
шарового сектора.
2. Объем конуса равен 128 л:, а его высота — 6. Найдите объем
описанного около конуса шара.
5.
1. Найдите объем двояковыпуклого стекла, у которого радиусы
поверхностей 13 и 20, а расстояние между центрами — 21.
2. Объем конуса в2т раза больше объема вписанного в него шара.
Найдите величину угла между образующей конуса и плоскостью
основания.
537

6.
1. Найдите объем выпукло-вогнутой линзы, у которой радиусы
поверхностей равны 25 и 29, а расстояние между центрами — 6.
2. Отношение объема конуса к объему вписанного в конус шара
равно 8 : 3. Найдите величину угла при вершине осевого сечения
конуса.
1. Основанием пирамиды служит правильный треугольник со
стороной, равной 1. Основание К высоты пирамиды лежит на рассто-
янии 2 — ^ от центра О этого треугольника, причем луч ОК
проходит через одну из его вершин. Найдите площадь поверхности
вписанного в пирамиду шара, если высота пирамиды равна V"?.
2. Полый шар радиуса 9 см, толщина стенок которого 3 см, плывет
в воде, причем из воды выступает его часть высотой 6 см.
Найдите плотность материала, из которого изготовлен шар.
8.
1. Основанием пирамиды служит равносторонний треугольник со
стороной 1. Основание К высоты пирамиды лежит на расстоянии
-™- от центра О этого треугольника, причем луч ОК проходит
через середину одной из его сторон. Найдите площадь поверхности
2
шара, вписанного в пирамиду, если ее высота равна -^.
2. Полый металлический шар, внешний радиус которого R, плавает,
будчи наполовину погруженным в воду. Плотность материала d.
Найдите толщину стенок шара.
538
§ 20*. Уравнение плоскости
1. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку
М (2; — 1; 3) и параллельной плоскости 2х — Зу+z — 4 = 0.
2. Найдите угол между плоскостями 2х + у — 2+1=0 и
а: — 2у + Ъг — 2 = 0.
2.
1. Даны точки А (2; т\ — 1) и В (1; 2; т) и плоскость
2х — Зу + z — 1=0. При каком значении т эта плоскость
параллельна прямой АВ1
2. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью
2х — 2у + z — 3 = 0, если А (— 1; 2; 1) и В (2; — 1; — 2).
3.
1. Дан шар, ограниченный сферой 0с + I)2 + (у — З)2 + (z — 2)2 =
= 1 и плоскостью 2х — у + 2z — 1 = 0. Пересекает ли эта
плоскость шар? Если да, то найдите площадь сечения.
2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки
А (1; 0; — 2) и В (0; 3; 1), которая параллельна оси OZ.
4.
1. Докажите, что плоскость х — 2y+2z — 9 = 0 является
касательной к сфере Ос — З)2 + (у — 2)2 + (z + 4)2 = 36.
2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки
Е (— 1; 2; 0) и F (1; 0; — 2), и которая параллельна оси ОХ.
5.
1. Даны плоскость х+ у — z — 2 = 0 и точка А (1; 1; 1). Найдите
координаты точки Л,, которая симметрична данной точке А
относительно указанной плоскости.
2. Плоскость а проходит через точку М (1; 1; — 2) и пересекает
плоскость XOY по прямой у — jc=1. Напишите уравнение этой
плоскости.
539

6.
1. Даны прямая EF, где Е (1;-2; 1) и F (2; - 1; 3) и плоскость
х — 2y+z— 3 = 0. Найдите координаты точки Р пересечения
этой прямой с плоскостью.
2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки
А (1; - 1; 1) и В (2; 1; - 1), которая перпендикулярна плоскости
х - 2у + z - 1 = 0.
1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сторона
основания равна 2, а высота — 1. Используя метод координат,
найдите угол между AM и плоскостью DMC.
2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки
А (1; — 1; 1) и В (2; 0; — 1), которая была бы параллельна
направлению вектора т {3; 1; — 1}.
8.
1. Основанием пирамиды MABCD служит прямоугольник ABCD, где
АВ = 2, AD=1. Грань AM В — равнобедренный треугольник
{AM - ВМ), плоскость которого перпендикулярна плоскости
основания. Высота пирамиды МО=\. Используя метод координат,
найдите угол между гранями AMD и DMC.
2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку
М (1; 1; 1) и перпендикулярную линии пересечения плоскостей
2x — y+z — \=0nx + y — 2z — 2 = 0.
540
РАБОТЫ НА ПОВТОРЕНИЕ
№ 1. Взаимное положение прямых и плоскости.
nepneH^^y^p^Qpjj ПрЯМЫХ и плоскости
1.
В основании пирамиды DABC лежит правильный треугольник ABC со
стороной, равной а. Две боковые грани ADB и CDB перпендикулярны
к плоскости основания. Их общее ребро тоже равно а.
1. Каково взаимное положение прямых:
1) АВ и CD; 2) BD и АС; 3) PQ и АС, где Р и Q соответственно
середины ребер АВ и CD. Дайте обоснование.
2. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через центр
основания палаллельно ребрам АС и BD. Определите вид сечения
и найдите его площадь.
3. Найдите угол между гранями: 1) ADB и CDB; 2) DAC и ABC.
4. Чему равен угол между BD и гранью ADC1
5. Найдите угол между АВ и DC.
6. Чему равно расстояние между АВ и DC1
2.
Основанием прямой призмы АВСАХВХСХ служит прямоугольный
треугольник ABC(Z. С - 90°), АС = СВ - а. Боковые ребра тоже равны а.
1. Каково взаимное положение прямых: 1) ААХ и ВС;
2) АхСх и ВС; 3) EF и АС, где Е G АВХ (АЕ:ЕВХ = \:2) и
FG СВХ (CF: FBX =2: 1). Дайте обоснование.
2. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через АС и
середину ВХСХ. Определите вид сечения и найдите его площадь.
3. Найдите угол: 1) между плоскостью сечения и плоскостью
основания; 2) между плоскостью сечения и плоскостью грани ССХВХВ.
4. Чему равен угол между ВХС и плоскостью грани ААХВХВ1
5. Найдите угол между АВ и ВХС.
6. Чему равно расстояние между АВ и Вх С?
541

3.
Основанием пирамиды MABCD служит квадрат ABCD со стороной,
равной а. Грань АМВ является правильным треугольником и
перпендикулярна плоскости основания.
1. Каково взаимное положение прямых: 1) MB и AD; 2) АС и MD;
3) EF и РТ, где Е, F, Т и Р соответственно середины ребер МА,
МС, CD и AD. Дайте обоснование.
2. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через
середину AD параллельно грани АМВ. Определите вид сечения и
найдите его площадь.
3. Чему равен угол между плоскостями: 1) ABC и DMC; 2) АМВ
и DMCI
4. Чему равен угол между MD и плоскостью АМВ1
5. Чему равен угол между MD и АС1
6. Найдите расстояние между ВС и MD.
4.
В тетраэдре DABC грани ABC и DBC — правильные треугольники со
стороной, равной а. Плоскости этих граней перпендикулярны.
1. Каково взаимное положение прямых: 1) АС и DB; 2) AD и ВС;
3)EF и ВС, где Е и F соответственно середины ребер АС и BD.
Дайте обоснование.
2. Через вершину А и середину М ребра DC проведите плоскость
параллельно ВС. Определите вид сечения и найдите его площадь.
3. Найдите угол между плоскостями: 1) ADC и ABC', 2) ADC и
ADB.
4. Найдите угол между медианой грани ADC, проведенной из
вершины А, и плоскостью ABC.
5. Найдите угол между: 1) AD и ВС; 2) АВ и DC.
6. Найдите расстояние между AD и ВС.
542
№ 2. Многогранники
1.
В прямом параллелепипеде ABCDAXB\C\D\ основанием служит ромб,
диагонали которого АС = 8 и BD = 6. Через диагональ BD и середину
ребра СС\ проведена плоскость, составляющая с плоскостью
основания угол 45°.
1) На какие части эта плоскость делить объем параллелепипеда?
2) Найдите площадь поверхности призмы ABXBDC\C.
3) Чему равен угол между диагональю АХС и плоскостью грани
DDXCXC1
2.
Основанием пирамиды DABC служит равнобедренный прямоугольный
треугольник ABC (Z.ACB = 90°), АС = СВ = 4. Боковые ребра
наклонены к основанию под углом 60°.
1) На какие части делит объем пирамиды плоскость CEF, где F —
середина BD, а точка Е лежит на ребре АВ, причем АВ: ЕВ =
= 1:3.
2) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3) Чему равен двугранный угол, образованный гранями ADC и BDC1
3.
Основанием наклонной призмы АВСАХВ{СХ служит правильный
треугольник со стороной, равной 4 у[3. Вершина Л, проектируется на
середину стороны ВС, боковые ребра составляют с плоскостью основания
угол 45°.
1) Найдите площадь боковой поверхности призмы.
2) Через сторону основания ВС проведена плоскость,
перпендикулярная грани СС\В\В. В каком отношении она делит объем
призмы?
3) Найдите расстояние от вершины В до боковой грани ААХСХС.
543

4.
В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный треугольник
ABC. AB =» ВС = 10; АС =12. Высота пирамиды равна 4. Боковые грани
пирамиды равнонаклонены к основанию.
1) Через точки А, О и Е, где Е — середина MB, а О — основание
высоты пирамиды МО проведена плоскость. В каком отношении
эта плоскость делит объем пирамиды?
2) Найдите площадь поверхности пирамиды.
3) Чему равен угол между MB и плоскостью грани АМС1
544
№ 3. Тела и вращения
1.
Наибольший угол между образующими конуса равен 120°. Площадь
осевого сечения равна 16 V3.
1) Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2) Найдите центральный угол в развертке боковой поверхности
конуса.
3) В данный конус вписан другой конус, основание которого
параллельно основанию данного конуса и делит его высоту в отношении
1 : 2, считая от вершины. Вершина вписанного конуса совпадает
с центром основания данного. Найдите отношение объемов этих
конусов.
4) Найдите площадь поверхности описанного около данного конуса
шара.
2.
В цилиндре, высота которого равна 8, через его образующую
проведены две плоскости, угол между которыми 60°. Площади сечений равны
32\/з".
1) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2) Найдите острый угол между диагоналями развертки боковой
поверхности цилиндра.
3) Выясните, можно ли в данный цилиндр вписать шар, и если да,
то найдите отношение их объемов.
4) Найдите площадь поверхности, описанной около этого цилиндра
шара.
3.
В усеченный конус вписан шар, диаметр которого равен 5 V3.
Образующие конуса составляют с плоскостью основания угол 60°.
1) Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2) Найдите объем конуса.
3) Укажите размеры развертки боковой поверхности конуса
(центральный угол развертки, радиусы концентрических окружностей).
4) Какова площадь поверхности описанного около конуса шара?
18 ЗивБ.Г.
545

4.
Цилиндр, осевое сечение которого квадрат, вписан в конус так, что
окружность верхнего основания цилиндра касается боковой поверхности
конуса, а нижнее основание лежит на основании конуса. Площадь
боковой поверхности цилиндра равна 16 п, а образующая конуса
составляет с плоскостью основания угол 45°.
1) Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2) Какова наибольшая возможная площадь сечения, проведенного
через вершину конуса?
3) Найдите отношение объемов конуса, отсеченного от данного
конуса, верхним основанием цилиндра, к объему цилиндра.
4) Найдите объем вписанного в конус шара.
546
1.
1. 1) В наклонной треугольной призме АВСАХВ\С\ все ребра равны
a. LAXAC- LA\AB-W. Используя векторы найдите угол между
А\С и медианой АК основания.
2) Используя векторы, докажите, что грань СС\ВХВ —
прямоугольник.
2. Призма АВСА\В\С\ задана координатами своих вершин:
А (1; 2; 2); В (— 1; — 1; 2); С (3; — 2; 2); Ах (1; 2; 5). Найдите
угол между прямой АЕ, где Е — середина АХСХ и плоскостью,
которая перпендикулярна диагонали грани ВХС.
2.
1. В тетраэдре МАВС основанием служит правильный треугольник
ABC со стороной а, АМ=2а\ LMAC=* LMAB = 45°. Используя
векторы:
1) Докажите, что АМ± СВ;
2) Найдите расстояние между серединами ребер АЕ и ВМ.
2. Пирамида MABCD задана координатами своих вершин
М (— 1;2; 5); А (1; — 1; 2); В (—2; 1; 2); С (—1; 3; 2); D (3;
1; 2). Найдите объем пирамиды.
3.
1. В прямом параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основанием служит
ромб ABCD со стороной а и углом А, равным 60°. Боковые ребра
тоже равны а. Используя векторы:
1) Найдите угол между АЕ и BD, где Е — центр симметрии грани
DDXCXC.
2) Докажите, что АХС± BD.
2. В кубе ABCDAiBidDu используя метод координат, найдите угол
между FE, где F — середина DC, а Е — середина ВХСХ и
плоскостью A\BD.
547

4.
1. В правильном тетраэдре DABC ребра равны а. М — точка
пересечения медиан грани BDC, а Е — середина ребра AD. Используя
векторы:
1) Найдите расстояние ЕМ;
2) Докажите, что РК± AD, где Р и К — соответственно середины
ребер DC и 1Ж
2. Основанием пирамиды MABCD служит прямоугольник ABCD, где
АВ = 1 и AD—1. Грань AM В — равнобедренный треугольник,
плоскость которого перпендикулярна основанию пирамиды.
Высота пирамиды равна 1. Используя метод координат, найдите угол
между AF и DE, где F — середина MD, а Е — середина МС.
548
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
№ 1. Координаты и векторы
Вариант 1
1. Какой угол образуют единичные векторы "а и % если известно,
что векторы ci+ 2& и 5ct— 4ZT взаимно перпендикулярны?
2. В кубе ABCDAXB\C\D\ длина ребра равна 1. М — центр грани
DD\C\C. Используя метод координат, найдите:
1) Угол между прямыми AM и BXD.
2) Расстояние между серединами отрезков AM и B\D.
3. Даны две точки: Л, лежащая на оси ординат, и В (1; 0; 1). Прямая
АВ составляет с плоскостью OXZ угол 30°. Найдите координаты
точки А.
4*. Найдите координаты вектора о", коллинеарного вектору
2f {6; 8 — 7,5} и образующего тупой угол с координатным
вектором £ если | *Г | =50.
Вариант 2
1. Даны точки А (- 1; 2; 1); В (3; 0; 1); С (2; - 1; 0) и D (2; 1; 2).
Найдите:
1) Угол между векторами А*В и СЪ.
2) Расстояние между серединами отрезков АВ и CD.
2. Основанием прямой призмы АВСАХВ\С\ служит равнобедренный
треугольник ABC. LACB= 120°. АС^СВ-ВВ\. Используя
векторы, найдите угол между прямыми АВ и СВ\.
3. Даны две точки: Аи лежащая в плоскости OXY, и В (1; 1; 1),
причем абсцисса точки А равна ее ординате. Прямая АВ
составляет с плоскостью OZY угол 30°. Найдите координаты точки А.
4*. Даны векторы *Г {7; 0; 0} и ZT{0; 0; 3}. Найдите множество точек
М, для каждой из которых выполняются условия ОМ • ct= 0 и
ОМ • ZT= 0, где О — начало координат.
549

Вариант 3
1. Даны векторы аи^ |а|=2, |^|=^2". Ж= 135°. Найдите
| t-tb\.
2. В кубе ABCDA\B\C\D\ длина ребра равна \.М — середина ребра
Л|£>,. Используя метод координат, найдите:
1) Угол между прямыми АХС и СХМ.
2) Расстояние между серединами отрезков АХС и СХМ.
3. Даны две точки: А, лежащая на оси аппликат, и В (2; 2; 0).
Прямая АВ составляет с плоскостью OXY угол 60°. Найдите
координаты точки А.
4*. Вектор ^ коллинеарный вектору *Г {8; - 10; 13} составляет с
положительным направлением оси OZ острый угол. | ZT| = V37.
Найдите координаты вектора Zt
Вариант 4
1. Даны точки Е (1; -2; 2); F (3;0;2); К (0; - 2; 3); Т (2; 4; 1).
Найдите:
1) Угол между векторами EF и itr.
2) Расстояние между серединами отрезков EF и КТ.
2. В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ все ребра равны
между собой. Используя векторы, найдите угол между прямыми
Л, С и АВ.
3. Даны две точки: М, лежащая в плоскости OXZ, и Р (1;2; 1),
причем абсцисса точки М равна ее аппликате. Прямая РМ
составляет с плоскостью XOY угол 30°. Найдите координаты точки
М.
4*. Даны векторы ?{0; - 2; 0} и ZT{0; 0; 5}. Найдите множество точек
Е^ для каждой из которых выполнимо условие CfE • ZT= 0 и
ОЕ • "с"- 0, где О — начало координат.
550
№ 2., Цилиндд, кон^с, uiag
Вариант 1
1. Прямоугольная трапеция с углом 45° вращается вокруг прямой,
содержащей большее основание. Найдите площадь поверхности
тела вращения, если основания трапеции равны 3 и 5.
2. В шар радиуса R вписан конус, у которого образующая составляет
с плоскостью основания угол <р.
1) Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2) Если <р = 30°, то найдите наибольшую возможную площадь
сечения, проходящего через вершину конуса.
3*. Сфера jc2 + y2 + (z— 1)2 = 4 пересекает оси координат в точках
А, В и С. А — точка пересечения с осью ОХ, В — с осью OY,
а С — с осью OZ (координаты этих точек положительны). Найдите
угол между плоскостями ABC и плоскостью z = 0.
Вариант 2
1. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая
от окружности основания дугу 90°. Диагональ сечения равна 10
и удалена от оси на расстояние, равное 4. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра.
2. В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к
основанию под углом 60°. В эту пирамиду вписан шар радиуса
R.
1) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2) Найдите длину окружности, по которой поверхность шара
касается боковых граней пирамиды.
3*. Из точки М (- 7; 3; - 4) проведена касательная к сфере
jc2 + у2 + z2 — 2х — Ау — 27 - 0. Найдите длину касательной от
точки М до точки касания.
551

Вариант 3
1. Ромб ABCD со стороной а и углом А, равным 60°, вращается
вокруг прямой, проходящей через вершину С и перпендикулярной
диагонали АС. Найдите площадь поверхности тела вращения.
2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а,
а боковые ребра наклонены к основанию под углом а.
1) Найдите площадь описанной около пирамиды сферы.
2) Если а = 30°, то найдите угол между радиусом сферы,
проведенным в одну из вершин основания, и плоскостью основания.
3*. Сфера (х - I)2 + у* + z2 = 5 пересекает ось ординат в точке А
(>><0). Через точку М (1; 1; 0) проведена прямая, параллельная
оси OZ и пересекающая сферу в точке В (z > 0). Найдите угол
между прямой АВ и плоскостью XOY.
Вариант 4
1. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая
основание по хорде, длина которой равна 3, и стягивающей дугу 120°.
Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 45°.
Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Расстояние
от центра шара до вершины пирамиды равно а. Боковые грани
наклонены к основанию под углом 60°.
1) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2) Найдите площадь круга, ограниченного окружностью, по
которой сфера касается боковой поверхности пирамиды.
3*. Через точку М (4; 2; 8) проведена плоскость, которая
параллельна оси OZ и составляет с плоскостями OXZ и OXY угол 45°.
Найдите длину окружности, по которой сфера х2 + у2 + z2 = 25
пересекает эту плоскость.
552
№ 3. Объем тел
Вариант 1
1. В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к
основанию под углом 60°. Расстояние от центра основания до
боковой грани равно 2 v3. Найдите объем пирамиды.
2. В цилиндре проведена плоскость, параллельная его оси, которая
отсекает от окружности основания дугу 2 а. Диагональ
полученного сечения составляет с осью цилиндра угол ф и удалена от
нее на расстояние, равное d. Найдите объем цилиндра.
3*. В пирамиду, данную в задаче 1, вписан шар, касающийся боковой
поверхности пирамиды по некоторой окружности. Плоскость,
которой принадлежит эта окружность, делит шар на две части.
Найдите объем меньшей из этих частей.
Вариант 2
1. В правильной четырехугольной призме ABCDA\B\C\D\ через
концы трех ребер, исходящих из вершины С, проведена плоскость на
расстоянии 4 V2 от этой вершины и составляющая с плоскостью
основания угол 45°. Найдите объем призмы.
2. В конусе через его вершину под углом ф к плоскости основания
проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу
2а. Радиус основания конуса равен R. Найдите объем конуса.
3*. В призме, данной в задаче 1, проведена плоскость,
перпендикулярная диагонали призмы и делящая ее в отношении 1 : 3.
Указанная плоскость делит описанный около призмы шар на две
части. Найдите объем меньшей из этих частей.
Вариант 3
1. В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани
наклонены к основанию под углом 60°. Расстояние от середины высоты
пирамиды до боковой грани равно 2. Найдите объем пирамиды.
2. В цилиндре проведена плоскость, параллельная его оси, которая
отсекает от окружности основания дугу ф. Диагональ полученного
сечения равна 2т и удалена от оси цилиндра на расстояние,
равное т. Найдите объем цилиндра.
3*. В пирамиду, данную в задаче 1, вписан шар, касающийся
боковой поверхности пирамиды по некоторой окружности.
Плоскость, которой принадлежит эта окружность, делит шар на две
части. Найдите объем меньшей из этих частей.
553

Вариант 4
1. В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ через сторону
нижнего основания ВС и противолежащую вершину Л, проведена
плоскость под углом 45° к плоскости основания. Расстояние от
этой плоскости до вершины А равно 2. Найдите объем призмы.
2. В конусе через его вершину под углом <р к плоскости основания
проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу
а. Высота конуса равна А. Найдите объем конуса.
3*. Вокруг призмы, данной в задаче 1, описан шар. Найдите объем
меньшей части шара, которая отсекается от него плоскостью
боковой грани.
554
№ 4. Итоговое повторение
Вариант 1
1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сторона
основания равна 6, а боковое ребро — 5. Найдите:
1) площадь боковой поверхности пирамиды,
2) объем пирамиды,
3) угол наклона боковой грани к плоскости основания,
4) скалярное произведение векторов (AD + АВ) • А^А,
5) площадь описанной около пирамиды сферы,
6)* угол между BD и плоскостью DMC.
Вариант 2
1. В правильной треугольной пирамиде МАВС сторона основания
равна 4 V3, а боковое ребро — 5. Найдите:
1) площадь боковой поверхности пирамиды,
2) объем пирамиды,
3) угол между боковым ребром и плоскостью основания,
4) скалярное произведение векторов -~ (М*В + А?С) • ЕА, где Е —
середина ВС,
5) объем вписанного в пирамиду шара.
6)* угол между стороной основания и плоскостью боковой грани.
Вариант 3
1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD боковое ребро
равно 8 и наклонено к плоскости основания под углом 60°.
Найдите:
1) площадь боковой поверхности пирамиды,
2) объем пирамиды,
3) угол между противоположными боковыми гранями,
4) скалярное произведение векторов у (К?А + КТС) • ME, где
Е — середина DC,
5) объем описанного около пирамиды шара,
6)* угол между боковым ребром AM и плоскостью DMC.
555

Вариант 4
В правильной треугольной пирамиде МАВС сторона основания равна
2 V3, а боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Найдите:
1) площадь боковой поверхности пирамиды,
2) объем пирамиды,
3) угол между боковым ребром и плоскостью основания,
4) скалярное произведение векторов -~ (ЛТс + М*В) • (Ум, где О —
основание высоты пирамиды,
5) площадь вписанной в пирамиду сферы,
6)* угол между ME, где Е — середина ВС, и плоскостью АМС.
556
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ
№ 1. Координаты и векторы
ВАРИАНТ 1
1. Дана точка М (1; 3; 2). Найдите координаты точки М, —
проекции точки М на плоскость OXZ и координаты точки М2 —
проекции точки М на ось OZ.
2. Даны точки Е (— 1; 2; 3) и F (1; — 1; 4). Разложите вектор ЕТ по
векторам t?]*viJt.
3. Найдите угол между векторами /и т - 2 Г— 3 £
4. В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX Ах (1; 2; — 4) и С, (3; 0; 2).
Найдите координаты точки пересечения его диагоналей.
5. Даны точки А, В и С, причем Ли {— 2; 4; 3} и Л£ {4; — 8; — 6}.
Лежат ли эти точки на одной прямой?
6. Дан вектор т {1; 2; 2}. Найдите координаты единичного вектора
е, сонаправленного с вектором т.
7. Вектор а составляет с положительным направлением оси ОХ угол
135°. Найдите абсциссу вектора "а, если | "а\ =2.
8. DABC — правильный тетраэдр. Упростите выражение
(А*В + ВЪ) ■ (А*В — ВЪ)+АЪ- (At: — Л&). л
9. Даны векторы а' и # | ct\ - 1; | ^| =2; йГ= 120°. Найдите
(аЧ Й • £
10. В треугольнике ABC А (0; 0; 0); В (1; 2; 1); С (1; — 1; 1).
Найдите координаты центра описанной около треугольника окружности.
ВАРИАНТ 2
1. Дана точка Е (2; — 1; 3). Найдите координаты точки Ех —
проекции точки Е на плоскости OYZ и координаты точки Е2 —
проекции точки Е на ось OY.
2. Д$ны точки К (2; — 1; 3) и М (1; — 2; 1). Разложите вектор
КМ по векторам С/*и £
3. Найдите угол между векторами Ги /Г= — 2 /*+ £
4. В параллелепипеде ABCDAxBxCiDx Вх (— 1; 3; 2), а точка
пересечения диагоналей параллелепипеда М (2; — 1; 1). Найдите
координаты вершины D.
5. Даны точки Е, F и К, причем ЕТ {1; — 2; 3} и ЕК {— 2; 4; 6}.
Лежат ли эти точки на одной прямой?
6. Дан вектор р {— 2; — 2; 1}. Найдите координаты единичного
вектора е, противоположно направленного вектору р*.
557

7. Вектор ^составляет с положительным направлением оси OY угол
135°. Найдите ординату вектора а, если | ct\ = 2 V3.
8. В пирамиде НРМКЕ все ребра равны. Упростите выражение
{РВ — КТЮ • (ЛЯ + titK) + ffk (titK + ]ф.
9. Даны векторы т и /Г. | т | = 2, | /fl = VT. m?f= 135°. Найдите
(m — ~п) • п.
10. В треугольнике MFP М (0; 0; 0); F (2; — 1; 3); Р (— 1; 1; 1).
Найдите диаметр окружности, описанной около этого
треугольника.
№ 2.Цилшщ),_кон^9_ша£
ВАРИАНТ 1
1. Сечение, параллельное оси цилиндра, отстает от его оси на
расстояние, равное 3. Найдите площадь сечения, если радиус
основания цилиндра равен 5, а его высота — 10.
2. Основанием прямой призмы служит треугольник со
сторонами 6, 8 и 10. Высота призмы равна 4. Площадь боковой
поверхности описанного около призмы цилиндра равна...
3. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая
основание по хорде, длина которой равна а. Эта хорда стягивает дугу
90°. Угол между образующими в сечении равен 60°. Площадь
боковой поверхности конуса равна...
4. Основанием пирамиды служит треугольник со стороной, равной
10 и противолежащим ей углом 30°. Боковые ребра пирамиды
наклонены к основанию под углом 60°. Площадь боковой
поверхности описанного около пирамиды конуса равна...
5. Найдите множество точек, удаленных на а от точки М и на Ъ от
точки Р.
6. Укажите множество центров всех сфер, которые касаются
плоскости в заданной точке.
7. Через точку А (3; 4; 12), принадлежащую сфере х2 + у2 + z2 =
= 169 проведена плоскость, перпендикулярная оси OZ. Найдите
радиус сечения.
8. Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 и 4. В этот конус
вписан шар. Площадь боковой поверхности конуса равна...
9. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3.
Боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°. Площадь
описанной около пирамиды сферы равна...
10. В пирамиду с равно наклоненными к основанию гранями вписан
шар. Центр шара делит высоту в отношении 2:1, считая от
вершины. Угол наклона боковых граней к основанию равен...
558
ВАРИАНТ 2
1. В цилиндре проведено сечение, параллельное его оси. Диагональ
сечения равна 16 и составляет угол 60° с плоскостью основания.
Радиус основания цилиндра равен 5. Найдите расстояние от оси
цилиндра до плоскости сечения.
2. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной,
равной 4 и углом в 60°. Высота параллелепипеда равна 5.
Площадь боковой поверхности вписанного в параллелепипед
цилиндра равна...
3. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая
основание по хорде, длина которой равна т. Эта хорда стягивает дугу
60°. Угол между образующими в сечении прямой. Площадь
боковой поверхности конуса равна...
4. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Сторона
основания пирамиды равна 6, а ее высота — 1. Площадь боковой
поверхности конуса равна...
5. Найдите множество точек, из которых данный отрезок виден под
прямым углом.
6. Укажите множество центров всех шаров данного радиуса,
которые касаются данной плоскости.
7. Через точку В (3; 4; 12) принадлежащей сфере х2 + у2 +
+ z2 = 169 проведена плоскость, перпендикулярная оси ОХ.
Найдите радиус сечения.
8. Образующая усеченного конуса равна 6. В этот конус вписан шар.
Площадь боковой поверхности конуса равна...
9. В правильной четырехугольной пирамиде боковые ребра
наклонены к основанию под углом 45°. Площадь описанной около
пирамиды сферы равна 64 п. Сторона основания пирамиды равна...
10. Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 45°.
В эту пирамиду вписан шар. В каком отношении, считая от
вершины, центр этого шара делит высоту пирамиды?
№ 3. Объем тел
ВАРИАНТ 1
1. Основанием правильной четырехугольной призмы служит
квадрат, диагональ которого равна d. Через диагональ основания и
противолежащую вершину верхнего основания проведена
плоскость под углом 45° к нему. Объем призмы равен...
559

2. В наклонной треугольной призме площади двух граней равны 30
и 40. Угол между ними прямой. Боковое ребро равно 10. Найдите
объем призмы.
3. Объем наклонной треугольной призмы равен V. Через среднюю
линию основания и середину бокового ребра, проходящего через
вершину основания, противолежащую средней линии, проведена
плоскость. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
4. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник,
катеты которого равны 3 и 4. Боковые грани наклонены к основанию
под углом 45°. Объем пирамиды равен...
5. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной
пирамиды равна S, а расстояние от центра основания до боковых
граней — d. Найдите объем пирамиды.
6. Объем пирамиды равен V. Боковое ребро пирамиды разделено на
три равные части и через точки деления проведены плоскости,
параллельные основанию. Объем усеченной пирамиды,
заключенной между параллельными плоскостями, равен—
7. Через середину образующей конуса проведена плоскость
параллельно плоскости основания. Полученное сечение служит
верхним основанием цилиндра, нижнее основание которого лежит на
основании конуса. Объем конуса равен 40. Чему равен объем
цилиндра?
8. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 45°.
Основанием пирамиды служит треугольник со стороной, равной
10 и противолежащим углом 30°. Чему равен объем описанного
около пирамиды конуса?
9. В правильную треугольную призму, сторона основания которой
равна 2^3, вписан шар. Найдите объем этого шара.
10. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит этот диаметр
на две части, равные 3 и 9. Найдите объем меньшей из этих
частей.
ВАРИАНТ 2
1. В правильной треугольной призме сторона основания равна а.
Через сторону основания и противолежащую вершину верхнего
основания проведена плоскость под углом 45° к основанию. Чему
равен объем призмы?
2. В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно
перпендикулярны, их площади равны 20 и 30. Боковые ребра равны
5. Найдите объем призмы.
3. В наклонном параллелепипеде через диагональ основания и
середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость. Объ-
560
ем параллелепипеда равен V. Чему равен объем отсеченной
треугольной пирамиды?
4. Основанием пирамиды служит ромб с углом 30° и стороной,
равной а. Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под
углом 60°. Найдите объем пирамиды.
5. Объем правильной треугольной пирамиды равен V, а площадь ее
боковой поверхности — S. Найдите расстояние от центра
основания до боковых граней.
6. Боковые ребра пирамиды разделены на три части в отношении
1:2:1. Через точки деления проведены плоскости, параллельные
основанию. Найдите отношение объема усеченной пирамиды,
заключенной между параллельными плоскостями, к объему
отсеченной пирамиды.
7. Через середину образующей конуса проведена плоскость
параллельно плоскости основания. Полученное сечение служит
верхним основанием цилиндра, нижнее основание которого лежит на
основании конуса. Объем цилиндра равен 9. Найдите объем
конуса.
8. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 6, 8 и
10. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом
60°. Объем описанного около пирамиды конуса равен...
9. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной,
равной 4 V3, и угломв 60°. В этот параллелепипед вписан шар.
Чему равен его объем?
10. В круговом секторе радиус равен 6, а угол — 60°. Этот сектор
вращается вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих его
радиусов. Найдите объем тела вращения.
193ивБ.Г.
561

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К ЗАДАЧАМ ДЛЯ УРОКА
1. 1. 1) В (- 2; - 2; 0); D (2; 2; 0); С (- 2; 2; 0); А, (2; - 2; 4);
Вх (-2; -2; 4); D, (2; 2; 4); С, (-2; 2; 4).
2) оЪ{2; 2; 0}; ОС, {- 2; 2; 4}; ОМ {0; 2; 2}. OD = 2Г+ 2?+ 0?;
Ос, . _ 2Г+ 2Д 4£ ОМ = 0 Г+ 2/*+ 2£
2. Да, будут.
2. 1. 1) А (2;0;0); Я(-2;0;0); Я (2;4;0); А, (2;0;4); Bj (-2;0;4);
С, (—2; 4; 4); А (2; 4; 4).
2) ос {- 2; 4; 0}; о\ {- 2; 0; 4}; ОК {- 2; 2; 2}. ОС - - 2Г+ 4у"+ 0£
Од, » _ 2Г+ 0 • Г+ 4&ОК-- 2Г+ 2/+ 2£
2. Да, будут.
3 1. 1) С <0;0;0); 5 (-5;0;0); A (0;-5V3";0); D (-5;0;5V3~);
- Г ю 5/3" 5/3" 1 _-» 10* 5/3"^ 5/2Г*
2>сл#|-т;-—; —^см"-^--^*-^
2. Да, лежат.
4. 1. 1) А (0;0;0); С (0;4;0); 5 (— 4/3~;4;0); D <—4/3~; 4; 12).
2) АК {- *£; 4; 4}; А— *^Г+ 4Д «t
2. m - — 6; и - 2.
5. 1. Из точки О опускаем перпендикуляр ОЕ на АС и точку Е соединяем с
точкой D. Тогда Z.DEO-AS'; OE*OD°\2. D(0; 0; 12). В треугольнике
D0£упускаем перпендикуляр ОК на DJS. Легко доказать, что OKJ.ADC. ОК =
- l(ok + OD), где К — середина £D iOE-OD). Для решения задачи необходимо
найти координаты точки Е. Строим EFA.OC и из подобия треугольников OF£ и
АОС находим ^=у и OF-у Тогда £ (у; - у; 0). Дальнейшее решение
очевидно.
Ответ: 1) А (0; - 20; 0); В (- 15; 0; 0); С (15; 0; 0); D (0; 0; 12).
2) ОК {4,8; - 3,6; 6}; ОК - 4.8Г- 3,6/*+ б£
2. При m - 3. В этом случае ?= а + Z* и векторы компланарны.
562
6. 1. 1) Л (^; — 1; 0); С (^-; 1; 0); В (- ^; 0; 0); Я (0; 0; 1).
2) Так как ОА = ^, a OD- 1, то j£ = ^ = |. Тогда ОК = | OD + | ОА
Дальнейшее решение очевидно.
2. При у =6. В этом случае р*= 2т+ 2п н векторы компланарны.
7. 1. Поместим призму в прямоугольную систему координат так, чтобы В было
бы началом координат, а оси OX, OY и OZ были бы сонаправлены с лучами В А,
ВС и ВВ\ соответственно. Пусть боковые ребра призмы и катеты основания равны
1. Тогда F (1; 0; ^); М ф 0; 1); Е (0; ^; 1) и /С (0; |; 0). Необходимо установить,
компланарны ли векторы ЕК, ЕМ и EF. ЕМ - ВМ — BE; BM fc; 0; 1};
~*rl -» 1 1 -» 1 1
BE {0; —; 1}. Тогда ЕМ {—; — —; 0}. Аналогично получим, что EF {1;- — ; — —} и
-> 1
ЕК {0; -г; — 1}. Если указанные векторы компланарны, то должны существовать
такие хну, что ЕК" х ЕМ + у EF. Тогда получим систему
1 1 1
o-i,--i
_^ Эта ^истема имеет решение jc- — 4 и у = 2. Следовательно,
•ЕК — — 4ЕМ + 2EF. Тем самым доказывается, что указанные точки лежат в одной
плоскости.
2. а = хр + yq + zm.
jc jT{jc; — 2x;x); yq{2y; 0; — y}; zm {— z; z; 2z}.
о {jc + 2y — z; — 2jc + z; x — у + 2z], так как разложение по базису единственное,
х + 2у — z = 1
— 2jc + z = 2
jc — y+2z = — 2z = — 2
Отсюда: jc-—1, y=\ и z = 0. Ответ: *?= —jT+ $Г+ От.
8. 1. Задача решается аналогично задаче 7 (1). Если куб с ребром, равным 1,
поместить в прямоугольную систему координат так, чтобы начало координат было
в точке В, а оси OX, OY и OZ были бы сонаправлены с лучами В А, ВС и ВВ\
соответственно, то можно получить, что РК = 2PF + 2РМ. Этим доказываем, что
указанные точки лежат в одной плоскости.
563

* _ г-*. з,
з*.
2. m = -?a + -=1?+ -?& Задача решается аналогично задаче 7 (2).
§2
1. 1. V3T; лга+2/ПГ.
2. 1) С (3; 0; —4); 2) ВС - 3; 3) ВС - Г+ 2/V 2£
2. 1. /4Т; 2^ — /ПГ.
2. 1) С (—1; 0;1); D (2;2;0). 2) BC-VJ; AD-V—f+t
3. 1. 9.
2. а {— 8; 8; 4}.
4. 1. VTO.
2. m {3; — 6; — 3}.
5. 1. Поместим призму в прямоугольную систему координат так, чтобы начало
координат совпадало с точкой В, а оси OX, OY и OZ были бы сонаправлены с
лучами ВА, ВС и ВВ\ соответственно. При решении нужно учесть, что точка Р —
точка пересечения медиан треугольника DC\ С и MP — -^ (MCj + МС + MD\. Ответ:
V53"
6 "
2. AM - ЛАВ, т. к. точка М лежит на прямой АВ. Пусть координаты точки
М (х; у, z). Тогда ЛМ {х + 1; у — 2; z — 1}. С другой стороны AM {ЗА;; — к; — Щ.
| AM | - V9*2 + it2 + 4k2 = I A; I VT?. По условию | AM | - 3 /ПГ. Тогда к - ± 3.
Так как
x + 1 - ЗА;
у—2- —А;
то
z_l «X — 2A:
Ответ: Л/ (8; — 1; — 5) или М (
х«8
у--1
г« —5
- 10; 5; 7).
Xе —
у = 5
г = 7
10
6. 1.
№
3
2. Я (-
16; 7; — 3). Задача решается аналогично задаче 5 (2).
7. 1. Поместим тетраэдр в прямоугольную систему координат так, чтобы начало
координат совпадало с точкой Е. Пусть ось ОХ противоположно направлена лучу
ЕВ, ось OY сонаправлена с лучом ЕС, а ось OZ сонаправлена с лучом BD. Пусть
Р (х; у; z). В выбранной системе координат А (0; — 2; 0); В (— 4; 0; 0);
С (0; 2; 0); D (— 4; 0; 4). Так как точка Р равноудалена от всех вершин тетраэдра.
564
УхЧСу + 2)2+ г2 - Vx2 + (у - 2)2 + z2 - V(x + 4)2 + у2 + z2 -
V(x+4) + y2 + (z—4)2. Решая эту систему, получим: х- —^; у-0 и z-2.
Я <-|;0;2); АЯ-V
"2 ^4Т ^4Т
+ 4 + 4 - —=—• Ответ: —=—.
t И
2. V(x—1) + у2 + z2 есть расстояние между точками Af (x;y;z) и
А (х; у; г), a Vx2 + (у— I)2 + г2 — между точками М (х; у; z) иЯ (0; 1; 0).
Так как AB-V2", то MA + MB>VZ, а по условию МА + MB-l. Следовательно,
уравнение не имеет решения.
8. 1. 3.
2. Решением уравнения служат координаты всех точек отрезка АВ, где
А (0; 0; 1) и В (1; 0; 0). Задача решается аналогично задаче 7.
§3
1. 1. 1) -^-; 2) 0.
2. Острый.
2. 1. 1) —о2; 2) 0.
2. Тупой.
о 2 _
3. 1. 1) -Щ-; 2) 0; 2) 180" - arccos-^.
4. 1. 1) -Ц-; 2) 0.
4
о 3
2. arccos-p.
5. 1. Пусть вектор а {х; у; z} составляет с вектором Гугол а, с вектором f—
угол /3, а с вектором к* — угол у. сова-т^-; cos/J-t-^U-; сс*у--г4т. Тогда
\а\ г \а\ \а\
2 2 2 X2 + У2 + Z2
cos a + COS/3+ cosy- =^ 1. По условию а - 120"; у - 135'. Тогда
(— 2) + cos /3 + ( —) 2 - 1. Отсюда сое/3 - ± j. Ответ: 60" или 120".
3V2"
2- —g—• Необходимо куб поместить в прямоугольную систему координат и
найти синус одного из углов треугольника.
6. 1. 45° или 135°.
565

\PTY
2. —г—. Смотрите указания к задачам 5 (1), 5 (2).
о
7. 1. 2V6~. Необходимо учесть, что вершина М пирамиды проектируется на
биссектрису угла BAD, т.е. на АС. Для решения задачи необходимо найти синус
угла между векторами AM и АС.
2. Рассмотрим векторы а{ Vsin2 х + Oj; V cos2*—0,5; V5) и 2Г{1; 1; 1}.
Их скалярное произведение: a- ZT= V sin2x + 0,5 + V cos2* — 0,5 + VOX С другой
стороны,
а- ^-| а\ • | #"1 cos ^>, где р^$; | а\ - V sin2* + 0,5 + cos2* — 0,5 + 0,5 - ^у;
| jf| = ./J . ^. JT= -— • V3~ • cos fp = -ту cos jp. Наибольшее значение скалярного про-
изведения равно -ту. Таким образом, наибольшее значение
выражения V sin2jc + 0,5 + V cos2 х + VT£3 равно 3 VOX Оно достигается при х~як, где
*ez.
8. 1. 2V2". Необходимо учесть, что вершина D проектируется на биссектрису
угла ВАС, т.е. на АК. Для решения задачи необходимо найти синус угла между
векторами AD и АК.
I. Рассмотрим векторы о" {VI + х; VI — х) и ZT{1; 1}. Их скалярное произ-
: а-Я-\а\ • \f\ -сое?,, да <p-lfe, \ a\ = V1 + x+ 1-X-V2"; | Л -
2.
ведение
= VT, *?• ZT= V2~ • V2~ cos? = 2 cos p. Наибольшее значение скалярного
произведения равно 2. Таким образом, наибольшее значение выражения
VT+Jc + VI — х + 1 равно 3. Оно достигается при х-0.
§4
1. 1. arccos-тт7г » 71°34' .
2. 1. arccos 2"7y » -79°6'.
3. 1. Необходимо доказать, что /.АСВ-90^ i* тогда АВ~5.
АВ • АС + ВС ■ ВА + СА • СВ = АВ ■ АС + АВ ■ СВ + СА • СВ =
- АВ ■ (АС+ СВ\ +СА • СВ = АВ2 + СА ■ СВ =25 + 0 = 25. Ответ: 25.
2. Пусть С А, СВ и CCi — базисные векторы.
Тогда EF = ЕС + СВ + BF = —^СА + СВ +jCCi.
EF2 = ^СА2 + СВ2 + ^CCi2 — СА • СВ — ^ СМ • CCi + СВ • сЪ\ - ^а2 + а2 +
566
+ ^а2— a2 (—^j —0+0 = 2а2. EF-afZ. EF- СС\ =\cc\ = Li2.
I EF ■ СС\ | а2 1 1
С°8*"*|я/Ч • |сс,| =-zT^=27T* = urccos27T~69rl*'-
Ответ: 1) aV2~; 2) » 69°18'.
4. 1. 100.
(ЫЪ 1
2. 1) —2—. 2) arccos -rV » 65°54' . Задача решается аналогично задаче 3 (1, 2).
5. 1. Поместим призму в прямоугольную систему координат. Пусть D будет
началом координат. Положительное направление оси ОХ противоположно лучу DB,
положительное направление оси OY сонаправлено с лучом DC, а положительное
направление оси OZ совпадает с лучом СС\. Обозначим искомый угол за ip:
■* , •* I СВ, ■ АВ, I
СВ, {— 4; — 2; 2}; АВХ {— 4; 2; 2}. sin tp = ' _» ' V
| СВХ | ■ |ЛВ, |
16-4+4 2 , 2 ...._,
" -7+4+4 • Ь+4+-. " 3* * = arCSin 3 ~ 41 49 •
2. Пусть BD = ВС~ВА~\ и пусть Е — середина ZX^.
АЕ = ВЕ — ВА = jBD + ^ЯС — В А . ЛЕ ■ BD = (±BD + ±ВС - ВА) BD =
- ^Я/)2 + ^ВС BD - ВА • BD = ^ + 0 — ^ = 0.
Отсюда следует, что АЕ± BD. Аналогично можно доказать, что АЕ± ВС. В
таком случае АЕ ± DBC и плоскости DAC и DBC перпендикулярны.
6. 1. arcsin V — » 43°59'. Задача решается аналогично задаче 5 (1).
2. Пусть ВА, ВС и ВВ, — базисные векторы. BD\ - ВА + ВС + ВВ,;
л,~с, = лс - ж: — ва.
вЪ{ • Л,"С, = (ВА + ВС + ВСА ■ (ВС — ВА\= ВС2 — ВА2 = 1 — 4 - — 3 Ф 0.
Следовательно, Ш), не перпендикулярен к Л, С, и BD\ не перпендикулярен плоскости
Л,С,Д.
7. 1. Опустим из вершины М перпендикуляр МО на плоскость ABC. По теореме
о трех перпендикулярах ОА± АС. Очевидно, что точка О находится вне треугольника
ABC. Пусть /.МАО -tp. /.МАО - 180° — СВМ^А. MB = MA + AC + СВ;
MB2 = MA2 + AC2 + СВ2 + 2MA • AC + 2МЛ • СВ + 2АС ■ СВ -
= 16+9 + 25 + 0 +2-4- cos (180° — <p\ + 0 =50 + 40 cos (180° — pY. По условию
MB - V30~. Тогда 50 — 40 cos <p = 30; cos p = -= и p = 60". Высота пирамиды МО -
= МЛ • sin 60° - 4 • -у- = 2VX
2. Пусть DA*DB-DC~l и пусть Z./lDC = a; /.ADB~fi; LCDB~y.
AC ■ AB= (DC —DA) (DB — DA)=DC ■ DB — DA • DB — DC ■ ZM + Ш2 =
567

= cosy — cos fi — cosa + 1. cos0 < 0; cos а < 0. Значит, —cosfi > 0 и —сова > 0;
| сову | < 1, a потому 1 + cosy > 0. В таком случае АС ■ АВ>0 и Z.ACB — острый.
Аналогично доказываем, что и все остальные углы острые.
3 VE _ _ ,..
8. 1. —г~. Задача решается аналогично задаче 7 (1).
4
->->-> ->
2. От вершины М отложим единичные векторы MA, MB, MC и MD, сона-
правленные с векторами AfjE, MF^ МК и MP. Тогда ABCD — квадрат и
АВ ■ ВС - 0. ШВ — МА) ■ ШС — MB) - 0.
MB ■ МС-МАМС- MB2 + MA • MB ■ 0 .
сое а — cos/? — 1 + cos a = 0; cos0 « 2 cos a — 1 и fi — arccos (2 cos a — 1).
§5
1. 1. a) (— 100; — 200; — 1). 6) (100; 200; — 1).
2. Так как при движении отрезок отображается на равный отрезок, то каждая
сторона треугольника отображается на равный ей отрезок, и, следовательно,
треугольник отображается на треугольник с соответственно равными сторонами, т. е.
на равный треугольник.
2. 1. а) (—0,01;—0,02; —1); б) (0,1; 0,1; 0).
2. Задача решается аналогично задаче 1 (2).
3. 1. Указание: а) вычислите координаты середины отрезка АВ. б) Вычислите
координаты середины отрезка ВС.
2. Рассмотрим двугранный угол, образованный полуплоскостями а и fi с
границей а и линейным углом Ik, где / и к — лучи, принадлежащие полуплоскостям
а и fi соответственно. Пусть при движении а -* щ; а -> а\; fi ->fi\k -> к\\ I -> /j .
Очевидно, что прямая а\ будет общей границей полуплоскостей ах и fii, в которых
будут соответственно лежать лучи /t и к\. Так как при движении углы сохраняются,
то углы 1к и 1\к\ равны между собой. Следовательно, при движении двугранный
угол отображается на равный ему двугранный угол.
4. 1. а) {3; 3; 3}; б) указание: найдите середину отрезка АВ.
2. Пусть прямая АВ пересекает плоскость а в точке А и образует с ней угол
(р. Пусть С — проекция точки В на плоскость а. Проведем в плоскости а через
точку С прямую Ь. Очевидно, что ВСХ. Ь. Пусть при движении а -> ах; А -> А{;
В -> В\\ С ■* С\ и b-*b\. Очевидно, что прямая А\В\ будет пересекать плоскость
alt a прямые А\С\ и Ь\ будут лежать в плоскости at. Так как при движении углы
сохраняются, то будет выполняться B\C\JL b, JSjCjJL iljCj, т.е. ByCi ±a, и
LBXА\С\ — угол между АХВ\ и плоскостью а{. Так как при движении углы
сохраняются, то LBxA\Cx ~LBAC-q>. Следовательно, при движении прямая и
плоскость, составляющие угол tp, отображаются на прямую и плоскость, составляющие
угол *р.
568
5. 1. Заметим прежде всего, что точка А (10; 20; 0) лежит в плоскости OXY.
Пусть при осевой симметрии относительно прямой а точка А отображается на точку
В (х; у, z). Тогда середина отрезка АВ — точка М имеет координаты (к; к; 0), где
к * 0, так как принадлежит прямой а и не совпадает с началом координат — О.
Значит, МА ± МО и (10 — к) к + (20 — *) к - 0. Откуда к - 15. Используя формулы
.е 10 + х,г 20 + у л 0+z л
координат середины отрезка, получаем 15-—-—, 15 = —=—— и 0 = —=—. Откуда
Ai (20; 10; 0).
2. При данном отображении пространства на себя произвольные точки
A (jcj; yi; zj) и В {хг\ Уг\ *2> переходят в точки А\ (2х\; 2у\; 2zj) и
В\ (2хг; 2у; 2z). Пользуясь координатной формулой для нахождения расстояния
между точками, находим, что АВ Ф А\В\. Это значит, что данное отображение
движением не является.
6. Задачи решаются аналогично задачам 5 (1, 2).
Ответ: 1. (0; 10; 20). 2. да, является.
7. 1. Введем прямоугольную систему координат, будем рассматривать прямые
т\ и тг в качестве осей ОХ и OY. При симметрии относительно оси ОХ
А (х; у; z) -» В (х;—у; — z), а при симметрии относительно оси OY
В (х; — у, — z) ■* С (— х; — у; z). В таком случае точки А и С симметричны
относительно оси OZ, которая перпендикулярна к ОХ и OY.
2. Да, будет. Такая точка может быть получена композицией центральной
симметрии относительно начала координат и параллельного переноса на вектор
Р {2; - 3; 1}.
8. 1. При симметрии относительно А: М -* М\, при симметрии относительно В:
М\ -> А/г, а при симметрии относительно С : Мг -* Мъ. Образовался пространственный
четырехугольник ММхМгМъ. Точки М и Мъ будут симметричны относительно точки
D — середины ММъ. Точки А, В, С и D — последовательно середины сторон
указанного четырехугольника. Тогда легко доказать, что ABCD — параллелограмм.
2. Да, будет. Такая точка может быть получена композицией зеркальной
симметрии относительно плоскости OXZ и параллельного переноса на вектор
?{-1;-2;1}.
§6
1. 1) Рассмотрим прямую а, перпендикулярную некоторой плоскости а, и две
пересекающиеся прямые Ь и с, лежащие в плоскости а. Очевидно, что a JL b и
a J- с. Пусть при движении а -* щ, b -* b\, с -> С\, а -> а\. Легко доказать, что
прямые С\ и Ь\ лежат в плоскости а\, а прямая а\ пересекает плоскость а\ . Так
как при движении углы сохраняются, то а\ ± Ь\ и <ц ± с\. Значит, а.\ JL а\, т. е. при
движении прямая, перпендикулярная плоскости, отображается на прямую,
перпендикулярную к плоскости.
569

2) Очевидно, что если одна из двух параллельных прямых пересекает
плоскость а, то и другая пересекает ее. Пусть данные прямые а и Ь пересекают
данную плоскость а в точках А и В соответственно. Значит, при параллелыюм
переносе на вектор АВ а -> Ь, а -> а\ . Тогда по доказанному в пункте а) прямая
Ь будет перпендикулярна плоскости а.
2. Указание: задача решается аналогично задаче 1 (1).
3. 1) Пусть дана правильная четырехугольная пирамида EABCD с высотой ЕО.
При симметрии относительно прямой ЕО Е -* Е, А -» С, С -* А, В -» D, D -* В.
Значит квадрат ABCD отображается на себя. Следовательно, ЕО — ось симметрии
пирамиды.
2) Пусть Н — произвольная точка пирамиды. Рассмотрим сечение пирамиды
плоскостью ЕОН. Очевидно, оно является треугольником. По указанному в пункте
1) при симметрии относительно прямой ЕО точка Н отображается на точку Н\,
принадлежащую пирамиде. Но очевидно также, что точка Н\ принадлежит плоскости
ЕОН, т. е. принадлежит сечению. Это означает, что треугольник, полученный в
сечении, отображается на себя при симметрии относительно прямой ЕО, проходящей
через одну из его вершин. Значит, этот треугольник равнобедреннй.
4. Указание. Задача решается аналогично задачам 3 (1, 2).
5. 1) Указание. Задача решается аналогично задаче 3 (1).
2) Проведем плоскость а через прямую с, содержащую середины
противоположных ребер правильного тетраэдра. Пусть точка М принадлежит сечению тетраэдра
плоскостью а. Тогда по доказанному в задаче 1 при симметрии относительно прямой
с точка М отображается на точку М\, принадлежащую одновременно плоскости а
и тетраэдру. Значит, сечение при симметрии относительно прямой отобразится на
себя. Возьмем теперь произвольную точку Н, принадлежащую одной из двух частей,
на которые плоскость а делит тетраэдр. По доказанному в пункте 1) при симметрии
относительно прямой с точка // отображается на точку Н\, принадлежащую тетраэдру.
По определению симметричных точек отрезок НН\ пересекает прямую с, а значит,
и плоскость а. Следовательно, точки Н и Н\ принадлежат разным частям тетраэдра.
Значит, эти части отображаются друг на друга при симметрии относительно, прямой
с. Отсюда следует, что плоскость а делит тетраэдр на две равные части.
6. Указание. Задача решается аналогично задачам 5 (1), 5 (2).
7. 1. Пусть p\\q (рис. 9 а). Композицией осевых симметрии последовательно
относительно осей р и д является параллельный перенос на вектор 2 АВ, который
отображает точку х на точку хг. Композиция же симметрии последовательно
относительно осей q и р есть параллельный перенос на вектор 2 В А, который отображает
точку Х2 на точку х. Исходя из условия 2 АВ — 2 В А, т. е. АВ = 0, что противоречит
условию. Пусть теперь р и q — скрещивающиеся прямые (рис. 9 б). В таком случае
Sq • Sp отображает общий перпендикуляр прямых р и q на себя, причем это
отображение прямой m есть перенос с * 0, но тогда Sp -5q * 5q • Sp, что снова
противоречит условию. Отсюда следует, что р и q — пересекающиеся прямые.
570
Рис. 9а
Рис. 96
Рис. 10
571

Рис. 11
2. Через точку А и прямую / (рис. 10) проводим плоскость р\ которая
пересекает плоскость а, по прямой р. В плоскости fi строим прямую т, параллельную
/. Пусть эта прямая пересекает р в точке L. Через середину О, отрезок ML и точку
А проводим прямую до пересечения с / в точке А\. Легко доказать, что А\ —
искомая точка.
8. 1. На рис. 11 угол POR — линейный угол двугранного угла a afi и I — его
биссектриса. Выберем в грани а произвольную точку А и докажем, что при осевой
симметрии относительно оси / она отображается на точку, принадлежащую грани
fi. Для этого через точку А проведем плоскость, параллельную ребру а и
перпендикулярную /. Эта плоскость пересекает грани а и fi по параллельным прямым m
и п. а плоскость линейного угла у по прямой СВ. СВ пересекает / в точке М. Через
точки А и М проводим прямую до пересечения с гранью fi в точке А\. Тогда легко
доказать, что /J- AAi и А\М — МА. Этим доказываем, что точки А\\А\ симметричны
относительно оси /. Аналогично можно доказать, что каждая точка грани а имеет
себе симметричную точку в грани fi и наоборот. Значит при симметрии относительно
оси / двугранный угол a afi отображается на себя. Следовательно, / — ось симметрии
двугранного угла.
2. На рис. 12 DB + DA\ + DCi - DA+ DC + DA + DDt + DC + DD{ =
= IDA + IDC + 20£>i«2 IDA + DC DDA « 2D%. Это значит, что точка В\ есть
середина диагонали построенного на отрезках DB, DA\ и DC\ параллелепипеда,
т. е. центр его симметрии.
572
Рис. 12
§7
1. 1.
SV3
2. 8тг.
2 *
2. 1. 2Q. 2. Мл.
3. 1. arctg inXgtp). 2. 12wV3".
4. 1. arctg {Ц£- ). 2. 8 я.
5. 1.
2a2V5
2. я а . Указание: боковая поверхность состоит из трех частей, которые вместе
составляют половину площади боковой поверхности цилиндра с высотой, равной а
и радиусом оснований а (рис. 13).
573

Рис. 13
6. 1. 42.
2. ——. Указание: боковая поверхность состоит из трех частей, которые вместе
составляют половину площади боковой поверхности цилиндра с высотой, равной а
и радиусом оснований
(рис. 14).
7. 1. Поместим цилиндр в прямоугольную систему координат, как это указано
на рис. 15. Пусть R — радиус основания, а Л — высота цилиндра. А (Л;0;0);
С (— R; 0; Л); М (R; 0; |); L (0; R; 0). АС {— 2Л; 0; Л}; ML {— R; R,— |}. Так как
АС± ML, то ACML-0, т.е. 2 Л2 — ^- = 0. Кроме того 2ЛЛ = 4 и Л = -|-
Тогда 2R2 7 = 0 и Л = 1; Л-2. S = 4л + 2л • 1 = 6л. Ответ: 6л.
2. На рис. 16 EFKL — осевое сечение цилиндра. По условию KL = EL~2R;
2. Отсюда R-^. 5бок - 2л Л-2 R-AnR2 =
4
LP-Z-R. ^ = tgp = 2.
LP
2 *
. fl2 ЛА2 _ ЛО2
= 4л-—- = —т—. Ответ: —г-.
16 4 4
574
Рис. 14
Рис. 15
8. 1. Поместим цилиндр в прямоугольную систему координат, аналогично задаче
7 (1). Пусть R — радиус основания, а Л — высота цилиндра. N 1-у; -у; 01;
М I—; —тг; -^1 • MN— V R2 + —г ■ Исходя из условия, имеем
I—; ——; —I. MN=\R2 + —г-. Исходя из условия,
Л2 + ^-=17
4
Л =
8
*2 + if«17.
R2
2Rh= 16
Л4 - 17 Л2 + 16 - 0. Л1- 1, /?2 - 4. Отсюда Ai =8, Иг - 2.
Тогда Si - 16л + 2л • 1 - 18л; Sz - 16л + 2л • 16 - 48л. Ответ: 18л или 48л.
2. Как указано на рис. 17 окружности оснований цилиндра, вписаны в
правильные треугольники EFK и Е\ F\ K\. Это вытекает из того, что плоскости
Рис. 16
Рис. 17
575

оснований цилиндра параллельны плоскости диагонального сечения BMD, а само
диагональное сечение, исходя из условия, правильный треугольник. АС-а^1\
АР - ; ЕК - 2 АР - аП — Л. Радиус основания цилиндра г - —-рг ~
ссП — h _ _ . _ afl — h . nh , pf ,.
--1^.S^-birh-7*-1^h-TS{rri-h).
Ответ: yj (a/l —h\.
§8
1. 1. яа2. 2. 64я.
2. 1. т 2. 2 и 14.
4
3. 1. 8 VI. 2. я/2 sin a tg a
4. ,. 150Л. 2. f»A3l£ ■
sinp
5. 1. Если наибольший угол между образующими конуса тупой, то наибольшую
площадь имеет сечение с взаимно перпендикулярными образующими, а если острый
или прямой — то осевое сечение. Если а — центральный угол развертки, то
R R 3
а ш — • 360" и тогда — ш -т. Пусть <р .— наибольший угол между образующими и
sin — ■» -г > -=-. Отсюда 45°< ^ <90°, т. е. 90° <<р <180°. Следовательно, наибольшую
площадь имеет сечение с взаимно перпендикулярными образующими. Если 0 —
искомый угол, то sin ftш -г, где Н — высота конуса, а Л — высота сечения.
,п—гтг ьгг L ьп „ , . vt? Л . vra
Н ■ V I? —jrl/- —г-; Л- -j-- Тогда sittfi « -j-. Ответ: arcsin -j-.
2. 60°.
6. 1. 90°. Указание: задача решается аналогично задаче 5 (1), но в данном
случае наибольшую площадь имеет осевое сечение.
2. 60'.
7. 1. Основание конуса лежит в плоскости z - — 2. Пусть М (х; у; — 2) —
центр окружности основания. МА-МВ-МС. V(x — 1) £ + (у — 2) z -
- V(x — 4) * + (у — 2) * - V(x—3) z + (у — 4)7. Отсюда следует, что
J— 2х — 4у + 5 - — 8х — 4у + 20
|— 2х — Ау + 5 ■ — Ьх — 8у + 25
*-9» ^"Т и z ш— ^" Координаты вершины конуса М I—; —; 1|. Радиус
V9 Г VTO /То V4"6~
- + - ■ —=-. Образующая / - у — + 9 ■ —=-. Se0K - nRL -
576
VTO" V36" ялПТУ
—я • —2~ • —— = —-—. Сечение делит высоту конуса в отношении 1 : 3.
Лосн *2~ и Лсеч - -д • аосн " тг- Ответ: 5сеч - -т^; координаты вершины
м IТ : Ч '• l h 5бок " о •
^2' 2
2. Пусть ABCD — осевое сечение конуса и АС± BD. ВК — высота конуса.
Легко доказать, что BK~KD, KD~R + r, где R и г — радиусы основания. Пусть
/ — образующая конуса и ip — угол между ней и плоскостью основания. Отсюда
BK~KD- /sin р. В таком случае /5 + r=/sinp и Збок.усмжуса" я/2 sin p..Площадь
боковой поверхности второго конуса равна я BKBD - я/ sin р •/ V2~ sin p -
Д /т • 2 п nPsina) V6~ _ VJ
ejrrV2surp.. По условию —=-—:—fr— = -г- Отсюда sin«o = -^- и р = 60 .
п12тП.ъ\п2ф 3. 2
Ответ: 60°.
8. 1. ——. Указание. Необходимо учесть, что треугольник ABC прямоугольный
5
и радиус основания конуса равен -=.
2.
§9
1.
2.
3.
4.
60°.
84я
Ь 5
1. 16л
1. ЯА2
1. 96я.
(3 + Л\.
„ па*лП
2' 12 •
2- 9
2. ^ .
4cos ■=■ • cos 0
я • о2 cos2 a • tg2 ^
2. ^
COSjP
т оси. Тогда 5т.вращ.-яЛС (АО\ + СОг\ +лаАО\ +
+ СОг) (АС + а\ (рис. 18). LBAC - LBCA - 30°; LBAE =
5. 1. Обозначим через Sa площадь поверхности, которая образуется при вращении
отрезка а вокруг
+ я а СОг - я (Л0!
- Z.OiBA-15'; LOzBC'AS'; ЛС-flVJ; i40i=esin 15°; СОг-Ц£-.
Тогда S - ла2 (sin 15° + —) (VJ + l).
2 Я
m ctg fp cos-^
2. S 5
? 7 Я
1 + Ctg> COSZ j
577

Рис. 18
Рис. 19
6. 1. St.hp.-лВС ВО\ +nAB(AC + BOi) +nAD(AC + DO2)+nDCD02
(рис. 19). Так как AB~CD и BC~AD, то
S-лВС • ВО\ + я АВ • (АС + ВОЛ + л ВС • (АС + DOi\ + я АВ • ЕЮг -
= яВС • (BOi + DO2 + АС\ + я АВ (BOi + DO2 + ЛС) -
- л (ЛЯ -Р ЯС\ (50j + DO2 + АС\;
Р Я
ЛЯ + ЯС - ■=•; Я01 + Z>02 = АС. Тогда S = п -=? • 2АС = я Pd. Ответ: л Pd.
2.
L ctg <р г coStj-
2 2я
Ctg JP + COS -з-
7. 1. Можно доказать, что площадь поверхности, образованной при вращении
ломаной линии вокруг оси / (рис. 20) равна площади поверхности, которая образуется
при вращении отрезка MP вокруг той же оси. MP - 8а; LPMO - -у; РО «8а sin-^-.
5т.вращ. — л-РО'РМ = я-Sa-Sasinzr = 64ла sin—. О т в е т: 64ла2 sin-^-.
2. На рис. 21 изображено осевое сечение конуса. ОС - -~\ ВС — высота
аТЗ~
правильного треугольника, лежащего в основании призмы. ВС - ——. Радиус осно-
а #»3 а 1 —- v
вания конуса Л = -^ Н—=—ctg р. Высота конуса Н~-= П + V3 ctgjp) • tgjp.
578
Рис. 20
Рис. 21
'осевого сечения
ЛЯ-^ (1 + VJctgp) 2 • tg*> =^ |«*> + ^+ 2Vj);
tg p + т— = V3" -^ + —— > 2V3". SHaMJH = a2 V3~. Это достигается, если tg <p
= V3", т. e. tp = 60°. Ответ: S = -^-[tgp + -p- + 2 V3"|; 5„аим - a2V3~; <p - 60°.
8. 1. 36л aV?.
2. S-^Lr + ^+ 2VJJ; SHaMJH =^j^; p = 60°.
Задачи решаются аналогично задачам 7 (1, 2).
10
1. 1. а) (jc— 3) 2+y2 + z2 = 16. б) да; нет.
2. 13.
2. 1. а) X* + у2 + (г — 4) 2 = 9. б) нет;
2. 13.
да.
579

3. 1. (jc — l)2 + у2 + (z — V3) 2 - 4 или (jc — l)2 + y2 + (z + V3~)2 - 4.
„ aV2 cos 2a
2. ; .
4. 1. jc2 + y2 + z2 = 9 или x2 + у2 + (г - 2) 2 = 9.
oleosa
2.
2coS2
5. 1. Очевидно, что z - 0. Пусть М (xyr, z) -^ искомая точка пересечения. Она
лежит на прямой АВ. Это значит, что AM = ЫВ. AM {х — v^; у — \П\ z};
ЛВ {— 2^2"; VI; ^2"}.
х — Л = — 2куП
у — уП^кЛ
z = куП
х = —гклП + лП
у = куП + уП
г = к\П
С другой стороны эта точка лежит на сфере. Тогда (лП (\ — 2к\ \ 2 +
+ Ы1 (к+ 1)) 2 + (*VT) 2 -4. Отсюда б*2 - 2* = 0; Л, = 3, к2 = 0; *2 = 3.
[ х, - -5 VI [ х2 = V?
Следовательно, < yj = 4 ^2~ . у2 = v^
z, = 3V2" [ z2 - 0
Ответ: (—5 VI; 4 VI; 3 VI) и Wl\ \П.\ 0).
1 7
2. Отметим, что центр сферы 0\ (0; 0; х> и ее радиус равен -гг. Опустим из
12
начала координат перпендикуляр ОК на ЛЯ. OK--jr. Соединим точки С и К. В
VI44 13
--Т- + * = "Г1
12
ОМ--т*- Ом ~ расстояние от точки О до плоскости ABC. Построим 0\МХ±. СК;
OjMj — расстояние от центра сферы 0j до плоскости ABC. 0\МХ -—ОМ~
= —<_£_ Следовательно, пересечением сферы и плоскости является окружность с
2яЛТ
13 *
V49 36 VT3" „ _
— — — - -у^-. Длина этой окружности С =
2яЛТ
Ответ: да, пересекает, длина линии пересечения ———.
6. 1. (2; 1;^>; (0; 3; — |).
2 „ 2
2. Если R>-=, то сфера и плоскость пересекаются по окружности. Если R = —,
2
то сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Если Л<у, то сфера и
плоскость общих точек не имеют. Указание: задачи решаются аналогично задачам
5(1, 2).
580
7. 1. Перепишем уравнения данных сфер в каноническом виде:
(х — 1)2 + у2 + (z+ 1)2 = 4и (х + 1)2+ (у— 1)2+ (z—l)2 = 9. Первая сфера
имеет центр в точке Ох (1;0; — 1), а вторая — в точке Ог (—1; 1; 1).
Радиусы сфер R\ =2; Rz = 3. Расстояние между центрами Ох Ог - V4 + 1 + 4 - 3;
Ri — R\<0\Oi<R\ + Ri- Следовательно, сферы пересекаются. Пусть А — общая
точка этих сфер. Тогда высота Л треугольника ОхАОг есть радиус линии пересечения
АлП
этих сфер. 0102-3; OiA-2\ ОгА-Ъ. SA0M02-2V2". h-1^-. Тогда длина
_ 8яЛ Л 8я\^2~
окружности С - —=—. Ответ: —-—.
2. Пусть _ М (х;_у; z) принадлежит искомому множеству
MA = V(x - 2)2 + у2 + z2 ; MB = V(x + 4)2 + у2 + z2; 2МЛ-МВ.
2 у/(х - 2)2 + у2 + z2 = V(x + 4) 2 + у2 + z2.
4 (х — 2)2 + Ay2 + 4Z2 = (х + 4)2 + у2 + z2. Отсюда имеем, что
(х — А\ + у2 + г2 = 16. Ответ: искомым множеством является сфера
(х —4)2 + у2 + z2 = 16.
8. 1. (*-2)2+ (у-4)2+ (z-2)2«22.
Указание: задача решается аналогично задаче 7 (2).
§11
1. 1. 400я. 2. 6л.
2. 1. 676л. 2. 4л.
3. 1. 676л. 2. 4л VJ.
4. 1. 676л. 2. 36л, 36л.
5. 1. 8^2".
2. Пусть искомое расстояние равно х. Тогда радиус большей окружности кольца
равен V' Rz — х2, а радиус меньшей окружности — (R — х). Последнее следует из
того, что осевое сечение — равнобедренный прямоугольный треугольник. 5ГОльца "
— я (R — х^ — (R — х)) = 2л(— х^ + Rx). Легко догадаться, что наибольшее зна-
R R
чение этой функции достигается при х = —. Ответ: —.
6. 1. 4 и 5.
2. Пусть искомое расстояние равно х. Тогда радиус основания цилиндра равен
Площадь боковой поверхности цилиндра S ■ 2лх у/r2 — х2 —
= 2л VR£xi — х4. Рассмотрим функцию р(х) - R2 х2 - х4, где 0<х<Л. Эта
функция, а значит и площадь боковой поверхности цилиндра, достигает наибольшего
R R
значения при х = -ту. Ответ: -ту.
581

7. 1. Концы хорд MA, MB и МС лежат на поверхности шара и являются
вершинами правильного треугольника ABC. Образовалась правильная пирамида
МАВС. Пусть МО\ — высота этой пирамиды. Тогда центр шара О лежит в точке
пересечения серединного перпендикуляра КО к ребру МА {К — середина AM).
AM2
Легко доказать, что АКОМ <v> AMOiA. Отсюда Яш = МО * . Пусть длина
а
2а sin -=- т
хорды равна а. Тогда АС-Ътп— и АО\ -—^—• A/Oi-^j V3 — 4sin ^;
а2 VJ 2R V3 — 4sin2^ 2Я Vl+2cosa
Д = ,^ 2а-^дао = тз 2.= 73 .
2а * з — 4 sin -х-
2Л Vl+2cosa
Ответ: -г* .
2. л (а2 + Ь2 + с2). Указание: диаметром сфер служит диагональ
параллелепипеда, построенного на этих хордах.
8. 1. Центры этих шаров являются вершинами правильного тетраэдра, длина
ребра которого равна 2R. Центр искомой сферы совпадает с центром названного
тетраэдра. Бе радиус равен разности радиуса сферы, которой принадлежат вершины
тетраэдра и радиуса шара. Радиус сферы можно найти, например, способом, который
показан в задаче 7 (1). Ее радиус равен -п^г- Тогда радиус искомой сферы равен
Я^3~ „ „ (V3 — VI) R , rjr _ч _ R , rjr .
7Г-Л = Л[-72—j-2(V5-2).OTBerT(V5-2).
2. Суммы длин скрещивающихся ребер тетраэдра равны между собой. Указание:
необходимо воспользоваться тем, что отрезки касательных, проведенных из одной
точки к сфере, равны между собой.
§12
1. 1. 2. 2. I
л
2. 1. |. 2. 16л
3. 1. 1 -г. Указание: центр описанного шара лежит ниже плоскости основания.
6
Для нахождения радиуса описанного шара можно, например, воспользоваться тем,
L2
что Rm = -=77, где L — длина бокового ребра пирамиды, а Я — ее высота.
2Н
2. arctg
582
(si4)
<.,f
2. 676л.
5. 1. На рис. 22 изображена пирамида
MABCD. ABCD — квадрат, МС± ABC. Центр
описанного шара лежит на середине О ребра
AM (в точке пересечения перпендикуляра к
плоскости основания, проведенного через центр
Ох квадрата, и серединного перпендикуляра ОК
к ребру МС). Пусть сторона квадрата равна а.
Тогда АС - a VI. С другой стороны
АС = 2R cos 30° = R VT; а VI = R V3". Отсюда:
Рис. 22
•$%-. МС-аЛ-ъХГ-^
MD
■VJ+
Ж.
3
aV5
~7Г-
S<;0ic = MC-C£> +
^.«-^«^-^(VJ + VJ) -|&(* + Л)-*£
(VJ + VI)
Ответ:
R2 VI
(VJ + V2)
2.
(а + b)2 лГ5
Указание: апофема рассматриваемой пирамиды равна сумме
апофем ее оснований.
6. 1. Пусть МАВС — правильная треугольная пирамида. МО\±АВС. Опустим
из точки 0\ перпендикуляр 0\К на ребро АС и соединим точки М и К. L.MKO\
— линейный угол двугранного угла, который образуется боковой гранью с плоскостью
основания. Центр шара лежит в точке О пересечения биссектрисы КО этого линейного
угла с высотой пирамиды МО\. Исходя из условия -^Т7"ч- Исходя из свойств
им о
п Ю| 1
биссектрисы угла треугольника следует, что и -p-rj = ^г- Исходя из свойств биссек-
UM 5
КО\ 1 ^ 1
трисы угла треугольника следует, что и -гтгг - —. Это значит, что cos LMKO\ - -х\
Л-/И О О
0\К = ^jj. Тогда MK'-zj? = ~j~'■> боковое ребро AM" у -j- + ^- = а.
Ответ: а.
2. 4Л2 V2~.
7. 1. Легко доказать, что данная пирамида является правильной. Линия
пересечения состоит из четырех равных дуг окружностей, которые получаются при
пересечении сферы с гранями пирамиды (рис. 23). Для нахождения радиуса этих
окружностей необходимо определить расстояние от центра шара до граней пирамиды.
На рисунке РК± DMC и 00, ± DMC. 00{ - \гРК РК - МР _,
2 ME
РЕ
МЕ =
aV5
РЕ = |; MP
аУ2~
2 '
РК =
аУ2а2 _ а У2~
2-2aV3 2VJ'
О0, =
aV2~
4~73"-
V 4 4
Радиус окружности МОх - У/МО2 — ОО2 "\~ — тгч = ^П
10 \Ь'Л L V
583

м
В\
в
Рис. 23
м
Рис. 24
D)
Ъ
Oi \г
Ы*
Р D
Градусная мера каждой из дуг линии пересечения равна 120°. Тогда /-
я-а-120 па „
= т .rfr.; ofl = ТТ7Т- в таком случае длина линии пересечения равна
Ала 4naV3 „ 4яа/3~
зТТ 9~- Ответ: -^—
2. На рис.24 изображено диагональное сечение BB\D\D куба AflCZMiBiCiZJi
вместе с большими кругами вписанных шаров. М)\ LD са AOKD. Пусть радиус малого
шара равен х. Тогда -jr = не', R » ^. Отсюда О/С - х V2"; из треугольника OKZ)
имеем 0Z)- V2JC2 + х1 = х^Ъ\ диагональ куба В\D - cpTS. 0\D-x+ R + xVJ;
—=- = x + -= + jc^J. В таком случае х = -= • т* . = -~ (2-^3~) • Ответ:
|(2-Л).
9а V3~
8. 1. -r-arctg-=-. Указание: задача решается аналогично задаче 7 (1). Плоский
угол при вершине пирамиды равен Zarctg— радиан.
2. На рис. 25 а) изображен вид сверху правильной пирамиды DABC с
изображениями вписанных в нее шаров. На рис. 25 б) изображен треугольник DOM, где
DO — высота пирамиды, DM — ее апофема. Окружность с центром в точке Р —
изображение сечения шара плоскостью DAM. Пусть радиус шара равен х. Тогда
0\М- х ctg 30" = х V3. ОМ - -яр. Треугольник 0\ ОгОз — правильный со стороной,
равной 2 х; 00\ - ту; ОМ - Ох М + ООх; - гт = х V3 + -ту. Отсюда х = -г^г.
OU
т в е т: —.
584

§13
1. 1. 24. 2. 144 VJ.
2. 1. 32. 2. 54 VI.
, . d3rf _ „, _
3. 1. —o—• 2. 24 VS.
4. 1. а3 лП. 2. 40.
5. 1. Пусть диагонали основания пересекаются в точке О. В плоскости DBB\
проводим через точку О прямую, параллельную DB\, до пересечения с ребром ВВ\
в точке Е. Эту точку соединим с вершинами А и С. Сечение ЛЕС — искомое. Из
точки В опускаем перпендикуляр ВК на АС и точку К соединяем с Е. LEKB — 45°,
BE = BK = ?jt ЯЯ|-2Я£>у, V-6-8-у-460,8. Ответ: 460,8.
з V2cos la ., _
2. а • . . . Указание: из вершины С необходимо опустить
перпендикуляр СК на АВ. Легко доказать, что СК А. АА\В\. В таком случае LCB\K = a.
Дальнейшее решение очевидно.
, , 216V3" _ A3ctg2«tg/3
6. 1. -z . I. = .
5 2 cosz p
Указание: задачи решаются аналогично задачам 5(1, 2).
7. 1. На рис. 26 показано сечение параллелепипеда указанной плоскостью.
ВК± EF. /.BiKB^AS". Так как R и Т — середины сторон AD и CD, то легко
получить, что BE -9; BF^ 12. В таком случае EF-IS и J3/C-——— = ~т~;
ВВ\ - у. V- 6 • 8 ~ - 345,6. Ответ: 345,6.
2. Достроим треугольную призму АВСА\В\С\ до прямоугольного
параллелепипеда ADBCA\D\B\C\ (рис.27). В таком случае угол между АС\ и В\С равен
углу D\AC\. По условию /.ZJiACi - arccos-г^г-. Пусть АС - х. Тогда ЛС|-
= vx2 + 9, DC = AS — Vx2 + 16 и ADi - 5. По теореме косинусов имеем:
х2 + 16 = 25 + х2 + 9 — 2 • 5-V9+ х^ • ^/Г- 16 = 34 — 3\П • V9+ х^;
3V2" VsTTx7 = 18; уГ9~+~7 = 3 VI; 9+ х2 = 18; х2 = 9; х- 3.
Soch. -^ • 3 • 4-6. V- 6-3 -18. Ответ: 18.
586
Рис. 26
Рис. 27
587

Рис. 28
8. 1. Сечение показано на рис. 28. Линия пересечения EF с плоскостью основания
параллельна диагонали основания AC. BK± EF. /.ВКВ\ -60". ЕВ- 10; BF-° 24. В
«ком сл^ае EF-26. BK-S£^F = m. „,_,».£ к.,.12.»Л
•СУ1 и U 13
7200>/3~ _ 7200/3"
~ -.Ответ:
13
13
2. Поместим призму в прямоугольную систему координат с началом в вершине
С. Пусть С А принадлежит оси ОХ, С В — оси OY и СС\ — оси OZ. Тогда
Л^(3; 0; 0); В (0; 6; 0); Р (0; 3; z) (z > 0). Точка пересечения медиан М (1; 2; 0);
MP {— 1; 1; z}. Если tp .— угол между MP и плоскостью XOZ (грань АА\С\С
принадлежит этой плоскости), то sine = —U- ^-U-, где У {0; 1; 0>. MP • / = 1.
| АЛР | • | у | J
| мр | - Vi + l + z2 - V2 + Z2. ^2 p t -tj; /3" - V2 + Z2; z2 - i; z-1
(z>0). Тогда СС|-2. K-— 3-6-2-18.
Ответ: 18.
§14
1. 1. 768 VJ.
2. 1. 125.
2. ЗлЯ2.
2. 3468л
588
3. 1.
576/3"
2.
4. 1. 36.
441 /га
2.
1600л
729 "
1024л
27
Указание: необходимо доказать, что треугольник В\ FE прямоугольный с прямым
углом B\FE.
V\ = 4 - 3/3"
' К2 8 + 3/3"'
Указание: объем меньшей отсеченной части равен — от разности объемов цилиндра
и правильной треугольной призмы, вписанной в этот цилиндр.
6. 1.
9/2"
2.21
И2
2л —3/3"
10л + 3/1"
7. 1. На рис. 29 показан вид сверху на куб и описанную около него призму.
Пусть х — длина ребра куба. АС — средняя линия трапеции. АС-хуП. Высота
трапеции J3£>-jt/2~. STpan. - х /2 • х /2" = 2л2. Высота призмы равна х. Кпр.-
«= Ix2 • х = 2Х3. Очевидно, что 2х /2" = а + b x
ЪГГ'
v 2 ~Гб7Г 16 • °твет- 16 •
2. На рис. 30 заштрихована та часть жидкости, которая останется после поворота
корыта на 30°. Пусть радиус основания цилиндра — Л, а его высота — Н. Тогда
Я2//(4я— 3/3") ^
. Этот результат был получен
при решении задачи 5(1). Объем вылившейся жидкости ДК -—=
объем оставшейся части жидкости равен -
Рис. 30
589

с
в
^Я(4я-3^)=^(2гг + з^).
АК _ R2H (2я + ЗУг?)_2я + ЗУ?_1
V3~
12 • хГЙ я
+ -^ « 0,61. Ответ: «61 %.
8. 1. Очевидно, что плоскость сечения пересечет грань, которая проходит через
сторону основания AF (рис. 31). Пусть KF- х и сторона основания — а. Необходимо
учесть, что объемы призм с одинаковой высотой относятся между собой, как площади
их оснований. Плоскость сечения делит призму на две призмы. Объем призмы с
основанием
^/3
KDEF
1
составляет -т
4
от объема всей призмы. Skdef
+ -=x-a-Jb. Sabcdef
3<Г • ~2". Тогда —^— + j х a V3 = ^ ^—• 0т_
сюда находим, что х
lah
Т и КЯ-Л/тг+Зо2 =^г- Scen-KDh, где Л
4 16 4
призмы. 5сеч
7 7
По усовию аЛ - Q. В таком случае Seen ~ -т Q- Ответ: — Q.
2. На рис. 32 показан вид сверху на два данных цилиндра. Пусть диаметр
основания и высота вписанного цилиндра равна х и пусть радиус основания большего
цилиндра — R. Очевидно, что высота этого цилиндра равна х. Тогда его объем
х2 л-х3 „ _ «г „ .. _* ™г .. яД3л^2~
= „D2
К| = яД^х. К2 = л
Но х - Д^2~. Тогда Vj - яД3^2~ и К2
К2 1 „ 1
В таком случае -гт- = -х. Ответ: —
§15
1. 1.
375
8 "
2. 1. 120VJ.
3. .. 2^Д
2. 600.
2. 600.
2. 120 VI.
590
4.1.5^. 2. 250V3.
5. 1. Пусть в наклонной треугольной призме АВСА\В\С\ основанием служит
правильный треугольник ABC, и пусть LA\ AC - LA\ AC - 45". Тогда легко доказать,
что грань СС\В\В — квадрат. Обозначим длину каждого ребра за х.
х^ЯТ. 2 2 2x2V2~
Тогда Saaicic ш Saa\b\b\ ш —j~, a Scc\B\B~°x. По условию хг +—_-—-
= 4/1 + V7\. Отсюда х~2. Зная длину ребер призмы, легко найти ее высоту,
2 2
которая равна -ту. Sow -VT. В таком случае Кпр.""73"^ = 2. Ответ: 2.
2. Рассояние от бокового ребра до диагонали противоположной грани равно
расстоянию от бокового ребра до этой грани. Построим перпендикулярное сечение
призмы. Пусть d — расстояние от бокового ребра до противолежащей боковой грани,
m — сторона перпендикулярного сечения, противолежащая этому боковому ребру
и / — боковое ребро призмы. V— Snepn.ce4.-l"-^dml--^dQ, где Q — площадь
боковой грани. Тогда V — -= ■ 5-40- 100. Ответ: 100.
6. 1. Пусть в наклонной треугольной призме АВСА\В\С\ основанием служит
прямоугольный треугольник ABC (/.С - 90°) и пусть плоскость грани АА\ С\ С
перпендикулярны плоскости основания. В таком случае можно доказать, что СС\ВВ
— к:; I < т и высота призмы А\0 проектируется на сторону основания АС. Примем
х>Г5
равные ребра призмы за х. Тогда А\0 — —у—. Опустим из точки О перпендикуляр
х
ОК на АВ и соединим точки К и А\. В таком случае А\К± АВ\ АО--=, ОК-
= х . a v л/3 х^_ хУ7 ху/Т п _ хУ7.
271* Л,А>*^~~8~ TVT S>»>»|B|B = 27T- XV2 ~2~* saaiCic~
= ^-^; ScciBiB^x2. По условию ^^+-у^- + х2 = 2 (VT+ ^3"+2).
х2 xV3~ х3 V3"
Отсюда х- 2. V--= = 2—• Так как х = 2' т0 v~2^- О т в е т: 2 VI.
2. 30 уП. Указание: задача решается аналогично задаче 5 (2).
7. 1. На рис.33 МРК перпендикулярна сечению призмы. Vnp. — Smpk'AAi.
Для нахождения площади перпендикулярного сечения необходимо найти угол РМК,
т. е. угол между скрещивающимися прямыми ЕВ и FC, где ЕВ ± АА\ и FC ± АА\.
аЛ. aV3~ aVJ а
ЕВ - —г—; FC - —=—; ЕА - —-—; FA - —. Если ф — искомый угол, то cos <p -
-* -*
" i Й, i i £! 11 ЕВ " ЕА + Лв' FC = FA + АС; ЕВ ■ FC - (ЕА+АВ) • (FA+AC) -
\ ЬВ \ \ Ft \
- ЁА-FA + ABFA + ЕААС + ABAC = ^Чп"§ + а -| — -^ +
591

Bi
+ Z^L-a- (- ±) + aa\ - ^ - 2-^- - ^ (2 - 71) . Отметим, что /ЪГ>& - 135°
ллл* ,™. fl2 (2 — 72 ) 71-1 . л/~ 3-272" V2 72"
и £5цЛС-120в; cos«>- * ^ ^ ^rr~- sinp^V 1 5 и^~ ■
, аЛ аЛ 73— 8Ш*'- V * з 73"
4*^ Г
1 а73~ аП \/2уП ^76" 72" 4^ a2 4 „ о2 ftVl
л fl2^>72-
Ответ: .
4
2. По условию ВВ\D\D — прямоугольник. Из этого следует, что BD ± DD\, a
так как АА\ \\DDi, то BD ± АА\, a BD ± АС по условию. Отсюда плоскость ABC
перпендикулярна плоскости диагонального сечения АА\С\С. Поэтому высота А\0
Saaicic 30 , _ 1 . ,
призмы лежит в плоскости этого сечения. А\0 — -гр;— --^--6; оосн.-:~-4-5 =
-10; V-Socu.AiO-6Q. Ответ: 60.
8. 1. Пусть А\0 — высота призмы. Опустим из точки О перпендикуляры ОЕ
и OF соответственно на АС и АВ. Тогда А\Е ± АС и A\F ± AB. По условию
А\Е-1 и A\F— 20. Продолжим FO до пересечения с АС в точке К. Получим
прямоугольный треугольник AFK, где LFKA — 3XF. Из А.АА\Е имеем, что АЕ-24,
а из &AA\F получим, что AF- 15. Тогда из прямоугольного треугольника AFK
673"
получим, что АК- 30 и ЕК - 6. Из АОЕК имеем ОЕ - ЕК- tg 30° - —5— - 2 73". Теперь
можно найти AiOAiO-JAiE* — OEL -V49 — 12-ТЭТ; So -^-40-50-^j--
-500 73". К-50073"-737-500 7111. Ответ: 500 7ТТГ.
2. Диагональное сечение BB\D\D разбивает параллелепипед на две равные
призмы. Исходя из условия, можно доказать, что ВВ\ D\D — квадрат. Пусть диагонали
592
квадрата пересекаются в точке О. Опустим из точки О перпендикуляр ОК на АА\
и точку К соединим с точками В и D. Легко доказать, что BKD — перпендикулярное
ссчение призмы ABDA\B\DX, BD — аП. OK— tg 30"- ——; Sbko"
2° 6 ^ 6 ' p' 6 'а*° 6 ' r^a 'параллелепипеда т
О т в е т: о373.
§16
2ft3 73 tg a
27
rf3 72" • tga
/. 1. 24
3. 1. ^h
. 2a
A Sm T
4,3 2
2.
2.
2.
o3sin2a-tg/3
3
a3 . а
-g-sinacos — tg/J.
5
3'
5. 1.
A3 73 sin2 I
2cos a + 1
rf3 (1 + sin 2a)
3sin2^ • cos^ • sin 2a
2. 72 73.
2. Пусть DABC — правильная треугольная пирамида и DO — ее высота.
Построим высоту BE основания и из точки Е опустим перпендикуляр EF на ребро
DB. Точку /•' соединим с точками А и С. Z.AFC —а — линейный угол двугранного
угла, образованного двумя смежными боковыми гранями. Из подобия треугольников
DOB и EFB следует, что -ггр = -ртг- Отсюда DO -
Еж' го
ОВ = -рг. Из треугольника EFВ следует, что
EF ■ ОВ
BF '
*-V£-
,,r, a a
a2 ■> а.
-TCg22 =
а
actg-
-Г VS-ctg2^. Тогда ВО- . ~ д
73V3 —ctg2-
1УТЗ QCtgf = °3ctgf
3 4 'TJVS-ctg2^ 12V3-«b*!'
к
Ответ:
a ctg - о3 cos ^
12V3 —rfg2! 12V4sin2|— Г
6 I. 2Л3 2> °^С°4
3sin20cos0sina' ' 6V— cos a"
Указание: задача решается аналогично задаче 5 (2).
203ивВ.Г.
593

м
Рис. 346
'Рис. 34в
7. Если боковые грани имеют равные площади, то высоты этих граней равны
и вершина М равноудалена от прямых, на которых лежат стороны оснований. Так
как в основании лежит правильный треугольник, то возможны три различных
варианта, которые показаны на рис. 34.
а) О
центр вписанной окружности. АО — тр?; МО
2 ' 3 73" 2 3'
" - = v^f=2
71-
594
б) О — центр вневписанной
окружности. Радиус этой окружности может
25
быть вычислен по формуле г = г ,
а + о — с
где 5 площадь треугольника, a a, b и с —
ее стороны. В нашем случае
АО-АК+
73
71 + уП — уП
VI
71
76
2 "
76" 76"
+ /СО - -=- + — = 76" > AM.
Следовательно, этот вариант не реализуется.
в) О — центр вневписанной ок-
А„ 71 _7б" ._
ружности. АК = -=-\ г =-г-. АО"
= V-г + -г =72" = AM. Следовательно, и
этот вариант не реализуется. Ответ: -z.
Рис. 35
MP
2. Покажем, что точки М, Р и С лежат на одной прямой (рис. 35).
-* -» 1 -* 1 •* 11/-* •* у. \ ■* I"» 1 -*
АР — AM = ^ AF — ^ АВ = vi /ЛЯ + ЛСА — ±iAB = 1lAB + ^AC —
2 3 2 2 \ /3 4 4
1 -* 1 -*
U/i = i ЛС
3 4
12
PC = AC
AB (1)
1
АР = ЛС — -г АВ
4
1 -* 1 -»
±АС = ±АС
4 4
ЛД (2)
Исходя из (1) и (2) имеем, что PC — 3 MP. Это и значит, что указанные три
точки лежат на одной прямой. Аналогично и точки М, К и D лежат на одной
прямой. В таком случае речь идет о плоскости MDC, которая делит пирамиду на
две части, объемы которых относятся, как 1:2. Ответ: 1:2.
7Тб5 9. 37ТТ
4;
8. 1.
4*4' 4
Указание: задача решается аналогично задаче 7 (1), но и этом случае реализуются
все три различные возможности.
2. Рассмотрим пирамиду, изображенную на рис. 36. В пирамиде МЛ\В\С\ пло-
1
щадь основания S\ = ^"MCi -MB] -sin a.
Высота пирамиды h\ — МЛ\ -sin <p.
V\ = i'i-MCi -A«»i sin а МА\ х
х sin <р =— МС\ -МА\ sin a -sin <p.
Аналогично для пирамиды МАВС
V=^MCMBMA sinasintf).
6
Тогда
V\ MA] MB] -MC]
В нашем случае
Ответ: 1
МАМВ-МС '
Vi_ 1-3-2 _ 1
И= 4-6-5 20'
19.
Рис. 36
595

§17
256я V3 „ л
—9— 2'4-
1. 36я. 2. -
3. 1. §л V7. 2. 100 я.
. , ХЬлЛ. . 18ллЛП4
4. 1. v ■■. 2.
л ■ а3 • sin 2 2/? • cos/3 • sin2 —
5. 1. — L
12 sin2 f/3 + f)
2. 60°. Указание: необходимо доказать, что большее основание трапеции
является диаметром основания конуса.
, . 144л
6. 1.-5-.
2. 45". Указание: необходимо учесть, что суммы противоположных сторон
трапеции должны быть равны. Если меньшую из боковых сторон принять за х, то
х = 6. Отсюда х - ■=- и радиус основания конуса равен —. Остальное
решение очевидно.
7. 1. По условию сечение наибольшей площади не совпадает с осевым сечением.
Значит угол между образующими в этом сечении прямой. Пусть сечением является
треугольник АВМ, где М — вершина конуса. Опустим из центра основания О
перпендикуляр ОК на АВ и точки К и М соединим. Z.MKO = arccos -та-. Треугольник
IV2 1
АМВ — равнобедренный и прямоугольный. МК — ——. МО — МК ■ sin (arccos -те-) —
= --- • -ту = -ту.; Радиус основания конуса К = ВО •= V/ — -= / —
/^2" /л^ ОК 1
= -ту-; 0/С = ^-ту ; cos/L КОВ = jr= =—. Следовательно Z.AOB™ 120" и ЛЯ —
сторона правильного треугольника. В таком случае треугольник АМВ есть грань
правильной треугольной пирамиды, вписанной в этот конус, причем боковые ребра
/Э
этой пирамиды взаимно перпендикулярны. Ооъсм пирамиды равен —. Объем конуса
о
2 /VI л
Объем отсеченной части
равен 1Я* // = - -т-- ^-— 27—
^^(Т-Т)-^^^-9)- Ответ: ^(4л^З-9).
596
2. На рис. 37 ЛМ, FO и МО соответственно
образующая, высота и радиус основания конуса.
Зная длины сторон треугольника СМВ, можно
найти радиус описанной около него окружности:
25
МО - —• Из треугольника АМЕ, где AM - 10,
ME — 8 и Л/? - 6 \^3~, находим косинус угла АМЕ:
108=100 + 64
280 cos /LAME, cos LAME - =г.
Тогда lg L АМЕ =
25 3V19
3^39
7
75^39"
FO - MO • tgZ. ЛМ£ -
625 75 \^39
Рис. 37
4 7
15625 л \^39
448
It
28 '
Ответ:
15625л VJ9
16
28
8. 1. -^(8л + 3VI).
448
2.
15625 я л^17
18 v"" ""' - 1344
Указание: задачи решаются аналогично задачам 7 (1, 2).
§18
26л/3~
1.
2.
3.
4.
1. 456.
1. 168 \f3~.
, (а3-Ь3)
12
j 7m3V2~
tf*
2- з.
„ 560 я
1' 3.
2. 576 я.
2. 8064л.
5. 1. Достроим усеченную пирамиду до полной пирамиды, частью которой
является данная усеченная. Можно найти, что объем такой пирамиды равен
108 V3. Плоскость верхнего основания усеченной пирамиды делит объем полной
пирамиды в отношении 1 : 27 (стороны основания относятся как 1:3). В таком
случае объем усеченной пирамиды К—■==■ • 108 \^3 - 104 \f3~. Ответ: 104 ^3".
2. 54 уГ5.
6. 1. 268,8. Указание: задача решается аналогично задаче 5 (1). Объем полной
1536 - „ „7 1536_0,ов
пирамиды равен —-—, а объем усеченной пирамиды V - — • —-— = 268,8.
2.
32000 л \^3"
3.
7. 1. На рис. 38 плоскости ЕА\Р и FJSiL перпендикулярны к плоскости основания.
Многогранник AA\DBB\C разбился этими плоскостями на прямую призму EA\PFB\L
597

м
Рис. 38
и две равные пирамиды A\AEPD и B\BCLF. Пусть высота усеченной пирамиды
2
равна Л. Тогда объем призмы V'--^ahb, а объем пирамиды V"-
= Та ' Q 2 h~ Ta(fi — b)h. Объем многогранника AA\DBB\C: V\ + V + 2К' -
= -=- + ——5~-— = -у- (А + 2а). Объем усеченной пирамиды V- —=- (cP+al+b2).
Объем второго многогранника, который дополняет рассмотренный многогранник до
усеченной пирамиды Уг^-^иг + аЬ+Ь) — -та(Ь+2а\ = -тЬ (а+ 2Ь\.
V\ а (Ь + 2а) _ а (Ь + 2а)
в* —i - Г) Т В Р Т- — —
V2 Ь(а+2Ь) е Ь(а+2ЬУ
2. —т—. Указание: объем тела вращения может быть получен, если из
объема усеченного конуса, полученного вращением трапеции ОВСО\ вокруг оси /,
вычесть объемы конусов, полученных вращением треугольников ОВА и 0\СА вокруг
той же оси (рис. 39).
8. 1. —. Указание: задача решается аналогично задаче 7 (1).
„ Зло3 , ,
2. —Q—. Указание: объем тела вращения может быть получен, если из объема
цилиндра, полученного вращением прямоугольника AEFC вокруг оси /, вычесть
объемы двух усеченных конусов, полученных вращением трапеций АЕОВ и CFOB
вокруг той же оси (рис. 40). Следует отметить, что LAOC — 60°.
598
0
л
А
0\
с
30
<^r A
<U Л
30" С
а
Рис. 39
Рис. 40
§19
1. 1.
128л
2. 1. 12 я.
3. 1.
52л
3 '
2.
2.Д
9
2. 36я.
Рис. 41
4. 1.
50л
3 "
2.
62500л
81
5. 1. На рис. 41 изображено осевое сечение рассматриваемой фигуры.
SoiKOz ~ '26, КО - 12; 00\ -5; ООг = 16. Высота первого сегмента hi - 13 — 5-
i, „ * 1, .л Л о 8\ 1984л „
■=8. Тогда его объем V\ = л-64 13 — -х\ =—г—. Высота второго сегмента
/12 = 20 — 16 = 4. Тогда его объем Уг — л• 16 20 — -~\ = —-—. Отсюда объем
I/-1984 а.896 -ПАЛ., Л ПАП
двояковыпуклого стекла V — —=—яН—=— л = 960л. Ответ: 960л.
2. Пусть R — радиус вписанного шара, <р — величина угла между образующей
(В
конуса и плоскостью основания. Радиус основания конуса г = R ctg -j. Высота конуса
599

м
Рис. 42
H-R ctg^ ■ \g<p\
VKO„vca4^2ctg2! • RC*1 ■ *<P = nR t8^
3tg
3<P
2 л R3 „ 4 „з „
^—7 jrrS "шара "-~ л R . Исходя из условия, имеем
3(«2^ 1-tg'
5(
9 г<Р
-—у = 7- Пусть tg -= = а >0. Тогда получаем уравнение
9az — 9а + 2 = 0, корпи которого а\ -■=, a-i - —, tgy = -™- и р = 60° или
tg -^ = -г- ир = 2 arctg -г-. Ответ: 60 или 2 arctg -=-.
1444я
6. 1. —г—. Указание: необходимо учесть, что центры шаров лежат по одну
сторону от плоскости окружности, по которой пересекаются их поверхности.
2. я — 4 arctg — или я
^3 „
4 arctg -j-. Указание: задача решается аналогично
задаче 5 (2).
7. 1. Данная пирамида изображена на рис. 42. В любой тетраэдр можно вписать
3 V
шар. Радиус этого шара R может быть вычислен по формуле R - —=-, где V —
объем тетраэдра, а 5 — площадь его поверхности. Из точки К опустим перпендикуляр
на сторону ВС и продолжим стороны АС и АВ. Тогда по теореме о трех перпеп-
дикулярах можно доказать, что MD ± АВ, ML ± AB и MP ± AC. KD - 2 — +
♦ £-»-$«-.-?-?-.
2VI- ГР ] VA - 1 ^ И
—д-• Кг - — КА — 1 ——. Из треуголь-
600
М
Рис. 43
ника MKD: MD
VXT
2VT 3
3 36
1>Г5
MKL: ML-MP
VaT-^+!) ■
б
2VT
3
. Sdmc =
7_/3
12 -
Из треугольника
4м а с
4а/ л в — -~~, о
2V3 7
12 + 4 ~ 2 ' *3 4 V з 12 V з '
Л =
lb•V4 • 2
4-^3■3V3
=2
1/2
3 . Smapa = 4я - 2
5/2
2л Л 2л
971- Ответ: ^j.
2. Объем полого шара ^"o"71 {К* ~~ ^)" Так как толщина стеиок 3 см' т0
г=6см. Тогда К=~л (729 — 216) - 684 л см3. Вес шара Р равен 684 яр (г),
где р — плотность материала. Погруженная в воду часть шара есть шаровой сегмент,
объем которого Кс=л • 144 19 —-у] = 720 л см3. Выталкивающая сила
F =720 я • 1 =720 я (1 г/см3 — плотность воды). По закону Архимеда P-°F, т.е.
684 л • р~ 720 я. Отсюда р « 1,05 г/см3.
4 я
8. 1. —. Указание: задача решается аналогично задаче 7 (1). Необходимо учесть
КЕ= КР- KF (рис. 43). Тогда высоты боковых граней пирамиды равны между собой
и Sec* -^ • РавсМР.
601

2. Пес полого шара Р - - тг (л3 — г2) • d, а выталкивающая сила F-
-д»гЛ3-1. Так как Я»/; то ~л (я3 — г5) d = |тг Л3; 2 (л3 — г3) с/ = R3;
2<' - (f)3)rf= '• $'" ' -Ь \ '^4i " '-«^. Тогда №
щина стенок шара Л - Л — г = Л fl — ^\ —~ ]. Ответ: /?fl— Vl — )
§20
1. 1. 2х - Ъу + z - 10 = 0. 2. arccos -^J?-.
42
7 /"^
2. 1. т = -. 2. arcsin у.
3. 1. Можно доказать, что расстояние от точки А (хо\ уо; zo) до плоскости
ох 4- by + cz +d = 0 может быть вычислено по формз'ле
ип - I e*o + byo + czo + d | 1—2 — 3+4—11 2
rfo у&трт?—■ в иашем случае d0 = —V4 +1 + 4—L -f * *
(Л- 1). Радиус сечения г = V/?2 - dg =у; Х = у. Ответ: —.
2. Общий вид уравнения плоскости, которая параллельна оси OZ:
оде 4- by + rf = 0. Так как точки А (1; 0; — 2) и /МО; 3; 1) принадлежат этой
плоскости, то a + d = 0и ЗЛ 4- с/ = 0. Отсюда о = — с/ и 6 = — -.
Тогда имеем — с/дс — - .у 4- с/ = 0 и так как d* 0, то получим Зх 4- у — 3 = 0.
Ответ: 3jc 4- у — 3 = 0.
4. 1. Указание: необходимо доказать, что расстояние от центра шара
М (3; 2; — 4 ) до указанной плоскости равно 6.
2- у — z — 2 = 0. Указание: задача решается аналогично задаче 3(2).
5. 1. Пусть А\ (x;y;z) — искомая точка и пусть отрезок АА\ пересекает
указанную плоскость а в точке Л Вектор,^ перпендикулярный плоскости,
п {1; 1; —1}. Так как АА\ ± a , то /Mi = Ли; ЛЛ] {к; к; —к}.
С другой стороны АА\ {х — 1; у — 1; z — 1}.
Тогда имеем х - 1 = Л и у - 1 = * и z -1 = - Л , т. е. х = * 4- 1, ji = Hl и
z = 1 - к.
602
!к + 2 к + 2 2 к\
Точка Р является серединой отрезка ЛЛ1 и Р —-—;—-—;—-— . Так как
Н2, к+2 2— к „ Л л .
точка Р принадлежит плоскости а, то —- Н —г г 2 = 0. Отсюда к -
2 5 5 1 Л .,551,
- 3 и х = Т, У з; г= Г °ТВет: Al <3:3;3)-
2. Указанная прямая пересекает ось ОХ в точке Л (— 1; 0; 0) и ось OY в
точке В (0; 1; 0). Точки Л, В и М определяют плоскость ojc 4- fty + cz + ^ = 0.
Так как указанные точки принадлежат плоскости, то — о 4- а* = 0 и Н(/ = 0и
a + b—2c+d = 0
Отсюда следует, что о = d и b = — с/ и с = -
В таком случае уравнение плоскости имеет вид: 2х — 2у 4- z 4- 2 = 0.
Ответ: 2дс — 2у 4- z 4- 2 = 0.
6. 1. Пусть Р (x;y;z). Так как точка Р лежит на прямой EF, то
ЕР = к ■ EF, EF {1; 1; 2}, ЕР {х — 1; у+2;г— 1}.
Отсюда
jc—1=/с, у+2=*иг— 1 = 2А: х = к+\, у = к — 2 и z = 2* + 1
С другой стороны точка Р лежит на плоскости, а потому
* 4- 1 — 2/* — 2\ 4-2* 4-1-3 = 0 и к = — 3. В таком случае
jc = — 2, 3' = — 5иг=— 5. Ответ: Р (—2; —5; —5).
2. Пусть искомая плоскость имеет вид: ax + by + cz + d = 0. Так как плоскость
х — 2у + z — 1=0 и искомая перпендикулярны, то векторы, перпендикулярные
этим плоскостям, п\ {а; Ь; с} и пг {1; — 2; — 1} тоже перпендикулярны между собой.
Тогда а — 2Ь 4- с = 0. Кроме того, координаты данных точек Е ч F удовлетворят
уравнению плоскости, т. е. а — b+c+d=0n 2а + b — с 4-е/ = 0. Решив
полученную систему уравнений, получаем уравнение искомой плоскости
2х + Зу + Az — 3 = 0. Ответ: 2х + Зу 4- 4z - 3 = 0.
7. 1. Пусть МО — высота пирамиды. Поместим пирамиду в прямоугольную
систему координат. О — начало координат, ось ОХ сонаправлеиа с лучом ВА, ось
OY — с лучом AD, а ось OZ — с лучом ОМ. Напишем уравнение плоскости DMC
D (1; 1; 0); С (— 1; 1;0); М (0; 0; 1). Координаты этих точек удовлетворяют
уравнению ах 4- by + cz 4- d = 0. Имеем систему уравнений
а + b + d = 0, — a + b + d — 0MC+d = 0. Отсюда можно получить, что
уравнение плоскости имеет вид: у 4- z — 1 =0. Вектор, перпендикулярный этой плоскости
п {0; 1; 1}. Если <р — искомый угол, то sin<р •? . '■* . . ■!».; AM {— 1; 1; 1}.
I 1 4- II уГЕ . уГЕ л . VE
sin tp - W п* = ~а~; ¥> = arcsin "Г"- Ответ: arcsin -~-.
2. Так как искомая плоскость должна быть параллельна направлению вектора
т, то в плоскости должна быть прямая, параллельная этому направлению. Для этого
найдем третью точку С искомой плоскости как образ точки Л (1; —1; 1) при
параллельном переносе на вектор m {3; 1; — 1}: С (4; 0; 0). Теперь мы имеем три
603

точки А, В и С, определяющие искомую плоскость. Теперь достаточно просто
нааписать уравнение этой плоскости. Ответ: х — 5у — 2z — 4 = 0.
8. 1. 60°. Указание: необходимо поместить пирамиду в прямоугольную систему
координат и найти уравнение плоскостей AMD и DMC. Тогда, если п\ и иг —
векторы, перпендикулярные этим плоскостям и <р — искомый угол, то cos <p -
_ | п\ ■ пг\
I п\ | • | иг Г
2. Найдем две точки А и В, принадлежащие линии пересечения плоскостей.
1) Пусть х = 0. Тогда — у+ z— I =0 и у — 2 — 2 = 0
Отсюда у = — 4; z = — ЗиЛ (0; — 4; — 3).
2) Пусть z - 0. Тогда
Отсюда дс=1 и у=1 и Б (1; 1;0). Плоскость, проходящая через точку М,
должна быть перпендикулярна вектору АВ {1; 5; 3}. Тогда уравнение плоскости имеет
вид 1 (jc — 1) 4- 5 (у — 1) + 3 (z — 1) = 0, т. е. х + 5у + Ъг — 9 = 0.
О т в е т :х + 5у + Ъг — 9 = 0.
\2х — у—\ =0
i jc+ у — 2 = 0 '
604
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К РАБОТАМ НА ПОВТОРЕНИЕ
№
1. 1) скрещивающиеся, 2) скрещивающиеся, 3) скрещивающиеся.
2«2
2. Прямоугольник; -_—.
3. 1) 60°
2v/T
2) arctg-g-.
3^7
4. arcsin ~=~. Возможен ответ: 90°
arctg
2x^3"
5. Для нахождения угла между АВ и DC проведем прямую 1\\ЛВ (рис. 44). Угол
между DC и / является искомым. Из точки В опустим перпендикуляр BE на / и
а + —г- =
- ^-; BE = ~-\ СЕ = §. Тогда tg L DCE - ^| - V7 и Л/ХЖ - arctg ^7.
Ответ: arctg V7.
6. Плоскость CDE\\AB. Расстояние между прямыми АВ и DC равно расстоянию
от прямой АВ до плоскости С/.)/?. Можно доказать, что оно равно высоте ВК
треугольника DBE (рис. 44); ВК" ——-—г——==— = —-—.
Отвс т:
ауПТ
4. 1. !) скрещивающиеся, 2) скрещивающиеся, 3) пересекающиеся.
Рис. 44
605

м
Рис. 45
2. Прямоугольная трапеция;
3a2V5
3. 1) arctg2. 2) 90°.
4. 30°.
5. 60°.
aV3
6. —5—• Указание: задачи 5 и 6 решаются аналогичнно задачам 1 (5, 6).
3. 1. 1) скрещивающиеся, 2) скрещивающиеся, 3) параллельные.
^ „ * 3o2VT
2. Равнобедренная трапеция; ———.
VI 2 V3"
3. 1) arctg—; 2) arctg-у-.
4. 45°.
5. Все необходимые построения показаны на рис. 45. ОК - —-—; МО — —^—;
МК
_ JM ISZT ^
4 16 4
, KD » —, tg^ MDK- — » 4.аЛ = vOT; ^М/Ж=
= arctg \ПТ. Ответ: arctg VT7.
6. Расстояние между ВС и MD равно высоте ZW треугольника АМВ. Необходимо
учесть, что ВС \\AMD, a BN есть расстояние между ВС и плоскостью AMD, т. с.
ovfJ
расстояние между указанными скрещивающимися прямыми. Ответ: —-—.
606
D
4. 1. 1) Скрещивающиеся, 2) скрещивающиеся, 3) скрещивающиеся.
о2 -JT5
2. Равнобедренный треугольник;
16
V6"
3. 1) arctg 2. 2) 2 arctg-у-.
4. arctg
VW
13 '
15
5. 1) 90°. 2) arcsin—- Указание: смотри построения, данные на рис.46.
4
6.
aVb
№2
1. 1)
V2" 1
2) 8 (13 + V3T). Указание: целесообразно построить перпендикулярное
сечение призмы и находить площадь боковой поверхности как произведение периметра
перпендикулярного сечения на боковое ребро.
3) arcsin
10
-»М-
2) 8 (^3" + ^7)
2^3"
3) 2 arctg —j-.
607

3. 1) 24 (■/Б + у/Т5\. Указание: площадь боковой поверхности целесообразно
находить суммированием площадей боковых граней, учитывая, что грань СС\В\В
является прямоугольником.
2) Л-1
\г 5
3) —г—. Указание: искомым расстоянием является длина высоты
треугольника, полученного при построении сечения, указанном в предыдущем пункте.
4. 1) тг-*"т^- Указание: плоскость сечения пересекает плоскость основания но
биссектрисе AFiO&AF), которая делит сторону основания в отношении 5 : 6. В
таком случае SAFB =-jj «SUac-
2) 128.
3274Т
3) arcsin
205
№3
1. 1) 32л V3 . 2) 180" V3"» 311-46'. 3) y-"^- 4) 256* .
2. 1) 64 л. 2) 2arctgi»35019'. 3) да, можно; ~^ = -f. 4) 128*.
3. 1) 100л . 2) 6 " . 3) 180"; 15 и 5. 4) Пусть ABCD — осевое сечение
усеченного конуса. /ID-15; ВС — 5; /Ш-СЛ-10. Радиус описанного шара равен
радиусу описанной около треугольника ABD окружности. BD =
- Vl00 + 225 —2 • 10 • 15 ~ = 5 VT; 5 V7 = 2«w • sin 60°. Отсюда Rlu = ^- и
_ . 25 • 7 700 я п 700 тг
5 - 4 л • —5— = —з—" Т В е т: —3— '
4. 1) 36 л уП.
2) 36. Указание: наибольшую площадь имеет осевое сечение.
V* 1
3) —-- —
4) Пусть треугольник АМВ — осевое сечение конуса. Тогда радиус вписанной
окружности является радиусом вписанного в конус шара. Центр шара делит высоту
конуса в отношении 1 : \П, считая от основания (используется свойство биссектрисы
угла треугольника). Отсюда следует, что Rm - /у , . = 6 hffi—1); Vm =
- 4 л Я3 - 288тг(\^2~ — I)3. Ответ: 288 (VI — I)3.
608
№4
ill, ^
1. 1. 1) arccos -7-.
6
2. Очевидно, что С{ (3; —2; 5), Вх (—1; —5; 5) и £ (2; 0; 5). ЛЕ {1; —2; 3};
СВ[ {— 4; 1; 3}. По условию плоскость перпендикулярна СВ\. В таком случае, если
| АН ■ СВх | -► -+
#> — искомый угол, то sin <р *= . г» . г-^^*—г, ЛЕ • C#i = — 4 — 2+9 = 3.
-> 1— -> 1— 3 3 V9T 3 V9T
| AE I = V 14; I C#! I = V 26. sin <p = ■ .^ = 2 ; p =arcsin . Ответ:
. 3V9T
arcS,nT82~-
2. 1. 2) Пусть E — середина AC, a F — середина MB. FF=- (AM + CB\;
EF2 = - (AM2 + СЯ2 + 2 • AM • C#). В пункте 1) было доказано, что AM ± СВ.
Поэтому EF2 = ^ (4а2 + а2 + о) = ^-. Отсюда: £/•'= ^_—. Ответ: ^_—.
2. Основание пирамиды ABCD лежит в плоскости z = 2. Тогда, исходя из
условия, следует, что высота пирамиды h - 3. ЛС {— 2; 4; 0}; BD {5; 0; 0};
| АС | = 2 V54, | BD | = 5; ЛС • BD = — 10. Если <р — угол между диагоналями
\АС-вЫ 1 _ 1 . _ в_ .
основании, то cos у> = J* , j+ , = ^у. 5осн. --^ ■ АС ■ BD • sin jp;
sin ip = V 1— J -75-. 5 = ^ • 2v^ -5 -^-= 10. И„--| • 10 ■ 3- 10.
Ответ: 10.
3. 1. 1) arccos -5-.
8
2. arcsin -г-. Указание: необходимо куб поместить в прямоугольную систему
координат и учесть, что диагональ АС\ перпендикулярна плоскости A\DB. Тогда,
| АЪ\ ■ EF\
если <р — искомый угол, то sin <р = , -*—, , w^,,.
~> -»->->
4. 1. 1) Разложим вектор ЕМ по базисным векторам АС, АВ и AD.
-> -> -» 1,"> "♦ -» v 1"> 1"> 1 -* 1 -*
ЕМ= AM — AE = ir (АВ 4- АС + AD) — ~ АВ = ^ АВ 4- -'- ЛС — ± AD =
3 \ /233 о
= ^ ЛД + ЛС — ^ ЛЛ ;
ЕМ2 = ^ [ АВ2 4- ЛС2 + ^ AD2 + 2ABAC — ABAD — ACAD
1 (л , г . а* , г о2 о2) о2 cw о гч о
= 9^ + с +T + fl T-yj шТ-ш'г 0твст: г
V33"
2. arccos .. . Указание: пусть МО — высота пирамиды. Тогда целесообразно
точку О принять за начало координат. Ось ОХ направить по лучу, сонаправленному
с лучом ОА, ось OY направить по лучу, сонаправленному с лучами ВС и AD, a
ось OZ — по лучу ОМ.
609

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ
№1
1. 1. 60°.
2. 1) 90°. 2) -^-.
4
3. Пусть А (0; у; 0) и пусть ф — искомый угол, sin jp = | cos (Ab\f\ |;
-> -* I — vl 1 v2 1 *6
АВ {1;-у; 1}; j {0; I;0>; sin ? ~ ^2 + у 2 • 1 =2: ^ = «' °m* * = ± "з"'
^6 \^6
Ответ: (0; -5-; 0) или (0;—-5-; 0).
4*. Пусть а {6к; Ы; — 7,5*}. у 36*2 + 64*2 4-^/t2 -^1*1 ■ По Усло™ю
25 -> ■*
~^-\к\ =5, отсюда \к\ - 4. Угол между вектором а и вектором у{0; 1;0} тупой.
Это значит, что ti-j<0. Имеем 0 4- 8к — 0<0. Отсюда к<0 и к = — 4. Ответ:
а{— 24; 32; 30}.
2. 1. 1) 180° —arccos Jq
2) лП.
-> -> -*
2. Рассмотрим базисные векторы С А, СВ и СС]. Пусть AC=CB=BB\= а.
-> -»
->->-> ->->-» \AB-CB I -* -*
АВ = СВ — СА; СВХ = СВ + СС\. cos <р - , j» , , J ,; ЛЯСЯ] =
| АВ | • | C#i |
= (сЪ — СА) /СВ + СС,) - а2 — а2 (— -У + 0 — 0 = —-. \ АВ\ - а у[Ъ\
■ ^г. 1 rz За2 V6~ „ ^6
CBi = а V 2. cos «5 = ——т= ~ ~г- Ответ: arccos —7-.
11 r 2aV3aV2 4 4
3. Пусть А (х; х; 0) и пусть <р — искомый угол.
sin<p = |cos(i4B; «Tl m-i(U 0; 0), Г{1;0;0}; ЛЯ {* — 1;jc— 1;— 1}.
I x— 1 I 1 (x— \\2
smtp
, \x-\i = ^; (X~l\ -|. 4(*-1)2 = 2(*-1)24-1;
V2(x-l)i + l 2 2/;_!|4+1 4
, V2~ V VI ^
1)2 = 1; jc— l = ±-_-; x=l+ — ш
Л (,♦£, +£0)и». *(!-£;. -f;0)
-Л. Л. -Л.
2(jc—1)=1; jc — 1 = ± -=-; х-\+ — или х = 1 =-. Ответ:
4*. Пусть ОМ {.v; у; z}. Из условия следует, что 7дс = 0 и 3z = 0.
Следовательно, искомое множество есть пересечение плоскостей OYZ и OXY, т. е. ось OY.
Ответ: ось OY.
610
3. 1. 2^5.
ом ^ оч ^
2. 1) arccos ——; 2) -—.
5 4
3. A (OiO^V^) или Л (0;0; — 2yfZ).
JS. _J0. ГЗ
l3' 3 ' 3
_> в 10 13
4*. ft {—; ——; —}. Задача решается аналогично задаче 1 (4*).
2/22" г-
4. 1. 1) arccos—ту—; 2) V5.
2. arccos——.
4
3. М(уП+ 1;0;/2" + 1) или М (1 — V2; 0; 1 — лП).
4*. Ось 0ЛГ.
№2
1. 1. An (V2 +4).
2. 1) 4 л Я sin 0>-cos#>.
R2
2) —. Указание: так как угол р = 30", то наибольший угол между
образующими тупой, а потому наибольшую площадь имеет сечение с взаимно перпенди-
/2
кулярными образующими. Площадь такого сечения равна -х-.
3*. Точки А, В и С имеют координаты A (V^; 0; 0), В (0; V^; 0), С (0; 0; 3).
Из точки О опустим перпендикуляр ОК на АВ и точку К соединяем с точкой С.
,nvr. „ „„ V3 V2" /6 ОС 3-2 ,
/-СКО *°<р — искомый. 6Ж - —-— = -»-. tg <р = -=—• = -^ = 6. Ответ:
<р = arctg Vr3.
2. 1. 48тг^2.
2. 1) 18 R2 /3". 2) ?r«VT.
3*. Уравнение сферы имеет вид: (х— \\ + (у — 2\ + z2 = 32. Центр сферы
О (1; 2;0). Пусть 7 — точка касания. Тогда треугольник ОТМ — прямоугольный
{LOTM - 90°). ОМ - /бТГТТТб = 9. Л/7' - V8T~"32 =7. Ответ: 7.
3. 1. 4 я а2 уГз.
2. 2) -If^-. 2) 30».
3 sinz2a
3*. Находим координаты точек А и В. А (0; — 2; 0). Точка В, принадлежащая
сфере, имеет координаты (l;l;z). Исходя из уравнения сферы имеем:
611

0+l+z2 = 5;z=± 2. Так как z> О, то В (1; 1; 2). АВ - VT + 9 + 4 =/14. Длина
перпендикуляра, опущенного из точки # на плоскость XOZ, равна 2. Если <р —
2 /ГС . /ГС
искомый угол, то sin<p
/ГС
7 '
Ответ: a resin
VTT = ~7~; * = arcsin ~Т
4. 1.
Зтг/5"
2. 1) 6а2. 2)
Зяа2
16 '
3*. Данная плоскость пересекает плоскость OXY по прямой, проходящей через
точку К (4; 2; 0) и пересекает ось ОХ в точке Л, а ось 0У — в точке В. Исходя
из условия, треугольник ЛОВ — равнобедренный прямоугольный, причем О А = ОВ~=
- 6. Высота этого треугольника ОР равна 3v2. Это и есть расстояние от центра
шара до данной плоскости. с/-3/2"<Л. Тогда радиус линии пересечения
г = V R1 — (F = V25 — 18 = VT. Отсюда длина искомой окружности равна
2 л VI. Ответ: 2 л VI.
№3
1. 1. 192.
2nd3 tget
z. j •
cos a-tgp
3*. На рис. 47 LDEO — 60" — линейный угол двугранного угла, образованного
плоскостью боковой грани и плоскости основания. ЕО\ — биссектриса этого угла,
0\ — центр вписанного шара. 0\0"0\К (0\К± DC) — радиусы этого шара.
МК — радиус окружности, по которой поверхность шара касается боковой
поверхности пирамиды. L.MO\ К - Z.DEO - 60°.
1
МО
0\К — расстояние от центра шара
до плоскости
4/3
3 '
Лсегм. "" ■'mii —
4-3
Ответ:
ОЕ tg 30°
МОх
4/3
4/3 2/3 2/3
3
2/3"
9 \ 3
40 л /3
27 "
3 3
40 я/3
27 "
2. 1. 1024.
я 7? cosa-tgy?
Рис. 47
612
3*. Диагональ призмы является диаметром описанного около нее шара и
равна 8 VS. Так как плоскость, перпендикулярная к диагонали, делит ее в отношении
1 : 3, то высота меньшего сегмента, отсеченного этой плоскостью от шара, равна
2 VS. Радиус тара равен 4 V5. Исегм. - л• 20 4 V5 г— = .
Ответ:
3. 1.
200 л /5
4. 1.
3
2048
9
2 л т3
cos3
320 л
81 '
16/6
3 '
л h3 ctg
v'cosp
2
2<Р
Указание: задача решается аналогично задаче 1 (3*).
3 cos
2£
2
3*. Центр описанного шара лежит на середине высоты призмы, проведенной
через центр описанной вокруг основания окружности. В таком случае
Rlu = V pr + R2 , где II — высота призмы, a R —радиус описанной вокруг
4/2 */ 32~ 5 VI
основания окружности. Н — 2/2", a R — —-z—; Rlu — у 2 + -^- = —«—. Расстояние
от центра шара до боковой грани равно радиусу вписанной в основание окружности,
2/I„ t5/2"2/2"^„
т. е. ——. В таком случае высота сегмента п ~ — —т— = * 2. Исегм -
„ /5/2 /2\ 8я/2" 8л/1
= 2 л \ —-— — —г- = —-—. Ответ: —г—.
№4
1. 48.
2. 12/7.
3. arccos—.
4
4. 36.
625 л
5. -у-.
6*. На рис. 48 изображена правильная четырехугольная пирамида DABC.
Плоскость EMF (ME и MF — апофемы пирамиды) перпендикулярна плоскости основания.
ЕК ± MF. Можно доказать, что EK1.DMC. Через АВ и ЕК проведена плоскость,
которая пересекает плоскость DMC по прямой /, параллельной АВ. В этой плоскости
строим ВР\\ЕК. Тогда ВР ± DMC и LBDP = <p — угол между BD и плоскостью
613

м
м
Рис. 49
DMC. Необходимо учесть, что ВР - ЕК; MF-4; MO-VT. EKMF = MOEF.
MOEF vT-6 3vT BP 3vT vT4 vT4
sin <P = UK = ОТТ7ГТ - -5- ;? " ar
Отсюда £/C -
Ш-'
ЙЯ 2-6/1 8
8
Ответ: arcsin
vT4
2. 1. 6/39".
2. 12/3.
3. arccos—.
4. —12
_ 32я
81
(VTT — 2)3
6*. Па рис. 49 изображена правильная треугольная пирамида МАВС. МК —
апофема пирамиды. В плоскости АМК проводим ЛЕ ± МК. Можно доказать, что
АЕ ± ВМС; МК = Ш\ ЛО-4; МО-Ъ. АКМО-ЛЕ ■ МК. АЕ - АК'!^° - 4гт -
МК V13
LACE"(p —угол между АС и плоскостью ВМС.
13 "
ЛЕ 18/И
*Ш<Р = АС = ТГШ
3 /39~ 3 /39
<р = arcsin —^—. Ответ: arcsin
плоскостью
3/39
26
26
26
2. 1. 32 vT.
614
2.
128 VI
3. 2 arctg
/6
4. 48.
2048/3
5' 27 •
6*. На рис. 50 изображена правильная четырехугольная пирамида MABCD.
ЕК J. DMC. Плоскость, проходящая через ЛВ и ЕК, пересекает плоскость DMC по
прямой 1\\АВ. В этой плоскости строим АР \\ ЕК. Тогда АР 1. DMC и LAMP = <p —
угол между AM и плоскостью DMC. ОС = 4; Ж? = 4/3"; /1С - 8; /<;/•'= CD = 4/2;
FC -2/1. MF = V64— 8 = 2 Л?; £К • MF = МО ■ EF. Отсюда ЕК -
MOEF 4/3-4/2 8/3 .„ ... ЛЯ /27 vTT
——; р = arcsin —=-
MF
Ответ: arcsin
MF
4V3-4j/I
2 /14
-8=2 /T?;
vTT
4. 1. 6/3.
2. 3.
3. arctg-y.
4. —3.
. 4
5. 3Я.
Рис. 50
Рис.51
615

6*. На рис. 51 изображена правильная треугольная пирамида МАВС. ВТ ± АМС.
Через середину ВС точку Е строим прямую, параллельную АС. Она пересекает ВК
в точке F. В плоскости КМВ строим FD\\BT. Тогда FD ± АМС. Плоскость, проходящая
через FE и FD, пересекает плоскость АМС но прямой l\\EF. В этой плоскости
строим EP\\FD. Тогда ЕР ± АМС, причем EP—FD. Z.PME = <p — угол между ME
и плоскостью АМС. MO-VJ; ВК-3; МЕ = МК=2; ВТ ■ КМ = МО • KB; ВТ =
МОКВ /З'З 3/3 пп 3/3 „„ „, „„ 3/3
—— = —=— = —=—, PD —, а так как ЕР - FD, то ЕР j-.
КМ 2/4 4
РЕ 3 V3 3 VJ 3 V3
sin <р = -rji- = —^—'■> <Р = arcsin —-—. Ответ: <р = a resin —-—.
ME 8 8 8
СОДЕРЖАНИЕ
КЛАСС 7 5
Задачи для урока 7
Контрольные задания 81
Математические диктанты 91
Ответы и указания к задачам для урока 103
Ответы и указания к контрольным заданиям ... 121
КЛАСС 8 125
Задачи для урока 127
Контрольные задания 211
Математические диктанты 225
Ответы и указания к задачам для урока 233
Ответы и указания к контрольным заданиям ... 257
КЛАСС 9 261
Задачи для урока 263
Работы на повторение 317
Контрольные задания 327
Математические диктанты 339
Ответы и указания к задачам для урока 345
Ответы и указания к работам на повторение ... 363
Ответы и указания к контрольным заданиям ... 365
617

КЛАСС 10 369
Задачи для урока 371
Контрольные задания 437
Математические диктанты 451
Ответы и указания к задачам для урока 459
Ответы и указания к контрольным заданиям ... 489
КЛАСС 11 493
Задачи для урока 495
Работы на повторение 541
Контрольные задания 549
Математические диктанты 557
Ответы и указания к задачам для урока 562
Ответы и указания к работам на повторение ... 605
Ответы и указания к контрольным заданиям ... 610
618
Издательская фирма «МИР И СЕМЬЯ-95»
представляет Вашему вниманию серию учебной
и педагогической литературы «МАГИСТР»
(Математика, Алгебра, Геометрия, Искуссгво, История)
Серию «МАГИСТР» открывает
ставшая уже известной по всей России книга
пегербургского математика и методиста
Бориса Германовича Зива «Задачи к
урокам геометрии. 7—-II классы»,
выдержавшая за 1996 г. 4 издания!
1. Зив Б. Г. Задачи к урокам геометрии.
7-11 классы.
2. Зив Б. Г. Комплект раздаточных
материалов. 7-11 кл.
Все вошедшие в книгу Б. Г. Зива задачи
представлены здесь в виде карточек,
которые Вы можете разрезать и раздавать
учащимся на уроках геометрии. Все ответы к
помещенным в раздаточных материалах
задачам и указания к решению наиболее
сложных задач приведены в конце книги
Б. Г. Зива «Задачи к урокам геометрии.
7-11 классы».
3. Зив Б. Г. Задачи но алгебре н началам
анализа от простейших до более сложных.
Книга носит ярко выраженный
обобщающий характер как по широте охвата
материала, так и по глубине его
проработки.
Сюда вошли подготовительные
упражнения, облегчающие усвоение
учащимися нового материала; система
устных упражнений теоретического
плана помогает учителю эффективно
проверить теоретические знания;
систематизирующие устные контрольные
работы, большое число графических
упражнений.
4. Зив Б. Г. Математика—11. Уроки
повторения.
Набор материалов для проведения
обобщающих уроков и домашних заданий
по алгебре, началам анализа и геометрии в
11 классах. Дополнительные упражнения
для наиболее сильных учеников.
5. Гольднч В. А., Злотин С. Е. 3000
задач по алгебре для 5-9 кл.
Сборник, составленный известными
математиками-методистами, содержит
набор самостоятельных и контрольных
работ по математике и алгебре для 5-9
классов, дополнительные задачи к урокам.
Весь материал разработан и составлен в
соответствии с действующей программой.
Задачи снабжены методическими указаниями,
ответ ами и типовыми решениями. Авторы —
лауреаты Соросовских премий.
6. Карп Л. П. Задачи но алгебре. 8-9 кл.
Автор собственной нестандартной
методики, направленной на максимальное
усвоение математических знаний
учащимися, А. Карп рекомендует свой новый
задачник для занятий в классах различного
уровня и направленности, а также для
ученического самоконтроля. В каждой из тем курса
алгебры выделен ряд идей, с которыми
учащиеся знакомятся, выполняя задания,
объединенные в тематические блоки,
открывающиеся указаниями и примерами. Автор ■—
кандидат педагогических наук,
председатель Государственной экзаменационной
комиссии СПб.
7. Егоров В. А., Орлов В. П.,
Соловьев В. А. Экзамен на степень бакалавра
(Математика).
Пособие для подготовки к сдаче
экзамена по математике (задания, система
проверочных тестов) в вузы научно-технического
профиля европейских стран и США. Для
тех, кто хочет учиться за рубежом, также
содержится объективная информация об
услових приема российских студентов.
8. Беккер Б. М., Некрасов В. Б.
Применение векторов для решения задач.
Большинство заданий, помещенных в
данное учебное пособие, предлагается на
вступительных экзаменах в ведущие вузы
Москвы и Санкт-Петербурга. Все они
снабжены подробными решениями и
ответами.
Цель сборника — ознакомить учащихся
и показать, какое преимущество дает
применение векторного аппарата для
решения различных задач школьного курса
математики.
9. Саакяп С. М., Атанасян Л. С,
Бутузов В. Ф. Рекомендации по работе с
учебником геометрии.
Издание содержит рекомендации но
планированию учебного материала по
первой теме программы 11 класса «Метод
координат в пространстве», анализ
наиболее существенных теоретических
вопросов, относящихся к этой теме, тексты
математических диктантов и самостоятельных
работ, примерные варит пы контрольных

работ, решения некоторых задач
учебника, образцы слайдов, карточки-задания
для проведения зачета по теме.
10. Муравнн К. С, Муравин Г. К.
Задачи и упражнения по алгебре для 7-9 кл.
Разрабатывая систему упражнений,
авторы поставили перед собой задачу
создать ее такой, чтобы она обеспечивала
эффективное усвоение курса и
одновременно позволила осуществить
дифференциацию обучения.
В систему упражнений включены
задания, выполнение которых представляет
собой относительно завершенный
исследовательский цикл: от частных наблюдений к
гипотезе, затем к проверке гипотезы — это
лабораторные и исследовательские работы.
В сборнике приведены 18 различных видов
работ (по 6 на каждый год обучения).
11. Абчук В. А. Путь к успеху. Курс
бизнеса.
Эта книга — о бизнесе в России —
построена на отечественных законах,
применительно к школьной программе по
экономике, и ориентирована, в первую очередь,
на учащихся старших классов,
экономических лицеев и колледжей, специальных
профессиональных учебных заведений.
Значительное внимание уделено
управлению конкретными видами предприятий,
экономическим методам менеджмента, маркетингу.
Наглядные схемы, i • i. . • рисунки,
методические разработки. Практикум по
бизнесу, задачи по всем разделам учебного
пособия и образцы их решений.
12. Гринченко Б. И. Как решать задачи
по физике. Курс физики в задачах. 9-11 кл.
Рассмотрены общие подходы и методы
решения задач по фундаментальным
разделам школьного курса физики.
В решениях специально отобранных по
каждой теме серий задач отражены
основные идеи и приемы, которые
используются в экзаменационных и олимпиадных
заданиях.
Автор — кандидат
физико-математических наук, доцент.
Книга адресована широкому кругу
читателей: может быть эффективно
использована как в качестве пособия при работе
в классе, так и в качестве самоучителя.
12. Парахуда В. А. Химические
закономерности периодической системы
элементов Д. И. Менделеева.
В книге последовательно рассмотрены
семь основных закономерностей и свыше
25 правил периодичности свойств
элементов, раскрыто значение принципа
периодичности в других разделах естествознания.
Современному подходу в преподавании
химии полностью соответствует
конспективный стиль изложения материала. Это
удобно и для начинающих изучать химию
в 8-9 классах, и для продолжающих
обучение в 10-11 классах, и для абитуриентов.
13. Вакс Э. П., Афонина Е. П. «The
Spirit of Saint Petersburg» («Дух Санкт-
Петербурга»). Издание 2-е, испр. н дои.
Лингво-страноведческое учебное
пособие для учащихся старших классов,
студентов и всех изучающих английский
язык. В оригинальной и наглядной форме
изложены интереснейшие материалы но
истории, литературе, культуре и
архитектуре Санкт-Петербурга. Издание богато
иллюстрировано. Британский Совет по
культуре одобрил неординарную
разработку петербургских методистов, оценив
ее как прекрасное учебное пособие для
изучающих язык.
15. Роговср Е. С. В мнре эстетических
ценностей. Очерки о прекрасном и
сочинения учащихся.
Предлагаемое учебное пособие
исследует основные категории эстетики и виды
искусства на материалах созданных за
тысячелетия произведений во всех областях
творчества: слово, архитектура,
живопись, скульптура, графика, музыка, театр,
кино, цирк.
Исследование сопровождается
множеством иллюстраций, воспроизводящих
шедевры мирового искусства.
В издание включены сочинения
старшеклассников, написанные в жанрах
рассуждения, письма, диалога, раздумья,
киносценария, эссе, дневника, критической
статьи и т.д.
Адресуется преподавателям, учащимся
и всем интересующимся наукой о
прекрасном.
16. Пролет Е. В., Яценко О. А. В начале
жюнн школу помню я...
Книга о лицейских годах А. С.
Пушкина. Написана доступно и увлекательно,
оформлена уникальными силуэтными
иллюстрациями известного художника
К. Е. Севастьянова.
Адресована учащимся начальной и
средней школы. Крупный, четкий шрифт
позволяет использовать издание для
внеклассного чтения.
Издание рекомендовано комитетом
по образованию для дополнительного
чтения учащимися и внесено в
«Образовательные стандарты Петербургской
школы».
17. Лсйкнн В. Каждый четверг в
четыреста сорок восьмой.
Книга петербургского поэта-педагога
Вячеслава Лейкина — это умный и веселый
рассказ об опьгге общения с одаренными
ребятами на занятиях поэтического кружка
при редакции одной из детских газет.
Режиссер Юрий Мамин уговорил
поэта опубликовать работы учеников, и,
наконец, мы можем предложить Вашему
вниманию сочинения юных дарований.
Это великолепный материал для
внеклассного чтения и факультативных
занятий по литературе.
18. Будза А. А. Йога внутреннего
художника или Как развить творческие
способности.
Книга послужит верной опорой в
процессе обучения различным дисциплинам,
реализации себя в любой обласги
искусства, в бизнесе, в научной и .медицинской
сферах — в любом виде созидательной
деятельности. Особенно данный метод
рекомендуется в помощь тем, кого затрагивает
проблема отставания в учебе школьников,
студентов. Он также поможет решить
вопрос об их социальной и
психологической адаптации.
Результаты обучения методу в
эзотерических школах России и Западной
Европы. Применение метода во время
экспедиций в Египет — к пирамидам Гизы и Сак-
кара, в Индию — в буддийские храмы
Аджанты и храмовый комплекс Эллоры, а
также в ашрам Сатья Саи Бабы.
Медитативные аспекты творчества Леонардо да
Винчи, Сальвадора Дали и А. С.
Пушкина. Издание дополнено альбомом
медитативных рисунков автора.
19. Мсдведовский И. Д., Платонов В. В.
и др. Атака через Internet (под редакцией
проф. П. Д. Зегжды).
Каждые 20 минут происходит
преступление с использованием программных
средств. В более чем 80% случаев
компьютерных преступлений "взломщики"
проникают в атакуемые системы через
глобальную сегь Internet.
Российские авторы подробно излагают
механизмы удаленных атак и
рассматривают возможные способы защиты от них.
Подобный анализ впервые произведен на
базе исследований российских
специалистов с учетом местной специфики.
20. Зегжда Д. П. Как построить
защищенную информационную систему.
Тематически продолжает и
дополняет «Атаку через Internet». Опираясь на
собственные исследования и последние
мировые достижения в области
информационной безопасности, авторы
разработали и описали основные
принципы построения защищенных систем
обработки информации, применимые к
российским условиям.
СЕРИЯ "Нить судьбы"
21. Жолт Харшаньн. Грезы любви.
Роман о жизни, творчестве и любви
Ференца Листа.
Невероятное произведение — жизнь
великого музыканта от рождения до смерти!
Блестящий взлет, жизнь, похожая на
волшебный сон! А за красивым фасадом —
поиски настоящего понимания и
предательство, запутанные отношения с
любимыми, жажда божественного откровения.
Роман еще не публиковался на русском
языке, хотя вышел на всех языках мира.
Книга богато иллюстрирована
мастерами книжной графики. Издание
осуществлено как подарочное — объемистый том
(1200 страниц!), удобный для чтения
шрифт, изысканное оформление.
22. Молнн Ю. А. Тайны гибели великих.
Ретроспективный анализ биографий и
обстоятельств смерти исторических
личностей — от Смутного времени и до начала
XX века. Мифы и загадки русской старины
подвергаются аналитической
дешифровке под пристальным взглядом нашего
современника, судебно-медицинского
эксперта. Яркий, захватывающий детектив о
драматических событиях прошлого Руси.
СЕРИЯ
"Библиотека европейской классики"
23. Шарлотта Бронте. Учитель.
Открывает серию первое крупное
произведение выдающейся британской
писательницы Шарлоггы Бронте, ранее не
переводившееся с английского языка и не
выходившее отдельным изданием.
Роман, который целое столетне был
незаслуженно забыт, впервые становится
доступным читателю. Тонкая языковая
игра автора и персонажей чутко уловлена
и передана переводчиком.

Классический викторианский роман о
любви, о борьбе разума и чувств.
Окунитесь в столь непонятную и
странную для нас викторианскую эпоху,
ощутите мерное, тягучее течение того времени,
попробуйте попить его противоречия.
Готовится к выпуску
24. Л. фон Захер-Мазох. Утоление
мертвым неведомо.
Впервые в России переведены
произведения самого скандального н
неверно интерпретируемого классика XIX
столетия. Сборник повестей этого
писателя в нашем издании позволит Вам
по-новому взглянуть на творчество
автора "Венеры в мехах", германского
романтика, подавленного культом
Великой Матери.
Научно - популярная медицинская серия
25. Улитопскнн С. Б. Сохрани улыбку.
Уникальное издание, посвященное
актуальной проблеме — профилактике и
лечению стоматологических заболеваний.
Основным достоинством этого
стоматологического «ликбеза» является простой,
доступный язык.
Примеры из личного профессионального
опыта, «специфичный» медицинский юмор и
анекдоты, старинные народные заговоры от
зубной боли делают чтение крайне
увлекательным.
Готовится к выпуску
26. У литовский С. Б. Приключения
Королевы Зубной Щетки.
В новую книгу Сергея Улитовского —
заслуженного врача России — войдут
замечательная волшебная сказка
«Приключения Королевы Зубной Щетки», раскраска-
комикс для малышей и ряд полезных
рекомендаций для их родителей. Это
наглядное пособие, красочно
оформленное, дополненное кроссвордами,
ребусами, веселыми задачками, поможет детям
освоить навыки гигиены полости рта и
ухода за зубами.
Дополнительная информация об услуге
«КНИГА-ПОЧТОЙ»
Почтовая карточка, вложенная в
приобретенное Вами издание, позволит Вам
заказать заинтересовавшие Вас книги
наложенным платежом. Но прежде чем
заполнить карточку, советуем прочитан,
информацию полностью.
Воспользуйтесь следующими указаниями:
А. 1 и. > " w. I-
точкн;
1. Отчетливо (лучше печатными буквами)
укажите полный почтовый адрес с индексом,
фамилию, ими и отчество отправители.
2. Приклеите марки.
/>. ' J! • I i "' , . I I•
1. Укажите количество экземпляров
выбранного Вами издания.
2. Продублируйте Ваш полный
почтовый адрес, фамилию, имя, отчество и, но
возможности, укажите свой телефон (с
кодом города).
Вышлите нам эту карточку — если
доверяете почте — как обычную открытку или
же в конверте, а если не доверяете — то с
уведомлением о вручении.
Во избежание недоразумений при
отправке и получении посылки пишите свои
имя и отчество полностью. Не
рекомендуем указывать в заявке адрес организации
(например школы), так как в этом случае
значительно возрастают почтовые расходы.
Просим учесть, что мы не сможем
выслать книги «(h) востребования» или па
абонентский ящик.
Отправляя почтовую карточку. Вы даете
гарантию выкупа посылки, отправленной
наложенным платежом. Если Вы не
уверены в этом, то не стоит высылать и заявку.
Заказанные книги, имеющиеся на
момент отправки в наличии, высылаются
единовременно. Сроки исполнения заявок
зависят во многом от почты и
очередности в компьютерном байке данных
издательства. В первую очередь выполняются
заявки постоянных клиентов и по
предварительной оплате.
При изменении почтовых тарифов
изменяется стоимость наложенного платежа.
Наши рекомендации:
1. Обращайтесь напрямую в
издательство или в методические центры, если Вас
заинтересовали паши книги, так как
розничная торговля (книжные магазины,
книготорговые фирмы), реализуя нашу
продукцию, делает большие наценки.
2. Поймите, что все проставленные на
наши издания цены абсолютно реальные,
основаны на экономическом расчете,
учитывают Ваши и наши интересы и соответствуют
экономическому положению в стране.
3. Даже если Вы не решились заказать что-
либо, то все равно 3apci истрируйгесь к
нашей баю данных, это даст Вам возможность
бесплатно получать каталог изданий.
Распространением книг издательства
"Мир и Семья-95" занимается
книготорговая фирма "Интсрлайн".
Ждем Вас от 10.00 до 17.00 часов
ежедневно, кроме субботы и воскресенья.
Наш адрес:
199155, г. Санкт-Петербург,
Уральская, 17 (4-й этаж), (ст. метро «Василео-
стровская», «Приморская»),
тел./ факс: 350-17-74, телефон
коммутатора: 350-27-21, доб.244.
От станции метро «Василсостровская»
можно добраться трамваем № 6,
автобусами №41, 151 до остановки «ул. Желез-
новодская».
А. С. Пушкин. Руслам и Людмила.
Знаменитая поэма выпускается в честь
200-летия со дня рождения А. С. Пушкина.
Книга для детей и взрослых, в которой
великий русский поэт умело объединил
сказочные мотивы и исторические
события жизни Киевской Руси.
Высокая романтика, героические
деяния, любовь и коварство, благородство и
черная зависть — все это составляет
узорчатый ковер поэтического шедевра.
Книга богато иллюстрирована Санкт-
Петербургским художником В. Канивсц.
Подарочное издание.
Формат 84 х 108/16, 120 стр., переплет.
Книга отпечатана на высококачественной
белой бумаге.
Издательство «Мир и Семья-95» готово
к сотрудничеству с авторами, издателями
и распространителями книг в регионах.
По вопросам:
— оптовых закупок обращаться к
коммерческому директору ООО "Интерлайн"
Елене Петровне МИХАЙЛОВОЙ;
— наложенного платежа -— к Виолетте
Витальевне ДАНИЛОВОЙ или к Светлане
Викторовне ЗАЙЦЕВОЙ;
— новых изданий — к начальнику
издательского отдела Нине Николаевне
АТАМАН ЕН КО.
Тысяча и одна ночь.
В книгу вошли пересказанные для детей
самые популярные восточные сказки из
широко известного памятника
средневековой арабской литературы: "Рассказ о
царе Шахрияре", "Синдбад-Мореход",
"Алладин и волшебная лампа", "Али-
Баба и сорок разбойников", "Лентяй Абу-
Мухаммед" и "Конь из черного дерева".
Книга украшена более чем 100
оригинальными цветными иллюстрациями
Санкт-Петербургского художника В. Ка-
нивец.
Подарочное издание.
Формат 84 х 108/16, 200 стр., переплет.
Дополнительно предлагаем подарочные книги:

Учебное издание
Борис Германович ЗИВ
ЗАДАЧИ К УРОКАМ ГЕОМЕТРИИ. 7-11 КЛАССЫ
ЗАО НПО «Мир и Семья-95»
С.-Петербург, ул. Уральская 17, т.(812)3501774, 3502721 (доб. 244)
Редакторы:
Татьяна Ильинична КЛИМЕНКО, завуч 196 средней школы С.-Петербурга
Анна Семеновна ПИВОВАРОВА, учитель математики 526 школы
С.-Петербурга
Александр Витальевич СЫЧЕВ, учитель математики 196 школы С.-Псгербурга
Компьютерный набор: Екатерина Пеняева
Компьютерная верстка: Ирина Константинова, Ирина Межебурская
Художник: Игорь Хойхин
Ответе! пенный за подготовку издания: Александр Полуда
Ответственная за выпуск: Наталия Емельянова
Ответственная за распространение: Елена Михайлова
Транспортное обеспечение: Владимир Минин
ЛР № 062918 от 09.08.93.
Подписано в печать 23.02.98. Формат 60X90/16. Объем 39 п. л. Гарнитура «Тайме».
Печать офсетная. Бумага офсетная № 1. Тираж 10 000 экз. Заказ № 1306.
Отпечатано с диапозитивов в ГПП «Печатный Двор»
Государственного комитета РФ по печати.
197110, С.-Петербург, Чкаловский пр., 15.
Книга напечатана на бумаге производства
Камепогорской фабрики офсетных бумаг, г. Каменогорск,
Ленинградская область, Ленинградское шоссе, д. 54.
Представительство в С.-Петербурге
т/ф: (812) 278-84-59, 278-84-60

к i
, у- Борис Германович ЗИВ родился
"* -„ * '?•■ / , ч 25.02.1928 г. в Ленинграде в семье
-"**'■ / .. " \ ^ научного работника. Одним из первых
т . • в СССР окончил школу с золотой
„-* , ' ^ медалью. Выпускник физического
, : факультета Лениградского универ-
* < * ситета. После службы в арми рабо-
; тал преподавателем математики и
, , физик 217 и 222 школах Ленинграда.
, *' '. ■>. С 196& г. по настоящее время препо-
t \ - дает в 524 гимназии С.-Петербурга.
л ' " С 1967 г. отличник народного просве-
J-.% t - .-__ * , рдения РФ. В 197& г. получил звание
Ч\Л\„ , ^1" " ; "Учитель-методист". В 1990 г. присвое-
7. '*\ '• " * \Ч'„ . но звание "Заслуженный учител- РФ".
а* ;.м /» ,, *ll * * В 1994 г. стал Ооросовски учителем.
а :- >ч »t5\ '-: 'Л „- Авто< 11 книг и многочисленны
X»
статей. Широко известен как лекто<
и методист. Его разработками
руководствуется целая) плеяда учителей
математики в Санкт-Петербурге -руги
городах. В 1995 г. в здательстве
"Мир и Семья-95" вышла книга Б.Г.Зива
+ " • ^ — "Задачи к урокам геометрии. 7-11 кл",
"' - : получившая широкое ризнание среди
специалистов и учителей. На ее основе
в 1996 г. выпущены омплекты "Разда-
КНИГИ Б,Г, ' В СЕР УЧЕБНОЙ точные материалы к урокам геометрии"
lUttUAR , "." TEDATVDLI Д™ 7"11 т- Сотрудничество -тор. и
IIVJJIAD ' • lErAlrrDI издательства продолжилось - "Задач
н t i цп по алгебре и началам анализа", 1997 г.,
"Математика-11. Уроки повторения",
1998 г., подготовленна- к 70 летнему
юбилею автора.
Книги
издательства
"Мир Семья-95"
•ализуе
фирма
« "Интерлайн
.Г.
: ^ ; Б.г.зив
' " "" ррчцп .«„щи ИШПОЧНЫЕИПЕШЫ
< '' ПО ■ ■ БШш ■ .'■ > к womm геометр ни. т м.
»т « Сии**, ИктаиаЧ СЛтрбиг, «•
НПО "MUP 11 ГЕЛАЬ9-9С
маб. р. Смоленки.
§ Малый пр, х
X с;
с Средний пр "F
ир и Семья-95, Интерлайн. С-Петербург, 1998