Курдюмов А. А.
Физика. Школа решения олимпиадных задач.
УСЛОВИЕ
144. Колесо, изображенное на рисунке, имеет тонкий легкий обод ра-
диуса R, скрепленный с тяжелой осью массы М. В гладком канале внут-
ри обода может без трения скользить шайба массы т. Первоначально
колесо стоит па скользкой горизонтальной поверхности. В некоторый
момент шайба начинает соскальзывать из верхней точки обода по кана-
лу. Определите скорость центра колеса, когда шайба находилась в точке
А (под углом р к вертикали). Трение между колесом и поверхностью
отсутствует. {ГТ, 11 кл, 1997 год}
РЕШЕНИЕ
144. Вдоль горизонтальной оси х на систему колеса и шайбы не действу-
ют никакие внешние силы, поэтому импульс вдоль этой оси сохраняется:
MU = тУх,
(144.1)
здесь М и U — масса и скорость обода, Vx — горизонтальная проекция
скорости шайбы. Заметим, что Vx и U меняют знак синхронно: когда
шайба движется, например, вправо, колесо скользит влево и наоборот.
Скорости шайбы относительно обруча 14>тн и относи-
тельно земли V связаны как V = Ц>тн + U. Понятно, что
в системе отсчета, где колесо покоится, шайба движется
по окружности, и ее скорость Ц,тн направлена по каса-
тельной к ободу. Отсюда можно выписать связь компо-
нент вектора скорости шайбы со скоростью центра масс
колеса (см. рис. 144.а):
tgv> =	_ _Л
(144.2)
(Voth^ Vx + U'
у — ось, направленная вертикально вниз.
Наконец, для системы справедлив закон сохранения
Рис. 144.а
энергии:
mgR(l + cos 99) = mV2/2 + MU2/2.
(144.3)
Законы сохранения (144.1,144.3) и кинематическая связь (144.2) — те
три уравнения, которые определяют неизвестные Vx и Vy и U. Решение
удобно записать, воспользовавшись безразмерными скоростями
и = U/y/2gR, v = V/y/2gR,
а также отношением масс колеса и шайбы д = М/т.
I	l+cosy>
и = cos <р. —--------. 2	,
нв = п(1 + д)1Е99.
Vx — U/1,
Рис. 144.Ь
Рис. 144.С
Рис. 144.d
Интересно проследить, как “обмениваются" скоростями колесо и шай-
ба при разных отношениях их масс д. На рис. 144. b, 144.с, 144.d изоб-
ражены зависимости вертикальной компоненты безразмерных скорости
шайбы vu (сплошная линия) и скорости центра колеса и (прерывистая
линия) как функции угла р, (измеряемого в радианах). Шайба стартует
из точки тг (верхнего положения без начальной скорости (^(тг) = 0) и
скользит вниз (уи > 0, к точке 0. В нижней точке вертикальная скорость
шайбы равна нулю пДО) = 0. Пройдя нижнюю точку, шайба начинает
движение в обратном направлении, вверх, vy < 0, возвращаясь в верхнее
положение с vy(—тг) = 0. Направление движения колеса меняется на про-
тивоположное, когда шайба проходит через точки <р = ±тг/2. Скорость
колеса максимальна, когда шайба находится в <р = 0.
Если массивная шайба скользит внутри очень легкого колеса, д « 1
(рис.144.Ь построен для д = 0.01, то движение обода имеет характер
толчков, происходящих когда шайба находится вблизи нижпей точки.
Сама шайба в этот момент скачком меняет свою скорость на противо-
положную так, как это происходит например при упругом ударе о непо-
движную стопку. Допуская увеличение д (см. рис.144.с), наблюдаем по-
степенное сглаживание характера движения системы.
Остался случай движения легкой шайбы внутри тяжелого колеса,
д » 1 (на рис. 144.d выбрано д = 100), подобно гармоническим коле-
баниям.
Ответ: Скорость центра обруча равна
1 + cos 99
(1 + М/т) (М/т + sin2 <р)
U = y/2gRcostp