/
Author: Дуран А.
Tags: математика серия мир математики точные науки
ISBN: 978-5-9774-0708-3
Year: 2014
Text
Мир
МАТЕМАТИКИ
14
Истина в пределе
Анализ бесконечно малых
D^AGOSTINI
Мир математики
Мир математики
Антонио Дуран
Истина в пределе
Анализ бесконечно малых
Москва - 2014
D^AGOSTINI
УДК 51(0.062)
ББК22.1
М63
М63 Мир математики: в 40 т. Т. 14: Антонио Дуран. Истина в пределе. Анализ бесконечно
малых. / Пер. с исп. — М.: Де Агостини, 2014. — 144 с.
Бесконечно малая величина — это числовая функция или последовательность, которая
стремится к нулю. Исчисление бесконечно малых — общее понятие для дифференциальных
и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Ана-
лиз бесконечно малых — вне всяких сомнений, наиболее мощное и эффективное средство
изучения природы, когда-либо созданное учеными. Становление этого понятия связано
с именами блистательных математиков: Архимеда, Исаака Ньютона, Готфрида Вильгель-
ма Лейбница, Огюстена Луи Коши и Карла Вейерштрасса. В этой книге идет речь об ана-
лизе бесконечно малых и его удивительной истории.
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0708-3 (т. 14)
УДК 51(0.062)
ББК22.1
© Antonio J. Duran, 2010 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
Иллюстрации предоставлены:
age photo stock, Corbis, Getty Images.
Все права защищены.
Полное или частичное воспроизведение без разрешения издателя запрещено.
Содержание
Предисловие....................................................... 7
Глава 1. Что такое анализ бесконечно малых и для чего он нужен ... 9
Функции.......................................................... 10
Производные ..................................................... 12
Интегралы ....................................................... 17
Основная теорема анализа......................................... 19
Глава 2. От Архимеда до XVII века: истоки........................ 23
Бесконечность в Древней Греции................................... 23
Архимед.......................................................... 25
От Архимеда до XVII века......................................... 28
Наука в Европе XVII века......................................... 31
Вычисление квадратуры и кубатуры................................. 34
Центры тяжести................................................... 38
Расчет угла наклона касательной.................................. 39
Глава 3. Ньютон, последний из волшебников........................ 43
Великий мыслитель................................................ 45
Трудное детство гения............................................ 47
На службе науки. «Начала»........................................ 52
Ньютон и анализ бесконечно малых................................. 57
Высокомерный гений............................................... 67
Жизнь в Лондоне, служба на Монетном дворе........................ 68
Ньютон и его друзья.............................................. 70
Похороны Ньютона................................................. 73
Глава 4. Лейбниц, мастер на все руки............................. 75
Лейбниц и анализ бесконечно малых................................ 79
На службе у ганноверской династии................................ 92
Философия Лейбница............................................... 95
Похороны Лейбница................................................ 97
5
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 5. Спор о первенстве........................................ 99
Взаимное признание заслуг, пусть и не вполне искреннее ........... 100
«Скромность есть добродетель, но излишняя робость есть недостаток». 103
«По когтям узнают льва» .......................................... 104
Фатио атакует, Лейбниц контратакует............................... 105
Появление «обезьяны Ньютона»...................................... 109
Лейбниц попадает в недобрые руки Королевского общества ........... 111
Charta volans и «ведущий математик» .............................. 114
Лев точит когти................................................... 115
Как покровитель Лейбница стал королем Ньютона..................... 118
Глава 6. Укрощенные бесконечно малые ............................. 121
Бесконечности, большие и малые................................... 121
Ньютон, Лейбниц и бесконечно малые ............................... 122
«Призраки исчезнувших величин» ................................... 124
Эйлер и анализ бесконечно малых................................... 125
Д’Аламбер, Лагранж и Карл Маркс................................... 127
Огюстен Коши...................................................... 129
Эйлер, Коши и эстетическая ценность математики.................... 134
Карл Вейерштрасс.................................................. 136
Заключение ....................................................... 137
Приложение. Эйлер и бесконечно малые ............................. 139
Библиография...................................................... 141
Алфавитный указатель ........................................... 142
6
Предисловие
Анализ бесконечно малых, вне всяких сомнений, наиболее мощное и эффективное
средство изучения природы, когда-либо созданное математиками. Эта дисциплина
зародилась в древности и развивалась очень долго. С III века до н. э., когда Архимед
впервые использовал бесконечно малые величины для вычисления площади, до эпо-
хи Ньютона и Лейбница, которые придали окончательный вид анализу бесконечно
малых, прошло почти две тысячи лет. Но лишь спустя еще полтора столетия Коши
и Вейерштрасс «приручили» бесконечно малые величины, найдя им адекватное ло-
гическое объяснение.
Если оставить мистические свойства бесконечности в стороне, то анализ бес-
конечно малых в том виде, в каком он существует сегодня, образован двумя внешне
различными направлениями: дифференциальным исчислением, в основе которого
лежит понятие производной, и интегральным исчислением. Их объединяет основная
теорема анализа, согласно которой дифференцирование и интегрирование являются
взаимно обратными операциями.
Анализ бесконечно малых находит очень широкое применение ввиду того, что
производные и интегралы используются во множестве областей математики, физи-
ки, техники, экономики и других наук.
К примеру, производная — это фундаментальное понятие физики, так как ему
соответствуют такие понятия, как мгновенная скорость и мгновенное ускорение,
а следовательно, и понятие силы. Неудивительно, что большинство физических за-
конов выражены в виде дифференциальных уравнений, где производные использу-
ются наравне с обычными функциями. Приведем еще один из множества примеров,
показывающих, насколько разными способами может применяться анализ беско-
нечно малых. Кому из нас, привыкших к современному медицинскому оборудова-
нию, не делали магнитно-резонансную томографию (МРТ)? Когда волна проходит
сквозь наше тело, ее поведение можно описать интегралом, значение которого равно
разности интенсивности волны на входе и выходе из нашего организма. Аппарат
«угадывает», что находится внутри нашего тела, на основании значений всех этих
интегралов.
Современная физика родилась во времена Ньютона, который, помимо прочего,
был создателем анализа бесконечно малых. Это совпадение не случайно: по словам
самого Ньютона, идеи, которые окончательно оформились с открытием его мето-
да исчисления, родились одновременно с первыми представлениями о гравитации.
Первая, рудиментарная версия анализа бесконечно малых должна была помочь
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
Ньютону на основе законов Кеплера о движении планет вывести закон гравитации,
согласно которому сила притяжения тел обратно пропорциональна квадрату расстоя-
ния между ними.
Нечто подобное произошло, когда новая версия анализа бесконечно малых была
создана усилиями Лейбница. Вскоре после того как в 1684 и 1686 году были опу-
бликованы две его статьи, в которых излагались основы нового исчисления, оно
было успешно применено для решения множества разнообразных задач механики,
которые до этого не могли решить даже гениальные Леонардо да Винчи и Галилей.
Речь идет о задаче о цепной линии, задаче о брахистохроне и некоторых других.
Об анализе бесконечно малых и его удивительной истории и пойдет речь в этой
книге.
8
Глава 1
Что такое анализ бесконечно
малых и для чего он нужен
Анализ бесконечно малых — это область математики, которая имеет огромное зна-
чение для науки и техники. Чтобы понять, из чего состоит эта сложная и тонкая дис-
циплина, наверное, следует начать с рассказа о задачах, которые решаются с ее по-
мощью. Так читатель сможет понять, насколько важен и широко распространен
анализ бесконечно малых в современной науке и технике.
Эти задачи могут существенно различаться между собой. Так, к ним относятся
физическая задача на определение скорости тела при известном пройденном рас-
стоянии и обратная ей задача, в которой нужно рассчитать пройденный телом путь,
зная его скорость. С помощью этого же анализа решаются задачи, в которых требу-
ется, например, вычислить скорость автомобиля, зная силу тяги его двигателя, или
определить положение гитарной струны после того, как за нее потянули.
Также существуют и геометрические задачи, в частности о расчете угла наклона
касательной, длины кривой или площади криволинейной фигуры. Многие задачи,
решаемые с помощью бесконечно малых, лежат на стыке физики и инженерно-
го дела, например, задача об определении центра тяжести тела (что крайне важно
при постройке кораблей), о вычислении положения кабеля, висящего между двумя
столбами (эта задача решается при прокладке воздушных линий электропередачи),
о расчете распределения температуры на различных участках нагреваемой металли-
ческой пластины, об определении движения жидкостей (эта задача играет большую
роль в авиационной промышленности и других отраслях) и многие другие. Этот спи-
сок можно продолжать практически бесконечно.
Именно бесконечно малые величины являются основным предметом изучения
анализа бесконечно малых. Понятие бесконечности придает анализу бесконечно ма-
лых удивительную мощь, подчас граничащую с волшебством. Бесконечность — это
основа математического анализа, но чтобы осознать, насколько велика ее роль, сна-
чала следует уделить несколько абзацев основным понятиям исчисления.
Как уже говорилось в предисловии, анализ бесконечно малых состоит из двух
внешне различных направлений: дифференциального и интегрального исчисления,
9
ЧТО ТАКОЕ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И ДЛЯ ЧЕГО ОН НУЖЕН
каждое из которых имеет свои понятия и методы. В дифференциальном исчислении
рассматриваются задачи о вычислении угла наклона касательной к кривой и расчета
скорости при известном пройденном пути. К интегральному исчислению относятся
задачи о вычислении площадей и объемов, а также задачи расчета пройденного пути
при известной скорости. Фундаментальным понятием дифференциального и инте-
грального исчисления является понятие функции.
Функции
Большинство изучаемых нами процессов, будь то природные, экономические или
любые другие, можно смоделировать с помощью функций, а затем проанализиро-
вать математическими методами. Иными словами, функции — это язык, который
используется в науке при изучении всех этих процессов.
Функция — это правило, сопоставляющее одному числу другое. Обычно
(но не всегда) это правило выражается с помощью алгебраических операций над
числами.
Так, функция может сопоставлять одному числу (обозначим его t) другое число
по следующему закону:
/2+1
Так как число t может принимать различные значения, его называют переменной.
Как правило, функции обозначаются буквами /, g,h, s или v, переменные — буква-
ми х, у, z или t. Значение, которое функция сопоставляет произвольному числу t,
записывается как / (/). Предыдущий пример будет выглядеть так:
.. . /2+1
/(0=vt
t +5
В частности, когда мы присваиваем переменной t конкретные значения, мы опре-
деляем значения функции. Так, при 1 = 1 получим:
/(!)=
12+1
Т+5
2
6
ю
ЧТО ТАКОЕ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И ДЛЯ ЧЕГО ОН НУЖЕН
при t = 2 имеем:
22+1
/(2)=F7?
5
21
В следующей таблице приведены несколько значений переменной и соответствую-
щих им значений функции:
t f(t)
-1 2 6
0 J 5
/2 3 9
Простейшая физическая система — это движущееся тело. Его перемещение
можно описать функцией з, которая сопоставляет каждому моменту времени t путь
s(f), пройденный телом, или функцией v, которая сопоставляет каждому моменту
времени t скорость с которой движется тело.
Рассмотрим конкретный пример. Если тело по истечении t секунд преодолело
путь, точно равный квадратному корню из t метров, функция, описывающая это рас-
стояние, будет выглядеть так: s(t) = y/t- Эта функция, определяющая пройденный
телом путь, также содержит информацию о том, с какой скоростью перемещается
тело. Однако, чтобы получить доступ к этой информации, потребуется применить
методы дифференциального исчисления.
Приведем еще один конкретный пример. Пусть дано тело, которое в течение
t секунд двигалось со скоростью, равной t2 м/с. Функция, описывающая скорость
движения этого тела, выглядит так: v(j) = t2. Этот пример похож на предыдущий:
функция, описывающая скорость движения тела, также содержит информацию
о пройденном пути. Однако, чтобы получить эту информацию, необходимо исполь-
зовать интегральное исчисление.
Аналогично с помощью функций можно описать совершенно разные явления:
изменение курса акций определенного банка или компании на фондовой бирже,
И
ЧТО ТАКОЕ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И ДЛЯ ЧЕГО ОН НУЖЕН
плотность каждого участка тела человека (так мы сможем определить без хирурги-
ческого вмешательства, где находятся кости, мышцы и внутренние органы) или
силу, с которой потоки воздуха воздействуют на крылья самолета во время полета.
Чтобы использовать анализ бесконечно малых при решении задач, сначала тре-
буется описать задачу на языке функций.
После того как природные, физические или экономические процессы, которые
мы хотим изучить, представлены в виде функций, в дело вступают фундаменталь-
ные понятия анализа бесконечно малых. С их помощью можно извлечь из функций
интересующую нас информацию.
Производные
Основное понятие дифференциального исчисления — это понятие производной. В дей-
ствительности это один из краеугольных камней не только математики, но и науки
в целом, ведь за ним скрываются такие фундаментальные понятия, как скорость или
сила в физике, угол наклона касательной к кривой в геометрии и многие другие.
Производная функции / в точке а показывает, как изменится функция в этой
точке по сравнению с тем, как изменяется значение переменной. Рассмотрим две
функции из прошлых примеров: s(f) — y/t и v(t) — t2. При t = 1 обе эти функции
принимают значение 1: s(l) — 1 и р(1) — 1. Однако из таблицы значений видно, что
поведение функций вблизи t = 1 существенно различается:
t s(t) v(t)
0,8 0,8944... 0,64
0,9 0,9486... 0,81
1 1 1
1,1 1,0488... 1,21
1,2 1,0954... 1,44
Заметьте, что функция v вблизи 1 изменяется более резко, чем функция s.
Чтобы измерить эти изменения, то есть чтобы определить производную, выбе-
рем произвольное число а и близкое к нему число а + h. Рассмотрим, как изменяется
значение функции в этих точках по сравнению с изменением значения переменной.
Для этого разделим разность значений функции /(а + h) — /(а) на разность значе-
ний переменных, а + h — а = h. Искомая дробь будет иметь вид:
12
ЧТО ТАКОЕ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И ДЛЯ ЧЕГО ОН НУЖЕН
f(a+h) — f(a)
h
Продолжим рассматривать функции s(/) = y/t и v(t) = t2. Вычислим значения
этой дроби для а = 1:
h s(1+h)-s(1) h u(1+h)~ u(1) h
-0,01 0,5012... 1,99
-0,001 0,5001... 1,999
0,001 0,4998... 2,001
0,01 0,4987... 2,01
Наибольшее значение этой дроби для функции v приближается к 2, для функ-
ции s оно примерно равно 0,5. Это указывает на все тот же факт, который можно
видеть из предыдущей таблицы: функция v вблизи точки 1 изменяется быстрее, чем
функция s. Нас особенно интересует значение дроби
h
при h = 0, то есть когда числа а + h и а совпадают. Это значение мы назовем про-
изводной функции / в точке а. Будем обозначать его f(a). Это обозначение ввел
французский математик Жозеф Луи Лагранж (1736—1813) (см. главу 6). Как
А о
можно видеть, значение этой дроби равно —, то есть оно не определено.
Однако это лишь кажущаяся неопределенность, поскольку, как показано в пре-
дыдущей таблице, для наших функций s(t) — y/t и v(t) = t2 при малых значениях h,
отличных от нуля, обе дроби
Xl + A)-s(l) v(l+h)-v(l)
----------- и -----------
определены и равны соответственно 0,5 для функции s(f) = yjt и 2 — для функ-
ции р(/) = I2. Далее мы покажем, что эти значения действительно соответствуют
значениям производных обеих функций в точке 1, то есть s'(l) = 0,5 и г (1) — 2.
13
ЧТО ТАКОЕ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И ДЛЯ ЧЕГО ОН НУЖЕН
Деление ноля на ноль, возникающее при определении производной, представля-
ло трудность для ученых XVII века и их предшественников всякий раз, когда они
пытались рассчитать, например, угол наклона касательной к кривой или мгновенную
скорость движения тела, зная пройденный им путь.
Бесконечность, основа анализа бесконечно малых, скрывается именно в этой
операции деления ноля на ноль. Как мы только что сказали, нас интересует значе-
ние дроби
h
при /1 = 0, когда и числитель, и знаменатель обращаются в ноль. Подобные величи-
ны, равные нулю, отношение которых необходимо найти, математики XVII века на-
звали бесконечно малыми.
Анализ бесконечно малых, созданный Ньютоном и Лейбницем и усовершенство-
ванный Леонардом Эйлером (1707—1783) и другими математиками XVIII века,
можно назвать искусством манипулирования бесконечно малыми величинами. Как
рассказывается в следующих главах, парадоксально, но ни один из этих гениальных
математиков не определил сколько-нибудь точно понятие бесконечно малой величи-
ны, которое легло в основу математического анализа.
Ньютону и Лейбницу удалось завершить работу множества их коллег — мате-
матиков XVII века и создать анализ бесконечно малых, одним из разделов которого
является дифференциальное исчисление. Ньютон и Лейбниц определили простые
правила, позволявшие устранять неопределенность, которая заключается в делении
ноля на ноль и возникает всякий раз, когда мы хотим вычислить производную функ-
ции. Это были правила вычисления производных элементарных функций, в част-
ности степенной:
(хп)' = пхп-1;
тригонометрических функций:
(sin х)' = cosx, (cos х)' = —sin х;
логарифмов:
,, У-1-
(log х )
X
14
ЧТО ТАКОЕ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И ДЛЯ ЧЕГО ОН НУЖЕН
показательных функций:
(ел)' = е\
а также правила вычисления производной для основных операций с функциями,
в частности суммы:
(/+g)'=/'+g';
произведения:
(/g)’ = fg + fg',
деления:
_ /'g ~ /g'.
2 ’
Ш g
и для сложных функций:
(/(g))’=Ш g.
Гордиевым узлом анализа бесконечно малых на протяжении XVII, XVIII и на-
чала XIX века оставалось четкое определение того, как следует понимать значение
дроби
f(a+h) — f(a)
h
при h — 0. Этот гордиев узел разрубил французский математик Огюстен Луи Коши
(1789—1857), применив понятие предела, которое он сам же и определил более или
менее точно и которое затем улучшил немецкий математик Карл Вейерштрасс
(1815—1897). Об этом рассказывается в главе 6.
Так как мгновенная скорость, с которой движется тело, является производной,
то трудности при делении ноля на ноль препятствовали развитию физики, пока
Ньютон не решил эту проблему, создав анализ бесконечно малых. До кон-
ца XVII века, когда был сформирован анализ бесконечно малых, ученые могли изу-
чать только простейшие виды движения: равномерное движение, при котором прой-
денный путь пропорционален затраченному времени, следовательно, скорость по-
стоянна, а ускорение отсутствует, а также равноускоренное движение, при котором
пройденный путь пропорционален квадрату времени, скорость пропорциональна
времени, а ускорение постоянно. Для изучения последнего вида движения, приме-
15
ЧТО ТАКОЕ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И ДЛЯ ЧЕГО ОН НУЖЕН
ром которого является падение тела под действием силы тяжести, потребовался ге-
ний Галилея, который понял его суть за несколько десятков лет до того, как с помо-
щью анализа бесконечно малых было найдено тривиальное решение этой задачи.
Проиллюстрируем это на примере. Рассмотрим, как и в прошлых примерах, дви-
жущееся тело, которое в момент времени t прошло расстояние в s(t) = y/t. Время
будем измерять в секундах, расстояние — в метрах. Вычислить среднюю скорость
движения тела несложно: например, в период времени с первой по четвертую се-
кунду средняя скорость будет равна отношению пройденного пути и затраченного
времени:
5(4)-5(1) 2 — 1 1
средняя скорость =---------=-----= — м/с.
4-1 3 3
Но что, если нас интересует не средняя скорость, а мгновенная скорость в кон-
кретный момент времени? Чтобы упростить рассуждения, допустим, что мы хотим
вычислить мгновенную скорость в тот момент, когда проходит ровно одна секунда
от начала движения. Выберем приращение времени h и вычислим среднюю скорость
в интервале времени от 1 секунды до (1 + h) секунд:
5(1 + Ь)—5(1) V1 + /Z-1
средняя скорость —---------=----------
1 + А-1 h
Чтобы вычислить мгновенную скорость в первую секунду, достаточно свести
приращение времени h к нулю. Однако в этом случае снова возникает неопределен-
ность:
. V1-1 О
мгновенная скорость в момент времени 1 = —- = —.
Это происходит потому, что мгновенная скорость соответствует значению произ-
водной функции пройденного пути s(t) = y/t в момент времени t = 1.
В предыдущей таблице с числами указано, что значение этой производной долж-
но равняться 0,5. Покажем, что это и в самом деле так, устранив неопределенность
следующим способом:
средняя скорость =
16
ЧТО ТАКОЕ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И ДЛЯ ЧЕГО ОН НУЖЕН
Умножим числитель и знаменатель на y/'l+h 4-1 и упростим выражение:
Если в последнем выражении свести приращение времени h к нулю, то мы уже
не столкнемся с неопределенностью и делением на ноль. Как и следовало ожидать,
при /1 = 0 значение дроби будет равно 0,5. На языке физики это означает:
мгновенная скорость в момент времени 1 = — = 0,5.
Следовательно, мы устранили изначальную неопределенность, которая возни-
кает из-за деления ноля на ноль, и получили, что если тело проходит за t секунд
Jt метров, то по прошествии 1 секунды оно будет двигаться со скоростью 1/2 м/с.
Интегралы
Другим базовым понятием анализа бесконечно малых является понятие интеграла.
Интеграл используется для вычисления площади, ограниченной графиком функции.
Например, пусть дана функция /, определенная на интервале между а и Ь. Значе-
ь
ние интеграла j будет равно площади следующей фигуры:
17
ЧТО ТАКОЕ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И ДЛЯ ЧЕГО ОН НУЖЕН
Символ j для обозначения интеграла придумал Лейбниц (об этом подробно рас-
сказывается в главе 4). Этот символ представляет собой стилизованную букву S —
первую букву латинского слова summa («сумма»).
Интеграл применяется не только для вычисления площадей: в математике он так-
же используется для расчета объемов, длин и определения центра тяжести. В фи-
зике ему соответствует понятие работы. Работа, которую необходимо совершить,
чтобы переместить тело под действием силы / из точки а в точку Ь, рассчитывается
по формуле:
а
Интеграл также используется для расчета пройденного телом пути, если извест-
на скорость тела. Рассмотрим в качестве примера физическую задачу, о которой мы
говорили в самом начале этой главы: какой путь пройдет тело спустя 4 секунды по-
сле начала движения, если в течение t секунд оно двигалось со скоростью, равной
t2 м/с? Ответ вычисляется по следующей формуле:
jl2dt.
о
Задача сводится к вычислению этого интеграла. Если интерпретировать инте-
грал как площадь фигуры, он будет соответствовать площади, ограниченной участ-
ком параболы. Эту площадь вычислил Архимед еще 2300 лет назад. Это открытие
наряду с другими принесло ему вечную славу: Архимеда по праву можно считать
одним из величайших основателей интегрального исчисления (об этом более по-
дробно рассказывается в главе 2).
Строгое определение интеграла, в котором не участвует понятие площади, —
непростой вопрос с точки зрения логики. Здесь, пусть и в несколько иной форме,
в дело снова вступают бесконечно малые величины. Из рисунка на предыдущей
странице видно, что искомая фигура состоит из отрезков длиной /(/), где t принима-
ет все возможные значения на интервале от а до Ь. Площадь искомой фигуры пред-
ставляет собой сумму «площадей» этих отрезков. Однако эти отрезки имеют нуле-
вую ширину, поэтому может показаться, что они не имеют площади. Мы вновь
сталкиваемся с понятием бесконечно малой величины — ширины этих отрезков.
В нотации, придуманной Лейбницем для обозначения интегралов, площадь фигуры,
ограниченной кривой, понимается как сумма бесконечно малых: согласно рисунку
на предыдущей странице, все отрезки, образующие фигуру, имеют высоту /(/).
18
ЧТО ТАКОЕ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И ДЛЯ ЧЕГО ОН НУЖЕН
Согласно Лейбницу, бесконечно малая ширина обозначается dt. Площадь этих «от-
резков» равна произведению их основания на высоту, то есть /(/) dt, а площадь фи-
гуры, которую мы хотим вычислить, равна сумме этих площадей: jf(t) dt.
Смысл этой суммы так и не смогли объяснить ни Ньютон, ни Лейбниц, создате-
ли анализа бесконечно малых. По сути, первое точное определение интеграла было
дано почти полтора столетия спустя усилиями Коши. В нем также используется по-
нятие предела (более подробно об этом рассказывается в главе 6).
Вычисление площадей криволинейных поверхностей — очень сложная задача,
в чем на собственном опыте убедились предшественники Ньютона и Лейбница.
В некотором смысле эта задача аналогична задаче о вычислении интеграла. Вы-
числение интегралов во многих случаях (но не всегда) упрощает основная теорема
анализа.
Основная теорема анализа
Анализ бесконечно малых — своеобразный мост между производными и интегра-
лами: основная теорема анализа гласит, что интегрирование и вычисление произво-
дной являются взаимно обратными операциями. Точнее говоря, если мы хотим вы-
числить интеграл
а
то, согласно основной теореме анализа, достаточно найти функцию F такую, что
Г(0=/(0
для любого t в интервале между а и Ь. В этом случае
f/(O<* = F(b)-F(a).
а
Функция / должна обладать еще одним свойством — непрерывностью, на кото-
ром мы не будем останавливаться подробно.
Рассмотрим на примере, как основная теорема анализа упрощает вычисление ин-
теграла
19
ЧТО ТАКОЕ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И ДЛЯ ЧЕГО ОН НУЖЕН
Этот интеграл в зависимости от его интерпретации можно использовать для рас-
чета площади, ограниченной параболой; площади, ограниченной спиралью Архиме-
да; а также пути, пройденного телом, которое движется со скоростью v(t) = t2.
Согласно основной теореме анализа, достаточно найти функцию, производной
которой будет функция t2. Это нетрудно сделать с помощью правила вычисления
производной степенной функции:
Тогда
/,(0 = н/п-1.
Отсюда нетрудно вывести, что производная функции — в точности равна t2. Сле-
3
довательно:
b ,3 3
г 2 , Ь а
I Г dt =----.
; з з
Как мы уже упоминали выше, путь, пройденный за 4 секунды телом, которое
в течение t секунд движется со скоростью t2, определяется интегралом:
h2d.
о
Следовательно, достаточно подставить в предыдущую формулу а — 0 и b = 4:
Пройденный путь = jt2dt
Рассмотрим спираль Архимеда — кривую, получаемую равномерным движени-
ем точки вдоль луча, который, в свою очередь, равномерно вращается вокруг своего
начала. Будем считать, что точка движется вдоль луча со скоростью 1м/с, скорость
вращения луча постоянна. Чтобы найти площадь, ограниченную первым витком
спирали Архимеда, нужно вычислить интеграл
Достаточно подставить в предыдущую формулу а = 0 и b = 2п:
20
ЧТО ТАКОЕ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И ДЛЯ ЧЕГО ОН НУЖЕН
1_
2
2л ,
г г, 4 л
I t dt =-----
о 3
Именно этот результат получил сам Архимед, который изложил его иначе:
«Площадь первого витка спирали равна трети площади круга, радиус которого ра-
вен длине пути, пройденного точкой вдоль прямой во время первого витка». В самом
деле, так как на первом витке спирали точка проходит вдоль прямой путь, равный
2л, круг этого радиуса будет иметь площадь Л • (2л)2 = 4л3, о чем пишет Архимед.
Автор этой книги не ставил перед собой задачу подробно рассказать о понятиях
и методах анализа бесконечно малых. Намного интереснее то, каким образом мате-
матики открыли эти понятия и как они изменялись со временем. В следующих главах
мы расскажем об интеллектуальной эпопее длиной почти в две тысячи лет. Читатель
узнает, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Коши и другие великие математики созда-
вали и последовательно видоизменяли понятия дифференциала, производной, ин-
теграла и предела, пока они не приобрели тот вид, в котором известны нам сегодня.
21
Глава 2
От Архимеда до XVII века:
истоки
В течение всего процесса формирования анализа бесконечно малых, длившегося
почти две тысячи лет, со времен Архимеда до эпохи Ньютона и Лейбница, было
создано множество различных математических теорий и концепций. Было вновь от-
крыто и осмыслено наследие древних греков, в особенности работы Архимеда; по-
явилась более сложная система счисления, чем древнегреческая и римская; и, разу-
меется, возникла алгебра и аналитическая геометрия, позволившая использовать
методы алгебры при работе с кривыми. Стало возможным решать задачи о каса-
тельных, вычислении площади, центров тяжести, максимумов и минимумов и по-
добные им алгебраическим путем. Алгебра и аналитическая геометрия, по сути, ста-
ли тем языком, на котором можно было описать ранние этапы развития математиче-
ского анализа. Это случилось благодаря усилиям плеяды ученых, которые соверши-
ли множество важных открытий, особенно в XVII веке.
Этот процесс был очень сложным, интенсивным и интересным не только с науч-
ной, но и в большей степени с исторической точки зрения. На него влияли крупней-
шие события в истории человечества, которые, в частности, привели к утрате клас-
сической греческой культуры и последующему возврату к ней, к научно-техниче-
ской революции. Сказались на формировании этого раздела математики и проблемы
обособленности, вызванные сложной политической ситуацией и многочисленными
войнами в Европе в XVII веке. Не обошлось и без влияния интриг одних ученых
против других, непримиримых споров, диспутов и оскорблений.
Бесконечность в Древней Греции
Мы начнем наш рассказ с экскурса в Древнюю Грецию. Именно тогда математики
и философы предприняли первые попытки понять бесконечность — метафизиче-
скую основу математического анализа.
23
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
Для древних греков бесконечность была двухголовым монстром: с одной сторо-
ны — бесконечно малое, с другой — бесконечно большое. Бесконечность вскоре
оказалась вовлечена в скандалы и споры. В некотором роде она проявилась в невоз-
можности измерить одной мерой сторону квадрата и его диагональ, что разрушило
пифагорейскую концепцию вселенной и привело к первому фундаментальному кри-
зису в математике. Она также присутствовала в апориях Зенона о движении и мно-
жестве, в которых, помимо прочего, проявлялось диалектическое противоречие
между различными философскими течениями той эпохи. Апории Зенона также по-
казывают влияние этих противоречий на математику.
Эти события привели к тому, что использование бесконечности было запрещено,
точнее ограничено. Поскольку отрицать бесконечные процессы было невозможно
(«Ив малом ведь нет наименьшего, но везде есть меньшее, — писал Анаксагор, —
но и в отношении к большему всегда есть большее»), Аристотель попытался запре-
тить использование актуальной бесконечности: «Бесконечное не может существо-
вать как сущность или как свойство»,— пишет он в книге 3 «Физики». Однако
далее сам же признает: «Много невозможного получается, если вообще отрицать
существование бесконечного,— это тоже очевидно», «О бытии можно говорить
либо в возможности, либо в действительности, а бесконечное получается либо при-
бавлением, либо отнятием», иными словами, «величина не может быть бесконечной
актуально, об этом уже сказано, но она может быть беспредельно делимой». Напри-
мер, по Аристотелю, отрезок нельзя рассматривать как бесконечное множество то-
чек, выстроенных в линию, однако допускается деление отрезка пополам неограни-
ченное число раз.
О роли бесконечности в математике Аристотель писал: «Наше рассуждение...
не отнимает у математиков их исследования, ведь они теперь не нуждаются в таком
бесконечном и не пользуются им; надо только, чтобы ограниченная линия была та-
кой величины, как им [математикам] желательно».
Хотя с точки зрения математики важнее другое его высказывание: «Всякую ко-
нечную величину [всегда] можно исчерпать любой определенной величиной». Это
так называемая аксиома Архимеда о непрерывности. В действительности эту акси-
ому впервые сформулировал и использовал Евдокс, ученик Платона. Этот принцип
позволил Евдоксу преодолеть кризис, возникший после того, как были открыты
несоизмеримые величины. Аксиома Архимеда позднее упоминается в «Началах»
Евклида в виде определения: «Говорят, что величины имеют отношение между со-
бой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга». На основе этой аксиомы
Евдокс построил так называемый метод исчерпывания — строгий метод расчета
24
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
площадей и объемов, который использовался, помимо прочего, для доказательства
того, что площади кругов относятся как квадраты их диаметров. Это отношение мы
называем числом Л. Метод исчерпывания и, в частности, это утверждение позднее
использовал Евклид в «Началах».
Архимед
Однако настоящим мастером метода исчерпывания, вне всяких сомнений, был Ар-
химед. В нескольких трудах он изложил свою аксиому о непрерывности: «Если име-
ются две неравные площади, то, постоянно прибавляя к самому себе избыток, на ко-
торый большая площадь превосходит меньшую, можно получить площадь, которая
была бы больше любой заданной ограниченной площади», — писал он в «Квадра-
туре параболы». Однако он признавал, что не был первооткрывателем этого метода:
«Этой леммой пользовались и жившие ранее геометры»,— писал он, имея в виду
Евдокса.
Архимед применял метод исчерпывания для решения многих задач. Мы уделим
внимание одной из них, посвященной расчету площади спирали. Ученый рассматри-
вал спираль, определение которой мы приводили в главе 1: эта спираль получается
равномерным движением точки вдоль луча, который, в свою очередь, равномерно
ПАЛИМПСЕСТ АРХИМЕДА
В 1906 году датский эрудит Йохан Людвиг Гейберг обна-
ружил в Константинополе палимпсест - древнюю руко-
пись, где сохранились следы более ранней рукописи с тру-
дами Архимеда. Поверх этого математического трактата
был написан молитвенник для воскресных служб и других
христианских праздников. Среди найденных работ была
и ранее неизвестная - «Метод». Судя по особенностям
почерка, рукопись относится примерно к 975 году н. э.,
а религиозные тексты, написанные поверх нее, датируют-
ся примерно 1229 годом.
25
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
вращается вокруг своего начала. Архимед показал, что площадь первого витка спи-
рали равна трети площади круга, радиус которого равен длине пути, пройденного
точкой вдоль прямой во время первого витка. Чтобы доказать это, он построил фи-
гуру несколько меньшей площади, состоявшую из п круговых секторов, полученных
делением окружности на п равных частей, и другую фигуру большей площади, так-
же состоявшую из п круговых секторов, в которую была вписана спираль, как по-
казано на рисунке:
Эти приближенные вычисления аналогичны тем, что используются сегодня при
расчете площадей кривых в полярных координатах с помощью интегралов, и абсо-
лютно эквивалентны разбиению площади под графиком кривой на прямоугольники
при определении на заданном интервале определенного интеграла функции.
Именно по этой причине Архимед считается одним из авторов первых, прими-
тивных аналогов интегрального исчисления.
Однако существует и другая причина, по которой Архимед удостоился этого по-
четного звания. К сожалению, эта причина никак не повлияла на математиков по-
следующих эпох. Речь идет об утерянном трактате Архимеда «Метод».
Эвристические рассуждения Архимеда, приводимые в этой книге, также пред-
шествовали созданию интегрального исчисления. Похожие идеи появились в мате-
матике лишь спустя две тысячи лет после Архимеда, в XVII веке. Идея Архимеда
противоречила аристотелеву отрицанию актуальной бесконечности.
Его революционная гипотеза состояла в том, что площадь рассматривалась как
совокупность отрезков, а объем — как совокупность площадей. Так, прямоугольник
представлялся как совокупность отрезков, параллельных его стороне, а цилиндр —
26
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
как совокупность кругов, параллельных его основанию. Эти совокупности обяза-
тельно должны были быть бесконечными — здесь и появляется актуальная беско-
нечность, которую отрицал Аристотель.
ЗНАЧЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОСТИ
Архимед также был пер зым греческим математиком, вычислившим сумму бесконечного числа
слагаемых. Он рассматривал следующую сумму:
,111
14--!- —af--+...
4 4* 1 2 43
Ее требовалось рассчитать, чтобы определить площадь, ограниченную участком параболы.
1
Несмотря на бесконечное число слагаемых (все они являются степенями -), значение суммы
4
конечно. Чтобы вычислить его, Архимед применил следующий прием: он умножил сумму на
1-1. Получим:
4
(,11 1 V, Й , 1 1 1 1 (, 1 1 1 1
1ч 1 уЧ -Ч-... 1 I —1ч- —Ч уЧ у+----1ч 1 уЧ уЧ-... =
( 4 42 43 J ( 4 J 4 42 43 4 ( 4 42 43 J
=1+1+J_+J_+ _1__1_1___!__ =1
4 + 42 + 43 4 42 43 44
Теперь разделим результат на (1-1/4). Так как 1-1=1, при делении получим:
4 4
,111 4
4 42 43 3’
Тот факт, что сумма бесконечного числа слагаемых равна конечному числу, доказывает, по-
чему Ахиллес в действительности сможет догнать черепаху в знаменитой апории Зенона: сумма
бесконечного числа временных интервалов, каждый из которых равен половине предыдущего,
является конечной.
Как мы уже говорили, эта идея снова появилась в математике лишь в XVII веке,
в работах Бонавентуры Кавальери, Iperyapa де Сен-Венсана и других, о чем мы
расскажем позднее. Этим математикам были известны труды Архимеда, которые
были напечатаны примерно в середине XVI века, но не «Метод», поэтому они были
вынуждены заново открыть этот прием, сыгравший основную роль в появлении ис-
числения.
27
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
Согласно хроникам, Архимед погиб от рук солдата при захвате Сиракуз римлянами в 212 году до н. э.
На иллюстрации — мозаика, найденная на раскопках Помпеи.
От Архимеда до XVII века
Лишь в XVII веке математики овладели приемами, описанными в трудах Архимеда,
что ускорило появление анализа бесконечно малых. Следует упомянуть, что до того
ученые Средневековья и эпохи Возрождения совершили несколько открытий, без
которых было бы невозможно появление математического анализа. Однако важней-
шие из них не связаны напрямую с исчислением, поэтому мы расскажем о них лишь
вкратце. Речь идет в первую очередь о потере и повторном обретении и освоении
наследия древних греков. Ключевую роль также сыграло распространение по всей
Европе индийской системы счисления. Этот длительный и непростой процесс на-
чался в X веке, а позднее, в XIII—XVI веках, на севере Италии возникли школы
абака — образовательные центры для тех, кто занимался торговлей.
В конце XVI века десятичная система счисления также начала применяться для
записи рациональных и иррациональных чисел. Решающую роль в ее распростране-
нии наряду с Франсуа Виетом (1540—1603) сыграл Симон Стевин (1548—1620),
хотя использованная им нотация была не совсем удобной. Стевин, уроженец бель-
гийского города Брюгге, развил свою идею по причинам практического характера:
«Десятичная система счисления есть класс арифметики, в основе которого лежит
идея о прогрессии с основанием 10, где используются арабские цифры так, что в этой
28
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
системе может быть записано любое число; и любая операция, с которой мы имеем
дело в торговле, может быть выполнена с помощью только целых чисел, без исполь-
зования дробей». Он предложил унифицировать единицы мер и весов, а также де-
нежные единицы с применением новой системы счисления, но эта идея была вопло-
щена в жизнь лишь после Великой французской революции.
Некоторое время спустя идее Стевина последовали другие авторы, которые ис-
пользовали современную нотацию с точкой (или запятой) для отделения десятичной
части от целой. Среди них был шотландский барон Джон Непер (1550—1617), один
из создателей логарифмов. Логарифмы появились в начале XVII века и были тесно
связаны с открытием анализа бесконечно малых. Независимо от Непера логарифмы
придумал и швейцарец Пост Бюрги (1552—1632). Изначально они использовались
как вспомогательные функции в числовых расчетах, чтобы упростить умножение
больших чисел в астрономических вычислениях. Нетрудно представить, сколько
времени нужно было потратить на умножение множества подобных чисел и сколь
велик был риск ошибиться. Джон Непер писал: «Ничто не причиняет столько про-
блем при занятиях математикой и не делает вычисления столь неприятными и за-
труднительными, как умножение, деление и извлечение квадратных и кубических
корней из больших чисел. Операции эти помимо потери времени в большинстве слу-
чаев являются источником ошибок».
Чтобы упростить умножение больших чисел, в то время использовался метод под
названием простаферезис. В его основе лежала тригонометрическая формула, с по-
мощью которой произведение преобразовывалось в сумму. По сути, Джон Непер
создал логарифмы с целью упростить этот метод: ему были нужны таблицы, с по-
мощью которых можно было бы напрямую преобразовывать произведения в суммы.
Метод простаферезиса заключается в следующем. Допустим, мы хотим пере-
множить два больших числа пит. Пусть они состоят из восьми цифр каждое —
стандартная ситуация для астрономических расчетов тех времен. Для этого найдем
в таблице значений косинусов два числа а и b такие, что п — cos а, т — cos b. Затем
с помощью таблицы определим значения cos (а — b) и cos (а + Ь), после чего при-
меним следующую формулу:
cos(a + b)+ cos(a—fe) ,
----------------— cos а • cos b=n-m.
2
Если бы мы выполняли умножение напрямую, нам нужно было бы последова-
тельно восемь раз умножить первое число на каждую цифру второго, после чего
сложить восемь полученных чисел из восьми или девяти цифр каждое. С помощью
29
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
вышеприведенной формулы и тригонометрических таблиц мы свели умножение
к трем операциям сложения и простому делению на 2.
Метод простаферезиса был в некотором роде техническим инструментом: он по-
зволял сэкономить время при расчетах, и его можно считать примитивным алгорит-
мом для вычислительной машины. Поэтому в течение определенного времени он
держался в секрете и был доступен лишь немногим избранным. Непер, например,
узнал об этом методе не самым обычным способом. Эта история больше напоминает
сюжет приключенческого романа. Джон Крэйг, врач шотландского короля и друг
Непера, в конце XVI века совершил путешествие в Данию, чтобы подобрать коро-
лю невесту. Корабль попал в шторм, и ему пришлось причалить к побережью вблизи
лучшей обсерватории того времени, которую Тихо Браге построил на острове Вен
между Данией и Швецией. Путешественников приютили в обсерватории, и, пока
бушевал шторм, Крэйг познакомился с методом простаферезиса, а по возвращении
в Шотландию обучил ему Джона Непера.
До XVII века было совершено крайне мало открытий, напрямую связанных
с анализом бесконечно малых. Можно упомянуть о французском философе Николае
Орезмском (ок. 1323—1382). Он дал примитивное определение понятия функции
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НИКОЛАЯ 0РЕЗМСК0Г0
По словам самого Николая Орезмского, причина, по которой сумма гармонического ряда
,1111
1+-+-+—+-+...
2 3 4 5
равна бесконечности, такова: «К величине, равной 1, прибавим и следующие дроби,
2 3 4
сумма которых равна бесконечности. В самом деле из членов этого ряда можно составить бес-
конечное число групп, сумма которых будет больше -1.
111 2 1
Так, -+- больше 2, так как каждое из двух слагаемых больше -.
3 4 2 4
Аналогично,
1111
5 6 7 8
1 1
больше -, так как каждое из четырех слагаемых больше
2 8
Аналогично
2 л 1
9 + 10+ +16
1 1
больше -, так как каждое из восьми слагаемых больше —, и так до бесконечности».
2 16
30
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
и ее графического представления: «Всё, что изменяется — реально ли измерить его
или нет — можно вообразить как непрерывную величину, представленную отрез-
ком». Он также внес вклад в изучение бесконечных рядов, впервые доказав, что
сумма
равна бесконечности.
Наука в Европе XVII века
Перед тем как рассказать об открытиях, совершенных в XVII веке, в результате
которых появился анализ бесконечно малых, будет уместно описать ситуацию в ев-
ропейской науке начала XVII века.
Во-первых, нужно уточнить, что математика и наука в целом тогда не были уде-
лом профессионалов, как в наше время. В университетах не проводились научные
исследования, а полученные результаты обычно не изучались более подробно —
можно сказать, что это было не принято. Почти никто из ученых, о которых мы рас-
скажем на следующих страницах, не был профессиональным математиком: некото-
рые были юристами, другие — архитекторами, дипломатами, богословами, и лишь
очень немногие зарабатывали на жизнь математикой или же были как-то связаны
с университетами. Поэтому когда мы называем кого-либо математиком, это озна-
чает, что этот ученый внес вклад в развитие математики, но мог иметь совершенно
иную сферу профессиональных и научных интересов.
Это привело к ряду неудобств. Исследователи объединялись вокруг одного уче-
ного или любителя науки, подобные группы часто были изолированными друг
от друга или враждовали, что было вызвано вопросами патриотизма или спорами
о научных состязаниях или турнирах, которые в ту эпоху проводились очень часто.
По всем этим причинам полученные результаты распространялись неэффективно:
как правило, о них упоминали в письмах друзьям или знакомым, далее, спустя неко-
торое время (иногда крайне длительное) эти знания оформлялись в виде книг, кото-
рые также не становились достоянием широкого круга.
В этих условиях лучшее математическое образование давали не университеты,
а отдельные ученые. Одним из ведущих научных обществ первой полови-
ны XVII века была Accademia Nazionale dei Lincei (Национальная академия деи
Линчеи), в которой состоял Галилей. Академия была основана в Риме в 1603 году
31
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
и прекратила свое существование спустя 30 лет. Центром, возможно, важнейшего
научного общества был монах францисканского ордена минимов Марен Мерсенн
(1588—1648). Мерсенн, который жил в Париже начиная с 1610-х годов, создал
кружок математиков и ученых, встречи которого проводились еженедельно. Мер-
сенн помогал многим европейским ученым и философам поддерживать переписку
с Дезаргом, Ферма и Паскалем (последний начал посещать встречи кружка в конце
1630-х, будучи еще подростком). Кружок также способствовал распространению
философских трудов Декарта и астрономических трактатов Галилея. Помимо орга-
низаторской работы, Мерсенн также внес вклад в математику и акустику.
В начале XVII века было восстановлено практически все математическое и на-
учное наследие Древней Греции, сохранившееся после бурных времен Средневеко-
вья. Хотя «Начала» Евклида и другие базовые труды были хорошо известны и изу-
чены, более глубокие и сложные трактаты, в частности книги Архимеда, были по-
няты лишь несколько десятилетий спустя. Их освоение сыграло решающую роль
в создании анализа бесконечно малых. Некоторые из отцов-основателей исчисле-
ния, в частности Валлис и Барроу, имели в личной библиотеке экземпляры трудов
Архимеда. Достаточно сказать, что Архимед был наиболее цитируемым автором
во всех книгах о вычислении площадей и объемов, написанных в течение всего этого
столетия.
Однако один из аспектов математики Архимеда и древнегреческой математики
вообще радикально изменился. Речь идет о логической строгости изложения. Мате-
матика XVII века была намного менее строгой и четкой, чем древнегреческая. Мо-
жет показаться, что это был шаг назад, однако именно эта смена парадигмы в итоге
позволила преодолеть границы, обозначенные в древнегреческой математике,
и, в частности, создать математический анализ. В отличие от ученых Древней Гре-
ции, математиков XVII века интересовали открытия, а не безупречно строгие до-
казательства.
Чем была вызвана эта смена парадигмы? Этому можно привести различные объ-
яснения, в том числе и философские: ученые XVII века не находились под влиянием
философии Платона, которой и была обусловлена строгость логического изложе-
ния, свойственная греческой математике. Причины этому могут носить историче-
ский характер: XVI и XVII века были временем самых разнообразных открытий:
географических (открытие Америки в конце XV века стало результатом не точных
логических рассуждений, а, напротив, ошибки Колумба при вычислении радиуса
Земли), астрономических (гелиоцентрическая теория Коперника), медицинских
32
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
(кровообращение) и технических (изобретение книгопечатания Гуттенбергом, соз-
дание микроскопа и телескопа).
Математики предпочитали уделять основное внимание разработке новых мето-
дов, с помощью которых можно было совершать открытия, не заботясь о логической
строгости этих методов. В рамках такого подхода бесконечность использовалась без
аристотелевских ограничений, и бесконечно малые и бесконечно большие величи-
ны стали применяться очень широко. Изначально они применялись для вычисле-
ния площадей, объемов, углов наклона касательных, центров тяжести, максимумов,
минимумов и так далее. Решением этих задач занималась целая плеяда математи-
ков начала XVII века, так называемые предшественники математического анализа.
Позднее бесконечно малые позволили Ньютону и Лейбницу создать две похожие
версии анализа бесконечно малых. Наконец, уже в XVIII веке Эйлер, несомненно,
БЕСКОНЕЧНОСТЬ КАК НЕЧТО БОЖЕСТВЕННОЕ
Существует еще одна причина, которую можно назвать теологической, благодаря которой
в XVII веке бесконечность стала использоваться более свободно, чем в Древней Греции. Это
связаь о с восприятием бесконечности как атрибута всемогущего христианского Бога. Следуя
заветам Аристотеля, богословы отказывали человеку в возможности понять актуальную бес-
конечность, но им не оставалось другого выбора, кроме как перевести это понятие в область
богословия. Так, Фома Аквинский рассматривал Бога как полную и всеобъемлющую актуальную
бесконечность.
Такая трактовка достаточно часто встречается в трудах философов XVII века. Подтвержде-
ние этому мы находим у Декарта: «Мыслю некоего вышнего Бога - вечного, бесконечного,
всеведущего, всемогущего, творца всех сущих, помимо него самого, вещей», а также: «Что же
до Бога, я считаю его столь бесконечным, что к его совершенству ничего уже нельзя добавить»;
у Спинозы: «Под Богом я разумею существо абсолютно бесконечное (ens absolute infinitum),
то есть субстанцию, состоящую из бесконечно многих атрибутов, из которых каждый выражает
вечную и бесконечную сущность», а также у Лейбница: «Следует считать, что эта божественная
субстанция, неделимая, универсальная и непреложная, не должна иметь пределов и содержать
всю реальность, какую только возможно».
Некоторые из этих философов также были учеными и математиками. Лейбниц, например,
был одним из создателей математического анализа. Ньютон, еще один из отцов-основателей
анализа, также был богословом и верил во всемогущего Бога.
33
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
великий знаток бесконечного, создал математический анализ, в котором функции
изучались с помощью методов анализа бесконечно малых.
Если говорить об обстоятельствах, способствовавших созданию исчисления, сле-
дует упомянуть еще об одном крупном направлении в математике XVII века — ана-
литической геометрии.
Аналитическая геометрия позволила сопоставить кривым уравнения. Например,
окружности единичного радиуса, то есть кривой, все точки которой отстоят на одну
единицу от фиксированной точки, называемой центром, соответствует уравнение
х2 + у2 = 1. Также стало возможным сопоставить уравнениям кривые, в результате
чего математики смогли изучить намного больше кривых. Теперь, чтобы задать но-
вую кривую, вместо определения ее геометрических свойств требовалось лишь на-
писать соответствующее уравнение. Кроме того, стало возможным применение ал-
гебраических методов для решения геометрических задач, в частности задач на вы-
числение площадей, определение углов наклона касательных и так далее.
На смену частным геометрическим методам пришли более общие — алгебраиче-
ские. Например, расчет угла наклона касательной для разных кривых радикально
отличался, а методы алгебры, в частности нахождение производной, позволяли
определять угол наклона касательной одним и тем же способом для всех кривых.
Для этого достаточно было использовать алгоритм, созданный на основе правил вы-
числения производной.
Следует осознать всю важность открытия этих общих правил, скрытых за неи-
моверным числом частных результатов, которые были накоплены за первые три
четверти XVII века. Именно общие правила аналитической геометрии позволили
Ньютону и Лейбницу стать первооткрывателями математического анализа.
Вычисление квадратуры и кубатуры
Вернемся в начало XVII века и расскажем подробнее о методах анализа бесконечно
малых, ставших основой математического анализа. Начнем с методов вычисления
площадей и объемов, или, говоря языком той эпохи, расчета квадратур и кубатур.
Из всех методов, появившихся в первой трети этого столетия для решения по-
добных задач, наиболее важным был метод неделимых, предложенный учеником Га-
лилея, преподавателем Болонского университета Бонавентурой Кавальери (1598—
1647). В одном ряду с ним стоят только методы вычисления объема, разработанные
Кеплером, которые использовались австрийскими виноделами при изготовлении
бочек.
34
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
Можно сказать, что в основе метода неделимых лежали принципы, предложен-
ные еще Архимедом. Кавальери рассматривал площади фигур как множество ли-
ний, объемы — как множество плоских сечений. Множество линий, образующих
плоскую фигуру, Кавальери называл omnes linae («все линии»). Стало возможным
сравнение площадей любых двух плоских фигур путем сравнения соответствующих
им omnes linae: согласно Кавальери, «фигуры относятся друг к другу, как все их ли-
нии, взятые по любой регуле», как показано на иллюстрации.
Метод Кавальери был применим не только для расчета площадей, но также для
расчета объемов тел. Он попытался разработать целую теорию неделимых, которая
позволила бы доказать полученные им результаты без использования понятия бес-
конечности (как строили свои доказательства древнегреческие математики). Одна-
ко в его рассуждениях очевидно используется актуальная бесконечность. Это стало
определенным преимуществом, так как именно явное присутствие бесконечности
привело к тому, что метод Кавальери оказался более гибким, пусть и менее строгим,
чем метод исчерпывания, к которому прибегали греки. С помощью своего метода
неделимых Кавальери вычислил площадь фигур, ограниченных параболой общего
вида хп для п = 3, 4, 5, 6 и 9. Тем самым он намного опередил Архимеда, который
провел расчеты площади лишь для параболы и спирали, которым соответствовала
функция X .
По сравнению с открытыми позднее способами вычисления площадей и объемов
метод неделимых Кавальери обладает рядом недостатков: он недостаточно общий,
слишком зависит от геометрических рассуждений, не говоря уже о логической не-
безупречное™. Однако этот метод позволил найти новые квадратуры и кубатуры
и превзойти результаты, полученные древнегреческими математиками.
35
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
Кроме того, недостатки этого метода вскоре удалось преодолеть. Так, Эвандже-
листа Торричелли (1608—1647), друг Кавальери, мастерски использовал этот ме-
тод и нашел различные строгие доказательства в стиле древнегреческих математи-
ков, а Ферма, Паскаль и Валлис, а также Роберваль (1602—1675) и его метод бес-
конечно малых преобразовали геометрический метод Кавальери в алгебраический,
благодаря чему он стал более общим и его стало возможно применять более широко.
Фрагмент мраморной статуи Бонавентуры Кавальери,
хранящейся в Академии искусств Милана. Ученый
изображен размышляющим над бесконечно малыми
величинами.
Перед рассказом о том, как Валлис усовершенствовал метод Кавальери, остано-
вимся на личности Грегуара де Сен-Венсана (1584—1667), иезуита, ученика Хри-
стофора Клавия и придворного учителя короля Испании Филиппа IV. По поруче-
нию папы Григория XIII Сен-Венсан разработал новый календарь и поощрял заня-
тия математикой среди иезуитов. Он совершил значимые открытия во многих об-
ластях. Так, он расширил геометрический метод интегрирования, который позднее
оказал влияние на работы Паскаля. Однако эта работа была опубликована с замет-
ным опозданием — лишь в 1647 году, хотя была завершена в конце 1620-х годов.
К тому времени Сен-Венсан стал уделять больше внимания алгебраическим мето-
дам, разработанным под влиянием аналитической геометрии. Он также был автором
работы о геометрических рядах, которую Гюйгенс рекомендовал к изучению Лейб-
ницу. Результаты, полученные в этой работе, Сен-Венсан использовал в обсужде-
нии знаменитой апории Зенона об Ахиллесе и черепахе. Он указывал, что Зенон
36
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
не учел, что отрезки, которые нужно пройти Ахиллесу, образуют геометрическую
прогрессию со знаменателем 1 /2 и, несмотря на то что эта прогрессия имеет беско-
нечное множество членов, ее сумма является конечной. Однако наиболее значимым
вкладом Сен-Венсана, на наш взгляд, является обнаружение связи между логариф-
мами и площадью фигуры, ограниченной гиперболой. Выражаясь языком той эпохи,
он доказал, что если длина интервалов возрастает геометрически, то площадь фигу-
ры увеличивается арифметически, что показано на иллюстрации.
Теперь пришло время рассказать о Джоне Валлисе (1616—1703), одном из осно-
вателей Лондонского королевского общества и главе кафедры геометрии в Оксфор-
де с 1649 года. Возможно, этот пост был пожалован ему за то, что он расшифровал
перехваченные сообщения роялистов во время Гражданской войны в Англии. В би-
блиотеке Валлиса были двуязычные издания трудов греческих авторов (на латин-
ском и греческом языках), в том числе Архимеда. Валлис также был автором грам-
матики английского языка (1653).
Он видоизменил метод неделимых Кавальери, присвоив им числовые значения.
Таким образом, на смену геометрическим преобразованиям при вычислении площа-
дей фигур пришли арифметические расчеты. Кроме того, Валлис ввел примитивную
операцию, подобную переходу к пределу. Валлис достаточно свободно использовал
бесконечные процессы (стоит напомнить, что именно он является автором знака
бесконечности °°, который мы используем и поныне), сделав тем самым еще один
шаг от безупречной логической строгости к открытию новых, более мощных мето-
дов. Степень этих изменений можно увидеть, если обратить внимание на названия
трудов Кавальери и Валлиса: труд Кавальери носил название Geometria indivisibilibus
37
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
continuorum nova quadam ratione promota, книга Валлиса — Arithmetica infinitorum.
Труд Валлиса отличается общим характером арифметических и алгебраических рас-
четов по сравнению с частными геометрическими доказательствами Кавальери; он
также полностью использует широкие возможности бесконечности, в то время как
Кавальери вынужден формулировать строгие и логичные доказательства в древне-
греческом стиле, что, безусловно, накладывало свои ограничения. Показательным
для того времени является следующий комментарий Валлиса относительно недоста-
точной логической строгости его метода: «Этот метод является в высшей степени
еретическим, однако его можно подтвердить с помощью хорошо всем известного
метода вписанных и описанных фигур, что излишне, поскольку частые повторения
отвлекают читателя. Любой сведущий в этом предмете может выполнить такое до-
казательство». Это один из немногих случаев, когда в книге фигурирует термин «до-
казательство». Будучи под впечатлением от созданного им арифметического метода,
с помощью неполной индукции и интуиции Валлис смог рассчитать площадь всех
парабол вида хг, где г — любое рациональное число, не равное —1. Более того, ему
удалось найти удивительную формулу для расчета числа TI:
д __ 2-4-4-6-6-8- 8—
4 “ 1-3-3-5-5-7-7-...
Арифметические методы Валлиса для вычисления площадей оказали огромное
влияние на Ньютона, который подтвердил, что идеи о биноме и других основных
понятиях математического анализа возникли у него после тщательного изучения
книги Валлиса во время учебы в Кембридже. Сам Валлис предложил любопытную
родословную анализа бесконечно малых.
1. Метод исчерпывания (Архимед).
2. Метод неделимых (Кавальери).
3. Арифметика бесконечного (Валлис).
4. Метод бесконечных рядов (Ньютон).
Центры тяжести
С расчетом площади и объема тесно связана задача об определении центра тяжести.
В конце XVI века, после того как был обнаружен труд Архимеда «О равновесии
плоских фигур», некоторые математики начали уделять внимание решению подоб-
ных задач. Среди них были два переводчика трудов Архимеда на латынь Франческо
38
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
Мавролико (1494—1575) и Федерико Коммандино (1509—1575), а также Симон
Стевин, который систематизировал и упростил методы Архимеда.
Несколько позднее появились работы швейцарского математика Пауля Гюльдена
(1577—1643), который повторно открыл теорему об объемах тел вращения и цен-
трах тяжести, известную как теорема Гюльдена, хотя она упоминается еще в «Со-
брании» Паппа Александрийского: «Объем тела вращения равен площади фигуры,
умноженной на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси
вращения до центра тяжести фигуры». Гюльден вел ожесточенный спор с Кавалье-
ри (оба они были иезуитами) о методе неделимых: швейцарец обвинял Кавальери,
с одной стороны, в плагиате кеплеровских идей, с другой — в отсутствии логической
последовательности при рассмотрении площади как совокупности отрезков. Гюль-
дену удалось привести простое и элегантное геометрическое построение, где метод
неделимых Кавальери вел к противоречию. Однако доказательство Гюльдена, ко-
торое он привел для своей теоремы, изобиловало метафизическими рассуждениями
и было еще более спорным, чем методы Кавальери. Последний не замедлил указать
на это в ответ на нападки Гюльдена.
Расчет угла наклона касательной
Методы анализа бесконечно малых, связанные с расчетами угла наклона касатель-
ной, наряду с задачами вычисления объемов и площадей относятся к числу задач,
изучение которых привело к появлению математического анализа.
Само понятие касательной, «прямой, которая касается кривой в одной точке»,
вызвало множество трудностей, так как с помощью аналитической геометрии Фер-
ма и Декарта можно было с легкостью вводить новые кривые, и, как следствие,
предметом изучения математиков стал широкий спектр различных кривых. В этом
смысле интересный пример представляют логарифмы, появившиеся как средство
упрощения операций умножения, деления и извлечения корня из больших чисел, что
использовалось в астрономических наблюдениях. Это позволило составить очень
точные таблицы положений звезд и небесных тел. В итоге была введена логарифми-
ческая функция и соответствующая ей кривая, для которой можно вычислить огра-
ниченную ею площадь, угол наклона касательной и так далее. Рост числа изучаемых
кривых привел к тому, что старое определение касательной как прямой, которая ка-
сается кривой в одной точке, стало не вполне удобным. Кроме того, потребовались
новые методы нахождения касательных к новым кривым. Следует упомянуть метод,
предложенный Ферма, также применимый в задачах определения максимумов
39
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
и минимумов и для спрямления кривых. В знак признания этих и других работ о ква-
дратурах некоторые французские математики XVII века (французом был и Ферма)
считали его создателем математического анализа. Важность этих результатов Фер-
ма несколько преувеличена, но сам Ньютон в письме, найденном в 1934 году, при-
знавал, что в своих работах по математическому анализу он опирался на метод каса-
тельных Ферма: «Указание я получил из метода касательных Ферма. Применив его
к абстрактным уравнениям прямым и обратным способом, я придал этому методу
общий характер». Как бы то ни было, Ферма, «король среди любителей», как на-
зывал его шотландский математик и писатель Эрик Темпл Белл, имея в виду его
непрофессиональные занятия математикой, занимает почетное место в истории на-
уки. Это право он заслужил не только за предполагаемое доказательство своей зна-
менитой теоремы, для которого оказались «слишком узки» поля книги.
Другие математики, помимо Ферма, также разработали новые методы для опре-
деления углов наклона касательных, но практически во всех использовались беско-
нечно малые величины. Так, можно упомянуть Роберваля и его кинематический ме-
тод для нахождения касательной к спирали, который также использовали Галилей,
Торричелли и Архимед. Заслуживает упоминания Декарт и его метод, представлен-
ный в труде «Геометрия», а также Барроу, Худде, де Слюза и их псевдо дифферен-
циальные методы. Все они обладали схожими недостатками: они были в достаточ-
ной степени применимы к алгебраическим кривым, но требовали изменений для
каждой конкретной кривой, что было чрезвычайно сложно, а иногда и вовсе невоз-
можно сделать для трансцендентных кривых. Все эти методы были унифицированы
с помощью дифференциала, введенного Лейбницем, и флюксии, введенной Ньюто-
ном. Эти понятия были близки к современной производной.
В середине этого же столетия возник важный класс задач, имевший большое
историческое значение, в которых требовалось определить кривую по известным
свойствам ее касательной. Первую задачу такого типа сформулировал юрист и уче-
ник Декарта Флоримон де Бон (1601—1652). Возможно, самой известной из пред-
ложенных им задач является задача о нахождении кривой с постоянной подкаса-
тельной. Эту задачу не удалось решить самому Декарту, и вся слава досталась
Лейбницу: как вы увидите чуть позже, он привел решение в первой в истории книге
по анализу бесконечно малых и тем самым продемонстрировал всю мощь созданно-
го им метода.
Для создания математического анализа обязательно (и неизбежно) требовалось
признать, что задачи о касательной и о квадратуре являются обратными друг другу.
Говоря современным языком, необходимо было показать, что дифференцирование
40
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
и интегрирование — взаимно обратные операции. Именно в этом заключается ос-
новная теорема анализа, которая неспроста носит это название. Этот факт был из-
вестен Ферма, Торричелли и прежде всего Барроу, однако по причинам, о которых
мы расскажем позднее, они не поняли всю его важность для решения задач, его зна-
чимость как связующего элемента двух классов задач — о касательных и квадрату-
рах. Основная теорема анализа указала математикам путь, которым нужно следо-
вать: выделять общее и наиболее значимое из множества частных случаев.
Исаак Барроу (1630—1677) был одним их тех гигантов, о которых говорил
Ньютон в письме Роберту 1уку в феврале 1676 года: «Если я видел дальше других,
то потому, что стоял на плечах гигантов» (из главы 3 вы узнаете, что эта фраза до-
пускает еще одно, достаточно нелицеприятное толкование). Барроу был учителем
Ньютона в Кембридже и первым Лукасовским профессором математики. Он оста-
вил этот пост в 1669 году (его заменил Ньютон), занялся богословием (он был ан-
гликанским пастором с 1660 года) и стал духовником короля Англии Карла II. Воз-
можно, он подошел ближе всех к открытию математического анализа, за исключе-
нием Ньютона и Лейбница. Ему не хватало самой малости — знаний аналитической
геометрии. Барроу создал метод нахождения касательных, очень похожий на вы-
числение производной. Кроме того, он добился важных результатов при решении
задач по расчету площадей, а также доказал, что задачи нахождения касательной
Исаак Барроу был учителем Ньютона.
Его работы лежат в основе анализа
бесконечно малых.
41
ОТ АРХИМЕДА ДО XVII ВЕКА: ИСТОКИ
и задачи на вычисление площади являются обратными. Возможно, он руководство-
вался идеями Торричелли, с которым познакомился во время путешествия во Фран-
цию, Италию, Германию, Голландию и Константинополь, когда ему пришлось по ре-
лигиозным мотивам покинуть Англию, где в то время правил Оливер Кромвель. Его
доказательство приводится в лекции X его книги Lectiones geometricae. Оно являет-
ся чисто геометрическим и выполняется для монотонных кривых. В нем также ис-
пользуется старое определение касательной как прямой, которая касается кривой
в единственной точке.
Чего же не хватило Барроу, чтобы открыть анализ бесконечно малых? Ему тре-
бовалось перейти от частной задачи нахождения касательной к общей задаче опре-
деления изменения функции, то есть ввести понятие, эквивалентное понятию флюк-
сии у Ньютона или, с небольшими отличиями, понятию дифференциала у Лейбница,
а также разработать алгоритм расчетов (правила нахождения производной). Однако
для этого Барроу требовалась аналитическая геометрия: она позволила бы описать
кривые (геометрические объекты) с помощью формул (алгебраических объектов)
и перейти от задачи нахождения касательной к задаче определения производной
функции. Алгебраические методы были также обязательными для создания правил
вычисления производных. С другой стороны, без сведения процесса нахождения
кривой (вычисления производной) к простому алгоритмическому методу с воз-
можностью инвертирования (то, что мы называем вычислением первообразной) тот
факт, что задачи нахождения касательной и определения квадратуры являются вза-
имно обратными, был бы не слишком полезен. По эт< >й причине Барроу не осознал
всю значимость доказанного им утверждения. Барроу не нравилась алгебраизация
геометрии, выполненная Ферма и Декартом, что в итоге стоило ему авторства мате-
матического анализа. Он оставил этот почетный титул Лейбницу и Ньютону.
Математический анализ появился во время научной революции, продолжавшей-
ся весь XVII век, и решающую роль в этом сыграли два ученых первой величины:
Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц. О математическом анализе можно говорить
тогда, когда обобщены два базовых понятия (прообразы современной производной
и интеграла), разработаны алгоритмы их вычисления (правила вычисления произво-
дной) и показано, что эти понятия являются взаимно обратными (это утверждение
сегодня известно как основная теорема анализа). Для решения задач нахождения
касательной, максимумов и минимумов, квадратуры, центра тяжести и других, кото-
рыми занимались предшественники Лейбница и Ньютона, достаточно использовать
эти базовые понятия, должным образом интерпретированные, и применять алго-
ритм их вычисления, основанный на правилах, о которых мы рассказали в главе 1.
42
Глава 3
Ньютон, последний
из волшебников
День 13 июля 1936 года стал поворотным в изучении биографии Исаака Ньютона
и его наследия. В этот и последующий день на аукционе «Сотбис» было продано
332 лота: рукописи, письма и другие документы, принадлежавшие Ньютону. За-
путанная история рукописей Ньютона не лишена очарования, так как
она открывает перед нами истинный портрет ученого, более сложный и многогран-
ный, чем было принято считать в XVIII и XIX веках.
Сохранилось огромное количество рукописей, писем и других документов Нью-
тона, несмотря на то что, по его собственным словам, в последние месяцы жизни он
сжег большую часть писем, а также некоторые статьи невысокого качества, которые
не хотел передавать потомкам. Возможно, это и в самом деле было так, но стоит
отметить, что Ньютон окружил себя ореолом тайн и загадок, что сделало его прак-
тически легендарной фигурой. Взять хотя бы удивительную и всем известную исто-
рию с яблоком, принесшую ему славу гения. Сам Ньютон рассказал эту историю
Уильяму Стьюкли незадолго до своей смерти. Это одна из четырех дошедших до нас
версий; источником их всех является сам Ньютон, которому на тот момент было уже
за семьдесят.
Вот что пишет Стьюкли: «После обеда установилась теплая погода, мы вышли
в сад и пили чай в тени яблонь. Он [Ньютон] сказал мне, что мысль о гравитации
пришла ему в голову, когда он точно так же сидел под деревом. Он находился в со-
зерцательном настроении, когда неожиданно с ветки упало яблоко. „Почему ябло-
ки всегда падают перпендикулярно земле? — подумал он. — Почему не в сторону
и не вверх, а всегда к центру земли? “ Очевидно, причина состоит в том, что земля
притягивает его. Вещество должно обладать силой притяжения, и центр притяжения
к Земле должен находиться в центре Земли, а не где-либо еще. Поэтому яблоко
43
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
падает перпендикулярно земле в направлении ее центра. <...> Существует сила,
которую мы будем именовать гравитацией, простирающаяся на всю Вселенную».
Однако вернемся к истории с рукописями. После смерти Ньютона, который
не оставил завещания, произошла размолвка между восемью возможными на-
следниками — потомками двоих дочерей и сына матери Ньютона от второго брака
с протестантским священником Барнабой Смитом. За исключением любимой пле-
мянницы Ньютона Кэтрин Бартон и ее супруга Джона Кондуита, остальные на-
следники хотели без промедлений получить доход от наследства, поэтому в июле
1727 года, вскоре после смерти ученого, его библиотека была продана некоему Джону
Иллюстрация к истории о яблоке, после которой,
как говорят, у Ньютона и родилась идея о теории
всемирного тяготения.
44
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
Хаггинсу за 300 фунтов — на 30 фунтов больше изначально объявленной стоимо-
сти. Также были проданы все бумаги Ньютона, которые были готовы к публикации.
Документы и рукописи Ньютона, которые не удалось продать, перешли к дочери
супругов Кондуит, которую также звали Кэтрин. В 1740 году она вышла замуж
за виконта Ааймингтона. Далее бумаги перешли к их сыну, который стал графом
Портсмутским — отсюда и название «Портсмутская коллекция», под которым ча-
сто упоминают наследие Ньютона. В 1872 году было начато составление первой
описи бумаг Ньютона, для чего они были переданы в Кембриджский университет.
Результаты описи были опубликованы в 1888 году, после чего все документы вер-
нулись в семью графа Портсмутского, за исключением статей по математике, писем,
книг и других документов, которые были подарены университету семьей графа.
Остальные бумаги, как мы уже упоминали, были проданы на аукционе «Сотбис»
в 1936 году. К ним относились все рукописи об алхимии, химии и по вопросам, свя-
занным с британской казной; все материалы, собранные Джоном Кондуитом для
будущей биографии Ньютона; объемная переписка, юношеские дневники, рукописи
о хронологии, богословии и об анализе бесконечно малых, два удивительной красоты
портрета и посмертная маска. Всё это было продано в течение двух дней за сумму,
слегка превышавшую 9000 фунтов. Нетрудно представить, каково было разочаро-
вание нового графа Портсмутского, который выставил наследство на продажу, так
как остро нуждался в деньгах. Экономист Джон Мейнард Кейнс приобрел личные
документы и рукописи по алхимии, хронологии, истории и богословию, после чего
передал их Королевскому колледжу Кембриджа. Большая часть рукописей по бого-
словию была приобретена востоковедом Абрахамом Яхудой (он выменял некото-
рые документы у Кейнса), который завещал их Национальной библиотеке Израиля
в Иерусалиме, куда они поступили в 1966 году, после того как были улажены все
спорные вопросы с наследством.
Великий мыслитель
Интенсивнейшие работы по изучению трудов и личности Ньютона, проведенные
во время Второй мировой войны, с которыми не сравнятся никакие исследования,
посвященные другим ученым, можно считать своеобразной аллегорией этого аукци-
она, на котором было выставлено бесценное и практически нетронутое наследие сэра
Исаака Ньютона.
В результате представление о Ньютоне как ученом и человеке изменилось. Зна-
менитая фраза Джона Мейнарда Кейнса, произнесенная в ходе изучения коллекции
45
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
рукописей, приобретенной им на аукционе «Сотбис», отлично это иллюстрирует:
«Ньютон не был первым в эпохе рационализма. Он был последним из волшебни-
ков, последним из вавилонян и шумеров, последним великим умом, который взирал
на мир так же, как и те, что 10 000 лет назад начали формировать наше интеллекту-
альное наследие».
Ньютона представляли как ученого с большой буквы, отца современной физики,
первооткрывателя закона всемирного тяготения, автора глубоких исследований
о природе света и цветов, автора анализа бесконечно малых, великого мыслителя,
причем в создание этого образа внес вклад и сам ученый. Однако в его рукописях
перед нами предстает более сложный и вместе с тем более реальный портрет челове-
ка, который интересовался не только наукой, но и проблемами богословия, проводил
эксперименты в области алхимии, а также, помимо «Математических начал нату-
ральной философии» и «Оптики», написал непростые для понимания труды по би-
блейской хронологии. Их и при его жизни сложно было отнести к научным, однако
они более объемны, чем научные работы Ньютона.
Его карьера казалась безупречной. Будучи сравнительно молодым, он стал Лу-
касовским профессором математики в Кембридже, затем — членом британского
парламента, управлял Монетным двором и Лондонским королевским обществом.
Однако рукописи, проданные на аукционе, раскрывают постыдный секрет: по рели-
гиозным взглядам Ньютон был близок к еретическому арианству. Если бы это стало
известно, он немедленно лишился бы всех своих постов. Помимо статей о наиболее
подходящих сплавах для чеканки монет, рукописи содержат диатрибы, направлен-
ные против Святой Троицы, полные ужасных и сюрреалистичных эпизодов, близ-
ких к жестокому реализму и даже порнографии. Цитата из одной из многочислен-
ных рукописей Ньютона по богословию (в ней идет речь о пророчествах) дает общее
представление об этом: «И поскольку Римская церковь стала править над десятью
царями и прельстила их этой идолопоклоннической религией, обретя за счет этого
богатство и власть, она сравнима с женщиной, облаченной в пурпурные и алые ткани
и увешанной драгоценностями, которая восседает подобно королеве на семи холмах,
распутничает с земными царями и опьяняет народы своим распутством, наводняет
их золотом, серебром и драгоценными камнями, и жемчугом, и полотнами тонкой
46
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
Шотландский скульптор Эдуардо Паолоцци, вдохновленный знаменитым портретом
Уильяма Блейка, создал этот скульптурный образ Ньютона, воздвигнутый в 1995 году возле
Британской библиотеки в Лондоне.
работы, и шелками, и другими драгоценностями и обогащает земных купцов своею
роскошью». Не лишен иронии тот факт, что Ньютон, ярый противник Святой Тро-
ицы, был членом Тринити-колледжа (Колледжа Святой Троицы) в течение всего
периода, проведенного в Кембридже.
Трудное детство гения
Первое из череды событий, определивших непростой характер Ньютона, произошло
за три месяца до его рождения, в Рождество 1642 года по юлианскому календарю,
который в то время использовался в Англии. Этим событием стала смерть его отца.
Согласно Фрэнку Мэнюэлю, автору интересного психологического исследова-
ния о Ньютоне, опубликованного в 1968 году, с течением времени место отца заняла
фигура Бога Отца. Так, всю свою жизнь Ньютон искал истину с помощью науки,
богословия и алхимии, а его собеседником были не современники, а отец, фигуру
47
НЬЮТОН. ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
Чертеж телескопа Ньютона, который хранится
в Лондонском королевском обществе. Включен в сборник
его писем. На заднем плане расположена статуя ученого.
которого в представлении Ньютона заменил сам Бог Отец. Это объясняет, почему
Ньютон был столь непримирим по отношению к малейшей критике своих научных
трудов. В результате у него развился абсурдный страх публикации открытий, из-за
чего его труды по математике были изданы со значительным опозданием. Некото-
рые работы, посвященные главным образом анализу бесконечно малых, были опу-
бликованы спустя 40 и даже 50 лет после того, как были написаны, а некоторые
не были изданы вовсе. Всё это приводило к спорам, кто же первый открыл матема-
тический анализ: Лейбниц, который не боялся публиковать результаты своих тру-
дов, или Ньютон.
Эти споры разгорелись после выхода в свет его первой научной работы
в 1672 году. В январе того года Ньютон был избран членом Лондонского коро-
левского общества после того, как представил созданный им телескоп-рефлектор.
48
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
В следующем месяце он опубликовал свою первую работу в журнале Королевского
общества «Философские записки», в которой изложил новую теорию света и цвета.
Эта публикация вселила большие надежды в ученые круги Англии и всей Европы.
Тут же появились неизбежные критики и несогласные с работой Ньютона. Однако
это не были какие-то безвестные ученые: новую теорию света не принял Роберт 1ук,
считавшийся ведущим авторитетом в области оптики, и Христиан Гюйгенс, лидер
европейской науки. Ричард Вестфолл, автор лучшей биографии Ньютона, вышед-
шей в 1980 году, так объясняет результаты публикации: «Полемика, последовавшая
за публикацией, больше говорит о самом Ньютоне, чем об оптике. В течение восьми
лет он вел грандиозную борьбу за правду. Гениальность Ньютона требовала свою
цену. Восемь лет бессонных ночей, восемь лет непрерывного напряжения, в тече-
ние которых он искал Истину там, куда никогда раньше не ступал человеческий ра-
зум. Страх того, что глупцы отвлекут его внимание от новых сражений, которые он
вел в других областях, стала последней каплей. В 1672 году Ньютон уже работал
над своей теорией в течение шести лет, и она казалась ему очевидной. Однако все
остальные считали, что эта теория противоречит здравому смыслу, и отказывались
принять ее. Они не признавали силу и убедительность его доказательств, и Ньютон
быстро потерял интерес к дискуссии. Он был готов лишь к моментальному и всеоб-
щему принятию его теории. Необходимость защищать и объяснять то, что для него
было очевидно, и спровоцировала кризис».
В психологической интерпретации событий, предлагаемой Ф. Мэнюэлем, за-
дача Ньютона как исследователя, тот самый поиск Истины, о котором упомина-
ет Вестфолл, превращается в религиозную проблему. Его собеседником был Бог,
отождествляемый с отцом: «Неточность в тексте рукописи, провал эксперимента
или несерьезность его интерпретации не просто шли вразрез с научным методом,
но были греховными, подобно лжи во время исповеди. Ложь на исповеди была
тягчайшим преступлением, так как тем самым ставился под сомнение акт Божьего
творения». И еще: «Ошибка в научном методе уподоблялась греху, так как была
результатом лени и недостаточно усердного служения Богу. Для Ньютона грех был
не проявлением человеческой слабости, о котором можно забыть, но знаком того,
что грешник находится под властью зла».
В возрасте трех лет Ньютон пережил большую травму, одну из самых серьезных
в его жизни: его мать, Анна Эйскоу, вышла замуж за священника Барнабу Сми-
та, которому было 63 года, и прекратила отношения с сыном. Супруги поселились
в доме Смита в нескольких километрах от дома Ньютонов, где маленький Исаак
49
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
Гэавюра начала XIX века, на которой изображен отчий дом Ньютона в Вулсторпе близ
Гээнтема в английском графстве Линкольншир.
остался жить под опекой бабушки со стороны матери. Отделение от матери было
болезненным и сильно повлияло на личность Ньютона: он стал с величайшим подо-
зрением относиться ко всему, что можно было расценить как попытку лишить его
чего бы то ни было. Это объясняет ожесточенные споры о первенстве, которые он
вел с разными учеными, в особенности с Лейбницем, на протяжении всей жизни.
Мэнюэль так описывает последствия разлуки с матерью: «Мать Ньютона занимает
центральное место в его жизни. <...> Они были вместе в течение важнейшего пе-
риода в его жизни, и его фиксация по отношению к ней была абсолютной. Травма,
вызванная ее уходом, отрицание его любви породили в нем тоску, агрессивность
и страх. После безграничного обладания, в которое не вмешивался никто, даже
отец (как если бы речь шла о непорочном зачатии), мать отказалась от него и бро-
сила. Некоторые психологи указывают, что волнения, вызванные разлукой с ро-
дителями, выражаются острее всего, если родители покидают ребенка в возрасте
от 13 до 18 месяцев, другие указывают более ранний период в жизни ребенка. Так
как Ньютону на момент второго брака матери было уже 36 месяцев, этот наиболее
опасный период должен был завершиться. Однако близость нового материнского
дома могла еще больше усилить боль от потери. Элегантная колокольня церкви Се-
верного Уитхэма возвышалась над прочими постройками и виднелась на несколько
50
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
миль вокруг. Анна жила там со священником Смитом — едва ли в полутора милях
от дома, где жил ее сын. Ньютон так никогда и не оправился от травмы, которую
нанесла ему потеря матери по вине другого мужчины. Поэтому всякий раз, ког-
да кто-либо пытался отнять у него то, что он считал своим, его обуревала ярость
и одновременно грусть, вызванная этой первой и столь тяжелой потерей. Он считал,
что совершил все свои открытия и получил все титулы самостоятельно, и малейшая
угроза потерять их вызывала в нем мучительное беспокойство».
Его мать вновь овдовела в 1653 году и вернулась в старый дом. Вместе с ней
вернулись трое детей от второго брака, который продлился семь лет. Наследство от-
чима составило несколько сотен книг, преимущественно по богословию. Они, несо-
мненно, пробудили интерес Ньютона к богословию, который сохранялся в течение
всей жизни.
В одной из записных книжек Ньютона найдено его признание в грехах, совер-
шенных до 1662 года, когда ему было 20 лет. Двадцать третий и двадцать четвер-
тый пункт в перечне грехов звучат так: «...угрожал моему отцу и матери Смит, что
сожгу их в доме»; «...желал смерти и ожидал этого». Весьма вероятно, что когда
в 1715 году Ньютон писал, имея в виду Лейбница и его анализ бесконечно малых:
«.. .у того, кто совершил открытие вторым, нет прав на него», призрак преподобного
Смита, второго мужа его матери, наверняка стоял перед его глазами.
Ньютон был принят в школу Грэнтема в восьми километрах от дома, когда ему
было 12, и провел там несколько лет. В Грэнтеме он жил в доме аптекаря, в приемную
дочь которого он мог быть влюблен (она поняла это, когда ей было уже 82 года!).
Если неловкие ухаживания юноши, не привыкшего общаться с девочками, можно
назвать романом, то это был первый и последний роман в жизни Ньютона.
Юный Ньютон поступил в Кембридж в начале лета 1661 года, преодолев сопро-
тивление матери с помощью ее брата, который учился именно там.
Ньютон жил и работал в Кембридже 35 лет. За это время он совершил все свои
научные открытия, хотя, возможно, большую часть времени он посвящал другим
занятиям: богословию, библейской истории и главным образом алхимии. Вне всяких
сомнений, он был гением. Мало того, в течение всей жизни Ньютон отличался неве-
роятной трудоспособностью, особенно ярко проявившейся в кембриджский период.
Он работал практически беспрерывно, забывая о сне и еде, закрывшись в комнате,
51
НЬЮТОН. ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
посвятив себя занятиям оптикой, физикой и математикой. Его вклад в эти научные
дисциплины поистине огромен. Однако большую часть времени, судя по неверо-
ятному числу рукописей на эти темы, он бесстрашно пытался понять свои экспе-
рименты в области алхимии, искал доказательства, которые укрепили бы его веру,
непрестанно находился в поисках истины или, что более применимо в его случае, вел
бесконечный диалог с Богом Отцом. Огромные усилия и работа без передышки —
явное указание на это содержится в названии книги Вестфолла «Неугомонный»
(Never at rest) — четко отражены в его рукописях: «Из его рукописей видно, что он
совершал ошибки и учился на них, порой следовал неверным путем и не всегда сразу
понимал противоречивость своих идей. Рукописи однозначно дают понять: его от-
крытия не были результатом озарений или вспышек гениальности».
На службе науки. «Начала»
Попробуем продемонстрировать разницу между предполагаемыми озарениями, ког-
да открытие совершалось в мгновение ока — именно таково упрощенное представ-
ление о труде гения, которым многие считают Ньютона, — и долгой и сложной ра-
ботой. Работой, состоящей в том, чтобы увидеть первые ростки идеи, очистить ее,
выделить суть, согласовать с другими идеями, объяснить ее, часто с помощью уже
совершенных открытий и исследований. Именно так на самом деле работал Ньютон.
Расскажем о том, как Ньютон совершил одно из своих крупнейших открытий —
закон всемирного тяготения, и написал свою важнейшую работу — «Математи-
ческие начала натуральной философии». И вновь напомним, что Ньютон всегда,
а особенно в последние годы жизни, был скорее не гением-провидцем, а неутоми-
мым тружеником. Об этом свидетельствует уже упомянутая история с яблоком или
еще одно его высказывание о том, как он совершал свои открытия: «Я всегда дер-
жал задачу у себя на виду, пока из первых проблесков она не превращалась в яркий
свет». В других случаях он был более реалистичен. Так, в письме, датированном
10 декабря 1692 года, он писал, что «Начала» были написаны только благодаря
«трудолюбию и длительным размышлениям».
52
НЬЮТОН. ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
В начале 1680-х годов Гук объединился со знаменитым архитектором и препо-
давателем астрономии в Оксфорде Кристофером Реном, а также с юным астроно-
мом Эдмундом Галлеем, чтобы найти ответ на вопрос, логичным образом возникший
в теории центральных сил Гука: по какой орбите будет двигаться планета, на кото-
рую действует центральная сила притяжения, обратно пропорциональная квадрату
расстояния? [аллей лучше других понял, как найти решение: он обратился с вопро-
сом к Ньютону.
Встреча состоялась в августе 1684 года. Содержание беседы нам известно
по рассказу Ньютона Абрахаму де Муавру, английскому математику, который ро-
дился во Франции, но покинул родину из-за религиозных притеснений. Последний
впоследствии так рассказывал о встрече: «Доктор Галлей спросил его, какая кривая
может описывать движение планет, если предположить, что сила их притяжения
к Солнцу обратно пропорциональна квадрату расстояния до него. Сэр Исаак немед-
ленно ответил, что орбиты планет будут иметь форму эллипса. Доктор выказал
БЫЛ ЛИ ИЗВЕСТЕН ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ ДО НЬЮТОНА?
До того как на сцену вышел Ньютон, положение дел в изучении движения планет в Англии
было следующим. Ведущим специалистом считался Роберт Гук, который позднее стал одним
из величайших врагов Ньютона. Гук, взяв за основу принцип прямолинейной инерции, сформу-
лированный Декартом, заменил центробежную силу и силу тяготения единственным принципом
притяжения, который, по его мнению, и был причиной изменения исходной прямолинейной
траектории. В 1670 году он изложил свои идеи на конференции, прошедшей в Лондонском
королевском обществе, секретарем которого он являлся с 1677 по 1703 год. Его теория вкратце
заключалась в следующем.
1. Все небесные тела обладают силой тяготения, или притяжения к центру, и притягивают все
остальные небесные тела, которые находятся в радиусе действия этой силы.
2. Тела движутся по прямым линиям и только под действием силы меняют траекторию: окруж-
ность, эллипс или любую иную, более сложную.
3. Действие сил притяжения уменьшается по мере увеличения расстояния между телами
по определенному закону.
Закон этот на тот момент был неизвестен. Несколько лет спустя, проведя аналогию между
тяготением и светом, Гук установил, что сила притяжения обратно пропорциональна квадрату
расстояния.
53
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
величайшую радость и, удивленный, спросил его, откуда ему это известно. «Потому
что я это вычислил», — ответил Ньютон, после чего доктор Галлей попросил его
незамедлительно показать эти расчеты. Сэр Исаак не смог найти их среди своих
бумаг и пообещал выполнить расчеты повторно и отправить доктору Галлею».
Вернемся немного назад, к самому знаменательному периоду (anni mirabiles)
в жизни Ньютона, который длился примерно двадцать месяцев, с 1665 по 1666 год.
Этот период Ньютон провел в отчем доме в Вулсторпе, так как Кембриджский уни-
верситет был закрыт из-за эпидемии чумы. Именно в это время Ньютон начал ра-
боту над теорией тяготения, и именно тогда произошла известная история с яблоком.
В тот период Ньютон занимался решением задачи о движении планет в рамках тео-
рии вихрей Декарта — он изучил ее самостоятельно еще до поступления в Кем-
бридж. Как и Гюйгенс, он использовал в качестве отправной точки закон прямоли-
нейной инерции и считал, что изменение прямолинейной траектории обусловлено
действием двух сил: силы тяготения и центробежной силы. Использовав наряду
с этими гипотезами третий закон Кеплера, он обнаружил, что центробежные силы,
действующие на планеты, изменяются обратно пропорционально квадрату их рас-
стояния от Солнца. Несомненно, уже тогда он предполагал, что падение яблока
на землю и вращение Луны вокруг Земли подчиняются одной и той же силе тяготе-
ния. Однако чтобы пройти путь от этой гипотезы до открытия закона всемирного
тяготения, потребовался долгий и упорный труд. Изначально Ньютон пытался срав-
нить ускорение, вызванное центробежной силой, под действием которой движется
Луна, с ускорением, вызванным силой тяготения у поверхности Земли. Его гипоте-
за была верной, но Ньютон отказался от нее, так как она не подтверждалась расче-
тами: он использовал неточное значение радиуса Земли. Кроме того, в то время он
еще не знал, что следует измерять расстояние между центрами тел.
Ньютон вернулся к задаче о движении планет лишь 10 лет спустя. Возможно,
на него повлияло письмо Гука, полученное в 1676 году, в котором тот просил выска-
зать мнение о гипотезе, согласно которой движение планет является следствием за-
кона прямолинейной инерции и вызвано силой притяжения, направленной к центру
орбиты. Эта сила, которую Ньютон позднее назвал центростремительной, пришла
на смену силе тяготения и центробежной силе. Гипотеза Гука заставила Ньютона
вновь обратиться к задаче о движении планет и впоследствии стала причиной серьез-
ной вражды между Гуком и Ньютоном. Гук обвинил последнего в плагиате, когда тот
заканчивал работу над «Началами». Ньютон обнаружил следующее: из двух первых
законов Кеплера следует, что силы притяжения обратно пропорциональны квадрату
расстояния. Именно об этих расчетах он упомянул во время встречи с Галлеем.
54
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
Слева — британская марка, выпущенная
по случаю 300-летней годовщины издания «Начал».
На марке изображены планеты, движущиеся
по эллипсам. Вверху — марка Никарагуа, на которой
Солнечная система изображена внутри яблока
рядом с формулой закона всемирного тяготения.
Расскажем, как развивались события, последовавшие за этой знаменательной
встречей. Ньютон пересмотрел и дополнил свои вычисления и в ноябре 1684 года
отправил Галлею небольшую статью на девяти страницах под названием De motu
corporum in gyrum. В ней он привел наброски доказательства того, что траектория
движения планеты под действием силы притяжения, обратно пропорциональной
квадрату расстояния, является коническим сечением, а при скоростях, меньших
определенного значения, траектория планеты принимает форму эллипса. В статье
также содержался и обратный результат: как мы уже говорили, Ньютон получил
его, взяв за основу гипотезу, изложенную в письме Гука.
Благодаря настойчивости Галлея, гениальности и невероятной трудоспособности
Ньютона через два с половиной года свет увидела книга De motu en los Philosophiae
naturalis principia mathematica — «Математические начала натуральной филосо-
фии». Члены Лондонского королевского общества, ознакомившись с рукописью,
постановили: «Математические начала натуральной философии» господина Ньюто-
на должны быть незамедлительно опубликованы форматом в четверть листа». Пу-
бликацию книги Галлею пришлось оплатить из своего кармана, что стало серьезным
испытанием для юного члена Королевского общества.
«Начала» были изданы в трех томах с предисловием, в котором, помимо проче-
го, изложены три закона Ньютона. В третьем томе под названием «Система мира»
описываются законы движения небесных тел. В нем центростремительная сила,
которая удерживает планеты на эллиптических орбитах, отождествляется с силой
55
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
Обложка первого издания «Математических начал натуральной философии» с поправками,
внесенными самим Ньютоном.
тяготения. Как следствие, сила, удерживающая Луну на орбите, — это та же самая
сила, под действием которой предметы падают на поверхность Земли. Кроме того,
сила тяготения действует на все тела во Вселенной. Она пропорциональна произ-
ведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Так
как следствием этого закона являются законы Кеплера о движении планет, это оз-
начает, что под действием этой же силы движутся спутники планет и кометы вокруг
Солнца. Этим же объясняется неравномерность движения планет, которую Ньютон
изучал на примере Луны. В предисловии к первому изданию «Начал» Галлей писал:
«Мы наконец узнали, почему нам кажется, что Луна порой движется неравномерно,
как будто насмехаясь над нами, когда мы пытаемся описать числами ее движение,
до сей поры загадочное для любого астронома».
В «Системе мира» также рассматривались и другие вопросы. Заслуживает
упоминания теория, по которой приливы вызваны притяжением Солнца и Луны,
а также теория о форме планет, которые всегда сплющены у полюсов (форма пла-
нет определяет период их обращения вокруг своей оси). Последняя теория была
окончательно подтверждена французскими экспедициями XVIII века в Лапландию
и Перу, целью которых было измерение дуги меридиана. Эти экспедиции ознамено-
вали окончательный триумф системы Ньютона над системой Декарта.
56
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
Ньютон и анализ бесконечно малых
Исаак Ньютон — один из самых известных и уважаемых ученых всех времен. Хотя
это часто не принимается во внимание, но он в наибольшей степени обязан этой сла-
ве своим способностям к математике. Именно благодаря им он заметно выделялся
среди других ученых того времени, и без них было бы невозможно написание его
главного труда — «Математические начала натуральной философии». Иными сло-
вами, Ньютон открыл «систему мира», благодаря чему, как удачно заметил Ла-
гранж, стал самым удачливым из всех ученых, поскольку существует лишь одна
система мира, которую можно открыть. Именно благодаря глубоким знаниям мате-
матики, которыми не обладали его современники, Ньютон смог подкрепить и обо-
сновать свои открытия. По словам Вестфолла, «математика была первой и главной
страстью Ньютона. Именно из математики он заимствовал критерии логической
строгости, которых неизменно придерживался на протяжении всего своего пути
в науке. Ньютон собирался совершить плавание по неизвестным океанам мысли,
из которых не вернулись многие искатели приключений XVII века. Ньютон не про-
сто вернулся из этого путешествия — он привез с собой трофеи. Возможно, именно
математическая дисциплина помогла ему добиться успеха».
Многие считают, что Ньютон был исключительно физиком, точнее натурфило-
софом, или занимался прикладной математикой. Стоит напомнить, что писал по это-
му поводу Дерек Том Уайтсайд, составитель прекрасного восьмитомника рукопи-
сей Ньютона по математике: «Никогда не следует забывать, что математика была
для Ньютона не просто набором инструментов для поиска истины. Она обладала
внутренней красотой и силой, не зависящей от внешних причин и способов прак-
тического применения. Тем, кто не чувствует элегантность и мощь математики как
самостоятельной дисциплины, я представляю Ньютона — «чистого» математика,
который, как в библейской метафоре, удалился от мира в башню из слоновой кости
в Кембридже, где занимался поисками новых теорем, свойств, алгоритмов и доказа-
тельств, элегантных самих по себе. И сколь удивительно он использовал свой талант
и способности! В то время в мире не было более одаренного и разностороннего мате-
матика, никого, кто больше него разбирался бы в алгебре, геометрии и в тонкостях
анализа бесконечно малых».
Из всех математических открытий Ньютона, вне всяких сомнений, открытие
анализа бесконечно малых было наиболее важно и имело наиболее значимые по-
следствия.
57
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
Первые идеи о математическом анализе появились у Ньютона в наиболее зна-
менательный период его жизни — в 1665—1666 годы. В рукописи, написанной им
за несколько лет до смерти в 1727 году, мы читаем: «В начале 1665 года я открыл
метод приближенного вычисления с помощью рядов, а также правило, по которому
можно свести бином любой степени к такому ряду. В мае того же года я открыл
метод построения касательных Грегори и де Слюза, а в ноябре получил метод флюк-
сий. В январе следующего года я развил теорию цветов, в мае начал работать над
обратным методом флюксий. В том же году я начал размышлять о тяготении при-
менительно к орбите Луны и на основе законов Кеплера определил силы, которые
удерживают планеты на орбитах».
Его первая работа по математическому анализу «Анализ с помощью уравнений
с бесконечным числом членов» (De analysi per aequationes numero terminorum infinitas)
была завершена в 1669 году, но опубликована только в 1711-м.
Эту книгу Ньютон написал в конце июня 1669 года (точные даты неизвестны)
всего за несколько дней, взяв за основу результаты собственных исследований, про-
веденных в 1664 году. Ньютон использовал разложение логарифмической функции
в степенной ряд, описанное Николасом Меркатором в книге Logarithmotechn’a. Он
также руководствовался слухами и предположениями о том, какими исследованиями
в то время занимались другие ученые.
О F
Equations of an infinite Number of
Terms.
i. » ’HE General Method, wbitb I bad dnifedfime anfiderable Time
/ tneafierixt the Quantity of Curves, by Means of Stria,
infinite in tbt NxrLer -J'Terms, is ratter Jbortly explained,
tian acturatefy demonflrated in Otoe follow.
a. Let the Bate AB of any Curve AD have
BD for it*> perpendicular Ordinate) and call
AB=x, BD==y, and let a, b, e, &c. be given
Quantities, and m and n whole Nnmbcri.
The Quadrature of Simple Curves,
4 R U L E I.
a an
j. If ax“~y) it fhallbe —• ==Area ABD.
The thing will he evident by an Example.
t. If х*(=е1»1)з=:у, that it a— i=n, andnssa; itflullbe’x»
=ABD.
T t 1. Suppofc
Первая страница английского издания «Анализа».
58
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
«Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» имел огромную
ценность. После публикации этой работы, несмотря на ее небольшой объем, Нью-
тон был признан создателем анализа бесконечно малых, а его труд — основополага-
ющим в этом новом разделе математики. В первой части книги Ньютон показывает,
как с помощью степенного ряда можно произвести расчет квадратуры для множе-
ства функций, используя в качестве основы базовую квадратуру
т
ах п.
Рассуждения Ньютона стоит изложить подробнее. Для простоты мы приведем
частный случай, описанный самим Ньютоном, для площади, ограниченной кривой,
которая задается следующей формулой:
2 -
А{х)=-х2.
Ньютон действовал так.
Увеличим на бесконечно малую величину, которую обозначим за о (это обозна-
чение использовал сам Ньютон) абсциссу х. Площадь увеличится на площадь пря-
моугольника с вершинами х, у(х), у(х + о) и х + о, как показано на иллюстрации.
Возьмем прямоугольник со сторонами о и v такой, что его площадь будет равна
упомянутому приращению площади. Получим:
2 - 2 -
— (х + 6)2 = А(х + о) =А(х )+ ои = —х2 4-сил
59
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
Возведя обе части в квадрат и упростив равенство, получим:
—(3х2о + 3хо2 + o3} = —x2ov + o2v2.
9' 7 3
Разделив обе части на о, получим:
—(Зх2 4-Зхо + о2) = — x2v+ov2.
9* 7 3
Если теперь мы примем прирост х бесконечно малым, то есть приравняем о
к нулю, то v = у, и предыдущая формула примет вид
4 2 4 | |
— х = —х2 у, откуда у = х2 .
3 3
1
Отсюда следует, что площадь, ограниченная кривой у — х2, равна 2/3 • 3/2 х.
Может показаться, что Ньютон пытался вычислить площадь, ограниченную
кривыми определенного типа, но в действительности полученный им результат на-
много важнее. В первой части «Анализа» Ньютон хотел изложить общий алгоритм
и подчеркнуть, что он применим не только в задачах расчета площади. «Все за-
дачи о длине кривых, о величинах и о поверхностях тел и о центрах тяжести могут
быть сведены в конце концов к определению плоской поверхности, ограниченной
кривой», — делает он крайне важное замечание, за которым следует раздел под
названием «Приложение вышеизложенного к другим примерам того же рода». Это
замечание отделяет первую часть работы, в которой изложен общий метод, от вто-
рой, в которой излагаются различные способы его применения. Можно сказать,
что результат его работы несколько неопределен: Ньютон видел огромную ценность
найденного им абстрактного метода, однако, возможно, на начальном этапе, ког-
да идея еще не оформилась окончательно, ему было сложно выразить ее доступ-
но. Скорее всего, на этом этапе ему попросту не хватало терминов и обозначений.
Он сосредоточил основное внимание на абстрактной задаче определения функции
по известной производной. Кроме того, он рассматривает и обратную задачу о вы-
числении изменения функции (об этом рассказывается в конце книги). Наконец, он
приводит краткий алгоритм расчета этого изменения (производной). Четкие прави-
ла вычисления производной позднее опубликовал Лейбниц, но не будем забывать,
что в «Анализе» Ньютон изложил не все результаты, полученные им в области ма-
тематического анализа к 1669 году.
60
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
Всё вышеизложенное позволяет заявить, что выход «Анализа» ознаменовал по-
явление анализа бесконечно малых. «Анализ с помощью уравнений с бесконечным
числом членов» — великолепный пример, позволяющий оценить акт творения в ма-
тематике во всем его великолепии: при прочтении книги Ньютона мы становим-
ся свидетелями процесса возникновения анализа бесконечно малых. Так, если мы
углубимся в чтение «Анализа» и попытаемся увидеть уже известные нам термины
и понятия современного математического анализа, это можно будет сравнить с про-
смотром детских фотографий человека, с которым мы познакомились уже в зрелом
возрасте: сквозь еще не оформившиеся, детские черты уже проступает облик знако-
мого нам взрослого человека.
Закончив рукопись «Анализа», который принес автору известность среди бри-
танских математиков, Ньютон показал свой труд Барроу. Тот предложил незамед-
лительно отправить работу Джону Коллинзу, члену Лондонского королевского об-
щества, который занимался обработкой почты, распространением результатов и но-
востей подобно Марену Мерсенну. Ньютона охватил нездоровый страх, который
будет сопровождать его перед публикацией всех его трудов: обнародовать труд оз-
начало подставить его под удары критиков. Здесь следует отметить, чтобы отчасти
прояснить причины полемики Ньютона и Лейбница, что в те годы понятие «публи-
кация» имело несколько иной смысл, нежели в наши дни. Сегодня это означает пу-
бликацию в научных журналах или в виде книги, доступной всем желающим.
В то время, когда книги и особенно журналы еще не набрали такую популярность,
как всего несколько десятилетий спустя, публикация означала представление руко-
писи группе близких друзей, а также тем, кто занимался распространением научных
трудов, как, например, Джон Коллинз или в особенности Марен Мерсенн.
Чтобы продемонстрировать опасения Ньютона, далее мы подробно расскажем
о письмах, которые Барроу отправил Коллинзу. Сначала, 20 июля 1669 года Нью-
тон разрешил Барроу всего лишь уведомить Коллинза, что у него находится руко-
пись «Анализа», запретив упоминать имя автора и название работы: «Один мой
друг, обладающий блестящими способностями, отправил мне позавчера несколько
писем, в которых описывает метод вычисления размерностей величин, подобный
методу Меркатора, но намного более общий применительно к решению уравнений.
Я отправлю вам рукопись с одним из ближайших писем и верю, что она доставит
вам удовольствие».
Одиннадцать дней спустя Ньютон разрешил Барроу отправить Коллинзу копию
«Анализа» при условии, что имя автора будет сохранено в тайне, а рукопись будет
61
НЬЮТОН. ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
возвращена. Обратите внимание, как деликатно Барроу указывает, что Коллинз
может ознакомиться с рукописью, но делать копию не следует, иными словами, ру-
копись предназначена только для Коллинза: «Отправляю вам обещанные письма
моего друга, которые, как я надеюсь, доставят вам немалое удовольствие. Я прошу,
чтобы вы вернули мне письма, когда сочтете нужным, после того как прочитаете их.
Мой друг согласился передать мне письма только на этих условиях, когда я впервые
спросил его разрешения отправить их вам. Поэтому прошу вас как можно скорее
дать мне знать, что вы получили их, чтобы избавить меня от беспокойства. Чтобы
вы могли как можно раньше ознакомиться с ними, я ни минуты не думал о том, что-
бы послать их вам обычной почтой».
Когда Коллинз ознакомился с «Анализом» и передал восторженный отзыв Бар-
роу, Ньютон позволил сообщить Коллинзу свое имя, а также разрешил передать
рукопись другим: «Я рад, что письма моего друга доставили вам удовольствие. Имя
этого юноши — Ньютон, он член нашего колледжа, обладает великолепными спо-
собностями и добился в этом вопросе потрясающих успехов. Передайте письма, если
пожелаете, достопочтенному господину Броункеру». (Лорд Броункер в то время
был главой Лондонского королевского общества.) Вестфолл комментирует: «Это
наглядно показывает, что Ньютон, ведущий математик Европы, боялся публиковать
свою работу».
ВЕРСИЯ НЬЮТОНА
Следует привести и другую версию этой истории, автором которой является сам Ньютон. Она
изложена в Epistolae posterior - втором письме, которое Ньютон отправил Лейбницу. Письмо
содержит немало автобиографических фрагментов. Вот цитата из него: «Когда появилась бле-
стящая книга Logarithmotechnia Николаса Меркатора, я стал уделять этим вопросам [степенным
рядам и анализу флюксий] меньше внимания, подозревая, что Меркатору был хорошо известен
способ разложения в степенной ряд путем извлечения корней, равно как и разложение в ряд
с помощью дробей, либо же другие обнаружат, как это делается, до того как я вступлю в возраст,
достойный написания подобного труда. В тот самый момент, когда появилась эта книга, краткое
изложение этого метода рядов было сообщено господином Барроу господину Коллинзу. В этом
изложении указывались площади и длины кривых, поверхности и объемы тел, составленных
из линий, а также способы нахождения этих линий по известным свойствам фигур. Этот метод
я ранее проиллюстрировал на примере различных рядов».
62
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
Коллинз вскоре вернул рукопись «Анализа» Ньютону через Барроу, однако
прежде переписал ее от руки. Эту копию вместе с письмами Барроу обнаружил Уи-
льям Джонс среди документов Коллинза, приобретенных в 1708 году. Увидев эту
копию, Джонс предложил Ньютону опубликовать «Анализ». Книга увидела свет
в 1711 году. Когда же разгорелся спор о том, кто является истинным первооткрыва-
телем анализа, эти бумаги послужили доказательством первенства Ньютона.
Как указывает Вестфолл, «Анализ» оказал большое влияние на карьеру Нью-
тона. Возможно, именно благодаря публикации этого труда он получил пост Лука-
совского профессора. Эта должность была создана в Кембридже Генри Лукасом.
Стипендия, учрежденная Лукасом для тех, кто занимал эту должность, сделала ее
одной из самых престижных в научном мире. В то время эта должность была един-
ственной из восьми существовавших профессорских должностей по направлению
математики и натурфилософии, если говорить современным языком. Профессор, за-
нимавший этот пост, должен был вести курсы по геометрии, астрономии, географии,
оптике, статике и другим математическим дисциплинам, а также ежегодно переда-
вать в университетскую библиотеку тексты минимум десяти своих докладов. При
невыполнении этих условий полагался штраф. Однако Ньютон, который нарушал
их достаточно часто, по-видимому, никогда не был оштрафован.
Летом 1669 года Барроу, занимавший этот пост уже пять лет с момента его уч-
реждения, начал подумывать об отставке. Скорее всего, он не был очарован гени-
альностью Ньютона (хотя иногда утверждают обратное), его решение было про-
диктовано другими причинами. Барроу был не только математиком, но и богословом
и хотел последовать своему призванию. Кроме этого, он также хотел получить более
влиятельный пост. Спустя год после отставки он получил место капеллана, а два
года спустя возглавил Тринити-колледж. Совмещать должность главы колледжа
и Лукасовского профессора запрещалось, хотя Барроу вполне мог получить разре-
шение милостью короля. Как бы то ни было, Барроу ушел в отставку, и 29 октября
1669 года по его предложению Ньютон был провозглашен Лукасовским профес-
сором.
Остаток 1669 года Коллинз и Барроу занимались тем, что уговаривали Ньютона
опубликовать «Анализ». Однако они не преуспели в этом, и, как пишет Вестфолл,
имея в виду спор с Лейбницем, «нерешительность Ньютона посеяла зерна ожесто-
ченной вражды».
Вторая работа Ньютона, его главный труд о бесконечно малых «Метод флюксий»
(De methodis serierum et fluxionum), была написана два года спустя, но опубликована
лишь в 1736 году. В этой книге Ньютон представляет понятие флюенты — величи-
63
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
ны, изменяющейся в зависимости от времени, и флюксии флюента — производной
этой величины по времени. Вот что он пишет об этих понятиях: «Величины, которые
я рассматриваю как постепенно и неопределенно возрастающие; обозначать я их
буду последними буквами алфавита: v, х, у, z, чтобы их было возможно отличать
от других величин, которые рассматриваются в уравнениях как известные и опре-
деленные и которые поэтому обозначаются первыми буквами алфавита а, Ь, с и так
далее. Скорости, с которыми возрастают вследствие порождающего их движения
отдельные флюэнты (и которые я называю флюксиями, или просто скоростями, или
быстротами), я буду обозначать теми же буквами, но пунктированными: v,x,y,z.
Важно отметить, что Ньютон представил понятия флюенты и флюксии по от-
дельности как часть теории и привел алгоритмические правила, с помощью которых
можно было легко вычислить флюксию флюента. Затем он применил свою теорию
для решения задач о касательных, квадратурах, максимумах и минимумах. Как мы
уже упоминали, именно благодаря этому Ньютон стал считаться одним из создате-
лей математического анализа. Так, для решения задач о максимумах и минимумах
он предложил следующий способ: «Когда величина есть возможно наибольшая или
возможно наименьшая, то в этот момент времени она не течет ни вперед, ни назад.
Действительно, если бы она могла еще течь вперед, то есть возрастать, то это значит,
что до того она наверняка была меньше, чем стала, а после того станет больше, чем
она есть. Дело обстояло бы обратным образом, если бы она текла назад или убыва-
ла. Поэтому найди ее флюксию согласно проблеме I и положи ее равной нулю». Это
знакомый нам способ вычисления производной функции и приравнивания ее к нулю.
О задачах расчета квадратуры он писал: «Проблема IX: определить площадь
какой-либо заданной кривой. Решение этой проблемы зависит от определения от-
ношения флюент по заданному отношению флюксий». Иными словами, речь идет
о процессе, обратном вычислению флюксии; если говорить современным языком —
о процессе, обратном вычислению производной, то есть о нахождении первообраз-
ной. Здесь Ньютон, по сути, излагает основную теорему анализа и указывает, что
ее можно применять для решения задач о площадях.
Чтобы доказать мощь своего анализа бесконечно малых, в «Методе» Ньютон
использует его для решения практически всех задач о площадях, касательных и мно-
гих других, на решение которых его предшественники потратили без малого столе-
тие. Однако «Метод» был опубликован лишь спустя несколько лет после смерти
Ньютона.
Почему он так долго не давал разрешение на публикацию своих первых книг
об анализе бесконечно малых? Мы уже упоминали, что Ньютон не желал публи-
64
НЬЮТОН. ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
Литографический портрет Огюстена Луи Коши,
одного из самых плодовитых математиков
всех времен.
ковать свои результаты из-за особен-
ностей своего характера. В итоге это
спровоцировало ожесточенные споры,
которых можно было бы избежать,
если бы его первые труды были опу-
бликованы без промедления. Неже-
лание Ньютона публиковать свои ра-
боты о математическом анализе было
сильно еще и потому, что он осознавал
его недостаточную логическую стро-
гость. Понятие флюксии и правила ее
вычисления, равно как и дифферен-
циал Лейбница или многочисленные
методы работы с бесконечно малыми,
предложенные его предшественника-
ми, основывались на так называемых
бесконечно малых величинах. Эти
«бесконечно малые» представляли
собой бесконечно малые числа, прак-
тически равные нулю, за счет чего их
можно было сокращать при необходимости. В то же время эти величины можно
было использовать в знаменателях дробей, так как они не были строго равны нулю.
Ньютон безуспешно пытался избежать их и в одной из работ по анализу, «Рассуж-
дении о квадратуре кривых» (De quadrature curvarum), опубликованной в 1704 году
как приложение к его же «Оптике», он вплотную подошел к открытию предела, ис-
пользовав «исчезающие приращения». Это понятие было введено лишь в XIX веке,
и Бернард Больцано и Огюстен Луи Коши использовали его как основу анализа
бесконечно малых.
Ньютон осознавал, что его вычисление флюксий стоит на непрочном логическом
фундаменте, поэтому особенно противился публикации любых трудов по этой теме,
хотя копии этих рукописей всегда были доступны кругу его друзей. Этот страх,
несомненно, оказал влияние и на подготовку его важнейшей работы — «Начал».
Ньютон сделал выбор в пользу геометрического языка в древнегреческом стиле,
который был менее понятным, но более строгим с логической точки зрения. Он ис-
ключил почти все упоминания об анализе бесконечно малых, который, возможно,
использовал для получения части результатов, изложенных в «Началах».
65
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
Тем не менее в «Началах» содержатся отрывочные упоминания о математическом
анализе. Таким образом, в этой книге впервые, пусть и косвенно, упоминается ана-
лиз бесконечно малых, созданный Ньютоном. Это произошло в 1687 году — спу-
стя три года после того, как Лейбниц опубликовал в журнале Acta eruditorum свою
первую статью о дифференциальном исчислении. В лемме II раздела II 2 -й книги
несколько туманно упоминаются правила, аналогичные современным правилам вы-
числения производной произведений и степеней. Ньютон применил математический
трюк, чтобы избежать сокращения приращений. Этот трюк в середине XVIII века
разоблачил Джордж Беркли, который возглавил «крестовый поход» против беско-
нечно малых. «Начала» вошли в историю математического анализа не только благо-
даря этой лемме. К математическому анализу можно отнести и другие утверждения,
о которых мы расскажем чуть позже, когда будем говорить об ожесточенном споре
между Ньютоном и Лейбницем за право называться создателем исчисления.
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НЬЮТОНУ
В «Началах» Ньютон приводит следующее доказательство правила нахождения производной
произведения функций: «Любой прямоугольник, например АВ, увеличенный на непрерывную
флюенту, если вычесть из сторон А и В половины их моментов а и b [под моментами понимаются
приращения], будет равен:
(д-^а)х (в-^b), или
111
AB--aB--bA+-ab.
2 2 4
Поскольку стороны А и В увеличиваются на другую половину моментов, прямоугольник пре-
вратится в:
(д+^а) х (В+^ь),или
111
АВ + - аВ+-ЬА + -аЬ.
2 2 4
Вычтем из этого прямоугольника предыдущий прямоугольник и получим излишек
аВ + ЬА. Следовательно, приращение эВ + ЬА прямоугольника генерируется общими прира-
щениями сторон а и Ь. Что и требовалось доказать». Если мы запишем приращение А как dA,
а приращение В - как dB (Ньютон решительно воспротивился бы использованию подобных обо-
значений, так как их использовал его противник Лейбниц), то получим знакомое нам правило
вычисления производной произведения: d (АВ)» AdB + BdA.
66
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
Мы уже упоминали, что Ньютон ссылался на открытую им в самый знамена-
тельный период его жизни теорему о биноме, то есть о разложении (1 + х)т^п в сте-
пенной ряд. Однако она стала достоянием общественности лишь десять лет спустя,
в 1676 году, причем в сокращенном виде. Ньютон упомянул о ней в первом из двух
писем, отправленных Лейбницу через секретаря Лондонского королевского обще-
ства Генри Ольденбурга. В этом письме, озаглавленном Epistolae prior, Ньютон, от-
вечая на вопросы Лейбница, изложил свою теорему о биноме и другие результаты,
касающиеся рядов.
Теорема о биноме легла в основу созданного им анализа бесконечно малых.
По сути, именно с помощью бинома Ньютон разложил в ряд большинство эле-
ментарных функций: обратных тригонометрических (их производные можно найти
с помощью бинома), а на их основе и тригонометрических функций. Аналогично он
вычислил производные логарифмических и показательных функций.
Некоторые из полученных результатов уже были известны. Разложение в ряд
для логарифмической функции впервые приводится в уже упоминавшейся книге
Николаса Меркатора Logarithmotechnia (1668).
Высокомерный гений
Ньютон никогда не был склонен благодарить других за вклад в его открытия, одна-
ко требовал от остальных признания того, чем якобы они были обязаны ему. Нью-
тону нередко приписывают такую фразу: «Если я видел дальше других, то потому,
что стоял на плечах гигантов», которую считают выражением благодарности и при-
знанием заслуг других ученых. Эта фраза содержится в одном из писем Ньютона
к Гуку, датируемом 1676 годом. Эти письма помогли хотя бы формально уладить
разногласия в споре о природе света и цветов. Цитата Ньютона восходит к Иоанну
Солсберийскому, который в своем трактате «Металогик» (1159) цитирует Бернара
Шартрского: «Мы подобны карликам, стоящим на плечах гигантов: мы видим боль-
ше и смотрим дальше не потому, что наше зрение острее, и не потому, что мы выше,
а потому, что можем забраться высоко благодаря росту гигантов».
Эту фразу можно считать выражением благодарности Ньютона Гуку, на плечи
которого, фигурально выражаясь, забрался Ньютон, чтобы видеть дальше. Однако
возможна и другая, более замысловатая трактовка, которую приводит Ф. Мэнюэль
и в основе которой лежит тот факт, что Роберт Гук был низкорослым и горбатым:
«5 февраля 1676 года Ньютон ответил избитой фразой, часто упоминавшейся в спо-
рах о прогрессе, которая восходит как минимум к Иоанну Солсберийскому и часто
67
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
приводится вне контекста как признание заслуг предшественников Ньютона: “Если
я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов”.
Если рассматривать эту фразу в контексте и учитывать психологическую атмос-
феру переписки 1676 года, то эта цитата выглядит сложной и даже неоднозначной.
<...> Явно не упоминаемый образ карлика, который взобрался на плечи гиганта,
выглядит не вполне прилично. Эта фраза со стороны Ньютона, обращенная к Гуку,
выглядит издевательской аналогией. На первый взгляд может показаться, что Нью-
тон сравнивает Гука с гигантом, а себя считает карликом по сравнению с ним. Одна-
ко эта фраза относилась к низкорослому и горбатому человеку, поэтому Ньютон
насмехается над ним, вольно или невольно». Вестфолл не разделяет взгляда Мэню-
эля и считает, что Ньютон не допускал себе столь резких нападок на оппонентов:
«Когда он нападал, то склонял голову и выдвигал обвинения прямо».
Еще одно доказательство нежелания Ньютона признавать, что он научился
чему-то у других, прослеживается в его отношениях с Декартом. Именно у Декарта
он научился аналитической геометрии, сыгравшей важнейшую роль в создании ана-
лиза бесконечно малых. Несмотря на это, Ньютон говорил, что испытывает глубо-
кую неприязнь к французскому ученому. Когда Ньютон перечитывал «Геометрию»
Декарта примерно в 1680 году, он заполнил поля пометками «осуждаю», «ошибка»,
«это не геометрия». Он даже написал черновик статьи под названием «Ошибки
в «Геометрии» Декарта» (Errors in Descartes’ Geometry). Он называл аналитическую
геометрию «языком мошенников от математики». В 1684 году Ньютон оставил про-
пуск в том месте рукописи, где должно было упоминаться имя Декарта, словно хотел
забыть обо всем, чему научился у него: «Я размышлял над этими вопросами около
девятнадцати лет, сравнивая между собой открытия и Худде».
Жизнь в Лондоне, служба на Монетном дворе
Ньютон сменил Кембридж на Лондон в 1696 году, став сначала смотрителем, а за-
тем управляющим («мастером») Монетного двора. Широко известна колкая фраза
Вольтера из «Философских писем»: «В юности я думал, что причиной богатства
Ньютона были его огромные заслуги. Я предполагал, что он был назначен мастером
Монетного двора в знак признания. Ничего подобного. У Исаака Ньютона была
очаровательная племянница, мадам Кондуит. Она чрезвычайно нравилась министру
финансов графу Галифаксу. Открытие анализа бесконечно малых и закона всемир-
ного тяготения не помогли бы ему, если бы не его прекрасная племянница».
68
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
Сохранились различные портреты Ньютона, а также маски и бюсты.
На иллюстрации представлены два из многочисленных портретов кисти художника
Гэтфрида Кнеллера. Слева изображен портрет Ньютона в возрасте 46 лет, спустя некоторое
время после публикации «Начал», справа — в возрасте 59 лет, когда он уже был мастером
Монетного двора.
Вольтер либо преувеличил слухи, либо был не слишком осведомлен о сути дела,
поскольку на момент назначения Ньютона на должность его племяннице было всего
17 лет, и, возможно, она никогда не встречалась с лордом Галифаксом. Однако позд-
нее между ними действительно возникла тесная дружба, и после смерти Галифакса
в 1714 году племянница Ньютона получила в наследство целое состояние, как на-
писал Галифакс в завещании, «в знак искренней любви, привязанности и уважения,
которое вы испытывали ко мне столь длительное время, и в качестве небольшой
компенсации за удовольствие и радость, доставленные беседами с вами».
Ньютон был строгим мастером Монетного двора и вложил в работу весь свой ве-
ликолепный ум, невероятную работоспособность, применив, несомненно, обширный
опыт, полученный при проведении экспериментов по алхимии. Это не могло понра-
виться фальшивомонетчикам, которых Ньютон безжалостно преследовал.
Спустя несколько лет после того, как он поступил на службу в Монетный двор,
научный мир и общество выразили ему еще большую признательность: в 1703 году
Ньютон был избран президентом Королевского общества, которым он управлял по-
добно абсолютному монарху, а в 1705 году королева Анна произвела его в рыцари
в Кембриджском Тринити-колледже.
69
НЬЮТОН. ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
Ньютон и его друзья
Портрет Ньютона будет неполным, если мы не упомянем о его отношениях с дру-
зьями и близкими.
Быть может, причиной тому, что Ньютон тяжело сходился с людьми, был его
непростой характер. Правда, в последние годы, прожитые в Лондоне, он пользовал-
ся славой гостеприимного хозяина — возможно, гости попадали под очарование его
племянницы. Должно быть, поэтому в юности, точнее в 1660—1670-е годы, Нью-
тон, родившийся в 1642 году, поддерживал близкие отношения преимущественно
с теми, кто был старше него. Например, Генри Мор родился в 1614 году, Джон
Валлис — в 1616-м, Джон Коллинз — в 1624-м, Генри Ольденбург — в 1626-м,
Исаак Барроу — в 1630-м, Кристофер Рен — в 1632-м. Среди всех друзей его
ровесниками были едва ли несколько человек. Кроме того, дружеские отношения
осложняло крайнее пуританство Ньютона: он прекратил общение с итальянцем
Джоном Вигани, преподававшим в Кембридже химию, так как тот ввязался в непри-
ятную историю с монахиней.
Обратите внимание: все ученые, с которыми он вел наиболее жаркие споры, при-
надлежали к его же поколению: Роберт Гук родился в 1635 году, Лейбниц —
в 1645-м, Джон Флемстид — в 1646-м. Эти противостояния имели различный
характер — так, причиной споров с Гуком и Лейбницем были вопросы первенства
и обвинения в плагиате, — но все они были грубыми и жесткими. Они показывают,
сколь несправедлив и властен был порой Ньютон в последние годы жизни, когда
добился признания и почестей.
Вот как описывает Ф. Мэнюэль противостояние Ньютона и Гука: «Когда две
масштабные личности сталкивались в тесных научных кругах XVII века, неизбежно
возникали стычки. В Королевском обществе не было места для Ньютона и Гука од-
новременно. Первенство могло принадлежать только кому-то одному из них. Нью-
тон вторгся в царство, где когда-то безраздельно властвовал Гук, и, когда на небо-
склоне взошла его звезда, Гук лишился власти и статуса. Он сражался за свое место,
принижая достижения новичка, обвиняя того в плагиате, прочно удерживая свой
пост до самой смерти в 1703 году. Лишь тогда Ньютон занял пост президента Ко-
ролевского общества, став непререкаемым лидером в научных кругах».
70
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
В зрелые годы (с 1680 года и далее) Ньютон, напротив, сблизился с более
молодыми коллегами: Абрахамом де Муавром, который родился в 1667 году,
Никола Фатио де Дюилье (в 1664-м), Дэвидом Грегори (в 1659-м) и Эдмундом
Галлеем (в 1656-м). Почти все они находились под покровительством Ньютона,
который расставил их на посты глав кафедр британских университетов в первые
годы XVIII века. Ф. Мэнюэль усматривает в дружбе Ньютона с юными и талант-
ливыми учеными фрейдистский подтекст: «Ньютон в первую очередь отождествлял
себя с личностью своей матери и представлял сексуальный объект сам для себя.
Когда он встретился с юношами, похожими на него, он полюбил их так, как хотел,
чтобы его любила мать».
Следует особо выделить Никола Фатио де Дюилье, так как он сыграл особую
роль в полемике с Лейбницем.
НИКОЛА ФАТИО ДЕ ДЮИЛЬЕ (1664-1753)
Никола Фатио де Дюилье родился в Базеле
в 1664 году. Его первым увлечением стала
астрономия, и некоторое время он посещал
занятия в Парижской обсерватории вместе
с Кассини. Ему не удалось получить членство
во Французской академии наук, и он отпра-
вился в Голландию, где в 1686 году познако-
мился с Гюйгенсом, который посоветовал ему
заняться математикой. Примерно в 1687 году
уже в Англии Фатио завершил свою версию
анализа бесконечно малых, не столь полную,
как варианты Ньютона и Лейбница.
В течение последующих лет он был близким
другом Ньютона. Однако в 1706 году он сбли-
зился с кальвинистами Лангедока, которые
нашли убежище в Англии, и занял место секре-
таря в их организации. Фатио попал в немилость: ему было предложено покинуть Англию и тем
самым избежать насмешек, но он предпочел разделить судьбу своих единомышленников. Он
лишился благосклонности не только Ньютона, но и почти всего европейского научного сообще-
ства. Неприязненное отношение к нему сохранялось еще почти полвека, до самой его смерти.
71
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
Фатио прибыл в Англию весной 1687 года, накануне публикации «Начал», с ко-
торыми были связаны большие ожидания в научных кругах. Он тут же попал под
влияние новой натурфилософии, изложенной в «Началах», и выразил сильную при-
вязанность к автору, которая оказалась взаимной. Знакомство состоялось
в 1689 году: этим годом датированы первые письма, которые Ньютон отправил Фа-
тио. Практически все исследователи биографии Ньютона отмечают необычный тон
его писем: привязанность и теплота, которой наполнены строки, не встречаются
ни в каких других его письмах.
Их отношения стали особенно близкими в конце 1692 — начале 1693 года, после
того как Фатио несколько раз переболел лихорадкой, что едва не стоило ему жизни,
о чем он сообщил в письме Ньютону в сентябре 1692 года. Ньютон предложил ему
деньги и пригласил поселиться у него в кембриджском Тринити-колледже. Фатио
отказался и, оправившись от болезни, в 1693 году поехал в Швейцарию, чтобы ула-
дить дела с наследством. Ньютон пережил крупный кризис летом того же года. Ло-
гично задаться вопросом, был ли этот кризис вызван размолвкой с Фатио.
О причинах и обстоятельствах болезни Ньютона существует множество гипотез.
Возможно, причиной стало перенапряжение и усталость, накопившиеся за время ра-
боты над «Началами»; может быть, отравление ртутью, вызванное экспериментами
по алхимии: в волосах, предположительно принадлежавших Ньютону, была обнару-
жена необычайно высокая концентрация ртути; однако были получены неопровер-
жимые доказательства, свидетельствующие не в пользу этой гипотезы. Возможно,
причиной была обычная депрессия. Думается, что сказалось влияние всех вышепе-
речисленных причин, включая, разумеется, размолвку с Фатио де Дюилье, кото-
рая пришлась как раз на этот период. Именно этой гипотезе отдает предпочтение
Фрэнк Мэнюэль, указывая на их возможную платоническую связь. Однако это от-
крыто отрицают другие исследователи биографии Ньютона, в частности Уайтсайд.
Как бы то ни было, в 1693 году между друзьями произошла размолвка, и от-
ношения Ньютона и Фатио больше никогда не были столь близкими, как в пери-
од с 1689 по 1693 год. Тем не менее впоследствии Фатио иногда вновь появлялся
в жизни Ньютона. Так, в 1699 году он первым публично обвинил Лейбница в за-
имствовании анализа бесконечно малых у Ньютона.
72
НЬЮТОН, ПОСЛЕДНИЙ ИЗ ВОЛШЕБНИКОВ
Похороны Ньютона
«Тот, кто гением превзошел род человеческий», величайший ученый, по мнению Га-
усса, умер 20 марта 1727 года в Лондоне. Вольтер писал: «Он жил, почитаемый
соотечественниками, и был погребен подобно королю, который делал добро своим
подданным». Или, как пишет, подражая стилю Вольтера, Фернандо Саватер
в «Саду сомнений»: «...был особенно впечатлен траурной церемонией по случаю по-
хорон Ньютона. В них участвовал весь Лондон. Сначала тело было выставлено
на всеобщее обозрение в пышном катафалке, по бокам которого горели огромные
светильники, затем было перенесено в Вестминстерское аббатство, где Ньютон был
похоронен среди королей и выдающихся государственных деятелей. Во главе траур-
ной процессии шел лорд-канцлер, за которым следовали все королевские мини-
стры».
Могила Ньютона в Вестминстерском аббатстве.
73
Глава 4
Лейбниц, мастер на все руки
Ньютон оставил после себя множество ^отредактированных рукописей. Лейбниц
не только не отстал от него в этом, но и превзошел: его корреспонденция была на-
много более объемной. Рукописи Лейбница ждала более завидная участь, чем бума-
ги Ньютона: они не были проданы с аукциона, а более или менее систематическое их
изучение с последующей публикацией было начато почти на сто лет раньше. Однако
исследования творчества Лейбница никогда не были столь интенсивными и не при-
несли столь удивительных результатов, как те, что были выполнены исследователя-
ми биографии Ньютона после Второй мировой войны.
Решающий шаг к изданию полного собрания рукописей и писем Лейбница был
сделан лишь в XX веке на первом заседании Международной ассоциации академий
наук, прошедшем в Париже. Это издание готовится до сих пор, с перерывами, вы-
званными двумя мировыми войнами, и все еще достаточно далеко от завершения.
Из восьми серий собрания сочинений и писем Лейбница три первых полностью от-
ведены под корреспонденцию. Лейбниц состоял в переписке более чем с 600 адре-
сатами, среди которых было множество политиков, ученых и философов того вре-
мени, а вся его корреспонденция насчитывает примерно 20000 писем: половина
написана им самим, а остальные принадлежат его адресатам. (Для сравнения: семь
томов переписки Ньютона содержат всего 1600 писем.) Сохранилось большинство
этих писем, по меньшей мере в виде черновиков или выписок, поскольку Лейбниц,
так же как и Ньютон, никогда не выбрасывал своих бумаг.
Изучение рукописей Лейбница не изменило представлений об этом гениальном
немецком ученом (как произошло в случае с Ньютоном), однако некоторые аспекты
его трудов прояснились. По мнению Бертрана Рассела, бумаги Лейбница показыва-
ют нам лучшее из его философии: материалы, которые не предназначались для чте-
ния в высшем обществе или для заработка и поэтому остались под сукном. В част-
ности, бумаги Лейбница помогли увидеть, как он пришел к открытию анализа бес-
конечно малых. Стало понятно, что он совершил свое открытие независимо от Нью-
тона.
Лейбниц внес вклад в самые разные области науки, и это доказывает то, что
было известно еще его современникам: он был мастером на все руки или, как указа-
75
ЛЕЙБНИЦ. МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
но в Энциклопедии Британника, «одним из величайших дарований западной циви-
лизации».
В современном мире всеобщей узкой специализации особенно выделяется уче-
ный, подобный Лейбницу, который хотел знать всё и обо всем, будь то наиболее
уважаемые в то время науки — философия, физика, метафизика, математика — или
другие области, очевидно более далекие от кабинетных размышлений — постройка
гидравлических прессов, дренаж шахт с помощью ветряных мельниц, геология и из-
готовление тканей из льна. Однако в этом стремлении понять всё и высказать обо
всем свое мнение, пусть не всегда глубокомысленное, прослеживаются некоторые
центральные идеи. Одна из таких идей — поиск characteristica universalis, универ-
сального языка, который должен быть символьным, четким и однозначным, а также
ars combinatoria — системы рассуждений. Эта система, согласно Лейбницу, позво-
ляла «производить столь же осязаемые рассуждения, что и математические, вслед-
ствие чего обнаружить ошибку можно будет невооруженным глазом, и в случае дис-
пута мы сможем сказать “произведем вычисления”, чтобы узнать, кто же прав».
Именно его версия анализа бесконечно малых, полная превосходных обозна-
чений, математический вариант characteristica universalis, позволила упорядочить
неисчислимое множество результатов, связанных с квадратурами, касательными,
максимумами и минимумами, центрами тяжести и так далее. Об универсальности
говорится в статьях, написанных Лейбницем в конце жизни, где он признает, что
в конечном итоге его вкладом в анализ бесконечно малых стало создание языка,
позволившего найти единообразное решение множества задач, которые ранее реша-
лись совершенно разными способами.
Его тяга к всеобщей гармонии выразилась в желании объединить христиан-
ские церкви и создать одно государство из множества немецких земель. Правда,
истинной причиной этому было стремление выступить сообща, отвечая тем самым
на турецкую угрозу». Лейбниц первым попытался примирить католиков и проте-
стантов. Сам он был лютеранином и часто отказывался от заманчивых должностей
вроде главы библиотеки Ватикана или поста во Французской академии наук, так как
не желал принимать католицизм. Позднее он попытался реализовать более скром-
ный, но столь же невозможный замысел — объединить лютеран и кальвинистов.
Для этого он провел большую работу на стыке богословия и дипломатии, не отказы-
вался выслушивать обе стороны, предлагал планы действий и конкретные способы.
Сравните это с религиозными воззрениями Ньютона, который в тайне от всех при-
держивался арианства.
76
ЛЕЙБНИЦ, МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
Портрет Лейбница в пышном парике,
соответствующем требованиям того времени.
Тем не менее Лейбницу не удалось реализовать задуманное. Однако никакая,
даже самая крупная неудача не могла умерить его безграничный оптимизм. Удиви-
тельно уже то, что он, рожденный в Германии, опустошенной после Тридцатилетней
войны, был оптимистом и написал такие строки в «Опыте теодицеи о благости Бога,
свободе человека и происхождении зла»: «Среди бесконечного множества возмож-
ных миров лучшим является тот, что существует. Иными словами, Бог не хотел соз-
дать ничего другого... и вы находитесь в источнике счастья».
Бертран Рассел так объясняет принципы Лейбница: «Пусть в нашем мире и при-
сутствует зло, тем не менее добро в нем преобладает над злом больше, чем в любом
другом из возможных миров. Следовательно, наш мир — лучший из возможных,
а зло, которое в нем содержится, не противоречит идее о добродетели Бога. Этот
аргумент, очевидно, понравился королеве Пруссии. Ее слуги продолжали терпеть
зло, в то время как она наслаждалась добром, и ей доставляло удовольствие, что,
по мнению великого философа, это было законно и справедливо». Вольтеру не при-
шлось прибегать к излишним преувеличениям, когда в романе «Кандид» он создал
образ учителя Панглосса, карикатуру на Лейбница: «Панглосс был учителем мета-
физико-теологико-космолонигологии. Он замечательно доказывал, что не бывает
77
ЛЕЙБНИЦ, МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
Тома полного собрания сочинений Лейбница, хранящегося в библиотеке
бенедиктинского монастыря в Гётвейге в австрийской долине Вахау.
следствия без причины и что в этом лучшем из возможных миров замок владетель-
ного барона — прекраснейший из возможных замков, а госпожа баронесса — луч-
шая из возможных баронесс».
Расскажем в нескольких словах о детстве Лейбница, которое было не столь бога-
тым на травмы, как детство Ньютона. Лейбниц, в отличие от Ньютона, знал своего
отца, юриста и преподавателя этики Лейпцигского университета. Мать Лейбница
была его третьей женой. Отец Лейбница умер в 1652 году, когда мальчику было
всего шесть лет. После отца осталась прекрасная библиотека, в которую Лейбниц
был допущен, лишь когда ему исполнилось восемь. С отцовской библиотеки и на-
чалось его образование, хотя он также посещал школу. В 1661 году он поступил
в Лейпцигский университет, намереваясь изучать юриспруденцию. Пять лет спустя
он попытался получить степень доктора, однако ему было отказано: он был слишком
молод, и, возможно, определенную роль сыграла неприязнь к нему жены декана
факультета.
Он перевелся в Альдорфский университет в Нюрнберге, где смог защитить ра-
боту о некоторых сложных случаях в юриспруденции. Лейбницу была предложена
должность преподавателя, но он отказался. Он никогда не выказывал особенного
энтузиазма по поводу университетов (возможно, небезосновательно) и был сторон-
ником создания альтернативных учреждений для развития науки и мысли. В част-
ности, Лейбниц способствовал созданию научного журнала Acta eruditorum в своем
78
ЛЕЙБНИЦ, МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
родном Лейпциге, а также принимал активное участие в учреждении Берлинской
академии наук, президентом которой он был с момента ее основания в 1700 году.
Санкт-Петербургская же академия была создана царем Петром I по совету Лейб-
ница уже после смерти ученого.
Возможно, в Нюрнберге в 1667 году Лейбниц познакомился со своим первым
покровителем, бароном Иоганном Кристианом фон Бойнебургом, который помог
ему поступить на службу в Майнце. Благодаря этому Лейбниц в 1672 году смог
посетить Париж. Ему было поручено представить двору короля Людовика XIV
проект военного союза для последующего нападения на Египет, чтобы отвлечь вни-
мание Франции от голландских земель. Эта миссия по созданию союза двух церквей
против неверных могла служить прикрытием для другого, более прозаичного зада-
ния: Лейбниц должен был заняться вопросом ренты и пенсиона, которые полагались
его покровителю фон Бойнебургу во Франции. Как бы то ни было, Лейбниц пробыл
в Париже до октября 1676 года. Это путешествие стало решающим этапом в его
обучении многим наукам и, разумеется, математике, так как именно в последние ме-
сяцы пребывания в Париже он создал анализ бесконечно малых.
Лейбниц и анализ бесконечно малых
«Почти все остальные крупные математики, — писал в XX веке Иозеф Хоффман,
видный исследователь биографии Лейбница, — увлекались математикой уже
в юные годы и разрабатывали радикально новые идеи. Однако этот период в жизни
Лейбница не был ознаменован какими-либо заметными математическими откры-
тиями». И в этом, и во многом другом Лейбниц очень отличается от Ньютона.
Когда Лейбниц прибыл в Париж, ему было уже 26 лет. К этому времени он
был лишь поверхностно знаком с «Началами» Евклида и знал немногим больше
элементарной арифметики, изученной в школе по книге Клавия. Как рассказывал
много лет спустя один из его первых учеников Иоганн Бернулли, издание «Гео-
метрии» Декарта с комментариями Ван Схотена, с которым Лейбниц бегло озна-
комился в университете, показалось ему слишком сложным. В Нюрнберге, где он
жил после получения степени доктора в Альдорфском университете (1666 год), он
поверхностно изучил Geometna indivisibilibus Кавальери. Так что, когда он прибыл
в Париж в марте 1672 года, его знания были весьма плачевными, хотя, по словам
Хоффмана, математика была у Лейбница в крови.
Сохранилось множество рукописей и документов Лейбница, в частности почти
все, написанное им в период обучения в Париже. Эти документы позволяют по-
79
ЛЕЙБНИЦ, МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
нять, как проходило его обучение и как он пришел к открытию анализа бесконечно
малых.
В первый год в Париже Лейбниц был дилетантом в математике. Позднее он сам
признавался, что мучился от недостатка знаний. В этом же году он впервые побывал
в Лондоне, где при посредничестве Ольденбурга и Коллинза познакомился с ан-
глийскими математиками. Его «святая простота», о которой он знал, его недооценка
собственных возможностей вкупе с излишней открытостью и общительностью
не раз приводили к недопониманию с британскими математиками и впоследствии
стали одной из причин обвинений в плагиате.
Осенью 1672 года он познакомился с Христианом Гюйгенсом, самым известным
ученым и математиком Европы, который в то время получал жалование во Фран-
цузской академии наук. К тому времени Лейбниц уже совершил свое первое мате-
матическое открытие: он показал, как использовать разность для сложения чисел.
Позднее он упоминал, что на мысль о взаимно обратной связи дифференцирования
и интегрирования его навела взаимно обратная связь между сложением и вычита-
нием.
Рассуждения Лейбница были таковы. Допустим, что требуется найти сумму
а1 а2 аз ап' Нам известно, что каждое из этих чисел является разностью
двух других: ak — bk + t — bk. Следовательно, простое сокращение последовательных
членов Ь, означает, что а. + а, + а, +...+ а = b ,. — Ь,.
k 12 5 и п+1 1
Ввиду врожденного оптимизма и недостатка математических знаний Лейбниц
посчитал, что открыл способ нахождения суммы произвольных рядов чисел. Его
уверенность только усилилась, когда он поделился своим открытием с Гюйгенсом
и тот предложил найти сумму чисел, обратных треугольным числам:
1111
- + - + — + — + ••
2 6 12 20
По случайному совпадению, этот ряд — один из немногих, к которым применим
способ, открытый Лейбницем, так как члены этого ряда имеют вид —-— , то есть
t t и(н + 1)
равны разности между — и---. Таким образом,
п п+1
Лейбниц вычислил суммы похожих рядов, образованных пирамидальными чис-
лами, и подготовил небольшую статью для публикации в Journal des Savants. Однако
80
ЛЕЙБНИЦ, МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
статья так и не увидела свет, поскольку весь 1673 год журнал не издавался. В этой
статье Лейбниц цитирует Кавальери, Галилея, Валлиса, Грегори, Паскаля, Сен-
Венсана и Архимеда, а также упоминает Гоббса как великого математика, что ука-
зывает на определенный прогресс в его образовании.
В январе 1673 года Лейбниц впервые посещает Лондон. Свой первый визит он
нанес Генри Ольденбургу, секретарю Лондонского королевского общества и своему
соотечественнику, который принял его с распростертыми объятиями.
ГЕНРИ ОЛЬДЕНБУРГ (1618-1677)
Ольденбург родился в немецком городе Бре-
мене. О его юности известно очень немногое.
Примерно в 1654 году он был уполномочен
властями Бремена на выполнение дипломати-
ческой миссии в Англии, где в то время пра-
вил Оливер Кромвель. С 1654 по 1661 год,
когда он был избран членом Лондонского
королевского общества, он с перерывами на-
ходился в Англии. Ольденбург упоминается как
один из секретарей Королевского общества
в двух первых письмах короля, датированных
1662 и 1663 годом. Этот пост он занимал
в течение 15 лет, вплоть до своей смерти
в 1677 году. Он создал полноценную систему
архивов и поддерживал переписку со многими
учеными Англии и других стран, что позволило
ему осуществлять важнейший обмен идеями. Именно через него проходили письма, которыми
обменивались Ньютон и Лейбниц в 1676-1677 годах. Их переписка прекратилась со смертью
Ольденбурга. Не забывайте, насколько сложным в те годы было поддержание подобных связей:
почта в го время где-то не существовала вовсе, где-то работала крайне ненадежно, особенно
при передаче писем между странами, находящимися в состоянии войны. Используя дипломати-
ческие каналы, Ольденбург создал сеть посредников, которые передавали корреспонденцию, что
было особенно ценно во время войны. Подобный шаг был достаточно рискованным: в 1667 году
Ольденбург провел несколько месяцев в лондонском Тауэре, возможно, из-за того, что позволил
себе «недостаточно патриотичные высказывания» о британских властях в письме к иностранцу.
81
ЛЕЙБНИЦ. МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
22 января 1673 года Лейбниц представил Лондонскому королевскому обществу
деревянную модель вычислительной машины, способной выполнять сложение, вы-
читание, умножение и деление. Хотя модель, изготовленная в Париже, была несо-
вершенной, именно за ее создание Лейбниц впоследствии был избран членом Коро-
левского общества. Ольденбург сообщил ему об этом в письме, написанном в апреле
того же года, однако два месяца спустя напомнил, что он обещал представить членам
общества усовершенствованную модель. Свое обещание Лейбниц выполнил лишь
несколько лет спустя.
Лейбниц создал машину, способную умножать числа
путем многократного выполнения сложения.
Некоторое время спустя между Лейбницем и Джоном Пеллом произошел инци-
дент, в котором англичане встали на сторону Пелла. Лейбниц познакомился с Пел-
лом на встрече с Робертом Бойлем в доме его сестры на улице Пэлл-Мэлл. Как
позднее вспоминал Лейбниц, он иногда посещал Бойля, так как «не пренебрегал
химиеи». Лейбниц сообщил Пеллу, что открыл общий метод представления и ин-
терполяции рядов с помощью разностей чисел. Пелл был удивлен: Лейбниц при-
ехал из Парижа и должен был знать, что эти результаты уже были опубликованы
во Франции и в Англии несколько лет назад Габриелем Мутоном. Лейбниц на сле-
дующий же день ознакомился с книгой Мутона в библиотеке Королевского обще-
ства и убедился, что Пелл был совершенно прав. Версия Лейбница была зафиксиро-
82
ЛЕЙБНИЦ, МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
вана в письме к Ольденбургу от 3 февраля 1673 года, а тот в свою очередь сообщил
об этом Ньютону. В итоге спустя 14 лет, когда возник спор о том, кто же первым от-
крыл анализ бесконечно малых, Ньютон, словно желая показать склонность Лейб-
ница к плагиату, писал: «Пелл обвинил Лейбница в том, что тот скопировал метод
интерполяции из книги Мутона».
В последующие месяцы Ольденбург и Лейбниц обменялись письмами, в кото-
рых последний пожаловался на недостаток знаний математики. Как позднее вспо-
минал Лейбниц, в то время он совершенно не знал геометрии. Например, в апреле
1673 года Лейбниц написал Ольденбургу о результатах, касавшихся сумм чисел,
обратных фигурным числам. (Ньютон позднее высмеивал эти результаты, так как
они были очень простыми.) Когда Ольденбург сообщил, что эти результаты содер-
жатся в книге Quadrature arithmeticae Пьетро Менголи, Лейбниц ошибочно возра-
зил ему, что метод Менголи применим только для конечных, а не для бесконечных
рядов. Изучив подробнее труд Менголи, Лейбниц увидел различие между своими
результатами и результатами Менголи: они были получены с помощью разных ме-
тодов.
Ольденбург также выслал Лейбницу результаты, которые Коллинз считал наи-
более показательными для британской математики того времени. Эти результаты
приводились без доказательств, иногда их было сложно понять, кроме того, при
переписывании были допущены ошибки. Так как переписка часто сохранялась в ар-
хивах Лондонского королевского общества, целью этих писем было документально
зафиксировать первенство английских математиков. Ньютон подробнейшим обра-
зом изучил эти письма, чтобы подкрепить обвинения Лейбница в плагиате, хотя
Ольденбург отправил Лейбницу не письма Коллинза, а их сокращенный перевод
с английского на латынь. Из-за этих сокращений вкупе с ошибками, допущенными
при переписывании, письма Ольденбурга было практически невозможно понять.
Лейбниц, получив эти письма, решил, что ему следует уделять больше времени
и внимания математике и завершить свое образование. Именно тогда его охватила
подлинная страсть к математике. Он более чем на год прервал переписку с Оль-
денбургом и принялся за работу. По словами Хоффмана, «он прекратил отношения
с Ольденбургом, чтобы заняться самообразованием и заполнить пробелы в знаниях,
которые он с болью осознавал. Их отношения возобновились лишь в конце лета
1674 года. Тогда Лейбниц был уже другим человеком и превосходно разбирался
в предмете».
83
ЛЕЙБНИЦ, МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
Лейбниц позднее писал, что обширным знаниям математики он был обязан на-
ставничеству и примеру Гюйгенса. Следуя советам этого голландского ученого, ко-
торый в то время благосклонно относился к нему, Лейбниц изучил труды Паскаля,
Фабри, Грегори, Сен-Венсана, Декарта и де Слюза, а также Меркатора, книгу кото-
рого, Logarithmotechnia, он купил в Лондоне, равно как и Lectiones Барроу. Однако
эти работы он изучил лишь несколько лет спустя. С книгами остальных авторов он
ознакомился в королевской библиотеке, некоторые приобрел. Одной из таких книг
было издание «Геометрии» Декарта под редакцией ван Схотена, которое в период
жизни в Нюрнберге показалось Лейбницу слишком сложным. Особенно важным
стал труд Паскаля Traite des sinus du quart de cercle, в котором рассказывалось о так
называемом характеристическом треугольнике — прямоугольном треугольнике, ги-
потенуза которого является касательной к кривой, а катеты — дифференциалами
х и у, как показано на рисунке.
Несколько лет спустя в письме к одному из своих первых учеников Якобу Бер-
нулли Лейбниц написал, что именно эта работа Паскаля со всей ясностью показала
ему, что задачи о касательных и квадратурах являются взаимно обратными. Лейб-
ниц добавил, что у Паскаля, должно быть, была повязка на глазах — ничем иным
нельзя объяснить то, что он сам не заметил этого. Лейбниц продемонстрировал пле-
мяннику Паскаля свою вычислительную машину в июне 1674 года. Паскаль так-
же придумал вычислительную машину, которая, однако, была способна выполнять
только сложение и вычитание. Лейбниц выразил сожаление, что некоторые статьи
Паскаля были до сих пор не опубликованы, и попросил его племянника отправить
ему несколько рукописей этого французского математика и философа.
84
ЛЕЙБНИЦ, МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
В течение 1673 года Лейбниц с помощью характеристического треугольника со-
вершил несколько важных открытий. В частности, он открыл метод преобразова-
ния, напоминающий современный метод интегрирования по частям. Взяв за основу
этот метод, он смог найти разложение в ряд для функции арктангенса и получил свой
знаменитый бесконечный ряд, с помощью которого можно вычислить число Л. В де-
кабре 1673 года Лейбниц обсудил с Гюйгенсом возможность решения классической
греческой задачи о квадратуре круга с помощью этого ряда.
Далее он занялся решением задач о касательных, взяв за основу метод де Слюза.
Хоффман, подробно изучив рукописи Лейбница того периода, сделал вывод, что
в своей работе Лейбниц опирался на труды вышеупомянутых авторов, к которым
следует добавить Гюйгенса, и не использовал работы Ньютона и Барроу.
В письмах, отправленных во второй половине 1674-го и в начале 1675 года,
Лейбниц сообщил Ольденбургу о своих результатах, полученных, по его словам, от-
части «благодаря редкой удаче». В частности, он ознакомил Ольденбурга (не при-
ведя ни подробностей, ни формулы) с рядом для вычисления числа И, разложени-
ем функции арксинуса в ряд, а также косвенно упомянул метод преобразования.
На этот раз Ольденбург ответил ему в более критическом тоне, чем в ранний период
их знакомства, так как в то время Лейбниц не скрывал своего дилетантства. Также
не приводя ни подробностей, ни формул, он сообщил Лейбницу о результатах, полу-
ченных британскими математиками, в частности Ньютоном и Джеймсом Грегори:
«Мне хотелось бы обратить ваше внимание на то, что теория и метод измерения кри-
вых, которые использует уже упомянутый Джеймс Грегори, а также Исаак Ньютон,
могут быть применены к любой кривой, механической или геометрической». В пись-
ме от 20 марта 1675 года Лейбниц просит подробнее рассказать об этих результатах.
Ольденбург переадресовал письмо Коллинзу, после чего 12 апреля направил
Лейбницу ответ, в котором указывается разложение в ряд для синуса и арксину-
са, полученное Ньютоном, ряды Грегори для тангенса и арктангенса, а также неко-
торые результаты, касающиеся интерполяции, квадратур и других задач. Как бы
то ни было, в письме приводились лишь результаты, но не объяснялось, каким спо-
собом они были получены. Лейбниц приписал авторство этих рядов Ольденбургу и,
по мнению Хоффмана, не совсем понял, что попало ему в руки, так как пообещал
сравнить эти результаты со своими и дать по этому поводу комментарий, но так
никогда и не сделал этого. Так как о некоторых из этих рядов Лейбниц узнал позд-
нее и из других источников, это дало Ньютону основания впоследствии обвинить его
в плагиате результатов, полученных через Ольденбурга.
85
ЛЕЙБНИЦ. МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
Мы можем достаточно точно указать, когда Лейбниц открыл анализ бесконечно
малых. Это произошло в конце октября — начале ноября 1675 года, если вообще
уместно приводить столь точные даты для такого значимого открытия. В сохранив-
шихся рукописях, которые относятся к этому периоду, особенно тех, что датированы
29 октября и И ноября, Лейбниц вводит систему обозначений математического ана-
лиза и описывает с ее помощью алгоритм, в котором впоследствии станут заметны
различия с работами его предшественников, приводит правила анализа и определяет
интегрирование и дифференцирование как взаимно обратные операции. Хоффман
пишет: «После того как был сделан этот первый, решающий шаг в сторону «алге-
браизации» задач о бесконечно малых, перед этим человеком, умевшим определить
характерные и общие элементы среди мешанины похожего, открылась новая кар-
тина мира. <...> Он четко понимал, чего не хватает в созданном им математиче-
ском анализе, но знал, что эти недостатки можно исправить и что путь в новый мир
успешно открыт».
Ключевую роль сыграли работы по решению задач поиска кривой по заданной
касательной, которыми Лейбниц занимался в октябре 1675 года. За год до этого он
решил задачу определения кривой по известной поднормали.
В рукописи, датируемой 29 октября 1675 года, Лейбниц ввел знак f — стили-
зованную букву S, первую букву латинского слова summa для обозначения суммы
бесконечно малых. До этого использовалась аббревиатура omn. — от латинского de
omnium («все»), введенная Кавальери. Лейбниц писал: «Будет удобно записывать
omn. как J, так что Jl = omn.l, то есть сумма 1».
Далее в этой же рукописи он вводит букву d для обозначения дифференциала.
Изначально он поместил это обозначение в знаменатель: «Это получается обратным
расчетом. То есть допустим, что J1 = уа, где I = Тогда с ростом J d будет умень-
d
шаться в размерах. Однако J означает сумму, ad — разность».
Спустя несколько дней в рукописи, датированной И ноября 1675 года, он пере-
местил d в числитель и записал — как dx. В этой же рукописи Лейбниц задается
вопросом о равенстве d(xy) и dxdy, а также
и .
dy
Он делает вывод, что равенство между ними не выполняется, однако не приводит
верных формул для нахождения дифференциала произведения и частного.
Чтобы увидеть нечто общее среди беспорядочного множества результатов, полу-
ченных его предшественниками при решении задач о квадратурах, центрах тяжести,
86
ЛЕЙБНИЦ, МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
касательных, задач нахождения кривой по заданной касательной и других, и сфор-
мулировать понятия интегрирования и дифференцирования, требовался алгебраиче-
ский язык. Этот язык Лейбниц в совершенстве освоил во время работы над реше-
нием уравнений, проведенной за несколько месяцев вплоть до октября 1675 года.
Следует отметить, что Лейбниц не преуспел в решении уравнений, однако освоил
язык алгебры, без которого не смог бы впоследствии открыть свой метод математи-
ческого анализа.
Лейбниц сообщил основу своего метода Ньютону в ответ на его письма, пере-
данные через Ольденбурга в июне и октябре 1676 года. Эта переписка Ньютона
и Лейбница впоследствии сыграла решающую роль в споре о том, кто же первым
создал анализ бесконечно малых. Как мы уже говорили, Ньютон отправил Лейбни-
цу два письма: так называемое Epistolae prior, датированное 13 июня 1676 года,
и Espistolae posterior, датированное 24 октября 1676 года. Ответы Лейбница дати-
руются 17 августа 1676 года и 11—12 июня 1677 года. Они не озаглавлены, но их
значение не менее масштабно. В своих письмах Ньютон излагает Лейбницу большую
часть De analysi и De methodis о разложении в ряд, но почти не упоминает о своей
версии анализа бесконечно малых. Лейб-
ниц же в своих письмах излагает свой ме-
тод полностью. Ньютону следовало по-
нять, что метод Лейбница столь же полон,
как и его собственный, и вовремя опубли-
ковать свои труды, чтобы доказать свое
первенство. Вестфолл пишет: «Можно
лишь предполагать, каковы были бы воз-
можные последствия этого шага, но мож-
но с уверенностью сказать, что в этом
случае обе стороны не запятнали бы себя
позорными поступками, которые в итоге
совершили». Валлис чрезвычайно прони-
цательно заметил: «По моему мнению,
господину Ньютону следует усовершен-
ствовать свою нотацию и незамедлитель-
но опубликовать эти письма [имеются
в виду два Epistolae]».
Годы, проведенные в Париже, стали
для Лейбница непростыми. После смер-
Дом, в котором жил Лейбниц во время
пребывания в Ганновере.
87
ЛЕЙБНИЦ. МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
ти курфюрста Майнца в феврале 1673 года и изменений в ходе военных действий
между Францией и Голландией политическая и дипломатическая миссия Лейбница
потеряла смысл. Лейбниц опасался, что ему прикажут вернуться в Германию. Одна-
ко его новый покровитель предложил ему остаться в Париже и продолжать работу.
Лейбниц предпринял несколько неудачных попыток получить должность
во французской столице. Ему не удалось получить пост дипломата (этому помешало
его происхождение), а также не удалось занять оплачиваемый пост во Французской
академии наук, где он представил свою вычислительную машину в начале 1675 года.
(К сожалению для него, оплачиваемые должности уже занимали Гюйгенс и Кас-
сини, и Академия не могла принять еще одного иностранца.) Несмотря на то что
Лейбниц в течение всей второй половины того года использовал все свои много-
численные связи, попытка получить должность заведующего кафедрой в Коллеж де
Франс после смерти Роберваля также окончилась неудачей. Шло время, но един-
ственное предложение, которое ему поступило, — это приглашение на службу
к графу Иоганну Фридриху, курфюрсту Ганновера. Лейбниц в конце концов принял
предложение, но это означало, что ему придется вернуться в Ганновер, жить вда-
ли от главных научных центров того времени и полностью зависеть от курфюрста,
рискуя потерять должность в любой момент. Ему удалось продлить свое пребыва-
ние в Париже, насколько это было возможно — сначала до мая 1676 года, затем
до октября. 4 октября он оставил Париж и направился в Германию, где его ждала
должность библиотекаря в Ганновере. К работе следовало приступить в январе. Он
больше никогда не возвращался в город, где в условиях величайшего давления, обе-
спокоенный будущей карьерой, он открыл анализ бесконечно малых.
По пути в Ганновер Лейбниц посетил Лондон и Амстердам. В Лондоне он про-
был десять дней и нанес визит Коллинзу. Вестфолл пишет: «Находясь под впе-
чатлением от визитера, Коллинз открыл перед ним свой архив». Лейбниц, помимо
прочих трудов, ознакомился с «Анализом» Ньютона и сделал некоторые пометки,
касавшиеся разложения в ряд. Вновь приведем цитату Вестфолла: «Он увидел, что
в этой области он может многому научиться у британских математиков. Отсутствие
пометок, касающихся анализа флюксий, означает, что он не увидел в книге Ньютона
ничего такого, о чем не знал бы сам. После отъезда Лейбница Коллинз вернулся
к реальности и осознал, насколько опрометчиво поступил. Он никогда не рассказы-
вал Ньютону о том, что показал Лейбницу его труды... Лейбниц, в свою очередь,
также предпочел не упоминать об этом».
Позднее Лейбниц предпочел умолчать не только об этом, но и о других вещах,
которые он узнал по дороге в Германию. В Амстердаме он в течение месяца несколь-
88
ЛЕЙБНИЦ, МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
Портрет Бенедикта Спинозы. Доктрина этого
философа, жившего в изгнании, оказала
огромное влияние на многих философов,
среди которых был и Лейбниц.
ко раз встретился с философом Бенедик-
том Спинозой и ознакомился с частью
рукописи его «Этики». Позднее Лейбниц
отрицал идеи Спинозы (на момент визи-
та Спинозе, которому оставался всего год
до смерти, наскучило всякое общество)
и предпочел не упоминать о том, как мно-
го он узнал во время бесед с ним, и так-
же отказывался признавать значительное
влияние «Этики» на свои философские
взгляды.
Когда 25 лет спустя начался спор
о том, кто же первым открыл математиче-
ский анализ, решающую роль сыграло то,
что Лейбниц увидел в Лондоне.
В 1677 году, уже будучи в Ганновере,
Лейбниц получил правильные формулы
для вычисления дифференциала произве-
дений, дробей и степеней. Эти формулы
он вывел не без труда, путем проб и ошибок.
В 1680 году он практически завершил работу над своим методом анализа и, в от-
личие от Ньютона, который не горел желанием отдавать рукописи в печать, опубли-
ковал первую статью по этой теме в 1684 году. Эта статья стала первой в истории
публикацией, посвященной анализу бесконечно малых. Она имела внушительное
заглавие «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для кото-
рого не являются препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и осо-
бый для этого род исчисления». В этой статье объемом всего в шесть страниц крайне
схематично, без доказательств и практически без примеров было изложено диффе-
ренциальное исчисление Лейбница. Эта работа была сложной и непонятной, «ско-
рее, загадка, нежели объяснение», как отзывались о ней братья Бернулли, которые
первыми изучили математический анализ Лейбница. Сложность статьи усугубля-
лась опечатками, допущенными при публикации.
Особого упоминания заслуживает один из немногих примеров, приведенных
в статье, которому Лейбниц посвятил заключительные строки. Речь идет о за-
даче нахождения кривой по известной касательной, предложенной де Боном:
«Я с удовольствием приведу в качестве приложения решение задачи, предложенной
89
ЛЕЙБНИЦ. МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
ПРОБЕЛЫ В РАССУЖДЕНИЯХ ГЕНИЯ
Приведем вывод формулы производной произведения функций, изложенный Лейбницем, так
как в нем ярко отражена недостаточная логическая строгость, которой отличался Лейбниц при
работе с бесконечно малыми величинами: «d(xy) - то же, что и разность между двумя смеж-
ными ху, из которых одним будет ху, другим - (х + dx) (у + dy). Следовательно, d(xy) - (х + dx)
(У + dy) - ху, или xdy + ydx + dxdy, чю равно xdy + ydx, если опустить величину dxdy, которая
является бесконечно малой по отношению к прочим величинам, так как dx и dy предполагаются
бесконечно малыми».
Как видите, четкость этого доказательства оставляет желать лучшего. В нем проявляется
наиболее противоречивое свойство бесконечно малых величин: Лейбниц считает величину
dxdy равной нулю, несмотря на то что ни dx, ни dy не равны нулю.
де Боном, которую безуспешно пытался решить Декарт. Найти линию такой при-
роды, что проекция любой из ее точек на ось и точка пересечения касательной в этой
точке с указанной осью образуют отрезок постоянной длины». Чтобы найти реше-
ние с помощью своего метода и тем самым доказать его возможности, Лейбницу
понадобилось всего полдюжины строк. Искомой кривой в этой задаче является ло-
гарифмическая кривая.
Также следует обратить внимание, насколько своеобразным способом Лейбниц
распространял информацию о своем дифференциальном исчислении. Он опублико-
вал свою работу в научном журнале Acta eruditorum, в создании которого участвовал
в 1682 году, ознаменовав тем самым начало новой эпохи в науке.
Спустя два года, в 1686 году, Лейбниц публикует в Acta eruditorum свою вторую
статью, которая на этот раз посвящена интегральному исчислению. Статья носила
название «О скрытой геометрии и анализе неделимых и бесконечных величин».
Лейбниц начал эту статью с оправданий, объясняя, почему его первая статья была
столь сложной: «Понимая, что некоторые вещи, опубликованные мной в Acta об от-
крытиях в геометрии, не были в достаточной мере поняты некоторыми учеными
людьми и, более того, использованы не совсем верно, будь то по ошибке либо по ка-
кой-либо другой причине, я посчитал, что крайне ценно добавить к этой статье все
возможное, чтобы прояснить прошлые вопросы».
В этой статье впервые используется обозначение интеграла, хотя из-за сложно-
стей при печати знак J, примененный Лейбницем в рукописи, был заменен на /, что
было исправлено в последующих изданиях. В статье, как и в первой от 1684 года,
используется буква d для обозначения дифференциала.
90
ЛЕЙБНИЦ, МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
Во второй статье он указывает, что дифференцирование и интегрирование явля-
ются взаимно обратными операциями, и формулирует основную теорему анализа:
«Подобно степеням и корням в обычном исчислении, а также сумме и разности, j и d
являются обратными». Он применяет это утверждение для доказательства теоремы,
которую приписывает Барроу, для чего, как и при решении задачи де Бона, кото-
рой оканчивается первая статья, он решает дифференциальное уравнение. «Из из-
ложенного в методе касательных очевидно, что
= xdx.
Следовательно, обратной является
1 2 [ ,
— х = \хах».
2
Происхождение названия объясняется использованием латинского слова
differentia — «разность». Отсюда понятие дифференциала и название «дифферен-
циальное исчисление». Последовав совету Иоганна Бернулли, Лейбниц заменил
изначальное название «суммарное исчисление» на «интегральное исчисление». Ио-
ганн Бернулли также предлагал заменить символ j буквой I — первой буквой слова
«интеграл». В итоге они договорились сохранить название «интегральное исчисле-
ние», предложенное Бернулли, и символ j, предложенный Лейбницем. В письме,
датированном 28 февраля 1695 года, Лейбниц пишет Иоганну Бернулли: «В бу-
дущем было бы лучше с целью единообразия и гармонии не только между нами,
но и во всей области изучения использовать термины сумм вместо твоих интегралов.
Тогда, например, \ydx будет означать сумму всех у, умноженных на соответству-
ющий dx, или сумму всех этих прямоугольников. Я прошу этого главным образом
потому, что в этой форме геометрические суммы, или квадратуры, лучше соответ-
ствуют арифметическим суммам и суммам рядов. Признаюсь, что открыл весь ме-
тод, рассматривая обоюдность сложения и вычитания, а затем в своих рассуждениях
перейдя от последовательностей чисел к последовательностям отрезков и ординат».
Лейбниц опубликовал и другие статьи на тему анализа бесконечно малых.
Профессор Норберто Куэста Дутари насчитал 27 статей, напечатанных в период
с 1684 по 1708 год только в выпусках журнала Acta eruditorum. Первооткрыватели
анализа различались и в этом: Лейбниц предпочитал публиковать статьи в научных
журналах, чтобы быстрее познакомить общественность с полученными результата-
ми, а Ньютон издавал их в виде книг и постоянно откладывал публикацию.
91
ЛЕЙБНИЦ МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
На службе у Ганноверской династии
Когда Лейбниц вернулся в Германию, он некоторое время оставался без работы, так
как фон Бойнебург умер в конце 1672 года, а несколько месяцев спустя скончался
сам курфюрст. Он не смог найти ничего лучше, чем должность библиотекаря
на службе курфюрста Ганновера. К сожалению для него, должность требовала, что-
бы он непрерывно находился в столице Нижней Саксонии, вдали от Парижа, кото-
рый в те годы был центром европейской науки, культуры и философии.
Ганноверский герцог Брауншвейг-Люнебургский стал его покровителем до конца
жизни, однако жизнь в доме герцога не всегда была ему по нраву. В 1678 году он
стал личным советником герцога, а в 1685 году занялся изучением истории его се-
мейства. Однако его обязанности на этом не заканчивались. С Лейбницем советова-
лись по вопросам образования; также он занимался инженерным делом и геологией
в шахтах, расположенных в горах Гарца, где спроектировал систему дренажа шахт
с помощью ветряных мельниц. Затея с мельницами завершилась неудачей и ударила
по карману Лейбница, так как ему пришлось оплатить расходы из своего жалования.
Часть средств, которые планировалось получить от системы дренажа, должна была
пойти на создание академии и развитие characteristica universalis, но этот проект так
никогда не был осуществлен. Лейбниц также занимался созданием гидравлических
прессов, часов и других устройств. Не будем забывать и о спроектированной им вы-
числительной машине.
Возможно, наибольших успехов на службе у герцога Брауншвейгского он до-
бился как историк. Лейбниц без устали исследовал старые рукописи из баварских
монастырей и итальянских палаццо, эпитафии на заброшенных могилах неизвест-
ных кладбищ кармелитов и в итоге установил родство семьи герцога и древнего кня-
жеского рода Эсте из Модены. Благодаря этим исследованиям герцог Брауншвейг-
ский впоследствии добился того, что его княжество стало новым, девятым курфюр-
шеством Германии, и герцог получил право голоса при избрании императора.
Лейбниц как историк достиг удивительных высот, так как описал не только исто-
рию рода герцога, но и попытался составить всеобщую историю Земли, охватывав-
шую также геологию и археологию, а также провести исследование миграции наро-
дов на основе различий и аналогий между языками. Подобно другим грандиозным
проектам, этот труд по всеобщей истории так никогда и не был создан, и все идеи
ученого растворились в море рукописей и писем.
92
ЛЕЙБНИЦ, МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
И снова обратим внимание, сколь велики различия между Ньютоном и Лейбни-
цем даже в том, в каких условиях им приходилось работать. Ньютон в одиночестве
изучал труды о жизни библейских царей, стремясь глубже понять творение Бога
Отца. Жил он сначала в Кембридже, подобно монаху, затем в Лондоне, наслаж-
даясь высоким положением и властью. Лейбниц же, напротив, посетил множество
архивов и библиотек, в течение трех лет путешествовал по югу Германии, Австрии
и Италии, не считая коротких поездок в Берлин, Ганновер, Вольфенбюттель и Вену,
разыскивая предков своего покровителя. При этом герцог весьма щепетильно сле-
дил за его работой, и если замечал, что его генеалогическое дерево не растет, как бы
того ему хотелось, то объяснял это недостатком усердия своего подчиненного.
Отношения Лейбница с семьей герцога ухудшились после смерти Эрнста Авгу-
ста в 1698 году, на смену которому пришел его сын и наследник Георг Людвиг. Бу-
дущий король Англии Георг I никогда не ладил с Лейбницем, несмотря на то что тот
С восшествием на трон короля Англии Гэорга I
отношение к труду Лейбница заметно ухудшилось.
Вверху — портрет короля кисти Гэтфрида Кнеллера.
93
ЛЕЙБНИЦ. МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
ОЧАРОВАНИЕ ВОСТОКОМ
Увлечение Лейбница Китаем никого не удивило бы в наши дни, но в то время оно считалось
необычным. В этом увлечении проявилось стремление Лейбница знать всё. Его очень заинте-
ресовала система китайского письма: он увидел в ней сходство со своим «универсальным язы-
ком». Его увлеченность была столь велика, что он советовал отправить в Китай протестантских
миссионеров и отметил, что если китайский император примет протестантскую веру, это будет
важнее победы в сотне сражений. В то время на императора имели влияние монахи-иезуиты,
которые, в частности, обучали е о и некоторых членов его семьи математике и астрономии.
SS Memoikes de l’Academie Rotaes
res Lineaircs qu’on lui attribuS. Elies reviennenr routes i
cctte Arithmctique; reais il foffit de mettre icy 1л Fi^re
de fair Ctoucommeon 1'appelle, qui pafle pour fonda-
mentalc, 8c d’y joindre 1’explication qui eft manifefte,
pourvti qu'on remarquc prcmicrcment qu’une iigni en-
tierc--------fignifie 1'unitc ou i, 8c fecondemenr qu’une
lignc brifcc--------fignifie le zero ou o.
8 5 2 = 832
о__о__О___О__~___*.__**
О I 1О- It loo lot но
о l I > 4 J £ 7
Les Chinob ont perdu la lignification des Ом ou
Lineations de Fohy, peut Stre depuis plus d’un mille-
naire d’annee; 8c sis ont fait des Cotnmentaires li-deflur,
oil ils ont cherchc ie ne fi;ay quels lens eloignes. De for-
te qu'il afallu que fa vraie explication leur vint mainre-
nantdesEuropcens: Voicy comment. Il n'y agueres plus
de deux ans que j’envoyay au R. P. Bouvet Jcluire Fran-
cois celcbrc, qui demeure a Pekin, ma maniere de coin-
pter par о & i, & il n’en failut pas davantage pour le
taire reconnoitre que e’eft la clef des Figures de Fohy.
Ainfi m'ccrivant le i4Novembrc 1701, ilm’a envoyc fa
grande Figure de ce Prince Philofophe qui vaa 64, 8c
ne laifle plus lieu de doutcr de la verite de notre inter-
pretation} de forte qu’on peut dire que ce Pcre a dechif-
fre iEmgme de Foby i. 1’aidedc ecque je lui avoir com-
munique. Et cornme ces Figures font peut-ftre le plus
ancicn monument de iciencc qui foit an monde, cette
reftitution de leur fens, apres un fi grand intcrvalle de
terns, paroirra d’tutant plus cpricufe.
Le confenrcmcnt des Figures de Fohy 8c de ma Table
des Nombrcs, le fait micux voir lorfquc dans la Table
on foppice les zeros initiaux, qui paroiflent fopcrflus>
reais qui fervent A micux marquer laperiodc de la colon.
ne,
Страница статьи «Изложение двоичной
арифметики» (1703-1705), на которой
изображены гексаграммы из Книги Перемен.
Лейбниц считал, что смог расшифровать значение
этих древних символов с помощью созданной им
двоичной системы счисления.
94
ЛЕЙБНИЦ, МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
находился в прекрасных отношениях с матерью курфюрста герцогиней Софией и его
сестрой Софией Шарлоттой. Курфюрст не ценил интеллект Лейбница и вспоминал
об ученом лишь тогда, когда исследования истории его рода, по его мнению, про-
двигались недостаточно быстро. Добавим к этому, что Лейбниц старался под лю-
бым предлогом уехать из Ганновера: он посещал заседания Академии наук в Бер-
лине, наносил визиты императору Священной Римской империи в Вене (в январе
1712 года ему была пожалована должность придворного советника) и российскому
царю Петру I. Лейбниц был советником Петра с 1711 года и весьма способствовал
развитию в России математики и других наук, а также содействовал реформе права
и государственного устройства. Он также посещал многочисленных принцев, прин-
цесс и курфюрстов Германии, состоявшей тогда из множества княжеств, герцогств
и городов-государств.
Хотя Георг Людвиг Брауншвейгский не ценил бриллиант, сверкавший в его доме,
он чувствовал зависть соседей и непрестанно упрекал Лейбница в том, что тот под
любым пред югом оставлял исследования родословной герцога и занимался своими
многочисленными проектами, начиная от написания философских трудов и заканчи-
вая расшифровками китайской Книги Перемен.
Благодаря вежливости и умению произвести хорошее впечатление Лейбниц под-
держивал дружеские отношения со многими людьми по всей Европе. Разумеется,
у него были недоброжелатели, он участвовал в спорах и порой действовал не совсем
благоразумно, но он не обладал столь сложным характером, как Ньютон.
Философия Лейбница
Философские взгляды Лейбница изложены в его немногочисленных трудах. Воз-
можно, их было бы больше, если бы обстоятельства складывались благоприятнее.
Заслуживают упоминания «Размышления о познании, истине и идеях» — неболь-
шая статья, опубликованная в Acta eruditorum в 1684 году, а также «Рассуждение
о метафизике» (1686), «Опыты теодицеи о благости Божией, свободе человека
и начале зла» (1710) и «Монадология» (1714). Однако большинство его трудов
по метафизике и философии (лучшие, по мнению Бертрана Рассела) не были изда-
ны в виде книг, а зафиксированы лишь в его обширной переписке.
В основе его философии лежит сложная совокупность различных принципов.
Часть из них относится к реальности: принципы предустановленной гармонии,
95
ЛЕЙБНИЦ, МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
полноты, непрерывности, тождества, известный также как закон Лейбница. Другие
относятся к способу понимания реальности: принцип непротиворечивости или прин-
цип достаточного основания. Этот список можно продолжать и далее.
Автор этой книги не ставил перед собой задачу погрузиться в глубины философ-
ской мысли Лейбница, однако было бы непростительно не упомянуть о ней вовсе.
Его система философских взглядов чрезвычайно разнообразна и обширна, однако ей
присущи единообразие и по меньшей мере непротиворечивость.
Рассмотрим принцип непрерывности. Может показаться странным, что его при-
держивался создатель монады — «простой субстанции, являющейся частью слож-
ных; простой в том смысле, что она не содержит частей», и ученый, по мнению ко-
торого продолжение прямой состояло из несокращаемых частей бесконечно малой
длины. Да, подобная несогласованность может показаться странной и противоре-
чивой, однако именно принцип непрерывности позволил Лейбницу перейти от по-
следовательностей чисел к последовательностям бесконечно малых, образующих
непрерывное целое, что аналогично переходу от разности чисел к дифференциалу.
Хосе Ферратер Мора писал: «Принцип непрерывности — это всеобщий принцип,
который делает очевидной согласованность физики и геометрии. Согласно этому
принципу, всё во Вселенной связано “на основании метафизических причин”, при-
чем не только в настоящем, но и с течением времени, поскольку настоящее всегда
таит в себе ключ к будущему. Благодаря принципу непрерывности можно дать обо-
снование любой реальности и любому событию, поскольку без этого принципа сле-
довало бы сделать вывод, что в природе существуют промежутки, что не согласуется
с принципом достаточного основания».
Принцип достаточного основания, в свою очередь, гласит, что «ни одно явление
не может оказаться истинным или действительным, ни одно утверждение — спра-
ведливым без достаточного основания, почему именно дело обстоит так, а не иначе».
Здесь основание понимается как повод, а не как логическая необходимость. Прин-
цип достаточного основания позволил распутать клубок причин и прийти к перво-
причине и источнику предустановленной гармонии — к Богу. (Лейбниц имел склон-
ность к поиску более или менее логичных доказательств существования Бога.)
Согласованность и универсальность философских взглядов Лейбница снова
обнаруживается в применении принципа непрерывности к переселению народов.
Лейбниц рассуждал так: если мы признаем, что человеческий язык развивается
непрерывно, то любое отсутствие непрерывности будет соответствовать очередному
этапу миграции населения.
96
ЛЕЙБНИЦ, МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
ЛЕЙБНИЦ И БРАК
В вопросах любви, как и во многих других, Лейбниц не отличался столь пуританским харак-
тером, как Ньютон. Известно, что в возрасте 50 лет он подумывал о браке, но его избранни-
ца размышляла дольше положенного времени, и Лейбниц утратил интерес к супружеству. Эту
историю рассказывал Фонтенель, хотя впервые о ней поведал Экхарт - секретарь и первый
биограф Лейбница. Позднее многие математики при случае в шутливой форме вспоминали
об этой истории. Например, Лагранж писал Д’Аламберу: «Не знаю, верно ли я провел расчеты
или нет, скорее, я не рассчитывал ничего, иначе уподобился бы Лейбницу, который размышлял
об этом слишком много и никак не мог решиться. Как бы то ни было, признаюсь вам, что никог-
да не испытывал желания жениться и никогда не сделал бы этого, если бы меня не заставили
обстоятельства».
Похороны Лейбница
Похороны Лейбница, умершего 14 ноября 1716 года, также отличались от похорон
Ньютона. Возможно, это было вызвано непростыми отношениями Лейбница с Ге-
оргом Брауншвейгским, которые ухудшились после смерти в 1705 году его сестры
Софии Шарлотты, тогдашней королевы Пруссии, и после смерти матери герцога
в 1714 году.
Лейбниц возвратился в Ганновер в середине того же года, проведя более полу-
тора лет в Вене, когда Георг унаследовал британский престол. Лейбниц хотел по-
следовать за своим покровителем в Англию — именно в тот период спор с Ньюто-
ном о первенстве был как никогда ожесточенным. Поэтому Лейбницу хотелось на-
ходиться в стране, где его считали врагом, будучи членом королевского двора (чего
опасались сторонники Ньютона), и он несколько раз пытался получить в Англии
должность историографа.
Хотя Лейбниц в 1700 году блестяще провел дело о праве герцога Брауншвейг-
ского на английский престол, Георг I не хотел, чтобы его придворный историк от-
влекался на споры об анализе бесконечно малых, оставив без внимания составление
королевской родословной. Поэтому он повелел Лейбницу остаться в Ганновере, что
было для него равносильно изгнанию, и практически заключил его под домашний
арест, запретив ему в 1715 году длительные поездки и лишив жалования за два с по-
ловиной года, поскольку Лейбниц слишком долго находился в Вене. Король был
непреклонен: он повелел Лейбницу завершить родословную его династии, носив-
97
ЛЕЙБНИЦ, МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
шую название Anuales Imperti Occidentis Brunsvicensis. Этот труд так и не был до-
веден до конца и, как признавался Лейбниц, был для него сродни сизифовому
труду.
Лейбниц был похоронен без почестей, под песнопения, исполненные детским хо-
ром, в кругу ближайших родственников и друзей. На похоронах не появился ни один
из членов королевского двора, хотя в те самые дни король со своей свитой были
на охоте в соседнем поместье. Больше полувека его могила простояла без надпи-
си. Об этом не позаботился ни единственный племянник ученого, который получил
от него в наследство хорошее состояние, ни Брауншвейгская династия, которой он
верой и правдой служил много лет.
98
Глава 5
Спор о первенстве
В этой главе мы расскажем о долгом и неприятном споре между Ньютоном и Лейб-
ницем, а также их сторонниками о том, кто же первым открыл анализ бесконечно
малых.
Следует вкратце рассказать, чем отличались варианты математического анализа,
предложенные Лейбницем и Ньютоном. Так мы лучше сможем оценить, насколько
концептуальными были различия между ними.
Начиная с 1666 года Ньютон рассматривал кривые (флюенты) как результат
движения точки. Тогда же он сформулировал понятие флюксии — производной
по времени. Отметим, что флюксия флюента в данный момент времени (иными
словами, мгновенная скорость) — это число. Он разработал алгоритмы вычисле-
ния флюксий, эквивалентные современным правилам нахождения производной для
сумм, разностей, произведений и дробей, а также показал, что для расчета площади
области, ограниченной кривой, достаточно вычислить флюент флюксии. Говоря со-
временным языком, это означает, что нужно найти первообразную функции и при-
менить основную теорему анализа. Именно здесь используются степенные ряды:
в соответствии с нынешней терминологией, для расчета флюента флюксии послед-
няя раскладывается в степенной ряд, после чего выполняется почленное интегриро-
вание по правилу нахождения интеграла степенной функции.
Лейбниц, напротив, рассматривал кривые как ломаные линии из прямых отрез-
ков бесконечно малой длины, а касательные — как продолжения этих отрезков.
Он полагал, что геометрия кривой, описанная формулой, которой задается кривая,
определяет дифференциалы аргумента и функции. Он также «определил» поня-
тия дифференциала и интеграла, точнее говоря, описал их особенности, в отличие
от Ньютона, который рассматривал дифференциал функции как бесконечно малую
величину. Он доказал, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно
обратными операциями, то есть доказал основную теорему анализа и описал процесс
вычисления дифференциалов (сформулировал правила вычисления производных),
а также вычислил производные элементарных функций. Производные элементар-
99
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
ных функций Лейбниц описал в намного более символическом виде, чем Ньютон:
Лейбниц отдавал предпочтение свернутым выражениям, а не разложениям в ряд.
Важной особенностью методов Лейбница является то, что он всегда разделял
открытие разложения в степенной ряд и открытие анализа бесконечно малых. От-
крытие разложения в степенной ряд он неизменно приписывал Ньютону, в то время
как вокруг анализа бесконечно малых развернулась нешуточная борьба. Лейбниц
считал, что первенство принадлежит ему, и полагал, что Ньютон совершил свое от-
крытие, используя письма Лейбница, написанные им в ответ на Epistolae prior
и Epistolae posterior. Ньютон же настаивал на том, что оба открытия неразделимы,
и утверждал, что Лейбниц, узнав от него о способе разложения в ряд, был обязан
ему открытием дифференциального исчисления.
Взаимное признание заслуг,
пусть и не вполне искреннее
Хотя Ньютон первым открыл и описал свой вариант математического анализа,
на 10 лет опередив Лейбница, последний опубликовал свои результаты раньше.
В первой своей статье, опубликованной в 1684 году, Лейбниц не упоминает Ньюто-
на, но говорит о нем во второй статье (1686 год): «Дабы не казалось, что я припи-
сываю себе излишне много либо недооцениваю остальных, следует упомянуть
в нескольких словах о том, что моей формуле я особенно обязан прославленным ма-
тематикам нашего века в жанре геометрии. <... > Кроме того, светлейший матема-
тик Николас Меркатор из Гольштейна был первым, насколько мне известно, кто
нашел квадратуру с помощью бесконечного ряда. Независимо от него это открытие
совершил, а также улучшил его геометр величайшего дарования Исаак Ньютон, ко-
торый, если бы дал нам ознакомиться с его мыслями, которые, насколько я пони-
маю, он имеет, то открыл бы нам новые пути к удивительным открытиям и научным
трудам».
Ньютон упомянул Лейбница при первой же возможности. Эта возможность
представилась ему в 1687 году, при публикации первого издания «Начал». Как
известно, в «Началах» Ньютон предпочел использовать язык геометрии, подоб-
но древним грекам. В кульминационные моменты спора он часто указывал, что ис-
пользовал анализ флюксий для вывода значительной доли результатов, изложенных
в «Началах», однако затем изложил их на языке геометрии.
Возможно, дело и правда обстояло так, как указывает Ньютон, но этому нет
документальных подтверждений. Как неоднократно указывает Уайтсайд, рукописи,
100
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
где, по словам Ньютона, с помощью анализа флюксий выводятся результаты, изло-
женные в «Началах», так и не были найдены. Тем не менее Вестфолл пишет: «Про-
блема, связанная с «Началами», заключается не в том, чтобы найти доказательства,
полученные другим способом, а в том, чтобы обнаружить признаки математического
анализа, скрытые за завесой геометрии».
Анализ флюксий Ньютона вообще не упоминается в «Началах», за исключени-
ем леммы II книги II, что мы уже указывали в главе 3. В этой лемме Ньютон вкратце
излагает современные правила вычисления производной. Он приводит примечание
к этой лемме, где цитирует Лейбница и явно заявляет права на создание матема-
тического анализа. Так Ньютон отреагировал на первую публикацию Лейбница,
посвященную анализу бесконечно малых. Это примечание звучит следующим об-
разом: «В письмах, которыми около десяти лет тому назад я обменивался с весьма
искусным математиком Г. Г. Лейбницем, я ему сообщал, что я обладаю методою
для определения максимумов и минимумов, проведения касательных и решения
тому подобных вопросов, одинаково приложимою как для членов рациональных,
так и для иррациональных, причем я ее скрыл, переставив буквы следующего пред-
ложения: «Data aequatione quotcunque fluent es quantitae involvente fluxiones in venire
et vice versa» («Когда задано уравнение, содержащее любое число переменных ко-
личеств, найти флюксии, и наоборот»). Знаменитейший муж отвечал мне, что он
также напал на такую методу, и сообщил
мне свою методу, которая оказалась едва
отличающейся от моей, и то только тер-
минами и начертанием формул. Основа
обоих метод содержится в этой лемме».
Ньютон написал это примечание с целью
заявить право первенства на открытие
анализа, однако так как ранее он не пу-
бликовал ничего по этому вопросу, в от-
личие от Лейбница, а письма, которыми
обменивались Ньютон и Лейбниц, были
известны лишь узкому кругу его друзей,
примечание было понято как знак того,
что Ньютон признает за Лейбницем пра-
во первенства.
Французское издание «Метода флюксий»,
датированное 1740 годом.
L А
DES
FLUXIONS
ET DES SUITES INF1NIES
Рлг М. 1с Chcvaiur NEWTON.
Tr»diitfi /ШГ Huffor,.
Л PARIS,
CScx ’ IE PURE !"«Ш, JUbairc, Auguffini, & Sum
P.’mI.
M PCT XL.
101
СПОРО ПЕРВЕНСТВЕ
В конце 1691 года, спустя четыре года после выхода «Начал», в кругах, близких
к Ньютону и Лейбницу, стали циркулировать слухи о том, чему именно Лейбниц
научился у Ньютона. Так, Фатио де Дюилье писал Гюйгенсу: «Господин Ньютон,
несомненно, является первооткрывателем дифференциального исчисления, так как
оно было ему известно еще до того, как господин Лейбниц получил о нем первое
представление. Более того, это представление он мог получить лишь после того, как
увидел записи господина Ньютона. Поэтому я крайне удивлен тем, что господин
Лейбниц не упоминает об этом в журнале Acta». Фатио вернулся к этой теме 5 фев-
раля 1692 года: «Не сомневаюсь, что публикация писем [Epistolae prior и Epistolae
posterior] повлечет за собой унижение для господина Лейбница, так как он опубли-
ковал свои правила дифференциального исчисления лишь по прошествии достаточ-
ного времени после их получения и сделал это без упоминания о господине Нью-
тоне. Они были представлены в виде переделки того, что получил господин Ньютон,
и если мы сравним их, то не сможем отделаться от мысли, что разница между ними
такова же, как между совершенным оригиналом и грубой и несовершенной копией».
Учитывая написанное Фатио, можно считать, что именно он положил начало
спору, хотя весьма вероятно, что он написал Гюйгенсу то, что в это же время гово-
рили Ньютону другие.
ПЕРВЫЕ ИЗВИНЕНИЯ
В 1693 году Ньютон и Лейбниц вновь обменялись письмами. Лейбниц написал Ньютону в марте
(это, возможно, было вызвано известием о том, что Ньютон собирается опубликовать рукопись,
о чем Лейбницу сообщил Гюйгенс). Ответ Ньютона последовал в октябре. Эта переписка была
краткой и с научной точки зрения не идет ни в какое сравнение с письмами от 1676 года. От-
метим несколько фрагментов из письма Ньютона. С одной стороны, оно начинается с теплого
приветствия: «Я не ответил вам сразу по получении вашего письма, поскольку оно выскольз-
нуло у меня из рук, затерялось среди прочих бумаг, и до вчерашнего дня я не мог отыскать его.
Это огорчило меня, поскольку я очень ценю вашу дружбу и уже много лет считаю вас одним
из первых геометров столетия, что признавал всякий раз, когда мне предоставлялась на то воз-
можность». Первый абзац завершается благородным признанием, которое по прошествии лет
полностью обесценилось и утратило смысл: «Ожидаю, что не написал ничего такого, что мог-
ло бы прийтись вам не по нраву, и если, по вашему мнению, что-то заслуживает цензуры, по-
жалуйста, без колебаний сообщите мне об этом в письме, так как я больше ценю своих друзей,
чем математические открытия».
102
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
Пять лет спустя мы услышим аналогичные упреки в адрес Ньютона. В письме,
датированном 15 августа 1696 года, Иоганн Бернулли писал Лейбницу: «Не знаю,
изобрел ли Ньютон свой метод после того, как увидел ваше исчисление, особенно
когда вижу, чем вы поделились с ним до того, как он опубликовал свой метод».
В этом письме впервые допускается возможность того, что Ньютон заимствовал
результаты Лейбница.
«Скромность есть добродетель,
но излишняя робость есть недостаток»
С 1691 года Ньютону все чаще советовали опубликовать свои работы. Наиболее
настойчивым был Джон Валлис; он особенно настаивал на публикации Epistolae
prior и Epistolae posterior.
В 1695 году он известил Ньютона о том, какое признание получил Лейбниц
за открытие своего метода исчисления: «От ваших друзей из Голландии мне стало
известно, что ваши флюксии были встречены там с великим одобрением под наи-
менованием дифференциального исчисления Лейбница. <...> Вы недостаточно за-
ботитесь о своей репутации и о репутации страны, если позволяете, чтобы подобные
ценности находились рядом с вами
неподвижно, пока кто-то другой
не снискает славу, которая должна
принадлежать вам. Я позаботился
о том, чтобы добиться справедли-
вости по этому вопросу, и теперь
жалею, что не опубликовал эти два
письма слово в слово». Валлис
продолжал настаивать: «Скром-
ность есть добродетель, но излиш-
няя робость, особенно в наше вре-
мя, есть недостаток». Два года
спустя Валлис сообщил Ньютону,
что собирается опубликовать
Из писем Ньютона и Лейбница,
опубликованных Джоном Валлисом, стало
очевидно, что Ньютон первым открыл
свой метод исчисления.
103
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
Epistolae prior и Epistolae posterior, если только не получит явного на то запрета
от Ньютона. В итоге письма были опубликованы в полном объеме в 1699 году в од-
ном из томов собрания сочинений Валлиса по математике. В него также были вклю-
чены копии ответных писем Лейбница. Валлис получил разрешение Лейбница
на публикацию этих писем заранее и потратил на это намного меньше усилий, чем
на получение разрешения от Ньютона.
Эта публикация изменила положение дел в споре за первенство: Валлис, пусть
и не совсем точно, продемонстрировал, какими результатами располагали Ньютон
и Лейбниц в 1676 году. Важнее всего было то, что впервые были преданы глас-
ности документы, доказывающие, что Лейбниц опубликовал свою версию раньше,
но Ньютон совершил открытие первым, сообщив об этом, пусть и неявно, Лейбницу
по его просьбе. Летом 1699 года Лейбниц пишет: «Валлис попросил у меня разре-
шения на публикацию моих старых писем. <... > Поскольку мне нечего опасаться...
я подтвердил, что он может публиковать все, что посчитает нужным». Очень скоро
оказалось, что Лейбниц напрасно считал, что ему «нечего опасаться».
«По когтям узнают льва»
В тот же период произошел инцидент, который в высшей степени способствовал
обострению дискуссии. Речь идет о знаменитой задаче о брахистохроне, предло-
женной Иоганном Бернулли в июне 1696 года. В ней требовалось найти кривую,
двигаясь по которой исключительно под действием силы тяжести, тело пройдет путь
из точки А в точку В за наименьшее время. В мае 1697 года Лейбниц опубликовал
присланные ему решения задачи. Всего было получено четыре решения, авторами
которых были сам Лейбниц, маркиз Лопиталь, Якоб Бернулли и автор задачи, Ио-
ганн Бернулли. Также было прислано решение неизвестного автора, которое было
впервые опубликовано в январе 1967 года в журнале «Философские записки». Как
мы знаем, этим неизвестным автором был Ньютон. Увидев простое решение этой
задачи, содержавшее всего 77 слов, Иоганн Бернулли угадал автора. Он сказал:
«Tanquam ex ungue leonem» — «По когтям узнают льва». Во всех решениях, за ис-
ключением предложенного Лопиталем, искомой кривой являлась циклоида.
Продолжение истории, о котором мы расскажем далее, зафиксировано в вос-
поминаниях племянницы Ньютона и в переписке Иоганна Бернулли и Лейбница.
Возможно, целью задачи, предложенной Иоганном Бернулли, было подтвердить
104
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
возможности ньютоновского анализа бесконечно малых. В письме Иоганну Бернул-
ли, датированном февралем 1697 года, Лейбниц писал, что только он сам, братья
Бернулли, маркиз Лопиталь и Ньютон были способны решить эту задачу, так как
в то время только им был известен анализ бесконечно малых, необходимый для ее
решения. Именно по этой причине, как объяснял Лейбниц, эту задачу в свое время
не смог решить Галилей: ему был неизвестен математический анализ.
Таким образом, неизвестным автором решения был не кто иной, как Ньютон,
который в то время занимал должность смотрителя Монетного двора и не отошел
от научной деятельности. Ньютон получил письмо с задаче о брахистохроне 29 ян-
варя 1697 года. По рассказам его племянницы, письмо попало в руки Ньютона
в четыре часа дня, когда тот усталый вернулся из Монетного двора — в то время
полным ходом шла чеканка монет нового образца.
Спустя 12 часов, то есть в четыре часа утра, решение было готово. Племянница
Ньютона не знала, что он вполне мог отыскать решение в глубине своей памяти
и вспомнить, что искомой кривой является циклоида. Как пишет Уайтсайд, Ньютон
должен был заметить, что задача схожа с задачей о поиске тела вращения, облада-
ющего наименьшим сопротивлением течению однородного потока. Эту задачу он
решил более десяти лет назад, когда работал над «Началами».
Но история на этом не заканчивается. Когда Лейбниц представлял полученные
решения задачи о брахистохроне, он упомянул, что заранее знал, кому удастся найти
решение: «Разумеется, не будет недостойным указать, что задачу удалось решить
только тем, на кого я указал наперед. В действительности это те, кто достаточно
глубоко проник в тайны нашего дифференциального исчисления. Так, наряду с бра-
том автора [задачи] и маркизом Лопиталем из Франции я упомянул... господина
Ньютона». Лейбниц не включил в список Фатио де Дюилье, и, кроме того, из его
фразы можно было сделать вывод, что Ньютон является его учеником.
Фатио атакует, Лейбниц контратакует
Фатио не смог стерпеть подобной ремарки. Он подготовил ответ и опубликовал его
в Лондоне в 1699 году. В нем говорится: «Достопочтенный господин Лейбниц,
быть может, задастся вопросом, от кого он узнал об использованном им исчислении.
Во всех отношениях его общие принципы и большинство его правил открыл я сам,
начиная с апреля 1687 года и в течение последующих лет. В то время я думал, что
105
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
никто, кроме меня, не использовал это исчисление. Господин Лейбниц не был бы
менее неизвестен мне, если бы его вообще не существовало. Он может похвастаться
многими учениками, но я не вхожу в их число. Это станет известно, если будут опу-
бликованы письма, которыми я обменивался с достопочтенным господином Гюй-
генсом. Однако факты таковы, что первым это исчисление открыл Ньютон много
лет назад. Лейбниц, второй, кто открыл исчисление, мог заимствовать что-либо
у Ньютона, но это я оставляю на суд тех, кто видел письма господина Ньютона
и его рукописи. Ни скромнейшее молчание Ньютона, ни неизменное тщеславие
Лейбница, который при каждом удобном случае приписывает себе авторство этого
исчисления, не обманут никого, кто изучит доступные материалы подобно тому, как
это сделал я».
Возможно, дело еще более омрачила дружба Фатио и Ньютона. Лейбниц мог
посчитать, что Ньютон убедил Фатио обвинить его в плагиате, хотя Фатио вполне
мог действовать самостоятельно, желая понравиться Ньютону.
Несмотря на прямое обвинение в плагиате, скандал не спешил разгораться. Лейб-
ниц опубликовал ответ в журнале Acta eruditorum и отметил, что обвинения Фатио
могли быть продиктованы кем-то другим: «Прошу простить меня, если не отвечу
на все ваши утверждения, пока вы не докажете, что не действуете по чьему-либо
указанию, и в особенности по указанию Ньютона, с которым я никогда не враж-
довал». Лейбниц настаивал на том, что методы анализа были открыты им незави-
симо: «Что же до меня, то я при каждом удобном случае заявлял о его [Ньютона]
значительных заслугах, и это известно ему, как никому другому. Он также объявил
об этом публично, когда в 1687 году в своих «Началах» опубликовал некоторые
свои геометрические открытия, которые совершили мы оба. При этом никто из нас
не приписывал себе заслуг другого, но объяснял открытия лишь результатом соб-
ственных измышлений, которые я изложил десять лет назад».
Решение Ньютона включить в «Оптику» (этот труд был опубликован
в 1704 году) два приложения, в особенности то из них, что было посвящено задаче
о квадратуре, несомненно, было продиктовано желанием прояснить ситуацию, соз-
давшуюся после обвинений, выдвинутых Фатио. Причиной также были неоспори-
мые успехи Лейбница в области анализа: благодаря ему и его ученикам, Якобу
и Иоганну Бернулли, а также маркизу Лопиталю, математический анализ в послед-
нее десятилетие XVII века превратился в мощное средство, доступное любому же-
лающему изучить его. Как писал Альфред Руперт Холл, автор самого полного ис-
следования, посвященного полемике Ньютона и Лейбница, «наиболее существен-
ные разногласия между ними были связаны с оценкой математического анализа:
106
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
был ли он всего лишь логичным продолжением уже известных методов анализа или
чем-то особенным, радикально отличавшимся от всего, что было известно до этого.
Ньютон не считал математический анализ чем-то особенным, хотя, разумеется,
осознавал значимость своих открытий. Можно с уверенностью сказать, что не по-
следнюю роль в этом сыграли успех Лейбница и его последующая слава. Лейбниц
считал математический анализ гигантским шагом вперед, сравнивая его с появлени-
ем алгебры; с созданием анализа математика изменилась бесповоротно».
В предисловии к «Оптике» Ньютон объясняет, почему он добавил к своей рабо-
те примечания, которые не вошли во второе издание, опубликованное в 1717 году:
«В письме, написанном господину Лейбницу... я упомянул о методе, благодаря ко-
торому нашел некоторые общие теоремы, связанные с квадратурой криволинейных
фигур. <...> Так как несколько лет назад я предоставил ему рукопись, содержа-
щую эти теоремы, а затем обнаружил, что часть ее содержимого была скопирова-
на, я, пользуясь случаем, публикую свою рукопись». Прямое обвинение в плагиа-
те, выдвинутое Ньютоном, было направлено не Лейбницу, а шотландскому врачу
Джорджу Чейни, который в 1703 году опубликовал книгу, где перечислил и систе-
матизировал различные результаты, связанные с вычислением квадратур, авторами
которых были Ньютон, Лейбниц, Джеймс Грегори, Иоганн Бернулли и Джон Крэг.
ОТВЕТ ЧЕЙНИ
Когда Ньютон в своей «Оптике» указал, что некоторые из его результатов были «скопированы»,
он имел в виду книгу Джорджа Чейни. Однако эта ремарка несколько несправедлива, поскольку
Чейни не только скопировал результаты Ньютона, но и высказал похвалу в его адрес и совер-
шенно искренне отметил: «Заявляю, что все, что было опубликовано другими приблизительно
за последние 24 года касаемо этих и других схожих методов, является лишь повторением или
следствием того, что господин Ньютон сообщил своим друзьям или опубликовал». На эти слова
Лейбниц строго возразил: «Вы неумело пытаетесь приписать Ньютону авторство метода рядов
с неопределенными коэффициентами, которые определяются путем сравнения членов ряда.
Однако я опубликовал этот метод [в 1693 году], когда ни я. ни кто-либо другой, по меньшей
мере публично, не заявлял о том, что господин Ньютон создал этот метод». И еще: «Возможно,
господин Ньютон совершил некоторые открытия раньше, чем я, равно как и я совершил неко-
торые открытия раньше него. Разумеется, я не встретил никаких указаний на то, что ему было
известно дифференциальное исчисление или нечто подобное раньше, чем мне».
107
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
Лейбниц подготовил краткое изложение «Рассуждения о квадратуре кривых»
для Acta eruditorum и опубликовал его без указания имени автора в январе 1705 года.
Хотя он впоследствии отрицал авторство этой статьи, один из биографов Лейбница
Эдуард Гурауэр в середине XIX века обнаружил рукопись этой статьи с подписью
Лейбница. Фраза, ставшая причиной полемики, звучит так: «Когда некая величина
изменяется непрерывно, как, например, изменяется линия при движении описыва-
ющей ее точки, эти мгновенные изменения называются дифференциалами. <...>
И, как следствие, появилось дифференциальное исчисление и обратное ему сумма-
торное исчисление. Элементы этого исчисления были опубликованы его изобрета-
телем, господином Готфридом Вильгельмом Лейбницем. <...> Вместо дифферен-
циалов Лейбница господин Ньютон применил и всегда применял флюксии. <...>
Он элегантно использовал эти флюксии в своих «Математических началах», равно
как и Оноре Фабри в своем Sinopsis geometrica заменил последовательное движение
по методу Кавальери».
Как бы то ни было, эти строки написаны не с целью задеть кого-либо. Тезис
«вместо дифференциалов Лейбница господин Ньютон применил и всегда применял
флюксии» не предполагает, что дифференциал был открыт раньше, чем флюксия.
Тем не менее Лейбниц использует латинское изречение, допускающее двойное тол-
кование: adhibet, semperque adhibuit можно перевести как «применил и всегда при-
менял» или «заменил и всегда заменял». Во втором случае фраза приобретает со-
вершенно другую окраску, которая только усилится, если принять во внимание упо-
минания о Фабри и Кавальери: Ньютон в этом случае играет роль Фабри, Лейб-
ниц — роль Кавальери. Фабри интерпретировал неделимые Кавальери в терминах
флюксий. Не хотел ли Лейбниц сказать, что Ньютон интерпретировал дифференци-
ал, введенный Лейбницем, в терминах флюксий?
Возможно, что Лейбниц не осознавал, что его фраза допускает двойное прочте-
ние. По мнению Холла, наиболее вероятно, что он допустил «оговорку по Фрейду».
Лейбниц позднее говорил, что это прочтение его слов было вызвано исключительно
желанием развязать ссору. Он прояснил, что кто бы ни был автором этого докумен-
та, он использовал выражение adhibuit применительно к Ньютону, а применительно
к Фабри использовал substituit. Следовательно, в случае Ньютона слово adhibuit
следует понимать как «применять», и эти глаголы по отношению к Ньютону и Фа-
бри употреблялись в совершенно разном смысле. Таким образом, не могло идти речи
о каком-либо их сравнении. Как видим, стороны подробно рассматривали каждое
слово, словно речь шла о городской войне дом на дом или улица на улицу.
108
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
Статья Лейбница сначала осталась без ответа. Возможно, Ньютон и его сторон-
ники не сразу распознали двойное толкование фразы или, что более вероятно, они
попросту не читали статью.
Появление «обезьяны Ньютона»
Тем не менее три года спустя ответ последовал. Он был подписан именем шотланд-
ского математика Джона Кейля, который, скорее всего, стал неустанным автором
нападок на Лейбница по решению самого Ньютона: «Боевой конь, — как пишет
Ф. Мэнюэль, — столь ярый, что Ньютону порой приходилось натягивать вожжи».
Иоганн Бернулли называл Кейля «обезьяной Ньютона». Хотя английское слово
«аре», которое использовал Бернулли, также можно перевести как «подражатель»,
мы предпочли буквальный перевод, так как именно это значение имел в виду сам
Бернулли.
ДЖОН КЕЙЛЬ (1671-1721)
Джон Кейль родился в декабре 1671 года в Эдинбурге. Он учился в Эдинбургском универси-
тете, где его наставником был Давид Грегори. Кейль находился в первых рядах сторонников
недавно опубликованной ньютоновской философии. Он окончил Оксфорд, куда перешел при
содействии Грегори, когда тот возглавил кафедру в этом университете. Кейль занимал этот пост
с 1712 года до своей смерти в августе 1721 года. Он был избран членом Королевского обще-
ства в 1700 году. Кейль неустанно пропагандировал философию Ньютона, занимая в группе
его сторонников особое место, будучи наиболее ярым участником дискуссий.
В начале 1709 года Кейль на страницах «Философских записок» обвинил Лейб-
ница в плагиате: «Все эти предположения являются следствием известнейшей ариф-
метики флюксий, которую, вне всяких сомнений, первым изобрел доктор Ньютон,
в чем легко может убедиться всякий, кто ознакомится с письмами, опубликованны-
ми Валлисом. Эта же арифметика, но под другим названием и с другими обозначе-
ниями была впоследствии опубликована доктором Лейбницем».
«Философские записки» были журналом Лондонского королевского общества,
поэтому обвинение в адрес Лейбница прозвучало, можно сказать, от имени всего
Королевского общества. Поскольку Лейбниц, начиная со своего первого визита
в Лондон в 1673 году, был членом Общества, в 1711 году он потребовал опроверже-
109
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
ния заметки Кейля. Лейбниц, скорее всего, не осознавал, что на спор об авторстве
анализа бесконечно малых оказали влияние критики метафизических основ ньюто-
новской теории тяготения, принадлежавшие к числу сторонников Лейбница. С по-
добной критикой порой выступал и сам Лейбниц. К сожалению для него, когда он
попросил защиты и поддержки в Королевском обществе, президентом которого был
Ньютон, то не совсем понимал, что спор осложнит националистская подоплека
и критика теории тяготения Ньютона, с которой выступали ученые континентальной
Европы. Националистский подтекст прямо или косвенно присутствует во многих
письмах и документах, опубликованных участниками спора. Например, Уильям
Джонс в 1711 году писал Роджеру Котсу: «Мне особенно не о чем вам рассказать,
разве что немцы и французы нападают на философию сэра Исаака Ньютона...».
Лейбниц писал Иоганну Бернулли в 1713 году: «Уже много лет тщеславные и на-
пыщенные англичане, включая достойнейших из них, не теряют возможности ли-
шить авторства немцев и выдать их открытия за свои. <...> Теперь они хотят ли-
шить Николаса Меркатора из Гольштейна славы первооткрывателя ряда и раздо-
садованы мной, поскольку я защищаю прекрасного человека и моего друга».
Гоавюра, на которой изображено заседание Королевского общества,
президентом которого был Ньютон, в Крейн-Корт.
110
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
Вместо письма с объяснениями, которое Лейбниц попросил у Кейля, он полу-
чил совершенно иной ответ. На очередном заседании общества 24 мая 1711 года
под руководством Ньютона были зачитаны новые обвинения, выдвинутые Кейлем
в адрес Лейбница. Кейль писал: «Разумеется, заслуги Лейбница в области познания
огромны, я признаю это, равно как и никто, кто прочел его труды, не может отри-
цать, что Лейбниц является экспертом в самых непонятных разделах математики.
Поскольку он обладает столь неоспоримыми достоинствами, я не понимаю, почему
он желает отнять заслуги других. <... > Так, поскольку этот блестящий персонаж
подал апелляцию в Королевское общество и желает, чтобы я публично признал, что
не имел намерений оклеветать его, я должен показать, чтобы снять с себя обвине-
ния, что господин Ньютон является первым и истинным изобретателем арифметики
флюксий, или дифференциального исчисления, что он отправил четкие и понятные
указания по этому методу господину Лейбницу, и последнему не составило труда
создать аналогичный метод».
Лейбниц попадает в недобрые руки
Королевского общества
Когда Лейбниц получил письмо Кейля, то написал ответ, признавая, что математи-
ческий анализ был открыт совместно: «Нет причины, по которой вам следовало бы
сообщить, опровергнув восстановленный им [Кейлем] мой способ познания вещей,
тому, который не имеет достаточно опыта, чтобы судить о том, как совершаются от-
крытия. Моим друзьям известно, что я следовал своим путем и преследовал другие
цели. С вашей стороны бессмысленно приводить в пример журнал Acta из Лейпци-
га в оправдание ваших слов, поскольку я не нахожу в нем ничего, что я позаимство-
вал бы у кого-либо. Напротив, каждому воздается по его заслугам. Я и мои друзья
в различных случаях заявляли, что блестящий первооткрыватель флюксий совершил
открытие собственными силами, использовав те же базовые принципы, что и мы.
У меня есть не меньше прав, чем у него [Ньютона] заявлять, что именно я являюсь
автором открытия».
Лейбниц обратился в Королевское общество с просьбой защитить его от напа-
док Кейля: «Я взываю к вашему чувству справедливости, чтобы решить, следует ли
прекратить пустые и несправедливые оскорбления или нет. Считаю, что сам Ньютон
не одобрил бы этого, поскольку он является достойным человеком и знаком с ис-
тинным положением дел. Надеюсь, что он свободно выскажет свое мнение по этому
вопросу».
111
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
Следует привести мнение Ньютона о тех, кто совершил открытие с опоздани-
ем: «У того, кто совершил открытие вторым, нет прав на него. Единственное право
принадлежит первооткрывателю, даже если второй совершил открытие независимо
от него. Взять права первооткрывателя и разделить их между ними было бы неспра-
ведливо». Более того: «Тот, кто совершил открытие вторым, недостоин чести. У него
нет прав и титулов. Что же мы в этом случае можем сказать о тех, кто даже не мо-
жет с определенностью доказать, что именно они совершили открытие вторыми?»
Судьба Лейбница была предрешена. Чтобы успокоить спорящих, пишет Вест-
фолл, «Лейбниц предложил неожиданное решение для Ньютона и сам воззвал
к справедливости Королевского общества. Точку в этом вопросе должно было по-
ставить Общество». Была создана комиссия из друзей и защитников Ньютона.
Чтобы создать какое-то подобие беспристрастности, в комиссию также вошел пред-
ставитель Пруссии в Лондоне. Однако он стал членом комиссии лишь за неделю
до того, как был вынесен окончательный вердикт, и, следовательно, не принимал
особого участия в работе. Состав комиссии держался в секрете и стал известен лишь
в середине XIX века.
Чтобы проверить все документы и вынести вердикт, комиссии потребовалось
50 дней. Итоговое заключение практически полностью составил сам Ньютон. Оно
содержало четыре пункта и хотя не включало явных обвинений в плагиате в адрес
Лейбница, в нем выражались достаточные сомнения, чтобы можно было сделать
именно такой вывод. Последний пункт гласил: «Дифференциальный метод есть
то же, что и метод флюксий, за исключением названия и нотаций. Господин Лейбниц
назвал дифференциалами величины, которые господин Ньютон назвал моментами,
или флюксиями, и обозначил их буквой d, в то время как господин Ньютон это обо-
значение не использовал. Поэтому мы считаем, что будет правильнее рассматривать
вопрос не о том, кто открыл тот или иной метод, а о том, кто является первооткры-
вателем этого метода. Мы считаем, что те, кто считают господина Лейбница перво-
открывателем, недостаточно осведомлены или не осведомлены вовсе о переписке,
которую он вел много лет назад с господином Коллинзом и господином Ольден-
бургом, а также о том, что господин Ньютон создал этот метод за 15 лет до того,
как господин Лейбниц опубликовал его в Acta eruditorum. По этим причинам мы
признаем, что первооткрывателем является Ньютон, и считаем, что господин Кейль,
утверждавший это же самое, не нанес господину Лейбницу никакого оскорбления».
Вердикт комиссии был дополнен документами и письмами, которые в нем упоми-
нались (они были соответствующим образом отредактированы в интересах Ньюто-
на), и опубликован Королевским обществом под названием Commercium epistolicum
112
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
D. Jphannis Collins, et aliorum de analysi promota в 1712 году. Было сделано несколько
копий, которые не поступили в продажу, а были целенаправленно разосланы опре-
деленным людям. В 1722 году, спустя шесть лет после смерти Лейбница, Ньютон
выпустил второе, расширенное издание, которое на этот раз поступило в продажу.
Commercium epistolicum был дополнен предисловием Ньютона, в котором «для
удобства читателя» излагалась суть диспута.
«Если бы вы действовали по справедливости, вы уведомили бы меня о том, что
Общество собирается подробно рассмотреть этот вопрос, — жаловался Лейбниц
спустя полтора года после публикации этого однобокого заключения комиссии. —
Вы должны были предоставить мне возможность изложить мою точку зрения и со-
общить, не считаю ли я подозрительным кого-либо из судей. Вердикт был вынесен
после того, как была выслушана лишь одна из сторон, поэтому заключение очевидно
недействительно».
Документы, включенные в Commercium epistolicum, по разным причинам не-
адекватно отражали суть спора и поставили Лейбница в очень неудобное положение.
Иоганн Бернулли заподозрил, что документы могли быть подделаны, о чем он уведо-
мил Лейбница в 1714 году: «Некоторые из этих писем, изложенные в Commercium
epistolicum, кажутся мне очень подозрительными. Если они не полностью сфабрико-
ваны, то по меньшей мере отредактированы и фальсифицированы».
ОДИН СПОР, ДВЕ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
Ньютон неизменно придавал дискуссии драматизм. Причиной этому, по мнению Ф. Мэнюэля,
была травма, нанесенная ему разрывом с матерью в детстве: «Когда у него пытались что-то
отнять, он реагировал неистово и с ненавистью, вызванной этой первой и серьезной потерей».
Лейбниц также очень серьезно относился к спооу, однако при случае позволял себе упоминать
о нем в шутливой форме: «Невозможно сообщить полную информацию вкратце и невозможн э
избежать того, что судьи часто зевают, когда рассматривается столь длительное и объемное
дело, как наше. Однако... можно поступить подобно обувщику из Лейдена... Он не упускал
случая посетить публичные диспуты в Университете. Наконец кто-то из его знакомых спросил,
знает ли он латынь. «Нет, - ответил он, - и я не возьму на себя труд изучить ее». - «Но почему
вы неизменно приходите в эту аудиторию, где все дискуссии ведутся на латыни?» - «Поскольку
мне нравится быть судьей в спорах». - «Но как вы можете судить, если не знаете, о чем идет
речь?» - «У меня есть другой способ определить, на чьей стороне правда». - «Каков же этот
способ?» - «Когда я вижу, как кто-то сердится и впадает в ярость, я заключаю, что он неправ».
из
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
Лишь в середине XIX века, когда было выпущено собрание математических тру-
дов Лейбница, появилось документальное подтверждение тому, что он совершил от-
крытие анализа независимо от Ньютона. В некотором роде Commercium epistolicum
и математические труды Ньютона, опубликованные с опозданием в нача-
ле XVIII века, склонили чашу весов на сторону Ньютона. Тем не менее в математи-
ческом споре победу одержал Лейбниц: благодаря своим последователям братьям
Бернулли, а затем Эйлеру дифференциальное исчисление Лейбница совершило три-
умфальное шествие на протяжении XVIII века, и в начале XIX века даже англичане
признавали преимущество математиков континентальной Европы.
Charta volans и «ведущий математик»
Лейбниц ответил на Commercium epistolicum почти год спустя в форме анонимного
письма против Ньютона, озаглавленного Charta volans — «Летучий листок».
В письме выдвинуты обвинения в плагиате в адрес Ньютона. В частности, указыва-
лось, что он создал метод флюксий на основе изложенного в письмах Лейбница, от-
правленных в ответ на Epistolae prior и Epistolae posterior.
Лейбниц составил план Charta volans после того, как получил письмо Иоганна
Бернулли, где сообщалось о выпуске Commercium и выдвигались обвинения в пла-
гиате в адрес Ньютона. Лейбниц процитировал письмо Бернулли в Charta volans,
приписав авторство неизвестному «ведущему математику».
Иоганн Бернулли сыграл очень важную роль в споре. Его поведение было отча-
сти противоречивым: он настраивал Лейбница против его оппонента и в то же время
сохранял нейтральный тон в письмах к Ньютону и его друзьям. Когда Лейбниц
включил в Charta volans цитату из письма Бернулли (хотя тот просил не вовлекать
его в спор с Ньютоном), его двойная игра раскрылась. После того как Лейбниц
вольно или невольно допустил такую бестактность, особенно четко стало понятно,
какую игру вел Бернулли, когда в декабре 1715 года тот опубликовал второе письмо,
где назвал имя «ведущего математика» из Charta volans.
О поведении Иоганна Бернулли в ходе спора можно судить по его переписке
с Ньютоном в 1719 году и по тому, как он объясняет письмо «ведущего математика»,
которое Лейбниц включил в Charta volans. В этом письме говорилось: «Я не знаю,
как это произошло, однако после того как несколько лет назад произошел этот оже-
сточенный спор между геометрами Британии и Германии, к стыду математической
науки, я, не будучи ни британцем, ни немцем, а швейцарцем, был далек от того,
чтобы принять чью-то сторону, поскольку я редко по своей воле участвую в спорах
114
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
других, и потерял ваше расположение, о чем ходят различные слухи. <...> Посему
у меня нет сомнений, достопочтенный сэр, что вам сообщили множество лжи и вы-
думок обо мне, которые повредили моей репутации в ваших глазах либо уничтожили
ее вовсе. <...> Я отзывался с похвалой о вас и ваших открытиях всякий раз, когда
на то представлялась возможность: чего же более мог сделать тот, кто считает ваши
заслуги величайшими? Я восторженно превозносил их при каждом удобном слу-
чае в моих письмах, речах, классах и беседах, что могут подтвердить мои адресаты
и слушатели. <...> Вне всяких сомнений, ошибаются те, кто сообщил, что я явля-
юсь автором писем, в которых, возможно, ваше имя упоминается в недостаточно
почтительном тоне, однако умоляю вас, знаменитый сэр, во имя всего святого для
человечества, чтобы вы уверились в том, что подобные анонимные письма приписы-
ваются мне по ошибке. Поскольку не в моих привычках публиковать без подписи то,
что я не желаю и не осмеливаюсь признавать своим».
В декабре 1719 года Бернулли, думая, что, возможно, ему удастся получить до-
ступ к документам покойного Лейбница и рассказать всем о письме, которое Лейб-
ниц процитировал в Charta volans и в котором Бернулли действительно отзывается
о Ньютоне не в самой лестной форме, он снова пишет Ньютону с несравненным на-
хальством: «Не помню, чтобы я писал господину Лейбницу в тот день, хотя и не могу
отрицать этого, поскольку не располагаю копиями всех писем, написанных мною.
Однако если бы среди многочисленных писем, написанных ему, было бы найдено
письмо, отправленное точно в этот день и год, то я со всей уверенностью утверждал
бы, что ничего из содержащегося в письме никоим образом не пошатнет вашу репу-
тацию. И я никогда не давал разрешения [Лейбницу], и он публиковал определен-
ные письма, в особенности те, которые пришлись бы вам не по душе, против моей
воли и желания».
Лев точит когти
Ньютон собственноручно полностью переписал всё Charta volans, словно оскорбле-
ния Лейбница заряжали его некой энергией и обостряли желание мстить. Он хотел
лично ответить на Charta volans и в 1714 году подготовил ответ. Однако в конечном
итоге это письмо не было отправлено, и Ньютон предпочел настроить Кейля против
Лейбница.
Ответ Ньютона на Charta volans носил название Account. Это анонимное письмо
представляло собой сжатое изложение Commercium epistolicum и было опубликова-
но на английском языке в «Философских записках» в 1715 году. Также сохранились
115
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
рукописи этого письма, собственноручно написанного Ньютоном, которые более
или менее близки к опубликованной версии. Это письмо — прекрасное доказатель-
ство одержимости, которую Ньютон испытывал в наиболее ожесточенный период
спора, с 1712 по 1716 год, а также некоторое время после смерти Лейбница. Ньютон
чувствовал неутолимое желание изложить свою версию событий, снова и снова вы-
ступить против Лейбница. Ньютон как одержимый писал письма, меморандумы,
заметки, которые редактировал снова и снова, исправляя отдельные фразы то тут,
то там, добавляя цитаты и вставляя всё новые оскорбления. Практически все эти
документы (многочисленные варианты писем, которые он так и не отправил) были
опубликованы в приложениях к его трудам, выпущенным после смерти оппонента.
Эти письма словно немые свидетели того, как трудно было Ньютону сдерживать
свой гнев.
Предполагалось, что Account будет опубликован без подписи, хотя лишь немно-
гие сомневались в том, кому принадлежит авторство. Этот документ — длинное,
жесткое и клеветническое письмо, направленное против Лейбница. Ньютон счи-
тал, что документов, процитированных в Commercium epistolicum, недостаточно,
поэтому переиначил их по-своему и, таким образом, аргументировал свои нападки
на Лейбница и его друзей.
На трех последних страницах Account Ньютон ведет речь о критиках его теории
тяготения, которую, согласно Лейбницу, Ньютон описал как таинственное и зага-
дочное свойство, подобное тому, которым схоласты объясняли движение тел. Нью-
тон понимал, что в его трудах не раскрывалась природа гравитации, и был недоволен
тем, что сила тяготения в его теории действовала на расстоянии и даже в пустоте,
однако не хотел отступаться от своей концепции. Он объясняет это в приложении
ко второму изданию «Начал»: «Причину же этих свойств силы тяготения я до сих
пор не мог вывести из явлений; гипотез же я не измышляю. Все же, что не выво-
дится из явлений, должно называться гипотезою; гипотезам же метафизическим,
физическим, механическим, скрытым свойствам не место в экспериментальной фи-
лософии. <... > Довольно того, что тяготение на самом деле существует и действует
согласно изложенным нами законам. Этого вполне достаточно для объяснения всех
движений небесных тел и моря».
116
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
БОГ - НЕ ЧАСОВОЙ МАСТЕР
Помимо спора о том, кто первым открыл математический анализ, в ноябре 1715 - октябре
1716 года (Лейбниц умер в ноябре 1716-го) разгорелся интересный философский спор между
Сэмюелом Кларком и Лейбницем о метафизике и естественной философии. Поводом к спору
послужила высказанная Лейбницем критика метафизической стороны теории тяготения и роли
Бога в ньютоновской философии. В этом споре Ньютон встал на сторону Кларка (однако не ин-
структировал его так, как Кейля), но всегда жаловался, что Лейбниц хотел перевести спор о пер-
венстве открытия анализа в метафизическую плоскость, где немецкий математик чувствовал
себя намного увереннее: «Ньютон не слишком успешен в метафизике», - сказал как-то Лейбниц.
Лейбниц заострял внимание на фрагментах «Оптики», из которых следовало, что Бог должен
вмешиваться в движение небесных тел, чтобы звезды не упали друг на друга и чтобы планеты
Солнечной системы не сходили с орбит, подобно тому как часовщик время от времени подводит
часы. Он жестко критиковал эту позицию: «Господин Ньютон и его последователи имеют пре-
красное мнение о Божьем творении. Они считают, что Бог должен время от времени подводить
свои часы, иначе они остановятся. Это Божье тьорение столь несовершенно, что требуется по-
мощь извне, чтобы настроить или починить его, подобно тому как поступает со своим творением
часовой мастер».
Лейбниц пытался ответить на Account, изложив свою версию событий под за-
главием Historia et origo calculi differentialis, однако вскоре увидел, что ему не удастся
составить столь же полный, подробный и изобилующий письмами и документами
труд, как ньютоновский Commercium. Об этом он говорит в присущей ему манере
на первых страницах Historia et origo: «Будучи в отъезде, когда это было опублико-
вано моими противниками, вернувшись два года спустя, я был занят другими делами
и не смог ни получить обратно моих старых писем, ни ознакомиться с теми из них,
где сам он рассказывает о том, что произошло уже более 40 лет назад. У меня не со-
хранилось копий старых писем и других ваших рукописей».
Нужно признать, что составить столь подробный труд, основанный на старых
документах, Лейбницу было намного сложнее, чем Ньютону. Среди множества
причин отметим неимоверный объем корреспонденции, отправленной Лейбницем
в течение всей жизни, который был на порядок больше, чем у Ньютона. Поэтому
совершенно убедительным выглядит оправдание Лейбница, где он указывает, что
117
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
не смог найти своих писем: «Чтобы подробным образом ответить на труд, опубли-
кованный против меня... мне пришлось бы отыскать мои старые письма, некоторые
из которых утеряны. Помимо этого, во многих случаях я не сохранял черновиков.
Другие письма похоронены под горой бумаг, для упорядочения которых мне потре-
буется много времени и терпения».
Следовательно, Historia et origo, в отличие от Account, является в большей сте-
пени результатом воспоминаний Лейбница. Возможно, Лейбниц планировал рас-
ширить и дополнить его, однако смерть, настигшая его в ноябре 1716 года, помешала
ему завершить начатое. Historia et origo не была опубликована во время спора и уви-
дела свет лишь 130 лет спустя, в 1846 году.
Как покровитель Лейбница стал королем Ньютона
Статуя аббата Конти,
воздвигнутая в 1781 году.
Примечательные, но безуспешные попытки примирить Ньютона и Лейбница пред-
приняли Джон Чемберлен и аббат Конти в период с 1714 по 1715 год. Чемберлен
и Конти очень отличались друг от друга. Первый был членом Королевского обще-
ства и политиком, переписывался с Лейбни-
цем с 1710 года и поддерживал хорошие от-
ношения с Ньютоном. Антонио Конти, в свою
очередь, был священником в городе Падуя,
прибыл в Англию для наблюдения солнечного
затмения и задержался на несколько лет. Он
поддерживал хорошие отношения с Лейбни-
цем и благодаря «пленительному» характеру
завязал дружбу с Ньютоном. Ф. Мэнюэль
пишет: «Конти был одной из тех пышных
и ловких личностей интеллектуального
мира XVIII века, стихоплетом, актером, пере-
водчиком Расина и Поупа, любителем наук,
дилетантом, который с одинаковой ловкостью
интриговал принцесс и философов Англии,
Франции, Германии и Италии». Интерес
представляла его политическая деятельность
в родной Падуе, где не было недостатка
ни в принцессах, ни в философах.
118
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
С одной стороны, Чемберлена, имевшего связи в королевском дворе, беспокои-
ло, что Лейбниц был советником герцога Брауншвейгского, который вскоре должен
был переехать в Англию. Об этом он сообщил Ньютону в мае 1714 года: «Мне
очень жаль, что я не смог встретиться с вами этим вечером, чтобы рассмотреть пись-
мо о вас, которое мне отправил господин Лейбниц. <...> Согласен с тем, чтобы вы
использовали это письмо по вашему разумению, но проявите должное благоразумие,
какое следует проявить с этим человеком, поскольку Лейбница очень высоко ценят
при дворе ганноверской династии». Вмешательство Чемберлена кончилось тем, что
у них с Ньютоном возникли разногласия, и это стоило ему дружбы с математиком.
Как пишет Вестфолл: «Благословенны примирители, ибо на них обращается вражда
обеих сторон».
Восшествие Георга I, покровителя Лейбница, на трон Великобритании и Ирлан-
дии, по сути, не могло благоприятно сказаться на ходе спора: «С легкостью могу по-
верить, — писал Иоганн Бернулли, — что после того как ваш достопочтенный
принц взойдет на трон Великобритании, Королевское общество выскажется против
того, чтобы ваше имя было опубликовано в Commercium epistolicum. <...> Воз-
можно, даже Кейль не хотел, чтобы его памфлет был опубликован, если бы пред-
чувствовал перемены в британской политике, произошедшие несколько позднее».
Сам Кейль в письме к Ньютону, написанном в ноябре 1714 года спустя несколь-
ко месяцев после смерти королевы Анны, высказал некоторую озабоченность в свя-
зи с тем, что Лейбниц приедет в Англию вместе с новым королем: «Надеюсь, что
господин Лейбниц... поступит осмотрительно и не покажется в Англии. Если же
он сделает это, я убежден, что не встретит здесь много друзей». Лейбниц также
ожидал, что король встанет на его сторону в споре. Правда, отношения со своим по-
кровителем всегда складывались у него не лучшим образом, хотя к нему прекрасно
относилась София, мать короля, и Каролина, жена его сына, которая при восше-
ствии Георга на престол стала принцессой Уэльской. Однако король, по-видимому,
не проявил ни малейшего интереса к спору Ньютона и Лейбница.
Тем не менее аббату Конти удалось, пусть и косвенно, сообщить об этом вопросе
новому королю Англии Георгу I, а также представителям ганноверской династии при
королевском дворе в Лондоне. Вместе с другими представителями знати на одной
из встреч они изучили документы Ньютона, посвященные диспуту, и постановили,
что Ньютон должен изложить свою версию событий в письме Лейбницу. Письмо
должно было быть одобрено королем, а Лейбниц должен был в ответ направить
свою версию. Таким образом, начался последний обмен письмами между Ньютоном
и Лейбницем. Ситуация постепенно накалялась, и попытка примирить ученых чуть
119
СПОР О ПЕРВЕНСТВЕ
было не усугубила противостояние. Со смертью Лейбница 14 ноября 1716 года на-
кал страстей несколько утих и вместе с тем исчезли немногие возможности уладить
спор. Ньютон, продемонстрировав всю мстительность, после смерти Лейбница опу-
бликовал их последнюю переписку и «Наблюдения» по поводу последнего письма
Лейбница.
«Лейбниц умер — диспут окончен», — написал аббат Конти Ньютону 10 дека-
бря 1716 года. Тем не менее он погрешил против истины: с уходом одного из оппо-
нентов диспут не прекратился, так как наиболее ярые участники с обеих сторон —
Джон Кейль, «обезьяна Ньютона», и Иоганн Бернулли, «ведущий математик», друг
и ученик Лейбница, были живы (Кейль умер в 1721-м, Бернулли — в 1748 году).
Не будем забывать и о Ньютоне, который пережил Лейбница на 10 лет, первые
шесть из которых его сильнее всего заботил неоконченный диспут. Он продолжал
писать всё новые и новые труды о праве на авторство математического анализа,
о том, что говорилось в старых письмах и документах, о том, насколько подло посту-
пали те, кто хотел воспользоваться его открытиями или критиковал его науку. Эти
труды по большей части были неотредактированными, подобно множеству других
работ Ньютона, посвященных математике, алхимии, богословию, истории... Нью-
тон собственноручно составил список наблюдений, поставив под сомнение и рев-
ностно отцензурировав хвалебные слова Кристиана Вольфа в адрес Лейбница, опу-
бликованные после его смерти в Acta eruditorum, и некролог Лейбницу, написанный
Фонтенелем, секретарем Парижской академии наук.
«Мораль пуританского мира, — пишет Ф. Мэнюэль, — подобно любой христи-
анской морали предписывает любить Бога и ближнего своего. К этим двум прин-
ципам Ньютон сводил всю религию. Однако в пуританстве также предписывалось
искоренять зло. Любить и разрушать — такой была противоречивая догма».
120
Глава 6
Укрощенные бесконечно малые
Бесконечности, большие и малые
Анализ бесконечно малых был наполнен бесконечно большими и бесконечно малы-
ми величинами с самого момента создания, в течение первых трех четвер-
тей XVII века, когда его продвинули вперед Ньютон и Лейбниц, равно как и позд-
нее, в течение всего XVIII века. Бесконечно малая величина — это числовая функ-
ция или последовательность, которая стремится к нулю. Так как она не является
строго равной нулю, ее можно использовать в знаменателе дроби, а так как она яв-
ляется бесконечно малой, ее можно принять равной нулю, когда мы хотим упростить
выражение. Бесконечно большая величина, в свою очередь, остается неизменной,
когда мы прибавляем к ней обычное число. Иными словами, если /V — бесконечно
большая величина, то выполняется достаточно необычное равенство: /V + 1 = /V.
Разумеется, из-за этих необычных свойств существование бесконечно больших
и бесконечно малых неоднократно ставилось под сомнение. Анализ бесконечно ма-
лых регулярно критиковался из-за того, что он был основан на бесконечно малых
величинах. Критики задавались вопросом: как можно получить верный результат
с помощью метода, в основе которого лежит понятие, столь нечеткое с точки зрения
логики?
Математики, которые начали использовать бесконечно малые в XVII веке, —
Кеплер, Кавальери, Ферма, Валлис, Паскаль, Барроу (этот список далеко не по-
лон), много раз указывали, что подобные рассуждения приводил еще Архимед.
Однако они не утруждали себя написанием строгих доказательств — в отличие
от Архимеда. Известные в то время труды Архимеда были опубликованы в сере-
дине XVI века, и прошло почти 50 лет, прежде чем математики того времени смогли
понять и применить его непростые методы. Архимед был наиболее цитируемым ав-
тором в течение всего XVII века. Как мы уже говорили в главе 2, математики этого
периода очищали методы Архимеда от геометрической «оболочки» и приводили их
в арифметическом и алгебраическом виде. Эти разделы математики набирали по-
пулярность в течение XVII века, особенно после открытия аналитической геоме-
трии Декартом и Ферма. В то время математиков больше интересовали открытия,
121
УКРОЩЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
которые можно совершить, используя необычные свойства бесконечно малых, и они
не тратили время на построение строгих геометрических доказательств.
Во многих случаях подобное пренебрежение строгостью объяснялось попросту
нежеланием заниматься излишней работой: «Всё это можно доказать, используя
архимедовы техники, однако это потребует больших усилий», — писал Кавальери
в 1635 году.
Ньютон, Лейбниц и бесконечно малые
Даже создатели математического анализа не приводили исчерпывающих доказа-
тельств открытых ими методов. И Ньютон, и Лейбниц осознавали недостаток логи-
ки в своих работах и пытались каждый по-своему если не устранить, то хотя бы
смягчить этот недостаток.
Так, Ньютон попытался избежать использования бесконечно малых путем пере-
хода к пределу, однако потерпел неудачу. Тем не менее его усилия стали источником
вдохновения для Коши. Покажем, как следует понимать
h — 0 в выражении
дробь получаемую при
/(х + й)-/(х)
h
необходимом для определения производной f (х) функции / в точке х. Здесь мы по-
зволим себе небольшой анахронизм. Сам Ньютон никогда не использовал понятие
производной функции, равно как и не использовал подобные обозначения, а вместо
этого употреблял понятие «исчезающая величина». Таким образом, разность /(х +
h) — f(x) и само число h будут исчезающими величинами: обе они «исчезают», когда
h становится равным нулю. «Последним отношением исчезающих величин» он на-
зывал значение вышеуказанной дроби при h = 0. Очевидно, что Ньютон имеет
в виду переход к пределу, когда говорит о «последнем отношении исчезающих вели-
чин», чтобы обосновать неопределенность к которой сводится вышеприведенная
дробь при h = 0. Однако он так и не дал этому методу строгого определения. Сам
Ньютон осознавал этот недостаток и в объяснении прибегал к физическим аналоги-
ям: «Вероятно, вы можете возразить, что последнего отношения исчезающих вели-
чин не существует, поскольку до того как величины исчезают, отношение не являет-
ся последним, а когда величины исчезают, никакого отношения не существует. Од-
нако, следуя этой же логике, можно отрицать, что тело, которое прибыло в опреде-
122
УКРОЩЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
ленную точку и остановилось в ней, не имеет последней скорости, поскольку до это-
го его скорость не была последней, а после того как тело прибыло в эту точку, его
скорость равна нулю. Однако ответ на этот вопрос крайне прост. Под последней
скоростью понимается скорость, с которой движется тело в самый момент прибы-
тия, не раньше и не позже, то есть скорость, с которой тело прибыло в последнюю
точку и с которой его движение прекратилось. Этим же образом под последним от-
ношением следует понимать отношение величин не до того, как они исчезнут,
и не после того, как они исчезнут, а отношение, при котором они исчезнут».
Бесконечно малые величины играли в математическом анализе Лейбница заметно
большую роль. Например, они фигурировали в самом определении кривой, которым
пользовался Лейбниц. Для Ньютона кривая была образована точкой в движении:
«Полагаю математические величины не состоящими из очень малых частей, а опи-
сываемыми непрерывным движением. Кривые, таким образом, описываются и соз-
даются не расположением частей, а непрерывным движением точек». Лейбниц же
считал, что кривые состоят из отрезков прямой бесконечно малой длины: «Чтобы
найти касательную, надо провести прямую, соединяющую две точки кривой, распо-
ложенных на бесконечно малом расстоянии, или продленную сторону многоуголь-
ника с бесконечным числом углов, который для нас равносилен кривой»,— писал
Лейбниц в 1684 году.
Понятие кривой еще более четко описывается в книге «Анализ бесконечно ма-
лых» маркиза Лопиталя (1696). Второй постулат книги звучит так: «Будем предпо-
лагать, что кривую линию можно считать состоящей из бесконечного числа беско-
9*9 A PARI S,
DB L'lNFRIMBKlB ROYALS.
ANALYSЕ
DBS
INFINIMENT PETITS,
trnftDiffatt Jfj rurt".
M. DC XCVL
«Анализ бесконечно малых» маркиза Лопиталя,
первая книга по анализу бесконечно малых Лейбница.
123
УКРОЩЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
нечно малых линий, или, что аналогично, многоугольником с бесконечным числом
сторон, каждая из которых имеет бесконечно малую длину, а кривизна линии опре-
деляется углами между этими сторонами».
Лейбниц объяснял использование бесконечно малых подобно своим предше-
ственникам: «Выбираются столь большие или столь малые величины, чтобы ошибка
была меньше данной, так что различия с методом Архимеда заключаются лишь
в способе записи, но наш метод более соответствует духу изобретательства». Лейб-
ниц попал в самую точку: в то время ученых больше интересовали открытия, а не до-
казательства.
«Призраки исчезнувших величин»
Несмотря на огромный шаг вперед, который позволил совершить анализ бесконечно
малых Ньютона и Лейбница, критика в адрес недостаточной прочности его основ
была обоснованной.
Наиболее ярым критиком был английский епископ и философ Джордж Беркли.
В 1734 году он опубликовал книгу под названием «Аналитик», где в критическом
ЭДМУНД ГАЛЛЕЙ, НЕВЕРУЮЩИЙ
Книга Беркли «Аналитик» имела подзаголовок: «Трактат, адресованный неверующему матема-
тику». Этим «неверующим математиком», скорее всего, был астроном Эдмунд Галлей, который
всегда славился атеистическими взглядами и как-то заставил больного отказаться от посеще-
ния епископа Беркли, убедив его в непрочности доктрин христианства. В своей книге Беркли
хотел показать, что рассуждения анализа бесконечно малых столь же непрочны, как и религи-
озные догмы. Второй подзаголовок книги звучит так: ...где исследуется, является ли предмет,
принципы и заключения более отчетливо познаваемыми и с очевидностью выводимыми, чем
религиозные таинства и положения веры». Он добавлял: «Извлеки бревно из глаза своего,
и сможешь извлечь соринку из глаза брата твоего».
В своей книге Беркли также приводит ряд вопросов, над которыми полагается размышлять.
Процитируем некоторые из них: «Вопрос 62. Разве непостижимые тайны не могут с большим
правом допускаться в божественной вере, чем в человеческой науке? Вопрос 63. Разве те
математики, которые резко выступают против непостижимых тайн, когда-либо критически ис-
следовали собственные принципы?»
124
УКРОЩЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
духе были рассмотрены основные идеи анализа с целью продемонстрировать их
недостаточную логичность.
Так, Беркли заявил, что вывод формулы для вычисления производной произве-
дения, приведенный Ньютоном в «Началах» (см. главу 3), был ошибочным. При-
ведя доказательство Ньютона, Беркли пишет: «Однако очевидно, что для полу-
чения момента или приращения прямоугольника АВ прямым и истинным методом
необходимо взять стороны такими, какими они получились в результате увеличения
их на полные приращения, и затем перемножить их (А + а)х(В + Ь),а полученное
произведение (АВ + а В + ЬА + ab) и есть увеличенный прямоугольник. Отсюда,
если мы вычтем АВ, остаток (аВ + ЬА + ab) и будет истинным приращением пря-
моугольника, превышающим тот, который был получен предыдущим незаконным
и непрямым методом, на величину ab. И это справедливо в любом случае, какими бы
ни были величины а и b — большими или малыми, конечными или бесконечно ма-
лыми, приращениями, моментами или скоростями».
Говоря о методе вычисления флюксий с помощью исчезающих величин, он пи-
шет: «Правда, надо признать, что он использовал флюксии подобно лесам при стро-
ительстве здания, которые нужно было отбросить в сторону или от которых нужно
было избавиться, когда уже было найдено, что конечные линии пропорциональны
этим флюксиям. Но ведь эти конечные показатели определяются с помощью флюк-
сий. Поэтому все, что получается с помощью таких показателей и пропорций, необ-
ходимо отнести за счет флюксий, которые, следовательно, предварительно надо по-
нять. А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений. А что такое эти
самые исчезающие приращения? Они не есть ни конечные величины, ни величины
бесконечно малые, но они и не нули. Разве мы не имеем права назвать их призрака-
ми исчезнувших величин?»
Эйлер и анализ бесконечно малых
Если Ньютон и Лейбниц считаются создателями дифференциального и интеграль-
ного исчисления, то Эйлера можно назвать создателем математического анализа —
области математики, куда входят оба эти раздела. В этом смысле его книги «Введе-
ние в анализ бесконечно малых» (1748), «Наставление по дифференциальному ис-
числению» (1755) и «Интегральное исчисление» (1768—1770) сыграли ключевую
роль в оформлении структуры этой новой дисциплины.
Трактат «Введение в анализ бесконечно малых» стал для математического анали-
за тем же, что «Начала» Евклида для геометрии. В этом трактате Эйлер указывает,
125
УКРОЩЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
что функция является основным предметом изучения в анализе, систематизирует ра-
боты предшественников об элементарных функциях, изучает их, не прибегая к диф-
ференциальному или интегральному исчислению, однако обильно использует бес-
конечно большие и бесконечно малые величины (см. приложение). Он также всеми
возможными способами старается избежать геометрических рассуждений и черте-
жей, отдавая предпочтение аналитике и формулам. Структуру дифференциального
исчисления он изложил во второй книге трилогии.
Хотя Эйлер был последователем Лейбница, в «Наставлении по дифференциаль-
ному исчислению» он понимает дифференциал как разницу, однако вносит изме-
нения в исчисление Лейбница. С учетом поправок Эйлера понятие дифференциала
приближается к понятию ньютоновской «исчезающей величины».
Извечные сомнения, касающиеся бесконечно малых, Эйлер развеял так. По его
мнению, важнее было не то, что такое бесконечно малые величины, а то, как они
себя ведут. В этом смысле для Эйлера бесконечно малые были равны нулю или
в итоге приравнивались к нулю; важнее то, что эти величины могут делиться друг
на друга. Результат подобного деления, по сути эквивалентного может равняться
четко определенному конечному числу. Так, дифференциалы dx, dy играют главную
ЭЙЛЕР ВЕЛИКИЙ
Эйлер был одним из величайших математиков всех времен и, вне всяких сомнений, лучшим
математиком XVIII века. Он родился в 1707 году
в Базеле, окончил местный университет, брал
частные уроки у Иоганна Бернулли, одного
из учеников Лейбница.
В 1727 году он переехал в Санкт-Петербург,
был членом Петербургской академии наук
с 1731 по 1741 год, затем переехал в Прус-
сию и был избран членом Берлинской акаде-
мии наук. Несмотря на непростые отношения
с прусским королем Фридрихом II, он прожил
в Берлине 25 лет, после чего вернулся в Санкт-
Петербург, где умер в 1783 году.
Портрет Леонарда Эйлера
кисти Иоганна Гэорга Брюкнера.
126
УКРОЩЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
роль при определении значения дроби Исчисление описывает, как вычислить эту
dx
дробь, когда приращения «исчезают». В «Наставлении по дифференциальному ис-
числению» Эйлер описывает «метод определения пропорции исчезающих прираще-
ний, которые получают функции, когда аргументы функции получают одно из таких
приращений». Иными словами, в анализе Эйлера вводится отношение приращений
/(у+Дх)-/(у)
Лх
определяющее производную функции — понятие, которое заменило дифференциа-
лы dx, dy, занимающие почетное место в исчислении Лейбница. Внесенные Эйле-
ром изменения приблизили понятия дифференциального исчисления Лейбница к по-
нятию предела, которое впоследствии использовал Коши.
В последнем труде трилогии Эйлера, «Интегральное исчисление», интегрирова-
ние описывается как операция, обратная дифференцированию. Интегрирование по-
прежнему соответствовало понятию площади, но потеряло независимый характер,
который отстаивал Лейбниц, что помогло Коши при введении понятия определен-
ного интеграла.
Д’Аламбер, Лагранж и Карл Маркс
Шел XVIII век, и Д’Аламбер, который обладал намного большим авторитетом
в математике, чем Беркли, критически отнесся к понятию бесконечно малых: «Вели-
чина есть нечто или ничто; если она — нечто, то она еще не исчезла, если она ничто,
то она исчезла в буквальном смысле. Предположение о том, что существует проме-
жуточное состояние между этими двумя, есть химера».
Д’Аламбер во французской Энциклопедии дает примитивное определение
предела, на которое Коши опирался при разработке фундамента математического
анализа: «Одна величина называется пределом второй, если вторая может прибли-
зиться к первой настолько, что будет отличаться от нее менее, чем на любую данную
величину, но никогда не будет совпадать с ней». В своей статье о дифференциалах
для этой же энциклопедии Д’Аламбер указал путь к четкому определению исчисле-
ния: «Ньютон использовал другой принцип, и можно сказать, что метафизика этого
великого математика об исчислении флюксий очень точна и ясна, несмотря на то что
допускает несовершенное толкование его мыслей. Я никогда не рассматривал диф-
ференциальное исчисление как изучение бесконечно малых величин, но как метод
127
УКРОЩЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
Мраморная статуя французского философа
и математика Д’Аламбера.
Карл Маркс проявлял большой интерес
к построению фундамента математического
анализа.
первых и последних рассуждений, или, что
есть одно и то же, метод нахождения пре-
делов рассуждениям. Кто-то может счесть,
что допущение бесконечно малых величин
необходимо лишь для сокращения и упро-
щения рассуждений, но дифференциальное
исчисление необязательно предполагает
существование подобных величин. Более
того, это исчисление заключается лишь
в алгебраическом определении пределов
рассуждения».
Совершенно иным путем следовал Ла-
гранж, который в своей книге «Теория
аналитических функций», опубликован-
ной в 1797 году, определил производную
Г(х) функции /(х) в точке х как коэффи-
циент при h в разложении в степенной ряд
функции /(х + h). Именно Лагранж ввел
термин «производная» и первым стал обо-
значать производную функции / знаком
апострофа — f. К сожалению, его усилия
оказались безуспешными и завершились
неудачей, поскольку, как позднее показал
Коши, функция / необязательно совпадает
со степенным рядом, полученным на ее ос-
нове.
Стоит отметить, что работы Лагранжа
по построению фундамента математиче-
ского анализа очень ценил философ Карл
Маркс, основатель марксизма. Маркс даже
написал несколько трудов о производ-
ных и интегралах (1863—1883), однако
в этот период уже появились работы Вей-
ерштрасса, в которых была сформирована
прочная основа математического анализа.
Маркс рассматривал три этапа развития
128
УКРОЩЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
исчисления: мистическое дифференциальное исчисление Лейбница и Ньютона, ра-
циональное дифференциальное исчисление Д’Аламбера и чисто алгебраическое ис-
числение Лагранжа. О математиках первого этапа он писал: «Они сами определили
загадочный характер недавно открытого исчисления, что привело к получению вер-
ных результатов с помощью определенно ошибочных математических преобразова-
ний». К Д’Аламберу и Лагранжу он относился более снисходительно: «Д’Аламбер,
лишив дифференциальное исчисление мистической завесы, совершил огромный шаг
вперед. <... > Лагранж взял за основу теорему Тейлора, которая является наиболее
общей и широкой, и в то же время описывает рабочую формулу дифференциального
исчисления».
Огюстен Коши
В первой половине XIX века был окончательно сформирован четкий фундамент
анализа бесконечно малых. Решение этой задачи начал Коши, а завершил Вейерш-
трасс. Значимый вклад также внес Бернард Больцано своими работами о непре-
рывных функциях, которые выходят за рамки этой книги.
Коши удалось создать математическое течение, целью которого было добиться
большей строгости доказательств. Это течение стало основополагающим для мате-
матики XIX века.
Эту точку зрения он пытался донести до своих учеников в Политехнической
школе, где преподавал с 1817 по 1830 год, а также излагал в своих работах. Основ-
ными его трудами, о которых мы упомянем, были «Курс анализа» (1821) и «Резюме
лекций по исчислению бесконечно малых» (1823).
«Курс анализа» был ответом Коши на критику со стороны его коллег по ученому
совету Политехнической школы, высказанную в адрес его методики преподавания
механики и анализа студентам первого года обучения. Во введении он явно указы-
вает цель своей работы: «Я попытался изложить методы, требуемые геометрией,
никогда не обращаясь к аргументам, следующим из общности алгебры. Рассужде-
ния такого типа, которые иногда допускаются, особенно при переходе от сходящих-
ся рядов к расходящимся и от вещественных величин к мнимым, лишь указывают
путь к истине и не связаны с точностью, которой должна гордиться математика».
«Общность алгебры», о которой упоминает Коши, означает признанный всеми
с конца XVI века факт, согласно которому все, что верно для вещественных чисел,
так же верно и для комплексных; все, что верно для конечных величин, применимо
и к бесконечным; все, что верно для сходящихся рядов, верно и для расходящихся.
129
УКРОЩЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
В качестве основного понятия анализа бесконечно малых Коши предложил по-
нятие предела, которое определил так: «Когда последовательные значения перемен-
ной бесконечно приближаются к конкретному значению так, что в итоге отличаются
от него на произвольно выбранную величину, последнее значение называется преде-
лом остальных».
Используя понятие предела, Коши определил бесконечно малые как перемен-
ные, которые стремятся к нулю: «Когда последовательные значения переменной
бесконечно уменьшаются так, что становятся меньше любой заданной величины, эта
переменная называется бесконечно малой. Предел таких переменных равен нулю».
Он также ввел понятие предела последовательности, которое с дополнениями
Вейерштрасса используется и сейчас. Коши также установил, что можно говорить
о сумме ряда лишь в том случае, когда он сходится, и определил ее как предел по-
следовательности частичных сумм ряда.
На пятистах страницах «Курса анализа» также приводятся определения непре-
рывной функции, комплексного числа, формулируются критерии сходимости рядов
и так далее.
Работы Коши о сходимости рядов вызвали большое возбуждение. Рассказыва-
ют, что после собрания Французской академии наук, где ученый изложил свои идеи
о сходимости рядов, обеспокоенный Лаплас заперся у себя дома и не выходил, пока
не проверил, что все ряды, использованные им в «Небесной механике», сходятся,
и лишь тогда вздохнул с облегчением.
Коши планировал, что «Курс анализа» будет состоять из двух томов, но неблаго-
приятные отзывы заставили его отказаться от написания второго тома. Суть крити-
ки сводилась к тому, что книга, по мнению руководства Политехнической школы,
не подходила для образования будущих инженеров. Поэтому Коши решил пересмо-
треть идею о публикации второго тома и вместо этого выпустил дополнение к «Кур-
су анализа», представлявшее собой краткое изложение его лекций. Первый том
увидел свет в 1823 году под названием «Резюме лекций по исчислению бесконечно
малых», где давалось современное определение производной как предела
f(x + h) — f(x)
h
когда h стремится к 0.
130
УКРОЩЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
КОШИ: СТРОГОСТЬ ПРЕВЫШЕ ВСЕГО
Огюстен Луи Коши родился в 1789 году, спустя несколько месяцев после начала Великой фран-
цузской революции. Он занимает почетное место среди ведущих математиков первой полови-
ны XIX века. Благодаря ему был сделан значимый шаг в сторону большей логической строгости
математических рассуждений. Так, в статье Энциклопедии Британника о нем сказано: «Коши
был одним из величайших математиков современности. Одним из наиболее значительных его
достижений является четкость и строгость введенных им методов. Первый этап логической
строгости, характерной для современной математики, берет начало в его лекциях и книгах
по математическому анализу, написанных в 1820-1830 годах». Также всегда указывается, что
он был разносторонне образованным человеком и интересовался классическими языками.
Он был ревностным католиком и яростно защищал право Бурбонов на французский престол,
дарованное Богом. «Его коллеги часто упрекали его в непреклонном ханжестве и агрессивном
религиозном фанатизме», - говорится об этом в уже упомянутой Энциклопедии Британника. Он
был преподавателем Политехнической школы и членом Французской академии наук. По поли-
тическим мотивам ему пришлось покинуть Францию на период с 1830 по 1838 год. Умер Коши
в 1857 году.
Французская марка, выпущенная в честь
200-летия со дня рождения Коши.
В «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» также приводится опреде-
ь
ление интеграла непрерывной функции как предела сумм Коши:
a
где a < хг< х2< ... < х t < b — разбиение интервала [а, Ь], а искомый интеграл
рассчитывается как предел при разбиении интервала на отрезки, длины которых
стремятся к 0.
131
УКРОЩЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
Как показано на иллюстрации, каждое слагаемое этой суммы соответствует пло-
щади прямоугольника, и мы можем выразить площадь подграфика функции с любой
точностью.
Также в книге определяются и рассматриваются несобственные интегралы, глав-
ные значения несобственных интегралов и син1улярные интегралы, основная тео-
рема анализа, формула Тейлора и так далее. Коши продемонстрировал функцию
/(х) = е-1/х > ряд Тейлора для которой в точке 0 сходится, но отличается от функции
в окрестности нуля. Это доказывает невозможность выстраивания анализа беско-
нечно малых поверх прочной основы, предложенной Лагранжем.
Мы не будем говорить о других работах Коши и резюме его лекций, а расскажем
о значимости его трудов в формировании основы анализа бесконечно малых.
Несомненно, его попытки логически обосновать анализ бесконечно малых были
значимым этапом, но тем не менее не окончательным. Нильс Абель, великий нор-
вежский математик, одним из первых обратил внимание на важность работ Коши,
отметив их строгость и вместе с тем неполноту. Одновременно с этим он указал,
в чем именно заключаются недостатки работ Коши. Это был очередной шаг вперед
на пути, который полностью был пройден в середине XIX века с появлением работ
Вейерштрасса. Окончательное и четкое определение вещественных чисел было дано
еще два десятилетия спустя. Сам Абель в статье, опубликованной в 1826 году, до-
казал, что одна из теорем «Курса анализа» Коши «допускала исключения» (оцени-
те дипломатичность формулировки!). Эта теорема Коши была не единственной,
«допускающей исключения».
132
УКРОЩЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
УПРЯМ, ПОТОЧЕН
Нильс Хенрик Абель (1802-1829) был одним из наиболее ожесточенных противников отсутствия
математической строгости: «В высшей математике, — писал он в 1826 году, —лишь некоторые
предположения доказаны с неоспоримой строгостью. Неизменно встречается печальная при-
вычка выводить общее из частного, и, несомненно, весьма заметно, что результатами подобных
рассуждений чаще всего являются парадоксы». Поэтому неудивительно, что Абель изучал тексты
Коши и ценил его стремление внести строгость и порядок в математику. «Коши упрям, - писал
Абель, будучи в Париже в 1826 году, - и с ним нельзя договориться, но именно он сегодня луч-
ше всех знает, как следует обращаться с математикой. Его работы удивительны, но достаточнс
запуганы. Сперва я ничего в них не понял, но теперь начинаю понимать их более ясно».
В статье о биноме Ньютона, опубликованной в 1826 году, он пишет: «Курс анализа» Коши
следует прочитать всякому аналитику, который хочет действовать в своих математических ис-
следованиях со всей строгостью».
Однако усилия Коши по приданию математическому анализу большей строгости
были лишь очередным промежуточным этапом развития этой дисциплины. Доказа-
тельством этому служит то, что исследователи работ ученого не пришли к единому
выводу об истинности или ошибочности его теорем. Это кажущееся противоречие
вызвано тем, что определения, представленные Коши в «Курсе анализа», были
неточными и нечеткими и порой допускали несколько толкований. Неоднозначность
этих определений лучше всего объясняет Айвор Граттан-Гиннес: «Достаточно ска-
зать, что использованные им технические термины заслуживают внимания, и в тео-
реме Коши, как и во всем его анализе, они применяются крайне свободно».
133
УКРОЩЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
Эйлер, Коши и эстетическая ценность математики
Следует рассказать и об эстетическом начале, поскольку, вопреки мнению многих,
эстетика не только не чужда математике, но и составляет ее значимую часть.
Название этой главы — «Укрощенные бесконечно малые» — указывает, что
Коши совершил решающий шаг, преодолев с помощью теории пределов логические
проблемы, возникавшие в анализе бесконечно малых с XVII века. Как мы уже
говорили выше, бесконечно большим и бесконечно малым величинам изначально
не было дано логически строгого и четкого определения. В этом смысле, например,
«Введение в анализ бесконечно малых» Эйлера является недостаточно логичным.
По этой причине математики в итоге стали отдавать предпочтение пределам. Од-
нако теперь нам известно, что рассуждения Эйлера с использованием бесконечно
малых столь же строги, как и современные рассуждения, в которых используются
пределы. Строго говоря, логический фундамент анализа XVIII века сформировал
Абрахам Робинсон в 1966 году. На основе теории моделей он показал, что веще-
ственные числа можно расширить множеством бесконечно малых, с которыми мож-
но производить стандартные арифметические операции. Созданный им раздел ма-
тематики получил название «нестандартный анализ».
Теперь, как и было обещано, мы расскажем об эстетической составляющей ма-
тематики, так как рассуждения Эйлера во «Введении в анализ бесконечно малых»
намного красивее, чем рассуждения, записанные с использованием пределов.
Математику часто называют сухой наукой, которая изучает идеальные абстракт-
ные объекты, числа и треугольники, наукой, в которой нет места эмоциям. Это со-
вершенно не так. Профессиональные математики выбрали свою профессию по раз-
ным причинам, но всех их объединяет одно: математика представляет для них ис-
точник сильных эмоций. Эрнест Уильям Хобсон (1856—1933) сказал о «Введении
в анализ бесконечно малых»: «Будет непросто найти другой труд в истории мате-
матики, который оставляет у читателя такое впечатление о гениальности его автора,
как этот». Любой, кто читал его, полностью согласится с Хобсоном. Это впечатле-
ние создается потому, что труд Эйлера вызывает бурные эмоции, оставляет след. Ге-
ниальность Эйлера нашла воплощение в красоте его работы, в ее эстетической цен-
ности, выходящей далеко за рамки простой математики. Иными словами, эта книга
не только обладает свойствами, о которых говорит Харолд Харди (1877—1947)
в своей знаменитой «Апологии математика», рассуждая о красоте математических
идей. В ней также присутствуют общие эстетические категории, о которых писали
Иммануил Кант, Теодор Адорно и Джордж Сантаяна.
134
УКРОЩЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
Один из самых удивительных результатов, содержащихся в труде Эйлера, как
с математической, так и с эстетической точки зрения — это разложение функции
синуса в бесконечный ряд:
2 о2 —2 Q2 _2 л 2 _2
71 J { 2 Я J { э Я J у 4 Я
а также то, как Эйлер использует этот ряд вместе с разложением в степенной ряд
для нахождения суммы следующих бесконечных степенных рядов:
1 1 1
-у + —г + —7
22 З2 42
6
1 1 1
----1---1—
24 З4 44
1 1 1
----F---F —
26 З6 46
тг
90 ’
я6
945’
Удивительно, что эти потрясающе красивые результаты, которые не смогли найти
Лейбниц, братья Бернулли и, возможно, сам Ньютон, Эйлер смог вывести с по-
мощью бесконечно малых всего на нескольких строках. Его рассуждения просты
и гениальны, и можно четко проследить, какие идеи позволили ему совершить эти
открытия. Если попытаться переписать эти рассуждения, используя теорию преде-
лов, они теряют значительную долю простоты и красоты. Чтобы убедиться в этом,
достаточно сравнить выкладки Эйлера во «Введении в анализ бесконечно малых»
и последние страницы «Курса анализа» Коши (примечания VIII и IX). Коши пыта-
ется подтвердить правильность результатов Эйлера с помощью пределов, в резуль-
тате чего элегантные и краткие рассуждения Эйлера, занимающие несколько строк,
превращаются в несколько десятков страниц вычислений. Можно без преувеличе-
ния сказать, что Коши превратил деликатный эротизм Эйлера в порнографию.
135
УКРОЩЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
Карл Вейерштрасс
В первой половине XIX века математики начали задумываться над тем, что посту-
латы евклидовой геометрии не являются априори истинными и что отрицание этих
постулатов, в особенности постулата о параллельности прямых, может привести
к созданию принципиально новой геометрии, столь же корректной, как и геометрия
Евклида. Это было продемонстрировано в работах Николая Ивановича Лобачев-
ского (1792—1856) и Яноша Бойяи (1802—1860). Этого же мнения придерживал-
ся великий Гаусс, однако он действовал излишне осмотрительно и поделился своими
идеями лишь с немногими соратниками, из-за чего принятие неевклидовой геоме-
трии в научных кругах происходило не так быстро, как могло бы. Процесс создания
неевклидовой геометрии завершил Бернхард Риман (1826—1866). Риман в своем
докладе «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», который он сделал 10 июня
1854 года с целью получить пост преподавателя в Гёттингенском университете,
представил общую теорию геометрии, простиравшуюся намного дальше, чем част-
ные случаи, описанные Лобачевским и Бойяи, которые были получены отрицанием
постулата о параллельности прямых. Риман сделал основой своей геометрии ут-
верждение, над которым другие математики размышляли в течение 50 лет: постулат
о параллельности, равно как и любой другой постулат евклидовой геометрии, не яв-
ляется априори истинным в абсолютном пространстве, а, напротив, представляет
собой эмпирический результат, полученный в процессе наблюдения той небольшой
части пространства, что нас окружает. Спустя некоторое время после смерти Гаусса
была опубликована его частная переписка, где он восхвалял новую геометрию пред-
шественников Римана — Лобачевского и Бойяи. Если бы кто-то узнал о том, какой
интерес и энтузиазм проявлял великий Гаусс по отношению к неевклидовой геоме-
трии, это стало бы решающим толчком к ее широкому принятию.
Как следствие, это серьезно повлияло бы на вопросы, связанные с математиче-
ской и логической строгостью. Корректность этих результатов, не проверенных эм-
пирическим путем, а доказанных строгими геометрическими рассуждениями, оста-
валась под сомнением. Таким образом, геометрия Евклида перестала быть неэмпи-
рической дисциплиной, на основе которой с математической строгостью строились
другие разделы математики. Ее место быстро заняла арифметика — раздел матема-
тики, изучающий числа и их свойства.
136
УКРОЩЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
В этом смысле Карл Вейерштрасс
(1815—1897) пересмотрел определение
предела Коши и убрал из него геометри-
ческие элементы, в частности формули-
ровки «бесконечно приближаются», «бес-
конечно уменьшаются» и «меньше любой
заданной величины», заменив их арифме-
тическими выражениями, в которых фи-
1урировали величины эпсилон и дельта,
используемые и сейчас: «Предел функции
/(х) равен 1, когда х стремится к а, если
для любого положительного £ > 0 суще-
ствует другое положительное число 8 > О
такое, что для любой точки х, в которой
определена данная функция, выполняется
неравенство 0 < |/(х) — 1| < £.
С конца 1850-х до конца 1880-х годов
Вейерштрасс преподавал в Берлинском
университете. Он не публиковал свои лек-
Карл Вейерштрасс считается создателем
современного анализа. Здесь он изображен
на портрете кисти немецкого художника
Конрада Фера.
ции, и данные им определения дошли до нас
из конспектов его учеников. Начиная
со второй половины XIX века Германия постепенно становилась мировым матема-
тическим центром, придя на смену Франции, что способствовало эффективному
распространению анализа Вейерштрасса.
Заключение
Начиная с Эйлера и в особенности после того, как усилиями Коши и Вейерштрасса
был выстроен фундамент анализа бесконечно малых, эта дисциплина стала ядром
математического анализа. Функции, пределы, производные и интегралы — фунда-
ментальные инструменты математического анализа. С их помощью великое множе-
ство физических, технических, экономических и даже медицинских задач можно
свести к уравнениям, где будут одновременно использоваться функции, их произво-
дные и интегралы. Так, задачи поиска оптимальной формы крыла самолета, опреде-
ления кровяного давления в венах и артериях организма или выявления роста рако-
вых опухолей решаются с помощью уравнений такого типа.
137
УКРОЩЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
Эти уравнения формулируются с использованием понятий математического ана-
лиза, в том числе анализа функций нескольких переменных, а также законов физи-
ки. Однако составить такие уравнения — это одно, а уметь решать их — совсем
другое. Решения некоторых подобных уравнений были однозначно определены, уже
когда Ньютон и Лейбниц создали анализ бесконечно малых, однако большинство
из них настолько сложны, что и сегодня не существует способов их точного решения.
Математический анализ также описывает методы приближенного и численного ре-
шения подобных уравнений, позволяющие найти их корни с определенной точно-
стью. С появлением современных компьютеров в середине XX века в этой области
математического анализа произошла революция.
Обычные люди, как правило, удивляются, когда слышат, что математики до сих
пор совершают новые открытия. В действительности же их число с каждым годом
увеличивается экспоненциально. Когда кто-то говорит, что занимается работами
в новой области математики, несведущие задают вопрос: «А разве в ней еще не все
известно?» Разумеется, это не так. Нам неизвестно множество уравнений, описы-
вающих загадки природы, решение которых будет способствовать прогрессу челове-
чества. Технологический прогресс и развитие медицинских и экономических мето-
дов ставят перед учеными новые задачи, и математикам ежедневно приходится их
решать.
Эта книга начинается с фразы: «Анализ бесконечно малых, вне всяких сомнений,
наиболее мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное
математиками». Однако наука ставит перед нами столько задач, что в математиче-
ском анализе, пришедшем на смену анализу бесконечно малых, непрерывно требу-
ется разрабатывать новые техники и приемы их решения.
Т38
Приложение
Эйлер и бесконечно малые
Чтобы показать, как используются бесконечно большие и малые величины, приве-
дем пример разложения функции е2 в степенной ряд. Этот пример продемонстриро-
ван Эйлером в книге «Введение в анализ бесконечно малых». Сначала Эйлер опре-
деляет число е следующим образом. Показательные функции а2, а > 1, описывают
множество кривых, которые имеют общую точку (0, 1). Угол наклона касательной
к этим кривым в этой точке зависит, разумеется, от основания степени а и бесконеч-
но возрастает от 0, соответствующего а = 1. Число е определяется как число, для
которого тангенс угла наклона касательной е2 в точке (0,1) равен 1. Иными словами,
касательная к кривой е2 в точке (0, 1) описывается уравнением 1 + z. Так как Эйлер
понимал кривые как многоугольники со сторонами, имеющими бесконечно малую
длину, это означает, что бесконечно малый отрезок кривой у — е2, находящийся
в точке с координатами (0,1), что соответствует е° = 1, совпадает с прямой у = 1 + z.
Для бесконечно малых чисел ш получим, что они находятся одновременно на прямой
и на кривой, которые совпадают на этом бесконечно малом участке. Таким образом,
для бесконечно малого iv выполняется равенство ew = 1 + iv. Для Эйлера это было
не приближенное, а строгое равенство.
С учетом этого будем записывать данное число z в виде произведения бесконечно
малого числа w на бесконечно большое число N: z = wN. Допустим, что z = 2, и за-
пишем его в следующем виде
2 ^дКХХЮОО
2 jqIOOOOOO
Таким образом,
1
w =-------------
qICXXMXM)
и /V = 2 • IQ1000000. Однако этого недостаточно: это значение iv очень мало, но не яв-
ляется бесконечно малым, равно как и N не является бесконечно большим.
Тем не менее читатель легко представит разницу между очень малым и очень
большим и между бесконечно малым и бесконечно большим. С учетом свойств пока-
139
ПРИЛОЖЕНИЕ
зательной функции можно записать: ez = ewN = (ew)N. Так как iv является бесконеч-
но малым, то, учитывая равенства, изложенные в нашей дискуссии о касательных,
получим: ez = (1 + w)N. Так как w = это означает:
где N — бесконечно большое число. Запишем это равенство в следующем виде:
е
= lim 1 + —
N-xl Д/
Применим теорему о биноме:
ех = (1 + w)N = 1 + Nw +
N(N-l)
2
2 N(N-l)(N-2) 3
W 4------------W +...
3!
Так как N — бесконечно большое, получим, что /V — \ = N, N — 2 = N и так
далее, что позволяет преобразовать равенство:
х . т (Nw)2 (Nw)3 z~ z''
e =\ + Nw + -------—+ ------—+ ... = l + z +—+ — +
2 3! 2 3!
Заметим, что в методе Эйлера для разложения показательной функции в ряд
бесконечно большие и бесконечно малые числа появляются и исчезают, подобно
предметам в руках у фокусника. Тем не менее они используются не напрасно: они
помогают преобразовать функцию и выявить ее важные скрытые свойства.
Этот метод Эйлера по разложению в ряд кажется недостаточно строгим, но здесь
не идет речь о логической строгости рассуждений Эйлера. К тому же следует отме-
тить, что на самом деле они всего лишь подразумевают использование более слож-
ной логики, чем та, что лежит в основе стандартного анализа.
В некотором смысле эти выкладки Эйлера демонстрируют его гениальность. Как
мы уже говорили в главе 6, Хобсон так отзывался о «Введении в анализ бесконечно
малых»: «Будет непросто найти другой труд в истории математики, который остав-
ляет у читателя такое впечатление о гениальности его автора, как этот».
140
Библиография
AlTON, E.J., Leibniz. Una biografia, Madrid, Alianza Editorial, 1992.
BARON, M.E., The Origins of the Infinitesimal Calculus, Oxford, Pergamon, 1969.
Duran, A.J., Historia, con personajes, de los conceptos del cdlculo, Madrid, Alianza
Editorial, 1996.
DURAN, A.J., (coordinador), El legado de las matemdticas, Sevilla, Real Sociedad
Matematica Espanola у otros, 2000.
DURAN, A.J., La polemica sobre la invention del cdlculo infinitesimal, Barcelona,
Cntica, 2006.
DurAN, A.J., Pasiones, piojos, dioses... у matemdticas, Barcelona, Destine, 2009.
DurAN, A.J., Cauchy, hijo rebelde de la revolution, Madrid, Nivola, 2009.
EULER, L., Introductio in analysin infinitorum, edition facsimilar у cntica con traduction
al castellano de J.L. Arantegui у notas de Antonio J. Duran, Sevilla, Real Sociedad
Matematica Espanola у SAEM Thales, 2000.
EDWARDS, C.H., The Historical Development of the Calculus, Nueva York, Springer-
Verlag, 1979.
HALL, A.R., Philosophers at War, Cambridge, Cambridge University Press, 1980.
HOFMANN, J.E., Leibniz in Paris, 1672-1676. His Growth to Mathematical Maturity,
Cambridge, Cambridge University Press, 1974.
MANUEL, F.E., A Portrait of Isaac Newton, Harvard University Press, Cambridge
(Mass.), 1968.
NEWTON, I., The Mathematical Papers of Isaac Newton, edition de D.T. Whiteside,
Cambridge, Cambridge University Press, 1967-1981.
NEWTON, I., Analysis per quantitatum series, fluxiones, ac differentias, edition
facsimilar у cntica con traduction al castellano de J.L. Arantegui у notas de Antonio J.
Duran, Sevilla, Real Sociedad Matematica Espanola у SAEM Thales, 2003.
WESTFALL, R.S., Neverat Rest; a Biography of Isaac Newton, Cambridge, Cambridge
University Press, 1983.
141
Алфавитный указатель
Account 115 — 118
Acta eruditorum 66, 78, 90, 91, 106, 108, 112,
120
anni mirabiles 54
Ars combinatoria 76
Characteristica universalis 76, 92, 94
Charta volans 114—116
Commercium epistolicum 112—116, 119
Epistolae posterior 62, 87,100, 102,103,104,
114
Epistolae prior 67, 87,100,102,103,104,114
Historia et origo calculi differentialis 117
Абель, Нильс Хенрик 132, 133
Адорно, Теодор 134
Аквинский, Фома 33
Анаксагор 24
«Анализ» 58—63, 88
анализ бесконечно малых 7—23, 28—34,
57-68, 76, 99-105,121-124,129-134
анализ флюксий 62, 88, 100, 101
аналитическая геометрия 23, 34, 36, 39, 41,
42, 68,122
Аристотель 24, 27, 33
Архимед 18, 20, 21, 23-42, 81,121,124
Архимеда, спираль 20, 21, 25, 26, 35
Барроу, Исаак 32, 40—42, 62, 63, 70, 84,
85, 91,121
Бартон, Кэтрин 44
Беркли, Джордж 66,124,125,127
Бернулли, Иоганн 103—110, 113—115,
119,120,126,135
Бернулли, Якоб 104—106,114,135
бесконечно малая 14, 34, 39, 65, 86, 90, 96,
121-140
бесконечность 9, 23—27, 33—38,121—127,
135
Бог 33, 47-49, 93, 95, 96,117
Бойль, Роберт 82
Бойяи, Янош 136
Больцано, Бернард 65, 129
Бон, Флоримон де 40, 89, 91
брахистохрона 8, 104, 105
Бюрги, Иост 29
Валлис, Джон 32, 36—38, 81, 87,103,104
Ван Схотен 79, 84
Вейерштрасс, Карл 15,128—130, 132,
136,137
Вестфолл, Ричард 49, 52, 57, 62, 63, 68, 87,
88,101,112,119
Виет, Франсуа 28
Вольтер 68, 69, 73, 77
Вольф, Кристиан 120
Галилей 16, 31, 32, 40, 81,105
Галлей, Эдмунд 53—56, 71, 124
гармонический ряд 30
Гаусс, Карл Фридрих 136
Георг I 93, 97,119
Граттан-Гиннес, Айвор 133
Грегори, Джеймс 58, 81, 84, 85, 107
Грегори, Дэвид 71, 109
Гук, Роберт 41, 49, 53—55, 67, 68, 70
Гюйгенс, Христиан 36, 49, 54, 71, 80, 84,
85, 88,102
Гюльден, Пауль 39
Д’Аламбер, Жан Лерон 97, 127—129
Декарт, Рене 39, 40, 53, 54, 68, 79, 84, 90,
121
Джонс, Уильям 63, 110
Евдокс 24, 25
Евклид 24, 25, 32, 79,125,136
Зенон 24, 27, 36
интеграл 7,17-21, 26, 42, 90. 91,131,132,
137
исчезающие приращения 65, 125—127
исчисление
дифференциальное 10—14, 65, 89—91,
125-129
интегральное 7, 9—11, 18, 26, 91, 125,
127
Кавальери Бонавентура 27, 35—39, 79, 108,
121,122
Кант, Иммануил 134
касательная 39—42, 58, 64, 84—87, 89
квадратура 34—38, 59, 64, 84—86, 91,
107
Кейль, Джон 109,111,115,117,119,120
Кейнс, Джон Мейнард 45, 46
Кеплер, Иоганн 34, 39, 54, 56, 121
Клавий, Христофор 36, 79
Кларк, Сэмюел 117
142
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Коллинз, Джон 61—63, 70, 80, 83, 85, 88,
112
Коммандино, Федерико 39
Конти, Антонио 118—120
Королевское общество 48, 55, 69, 81—83,
109-112
Коши, Огюстен Луи 15, 19, 21, 65, 122,
127-137
Кромвель, Оливер 42, 81
«Курс анализа» 129, 130, 132, 133
Лагранж, Жозеф Луи 13, 97, 127—129,
132
Лаплас, Пьер-Симон 130
Лейбниц, Готфрид Вильгельм 14, 18, 19, 21,
24, 34, 40-42, 48, 50, 51, 60-63, 65,
66, 70,138
Леонардо да Винчи 8
Лобачевский, Николай Иванович 136
логарифм 14, 29, 37, 39, 67
Лопиталь 104—106, 123
Лукасовский профессор 41, 46, 63
Мавролико, Франческо 39
максимумы и минимумы 23, 39, 42, 64, 76,
101
Маркс, Карл 127—129
математическая строгость 32, 57, 129,
131-134,136
«Математические начала натуральной фило-
софии» 52, 55—57,108
Менголи, Пьетро 83
Меркатор, Николас 58, 61, 62, 67, 84, 100,
110
Мерсенн, Марен 32, 61
«Метод» 63, 64, 87
Метод Архимеда 25—27
метод исчерпывания 24, 25, 35, 38
монада 96
Муавр, Абрахам де 53, 71
Мутон, Габриель 82—83
Мэнюэль, Фрэнк 47, 49, 50, 67, 70—72,
109, ИЗ, 118,120
Непер, Джон 29, 30
Ньютон, Исаак 14,15, 34, 38, 41—129, 135,
138
Ольденбург, Генри 67, 70, 80—83, 85, 87,
112
«Оптика» 46, 65,106,107,117
Орезмский, Николай 30, 31
основная теорема анализа 19—21, 41, 42, 64,
99
Папп Александрийский 39
Парижская академия наук 71, 76, 80, 88,
120,130
Паскаль, Блез 32, 36, 81, 84,121
Пелл, Джон 82, 83
Платон 24, 32
предел 15,19,127-130,134-137
производная 12—21, 60, 66,122,127,128,
130,137
простаферезис 29, 30
Рассел, Бертран 75, 77, 95
Рен, Кристофер 53, 70
Риман, Бернхард 136
Сантаяна, Джордж 134
Сен-Венсан, Грегуар де 27, 36, 37, 81, 84
Слюз, Рене де 40, 58, 84, 85
Смит, Барнаба 44, 49, 51
Спиноза, Бенедикт 33, 89
спираль 25, 26, 35, 40
Стевин, Симон 28, 29, 39
Торричелли, Эванджелиста 36, 40—42
тяготение 44, 53—56, 58, 104, 116
Уайтсайд, Д.Т. 57, 72,100, 105
Фабри, Оноре 84,108
Фатио де Дюилье, Никола 71, 72, 102,
105,106
Ферма, Пьер де 32, 36, 39—42, 121
Флемстид, Джон 70
флюент 63, 64, 66, 99
флюксия 40, 58, 63—65, 99—103,108—112
Фонтенель, Бернар ле Бовье де 97, 120
Фридрих II 126
функция 10-20, 31,127-132,137,139,140
Харди, Харолд 134
Холл, Альфред Руперт 106, 108
Хоффман, Д. Е. 79, 83, 85, 86
Худде, Иоганн 40, 68
центр тяжести 18, 38, 39, 42, 76, 86
Чейни, Джордж 107
Чемберлен, Джон 118, 119
Эйлер, Леонард 14, 21,125-127,134-137,
139,140
Яхуда, Абрахам 45
143
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 14
Антонио Дуран
Истина в пределе.
Анализ бесконечно малых
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066,
г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не при-
нимаются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Выпускающий редактор: Людмила Виноградова
Финансовый директор: Наталия Василенко
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в России:
Ж 8-800-200-02-01
Телефон горячей линии
для читателей Москвы:
Ж 8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей:
Россия, 105066, г. Москва, а/я 13,
«Де Агостини», «Мир математики»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои кон-
тактные данные для обратной связи (телефон
или e-mail).
Распространение:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина
Юридический адрес: 01032, Украина,
г. Киев, ул. Саксаганского, 119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в Украине:
0-800-500-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини»,
«Мир математики»
УкраТна, 01033, м. Ки1в, а/с «Де Агостпп»
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк», 220037, г. Минск,
ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,
тел./факс: +375 17 331 94 27
Телефон «горячей линии» в РБ:
Ж + 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00-21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040, г. Минск,
а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини»,
«Мир математики»
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»
Издатель оставляет за собой право увеличить реко-
мендуемую розничную цену книг. Издатель остав-
ляет за собой право изменять последовательность
заявленных тем томов издания и их содержание.
Отпечатано в соответствии с предоставленными
материалами в типографии:
Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2
35010 Trebaseleghe (PD) Italy
Подписано в печать: 30.11.2013
Дата поступления в продажу на территории
России: 22.04.2014
Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».
Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 4,5.
Усл. печ. л. 5,832.
Тираж: 200 000 экз.
© Antonio J. Duran, 2010 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0708-3 (т. 14)
@
Данный знак информационной про-
дукции размещен в соответствии с требования-
ми Федерального закона от 29 декабря 2010 г.
№ 436-ФЗ «О защите детей от информации, при-
чиняющей вред их здоровью и развитию».
Издание для взрослых, не подлежит обязатель-
ному подтверждению соответствия единым требо-
ваниям, установленным Техническим регламентом
Таможенного союза «О безопасности продукции,
предназначенной для детей и подростков» ТР ТС
007/2011 от 23 сентября 2011 г. № 797.
Истина в пределе
Анализ бесконечно малых
Бесконечно малая величина - это числовая функция
или последовательность, которая стремится к нулю. Исчисление
бесконечно малых - общее понятие для дифференциальных
и интегральных исчислений, составляющих основу современной
высшей математики. Анализ бесконечно малых - вне всяких
сомнений, наиболее мощное и эффективное средство изучения
природы, когда-либо созданное учеными. Становление этого
понятия связано с именами блистательных математиков:
Архимеда, Исаака Ньютона, Готфрида Вильгельма Лейбница,
Огюстена Луи Коши и Карла Вейерштрасса. В этой книге идет
речь об анализе бесконечно малых и его удивительной истории.