Author: Савченко Н.Е.
Tags: физика задачи по физике
Text
Н.Е.Савченко
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
Даются сведения о методах решения задач по основным разделам курса физики,
законы и формулы, примеры решения задач и задачи для самостоятельного
решения.
Первое издание вышло в 1977 г., второе - в 1988 г. Для слушателей факультетов
довузовской подготовки и подготовительных отделений высших учебных
заведений, абитуриентов, учащихся лицеев, гимназий, техникумов, старших
классов средней школы. Будет полезно студентам физико-математических
факультетов педагогических вузов и преподавателям физики.
Оглавление
Предисловие 3
I. МЕХАНИКА 5
1. Основы кинематики 5
2. Основы динамики 43
3. Законы сохранения в механике 84
4. Основы статики 120
5. Жидкости и газы 146
II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА 176
6. Основы молекулярно-кинетической теории. Идеальный газ 176
7. Тепловые явления. Основы термодинамики 197
III. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 218
8. Электростатика 218
9. Законы постоянного тока 265
10. Магнитное поле. Электромагнитная индукция 305
IV. Колебания и волны 338
11. Механические колебания и волны 338
12. Электромагнитные колебания и волны 354
V. ОПТИКА 367
13. Законы отражения и преломления света 367
14. Собирающие и рассеивающие линзы 376
15. Световые волны 397
16. Элементы теории относительности 404
VI. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 408
17. Световые кванты 408
18. Атом и атомное ядро 417
Ответы 431
Приложения 459
ПРЕДИСЛОВИЕ
Задачи на вступительных экзаменах по физике даются для того,
чтобы проверить, насколько глубоко понимает абитуриент сущность
физических законов и явлений, умеет ли он практически применять
знания в конкретной физической ситуации, выбирать правильный путь
решения задачи, обосновывать его, делать необходимые вычисления.
Опыт показывает, что решение задач вызывает у абитуриентов наи-
большие затруднения, особенно если в задаче необходимо использо-
вать формулы и законы из разных разделов курса физики.
Цель данного пособия - помочь поступающим в вузы обобщить и
закрепить знания об основных методах решения задач по различным
разделам курса физики.
Пособие имеет следующую структуру. В начале каждого параграфа
даются общие указания о наиболее рациональных методах и приемах
решения задач, приводятся важнейшие законы и формулы, применяе-
мые при решении этих задач. Затем на примерах показывается, как
практически пользоваться описанными методами. Далее следуют зада-
чи для самостоятельного решения, многие из которых предлагались на
вступительных экзаменах по физике в различных высших учебных за-
ведениях.
Абитуриенту рекомендуется работать в такой последовательности:
1) повторить по школьным учебникам и другим учебным пособиям теоре-
тический материал данного раздела; 2) ознакомиться с рекомендация-
ми по решению задач, приводимыми в этой книге; 3) каждую задачу,'
рассмотренную в качестве примера, попытаться сначала решить само-
му и только после этого внимательно разобрать приведенное в книге
решение; 4) самостоятельно решить задачи по данному разделу.
Каждая физическая задача имеет свои особенности. Поэтому, при-
ступая к решению задачи, нужно внимательно проанализировать ее,
чтобы четко представить себе описанное в ней явление или процесс,
разобраться, как он протекает, вспомнить, какие закономерности ле-
жат в его основе. Следует выяснить, каковы начальное и конечное со-
стояния процесса, какими параметрами они описываются, что дано,
что требуется найти. Нужно сделать соответствующий рисунок (схему
электрической цепи, установки и т.п.). Это облегчает анализ и реше-
ние задачи.
После выяснения физической сущности задачи надо составить си-
стему уравнений, число которых равно числу неизвестных величин,
решить ее в общем виде, т.е. получить расчетную формулу. Затем про-
веряется правильность этой формулы действиями с единицами физи-
3
ческих величин. (Подробнее об этом см. в начале главы “Основы кине-
матики”.) В данном пособии такая проверка не дается, так как это
значительно увеличило бы объем книги. Но правильность окончатель-
ной формулы следует проверять всегда, в том числе, разумеется, и на
экзамене. Чтобы легче было делать такую проверку, в приложениях
даны определяющие уравнения, обозначения и определения основных,
дополнительных и некоторых производных единиц СИ.
После проверки расчетной формулы в нее надо подставить число-
вые значения физических величин и вычислить искомый результат с
учетом правил действий над приближенными числами (см. прил. 1).
Расчеты удобно производить с помощью микрокалькулятора. В данном
пособии для краткости подстановка значений и вычисления не приводят-
ся, а сразу после расчетной формулы дается результат вычислений.
Задачи для самостоятельного решения содержат, кроме заданных
значений величин, все необходимые значения физических величии, ко-
торые даются в справочных таблицах, т.е. задачи приводятся в таком виде,
в каком они обычно предлагаются на вступительных экзаменах.
В ряде случаев для краткости вместо модуля физической величины
говорится просто о величине. Это не должно вызывать каких-либо не-
доразумений, так как по обозначениям ясно, о чем идет речь: вектор-
ная физическая величина обозначается буквой со стрелкой над ней, а
модуль этой величины - такой же буквой, но без стрелки (например:
F - сила, F -модуль этой силы).
В ответах ко всем задачам для самостоятельного решения даны рас-
четные формулы и значения искомых величин.
Подготовка к вступительному экзамену по физике - важный этап в
совершенствовании и углублении знаний абитуриента. Поэтому автор
счел возможным включить некоторые задачи, связанные с вопросами,
которые не входят в программу для поступающих в вузы, но вполне
доступны для выпускника средней школы. В качестве примера можно
привести правила Кирхгофа, кольца Ньютона, эффект Комптона.
Третье издание значительно дополнено и переработано с учетом
многолетнего опыта использования пособия на подготовительных отде-
лениях вузов, в лицеях, гимназиях, средних школах и техникумах.
Автор выражает глубокую благодарность рецензентам: коллективу
кафедры общей физики Белорусского государственного университета и
лично доценту И. И. Жолнеревичу, а также учителю физики средней
школы № 49 г. Минска И. А. Забелинскому за полезные замечания и
советы, способствовавшие улучшению пособия.
Отзывы и пожелания просьба направлять по адресу: 220048, Минск,
проспект Машерова, 11, издательство “Вышэйшая школа”.
Автор
I. МЕХАНИКА
1. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ
Методические указания к решению задач
При решении кинематических задач полезно придер-
живаться следующего порядка выполнения задацных дейст-
вий.
Внимательно прочитав задачу, проанализировать усло-
вие. Выписать основные значения заданных величин, а
также некоторые дополнительные данные, выявленные при
анализе задачи (например, одновременность начала дви-
жения тел, равенство координат тел в момент их встречи
и т. п.).
Сделать схематический чертеж, отображающий опи-
санное в задаче движение. Изобразить на нем траекторию
движения, векторы скорости, ускорения, перемещения.
Выбрать систему координат, связанную с телом отсчета,
показать положительное направление координатных осей.
Координатные оси выбирают так, чтобы проекции векто-
ров на них выражались возможно более простым образом.
Выбрать начало отсчета времени.
Составить для данного движения уравнения, отражаю-
щие в векторной форме математическую связь между изо-
браженными на схеме физическими величинами. Чтобы
сделать расчеты, нужно записать эти уравнения в скаляр-
ной форме, т. е. в проекциях на координатные оси. При
этом необходимо учитывать, что проекция вектора на ось
считается положительной, если от проекции начала к про-
екции конца вектора нужно идти по направлению оси, и
отрицательной в противном случае.
Решить составленную систему уравнений относитель-
но искомых величин, т. е. получить расчетные формулы.
Затем для проверки правильности расчетных формул в
правую часть каждой из них вместо обозначений физиче-
ских величин нужно подставить обозначения единиц этих
5
величин в СИ, произвести над ними необходимые дейст-
вия и убедиться, что полученное в результате обозначение
единицы соответствует искомой величине. Если такого соот-
ветствия нет, то это означает, что задача решена неверно.
Над обозначениями единиц физических величин можно
производить действия умножения, деления, возведения в
степень и извлечения корня. Действия сложения и вычи-
тания этих обозначений не имеют смысла.
Если в правой части расчетной формулы имеется ал-
гебраическая сумма, то нужно сначала проверить, одина-
ково ли выражаются через обозначения единиц слагаемые.
Если одинаково, то соответствующее выражение надо под-
ставить в формулу вместо суммы, а затем произвести ос-
тальные действия. Поясним это на примере.
В результате решения задачи получена расчетная фор-
мула
t _ Уц2 + 2£Л
где t - время; и - скорость; g - ускорение свободного
падения; h - высота. Проверим, дает ли эта формула еди-
ницу времени. Сначала проверим каждое слагаемое:
Слагаемые выражаются одинаково. Следовательно,
7^2 + 2gft
g
Получили обозначение единицы времени, соответствую-
щее искомой величине, обозначение которой стоит в ле-
вой части формулы, т. е. с = [i].
При такой проверке рационально применять в обозна-
чениях единиц только горизонтальную черту, так как это
облегчает правильное выполнение необходимых действий.
Убедившись, что расчетные формулы дают единицы ис-
комых величин, надо пбсле этого выразить все заданные
значения величин в единицах СИ, подставить в расчетные
формулы и произвести вычисления. При подстановке чи-
словые значения величин считаются положительными, так
6
как знаки проекций векторов учтены при записи уравне-
ний.
Проанализировать результат и сформулировать окон-
чательный ответ.
Основные законы и формулы
При переменном движении с постоянным ускорением ско-
рость тела в любой момент времени t определяется уравне-
нием
v = vq + at,
где vq — начальная скорость; а — ускорение.
Этому векторному уравнению в случае движения на плоско-
сти соответствуют два уравнения для проекций скорости vx и
Vy на координатные оси ОХ и OY:
vx = vQx + axt, vy = vQy + ayt.
Координаты тела в любой момент времени t определяют-
ся уравнениями:
* = *0 + VOxt + У = УО + VQyt +
где xq, уо — координаты в начальный момент времени. Эти фор-
мулы применимы для описания как прямолинейного, так и криво-
линейного движения. Важно лишь, чтобы ускорение было посто-
янным по модулю и направлению.
При а = 0 приведенные выше уравнения для скорости и ко-
ординат описывают равномерное движение.
Проекция перемещения s на ось ОХ
Средняя скорость - векторная величина
{v) = s/t,
где s - перемещение, которое было совершено за промежуток
времени t.
Средняя скорость прохождения пути - скалярная величина
% =
где I — путь, пройденный телом за промежуток времени t.
7
При равномерном движении тела по окружности радиуса R
линейная скорость
v = 2nR/T = 2itRn = a>R,
где Т - период вращения; п - частота вращения; со - угловая
скорость:
со = 2п/Т = 2пп.
Ускорение при равномерном движении тела по окружности
(центростремительное, или нормальное, ускорение) направ-
лено к центру окружности. Модуль этого ускорения
ап =v2 /R = со2 R.
В случае неравномерного движения тела по окружности
ускорение в данной точке траектории есть векторная сумма двух
составляющих:
а = ап + ах,
где ап ~ центростремительное (нормальное) ускорение, кото-
рое направлено из этой точки по радиусу (нормали к касатель-
ной) к центру окружности и характеризует быстроту измене-
ния скорости по направлению; ах — касательное (тангенци-
альное) ускорение, которое направлено по касательной и ха-
рактеризует быстроту изменения модуля скорости. Модуль цен-
тростремительного ускорения ап = и2/R, где v - модуль скорости
тела в данной точке траектории; R — радиус окружности.
Модуль ускорения
а = -^а2 + а2 .
При равномерном движении по окружности ах = 0, а = ап =
= v2 / R.
Классический закон сложения скоростей: скорость тела
относительно неподвижной системы отсчета равна векторной
сумме скорости тела относительно движущейся системы отсчета
и скорости движущейся системы относительно неподвижной:
V - V' + и.
Примеры решения задач
1. Колонна мотоциклистов движется по шоссе со ско-
ростью v - 10 м/с, растянувшись на расстояние / — 5 км.
Из хвоста и головы колонны одновременно выезжают на-
8
встречу друг другу два мотоциклиста со скоростями в] =
= 20 м/с и и2 = 15 м/с соответственно. За какое время
первый мотоциклист достигнет головы, а второй - хвоста
колонны?
Решение. Движущуюся систему отсчета свяжем с
колонной. начало координат О' примем хвост колонны,
а за положительное направле-
ние оси О'Х' - направление
движения колонны (рис. 1). у,,
Неподвижную систему отсче-
та свяжем с землей, начало
координат О совместим с точ-
кой, где находился хвост ко-
лонны в момент выезда мо-
тоциклистов, положительное
направление оси ОХ такое
же, как и оси О'Х'. Обозна-
чим через v{ и v4 скорости д|
первого и второго мотоцикли-
стов в движущейся системе Р и с. 1
отсчета.
Согласно закону сложения скоростей, v\=v{ + v,
= V2 + v , откуда:
v( = Vy-V, V2 - V2 - V.
Найдем проекции векторов и{ и на ось О'Х', учиты-
вая при этом, что проекция разности векторов равна раз-
ности их проекций (на одну и ту же ось):
v[ = - v, -v’2 = -V2 ~ v, или V2 = г>2 + v-
Запишем уравнение, выражающее зависимость коор-
динаты первого мотоциклиста от времени t:
х( = (vl-v)t. (1)
В момент времени t = t\ мотоциклист достигнет головы
колонны; его координата х{ = I. На основании уравнения
(1) получим I = (щ - v)t, откуда
tx = l/(v{ - о). (2)
Зависимость координаты второго мотоциклиста от вре-
мени выразится уравнением
9
Х2 = I - (^2 + v)t- (3)
В момент времени t = t2 второй мотоциклист достигнет
хвоста колонны, координата которого х2 = 0. Согласно
уравнению (3), получим 0 = I - (v2 + w)^2> откуда
i2 = l/(v2 + v). (4)
По формулам (2) и (4) найдем: = 5 • 102 с, t2 = 2 • 102 с.
Эту задачу можно решить иначе. Рассматривая движение
колонны мотоциклистов относительно неподвижной сис-
темы отсчета, запишем уравнения для координат первого
(х0 и второго (х2) мотоциклистов, а также для координат
головы (х3) и хвоста (х4) колонны:
Х| = V\t, х2 = I- v2t, х3 - I + vt, х4 - vt.
В момент времени t = t\, когда первый мотоциклист
достигнет головы колонны, будет иметь место равенство
Х1 = х3, т. е.
v^=l + vt\, ij - l/(v[ -v).
Второй мотоциклист достигнет хвоста колонны в мо-
мент времени t = t2, при этом х2 = х4. Следовательно,
I - v2t2 = vt2, t2 - l/(v2 + v).
Таким образом, независимо от выбора системы отсчета
результат получается один и тот же.
2. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями
v\ = 12 м/с и v2 = 18 м/с. Пассажир первого поезда
замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение
t = 8 с. Какова длина I второго поезда?
Решение. Свяжем движущуюся систему отсчета с
первым поездом, за начало координат О' примем место-
нахождение пассажира, за положительное направление оси
О'Х' - направление движения второго поезда. Неподвиж-
ная система отсчета связана с землей (рис. 2). Согласно
закону сложения скоростей, v2 - v2 + uj, где v2 ~ скорость
второго поезда относительно первого. Отсюда v2 = v2 - .
Найдем проекцию вектора и2 на ось О'Х’:
и2 = v2 - (-U! ) = v2 + V\.
10
г'.
У-
Р и с. 2
Р и с. 3
В момент времени t координата хвоста второго поезда
х' = -I + (w2 + v\)t.
В момент времени t = t\, когда хвост второго поезда
проходит мимо пассажира первого поезда, х' = 0, т. е.
О = ~1 + (у2 + oph- Отсюда
I — (i>2 + U) )fj.
Подставив числовые значения, получим I = 2,4 • 102 м.
3. В море движутся два корабля со скоростями и 52
под углом а друг к другу. Найти скорость второго корабля
относительно первого.
Решение. Движущуюся систему координат X'O'Y'
свяжем с первым кораблем, приняв за положительное на-
правление оси О'Х' направление скорости первого корабля
(рис. 3). Неподвижная система координат XOY связана с
водой. В системе X'O'Y' второй корабль движется со скоро-
стью V2. Согласно закону сложения скоростей, г>2 = >
откуда V2 = ^2 “ • В проекциях на оси координат О'Х' и
O'Y' получим:
v2x' ~ и2 cos а - ур v'2y' - г>2 sin а.
Зная проекции вектора wf, находим его модуль:
г>2 = 7(^2 cos а - )2 + (у2 sin а)2 = + v$ ~ 2щи2 cos а.
Направление вектора определяем углом р, для ко-
торого находим:
11
4. Самолет взлетает с аэродрома под углом а = 30° к
горизонту с постоянной скоростью v - 60 м/с. Какой
высоты h достигнет он через t\ - 10 с и на какое расстоя-
ние s (в горизонтальном направлении) удалится от места
взлета?
Решение. Систему координат свяжем с землей,
поместив начало координат в точку взлета, направив ось
ОХ горизонтально, а ось OY вертикально вверх (рис. 4).
Р и с. 5
Выразим зависимость координат самолета от времени:
х = vxt -vt cos а, у = Vyt = vt sin а.
В момент времени t = t\ будет Xj = s, у\ = h. Следова-
тельно,
5 = ^ cos а, s = 5,2-102m,
h = vt\ sina, h = 3,0 • 102 m.
5. Катер пересекает реку. Скорость течения ц, скорость
катера относительно воды v% Под каким углом а к берегу
должен идти катер, чтобы пересечь реку: за минимальное
время; по кратчайшему пути?
Решение. Неподвижную систему координат XOY
свяжем с берегом, приняв за начало координат точку О,
из которой катер начинает двигаться, и направив ось ОХ
по течению, вдоль берега, а ось OY перпендикулярно бере-
гу (рис. 5). Относительно системы координат XOY катер
движется со скоростью v = и2 + Ц • Найдем проекции век-
тора v на оси ОХ и OY-.
vx ~ v2 cos a + Uj, Vy = V2 sina.
12
Запишем уравнения, выражающие зависимость ко-
ординат катера от времени:
х - (u[ + i>2 cos a)t, у = (и2 sin a)L
Катер достигнет другого берега в момент времени t = fp
когда у = L, где L - ширина реки. Следовательно, время,
необходимое для пересечения реки, = L/(u2sina). Оно
будет минимальным при sin a = 1, т. е. a = л/2. Это означа-
ет, что катер должен держать курс перпендикулярно берегу.
Чтобы пересечь реку по кратчайшему пути из точки О
в точку А, катер должен идти так, чтобы выполнялось ра-
венство х = 0, т. е. (yi + и2 cos a)t = 0. Отсюда находим
cos a = -V1/V2, т. е. курс катера должен быть таким, что-
бы выполнялись условия a > л/2 и |cosa| = У]/^. Следо-
вательно, пересечь реку по кратчайшему пути катер смо-
жет лишь при следующих условиях: п2 > Ц > ₽ = тс/2.
6. Тело брошено вертикально вверх с начальной ско-
ростью vq. Через какое время после начала движения и с
какой скоростью тело пройдет точку, находящуюся на вы-
соте /г? Каковы максимальная высота подъема тела и вре-
мя полета? Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение. Координатную ось OY направим верти-
кально вверх, начало координат О совместим с точкой
бросания (рис. 6). Время будем отсчитывать с момента
бросания. Тогда координата тела и проекция его скорости
на ось OY в момент времени t равны соответственно:
У = vot - gt2/2, vy = v0-gt. (1)
Для точки А, находящейся на
высоте h, у = h. Решив квадратное
уравнение h = vqt - gt2/2 относи-
тельно t, получим два значения:
«о - “ 2Sh
1 ё_____
_ VQ +-J Vq ~2gfl
Таким образом, тело побывает
в точке А дважды: первый раз в
момент времени двигаясь вверх,
13
и второй раз в момент времени t^, двигаясь вниз. Ско-
рость тела в эти моменты времени определим, подставив
значения и /2 во второе уравнение системы (1):
Чу = ^0 - gh = 7ио (2)
4ty = и0 ~ g*2 = -д/и0 ~2gh-
Из последних формул видно, что |п2| = |и1|> т- е- модуль
скорости тела при движении вниз равен модулю скорости
тела в этой же точке при движении вверх. Это справедли-
во для любой точки траектории. В частности, для точки
бросания (h = 0) на основании формул (2) получим: U\y - vq,
v2y = -и0> Ы = 1^21 = ^0» т- е- модуль скорости тела в мо-
мент падения равен модулю скорости в момент бросания.
Время подъема тела t% определим из условия, что в верх-
ней точке траектории скорость равна нулю: 0 = Vq - gt^.
Отсюда /3 = vQ/g.
Максимальную высоту подъема найдем, подставив зна-
чение /3 в первое уравнение системы (1):
Vq
H=^-^ = Tg-
Учитывая, что в момент падения координата тела равна
нулю, найдем время полета: п0£4 -g?4/2 = 0, откуда =
- 2v0/g. (Второй корень ?4 = 0 соответствует моменту бро-
сания.) Таким образом, ?4 = 2/3. Следовательно, время паде-
ния тела равно времени его подъема до верхней точки траек-
тории.
7. Одно тело брошено с поверхности земли вертикаль-
но вверх с некоторой начальной скоростью, а другое пада-
ет с высоты h без начальной скорости. Движения нача-
лись одновременно и происходят по одной прямой. Найти
начальную скорость первого тела, если известно, что че-
рез промежуток времени t после начала движения рас-
стояние между телами равно $.
Р е ш е н и е. За начало отсчета примем точку броса-
ния, координатную ось OY направим вертикально вверх
(рис. 7). Тогда в момент времени t координаты первого и
второго тел равны соответственно:
Ух = vQt ~gt2/2, У2 = h- gt2/2,
где uq - начальная скорость первого тела.
14
.9
Расстояние между телами равно разности их коорди-
нат: s = У2 ~У\ = h - vqL Отсюда vq = (h - s) /1.
8. Два велосипедиста одновременно начали движение
по наклонной плоскости: один, имея начальную скорость
&0i = 4,0 м/с, равнозамедленно* поднимается вверх с уско-
рением, модуль которого Qi = 0,10 м/с2, другой, имея
начальную скорость ^ = 1,0 м/с, равноускоренно** спус-
кается вниз с ускорением, модуль которого а% = 0,40 м/с2.
Через какое время t они встретятся и какие пути Sj и §2
пройдет каждый до встречи, если в начальный момент рас-
стояние между ними xq = 150 м?
Решение. Начало координат совместим с начальной
точкой движения первого велосипедиста, ось ОХ напра-
вим по направлению его движения (рис. 8). Тогда зависи-
мости координат первого и второго велосипедистов от вре-
мени выразятся уравнениями:
Х1 = - а1^2/2, %2 = х0 ~ ~ ^2^/2.
В точке встречи А = х2> поэтому
и01^ “^1^/2 = Xq - Uq2^ - 02^/2.
Отсюда (а2 _ <ч)^2 + 2(^01 + v02^ ~ ^х0 = 0- Решив это
квадратное уравнение относительно t, получим
* Равнозамедленным называется прямолинейное движение с по-
стоянным ускорением, при котором модуль скорости уменьшается.
** Равноускоренным называется прямолинейное движение с посто-
янным ускорением, при котором модуль скорости увеличивается.
15
, _(Ц)1 + 4)2 ) + V<^01 + 4)2 )2 + 2%о(а2 ~ а1)
11 —
1 а2 “ а1
Подставив значения величин и произведя вычисления,
получим = 19 с.
Второй корень этого уравнения < 0 отбрасываем как
не имеющий физического смысла при данном выборе на-
чала отсчета времени. Первый велосипедист пройдет до
встречи путь
Sj -- _ ai^2/2, $i - 58 м,
второй велосипедист - путь
s2 = х0 ~ sl> s2 = 92 м.
9. Тело, падающее без начальной скорости с некоторой
высоты h[, прошло последние /г2 = 30 м за время ?2 = 0,5 с.
Определить высоту падения и время падения Сопро-
тивлением воздуха пренебречь.
Р е ш е н и е. За начало координат примем точку О,
находящуюся на высоте hl от поверхности земли, ось OY
направим вертикально вниз (рис. 9).
Время будем отсчитывать с момента
начала движения тела. В начальный
момент времени уо - 0, VQy = 0. Проек-
ция ускорения на ось OY ау = g. Тогда
уравнение, выражающее зависимость
координаты тела от времени, будет
иметь вид
у = gt2/2.
В момент времени tl - коорди-
ната тела будет равна
, _ , _ g«i ~‘2)2
Л1 Л2 “ 2
Р и с. 9
(1)
(2)
Когда тело упадет на землю, у = h\, t = Согласно
уравнению (1), h\ - gt2/2. Подставив это значение h\ в
уравнение (2), получим
S‘i и _g(h~t2')‘1
2 ’
Отсюда после преобразований найдем
16
Произведя вычисления, получим: = 2 • 102 м, = 6 с.
10. Самолет для взлета должен приобрести скорость
v= 250 км/ч. Сколько времени длится разгон, если эта
скорость достигается в конце взлетной полосы длиной
I = 1000 м? Каково ускорение самолета? Какова средняя
скорость самолета на этом участке? Движение самолета
считать равноускоренным.
Решение. Начало координат совместим с исходным
положением самолета, ось ОХ направим вдоль траектории
(рис. 10). Время будем от- у,
считывать от момента на-
чала движения. Тогда урав- z
нения, выражающие зави- "/ *
симость координаты х и .
проекции скорости от v А
времени, будут иметь вид: Рис. 10.
х = at2/2, vx - at. (1)
В конце полосы х = I, vx - v, t = Подставив эти
значения в уравнения (1), получим:
I = at%/2, v = at\.
Отсюда найдем:
= 21/v, а = v2/(2/). (2)
Средняя скорость самолета на этом участке
иср = l/h = v/2. (3)
Выразив I и v в единицах СИ, получим по формулам (2)
и (3): = 29 с, а = 2,4 м/с2, иср = 35 м/с.
11. Лифт, поднимаясь равноускоренно в течение первого про-
межутка времени 1| = 2 с, достигает скорости = 4 м/с,
с которой продолжает подъем в течение второго промежутка
времени = 4 с. Затем лифт движется равнозамедленно и к
концу третьего промежутка = 3 с останавливается. Опреде-
лить высоту подъема лифта. Решить задачу также графически.
Решение. Высота подъема лифта
h = h[ + h2 + h.3,
17
где Zij, h2, h.3 - пути, пройденные лифтом за промежутки
времени ?2- ^з соответственно.
Учитывая, что в течение первого и третьего промежутков
времени лифт двигался с постоянными ускорениями, най-
дем средние скорости лифта на участках h\ и как полу-
суммы начальных и конечных скоростей:
_ 0 + У] _ vi _ У] + 0 _ У;
иср1 ~ 2 “ ~2 ’ исрЗ ~ 2 “ ~2 '
Пройденные за время и пути равны соответственно:
— иср1^1 2~’ ~ исрЗ^З 2~’
За время двигаясь равномерно, лифт прошел путь
/г2 = и1^2- Таким образом, высота подъема лифта
h = ~ + vYt2 + ~ = + 2^2 + ^з)> Л = 26 м.
Решим задачу другим способом. Построим график за-
висимости проекции скорости лифта на ось ОУ, направ-
ленную вертикально вверх, от времени t (рис. 11). Вы-
сота подъема лифта h численно равна площади трапе-
ции ОАВС'.
h = *1 +?2 +*3 +*2 = + + h = 2QM_
12. Тело, двигаясь с постоянным ускорением из состоя-
ния покоя, прошло некоторый путь. Чему равно отноше-
ние средней скорости тела на второй половине пути к
средней скорости на первой половине пути?
18
Решение. Пусть I - путь, пройденный телом. Тогда
средние скорости тела на первой и второй половинах пути
равны соответственно:
ucpi = //(2ZJ, пСр2 = Z/(2Z2),
где И, Z2 _ промежутки времени, за которые пройдены
первая и вторая половины пути.
Если а - ускорение тела, то //2 = а?2/2, откуда
= д///а.
Аналогично найдем, что весь путь I тело прошло за вре-
мя t = /21/а. Следовательно,
Искомое отношение средних скоростей
цср2 _ °ср2 _ 2
иср1 ^2 ’ иср1
13. Тело брошено вертикально вверх со скоростью vq =
= 10 м/с. На какой высоте скорость тела будет в п =
= 2 раза меньше? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Начало координат совместим с точкой
бросания, ось OY направим вертикально вверх (см. рис. 6).
Время будем отсчитывать с момента бросания. Тогда зави-
симость от времени координаты тела и проекции его ско-
рости на ось OY выразятся уравнениями:
У = vot - gt2/2, vy = v0 - gt. (1)
При v = vq/п координаты тела у = h, t = Zp На основа-
нии уравнений (1) получим:
h = vQt\- gtf/2, (2)
VQ/n = VQ~gtX. (3)
Выразив из формулы (3) и подставив его в выраже-
ние (2), получим после преобразований и вычислений
2 / \
Л = h = 3,8 м.
14. Велосипедист ехал по прямолинейному участку
шоссе со скоростью v\ = 15 м/с. Когда он поравнялся с
19
автомобилем, тот начал двигаться из состояния покоя
равноускоренно. Найти скорость автомобиля в тот момент,
когда он догонит велосипедиста.
Решение. Совместим начало координат с началь-
ной точкой траектории автомобиля. За положительное
направление оси ОХ примем направление скорости авто-
мобиля и велосипедиста (рис. 12). Тогда движение авто-
мобиля описывается кинематическими уравнениями:
х2 = aft/2, v2 = at,
где а - ускорение автомобиля; и2 ~ его скорость в момент
времени t.
Рис. 12
Координата велосипедиста.= V\t, так как он движется
равномерно. В момент времени t = t\, когда автомобиль
догонит велосипедиста, их координаты будут одинаковы,
т. е. xi = х2. Следовательно,
= atf/2.
Скорость автомобиля в это время
и2 = atx.
Из уравнения (1) получим
2vl = at[.
(1)
(2)
(3)
Сравнивая выражения (2) и (3), находим v2 = 2u[, и2 -
= 30 м/с.
15. Двигаясь прямолинейно равнозамедленно, тело в
начальный момент времени имело скорость uq = 0,40 м/с.
В течение пятой секунды оно прошло путь = 0,31 м.
Найти модуль ускорения тела и путь, пройденный телом
до остановки.
Решение. Выберем ось ОХ так, чтобы она была
сонаправлена с вектором vq. Тогда проекции начальной
20
скорости vq и ускорения а на эту ось - соответственно
v0x = v0’ ах = ~а- Путь, пройденный телом за время = 5 с,
k = ^5 -«#5/2,
а за время = 4 с тело проходит путь
/4 = _ <^4/2.
Путь, пройденный телом в течение пятой секунды,
Отсюда найдем модуль ускорения тела:
2(и0«5/,х
а =--^—2 (1)
‘5 “Ч
Пусть т - время, за которое тело прошло путь I до
остановки. Тогда
I - пот - ат2/2.
(2)
Зависимость проекции скорости от времени выражает-
ся формулой vx = vq - at. В момент остановки vx = 0,
t = т. Следовательно, i - vq/u. Подставив это значение в
выражение (2), получим I - Vq/(2o). В эту формулу под-
ставим значение (1) и найдем путь, пройденный телом до
остановки:
Правильность формул (1) и (3) проверим действиями с
единицами величин:
После подстановки числовых значений и вычислений
получим: а = 0,02 м/с2, I = 4 м.
21
16. Тело движется по горизонтальной плоскости пря-
молинейно со скоростью uq = 30,0 м/с. Через - 20,0 с
после начала действия постоянной силы оно приобретает
скорость = 20,0 м/с, направленную в обратную сторо-
ну. Найти модуль перемещения, совершенного телом за
это время, пройденный телом путь и модуль ускорения.
Решение. Начало координат совместим с точкой О,
в которой находилось тело в момент начала действия по-
стоянной силы, и время будем отсчитывать с этого мо-
мента. Пусть ось ОХ сонаправлена с вектором скорости vq
(рис. 13). Поскольку направление скорости изменилось на
Рис. 13
противоположное, то это значит, что под действием посто-
янной силы тело двигалось с постоянным ускорением а,
причем векторы а и п0 направлены противоположно друг
другу. Движение тела будет описываться кинематическими
уравнениями:
х = xq +VQXt + axt2/2,
vx=v0x+ax^- М
Проекция вектора перемещения s на ось ОХ равна из-
менению координаты х:
sx = х- x0 = v0xt + axt2 /2. (2)
Из уравнения (1) найдем
ах = &х ~ v0x У*
и, подставив это значение в выражение (2), получим
п t ("х -"OxV2 _ "Ox + "х t (л\
sx=v0xt +------2t--------2---л (4'
В момент времени
22
slx
v0x + vlx .
2 н-
В выбранной системе координат vqx = vq, v\x = -yj,
следовательно,
sl* = 100 M-
Так как тело движется по оси ОХ, модуль перемещения
«1 = |$1х| -100 м.
Как видно из рис. 13, путь, пройденный телом за время /р
1 ~ lslxl + 2(|«2х1 _ lslxl)' (5)
Воспользовавшись выражением (4), найдем
где t2 - момент времени, в который v2x = 0 (направление
вектора скорости изменялось на противоположное).
На основании уравнения (1) получим 0 = vq + axt2,
откуда
12=-и0/ах.
Согласно формуле (3),
ах =
Подставив это значение в выражение (7), получим
*2 = + Ц))-
В формулу (6) подставим уОх = у0, v2x = 0 и значение
t2. В результате будем иметь:
s2x ~ 2(ц0 4-^)’ s2x = 180 м.
По формуле (5) получим I = 260 м.
Использовав выражение (8), найдем модуль ускорения
тела:
а - |ах| - —5—- , а = 2,5 м/с2.
I Л I
17. Тело двигалось прямолинейно с постоянной скоро-
стью vq = 10 м/с. В некоторый момент времени на тело
23
начала действовать сила, сообщающая ему ускорение,
модуль которого а - 2,0 м/с2, а направление противопо-
ложно вектору скорости. Найти модуль перемещения тела
через t\ = 7,0 с после начала действия силы и путь, прой-
денный телом за это время.
Решение. 1 способ (аналитический). Начало коор-
динат совместим с точкой О, в которой тело находилось в
а
а
момент времени, когда на-
чала действовать сила, ось
ОХ направим так же, как и
вектор vq (рис. 14, а). Со-
ставим уравнения, выра-
жающие зависимость коор-
динаты тела х и проекции
скорости vx от времени:
x = vQt-
vx = vq- at.
Найдем координату тела
*
в момент времени = 7,0 с:
(1)
(2)
Х1 ~ и(/1 -а^2/2, %i = 21 м.
Модуль перемещения
S = |Xj — Xq|, s = 21 м.
При t = проекция скорости
vx = v0 ~ ah - vx - -4,0 м/ с.
Мы видим, что oqx > 0, a V[x < 0. Следовательно, на-
правление вектора скорости изменилось на противополож-
ное. Найдем, в какой момент времени /2 это произошло. В
этот момент у2х = 0, т. е. 0 = - а/2. Отсюда
/2 = vq/o, /2 = 5,0 с.
В этот момент времени координата
х2 = и0/2 - at^/i, Х2 = 25 м.
Теперь из рисунка видно, что телом пройден путь
I = х2 + (х2 - Xj), I = 29 м.
24
II способ (графический). Проекция скорости на ось ОХ
их ~ и0 ~ а1-
После подстановки числовых значений получим
vx = 10 - 2/.
Построим график этой функции (рис. 14, б). Проекция
перемещения на ось ОХ равна алгебраической сумме пло-
щадей треугольников АОВ и BCD, причем площадь перво-
го из них берется со знаком «плюс», а второго - со знаком
«минус»:
sx = | • 5 ТО - |(7 - 5) • 4 = 21 м.
Следовательно, модуль перемещения $ = |$х| = 21 м.
Чтобы найти путь, пройденный телом, сложим площади
этих треугольников, считая положительной не только пло-
щадь треугольника АОВ, но и треугольника BCD.
/ = | • 5 10 + |(7 - 5) • 4 = 29 м.
18. Расстояние s =18 км между двумя железнодорож-
ными станциями поезд проходит за время t = 20 мин. Пер-
вые /1 = 5 мин он идет равноускоренно (без начальной
скорости), а затем - равнозамедленно, пока не остановится.
Определить ускорение поезда на пути разгона.
Решение. Пусть si -путь, пройденный поездом за
время /р a s2 ~ путь, пройденный до остановки за остав-
шееся время / - /р Тогда
$ = $1 + s2. (1)
За время /], двигаясь с ускорением а, поезд проходит
путь
s\-aty/2, (2)
приобретая скорость ц = at\. Двигаясь далее равнозамед-
ленно, поезд проходит путь
s2 = Уср (/ — /[ ),
где уср - средняя скорость поезда. Так как при а = const
_ ц + 0 _ _ <Щ
Уср 2 ~2 ~ ~2’
25
то
s2 = v(f"fl)- (3)
Подставив выражения (2) и (3) в равенство (1), полу-
чим
Отсюда ускорение поезда а = 2s/(tty). Выразив значения
заданных величин в СИ и подставив их в последнюю фор-
мулу, получим а = 0,1 м/с2.
19. Камень бросили с вышки в горизонтальном направ-
лении. Через /п = 2,0 с он упал на землю на расстоянии
s = 40 м от основания вышки. Определить высоту вышки
h, начальную vq и конечную щ скорости камня. Найти
уравнение траектории камня. Сопротивление воздуха не
учитывать.
Решение. Точку, из которой брошен камень,
примем за начало координат О, ось ОУ направим верти-
кально вниз, ось ОХ - горизонтально (рис. 15).
Ускорение свободного падения с течением времени не
изменяется, поэтому движение камня, как и любое движе-
ние с постоянным ускорением, описывается уравнениями:
п t2 / х
х = х0 +vOxt+ у - Уо +VQyt+ (1)
26
их = + ах*’ иу = v0y + ayt- (2)
Из рис. 15 видно, что xQ = 0, yQ = 0, vqx - и0, ах - О,
- О, ау - g. Поэтому уравнения (1) и (2) запишем так:
х = vqI, у - gt2 /2, (3)
Ух = УО > vy = ё*- (4)
В момент падения камня на землю у - h, х - s, t = tn.
На основании уравнений (3) получим: s = У(^п> = ё^п /У--
Следовательно, Pq = s/tn, vq = 20 м/с, h - 20 м.
Используя уравнения (4), можно найти модуль ско-
рости в любой момент времени /:
у = J^x +yj = М + ё2*2-
В момент падения на землю модуль скорости камня
уп = д/уо + Л’ уп = 28 м/с-
Направление конечной скорости определяется углом
падения а, значение которого найдем из условия
tga = — = tga = 1,
S Чу gtl’ &
откуда a = 45°.
Чтобы получить уравнение траектории камня, нужно
из уравнения (1) исключить время. Так как t = ^~, то
у = Это уравнение показывает, что камень будет
двигаться по ветви параболы с вершиной в точке броса-
ния. Такая траектория образуется в результате сложения
двух движений: равномерного движения со скоростью vq
в горизонтальном направлении и свободного падения без
начальной скорости в вертикальном направлении.
Читателю предлагается самостоятельно решить эту за-
дачу, выбрав ось OY, направленную вертикально вверх из
точки О, а ось ОХ - так же, как и в приведенном выше
решении.
20. Бомбардировщик пикирует на цель под углом a = 60°
к горизонту со скоростью vq = 540 км/ч и сбрасывает
бомбу на высоте h = 600 м. На каком расстоянии s от цели
27
в горизонтальном направлении надо освободить бомбу,
чтобы она попала в цель? Сопротивление воздуха не учи-
тывать.
Решение. Выберем систему координат так же, как
и при решении предыду-
щей задачи (рис. 16). Вы-
пишем начальные условия:
х0 = ®>Уо = °> и0х = ^0cosa >
VQy - UQsina.
Бомба движется с посто-
янным ускорением а = g,
поэтому на основании урав-
нений (1) из решения пре-
дыдущей задачи зависи-
мость координат бомбы от
времени выразится уравне-
ниями:
х - (vq cos a)/, (1)
у = (vq sin a)t + gt2 /2. (2)
Бомба попадет в цель в некоторый момент времени t = tn,
при этом у = h, х = s. Учитывая это, на основании уравне-
ния (2) получаем
h = (у0 sina)fn + g^/2.
Отсюда найдем время падения бомбы:
_ ~ио s'n a + 7wosin2 a + ?gh
n g
Подставив значение tn в уравнение (1), найдем расстоя-
ние от цели в горизонтальном направлении:
ио (-wo s'n а + 7ио s*n2 a + 2gh) cosa
s =-----------------------------, s = 300 м.
g
Читателю предлагается решить эту задачу, направив ось
OY вертикально вверх.
21. Тело брошено под углом «о к горизонту со скоро-
стью vq. Определить: координаты и скорость тела через t с
после бросания, время полета, максимальную высоту подъ-
ема, дальность полета в горизонтальном направлении, ско-
28
рость тела в момент падения; найти уравнение траекто-
рии. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Выберем систему координат с началом в
точке бросания тела, ось OY направим вертикально вверх,
ось ОХ - горизонтально (рис. 17). За начало отсчета вре-
мени примем момент бросания тела.
Тело движется с постоянным ускорением а = g, поэто-
му его движение описывается кинематическими уравне-
ниями:
a t2 аи^ , х
* = х0 + vQxt + у = Уо + vOyt + (1)
Чс = v0x + ах{> vy = VQy + ayt: (2)
При выбранной системе координат имеем: х0 -0, уц = О,
v0x ~ ^ос05аО> v0y ~ yqsinaO > ах = 0> ау~ ~ё- Поэтому,
согласно уравнениям (1), через t с после бросания коорди-
наты тела будут такие:
х = cosa0, (3)
у = y0/sina0 -gt2/!. (4)
В этот момент времени модуль скорости тела v = ^v2 + v2 .
Согласно уравнениям (2), vx - vq cosag> vy - vo sinao _
Поэтому
у = -Juq cos2 a0 + (y0 sin a0 - gt)2 =
= -2yog/sinao + g2t2. (5)
Направление вектора скорости определяется углом a:
29
, а, = e (6)
® ox VQ COS OtQ b u Vq COS OtQ
В момент падения тела у = 0, t = tn< где /п - время
полета. На основании уравнения (4) имеем
O = uofn sina0 -gtn/2-
Отсюда
tn = 2у0 sina0/g. (7)
Значение tn = 0 соответствует моменту бросания, так
как в этот момент тоже у = 0.
Время подъема до максимальной высоты i] найдем из урав-
нения для Vy, учитывая, что в верхней точке траектории
vy = 0, t = ti:
О - Vq sin ao - gt\,
откуда
*1 = uosinao/g.
Максимальную высоту подъема H определим из урав-
нения (4), подставив в него t\ вместо /:
9.9 z \ 2 9.2
_ и0 sin с*о g( yosinaoj _ Уд sin «о
g 2 [ g J 2g '
Дальность полета s найдем из уравнения (3), учиты-
вая, что в момент падения х = s, t = tn:
sinao cosao WgSin2ao
S “ g ~ g '
На основании полученного результата можно сделать
вывод, что при заданной начальной скорости uq наиболь-
шая дальность полета будет при sin2ag = 1, т. е. при угле
бросания 45°. При этом smax = Vq/ё-
Модуль и направление вектора скорости ип в момент
падения найдем, подставив значение /п из формулы (7) в
формулы (5) и (6):
уп = 7^0 ~2у0^п sina0 +g2/2 -
—.
о _ 2unsinan of 2ansinan 1
VQ - 2vOg —-----5- + g2 -----2- = Vq,
g k g J
30
tgan =
tip sina0 - gtn
wpcosap
2on sin tt(l
opsinap ~g—--------"
g
Ц) COS a0
= -tga0.
Таким образом, модуль скорости тела в момент паде-
ния равен модулю начальной скорости и ап = -ад.
Чтобы получить уравнение траектории тела, нужно ис-
ключить время t из уравнений (3) и (4). Из уравнения (3)
найдем t - x/(vq cosag) и, подставив это значение в урав-
нение (4), получим
Д 9
у = хtgan - —9—9—
у & ° 2ц2 cos2 a0
Как известно, графиком функции у = ах2 + Ьх при а < О
является парабола, обращенная выпуклостью вверх и прохо-
дящая через начало координат. Таким образом, тело, брошен-
ное под углом к горизонту, движется по параболе. Это дви-
жение можно представить как результат сложения двух дви-
жений: равномерного движения вдоль оси ОХ со скоростью
vqx и движения вертикально вверх с начальной скоростью
VQy и ускорением g, направленным вертикально вниз.
В заключение отметим, что движение тела, брошенного
вертикально, можно рассматривать как частный случай
движения тела, брошенного под углом к горизонту, при
этом ад = л/2. (Сравните результаты, полученные при ре-
шении этой задачи и задачи 6.)
22. Тело брошено под углом ад к горизонту с началь-
ной скоростью 5д. Найти изменение вектора скорости тела
за время полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Пусть уп - скорость тела в момент
падения. Тогда изменение вектора скорости за время по-
лета Ду = уп - vq. Найдем эту разность векторов геомет-
рически (рис. 18). В решении предыдущей задачи показа-
Р и с. 18
31
но, что |ап| = |<Хо| и модуль скорости падения тела равен
модулю его начальной скорости, т. е. |уп| = |t»ol Учитывая
это, находим из АДВС модуль изменения скорости:
|Ду| = 2уо sina0.
Обратим внимание на различие записей: Ду обознача-
ет изменение модуля скорости (в рассматриваемом случае
Ду = Д|у| = 0), а |Ду| - модуль изменения вектора скорости.
23. Два тела брошены вертикально вверх с одинако-
выми начальными скоростями у0 и промежутком времени
между бросками т. Первое тело брошено с поверхности
земли, второе - с некоторой высоты h0. Через какой про-
межуток времени тела окажутся на одинаковой высоте?
Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение. Начало координат О совместим с точкой
бросания первого тела, ось ОУ направим вертикально вверх
(рис. 19, а). Время будем отсчитывать с момента бросания
первого тела. Тогда зависимости координат первого и вто-
рого тел от времени выразятся уравнениями:
У\ = VQt-gt1 /2,
Уч = + vo(t - т) - g(t - т)2 /2.
Рис. 19
В момент времени t = t\, когда тела окажутся на оди-
наковой высоте, координаты их будут одинаковы (у\ - у2),
поэтому
32
Отсюда
. _ 2о , т _
1 g 2 gi ’
Ответ справедлив при условии — +
ё *•
h0
gl’
В зависимости от значений т, vq и Iiq тела могут вооб-
ще не оказаться на одинаковой высоте (исключая, разумеет-
ся, их послеполетное пребывание на земле). Это хорошо
видно, если построить графики зависимости координаты
от времени для каждого тела (рис. 19, б). При некоторых
значениях т, vq и Kq параболы 1 и 2 могут не иметь об-
щих точек (при у > 0).
24. Тело брошено со скоростью vq под углом ccq к на'
клонной плоскости, которая образует с горизонтом угол р.
Определить время полета и максимальное удаление тела
от наклонной плоскости. Сопротивление воздуха не учи-
тывать.
Решение. За начало координат О примем точку
бросания тела, ось ОХ напра-
вим вдоль наклонной плоско-
сти, ось ОУ - по нормали к ней
(рис. 20).
Ускорение свободного паде-
ния g не изменяется с течени-
ем времени,поэтому, как и для
любого движения с постоянным
ускорением, для движения дан-
ного тела справедливы кинема-
тические уравнения:
a Z2 аи^
х = х0 + vQxt + У = Уо+ VQyt + —,
ух — у0х + vy ~ vQy + ау1-
Из рисунка ВИДНО, ЧТО хо =0, у0 - 0, Vqx = Vq COSOCq,
-uQy =uosinao, ax = gx = gsinp, ay = gy =-geosp.Под-
ставим эти значения в кинематические уравнения:
X = (Vq cosa0)Z + -£-г, (1)
33
у = (у0 sin а0)/ - gC°5^2. (2)
vx = vq cos ocq + (g sin p)Z,
Vy = Vq sinao - (gcos[j)z,
Время полета tn найдем из условия, что в момент па-
дения координата у становится равной нулю:
(у0 sin a0)in - gc°sP = 0. (3)
Второй корень уравнения (3) равен нулю, что соответ-
ствует моменту бросания.
Учитывая, что в момент падения х - s, дальность поле-
та s найдем, подставив значение tn в уравнение (1):
s = у0 cosaQ—-Q--s--ncto + gsinpr^osinaof
gcosp 2 gcosp )
После преобразований получим
2dq sin ац cos(ao - Р)
S _ ---------- ------
geos Р
Если р = 0, то s = Уд sin2ao/g, что соответствует слу-
чаю, рассмотренному в задаче 21.
Для нахождения максимального удаления тела от на-
клонной плоскости в уравнение (2) подставим значение
времени подъема t{, которое найдем из условия, что в выс-
шей точке траектории проекция скорости на ось OY стано-
вится равной нулю:
vq sin a0 - (g cos p)Z, = 0.
Отсюда
_ vQ sina0
1 gcosp
Тогда, учитывая, что в этой точке у = h, получаем
2-2
h _ О0 Sin Ctp _ gcosp / Vq sin «0
gcosp 2 gcosP
или после преобразований
2 2
h _ Vq Sin a0
2gcosp
34
25. Описать характер движения
тела, график зависимости ко-
ординаты которого от времени изо-
бражен на рис. 21,а (ОА и ВС -
участки парабол). Начертить гра-
фики скорости и ускорения, соот-
ветствующие данному движению.
Решение. Соответствую-
щие графики показаны на рис. 21,
б, в. При построении их учтено,
что в течение промежутка време-
ни от 0 до тело двигалось рав-
ноускоренно, от t\ до i2 _ равно-
мерно, от i2 До £3 - равнозамед-
ленно, от £3 до £4 - находилось в
состоянии покоя.
26. Найти линейную скорость v
и центростремительное ускоре-
ние а точек на поверхности зем-
ного шара: на экваторе; на широ-
те = 60°. Радиус Земли R при-
нять равным 6400 км.
Решение. На экваторе линейная скорость любой
точки
^0 = 2nR/T,
(1)
где t - 24 ч = 86 400 с - период суточного вращения Земли.
Центростремительное ускорение
„ _ < _ 4n2/?2 _
° R RT2 Т2 '
(2)
На широте <р точки движутся по окружности радиуса
г = R coscp (по параллели) с линейной скоростью
2я/?СО5Ш
v4 =
(3)
и центростремительным ускорением
_ Цф _ 47t2/?COS<p , v
иФ г т2 '
Подставив в формулы (1)-(4) числовые значения, по-
лучим: Vq = 465 м/с, а0 = 0,034 м/с2, = 233 м/с,
<2ф = 0,017 м/с2.
35
Задачи для самостоятельного решения
27. Пешеход переходит дорогу со скоростью v - 4,2 км/ч
по прямой, составляющей угол а = 30° с направлением
дороги, в течение времени t - 60 с. Определить ширину
дороги.
28. Движение материальной точки описывается урав-
нениями х = 2 + 4t и у = 1 + 3t, в которых все величины
выражены в единицах СИ. Найти скорость точки и уравне-
ние ее траектории.
29. Скорость течения реки v = 2,0 км/ч. Моторная
лодка идет против течения со скоростью = 15 км/ч
относительно берега. Определить скорость относительно
берега и относительно воды, если лодка будет двигаться
по течению.
30. Корабль, длина которого L - 240 м, движется прямо-
линейно в неподвижной воде со скоростью v = 36 км/ч.
Катер проходит расстояние от кормы движущегося кораб-
ля до его носа и обратно за время t = 70 с. Определить
скорость катера.
31. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг
другу начали двигаться два велосипедиста. После того
как они повстречались, первый велосипедист через
= 10 с прибыл в пункт В, а второй, проехав s = 100 м
за ^2 = 40 с, прибыл в пункт А. Определить скорости
велосипедистов, если их движение было равномерным и
прямолинейным.
32. Поезд длиной I = 120 м движется по мосту равно-
мерно со скоростью v = 18 км/ч. За какое время поезд
пройдет мост, если длина моста L = 480 м?
33. Автомобиль и велосипедист равномерно движутся на-
встречу друг другу со скоростями соответственно щ = 10 м/с
и г?2 = 5 м/с. Расстояние между ними в начальный мо-
мент времени I = 300 м. Графически и аналитически опре-
делить место и время встречи автомобиля и велосипеди-
ста. Изменится ли место встречи, если их скорости будут
в 2 раза большими?
34. Расстояние между двумя лодочными станциями
моторная лодка проходит по течению реки за t\ = 10 мин,
а против течения - за = 30 мин. За какое время это
расстояние проплывет по течению упавший в воду спаса-
тельный круг?
36
35. Расстояние s между пунктами А и В равно 80 км.
Из пункта А в направлении АВ выезжает со скоростью
Pj = 50 км/ч мотоциклист. Одновременно из пункта В
выезжает в том же направлении автомобиль со скоростью
V2 = 30 км/ч. Через какое время т и на каком расстоянии
Sj от точки А мотоциклист догонит автомобиль? Решить
задачу алгебраическим и графическим способами.
36. Капли дождя, падающие отвесно, образуют на окне
горизонтально движущегося троллейбуса полосы под уг-
лом а = 30° к вертикали. Какова скорость падения ка-
пель, если троллейбус движется прямолинейно с постоян-
ной скоростью v = 50 м/с?
37. На расстоянии /0 = 200 м от станции электропоезд
метро, идущий со скоростью vq = 30 м/с, начал тормо-
зить с ускорением а = 5 м/с2. На каком расстоянии от
станции окажется поезд через t = 7 с после начала тормо-
жения?
38. Первый вагон тронувшегося с места поезда прошел
мимо неподвижного наблюдателя, стоявшего у начала это-
го вагона, за время t\, последний вагон - за время /2.
Считая движение поезда равноускоренным, поезд длинным,
а вагоны одинаковыми, найти время движения всего поез-
да мимо наблюдателя.
39. Тело начинает двигаться вдоль прямой без началь-
ной скорости с постоянным ускорением. Через ty = 30,0 мин
ускорение тела меняется по направлению, оставаясь та-
ким же по модулю. Через какое время /2 от начала движе-
ния тело вернется в исходную точку?
40. Двигаясь равноускоренно, материальная точка в
первые два равных последовательных промежутка време-
ни по т = 4,0 с каждый проходит пути /j = 20 м и /2 = 30 м.
Определить ускорение и начальную скорость точки.
41. Свободно падающее тело прошло последние I = 63,7 м
за т = 1,0 с. С какой высоты падало тело?
42. Двигатели ракеты, запущенной вертикально вверх
с поверхности Земли, работали в течение времени t =
= 1,0 мин и сообщали ракете постоянное ускорение а = 3g.
Какой максимальной высоты достигла ракета? Ускоре-
ние свободного падения g считать постоянным и рав-
ным 9,8 м/с2. Сопротивлением воздуха пренебречь.
43. Тело, двигаясь равноускоренно, за первые = 5,0 с
своего движения прошло путь /] = 100 м, а за первые /2 ~
= 10 с - /2 = 300 м. Определить начальную скорость тела.
37
44. Двигаясь равноускоренно без начальной скорости, те-
ло, пройдя некоторый путь, приобрело скорость v - 14 м/с.
Чему была равна скорость тела, когда оно прошло полови-
ну этого пути?
45. Тело за время t = 6 с переместилось на s = 270 см.
Первые три секунды тело двигалось с постоянным ускоре-
нием, а последние три - равномерно. Определить началь-
ную скорость тела, если за пятую секунду его перемеще-
ние S5 = 40 см.
46. Тело движется из состояния покоя равноускорен-
но. Определить, во сколько раз путь, пройденный этим
телом за восьмую секунду, будет больше пути, пройденно-
го за третью секунду.
47. Два поезда прошли одинаковый путь за одно и то
же время. Однако один поезд, трогаясь с места, прошел
путь равноускоренно с ускорением а = 3,0 см/с2, а дру-
гой поезд половину пути шел со скоростью Wj = 18 км/ч,
а другую половину - со скоростью - 54 км/ч. Найти
путь, пройденный каждым поездом.
48. Тело на веревке поднимали от поверхности земли с
ускорением а = 2 м/с2 вертикально вверх. Через время
tj = 5 с веревка оборвалась. Рассчитать, сколько времени
тело двигалось до земли после того, как оборвалась веревка.
49. Автомобиль проехал половину пути со скоростью
= 60 км/ч. Половину времени, затраченного на преодо-
ление оставшейся части пути, он двигался со скоростью
V2 - 15 км/ч, а на последнем участке - со скоростью 03 =
= 45 км/ч. Найти среднюю скорость прохождения всего
пути.
50. Расстояние s = 18 км между двумя станциями по-
езд проходит со средней скоростью цср = 54 км/ч, причем
на разгон он тратит = 2 мин, затем идет с постоянной
Скоростью и на замедление до полной остановки тратит
^2 - 1 мин. Определить наибольшую скорость поезда.
51. При какой посадочной скорости самолеты могут
приземляться на посадочной полосе длиной I = 800 м при
торможении с ускорением а = 5,0 м/с2?
52. С вышки высотой h = 10 м прыгает спортсмен и
через т = 1,8 с падает в воду. На сколько сопротивление
воздуха увеличивает время падения? Начальную скорость
принять равной нулю.
53. Камень падает без начальной скорости в шахту.
Через т = 6 с слышен звук удара камня о дно. Определить
38
глубину шахты, считая скорость звука и постоянной и рав-
ной 330 м/с. Сопротивление воздуха не учитывать.
54. На стержень длиной I = 0,9 м надета бусинка, кото-
рая может перемещаться по стержню без трения. В на-
чальный момент бусинка находилась на середине стерж-
ня. Стержень начал двигаться поступательно в горизон-
тальной плоскости с ускорением а = 0,6 м/с2 в направ-
лении, составляющем со стержнем угол а = 60°. Через
сколько времени бусинка упадет со стержня?
55. Расстояние между двумя свободно падающими кап-
лями через время t = 2 с после начала падения второй
капли было / = 25 м. На сколько позднее начала падать
вторая капля? Сопротивлением воздуха пренебречь.
56. Тело свободно падает без начальной скорости с
высоты h = 270 м. Разделить эту высоту на 3 части, такие,
чтобы на прохождение каждой из них потребовалось бы
одно и то же время. Сопротивление воздуха не учитывать.
57. Пользуясь графиком зависимости проекции скоро-
сти материальной точки от времени (рис. 22), построить
график зависимости ее координаты от времени. В началь-
ный момент координата точки равна нулю.
58. Материальная точка может перемещаться прямо-
линейно вдоль оси ОХ. По известному графику зависи-
мости проекции vx скорости данной точки (рис. 23) по-
строить графики зависимости проекции ах ускорения и
координаты х точки от времени, считая, что х = 0 при
t = °.
59. Тело брошено вертикально вверх с начальной ско-
ростью Vq = 24 м/с. Какой путь пройдет тело за время
t\ = 4,0 с? Сопротивление воздуха не учитывать.
39
с
Р и с. 24
60. На рис. 24 приве-
ден график скорости тела,
движущегося прямолиней-
но. Построить график его
перемещения и ускорения,
если треугольники ОАВ,
BCD, и DEK равны.
61. Два тела брошены
вертикально вверх из одной
точки, одно вслед за другим с промежутком времени
т = 2,0 с. Начальная скорость vq обоих тел одинакова и
равна 50 м/с. Через сколько времени и на какой высоте
тела встретятся? Сопротивление воздуха не учитывать.
62. Из одной точки одновременно бросают с одинако-
выми скоростями vq два тела: одно вертикально вверх,
второе горизонтально. Найти расстояние между телами
через промежуток времени т после бросания. Сопротив-
ление воздуха не учитывать.
63. С крыши дома высотой И = 20 м вертикально вверх
брошен камень со скоростью vq = 10 м/с. Определить
скорость камня на высоте h = 10 м над землей и скорость
его в момент удара о землю. Сопротивление воздуха не
учитывать.
64. Скорость тела, брошенного вертикально вниз с не-
которой высоты, через = 1,0 с увеличилась по сравне-
нию с начальной в nj = 6,0 раз. Во сколько раз увеличится
его скорость через t% = 2,0 с после броска? Сопротивление
воздуха не учитывать.
65. С неподвижного относительно земли вертолета сбро-
сили без начальной скорости тело. Спустя = 1,0 с было
сброшено тоже без начальной скорости второе тело. Опре-
делить расстояние между телами через = 2,0 с от начала
падения первого тела. Сопротивление воздуха не учитывать.
66. Определить начальную скорость, с которой тело
брошено вертикально вверх, если точку, находящуюся на
высоте h = 60 м, оно проходило 2 раза с промежутком
времени т - 4,0 с. Сопротивление воздуха не учитывать.
67. Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось в
точку бросания через т = 10 с. Какова начальная скорость
тела? На какую максимальную высоту оно поднималось?
Сопротивление воздуха не учитывать.
68. Аэростат поднимается вертикально с постоянной
скоростью vq. К гондоле аэростата привязан на веревке
40
груз. Веревку, на которой он подвешен, перерезали в тот
момент, когда груз находился на высоте Hq. Сколько вре-
мени груз будет падать на землю? Какая скорость будет у
него при соприкосновении с землей? Сопротивлением воз-
духа пренебречь.
69. Танк, движущийся со скоростью v\ = 36 км/ч, при-
тормаживает одну из гусениц так, что ось ее ведущего коле-
са начинает двигаться вперед со скоростью = 32,4 км/ч.
Расстояние между гусеницами I = 2 м. Под каким углом к
первоначальному направлению движения будет двигаться
танк через t = 2 с?
70. Тело, находящееся в точке А на высоте И - 45 м от
земли, начинает свободно падать без начальной скорости.
Одновременно из точки В, расположенной на h = 21 м
ниже точки А, бросают другое тело вертикально вверх.
Определить начальную скорость второго тела, если извест-
но, что оба тела упадут на землю одновременно. Сопро-
тивлением воздуха пренебречь. Принять g = 10 м/с2.
71. Два тела бросают с высоты h = 20 м со скоростью
Vq = 15м/с каждое. С какими скоростями тела упадут на
землю, если первое тело брошено вертикально вверх, а
второе - горизонтально? Считать ускорение свободного
падения g - 10 м/с2. Сопротивление воздуха не учиты-
вать. Задачу решить без применения закона сохранения
энергии.
72. Тело, находящееся на высоте И = 80 м над землей,
брошено горизонтально с начальной скоростью vq = 15 м/с.
Найти скорость тела в момент, когда оно окажется на вы-
соте h = 60 м над землей. Ускорение свободного падения
принять равным 10 м/с2. Задачу решить без применения
закона сохранения энергии. Сопротивлением воздуха пре-
небречь.
73. Найти начальную и конечную скорости камня, бро-
шенного горизонтально с высоты Н - 5,0 м, если по гори-
зонтали он пролетел расстояние s = 10 м. Сопротивление
воздуха не учитывать.
74. Два тела брошены с одной и той же скоростью под
углами а и л/2-а к горизонту. Определить отношение
наибольших высот подъема этих тел. Сопротивление воз-
духа не учитывать.
75. Тело, брошенное под некоторым углом к горизон-
тальной плоскости, падает на нее через т = 2 с. Какой
41
наибольшей высоты оно достигало? Сопротивление возду-
ха не учитывать.
76. Камень брошен под углом сс0 = 30° к горизонту со
скоростью Vq = 10 м/с. Через сколько времени камень
будет на высоте h. - 1 м? Сопротивление воздуха не учи-
тывать.
77. На какой высоте вектор скорости тела, брошенного
под углом ccq = 45° к горизонту с начальной скоростью
w0 = 20 м/с, будет составлять с горизонтом угол а = 30°?
Сопротивление воздуха не учитывать.
78. С высоты h над поверхностью земли тело брошено
под углом к горизонту со скоростью 50. Чему равна ско-
рость, с которой тело падает на землю? Задачу решить без
применения закона сохранения энергии. Сопротивление
воздуха не учитывать.
79. При разрушении вращающейся части машины ос-
колки могут отлететь под углом а - 60° к горизонту со
скоростью v = 3 м/с. Какой минимальной высоты надо
поставить ограждение на расстоянии I = 0,5 м от машины,
чтобы осколки не вылетели за пределы ограждения? Со-
противление воздуха не учитывать.
80. Шарик вертикально падает с высоты h - 2 м на
наклонную плоскость и абсолютно упруго отражается под
углом, равным углу падения. На каком расстоянии от мес-
та падения он снова ударится о ту же плоскость? Угол
наклона плоскости к горизонту а = 30°. Сопротивление
воздуха не учитывать.
81. Из одной точки одновременно брошены два тела
под углами a j - 60° и а 2 = 45° к горизонту с начальными
скоростями соответственно щ = 40 м/с и о2 = 50 м/с.
Траектории тел лежат в одной плоскости. На каком рас-
стоянии друг от друга будут находиться тела через t = 3 с?
Сопротивление воздуха не учитывать.
82. Даны кинематические уравнения движения тела:
х - R sin cot, у - R cos cot. Найти его траекторию и ускоре-
ние (модуль и направление). Каков смысл постоянных R и со?
83. Во сколько раз угловая скорость часовой стрелки
больше угловой скорости суточного вращения Земли?
84. Какую линейную скорость имеют верхние точки
обода велосипедного колеса, если велосипедист едет со
скоростью v = 20 км/ч?
85. Определить радиус маховика, если при его вра-
щении точки на ободе имеют скорость иt - 6,0 м/с, а
42
точки, находящиеся на I = 15 см ближе к оси, - скорость
V2 - 5,5 м/с.
86. Для шлифовки деталей на абразивном круге ско-
рость v крайних точек этого круга должна быть равной
94,2 м/с. Определить необходимую частоту вращения, если
диаметр круга d - 0,3 м.
87. Стержень длиной I0,5 м вращается с частотой
п - 2 с-1 вокруг оси, проходящей через стержень перпен-
дикулярно ему. Центростремительное ускорение одного из
концов стержня а = 16,1 м/с2. Определить линейную ско-
рость другого конца.
2. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ
Методические указания к решению задач
При решении задач по динамике прямолинейного дви-
жения следует сначала выяснить, какие силы действуют
на интересующие нас тела, и изобразить эти силы на рисун-
ке, выбрать систему координат. Координатные оси выби-
рают так, чтобы проекции сил и ускорений на них выража-
лись возможно более простым образом. Далее, для каждо-
го тела в отдельности на основании второго закона Ньюто-
на составляют уравнения движения в векторной форме:
+• • •+ Лг =
где F\, F<},..., Fn ~ силы, действующие на тело; т - мас-
са тела; а - его ускорение. Затем записывают эти уравне-
ния в скалярной форме, т. е. в проекциях на оси коорди-
нат:
F\x + F2x + -+Fnx = тах> F\y + F2y +---+Fny = may
Если движения тел в данной задаче взаимосвязаны, то
надо найти уравнения для кинематических величин, отра-
жающие эту связь. Полученную систему уравнений реша-
ют относительно искомых величин.
Следует отметить, что второй закон Ньютона дает воз-
можность найти только ускорения тел. Скорости и координа-
ты тел определяют лишь при задании начальных условий.
43
В задачах, где учитывается трение, нужно находить силу
нормальной реакции опоры, определяющую силу трения.
Для этого составляют уравнение на основании того, что
вдоль координатной оси, перпендикулярной направлению
скорости прямолинейно движущегося тела, ускорение от-
сутствует, и поэтому сумма проекций сил на эту ось равна
нулю.
Задачи по динамике движения по окружности решают
так же, как и задачи по динамике прямолинейного движе-
ния, при этом прямоугольную систему координат рацио-
нально выбирать так, чтобы одна из осей (например, ОХ)
была направлена из точки, в которой находится тело, по
радиусу к центру окружности. Тогда и при равномерном, и
при неравномерном движении по окружности проекция
ускорения на эту ось равна модулю центростремительного
(нормального) ускорения: ах - ап = о2/R, где v - модуль
скорости тела в данной точке траектории; R - радиус окруж-
ности.
Основные законы и формулы
Первый закон Ньютона (закон инерции): всякое тело со-
храняет состояние покоя или равномерного прямолинейного дви-
жения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не
заставит его изменить это состояние.
Инерциальные системы отсчета - это системы отсчета, в
которых выполняется первый закон Ньютона.
Второй закон Ньютона: сумма действующих на тело сил
равна произведению массы т этого тела на его ускорение а.
F = та,
где F -F] + F2 +...+ Fn.
Другая формулировка второго закона Ньютона: изменение
импульса тела за время Д/ равно импульсу действующей на
тело силы F за этот же промежуток времени:
Др = F&t,
где Др = mv2 - mvy — изменение импульса тела; vt, и2 - на-
чальная и конечная скорости тела.
Третий закон Ньютона: силы, с которыми тела действуют
друг на друга, равны по модулю и направлены по одной прямой
в противоположные стороны.
44
Закон всемирного тяготения: сила взаимного притяжения
двух материальных точек прямо пропорциональна произведе-
нию масс этих точек и обратно пропорциональна квадрату рас-
стояния между ними:
F - г. т1т2
где G = 6,67 10-11 Н м2/кг2 - гравитационная постоянная.
Сила тяжести F7 - это сила притяжения тела Землей:
Л = т(Г
где т — масса тела: g - ускорение свободного падения.
Ускорение свободного падения у поверхности Земли
g = GM/R2,
где М - масса Земли; R - ее радиус. На высоте h над поверхно-
стью Земли
gh = GM/(R + Л)2.
Вес тела — это сила, с которой тело вследствие притяже-
ния к Земле действует на горизонтальную опору или верти-
кальный подвес, удерживающие его от свободного падения.
Плотность однородного тела
р = m/V,
где т — масса тела; V — его объем.
Сила трения покоя имеет максимальное значение
^"тр.п max —
где р. - коэффициент трения; N - сила нормальной реакции опоры.
Сила трения скольжения
FTp = ЦМ
Закон Гука: при упругой деформации растяжения (сжатия)
сила упругости пропорциональна вектору удлинения (сжатия)
и противоположна ему по направлению:
^упр = ,
где k - коэффициент упругости (жесткость).
Если F - приложенная сила, Iq - начальная длина тела, S -
площадь его поперечного сечения, то
f = es
lQ
где Е - модуль упругости (модуль Юнга).
45
Примеры решения задач
88. Подъемный кран поднимает плиту массой т = 1000 кг
вертикально вверх с ускорением а = 0,2 м/с2. Опреде-
лить силу натяжения каната, удержи-
вающего плиту.
Решение. На плиту действуют
сила тяжести Гт и сила натяжения ка-
ната Т (рис. 25). Координатную ось
OY направим вертикально вверх. Со-
гласно второму закону Ньютона, за-
пишем уравнение в векторной форме:
Т + F7 = ma.
Для проекций на ось OY получим
уравнение в скалярной форме:
Ту + рту = тау
Так как Ту = Т, FTy = -mg, ау - а, имеем Т - mg - ma.
Отсюда Т = m(g + а), Т - 1 104 Н.
89. Под действием силы F, направленной вдоль горизон-
тальной плоскости, по ее поверхности начинает скользить
без начальной скорости тело массой m = 4 кг и через t = 3 с
после начала движения приобретает скорость v = 0,6 м/с.
Найти силу F, если коэффициент трения между телом и
плоскостью ц = 0,2.
Решение. На тело действуют четыре силы: в
горизонтальном направлении - сила F и сила трения Дтр,
в вертикальном - сила тяжести Дт = mg и сила нормаль-
ной реакции плоскости JV.
mg
Р и с. 26
За положительное направле-
ние оси ОХ примем направле-
ние движения тела, ось OY
направим вертикально вверх
(рис. 26).
Согласно второму закону
Ньютона, составим уравнение:
F + Лтр + FT + N - та.
46
В проекциях на ось ОХ получим F - Р7р = та. Отсюда
F - FTp + та. (1)
Модуль силы N найдем по второму закону Ньютона,
составив уравнение в проекциях на ось ОУ.
Ny + FTy = тау.
Поскольку Ny = N, FTy = -mg, а ау = 0 (ускорение
тела перпендикулярно оси ОУ), то N - mg - О, N = mg.
Поэтому, учитывая, что FTp = \iN, получим
Л-р = (2)
Так как тело двигалось равноускоренно без начальной
скорости, то в момент времени t скорость тела v = at.
Отсюда
а = v /1. (3)
Подставив значения F7p и а из формул (2) и (3) в фор-
мулу (1), а затем числовые значения заданных величин,
получим
F = m(\ig + v/t), F = 9 Н.
90. По наклонной плоскости с углом наклона а сколь-
зит вниз брусок массой т. Найти его ускорение, если ко-
эффициент трения бруска о плоскость равен ц.
Решение. Направим ось ОХ вдоль наклонной
плоскости, а ось OY - перпендикулярно плоскости вверх
(рис. 27). На брусок действуют три силы: сила тяжести
Гт = mS> сила нормальной реакции плоскости N и сила
трения FTp. Согласно второму закону Ньютона,
FT + N + Ртр = та.
Составим уравнение в проек-
циях на ось OX: Y\
^тр х ~ тах-
Но F1X = mgsina, Nx = 0, F7p х = Уър
= -Гур = -pJV. Поэтому mg Bin a - s' ц
- цМ = тах. Отсюда /г-_________________
_ mg sin a - |iiV ,..
ax ~ ~ 0 7 P и c. 27
47
Модуль силы Л/ найдем, как и в предыдущей задаче,
составив в проекциях на ось OY уравнение, являющееся
следствием второго закона Ньютона: Л/- mgcosa = 0.
Отсюда N - mg cos а. Подставив это значение в формулу
(1), получим
ах = g(sin a - Ц cos a).
ние будет равномерным?
Анализ этой формулы показывает, в частности, что при
отсутствии трения (р. = 0) ах = gsina.
91. Тело движется по горизонтальной плоскости под
действием силы F, направленной под углом а к горизон-
ту. Начальная скорость равна нулю. Найти ускорение тела,
если его масса равна т, а коэффициент трения между те-
лом и плоскостью равен ц. При каком модуле силы движе-
Решение. На тело действу-
ют четыре силы: сила /^сила тре-
ния FTp, сила тяжести FT = mg и
сила нормальной реакции плос-
кости N (рис. 28). За положи-
тельное направление оси ОХ
примем направление движения
тела, ось OY направим верти-
кально вверх.
Согласно второму закону Ньютона, составим уравне-
ние в векторной форме:
F + N + FTp + mg = та.
&
Р и с. 28
В проекциях на ось ОХ получим уравнение F cos a - FTp =
- тах. Отсюда
Fcosa-FTp
ах =----------(1)
Л т
Модуль силы трения
^тр = HW. (2)
Модуль силы N найдем из условия ау = 0 (вдоль оси
OY тело не движется): Л/ - mg + Fsina = Q. Отсюда
N = mg ~ F sin а.
(3)
48
На основании формул (1)-(3) получим
ах = ~(cosa + ц sin a) - |ig.
Движение будет равномерным при ах - 0, т. е.
(cos a + ц sin a) - [img = 0.
Отсюда
„ vmg
1 cos а+ ц sin a
92. К бруску массой т = 6. кг, лежащему на горизон-
тальной плоскости, приложена сила F = 8 Н, направ-
ленная под углом a = 45° к горизонту. Коэффициент
трения бруска о плоскость ц - 0,3. Найти модуль силы
трения и скорость бруска через t — 2 с после начала
действия силы.
Решение. На брусок действуют четыре силы: сила
F, сила трения Дтр, сила тяжести FT = mg и сила нор-
мальной реакции плоскости N (см. рис. 28). В задаче ни-
чего не сказано о движении тела.
Предположим, что в указанный момент времени тело
движется в положительном направлении оси ОХ. Тогда,
рассуждая так же, как и при решении предыдущей задачи,
мы получим
ах = £(cosa + gsina) - p.g.
Подставим значения величин и вычислим:
ах = -|(cos45° + 0,3sin45°) - 0,3 • 9,8 = -2 м/с2.
Получили ах < 0, что противоречит сделанному предпо-
ложению (ах > 0). Следовательно, тело покоится, т. е. его
скорость v = 0, а сила трения является силой трения по-
коя. Для проекций на ось ОХ получим (с учетом того, что
ах = 0) уравнение F cos a - FTp n = 0, откуда
Дур.п — Д COS ОС, Дтр п — 6 Н.
93. На горизонтальном столе лежат два связанных
нитью груза, массы которых тх = 0,3 кг и т2 = 0,7 кг. К
грузам приложены противоположно направленные силы
Д[ = 1 Н и F2 = 2 Н, линии действия которых совпадают
с нитью. Найти, с каким ускорением движутся грузы и с
49
какой силой действует нить на каждый груз. Трение не
учитывать. Нить считать нерастяжимой и невесомой.
Решение. Обозначим все силы, действующие на
грузы, и выберем систему координат (рис. 29, а). Запи-
шем, согласно второму закону Ньютона, уравнения дви-
жения грузов:
F\ + + tx + mxg = mxax, Д2 + jV2 +f2 + m2§ =
где Nx, N2 ~ силы реакции опоры; Tx, Т2 “ силы натяжения
нити, действующие на первый и второй грузы соответственно.
Для проекций на ось ОХ уравнения примут вид:
Т\ - F\ = mxaXx, ?2~ Т2 = m2a2x. (1)
Нерастяжимость нити означает постоянство ее длины.
Поскольку грузы перемещаются только вправо, то разность
их координат, равная длине нити, остается постоянной,
т. е. х2 - хх = const. (В задачах по кинематике и динамике
тела рассматриваются как материальные точки и только
для наглядности их изображают на рисунках в виде квад-
ратиков, кружочков и т. п.) Взяв производную по време-
ни левой и правой частей последнего равенства, получим
хх - х2 = 0, или х[ = х2. Возьмем еще раз производную по
времени, получим хх'= х2 , т. е. аХх = а2х. Таким образом,
из условия нерастяжимости нити следует, что ускорения
связанных тел и всех точек нити одинаковы:
а1х ~ а2х ~ ах- (2)
Докажем теперь, что модули сил 7] и Т2 равны, если
нить невесома. Обозначим через F^ силу, действующую
на нить со стороны первого тела, а через F^ - со стороны
%
т,д
mJ Л
Р и с. 29
50
второго (рис. 29, б). Согласно второму закону Ньютона,
уравнение движения нити имеет вид
А + ^4 - т^’
где т - масса нити; а - ускорение. Поскольку нить неве-
сома, то т = 0. Тогда + F4 - 0. Следовательно, Л3 = -F±.
Согласно третьему закону Ньютона, с какой силой тело
действует на нить, с такой же по модулю, но направленной
противоположно силой, действует нить на тело. Поэтому
7] = -F3, ?2 ~ Если учесть теперь, что F3 - -F4, то
получим 7] --Т^. Следовательно,
Т{ = Т2 = Т. (3)
Таким образом, из условия невесомости нити следует,
что такая нить действует на связанные тела с силами, рав-
ными по модулю и противоположными по направлению.
Перепишем уравнения (1) с учетом равенств (2) и (3):
Т - F\ = ица, F% - Т = m^a.
Решив эту систему двух уравнений, получим:
_ F2 - Л 7- _ F\m2 + F2ml _ п о
а =----------, Т =--------------, а = 0,8
ml + m2 ml + m2
94. Через блок, массой которого
можно пренебречь, перекинута неве-
сомая и нерастяжимая нить, к кон-
цам которой подвешены грузы гп\ =
= 2,0 кг и ТП2 = 2,1 кг- Начальные ско-
рости грузов равны нулю. Каково пе-
ремещение грузов за время т = 3,0 с?
Какова сила натяжения нити? С ка-
кой силой давит нить на блок?
Решение. Силы, действующие
на грузы, а также выбранное направ-
ление координатной оси OY показа-
ны на рис. 30. Начало координат со-
вмещено с начальным положением ле-
вого груза.
Согласно второму закону Ньюто-
на, запишем уравнение движения для
каждого груза:
м/с2, Т = 0,8 Н.
51
7] 4- m^g - , Т2 + m2g = rn2a2.
Поскольку нить нерастяжима и невесома, то = а2 = а,
Т\ = Т2 = Т. С учетом этого составляем уравнения движе-
ния грузов в проекциях на ось OY:
Т - m\g = ща, Т - m2g = ~m2a,
где а - ускорение. Вычитая из первого уравнения второе,
получаем
g{m2 - = a(ni[ + пг2),
откуда
g(m2 - mt)
а =-----------.
+ m2
Уравнение для координаты левого груза запишется так:
у - at2/2.
В момент времени т у = s. Таким образом, модуль пе-
ремещения
_ ах2 _ g(/»2 - mi )"t2 _ , .
S-T-^7^T’S" 1,1 м-
Силу натяжения нити найдем из уравнения движения
левого груза:
Т = m^g + а) =
2mim2g
mi + m2’
Т = 20 Н.
На блок действуют силы натяжения нити и Т2, а так-
же сила реакции оси N. Блок находится в равновесии, следо-
вательно, fj' + t2 + N = 0. Так как Т\' = 7] = Т, Т2 = Т2 = Т,
то для проекций сил на ось OY получим Л/ - 2Т= 0, откуда
N = 2T.
По третьему закону Ньютона сила, с которой ось дейст-
вует на блок, равна по модулю и противоположна по на-
правлению силе F, с которой блок давит на ось: N = -F.
Следовательно, F = N = 2Т. Подставив в эту формулу
выражение для Т, найдем:
4mim2g
mI + m2 ’
F = 40 H.
95. Тело массой движется вверх по наклонной плос-
кости под действием связанного с ним невесомой и нерас-
52
тяжимой нитью груза массой т2. Начальные скорости тела
и груза равны нулю, коэффициент трения тела о плос-
кость ц, угол наклона плоскости а. Определить ускоре-
ние, с которым движется тело, и силу натяжения нити.
Блок невесом и вращается без трения.
Решение. На тело, движущееся по наклонной
плоскости, действуют сила тяжести FTi = m\g, сила натя-
жения нити Tj, сила трения FTp и сила реакции плоскости
N. На груз действуют сила тяжести Ft2 = m2g и сила
натяжения нити 72. Согласно второму закону Ньютона,
т\ё + Т\ + FTp + N = гща\,
Т2 + m2g = т2а2,
где d\, а2 ~ ускорение тела и груза соответственно.
Поскольку нить невесома и нерастяжима, тело и груз
движутся с одинаковыми по модулю ускорениями, т. е.
= а2 = а и 7\ = Т2 = Т.
Выберем для тела систему отсчета так, чтобы начало
координат совпадало с нижним концом наклонной плоско-
сти, ось ОХ была направлена вверх вдоль плоскости, ось
OY - перпендикулярно ей (рис. 31). Запишем уравнение
движения тела в проекциях на ось ОХ:
Т\х + Nx + m{gx + FTpx = mxaXx.
Учитывая, что Т\х = Т, Nx = 0, m^gx = -mjgsina, FTpx =
= ~FTp - aix = а, получаем
T - ffijgsina - yW = m^a. (1)
53
Ускорение груза во всех инерциальных системах отсче-
та одинаковое.
Для груза выберем систему координат X'O'Y' так, что-
бы ось O'Y' была направлена вертикально вниз. В этой
системе уравнение движения груза имеет вид
m^g ~ Т = пг^а. (2)
Решив относительно а систему уравнений (1) и (2),
найдем
m2g -li.N - mjgsina
а ------------------. (3)
+ m2
В направлении оси OY ускорение тела равно нулю, по-
этому N - m\g cos а - 0, откуда N = m\g cos a. Подставив
это значение в формулу (3), получим
g(m2 - zni(sin а + jicosa))
а = --------------------. (4)
mi + m2
Отсюда видно, что описанное в задаче движение (при vq - 0)
может быть реализовано при m2 > mi (sin a + geos a).
Из формул (2) и (4) найдем модуль силы натяжения
нити:
_ mim2g(l + sin a + ucosa)
mj + m2
96. На горизонтальной плоскости расположены три
связанных друг с другом нитями бруска массами гп.\, m2 и
т^. На нити, прикрепленной к бруску массой пц и переки-
нутой через неподвижный блок, подвешен груз массой т^.
Найти ускорение этой системы и силы натяжения всех
нитей. Трение не учитывать, массой нитей и блока пре-
небречь, нити считать нерастяжимыми и невесомыми.
Решение. Силы, действующие на бруски, изобра-
жены на рис. 32. Если тела связаны невесомыми и не-
растяжимыми нитями, то модули сил натяжения для каждой
нити равны между собой и все тела движутся с одинаковым
по модулю ускорением. Поэтому 7\' = 7], 72 ~ ?2> ^3 - 7з>
а1х~ а2х = а3х = a4z/ = ~а- Учитывая это, записываем в
проекциях на оси ОХ и OY уравнения движения для каж-
дого бруска и для груза:
7’1 - 7’2 - т^а, Т2 ~ Т^ = т^а,
54
Т% = m^a, -m^g + T\ = -ггца.
Складывая почленно первые три уравнения и вычитая
затем четвертое, получаем
m^g - (m.\ + т2 + m3 + т^)а,
откуда
™4g
а =----------------.
пц + т2 + т3 +
Подставив это значение ускорения во все уравнения дви-
жения, начиная с последнего, найдем силы натяжения
нитей:
у - тх + т2 + т3 Т - т +
1 т4ё пц + т2 + т3 + пц ’ % m4§ mt + т2 + т3 + т4 ’
т3
3 пц + т2 + т3 + т.4 '
97. В кабину лифта помещен динамометр, к которому
подвешен груз массой т. Каковы показания динамометра
в следующих случаях: 1) лифт покоится; 2) лифт поднима-
ется с ускорением й], направленным вверх; 3) лифт опуска-
ется с ускорением а2, направленным вниз («2 < g); 4) лифт
свободно падает?
Решение. Координатную ось OY
направим вертикально вверх (рис. 33).
На груз действуют две силы: сила
тяжести FT и сила упругости F (дина-
мометр показывает модуль этой силы).
Воспользовавшись вторым законом
Ньютона, запишем уравнение движе-
ния в векторной форме:
Р и с. 33
55
F - FT = ma,
а затем в проекциях на ось OY: F - mg = may, откуда
F - m(g + ay).
В первом случае ay = 0, поэтому динамометр покажет
~ mg- Во втором случае ау = а^. Следовательно, F\ =
= m(g + aj). В третьем случае ау = -а%, поэтому С2 ~ m(g -
- ау). В четвертом случае ау = -g и F3 = m(g - g) - О,
т. е. наступает состояние невесомости.
Анализируя полученные результаты, можно сделать
вывод, что вес тела (показания динамометра) зависит от
ускорения, с которым движется лифт: при ускоренном дви-
жении вверх вес тела увеличивается, при ускоренном дви-
жении вниз - уменьшается, при свободном падении - ра-
вен нулю. Лишь при а = 0, т. е. если лифт покоится или
движется равномерно, модуль веса равен модулю силы
тяжести (F = mg).
Предлагаем читателю самостоятельно рассмотреть сле-
дующие случаи: лифт движется вверх замедленно с уско-
рением а3; лифт движется вниз замедленно с ускорением
<24; лифт движется вниз ускоренно с ускорением а§ = 2g.
98. Тело массой т = 40 г было брошено вертикально
вверх с начальной скоростью vq = 30 м/с и достигло выс-
шей точки подъема через = 2,5 с. Счи-
тая силу сопротивления воздуха Fc, дейст-
вующую на тело во время подъема, посто-
янной, найти модуль этой силы.
Решение. Координатную ось OY
направим вертикально вверх (рис. 34). На
тело действуют две силы: сила тяжести /у
и сила сопротивления воздуха Fc. Соглас-
но второму закону Ньютона, уравнение дви-
жения в векторной форме имеет вид
FT + Fc = та,
а в проекциях на ось OY примет вид
~mg ~ Fc- тау. Отсюда
Fc = m(-ay-g). (1)
Чтобы найти проекцию ускорения тела на ось OY, вос-
пользуемся уравнением для скорости: vy - VQy + ayt. Учи-
56
тывая, что VQy = vq и в высшей точке подъема vy = 0, t = £],
получаем
а// = 'уоЛ1- (2)
На основании формул (1) и (2) находим:
Fc = m(v0/tx - g), Fc = 88 10-3 H.
99. Находящаяся на гладком полу доска связана с ле-
жащим на ней бруском нитью, перекинутой через невесо-
мый блок (рис. 35). Масса доски М, масса бруска т, коэф-
фициент трения между ними равен ц. С каким ускорени-
ем будет двигаться доска, если приложить к ней горизон-
тально направленную силу F? Нить считать невесомой и
нерастяжимой.
%
77777777777777777777777777/ 7777777777777777^7
' Mg-
Р и с. 35
Решение. На доску действуют сила F, сила натя-
жения нити Т, сила трения FTpi, сила тяжести Mg и сила
нормальной реакции опоры Nx, на брусок - силы Т, mg,
N<2 и сила Стр2, равная по модулю силе FTp[ и направлен-
ная противоположно ей.
Согласно второму закону Ньютона, запишем уравнения
движения доски и бруска:
F + Т + F^p\ + Mg + Nx = Мах, Стр2 + Т + N<^ + mg = ma^,
где ax - ускорение доски; a2 ~ ускорение бруска. Они про-
тивоположны по направлению и равны по модулю: ах — ~а.2,
= а2 - а.
В проекциях на ось ОХ уравнения примут вид:
F - Т - .Егр! = Ma, - Т + Fyp2 = ~та.
57
Учитывая, что FTpl = Дтр2 - Ц^2 = №тё, получим:
F -Т - ц/ng = Ma, -Т + ц/ng = -та.
Отсюда следует:
_ F - 2|jmg
а М + т
Такое ускорение будет только при условии F > 2[img. При
F < 2[img доска и брусок останутся неподвижными.
100. Два груза массами /П[ = 4,0 кг и т-> - 1,0 кг
связаны нитью, перекинутой через блок, который прикре-
плен к вершине призмы, и могут скользить по граням этой
призмы. Начальные скорости грузов равны нулю. Найти
ускорение грузов, если а = 60°, 0 = 30°, а коэффициент
трения грузов о плоскость ц = 0,20. Массой блока и тре-
нием на его оси пренебречь, нить считать невесомой и
нерастяжимой.
Р е ш е н и е. На рис. 36 показаны системы координат
XOY и X'O'Y', выбранные для первого и второго грузов
соответственно, а также обозначены все силы, действую-
щие на грузы, в предположении, что левый груз движется
вдоль оси ОХ вниз, а правый - вдоль оси O'Y' вверх по
призме. Но верно ли это предположение?
В задаче ничего не сказано о направлении движения
грузов, а его нужно знать, чтобы правильно указать на-
правления сил трения.
Чтобы выяснить, куда движутся грузы, будем рассматри-
вать их и нить как части одной системы. Внутренние силы
взаимодействия грузов и нити не могут сообщить ускорение
системе_как единому целому. Предположим теперь, что сил
трения FTpi и Дтр2 нет, а есть только силы тяжести. Модуль
Р и с. 36
58
составляющей силы тяжести m^g вдоль левой грани равен
m\g sin а = 4 9,8 sin 60° = 34 Н, а силы тяжести вдоль
правой грани равен т2 g sin р = 1 • 9,8 sin 30° = 4,9 Н. Так как
migsina > m2^s'nP> левый груз будет двигаться вниз по
призме, а правый - вверх. При наличии сил трения грузы
будут двигаться точно так же, потому что сила трения,
возникающая при движении тела, не может изменить на-
правление его скорости. Теперь мы можем правильно ука-
зать направления сил трения Tij.pi и Ттр2, что и сделано на
рисунке.
Составим для каждого груза уравнение движения в век-
торной форме:
^1£ + М +?1 +#тр1 = тха,
m2g + N2+T2 + #тр2 = т2а.
В проекциях на оси ОХ и О'Х' с учетом того, что Т -Т',
а\х = а2х' = a, FTpl = FTp2 = [iN2, уравнения примут
вид:
migsina - Т - pTVi - гща, (1)
Т ~ ^2gsin Р “ m7V2 = m2a. (2)
Исключив из формул (1) и (2) Т, найдем
_ g(^i sin a - m2 sin ft) - p.GV[ + N2) . .
Поскольку, проекция ускорения левого груза на ось OY
а.\у = 0, а правого на ось O'Y' а2у> = 0, то
N1 - znigcosa - О, N2 - m2gC0SP = О-
Отсюда
7V1 = mucosa, N2 = m2gcos$. (4)
Из формул (3) и (4) находим:
mi (sin a - geos a) - m2(sin |3 + geos |3)
a = g------------------------------
° mi + m2
101. С какой средней силой F давит на плечо ручной
пулемет при стрельбе, если масса пули пг = 10 г, ее ско-
рость при вылете v = 800 м/с и скорострельность пулеме-
та п - 600 выстрелов в минуту?
а = 4,7 м/с2.
59
Решение. Согласно второму закону Ньютона,
FAt = Ар,
где Ар - изменение импульса за время At. В проекциях на
горизонтальное направление эта формула примет вид
FAt = Ар.
За время At импульс пуль изменяется на Ар = топ.
Поэтому, учитывая, что At = 1 мин - 60 с, находим:
F = тип/At, F = 80 Н.
102. Шарик массой т = 20 г падает со скоростью =
= 5,0 м/с на стальную плиту и отскакивает от нее в прямо
противоположном направлении со скоростью v2 - 4,0 м/с.
Определить модуль изменения импульса шарика и модуль
средней силы, действующей на шарик во время удара, если
соударение длилось т = 1,0 • 10-2 с. Сопротивлением воз-
духа пренебречь.
У.,
mg If
Решение. Выбрав на-
правления осей ОХ и OY так,
как показано на рис. 37, ука-
жем векторы импульса шарика
до и после удара. Изменение
импульса шарика - это вектор
Ар = Р2 _ Р1 = mv2 ~ т^\
Р и с. 37
Модуль этого вектора
|Ар| = д/(Дрх)2 + (Ару)2,
где Арх, Ару - проекции вектора Ар на оси ОХ и OY
соответственно.
Находим: Арх = 0, Ару - mv2y ~ mv\y - т^2 + mvl ~
= т(щ + v2). Следовательно, модуль изменения импульса
шарика.
|Ар| = m(vi + v2). (1)
Согласно второму закону Ньютона, изменение импуль-
са тела равно импульсу силы. На шарик действуют во вре-
мя удара две силы: сила нормальной реакции плиты F и
сила тяжести mg. Поэтому на основании второго закона
60
Ньютона = + В проекциях на ось OY имеем
m(yi + о2) = (F ~ mg)%. Отсюда
F = т^ + и^ + (2)
т
Подставив числовые значения величин в формулы (1) и
(2), получим: |Др| = 0,18 кг • м/с, F = 18 Н.
Обратим внимание на то, что модуль изменения им-
пульса |Др| и изменение модуля вектора р, определяемое
как Др = р2 - pi, - это разные величины. В данном опыте,
например, |Др| = 0,18 кг • м/с, Др = р2 ~ Р\~ mv2 ~ mv\ =
= т(л>2 - = -20 • 10-3 кг м/с.
103. Шофер автомобиля резко затормозил при скоро-
сти vq = 72 км/ч. Через какое время т автомобиль оста-
новится, если коэффициент трения ц = 0,60? Чему равен
тормозной путь I автомобиля?
Р и с. 38
Решение. Координатную ось ОХ выберем так,
чтобы вектор скорости vq был направлен в сторону поло-
жительного направления этой оси (рис. 38). Начало коор-
динат совместим с положением автомобиля в тот момент,
когда шофер нажал на тормоз, и время будем отсчитывать
с этого момента. Тогда движение автомобиля описывается
кинематическими уравнениями:
х = VQxt + axt2 / 2, (1)
vx = * * * * v0x + ах*’ (2)
где х - координата автомобиля в момент времени t; vqx = vq,
vx, ax - проекции на ось ОХ начальной скорости, скоро-
сти в момент t и ускорения соответственно.
На автомобиль действуют сила тяжести mg, сила нор-
мальной реакции 7V и сила трения FTp. Согласно второму
закону Ньютона, составим уравнение в векторной форме:
61
Frp + N + mg = ma,
а потом для проекций на оси ОХ и OY: ~FTp = max,N - mg =
= 0. Отсюда находим:
ах - - FTp/т, N - mg.
Учитывая, что сила трения FTp = [iN = [img, получаем
= -gg. (3)
В момент остановки автомобиля t = х, vx = 0. На осно-
вании уравнения (2) с учетом равенства (3) получим
0 = Уо - pgx. Отсюда
В момент остановки х = I. Подставив это значение, а
также (3) и (4) в уравнение (1), найдем
9 / \2 „2
Произведя вычисления по формулам (4) и (5), полу-
чим: х - 3,4 с, I = 34 м.
104. Груз массой т — 5,0 кг перемещается вверх по
наклонной плоскости с углом наклона а - 30° и коэффи-
циентом трения ц = 0,05. К грузу параллельно основанию
приложена сила F = 50 Н. Найти ускорение груза.
Решение. Выберем систему координат так, чтобы
ось ОХ была направлена вверх вдоль плоскости, а ось OY -
перпендикулярно ей (рис. 39). На груз действуют сила
тяжести mg, сила нормальной реакции плоскости N, при-
62
ложенная сила F и сила трения FTp. На основании второ-
го закона Ньютона
F + тё + Лр + N = та.
Составим уравнения для проекций сил на оси ОХ и OY:
F cos a- mg sin а- FTp = тах, (1)
W - mg sin а - Fsina - 0. (2)
Из уравнения (2) найдем N - mgcosa + Asina, тогда
Атр = цА = |i(mgcosa + A sin а). Подставим это значение
в уравнение (1):
F cos а - mg sin а - |i(mg cos а + F sin а) = max.
Отсюда
ax = — (cos а - ц sin а) - g(sin а + ц cos а). (з)
Очевидно, что при выбранной системе координат модуль
ускорения а = ах. По формуле (3) получим а = 3,2 м/ сА
105. Автомобиль начинает двигаться с максимальным
ускорением из состояния покоя вверх по наклонной плос-
кости с углом наклона а и коэффициентом трения ц. Най-
ти время т, за которое автомобиль пройдет путь I. Силой
сопротивления воздуха и силой трения качения пренеб-
речь.
Решение. Выберем систему координат так, чтобы
начало координат совпадало с точкой, из которой автомо-
биль начал двигаться. Ось ОХ направим вверх вдоль плос-
кости, а ось OY - перпендикулярно ей (рис. 40). Время
будем отсчитывать с момента начала движения автомоби-
ля. Тогда зависимость координаты автомобиля от времени
выразится уравнением х = axt2/2, так как wq = 0. При t = т
координата х = I, поэтому I = ах12/2, откуда
v = 42l/ax, (1)
где ах ~ проекция вектора
ускорения автомобиля на ось
ОХ. Эту проекцию мы найдем
по второму закону Ньютона.
63
На автомобиль действуют три постоянные силы: сила
тяжести_/и§, сила нормальной реакции опоры N и сила
трения FTp. В данном случае сила трения - это сила тре-
ния покоя, действующая на ведущие колеса со стороны
дороги. Препятствуя проскальзыванию, эта сила направ-
лена вперед и приводит в движение автомобиль, т. е. это и
есть так называемая сила тяги. Заметим, что нередко мож-
но услышать ответ, что сила тяги действует со стороны дви-
гателя, а указанная выше сила трения направлена проти-
воположно скорости автомобиля. Это, конечно, неверно.
Согласно второму закону Ньютона,
FTp + тё + N = та.
В проекциях на выбранные оси уравнения движения
будут иметь вид:
FTp - mg sin а - тах, N - mg sin а = 0.
Учитывая, что FTp = цЛ/, решим относительно ах полу-
ченную систему уравнений и найдем
ах ~ g(p cos а ~ s'n а)-
Подставив это значение в выражение (1), получим
т= I 21 1 21
V gtpcosa - sina) у g(|i - tga)cosa '
Из этой формулы видно, что автомобиль сможет ехать вверх
по плоскости при условии tga < ц.
106. От поезда, идущего по горизонтальному участку
пути с постоянной скоростью Vq, отцепилась 1 /3 состава.
Через некоторое время скорость отцепившихся вагонов
уменьшилась в 2 раза. Считая, что сила тяги при разрыве
состава не изменилась, определить скорость головной час-
ти поезда в этот момент. Сила сопротивления движению
пропорциональна силе тяжести и не зависит от скорости.
Коэффициент сопротивления движению равен отношению
модуля силы сопротивления к модулю силы нормальной
реакции опоры.
Решение. На рис. 41 схематически показаны поезд
массой т, его головная часть массой т^ и отцепившаяся
часть массой т2. Положительное направление координат-
ной оси ОХ совпадает с направлением движения поезда,
64
О7Ш//М
‘77Z////777//////777// 7//////7///////7/7///, 77/7/77/////'
тд т2д гщд
Р и с. 41
ось ОУ направлена вертикально вверх. Время будем от-
считывать с момента отцепки.
До отцепки поезд шел равномерно. Следовательно, вы-
полнялось условие равновесия
F + Fc + N + mg = О,
где F ~ сила тяги; Fc - сила сопротивления движению;
N - сила нормальной реакции пути; mg - сила тяжести.
Спроектировав силы на оси ОХ и OY, получим: F - Fc = О,
N - mg = 0, откуда F - Fc, N = mg.
Д ля поезда сила сопротивления движению Fc = [1N = [img,
где ц - коэффициент сопротивления движению, учиты-
вающий силу трения качения, силу трения на осях, силу
сопротивления воздуха.
Для отцепившейся части сила сопротивления Fc% = цт2 g,
для головной части Fc| = lim^g. Учитывая, что F = [img,
m2 = m/3, т\ - 2m/3, получаем:
Fc2 = F/3, (1)
FcI = 2F/3. (2)
Так как сила тяги при разрыве не изменилась, то голов-
ная часть стала двигаться с ускорением и через время
после отцепки двигалась со скоростью , которую можно
определить из кинематического уравнения в проекциях на
ось ОХ:
и\ = и0 + axh’ (3)
где ах - проекция ускорения на эту ось.
Составим на основании второго закона Ньютона урав-
нение движения головной части:
F + Fc[ + AZ] + m^g = та.
3 Зак. 1525
65
Запишем уравнение в проекциях на ось ОХ:
2 2
F - Fcl - т\ах, или F - -$F - -^тах,
откуда ах = F/(2m). Подставив это значение в формулу
(3), получим
Vi = у0 + Ftl/(2m). (4)
Составим теперь уравнение движения отцепившейся
части, на которую в горизонтальном направлении действу-
ет только сила сопротивления Fc2. Согласно второму за-
кону Ньютона, импульс этой силы равен изменению им-
пульса тела:
Fc2^i = m2v2 - m2VQ,
где v2 ~ скорость этой части в момент времени t\. Для
проекций на ось ОХ уравнение будет иметь вид
-Fc2^i = m2v2 - m2vQ.
Подставив в это уравнение значения т2 = m/3, v2 = vq/2,
Fc2 = F/3 и решив его, получим F = ти§/(2fi). Это зна-
чение подставим в выражение (4) и найдем wj = 5wq/4.
107. В вагоне, движущемся горизонтально с постоян-
ным ускорением а = 3,0 м/с2, на проволоке висит груз
массой т = 2 кг. Определить силу натяжения проволоки и
угол ее отклонения от вертикали. Груз относительно ваго-
на неподвижен.
Решение. Неподвижную систему координат XOY
свяжем с рельсами так, что положительное направление оси
ОХ совпадает с направлением вектора ускорения а, а ось
OY направим вертикально вверх (рис. 42). На груз действу-
ют сила тяжести mg и сила
натяжения проволоки Т. На
основании, второго закона
Ньютона Т + mg = ma. Со-
ставим уравнения для про-
екций на оси ОХ и OY:
Т sin а = та,
Т cos а - mg = 0.
66
Решив эту систему уравнений, найдем:
Т = m^g2 + а2 , Т = 21 Н, а = arctg а = 17°.
108. Шарик массой m подвешен на нити. В натянутом
состоянии нить расположили горизонтально и отпустили
шарик. Вывести зависимость силы натяжения Т нити от
угла а, который нить образует в данный момент с горизон-
тальным направлением. По выведенной формуле найти силу
натяжения нити для случая прохождения шарика через
положение равновесия.
Решение. Пусть в некото-
рый момент шарик находится в
точке 2 и нить составляет с гори-
зонтальным направлением угол а
(рис. 43).
Шарик движется неравномерно
по окружности, радиус которой
равен длине I нити. На шарик дей-
ствуют сила натяжения Т нити и
сила тяжести mg. Согласно второ-
му закону Ньютона, Т + mg - ma,
где а - ускорение. Направив ось
ОХ из точки 2 вдоль нити к центру
окружности и спроектировав на эту ось силы и ускорение,
получим уравнение
Т - mg sin а = ma
(1)
При неравномерном движении по окружности ускорение
а - ап + ат, где ап ~ центростремительное (нормальное)
ускорение; ат - касательное (тангенциальное) ускорение.
Следовательно, ах = апх + ахх .Но ах - ап = и2 /1, ахх = 0,
поэтому ах = и2/1, где v - модуль скорости шарика в точ-
ке 2. Подставив это выражение в уравнение (1), получим
I 2 ।
Т = ml gsina+ —I.
(2)
Скорость шарика в точке 2 определим, используя за-
кон сохранения механической энергии. Уровень АВ от-
счета потенциальной энергии выберем так, чтобы он
67
проходил через точку 2. Обозначим h высоту точки 1 над
уровнем АВ.
Согласно закону сохранения механической энергии,
£kl + £Р1 = £к2 + £Р2- (3)
где £р1 = mgh, £р2 = 0 - потенциальная энергия шарика в
точках 1 и 2 соответственно; £^1 = О, = mir/2 -
кинетическая энергия шарика в точках 1 и 2 соответственно.
Учитывая, что h = /sina, на основании равенства (3)
получаем mglsina = mv2/2, откуда
v2 /I = 2gsina.
Подставив это значение в формулу (2), получим искомую
зависимость силы натяжения Т от угла a:
Т = 3mgsina.
В частности, при прохождении шарика через положе-
ние равновесия (точка 3) a = 90°, поэтому Т% = 2>mg.
109. Шарик, прикрепленный к невесомой и нерастяжи-
мой нити, движется в горизонтальной плоскости по ок-
ружности с постоянной скоростью (конический маятник).
Расстояние от точки подвеса до горизонтальной плоско-
сти равно h. Найти период обращения шарика.
Решение. Пусть a - угол, составляемый нитью с
вертикалью (рис. 44). На шарик действуют две силы: сила
натяжения нити £ и
Рис. 44
сила тяжести £т = mg, где m - масса
шарика. Направим координатную
ось ОХ вдоль радиуса к центру ок-
ружности О], а ось OY- вертикаль-
но вверх. По второму закону Нью-
тона
£ + mg = ma,
где а — центростремительное уско-
рение. Его модуль а = v2 / R, где v -
линейная скорость шарика; R - ра-
диус окружности.
Для проекций на ось ОХ полу-
чим
£sina = mv2 / R. (1)
68
Вдоль оси OY ускорения нет, поэтому сумма проекций
сил на эту ось равна нулю:
Fcosa - mg = 0, или Fcosa = mg. (2)
Разделив почленно равенство (1) на равенство (2), по-
лучим
tga = v2/(gR). (3)
Линейная скорость шарика v = 2nR/T, где Т - период
обращения. Подставим это значение в формулу (3):
tg a = 4K2R/(gT2). (4)
С другой стороны, как видно из рис. 44,
tga = R/h. (5)
Из формул (4) и (5) получаем
R/h = 4n2/?/(gT2),
откуда находим искомый период обращения:
Т = 2nyjh/g.
Полученный результат показывает, что период обраще-
ния конического маятника зависит только от расстояния h
между плоскостью вращения и точкой подвеса и от уско-
рения свободного падения g и не зависит от длины нити,
массы шарика, радиуса окружности и линейной скорости
шарика.
ПО. Танк массой m = 5,0 • 104 кг движется по мосту
равномерно со скоростью v = 10 м/с. Радиус кривизны
моста R = 500 м. Найти силу, с которой танк действует на
середину моста, если мост: а) вогнутый; б) выпуклый. С
какой силой действовал бы танк на плоский мост?
Решение. На танк действуют две силы: сила тяжести
FT = mg и сила нормальной реакции моста, которая равна
в первом случае N\ (рис. 45, а), во втором Д/2 (рис. 45, б)
и в третьем Д/3 (рис. 45, в). Согласно третьему закону
Ньютона, сила F, с которой танк действует на мост, по
модулю равна силе реакции моста и направлена верти-
кально вниз.
69
Силу реакции моста в каждом случае найдем из второ-
го закона Ньютона. Примем за начало координат верхнюю
точку моста и направим ось OY в случаях «а» и «б» к
центру окружности О] и в случае плоского моста верти-
кально вверх. Составим, согласно второму закону Ньюто-
на, уравнения в векторной форме:
М + mg - тах > + mg = та^, + mg ~ О,
где aj, а2 _ центростремительное ускорение. По модулю
al ~ а2~ у2/В проекциях на ось OY имеем:
М - mS ~ mg -N% = N3-mg = 0.
Отсюда находим:
( 2 । ( 2 1
М = т £ + ~ > N2 = /и £ - — , W3 = mg.
\ J \ J
С такими же по модулю силами танк действует на мост:
= Nx = 50 • 104 Н, F2 = N2 = 48 • 104 H,
F3 = N3 = 49 • 104 H.
Отметим, что и в случае «б» (мост выпуклый) можно
было бы ось OY направить вверх. Тогда для проекций на
эту ось получили бы уравнение
Л/2 - тё = ~mv2/R,
которое равносильно приведенному выше.
70
111. На сколько должен быть под-
нят внешний рельс над внутренним на
закруглении железнодорожного пути,
чтобы боковое давление на реборды
колес (выступающая часть обода ко-
леса, которая предохраняет его от схо-
да с рельса) было равно нулю, если ра-
диус закругления R = 800 м, скорость
поезда v = 72 км/ч? Ширину I колеи
железной дороги считать равной 1,5 м.
Решение. Когда боковое давле-
ние на реборды колес на закруглении
отсутствует, на вагон действуют две
силы: сила тяжести FT = mg и сила реакции рельсов N
(рис. 46). Координатную ось ОХ направим к центру закруг-
ления, а ось OY - вертикально вверх.
Согласно второму закону Ньютона,
W + mg = та.
В проекциях на ось ОХ имеем
Л/sin а = т/ /R. (1)
Чтобы найти N, проектируем силы на ось OY и, учитывая,
что ау = 0, получаем Ncosa - mg = 0, откуда N - mg/cos a.
Подставим это значение в уравнение (1):
mg sina _ mv2
cos a R
Отсюда
tga = a = arctg^, a = 3°.
° gR ° gR
Внешний рельс должен быть поднят на высоту h = I sin a,
h = 7,5 см.
112. Небольшое тело начинает соскальзывать без тре-
ния вниз с высшей точки полусферы радиуса R. На какой
высоте оно оторвется от поверхности полусферы? Сопро-
тивление воздуха не учитывать.
Решение. Когда тело движется без трения по по-
верхности. полусферы, на него действуют две силы: сила
тяжести FT = mg и сила реакции опоры N (рис. 47).
Второй закон Ньютона запишем так: mg + N = та, где
а - ускорение в данной точке траектории. Направим ось
71
Р и с. 47
ОХ из этой точки по радиусу к центру полусферы. Для
проекций сил и ускорения на эту ось получим
mg cos а - N = тах.
При указанном направлении оси ОХ проекция ах уско-
рения а равна модулю центростремительного (нормально-
го) ускорения: ах = ап = v2/R, где v - модуль скорости
тела в точке О. Следовательно,
mg cos а - АГ = mv2/R.
В момент отрыва тела от полусферы N = 0, поэтому
mg cos а = mv2 /R, откуда
gR cos а = v2. (1)
Принимая во внимание, что Rcosa-h, формулу (1)
можно записать так:
gh = v2. (2)
Для нахождения скорости v в момент отрыва восполь-
зуемся законом сохранения механической энергии. Уро-
вень ВС отсчета потенциальной энергии выберем проходя-
щим через точку О. Поскольку начальная скорость тела
равна нулю и трение отсутствует, то потенциальная энер-
гия полностью переходит в кинетическую:
mg(R - h) = mv2/2.
Отсюда 2g(R - h) = v2. Подставив это значение v2 в фор-
мулу (2), получим gh - 2g(R - h), откуда h = 2R/3.
72
113. Для подготовки лет-
чиков-космонавтов к пере-
грузкам применяют специаль-
ные центрифуги. При какой
частоте вращения центрифу-
ги радиуса R = 5 м спинка
сиденья давит на летчика с
такой же силой, которая воз-
никает при ускорении раке-
ты а = 3g?
Решение. На тело в
ракете, движущейся верти-
Р и с. 48
кально вверх с ускорением
а = 3g, действуют сила F,
направленная вертикально вверх, и сила тяжести mg. По
второму закону Ньютона
F + mg = та.
Уравнение для проекций на ось OY, положительное
направление которой совпадает с направлением ускоре-
ния а, имеет вид F - mg - та, откуда
F = m(g + а) = 4mg. (1)
При вращении центрифуги сила F, с которой спинка
сиденья давит на летчика (рис. 48), сообщает ему центро-
стремительное ускорение. На основании второго закона
Ньютона, проектируя силы F и mg на ось ОХ, имеем
F = тсо2 Д (2)
где со - угловая скорость. Она связана с частотой враще-
ния п соотношением
со = 2тт. (3)
Подставив значения (1) и (3) в уравнение (2) и решив
его относительно п, получим:
п = —Л-, п = 0,5 с-1.
nV R
114. Во сколько раз период обращения искусственного
спутника, совершающего движение по круговой орбите на
высоте h над поверхностью Земли (радиус Земли R), пре-
вышает период спутника, обращающегося в непосредст-
венной близости от ее поверхности (й » 0)?
73
Решение. В первом случае спутник движется по
окружности радиуса R + h. Модуль ускорения спутника
а = (02(/? + h),
где со; ~ угловая скорость. Это ускорение сообщает спут-
нику сила тяготения Земли, направленная к ее центру.
Модуль этой силы
г, тМ
_р ’
где G ~ гравитационная постоянная; tn - масса спутника;
М - масса Земли.
По второму закону Ньютона F-ma. Следовательно,
для проекций на ось, направленную к центру орбиты, имеем
= т(02(й +/г). (1)
Период обращения Ту связан с угловой скоростью со-
отношением =2%/Т]. Подставив это значение в урав-
нение (1), получим
„ М _ 4n2(R + h)
b(R + h)2 ~ Т2
Во втором случае спутник движется по окружности,
радиус которой приблизительно равен радиусу Земли R.
Рассуждая аналогично, получаем уравнение
r М _ 4л2/?
/?2 Т2
Разделив почленно уравнение (3) на уравнение (2),
будем иметь
(2)
(3)
Отсюда
(R + h)2 TfR
R2 T$(R + hY
НИ.
Т2 Vk RJ
115. Искусственный спутник запущен в плоскости земно-
го экватора так, что все время находится над одной и той же
точкой земного шара (геостационарный спутник). Найти
74
расстояние от поверхности Земли до спутника. Ускорение
свободного падения у поверхности Земли g = 9,8 м/с2. Ра-
диус Земли R = 6370 км.
Решение. Пусть г - расстояние от центра Земли до
спутника, т - масса спутника. Сила тяготения сообщает
спутнику центростремительное ускорение. На основании
второго закона Ньютона
„тМ 2
G~^r - mcor, (1)
где G - гравитационная постоянная; М - масса Земли;
(О - угловая скорость спутника.
Спутник все время находится над одной и той же точ-
кой земного шара. Следовательно, угловая скорость спут-
ника равна угловой скорости вращения Земли вокруг сво-
ей оси:
со = 2л/Т, (2)
где Г = 24 ч - период вращения Земли.
Подставив значение (2) в уравнение (1), получим
г М _ 4л2г
Сг2 -^2-•
Умножив и разделив левую часть этого выражения на
/?2, будем иметь
%2 г2 ~ Г2 •
Так как G~^ = g, то = у-С, откуда
Г~У 4п2 '
Следовательно, расстояние от поверхности Земли до
спутника
JgT2R2 _
h = г - R = - R, h = 3,2 107 м.
75
Задачи для самостоятельного решения
116. Скорость поезда массой т = 500 т при торможе-
нии уменьшается в течение т = 1 мин от щ = 40 км/ч до
w2 = 28 км/ч. Считая ускорение поезда постоянным, най-
ти силу торможения.
117. Сила F = 30 Н приложена к телу массой т = 5,0 кг
под углом а - 30° к горизонту. Тело движется по горизон-
тальной плоскости. Коэффициент трения р - 0,20. Вычис-
лить скорость тела через t = 10 с после начала действия
силы и путь, пройденный за это время. Начальная ско-
рость тела vq = 0.
118. Два привязанных к концам нити бруска, массы
которых т\ = 0,5 кг и = 0,3 кг, движутся по горизон-
тальной поверхности под действием горизонтальной силы
F = 4 Н, приложенной ко второму бруску. С каким ускоре-
нием движутся бруски? Какова сила натяжения связываю-
щей их нити? Коэффициент трения между брусками и плос-
костью р. = 0,1.
119. Тело массой т = 20 кг тянут с силой F = 120 Н по
горизонтальной поверхности. Если эта сила приложена под
углом ОС] = 60° к горизонту, то тело движется равномерно.
С каким ускорением будет двигаться тело, если ту же силу
приложить под углом а2 = 30° к горизонту? Ускорение
свободного падения g = 10 м/с2.
120. На тело массой т в течение времени t действует
постоянная сила F, направленная горизонтально. Коэф-
фициент трения тела о горизонтальную поверхность, на
которой оно лежит, равен р.. Какой путь пройдет тело до
остановки? Начальная скорость тела равна нулю.
121. Тело массой т = 1 кг брошено под углом к гори-
зонту. В наивысшей точке траектории ускорение тела было
а = 12 м/с2. Какая сила сопротивления действовала в
этот момент?
122. Найти ускорение тел и силы натяжения нитей в
устройстве, изображенном на рис. 49. Массы тел: т.\ =
= 100 г, т.2 = 300 г. Массой нитей, блоков и силой трения
пренебречь.
123. Две гири массами = 4,0 кг и т2 = 3,0 кг
подвешены на концах нерастяжимой нити, перекинутой
через неподвижный блок. Меньшая гиря находится на
h - 2,8 м ниже, чем бо'льшая (рис. 50). Определить че-
76
рез какое время гири окажутся на одной высоте, если
дать им возможность двигаться без начальной скорости
под действием сил тяжести. Массой нити и блока пре-
небречь.
124. Тело массой т\ = 3,0 кг скользит по горизонталь-
ной плоскости под действием груза массой mz = 1,0 кг,
прикрепленного к концу нерастяжимой нити. Нить привя-
зана к телу массой т.\ и перекинута через неподвижный
блок. Определить ускорение системы и силу натяжения
нити. Трением, массой блока и нити пренебречь.
125. Два груза массами т.\ и ги2, соединенных невесо-
мой и нерастяжимой нитью, движутся по гладкой плоскос-
ти. Когда сила F = 100 Н была приложена к правому грузу
массой ги2, сила натяжения нити Т была равна 30 Н. Ка-
кой будет сила натяжения нити, если силу F приложить к
левому грузу?
126. Какая требуется сила, чтобы стальной стержень,
длина которого I = 1,0 м и площадь поперечного сечения
S = 1,0 см2, удлинить на AZ = 1,0 мм? При какой наимень-
шей силе стержень разорвется, если предел прочности стали
апр = 7,85 • 108 Па? Модуль Юнга стали Е - 21,6 1О10 Па.
127. Вертикально стартующая ракета развивает силу
тяги F в течение времени т, затем двигатель выключает-
ся. Определить, через какое время после старта ракета
вернется на Землю. Масса ракеты т, ее изменение не учи-
тывать. Сопротивлением воздуха и изменением ускорения
свободного падения с высотой пренебречь.
77
128. Трактор . двигаясь в гору с углом наклона а, тянет
сани массой т. На пути s скорость саней увеличивается
от vq до и. Считая коэффициент трения саней о дорогу
равным ц, найти силу тяги.
129. Определить массу груза, который нужно сбросить
с аэростата массой М = 1100 кг, движущегося равномерно
вниз, чтобы аэростат стал двигаться с такой же по модулю
скоростью вверх. Архимедова сила, действующая на аэро-
стат, FA = 1 • 104 Н. Силу сопротивления воздуха при подъе-
ме и спуске считать одинаковой. Ускорение свободного
падения g - 10 м/с2.
130. К грузу массой пц = 20 кг, находящемуся на на-
клонной плоскости, привязан шнур, который перекинут
через блок, закрепленный в вершине плоскости, к другому
концу шнура подвешен груз массой ги2 = 4 кг. С каким
ускорением будут двигаться грузы, если угол наклона плос-
кости а = 30°? Коэффициент трения ц = 0,2. Массой
шнура и блока пренебречь.
131. Через невесомый блок, который может вращаться
без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси, пере-
кинули невесомую и нерастяжимую нить, к концам кото-
рой подвесили два груза (см. рис. 50). При каком отноше-
нии масс этих грузов сила, действующая на ось ,блока,
будет равна силе тяжести, действующей на груз большей
массы?
132. К бруску массой т.[ = 2 кг, лежащему на столе,
привязана нерастяжимая нить. Ко второму концу нити,
перекинутой через укрепленный на краю стола блок, при-
вязан груз массой т.2 - 0,5 кг. Определить коэффициент
трения бруска о стол, если, двигаясь без начальной скоро-
сти, брусок за время t = 2 с прошел путь s = 1 м. Массой
нити, блока и трением в блоке пренебречь.
133. К концам нерастяжимой нити, перекинутой через
неподвижный блок, прикреплены гири массами т.\ = 1 кг
и ги2 = 2 кг. Обе гири движутся с ускорением а = 3,27 м/с2.
Найти ускорение свободного падения для данного места.
Массой нити, блока и трением в блоке пренебречь.
134. На концах нерастяжимой нити, перекинутой через
неподвижный блок, подвешены тела массой т = 240 г ка-
ждое. Какую массу должен иметь добавочный груз, поло-
женный на одно из тел, чтобы каждое из них прошло за
время t = 4,0 с путь s = 160 см? Массой нити, блока и
трением в блоке пренебречь.
78
135. Через вращающийся вокруг горизонтальной оси
блок перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам
которой привязаны грузы = 0,5 кгит2 = 0,6 кг. Найти
силу, с которой блок давит на ось при движении грузов.
Массой блока и трением в блоке пренебречь.
136. Человек передвигает груженые сани с постоянной
скоростью с помощью твердого стержня, соединенного с
санями и расположенного под углом а = 30° к горизонту.
Одинаковые ли силы F\ и нужно приложить к саням
для их передвижения, если их толкать перед собой или
тянуть за собой? Во сколько раз одна сила больше другой?
Коэффициент трения саней о дорогу ц =0,10.
137. Шарик массой т прикре- . _
плен двумя нитями одинаковой р
длины к доске (рис. 51). Угол
между нитями а. Какими будут
силы натяжения каждой нити, \ /
если доска, оставаясь горизон- /
тальной, станет двигаться вверх /
с ускорением а? о< /
138. Горизонтальная струя
воды ударяется о вертикальную ™
стену. После удара вода стекает Р и с. 51
по стене вниз. Найти силу, с ко-
торой струя действует на стену, если площадь поперечно-
го сечения струи S = 5 см2, а ее скорость v = 8 м/с.
Плотность воды р = 1 • 103 кг/м3.
139. Металлический шарик массой т = 20 г, свободно
падающий без начальной скорости с высоты h = 1,3 м, ударя-
ется упруго о горизонтально расположенную стальную пли-
ту и отскакивает от нее в противоположном направлении с
такой же по модулю скоростью. Найти среднюю силу, с кото-
рой шарик действовал на плиту, если продолжительность
удара t = 0,10 с. Сопротивление воздуха не учитывать.
140. Автобус массой т = 4 т трогается с места и на
пути I - 100 м приобретает скорость v = 20 м/с. Сила
тяги F = 10 кН. Найти силу сопротивления движению,
считая ее постоянной.
141. При быстром торможении автомобиля, имевшего
скорость v = 72 км/ч, его колеса начали скользить по
земле, не вращаясь. Коэффициент трения между колесами
и землей ц = 0,40. Какой путь пройдет автомобиль с мо-
мента начала торможения до полной остановки?
79
142. Автомобиль начал двигаться с ускорением ад =
= 3,0 м/с2. При скорости У] = 60 км/ч ускорение =
= 1,0 м/с2. С какой скоростью будет двигаться автомо-
биль при равномерном движении, если сила тяги двигате-
ля постоянна, а общая сила сопротивления движению про-
порциональна скорости?
143. С какой минимальной силой нужно тянуть за ве-
ревку, чтобы санки массой т = 30 кг равномерно двига-
лись по горизонтальному асфальту, если коэффициент тре-
ния скольжения полозьев по асфальту у. = 0,60?
144. К бруску массой т = 5 кг, который лежит на гори-
зонтальной плоскости, приложена под углом а = 60° к
горизонту сила, модуль которой возрастает пропорциональ-
но времени по закону F = kt, где k = 3 Н/с. Найти модуль
силы трения через t = 4 с после начала действия силы. Коэф-
фициент трения между бруском и плоскостью у. = 0,3.
145. К концам однородного стержня приложены две
противоположно направленные силы F[ = 40 Н и F% = 100 Н.
Определить силу натяжения стержня в поперечном сече-
нии, которое делит стержень на две части в отношении 1 : 2.
146. Найти зависимость модуля силы трения, дейст-
вующей на тело массой т на наклонной плоскости, от
угла а (рис. 52). Коэффициент трения равен у.
147. Плоская шайба, которую толкнули вдоль наклон-
ной плоскости, скользит по ней, двигаясь вверх, а затем
возвращается к месту броска. График зависимости модуля
скорости шайбы от времени показан на рис. 53. Найти
угол наклона плоскости к горизонту.
148. Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол
а = 15°. По ней вверх пускают с нижней точки плоскую
шайбу, которая, поднявшись на некоторую высоту, затем
соскальзывает по тому же пути вниз. Каков коэффициент
80
трения шайбы о плоскость, если время спуска в п = 3 раза
больше времени подъема?
149. На какую высоту может подняться автомобиль с
работающим двигателем по ледяной горе, составляющей с
горизонтом угол а, если у начала подъема он имел ско-
рость Уд? Коэффициент трения равен ц, причем ц < tga.
150. На автодроме автомобили испытываются на ско-
рости и = 120 км/ч. Под каким углом а к горизонту (рис. 54)
должно быть наклонено полотно дороги на повороте с ра-
диусом закругления R = НОм, чтобы движение автомоби-
ля было наиболее безопасным даже в гололедицу?
151. С какой скоростью должен двигаться автомобиль
по выпуклому мосту, имеющему радиус кривизны R = 60 м,
чтобы в верхней точке траектории давление на дорогу было
в п - 3,0 раза меньше, чем при движении на горизонталь-
ном участке?
152. Радиус кривизны вогнутого моста равен R. Мас-
са наибольшего неподвижного груза, который может вы-
держать середина моста, т. При какой скорости v движу-
щегося по мосту груза массой т/п (п > 1) мост разру-
шится?
153. Планета представляет собой однородный шар, плот-
ность которого р = 3 103 кг/м3. Каков период обращения
искусственного спутника, движущегося вблизи ее поверхно-
сти? Гравитационная постоянная G = 6,67 • 10-11 Н • м2/кг2.
154. Найти радиус окружности, по которой автомобиль
может двигаться со скоростью v = 36 км/ч, если мини-
мальный коэффициент трения скольжения, при котором
автомобиль не «заносит», ц = 0,20.
155. Плоское тело массой т ~ 4 кг движется без тре-
ния по круговому желобу, расположенному в вертикаль-
ной плоскости так, что диаметр, проведенный из точки А
(рис. 55), горизонтален. Определить силу, с которой тело
действует на желоб в точке В, если оно пущено без на-
чальной скорости из точки А.
81
156. Привязанный к нити длиной I = 0,4 м груз массой
т = 0,2 кг вращают в горизонтальной плоскости с посто-
янной скоростью так, что нить описывает коническую по-
верхность. При этом угол отклонения нити от вертикали
а = 30°. Найти угловую скорость груза и силу натяжения
нити.
157. Шарик, подвешенный к невесомой нити, движется
по окружности в горизонтальной плоскости с постоянной
скоростью (конический маятник - см. рис. 44). Длина нити
I = 1,14 м; угол, составленный нитью с вертикалью, а - 30°.
Период вращения маятника Т = 2,0 с. Найти ускорение
свободного падения.
158. В вагоне поезда, идущего равномерно со скоро-
стью v = 20 м/с по горизонтальному закруглению желез-
нодорожного пути, производится взвешивание груза мас-
сой т = 4 кг с помощью динамометра, подвешенного к
потолку вагона. Вес Р груза оказался равным 39,4 Н. Опре-
делить радиус закругления.
159. Летчик давит на сиденье кресла самолета в ниж-
ней точке петли Нестерова с силой F = 7200 Н. Масса
летчика т = 80 кг, радиус петли R = 250 м. Определить
скорость самолета.
160. Радиус Луны приблизительно в П\ = 3,8 раза мень-
ше радиуса Земли, а масса Луны в п? - 81 раз меньше
массы Земли. Найти ускорение свободного падения на Луне,
если известно, что на Земле g% - 9,8 м/с2. Во сколько раз
нужно изменить начальную скорость, чтобы брошенное
вертикально вверх тело поднялось на такую же высоту на
Луне, как и на Земле?
161. Материальная точка массой т = 1,0 кг равномерно
движется по окружности со скоростью v = 10 м/с. Опре-
делить модуль изменения импульса этой точки за одну
четверть периода вращения.
162. На какой угол надо отклонить нить с подвешен-
ным на ней грузом, чтобы при прохождении положения
равновесия сила натяжения нити была в 2 раза больше
силы тяжести груза?
163. Тело массой т = 0,1 кг вращается в вертикальной
плоскости на нити длиной I = 1 м. Ось вращения располо-
жена над полом на высоте Н = 2 м. При прохождении
нижнего положения нить обрывается, и тело падает на
пол на расстоянии L - 4 м (по горизонтали) от точки
обрыва. Определить силу натяжения нити в момент ее об-
82
рыва. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение сво-
бодного падения g считать равным 10 м/с2.
164. На невесомом стержне висит груз массой т. Груз
отклоняют на угол а = 90° и отпускают. Найти силу натя-
жения стержня в момент прохождения им положения рав-
новесия.
165. Шарик массой т - 100 г подвешен на нити. В
натянутом положении нить расположили горизонтально и
отпустили шарик. Чему равна сила натяжения нити в мо-
мент, когда она образует с горизонтальным направлением
угол а = 30°? Какой прочностью на разрыв должна обла-
дать нить, чтобы она не оборвалась? Нить считать невесо-
мой и нерастяжимой.
166. Велосипедист едет без проскальзывания по окруж-
ности радиуса R со скоростью v. Найти угол между плос-
костью велосипеда и вертикалью.
167. Горизонтально расположенный диск вращается с
частотой п = 0,25 с-1 вокруг вертикальной оси. Наиболь-
шее расстояние от оси вращения, на котором тело удер-
живается на диске в равновесии, г - 10 см. Чему равен
коэффициент трения тела о диск?
168. Чаша в форме полу-
сферы радиуса R = 0,8 м вра- сЬш
щается с постоянной угловой |
скоростью вокруг вертикаль-_____________i__________
ной оси (рис. 56). Вместе с у/////& /\
чашей вращается шарик, ле- А У &
жащий на ее внутренней по- W'
верхности. Расстояние от ша-
рика до нижней точки чаши
равно ее радиусу. Определить Р и с. 56
угловую скорость чаши. Тре-
нием пренебречь.
169. На экваторе некоторой планеты тела весят вдвое
меньше, чем на полюсе. Плотность веществ планеты
р = 3,0 • 103 кг/м3. Определить период вращения планеты
вокруг собственной оси. Гравитационная постоянная G =
= 6,67 • 10“п Н • м2/кг2.
170. Определить массу Солнца, зная, что средняя ли-
нейная скорость Земли на орбите и = 30 км/с, а радиус
орбиты Земли R = 1,5 108 км. Гравитационная постоян-
ная G - 6,67 • 10-11 Н м2/кг2.
83
171. Спутник движется вокруг некоторой планеты по
круговой орбите радиуса г = 4,7 • 109 м со скоростью v =
= 1 • 104 м/с. Какова средняя плотность планеты, если ее
радиус R = 1,5 • 108 м? Гравитационная постоянная G =
= 6,67 • 10-11 Н • м2/кг2.
172. Два искусственных спутника Земли движутся в
одном направлении со скоростями vj и и2 п0 окружно-
стям, лежащим в одной плоскости. Определить минималь-
ное расстояние между спутниками. Радиус Земли R, уско-
рение свободного падения на поверхности Земли g$.
173. Какую силу тяги должен развивать двигатель на
искусственном спутнике Земли для того, чтобы он дви-
гался по орбите радиуса R со скоростью, превышающей
в п раз скорость свободного движения по этой орбите?
Масса Земли М, масса спутника т, гравитационная по-
стоянная G.
174. Каким должен был бы быть период вращения Зем-
ли вокруг своей оси, чтобы тела на экваторе находились в
состоянии невесомости? Радиус Земли R — 6370 км.
175. Найти первую космическую скорость для планеты,
масса которой в тгj = 3 раза больше массы Земли, а радиус
больше земного в и2 ~ 2 раза. Первую космическую ско-
рость для Земли считать равной Vj = 8 км/с.
3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Методические указания к решению задач
При решении задач с применением закона сохранения
импульса необходимо сначала установить, является ли
данная система тел замкнутой, затем сделать схематический
чертеж и обозначить на нем все известные скорости тел.
Далее выбирают прямоугольную систему координат так,
чтобы проекции скоростей на координатные оси выража-
лись по возможности проще.
Если система тел замкнута, то уравнения составляют
на основании закона сохранения импульса сначала в век-
торной форме:
m\V\ + m2u2 +...+ mnvn = const,
84
а затем в скалярной, т. е. сумма проекций импульсов всех
тел системы на любую ось сохраняется неизменной:
m\v\x + m2v2x + - + mnvnx = mxuix + т2и2х + ... + тпипх,
mxvXy + m2v2y + ... + mnvny = тхиХу + т2и2у + ... + тпипу,
где тх, т2, тп - массы тел системы; vXx, и2х, ипх,
vXy, v2y, vny - проекции начальных скоростей этих тел
(до взаимодействия тел) на оси ОХ и OY соответственно;
иХх, и2х> ’ ипх< и\у' и2у< > ипу ~ проекции конечных
скоростей тел (после взаимодействия).
Закон сохранения импульса выполняется и в том слу-
чае, когда на тела системы действуют внешние силы, но
их векторная сумма равна нулю.
Если система не замкнута, но есть такое направление,
что сумма проекций всех внешних сил на него равна нулю,
то сумма проекций импульсов всех тел системы на это
направление остается постоянной.
Закон сохранения импульса можно применить также
при действии внешних сил на систему, если взаимодейст-
вие тел системы происходит очень быстро (например, удар,
взрыв, выстрел). В этом случае продолжительность взаи-
модействия считается бесконечно малой, поэтому можно
пренебречь импульсом внешних сил и рассматривать сис-
тему как замкнутую.
Если число неизвестных больше числа составленных
уравнений, нужно добавить к ним уравнения, связывающие
кинематические величины, и решить полученную систему
уравнений.
Задачи на применение закона сохранения энергии в ме-
ханике решают по следующему плану: делают схематичес-
кий чертеж; выбирают уровень отсчета потенциальной энер-
гии; изображают на чертеже силы, действующие на тела,
скорости тел и высоты тел над уровнем отсчета потенци-
альной энергии в начальном и конечном положениях.
Если система замкнута, то составляют равенство
^kl + £pl — ^к2 + ^р2>
где Ejj, Ер1 - соответственно кинетическая и потенциаль-
ная энергия системы в начальном состоянии; Е^2, Ер2 -
кинетическая и потенциальная энергия системы в конеч-
ном состоянии.
85
Если при переходе системы из начального состояния в
конечное на тела действовали внешние силы, а в системе
действовали силы трения, то составляется равенство
(£к2 + £р2) “ (£kl + £pi) = Л + Дтр,
где А - работа внешних сил; Лтр - работа сил трения.
Если количество неизвестных величин больше числа
составленных уравнений, то к ним следует добавить либо
уравнения, составленные на основе второго закона Нью-
тона и закона сохранения импульса, либо кинематические
уравнения. Затем систему уравнений решают относительно
искомых величин.
Основные законы и формулы
Импульс тела массой т, движущегося со скоростью v,
р = mv.
Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов
всех тел системы.
Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы
тел остается постоянным при любых взаимодействиях этих тел:
Лист = + т2^2 +--+mnvn = const.
Работа постоянной силы F
А = Fs cos а,
где з - модуль перемещения; а - угол между векторами силы
F и перемещения з.
Мощность
N = А/1 или N = Fvcosa,
где А - работа, совершенная за промежуток времени t; F -
модуль силы; v - модуль скорости; а - угол между F и v.
Кинетическая энергия тела массой т, движущегося со
скоростью V,
= та2-/2.
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение
кинетической энергии тела равно работе равнодействующей сил,
приложенных к телу:
Л<2 ~ ^kl “ А.
86
Потенциальная энергия тела массой т, поднятого на вы-
соту h относительно нулевого уровня,
Ер = mgh.
Потенциальная энергия упруго деформированного тела
(сжатой или растянутой пружины)
Ер = fe(A/)2/2,
где k — коэффициент упругости (жесткость) тела; Д/ - абсо-
лютная деформация.
Закон сохранения энергии в механике: полная механиче-
ская энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих си-
лами тяготения и упругости, остается неизменной:
Е = Е\. + Е= const.
К р
Изменение полной механической энергии системы равно
работе внешних сил:
E<i - Е1 = А.
Изменение полной механической энергии замкнутой сис-
темы, в которой между телами действуют силы трения,
равно работе сил трения:
^2 — Е\ — ЛТр.
Коэффициент полезного действия (КПД)
т] — Ап /А3,
где Ап - полезная работа (или полезно преобразованная энер-
гия, мощность); А3 — затраченная работа (энергия, мощность).
Абсолютно упругим ударом называется такое кратковре-
менное взаимодействие тел, после которого тела полностью
восстанавливают свою форму, а их суммарная кинетическая энер-
гия не изменяется. При абсолютно упругом ударе выполняются
закон сохранения импульса и закон сохранения механической
энергии.
Абсолютно неупругим ударом называется такое кратковре-
менное взаимодействие тел, после которого соударяющиеся тела
образуют единое тело, движущееся с определенной скоростью,
а суммарная кинетическая энергия тел уменьшается. При абсо-
лютно неупругом ударе выполняется закон сохранения импуль-
са, а механическая энергия не сохраняется, часть ее превра-
щается во внутреннюю энергию тел.
87
Примеры решения задач
176. Пуля вылетает из винтовки в горизонтальном на-
правлении со скоростью = 800 м/с. Какова скорость
винтовки при отдаче, если ее масса в 400 раз больше мас-
сы пули?
Решение. Пусть положительное направление оси
ОХ совпадает с направлением скорости пули в момент вы-
лета из винтовки (рис. 57). В этом направлении внешние
Р и с. 57
силы не действуют (сопротивлением воздуха пренебрега-
ем), поэтому, согласно закону сохранения импульса,
Р\ + Р2 = const, где pj - импульс пули; р2 ~ импульс вин-
товки. Следовательно, сумма проекций на ось ОХ импуль-
сов винтовки и пули до выстрела равна сумме проекций
их импульсов после выстрела:
ЩУ\Х + m2v2x ~ т\и\х + т2и2х-
Так как U[x = 0, v^x - 0, и\х = «р то m\U[ + = О-
Отсюда
т1 п /
«2х = “~и1> и2х = ~2 м/с.
Минус означает, что направление вектора скорости вин-
товки U2 противоположно направлению вектора скорости
пули щ.
177. Мальчик стоит неподвижно на льду рядом с санка-
ми. Масса мальчика М, масса санок т. Мальчик толкает
санки и сообщает им скорость и, а сам движется в противо-
положном направлении. Какую работу совершил мальчик?
Решение. Совершенная мальчиком работа равна
изменению кинетической энергии санок и мальчика:
2 2
где - скорость, с которой стал двигаться мальчик.
88
За положительное направление оси ОХ примем на-
правление скорости санок. Применив закон сохранения
импульса, составим уравнение в проекциях на ось ОХ:
mv - Мщ = 0, откуда uj = mv/M. Подставив это значе-
ние в выражение для работы, получим
А = +
2 \ MJ
178. Пуля массой т = 10 г, летящая со скоростью
v = 800 м/ с, попадает в дерево и углубляется на $ = 10 см.
Найти силу сопротивления дерева и время движения пули
в дереве, считая это движение равнозамедленным.
Решение. Изменение кинетической энергии пули
равно работе силы сопротивления:
О - тхР/ 2 = Лс. (1)
Вектор силы сопротивления Fc направлен противо-
положно вектору перемещения $, поэтому
Дс = Fcscosl80° = -Fcs. (2)
На основании выражений (1) и (2) получаем:
Fc = Fc = 32 кН. (3)
Время движения пули в дереве t = $/ иср, где иср -
средняя скорость. Поскольку движение равнозамедлен-
ное, то средняя скорость равна полусумме начальной и
конечной скоростей, т. е. иср = (и + 0)/2 = и/2. Следова-
тельно,
t = 2s/v, t = 2,5 • IO-4 с. (4)
Эту задачу можно решить другим способом. Изменение
импул_ьса пули равно импульсу силы сопротивления:
Хр = Fct.
В проекциях на координатную ось, положительное на-
правление которой совпадает с направлением силы Fc, это
уравнение имеет вид 0 - (- mv) = Fct или mv = Fct. Тогда
Fc - mv/t. Подставив сюда значение t из формулы (4),
получим выражение (3).
179. Электровоз при движении со скоростью v -
- 72 км/ч потребляет мощность А/ = 600 кВт. Опреде-
89
лить силу тяги электровоза, если его коэффициент по-
лезного действия ц = 80%.
Решение. Полезная мощность электровоза
Nn = Fv. (1)
По определению КПД равен отношению полезной мощ-
ности к затраченной, т. е.
Т1 = ^п/^з- (2)
На основании формул (1) и (2) получим:
F = t\N3/v, F = 24 • 103 Н.
180. Какую минимальную работу надо совершить, что-
бы однородный куб, находящийся на горизонтальной плос-
кости, перевернуть с одной грани на соседнюю? Масса
куба т = 100 кг, длина его ребра I = 50 см.
Решение. Будем переворачивать куб так, чтобы он
не отрывался от горизонтальной плоскости и не скользил
по ней. Пусть h2 - максимальная высота, на которой бу-
дет находиться центр тяжести С куба при переворачива-
нии (рис. 58). Уровень АВ начала отсчета потенциальной
энергии совместим с горизонтальной плоскостью. Тогда
совершенная работа равна изменению потенциальной энер-
гии куба:
Д = £р2 - £р1 = mgh2 - mg^ = mg(h2 - h^.
Учитывая, что h\ = //2, h2 = /V2/2, получаем:
А = —-^-^mgl, А = 98 Дж.
Найденная работа минимальна, потому что при других
способах переворачивания (например, с отрывом от пло-
скости) высота h2 будет принимать большие значения,
Р и с. 58
90
следовательно, работа А будет у"
большей, чем в рассмотренном д у
случае. /
181. В результате взрыва камень /
разлетается на три части. Два кус- - /
ка летят под прямым углом друг к —7 --------*-
другу: кусок массой т\ = 1 кг - со Jr *
скоростью uj = 12 м/с, кусок /
массой т2 = 2 кг - со скоростью /
и2 - 8 м/с. Третий кусок отлета-
ет со скоростью = 40 м/с.
Какова его масса и в каком на- Р и с. 59
правлении он летит?
Решение. Система состоит из трех тел (осколков).
Внешней силой является сила тяжести. Но так как время
разрыва камня очень мало, импульс внешней силы можно
считать равным нулю, а систему, следовательно, - замк-
нутой. Поэтому импульс камня до разрыва равен сумме
импульсов осколков после разрыва: р = р^ + р2 + Рз- По-
скольку р = б, то pi + р2 = -р3-
Зная направления векторов pj и р2 и их модули pj = m\V\,
Р2 = = m2w2, найдем построением вектор р3 (рис. 59). Как вид-
но из рисунка, рз = pj2 +р2, sina = р2/р3. Учитывая, что рз
= т3и3, находим:
Ур? + Р2 7(т1и1)2 + (m2v2)2 п с
m-i = — ------- = -——----------——, m-i = 0,5 кг,
3 Рз из 3
a - arcsin-----, a - 53 .
m3v3
Эту задачу можно решить иначе. На основании закона
сохранения импульса
Pl + Р2 + РЗ = б-
Составим уравнения в проекциях на оси ОХ и OY:
о = ~Р\ + Р3х> 0 = -р2 + РЗу,
где р3х, р3у - проекции вектора р3 на оси ОХ и OY соот-
ветственно. Отсюда рзх = Pi, Рзу = р2.
Модуль вектора р3
Рз = ^Рзх + Рзу = Pl + Р2 = +(m2v2)2.
91
Теперь, как и при решении первым способом, найдем
т3 - 0,5 кг.
Вектор рз образует с осью ОХ угол
a = arctg-^K a = 53°.
182. Найти работу силы F - 30 Н, в результате дейст-
вия которой груз массой т - 2 кг поднимается по наклон-
ной плоскости на высоту h - 2,5 м с ускорением а = 5 м/с2.
Сила действует параллельно наклонной плоскости. Трени-
ем о плоскость пренебречь.
Решение. Пусть / - длина наклонной плоскости.
Тогда работа силы F
(1)
A = Fl = F—.
sina
Чтобы найти sina, составим уравнение движения гру-
за вдоль оси ОХ (рис. 60): F - mg^na. = та. Отсюда
sina = (F - та)/(mg). Подставив это значение в форму-
лу (1), получим:
А = , А = 74 Дж.
г - та
183. Прямоугольная яма, площадь основания которой
S и глубина h, наполовину заполнена водой. Насос выка-
чивает воду и подает ее на поверхность земли через ци-
линдрическую трубу радиуса R. Какую работу совершил
насос, если он выкачал всю воду за время т ?
Решение. Совершенная работа равна изменению
полной механической энергии воды:
92
(1)
А = <£к2 + £р2) “ <£к1 + £Р1 )-
где £ki, £р1, £^2, £Р2 _ кинетическая и потенциальная
энергия воды в начальном и конечном состояниях.
Нулевой уровень потенциальной энергии совместим с
дном ямы. Тогда в начальном состоянии центр тяжести
воды находится на высоте h/4 над этим уровнем, а в ко-
нечном - на высоте h. Поэтому
L 2
£р1 = Ер2 = тёЬ, £ki = 0, £к2 - (2)
где т - масса воды; v - скорость, с которой вода вытекает
из трубы.
Масса воды
(3)
т = pS|,
где р - плотность воды. С другой стороны, т = рл/?2ит;.
Поэтому р51 = рл/?2ит, откуда
V = _Sh
Подставив значения величин из формул (2)—(4) в вы-
ражение (1), найдем работу, совершенную насосом:
А - 3 orth2 + 1 ps3fli
184. Груз начинает скользить с начальной скоростью
uq вверх по наклонной плоскости, имеющей длину I и вы-
соту h (рис. 61). Коэффициент трения равен р.. Какой путь
s пройдет груз до остановки?
93
Решение. Изменение механической энергии груза
равно работе силы трения:
(£к2 + £р2) ~ (£kl + £р1) = А-p-
За нулевой уровень потенциальной энергии примем
основание наклонной плоскости. Тогда
£ki = mv^/2, £р1 = 0, £к2 = 0, £р2 = mgh{,
где h\ - высота, на которой находится груз в момент оста-
новки, и уравнение (1) примет вид
mghx - ти%/2 = Лтр.
Работа силы трения
Ар = £Tpscosl80° = -£Tps.
С учетом этого будем иметь
mghi - mv^/2 = -£Tps. (2)
Сила трения £тр = , где N - сила нормальной ре-
акции плоскости. Как показано в решении задачи 90,
N - mgcosa. Поэтому
£тр - pmgcosa.
Как видно из рисунка, cosa - V/2 - /г2 //. Следова-
тельно,
Ap=H/ng2^. (з)
Из подобия треугольников О АВ и О DC следует h^/s =
= h/1, откуда
h\ - hs/1. (4)
Подставим значения (3) и (4) в уравнение (2):
ft; J /2 -Йо
mg[~2== ~^тё l~ S-
Решив это уравнение относительно s, получим
2§(й + ц7/2 - /г2 j
94
185. Санки съезжают с горы высотой h и с углом на-
клона а и движутся дальше по горизонтальному участку.
Коэффициент трения на всем пути санок одинаков и ра-
вен р.. Определить расстояние $, которое пройдут санки
по горизонтальному участку до полной остановки.
Решение. Изменение механической энергии санок
равно работе сил трения на наклонном и горизонтальном
участках (Атр1 и А^)- Потенциальную энергию будем от-
считывать от основания горы. Тогда получим уравнение
О - mgh = Дтр1 + Дтр2 или
mgh. — ^тр2^’ (О
где I - длина наклонного участка. Как видно из рис. 61,
I = Zi/sina. (2)
Сила трения на наклонном участке (см. решение пре-
дыдущей задачи)
FTpl = pngcosa, (3)
сила трения на горизонтальном участке
FTp2 = \img. (4)
Подставив значения (2)-(4) в уравнение (1), получим
mg/i = pngCcosa)-/?—h pngs,
откуда
s = h[ i--
VP tga>
Этот ответ имеет смысл лишь при ц < tga, в противном
случае санки не сдвинутся с места (s = 0).
186. Тело массой mj = 2 кг движется по гладкой гори-
зонтальной поверхности со скоростью v\ - 4 м/с и наго-
няет второе тело массой m2 = 10 кг, движущееся со скоро-
стью а2 = 1 м/с. Найти скорости тел после столкновения,
если удар был: 1) абсолютно неупругим; 2) абсолютно
упругим. Тела движутся по одной прямой; удар централь-
ный, т. е. скорости тел направлены вдоль линии, соеди-
няющей их центры масс.
Решение. Рассмотрим сначала первый случай. В
результате абсолютно неупругого удара оба тела начина-
95
ют двигаться с одной и той
же скоростью й (рис. 62).
Так как вдоль оси ОХ силы
не действуют (трения нет,
ибо поверхность гладкая), то
сумма проекций импульсов
тел на эту ось сохраняется,
т. е. сумма проекций импуль-
сов обоих тел до удара рав-
на проекции общего импуль-
са тел после удара:
"Ч v lx + т2и2х = (/?!! + т2)их.
Так как а1х = v2x = v2, то
тщ + m2v2
+ /7^2
их = 2 м/с.
Получили их > 0, а это означает, что после соударения
тела будут двигаться в положительном направлении оси ОХ.
Во втором случае удар был абсолютно упругим. Сле-
довательно, суммарная кинетическая энергия тел до удара
и после него не изменяется:
2 2 2 2
m2v2 _ miuf т2и2
2 2 2~ 2
(1)
где ui, и2 - модули скоростей тел после удара. Кроме того,
как и в первом случае, сохраняется сумма проекций им-
пульсов тел на ось ОХ:
mp! + m2v2 = ffZi«ix + т2и2к. (2)
Преобразуем уравнения (1) и (2) к виду:
- upx) = m2(upx - v2), (3)
ml(yl “ ulx) = m2^2x ~ a2)- (4)
Разделив почленно уравнение (3) на уравнение (4),
получим
У1 " и\х = и2х + а2- (5)
Умножим левую и правую части уравнения (5) на т2 и
из полученного уравнения вычтем уравнение (4). В ре-
зультате будем иметь
96
V\(m2 ~ ml) + ulx(m2 + ml) = 2/712^2’
откуда
(m,-m2)ci+2m2y2 z„4
u\x ~ ----------------• (6)
lx m, + m2
Для нахождения u2x умножим обе части уравнения (5)
на mi, а затем сложим почленно с уравнением (4). Полу-
чим
2m!Ui = U2x(m] + т2) + t»2(ml _ т2^
откуда
_ (m2 - mi )v2 + 2m|U]
U2x mi + m<2
(7)
Подставив в формулы (6) и (7) числовые значения ве-
личин и произведя вычисления, получим: ulx = -1 м/с,
и2х = 2 м/с. Это означает, что первое тело стало двигать-
ся в отрицательном направлении оси ОХ, а направление
движения второго тела осталось прежним. Модуль скоро-
сти второго тела увеличился.
187. Тело массой т\ ударяется абсолютно неупруго о
тело массой т2. Найти долю q потерянной при этом кине-
тической энергии, если тело массой ги2 до удара было в
покое.
Решение. Доля потерянной кинетической энергии
Я =
Ек1 ~ Ек2
Ек1
(1)
где E^l, £(<2 “ кинетическая энергия системы соответст-
венно до и после соударения:
(2)
- скорость первого тела до удара; и - скорость тел
после абсолютно неупругого удара; применив закон со-
хранения импульса, найдем
и = + т2) (3)
(см. решение предыдущей задачи).
Подставив значения (2) и (3) в формулу (1), получим
q = т2/(гп\ + т2).
Эта доля кинетической энергии перешла во внутреннюю
энергию соударяющихся тел.
4 Зак. 1525
97
188. Камень брошен под углом к горизонту со скоростью
и0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, на
какой высоте от горизонта скорость камня уменьшится
вдвое.
Решение. Согласно закону сохранения энергии,
полная механическая энергия камня остается постоянной.
Приняв за начало отсчета потенциальной энергии поверх-
ность земли, составим уравнение:
^ = mgh+™L
2 s 2
где h - искомая высота; v = Vq/2 - скорость камня на
этой высоте. Тогда
2 2
V-± = gh + ^.
2 s 8
Отсюда h. = ЗУр/(8§).
189. Определить кинетическую энергию тела массой
т = 1,5 кг, брошенного горизонтально со скоростью Uq =
= 20 м/с, в конце четвертой секунды его движения. При-
нять g = 10 м/с2. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Как показано в решении задачи 19,
модуль скорости тела в момент времени t удовлетворяет
соотношению v2 = v® + g2t2. Поэтому кинетическая энер-
гия в этот момент
р _ mu2 _ m(vo +«V) Р п
Ek = — =-------------, Ek = 1,5 • 106 Дж.
Решим эту задачу другим способом. В момент бросания
тело обладало кинетической энергией E^q - ти^/2 и не-
которой потенциальной энергией. К моменту времени t
тело находилось ниже уровня бросания на A/i = gt2 /2,
поэтому его потенциальная энергия уменьшилась на
АЕр = mg Ah = mg2t2 /2. Следовательно, на основании за-
кона сохранения энергии на столько же увеличилась ки-
нетическая энергия тела:
„ р *р Ч mgt2 m(uo + g2t2)
Ek = Ek0 + A£p + = ~A~2------
Мы получили тот же результат, что и при решении пер-
вым способом.
98
190. Тело брошено вертикально вверх со скоростью
Up = 49 м/с. На какой высоте его кинетическая энергия
будет в 2 раза больше потенциальной? Сопротивлением
воздуха пренебречь.
Решение. Будем отсчитывать потенциальную энер-
гию от поверхности земли. В момент бросания потенци-
альная энергия тела £р1 = 0, а его кинетическая энергия
= тЦр/2. Когда тело будет находиться на искомой
высоте h, его потенциальная энергия £р2 = mgh, а кинети-
ческая £к2 = 2£р2 = 2mgh.
По закону сохранения полной механической энергии
£ki + £Р1 = Е\а + £Р2-
Таким образом, ти^/2 + 0 = 2mgh + mgh, откуда
h = -Л, h = 41 м.
6g
191. Груз массой т\ соскальзывает без трения с на-
клонной доски на неподвижную платформу. С какой ско-
ростью начнет двигаться платформа, когда груз упадет на
нее? Масса платформы т<2, высота начального положения
груза над уровням платформы равна h, угол наклона доски
к горизонту а. Трение отсутствует.
Решение. Вдоль оси ОХ (рис. 63) внешние силы не
действуют, поэтому сумма проекций импульсов груза и
платформы на эту ось остается постоянной:
tn\V\ cos а = (т\ + т^ )ц2% -
где - модуль скорости груза в момент падения на плат-
форму; и2 - проекция скорости й2, которую будет иметь
платформа после падения груза. Отсюда
99
у2х =
m\V{ cos a
гщ + m2
(1)
Найдем теперь на основании закона сохранения энер-
гии. Будем отсчитывать потенциальную энергию от уров-
ня платформы. Тогда mgh = m^/2, откуда щ = j2gh
Подставив это значение в формулу (1), получим
v2x =
mi J2gh cos a
zn1 + т%
192. В покоящийся шар массой М = 1 кг, который при-
креплен к концу легкого несжимаемого стержня, за-
крепленного в подвесе на шарнире, попадает пуля массой
т = 0,01 кг. Угол между направлением полета пули и ли-
нией стержня a = 45°. После удара пуля застревает в
шаре, и шар вместе с пулей, откачнувшись, поднимается
на высоту h = 0,2 м относительно первоначального поло-
жения. Найти скорость пули v.
Решение. В горизонтальном направлении на пулю
и шар внешние силы не действуют, поэтому сумма проек-
Р и с. 64
ции импульсов пули и шара
на ось ОХ (рис. 64, а, б) оста-
ется неизменной:
mo sin a = (М + т)и,
где и - скорость шара сразу
после попадания пули. От-
сюда
у=(Л4+т)и (1)
msina
Согласно закону сохране-
ния энергии, при максимальном отклонении
= (Л) + И)гл,
откуда и - -J2gh . Подставив это значение в формулу (1),
получим:
. 102м/с
msina
193. На гладкой горизонтальной поверхности на неко-
тором расстоянии от вертикальной стенки находится шар
100
массой М. Второй шар массой т движется от стенки к
первому шару. Между шарами происходит центральный
упругий удар. При каком соотношении масс М и т второй
шар после удара достигнет стенки и, упруго отразившись
от нее, догонит первый шар? Оба шара находятся на од-
ном перпендикуляре к стенке.
Решение. Пусть 5g - скорость второго шара до
удара, й[ и и2 ~ скорости соответственно первого и второ-
го шаров после удара. При упругом ударе суммарная кине-
тическая энергия сохраняется:
mvo _ mu2 z. \
~2~ Г~ + -2-’ ' '
Пусть положительное направление координатной оси
совпадает с направлением вектора 50. Так как вдоль этой
оси силы не действуют (трения нет), сумма проекций им-
пульсов шаров на нее сохраняется:
mvQ = Ми\ - ти<2- (2)
Систему уравнений (1) и (2) после преобразований за-
пишем в следующем виде:
m(vQ - uq)(.vq + u2) = -Мир, m(vQ - и2) = Мир
Решив эту систему относительно и\ и и2> получим два
ответа:
1) U] = 0, и2 = Уд;
_ 2тио _(М- m)v0
I/ > ^2 I/
1 М + т z М + т
Первый ответ соответствует ситуации до столкновения
шаров, второй дает значения скоростей шаров после удара.
Чтобы второй шар после упругого отражения от стенки
мог догнать первый шар, необходимо выполнение условия
u2 > up т. е.
(Af - m)v0 2mv0
М + т М + т
Отсюда получаем искомое соотношение масс шаров:
М > Зт.
194. На горизонтальном участке пути локомотив разви-
вает постоянную силу тяги F = 3,5 • 105 Н. На участке
101
пути длиной I = 600 м скорость поезда массой т - 1,0- 106 кг
возрастает от У] = 10 м/с до = 20 м/с. Определить
коэффициент сопротивления движению, который равен
отношению модуля силы сопротивления к модулю силы
нормальной реакции рельсов.
Решение. На основании теоремы об изменении
кинетической энергии составим уравнение:
2 2
(1)
где А\ = FI - работа силы тяги; Д2 ~ работа силы сопро-
тивления: Д2 = /'//coslSO0 = ~Fcl; Fc - [iN ~ модуль силы
сопротивления; р. - коэффициент сопротивления движе-
нию; N — модуль силы нормальной реакции опоры. Для
проекций сил на ось OY (рис. 65) имеем: N - mg = 0.
Следовательно, Fc = [img.
Подставив значения Д] и Д2 в уравнение (1), получим
2 2
^-^Fl-vmgl.
Отсюда
2 2
001
mg 21g
195. Тележка с песком катится со скоростью щ = 1 м/с
по горизонтальной поверхности. Навстречу тележке летит
шар массой т = 3 кг со скоростью и2 = 8 м/с, направлен-
ной под углом а = 60° к горизонту. После встречи с те-
лежкой шар застревает в песке. С какой скоростью и в
какую сторону покатится тележка после встречи с шаром?
Масса тележки с песком М = 10 кг. Силой сопротивления
качению тележки можно пренебречь.
102
Решение. Координатную ось ОХ направим горизон-
тально (рис. 66). Вдоль этой оси внешние силы не дейст-
вуют, поэтому сумма проекций импульсов тележки и шара
на ось ОХ остается неизменной:
ЛЬ1х + mv2x = (М + т)их,
где их ~ проекция на ось ОХ скорости тележки с застряв-
шим в песке шаром. Так как щх = v2x = -v2 cosa, то
Mvj - tnu2 cosa = (M + m)ux,
откуда
ux ~
Mv{ - mv2 cos a
M + m
ux = -0,2 м/c.
Минус указывает на то, что тележка покатится в отрица-
тельном направлении оси ОХ, т. е. противоположно пер-
воначальному направлению движения.
07777//ШШШ/Ш/ Л
Р и с. 67
196. Под действием постоянной силы тело массой
т = 100 кг поднимается на высоту h = 15 м в течение т =
= 10 с. Определить работу этой силы. Начальная скорость
тела равна нулю.
Решение. Координатную ось OY направим верти-
кально вверх, а начало координат расположим на поверх-
ности земли (рис. 67). На тело действуют сила F и сила
тяжести FT = mg. Работа, совершаемая силой F,
А = Fh. (1)
Чтобы найти модуль силы F, составим на основании второ-
го закона Ньютона уравнение движения в векторной форме:
103
F + mg = ma,
а затем в проекциях на ось OY:
F - mg - may, (2)
где ay - проекция ускорения тела на ось OY. Эту про-
екцию найдем из кинематического уравнения для коорди-
наты у = ayt2/2, учитывая, что у - h при t = т. Получим
ay = 2h/т2. Подставив это значение в уравнение (2), най-
дем
F = m{g + 2/г/т2).
Теперь, согласно формуле (1), получим:
Д - m(g + 2/г/т2 )/г, А = 1,5 • 104 Дж.
197. Летящая горизонтально со скоростью и = 400 м/с
пуля попадает в брусок и застревает в нем. Какое рас-
стояние пройдет по горизонтальной поверхности этот бру-
сок от толчка пули, если его масса в п = 99 раз больше
массы пули? Начальная скорость бруска равна нулю, а коэф-
фициент трения между бруском и поверхностью ц =0,1.
Решение. В результате попадания пули брусок с
застрявшей в нем пулей приобретает некоторую скорость
й (рис. 68). Пройдя расстояние I, брусок остановится под
действием силы трения. На основании теоремы об измене-
нии кинетической энергии
^k2 ~ ^к1 ~ ^тр>
где Е^2, -Eki ~ соответственно конечное и начальное зна-
чения кинетической энергии бруска; Дтр - работа силы
х
Р и с. 68
104
трения. Учитывая, что Е^2 - 0, ^kl = (-М + m)u2/2, Лтр =
= ~FTpl, получаем
(М + m)u2/2 = Лтр/. (1)
Найдем модуль силы трения F7p = цЛС Спроектировав
силы на ось OY, будем иметь:
N - (М + m)g = О, N = (М + m)g.
Следовательно, FTp - ц(7И + m)g. Подставив это значе-
ние в уравнение (1), получим
(М + т)и2 /2 - ц(.М + ni)gl,
откуда
/ = u2/(2gg). (2)
Чтобы найти модуль скорости й, составим уравнение
для проекций импульсов тел на ось ОХ на основании зако-
на сохранения импульса: mv + 0 = (М + т)и. Отсюда
U М + т М/т + 1- w
Обратим внимание на то, что вдоль оси ОХ действует
внешняя сила - сила трения, но применить закон сохра-
нения импульса можно, так как длительность взаимодейст-
вия тел весьма кратковременна и поэтому влиянием внеш-
них сил можно пренебречь.
Подставив теперь значение (3) в выражение (2), с уче-
том условия М/т = п найдем:
2
1 =----1 = 8м.
2ц(п + l)2g
198. Под каким углом к горизонту надо бросить ка-
мень, чтобы его кинетическая энергия в точке максималь-
ного подъема составляла Т| = 0,25 его кинетической энер-
гии в точке бросания? Сопротивление воздуха не учиты-
вать.
Решение. В точке максимального подъема vy = 0,
vx = vq cosag (см. решение задачи 21). Здесь и0 - началь-
ная скорость; ag - угол, составленный вектором началь-
ной скорости с горизонтом. Следовательно, в этой точ-
ке скорость камня
105
V = yjvT+vl = aocosa0-
а его кинетическая энергия
2 2
„ тип cos а0
Cl. =---------.
k 2
В точке бросания камень имел кинетическую энергию
£k0 ~ mvQ/% Используя заданное условие Е^ - т|£ко > П0‘
лучаем
2 2 2
mv$ cos ocq _ muQ
2 2 ’
откуда ocq = arccos -/q > a = 60°.
199. Onpеделить, какой скоростью должно обладать тело
в точке А (рис. 69), чтобы переместиться в точку С и там
остановиться. Коэффициент трения при движении тела
ц = 0,2, CD = h = 0,5 м, AD = г = 10 м.
Решение. Изменение механической энергии тела
равно работе сил трения:
(^k2 + ~ + ^pl) ~ ^тр> (1)
где £kl> £р1 - соответственно кинетическая и потенци-
альная энергия тела в точке А; Е^, Ер2 ~ в точке С.
За нулевой уровень потенциальной энергии примем
основание наклонной плоскости. Тогда
£р1 = 0, £р2 = mgh.. (2)
Очевидно, что
106
Ек2 = 0, £kl = mv2/2. (3)
Работа сил трения
•^тр ~ ^тр1 + -^тр2’
где Лтр1 - работа силы трения FTpi на участке АВ; Атр2 -
работа силы трения FTp2 на участке ВС. Модули этих сил
равны соответственно: FTpi = цМ, Етр2 = М-М2.
Из рис. 69 легко найти, что Mi = mg, М2 = mg cosa.
Следовательно, Етр1 = ^mg, FTp2 = ^mgcosa. Тогда рабо-
та сил трения
Аур = /\piscosl800 + FTp2^co^80°=-\imgs - \tmglcosa,
где I - ВС = (г - s)/cosa, поэтому
f _ £
Ар = - cos a = - nmgr. (4)
Подставим теперь значения (2)-(4) в выражение (1) и
получим mgh - mv2 /2 = -[imgr, откуда
v = J2g(h + Цг), v - 7 м/с.
200. Вблизи дороги об-
разовалась ледяная горка с
выездом на проезжую часть.
Поверхность горки представ-
ляет собой плоскость, со-
ставляющую с горизонталь-
ным направлением угол а.
Проезжающей мимо дорож-
ной машине удалось посы-
пать горку снизу до полови-
ны высоты песком. Коэффициент трения скольжения по-
лозьев санок о лед с песком ц = 0,5. Пренебрегая трением
санок о лед без песка, найти максимальное значение угла
а, при котором санки не смогут достичь основания горки,
съехав с ее вершины без начальной скорости.
Решение. Потенциальную энергию будем отсчитывать от
основания горки CD (рис. 70). Санки массой т обладают в
точке А потенциальной энергией Ер1 = mgh и кинетической
Ек1 = 0. Следовательно, полная механическая энергия санок
107
Е = £к1 + £pl = mEh-
Значение полной энергии будет таким же и в точке В,
находящейся на половине высоты, поскольку на участке
АВ трения нет. Начиная с этой точки, на санки действует
сила трения скольжения
FTp = pJV = y.mg cos a.
Пусть санки останавливаются в точке С. Тогда изме-
нение их полной механической энергии равно работе силы
трения на участке пути ВС:
(Е\^ *" £р2) ~ (^kl + ^р1) ~ -^тр-
Учитывая, что
£к2 = °- £Р2 = °> Лр = -pmgBC cosa = -gmg^-^-cosa,
получаем mgh = \img h , откуда
a - arctgy, a - 14°.
201. Деревянный шар массой M лежит на тонкой под-
ставке. Снизу в шар попадает пуля массой т, летящая
вертикально вверх, и пробивает его. При этом шар под-
скакивает на высоту h. На какую высоту поднимается
пуля над подставкой с шаром, если ее скорость перед
ударом о шар была равна а? Сопротивлением воздуха
пренебречь.
Решение. Пусть и.\ - скорость пули непосредствен-
но после пролета ее сквозь шар, Н - высота, на которую
поднялась пуля. Совместим с подставкой нулевой уровень
потенциальной энергии. Тогда, согласно закону сохране-
ния энергии, mu2/2 = mgH. Отсюда
// = Uj2/(2g). (1)
Чтобы найти up составим на основании закона сохране-
ния импульса уравнение (сумма проекций импульсов пули и
шара на ось OY, направленную вертикально вверх, до удара
и после него остается постоянной): mv + 0 = ти^ + Ми<^,
откуда
U] = (mv - Ми^/т,
108
где «2 _ скорость шара сразу же после взаимодействия с
пулей.
На взаимодействующие тела действуют в вертикальном
направлении внешние силы - силы тяжести, но закон со-
хранения импульса приближенно выполняется, так как
время взаимодействия пули и шара очень мало.
На основании закона сохранения энергии составим для
шара уравнение: Afug/2 = Mgh, откуда «2 = -/2gh. Следо-
вательно,
и\ = (mv - М-J2gh/)/т.
Подставив это значение скорости пули в формулу (1),
найдем
2
H = (v-—^j2gh\ /(2g).
\ ffl !
202. Тело начинает скользить вниз по наклонной плос-
кости, составляющей с горизонтом угол а. В нижней точ-
ке тело ударяется о стенку, поставленную перпендикулярно
направлению его движения. Удар абсолютно упругий. Опре-
делить коэффициент трения при движении тела, если пос-
ле удара оно поднялось до половины первоначальной вы-
соты.
Решение. Изменение механической энергии тела
равно работе силы трения:
Е2 ~ Ех = Дтр, (1)
где Ех, Е%- полная механическая энергия тела в точках А
и С соответственно (рис. 71).
109
При абсолютно упругом отражении от стенки в точке В
направление вектора скорости тела изменяется на проти-
воположное, а модуль скорости остается прежним. Кине-
тическая энергия не изменяется.
Модуль силы трения при движении тела вниз и вверх
один и тот же: £тр = ц/ngcosa. Направление вектора Frp
как в первом, так и во втором случае составляет с на-
правлением перемещения угол 180°. Поэтому работа силы
трения
Л-р = F^l + /i)cosl80° = -pmg(/ + /J cos a,
где /, /j - модули перемещения тела при движении его
вниз и вверх соответственно.
Как видно из рис. 71, I = Л/sina, l\ = /г/(2 sina). Учи-
тывая это, получаем
= _ЗЩП£Й
Р 2tga '
В точках А и С кинетическая энергия тела равна нулю,
поэтому полная механическая энергия тела в этих точках
равна потенциальной энергии:
gj = mgh, Е2 = mgh/2. (3)
Подставим значения (2) и (3) в выражение (1):
^-mgh = -^mgfl.
2 s 2tga
Отсюда p = tga/3.
203. Какую работу нужно совершить, чтобы пружину
жесткостью k = 600 Н/м, растянутую на х = 4 см, допол-
нительно растянуть на Дх = 10 см?
Решение. Работа, совершенная при растяжении
пружины, равна изменению ее потенциальной энергии:
А = Ер2- £р1 = -k*L = , А =5 ДЖ.
204. На невесомой и нерастяжимой нити длиной I ви-
сит шарик. Какую минимальную скорость uj в горизон-
тальном направлении необходимо сообщить шарику в точ-
ке 1 (рис. 72), чтобы он сделал полный оборот в верти-
кальной плоскости? Сопротивление воздуха не учитывать.
ПО
Решение. В верхней точке 2
траектории шарик должен иметь не-
которую линейную скорость и2, в про-
тивном случае он начнет падать из
этой точки вертикально вниз.
По_второму закону Ньютона
mg + Т = та, где Т - сила натяже-
ния нити в точке 2, а - ускорение в
этой точке. Скорость и2 минимальна
при Т = 0, т. е. mg = та. Проекция
Р и с. 72
ускорения а на ось, направленную
из точки 2 вдоль нити к центру окружности, равна модулю
центростремительного ускорения ап = ц2/I, проекция век-
тора g на эту ось равна g. Следовательно,
mg = mv^ /1-
(1)
Будем считать, что в точке 1 шарик находится на нуле-
вом уровне потенциальной энергии. Тогда по закону со-
хранения энергии
2 2
^ = ^ + 2mgl. (2)
Решив совместно уравнения (1) и (2), получим
Ч
Задачи для самостоятельного решения
205. Пуля массой т = 10 г, летящая со скоростью щ =
= 800 м/с, попадает в доску толщиной d = 50 мм и выле-
тает из нее со скоростью и2 = 100 м/с. Определить силу
сопротивления доски, считая эту силу постоянной.
206. Цепь массой т = 5 кг, лежащую на столе, берут
за один конец и равномерно поднимают вертикально вверх
на высоту, при которой нижний конец отстоит от стола на
расстоянии, равном длине цепи I = 2 м. Чему равна работа
по подъему цепи?
207. Какую минимальную работу необходимо совершить,
чтобы телеграфный столб массой т.\ - 200 кг, к вершине
111
которого прикреплена крестовина массой m2 = 30 кг, пе-
ревести из горизонтального положения в вертикальное?
Длина столба I - 10 м.
208. Какую работу нужно совершить, чтобы поднять
груз массой т = 30 кг на высоту h = Юме ускорением
а = 0,50 м/с2?
209. Какую работу совершает электровоз за т = 10 мин,
перемещая по горизонтальному пути состав массой т =
= 3000 т с постоянной скоростью v = 72 км/ч, если коэф-
фициент сопротивления движению ц = 0,005? Коэффици-
ент сопротивления движению равен отношению модуля
силы сопротивления к модулю силы нормальной реакции
опоры.
210. Санки массой т соскальзывают с вершины горы
высотой h и, пройдя некоторое расстояние, останавлива-
ются. Какую работу надо совершить, чтобы втащить санки
по той же траектории обратно на вершину горы?
211. Человек массой т\ = 60 кг прыгает с неподвижной
тележки массой m2 = 30 кг, стоящей на рельсах, в направ-
лении вдоль путей. При этом тележка перемещается в про-
тивоположную сторону на s — 2,0 м. Считая коэффициент
трения при движении тележки р = 0,10, найти работу,
которую совершает человек при прыжке.
212. Тело массой т = 1 кг движется прямолинейно так,
что зависимость его координаты от времени описывается
уравнением х = 10 + 20? - 4?2, в котором все величины
выражены в единицах СИ. Определить кинетическую энер-
гию этого тела через t = 2 с после начала движения.
213. Брусок массой т = 1 кг покоится на горизонталь-
ной шероховатой поверхности (рис. 73). К нему прикре-
плена пружина жесткостью
k = 20 Н/м. Какую работу
надо совершить для того, что-
бы сдвинуть с места брусок,
растягивая пружину в горизон-
тальном направлении, если ко-
эффициент трения между бруском и поверхностью ц = 0,2?
214. Тело массой т = 2 кг равномерно перемещается
по горизонтальной поверхности под действием силы, на-
правленной под углом а = 45° к горизонту. При переме-
щении s = 6 м эта сила совершает работу А = 20 Дж.
Найти коэффициент трения тела о поверхность.
112
WW------------*-
7777777^7777777777777777777777777777
Р и с. 73
215. Лодка стоит неподвижно в стоячей воде. Человек,
находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На ка-
кое расстояние переместится лодка, если масса человека
т\ = 60 кг, масса лодки т% - 120 кг, длина лодки I - 3 м?
Сопротивление воды не учитывать.
216. Охотник стреляет с лодки. Какую скорость приоб-
ретает лодка в момент выстрела, если масса охотника с
лодкой М = 100 кг, масса дроби т = 40 г и средняя на-
чальная скорость дроби Vq = 400 м/с? Ствол ружья во
время выстрела направлен под углом а = 60° к горизонту.
217. Третья ступень ракеты состоит из ракеты-носителя
массой М = 50 кг и головного защитного конуса массой
т = 10 кг. Конус отбрасывается вперед сжатой пружиной.
При испытаниях на Земле с закрепленной ракетой пружи-
на сообщала конусу скорость v0 = 5,1 м/с. Какова будет
относительная скорость конуса и ракеты, если их разделе-
ние произойдет на орбите?
218. Снаряд массой т = 40 кг, летевший в горизонталь-
ном направлении со скоростью v = 600 м/с, разорвался
на 2 части массами = 30 кг и - 10 кг. Большая часть
стала двигаться в прежнем направлении со скоростью
= 900 м/с. Определить модуль и направление скорости
меньшей части снаряда.
219. Два пассажира одинаковой массой m = 70 кг на-
ходятся на платформе, стоящей неподвижно на рельсах.
Масса платформы М - 280 кг. Каждый пассажир начина-
ет бежать с одинаковой относительно платформы скоро-
стью и = 6 м/с. Найти скорость, которую приобретает
платформа, если они спрыгнут: а) в одну сторону одновре-
менно; б) в разные стороны одновременно; в) в одну сто-
рону последовательно; г) в разные стороны последователь-
но. В случаях «в» и «г» второй пассажир начинает бежать
после того, как спрыгнет первый.
220. Плот массой гп\ плывет по реке со скоростью пр
На плот с берега перпендикулярно направлению движе-
ния плота прыгает человек массой т% со скоростью v%.
Определить скорость плота с человеком. Силой трения
плота о воду пренебречь.
221. Движущийся шар сталкивается с покоящимся ша-
ром. После удара модуль импульса каждого из шаров ра-
вен модулю импульса системы до удара. Определить, под
каким углом разлетаются шары.
113
222. В прямую призму, масса которой М, а поперечное
сечение представляет собой равнобедренный прямоуголь-
ный треугольник, попадает шарик массой т < М, летящий
горизонтально со скоростью и, и после удара движется
вертикально вверх (рис. 74). Считая удар абсолютно упру-
гим, найти скорость шарика q и призмы после удара.
Сопротивлением воздуха и трением призмы о горизонталь-
ную подставку пренебречь. До удара призма покоилась.
/77
Р и с. 76
223. Пуля, летящая с определенной скоростью, углуб-
ляется в дощатый барьер на I = 10 см. На сколько углу-
бится в тот же барьер такая же пуля, имеющая вдвое боль-
шую скорость? Сила сопротивления барьера в обоих слу-
чаях одинаковая.
224. Тело массой т = 100 г падает с высоты h = 5 м на
чашу пружинных весов (рис. 75) и сжимает пружину же-
сткостью k = 1 103 Н/м на величину х. Определить х,
если массы чаши и пружинных весов пренебрежимо
малы.
225. Тело массой т = 1 кг бросили с некоторой высоты
с начальной скоростью = 20 м/с, направленной под
углом а = 30° к горизонту. Определить кинетическую энер-
гию тела через т - 2 с после начала его движения. Сопро-
тивлением воздуха пренебречь.
226. На невесомом стержне длиной I - 75 см укрепле-
ны два одинаковых шара массой т каждый. Один шар ук-
реплен на конце стержня, другой - посередине (рис. 76).
Стержень может колебаться в вертикальной плоскости
вокруг точки А. Какую горизонтальную скорость нужно
сообщить нижнему концу стержня, чтобы стержень откло-
нился до горизонтального положения?
114
227. Шарик подвешен на невесомом прямом стержне.
Какую минимальную скорость в горизонтальном направ-
лении необходимо сообщить шарику, чтобы он сделал пол-
ный оборот в вертикальной плоскости?
228. Найти количество теплоты, которое выделилось при
абсолютно неупругом соударении двух шаров, двигавшихся
навстречу друг другу. Масса первого шара = 0,4 кг, его
скорость = 3 м/с. Масса второго шара пг2 - 0,2 кг,
скорость о2 = 12 м/с.
229. Брусок массой т\ движется по гладкой горизон-
тальной поверхности со скоростью Ц[. Пуля массой т2,
летевшая в горизонтальном направлении со скоростью v2,
застревает в бруске. Угол между векторами и о2 а = 90°.
Определить, какое количество теплоты выделилось в бруске.
230. Сваю массой т\ = 100 кг забивают в грунт с по-
мощью копра; при этом груз массой т2 = 300 кг свободно
падает с высоты Н = 4,0 м и при каждом ударе свая опус-
кается на h = 10 см. Определить силу сопротивления грун-
та, считая ее постоянной, для двух случаев: а) удар груза
копра о сваю абсолютно упругий; б) удар абсолютно неуп-
ругий.
231. Шар массой т\, движущийся со скоростью по
горизонтальной поверхности, сталкивается с неподвижным
шаром массой т2. Между шарами происходит абсолютно
упругий центральный удар. Определить скорости шаров
после удара.
232. Самолет пикирует вертикально вниз с высоты
h\ = 1,5 км до высоты h2 = 500 м. Его начальная скорость
= 360 км/ч, а при выходе из пике v2 = 540 км/ч.
Найти силу сопротивления воздуха, считая ее постоян-
ной. Масса самолета т = 2,0 т, двигатель самолета не
работает. Ускорение свободного падения g считать рав-
ным 10 м/с2.
233. Камень брошен под углом к горизонту с высоты Н
с начальной скоростью Vq. С какой скоростью камень упа-
дет на поверхность земли? Решить без применения кинема-
тических уравнений. Сопротивление воздуха не учитывать.
234. Пуля, летящая со скоростью vq, пробивает несколь-
ко одинаковых досок, расположенных на некотором рас-
стоянии друг от друга. В какой по счету доске пуля за-
стрянет, если ее скорость после прохождения первой дос-
ки I?! = 0,8^0?
115
235. Пуля массой т, летящая горизонтально со ско-
ростью v, попадает в ящик с песком массой М, подве-
шенный на жестком невесомом стержне длиной I, кото-
рый шарнирно укреплен за верхний конец («баллисти-
ческий маятник»), и застревает в нем. Стержень может
вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной
направлению скорости пули. Пренебрегая размерами
ящика, определить максимальный угол отклонения стерж-
ня от вертикали.
236. С верхней точки наклонной плоскости длиной
I = 18 м, образующей с горизонтом угол а = 30°, скользит
тело массой т = 2,0 кг. Какое количество теплоты выделя-
ется при трении тела о плоскость, если начальная ско-
рость тела равна нулю, а у основания v = 6 м/с?
237. Камень массой т = 20 г, выпущенный вертикаль-
но вверх из рогатки, резиновый жгут которой был растя-
нут на Д/ = 20 см, поднялся на высоту h = 40 м. Найти
коэффициент упругости жгута. Сопротивление воздуха не
учитывать.
238. Тело массой т = 1 кг, брошенное с вышки в гори-
зонтальном направлении со скоростью у0 = 20 м/с, упало
на землю через промежуток времени t = 3 с. Определить
кинетическую энергию тела в момент удара о землю. Со-
противление воздуха не учитывать.
239. Конькобежец массой М = 60 кг, стоя на льду, бро-
сает в горизонтальном направлении шайбу массой т = 0,3 кг
со скоростью и = 40 м/с. На какое расстояние откатится
при этом конькобежец, если коэффициент трения кдньков
о лед р = 0,004?
240. Деталь, обрабатываемая на станке, прижимается
с силой F = 1 • 103 Н к шлифовальному камню диаметром
d = 4 • 10"1 м. Какая мощность затрачивается на шлифов-
ку, если коэффициент трения камня о деталь ц = 2 • 10~'
и камень вращается с частотой п - 2 с-1?
241. Небольшое тело соскальзывает по наклонной плос-
кости с высоты Н = 1,2 м. Наклонная плоскость переходит
в «мертвую петлю» (рис. 77). Найти работу силы трения,
если известно, что сила, с которой действует тело на пет-
лю в верхней точке, равна нулю, масса тела т = 10 г,
радиус петли R = 0,4 м. Ускорение свободного падения g
считать равным 10 м/с2.
242. С какой наименьшей высоты должен скатываться
велосипедист, не вращая педалей, чтобы проехать по дорож-
116
Р и с. 78
ке, имеющей форму «мертвой петли» радиуса R - 4,0 м, не
отрываясь от дорожки в верхней точке петли?
243. Груз массой т = 2 кг, падающий с высоты h = 5 м,
проникает в мягкий грунт на глубину / = 5 см. Определить
среднюю силу сопротивления грунта. Сопротивление воз-
духа не учитывать.
244. В закрепленную вертикальную трубку вставлена
невесомая пружина, верхний конец которой прикреплен к
подвижному поршню массой М (рис. 78). Нижний конец
пружины упирается в дно трубки. Пружина сжата до дли-
ны / и удерживается в сжатом состоянии с помощью защел-
ки. На поршень положили шарик массой т. На какую высо-
ту подскочит шарик, если освободить пружину, сдвинув за-
щелку? Пружина в недеформированном состоянии имеет дли-
ну L. Жесткость пружины k. Трением пренебречь.
245. С какой начальной скоростью необходимо бросать
вертикально вниз тело массой т = 2,0 кг, чтобы через
t - 1,0 с его кинетическая энергия была равна 2,5 кДж?
Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
246. Камень падает с высоты h = 20 м без начальной
скорости. Какова будет скорость камня в тот момент, ко-
гда его потенциальная энергия уменьшится в п = 2,0 раза
по сравнению с первоначальным ее значением? Сопротив-
ление воздуха не учитывать.
247. Тележка массой т.\ = 50 кг движется со скоростью
v = 2,0 м/с по горизонтальной поверхности. На тележку с
высоты h = 20 см падает груз массой т2 = 50 кг и остается на
тележке. Найти выделившееся при этом количество теплоты.
248. Два тела массами т1 = 1,0 кг и т2 = 2,0 кг дви-
жутся по взаимно перпендикулярным направлениям со
скоростями = 10 м/с и v2 — 15м/с соответственно.
После соударения первое тело останавливается. Какое
количество теплоты выделится при ударе?
117
249. Горизонтально летящая пуля попадает в деревян-
ный брус, лежащий на гладкой горизонтальной плоскости,
и пробивает его. Определить, какая часть энергии пули
перешла в теплоту. Масса пули т - 10 г, масса бруса
М = 1 кг, начальная скорость пули vq = 500 м/с, скорость
пули после вылета v = 300 м/с.
250. Тело бросили под некоторым углом к горизонту с
начальной скоростью vq = 15 м/с. На какой высоте его
кинетическая энергия в п - 3 раза меньше начальной?
Сопротивлением воздуха пренебречь.
251. От поезда массой М = 600 т, идущего с постоян-
ной скоростью по прямолинейному горизонтальному участ-
ку пути, отрывается последний вагон массой т = 60 т.
Какой путь до остановки пройдет этот вагон, если в мо-
мент его остановки поезд движется с постоянной скоро-
стью v = 40 км/ч? Мощность N тепловоза, ведущего со-
став, постоянна и равна 10 МВт. Коэффициент сопротив-
ления движению равен отношению модуля силы сопротив-
ления к модулю силы нормальной реакции рельсов.
252. Два груза массами = 10 кг и - 15 кг свобод-
но подвешены на нитях длиной / = 2,0 м так, что соприка-
саются друг с другом. Меньший груз отклонили на угол
а = 60°. Определить, на сколько изменилась потенциаль-
ная энергия груза и на какую высоту поднимутся грузы,
если отклоненный груз отпустили и после удара грузы дви-
жутся вместе.
253. По наклонной плоскости снизу вверх пускают тело
с начальной скоростью vq = 2 м/с. Поднявшись на неко-
торую высоту, тело соскальзывает по тому же пути вниз.
Какова будет скорость тела, когда оно вернется в исход-
ную точку? Коэффициент трения между телом и плоскостью
ц = 0,4. Угол наклона плоскости к горизонту а = 30°.
254. Определить мощность, развиваемую электрической
лебедкой, если она тянет груз равномерно вверх по наклон-
ной плоскости, составляющей с горизонтом угол а = 30°.
Импульс груза р = 3 • 103 кг м/с, коэффициент трения
Ц = 0,2.
255. Определить мощность гидротурбины при условии, что
за время t = 1 с с высоты h = 100 м падает V = 250 м3 воды.
КПД турбины т| - 90 %. Плотность воды р = 1 • 103 кг/м3.
256. Ракета с работающим двигателем «зависла» над
поверхностью Земли. Какова мощность, развиваемая дви-
гателем, если масса ракеты т, а скорость истечения газов
118
из двигателя ракеты равна и? Изменением массы ракеты
за счет истечения газов можно пренебречь.
257. Два тела бросают с высоты h - 20 м со скоростью
vq - 15 м/с каждое. С какими скоростями тела упадут на
землю, если первое тело брошено вертикально вверх, а вто-
рое - горизонтально? Сопротивление воздуха не учитывать.
258. Мяч массой т = 100 г отпустили на высоте h - 2 м
над полом. Какое количество теплоты выделилось при пер-
вом ударе мяча о пол, если время между первым и вторым
ударами мяча о пол т = 1,2 с? Сопротивление воздуха не учиты-
вать. Ускорение свободного падения g принять равным 10 м/с2.
259. Пуля массой т попадает в центр лежащего на
краю стола шара и застревает в нем. Определить скорость
шара в момент удара о пол, если пуля летела в горизон-
тальном направлении со скоростью Vq и высота стола Н.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
260. Гладкая горка массой
горизонтальном полу (рис. 79).
На горку положили и отпусти-
ли без толчка шайбу массой т.
Отношение масс п = т/М =
= 0,60, Н - 1,3 м и h - 0,50 м.
Каково расстояние от шайбы до
горки в момент падения шайбы
на пол? В момент отделения от
горки скорость шайбы направ-
лена горизонтально. Сопротив-
М находится на гладком
ление воздуха не учитывать.
261. Пуля массой т = 20 г, летящая горизонтально со
скоростью v = 400 м/с, попадает в шар массой М = 5 кг,
подвешенный на невесомой и нерастяжимой нити длиной
I = 4 м, и отскакивает от него после упругого центрально-
го удара. Определить угол, на который отклоняется нить.
262. Частица, кинетическая энергия которой равна Eq,
сталкивается абсолютно упруго с такой же неподвижной
частицей и отклоняется от первоначального направления
на угол а = 60°. Определить кинетическую энергию каж-
дой частицы после соударения.
263. Тело массой т{, движущееся со скоростью У[, на-
летает на покоящееся второе тело и после абсолютно уп-
ругого столкновения отскакивает от него со скоростью
v2 = уЧ П°Д углом а = 90° к первоначальному направле-
нию движения. Определить массу второго тела.
119
4. ОСНОВЫ СТАТИКИ
Методические указания к решению задач
Задачи на равновесие решают по следующему плану.
Делают чертеж и обозначают на нем все силы, действую-
щие на рассматриваемое тело. Затем выбирают систему
координат, при этом координатные оси ОХ и OY направля-
ют так, чтобы проекции сил на них выражались по возмож-
ности более просто. Находят проекции на оси ОХ и OY
всех действующих на тело сил и составляют уравнения:
F\x + ?2х +•••+ ?пх ~ °- (О
Рху + Fty +• ••+ ?пу ~ 0- (2)
Составляют уравнение для моментов сил относительно
оси вращения:
Mt + М2 +... + Мп = 0. (3)
При этом моменты сил относительно данной оси берутся с
разными знаками в зависимости от направления враще-
ния тела. Можно, например, считать момент силы поло-
жительным, если в отсутствие других сил эта сила может
повернуть тело по часовой стрелке, а отрицательным -
если при тех же условиях она может вызвать поворот тела
против часовой стрелки.
В учебных задачах обычно рассматриваются такие си-
туации, когда все силы, приложенные к телу, лежат в од-
ной плоскости. Поэтому можно рассчитывать моменты сил
относительно некоторой неподвижной оси, проходящей
через произвольно выбранную точку перпендикулярно этой
плоскости. Если в задаче не указана ось вращения, то урав-
нение для моментов сил составляют относительно любой
оси, выбранной так, чтобы через нее проходили линии дей-
ствия неизвестных сил. Тогда моменты этих сил относи-
тельно выбранной оси будут равны нулю, и из уравнений
(1)-(3) находят неизвестную величину.
Решение задач на нахождение центра тяжести тела сво-
дится в основном к составлению уравнения для моментов
сил. Если приложить в центре тяжести тела силу, направ-
ленную вертикально вверх и равную по модулю силе тя-
жести, то тело будет находиться в равновесии и, следова-
120
тельно, сумма моментов всех сил относительно оси, про-
ходящей через центр тяжести (или через любую другую
точку), будет равна нулю. Составив и решив уравнение
(3), можно найти положение центра тяжести.
Положение центра тяжести твердого тела совпадает с
положением его центра масс.
Основные законы и формулы
Плечом силы относительно оси называется расстояние (длина
перпендикуляра) от этой оси до линии действия силы.
Моментом силы относительно оси называется произведе-
ние модуля силы на ее плечо относительно этой оси:
М = FI.
Условия равновесия твердого тела:
1) сумма всех внешних сил, действующих на тело, равна
нулю:
#1+#2+...+ #„= б;
2) сумма моментов всех внешних сил, действующих на тело,
относительно любой оси равна нулю (правило моментов), т. е.
М\ + А42 + ... + Мп — 0.
При выполнении этих условий тело может либо находиться
в покое, либо двигаться равномерно прямолинейно, либо рав-
номерно вращаться вокруг оси, проходящей через его центр
тяжести.
Примеры решения задач
264. Тело массой т = 200 кг перемещается равномер-
но по горизонтальной поверхности под действием силы F,
направленной под углом а = 30° к горизонту. Определить
эту силу, если коэффициент трения тела о поверхность
при движении ц = 0,30.
Решение. На тело действуют сила F, сила нор-
мальной реакции опоры JV, сила тяжести mg и сила тре-
ния FTp. За положительное направление оси ОХ примем
121
Р и с. 80
направление движения тела,
ось OY направим вертикаль-
но вверх (рис. 80). По усло-
вию задачи тело движется
равномерно, т. е. находится
в равновесии,следовательно,
выполняется условие
F + N + FTp + mg = б.
Поэтому суммы проекций этих сил на координатные оси
ОХ и OY равны нулю:
Fcosa - FTp = 0,
(1)
(2)
N + Fsina - mg - 0.
Из уравнения (2) находим N = mg -Fsina и, учиты-
вая, что /^тр = цЛ/, подставляем в уравнение (1):
F cos a - ц(mg - F sin a) = 0.
Отсюда
F = ---------- p = 5 9 . 102 h.
cosa + ц sin a
265. Чтобы вытащить автомобиль, застрявший в грязи,
шофер привязал один конец троса к автомобилю, а второй
к стоящему впереди дереву, предварительно натянув трос.
Затем он подошел к середине троса и стал оттягивать его
в горизонтальном направлении с силой F = 500 Н, направ-
ленной перпендикулярно тросу. Расстояние между авто-
мобилем и деревом I = 52 м. Найти силу натяжения троса
в момент, когда шофер продвинулся вперед на s = 0,52 м.
Решение. При оттягивании троса в нем возникают
силы натяжения 7] и Т%, направленные вдоль троса от
точки О (рис. 81). Так как сила F приложена в середине
троса и направлена перпендикулярно АВ, то модули сил
Tj и ?2 можно считать одинаковыми: Т\ - Т% - Т.
Точка О находится в равновесии, поэтому сумма проек-
ций сил F, 7] и ?2 на любую координатную ось равна
нулю. Спроектировав эти силы на ось OY, запишем усло-
вие равновесия:
2Т sin a - F = 0.
122
Р и с. 80
направление движения тела,
ось OY направим вертикаль-
но вверх (рис. 80). По усло-
вию задачи тело движется
равномерно, т. е. находится
в равновесии, следовательно,
выполняется условие
F + N + FTp + mg = б.
Поэтому суммы проекций этих сил на координатные оси
ОХ и OY равны нулю:
Feos а - FTp 0,
(1)
(2)
W + F sin а - mg - 0.
Из уравнения (2) находим N = mg - Fsina и, учиты-
вая, что FTp = |jJV, подставляем в уравнение (1):
F cos а - p.(mg - F sin a) = 0.
Отсюда
F = ----------, F = 5,9 • 102 H.
cosa + psin a
265. Чтобы вытащить автомобиль, застрявший в грязи,
шофер привязал один конец троса к автомобилю, а второй
к стоящему впереди дереву, предварительно натянув трос.
Затем он подошел к середине троса и стал оттягивать его
в горизонтальном направлении с силой F = 500 Н, направ-
ленной перпендикулярно тросу. Расстояние между авто-
мобилем и деревом I = 52 м. Найти силу натяжения троса
в момент, когда шофер продвинулся вперед на s = 0,52 м.
Решение. При оттягивании троса в нем возникают
силы натяжения 7] и Т^, направленные вдоль троса от
точки О (рис. 81). Так как сила F приложена в середине
троса и направлена перпендикулярно АВ, то модули сил
7] и Т% можно считать одинаковыми: 1\ - Т<2 - Т.
Точка О находится в равновесии, поэтому сумма проек-
ций сил F, 7] и на любую координатную ось равна
нулю. Спроектировав эти силы на ось OY, запишем усло-
вие равновесия:
2Т sin a - F = 0.
122
Отсюда Т = —£—. Как видно из рисунка, sin а - —. Но
2 sin а J ОА
ОС = s, ОА = 1/2, поэтому sin а = 2s/1. Следовательно,
т = ~, т= 13 • ю3 н.
4s
По последней формуле можно определить, во сколько
раз сила натяжения троса превосходит усилие шофера:
Т I
п = — = —
F 4s
В рассматриваемом случае п = 25.
266. Шар массой m висит на веревке длиной I, прикре-
пленной к гладкой стене. Найти силу, с которой шар да-
вит на стену, если его радиус R.
Решение. На шар действуют три силы: сила тяже-
сти FT - mg, сила натяжения веревки Т и сила нормаль-
ной реакции стены ДС (Сила трения отсутствует, поскольку
стена гладкая.) Так как шар находится в
равновесии, сумма моментов всех сил от-
носительно любой оси равна нулю. Момен-
ты сил FT и N относительно оси, проходя-
щей через точку О, равны нулю, потому
что плечи этих сил равны нулю. Следова-
тельно, момент силы Т относительно
точки О также равен нулю, значит, линия
действия ее проходит через центр шара.
Координатную ось ОХ направим горизон-
тально, ось OY - вертикально вверх (рис. 82).
Шар находится в равновесии, поэтому вы-
123
полняется условие 7’ + /7T+N = 0.B проекциях на оси ОХ
и OY это уравнение дает:
TV-T’sino^O, Tcosa - mg - 0.
Отсюда N - mgtga. Из треугольника АОВ находим:
, - QB_ _ R _ R
lSa~ АВ .fa + й)2 _ R2 7/2 + 2Rl
Тогда
_ mgR
J I2 + 2RI ‘
Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой шар
давит на стену, равна по модулю N и направлена в проти-
воположную сторону.
267. Цилиндрическая труба малого диаметра, имеющая
массу т - 2 • 103 кг, лежит на земле. Какую наименьшую
силу надо приложить, чтобы приподнять трубу за один из
ее концов?
Решение. Чтобы приподнять трубу за один из
ее концов, нужно приложить к этому концу некоторую си-
P и c. 83
лу F, направленную вверх
(рис. 83). Пусть I - длина
трубы. Тогда точка прило-
жения силы тяжести (центр
тяжести) находится на рас-
стоянии I/2 от конца тру-
бы. Учитывая это, состав-
ляем уравнение моментов
сил относительно оси, про-
ходящей через точку О:
mgl/2 - Fl = 0. Отсюда F = mg,/2, F = 1 • 104 H.
268. Балка массой т\ = 600 кг и длиной 1\ = 4,00 м
покоится на опорах А и В (рис. 84), расстояние между
которыми 12 - 1,00 м. К свободному концу балки подвешен
груз. Балка давит на опору В с силой FB = 7,35 • 103 Н.
Определить массу груза и силу, с которой балка давит на
опору А.
Решение. На балку с грузом действуют четыре
силы: сила тяжести балки т^, сила тяжести груза m2g и
силы NA и Nb нормальной реакции опор Л и В. По третье-
му закону Ньютона силы FA и FB, с которыми балка давит
124
на опоры (на рисунке не показаны), равны по модулю си-
лам NA и Nb, т. е.
fa = na, fb = nb, (1)
и имеют направления, противоположные направлениям сил
и NB.
Балка находится в равновесии, поэтому сумма момен-
тов всех действующих на нее сил относительно любой оси
равна нулю. Составим уравнение для моментов сил отно-
сительно оси, проходящей через опору А перпендикуляр-
но плоскости чертежа:
^Bl2 - mig(h /2 ~ - /2) = Cl-
Отсюда с учетом равенств (1) получим:
т2 gUi-^) ’ т2 31) кг.
Запишем условие равновесия тела в проекциях на вер-
тикальное направление: NA - m2g - m.\g - NB = 0. Отсю-
да, учитывая равенства (1), получаем:
FA = ?В + ^т\ + m2^gy = 13,7• 103 Н.
269. От легкого толчка тело начало равномерно сколь-
зить вниз по наклонной плоскости с углом наклона а.
Найти коэффициент трения скольжения.
Решение. На тело действуют три силы: сила
тяжести mg, сила нормальной реакции опоры N и сила
трения FTp. Координатную ось ОХ направим вдоль наклон-
125
ной плоскости вниз, а ось OY - перпендикулярно плоско-
сти вверх (рис. 85). По условию тело движется равномер-
но, поэтому суммы проекций на оси ОХ и OY всех сил,
действующих на тело, равны нулю:
mg sin а - = 0, (1)
М - mgcosa - 0. (2)
Сила трения скольжения = [iN, где |i - коэффици-
ент трения. Из равенства (2) найдем М = mgcosa и, под-
ставив значение FTp в формулу (1), получим
mg sin a - \Miig cos a = 0.
Отсюда найдем искомое значение коэффициента трения:
g = tga.
270. Однородный стержень ОА упирается одним кон-
цом в угол и удерживается за другой конец нитью (рис. 86).
Масса стержня т, а угол его наклона к горизонту равен a.
Найти силу натяжения нити, а также силы, с которыми
стержень давит на пол и на стену.
Решение. На стержень действуют четыре силы:
сила тяжести mg, сила натяжения нити Т, силы нормаль-
ных реакций пола и стены Так как стержень нахо-
дится в равновесии, то
mg + Т + 2V] + N<2 = 0.
Суммы проекций этих сил на оси ОХ и OY равны нулю:
^-Tsina = 0, (1)
126
М _ mg + Т cosa = 0.
(2)
Составим уравнение для моментов сил относительно
оси, проходящей через точку А:
mg(cosa)l/2 - TI = 0,
где I - длина стержня. Из этого уравнения найдем
у _ mgcosa.
2 '
Подставим это значение в уравнения (1) и (2):
щ _ mg sin 2a „ _ mg(\ + sin2 a)
2 4’1“ 2
Согласно третьему закону Ньютона, с такими по модулю
силами давит стержень на стену и пол.
271. Однородный стержень АВ прикреплен к вертикаль-
ной стене посредством шарнира А и удерживается под уг-
лом a = 60° к вертикали с помощью невесомой веревки
ВС, образующей с ним угол 0 = 30° (рис. 87). Определить
силу натяжения веревки, а также модуль и направление силы
реакции шарнира, если известно, что масса стержня т = 2,0 кг.
Решение. На стержень действуют следующие
силы: сила тяжести mg, приложенная к середине стержня
и направленная вертикально вниз; сила натяжения верев-
ки Т, приложенная в точке В и направленная вдоль верев-
ки; сила реакции шарнира ДС Мо-
дуль и направление силы N неиз-
вестны, поэтому на рисунке она не
показана. Запишем условие рав-
новесия в векторной форме;
mg + Т + N = 0,
а затем в проекциях на оси ОХ и
OY:
Nx -7'sin(a-0) = O, (1)
Ny - mg + Tcos(a - 0) = 0. (2)
Составим уравнение для момен-
тов сил относительно оси, прохо-
дящей через точку А:
127
mg(sina)//2 - 77sinp = О, (3)
где I - длина стержня.
Из уравнений (1) и (2) найдем:
Nx - Т sin(a - р), Ny = mg-T cos(a - Р).
Модуль силы N
N = ^М2 + Ny = ^(Т sin(a - р))2 + {mg - Т cos(a - р))2 =
- + zn2g2 - 2mgTcos(a - р). (4)
Из уравнения (3) следует:
у — s*n ** у — 17 Н
2 sin р *
Подставив полученное выражение Т в формулу (4),
после преобразований и вычислений получим:
N - mgj\ + - -s-‘n a —% "A N = 9,8 H.
V 4sin2p sinp
Направление вектора N определяется углом у, кото-
рый этот вектор составляет с осью ОХ. По значениям про-
екций Nx и Ny найдем
ter у = r cos(« ~ Р)
® ‘ Ny Т sin(a - р)
Подставив сюда Т - mg sin a/(2 sinp), получим после пре-
образований:
t _ 2sinP - sinacos(a - р) х л/З = о по
°* sinasin(a-p) 3 ’ ‘
272. Лестница опирается одним концом о вертикаль-
ную гладкую стену, а другим - о землю. Коэффициент
трения лестницы о землю ц = 0,4. Центр тяжести лестни-
цы находится на ее середине. Определить наименьший угол
а, который лестница может образовать с горизонтом, не
соскальзывая.
Решение. На лестницу действуют сила тяжести
mg, силы нормальных реакций N\ и N% стены и земли,
сила трения Лтр (рис. 88). Лестница находится в равно-
весии, следовательно, mg + + N% + Д-р ~ 0> поэтому
128
суммы проекций всех сил на оси ОХ и ОУ равны нулю:
- Л-р = 0, ^2 ~ тё = 0. или
^-^2=0, (1)
л^2 _ (2)
Пусть I - длина лестницы. На основании равенства нулю
суммы моментов всех сил относительно оси, проходящей
через точку В, составим уравнение:
N[l sin а - mgtcos а)1/2 = 0.
Отсюда
tga = mg/(2^). (3)
Выразив из уравнения (2) N2 = mg и подставив это
значение в уравнение (1), найдем =p.mg. Подставив
это выражение в формулу (3), получим:
a = arctg^j-, a = 51°.
273. Однородная балка массой т = 140 кг подвешена
на двух канатах (рис. 89). Каковы силы натяжения 7\ и Т2
канатов, если АС = /j = 3 м, СВ - l2 = 1 м?
Решение. Балка находится в равновесии, поэтому
сумма моментов всех действующих на нее сил относитель-
но оси, проходящей через точку В, равна нулю:
7] (/j + l2) - mgl2 = 0;
Отсюда
5 Зак. 1525
129
т mgl2
71 = Т~7
(1)
Относительно оси, проходящей через точку А, сумма
моментов всех сил также равна нулю:
mgl\ ~ + /2) - 0.
Отсюда
Подставив в формулы (1) и (2) числовые значения ве-
личин, получим: Т] = 3 • 102 Н, Т% = 1 • 103 Н.
Силу можно было бы найти иначе (после того, как
найдена сила 1\), воспользовавшись условием равенства
нулю суммы проекций всех сил на вертикальное направле-
ние: Л + Tg - mg = 0, откуда Т<^ = mg ~ 7\.
274. Четыре шара массами пц, m2, т$ и т4 надеты на
стержень так, что их центры находятся на одинаковых
расстояниях I друг от друга. Масса стержня т. Опреде-
лить положение центра тяжести системы.
Решение. Предположим, что центр тяжести нахо-
дится на расстоянии х от центра левого шара (рис. 90).
Если поставим в этом месте опору, то система будет нахо-
диться в равновесии. Следовательно, сумма моментов всех
сил относительно оси, проходящей через любую точку,
будет равна нулю. На систему действуют силы тяжести
шаров m\g, m.2g, m^g, m4g, стержня mg и сила нормаль-
ной реакции опоры N. Сумма моментов этих сил относи-
тельно оси, проходящей через точку О, равна нулю:
+ тё ' 1>5/ + m%g 21 + m4g -31 - Nx = 0.
130
Сумма проекций всех сил на вертикальное направле-
ние также равна нулю:
N - mig - mg - m2g - m3g - mAg = 0.
Решив систему двух уравнений, найдем
_ (m2 + 1,5m + 2тз + ЗГП4)/
Х т + mj + m2 + m3 + ГП4
275. Определить положение центра тяжести однород-
ной круглой пластины радиуса R, в которой вырезано квад-
ратное отверстие со стороной а = /?/2 так, как показано
на рис. 91.
Решение. Расположим
пластину с отверстием так,
чтобы ось симметрии была
горизонтальна, и предполо-
жим, что вырезанный квадрат
помещен на прежнее место.
Тогда сила тяжести всего тела
mg = mig + m2g,
rrtj
P и с. 91
где m[g _ сила тяжести квад-
рата, приложенная в центре
квадрата; m2g ~ сила тяже-
сти пластинки с отверстием,
приложенная в искомом цен-
тре тяжести С.
Относительно оси, проходящей через общий центр тя-
жести О, сумма моментов всех сил тяжести равна нулю:
m^gR/4 - m2gx = 0,
где х - расстояние от точки О до точки С (центра тяжести
пластинки с отверстием). Отсюда
х = miR
4т2
Пусть h - толщина пластинки, р - плотность материа-
ла, из которого она изготовлена. Тогда:
т2 = т - гщ = pnR2h - - ~р/?2/г(4л: -1).
131
Подставив в формулу (1) и /и2, получим
х =______________________R___
4(4л - 1)
276. Система, состоящая из неподвижного и подвиж-
ного блоков (рис. 92), находится в равновесии. К непод-
вижному блоку подвешен груз массой mi = 20 кг. Найти
массу груза т2, силу натяжения нити и силу, действую-
щую на ось неподвижного блока.
Р и с. 93
Решение. При равновесии системы сумма проек-
ций на ось OY сил, действующих на блоки и тела, равна
нулю:
2Т - m2g = 0, N-2T\ - 0, Т-т^ = 0, (1)
где Т = Ti - модуль силы натяжения нити; W - сила реак-
ции оси неподвижного блока. Согласно третьему закону
Ньютона, на ось этого блока действует сила F = N. Тогда
из уравнений (1) найдем:
Т = m\g, m2 = 2znj, F = 2T,
T = 2 102 Н, /п2 = 40 кг, F = 4 • 102 Н.
277. Две пружины, жесткости которых ki = 400 Н/м и
k2 = 600 Н/м, соединены последовательно (рис. 93). Ка-
кой должна быть жесткость пружины, которой можно было
бы заменить эту систему из двух пружин?
132
Решение. При последовательном соединении пру-
жин силы натяжения их одинаковы и равны по модулю
приложенной силе F. По закону Гука
F = kfid, (1)
где k - жесткость системы (а значит, и жесткость пружи-
ны, которой можно было бы заменить эту систему); Д/ -
абсолютная деформация системы:
Д/ = Д/j + Д/2; (2)
Д/1, Д/2 _ деформация каждой пружины.
По закону Гука
F = kxAlb F = k2M2. (3)
Из выражений (1)-(3) находим: Д/ = F/k, Д/] = F/kv
Д/2 = F/k2- Подставив эти значения в равенство (2), по-
лучим
1 = -L + -L
k k-2
откуда k = k\k2/(fy + k2), k = 240 H/m.
278. Груз массой m = 40 кг висит на двух тросах: АО и
ВО (рис. 94, а). Трос ВО образует с горизонтальным на-
правлением угол а = 60°. Найти силы натяжения тросов.
Решение. К точке О приложены силы натяжения
тросов 71 и Т2, направленные вдоль тросов, а также сила
F, равная силе тяжести груза (рис. 94, б) Координатную
ось ОХ направим вдоль троса АО вправо, а ось OY - вер-
133
тикально вверх. Точка О находится в равновесии. Следо-
вательно, 7] + ?2 + F - 0. Поэтому суммы проекций всех
действующих на нее сил на оси ОХ и OY равны нулю:
7] cos а - ?2 = 0, 7j sin а - mg = 0.
Отсюда Т = То = ^-, 71 = 4,5 102 Н, То = 2,3 • 102 Н.
1 sin а tga
279. Цилиндр массой т = 150 кг удерживается на на-
клонной плоскости с помощью ленты, с одной стороны
закрепленной на наклонной плоскости, а с другой направ-
ленной параллельно плоскости (рис. 95, а). Найти силу
натяжения ленты. Угол наклона плоскости a = 30°.
Решение. Выберем направления координатных осей
ОХ и OY так, как показано на рис. 95, б. На цилиндр
действуют сила натяжения ленты F, сила нормальной ре-
акции опоры N и сила тяжести mg. Поскольку цилиндр
находится в равновесии, то 2F + mg + N = 0. Следователь-
но, сумма проекций всех сил на каждую из осей координат
должна равняться нулю:
2F cos a - N sin a = 0, N cos a - mg + 2F sin a = 0.
Решив эту систему уравнений, получим:
F = F = 3,7 • 102 Н.
Эту задачу можно решить другим способом. Относитель-
но оси, проходящей через точку О], сумма моментов всех
сил равна нулю. Плечо силы mg относительно этой оси
Р и с. 95
134
= /?sina, где R - радиус цилиндра. Плечо силы F, прило-
женной к цилиндру сверху, l2 - 2R- Согласно правилу момен-
тов, имеем -mgRsin а + F 2R - 0, откуда F = mg sin а/2.
280. Неравноплечие весы уравновесили, положив до-
полнительный груз на одну из чаш весов. Можно ли те-
перь пользоваться этими весами для взвешивания так же,
как и равноплечими? Массой коромысла пренебречь.
Решение. Взвешивание - это определение массы и
веса тела с помощью весов. Действие рычажных весов
основано на условии равновесия тела с неподвижной осью
вращения. Пусть на левой чаше весов находится взвеши-
ваемое тело, а на правой - уравновешивающая гиря
(рис. 96, а). На левую чашу действует вес тела Р\, на тело -
сила тяжести m^g и сила нормальной реакции чаши Мр
Поскольку тело покоится, модуль силы реакции чаши ра-
вен модулю силы тяжести, т. е. = m^g. Но, согласно
третьему закону Ньютона, сила реакции чаши по модулю
равна силе, с которой тело давит на чашу (весу тела):
- F\. Следовательно, вес тела
Р] = m}g. (1)
На правую чашу действует вес гири Р2. Рассуждая ана-
логично, получаем
Р2 = m2g. (2)
При равновесии выполняется условие равенства нулю
суммы моментов сил Р\ и Р2:
-Р]^ + Р2/2 = 0, или P^i = Р212,
135
где /1; /2 “ плечи этих сил относительно оси вращения,
проходящей через точку О.
Если весы равноплечие (рис. 96, а), т. е. - l2 = I, то
при равновесии вес тела равен весу гири: Р\ = Р2. Учиты-
вая формулы (1) и (2), можно также утверждать, что при
этом масса тела равна массе гири: — т2. Таким обра-
зом, с помощью рычажных весов можно определить как
массу, так и вес тела.
Рассмотрим теперь описанную в задаче ситуацию. Пусть
неравноплечие весы уравновесили, положив на левую чашу
дополнительный груз весом Pq (рис. 96, б). При этом вы-
полняется условие
Mi = М2, (3)
где Mi, М2 - модули моментов сил, действующих на чаши.
Допустим теперь, что мы положили на каждую чашу по
гире одинакового веса Р. Нарушится ли при этом равнове-
сие? Предположим, что оно не нарушится. Тогда должно
выполняться условие Mt + P/j = М2 + Р12, откуда с уче-
том равенства (3) получим /] = 12, что противоречит усло-
вию. Следовательно, равновесие нарушится. Таким обра-
зом, этими весами нельзя пользоваться так же, как и рав-
ноплечими.
В заключение здесь уместно обратить внимание на то,
что вес тела можно определить также с помощью пружин-
ных весов. Пружинные весы отличаются от рычажных тем,
что на них вес тела уравновешивается силой упругости
пружины, растянутой подвешенным к ней (или сжатой
положенным на нее) телом (рис. 97).
281. Стержень, составленный из двух однородных кус-
ков одинаковой длины, является основанием рав-
ностороннего треугольника (рис. 98, а). Масса
одного куска стержня вдвое больше массы другого
куска. Стержень подвешен за концы на двух неве-
сомых нитях, которые служат боковыми сторона-
ми этого треугольника. Какой угол а образует стер-
жень с горизонтом в положении равновесия?
Решение. Поскольку стержень находится
в равновесии, сумма моментов всех сил равна
нулю. На стержень действуют четыре силы: силы
натяжения нитей Д и Т2, сила тяжести mg, при-
ложенная к меньшему по массе куску, и сила
136
тяжести 2mg, приложенная к куску вдвое большей массы
(рис. 98, б). Для определения моментов сил удобно вы-
брать ось, проходящую через точку подвеса О, так как
через нее проходят линии действия неизвестных сил Д и
Тг?, и, следовательно, моменты этих сил равны нулю. На
основании правила моментов составим уравнение:
2mgl<^ - mgl\ = 0, (1)
где Z2, А ~ плечи сил соответственно 2 mg и mg относи-
тельно оси, проходящей через точку О.
Для нахождения /] и /2 проведем из точки О перпенди-
куляр ОА на горизонтальное направление. Тогда плечо
1Х = МВ - АВ.
Из Z\OAB находим: АВ = /cos(a + р), где I — длина нити
(и стержня); £ = 60°, так как треугольник равносторон-
ний. Из Z\DMB находим МВ = DB cosa.
Поскольку сила mg приложена посередине тонкой час-
ти ЕК стержня, а сила 2mg - посередине КВ и, кроме
того, ЕК = КВ, то ED = DK = КС = СВ = I/4. Следова-
тельно,
MB --1cosa, I] = 4/cosa - /cos(a + В).
4 4
Как видно из рис. 98, б,
/2 = АВ - ВС cosa = Zcos(a + р) - cos a.
Подставив значения и /2 в уравнение (1), получим
137
или после преобразований
3 cos a cos р - 3 sin а sin р - — cos а = 0.
(2)
Так как [3 = 60°, то cosp - 1/2, sin Р = V3/2. Подста-
вив эти значения в уравнение (2) и решив его, получим
“ = агс,8б^ = 6“-
282. Доказать, что центр тяжести произвольного плоско-
го треугольника находится в точке пересечения его медиан.
Решение. Разобьем треугольник линиями, парал-
лельными стороне АС, на большое число тонких полосок
(рис. 99). Каждую из полосок можно приближенно счи-
тать однородным стержнем, центр тяжести которого ле-
жит на его середине. Следователь-
но, центр тяжести треугольника на-
ходится на медиане BD. Разбивая
треугольник таким же образом на
полоски, параллельные ВС, прихо-
дим к выводу, что центр тяжести его
должен находиться на медиане АЕ.
Этим двум условиям удовлетворяет
только точка О пересечения медиан.
Итак, центр тяжести плоского тре-
0
Р и с. 99
угольника находится в точке пересечения его медиан.
283. Цилиндр состоит из двух равных частей: медной и
алюминиевой. Длина цилиндра I = 0,8 м, плотность меди Pi =
= 8,9 • 103 кг/м3, плотность алюминия Р2 = 2,7 • 103 кг/м3.
Найти положение центра тяжести цилиндра.
Р и с. 100
138
Решение. Центры тяжести Q и Cg медной и
алюминиевой частей цилиндра расположены на его оси на
расстояниях //4 от оснований (рис. 100). Центр тяжес-
ти С всего цилиндра находится на его оси на расстоянии х
от левого основания. Если закрепить весь цилиндр на оси,
проходящей через точку С перпендикулярно плоскости
рисунка, то относительно этой оси будет выполняться ус-
ловие равновесия: алгебраическая сумма моментов сил m^g
и m2g равна нулю, т. е.
m2gh - m\gh = 0, • (1)
где /j, /2 “ плечи сил относительно этой оси.
Из рисунка видно, что
/1 = х-±, 12 =1 + (1-х) = ^-х. (2)
Массы mj и т2 медной и алюминиевой частей цилинд-
ра выразим через плотности и объемы (объемы их одина-
ковы):
/И1 = P1V, т2 = p2V. (3)
Подставив выражения (2) и (3) в уравнение (1), полу-
чим
p2(f-x)-pi(x-|) = 0.
Отсюда х =
Z(pi + Зр2)
4(pi + р2)
, х = 0,3 м.
Задачи для самостоятельного решения
284. Вертикально расположенная пружина соединяет
два груза. Масса верхнего груза Ш[ = 2 кг, а нижнего
т2 = 3 кг. Когда система подвешена за верхний груз, дли-
на пружины /] = 10 см. Если же систему поставить на
подставку, длина пружины оказывается равной 12 = 4 см.
Определить длину недеформированной пружины.
285. К концам однородного стержня длиной I = 1 м и
массой т = 0,8 кг прикреплены два маленьких шарика,
массы которых т.[ - 0,2 кг и т2 - 0,25 кг. Стержень мо-
139
жет поворачиваться вокруг горизонтальной оси, находя-
щейся на расстоянии 1^ = 0,3 м от шарика меньшей массы.
Чтобы стержень был расположен горизонтально, под ша-
рик большей массы подставлена опора. Найти силу, дейст-
вующую на опору.
286. Однородный массивный стержень с укрепленны-
ми на его концах грузами = 5,5 кг и = 1 кг находит-
ся в равновесии, если его подпереть на расстоянии, рав-
ном 1/5 его длины, от более тяжелого груза. Какова мас-
са стержня?
287. К концам горизонтального стержня длиной I - 0,8 м
и массой т = 2 кг подвешены два груза: слева массой =
= 1 кг, справа массой = 3 кг. На каком расстоянии со
стороны большей массы следует подпереть стержень, что-
бы он остался в равновесии?
288. Концы стержня, массой которого можно пренеб-
речь, прикреплены к двум вертикально расположенным
пружинам одинаковой длины. Стержень при этом занима-
ет горизонтальное положение. Жесткость первой пружи-
ны kx = 6 Н/м, второй &2 = 4 Н/м. Расстояние между
пружинами I = 2 м. На каком расстоянии от первой пру-
жины нужно подвесить груз к стержню, чтобы он остался
горизонтальным?
289. При взвешивании на неравноплечих рычажных ве-
сах масса тела (по сумме масс уравновешивающих гирь)
оказалась на одной чаше весов равной = 2 кг, а на
другой /и2 = & кг. Найти истинную массу тела. Массой
коромысла пренебречь.
290. Груз массой т = 10 кг перемещают равномерно по
прямой в горизонтальной плоскости, прилагая силу, на-
правленную под углом а - 30° к горизонту. Определить
модуль этой силы, если коэффициент трения |1 = 0,20.
291. На платформу кузова грузового автомобиля на
высоту h = 1,2 м по наклонным брускам длиной I = 2,0 м
равномерно тянут груз массой т = 300 кг. Коэффициент
трения скольжения ц = 0,20. Определить силу тяги, на-
правленную параллельно брускам.
292. На доске длиной I = 64 см стоит сплошной ци-
линдр, у которого высота в п = 3,0 раза больше диаметра
основания. На какую наибольшую высоту можно поднять
один из концов доски, чтобы цилиндр не опрокинулся?
293. Деревянный брусок находится на наклонной плос-
кости (рис. 101). С какой наименьшей силой F нужно
140
прижать брусок к наклонной плоскости, чтобы он оставал-
ся на ней в покое? Масса бруска т = 2,0 кг, длина наклон-
ной плоскости I - 1,0 м, высота ее h = 0,60 м. Коэффици-
ент трения бруска о наклонную плоскость ц = 0,40.
294. Груз массой т = 5,0 кг находится на наклонной
плоскости, образующей угол а = 30° с горизонтом. К гру-
зу приложена сила F, направленная вдоль наклонной плос-
кости. Коэффициент трения груза о плоскость Ц = 0,20.
Определить модуль приложенной силы, если груз переме-
щается равномерно вниз по плоскости.
295. К верхнему краю доски длиной L и массой М при-
бит брусок, длина которого I и масса т (рис. 102). Доска
закреплена в точке О и прислонена к стенке под углом а
к основанию. При какой горизонтальной силе F, прило-
женной на высоте h, равновесие доски не нарушится, если
стенку убрать?
296. На столе лежит однородная цепочка длиной I. Часть
ее свешивается со стола. Какова максимальная длина све-
шивающейся части, если коэффициент трения между це-
почкой и столом равен ц?
297. С какой минимальной силой, направленной гори-
зонтально, надо прижать брусок к вертикальной стене,
чтобы он не соскользнул вниз? Масса бруска т = 6 кг,
коэффициент трения между бруском и стеной ц = 0,1.
298. Двое рабочих несут бревно, масса которого
т = 50 кг. Один поддерживает бревно на расстоянии = 1 м
от его конца, а второй - противоположный конец бревна.
Длина бревна I = 5 м. Определить силы, с которыми брев-
но действует на каждого рабочего.
141
I
ТТ7Т7тт77777777777777Т777/
Рис. 103
299. Однородная доска массой
М = 1 кг лежит на столе так, как
показано на рис. 103. Груз какой
массы надо положить на правый
конец доски, чтобы левый ее ко-
нец начал подниматься?
300. Дверь, высота которой И = 2 м, ширина I = 1 м и
масса m = 32 кг, подвешена на двух петлях, находящихся
на расстоянии а = 20 см от верхнего и нижнего краев
двери. С какой силой дверь тянет верхнюю петлю в гори-
зонтальном направлении?
301. Однородный стержень покоится, опираясь на глад-
кую стену и шероховатый пол (рис. 104). Масса стержня
пг = 10 кг, угол между стержнем и полом а = 45°. Найти
силу трения.
302. Однородный стержень АВ опирается на шерохо-
ватый пол и гладкий выступ С (рис. 105). Расстояние
АС = 0,75АВ. При каком коэффициенте трения стержень
будет составлять с полом угол а = 45° в положении рав-
новесия?
303. Однородный стержень одним концом упирается в
вертикальную стену, а другой его конец удерживается с
помощью нити, длина которой равна длине стержня
(рис. 106). При каких углах а стержень будет находиться
в равновесии, если коэффициент трения между стержнем
и стеной р. = 0,3?
304. Однородная балка массой ш = 60 кг и длиной
I = 4,0 м опирается о гладкий пол и выступ В, находящий-
ся на высоте h = 3,0 м над полом (рис. 107). Балка образует
Рис. 104
142
Рис. 106
угол а = 30° с вертикалью и удерживается веревкой АС,
протянутой у самого пола. Вычислить силу натяжения ве-
ревки, силу реакции пола и силу реакции выступа В.
305. Тонкая однородная доска лежит, касаясь средней
точкой поверхности полусферы радиуса R = 2,0 м (рис. 108).
При какой наименьшей высоте h центра тяжести доски
(от горизонтального основания полусферы) доска не будет
соскальзывать с полусферы, если коэффициент трения
ц = 0,80?
306. Однородная балка длиной /j = 4 м одним кон-
цом шарнирно прикреплена к вертикальной стене и удер-
живается в горизонтальном положении тросом, привя-
занным к другому ее концу (рис. 109). Масса балки
т = 500 кг, длина троса /2 = 8 м. Определить силу натя-
жения троса.
Рис. 109
143
307. Тонкий однородный стер-
жень шарнирно укреплен в точке А
и удерживается нитью ВС (рис. 110).
Масса стержня т, угол его накло-
на к горизонту равен а. Найти
силу натяжения нити, а также мо-
дуль и направление силы реакции
шарнира.
308. На какую максимальную
высоту может подняться человек
массой т = 75 кг по лестнице дли-
ной I = 5 м, приставленной к глад-
кой стене? Максимальная сила трения между лестницей и
полом FTp = 300 Н, угол между лестницей и полом а = 60°.
Массой лестницы пренебречь.
309. Какова должна быть минимальная сила F
(рис. 111), приложенная к оси колеса массой т и радиу-
сом R и направленная горизонтально, чтобы она могла
поднять колесо на ступеньку высотой h (h < /?)? Считать,
что при повороте колесо не проскальзывает.
310. Два однородных шара, алюминиевый и цинко-
вый, одинакового радиуса R = 10 см скреплены в точке
касания. Найти расстояние от центра тяжести этой сис-
темы до центра цинкового шара. Плотность алюминия
Р1 = 2,7 103 кг/м3, плотность цинка р2 = 7,1 103 кг/м3.
311. Четыре однородных шара массами = 1 кг, -
= 5 кг, m3 = 7 кг, = 3 кг укреплены на невесомом
стержне таким образом, что их центры находятся на рав-
ных расстояниях d - 0,2 м друг от друга. Найти положе-
ние центра тяжести системы.
312. Определить положение центра тяжести однород-
ной круглой пластинки радиуса R = 30 см, в которой выре-
зано отверстие вдвое меньшего радиуса, касающееся края
пластинки (рис. 112).
Рис. Ill
Р и с. 112
144
Рис. 113
Рис. 114
313. Два однородных шара из одного и того же мате-
риала, радиусы которых = 3 см, Т?2 = 2 см, скреплены в
точке касания. На каком расстоянии от точки скрепления
находится центр тяжести системы?
314. В двух вершинах равностороннего треугольника,
сторона которого равна а, помещены шарики массой т
каждый. В третьей вершине находится шарик массой 2т.
Где расположен центр масс этой системы?
315. Два тела А и В, массы которых т.\ - 1,5 кг и =
= 0,45 кг соответственно, подвешены на нитях к легко-
му коромыслу, плечи которого имеют длину = 0,6 м и
/2 = 1 м, причем тело А лежит на полу (рис. 113). На
какой минимальный угол а следует отклонить подвес тела
В, чтобы после его отпускания тело А оторвалось от пола?
316. Однородный шар массой т - 10 кг удерживается
на гладкой наклонной плоскости веревкой, укрепленной
над плоскостью (рис. 114). Угол наклона плоскости к го-
ризонту а = 30°, угол между веревкой и на-
клонной плоскостью р = 45°. Определить
силу, с которой шар давит на наклонную плос-
кость. Г А
317. Однородный стержень согнули посе- 'А
редине под прямым углом и подвесили на
шарнире за один из концов (рис. 115). Найти
угол а между прикрепленной частью стерж-
ня и вертикалью. Рис. 115
145
5. ЖИДКОСТИ И ГАЗЫ
Методические указания к решению задач
В задачах, связанных с определением гидростатического
давления, используются закон Паскаля и следствия из него.
Сделав схематический чертеж, нужно изобразить на нем
уровни, занимаемые жидкостью по условию задачи. По-
верхность нулевого уровня выбирают так, чтобы она про-
ходила по самой нижней границе раздела сред. Затем на
основании следствия из закона Паскаля составляют урав-
нение равновесия жидкости
РА = РВ’ (О
где рд, pg - полные давления в точках А и В, расположен-
ных на поверхности одного уровня в покоящейся жидкости.
Если по условию задачи происходит переливание жид-
кости из одной части сосуда в другую, то к составленному
уравнению (1) можно добавить условие несжимаемости
жидкости:
Д V] = Д V%,
где ДЦ, Д^2 ~ соответственно уменьшение объема жид-
кости в одной части сосуда и увеличение его в другой
части.
Затем составленную систему уравнений решают отно-
сительно искомой величины.
Задачи на равновесие тел в жидкости или газе решают
по такому же плану, как и рассмотренные выше задачи на
статику.
Если по условию задачи тело движется с постоянным
ускорением в жидкости или газе, нужно составить урав-
нение движения на основании второго закона Ньютона так
же, как и при решении задач на динамику.
Основные законы и формулы
Давление — скалярная физическая величина, равная отно-
шению модуля силы F, действующей перпендикулярно поверх-
ности, к площади S этой поверхности:
146
Р = F/S.
Гидростатическое давление внутри жидкости на глубине h
Р = Pgh,
где р - плотность жидкости; g - ускорение свободного паде-
ния.
Полное давление внутри покоящейся жидкости на глубине h
Рп = Ро + Pgh,
где ро - давление на открытой поверхности.
Нормальное атмосферное давление ро - 760 мм рт. ст. =
= 101 325 Па.
Закон Паскаля: давление, производимое на жидкость или
газ, передается без изменения по всем направлениям в каждую
точку жидкости или газа.
Средняя сила, с которой жидкость давит на плоскую боко-
вую стенку сосуда,
Fqt ~ Рц.т^ст’
где рцт - давление жидкости на глубине центра тяжести жид-
кости; SCT - площадь поверхности стенки.
Архимедова сила, действующая на тело, погруженное в
жидкость или газ,
Fp, = Рж^Ц-’
где рж - плотность жидкости; УТ - объем погруженной части
тела. Эта сила приложена в центре тяжести вытесняемого объ-
ема жидкости и направлена по нормали к открытой поверхно-
сти жидкости.
Примеры решения задач
318. Для приближенного определения атмосферного
давления взяли стеклянную трубку длиной I и погрузили
ее вертикально на глубину Н в жидкость плотностью р.
Закрыв верхний конец трубки пальцем, вынули ее из жид-
кости. Высота столба жидкости, оставшейся в трубке, рав-
на h. Чему равно атмосферное давление?
Р е ш е н ие. Когда трубка была погружена в жидкость
(рис. 116, а), столбик воздуха длиной I - Н находился при
атмосферном давлении, так как Ра = Рв = Ратм- После того
как трубку вынули из жидкости (рис. 116, б), столбик воз-
147
духа длиной I - h находился при некотором давлении рх.
Точки Д] и В\ находятся на одном уровне, поэтому рд = pg,
или Ра™ = Рх - Pgh- Отсюда
Рх = Ратм - Pgh-
Так как температура воздуха постоянна, то на основа-
нии закона Бойля-Мариотта
paTM(l-H)S = (parM-pgh)(l-h)S,
где S - площадь поперечного сечения трубки. Отсюда
= pgh(l - h)
Ра™ н _ h
319. В сосуд с вертикальными стенками и площадью
дна S налита жидкость плотностью р. На сколько изме-
нится уровень жидкости в сосуде, если в него опустить
тело произвольной формы массой т, которое не тонет?
Решение. Тело плавает, следовательно, архимедова
сила равна силе тяжести: РА =mg. Жидкость действует
на тело с силой РА, направленной вертикально вверх. Со-
гласно третьему закону Ньютона, тело действует на жид-
кость с такой же по модулю силой, направленной вер-
тикально вниз. Таким образом, тело, плавающее в жид-
кости, увеличивает силу, действующую на дно сосуда, на
AF = mg. Но само тело не касается дна, поэтому эта сила
изменяется благодаря изменению давления жидкости. Если
148
уровень жидкости в сосуде поднялся на Д/г, то давление
увеличилось на Др = pg&h, а сила, действующая на дно
сосуда, возросла на AF = pgS&h. Поэтому pgS&h = mg,
откуда Д/г = m/(pS).
320. Малый поршень гидравлического пресса за один
ход опускается на расстояние hj = 0,20 м, а большой пор-
шень поднимается на /г2 = 0,01 м (рис. 117). С какой си-
лой действует пресс на зажатое в нем тело, если на малый
поршень действует сила F\ = 500 Н?
Решение. Сила создает давление р = F{ /S\, где
3] - площадь малого поршня. Согласно закону Паскаля,
такое же давление будет и в большом цилиндре пресса.
Следовательно, на большой поршень со стороны жидкости
действует сила
F2=pS2=FlS2/Sl, (1)
где 32 _ площадь большого поршня.
Запишем условие несжимаемости жидкости:
Sfy=S2h2. (2)
На основании равенств (1) и (2) получим
F2 = Fxhx/h2, F2 = 1,0 104 H. (3)
С такой же силой действует пресс на зажатое в нем тело.
Рис. 117
149
Анализ формул (1) и (3) показывает, что гидравличе-
ский пресс дает выигрыш в силе в S2/S1 раз, но не дает
выигрыша в работе. В самом деле, из формулы (3) полу-
чим Fxhx = P2/i2. Но = А ~ работа силы F\, F2h2 = А2 ~
работа силы F2- Поэтому Aj = А2.
321. В сообщающиеся сосуды налита ртуть, а поверх
нее в один сосуд налит столб масла высотой - 48 см, в
другой - столб керосина высотой h2 = 20 см. Определить
разность уровней ртути в обоих сосудах. Плотность масла
р, = 0,9 103 кг/м3, керосина р2 - 0,8 103 кг/м3, ртути
р3 = 13,6 • 103 кг/м3.
Решение. Выберем в качестве поверхности одного
уровня поверхность, проходящую по самой нижней грани-
це раздела жидкостей масло - ртуть (рис. 118). Жидкости
находятся в равновесии, поэтому давление в точках А и В
этой поверхности одинаковое: рА = р^. Учитывая, что
РА = Ратм + Р1ЯЛ1, рв = ратм + p2gh2 + p3g/i3,
можно записать:
Ратм + Plgfy = Ратм + Р2^2 + РЗ^З-
Отсюда /13 = (pi^i - P2/12 )/р- ^з = 2 • Ю~2 м.
322. Вес тела, погруженного в жидкость плотностью
р], равен Р[, а погруженного в жидкость плотностью р2, -
Р2. Определить плотность тела р.
Решение. Предположим, что тело подвешено на
невесомой нити в жидкости (рис. 119). На тело действуют
Рис. 118
150
три силы: сила тяжести mg, архимедова сила FA и сила
натяжения нити Т. Тело находится в равновесии. Следо-
вательно, сумма действующих на него сил Т + РА + mg = 0.
Направив координатную ось OY вертикально вверх и
спроектировав на нее силы, получим Т + РА - mg = 0. От-
сюда Т = mg - F&.
Обозначим объем тела через V, тогда РА = pgV, где
р- плотность жидкости. Следовательно,
Т = mg - pgV = g(m - pV).
Модуль силы натяжения нити равен модулю веса тела:
Т = Р. Таким образом, получаем следующую формулу для
определения веса тела массой m в жидкости, плотность
которой р:
Р = (m-pV)g. (1)
На основании формулы (1) можно записать:
Р\ = (m - p]V)g, Р2=(т- p2V)g.
Разделив левые и правые части этих уравнений на К и
учитывая, что m/V = р, получим:
P[/(gV) = р-р], (2)
P2/(gV) = р - Р2. (з)
Решив совместно уравнения (2) и (3), найдем плотность
тела:
= Р2Р1 ~ Р1Р2
P2-Pi '
Таким образом, плотность тела можно найти путем взве-
шивания его в двух различных жидкостях, плотности ко-
торых известны.
323. Кусок металла массой т = 1,0 кг, будучи погружен-
ным в бензин, весит Р\ = 9,3 Н. В некотором растворе он
весит Р2 = 8,8 Н. Определить плотность раствора р2, если
плотность бензина р] = 7,2 102 кг/м3 и плотность метал-
ла больше плотностей бензина и раствора.
Решение. При решении задачи 322 получена форму-
ла (1) для определения веса тела в жидкости. На основа-
нии этой формулы можно записать:
151
Р\ = mg-pigV, Р2 = mg-p2gV,
или
Отсюда
mg-Pi = Pig V, mg - P2 = p2gV.
mg-Px Pi n _(mg-P2)p}
----------> p2-----------
mg - P2 p2 mg - P
p2 - 1,4 103 Kr/M3
Таким способом можно на практике определить плот-
ность раствора.
324. Прямоугольный металлический брусок, плотность
которого pj, площадь основания S и высота h\, лежит на
дне сосуда. В сосуд налита до высоты h2> h\ жидкость
плотностью р2. Найти силу, с которой брусок давит на
дно сосуда.
Решение. Возможны два случая: 1 ) брусок неплот-
но прилегает к дну сосуда; 2) брусок прилегает к дну так
плотно, что жидкость под него не подтекает. Рассмотрим
каждый случай в отдельности.
1. Снизу на брусок действует сила со стороны жид-
кости. Эта сила больше силы, обусловленной давлением
жидкости сверху, поэтому «возникает» архимедова сила.
Таким образом, на брусок действуют в этом случае три
силы: архимедова сила FA, сила тяжести FT = mg и сила
реакции дна (рис- 120, а). Условие равновесия запи-
шется в виде
FT + FA + = б.
152
В проекциях на ось OY получим Afj + АЛ - FT = 0. Отсю-
да AZ] = FT - FA. Так как FT = mg = PiSfyg и FA = p2S/i], to
M =(pi -p2)5g/Z].
По третьему закону Ньютона с такой же по модулю
силой действует брусок на дно сосуда, т. е. = N\.
2. Снизу на брусок не действует сила со стороны жид-
кости, поэтому Fk = 0. Сверху же на брусок действует
сила, обусловленная давлением жидкости и атмосферы:
Ъ =(Р2£(Л2 " h\) + Ратм )$•
(Обратим внимание на то, что в первом случае сила, обу-
словленная давлением жидкости сверху, учтена в архи-
медовой силе: F= F2~ F\, где F2 - сила, обусловленная
давлением жидкости снизу.) На брусок действуют также
сила тяжести FT и сила реакции дна М2 (рис. 120, б).
Спроектировав силы на ось OY, запишем условие равно-
весия бруска: ?/2 - FT - F] = 0, или
^2 ~ P^g ~(p2g(h2 - h}) + pan)S = 0.
Отсюда
^2 =Sg(PiAj +P2<^ “М + Ратм/Я)-
С такой же по модулю силой действует брусок на дно:
^д2 = *2-
325. В сосуде находятся две несмешивающиеся жидко-
сти, плотности которых различны: р] < р2. На границе раз-
дела жидкостей плавает однородный прямоугольный бру-
сок, погруженный целиком в жидкость. Плотность р3 ма-
териала бруска больше плотности р] верхней жидкости,
но меньше плотности р2 нижней жидкости (pj < р3 < р2).
Какая часть объема бруска будет находиться в верхней
жидкости?
Решение. Обозначим размеры бруска а, b и I
(I < а, I < Ь, а> Ь). Пусть верхняя грань бруска находится
на высоте х над границей раздела жидкостей (рис. 121).
Тогда объем части бруска, находящейся в верхней жидко-
сти, V] =abx. Следовательно, в верхней жидкости нахо-
дится часть объема
Ч _ abx = х_ /1 \
V abl I ' v ’
153
Рис. 121
На брусок действуют три
силы: сила тяжести FT = mg =
= p^ablg, сила Fv действую-
щая на верхнюю грань, и сила
F2, действующая на нижнюю
грань. Так как тело плавает,
то выполняется условие рав-
новесия FT + Fj + F% = 0.
Для проекций на ось OY
получим
F2 - Fj - FT = 0. (2)
На верхнюю грань дейст-
вует сила
F\ = (plff(A “ *) + Ратм М.
на нижнюю грань — сила
F2 = (Р1^А + P2g(l ~х) + ратм )ab.
(3)
Подставив значения F\, F% и FT в формулу (2), полу-
чим после преобразований (р2 - р])х = (р2 - рз)/. Отсюда
X _ Р2 ~ РЗ
I Р2 - Р1 '
Сравнивая формулы (1) и (3), находим
Ц _ Р2 ~ Рз
v Р2 - Р1 '
326. Какую работу нужно совершить, чтобы медленно
погрузить в жидкость на глубину И вертикально ориен-
тированный однородный ЦИЛИНДР ПЛОТНОСТЬЮ Р1, высотой h
и диаметром d, если плотность жидкости р2 и перед по-
гружением нижнее основание цилиндра касалось по-
верхности жидкости? Плотность жидкости больше плот-
ности цилиндра (р2 > pj).
Решение. При погружении цилиндра на него,
кроме силы тяжести FT и приложенной силы, действует
архимедова сила, направленная вертикально вверх (рис. 122).
154
Пока цилиндр погружается в
жидкость до верхнего осно-
вания, архимедова сила ли-
нейно возрастает от нуля до
максимального значения FA.
Поэтому переменную архи-
медову силу при перемеще-
нии si = h можно заменить
средней архимедовой силой:
р _ 0 _ Fk
СР " 2 " 2 ’
считая ее постоянной. Что-
бы медленно (равномерно)
погружать цилиндр, к нему
нужно приложить такую си-
лу Fj, чтобы выполнялось
условие равновесия
Рис. 122
Л + Л + Fcp = б.
Спроектировав все силы на вертикальное направление,
получим
Л + FT - Fcp = 0.
Отсюда Fj = Fcp - FT. Совершаемая этой силой работа
А = F]Sj, или
Д =(FA/2-FT)ft.
Когда цилиндр полностью находится в жидкости, архиме-
дова сила постоянна. Поэтому при перемещении s2 = Н - h
к цилиндру нужно приложить такую силу, чтобы выпол-
нялось равенство F2 + FT - FA = 0. Следовательно, F2 =
= Fa _ FT . Работа этой силы
А2 = F2s2 =(FA-F,)(H-h).
Вся работа, совершаемая при погружении цилиндра,
А = Д +А2 = (Fa/2-Ft)/i + (Fa - FT)(//- й) =
= Fa(/i/2 + Я) - FT//. (1)
155
Учитывая, что Fr = mg = piVg, F^ = p2gV, где V -
объем цилиндра, формулу (1) можно переписать так:
Д = gV(p2h/2 + (р2 - р1)Я).
Подставив сюда значение V = nd2H/4, найдем работу, со-
вершаемую при погружении:
Д = |Kd2g//(P|^ + (p2 - pi)//).
Рис. 123
327. Определить минимальный объем наполненного
водородом шара, который может поднять человека массой
/И] = 70 кг на высоту h = 100 м за время t = 30 с. Общая
масса оболочки шара и корзины т2 = 20 кг, плотность
воздуха и водорода принять равными соответственно pj =
= 1,3 кг/м3 и р2 = 0,10 кг/м3. Сопротивлением воздуха
пренебречь.
Решение. Направим координатную ось OY верти-
кально вверх (рис. 123). Вдоль этой оси шар движется
равноускоренно, поэтому
h = aut2 /2,
где аи - проекция ускорения шара на ось OY. Отсюда
ay=2h/t2. (1)
На шар действуют следующие силы:
сила тяжести человека m\g, оболочки
и корзины m2g, водорода m^g, архи-
медова сила РА. Составим на основа-
нии второго закона Ньютона уравне-
ние движения шара:
ГА + т\ё + т2ё ~ т&-
Для проекций на ось OY получим
Тд “ "hg ~ m2g - m3g =
= (т} + т2 + т3)ау, (2)
где т3 - масса водорода.
Пусть V - искомый объем шара.
Тогда
156
Ла. = PiffK = P2V- (3)
Подставив значения (1) и (3) в уравнение (2), получим
PlgV - mtg - m2g - p2gV = ("1] +т2 + p2V)2h/t2.
Отсюда найдем объем шара:
+ m2 )(2/i + gf2)
gl2(Pi - p2)~ 2ftp2 ’
V = 77 m3.
328. Рассчитать, как изменится потенциальная энер-
гия погруженного в жидкость тела, если его поднять в
жидкости на высоту h. Плотность жидкости pt, плотность
тела р2, объем тела V.
Решение. Примем за нулевой уровень потенциаль-
ной энергии уровень дна. Пусть
тело находилось на высоте h\ над
уровнем дна. Чтобы поднять тело
на высоту h = h2 - h\, нужно при-
ложить к нему силу F (рис. 124).
Работа этой силы равна измене-
нию механической энергии тела:
А - А£к + А£р, где АЕк, А£р -
изменения соответственно кинети-
ческой и потенциальной энергии.
Если тело поднимается равно-
мерно, то АЕк = 0, следовательно,
(1)
Д = А£р.
Для равномерного поднятия тела к нему нужно прило-
жить такую силу, чтобы выполнялось условие равновесия,
т. е. сумма проекций всех сил на вертикальное направление
была равна нулю: F + Ед - mg - 0. Отсюда F = mg - F&.
При перемещении h работа этой силы А = Fh или
А = (mg -FA)h. (2)
С учетом того, что т - p2V, F^ = P\gV, на основании
равенств (1) и (2) можно записать:
Д£р =(Р2 -Р1)Я^й.
157
Если р2 > Pi, то ДЕр > 0 - потенциальная энергия уве-
личивается; если р2 < Pi, то Ер < 0 - потенциальная энер-
гия уменьшается. При неравномерном поднятии изменение
потенциальной энергии будет таким же.
Формулу (1) можно переписать так:
£р2 - £р! = <тЕ “ Ла )Л2 - (тЕ - Ла )Л1
Так как при h = 0 (на дне) Ер = 0, получаем:
£Р1 = (mg - FA )/i], Ер2 = (mg - Еа )ft2 .
Следовательно, потенциальная энергия тела, находя-
щегося в жидкости на высоте Н от нулевого уровня энер-
гии, выражается так:
Ep=(mg-Fk)H. (3)
329. В баке находится вода. Расположенный у ее по-
верхности камень был брошен вертикально вниз в воду с
начальной скоростью v0 и опустился на дно. Масса камня
т, объем V, вода налита до высоты И. Какое количество
теплоты выделилось при падении камня?
Решение. По закону сохранения энергии механиче-
ская энергия камня превратилась в выделившееся количе-
ство теплоты:
Q = Ek+Ep, (1)
где Ек, Ер - соответственно кинетическая и потенциаль-
ная энергия.
Дно примем за поверхность нулевого уровня потенци-
альной энергии. Тогда на основании формулы (3) из за-
дачи 328 потенциальная энергия камня в начальном со-
стоянии
Ер = (mg - Еа )Н.
Поскольку Еа = PigV, где р] - плотность воды, то
Ep=(m-pxV)gH. (2)
Кинетическая энергия камня в момент бросания
Ек - /7Шд/2. (3)
Учитывая формулы (1)-(3), получаем
Q = mv^/1 + (т- p\V)gH.
158
330. Стеклянный шарик падает в воде с ускорением
а - 5,8 м/с2. Найти плотность стекла, если плотность
воды pi = 1,0 • 103 кг/м3. Трение не учитывать.
Р е ш е н и е. На шарик действуют сила тяжести mg и
архимедова сила Гд. Направим ось OY вертикально вниз
(рис. 125). Составим уравнение движения шарика в век-
торной форме:
mg + Л\ = т^-
Пусть V- объем шарика, р2 - плотность стекла. Тогда
т = Р2^> Ла = Р1Я^- Подставив эти значения в формулу
(1), получим р2^£ - piVg = рг^а, откуда
Р2 = P]g/(g - а), Р2 = 2,5 • 103 кг/м3.
331. Сосуд с жидкостью, плотность которой р, падает с
ускорением а, направленным вниз. Определить давление
жидкости на глубине h и силу, с которой жидкость давит
на дно сосуда. Высота уровня жидкости в сосуде И, пло-
щадь дна сосуда S.
Решение. Выделим внутри жидкости столбик
высотой h и площадью основания S] (рис. 126). На него
действуют сила тяжести mg и сила F\, обусловленная давле-
нием и направленная вверх. Ось OY направим вертикально
159
вниз. Уравнение движения столбика жидкости, согласно
второму закону Ньютона, имеет вид
mg + Л =
В проекциях на ось OY получим
mg ~F\ = mai (О
где т - масса столбика жидкости.
Пусть р - давление на глубине h. Тогда T-j = pS\. Кро-
ме того, т = pS\h. Поэтому уравнение (1) можно перепи-
сать так:
pSj/ig - pSj - pS^ha.
Отсюда р - p(g - a)h.
Сила, с которой жидкость действует на дно сосуда,
F = p(g-a)HS. (2)
Решение. Выделим
Анализ формулы (2) показывает, что сила, с которой
жидкость действует на дно сосуда, тем меньше, чем боль-
ше ускорение сосуда а. При а - g (свободное падение)
F = 0, т. е. наступает состояние невесомости. При а > g
жидкость будет свободно падать с ускорением g, а сосуд -
с большим ускорением, вследствие чего жидкость выйдет
из сосуда.
332. Сосуд с жидкостью движется горизонтально с ус-
корением а. Как расположена при этом свободная по-
верхность жидкости?
>нкий горизонтальный стол-
бик жидкости длиной I и
площадью поперечного сече-
ния S, проведенного перпен-
дикулярно направлению дви-
жения жидкости (рис. 127).
Составим для этого столби-
ка уравнение движения:
А + ^2
где F\, F% - силы, обуслов-
ленные давлением на стол-
бик соответственно слева и
справа.
160
Для проекций на горизонтальную ось ОХ получим
Д] - Д? = та- (О
Так как вдоль оси OY ускорения нет, давление на глу-
бине h определяется по формуле р = pgh. Поэтому давле-
ние на столбик слева р{ = pgh\, справа р2 = pgh2- Масса
рассматриваемого столбика жидкости т = pSl. Учитывая
эти значения, перепишем уравнение (1):
pg/ilS - pgh2S = pSla.
Отсюда
g(hi - h2) = la,
или
^1 ~ ^2 _ a
I g '
Ho (/г, - h2)/l = tga. Следовательно, поверхность жид-
кости будет представлять собой плоскость, наклоненную
к горизонту под углом a = arctg(a/g).
333. Прямоугольный понтон, масса которого М = 700 кг,
имеет длину I = 5 м, ширину d = 3 м и высоту h = 0,7 м.
Найти осадку понтона без груза и предельную грузоподъем-
ность при высоте бортов над ватерлинией Aj - 0,2 м. Плот-
ность воды р = 1 103 кг/м3.
Решение. На понтон без груза действуют сила тя-
жести Mg и архимедова сила 7д (рис. 128, а). Он находит-
ся в равновесии, следовательно, 7д + Mg - 0, поэтому сум-
ма проекций этих сил на ось OY равна нулю: /д - Mg = 0.
Находим:
6 Зак. 1525
161
Fa = pgV>
где V - объем погруженной в воду части понтона. При
осадке Ло этот объем V - hold. Следовательно,
Fa = Pghold, pghold -Mg = 0.
Отсюда осадка понтона без нагрузки
Hq = M/(pld), tiQ - 5 • 1(Г2 м.
Если на понтоне лежит груз массой т (рис. 128, б), то
условие равновесия будет иметь вид F^ - (Л4 + m)g - 0.
При этом Ед] - pgld(h - /ij). Следовательно,
pgld(h. - h\) - (М + m)g = 0.
Отсюда т = pld(h -h\)~ М, т = 7 • 103 кг.
334. В бак с жидкостью опущена длинная трубка диа-
метром d, к которой снизу плотно прилегает диск толщи-
ной h и диаметром D > d. Плотность материала диска pi
больше плотности жидкости р2. Трубку медленно подни-
мают вверх. Определить, на каком уровне диск оторвется
от трубки.
Р е ш е н и е. На диск действуют три силы: сила Е],
обусловленная атмосферным и гидростатическим давле-
ниями, направленная вертикально вниз; сила Е"2, обуслов-
ленная гидростатическим давлением и направленная вер-
тикально вверх; сила тяжести mg (рис. 129). Диск ото-
рвется от трубки в тот момент, когда будет выполняться
условие равновесия: сумма проекций на ось OY всех сил,
действующих на диск, равна нулю, т. е.
mg + F} -F2 =0. (1)
Выразим модули сил Ej и Е2. Сила F] действует на
верхнее основание диска, которое находится на расстоя-
нии И от поверхности жидкости. Давление на этом уровне
Pl = PlgFl + Ратм ’где Ратм - атмосферное давление. При этом
сила, обусловленная атмосферным давлением, действует на
все основание, а сила, обусловленная гидростатическим дав-
лением, - только на площадь S] = яЕ)2/4 - лД2/4. Следо-
вательно,
Л=Р2г«(#-^) + ра™^ (2)
162
Модуль СИЛЫ F2
F2 = p2S = р2~--
Здесь р2 ~ давление на глубине Н + h, на которой на-
ходится нижнее основание диска. Но р2 = p2g(// + h) + ратм,
поэтому
F2 =(p2g(H+ h) +раты)^-. (3)
Масса диска
zn = PlV = Pl (4)
Подставив теперь значения (2)-(4) в уравнение (1),
получим
п кД2 fazr г. лг и( яД2 ltd2 \ 1 „ TtD2
Pl —+ Р2£Л^— - —) + ратм — -
- (р2£<# + Л) + Ратм = 0.
или после очевидных преобразований
PiD2/i + р2//(Р2 - d2) - р2Р2 (H + h) = 0.
Решив это уравнение относительно Н, будем иметь
гг _ Д2^Р1 -Р2>
П — ,2
Р2^
163
335. Гидравлический пресс, заполненный водой, имеет
поршни, площади которых S] = 200 см2 и S2 = 20 см2. На
большой поршень положили груз массой т = 60 кг. На
какую высоту поднимется после этого малый поршень?
Плотность воды р = 1,0 • 103 кг/м3.
Решение. Допустим, что в отсутствие груза малый
поршень пресса находился выше большого на h (рис. 130, а)
в состоянии равновесия. При равновесии давление в точ-
ках А и В, принадлежащих поверхности одного уровня,
одинаковое: рд = рв, или
= h
s, S2
(1)
где гп\, т.2 - массы большого и малого поршней соот-
ветственно.
Рис. 130
После того как положили груз (рис. 130, б), малый пор-
шень поднялся на некоторую высоту /12- а большой опус-
тился на Л]. Запишем для этого состояния условие равно-
весия как равенство давлений в точках А\ и В^ поверхно-
сти одного уровня: рд^ = р^ , или
<=Ц^ = ^£ + рг(/,1+Л + Л2).
г>2
После преобразований с учетом условия (1) получим
т/Si = pfy + р/12. (2)
164
Из условия несжимаемости жидкости следует, что
Si/ii = S2h2. Отсюда h\ = S2h2/Si. Подставив это значе-
ние в уравнение (2) и решив его, найдем:
336. Определить объем куска меди, который в воде
имеет вес Р = 20 Н. Плотность меди pi = 8,9 103 кг/м3,
плотность воды р2 = 1 103 кг/м3.
Решение. Воспользуемся выведенной при решении
задачи 322 формулой для веса тела массой т в жидкости,
плотность которой р:
P = (m-p2V)g,
где т — масса куска меди; V - его объем. Учитывая, что
т = piV, получаем Р - (piV - РгР)&, откуда
V = -!-^—7> У = 2,6-10-4 м3.
g(Pl - Р2>
337. Тело объемом V = 1500 см3 при взвешивании в
воздухе на равноплечих рычажных весах было уравно-
вешено латунными гирями массой гп\ = 1700 г. Найти массу
уравновешивающих гирь при взвешивании этого тела в
вакууме. Плотность латуни pi = 8500 кг/м3, плотность
воздуха р2 = 1200 г/м3.
Решение. При взвешивании в воздухе на одну чашу
весов действует вес тела Р, на другую - вес гирь Р\ (см. ре-
шение задачи 280). При равновесии на равноплечих весах
будет выполняться равенство Р = Р\.
На основании формулы (1) из решения задачи 322 за-
пишем выражения для веса тела и гирь в воздухе:
Р = (т- p2V)g, Pi = (mi - p2Vj )g,
где т - масса тела; V\ - объем гирь. Так как Ц = mj/pj,
то
Р{ = mjd - p2/pi)g.
При равновесии в воздухе Р = Pi, т. е.
(m-p2V)g = mi(l-p2/pi)g.
Отсюда находим массу тела:
165
т = т\ (1 - Р2 /pi) + Р2V, т - 1702 г.
При взвешивании в вакууме архимедова сила равна
нулю. На одну из чаш действует вес тела, численно рав-
ный mg, на другую - вес уравновешивающих гирь, чис-
ленно равный m^g, причем * т\. Условие равновесия
в этом случае имеет вид mg = m^g, откуда m2 = т. Таким
образом, масса уравновешивающих гирь при взвешивании
в вакууме равна массе тела.
338. В жидкости плотностью pi плавает полый шар
объемом V, изготовленный из материала плотностью р2-
Каков объем полости шара, если известно, что объем по-
груженной в жидкость части шара составляет п = 0,75
всего объема шара?
Решение. На шар действуют сила тяжести mg и
архимедова сила F^ (рис. 131). Поскольку шар плавает,
то выполняется условие равновесия mg + Гд =0. Следо-
вательно,
mg = FA, (1)
где т - масса шара. Если Vn - объем полости шара, то
т = р2(У- УД
Модуль архимедовой силы Гд = PigVj, где 1/j - объем
погруженной в жидкость части шара.
Подставив значения m и Ед в выражение (1), получим
Р2^ - Уп к = Р1ЯЦ
или с учетом того, что Ц = nV,
Рис. 131
166
Рис. 132
p2(V-l/n) = P1nK
Отсюда Уп = V(l- npi/p2).
339. К концу однородного стержня массой т = 4,0 г
подвешен на нити алюминиевый шарик радиуса R = 50 мм.
Стержень кладут на край стакана с водой, добиваясь тако-
го положения равновесия, при котором погруженной в воду
оказывается половина шарика (рис. 132). Определить, в
каком отношении делится длина стержня точкой опоры.
Плотность алюминия Р1 = 2,7 • 103 кг/м3, плотность воды
Р2 - 1,0 • 103 кг/м3.
Решение. На стержень действуют сила тяжести
mg, сила нормальной реакции опоры N и сила натяжения
нити Т. Стержень находится в равновесии, поэтому сум-
ма моментов всех сил относительно оси, проходящей че-
рез точку О, равна нулю. Обозначим Ц и 12 длины частей
стержня, на которые его делит точка опоры. Сила тяжести
mg приложена в точке С, делящей стержень пополам. Тогда
условие равновесия можно записать так:
о,
или
mgli ~ mgl\ - 277j = 0.
167
Разделив это уравнение на /р получим
mg^-- mg -2Т = 0,
4
откуда
Модуль силы натяжения Т равен модулю силы Т', с
которой нить действует на шарик. На шарик действуют
еще две силы: сила тяжести m]g и архимедова сила FA.
Поскольку шарик находится в равновесии, то
Fk+T' + mxg = 0.
Следовательно, сумма проекций этих сил на ось OY равна
нулю:
Fk + Т' - mxg = 0,
или с учетом того, что Т' = Т,
Fk+T-mxg = 0, (2)
где тх - масса шарика:
тх = piV; (3)
V ~ объем шарика.
Учитывая, что в воде находится половина шарика, на-
ходим модуль архимедовой силы:
^А=Р2£у- (4)
На основании выражений (2)-(4)
Т = Vg(2p! - р2)
2
Объем шарика V = Ад/?3, поэтому
_ 27t/?3g(2pl - р2)
3
Подставив теперь это значение в формулу (1), найдем, что
длина стержня делится точкой опоры в отношении
к = 1 + 471/?3<2Р1 - Рг) к = 1 6
Зт /[
168
Задачи для самостоятельного решения
340. Длинная вертикальная трубка погружена одним кон-
цом в сосуд с ртутью. В трубку наливают т = 0,71 кг воды.
Определить изменение уровня ртути в трубке. Диаметр труб-
ки d = 0,06 м, плотность ртути р = 13,6 • 103 кг/м3.
Толщиной стенок трубки пренебречь.
341. В подводной части судна образовалось отверстие,
площадь которого S = 5,0 см*. Отверстие находится ниже
уровня воды на h = 3,0 м. Какая минимальная сила требует-
ся, чтобы удержать заплату, закрывающую отверстие с внут-
ренней стороны судна? Плотность воды р - 1,0 103 кг/м3.
342. На какой глубине в открытом водоеме давление в
п = 3,0 раза больше нормального атмосферного давления?
Плотность воды р = 1,0 • 103 кг/м3, нормальное атмо-
сферное давление ро считать равным 1,0 • 105 Па.
343. В открытый цилиндрический сосуд налиты ртуть
и вода в равных по массе количествах. Общая высота двух
слоев жидкостей h = 29,2 см. Определить давление жидкос-
тей на дно сосуда. Плотность ртути pi = 13,6 103 кг/м3,
плотность воды р2 - 1,00 • 103 кг/м3.
344. Открытую с обеих сторон узкую цилиндрическую
трубку длиной Z = 80 см до половины погружают верти-
кально в ртуть. Затем закрывают верхнее отверстие в трубке
и вынимают ее из ртути. При этом в трубке остается стол-
бик ртути высотой h. = 22 см. Чему равно атмосферное
давление? Плотность ртути р = 13,6 103 кг/м3.
345. Цилиндрическая трубка с запаянным верхним кон-
цом опускается вертикально в ртуть так, что запаянный
конец совпадает с поверхностью ртути в сосуде. При этом
высота воздушного столба в трубке равна h. Определить
длину трубки. Атмосферное давление равно ратм, плотность
ртути р. Температуру считать постоянной.
346. Аквариум доверху наполнен водой. С какой сред-
ней силой давит вода на плоскую вертикальную стенку
аквариума длиной Z = 50 см и высотой h = 30 см? Плот-
ность воды р = 1,0 • 103 кг/м3.
347. Снаряд массой т = 8,0 кг вылетает из ствола ору-
дия со скоростью v = 700 м/с. Определить давление поро-
ховых газов во время выстрела, считая движение снаряда
внутри ствола равноускоренным. Сила сопротивления дви-
жению снаряда Fc = 16,2 кН, длина нарезной части ствола
Z = 3,0 м, диаметр d = 77 мм.
169
348. Дубовый шар лежит на дне сосуда с водой, причем
половина его находится в воде. С какой силой давит на дно
сосуда шар, если в воздухе он весит Р = 5,9 Н? Плотность
дуба pi = 0,8 103 кг/м3, воды р2 = 1 • Ю3 кг/м3. Вытал-
кивающей силой воздуха пренебречь.
349. В воздухе вес кипы хлопка Р = 1519 Н. Опреде-
лить вес этой кипы в вакууме, если плотность хлопка в кипе
Р) = 800,0 кг/м3, а плотность воздуха р2 - 1,225 кг/м3.
Взвешивание производилось с помощью пружинных весов.
350. Полый шар, отлитый из чугуна, плавает в воде,
погрузившись ровно наполовину. Найти объем полости
шара, если масса шара т = 5 кг. Плотность чугуна pj =
= 7,8 • 103 кг/м3, воды р2 = 1 • Ю3 кг/м3.
351. В воздухе вес куска пробки Р{ = 0,15 Н, куска свин-
ца Р2 = 1,1 Н. Если эти куски связать, подвесить к динамо-
метру и опустить в керосин, то динамометр покажет Р% =
= 0,6 Н. Определить плотность pj пробки. Плотность свинца
р2 = 11,3 • 103 кг/м3, керосина р3 - 0,8 • 103 кг/м3.
Архимедовой силой в воздухе пренебречь.
352. Высота плоской льдины над уровнем океана h =
= 2,0 м. Определить толщину всей льдины, если плотность льда
Pj = 0,90 • 103 кг/м3, океанской воды р2 = 1,03 103 кг/м3.
353. Найти минимальную массу груза, который нужно
положить на плоскую льдину, чтобы она полностью погру-
зилась в воду. Площадь льдины S = 1 м2, ее толщина d =
= 20 см, плотность льда pj = 0,92 • 103 кг/м3, плотность
воды р2 = 1,0 103 кг/м3.
354. Каким должен быть минимальный объем полости
Уп железного буя для того, чтобы он мог плавать на по-
верхности воды? Объем буя V, плотность железа рр плот-
ность воды р2.
355. На концах легкого стержня длиной Z = 20 см по-
мещены два шарика: первый из свинца, второй из алюми-
ния. Стержень шарнирно закреплен посередине и опущен
в воду, где он находится в равновесии, занимая горизон-
тальное положение. На сколько нужно передвинуть по
стержню второй шарик, чтобы равновесие восстановилось
в воздухе? Плотность свинца pj = 11,3 • 103 кг/м3, алю-
миния р2 = 2,7 • 103 кг/м3, воды р3 = 1,0 • 103 кг/м3.
356. Сосуд с водой уравновешен на одной из чашек
рычажных весов. В сосуд опускают подвешенный на нити
металлический брусок массой т так, что он оказывается
170
полностью погруженным в воду, но не касается стенок и
дна сосуда. Груз какой массы и на какую чашку надо поло-
жить, чтобы восстановить равновесие? Плотность метал-
ла р|, воды р2.
357. На чашах погруженных в воду равноплечих весов
находятся алюминиевый и железный шары, массы кото-
рых одинаковы и равны пг. Определить массу сплошного
шара из меди, который надо добавить для восстановления
равновесия. Плотность алюминия pj = 2,7 • 103 кг/м3,
железа р2 = 7,9 103 кг/м3, меди р3 = 8,9 103 кг/м3,
воды р4 = 1 • 103 кг/м3.
358. К коромыслу равноплечих весов подвешены два
сплошных однородных шарика равной массы, сделанных
из разных материалов. Если одновременно поместить один
из шариков в жидкость плотностью pi = 1 • 103 кг/м3, а
другой - в жидкость плотностью р2 = 0,8 • 103 кг/м3, то
равновесие сохранится. Считая, что плотности шариков
больше плотностей жидкостей, найти отношение плотно-
стей шариков.
359. Металлический брусок плавает в сосуде, в кото-
рый налита ртуть, а поверх нее - вода. При этом в ртуть
брусок погружен на aj = 1 /4 своей высоты, а в воду - на
a 2 = 1 /2 высоты. Найти плотность металла. Плотность рту-
ти р] = 13,6 103 кг/м3, плотность воды р2 = 1 • Ю3 кг/м3.
360. Плавающее в ртути тело погружено в нее на ti\ = 0,25
своего объема. Какая часть «2 объема тела будет погружена
в ртуть, если поверх ртути налить слой воды, полностью закры-
вающий тело? Плотность ртути pj = 13,6 • 103 кг/м3, воды
р2 = 1,0 103 кг/м3.
361. В цилиндрических сообщающихся сосудах нахо-
дится ртуть. Отношение диаметров сосудов п = d\/d% =
= 0,25. В узкий сосуд наливают воду; высота столба воды
h = 80 см. На сколько опустится уровень ртути в узком
сосуде и на сколько он поднимется в широком? Плотность
воды pi = 1,0 • 103 кг/м3, ртути р2 = 13,6 103 кг/м3.
362. В сообщающиеся сосуды налита ртуть, поверх
которой в один из сосудов налита вода. Разность уровней
ртути Д/г = 20 мм. Плотность ртути pj = 13,6 103 кг/м3,
воды р2 - 1,0 103 кг/м3. Найти высоту столба воды.
363. В двух сообщающихся цилиндрических сосудах
с одинаковыми поперечными сечениями площадью S =
~ 1 • 10-2 м2 находится ртуть. В одни из сосудов поверх
171
ртути наливают воду массой ш\ = 20 кг и опускают в нее
плавать груз массой m2 — 7,2 кг. На сколько поднимется
уровень ртути во втором сосуде? Плотность ртути р =
= 13,6 • 103 кг/м3.
364. Шарик массой т = 40 г плавает в одном из двух
одинаковых цилиндрических сообщающихся сосудов, за-
полненных водой (рис. 133). Площадь поперечного сече-
ния каждого сосуда S = 20 см2. На сколько изменится
уровень воды, если вынуть шарик? Плотность воды р =
= 1,0 г/см3.
365. Два цилиндрических сосуда соединены у дна тон-
кой трубкой с краном (рис. 134). Один сосуд имеет площадь
поперечного сечения Si = 15 см2, второй - S2 = 5,0 см2.
Сосуды заполнены водой: первый до высоты h\ = 20 см,
второй до высоты К? = 40 см. Каков будет уровень воды в
сосудах, если открыть кран К в соединительной трубке?
366. Деталь отлита из сплава железа и никеля. Опреде-
лить, сколько процентов по объему составляют железо и
никель, а также объем всей детали, если в воздухе деталь
весит Р\ = 33,52 Н, а в воде ~ Р% = 29,60 Н. Плотность
железа pi = 7,9 • 103 кг/м3, никеля р2 = 8,9 • 103 кг/м3,
воды рз = 1,0 • 103 кг/м3. Архимедову силу в воздухе не
учитывать.
367. Браслет массой М = 80 г сделан из сплава золота
и серебра. Вычислить массу золота, содержащегося в брас-
лете, располагая следующими данными: плотность золота
Р1 = 19,3 г/см3, плотность серебра р2 = 10,5 г/см3; при
погружении браслета в воду, находящуюся в сосуде с вер-
тикальными стенками и площадью основания S = 25 см2,
уровень воды поднимается на h = 2,0 мм.
172
368. Согласно желанию сиракузского властителя, Архи-
мед должен был определить содержание золота в короне,
состоящей из золотых и серебряных частей, не разрушая
ее. Для этого Архимед взвесил корону в воздухе и получил
вес Р[ = 25,4 Н, а затем в воде, получив вес Р% = 23,4 Н.
Зная плотность золота, серебра и воды (соответственно
р! = 19,3 г/см3, р2 = 10,5 г/см3 и рз = 1,00 г/см3),
определить, как и Архимед, массу золота, содержащегося
в этой короне. Ускорение свободного падения считать рав-
ным g = 10,0 м/с2.
369. В цилиндрическом сосуде с не смешивающейся с
водой жидкостью, плотность которой р = 1,2 г/см3, при
температуре t = 0 °C плавает льдинка массой т = 1 кг. На
сколько изменится уровень этой жидкости в сосуде, когда
льдинка растает? Площадь основания сосуда S = 0,1 м2.
370. Теплоход, войдя в гавань, выгрузил часть груза;
при этом его осадка уменьшилась на h = 0,6 м. Найти
массу груза, оставленного теплоходом в гавани, если пло-
щадь поперечного сечения теплохода на уровне ватерли-
нии S = 5400 м2. Плотность воды р = 1 • 103 кг/м3.
371. Определить наименьшую площадь плоской льдины
толщиной d = 40 см, способной удержать на воде челове-
ка массой tn = 75 кг. Плотность льда pj = 0,9 • 103 кг/м3,
воды р2 = 1 ’ Ю3 кг/м3.
372. На плоту, состоящем из п = 20 одинаковых бревен,
можно перевозить груз максимальной массой т = 1800 кг.
Определить плотность древесины, если объем каждого
бревна V = 0,3 м3, а плотность воды pj = 1 • 103 кг/м3.
373. Для взятия пробы грунта на дно океана на сталь-
ном тросе опускают прибор. Найти предельную глубину
погружения, если предел прочности на разрыв стали
оПр = 4,8 • 108 Па. Массой прибора по сравнению с массой
троса пренебречь. Плотность стали pj = 7,8 • 103 кг/м3,
плотность океанской воды р2 = 1,03 • 103 кг/м3.
374. Масса шара-зонда, включая массу газа в нем,
т = 50 кг, а объем V = ПО м3. Шар связан с землей
веревкой. Плотность воздуха р = 1,3 кг/м3. Каково натя-
жение веревки, когда она: находится в вертикальном по-
ложении; под действием ветра отклонилась на угол а = 30°
от вертикали?
375. Тонкий однородный цилиндрический стержень верх-
ним концом крепится к шарниру. Снизу под стержень под-
173
377. Со дна водоема
водится ванна с водой. Стержень
наклоняется так, что в воде на-
ходится половина его длины
(рис. 135). Определить плотность
материала стержня. Плотность
воды р! = 1,0 • 103 кг/м3.
376. В озере на глубине h =
= 5,0 м находится тело массой
т = 2,0 кг и объемом V = 1,0 х
х103 см3. Какая работа должна
быть совершена при его подъе-
ме на высоту Н = 5,0 м над по-
верхностью воды? Плотность
воды р = 1,0 • 103 кг/м3,
глубиной h = 11 м подъемным
краном равномерно поднимают бетонный куб массой
т = 2200 кг. Определить механическую работу по подъе-
му этого куба до касания его верхней грани поверхности
воды. Плотность бетона р[ = 2,2 • 103 кг/м3, воды р2 -
= 1,0 • 103 кг/м3.
378. Однородная прямая призма, площадь основания
которой S = 1 м2 и высота h = 0,4 м, плавает на поверхно-
сти воды так, что в воде находится половина ее объема. Най-
ти минимальную работу, необходимую для полного погру-
жения призмы в воду. Плотность воды р = 1,0 • 103 кг/м3.
379. На какую глубину погрузится тело при падении в
воду с высоты Н и за какое время оно всплывет на поверх-
ность? Трение тела о воздух и воду не учитывать. Плот-
ность воды рр плотность тела р2 < pj. Начальная ско-
рость тела t>o = 0.
380. С какой высоты падал шарик, если он погрузился
в воду на глубину h = 0,1 м? Плотность шарика pj = 0,4 х
х103 кг/м3, его начальная скорость у0 = 0, плотность
воды р2 = 1,0 • 103 кг/м3. Сопротивлением воздуха и
воды пренебречь.
381. Сплошной однородный стеклянный шарик объе-
мом V = 0,5 см3 равномерно падает в воде. Какое количе-
ство теплоты выделится при перемещении шарика на
h = 6 м? Плотность стекла р> = 2,5 • 103 кг/м3, воды р2 =
= 1,0 • 103 кг/м3.
382. Сколько будет весить гиря массой т - 1,0 кг,
взвешиваемая на пружинных весах в гондоле аэростата
174
при его равноускоренном подъеме, если масса гондолы с
оболочкой М = 500 кг? Оболочка имеет объем V = 1000 м3
и наполнена водородом, плотность которого pj = 0,10 кг/м3.
Плотность воздуха р2 = 1,3 кг/м3.
383. Резиновый мяч, масса которого т и радиус R,
погружают под воду на глубину h и отпускают. На какую
высоту, считая от поверхности воды, подпрыгнет мяч?
Плотность воды р. Сопротивление воды и воздуха при дви-
жении не учитывать.
II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
6. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
Методические указания к решению задач
Задачи на газовые законы можно решать по следующе-
му плану.
Если в задаче задано одно состояние газа и требуется
определить какой-либо параметр этого состояния, нужно
воспользоваться уравнением Менделеева-Клапейрона.
Если значения давления и объема явно не заданы, их выра-
жают через заданные величины, подставляют в записанное
уравнение и, решив его, находят неизвестный параметр.
В том случае, когда в задаче рассматриваются два раз-
личных состояния газа, нужно установить, изменяется ли
масса газа при переходе из одного состояния в другое.
Если масса газа остается постоянной, можно записать урав-
нение Клапейрона (уравнение объединенного газового за-
кона). Если же при постоянной массе в данном процессе
не изменяется какой-либо из параметров р, V или Т (дав-
ление, объем, температура), применяют уравнение соответ-
ствующего закона (Гей-Люссака, Шарля или Бойля-Ма-
риотта). Если в двух состояниях масса газа разная, для
каждого состояния записывают уравнение Менделеева-Кла-
пейрона. Затем систему уравнений решают относительно
искомой величины.
Молярную массу вещества можно найти с помощью
периодической системы элементов Д. И. Менделеева. На-
пример, химическая формула углекислого газа СО2. По
таблице находим, что относительная атомная масса угле-
рода приблизительно равна 12, кислорода - 16. Значит,
относительная молекулярная масса углекислого газа
Мг= 12 + 2 • 16 = 44. Следовательно, его молярная масса
М = 44 • 10~3 кг/моль.
При решении задач на пары и влажность применяют
законы идеального газа (Бойля-Мариотта, Гей-Люссака,
176
Шарля, Дальтона), уравнения Клапейрона, Менделеева-
Клапейрона. Однако нужно обратить внимание на следую-
щие особенности:
1) параметры двух различных состояний насыщенного пара
не подчиняются объединенному газовому закону, так как в
этих состояниях насыщенный пар имеет различную массу;
2) по заданной температуре насыщенного пара можно,
пользуясь таблицами, найти его плотность и давление;
3) по заданной температуре 7\ ненасыщенного пара и
его точке росы Тр можно с помощью таблиц найти абсо-
лютную влажность, так как при температуре Гр этот пар
станет насыщенным;
4) параметры каждого состояния насыщенного пара свя-
заны между собой уравнением Менделеева-Клапейрона.
В задачах, связанных с силами поверхностного натяже-
ния, необходимо учитывать, что эти силы направлены вдоль
поверхности жидкости перпендикулярно линии, ограничи-
вающей эту поверхность, и стремятся сократить ее. В ка-
пиллярах смачивающие жидкости поднимаются, а несма-
чивающие - опускаются.
Основные законы и формулы
Количество вещества
v = — = N
М ’
где т — масса вещества; М - его молярная масса; N - число
молекул; Уд - постоянная Авогадро: Уд = 6,02 • 1023 моль-1.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
идеального газа:
р=|т0«(икв)2,
где р — давление газа; т$ - масса молекулы; п - концентрация
молекул; (икв) _ средняя квадратичная скорость молекул.
Средняя квадратичная скорость молекул газа
где - средний квадрат скорости молекул; k — постоянная
Больцмана: k = 1,38 10-23 Дж/К; Т - термодинамическая
(абсолютная) температура газа.
177
Средняя кинетическая энергия поступательного движе-
ния молекулы газа
{E} = ^kT.
Зависимость давления газа от концентрации его моле-
кул и температуры выражается формулой
р = nkT.
Уравнение состояния идеального газа {уравнение Менде-
леева-Клапейрона)
ру =rnRT
И М
где р - давление; V - объем; т - масса газа; М - молярная
масса газа; R — универсальная (молярная) газовая постоянная:
R = 8,31 Дж/(моль • К); Т - термодинамическая температура газа.
Закон Бойля—Мариотта: для газа данной массы при по-
стоянной температуре (т = const, Т = const - изотермический
процесс)
pV = const.
Для любых двух состояний газа при изотермическом процессе
= P2V2-
Закон Гей-Люссака: для газа данной массы при постоянном
давлении {т = const, р = const - изобарный процесс)
V = V0(l + at) = VoaT, или V/ Т = const,
где V - объем газа при t °C; Vq - объем газа при О °C; a - тем-
пературный коэффициент объемного расширения: a ~ 7^3 К-1 для
всех газов.
Для любых двух состояний газа при изобарном процессе
л=л
?! Т2'
Закон Шарля: для газа данной массы при постоянном объ-
еме (m = const, V = const - изохорный процесс)
р = p0(l + yt) = Р04Т, или Р/Т = const,
где р - давление газа при t °C; Pq - давление газа при О °C; у -
температурный коэффициент давления: у ~ К-1 для всех
газов.
178
Для любых двух состояний газа при изохорном процессе
Pi ... Р2
Ti Т2
Уравнение Клапейрона (объединенный газовый закон): для
газа данной массы (m = const)
pV / Т = const.
Для любых двух состояний
PiVj р2У2
Ъ Т2 '
Термодинамическая температура
Т= t + 273,15,
где t - температура Цельсия. Изменение термодинамической
температуры равно изменению температуры Цельсия: АТ = АЛ
Нормальные условия: давление р$ = 101 325 Па (760 мм рт. ст.),
температура Tq = 273,15 К (0 °C).
Закон Дальтона: давление смеси химически не взаимодей-
ствующих идеальных газов равно сумме парциальных давлений
этих газов:
Р = Р\ + Р2 + + Рп-
Относительная влажность воздуха
(p = _L.100%,
Ро
где р - парциальное давление водяного пара, содержащегося в
воздухе при данной температуре; ро — давление насыщенного
водяного пара при той же температуре.
Относительная влажность может быть определена также по
формуле
<р = -2-100%,
Ро
где р - абсолютная влажность воздуха при данной темпера-
туре (величина, равная массе водяного пара, содержащегося в
1 м3 воздуха); р0 - плотность насыщенного водяного пара при
той же температуре.
Сила поверхностного натяжения жидкости
F = о/,
где о - поверхностное натяжение; I - длина границы поверхно-
стного слоя жидкости.
179
Высота поднятия (или опускания) жидкости в капилляре
, _ 2а cos 6
где 0 - краевой угол; g - ускорение свободного падения; R -
радиус капилляра. При полном смачивании 0 = 0, а при полном
несмачивании 0 = 180°.
Примеры решения задач
384. Вычислить массу одной молекулы кислорода.
Решение. В одном моле любого вещества (твердо-
го, жидкого или газообразного) содержится одно и то же
число молекул или других структурных единиц (например,
атомов, ионов), равное числовому значению постоянной
Авогадро
Ад = 6,02 1023 моль-1
Если М - молярная масса, то масса одной молекулы
m0 = M/AA. (1)
Для кислорода М = 32 • 10~3 кг/моль. Следовательно,
масса одной молекулы кислорода = 5,3 • 10-26 кг.
По формуле (1) можно найти массу одной молекулы
любого вещества, зная его молярную массу.
385. За время t = 10 сут из стакана полностью испари-
лось т = 100 г воды. Сколько в среднем молекул вылетало
с поверхности воды за 1 с?
Решение. Пусть в стакане содержалось N моле-
кул воды. Тогда за каждую секунду вылетало в среднем
п = N/1 молекул. Очевидно, что N - vNА, где v - коли-
чество вещества воды в стакане. Поскольку масса воды т,
то v = т/М, где М = 18 • 10-3 кг/моль - молярная масса
воды. Следовательно,
п = ^7-7-, п = 4 • 10*8 с-1.
Mt
386. Резиновый шар содержит 2 л воздуха, находя-
щегося при температуре 20 °C и атмосферном давлении
1 • 105 Па. Какой объем займет воздух, если шар будет
опущен в воду на глубину 10 м? Температура воды 4 °C.
180
Давлением, обусловленным кривизной поверхности, пре-
небречь.
Решение. Пусть до погружения в воду воздух в
шаре имел объем , температуру 7\, давление pj, а после
погружения - соответственно V2, Т%, р%- Поскольку масса
воздуха не изменяется, то выполняется объединенный га-
зовый закон:
= Л (1)
Л У2
На глубине h полное давление
Р2 = Pgh + Ратм-
где р = 1 103 кг/м3 - плотность воды. Под таким же
давлением будет находиться и воздух в шаре, погруженном
на эту глубину. До погружения давление воздуха р[ = ратм.
Подставив значения pj и Р2 в формулу (1), получим
после очевидных преобразований и вычислений:
У2 = т(Р7У,Г2 v V2 = 9 • ИГ4 м3.
1 Tl(pgh +ратм)’ *
387. В запаянной с одного конца длинной узкой стек-
лянной трубке, расположенной горизонтально, находит-
ся столбик воздуха длиной Zj = 307 мм, запертый столби-
ком ртути длиной I = 216 мм. Какой будет длина воздуш-
ного столбика, если трубку поставить вертикально: от-
верстием вверх; отверстием вниз? Атмосферное давление
ратм = 747 мм рт. ст. Плотность ртути р = 13,6 • 103 кг/м3.
Ртуть из трубки не выливается.
Решение. Если трубка расположена горизонтально
(рис. 136, а), объем воздуха в закрытой части трубки и его
давление выразятся так:
Vl = ZjS, pj = ратм,
где S - площадь поперечного сечения трубки.
Если трубка расположена отверстием вверх (рис. 136, б),
объем воздуха в закрытой части трубки и его давление
равны соответственно:
V2 = Z25, р2 = ратм + pgl,
где р - плотность ртути.
181
Рис. 136
Поскольку масса и температура воздуха не изменяют-
ся, то, согласно закону Бойля-Мариотта, p\V\ =
или
Ратм^1*$ = (ратм + РёМэ$-
Отсюда
Если трубка расположена отверстием вниз (рис. 136, в),
объем воздуха в запертой части и его давление выразятся
так:
V3 = РЗ = Ратм " Pgl-
По закону Бойля-Мариотта p\V^ = P3V3, или
Ратм^!*^ ~ (Ратм ~ Рё№з$-
Отсюда
Л = . (2)
Ратм - pgl
Подставив числовые значения, получим: 1% = 238 • 10-3 м,
/3 = 432 • 10“3 м.
Замечание. Расчетные формулы (1) и (2) можно упростить,
выразив давление столба ртути высотой / и атмосферное давление в
миллиметрах ртутного столба. Тогда:
/2 = Ратм6 = 238 мм /з = Ратм/1 = 432 мм
Ратм + I Ратм ~ I
Однако, если бы в трубке была не ртуть, а какая-либо другая жид-
кость, такое упрощение невозможно. Таким образом, формулы (1) и
(2) являются общим решением, пригодным для любой жидкости.
182
388. Сосуд, содержащий гщ = 2 г гелия, разорвался
при температуре t[ - 400 °C. Найти максимальную массу
азота, который может храниться в таком сосуде при тем-
пературе t2 = 30 °C и пятикратном запасе прочности.
Решение. Для гелия в момент разрыва сосуда
уравнение состояния будет иметь вид
Р||/=МЛ7'1' (1)
где V - объем гелия; Л4) = 4 • 10-3 кг/моль - его моляр-
ная масса; Т[ = 400 + 273 = 673 К - термодинамическая
температура в момент разрыва.
Для азота в условиях хранения уравнение состояния
запишется так:
P2V=^RT2, (2)
где М% = 28 • 10-3 кг/моль - молярная масса азота;
7'2 — 30 + 273 = 303 К - температура азота.
Разделив почленно равенство (1) на (2), получим
т{1\М2
р2 т2Т2М{ '
Отсюда
7'2М1(Р1/р2)'
Подставив в формулу (3) числовые значения и - 5,
найдем m2 = 6 • 10-3 кг.
389. Баллон содержит сжатый газ при температуре
= 27 °C и давлении р\ = 2 МПа. Каково будет давление,
если из баллона выпустить п = 0,3 массы газа, а темпера-
туру понизить до t2 - 12 °C?
Решение. Рассмотрим два состояния газа: до
разрежения и после, когда осталось 1 - п массы. Парамет-
ры каждого из этих состояний связаны уравнением Мен-
делеева-Клапейрона:
p{V= ^RTX, p2V= (1 ~г^Т?Т2,
r 1 м 12 м 2
где V - объем газа; т - масса; М - молярная масса; рр
Т[, р2, Т2 - соответственно давление и температура газа
до и после выпуска.
183
Разделив почленно первое равенство на второе, полу-
чим
Pi _ 7j
р2 (1 - п)Т2 ’
откуда
р2= j МПа
ч
390. Газ находится в цилиндре под невесомым порш-
нем, площадь которого S = 100 см2. При температуре
Г] = 280 К на поршень положили гирю массой m = 10 кг.
При этом поршень несколько опустился. На сколько нуж-
но нагреть газ в цилиндре, чтобы поршень оказался на
прежней высоте? Атмосферное давление ру = 101 кПа.
Решение. В первоначальном состоянии и после
нагревания газ занимает один и тот же объем. Масса газа
постоянна. Следовательно, на основании закона Шарля
Р1/Л=р2/т2> (1)
где ру, Ту, р2, Т2~ соответственно давление и температу-
ра газа в начальном и конечном состояниях.
Гиря массой tn, положенная на поршень, создает добавоч-
ное давление р = mg/S, поэтому р2 = ру + р = ру + mg/S.
Подставив это значение в формулу (1), получим
откуда
ДТ = Т2 - Ту = ДТ = 27 К.
Spy
391. Начертить график изменения плотности газа в изо-
барном процессе и график зависимости плотности газа от
давления в изотермическом процессе.
Решение. Из уравнения Менделеева-Клапейрона
pV= *-.RT,
учитывая, что т/V = р, получим выражение для плотно-
сти газа:
Р = ^, (1)
Н й7” и/
отсюда р Т = рМ /R.
184
При изобарном процессе правая часть равенства (1) есть
величина постоянная. Следовательно, рТ = const. Поэто-
му график изменения плотности газа в изобарном процес-
се будет иметь вид, показанный на рис. 137, а.
Если процесс изотермический, то из формулы (1) полу-
чим
Р _ М
р RT'
В этом выражении правая часть - величина постоянная
при Т = const. Поэтому р/р = const. Следовательно,
график зависимости плотности р газа от давления р в
изотермическом процессе представляет собой прямую
(рис. 137, б).
392. При температуре t = 36 °C давление насыщенного
водяного пара р§ = 5,945 кПа. Влажный воздух при этой
температуре, относительной влажности ср = 80 % и давле-
нии р = 101,3 кПа занимает объем V = 1 м3. Определить
его массу.
Решение. Масса влажного воздуха равна сумме
массы Ш\ водяного пара и массы /и2 воздуха:
m = Ш[ + m2. (1)
Пусть pi - давление, которое оказывал бы водяной пар,
если бы воздух отсутствовал (парциальное давление пара),
р2 ~ давление, которое оказывал бы воздух, если бы пара
не было (парциальное давление воздуха). Тогда по закону
Дальтона давление влажного воздуха р = р \ + р2- откуда
P2 = P~Pl- (2)
185
Запишем уравнения состояния для пара и для воздуха:
Р1Т = ^ет,р21/=5-ЭТ, (3)
где М\, М2 - молярные массы соответственно водяного
пара и воздуха; Т - (36 + 273) К = 309 К - термодинами-
ческая температура. Из уравнений (3) находим:
fflj - р{М 1 , tn<2 R? (4)
Давление водяного пара р\ = фр0, где ср = 0,80 - отно-
сительная влажность. Поэтому, согласно равенству (2),
р2 = р - <рро- Подставив значения давлений Pi и р2 в фор-
мулы (4), получим:
от, = фр0М, -^, /и2 = (р - фро )М2 . (5)
На основании формул (1) и (5) найдем массу влажного
воздуха:
RT
кФРо 7 )
Подставив в эту формулу числовые значения заданных ве-
личин и М\ = 18 • 10-3 кг/моль, Л42 = 29 • 10-3 кг/моль,
R = 8,31 Дж/(моль • К), получим m = 1кг.
393. В закрытом сосуде вместимостью V = 2 м* 3 нахо-
дится = 0,9 кг воды и т2 = 1,6 кг кислорода. Найти
давление в сосуде при температуре t = 500 °C, зная, что
при этой температуре вся вода превращается в пар.
Решение. После испарения воды в сосуде находит-
ся смесь двух газов - водяного пара и кислорода. Давле-
ние смеси
Р = Pl + Р2, (1)
где pi - давление водяного пара; р2 - давление кислорода.
Из уравнения Менделеева-Клапейрона имеем:
- m‘ г»^ - п-т-
Р\ — JU1/**/, Р?) ~~ ЛА ,,1x1 .
11 Му ’ M2V
На основании формул (1) и (2) получаем
п = ( т[ । m2}RT
р VM, М2) V ’
(2)
(3)
186
где Л4[ = 18 • 10-3 кг/моль, М2 = 32 • 10~3 кг/моль -
молярные массы водяного пара и кислорода соответственно.
Подставив в выражение (3) числовые значения, полу-
чим р = 3 • 105 Па.
На основании формулы (3) можно получить выражение
для молярной массы газовой смеси. Перепишем формулу
(3) в таком виде:
(4>
Обозначим теперь через Л1СМ молярную массу смеси и
запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для смеси:
pV = ^^/?T. (5)
УК1СМ
Сравнив выражения (4) и (5), найдем формулу для мо-
лярной массы смеси двух газов:
М =________________
см '
Нетрудно показать, что -в случае смеси п различных
газов эта формула имеет вид
_ т, + /п2 +..,+ т„
см Ш[/М] + ГП2/М2 +...+ тп/Мп ’
где т\, m2, .... тп - массы отдельных газов, составляю-
щих смесь; М1; М2, Мп - молярные массы этих газов.
394. Вечером температура воздуха была t\ = 16 °C,
относительная влажность 65%. Ночью температура возду-
ха понизилась до /2 = 4 °C. Была ли роса? При температуре
16 °C плотность насыщенного водяного пара р01 = 13,6 г/м3,
а при 4 °C - р02 = 6,4 г/м3.
Решение. Насыщенный пар - это пар, имеющий
максимальную плотность при данной температуре. Поэто-
му, чтобы узнать, была ли роса, нужно найти плотность pj
водяного пара при температуре f[ и сравнить ее с плотно-
стью р02 насыщенного водяного пара при температуре f2-
Если р] < р02, пар конденсироваться не будет (не будет
росы). Если же pj > р02, то роса будет, причем масса
пара, сконденсировавшегося из объема V,
т = (pi - Рог)^-
187
Так как относительная влажность ср = Pi /poi > т0 Pi “
- ФР01 = 0,65 13,6 г/м3 = 8,8 г/м3. Сравнивая это значе-
ние с рог = 6,4 г/м3, делаем вывод: роса была, причем из
V = 1 м3 влажного воздуха сконденсировалось т - 2,4 г
пара.
395. Найти абсолютную и относительную влажность воз-
духа в комнате при температуре = 20 °C, если точка росы
t<2 - 9 °C. Как изменится относительная влажность при
понижении температуры до = 16 °C, если абсолютная
влажность останется прежней? Плотности насыщенного
водяного пара при температурах /2 и h Равны соот-
ветственно: poi = 17,3 • 10-3 кг/м3, р02 = 8,8 • 10-3 кг/м3,
роз = 13,6 • 10-3 кг/м3.
Решение. При температуре t%, которая является
точкой росы, водяной пар в комнате становится насыщен-
ным. Плотность р01 этого пара известна. Такую же плот-
ность имеет этот пар при температуре т. е. при тем-
пературе t\ абсолютная влажность воздуха pj = р02 =
= 8,8 • ИГ3 кг/м3. Относительная влажность при этой
температуре
ф1 =_Pi_.i00%, Ф1 =51%.
Poi
При температуре t% относительная влажность
фз =_Рз_.Ю0%.
Роз
Так как по условию абсолютная влажность осталась
прежней, то рз =рр Следовательно, изменение относи-
тельной влажности
Дф - фз - ф! = -51- • 100%- ф>, Дф = 14%.
Роз
Таким образом, с понижением температуры относитель-
ная влажность воздуха возрастет (Дф > 0) на 14% и ста-
нет равной 65%.
396. Баллон разделен перегородкой на две части. В
первой части вместимостью V[ находится идеальный газ
под давлением р}, имеющий температуру Т[. Во второй
части вместимостью У2 находится такой же газ под давле-
нием р2, имеющий температуру Т2. Какое давление уста-
188
новится в баллоне, если перегородку убрать, а температу-
ру газа сделать равной 7?
Решение. После того как уберут перегородку, газ
займет объем, равный V, + I/g, а масса газа в баллоне
будет равна пц + т^. Уравнение состояния газа имеет вид
+ у2) =
где М - молярная масса газа; R - универсальная газовая
постоянная. Отсюда находим давление:
_ (т, + m2)RT . .
Р ~ М(Ц+У2) ’ ш
Применив уравнение Менделеева-Клапейрона к газу,
находящемуся в первой и второй частях сосуда с перего-
родкой, найдем:
>П1 _ Р1Ц т2 _ р2У2
М R7\ ’ М Т2 '
Сложив эти уравнения, получим
т т _ М (йЦ р2У2 А
m' +т2- W
Подставив это значение в формулу (1), будем иметь
_ ( аЦ , P2V2 А т
Р I 71 Т2 ) Ц +1/2 ’
397. При нормальных физических условиях (рд =
= 101 325 Па, Tq= 273,15 К) плотность воздуха р0 = 1,3 кг/м3.
На некоторой высоте давление воздуха р = 1,1 • 104 Па, а
температура Т = 220 К. Определить плотность воздуха на
этой высоте.
Решение. Считая воздух идеальным газом, из
уравнения Менделеева-Клапейрона
pV=^RT,
г м
где М - молярная масса, найдем плотность воздуха при
температуре Т и давлении р:
189
При нормальных условиях плотность воздуха
Разделив левые и правые части уравнений (1) и (2),
получим
Р рТр
Ро Рот
Отсюда искомая плотность воздуха
Р = Po^v> Р = 1.8-10-1 кг/м3.
Ро1
398. В баллоне вместимостью V = 1,0 • 10~3 м3 нахо-
дится газ под давлением р = 5,0 • 104 Па. Сколькими хо-
дами поршневого насоса, вместимость камеры которого
Ро = 200 см3, можно откачать воздух из баллона до давле-
ния рп = 6,65 Па? Процесс откачки происходит при посто-
янной температуре.
Решение. Перед первым ходом поршня насоса газ
занимает объем V при давлении р. При первом ходе порш-
ня газ заполнит объем, равный сумме вместимостей бал-
лона и камеры насоса, т. е. V + Vp, а давление станет
равным рр Поскольку температура газа и его масса при
этом неизменны, то, согласно закону Бойля-Мариотта,
pV= Р[(Р + Рр)- Отсюда
Pl = PV + VQ
Затем газ из камеры насоса удаляется в атмосферу, и
начинается второй ход поршня; при этом начальное давле-
ние будет равно рр а в конце процесса засасывания - р2-
Снова применив закон Бойля-Мариотта, получим:
p,v = p2(v+ =
Рассуждая аналогично, найдем, что после третьего хода
давление
- V _ V3
Рз p2V + V0 р (р + у0)3 •
После n-го хода поршня давление в сосуде
190
_ vn
Pn p(v + voy
Прологарифмировав это уравнение и решив его затем от-
носительно п, получим
п = п = 49.
1g——
V + 1/q
399. Металлическое кольцо, внешний диаметр которо-
го =54 мм, а внутренний = 50 мм, подвесили гори-
зонтально на пружине жесткостью k = 1,1 Н/м. При этом
пружина удлинилась на Д/| = 15 мм. Затем кольцо приве-
ли в соприкосновение с поверхностью жидкости и стали
медленно опускать сосуд с жидкостью. В момент отрыва
он нее кольца удлинение пружины Д/2 = 40 мм. Опреде-
лить поверхностное натяжение о жидкости.
Решение. До соприкосновения с жидкостью сила
тяжести mg кольца уравновешивалась силой упругости F
пружины, и поэтому
Fl = mg. (1)
При отрыве кольца от поверхности жидкости на него
действуют направленная вертикально вверх сила упруго-
сти Л>> а также сила тяжести mg и сила поверхностного
натяжения F3, которые направлены вертикально вниз,
поэтому
^2 = тё + F3- (2)
Длина линии, ограничивающей поверхность жидкости,
равна сумме длин наружной и внутренней окружностей
кольца, т. е. ndy + nd2 • Следовательно,
Л3 = <5n(d\ + d2). (3)
Подставив в уравнение (2) значения (1), (3), F{ =/гД/j
и F2 - ^2 > получим /гД/2 = /гД/, + + d%). Отсюда
q = 8,5 10-2 Н/м.
400. Каким должен быть диаметр трубки ртутного ба-
рометра, чтобы поправка Д/г, вносимая в его показания с
191
учетом капиллярного опускания ртути, была равна 3,0 мм?
Поверхностное натяжение ртути о - 472 мН/м, ее плот-
ность р = 13,6 103 кг/м3.
Решение. Под действием сил поверхностного натя-
жения ртуть в трубке, диаметр которой d, опустится на
Aft = _2o. = _4o.
pg/? pgd
Отсюда находим d = , d = 4,7 • 10-3 м.
Задачи для самостоятельного решения
401. Сколько молекул содержится в насыщенном водя-
ном паре массой т = 1 кг и сколько в ненасыщенном водя-
ном паре, имеющем такую же массу? Молярная масса воды
М = 18 • 10-3 кг/моль. Постоянная Авогадро Ад = 6,02 х
х1023 моль-1.
402. Водород массой т = 0,3 г находится в сосуде вме-
стимостью V = 2 л под давлением р = 200 кПа. Опреде-
лить среднюю квадратичную скорость и среднюю кинети-
ческую энергию поступательного движения молекул водо-
рода. Молярная масса водорода М = 2 • 10-3 кг/моль,
постоянная Авогадро Ад = 6,02 • 1023 моль-1.
403. Найти концентрацию газа при нормальных усло-
виях. Постоянная Больцмана k - 1,38 • 10-23 Дж/К.
404. Под каким давлением находится в баллоне кисло-
род, если вместимость баллона V = 5 л, а средняя кинети-
ческая энергия поступательного движения всех молекул
кислорода Е = 6 кДж?
405. Определить массу водорода и число молекул, со-
держащихся в сосуде вместимостью V = 20 л при давле-
нии р = 2,5 • 105 Па и температуре t = 27 °C. Молярная
масса водорода М = 2 • 10-3 кг/моль. Универсальная га-
зовая постоянная R - 8,31 Дж/(моль • К). Постоянная
Авогадро Ад - 6,02 • 1023 моль /
406. Газ массой т = 2,0 кг занимает объем V = 9,03 м3
при давлении р = 100 кПа. Вычислить среднюю квадра-
тичную скорость молекул этого газа.
407. Баллон вместимостью V = 50 л содержит т = 2,2 кг
углекислого газа. Баллон выдерживает давление не выше
192
р = 4,0 МПа. При какой температуре баллон может разо-
рваться? Молярная масса углекислого газа М = 44 х
х 10-3 кг/моль. Универсальная газовая постоянная R =
= 8,31 Дж/(моль • К).
408. Цилиндрический сосуд высотой I = 40 см разде-
лен на две части невесомым тонким поршнем, скользящим
без трения. Поршень находится на высоте h = 26,7 см над
дном цилиндра. Под поршнем находится водород, а над
поршнем - газ с неизвестной молярной массой. Масса
этого газа равна массе водорода. Найти молярную массу
газа. Молярная масса водорода М1 = 2 10-3 кг/моль.
Температура газов одинаковая.
409. В воде на глубине = 1 м находится шарообраз-
ный пузырек воздуха. На какой глубине этот пузырек имеет
вдвое меньший радиус? Плотность воды р = 1 • 103 кг/м3.
Атмосферное давление pQ = 1 • 105 Па. Температура воды
постоянна и не зависит от глубины. Давлением, обуслов-
ленным кривизной поверхности, пренебречь.
410. Тонкостенный резиновый шар массой то = 50 г
наполнен азотом и погружен в озеро на глубину h. = 100 м,
где температура воды t = 4 °C, и находится в равновесии.
Найти массу азота. Атмосферное давление ро = 760 мм рт. ст.,
молярная масса азота М = 28 10-3 кг/моль, универсаль-
ная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль • К), плот-
ность воды р = 1 103 кг/м3.
411. В кабине космического корабля «Восток-2» темпера-
тура во время полета колебалась от Ц = 10 °C до /2 = 22 °C.
На сколько процентов изменялось при этом давление?
412. На У-Т-диаграмме изобра-
жен процесс, который произошел с V
газом при постоянном давлении и , 2
постоянном объеме (рис. 138). Как —•—
при этом изменилась масса газа?
413. В баллоне был некоторый
газ. После того как из баллона вы-
пустили часть газа, температура га-
за уменьшилась в п раз, а давле- 17 Т, 2Tt Т
ние - в k раз. Какая часть газа вы-
пущена? Рис. 138
414. Из баллона вместимостью V\ = 0,20 м3, содержа-
щего идеальный газ при температуре Т\ = 273 К под дав-
лением р\ = 2,0 10° Па, выпустили часть газа, которая
заняла при нормальных условиях объем V2 = Ь0 м3. По-
7 Зак. 1525 193
еле этого давление р% в баллоне стало равным 1,4 106 Па.
Определить температуру газа, оставшегося в баллоне.
415. Определить плотность идеального газа при темпе-
ратуре t = 100 °C и давлении р = 1 • 105 Па, а также массу
одной молекулы этого газа, если его молярная масса
М = 32 • 10~3 кг/моль. Универсальная газовая постоян-
ная R = 8,31 Дж/(моль К), постоянная Авогадро =
= 6,02 • 1023 моль-1.
416. Определить плотность смеси, содержащей т.\ = 4 г
водорода и т-2 = 32 г кислорода при температуре t = 7 °C
и общем давлении р = 1 • 10* Па. Молярная масса водорода
= 2 10-3 кг/моль, кислорода 32 10-3 кг/моль,
универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль • К).
417. До какого давления накачали футбольный мяч вме-
стимостью V = 3 л, если при этом было сделано N = 40
качаний поршневого насоса? За каждое качание мяч за-
хватывает из атмосферы Vq = 150 см3 воздуха. Вначале
мяч был пустой. Атмосферное давление pQ = 1 • 105 Па.
418. Давление р0 воздуха в сосуде было равно 1,01 105 Па.
После трех ходов откачивающего поршневого насоса дав-
ление воздуха упало до значения р = 2 кПа. Определить
отношение вместимости сосуда к вместимости цилиндра
поршневого насоса. Температуру воздуха в процессе от-
качки считать постоянной.
419. Сосуд вместимостью V = 10 л наполнили газом
при давлении р = 2 • 105 Па. Найти массу воды, которая
войдет в сосуд, если под водой на глубине h = 40 м в
самой нижней части его будет сделано отверстие. Атмо-
сферное давление ратм = 1 105 Па. Плотность воды р =
= 1 • 103 кг/м3. Изменением температуры воды с глуби-
ной пренебречь.
420. С какой максимальной силой прижимается к телу
человека банка, применяемая в медицинской практике для
лечения, если диаметр ее отверстия d = 4,0 см? В момент
прикладывания банки к телу воздух в ней прогрет до тем-
пературы t\ = 80 °C, а температура окружающего воздуха
/2 = 20 °C. Атмосферное давление рат„ - 1,0 • 105 Па.
Изменением объема воздуха в банке (из-за втягивания
кожи) пренебречь.
421. В блюдце налита вода, а сверху ставится перевер-
нутый вверх дном нагретый стакан с тонкими стенками.
До какой наименьшей температуры Tj должен быть на-
грет стакан вместе с находящимся в нем воздухом, чтобы
194
после остывания до температуры окружающего воздуха
вся вода оказалась бы втянутой в стакан? Масса воды т,
плотность воды р, атмосферное давление /?атм, площадь
поперечного сечения стакана S, высота h. Объем налитой
воды меньше вместимости стакана. Явлениями испарения,
поверхностного натяжения и расширения стакана пренеб-
речь. Блюдце считать широким, так что высота налитой в
него воды мала.
422. Два сосуда, содержащих один и тот же газ при
одинаковой температуре, соединены трубкой с краном.
Вместимости сосудов % и V2, а давления в них р\ и р%.
Каким будет давление газа после того, как откроют кран
соединительной трубки? Температуру газа считать посто-
янной.
423. В расположенные вертикально сообщающиеся
цилиндрические сосуды, первый из которых имеет площадь
поперечного сечения Sp а второй S2> налили жидкость.
Затем первый сосуд закрыли и находящийся в нем воздух
нагрели от температуры 7\ до температуры Ту, в результа-
те чего уровень жидкости во втором сосуде поднялся на
величину h. Определить температуру Т%, если известно,
что начальный объем воздуха в закрытом сосуде V\, атмо-
сферное давление ратм, плотность жидкости р. Тепловым
расширением сосуда и жидкости пренебречь.
424. Воздух находится в открытом сверху вертикаль-
ном цилиндрическом сосуде под поршнем массой m = 20 кг
с площадью поперечного сечения S = 20 см2. После того
как сосуд стали двигать вертикально вверх с ускорением
а= 5,0 м/с2, высота столба воздуха между поршнем и
дном сосуда уменьшилась и стала составлять а = 0,80
начальной высоты. Считая температуру постоянной, най-
ти по этим данным атмосферное давление. Трением между
поршнем и стенками сосуда пренебречь.
425. По газопроводу течет газ при давлении р = 0,83 МПа
и температуре Т = 300 К. Какова скорость газа в трубе,
если за время т = 2,5 мин через поперечное сечение тру-
бы площадью S = 5,0 см2 протекает m = 20 кг газа? Уни-
версальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль К),
молярная масса газа М = 40 • 10~3 кг/моль.
426. Относительная влажность воздуха в помещении
<р = 63%, температура = 18 °C. До какой температуры
надо охладить блестящий предмет, чтобы на его поверхно-
сти можно было наблюдать осаждение водяных паров?
195
Давление насыщенного водяного пара при 18 °C равно
20,7 102 Па, при 10 °C - 12,3 • 102 Па, при 11 °C -
13,1 102 Па.
427. Воздух в помещении имеет температуру = 24 °C
и относительную влажность ipj = 50 %. Определить влаж-
ность воздуха после его охлаждения до f2 = 20 °C. Про-
цесс охлаждения считать изохорным. Давление насыщен-
ного водяного пара при 24 и 20 °C - соответственно
р01 = 2943 Па и рд2 = 2330 Па.
428. Над поверхностью площадью S = 5,0 км2 слой
воздуха толщиной h = 1000 м имеет температуру = 20 °C
при относительной влажности ф = 73%. Воздух охладил-
ся до температуры Z2 = 10 °C. Найти массу выпавшего
дождя. Плотность насыщенного водяного пара при темпе-
ратурах ti и t2 - соответственно р01 = 17,3 10~3 кг/м3 и
р02 = 9,4 • 10"3 кг/м3.
429. Калорифер подает в помещение V = 5,0 • 104 м3
воздуха при температуре и относительной влажности
Ф1 = 60%, забирая его с улицы при температуре t2 и от-
носительной влажности ф2 = 80%. Сколько воды до-
полнительно испаряет калорифер в подаваемый воздух?
При температуре t\ плотность насыщенного водяного пара
р01 = 15,4 10-3 кг/м3, а при температуре t2 - р02 = 9,4 х
х 10~3 кг/м3.
430. Определить давление насыщенного водяного пара
при температуре t = 17 °C, если в комнате вместимостью
V = 50 м3 при относительной влажности ф = 65% и ука-
занной температуре находится т = 0,476 кг паров воды.
Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль К),
молярная масса воды М = 18 • 10-3 кг/моль.
431. Смешали Vj = 1,0 м3 воздуха с относительной
влажностью ф[ =20% и У2 = 2,0 м3 воздуха с влажно-
стью ф2 = 30%. Обе порции были взяты при одинаковых
температурах. Определить относительную влажность по-
лучившейся смеси.
432. Проволочная рамка с подвижной перекладиной
длиной = 8,0 см затянута мыльной пленкой. Какую ра-
боту против сил поверхностного натяжения надо совер-
шить, чтобы растянуть пленку на 12 = 2,0 см? Поверхност-
ное натяжение пленки о = 4,0 • 10-2 Н/м.
196
433. Из сосуда через вертикальную трубку, внутрен-
ний диаметр которой d = 3,0 мм, за некоторое время вы-
текло по каплям молоко массой пг — 50 г. Определить ко-
личество упавших капель. Поверхностное натяжение моло-
ка а = 47 мН/м. Считать диаметр шейки капли в момент
отрыва равным внутреннему диаметру трубки.
434. Из плохо закрытого крана капает вода. Опреде-
лить массу вытекшей за t = 24 ч воды, если время между
отрывами ближайших капель т = 1,0 с. Диаметр шейки кап-
ли в момент ее отрыва считать равным диаметру трубы крана
d - 10 мм. Поверхностное натяжение воды о = 72,7 мН/м.
435. Разность Д/г уровней ртути в двух сообщающихся
вертикальных капиллярах, диаметры которых d\ = 0,5 мм
и ^2 = 1 мм, равна 1,5 см. Определить поверхностное на-
тяжение ртути. Плотность ртути р = 13,6 103 кг/м3.
436. В воду на ничтожно малую глубину опущена вер-
тикально капиллярная трубка, внутренний диаметр кото-
рой d = 1,0 мм. Определить массу вошедшей в трубку
воды. Смачивание считать полным. Поверхностное натя-
жение воды с = 72,7 мН/м.
7. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ.
ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
Методические указания к решению задач
Если в задаче рассматривается процесс передачи энер-
гии от одних тел к другим без совершения работы (тепло-
обмен), нужно на основании закона сохранения и превра-
щения энергии составить уравнение теплового баланса:
@от — @получ>
где Q0T - количество теплоты, отданное одними телами;
Q ч “ количество теплоты, полученное другими тела-
ми. Если задан КПД теплообмена, то т| Q0T = QnoJiy4.
Если внутренняя энергия U системы изменяется вслед-
ствие совершения системой механической работы Л, над
внешними телами, то составляется уравнение
-Т|Д(7 = Др
197
где Т| - КПД процесса. (В таких задачах теплообмен меж-
ду телами обычно не учитывается.)
Если внутренняя энергия системы увеличивается в ре-
зультате того, что внешние тела совершают над ней меха-
ническую работу А2, то AU = г02
Записав затем выражения для Q0T, С2получ, АД, и
А2, подставляют их в приведенные выше уравнения и ре-
шают относительно искомой величины.
Применяя первый закон термодинамики, надо учиты-
вать, что в его уравнении Q = Ди + А каждая из величин
может быть либо положительной, либо отрицательной, либо
равной нулю в зависимости от характера процесса. Если
система получает количество теплоты Q, то Q > 0, если
отдает, то Q < 0, если теплообмена нет, Q = 0; АД > 0,
если внутренняя энергия системы увеличивается, АД < 0 -
если уменьшается, АД = 0 при неизменной внутренней
энергии; А > 0, если система совершает работу над внеш-
ними телами, А < 0, если внешние тела совершают работу
над системой, А = 0, если работа не совершается.
При изобарном процессе Q * 0, АД 0, А Ф 0.
При изотермическом процессе Т = const, внутренняя
энергия газа не изменяется (АД = 0), поэтому Q = А, т. е.
все переданное системе количество теплоты идет на совер-
шение работы над внешними телами.
При изохорном процессе объем газа V = const, поэтому
А = 0 и Q = АД, т. е. все сообщенное газу количество
теплоты идет на увеличение его внутренней энергии.
При адиабатном процессе теплообмена нет, Q = 0 и
поэтому А = -ДУ, т. е. работа, совершаемая газом, равна
убыли его внутренней энергии.
Основные законы и формулы
Внутренняя энергия одноатомного идеального газа, мо-
лярная масса которого равна М, а масса т, находится по фор-
муле
У = ^RT,
где R - универсальная газовая постоянная; Т - термодинами-
ческая температура газа.
198
Работа, совершаемая газом при его расширении от объе-
ма Vt до объема У2 в любом процессе, вычисляется по формуле
V2
А = jpdV,
Vi
где р - давление газа.
Работа, совершаемая газом при изобарном расширении,
Л = p(V2 - V0 - рАУ.
Количество теплоты, необходимое для нагревания тела
массой т от температуры Т\ до температуры Т%, подсчитывает-
ся по формуле
Q - cmiT} - 7j),
где с — удельная теплоемкость вещества.
Теплоемкость тела массой т
С = тс,
где с - удельная теплоемкость вещества.
Количество теплоты, необходимое для того, чтобы рас-
плавить кристаллическое тело массой т,
Спл = А,/п,
где А - удельная теплота плавления. При кристаллизации вы-
деляется такое же количество теплоты.
Количество теплоты, необходимое для превращения в пар
жидкости массой т,
Qnap = rm,
где г - удельная теплота парообразования жидкости. При
конденсации выделяется такое же количество теплоты.
Количество теплоты, выделяемое при полном сгорании
вещества массой т,
Qcr ~
где q - удельная теплота сгорания вещества.
Закон сохранения и превращения энергии: во всех процес-
сах, происходящих в природе, энергия не возникает из ничего и
не исчезает, а лишь передается от одних тел к другим или пре-
вращается из одного вида в другой.
Первый закон термодинамики: количество теплоты, пере-
данное системе, расходуется на изменение ее внутренней энер-
гии и на совершение системой работы над внешними телами:
Q = NU + А.
199
Коэффициент полезного действия теплового двигателя
_ Л = Q1-Q2
Qi Qi ’
где А - работа, совершаемая двигателем; Qi, Q2 - количество
теплоты, соответственно полученное двигателем от нагревате-
ля и отданное холодильнику.
Максимальное значение КПД теплового двигателя равно
КПД идеальной тепловой машины:
Т\ ~Т2
Л max ~ j. ’
где Т\ - температура нагревателя; Т2 — температура холодиль-
ника.
Второй закон термодинамики: невозможно перевести те-
плоту от более холодной системы к более нагретой при отсутст-
вии других одновременных изменений в обеих системах или в
окружающих телах.
Примеры решения задач
437. В латунный калориметр массой = 100 г, содер-
жащий т2 = 250 г воды при температуре Т\ = 280 К,
опустили тело массой т = 200 г, нагретое до температуры
Т2 = 373 К. В результате теплообмена установилась окон-
чательная температура Т = 293 К. Определить удельную
теплоемкость вещества, из которого изготовлено тело.
Удельная теплоемкость латуни С] = 380 Дж/(кг • К), воды
с2 = 4190 Дж/(кг К).
Решение. При охлаждении тело отдает количество
теплоты
Q = cm(T2 - Т),
а калориметр и вода получают количество теплоты соот-
ветственно
Qj -- (Т — 7j), Q2 = c2m2 (Т — 7j).
На основе закона сохранения энергии составляем урав-
нение теплового баланса: Q = С/ + Q2, или
cm(T2 -Т) = с^т^Т -7}) + с2пг2(Т - Т2).
200
Отсюда находим удельную теплоемкость вещества, из ко-
торого изготовлено тело:
(ciznj + с2т2)(Т - Ту )
с = ’с = 882 Дж/(кг к>-
438. Смешивают ту = 300 г воды при температуре
= 10 °C и т2 = 400 г льда при температуре t2 = -20 °C.
Определить установившуюся температуру смеси. Удель-
ная теплоемкость воды Cj = 4,19 103 Дж/(кг • К), льда
с2 = 2,12 • 103 Дж/(кг К), удельная теплота плавления
льда X = 330 103 Дж/кг.
Решение. Так как конечное состояние не очевидно,
будем решать задачу поэтапно. Подсчитаем сначала коли-
чество теплоты, необходимое для нагревания льда до тем-
пературы плавления ?пл = 0 °C:
Q2 = с2/я2^пл ~ ^2^’ ^2 = Ю960 Дж.
Теперь найдем количество теплоты, которое отдает вода,
охлаждаясь до 0 °C:
Q = Cymy(ty - /пл), Qi = 12570 Дж.
При вычислении учтено, что А/ = АТ.
Мы видим, что для того, чтобы нагреть весь лед до 0°С,
недостает Q2 ~ Qy = 4390 Дж. Такое количество теплоты
выделится при превращении в лед некоторой части воды
массой т^:
Q% ~ Q = >
откуда
/п3 = (Q2 - Qi)A> m3 = 13 г.
Таким образом, в конечном состоянии в сосуде будет
/и2 + /и3 = 413 г льда и ту - /и3 = 287 г воды при темпера-
туре t = 0 °C.
439. В сосуд, содержащий ту = 10 кг воды при темпе-
ратуре Ту = 293 К, влили т2 = 7 кг расплавленного свин-
ца, взятого при температуре плавления Тпл = 600 К. При
этом образовалось Amj = 0,05 кг пара. Какая температура
установится в сосуде после того, как свинец отвердеет?
Удельные теплоемкости воды и свинца - соответственно
<4 = 4190 Дж/(кг К) и с2 = 130 Дж/(кг • К), удельная
теплота парообразования воды г = 2,26 • 106 Дж/кг, удель-
201
ная теплота плавления свинца 1 = 30 103 Дж/кг. Тепло-
емкостью сосуда пренебречь.
Решение. Количество теплоты, отданное свинцом
при его отвердевании и охлаждении от температуры от-
вердевания Тпл до установившейся температуры Т,
Q{ = Xm2 + с2т2(Тпл-Т).
Количество теплоты, полученное испарившейся водой,
Q2 - q (Тк - 7])Azzij + rAtnl,
где Тк = 373 К - температура кипения воды.
Количество теплоты, полученное неиспарившейся водой,
Q3 = Ci (mi - Aml XT - 7\).
Составим уравнение теплового баланса: Qj = Q2 + Q3, или
\m2 +c2m2(Tnn -T) =
= Cj(TK - 7} )Aztij + rAmi + q (mi - AzqXT- Tj).
Решив это уравнение относительно Т, получим:
у. _ т2(к + С2ТПЛ) + Cim|7j - (С]ТК + г)Дт1 . jq2
ci(mj -Дпц) + с2т2 ’
440. В калориметре при температуре ti = О °C находи-
лось тъ = 500 г воды и тл = 100 г льда. Сколько водяного
пара при температуре t2 = 100 °C было впущено в воду,
если в результате весь лед растаял и в калориметре уста-
новилась температура t = 90 °C? Теплоемкость калориметра
Ск= 1600 Дж/К, удельная теплота парообразования воды
г = 2,26 106 Дж/кг, удельная теплота плавления льда
1 = 3,3 10^ Дж/кг, удельная теплоемкость воды с =
= 4,19- 103 Дж/(кг К). Потерями энергии в окружаю-
щую среду пренебречь.
Решение. Количество теплоты, отданное водяным
паром массой тп при его конденсации и охлаждении обра-
зовавшейся воды от температуры конденсации до устано-
вившейся температуры Т,
Qi = rmn +cmn(T2 -Т).
Количество теплоты, полученное льдом, водой, образо-
вавшейся из льда, водой, находившейся в калориметре, и
калориметром,
202
Qi = 'ктл + стл(Т -Т\) + ств(Т -Т\) + СК(Т -Т\).
На основании закона сохранения и превращения энер-
гии составляем уравнение теплового баланса: Qj = Q2, или
rmn + cmn (?2 - Т) = 7-.тл + (стл + стъ + Ск )(Т - 7]).
Отсюда находим массу пара:
\тл+(с(тъ+тл) + Ск)(Т-1\) п
т =------------rz—=----------, тп = 0,2 кг.
п г + с(Т2 - Т) ’ п >
441. Автомобиль расходует т = 5,67 кг бензина на
s = 50 км пути. Определить среднюю мощность, развивае-
мую при этом двигателем автомобиля, если средняя ско-
рость движения иср = 80 км/ч и КПД двигателя г) = 22%.
Удельная теплота сгорания бензина q = 46 • 106 Дж/кг.
Решение. Развиваемая двигателем средняя мощ-
ность N = А/1, где А - полезная работа, совершенная за
счет теплоты, выделившейся при сгорании бензина; t -
время, за которое расходуется бензин. При сгорании бен-
зина выделяется количество теплоты Q = qm. Учитывая
КПД, получаем А = x\qm.
Путь s автомобиль проходит за время t = s / иср. Следо-
вательно,
N = x\qmvcp/s, N = 2,6 • 104 Вт.
442. В тающую льдину попадает пуля, летящая со ско-
ростью v - 1000 м/с. Масса пули т = 10 г. Считая, что
половина энергии пули пошла на раздробление льда, а дру-
гая половина - на его плавление, найти массу растаявшего
льда. Удельная теплота плавления льда X = 3,3 • 105 Дж/кг.
Решение. Количество теплоты, затраченное на
плавление льда, Q = Хт^ где т\ - масса растаявшего
льда. С другой стороны, эта теплота получается за счет
половины кинетической энергии пули:
г) _ _1_ р _ _1_ ту2 _ ту2
W 2 k 2 2 4
Следовательно, mu2/4 = Xm], откуда масса растаявше-
го льда
mi = Hjp-, mj = 7,8 IO"3 кг.
203
443. С какой высоты упал без начальной скорости свин-
цовый шар, если при падении температура его повысилась
на А Т = 10 К? Считать, что 80% энергии шара пошло на
его нагревание. Сопротивлением воздуха пренебречь. Удель-
ная теплоемкость свинца с = 130 Дж/(кг К).
Решение. Потенциальная энергия шара массой m
на высоте h Ер = mgh. Эта энергия частично затрачена на
увеличение внутренней энергии шара при ударе о землю.
На основании закона сохранения и превращения энергии
составим равенство:
v\mgh - стЛТ,
где Т| = 0,8; с - удельная теплоемкость свинца. Отсюда
находим высоту:
h = ^L, Л = 1,7 • 102 м.
444. В цилиндре при температуре = 20 °C находится
m = 2 кг воздуха. Какая работа будет совершена при изо-
барном нагревании воздуха до температуры t2 = 120 °C?
Молярная масса воздуха М = 29 • 10~3 кг/моль.
Решение. При изобарном расширении работа газа
A = p\V, (1)
где р ~ давление; А V - изменение объема.
Запишем уравнение Менделеева - Клапейрона для двух
состояний воздуха:
pv2=%rt2.
Вычитая почленно из второго уравнения первое, полу-
чаем
Р(У2-^ = ^Ж -7]). (2)
Но V2 - У, = ДУ, поэтому на основании равенств (1) и (2)
находим:
А = ™-R(T2 -71), Д = 5,7-104 Дж.
445. В теплоизолированном высоком цилиндрическом
сосуде на расстоянии h от дна висит на нити поршень
массой m (рис. 139). Под поршнем находится v моль иде-
ального газа. Давление под поршнем в начальный момент
равно внешнему давлению, температура газа Т\. Газ на-
204
гревается спиралью. Какое количе-
ство теплоты нужно подвести к
газу, чтобы поршень поднялся до
высоты 2h от дна? Трение отсутст-
вует. Внутренняя энергия моля
газа U = СТ, универсальная газо-
вая постоянная R, ускорение сво-
бодного падения g.
Решение. По первому зако-
ну термодинамики сообщенное газу
количество теплоты
Q = А77 + Д, (1)
где А77 - изменение внутренней
энергии газа; А - работа, совершенная газом против внеш-
них сил.
На поршень при расширении газа действуют две внеш-
ние силы: сила тяжести mg и сила, обусловленная внеш-
ним давлением рх и равная pxS, где S - площадь поршня.
Поднимая поршень от высоты h до 2/i, газ совершает работу
А = (mg + pxS)h. (2)
Изменение внутренней энергии газа
AU = С(Т2 ~ Т^),
где Т2 - конечная температура газа; Т\ - начальная тем-
пература.
До нагревания газа уравнение его состояния имеет вид
pxSh = vRTx. (3)
После подвода теплоты поршень поднялся, нить не на-
тянута и газ находится под давлением, равным сумме внеш-
него давления и давления, обусловленного силой тяжести
поршня:
Р2 = Р\ + tng/S.
Уравнение состояния газа теперь запишется так:
(pi + mg/S)2hS = vRT2 . (4)
Решая совместно уравнения (3) и (4), находим
Т2 = 27] + 2mgh/vR.
205
Тогда
AU = С(7] + 2mgh/vR). (5)
Кроме того, из формул (2) и (3) найдем
А = mgh + vRT\. (6)
Подставив значения (5) и (6) в выражение (1), получим
Q = (С + v/?)7] + mgh(\ + 2C/(v/?)).
446. При изотермическом расширении азота массой
т = 100 г, имевшего температуру Т = 280 К, его объем
увеличился в 3 раза. Найти: работу, совершенную газом
при расширении; изменение внутренней энергии газа; ко-
личество теплоты, сообщенное газу.
Решение. Из уравнения Менделеева-Клапейрона
находим
= mRT
и MV
откуда видно, что при Т = const
(изотермический процесс) дав-
ление газа убывает обратно про-
порционально объему (рис. 140).
Работа газа численно равна пло-
щади фигуры, ограниченной гра-
фиком зависимости р = /(V),
осью V и отрезками ab и cd,
численно равными давлениям р[
и р2 в начальном и конечном
состояниях. Следовательно,
V2 V2 v2
А = \pdV = i'^BLdV = -!Art [4Д = -£./?Пп^-.
J H J MV M JVM V,
Молярная масса азота M = 28 • 10 3 кг/моль, У2 /Ц = 3,
R = 8,31 Дж/(моль • К). Подставив в последнюю формулу
числовые значения, получим А = 9 • 103 Дж.
Изменение внутренней энергии AU = 0, так как Т = const.
Следовательно, согласно первому закону термодинамики,
сообщенное газу количество теплоты Q - А = 9 • 103 Дж.
447. Тепловой процесс, график которого изображен на
рис. 141, совершают над идеальным газом, масса которого
206
остается постоянной. Опре-
делить, как изменялась тем-
пература газа на участках
1-2, 2-3, 3-1. Выяснить, на
каких участках газ получал
некоторое количество тепло-
ты и на каких отдавал.
Решение. Из графика
видно, что на участке 1-2
давление газа прямо пропор- Рис. 141
ционально объему: р - aV,
где а = const - коэффициент пропорциональности.
На основании уравнения Менделеева-Клапейрона по-
лучим
aV2 = ^RT,
м
откуда
J4 — у 2
~ mR
Таким образом, с увеличением объема V газа его тем-
пература возрастала, внутренняя энергия увеличивалась,
т. е. ЛИ > 0. При этом газ, расширяясь, совершал поло-
жительную работу: А > 0. Согласно первому закону тер-
модинамики, Q]_2 = ли + А . Следовательно, Q1-2 > 0, т. е.
на участке 1-2 газу сообщалось некоторое количество теп-
лоты.
На участке 2-3 совершался изохорный процесс, поэтому,
согласно закону Шарля,
Р%/^2 = Рз/?3>
откуда
Поскольку рз < pg- то ?3 < ^2> и внутренняя энергия
газа на этом участке уменьшилась (ЛИ < 0). В изохорном
процессе работа газа А = 0. Следовательно, Q2-3 < 0, т. е.
газ отдавал некоторое количество теплоты.
Переход из состояния 3 в состояние 1 происходил при
постоянном давлении. По закону Гей-Люссака
V3/T3- Уг/Тъ
откуда
207
71 = Т'з—•
1 3 v3
Объем газа уменьшался, поэтому А < 0 и Т\ < Т3,
следовательно, AU < 0. На основании первого закона тер-
модинамики приходим к выводу: Q3-1 < 0, т. е. газ на
участке 3-1 отдавал некоторое количество теплоты.
448. Газ совершает круговой процесс, график которого
изображен на рис. 142, а. Какая работа может быть со-
вершена за один цикл при таком процессе, если наимень-
шая температура газа tj = О °C, а наибольшая t3= 127 °C?
При температуре объем газа V[ = 5 л, при t3 V3 = 6 л.
Количество газа v = 0,5 моль, универсальная газовая по-
стоянная R = 8,31 Дж/(моль • К).
Решение. Изобразим этот процесс в координатах р,
V (рис. 142, б). Здесь работа, совершаемая газом при рас-
ширении, положительна и численно равна площади, огра-
ниченной графиком р2 ~ Рз = const, осью V и отрезками
ab и cd. Работа, совершаемая при сжатии, отрицательна и
численно равна площади, ограниченной графиком р\- р4 =
= const, осью V и отрезками ае и fd. Следовательно, сум-
марная работа, совершенная газом, равна разности этих
площадей, т. е. численно равна плошади прямоугольника
bcfe:
А = (Р2 -P1XV3 -V]). (1)
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для со-
стояний, которым на графиках соответствуют точки 1 и 3:
Р1Ц = vRT\, P3V3 - vRT3.
208
Из первого уравнения следует, что рх Из
второго уравнения, учитывая, что р3 = р%, находим
р2 = vRT^/V^.
Подставив значения р] и р2 в выражение (1), получим:
Л = v/?f^-£W3 -ИД Л = 5-10 Дж.
\ гз И )
449. Герметичный сосуд вместимостью V = 0,25 м3 со-
держит азот под давлением pj = 120 кПа. Какое давление
установится в сосуде, если азоту сообщить количество
теплоты Q = 8,4 кДж? Молярная теплоемкость азота в
данных условиях С = 21 Дж/(моль • К). Универсальная
газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль • К).
Решение. Нагревание происходит при постоянном
объеме, поэтому, согласно закону Шарля,
Pl/7j = р2/?2,
где Г], Т2 - начальная и конечная температуры азота.
Отсюда
Р2=Р1^-- (D
Используя уравнение Менделеева-Клапейрона, найдем
начальную температуру:
. где v = т/ М - количество вещества азота.
При изохорном процессе работа газа равна нулю. По-
этому, согласно первому закону термодинамики, изменение
внутренней энергии азота равно сообщенному ему количе-
ству теплоты. Пусть температура газа увеличилась на ДТ".
Тогда Q = vCAT, откуда
А7’ = ^. (3)
Следовательно, температура стала равной T2 = Т\ + Д7\
Найдем отношение
Tj _ ?i + AT _ J + _дд
Ti 7i Ti '
209
Учитывая значения (2) и (3), получаем
AT _ QR
Л CVPl
Тогда
На основании выражений (1) и (4) имеем:
Р2 = Р\ +^> Р2 = 1,3 -105 Па.
450. В вертикальном цилиндре вместимостью V = 200 см3
под тяжелым поршнем находится газ при температуре
Т = 300 К. Масса поршня m = 50 кг, его площадь S = 50 см2.
Для повышения температуры газа на Д Т = 100 К ему было
сообщено количество теплоты Q = 46,5 Дж. Найти изме-
нение внутренней энергии газа. Атмосферное давление
Pq = 1,0 • 105 Па. Трение не учитывать. Ускорение свобод-
ного падения g принять равным 10 м/с2.
Решение. Согласно первому закону термодинами-
ки, количество теплоты Q, подведенное к газу, расходует-
ся на изменение внутренней энергии AU и совершение
работы А над внешними телами: Q = AU + А. Отсюда
AU = Q - А. (1)
Газ расширяется при постоянном давлении
/ИЯ
Р = Ро +-у->
совершая при этом работу А = pAV, или
А = (р0+^)ДК (2)
где ДУ - изменение объема газа. Согласно закону Гей-
Люссака,
у_ _ V + AV
Т Т + АТ ’
откуда
ду = 1А7:
т
Подставив это выражение в формулу (2), получим
210
Л -(п л. mS\VAT
A~{p0+-s~) — - (3)
На основании выражений (1) и (3) получим:
MJ = Q-(pq +^)^, At/= 33 Дж.
Задачи для самостоятельного решения
451. Чтобы охладить V = 4,5 л воды от температуры
t] = 30 °C до tg = Ю °C, в воду бросают кусочки льда при
температуре = 0 °C. Найти массу льда, необходимого
для охлаждения воды. Плотность воды р = 1 • 103 кг/м3,
удельная теплоемкость воды с = 4190 Дж/(кг • К), удель-
ная теплота плавления льда X = 3,3 • 105 Дж/кг.
452. В сосуд, содержащий т\ = 2,35 кг воды при тем-
пературе 7] = 293 К, опускают кусок олова, нагретого до
температуры - 503 К. Температура воды в сосуде повы-
силась на АТ = 15 К. Вычислить массу олова. Испарени-
ем воды пренебречь. Удельная теплоемкость воды -
= 4,19 • 103 Дж/(кг • К), олова с2 =2,5 • 102 Дж/(кг • К).
453. Нагретую железную болванку поставили на лед,
имеющий температуру tj = 0 °C. В результате охлаждения
болванки до 0 °C под ней расплавилось иц = 460 г льда.
Какова была температура нагретой болванки, если ее
масса m2 - 3,3 кг? Удельная теплоемкость железа с =
= 460 Дж/ (кг • К), удельная теплота плавления льда X =
= 3,3 • 105 Дж/кг.
454. При нормальном атмосферном давлении некото-
рую массу воды нагревают до температуры кипения, про-
пуская через нее пар при температуре = 100 °C. Во
сколько раз увеличится масса воды, когда она достигнет
температуры кипения? Начальная температура воды t2 ~
= 20 °C, ее удельная теплоемкость и удельная теплота паро-
образования - соответственно с = 4,19 • 103 Дж/(кг • К),
г = 22,6 • 105 Дж/кг.
455. В калориметр налито тх = 2,0 кг воды при темпе-
ратуре = 6,0 °C и положен кусок льда массой =
= 2,0 кг, температура которого = “20 °C. Каково будет
содержимое калориметра после установления теплового
равновесия? Теплоемкостью калориметра и теплообменом
211
с внешней средой пренебречь. Удельная теплоемкость воды
С] = 4,19 103 Дж/(кг • К), льда С2 = 2,1 103 Дж/(кг • К),
удельная теплота плавления льда X = 3,3 • 105 Дж/кг.
456. В смесь, состоящую из льда массой т.\ = 5 кг и воды
массой т,2 - 4 кг при температуре /] - 0 °C, впускают водя-
ной пар массой = 0,5 кг при температуре = 100 °C.
Определить температуру смеси t и массу пц растаявшего
льда. Удельная теплота плавления льда X = 3,3 • 105 Дж/кг.
Удельная теплоемкость воды с = 4,19 • 103 Д ж/(кг • К).
Удельная теплота парообразования воды г = 22,6 • 105 Дж/кг.
457. В калориметр, в котором находится вода массой
при температуре Т[, вливают расплавленный металл,
масса которого т^, а температура равна температуре плав-
ления Т’нд. При этом температура воды в калориметре по-
вышается до Т^, а часть воды выкипает. Определить массу
выкипевшей воды. Удельная теплоемкость воды q, удель-
ная теплоемкость металла с%, удельная теплота плавления
металла X, удельная теплота парообразования воды г, тем-
пература кипения воды Тк.
458. С какой скоростью должна удариться о преграду
свинцовая пуля, чтобы она расплавилась, если до удара
температура пули была Т = 373 К? При ударе на нагрева-
ние пули идет т] = 0,60 ее энергии. Температура плавле-
ния свинца Тпл = 600 К, его удельная теплоемкость с =
- 130 Дж/(кг • К), удельная теплота плавления X = 30 х
х 103 Дж/кг.
459. Свинцовая пуля, летящая горизонтально со ско-
ростью uq = 500 м/с, пробивает доску на высоте h = 2,0 м
над поверхностью земли, не изменяя направления своей
скорости. На каком расстоянии от доски пуля упадет на
землю, если при движении через доску она нагревается на
Д7’ = 200 К? Считать, что вся теплота, выделившаяся при
движении через доску, пошла на нагревание пули. Удель-
ная теплоемкость свинца с = 130 Дж/(кг • К). Сопротив-
лением воздуха пренебречь.
460. Поезд массой m = 1000 т при торможении с уско-
рением а = 0,2 м/с2 остановился через т = 100 с. Какое
количество теплоты выделилось при торможении?
461. Рабочий забивает в доску железный гвоздь массой
m = 50 г и ударяет при этом п = 5 раз молотком, масса
которого М = 0,5 кг. Импульс молотка непосредственно
перед ударом р = 6 кг • м/с. На сколько градусов нагреет-
ся гвоздь, если вся выделившаяся при ударах теплота по-
212
шла на его нагревание? Удельная теплоемкость железа
с = 0,45 кДж/(кг • К).
462. Лазер излучает световые импульсы с энергией
W = 0,1 Дж. Частота повторения импульсов v = 10 Гц.
КПД лазера, определяемый отношением излучаемой энер-
гии к потребляемой, т| = 0,01. Какой объем воды нужно
прокачать за т = 1 ч через охлаждающую систему лазера,
чтобы вода нагрелась не более чем на А/ = 10 °C?
463. Найти массу льда, имеющего температуру t - -10 °C,
который можно растопить за т = 10 мин с помощью электри-
ческого нагревателя, работающего при токе силой / = 3 А от
сети с напряжением U = 220 В? КПД нагревателя т| = 80%.
Удельная теплоемкость льда с = 2,1 • 103 Дж/(кг • К),
удельная теплота плавления льда X = 3,3 • 105 Дж/кг.
464. В кастрюлю налили холодной воды при темпера-
туре /j = 10 °C и поставили ее на электроплиту. Через
время Tj = 5,0 мин вода закипела. Через сколько времени
после начала кипения вода полностью испарится? Удель-
ная теплоемкость воды с = 4,19 • 103 Дж/(кг • К), удель-
ная теплота парообразования воды г - 2,26 • 106 Дж/кг.
Кипение происходит в открытой кастрюле при нормаль-
ном давлении.
465. Определить КПД нагревателя, расходующего - 0,08 кг
керосина на нагревание - 3,0 кг воды на АТ = 90 К.
Удельная теплота сгорания керосина q = 4,2 • 107 Дж/кг,
удельная теплоемкость воды с = 4,19 • 103 Дж/(кг • К).
466. Для расплавления т = 1000 кг стали использует-
ся электропечь мощностью Р = 100 кВт. Сколько времени
продолжается плавка, если слиток до начала плавления
надо нагреть на АТ = 1500 К? Удельная теплоемкость
стали с = 500 Дж/(кг • К), удельная теплота плавления
стали X = 2,7 • 105 Дж/кг.
467. Вертикальный цилиндр с тяжелым поршнем на-
полнен азотом, масса которого пц = 0,1 кг. После увели-
чения температуры азота на АТ = 100 К поршень поднял-
ся на высоту h = 0,1 м. Над поршнем все время сохраняет-
ся нормальное атмосферное давление pQ = 1 • 105 Па. Пло-
щадь поршня S = 0,02 м2. Определить массу поршня. Уни-
версальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль • К),
молярная масса азота М = 28 • 10“3 кг/моль.
468. Определить изменение внутренней энергии газа,
взятого в количестве v = 0,5 моль, при нагревании его
213
при постоянном давлении от температуры Т; = 300 К до
температуры Т% = 320 К, если газу было сообщено количе-
ство теплоты Q — 290 Дж. Универсальная газовая посто-
янная R = 8,31 Дж/(моль К).
469. Найти внутреннюю энергию одноатомного газа,
занимающего объем V = 2 м3 при давлении р = 200 кПа.
470. Идеальный газ, количество вещества которого
v — 0,5 моль, из состояния с температурой Т = 100 К рас-
ширяется изобарно, а затем изохорно переходит в со-
стояние с начальной температурой. Во сколько раз из-
менится при этом объем газа, если для перевода газа из
начального состояния в конечное к нему подвели коли-
чество теплоты Q = 831 Дж? Универсальная газовая
постоянная R - 8,31 Дж/(моль • К).
471. Вычислить работу, которую совершит газ при изо-
барном нагревании от = 20 °C до £2 = 100 °C, если он
находится в вертикальном цилиндрическом сосуде, закры-
том подвижным поршнем с площадью поперечного сече-
ния S = 20 см2 и массой m = 5 кг. Первоначальный объем
газа V - 5 • 10-3 м3, атмосферное давление ро = 1 • 105 Па.
Трением пренебречь.
472. В вертикальном цилиндре вместимостью V = 2 л
под тяжелым поршнем находится газ при температуре Т =
= 300 К. Масса поршня m = 50 кг, его площадь S = 50 см2.
Температуру газа повысили на ДТ = 100 К. Найти изме-
нение внутренней энергии газа, если его теплоемкость
С = 5 Дж/К. Атмосферное давление /?0 = 1 • 105 Па. Тре-
ние поршня о стенки не учитывать. Принять g = 10 м/с2.
473. Для нагревания некоторого количества идеального
газа с молярной массой Л4 = 28 • 10-3 кг/моль на ДТ = 14 К
при постоянном давлении потребовалось количество теп-
лоты Qj = 10 Дж. Чтобы охладить газ до исходной темпе-
ратуры при постоянном объеме, необходимо отнять от него
количество теплоты Q2 = 8,0 Дж. Найти массу газа. Уни-
версальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль • К).
474. Газ, взятый при температуре Т = 100 К в количе-
стве v = 5 моль, сначала нагревают при постоянном объ-
еме так, что термодинамическая температура газа возрас-
тает в п = 3 раза, а затем сжимают при постоянном давле-
нии, доводя температуру до первоначального значения.
Какая работа совершена при сжатии? Универсальная га-
зовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль • К).
214
475. Найти удельную теплоемкость одноатомного иде-
ального газа в изобарном ср и изохорном су процессах.
Молярная масса газа равна М, универсальная газовая по-
стоянная равна R.
476. При изотермическом расширении идеальный газ
совершил работу А = 25 Дж. Какое количество теплоты
сообщено газу?
477. При адиабатном сжатии одноатомного идеального
газа была совершена работа А = 900 Дж и температура
газа увеличилась на ДГ = 24 К. Определить количество
вещества этого газа. Универсальная газовая постоянная
R = 8,31 Дж/(моль • К).
478. В цилиндрическом сосуде под легким подвижным
поршнем находится v = 1,5 моль идеального одноатомно-
го газа при температуре t = 27 °C. Какое количество теп-
лоты надо подвести к газу, чтобы его объем увеличился в
п = 3 раза? Трением поршня о стенки сосуда пренебречь.
Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль • К).
479. Идеальный газ в количестве v = 5 моль, имевший
начальную температуру Т = 300 К, изобарно расширился,
совершив работу А = 12,5 • 103 Дж. Во сколько раз при
этом увеличился объем газа?
480. Гелий массой m = 10 г нагрели на ДТ = 100 К
при постоянном давлении. Определить количество теп-
лоты, переданное газу, изменение внутренней энергии и
работу газа при расширении. Молярная масса гелия Л4 =
= 4 • 10-3 кг/моль. Универсальная газовая постоянная
R = 8,31 Дж/(моль • К).
481. Газ, занимающий при давлении р = 1 • 105 Па объ-
ем V = 0,1 м3, изобарно расширяется. При этом его термо-
динамическая температура увеличивается в п = 2 раза, а
внутренняя энергия изменяется на A.U = 26 кДж. Найти
массу угля, который необходимо сжечь для этого, если на
нагревание газа затрачивается т| = 0,2 количества тепло-
ты, выделяющегося при сгорании. Удельная теплота сго-
рания угля q = 30 МДж/кг.
482. Процессы, происходящие в цилиндре теплового
двигателя с идеальным газом, изображены на диаграмме
р - V (рис. 143). Известно, что Т% = 500 К, = 450 К,
Т4 = 300 К. Найти, на сколько кельвин температура в точ-
ке / отличается от температуры в точке 3.
215
р
Рис. 143
Рис. 144
483. На рис. 144 изображен график процесса, проводи-
мого с идеальным газом. Объем газа постоянен. Найти
точки, в которых масса газа максимальна и минимальна.
484. Идеальная тепловая машина, работающая при
нормальных условиях окружающего воздуха, который для
нее является холодильником, поднимает груз массой т =
400 кг. Рабочее тело машины получает от нагревателя с
температурой t = 200 °C количество теплоты Q = 80 кДж.
На какую максимальную высоту поднимает груз эта теп-
ловая машина? Трением пренебречь.
485. Чтобы принять ванну, необходимо нагреть V = 200 л
воды от температуры = 7 °C до температуры /2 = 47 °C.
Если такое количество теплоты сообщить идеальной теш
ловой машине, работающей при температуре нагревателя
i2 и холодильника /р то с помощью этой машины можно
поднять груз массой т = 4,2 • 104 кг на высоту Н = 10 м.
Определить по этим данным удельную теплоемкость воды.
Плотность воды р = 1 • 103 кг/м3. Ускорение свободного
падения g = 10 м/с2.
486. Температура газов, образующихся при сгорании
топлива в цилиндрах двигателя автомобиля, - 827 °C,
температура выхлопных газов i2 = 97 °C. Сколько кило-
метров проедет с постоянной скоростью автомобиль, имею-
щий в баке V = 40 л топлива, если удельная теплота сго-
рания топлива q = 46 • 106 Дж/кг, плотность_топлива
р = 710 кг/м3, а сила сопротивления движению F остает-
ся постоянной и по модулю равной 1,7 • 103 Н? Двигатель
считать идеальной тепловой машиной, работающей с мак-
симально возможным КПД.
487. При расширении газа тепловая машина совершает
работу, при этом объем газа увеличивается от = 1 • 10“3 м3
216
до V2 = 2 ’ ю-3 м3, а давление линейно убывает от =
= 6 • 105 Па до р2 - 4 • 105 Па. Определить изменение
внутренней энергии газа при его расширении и КПД теп-
ловой машины, если известно, что количество теплоты,
полученное за цикл тепловой машины от нагревателя, Qj =
= 1 кДж, а отданное холодильнику Q% = 0,8 кДж.
III. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
8. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Методические указания к решению задач
При решении задач о взаимодействии точечных зарядов
нужно, сделав рисунок, обозначить на нем силы, дейст-
вующие на интересующий нас заряд. Если по условию за-
дачи заряд находится в покое, записывают условие равно-
весия заряда (так же, как и для материальной точки в
механике). Если заряд движется в однородном электриче-
ском поле, составляют уравнение движения (так же, как и
в механике).
Если в задаче речь идет о работе сил электрического
поля над зарядом, следует составить уравнение на основе
закона сохранения и превращения энергии. При взаимо-
действии заряженных тел и происходящем при этом пере-
распределении зарядов уравнение составляют согласно
закону сохранения заряда. Полученную систему уравне-
ний решают относительно искомой величины.
При решении задач о взаимодействии заряженных тел
обычно используют формулы, устанавливающие связь ме-
жду зарядами и потенциалами. Если задана сложная схе-
ма соединения конденсаторов, надо попытаться заменить
ее другой схемой, по которой можно легко установить тип
соединения (параллельное, последовательное или их ком-
бинации). Иногда для этого достаточно начертить схему
несколько иначе. В других случаях такую замену можно
сделать путем соединения на заданной схеме точек с оди-
наковым потенциалом; при этом заряды на конденсаторах
и разности потенциалов между обкладками не будут изме-
няться. После преобразования схемы устанавливают связь
между зарядами, разностями потенциалов и емкостями
конденсаторов.
218
Основные законы и формулы
Закон Кулона', сила взаимодействия двух неподвижных точеч-
ных зарядов прямо пропорциональна произведению модулей заря-
дов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
£Г2
где k = —-— - коэффициент пропорциональности в СИ; £ —
4ле0
диэлектрическая проницаемость среды; е0 - электрическая по-
стоянная:
Ео =—— ------ Ф/м = 8,85 КГ12 ф/м.
4л-910э
Закон сохранения электрического заряда: в замкнутой
(электрически изолированной) системе алгебраическая сумма
зарядов всех частиц остается неизменной.
Напряженность электростатического поля в данной точке
E = F/q0,
где F — сила, с которой поле действует на положительный то-
чечный заряд помещенный в эту точку.
Принцип суперпозиции полей: если в данной точке простран-
ства различные заряженные частицы создают поля, напряженно-
сти которых Е\, Е%, ..., Еп, то результирующая напряженность
поля в этой точке
Е = Е\ + £> +•••+£„.
Поверхностная плотность электрического заряда
а = q/S,
где q — заряд, равномерно распределенный по поверхности тела
площадью S.
Напряженность электростатического поля точечного
заряда q на расстоянии г от него
Е= М
С . 2 ’
4ле0£г
где Е — диэлектрическая проницаемость среды.
Напряженность электростатического поля бесконечной
равномерно заряженной плоскости
Н
2еое’
где о - поверхностная плотность электрического заряда.
219
Напряженность электростатического поля металличе-
ской заряженной сферы радиуса R на расстоянии г > й от
центра сферы
Е = —
4ле0ег
где q - заряд сферы. Внутри сферы (г < R) Е = 0.
Потенциал электростатического поля в данной точке
Ф = ^РАо.
где U7p - потенциальная энергия, которой обладает заряд q§,
помещенный в эту точку.
Потенциал поля, созданного несколькими точечными за-
рядами, равен алгебраической сумме потенциалов полей, соз-
даваемых в данной точке каждым зарядом:
Ф = Ф1 + q>2 +•+ Фп-
где ф(- > 0 при > 0; ф, < 0 при < 0.
Потенциал электростатического поля точечного заря-
да q на расстоянии г от него
v - .
4ле0ег
Потенциал электростатического поля металлической
заряженной сферы радиуса R на расстоянии г > й от центра
сферы
• Л ’
4ле0ег
где q - заряд сферы.
Внутри сферы потенциал во всех точках такой же, как на
поверхности сферы (г = й).
Работа, совершаемая электростатическим полем при
перемещении заряда q из точки с потенциалом ф1 в точку с
потенциалом ф2,
А = ч(ф! -ф2).
Связь между напряженностью однородного электриче-
ского поля и разностью потенциалов выражается формулой
Е = (ф! - ф2)/Ч
где ф] - ф2 ~ разность потенциалов между точками, находящи-
мися одна от другой на расстоянии d вдоль линии напряженности
поля.
220
Электрическая емкость* проводника - физическая вели-
чина, равная отношению заряда q, сообщенного проводнику, к
его потенциалу ф:
С = <?/ф.
Электрическая емкость конденсатора
С = q/U,
где q - заряд конденсатора; U ~ напряжение между обкладка-
ми конденсатора.
Емкость проводящей сферы радиуса R, находящейся в сре-
де с диэлектрической проницаемостью е,
С = 4t№.qER.
Емкость плоского конденсатора, площадь каждой пласти-
ны которого S, а расстояние между ними d,
С = ££q.S/</,
где е — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняю-
щего пространство между пластинами.
Общая емкость конденсаторов, соединенных параллельно,
С = Cj + +...+ С„.
Общая емкость конденсаторов, соединенных последова-
тельно, определяется по формуле
± = J_ + _L+...+ J_.
С с, с2 с„
Энергия электрического поля заряженного конденсато-
ра емкостью С
= qU = q2 = си2
2 2С 2 ’
где U - напряжение между его обкладками, q - заряд конденсатора.
Примеры решения задач
488. В воздухе на некотором расстоянии друг от друга
находятся два одинаковых маленьких шарика, имеющих
заряды (/i = +0,5 мкКл и <72 = -0,1 мкКл. Шарики привели
в соприкосновение, а затем раздвинули на расстояние
* Вместо терминов «электрическая емкость», «электрический за-
ряд» применяются краткие формы: «емкость», «заряд».
221
г = 10 см. Найти силу взаимодействия шариков. Диэлек-
трическая проницаемость воздуха е = 1.
Решение. После соприкосновения шариков их
заряды стали одинаковыми. При этом, согласно закону
сохранения заряда, сумма зарядов шариков осталась неиз-
менной. Следовательно, после соприкосновения заряд каж-
дого шарика
q = (<7i + ^2)/2-
Шарики будут взаимодействовать с силой
F = = -L. (<71 +-^.)2 , F = 3,6 • 1(Г2 Н.
4ле0ег2 4ле0 4erz
489. Два одинаковых маленьких шарика массой т = 0,4 г
каждый подвешены на непроводящих нитях длиной I = 1 м
к одной точке. После того как шарикам были сообщены
одинаковые заряды q, они разошлись на расстояние г = 9 см.
Определить заряды шариков и силу натяжения нити. Ди-
электрическая проницаемость воздуха г = 1.
Решение. На каждый шарик (рис. 145) действуют
следующие силы: сила тяжести mg, сила натяжения нити
Т и сила взаимодействия F. Шарик находится в равнове-
сии. Следовательно, выполняется условие
mg + f + F = б,
222
поэтому суммы проекций сил на оси ОХ и OY равны нулю:
F - Tsina = О, Тcosa - mg = О,
или
7,sina = /7, Т cosa-mg. (1)
Разделив равенства (1) почленно первое на второе, по-
лучим
tga = F/(mg).
-г 4. • г/2 г
Так как угол а мал, то tga ~ sin a = -у- = поэтому
г _ F
21 mg
По закону Кулона
(2)
F =....?2...
4Л£о£Г2
Подставим это выражение в равенство (2):
21 4n£0£r2mg ’
откуда
l2neoemgr
V 1
, q = 110~8 Кл.
Из уравнения (1) найдем модуль силы натяжения нити:
mg _ mg _ 2mgl Т = 4 Я
cosa 71 - г2/(4/2) /4/2 - г2 ’
490. В вершинах правильного треугольника расположены
одинаковые пожительные точечные заряды q = 3,2 • 10-8 Кл.
Какой отрицательный заряд надо поместить в центр тре-
угольника, чтобы вся система зарядов находилась в равно-
весии? Система находится в воздухе (е - 1).
Решение. На каждый заряд q, находящийся в
вершине треугольника, действуют силы Fj, F2 и F3 со сто-
роны отдельных трех зарядов (рис. 146). По закону Куло-
на найдем модули этих сил:
F^k^, F2=F3=k^-, (1)
ЕГ2 £<2
223
/К »/ ™е*=^-г=^-рас-
/ \ / стояние от вершины до цент-
/ \ / Ра правильного треугольника.
/ \ / При равновесии сумма этих
/4 сил равна нулю:
Л1 + #2 + #з = б.
* Следовательно, сумма про-
р и с 146 екций сил на любую коорди-
натную ось равна нулю. Сов-
местим начало координат с вершиной треугольника, а оси
ОХ и OY направим так, как показано на рис. 146. Для
проекций сил на ось ОХ получим
F2 cos а + F3 cos a- Fi =0. (2)
(Равенство нулю суммы проекций сил на ось OY очевид-
но, так как F% sin а = F% sin а и F2 = ^з ) Из рисунка вид-
но, что а = 30°, поэтому cosa = cos30°= -УЗ/2. Подста-
вив это значение и г - а^З/З в равенства (1) и (2), полу-
чим после очевидных преобразований и вычислений:
= —- |^1| = 1,8-Ю"8 Кл, qx = -1,8-IO"8 Кл.
3
491. Два одинаковых маленьких шарика подвесили на
нитях равной длины, закрепленных в одной точке. Шари-
кам сообщили одинаковые одноименные заряды. После
этого шарики погрузили в жидкий диэлектрик, плотность
которого р]. Плотность шариков р2. Найти диэлектриче-
скую проницаемость среды, если угол расхождения нитей
в воздухе равен а, а в жидкости р.
Решение. До погружения в жидкость на каждый
шарик действовали сила тяжести mg, сила натяжения нити Д
и сила отталкивания Д (рис. 147, а). Поскольку шарик нахо-
дился в равновесии, то выполнялось условие mg + 7j + Fi = 0.
Для проекций на оси ОХ и OY сил, действующих на
шарик, получим:
Tisin^Fj, Д cos-2- = mg.
Отсюда, разделив почленно первое уравнение на второе,
получим
224
Ъ = mg tg^.. (1)
Когда шарики погружены в жидкость (рис. 147, б),
на каждый из них действуют следующие силы: сила тя-
жести mg, сила натяжения нити Т^, архимедова сила Лд
и сила отталкивания Из условия равновесия шарика
mg + 7г + ^д + = О следует:
72Sin| = F2, 72cos| = mg-FA.
Отсюда
F2 =(mg-FA)tg j. (2)
Модуль архимедовой силы FA = pjg V, где V - объем
шарика: V = т/р2', т ~ масса шарика; р2 - его плотность.
Тогда
/=А = Pl§m/p2-
Подставив это выражение в формулу (2), получим
/=2=- F')tg2’
\ Р2 ) *
По закону Кулона
9 2
с _ <Г р _ Q
Г]--------у , Г2--------,
4тге0Г| 4л£0г2
(3)
8 Зак. 1525
225
где q - модуль заряда каждого шарика; € - диэлектричес-
кая проницаемость жидкости (для воздуха е = 1); rj, г2 -
расстояния между шариками в воздухе и в жидкости соот-
ветственно.
Разделив почленно два последних равенства, найдем
Как видно из рис. 147,
q -21 sin у, r2 =2/sin-|, (5)
где I - длина нити.
Заменив в формуле (4) величины Fj, F2, и г2 их
выражениями (1), (3) и (5), получим после преобразова-
ний
sin^tg^
е =_______2 2
fl - — Isin2—tg—
I P2J 2 2
492. Два точечных заряда q^ = +2,5 • 10~8 Кл и д2 =
= -0,91 • 10~8 Кл находятся на расстоянии I = 6 см друг
от друга. Определить положение точки, в которой напря-
женность поля равна нулю.
Решение. Результирующая напряженность в любой
точке поля
Е — Е\ + £2 >
где Д, £2 - напряженности полей, создаваемых зарядами
и д2 в этой точке. Очевидно, что Е = 0 только в той
точке, в которой векторы £[ и £2 равны по модулю и противо-
положны по направлению. В любой точке А (рис. 148), кото-
/ X
Рис. 148
226
рая не лежит на прямой, проходящей через заряды, ре-
зультирующая напряженность Ед / 0. Рассмотрим напря-
женность в точках прямой, соединяющей заряды.
В любой точке В на прямой слева от Ев / 0, так как
|</1| > |<721 • В любой точке С, расположенной между заряда-
ми, векторы Е\с и £2с направлены в одну сторону, поэто-
му их сумма отлична от нуля. Таким образом, мы прихо-
дим к выводу, что искомая точка D лежит на прямой, про-
ходящей через данные заряды, справа от заряда д2 на не-
котором расстоянии х от него. В этой точке Ещ = £2дили
Отсюда
Ы _ __Ы_
4л£0е(/ + х)2 4те0£х2
VRiT-ЖТ’
х - 8,8 10 2 м.
493. Два точечных заряда > 0 и q% < 0 расположены в
воздухе на расстоянии d друг от друга. Найти напряжен-
ность и потенциал поля, создаваемого этими зарядами в точ-
ке А, находящейся на расстоянии rj от положительного заря-
да и на расстоянии г2 от отрицательного. (Точка А не лежит
на прямой, соединяющей заряды и g2, d < rj + r2 -)
Решение. Согласно принципу суперпозиции полей,
в точке А (рис. 149) напряженность электрического поля
Е = Ei + Е%, где Е\, Е% ~ напряженности полей, создавае-
мых в этой точке зарядами q\ и <?2 соответственно. Сло-
жив векторы £1 и £2 по правилу параллелограмма, най-
дем модуль вектора £, воспользовавшись теоремой коси-
нусов:
£ = ^£2 + £2 - 2£j£2 cos а,
где Ei =----5-; £2 = ;
4ле0гу 4леог2
г2 , Л Л
Л + Го — и
cosa = ----------
2^2
В точке А потенциал поля
<р = <Р1 + <р2, где Ф1> Ф2 ~ потен-
циалы полей, создаваемых в этой
точке зарядами qi и <?2:
227
(Di = , (Do = -—- .
47t£0<j z 4л£0г2
44
494. Две параллельные метал-
лические пластины, площадь каж-
дой из которых равна S, несут по-
ложительные заряды и ?1-
Расстояние между пластинами мно-
го меньше их линейных размеров.
Определить напряженность элек-
Р и с. 150
тростатического поля в точках А, В и С (рис. 150).
Решение. В любой точке пространства (между
пластинами и вне их) напряженность поля, согласно прин-
ципу суперпозиции, равна векторной сумме напряжен-
ностей полей каждой пластины. Поэтому
= Д" + ^2 Ёв = Eq = Ё\ + Ёъ,
где Ё\, Ё[, Ё2, Е2 - напряженности электростатических
полей соответственно первой и второй пластин справа и
слева от них.
Направим координатную ось ОХ перпендикулярно пла-
стинам. Спроектировав векторы напряженности на эту ось,
получим:
еАх = + Е2), ЕВх = Ех -Е2, ЕСх = Ех +Е2.
Поскольку размеры пластин велики по сравнению с
расстояниями от них до рассматриваемых точек, напря-
женности полей этих пластин можно вычислять так же,
как для бесконечной плоскости. Поэтому
F — Р' — °* — Р — Р' —
1 2е0е 2eoeS ’ 2 2е0£ 2£q£S ’
где Gj, <32 ~ поверхностные плотности зарядов; е - диэлек-
трическая проницаемость воздуха: е = 1. Следовательно,
495. Положительно заряженный металлический шар
(рис. 151) создает поле, напряженность которого в точке А
Ei = 100 В/м, а в точке С - £3 = 36 В/м. Какова напря-
женность поля в точке В, лежащей посередине между точ-
228
ками А и С? Шар находит-
ся в воздухе.
Решение. Обозна-
чим расстояние от центра
шара О до точек А, В и С
через г^, г% и Г3 соответст-
венно. Тогда напряжен-
ность поля в точке В
Е2 = —~Т > (1)
4Л£0£Г22 ' 7
где q - заряд шара; е -
диэлектрическая прони-
цаемость воздуха: е = 1.
Учитывая, что АВ - ВС,
найдем
Рис. 151
г - г 4- Г3 - Г1 _ Г1 + Г3 /п\
^-П+—------— (2)
Напряженности поля в точках А и С равны соответ-
ственно:
с _ ? С _ ?
-------—-------------т
4Л£0£Г1 4Л£о£Гз
Выразим отсюда расстояния Г[ и г$.
I я
У 4Л£0е£1 ’
я
4Л£0££3
Учитывая эти значения, по формуле (2) находим
Г2 = +<3)
2 у 4ЯЕое \ V Н V ^3 /
Подставив значение (3) в формулу (1), получим после
преобразований и вычислений:
в/“-
496. По проволочному кольцу радиуса В = 10 см равно-
мерно распределен положительный заряд q = 5,0 • 10~9 Кл.
Найти напряженность электростатического поля на оси
229
кольца в точках, расположенных от центра кольца на рас-
стояниях 1\ = 0, /2 = 5,0 см, /з = 15 см.
Решение. Разобьем кольцо на отрезки, малые по
сравнению с расстоянием г до точки А (рис. 152). Тогда
заряд Дц, находящийся на каждом отрезке, можно считать
точечным. Он создает в точке А поле напряженностью ДЕ,
модуль которой
ДЕ = -^.
4лЕо£Г
Согласно принципу суперпозиции, результирующая на-
пряженность в точке А равна векторной сумме напряжен-
ностей полей, создаваемых в этой точке каждым отрезком
с зарядом Дд.
Разложим вектор ДЕ на две составляющие: дД, на-
правленную вдоль оси кольца, и AF.n. направленную пер-
пендикулярно этой оси. При сложении векторов напря-
женности полей, создаваемых всеми отрезками в точке А,
сумма составляющих, направленных перпендикулярно оси,
получится равной нулю. Это объясняется тем, что для ка-
ждого отрезка с зарядом Дц существует диаметрально про-
тивоположный отрезок с зарядом Дц' = Дц, поэтому
AFo + АЕо = б.
Следовательно, результирующая напряженность Е в
точке А равна сумме составляющих, направленных вдоль
оси кольца, а модуль напряженности в точке А равен сум-
230
ме модулей этих составляющих, так как направления их
одинаковы.
Постольку A£i = (A£)cosa = —„ cosa, то
4ле0ег‘!
Е - —-—у cos а.
4ле0ег
Из рис. 152 видно, что
г2 = R2 + /2, cosa = l/^R2 + /2 .
Учитывая это, получаем
Е = — Qi
47reoe7(/?2 + I2)3 4л£Ое(й2 + /2 )3/2
По этой формуле вычисляем модули напряженности в точ-
ках, находящихся на расстояниях 1\ = 0, 1% = 5,0 см,
/з=15 см, учитывая при этом, что е = 1 (воздух) и
1/(4tc£q) - 9- 109 Н • м^/Кл2. Получаем: £[ - 0, £2 =
= 1,6- 103 В/М) £3 = 12- юз в/м
497. Какую работу надо совершить, чтобы перенести
точечный заряд q = 6 нКл из бесконечности в точку, нахо-
дящуюся на расстоянии I = 10 см от поверхности металли-
ческого шарика, потенциал которого ф = 200 В, а радиус
R = 2 см? Шарик находится в воздухе (е = 1).
Решение. Работа А, которую надо совершить, чтобы
перенести заряд из точки с потенциалом ф[ в точку с потен-
циалом ф2, отличается от работы Ап электростатического
поля только знаком: А = -Ап. А так как Ап - д(ф2 _ фД то
= ~?(ф1 “ Ф2) = ?(ф2 “ Ф1)- М
В рассматриваемом случае начальная точка находится
на бесконечности, поэтому ф1 = 0. Найдем потенциал ф2 в
конечной точке. Пусть Q - заряд шарика. Тогда потенци-
ал шарика
Ф = -5-, (2)
4ле0ей
а потенциал в конечной точке, находящейся на расстоя-
нии I + R от центра шарика,
^2 4ле0е(й +/)' (3)
231
Разделив почленно равенство (3) на (2), найдем
Ф2=-^7- (4)
Подставив в формулу (1) значения <р^ = 0 и ср2, по-
лучим:
А = А, А = 2 • 10~7 Дж.
R + 1
498. Проводящий шар наэлектризован так, что поверх-
ностная плотность заряда равна а. На расстоянии I от
поверхности шара потенциал- поля равен ф. Какова ем-
кость шара (шар находится в воздухе)?
Решение. Емкость проводящего шара
С - 4яео^> (1)
где R - радиус шара. Чтобы найти радиус шара, запишем
выражение для потенциала поля на расстоянии I от по-
верхности шара (т. е. на расстоянии R + I от центра шара):
_ q
4тг£0(Я + /) ’
где q = aS ~ заряд шара; S - 4nR2 - площадь поверх-
ности шара. Поэтому
Отсюда
aR2 - фЕ0/? _ Ф£о^ = 0- (2)
Решив это квадратное уравнение относительно R, полу-
чим
/? = ^£fl+ /1+4о£\ (3)
2а у V <р£о 7
Второй корень уравнения (2) отрицательный, физи-
ческого смысла не имеет.
Подставив значение R из формулы (3) в (1), найдем
емкость шара:
с _ 2тге§<р <j | Ь + 4д/ А
al V ЕоФ 7
232
499. Определить потенциал большой шарообразной
капли, получившейся в результате слияния п — 1000 оди-
наковых шарообразных малых капель воды, каждая из ко-
торых была заряжена до потенциала ср = 0,01 В.
Решение. Потенциал на поверхности большой
шарообразной капли (с учетом £ = 1)
где - заряд капли; R - ее радиус.
Потенциал на поверхности малой капли
О =4^7’ (2)
где q - заряд капли; г - ее радиус.
Если п одинаковых капель сливаются в одну, ее заряд
<71 = nq. С учетом этого получим, разделив почленно ра-
венство (1) на (2),
Очевидно, что объем большой капли равен сумме объе-
мов малых капель:
|л/?3 = п тег3.
Отсюда г/R = l/yfn . Подставив это значение в соотноше-
ние (3), получим:
Ф1 = з^Ф- Ф1 = 1 В.
500. Однородное электростатическое поле, напряжен-
ность которого Е = 1 • 104 В/м, образовано двумя заряжен-
ными параллельными пластинами, расположенными на рас-
стоянии d = 2 см друг от друга в воздухе. Какова разность
потенциалов между пластинами? Чему будет равна раз-
ность потенциалов, если между пластинами параллельно
им поместить металлический лист толщиной d\ = 0,5 см?
Решение. Воспользуемся формулой, устанавливаю-
щей связь между напряженностью Е однородного электри-
ческого поля и разностью потенциалов U: Е = U/d. От-
сюда
U = Ed. (1)
233
a
d
d
Если между пластинами параллельно им поместить ме-
таллический лист толщиной d\ (рис. 153, а), это приведет
к образованию двух последовательно соединенных конденса-
торов с расстояниями между обкладками с?2 и ^3 (рис. 153, б).
Емкости этих конденсаторов:
р epeS р eoeS
(2)
где S - площадь одной пластины. Пусть С - их общая
емкость при последовательном соединении. Тогда
откуда
С = С1С2
С] + с2
Подставляя сюда значения (2) и учитывая, что d% + =
= d - dp получаем
C = ^-. (3)
Обозначим через Cq емкость конденсатора, образо-
ванного двумя заряженными пластинами до внесения ме-
таллического листа. Заряд конденсатора до и после внесе-
ния листа один и тот же, так как конденсатор отключен от
источника тока. Поэтому q = CqU = СU[- Отсюда
Ц = CqU/С. (4)
234
Подставив в формулу (4) Со = tqtS/d, а также зна-
чения (1) и (3), после очевидных преобразований получим:
Ц Ц =21О2 В/м. (5)
Формулы (3) и (5) показывают, что введение прово-
дящей пластины толщиной между обкладками конден-
сатора эквивалентно уменьшению расстояния между об-
кладками на эту толщину. В отключенном от источника
тока конденсаторе это приводит к уменьшению разности
потенциалов между обкладками.
501. Точки А и В (рис. 154) находятся на расстояниях
Г1 = 4,0 см и Г2= 12 см от бесконечной плоскости, на
которой равномерно распределен по-
ложительный заряд. Разность потен-
циалов U между этими точками рав-
на 1200 В. Найти поверхностную
плотность заряда на плоскости.
Решение. Бесконечная плос-
кость, равномерно заряженная с по-
верхностной плотностью заряда о > 0,
создает в вакууме однородное элек-
тростатическое поле, модуль напря-
женности которого
Е = -5-
2е0
где Ер ~ электрическая постоянная; eq = 8,85 • 10 12 Ф/м.
Отсюда
о = 2eqE.
(1)
В однородном поле напряженность и разность потен-
циалов связаны соотношением
Е = U/d,
где d - расстояние между точками А и В вдоль линии
напряженности поля. Линии напряженности перпендику-
лярны заряженной плоскости и направлены влево и впра-
во от нее. Из рисунка, где показана только одна линия
напряженности Е, видно, что d = - И- Следовательно,
E = -JZ_. (2)
4> -4
235
Подставив выражение (2) в формулу (1), получим:
0 = 2^, а = 2,7 Ю"7 Кл/м2.
г2 -
502. Капелька масла, заряженная отрицательно, поме-
щена между пластинами горизонтально расположенного
плоского конденсатора. Напряженность электростатическо-
го поля подобрана так, что капелька покоится. Опреде-
лить заряд капельки, если разность потенциалов между
пластинами конденсатора U = 500 В, расстояние между
пластинами d = 0,50 см, радиус капельки г = 7,6 • 10-5 см,
плотность масла р = 0,90- 103 кг/м3.
Решение. На капельку,
+ + 4~ 4-
<»д<0
' trig
Рис. 155
<7
находящуюся в электростатиче-
ском поле конденсатора, дей-
ствуют две силы (рис. 155):
сила тяжести mg и сила
F - qE со стороны электро-
статического поля (т - мас-
са капельки, q - ее заряд).
Поскольку капелька нахо-
дится в равновесии, сумма
проекций этих сил на ось
0Y, направленную верти-
кально вверх, равна нулю:
qE - mg = 0. Отсюда
mg/E. (1)
Масса капельки т = pV, где V = 4лг3/3 - ее объем.
Напряженность электростатического поля Е = U/ d. Под-
ставив значения т и Е в формулу (1), получим:
? = ? = |,6 10-19КЛ.
503. На точечный заряд, находящийся внутри конден-
сатора, действует некоторая сила. Напряжение на конден-
саторе U = 10 кВ, его емкость С = 100 мкФ. Во сколько
раз увеличится сила, действующая на заряд, если конден-
сатор в течение времени t = 120 с подзаряжать током,
сила которого I = 0,10 А?
Решение. Обозначим через q заряд, находящийся
внутри конденсатора. Пусть F\ - сила, действующая на
236
заряд до подзарядки конденсатора, £2 ~ после подзаряд-
ки. Тогда
Л = ^ь ^2 = ЧЕ2’ (О
где Е\, Е2 ~ модули напряженности электростатического
поля конденсатора в первом и во втором случаях:
£1 = N , е2= Ы, (2)
1 Е£0 Z Е£0
О1, 02 “ поверхностные плотности заряда.
Пусть S - площадь обкладки конденсатора, q\ — на-
чальный заряд конденсатора. За время t заряд конденсато-
ра увеличится на Aq = It и станет равным q2 = q\ + It. Сле-
довательно,
(3)
На основании выражений (1)-(3) получим
а так как q\ = CU, то
Е <?1
^ = 1 + ^-,
F, CU ’
^- = 13.
504. Проводящий шар А радиуса R\ = 10 см зарядили
до потенциала ф] = 2700 В и отключили от источника
тока. После этого шар А соединили проволокой, емкостью
которой можно пренебречь, с незаряженным проводящим
шаром В радиуса R2 = 5 см. Шары находятся в воздухе.
Определить: начальный заряд шара А; заряды и потенциалы
шаров после соединения; энергию обоих шаров после со-
единения; энергию, выделившуюся при соединении.
Решение. Емкости шаров А и В:
С] = 4keoe7?i, С2 = 4я£ое7?2.
где е0 = . 2 ,79 ф/м; Е = 1 (воздух).
4л-910э
Начальный заряд шара А
= 91^1 = 4яе0е/?1(р1. (1)
После соединения заряд на шарах А и В распределится
так, что потенциал ф их будет одинаков. Пусть q2 - заряд
237
шара В после соединения. Тогда на шаре А остался заряд
<?f = <?1 - <?2 Условие равенства потенциалов будет иметь
вид
<?1 ~ <?2 _ 42 или 4\ ~ 42 _
Cj С2 <?2 /?2
Отсюда
Потенциал шаров после соединения
42 4\ ^2
ф = — = --- 1 S— = ф| ----!-.
С2 + /?2 )^2 ^1 + ^2
(2)
(3)
Энергия шаров после соединения W = ^ф/2 или с уче-
том равенств (1) и (3)
w = 271£0£<р?Т?12 (4)
Энергия, выделившаяся при соединении, равна разности
энергий шаров до и после соединения:
WX=WO-W. (5)
Так как до соединения заряжен был только шар А, то
w0 = = 2nE0E/?^. (6)
Подставив значения (4) и (6). в формулу (5), получим
Г1 =2лЕ0£/?1фИ1----^1- \ (7)
Подставив числовые значения величин в формулы (1)-
(4), (7), найдем: </] = 3 • 10-8 Кл, </2 = 1 ’ Ю~8 К-71- =
= 2 • 10-8 Кл, ф = 2 • 103 В, Г = 3 • 10~5 Дж, = 1 х
х10-5Дж.
505. Найти емкость батареи конденсаторов, соединен-
ных по схеме, приведенной на рис. 156, а. Все конден-
саторы имеют одинаковую емкость С = 11 мкФ.
Решение. На рис. 156, б изображена схема, экви-
валентная данной схеме. Конденсаторы Cl, С2 и СЗ соеди-
нены последовательно. Их общая емкость С' = С/3. Па-
раллельно этой цепи подключен конденсатор С4. Зна-
чит, емкость цепи между точками D и Е
238
Рис. 156
С" = С' + С = 4С/3.
Теперь имеем схему, изображенную на рис. 156, в. Ем-
кость этой батареи Сб найдем из формулы для последо-
вательного соединения конденсаторов:
откуда
506. Конденсаторы емкостями С, 2С и Сх соединены
по схеме, приведенной на рис. 157. Емкость батареи не из-
меняется при замыкании ключа К. Определить емкость Сх.
Решение. Найдем сначала емкость батареи при
разомкнутом ключе. Если соединены последовательно два
конденсатора емкостями С] и С2, то их общая емкость
С _
общ Q + С2 '
Воспользуемся этой формулой и найдем, что при ра-
зомкнутом ключе емкость верхней ветви, состоящей из
Рис. 157
239
последовательно соединенных конденсаторов емкостями С
и 2С, равна
С 2С _2С
С + 2С 3
Емкость нижней ветви, состоящей из последовательно
соединенных конденсаторов емкостями Сх и С, равна
СХС
Сх + С
Верхняя и нижняя ветви соединены между собой па-
раллельно. Поэтому емкость батареи
При замкнутом ключе конденсаторы емкостями С и Сх
соединены параллельно; их общая емкость равна С + Сх.
Конденсаторы емкостями 2С и С тоже соединены парал-
лельно; их общая емкость равна 2С + С = ЗС. Ветви, емко-
сти которых С + Сх и ЗС, соединены последовательно.
Значит, при замкнутом ключе емкость батареи
„„ ЗС(С + СХ) ЗС(С + СХ)
с =зс7с7с; = Тс7сГ‘ (2)
По условию С' = С", поэтому на основании формул (1)
и (2)
2 г СХС = ЗС(С + СХ)
3 Сх + С 4С + Сх
Решив это уравнение относительно Сх, получим значение
искомой емкости: Сх = С/2.
507. Два конденсатора одинаковой емкости зарядили
до напряжений U[ - 100 Ви 0^2 = 200 В соответственно,
а затем одноименно заряженные обкладки конденсаторов
соединили попарно. Какое установится напряжение меж-
ду обкладками?
Решение. Пусть С — емкость одного конденсатора.
Если соединить два таких конденсатора параллельно, по-
лучим батарею емкостью Cj = 2С.
До соединения на конденсаторах были заряды <?] = CU[,
q2 = CU2. После соединения суммарный заряд q - qx + q2 =
- C(U\ + U2 ) Следовательно, между обкладками напряжение
240
u=q_=U1 + ih £7 =150 в.
С, 2
508. Два конденсатора С1 и С2 емкостями С] - 2 мкФ
и С2 = 3 мкФ имеют электрические заряды <?] = 4 10~6 Кл
и = 9 ’ Ю~6 Кл- Разноименно заряженные обкладки
конденсаторов соединили попарно [/
(рис. 158). Определить заряд каждо- _______lib_____
го конденсатора после соединения. И
Решение. После соединения
разноименных обкладок конденсато- _
ров общий заряд <7 = <72 - <71- ----------------
Общая емкость двух параллельно
соединенных конденсаторов С = Ci + Р и с. 158
+ С2, а напряжение на каждом кон-
денсаторе (J = — = ?2 ~ ?1 . Учитывая это, находим заряды
С
каждого конденсатора после соединения:
q{ = C.U = С1(?2 ~<?1), ОА = C2U = С2(<?2 ~?1),
41 1 С, + с2 ’ 42 2 cl + c2 ’
q{ = 2-106 Кл, <7^ = 3 10“6 Кл.
509. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора
соединены последовательно и подключены к источнику
электрического тока с постоянной ЭДС. Внутрь одного из
них вносят диэлектрик, диэлектрическая проницаемость
которого е = 4. Диэлектрик заполняет все пространство
между обкладками. Как и во сколько раз изменится напря-
женность электростатического поля в этом конденсаторе?
Решение. Пусть U - напряжение, поддерживаемое
источником тока на батарее, состоящей из двух последо-
вательно соединенных конденсаторов емкостью С каждый.
Тогда напряжение на каждом из них равно (7/2, а на-
пряженность поля в конденсаторе
E{=U/(2d), (1)
где d - расстояние между пластинами конденсатора.
После внесения диэлектрика в один из конденсаторов
емкость его увеличится в е раз, и напряжения на конден-
саторах будут равны соответственно:
241
где q - заряд на конденсаторах.
Источник включен, поэтому
U = + U2. (2)
Подставив значения и U2 в формулу (2), получим
U2 = U/{г + 1). Следовательно, теперь напряженность поля
в конденсаторе с диэлектриком
Р = = U
d (е + \)d
(3)
Рис. 159
Р е ш е н и
Разделив почленно равенство (3) на (1), получим:
£2 = 2 ^2 = 0 4.
£[ £ + 1 ’ Е{
510. Плоский воздушный конденсатор емкостью С =
= 3,0 мкФ соединен с источником постоянного напряже-
ния U = 20 В (рис. 159). Какую механическую работу
надо совершить, чтобы расстояние меж-
ду обкладками конденсатора увеличить
в п = 3,0 раза? Какую работу соверша-
ет при этом источник? Рассмотреть два
случая: 1) перед раздвиганием обкладок
конденсатор отсоединяют от источника,
т. е. ключ К разомкнут; 2) ключ К все
время замкнут.
е. Рассмотрим сначала первый случай.
Заряженный конденсатор отсоединен от источника, поэто-
му заряд q конденсатора остается постоянным. До раздви-
гания обкладок энергия конденсатора
После раздвигания обкладок емкость конденсатора
уменьшилась в п раз (это следует из формулы емкости
плоского конденсатора С = eeqS/c?). Следовательно, энер-
гия конденсатора при этом увеличилась в п раз:
9
Г2 =^-.
2 2С
Механическая работа равна изменению энергии кон-
денсатора:
242
„2
4Mex=A^ = ^2-^=fc(n'l)-
Учитывая, что q = CU, получаем:
А,ех=^(п-1)> Д,ех = 1.2 • К)-3 Дж.
Работа источника напряжения Дист = 0, так как он от-
ключен.
Во втором случае ключ К замкнут, поэтому постоян-
ным остается напряжение U на конденсаторе. Энергия кон-
денсатора до раздвигания обкладок
1 2
Так как после раздвигания обкладок емкость конденса-
тора уменьшилась в п раз, то и энергия конденсатора умень-
шилась во столько же раз и стала равной
W2 =
2 2п
При этом уменьшается также и заряд конденсатора (это
следует из формулы q = CU). Через источник в обратном
направлении проходит заряд
А? = q2 - q. = С и _ Си = _ct/6 _ ±\
п \ п'
Если источником напряжения является конденсатор, то
он заряжается. Источник совершает при этом работу
Дист=[/Д? = -С[/2(1-±). (1)
Изменение энергии конденсатора
= w2 - wj = = -£^-(1 - Д.
2 1 2п 2 2 \ п/
Это изменение равно сумме механической работы и рабо-
ты источника, т. е. A IF = Амех + Аист. Отсюда следует,
что
= Ct72(l -1). (2)
243
В результате вычислений по формулам (1) и (2) получим:
Дист = -8,0 • 10~4 Дж, Дмех = 4,0 • IO"4 Дж
511. В однородном электростатическом поле, вектор
напряженности Е которого направлен вертикально вниз,
равномерно вращается шарик массой т с положительным
зарядом q, подвешенный на нити длиной I. Угол отклоне-
ния нити от вертикали равен а. Найти силу натяжения
нити и кинетическую энергию шарика.
Решение. Координатную ось ОХ направим горизон-
тально к центру О] окружности, а ось OY - вертикально
вверх (рис. 160). На шарик действуют три силы: сила тяже-
сти mg, сила со стороны элек-
тростатического поля F = qE
и сила натяжения нити Т. По
второму закону Ньютона
mg + F + Т = та,
где а ~ центростремительное
ускорение шарика. Модуль
этого ускорения а = о2//?,
где v - линейная скорость
шарика, a R - радиус окруж-
ности.
Спроектировав силы и ус-
корение на ось ОХ, получим
Esina = (1)
и
Вдоль оси OY шарик не движется, поэтому сумма про-
екций сил на эту ось равна нулю: Тcosa - mg - qE = 0.
Отсюда сила натяжения
у, _ mg + qE
cosa
Из рисунка видно, что R = I sin а. Подставив это значе-
ние и значение Т в уравнение (1), получим
(mg + qE)lsina _ mv2
cosa /sin a’
244
Отсюда найдем кинетическую энергию шарика:
IV/ mv2 (mg + qE)l sin2 а
Wk ~~ =-----------.2cosa.....
512. Электрон влетает в плоский горизонтальный кон-
денсатор параллельно его пластинам со скоростью пц =
= 1,0 • 107 м/с. Напряженность поля в конденсаторе Е =
= 100 В/см, длина конденсатора I = 5,0 см. Найти модуль
и направление скорости электрона в момент вылета его из
конденсатора. На сколько отклонится электрон от перво-
начального направления?
Решение. Совместим начало координат с точкой, в
которой находился электрон в момент влета в конденса-
тор, ось ОХ направим горизонтально, ось OY - вертикально
вниз (рис. 161). В этой системе координат движение элек-
трона можно представить как результат сложения двух
прямолинейных движений: равномерного движения со ско-
ростью vq в горизонтальном направлении и равноускорен-
ного движения с некоторым ускорением а вдоль оси OY.
Наличие ускорения вдоль оси OY объясняется тем, что на
электрон в этом направлении действует электрическая сила
F = еЕ, где е - заряд электрона: е = 1,6 • 10~19 Кл. (Си-
лой тяжести, действующей на электрон, пренебрегаем по
сравнению с силой F.)
Проекцию ускорения а на ось OY найдем по второму
закону Ньютона:
еЕ = теау, ау = еЕ/те,
где те - масса электрона: те= 9,1 • 10-31 кг.
245
Выпишем начальные условия: xq = 0, = 0, vqx = vq,
VQy = 0. Значения проекций ускорения на оси координат:
ах = 0, ау - еЕ/те. Тогда уравнения, определяющие за-
висимость координат х, у и проекций скорости vx и vy от
времени, будут иметь вид:
х - vQt, у = eEt2/{2тг),
vx = »о> vy = eEt/ те.
(1)
(2)
В момент вылета электрона из конденсатора х = /, у = h,
t = ty. На основании уравнений (1) и (2) получим:
Модуль вектора скорости v электрона в момент вылета
теио)
Направление вектора скорости определяется углом а.
Как видно из рисунка,
tg а = — = , а = arctg , а = 42°.
Пл т ftx т яя
и0 mev^
513. Между пластинами плоского воздушного горизон-
тально расположенного конденсатора находится заря-
женная капля масла массой т = 3 10~8 г. Заряд капли
q = 3 • 10“15 Кл. При разности потенциалов между пласти-
нами U = 500 В и начальной скорости п0 = 0 капля прохо-
дит некоторое расстояние в 2 раза медленнее, чем при
отсутствии электростатического поля. Найти расстояние
между пластинами. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. При наличии электростатического поля
+ + + + +
Рис. 162
на каплю действуют две
силы: сила тяжести mg и
сила F - qE со стороны
электростатического поля
(рис. 162). Под действием
этих сил капля движется с
ускорением а, направлен-
ным вертикально вниз. По
второму закону Ньютона
246
mg + qE = ma.
В проекциях на ось OY уравнение примет вид
mg - qE - тау,
где ау - проекция ускорения на ось OY. Отсюда
ау = (тё ~ ЯЕУ/т-
Поскольку модуль напряженности электростатическо-
го поля Е = U /d, где d - расстояние между пластинами
конденсатора, то
mg-^W
* т
Кинематическое уравнение движения капли имеет вид
у = ayt2/2.
Если капля проходит некоторое расстояние у = h за
время t = то
h = ayt'2/2. (2)
При отсутствии поля капля будет свободно падать с
ускорением g, и поэтому, рассуждая аналогично, получаем
h = gt2/2, (3)
где “ время, за которое капля пройдет расстояние h.
Из соотношений (2) и (3) находим
Ш2=а,
V2 7 ау ’
а так как t\/- 2, то = g, или с учетом формулы (1)
.mg - q(U/d) _
т
Решив это уравнение относительно d, получим:
d = ^~, </ = 7-10~3м.
3mg
514. В однородном электростатическом поле, вектор
напряженности которого направлен вертикально вниз и
247
по модулю равен 10 кВ/м,
находится заряженный шарик
А, подвешенный к точке О на
тонкой изолирующей нити дли-
ной I = 1 м (рис. 163). Заряд
шарика q = 3 • 10~6 Кл, масса
т = 10 г. Шарику сообщили на-
чальную скорость Vq- 1 м/с,
направленную перпендикуляр-
но вектору напряженности Е.
Найти силу натяжения нити в
момент достижения шариком
крайнего положения.
Решение. После сооб-
щения скорости и0 шарик движется по окружности, ради-
ус которой равен длине нити I. Согласно второму закону
Ньютона, сумма проекций всех действующих на шарик сил
на координатную ось, направленную от шарика к центру
окружности О, равна произведению массы шарика и его
центростремительного ускорения а = v2/ R = и2//. Но в
крайнем положении скорость шарика v = 0, поэтому и
сумма проекций сил равна нулю.
На шарик действуют три силы: сила натяжения нити
Т, сила тяжести mg и сила со стороны электростатичес-
кого поля F = qE. Учитывая изложенное выше, составим
уравнение:
Т - (mg + qE) cos а = 0.
Отсюда
_ mg + qE
cosa
Чтобы найти cosa, составим уравнение на основании
закона сохранения энергии, принимая за нулевой уровень
потенциальной энергии уровень начального положения ша-
рика:
mv^/2 = (mg + qE)h.
Как видно из рис. 163,
h-l- /cosa = 2(1 -cosa),
поэтому
mv^/2 = (mg + qE)l(l - cosa).
248
Отсюда
c0Sa = 1____________
2(mg + <?£)/
Подставив это значение в формулу (1), получим:
Т = mg + qE 7 = 0,1 Н.
515. В пространство, где одновременно действуют го-
ризонтальное и вертикальное однородные электростатиче-
ские поля, напряженности которых Ег = 4 • 102 В/м и
Еъ - 3 • 102 В/м, вдоль направления результирующего
поля влетает электрон, скорость которого после прохож-
дения пути I - 2,7 мм уменьшается в 2 раза. Определить
скорость электрона в конце пути. Масса электрона
те = 9,1 • 10~31 кг, его заряд е - 1,6 • 1019 Кл.
Решение. Согласно принципу суперпозиции, вектор
напряженности результирующего электростатического поля
является векторной суммой напряженностей двух полей:
Ё = Ёг + £в.
Этот вектор е_сть диагональ прямоугольника, построенного
на векторах Ег и Ев (рис. 164), следовательно, модуль его
£ = 7£?+£2.
На электрон, влетевший вдоль силовой линии резуль-
тирующего поля, действует направленная противополож-
но вектору Е сила F, модуль которой
249
Изменение кинетической энергии электрона равно ра-
боте действующей на него внешней силы F (силой тя-
жести пренебрегаем):
2 2
mv^ mvf _
~~~2~ “ '
Подставив в эту формулу вместо F ее значение (1), а так-
же = 2^2, получим
J 2 2
2 2 v г в
Отсюда
v2 - + Ев > v2 = 4 -105 м/с.
V от
516. Пластины плоского конденсатора присоединены к
источнику постоянного напряжения U - 700 В. Найти силу
тока, который будет проходить по проводам при сдвигании
одной пластины вдоль другой (рис. 165) со скоростью
v = 7 м/с. Пластины конденсатора квадратные площадью
S = 400 см2. Расстояние между пластинами d = 0,2 см во
время движения остается постоянным. Между пластина-
ми находится воздух (е = 1).
Решение. При движении пластины изменяется
емкость конденсатора, а поскольку напряжение при этом
поддерживается постоянным, то заряд конденсатора изме-
няется на некоторую величину Ад за время А/. Вследст-
вие этого по проводам будет проходить ток силой
/ = (1)
А/
В начальный момент време-
ни емкость конденсатора Q =
= £0S/d. Спустя промежуток
времени А/ после начала дви-
жения площадь пластин, по ко-
торой они перекрывают друг
друга, будет S-vlkt, где I -
ширина пластины, а емкость
г e.0(S-vl&t)
С2=------d----•
При этом заряд конденсатора
уменьшится на
250
Aq = C^U - C2U = U(C[ -С2).
Подставив в это выражение значения Cj и С2, получим
Д?=£Р^..
Теперь по формуле (1), учитывая, что I = VS, найдем
силу тока:
J = Z = 2 -10~9 A.
d
517. Пространство между пластинами плоского конден-
сатора заполнено диэлектриком. При некоторой разности
потенциалов между пластинами энергия конденсатора
W = 2 • 10~5 Дж. После того как конденсатор отключили
от источника напряжения, диэлектрик из конденсатора вы-
нули. При этом против сил электростатического поля надо
было совершить работу А = 7 • 10-5 Дж. Найти диэлектри-
ческую проницаемость диэлектрика.
Решение. Пусть q - заряд конденсатора, С - его
емкость при наличии диэлектрика между пластинами. Тог-
да энергия заряженного конденсатора W = q2/(2С).
После того как вынули диэлектрик, емкость конденса-
тора уменьшилась в г раз: С[ = С/г, заряд остался преж-
ним, а энергия приняла значение
2 2
W1=-^- = ^- = eW.
1 2Q 2С
Изменение энергии равно работе внешних сил: - W =
= А, или гГ - W= А. Отсюда г = 1 + А/W, г = 5.
518. Маленький шарик массой т, имеющий заряд q^,
скользит с высоты h по наклонной плоскости, образующей
с горизонтом угол а (рис. 166). В вершине прямого угла,
образованного высотой h и горизонтом, находится непо-
движный точечный заряд q2. Определить скорость шарика
251
у основания наклонной плоскости, если начальная ско-
рость шарика равна нулю. Трением пренебречь.
Решение. На основании закона сохранения и
превращения энергии составим уравнение:
^kl+^pl=^k2+%2, (1)
где W'pi -кинетическая и потенциальная энергия
шарика, находящегося на высоте h на наклонной плоско-
сти; ^р2 _ кинетическая и потенциальная энергия
шарика у основания наклонной плоскости.
Нулевой уровень потенциальной энергии совместим с
основанием наклонной плоскости. Тогда
=mgh + -^-, Гк1 =0.
Р* s 4те0еА K1
Второе слагаемое в выражении для U7pi представляет
собой потенциальную энергию, обусловленную взаимным
расположением зарядов q\ и q%. Пусть v - скорость ша-
рика у основания наклонной плоскости. Тогда
1^2 = mv2 /2.
В это время расстояние между зарядами, как видно из
рисунка, равно ft/tga. Поэтому
W _ Я\Я2 tg а
Р2 4лЕ0еА
С учетом этих значений энергии уравнение (1) примет вид
mgh + ?1<?2 = mv2 +
s 4яе0еА 2 4яе0еА
Отсюда найдем скорость:
v = Jtgh + —(1 - tg a).
У 2it£0emh
Предлагаем читателю самостоятельно определить, на
какое расстояние смог бы приблизиться к заряду q% ша-
рик, если бы он свободно падал с высоты h. Заряды
одноименные, заряд ^2 укреплен неподвижно.
519. Карманный дозиметр радиоактивного облучения
представляет собой воздушный конденсатор, заряженный
до определенной разности потенциалов. Под влиянием
облучения газ ионизируется, и ионы, перемещаясь к пла-
252
стинам конденсатора, понижают разность потенциалов. При
облучении в 1 рентген в каждом кубическом сантиметре
воздуха при нормальных условиях образуется n.Q= 2 • 109
пар ионов. Сколько рентген покажет дозиметр, если при
емкости конденсатора С = 3 10-12 Ф разность потенциа-
лов снизилась с U\ = 180 В до (/2 = 160 В? Вместимость
камеры V = 1,8 см3. Полученный результат выразить в
единицах СИ.
Решение. Вследствие ионизации воздуха заряд
конденсатора уменьшился на величину
q = qi-q2=CUi-CU2=C(Ui-U2).
С другой стороны, при дозе 1 рентген общий заряд ио-
нов одного знака, образуемых излучением в объеме V,
qQ = engV, где е - заряд электрона. Следовательно, доза
излучения
X = ^-=C{Ul~Ui),X=Q,l Р.
?о enov
Рентген (Р) - внесистемная единица экспозиционной
дозы рентгеновского и гамма-излучения. В СИ единицей
этой дозы является кулон на килограмм (Кл/кг): 1 Р =
= 2,58 • 10-4 Кл/кг. Выразим X в единицах СИ:
X = 0,1 • 2,58 • 10~4 Кл/кг = 3 • 10"5 Кл/кг.
520. В однородное электростатическое поле, напряжен-
ность которого Е = 100 В/см, поместили систему из двух
одинаковых и противоположно заряженных шариков, со-
единенных тонким изолирующим стержнем длиной I = 5 см
(рис. 167). Масса каждого шарика т = 5 г. Модуль заряда
каждого шарика q = 2 • 10~7 Кл. На какой угол повернется
эта система, если шарикам сообщить начальные скорости,
равные Vq = 0,1 м/с и направленные перпендикулярно
линиям напряженности поля? Силой тяжести пренебречь.
Решение. Силы электростатического поля при
повороте системы оказывают тормозящее действие. Работа
этих сил равна изменению кинетической энергии шариков:
АГк=Л, (1)
где - Wk2 - Wki- Конечное значение кинетической
энергии шариков (в момент остановки) Wk2 = 0, началь-
ное IFki = 2--^- = mug. Следовательно,
253
Д№к = -mv%. (2)
Совершаемая полем работа А = Л1 + А%, где А[ и А% ~
работа при перемещении положительного и отрицательно-
го зарядов соответственно. На рис. 167 вертикальными
линиями показаны эквипотенциальные поверхности. При
перемещении положительного заряда q поле совершает ра-
боту = -qEd, где d - расстояние между двумя эквипо-
тенциальными поверхностями. Из рисунка видно, что
d - - -^cosa = -£(1 - cosa).
2 2 2
Тогда
= ~^qEl{\ - cosa).
Такую же работу совершает поле и над отрицательным
зарядом q, т. е. А^ = А^ Следовательно,
А = 2Л1 = -qEl{\ - cosa). (3)
Подставив значения (2) и (3) в выражение (1), полу-
чим
mvQ - qEl(l - cosa),
2
откуда cos a = 1 - . Следовательно,
qEl
a = arccosf 1 - , a = 60°.
254
Задачи для самостоятельного решения
521. В воздухе на тонкой непроводящей нити подвешен
шарик массой т = 2,0 г, имеющий заряд = 20 нКл.
Снизу на расстоянии г = 50 мм по вертикали от него укреп-
лен одноименный заряд q% = 120 нКл. Точка подвеса, за-
ряд и шарик находятся на одной прямой. Определить силу
натяжения нити.
522. Два одинаковых точечных заряда q\ = 2 нКл нахо-
дятся в воздухе на расстоянии г = 15 см друг от друга. С
какой силой они действуют на заряд q% = 6 нКл, находя-
щийся на таком же расстоянии от каждого из них?
523. Два заряженных шарика, находящихся на расстоя-
нии г = 60 см друг от друга в вакууме, притягиваются с
силой F - 0,3 Н. Суммарный заряд шариков Q = 4 мкКл.
Определить заряд каждого шарика. Электрическая постоян-
ная £0 = 1/(4тг 9 • 109) Ф/м.
524. В каждой вершине квадрата находится положи-
тельный заряд q. Какой заряд следует поместить в центре
квадрата, чтобы система зарядов находилась в равновесии?
525. Два одинаковых шарика, имеющих одинаковые
заряды q = 3,3 • 10~6 Кл,
подвешены на одной вы-
соте на тонких невесо-
мых нитях равной длины
(рис. 168). На одинако-
вом расстоянии от этих
шариков и на h = 20 см
ниже их расположен за-
ряд Q. Определить этот
заряд, если известно, что
нити висят вертикально,
а расстояние между ни-
ми d = 30 см.
526. В двух противоположных вершинах квадрата со
стороной а = 30 см находятся заряды q = 2 • 10-7 Кл.
Найти напряженность электростатического поля в двух
других вершинах квадрата.
527. Расстояние между зарядами диполя I = 2 мкм, а
напряженность поля в точке, удаленной от каждого заря-
да на расстояние d = 1 см, Е = 2 В/м. Вычислить модуль
зарядов диполя.
_ д'
h
Рис. 168
255
+
А
+
Рис. 169
528. Две бесконечные одноименно и
равномерно заряженные плоскости пере-
секаются под прямым углом (рис. 169).
Найти напряженность электростатическо-
го поля в точке А, расположенной вбли-
зи линии пересечения. Поверхностная
плотность заряда с = 1,0 • 10-^ Кл/м2 и
одинакова для обеих плоскостей. Плос-
в воздухе (г = 1). Электрическая посто-
янная £0 = 8,85 10-12Ф/м.
529. По поверхности проводящего шара равномерно
распределен заряд с поверхностной плотностью с. Найти
напряженность поля в точке, находящейся от поверхности
шара на расстоянии, равном его диаметру. Электрическая
постоянная равна £0.
530. Шарик массой т = 0,1 г, имеющий заряд q = 9,8 нКл,
подвешен на нити в однородном электростатическом поле,
напряженность которого направлена горизонтально, а ее
модуль Е = 1 • 105 В/м. Найти угол отклонения нити от
вертикали.
531. В двух вершинах равностороннего треугольника
помещены одинаковые заряды q-{ = q2 = q = 4 мкКл. Какой
точечный заряд необходимо поместить в середину сторо-
ны, соединяющей заряды q-{ и q2, чтобы напряженность
электростатического поля в третьей вершине треугольника
оказалась равной нулю?
532. Два разноименных заряда, модули которых |д| оди-
наковы и равны 1,8 • 10-8 Кл, расположены в двух верши-
нах правильного треугольника со стороной а = 2,0 м. Опре-
делить напряженность и потенциал электростатического
поля в третьей вершине треугольника. Окружающая сре-
да - воздух (е = 1).
533. В вершинах квадрата со стороной а расположены
четыре заряда: два из них положительные и два отрица-
тельные, модули зарядов одинаковы и равны q. Опреде-
лить напряженность электростатического поля в точке
пересечения диагоналей квадрата. Рассмотреть все возмож-
ные случаи.
534. Какая работа совершается при перенесении то-
чечного заряда q - 2 10-8 Кл из бесконечности в точку,
находящуюся на расстоянии г = 1 см от поверхности про-
256
водящего шара радиуса R - 1 см с поверхностной плотно-
стью заряда 0 = 1- 10~9 Кл/см2?
535. Металлический шар радиуса R[ = 5,0 см заряжен
до потенциала ф = 150 В. Чему равна напряженность поля
в точке, находящейся на расстоянии г = 10 см от поверх-
ности шара? Какова будет напряженность поля в этой точ-
ке, если данный шар соединить тонкой проволокой с неза-
ряженным шаром, радиус которого /?2 — 10 см, а затем
второй шар убрать?
536. Какую работу требуется совершить для того, что-
бы два одноименных заряда q\ = 2 мкКл и q% = 3 мкКл,
находящихся в воздухе (г = 1) на расстоянии г\ = 60 см
друг от друга, сблизить до расстояния г% = 30 см?
537. В цепи, показан-
ной на рис. 170, разность
потенциалов между точка-
ми А и В U = 250 В. Ем-
кости конденсаторов С/ =
= 1,5 мкФ, С% = 3,0 мкФ,
С3 = 4,0 мкФ. Найти сум-
марный заряд на обклад-
ках конденсаторов Cl, С2
иСЗ.
538. Найти емкость бата-
реи, состоящей из двух по-
следовательно соединенных
конденсаторов (рис. 171),
если известны площадь S
каждой обкладки конденса-
тора, расстояние d между
обкладками каждого из конденсаторов, диэлектрическая про-
ницаемость £ изолятора, заполняющего половину конден-
сатора (краевые эффекты во внимание не принимать).
539. Какой электрический заряд пройдет по проводам,
соединяющим обкладки плоского конденсатора с зажима-
ми аккумулятора, при погружении конденсатора в керосин?
Площадь пластины конденсатора S = 150 см2, расстояние
между пластинами d = 5,0 мм, ЭДС аккумулятора # = 9,42 В,
диэлектрическая проницаемость керосина £ =2,1.
540. Конденсатор емкостью С] = 2 мкФ заряжают до
напряжения U = НОВ. Затем, отключив от источника
9 Зак. 1525
257
тока, замыкают этот конденсатор на конденсатор неиз-
вестной емкости, который при этом заряжается до напря-
жения и% - 44 В. Определить емкость второго конден-
сатора.
541. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между
обкладками которого d\ = 1 см, зарядили до разности по-
тенциалов U\ = 100 В, а затем отключили от источника
напряжения и раздвинули обкладки до расстояния = 2 см.
Определить разность потенциалов между обкладками по-
сле того, как их раздвинули.
542. Конденсатор емкостью С[ = 3 мкФ заряжен до
разности потенциалов U] = 300 В. Конденсатор емкостью
- 2 мкФ заряжен до разности потенциалов U2 = 200 В.
Разноименно заряженные обкладки конденсаторов соеди-
нили попарно. Определить среднюю силу тока, возникше-
го при соединении конденсаторов, если длительность его
прохождения т = 1 с.
543. На дне широкого сосуда с жидким диэлектриком,
диэлектрическая проницаемость которого £, закреплена
пластина конденсатора. Другая пластина, имеющая вид
бруска высотой Н, плавает над ней в диэлектрике. Площа-
ди пластин одинаковы и равны S. На каком расстоянии от
поверхности жидкости будет находиться нижняя плоскость
бруска, если на пластины подать одинаковые по модулю,
но противоположные по знаку заряды q? Плотность жид-
кости рр плотность бруска Р2 (pi > Рг)- Поле между пла-
стинами считать однородным.
544. Два одинаковых конденсатора соединили парал-
лельно, зарядили до напряжения и отключили от ис-
точника. Каким стало напряжение на конденсаторах, ко-
гда в один из них ввели пластину с диэлектрической про-
ницаемостью £, заполняющую весь объем конденсатора?
545. На рис. 172 показана
электрическая цепь, в которой
напряжение источника U = 10 В,
а конденсаторы С1 и С2 имеют
одинаковую емкость: С[ = С2 =
= С = 10 мкФ. Какой заряд прой-
дет через источник после замы-
кания ключа К? Каким станет при
этом заряд конденсатора С1?
258
546. Между вертикальными пластинами плоского воз-
душного конденсатора подвешен на тонкой шелковой нити
маленький шарик, несущий заряд qQ = 3,0 нКл. Какой за-
ряд надо сообщить конденсатору, чтобы нить составила с
вертикалью угол а = 45°? Масса шарика т - 4,0 г, пло-
щадь каждой пластины конденсатора S - 314 см2.
547. В электростатическом поле плоского воздушного
конденсатора, пластины которого расположены горизон-
тально, находится во взвешенном состоянии капелька мас-
ла, несущая заряд, равный заряду электрона. Определить
радиус капельки, если разность потенциалов между пла-
стинами конденсатора U = 5 • 103 В, расстояние между
пластинами d = 5 • Ю-4 м, плотность масла р = 900 кг/м3.
Заряд электрона е = 1,6 • 10-19 Кл.
548. Заряженный шарик массой т = 1,5 г, прикреплен-
ный к невесомой изолирующей нити, покоится в однород-
ном горизонтальном электростатическом поле; при этом
нить отклонена от вертикали на угол а = 30° (рис. 173).
Затем направление поля мгновенно изменяется на проти-
воположное. Найти силу натяжения нити в момент макси-
мального отклонения нити от вертикали после переключе-
ния поля.
549. Два одноименно заряженных шарика массой т =
= 0,50 г каждый подвешены в вакууме на очень тонких
невесомых, нерастяжимых и непроводящих нитях одина-
ковой длины (рис. 174). Каждая из нитей образует с вер-
тикалью угол а = 30°. Затем вся система погружается в
неэлектропроводящую жидкость, плотность которой рав-
на плотности материала шариков, а диэлектрическая про-
ницаемость £ = 2,0. Найти силу натяжения нитей после
Рис. 173
259
погружения в жидкость. Каков характер равновесия ша-
риков?
550. Шар, диаметр которого d = 1 см и заряд q = 1 х
х К)-6 Кл, помещен в масло плотностью pj = 0,8 • 103 кг/м3.
Плотность материала шара р2 = 8,6 • 103 кг/м3. Опреде-
лить направленную вертикально вверх напряженность элек-
тростатического поля, в которое надо поместить шар, что-
бы он плавал в масле.
551. Как изменится ускорение падающего шарика мас-
сой т = 4,0 г, если ему сообщить заряд q = 3,2 • 10~8 Кл?
Напряженность электрического поляДемли Е = 120 В/м
и направлена вертикально вниз.
552. Между пластинами плоского конденсатора, рас-
положенного горизонтально, на расстоянии I = 0,8 см
от нижней пластины «висит» заряженный шарик. Раз-
ность потенциалов между пластинами U\ = 300 В. Че-
рез сколько секунд шарик упадет на нижнюю пластину,
если разность потенциалов мгновенно уменьшится до
U2 = 240 В?
553. В вакууме между пластинами заряженного плос-
кого конденсатора находится в состоянии равновесия за-
ряженный шарик. Найти ускорение, с которым будет дви-
гаться этот шарик после увеличения расстояния между
пластинами на 10%. Ускорение свободного падения g =
= 9,81 м/с2.
554. В горизонтально расположенном плоском воздуш-
ном конденсаторе, заряженном до разности потенциалов
U = 1 кВ, от положительно заряженной верхней пластины
по направлению поля двигалась без начальной скорости
частица с зарядом q = 0,1 нКл. Когда она прошла некото-
рое расстояние, полярность пластин была мгновенно из-
менена на противоположную. Когда частица все же дос-
тигла нижней пластины, она обладала кинетической энер-
гией Wy = 6 • 10-8 Дж. Расстояние между пластинами
d = 2 см. Какое расстояние прошла частица к моменту из-
менения полярности пластин? Силой тяжести, действую-
щей на частицу, пренебречь.
555. Анодное напряжение двухэлектродной электрон-
ной лампы (диода) U = 180 В. С какой скоростью элек-
трон подлетает к аноду, если начальная скорость элек-
трона (вблизи катода) равна нулю? Заряд электрона
е = 1,6 10-19 Кл, масса электрона те = 9,1 • 10-31 кг.
260
556. Электрон влетел в плоский конденсатор, находясь
на одинаковом расстоянии от каждой пластины и имея
скорость v = 1 • 107 м/с, направленную параллельно пла-
стинам. Расстояние между пластинами d = 2 см, длина
каждой пластины I = 2 см. Какую наименьшую разность
потенциалов нужно приложить к пластинам, чтобы элек-
трон не вылетел из конденсатора? Заряд электрона е =
= 1,6 • 10-19 Кл, его масса те = 9,1 • 10-31 кг.
557. Заряженный шарик массой т = 10 г, подвешен-
ный на изолирующей нерастяжимой нити, движется с по-
стоянной угловой скоростью со = 10 рад/с по окружности
радиуса г = 5,0 см (рис. 175). Под точкой подвеса А нахо-
дится другой, неподвижный заряженный, шарик В, при-
чем расстояния АО и ВО до центра окружности О одина-
ковы, а угол а = 45°. Заряды обоих шариков одинаковы.
Найти эти заряды.
558. Электрон влетел в однородное электростатическое поле
напряженностью Е = 1 • 104 В/м со скоростью uq = 8 Мм/с
перпендикулярно силовым линиям. Вычислить модуль и на-
правление скорости электрона в момент времени t = 2 нс.
Масса электрона /пе = 9,1 • 10-31 кг, заряд е = 1,6 • 10-19 Кл.
559. Два одинаковых заряженных шарика, масса каж-
дого из которых т = 10 г, а заряд q = 5 • 10-7 Кл, соедине-
ны двумя изолирующими нитями длиной I = 10 см и 2Z
(рис. 176). Систему удерживают за середину длинной нити,
а затем точку подвеса О начинают поднимать вверх с ус-
корением а, равным по модулю ускорению свободного паде-
261
ния g. Определить силу натяжения короткой нити, соеди-
няющей шарики, во время их подъема.
560. Электрон, двигаясь в вакууме по силовой линии
электрического поля, полностью теряет свою скорость меж-
ду точками с разностью потенциалов U - 400 В. Опреде-
лить, какой была скорость электрона, когда он попал в
электрическое поле. Заряд электрона е - 1,6 • 10~19 Кл,
масса электрона /ие = 9,1 • 10~31 кг.
561. Какой путь по силовой линий проходит а-частица
до полной остановки в однородном тормозящем электро-
статическом поле напряженностью Е = 2000 В/м, если на-
чальная скорость ее v = 2 • 107 м/с. Заряд а-частицы поло-
жительный, q = 3,2 • 10~19 Кл, ее масса т = 6,67 • 10“27 кг.
562. Частица, масса которой т = 1 • 10-4 кг и заряд
q = 1 • 10-8 Кл, влетает в область однородного электроста-
тического поля шириной b = 0,1 м под углом а = 45°, а
вылетает под углом Р = 60° (рис. 177). Определить на-
чальную скорость частицы, если напряженность однород-
ного поля Е = 1 • 106 В/м. Траектория частицы лежит в
плоскости чертежа.
Рис. 177
563. В плоский конденсатор влетает электрон со ско-
ростью v = 2 107 м/с, направленной параллельно об-
кладкам конденсатора. На какое расстояние от своего пер-
воначального направления сместится электрон 'за время
полета внутри конденсатора, если расстояние между пла-
стинами d = 2 см, длина конденсатора Z = 5 см и разность
потенциалов между обкладками U = 200 В? Отношение
заряда электрона к его массе е/т& - 1,76 • 1011 Кл/кг.
262
564. Электрон влетает
в однородное электроста-
тическое поле напряжен-
ностью Е = 148 В/м (рис.
178). В некоторый момент
времени скорость электро-
на v направлена под углом
а = 60° к силовым лини-
ям поля и модуль ее v =
= 2 • 106 м/с. Найти угол
Р, под которым будет на-
правлена скорость элек-
трона через промежуток
времени А? = 3 ' 10-8 с.
Заряд электрона е = 1,6 • 10-19 Кл, масса электрона те =
9,1 • 10-31 кг. Силой тяжести электрона пренебречь.
565. Шарик массой т = 2 г, имеющий положительный
заряд q, начинает скользить без начальной скорости из
точки А по сферической поверхности радиуса R =10 см
(рис. 179). Потенциальная энергия взаимодействия заря-
да q и неподвижного отрицательного заряда Q в началь-
ный момент = -2 • 10-3 Дж. Определить потенциаль-
ную энергию взаимодействия зарядов, когда заряд q нахо-
дится в точке В, если в этом случае результирующая сил
реакции со стороны сферической поверхности и кулоновско-
го взаимодействия, приложенная к шарику, F = 0,1 Н. Уско-
рение свободного падения считать равным 10 м/с2. Трением
между шариком и сферической поверхностью пренебречь.
566. Два одинаковых плоских конденсатора, один из
которых воздушный, а другой заполнен диэлектриком с
диэлектрической проницаемостью Е, соединены, как пока-
зано на рис. 180, и заряжены до напряжения U. Какую
Рис. 180
263
работу надо совершить, чтобы извлечь диэлектрическую
пластинку из конденсатора? Емкость воздушного кон-
денсатора равна С.
567. Атом неона ионизируется при столкновении с элек-
троном, если энергия электрона W = 21,6 эВ (энергия
ионизации). Длина свободного пробега электрона в неоно-
вой лампе между двумя последовательными соударениями
I = 1 мм. Расстояние между плоскими электродами лампы
d = 1 см. Определить напряжение, при котором зажигает-
ся неоновая лампа (будет происходить процесс ионизации).
Считать, что при ударе электрон полностью передает энер-
гию атому неона. Заряд электрона е = 1,6 • 10~19 Кл,
1 эВ = 1,6 • 10~19 Дж.
568. Стеклянная пластинка целиком заполняет зазор
между обкладками плоского конденсатора, емкость кото-
рого при отсутствии пластинки равна Ср. Конденсатор
подключен к источнику постоянного напряжения U. Най-
ти механическую работу, которую необходимо совершить,
чтобы извлечь пластинку из конденсатора. Какую работу
совершит при этом источник? Диэлектрическая проницае-
мость стекла равна £.
569. Напряженность электростатического поля плоского
воздушного конденсатора емкостью С = 4 мкФ Е = 10 В /см.
Расстояние между обкладками d = 1 мм. Определить энер-
гию электростатического поля конденсатора и ее плотность.
570. Определить количество электрической энергии,
перешедшей в теплоту при соединении одноименно заря-
женных обкладок конденсаторов емкостями С/ = 2 мкФ и
С2 = 0,5 мкФ, заряженных до напряжений Щ = 100 В и
= 50 В соответственно.
571. На плоский воздушный конденсатор подается на-
пряжение U = 2,0 кВ. Площадь каждой пластины S =
= 0,24 м2, расстояние между ними d\ = 50 мм. После за-
рядки конденсатор отключают от источника и затем раз-
двигают его обкладки так, что расстояние d% между ними
становится равным 1,5 см. Определить работу, совершен-
ную при раздвигании обкладок конденсатора.
572. Конденсатор емкостью С, заряженный до напря-
жения U, соединили параллельно с таким же незаряжен-
ным конденсатором. Определить изменение энергии сис-
темы после соединения.
573. Конденсатор емкость С = 100 мкФ заряжают по-
стоянным током через резистор, сопротивление которого
264
R = 100 кОм. Через какое время после начала зарядки
энергия, запасенная в конденсаторе, станет равной энер-
гии, выделенной в резисторе?
9. ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Методические указания к решению задач
При решении задач на расчет электрических цепей по-
стоянного тока нужно начертить схему и внимательно про-
анализировать ее: выяснить, как соединены источники тока,
резисторы, конденсаторы. Нередко заданную схему полез-
но начертить несколько иначе, чтобы получить новую схе-
му, эквивалентную данной. При этом можно соединять и
разъединять точки, имеющие равные потенциалы. На но-
вой схеме надо выделить участки, где вид соединения про-
водников (параллельное, последовательное или их комби-
нации) стал очевиден. После этого используют формулы
для расчета сопротивлений, а также закон Ома для участ-
ка цепи и для замкнутой цепи.
Необходимо учитывать, что постоянный ток через кон-
денсатор не проходит. Если конденсатор в цепи постоян-
ного тока соединен параллельно с резистором, то на кон-
денсаторе такое же напряжение, как и на резисторе.
Расчет сложных разветвленных электрических цепей
производят с помощью правил Кирхгофа, при этом дейст-
вия следует выполнять в такой последовательности:
1) произвольно обозначить стрелками направления то-
ков во всех участках цепи;
2) произвольно выбрать направления обхода контуров
(по часовой стрелке или против);
3) составить систему уравнений согласно первому и
второму правилам Кирхгофа, при этом: а) силы токов, вхо-
дящих в узел, берутся со знаком «плюс», а силы токов,
выходящих из узла, - со знаком «минус»; б) если направ-
ление тока совпадает с выбранным направлением обхода
контура, то соответствующее произведение силы тока на
сопротивление берется со знаком «плюс», если не совпада-
ет, - со знаком «минус»; в) ЭДС следует брать со знаком
«плюс», если при обходе контура приходится идти внутри
265
источника тока от отрицательного полюса к положитель-
ному, в противном случае - со знаком «минус»;
4) решить составленную систему уравнений; если при
этом значения некоторых сил токов получатся со знаком
«минус», это означает, что действительные направления
этих токов противоположны указанным на схеме. Разуме-
ется, правила Кирхгофа можно применять и при расчете
простых цепей.
При решении задач на превращение электрической энер-
гии в тепловую и механическую составляют уравнение на
основе закона сохранения и превращения энергии. Задачи
на электролиз решают путем составления уравнений на
основе законов Фарадея.
Основные законы и формулы
Сила постоянного электрического тока
I = q/t,
где q - заряд, переносимый через поперечное сечение провод-
ника за время t.
Плотность электрического тока
j = I/S,
где I - сила тока; S - площадь поперечного сечения проводника.
Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС:
I = U/R,
где I - сила тока, U - напряжение на этом участке; R - сопротив-
ление.
Электрическое сопротивление* проводника длиной I с
постоянной площадью поперечного сечения S
R = p—,
S
где р - удельное сопротивление проводника.
Сопротивление проводника при температуре t
Rf ~ Rq (1 + ot/),
*Вместо термина «электрическое сопротивление» применяется крат-
кая форма «сопротивление», вместо «сила электрического тока» - «сила
тока» и т. п.
266
где Rq - сопротивление проводника при О °C; а - температур-
ный коэффициент сопротивления.
Аналогично выражается зависимость удельного сопротивле-
ния от температуры:
Р/ = р0(1 + at).
Общее сопротивление при последовательном соединении
проводников
R = Rl + /?2 +•••+/?„,
где /?j, У?2> • •,#« _ сопротивления отдельных проводников.
Если /?1 = У?2 = ~ то /? = nRx.
Общее сопротивление при параллельном соединении про-
водников удовлетворяет соотношению
l = _L + A.+...+ _L
У? /?2 Rn
Если /?1 = /?2 = ... = Rn, то R = R\/п.
Закон Ома для замкнутой цепи:
R + r
где I - сила тока в цепи, <S - ЭДС источника; R - сопротивле-
ние внешнего участка цепи; г — внутреннее сопротивление ис-
точника.
Напряжение на зажимах источника
U = 1R = 8 - 1г,
если внутри источника ток направлен от отрицательного полю-
са к положительному; при противоположном направлении тока
(это возможно при наличии в цепи нескольких источников тока)
U = g + 1г.
Сила тока при коротком замыкании источника
1О=^/Г.
Сила тока в цепи при последовательном соединении раз-
личных источников
?i+S2
/? + О + г2 +•••+ гп
где й2> .... ‘fn ~ ЭДС источников; г2, ..., гп - внутренние
сопротивления источников.
267
Сила тока при последовательном соединении п одинако-
вых источников с ЭДС б и внутренним сопротивлением г
I =
R + пг
Сила тока в цепи при параллельном соединении п одина-
ковых источников
R + г/п
Правила Кирхгофа:
I. Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в любом
узле (т. е. в точке разветвления проводников), равна нулю:
/1 + /2 + ... + 1п = 0.
II. В любом замкнутом контуре сумма падений напряжения (т. е.
произведений сил токов /г- на соответствующие сопротивления /?()
равна алгебраической сумме ЭДС, имеющихся в этом контуре:
ЛЛ1 + !2R2 +•••+ {nRn = + % +•••+ %т-
Работа постоянного электрического тока
А = qU = IUt = PRt = ^-t,
где q — заряд, прошедший по проводнику; U - напряжение; I -
сила тока; t - время прохождения тока; R - сопротивление.
Мощность постоянного тока
Р = qU/t = IU = PR= U2/R.
Закон Джоуля-Ленца: количество теплоты, выделяемое
проводником сопротивлением R с током силой /,
Q = PRt,
где t - время прохождения тока.
Полная мощность, развиваемая источником тока,
Р = I^ = [^(R + r) = ~^-,
R + г
где б - ЭДС источника с внутренним сопротивлением г, замк-
нутого на внешнее сопротивление R.
Полезная мощность (мощность, выделяемая на внешнем
участке цепи, сопротивление которого равно R)
Р1=Ги = ^- = Ш-12г= *2r . .
1 R (R + г)2
268
Коэффициент полезного действия (КПД) источника тока
Р ё R+r
Законы Фарадея для электролиза:
I. Масса т вещества, выделившегося на электроде, пропор-
циональна заряду q, прошедшему через электролит:
т = kq = kit,
где k - электрохимический эквивалент вещества; I - сила тока;
t - время его прохождения.
II. Электрохимический эквивалент вещества пропорциона-
лен его химическому эквиваленту:
где F - постоянная Фарадея: F = 9,65 • 104 Кл/моль; F = eN^,
е - заряд электрона; Мд - постоянная Авогадро; М - молярная
масса; п - валентность; Mfn - химический эквивалент.
Объединенный закон Фарадея:
т = -LDLit.
F п
Примеры решения задач
574. Найти сопротивление между точками 1 и 2 цепей,
схемы которых изображены на рис. 181, a (R\ = R% ~
= /?з = /?4 = Т?5 = R) и рис. 181, б.
269
Рис. 182
Решение. Для схемы, показанной на рис. 181, а,
начертим эквивалентную схему (рис. 182, б), из которой
видно, что резисторы R3 и R5 соединены последовательно;
их общее сопротивление равно 2R. Параллельно с ними
соединен резистор R4, сопротивление которого R^ = R.
Общее сопротивление участка цепи между точками 3 и 2
R3-2 = 2RR/(2R + Я) = 2R/3.
Последовательно с этим участком соединен резистор
R2, в результате чего получается цепь, сопротивление ко-
торой
R' — R3-2 + R = 5R/3.
И, наконец, параллельно с этой цепью соединен резистор
R1. Следовательно, общее сопротивление между точками
/ и 2
R]-2 = R'R/(R' + R) = 5R/8.
Схему, приведенную на рис. 181, б, представим в виде
двух одинаковых параллельно соединенных ветвей, разъ-
единив точку 3 на две точки: 3' и 3” (рис. 182, б), кото-
рые вследствие симметричности схемы имеют одинаковый
потенциал. Легко определить, что сопротивление между
точками / и 2 (рис. 182, б) равно 3R/2.
575. Имеется моток медной проволоки, площадь попе-
речного сечения которой S = 0,10 мм2. Масса всей прово-
локи т = 0,30 кг. Определить сопротивление проволоки.
Удельное сопротивление меди р = 0,017 • 10“° Ом • м,
плотность D = 8,9 • 103 кг/м3.
270
Решение. Сопротивление проволоки длиной I
Р = р|. (D
Масса проволоки т = DIS, где D - плотность. Отсюда
I = m/(DS). Подставив это значение в формулу (1), по-
лучим:
R - pm/(DS2), R = 57 Ом.
Рис. 183
576. Амперметр, предназначенный для измерения силы
тока не более /а = 20 мА, необходимо использовать для
измерения силы тока до 7 = 0,5 А. Рассчитать сопротивле-
ние шунта /?ш, если сопротивление амперметра Ra = 5 Ом.
Решение. Если в цепи
сила тока больше максимальной
/а, на которую рассчитан ампер-
метр, то параллельно ему вклю-
чается резистор (шунт), как по-
казано на рис. 183. При этом
ток силой I в цепи частично от-
ветвляется в шунт:
I = 4 +
где /а, /ш - силы токов, идущих
через амперметр и шунт. Пусть сила тока в цепи I = nla,
т. е. в п раз больше 1а. Тогда через шунт идет ток силой
~ 7 - Л = п!я - /я = lAn - 1).
Ш а а а а ' ’
Напряжения на амперметре и шунте одинаковые: IaRa =
= I^Rm- Отсюда /?ш = IaRa/ /ш. Следовательно,
Яш = 7?а/“ О,
где п = [/ 1а. Подставив числовые значения, найдем /?ш =
= 0,2 Ом.
577. Вольтметр, рассчитанный на измерение напряже-
ний до UB = 30 В, имеет внутреннее сопротивление RB =
= 3,0 кОм. Найти сопротивление 7?д добавочного резистора.
Решение. Если измеряемое напряжение больше
максимального UB, на которое рассчитан вольтметр, то
можно последовательно с ним включить добавочный рези-
стор (рис. 184). Пусть RB - сопротивление вольтметра,
/?д - сопротивление добавочного резистора, UB - предел
271
I
Рис. 184
ил=и-иъ = nUB
измерения вольтметра,
U = nUB- измеряемое на-
пряжение, в п раз большее
допустимого. Поскольку
вольтметр и добавочный
резистор соединены после-
довательно, то U - UB +
+ {7Д, отсюда
- UR= UB(n- 1).
Сила тока, проходящего через вольтметр и добавочный
резистор, одна и та же. Поэтому, используя закон Ома для
участка цепи, будем иметь
Us _
fig Rn
откуда 7?д = RB(n - 1), /?д = 27 кОм.
578. При температуре t\ = 20 °C сопротивление плати-
новой проволоки /?] = 20 Ом, а при температуре t2 = 500 °C
/?2 ~ 59 Ом. Найти значение температурного коэффициен-
та сопротивления платины.
Решение. Выражения для сопротивления проволо-
ки при температурах t1 и t2 имеют соответственно вид:
/?! = Ro (1 + atl), R2 = /?0 (1 + at2),
где Rq - сопротивление проволоки при 0 °C; а - темпе-
ратурный коэффициент сопротивления. Разделив почлен-
но первое равенство на второе, получим
_ 1 + ctZj
Л?2 1
Отсюда
а ~ ~ а = 4,4 • ИГ3 К-1.
579. В цепи, схема которой изображена на рис 185,
сопротивления резисторов Rl, R2, R3 равны соответствен-
но 2, 4 и 6 Ом; ЭДС источника тока $'= 10 В, его внутрен-
нее сопротивление г = 0,4 Ом. Что покажет амперметр?
Сопротивлением амперметра пренебречь.
Решение. I способ. Амперметр покажет силу тока
/3, идущего через резистор R3. Пусть Ц - сила тока, идуще-
272
го через резистор R1. В узле В
он разветвляется на токи силой
/2 и /3, поэтому
Л = ^2 + h- (D
Напряжения на резисторах
R2 и R3 равны, т. е.
/2/?2 = /3Я3. (2)
Решив совместно уравнения
(1) и (2), получим
/3 =/^2/(^2 + Л3). (3)
Силу тока Д найдем по зако-
ну Ома для замкнутой цепи:
Л =^/(/? + г), (4)
где R - сопротивление внешней части цепи; г - внутрен-
нее сопротивление источника. Учитывая, что R2 и R3 соеди-
нены параллельно, a R1 - последовательно с ними, не-
трудно найти, что
R = R\ + /?2^з /(^2 + )•
Подставив это значение в формулу (4), получим
j _ _______У(/?2 + /?3)____
1 (Я2 +Я3ХЯ1 + г) + Й2^3 '
Тогда, согласно формуле (3), будем иметь:
II способ. Для узла В на основании первого правила
Кирхгофа составим уравнение:
/1-/2-/3 = о. (1)
Обходя контуры BRzCtiRiB и BR^CR^B против часовой
стрелки, на основании второго правила Кирхгофа соста-
вим уравнения:
^2^2 + = ’ ^3^*3 — ^2^2 ~ 0- (2)
273
Подставив в уравнения (1), (2) числовые значения за-
данных величин, получим систему трех уравнений с тремя
неизвестными
/] — /2 /3 =
4/2 +2,4/] = 10, •
6/3-4/2 =0,.
решив которую, найдем /3 = 0,8 А.
580. Несколько источников тока соединены так, как
показано на рис. 186. Каковы показания амперметра и вольт-
метра? Сопротивление вольт-
метра считать бесконечно
большим. Сопротивлением
амперметра и соединитель-
ных.проводов пренебречь.
Рассмотреть два случая: ко-
гда все источники тока оди-
наковы и когда они имеют
различные ЭДС и различные
внутренние сопротивления.
Решение. Если все п
источников одинаковы, то
сила тока в цепи
/ = __________ %,
пг г
Таково показание амперметра.
Как следует из закона Ома для замкнутой цепи, вольт-
метр покажет на зажимах источника напряжение U = %-1г.
Подставив сюда значения силы тока, получим U = 0.
Если все источники различны, то сила тока в цепи
+ $2 +•••+
Л + Г2 +•••+ Гп '
В этом случае вольтметр покажет {Д 0.
581. В цепи, схема которой приведена на рис. 187, со-
противления резисторов Rl, R2, R3 - соответственно /?] =
= /?2 = 2 Ом, /?з = 5 Ом, ЭДС источника & = 34 В, его
внутреннее сопротивление г = 1 Ом, емкость конденсато-
ра С = 20 мкФ. Определить, какой заряд q пройдет через
ключ К при его замыкании.
Решение. При замкнутом ключе конденсатор заря-
дится до некоторого напряжения U, после чего ток через
274
резистор R2 проходить не
будет. Напряжение U на
конденсаторе равно напря-
жению между точками А и
В. Между этими точками па-
раллельно включены рези-
сторы R1 и R3 (ток через R2
не идет). Поэтому
/?1 +/?з
Заряд на конденсаторе
RlR3
/?1 + /?з
CU = С1
4 =
Силу тока найдем по закону Ома для замкнутой цепи:
) + Г
Подставив это значение в выражение для заряда, получим:
^-^Г’^410-4Кл-
1 + Г—!-*-
Я1Я3
582. ЭДС батареи <£ = 16 В, внутреннее сопротивление
г = 3,0 Ом. Найти сопротивление внешней части цепи,
если известно, что в ней выделяется мощность Ру - 16 Вт.
Определить КПД батареи.
Решение. Мощность, выделяемая во внешней
части цепи (полезная мощность), Ру - I2R, те R - внеш-
нее сопротивление. Силу тока найдем по закону Ома для
замкнутой цепи:
/ = $/(/? +г).
Тогда
Я = , или R2 + f 2г - -^7? + г2 =0.
1 (R+r)2 I BJ
Подставим числовые значения заданных величин в это
квадратное уравнение и решим его относительно R:
R2 + (2 • 3 - ^-)r + З2 = 0, R2 -10/? + 9 = 0,
Ry = 1 Ом, /?2 = 9 Ом.
275
КПД будет иметь два значения, соответствующих двум
найденным значениям внешнего сопротивления:
тц - = 0-25, П2 = тД- = 0,75.
583. ЭДС источника тока 4л = 1,6 В, его внутреннее
сопротивление г = 0,5 Ом. Чему равен КПД источника
при силе тока / = 2,4 А?
Решение. Полная мощность, развиваемая источни-
ком тока, Р = Г$. Внутри источника выделяется мощность
Р2 - fiS. Следовательно, полезная мощность, выделяемая
на внешнем участке цепи,
Р1 = IS - fir.
КПД источника при силе тока I
Pi 1$ —fir , jr п
TI = -4- =-----= 1 - —, n = 0,3.
1 р /g g
584. В цепи, схема которой дана на рис. 188, ЭДС и
внутреннее сопротивление
первого источника тока - со-
ответственно = 2 В и Г] =
= 1 Ом, второго источника -
S2 - 1 В и г2 = 0,5 Ом. Сопро-
тивление внешнего участка це-
пи R = 3,5 Ом. Найти силу тока
в цепи и напряжение на зажи-
мах каждого источника.
Решение. Данная цепь
содержит два последовательно
р и с 188 соединенных источника тока.
Будем считать положительным
направление обхода цепи против часовой стрелки. Тогда
> 0, S2 < 0, и полная ЭДС в цепи S = |^| - |#2|- Соглас-
но закону Ома, сила тока
к1|~Ы (1)
R + /j + г2
Поскольку |#i| > |^21, ток внутри первого источника на-
правлен от отрицательного полюса к положительному, по-
этому напряжение на его зажимах
Ц =*1-1г\.
(2)
276
Внутри второго источника ток направлен от положи-
тельного полюса к отрицательному, поэтому напряжение
на его зажимах
_ (<2 + 1г2.
(3)
Вычисления по формулам (1)-(3) дают: I = 0,2 A, U\ =
= 2 В, U2 = 1 В.
585. Батарея, состоящая из двух одинаковых парал-
лельно соединенных элементов с ЭДС =2 В, замкнута
резистором, сопротивление которого R = 1,4 Ом. Внутрен-
ние сопротивления элементов Г] = 1 Ом и г2 = 1,5 Ом.
Найти силу тока в каждом элементе и во всей цепи.
Решение. При парал-
лельном соединении одинако-
вых элементов батарея имеет
такую же ЭДС, как и ЭДС од-
ного элемента. Внутреннее же
сопротивление батареи рас-
считывают по обычному пра-
вилу параллельного соедине-
ния сопротивлений. Согласно
закону Ома, сила тока в цепи
(рис. 189)
I =-------------- / = 1 А
Рис. 189
Этот ток разветвляется в точке А на токи силой 1\ и 12,
которые обратно пропорциональны сопротивлениям г\ и
г2. Имеем:
/1 + 12 = I, ЦГ1 = 12г2.
Подставив в эти уравнения значения I, ri и г2 и решив
полученную систему, найдем: Ц = 0,6 А, 12 = 0,4 А.
586. К разноименным полюсам батареи, ЭДС которой
? = 120 В и внутреннее сопротивление г = 10 Ом, под-
ключены два провода с одинаковыми сопротивлениями
R = 20 Ом. Свободные концы проводов и их середины со-
единены друг с другом через две лампочки сопротивлением
У?! = 200 Ом каждая. Найти силу тока, идущего через
батарею, и силы токов, проходящих через лампочки.
Решение. Схема соединения показана на рис. 190.
Обозначим на схеме направления токов I, Ц и 12, проходя-
щих через батарею, провода и лампочки. Обходя контуры
277
АЦВ'ёА и AI^BL^A по часовой
стрелке, составляем по второ-
му правилу Кирхгофа уравне-
ния:
1г+ 1^ + 1^ +1 | = &, (1)
= 0. (2)
По первому правилу Кирх-
гофа составим уравнение для
узла А:
1 - Л - /2 = о. (з)
Упростив уравнения (1) и (2)
и добавив к ним уравнение (3),
получим систему трех уравне-
ний с тремя неизвестными
/(/? + г) + I\R\ —
/2(^1 + г) = I\R\,
/-Л-/2 =0.
Подставив числовые значения величин, получим:
30/+ 200/! -120,
220/2 -200/i,
/-/i-/2=0. .
Отсюда найдем: / = 0,89 А, Д = 0,47 А, /2 = 0,42 А.
Предлагаем читателю решить эту задачу, не применяя
правил Кирхгофа, а используя закон Ома для замкнутой
цепи.
587. К источнику, ЭДС которого 8 = 18 В и внутрен-
нее сопротивление г = 0,5 Ом, подключены три одинако-
вых проводника сопротивлением R = 4,5 Ом каждый,
соединенных по схеме, показанной на рис. 191, а. Сопро-
тивлением соединительных проводов АС и BD пренебречь.
Определить силы токов, проходящих через каждый про-
водник.
Решение. В заданной цепи точки А и С имеют
одинаковый потенциал, поэтому их можно объединить. Оди-
наковый потенциал имеют и точки В, D. Объединив точки
А и С, а также В и D, получим схему (рис. 191, б), на
278
Рис. 191
5
которой тип соединения проводников очевиден. Теперь за-
дача решается просто. Поскольку проводники соединены
параллельно, их общее сопротивление равно R/3. По за-
кону Ома сила тока
7 = *
Я/3 + г
Этот ток разветвляется в точке а, и по каждому проводни-
ку проходит ток силой
ц = /2 = /3 = L = = з А.
1 й 3 R + Зг
588. Два элемента, ЭДС которых 8’1 = 6Ви8’2 = 12В
и внутренние сопротивления rj = 0,2 Ом и г2 = 0,5 Ом,
соединены параллельно и замкнуты на резистор сопротив-
лением R = 4 Ом (рис. 192).
Найти силу тока в каждом
элементе и в резисторе.
Решение. Обозначим
произвольно направления то-
ков силой /, /1, /2. Обходя кон-
туры и a&zBra
против часовой стрелки, по
второму правилу Кирхгофа
составим уравнения:
ЛГ1 _ hr2
IR + /2г2 - ^2-
279
Добавим к ним уравнение для узла А, составленное по
первому правилу Кирхгофа:
Ц+12-1 = 0,
и, подставив числовые значения сопротивлений, получим
систему уравнений
ОДЛ - 0,5/2 = “б/
4/ + 0,5/2 = 12, -
/1+/2-/ = 0.
Решив эту систему, найдем: / = 2 А, Д = -7 А, /2 = 9 А.
Минус перед Ц указывает на то, что действительное на-
правление тока силой 7j противоположно произвольно
обозначенному.
589. Имеется источник тока с ЭДС, равной ¥, и внут-
ренним сопротивлением г, замкнутый на реостат (рис. 193).
Выразить мощность Р\, выделяе-
_________________I мую во внешней части цепи,.как
I функцию силы тока 1. Постро-
ить график этой функции. При
какой силе тока эта мощность
и будет максимальной?
| |----------- Решение. Развиваемая
источником полная мощность
Р и с. 193 р= /й. Часть этой мощности
Р2 = fir выделяется внутри ис-
точника, остальная - во внешней части цепи:
PX=I¥ - fir. (1)
Графиком этой функции является парабола, обращен-
ная ветвями вниз. Для построения графика преобразуем
выражение (1):
Pi = -r(l2 - 2 XI + < - О = -r(l - rf + < -
1 \ 2r 4r2 4r2' \ 2r) 4r2
Отсюда видно, что координаты вершины параболы (рис. 194)
/j =й/(2г), Р\т =¥2/(4г). Следовательно, при токе си-
лой
/1 = &/(2г) (2)
мощность, выделяемая во внешней части цепи, будет иметь
максимальное значение: Р1т ~^2/(4г).
280
Пусть внешний участок
цепи имеет такое сопротивле-
ние R, при котором сила тока
равна /р Тогда по закону Ома
для замкнутой цепи
Л = ?/(/? + г).
Сравнивая это выражение с
формулой (2), находим, что
R = г. Таким образом, мы при-
ходим к важному выводу: по-
лезная мощность (мощность, выделяемая на внешнем уча-
стке цепи) максимальна в том случае, когда внутреннее
сопротивление источника равно сопротивлению внешнего
участка цепи. При этом КПД источника
П =
/?
R + г
- 0,5, или т| - 50%.
Из графика, приведенного на рис. 194, также видно,
что каждому значению полезной мощности, кроме макси-
мального, соответствуют два значения сопротивления внеш-
него участка цепи. При силе тока короткого замыкания
Iq ='&/г полезная мощность равна нулю.
590. Нагреватель кипятильника состоит из четырех
секций. Сопротивление каждой секции R = 1 Ом. Нагре-
ватель питается от аккумуляторной батареи, ЭДС которой
<£ = 8 В и внутреннее сопротивление г = 1 Ом. Как сле-
дует подключить элементы нагревателя, чтобы вода в ки-
пятильнике нагрелась в максимально короткий срок? Ка-
ковы при этом полная мощность, расходуемая аккумуля-
тором, и его КПД?
Решение. В решении задачи 589 показано, что
максимальную полезную мощность источник дает в том
случае, когда сопротивление внешнего участка цепи равно
внутреннему сопротивлению источника. Следовательно,
чтобы вода нагрелась в максимально короткий срок, нуж-
но секции включить так, чтобы их общее сопротивление г
было равно 1 Ом. Это условие выполняется, если вклю-
чить только одну секцию или соединить секции в две па-
раллельные ветви по две секции в каждой. При этом акку-
мулятор расходует мощность
= = = Вт.
281
Как показано в решении задачи 589, КПД кипятильника
П = 50%.
591. ЭДС батареи £ = 12 В. Наибольшая сила тока,
которую может дать батарея, 1т = 10 А. Определить макси-
мальную мощность, которая может выделяться во внеш-
ней цепи.
Решение. В решении задачи 589 показано, что
максимальная мощность, которая может выделяться во
внешней цепи,
=S2/(4r),
где г - внутреннее сопротивление источника.
Из закона Ома для замкнутой цепи / = #/(/? +г) вид-
но, что сила тока будет наибольшей при R = 0 (короткое
замыкание). В этом случае 1т = /0 = % /г. Отсюда г = %/1т.
Подставив это значение в формулу мощности, получим:
^=30 Вт.
592. Электрическая плитка имеет сопротивление R = 50 Ом
и питается от сети, напряжение которой U = 220 В. КПД
плитки Т| = 0,8. Сколько времени надо нагревать на этой
плитке лед массой т = 2 кг, взятый при температуре
Т1 = 263 К, чтобы превратить его в воду, а полученную
воду довести до кипения и превратить в пар? Удельная
теплоемкость льда с} = 2,1 • Ю3’Дж/(кг • К), удельная
теплота плавления льда А, = 3,3 • 105 Дж/кг, удельная
теплоемкость воды с2 = 4,19 • 103 Дж/(кг • К), удельная
теплота парообразования воды г = 22,6 • 105 Дж/кг.
Решение. Учитывая КПД, составляем уравнение
теплового баланса:
T]Qi = Q2, (1)
где Qj - количество теплоты, выделяемое плиткой; Q2 ~
количество теплоты, затраченное на нагревание льда до
температуры плавления Тпл = 273 К, на плавление льда,
нагревание полученной воды до температуры кипения
7’к = 373 К и испарение воды.
Если плитка была включена в течение времени t, то
(2)
Л
Составим выражение для Q2:
282
Q2 = сут(Тпл - Ту) + Xm + c2m(TK - Тпл) + rm. (3)
Подставив значения (2) и (3) в уравнение (1), найдем:
_ Рт(су(Тпл -ту + Х + сг^к -T'n.J + H
t = 8 • 103 с = 2 ч.
593. Два потребителя, сопротивления которых Ry и R2,
подключаются к сети постоянного тока первый раз парал-
лельно, а второй последовательно. В каком случае потреб-
ляется большая мощность от сети? Отдельно рассмотреть
случай, когда Ry = R2.
Решение. Потребляемая от сети мощность
P=U2/R, (1)
где U - напряжение в сети; R - общее сопротивление
потребителей.
При параллельном соединении потребителей их общее
сопротивление R' = RyR2/(Ry + /?2), а при последователь-
ном R” = Ry + R2. В первом случае, согласно выражению
(1), потребляется мощность
а во втором
Р2 = (3)
Разделив почленно равенство (2) на (3), получим
Л _ (Д1 + fy)2 - Д1 + , о > 4 (4)
Р2 RyR2 R2 Ry '
Таким образом, при параллельном подключении нагру-
зок потребляется большая мощность от сети, чем при по-
следовательном.
Из формулы (4) следует, что при Ry = R2 будем иметь
Р1 /Р2 = 4, т. е. две параллельно соединенные одинаковые
нагрузки потребляют от сети в 4 раза большую мощность,
чем те же нагрузки, соединенные последовательно.
594. Обмотка электродвигателя постоянного тока сде-
лана из провода общим сопротивлением R = 2 Ом. По
обмотке работающего двигателя, включенного в сеть с
283
напряжением U = 110 В, идет ток силой / = 10 А. Какую
мощность потребляет двигатель? Каков КПД двигателя?
Решение. Электродвигатель потребляет мощность
Р = IU,P = 1,1 103 Вт.
Часть этой мощности затрачивается на нагревание про-
вода обмотки: Ру = PR, остальная мощность Р2 ~ полезная
(превращается в механическую мощность). На основании
закона сохранения и превращения энергии IU = PR + Р2.
Отсюда Р2 = IU - PR. Следовательно, КПД электродвига-
теля
= = IU-I2R = y_IR_
Р IU и ’
595. Замкнутая цепь состоит из источника тока, ЭДС
которого 8 и внутреннее сопротивление г, и реостата (см.
рис. 193). Построить графики зависимости силы тока в
цепи и напряжения на зажимах источника от внешнего
сопротивления R.
Решение. По закону Ома для замкнутой цепи
I = 8/(R + r).
В соответствии с этой формулой график зависимости
I = /(/?) показан на рис. 195, а.
R 0
Рис. 195
Выразим напряжение на зажимах источника как функ-
цию R:
График этой функции показан на рис. 195, б.
284
596. Найти напряжения на конденсаторах емкостями
Ci и С2 в цепи, показанной на рис. 196, если известно, что
при коротком замыкании сила тока, проходящего через
источник, возрастает в п раз.
Решение. Конденсаторы соединены последователь-
но, поэтому заряды на них одинаковы:
q = ClUl=C2U2, (1)
где U\, U2 _ напряжения на первом и втором конден-
саторах соответственно.
Пусть U - напряжение на резисторе (между точками А
и В). Тогда
U = + U2, (2)
так как последовательно соединенные конденсаторы вклю-
чены параллельно резистору.
Решив совместно уравнения (1) и (2) относительно Ul
и U2, получим:
В ветви АС\С2В ток отсутствует, поэтому, как следует
из закона Ома для замкнутой цепи,
U = g - Ir, (4)
где £ - ЭДС источника; / - сила тока, проходящего через
резистор и источник; г - внутреннее сопротивление ис-
точника.
Согласно условию, / = 1q/п, где /ц - сила тока при
коротком замыкании. Так как /д = <f/r, то
285
I = #/(nr). (5)
Из формул (4) и (5) находим
U = (1-1V = <2^1
\ п' п
Подставив это значение U в выражения (3), найдем на-
пряжения на конденсаторах:
п = ~ {J - ~ ^gci
1 л(С| + С2) л(С| + С2)
597. Через двухэлектродную лампу (диод) с плоскими
электродами идет ток силой / = 10 мА. Напряжение на
лампе U = 100 В. С какой силой действуют на анод лампы
падающие на него электроны, если скорость их вблизи
катода равна нулю? Отношение заряда электрона к его
массе е/те = 1,76 • 1011 Кл/кг.
Решение. Пусть v\ - скорость электрона в момент
соударения его с анодом. За время t при силе тока I число
соударений
N = - = —, (1)
е е
где q - заряд, переносимый N электронами; е - заряд
электрона.
По второму закону Ньютона импульс силы, действую-
щей со стороны анода на электроны при соударениях, ра-
вен изменению суммарного импульса электронов:
Ft = N(meV2 - rnevi),
где me - масса электрона; у2 ~ скорость электрона после
соударения. В проекциях на координатную ось, направ-
ленную от анода к катоду, это уравнение будет иметь вид
Ft = N(meV2 + mev\),
или с учетом того, что о2 ~ 0,
Ft = NmsVi, (2)
где F - модуль суммарной силы, с которой анод действует
на электроны. Согласно третьему закону Ньютона, с такой
же по модулю силой действуют электроны на анод. Из
соотношений (1) и (2) получим
286
F = Im^/e.
(3)
Найдем модуль скорости v\, исходя из того, что измене-
ние кинетической энергии электрона в промежутке между
анодом и катодом равно работе электрического поля:
mev^ /2 - eU.
Отсюда oj - J2eU / те . Подставив это значение скорости
в формулу (3), получим:
F = 3,4-10-7 Н.
598. Резистор и конденсатор соединены последовательно
с аккумулятором; при этом заряд на обкладках конденса-
тора <71 = 60 10-5 Кл. Если же резистор и конденсатор
подключить к аккумулятору параллельно, то заряд на об-
кладках конденсатора q% = 40 - 10-5 Кл. Найти внутреннее
сопротивление аккумулятора, если сопротивление резисто-
ра R = 45 Ом.
Решение. В первом случае (рис. 197, а) тока в цепи
нет, напряжение на конденсаторе равно ЭДС источника
<р , поэтому заряд на конденсаторе емкостью С
qi=CUi=C%. (1)
Во втором случае (рис. 197, б) отсутствует ток в ветви
АСВ, напряжение на конденсаторе такое же, как и на под-
ключенном к нему параллельно резисторе, т. е. t/2 =
где I - сила тока. Ее мы найдем по закону Ома для замк-
нутой цепи:
/ = £/(/? +г),
где г - внутреннее сопротивление аккумулятора. Тогда
287
U2 = $R/(R + r),
а заряд на конденсаторе
q2 =CU2 =C8R/(R + r). (2)
На основании выражений (1) и (2) получим уравнение
<72 = q\R/(R + r),
решив которое относительно г, найдем:
г = /?(</) - q2 )/q2, г - 23 Ом.
599. Дуговая лампа горит под напряжением 77 = 80 В
и потребляет мощность Р = 800 Вт. На сколько повысится
температура подводящих проводов через промежуток вре-
мени т = 1 мин после включения лампы, если проводка
выполнена медным проводом, площадь поперечного се-
чения которого 5 = 4 мм* 2? Половина выделившегося
количества теплоты отдается окружающей среде. Удель-
ное сопротивление меди р = 1,7 10-8 Ом м, плот-
ность меди D = 8,9 • 103 кг/м3, удельная теплоемкость
с = 395 Дж/(кг К).
Решение. По проводам проходит ток силой I = Р/ U.
За время т в них, согласно закону Джоуля-Ленца, выде-
лится количество теплоты
Qi = I2Rt = ^Rt,
1 U2
где R ~ сопротивление проводов: R - р-^; I - длина про-
водов. Выразим I через объем V и площадь поперечного
сечения 5: I = V/S. А так как объем меди V = т/D, где
т - масса меди, D - ее плотность, то
Следовательно,
1 _ т р _
" DS ’ К ' DS2 '
_ Р2ртх
Ql~uW'
(1)
Количество теплоты, затраченное на нагревание меди
на АГ,
Q2 = ст&Т. (2)
Учитывая условие Q2 = цб/, где г, = 0,5, получаем на
основании выражений (1) и (2)
288
Отсюда
. rr, Р2ртх
стЛТ = т| ,/ „ .
и2 ds2
дТ = -^рт-, ДГ = 0,9 К.
U2S2cD
600. Источник тока, ЭДС которого 8 и внутреннее со-
противление г, замкнут на внешнюю цепь. При изменении
ее сопротивления сила тока / в цепи также изменяется.
Найти зависимость КПД источника от силы тока /. На-
чертить график этой зависимости.
Решение. КПД источника тока
т\ = Рх/Р, (1)
где Рх - мощность, выделяемая на внешней цепи (полез-
ная мощность); Р - полная мощность, развиваемая источ-
ником. Полезную мощность Рх можно выразить как раз-
ность между полной мощностью и мощностью Р2, выде-
ляемой внутри источника: Рх - Р - Р2-
При силе тока / и ЭДС & будем иметь:
Р = Ж, Р2 = /2г,
где г - внутреннее сопротивление источника. Тогда
Рх = 1¥ - /2г.
Подставив значения Рх и Р2 в формулу (1), получим:
/$ - 12Г , г .
Т] - ------, ИЛИ Т] - 1 - - /.
/S 1 е
Графиком зависимости КПД источника Т| от силы тока
/ является прямая (рис.
198). Из рисунка, в част-
ности, видно, что при силе
тока /0 = <f/r, т. е. при
коротком замыкании, КПД
источника равен нулю.
601. В цепи, схема кото-
рой изображена на рис. 199,
тепловая мощность, выде-
ляемая во внешней цепи,
одинакова при замкнутом
и разомкнутом ключе К.
Рис. 198
10 Зак. 1525
289
. Определить внутреннее сопротив-
----------[I----------- ление источника, если /?] = 12 Ом,
' /?2 ~ 4 Ом.
Решение. Выделяемая
I----1 во внешней цепи тепловая мощ-
ность
Р = /2Й,
R2 К/ , D
I—I X где / - сила тока; к - сопро-
тивление внешней цепи.
Рис. 199 При замкнутом ключе внеш-
няя цепь состоит из двух соеди-
ненных параллельно резисторов, и ее сопротивление, сле-
довательно,
Я = Я1Я2/(/?1+Я2). О)
Во внешней цепи в этом случае выделяется мощность
/ \2
P1 = 712/? = ЫЫ R’ (2)
где $ - ЭДС источника тока; г - его внутреннее сопро-
тивление.
При разомкнутом ключе внешняя цепь состоит из одно-
го резистора, сопротивление которого /?1; поэтому в ней
выделяется мощность
„ / \2
Р2 = /2Я1=ЬгГЬ) *' <3)
Учитывая, что Pj = Р2, на основании формул (2) и (3)
получаем
(Я + г)2 (Я] + г)2
Решив это уравнение относительно г, найдем г = Jp\R
Подставив значение R из формулы (1), получим:
I ^1 с Г\
г = . г = о Ом.
у 7?! + Т?2
602. Батарея аккумуляторов замкнута резистором, па-
раллельно которому присоединен конденсатор емкостью
С = 10 мкФ (рис. 200). Определить ЭДС батареи, если
290
заряд на конденсаторе q = 4,6 х
х 10-4 Кл, а в резисторе выде-
ляется мощность Р = 23 Вт и
известно, что сила тока при
коротком замыкании батареи
/0 = 5,0 А.
Решение. ЭДС равна
сумме падений напряжения на
внешнем и внутреннем участ-
ках цепи:
% = U + Ir, (1)
где U - падение напряжения на резисторе; I - сила тока в
цепи; г - внутреннее сопротивление батареи.
Падение напряжения на резисторе равно напряжению
на конденсаторе:
.U = q/C. (2)
Выделяемая в резисторе мощность Р = IU. Отсюда сила
тока
I=P/U=PC/q. (3)
Сила тока при коротком замыкании /0 - %/г, откуда
r = %/IQ. (4)
Подставив в уравнение (1) значения (2)-(4), получим
у - ? PCg (5)
С qlo
Решив уравнение (5) относительно %, найдем:
8 = = 51 В.
C(qlQ - PC)
603. Электродуговая печь потребляет ток силой / = 200 А
от сети с напряжением U = 220 В. Последовательно с
печью включен ограничивающий резистор сопротивлением
R - 0,2 Ом. Определить мощность, потребляемую печью.
Решение. Сила тока, проходящего через резистор,
равна /, так как резистор включен последовательно с
печью. Значит, в нем выделяется мощность = У2/?. Печь
вместе с резистором потребляет мощность Р = IU. Следо-
вательно, потребляемая печью мощность
291
Р2 = Р - f\ = IU - 72Я.
После подстановки числовых значений величин полу-
чим Р2 = 3,6 • 104 Вт.
604. Электрическая плитка мощностью Р\ - 550 Вт
для сети с напряжением t/j = 220 В была включена в сеть
с напряжением U2 - 127 В. Какая мощность потребляется
плиткой при таком включении? На сколько нужно укоро-
тить спираль, чтобы плитка потребляла мощность Р\ при
напряжении U2?
Решение. При заданном включении потребляемая
плиткой мощность
P2=U2/Ri, (1)
где - сопротивление плитки.
При включении в сеть с напряжением t/j потребляе-
мая мощность Р\ = (7 2 /Отсюда R\ =U^/Py. Подста-
вив это значение в формулу (1), получим:
Р2 = Pi(t/2/t/i)2, Р2 = !85 Вт.
Чтобы плитка потребляла мощность Р\ при напряже-
нии U2 < U\, надо укоротить спираль на некоторую вели-
чину А/, т. е. 12 = /1 - А/. Поскольку сопротивление спи-
рали прямо пропорционально ее длине, то
= (2)
4 «1
При напряжении U2 и сопротивлении R2 мощность
Л = U$/R2.
Учитывая, что Pj = U^/R\, получаем (72/R\ -U2/R2.
Отсюда R2/7?i = (U2/t/j)2. Подставив значение этого отно-
шения в формулу (2), будем иметь
4 - д/ _ (и2 г
4 ’
откуда
г,, \2
^ = 1-1^. ] , М. = 0,67,
l\ k 44 J 4
т. е. спираль надо укоротить на 0,67 ее длины.
292
605. Сколько времени нужно пропускать ток силой
I - 1,8 А через раствор соли серебра, чтобы на N - 12 лож-
ках, служащих катодом и имеющих площадь поверхности
S = 50 см2 каждая, отложился слой серебра толщиной
h = 0,058 мм? Плотность серебра р = 10,5 • 103 кг/м3,
молярная масса серебра М = 108 • 10-3 кг/моль, его валент-
ность п = 1. Постоянная Фарадея F = 9,65 • 104 Кл/моль.
Решение. По закону Фарадея масса серебра, отло-
жившегося на ложках,
rn = |^Z?, (1)
F п
где t - время прохождения тока.
С другой стороны,
т - pV = pNSh,
(2)
где V - объем выделившегося серебра; h - толщина слоя.
Из выражений (1) и (2) следует, что
t = nFp^rSh, / = 1,8 104 с = 5 ч.
Ml
606. На рис. 201 представлены графики зависимости
массы двух различных веществ, выделяемых на электро-
дах при электролизе, от вре-
мени прохождения тока через
электролит. Какому из этих У
графиков (/ или 2) соответст- /
вует вещество с большим элек- /
трохимическим эквивалентом,
если сила тока, проходящего
через электролит, в обоих слу-
чаях одинакова? Ответ обое-
новать.
Решение. Согласно Рис. 201
закону Фарадея, масса веще-
ства, выделяемого на электроде за время t при силе тока I,
т = kit, где k - электрохимический эквивалент вещества.
Отсюда следует, что график зависимости т - f(t) есть
прямая, составляющая с положительным направлением оси
t такой угол а, что tga = kl. Ив рис. 201 видно, что
«1 > «2- Следовательно, k^ > k^I и kl > k%, т. е. веществу
с большим электрохимическим эквивалентом соответствует
график 1.
293
607. При электролизе раствора медного купороса на
катоде за некоторое время выделилось т - 2,0 г меди при
силе тока / = 0,25 А. Расстояние между прямоугольными
электродами I = 30 см, площадь каждого электрода
S = 50 см2. Найти изменение расхода электроэнергии, тре-
буемой для получения такой же массы меди при той же
силе тока, если расстояние между электродами увеличилось
вдвое, а глубина погружения электродов - в 4 раза. Удель-
ное сопротивление раствора р = 0,33 Ом • м, электрохи-
мический эквивалент меди k - 3,3 • 10-7 кг/Кл.
Решение. Согласно закону Фарадея, масса меди,
выделившейся на катоде, т = kit, где t - время, в течение
которого ток пропускали через раствор.
Поскольку в первом и во втором случаях выделяется
одинаковая масса меди при той же силе тока, то время
пропускания тока тоже одинаковое: =
В первом случае расход электроэнергии
Wi = I2R]t,
во втором
W2 = I2R2t,
где Rlt R2 - сопротивление электролита в первом и вто-
ром случаях соответственно.
Пусть d - ширина электрода, h - глубина погружения
в первом случае. Тогда dh = S и
R\ = р — = р —, = р = р —
1 v dh Н S’ 2 н dlh P2S
Отсюда видно, что R2< R\. Следовательно, W2 < W^. Зна-
чит, расход энергии во втором случае меньше, чем в пер-
вом, на величину
Wi-W2 =1,5-104 Дж.
Задачи для самостоятельного решения
608. Найти среднюю скорость упорядоченного движе-
ния электронов в медном проводнике, площадь поперечно-
го сечения которого S = 4,0 мм2, при силе тока I = 1,0 А,
294
предполагая, что концентрация свободных электронов равна
концентрации атомов проводника. Заряд электрона е = 1,6 х
х 10-19 Кл, плотность меди р = 8,9 • 103 кг/м3, молярная
масса меди М = 63,5 • 10-3 кг/моль.
609. Какую относительную погрешность делают, вы-
числяя сопротивление R по показаниям амперметра и вольт-
метра (рис. 202) без учета силы тока, проходящего через
вольтметр? Амперметр показывает /а = 2,4 А, вольтметр -
UB - 7,2 В. Сопротивление вольтметра /?в - 1000 Ом.
Рис. 203
610. Когда ключ К замкнут, сопротивление Ry между
точками А и В цепи, схема которой изображена на рис. 203,
равно 80 Ом. Определить сопротивление между этими точ-
ками, когда ключ разомкнут.
611. Сопротивление проволоки Ry = 64 Ом. Когда ее
разрезали на несколько разных частей и соединили эти
части параллельно, полученная цепь имела сопротивление
/?2 = 4 Ом. На сколько частей разреза-
ли проволоку?
612. Найти сопротивление проволоч-
ного куба, если он включен в цепь так,
что ток проходит в направлении, показан-
ном на рис. 204. Сопротивление каждого
ребра R = 6 Ом.
613. В цепи, схема которой приведе-
на на рис. 205, Ry - 1 Ом, R% = 2 Ом,
/?3 = 3 Ом, /?4 = 4 Ом, If = 50 В. Какое р и с. 204
напряжение покажет вольтметр? Внут-
ренним сопротивлением источника пренебречь.
614. Вольтметр, рассчитанный на измерение напряже-
ний до UB = 10 В, имеет сопротивление RB = 400 Ом.
Найти сопротивление добавочного резистора, который не-
обходимо подключить к вольтметру, чтобы измерять на-
пряжение до U = 100 В.
295
Рис. 205
615. Параллельно амперметру, сопротивление которого
/?а = 0,03 Ом, включен медный проводник длиной Z = 10 см и
диаметром d = 1,5 мм. Какова сила тока в цепи, если ам-
перметр показывает /а = 0,40 А? Удельное сопротивление
меди р = 1,7 • 10-8 Ом • м.
616. Амперметр, сопротивление которого Ra = 2 Ом,
рассчитан на токи силой до /а = 0,1 А. Его требуется ис-
пользовать для измерения токов силой до I = 10 А. Сколь-
ко метров медной проволоки с площадью поперечного се-
чения S = 1,7 • 10-6 м2 необходимо для этого подсоеди-
нить к амперметру? Удельное сопротивление меди р =
= 1,7 • 10“8 Ом • м.
617. Два вольтметра, сопротивления которых Ry = 4200 Ом
и /?2 = 4800 Ом, соединены последовательно и подключены к
источнику постоянного напряжения U = 300 В. Каждый
вольтметр рассчитан на предельное напряжение 150 В.
Каковы будут показания вольтметров?
618. При перемещении заряда q = 20 Кл по проводнику
сопротивлением R = 0,5 Ом совершена работа А = 100 Дж.
Найти время, в течение которого по проводнику шел по-
стоянный ток.
619. Лампа мощностью Р = 500 Вт рассчитана на на-
пряжение Uy = НО В. Определить сопротивление доба-
вочного резистора, позволяющего включать ее в сеть на-
пряжением U<2 = 220 В.
620. Два электрических нагревателя мощностями
Ру = 600 Вт и Р% = 400 Вт, рассчитанные на одинаковое
напряжение, соединены последовательно и включены в сеть
с таким же напряжением. Какая мощность потребляется
при таком включении каждым нагревателем?
296
621. Мощность Р = 5 кВт необходимо передать на не-
которое расстояние. Мощность потерь энергии не должна
превышать kP, где k = 0,1. Какое наибольшее сопротивле-
ние может иметь линия электропередачи, если напряже-
ние между проводами U = НОВ?
622. Если батарею замкнуть проводником сопротивле-
нием Ry = 2,0 Ом, то сила тока в цепи 1у = 1,6 А, а если
эту же батарею замкнуть проводником с сопротивлением
/?2 = КО Ом, то сила тока 1% = 2,0 А. Найти мощность
потерь энергии внутри батареи и КПД батареи в обоих
случаях.
623. Два одинаковых резистора сопротивлением R каж-
дый подключаются к источнику, ЭДС которого и внут-
реннее сопротивление г, сначала параллельно, а затем по-
следовательно. В каком случае выделяется большая мощ-
ность во внешней цепи?
624. Определить напряжение источника, к которому с
помощью нихромового провода длиной Z =19,2 м и диамет-
ром d = 3,0 • 10-4 м надо подключить лампочку мощностью
Р = 40 Вт, рассчитанную на напряжение Uy = 120 В,
чтобы она горела нормально. Удельное сопротивление ни-
хрома р = 1,1 • 10“° Ом м.
625. Какова минимальная масса медного провода,
предназначенного для передачи потребителю мощности
Р = 12 кВт на расстояние I = 100 м от генератора напряже-
нием U = 220 В, если мощность потерь энергии равна kP,
где k = 0,02? Плотность меди D = 8,9 • 103 кг/м3, удель-
ное сопротивление меди р = 1,7 • 10-8 Ом • м.
626. Резистор сопротивлением R, подключенный к ис-
точнику тока, потребляет мощность Р. Если к нему под-
ключить параллельно еще такой же резистор, то вместе
они потребляют такую же мощность. Каковы ЭДС и внут-
реннее сопротивление источника тока?
627. Две лампы имеют мощности Ру = 20 Вт и Р% = 40 Вт
при стандартном напряжении сети. При их последователь-
ном включении в сеть с другим напряжением оказалось,
что в первой лампе выделяется такая же мощность, что и
при стандартном напряжении. Какая мощность выделяет-
ся при этом во второй лампе? Изменением сопротивления
нитей ламп с температурой пренебречь.
628. Электродвигатель, сопротивление обмоток кото-
рого R = 2 Ом, подключен к генератору с ЭДС = 240 В
и внутренним сопротивлением г = 0,4 Ом. При работе дви-
297
гателя через его обмотки проходит ток силой 7 =10 А.
Найти КПД электродвигателя. Сопротивление подводящих
проводов пренебрежимо мало.
629. Электродвигатель подъемного крана работает под
напряжением U = 380 В при силе тока 7 = 20 А. Каков
КПД двигателя, если груз массой т = 1000 кг кран подни-
мает равномерно на высоту h = 19 м за время t = 50 с?
630. Источник тока с ЭДС <? = 6 В дает ток, макси-
мальная сила которого 7тах = 2 А (при коротком замыка-
нии). Какова наибольшая мощность, которая может быть
выделена на внешнем участке цепи?
631. При подключении резистора сопротивлением
7? = 15 Ом к источнику тока с ЭДС <? = 10 В мощность,
выделяемая на этом резисторе, составляет k = 0,75 пол-
ной мощности. Какую максимальную мощность может
выделить во внешней цепи данный источник?
632. Три лампочки мощностью Р\ - 50 Вт, Тэ2 = 25 Вт
и 7эз = 50 Вт, рассчитанные на напряжение U j = НОВ
каждая, соединены, как показано на рис. 206, и включены
в сеть с напряжением 772 = 220 В. Определить мощность,
потребляемую каждой лампочкой.
633. К аккумулятору, внутреннее сопротивление кото-
рого г = 1,0 Ом, подключена проволока сопротивлением
7? = 4,0 Ом, а затем параллельно ей - еще одна такая же.
Во сколько раз изменится количество теплоты, выделяю-
щееся в первой проволоке, после подключения второй?
Время прохождения тока в обоих случаях одинаковое.
634. При ремонте электроплитки ее спираль укороти-
ли на 0,10 ее первоначальной длины. Во сколько раз изме-
нилась при этом мощность плитки?
635. В электронагревателе, рассчитанном на напряже-
ние U = 120 В, используется нихромовая проволока, пло-
298
щадь поперечного сечения которой S = 0,50 мм2. С помо-
щью этого нагревателя необходимо за время х = 10 мин
превратить в пар воду массой т = 1,0 кг, взятую при тем-
пературе tl - 20 °C. Какой должна быть длина проволоки,
если КПД нагревателя т| = 0,8? Удельное сопротивление
нихрома р = 1,1 10-6 Ом • м, удельная теплоемкость
воды с = 4,19 103 Дж/(кг • К), удельная теплота парооб-
разования воды г = 22,6 105 Дж/кг.
636. Как изменится температура медного стержня, если
по нему в течение времени t = 0,5 с будет проходить ток,
плотность которого j = 9 А/мм2? При расчете принять, что
теплообмен с окружающими телами отсутствует. Удельное
сопротивление меди р = 1,7 • 10-8 Ом • м, ее плотность
D = 8,9 • 103 кг/м3, удельная теплоемкость с = 380 Дж/(кг • К).
637. При силе тока 1у = 3,0 А во внешней цепи батареи
выделяется мощность Ру = 18 Вт, при силе тока 1% = 1,0 А -
соответственно Р% = 10 Вт. Определить ЭДС и внутреннее
сопротивление батареи.
638. Электрический нагреватель работает от сети с на-
пряжением U = 120 В при силе тока / = 5,0 А и за время
х = 20 мин нагревает т = 1,5 кг воды от = 16 °C до
/2 = ЮО °C. Определить потери энергии в процессе нагре-
вания и КПД нагревателя. Удельная теплоемкость воды
с = 4,19 • 103 Дж/(кг К).
639. В нагревателе электрической плитки две секции.
При включении одной секции вода в кастрюле закипает
через Xi = 8,0 мин, а при включении второй (без первой) -
через х2 = 20 мин. Через сколько минут закипит вода в
кастрюле, если обе секции включить: параллельно; после-
довательно? Условия нагревания во всех случаях одинаковы.
640. Нагреватель электрического чайника состоит из
двух спиралей, сопротивления которых одинаковы. При
параллельном соединении спиралей и включении их в сеть
вода в чайнике закипает через = 3 мин. Через сколько
времени закипит вода, имеющая ту же массу и такую же
начальную температуру, если спирали нагревателя соеди-
нить последовательно и включить в ту же сеть?
641. Источник тока замыкается один раз проводником
сопротивлением Ry = 4 Ом, а другой - сопротивлением
/?2 = 9 Ом. В обоих случаях количество теплоты, выделив-
шееся в проводниках за одно и то же время, одинаково.
Определить внутреннее сопротивление источника.
299
642. Во сколько раз изменится тепловая мощность,
выделяющаяся в электрической цепи, при перемене по-
лярности на клеммах 1 и 2 (рис. 207)? Считать модуль
напряжения на клеммах постоянным, диоды идеальными,
сопротивления резисторов одинаковыми.
643. Лампочка накаливания мощностью Р = 180 Вт
используется для обогрева аквариума, содержащего
V = 1 • 10~3 м3 воды. За т = 2 мин вода нагревается на
ДТ = 3 К. Какая часть расходуемой лампочкой энергии те-
ряется в виде лучистой энергии? Удельная теплоемкость воды
с = 4,19 • 103 Дж/(кг • К), плотность воды р = 1 • 103 кг/м3.
644. Аккумулятор, внутренним сопротивлением кото-
рого можно пренебречь, поочередно замыкают на два раз-
ных резистора, при этом в первом случае сила тока Ц = 3 А,
а во втором - /2 = 6А. Найти силу тока, идущего через
аккумулятор, если замкнуть его на эти резисторы, соеди-
ненные последовательно.
645. Схема электрической цепи и ее параметры пока-
заны на рис. 208. Найти заряды на каждом конденсаторе.
Внутренними сопротивлениями источников тока пренеб-
речь.
646. Если вольтметр, имеющий конечное сопротивле-
ние, подключен параллельно резистору сопротивлением Rlt
то он показывает напряжение 1/| = 6 В, а если параллель-
но резистору сопротивлением /?2, ~ то (/2 = 4 В (рис. 209).
Каковы будут напряжения на резисторах, если вольтметр
не подключать? ЭДС батареи = 12 В, ее внутреннее
сопротивление пренебрежимо мало.
300
647. Найти сопротивление резистора, включенного в
цепь, схема которой приведена на рис. 210, если известно,
что в плоском конденсаторе напряженность электрическо-
го поля Е = 2250 В/м, расстояние между пластинами кон-
денсатора d = 0,2 см, ЭДС источника тока g = 5 В, его
внутреннее сопротивление г = 0,5 Ом.
648. При замкнутом ключе К (рис. 211) вольтметр VI
показывает напряжение U = 0,8$, где 8 - ЭДС источника
тока. Что покажут вольтметры VI и V2 при разомкнутом
ключе, если их сопротивления равны?
649. Определить заряд конденсатора, если при корот-
ком замыкании источника (рис. 212) сила тока в нем уве-
301
личивается в п раз. ЭДС источника равна емкость кон-
денсатора С.
650. Два одинаковых резистора сопротивлением
R - 100 Ом каждый, соединенных параллельно, и последо-
вательно соединенный с ними резистор сопротивлением
R = 200 Ом подключены к источнику постоянного тока. К
концам параллельно соединенных резисторов подключен
конденсатор емкостью С = 10 мкФ. Определить ЭДС источ-
ника тока, если заряд на конденсаторе q = 2,2 • 10-4 Кл.
Внутренним сопротивлением источника и сопротивлением
проводов пренебречь.
651. Напряжение на внешнем участке цепи Uy = 5 В,
сила тока /] = 3 А. После изменения сопротивления этого
участка напряжение U% = 8 В, а сила тока /2 = 2 А. Найти
ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока.
652. Два резистора, ис-
точник постоянного тока и
вольтметр соединены, как
показано на рис. 213. При
замкнутом ключе К вольт-
метр показывает напряжение
Uy - 16 В. Если ключ ра-
зомкнуть, вольтметр показы-
вает (]% = 20 В. Найти ЭДС
источника, пренебрегая от-
ветвлением тока в вольт-
Р и с. 213 метр.
653. В цепи, схема которой изображена на рис. 214,
емкость конденсатора С = 23 мкФ, резисторы имеют оди-
наковые сопротивления R = 20 Ом. ЭДС батареи $ = 12 В,
ее внутреннее сопротивление г = 2,0 Ом. Определить за-
ряд на конденсаторе.
654. Аккумулятор, внутреннее сопротивление которо-
го г =1,0 Ом, заряжается от источника напряжением U = 24 В.
При зарядке через аккумулятор идет ток силой I = 1,0 А.
Найти ЭДС аккумулятора.
655. Зарядка аккумулятора производится током силой
/1 = 4,0 А при напряжении на клеммах аккумулятора
U) = 12,6 В. При разрядке аккумулятора сила тока в цепи
/2 = 6,0 А, напряжение на клеммах t/2 = 11,1 В. Найти
силу тока короткого замыкания.
656. Два источника тока с ЭДС = 4 В и ?2 = 6 В и
внутренними сопротивлениями г у =0,1 Ом и г2= 0,4 Ом
302
соединены последовательно. При каком сопротивлении
внешней цепи напряжение на зажимах второго источника
будет равно нулю?
° R
й R
// |,4Г
Рис. 215
нескольких
Рис. 214
657. Два источника тока с внутренним сопротивлени-
ем г = 0,2 Ом каждый и с оди-
наковыми ЭДС соединены па-
раллельно и подключены к ре-
зистору (рис. 215, а). Если эти
источники соединить последова-
тельно и замкнуть тем же рези-
стором (рис. 215, б), то выделяю-
щаяся в нем мощность возрастет
в k = 2,25 раза. Определить со-
противление резистора R.
658. Батарея, состоящая из
аккумуляторов, включена во внещнюю цепь, сопротивление
которой R. При каком значении внутреннего сопротивле-
ния г аккумулятора сила тока в цепи будет одинакова как
при последовательном, так и при параллельном соедине-
нии аккумуляторов в батарею?
659. Три одинаковых источника тока соединены после-
довательно и замкнуты проводником, сопротивление кото-
рого R = 2 Ом. При этом соединении сила тока в провод-
нике /j = 2 А. При параллельном соединении источников
в том же проводнике идет ток силой /2 = 0,9 А. Найти
ЭДС и внутреннее сопротивление каждого источника.
660. Источники тока, имеющие одинаковые внутрен-
ние сопротивления г = 0,5 Ом, подключены к резисторам,
каждый из которых имеет сопротивление R (рис. 216). ЭДС
303
Рис. 216
источников тока - соответст-
венно = 12 В и #2 = 6 В.
Найти сопротивление R, при
котором ток в цепи ABCD не
идет.
661. Электрическая лам-
почка мощностью Р = 60 Вт,
рассчитанная на напряжение
U = НО В, подключена к
источнику с ЭДС % = 120 В
и внутренним сопротивлени-
ем г = 60 Ом. Найти мощ-
ность, которую потребляет лампочка при таком включе-
нии. Будет ли она гореть полным накалом?
662. При электролизе раствора серной кислоты за
т = 50 мин выделилось т = 0,30 г водорода. Определить
мощность, затраченную на нагревание электролита, если
его сопротивление R = 0,40 Ом. Электрохимический экви-
валент водорода k = 0,01 • 10-6 кг/Кл.
663. Для проверки правильности показаний ампермет-
ра его включают последовательно с электролитической ван-
ной. Какую абсолютную погрешность дает амперметр, если
он показывает ток силой I = 1,7 А, а за время t = 21 мин на
катоде ванны откладывается т = 0,6 г никеля? Электрохи-
мический эквивалент никеля k = 3 • 10-7 кг/Кл.
664. Какой заряд проходит через раствор медного ку-
пороса за время t - 10 с, если сила тока за это время
равномерно возрастает от 0 до I = 4,0 А? Сколько меди
выделяется при этом на катоде? Электрохимический экви-
валент меди k = 3,3 • 10-7 кг/Кл.
665. Для получения меди включено последовательно
N - 400 электролитических ванн. Площадь катодных пла-
стин в каждой ванне S = 16 м2. Плотность электрического
тока j = 200 А/м2. Найти массу меди, получаемой за вре-
мя t = 24 ч, и расход энергии за то же время, если напря-
жение на ваннах U - 100 В. Электрохимический эквива-
лент меди k = 3,3 • 10-7 кг/Кл.
666. При никелировании пользуются током, плотность
которого / = 0,14 А/дм2. Сколько времени требуется для
отложения слоя никеля толщиной h = 0,05 мм? Электро-
химический эквивалент никеля k - 3,0 • 10-7 кг/Кл, плот-
ность никеля р = 8,9 • 103 кг/м3.
304
667. Какое количество
электроэнергии расходуется
на получение m = 1,0 кг
алюминия, если электролиз
ведется при напряжении
U - 10 В, а КПД всей уста-
новки т| = 80% ? Молярная
масса алюминия Л4 = 27 х
х Ю-3 кг/моль, его валент- Рис. 217
ность п = 3. Постоянная Фа-
радея F = 9,65 • 104 Кл/моль.
668. В цепи, схема которой приведена на рис. 217, кон-
денсатор С2 имеет емкость С2 = 10 мкФ, сопротивление
резистора R = 2 кОм, площадь пластин конденсатора С1
S = 100 см2, а расстояние между ними d = 5 мм. Воздух
между обкладками конденсатора С1 ионизируется с помо-
щью рентгеновского излучателя мощностью w - 2 • 1012 пар
носителей заряда за 1 с в 1 м3. Заряд каждого носителя ра-
вен элементарному заряду е = 1,6 • 10-19 Кл. Все образо-
ванные за единицу времени носители долетают до пластин
конденсатора С1. Определить заряд на конденсаторе С2.
669. В электронно-лучевой трубке сила тока в электрон-
ном пучке I = 600 мкА, ускоряющее напряжение U = 10 кВ.
Найти, с какой силой давит электронный пучок, считая,
что все электроны поглощаются экраном.
10. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
Методические указания к решению задач
При решении задач, в которых рассматривается про-
водник или контур с током в магнитном поле, нужно на
схематическом чертеже указать направление тока, направ-
ления вектора магнитной индукции и сил, действующих
на проводник или контур. Если по условию задачи провод-
ник (контур) находится в равновесии, то, как и при реше-
нии задач по статике, записывают условия равновесия.
Задачи на движение заряженных частиц в магнитном и
электрическом полях решают в большинстве случаев пу-
305
тем составления уравнения движения материальной точки
с учетом всех сил, действующих на частицу со стороны
магнитного и электрического полей.
Если требуется найти ЭДС индукции, необходимо уста-
новить, изменением какой величины - вектора магнитной
индукции (В), площади поверхности (S), ограниченной
контуром, или угла (а) между вектором В и нормалью к
поверхности - вызывается изменение ДФ потока магнит-
ной индукции, а затем воспользоваться законом электро-
магнитной индукции. Составив уравнение на основе этого
закона, решают его относительно неизвестной величины.
Основные законы и формулы
Закон Ампера: на проводник длиной I с током силой I, по-
мещенный в магнитное поле, действует сила, модуль которой
F = IBl sin а,
где В - модуль вектора магнитной индукции В; а - угол меж-
ду направлением тока и вектором магнитной индукции. Направ-
ление этой силы определяется правилом левой руки: если ле-
вую руку расположить так, чтобы перпендикулярная проводни-
ку составляющая вектора магнитной индукции В входила в ла-
донь, а четыре вытянутых пальца были направлены по току, то
отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы
Ампера F.
Момент сил, действующих на плоский контур с током,
помещенный в однородное магнитное поле,
М = /SB sin а,
где / - сила тока в контуре; S - площадь поверхности, охваты-
ваемой контуром; В - модуль вектора магнитной индукции; а -
угол между вектором В и нормалью п к поверхности.
Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная ин-
дукция поля, создаваемого несколькими электрическими тока-
ми или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнит-
ных индукций полей, создаваемых каждым током или движу-
щимся зарядом в отдельности:
В = В] + В2 +...+ Вп.
Магнитная индукция поля бесконечного прямолинейного
проводника с током силой / в точке, удаленной от проводника
на расстояние г,
306
2лг
где ц - магнитная проницаемость среды; - магнитная по-
стоянная: ц0 =4л -10~7 Гн/м.
Магнитная индукция поля в центре кругового витка с током
где I — сила тока; R — радиус витка.
Магнитная индукция поля внутри соленоида (цилиндри-
ческой катушки с током)
В = щ10^-1,
где ц - магнитная проницаемость сердечника, вставленного в
соленоид; ц0 - магнитная постоянная; N - число витков соле-
ноида; I - длина соленоида.
Магнитный поток (поток вектора магнитной индукции)
через поверхность площадью S
Ф - BScosa,
где В ~ модуль вектора магнитной индукции; а - угол между
вектором В и нормалью п к поверхности.
Сила Лоренца - это сила, действующая на заряженную час-
тицу, движущуюся в магнитном поле. Модуль этой силы
Ли ~ sin a,
где q - заряд частицы; v - модуль ее скорости; В — модуль
магнитной индукции поля; a - угол между векторами v и В.
Направление силы Лоренца определяется правилом левой
руки: если левую руку расположить так, чтобы составляющая
магнитной индукции В, перпендикулярная вектору скорости
заряженной частицы, входила в ладонь, а четыре вытянутых
пальца направлены вдоль вектора скорости частицы, если ее
заряд положительный, или против вектора скорости, если за-
ряд отрицательный, то отогнутый на 90° большой палец пока-
жет направление силы Лоренца.
Закон электромагнитной индукции: ЭДС индукции, воз-
никающая в замкнутом контуре, равна по модулю и противопо-
ложна по знаку скорости изменения магнитного потока через
поверхность, ограниченную контуром:
сс _ _ АФ
~ д/ ’
Минус в этой формуле следует из правила Ленца.
307
Правило Ленца: возникающий в замкнутом контуре индук-
ционный ток имеет такое направление, что магнитный поток
этого тока через поверхность, ограниченную контуром, проти-
водействует изменению магнитного потока, вызывающего ин-
дукционный ток.
ЭДС индукции в проводнике, движущемся в постоянном
во времени магнитном поле с индукцией В,
= Blvsina,
где I — длина проводника; v — модуль его скорости; а - угол,
составленный вектором магнитной индукции В с направлением
скорости проводника.
Магнитный поток через поверхность, ограниченную конту-
ром, возникающий при прохождении по этому контуру тока силой I,
Ф = 1Д,
где L - индуктивность контура.
ЭДС самоиндукции, возникающая в замкнутом контуре, пря-
мо пропорциональна скорости изменения силы тока в нем:
где L - индуктивность контура; Д/ - изменение силы тока за
время ДЛ
Энергия магнитного поля тока силой I, проходящего по
проводнику с индуктивностью L,
W= Lft/2.
Примеры решения задач
670. По двум длинным параллельным проводам, нахо-
дящимся на расстоянии г = 10 см друг от друга в вакуу-
ме, идут в противоположных направлениях* токи силой
/1 = /2 ~ 1 = 16 А. Определить индукцию магнитного поля
в точке А, удаленной на г; = 2 см от одного провода и на
Г2 = 8 см от другого, и в точке С, удаленной на = 6 см от
одного провода и на Г2 = 8 см от другого.
*Символ •, подобный острию летящей навстречу стрелы, показыва-
ет, что ток идет от рисунка к читателю. Если же ток идет от читателя
к рисунку, то это обозначается символом х, напоминающим оперение
(хвост) улетающей стрелы. Так же обозначают направление вектора
магнитной индукции В.
30»
Решение. Направления векторов магнитн_ой индук-
ции В] и В2 в точке А (рис. 218, а), а также Bj и В4 в
точке С (рис. 218, б) определим по правилу буравчика
(правого винта).
Согласно принципу суперпозиции, магнитная индукция
в точке А
В А - 51 + 52 •
Как видно из рисунка, векторы В\ и В2 имеют одинако-
вое направление, поэтому модуль вектора Вд равен сумме
модулей векторов Д и В2:
ВА = В,+В2 =ho/L + hok.
л 1 2 2лГ[ 2лг2
Учитывая, /1 = 12 = /, получаем:
Вд = + ±\ вА = 210-4 Тл.
л 2л < Л[ г2)’ А
В точке С результирующий вектор магнитной индук-
ции Вг является диагональю прямоугольника, так как
г2 = г2 + г2. (В общем случае, при других расстояниях,
результирующий вектор индукции является диагональю па-
раллелограмма, построенного на слагаемых векторах как
на сторонах.)
Модуль вектора магнитной индукции Вс найдем по тео-
реме Пифагора:
309
вс = Jb% + 52 = (+ f hoM2.
c * 3 4 <2tu4 )
Поскольку /] = 1% - I, TO
Sc = 2^V¥^f. Вс=710-*Тл.
671. Проводник AC (рис. 219, а) массой m = 20 г и
длиной I - 20 см подвешен на двух тонких проволочках и
помещен в однородное магнитное поле, вектор индукции
которого направлен вертикально вверх, а модуль этого
вектора В = 0,5 Тл. На какой угол а от вертикали откло-
нятся проволочки, поддерживающие проводник, если по
нему пропустить ток силой I = 1 А? Проволочки находят-
ся за пределом магнитного поля.
Решение. На проводник с током, помещенный в
магнитное поле (рис. 219, б), действуют следующие силы:
сила тяжести mg, две силы натяжения проволочек Т и
сила Ампера F (силой тяжести проволочек пренебрега-
ем). Координатную, ось OY направим вдоль вектора маг-
нитной индукции В (вертикально вверх), ось ОХ - гори-
зонтально.
Проводник находится в равновесии, поэтому суммы
проекций всех действующих на него сил на оси ОХ и OY
равны нулю:
F - 27’sina = 0, 2Тcosa - mg = 0,
или
310
Отсюда, разделив почленно первое уравнение на второе,
получим:
tga = —, a = arctg —, a = 27°.
mg S mg
672. Алюминиевый провод, площадь поперечного сече-
ния которого S, согнут в виде трех сторон квадрата и при-
креплен своими концами к горизонтальной оси, вокруг
которой он может свободно вращаться в однородном вер-
тикальном магнитном поле (рис. 220, а). По проводу про-
пускают ток силой I. На какой угол а отклонился провод
от вертикальной плоскости? Плотность алюминия р.
Решение. В отличие от предыдущей задачи в
данном случае в магнитном поле находится не только го-
ризонтальный провод, но и подвески (две другие стороны
квадрата). Кроме того, здесь нельзя пренебречь силой тя-
жести подвесок. Учитывая это, обозначим все силы, дей-
ствующие на согнутый проводник (рис. 220, а): силы тя-
жести mg, приложенные к каждой из трех сторон квадра-
та, силу Ампера F, действующую на горизонтальную сто-
рону квадрата, силы Ампера и Действующие на под-
вески. Для определения направлений сил F\ и Д2 мы раз-
дожили вектор магнитной индукции В на составляющие по
двум направлениям: вдоль подвесок и перпендикулярно им.
Проводник находится в равновесии, следовательно, сум-
ма моментов всех приложенных к нему сил относительно
311
оси вращения DE равна нулю. Поскольку силы F\ и F2
параллельны оси DE, они не создают вращающего момен-
та относительно этой оси. Очевидно, что моменты сил ре-
акции шарниров (на рисунке эти силы не показаны) относи-
тельно оси DE равны нулю. Обозначим DA - АС = СЕ = I.
Тогда DO\ = ЕО^ - 1/2, и уравнение моментов относи-
тельно оси DE (рис. 220, б) будет иметь вид
mgl sin а + 2mg i sin а - Fl cos а = 0.
Подставив сюда значения т - р31 и F = IBI, получим пос-
ле преобразований
2pSgsina = IB cos a.
Отсюда tga = 7B/(2pSg).
673. Рамка с током, изображенная на рис. 221, а, име-
ет размеры I - 4,0 см, Ь = 5,0 см. Индукция однородного
магнитного поля В = 0,20 Тл. Когда рамка повернута так,
что нормаль к ней составляет с линиями магнитной индук-
ции угол a - 30°, на рамку действует со стороны магнит-
ного поля момент сил М = 2 • 10-3 Н • м. Определить силу
тока в рамке.
Решение. Согласно закону Ампера, на каждую из
вертикальных сторон рамки действует сила F = ВИ, на-
правленная перпендикулярно плоскости, в которой лежат
312
эта сторона и вектор магнитной индукции В. Суммарный
момент этих сил
М = 2Fysina = Fbsinoc,
и h •
потому что плечо каждой из сил равно -|-sina, где a -
угол между вектором В и нормалью п к плоскости витка
(рис. 221, б). Подставив сюда значение F, получим
М - IBlb sin a.
Таким образом,
I = -М , 7 = 10 А.
Bib sin а
674. Два очень длинных тонких параллельных провода
с токами силой Л = /2 = 5,0 А расположены в вакууме на
расстоянии г = 40 см друг от друга. Определить силу,
действующую на единицу длины каждого провода.
Решение. Предположим, что токи силой Ц и 1%
идут в одном и том же направлении (рис. 222). Применив
правило буравчика, опреде-
лим направления векторов
индукции В\ и By магнит-
ных полей токов силой Ц и
/2 соответственно на рас-
стоянии гот проводов. Про-
вод с током силой /2 нахо-
дится в поле, создаваемом
током силой Ц. Модуль век-
тора магнитной индукция
этого поля
Следовательно, на любой отрезок длиной I провода с
током силой /2 по закону Ампера действует сила мо-
дуль которой
Fi = l2Bil = w^l,
где |д0 = 4тс -10—7 Гн/м - магнитная постоянная.
Легко показать, что на отрезок провода с током силой /j
такой же длины действует сила Г2, модуль которой Fy = Ft,
313
а направление противоположно направлению силы F\. Та-
ким образом,
Ъ = F2=F = w0^l, F = l,310~5 Н.
675. В области пространства одновременно существу-
ют однородные и постоянные магнитное поле с индукцией
В = 0,2 Тл и перпендикулярное ему электрическое поле
напряженностью Е = 4 • 10’ В/м. Перпендикулярно обо-
им полям движется, не отклоняясь от прямолинейной тра-
ектории, электрон. Какова его скорость?
Решение. На электрон, движущийся одновременно
в магнитном и электрическом полях, действуют две силы:
F = еЕ со стороны электриче-
ского поля и сила Лоренца Fq
со стороны магнитного поля
(рис. 223). Эти силы имеют про-
тивоположные направления.
Электрон не будет отклоняться
от прямолинейной траектории,
если модули этих сил равны,
т. е. F = Fji или еЕ = evB. От-
сюда v = Е/В = 2 • 106 м/с.
676. Электрон влетает в однородное магнитное поле в
вакууме со скоростью v - 1 • 107 м/с, направленной пер-
пендикулярно линиям магнитной индукции. Определить
траекторию движения электрона в магнитном поле, если
модуль вектора магнитной индукции В = 5 10-3 Тл.
Решение. На электрон, движущийся в магнитном
поле, действует сила Лоренца, зависящая от скорости элек-
трона и индукции магнитного поля. Сила Лоренца перпен-
дикулярна скорости электрона, поэтому она не совершает
работу. Значит, кинетическая энергия электрона не изме-
няется. Следовательно, не изменяется и модуль его скоро-
сти, а поскольку и индукция магнитного поля постоянна, то
модуль силы Лоренца постоянен. Под действием этой силы,
электрон приобретает постоянное центростремительное ус-
корение, а это означает, что электрон в магнитном поле дви-
жется равномерно по окружности. Найдем ее радиус R.
По второму закону Ньютона = теа, где а = w2 /R -
центростремительное ускорение. Учитывая, что Лл = evB,
будем иметь
314
evB = mev2/R,
где e - 1,6 IO-19 Кл - заряд электрона; me - 9,1 1O“31 кг -
его масса. Отсюда
= /? = 2-10 2 м.
еВ
677. Частица массой т, обладающая зарядом q, влета-
ет со скоростью v в однородное магнитное поле с индукци-
ей В под углом а к линиям магнитной индукции. Опреде-
лить траекторию движения частицы.
Решение. Разложим вектор скорости v частицы на
две составляющие (рис. 224): 5;, направленную вдоль линий
магнитной индукции, и jj2 > перпендикулярную этим линиям.
Модули этих составляющих - соответственно uj = о cos а и
п2 = v sin а.
V в
Рис. 224
На частицу действует сила Лоренца, обусловленная со-
ставляющей о2- Вследствие этого (см. решение задачи 676)
частица движется по окружности со скоростью V2 в плос-
кости, перпендикулярной магнитному полю. Радиус этой
окружности определим, составив уравнение на основании
второго закона Ньютона:
2 2
Z7 и2 О mV2
F = т-^-, или qv2B -
Отсюда
R - musin a./(qB). (1)
Одновременно частица будет двигаться и вдоль поля..
Это равномерное движение со скоростью q, так как состав-
315
ляющая uj не вызывает появления силы Лоренца. В ре-
зультате одновременного движения по окружности и по
прямой частица будет двигаться по винтовой линии, «на-
виваясь» на линии магнитной индукции.
Шаг винтовой линии
/1 = 017’, (2)
где Т - период обращения частицы по окружности:
7’ = 2л/?/о2. (3)
Учитывая соотношения (1) и (3), получаем по форму-
ле (2)
h = 2nmocosa/(^B).
678. Горизонтальные рельсы находятся в вертикальном
однородном магнитном поле на расстоянии I = 0,3 м друг
от друга. На рельсах лежит стержень, перпендикулярный
им. Какой должна быть индукция магнитного поля, для
того чтобы стержень начал равномерно двигаться вдоль
рельсов, если по нему пропускать ток силой 7 = 50 А?
Коэффициент трения стержня
о рельсы |д = 0,2, масса стерж-
ня m = 0,5 кг.
Решение. При пропус-
кании тока по стержню на него
действует сила Ампера, модуль
которой F = IBI, и сила тре-
ния ВТр, которая в данном слу-
чае равна (рис. 225).
Стержень будет двигаться рав-
номерно, если модули этих сил
равны: [img = IBI. Отсюда
В = [ung/(JI), В = 7 IO-2 Тл.
679. Проволочное кольцо радиуса R = 5 см расположено
в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл так, что
вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости коль-
ца. Определить среднюю ЭДС индукции, возникающую в
кольце, если его повернуть на угол 90° за время Д7 = 10-1 с.
Решение. Когда кольцо расположено так, что
вектор В перпендикулярен плоскости кольца, магнитный
поток через поверхность, ограниченную кольцом,
316
Ф[ = BS = Вл/?2,
где S - площадь кольца.
Если повернуть кольцо на 90°, то магнитный поток
<&2 = 0. Изменение магнитного потока
Дф = ф2 - Ф1 = -Вл/?2.
Средняя скорость изменения магнитного потока
ДФ _ . Вл/?2
дг д/
Согласно закону электромагнитной индукции, в кольце
возникает средняя ЭДС индукции
= /g\ = 8.10~2 В.
' Ч \t ДГ ’ ' Ч
680. Самолет летит горизонтально со скоростью v =
= 1200 км/ч. Найти разность потенциалов, возникающую
между концами крыльев, если вертикальная составляющая
индукции магнитного поля Земли Вв = 5,0 • 10-5 Тл. Раз-
мах крыльев Z = 40 м. Чему равна максимальная разность
потенциалов, которая может возникнуть при полете само-
лета? Горизонтальная составляющая индукции магнитно-
го поля Земли Вг = 2, • 10-5 Тл.
Решение. Разность потенциалов, возникающая между
концами крыльев самолета, равна ЭДС индукции: U =
При горизонтальном полете скорость самолета направле-
на перпендикулярно вертикальной составляющей индукции
магнитного поля Земли, поэтому разность потенциалов
U = BBlv, U = 0,67 В.
Максимальная разность потенциалов Um
при данных скорости и размахе крыльев
может возникнуть тогда, когда скорость
самолета будет направлена перпендикуляр-
но вектору В индукции магнитного поля
Земли (рис. 226). Согл_асно теореме Пифа-
гора, модуль вектора В
В = № + В2 ,
поэтому ит = Ivy/В? + В2 , ит = 0,72 В.
317
681. Проволочная рамка площадью S = 400 см2 равно-
мерно вращается в однородном магнитном поле с индук-
цией В = 2,0 • 10-2 Тл вокруг оси, перпендикулярной на-
правлению поля. Период вращения рамки Т = 0,05 с. Рам-
ка состоит из N = 300 витков. Определить максимальное
значение ЭДС, возникающей в рамке.
Решение. Рассмотрим один виток рамки. При
равномерном вращении его вокруг оси ОО' (рис. 227) с
угловой скоростью и магнитный поток, пронизывающий
площадь, ограниченную этим витком, будет непрерывно
изменяться с течением времени по закону
Ф = BS cos а,
где S - площадь рамки; a - угол между нормалью к плос-
кости и вектором В.
Время будем отсчитывать с момента, когда a = 0. То-
гда в момент времени t a = со/, следовательно,
Ф1 = BS cos со/,
а в момент времени t + А/
Ф2 = BS cos со(/ + А/).
За промежуток времени А/ магнитный поток изменит-
ся на
АФ = Ф2 - Ф] = BS(cos со(/ + А/) - cos со/) -
= BS(cos(atcos(£>/\t - sin со/ sin соД/ - cosco/).
318
Если AZ очень мало, можно считать coscoAZ ~ 1 и
sin coAZ ~ coAZ, поэтому
АФ = -BScoAZ sin coZ.
ЭДС индукции в одном витке
= -Ю. - BScosin coZ. (1)
1 Ы
В N витках ЭДС индукции будет в N раз больше, т. е.
Щ - ZVBScosincoZ, или = %т sincoZ,
где - максимальное (амплитудное) значение ЭДС ин-
дукции:
8т = NBSw. (2)
Таким образом, при равномерном вращении проводя-
щей рамки в однородном магнитном поле в ней возникает
переменная синусоидальная ЭДС индукции.
Подставив в выражение (2) значение угловой скорости
со = 2л/Т, где Т ~ период вращения рамки, найдем:
^=^^,^=30 В.
Заметим, что формулу (1) можно получить проще, вос-
пользовавшись понятием производной. Если Ф(?) - функ-
ция времени, то, как известно, производная этой функции
есть скорость изменения ее в момент времени Z. Согласно
закону электромагнитной индукции, ЭДС индукции в замк-
нутом контуре равна скорости изменения потока магнит-
ной индукции через поверхность, ограниченную контуром.
Поэтому с учетом знака ЭДС индукции = -Ф', где Ф' -
производная функции Ф^), выражающей зависимость маг-
нитного потока от времени. Так как Ф^) = BScoscoZ, то,
взяв производную функции Ф^) по времени, получим
Щ - BS(O sin coZ.
682. Определить скорость изменения силы тока в ка-
тушке индуктивностью L = 100 мГн, если в ней возникла
ЭДС самоиндукции = 80,0 В.
Решение. Находим Igd = Л — , где — - скорость
„ 1 sl I д/l 1д/1
изменения силы тока. Отсюда
319
| AZ I = Ш I A£| =
I Afl L ’ IazI
800 A/c.
683. На горизонтальных проводящих стержнях лежит
металлическая перемычка массой т = 50 г (рис. 228). Коэф-
фициент трения между стержнями и перемычкой ц = 0,15.
Стержни замкнуты на резистор сопротивлением R = 5 Ом.
Система находится в магнитном поле, магнитная индук-
ция которого направлена вертикально вверх, а ее модуль
изменяется со временем по закону В = At, где А = 5 Тл/с.
Определить момент времени, в который перемычка начнет
двигаться по стержню. Геометрические размеры: / = 1 м,
h = 0,3 м. Сопротивлением перемычки и проводящих стерж-
ней пренебречь.
Решение. Проводящие стержни с резистором и
перемычка образуют контур. Этот контур находится в пе-
ременном магнитном поле, поэтому в нем возникает ин-
дукционный ток. Следовательно, на перемычку будет дей-
ствовать сила Ампера, модуль которой в момент времени t
F = IBl = IAtl,
где I - сила тока.
Кроме того, на перемычку действуют две силы трения
Атр, модуль каждой из которых Frp = pTV, где N - сила
нормальной реакции стержня.
Перемычка начнет двигаться при условии, что сумма про-
екций всех сил на ось ОХ равна нулю, т. е. 2FTp - F - 0, или
2\iN-IAtl = Q. (1)
320
Чтобы найти N, спроектируем силы на ось ОУ и соста-
вим уравнение 22V - mg = 0. Отсюда
N=mg/2. (2)
Согласно закону Ома, сила тока / = R, где - ЭДС
индукции. По закону электромагнитной индукции
где ДФ ~ изменение магнитного потока за время АС
Пусть И = 0, тогда Д£ = t, Ф[ = О, Ф2 = BS = AtS,
ДФ = Ф2 - Ф1 = AtS, |^| - AS = Alh, где S = lh- площадь,
ограниченная контуром. Следовательно, сила тока
/ = Alh/R. (3)
Подставив значения (2) и (3) в уравнение (1), получим
p.mg - д2-2/г t = 0.
Отсюда
t- / = 5.10-2 с
A2l2h' '
684. Горизонтально расположенный проводящий стер-
жень, сопротивление которого R и масса т, может сколь-
зить без нарушения электрического контакта по двум вер-
тикальным медным шинам. Расстояние между шинами рав-
но I. Снизу их концы со-
единены с источником
тока, ЭДС которого рав-
на & (рис. 229). Перпен-
дикулярно плоскости, в
которой находятся шины,
приложено однородное
магнитное поле с индук-
цией В. Найти постоян-
ную скорость, с которой
будет подниматься стер-
жень. Сопротивлением
шин и источника тока, а
также трением пренеб-
Рис. 229
речь.
11 Зак. 1525
321
Решение. На стержень действуют две силы: сила
тяжести mg и направленная вверх сила Ампера F, модуль
которой
F = IBI, (1)
где I — сила тока в цепи.
Так как стержень движется с постоянной скоростью, то
выполняется условие равновесия
F - mg = 0. (2)
Кроме ЭДС источника %, в цепи действует ЭДС индук-
ции . По закону Ома для замкнутой цепи сила тока
Согласно закону электромагнитной индукции,
= -АФ/AZ, (4)
где АФ - изменение магнитного потока за время AZ. Маг-
нитная индукция в данном случае постоянна, следователь-
но, АФ = ВАЗ, где AS = S2 - Si - изменение площади, ог-
раниченной контуром, за время АС Как видно из рис. 229,
AS = lvAt. Следовательно, АФ = Blv&t, и на основании
формулы (4) = -Blv. Подставив это значение ЭДС ин-
дукции в формулу (3), получим
(5)
К
На основании выражений (1), (2) и (5) получим
Bl—^—-mg = 0,
откуда
_ JL _
В1 в212'
Нетрудно убедиться, что при равномерном движении
стержня вниз со скоростью V] возникала бы ЭДС индук-
ции 8, = Bluj, так как в этом случае площадь контура умень-
шается и поэтому AS = -ZqAZ. Предлагаем читателю са-
мостоятельно найти значение Oj.
685. Однозарядные ионы, массовые числа которых
Aj = 20 и А2 ~ 22, разгоняются в электрическом поле при
322
разности потенциалов U - 4,0 103 В, затем влетают в
однородное магнитное поле с индукцией В = 0,25 Тл пер-
пендикулярно силовым линиям и, описав полуокружность,
вылетают двумя пучками. Определить расстояние между эти-
ми пучками. Заряд одновалентного иона е = 1,6 • 10“Кл,
атомная единица массы тд = 1,66 • 1О“27 кг.
Решение. Найдем скорости uj и v2 ионов, которые
они имели при вылете из электрического поля. Работа сил
электрического поля равна изменению кинетической энер-
гии каждого иона:
eU = miUj2/2, eU = m2v^/2.
Отсюда
uj = ^eU/tri] , v2 = ^2eU/m2 , (1)
где т^, m2 - массы ионов:
rri\ = A^mg, m2 = A2mg. (2)
В магнитном поле на ионы действуют силы Лоренца
Fju и Fj[2 (рис. 230), модули которых - соответственно
Лл1 = evlB’ Лиг = evzB.
Эти силы сообщают ионам центростремительное ускоре-
ние, вследствие чего ионы движутся по окружностям та-
ких радиусов /?! и /?2> что, согласно второму закону Нью-
тона,
ev\B = mpp //?i, ev2B =
Отсюда
x x x x 8 x
x
x
x
x
x
323
Л - OTi°i л = m2V2
* еВ ’ 2 еВ
(3)
Подставив в выражения (3) значения (1) и (2), полу-
чим:
n _ yl2eUAlm^l р _ j2eUA2m0 ( .
-----~в----, ------ И)
Так как Д2 > из формул (4) следует, что /?2 > R\-
Это и показано на рис. 230. Из него видно, что ионы выле-
тают из магнитного поля двумя пучками, расстояние между
которыми равно разности диаметров полуокружностей, т. е.
г = 2/?2 -2RX = 2(R2-Ri).
Подставив в это выражение значения R{ и R2 из формул
(4), найдем:
-VA), Г = 1,6-10-2 м.
686. а-Частица влетает по нормали в область поперечно-
го однородного магнитного поля с индукцией В = 0,1 Тл
(рис. 231). Размер области h = 0,2 м. Найти скорость части-
цы, если после прохождения магнитного поля она отклони-
лась на угол ф = 30° от первоначального направления. Отно-
шение заряда а-частицы к ее массе q/т = 0,5 108 Кл/кг.
Решение. В магнитном поле на а-частицу действует
сила Лоренца Fj^, модуль которой Гд = qvB. Эта сила сооб-
щает частице центростремительное ускорение а = у2 / R, где
R - радиус окружности, по
ца в магнитном поле.
дуге которой движется части-
По второму закону Ньюто-
на уравнение движения име-
ет вид
qvB = mv2/R,
где т — масса частицы; v — ее
скорость. Отсюда
v = —RB.
т
Как видно из рис. 231, R =
- /z/sin<p. Следовательно,
у = JL JrS_, у = 2 • 106 м/с.
т sin ф
324
электронной
ец2 /2 = eU.
687. Из электронной пушки, ускоряющее напряжение
в которой U = 600 В, вылетает электрон и попадает в
однородное магнитное поле с индукцией В = 1,2 Тл. На-
правление-скорости составляет с направлением линий маг-
нитной индукции угол а = 30°. Найти ускорение электро-
на в магнитном поле. Отношение заряда электрона к его
массе е/те = 1,76 • 1011 Кл/кг.
Решение. Сила Лоренца Лл, действующая на
движущийся в магнитном поле электрон, сообщает ему
ускорение а, сонаправленное с этой силой. По второму
закону Ньютона имеем уравнение движения Fj\ = т6а, или
в проекциях на направление силы Лоренца Лд = теа, от-
куда
а = Fji /те. (1)
Модуль силы Лоренца
Fj]=eu.Bsina, (2)
где v - скорость электрона, с которой он вылетел из элект-
ронной пушки.
Изменение кинетической энергии электрона в
пушке равно работе электростатического поля: т
Отсюда
v = I2U-S-.
N те
Подставив значения (2) и (3) в формулу (1), получим
а - — В I2U — sin а, а = 1,5 • 1018 м/с.
те 1 те
688. Из двух одинаковых проводников изготовлены два
контура - квадратный и круговой. Оба контура помещены
в одной плоскости в изменяющемся во времени однород-
ном магнитном поле. В круговом контуре индуцируется
постоянный ток силой /1 = 0,41 А. Найти силу тока в квад-
ратном контуре.
Решение. По закону Ома сила тока в круговом
контуре
/1 = //?1, (1)
в квадратном
72 = ^2/^2> (2)
325
где <4, <^2 _ ЭДС индукции в этих контурах; /?1; /?2 ~
сопротивления контуров. Так как проводники одинаковые,
то /?[ = /?2-
Разделив почленно равенство (1) на (2), получим
/[//2 = ^j/if2’ откуда сила тока в квадратном контуре
$ 9
h = Л -р-- (3)
По закону электромагнитной индукции находим ЭДС
индукции в контурах:
_ ДФ[ _ _ ДФ2 _ 32ДВ , .
4 А/ А/ ’ 2 А/ Д/ ’ w
где ЛЯ/М ~ скорость изменения магнитной индукции, оди-
наковая для обоих контуров и постоянная во времени, так
как индукционные токи постоянны; Sj, S2 ~ площади, ог-
раниченные соответственно круговым и квадратным кон-
туром.
Из формул (4) следует
^2/^1 = (5)
Пусть I - длина проводника. Тогда сторона квадрата
равна 2/4, а радиус кругового контура R = 2/(2п). Следо-
вательно,
32=4- (6)
Поэтому, учитывая выражения (5) и (6), будем иметь
$2 /$1 = л/ 4. Подставив это значение в формулу (3), найдем:
/2 =^Л. h = 3,2-КГ1 А.
689. Металлическое кольцо, диаметр которого d и со-
противление R, расположено в однородном магнитном поле
так, что плоскость кольца перпендикулярна вектору маг-
нитной индукции В. Кольцо вытягивают в сложенный вдвое
отрезок прямой; при этом площадь, ограниченная конту-
ром проводника, уменьшается равномерно. Определить
заряд q, который пройдет по проводнику.
Решение. При деформации кольца изменяется
площадь, ограниченная контуром. Следовательно, изменя-
ется магнитный поток, что приводит к возникновению ЭДС
индукции. За время А? по проводнику пройдет заряд
326
q = I At, (1)
где I - сила индукционного тока; по закону Ома
/ = ^/Л; (2)
- ЭДС индукции. Согласно закону электромагнитной
индукции,
= -АФ/At, (3)
где ДФ = Ф2 - Ф[ - изменение магнитного потока. Началь-
ный магнитный поток Ф, = BS,, где S, - площадь, ограни-
ченная кольцом. Так как S[ = 7td2/4, то Ф1 = Bnd2/4.
Когда кольцо вытянули в сложенный вдвое отрезок пря-
мой, получили S2 = 0, поэтому Ф2 = BS2 = 0. Следова-
тельно,
ДФ = -Вяй?2/4. (4)
На основании формул (1)-(4) получим q = Bitd2 /(4/?).
690. Проводящий контур с источником тока, имеющим
внутреннее сопротивление г = 0,2 Ом, находится в одно-
родном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл. Вектор В
перпендикулярен плоскости контура и направлен так, как
показано на рис. 232. Проводник АС может скользить по
направляющим рельсам, не теряя электрического контак-
та. Найти силу тока в цепи при движении проводника АС
со скоростью = 10 м/с вправо, если при движении его
в том же направлении со скоростью ц2 = 40 м/с ток от-
сутствует. Сопротивление проводника AC R = 0,1 Ом, его
длина I = 10 см. Сопротивлением направляющих рельсов
и силами трения пренебречь.
327
Решение. При движении проводника АС вправо
площадь контура увеличивается, и поэтому в нем, как это
показано в решении задачи 684, возникает ЭДС индукции
- -Blv,
где В — модуль вектора магнитной индукции; I - длина
проводника; v - его скорость.
По закону Ома сила тока в контуре
/ :: g + — % ~ Blv
R + г R + г ’
где <? - ЭДС источника тока.
При скорости У; сила тока
при скорости
g - В/ц
, № - Blv2
12=^Т7~
(1)
(2)
Из формулы (2), учитывая, что /2 = 0, находим ЭДС
источника тока: g = Blv% - Подставив это значение ЭДС в
выражение (1), получим:
В/(^ц)
1 R + г 1
691. Проводящая рамка, имеющая N = 500 витков пло-
щадью S = 12 см2 каждый, замкнута на гальванометр, со-
противление которого R = 5 кОм. Рамка находится в одно-
родном магнитном поле с индукцией В = 2 10~2 Тл, при-
чем силовые линии поля перпендикулярны плоскости рам-
ки. Какой заряд пройдет по цепи гальванометра, если рам-
ку повернуть на 180°?
Решение. При повороте рамки в ней индуцируется
ЭДС, среднее значение которой
£(-=-ДФ/Д/, (1)
где ДФ - изменение магнитного потока; Д? - время, в
течение которого происходил поворот.
Сила тока в рамке / -^i/R. Прошедший по цепи за
время Д? заряд
q-I\t = ^At. (2)
Г\
328
Изменение магнитного потока
ДФ = Ф2-Ф|. (3)
Начальный магнитный поток через поверхность, ограни-
ченную рамкой (рис. 233, а), Ф1 = NBS, так как угол eq
между векторами Вкп (нормали к поверхности) равен нулю
и cosa] = 1. После поворота на 180° векторы В и п направ-
лены противоположно (рис. 233, б), oi2 = л, cosa2 =-1,
следовательно, Ф2 = -NBS. Подставив значения Ф1 и Ф2
в выражение (3), получим
ДФ = -2NBS.
Теперь формула (1) примет вид
= 2NBS/<At),
и, подставив это значение в выражение (2), найдем заряд:
q = 2NBS/R, q = 5- Ю“6 Кл. (4)
Полезно обратить внимание на то, что описанным в
данной задаче методом можно измерять магнитную индук-
цию В. В самом деле, зная число витков N, площадь витка
S, сопротивление цепи R (при этом надо учитывать и со-
противление гальванометра) и измерив заряд q с помощью
гальванометра, можно по формуле (4) найти В.
Задачи для самостоятельного решения
692. Квадратная рамка со стороной а = 10 см, сделан-
ная из проводника, площадь поперечного сечения которо-
го S = 1 мм2 и удельное сопротивление р = 2 • 10-8 Ом • м,
присоединена к источнику постоянного напряжения U = 4 В
и помещена в однородное магнитное поле с индукцией
В = 0,1 Тл. Определить максимальный момент сил, дейст-
вующих на рамку со стороны поля.
693. В однородное магнитное поле с индукцией В =
= 2 • 10-4 Тл перпендикулярно линиям индукции поме-
щен прямолинейный проводник с током силой 1 = 50 А.
Найти совокупность точек, в которых результирующая маг-
нитная индукция равна нулю. Определить силу, действую-
щую со стороны магнитного поля на отрезок проводника
длиной I = 50 см.
694. Прямой провод длиной I = 10 см, по которому
идет ток силой I = 20 А, находится в однородном магнит-
ном поле с индукцией В = 1 J0-2 Тл. Каков угол между
вектором магнитной индукции В и направлением тока, если
на провод действует сила F = 1 • 10-2 Н?
695. Прямолинейный проводник массой т = 3 кг, по
которому проходит ток силой I = 5 А, поднимается верти-
кально вверх в однородном магнитном поле с индукцией
В = 3 Тл, двигаясь под углом а = 30° к линиям магнитной
индукции. Через время t = 2 с после начала движения он
приобретает скорость v = 10 м/с. Определить длину про-
водника.
696. Жесткая проводящая рамка квадратной формы
лежит на горизонтальной поверхности и находится в маг-
нитном поле, силовые линии которого параллельны двум
сторонам рамки. Масса рамки т = 20 г, длина ее стороны
а = 4 см, магнитная индукция В = 0,5 Тл. Какой силы
постоянный ток нужно пропускать по рамке, чтобы одна
из ее сторон начала приподниматься?
697. Проводник длиной I = 10 см, по которому идет ток
силой I = 15 А, перемещается в однородном магнитном
поле с индукцией В = 0,50 Тл на расстояние s = 20 см.
Определить максимальную работу, которая совершается
при перемещении проводника. Как при этом должен дви-
гаться проводник?
330
698. Электрон движется по окружности радиуса R = 10 мм
в магнитном поле с индукцией В = 0,02 Тл. Какова кинетиче-
ская энергия электрона? Заряд электрона е = 1,6 • 10“19 Кл,
масса электрона т& - 9,1 10“31 кг.
699. Электрон влетает в плоский горизонтальный кон-
денсатор параллельно его пластинам со скоростью vq =
= 2 • 10' м/с. Длина конденсатора I = 10 см, напряженность
электростатического поля конденсатора Е = 200 В/см. При
вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле,
линии которого перпендикулярны силовым линиям электро-
статического поля. Магнитная индукция поля В = 2 • 10“2 Тл.
Найти радиус винтовой траектории электрона в магнит-
ном поле.
700. Заряженная частица, ускоренная разностью по-
тенциалов U = 200 В, влетела в точке 1 (рис. 234)в одно-
родное магнитное поле с индукцией В = 4 • 10“3 Тл, пер-
пендикулярной скорости частицы, и вылетела в точке 2.
Расстояние I между точками / и 2 равно 1 м. Найти отно-
шение заряда частицы к ее массе.
Рис. 235
Рис. 234
701. Однородное магнитное поле с индукцией В созда-
но в полосе шириной d (рис. 235). Пучок электронов на-
правляется перпендикулярно полосе и линиям магнитной
индукции. При каких скоростях электроны не пролетят на
другую сторону полосы («отразятся» от «магнитной стен-
ки»)? Заряд электрона е, его масса /ие.
702. Заряженная частица влетает в однородное магнит-
ное поле под углом а = 45° к линиям магнитной индукции
и движется по винтовой линии с шагом h = 20 мм. Маг-
нитная индукция поля В = 1 10“2 Тл, заряд частицы
q = 1,6 • 10“19 Кл. Определить импульс частицы.
331
703. Электрон влетает в однородное магнитное поле со
скоростью v = 2 • 105 м/с, которая составляет с вектором
магнитной индукции В угол а = 60°. При каком наимень-
шем значении индукции магнитного поля электрон сможет
оказаться в точке, лежащей на той же линии магнитной ин-
дукции на расстоянии L = 2 см от начальной точки? Отноше-
ние заряда электрона к его массе е/те - 1,76 • 1011 Кл/кг.
704. Протон влетает в однородное магнитное поле с
индукцией В = 0,40 Тл под углом а = 30° к направлению
вектора В и движется по винтовой линии радиуса R = 0,50 см.
Найти кинетическую энергию протона. Масса протона
т = 1,67 • ПТ27 кг, заряд протона q = 1,6 10-19 Кл.
705. Электрон влетает в однородное магнитное поле со
скоростью v = 400 км/с под углом а = 60° к вектору
магнитной индукции В, модуль которого В - 1 • 10-3 Тл.
Сколько витков опишет электрон вдоль магнитного поля
на расстоянии г = 2 м? Отношение заряда электрона к его
массе е/те = 1,76 • 1011 Кл/кг.
706. Пройдя ускоряющую разность потенциалов U =
= 3,52 • 103 В, электрон влетает в однородное магнитное
поле с индукцией В = 0,01 Тл перпендикулярно линиям
магнитной индукции и движется по окружности радиуса
R = 2,0 см. Вычислить отношение заряда электрона к его
массе.
707. Электрон влетает в область пространства с одно-
родным электростатическим полем напряженностью Е =
= 6 104 В/м перпендикулярно линиям напряженности. Опре-
делить модуль и направление вектора магнитной индукции
однородного магнитного поля, которое надо создать в этой
области для того, чтобы электрон пролетел ее, не испыты-
вая отклонений. Энергия электрона W = 1,6 • 10~16 Дж,
масса электрона те = 9,1 10-31 кг.
708. Электрон движется по окружности радиуса R = 10 см
в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл. Па-
раллельно магнитному полю возбуждается однородное элек-
тростатическое поле напряженностью Е = 100 В/м. За
какой промежуток времени кинетическая энергия электрона
возрастет в п = 5 раз?
709. Небольшое заряженное тело массой т, прикреп-
ленное к нити длиной I, может двигаться по окружности в
вертикальной плоскости. Перпендикулярно этой плоско-
сти направлены линии магнитной индукции однородного
332
m,q v
Рис. 236
Рис. 237
магнитного поля с индукцией В (рис. 236). Какую мини-
мальную горизонтальную скорость надо сообщить телу в
нижней точке, чтобы оно совершило полный оборот? За-
ряд тела положителен и равен q.
710. В однородном магнитном поле с индукцией В,
направленной вертикально вверх, находится конический
маятник: подвешенный на невесомой нити длиной I шарик
массой т с положительным зарядом q равномерно движется
по окружности в горизонтальной плоскости (рис. 237). При
этом нить образует с вертикалью угол а, а шарик движет-
ся по часовой стрелке, если смотреть сверху. Найти ско-
рость шарика.
711. Магнитный поток через катушку, состоящую из
N = 75 витков, Ф = 4,8 10-3 Вб. За сколько времени
должен исчезнуть этот поток, чтобы в катушке возникла
средняя ЭДС индукции <?(- = 0,75 В?
712. Рамка, имеющая форму равностороннего треуголь-
ника, помещена в однородное магнитное поле с индукцией
В = 0,1 Тл. Плоскость рамки составляет с направлением
вектора магнитной индукции угол а = 30°. Определить
длину стороны рамки, если при равномерном уменьшении
магнитного поля до нуля за время т = 0,01 с в рамке
индуцируется ЭДС = 2 10-3 В.
713. В однородном магнитном поле с индукцией В рас-
положена замкнутая катушка диаметром d. Плоскость ка-
тушки перпендикулярна линиям магнитной индукции. Ка-
кой заряд пройдет по цепи катушки, если ее повернуть на
333
180°? Проволока, из которой намотана катушка, имеет пло-
щадь поперечного сечения S и удельное сопротивление р.
714. Определить разность потенциалов между концами оси
железнодорожного вагона, имеющей длину I = 1,6 м, если на
горизонтальном участке пути скорость поезда v = 45 км/ч, а
вертикальная составляющая индукции магнитного поля Зем-
ли В = 2 10-5 Тл.
715. По горизонтальным рельсам, расположенным в вер-
тикальном магнитном поле с индукцией В = 1 • 10~2 Тл,
скользит проводник длиной Z = 1 м с постоянной скоро-
стью v = 10 м/с. Концы рельсов замкнуты на резистор
сопротивлением R = 2 Ом. Определить количество тепло-
ты, которое выделяется в резисторе за время t = 4 с. Со-
противлением рельсов и проводника пренебречь.
716. С какой угловой скоростью надо вращать прямой
проводник вокруг одного из его концов в однородном маг-
нитном поле в плоскости, перпендикулярной силовым ли-
ниям поля, чтобы в проводнике возникла ЭДС £ = 0,30 В?
Длина проводника I = 20 см. Магнитная индукция поля
В = 0,20 Тл.
717. Длина подвижного проводника АС равна I, его со-
противление R (рис. 238). Сопротивление неподвижного
проводника, по которому скользит без трения проводник
АС, пренебрежимо мало. Перпендикулярно плоскости про-
водников приложено магнитное поле с индукцией В. Ка-
кую силу F нужно приложить к проводнику АС для того,
чтобы он.двигался с постоянной скоростью и? Система
проводников находится в горизонтальной плоскости.
718. Проволочный виток, имеющий площадь S = 100 см2,
разрезан в некоторой точке, и в разрез включен конденсатор
емкостью С = 10 мкФ. Виток помещен в однородное магнит-
ное поле, линии индукции которого перпендикулярны плос-
Р и с. 238
334
кости витка. Магнитная индукция поля равномерно изме-
няется во времени со скоростью АВ/At = 5 10-3 Тл/с.
Определить заряд конденсатора.
719. Плоский виток изолированного провода перегиба-
ют, придавая ему вид «восьмерки», а затем помещают в
однородное магнитное поле перпендикулярно силовым
линиям. Длина витка I — 120 см. Петли «восьмерки» можно
считать окружностями с отношением радиусов 1:2. Какой
силы ток пройдет по проводу, если поле будет убывать с
постоянной скоростью Дб/Д/ = 1 • 10-2 Тл/с? Сопротив-
ление витка R = 1 Ом.
720. Проводящий стержень О А длиной I = 10 см вра-
щается с угловой скоростью © = 300 рад/с вокруг оси,
проходящей через один из его концов, в плоскости, пер-
пендикулярной магнитной индукции В, модуль которой
В = 1 Тл. Свободный конец стержня скользит но провод-
нику в виде дуги окружности, радиус которой равен длине
стержня. Между точкой С проводника и точкой закрепле-
ния стержня на оси вращения включена батарея, как по-
казано на рис. 239. На этом же рисунке указаны направ-
ления вектора магнитной индукции В и вращения стерж-
ня. Сопротивления стержня, проводника и контакта меж-
ду ними пренебрежимо малы по сравнению с внутренним
сопротивлением батареи. Найти напряжение на зажимах
батареи.
Рис. 239
335
721. Квадратная рамка со стороной I - 10 см вращается в
однородном магнитном поле с угловой скоростью со =
= 300 рад/с. Определить максимальное значение силы тока
в рамке, если ее сопротивление R = 10 Ом, магнитная
индукция поля В = 0,02 Тл. Ось вращения рамки перпен-
дикулярна линиям магнитной индукции.
722. Плоский замкнутый металлический контур пло-
щадью Sj = 10 см2 деформируется в однородном магнит-
ном поле, индукция которого В = 1 • 102 Тл. Площадь
контура за время х - 2 с равномерно уменьшается (плос-
кость контура при этом остается перпендикулярной сило-
вым линиям поля) до величины S2 = 2 см2. Определить
силу тока, проходящего по контуру в течение времени х,
если сопротивление контура R = 1 Ом.
723. Квадратная рамка со стороной а = 50 см помеще-
на в однородное магнитное поле так, что плоскость ее пер-
пендикулярна линиям магнитной индукции. Определить
магнитную индукцию, если известно, что при исчезнове-
нии магнитного поля в течение времени х = 0,01 с среднее
значение ЭДС индукции, возникающей в рамке, <£ = 50 мВ.
724. Проволочное кольцо радиуса г = 0,1 м лежит на
столе. Какой заряд пройдет по кольцу, если его перевер-
нуть с одной стороны на другую? Вертикальная составляю-
щая индукции магнитного поля Земли В = 0,5 • 10-4 Тл.
Сопротивление кольца R = 1 Ом.
725. Катушка, имеющая N - 100 витков, расположена
в однородном магнитном поле с индукцией В - 1 • 10~2 Тл.
Плоскости ее витков перпендикулярны линиям магнитной
индукции. Площадь одного витка S = 10 см2. Катушка при-
соединена к баллистическому гальванометру так, что сопро-
тивление всей цепи R = 10 Ом. При повороте катушки на
угол а через гальванометр проходит заряд q - 5 • 10-5 Кл.
Определить угол а.
726. В однородном магнитном поле находится замк-
нутая обмотка, состоящая из N = 1000 витков квадрат-
ной формы. Линии маггнитной индукции перпендикуляр-
ны плоскости витков. Магнитная индукция изменяется
на ДВ = 2 • 10-2 Тл за время Д£ = 0,1 с. Длина стороны
квадрата (витка) а = 0,1м, площадь поперечного сечения
провода обмотки S = 1 • 10-6 м2, удельное сопротивление
р = 1 • 10-7 Ом м:>Какое количество теплоты выделяется
в обмотке за время Д£?
336
L.R
Рис. 240
727. Прямоугольная рамка из проводника сопротивле-
нием R - 1 Ом, двигаясь поступательно с постоянной ско-
ростью и = 4 м/с, пересекает полосу однородного магнит-
ного поля с индукцией В = 0,5 Тл. Вектор В перпендикуля-
рен плоскости рамки. Стороны рамки Z] = 10 см, = 5 см,
ширина полосы Z3 > Zg, рамка движется вдоль стороны 1%.
Определить количество теплоты, которое выделится в рамке
к моменту, когда она пересечет полосу.
728. Катушка, индуктивность
которой L = 0,06 мГн, и резистор
соединены параллельно и подклю-
чены к источнику тока (рис. 240).
По катушке идет ток силой I = 1,2 А.
При размыкании ключа К сила тока
в катушке изменяется практически
до нуля за время AZ = 120 мкс. Оп-
ределить среднюю ЭДС самоиндук-
ции, возникающую в катушке, и ко-
личество теплоты, которое выделит-
ся в катушке и в резисторе.
729. Катушка индуктивностью L - 25 мГн и сопротив-
лением R = 5 Ом соединена параллельно с резистором, на
котором поддерживается постоянное напряжение U = 50 В
(см. рис. 240). Найти энергию, которая выделится при
размыкании ключа К. Какая средняя ЭДС самоиндукции
возникает при этом в катушке, если энергия будет выде-
ляться в течение времени AZ = 10 мс?
730. В катушке индуктивности сила тока линейно уве-
личивается со скоростью A//AZ = 10 А/с. Найти ЭДС
индукции, возникающую при этом в катушке, если резо-
нансная частота v колебательного контура, образованного
из этой катушки и конденсатора емкостью С ~ 100 пФ,
равна 100 кГц.
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
11. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Методические указания к решению задач
Если в задаче дана формула, описывающая зависимость
координаты колеблющегося тела от времени, то величи-
ны, характеризующие колебания (амплитуда, частота,
фаза, начальная фаза, период), могут быть найдены пу-
тем сопоставления данной формулы и ее общего вида.
Следует обратить внимание на то, что эту формулу можно
записать как в виде х = хт cos((o£ + Ф02), так и в виде
х - хт sin(co£ + Ф01), в зависимости от выбора начальной
фазы.
В задачах о математическом маятнике необходимо учи-
тывать, что если маятник находится в неинерциальной
системе отсчета, т. е. в системе отсчета, которая движется
относительно инерциальной системы с некоторым ускоре-
нием а, то период колебаний его
Т = 2л7//ян,
где gH - ускорение свободного падения в неинерциальной
системе отсчета. Это ускорение можно найти из векторно-
го уравнения gH = g + (-a), где g - ускорение свободно-
го падения в инерциальной системе отсчета.
Например, при нахождении периода колебаний маятни-
ка, точка подвеса которого движется с ускорением а, на-
правленным горизонтально, надо учитывать, что в этом
случае gn = -jg2 + а2 . Такой результат получится, если
геометрически найти вектор gK в соответствии с приведен-
ным выше векторным уравнением, а затем его модуль gH.
338
Основные законы и формулы
Координата (смещение от положения равновесия) х гар-
монически колеблющегося тела (материальной точки) в мо-
мент времени t определяется формулой
х = хт cos(cof + Фо).
где хт — амплитуда колебаний (модуль наибольшего смещения
тела от положения равновесия); со - круговая (циклическая,
угловая) частота; cof + фо = Ф ~ фаза колебаний в момент вре-
мени t; фо - начальная фаза колебаний. Эта формула может
быть записана также и с помощью синуса:
х = хт sin(cof + Ф1),
где ф! = ф0 + тс/2.
Обе формулы равнозначны и различаются только начальны-
ми фазами на величину л/2.
Период колебаний - это минимальный промежуток време-
ни Т, по истечении которого повторяются значения всех физи-
ческих величин, характеризующих периодический колебатель-
ный процесс.
Частота колебаний, т. е. число колебаний, совершаемых
за единицу времени,
v = \/Т,
где Т - период.
Круговая (циклическая, угловая) частота колебаний
со = 2rtv = 2л/7',
где v - частота колебаний; Т — период.
Проекция скорости тела, совершающего гармонические
колебания,
vx = -<лхт sin(cof + фо).
Проекция ускорения тела, совершающего гармонические
колебания,
ах = -со2хот cos(coi + Фо) = -со2х.
Проекция силы, под действием которой тело совершает гар-
монические колебания,
Fx = -kx,
где k = mco2; т - масса тела; со - круговая частота.
Полная механическая энергия колеблющегося тела
Е = Ек+Ер = &х2/2,
где Ек, Ер — соответственно кинетическая и потенциальная энергия.
339
Период колебаний математического маятника
Т = 2nJlTg,
где I - длина маятника; g - ускорение свободного падения.
Период колебаний пружинного маятника
Т = 2 л-7 m /&,
где т - масса груза, прикрепленного к пружине; k - жесткость
(коэффициент упругости) пружины.
Связь между длиной волны X, скоростью волны v и пе-
риодом Т (или частотой v) выражается формулой
v = Х/Т = Xv.
Примеры решения задач
731. Материальная точка совершает гармонические ко-
лебания, при которых координата х = 50cosl007tf (длина
выражена в миллиметрах, время - в секундах). Опреде-
лить амплитуду, частоту и период колебаний. Найти сме-
щение Xi для фазы (pj = 2л/9.
Решение. Зависимость координаты гармонически
колеблющейся точки от времени описывается уравнением
х = хт cos(co? + фо )
Сопоставляя с ним заданное уравнение, находим, что ампли-
туда хт = 50 мм, начальная фаза ф0 = 0, фаза lOOrcf - (Ot.
Подставив в последнее равенство значение со = 2л/7’, где
Т - период, получим Т = 0,02 с. Тогда частота v = \/Т,
v = 50 Гц.
Подставив в заданное уравнение значение фазы ф1 = 2тс/9,
найдем для нее смещение:
%! = 50cos-y-, х\ - 40 мм.
732. Тело массой пг = 0,5 г колеблется по закону х =
= 10 cos 200л?, где t выражено в секундах, х-в милли-
метрах. Найти максимальное значение возвращающей силы.
Решение. При гармонических колебаниях ускоре-
ние колеблющейся точки изменяется по закону
9 9
ах = -со х = —со хт соъкЛ,
340
если начальная фаза равна нулю. Проекция возвращаю-
щей силы
Fx = тах - -т(О2хт cosco/.
Отсюда видно, что максимальное значение проекции воз-
вращающей силы
=-тсо2хот. (1)
Из заданного уравнения х = 10 cos 200л/, сопоставив его
с уравнением х = хт cos со/, находим: 200л/ = ©/, ю = 200 л,
хт = 10 мм = 10 • 10-3 м. Подставив значения хт, т и со
в выражение (1), получим F хт = -2 Н. Минус указывает
на то, что направление силы противоположно направле-
нию смещения. Максимальное значение возвращающей
силы Fm = 2 Н.
733. К динамометру подвесили груз, вывели его из состоя-
ния равновесия и отпустили. При этом возникли колебания,
частота которых v = 2 Гц. На каком расстоянии от нулевого
положения остановится указатель динамометра после пре-
кращения колебаний? Массу пружины не учитывать.
Решение. После прекращения колебаний груз
будет находиться в состоянии равновесия._На груз дейст-
вуют сила тяжести mg и сила упругости F, которые рав-
ны по модулю: F = mg. По закону Гука F = MZ, где k -
жесткость пружины; Д/ - ее удлинение. Поэтому kAl = mg,
откуда
Nl-mg/k. (1)
Из формулы периода колебаний пружинного маятника
Т = 2n-jm/k найдем жесткость:
k = 4n2m/T2.
Так как частота v = 1 / Т, то & = 4л2/иу2. Подставив
это значение в выражение (1), найдем:
Д/ = —, Д/ - 6 • 10~2 м.
4iriv‘i
734. Определить частоту звуковых колебаний в стали,
если расстояние между ближайшими различающимися по
фазе на Дф = 90° точками звуковой волны I = 1,54 м.
Скорость звуковых волн в стали и = 5000 м/с.
341
Решение. Частота звуковых колебаний
v = v/k, (1)
где v - скорость распространения волн; X - длина волны.
Две точки волны, расстояние между которыми I, разли-
чаются по фазе на Дф = 2nZ/X. Отсюда
X = 2л/ = М = 4/.
Д<р л/2
Подставив это значение в выражение (1), получим:
v = u/(4Z), v = 812 Гц.
735. Математический маятник длиной I совершает ко-
лебания вблизи вертикальной стенки. Под точкой подвеса
маятника на расстоянии 1/3 от нее в стенку забит гвоздь
(рис. 241). Найти период коле-
баний маятника.
Решение. Период колеба-
ний маятника
Т = + /2, (1)
где Zlt Z2 _ время движения ма-
ятника соответственно справа и
слева от вертикали. Время Z]
равно половине периода колеба-
Р и с. 241 ний маятника длиной Z:
Время Z2 равно половине периода колебаний маятника
длиной 2Z/3:
z2 = 4=upr.
Подставив значения Z] и Z2 в выражение (1), получим
736. В кабине лифта находится математический маятник.
Когда кабина неподвижна, период его колебаний 7q = 1 с. В
движущейся с постоянным ускорением кабине период Т - 1,2 с.
Определить модуль и направление ускорения кабины.
342
Решение. В неподвижной кабине период колебаний
маятника
т0=2п417ё, (О
где I - длина маятника; g - ускорение свободного падения.
В ускоренно движущейся кабине период
Т = 2tQ17^, (2)
где gH - ускорение свободного падения в кабине.
Кабина, движущаяся с ускорением а, представляет со-
бой неинерциальную систему отсчета. Можно доказать,
чт0 Sh = g + (~2)- В частности (см. решение задачи 97),
когда лифт поднимается с ускорением а, направленным
вверх, ускорение свободного падения в лифте равно по
модулю g + а. Если же ускорение а направлено вниз, то в
лифте тела свободно падают с ускорением g - а. Направ-
ление скорости лифта при этом не играет роли.
Согласно условию, Т > Tq. Поэтому на основании фор-
мул (1) и (2) приходим к выводу, что gH < g. Следова-
тельно, ускорение лифта а направлено вниз, при этом
£н = ё “ а-
Возведя в квадрат левые и правые части равенств (1) и
(2) и разделив их почленно, получим
То _ g ~ д
Т2 g ’
откуда модуль ускорения лифта
а = g(l - Tq /Т2), а = 3 м/с2.
737. На чашку, подвешенную на пружине жесткостью k
(рис. 242), с высоты h падает груз массой m и остается на
чашке (удар абсолютно неупругий). Определить амплиту-
ду колебаний. Массой чашки и пружины пренебречь.
Решение. В результате абсолютно неупругого
удара чашка с грузом будет иметь скорость й, модуль ко-
торой найдем из уравнения, составленного в проекциях на
ось ОХ согласно закону сохранения импульса:
mv = (m + Ш])и, (1)
где ffi] - масса чашки, v - скорость груза в момент
падения, ее мы найдем из закона сохранения энергии:
343
Рис. 242
mgh = mv2 /7., откуда и = -jigh. Подставляя это значение
скорости в уравнение (1) и учитывая, что т\ = 0, получа-
ем и - yfegh.
Кинетическая энергия чашки переходит в потенциаль-
ную энергию растянутой пружины. Система будет совер-
шать гармонические колебания относительно некоторого
положения равновесия. Относительно этого положения пру-
жина в момент удара обладала потенциальной энергией
£Р1 =fex2/2,
где х - смещение, которое найдем из условия, что в поло-
жении равновесия mg = kx. Отсюда х - mg/k. Следова-
тельно,
£Р1 = m2g2/(2k). (2)
Кинетическая энергия системы сразу после удара
Ekl = ти2/2 = mgh. (3)
Максимальная потенциальная энергия пружины
Ерт=кхт/2, (4)
где хт - амплитуда колебаний.
Согласно закону сохранения энергии, составим урав-
нение:
^kl + ^pl —
344
или, учитывая значения (2)-(4),
Отсюда найдем амплитуду колебаний:
Хт =j;yl(rng)2 + 2mghk.
738. Капли воды падают через одинаковые промежутки
времени с некоторой высоты на пластину, закрепленную
на пружине. Частота собственных колебаний пластины
равна сор • Известно, что амплитуда колебаний пластины
при этом оказывается максимальной. Найти расстояние
между отрывающейся каплей и ближайшей к ней падаю-
щей каплей. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение. Расстояние между отрывающейся каплей
и ближайшей к ней падающей каплей
h = g'i2/2, (1)
где т - промежуток времени, через который падают капли.
Под действием падающих капель пластина совершает
вынужденные колебания. Так как амплитуда их максималь-
на, это означает, что возник резонанс. При резонансе час-
тота внешней силы (в данном случае частота падения ка-
пель) совпадает с частотой собственных колебаний системы:
со = со0. Отсюда следует, что промежуток времени т равен
периоду собственных колебаний пластины: т - Tq = 2л/(Од-
Подставив это значение в формулу (1), получим
h = 2n2g/(Oq.
739. При какой скорости поезда рессоры вагонов будут
особенно сильно колебаться под действием толчков колес
на стыках рельсов? Длина рельса /, на рессору действует
сила F\, рессора прогибается на h при силе F%.
Решение. Рессоры будут особенно сильно коле-
баться при возникновении резонанса; при этом период
собственных колебаний рессор равен периоду внешней
силы, т. е. промежутку времени между двумя соседними
толчками:
Tq = 1. (1)
345
При скорости поезда v толчки повторяются через про-
межуток времени, за который поезд проходит путь, рав-
ный длине рельса:
т = l/v. (2)
Период собственных колебаний рессоры
То = 2n4^7k, (3)
где k - жесткость рессоры; т - масса груза, действующе-
го на рессору с силой Fj. Так как Fj = mg, то т = Fj /g.
Жесткость k = F2//1.
Подставив значения т и k в формулу (3), получим
(4)
На основании условия (1) и выражений (2) и (4) имеем
откуда
740. Маятниковые часы, точно идущие на уровне моря,
подняты на высоту h = 1000 м. На сколько отстанут они за
время tQ = 1 сут = 86 400 с? Радиус Земли R = 6370 • 103 м.
Маятник считать математическим.
Решение. Пусть t - показание часов на высоте h по
истечении суток. Тогда отставание часов
M = tQ-t, (1)
где - показание часов на уровне моря.
Показание часов пропорционально числу колебаний
маятника:
t/tQ=N/NQ, (2)
где Nq, N - число колебаний маятника за сутки соответст-
венно на уровне моря и на высоте h.
С увеличением высоты уменьшается ускорение свободно-
го падения, поэтому период колебаний маятника увеличива-
ется, а следовательно, за сутки на высоте h маятник совер-
шит меньше колебаний, чем за то же время на уровне моря
(N < Nq), поэтому часы отстанут. Они покажут время
346
* = (3)
как это следует из выражения (2).
На уровне моря период колебаний маятника
Л) = ZnJl/gQ,
на высоте h
Т = 2njl/gh,
где gQ, gh ~ ускорение свободного падения соответствен-
но на уровне моря и на высоте h. Поэтому No = Iq/Tq,
N = Iq/ T. Следовательно,
No т У go'
Ho
go=Gf’^G(HV’
где G - гравитационная постоянная; M - масса Земли;
R - радиус Земли. Поэтому
gft _ /?2
go (R + Л)2 ’
Подставив значение этого отношения в формулу (4), полу-
чим
N _ R (5)
No R + h'
Теперь на основании формул (1), (3) и (5) найдем от-
ставание часов за сутки:
Д'= " «9'0 = ('-Н*)'о = Нт'»’ 4( = 14 с-
у /Vq J ' К Т fi' Л Т П
741. Деревянный брусок массой m = 3,2 кг с площадью
основания S = 400 см2 плавает в воде. Брусок слегка по-
грузили в воду глубже и отпустили. Найти частоту коле-
баний бруска. Силой трения пренебречь. Плотность воды
р = 1,0 г/см3.
Решение. При равновесии на_брусок действуют
сила тяжести mg и архимедова сила (рис. 243, а) и
выполняется условие mg + F^\ = 0.
347
Проведем ось ОХ, направленную вертикально вниз, с
началом на поверхности воды. Спроектировав силы на эту
ось, получим mg - = 0. Отсюда, учитывая, что
^А1 =РЯ^1> где ^1 “ объем погруженной части бруска,
получим
mg-pgVi=0. (1)
Если брусок погрузить глубже на расстояние х (рис. 243, б),
то архимедова сила станет равной F^, а ее модуль
^А.2 = +*S). Равновесие нарушится, на брусок бу-
дет действовать результирующая сила
F = mg + FA2-
В проекциях на ось ОХ будем иметь
Fx = mg- Р£(Ц + xSY (2)
Из уравнения (1) следует, что mg = pgV\. Подставив
это значение mg в формулу (2), получим Fx - -pgSx, или
Fx - -kx, где k - pgS. Следовательно, период колебаний
Т = 2лЛЙ = 2л ПТ,
* k уpgS
а частота
v = ± =-L v = 1,8 Гц.
Т 2л V m
Задачи для самостоятельного решения
742. Тело массой т = 2,0 кг совершает гармонические
колебания по закону х = 50 cos у/, где все величины вы-
ражены в единицах СИ. Определить максимальные значе-
ния смещения, скорости, ускорения и силы. Найти пол-
ную энергию тела.
743. Материальная точка совершает гармонические
колебания согласно уравнению
х = 2cos(yf + -^j,
в котором все величины заданы в единицах СИ. Найти
период колебаний, амплитуду и начальную фазу.
744. Медный шарик, подвешенный к пружине, совер-
шает вертикальные колебания. Как изменится период ко-
лебаний, если к пружине подвесить вместо медного алю-
миниевый шарик такого же объема? Плотность меди pi =
= 8,9 103 кг/м3, алюминия рг = 2,7 • 103 кг/м3.
745. Тело, прикрепленное к пружине, вывели из со-
стояния равновесия и отпустили, в результате чего оно
стало совершать гармонические колебания вдоль горизон-
тального стержня. Определить отношение кинетической
энергии системы к ее потенциальной энергии по истече-
нии времени t после начала колебаний, если их период
равен Т. Массой пружины пренебречь.
746. Пружина под действием подвешенного к ней гру-
за растянулась на х = 6,5 см. Если после этого груз оття-
нуть вниз, а затем отпустить, то он начнет колебаться вдоль
вертикальной оси. Определить период этих колебаний.
747. Шарик, подвешенный на пружине, сместили на
расстояние а = 0,01 м вниз от положения равновесия и
отпустили. Какой путь пройдет шарик за t - 2 с, если
частота колебаний этой системы v = 5 Гц? Затуханием
пренебречь.
748. Груз массой т - 400 г, подвешенный на пружине
жесткостью k = 250 Н/м, совершает колебания с ампли-
тудой хт = 15 см. Найти наибольшую скорость груза.
749. От груза, висящего на пружине жесткостью k, от-
деляется его часть массой т. На какую максимальную
высоту поднимется оставшаяся часть груза? Сопротивле-
нием воздуха пренебречь.
349
750. Найти циклические частоты колебаний маятни-
ков, изображенных на рис. 244. Известно, что жесткости
пружин равны k\ и /г2, масса груза т. Массами пружин
пренебречь.
Рис. 244
Рис. 245
751. Два математических маятника одновременно начи-
нают колебаться. За один и тот же промежуток времени
первый совершает N\ = 20, а второй - М2 = 10 колебаний.
Определить отношение длин этих маятников.
752. Положительно заряженный шарик массой т = 30 г
совершал гармонические колебания над положительно за-
ряженной бесконечной горизонтальной плоскостью (рис. 245).
При этом сила электрического взаимодействия шарика и
плоскости F = 0,10 Н, а период его колебаний Т = 2,0 с.
Затем шарик перезарядили так, что его заряд стал отрица-
тельным, но по модулю равным первоначальному. Опреде-
лить период гармонических колебаний шарика в новом
состоянии.
753. Определить длину математического маятника, если
известно, что при уменьшении длины нити на Д/ = 5 см
частота колебаний маятника увеличивается в п = 1,5 раза.
754. Часы с маятником длиной I =1 м за сутки (t = 24 ч)
отстают на Д/ = 1 ч. На сколько нужно изменить длину
маятника, чтобы часы показывали точное время?
350
755. Два математических маятника с периодами коле-
баний 7’1 = 6си7’2 = 5с соответственно одновременно
начинают колебания в одинаковых фазах. Через какое наи-
меньшее время фазы их колебаний снова будут одинако-
выми?
756. Шарик плотностью pj подвешен на невесомой и
нерастяжимой нити длиной I в жидкой среде, плотность
которой равна Р2. Определить период колебаний шарика.
Трением пренебречь.
757. Шарик, имеющий массу т = 10 г и заряд q =
= 2 • 10-4 Кл, подвешен на невесомой и нерастяжимой нити
длиной / = 25 см в электрическом поле плоского горизон-
тального конденсатора. Разность потенциалов между пла-
стинами конденсатора U =120 В, расстояние между ними
d = 30 см. Чему равен период колебаний шарика на нити?
758. Математический маятник состоит из шарика мас-
сой т = 50 г, подвешенного на нити длиной / = 1 м.
Определить наименьшую силу натяжения нити, если ша-
рик проходит через положение равновесия со скоростью
v = 1,4 м/с.
759. При какой скорости поезда математический маят-
ник длиной I = 11 см, подвешенный в вагоне, особенно
сильно раскачивается, если длина рельсов L = 12,5 м?
760. Математический маятник колеблется по закону
х = хт cos(27ti + фо).
Какова длина маятника? Величины в уравнении выраже-
ны в единицах СИ.
761. В кабине лифта находится математический маят-
ник. Когда лифт неподвижен, период колебаний маятника
Т'о = 1 с. Определить модуль и направление ускорения
лифта, если период колебаний в движущемся лифте
7=0,9 с.
762. Период колебаний математического маятника на
уровне моря То = 2 с. На сколько изменится период коле-
баний этого маятника, если его поднять на высоту h = 10 км
над уровнем моря? Радиус Земли R = 6370 км.
763. Ракета поднимается вертикально вверх с ускоре-
нием а = 3g. Сколько полных колебаний совершит поме-
щенный в ракете маятник длиной I = 1,0 м за время, в
течение которого ракета поднимается на высоту h = 1480 м?
Зависимостью ускорения свободного падения от высоты
пренебречь.
351
764. Кабина лифта, к потолку которой подвешен мате-
матический маятник длиной I = 1 м, движется с ускорени-
ем а = 2,4 м/с2, направленным вниз. Определить период
колебаний маятника. В каком направлении движется лифт -
вверх или вниз?
765. Масса колеблющейся частицы т - 0,01 г, частота
колебаний v = 500 Гц, амплитуда хт - 2 мм. Определить:
кинетическую энергию частицы при прохождении положе-
ния равновесия; потенциальную энергию при смещении,
равном амплитуде; полную энергию частицы.
766. Математический маятник, состоящий из стально-
го шарика, диаметр которого d = 4 см, и нити длиной
I = 2,43 м, совершает гармонические колебания с ампли-
тудой хт = 10 см. Определить скорость шарика при прохож-
дении положения равновесия и наибольшее значение воз-
вращающей силы. Плотность стали р = 7,8 • 103 кг/м3.
767. За время t = 120 с математический маятник совер-
шил N] = 120 колебаний. Когда длину маятника увеличи-
ли на Л/ = 74,7 см, он за то же время совершил = 60
колебаний. Найти начальную длину маятника, его конеч-
ную длину и ускорение свободного падения в месте прове-
дения опыта.
768. Математический маятник длиной I - 50,0 см ко-
леблется в кабине самолета. Каков период его колебаний,
если самолет: а) движется равномерно; б) летит горизон-
тально с ускорением а - 2,50 м/с2; в) планирует вниз под
углом а = 15° к горизонту?
769. Математический маятник длиной I = 1 м установлен
в лифте, который поднимается с ускорением а = 2,5 м/с2,
направленным вверх. Определить период колебаний ма-
ятника.
Рис. 246
770. Ареометр массой т состоит
из закрытого стеклянного сосуда с
грузом и цилиндрической трубки,
площадь поперечного сечения кото-
рой равна S. Он помещен в жидкость
плотностью р (рис. 246). Ареометр
погружают в жидкость несколько
глубже, чем это нужно для его рав-
новесия, и затем отпускают. Найти
период свободных колебаний арео-
метра. Трением пренебречь.
352
Рис. 247
771. На гладком горизонталь-
ном столе покоится брусок мас-
сой М = 20 г, прикрепленный пру-
жиной жесткостью k = 50 Н / м к
стене (рис. 247). В брусок уда-
ряется шарик массой т = 10 г,
движущийся по столу со скоро-
стью ид = 30 м/с, направленной вдоль пружины. Считая
соударение шарика и бруска абсолютно упругим, найти
амплитуду колебаний бруска после удара. Время удара
пренебрежимо мало по сравнению с периодом колебаний
бруска.
772. В U-образную трубку, площадь
поперечного сечения которой S = 10 см2,
налита вода массой т = 200 г. Если
воду вывести из положения равнове-
сия (рис. 248), то она будет колебать-
ся. Найти частоту колебаний. Плот-
ность воды р = 1 • 103 кг/м3.
773. Однородный сплошной дере-
вянный цилиндр плавает в воде в вер-
тикальном положении. Если цилиндр
притопить и отпустить, то он будет
совершать колебания, период которых
Т = 1 с. Определить высоту цилиндра. Плотность воды
Pl = 1 • 103 кг/м3, плотность дерева р2 = 0,8 • 103 кг/м3.
Силу трения не учитывать.
774. Скорость волны вдоль резинового шнура v - 3 м/с
при частоте v - 2 Гц. Какова разность фаз между точка-
ми, отстоящими друг от друга на I = 75 см?
775. Длина волны А. = 60 см. На каком расстоянии друг
от друга находятся точки волны с противоположными фа-
зами колебаний? На каком расстоянии находятся точки с
разностью фаз Дф = я/4?
776. В некоторой среде распространяется волна. За вре-
мя, в течение которого частица среды совершает N = 140
колебаний, волна распространяется на расстояние I = 112 м.
Найти длину волны.
777. Звуковая волна распространилась из воздуха в воду.
Длина этой волны в воздухе Ац = 1 м. Какова длина звуковой
волны в воде? Скорость звука в воздухе щ - 0,34 103 м/с,
в воде - v2 - 1,36 103 м/с.
12 Зак. 1525
353
778. Имеются два когерентных источника звука. В точ-
ке, отстоящей от первого источника на /, = 2,3 м, а от
второго на = 2,48 м, звук не слышен. Минимальная
частота колебаний, при которой это возможно, v = I кГц.
Найти скорость звука.
779. Дорожный мастер, приложив ухо к рельсу, услы-
шал звук начавшегося движения поезда, а через t = 2 с до
него донесся гудок локомотива при отправлении. На ка-
ком расстоянии от станции отправления находился мас-
тер? Скорости звуковых волн в воздухе и в стали принять
равными vi = 330 м/с и v% = 5000 м/с соответственно.
780. Из пункта А в пункт В дважды был послан звуко-
вой сигнал, частота которого v = 50 Гц, причем в первый
раз скорость звука была V\ = 330 м/с. Во второй раз
температура воздуха была выше, поэтому скорость звука
повысилась и стала равной v% = 340 м/с. Число волн,
укладывающихся на расстоянии от А до В, во второй раз
оказалось, как и в первый, целым, но на две волны мень-
ше. Определить расстояние между пунктами.
12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И
ВОЛНЫ
Методические указания к решению задач
Ряд задач на электромагнитные колебания решается с
применением формулы Томсона, а также формулы емко-
сти плоского конденсатора и формулы связи между дли-
ной волны, скоростью распространения колебаний и пе-
риодом. При этом необходимо учитывать, что формула Том-
сона справедлива только в том случае, если активным сопро-
тивлением колебательного контура можно пренебречь. В
процессах, происходящих в колебательном контуре, выпол-
няется закон сохранения и превращения энергии.
При решении задач на переменный ток необходимо пом-
нить, что сила тока, напряжение и ЭДС в цепях перемен-
ного тока совершают гармонические колебания с различ-
ными фазами. Поэтому при последовательном соединении
сила тока на всех участках цепи в один и тот же момент
времени одинакова, а напряжение во всей цепи, в отличие
354
от цепи постоянного тока, не равно арифметической сум-
ме напряжений на отдельных участках. Оно находится по
правилу сложения векторных величин, при этом учитыва-
ется наличие активного, индуктивного и емкостного со-
противлений.
Основные законы и формулы
Формула Томсона:
Т=2h4LC,
где Т - период свободных электромагнитных колебаний в коле-
бательном контуре, состоящем из конденсатора емкостью С и
катушки индуктивностью L.
Мгновенные значения ЭДС е, напряжения и и силы I пе-
ременного шока соответственно равны:
е = sin(coi + <р), и = Uт sin(coi + <р), i - Im sin <oi,
где со = 2п/Т = 2nv - круговая (циклическая, угловая) частота;
Т - период; v - частота; <р - начальная фаза ЭДС или напря-
жения (начальная фаза силы тока принята равной нулю);
8ОТ, Um, Im~ амплитудные значения ЭДС, напряжения и силы
тока.
Разность (сдвиг) фаз колебаний силы тока t = lm sin (at и
напряжения и - Um sin(cof+ <р) определяется формулой
te(p- м£- 1/<саС\
У?
где L, С, R - соответственно индуктивность катушки, емкость
конденсатора и активное сопротивление резистора, последова-
тельно включенных в цепь переменного тока.
Индуктивное сопротивление катушки индуктивностью L
XL = (oL.
Емкостное сопротивление конденсатора емкостью С
Хс = 1/(соС).
Полное сопротивление цепи
Z = Jr2 +fco£--i-f.
V \ соС7
Закон Ома для электрической цепи переменного тока:
355
m 7 ' 1 m i— --------------7 ’
Z -Jr2 + (coL - l/(coC))2
где Im, Um - амплитудные значения силы тока и напряжения,
R - активное сопротивление; со£ - индуктивное сопротивле-
ние; 1/(соС) ~ емкостное сопротивление.
Действующие значения силы переменного тока, напря-
жения и ЭДС:
Z = /V2, и = ит/42, 8 =
где Im, Uт, 8т ~ амплитудные значения.
Количество теплоты, выделяемое проводником, активное
сопротивление которого R, при прохождении по нему перемен-
ного тока в течение времени t,
Q = PRt.
На индуктивном и емкостном сопротивлениях теплота не выде-
ляется.
Мощность переменного тока
Р = Wcoscp = — cos ф,
где cos ф - коэффициент мощности: созф = R/Z; R — активное
сопротивление цепи; Z — ее полное сопротивление.
Коэффициент трансформации
k = щ/п2 = U{/U2,
где Пр п2 “ число витков первичной и вторичной обмоток транс-
форматора; U\, U2 ~ напряжения на первичной и вторичной
обмотках.
Примеры решения задач
781. Сила тока в цепи изменяется с течением времени
по закону i = 5,0 sin 200л/ А, где / выражается в секундах.
Определить амплитудное значение силы тока, частоту и
период. Найти силу тока для фазы q>i = Зл/8.
Решение. Задача решается аналогично задаче 731.
Сопоставив уравнения i = Im sin о/ и i = 5,0 sin 200л/, най-
дем: 1т = 5,0 А, о/ = 200л/ или 2л/Т = 200л, Т = 0,01 с,
v = 100 Гц.
356
Фазе ф) = Зя/8 соответствует сила тока
1’1 = 5,0 sin A, (j = 4,6 А.
О
782. На какую длину волны настроен колебательный
контур, если он состоит из катушки индуктивностью L =
= 2,0 • 10-3 Гн и плоского конденсатора? Расстояние между
пластинами конденсатора d = 1,0 см, диэлектрическая про-
ницаемость вещества, заполнившего пространство между
пластинами, £ = 11. Площадь каждой пластины S = 800 см*.
Решение. Длина волны X = сТ, где с - скорость
электромагнитных волн (с = 3 • 108 м/с); Т - период
колебаний. Период найдем по формуле Томсона:
Т = 2rtVZc,
где L - индуктивность катушки; С - емкость конденсато-
ра. Подставив в эту формулу значение емкости С = EqeS/d,
получим
г cpeS
d '
Следовательно, длина волны
X = 2kcJl^-, X = 2,4 • 103 м.
V а
Т = 2nd
783. Определить сдвиг фаз колебаний напряжения
и = Um sin((o? + ср) и силы тока i = Im sin (at для электри-
ческой цепи, состоящей из последовательно включенных
проводника с активным сопротивлением R = 1 кОм, ка-
тушки индуктивностью L = 0,5 Гн и конденсатора емко-
стью С = 1 мкФ. Определить мощность, которая выделяет-
ся в цепи, если амплитуда напряжения Um = 100 В, а
частота v = 50 Гц.
Решение. Сдвиг фаз между напряжением и силой
тока, которые заданы уравнениями и = Um sin(co? + ф) и
i = Im sin 0)t, определяется соотношением
, <лЬ - 1/(соС)
‘КФ = —-R—
Циклическая частота со - 2tcv. Следовательно,
tP(P.= .2yL..-..1/(2,tvC). (1)
357
Мощность, которая выделяется в цепи, определим по
формуле
Р = cos ф
2
где lm, Um - амплитудные значения соответственно силы
тока и напряжения. Так как Im = U т/Z, то
Р = TcS-COSCp,
2Z Y
где Z - полное сопротивление цепи; его находим по фор-
муле
Z = J/?2 +((oL-_L)2.
V \ шС/
Следовательно,
Р = __ ^mcos(P
2-J/?2 + (mL - 1/(шС))2
Подставив числовые значения в формулу (1), найдем:
tgq> = -3, ф = -72° (минус показывает, что напряжение
отстает по фазе от тока), cosvp = 0,3. Подставив числовые
значения в формулу (2), получим Р = 0,5 Вт.
784. Электропечь сопротивлением R = 22 Ом питается
от генератора переменного тока. Определить количество
теплоты, выделяемое печью за время t = 1 ч, если ампли-
туда силы тока 1т - 10 А..
Решение. Количество теплоты, выделяющееся в
проводнике при прохождении по нему переменного тока,
Q - I2Rt,
где / - действующее значение силы тока. Поскольку
/ = 1т/42 , то
Q-I^Rt/2, Q = 4106 Дж.
785. Радиолокатор работает на длине волны X = 20 см
и дает в секунду п = 5000 импульсов длительностью
х = 0,02 мкс каждый. Сколько колебаний составляют один
импульс и каково максимальное расстояние, на котором
может быть обнаружена цель?
Решение. Число колебаний в одном импульсе N = vt ,
где v _ частота колебаний. Так как v = с/Х, где с - ско-
358
рость электромагнитных волн в вакууме: с = 3 108 м/с;
X - длина волны, то
ЛГ = стА, W = 30.
За промежуток времени t = 1 / п между двумя последо-
вательными импульсами электромагнитные волны доходят
до цели и, отразившись, возвращаются обратно. Поэтому
2s = ct, где s - расстояние до цели. Таким образом,
s = ct/2 = с/(2п), s = 3 • 104 м.
786. К источнику постоянного тока параллельно под-
ключены конденсатор емкостью С = 20 мкФ и катушка с
индуктивностью L = 0,02 Гн. При этом напряжение на кон-
денсаторе UJ = 100 В, а сила тока в катушке 1\ = 2 А. Затем
источник отключают. Какой заряд будет на конденсаторе
в момент, когда сила тока в катушке 1% = 1 А? Потерями
энергии на нагревание пренебречь.
Решение. Согласно закону сохранения энергии,
сумма энергии заряженного конденсатора и энергии маг-
нитного поля тока остается постоянной:
^1+^м1=^2+^м2>
где Wj, W<2 ~ начальная и конечная энергия конденсато-
ра; ТГМ1 и ТГМ2 - начальная и конечная энергия магнитно-
го поля тока. Выразив значения этих энергий, получим
уравнение
CU? , Lil _ <72 . Llj
2 2 2С + 2 ’
где q — искомый заряд. Отсюда
q = + А(/2 - ^)), q = 2 • 10~3 Кл.
787. Колебательный контур, состоящий из катушки
индуктивности и воздушного конденсатора, настроен на
длину волны Xj = 300 м. При этом расстояние между
пластинами конденсатора d, - 4,8 мм. Каким должно быть
это расстояние, чтобы контур был настроен на длину вол-
ны ^2 = 240 м?
Решение. Длина волны в первом случае Х[ = сТ\,
во втором Х2 - с7’2, где с - скорость электромагнитных
волн в вакууме: с = 3 108 м/с; 1\, Т% ~ периоды колеба-
359
ний контура. Выразив периоды по формуле Томсона, бу-
дем иметь:
X) = 2ясд/ТС1, Х2 = 2ясл/^С2 ,
где L ~ индуктивность катушки; Ср С2~ емкости конден-
сатора. Так как С, = Eq5/^, С2 = e.0S/d2, то
Xi = 2яс./Г^^-, Хо - 2nc.lL^^-.
V ^1 V ^2
Разделив почленно первое равенство на второе, полу-
чим Xj /Х2 = Jd2/d\ , откуда
d2 =di(Xi/X2)2, d2 -7,5 мм.
788. Имеются два колебательных контура с одинаковы-
ми катушками и конденсаторами. В катушку одного из
контуров вставили железный сердечник, увеличивший ее
индуктивность в п = 4 раза. Найти отношение резонанс-
ных частот контуров и их энергий, если максимальные
заряды на конденсаторах одинаковы.
Решение. Пусть L\ - индуктивность катушки без
сердечника. Тогда индуктивность катушки с сердечником
L2 = nLx.
Резонансные длины волн контуров (см. решение преды-
дущей задачи):
Xj = 2itc^L\C, Х2 = 2лс^пЦС,
где с — скорость электромагнитных волн в вакууме: с =
= 3 • 108 м/с; С - емкость конденсатора, одинаковая в
обоих контурах. Разделив почленно первое равенство на
второе, получим
X!/x2=Vi7«- (1)
Если vj и v2 - резонансные частоты, то Xj = c/vj, Х2 = с/ v2.
Подставив эти значения в выражение (1), получим:
v2 = /Т v2 = 1
V! V П ’ Vj 2 '
789. Заряженный конденсатор емкостью С = 0,2 мкФ
подключили к катушке индуктивностью L = 8 мГн. Через
какое время от момента подключения энергия электриче-
ского поля конденсатора станет равной энергии магнитно-
го поля катушки?
360
Решение. С течением времени t заряд конденсато-
ра изменяется по закону
q = qm cos a>t,
где qm - амплитудное значение заряда; со - циклическая
частота.
Энергия электростатического поля конденсатора
2 2
Гэ = 2С = 2ССОз2®Л (1)
Энергия магнитного поля катушки
= LI2/2,
где / - сила тока. Сила тока равна производной заряда по
времени:
I = q' = -^mwsino)t
Следовательно,
=f<7m“2sin2Grt. (2)
Через время fj от момента отключения будет
На основании этого равенства и выражений (1) и (2) по-
лучим
2
COS2 <of] = |q2(02 sin2 (Of],
откуда
cos2 ml, . о • 2 j.
——- = Leo sin to/].
Подставив в это уравнение значение со2 — 1/(ЛС), полу-
чим
cos2 со/] = sin2 (Of].
Отсюда находим tgeof] =1. Следовательно, of] =я/4, а
так как со = ^=, то откуда
Л = kVLC t = 3 10~5 с.
1 4
361
Задачи для самостоятельного решения
790. Катушка индуктивностью L = 3 • 1СГ5 Гн присое-
динена к плоскому конденсатору, площадь каждой пласти-
ны которого S = 100 см2. Расстояние между пластинами
конденсатора d = 0,1 мм. Чему равна диэлектрическая
проницаемость среды, заполняющей пространство между
пластинами конденсатора, если контур резонирует на вол-
ну длиной X = 750 м? Скорость электромагнитных волн в
вакууме с = 3 • 108 м/с.
791. Определить длину волны, на которую настроен
приемник, если его приемный контур обладает индуктив-
ностью L = 0,003 Гн и емкостью С = 10 мкФ. Скорость
электромагнитных волн в вакууме с = 3 108 м/с.
792. Контур радиоприемника настроен на частоту
v = 9 МГц. Как нужно изменить электроемкость перемен-
ного конденсатора этого контура, чтобы приемник был на-
строен на длину волны X = 50 м? Скорость электромаг-
нитных волн в вакууме с = 3 • 108 м/с.
793. После зарядки конденсатора от источника посто-
янного напряжения ключ К переключают на катушку ин-
дуктивностью (рис. 249).
В контуре возникают гармони-
ческие колебания с амплиту-
дой силы тока 1тХ. Опыт повто-
ряют по прежней схеме, заме-
нив катушку на другую, индук-
тивностью Z.2 = 2А). Найти ам-
плитуду силы тока 1т2 для вто-
рого случая.
794. Колебательный контур состоит из катушки индук-
тивностью L = 0,2 мкГн и переменного конденсатора, ем-
кость которого может изменяться от С] = 50 пФ до С2 =
= 450 пФ. Какой диапазон частот и длин волн можно охва-
тить настройкой этого контура? Скорость электромагнит-
ных волн в вакууме с = 3 • 108 м/с.
795. Колебательный контур содержит катушку и кон-
денсатор. Во сколько раз увеличится период собственных
колебаний в контуре, если параллельно конденсатору под-
ключить еще три таких же конденсатора?
796. В колебательном контуре с емкостью С и индуктив-
ностью L совершаются свободные незатухающие колеба-
V
L,
Рис. 249
362
ния. Известно, что максимальное напряжение на конденса-
торе равно Um. Найти максимальную силу тока в контуре.
797. Колебательный контур состоит из катушки ин-
дуктивностью L = 1 мГн и конденсатора, обкладки которо-
го - две круглые пластины диаметром D = 20 см каждая.
Расстояние между пластинами d = 1 см. Определить пе-
риод колебаний контура, если пространство между пла-
стинами заполнено плексигласом, диэлектрическая про-
ницаемость которого £ — 3. Электрическая постоянная
Е0 = 8,85 10"12 Ф/м.
798. В колебательном контуре происходят свободные
незатухающие электромагнитные колебания. Зная, что
максимальный заряд конденсатора qm = 1 • 10-6 Кл, а мак-
симальная сила тока 1т = 10 А, найти, на волну какой
длины настроен контур. Скорость электромагнитных волн
с = 3 • 108 м/с.
799. Катушка индуктивности подключена к конденса-
тору, заряд которого q - 2,5 • 1О-10 Кл. В образованном
контуре возникли свободные электромагнитные колебания,
частота которых v = 4 • 107 Гц. Определить максималь-
R
Рис. 250
ную силу электрического тока, проходящего через катуш-
ку. Активным сопротивлением катушки пренебречь.
800. Зависимость силы тока от времени в колебатель-
ном контуре описывается уравнением I = O,lsin3OO7tZ А.
Найти индуктивность контура, если максимальная энер-
гия электростатического поля конденсатора Wm = 0,005 Дж.
801. К источнику тока подключена катушка индуктив-
ностью L = 0,81 Гн и резистор сопротивлением R = 25 Ом
(рис. 250). Сразу после размыка-
ния ключа К в резисторе выделяет-
ся тепловая мощность Р = 100 Вт.
Сопротивление обмотки катушки
пренебрежимо мало. Какое коли-
чество теплоты выделится в ре-
зисторе к моменту исчезновения
тока в цепи?
802. Колебательный контур
состоит из конденсатора емкостью
индуктивностью L - 6 мкГн и активным сопротивлением
R = 0,5 Ом. Какую мощность должен потреблять контур,
чтобы в нем поддерживались незатухающие гармонические
колебания с амплитудой напряжения на конденсаторе
[/т=10В?
С = 1,2 нФ и катушки
363
803. Рамка площадью S = 1 дм2 из проволоки сопро-
тивлением R = 0,45 Ом вращается с угловой скоростью
со = 100 рад/ с в однородном магнитном поле с индукцией
В — 0,1 Тл. Ось вращения рамки лежит в ее плоскости и
перпендикулярна вектору магнитной индукции В. Опреде-
лить количество теплоты Q, которое выделится в рамке за
М = 1000 оборотов. Самоиндукцией пренебречь.
804. Напряжение зажигания неоновой лампы U3 = 80 В,
напряжение гашения Ur = 70 В. Вольтметр показывает,
что в сети переменного тока напряжение U = 60 В. Будет
ли лампочка гореть в этой сети?
805. В сеть переменного тока с действующим значени-
ем напряжения U = 220 В и частотой v = 50 Гц последо-
вательно включены резистор сопротивлением R = 200 Ом,
катушка индуктивностью L = 40 мГн и конденсатор ем-
костью С = 80 мкФ. Найти индуктивное, емкостное и пол-
ное сопротивления цепи, а также действующее и ампли-
тудное значения силы тока.
806. Резистор сопротивлением R = 30 Ом включен
последовательно с конденсатором в сеть переменного тока
с действующим значением напряжения U = 220 В и часто-
той v = 50 Гц. Амплитуда силы тока в цепи 1т = 2 А.
Найти емкость конденсатора.
807. К источнику переменного напряжения с действую-
щим значением U = 100 В и частотой v = 500 Гц подклю-
чена цепь, состоящая из последовательно включенных ре-
зистора сопротивлением R = 20 Ом, катушки, индуктивность
которой L = 40 мГн, и конденсатора емкостью С = 12 мкФ.
Найти силу тока в цепи и показания вольтметра на каж-
дом элементе цепи.
808. Катушка индуктивности, конденсатор и провод-
ник с активным сопротивлением соединены последователь-
но. Действующие напряжения на них - соответственно
UI = 15 В, UQ = 10 В, Up = 12 В. Чему равно действую-
щее напряжение на всем участке?
809. Лампочку для карманного
фонаря, рассчитанную на напряжение
U\ = 3,5 В и силу тока I = 0,28 А, и
конденсатор соединили последова-
тельно (рис. 251) и включили в сеть
переменного тока с действующим зна-
чением напряжения (72 ~ 220 В и
частотой v = 50 Гц. Какой должна
364
быть емкость конденсатора, чтобы накал лампочки был
нормальным?
810. Электрическая печь, сопротивление которой
R = 20 Ом, подключена к сети переменного тока. Найти
количество теплоты, выделяемое печью за время t = 2 ч,
если амплитуда силы тока 1т = 10 А.
811. В сеть переменного тока с частотой v = 50 Гц
включили электроплитку, а затем последовательно с ней
подключили катушку, вследствие чего мощность плитки
уменьшилась в п = 3 раза. Рабочее сопротивление плитки
= 60 Ом. Найти индуктивность катушки. Активное со-
противление катушки /?2 = 2 Ом.
• 812. К электрической цепи подведено переменное на-
пряжение и = 180 sin со/ В. Амперметр, включенный в эту
цепь, показывает силу тока I = 1,4 А. Определить коэф-
фициент мощности цепи, если она потребляет мощность
Р = 144 Вт.
813. При подключении первичной обмотки трансформа-
тора к источнику переменного синусоидального напряжения
во вторичной обмотке возникает ЭДС gj = 16 В. Если к тому
же источнику подключить вторичную обмотку, то в первич-
ной возникает ЭДС g = 4 В. Найти напряжение источника.
Потери энергии в трансформаторе не учитывать.
814. Первичная обмотка силового трансформатора для
накала радиолампы имеет = 2200 витков и включена в
сеть с действующим значением напряжения U\= 220 В.
Сколько витков должна иметь вторичная обмотка, если ее
активное сопротивление г = 0,50 Ом, а напряжение нака-
ла лампы U2 = 3,5 В при силе тока накала I = 1 А?
815. Первичная обмотка понижающего трансформато-
ра с коэффициентом трансформации k = 10 включена в
сеть с напряжением U\ = 220 В. Сопротивление вторич-
ной обмотки г = 0,5 Ом, ток во вторичной обмотке / = 4 А.
Определить напряжение U2 на зажимах вторичной обмот-
ки. Потерями в первичной обмотке пренебречь.
816. Электроэнергия передается от генератора к потре-
бителю по проводам, общее сопротивление которых
= 400 Ом. Коэффициент полезного действия линии пе-
редачи т] = 0,95. Определить сопротивление нагрузки, если
внутреннее сопротивление генератора г = 100 Ом.
817. При передаче электроэнергии на большое расстоя-
ние используется трансформатор, повышающий напряже-
365
ние до U = 6 • 103 В и нагруженный до номинальной
мощности Р = 106 Вт. При этом разность показаний счет-
чиков электроэнергии, установленных на трансформатор-
ной подстанции и в приемном пункте, увеличивается еже-
суточно (/ = 24 ч) на ДИ7 = 216 кВт • ч. Во сколько раз
необходимо повысить напряжение в линии, чтобы при пе-
редаче потери энергии не превышали т] =0,1%?
V. ОПТИКА
13. ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И
ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА
Методические указания к решению задач
При решении большинства задач по оптике важное зна-
чение имеет правильно сделанный чертеж.
В задачах о преломлении света на плоской границе раз-
дела двух сред при построении хода луча нужно учиты-
вать, что при переходе луча из оптически менее плотной
среды в оптически более плотную угол преломления мень-
ше угла падения, а при переходе из оптически более плот-
ной среды в менее плотную угол преломления больше угла
падения. Если же во втором случае угол падения больше
предельного угла, то луч не переходит во вторую среду -
происходит полное отражение света. Сделав чертеж, надо
на основании закона преломления света составить уравне-
ния для каждой границы раздела сред и дополнительные
уравнения исходя из геометрических соображений. Затем
из этой системы уравнений определяют искомую величину.
Основные законы и формулы
Законы отражения света:
1. Падающий луч, отраженный луч и перпендикуляр к гра-
нице раздела двух сред, проведенный в точке падения луча,
лежат в одной плоскости.
2. Угол отражения равен углу падения.
Законы преломления света:
1. Падающий луч, преломленный луч и перпендикуляр к гра-
нице раздела двух сред, проведенный в точке падения луча,
лежат в одной плоскости.
2. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломле-
ния для данных двух сред есть величина постоянная, называе-
мая относительным показателем преломления второй среды
относительно первой:
367
Абсолютным показателем преломления среды называет-
ся показатель преломления этой среды относительно вакуума.
Он показывает, во сколько раз скорость света в среде меньше
скорости света в вакууме: п = c/v, где с - скорость света в
вакууме; v — скорость света в данной среде. Относительный
показатель преломления
г>1 _с/п\ _ «2
«21 = — = —Н-
о2 с/п2
где V], о2 -скорости света в первой и второй средах; П], п2 —
абсолютные показатели преломления этих сред.
Предельный угол полного отражения определяется из со-
отношения
sinap = п2/и],
где п2> «I ~ абсолютные показатели преломления сред.
Примеры решения задач
818. Луч света, отраженный от плоского зеркала, падает
перпендикулярно на плоский экран, удаленный на I = 8,0 м
от зеркала. На какое расстояние переместится световой
зайчик на экране, если повернуть зеркало на угол ср = 20°
вокруг оси, лежащей в плоскости зеркала и перпендику-
лярной плоскости, в которой находятся падающий и отра-
женный лучи?
Решение. При повороте зеркала на угол ср отра-
женный луч повернется на угол р (рис. 252). Тогда свето-
Р и с. 252
368
вой зайчик переместится на расстояние d. Из прямоуголь-
ного треугольника О АВ находим d = /tgp.
Найдем теперь угол р. При повороте зеркала на угол ср
перпендикуляр к зеркалу, восставленный в точке О паде-
ния луча, также повернется на угол <р, поэтому угол паде-
ния будет равен а + ср, а угол между падающим и отра-
женным лучами равен 2(а + ср). До поворота зеркала угол
между падающим и отраженным лучами был равен 2а.
Поскольку направление падающего луча осталось неиз-
менным, то отраженный луч повернулся на угол
Р = 2(а + ср) - 2а = 2<р.
Таким образом, d = Itg2<р- Подставив числовые значе-
ния, найдем d - 6,7 м.
819. Световой луч падает под углом а = 30° на плоско-
параллельную стеклянную пластинку толщиной d = 10 см.
Определить смещение луча пластинкой, если она погруже-
на: в сероуглерод; в воду. Показатели преломления сероуг-
лерода, стекла и воды - соответственно щ = 1,6, п2 = 1,5 и
п3 = 1,3.
Решение. Ход луча в первом и втором случаях
показан на рис. 253, а, б. Показатель преломления сероуг-
лерода больше показателя преломления стекла, а показа-
тель преломления воды меньше показателя преломления
стекла. Поэтому в первом случае преломленный луч в стек-
ле удаляется от перпендикуляра, восставленного в точке
падения, а во втором приближается к нему. Вышедший из
369
пластинки луч в обоих случаях будет параллелен падаю-
щему.
Определим смещение $[ луча, когда пластина погруже-
на в сероуглерод (рис. 253, а). Из прямоугольных тре-
угольников АОВ и СОВ получим
si _ d
sin(p] - a) cos01
Отсюда
_ rfsin(P| - а) (j )
1 cos Pt
По закону преломления света откуда
. о п, sin а . .
sinPl=-4^'
Следовательно,
cos Р] = д/1 - sin2 Pi = — - пр sin2 а. (3)
Подставив значения (2) и (3) в формулу (1), после пре-
образований получим:
sin 2 а
2 2
2 - Hj smz а
-sina , = 5,9 10 2 м.
Sj = d
Для случая, когда пластинка погружена в воду, смещение
определяется аналогично. Поэтому читателю рекомендуется
найти смещение самостоятельно, используя рис. 253, б.
820. Определить угол отклонения светового луча трех-
гранной призмой с преломляющим углом ср, если угол па-
дения луча на переднюю грань равен a, а показатели пре-
ломления среды вне призмы и материала призмы равны
соответственно гц и п2, причем п2 > пр
Решение. Угол отклонения луча
0 = (a - Р) + (р! -cq) (1)
как внешний угол треугольника АВС (рис. 254). Кроме
того, Z.AEB = ZBDK = ср как углы со взаимно перпенди-
кулярными сторонами. Угол BDK является внешним уг-
лом треугольника ABD, поэтому
ср = Р-ьос1. (2)
На основании выражений (1) и (2) получим
370
0 = а-ф + р1. (3)
Используя закон преломле-
ния света, можем записать:
sing _ п2 s‘n«I _ ni , .V
sin р n1 ’ sinP] П2 ' '
Отсюда
РП1 sin а . _ п? sinai
- —----, sin Bi =—---
n2 «1
Из выражения (2) следует,
что aj = <р - р, поэтому
sin Pi = —sin(tp - Р) = — (sin ф cos Р - costpsinP).
И] П,
Подставим в эту формулу значение sin Р и произведем пре:
образования:
sinpi =— (sincp) 1—-
«I
2-2 \
1 sin а И] .
—т-------(cos (р) — sin a =
"2 n2 J
n I I n >2
= — (snw)Jl -1 — । sin2 a - созфзта. (5)
«1 V \ n2 J
Учитывая равенства (3) и (5), получаем значение угла
отклонения луча призмой:
I I (п У2 I
0 = а-ф + агсэт — (snw)Jl- — sin2 a-cos ф sin a .(6)
И] V \n2J
Полезно обратить внимание на то, что в случае, когда
преломляющий угол ф мал (призма тонкая) и угол паде-
ния а мал, выражение для угла отклонения 0 имеет более
простую форму. Действительно, в этом случае, заменяя в
формулах (4) синусы углов их значениями (в радианах),
получаем:
a - —р, pi = — cq.
Подставив эти значения в формулу (3) и учитывая выра-
жение (2), найдем
0 = (п2 /«1 - Оф.
371
Эта формула является частным случаем формулы (6) при
малых ф и а. Она может быть получена из формулы (6),
если заменить синусы углов ф и а их значениями (в радиа-
нах) и пренебречь членами, пропорциональными (г иф .
821. На какой глубине расположен точечный источник
света S в воде, если с поверхности воды лучи выходят в
воздух из круга диаметром d = 20 м (рис. 255)? Показа-
тель преломления воды п = 1,3.
Решение. Вторая среда (воздух) оптически менее
плотная, чем первая (вода), поэтому из воды выйдут толь-
ко те лучи света, угол падения которых меньше предель-
ного угла ад - Как видно из рисунка, глубина
h = d/(2tga0 ). (1)
Для предельного угла справедливо соотношение sin ocq =
= «2/ni< где ni> п2 “абсолютные показатели преломления
соответственно воды и воздуха. Так как Л] = п, ~ 1, то
sinao - 1 /и. Тогда
, sina0 1
tgao = I —. ° = г^--
yl - sin a0 vn - 1
Подставив это значение в формулу (1), получим:
h = ^n2 - 1 , Л = 8,3 м.
2
372
Задачи для самостоятельного решения
822. Лазерный визир применяется для задания направ-
лений при геодезических работах. Дальность действия
прибора /j = 2 км. На этом расстоянии диаметр светового
пучка = 200 мм. Определить, на каком расстоянии диа-
метр светового пучка d2 - 10 мм. Найти телесный угол
этого пучка и плоский угол при вершине в осевом сечении
конуса.
823. Плоское зеркало, находящееся в центре кривизны
сферического экрана радиуса R = 10 м, вращается с по-
стоянной частотой п = 0,5 с-1. С какой скоростью переме-
щается по экрану «зайчик»?
824. Под каким углом к горизонту
следует расположить плоское зеркало,
чтобы осветить дно колодца отраженны-
ми от зеркала солнечными лучами, в то
время как свет падает под углом а = 30°
под углом к горизонту (рис. 256)?
825. На плоское зеркало падает от
источника света расходящийся под уг-
лом а пучок лучей. Определить угол
между лучами после их отражения от
зеркала.
826. Отражающая поверхность зер- Рис. 256
кала составляет с плоскостью стола
угол а = 135°. По направлению к зеркалу по столу катит-
ся шар со скоростью и = 3 м/с. В каком направлении и с
какой скоростью движется изображение шара?
827. Угол падения луча света на границу двух сред (при
переходе его из первой среды во вторую) а = 60°. Абсо-
лютный показатель преломления второй среды п2 = 2,4.
Найти абсолютный показатель преломления первой сре-
ды, если отраженный и преломленный лучи взаимно пер-
пендикулярны.
828. Какова толщина плоскопараллельной стеклянной
пластинки, если точку, нанесенную чернилами на нижней
стороне пластинки, наблюдатель видит на расстоянии h = 5 см
от верхней поверхности? Луч зрения перпендикулярен
поверхности пластинки. Показатель преломления стекла
п = 1,6. Для малых углов tg а ~ sin а ~ а.
373
829. В микроскоп резко видна верхняя грань плоскопа-
раллельной пластинки толщиной d - 3,0 см. Чтобы полу-
чить резкое изображение нижней грани, тубус микроско-
па опустили на h = 2,0 см. Определить показатель прелом-
ления вещества, из которого изготовлена пластинка.
830. Кажущаяся глубина водоема h = 3 м. Какова его
истинная глубина? Показатель преломления воды п = 4/3.
831. Пластинка состоит из нескольких плоскопараллель-
ных слоев различных веществ. Луч света падает из возду-
ха на первый слой под углом а. Определить угол прелом-
ления в последнем слое, если показатель преломления
вещества этого слоя равен п.
832. На горизонтальном дне водоема глубиной h = 1,2 м
лежит плоское зеркало. На каком расстоянии от места
вхождения луча в воду этот луч снова выйдет на поверх-
ность воды после отражения от зеркала? Угол падения
луча а = 30°, показатель преломления воды п = 1,3.
833. Над погрузившейся на небольшую глубину под-
водной лодкой пролетает самолет на высоте h = 3 км. Ка-
кой покажется высота полета самолета при наблюдении с
лодки? Показатель преломления воды п = 4/3.
834. Пучок параллельных лучей света шириной b = 20 см
выходит из стеклянной пластинки в воздух через плоскую
грань пластинки. Определить ширину пучка в воздухе, если
угол падения луча на границу стекло-воздух а = 30°, а
показатель преломления стекла п = 1,8.
835. Луч света падает под углом а на плоскопарал-
лельную стеклянную пластинку толщиной d. Вычислить
смещение луча при его прохождении сквозь пластинку.
Показатель преломления стекла равен п.
836. Свет, падающий из воздуха на стеклянную плос-
копараллельную пластинку, отражается от пластинки под
углом у = 60° и преломляется в пластинке под углом
Р = 30°. Определить скорость света в пластинке. Скорость
света в воздухе с = 3 • 108 м/с.
837. На столе лежит лист бумаги. Луч света, падаю-
щий на бумагу под углом а = 45°, образует на ней светлое
пятно. На сколько сместится это пятно, если на бумагу
положить стеклянную пластинку толщиной d - 2 см? По-
казатель преломления стекла п — 1,5.
838. Точечный источник света расположен на дне во-
доема глубиной h - 0,6 м. В некоторой точке поверхности
воды вышедший в воздух преломленный луч оказался пер-
374
пендикулярным лучу, отраженному от поверхности воды
обратно в воду. На каком расстоянии от источника на дне
водоема достигнет дна отраженный луч? Показатель пре-
ломления воды п = 4/3.
839. На стеклянную плоскопараллельную пластинку
падает луч света под углом а. Луч частично отражается
от верхней поверхности, частично проходит внутрь пла-
стинки, снова отражается от нижней поверхности и затем
выходит через верхнюю. Найти угол выхода луча и длину
пути, пройденного лучом в пластинке. Толщина пластин-
ки d, показатель преломления стекла п.
840. Определить угол отклонения луча треугольной
призмой, если угол падения этого луча на переднюю грань
призмы а = 53°6', а преломляющий угол призмы ф = 60°.
Показатели преломления среды, в которой находится приз-
ма, и вещества призмы - соответственно гц = 1 и Л2= 1,6.
841. Луч света падает на грань стеклянной треуголь-
ной призмы перпендикулярно ее плоскости и выходит из
противоположной грани, отклонившись от первоначального
направления на угол а (рис. 257). Определить преломляю-
щий угол призмы, если показатель преломления стекла п.
842. Внутри стекла имеется воздушная полость тре-
угольного сечения (рис. 258). Угол при вершине треуголь-
ника ф = 30°. Показатели преломления стекла и воздуха -
соответственно пс = л/3, пв = 1. На боковую грань тре-
угольной воздушной призмы падает луч света под углом
а = 30°. Определить, под каким углом выходит луч из
другой грани призмы.
Рис. 257
Рис. 258
375
843. Одна грань треугольной призмы с преломляющим
углом (р = 30° посеребрена. Луч, падающий на другую грань
под углом а = 45°, после преломления и отражения от посе-
ребренной грани вернулся по прежнему направлению. Чему
равен показатель преломления материала призмы?
844. Поперечное сечение стеклянной призмы имеет
форму равностороннего треугольника. Луч света падает
из воздуха на одну из граней призмы перпендикулярно ей.
Найти угол между лучом, выходящим из призмы, и про-
должением луча, падающего на призму. Показатель пре-
ломления стекла п = 1,5.
845. На какую максимальную глубину можно погру-
зить в воду точечный источник света, чтобы квадратный
плот со стороной а = 4,0 м не пропускал свет в простран-
ство над поверхностью воды? Показатель преломления воды
п = 1,33, центр плота находится над источником света.
846. На какой угол отклоняется луч от первоначально-
го направления, выходя из стекла (показатель преломле-
ния п - 1,57) в воздух при угле падения а = 30°? Может
ли луч не выйти из стекла в воздух? Если да, то при каком
условии?
847. Угол падения луча из воздуха на стеклянную плос-
копараллельную пластинку толщиной d равен углу полно-
го отражения для стекла, из которого изготовлена плас-
тинка. Вычислить смещение луча в результате прохожде-
ния его сквозь пластинку. Показатель преломления стек-
ла равен п.
14. СОБИРАЮЩИЕ И РАССЕИВАЮЩИЕ
ЛИНЗЫ
Методические указания к решению задач
Решение задач, связанных с изображением предмета в
линзе, рекомендуется начинать с построения изображе-
ния. При этом важно учитывать, как расположен предмет
относительно характерных точек линзы, так как от этого за-
висит положение изображения. При построении изображе-
ния предмета надо найти изображение нескольких точек это-
го предмета, а затем по ним построить изображение всего
376
предмета. Например, для построения изображения отрез-
ка прямой достаточно сначала построить изображение кон-
цов этого отрезка. Чтобы найти изображение точки, доста-
точно построить ход двух лучей, исходящих из этой точки.
После построения изображения составляют уравнение
на основе формулы линзы, а также другие уравнения, сле-
дующие из чертежа, затем решают систему относительно
искомой величины.
При решении задач на изображение предмета в оптиче-
ской системе, состоящей из нескольких тонких линз, сло-
женных вплотную, нужно сначала найти фокусное рас-
стояние системы. Оптическая сила системы равна сумме
оптических сил составляющих ее линз (при суммирова-
нии оптические силы отдельных линз, сложенных вплот-
ную, берут со знаком «плюс» или «минус» в зависимости
от того, собирающие они или рассеивающие). Фокусное
расстояние системы - величина, обратная ее оптической
силе. Когда фокусное расстояние определено, расчеты ве-
дутся по формуле линзы.
При построении изображения в оптической системе,
состоящей из нескольких линз, находящихся друг от друга
на некотором расстоянии, сначала строят изображение,
даваемое первой линзой. Это изображение рассматривает-
ся как предмет для второй линзы и т. д. Для расчета каж-
дого изображения применяется формула линзы.
Основные законы и формулы
Формула тонкой линзы:
+±=+1+1
“ F ~ d~ f’
где F - фокусное расстояние линзы; d - расстояние от предме-
та до линзы; f - расстояние от линзы до изображения. Правило
расстановки знаков следующее: если фокус, предмет или изо-
бражение являются действительными, то перед соответствую-
щими членами этой формулы ставится плюс, если мнимыми, -
минус. Предмет считается мнимым, если на линзу падает схо-
дящийся пучок лучей. Это возможно в оптических системах,
где имеются две или несколько линз.
Оптическая сила линзы
D=\/F,
377
где F — фокусное расстояние. Она может быть рассчитана по
формуле
n = pi_1Yj_+ jJ
\п2 Л Я] /?2 J
где л1( «2 ~ абсолютные показатели преломления вещества линзы
и окружающей среды; R2 - радиусы кривизны поверхностей
линзы. Радиусы выпуклых поверхностей берутся со знаком
«плюс», вогнутых - со знаком «минус».
Оптическая сила системы линз, сложенных вплотную,
равна алгебраической сумме оптических сил линз, входящих в
систему:
D = D[ + D2 +...+ Dn.
Линейное увеличение линзы
Г=Н_ = [_
h d'
где Н, h - линейные размеры соответственно изображения и
предмета.
Увеличение лупы
r = d0/F,
где do = 25 см - расстояние наилучшего видения для нормаль-
ного глаза; F - фокусное расстояние лупы.
Примеры решения задач
848. Воздушная линза, образованная двумя тонкими
стеклами с различными радиусами кривизны, помещена в
воду (рис. 259). Найти фокусное расстояние этой линзы,
зная, что стеклянная линза такой же формы имеет в воз-
духе фокусное расстояние F\ = 40 см. Абсолютные пока-
------ затели преломления стекла и воды -
------—.________соответственно гц = 1,5 и п2 = 1,3.
~~ Решение. Пусть R^ и R2 -
----- / V радиусы кривизны сферических по-
| \ верхностей линз (у воздушной и
— —1 I-------стеклянной линз они, согласно ус-
\ /----ловию, одинаковы), F\ и F2 ~ фо-
~------------\/ _ кусные расстояния соответственно
_ --- ---- ---- стеклянной линзы в воздухе и воз-
р 259 душной линзы в воде. Тогда, приме-
378
няя формулу для расчета фокусного расстояния линзы,
будем иметь:
±4- -1Y-L+Д
В I п3 Л Rl R2 J
_1_=ь _iY_i_+_q
R2 V n2 A Rl R2 J
(1)
(2)
где «з - абсолютный показатель преломления воздуха:
п3 = 1.
Разделив почленно равенство (1) на (2), найдем:
f2 = А ”'4 F2 = -87 см.
z 1 п3/п2 - 1 z
Минус указывает на то, что линза рассеивающая.
Полученный результат показывает, что двояковыпуклая
линза является собирающей, если абсолютный показатель
преломления среды, окружающей линзу, меньше абсолютно-
го показателя преломления вещества линзы, или рассеиваю-
щей, если абсолютный показатель преломления среды боль-
ше абсолютного показателя преломления вещества линзы.
Читателю предлагается дать обоснованный ответ на во-
прос: «Всегда ли двояковогнутая линза является рассеи-
вающей?»
849. Плоский предмет АВ установлен перпендикуляр-
но главной оси оптической тонкой линзы. Построить изо-
бражение этого предмета в линзе при различных расстоя-
ниях d от предмета до линзы. Положения фокусов линзы
и ее главной оптической оси заданы. Рассмотреть два слу-
чая: I - линза собирающая, II - линза рассеивающая.
Решение. I. Для построения изображения предмета
необходимо найти изображение ряда точек этого предмета, а
затем по ним построить изображение. Для построения изобра-
жения точкц можно использовать любые два из следующих
трех лучей: 1) луч, падающий на линзу параллельно глав-
ной оптической оси; 2) луч, проходящий через оптический
центр линзы; 3) луч, проходящий через главный фокус. Ход
этих лучей после прохождения через собирающую линзу
известен: первый луч проходит через главный фокус линзы,
второй не изменяет своего первоначального направления,
а третий идет параллельно главной оптической оси.
На рис. 260-264 построено изображение А\В\ предме-
та АВ в собирающей линзе для пяти различных случаев.
379
1. Если d < F,t. e. предмет находится между фокусом
и линзой, то изображение мнимое, увеличенное и прямое
(рис. 260).
2. Если d = F, т. е. предмет находится на расстоянии,
равном фокусному расстоянию, то изображение находит-
ся на бесконечности (рис. 261).
3. Если F < d < 2F, т. е. предмет находится между
фокусом и точкой, отстоящей от линзы на расстоянии,
равном двойному фокусному расстоянию, то изображение
действительное, увеличенное и перевернутое (рис. 262).
4. Если d = 2F, т. е. предмет находится на расстоянии,
равном двойному фокусному расстоянию, то изображение
действительное, такое же по размеру, как и сам предмет,
и перевернутое (рис. 263).
380
5. Если d > 2F, т. е. предмет находится от линзы на
расстоянии, превышающем двойное фокусное расстояние,
то изображение действительное, уменьшенное и перевер-
нутое (рис. 264).
Полезно обратить внимание на то, что 1-й случай соот-
ветствует построению изображения в лупе, 3-й - в проек-
ционном аппарате (кинопроекторе), 5-й - в фотоаппарате.
II. Если линза рассеивающая, то независимо от рас-
стояния от предмета АВ до линзы изображение А\В[ все-
гда получается мнимое, уменьшенное и прямое (рис. 265).
При построении изображения в рассеивающей линзе ис-
пользовались два луча: луч, идущий параллельно главной
оптической оси, и луч, проходящий через оптический центр.
Первый луч после преломления линзой идет так, что его
381
продолжение проходит через главный фокус, а второй луч,
как и в случае собирающей линзы, не изменяет своего
первоначального направления.
850. На рис. 266 показаны положения предмета АВ.
Построить изображения предмета.
382
Решение. Построение изображений показано на
рис. 267. Поясним построение. Чтобы построить изобра-
жение предмета АВ, лежащего на главной оптической оси
(рис. 266, а), нужно найти изображения и В[ точек Л и В.
Возьмем исходящие из точки А два луча: один - идущий
вдоль главной оптической оси, другой - падающий на линзу
под произвольным углом (рис. 267, а). Направление пер-
вого луча после прохождения через линзу не изменяется.
Для определения хода второго луча проведем побочную
оптическую ось, параллельную этому лучу, и фокальную
плоскость, проходящую через задний фокус линзы. Точка
пересечения побочной оптической оси с фокальной плос-
костью является побочным фокусом F[. Через него и дол-
жен пройти второй луч после преломления в линзе. Точка
Л1 пересечения первого и второго лучей, прошедших че-
рез линзу, является изображением точки А. Таким же спо-
собом строится изображение В^ точки В.
383
В случае рассеивающей линзы (рис. 266, б) построение
выполняется аналогично (рис. 267, б). Отличие состоит в
том, что луч, идущий параллельно побочной оптической
оси, после преломления в линзе идет так, что его продол-
жение проходит через побочный фокус, являющийся точ-
кой пересечения этой побочной оси с фокальной плоско-
стью, проведенной через передний фокус.
Для построения изображения предмета АВ, располо-
женного под некоторым углом к главной оптической оси
(рис. 266, в, г), строим изображения /Ц и точек АиВ.
Для этого берем по два луча, исходящих из каждой точки:
луч, идущий параллельно главной оптической оси, и луч,
идущий через оптический центр линзы (рис. 267, в, г).
Первый луч, преломляясь в собирающей линзе, проходит
через ее фокус; если же линза рассеивающая, то луч по-
сле преломления в линзе идет так, что его продолжение
проходит через передний фокус линзы. Дальнейшие по-
строения ясны из рисунков.
851. Найти построением положение светящейся точки,
если известен ход лучей после их преломления в линзе.
Один из этих лучей пересекается с главной оптической осью
собирающей линзы в ее фокусе (рис. 268, а). В случае с
рассеивающей линзой (рис. 268, б) один из лучей после
преломления в линзе идет так, что его продолжение пере-
секается с главной оптической осью линзы в ее фокусе.
Решение. Рассмотрим сначала случай с собирающей
линзой. Продолжив заданные лучи до их пересечения, по-
лучим изображение S' светящейся точки (рис. 269, а). Со-
единим точку S' с оптическим центром линзы О. Луч AF
после преломления в линзе проходит через фокус, значит,
до преломления он шел параллельно главной оптической
384
с
оси. Проведем XS || FO. На пересечении 4S и OS' лежит
искомая светящаяся точка S.
В случае рассеивающей линзы (рис. 269, б) изображе-
ние S' светящейся точки получим так же, продолжив за-
данные лучи до их пересечения. Соединим точку S' с цен-
тром линзы О. Луч ВС после преломления идет так, что
его продолжение проходит через фокус линзы. Следова-
тельно, до преломления он шел параллельно главной оп-
тической оси линзы. Проведем BS 11 FO. Искомая точка S
лежит на пересечении OS' и BS.
852. Собирающая линза дает изображение некоторого
предмета на экране. Высота изображения равна Н^. Ос-
тавляя неподвижными экран и предмет, начинают двигать
линзу к экрану и находят, что при втором четком изобра-
жении предмета высота изображения равна Н2. Найти дей-
ствительную высоту предмета.
Решение. Обозначим расстояние между предметом
и экраном через I. Тогда при первом положении линзы
fld{ = Fl, fi + d{ = I, (1)
где fi, di - расстояния от линзы соответственно до экрана
и до предмета; F - фокусное расстояние линзы.
При втором положении линзы аналогично получим:
f2d2 = Fl, f2+d2 =1. (2)
На основании выражений (1) и (2) можно сделать вы-
вод, что di и fi, так же как d2 и f2, являются корнями
квадратного уравнения вида х2 - lx + FI = 0, т. е.
13 Зак. 1525
385
di=xi +
а также
4г = *2 = f -^~Fl> h = xi = f + ^~Fl-
Таким образом, получаем:
= b , h ~d2- (3)
Этот результат является следствием обратимости свето-
вых лучей.
Пусть h ~ действительная высота предмета. Тогда уве-
личение в первом случае
H1/h = f1/dl, (4)
а во втором
Н2/И~Ь/^2- (5)
Перемножив почленно равенства (4) и (5), с учетом
выражения (3) получим //j//2//г2 = 1, откуда h - >/^i#2 •
853. Стержень расположен вдоль главной оптической
оси тонкой собирающей линзы так, что его концы удалены
от линзы на расстояния dj = |-В и d2 ~^F' где F ~ неиз"
вестное фокусное расстояние линзы. Во сколько раз длина
изображения больше длины самого предмета?
Решение. На рис. 270 построено изображение A [В]
предмета АВ (пояснения к построению смотрите в реше-
нии задачи 850). Из рисунка видно, что длина предмета
I = d\ - d2, а Длина изображения L = /2 - Д, где f\, f2 -
расстояния от линзы до точек В[ и Л} соответственно,
386
являющихся изображениями точек В и А (концов стерж-
ня). Отношение этих длин, т. е. линейное увеличение,
Г = - = ~
/ d1 - d2
(1)
Так как изображение действительное, формулу линзы
запишем в виде у = у + у, откуда f = Fd/(d - F).
На основании последней формулы выразим расстояния
fl и /2-
Л = Fd[/(dl - F), f2 = Fd2/(d2 - F).
Подставив эти значения в выражение (1), после преобра-
зования получим:
(d2 - F)(d{ - F)’
854. С помощью тонкой линзы получают увеличенное
в Г = 2 раза действительное изображение предмета. Затем
линзу передвигают на I = 8 см и получают мнимое изобра-
жение такого же размера. Определить фокусное расстоя-
ние линзы.
Решение. Если в первом случае предмет находится
на расстоянии d от линзы, а изображение - на расстоянии
/1 от нее, то увеличение Г = f\/d, следовательно,
fl = Vd. (1)
Во втором случае расстояние от предмета до линзы равно
d - /, а от изображения до линзы
f2=V(d-l\ (2)
Применив формулу тонкой линзы в первом и втором
случаях, будем иметь:
_L = _L + _L 1_1 1
F d f’ F d - I h ’
или с учетом выражений (1) и (2)
F d - I r(d - I)'
387
Из уравнения (3) найдем d = F(1 + 1/Г). Подставив это
значение в уравнение (4), получим
1 _ 1 - 1/г
F Г(1 + 1/Г) - Г
Решив это уравнение относительно F, найдем: F - /Г/2,
F = 8 см.
855. Собирающая и рассеивающая линзы расположе-
ны так, что имеют общую главную оптическую ось. На
этой оси находится светящаяся точка X (рис. 271, а). По-
строением найти изображение этой точки.
Решение. Чтобы найти изображение точки X, рас-
смотрим ход исходящих из нее двух лучей: луча XF2, иду-
щего вдоль главной оптической оси, и произвольного лу-
ча ХД (рис. 271, б). Первый луч, проходя через оптичес-
кие центры обеих линз, не изменяет своего первоначаль-
ного направления. Чтобы найти ход луча ХД после прелом-
ления в собирающей линзе, проведем параллельно этому
лучу побочную оптическую ось O[F[ . Точка Ff пересече-
ния побочной оптической оси с фокальной плоскостью
линзы является побочным фокусом, через который прой-
дет луч ХД после собирающей линзы.
Для нахождения хода луча AF{ после преломления в
рассеивающей линзе найдем побочный фокус F2, т- е- точ-
ку пересечения побочной оптической оси F2O2, проведен-
ной параллельно лучу AF(, с фокальной плоскостью рас-
388
сеивающей линзы. После линзы луч пойдет так, что его
продолжение пройдет через точку F2
Таким образом, выбранные нами два луча, пройдя че-
рез обе линзы, расходятся. Поэтому изображение S' точ-
ки S мнимое и находится в точке пересечения луча SF% и
продолжения луча S' В.
856. Точечный источник света находится на главной оп-
тической оси тонкой собирающей линзы. Линзу разрезали
на две половины, которые
раздвинули на расстояние
г = 2 мм (рис. 272). Найти
расстояние от точечного
источника света до лин-
зы, если расстояние меж-
ду действительными изо-
бражениями источника
I = 6 мм. Фокусное рас-
стояние линзы F = 40 см.
Решение. Каждая
из раздвинутых половин
линзы действует как це-
лая линза, главная опти-
ческая ось которой нахо-
дится на расстоянии h =
г/2 от источника S (рис. 273). Для наглядности предста-
вим, что плоские предметы S/I и SB установлены перпен-
дикулярно главным оптическим осям этих линз, и постро-
им их изображения S'A' и S”B’. Ясно, что точки S' и S"
389
являются изображениями источника S. Как видно из
рис. 273, высота h предмета равна г/2, а высота Н
изображения S'A' равна (/ - г)/2. Следовательно, увели-
чение одной из половин линзы
Г = 1 = (1)
Но, с другой стороны,
Г = f/d, (2)
где f - расстояние от изображения до линзы; d - расстоя-
ние от предмета до линзы.
Из формул (1) и (2) следует (/ - г)/г = f/d, откуда
f - d(l - г}/г. Подставив это значение в формулу тон-
1-1+1 1 - 1 + г „
кои линзы р - + f, получим -р ~ + Отсюда
d = Fl/(I - г), d = 0,6 м.
857. Небольшому шарику, который находится на по-
верхности горизонтально расположенной тонкой собираю-
щей линзы с оптической силой D = 0,5 дптр, сообщили
вертикальную начальную скорость = 10 м/с. Сколько
времени будет существовать действительное изображение
шарика в этой линзе?
Решение. Изображение шарика будет действитель-
ным тогда, когда расстояние от шарика до линзы больше
фокусного расстояния F этой линзы (см. решение задачи 849).
Выберем систему координат так, чтобы ось ОХ была
расположена в фокальной плоскости линзы, а начало ко-
ординат О совпадало с ее главным фокусом (рис. 274).
Время будем отсчитывать с того момента, когда шарик был
в точке О. Тогда зависимость координаты у шарика от
времени t выразится уравне-
нием
у = v{t-gt2 /2, (1)
где ui - скорость шарика в
точке О; g - ускорение сво-
бодного падения.
Найдем время т, за кото-
рое шарик, вылетев из точки
О, вернется в нее обратно. В
момент падения на фокальную
плоскость t = т, у = 0. Со-
гласно уравнению (1),
390
О = U]T - gx2/2.
Решив это уравнение относительно т, получим
x = 2u1/g. (2)
(Второй корень т = 0 соответствует начальному моменту
времени.) Скорость Uj найдем на основании закона сохра-
нения энергии. Будем считать, что на уровне линзы по-
тенциальная энергия шарика £р = 0. Тогда в точке О
£pl = mgF, где F - фокусное расстояние линзы. Кинети-
ческая энергия шарика в этой точке = /пи2/2. В мо-
мент бросания кинетическая энергия Ек = mv^/2.
По закону сохранения энергии
+ £р = £kl + £РЬ
или
mvQ /2 = mv\ /2 + mgF.
Так как F = 1 /D, то - 2g/D . Подставив это
значение в формулу (2), найдем время т, в течение кото-
рого изображение шарика будет действительным:
т = —Jvq т = 2 с.
g V 0 D '
858. Фокусное расстояние объектива проекционного
аппарата F = 0,25 м. Какое увеличение диапозитива дает
этот аппарат, если экран удален от объектива на расстоя-
ние f = 4 м?
Решение. Диапозитив помещают вблизи фокальной
плоскости объектива на расстоянии, большем его фокус-
ного расстояния. Изображение получается действительное,
увеличенное и обратное (см. рис. 262). Увеличение
гЦ=М, (1)
а а
где [ - расстояние от экрана (изображения) до объектива;
d - расстояние от диапозитива до объектива.
Из формулы линзы Д = 7 + 7 нах°Дим
391
1 _ f-
d Ff '
Подставив это значение в формулу (1), получим:
Г = А-^, Г = 15.
Задачи для самостоятельного решения
859. Построить ход луча АВ, падающего под некоторым
углом к главной оптической оси на собирающую (рис. 275, а)
и рассеивающую (рис 275, б) линзы. Положения главных
оптических осей линз и их фокусы заданы.
860. На рис. 276 показан ход луча АВС через линзу.
Построить ход луча DE после прохождения его через линзу.
861. Задан ход луча ВС после преломления его в соби-
рающей (рис. 277, а) и рассеивающей (рис. 277, б) лин-
зах, а также положения главных оптических осей и фоку-
сы линз. Найти построением ход луча до линзы в обоих
случаях.
s ' 862. Заданы главная оптиче-
-——~~~ ская ось линзы 00’, светящаяся
_____________________точка S и ее изображение в лин-
зе S' (рис. 278). Найти построе-
нием положение фокуса линзы.
863. Построить изображение
светящейся точки, лежащей на
главной оптической оси линзы
о
о"—
Рис. 276
392
на расстоянии, меньшем фо- 5
кусного. Положение фоку- »
сов линзы задано. Рассмот- /
реть два случая: а) линза со- ------------------------
бирающая; б) линза рассей- 0 0
Бающая. Рис. 278
864. Предмет и его пря-
мое изображение, создаваемое тонкой линзой, расположе-
ны симметрично относительно фокуса линзы. Расстояние
от предмета до фокуса линзы I = 4,0 см. Найти фокусное
расстояние линзы.
865. Фокусное расстояние собирающей линзы F = 10 см,
расстояние от предмета до переднего фокуса I = 5 см, а
линейный размер предмета ft = 2 см. Определить размер
изображения. На каком расстоянии от линзы нужно рас-
положить предмет, чтобы получить изображение с увели-
чением Г = 10?
866. Найти фокусное расстояние и оптическую силу
двояковогнутой линзы, если расстояние от линзы до пред-
мета d = 36 см, а до изображения / = 9,0 см.
867. Расстояние от предмета до экрана L = 105 см.
Тонкая линза, помещенная между ними, дает на экране
увеличенное изображение предмета. Если линзу перемес-
тить на I = 32 см, то на экране получится уменьшенное
изображение. Найти фокусное расстояние линзы.
868. С помощью собирающей линзы на экране получе-
но уменьшенное действительное изображение плоского
предмета, расположенного перпендикулярно главной оп-
тической оси. Высота предмета ft = 6 см, высота изобра-
жения Н\ = 4 см. Оставляя экран и предмет неподвижны-
ми, линзу перемещают в сторону предмета до тех пор, пока
не получат второе резкое изображение предмета. Опреде-
лить высоту второго изображения.
393
869. Линза с фокусным расстоянием F = 3 см создает
перевернутое изображение предмета. Расстояния от пред-
мета до линзы и от линзы до изображения различаются на
I = 8 см. С каким увеличением изображается предмет?
870. Изображение предмета, удаленного от собираю-
щей линзы на расстояние d = 0,4 м, больше предмета в
Г = 5 раз. Найти возможные значения оптической силы
линзы.
871. Расстояние от освещенного предмета до экрана
L = 100 см. Линза, помещенная между ними, дает четкое
изображение предмета при двух положениях, расстояние
между которыми I = 20 см. Найти фокусное расстояние
линзы.
872. На каком расстоянии перед рассеивающей линзой
с оптической силой D = -2 дптр надо поставить предмет,
чтобы его мнимое изображение получилось на середине
расстояния между линзой и ее мнимым фокусом?
873. Тонкая линза создает изображение небольшого
предмета, находящегося в ее фокальной плоскости и уста-
новленного перпендикулярно главной оптической оси лин-
зы. Определить высоту предмета, если высота изображе-
ния Н = 0,70 см.
874. На каком расстоянии от рассеивающей линзы с
оптической силой D = -5 дптр надо поместить предмет,
чтобы его мнимое изображение получилось в k = 4 раза
меньше самого предмета?
875. В осколок тонкостенной стеклянной сферической
колбы, радиус кривизны которой R = 10 см, налили про-
зрачную жидкость. С помощью полученной линзы дейст-
вительное изображение предмета, помещенного над ней
на расстоянии d = 1,0 м, получилось уменьшенным в k = 5,0
раз. Определить показатель преломления жидкости.
876. Мнимое изображение предмета в’ рассеивающей
линзе находится от нее на расстоянии в k = 3 раза мень-
шем, чем предмет. Найти расстояние от линзы до изобра-
жения, если фокусное расстояние F линзы известно.
877. Собирающая линза дает действительное изобра-
жение с увеличением Г = 2 раза. Определить фокусное
расстояние линзы, если расстояние между линзой и изо-
бражением f = 0,3 м.
878. На какой максимальный угол может отклониться луч
света, падающий параллельно главной оптической оси на линзу
с фокусным расстоянием F - 8 см и диаметром а — 10 см?
394
879. Линза дает мнимое изображение предмета, увели-
ченное в Г — 2,0 раза, если он находится от нее на рас-
стоянии d = 5,0 см. Какая это линза - собирающая или
рассеивающая? Чему равно ее фокусное расстояние?
880. На каком расстоянии от собирающей линзы надо
поместить предмет, чтобы расстояние между предметом и
его действительным изображением было минимальным?
Фокусное расстояние линзы равно F.
881. Проверяя свои очки, человек получил на полу ком-
наты действительное изображение лампы, висящей на
высоте h = 2,5 м, держа очковое стекло под лампой на
расстоянии f = 1,5 м от пола. Какова оптическая сила
очков?
882. Сходящийся пучок лу-
чей падает на рассеивающую
линзу (рис. 279). В отсутствие
линзы лучи сходились бы в точ-
ке А, расположенной на рас-
стоянии /1 = 10 см от линзы.
После преломления в линзе
лучи сходятся в точке В, уда-
ленной от линзы на расстояние
/2=15 см. Найти фокусное рас-
стояние линзы.
Рис. 279
883. На рассеивающую линзу вдоль главной оптиче-
ской оси падает цилиндрический пучок параллельных лу-
чей. Диаметр пучка d[ = 3 см. На экране, поставленном за
линзой на расстоянии I = 12 см, получается светлый круг,
диаметр которого = 8 см. Найти фокусное расстояние
линзы.
884. На главной оптической оси на расстоянии d = 60 см
от собирающей линзы, фокусное расстояние которой
F = 40 см, расположен точечный источник света. Линзу по
диаметру разрезали на две половины и симметрично раз-
двинули их на расстояние г = 1 см в направлении, перпен-
дикулярном главной оптической оси. На каком расстоя-
нии друг от друга будут расположены изображения источ-
ника, полученные в половинах линзы?
885. С помощью линзы получено изображение Солнца.
Диаметр изображения d = 31 мм, а расположено оно на
расстоянии f = 32 см от линзы. Известно, что расстояние
от Земли до Солнца R = 150 млн км, а продолжительность
395
земного года Т = 365 сут. Вычислить ускорение свободно-
го падения у поверхности Солнца.
886. Две линзы, из которых одна рассеивающая с фо-
кусным расстоянием F^, а другая собирающая с фокусным
расстоянием F2 - 2Fi, расположены так, что имеют об-
щую главную оптическую ось. Каким должно быть рас-
стояние между линзами, чтобы пучок лучей, параллель-
ных главной оптической оси системы, пройдя обе линзы,
не изменил направления?
887. Найти построением изображение светящейся точ-
ки S в оптической системе двух тонких линз - рассеиваю-
щей и собирающей (рис. 280). Фокусы обеих линз заданы.
Рис. 280
888. Две собирающие линзы, фокусные расстояния
которых F\ = 12 см и F2 = 15 см, расположены так, что их
главные оптические оси совпадают. Расстояние между
линзами I - 36 см. Предмет находится на расстоянии
= 48 см от первой линзы. На каком расстоянии от вто-
рой линзы получится изображение предмета?
889. Источник света находится на расстоянии dy = 30 см
от собирающей линзы с фокусным расстоянием F\ = 20 см.
По другую сторону линзы на расстоянии Z = 40 см распо-
ложена рассеивающая линза с фокусным расстоянием
Д2 = 12 см. На каком расстоянии от рассеивающей линзы
находится изображение источника?
890. Дальнозоркий человек начинает резко различать
очертания предметов с расстояния d = 1 м. Найти оптиче-
скую силу очков, которые нужны этому человеку, чтобы
он мог четко видеть предметы с расстояния наилучшего
видения dQ = 25 см.
891. С самолета, летевшего на высоте h = 2000 м, про-
изводилось фотографирование местности с помощью аэро-
396
фотоаппарата, объектив которого имеет фокусное расстоя-
ние F = 0,5 м. Каков масштаб полученных снимков?
892. При фотографировании предмета с расстояния
dl = 15 м высота его изображения на фотопленке h\ = 30 мм,
а при фотографировании с расстояния d% = 9 м - h% = 51 мм.
Найти фокусное расстояние объектива фотоаппарата.
893. Какое увеличение дает лупа, имеющая оптическую
силу D = 16 дптр? Построить изображение в лупе.
894. Проекционный аппарат дает на экране увеличен-
ное в Г = 20 раз изображение диапозитива. Найти рас-
стояние между объективом проекционного аппарата и изо-
бражением, если фокусное расстояние объектива F = 20 см.
895. Светящаяся точка, находящаяся на расстоянии
d = 15 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием
F = 10 см, движется со скоростью v = 2 см /с перпендику-
лярно главной оптической оси. С какой скоростью дви-
жется изображение точки?
896. Кинокамерой сняли колебания тяжелого груза,
подвешенного на проволоке. Съемка велась с помощью
объектива с фокусным расстоянием F = 5 см. Изображе-
ние маятника на пленке имеет длину I = 20. мм. За время
съемки t = 1 мин маятник совершил N = 24 полных коле-
бания. С какого расстояния (от объектива до маятника)
велась съемка? Маятник считать математическим.
15. СВЕТОВЫЕ ВОЛНЫ
Методические указания к решению задач
При решении большинства задач, в которых рассматри-
вается интерференция света, нужно сначала выяснить,
почему возникает и чему равна оптическая разность хода
интерферирующих волн. Затем, применяя условие макси-
мума или минимума освещенности при интерференции,
составить уравнение, из которого можно определить иско-
мую величину.
В ряде задач рассматривается дифракция света на ди-
фракционной решетке. При решении их нужно использо-
вать условие главных максимумов освещенности в дифрак-
ционной картине, учитывать симметричность этой карти-
397
ны относительно центрального максимума, а затем из со-
ставленной системы уравнений найти неизвестную вели-
чину.
Основные законы и формулы
Длина световой волны в среде
А-ср = А./п,
где А. - длина световой волны в вакууме; п - абсолютный пока-
затель преломления среды.
Оптическая длина пути световой волны
L = nl,
где / - геометрическая длина пути.
Оптическая разность хода двух волн
Д = ,
где Z-2> М ~ оптические длины путей этих волн.
Условие интерференционных максимумов:
Д = £А. (k = 0, ±1,±2, ...),
где Д - оптическая разность хода двух световых волн; А. -
длина волны.
Условие интерференционных минимумов:
Д = (2й + 1)| (k = 0,+l,±2, ...).
Условие главных максимумов освещенности при дифрак-
ции на дифракционной решетке нормально падающего света:
г/sin ср = kX (<fe — О, ±1, ±2, ...),
где d — постоянная (период) дифракционной решетки; <р - угол
отклонения лучей, соответствующий этому максимуму; k - по-
рядок главного максимума; А. - длина световой волны.
Примеры решения задач
897. В опыте Юнга источником света служит ярко ос-
вещенная узкая щель S в экране А (рис. 281). Свет от нее
падает на второй непрозрачный экран В, в котором имеют-
398
ся две одинаковые узкие
щели S) и S2, параллель-
ные S. Щели Sj и S2 нахо- $
дятся на небольшом рас- <
стоянии друг от друга и
являются когерентными ис-
точниками света. Интерфе-
ренция наблюдается на эк- А'
ране С, параллельном эк-
рану В и расположенном от
него на расстоянии I, причем I d. Интерференционная
картина представляет собой чередование светлых и тем-
ных полос (максимумов и минимумов), параллельных друг
другу. Найти расстояние между двумя соседними макси-
мумами, если известно, что d = 0,2 мм, I = 2 м, длина
световой волны Л. = 500 нм.
Решение. В некоторой точке М экрана С будет
наблюдаться интерференционный максимум при выполне-
нии условия
A = U, (1)
где А = Z-2 “ Ц ~ оптическая разность хода. В данном слу-
чае А = /2 ~ так как показатель преломления воздуха п = 1.
Обозначим через xk расстояние от точки М до точки О, сим-
метричной относительно щелей. Из рисунка видно, что
/2 - I2 + (xk -d/2)2, 1% = I2 +(xk + d/2)2.
Отсюда получим:
/2 ~ = 2x^d, (/2 +1\ )(^2 ~ ^1) = 2x^4/,
1-2 ~ h = 2x^d/(/2 + Z[).
Из условия I S> d следует, что 1% +l\ ~ 21, поэтому
A = Xfrd/1. (2)
Подставив значение А из равенства (1) в (2), найдем
xk = klk/d.
Расстояние Ах между двумя соседними интерференци-
онными максимумами
v U+i)a мх _ a Av_ir„„
Ax — Хлх| — Xa-------->— — —, Ax — о мм.
R d d d
399
Отметим, что величина Ах называется также шириной
интерференционной полосы.
898. Чтобы уменьшить потери света из-за отражения
от поверхностей стекла, осуществляют так называемое
просветление оптики: на свободные поверхности линз
наносят тонкие пленки вещества с показателем преломле-
ния п меньшим, чем у стекла. Определить минимальную
толщину пленки, при которой возникает интерференцион-
ный минимум отражения для света с длиной волны
Л. = 550 нм, падающего в направлении нормали. Показа-
тель преломления пленки п - 1,2.
Решение. При отражении света от границ раздела
воздух-пленка и воздух-стекло
(рис. 282) происходит потеря по-
луволны (сдвиг по фазе на 180°),
так как и в первом, и во втором
случае свет отражается от оптиче-
ски более плотной среды. Поэто-
му оптическая разность хода коге-
рентных волн Г и 2' зависит толь-
ко от толщины пленки d и ее пока-
зателя преломления п:
А = 2dn.
Здесь учтено, что волна 2' проходит дополнительный путь,
равный удвоенной толщине пленки. Интерференционный
минимум в отраженном свете будет наблюдаться при вы-
полнении условия
А = (2£ + 1)|, или 2rfn = (2Ая-1)А (Л = 0, 1, 2...).
При k = 0 получим минимальную толщину пленки:
^min = 4^ ’ ^min — 1-2 ' Ю2 нм-
899. Кольца Ньютона образуются в прослойке воздуха
между плоскопараллельной стеклянной пластинкой и по-
ложенной на нее плосковыпуклой линзой с радиусом кри-
визны R = 5,0 м. Наблюдение ведется в отраженном све-
те. Радиус третьего темного кольца = 3,1 мм. Найти
длину волны света, падающего нормально на плоскую по-
верхность линзы.
400
Решение. В отраженном свете темные кольца
образуются при выполнении условия интерференционных
минимумов
А = (2/г + 1)| (6 = 0, 1, 2,...),
где А - оптическая разность хода волн, отраженных от вы-
пуклой поверхности на границе
раздела стекло-воздух и от пла-
стинки на границе воздух-стекло
(рис. 283). Во втором случае от-
ражение происходит от оптиче-
ски более плотной среды, поэто-
му теряется половина волны. С
учетом этого находим, что раз-
ность хода
A = 2dn + M2, (2)
где d - толщина воздушного за-
зора; п - показатель преломле-
ния воздуха (п = 1).
Из рисунка видно, что й2 = + (й-с()2, или й2 =
= + й2 - 2Rd + d2. Отсюда, учитывая, что d << й, по-
лучим d = /(2й). Подставив это значение d и п = 1 в
формулу (2), получим
2
А = —+ —. (3)
R 2
Приравняв правые части выражений (1) и (3), будем
иметь формулу для радиуса k-ro темного кольца Ньютона
в отраженном свете:
rk = (Яг = О, 1, 2,...).
Отсюда найдем длину световой волны:
Z = l.
kR
(1)
d
Рис. 283
Следовательно,
г2
Х = -^, Х = 6>4- Ю~7 м.
3 IX
900. На дифракционную решетку длиной I = 20 мм,
содержащую п = 1,0 • 104 штрихов, падает нормально мо-
нохроматический свет. Зрительная трубка спектрометра
401
наведена на главный максимум первого порядка. Чтобы
навести трубку на другой максимум того же порядке, ее
необходимо повернуть на угол а = 40°. Определить: 1) дли-
ну световой волны; 2) число максимумов, наблюдаемых в
спектре дифракционной решетки; 3) угол отклонения лу-
чей, соответствующий последнему максимуму.
Решение. Из условия главных максимумов осве-
щенности для дифракционной решетки о! sin ср = Кк следу-
ет, что длина световой волны
» d sin <р
k~ ’
где d - постоянная решетки; ср - угол отклонения лучей,
соответствующий максимуму k-ro порядка. Максимумы
расположены симметрично относительно центрального
максимума, поэтому максимуму первого порядка (k = 1)
соответствует угол cpi = а/2. Следовательно, длина волны
X = dsincpi = dsin-^-.
Постоянная решетки d = l/п, поэтому
X = -sin-^-, X = 6,8-10~7 м.
п 2
Для определения числа максимумов, даваемых дифракци-
онной решеткой, вычислим сначала наибольшее значение по-
рядка максимума femax. Максимальный угол <ртах отклонения
лучей не может превышать 90°. При sin (pmax - 1 имеем
ь 4 sin <р тах д
тах " х " у-
Вычислив, получим femax < 2,9. Число femax должно быть
целым, поэтому берем максимальное целое число, не пре-
восходящее 2,9, т. е. femax = 2. Влево и вправо от централь-
ного максимума будет наблюдаться по одинаковому числу
максимумов, равному femax. С учетом центрального макси-
мума общее число максимумов
№2Лтах+1,№5.
Найдем максимальный угол отклонения лучей:
sin<pmax = фтах =arcsin(^^, <ртах =43°.
402
Задачи для самостоятельного решения
901. Определить длину отрезка, на котором уклады-
вается столько же длин волн монохроматического света в
вакууме, сколько их укладывается на отрезке длиной
12 = 12 мм в воде. Показатель преломления воды п = 1,3.
902. Между двумя параллельными стеклянными пла-
стинками имеется небольшой воздушный зазор. Сквозь
пластинки проходит луч монохроматического света, падаю-
щий перпендикулярно поверхности пластинок. При этом в
воздушном зазоре укладывается N = 30 длин волн света.
Сколько длин волн того же света уложится в этом зазоре,
если его заполнить жидкостью с показателем преломле-
ния п = 1,3?
903. Вода освещена зеленым светом, длина волны ко-
торого в воздухе Xi = 540 нм. Определить длину волны и
частоту этого света в воде. Какой цвет видит человек, от-
крывший глаза под водой? Показатель преломления воды
п = 4/3. Скорость света в вакууме с = 3 • 108 м/с.
904. В воздухе длина волны монохроматического света
Aj = 600 нм, а в стекле - Ag = 420 нм. Под каким углом
падает свет на плоскую границу раздела воздух-стекло,
если отраженный и преломленный лучи образуют прямой
угол?
905. Объектив фотоаппарата покрыт слоем прозрачной
пленки толщиной d = 0,525 мкм. Обеспечит ли этот слой
просветление для зеленого света с длиной волны А = 546 нм,
если показатель преломления пленки п = 1,31?
906. В опыте Юнга щели освещаются монохроматиче-
ским светом с длиной волны А = 600 нм. На сколько нуж-
но изменить длину волны источника, освещающего щели,
чтобы при заполнении пространства между экранами В и
С (см. рис. 281) водой расстояние между соседними ин-
терференционными максимумами осталось неизменным?
Показатель преломления воды п = 1,33.
907. В опыте Юнга расстояние между щелями d = 1 мм,
а расстояние I от щелей до экрана равно 3 м. Щели освеща-
ются монохроматическим светом с длиной волны А - 600 нм.
На каком расстоянии от центральной светлой полосы на-
ходится третья темная полоса?
908. Установка для наблюдения колец Ньютона освеща-
ется монохроматическим светом с длиной волны А = 0,66 мкм,
403
падающим нормально. Определить толщину воздушного
зазора, образованного плоскопараллельной пластинкой и
соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой в том
месте, где в отраженном свете наблюдается четвертое тем-
ное кольцо.
909. Радиус третьего светлого кольца Ньютона в отра-
женном свете равен 0,80 мм. Установка для наблюдения
колец освещается монохроматическим светом с длиной
волны А. = 400 нм. Найти радиус кривизны линзы.
910. Монохроматический свет с длиной волны А = 600 нм
падает нормально на дифракционную решетку с периодом
d = 3 мкм. Сколько главных максимумов можно наблю-
дать в дифракционной картине?
911. Дифракционная решетка освещена нормально па-
дающим монохроматическим светом. Главный максимум
второго порядка наблюдается под углом (pi = 10°. Под ка-
ким углом наблюдается максимум третьего порядка?
16. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Методические указания к решению задач
Необходимо иметь в виду, что в специальной теории
относительности рассматриваются только инерциальные
системы отсчета. В задачах обычно предполагается, что
система К’ движется со скоростью v относительно систе-
мы К, причем оси ОХ и О'Х' совпадают, ось OY сонаправ-
лена с осью O'Y', а ось OZ - с осью O'Z' (рис. 284).
404
Основные законы и формулы
Первый постулат специальной теории относительности
(принцип относительности Эйнштейна): в любых инерци-
альных системах отсчета все физические явления при одних и
тех же уровнях протекают одинаково.
Второй постулат специальной теории относительности
(принцип постоянства скорости света): скорость света в
вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и
не зависит от движения источников и приемников света.
Релятивистское сокращение длины: если Iq - длина стерж-
ня в системе К', относительно которой он покоится и располо-
жен вдоль оси О'Х', а I - длина этого стержня в системе К,
относительно которой он движется со скоростью v, то
I = Iq 71 - V2 /с2 ,
где с - скорость света в вакууме: с = 3 • 108 м/с. Поперечные
размеры стержня не меняются.
Релятивистское замедление времени: если т0 - промежу-
ток времени между двумя событиями, происходящими в одной
и той же точке, неподвижной относительно системы К', а т -
промежуток времени между этими же событиями в системе К, то
т = . ...ТР—-
71 - v2 /с2
Релятивистский закон сложения скоростей:
и' + V
и г = ---— ,
l + u'xv/c2
где их - проекция скорости и частицы в системе К на ось ОХ;
и'х - проекция скорости и' частицы в системе К' на ось ОХ;
v - модуль скорости системы К' относительно системы К (см.
рис. 284).
Зависимость импульса частицы от скорости:
71 - и2/с2
где т - масса (масса покоя) частицы; v - ее скорость.
Полная энергия (сумма кинетической энергии и энергии
покоя) частицы
тс2
405
Энергия покоя частицы
Eq = тс2.
Закон взаимосвязи массы и энергии: всякое изменение
массы тела Am сопровождается изменением энергии покоя:
АЕ() = с2 Am.
Примеры решения задач
912. Тело движется с постоянной скоростью v относи-
тельно инерциальной системы отсчета К. При каком зна-
чении v продольные размеры тела уменьшатся в п раз для
наблюдателя в этой системе? Вычислить v при п = 1,5.
Скорость света в вакууме с = 3 • 108 м/с.
Решение. Так как в системе К длина тела
I = Iq д/1 — г?2 /с2
и дано, что Iq/I = п, то Iq = nl, следовательно,
Отсюда
I = nljl - и2 /с2 .
гг с1 N гг
При п = 1,5 получим v = 2,3 • 108 м/с.
913. Вычислить модуль импульса электрона, движуще-
гося со скоростью v = 2,6 • 108 м/с. Масса электрона
те = 9,1 • 10~31 кг, скорость света в вакууме с = 3 • 108 м/с.
Решение. Электрон имеет импульс, модуль которого
р - '/
Jl - V2 / С2
Подставив в эту формулу значения заданных величин и
произведя вычисления, получим р = 2,4 • 10~24 кг • м/с.
914. Вычислить изменение энергии покоя, соответствую-
щее изменению массы на величину, равную массе покоя-
щегося протона.
Решение. Согласно закону взаимосвязи массы и
энергии,
406
AEq = c2 Am,
где с = 3 • 108 м/с; Am равно массе протона mp = 1,67 • 10-27 кг.
В результате вычислений найдем Afg = 1,5 • 1О-10 Дж.
Задачи для самостоятельного решения
915. Линейка длиной Iq = 1 м движется вдоль оси ОХ в
инерциальной системе отсчета К (см. рис. 284) со скоро-
стью v = 0,8с, где с - скорость света в вакууме. Какова
длина этой линейки в системе К?
916. Космический корабль движется мимо неподвиж-
ного наблюдателя со скоростью v = 0,6с, где с - скорость
света в вакууме. Сколько времени пройдет по часам на-
блюдателя, если по часам, находящимся в корабле, про-
шло т0 - 100 ч?
917. Найти полную энергию и кинетическую энергию
релятивистской (движущейся со скоростью, близкой к
скорости света) частицы, модуль импульса которой р =
= 5,68 10~19 кг • м/с, а масса m = 1,67 • 10-27 кг.
Скорость света в вакууме с — 3 • 108 м/с.
918. Вычислить энергию покоя тела массой m = 1 кг.
Скорость света в вакууме с = 3 • 108 м/с.
919. Космический корабль удаляется от Земли со ско-
ростью = 0,80с, а затем с него стартует ракета в направ-
лении от Земли со скоростью = 0,80с относительно ко-
рабля (с - скорость света в вакууме). Определить ско-
рость ракеты относительно Земли.
920. Две релятивистские частицы движутся навстречу
друг другу вдоль одной прямой, параллельной оси ОХ, в
системе К (см. рис. 284) со скоростями Uj = 0,70с и
V2 = 0,80с, где с - скорость света в вакууме. Определить
относительную скорость этих частиц в системе К', дви-
жущейся с первой частицей.
VI. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
17. СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ
Методические указания к решению задач
Задачи этой главы связаны в основном с нахождением
энергии и импульса фотонов, а также с фотоэффектом и
эффектом Комптона.
В задачах на фотоэффект применяется уравнение Эйн-
штейна, которое выражает закон сохранения энергии при
фотоэффекте. Если фотоэлектроны задерживаются тормозя-
щим электрическим полем, то, согласно теореме об измене-
нии кинетической энергии, максимальная кинетическая энер-
гия фотоэлектрона равна работе сил поля: meu2/2 = eU.
Поэтому в соответствии с уравнением Эйнштейна получим
hv = А + eU.
При решении задач на эффект Комптона следует иметь
в виду, что, согласно квантовой теории, этот эффект рас-
сматривается как упругое столкновение фотона с покоя-
щимся электроном, которое подчиняется законам сохране-
ния энергии и импульса. Фотон передает электрону часть
своей энергии и часть импульса и изменяет направление
своего движения, т. е. рассеивается. Уменьшение энергии
фотона означает в соответствии с формулой Е = hv умень-
шение частоты, т. е. увеличение длины волны.
В фотоэффекте и эффекте Комптона проявляются кван-
товые свойства электромагнитного излучения.
Основные законы и формулы
Энергия фотона
Е = hv = Йсо,
где h = 6,63 10-34 Дж • с - постоянная Планка; v - частота
света; Й = й/(2тс) = 1,05 • 1О-34 Дж • с; со - циклическая частота.
408
Импульс фотона
р - hv/c = h/k,
где с - скорость света в вакууме: с = 3 • 108 м/с; к - длина
световой волны.
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
hv = А+теи^ак /2,
где /zv - энергия фотона; А - работа выхода электрона; /пеу^ах /2 -
максимальная кинетическая энергия вылетающего электрона;
атах ~ его максимальная скорость.
Красная граница фотоэффекта
vmin =A/h, или Xmax = hc/A.
Эффект Комптона: при рассеянии коротковолнового элек-
тромагнитного излучения (рентгеновского и гамма-излучения)
на свободных или слабо связанных электронах длина волны его
увеличивается на величину
AX = -^-sin2—, или ДХ = —— (1 -COS0),
тес 2 тес
где ДХ = X' -X; X, X' - длина волны соответственно падающе-
го и рассеянного излучения; те — масса покоя электрона; с —
скорость света в вакууме; 0 — угол рассеяния.
Величина Хс = А/(тос) называется комптоновской длиной вол-
ны электрона: к^ = 2,4 10-12 м. Поэтому ДХ = Xc(l-cos0).
Примеры решения задач
921. Лазер, работающий в непрерывном режиме, излу-
чает красный свет с длиной волны X = 630 нм, развивая
мощность Р - 40 мВт. Сколько фотонов излучает лазер за
время t = 10 с? Постоянная Планка h - 6,63 • 10-34 Дж • с,
скорость света в вакууме с = 3 108 м/с.
Решение. Количество фотонов, излучаемых за
время t,
N = W/E,
где W - суммарная энергия фотонов; W = Pt; Е - энергия
фотона: Е = hv = hc/k. Следовательно,
N = N = 1,3• 1018.
he
409
922. Максимальная кинетическая энергия электронов,
вылетающих из рубидия при облучении его ультрафиоле-
товым светом с длиной волны А = 3,17 • 10-7 м, Ек тах =
= 2,84 • 10-19 Дж. Определить работу выхода электрона и
красную границу фотоэффекта для рубидия. Постоянная
Планка h = 6,63 • 10-34 Дж -'с, скорость света в вакууме
с = 3 • 108 м/с.
Решение. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
имеет вид
Е = А + тах,
где Е - энергия падающего на вещество фотона; А - рабо-
та выхода электрона; Ек тах - максимальная кинетическая
энергия вылетающего электрона. Отсюда А = Е - Ек тах.
Так как энергия фотона Е = hv = h.c/'k, то работа выхода
А = hc/X- Ектах, Д = 3,43-10-19 дж.
Красной границе фотоэффекта соответствует длина вол-
ны Amax =hc/A. Следовательно,
Атах = W---------> Атах = 5,8 • 10~7 М.
тах he - X£k тах тах
923. На платиновую пластинку падает ультрафиолето-
вое излучение. Для прекращения фотоэффекта нужно при-
ложить задерживающее напряжение = 3,7 В. Если пла-
тиновую пластинку заменить пластинкой из другого ме-
талла, то задерживдющее напряжение нужно увеличить
до U2 - 6,0 В. Определить работу выхода электрона из этого
металла. Работа выхода электрона из платины Д[ =6,3 эВ
(1 эВ = 1,6 • 10“19 Дж).
Решение. Пусть v - частота падающего излучения.
Тогда для платиновой пластинки, согласно уравнению
Эйнштейна, имеем
Лу = Л1 +/иеи9ах1/2,
где ^гпах 1 “ максимальная скорость вылетающих электронов.
Чтобы задержать вылетающие электроны, необходимо
приложить задерживающее напряжение U\. Тогда
eUl =meixl/2’
где е - заряд электрона. Таким образом,
hv - A, + eU\.
(О
410
Аналогичное выражение запишем для пластинки из
другого металла:
/iv = A2+^2- (2)
Из соотношений (1) и (2) находим:
А2 = Ai - e(U2 -£/]), А2 = 6,4 • 1СГ19 Дж.
924. Энергия фотона рентгеновского излучения Е =
= 0,3 МэВ. Фотон был рассеян при соударении со свобод-
ным покоящимся электроном, в результате чего его дли-
на волны увеличилась на АХ = 0,0025 нм. Определить:
энергию рассеянного фотона; угол, под которым вылетел
электрон отдачи; кинетическую энергию электрона отда-
чи. Скорость света в вакууме с = 3 • 108 м/с. Постоянная
Планка h - 6,63 • 10-34 Дж • с. Энергия покоя электрона
Ео = тес2 = 0,511 МэВ (1 МэВ = .1,6 • 10"13 Дж).
Решение. Увеличение длины волны рентгеновского
излучения при его рассеянии на электронах (эффект Ком-
птона) объясняется тем, что фотон, как и любая частица,
обладает определенным импульсом и что акт рассеяния
представляет собой упругое столкновение фотона с элект-
роном, аналогичное соударению упругих шариков. При этом
выполняются закон сохранения импульса и закон сохране-
ния энергии. Упруго соударяясь с электроном, фотон пе-
редает ему часть импульса и энергии. Энергия фотона опре-
деляется по формуле
Е = hv = hc/k, (1)
где v - частота;, h - постоянная Планка; X - длина вол-
ны. Отсюда видно, что уменьшение энергии фотона озна-
чает уменьшение частоты рентгеновского излучения и уве-
личение его длины волны.
Найдем энергию Е' рассеянного фотона. Согласно фор-
муле (1),
Е' = hv' = hc/k',
где к’ = к + АХ - длина волны рассеянного рентгеновско-
го излучения; X - длина волны падающего излучения:
X = c/v - hc/E. Следовательно,
— he — _Е (2)
к + ДХ hc/E + ДХ he + £ДХ 1 + £ДХ/(Лс)
411
Пусть р - импульс падающего фотона, р' - импульс
рассеянного фотона, ре - импульс электрона отдачи. На
рис. 285, а изображена ситуация до столкновения, на
рис. 285, б — после столкновения. Положительное направ-
ление оси ОХ совпадает с направлением вектора р, нача-
ло координат - с точкой, где находился электрон в момент
соударения с фотоном.
Из закона сохранения импульса следует, что сумма
проекций импульсов фотона и электрона на оси ОХ и OY
до столкновения равна сумме проекций их импульсов на
эти оси после столкновения:
р + 0 = p'cose + ре costp, ре sin ф - p'sine = О,
или
ре cos ф = р - р' cos в, ре sin ф = р' sin в, (3)
где ф - угол, под которым вылетел электрон отдачи; в -
угол рассеяния фотона.
Разделив почленно второе из уравнений (3) на первое,
получим
tg ф = sine-. (4)
р/р' - COS0 '
Модуль импульса падающего фотона
Р = Е/с, (5)
где Е - энергия фотона.
412
Аналогичным соотношением связаны также импульс р'
и энергия Е' рассеянного фотона:
р’ = Е'/с. (6)
Разделив равенство (5) почленно на равенство (6), по-
лучим р/р' = Е/Е', или, учитывая значение (2),
р/р'= (he + EAX)/(hc). (7)
На основании выражений (4) и (7) будем иметь
tg ф = ------sine (8)
(he + £ДХ)/(Лс) - cosO
Косинус угла рассеяния 0 определим, воспользовавшись
формулой Комптона
АХ = Xq (1 - COS0),
где Х<2 комптоновская длина волны электрона. Отсюда
cos0 = 1 - AX/Xq . (9)
Тогда
sine = 71-cos2 е = = V(2XC -ДХ)ДХ (w)
Подставив в выражение (8) вместо cos0 и sin0 их зна-
чения (9) и (10), после преобразований получим
V2XC/(AX) - 1
ас/(М + i - (,1)
Так как Xq = h/(mec), то
_ £ _ £ (12)
he тес2 Eq
где Eq = тес2 - энергия покоя электрона.
Подставив значение отношения (12) в формулу (И),
получим
03)
с/Cq + 1
На основании закона сохранения энергии кинетическая
энергия электрона отдачи равна разности между энергией
Е падающего фотона и энергией Е' рассеянного фотона:
413
Ек = Е-Е' = Е-
Ehc
he + £ДХ'
После преобразований получим
Е, -_______£_____
к Лс/(ДХ) + Г
(14)
Теперь, подставив числовые значения величин в фор-
мулы (2), (13), (14), получим: Е = 0,2 МэВ, tg<p = 0,6,
<р = 31°, £к = 0,1 МэВ.
Задачи для самостоятельного решения
925. Определить энергию и импульс фотона видимо-
го света, длина волны которого X = 0,6 мкм. Постоянная
Планка h = 6,63 • 10~34 Дж • с, скорость света в вакууме
с = 3 • 108 м/с.
926. В среде распространяется свет, имеющий длину
волны X = 300 нм и энергию фотона Е = 4,4 • 10-19 Дж.
Определить абсолютный показатель преломления среды.
Скорость света в вакууме с = 3,0 • 10° м/с, постоянная
Планка h = 6,63 • 10~34 Дж с.
927. Человеческий глаз может воспринимать световой по-
ток мощностью Р = 2 • 10“17 Вт. Найти число фотонов света
с длиной волны X = 0,5 мкм, попадающих в глаз за время
t = 1 с при указанной мощности. Скорость света в вакууме
с = 3,0 • 108 м/с, постоянная Планка h = 6,63 • 10-34 Дж • с.
928. Источник света излучает N = 1 • 1019 фотонов за
время t = 1 с. Длина волны излучения X = 4,95 • 10-5 см.
Какую мощность потребляет этот источник, если в энер-
гию света переходит Т| = 0,1 потребляемой энергии? По-
стоянная Планка h = 6,63 • 10-34 Дж • с, скорость света в
вакууме с = 3 • 108 м/с.
929. Некоторый металл освещается светом, длина волны
которого X = 0,25 мкм. Пренебрегая импульсом фотона, най-
ти максимальный импульс, передаваемый поверхности ме-
талла при вылете каждого электрона, если красная граница
фотоэффекта для этого металла Хщах = 0,28 мкм. Ско-
рость света в вакууме с = 3 • 108 м/с, постоянная Планка
h = 6,63 • 10-34 Дж • с, масса электрона те = 9,1 10-31 кг.
930. Фотоэлемент облучается монохроматическим жел-
тым светом, длина волны которого X - 600 нм. За некото-
414
рое время фотоэлемент поглотил энергию W- 1 • 10-5 Дж.
Найти число поглощенных фотонов. Постоянная Планка h =
= 6,63 10-34 Дж • с, скорость света в вакууме с = 3 108 м/с.
931. Найти частоту света, вырывающего с поверхности
металла электроны, которые полностью задерживаются напря-
жением U3 = 3 В. Фотоэффект у этого металла начинается
при частоте падающего света vmin = 6 • 1014 Гц. Найти рабо-
ту выхода электрона. Заряд электрона е = 1,6 • 10-1^ Кл,
постоянная Планка h = 6,63 • 10-34 Дж • с.
932. Цезиевый катод фотоэлемента освещается моно-
хроматическим светом, длина волны которого X = 600 нм.
Определить скорость вылетающих из катода фотоэлектро-
нов, если красная граница фотоэффекта для цезия Хтах =
= 650 нм. Постоянная Планка h = 6,63 • 10“34 Дж • с, мас-
са электрона тР = 9,1 • 10-31 кг, скорость света в вакууме
с = 3- 108м/с.
933. Красная граница фотоэффекта для материала фо-
токатода Хтах = 700 нм. Фотокатод освещают монохрома-
тическим светом с длиной волны Хр а затем - с длиной
волны ^2- При этом отношение максимальных скоростей
вылетающих электронов k = 3/4. Определить Х2, если
Xi = 600 нм.
934. На рис. 286 приведен график зависимости макси-
мальной кинетической энергии Е^т электронов, вылетаю-
щих с поверхности бария при фотоэффекте, от частоты v
облучающего света. Используя график, рассчитать посто-
янную Планка и работу выхода электрона из бария.
935. Пучок ультрафиолетовых лучей с длиной волны X =
= 1 10-7 м, падающий на металлическую поверхность, пере-
дает ей мощность Р = 1 • 1О~6 Вт.
Определить силу возникшего фо-
тотока, если фотоэффект вы-
зывает т| = 0,01 падающих фото-
нов. Скорость света в вакууме
с - 3 • 108 м/с, постоянная
Планка h = 6,63 • 10"34 Дж • с, за-
ряд электрона е = 1,6 • 10-19 Кл.
936. На металлическую пла-
стинку падает монохроматиче-
ский свет с длиной волны Xi =
= 4,13 • 1СГ7 м. Поток фото-
электронов, вырываемых этим
415
светом с поверхности металла, полностью задерживается
разностью потенциалов U = 1 В. Определить работу выхо-
да электрона из металла и длину волны света, соответст-
вующую красной границе фотоэффекта. Постоянная Планка
h = 6,63 • 10-34 Дж с, заряд электрона е - 1,6 • 10-19 Кл,
скорость света в вакууме с = 3 10° м/с, масса электрона
/ле = 9,1 • 10-31 кг. Будет ли наблюдаться фотоэффект,
если длина волны падающего света Х2 = ? ' Ю-7 м?
937. Пластинку, изготовленную из некоторого метал-
ла, освещают сначала одним светом, вызывающим фотоэф-
фект, а затем другим, энергия фотона которого на Д£ = 3 эВ
больше энергии фотона первого света. На сколько измени-
лась при этом максимальная кинетическая энергия фото-
электронов?
938. При увеличении частоты падающего на металл
света в «1 = 2 раза задерживающее напряжение для фото-
электронов увеличивается в п2 = 3 раза. Частота первона-
чально падающего света v - 1,2 1015 Гц. Определить
длину волны света, соответствующую красной границе фо-
тоэффекта для этого металла. Скорость света в вакууме
с=3 108м/с.
939. Металлический шарик, удаленный от других тел,
облучается монохроматическим светом с длиной волны
X = 200 нм. Шарик, теряя фотоэлектроны, заряжается до
максимального потенциала <ртах - 3 В. Определить рабо-
ту выхода электрона из металла. Постоянная Планка h =
= 6,63 • 10-34 Дж с, скорость света в вакууме с - 3 108 м/с,
заряд электрона е = 1,6 • 10“19 Кл.
940. Фотон с длиной волны X вырывает с поверхности
металла фотоэлектрон, который попадает в однородное
магнитное поле с индукцией В и описывает в нем окруж-
ность радиуса R. Найти работу выхода электрона из ме-
талла. Масса электрона те, его заряд е, постоянная План-
ка h, скорость света в вакууме с.
941. Фотон рентгеновского излучения с энергией
Е = 0,45 МэВ рассеялся на свободном электроне. Энергия
рассеянного фотона Е' = 0,40 МэВ. Определить угол рас-
сеяния фотона и кинетическую энергию электрона отдачи.
Энергия покоя электрона Eq = 0,511 МэВ.
942. Рентгеновское излучение с длиной волны X = 5 пм
рассеивается на свободных электронах под углом 0 - 20°.
Найти импульс электрона отдачи. Комптоновская длина
416
волны электрона Xq = 2,4 пм, постоянная Планка h =
= 6,63 • 10"34 Дж • с.
943. В результате соударения со свободным электро-
ном фотон отдает ему треть своей энергии. Угол рассея-
ния 0 = 60°. Определить энергию и импульс рассеянного
фотона. Скорость света в вакууме с = 3 • 108 м/с, посто-
янная Планка h = 6,63 • 10"34 Дж • с, комптоновская дли-
на волны электрона = 2,4 пм.
18. АТОМ И АТОМНОЕ ЯДРО
Методические указания к решению задач
При решении задач расчетного характера, связанных
со строением атома и атомного ядра, используются в ос-
новном приведенные ниже формулы. Кроме того, приме-
няются законы сохранения импульса, энергии, электриче-
ского заряда, а также закон взаимосвязи массы и энергии.
Основные законы и формулы
Первый постулат Бора: атомная система может находить-
ся только в особых стационарных, или квантовых, состояниях,
каждому из которых соответствует определенная энергия Еп, в
стационарном состоянии атом не излучает.
Электроны в атоме могут двигаться вокруг ядра только по
определенным круговым орбитам, радиусы которых устанавли-
ваются следующим правилом квантования:
mevnrn =
где те — масса электрона; vn - скорость электрона на n-й орби-
те; гп — радиус n-й орбиты; п = 1, 2, 3, ... - порядковый номер
орбиты; й = й/(2л) = 1,05 • 10-34 Дж с; h - постоянная Планка.
Второй постулат Бора: при переходе атома из одного ста-
ционарного состояния в другое испускается или поглощается
квант электромагнитной энергии.
Энергия фотона равна разности энергий атома в двух его
стационарных состояниях:
Ьу тп ~~ т ~ ’
14 Зак. 1525
417
где h — постоянная Планка; vтп - частота колебаний, соответ-
ствующая испускаемому (или поглощаемому) кванту излуче-
ния; т, п - номера стационарных состояний (или соответст-
вующих этим состояниям электронных орбит); Ет, Еп - энер-
гия атома в стационарных состояниях.
Энергия связи атомного ядра
£св = с2 Am,
где с — скорость света в вакууме; Д/п - дефект массы, т. е.
разность между суммой масс протонов и нейтронов, образую-
щих ядро, и массой ядра.
Дефект массы
Ат = Zmp + Nmn -тя, (1)
где Z — число протонов в ядре; N - число нейтронов: N = А - Z;
тр, тп - массы свободных протона и нейтрона; тя - масса
ядра.
Следовательно, энергия, связи
£св = (Zmp + (Д - Z)mn - тя )с2 .
Обычно в таблицах масс изотопов даются массы нейтраль-
ных атомов, но не ядер. Поэтому формулу (1) целесообразно
преобразовать так, чтобы в нее входила не масса ядра тя, а
масса та соответствующего нейтрального атома. Так как тя =
= ma - Zme, где те - масса электрона, то формулу (1) можно
заменить следующей:
Дт = Zmp + Nmn - (ma - Zme),
или
Am = Z(mp + me) + Nmn - ma.
Учитывая, что mp + me = miH, где _ масса атома водо-
рода, получаем 1 1
Am = ZmiH + (A - Z)mn -ma.
Атомная единица массы (а.е.м) - масса, равная 1/12 мас-
сы атома изотопа углерода 12С:
1 а.е.м. = 1,66053 10-27 кг.
Электронвольт (эВ) - единица энергии, равная энергии,
которую приобретает частица, обладающая элементарным элек-
трическим зарядом (зарядом, равным заряду электрона), прохо-
дя разность потенциалов 1 В:
1 эВ = 1,6 10~19 Дж.
418
Энергетический эквивалент атомной единицы массы
(1 а.е.м.)с2 = 931,5 МэВ.
Энергия связи атомного ядра в мегаэлектронвольтах вы-
числяется по формуле
Есв = 931,5(Zmp + (Д - Z)mn - тя),
где массы протона тр, нейтрона тп и ядра тя выражены в атом-
ных единицах массы.
Закон радиоактивного распада:
N = N0 2~‘/т ,
где N — число нераспавшихся радиоактивных ядер в момент
времени t; Nq - число нераспавшихся ядер в начальный момент
времени (при t0 = 0); Т — период полураспада. Этот закон мож-
но также записать в виде
W = Мое-;и,
где е - основание натуральных логарифмов; X - постоянная
радиоактивного распада для данного вида ядер. Постоянная рас-
пада связана с периодом полураспада соотношением Т = 1п2/X.
Правила смещения при радиоактивных распадах:
при а-распаде ^Х->2-2^+2Не’
при р-распаде zx~>z+\Y+-Ae<
где X - символ материнского ядра; У - символ дочернего ядра;
2Не - ядро гелия (а-частица); _°е - обозначение электрона
(заряд его равен -1, а массовое число - нулю).
Энергия (энергетический выход) ядерной реакции
Q = с2((от] + m2) - (т3 + пц)),
где mi, m2 ~ массы ядра-мишени и бомбардирующей частицы;
т3 + т4 ~ сумма масс продуктов реакции (ядер и частиц); если
mi + m2 > т3 + т4> то энергия Q выделяется; если /гц + т2 <
< т3 + т^, — поглощается.
Примеры решения задач
944. Во время перехода электрона в атоме водорода с
третьей стационарной орбиты на вторую атом излучает фо-
тон, энергия которого соответствует длине волны X = 652 нм
419
(красная линия спектра). На сколько уменьшается при этом
энергия атома водорода?
Решение. Согласно второму постулату Бора, энер-
гия фотона равна разности энергий £3 и £2 стационарных
состояний:
hv = Д£,
где h - постоянная Планка; v - частота: v-c/X; с -
скорость света в вакууме; X — длина волны; Д£ = £3 - Е%-
Таким образом, Д£ = hc/\. Подставив в эту формулу
числовые значения длины волны X, постоянной Планка
h = 6,63 10~34 Дж • с и скорости с = 3 • 108 м/с, найдем
Д£ = 3 • 10~19 Дж.
945. Пользуясь теорией Бора, найти радиус n-й элек-
тронной орбиты в атоме водорода, скорость и ускорение
электрона на этой орбите.
Решение. Согласно теории Бора, электрон в атоме
водорода вращается вокруг ядра, совершая равномерное
движение по круговой орбите в соответствии с законами
Ньютона. При этом сила £ взаимодействия электрических
зарядов ядра и электрона (рис. 287) сообщает электрону
центростремительное ускорение
где vn - скорость электрона на п-й орбите; гп - радиус
этой орбиты.
По закону Кулона сила взаимодействия электрона с
ядром
4ле0гп2
Согласно второму закону Нью-
тона, £ — теа„, или с учетом
формул (1) и (2)
,,2 rn.vl
4ле0гп гп
где те - масса электрона.
Согласно теории Бора, из
всех возможных орбит разре-
шенными являются только те,
для которых выполняется пра-
вило квантования
420
mevnrn. = n^'
(4)
где n = 1, 2, 3, h = /г/(2л); h - постоянная Планка.
Решив совместно уравнения (3) и (4) относительно гп
и vn, найдем радиус n-й электронной орбиты и скорость
электрона на ней:
2 2
4 7Г£ n fl h / г* \
rn=-----, (5)
/иее
Подставив в выражение (1) значения (5) и (6), получим
_ тее6
ап ~ 647СМ«3*4 '
946. Найти напряженность электрического поля на
четвертой электронной орбите в атоме водорода.
Решение. Согласно теории Бора, радиус n-й орби-
ты в атоме водорода, как показано в решении предыдущей
задачи,
2 2
4 ле л п h /1 \
гп=—4—, (D
/иее
где Ер = 8,85 • 10~12 Ф/м - электрическая постоянная;
Й = /г/(2л) = 1,05- 10-34 Дж с - постоянная Планка;
те = 9,1 • 10-31 кг - масса электрона; е = 1,6 • 10-19 Кл -
заряд электрона.
Напряженность электрического поля на n-й орбите
£ - е______
4ле0г„
Подставив это значение в формулу (1), получим
25
Подставив в формулу (2) числовые значения величин и
произведя вычисления, найдем напряженность электриче-
ского поля на четвертой (л - 4) орбите: £4 = 2- 109 В/м.
947. Найти число протонов и нейтронов, входящих в
состав ядер трех изотопов магния: Mg, ^Mg, j^Mg.
421
Решение. Обычно нейтральный атом и его ядро
обозначают одним и тем же символом
ZX- (D
где X - обозначение элемента: Z - число протонов в ядре
(порядковый номер элемента в периодической системе
Д. И. Менделеева); А - массовое число (сумма числа про-
тонов и нейтронов в ядре, равная округленной до ближай-
шего целого числа массе атома, выраженной в а.е.м.).
Число нейтронов в ядре
N = А - Z. (2)
На основании формул (1) и (2) находим, что ядро 2^ Mg
содержит 12 протонов и 24 - 12 = 12 нейтронов, ядро
12 Mg - 12 протонов и 25 - 12 - 13 нейтронов и ядро
12 Mg - 12 протонов и 26 - 12 = 14 нейтронов.
948. Найти энергию связи ядра лития j Li. Масса ато-
7 1
ма з Li та = 7,01601 а.е.м., массы атома водорода JH и
нейтрона - соответственно т,н = 1,00783 а.е.м. и тп
= 1,00867 а.е.м.
Решение.
ется по формуле
;н
Энергия связи атомного ядра определя-
Егк = Ат,
to '
где Ат — дефект массы: Ат - Zm i н + (А - Z)m
- тя.
а
п
Так как энергетический эквивалент атомной единицы
массы равен 931,5 МэВ, то выраженная в мегаэлектрон-
вольтах энергия связи ядра
£св = 931,5 Д/п = 93 I н + (А-Z)mn -maj, (1)
где znI н> тп выражены в а.е.м.
Для ядра з Li имеем: А = 7, Z = 3. Подставив числовые
значения величин в формулу (1), получим £св = 39,26 МэВ.
949. Какое количество а- и p-распадов содержится в
цепочке превращений урана 2д^ U в свинец РЬ?
422
Решение. При а-распаде зарядовое число Z умень-
шается на 2, а массовое число А - на 4. Символически это
можно записать так:
ZX^Z-2/+2He’
где 2 Не - обозначение а-частицы.
При p-распаде зарядовое число увеличивается на еди-
ницу, а массовое число не изменяется:
z^zX!*-
где JJe - обозначение электрона.
Так как массовое число изменяется только при а-рас-
паде, то при превращении U в РЬ количество а- рас-
падов
дг _ 235 - 207 _ 7
v« 4
В результате семи а-распадов зарядовое число умень-
шается на 2 • 7 = 14, а после Л7р распадов оно увеличива-
ется на Л/р. Следовательно,
92 - 14 + Л/р = 82,
откуда находим количество fj-распадов: Л/р = 4.
950. Определить, сколько атомов распадается в т = 1 мг
радиоактивного изотопа цезия Cs в течение проме-
жутка времени t = 20 дней. Период полураспада цезия
Т = 30 дней.
Решение. За время t распадается количество
атомов
ДЛ7 = Л7О-Л7, (1)
где Nq - число нераспавшихся атомов в начальный мо-
мент времени /ц = 0; Л/ - число нераспавшихся атомов
через промежуток времени t. Согласно закону радиоак-
тивного распада,
N = N0-2~t/T. (2)
Первоначальное число атомов
М)=-^Л/А, (3)
423
где т - масса изотопа; М - его молярная масса: М =
= 137 • 10-3 кг/моль; Ад - постоянная Авогадро.
Подставив выражения (2) и (3) в (1), получим:
ДА- Ал(1 - 2-1/^) - — Ад(1 - г-177"), ДА-2 1019.
и м
951. Найти энергию ядерной реакции
9Ве + 2Н -> 105В + Jn.
Массы ядер 9Ве, ^Н, 19В равны соответственно
9,01219 а.е.м., 2,01410 и 10,01294 а.е.м, масса нейтрона
тп = 1,00867 а.е.м.
Решение. Энергия ядерной реакции, выраженная в
мегаэлектронвольтах,
Q = 931,5((mBe + тн) - (тъ + mn)),
т. е. из суммы масс частиц до реакции вычитается сумма
масс частиц после реакции и результат умножается на
энергетический эквивалент атомной единицы массы. Под-
ставив в это соотношение числовые значения, найдем
Q = 4,359 МэВ. Получили Q > 0. Следовательно, энергия
выделяется.
952. Вычислить КПД двигателей атомного ледокола,
если мощность их Р - 3,2 • 104 кВт, а атомный реактор
расходует т = 200 г урана-235 в сутки. Вследствие деления
одного ядра атома урана выделяется энергия Eq = 200 МэВ.
Решение. КПД двигателя
Т| = _^_.100%, (1)
где Рп - полная мощность:
Рп = E/t- (2)
Е - энергия, выделяющаяся при делении урана, масса которого
т, за время t. Число атомов, содержащихся в этом уране,
А = -£Ад,
м А
где М - молярная масса урана; Ад - постоянная Авогад-
ро. Тогда
E = EQ^Nk. (3)
424
Из формул (1)-(3) следует, что
Подставим в последнюю формулу числовые значения, выра-
женные в СИ: = 3,2 104 • 103 Вт; М = 235 • 10-3 кг/моль;
t = 1 сут = 24 ч = 24 3600 с = 86 400 с; Eq = 200 • 106 х
х1,6 • 10-19Дж; т = 200 • 10-3 кг; А/д= 6,02 • 1023 моль-1.
После вычислений получим т] = 17%.
953. Протон, летящий горизонтально со скоростью
v = 4,6 • 106 м/с, сталкивается с неподвижным свобод-
ным атомом гелия. После удара протон отскакивает назад
со скоростью v\ - v/1,3 атом переходит в возбужденное
состояние. Вычислить длину волны света, который излучает
атом гелия, возвращаясь в первоначальное состояние.
Решение. Возвращаясь в первоначальное состоя-
ние, атом излучает фотон, энергия которого Е = W, где
W - энергия возбуждения, т. е. энергия, которую получил
атом при переходе в возбужденное состояние.
Энергия фотона Е = hv = hc/\, где h - постоянная
Планка; v - частота света; с - скорость света в вакууме;
X - длина волны. Следовательно, hc/'k - W, откуда дли-
на волны излучаемого света
X = hc/W. (1)
Чтобы найти энергию возбуждения W, составим урав-
нения на основании законов сохранения импульса и со-
хранения энергии:
пци = -m.\v/1 + (2)
mi°2 _ (uj2 .j t
где - масса протона; - масса атома гелия; V2 ~
скорость атома гелия после соударения.
Решив совместно уравнения (2) и (3) относительно W,
найдем
(4)
О у )
Подставив в выражение (1) значение W, полученное по
формуле (4), найдем
425
________She_______
3mjU2(l - 3mi/m2)
(5)
Масса протона m\ = 1 а.е.м. = 1,66 • 10-27 кг, масса
атома гелия = 4 а.е.м. = 6,64- 10-27, постоянная План-
ка h = 6,63 • ИГ34 Дж • с, скорость света в вакууме
с = 3 108 м/с. Подставив эти значения и значение скоро-
сти v в формулу (5), найдем X = 6 • 10-7 м.
954. В ядро кислорода ударяет а-частица ^Hej и
застревает в нем, выбивая нейтрон (Jn)- Написать реакцию.
Решение. Пусть ?Х - ядро, образовавшееся в
результате реакции. Тогда ядерную реакцию запишем так:
+ nHe -> ‘n + jX.
о Z и Z-
Учитывая, что в ядерной реакции сохраняется электри-
ческий заряд, т. е. сумма зарядов частиц и ядер, вступаю-
щих в реакцию, равна сумме зарядов образующихся час-
тиц и ядер, составим равенство 8 + 2 = 0 + Z, откуда Z = 10.
В ядерной реакции сохраняется полное число нуклонов,
т. е. суммы массовых чисел частиц и ядер до и после реак-
ции должны равняться друг другу. Поэтому 16 + 4 = 1 + А,
откуда А = 19.
По таблице Менделеева находим, что элемент, у которого
ядро атома содержит 10 протонов, - это неон. Таким обра-
зом, ядерную реакцию можно окончательно записать так:
’|О + nHe -> 1п + JnNe.
о Z U 1U
Задачи для самостоятельного решения
955. Определить плотность ядерного вещества, считая
радиус ядра атома R = R0>lA , где Rq = 1,3 • 10~15 м, А -
массовое число. Масса нуклона то = 1,67 • 10-27 кг. Како-
ва была бы масса тела объемом V = 1,0 см3, если бы оно
состояло из одних ядер?
956. В опытах Резерфорда а-частицы в момент попадания
на тонкую золотую фольгу имели скорость v - 2 • 107 м/с.
Полагая вектор скорости а-частицы совпадающим с пря-
мой, соединяющей частицу и ядро атома золота (лобовое
426
соударение), найти расстояние максимального приближе-
ния а-частицы к ядру атома золота. Молярная масса ге-
лия М = 4 1СГ3 кг/моль, постоянная Авогадро Мд =
= 6,02 • 1023 моль-1( элементарный заряд е - 1,6 • 10-19 Кл,
заряд ядра золота q = 79е, электрическая постоянная
£0 = 8,85 1СГ12 Ф/м.
957. Резерфорд наблюдал, что при лобовом соударении
с неподвижными ядрами атомов меди а-частиц с энергией
Ео - 5,0 МэВ последние отлетают назад с энергией
Е = 3,9 МэВ. Вычислить по этим данным отношение масс
ядра атома меди и а-частицы. Взаимным отталкиванием
зарядов пренебречь.
958. Какова скорость а-частицы с кинетической энер-
гией Е^ = 7,68 МэВ? Масса а-частицы т = 6,64 • 10~27 кг.
959. Пучок однократно ионизированных изотопов маг-
ния 24Mg и 25Mg влетает в однородное магнитное поле.
Определить радиус /?) окружности, по которой движутся
легкие изотопы, если для тяжелых изотопов он равен Т?2-
Скорость всех ионов в пучке считать одинаковой.
960. Атом водорода состоит из ядра, вокруг которого вра-
щается единственный электрон. С какой частотой вращается
электрон вокруг ядра, если его орбита - окружность радиуса
г = 5,3 10-11 м? Масса электрона те = 9,1 10~31 кг, заряд
электрона е = 1,6 • 1СГ19 Кл, электрическая постоянная
Eq = 8,85 • 10~12 Ф/м.
961. Атом водорода при переходе из одного стационарно-
го состояния в другое испускает последовательно два кван-
та, длины волн которых Xj = 4051 нм и I2 = 97,25 нм.
Определить изменение энергии атома водорода. Постоян-
ная Планка h = 6,63 • 10“34 дж • с> скорость света в ва-
кууме с = 3,0 108 м/с.
962. На каком расстоянии от центра ядра находится
электрон в атоме водорода, если скорость его движения
по орбите v = 2,2 • 106 м/с? Какова напряженность
поля, создаваемого ядром в точках орбиты? Заряд элек-
трона е- 1,6 • 10“19 Кл, электрическая постоянная Eq =
= 8,85 • 10~12 Ф/м, масса электрона те = 9,1 • 10"31 кг.
963. Радиус первой орбиты электрона в атоме водоро-
да = 5,3 10-11 м. Найти напряженность электрического
поля ядра на этом расстоянии и кинетическую энергию элек-
трона на первой орбите. Заряд электрона е = 1,6 10-19Кл,
электрическая постоянная Ец = 8,85 • 10-12 Ф/м.
.427
964. Во сколько раз линейная скорость электрона на пер-
вой орбите в атоме водорода больше скорости v пассажир-
ского самолета Ту-134, равной 850 км/ч? Постоянная План-
ка й = 1,05 • 10-34 Дж • с, заряд электрона е = 1,6 • 10~19 Кл,
электрическая постоянная Eq = 8,85 • 10-12 Ф/м.
965. Цинковую пластину освещают монохроматическим
светом, длина волны которого соответствует переходу элек-
трона в атоме водорода с уровня с энергией W\ = -0,38 эВ
на уровень с энергией = -13,6 эВ. Определить, на
какое максимальное расстояние от пластинки может уда-
литься фотоэлектрон, если вне ее имеется задерживаю-
щее однородное электрическое поле напряженностью
Е = 10 В/см. Заряд электрона е = 1,6 • 10-19 Кл, работа
выхода электрона из цинка А = 6,4 • 10-19 Дж.
966. На основании теории Бора найти отношение по-
тенциальной энергии Ер электрона к его кинетической
энергии Е^ в атоме водорода.
967. Найти число протонов и нейтронов, входящих в
состав ядер: a) ?? А1; б) 29ZPb; в) 235и.
1 1 о OZ VZ
968. Определить энергию связи ядра урана 233 U. Мас-
са ядра тя = 234,99331 а.е.м., масса протона
тр = 1,00728 а.е.м., масса нейтрона тп = 1,00867 а.е.м.,
1 а.е.м. = 1,66053 • 10-27 кг. Скорость света в вакууме с =
= 2,998 • 108 м/с.
969. Масса ту ядра 110 равна 16,00 а.е.м. Определить
его дефект массы и энергию связи, если известно, что мас-
са т2 яДРа 2^е Равна 4,00 а.е.м., а его дефект массы Ат% =
= 0,03 а.е.м. Скорость света в вакууме с = 3,0 • 108 м/с.
970. Найти энергию связи, приходящуюся на один ну-
клон в ядре атома кислорода 18 О- Масса атома кислорода
т&- 15,99491 а.е.м., масса атома водорода miH = 1,00783 а.е.м.,
масса нейтрона mn = 1,00867 а.е.м.
971. Определить энергию, которая выделяется при де-
лении одного ядра урана если при делении всех
ядер, содержащихся в уране массой т = 1,0 г, выделя-
ется энергия Е = 8,2 • 1О10 Дж. Постоянная Авогадро
Мд = 6,02 • 1023 моль-1.
972. Определить электрическую мощность атомной элек-
тростанции, расходующей в сутки (/ = 24 ч) т = 220 г урана
428
2^2 U и имеющей КПД Т| = 25%, если известно, что при
делении одного ядра урана выделяется энергия Eq =
= 3,2 10-11 Дж. Постоянная Авогадро Л/д =-6,02 • 1023 моль-1.
973. При делении одного ядра урана 23^U выделяется
энергия Eq = 200 МэВ. За какой промежуток времени масса
урана в реакторе уменьшится на а = 0,02 первоначальной
массы т = 10 кг? Мощность Р реактора постоянна и равна
1,0 МВт, постоянная Авогадро Л/д = 6,02 • 1023 моль-1.
974. В периодической системе элементов Менделеева
рядом расположены три элемента. Условно назовем их а,
b и с. Радиоактивный изотоп элемента а превращается в
элемент Ь, а тот в свою очередь - в элемент с. Последний
превращается в изотоп исходного элемента. Какими про-
цессами обусловлены переходы а —> b, b с, с —э а ?
975. Период полураспада одного из радиоактивных изо-
топов йода Т = 8,1 сут. Через какое время число атомов
этого вещества окажется в п = 100 раз меньшим по срав-
нению с их начальным числом?
976. Определить период полураспада радона, если за
время t = 1 сут из Nq = 1 106 атомов распадается N =
= 175 • 103 атомов.
977. Азот облучается в течение т = 1,0 ч пучком а -час-
тиц (2Не), ускоренных в циклотроне. Найти количество ато-
мов образовавшегося изотопа ^О, если сила тока в пучке
/= 200 мкА и ядерную реакцию + gHe = JgO + }Н
вызывает одна а-частица из каждых и = 1,0 • 105 частиц в
пучке. Заряд электрона е = 1,6 • 10-19 Кл.
978. В реакции взаимодействия алюминия Ц А1 с угле-
родом 12 С образуются а-частица, нейтрон и ядро некото-
рого изотопа. Определить количество нейтронов в этом
ядре.
979. При взаимодействии ядра изотопа лития 3 Li и
протона образуются две одинаковые частицы и выделяет-
ся энергия Eq = 17,3 Л4эВ. Определить частицу и энергию,
которая выделится, если с протонами прореагируют ядра,
содержащиеся в т = 10 г изотопа лития. Постоянная
Авогадро Ад = 6,02 • 1023 моль-1.
980. При взаимодействии ядер алюминия А1 с %-час-
тицами образуются ядра изотопа магния 2^Mg и jK-части-
429
ца. При взаимодействии же [У-частиц с ядрами алюминия
]3 А1 образуются ядра изотопа магния 2^Mg и Z-частицы.
Какие широко известные частицы X, У и Z участвуют в
этих ядерных реакциях?
981. Записать следующие ядерные реакции: а) захват
нейтрона протоном с испусканием у-кванта; б) расщепле-
ние у-квантом ядра 4 Be с образованием двух а-частиц.
982. Вычислить энергию ядерных реакций:
®Li + -> £Не + «Не, + ЗНе -> }Н + ^О.
о 1 Z Z / Z 1 о
Массы ядер |Li, ^Н, |Не, ^N, }Н, равны соответ-
ственно 6,01513; 2,01410; 4,00260; 14,00324; 1,00782 и
16,99913 а.е.м.
ОТВЕТЫ
1. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ
27. d = a/sina = 35 м. 28. v = 5.м/с, у =-0,5 + 0,8х.
29. t>2 = 4 + 2о = 19 км/ч, v% = + v = 17 км/ч.
30. £4 = ^ + +v2 =14 м/с.
31. q = -Я— =5,0 м/с, V2 = — = 2,5 м/с.
VM2 h
32. t = = 1,2 • 102 с.
v
33. На расстоянии 200 м от местонахождения автомобиля в на-
чальный момент времени (см. рис. 288); t = —-— = 20 с; не изме-
нится.
34. (з = 2 = 30 мин.
t2 - h
35. -t = —$— = 44,^= SP1 = 2,0 102 км.
4~4> 4-o2 2 2 2
36. a = -tt- = 8,7 м/с. 37. I = l0 --^2- = 1 102 m. 38. t = 1 + 2 .
1 tga ° 2a 2Z2
39. t2 = (2 + V2)ti = 102 МИН.
40. a = = 0,63 м/с2, vq = = 3,8 м/с.
т2 2т
/ -.2
41. H = £M- + £ = 2,3 • 102 m. 42. h = 6gt2 = 2,1 • 102 km.
2IgT 2)
/ /2 __ j f2
43. v0 = -Ц-2_L = 10 м/с. 44. ц = = 10 м/с.
t^2-^2 4 42
45. Vq = 4s ~ = 0,6 м/с. 46. = 3.
t I3
47. / = —= 3,8 km. 48. r2 = —fl + Jl+M = 4 c.
a(a1+u2) Л ’ aJ
49. о = . = 40 км/ч.
и 2oj + V2 + v3
431
52. Д/ = х - = 0,37 с.
’ ГпГ /,
53. Решив уравнение х = I— + —, получим h = 150 м.
V g »________________________________
54. t = 1-— = 2 с. 55. х = It2 + -1 = 1 с.
If a cos а v g
56. й> = — = 30 м, /ь = — = 90 м, ft3 = — = 150 м.
1 9 2 9 J 9
57. См. рис. 289. 58. См. рис. 290 и 291.
59. / = £1 _ + = 41 м. 60. См. рис. 292.
g 2
61. fj = 1 = 6 с, ft = = 1,2 • 102 м. 62. I = -J2vox.
g2____________ 2g 2
63. vh = -Jvq + 2g(H - ft) = 17 м/с, v - + 2gH = 22 м/с.
64. n2 - 1 + («! -1)— = 11. 65. / = — g{t2 -12) = 15 m.
_________________A 2
66. v0 = ^g(9>h + gx2) =40 м/с.
67. Ц) =y = 50 м/с, H = gx2/8 = 1,3 102 m.
432
68. t = £ot V^2gho , v = V02+2gho.
g
69.
a = (Ц1- °2 — = 1 рад. 70. vQ = hJ-^~ = 7 м/с.
I V 2H
71. ц = v2 = V°o + 2gft = 25 м/c. 72. v = Jvq + 2g(H - h) = 25 м/с.
73.
vo
= SJ^7 = 1° «/с, “к
V Zri
= ^Vq + 2gH = 14 м/с.
74. = tg2 a. 75. H = = 5 m.
H2 8
76. t = цо sin a ~ 7uo sir>2 a ~ 2gfr = о з c
' g______________
o0 sina + ^o^sin2 a-2gh
12 =----------------------------= U,o (
g
77. h = 77-(tg2 a0 - tg2 a)cos2 ao = 6,7 m.
2g
._______ sp
78. v-Jv[+2gh. 79. ^mn =/tga-—5--------%— = 0,3 m.
’ u 2vz cos a
80. 5 = 8h sin a = 8 m. 81. s = +v2 - 2^^ cos(a[ - a2) = 46 m.
82. Уравнение траектории x2 + у2- = /?2. Это уравнение окруж-
ности радиуса R. Модуль ускорения а - ш2/? ^направлено оно по ра-
диусу к центру окружности; со - угловая скорость.
83. В 2 раза. 84. v^ = 2v = 40 км/ч. 85. R = ——— = 1,8 м.
щ - о2
433
86. п = — = 1102 с 87. v = 2пп1--— = 6 м/с.
nd 2 пл
2. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ
116. F = = 2,8 104 Н.
т
117. v = ^(cosa + gsina)-egf = 39 м/(, . = « = 2 Q 1()2
т 2
M.
118. а =--—-------ng = 4 м/с2, Т = —— = 3 Н.
т\ + т2 т\ + m2
119. а = — fcosa2 - ——^sin a? coscq) = 0,82 м/с2,
/и ( mg - F sin a< )
120.
122.
123.
s = , F > nmg. 121. F = mJ a2 - g2 =7 H.
2цт2£
a = 2g^—= 2,8 м/с2, a2 = g——= 1,4 m/c:
4mt + m2 4mt + m2
7-]=_3^2g_ = 1>3H> T2 = = 2,6 H.
4mt + m2 4m, + m2
lh(ml+m2) = j 4 c
V g(mi - m2)
124. a = ^l-2- = 2,5 м/с2, T = = 7,5 H.
m\ + m2 m\ + m2
125. T1 = F - T = 70 H.
126. F = -^L = 2,16 104 H, Fmin = anDS = 7,85 104 H.
' I Illi 1 lip '
127.
128.
t=^l+ \
mg V \ F-mg )
Л 2 2
I V — Vn , ,
F = m\---s- + g(p. cos a + sin a)
129. m = 2|Af I = 2 -IO2 кг.
I g J
130. a = g^i<sin“7HC.°sa)^2) = j M/c2
m\ 4- m2
m<) 2s(m\ +m<))
131. Wj = 3m2. 132. ц = —------L jj-2 = 0,2.
m\ mxgt
133. g = a(-mi.+.zn2.) = 9>8 M/c2 i34. OT1 = _ 4jns = 10 r
m2 — m\ St — 2s
135. F=±™. = I.I0< H. 136. A=1+-Htg_“=i,i.
mi + m2 F2 1 - (itga
434
137. Т = m{g + а) . 138. F = pSo2 =3 10' н
2cos(a/2) r
139. F = m\ g + = 2,2 H. 140. Fc = F-FuL = 2 103 H.
L* t ) ’ c 2/
141. i = jL. = 51 M. 142. = 90 км/ч.
2iig a0 - щ
143. Fmin = -^L= = 1,5 IO2 H. 144. FTp = ^cosa = 6 H.
Vn2 +1
145. T = +2/?2 = 80 H.
3
146. FTp = mgsina при tga < p, FTp = pmgcosa при tga > p.
147. a = arcsin —--— = 1Г; здесь = 3 м/с2, a2 = 0>8 м/с2 на-
2g
ходим из графика.
148. ц = tga = 0,2. 149. h = -.....^tga 4.
n2+l e 2g(tga-p)
150. a = arctg-^- = 45°. 151. v = = 20 м/с.
g/? V n
152. v > J(n-l)gR. 153. T = Ж = 1 IO2 МИН.
V pG
154. R = fL = 51 m. 155. = 3/ng = 1,2 • 102 H.
Pg____
156. ш = J—= 5 рад/с, T = = 2 H.
V/cosa cosa
157. gjj = 47t2/cosa = 9,8 м/с2. 158. R = .= 4 • 102 m.
159. v = ~ gj = И IO2 м/c.
160. g = g3 — = 1,7 м/с2, -^3. = = 2,4.
«2 Ц)Л «I
161. |Ap| = -J2mv = 14 кг м/с. 162. a = arccos 0,5 = 60°.
163. T = mgl 1 +
/2
—/Ь-------- =9 H. 164. T = 3mg.
165. T = 3mgsina = 1,5 H, Tmia = 3mg = 2,9 H.
166. 2 a = arctg-^—. , Я* 167. p=±^L = 2,5 I0-2. g
168. Ш = J—-— = V Я cos a = 5 рад/с (здесь a = 60°).
169. T = = 9,7 VpG • IO3 c. 170. M = = 2,0 • IO30 кг. G
435
171. р = Зп,2т = 5 I02 кг/м3. 172. г = g0/?2f.-L~~t
4kG/?3 Ц2
173. F = (n2 - \)GmM 174_ т = 2к ПЕ = 84 мин.
R2 У g
175. и? =vi'J— =Ы0| км/с.
V «2
3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
205. FQ =-^-(ц2-о2) = 6,3 • Ю4 Н. 206. А = l,5mgl = 1,5- 102Дж.
207. А = + m2^gl = 1,3 • 104Дж. 208. А = m(g + a)h = 3 • 103 Дж.
209. А = nmgm = 1,8 109 Дж. 210. А - 2mgh.
211. Е = pm2gs| 1 +^- I = 88 Дж. 212. £к = "1(20- 8/)2 = 8 Дж.
\ т1 7 2
213. А = = 0,1 Дж. 214. и =---------= 0,2.
2k mgs-Atga
215. s = =! M 216. „ = = 8.10-2 M/c
mi + m2 M
217. v = + Af) = 5,6 м/с.
M
218. 02 = ———— = 3 • 102 м/с, o2 T4- ц
m2
219. a) v = —— = 2 м/с; 6) v = 0;
M+2m
„ = +...-gL V2
\M + m M + 2mJ
м/c;
220.
r)
2т2ц = 0,5 м/с.
V =
v=y/(miVl)2+(m2V2)± 221 a = 120o
m, + mj
222. v, = v2 = 223. /. = 4/ = 40 cm.
и V M 1 M 1
224. x = -^fl + /1 + ^-1 = 0,1 m.
k к V mg )
225. Ey =-y (oq - 2o0gxsin a + g2T2) = 2 IO2 Дж.
226. v = 2^0,6gZ = 4,2 м/с. 227. v = 44gi.
228. Q = m^+v^ =2 АО' Дж. 229. Q = ,
2(гщ + m%) 2(гщ + my)
436
( ЛНт^ А
230. а) f = mtg 1 +-----2— = 8,9 104 Н,
ft(m1 + т2)2 J
б) F = (rn! + m2)g| 1 +-—- | = 9,2 104 Н.
V h(mx + m2r J
001 m1-m2 2т<
231. Uj =—4--щ, и2 =--------4—ц.
т\ + т2 rrij 4- т2
232. F = т( У*2 ~ v + g | = 7,5 • 103 Н.
^2(Л,-Л2)
233. v = ^Vq + 2gH. 234. В третьей.
235. а = arccosf1-1— (—-ц | при -----—г- < 4.
I 2gl\m + MJ J gl(m + M)2
236. Q = m^g/sina-^ = I,4 102 Дж.
237. k = 2H1S^ = 4. ю2 Н/м. 238. £k = — m(c$ + g2/2) = 6 • IO2 Дж.
(Д/Г 2
239. I = m2v\ = 0,5 m. 240. N = iiFndn = 5 • 102 Вт.
2ngM2
241. Лтр = mgQ R~h} = -2- IO’2 Дж. 242. hmin = | R = 10 m.
243. F=rng(h±l) = 2 10з H 244. h =
I 2g(M + m)
245. v0 = -gt = 40 м/с. '246. v = l2l-n~^gfl = 14 M/c.
V m in
247. Q = + m2gh = 1,5 • IO2 Дж.
2(^1! 4- m2)
if \
248. Q = -M-|l--^l = 25 Дж.
2 m2 J
249. Q- = 1 - 4 - /^4^ = 0,6. 250. h = = 7,7 M.
Eq Vq Mi/q 2ng
251. s = = 30 m.
2NM2
252. Д£р = m{gl(l - cosa) = 98 Дж, h = —cos^ _ Qjg M
_____________ + m2f
„ _ „ Isin a - iicosa . _ ,
253. v = v0 ----------= 0,8 м/с.
ysina + picosa
254. N = pg(sina + geos a) = 2 • 104 Вт.
255. N = = 2,3 108 Вт (здесь т] = 0,9). 256. N =
437
___________ / 2 Л
257. ц = п2 = л/цо + 2gA =25 м/с. 258. Q = mgl h - = 0,2 Дж.
I 8 /
L \2
259. v = J mV° + 2gH. 260. / = 2-Jh(n - \)(Н - h) = 1,6 м.
\\m + M J
261. a = arccosf 1--v „— | = 30°.
I (M + mrgl)
262. £kl = ±E0, £k2 = -~£o- 263. m2 = l$-m{.
4 4 D
4. ОСНОВЫ СТАТИКИ
, m./. + mo/o r
284. I = —U= 6 cm.
mi + m2
„ ( ml/2-(m +mF)l\\ , ,,
285. F = m2 + —-—A----1—1- g = 4 H.
к ' ~ 4 J
„„„ 2 m, - 8m9
286. m = -—!——— = 1 кг.
3
287. x = l(mx + m/2) = 0,3 m. 288. r = _2h_ = 0,8 m.
+ m2 + m k\ + k2
289. m = ^тхт2 = 4 кг. 290. F =--------------- = 20 H.
cosa + n.sin a
mg(|iV/2 -A2 + /i)
291. F =---1-------------- = 2,2 • 103 H.
/
292. /imax = , 1 = 20 cm. 293. F = ^-(h - pjl2 - h2 ) = 14 H.
294. F = mg(sin a - ц cos a) = 16 H.
295. F = (ML + m(2L-1)) cos a. 296. 4 =
2h ц +1
297. £min =^- = 6-102 H.
298. Л = mgl 4 = 3 I02 H, F2 = mg - F = 2 • 102 H.
1 2(/-4) 2 s 1
299. m > m > 0,5 кг. 300. F = = 1 102 H.
2 2(H-2a)
301. £TP = = 49 H. 302. н = S‘n 2aa = 0,5.
p 2tga и l + 2sin2a
303. a > arctg —, a > 84°.
304. 7- Sin “ COs2“=l,5-102 H,
438
Fc = mg(l - /sin2 a cos a= 5д . 102 H
c 4 2h)
mg/sinacosa = p2 h
2h
305. h = -=BL ,, = 1,5 m. 306. T = ,mgZ' = 3•1O3 H.
VW
307. T = -!Вё-< N = -^-^tg2 a + 1, N составляет с горизон-
2 tga 2 tga
том угол p = arctg(2tga).
308. h = tga sin a = 3 m. 309. F = mg ^h(-2R
mg s R-h
310. r = = 5,5 cm.
Pl + P2
311. На расстоянии 0,3 м от шара массой m4.
312. На расстоянии г = /?/6 = 5,0 см от центра пластинки.
313 -2см
о1о. х---г----5--Z СМ.
/?!3 + /?23
314. На биссектрисе угла, в вершине которого находится шарик
массой 2т, на расстоянии aV3/4 от этого шарика.
315. cos a = 1(3--^-|=0,5, a = 60°.
2m2/2 )
316. F = mg(cosa - sin a tgp) = 36 H. 317. a = arctgl = 18°.
3
5. ЖИДКОСТИ И ГАЗЫ
340. ДЛ = = 1,8 см. 341. Fmin = pghS = 15 Н.
itpd2 х
342. h = = 20 м 343 р = 2<АР.1Р2 = 5 33.103 Па
PS Pi + Р2
344. Ратм = - = 9.4 Ю4 Па. 345. I = h + .
l~2h Ра™
346. Рс„ = -^1 = 2,2 • 102 Н.
ср 2
347. р = = 4 з. 105 кПа 348. F = J] _ .P2J = 2 Н.
nd2 V 2р1 J
349. Ро =-----1—= 1521 Н. 350. V = т\^-------L| = 910“3 м3.
I-P2/P1 \Рг Pi /
Р1Р2Р3
351. Р1 = --------2m---------------= 0,2.103 кг /м3.
^Р\ + р2 _ Р?, )Рг - /’гРз
439
352. Н = —— = 16 м. 353. т = Sd(p2 - Р;) = 20 кг.
Р2 ~ Pi
354. Уп = Г1 — ^-V. 355. х = /Рз(р‘ ~-Р2) = 3 см.
I Р1 ) 2р2(Р1-р3)
356. тг = т~, на другую чашку.
Р1
357. тм = ^/Р1 ~1/Рг- = 0,3m. 358. а = -^- = ^.
1/р4 —1/р3 Р2 4
359. Рз = oqpi + <х2Р2 = 4 I03 кг/м3.
360. п2 = ~ Р2- = 0,19.
Р1 ~ Рг
361. Дй. =---„ = 6 см, Дй2 = /12ДЛ| = 0,4 см.
Р2(1 + «2)
362. h = £1^- = 27 см. 363. h = m' + = 0,1 м.
Р2 2pS
364. Дй = = 1 IO*2 м. 365. й = -S^ + = 25 см.
2pS Sj 4- S2
366. = р2-~Рз/?‘/(/?' 'Р^ = 0,35, т. е. 35%;
V Р2 - Pi
И = 1 - 0,35 = 0,65, т. е. 65%, V = -5-ДА = 400 см3.
V pg
367. m = £1*^2^) =60 г.
Pl - Р2
368. т = p^Pip3 - р2>Р2) = 965 г
РЗ<Р1 ~ Р2>g
369. Дй = = 8 Ю“3 м. 370. т = pSh = 3 106 кг.
Р5
371. Smin = —------- = 2 м2. 372. р2 = Р1 - = 7 - Ю2 кг/м3.
а(р2 - Pi) nV
373. й = --^2— = 7,2 • 103 м.
§(Р1 -Р2)
374. Т = g(pV -т) = 9,1 • 102 Н, Т2 = = 1,0 • 103 Н.
cosa
375. Р2 =-|Pi =7,5 102 кг/м3.
376. А = mg(H + h)-pVgh = 1,5 • 102 Дж.
377. Д = т§ 1-аЬ-зИ = 1,2.Ю3 Дж.
I Pl A V P1J
378. Дтт =£^- = 2.102 Дж.
О
440
379. h - Р1/У , t = P2 . 380. H = .^ -pd = 0,2 м
Pl - P2 Pl - P2 V g Pl
381. Q = (pj - p2 )Vgh = 4 • 10-2 Дж.
382. P = —fflP2gV— = 21 H. 383. H = /4я7?3р - 11
M + m + pjV 3m )
6. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ.
ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
401. Одинаковое число N = = 3 . Ю25.
М
402. (окв) = = 2 I03 м/с, {Е) = = 7 Ю’21 Дж.
V т 2mi\\
403. п = = 2,7 1025 м~3. 404. р = = 8 • 105 Па.
kT0 3V
405. т = = 4 10“3 кг, N = = 1,2 1024.
RT_______ RT
406. (t, ) = &У- = 1,2 103 м/с. 407. Т = = 4,8 • 102 К.
' в/ V т mR
408. М> = = 4 10~3 кг/моль. 409. ft, = + 8ft, = 8 101 м.
l-h pg
410. т = т0/( , pRT — - 11 = 6 10“4 кг.
°Дм(р0 + Р^) J
411. 5 = | —- 11100% = 4 %. 412. m, =^-. 413. a = l--^.
V A ) 2 k
=----PiVfoTy---= 255 K ( j. 105
Wo - РоЖ
p = P^L = i кг/м3, m0 = -^- = 5,3• 10~26
RT
p(m{ +m2) u , о
P = ----г3-—5---r—;-----= 0,5 кг/м0.
(,m.\ / + m2 / M2 )RT
Па,
кг.
To = 273 К).
414.
415.
416.
417.
= МроУо = 2 . ю5 Па. 418. = J_------= 0 4.
V Vu л/ро/р -1
419. т = pV 1---------- =6 кг.
I Ратм+Pg^J
420. Ртах = ~-2-- = 21 Н.
421. 7] =7--------%-------?. 422. р =
I, mg Y, т 1
I Ратм5 A PShJ
Р1Ц + Р2^2
Ц +V2
441
494 Т — + pg/!(l+S2/S1))(V1 +S2h)
4ZO. /9 “ --------------------------------.
Ратм
424. Ратм = ~ «О = 10 ' *°5 Па-
о VI - a J
425. v = = 20 м/с. 426. t, = 10,5 ’С.
pMSr г
427. ф2 =ф1ВЦ^ = 62%.
Р02'1
428. m = (tppoi - Ро2)5/г = 1,6 107 кг (<р = 0,73).
429. m = (^1PO1.-.?.2PO2>K = 86
100%
430. ро = mRT ---^. = 1>9. ю3 Па. 431. <р = Ф|У1 + ф^2 = 27%.
AfVcp V Ц+У2
432. А = 2о/(/2 = 1,3 10“3 Дж. 433. N = = 1,1 103.
and
434. m = = 20 кг. 435. о = = 5102 мН/м.
gt 4(d2-d!)
436. m = aitd/g = 2,3 10“5 кг.
7. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
451.
453.
455.
pVc(7j-7~2) _ t
Х + с(72-7'3)
кг. 452. m2 =
гщс^&Т
c2(T2 — 7j - ДТ)
кг.
t2 = 1, + = 100 °C. 454. n = 1 + ..= 1,15.
СШ2 Г
mi mi----------------Kr’ m2 кг, где
'пл=0°С.
456. /=0 °С, т4 = тз(^^2-~<1))=4кг.
457 m = m2(X + c2(7-nJ1 -7j)
3 ci(7-K-7i) + r-c,(T2-7j)
458. v = = 4Д. i02 M/c.
V П
459. i = l2^vQ -.2cA.fl = 284 M. 460. Q = = 2 108 Дж.
V g 2
461. ДТ' = Пр2 = 8 K. 462. V = f J- - i'I-^- = 9 л.
2cmM <1] J pc&T
463. m - ——--------= 1 кг, где = 0 °C, T] = 0,8.
c(tnn - f) + X
442
464. т2 = . Т——г = 30 мин, где /к = 100 °C.
с(/к-/1)
465. п = ст^-- 100% = 34%. 466. т = m(cA7 + = 2 ч 50 мин.
qm.[ Р
467. m2 = - pos| = 2,8-103 кг.
2 g\ Mh J
468. \U = Q - v/?(T2 - 7]) = 2 -102 Дж.
469. U =-pV = 6 IO5 Дж. 470. H = l+-^- = 3
2 Vi vRT
471. A = fp0 + 1V = 2 IO2 Дж.
\ A'i )
472. ДД = - (p° +m^S^V^T = 4 102 Дж.
473. m = = 4,8 10м кг.
ДДТ
474. A = (n - l)vRT = 8103 Дж. 475. c„ = cv =
p 2 M 2 M
476. Q = A = 25 Дж. 477. v = -2^-.
3/?Д7
478. Q = — (n - 1)уйТ = 1,9 • 104 Дж. 479. = 1 + = 2-
2 Vj v/t 1
480. Д{/ = -^-2-/?ДТ = 3 IO3 Дж, A = -^RAT = 2 • IO3 Дж,
2 M M
Q = &U + A = 5 IO3 Дж.
ло< (n-l)pV + Д1/ c n_3
481. m =-------------= 6 • 10 d кг.
482. 7i -Т'з = JIZLzZL = -117 K. 483. См. рис. 293.
Тз
лол t, QU ~ Tq/T) „
484. hmax =-----------= 8,6 м, где To = 273 K.
mg
443
485. с =
486. * =
mgHT2
pV^-T])2
qpV/T] -T2)
FT\
= 4,2 IO3 Дж/(кгК).
- 5 IO2 KM
487. Д{/ = Q, - (pi+p2)(V2 И) = 5. iо2 Дж, n = — - 100%= 20%
2 Qi
8. ЭЛЕКРОСТАТИКА
521. T = mg----^ = 1,1-IO"2 H. 522. F = = 810"6 H.
4ле0г 4л£0г2
523. ft = Q + = 6.10-6 Kj] ?2 = Q _?i = _2 Ю"6 Кл.
524. |Q| = 1 + ^?, Q<0.
525. Q = —^V(4/i2 +d2)3 = -3,8 • 10~6 Кл.
4d3
526. E = ^q- .- = 3 IO4 В/м. 527. q = 4КЕ°£й?3 = 1 • 1O“10 Кл.
4теоа2 I
528. E = Лз_ = 80 В/м, под углом a = 45° к горизонту.
2eo
529. E = -И-. 530. a = arctg-^- = 45° .
9e0 mg
531. <73 = -^-q = -5 мкКл. 532. E =----= 41 g/M> ф = 0.
4 4ле0£а2
533. £ = О, если на концах диагонали находятся одноименные
с
заряды, и с = —т----, если разноименные.
а2л£о
534. А = = 1 10~4 Дж.
e0(R + r)
/?1«Р
(/?1 +г)2
= 3,3 102 В/м, Е2 =-= 1,1 • 102
(£!+й2)(^+г)2
535. £[ =
В/м.
536. A = ---ll = 9 10’2 Дж.
4л£0£ Г2 Г\ J
537. q = f С'С2 + С3 V = 1,3 10-3 Кл. 538. С = 2е°—(е + 1)5
1С1+С2 3J d(4£ + (£ +1)2)
539. = 2,5 IO"10 Кл.
d
540. с2 = = 3 ф 541. и = = 2 . ю2 В.
^2 2 4
444
542. / = ClC2(lA +U2) = б 10_4 д 543 h = н Р2_ +---
т(С] + С2) Pl 2£0eS2pig
544. U2 = 545. Д<? = &U- = 50 мкКл, qx = 0.
£ +1 2 ________
546. q = - P^tga = 3,6 • 10"6 Кл. 547. г = з/ 3eU = 4 • 10"6 м.
<70 И 4rcdpg
548. Т = mgcos2a = 8,7 • 10~3 Н.
cosa
ела -г mgsin2atga ,
549. Т = —55— = 3,5-10 Н, равновесие безразличное.
£
550. Е = ~Р1) = 4 • 104 В/м.
6<7
с
551. Увеличится на Ag = -— = 9,6 • 10-4 м/с2.
m
552. t = I = 9 -10"2 с. 553. а = S- = 0,89 м/с2.
Уг(Ц-1У2) 11
554. 1 = ^|1 + -Ш = 1,6 см. 555. v = J^- =8,0 106 м/с.
2 qU J V m
556. Umin = «^ = 6-102 B.
er____________________________
557. q = ±—r—. 2m0m(—= +1,3 IO"7 Кл.
sin a V ^cosa sin a/
I 7 7Г
558. v = . vg +1 s&- = 9 Ю6 м/с, a = arctg-^S- = 24°
I \me J me°0
(a - угол между векторами v и o0).
559. T = - q2^- - = 0,1 H. 560. v = = 1,2 107 м/с.
4те0/2 tg60° V m
561. s = = 2 103 m. 562. v = \ b(mg+clE') = 3 M/c
2qE \ w(tg a + tg p) cos2 a
563. h = = 6 10~3 m.
2dv2 tne
564. p = arctg--osina-- ;— = 45°.
a cos a + eE&t/rn^
565. WB = WA + 0,5R(3mg - F) = -4 10"3 Дж.
566. A = (e2 - 1)£^-. 567. U > = 2 IO2 B.
4 el
568. Дмех = CP-^E~1), Дист = -Cot/2(e -1).
569. W = ^E2-^- = 2 IO'6 Дж, w = = 4 10~6 Дж/м3.
2 2
445
570. Q = = 5.10-4 Дж
2(C]+C2)
571. A = £°SU f—-0 = 1,7-10"3 Дж. 572. A№ =
2dx < d, J 4
573. t = 2RC = 20,0 c.
9. ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Рис. 294
608. v= IM = 1,8 10-5 м/с. 609. 5 = -^2- 100% = 0,3%.
epSA/д Л^в
610. /?2 = = 90 Ом. 611. п = //?2 = 4.
О
612. Соединив точки с одинаковыми
потенциалами, получим эквивалентную схе-
му (рис. 294). По ней найдем сопротивле-
ние: Rx = 7R/\2 = 3,5 Ом.
613. U = 22 В.
614. йд =/?в[ —- 1 ] = 3,6 • 103 Ом.
\^в 7
615. / = /а|1 + —2/?а | = 13 А.
Л м )
Р
616. I = = 2 м.
р(/-/а)
617. Ц = - = 140 В, U2 = UR2 = 160 В.
/?1 4* /?2 + $2
618. t = = 2 с. 619. R = = 24,2 Ом.
А Р
620. Д'= —X- = 96,0 Вт, Pi =.........Рх = 144 Вт.
И+/>2)2 2 (Р1+Р2)2
621. R = kU\ = 0,2 Ом.
(1 + й)2Р
622 = = 8 Вт, Р2 = /2(/1^1-/2-^2) = 12 в
Л-А Аг-А
= Я1(/2 - А) = = у2-А> = 03
I2(R}-R2) ' h(Ri-R2)
623. Если R > г, то большая мощность выделяется при параллель-
ном соединении резисторов, если R < г, - при последовательном.
624. U = Ux + = 2,2 102 В. 625. т = 4£>Pf2(1 + = 78 кг
nd2Ux kU2
626. Ъ = (V2 + 1)г = ^-R. 627. Р2' = = 10 Вт.
» 2 2 /^2
446
628. n = 1 - —= 0,9. 629. n . 100% = 49%.
' V-Ir lUt
630. Pmax = 3 Вт. 631. Pmax = = 5 Вт.
fi,2 Ufa(P2+P3? 72RtP, u22p?p2
U?(PX + P2+P3 )2 Ц2 (Pj + P2 + P3 )2
= 16 Вт,
2 = 32 Вт.
U?(PX + P2 + P3)2
633. = -4(f.+-/?/|)2 = ij4. 634. = 1,1.
Qu (r + R)2 Л
635. I = —,^U ----- = 1,2 м (t2 = 100 °C).
pm(c(t2 -Z]) + r)
636. ДТ = = 0,2 K.
cD
637. g = ~ = 12 B, r = -ir/!. = 2,0 Ом.
638. Д0 = IU"i - cm(t2 - t,) = 1,9 105 Дж, r] = = 0,7.
IUx
639. TiTo - _ т3 = ——— = 5,7 мин, x4 = T[ + i2 = 28 мин. X] +T2
640. Pn 1 t2 = *tx = 12 мин. 641. r = = 6 Ом. 642. у =
643. а:=1_русДТ =0 4 644 /з = _21k_ = 2 A. Pt I\ +12
645. (<?i - S2)(/?] + R3 )Cj (g] — %2 )R3C2 1 Rx + R3 + Ri Rx + R3 + R4
646. U{ = — = 7 В, 1Л = g - U{ = 5 B. 1 \ + U2/Ux
647. R = Edr = 5 Ом. 648. Ц = U2 = 8-Ed 1 9
649. q = f 1 - l\c. 650. g = +2R2) = 110 B. 1 n) CR\
651. = U2IX-UXI2 = J.IO1 B> r = = 3 Om I\-I2
652. ff = —^2— = 40 B 653. = _ $CR = 12. io~4 Кл. ЗЦ - 2U2 2R + 3r
654. is = U - Ir = 23 B. 655. = U}l2 + U2'} = 80 A. Ц -U2
g|To — goH
656. R = —----------— = 0,2 Ом.
<^2
447
rliJk - 1)
657. R = —-----7=^ = 0,8 Ом. 658. г = R.
2-4k
659. r = = o,3 Ом, ё = I2(r + = 2 В, где n = 3.
n/i-/2 v n)
28,r
660. R =------— = 1 Ом.
~ t? 2
661. Px = , .g2y2--5- = 42 Вт. He будет.
P(U2/P + r)2
662. p = ^4 = 40 Вт. 663. A/ = /-—= 0,1 A.
fe2T2 kt
664. q = = 20 Кл, m = = 6,6 • IO-6 кг.
4 2 2
665. m = kjStN = 3,6 IO4 кг, W = UjStN = 1,1 IO13 Дж.
666. t = & = 29 4. 667. W = UFmn = 1,3 IO8 Дж.
kj T]M
668. q = 2ewdSC2R = 6 • IO"13 Кл.
669. F = /= 2,0 • 10~7 H.
i e
10. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
692. М = = 0,5 Нм.
4р
693. Прямая, проходящая параллельно проводник/ на расстоянии
г = = 5 10~2 м от него, F = IBI = 5 • 10“3 Н.
2лВ
694. а = arcsin-^— = 30°. 695. I = m<<8^-vJ4).. = 6 м.
IBI IB sin а
696. / = = 5 А. 697. Amax = IBls = 1,5 • 10-1 Дж.
2аВ
698. Ek = е2д2/?2 = 5,6 10"16 Дж. 699. R = — = 5 10~3 м.
2те VqB
700. = -^4- = 1 Ю8 Кл/кг. 701. v <
т В2г пге
702. р = —.....= 7,3 10~24 кг м/с.
2 л cosa
703. В = 2nvcosxa = 2 • 10"* Тл.
(e/m^L
704. lFk = ‘?2Д2^2 = 1,2 10~16 Дж. 705. = rB(e/we) = 3.102
2т sin2 а 2лосова
448
706.
707.
709.
710.
-S- = —= 1,76 • 1011 Кл/кг.
me B2R2
В = E. -^-, В1Ё и Blv. 708.
V2BZ
( „2R2,2 (
ci q a i .
4nin = 5g/ + --• ’
2mz
Е
--9“W/2
4mzg
з
c.
-4ffiL\sina.
/cosa )
v =
711. Д/ = ^ = 4,8 • IO-1 c. 712. a = 2J = 3 IO’2 M.
£, i В sin 2a
713. q = уп. g = Bh) = 4.10-» B
2p
715. Q = = 2 . iq-2 Дж 71g. ш _ _2<£_ _ 75 рад/с.
R Bl2
717. 718. q = CS^- = 5- IO"10 Кл.
R M
719. I = /2 Ай = 4 • 10"* A. 720. U = = 1,5 В
12л/? Д/ 2
721. lm = = 6,0 • IO’3 A. 722. / = B(S| ~S2) =4 10^ A.
m R xR
723. В = - 2,0 • 10~3 Тл. 724. q = = 3 10-6 Кл
a2 R
725. a = arccosf 1 —| = 60°.
I BSN)
726. Q = = 1-10 2 Дж. 727. Q = = 1. Ю*3 Дж.
4рД/ R
728. (gs) = -^ = 0,6 B, Q = = 4,3• IO-5 Дж.
729. W = = 1,3 Дж, (gs) = = 25 B.
2 /?] Rai
73°- M = rvv = 0'25 B-
1 ' 4nzvzC
11 . МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
742. хт = 50 м, vm = 52 м/с, ат = 54 м/с2, Fm = 108 Н, Е = 2,7 • 103 Дж.
743. Т = 6 с, хт = 2 м, Фо = л/4. 744. 2L = = 1д
Ъ N Р2
745. = tg2fД 746. Т = 2л = 4,5 • 10’2 с.
£Р V Т ) ^g
15 Зак. 1525
449
M. 748. Vm — Xm-J
л Ik] + k?
750. со, = J-------
V m
k[k%
m(k] + &2)
4. 752. Д = т\тё ~ = 1,6 c.
753.
747. I = 4Zva = 0,4
749. Amax =~--
751,k = (M =_____________
Zj I ^2 J 1 If m8 + E
I = = 9.10-2 M. 754. Д/ = I 1---^-5-1 = 8 10~2 m.
n2 - 1 I (t + Д02 J
755. AZ = = 0,3 • 102 c. 756. T = 2л /- 1 ,
T\ ~ 72 V g(l - P2 /pi)
757. T = 2л I----------= 7 IO-1 с, если вектор напряженности
lg + qU/(md)
поля направлен вниз; 7> = 2л I-—----= 2 с, если век-
2 Vg-qU/tmd)
тор напряженности поля направлен вверх.
758. F = mg 1--^- | = 4 10-1 Н. 759. p = =L =19 м/с.
I 2gl) 2л У I
gT2 ,
760. I = s = 2 • 10 м (Т = 1 с следует из данного уравнения).
4л2
761.
762.
764.
765.
768.
а = gl -11 = 2 м/с2, ускорение направлено вверх.
Д7 = 70 —= 3 10~3 с. 763. и = -ЦА( 1 + ^-1 = 10.
л\2/1 а)
7 = 2л I—-— = 2 с, лифт движется либо вниз с возрастаю-
Чё-а
щей скоростью, либо вверх с убывающей скоростью.
£km = £pm = Е = 2л2у2щх2 =2 10"* Дж.
766. vm=xmJ^ = 2- IO'1 м/с, Fm = np^fXm = 0,1 Н.
11 ь/
767. Z[ =----------= 24,9 см, Z2 = Zi + Д/ = 99,6 см,
(М/а/2)2-1
4л^__ = /с2
t2((Nx/N2)2 -1)
а) 7 = 2л Д- = 1,42 с; б) 7 = 2л
= 1,38 с;
в) 7 = 2л 1-— = 1,44 с.
у geos а
769. 7 = 2л 1~^— = 2 с. 770. 7 = 2л 1-^.
У g + а У pgS
771. Xm = Щ = 0 40 м 772. v = J_ IW. = 2 Гц.
m + MN k 2л У т
460
773. h = = 0,3 м. 774. Дф = = n.
4n2p2 v
775. I, = - = 30 cm, l„ = = 7,5 cm. 776. к = -L = 8,00 • 10“' m.
1 2 2 2л AT
777. k2 = = 4 m. 778. v = 2v(l2 -/j) = 3,6 102 м/с.
779. / = -Д--2-- = 7 102 m. 780. / = /°102 4 = 4,5 • IO2 m.
V2 -4 v(t^-q)
12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
790. е = —-------= 6. 791. X = 2п4ЬС = 3 105 м.
4n2c2£0LS
792. Увеличить в (kv/c)2 = 2 раза. 793. Im2 = XnlJ
4ni
V2'
794. От V. =--L= = 5 107 Гц до v2 =----U= = 2 107 Гц,
2njLQ 2n,JLC2
от к1 = c/v1 = 6 м до к2 = c/v2 = 15 м.
795. = 2. 796. Im = [/„]&. 797. Г = = 2 • 10"6 с.
7] Ч L id
798. к = 2ncqm- = 2 • 102 м. 799. lm = 2mq = 6 • 10’2 А.
800. L = = 1 Гн. 801. Q = = 16 дж.
4 2/?
802. Р = -~KR- = 5 • 10"3 Вт. 803. Q = ™>NB2S2 = 7. j0-l дж
2 L R
804. Будет гореть.
805. = 2mL = 13 Ом, Хс = —5— = 40 Ом,
___________________2т С
Z = J/?2 +1 2mL----!— | = 2,0 102 Ом, I = = 1,1 А,
V V 2тС) Z
1т=142 = 1,5 А.
806. С =---, 1т = 2 10-5 Ф.
2m^2U2 - 12Р2
807. I = , U ....... = 0,99 A, Ur=IR = 20 B,
JR2 + 2mL----1—
If \ 2mCJ
U, = 2mLI = 1,3 IO2 B, Uc = —= 27 B.
L _______c 2mC
808. U = +(t/L -Uc)2 = 13 B.
451
809. С = | 0 1 0 = 4 10~6 Ф. 810. Q = Rt = 7 106 Дж.
2itv\U$-U? 2
811. L = — JnR? - (Я. + /?2)2 = 0,3 Гн. 812. coscp = = 0,8.
2rtv 180/
813. U = = 8 B. 814. n2 = n^/rJU^ = 4o
815. U2 = Ujk - Ir = 2 101 B. 816. R2 = n(/?1 + r) = 9,5 103 Ом.
1-П
»17 ^L= ! W - 9
и V^/ioo%
13. ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА
822. l2 = = 1 • Ю2 м, со = = 8 10 9 ср, ср = — = 1 • 10-4 рад.
<А 4/f А
823. о = 4лпй = 6 • 101 м/с. 824. р = ^ + ^ = 60°. 825. у = а.
4 2
826. Вертикально вверх со скоростью v = 3 м/с.
827. щ = -^2- = 1,4. 828. Н= nh = 8 см. 829. п = = 1,5.
tga h
830. Н =nh 4 м. 831. р = arcsin832.1 = 2hsina_ = 0,97 м.
п 'Vn2 - sin2 а
833. Н = nh = 4 км. 834. b’ = b^~n2 sin2= 10 см.
cosa
835. s = dfl- . со^а Isina. 836. v = = 2• 108 м/с.
I Vn2-sin2aJ sinY
837. s = d tg a - ..— = 0,9 cm. 838. / = ^ = 0,9 m.
\ Vn2 - sin2 a J n
839. y = a, 1= . £an .
dn - sin a
840. 0 = a-ip +arcsin
I z x2
— (sincp)Jl- — sin2 a-coscpsina
= 47°.
841. <p = arctgf—sina
Vn - cosa
842.
843.
p = arcsin sin a cos <p - (sincp)J —
I KneJ
2
I • 2
- sinz a
= 17°.
n = sina = 14 844 = 60o 845. h = a Vn2 _f = 18 M
sincp 2
4S2
846. <р = arcsin(n sin a) - a = 22°; не выйдет при углах падения
a > arcsin(l/n) = 40°.
847. s =
1
14. СОБИРАЮЩИЕ И РАССЕИВАЮЩИЕ ЛИНЗЫ
859. См. рис. 295. 860. См. рис. 296. 861. См. рис. 297.
862. См. рис. 298. 863. а) См. рис. 299; б) см. рис. 300.
864. F =+(1 + 42)1 = ±9,6 см.
865. Н = — = 4 см, d. = pfl + —1 = 11 см, d2 = f(1- —1 = 9 см.
i \ г; 2 V г;
866. F = = 12 см, D = —L = -8,3 дптр.
d - f F
453
869. Если d > f, то Г = 2Л ~ = 1
2F + 1 + + 4Л2 3 ’
если d < /, то Г = +z + >/£2.+4F2 _ 3 _ расстояние от
2F -1 + V/2 + 4Л2
предмета до линзы; / - расстояние от линзы до изображения).
454
870. Dy = Г ±1 = 3 дптр, D2 = —- = 2 дптр.
rd rd
r2 /2 i
871. F = = 24 см. 872. d = Л = 0,5 м.
4Л р|
873. h = 2Н = 1,4 см. 874. d = -ЦЦ- = 0,6 м.
-PI
875. п = 1 + R(k + *)
d
= 1,6. 876. /
877. F = -t— = 0,1 м. 878. <pmax = arctg^- = 32°.
Г +1 2F
879. Линза собирающая, F - = 10 см.
880. d = 2F. 881. D = —= 1,7 дптр.
/(Л - /)
882. F = = 30 см. 883. F = ldl = 7 см.
‘2 ~l\ d% - dy
884. I = dr-.= 3 см. 885. gc = = 2,7 102 м/с2.
d - F T2d2
886. l = Fy. 887. См. рис. 301.
455
888. /2 = F^ld\ lFi dlFl> = 60 CM.
(d, -Л)(/-Л2)-Й,Л
F^ldj-l^ -djFi)
(di +
889. /2 =
= 3 дптр.
891. Г = -£- = 1:4000. 892. F
h-F
30 CM. 890. D = —
ddQ
= ~ rfl/tl = 0,4 m.
Л2 -Л,
893. Г = d0D = 4, do = 25 cm, cm. рис. 260.
894. f = (1 + r)F = 4,2 m. 895. v' = = 4 см/с.
d - F
f st2 'l
896. d = F 1 + % . = 4 m.
I 4тг2№/)
15. СВЕТОВЫЕ ВОЛНЫ
901. 4 = n/2 = 16 мм. 902. N' = nN = 39.
903. A2 = —- = 405 нм, v2 = Vj = — = 5,6 • 10'^ Гц, зеленый.
n Aj
904. a = arctg—= 55°. 905. Обеспечит.
A2
906. AA = (n - DA = 198 нм. 907. x3 = = 6 мм (k = 3).
. 9-2
908. d = — = 1,3 мкм (k = 4). 909. R = -----Ц- = 0,64 м (k = 3).
2 (2£-l)A
910. N = 9. 911. Ф2 = arcsinl | = 15° = 2, = 3).
\ К )
16. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
915. I = = 0,6 м. 916. т = , -Т° = 125 ч.
V с2 yll-v2/c2
917. Е = с^р2 + т2с2 = 2 Ю'10 Дж,
Ек = с-^р2 + т2с2 - тс2 = 5 10-11 Дж.
918. Ео = тс2 = 9 1016 Дж.
919. и = —+1>2 „ = 0,98с, где с = 3 • 108 м/с.
1 + V\V2/с
920. V2 = ———yL = 0,96с, где с = 3 • 108 м/с.
1 + С1У2 / с1
456
17. СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ
925. £ = Ас = 3 10~19 Дж. р = А = 1. ю-27 кг • м/с.
Л л
926. п = Ас = 1 5. 927. М = ВО- = 5.10>. 928. Р = ААс = 4 . ю1 Вт.
ХЕ he т|Х/
929. Ртах = -3l = 4.10-25 КГ • м/с.
V ^тах^
930. М = -^А = ЗЮ13.
he
931. v = vmin + = 1 • 1015 Гц, А = Avmin = 4 • 10“19 Дж.
______п________
932. V = J2/tc(Xniax - = 2.105 м/с.
I ^^’гпах^’
934. h = -Еут - = 6,6 • 10"34 Дж с, А = Avmin = 4 • 10~19 Дж.
v vmin
935. 1 =Д^£ = 81О-10 а.
he
936. А = А^-- eU = 3 • 10~19 Дж, Хтах = — = 6 . Ю"7 м, не будет.
А
937. Д£к тах = Д£ = 3 эВ. 938. Хтах = ~1)с = 5. ю*7 м.
\П2 — П\ /V
939. Л=Ас_ефтах =4 эВ 940. Л = Ас_1^еЯ .
Л Л 2те
941. 6 = arccosf 1 - | = зр, £к = £ — £' = 0,05 МэВ.
\ ЕЕ' ) к
942. Ре = Vp2 + (р')2 -2рр'cos0 = 5• 10~23 кг • м/с, где р = А.
Л
Р X + Хс(1 - cosO)
943. £' =----АДс--- = ]. 10-13 Дж f
ЗХС (1 - cosO)
р' =-----—-------- = 410-22 кг м/с.
ЗХС(1 - cosO)
18. АТОМ И АТОМНОЕ ЯДРО
955. р = -^Ч- = 1,8 1017 кг/м3, т = pV = 1,8-10*1 кг.
4пй^
956. г = -А^а = з . ю~14 м. 957. Ak = 4^о_ +=
п£0Л4гг та JEq - -JE
457
958. v = J==±- = 1,92 • IO7 м/с. 959. = 0,96Я2.
V m
960. n =-----,e....= 6,6 1015 c"1. 961. ДЕ = йс| -L + -L I = 13 эВ.
4nr-Jne.0mer X2 J
962. r =----= 5,2 10"'1 м, E = = 5>3.10i 1 B/M
4n£oznetr eJ
963. E =—^-5- = 5,1 10“ B/м, Ek = —= 2,2 10“8 Дж.
4п£0Г1 8л£дЛ|
964. -St = —£— = 9,3 • IO3. 965. d = Г‘ ~У2- ~A = 9,2 10~3 m.
v 4ле0йу eE
966. £p/£k = -2.
967. a) Z = 13, N = 14; 6) Z = 82, M = 125; в) Z = 92, N = 143.
968. £CB = c2(92mp + (235 - 92)mn - тя) = 1784 МэВ.
969. Д/n! = 4(Д/п2 + т^)- mi = 0,12 а.е.м., £св = с2Д/П| = 1,1 • Ю2 МэВ.
р (ZiH + (A-Z)mn -ma)931,5
970. --------------------------------= 7,98 МэВ.
А А
971. £0 = 3,2 Ю’11 Дж (М = 235 10"3 кг/моль).
/пМА
972. р = = 5 2.107 Вт
АД 100%
973. t = атр^-- = 1,9 102 сут (М = 235 • 10"3 кг/моль).
974. Первый и второй переходы обусловлены p-распадом, а тре-
тий - а -распадом.
975. t = = 54 сут. 976. Т = —--------------- = 4 сут.
1g 2 lg(M0/(M0-AM))
977. N = = 2,3 1013. 978. N = 17.
2en
979. а-Частица (^He), £ = ^2^. = 2 4.10u дж
' ' M
(M = 1 IO-3 кг/моль).
980. Нейтрон, протон и a-частица.
981. а) [Н + Jn —> 2Н + у; б) ^Ве + у —> 2Не + 2Не + .
982. Qi = 2,4 МэВ, Q2 = -1,03 МэВ.
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. О приближенных вычислениях
При решении задач по физике надо помиить, что числовые значе-
ния физических величин являются приближенными числами. К при-
ближенным числам относятся также табличные значения физических
и математических величин, округленные значения точных чисел и др.
Например, приближенными являются значения ускорения свободного
падения g = 9,8 м/с2, постоянной Планка А = 6,63 10-34 Дж • с, числа
я = 3,14, скорости света в вакууме с = 3 • 108 м/с и т. п.
Точными числами являются: числовые коэффициенты и показате-
ли степени в формулах; коэффициенты, отражающие кратность и доль-
иость единиц физических величин; числа, заданные определениями, и
4 □
др. Например, в формуле объема шара V = —nR точными являются
4 3
коэффициент — и показатель степени 3; в равенстве 5 км = 5 • 1000 м
число 1000 - точное.
Значащими цифрами приближенного числа (в десятичной записи)
называются все его цифры, кроме нулей, стоящих в начале числа. Так,
числа 0,0307; 2,019 • 106; 4,1228 имеют соответственно три, четыре и
пять значащих цифр. Значащей цифра называется потому, что она
означает соответствующий десятичный разряд этого числа. Например,
в приближенном числе 2,03 цифра 2 означает разряд единиц, цифра
0 - разряд десятых долей, цифра 3 - разряд сотых долей. Тысячные и
другие доли неизвестны, поэтому соответствующие разряды не озна-
чены никакими цифрами. В приближенном числе 0,0516 первые два
нуля не являются значащими. Они служат только для указания соот-
ветствующих десятичных разрядов остальных цифр (цифр 5, 1 и 6).
Приближенные числа 2,5 и 2,50 отличаются друг от друга тем, что в
первом числе верными являются целые и десятые доли (сотые, тысяч-
ные и т. д. неизвестны), а во втором верными являются и сотые доли
(т. е. известно, что их количество равно нулю). Этот пример показыва-
ет, что приписывание или отбрасывание нулей в последних разрядах
приближенных чисел изменяет их точность. В случае точных чисел
записи 2,5 и 2,50 не различаются.
Приближенные числа можно записывать в нормальной форме: пер-
вая значащая цифра ставится в разряд единиц, а остальные - в десятич-
ные разряды после запятой и полученное число умножается на 10л, где
п - целое положительное или отрицательное число. Например, число
0,0516 в нормальной форме имеет вид 5,16 • 10-2; число 2170 - 2,170 103.
459
Округление приближенного или точного числа - это уменьшение
количества его значащих цифр. Чтобы округлить число до п значащих
цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие после n-го разряда. Если
при этом первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя из
сохраняемых не изменяется; если же первая из отбрасываемых цифр
больше или равна 5, то последняя из сохраняемых увеличивается на
единицу. Например, округлив число 25,84 до трех значащих цифр,
получим 25,8, до двух - 26. Округление чисел 1782 и 0,0503 до двух
значащих цифр дает соответственно 1,8 • 103 и 5,0 • 10-2.
При решении задач следует соблюдать следующие правила при-
ближенных вычислений.
1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате нуж-
но сохранять столько десятичных знаков, сколько таких знаков в сла-
гаемом с наименьшим их количеством. Например, 7,53 + 13,8 + 0,064 ==
— 21,394 = 21,4. Сумма округлена так, что она содержит один деся-
тичный знак, как и второе слагаемое.
2. При умножении и делении в результате следует сохранять столь-
ко значащих цифр, сколько таковых в сомножителе с их наименьшим
количеством. Например, 38,6 0,52 = 20,072 «= 20. В промежуточных
результатах нужно сохранять на одну значащую цифру больше. На-
пример, 38,6 • 0,52 • 0,721 - 20,1 • 0,721 - 14,4921 = 14.
Если исходные сомножители различаются количеством значащих
цифр на две и более, то сначала нужно все сомножители округлить
так, чтобы каждый содержал значащих цифр на одну (запасную) боль-
ше, чем их имеет сомножитель с наименьшим числом таких цифр, а
затем перемножить. Например, 1,5 • 4,825 • 1,1936 = 1,5 • 4,83 • 1,19 =
= 8,62155 = 8,6.
3. При возведении в степень в результате сохраняется столько
значащих цифр, сколько их имеет приближенное число, возводимое в
степень. Например, 0,253 = 1,5625 • 10-2 » 1,6 10-2.
4. При извлечении корня любой степени из приближенного числа
в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их в
подкоренном выражении. Например, 72,12 - 10-6 = 1,45602 = 1,46 -10-3.
5. При вычислении сложных выражений нужно применять пере-
численные выше правила в соответствии с видом математических дейст-
вий. Например,
(12,438 + 5,7)7739
8,32-6,072-4,3-104 '
Сомножитель 4,3 • 104 имеет наименьшее число значащих цифр -
две, поэтому результаты всех промежуточных вычислений нужно ок-
руглять до трех значащих цифр:
(12,438 + 5,7)7739 18,1-2,72 49,2 ,„_5
8,32 • 6,072 4,3 -104 50,5 4,3 -104 2,17 106
Округлив до двух значащих цифр, получим 2,3 • 10-5.
6. Правило запасной цифры: в промежуточных результатах, т. е.
в тех приближенных числах, которые используются в последующих
расчетах, следует сохранять на одну значащую цифру больше, чем это
требуется правилами 1-5. В окончательном результате запасная циф-
ра отбрасывается (см. предыдущий пример).
460
2. Основные единицы СИ
Физическая величина Единица
Наимено- вание Обозна- чение Определение
Длина метр м Метр равен расстоянию, проходимо- му в вакууме плоской электромагнит- ной волной за 1/299 792 458 долю секунды
Масса кило- грамм кг Килограмм равен массе международ- ного прототипа килограмма
Время секунда с Секунда равна 9 192 631 770 перио- дам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонки- ми уровнями основного состояния атома цезия-133
Сила элек- трического тока ампер А Ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположен- ным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызывал бы на каж- дом участке длиной 1 м силу взаимо- действия, равную 2 • 10-7 н
Термоди- намичес- кая тем- пература кельвии К Кельвин равен 1/273,16 части термо- динамической температуры тройной точки воды
Количест- во ве- щества моль моль Моль равен количеству вещества систе- мы, содержащей столько же структур- ных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг. При применении моля структурные элементы должны быть специфици- рованы и могут быть атомами, моле- кулами, ионами, электронами или другими частицами или специфициро- ванными группами частиц
Сила света кандела кд Кандела равна силе света в заданном направлении источника, испускающе- го монохроматическое излучение час- тотой 540 1012 Гц, сила излучения которого в этом направлении состав- ляет 1 /683 Вт/ср
461
3. Дополнительные единицы СИ
Физическая величина Единица
Определяющее уравнение Наимено- вание Обозна- чение Определение
Плоский угол а = — г радиан рад Радиан равен углу между двумя радиу- сами окружности, длина дуги между которыми равна ра- диусу
Телесный угол стерадиан СР Стерадиан равен те- лесному углу с вер- шиной в центре сфе- ры, вырезающему иа поверхности сферы площадь, равную пло- щади квадрата со стороной, равной ра- диусу сферы
4. Некоторые производные единицы СИ
Физическая величина Единица
Определяю- щее урав- нение Наимено- вание Обозна- чение Определение
Площадь 5 =/2 квадрат- ный метр м2 Квадратный метр равен площади квадрата, длины сторон которого равны 1 м
Объем, вмести- мость V= I3 кубичес- кий метр м3 Кубический метр равен объему куба с ребрами, длины которых равны 1 м
Скорость v = ± t метр в секунду м/с Метр в секунду равен ско- рости прямолинейно и рав- номерно движущейся точ- ки, при которой эта точ- ка за время 1 с переме- щается на расстояние 1 м
Ускорение а = ^- Д/ метр на секунду в квад- рате м/с2 Метр на секунду в квад- рате равен ускорению прямолинейно и равноус- коренно движущейся точ- ки, при котором за время 1 с скорость точки изме- няется на 1 м/с
462
Продолжение при л. 4
Физическая величина Единица
Определяю- щее урав- нение Наимено- вание Обозна- чение Определение
Угловая скорость ф <0 = — t радиан в секунду рад/с Радиан в секунду равен угловой скорости равно- мерно движущейся по окружности точки, при которой за время 1 с со- вершается поворот радиу- са, проведенного к точке, иа угол 1 рад
Частота вращения п = ^- t секунда в минус первой степени с-1 Секунда в минус первой степени равна частоте равномерного вращения, при которой за время 1 с тело совершает один пол- ный оборот
Частота периоди- ческого процесса V = — Т герц Гц Герц равен частоте перио- дического процесса, при которой за время 1 с со- вершается один цикл это- го процесса
Угловая (круговая, цикличес- кая) час- тота <о = 2?rv секунда в минус первой степени с-1 Секунда в минус первой степени равна угловой частоте, при которой за время 1 с совершается 2 л циклов вращения (полных оборотов)
Плотность 81^ II о. кило- грамм на кубичес- кий метр кг/м3 Килограмм на кубический метр равен плотности од- нородного вещества, мас- са. которого при объеме 1 м3 равна 1 кг
Импульс (количест- во движе- ния) тела р = mv кило- грамм- метр в секунду кг • м/с Килограмм-метр в секун- ду равен импульсу (коли- честву движения) тела массой 1 кг, движущего- ся со скоростью 1м/с
Сила F = ma НЬЮТОН н Ньютон равен силе, сооб- щающей телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2 в на- правлении действия силы
Импульс силы J = Ft ньютон- секунда Н с Ньютон-секунда равна им- пульсу силы, создаваемо- му силой 1 Н, действую- щей в течение времени 1 с
463
Продолжение при л. 4
Физическая величина Единица
Определяю- щее урав- нение Наимено- вание Обозна- чение Определение
Момент силы М = FI ньютон- метр Н • м Ньютон-метр равен момен- ту силы, создаваемому си- лой 1 Н относительно оси, расположенной иа рас- стоянии 1 м от линии дей- ствия силы
Давление II I паскаль Па Паскаль равен давлению, вызываемому силой 1 Н, равномерно распределен- ной по поверхности пло- щадью 1 м2, расположен- ной перпендикулярно силе
Жесткость ar II иьютои иа метр Н/м Ньютон на метр равен жесткости тела, в котором возникает сила упругости 1 Н при абсолютном удли- нении этого тела на 1 м
Нормаль- ное меха- ническое напряже- ние 4,1 co II e> паскаль Па Паскаль равен нормально- му механическому напря- жению, вызываемому си- лой упругости 1 Н при рав- номерном распределении ее по сечению площадью 1 м2, расположенному перпендикулярно силе
Модуль продольной упругости (модуль Юнга) tn n m |Q паскаль Па Паскаль равен модулю про- дольной упругости тела, в котором при относитель- ном удлинении, равном единице, возникает меха- ническое напряжение 1 Па
Поверх- ностное натяжение ’f ньютон на метр Н/м Ньютон иа метр равен по- верхностному натяжению, создаваемому силой 1 Н, приложенной к участку контура свободной поверх- ности длиной 1 м и дейст- вующей нормально к кон- туру и по касательной к поверхности
464
Продолжение при л. 4
Физическая величина Единица
Определяю- щее урав- нение Наимено- вание Обозна- чение Определение
Работа, энергия А = Fs джоуль Дж Джоуль равен работе, со- вершаемой силой 1 Н при перемещении точки при- ложения силы на расстоя- ние 1 м в направлении действия силы
Мощность р = А t ватт Вт Ватт равен мощности, при которой за время 1 с со- вершается работа 1 Дж
Количест- во теплоты Q = А джоуль Дж Джоуль равен количеству теплоты, эквивалентному работе 1 Дж
Теплоем- кость тела (системы тел) с = -0- ДТ джоуль на кель- вин Дж/к Джоуль на кельвин равен теплоемкости тела, повы- шающего температуру на 1 К при сообщении ему количества теплоты 1 Дж
Удельная с = — джоуль Дж/ Джоуль иа килограмм-
теплоем- кость т на кило- грамм- кельвин (кг К) кельвии равен удельной теплоемкости вещества, имеющего при массе 1 кг теплоемкость 1 Дж/кг
Удельное количест- во теплоты (удельная теплота плавления, парообра- зования, сгорания И др.) ч = О т джоуль иа кило- грамм Дж/кг Джоуль на килограмм ра- вен удельному количест- ву теплоты процесса, в котором к веществу мас- сой 1 кг подводится (или отводится от него) коли- чество теплоты 1 Дж
Молярная масса М = & V кило- грамм на моль кг/моль Килограмм на моль равен молярной массе вещества, имеющего при количест- ве вещества 1 моль массу 1 кг
Концент- рация молекул V метр в минус третьей степени м-3 м Метр в минус третьей степени равен концентра- ции молекул, при которой в объеме 1 м3 находится одна молекула
465
Продолжение при л. 4
Физическая величина Единица
Определяю- щее урав- нение Наимено- вание Обозна- чение Определение
Электри- ческий за- ряд (коли- чество электри- чества) q = И кулон Кл Кулой равен электричес- кому заряду, проходящему через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А за время 1 с
Поверх- <5 = 1 кулон на Кл/м2 Кулой иа квадратный метр
ностная плотность электри- ческого заряда S квадрат- ный метр равен поверхностной плот- ности электрического заря- да, при которой заряд, рав- номерно распределенный по поверхности площадью 1 м2, равен 1 Кл
Напряжен- ность электри- ческого поля II вольт на метр В/м Вольт на метр равен иапря- жеиности однородного электрического поля, при которой между двумя точ- ками, находящимися одна от другой на расстоянии 1 м вдоль линии напряжен- ности поля, создается раз- ность потенциалов 1 В
Разность потенци- алов С! II ‘ -о вольт В Вольт равен разности по- тенциалов между двумя точками, если при переме- щении заряда 1 Кл из од- ной точки в другую поле совершает работу 1 Дж
Электро- движущая сила (ЭДС) II , -° lb вольт В Вольт равен электродви- жущей силе источника то- ка, при которой сторонние силы совершают работу 1 Дж при перемещении по- ложительного заряда 1 Кл от отрицательного полюса к положительному полюсу источника вдоль всей элек- трической цепи
Электри- ческое напря- жение и-7 вольт в Вольт равен электричес- кому напряжению на уча- стке электрической цепи, при котором в участке про- ходит постоянный ток си- лой 1 А и затрачивается мощность 1 Вт
466
Продолжение при л. 4
Физическая величина Единица
Определяю- щее урав- нение Наимено- вание Обозна- чение Определение
Электри- ческая емкость с = ± и фарад ф Фарад равен электричес- кой емкости конденсатора, при которой заряд 1 Кл создает между обкладка- ми конденсатора напря- жение 1 В
Электри- ческое сопротив- ление R =— I ОМ Ом Ом равен электрическому сопротивлению проводни- ка, в котором при напря- жении между концами 1 В сила тока равна 1 А
Удельное электри- ческое сопротив- ление P = f ом-метр Ом • м Ом-метр равен удельному электрическому сопротив- лению вещества, при ко- тором изготовленный из этого вещества проводник длиной 1 м и площадью по- перечного сечения 1 м2 имеет сопротивление 1 Ом
Темпера- а = — кельвии к-1 Кельвин в минус первой
туриый коэффици- ент сопро- тивления в минус первой степени степени равен температур- ному коэффициенту со- противления, при котором изменение температуры иа 1 К вызывает относи- тельное изменение сопро- тивления, равное единице
Электро- кило- 'кг/Кл Килограмм на кулон равен
химичес- кий экви- валент Я грамм на кулон электрохимическому экви- валенту такого вещества, 1 кг которого выделяется на электроде при прохож- дении через электролит за- ряда 1 Кл
Магнитная индукция Q _ гшах II тесла Тл Тесла равен магнитной ин- дукции однородного маг- нитного поля, которое на проводник длиной 1 м при силе тока в нем 1 А дей- ствует с максимальной си- лой 1 Н
467
Продолжение при л 4
Физическая величина Единица
Определяю- щее урав- нение Наимено- вание Обозна- чение Определение
Магнит- ный поток |ДФ = = |8,- д/ вебер Вб Вебер равен магнитному потоку, который создается однородным магнитным полем с индукцией 1 Тл че- рез поверхность площадью 1 м2, расположенную пер- пендикулярно вектору маг- нитной индукции
Индуктив- ность L = T генри Гн Генри равен индуктивнос- ти электрической цепи, с которой при силе постоян- ного тока в ней 1 А сцепля- ется магнитный поток 1 Вб
Световой поток Ф = /со люмен лм Люмен равен световому по- току, испускаемому точеч- ным источником силой све- та 1 вд в телесном угле 1 ср
Освещен- ность tn II о>|в люкс лк Люкс равен освещенности поверхности площадью 1 м2 при падающем иа нее све- товом потоке 1 лм
Активность радиоак- тивного вещества А=» t бекке- рель Бк Беккерель равен активно- сти радионуклида, при ко- торой за 1 с происходит один акт распада
Экспози- ционная доза излучения X = Q т кулон иа кило- грамм Кл/кг Кулон иа килограмм равен экспозиционной дозе гам- ма- и рентгеновского излу- чений, при которой в 1 кг сухого атмосферного воз- духа образуются ионы, не- сущие заряд каждого зна- ка, равный 1 Кл
Мощность экспози- ционной дозы излу- чения х = ^ t ампер на кило- грамм А/кг Ампер иа килограмм равен мощности экспозиционной дозы, при которой за 1 с сухому атмосферному воз- духу передается экспози- ционная доза излучения 1 Кл/кг
468
Окончание при л. 4
Физическая величина Единица
Определяю- щее урав- нение Наимено- вание Обозна- чение Определение
Поглощен- ная доза излучения & II > Э |гч грэй Гр. Грэй равен поглощенной дозе излучения, при кото- рой облученному веществу массой 1 кг передается энергия ионизирующего из- лучения 1 Дж
Мощность поглощен- ной дозы излучения D =— t грэй в секунду Гр/с Грэй в секунду равен мощ- ности поглощенной дозы излучения, при которой за время 1 с облученным ве- ществом поглощается доза излучения 1 Гр
Эквива- лентная доза излучения Н = Dk зиверт Зв Зиверт равен эквивалент- ной дозе излучения, при которой поглощенная доза равна 1 Гр и коэффициент качества равен единице
Мощность эквива- лентной дозы излучения t зиверт в секунду Зв/с Зиверт в секунду равен мощности эквивалентной дозы излучения, при кото- рой за время 1 с облучае- мым веществом погло- щается эквивалентная доза излучения 1 Зв
Примечание. На практике использовались внесистемные еди-
ницы ионизирующих излучений: [Д] = 1 Ки (кюри) = 3,7 • 1О10 Бк,
[X] = 1 Р (рентген) = 2,58 • 10-4 Кл/кг, [D] = 1 рад (рад) = 10-2 Гр,
[Я] = 1 бэр (бэр) = 10-2 Зв. В настоящее время, согласно действую-
щим стандартам, эти внесистемные единицы, а также величины “экс-
позиционная доза” и “мощность экспозиционной дозы” применять
не следует.
5. Внесистемные единицы, допускаемые к применению
наравне с единицами СИ
Физическая величина Единица
Наимено- вание Обозна- чение Соотношение с единицей СИ
Масса тонна т 103 кг
атомная едини- ца массы а.е.м. 1.66057 IO"37 кг (приблизительно)
Время минута мин 60 с
час ч 3600 с
сутки сут 86 400 с
Плоский угол градус о (тг/180) рад = = 1,745329... • IO’2 рад
минута (л/10800) рад = = 2,90888... • 10~4 рад
секунда ..." (л/648000) рад = = 4,848137... • IO”6 рад
град (гои) град (л/200) рад
Длина астрономичес- кая единица а.е. 1,49598 • 1011 м (приблизительно)
световой год св. год 9,4605 1015 м (приблизительно)
парсек ПК 3,0857 • 1016 м (приблизительно)
Площадь гектар га 104 м2
Объем, вместимость литр л 10~3 м3
Оптическая сила диоптрия дптр 1 М~1
470
Окончание при л. 5
Физическая величина Единица
Наимено- вание Обозна- чение Соотношение с единицей СИ
Энергия электрон-вольт эВ 1,60219 10“19 Дж (приблизительно)
Полная мощность вольт-ампер В А
Реактивная мощность вар вар
Примечания: 1. Допускается применять другие единицы време-
ни, получившие широкое распространение (неделя, месяц, год, век,
тысячелетие и др.).
2. Единицу “литр” не рекомендуется использовать при точных из-
мерениях.
3. Единицы времени (минута, час, сутки), плоского угла (градус,
минута, секунда), астрономическую единицу, световой год, диоптрию
и атомную единицу массы не допускается применять с приставками.
6. Множители и приставки для образования
десятичных кратных и дольных единиц
Обозначение приставки Приставка Множитель
Э экса 1018
П пета 1015
т тера 1012
г гига 109
м мега 106
к кило 103
г гекто ю2
да дека ю1
д деци 10"1
С санти 10~2
м милли 10-3
мк микро ю-6
и нано ю-9
п пнко 10-12
ф фемто ю~15
а атто 10'18
471
7. Письменное оформление решения задач
Общепринятый способ письменного оформления решения задачи
по физике заключается в следующем.
Сначала записывают условие (текст) задачи полностью, без сокра-
щений, а затем кратко. Краткая запись отражает, что дано в условии и
что нужно определить, при этом все значения данных величин записыва-
ют слева в столбик в том порядке, в котором они встречаются в усло-
вии. Напомним, что значение физической величины состоит из число-
вого значения и наименования единицы этой величины. Например, в
записи о = 5м/со- обозначение скорости, 5 м/с - значение ско-
рости, 5 -числовое значение, м/с - единица скорости (точнее, обоз-
начение единицы скорости — метр в секунду).
Снизу столбик данных значений подчеркивают горизонтальной чер-
той и под ней пишут искомую величину. Справа столбик отделяют
вертикальной чертой и пишут заголовок “Решение”.
Решают задачу и записывают решение в общем виде, в буквенных
обозначениях, при этом промежуточные вычисления не производят. В
результате получается расчетная формула, в которой искомая величи-
на выражена в обозначениях величии, заданных в условии задачи.
Решение должно сопровождаться краткими, ио исчерпывающими
пояснениями, в которых дается обоснование используемых формул и
объяснение обозначений. Необходимо делать схематический чертеж
(рисунок), если это возможно в данной задаче. Рисунок помогает на-
гляднее представить рассматриваемую в задаче ситуацию и более чет-
ко описать ход решения.
После получения расчетной формулы ее проверяют следующим
образом: в правую часть формулы вместо обозначений физических
величин подставляют обозначения единиц СИ этих величин, произво-
дят с ними необходимые действия и убеждаются в том, что получен-
ная при этом единица соответствует искомой величине. Затем число-
вые значения величии выражают в единицах СИ, подставляют их в
расчетную формулу и производят вычисления, соблюдая при этом прави-
ла приближенных вычислений (см. прил. 1). В конце решения записы-
вают ответ.
Рассмотрим пример оформления решения задачи на письменном
экзамене.
Задача. Электрон влетает со скоростью v = 5 • 106 м/с в однород-
ное электростатическое поле, напряженность которого Е = 1 • 103 В/м и
направлена так же, как и скорость электрона. Сколько времени будет
двигаться электрон до момента остановки и какой путь он при этом прой-
дет? Заряд электрона е = 1,6 • 10-19 Кл, его масса те = 9,1 • 10-31 кг.
v = 5 • 106 м/с
Е = 1 • 103 В/м
е = 1,6 10~19 Кл
те = 9,1 10-31 кг
Решение
t - ? s - ?
В электростатическом поле иа электрон
действует сила F, модуль которой F = еЕ, а
направление противоположно направлению на-
пряженности Е (рис. 302). Электрон движет-
472
ся прямолинейно (силой тяжести пре-
небрегаем) в течение некоторого про-
межутка времени t до остановки, при
этом под действием силы F импульс
электрона изменяется. Согласно вто-
рому закону Ньютона,
Ft - mev2 -
где г^, ц - скорость электрона в точках 2 и 1 соответственно.
Для проекций на ось ОХ уравнение имеет вид Fxt = mev2x - /пецх.
В данном случае Fx = -F, v2x = 0, wlx = v, поэтому Ft = mv, откуда
t = mev/F, или
Изменение кинетической энергии электрона равно работе силы F:
2 2
Учитывая, что v2 = 0, ц = v, А = /rscosl80° = -Fs, получаем
mv2 /2 - Fs, гДе s - модуль перемещения, который в данном случае
равен пройденному пути. Следовательно,
2 2
rn.tr тл
s = ——, ИЛИ S = ——
2F 2еЕ
Расчетные формулы (1) и (2) проверим с помощью действий над
единицами физических величин:
м
Гmevl _ С
(2)
Кл —
м
2 2
КГ • м _ кг • м
Кл-Вс
Дж с
Krf =с</],
кг М -
с2
Kr. “1
KI 2
—V = M = [sl
КГ • MZ
мс2
Подставим числовые значения величин в формулы (1) и (2) и про-
изведем вычисления:
94.10^.5.106 с = 310_8е,
1,6 -10“19 -1 -103
9,1 10~31 - (5 -106 )2 , 1Л-2
з = —--------рт-----г м = 7 10 z м.
2 1,6 10“19 • 1 103
mev2
2еЕ
кг •
Кл-£
м
О т в е т: t = 3 10 8 с, з = 7 10 2 м.
473
8. Некоторые сведения по математике
Квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = 0, а * 0.
Корни квадратного уравнения
v _ —b ± л/&2 - 4ас
Х1’2~ 2а
Квадрат суммы двух чисел
(а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ь2.
Квадрат разности двух чисел
(а - b)2 = а2 - 2аЬ + Ь2.
Разность квадратов двух чисел
а2 - Ь2 = (а + &)(а - Ь).
Пропорция - равенство двух отношений:
& = £-, b*Q
b d
Основное свойство пропорции: ad = be.
Площадь треугольника S = -^ ah, где а - основание треугольни-
ка; h - его высота.
Площадь трапеции
S = (а + b)h,
где а, b - основания трапеции; h — высота.
Длина окружности L = 2л/?, где /? - радиус окружности.
Площадь круга S = л/?2, где /? - радиус круга.
Площадь сферической поверхности S = 4л/?2, где /? - радиус
сферы.
4 q
Объем шара V = ^nR , где /? - радиус шара.
О п
Объем цилиндра V = itR^h, где R - радиус основания цилиндра;
h - его высота.
Теорема синусов:
а _ b _ с
sin a sin Р sin у ’
где а, Ь, с ~ стороны треугольника; а, Р, у ~ углы, лежащие против
сторон а, b и с соответственно.
Теорема косинусов:
a2 =b2 +с2 -2bc cos а,
где а, Ь, с - стороны треугольника; а - угол, лежащий против сторо-
ны а.
474
Некоторые тригонометрические формулы
sin2 а + cos2 а = 1, tg а = -|п“ ,
cosa
ctga=cgsa
sina
sin(a + р) = sin a cos P + cos a sin p,
sin(a - P) = sin a cos p - cos a sin p,
cos(a + p) = cos a cos p - sin a sin p,
cos(a - p) = cos a cos p + sin a sin p,
sin 2a = 2 sin a cos a,
cos2a = cos2 a - sin2 a = 1 - 2sin2 a = 2cos2 a - 1,
. Q „ . a + P a-p
sin a + sin p = 2 sin —cos ,
.„ a+P . a-p
sin a - sin p - 2 cos —— sin —^-£-,
Q o a+P a-p
cos a + cos p = 2 cos—2~cos—2~’
„ o . a+P . a-p
cos a - cos p = -2 sin —sin —
Некоторые значения тригонометрических функций
Функция Угол, град (рад)
0 30 (л/6) 45 (я/4) 60 (л/3) 90 (я/2) 180 (л)
sina 0 1 2 У2 2 Уз 2 1 0
cos а 1 Уз 2 У2 2 1 2 0 -1
tga 0 Уз 3 1 Уз - 0
ctga - Уз 1 Уз 3 0 -
475
Производные основных элементарных функций
f(x) f'(x) fix) /'(x)
С (С = const) 0 4x —7= X > 0
X 1 ± X L x2
хп nxn - 1 Inx 1 X
6х 6х sinx cosx
ах axlna cosx -sinx
logax 1 xlna tgx 1 2 COS X
X2 2x ctgx 1 . 2 sin X
Простейшие интегралы
[ 0 • dx = С, С = const, [ ~ ~ "7 +
J J х£ х
9. Латинский алфавит
Печатные буквы Рукописные буквы Название Печатные буквы Рукописные буквы Название
А а <зг/ a a N п Xf n эн
ВЬ бэ Оо О о О
Сс Cc ЦЭ Рр SPfr ПЭ
Dd 3d ДЭ Q q Q? ку
Е е ё e e Rr 311 эр
Ft эф Ss <5 a эс
Gg ЖЭ Tt тэ
Hh аш и и У
Н и Vv V* вэ
J j жи W w дублъ-вэ
Kk Xk ка Xx икс
LI эль Yy If# игрек
M m m эм Z z Xz зэт
Примечание. Для букв g, h, j, у даны французские названия,
которые общеприняты в школьной практике, и добавлена буква w,
употребляемая в математике и физике.
10. Греческий алфавит
Печатные буквы Рукописные буквы Название
А а А а альфа
В Р в р бета
Г у Г у гамма
А 5 А 8 дельта
Е е Е Е эпсилон
z С z С дзэта
Н Т| Н 7] эта
0 а 0 8 тэта
I 1 I 1 йота
К X К я каппа
Л X Л Л ламбда
М ц М ц мю
N v N v ню
—, t
а £ ~ £ КСИ
0 о О о омикрон
П л П л пи
Р р Р Q ро
Ход Е <у с, сигма
Т т Т т тау
Y в Y v ипсилон
Ф (р Ф (р фи
X X X X хи
Т V Р щ пси
Q со £2 (0 омега
478
Оглавление
Предисловие............................................ 3
I. Механика............................................ 5
1. Основы кинематики................................... 5
2. Основы динамики.................................... 43
3. Законы сохранения в механике....................... 84
4. Основы статики ................................... 120
5. Жидкости и газы................................... 146
II. Молекулярная физика.............................. 176
6. Основы молекулярно-кинетической теории. Идеальный газ 176
7. Тепловые явления. Основы термодинамики............ 197
III. Основы электродинамики.......................... 218
8. Электростатика.................................... 218
9. Законы постоянного тока........................... 265
10. Магнитное поле. Электромагнитная индукция........ 305
IV. Колебания и волны................................ 338
11. Механические колебания и волны................... 338
12. Электромагнитные колебания и волны............... 354
V. Оптика............................................ 367
13. Законы отражения и преломления света............. 367
14. Собирающие и рассеивающие линзы.................. 376
15. Световые волны .................................. 397
16. Элементы теории относительности.................. 404
VI. Квантовая физика............................... 408
17. Световые кванты.................................. 408
18. Атом и атомное ядро ............................. 417
О т в е т ы.......................................... 431
П р и л о ж е н и я.................................. 459
479