А. В. СОКОЛОВ


ОПТИЧЕСRИЕ СВОЙСТВА
МЕТАЛЛОВ


",
ИА.",,



"

., БИБJiИrJТr' _ А " , \,
f( \
ИН-та ХИМJ" 'ос:.. v '\
,.., I v ,
 1-. О '


ИНН п .



 еТJ1Ни и r <J
)ения ;Е

 СО АН Ссор //

 );;.". r t \


', ,
,









. '.r"

.... ... ,
" ' ...,.

 ,






rО
СiУДАРG ТВВ(ННОЕ ИЗДАТВЛЬСТВО
ФИЗИК О-М А ТВМА'ТИЧВСКоЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1961




AlШОТАЦИЯ


Моноrpафия посвящена подробному изложению
теории оптических свойств металлов и сплавов.
Описана современная теория взаимодействия света
с электронами металличес:ких систем. Выведены
зависимости между оптическими характеристиками
и характеристиками МИIфоскопической теории твер-
доrо тела. исследованыI оптические свойства ферро-
мarнитных металлов. Изложена теория фотоэффекта
в металлах. Дан также краТКИЙ обзор опытных
данных и методик эксперименталъных исследований.
Книrа рассчитана на физиков-теоретиков, опти-
ков, металлофизиков, а также на аспирантов исту...
дентов старших курсов физических факультетов
университетов.


Анатолий Вячеслtl808UЧ СОКОЛОВ


ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ
Редактор К. П. rYPOB


Теп. редактор В. Н. К рЮЧКОВQ


Корректор 3. В. А-втонеев"


СДА1IО 8 набор 16/XII 1960 r. Подписано К печати 17/VIII 1961 r. Бумarа 6ОХ90/16..
е.. ое'l. л. 29. УСЛОВИ. пе'l. л. 29. Уч.
изд. л. 28,84. Тираж 6000 эltЗ. T
 08732.
Цена lCIIИrи 1 р. 64 К. Заказ N2 4044


rосударствевиое издательство Физико-математической литературы.
Москва, Б-71. Левивский проспект. 15.
Типоrрафия Эдьетеми, Будапешт




оrЛАВЛЕНИЕ


n р е Д и с л о в и е ....................................................... 6
Введение ........................................................... 7


ЧАСТЬ 1


ОПТИКА МЕТАЛЛОВ
r л а в а I. МакросКОlDIЧеская теории оптических свойств электронных про-


ВОДНИКОВ .......................................................... 15



 1. основныIe положения электромarнитной теории света. Электро-
мarнитные волвыI в однородном изотропном диэлектрике ...... 15

 2. Основные уравнения классической оптики металлов ............ 23

 3. Отражение света от поверхности металла (нормальное падение) 28

 4. Общее рассмотрение распространения плоских волн в поrлощаю-


щей среде ....................................................

 5. rрани'чныIe условия ...... · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

 6. Общее решение задачи отражения и преломления .............

 7. Формулы Кеттелера и оптические инварианты .................

 8. Основные свойства иеоднородиых волн ........................

 9. Измерение оптических констант металлов по отражению. элементыI
эллиптической поляризации .................................. 61

 10. совремевныIe методыI измерений оптических констант металлов 71
r.л а в а 11. Оптические свойства вещества по классической электроввой


32
37
40
50
57


теории · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · .. 80

 11. Теория поrлощения и дисперсии в иепроводвиках .............. 80

 12. Оптические свойства металлов в модели свободвых электронов
(теория Друд
ив:ера) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · .. 85
r л а в а 111. Квантовые переходы и полуклассическая теории излучении ... 93

 13. Функция rамильтона электрона во внеmием электромarнитном]
поле · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · .. 93


о 14. Теория квмIтoBых переходов. Квантовая теория дисперсии ...... 95
r л а в а IV. Квантовая теории оптических свойств металлов ................ 106

 15. Общие положеНия квантовой теории твердоrо тела. Основы кван-
товой оптики металлов ...................................... 1106

 16. Поrлощение и дисперсия дливиоволновоrо излучения ........... 122

 17. Метод оператора плотности .................................. 127

 18. Дисперсия и поrлощение света в ВII,ЦИl'dОЙ и ультрафиолетовой об-
ласти спектра · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · .. 130

 19. Применение общей теории х случаю почти свободных элехтронов 138


r п а в а У. OIlТllК8 метаJIJlllЧесJmX сплавов ............................... 142

 20. Оптичесmе свойства металлических сШIавов в инфракрасной
области спектра ..... · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · .. 142
О 21. Оптические свойства сплавов в видимой и ультрафиолетовой
области спектра ................. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · .. 149




4


оrЛАВЛВНИЕ


r л а в а VI. Оптика ферромаmитвых металлов ........................... 153

 22. Оптические свойства ферромarнитных металлов в длинноволновой
области спектра и их теоретическая интерпретация ............ 153

 23. Оптические свойства ферромаrнетиков в видимой и ультрафиоле-
товой области спектра на основе (8
 d)-обменной модели ..... 160
r л а в а VII. Основы мвоrоэлектроввой теории оптических свойств металлов 164

 24. Оптические переходы в :мноrоэлектронной теории ............. 164

 25. Дисперсионные формулы
 квантовой 0 1l1ш{и металлов в мноrо-
электронной теории .......................................... 168

 26. Дисперсионные формулы квантовой ОПТИКИ металлов в мноrо-
электронной теории с учетом электронноrо за
ания: .......... 173
"
r л а в а VIП. Аномальный скии-эффект и оптические свойства металлов 178

 27. Общие положения ............................................ 1 78

 28. Классическая теория скин-эффекта ............................ 188

 29. Основное уравнение задачи аномалъноrо скин-эффекта ........ .194
О 30. Формулы для напряженности электрическоrо поля и поверхностно-
ro импеданса · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · .. 200


о 31. Ряды для поверхностноrо импеданса .......................... 209

 32. формулыI для оптических характеристик металлов в близкой
инфракрасной области и в области длинноволновоrо края видимой
части спектра ................................................ 215

 33. формулыI для оптических характеристик металлов в видимой
(высокие частоты) и ультрафиолетовой областях спектра. Нормаль-
ное падение. Определение микрохарактерисТИIC металлов по их
оптическим ПОстО.яннъIМ....................................... 225



 34. Некоторые экспериментальные результатыI ................... 231
ЧАСТЬ 11


МArНEТООПТИКА


Jj а в а IX. Мamетооптические явления ................................ 257

 35. Эффект Зеемана .............................................. 257

 36. Мarнитное вращение плоскости поляризации (эффект Фарадея) 263

 37. Маrнитное двойное лучепреломление (эффект Коттона.......Мутона) 268
r л а в а Х. Мarиетооотические явлении в ферроМ8Пlетиках ................ 274:

 38. Общие сведени.я: о явлениях Фарадея и Керра в ферромаrнетиках 274
О 39. Соотношение между амплитудами падающей и отраженной
волн в случае намarниченноrо ферромarнетика. Минимум- и
нуль-вращение анализатора и поляризатора и закон взаимной
обратимости ................................................. 279

 40. Основы макроскопическоrо описания маrнетооптических явлений
в ферромarнетиках ........................................... 284

 41. Распространение плоской неоднородной волны внутри ферромar-
нитноrо металла ............................................. 287



 42. Мarнитное врamение и эллиптичность при прохождевии света
через тонкие слои ферромаmетика (эффект Фарадея) ............ 289

 43. поля:рный эффект Керра при нормальном падении света .... · · .. 292

 44. Полярный эффект Керра при наклонном падении света ......... 296

 45. Общие формулы отражения при меридиональном намаrничении 301

 46. Экваториальный эффект Керра ............................... 302

 47. К общей феноменолоrической теории маrнетооптичесICИX явлений
в фе.рромarнетиках ........................................... 307


r л а в а XI. Влияние TOIIКIIX пленок на маmетооптичесКIIЙ эффект Керра .. . 1 316

 48. Общие положения ............................................ 316

 49. Эффект Керра при неполном отражении на rранице металл-пленка 322

 50. У-чет поrлощения. Вывод общей формулыI ... · · ... .. .. .. .. ...... 325




оrЛАВЛЕНИЕ


s


r л а в а XII. Применеввя эффектов Керра и Фарадея ...... · · · · · · · · · · · · · · .. 331

 51. Набmoдение ферромаrвитвых областей с помощью полярноrо и
меридиональноrо эффектов Керра ............................. 331

 52. Применение мarнетооптическоrо эффекта Керра для исследования
струхтуры поверХНОС1Воrо слоя полированноrо металла ........ 346
[" л а в а ХIП. Квантовая теория мarнетооптических явлений в ферромar-
нетика.х · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · .. 349

 53. Квантовая теория явления Фарадея. Парам 3.1НИIНое вращение 349

 54. Квантовая теория эффекта Фарадея в ферромarнетиках (по Хэлму) 357

 55. Квантовая теория мarнетооnтических явлений в ферромarнетmcах
на основе (8....... d)-обменной модели ........................... 372

 56. О маrнеТООIl1'ИЧеских явлениях в ферромarвитных бинарных
сплавах в области далеких инфракрасных частот ......... 379

 57. Квантовая теория мarнетооnтических явлений в ферромarнетmcах
по зонной теории ............................................ 380


ЧАСТЬ 111
ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ В МЕТАЛЛАХ


r л а в а XIV. Фотоэлектрический эtфект в мет8ЛJPlX .................... 397

 58. Общие сведеНЮI о фотоэффекте · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · .. 397

 59. Основные предпосыJIICИ для построения квантовой теории фото-
эффекта и полуфеноменолоrическая теория (по Фаулеру) ....... 4:01

 60. Основы квантовомеханической теории фотоэффекта в металлах 4:08

 61. Сравнение с опытом и дальнейшее развитие теории ............ 4:18

 62. Поверхностный фотоэффект в упорядочивающихся сплавах .... 4:25

 63. Фотоэлектрический эффект в ферромarнитных металлах ........ 430

 64. Основы мноrоэлектронной теории фотоэффекта в кристаллах ... 4:4:3
Ли т ература . ....................................................... 454:


п р е Д м е т н ы й у к а з а т е л ъ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 4:61




IIPЕДИСЛОВИЕ


в настоящей моноrрафии автором сделана попытка изложить
современныIe физические представления о природе оптических явлеНИЙ,
дать общую ориентировку в основных проблемах современной теории
оптических свойств металлов широкому KPYry физиков.
Книrа не является энциклопедической по содержанию. В ней
совершенно не затронуты такие важныIe вопросы, как оптические
свойства металлических пленок, рентrеновские спектры металлов;
не получили деталъноrо освещения вопросы теории и практики опти-
ческих измереНИЙ и .аппаратуры, употребляемой при определении
оптических характеристик металлов.
Для чтения моноrрафии необходимо знакомство с основныl\ш
положениями современной теории твердоrо тела. В конце книrи
приведена подробная (хотя инеисчерпывающая) библиоrpафия
ориrиналъных работ по различным вопросам оптических свойств
металлов.
Автор выражает блarодарность член-корреспонденту АН СССР
с. В. Вонсовскому, профессору М. М. Носкову И r. А. Болотину,
прочитавшим книry в рукописи и сделавшим ряд полезных заме..
чаНИЙ. Кроме Toro, автор очень признателен редактору издательства
канд. физ-матем. наук К. п. rYPOBY за ряд весьма ценных заме-
чаНИЙ, значительно способствовавших улучшению книrи.


Автор




ВВЕДЕНИЕ


Оптика является разделом физики, в котором изучаются законо-
мерности световых явлеНИЙ и процессы взаимодействия света и веще-
ства. Оптика занимает важное место в изучении физических свойств
и строения вещества в силу Toro, что при взаимодействии двух форм
материи
 света и вещества
 мыI имеем возможность rлубже проник-
путь в детали физической природы этих двух форм материи.
При изучении оптических явлеНИЙ нам приходится иметь дело
с различными веществами, а именно: с прозрачными для электро-
маrнитных волн изотропными веществами и кристаллами (диэлектри-
ками), с поrлощающими электромаrнитные волны веществами:
металлами, полупроводниками, молекулярными кристаллами, раз-
личными химическими соединениями и т. д.
Оптика в широком смысле слова есть наука о взаимодействии
электромаrнитноrо поля любых частот с веществом. В более узком
понимании оптика есть наука о взаимодействии ви
оrо света с
веществом.
В данной книrе из Bcero мноrообразия оптических явлеНИЙ рассмат-
риваются оптические свойства металлов
 конденсированных атом..
Jlых систем,
 обладающих высокой электропроводностью. При
:этом термину
оптические свойства» придается широКИЙ смыIл..
Оптика металлов как часть учения об оптических свойствах ве-
Iцества должна охватьшать все явления взаимодействия электро-
маrнитноrо поля с металлическими проводниками. Kpyr таких явле-
JIИЙ обширен. Сюда нужно отнести не только явления отражения,
Ilрсломления, поrлощения и излучения электромarнитных волн метал-
лами, но также и фотоэлектрический эффект, поrлощение и испуска-
ние рентrеновых лучей металлами, маmетооптические явления. и
,
друrие эффекты.


 Несмотря на разнообразие явлений, изучаемых оптикой металлов.
се можно с известным правом рассматривать как лоrически замкну-
"'YJO область физики, так как оказывается возможным подойти IC
ИСТОЛI(ованию почти всех этих явлеНИЙ с единой точки зрения, поль-
ЗУЯСЬ дЛЯ этоrо общим методом. Оптика металлов именно поэтому
и прсдставляется нам, до известной степени, самостоятельной обла-
CTI,JO знания, что она характеризуется единым методом исследо-
вания болъшоrо мноrообразия явлеНИЙ.




8


ВВЕДВНИВ


Изучение этих явлений представляет очень большой на учЯhШ ин-
терес, ПОСКОЛЬКУ раскрытие деталей механизма взаимодействия элех-
тромаrнитноrо поля с веществом позволяет про:нmcнyть в ТОlПCости
crроения различных веществ и, в частности, металлов и получить
более полные представления о природе их свойств. Это представляется
важным также и в связи с техническими применениями. Высокая
отражательная способность (rQ)металлов используется в мноrочислен-
ных и важных для практики оптических приборах и ивструмеиrах.
Важное практическое применение получила способность металли-
ческих поверхностей изменять состояние поляризации света при
отражении. При на:клонном падении линейно ПОJIЯризова нноrо света
на метазшическое зеркало отраженный свет становится эллиптиче-
со поляризованным. Исследуя при помощи поляризационных при-
боров характер поляризации отраженноrо света, можно измерить
веJlИЧИНЫ показателей преломлеви.я (п) и поrлощения (k), которые
оказьmаются чувствительвыми к чистоте метазшических поверхностей.
После ПОJlИровКИ металла или получения металлических зеркал путем
испарения в вакууме
Ha них возникают оксидные IiJIеши. Имеют
место также явления адсорбции rаза на зеркальных поверхностях.
Образующиеся пленки изменяют характер поляризации отраженноrо
света. Исследование этих изменеНИЙ по cpaBHeнmo с чистой метал-
лической поверхностью позволяет вычислить ТО Jl1I'(JfНy возникшей
плевки. Это весьма существенно для изучения процессов, связанных с
образованием защитных пленок на металлах, предохраняющих их
от корро'зии (пассивация металла), а также для изучения кинетики
этих процессов.
Следует также указать на большое практическое применение
фотоэффекта и термоэлектрониой эмиссии в современной электро-
нике (радиолшmы, фотоэлементыI и т. д.).
Особое значение RМeeT оптика ферромarнитных материалов:
MeT8JlJI0B, сплавов и полупроводников. Изучение ферромаrвитных
материалов, выдляющихсяя в особую rpуппу в силу некоторых своих-
особенных физических свойств, имеет весьма важное теоретическое
и праICТИЧеское значение для Д3JIЬнейшеrо развития современной
электроники, радиотехники, автоматики, телемеханики. Например, .
учение о маmетооптических явл ениях в ферромarнетиках, имеющее
почти столетнюю историю, J.tИlllh в последние rоды нашло широкое
прахтическое применение в связи с использованием этих явлеНИЙ,
в частвости, эффекта Фарадея, в радиотехнике сантиметровых волн,
а также при изучении доменной структуры феррома r.нитных веществ.
эти примеры показьmают, что дальнейшее еще более rлубокое изу-
чевие оптических свойств металлов и их сплавов и, в частности, ферро-
мarнетиков совершенно необходимо.
Изучение О lllич еских свойств дает возможность получать цен-
вые сведения о внутреннем состо янии металла. Например, наиболее
ПОJlВЫе сведения о структуре Bcero энерrетическоrо электровиоrо




ВВЕДЕНИЕ


9-


спектра и, в осо бенности, полосы проводимости MOryT дать оптиче..
ские измерения в широком интервале частот.
Исследование оптических свойств металлов в принципе позволяет
определить такие важные для электронной теории металлов величины

как эффективное число электронов проводимости в е диниц е объема,
скорость электронов на поверхности Ферми, форму этой поверх--
ности, работу выхода, вероятности перехода электронов между
стационарными состояниями и т. п.
Оптика металлов
равнительно молодая ветвь оптики. Первые
работы появились в середине прошлоrо столетия. К этому времени
относятся измерения ж. Жамена [1] элементов эллиптической поляри-
зации света, отраженноrо от металлических зеркал. Одновременно
появляются работы Мак-Келлоrа [2] и Коши [3], которые ввели ком-
плексный показатель прело мления металлов. Коши [4] опубликовал
свои формулыI для вычисления оптических констант металлов по
элементам эллиптической поляризации отраженноrо света. Бир [51
вычисляет оптические константы для серебра, меди и железа по фор-
мулам Коши и по измерениям Жамена. К числу первых работ по
оптике металлов нужно также отвести работы Кундта [6], nОСВDЦеи..
вые непосредственному определению показателя преломления метал-
лов по отклонению призмой. В это же время Верв:ике [7] пvоизводит не-
посредственные измерения поrлощения света в тонких слоях металлов.
Расцвет классической оптики металлов наступает в связи с работа-
ми Кеттелера [8], Фохта [9] и Друде [10]. Кеттелер в ряде работ иссле..
дует распространение света в металле, опираясь на теорию упрyrоrо
эфира. Подробное изложение всех ero вьшодов имеется в изданной им
в 1885 r. моноrрафии «Теоретическая оптика). Электромarнитная тео..
рия света подтверждает в основном все выводы теории Кеттелера.
Фохт и Друде выполнили ряд теоретических работ, касающихся
отражения света от металлических поверхностей, прохождения света
сквозь тонкие пленки металла и металлические призмы. Друде раз-
вил изящную теорию металлическоrо отражения и дал удобные
формуJПd для вычисления оптических констант металлов. Он также
провел измерения оптических констант металлов в' видимой части
спектра. ФОХТ предложил метод определения оптических констант
в ультрафиолетовой области спектра.
В настоящее время имеется довольно большой эксперимевтальFIЬШ
материал по определению оптических констант, коэффициентов o'I'pa-
жения и поrлощения металлов. Из наиболее ранних работ отметим ра-
боты Майнора [11], Мейера [12], XareHa и Рубенса [13], Пфесторфа [14]

Ферстерлинrа и Фредерикса [15] и дрyrиx исследователей. Однако
следует иметь в виду, что экспериментальные дaнвы,, полученные во
мноrиx прежних работах, не MOryт считаться надежными и точными

во..первых, из-за несовершенства использованных металлических
поверхностей, во-вторых, из..за неучета влияния аномальной природы
скин..эффекта на оптические характеристики металлов [16]. Сами же по




10


ВВЕДЕНИЕ


-оебе предложенные в то время методы измерения заслуживают caмoro
серьезноrо внимания.
В последние rоды особенное внимание было уделено исследо"
ваниям в невидимых областях спектра (инфракрасная и ультрафио-
летовая области спектра), и полученныIe результаты имеют большое
значение для раскрытия детальной картиныI электронноrо спектра
в металле.
Развитие основных представлений об оптических свойствах веще-
ствапо классической электронной теории связано с именами Лорентца
[17], Друде [10], Зинера [18], Крониrа [19] и др. Друде и Зинеру принад-
лежит заслуrа разработки теории оптических свойств металлов на
основе модели свободных электронов.
f
 Квантовая теория оптических явлеНИЙ в металлах развивалась
Крониrом [20], Фуджиокой [21], Фрёлихом [22], Вильсоном [23],
Моттом и Джонсом [24], Бете [25], Муто [26], cepreeBым и Чернихов-
ским [27] и др. Первым четыIемM из перечисленвых авторов принадле-
жит заслyrа вывода дисперсионных формул квантовой оптики метал-
лов и их толкования в рамках зонной одноэлектронной теории. Они
установили, что в инфракрасной области спектра поrлощение света
металлами происходит преимущественно за счет ускорения электронов
электромarнитным полем световой волныI, тоrда как в видимой и
ультрафиолетовой части спектра основную роль иrрают квантовые пе-
реходы (первичное квантовое поrлощение). Мотт и Джонс установили
теоретические значения длин волн, при которых начинается квантовое
поrлощение в металлах. Бете и Муто для объяснения поrлощения
света металлами в промежуточной области спектра (начиная с кра-
CHoro света) ввели вторичное квантовое поrлощение, за:кточающееся
в поrлощении фотона с oднoBpeMeHным поrлощением или испуска-
нием одноrо кванта колебаНИЙ решетки (фонона). CepreeB и Черни-
ховсКИЙ провели расчет. оптических констант щелочных металлов в
приближении почти свободных электронов. Шубин [28] применил
метод дираковской матрицы плотности к теории металлов. CepreeB
[29] использовал ero для описания оптических свойств металлов в
рамках одноэлектронноrо приближения. Общие дисперсионныIe фор..
мулыI квантовой оптики металлов в мноrоэлектронной теории были
получены в ряде работ [30].
Последнее десятилетие в области физики твердоrо тела ознамено-
валось открьпием аномальноrо с:юm-эффекта в металлах. Это откры-
тие произвело переворот в наших представлениях о физических свой-
ствах металлов, и в частности оптических, при низких температурах.
.Действительно, до открытия аномалъноrо скин-эффекта в металлах
предполаrалось вьmолняющимся уравнение проводимости при любых
температурах. Точнее rоворя, всеrда использовалось феноменолоm-
'ческое выражение для плотности тока


.
j
 (j Е + а Е.




ВВЕДЕНИЕ


11


Коrда мы переходим к области температур и частот, rде наступает
аномалънъlЙ скин..эффект, ситуация резко изменяется. Дело в том,
что при низких температурах, коrда средняя длина свободноrо про-
беrа электрона сравнима с rлубиной проникновения поля в металл,
электрон за время одноrо свободноrо пробеrа будет двиrаться через
области с разной напряженностью поля, и добавочная скорость,
которую он получит, будет зависеть от напряженности поля вдоль
Bcero пути ero движения. Это означает, что выражение для плотности
.
тока j == (F Е + а Е ДОЛЖНО быть заменено более общим соотноше..
нием: j == ,("., Е).
Выражение для плотности тока в общем случае имеет вид опре..
деленноrо интеrрала, учитыIающеrоo значения электрическоrо поля
во всех точках металла, и поэтому уравнения Максвелла совместно с
этим общим соотношением для плотности тока приводят к интеrpо-
дифференциальному уравнению, на решении KOToporo и основьmается
интерпретация аномалъноrо скин..эффекта.


резулътатыI решения показъmают, что электрическое поле опре..
деляется сложным выражением и не имеет экспоневциалъноrо вида,
который предсказьmается классической теорией. Так как распростра..
няющиеся волныI не являются более экспоненциалъвыми, то класси..
ческое представление о комплексном показателе преломления теряет
свой физичесКИЙ смыIл.. Однако все измеряемыIe оптические величины
MorYT быть выражевыI через поверхноствъ1Й импеданс z.
Напротив, коrда длина свободноrо пробеrа электрона значи-
тельно меньше rлуБиныI скин"слоя, остается в силе теория опти-
ческих свойств металлов, основанная на явлении нормалъноrо
скин..эффекта.
Открытие аномалъноrо скин..эффекта принадлежит Пиппарду [31].
Теорию аномальноrо скин..эффекта предложили Рейтер и Зондrеймер
[32]. Динrлъ [33] развил ее и применил к объяснению оптических
свойств металлов. Теорию также развивали Холъштейн [34], rордон
[35], rинзбурr [36], Азбелъ и KaraHoB [37], Силин [38], rуржи [39] и др.
Здесь необходимо отметить весьма важныIe экспериментальвыIe работы
Вейсса [40], Раманатана [41], Чамберса [42], Бионди [43] и др. Теорию
аномалъноrо скин..эффекта в анизотропных металлах развили Пии..
пард [44] и Зондrеймер [45]. ,


В первой части моноrрафии излаrаются основы современной
оптики металлов в узком смысле слова. Здесь вьmодятся формуJIЫ
классической и квантовой оптики металлов, основьmающихся на
классическом понятии плотности тока, и в последней, восьмой rлаве
вводятся основвыIe понятия оптики металлов в условиях aHoMaцъHoro
скин..эффекта.
Нам кажется, что такая последовательность в изложении вопроса
об оптических свойствах металлов обоснована не только с истори..
ческой, но и с методической точек зрения.




12


ВВЕДЕНИЕ


к: моменту расцвета классической оптики металлов относятся
также основные работы по классической теории маmетооптичесICИX
явлений. Наиболее важвыми из них являются эффект Фарадея, эффект
3еемана и явление Коттона ..... Мутона. Маrнетооптические эффеrrы
являются цeHвым средством исследования механизма излучения и
поrлощения света, а также тесно связанных с ним проблем строения
атомов, молекул и кристаллов.
Что касается классической теории маmетооптических явлеНИЙ в
ферромаrнитвых веществах, то здесь нужно отметить работы Керра
[130], rолъдrаммера [131], Друде [132], Фохта [133], Дю-Буа [134]

Хирmа [135], Инrерсолла [136], Лориа [137], Баркера [138], Мартина
[139], Клитцинrа [140] и др. Современная форма классической теории
маrнетооптических явлеНИЙ в ферромаrнетиках бъша установлена в
работах [141].
Влияние тонких пленок на маrнетооптический эффект Керра
детально исследовал Носков [142]. Теория этоrо явления в случае
циэлектрических пленок была предложена Фреmcелем [143]. Более
общая теория зависимости маrнетооптическоrо эффекта Керра от
тоJIщиныI и оптических констант тонких пленок была построена
HocKoBым и Соколовым [144].
Эта теория заслуживает внимания в силу Toro, что за последние
rодыI как эффект Керра, так и эффект Фарадея нашли применение для
изучения доменной структуры ферромаrнитвых веществ [145]. Из
теории [144] следует, что величину эффекта Керра и контрастность
наблюдаемой картины доменной структуры можно значительно
увеличить путем напыления на ферромаrвитное зеркало непоrлощаю-
щих тонких пленок диэлектриков.
Квантовомеханическая теория маrнетооптических явлеНИЙ в пара-
маrнитных и ферром arНИlНbIX веществах развивалась в работах
Борна и Иордана [146], Опеховскоrо [147], Хэлма [148], BOHcoBcKoro
и Соколова [149] и Арrиреса [150]. Теория парамаrвитноrо вращения
плоскости поляризации развивалась в работах Дорфмана [151] и
Фреmcеля [152] еще до создания волновой механики. В этих работах
бьши заложевыI основы современной физической теории явления.
Борн и Иордан дали квантовую теорию эффекта Фарадея в парамаr-
ниlных И диамаr НИl'.EIЫX веществах. ОпеховсКИЙ разработал общую
квантовомеханическую теорию маrнетооnтических явлеНИЙ в пара-
м arНИl'НbIX средах при наличии электромarнитвых полей двух суще...
ственно различвых по величине частот и в присутствии постоявноrо
маrнитноrо поля. Хэлм развил теорию явления Фарадея в ферромar-
НИТНbIX диэлектриках, основываясь на теории спиновых волн и считая
oTBeTcтвeнным за эффект спин-орбитальное взаимодействие.
Используя модель взаимодействующих внешних и внутренних
электронов ферромarнетика, а также учитывая влияние спин-орби-
талъноrо взаимодействия на поrлощение света, ВонсовсКИЙ и Соколов
разработали квантовую теорию, охватьmающую всю COBO:кyIIHOCТЬ




ВВЕДЕНИЕ


13


маrнетооптических явлений в ферромаrнетиках. Apmpec предложил
квантовую теорию мarнетооптических явлеНИЙ в ферромаmет:иках,
опирающуюся на зонную теорию металлов.
Открьпие фотоэлектрическоrо эффекта принадлежит r. rерцу
[197]. Среди последующих экспериментальных исследоваНИЙ этоrо
явления в первую очередь следует упомянуть работы А. r. Столетова
[198], в которых впервые бьти вскрыты основныIe законыI фототока,
а также работы rалъвакса [199]. Ленард [200] и Томсон [201] доказали,
что при освещении металлов из них испускаются электровыI, откры"
тые ранее в опытах с катодными лучами в разрядных трубках. Важ..
ную роль в экспериментальном изучении фотоэффекта сыrpали
весьма тонкие по эксперименту работы Иоффе [202], Лукирскоrо
и Прилежаева [203]. ЭЙНШТейну [204] первому удалось дать теорети..
ческое объяснение законов фотоэффекта, применив для этой цели
планковские представления о квантах света.
Далънейшиее развитие квантовой теории фотоэлектрическоrо эф..
фекта в металлах связано сlименами Фаулера [205], Вентцеля [206],
Фрёлиха [207], Тамма и Шубина [208], Митчелла [209], Макинсона
[210], Хилла [211] и др. Началом последовательной квантовомехани..
ческой теории внешнеrо фотоэффекта в металлах и в кристаллах
следует признать работу Тамма и Шубина. Теория фотоэффекта
в упорядочивающихся сплавах и в ферромаrнитных металлах была
развита в ряде работ [212]. Общие основы мноrоэлектронной теории
фотоэффекта в кристаллах были сформулированы в работе Векслера
и Соколова [213]. Здесь бьша предложена новая мноrоэлектронная
трактовка соотношения Эйнштейна, в которой передача энерrии
кванта света не индивидуализируется, а относится ко всей системе
электронов, изменяющей свое состояние в процессах поrлощения
и испускания кванта света. В результате этоrо работа выхода стано..
вится функцией частоты света.




ЧАСТЬ 1
ОПТИКА МЕТАЛЛОВ


rЛАВА 1


МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСI<ИХ
СВОЙСТВ эJшктроIпIых ПРОВОДНИКОВ



 1. Основные положения электромаmитной теории света.
Электромarвитные волны в однородном изотропном
диэлектрике
В последующем изложении предполаrается, что читатель уже
знаком с осно вами теории электромаrнитноrо поля; поэтому рас..
смотрим Лишь основные сведения из электромаrнитной теории
света.
В основу феноменолоrической теории электромаrнитных волн
кладутся дифференциалъвыIe уравнения поля для покоящихся тел.
Как известно, электромаrнитная волна в вакууме характери..
зуется значениями векторов напряженности электрическоrо поля Е
И м аrНИIн оrо поля Н. В веществе электромаrнитное поле световой
волныI характеризуется векторами электрической и маrнитной ИНДУК-
ции D И В, а также Е и Н, плотностью электрических зарЯДОВ.е и,
в случае проводников, плотностью тока проводимости j.
Полная система уравнеНИЙ Максвелла имеет вид


1 ЭВ
rot Е ==



с Bt'
div В == О,


4п . 1 ЭD. I
rot Н ==
 J +


с с Bt '
div D
 4'Ле.


(1.1)


к ocHoBвым уравнениям электромаrнитноrо поля необходимо прiсо--
единиТЬ соотношения, связьmающие между собой значения основных
векторов электромаrнитноrо поля:


D == е Е, В == JL н, j == о- Е,


(1.2)


rде е
 диэлектрическаЯ,JL
 маrнитная проницаемость иО-......... уделъ--
ная электропроводность вещества. Кроме Toro, при решении урав..
неНИЙ (1.1) нужно е ще во спользоваться соответствующими rранич..
ными условиями. ве Jlи.'1иныI e,JL ИО-, характеризующие свойства среды,




16


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПРОВОДНИКОВ


[rл. 1


СЧИТnIОТСЯ при этом заданными ФУНКЦИЯМИ ТОЧICИ, от времени не
Зt\висящими. В общем случае анизотропноrо телае,р., ио- анизотропны
и SlВЛЯIОТСЯ тензорныи величинами.
Для лучшеrо понимания процессов взаимодействия с вета с метал-
лами, рассмотрим сначала распространение электрома r-ниIных BOJIВ
в ОДIIОрОДНОМ изотропном диэлектрике, в котором нет свободных
зарядов. Так как в этом случае е и р., постоянные, о- == О и е == О,
то уравнения
аксвелла будут


р. ан
rot Е ==



с at '


(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)


d.iv Н == О,
е аЕ
rot Н == с б! '
div Е == о.


Этой системой уравнеНИЙ и определяется распространение электро"
маrнитвых волн в диэлектрике. В уравнениях (1.3)
1.6) уже учтены
условия (1.2). Из этих уравнеНИЙ можно исключить Е или н. Для
исключения Е применим операцию rot к (1.5) и заменим rotE по (1.3).
Тоrда получим


е 8 ер. 6 2 Н
rot rot Н ==

 rot Е ==


 .
с т
 W 2


Воспользовавшись формулой rot rot Н == grad ,div н
 ДН И использо-
вав (1.4), окончательно получим


ер. а 2 Н
с2 at 2 == ДН.
Аналоrичным образом получаем уравнение для Е:
ер. а 2 Е
е 2 fJt 2 == ДЕ.


(1.7)


(1.8)


Уравнения (1.7) и (1.8) называются ВОJ!Новыми уравнениями. Оба
вектора удовлетворяют одному и тому же диФФереlЩИалъному урав-
нению.
Будем искать теперь такие частные решения уравнеНИЙ поля,
которые соответствуют серии llJIОСКИХ однородных волн.
Серия волн называется плоской, если в поле можно провести
ряд параллельных плоскостей таким образом, что вдоль каждой
такой плоскости Е и Н не меняются ни по величине, ни по направ"
лению. Эти плоскости назьmаются плоскостями волн (плоскости
равных. фаз), а направление, перпендикулярное к ним, назьmается
нормалью волны. Направим ось х вдоль нормали волны, так что
плоскости волн становятся при этом параллелъными плоскости





 1]


ЭЛЕКТРОМАrRИТНАЯ 1ЕОРИЯ СВЕТА


17


1I0Z. Так как вдоль плоскостей волн Е и Н должныI бьпь постоянными,
то частные производныIe по у и z обращаются в нуль. Соrласно (1.3)
и (1.4), а также (1.5) и (1.6) продольные составляющиеЕхи Нхпостоян"
ны как во времени, так и в пространстве. В силу постоянства Ех
и Н х можно rоворить о статическом поле, накладьmающемся на вол..
новое поле. Но такое статическое поле не оказьmает никакоrо влия"
ния на распространение волн и не представляет здесь никакоrо инте..
реса. Поэтому полаrаем Н х == Ех == о. Четыре оставшихся уравне..
ния (1.3) и (1.5), которые еще нужно удовлетворить, связьmают
составляющие дрyr с дрyrом попарно: с одной стороныI, Еу И Н Z'
с дрyrой
 Ez иНу. Будем поэтому обе пары рассматривать отдельно.
М u е.
 QH z Jk.
 д Е у
сключая Еу или Hz из уравнении сЕу

 дх '
 c Hz
 ax
 ,
находим


(j 2 H z
 eJL (j 2 H z
 1 д 2 Н ,
дх 2
 е 2

 р 2 at2" '


В2Еу
 1 В2Еу
Вх 2
 р 2 8t2 '


(1,9)


с
rде v == Y
 . ОНИ следуют непосредственно из 06щих волновых
eJL
уравнеНИЙ поля (1.7), (1.8), если, в соrласии с предположением, что
волны
 однородныIe и плоские, зачеркнуть производные по у и z.
Любое из уравнеНИЙ (1.9) решается подстановкой Еу == 1 (х + at) ==
== l(и).
Тоrда второе уравнение (1.9) принимает вид
В2Еу а 2 д 2Е у






o
ди 2 р 2 Эи 2 ·


Отсюда получаем
a 1 ==
 Р,
 == + Р, I аl == I Р! == У:р. ·
Таким образом, решение получаем в виде
Еу == Е У1 + Еу, == t1(x ...... vt) + ' 2 (Х +. vt).


(1.10а)


Аналоrичное решение получается для Hz:
Hz === ЧJl(Х
 vt) + ЧJ2(Х + vt). (1.106)
Выясним физический смыIлл решеНИЙ t и ЧJ.
Пусть для простоты 12 == о, так что Еу == '1(X
 vt). В каждой
плоскости Х == const поле меняется со временем; в каждый момент
поле различно для развых Х. Очевидно, что поле имеет одинаковое
значение для координат Х и моментов времени t, удовлетворяющих
соотношению: Х
 vt == const == а. Будем называть эту величину
фазой волныI. Из соотношения а == Х
 vt видно, что фаза а будет


2 А. в. Соколов




J8


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ проводников


[rл. 1


с течснисм времени перемещаться в пространстве со скоростью
V, ибо


dx da
dt
 v == dt == о.
Таким образом, скорость электромаrнитной волныI (то есть
скорость перемещения фазы) действительно равна
с
v == УеlL · (1.11)
Следовательно, f1(x
 vt) представляет собой плоскую волну, беrу..
щую в положительном направлении оси Х, тоrда как ' 2 ( х + vt)
 волну

беrущую в противоположном, отрицательном направлении оси х.
Для вакуума в == J.L == 1 получаем v == С, то есть скорость электро"
маrнитной волны в пустоте определяется универсальной постоян..
ной с, значение которой, найденное путем сравнения электростати"
ческих и электромаrнитных единиц, равно с == 3 · 1010 см/сек. Это
число совпадает со скоростью света в пустоте. В вакууме скорость
плоских электромаrнитвых волн равна скорости света с. Световым
и электромаrнитным волнам присуща не только общая скорость.
Электромаrнитные волны, так же как и cBeToBJ?Ie, суть волныI попереч..
ные. В самом деле, мы нашли, что ни Е, ни Н не Moryт иметь периоди..
чески изменяющейся продольной составляющей. Оба вектора пер..
пендmcулярны к нормали волныI. Поэтому в вакууме электромаr..
нитныIe и световые волны обнаруживают совершенно аналоrичное
поведение. Именно эти следствия из уравнений и привели Максвелла
к созданию электромаrнитной теории света.
Старая теория света, исходящая из упрyrих свойств эфира, при..
водила к тому, что световые волныI должныI обладать продольной
составляющей. Однако такие опытныIe факты, как, например, поляри..
зация света, rоворят о том, что световые волны поперечныI. Электро"
маrнитная теория света.превосходит старую механическую теориrno
тем, что позволяет вьrqислить значение скорости распространения
из чисто электрических измерений, и тем, что с caMoro начала до..
пускает только поперечные плоские волныI света.
Если свет действительно представляет собой электромаrнит"
ный процесс, то все оптические свойства материи должныI полностью
определяться ее электрическими постоянным.. Действительно, как
мы увидим, из теории Максвелла следует, что оптический показа..
тель преломления определяется диэлектрической проницаемостью,
а поrлощательная способность
 электропроводностью.
Эти количественные предсказания теории соrласуются с ОПЫТ01v.l
только при достаточно длинных волнах (инфракрасная область
спектра). Область же видимоrо и ультрафиолетовоrо CBe'f.a требует
детальноrо . микроскопическоrо рассмотрения, которое может быть
адэкватным действительности только на основе квантовой теории
света. В этом случае в ир.,; а следовательно, и оптические характерис-




ЭЛЕКТРОМАПIИТНАЯ ТЕОРИЯ СВЕТА


19


ТИКИ являются фуmщиями частоты и внутренней структуры мате-
риала.
Показатель преломления диэлектрика в общем случае равен
п ==
 == Уер,. (1.12)
v


В частности, для случая, коrда IL == 1, получается так называемое
соотношение
аксвелла


п 2 == е.


(1.13)


у изоляторов диэлектрическая проницаемость Должна, соrласно
электромаrнитной теории света, равняться квадрату оптическоrо
показателя преломления.
Для некоторых диэлектриков, преимущественно rазообразныIx
(воздух, водород, кислород, азот, yrлекислый rаз), соотношение
(1.13) вьmолняется достаточно хорошо даже в ВИДИМОЙ области
спектра. Однако для мноrиx веществ эта формула совсем не соот-
ветствует результатам измереНИЙ (для водыI, например, п == 1,3З

тоrда как е == 81). Впрочем уже самый факт существования дисперсии
света, то есть зависимости показателя преломления от длиныI волныI, .
показьmает недостаточность ЭТОЙ формулы, соrласно которой п
должен бьш бы иметь постоянное значение для всех электромаrнит"
ных волн. Противоречие это, однако, весьма просто разрешается
с точки зрения электронной теории
роскопическоrо поля.
Таким образом, теория
аксвелла рассматривает распростра-
нение электромаrнитных волн в пустоте и в телах, не давая объя-
снения величинам е, р, и (F. Для пустоты теория оправдьmается пол-
ностью. При ДJШНах волн, значительно превыающих размеры
атома, теория удовлетворительна и в количественном отношении..
ДЛЯ ВИДИМОЙ и ультрафиолетовой области спектра теорию следует
дополнить микроскопическими соображениями.
Как мы видели, в прозрачном изотропном диэлектрике MoryT
!
распространяться в противоположных направлениях две волны с фа..
зами, соответственно равными (x::t vt). Приведем фазу к такому
виду, чтобы в ее выражении появился показатель преломления. Так
как


v == лv,
то фазу волны можно представить в виде
(х + vt)
 2
 ( 2; х + 2:nvt) .
Введем вектор распространения или волновой вектор
2п
q == т В,


(1.14>


( 1.15)


(1.16)


2п
rде т ero модуль, s
 единичный вектор, направленный вдоль' рас"


2*




20


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойcrв ПРОВОДНИКОВ


(rл. 1


пространения волныI. Будем считать, что функции f и ЧJ в (1.10а) и
(1.106) четные, а поэтому мы можем поменять знак у фазы. В общем
случае для векторов электрическоrо и мarнитноrо поля световой
волны получаем выражения (вводя циклическую частоту (j) == 2'Лv):
Е == Ео ехр i(rot =F q
); н == Но ехр i(rot =F q
). (1.17)
Формулу (1.14) можно также записать в следующем виде:


ti>
q == v ' (1.18)
откуда, соrласно (1.11), (1.12) и (1.16), получаем
ti> y
 ti>п
q == с 8 == С 8.


( 1.19)


Здесь l1' обычнъlЙ показателъ преломления.' На основании (1.19) выp


жения (1.17) для напряженностей поля в световой волне прини..
мают вид


· ( t ti>п ) .
Е == Ео ехр 1 ro
 с 8 ". == Ео ехр lT,


(1.20)


н == НО ехр iT,


(1.21 )


( ti>п ) .
rде т == rot
 с8 '1' . После подстановки величин Е и Н из (1.20)
в уравнеция Максвелла получаем


(8 Е) == о, (8 н) == о, (Е н) == о.


( 1.22)


Эти уравнения выражают поперечностlS световой волныI и взаимную
перпендикулярность Е и Н.
ПЛоско поляризованная волна характеризуется определенным
напр
ением колебаНИЙ векторов Е и Н. Ilлоскостыо поляризации
световой волны считают плоскость, в которой колеблется маrнитный
вектор, ИЛИ, что ТО же самое, ПЛОСКОСТЬ, перпендикулярную к плос..
кости колебаНИЙ вектора напряженности электрическоrо поля в све..
товой волне.
Если отдельные составляющие волныI (1.20) характеризуются
различными значениями фазы, то волна, в общем случае, является
ЭЛJIИПтичесlCИ поляризованной.
Пусть волна распространяется в z направлении, то есть S == Sz.
Тоrда ОТJIИЧНЫМ от нуля будут лиmъ х.. и у"составляющие Е:
Ех == a 1 сов (т + oJ, !
Еу ==
 cos (т + 02),
Ez == о. '


(1.23)





 1]


элвктРоМAПlИТНАЯ ТЕория СВЕТА


21


Исключая т, находим
( Ех ) 2 + ( Еу ) 2 2 ЕхЕу

 . 2




 cos и
 sm и,
а 1 а 2 а 1 а 2


(1.24)


rде о == 02
 01. Это
 уравнение эллипса. Если о == 1'Л (1 == О, :f: 1,
::1::2 . . .), имеем линейную поляризацию, так как (1.24) принимает
вид


( Е х
 Е у ) 2 == О,
а 1 а 2


(1.25)


или


Еу == а 2 Ех.
й 1


При a 1 ==
 == а и о == т 1t (т == ::l: 1, ::l:3, ..., (2r ---- 1), получаем
2
крyrовую поляризацию, так как тоrда имеем


щ + E
 == а 2 .


(1.26)


Если д == 21'Л + ; , то есть
Ех == а cos (т + oJ,
Еу ==
 а sin (т + oJ,
то волна ........... правая (у-составляЮщая опережает ж-составляющую
1t
на четверть периода), а коrда о == 2Ьr
 2' то есть
Ех == а cos (т + oJ,
Еу == а sin (т + oJ,
то волна ......... левая. Если смотреть по направлению распространения
волныI, то в правой волне электричесКИЙ вектор обходит окружность
против часовой стрелки, а в левой ........... по часовой стрелке. Так как
rармоническая векторная волна всеrда может бьпь задана в виде


Е == А ехр i т, т == (j) ( t
 "v В ) ,
rде Aj == а} ехр i о} (j === 1, 2, 3), то


!t'l1 t AJ



( 1.27)


Еу == а 2 ехр i о,
Ех йl


(1.28)


rде о == 02
 01. Для линейно поляризованноrо света (о == lп) отно-
шение составляющих получается действительным:


Е у == (
1)' й2 .
Ех йl


(1.29)




22


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойcrв ПРОВОДНИКОВ


(rл. 1 .


Для npaBoKpyroBoro (левовращателъноrо) света (а 1 ==
 == а, д == ; ) :


Еу . n .

==ex p Z
==l
Ех 2'


(1.30а)


для левокруrовоrо света (а 1 ==
 == а,


о ==
 n ) .
2 ·


Еу ( . N ) .
Е х == ехр
 Z"2 ==
 Z.


(l.30б)


Если волна поляризована эллиптически (о
 любое, Ql =/= aJ, то


Еу == а 2 ехр i о == А + iB.
Ех а 1


(1.31)


в общем случае, колебания электричес:коrо вектора имеют форму
эллипса, вписанноrо в прямоyrольник, со сторонами 2Йl и 2а 2 , парал..
лельными координатным осям [46]. Вообще, rлавные оси эллипса
не параллельныI координатным осям. Если ввести координатную
систему " 7], совпадающую с
rлавными осями эллипса, то име-
ют место соотношения


у




с::,
C\J


2а,


Рис. 1. Эллиптически поляризованныIй
свет. Эллипс колебаний для Е.


E
 == Ех COS: + Еу Bin 11', I
E1'J ==
 Ех ВIП 1р + Еу сов 1р,

(1.32)


х rде 1р
 уrол между осью g и
старой осью х (см. рис. 1). В новой
системе координат эллипс пред-
ставляется ypaBHe



Е;; == а сов ( . Т + 00)' !
(1.33)
Etj == ::l: Ь SlП (Т + 00)' ,


,
rде й и Ь ...... полуоси эллипса, а двойной знак введен для Toro, чтобы
отличить два возможных направления вращения.
Используя (1.32), (1.33) и (1.23), после простых преобразований
приходим к следующим выводам. Если даныI амплитуды a 1 и й2 и
разность фаз о, а следовательно, также уrол а через соотношение


а 2
tga ==
 ,
а 1


(1.34)





 2]


ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ОПТИКИ МЕТАЛЛОВ


23


то полуоси эллипса а и Ь и уrол tp большой оси а с осью х находятся
с помощью формул
а 2 + Ь2 == ai + a
, !
tg 21р == tg 2а cos о,
sin 2iJ == :f: sin 2а sin о,


(1.35)


причем с помощью вспомоrателъноrо yrла v определяется отно-
шение осей


ь
tgv==
.
а


( 1.36)


Если, наоборот, задан эллипс колебаний, то есть а, Ь и 1р, то можно
найти амплитудыI ВОЛНЫ a 1 и
 и разность из фаз о.



 2. Основные уравнеНИJI классической ollТllКll металлов
Распространение электромarнитных волн в однородной и изо-
тропной среде, обладающей металлической проводимостью, можно
рассматривать на основе классической электродинамики.
Так как теперь u * о, то уравнения поля имеют вид
е аЕ 4п
rot Н == с дt + си Е, . (2.1)
f.L аН
rot Е ==
 с ot '


div Н == о,
div Е == о.


(2.2)
(2.3)
(2.4)


Последнее уравнение выражает отсутствие внутри однородноrо про-
водника свободноrо электричества. Чтобы убедиться в этом, при-
меним к уравнению (2.1) операцию div. Тоrда получим
в д d . + 4п d . О
с at lV Е с cr lV Е == ·
Подставляя сюда div Е == 4n'e, найдем
i + 4: lТ е == о. Интеrрирrя
t е
это уравнение, получим е == ео ехр
 С ' rде v == 4пи . Таким образом,
плотность заряда убывает по экспонеНДИальному закону с «временем
рела
сации» v. Это есть то время, по истечении KOToporo плотность
заряда уменьшается в е раз. Оно указывает также порядок величиныI
Toro промежутка времени, который необходим, чтобы установилось
электростатическое равновесие. Если в некоторый момент времени
поле внутри проводника (а значит, и плотность заряда) равна нулю,
то она будет оставаться равной нулю все время, и поэтому div Е == о.
Из полученноrо таким образом уравнения div Е == О мы заключаем




24


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойств ПРОВОДНИКОВ


[rл. [


теперь, так же как в
 1, что внутри однородноrо проводника MorYT
распространяться только поперечные плоские электромаrнитные
волны*).
Совокупность уравнений (2.1)
 (2.4) содержит всю оптику не..
прозрачных (проводящих) сред. Так же, как в
 1, совершенно анало--
rичным способом можно исключить из этих уравнений Е и Н и полу..
чить для обоих векторов одинаковые уравнения
ef.L д 1 Е + 41tlТf.L дЕ == ДЕ
с 2 ot 2 с 2 ot '
Bf.L д 2 Н + 41tlТf.L дН == Дll
с 2 ot 2 с 2 ot ·


(2.5)


п
 v
рисутствие члена с ot означает наличие затухания световои волны.
Для волны с циклической частотой G) уравнения (2.5) леrко привести
к волновым уравнениям обычноrо вида


В" д 2 Е
ДЕ == с2 ot2 ,


(2.6)


е" д 2 Н
ДН == с2 ot 2 ·


Однако в них вместо действительной диэлектрической постоянной
в появляется КОNПIЛексная величина
в" == (в
 i 4:и }р. == в' р..


(2.7)


Отсюда следует, что металлооптика формально совпадает с опти"
кой прозрачных тел, если величину в == п 2 заменить комплексной
величиной


в" == (п
 ik)2 == п 2 ,


(2.8)


rде n ........ rлавный показатель преломления, а k
 rлавный показатель
поrлощения.
Обратимся снова к уравнению (2.1). Если в нем заменить ди..
электрическую проницаемость выражением в == 1 + 4тr:a, rде а, в
общем случае, ........ тензор поляризации системыI, то (2.1) можно пред..
ставить в виде


. с 1дЕ дЕ
J == 41t rot Н == 4п ot + а ot +0- Е,


из KOToporo следует, что полная плотность тока состоит из плот..
ности «чистоrо» тока смещения (первый член), плотности тока поляри..


*) Из уравнений div Е == О, div Н == О при Е и Н, определяемых по (1.20) и
(1.21») леrко получить (Е · 8) == О и (Н. 8)==0, что И выражает поперечность электро",
маrнитной волны.





 2]


ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ОПТИКИ МЕТАЛЛОВ


25,


зации и плотности тока проводимости. Максвелл считал, что ТОК-
.
поляризации а Е отличается от тока проводимости тем, что послед-
ний вызывается движением свободных зарядов, как это имеет место
в проводниках, а ток поляризации
 блаrодаря связанным зарядам.
С микроскопической точки зрения мы не в состоянии леrко различить-
эти токи. Так как «чистый» ток смещения никаким движением электри..
ческих зарядов не сопровождается, то в дальнейшем под плотностью.
тока в среде будем понимать сумму плотности тока поляризации
и тока проводимости, то есть


j == а Ё + о- Е.


(2.9)


Если а и о- ......... вещественные величины, то фазы тока поляризации
1t
и тока проводимости отличаются на 2" (в чем леrко убедиться, заме..
· . ( i'Л ) П
тив, что Е == Z G) Е == G) Е · ехр 2". оэтому можно представить.
весь ток (2.9) или в форме тока поляризации, заменив а комплексной
поляризуемостью а', rде


, ia-
а ==a


с.> '


(2.10а)


или, напротив, в виде тока проводимости, заменив о- комплексной
проводимостью 0-':


, + .
о- == о- ZШа.


(2.10б)


Ток, определяемый соrласно дифференциальному закону Ома j ==о-Е,
rде о- вещественно, всеrда находится в фазе с электрическим полем,_
и поэтому ток постоянно расходует энерrию поля.
Леrко показать, что поrлощение электромаrнитных волн средой
пропорционалъно 0-. Коэффициент поrлощения 'r} определяется со..
1 oW
отношением 'f} ==
 --==- д' rде w
 средняя плотность электро",
w
x /

 oW


аrнитнои энерrии, а дх ........ уменьшение среднеи энерrии вследст-
вие поrлощения. Средняя плотность электромаrнитной энерmи в

 е' Е2 f.L H? е' Е 2
среде равна w == 8'Л + s;;-- ==
 (см. (4.9». Так как :Ч ==
== Еоехр [
 i : kX] cos ((i)t
 : пх) (ср. (2.22», то, подставляя это
выражение в формулу для коэффициента поrлощения 'f) и усредняя
по времени за период световой волны, находим
2c.>k 4'Л0"
'f}==
==
.
С сп


Отметим здесь, что ток поляризации отличается по фазе от Е на
900 и, следовательно, не расходует энерrию поля.




26


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойcrв проводников


[rл. 1


Будем рассматривать опять плоские однородные волны [47],
распространяющиеся вдоЛЬ направления оси х. Тем самым здесь
рассматриваются лишь составляющие Еу и Н z, которые, в оптическом
смысле, характерны для прямолинейно поляризованной волны и
притом поляризованной параллельно оси z. Тоrда для Ву имеет
место уравнение в частвых произво

Bf.L 02 Ву + ФЛU/-t аЕ у
 а 2 Еу
с 2 -дt2 7
 дt
 аж 2 ,


;


(2.11 )


которое называют «телеrрафным уравнением». Такому же урав..
нению должна удовлетворять составляющая Hz.
Для плоских волн, у которых направление нормали совпадает
с осью Х, из (2.1) и (2.2) получаем


в аЕ у + 4пи Е
 aHz
-; дt с у
........ аж '
f.L aHz
 аЕ у

cдt
 ах .
Ищем решение в виде плоской волныI
Еу == а ехр i ((i)t
 6)
X ), Н;! == Ь ехр i ((i)t
 6)
X) .


(2.12)


(2.13)


(2.14)


Подставляя (2.14) в (2.12), (2.13), приходим к следующим выражениям:
(iC1JB + 4
и) а == iC1Jnb,

(2.15)
/Lb == па.


Отсюда леrко получит
 следующие полезные соотношения:


2 . 4п(Т1I.
n ==B".
 z

.. с.>'


(2.16)


n
Ь ==
 а.
f.L
Первое из них эквивалентно двум уравнениям (2.7) и (2.8), кото..
рые бьши получены путем расширения соотношения Максвелла
и сопоставЛения волновых уравнеНИЙ для металла и диэлектрика.
Мы имеем, следовательно, комплекснъm показатель преломления
11, что указывает на поrлощение волны
, и комплексное отношение
амплитуд Ь/а, ЧТО означает сдвиr фазы маrнитноrо вектора по отно-
шению к фазе электрическоrо вектора. Из nepBoro уравнения (2.16)
после разделения вещественной и мнимой части находим
B/L == п 2
 k 2 , t
cr/L == nkv.



(2.17)




.
 2]


ОСНОВНЬШ УРАВНЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ОПТИКИ МЕТАЛЛОВ


27


показателей прелом..


Решая их, получаем выражения для rлавных
.ления и поrлощения
n2

 \ Ye2+4(
)2 +e
,
k2 ==

y е2 + 4 (:) 2
 e
 .


Если написать n в виде
n == у п 2 + k 2 ехр (
i'Y),


(2.18)


(2.19)


.то разность фаз "у маrвитноrо вектора по отношению к электри..
ческому *) определяется выражением
k
tg У === п ·


Воспользовавшись выражением n == п
 ik, а также (2.19)
решения (2.14) можно представить в следующем виде:
wkx
Еу == аехр i [(j)t
 : (п
 ik) х] == ae
 с ехр i ((j)t
 6J;ж J '
Hz == ; аехр i[(j)t
 : (п
 i k) х] ==
V п 2 + k 2 . . ( t с.>nж )

 f.L a
li' ехр l т
 7 ·
Переходя к вещественной форме, получаем
2nk I ( )


x с.>nж
Ву == ае А сов mt
 с '


2nk (
У п 2 + k 2

x с.>пх J
Hz == ае л cos mt


 'у .
f.L с


(2.20)
и (2.20),


(2.21)


(2.22)


IОтсюда видно, что rлавный показателъ поrлощения k характери-
зует затухание световой волны, так как при прохождении волной
расстояния л/2'Лk амплитуда затухает в е раз. Это расстояние может
поэтому также служить наrлядной мерой rлуБиныI ПРОНИICновеЙИя
волны в металл. Для металлов удельная электропроводность настолько
велика, что (j
 В. ЭТО условие вьmолняется тем лучше, чем больше
"
.длина световой волны. Напротив, при очень коротких волнах (близ..
хая инфракрасная, ультрафиолетовая и рентrеновская области спек..
.тра) оно становится совсем неверным.


k
*) Разность фаз определяется отношением
, то есть отношением мнимой
.и вещественной части n. п




28


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПРОВОДНИКОВ


[rл. 1


в области очень длинныIx волн (л "-J 100 f.L и более) выражения
(2.18) для п 2 и k 2 проводятся К виду
n == k == (
 )
, l' ==
 .
в таком случае для rлуБиныI проникновения волны имеем
'1 '1 ·
o


 I'v С С

 2nk
 у р.,и
 V J.LU == У 2п
ыи СМ.
2п
 2п"............
" "


(2.23)


Для меди (о- == 5,14. 1017 CGSE, f.L == 1) получаются следующие rлу..
бины проникновения:


'А


1 см


1 м


100 м


10 км


2пд


0,0024 мм


0,024 мм


0,24 мм


2,4 мм


Одновременно эти числа примерно указывают те толщины листовоrо
металла, которые неоБходимыI для экранирования соответствую..
щИХ БОЛН. ДЛЯ отношения электрической энерrии поля к маrнитной
(среднеrо по времени) из (2.22) и выражений (2.18) для п 2 и k 2 полу..
. чаем интересное соотношение



 H:
 п 2 + k'1.
 [ ( и J 2 ] 1/2





 1 + 4
 .
еЕ;
e е"
В диэлектрике (о- == О) энерmя поля состоит из 50% электрической
и 50% маrнитной. В .металле, напротив, в области ДЛИННЫХ волн,
u
rде справедливо соотношение

 е, почти вся энерrия исключительно
"
маrнитной пр ир о дыI.



 3. Отражение света от поверхности металла
(нормальное падение)


в отличие от прозрачноrо диэлектрика металл имеет комплек",
сный показателъ преломления. Это связано с тем, что в металле
имеет место затухание световой волны, которое в основном 06ус...
ловлено интенсивным излучением электронами вторичных (отражен..
ных) волн. В джоулево тепло переходит сравнительно малая доля
энерrии поля. Qб этом свидетельствует большая интенсивность
отраженной волны. Несмотря на то, что металлы в толстых СЛОЯХ
непрозрачны -для световых волн, они иrрают в оптике большую
роль именно блаrодаря своей способности интенсивно отражать
свет, свойству, которое тесно связано с поrлощательной способ..





 3]


ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА ОТ ПОВЕРХНОСТИ МЕТАЛЛА


29


ностью металлов. Поэтому, изучая отражаемыIй от металла свет,
мы можем в некотором смысле заrлядывтьь внутрь Hero и тем caмъlМ
получать сведения о механизме поrлощения в нем света.
Исследуем сначала отражение от металла для простейшеrо слу..
чая нормальноrо падения света. Пусть плоская волна падает нор..
мально на поверхность металла, которую примем за плоскость yoz


Е!/


801l!J!JM


Н.


Рис. 2. Расположение векторов электромаrнитной волны при
нормальном падении света на металл.


(рис. 2). При х < О п == 1 (вакуум), при х> О n == п
 ik (металл).
Попадая на поверхность металла, падающая волна распадается
на отраженную волну, распространяющуюся в вакууме по направ"
лению отрицательной оси х, и на волну, проникающую в металл
(по направлению положительной оси х) .Уравнения поля для ваку..
ума:и металла будут удовлетворяться выражениями:
падающая волна
.w;) == H
a) == а ехр i ((j)t
 7 ) ,


отраженная волна
ВУ) ==
 Hr) == а' ехр i ((j)t + 7)


в вакууме, х < О"


прошедmая волна в металл по (2.21)
E!,d) == а" ехр i ((j)t
 6J
X ) ,
H(d) " n . ( t с.>ПХ ]

 а
 ехр Z G) ......

z f.L с


,
в металле, х > о.


При переходе через rраницу раздела вакуум"мета.лл должны вьmол..
няться требуемыIe электродинамикой rpаничные условия, а именно:
танrенциаJIЬные составляющие Е и Н (в данном случае Ву и Н z) должны
оставаться непрерывыыии при переходе из одной средыI в дрyryю.




30


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойcrВ ПРОВОДНИКОВ


[rл. 1


чтОбы выПолНялиСЬ rраничные условия (для ж == О),.
а' И а" должны удовлетворять соотношениям:
, а "
непрерывностъ Ву: а
 а == ,
, "п
непрерьmность Н z: а + а == а f.L .
Решая эту систему уравнений и имея в ВИДУ, что амплитуда а задана,.
а а' и а" ...... искомыIe величинЫ, находим


для TOro
амплитУды а,


для прошедmей волны


, tt
f.L
а == а ,
n + f.L
а" == а 2f.L .
n + f.L


для отраженной волны


Интенсивность лучей пропорционалъна квадрату модуля er()
амплитудыI. Коэффициентом отражения (f2 металла. называют отнО'"
теине интенсивностей отраженной и падающей волн, то I есть

 I а' 12
 а' а'* ...... (п
 f.L) (п *
f.L)
т





I а I
 аа* (п + f.L) (п * + f.L) ,
или после подстановки n == п ...... ik получаем
(Q == (п
f.L)2 + k 2
(п + f.L)
 + k З ·


(3.1)


Зависимостью оптических постоянных от маrнитной проницае

мости, даже в ферромаrНИТIOtIХ телах, в спектральной области види..
Moro и улътрафиолетовоrо света Ц уже начиная с длинноволновых
инфракрасных лучей, можно полностью пренебречь, так как при
таких частотах электромаrнитноrо поля маrнитная проницаемость
не отличается от еди
цыI. Поэтому, полаrая IL == 1, получаем
(п
 1)
 + k 2
(f2 == (п + 1)2 + k 2 · (3.2)
Для прозрачноrо (непоrлощающеrо) диэлектрика можно поло..
жить k == О, тоrда коэффициент отражения принимает простейшую
форму


( п
 1 J 2
rR.== п+1 ·


(3.3)


(j
Как мы видели, в длинноволновой области спектра
 е и
"
n == k

 . Тоrда для коэффициента отражения rR. металла имеем


2 1
rQ==I

+з+...
п п


(3.4)


Далее, всеrда иМеет место общая формула (Q + А + D == 1, выража..
ющая просто закон сохранения энерmи: энерrия падающей свето..





 3]


ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА ОТ ПОВЕРХНОСТИ МВТАЛЛА


31


вой волныI распадается на энерmи отраженной rR., прошедmей D и
поrлощенной А части излучения. Так как для металлов D исчезающе
мало, то для отражательной способности находим
t:

rR. == 1 ...... А. (3.5)


На основании (3.4) и


(3.5) получаем хорошо известные формулы
( " ) 1/2
rR. == 1 ...... 2 и '
А == 2 ( ; ) 1/2,


(3.6)


причем обычно А
 rR..
Здесь существенно обратить внимание, что необратимо поrло...
щаемая металлом часть энерrии световых волн А "-I(F
1/2, то есть
А тем меньше, чем больше световая проводимостъ и, хотя коэф",
фициент поrлощения (точнее rоворя
 затухания) k, наоборот, растет
с УВ8личением и. Таким образом, то, что обычно именуется «поrло...
щением. света в металле и определяется коэффициентом k, на самом
деле есть затухание световых волн в металле вследствие скин..эффекта"
с отбрасыванием большей части потока энерrии обратно во внеш...
нюю среду в виде вторичных, отраженных волн. В толще металла
претерпевает превращение в джоулево тепло лишь малая часть энер'"
rии света, обратно пропорциональная квадратному корню из све..
ТОБОЙ проводимости. Это и есть истинное поrлощение. При полу'"
чении (3.6) в формуле (3.4) были учтены лишь два первых члена.
В более точном приближении для формулы (3.6) имеем
( " ) 1/2 ( " ) з /2
rR. == 1....2 и + и +...


(3.7}


Раньше считалось, что опьпы XareHa и Рубенса в далекой ин..
фракрасной области спектра (л == 25 р.,) находятся в хорошем соrла..
сии с формулой (3.6) для разных металлов при комнатной темпера..
туре и частотах до 3 · 1013 ceK
l. Однако в связи с теорией аномалъноrо,
скин..эффекта и некоторых недавно вьmолненных экспериментов.
( и ) 1/2
[48] по измерению п, k и rR. следует, что соотношение n == k
 v '
cTporo rоворя, справедливо лишь в области радиоволн, а такж
 в.
очень далекой инфракрасной части спектра (л "-1 100f.L и более)*).
В оптической области формула (3.6) неприrодна. Качественно

именно TaKoro результата нужно ожидать по электронной теории:


*) Недавние исследования Шульца [48] указъmают, что нужно вновь повто-
рить для всех металлов экспериментальные исследования пределов справедли-
вости соотношения Хarена
Рубенса. Например, из работы Шульца следует,
что для ртути и Жидкоrо rаллия оно хорошо въmолняется и в близкой инфра--
красной области спектра примерно в интервале от 1 до 10
.




32


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойств ПРОВОДНИКОВ


[rл. 1


в силу своей инерции электроны не MOryT теперь вполне следовать
за быстро изменяющимся полем, а поэтому электрический ток уже
не будет В каждый момент времени Достиrатъ величиныI а-Е. И на
самом деле эти отклонения таковы, как если бы при более коротких
волнах металл имел меньшую проводимость. Еще отчетливее это
действие инерции проявляется у электролитов (например, H 2 S0 4
в воде), которые в статических опытах обладают хорошей прово..
димостью, но, несмотря на это, оказываются вполне прозрачными.
В этом случае носителями тока являются ионыI, масса которых в
тысячи раз превыаетT массу электронов. Поэтому вполне цонятно,
что электролчты ведут себя по отношению к элеКТf'омаrнитному
полю световой волны как изоляторы.



 4. Общее рассмотрение распространения плоских 80JПI
В поrлощающей среде
Будем искать решения уравнения Максвелла в следуЮIцем jиде:
Ех == Еа 2 eipt
iq(alx+PlY+VlZ), Нх == Наз eipt
iq(aJx+PIY+Yl
), I
Е
 ER eipt
iq(alx+PlY+VlZ) Н...... H P eipt
iq(aJx+P1Y+V1Z) ( 4.1 )
у
 fJ2 , У
 3 ,
Ez == Е"I2 eipt
iq(alx+PlY+VlZ), Hz == Н"Iз eipt
iq(alx+PlY+VlZ),
то есть решим в самом общем виде вопрос, при каких условиях воз..
можно распространение в среде плоских волн [49]. Подставляя (4.1)
в уравнения (2.1
(2.4) и в (2.5), получим следующие соотношения.
Уравнения (2.1) дают


ер
i41tи Е
fJз"11 ...... "IзfJl == cq Н
,


ер
i41tи Е
"Iз а i
 а з "11 == . Н fЗ2'
cq
ер
i41tи Е
азfJl ...... fJз a 1 == Н "12.
eq


(4.2)


Из уравнений (2.2) получаем


f.LpH
"I2fJl ...... fJ2"11 == С q Е аз,
f.LpH

"I1 ...... "I2 a l == с q Е fJз,
fJ2al ......
fJl == f.L Р Н Е 1'3.
е q
Уравнения (2.3) и (2.4) дают
аз а l + fJзfJl + "1з"11 == О,

l + fJ2fJl + 'Y2'Yl == о.


( 4.3)


(4.4)
(4.5)





 4]


ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В поrЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ


33


Наконец, все шесть уравнеНИЙ (2.5) дают еще ОДНО соотношение
а2 + {З 2 + ".2 == ер
 iФлu lLP .
1 1 . Yl cq cq


(4.6)


Без потери общности (a 1 , fJl, 1'1), (
, fЗ2, 1':J И (а з , fJз, 1'3) можно норми-
ровать, то есть положить


a
 + fЗ
 + 11 == 1


(i == 1, 2, 3),


так как всеrда можно (a i ,fJi,1'i) помн ожить и разделить на Ya
 + {З
 +
,
а затем множитель у ат + jЗ
 +11 включить в q, Е или Н. В этом
случае получим


р2
 с2
q2
 (e
i 4:lТ)
 ·


(4.7)


Кроме Toro, возводя в квадрат и складывая (4.2), а также (4.3), полу-
чим, приняв во внимание (4.4) и (4.5):


ер
 i4nlТ Е == 1
cq н '


I-LPH



==1
с q Е '


(4.8)


отсюда


( ' i4nU ) Е 2
 Н 2
e


I-L.
Р


(4.9)


Принимая во внимание (4.8), уравнения (4.2), (4.3) можно предста-
вить в виде


аз == fJl1'2
 1'JЗ2' а 2 == fJз1'l ...... 'Узf31' !
fJз == Yl

 a l 1'2, fЗ2 .== 1'з а l ...... аз'Уl,
1'3 == аФ2 ...... fJl a 2, 1'2 == aэfJl ...... fJза. 1 .


(4.10)


Из (4.10) можно получить еще следующие соотношения:



аз + fJJJз + 1'21'з == О


a 1 == fJ2'Уз ...... 1'2Р3'
fЗl == 'У2 а з ......
'Уз,
1'1 == aJЗз ..... fJ2аэ.


Таким образом, в среде (е, р.., 0-) возможны плоские волны, при..
чем между 13 постоянными (9 величин а, fЗ,1' и 4 величины Н, Е, р, q),


3 А. В. Соколов




34


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПРОВОДНИКОВ


[rл. I


определяющими ПЛОСКУIО волну, существуют следующие соотно-
шеlI
НI:
ar .
. fJi

 ')'т == 1, a 1 cx 2 + fЗl(32 + ')'1')'2 == О,
(j 1 == (:J2Ya
 'У2fЗ:
, а 2 == fJЗ')'l
 ')'зfJ1, аз == ,8t'Y2
 ')'lfJ2,
a

 I
 fJ



 ')'
 == ], а 2 сх з + fJ2fJз + ')'2')'З == О,
fJ. == "'12(,(3
 СХ 2 'Уз, fЗ2 == уз а l
 аЗУl' fJз == У1 а 2
 а1')'2,
а5
f
 fJ
 + 'Y
 == 1, азаl + fJзfJl + ')'З')'1 == О,
')'1 == и.. 2 fЗз
 fJ2 а з, У2 == азfJl
 fJз а 1, 'Уз == а 1 fЗ2
 fJl
'


( 4.11 )


р2 == с 2 е' Е2 == II.H2
q!. е' fL ' r'


(4.12)


i4nu v
rде е' == е

. Все эти соотношения можно записать ввекторнои
р
форме. Если (4.1) представить в виде
Е == Е "2 eipt
iq("l 1"), Н == Н "з eipt
iq("1 1"),


rде (l1( а 1 , fЗ1, ')'1), "2( а 2 , fЗ2,.'У2), "з( аз, fJз, уз) и tt(X, У, z)
 векторы, то со..
отношения (4.11) в векторной форме будут
"
 == 1, j
("3"1) == О,
"з == ["1"2].


"i == 1,
("1"2) == О,
"1 == ["2"З]'


"
 == 1,


("2"З) == О,
"2 == ["З"1]'


(4.13)


Эти формулы написаны по аналоrии с формулами векторной алrебры.
Как векторные формулы они верны только в том случае, коrда все
а, fЗ, 'У действительны. Все 13 величин, вообще rоворя, комплексны.
Только в случае, если (т == О, то есть для диэлектриков, все они MorYT
быть вещественными числами. В этом случае (4.1) означает плоскую
линейно поляризованную волну: величины (а 1 , fЗ1, У1) будут тоrда
направляющими косинусами луча, то есть нормали к поверхности
волныI, а (а 2 , fЗ2' "12) и (аз, fJз, Уз)
 косинусами направлений колебаний
электрическоrо И маrнитноrо векторов. Условия (4.13) показывают,
что эти три направления образуют триплет взаимно
перпендикуляр'"
ных направлений правовинтовой системы.
Плоская волна вполне определена, коrда известны все эти 13
величин, то есть для определения плоской волны достаточно знать
4 величины р, q, Е, Н и таблицу величин а, fЗ, у:


( CX 1 fЗ1 Yl )
G == а 2 fЗ2 'У2 ·
,аз fЗз уз
Соrласно условиям (4.13) матрица G обладает ортоrоналъностью по
строкам и по стьлбцам, определитель ее равен единице, причем каж...





 4]


ПЛОСКИЕ волныI В поrЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ


35


дый элемент этоrо определителя равен своему алrебраическому
дополнению *).
Из всех уравнений, связывающих 13 величин, только 8 являются
Ilезависимыми
 по числу уравнений Максвелла, а потому для пол..
Horo определения плоской волны достаточно знать 5 из них, а именно:
fJ или q, Е или Н, и 3 из G, но не из одноrо триплета.
Выясним теперь, какой смысл имеют комплексные _ величины
р, q(a. i , f3i' уд, Е, Н. Если Е
 величина комплексная, то ее можно
представить в виде Е == Е(;е iб . Тоrда о войдет в показатель, и этот
случай означает просто сдвиr фазы, одинаковый для всех составляю

щих Е. Соответствующим выбором начала отсчета времени можно
о сделать равным нулю. Поэтому при задании плоской волны (на..
пример, падающей) будем считать Е числом вещественным. То же
самое можно сказать относительно Н с той лишь разницей, что здесь
уже нельзя произвольно задавать EI, так как оно связано с Е соотно"
шением fLH2 == е'Е2. Если е' число действительное (и == О), то при
действительном Е Н также будет действительным. Но если е' ком..
плексное (и -:1=- О), то при вещественном Е Н будет комплексным,
и наоборот. Это означает, что в среде с u:::j::. О маrнитный вектор
всеrда сдвинут по фазе относительно электрическоrо.
Если (а 2 , fЗ2, 1'2), (аз, f3з, 'Уз) ....:.. числа вещественные, то они равны
направляющим косинусам колебания вектора Е (или н). Это значит, что
вектор Е (или н) линейно поляризован. Если же (а2, fЗ2, 'У2), (аз, fЗз, 'Уз)
суть числа комплексные, то это означает, что различные состав..
ляющие вектора Е (или н) отличаются друr от друrа по фазе. Можно
показать, что в силу (4.11) фазы этих комплексных чисел не MorYT
быть все одинаковыми. Леrко также показать, что можно найти
такой поворот осей, что одна из составляющих вектора Е (или н)
сделается равной нулю, в то время как две друrие будут колебаться
с различной фазой. В этом случае, следовательно, Е (или п) будет
эллиптически поляризован. При этом совсем не обязательно, чтобы
при эллиптической поляризации Е вектор Н также был бы эллипти"
чески поляризован, и наоборот. Возможны случаи, коrда Е эллипти..
чески поляризован, в то время как 11 поляризован линейно, и на..
оборот.
Комплексность р означает затухание во времени. В самом деле,
пусть р == р' + ip", тоrда eipt
iq(al,T) ==
p"t eip't
iq(al'1'). Множите-!lЬ
e
p"t непрерывно уменьшается (р" > О) с течением времени, то есть
в этом случае мы имеем колебания с непрерьmно уменьшающейся
амплитудой. В дальнейшем оrраничимся рассмотрением только
установившихся колебаний (стационарный случай) и будем поэтому
считать р вещественным числом. В этом случае р представляет собой
циклическую частоту р == 0.


*) Впервые матрица G была введена и использована для исследования во-
просов распространения и отражения света покойным доцентом Уральскоrо roc-
университета Н. М. Шараповым в ero неопубликованной докторской диссертации.




36


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойств ПРОВОДНИКОВ


[rп. ]


Комплексность величин q.. а 1 , {Jl, 1'1 о
начает затухание в простран..
стве. Действительно, если положить
q а 1 == а'
 i а", qfЗl == {З'
 ifЗ", q 1'1 == у'
 i1''',


то будем иметь


e
(al/x+fJ"y+yl/z) eipt
i(a'x+ fJ'y+y'z)
,


(4.14)
Из (4.14)


откуда становится очевидным пространственное затухание.
непосредственно получаем
а' х + {З'у + у' z == const,
а"х + {З"у + у" z == const.
Первое уравнение есть уравнение плоскости равных фаз, а второе

плоскости равных амплитуд. В общем случае, эти две плоскости
не совпадают. Они будут совпадать лишь в том случае, коrда q ком..
плексно, а al, fЗl, 111
 числа вещественные, так как тоrда будем иметь
eipt
i(q'
iq")(alx+PlY+YlZ) == eipt
iq'(alx+fJlY+YlZ) e
l/(alx+fJ1Y+Y1Z) .


Если же q
 число вещественное, а а 1 , fЗ1, 111 комплексные, то плос..
кость равных фаз и плоскость равных амплитуд взаимно перпен"
дикулярныI. Действительно, в этом случае имеем
eipt
iq[(a

iaf/)x+(fJ
'
ifJ
')y+(Y

iy
')Z] . ==


== e
q(a;'x+fJ
/Y+i'
'z) eipt
iq(a
X+fJ;Y+
'
Z),


откуда получаем плоскости равных фаз и амплитуд
а' х + {з
у + 11
 z == const,
" +fз " + " t
аl х 1 У 'Уl Z == cons ·


Далее, имеем
(a

 {a
')2 + (fЗ

 if3
')2 + (1'

 i1'
')2 == 1,


или
,2 + fЗ ' 2 + ,2 ( " 2 + (З " 2 + "2 ) 2 " ( '" + (З ' R" + ' , ' )
 1
а 1 1 111
 а 1 1 1'1
 l (7.1 а 1 1fJ1 1111'1
 ,


отсюда следует


,,, {З ' Д" + ", О
а 1 а 1 + 11-'1 ')'11'1 == ,
то есть плоскость равных фаз перпендикулярна плоскости равных
амплитуд.
Так как р и q связаны соотношением q == р Y-ё'Р- , то q будет веще.
с
ственным при а- == О (считаем р == си вещественным) и комплексным
при а- * о. Это означает, что при а- == О, если есть затухание в про-
странстве, то- оно происходит не в направлении распространения
фазы (нормаль к плоскости фазы), а перпендикулярно к нему, То





 5]


rРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ


37


есть ВДОЛЬ плоскости равных фаз. Такие волны снеравной амплиту..
дой BДO.JТЬ волны обладают некоторыми особенностями по отно-
шению к оБычныI\11 плоским волнам и называются неоднородными
волнами.
При а- -=)=. О (q комплексное) всеrда имеется некоторое затухание
и вдоль распространения фазы, то есть наличие отличной от нуля
«световой проводимости» o-(v) всеrда связано с поrлощением. От..
метим еще, что в силу (4.13) не может быть TaKoro случая, коrда
в матрице G только одна строка комплексная, а две друrие веще..
ственные. Это означает, что упомянутые выше случаи, коrда Е эл-
липтически, а Н линейно поляризован (или нао.борот), MorYT осу..
ществляться лишь в тех случаях, коrда плоскости равных фаз и пло..
скости равных амплитуд не совпадают, то есть внеоднородных
волнах.
Если оrраничиться рассмотрением стационарных плоских и ОДно..
родных волн, то в них р, q и (a 1 , fЗ1, ')'1) представляют собой цикли-
ческую частоту р === ю, величину волновоrо вектора световой волны


ы lf
 ыn
q ===
 уе' f.L ===

с с


( 4.15)


и единичный вектор распространения волны а 1 (а 1 , fJl, ')'1) (см. (1.19».
Тоrда фаза может быть представлена в обычно употребляемом
виде:


(6)[
 Ы: а, ,.} .
в дальнейшем нам придется пользоваться также обозначением
ыn
q === qa 1 ==
 al.
с



 5. rраничные условия


Рассмотрим теперь переход плоской волны из одной среды в
друrую. Пусть первая среда характеризуется значениями е === f.L === 1,
(j === О, то есть это вакуум или воздух, что практически одно и то же.
В качестве второй средыI будем рассматривать металл с е * 1, (j "*- о
и JL * 1. Маrнитная проницаемость для большинства тел пракiи-
чески не отличается от единицы и только для ферромаrнитных метал..
лов р., может принимать большие значения, но в этом случае для
электромаrнитных волн f.L зависит от частоты и для световых частот
мало отличается от единицы.
Выберем систему координат так, чтобы плоскость ХУ совпадала
с поверхностью металла, ось Z была бы перпендикулярна к поверх..
ности и направлена внутрь. Направление распространения луча пусть
будет параллельно плоскости XZ (плоскость падения). Тоrда а 1 ==
== sin чJ, fJl == О, Yl === COS чJ, rде lp
 yrол падения.




38


ТЕОРИЯ ОIПИЧЕСКИХ СВОЙСТВ проводников


[rл. I


Рассмотрим условия на rранице вакуум
металл. У нас имеются
две различные среды с различными электрическими и маrнитными
свойствами. Поэтому переход из одной среды в друryю связан с
изменением напряженностей электрическоrо и маrнитноrо полей.
Естественно считать, что на rранице двух сред существует неко"
торый переходный слой, в котором параметры е, а- и р., меняются
непрерывно, переходя от значений, характер
зующих одну среду,
к значениям для дрyrой среды. Следовательно, будем полаrать
что в этом слое величины е, fL, а-, Е и Н меняются непрерьmно, ниrде
не обращаясь в бесконечность, и что производные этих величи
 по
координатам также непрерывны. Кроме Toro, нужно предположить,
что толщина этоrо слоя MHoro меньше длины световой волны. По..
следнее можно обосно
ать тем, что с микроскопической точки зре..
ния на строение вещества величины е, JL и а- имеют статистический
характер. Статистический же вьтод уравнений электромаrнитноrо
поля в среде предполаrает среду однородной, то есть объем усред-
нения должен содержать однородные частицыI. Переходный слой
будет определяться тоrда тем, что в нем объем усреднения будет
находиться частично в первой и частично во второй среде. Толщина
слоя определяется тоrда размерами наименьшеrо объема усред..
нения. Но так как на протяжении длины световой волны (л I'O.J 10
5 СМ)
укладьmается большое число молекул, то диаметр наимень..
шеrо объема усреднения может быть мноrо меньше длины свето"
вой волны.
Обратимся снова к уравнениям Максвелла (2.1) и (2.2). Умно..
жим первые два уравнения (2.1) и первые два уравнения (2.2) на dz
и проинтеrрируем по толщине переходноrо слоя. Если проделать
эту операцию, например, с первым уравнением (2.2), то получим
L1z ..1z L1z
f аЕ; dz
 f аЕу dz == ...... f l-L аНх dz.
ау az с al
о о о


Здесь одна rраница переходноrо слоя принята за плоскость ху, а
толщина слоя
L1z. Второй интеrрал берется сразу: это будет, оче..
видно, Е}2)
 Е}l), rде индексы (2) и (1) вверху указьmают номер
среды. Что касается первоrо и третьеrо интеrралов, то, поскольку
подынтеrральные выражения в переходном слое непрерывны и ниrде
не обращаются в бесконечность, к ним можно применить теорему
о среднем значении


( 8E z ) L1z
 (Е(2 )
 E(l») ==
 (
 аНх )
z.
ау ,сред у у с at сред


Переходя к пределу при L1z....-.+ О, получаем
Е (2)
 Е (l)
У
 у.


(5.1)





 5]


rрАНИЧНЫВ УСЛОВИЯ


39


Поступая аналоrичным образом с тремя остальными указанными
уравнениями, находим
Е(2) === E(l)
х '( ,


Н (2)
 Н (1)
у
 у,


Н (2) == Н (1)
х х ·


(5.2)


Тем самым показано, что танrенциальные составляющие электри"
ческоrо и маrнитноrо векторов на rранице двух сред непрерывныI.
Так как это интеrрирование можно про извести с тем же результатом
лишь по части слоя, то, очевидно, танrенциальные составляющие
во всем слое постоянны. Кроме Toro, очевидно, что производные
Ех, Еу, Нх и Ну по х и у также одинаковы для Bcero слоя. Но тоrда
из третьих уравнений (2.1) и (2.2) следует, что должны оставаться
непрерывными также величины
11.

 a H l z и 4пlТ Е + е 8Ez
· с Z с
at '


то есть


(2) ( 'дН Z ) (2) == (1) ( 'дН Z ) ' (1)
J.L 8t IL 8l '
4п-(Т(2) Е(2) + е(2) ( OEz ) (2) === 4п(Т(1) Е(1) + e(l) ( 8E z ) (1)
z 8l z 8l'
или, В случае плоских волн (4.1),
1L(2) р(2) H
2) === fL(1) p(l) H
l), I
(i8(2) р(2) + 4п(j(2» B
2) == (i8(1) р(l) + 4п(j(1» вр->.
 (5.3)
Условия (5.3) можно упростить в случае монохроматической
и незатухающей волны. Тоrда р будет числом вещественным, и так
как эти rраничные условия должны вьmолняться для всех точек по..
верхности и для всякоrо момента времени, то р(2) == p(l). Проил..
люстрируем это на примере плоской волныI (4.1). Если подставить
(4.1) в (5.1), то получим прежде Bcero, что при z === О фазовый множи"
тель для волн в обеих средах должен быть одинаковым, то есть
р(2) t
 q(2) (a
2) х + {З
2) у) == р(1) t
 q(1) (ai 1 ) х + fЗ
l) у).
Так как это равенство справедливо для всех точек поверхности, то
для начала координат имеем


р(2) == р(]) === Ы,


"
(5.4)


то есть частота при переходе света из одной среды в дрyrую не ме..
няется.
Для точек на оси Х имеем
q(2) ai 2 > == q(1) аР>, (5.5)


аналоrично для оси У:


q(2) fJi 2 ) == q(l) fЗ
l).


(5.6)




40


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПРО ВОДНИКОВ


[rл. J


Уравнения (5.3) в силу (5.4) можно привести к виду
/L(2) H
2) == /L(l) H
l), t
е'(2) E
2) == е' (1) E
1). ,


(5.7)




Уравнения (5.1), (5.2) и (5.7) и есть те rраничныIe условия, которые
необходимы для решения уравнений Максвелла.



 6. Общее решение задачи отражения и преломления


Так как в качестве плоскости падения нами выбрана пл оскость
XZ, то отсюда,следует, чтоаf1) == siд<р,,вi 1 ) == о. Далее, q(2) == ы V e '(2)/L(2),
с
q(l) == ы f e'(l)fL(I), поэтому в силу (5.6) и ,в?) == о. Это означает, что
с
направления нормалей к волне (лучи) в первой и во второй среде
находятся в одной плоскости с нормалью к поверхности раздела
двух сред. В первой среде e'(l) == 1, 0-(1) == о, тоrда как во второй
( i 41llТ
е' 2) == е' == е

, о- # о. Тоrда из (5.5) получаем
ы


ы lr
 ы

 f е' /L a f2) ==
 sin <р
с с


(2) == sin q> == sin q> == sin q> ( + . k ) (6 1)
или а 1 Y
 " k 2 +k 2П l. ·
е'р., n
l п


Теперь мы имеем уже по два элемента первых строк матриц G(l}
и G(2), а именно для G(l) (sifi(p, О, y
l», для G(a): (
:': ' О, y
2») .
yfl) И 'Y
2) определяются в силу унитарных свойств матрицы фор..
мулами
'\)1(1) ==
 COS m У (2) ==
 v е' р.,
 sin 2 q>
11 ::с .' 1 :r: У ........,......
. е р.,


V 2 k 2 . 2 2 k .
==
 п

Sln cp
 п l ( + . k)
:r: п 2 + k 2 п l..
(6.2)


Мы получаем, вообще rоворя, по две волны в каждой среде. В первой
среде имеем


(sin <р, о, cos <р),
(sin <р, о, ...... COS <р);


(1)
(11)


во второй среде


I sin q> О
V е' р., , ,
I sin q> О
V е' р., , ,


v е' р.,
 sin 2 СР )
y
 '

 у е' р.,
 sin 2 q> J
v e'
 ·


(111)


(IV)


Из этих волн две (1) и (IV) движутся к поверхности и две (11)
и (111)
 от поверхности.





 6]


ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ


41


Будем рассматривать случай одной падающей волны (1) и станем
искать элементы отраженной (11) и преломленной (111) волн. Для
нахождения элементов отраженной и преломленной волн восполь

зуемся rраничнъlМИ условиями (5.1), (5.2) и (5.7).
Если обозначить через v уrол между плоскостью колебания элек...
трическоrо вектора в падающем луче и плоскостью падения, то падаю--
щая волна характеризуется следующими данными:
Еа, На == Еа, qa == : ' G a == ( cos::: v Si
 v
 ::: cos V ) ;
...... cos ер sin v cos v sin ер sin v


на поверхности раздела возникает две волны:
отраженная


( Sin ер о ...... cos ер
Е" Н, == В" q, == : ' G, == а 2 , fЗ2, 'У2, ) ,
G З, fJзr 'Уз,


преломленная


sin q:> У В' р.,
 sin9, q;
Y
 о ,
е' р., е р.,
a 2d fЗ2d 1'2d
аЗd fЗЗd 'Y3d
Для получения искомых элементов отраженной и преломленной
волн напишем rраничныIe условия в виде


E d , Hd == y
 E d ,


bllf

qd ==
 ve'/L,
с


G d ==


Еа COsep cos v + Е,а2' == E d a 2d , )
Еа sin v + Е,fЗ2' == В d fЗ2d'

Ba sinep cos v + В,'У2, == е' E d 'Y2d'

Ea COS ер sin v + Е, С1. Зr == V
 Ed С1.Зd'
Еа cos v + Е,fЗЗr == V
 Ed f3Зd'
Еа sinep sin v + Е,уЗr == V
 ЕdУЗd'


(6.3)


Выразим элементы третьих строк в матрицах G, и G d через эле...
менты вторых строк. Этим самыIM МbI выбираем электрический век--
тор за основной и станем исследовать ero поведение в отражен...
ной и проходящей волне при данной определенно выбранной системе
координат. Пользуясь тем обстоятельством, что всякий элемент'




42


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙcrв проводников


[rл. 1


-определителя матрицы G равен своему алrебраическому дополне-
НИЮ, находим
аз, == fЗ2, cos ер , fJз, == ...... (а 2 , cos ер + 1' 2, sin ер), 'У 3, == fJ2r sin ер,
V е' f..t
sin2 <р у е' f..t
 sin 2 <р sin q>
0Зd ==
 fJ2d F ' fЗЗd ==
d У"----
yи y
 ,
е f..t е f..t е' f..t
sin q>
'УЗd == fJ2d У , ,
ef..t
а 2 , sin ер ...... 'У2, cos ер == О, 'У2, == a2r tg ер,
sin <р + V е' f..t
 sin 2 <р
 о sin <р
a 2d 1/, 'Y2d У ,........
, 'Y2d == ...... a 2d 1 ! ' . 2
r е f..t е f..t е f..t
 sln q>


Подставляя эти выражения в (6.3), получим лишь четыре уравне..
пия, так как пятое уравнение (6.3) оказывается тождественным с
третьим, а шестое
 со вторым:
Еа cos ер cos v + Е, а 2 , == Ed a2d,
Еа sin v + E r fJ2r == E d fJ2d'
. V е' р.
sin2 <р
Е а cos ер Sln V ...... Е r fЗ2, cos ер == Е d fJ2d ,
f..t


,

c, Е (Х2' е
Eacosи
 r
 == у Ed
d.
cos <р е' f..t
 sin 2 q>


Решение этой системыI уравнений дает


у е' р.
sin2 <р
 в' cos q> )
Er 0 2r == Еа СOSЧJ cos iJ У , . . а '
 ,
е f..t
 Sln <р + е cos q>
Е fJ
 Е ·
c, f..t cos <р
 v е' I-L
 sin 2 q> -
, 2r
 а Sln -и У ,
JL cos q> + е' JL
 sin 2 q>
Е Е
c, 2 cos q> l ' е' f..t
 sin 2 <р
d a 2d == а cos -и ,
V е' JL
 sin 2 q> + е' cos <р
. 2f..t cos <р
Е d fJ2d == Еа sm iJ у , . ·
f..t cos <р + е f..t
 Sln 2 <р
Разделив первое из этих равенств (6.4) на второе и третье на четвер..
тое, находим


(6.4)



, == В, cos ер fЗ2"


у е' f..t
 sin 2 <р
a2d == Bd fJ2d'
f..t


'У2, == В, sin ер fЗ2"


sin <р
'Y2d == ...... Bd
 f32d.
f..t





 6]


ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ


43


Здесь для сокраще ния записи введеныI обозначения
в == cos 1)' . у е' /-L
 sin 2 <р
 е' cos q> . /-L cos <р + У е' f..t
 sin 2 <р
r sin v у е' f..t
 sin 2 <р + е' cos <р fL COS <р
 v е' fL
 sin 2 <р ,
Bd == c:'s v . р.. cos Ip + У е' р..
 sin 2 1p .
Sln v е' cos <р + V е' f.L
 sin 2 <р
Наконец, воспользовавшись соотношениями
a
, + fJ
, + Y
, == 1, a
d + ,6
d + Y
d == 1,


получим


1 1
fЗ2, == ::i:: l! 2' fJ2d ==:!: V ' ·
r 1 + в, 1 +
 ва
/-L


(6.5)


Для выбора знака у этих выражений поставим условие, что при нор"
мальном падении положительное направление электрическоrо век..
тора в отраженной и преломленной волнах совпадает с положитель..
ным направлением электрическоrо вектора в падающей волне. при
этом условии нужно взять у обеих величин (6.5) полоЖительный знак.
Впрочем дальше будет показано, что вопрос о знаке здесь не суще..
ствен.
Таким образом,


G ----
r


матрицы G, и G d будут иметь вид
( sin «р О ---- cos «р )
В, cos <р 1 В, sin <р
Y 1+B
 Yl+B
 Y l+B
 ,
cos <р В, sin <р
V 1+
 ----V1+ B; Y l+B



G d ==


sin <р
y

Bd V е' J.L
 sin 2 <р
p..Vl+ ;' B



о


v е' f..t
 si11 2 <р )
v е' f..t


1
Yl+ : B

VEBd
V е'
1+ p..



Bd sin <р
V '
е 2
f..t 1 +
 Ва
I



v е' /-L
 sin 2 <р
V '

 е 2
V е' f..t 1 +
 Bd
. J.L


sin <р
V '
{
 е 2
r е' р.. 1 + р.. Bd


Поскольку все элементы матриц G известныI, можно определить
Е, и Ed из (6.4). Задача, таким образом, решена.
Рассмотрим частныIe случаи. Введем оБычныIe обозначения: Ар, Аз ......
амплитуды падающей волны, параллельная и перпендикулярная




44


ТЕОРИЯ ОIПИЧЕСКИХ свойcrв ПРОВОДНИКОВ


[rл. 1


плоскости падения, Rp, Rs ...... отраженной и пр, Ds ...... прелом-
ленной.
Первый rлавный случай: электрический вектор перпендикулярен
плоскости падения. В этом случае cos v == О, sin v == 1, и поэтому
имеем


в ===B d ==O
, ,


( sin ер О cos ер )
G as == О 1 О ,

cos ер О sin qJ



 ( Sin ер О ......cos ер )
G,s
 О 1 О ,
\cos ер О sinep


sin q:> о у е' lk
 sin 2 q:>
V е' lk у е' lk
G ds == О 1 О
V е' lk
 sin 2 q:> О sin qJ
у е' lk у е' lk


(6.6а)


и в отраженном и в проходящем свете имеется в рассматриваемом
случае ЛИIllЬ перпендикулярная к плоскости падения состаВЛЯlOщая
электрическоrо вектора, а маrнитный вектор параллелен плоскости
падения.
Из (6.4) получаем формулыI Френеля для nepBoro rлавноrо случая:


R === IL cos q:>
 v е' lk
 sin 2 q:> А
s У , . 2 s'
lk cos q:> + е lk
 sln q:>


D == 21k cos q:>
 А .
s +У '.2 s
lk cos q:> е lk
 Sln q:>


(6.7а)


Второй rлавный случай: электрический вектор параллелен плоско..
сти падения. В этом случае cos v == 1, sin v == о. Хотя при этом Br
и Bd приним:ают 6еско
ечные значения, но элементы матриц все же
остаlOТСЯ конечнъlМИ:


(Sin Р о c
s Р) (Sin Р О
cos Р)
G ap === COS ер О
sm ер , G rp === COS ер О sin ер ,
о 1 О О ...... 1 О
sin q:> О V е' lk
 sin 2 q:>
Y e'
 у е' lk
G dp === У е' lk
 sin 2 q:> О ...... S i n q:> (6.66)
V е' р. Ye'

О 1 О


и здесь также направление поляризации сохраняется, то есть в отра..
женной и прох.одящей волне имеIOТСЯ, так же как и в падающей,
параллельныIe плоскости падения, составляющие электрическоrо
вектора, и перпендикулярные
 маrнитноrо.





 6]


ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ


45


Как и выше, из (6.4) получаем формулы Френеля для BTOpOrO
rлавноrо случая:


R == у е' f-L
 sin 2 <р
 е' cos <р А, D == 2 cos <р y
 А
Р V е' р.,
 sin 2 <р + е' cos qJ Р Р е' cos <р + V е' p.,
sin2 <р Р.
Как известно, закон преломления имеет вид
s in <р 1 r::;--::

 == п == r е fL.
Sln "р


(6.7б)


(6.8)


Если о- == О, то есть е' == е
 число вещественное, то 1р будет представ..
лять действительный уrол преломления. Однако если (J" * О, то 1р
будет уже величиной комплексной, которую по аналоrии с обычным
законом преломления прозрачных сред называют комплексным
уrлом преломления.
Если использовать (6.8), то обобщенные формулыI Френеля (6.7а)
и (6.76) принимают вид


R == р., cos <р
 n cos 1J' А
s р., cos <р + n cos "р S'


D ==
 2р., cos <р А
s р., COS <р + 11 cos 1р s ,
D == 2/-L cos <р А.
р n cos <р + р., cos "р Р


(6.9а)


,
R == n cos "р
 е cos <р А
р n cos "р + е' cos <р Р'


Отсюда леrко получить коэффициент отражения для нормальноrо
падения. Полarая в первой формуле (6.9a)tp == О и умножая на комплек..
сное сопряженное выражение, находим
( Rs ) 2 ==

/-L 2
As 11 + р., ·
Поскольку n == п ...... ik и fL == fL'
 ifL", то для коэффициента отра..
жени я получаем


(п
 р.,')2 + (k
p.,")2
(f2 == (п + р.,')2 + (k + р.,")2 ·
Если же считать fL === 1, то для (Q получим формулу (3.2). Если в (6.9)
положить fL == 1, то получим хорошо известные формулыI Френеля,
впервые въшеденные им на основе ero ynруrой теории света:
R === ...... sin (<р
 "р) А D == 2 cos <р sin 1р А
S sin (<р + 1J') S' s sin (<р + 1р) s'


R ===...... tg (<р
 1р) А
Р tg (<р + "р) Р'


D === 2 cos Ф sin 1[1 А .
Р sin (<р + "р) cos (<р
 "р) р


( G.9б)




Нужно обратить внимание на знаки в этих формулах*). Френель
вывел свои формулы в том виде, в каком они написаны здесь. Однако
Верде, ero ученик и издатель ero сочинений, изменил знак формулыI


*) Вопрос обоснования правилъноrо знака в формулах Френеля излаrается
здесь, следуя неопуБЛИICованной докторской диссертации покойноrо доцента
Уральскоrо rосуниверситета Н. М. Шарапова.




46


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПРОВОДНИКОВ


[rл. 1


TaHreHcoB на том основании, что будто бы обе формулыI для Rs и
Rp ДОЛЖНЫ при скользящем падении давать одно и то же, а именно
при ер == 900 Rs ==
As и Rp ===
Ap. Против этоrо возражал Томсон
[50], который считает, что правильнее писать обе формулы: формулу
синусов и формулу таиrенсов с одинаковым знаком, так KaI( при малых
уrлах падения синусы практически совпадают с танrенсами и при
ер == о (нормальное падение) обе формулы долЖJlЫ давать одно и то
же, ибо в этом случае Rp ничем принципиально не отличается
T
Rs, поскольку положение плос..
кости падения становится в этом
случае неопределеннь
.
Возражения против изменения
знака у фОРМУЛЫ TaHreHCOB име..
ются также и у Шустера [51].
Тем не менее в подавляющем
.х большинстве руководств по элек...
тромаrнитной теории света фор...
мулы Френеля пишут по Верде.
Лишь Томсон, Шустер и Кёниr
[52] пишут формулы по Френелю.
Вопрос о знаке в формулах
Френеля связан с определенныIM
выбором системы координат для
Рис. 3. К выбору положительноrо на- отраженноrо луча. Так как :в-
правления вектора Е в отраженной первом rлавном случае электри",
волне во BTOpOl'vJ rлаВНО
I случае. ческий вектор перпендикулярен
плоскости падения во всех трех
волнах (падающей, отраженной и .преломленной), то есть в нашем
случае параллелен оси У, то вопрос о знаке в формуле синусов
не возникает, все пишут ее с минусом. Это соответствует тому,.
что во всех трех волнах положительное направление вектора Es
считают совпадающим с положительным направлением оси У, то
есть одинаковое во всех трех волнах.
Совсем иное положение для BToporo rлавноrо случая, коrда элек

трический вектор параллелен плоскости падения, но не параллелен
ни одной из осей координат. Здесь возникает вопрос, что выбрать
за положительное направление электрическоrо вектора в отраженной
волне. Возможны два случая. Если положительное направление век..
тора Ей в падающем луче выбрано (рис. 3), то в отраженном луче
можно за такое направление принять либо В;, либо Е;'. При выборе
В; получится формула TaнreHcoB с плюсом,' а при выборе В;'
 с
минусом. Фохт [53] следующим образом обосновывает выбор пер..
Boro варианта. Он устанавливает положительные направления s-
для всех случаев. Относительно же направления р принимает, что
триплет направлений s, р, r (r ..... направление распространения) для
падающей, отраженной и преломленной волн должен быть KOнrpy...





 6]


ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ


47


ентен. При этом предположении направления р в падающей и отра....
женной волнах при нормальном падении должны быть противополож...
ны, а при скользящем падении
 параллельны. иными словами,
Фохт связывает систему координат с лучом, то есть берет для каждоrо
луча свою систему координат. Наряду с конrруентностью нanравле

ний s, р и r должна существовать KoнrpyeHTHocTЪ направлений r,
Е и Н, то есть направления распространения r, электрическоrо Е и Mar..
нитноrо Н векторов. Эта последняя KoнrpyeHTHocTЬ соблюдается при
том условии, если определители всех трех матриц G a , G r и G d равныI 1.
Отметим, что матрице G можно сопоставить объем параллелепипеда,
построенноrо на единичных векторах s"e, h (смешанное произведение),
rде s
 единичныIй вектор в направлении луча, е, h
 В направлениях
электрическоrо и маrнитноrо векторов соответственно. Число, выра....
жающее объем этоrо параллелепиnеда, берут со знаком «+», если
единичные векторы образуют правовинтовой триплет, и со знаком
«
», если
левовинтовой.
Для конrруентности векторов s, е, h необходимо, чтобы они все-
время образовывали или правовинтовой или левовинтовой триплет.
Отсюда следует, что детерминант матрицы G (при использовании
правовинтовой системы координат) неизменно должен равняться + 1.
Исходя из этих соображений, можно сделать два вывода. Первый
вывод сводится к тому, что формулыI Френеля в отношении знаков
можно писать как уrодно, то есть любую формулу можно писать
и с плюсом и с минусом. И это относится не только к составляющим
отраженной волныI, но также и к проходящей. Иными словами, можно'
всеrда найти такое решение уравнений Максвелла, что получится
любая наперед заданная комбинация знаков во всех четырех формулах
Френеля. Перемена знака компенсируется изменением фазы на п.
Но при этом будут меняться знаки и у соответствующих элементов
матриц G, и G d , но так, что определители этих матриц будут равны
1 и решение уравнений Максвелла, написанное в компонентах, будет
оставаться неизменныI.. Проиллюстрируем это на одном примере..
Возьмем первый случай:


G a ' ( 8
 q?
 C
8q? ) ,

cos qJ О sinqJ
G r == (8:
p:

::q? ) ,
а. Зr f3з, у 3,
G d == ( 8::
dC
2: ) .
а зз fЗ3d 'Y3d




48'


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойств проводников


[rл. 1


Мы уже видели, что в этом случае а 2, == 'У2, ==
d == ')'2d == о. Но тоrда
fЗ2, == ::1:: 1, fJ2d == ::1:: 1. От выбора знака у fЗ2, И fJ2d будет зависеть знак в
формулах Френеля. Но так как элемеl!ты третьих строк матриц G r и
G d вычисляются из своих aлrебраичесlCИX дополнеНИЙ (причем авто..
матически сохраняется конrpуентность направлений т, Е, Н), то с
изменением знака у fЗ2, или fJ2d изменяются соответственно знаки и у
элементов третьеrо столбца. В результате решения, написанные в
rCоставляющих, не изменяются. Приведенное вьnпе замечание Верде
не имеет, следовательно, под собой никаких основаНИЙ, так как при
любом написании формул Френеля указанное им условие для скользя..
щеrо падения въmолняется.
Второй вывод следующий: удобнее все же писа
ь формулы
Френеля с одинаковым знаком: с минусом (иноrда и с плюсом) для
.отраженноrо света и с плюсом для проходящеrо, так как это соответ"
.ствует выбору определенной, связанной с отражающей поверхностью,
>системыI координат, единой для всех трех лучей, и выбору за основу
какоrо..либо вектора, например электрическоrо. Последнее замечание
важно в следующем отношении. Так как должна соблюдаться KOHrpy..
.ентность направлений r, Е, Н и поскольку при нормальном падении
направление r меняется на противоположное, то для соблюдения
конrpуентности один из векторов Е или Н также должен изменить
при отражении свое направление на противоположное, тоrда как
направление дрyrоrо вектора должно сохраниться. Это соответствует
известному факту потери полуволныI или изменению фазы на 1800,
'ТJTO имеет место при отражении. При этом очевидно, что электрический
и маrнитный вектор ведут себя по..разному. Если электрический вектор
меняет фазу нап, то мarнитный не меняет, и наоборот. Так как электри"
чесКИЙ вектор выбран нами в качестве OCHoBHoro, то в нашем решении
при отыскании значений элементов матриц мыI исключали элементы
третьих строк, выражаjJ: их через элементы вторых, хотя, пожалуй,
мыI быстрее ПрИШЛИ бы к результату, если БыI все выразили че..
рез элементы BToporo столбца, так как там их Bcero два: fЗ2, И fJЗr8
После этоrо мы моrли бы определить
{ззr == ::1:: 11 1
 f3
r'
и здесь выбор знака влиял бы на знак в окончательных формулах.
А именно при


fJЗr == :1: У 1 ...... fJ
r
получились бы формулыI синусов И формулыI TaHreHcoB с разными
'знаками. или же, указав на различное поведение электрическоrо и
маrнитноrо векторов ПрИ отражении, мы выбрали бы знак минус
и тоrда получили бы формулы с одинаковыми знаками.
.
Что же касается нашеrо решения, то оно, как указьmалось, осно"
вано на выборе определенной неподвижной по отношению к отра..
жающей поверхности системы координат и на выборе определенноrо
вектора (электрическоrо) за основной.





 6]


ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДА ЧИ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛомЛЕНИЯ


49


При нашем решении имел место только один произвол, а именно
при выборе знака у величин
1 1
fЗ2r == ::1:: 1

 И fЗи == ::1:: У 2 ·
f 1 + в, 1 + е' Bd
Леrко видеть, что изменение знака у fJ2r сопровождается одновремен..
ным изменением знака у обеих формул для отраженноrо света (см.
формулу (6.4») (то же самое относится и к формулам для ПРОХОДЯIЦеrо
света при выборе знака у fJ2d). Вследствие этоrо при fJ2r == ..... 1
Y l+B

обе формулыI (синусов и TaнreHcoB) оказались бы с плюсами, что
также иноrда можно писать, если
заранее учесть изменение фазы на
n. Таким образом, сделанный
выбор знаков в формулах Фре..
неля можно обосновать как наи..
более удобный. При нем поло..
жителъное направление перпен"
дикулярной к плоскости падения
состаВЛЯIOIЦей электрическоrо
вектора во всех трех случаях
остается неизменным. Что же ка..
сается параллельной составляю..
щей, то этот случай соответствует
направлению E
' на рис. 3. Но это
как раз и соответствует сохране..
пию положительноrо направле-
ния электрическоrо вектора при
отражении. Действительно, элек..
тромаrнитныIe волныI
 волны
поперечные, следовательно, на..
правления электрическоrо векто..
ра лежат в плоскости волныI И преобразyIOТСЯ при отражении так же, как
преобразуются направления в волновой поверхности. Представим, что
в плоскости падающей волны (рис. 4) положительное направление век..
тора Еа в точке Аа идет в сторону Ей, тоrда в отраженной волне поло..
жителъное направление Е, при сохранении направления будет сов..
падать с направлением из А' в ВТ, так как лежащий в плоскости волны
отрезок Аа Ва после отражения будет иметь направление А' ВТ. В зак..
лючение нужно добавить, что вопрос о знаке в формулах Френеля не
возникает при исследовании интенсивности отраженноrо света, так как
интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Но в тех слу-
чаях, коrда пользуются формулами Френеля для амплитуд, что, напри-
мер, имеет место при определении оптических констант (показатели
преломления и поrлощения) по исследованИIO поляризации отражен..
Horo луча, нужно Всеrда учитъmатъ то или иное написание формул.


4 А. В. СОКОЛОВ


Рис. 4.




50


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойств ПРО ВОДНИКОВ


[r л. 1



 7. Формулы Кеттелера и оптические инварианты


Рассмотрим теперь вопрос об оптических константах металла
и выведем так называемые формулы Кеттелера [8, 52, 54]. Мы видели

что «направляющие косинусы» нормали (луча) к волне во второй среде
являются комплексныии (см. (6.1), (6.2». Это означает комплексность
«уrл
\ преломления». Здесь следует подчеркнуть, что в силу своей
комплеIССНОСТИ ai 2 >, {Зi 2 ),уi 2 ) лишь формально MOryT рассматриваться
как направляющие косинусы луча во второй среде. Нас же интересует
соотношение между действительным уrлом падения и действитель...
ным уrлом преломления. Последний понимают как уrол между
нормалью к плоскости равных фаз и нормалью к поверхности ме...
талла.
Нетрудно показать, что действителъныIй уrол преломления равен
уrлу Х между плоскостью равных фаз и плоскостью равных амплитуд.
Будем определять этот уrол, имея в виду, что все составляющие поля
преломленной волны пропорциональны следующей экспоненциальной
(
ункции:
, " , "
ехр {ipt ......i(q'
 iq") [(a
2) + ia
2) ) х + ({Зi 2 ) + if3i 2 ) ) У +
, 1,
+ (yi 2 ) + iyi 2 ) ) z]}. (7.1)


Для просто ты обозначений опустим индексы 1 внизу и 2 вверху у
a
2) , {Зi 2 ), y12). Т or да функцию (7.1) можно привести к виду
ехр {ipt ...... i [(q'a/ + q"a") х + (q'{З' + q"{З") у + (q'y' + q"y") z]}
ехр [(q'a" ...... q"a') х + (q'{З" ...... q"{З') у + (q'y" ..... q"y') z], (7.1а)


откуда получаем
(q'a/ + q"a") х + (q'{З' + q"{З") у + (q'y' + q"y") z == const
(плоскость равных фаз),
(q'a" ...... q"a') х + (q'{З" ...... q"{З') у + (q'y" ...... q"y') z == const
(плоскость равных амплитуд).


(7.2)


На основании (4.15), (6.1) и (6.2) в (7.2) нужно подставить следую--
щие значения параметров:


== ы ( п
 ik ) , == ып "== blk а/ == п sin <р а" == k sin <р \
q с ' q с ' q с ' п 2 + k 2 ' п 2 + k 2 , [
{З == о {З ' fЗ " == 0 '== У<п а
 k a
 sinalp)a + 4n a ](S (
 + k ·
 ) ( 7.3 )
, , У п2 + k 2 п cos 2 Sln 2 '

 ,,
Y <п2
 k 2
 sin 2 <р)2 + 4n 2 k 2 ( д. д\ J
'у
 п 2 + k 2 k cos "2.....ns1n."2J '





 7]


ФОРМУЛЫ КЕТТЕЛЕРА И ОПТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ


51


rде


2пk д 1 VY(n2
k2
sin2qJ)2+4n2k2+n2
k2
sin2qJ
tg о == 2 k 2 . 2 , COS
 2 == Y
 ,
п

Sln qJ 2 4
У(п 2
 k 2
 sin 2 q»2 + 4 п2/(2
. д 1 V
n2+k2+sin2q>+Y(n2
k2
sin2qJ)2+4n2k2
Sln "2 == У2: '
У(п 2
 k2
sin2q»2 + 4n 2 k 2
Подставляя значения (7.3) в (7.2), получаем окончателъныIe уравнения
для плоскости ра вн;ых фаз и плоскости равных амплитуд:
х sinep + z.
 v п 2
 k 2
 sin 2 ер + у(п 2
 Jc2
 sin2ep)2+ 4пЧ
 == const,
(7.4)
z : . k v
 п 2 + k 2 + sin 2 ep + у(п 2
 Jc2
 sin 2 ep)2+4n 2 Jc2 == const,
(7.5)


Соrласно (7.4) и (7.6) нетрудно опре..
делить косинус действительноrо yrла
преломления
V п 2 k 2
sin2q> + У(п 2
k2
sin2q»2 + 4n 2 k 2
COS Х == ,
у п 2
 k 2 + sin 2 q> + У(п 2
 Jc2
sin2 «р)2 + 4n 2 k 2


или


z == const.


Мы видим, что плрскость равных
амплитуд параллельна rранице раздела
(рис. 5). Напомним, что Al Ж +
+ А 2 у + Аз z + D == О есть плос-
кость, направляющие косинусы нор..
мали к которой определяются по хо..
рошо известной формуле
А!
cos й ; == + V
 А;


(i == 1, 2, З).


(7.6)


80lf!/!/А4


х


z


Рис. 5.


(1.7)


а следовательно, и синус этоrо уrла
. V2sin q>
slnX == .
v п 2
k2 + sin 2 q> + У(п 2
k2
sin2q»2 + 4n 2 k 2
Формулу (7.8) можно представить в виде
s
nq:> == 1 V п 2
 k 2 + sin 2 ep + "у(п 2
 Jc2
 sin 2 ep)2 + 4n 2 k 2 == п .
Sln Х V 2 'р


4*


(7.8)


(7.9)




52


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойств про водников


[rл. 1


Это выражение определяет закон преломления в вещественной форме.
Вместе с тем оно устанавливает новый, весьма существенный факт
о том, что коэффициент преломления п" при заданной длине волны
не является постоянным, а зависит от уrла падения. Скорость рас..
пространения волн во второй среде также зависит от уrла падения
с . с.У2
Vlp ==
 == . l(7.10)
пер v п 2
 k 2 + sin 2 (}) + У(п 2
 k2
sin2 (})2 + 4n 2 k 2
Перейдем теперь к определению величины kq>' входящей во второй
сомножитель функции (7.1а) и определяющей уменьшение амплитудыI
(затухание) в направлении распространения. Второй множитель в
(7.1а) можно запи сать в следующем виде:
ехр {
 z; . /2 V
 п 2 + ](2 + sin 2 9' + у(п 2
 k 2
 sin 2 9')2 + 4n 2 k 2 J .
Откуда следуе т, что для искомой величиныI имеем выражение :
krp == k v
 п 2 + ](2 + sin 2 9' + у(п 2
 k2
sin29')2 + 4n 2 k 2 . (7.11)
Уравнения (7.9) и (7.11) выражают показателъ преломления Пср и
показатель поrлощения ktp через оптические постоянные n и k и
уrол падения ер. Заметим, что n в отличие от ntp мъr назвали rлавным
показателем преломления. Произведем теперь поворот системыI коор"
, динат BOKpyr оси У таким образом, чтобы новая ось z' была направлена
по нормали к плоскости равныIx фаз. Так как в этом случае z' == const
есть плоскость равных фаз, то координата х' входит только в плоскость
равных амплитуд, и следовательно, коэффициент при х' в фазовом
множителе должен быть чисто мнимым. Повороту системыI координат
BOKpyr оси У на уrол Х соответствует, как известно, матрица поворота
F следующеrо вида:


( cos Х о Sin X )
Р== О 1 О ,
...... sin Х О cos Х
здесь Х ...... действителъныIй уrол преломления. При таком преобра..
зовании, например, матрицы G ds и G dp из (6.6а) и (6.6б) принимают
следуюЩИЙ вид:


G
s ==


cos Х sin tp
 sin Х V е'
 s in 2 tp О
У е'
О 1


sin Х sin (}) + cos Х У Е'
 sin 2 (})
У е'
О


,


cosx Уе'
sin2tp + sin xsintp О
Ув'


sin Х У в'
sin 2(}) + cos Х sin tp
У е'


(7.12)





 7]


форblyлыI КЕТТЕЛЕРА И ОПТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ


S3


G
p==


cos Х sin tp
 sin Х у в'
sin2 tp О s in Х sin tp + cos Х У в'
 sin 2 tp
У е' y

cos Х V в'
sin2tp + sin Х sin tp О sin Х у е'
sin2tp
 cos Х sin tp ·
У в'

О 1 О


\


(7.13)


Коэффициент при Ж' в новой системе коо рдинат б удет
ft) ,с; cos Х sin tp
 sin Х у е'
sin2 tp

ye Y
 ·
с е'


Так как он Должен быть чис то мни мым, то находим
cos Х sin р ...... sin Х у е' sin 2 ер == cos Х sin ер ...... sin Х (а :.... i Ь),
откуда


cos Х sin ер ...... а sin Х == О,


t sin tp
gX ==
,
а


(7.14)


а . sin tp
cos Х == , sm Х == ·
v а 2 + sin 2 tp V а 2 + sin 2 tp
Для определения а И Ь поступим следующим образом.
вторую формулу (7.14) с (7.8), получим


Сравнивая


11 а 2 + sin 2 p ==


2 k 2 + 82 1
п
 Sln tp + ' У ( 2 k 2 · 2 ) 2 + 4 2 k 2

 п
 ...... Sln m п
2 2 т ,


(7.15)


откуда
а == /2 V п 2
 Jc2
 sin 2 cp + у(п 2
 Jc2
 sin 2 cp)2 + 4n 2 Jc2. (7.16)
Отметим т акже, что у а 2 + sin 2 р == пtp. Далее, по скольку
у е' ...... sin 2 ер == v п 2 ...... k 2
 sin 2 Р ...... i · 2nk == а
 i Ь,
то, возводя в квадрат обе части этоrо равенства, находим
п 2
 k 2 ..... sin 2 ер ...... i · 2nk == а 2 ...... Ь2
 i · 2аЬ.
Приравнивая действителъныIe и мнимыIe части, приходим к системе
уравнеНИЙ


а 2 ...... Ь2 == п 2 ...... k 2
 sin 2 ер,

аЬ == nk,

решенИе которой относительно Ь дает
Ь == :f: /2 V
 п 2 + Jc2 + sin 2 cp + У(п 2
 k 2
 sin 2 cp)2 + 4 п 2 k 2 ·


(7.17)


I
Но это есть не что иное, как показатель поrлощения kfP' определяемый
формулой (7.11).




S4


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойств проводников


[rл. 1


Фазовый множитель будет иметь вид
ехр : kq>(x' sin Х
 z' cos х) ехр iw (t

 z,) . (7.18)
Отсюда непосредственно видно, что происходит затухание не только
вдоль нормали к волне, но и в самой плоскости волны, так как z'
имеет направление нормали к волне, а х' лежит в плоскости волны.
Затухание вдоль волны будет тем больше, чем больше уrолх, то есть
чем больше уrол падения ер.
Таким образом, затухание вдоль поверхности волны определяется
коэффициентом kq; sin Х, тоrда как затухание по нормали к волне
пропорционально cos Х и определ
ется коэффициентом kq> cos х.
Волны, обладающие такими свойствами, называются неоднородвыми.
Дрyrие их .особенности будут рассматриваться ниже.
Обратимся вновь к формулам (7.9) и (7.11). Полаrая в этих урав-
нениях ер == О, то есть рассматривая нормальное падение лучей, полу-
чаем


(nq)tp:::O == п, (kq:)tp:=o == k,


(7.19)


то есть оптические константы или rлавные показатели преломления
и поrлощения являются, таким образом, частными значениями Лtp
и kq." определяющими скорость распространения и степень поrлоще..
ния при произвольном направлении распространения.
Таким образом, мы установили, что Пр и kqJ зависят от уrла падения.
. Инвариантными при этом остаются лишь выражения n
 ...... k; и
ntp ktp cos Х. Действительно, возводя в квадрат (7.9) и (7.11) и вычитая
одно из друrоrо, находим '
1
 П 2 k 2
 П 2 k 2
1
 (р...... (f
 ...... ·


(7.20)


Перемножая уравнения (7.9), (7.11) и (7.7), после несложных преобра..
зований получим
12 == пtp ktp COS Х
 nk.. (7.21)
Уравнения (7.20) и (7.21) называют формулами Кеттелера, а выраже-
ния 11 и 12
 оптическими инвариантами.
Если рассматривать показатели преломления и поrлощения как
функции уrла Х между плоскостью равных фаз и плоскостью равных
амплитуд п(х) и k(x), то вместо соотношений (7.20) и (7.21) будем
иметь [55]:


п(х) k(x) == л(О) k(O) == nk, !
п 2 ( х)
 k 2 (x) == п 2 (О) ...... k 2 (O) == п 2
 k 2 .
cos 2 Х


(7.22)


Для" Toro чтобы получить эти выражения из (7.20) и (7.21), в них следует
.. - k(x)
Подставить kp == cos (х) , nq, == п(х).





 7]


ФОРМУЛЫ КЕТТЕЛЕРА И ОПТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ


55


Оставляя пока в стороне вопрос о способе экспериментальноrо
определения оптических характеристик n и k, допустим, что нам уже
известны их значения. Тоrда можно экспериментально проверитъ
функциональную зависимость nqJ или kep от уrла падения ер И оптических
характеристик п, k, используя уравнения (7.9) И (7.11) или им эквива-
лентные (7.20) и (7.21). Такая проверка производилась в работах Ши
[56] и Вильси [57].


Таблица 1


n<р
Металл n k <р ==100 I <р ==200 I <р ==3001 ер ==400 I ер ==500 I (f ==600 I <р ==70.1 ер ==800 I р ==900


Железо 3,03 1,78 3,04 3,04 3,04 3,05 3,06 3,06 3,07 3,07 3,07
Платина 1,99 2,03 2,00 2,01 2,02 2,04 2,07 2,09 2,11 2,12 2,12
Медь 0,48 2,61 0,51 0,59 0,69 0,79 0,89 0,98 1,04 1,08 1,10
Серебро 0,35 1,79 0,39 0,49 0,60 0,72 0,83 0,92 0,99 1,03 1,05
Золото 0,26 2,16 0,31 0,43 0,56 0,69 0,80 0,90 0,97 1,01 1,03


На основании этих исследований можно утверждать, что Тео-
ретическая зависимость между величинами n rr , ka, и П, k, ер пра..
вильно описывается вышеуказанныI-
ми формулами. Табл. 1 содерЖит
результаты Ши в интерпретации
Кёниrа [52].
Мы видим, что для железа и
платины изменения Пер в зависимости
от уrла падения хотя и заметны,
но не слишком значительны. Следо-
вательно, в этом случае прибли-
женно справедлив обычный закон
Снеллиуса. В случае же меди, се-
ребра и золота изменения nqJ в зави-
симости от уrла падения rораздо
значительнее, причем весьма приме-
чательно, что n меньше единицы.
Здесь расхождения с обычным зако-
ном Снеллиуса весьма значительны. {f 100 200 300 1,00500600 700 800 90.
На рис. 6 данные табл. 1 изобра.. it 1
жены rрафически. Зная nqJ для ука..
занных веществ, можно из закона Рис. 6. Зависимость показателя ире-
ломления от yrла падения для раз-
преломления (7.9) вычислить дей- ЛИЧНЫХ металлов.
ствительные уrлы преломления Х,
соответствующие различным уrлам падения р. Отклонения от закона
Снеллиуса MorYT быть отчетливо выявлены, если, принимая в


",


Fe
pt
Ag Си
" ........
.JI ................
 Аи




.."",.
 r
::::
 ", "




.
3,0


l,5


2.0



5


1,0


45




S6


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойств проводников


[rл. 1


последыIмM за значения показателя преломления величины п== 3,03; 1,99;
0,48; 0,35 и 0,26 для каждоrо yrла падения, вычислить yrол Снеллиуса
"р, а также по (7.9)
 истиннъш yrол преломлеimя х. Строя на одном и
том же rрафике yrлы tp и Х как функцию уrла падения ер, получим для
каждоrо n две кривые (рис. 7), из которых одна (сплошная кривая)
определяет действительное поведение Toro или иноrо металла,


%(f,'


/00


900


800


700


600


500


400


300


МО


п ю

 ю


 м

'Р,
Рис. 7. Зависимость истивноrо yrла прело мления Х от
yrла падения.
Пунктирные кривые
 по Сиеллиусу.


друrая же (пунктирная кривая) представляет соотношения, которые
должны бьши бы получиться для прозрачноrо тела с таким же rлавным
показателем преломления п. Соrласно сказанному выше обе кривые
для железа и платиныI практически совпадают, так что nyнктирные
кривые для каждоrо из этих металлов на рис. 7 не показаны. В случае
же меди, серебра и золота расхождение между обеими кривыми
весьма значительно.
Эти металлыI обнаруживают еще одну особенность. На рис. 7
изображена кривая закона Снеллиуса для n == 1, то есть кривая tp == ер.
Она является прямой линией, проходящей через начало координат под
уrлом в 450 с осями координат. Эта кривая пересекает сплошные кривые
для меди, серебра и золота, то есть для этих металлов существует
отличньш от нуля уrол падения, при котором yrол преломления равен





 8]


ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА нЕоднородныIx ВОЛН


S7


yrлу падения, так что луч (кроме очевидноrо случая перпендикуляр....
Horo падения) еще в одном случае проходит через металл, не испыты...
вая преломления. Условия для Hero можно вывести из (7.9), если
принять sincp == sinX. Тоrда для определения этоrо замечательноrо-
yrла падения получаем
п 2
 k 2 + sin 2 p + У(п 2 ...... k 2
 sin 2 p)2 + 4n 2 k 2 == 2


или


. n 2 k 2
sin 2 р == 1 + п2
 k2
 1 ·
Подставляя сюда значения п и k для рассматриваемых металлов, нахо...
дим соответствующие уrлы падения: Реи == 62,90, PAg == 71,90, РАи == 76,20.
Явление, за:ключающееся в том, что при определенном уrле паде...
ния луч проходит в металл б
з преломления, может быть выражено
также утверждением, что при уrлах падения, меньших этоrо замеча-
тельноrо уrла падения, действительный yrол прело мления Х превы--
шает yrол падения. Если же уrол падения превосходит вышеуказанное
значение, то действительный уrол преломления меньше ero. Действи-
тельно, Ши Mor констатировать это для уrлов падения между 60 и
700 в случаях серебра и меди и для уrла падения между 70 и 800 в
случае золота.
Кривые для меди, серебра и золота, нанесенные на рис. 7, обла

дают еще одной особенностью. Хотя для всех этих кривых п < 1,
однако явления полноrо внутреннеrо отражения не возникает, так
как ни для одной из этих кривых уrол преломления не достиrает зна..
чения Х == 900, поскольку nq; не превышает единицы. Напротив, дей....
ствительный yrол преломления лежит ниже 800. Этот факт отчетливо
иллюстрирует существенное различие между металлооптикой и.
оптикой прозрачных тел.



 8. Основные свойства He0д80poдвыx волн
Для рассмотрения не9ДНОрОДНЫХ волн удобно воспользоваться
матрицами (7.12) и (7.13), выразив их через величины пр, kq:, п и k:
( iktp sin Х О I1qJ
 iktp cos Х )
п
 ik п
 ik


G
s == о 1 О
,

...... I1qJ
 ikfP cos Х О iktp sin Х }
n
ik п
 ik
ikrp sin Х О I1qJ
 iktp cos Х
n
ik п
 ik
G
p == ЛqJ
 iktp cos Х О iktp sin Х
п
ik п
 ik
\ О 1 О


(I}


(11)




:58


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойств проводников


[rл. 1


Вторая и третья строки этих матриц определяют состояние поля-
ризации плоской световой волныI. В первом случае электрический век-
-тор поляризован линейно с колебаниями по оси У, а маrнитный вектор
поляризован эллиптически, поскольку состаВЛЯIOIЦие этоrо вектора

двинуты по фазе. В случае же (11), наоборот, маrнитный вектор линей-
Но поляризован, а электрический поляризован эллиптически. Следует
подчеркнуть, однако, здесь, что эллиптическая поляризация внеодно..
родной волне обладает одной характерной особенностью. Эта особен..
ность состоит в том, что вектор вращается в плоскости XZ, то есть
в плоскости, проходящей через луч фазы, так как здесь фаза распро-
<страняется по оси z. Отсюда непосредственно следует, что если на-
правление колебаний определять относительно нормали к волне, то в
первом случае мarнитный вектор, во втором случае электрический
вектор имеют продольную составляющую колебания. Это является
характерной особенностью неоднородных волн, так как продольная

остаВЛЯlOщая в обоих случаях пропорциональна величине ktp sin Х,
то есть затуханию вдоль фронта волны, и исчезает вместе с ним.
Действительно, затухания вдоль фронта волны не будет про исходить
при совпадении плоскости равных фаз с плоскостью равных амплитуд,
то есть при нормальном падении. И в самом деле, при нормальном
падении получаем


( о о 1 )
G ds == О 1 О ,

1 О О


(1)


( О О 1 ]
G dp == 1 О О ,
О 1 О


(11)


то есть обычные линейно поляризованные плоские волны. Можно
показать, что если взять неоднородную плоскую волну в воз-
духе, подобрав соответствующий yrол падения так, чтобы в металле
получить совпадения плоскостей фаз и амплитуд, то в металле полу..
чится обычная линейно поляризованная волна. Но сначала следует
установить возможность существования неоднородных волн в диэлек..
трике и в вакууме.
Теоретическая возможность существования неоднородных волн
в диэлектрике видна уже из Toro, что в решении (4.1) уравнений Мак..
'свелла и при (т == О, то есть коrда волновой вектор q действителен:
а, fЗl, 'У1 MorYT быть комплексны. В
 4 отмечалось, что при этом полу..
чаlOТСЯ волны с затуханием вдоль фронта волны и без затухания
вдоль нормали к волне (истинное поrлощение отсутствует), то есть
плоскости равных фаз и равных амплитуд перпендикулярны друr
друry.
Практически такую неоднородную волну в диэлектрике можно
получить, пропустив предварительно обычную плоскую, линейно
поляризованную волну через поrлощаюшую призму. Тоrда из этой
призмы выйдет волна с убывающей амплитудой вдоль cBoero фронта,
так как различные участки волны пройдут различную толщину призмы.





 8]


ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОДНОРОДНЫХ ВОЛН


S9


Пусть на металлическую призму с преломляющим уrлом падает
нормально (ер == О) плоская линейно поляризованная волна (рис. 8).
Матрицу, соответствующую этой волне, примем в виде
. ( О О 1 )
G== 1 О о.
О 1 О


в призме будет распространяться плоская волна с такой же матрицей.
Для получения выходящей из призмыI волны повернем систему коор"
динат BOKpyr оси у (ось у совпадает
с преломляющим ребром призмыI) l'
на уrол о так, чтобы новая ось х
леrла на вторую rранъ призмы.
Тоrда матрица преобразуется к виду
G' == ( :
:


::: ) .
о 1 О
Для получения матрицы, соответ" Рис. 8.
ствующей волне, выходящей из
призмыI, следует учесть, что коэффициент при х в фазе для волныI па..
дающей и проходящей один и тот же. Но в падающей на вторую
трань волне коэффициент при
 равен ft) ve' sin о, а в выходящей он
с
равен ft) а; следовательно, для последней a 1 == ve' sin о. Так как матрица
с
G' соответствует случаю (11), то можно, знаяаl, полностью определить
матрицу G для выходящеrо света


( У8' sin д О V 1

' sin 2 д )
G == У 1 ...... 8' sin 2 о О
 У е' sin о ·
о 1 О


()тсюда видно, что по выходе луча из поrлощающей призмы действи..
тельно получается неоднородная волна, причем электрический вектор
u ; u
вращается в плоскости XZ, то есть в тои же плоскости, в ко торо и
лежит нормаль к волне. Если теперь произвести поворот осей коорди..
нат таким образом, чтобы направление новой оси z совпало снаправ..
лени ем нормали к поверхности волны, то матрица приобретает
вид


G' == ( i V t:
 1

 i У;2
 1 ) ,
о 1 О




60


ТЕория ОПТИЧЕСКИХ свойcrв ПРоводников


[rл. 1


rде t == V а 2 + п 2 sin 2 О, п ...... rлавнъ1Й показатель преломле ния поrло..
щающей призмыI и а ........ вещественная часть выражения V 1
 е' sin 2 о.
Леrко видеть, что действительно имеется про дольн ая составляющая
электрическоrо вектора, пропорциональная V t 2 ...... 1, то есть затуха..
ине вдоль оси Ж, которая в рассматриваемом случае лежит в плоскости
волны. Нетрудно также понять, что обе составляющие эле.ктрическоrо
вектора сдвинуты по фазе на 900. Это означает, что rлавные оси эллипса,
описываемоrо концом электрическоrо вектора, направлены по осям
ж и z.
Покажем теперь, что скорость такой волны в вакууме не равна
с, а меньше. Действительно, так как множитель. ехр ых V t 2 ...... 1
с
должен быть отнесен к амплитуде, то фазовый множитель будет
Иметь вид ехр i w (t

 z)- Отсюда следует, что фаз а распро страняется
со скоростью V ==
 . Пользуясь формулой ff ......е' sin 2 о == а ...... ib

t
а также t == У а 2 + п 2 sin 2 о, леrко показать, что t > 1 и, следователь..
но, V < с. Тем caмым доказан тот замечательныIй факт, что скорость
распространения неоднородной волны при прочих равных условиях
меньше скорости распространения обыкновенных волн. Этот факт
и объясняет зависимость показателя преломления металла от уrла
падения.
Для неоднородной волны в металле зависимость пqJ от не одно..
родности волны будет Toro же знака, что и в диэлектр.ике, то есть
пqJ > п или Vq; < и. Действительно, решая уравнения (7.20) и (7.21)
относительно п(р, находим
2п
 == 1 + У 12 + 412 .

"'fjJ 1 1 cos 2 Х
С уменьшением yrла Х уменьшается неоднородность (коэффициент
затухания вдоль фронта волны), но убывает и правая часть послед..
Hero равенства, достиrая неименьш еrо знач ения при Х == О, то есть
2п 2 == 11 + у l! + 4.q .
Следовательно, nqJ > п, а так как k; == п; ......... 11, то kqJ > k.
В заключение рассмотрим вопрос опереносе энерrии при распро...
странении неоднородной волныI. Как известно, в электродинамике
направление и величина потока энерrии, пере носимой электромаrнит",
ной волной, характеризуется так называемым вектором Умова

Пойнтинrа, имеющим вид


с
S == 4п [Е . н].
Тот факт, что этот вектор равен с точностью до постоянноrо множи..
теля векторному произведению Е и Н, показывает, что он перпенди"
кулярен обоим этим векторам. Следовательно, в однородной волне





 9]


ИЗМЕРЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ КОНСТАНТ МЕТАЛЛОВ


61


векторы Е, Н и S составляют триплет взаимно..перпендикулярных
направлений, причем S направлен в сторону распространения БолныI.
Дрyrими словами, в случае действительных элементов матрицыI G
ее первая строка дает направляющие косинусы потока энерmи, вторая
определяет направление Е и третья...... вектор Н. Отметим без доказа..
тельства, что и в общем случае для неоднородных волн вектор S
будет перпендикулярен к Е и Н, хотя векторы Е и Н MOryT быть не
перпендикулярныI дрyr к дрyry.
В качестве выводов можно также отметить, что в том случае, коrда
электрический вектор колеблется перпендикулярно плоскости, про-
веДенной через нормаль к плоскости равных фаз и нормаль к плос..
кости равных амплитуд (случай (1», общее направление потока энер"
rии совпадает с направлением распространения фазы. В том же случае,
коrда электрический вектор колеблется параллелъно указанной пло-
скости (случай (11), энерrия в общем течет по иному направлению,
не совпадающему с направлением распространения фазы. И только
при движении такой волны в диэлектрике во всяком случае направле-
ние потока энерmи совпадает с направлением распространения фазы.
Для неоднородной волны, получающейся, например, при полном
отражении, мы имеем, следовательно, общее направление движения
энерrии вдоль поверхности.
Что касается вопроса о продолъных колебаниях, то решение ero
зависит от Toro, по отношению к чему определять направление коле..
6аний. Если направление колебаний определять по отношению к
направлению потока 'энерrии, то и в неоднородных волнах мыI будем
иметь только поперечные колебания. Если же направление колебаний
определять по отношению к направлению распространения фазы, то в
неоднородных волнах будут продольные составляющие колеба-
ний. Это есть общее свойство волн с веравной амплитудой вдоль
фронта волны.



 9. Измерение оптических констант металлов по отражению.
Элементы эллиптической поляризации
Наиболее простой и почти единственный способ непосредствен-
Horo определения оптических констант металлов основан на наблю-
дении интенсивности отраженноrо света и ero поляризации.
сли
на металл под уrлом q; падает плоская линейно поляризованная
волна света с колебаниями электрическоrо вектора под уrлом v к
плоскости падения, то, в отличие от прозрачноrо диэлектрика, при
'отражении от KOToporo происходит только поворот плоскости поля..
ризации, здесь отраженные составляющие Rs и Rp приобретают
относительную разность фаз. Это значит, что отраженная волна
эллиптически поляризована. Измерив элементы эллиптической поляри..
зации при помощи компенсатора и анализатора, можно вычислить
оптические константы металлов п и k.




62


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойcrв ПРО водников


[rл. I


Выше отмечалось, что формулы Френеля (6.9) справедливы и в
случае комплексноrо tp, если положить ve' == п ...... i k == s
n ЧJ . Следо..
Sln tp
вательно, они и в случае металла будут иметь прежННЙ вид
R ==
 sin (ЧJ
 11') А R ==...... tg (ЧJ
 11') А .
s sin (ЧJ + 11') S' р tg (ЧJ + "р) р
Здесь выписаны лишь формулыI для амплитуд отраженной волны,
поскольку в данном параrpафе
рассматриваются лишь явления
при отражении.
Если представить Rs и Rp в виде
Rs == I Rs 1 e id , I
(9.2)
Rp == I Rp I e UJ ",}
то относительная разность фаз Д
определится величиной
Рис. 9. ПадаюЩИЙ свет линейно поля- L1 == 0s
 ОР' (9.3)
РИЗ0ван под yrлом 1)' == 450 к плоскости
падения. rде 0s и Ор
 соответствующие
смещения по фазе при отраже...
нии. Чтобы получить наиболее простые соотношения, допустим, что
падающий свет тщейно поляризован под yrлом v == 450 к плоско......
сти падения (рис. 9). Тоrда As == Ар, и мы получим для отношения
комплексных амплитуд Rp и Rs следующее выражение:
Rp
 COS(q> + 11')
 I Rp I
i.1
 t
iA ( 9.4 )
Rs
 COS(q>
 11')
 I Rs I е
 g е е ,
rде tg е == :
:: . Использовав это уравнение, мы можем написать.
следующее отношение:
1 + tg e
iA cos q> COS tp


1
 tg e
i.1 sin q> sin 11'
Заменив здесь sin tp и cos tp их выражениями из закона преломления

то есть


(9.1)


и


Ар


/
/
/
/
/
/
/
/
,


(9.
)


. sin q> sin q>
Sln tp == " k == Y
 ,
п
 1 е'
В результате получим
1 + tg ee
i1
 у 8'
sin2q>
 cos 2 е
 i sin 2е sin L1
1
 tg ee
id
 sin q> tg q>
 1
 sin 2е cos L1 ·
Возводя в квадрат (9.7) и сделав в нем замену е' == (п
 ik)2, получим


l! V е'
sin2 q>
сos tp == r 1
 sin 2 tp == v7 ' (9.6)


(9.7)


п 2
 k2
sin2q>
 i 2nk
sin 2 tp tg 2 tp


cos 2 2е
 sin 2 2е sin 2 L\
 i 2 sin 2е cos 2е sin L1
(1
 sin 2е cos L1)2


. (9.8)





 9]


ИЗМЕРЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ КОНСТАНТ МЕТАЛЛОВ


63



Приравнивая по отдельности действительные и мнимые части, найдем
выражения оптических инвариантов 11 и 12 В зависимости от чJ, (2 и 11:
1 == п 2
 k 2 == sin 2 [ 1 + t 2 c os 2 2е -----:

i n2 2е sin 2 L1 ]
1 lp g q; (1
 sin 2е cos L1)2 ,


(9.9а)


1 == nk ==: sin 2 t 2 sin 2е cos 2е sin L1 .
2 q; g q; (1
 sin 2е cos L1)2


(9.9б}


Если производить измерения эллиптической поляризации при OTpa

женин от прозрачных тел вблизи уrла Брюстера, то параллелъная:
плоскости падения составляющая электрическоrо вектора в отражен...
ном свете очень мала, а разность интенсивностей обеих составляющи1..
весьма велика. В этом случае удобнее брать падающий свет поляри..
зованным не под уrлом в 450 к плоскости падения, а под некоторым
друrим уrлом, чтобы по возможности выравнять компоненты в отра..
женном свете. Тоrда выражения для оптических инвариантов (9.9)
сохраняют свой вид, только (2 принимает друrое значение. Действи..
тельно, положим :
:: == tg ей, rде ей
 yrол, состаВЛЯеМЫЙ нanpавле

нием колебаний электрическоrо вектора в падающем луче с нормалью
R
к плоскости падения (см. рис. 9). Если, кроме Toro, принять R: ==-
== tg er t;iA, :
:: == tg er, то леrко понять, что е в формулах (9.9}
определяется из соо!ношения
tg (2 == tg er .
tg ей
Для выяснения rеометрическоrо значения уrла (2 свяжем с отражен...
ной волной плоскую систему координат sp. В этой системе s-ОСЬ
располаrается в плоскости волны перпендикулярно плоскости паде..
пия, ар-ось параллельно плоскости падения. Колебания электриче...
CKoro вектора разложатся на два колебания по осям s и р, причем
Rs и Rp будут амплитудами этих колебаний. Так как эти колебания=
сдвинуты по фазе на 11, то отраженный свет будет, вообще rоворя,
поляризован эллиnтически (поляризация является линейной лишь при
11 == О и 11 == 'Л, что при наличии поrлощения имеет место ТОJJЬКО'
1t
при q; =="2 и lp == О). Уравнение эллипса поляризации имеет вид


82 р2 S Р

 +
 ....... 2
 .
 cos 11 == sin 2 11.
B
 B
 Rs Rp


(9.1 О)


Если ввести обозначения


Rs == с cos (2,


Rp == с sin е,


Rp

 == tg (2,
Rs


R
 + R
 == С 2 , (9.11)
.




-64


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ проводников


[rл. 1


то уравнение эллипса примет вид
82 tg 2 е + р2 ...... 2sp tg е cos Д == С 2 sin 2 е sin 2 Д. (9.12)
Этот эллипс вписан в прямоyrольник со сторонами 2Rs и 2Rp. С пред..
-ставляет половину диаrонали этоrо прямоyrолъника, а е
 уrол на..
клона диаrонали к оси s (рис. 10). Если теперь на пути отраженноrо
луча поместить компенсатор, при помощи KOToporo уничтожить раз..
:ц:ость фаз Д между Rs и Rp, то отраженнъlЙ свет сделается линейно
поляризованныIM с направлением колебаний электрическоrо векто..
ра вдоль ОС, то есть под уrлом е к оси s. Поэтому yrол е называют


s


р


Л S
Рис. 10. Эллипс поляризации при
отражении от металла.


Рис. 11. Схема метода Друде для из-
мерения оптических констант металлов.
1
 анализатор, 2
 компенсатор, 3
 ме-
талл, 4
 поляризатор.


.азимутом восстановленной поляризации. Ero можно измерить пово"
ротом анализатора до полноrо затемнения. Тоrда направление коле..
.баний, реrистрируемых анализатором, будет составлять с р, то есть
с плоскостью падения, уrол е. Разность фаз д измеряется соответ..
.ствующим отсчетом на компенсаторе.
Метод Друде. Рассмотрим теперь метод Друде для определения
-оптических констант металлов. Этот метод заслуживает серьезноrо
внимания не только вследствие ero историческоrо интереса, но также
из..за Toro, что он еще используется с небольшими изменениями
до сих пор (рис. 11). Практически в этом методе Д и е определяют
следующим образом: вышедший из коллиматора падающий на повер..
хность металла луч проходит предварительно через поляризатор.
При этом поляризатор поставлен так, что пропускает колебания
под утлом в 450 к плоскости падения. Отраженный луч наблю..
.дают через компенсатор Бабине или Солейля и анализатор.
Компенсатор располаrается так, чтобы ero rлавные направления

совпадали с s и р. Двиrая клин компенсатора и поворачивая ОДНО"
.временно анализатор, добиваются полноrо затемнения. Затем про..





 9]


ИЗМЕРЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ КОНСТАНТ МЕТАЛЛОВ


65


ИЗВОДЯТ отсчет на компенсаторе и на Kpyre делеНИЙ, соединенном с
анализатором. Компенсатор должен бьпь предварительно nporpaдy..
ирован для соответствующей длиныI волны. Отсчет на компенсаторе
тоrда сразу дает значеJlИе 11. Для определения же е поступают сле..
дующим образом: поворачивают поляризатор на 900, тоrда падаюший
свет будет также поляризован с колебаниями под уrлом в 450 к плос..
кости падения, но в друrой четверти. После этоrо снова производят


s


Рис. 12.


отсчет на анализаторе. Разность отсчетов будет, очевидно, равна 2е,
а это как раз и нужно так как в формулах (9.9) встречаются только 2е.
Вместо компенсатора можно воспользоваться пластинкой в
«четверть волныI.. Тоrда эту пластинку нужно повернуть так, чтобы ее
rлавныIe направления совпали с rлавными осями эллипса поляризации,
которые мыI обозначи,м через u и 'Л. При этом снова восстановитс

линейная поляризация с направлением колебаний
лектрическоrо
вектора вдоль О В (рис. 12). Тоrда можно будет измерить yrол а
между осями s и а- И уrол Ь между осью u и ОВ. Чтобы найти
переход от а и Ь к 11 и (2, про изведем преобразование уравнения
эллипса к rлавным осям, а именно такое преобразование:
s == а- cos а
 'л sin а,
р == u sin а + 'л cos а,
'1тобы в полученном уравнении член, содержащий про изведение ип,
обращался в нуль. Это будет иметь место при следующем условии:
tg 2а == tg 2е cos 11.
Если ввести вспомоrательнъlЙ уrол sin 2Ь == sin 2е sin 11, т. урав-
.евие эллипса приводится к канонической форме
0"2 1t
+ == 1.
С 2 cos 2 11 С 2 sin 2 Ь


3 А. В. СОКОЛОВ




66


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойств ПРОВОДНИКОВ


[r л. [


Следовательно, связь между уrлами а и Ь и е, д дается равенствами
cos 2е == cos 2а COS 2Ь, I
tg 2Ь (9.13)
tg д ==

 .
Sln 2а


Измерив а и Ь, можно по этим формулам вычислить е и 11, а затем,
соrласно формулам (9.9), определить п и k.
Если (9.13) подставить в (9.9), то формулы для оптических инвари..
антов принимаю т следующий вид:


1 == п 2 ...... k 2 == sin 2 [ 1 + t 2 cos 2 2а cos 2 2Ь
 sin 2 2а ]
1 lp g lp (1
 sin 2а cos 2Ь)2 ,


1
 k
 · 2 t 2 cos 2а sin 2Ь cos 2Ь
2
 п
 Sln т g т .
r r (1
 sin 2а cos 2Ь)2


Формулы (9.9) для оптических инвариантов можно упростить так,
чтобы расчеты оптических констант по ним бьши наиболее простыми.
для этоrо вводится такой уrол падения q; == Ф, при котором Д == 900,
и формулыI значительно упрощаются. Такой уrол Ф называют rлав

ным yrлом падения, а соответствующий уrол е ....... rлавным азимутом.
Обычно не целесообразно определять rлавный yrол падения при
мноrочисленных изм
рениях в силу большой трудоемкости экспери..
мента. Однако все же желательно работать вблизи rлавноrо уrла
падения, так как в этом случае вычисляемыIe значения оптических
':констант наиболее чувствительны к малым изменениям эксперимен

тально измеряемых величин l{J, е и Д. Поэтому наибольшая точность
в значениях оптических констант достиrается при измерениях вблизи Ф.
Убедиться в том, что такой уrол падения существует для любой
среды, можно следующим образом. Представим формулы для опти"
ческих инвариантов в несколько иной форме:


11
 sin 2 <р
sin 2 <р tg 2 <р


cos 2 2е
 sin 2 2е sin 2 д
(1
 sin 2е cos д)2


(9.14)


12


 sin 2е cos 2е sin д
sin 2 <р tg 2 <р
 (1
 sin 2е cos д)2


и про анализируем их. Эти равенства эквивалентны комплексному
соотношению (9.7), которое, так же как и (9.14), вьmолняется для
BCjJКoro уrла падения, причем Д и е являются непрерывными функциями
ЧJ. Определим, каковы до.nжны быть значения е и д в предельных слу..
1t
чаях, то есть при q; == о и 2 . Для этоrо анализа снова напишем COOT

ношения (9.7)


1 + tg е
i..1
1 ........ tg е
itJ


v е'
 sin B <р
"i)) q; tg fJ





 9]


ИЗМЕРЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ КОНСТАНТ МЕТАЛЛОВ


67


Отсюда непосредственно следует, что для нормальноrо и скользя..
щеrо падений (ЧJ === 00, q; === 900) относительная разность фаз L1 состав..
ляет О и те. В самом деле, при q; == о знаменатель правой части (9.7)
обращается в нуль и, следовательно, знаменатель левой части также
равен нулю, то есть tg (2 e
i
 == 1, откуда тотчас находим tg (2 cos L1 ==
== 1, tg (2 sin L1 == О и поэтому tg (2 == 1, L1 == о. Приq; == ; и
еем
tg (2 e
iL1 ==
 1, откуда находим tg (2 == 1 и L1 == 'Л.
Таким образом; при возрастании уrла q; от нуля до ; относительная
разность фаз L1 растет от О ДО 'Л. Следовательно, можно найти такой
уrол Ф, для KOToporo L1 == 90.
В соответствии с тем, что выше было сказано о формулах Френеля,
обе формулы (9.1) написаны с минусом, а отношение косинусов в
(9.4) с плюсом. При разных знаках в формулах мыI имели бы отноше..
иие косинусов в (9.4) с минусом. На выражениях (9.9) это сказалось
бы только тем, что в знаменателях стояла бы в
личина (1 +sin 2(2 cosL1)2.
Но тоrда при q; == о мы имели бы L1 == 'Л, а при qJ == ; L1 == о. Однако
при нормальном падении обе компоненты ничем дрyr от друrа не
отличаются, и было бы странным ожидать появления у них какой"то
разности фаз, отличной от нуля. При скользящем же падении одна из
составляющих параллельна поверхности, дрyrая перпендикулярна,
и поэтому нет ничеrо удивительноrо, что для них получается разность
фаз L1 == те.
Формулы (9.9) справедливы для всякой среды. Применяя их к
прозрачному диэлектрику (k == О), мы видим, что 12 == О и, следова..
тельно, sin L1 == о, то есть для диэлектрика возможны только значения
L1 == О и L1 == 'Л.
Разбирая по формулам (9.14) предельные случаи для q; == о и
х 1t
2 ' также будем иметь ДЛЯlp==О L1 == О и ДЛЯqJ == 2 L1=='Л. Следователь..
но, имеется такой уrолФ, при котором L1 меняется скачком от О до те.
Этот уrол, очевидно, соответствует rлавному уrлу падения. Покажем,
что этот уrол для диэлектриков равен уrлу Брюстера. Полаrая в
первой формуле (9.14) L1 == о, находим


п 2
 sin 2 ЧJ
sin 2 ЧJ tg 2 ЧJ
Для L1 == 'Л имеем


cos 2 2е
(1
 sin 2е)2


1 + sin 2е


1
 sin 2е ·


п 2
 sin 2 ЧJ 1
 sin 2е
sin 2 ЧJ tg 2 ЧJ
 1 + sin 2е ·
Если в левых частях этих выражений положить <р == ф rлавному уrлу
падения, то они будут равны, а следовательно, должны быть равны
и правые часm, то есть
1 + sin 2е 1
 sin 2е


1
 sin 2е 1 + sin 2е '




68


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойств ПРОВОДНИКОВ


[r л. 1


откуда находим sin 2е == о, е == о, так как считаем е лежащим в пер..
вой четверти, то есть О
 е < 900. Формула (9.9а) в этом случае дает
п == tg Ф. Тем caмым показано, что yrол Брюстера, или уrол полной
поляризации, иrрает для диэлектриков ту же роль, что для поrлощаю..
щих сред rлавный уrол падения.
Рассмотрим теперь случай идеальноrо проводника (т == (Х). В этом
случае k == 00, то есть 11 И 12 обращаются в бесконечность. Следователь..
но, соrласно (9.14) для всякоrо уrла падения Должно иметь место






.d


о


1'(, 1 1(,
I
i
I : . 1(,





l


i 2
I I
I I


п
2
О
tgp
I


I
1(, о
2


I
Ф
i


6


1'(,
т


1'4


а


Рис. 13. Зависимость
 и tg е от уrла падения ЧJ.
а
 для диэлектрика, 6
 дли металла и tI
 для идеальноrо
проводника.


равенство sin 2е cos 11 == 1, то есть е == : и L1 === о. Но для lp == 900 неза':'
висимо от k имеем L1 == 'Л. Следовательно, для идеальноrо проводника
Д == О при всяком q; и лишь для q; == -; разность фаз скачет сразу на 'Л.
Отсюда становится очевиднъlМ, что rлавный уrол падения npибли..
п '
жается к "2 при k
 00. То же самое справедливо для реальных ме..
таллов.
Что касается зависимости азимута е .от уrла падения, то мы видели,
,п 1t
ЧТО при q; == о И q; == 2". е == 4 ' то есть tg е == 1. Это означает, что для
двух крайних случаев амплитуды rлавных компонент в отраженном
луче равны между собой. Однако в промежуточной области уrлов паде..
пия tg е < 1. Посмотрим, в каком случае е == о. Подставив это значе..
ние в (9.14), находим 11 == tg 2 ер, 12 == о, о:rкуда п == tgq; и k == о.
А Таким образом, е может npинима1;Ь знач
ние, равное нулю только
в случае диэлектрика при уrле полной ПОЛЯРИЗ(J.ции. Для металлов Ж

е вообще больше нуля. Следовательно, при возрастании yrла q; от
нуля tg е уменьшается, достиrает Ilеж.отороrо минимальноrо значе..





 9]


ИЗМЕРЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ КОНСТАНТ МЕТАЛЛОВ


69


пия и снова увеличивается до CBoero прежнеrо значения, paBHoro 1
1t
при lp == 2. Следует отметить, что уrол ЧJ, дЛЯ KOToporo tg (2 ДОСТИ"
raeT минимума, не совпадает в общем случае с rлавным yrлом па..
дения.
На рис. 13 представлена зависимость 11 и tg (2 от уrла падения qJ
(кривая а........... для диэлектрцка; б
 для металла; в......... для идеалъ..
Horo проводника). Кривые а и в следует рассматривать как предельные
формыI, к которым стр
мятся кривые б при а-
 О (рис. 13, а) и при
а-
 00 (рис. 13, в). Однако следует отметить, что ломаный вид верх-
ней кривой а получается только для нашеrо идеализированноrо
случая резкоrо перехода от одной среды к дрyrой, то есть при пред"
положении существования математической rраницы между двумя
средами. В экспериментах для диэлектрика получается 60лее или
менее окруrленная кривая. Следовательно, и в случае отражения от
диэлектрика наблюдается эллиптическая поляризация, более заметная
при yrлах, близких к уrлу полной поляризации [58].
Исходя из (9.9а) и (9.96), можно теперь найти связь rлавноrо уrла
падения и rлавноrо азимута с оптическими характеристиками п и k.
1t
Полаrая в упомянутых формулах 11 == 2' находим
п 2
 k 2
 siп 2 ф == siп 2 ф tg 2 ф COS 4(2,

2nk == siп 2 ф tg 2 ф sin 4е. ,


(9.15)


Возводя в квадрат эти уравнения и складывая, получаем
siп 4 ф tg 4 Ф == (п 2 + k 2 )2 ...... 2(п 2
 k 2 ) siп 2 ф + siп 4 ф.


(9.16)


Прене6реrая членами с siп 2 ф и siп 4 ф, так как они для металлов малъi
по сравнению с первым членом, имеем


siпФ tgФ == (п 2 + k 2 )Jj2.


(9.17)


Это уравнение связывает rлавный уrол падения Ф с оптическими
характеристиками п и k. Разделив второе уравнение (9.15) на первое,
находим


2nk
t g 40 == == а
\10. п 2
 k 2
 sin 2 Ф ,


(
 .18)


2 tg 2е
или, заменяя TaHreHc по формуле tg 4(2 == 1
 tg 2 2е ' получаем квадрат"
2
ное уравнение относительно tg 2(2, а именно tg 2 2(2 +
 tg 2(2
а

 1 == О, решения KOToporo 6удут


1 l 1 !
tg (2(2)1 ==

 +
 , 1 + а 2 ,
а а


tg (2(2)2 ==


 ! V 1 + а 2 .
а а




70


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПРОВОДНИКОВ


[r л. 1


ВОЗВОДЯ последние уравнения в ква драт, нахо дим
t 2 (2 )
 2 + а 2
 2 V 1 + а 2
 V 1 + а 2
 1
g el

 ,
а1. V 1 + а 2 + 1
tg 2 (2) == 2 + аа + 2 V 1 + а а == V 1 + аа + 1 .
е 2 а 2 V 1 + а 2
 1
Подставляя в правые части этих равенств а из (9.18), окончательно
находим общее выражение, связывающее rлавный азимут с оптиче..
скимя характеристиками п и k: ·
[ ( 2nk ) 2 1 1/2
i 2 2
 1 + па
kD
sin2ф + 1
g ( е)
 [ 1 + ( 2nk ) 2 1 112 + 1 ·
п2
k2
siп2ф

Пренебреrая в (9.20) siп 2 ф по сравнению с п 2 ...., k 2 , находим
k п
tg (2е)1 == п И tg (2Q)2 == k ·


(9.19)


(9.20)


(9.21)


Таким образом, зная rлавный уrол падения и rлавный азимут
по (9.17) и (9.21), нетрудно найти п и k. В том же приближении, то
есть при п 2
 k 2
 sin 2 qJ, мы можем найти п и k при любом уrле
падения. Для этоrо снова исходим из формулы (9.7), записав ее в
несколько ином виде, а именно:


1 + tg lJ
iA
 У 8'
 sin 2 qJ
 п
 ik
1
 tg е e
iLJ
 sin qJ tg qJ
 sin qJ tgqJ ,


(9.22)


здесь пренебрежено sin 2 q; по сравнению с е/. Левую часть этоrо выра..
жения можно преобразовать следующим образом:
1 + tg е e
i
 . 1
 tg е e iLJ
 cos 2е
 i sin 2е sin L1
 л
 ik
1
 tg е e
iLJ 1
 tg е ei/J 1
 sin 2е cos L1 sin qJ tg qJ
Отделяя вещественную и мнимую части, находим


. t cos 2е
п == SIП fr. g т .
l' l' 1
 Sln 20 cos L1 '
\iio


. . sin 2
 sin L1
k == Sln lp tg q; 1 . 2 L1 ·

 Sln е cos


(9.23)


Эти выражения значительно упрощаются при rлавном yrле падения.
Тоrда 11 == 900 и q; == Ф, и мы получаем .
п == siпФ tg Ф cos 2е,

k == sinФ tgФ sin 2е. ,
Описанный выше метод Друде использовался с небольшими вариация..
ми Фохтом [9], Майнором [11] и мноrими современными учеными.


(9.24)





 10]


СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ОПТИЧЕСКИХ КОНCfАIП


71



 10. Современные методы измерения оптических
констант металлов*)
Методы измерения оптических констант металлов развивались
в последние rоды в направлениях, обеспечивающих достижение наи..
большей точности. Формулы (9.23) показывают, что для вычисления
п и k необходимо опытным путем определить уrлы е и Д. Попробуем
решить уравнения (9.23) относительно е и д и затем оценить те области


1 (rx)
I


\
,
,
,
,
,
,
"
о '........
о


.....-.-....1
/
I
I
I
I
I
I
/
1
/
//
/

,/


'\,
\:,
\'
"
, "
, ,
" "
, '
, , ........
, --..
",
"


//1
/1
/ I
" /
"" /
",."" /
/
"
,./
",.


rc
7


'"


Рис. 14. Зависимость интенсивности света от положения
поляризаторов.
Пунктирные кривые соответствуют вращению одноrо поляризатора,
сплошные кривые
 вращению обоих поляризаторов. Цифрами обозна

. п п
чены пары кривых, соответствующих: 1
 L1 == 00, 2
 !1 == "4' j,
 LI == 2"'
,
4
 -.1
 n. Во всех случаях....! == 0,8.
"


значений п, k и уrла падения е, при которых поляриметрическая
методика наиболее выrодна. Мы получим

 2k sin tp tg tp 2
 2п sin tp tg tp
tg Д
 п 2 + k 2
 sin 2 tp tg 2 tp ' cos е
 п 2 + k 2 + sin 2 tp tg 2 tp , (!О.I)
причем


t O'2 == ( 1
 cos 2 е )
 (п
 sin tp tg tp)2 + k 2

 е 1 + cos 2е (п + sin tp tg tp)2 + k 2 ·
Эти формулы, а также соответствующие им rрафики (рис. 14)
приводят к заключению, что у «хороших» металлов (с большим k)
величины Д и е становятся наиболее чувствительными к изменениям


*) Этот параrраф написан М. М. Носковым.




72


ТЕория ОПТИЧЕСКИХ СВОЙcrв ПРОВОДНИКОВ


[rл.l


оптических констант и уrла падения при yrлах qJ > 450, прибли..
жающихся к 900. Это сразу определяет область наивытоднейших
yrлов падения.
Дрyrим источником точности измерений может служить приме-
нение MHoroKpaTных отражеНИЙ света от идентичных образцов.
Если, например, между двумя металлическими зеркалами, установ..
ленными параллельно дрyr дрyrу, осуществить т отражений, то
результирующие р.. и s"компоненты колебаний выразятся


Rp == Аор r; e imhp ,


R == А r m e imh ,
5 05 S


и, следовательно,
Rp == Аор ( r р ) т eiт(
p
,) == Аор (tg е) т e
im
1.
Rs Aos r 5 Aos
Накопление изменеНИЙ е и L1 при т..кратных отражениях делает,
таким образом, численные значения параметров эллиптичности
более ощутимыми и снижает ошибку результата.
В последнее время для определения е и L1 было предложено до..
вольно мноrо новых экспериментальных приемов. Мы остановимся
на тех из них, которые не требуют специальных компенсаторов фазы,
поскольку для крайних областей спектра таковые пока не созданы.
Кроме Toro, наибольшеrо внимания заслуживают методы, в КОl0рЫХ
использованы мнотократные отражения
 по причинам, указан..
ным выше.
Все рассматриваемые методы нуждаются в надежных способах
реrистрации интенсивности отраженноrо от испытуемых Qбразцов
света независимо от тото, входят или не входят значения интенсив..
ности в формулыI для последующих вычислений. Эта задача решается
в настоящее время с помощью фотоэлементов, болометров или вакуум..
ных термопар.
Существующие методы «бескомпенсаторноrо» измерения опти"
ческих констант металлов по отражению можно разбить на три
rpуппыI. .
1. Методы, основанные на измерении только коэффициентов отра..
жении. Т. п. Кравец ::61] предложил метод, сводяшийся к измере..
пию, при нормальном падении, отражательной способности исследуе..
Moro зеркала дваждыI
 в случаях, коrда внешней средой для нето
служат прозрачныIe средыI с показателями прело мления п 1 и
.
Тотда из двух уравнений
п.
(n
пl)2+k2 (n
n2)2+k2
721
 (п + п 1 )2 + k2 и (/22 == (п + п 2 )2 + k2
леrко получить значения п и k в зависимости от известных п 1 ,

и измеренных rR. 1 и 122. Метод с успехом был применен к сравнительно
слабопоrлощающим веществам (красителям) с показателем поrло..
щения k, не превышающим единицу. В случае металлов, изменениц





 10]


СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ОПТИЧЕСК ИХ КОНСТАНТ


73


отражательной способности которых в зависимости от показателя
преломления внешней средыI невелики, малейшие ошибки при изме..
рении rR. l и rR. 2 ведут К колебаниям в величинах п и k на десятки про..
цeНТOB
 HeKoToporo улучшения точности можно достичь, применив
здесь мноrократные отражения, однако это неизбежно потребует
отхода от cTporo нормалъноrо падения света и, следовательно, учета
уrловой зависимости.
Коллинз и Бок [62] построили свой метод на измерении коэффи"
циента отражения для металла в поляризованном свете при разнь

yrлах падения. Однако сложность вычислительных операций и значи..
тельные экспериментальные поrрешности этоrо метода побудили
Звери [63] разработать метод, основанныIй на измерении отношения
коэффициента отражения для р.. и s"компонент, то есть величины
tg 2 е. При условии, коrда п 2 и k 2 значительно превышают sin 2 ep, и
следовательно, приближенныIe формулы (9.23) справедливы, вычисле..
ния осуществляются просто, на основании значений tg 2 е, измеренных
при двух уrлах падения [СМ. (10.1)]. В случаях же, требующих точ"
ных. формул «<плохие металлы», см.
 7, табл. 1), метод Звери нуждается
в rромоздком rрафическом решении полученных уравнений, и поэтому
крайне неудобен.
Выход из затруднения удалось найти в методе «пересекающихся
окружностей» Носкова, Афанасьевой и Черепанова [64], который
радикально разрешил проблему вычислений для этоrо случая.
Точная формула, соответствующая (10.1), будет
t g 2 == (а
 sin tp tg tp)2 + Ь 2 ( 10.lа )
(2 (а + sin tp tg tp)2 + Ь 2 ,
rде аЬ == nk и а 2 ........ Ь2 == п 2 ........ k 2 ...... sin 2 ер. опыIT дает значения (21'
е2 для уrлов падения epl, ер2. Полученная система леrко преобразуется
в два уравнения
(х ...... жJ2 + у2 == Ri, (х...... х;)2 + у2 == R
,
представляющие окружности с радиусами Rl и R 2 И центрами на оси х.
Здесь


d ( 1 + tg 2 еl )
Х 1 == 1 1
 tg 2 еl '
Ri ==
 ...... dJ.,
d 1 == sin ЧJl tg CPl ,


( 1 + tg 2 е2 )

 == d 2 1
tg2 е2 '
Щ ==
 ......
,
d 2 == sin СР2 tg СР2,


)
If


причем корнями системы являются х == а и у == Ь.
Вычисление Xt,
, Rl И R 2 из экспериментальных данных не пред"
ставляет затруднений, и значения а и Ь MorYT быть найденыI rрафи..
чески ИJШ путем точноrо решения системы как координатыI точки
пересечения окружностей. Совмесmмость уравнений обеспечивается
тем, что а и Ь слабо зависят от уrла падения.




I 74


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойств ПРОВОДНИКОВ


[rло 1


Шкляревский, Авдеенко и Падалка [65] успешно применили метод
пересекающихся окружностей при исследовании оптических свойст!.!
сурьмы при низких температурах в инфракрасной области спектра.
2. Методы, основанные на измереlDlИ только разности фаз поляри..
зовавных компонент, возникающей при отражении. К этой rруппе
относятся интерференционные методы измерения оптических кон..
стант металлов, приrодные, в принципе, для любой области спектра.


G




7
 \....

I
,


.


Рис. 15. Применение интерферометра МaйICелъсона для измерения
оптических констант металлов.


Один из методов, предложенный Носковым, состоит в том, ЧТО
в одно из плеч интерферометра Майкельсона помещается испъпуе..
мое зеркало (или пара параллельных зеркал
 для мноrократных
отражеНИЙ) под соответствующим уrлом падения, большим 450.
Отклоненный испы
уемыыM зеркалом пучок (рис. 15) возвращается
зеркалом интерферометра обратно, и поэтому отражается в образце
дважды, испытывая двойное смещение фазы 2 Д. В силу Toro, что
скачки фазы при отражении р.. и s"компонент различны
, положения
интерфереlЩИОННЫХ полос в поле зрения интерферометра при осве..
щении светом, поляризованным параллельно или перпендикулярно
плоскости паде!iИЯ, не совпадают. Таким образом, смещение интер..
Ференционнь
 полос при повороте поляризатора на 900 позволяет
определить величину Д == 0s ...... ОР. Формулы (10.1) показывают,





 10]


СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ОПТИЧЕСКИХ КОНСТАIП


75


что для вычисления п и k достаточно получить значения Дl и Д2 при
двух уrлах падения ерl и СР2:
А t 2kdl
tg Lll === 1 === 2 ' r де d 1 == sin чУl tg СРl,
п 2 + k 2
 dl
А t 2kd2 d
tg и2 == 2 == , rде 2 === sin СР2 tg ЧJ2.
п 2 + k 2
 d



Отсюда


п 2 + k2 == d 1 / 1
 d 2 t 2 И
11 12




d 1 d 2


k ==


 (п 2 + k 2
 4).
1


Если оrраничиться схемой с одним испытуемым зеркалом, то есть
двумя отражениями, то двойное смещение фазы 2д ни при каком
уrле падения не превышает 2'Л, иначе rоворя
 наблюдаемое смещение
интерференционных полос остается меньше одноrо интервала между
полосами и приближается к
eмy при ер ...-..+ 900.
При измерениях в монохроматическом видимом или ультрафио..
летовом свете TaKoro рода смещения полос довольно точно изме..
ряются на фотоrрафиях методом микрофотометрирования. в ин фра..
кр
сной области, при непрерьmном спектре источника света, можно
воспользоваться так называемыми, «полосами paBHoro хромати..
ческоrо порядка», которые выявляются с помощью дисперrирующей
системы (монохроматора).
В интерференционном методе, изложенном в статье Шклярев..
CKoro [254], исследуемый образец вместе с параллельным ему полу..
прозрачным серебряным зеркалом образует интерферометрическую
пару пластин. Используется явление расщепления линий paBHoro
хроматическоrо порядка на поляризованныIe компоненты при косом
падении лучей. Получаемые на основании про мера интерфероrpамм
кривые относительной дисперсии фазовоrо скачка для р.. и S"KOM..
понент отраженной волныI дают возможность определить необхо..
димые для вычисления оптических констант значения Дl и Д2. Не..
KoTopым неудобством является необходимость при этом про водить
специальный опыт с двумя полупрозрачными зеркалами, чтобы
исключить систематическую ошибку, обязанную разности фаз, воз..
никающей в основном опыте при отражении света от полупро
рач"
ou

нои пластины.
3. Методы, основанные на совместном измерении разности фаз
и ОПlошевня коэффициентов отражения. Если исследуемое зеркало,
или rрynпy параллельных образцов..зеркал, поместить между двумя
поляризаторами, то, проследив за изменениями интенсивности
проходящеrо сквозь такую систему света при поворачивании поляри..
заторов, можно численно определить tg е и Д.
Следует отдельно рассмотреть два случая: а) коrда один из поля..
ризаторов неподвижен, а друrой вращается, и б) коrда вращаются




7(,


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойств ПРО ВОДНИКОВ


[rл. 1


оба поляризатора. При этом для общеrо рассмотрения несущественно,
что в схемах с мноrими отражениями результирующие Тр ==Т) мотут
rs
быть т..ми степенями неких исходных Т р , а результирующие д

T

суммами т исходных значеНИЙ разностей фаз, свойственных отдель..
ным зеркалам при однократном отражении.
а) Пусть Ао
 амплитуда пропущенной поляризатором и падаю..
щей на зеркало плоско поляризованной волны и а
 переменный
уrол между плоскостью колебаний, пропускаемых анализатором,
и плоскостью падения. Интерферирующие по выходе из анализатора
линейные колебания, являющиеся проекциями р.. и s"компонент
отраженной волны, будут
R р === Ао COS 450 r р еiбр COS а === Al r р еiбр COS а,


R s == Ао sin 450 rs е iб , sina == Al rs е iб , sina, rде


A 1 == Ао
(
 ·
)2


Интенсивность на выходе получится в результате BeKTopHoro сло..
жения
R 12 == 1 == 1 R p 12 + 1 R s 12 + 2\ -Нр I Rs I cos L1==
==
 A

(1}2cos2a + sin 2 a + 21}sinacosacosL1).
Зависимость I(а) представлена rрафически на рис. 14 для случая
т} == 0,8 при нескольких значениях Д.
Простейшим приемом использования этой зависимости ДЛ

нахождения 'У} == tg е и Д может служить следующий: измеряют вели..
чину интенсивности при тех положениях анализатора, соответству"
1t 1l
ЮЩИХ, например, а == О, 4 "2. Тоrда


'У}2 ==


1(0)
1( ; )


21 ( : )
 1(0)
 1 ( ; )
И COS Д ===
2 V 1(0) 1( ; )


Если


п Н
)
 1 (

 )
же добавить измерение при а == .....
, то cos L1 == V ·
4 12 1(0)1( ; I


Этот метод принадлежит Битти [257].
В некоторых работах [59], [60], [66] измеряются максимальные
и минимальные значения интенсивности 1 (а) при повороте анали..
О Imin
затора. тноmение дает квадрат отношения полуосей эллипса
Imax





 10]


СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ОПТИЧЕСКИХ конcrАНТ


77


колебаний, то есть tg 2 Ь (СМ. рис. 12), а значение а == ( ; )
 а, COOT

ветствующее 1 тах
 положение большей оси эллипса относительно
нормали к плоскости падения. Для нахождения е и д достаточно
затем применить соотношения (9.13).
Использование мноrократных отражений открьшает методу вра..
щающеrося анализатора некоторые новые возможности. r. п. Моту..
левич и А. А. Шубин [67] установили последовательно четыре одина..
ковых образца и таким путем достиrая результирующей разности
1t
фаз "2 == 4Д при уrлах падения, меньших rлавноrо. Изменив затем
положение поляризатора, можно бьшо скомпенсировать разницу
коэффициентов отражения rp И rs и достичь крyrовой поляризации.
В этом случае световой сиrнал, про пускаемый быстровращающимся
анализатором, становился постоянным. При четырех отражениях
этоrо можно бьшо достичь практически для двух значений уrла паде..
1t 31l
НИЯ, соответствующих L\ == "8 и L\ ==
8' так как более высокие значе..
пия L\ требуют -слишком больших уrлов падения (в инфракрасной
области
 более 850). При этом методе значения д всеrда получаются
4
равными нечетному числу ; , а tg е == V tg ен rде еl ...... азимут поля..
ризатора.
Сходный метод был ИСПО-!lьзован И. Н. Шкляревским и В. К. Милос..
лавским [68] и Шкляревским и В. r. Падалкой [69], которые между
двумя параллельными зеркалами осуществляли до 11 отражений,
таким образом достиrая результирующей разности фаз, равной n,
и получали плоскую поляризацию, обнаруживаемую по rашению
света вращающимся анализатором.
Применение мноrократных отражений в обоих описанных методах

представляет их основу и вызвано неоБХОДИМОСJ:ЬЮ проведения изме..'
рений в инфракрасной области, rде значения п и k для металлов
очень великИ (десятки единиц). При этом д весьма медленно нара..
стает с уrлом падения вплоть до ер ,-.....,J 800, в результате чеrо rлав"
ный yrол цадения (соответствующий Д == ; ) очень близок
 900.
б) Рассмотрим теперь случай, коrда поляризатор вращается
вместе с анализатором, оставаясь все время ему паралле
ным.
Тоrда интерферирующие на выходе оптической схемыI колебания 'будут
R == А r е iб " cos 2 а R
 А r е;б, sin 2 а
р Ор , s
 Os ·
После BeKTopHoro сложения получим интенсивность .
1 == А-б r: ('У}2 cos 4 а + sin 4 а + 2'У) sin 2 а cos 2 а cos д) ==
== 1'( ; ) .(А + 2В sin 2 a. + с sin4..«),
rде А == Т}2, В == Т}(соs L\
 Т), с == Т)2 + 1 ...... 2Т) cos Д.




78


ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойств про водников


[rл. 1


Отсюда видно, что 1(0) == YJ2 == tg 2 е. Чтобы получить д, можно,
11
 )
как и в предыдущем случае, измерить интенсивность при промежу..
1t
точном уrле а ==
. Нетрудно показать, что тоrда
4


cos Д ===


41(
)
1(0)
1 (i)
2 V 1(0) 1(
 ]


rрафик зависимости 1 (а) приведен на рис. 14. В опр'еделенной
области значений д уравнение этой кривой имеет четыре действителъ..
ных корня и позволяет находить искомые tg е и Д по относитель..
Hым значениям экстремумов. Для Д получается в этом случае



l т in + V [1(0)
 l т in! [1{ ; )

тin 1
cos д ==
V 1(0)1( ;)


[ 1(0) ] 1/2
И прежнее выражение для tg е == .
. 1(
 I
Метод «параллельных поляризаторов» фактически содержался
уже в работе О'Брайна [70], который использовал автоколлима..
ционный принцип. При двукратном отражении от образца под rлав"
HЬ
 уrлом падения он добивался на вьuоде плоской поляризации
с направлением, перпендикулярным прежнему, блаrодаря чему пучок
на обратном пути rасился входным поляризатором. М. М. Носков
и Б. А. Чариков [71] осуществили этот метод при произвольном yrле
падения и четырехкратном отражении, и указали приведенную выше
схему математическоrо расчета. Измерения проводились винфра..
красной области спектра.
При сравнении разнообразных методик из rpуппы За, б, пред..
ложенных разными авторами, следует сказать, что основу успеха
во всех случаях составляют мноrократныIe отражения, обеспечиваю..
щие повышенную точность и возможность вести измерения винфра..
:красной области. Вместе с тем методики, построенные на достиже..
нии определенных, наперед заданных видов поляризации (крyrовой,
плоской) после отражения от металлических образцов, нередко за..
водят в область очень болъurnих уrлов падения (более 85°) и значи..
тельноrо количества отражений
 более десяти, что создает специаль..
ные трудности. В этом смысле методики, опирающиеся на анализ





 10]


СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ОПТИЧЕСКИХ КОНСТАНТ


79


полных кривых зависимости 1 (а) (через измерение интенсивности
при трех определенных положениях поляризаторов), предоставляют
большую свободу выбора уСЛОВИЙ опыта и избеrают ряд трудностей
экспериментальноrо характера. Преимуществом этих методик явля"
ется также то, что они дают значения оптических констант, опираясь
на измерения, проведенные при одном выбранном постоянном уrле
падения, то есть cTporo раскрывают зависимость оптических кон..
стант от уrла падения.
С друrой стороны, необходимость в этом случае измерять отно"
сительные интенсивности предъявляет определенные требования
к линейности показаний применяемых индикаторов cBeToBoro потока,
которая, правда, в современных измерительных устройствах дости"
rается. Следует еще заметить, что почти во всех опыIахx по изме--
рению оптических констант металлов, при которых используется
поляризованный свет, приходится принимать специальные меры
для компенсирования анизотропности излучения применяемых источ--
ников света и влияния собственной поляризации в оптической схеме.
Обычно это удается осуществить с помощью соответственно рас--
положенных прозрачных пластинок из подходящеrо диэлектрика
или путем введения между монохроматором и образцом поляри--
затора, устанавливаемоrо под 450 к плоскости падения.




r л А В А 11
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕcrвА ПО КЛАССИЧЕСКОЙ
ЭЛЕКТРОШlОЙ ТЕОРИИ



 11. Теория ПОl"лощевия и дисперсии в веОрО80ДНИК8Х
, Электром аrнитная теория света приводит к результатам, :которые
в основном хорошо соrласуются с экспериментальными данными.
Здесь имеется в виду область температур от комнатных и выше
rде справедливы основные положения классической теории. Вместе
с тем мыI видели, что она в некоторых отношениях оказывается не..
достаточной и поэтому 'Не соответствует эксперименту. Например,.
имеет место несоблюдение соотношения XareHa
 Рубенса уже в
инфракрасной и тем более в видимой области спектра, не выпол"
няется формула Максвелла п 2 == е, характеристики е, JL, а- не являются
постоянными, а суть функции частоты .... дисперсия.
\ Для объяснения этих фактов нельзя оrраничиться чисто фено..
менолоrической электромаrнитной теорией, а следует rлубже про..
никнуть в процесс вза
одействия электромаrнитных волн с части..
цами вещества. При рассмотрении этоrо взаимодействия мыI мож ем
отвлечься от сложной структуры этих частиц (атомов). Можно сч и..
тать, что световые волны действуют только на внешние (оптические)
электроны. Таким образом, теория дисперсии рассматривает сред у
как состоящую из большоrо числа зарядов (электронов), движущихся
под воздействием внешнеrо периодическоrо поля световой волныI.
Соrласно Лорентцу [17] диэлектрик содержит электроны, связанныIe
с положениями равновесия силами, пропорциональными расстоя..
пию.... (квазиупрyrие силы), и имеющие, следовательно, собственную
частоту колебаНИЙ.
Уравнение движения электрона, находящеrося под влиянием
периодическоrо электромаrнитноrо поля (линейно поляризованная
волна), имеет вид


т; + ту;' + ')(,1' == eEoe ifDf ,


(11.1)


rде т ...... масса, " ...... упруrая постоянная; уменьшение энерrп за
счет излучеШlЯ учитъmается введением члеllа 7';'(1'
 декремент зату..
хапня).





 11]


ТЕОРИЯ поrЛОЩЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ ВНЕпроводниКАХ


81


Свободные колебания rармоническоrо осциллятора описьmаются
уравнением движения


т
 + 'Х1' == о.
Общее решение этоrо уравнения имеет вид
l' == 1'0 ei(JJt.


( 11.2)


(11.3)


Подставляя (11.3) в (11.2), находим собственную частоту колебаНИЙ


6)0 == у : ·


(11.4)


Нео:цнородное уравнение (11.1) удовлетворяется подстановкой


.,


l' == 1'0 ei(J)t,


(11.5 )


причем "'0 определяется из. (11.1)


е

Eo
т
1'0 == 2 ·
roo
 ы2 + iыy
Очевидно, что (11.6) может быть представлено в виде


(11.6)


е

Eo
т
Ы

ы2 + i'Y(i)


S e
itp
== о , ,


(11.7)


rде


е

Eo
80 == т ,. tgq> == 2Ы'У 2 . (11.8)
V (ro

ы2)2 + "12 ы 2 ЫО
 ro
Движение электрона, вызванное полем Е == Eoei(JJt, можно описать
как колебания вида


l' == 8 o e i (wt...........qJ),


(11.9)


Общий
 интеrрал уравнения (11.1) можно получить, добавив любое
решение однородноrо уравнения. Но такое решение экспоненциально
убывает со временем. Поэтому через достаточно большое время
остается лишь (11.9), то есть вынужденная часть колебаНИЙ.
Плотность тока, связанная с этим движением, равна


V' N ·
== .... еж ,


}
(11.10)


. здесь l' считается совпадающим с направлением поля Е, направлен-
ным по оси Х, и N ...... число осцилляторов в е диниц е объема. Так
как ;. == 80iCJJei(wt
qJ), то' для плотности тока получаем


. ." t N е 2
j == N еж == N es ox lCJJe---- 1fJ е lШ == .

т


6lei(

9' )
v (ro

 ы 2 )2 + 'У 2ы2


Eoe iwt . . (11.11)


6 А. в. СОКОЛОВ




82


ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПО ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ


Отделяя вещественную


Формула (11.11) по форме совпадает с законом Ома. Поэтому для
комплексной проводимости и' ==0- + iтa [см. (2.106)] находим
i(

 )
, N е 2 ые
о- ==

т V (ы

 ы 2 )2 + 'У 2ы2


и мнимую части, получим
Ne 2 ы sin ({J
o-



 т V 2 '
(roo
 ro 2 )2 + 'У 2ы2
N е 2 6) cos q;
0а ==
 .
т V(ro

ы2)2 + 'У 2ы2


5'
п










T












I
I
I
I


1(,
"2


о
1J1
J






б


[rл. II


(11.12)


(11.13)


(11.14)


IIосле некоторых пре06разоваНИЙ для
а- и а окончательно имеем
Ne 2 ы 2 'у
о- ==
 2 ' (11.15)
т (6)0
 ы 2 )2 + "12 ы 2
е
 1 N е 2 6)
 ........ 6)2
a




 4п
 т (6)

6)2)2 + "12 ы 2 ·
lt) (11.16)


lU


Из второй формулы (11.8) видно, что
qJ равен нулю или 1с В зависимости от
знака (т
 (0) при условии IlU
 001
 'у
(вдали резонанса). Значение нуль со от..
ltJ ветствует длинным: волнам (малым
частотам 0), а 1с ...... коротким волнам
(большим частотам) (рис. 16, а). Коэф..
фициент поrлощения'У} == 4па- (рис. 16, б)
сп
имеет максимум при т == то с полуши..
ринойу. На рис. 16, в видно, что поля...
ризуемость а изменяет знак после про..
хождения через максимум поrлощения. Это происходит вслед-
ствие Toro, что cos qJ переходит от положительных значений к отри..
цательным. На основании (2.17) формулыI (11.15) и (11.16) можно
представить в следующем ВИДе:


о


Рис. 16. Зависимость фазы ЧJ,
коэффициента поrлощения 'YJ и
поляризуемости вещества а от
частоты света.


4 N2 2 2
е == п 2 ...... k 2 == 1 + п е roo
 ro ,
т (6)

 ы 2 )2 + "12 ro 2
2 nk == 4п N е 2 6)"1
т (ы

 (()2)2 + "12 6)2
Определим прежде Bcero ход rлавноrо показателя преломления
в области проjрачности, то есть в той 06ласти частот, для которой


( 11.17)


(11.18)




9 11]


ТЕОРИЯ поrЛОЩЕНИЯ и ДИСПЕРСИИ в НЕIlPОВОДНИКАХ


83


(mg
 т 2 )2
 y2(JJ2. В этой области можно
получаем формулу дисперсии
2 ...... 1 + 4п N е 2
п ...... 2
т roo
 ro 2


положить k
 о; тоrда


1


(11.19)


Таким образом, система, будучи прозрачной, имеет показателъ
преломления, превышаюЩИЙ единицу. Это характерно для болъmин...
ства ионных и молекулярных кристаллов в видимой области спектра.
Если имеется несколько сортов ynpyro связанных электронов,.
например rpупnыI из N 1 , N 2 И N з электронов с частотами соответ",
ственно (JJl, т 2 и (JJз, то для дисперсии показателя преломления имеем
формулу


2 ...... 1 +
 4пе 2 N i
п......
 2 ·
i т 6);
 6)2


(11.20)


Если, кроме Toro, п ..... 1
 1, как это например, имеет место в не слиш-
ком сжатых rазах, то п 2 ...... 1 == (п + 1) (п
 1) == 2 (п ...... 1) и (11.20)
принимают вид


...... 1 +
 2пе 2 N i
п ......


i т ы,
 ы 2


Представим формулу (11.20) в несколько иной форме, в которой
она нам понадобится для сравнения с дисперсионной формулой ICван"
товой теории. Общее число осцилляторов N удовлетворяет СООТНО"
шению


N ==
 N i .
i


Если ввести относителъныIe доли каждоrо колебания в общем числе
колебаний по формуле


1 ...... N i .
1 ...... N '


то, очевидно,
 11 == 1. При частоте паДaIOщеrо излучения, не лежа-
i
щей вблизи резонанса, формула (11.20) может быть записана в виде
п 2 == 1 + 4п Ne 2
 2 '; ,(11.2Qa)
т ..... Ы;
 ы 2



PaCCMOTp
 общий ход кривой дисперсии показателя прелом..
ления (рис. 17). Во всей прозрачной области п растет с увеличением
частоты (нормальная дисперсия). Для очень малых частот, то есть
частот, малъlX по сравнению с наименьшими собственными часто..
тами атома, имеем постоянное значение показателя преломления
по Максвеллу


...... 1 +
 2пе 2 Ni
п ......
 2 ..
т6);




84


ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА по ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ


[rл. 11


При приближении IC первой линии поrлощения значение п быстро
возрастает, а затем непосредственно за линией поrлощения снова
начинает расти от весьма малых значений. При вступлении в область
поrлощения (F становится отличной от нуля, а а, первоначально поло..
жителъная ве ли.ЧШ:I а, достиrает максимума при си == си о

 . Подстав..
ляя это значение частоты т в (11.15) и (11.16), находим


1Ve 2 1Ve 2 1
(F==
 a==


2т'У ' 2т'У ы '


откуда следует, что в области поrлощения (F
 сиа.
Уравнения (2.17) при этом условии прини..
мают вид


п


п 2
 k 2 == 1 + 4па,

nk == 2па.



(11.21)


в центре линии поrлощения а == О (8 == 1), а (F
1Ve 2
tI.J принимает максимальное значение (F max ==
 ·
т'У
Значения п и k ДЛЯ этой частотыI определяются
по формулам
п ==
 [1 + V 1 + 4
 Т / 2,
k ==
 [
 1 + V 1 + 4 0":i x J/2. (11.22)


Рис. 17. Общий ХОД
дисперсии показателя
uреломления.


Коrда мыI подходим к дрyrой rранице линии поrлощения, а
eнь..'
шается и достиrает минимальноrо значения при си == си о +
 ; п и k
при этом уменьшаются. Если а принимает значение
 (4п)
1, то
( ) 1/2
е == О (ибо е
 1 + 4па), и Torдa на основании (11.22) n == k == 0":; .
Наконец, п меньше k в области, rде е отрицательна, в чем леrко убе..
диться из рассмотрения соотношения п 2
 k 2 == 8. Если т...... си о
 ')',
(F снова становится равной нулю, и среда больше не поrлощает. Будет
ли среда совершенно отражающей или прозрачной, зависит от знака
1
8. Так как а приближается к нулю как 2 ' то 8 конечно положитель..
. ы2
 roo
на для достаточно высоких частот. Среда прозрачна в этой области
частот, хотя и является оптически менее плотной, чем вакуум. Однако
8 может быть отрицательной в непоrлощающей области, вблизи
линии по rлощения. Здесь среда является полностью отражающей
(рис. 18). Де
ствителъно, так как поrлощения нет, то (F == о и, следо..
вательно, nk == о. Имея в виду также, что п 2 ...... k 2 == 8 И диэлектри..
ческая постоянная отрицательна, нетрудно понять, что п == о, а





 12]


МОДЕЛЬ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ (ТЕОРИЯ ДРУДЕ
3ИНЕРА)


85


k == у .... е
 конечная величина. Но при п == О из формулыI (3.2) сле..
дует, что коэффициент отражения (12 равен единице. ,Мы увидим


fX


о


CtJ


1..", I










I


I
I
I
А I 8
I
I
I
I
I


с


о


Рис. 18. Изменение поляризуемости с частотой и четыре
оптические области, связанные с JШНИей поrлощения.
А
 область прозрачвости, В
 область поrпощевИJI, С
 область
метаJIJIИ'Iескоrо отражеВИJl, D
 область проэраmости.


позднее, что оптические свойства идеальных металлов подоБныI
свойствам системыI осцилляторов в области частот, больших О0
(то..... центр Jll1НИИ поrлощения).



 12. Оllтические свойства металлов в .модели
свободных электронов (теория Друде
Зинера)
Классическая теория оптических свойств металлов, основанная
I
. на модели свободных электронов, разработана Друде [17], Зинером
[18] и Крониrом [19].
В
 11 рассматрива.лась теория дисперсии и поrлощения для эл
кт"
,
ронов, связанных с определеннъlМИ центрами квазиупрyrими силами.
Уравнение
ижения свободноrо электрона получим, положив эти
квазиупрyrие силы равными нулю (то есть в уравнении (11.1) пола..
raeM " == О):


т; + тУТ == еЕ о e iwt .


(12.1 )


Уже на основании этоrо можно заключить, что система свободных
электронов должна вести себя подобно системе осцилляторов с соб-
ственными частотами, равными нулю.




86
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПО ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
[rл. 11
Однако в уравнении (11.1)у имеет совершенно иной смыIл,, нежели
в уравнении (12.1). Здесь член су, обусловливающий затухание, появ-
ляется из-за сопротивления металла. Для выяснения физическоrо
смыIлаa величины l' обратимся к представлениям электронной теории
металлов.
Друде впервые предположил, что основныIe физические свойства
металлов можно объяснить на основе допущения о наличии свобод-
ных электронов, движущихся между ионами кристаллической ре..
тетки металла и образующих собой особоrо рода электронныIй «rаз>).
Эти электроны находятся в тепловом равновесии с ионами металла.
При наложении постоянноrо электрическоrо поля электроны полу-
чают ускорение в направлении поля. Следовательно, к беспорядоч-
ному тепловому движению электронов прибавляется еще направ-
ленное ускоренное движение, которое и обусловливает собой электри"
ческий ток. Если бы не бьшо столкновеНИЙ электронов с узлами ре..
тетки, то энерrия, набираемая электронами от поля, моrла бы воз..
растать неоrраниченно, что приводило бы к бесконечной длине сво"
бодноrо пробеrа. А это означало бы отсутствие электрическоrо
сопротивления металла (бесконечая проводимость). Существование
у металлов электрическоrо сопротивления указывает на наличие
соудареНИЙ электронов с ионами решетки. Разумно предположить,
что при столкновении электрон теряет всю скорость, приобретенную
им за время, прошедшее с момента предшествующеrо соударения.
При этом предположении электроныI будут в среднем двиrаться равно-
\ мерно по направлению поля. Математически это можно выразить
следующим образом: в отсутствии ионов решетки электрон дви..
rался бы в постоянном электрическом поле Ех с ускорением
.. е
Х ==  Ех.
т
(12.2)
Такое ускорение электрон иМеет во время свободноrо пробеrа между
двумя столкновениями. Влияние столкновеНИЙ' можно учесть, вводя
сопротивление так, чтобы уравнение
,
тХ + тух == еЕ х
имело решение, удовлетворяющее условию х == О, или
7 е
Х == Ex,
m
(12.3)
rде х и х средние ускорение и скорость. Средняя скорость равно-
MepHoro движения определяется формулой
т
.. 1 } . d
х==:;: х t
о
(т ...... среднее время свободноrо пробеrа).

 12]
МОДЕЛЬ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ (ТЕОРИЯ ДРУДЕЗИНЕРА)
87
Величина Nex будет, очевидно, плотностью тока, равной иоЕх:
удвоенное
. Ne 2
]х ==иоЕх == Ex,
т'У
(12.4)
откуда
 Ne 2
'у == тио ' (12.5)
rде cr о  удельная электропроводность металла. С дрyrой стороны,
.. ет е 't'
Х == Ех ==  Ех.
т 2т
Из сравнения (12.3) и (12.6) находим
1 2 v
1'===; ==,
't' 't' l
(12.6)
(12.7)
rде Т......... время релаксации. В последующем для краткости черту
над 't' и 'у будем опускать.
Таким образом, l' представляет собой удвоенную частоту стол..
кновеНИЙ (удвоенное число соудареНИЙ) в единицу времени.
Так как (12.1) подобно (11.1), в котором" положено paBным нута,
то решение уравнения (12.1), а также формулы для О'" на можно полу..
чить ИЗ формул  11, полаrая в них О0 == о.
Так, полаrая в (11.15) и (11.16) то == О, находим формулы Дpyдe
Зинера
Ne 2 'у
о'" == 
т ы 2 + "12
"12
 0"'0
6)2 + "'12 '
(12.8)
е == 1  4п Ne 2 1 == 1...... 4п'У о'" (12.9)
т ro 2 + "12 ro 2 + "'12 о
[при получении этих формул мыI восполъзовались соотношением
(12.5)]. В том случае, коrда си равно нулю, уравнение (12.8) принимает
форму
Ne 2
о'" == о'" О == m 'У '
(12.10)
которая совпадает с (12.5).
Вследствие Toro, что (12.8) и (12.9) тождественныI с (11.15) и (1\.16),
если си о == о, оптические свойства свободных электронов должныI
точно соответствовать оптическим свойствам диэлектрика скорот"
коволновой стороныI от центра линии поrлощения (см. рис. 18). Следо..
вателъно, должна существовать область поrлощения, простираю,;
щаяся от нулевой частоты до частоты си f'J'Y, которая в случае доста..
точно больших N переходит в непоrлощающую область, rде е отри..
цательна. Здесь п == о, а k == V е (область отражения).
П 1 u
оскольку а уменьшается как """""9, то при дальнеишем увеличении
6)
частоты диэлектрическая проницаемостъ должна стать положителъ..

88
ОПТИЧЕСКИЕ свойcrвА ПО ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
rл. 11
ной; сист.ема при этом должна стать прозрачной. Таким образом,
система будет обладать сильным отражением до тех Пор, пока е
не обратится в нуль, а затем будет вести себя подобно обычному
прозрачному диэлектрику. Оба случая хорошо иллюстрируются
рис. 19.
формулыI для оптических характеристик п и k на основании (12.8),
(12.9) и (2.17) можно представить в виде .
п 2 ..... k 2 == 1 ..... 4п Ne 2 1
т ы2 + 'У!. '
k 2п Ne" 'у
п ==
тro ro 2 + "'12 ·
Поучительно рассмотреть сначала случай идеальноrо металла,
в котором средняя длина свободноrо пробеrа 1, а следовательно,
и время релаксации 't' бесконечны.
Решетка TaKoro металла не может
получить энерmю от электронов
и тем самым не может поrлощать
энерmю электромаrнитной волны
. I
формулыI для комплексноrо по..
казателя пр ело мления TaKoro ме..
талла можно получить из (12.9),
положив в ней 'У == о:
Поведение металла зависит от TOr:O,
4п Ne 2
будет ли величина 2 больше
mro
ИЛИ меньше единицы. В последнем
случае (короткие волны) показа..
тель преломления веществен и
меньше е диницыI . Поэтому металл
будет прозрачным: для нормально
падaEDuцеrо света, но суюцествует
критичесКИЙ уrол падения, после
KOToporo имеет место полное отра..
.... 4п Ne 2
жение от металлическои поверхности. Если " больше единицыI
тro .
(ДJ1 и н н bI e волныI,, n ...... мнимое, и имеет место полное отражение
при всех yrлах падения. Эффект введения конечной средней ДЛИНЫ
свободноrо пробеrа и коэффициента затухания 'У, как мыI видели
выше, состоит в том, что электроны колеблются свободно только
в конечНЫЙ про межу ток времени, а затем отдают свою энерrию
4п Ne 2
колебаниям решетки. Поэтому при > 1 коэффициент отра"
ты 2
2.
n J
r. ....
' ,-"
4 J1
..

о tf
.11,'

d
6 
k ,.

"
"S!
'
,1} " о I
\ . + 2
 \ I
""; · 3 
j n/t
...  J/J.."'" _O'.........D  ...
2,
2,
1,
1,2
0,8
а
0/200
2800
4400
о
А.А
6000
Рис. 19. Значения п, k и пk для нат-
рия в зависимости от длиныI волны.
В верхней части рисунка стрелками показаиы
области прозрачности (слева) и отражения
(справа). ПyвICТирвые кривые  вычислен-
ные; эксперимеИТ8ЛЬиые точки: 1  Дункан
и Дуив:ан, 2  Вуд, 3  Айве и Брштс.
(12.11)
(12.12)
4п Ne 2
п 2 == е == 1 ...... . ( 12.13 )
mro 2

 12]
МОДЕЛЬ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ (ТЕОРИЯ ДРУДЕЗИНЕРА)
89
жения становится несколько меньше единицы, так как некоторая
энерrия электромаrнитной волны поrлощается поверхностным слоем
4п Ne 2
металла; при < 1 волна в металле затухает, и металл непро..
тro 2
зрачен, за исключением относительно тонких пленок.
Модель ДрудеЗинера является основой для объяснения замеча..
тельных оптических свойств щелочных металлов, экспериментально
обнаруженных Вудом [72]. основныIe результаты Вуда следующие:
1) щелочныIe металлыI, обладающие большим коэффициентом
поrлощения в видимой области спектра, становятся прозрачными
в ультрафиолетовой части спектра;
2) Длинн ОВОЛНОВЫЙ край прозрачной области с увеличением
атомноrо номера щелочноrо металла смещается к красному концу
и этот край расположен при 2050 А для лития, 2100 А для натрия,
3150 А для калия, 3600 А для рубидия и 4400 А для цезия, в то
время как со стороны коротких длин волн такой rраницы не
наблюдается;
З) показателъ преломления в прозрачной области меньше еди"
ВИЦЫ, так что обнаруживается явление полноrо BНYTpeHHero о тра..
жения.
Зинер [18] показал, что модель идеальноrо металла позволяет
определить приближенн,9 циклическую частоту электромаrнитной
волныI т', при которой начинается прозрачность. Так как при е < О
должно происходить полное отражение, а при е > О металл должен
бьпь прозрачным, то е == О есть условие начала прозрачности, то есть,
соrласно (12.13), циклическая частота определяется соотношением
,  ( 4п N е 2 ) 1/2 .
т .
т
(12.14)
в табл. 2 лриведеныI набmoденные ДЛИНЫ волн, при которых проис-
ходит переход от отражающеrо состояния к состоянию прозрачности.
Эти длиныI волн определялись на тонких металлических пленках
[73]. Для сравнения в таблице П1?иведены значения, вычисленные
из формулыI (12.14).
Таблица 2
Металл Cs Rb I< Na I Li
I
Л ЗКСП , А.... 4400 3600 3150 2100 2050
л.теор, А.. · · 3600 3200 2900 2100 1500
.
Рассмотрим три оптические области.
I

90
ОПТИЧЕСКИЕ свойcrВА по ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
[rл. 11
1) 'У» Ф. Формулы для оптических характеристик п и k, соответ"
ствующих области поrлощения, rде 0 значительно меньше 'У, леrко
получить из (12.11) и (12.12)
п 2  2п Ne 2 [ ...... 1 + [ 1 + { 1' ) 2 ] 1/2 ]  2п Ne 2
т1'2 \ ы т1'Ы '
(12.15)
k 2  2п Ne 2 [ 1 + [ 1 + ( 1' ) 2 ] 1/2 ]  2п Ne 2r .
т1'2 ы т1'Ы
(12.16)
Их можно упростить, используя (12.10), после чеrо выражения для
п и k принимают вид
п == k == ( :0) 1/2.
(12.17)
Если подставить эти значения в формулу (3.2), то мыI снова получим
для (Q и А формулыI (3.6).
2) си "" си'. В области частот, близких к си', коrда величина в стано..
вится равной нулю, си примерно в сто раз больше 'У, так что вели..
чиной 'У по сравнению с си можно пренебречь. Тоrда формулы (12.11)
и (12.12) можно записать в виде
п2  k 2 == 1  4п Ne 2 !
ты 2 ,
(12.18)
nk == о.
Но это есть условие идеальноrо металла, paccMoTpeHHoro выше.
Поэтому поведение идеальноrо металла в этой области частот б у..
дет соответствовать поведению реальноrо металла, к которому
применима модель свободных электронов (щелочныIe металлы).
3) т'» си »'У. Теоретические и эксперименталъныIe значения
не соrласуются в близкой инфракрасной, в видимой и вблизи ультра..
фиолетовой области спектра, rде 0'» си »'У. Значения (F и в, давае..
мые уравнениями (12.8) и (12.9), в этой области будут -
(F == Ne2'Y == ( Ne2 ) 2 
mro 2 ты 2 (То'
(12.19)
в == 1 ..... 4п Ne 2 .
ты 2
(12.20)
Форстерлинr и Фредерикс измерили п и k для некоторых металлов
в области ДJЩН волн от 1 до 15 f-L, из которых значения (F и в MOryT
быть определены с помощью (12.17). эIcспериментальныIe значения
В, как правило, соrласуются с теоретическими, определенными из
,

 12]
МОДЕЛЬ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ (ТЕОРИЯ ДРУДЗИНЕРА)
91
(12.20), с ошибкой в пределах 10%, тоrда как значения и отличаются
на сравнительно большую величину. Найдено, что наблюдаемыIe ве..
личиныI зависят от частоты 0/2.0
соrласно формуле (12.19); ,
однако значение и о, кото..
рое необходимо для Toro,
чтобы получить правиль..
ные значения величины,
мноrо меньше удельной
электропроводности для
постоянноrо тока. Такое
положение имеет место и в
более новых работах. Со..
rласие между уравнением
(12.20) и эксперименталь..
.
ными значениями в может
быть несколько улучшено
путем заменыI т эффектив..
ной массы т*, причем т*
должна быть несколько больше, чем т. Степень этих изменеНИЙ
приведена в табл. 3.
400
300
....
I

'"<
200

100
--5000 4000 8000 2000 /OOO
пaKa
Рис. 20. Зависимость световой ПРОВОДШdости
от диэлектрической проницаемости е == п2k2.
о
Таблица 3
Металл
Au
1'. Ag
Си
Ir
pt
Значение 0"'0 (1017 ceKl), со-
ответствующее лучшему
соrласшо теории и экспе-
РШdента .... . . . . . . . . . . .
Действительное значение
0"'0 (1017 ce/\1) ........
т* т ..... . . . . . . . . . . . . . . .
1,4
0,12
0,13
2,5
1,0
5,7
1,07
0,85
1,7
4,2
1,13
5,3
2,56
Более поздние данныIe для блаrородных металлов и никеля при-
веденыI в табл. 4.
Таблица 4
0'0 . 1016 CGS Е
Металл ... Массив-
[69] [66] [112] ный
металл
Медь ......... 13,5 9,7 15,4 58
Серебро ........ 26 23,1 23,4 61
Золото ......... 3,6 13,6  44
Никель ....... 0,76  3,16 13,7

92
ОnТИЧЕСI(ИЕ СВОЙСТВА ПО ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
[rл. 11
в той области спектра, в которой 02 сравнимо с у2, вводить прибли-
жения нельзя; ураонения (12.8) и (12.9) или им эквивалентныIe (12.11)
и (12.12) должны использоваться в их полном виде.
Интересно заметить, что если световую проводимость (т == nkv
нанести на rpафик как функцию п 2 ...... k 2 == е, то уравнения (12.8)
и (12.9) предсказывают, что rрафик будет прямой линией с отрипа..
тельным коэффициентом ( L ), определяющим наклон прямой.
Это предсказание не содержит приближений и потому должно быть
справедливым по всему спектральному интервалу. Ряд исследова-
телей представляли свои экспериментальные данные такими rpафи..
ками, чтобы показать точность подтверждения экспериментом теории.
На рис. 20 показан в качестве npимера один из таких rpафиков.

r ЛАВА IП
КВАНТОВЬШ ПЕРЕХОДЫ И ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕIШЯ
 13. ФУНКЦИЯ rамильтона электрона во внеПlНем
электроманиmОМ поле
Уравнение движения электрона в электромаrнитном поле имеет
вид
.. е [ . ]
тт == еЕ + . ". ХН.
с
(13.1)
Уравнения движения можно представить в форме rамилътона
. odtj
X.==
l ОР; '
· odtj
р. == ..... 
l ОХ;
(i == 1, 2, З).
(13.2)
Пока масса т считается постоянной, то есть пока можно пренебре-
rать релятивистской зависимостью маесы от скорости, .уравнения
(13.1) и (13.2) эквивалентны друr дрyry,' если только положить, что
функция rамильтона имеет вид
'Jf5 == 2 [(Px  Ax)2 + (Ру  AyY + lpz  Azп + elp. (13.3)
Потенциалы А и ер связаны с напряженностями поля Е и Н соотно-
шениями
1 оА
Е ==  \lP'  lэt'
н == rotA.
. (13.4)
Покажем эквивалентность (13.1) и (13.2). Уравнения для х и p, со..
rласно (13.2) и (13.3), будут ·
· .. 1 ( е А )
x==p
т х с х ,
· ==  j (  .!:. А ) оАх (  A ) оАу ( .!:. А ) oAz f ...... е otp
рх те  Рх С х ох + Ру с у ох + Pz с z ОХ) ох.
(13.6)
(13.5)

94
КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ И ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
[rл. 111
Из (13.5) имеем
· е А
РХ == тх +  х.
с
(13.7)
Подставляя (13.7) в (13.6) и принимая во внимание, что
dAx == оА х х + 8Ах · + оАх z + 8Ах
dt ОХ 8у У 8z ot '
получим
· .. + с А 8 .. + е ( ОА х . + оАх · + оАх . + ОАх )
р == тх  == тх   х  у  z  ==
х е х с ОХ 'ду OZ о!
е ( . 8Ах + . оА у + . OA z ) 8lp
== тx тy Л1Z  e.
те ах 'дх 'дх ох
(13.8)
Отсюда
. .
тЖ == ...... е ( 8q> +  8А х ) + еУ ( 8А у ........ ОА х )  eZ ( 'д Ах ........ OAz ) . (13.9)
'дх с ot с \ ох ау с oz ох
На основании определения операции rot, а также в силу (13.4) урав..
нение (13.9) можно представить в следующем виде:
· е
mv x == еЕ х +  (1' Х Н)х,
с
или в векторной форме
тV == т" == е (Е +  [v Х н] J . (13.10)
Таким образом, эквивалентность (13.1) и (13.2) доказана, а вмеС1.:е
с тем установлена функция rамильтона для электрона в электро
маrнитном поле (13.3).
В квантовой механике [74] для оператора rамильтона (rамиль..
тониана) используется то же самое классическое выражение функции
rамильтона, но импульс р заменяют a оператор импульса р ==  in \l
(rде 1i  постоянная Планка, деленная на 2п), то есть
'j{j==  (p .A)2+ еЧJ. (13.11)
Если помимо электромаrнитноrо поля имеются еще и друrие внет..
ние поля, описыаемъIеe потенциалом и, то общее выражение rамиль-
тониана для электрона будет
iv ==  (Р  ;АУ + eip + и. (13.12)
Представим теперь rамильтониан в такой форме, в которой члены,
описьmающие взаимодействие электрона с электромаrнитнъlМ полем
выделяются особо. Для этоrо напишем следующее очевидное равен..
ство:
(Р  A)2 == (Рх   АхУ + (РУ  AyY + (pz  Az)2. (13.13)

 14]
ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
95
Рассмотрим первый член справа:
( ) 2 ( ) ( )
.... е .... е .... е ....2 е ..... е ....
Р ......A == Р ......A Р A ==Р ......A p"...... p А +
х с х х с х х е х х С х х с х х
е 2 А 2 "'2 е А '" 2е.... А е Р '" А + е2 А 2
+  == р ......  Р   Р .. +  х х  Х.
е 2 Х Х С Х Х с х х с е2
(13.14)
в силу перестановочноrо соотношения
( '" А А ..... ) .ж. оА х
РХ х  х Рх ==...... 11b ОХ
уравнение (13.14) можно записать в виде
( '"   А ) 2 == "'2  2е '" А ...... ien оА х + е 2 А2
РХ С х РХ С Рх х с ох е2 Х.
(13.15)
АналоrичныIe выражения получим для двух дрyrих составляющих
оператора (р  ;А), И поэтому rамилътониан принимает ВИД
'" р2 е ien е 2
dV ==  .......  р А   div А +  А2 + еер + и.
2m те 2тс 2тс 2
(13.16)
a первоrо и последнеrо членов представляет rальтониан
в отсутствие электромаrнитноrо поля, тоrда как остальные члены
относятся к взаимодействию между электроном и электромаrнитным
полем.
Для световой волны вектор"потенциал всеrда можно выбрать
так, чтобы div А == О и скалярный потенциал ер == о. Тоrда поле све...
товой волныI будет определяться формулами
1 .
Е == ......  А , н == rot А.
с
(13.4а)
е 2
Если, кроме Toro, в (1316) пренебречь членом  2 2 А2 как величиной
те
BToporo порядка малости, то можно rамилътониан представить
в виде *)
'it; == ра + и + ....!:.. с' · А) == 'it;o +  (р · А).
2т теР те
( 13.17)
5 14. Теория квантовых переходов.
ICвантоваи теории дисперсии
Для оптики металлов, как и для всей оптики в целом, весьма
важнъlМИ из теории квантовых переходов являются задачи на вы..
числение вероятности перехода из состояния с энерrией Е п в состоя..
ние с дрyrой энерrией Е т . Для рассмотрения этоrо вопроса будем
*) в формуле (13.17) е означает абсолютное значение заряда электрона.

96
КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ И ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
[rл. 111
ИСХОДИТЬ из уравнения Шрединrера
a А А
i/i Ш == d6°(x)tp + ХВ(х, t) tp,
(14.1)
rДе rfио  rамильтониан системыI в отсутствие возмущения и 1д в (х, t)
 оператор взаимодействия системы с излучением (возмущение).
При малом возмущении можно считать, что оператор dVO дает воз-
можныIe значения полной энерrии, а возмущение приводит лишь
К переходам между этими уровнями. Для нахождения вероятности
перехода Р тn(t) с уровня Еn на уровень Е т перейдем к энерrетическому
представлению *) (В  представление).
Разложим tp(x, t) по собственным функциям tpk(X) оператора -;to:
iEkt
1р(х, t) ==  bk(t)tpk(x)eT.
k
( 14.2)
iE m t
Подставляя (14.2) в (14.1), умножая на tp(x)e 11, и интеrрируя по х,
получим обычнъlМ способом уравнение Шрединrера (14.1) в Е-пред..
оСтавлении:
in l" == L ;;Vk( t) e iwmk t b k (t),
k
(14.3)
тде dtпk  матричныIй элемент энерrии возмущения, равный
-;t::'k == r fJJ j)B fJJk dx,
1'-
(14.4)
Е т  Ek
И (i)тk == 11,  боровская частота перехода Е т  Ek. В началъ..
НЫЙ момент времени система находится в состоянии Е == Еn, следо..
вателъно, при t == О
bk(O) == 1, если k == п, и bk(O) == О, если k -=1- п.
(14.5)
Вероятность найти систему в состоянии Е == Вт в момент t равна
1 bп1(t) 12. Поэтому вероятность перехода Еn  Е т к моменту времени
t равна
Р mn(t) == I b"l(t) 12.
(14.6)
Таким образом, задача состоит в нахождении величин b k ( t) из ypaB
нений (14.3) с началъными условиями (14.5). В качестве нулевоrо
приближения для Ь2( t) возьмем их начальное значение, а именно
bZ (t) == 0nk. Подставляя эти значения в правую часть (14.3), найдем
уравнение ДЛЯ первоrо приближения:
db(l) (t)
ili т ==  dV B e i8тk t О == llJB eiOJтnf ( 14.7 )
d t -f- тn nk тn ·
*) Еn и Е т являются собственными значениями оператора ;;20.

 14]
ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
97
Интеrpируя по времени, находим
t
Ь<Ж t ) == i J in (t)eiw",,,t dt + б тп . (14.8)
о
Подставляя снова b>(t) в правую часть (14.3), получим уравнение
для BToporo приближения:
(2)
in bт (t) ==  d{)B eiWтk t b(l) ( t ) ( 14.9 )
dt mk k.
При малых энерrияx возмущения ХВ( х, t) можно оrpаничиться первым,
или в крайнем случае вторым приближением. Относительно зависи-
А
мости возмущения dV B от времени предположим, что оно равно нулю
для t < О и для t > t 18 Считая, что lVп(t) столь MaJIыI, что первое
приближение приrодно и для t > t 1 , мы получаем из (14.8) ампли-
туду bg)(t) для t > t 1 В виде
11
Ь) (t) ==  J n (t) ei(J)",.. t dt ==
о
+00
,. 1 J .
== J. ih 'JV:Z (t) е 'Штп t dt
(14.10)
oo
(для t > t 1 bg>(t) от времени не зависит, так как энерmя есть инте-
rралдвижения).
Разложим 16 В ( х, t) в интеrpал Фурье
+-
d{jB (х, t) == J lV В (х, m)eiQ)t dm.
(14.11)
oo
Отсюда по теореме Фурье получаем
+00
'J{;B (х, 0) .  J 'J{;B (х, t) d(J)t dt.
(14.12)
oo
)
,
Матричный элемент энерrии возмущения (14.4) на основании (i4.11)
можно представить в виде
+00 +00
'J{;n (t) == f rit.d0 J 1p (х) ;;д)В(х, 0)1рп (х) dx ==
oo
oo
+00
== f ri(J)t х:т (0) d0,
(14.13)

7 А. В. СОКОЛОВ

98
КВАНТовЫЕ ПЕРЕХОДЫ И ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
[rл. 11I
rде 1Vп (си) ...... матричный элемент компоненты Фурье частоты 0.
Применяя к (14.13) теорему Фурье, находим
+00
dti:т (ы) == 2 J dti::'n (t) d",t dt.
(14.14)
.......00
Из сравнения (14.10) и (14.14) находим
1..(1) 2 п rv:B ( )
и т == in dV m ll си тп .
(14.15)
Следовательно, вероятность перехода из состояния Е п в Вт будет
равна
Р тп == I Ь) 12 == 4;а I dti:т (ыпuJ 12.
(14.16)
Это соотношение дает для системыI вероятность поrлотить энерrию
и перейти в более высокое квантовое состояние, если пер во начально
она находилась в состоянии с меньшей энерrией, или же, если она
уже первоначально находилась в более высоком квантовом состоя..
нии, вероятность испустить энерrию под действием падающеrо на
нее излучения и перейти в состояние с меньшей энрrией. Изложенная
теория не дает объяснения Toro факта, что система, находясь в одном
. из более высоких квантовых состояНИЙ и не подверrаясь при этом
действию падающеrо на нее излучения, может самопроизвольно
испустить энерrию и перейти в менее высокое состояние.
Формула (14.16) выведена для переходов в дискретном спектре.
Для переходов в непрерывном спектре ее нужно видоизменить. Про..
ведем необходимые видоизменения для переходов из дискретноrо
спектра в непрерывъIй,, считая, что система имеет и тот и друrой
спектр.
Состояние непрерывноrо спектра характеризуется непрерывными
параметрами. Обозначим их через а, fЗ, у (например, Рх' Ру; Pz). Для
простоты вычислеНИЙ вначале будем явно писать лишь один пара..
метр а. Энерrия Является функцией этих параметров Е == Е(а). Соот...
ветствующей Волновой функцией служит "Ра(Х). Тоrда разложение
(14.2) представится в следующем виде:
iEk t J iE(a)t
"Р(х, t) ==  b k (t)tpk (x)e т + Ьи. (t)tpa (x)e da.
k
(14.17)
Учитьmая условия нормировки функций непрерьmноrо спектра
J 11':, 11'0 dx == о(а a')

 14]
ТЕория КВАНтовых ПЕРЕХОДОВ
99
и повторяя вычисления, ведущи; от (14.1)- к (14.7), находим
t
. Е (а)  Е п
b(l) ( t ) ==  f ']{)В е 1 n dt,
а in ап
О
(14.18)
тде
'J6: n (t) == S 1р: (х) dб в (х, t) 1рn (х) dx.
(14.19)
Предположим теперь, что возмущение монохроматично, то есть
Х В (х, t) == ZB (x)e iwt + ХВ* (x)eiwt.
(14.20)
Тоrда
B ( t )  "( в ei(J)t + B* eiwt
dUaп  ап dUaп ,
(14.21)
rде dt':п и Х::  матричные элементы компонент Фурье от dVB(X, f).
Подставляя (14.21) в (14.18) и интеrpируя по времени, находим
i i
h {В(а)------Е п + l1(J)}t h {E(a)En"""n(J)}t
(1) 1 B е ......1 1 B* е ......1
Ь а ==  dUaп . +  dUaп . .
1111 1 1111 1
h{E(a)  Е п + hш} h{E(a)  Eпn6)}
(14.22)
Так как m > О, Е(а) > О (непрерывный спектр), Е п < О, то при Е(а) ==
== Е п + nт первый член мал, второй велик (поrлощение). Если же
Е(а) == Е п  nCiJ, то, наоборот, второй член мал, первый велик (излу-
чение ).
Рассмотрим поrлощение. Пренебреrая в этом случае первым
членом, получаем для вероятности перехода из Е п в интервал
а, а + da к MOMeTY времени t следующее выражение:
I ь 1 2 d == ! diJ: п 12
а а 11,2
i
h {Е(а)Вп........п.(о}t
е 1
i
h{E(a)  ЕпnШ}
2
da.
(14.23)
Вероятность же перехода из Е п в а, а + da в 1 сек равна
. I Е(а.)  Е п n'Ш J
2 1 d{,B 1 2 Sln t
Р da' == d I Ь а 12 da == ап 11, da. (14.24)
an dt 11,2 Е(а) Eп  hш
11,
Вводя обозначение
Е(а)  Е п  n'6)
а==
11,
и
ПОJIЪзуясъ
формулой
7.

100
КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ И ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
[rл. 111
+00
J ..J. sin at
c- at dt == 2'Л о(а), леrко показать, что для t  00 ;;::: 'Ло(а).
OO
В саМОМ деле, имеем (вводя замену переменных iat == z):
z
lim  f eZ dz == lim
zoo la zoo
z
eiat  eiat
ia
1 . 2 sin at 2  ( )
== 1т == 'Ли а .
ZOO а
Поэтому (14.24) приобретает вид
Р an da == : d6 2 () [(E(a)  Е п  пф)] da,
U так как о (ах) === ! д (х), то окончательно получаем
а
Р п (a)da == 2; I d6: п 12 () (Е (а)  Е п  пФ) da.
(14.25)
Аналоrичным образом рассматривая случай излучения, получим
формулу, подобную (14.25), с тем ЛИIПЪ отличием, что под о-функ..
цией Цирака будет стоять дрyrой арryмепт, а именно (В(а) ...... В п +пm).
Если состояние непрерывноrо спектра характеризуется несколь-
кими параметрами а, {З, у, то аналоrичнъlМ способом получим для
вероятности перехода из состояния Е п в область а, а + da, {З, f3 +
+ аfЗ, у, У + ау в 1 сек:
Рп(а,р, y)dad{Jdy ==  I d6: pyп 12 (}(Е(а, р, у)  Е п ::1: пФ) dad{Jdy,
( 14.26)
rде знак плюс соответствует излучению, а минус ...... поrлощению
системой энерrии от внешнеrо возмущения.
Применим теперь эти общие положения ДЛЯ получения уравнеНИЙ
ttоrлощения и изучения света атомом, а также для дисперсии.
Примем векторный потенциал световой волныI с волновым векто..
ром q в виде *) ..
A(,.,t) == Bei wt + B*ei(JJt,
(14.27)
['де
в ==  Co eiqr, в* === el!0 eiqr.
l l
(14.27а)
Тоrда возмущаюЩИЙ член в силу (13.17) имеет вид
dlJB ==  ( Р . А ) ==  Р А Е ( ei(q,-.......aJt)  e----i(qrt» ) .
те lт о
( 14.28)
*) Заметим, что при таком выборе BeKTopHoro потенциала из уравнений
(14.27) как раз получается нужное электрическое поле световой волны, а именно
Е ==  : оА == Е О { ei(Q)tr) + ei(Q)tr) } .
е 01 -

 14]
ТЕОРИЯ КВАНТовых ПЕРЕХодов
101
матричный элемент энерrии возмущения (14.4) теперь принимает
вид:
:;Ю::Zk (i) == J 'IJ':' :: [р ei.,r е  i ",1 ....... Р е i.,r ei"'1'1J'k dT,
или
B ( t )  Е ( С ei(J)t..... с+ ei(J)t )
t1Umk  О mk mk,
(14.29)
rде
С е J * А iпr d
mk ==  "Рт ре '2 1JJk Т,
lт6>
(14.30)
и k получается из (14.30), если перед q изменить знак; dT == dx dy dz.
Далее, на основании (14.20) и (14.29) имеем
1V:Z k (..) ==  Ео Ck' 1V == Ео C mk .
Поэтому формула (14.22) при таких значениях матричных элементов
энерrии возмуЩения принимает вид
b(l) == Ео
m in
C mk
i
h (EтE(J)t
е 1
i
11, (EmEkh6»
 C;;;k
i
h (EтEk + nш)
е 1
i
n (Е т  Ek + 11,6»
. (14.22а)
Вероятность Toro, что за время t будет иметь место или процесс
излучения или процесс поrлощения, выразится соответственно
Р .(t) == 'Ео c тk l 2 В(Е т ...... Ek :l: "'6), (14.31)
rде
В(х) == 4 sin:  , ! (14.32)
х == Е т  EkX:l: ПО),
При малых t вероятность (14.31) при заданной циклической частоте
т пропорционалъна квадрату времени *). Однако, есJIИ частотыI поля
излучения непрерьmно распределены по достаточно широкому участку
спектра, то полная вероятность будет меняться линейно со временем.
Обозначим энерrию излучения, поляризованноrо в направлении
el С частотами, заключенными в интервале от т до й) + d6), через
ееl(6)) d6), причем около резонансной частоты ее1 практически :пр
стоянна.
Поскольку для каждой волныI с данным q MoryT быть произволъно
выбраны два независимых направления поляризации, то средняя
плотность связана с амплитудой световой волны Ео соотношением **)
E
е == 4п2 ·
*) в этом леrко убедиться, разлarая синус в ряд и оrраничиваясь первым
членом разложения.
**) Заметим, что Q(V) == 2пе(6)), так как Q(V) dv == e(6))d6J.

102
КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ И ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
[rл. 111
Поэтому формула (14.31) может -бьпь написана в следующем виде:
Р w(t) == 4п2е I el C тk 12 В(Е т ...... Ek ;f: nro). (14.33)
ЛЯ полной вероятности яерехода тоrда получаем
00
00
00
P(t) == f Р" (t) dv == 2 f Р", (t) d6J == 2п-е", f lel c mk l2 В(В т Bk::l:: n 6J )d6J.
о о о
(14.34)
Соrласно (14.32) dx == :1: Ii dw, и следовательно, находим
xt
00 4 sin2
P(t) == 2: е", f I еl C mk 12 ж. 2п dx.
о
При резонансной частоте функция е имеет резкий максимум с полу..
v Д 2п П v б'
ширинои т == t . ри поrлощении и излучении в оптическои о ..
ласти мыI будем иметь время t порядка 108 сек, то есть пДт"" 107 эв,
что очень мало по сравнению с обычными значениями т. Поэтому
е можно заменить о-функцией той же площади. Так как
00
00
f xt f
sin 2 
4 211, dx == 2t sin 2 Z dz == 21tt
х 2 n Z2 11, '
QO
QO
21tt
то В(х) можно заменить выражением т о (х), rде о(х)  дельта-
'функция, обладающая свойством
"х
f о(х) dx == 1.
.:1x
Таким образом, окончательное выражение ДЛЯ полной вероятности
Перехода имеет вид
16п 4
P(t) ==  I el C mk 12 еш t.
(14.35)
Из формулыI (14.35) видно, что вероятности индуцир?ванноrо
излучения и поrлощения пропорциональны плотности излучения
и что правила отбора для переходов определяются матричнъlМИ
элементами оператора pei'lr.
Если размеры атома rораздо меньше ДЛИНЫ световой волны,
то изменением q · 'r внутри атома можно пренебречь *), а экспонен-
(д 2п
*) Действительно, так как qr ==  r ==  r, то при r« 'л elqr 1.
с 'л

 14]
ТЕОРИЯ КВАНТовых ПЕРЕХОДОВ
103
циальный множитель ехр iq .". заменить е диниц ей. Поэтому матрич"
ные элементы C mk можно вырзитьь через матричные элементы ди..
полъноrо момента d ===  e'r. Для этоrо умножим уравнение Шредин-
['ера
1IJ 1J'k == Ek 1J'k
*
на "'''Рт, результат вычтем из уравнения
1t;1J' === ф mtp,
, умноженноrо на 'f'1JJk' а затем проинтеrpируем по dT. Тоrда получим
(Е т  E k ) f 'IJ'';" 'I''IJ'k dT == f '1'[ 'lJ'k -;U 'IJ'';"  'IJ'';" 1t; 'lJ'k] dT. (14.36)
А 11,2
Подставляя в (14.36) явное выражение rамильтониана 16 ===  2m L1 +
+ V('r), находим
(Е т  E k ) f 'IJ'';" '1' 'lJ'k dT ==  : f ...[ 'lJ'k AV'';"  V'';" A'lJ'k] dT.
с помощью теоремыI rрина правая часть может бьпь сведена :к:
выражению
 f (V'k grad V'';"  V'';" grad V'k) dT.
(14.37)
При этом предполаrалосъ, что на болыIIиx расстояниях 1J'k равна
нулю, а поэтому интеrрал по поверхности в формуле rрина может
быть опущен. Таким же образом можно по:к:азать, что интеrрал от
BToporo члена в (14.37) равен интеrpалу от первоrо. В результате
находим
f 'IJ'';" grad V'k dT ==  a (Е т  E k ) f V'';" ... 'lJ'k dT.
Соrласно (14.30) при ехр (iq. 'r), равном единице,
еh f * d
C mk ===   tpm grad tpk Т,
ты
и поэтому из сравнения с (14.38) находим
Е т  Ek f * ( ) d
C mk   n ы tpm  е1' tpk Т.
При Е т  Е т ! === :f: nт соответственно получаем
C mk  =t= d mk .
Поэтому выржениеe (14.35) можно представить в виде
.
16п 4 8п 3
Р( [) == Ji2" Id т1i e 1 12 еш t == h 2 I d тk el/ 2 ev t.
(14.38)
 '
(14.39)
(14.40)
(14.41)

104
КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ И ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
[rл. 111
Cpднee значение коэффициента перед e,i в этом выражении, то есть
8п 3 2
""Ji2 I d mk I , (14.42)
представляет собой коэффициент ЭЙНШТейна для индуцированноrо
излучения при переходе атома из состояния lpk В 1рт.
Теперь можно перейти к рассмотрению дисперсии света, то есть
случая, коrда частота света не лежит вблизи резонанса. Нам нужно
найти зависимость показателя прело мления, а следовательно, поля..
ризуемости (или, что равносильно, диэлектрической проницаемости)
от частоты. Для этоrо вычисляется среДНИЙ дипольный момент атома
d, находящеrося в состоянии 1р. В результате получается функция,
содержащая членыI, rармонически зависящие от времени. Будем
предполаrать, что действителъный коэффициент, стоящий перед
членом, содержащим зависимость от времени в виде ехр i(j)t, является
амплитудой (ответственной за дисперсию) выужденнъIx колебаний
атома с циклической частотой т. Предполаrается также, что
ехр (iq · ) == 1.
Среднее значение d в состоянии 1р равно
f f [ .!.. (EтEk)t !.(EтEk)t ]
d === 11'* d1p dT == 11'; dtpk dT + ' bmdп е 11, + b;dmken ,
m=t=k
(14.43)
rде пренебрежено членами, содержащими Ь 2 . Первый член есть не
Что иное, как среДНИЙ электричесКИЙ момент атома в начальном состоя..
нии lpk. Так как он не зависит от времени, то в дисперсии света он
никакоrо участия не принимает.
На оСновании (14.22а) и (14.39) имеем
i i
[ h (ЕтЕr---nw)t (EтEk+1),w)t ]
Е т  Ek е  1 е'"  1 ( 44 )
Ь т == Ео d тk 11,6> Е т  Ek  n6> ...... Е т  Ek + n6> · 14. .
Подставляя Ь т И ь; из (14.44) в (14.43), находим
i i
J   (EтEk)t   (Е т ....... Ek)t ]
EmEk [ eiwte n eiwte Ii
тEo I d mk l 2 пы . Вт  Bk пы  Вт  Bk + Ьы +
i i
[  (EEk)t h(EEk)t J
e iwt  е п eiwt  е
+ Е т  Ek  11,6> Е т  Ek + 11,6> ·
( 14.45)
Выделяя член, осциллируюЩИЙ с частотой т, получаем
Eld 1 2 EmEk ( 1  1 ) (eiwt+eiwt)===
 о mk 11,6> Е т  E k  11,6> Е т  Ek + hЫ
m=t=k
==  Ео I dmk 12 26>km (eiwt + eiwt). (14.46)
+ k n 6>2 6>2
m r mk

 14]
ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
10S
Поскольку остальныIe члены в (14.45), зависящие от времени как:
i
:f:  (EтElC>t
е 11, , не имеют отношения к индуцированному рассеянию,.,.
то мыI их опустили.
Используя классическую формулу для поляризации еДИНИЦЪF.
объема
р  Nd ==аЕ,
из (14.46) для тензора поляризуемости получаем
а == е  1 ==  21 dmk J: Nblkm 2 .
4п .../-- k n ы 2  ы
т, kт
(14.47}
Сравнивая ее с классической формулой дисперсии (11.20a), видим
что обе формулыI становятся тождественными, если положить
f  2т I dmk 12 blkт  2т 1 "'m k 12 blkт ( 14.48 )
i  е 2 11,  11, ·
Величину h в квантовой теории принято. называть силой осцилля
тора.
Соотношение
 f; ==   6)km I '1' mk 12 == 1
1 т
(14.49)
выражает в простейшей форме хорошо известную теорему сумм:
ТомасаКунаРейхе.
Таким образом, классическая и квантовая формулыI дисперсии
приводятся к идентичной форме. Однако вместо частот т, вообра...
жаемых осцилляторов классической теории в квантовой теории
входит реальная собственная частота света, которая может поrло-
щаться или испускаться атомом. Вместо доли осцилляторов " В
квантовой формуле стоит выражение (14.48), которое можно вычс..
лить, если известны волновые функции атома. Кроме Toro, сила
осциллятора просто связана с коэффициентом Эйнштейна для само..
прои;зволъноrо излучения частоты 6)kт' выражаемыIM в виде
4ы 3
A'Ji == 311, k;  1 d kт 12_ (14.50)
Действителъно из сравнения (14.48) и (14.50) находим
t 3тс3 Ат
i== 2 22 k-
е ы kт
Таким обром, сила осциллятора t i определяет интенсивность caMO
произволъноrо излучения.

r ЛАВА IV
--КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МЕТАЛЛОВ
 15. Общие положения квантовой теории твердоrо тела.
Основы квантовой оптики металлов
Так как :квантовая оптика металлов опирается на основные поня"
.тия :квантовой теории твердоrо тела, то нам прежде Bcero следует
рассмотреть эти представления.
Электроны в металле подчиняются уравнению Шрединrера
160 tp( ".) == ЕО tp( ".),
(15.1 )
rде 12;0 определяется по формуле (13.17). Наиболее характерной чер..
той потенциальной энерrии V(".) для электрона в кристалле является
· ero симметрия: потенциал электрона должен обладать той же сим..
метрией, что и сам кристалл. В частности, функция v(".) должна быть
инвариантной под действием любой трансляции, которая совме..
щает кристалл сам с собой V(r + n) V(,.), rде n== п 1 а l + П2 а 2 + пзаз
'есть вектор решетки и аl, а2, аз  основные периоды решетки.
Для Toro чтобы избежать усложнеНИЙ, которые возникают при
попытке наложить на решения реалъныIe rраничные условия, обычно
используют так назьmаемый «циклический кристалл. Циклический
кристалл есть не что иное, как бесконечныIй кристалл, разбиваемый
на периодически повторяющиеся параллелепипедыI с ребрами Gal'
G"2, Ga3. Число G является произвольно большим числом. Такой
параллелепипед назьmается основной областью кристалла. Леrко
. установить, что основная область содержит G3 единичных ячеек
-с объемом (а 1 . [а2 Х аз]). Циклические rраничные условия требуют,
чтобы любые две точки в пространстве, если они отличаются на век..
тор Gn, рассматрива.лись как физически эквивалентные, то есть
tp(".) == tp(". + Gn).
(15.2)
Итак, математически задача формулируется следующим образом.
Требуется нйти решения уравнения (15.1) с потенциалом V(r), об..
ладающим полной пространственной симметрией решетки, удов"
летворяющие rраничным условиям (15.2).

 15]
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ТВЕРдоrо ТЕЛА
107
Как впервые показал Блох, всякое решение поставленной таким
образом задачи должно иметь вид
11' (k,) === exp(i k · '1') u(k ...),
(15.3)
rде и(k) ...... периодическая с периодом решетки функция U(k, ) ==
=== и(k,... + п)  k  волновой вектор или квазильс электрона в
кристалле. Условие (15.2) может быть вьmолнено только в том
случае, коrда
2п )
k === G (Xl Ь 1 + Х2 Ь 2 + з Ь З ,
(15.4)
['де иl, , Ха  целые числа и Ь 1 , Ь 2 , ьз  основные периодыI так назы..
ваемой обратной решетки, определяемыIe равенствами
а. Ь. === О..
l) '}
(i, j === 1, 2, З).
Можно показать, что две блоховские функции, волновые векторы
которых отличаются на вектор обратной решетки h === h 1 b 1 +  Ь 2 +
+ ha Ь 3 (hi  целыIe числа, включая нуль), умноженной на 211:, физи..
чески эквивалентныI. Для Toro чтобы не рассматривать физически
эквивалентных решений, следует оrраничить область изменения k в
обратном пространстве. Наиболее просто это можно сделать, потребо--
вав, чтобы вектор k лежал в центральной единичной ячейке обратной
решетки (1" также может лежать на rраницах единичной ячейки).
Волновые векторы, значения которых лежат в центральной единичной
ячейке обратной решетки, называются приведенными волновыми
векторами, а сама центральная единичная ячейка  приведенной зоной
Бриллюэна. Следовательно, всякая блоховская функция может быть
охарактеризована некоторым приведенным волновым вектором k.
Отсюда непосредственно следует, что собственные значения уравне--
ния (15.1) также будут функциями волновоrо вектора k.
В действительности волновое уравнение (15.1) при всяком допу-
стимом значении k === ko имеет не одно собственное значение и со б..
ственную функцию. Будем нумеровать эти различныIe квантовые
состояния, соответствующие одному и тому же значению приведенноrо
.
волновоrо вектора, некоторым индексом п, причем этот индекс можно

при писать различным квантовым состояниям в порядке возрастания
их энерrии, то есть состояния нумеруются значком п так, чтобы имело
Место E 1 (k o )  E 2 (k o )  . . . ::::; Ej(k o )  . .. Проделав это для всех
значений k, получим систему энерrетических функЦИЙ
El(k)  E 2 (k)  . . .
При изменении k в приведенной зоне Брилтоэна каждая из функЦИЙ
определяет в четырехмерном пространстве HeKoTopyIO rиперповерх..
ность. Седовательно, состояния электрона в кристаллической решетке

108
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙcrв МЕТАЛЛОВ
[rл. IV
характеризуются четырьмя квантовыми числами...... тремя' составляю...
щими h и номером энерrетической полосы п, то есть
tp(".) ;:: tpn(k".) == G8/1 ехр (i k 1') Un(k 'r),
Е == En(k).
(15.5)
(15.6)
Волновые ФУНКЦИИ 1JJn нормированыI в основной области, тоrда как
Un(k, ".) нормируются по элементарной ячейке (G/2 в (15.5)  фактор
нормировки):
J и:. и n dTo == Ontn.
TaK образом, энерrетический спектр электрона, движущеrося в.
периодическом поле кристаллической решетки, состоит из отдельных
областей Е == En(k), в каждой из которых энерrия является функцией
квазиимпульса k. Эти области называют полосами дозволенной энер".
rии или просто энерrетическими полосами. Следовательно, энерrети'"
ческий спектр электрона в кристалле состоит из чередуIOХСЯ раз
решенных и запрещенных полос энерrии.
11равнение UUрединrера для определения электроннь состояний
в кристалле должно оставаться инвариантным при преобразованиях
совмещающих данный кристалл сам с собой, которые в случае беско....
нечноrо кристалла образуют бесконечную rруппу, называемую про...
странственной rрynпой симметрии [193]. Из полной пространственной
rрynпы всеrда можно ВЫДелить бесконечную абелеву подrруппу
,трансляЦИЙ. Базисными функциями, осуществляющими неприво...
димыIe представления этой подrруппы, являются блоховские функции
(15.5), и действие операций трансляцИй сводится к умножению на
ехр ( i k t), то есть
{в I t} tpn (k,,,.) == ехр (i k t) tp71(k, ".).
(15.7)
Используя эти Функции, МОЖНО построить неприводимые пред'"
ставления и для полной пространственной rруппы*). В дальнейшем
исключим из рассмотрения сложные элементы симметрии, то есть
будем считать, что всякую операцию rрупnыI {a/t} можно представить
в виде {Blt} {а/О}, причем {вlt}и{а/О} сами являются операциями rруппы.
Следовательно, при исследовании TaKoro рода пространственных
ynп в добавление к трансля необхоо рассмотреть ЛИПIЬ
еще опер аци-и соответствующей точечной rруппы. Как известно, их
действие сводится к тому, что функция с волновым вектором k пере...
ХОДИТ в волновую функцию с волновым вектором k', который полу..
чается из k с помощью данной операции, то есть
{а I О} tpn (k, ".) == tpn (ak, ".).
(15.8)
*) Основные 'представления о пространственных rpуппах СМ., например,.
r. я. л ю б а р с к и й, Теория rpупп и ее применение к физике, rостехиздат,
Москва, 1957.

 15]
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ТВЕРдоrо ТЕЛА
109
Действительно, возьмем функцию 1JJп(k, '1') И подействуем на нее Элемен-
том {aIO}:
{а I O}1JJп(k, '1') ==: ехр (i k,al...) uп(k,al'l') ==: ехр (ia k, '1') U(k, '1').
С дрyrой стороны,
1JJп(a k,...) ==: ехр (ia k, '1') ип(а k, '1'),
И следовательно, формула (15.8) доказана. Если вектор k лежит в
.общем направлении, то отсюда следует, что вместе со всякой функцией
lJlп(k, '1') К тому же самому значению энерrии принадлежит и функция
lJln(a k, '1'). Это, С одной стороны, определяет симметрию En(k), а с
дрyrой указьmает на вырождение данноrо значения энерrии, так
как
En(k) ==: Еп(а k).
(15.9)
'Следует заметить, что поскольку речь идет об исследовании спектра
мноrомерной задачи, то всеrда имеет место бесконечно кратное вы-
рождение, так как уравнению En(k) == const удовлетворяет бесконечное
множество состояний, а именно целая поверхность в k..пространстве.
Однако даже при незначителъном изменении потенциала V('I') полу..
чается, вообще rоворя, уже дрyrая поверхность E(k) ==: const, но
при этом, если симметрия потенциала осталась прежней, равенство
E(k) ==: E(a k) все еще будет выполняться. Поэтому следует разли-
чать вырождение, связанное с мноrомерностью задачи, которое мы
будем назьmать несущественным, и вырождение, обусловленное сим..
метрией задачи. Здесь же необходимо указать, что если вектор k
лежит в общем направлении, то вырожденныIe между собой состояния
имеют различныIe значения приведенноrо волновоrо вектора, и поэтому
заданием En(k) и k состояние системыI полностью определяется (это
равносильно заданию квантовых чисел: номера энерrетической по...
лосы n и составляющих квазиимпулъса k x , ky, k z ).
Если же вектор k лежит не в общем направлении, то есть имеются
элементы симметрии, оставляющие k инвариантным, то ситуация
-становится более сложной. Вырождение, связанное с симметрией
системы, в этом случае частично снимается, то есть функции 1JJn(k, '1') И
ilpn(a k, '1') при а k == k + 2п h MOryT принадлежать различным значе..
ниям энерmи. В то же время, поскольку вырождение снимается не
полностью, оказывается, что вырожденныIe между собой фуflКдИИ
имеют одинаковые приведенные волновые векторы k. Поэтому для
полной характеристики TaKoro рода состояний, кроме значений En(k) и
,k, необходимо задавать значения некоторых дрyrих квантовых чисел
(например, четности).
Покажем теперь, как непосредственно по энерrетическому спектру
.определить мrновенную скорость и ускорение электрона. При рав-
новесии электроны кристалла занимают состояния, свойства которых
не изменяются во времени. собственныe решения (15.1) описывают

110
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МЕТАЛЛОВ
[rл. IV
стационарныIe квантовые состояния. При неравновесныIx условиях,.
коrда На электроныI кристалла действует внешняя сила, они занимают
квантовые состояния, свойства которых изменяются во времени.
Это нестационарныIe квантовые состояния. Можно получить волновые
фУНКЦИИ нестационарных состояНИЙ из волновых функЦИЙ равновес...
ных стационарных состояний, производя суперпозицию нескольких
блоховских функЦИЙ с соседними значениями k так, чтобы образо..
вался волновой пакет.
Образуем волновой пакет из блоховских фунКЦИЙ, при надлежащих
энерrетической полосе п, и обозначим средНИЙ приведенный волновой
вектор пакета через k( t). Мы используем символ k( t), чтобы отметить,.
что состав волновоrо пакета и, следовательно, значение среднеrо
приведенноrо волновоrо вектора пакета изменяются во времени.
Для Toro чтобы получить скорость электрона в решетке внестационар..
ном СОСТОЯНИИ п, k( t), используем известную формулу для rрупповой
скорости
дс.>( k)
v n (k) == o(k) ·
Поскольку ЦИIOlИЧеClCая частота (j) волны деБройля равна Е <:(t» .
то для скорости находим
1
vn(k(f») == h grad. En(k(t». (15.10)
ЭлектричесКИЙ ток j, переносимый одним электроном, имеющим
скорость vn(k( t», равен j ==  i grad. E(k).
Наконец, найдем связь между ускорением и приложенной силой.
Из уравнения (15.10) следует
dvrz  1 d dE (k(t»
  h gra. dt ·
К v v dE
лассическое соотношение между силои и энерrиеи dt == F · v-
остается в :квантовой механике справедливым для средних значений.
Подставляя это соотношение в выражение для dvn/dl, получим
d;'n  п grad,. grad,. E(k(t»F,
rде grad lc gradlc Е  тензор с составляющими
д 2 Е д 2 Е д 2 Е )
ok ok x ok y ok x ok z
д 2 Е д 2 Е 8 2 Е
ok y ok x ok ok y ok z ·
д 2 Е д 2 Е д 2 Е
\ ok z 8k x . ok z ak y ok

 15]
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ТВЕРдоrо ТЕЛА
l1f
Сравнение этоrо уравнения с классическим уравнением Ньютона
показывает, что электрон в полосе энерrии ведет себя так, как если
бы он обладал эффективной массой т*, определяемой формулой
1 1
т* == 11,2 grad" grad" E(k(t».
в силу тензорноrо характера эффективной массы, ускорение и сила,
вообще rоворя, не совпадают по направлению. Если электрон дви..
жется в направлении rлавной оси тензора, а ость Х совпадает с этим
направлением, то эффективная масса для ускорения по оси Х равна
11,2
д 2 Е
ok 2
х
т* ==
.
Перейдем теперь к изложению основ квантовой оптики меТflЛла.
Теория оптических свойств металлов должна объяснить основные.
оптические характеристики: показатели преломления и поrлощения,.
отражательную, излучательную и поrлощательную способности,
исходя из общих представлеНИЙ квантовой теории твердоrо тела.
В наиболее общей форме задача ставится следующим образом:
электроны проводимости в кристалле взаимодействуют с ионной
решеткой и дрyr с друrом; на поверхность металла падает электро-
маrнитная волна определеНИЙ интенсивности, направления и поляри...
зации. Требуется найти поляризуемость а и световую проводимостьu,
а по ним п и k, а следовательно любые оптические характеристики.
Для 'этоrо вычисляется плотность электрическоrо тока в металле,
обусловленная взаимодействием системы электронов с электромаr-
нитным полем световой ВО,лны. С этой целью необходимо решить
уравнение Шрединrера для такой системыI, то есть определить энер-
rетический спектр и волновые функции электронов металла при их
взаимодействии с электромаrнитным полем и найти по общим фор-
мулам квантовой механики и квантовой статистики плотность электрон
Horo тока. Для Toro чтобы в задаче сразу учитывать статистику
электронов, удобно пользоваться описанием электронных состояНИЙ не
с помощью волновых функций, а посредством статистическоrо опера-
тора. Определив с помощью последнеrо квантовостаТИС'Iическое выра-
жение для плотности тока и сравнивая ero с плотностыо токапо
классической теории, определяют а и 0'", а следовательно и оптические
характеристики.
Однако решение так поставленной общей задачи практически в
настоящее время невозможно. Поэтому приходится искать приближен--
ныIe решения; используя методыI теории возмущений, в которой при-
меняется теория rрynп и учитываются свойства симметрии кристалла.
Прежде Bcero нам следует рассмотреть механизм взаимодействия
световой волныI с электронами металла.

:112
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МЕТАЛЛОВ
[rл. IV
с квантовой точки зрения взаимодействие электромаrнитной
--волныI  электронами в металле происходит путем поrлощения и испу-
..скания фотонов. Этот процесс может протекать при столкновениях
электронов с атомами примесей (или с дефектами решетки), друr с
.дрyrом ИЛИ С поверхностью металла, а также при поrлощении или
испускании фононов. Если при этом изменение энерrии электрона
 ПФ мало по сравнению с областью размыIостии фермиевскоrо распре-
деления k Т, то можно считать, что электрон получает энерrию прак-
тически непрерывно.
С классической точки зрения электрический вектор световой волны
в этом случае действует на электроны практически как постоянное
. поле: в каждый данный момент времени устанавливается ток, пропор..
циональный мrHoBeHHoMY значению напряженности электрическоrо
поля световой волны. Причем электрический ток находится в фазе с
полем световой волныI Е. Поэтому в далекой инфракрасной области
,спектра, коrда период колебаний световой BoJlliыI больше времени
релаксации электронов проводимости Ф т« 1 и, кроме Toro, n liJ« kT,
. оптические постоянныIe металла можно описьmать по известныIM
классическим формулам, выражаемым через электропроводность
для постоянноrо тока. Этому процессу взаимодействия электрона со
i,световой волной соответствует так назьmаемое «классическое поrло-
щение», при котором электроныI поrлощают световую энерrию за
, счет их ускорения электрическим полем световой волны. Что касается
температурной зависимости поrлощения, то при высоких температурах
I(T »0, rде О ...... характеристическая температура) электроны MOryт
как поrлощать, так и излучать фононыI всех импульсов вплоть до
-zrраничноrо. Это приводит к относительно большому поrлощению,
пропорциональному температуре.
При низких температурах (Т« О) обмен импульсами между элек..
тронами и фОнонами затруднен. Действительно, с одной стороны,
фононов С «большими» импульсами почти нет и поэтому их поrло-
щение происходит редко; с друrой стороныI, для излучения фононов
. С большими» импульсами подавляющая часть электронов не обладает
достаточной энерrией, так как средняя энерrия электронов (сверх
траничной) порядка k Т и мала по сравнению с kfJ. В результате возни-
кает слабое поrлощение, быстро убьmающее с температурой ('" Т5).
Коrда частота электромаrнитной волны возрастает, ЭJ}:ектро ныI
. уже не MOryт точно следовать за изменениями напряженности поля
"световой волныI, ток отстает по фазе от возбуждающеrо поля. Это
должно'происходить тоrда, коrда период световых колебаНИЙ сделается
. сравнимым с временем релаксации т. Поэтому отклонений в поведе-
нии электронов от их поведения в статических полях следует ожидать,
'Как только частота световой волны сделается равной величине, обрат-
ной времени релаксации (Ф т == 1).
Если, наконец, период колебаний световой волны сделается меньше
..времени между двумя столкновениями, то в первом приближении

 15]
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ТВЕРдоrо 1'E.1IA
113'
можно пренебречь столкновениями электронов с фононами, так как
малое число столкновений не может оказать существенноrо влияния
на функцию распределения и на плотность тока. В этом случае основ-
ную роль иrрают так назьmаемыIe квантовые переходы, при которых
изменение энерrии электрона велико сравнительно с областью раз..
мыIостии распределения Ферми, то есть n liJ») k Т. В этом процессе
энерrия, поrлощаемая электроном от падающей световой волны,
переводит электрон в возбужденное состояние, которое в нормальном
состоянии не занято. В видимой части спектра при таком процессе
поrлощения электрон из полосы проводимости переходи! в одну из
вышележащих энерrетических полос. Т от же самъ1Й процесс имеет
место в вакуумном ультрафиолете и в области рентrеновых лучей;
однако в этом случае ,электрон переходит из низко расположенноrо
или BНYTpeHHero состояния в состояние выше уровня Ферми в твердом
теле.
Выше считалось, что квантовые свойства поля становятся суще-
ственными только тоrда, коrда энерrия электромаrнитноrо квaa
оказывается достаточной для TOtO, чтобы перебросить электрон из
полосы проводимости В выше расположенную полосу. Как будет
показано ниже, rраница квантовоrо поrлощения у некоторых металлов
может Лежать в близкой инфракрасной области спектра, тоrда КаК
у дрyrих в видимой и ультрафиолетовой.
Однако о казьmается, что квантовые свойства поля MoryT при
определенных условиях про явиться значитено раньше. Действи-
тельно, если изменение энерrии электрона n liJ больше или сравнимо
с областью размыIостии фермиевскоrо распределения k Т, то в этом
случае можно считать, что электрон получает энерrию от поля кван-
товым образом.
Условие 1i йJ ;::::, k Т выполняется даже при комнатных темпера-,
турах почти во всей инфракрасной области спектра, а при rелиевых
температурах оно вьmолняется уже в радиодиапазоне.
Таким образом, в оптике металлов следует различать три типа
поrлощения света металлами: 1) классическое поrлощение, при кото-
ром электроны ускоряются электрическим полем световой ВОЛНЫ;
. 2) поrлощение, связанное с квантовым характером взаимодействия
электронов проводимости с электромаrнитным полем n йJ ;::, k Т,
при котором имеет место поrлощение и испускание фононов и учиты-
ваются соударения электронов с примесями, дрyr с дрyrом илй: С
поверхностью металла; З) квантовое или собственное (внутреннее
фотоэлектрическое) поrлощение, при котором квантыI света перебра-
сывают электроны из ниже расположенных полос (в частности, из
полосы провдимости) В более высокие энерrетические полосы и при
этом поrлощаются.
С использованием этих представлений и на основании зонной
теории бъpm полученыI дисперсионные формулы квантовой оптики
металлов. Весьма успешными исследованиями в этой области являются
8 А. В. СОКОЛОВ

114
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойcrв МЕТАЛЛов
[rл. TV
также работы советских физиков Шубина [28], CepreeBa и Чернихов-
CKoro [27, 29].
CepreeB для описания опrических свойств метaJ1ПОВ восполъзо"
вался весьма удоБным методом оператора плотности. Этот метод,
. позволяюЩИЙ сравнительно просто и в наиболее общем виде изучать
оптические свойства металлов, ниже будет рассм@трен с достаточной
полнотой.
Рассмотрим теперь более подробно квантовое поrлощение.
Возмущение световой волны, падающей на металл, как и выше,
принимаем в виде
# в е ( А )
dtJ == -тё Р. А ,
rде р == ......i n \1 ...... оператор импульса электрона, А == Ао ei(qrwt) ......
векторНЫЙ потенциал И q ...... волновой вектор световой волныI. Тоrда,
соrласно (14.8), вероятность перехода электрона из начальноrо состоя..
вия (п, k) в конечное (п', k') равна
1 f t в  [E..'(r.')---- E..(")]t 2
11,2 dVпk, п'k,e dt ,
о
(15.11)
Ав
rде dVпk, п'k'  матричный элемент энерrии возмущения ...... имеет
вид
ii,., n'''' == :: f 1J',( k' , ...) А grad 1J'n( k, ...) dT.
(15.12)
Выполняя интеrрирование по времени t, можно убедиться в том,
что вероятность перехода (15.11) становится значительной только
при резонансе, то есть если вьmолняется закон сохранения энерrии
.
Eп,(k') ...... En(k) ...... n йJ == о.
(15.13)
, Здесь Eп,(k') ...... энерrия электрона в конечном состоянии, а En(k) 
в исходном состоянии. Поэтому, соrласно (14.25), вероятность пере..
хода в единицу времени будет равна
2: I X:r., n.'" 12 {}(En'(k')  En(k)  "'6).
(15.14)
Чтобы получить правила отбора, развернем выражение (15.12) и
используем равенство
grad 1jJn(k,1') == grad (e ikr Un(k .,.» == i k e ikr Un(k, 1') + e ikr grad и п (k, '1').
Тоrда вместо (15.12) получим
: Ao(t) f tr'"il.'r U,(k', ...) e i 9. r (i k ei"r Un(k,,.) + ei"r grad Un(k, 'I'}) dT, (15.15)

 15]
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДОro ТЕЛА
115
rде Ao(i) ==: Ао ei(J)t. Выражение (15.15) можно представить в виде
ien Ao(t) f ei(k+......k')r u :, (k',t') [ikUn(k,,,.) + grad Un(k,,.)] dT.
те .
Ве ли 'IШ:1 а
U,(k', 1') [i k Un(k, 1') + grad Un(k, tt)]
обладает периодичностью реmетки; обозначая ее черезФ(t'), последнее
выражение можно привести к виду
ien ;(O  ei<k+-r-k')n' f еi(k+"')(""""R)ф(1') dTi' (15.15а)
Ri
i
rде интеrpирование производится по i -й элементарной ячейке решет-
ки, а Л i ...... вектор, соединяюЩИЙ вершину этой ячеЙКИ с началом
:координат.
Наконец, вводя обозначения
ieh Ao(t) f еi("+k')(п,)ф(1') dT i == В
те '
i
и учитьmая, что эти величины одинаковы для JПOбой элементарной
ячейки, находим .
в  ехр {i(k + q ...... k')n i } .
щ
(15.16)
Эта сумма отлична от нуля JIИПIЪ В том случае, коrда каждая экспонента
равна единице, то есть если
(k + q ..... k')n; == 2п 1 (1 == О, 1, 2,. . .). (15.17)
Умножая это равенство справа на вектор обратной решетки 9 ==
== Уl Ь 1 + g2 Ь 2 + уз Ь З и учитъmая, что ""i == Л 1 01 + "2 + Лз"з, а
также (О; · b k ) == Oik' находим
k' == k + q + 2п f!. (15.18)
Условия (15.18) назыаютсяя пр а в и л а м и о т б о р а или и н т ер-
Ф е р е н Ц и о н н ы м и у с л о в и я м и. Вероятность перехода, не
удовлетворяющая правилам отбора, равна нулю.
Таким образом, квазиимпульс электрона после поrлощения WBeH
квазиимпульсу перед поrлощением плюс волновой вектор поrлощен-
Horo света (с точностью до вектора обратной решетки). В области
видимоrо и улътрафиолетовоrо света волновое число 2п /'А световой вол-
ны порядка 104 ...... -1()5 CMl, тоrда как квазиимпулъс k электрона поряд-
ка величиныI обратноrо атомноrо расстояния, то есть IOS CMl. Следо-
вательно, в этом случае q« k и из (15.18) непосредственно следует,
что квазиимпульс электрона при поrлощении света остается практи-
чеки постоянным, то есть
k' == k + 2п у,
8*

116
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МЕТАЛЛОВ
[rл. IV
откуда следует, что в модели приведенной зоны
 электроныI MorYT
совершать лишь вертикальны
e переходы (рис. 21). Следует подчерк..
путь, что допустимыI лишь такие переходы, при которых одновременно
удовлетворяются оба закона сохранения (15.13) и (15.18).
Из рис. 21 видно, что каждому начальному состоянию электрона
соответствует в каждой вышележащей полосе одно состояние, в
которое он может перейти при поrлощении света. каждый электрон
обладает дискретным спектром поrлощения. Но так как частота поr..
Еп' (k')  Е (I)
лощения йJn'n == (u == п п зависит от началъноrо состоя..
ния, а электроны
, соrласно статистике Ферми, находятся в различных
начальных состояниях, то металл об..
ладает непрерьmныIM спектром поrло..
щения. Поrлощение света может про..
ИСХОДИТЬ, разумеется, лишь тоrда,
коrда началъный уровень занят элек..
троном, а конечныIй не занят.
Оптические переход&! в пределах
одной полосы невозможны
. Это обу..
словлено тем, что для переходов в
одной полосе нельзя одновременно
удовлетворить закону сохранения
  энерrии и квазиимпулъса.
Действительно, рассмотрим два со..
Рис. 21. Схема вертикальных стояния (k k kJ И (k k k +
Х' у, Х' у, Z
переходов. + L\ k,) одной и той же полосы.
оЕ Их энерmи различаются на величину
L\ Е == ak z L\k z == n V z L\k z , rде V z ...... скорость электрона в направлении
z. Соrласно закону сохранения энерrии при поrлощении (15.13) и
интерференционному условию (15.18) циклическая частота света должна
удовлетворять одновременно условиям
6>п с
q == L\k z или  == L\k, или йJ ==  L\k
с '" п z
и
(15.19)
дЕ
йJ == h == V z L\k z .
(15.20)
с
Отсюда следует, что скорость электрона V z должна быть равна  .
п
Но так как V z « с, то уравнения (15.19) и (15.20) несовместимыI. .
Отсюда также следует, что как только частота v станет меньше
HeKoToporo определенноrо значения, никакие переходыI не возможны
.
Дрyrими словами, поrлощение может наступить лишь при частотах,
б6льmиx чем некоторая предельная частота V 1 , то есть должна суще-
ствовать резкая rpаница спектра поrлощения; В металле полоса
проводимости занята не полностью (рис. 22); электроны занимают

 15]
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ТВЕРдоrо ТЕЛА
117
лишь состояния с низшими энерrиями вплоть до уровня Ферми, кото-
рому соответствует точка А. Так как допустимы
 ЛИПIЪ вертикальные
переходы
, то электрон, находяЩИЙся в состоянии С, после поrлощения
света соответствующей частоты может перейти в состояние С' или
С". Наименьшая частота, которая может бьпь поrлощена, соответ-
ствует переходу из А в А'. Затем имеется континуум частот, моrущих
поrлощаться до тех пор, пока мы не достиrнем перехода из В в В',
который обладает наибольшей энерrией, чем тобой переход между
полосой проводимости и следующей
(второй) полосой. Далее имеется область в"
непоrлощаемъlX частот до тех пор, пока в'
энерrия не доcтиrнет ВВ", :которая пред..
ставляет наименьшее значение для ДО"
пустимъlX переходов между полосой про..
водимосm и третьей полосой. Мы пред" 
положили, что третья полоса круче по.. 
лосы проводимости. 
Существует минимальная частота
квантовоrо поrлощения даже в трех из..
мерениях, коrда энерrетические Полосы
перекрываются, так как вырождение час- ,С
тично снимается (полосы размыаются) 8
если вектор k лежит не в общем направле-
нии, то есть при наличии элементов сим..
метрии, оставляющих k инвариантным.
Однако !VIиниl\f альная частота не всеrда
соответствует переходу электрона с наи..
меньшей энерrией в полосе проводимости,
то есть электрону в А. Вторая полоса может
быть воrнутой вверх и быть круче, чем полоса проводимости. В этом
случае минимальная частота соответствует переходу электрона с h == о.
Определим частоту V 1 , с которой начинается квантовое поrло..
щение. Как известно, волновой вектор (квазиимпулъс) электрона в
решетке представляется выражением

1&
71
Рис. 22. Энерrия электрона
как функция волновоrо век..
тора в простой одномерной
модели металла.
показ&:вы некоторые разрешеввые
переходы.
2п
k == G ("1 b 1 +  Ь 2 + "3 Ь 3 ).
Поскольку "i изменяются в пределах ...... G < " 1 < G (i == 1, 2, 3), то,
2 2
2Хl 2Х 2 2хз
очевидно, G == Л 1 , G == , G == л з есть целые числа, и следователь..
но, k можно представить также в следующем виде:
k n == п (Л 1 Ь 1 + п 2 Ь 2 + пз Ь 3 )' j
п 2
k == а 2 (ni +  + nD,
(15.21)

118
КВАНТовАЯ ТЕория ОNТИЧВCКИХ свойcrв МЕТАЛЛОВ
[rл. IV
rде пl, , 1tз ..... индексы Миллера. Поэтому в модели почти свободвых
электронов энерmя электрона, движущеrося перпендикулярно отра-
жающей плоскости (п 1 , , пз) и претерпевающеrо бреrrовское отра..
жение, будет равна
1'112 k 2 1'112
Е п == 2т п == 8та 2 (ni + 111 + п),
rде а ...... параметр решетки. Рис. 23 представляет первую и часть
второй зоны БРШIJПOэна для простой кубической решетки. Окруж-
ность изображает поверхность распределения Ферми, а nyнктирныIe
линии изображают состояния,
между которыми возможныI
переходы при данной частоте.
Следовательно, электроны мо-
ryт переходить от некоторой
точки на линии 1 к некоторой
точке на лини 1', поrлощая, на-
пример, свет частоты V 1 , или из
11 в 11', поrлощая свет большей
частоты V п . Из рис. 23 видно,
что ОА' == 00' ...... А'О', но 00' ==
Рис. 23. Первая и вторая зоны Брилmoэна ===2k n и А'О' == АО == k ф (квази..
для простой кубической реmетки.
Мивима.пьИ8JI частота поrлощеИИJI "1 соответствует импульсу электрона на поверх..
переходу АА'. ности Ферми) и, следовательно,
ОА' == 2k n  k ф . Минимальная
частота поrлощения должна соответствовать переходу АА'. Очевидно,
что величина hVl должна быть больше или равна ширине запрещенной
полосы энерrии, соответствующей переходу от первой ко второй зоне
Бриллюэна. Приближенное значение этой величиныI можно получить,
предполаrая справедливым приближение свободвъlX электронов и,
следовательно, считая ширину запрещенной полосы равной нулю.
Поэтому энерrия, соответствующая переходу АА', будет равна
11,2
h V 1 == [(2k n  kф)2 ] 2т .
Отсюда леrко получить
2lr. n
о'
(15.22)
8 mhV l 4k 4k n k ф
п2 == n2 ...... п 2 (15.23)
Напомним, как определяется k ф для решеток кубической симмет..
рин. Считая число атомов в е ДJmИЧ НОЙ ячейке простой кубической
решетки равным единице, леrко понять, что электроныI заполняют
как раз половину зоны и k ф просто определяется из соотношения
4п k& == ! ( 2n ) 3 или k ф == (  ) l/з  .
3 2 а n а
Первой зоной объемноцентрированной кубической решетки является
додекаэдр (рис. 24). Ero объем равен у ДБоеннсму с6ъему 1<)'6а, и

t 15]
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ ТВОРИИ ТВЕРдоrо ТЕЛА
119
ПОСКОJIЪКУ каждая элементарная ячеЙlcа содержит два атома, в нем
вмещается столько состоЯНИЙ, сколысо В кристалле имеется атомов.
Электроны проводимости щелочных металлов заполняют эту зову
наполовину и k ф находят из равенства
4n k 3 ==!. 2 ( 2n ) 3
3 ф 2 а'
( 3 ) 1/3 п 1
k ф :=; а · 2/з.
Первой зоной rpанецентрированной ку-
бической решетки является усеченный
октаэдр (рис. 25). Ero объем равен учет-
веренному объему куба, и поскольку
каждая элементарная ячеЙlcа содержит
четыре атома, то и здесь в первой зоне
вмещается столько же состоЯНИЙ, сколь-
ко в кристалле находится атомов. Элек-
троныI проводимости Qлаrородных метал-
лов  меди, серебра и золота........заполняюТ эту зону также
вину, и следовательно, k ф определяется из соотношения*
откуда
или
Рис. 24. Первая бриллюэнов-
ская зона для кубической
объемноцентрированной ре-
mетки.
наполо-
4n kt ==!. 4 ( 2n J 3
3 2 а
( 3 ) 1/3 ( n ) 2 /
k ф :=; а. 2 3.
Таким образом, k ф вообще можно
представить в виде
k ф ... 2у (Y/a  ' (15.24)
Рис. 25. Первая бриллюэновская rде 1'==0, 1/3 И 2/3 для простой, объем-
зона для кубической rранецен- ноцентрированной и rранецентриро-
трированной реmеТICИ. ванной' кубических решеток соответ-
ственно.
Соrласно (15.21) и (15.24) выражение (15.23) можно представръ в
следующем виде:
8т v 1 == 4 [(ni + Щ + nD  21' ()l/з(ni + щ + nD'/.]. (15.25)
 *) Можно считать в первом приближении, что поверхности Ферми в одно-
валентных элементах  меди, серебре и золоте  почти сферические.

120
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МЕТАЛЛОВ
[rл. IV
Эта формула позволяет получить для трех кубических решеток данныI,,
которые приведены в табл. 5.
Таблица 5
Объемно- rpaнe-
Решетка Простая цевтриро- цеитриро-
куби- ванная ванная
и первая ПЛОСКОСТЬ ческая куби- куби-
отражения (100) ческаJl ческаJl
(110) (111)
8тa2Enh2 === лi + л + лi 1 2 3
Число атомов в единичной
ячейке ............... 1 2 4
8та 2 "1 h 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 0,062 0,96 1,13
Для TOrO чтобы найти ДJ1JПIhI волн, при которых начинается кванто-
вое поrлощение, обозначим правую часть формулы (15.25) через о.
Тоrда из (15.25) находим
{,h
Vl ==  8 2.
та
Следовательно, длина волны будет равна
'1 ...... С ...... 8та 2 с
1\1   
"1 {,h.
(15.26)
Выразим теперь ')...1 через объем, прихо дsrlI Ся.. на один атом, ао ==
... ( ;) . для р аз.лиЧНbIX кубических решеток величину аа можно выразить
через Q следующим образом:
простая кубическая решетка
dJ ==  == ;, а 2 == ( a/a== D"J',
объемноцентрированная кубическая решетка
аЗ ==  == 2 ( щ , а 2 == 21/, ( ; r a == 2'/, a/',
rpанецентрированная кубическая решетка
аЗ ==  == 22 (  ' а 2 == 2'/, Q/'.
Общее выражение, связывающее а 2 и ао, имеет вид
а 2 == 2 а Q/8,
(15.27)
rде а === О, 2/3 И .4/з для простой, объемноцентрированной и rранецентри"
ров анной кубических решеток соответственно.

 15]
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ТВЕРдоrо ТЕЛА
121
При
СМ
С == 3 · 1010  m == 9 1 · 10....18 Z h == 6 61 · 1027 эпz · сек
cek' , , , 1:'
получаем для Лl следующие значения:
объемноцентрированная кубическая решетка "'1 == 5,32. 1010 Q/8;
rранецентрированная кубическая решетка Л 1 == 7,1 · 1010 Q/8. Теоре-
тические значения (в см) длин волн, при которых начинается :кванто-
вое поrлощение, приведеныI ниже:
Li Na К
4,1 · 10...5 6,2. 105 9,1. 105
Cs Cu Ag
12,3 · 105 3,7. 10....5 4,7. 105
Rb
11 О · 1 05
,
Au
4 7 · 105
,
Следует иметь в виду, что эти результаты справедливы лишь по
порядку величиныI, но они показывают, что квантовое поrлощение в
щелочных металлах должно начинаться с инфракрасной области
спектра, а в блаrороднъlX металлах  с видимой и ультрафиолетовой
области спектра.
Таким, образом, соrласно данной теории должна существовать
резкая rраница спектра поrлощения. Однако у большинства металлов
этоrо не наблюдается.. Для щелочных металлов, например, спектр
поrлощения, к сожалению, очень слоЖНЫЙ и положение ДJIИННОВОЛНО"
ной rpаницы поrлощения не наблюдено.
В блаrородных металлах резкое поrлощение, действительно,
начинается при 3,0. 105  6,0 · 105 см. В них полоса поrлощения
начинается при следующих длинах волн (в см):
Cu Ag Au
5,75 · 105 3,1. 105 5,1. 10....5
Таким образом, видно, что теория дает правильный порядок вели..
чиныI начала поrлощения для блаrородных металлов. Однако IC
истолкованию длинноволновой rpаницыI поrлощения металлов сле-
дует подходИть весьма осторожно. Во-первых, несовпадение теории с
экспериментом может объясняться тем, что не учнтыалисьъ столЮlО"
вения электронов с колебаниями решетки. Столкновения обусловли-
вают конечное время жизни в каждом возбужденном состоянии и
поэтому уширяют J1Инии поrлощения каждоrо электрона. Во-вторых,
со стороны коротких волн к rраницам поrлощения примыкютT ......
как следует ОХ91дать теоретически  более или менее mирокие полосы
поrлощения, разделенныIe промежутками прозрачности (разрешенные
и.запрещенныIe энерrетические полосы металла); или же ПОЛОСЫ поrло..
щения MOfYT накладъmаться дpyr на дрyrа.

122
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙcrв МЕТАЛЛОВ
[rл. IV
 16. Поrлощевие и дисперсии ДJlИННОВОJIВовоrо излучении
Мы видели, что классическая теория справедлива для частот, при
которых период колебаний световой волныI rораздо больше времени
релаксации электронов Т, то есть при 0 т« 1 (при этом имеется в
виду, что n (д« k Т).
Если условие m 'l'« 1 не вьmолняется, то следует примевитъ более
строryю теорию, учитывающую релаксационныIe эффекты.
электроны и здесь рассматриваются как квазисвободные, то есть
их энерrnя связана с квазиимпульсом h соотношением
E(k) == п;:;: .
(16.1)
Поэтому для анализа длинноволновоrо излучения можно пользоваться
формулами ДрудеЗинера, которые, вообще rоворя, можно получить,
рещая кинетическое уравнение для электронов в металле и подвер..
rающихся одновременному действию электромаrнитноrо поля свето..
вой волны и столкновениям с решеткой. Отсьшая читателя за деталями
рассмотрения кинетическоrо уравнения к r. VIII «Аномалъный
скин..эффект и оптические свойства металлов), воспользуемся полу-
ченной там формулой для плотности тока j (см. (28.17».
Эту формулу можно записать в виде
. 0-0 Е
J == 1 + i6)'r 
O-оВ (li6)'r)
1 + 6)2 т 2
o-оЕ
та (ы а + T )
i6)To-О Е
1 ) ·
та (ы а + та
(16.2)
Так как i (iJ Е == Ё и, соrласно (12.7), т == , то для (16.2) находим
'v
. 2
· == 0-0" Е 
J 6)2 +,,2
0-0" · .
2 + 2 Е.
6) "
(16.3)
И.з этой формулыI видно, что при малых частотах m « l' ток нахо..
дится в основном В фазе с возбуждающим полем Е; при высоких
частотах (jJ »у ток отстает от поля на 900 и по абсолютному значению
меньше, чем при самых малых частотах.
Сравнивая (16.3) и (2.9), получим известные уже нам формулы
Друде Зинера
,,2 N е 2 " 1  е
a{m) == 6)2 + ')'2 (то == т(6)2 + ,,)2 == 4п у, (16.4)
е(си) == 1  4п')' (т == 1  4п Ne 2
(JJ2 +,,2 о т (6)2 + ,,2) ·
(16.5)
Интересно найти :критическую частоту 0, при :которой световая
проводимость и диэлектрическая проницаемость начинают прибли-

 16]
поrлощвНИЕ и ДИСПЕРСИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
123
жаться к своим значениям в пустоте, то есть к нулю и единице соот"
ветственно.
Из (16.4) видно, что (т при (д« l' равняется (т о, а при ro  'у
начинает убывать, так что при (i) »у (j == (( (j о  о. Одновре-
менно при этом е ------+ 1. Поэтому критическую циклическую частоту
следует принять равной (j)  1'. Но в случае свободных электронов,
Ne 2
соrласно (12.5),1' === . Для серебра (N === 6. 1022,0- О  6. 1017 CGSE) 'у ==
тио
== 2,6 · 1013 ceKl, что соответствует «критической» длине волныI 'А f""I
f""I 75 JL. Эксперимент дает l' f""I 6,72 · 1014 ceKl.
. При больших частотах ш» l' световая проводимость, а следова..
тельно, и поrлощение тем больше, чем больше затухание (то есть
чем меньше т), то есть чем быстрее столкновения восстанавливают
равновесие (противоположно соотношениям при малых частотах).
Например, для серебра при (j) === 2п · 5 · 1014 (л == 6000 А) имеем
(т == (т ( 2,6. 1013 ) 2  4 · 1013 ceKl тоrда :как опыт дает 3 · 1014 ceKl
о 2п. 5. 1014 , . '
то есть в десять раз большее значение, чем формула (16.4). Отсюда
следует, что ток, возбуждаемый в видимом свете путем ускорения
электронов, для поrлощения уже не имеет существенноrо значения.
Поэтому поrлощение в видимой и тем более в ультрафиолетовой
области спектра сводится к друrим причинам ...... квантовому поrлоще..
пию (причем здесь имеют значение также и волныI решетки).
В случае малых частот для диэлектрической постоянной полу..
чается большое отрицательное значение. Так, например, для серебра
имеем
( ) == 1  4пи О == 1  4п. 6. 1017 f".J  3 · 1 0 5
е ro у 2 . 6. 1013 ·
На величины п и k, имеющие физическое значение, этот факт не оказы..
вает слишком болъшоrо влияния, так как соотношение п 2  k 2 == е
при отрицательном е возможно лишь при k > п. Это неравенство
вьmолняется и в действительности для всех металлов при малых
частотах.
При более высоких частотах ro > l' е становится независимой от
затухания l' и от проводимости 0"0. Подставляя (12.5) в (16.5), вновь
получим формулу (12.13), а именно: 1
в == 1  4п Ne 2 . (16.6)
т6)2
Если учесть тот факт, что электроныI движутся в кристаллической
'" Ne 2
решетке, то вместо постояннои затухания 1'0 ==  следует под..
тио
ставить l' == 1'0 f, rде
т т д 2 Е mv
f === Inэфф == 11,2 дk 2 == 11,k
х
(16.7)

124
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МЕТАЛЛОВ
[rл. !У
есть сила осциллятора, соответствующая линии поrлощения с часто..
той, равной нулю (см.  18). Эта величина характеризует меру ОТICло..
нения электроцов от полной свободы. Тоrда вместо (16.6) будем
иметь
е == 1  41tNe 2 '.
т6)2
(16.8)
Эту формулу можно истолковать так, что только часть электронов :в.
1 см 3 , а именно N " участвует в дисперсии. Из формулыI (16.7) следует,
что для совершенно свободных электронов проводимости величина f
равна единице; в общем случае f несколько меньше единицы.
Комбинируя (16.4) и (16.5), можно определить постоянную зату"
хания
4пО"
Y==81'
(16.9)
которая должна быть независимой от ДЛИНЫ ВОЛНЫ, если развиваемая
теория справева.
Соотношение (16.9) удовлетворительно выполняется в области
дJlинных волн, тоrда как при коротких волнах соrласие с опытом
плохое. Мы снова можем сделать заключение, что теория, УЧИТЫ...
вающая только ускорение электронов, справедлива лишь в далекой
инфракрасной области спектра. Однако следует отметить, что формула
(16.8) для е справедлива еще далеко в видимой области, напротив,.
. формула (16.4) для €т ...... несправедлива.
В то время как в длинноволновой области спектра с уменьшением
длиныI волны€Т(ro) делается меньше, как этоrо требует теория, в корот..
коволновой она опять возрастает, то есть в этой области наряду с
классическим поrлощением следует учитывать квантовое поrло..
щение.
Здесь интересно еще отметить, что из (16.8) можно вычислить
силу осциллятора ,. Она получается весьма слабо зависимой от длины
волны; это признак Toro, что формула (16.8) остается еще справедли-
вой при довольно коротких волнах.
Таким образом,. при дисперсии электроны проводимости ведут
себя в весьма значительной степени как своБодныI,, и лишь далеко в
фиолетовой области появляется заметное отклонение. Это заклю"
чение, конечно, справедливо для щелочных и блаrородныx метал-
лов.
Особенно интересно численное значение величины " ибо она
есть мера «своБодыI) электронов и вместе с тем позволяет сделать
т д 2 Е
заключение о ширине полос энерrии (так как f == 11,2 Qk 2 A:j А, а А
х
пропорционалъна ширине полос энерии). Так, например, для серебра
f == 0,9 ,...,., 1, то есть электроныI почти свободны, для золота ,...,., 0,7
для меди "'" 0,4. ,.

 16]
поr ло ЩЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
125
в формулах (16.4) и (16.5) N есть концентрация электронноrо
rаза. Эффективная концентрация свободных электронов или электро-
нов проводимости, по определению, равна [36]
N == 8п т ( т* р о ) 3
3 т* 2'Л n '
rде т*  эффективная масса и т == 9,1 · 1028 Z ...... масса свободноrо
электрона.
Иноrда электроны в металле' считают совершенно свободными,
то есть полаrаlOТ
* N N 8п ( тv о ) з
т == т, == св == 3"" 21r1i '
но такое предположение совершенно не обосновано. Нерациональным
представляется также определение концентрации электронов проводи-
мости как величины
. N' == 8п ( т* Ро ) 3 == т* N
3 21th т'
 4пе 2 N'
вполне аналоrичнои N CB . В этом случае ё. == 1  т* (6)2 + ')'2) и Н'
уже не является эффективной концентрацией свободных электронов.
rлавное же, в выражения (16.4) и (16.5) входят только две характери..
зующие металл величиныI N и у, и из этих формул все равно можно
N' N
найти лишь отношение * == . Относительно формул (16.4) и (16.5)
т т
следует заметить, что они определяют не полныIe значения O-t и Bt, а
лишь долю, вносимую электронами проводимости. Однако в длинно..
волновой области спектра, rде существенным является механизм
поrлощения света, путем ускорения электронов U t == и- и e t === ё. ...... 1 +
41tN е 2
+ е о == ё. о  (2 + 2) , rде вдали от rраницыI :квантовоrо поrлоще..
т 6) 'у 4пе 2 N
ния ё. о ""'" 1 +- 10 и, вообще rоворя, значительно меньше, т (6)2 + ,,2) ·
Опуская индекс t, представим в в виде
41tN е 2
е == ё. ...... .
о т (6)2 + ,,2)
Концентрация N заранее неизвестна; попыти определить N и тех
соображений, что на атом приходится одно, два и т. п. число электро"
нов проводимости, не обоснованы и не MOryT иметь сколько..нибудь
определенноrо количественноrо значения. Поэтому величина N должна
определяться из сопоставления формул (16.4) и (16.5) и им подобных
с данными опыIаa (см. также  33).
При этом особенно ясная картина имеет место в области частот,
удовлетворяющих неравенствам ./
0 » 02 »1'2, (16.11)
(16.10)

126
КВАНТовАЯ ТЕория оптиЧЕСКИХ свойcrв МЕТАЛЛОВ
[rл. . IV
rде 01  частота, отвечающая rpанице квантовоrо поrлощения.
4п N е 2
Дело в том, что Во "" 2 И при условии (16.11) имеем
т6)
е   41tNe2 == .... з 18 · 109 N ( 16.12 )
т ' 6)2 ,
1
то есть е зависит только от частоты 0 и подлежащей определению
величины N.
Установим теперь, в какой области частот неравенства (16.11)
MOryт вьmолняться в действительности. Не исключено, что для неко"
торых металлов не существует или практически недостижима область
rде выражение (16.12) является достаточно точным. В этом случае
величина N должна определяться по более общим, но в то же время и
менее надежным формулам (СМ., например, (16.4) и (16.5»).
Для Toro чтобы оценить точность выражения (16.12), следует раз..
ложить упомянутые более общие формулы в ряд с точностью ДО
2
членов порядка "2 включительно. В случае (16.4) и (16.5) мы при этом
6)
находим
,
41tNe2 ( ,,2 )
e 1
т6)2 6)2'
п  ! V 41tNe2 .1' ( 1   ": ) ,
2 т6)2 6) 8 6)
k  V 41tNe 2 ( 1   ,,2 )
т6)2 8 6)2 ,
А Rj па  k a Rj У ( YI2 (1  i : ) ,
sin Ф tg Ф  V п-2 + k2 A:j ( 4 1t Ne 2 ) 1/2 ( 1  ! ,,2 ) ,
т6)2 4 6)2
tg ')"  !5.  26) ( 1 + ! 1': ) .
 п" 46)
(16.13)
Для хороших про водников при комнатной температуре 'у A:j 3 · 1013.
В ближайшей инфракрасной области спектра, например, при л ==
2
== 2р., (j) "'" 1015 И, следовательно, "2 "'" 103. С дрyrой стороны, при
6)
41tNe 2 I I
(i)  1015 И N "'" 5 · 1022 величина 2 "'" 102 И условие е »е о f"tte,.}
т6)
"'" 1 +- 10 также въmолняется. Поэтому невозможность пренебрежения
у2 по сравнению с 02 И Ео по сравнению с Е, как это необходимо для
применения (16.12), может оказаться существенной, только если rpa..
вица KBaнTOBoro поrлощения лежит уже в инфракрасной части спек..
тра. Понижение температуры (уменьшение у) и переход в область
более низких частот блаrоприятны с точки зрения ВОЗМОЖНО9ТИ с

 17]
МЕТОД ОПЕРАТОРА ПЛОТНОСТИ
121
достаточным основанием примеmпь формулу (16.12). В соответствую..
щей области ч астот, измеряя на опъпе п И k или только одну величину
siпФ tgФ Я:j V п 2 + ](2, определяем концентрацию электронов проводи...
мости:
N == I е I т6)2  (п 2 + k 2 ) т6) 2  sin 2 Ф tg 2 Ф т6)2 == 1 12 . 1021 sin 2 Ф tg 2 Ф
4пе 2 4пе 2 4пе 2 , л 2 '
(16.14)
rде 'А  длина волныI в микронах. Здесь вместо знаков приближенноrо
равенства поставленыI знаки равенства, так как, например, при е"" 104
е  п 2 + k 2  siп 2 ф tg 2 ф с точностью, не меньшей, чем! "'" 104.
е
Получение концентрации электронов проводимости N с помощью
формулыI (16.14) или ей подобных (см.  33) в результате оптических
измереНИЙ величин п И k является одной из основнъlX задач оптики
металлов, имеющей важное принциnиальное значение для теории
металлов. Выражения (16.12) и (16.14) можно рассматривать как
определения величиныI N, которая входит также в целый ряд дрyrих
формул, не я вляющихся, однако, столь независимыми от тех или
иных модельных предположеНИЙ.
Кроме N в (16.4) и (16.5) входит еще только число соудареНИЙ 'У,
которое может определяться лишь из этих же формул. При этом
проверить теорию можно, определяя 'У, например, из выражения
(12.10) и затем сравнивая эксперименталъныIe и теоретические значе-
ния оптических характеристик ё., (т или п, k, А и т. д. при различных
частотах. Подобное сравнение прив о ДИТ, особенно при низких
температурах, к резкому расхождению формул (16.4) и (16.5) с экспе-
риментом. В настоящее время выяснилось, что для соrласия теории с
экспериментом нужно учитывать аномалънъlЙ характер скин..эффекта,
:квантовую природу взаимодействия электронов проводимости с
электромаrнитным полем и межэлектронныIe соудаРНI:IЯ.
 17. Метод оператора плоmости
При рассмотрении :квантовых состоЯНИЙ электрона в кристалли..
ческой решетке обычно пользуются волновыми фуmщиями, являю..
щимися решениями соответствующеrо уравнения Шрединrера. J.
.
Однако для Toro, чтобы в задачах сразу учитьmать стаmстиКУ'
электронов, удобно пользоваться описанием электронных состоЯНИЙ
не с помощью волновых функЦИЙ, а с помощью оператора плотности,
введенноrо в квантовую механику Нейманом [75] и Дираком [76], а
также Ландау [74].
Напомним здесь, что в :квантовой статистике различают чистые и
смешанныIe ансамбли. Если все частицы ансамбля находятся в оди-
наковом состоянии, то есть им соответствует одна определенная
волновая ФУНIЩИЯ, такой ансамбль называется чистым.

128
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МЕТАЛЛОВ
[rл. IV
Ансамбль, не имеющий определенной волновой функции, а харак-
теризующийся серией волновых функЦИЙ tpl, tp2, . . ., tpn И серией соот-
ветствующих величин Рl, Р2, . · ., Рn, указывающих, с какой вероят-
ностью мы можем ожидать ту или иную волновую функцию, назы..
вается смешанным. Иными словами, в смешанном ансамбле пред"
ставленыI микрочастицыI, находящиеся в разных состояниях. Такой
ансамбль представляют, например, эле:ктроНPI металла.
В квантовой статистике состояния никоrда не характеризУ1ОТСЯ
полным измерением. Поэтому там всеrда имеют дело со смешанными
ансамблями. Для изучения как чистых, так и смешанных ансамблей в
квантовой статистике вводится оператор плотности (статистичесКИЙ
оператор) е. Он позволяет удобно вычислять средние значения любой
физической величиныI, относящейся к рассматриваемому статистиче..
СКОМУ ансамблю.
Рассмотрим некоторую физическую величину,описъmаемую опера..
тором р, который в координатном представлении изображается мат..
рицей рх,х. Среднее значение Р а в СОСТОЯНИИtpсJх) равно [74]
Р( а) == f 1'V':(x') Р х'х V'a(X) dx dж'. (17.1)
С дрyrой стороныI, среднее значение величины F в смешанном ан-
самбле, соrласно определению последнеrо, можно представить в виде
Р ==  Ра Р а == L Ра f.r V':(X'} Р х'х V'a(X) dx dж'. (17.2)
а а
Если теперь ввести матрицу вида
ехх, ==  Ра tp:(X') tpa.(x),
а
(17.3)
То среднее значение (17.2) можно записать также следующим образом:
' р == I'J ехх, Рхх' dx dж'. (17.4)
Формула (17.3) представляет собой математическое выражение MaT
рицыI плотности. ФизичесКИЙ смысл матрицыI плотности, так же как
и волновой функции, не является столь непосредственным как смыIлл
физических величин классической механики. Однако все же нетрудно
понять, что диаrональНЫЙ матричный элемент матрицы плотности
имеет смысл вероятности. В самом деле, для чистоrо ансамбля одна
из Ра равняется единице, тоrда как все остальныIe равныI нулю, и следо..
вательно, полаrая в (17.3) х' == х, находим
ехх == I tpCl(X) 12,
что представляет плотность вероятности для координаты х в состоя..
нии tpa(X). 'В случае смешанноrо ансамбля диаrональный матричный
элемент
ехх ==  Ра I tpa(X) 12
а

 17]
МЕТОД ОПЕРАТОРА плотнocrи
129
таюке представляет плотность вероятности для координатыI в смешан-
ном ансамбле.
След матрицы А, по определению, равен сумме диаrональвых
элементов
Sp А ==  А пп ,
п
rде Sp означает след соответствующей матрицы. Правая часть фор..
мулыI (17.4) представляет собой след оператора (е р). На этом осно--
ванин мы приходим к заключению, что если вид матрицыI плотности
системы известен, то среднее значение какой..либо физической вели..
чиныI этой системыI, описываемой оператором р, определяется соот-
ношением
F === Sp (е р).
(17.5)
УстановИм, как меняется со временем оператор е. Смешаннъш
ансамбль, описываемый матрицей (2хх" есть набор независимых
систем, каждая из которых в начальный момент времени t == О нахо..
дится в одном ИЗ чистых состоЯНИЙ tpa(X, О) == tpa(X) С вероятностью Ра.
Каждая система в момент времени t > О также будет находиться в
читом состоянии tpa(X, [), определяемом из уравнения Шрединrера
.Z  О'Ра (х, t)  J rV.. ( " t) d " (17.6)
1111  ot ....... dUxx" tp аХ' Х.
Здесь dVxx" ....... матричный элемент rамильтониана в х..представлении.
Для сопряженной волновой функции tp:(X', [) имеем
д * ( х' t )
.z 'Р а' J * * ( " [) d 11
...... 1111 ot == dUx' х" tp аХ' Х.
(17.7)
Как обычно, вероятности Ра будем считать не зависящими от времени.
Тоrда в момент t > О матрица плотности будет равна
(2хх: ==  Ра tp:(X', t)tpa(X, t). (17.3а)
.а
Дифференцируя это уравнение по времени и выражая tp:(X', [) и
1рQ(Ж' [) из (17.6) и (17.7), находим
д?) == :п J x'X" ех"х' dx"  ii J ех'Х" x"x' dx". (17.8)
1
При получении (17.8) мы воспользовались эрмитовостью raмилътониана
* ,
dUx'x" === 4:. х"х'.
Уравнение (17.8) в операторной форме имеет вид
in е === 'iv е ....... e;ij.
(17.9)
Это-.........-так называемое уравнение движения для оператора ШIотности,
жоторое ниже мы используем для вывода дисперсионных формул
жвантовой оптики металлов.
9 А. В. СОКОЛОВ

130
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МЕТАЛЛОВ
[rл. IV
 18. Дисперсия в поr лощение света в видимой
и ультрафиолетовой области спектра
Со времени появления в печаm первых работ Крониrа [20] по
квантовомеханической теории дисперсии металлов эта область
была предметом исследов аНИЙ ряда авторов [21 26]. Весьма успет..
ными исследованиями в этой области являются также работы русских
физиков Шубина, CepreeBa и Черниховскоrо [27  29]. Здесь мыI при-
держиваемся изложения данноrо вопроса по методу Шубина  Cetr
reeBa.
Итак, будем описывать систему электронов металла при помощи
оператора плотносm е. Как нам уже известно, оператор плотности
удовлетворяет квантовому уравнению движения (17.9). В общем слу..
чае, е представляет собой оператор в конфиrypационном пространстве
всех координат электрона, включая и спиновую. Однако, поскольку
во мноrих оптических явлениях спин электрона не иrрает существен-
ной роли, будем под матрицей плотности е подразумевать матрицу,
сокращенную по спиновой координате.
При вычислении оптических характеристик по методу матрицы
плотности сначала находится выражение последней в поле эле к...
тромarнитной волныI. Затем определяется полная плотность тока
в точке 1':
j == Sp (е · f),
(18.1)
rде j  оператор плотности тока, определяеМЫЙ для электрона в
· электромarнитном поле равенством (СМ. (13.5»
j ==   (Р +  А) , (18.2)
р ...... оператор иМпульса электрона, А ...... векторный потенциал световой
волныI.
Среднее значение плотности тока в «основной области) можно
представить в виде
.... 1 ( ..... А )
j == GЗ аЗ Sp е. j ·
(18.3)
Определив квантовомеханическое выражение для плотности тока
и сравнивая ero с плотностью тока по классической теории, леrко
определить е И 0-, а следовательно, и оптические характеристики.
Итак, пусть на металл падает электромаrнитная волна с BeKTopным
потенциалом
А(1', [) == В(1') ехр i(j)t + В*(1') ехр (...... i(j)t).
(18.4)
Тоrда, как мыI видели в  13, оператор энерrии 1t; будет иметь вид
А А е
dV == 1{)0 + те (А р),
(18.5)

 18]
ДИСПВРСИЯ и поrЛОЩЕНИЕ СВЕТА
131
А
rде t'7U J  оператор энерrии электрона в металле в отсутствие поля и
р  оператор импульса электрона. Подставляя (18.4) и (18.5) в (17.9),
получим
А
"}:: де  А е А А А  е А ...
11(,  == dUO е +  А Р е  е dUO   е А р
ot те те'
ИЛИ
 o А .}:: де А  е ( А А А ..... )
 dU е + l111  + е dUO ==  А Р е  е Ар.
ot те
(18.6)
Так как все операторы квантовой механики инвариантны относи..
тельно унитарныIx преобразований, то можно воспользоваться
операторным тождеством
д ( ;jdo t   iб о t )  ;j?; о t ( А д А ..... )   ;i о t
ili, ot е h ее h == е h  JVO е + in д + е ?"L- 0 е п ,
которое совместно с (18.6) приводит к уравнению
д (  jeo t   iбо t )  iб о t е   iб° t
in ot eh ее n == е 11, те (А р е  е А р) е 11, .
(18.7)
Оrраничиваясь членами, линейными относительно поля, МОЖНQ
В правой части последнеrо равенства вместо е взять оператор плотносm
в отсутствие поля и в представлении (п k) написать
ih t {(п k I е I п' k') eiron..' '} ==  e ironn " {(п klA р eol п ' k')  (пkleo Aplп, k)}
или, поскольку ео диаr<?нальна в (п h)-представлении:
ih l {(п klel п , 'е') e iro "..' '} == Т:с e iro ",,' , (п k\A р\ п' k') o(п' k')  ео (п k)],
(18.8)
rде
Е(О) (k)  Е(О) (k)
п п
сипп' == 11, '
(18.9)
(п kIAp!п, k') == J V'(k 1') ApV'n,(k' 1') dT
(18.tO)
и интеrрирование ведется по основной области» а.
Подставляя (18.4) в (18.8) и интеrpируя по времени, находим
е t i(Шnп'+ш)t 1
(пkleln' h') e;wnn't ;=: (п hle(O) 1 п' h') +  "  (п k l BP l n' k')+
lhme 1 (СА>пп' + СА»
e i ( Ш nn ' ......(J)t  1 j
+ (п hlB* ;1 п' h') [ео(п' k') ...... ео(п h)]. (18.11)
i (6)nn'  СА»

132
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МЕТАЛЛОВ
[rл. IV
Отсюда для матрицы плотности в поле электромаrнитной волнь
получаем
(п klel п' k') == (п k I 12(0) I п' k')   I ei",t  еiш....' t (nklB рl п' k') +
1"тс t (J)ntf,' + с:.>
+ еtШ:i:""'t (nk 'В* р I п' k'): [еll(П' k')  e(nk»). (18.12)
Перейдем. теперь к нахождению выражения для плотности тока,
возникающеrо под действием поля световой волны. Подставляя
(18.12) и (18.2) в (18.1) и оrраничиваясь членами, линейными относи-
тельно поля световой волныI, находим
е 2 J J 'ir.vt iWпп' t
J(...) == та с п  [ео(п' k')  е,,(п k)] t е 6): е+ 6) (п k I pln' k') +
+ etOJt  еtш",,' t (п k I в* р I п' k')l (п' k' I р I n k) dk dk' 
"'пп.  с:.> j
.
е 2 r
   ео (п k) (п h I А I п k) dk.
те n 81
(18.13)
Часть плотности тока ......  Sp (еор), представляющую собой плотность
. т
тока без внешнеrо поля, мы не рассматриваем, так как ее среднее
значение равно нулю и все равно выпадает при дальнейшем усред-
нении по основной области. Орrаничиваясь видимой и ультрафиолето..
вой областью спектра, выражение (18.13) можно упростить, пользуясъ
тем обстоятельством, что длина волны л в указанном интервале
значительно больше размеров сосновной области». В силу этоrо можно
произвести усреднение по .основной области., которое аналоrично
усреднению по сфизически малому объему, производимому в класси..
ческой электронной .теории.
П ренебреrая волновым вектором световой волны по сравнению с
волновым вектором электрона и, следовательно, полаrая h' == h
И усредняя по основной области 63 0.3, получаем для плотности тока
следующее выражение:
е 2 J
А"') == та c1i, G8fi&  [е,,(п' k)  ео(п k») Х
( . t ( 1 .... I ' ) 1  ei(w".'+(J)t 1  ei(Q)пf?,'w)t
Х В е 'а> п k. р п k · + х
6)..' + (J) с:.>пп'  '"
I
ХВ* tшt (nklp I п' k) }(n'klplпk) Jrlе  а8 А  J ео(п k) dk. (18.14)
Используя ,?оотноmение
iA == ....... ro (в eiO)t  в* eiwt),
.,.

 18]
ДИСПЕРСИЯ и поrЛОЩЕНИЕ СВЕТА
133
выражение в фиryрных скобках можно представить в следующем
виде:
а aG8 8  J [ео(n' k) ...... ео(п h)] [ 6>nnA  i (п k\p! п' k) ] Х
rn с а пп' пп' '->
Х (п' h) р 1м) dk + (18.15а)
ie 2  J , I et(roпn'+w)t . t I А I ' )
+ 2 11, GЗ 3  [ео(п k)  ео(п h)] "( +) Be 1ro .(п k р n h +
т с а пп'  1 '->nn' '->
eЦ(O ,ro)t J
+ "( nn ) в* eiwt (п k I р I nh') (п' k I р I п k) dk.
 1 '->nn'  '->
(18.156)
в (18.15а) сумму по п, п' разбиваем на две части, соответствующие
ео(п' h) и ео(п k) и в первой из них меняем индексы суммирования
п  п'; при этом тпп, == ......тп'п. В результате этих операЦИЙ мнимая
часть выпадает и тоrда для (18.15а) имеем
 a.aaaa8  f eo(n:k) пA'2 (nh I р I п' k) (n'h I р lnlc) dk. (18.16)
т с nп' 6)пп' '->
Для преобразования (18.156) вместо Ilеременных интеrрирования
k X9 ky, k z ввеДем новые переменные тпп" а, lJ, причем тпп' определяется
из соотношения
nтпп' == .в<:!( k x , ky, k z ) ...... Щ9>( k x , ky, k.),
(18.11)
а и И lJ суть ортоrОНaJIЬные координаты на поверхности тпп, == const
в пространстве k x , ky, k z .
учитыIаяя соотношения Дирихле
х.
lim f l(x) si: жt dx ==  :7t 1(0), если  < о < ,
too 1 о в остальныIx случаях,
Х 1
х.
lim f l(X) со: жt dx == О,
'oo
Х 1
получаем для момента времени, достаточно удаленноrо от момента
включения поля t == о:
iпe'  J (lo(п'lc)  (!о(п,,) А, . t
2 cn GЗ 3  I d ' I {(п hl р I п k) Ве lШ о (тпп, ...... т) +
т а пп' gra '->пп
+ (п k I р I п' k) B*ei(J)t о (тпп, + ы)} (п' k I р I п k) du dlJ,
rде вместо (i)nn, следует положить :f: (i) и Igrad" (i)nn'll является ЯI(О
бианом. прео6разования. .

134
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МЕТАЛЛОВ
[rл. IV
Так как уравнение й)nn' == й) при замене п  п' соrласно (18.17)
переходит в й)nn' == ..... й), то последнее выражение можно представить
в виде
1'lе 2  f eo(n'l&)  eo(nlt) . ( 1 .... I )( [ А 1 ) (
2 11, G3 3  1 d I Ank р n'k n'k р nk dиdv. 18.18)
т с '-> а nn' gra 1& '->nn'
Из (18.14), (18.15), (18.16) и (18.18) получаем для полной плотности
тока в металле следующее выражение:
е 2 J
J(r) ==...... 2 а з 3  dk(2o(n k) Х
т с а n
I 2  '->nn' А ( 1 ..... [ , ) ( ' 1 ..... I ) J 1'lе2
Х A+F""""""""   2 nk р nh nkp nk + 211, G3a3 X
1I,т N ' , '-> т с '->
nn
 J eo(n'l&)  eo(nlc). 1 ..... I ( I ..... 1
Х  I d ' I А(п h р п' h) п' k р п k) dи dv,
nn' gra 1& '->nn .
ИЛИ, вводя тензорные обозначения,
j(-r) ==  e8 8  J dk (20(п k) A + :z  2 '->nn' 2 п(п п') А I +
т с а n t llUII n' '->nn'  '-> j
+ 1'lе 2  J eo(n'l&)  eo(пl&) п(п п' А dи dv
т 2 с 11, ci) G3 а 3 -fп; I grad. ,->nn' I ) ,
(18.19)
rде D(n п') ...... эрмитовский тензор с составляющими
{п(п п')}ар == (п h I ра I п' k) (п' k 1 Рр I п k)
(а,р == ж, у, z),
при соответствующем выборе осей координат может быть приведен
х диаrональному виду.
Сравнивая (18.19) с плотностью тока по классической теории
(18.20)
. 8  1 · + Е 8  1 ,->2 А и.
J == Е а- == ...... A
4п 4п с с'
(18.21)
получаем для диэлектрической проницаемости в и «световой проводи..
мости» U следующие выражения:
1 41'lе2  r ( ) ! 1 2  (дnп' ( ' ) J (18 22)
е == --- 2 63 3  J dk (20 п k + Z  2  2 D п п, ·
ты а n llUII n' '->nn' '->
cr == --- 1'lе 2  J dи dv eo(п'lc)  eo(nlc) п(п п'). (18.23)
т 2 h ,->G3 а 3 -fп; I grad. '->nn' I
Если световая волна распространяется по оси Z и поляризована {l0
оси Х, то еС1'ь коrда
Е == Ех, Еу == Ez == О, ,. (18.24)

 18]
ДИСПЕРСИЯ и поrЛОЩЕНИЕ СВЕТА
135
для в и u получаем хорошо известныIe формулы квантовой оптики
металлов
е == 1  :7( з 1: f dkeo(пk) 11 + 2,,  а  а I рх(п п11 2 }, (18.25)
тСА> а n t т1l, n' (i)nn, СА> ,
пе 2  ео(n''')  eo(nlt) , 2
U == ...... dи dv п п .
тЧi, CA>G3 а 3 I gradlc 6) , I I рх( ) I
пп' пn
(18.26)
Более простые выражения для в (18.25) и (F (18.26) ДЛЯ металлов с
кубической решеткой получаются и без предположения (18.24), если
только для совокупности электронов металла, занимающих стацио-
нарныIe состоян (п k), эквивалентны все направления ж, у, Z. Если
это условие не вьmолняется, что может быть, например, при н аличиИ
постоянноrо тока, в и (J" даже для кубической решетки являются
тензорными величинами.
В заключение этоrо параrрафа рассмотрим силы осцилля1'ОРОВ
для электрона в металле, поскольку их связь с оптическими характери-
стиками имеет принципильаное значение для всей теории металлов в
целом. Часть плотности тока поляризации, обусловленная электроном,
находившимся первоначально в стационарном состоянии (п k), · на
основании (18.19) дается выражением
· ==  ie 2 ( 1    6)n'п п(п'п) J Е
'е тСА> пт  6)2  СА>2 ·
п' п'п
(18.27)
При этом принято во внимание, что плотность вероятности внутри
сферы Ферми равна *)
GЗ аЗ
eG(n h) == 4п 3 ·
Вводя обычное определение силыI осциллятора
{п'п ==  D (п'п) ,
пт СА>n'n
(18.28)
а также силу осциллятора, соответствующую частоте нуль:
I == l == 1    D (п'п)
о  hт 6)' ,
п' п n
(18.29)
*) Действительно, это вытекает из следующих соображений. По определению,
число частиц (электронов)
е == · Так как объем, приходЯЩИЙся на одно состояние,
занимаемый объем
( 211' ) 3 1 G3 а 3
равен .........., то е == ==, и если учесть две ориентации спина,
Ga ( : J 3 8:7(а
то о ==
...
G3 а 3
411'3

136
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойcrв МЕТАЛJlОВ
[rл. IV
для ie (18.27) получаем
· == ....... ie2 1 fnn .......  lA)fn'n J Е
'е т (f)  0)2  6)2 ·
n' п'п
(18.30)
с дрyrой стороны, для тока, вызываемоrо движением rармоническоrо
осциллятора заряда fet массы т и собственной частоты ы о В поле
световой волныI, соrласно (11.11), имеем
j e == ie 2 6)! Е
т( 6)  lA)2) ·
(18.31)
Из сравнения (18.30) и (18.31) видно, что электрон в металле ведет
себя подобно систеМе осцилляторов, один из которых обладает
собственной частотой, равной нулю, с силой ' пn и совокупности осцил-
ляторов с частотами тп'п И силами {n'п:.
Напомним, что при рассмотрении квантовой теории дисперсии
вводится сила осциллятора (ср. (14.48))
i  2т6)п'n I х n ,n\2
, п'п  11, ·
(18.32)
Это выражение равноценно следующему:
f X  2 I х 1 2
n'п  11, Рп'п.
т6)n'п
(18.33)
Действительно, если подставить выражение
х .
Рn'п  1 Ып'п, т Жп'п'
(18.34)
связьmающее матричныIe элементы импульса и координаты электрона
в (18.33), то получим (18.32).
Особенность электронов в металле заключается в том, что матрица
импульса содержит также и диаrональные элементы, то есть среди
состояний п', комбинирующих оптически с п, находится также само
состояние п. Поэтому спектр поrлощения, происходящий от пере..
ходов электрона в металле из состояния n в состояние п', содержит
среди дрyrиx лиНИЙ также линию с частотой, равной нулю. Но в то
время, как силы осцилляторов для всех остальных линий поrлощения
леrко MOryт быть вычислены из (18.33),' для силы осциллятора
' nn == 10' соответствующей ЛИНИИ поrлощения с частотой, равной
нулю, формула (18.33) дает бессмыIленнъIйй результат: :!: 00.
Силу осциллятора можно определить также следующим обра..
зом:
, х  i ( nX. х * )  i ( х  )
п'п  h Рп'п Хn'n  Рп'п Жп'n  h Р пп , Хn'n ..... Х nп ' Рп'п ·
(18.35)
Действительно; если подставить Хп'п из (18.34) в (18.35), то полу..
чим (18.33). Формула (18.35) позволяет непосредственно получить

 18]
,ЦИСПВРСИЯ и поrлощвнив СВЕТА
137
теорему сумм. Действительно, соrласно перестановочвым соотно"
mениям
ж РХ  РХ Ж == i п, !
у Ру ....... Ру У == i п,
% Pz --- Pz z == i п
(18.36)
имеем
 Fn'n ==  (рХ х  х pX)пn == k ( i 1/,) == 1.
(18.37)
На основании этоrо получаем хорошо известную теорему Томаса......
Куна---Рейхе
 {'п ==  р"'п ==  {'п == 1.
п' n' п'
(18.38)
. Сумма сил осцилляторов для всех переходов электрона из определен..
Horo СОСТОЯНИЯ п во все возможные СОСТОЯНИЯ п' равна единице. В
силу этоrо сами силы осцилляторов ДЛЯ сильных переходов также
порядка единицы.
Разница в поведении электрона в атоме и в кристалле состоит в
том, что в атоме величина { пп по теореме Томаса  Куна....... Рейхе
равна нулю, тоrда как для электрона в поле периодическоrо потен..
циала она отлична от нуля блаrодаря иным rраничным условиям,
налаrаемым на волновую функцию (периодические rpаничныIe усло..
вия). Действительно, исходя из (18.35) или из (18.29), можно показать,
что при переходе без изменения энерrии й)nп == О имеет место соот..
ношение
'X) ==  дрх == т др х == m д 2 Е == т
. 11, ak x 11, ok x 11,2 ok т эфф
(18.39)
Следовательно, сила осциллятора t пn определяет зависимоСть ско"
рости и энерrии от квазиимпульса электрона.
Если мыI положим ' пп . 1, то из (18.39) получим
11,2 k 2
p==nk, Е=== 2т '
(18.40)
то есть хорошо известныIe формулы для совершенно свободных
J.
электронов. В силу теоремы сумм величин f это означает, что для
св060дных электронов вообще не существует вероятности оптическоrо
перехода в состояния с друrой энерrией, что представляет известныIй
опыТНЫЙ факт (свобоДНЫЙ электрон не может поrлощать, а может толь..
ко рассеивать свет). Из (18.28) и (18.29) следует соотношение
{ nn +  'n'п == 1,
n'
(18.41)
которое представляет теорему сумм для электронов металла.

138
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МЕТАЛЛОВ
[rл. rv
.
Если  'n'n «f nп , то есть { nn  1 и т» й)п'п, то из (18.30) на..
ХОДИМ п'
.
е 2 1!]
je ==  mfJ)2 ·
Плотность тока, обусловленная N электронами, будет равна
Ne 2 ·
j ==  ты 2 Е. (18.42)
Сравнивая (18.42) с j == а 1$, получаем хорошо известную формулу
Друде  Зинера (12.13). Это означает, что при высоких частотах
электроны можно рассматривать как своБодныI..
g 19. Применевие общей теории к случаю
почти свободных электронов
В общие формуды дисперсии входят матричные элементы опера-
тора импульса и боровские частоты перехода, для вычисления кото-
рых необходимо знать энерrеmчес:ки.й спектр и точнъlЙ вид собст..
венных функЦИЙ элеRТРОНОВ металла; поэтому количественное срав-
нение их с опытом в общем случае невозможно.
Однако в приближении почти свободных электронов энерrети"
ческий спектр и волновые функции можно получить. в явном виде
и с их помощью вычислить интеrрал (пklp/п'k) и частоту
,перехода й)пn', а следовательно, найти явный вид в и cr и, наконец,
по ним, полъзуясь формулами (2.18), определить значения для опти-
ческих констант металла.
Такие вычисления были произведеныI Серrеевым и Черниховским
[27], которые, пользуясь в качестве собственных функЦИЙ электронов
функциями Бриллюэна, получили численныIe значения оптических
констант для калия и натрия и провели количественное сравнение
с опытом.
Волновая функция электрона в случае почти своБодныIx электро-
нов в первом приближении может быть представлена в следующем
виде:
( 1  2nillr )
е 2лi tp"  J е а V d-r
1р,,<,-) == rr-- 1 / 2 1    Q ei("r). (19.1)
_ 2пh 2 11 (kg) + :7tg 2
Здесь g  объем основной области, v  полный потенциал решетки,
9  целочисленный вектор, связанный с вектором обратной решетки.
За потенциал каждоrо иона решетки принимаем выражение [77]
е 2 Z
W (r) == r er/b (19.2)
(в дальнейшем число валентных электронов на атом Z полаrаем

 19]
СЛУЧАЙ ПОЧТИ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
139
paвным 1). Множитель e..... r / b характеризует собой экранирующее
действие всех остальных электронов. Тоrда полный потенциал будет
v ==  W(fI) ==  v 11 e'l-'7:illr,
11
(19.3)
rде
V {I ==  J V fr""'Jяiflr d-r ==  J  W(r)е2пi... d-r ==  J W(r)fr""2пi..r d-r: о (19.4)
есть коэффициент Фурье разложения потенциала в ряд Фурье и интеr..
рирование по dT о производится по элементарной ячейке. При этом
предПолаrается, что потенциал в данной точке решетки вызывается
rлавным образом потенциалом ближайшеrо иона, в силу чеrо мы
имеем право перейти от интеrpирования по основной области к
интеrpированию по элементарной ячейке.
Подставляя (19.2) в (19.4) и интеrрируя, находим
пе 2 1
V == 
11 а 11'2 g2 + d 2 ,
(19.5)
а
rде d == 2Ь ·
Теперь мыI перейдем к вычислению матричных элементов опера..
тора импульса электрона при переходе ero из состояния (пk) в состоя-
ние (п'k):
(nkl р I n'k')== Рnn' ==  i1i J tp:..(t') gradtpn,..{r) d-r:. (19.6)
Подставляя ФУНIЩИЮ Бриллюэна (19.1) в (19.6) и последовательно
пренебреrая членами с квадратами V 11' получим
та gl У Il ( 1 7)
Р nn' ==  т (kg) + 1I'g2 · 9.
Выражая V 11 через (19.5) и вводя частоту перехода тпll', по формуле
2пп
тпп' ==  та 2 [(kg) + пу 2 ] (19.8)
получаем
2п 2 е 2 g 1
Р ,  1
nn    1I'g2 + d 2 6)пn' ·
(19.9)
'J.

При получении (19.8) мы воспользовались тем обстоятельством,
что в первом приближении уровнями энерrии являются уровни сво"
бодных электронов. Принимая во внимание, что плотность e(}(пk) ==
G 3 a 3
== 4n3 внутри сферы Ферми (радиуса РО) и е(,(nk) == о вне ее, для
диэлектрической проницаемости находим
в == 1...... е 2 J [ 1 +   '->nn'IРnn'12 ] dk. (19.10)
11'2 т,->2 l1'lh  ,->2 ...... ,->2
пп'

140
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ свойcrв МЕТАЛЛОВ
[rл. !V
Подставляя (19.9) в (19.10) и интеrрируя по всем k x , ky, k z , лежащим
внутри сферы радиуса РО9 получим
4 2 [ 2 4 2 I 6)(2)
 1 пе 1 т е а g 1 ( 1 ) ( 2 ) 1 g
е  ...... ы ы n  ......
т6)2 а З 4пh 4 6)2  g3('Jt2g2 + d 2 )2 g g с.><1)
g , g
(6)(2)  о) )( 6)  6)(1» 6)(2)  6) (6)(2) + 6» (6) + 6)(1»
g g ln g g g ln
2 6)(1)  6) 2
g
6)(2) + 6)f ]
6);1) + 6)  '
g
(19.11)
rде
ю) == 2::; (:п; 9  РО) и
(i)2) == 2п 11,; (ng + ро).
та
(19.12)
Соrласно (18.29) для ссветовой проводимости» имеем
е 2  f I Рпп' 12 dи dv
411'2 т 2 11, 6)а 3 g I grad. 6)пп' I '
(т==
(19.13)
rде ы пп , ==  ы.
Из соотношения
2-лп
ы пп , == та 2 [(kg) + ng 2 ] (19.14)
2-лп
непосредственно следует, что I grad" ыnп,l ==  g. Из (19.14) видно,
та
ЧТО поверхность Ыn'п == ы является плоскостью, расстояние которой
от начала координат в пространстве квазиимnyлъса равно
d == та 2 6) ( Ы ...... 2п 2 11, 2 ) .
2п hg та 2 9
(19.15)
Так как область, занятая электронами, оrpаничена сферой радиуса
РО (сфера Ферми), то интеrрирование по и И 1) производится по пло..
щади Kpyra р == (p  d 2 )1/2. Подставляя далее Рпп' (19.9) в (19.13)
и принимая во внимание сделанные замечания, получим
6 f 2е6 g
cr  пе  gl dи d1)  11'  1 (   tJ.2 )
 2т/l,a ай 6)3  g( п 2 g2 + d 2 )2  2mh 6 ай 6)3  g( 11'2 g2 + d 2 )2 о ,
ИЛИ, полъзуясь (19.15), имеем окончательно
6 g 2
 те  1 ( (1» )( (2) )
(т  811,4 а6)3 7' g3(1I'2g2 + d 2 )2 (i)....... (iJg CIJ g  (j) при
ы(l) < Ы < ы(2)
g g ,
(19.16)
(т ==' о в остальных случаях.
Эти довольно сложныIe выражения не являются вполне правилъ"
ными в деталях. Кроме тех пренебрежеНИЙ, которые указьmались
ВЫше, мыI. не принимали во внимание Toro факта, что плотность
уровней возрастает или у6ьшает к краям каждой энерrетической
полосы. Вообще rоворя, это не сказывается на значении критической
циклической частотыI ыl) из-за наличия правил отбора для k. Если,

 19]
СЛУЧАЙ ПОЧТИ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
141
однако, поверхность Ферми лежит близко к rpанице энерrетической
полосы, эффект изменения (возрастания иmt убывания) плотности
уровней становится существенным и приводит к разрьmу у про из..
водной е.
При помощи (2.18) можно определить rлавные показатели прелом..
ления п и поrлощения k. Для этоrо сначала нужно вычислить е И а-,
n.А
0,8
о
0,6
0/,
0.2
..
02,5 3,0
о
5
4,0 4b
Л, 'O"cм
Рис. 26. Значения п и k для калия.
Сплошные Iфивые IIЬ1ЧИслены Серrеевым и Чер..
виховским; экспериментальные точlCИ по давным
Айвса и Бриrrса.
при расчете которых можно оrpаничиться лишь восемью членами
сумм, для которых Yl == :f:: 1, У2 == :f:: 1, УЗ == :f:: 1. В табл. 6 дано
сравнение теоретических значеНИЙ (CepreeB и Черниховс:КИЙ (27])
и onытыыx данных (Айвс и Бриrrс [78]) п и k для калия.
Таблица 6
Длина воJIиы. п зксп k зксп п теор k Teop
105 СМ
4,047-- 0,105 0,71 0,105 0,77
3,65 0,150 0,443  
3,34  ....... 0,134 0,318
3,126 0,410 0,080 0,268 0,133
2,536 0,744 0,049 0,609 0,03
Соrласие между опынъIми и теоретическими значениями является
достаточно хорошим, однако точноrо их совпадения нельзя ожи..
дать из..за наличия в теории определенных приближений (рис. 26).

rЛАВА v
ОПТИКА МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ
 20. Оптические свойства металлических 'сплавов
в инфракрасной области спектра
а) НеупорядочеlDlЫЙ сплав тобой структуры
Оптические свойства металлических сплавов до сих пор не явля"
лись предметом теоретическх исследований. Вместе с тем изучение
этих свойств представляет интерес для получения сведеНИЙ об элек..
тронной структуре металлических сплавов.
Естественнее Bcero начать исследование оптических свойств спла..
вов с рассмотрения caмoro простейшеrо случая, а именно обобщить
известную схему расчета ДрудеЗинера на случай неупорядочен..
Horo сплава любой структуры [79]. Как нам уже известно, в основе
этой теории лежат формулы для удельной электропроводности о-
н диэлектрической проницаемости е:
е 2 Ny
о- == 2пт* (v 2 + у2) , (20.1)
20-
e==l
у ,
(20.2)
в которых взаимодействие электронов проводимости с тепловыми
колебаниями решетки учитывается феноменолоmчески путем введе..
1
ния времени свободноrо пробеrа (релаксации) т ==  2 ' т*  эффек"
пу
тивная масса электрона в кристаллической решетке *). Таким образом,
в этой теории учитывается лишь ускоряюЩИЙ эффект сравнительно
медленно переменноrо поля электромаrнитных волн, а квантовыми
переходами полностью пренебреrается.
Пусть мы имеем бинарный неупорядоченный сплав; обозначим
концентрацию первой компоненты сплава через с, тоrда концентра..
ция второй будет (1  с). Так как мыI желаем найти оптические харак..
*) Здесь формулы Друде......Зинера (20.1) и (20.2) выражены через обычную
частоту света, а иё через циклическую 6) == 2п "'. Соответственно этому 'у в данном
парarpафе в 2п раз меньше, чем у в 5 12.
l'

 20]
ИНФРАКРАСНАЯ ОБЛАСТЬ СПЕКТРА
143
теристики неупорядоченноrо металлическоrо сплава, то в формулах
(20.1) и (20.2) под величиной У следует понимать следующее выраже..
иие (в приближении удовлетворения правила Матиссена *):
У == CYl + (1  С}У2 + пс(1  с), (20.3)
1
rде Т1 == 
21l1'l
1
электронов на атомах первоrо сорта, Т2 ==  2  на атомах BToporo
п1'2
сорта, а D соответствует величине, обратной времени релаксации
ддя остаточноrо сопротивления
сплава. Выражение для последнеrо
в общем случае упорядочивающе..
rося бинарноrо сплава любоrо со..
става было получено Смирновым
[80] и равно
 время релаксации, соответствующее рассеянию
R
100.,
.,
.
90
80 100
Аи
 == D [ С(l  с)   (q  с)2Т}2 ] , 80 А о
Т 12 1  1 9
20
Рис. 27. Зависимость отражатель..
rде 'у)  степень дальнеrо порядка, ной способности неупорядоченноrо
N' . сплава от состава.
1 == N  относительная концентра..
ция узлов первоrо сорта бинарноrо сплава, а параметр q == 1 ДЛЯ
с ..
С  1 и q == 1 для с  1. Для неупорядоченноrо сплава любой струк..
1
туры'1) == О, И поэтому  == пс (1  с), как это и использовано в (20.3).
Т 1 2 .
Подставив (20.3) в (20.1) и (20.2), получим
"
Ne 2 [пс (1 c) + С')'l + (1 C)1'a]
(т==
21lт* v 2 + [пс (1 с) + СУ1 + (1  с) ')'2]2 ,
e==l 20- .
пс (1  с) + С1'l + (1 .C)1'2
ИЗ этих формул непосредственно следует, что оптические постояв..
ные неупорядоченноrо металлическоrо сплава являются функциями
концентрации. Рассмотрим, как будут изменяться отражательная
и излучательная способности с изменением КоНnентрации сплава.
Используя (20.4) и (20.5), можно построить rрафик изменения ICЬэф..
фиЦиента отражения сплава серебро..... золото для случая малых частот
(инфракрасная область) при следующих данных: v == 1014 ceKl
1'1 == 4 · 1012 ceKl, У2 == 5,4 · 1012 ceKl, D == 6 · 1014 ceK1. rрафик отра..
.
(20.4)
(20.5)
*) ПОД пра»илом Матиссена ниже поиимается соотношение, соrласно кото-
рому сопротивление сплава (температурная часть) при данной температуре вычис"
ляется по сопроumлению еl и е 2 компонентов, а имеlШО е(Т) == сеl + (1  с) е2"
Кроме Toro, имеется в виду, что полное сопротивление сплава равно сумме тем..
пературной части сопротивления и остаточноrо сопротивления.

144
ОПТИКА МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ
[rл. V
жательной способности сплава имеет вид щепной линии. с МИНИ..
мумом при концентрации, равной 0,5 (рис. 27). Леrко сообразить,
что rpафик излучателъной способности будет иметь вид вьклой
ливии С максимумом также при концентрации, равной 0,5.
б) Частично упоридочеввый биварвый металлический сплав [81]
Рассмотрим бинарный частИ1ЦIО упорядоченный сплав с простран-
ственноцентрированной кубической решеткой. При расчете оптиче-
ских свойств в бинарных упорядочивающихся металлических сила..
вах воспользуемся квантовой теорией последних, предложенной
Смирновым [80]. В этой теории для энерrии электрона в объемно--
центрированной кубической решетке сплава было получено следую..
щее выражение:
Е == W +е* + (с  )X:!:
[ k а k а k а ] 1/2
:l: (q..... с)2х27}2 + 64 е5 cos 2  cos! )'2 cos 2 +, (20.6)
rде w..... энерrия нулевоrо приближения, В.' Х, е о ...... постоянныI,' не
зависящие от с и 7), q == 2с для с  0,5; q == 1 для с;:::: 0,5.
Для случая верхней почти заполненной энерrетической полосы
k а k 2 а 2
можно В выражении (20.6) заменить cos   1 ...... 'т' и тоrда вы..
· ражение для энерrии принимает вид
E:f: == W + е. + ( с  ) х:!: [(q  с)2х2'У}2 + 61J2 =F
+ 8[(q ..... с)2 х2'1]2 + 64eIO1/2 a2( +  + ). (20.7)
В этом случае также нетрудно получить выражение для эффектив..
u б V Ф * 11,2
нои массы, исходя из о щеи ормулыI т == d d Е
gra . grt:l .
n,2
т* === [(q...... с)2 х 2 'У)2 + 64e 211 /.. ( 20.8 )
1682 а 2 -1 OJ
О
Мы уже видели, что для постоянноrо внешнеrо поля (v === О) формула
(20.1) дает обычно статическую электропроводность
..1' Ne 2 Ne 2 '1'
о- 
о ....... 2п т* 'У....... т* ,
то есть удельное электросопротивление равно
т* 2п т* 'у
ео === Ne 2 '1' == Ne 2 ·
Как извеctно, сопротивление сплава соcrоит из двух частей, одна
из которых el обусловлена взаимодействием эnеrrpoнов с колебзниями

 20]
ИНФРАКРАСНАЯ ОБЛАСТЬ СПЕКТРА
145
решетки и зависит от температуры, а вторая еп, обусловленная нали-
чием атомов различных сортов (и дрyrиx неоднородностей внутри
металла), непосредственно не зависит от температуры и называется
остаточным сопротивлением. Таким образом, имеем
е == еl + ен.
(20.9)
Остаточное сопротивление сплава с объемноцентрированной куби-
ческой решеткой р,,:ссчитано Смирновым [82] и равно
2пт*
ев == Ne2 Ун'
(20.10)
rде
'Ун === п[ с(l --: с)  (q ..... с)2'У}2].
(20.11)
Температурная часть сопротивления сплавов выисляласьь рЯД6М
авторов. Соrласно вычислениям Рыжанова [83] и эксперименталъ..
ныIM данным Комара [84]
еl === а Т, (20.12)
rде коэффициент а следует считать в первом приближении не завися..
щим от степени далънеrо порядка. Таким образом, мы можем на-
писать
2пт*
ео == N 2 === аТ + ен.
е 'У
Следовательно, у разбивается на две части: у ==Yl +"111' rдеУII вычис-
ляется по (20.11), а 'YI леrко найти из равенства
(20.13)
'YI 2пт*  Т
N е2 ...... а ·
Переходя ко времени релаксации TI' получаем
т*
N 2 ==аТ.
е 'l'I
(20.14)
Выражение для времени свободноrо пробеrа электрона можно найти
из соотношения T(ko) ==  ) . Так :как длина своБОДRоrо пробеra
В' ( dE J 2 1 dE
равна l(ko) === Т dk k5 и v ===  dk . то для Т! имеем [73]
. == .0
TI == ( ;)  ( :: ). (20.15)
Из статистики Ферми известно, что
k == ( 3 N ) 1/3
о . ,8п '
(20.1
1 О А. в. СОКОJlОВ

146
ОПТИКА МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ
[rл. V
Тде N ...... число электронов в единице объема. С помощью формулы
(20.7) леrко найти
( 3N ) 1/З
1682  а
( аЕ ) 16 e ko а о 8п
 == =F == =F (20.17)
ako о V(q  с)2 X 2 'YJ2 + 6485 V (q  с)2 X2'YJ2 + 64е5 ·
Подставляя (20.16) и (20.17) в (20.15), получим
6В Ne5
T I == 
пТ V(q c) 2 Х 2 'YJ2 + 64e ·
Подставляя (20.8) и (20.18) в (20.14), получаем для а следующее выра..
жение:
(20.18)
'Jlh 2 [(q  C)1!X2'YJ2 + 64e]
а== .
96 N2 е 2 а 2 е 4 В
о
(20.19)
Так как соrласно работам Комара и др. [85], а Не зависит от степени
далънеrо порядка 'У}2' то В должно быть пропорционально величине
[(q ..... C)2X2rJ2 + 64e]. Поэтому можно положить
В == ,8[(q ...... C)2X2rJ2 + 64еб], (20.20)
rде величина fJ не зависит от 'У), но может зависеть от концентрации С.
Следовательно, коэффициент а можно представить в виде
пn 2
а == 96N a eDa a e& fJ · (20.21)
Так как при с == О или с == 1 должно получаться сопротивление е.
(и соответственно 'rl) Toro или друrоrо чистоrо металла, входящеrо
в состав сплава, то ожно положить (соrласно правилу смешения)
1
fJ == ,81 С + ,82(1  с). (20.22)
Это дает
в == [,81С + fЗ2(1  c)]l [(q ....... c)2x2 + 64e],
....... 1...... · т [fJl С + fЗ2 (1  С)]  А .(1) + (2)
1'1 .......  ....... ....... . у t 'У I ·
2n'l'I 12 N8б Y(q  с)2 X2'YJ2 + 648
Таким образом, окончательно для 'У имеем
'У == l'I + 'YII == у\1) + у\2) + 'Уп'
(20.23)
(20.24)
то есть
'у == [fJl c + fЗв (1 c)] Т + п[с(1 .... с) ...... (q ...... c)2]. (20.25)
-12 Ne V (q c)2 х 2 '1]1 + 64e
Введем следующие обозначении:
ь'"", 111 С 1  с) , d.... Dc(l  с), 1.... D(q  c)l, f == (q --;;;?;.х- .
8 О

 20]
ИНФРАКРАСНАЯ ОБЛАСТЬ СПЕКТРА
147
,
Тоrда для случая частично упорядоченных сплавов ('У}« 1) у можно
представить в виде
у == (d + ЬТ) + (1 ...... bfT)'Y}2 == r + G'Y}2. (20.26)
Подставляя (20.26) в (20.1) и (20.2), учитывая, что 7]« 1 ,И обозначая
Ne 2 а 2 Во 
пh 2  р,
получаем следующие выражения для о- и е:
(j == r'  v a [ r + (в  rt  r;r;a J Тj2] ,
е == 1  r(r; v a ) [r  (rt + r.2r:a J7]2] ·
Из этих формул видно, что диэлектрическая проницаемость И уделъ..
ная электропроводность ляются фymщиями частоты BHeIIIНero
поля (дисперсия) и Te:мnepaтypы, которая вошла через время релак..
сации TI как результат взаимодействия электронов проводимости
с тепловыми колебаниями решетки. Однако самым существенным
в этих формулах является зависимость е и о- от степени дальнеro
порядка'У}. Последняя величина сама является функцией температуры,
поэтому именно через зависимость е и (]" от 7] и должен определяться
весь аномалънъlЙ температурный ход оптических постоянных упоря..
дочиваюIЦИXСЯ сплавов. Поэтому при переходе через температуры
упорядочения в сплавах следует ожидать «аномальноrо» изменения
опmческих характеристик и, в частности, излучателъной Е и отража-
тельной т. способностей. Подставляя найденное выше выражение
(20.27) для о- в формулу (3.6), получим
[ в rf....... 2 2 ]
V (ra + v a ) v r lE ::
А == 2 r 1 ...... 2r 7]2. (20.29)
Р
Таким образом, поrлощательная и отражательная способности
'Iастично упорядоченноrо сплава в далекой инфракрасной области
спектра ЯВЛЯЮТСЯ квадратичнъlМИ функциями степени далънеrо
порядка. Температурную зависимость последней величивы лево
получить из уравнения rOpcKoro [86]
7] == th () 7],
которое для '1]« 1 (вблизи температуры упорядочения) при водится
к виду
(20.27)
(20.28)
7]2  з [1  (  )2] ,
rде в
температура упорядочения.
10.

148
оптиКА МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВов
[rл. V
Пользуясь формулой (20.29), леrко определить «аномалию упоря..
дочивания» излучательной способности сплава
 == Б о ;:-Б ==  (а  Е!  rGava )7J2 + g'1}2. (20.30)
Для исследования температурной зависимости полученных фор..
мул вблизи температуры упорядочивания необходимо оценить входя..
щие в них постоянные f31, fЗ2, п,
х, Во, точное значение величин
которых неизвестно. Оценим сна..
чала величиныI fЗ1 и fЗ2.
Как известно, времЯ релакса..
1 
ции т "-1 2 ' rде Е ..... среднее эна..
чение амплитуды колебаНИЙ ре..
mеncи. Так как р,.....,  , rдe м 
масса ионов, ro TI) "-1 M 1 И
т\2) "-1 М 2 , rде индексы 1 и 2 от..
носятся к ионам первоrо и вто"
poro сорта. Torдa y\1),.....,  и
1
у\2) ,....., 1r. . Поскольку в выраже-
2
780 т "}( ниях для "1\1) И "1\2) , находимых
из (20.23), только величиныI fЗl
Рис. 28. Коэффициент отражения упор я- И Р2 MOryт отражать индиви..
дочивающеrося сплава (теория). дуалъныIe свойства разносортных
ионов решетки, то, очевидно,
1 1
для оценки fJ MOHO положить fJl "-1 М ' Р2 "-1 М ·
1 2
Если оrраничиться рассмотрением сплавов, у которых массы
раз личных - ионов решетки примерно одинаковы (например, латунь
Mcu == 63,57 и M zn == 65,38), то можно считать f31  fЗ2 ==. в этом
случае имеем
R,J;
"
"
",
6z
61
60
59 700
720
71,0
1
Р == fJl С + fЗ2(l ...... с) == .
Величину fJ леrко оценить, испо льзуя формулыI (20.21), зная из экс"
периментальных данных ве личину а и задавая величину Во.
По ИЗМерениям Комара а "'" 10З   1015 . Из оп ре..
zрад zрад
,целения эффективной массы при 'У} ::::; 9, получаем
11,2
т* .......
....... 2 в о а 2 ·
ЕсJIИ приmlть, ЧТО при 'у} == о т* совпадает с обычной массой эле..
прона т  1027 Z, то Во  4,5 · 1013 эрz. Однако в действителъ..
.,.

 21]
ВИДИМАЯ И УЛЬТРАФИОЛЕТОВАЯ ОБЛАcrь СПЕКТРА
149
ности т* > m., и наша оценка верна лишь приближенно (во будет
несколько меньше, чем 4,5. 1013 эрz). Для далъне йптих расчетов
МЫ примем Во f"Ie,J 10.....13. Тоrда для величиныI " получаем ,,== 10,2
в абсототных единицах. Ве JШ':LИ.Н}' D считаем равной "'" 12 · 1014
И Х == 3,2 · 10.....12 эрz. Для латуни температура упорядочивания в 
 7530 К. Ниже приводятся значения коэффициента отражения (Q
при различных температурах, при частоте падаюеrо излучения
Таблица 7
ТО, К 700 710 720 730 740 753
rR. 59,66 59,96 60,15 60,34 60,97 61,6
v == l()l2 ce1\.....l, для с == 0,5, при выбранных выше постоянных (табл. 7).
На рис. 28 приведена вычисленная кривая зависимости отражения
от температуры (f2 == t7<.(T). На рисунке виден характерный «излом)
кривой в точке упорядочивания, являюЩИЙся следствием зависимости
оптических постоянных сплава от степени далънеrо порядка.
 21. Оптические свойства сплавов в видимой
и ультрафиолетовой области спектра
Оптические постоянныIe сплавов с произвольным составом исте..
пеныо далънеrо ПОрЯдЖа в области Boro и улътрафиолетовоrо
света можно рассчитать с помощью оператора плотности. Оrpани-
чимся случаем частично упорядоченноrо сплава с объемноцентриро..
ванной кубической решеткой [79].
При вычислении е и (F будем предnолаrать, что сплав обладает
почти заполненной верхней полосой энерrетическоrо спектра. IIри
этом условии можно ввести эффективную массу электрона, что зна-
чительно упрощает вычисления. Cтporo rоворя, пользуясь моделью
сплава по Смирнову, бьшо бы более последовательным вести расчет
в приближении сильной связи. Однако расчеты в этом случае ста...
новятся чрезвычайно rромоздкими и не столь яснъlМИ, как в случае
почти свободных ,электронов. ЕсJIИ отказаться от описания HeKi>To-
рых тонких вопросов, связанных со смыIcнием,' (вырождением) энер-
rетических полос, которое обусловлено вращательной симметрией
решетки, то применение модели почти свободных электронов будет
оправдано (конечно, в рамках одноэлектронноrо приближения).
Общие формулыI дисперсии, по которым нам следует вычислять
е и 0-, содержат матричные элементы оператора импульса электрона.
Используя соотношения для энерrии (20.6) и эффективной массы
(20.8) бинарноrо упорядочивающеrося сплава, получим для матрич-

150
ОIПИКА МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ
[rл. V
ных элементов оператора импульса электрона следующее выра..
жение:
gll У"I 11,2 [(q  с)2 х 2 'YJ2 + 64e] 1
Рпп' ==  16 та.3 82 ,,0 ' (21:1)
о пп'
n,2 .
rде vп, ==  [ng 2 + (kg)], V " ...... коэффициент Фурье в разложении
та
потенциала решетки, а для частоты перехода электрона из состоя..
нии п, k в СОСТОJПIИе п', k' имеем соотношение вида
16 та 2 e о
V пп , == h2[(q  с)2 х 2 'YJ2 + 64 8i1 1 / 2 v пп '.
(21.2)
Проводя вычисления, аналоrичныIe расчетам диэлектрической
проницаемости е и световой проводимости о- для обIчных металлов,
получаем формулы CepreeBa и Черниховекоrо, обобщенныIe на слу..
чай сплава с пр,оизволънъlМ составом и степенью дальнеrо порядка:
422'  [
е == 1 ...... е е о 4п 3 +  т 2 а4 Х
п'h 2 av 2 [(q  с)2 х 2 'YJ2 + 64 e1/2 3 РО 't 11,4 v 2
и21 V 12 ,,(2) (q  с)2 х 2 'YJ2 + 64 е 2
Х 1 \ g 1) rЛ 2 ) ln  ...... о g2 ( V ( 2 Х
g3 g g ,,(1) · 512е 2 g3 v2 1 g
g О
Х (v<;) + v)(vP + v) ln :: + (V<)  v}(v  V<.}» ln : =: Л,
(21.3)
(21.4)
 е 2 [(q  с)2 х 2 'YJ2 + 64 e]1/2 g I V,,12 (2)...... ...... 1)
(j  25бna fl,а а e v8 f уа (v'l) v) (v  ),
rде введены следуюiЦие обозначения: ро....... радиус сферы Ферми в про..
странстве импульсов,
v<g1) == n g 2 (ng...... ро), V<f) == h g 2 (ng + РО)'
та та
1)  168 g ......
'1)  n[(q  с)а ха "1 а + 64e]1/2 ('Лg ро),
2
V (2)  1680 g ( + )
 I ng Ро.
"} l(q  с)2 х 2 'YJ2 + 64e]1/2
Полученные выражения имеют довольно слоЖНЫЙ вид. Однако
из них леrко можно сделать тот вывод, что оптические свойства
оплава . будут существенно зависеть как от концентрации, так u: от
степени да.цьнеrо порядка.
" При получении формул (21.3) и (21.4) не накладьmалось никаких
оrpаничеНИЙ на величину степени далънеrо порядка 'r}. Однако инте..

I 21]
ВИДИМАЯ И УЛЬТРАФИОJIВТОВАЯ ОБЛАСТЬ СПЕКТРА
151
рссно рассмотреть случай зависимости оптических характеристик
uблизи температуры перехода из упорядоченноrо состояния в Неъ'Поря"
доченное. Полаrая параметр далънеrо порядха 'У} значительно меньше
сдиницыI ('YJ« 1), мыI получаем для е и cr в окресТности температуры
lIерехода следующие выражения:
, == 1  е 2 е о  4п з ( 1  а 2 )   g 1 V g 12 [( V<l)e o V<2)eo 
2п 4 11,2 а,,2 3 Ро 'r)  4g 3 ,,2 е 2 g g
. о
V(2)e o е 2 [ ,,(2)80 + "  а 2 71 2
..... д(У)'У}2) ln ' ( 1\Р .... 2 0 «v(2)eo + v) (v(1)e o + v)...... D'Y}2)ln :1)80 + 2 +
" g rO g g " g "  а l 71
,,2)eo  "  a 2 "fJ 2 J]  ,
+ «z12}e.  v)(v  z11}..) + DV}ln v".val"1a \
или
(21.5)
e('YJ)  1 ...... А + В'У}2 == е(О) + В'У}2, (21.5а)
е 2 g I V If 12 r
(j == 32:7(а па а/! ס v8  уа [(V2)..  v) (v  z11)..) + 1h}2], (21.6)
или
cr == и(О) + С'У}2,
rде введеныI следующие обозначения:
(q  с)2 х 2 'YJ2 (q  с)2 х 2 g
а == 128е: ' a 1 == 64во n (пу  ро),
(q c)2 х 2 g
а 2 == 64 Во n (ng + ро),
D == (q  с)2 х 2 [ g2 ( п2 g2 ......  ) ...... "2 ]
32 n,2 о 4е 2 '
о
(21.6а)
(q С ) 2 2 g 2
о(у) == З2h (п 2 у2 ...... ).
На основании формул (21.5) и (21.6) можно заICЛЮЧИТЪ, что опти"
ческие свойства упорядочивающихся бинарных сплавов в видимой
части спектра Moryт обладать «аномалиями. при температурах ниже
точки перехода, характер которых определяется темпераТУРIfОЙ
зависимостью степени далънеrо порядка 'У} == 'У}(Т). .
К сожалению, опъпных данных по измерению оптических постоян..
ных упорядочивающихся сплавов пока в литературе почти нет. Осо..
бенно желательно иметь такие данные для области температур в
окрестности точки Кюри упорядочивания сплава. Значительным
препятствием к получению этих данных являются структурные" иска-
жения поверхностных слоев образцов из упорядочивающихся спла-
вов в процессе упорядочивания, нарушающие rеометрическую пра..
вилъностъ полированной поверхности.

152


ОПТИКА МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ


[rл. V


Недавно *) оптические константы упорядочивающеrося сплава
СUз'Аu были исследованы в видимой части спектра с использованием
мноrократных отражеНИЙ на образцах, приrотовленных путем испа..
рения в вакууме и затем подверrнутых отжиry при температурах
от SO дО 4000 с. Измерения О lllи.ч еских констант проводилисъ парал-
ле.пьно с измерениями электросопротивления и эдс Холла. Для конт-
роля одновременно исследовалисъ зеркала из чистых золота и меДИ.
Во всех случаях вблизи 2000 С набmoдалисъ довольно резкие необра..
тимые изменения электрических и оптических характеристик. В сплаве
Сuз Au наблюдалисъ допоJtнительныIe изменения в области темпера..
тур вышe 2000, которые отражали посте!lенное установление сверх..
структуры дальнеrо порядка.


*) В. Иванова и М. М. Носков, частное сообщение.




r ЛАВА VI
ОПТИКА ФЕРРОМArIШТНЫХ МЕТАЛЛОВ



 22. Оптические свойства ферромаrнитвых металлов
в ДJlИВНоволвовой области спектра
и их теоретическая интерпретация
Ферромаrнитные металлы
 железо, никель, кобальт, rадолиний,
а также некоторые сплавы и соединения проявляют особое поведе..
ине в маrнитном поле. Свойства этих веществ можно понять, если
предположить, что они состоят из малых областей
 доменов, каж..
дый из которых намarничен до насыщения (Вейсс). В намаrниченном
куске ферромarнитноrо металла направления намаrниченности доме..
нов распределены случайным образом, так что полный мarнитный
момент равен нулю. Процесс намarничивания TaKoro металла со..
стоит в изменении направлений векторов намаrниченности доменов
без изменения величиныI намаrниченности в каждом из них. Отсюда
вытекает, что основной характеристикой ферромаrнитных металлов,
определяющей особенности их физическоrо поведения, является
ве Jшчин а намаrниченности домена, которую впредь будем назьmать
самопроизвольной намаrниченностью [88].
Величина самопроизвольной намаrниченности сильно зависит
от температуры, уменьшаясь с повышением последней сначала мед-
ленно, а затем очень быстро. Самое быстрое изменение самоnpоиз..
вольной намаrниченности происходит в окрестности точки ферро..
маrнитноrо превращения (точка Кюри).
С изменением самопроизвольной намаrниченности связано ано"
мальное поведение почти всех физических свойств ферромаrнитных
металлов: теплоемкости, электрическоrо сопротивления, терм
"эдс,
тепловоrо расширения, излучательной и отражательной способностей
[87]. Эти ферромаrнитные аномалии достиrают экстремальных зна..
чений в точке Кюри и не зависят от внешнеrо поля, которое их сов-
сем не затраrивает, а если и влияет на них, то очень слабо. Внешнее
поле иrрает ЛИIIIЪ роль ориентирующеrо воздействия на самопроиз..
вольную намаrниченностъ ферромаrнитноrо металла.
Вопрос об исследовании оптических свойств ферромаrнитных
металлов представляет несомненный интерес как для теории ферро..
маmетизма, так и для оптики металлов. Оптические свойства ферро..




154
ОПТИКА ФЕРРОМArНИТНЪIХ МЕТАЛЛОВ
[rл. V!
маrнитных металлов носят осоБЫЙ характер, отличный от характера
свойств обычных, неферромarнитных металлов. Это особенно хорошо
иллюстрировать на маmетооптических явлениях и, в частности,
на эффекте Керра (вращение плоскости поляризации света при отра..
женин от намаrниченноrо зеркала), наблюдающемся только у ферро..
мarнитных .веществ. Однако в данной rлаве мы рассматриваем опrn..
ческие свойства ферромаrнитных металлов в узком смысле слова.
Рассматривается только связь между измеряемыми на опыIеe вели..
чинами  интенсивностью отраженноrо (излученноrо или поrлощен
Horo) от ферромаrнитноrо зеркала света и ero поляризацией ..... с
показателями преломления п и поrлощения k.
Выше отмечалось, что соотношение XareHa и Рубенса, cтporo
rоворя, справедливо ЛИIIIЪ в области радиоволн, а также в очень
далекой инфракрасной части спектра (л "-' l00/L и более.) Поэтому
эксперименты rерлаха и Лове [89], показавших на никеле, что формула
XareHa и Рубенса вьшо.tmяется и при температурах ниже точки Кюри
для длин волн л, б6льmих 5 /L, по"видимому, не соответствуют дей..
ствительности. Работы Кёниrа [90], Шульца [48] и дрyrих исследова..
телей показали, что следует повторить все прежние эксперименталь..
ныIe исследования по определению оптических и маmетооптичесПIX
характеристик железа, никеля, кобальта и дрyrиx ферромаrнитных
веществ. Дело в том, что в подавляющем большинстве прежних
работ не обращалось достаточноrо внимания на приrотовление
поверхностей ферромаrнитных зеркал, от состояния которых В зна..
· чительной мере зависит характер и величина эффектов.
Хотя КОJlИЧественвым дaнным прежних экспериментальных иссле-
доваНИЙ опmческих характеристик ферромаrнитных металлов неJIЪЗЯ
придавать точноrо значения, тем не менее общие качественвыIe выводы
из них и, в частности, существование аномалий оптических свойств
вблизи точки Кюри, пЬ"видимому, соответствуют действите.лъности.
В ряде работ исследовался ход температурноrо коэффициента
отражательной способности. Оказалось, что у железа, как показали
Орнштейн и Ван..дер..Вин [91], температурный коэффициент отража..
тельной способности имеет иной знак (положительный), чем для
никеля (отрицательный.. В связи с упомянутым различием в знаках
температурноrо коэффициента отражательной (излучательной) спо..
собносm у железа и никеля, следует отмешть, что в случае нормаль..
ных металлов наблюдается' дисперсия температурноrо хода этой
оптической величины. А именно при переходе от инфракрасной
области спектра к видимым лучам температурный коэффициент
отражательной способности, как правило, изменяет знак от отрица..
тельноrо к положительному. Перемена знака коэффициента отража-
тельной способности имеет место при длинах волн порядка 1..... 2 /L
(для железа эта длина волныI равна примерно 1,6/L). Для никеля это
отвечает примерно 1,51L. Длина волны, при которой температурНЫЙ
коэффициент отражательной способности обращается в нуль, I'полу..

 22]
длинноволновАЯ ОБЛАCIЪ СПЕКТРА
155
чила название Х"точки. Эта точка представляет собой своеобразный
рубикон масштабов чувствительности оптических свойств к темпера..
туре: отражательная способность переходных металлов левее Х"точки
(видимая область) И;Jменяется почти в сто раз слабее, чем правее ее
в инфракрасной области.
Наиболее подробно вопрос о зависимости оптических характери-
стик металлов от температуры исследовался экспериментально
Прайсом [92], а теоретически Вейлем [93]. До последнеrо времени
теоретическое бъяснение особенностей оптических свойств ферро..
мarнитныIx металлов оrpаничивалось лишь чисто качественными
рассуждениями [87.....89]. Чтобы заполнить хотя бы частично пробел
в теоретической трактовке этих вопросов, в работе [94] бъто пред"
принято исследование оптических свойств ферромarнитных метал..
лов с точки зрения современной теории твердоrо тела.
Следует особенно подчеркнуть, что в рамках одноэлектронной
теории металлов, не учитьшающей взаимодействия между электро"
нами, нельзя выяснить природу связи между оптическими и ферро..
маrнитными свойствами, ибо последние являются существенно кол..
лективным эффектом системы' взаимодействующих электронов. Обыч..
ная обменная модель также неприrодная для изучения оптических
свойств реальныIx ферромаrнитных металлов, так как она может
объяснить только свойства ферромаrнитноrо диэлектрика. Использо..
вание этой модели также не дает возможности более полноrо описа..
ния маrнетооптических явлеНИЙ в ферромаrнетиках.
Для описания оптических свойств реальных ферромаrнитных
металлов необходима более совершенная модель кристалла, в кото-
рой одновременно учитывались бы и взаимодействие между электро"
нами и процессы ускорения электронов во вне IUНИХ электромаrнит...
ных полях. В качестве первоrо приближения для такой модели мы
воспользовались предложенной Вонсовским [95] моделью обмен..
поrо взаимодействия внешних s.. и внутренних d..электронов пере..
ходных металлов.
Модель позволила понять природу и дать количественное объясне..
пение аномалиям» электрических, оптических, rальвано" и термо..
мarнитных свойств ферромarнитных металлов. Соrласпо этой модели
электроныI в ферромаrнитном кристалле условно разбиваются на:
1) «внутренние» (d..электроныI, соответствующие электронам неза..
ПОJПIенной Зd..оболочки в изолированных атомах переходных Мfтал..
лов rруппыI железа), которые в основном ответственвыI за ферро..
маmетизм, и 2) внеПIНИе» ( s..электроныI, соответствующие валент..
ным 4s..электронам атомов элементов упомянутой rруппы), которые
в основном ответственныI за явление проводимости. Разделение
,
электронов в кристаллической решетке на эти две rруппыI, конечно,
есть известная условность, так как эти электроныI, образуя единую
квантовомеханическую систему, сильно взаимодействуют между
собой. Хотя мыI rоворим здесь о подсистемах d.. и s..электронов,

156
оптиКА ФЕРРОМAIНИТНЪIХ МЕТАЛЛОВ
[rл. VI
HO В действительности речь идет об отдельных ветвях энерrетическоrо
спектра единой электронной системыI ферромаrнитноrо металла:
о бозевском спектре квазичастиц  ферромаrнонов, отвечающих
в основном за явление ферромаrнетизма, и о фермиевском спектре
квазичастиц, отвечающих в основном за всю совокупность явлений
про водимости. Квазичастицы второй ветви мыI назьmаем электро..
нами проводимости или 8..электронами, чтобы подчеркнуть их reHe-
тическую связь с электронами проводимости одноэлектронной Teo
рин, хотя вместе с тем следует иметь в виду их существенное отличие
от последних. Эти квазичастицыI суть элементарныIe возбуждения,
возникновение которых вытекает из caMoro 06щеrо характера движе-
ния электронной системы, из..за наличия межэлектронноrо взаимодей
ствия. Но, с дрyrой стороныI, хотя эти квазичастицы обладают иной
энерrией, дрyrой эффективной массой и т.п., нежели электроныI метал..
ла по одноэлектронной Модели, они все же подчиняются той же
фермиевской статистике и также являются rлавными переносчиками
электрическоrо тока как и оБычныIe электроны.
существенныIй недостаток (8  d)..обменной модели состоит в
пренебрежении взаимодействием 8..электронов между собой.
В работе BOHcoBcKoro и Турова [95] установлены пределыI при..
менимости этой модели на основе подследователъной мноrоэлектрон-
ной теории по схеме Боrоmoбова и Тябликова [96].
Как бьшо показано [95], состояния 8..электронов определяются
не только полем» ионов кристалла, но также и «молекулярным полем»
. обменных еил» между коллективом d..электронов и 8..электронов.
А это в свою очередь приводит к тому, что эффективная масса и
время свободноrо пробеrа» s..электронов оказываются эависящимц
от самопроизвольной намаrниченности металлов, что и объясняет,
в конечном счете, все ферромаrиитные аномалии.
В данном параrpафе дается применение (8 ..... d)..обменной модели
для объяснения ферромаmитных особенностей оптических свойств
в ДЛинн оволновой области спектра.
Как уже бьшо показано в  2 и 3, основныIe оптические характери-
стики ..... показатели преломления и поrлощения, отражательная
и излучательная способности ..... определяются через диэлектри..
ческую проницаемость и световую проводимость. Поэтому первой
задачей микроскопической теории оптических свойств вещества
является вычисление диэлектрической ПРОlШцаемости и световой
прОВОДИМОСТИ для случая переменноrо поля. Этот расчет ecтeCТBeH
ней Bcero начать для случая далекой инфракрасной области спектра
по методу Друде Зинера, но на основе (8...... d)..обменной модели,
то есть рассматривая систему внешних (оптически наиболее актив-
ных) электронов в ферромаrнитном металле как смесь двух rазов»,
«частицыI) которых отличаются направлением cBoero спина и имеют
различную эффективную массу, зависяющую от намаrниченности
внyrренних d..электронов. #<

 22]
длинноволноВАЯ ОБЛАСТЬ СПЕКТРА
157
Итак, будем рассматривать систему из N s..электронов в ферро..
маmетике как смесь двух электронных rазов». Пусть число частиц
одноrо из этих rазов s..электронов, например с «правой» ориентацией
спинов, будет равно N +, а их эффективная масса равна т+ И со о т..
ветственно для rаза s..электронов с левой» ориентацией спинов ..... N,
т. Тоrда соrласно [95] имеем
N + ==  N(1 + У'),
N ==  N(l  У'},
"'2
т ==
+ 2а 2 (р + {З' у) ,
"'2
т == 2а 2 ({З  {З' у) ,
(22.1)
(22.2)
rде у и у'  относительные величиныI самопроизвольной намamи..
ченности соответственно d.. и s-электронов, а  постоянная (куби..
ческой) решетки, fЗ и fЗ'  интеrpалыI «переноса», вычисляемые по
обычной одноэлектронной модели.
Выражение для времени свободноrо пробеrа электрона можно
найти из соотноmеlШЯ 7:(ko) ==  i . Так как длина свободноrо про
B' ( dE ) 2 1 dE
беrа равна l(k o ) == Т dk .=="0 k И v(k) ==  dk ' то для T(ko) имеем
7: == ;  ( =: ) . (22.3)
.== .0
Если воспользоваться выражением для энерrии s..электрона [95]
E(k) == а ...... а'уо- + ({J + {J'yU)k 2 (22.4)
( ЗN ) l/З
и учесть, что ko == 811' ' то выражения для времен свободноrо про-
беrа s..электронов можно записать в виде
1 Т 1
Т:!: == В (1 + у') ({З + {З'у) ,
(22.5)
тде В ..... постоянная, определяемая из измерения статической уделъ..
ной электропроводности при TeepaType выше точки Кюри (котда
у == у' == О).
Исходные формулы для диэлектрической проницаемости в иудель..
ной электропроводности и- как функций циклической частоты й) для
рассматриваемоrо случая длинных волн (далекая инфракр,сная
область спектра), тде можно учитьшать лишь «ускоряюЩИЙ. эффект
переменноrо поля на электроны проводимости в металле, и с учетом
(s ..... d)..обмена будут иметь вид
В ( т) == 1  4пе2 [ N+ + N ]
. т+( 6)2 ,f-- 'Y) т( 6)2 + 'У!.) ,
( ) 2 [ N+'Y+ + N'Y ]
и т == е т+( 6)2 + 'Y) т( 6)2 + 'У!.) ,
(22.6)
(22.7)

158
оптиКА ФЕРРОМArНИТНЪIХ МЕТАЛЛОВ
[rл. VI
rде введено coкparцeHHoe обозначение
1
"1+ ==.
 тж
В дальнейшем мыI будем интересоваться областью температур,
близких к точке Кюри *). В этой области температур можно считать
самопроизвольную намarниченность ферромаrнитноrо металла малой
(у« 1, у'« 1) и во всех расчетах пренебреrать степенями у и у'
выше второй. В этом случае, как было показано ранее [95], намаrни..
ченность s..электронов, в первом приближении, пропорциональна
· намаrниченности d..электронов, то есть
у'  k 1 y. (22.9)
Подставляя (22.1), (22.2), (22.5) в (22.6) и (22.7) и используя при этом
(22.8) и (22.9), получаем (с точностью до членов "-J у2)
(22.8)
8пе 2 Na 2 В2 fJЗ
в(ro, у) == 1  "'2
В2 р2 (,}2 (1  G 1 y2) + (1 + G 2 y 2 ) Т2
lJ4 fЗ4 (,}4( 1  gl у2) + 2 В2р2(,} 2 Т2( 1 + g2y2) + Т4 ,
(22.10)
(т т  2е 2 Na 2 Вр2 Т В2 р2 ro 2 (1  91y2) + (1 + 9 2 у2) Т2
( , у)  "'2 Ур4(,}4 (1  gly 2 ) + 2В2fЗ26)21'2 (1 + g"y2) + Т4 · (22.11)
Здесь введены следующие обозначения:
( fЗ' ) 2 ( Р' ( Р' 2 ( Р'
а 1 == 2 7f  k 1 р) + 2Iq, а 2 == 3 [ р) + 3k 1 р) + Iq], (22.12а)
( Р' 2 ( fJ' ) 2 ( fJ' )
gl == ki + 7fJ, g2 == 7i + 4k 1 7i + Iq. (22.126)
Из формул (22.10) и (22.11) видно, что диэлектрическая проницае..
мостъ и удельная элеicrропроводность являются функциями частоты
BHemнero поля (дисперсия) и температуры, которая вошла через
время релаксации T:f:, являясь следствием взаимодействия электронов
проводимости с тепловыми колебаниями решетки. Однако самыIM
существенным в этих формулах явлЯется зависимость в и (т от само..
произвольной намаrниченности у.
Величина у(Т) сама является' функцией температуры, поэтому
именно через зависимость в и (т от у и определяется весь аномалъ..
ный температурНЫЙ ход оптических характеристик ферромarнетиков,
о чем уже rоворилось выше.
Помимо перечисленных измеряемых величин, в формулыI (22.10)
и (22.11) входит ряд универсальных (е, "', п) и неуниверсалъных постоян..
ных (В, a {З, {З' и kJ. Последние, конечно, характерны уже для каждоrо
*) Конечно,. при столь высоких температурах :влиянием аномальной при....
роды скин..эффекта на оптические свойства ферромarнитнъlX металлов можно
вполне пренебречъ. ,.

 22]
ДЛИННОВОЛНОВАЯ ОБЛАCIЪ СПЕКТРА
159
ферромаrнитноrо металла. Постоянная В входит в выражение ста-
тической удельной электропроводности и может быть найдена
из измерений при температурах выше точки Кюри, а {J f'J {З' энерrии
I"J 1013 эрz.
Подставляя (22.10) и'(22.11) в (2.18) и (3.2), получаем зависимость
оптических характерисmк от частоты, температуры и самопроизволь..
ной намаrниченности. В общем случае, выражения получаются очень
сложные.
Так как мы рассматриваем область мацых частот, то для нее
Д01.DКHO выполняться неравенство
1
йJ« 'Ух ==  . (22.13)
i:
При температурах порядка комнатных и выше т::!: f'J 1013 сек;
поэтому частоты должны бьпь, соrласно (22.13), меньше I()lЗ ceKl,
то есть они должны лежать в далекой инфракрасной области спектра.
В этом случае, как мы видели, для хорошо проводящих металлов
( , о- 0- )
у которых ;;  1 и ;;  в справедливы соотношения
п == k == (Y/2, (22.14)
(Q == 1  А == 1 .2 ()1/2. (22.15)
Из (22.7) видно, что при условии (22.13) удельная электропровод..
ностьи(m) практически виче1v.l не отличается от своето статическоrо
значения (при т == О), то есть
( О) 2е2 Na 2 вр (1 2 ) Вl (1 2 )
и == nт + g2Y == Т + g2Y ·
(22.16)
Таким образом, в силу (22.16), (22.14) и (22.15), находим
п == k == ( 2:;' У/2 (1 + g2 у2)1/2,
( 2ыТ ) 1/2 1
А == 1  (f2 ==. пВ 1 (1 + g2 у2)1/2 . (22.18)
Поскольку излучателъная способность Е пропорционалъна поrЛОlЦа..
тельной способности А, то для ферромarнитной «аномалии» иза..
тельной способности из (22.18), находим
Е 2  E 2
(у== о) 
. Е2 ....... 92 11'.
(у==о)
С дрyrой стороны, из (22.16) имеем для «аномаJlИИ» удельноrо электро-
сопротивления
(22.17)
(22.19)
.1Q
 == 9211'.
ее
(22.20)

160
ОПТИКА ФЕРРОМArНИТНЪIX МЕТАЛЛОВ
[rл. VI
Таким образом, и в области температур, rде проявляется ферро..
маrнитная аномалия (у * О), для весьма длиноволновоrо излучения
должно вьшолняться соотношение
( V ) 1/2
E"-I  .
о-
Для окончательноrо подтверждения вьшодов данной теории
следует вновь повторить измерения, подобные проведенным rерлахом
и Лове [89], но с более усовершенствованной экспериментальной
методикой и на электролитически полированных образцах. Эти экспе..
рименты позволили бы найти зависимость оптических характеристик
(например, отражательной и излучательной способностей) от само..
произвольной намarниченности и установить, при каких длинах волн
в действительности вьmолняется соотношение XareHa и Рубенса.
Представляет интерес проверка полученных нами формул (22.10)
и (22.11) в области более высоких частот (опыты, аналоrичные изме..
рениям Форстерлинrа и Фредерикса для неферромаrнитных метал..
лов). К сожалению, систематических исследований в этом направлении
никто не производил. Единственная попытка более деталъноrо теоре..
тическоrо анализа температурноrо хода оптических характеристик
неферромаrнитных металлов дана в цитированной работе Вейля.
 23. Оптические свойства ферромаmетиков в видимой
и УJlЬтрафиолетовой области спектра на основе
(s ....... d)..обмеиной модели
Как уже отмечалось выше, в видимой и ультрафиолетовой области
спектра основную роль начинают иrрать квантовые переходы, а эф..
фекты, связанныIe с ускорением электронов проводимости в электро"
маrнитном поле световой волны, отступают на задНИЙ план, вслед..
ствие чеrо можно пренебречъ столкновениями электронов с коле..
баниями решетки. В связи с этим представляет интерес обобщение
формул дисперсии света при оптических частотах, полученных в наи..
более строrой форме для случая неферромаrнитных металлов Сер..
теевым [29].
Будем снова рассматривать смесь двух «rазов» s..электронов
с эффективными массами и числами частиц, зависящими от само..
произвольной намаrниченности, соrласно (22.1) и (22.2).
Для вычисЛения диэлектрической проницаемости и световой
проводимости нам следует прежде Bcero определить частоты пере..
ходов s..электронов соответственно с «праВQЙ. и <<левой» ориентацией
спинов из состояния, характеризуемоrо кВазиимпульсом k (kx, ky, k z ),
в 'Состояние k'( k, k;, k), а также наЙТИ их матричные элементы при
том же переходе.
Дшi этой цели вновь используем' выражение (22.4) для энерrии
s..электрона при слабом заПОJШении s..полосы. На основании общеrо
l'

 23]
видимАЯ И УЛЬТРАФИОЛЕТОВАЯ ОБЛАСТЬ СПЕКТРА
161
соотношения
nтпп' == En(k)  Eп,(k'). (23.1)
После простых преобразований получаем частоты переходов для
электронов соответственно с правой и левой ориентацией спинов:
т;n, == 2a2 (р ::!:: Р' у)тnn, , (23.2)
rде йJ пп ' определяется по (19.8).
В соответствии с формулой (19.7) для матричных элементов им-
пульса s..электронов имеем соответственно
+  пg 1 I V g I n 2 1
Рпп'   та 2 (fЗ :l: (З'у) 6)пп' · (23.3)
-Имея выражения для матричных элементов импульса s..электро"
нов И зная их эффективные массы, мыI можем использовать общие
формулы дисперсии, установленныIe в  18, для вычисления диэлектри..
ческой проницаемости в и световой проводимости (Т.
В соответствии с формулой (18.19) плотности токов для s..электро"
нов с «правой» И С «левой» ориентацией спина будут
j:t ==  e а S еб'(k, п) dk A +  + ::п, п:п,A +
тх с а t тх (J)пп'  (J)2 
2 S nх ( k' )  nI ( k )
пе  d:l: d :l: 1::;0 1::;0 n :t
+ n СЗ З  U V пп' А.
тх с 6) а n I gradk 6)п' I
Полная плотность тока равна сумме j+ и j . Сравнивая (23.4) с током,
вычисленным по классической теории (18.21), получаем для в и u'
следующие выражения:
B1 e+1 e1 е 2 S +
 + ..... dkn ( k ) X
411',  411' 411'  т+6)2 G3а З O
(23.4)
 1 2 (J)hn l п+  е2 S  d
Х + т+ z  Il +2 2 пп,..... 2 G З З ео k Х
7" 6)пп'  6) т..., (J) а
 1 2  (J),  
Х +   2  2 ппп' ,
тl" (J), 6)
11 пп
u' == (Т+ + (Т == ..... пе 2  ! [et (k')  е+ (k)] п, dи+ dv+ .....
т+ n 6)GЗ а3  I gradk (J)+ , I
11 пп
пе 2 f e o (k')  e o  (k)
.....  п  du.... dlJ (23 6)
т n6) GЗ аЗ  I gradk 6);', I пп' · ·
Как и ранее, будем считать, что световая волна распространяется
по оси Z и поляризована по оси х. Далее полаrаем, что s..электроны
полностью вырождены внутри сферы Ферми с радиусами Р: в про..
G3 З '
странстве квазиимnульса k. Плотность e (k) ==  З внутри сферы
811
(23.5)
11 А. В. Соколов

162
ОПТИКА ФЕРРОМАrнитнЪIХ МЕТАЛЛОВ
(rл. V f
радиуса РЪ и равна нулю вне ее. Принимая во внимание сделанные
замечания, получим
е  1 е2 r I 2 6)+ , 1 р+ (пп') 12 !
== 1+  пп Х dk
411' 811'3 т+ (,)2 т+ n  6)%:  6)2 .....
2 51 2 6) I p (пп') 1 2 !
 е 1+ пп' Х dk
8n3 т 6)2 т n  6);;  6)2 ,
11
е 2 5 1 р+ (пп') 12
u' ==  Х dи+ dv+ +
811'2 т+ 11,6)  I gradk 6)+ , I
11 пп
е 2 f I p x  (пп') 12
+  . dи dv.
811'2 т n(,)  I gradk (,) , I
11 пп
интеrралыI в (23.7) берутся соответственно: первый по шару радиуса
pt, а второй ..... по шару радиуса РО. Интеrралы в (23.8) берутся соот",
ветственно: первый  по площади Kpyra, радиусом (pt 2 ..... d+2)1/2
а второй  по площади крута, радиусом (ро2 ..... d2)1/2, rде d-.f:  рас..
стояние от начала координат в пространстве квазиимnyльса k ДО,
+
плоскости ш пп , == ш.
Соотношение Ш;п' == ш выражает собою закон сохранения энерrии,.
въmолняемый при квантовом переходе из состояния nk в состоя..
ние п'k'. Пользуясь этим соотношением, нетрудно найти явное выра..
жение d-J:.:
(23.7}
(23.8)
n6)
dI. == 411' (fЗт. (З'у) g ..... 'Л:g. (23.9}
Вьmолняя интеrрирование и последовательно пренебреrая степенями
У выше второй, после весьма rромоздких вычvслений получаем для,
диэлектрической проницаемости и световой проводимосm ферро..
маrнитноrо металла следующие выражения:
e(v, у) == 1  2п 4  a v! I n p (1 + k 1 :' у2 ) 
.....  g I v 1112 [( tA 1 )8 v(2)З  O ( g)y2 ) ln V1 2 )8 2 --------: Ь 2 у2
 8{32 у3 v 2 g g v(1)B 2  Ь 2 у2
11 g
1 t ( v(2)8 + V ) 2  В У 2
« (2) з ) ( (1)8 ) D 2 ) (1 1
( fЗ'2 V g + V V g + V + 1У ln (v(1)8 + V)2  С 1 у2 +
2 1.....  у2 ! g
{З2
(v(2)B  V)2  В 2 Y1 ] l
+ ((v<;)]  v) (z11)!I  v)  п 2 у2) ln (V)fJ  v)!  С! у ! J ' (23.10)
е 2 g (
u(v, У) == . fЗ'2 Igs IV 1112[(V2)3  v) (v  vg1)B) + п 2у 2],
3211'3 n 2 ар ( 1  у2 ) v3 11
{З2 (23.11)

 23]
ВИДИМАЯ И УЛЬТРАФИОЛЕТОВАЯ ОБЛАСТЬ СПЕКТРА
163
rде введеныI следующие обозначения:
v<f)8 == 2:! ('Ли  Ро), 7fg2)8 == 2:! ('Ли + Ро),
РО ...... радиус сферы Ферми в пространстве и:мпульсов, g(g1, g2, gз)..... цело-
численный вектор, V 8' ..... коэффициенты фурье в разложении потен-
циала решетки,
tJ(u) == ( 2:р )2 ( P9ki +  ' Р5 k 1 ),
В 1 == [ 2ft' ('Ли + Ро)] 2  49 Ро:; k 1 v
[2 g 'д' ] 2 4 д, k
fJ ( ) g Ро fJ 1 V
С 1 ==  'Лg  РО +
1 Зh
[ 2 g /3' ( )] 2 4g Ро /3' k 1 V
2 == Т 'Лg + Ро + Зh
С 2 == [ 2ft' ('Ли  ро)] 2  49 Po: k 1 v + ( 2Р 9;: k 1 )2,
п 1 == ( 2ftT [('Л 2 g2  рIO + j 1>5 k 1 ( k; :2 + 2 , ) + v ] ,
п 2 == ( 2ftT [ ('Л 2 g2  1>5) + j 1>5 k 1 ( J!; 2 + 2 , )  v ] .
Интересно отметить, что выражения (23.10) и (23.11) имеют вид,
почти аналоrичный соответствующим выражениям для ynорядочи
вающихся сплавов, в которых вместо степени дальнеrо порядка 'У}
стоит относительная намаrниченность у.
полученныIe формулы (23.10) и (23.11) для е ИlТ имеют довольно
сложнъlЙ вид. Однако уже из общеrо вида этих формул можно вьmести
заключение, что оптические свойства ферромаrнетиков в видимой
и ультрафиолетовой областях спектра тоже должныI обладать ферро-
маrнитной аномалией при переходе через точку Кюри, характер
которой определяется температурной зависимостью самопроизволь-
ной намаrниченности у(Т), входящей в формулыI (23.10) И (23.11).
При у == о эти формулы точно совпадают с соответствующими выра.,
жениями CepreeBa и Черниховскоrо. 
К сожалению, имеющиеся данные по измерению оптических
характеристик в оптической области частот, как уже отмечалось
выше, слишком несистематичны и неточны. Здесь также весьма жела-
тельно иметь более полные и более надежные данные в IIIИроком
интервале температур.
2g/3
ь == Зh Ро k 1 ,
( 2/3 gpo kl ) 2
+ 311, ,
+ ( 2р o k 1 )2,
+ ( 2Р 9o k 1 )2,

r ЛАВА VII
ОСНОВЫ мноrоэЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МЕТАЛЛОВ
 24. Оптические переходы в мноrоэлектронной теории
Для описания оптических свойств металлов в рамках MHoro..
электронной теории следует с caMoro начала отбросить предполо..
жение о малости взаимодействия между электронами по сравнению
с их взаимодействием с ионами решетки.
rамилътониан системыI из N взаимодействующих электронов в поле
электромarнитной волны, как известно, можно представить в виде
" " е N "
Н == Но +   A('Jf j , t)p1' (24.1)
. те
j==l
еде второй член представляет энерmю взаимодействия электромаr..
витноrо поля с электронной системой, а Но  rамилътониан системыI
в отсутствие внешнеrо поля, равный
" п 2 N N
Но ==  2m  111 + I V(1'i  1'k) +  и('Jf j ). (24.2)
i== 1 l<k j== 1
В этом выражении первый член представляет оператор кинетической
энерrии системыI электронов, второй означает потенциальную энерrию
парноrо взаимодействия электронов, третий ..... потеIЩИальную
энерrию взаимодействия электронов с ионами решетки (1'j радиус..
вектор j..ro электрона).
В отсутствие электромаrнитноrо поля световой волныI волновые
ФУНКЦИИ системы электронов кристалла удовлетворяют уравнению
Но ч! .1'... ,.8 ('Jf1, . · . , 1'N п) == Е ч! ,,1'... ,.8 (1'1' . . . , 'JfN п), (24.3)
rде п ...... номер энерrетической полосы, к которой относится данное
состояние; k 1 ,..., k N  квантовые числа электронной системыI.
В работах [30а, б], посвященныIx выводу дисперсионных формул
квантовой оптики металлов в'мноrоэлектронной теории, использова..
J!Ись заимствованныIe из моноrpафии Зейца [73] волновые функции вида
N
!l! .1....' .8 (1'1, . · . , 'JfN' п) == х.1,...' .в ('Jf 1 , . . . , 'JfN' п) ехр [i . k} 'Jf j ], (24.4)
J==l ,.

 24]
ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ В мноrоэЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
165
rде XIr I ,...,.8 ..... периодическая функция с периодом а, то есть
XIr 1 ,..., IcN ("1 + а, · · · , 'JfN + а, п) == Xlc 1 , ... , "N (1'1, · · · ,'JfN' п).
I
Квантовые числа k i , вообще rоворя, должны иметь некоторый физи..
ческий смыIл.. Конечно, 'их не следует понимать как квазиимnyльсы
отдельных электронов во взаимодействующей системе, но можно
рассматривать таковыми при пренебрежении их взаимодействием.
Соответственно наличию 3N степеней своБодыI система должна
обладать 3N сохраняющимися величинами. В частности, одной из
сохраняющихся физических величин системыI является обобщенный
волновой вектор системыI К (полный квазиимпулъс системы), харак-
теризующий движение центра тяжести В всей системы электронов.
Только в случае системыI невзаимодействующих электронов полнЫЙ
к вазиимпульс системыI равен сумме квазиимnyльсов отдельныIx
электронов
. N
К ==  k '.
. 1 J
J==
осталъныIe сохраняющиеся величиныI 1 связаны с относительными
движениями электронов, то есть с изменением относительных коорди-
нат 1'ik =='Jf i ---- 'Jf k , характеризующих изменение конфиryрации электрон-
ной системыI (конечно, с изменением конфиryрации системыI, при кото-
рой квантовые числа 1 не изменяются, rамильтониан должен оста..
ваться инвариантным).
Следует отметить, что использование волновой функции (24.4)
для системыI взаимодействующих электронов в кристалле является
непоследовательным, так как в такой записи общий квdзиимnyльс
системыI есть сумма квазиимпульсов отдельных электронов, что
справедливо, cTporo rоворя, лишь в случае системыI невзаимодей-
ствующих электронов.
Если в качестве независимыIx переменных выбрать не отдельные
'Jf i , а координаты центра тяжести системыI В(Х, У, Z) и соответствую-
щее число относительных координат, то, как показано в работах
[97], волновую функцию системы можно представить в виде
'р к, 1, n (В, 'Jf ik ) == Хк, 1, n (В, 1'ik)e iKR , (24.5)
rде к  общий квазиимпульс системыI, 1  непрерывныIe квантовые
числа, связанныIe с относительными движениями электронов, -S{ п
обозначает номер полосы и остальныIe дискретные квантовые числа
системыI.
Функция Хк, 1, n (В, f'ik) является периодической относительно транс-
ляции центра тяжести системыI на вектор решетки а, то есть
Хк, 1, n(В + а, 'Jf ik) == Хк, 1, n (В, 'Jf ik). (24.6)
Если использовать периодические rраничные условия, то
К Та == 2п 1a (а == 1, 2, 3),

166
мноrОЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ОПТИКИ МЕТАЛЛОВ
[rл. VI!
rде Та ..... длина ребра основной области кристалла, а lа ..... целые
числа. При этом, как и в одно электронной теории, можно полъзо..
ваться понятием приведенноrо волновоrо вектора.
Функции (24.4) и (24.5) являются, очевидно, 3N"мерныIM обоб-
щением ФУНКЦИИ Блоха. Однако использование волновых Функций
вида (24.5) является более удобным, так как в такой записи общий
квазиульс всей системы взаИ]dодействyJOХ электронов l( вы..
ступает как единая характеристика системы как целоrо.
Вычислим матричныIй элемент вероятности оптическоrо перехода
системыI электронов металла из началъноrо состояния (n,k 1 , . . . , k N )
в конечное состояние (п', k, . . . , k N ). Для упрощения записи введем
обозначения: ·
(пg) == (п, k 1 , . . . , k N ) или (п, К, 1),
'1' == ("1, · · · , 'I'N)' или (В, 'I'ik). I
Соrласно формуле (15.1) эта вероятность равна
2 JWn,,n; ехр [E{п'')  E(п)] t dt 2, (24.7)
тде W n ';' n  матричныIй элемент энерrии возмущения системыI све..
товой волной ..... имеет вид *)
N
Wn'' n == f 'P,., (1') :п  Pj 'Рn; (1') dT. (24.8)
J==l
Здесь А == Ао{ехр i[q'l'  rot]  ехр  i[q'l'  rot]}  векторный потен..
N
циал световой волны и  Pj  оператор полноrо импульса всей системы
;==1
электронов. Подставляя (24.8) в (24.7) для вероятности оптическоrо
перехода, получим следующее выражение (если использовать волно..
ВУЮ ФУНКЦИЮ (24.4»):
f ехр  i[  q  j kj +  k j ]1'j +  [Е(п' ')  E{п) + 1/, cи]t  +
 N N. t
+ ехр ; [q   kj + ! k j ] 1'j +  [E(п'')  E(пg)  1/,cи]t  Х
2
х Фn'1 n ('1') d'f dt
,
(24.9)
rде Фn,, n ...... некоторая периодическая функция.
*) Предполаrается, что электромаrвитное поле световой волны является
одиородныIM по всему кристаллу, и поэтому во втором члене (24.1) кториыIй
потенциал можно вынести за знак cyммыI.

 24]
ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ В мн оrОЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
167
При трансляции всех ".} на паРЗ};fетр решетки  первый член подъm..
теrpалъноrо выражения (24.9) вследствие зависимости А и 'Р от коор"
динат умножится на величину ехр [ia(q ..... Zkj + Zk j )], а второй .....
N J J
на ехр [ia(q ..... kj + kj)]. Интеrpал (24.8) отличен от нуля толь..
j== 1 j
КО В том случае, если этот множитель равен е дmпщ е, то есть если
N
а(..... q =F  kj ::1:  k j ) == 2n1 (1 == О, 1, 2, ...). (24.10)
j==l
Если в формулах (24.7) и (24.8) использовать волновые функции
вида (24.5), то в выражении (24.10) вместо суммыI  k j будет стоять
оБЩИЙ квазиимпуJlЪС системыI К.
Таким образом, из выражения для вероятности перехода полу..
чаем закон сохранения энерrии и интерференционное условие npиме-
нительно ко всей системе взаимодействующих электронов
#
Е(п', ,') == Е(п, ,) ::i:: n,Ш; к' == K::i:: q + 2пу, (24.11)
rде 9  вектор обратной решетки (знак плюс соответствует поrло-
щению, а минус ..... излучению системой электронов фотона). Во всех
дальнейших вычислениях МbI пользуемся волновыми ФУНКЦИЯМИ
вида (24.5).
Равенства (24.11) показьmают, что в мноrоэлектровной теории
взаимодействия света с электронной системой кристалла не суще..
ствует правила отбора для каждоrо отдельноrо электрона. Однако
имеет место мноrоэлектровное правило отбора (24.11) для общеrо
квазиимnyльса системыI.
Из соотношеНИЙ (24.11) также видно, что в процессе поrлощевия
или испускания отдельноrо cBeToBoro кванта изменяет свое состоя-
ние вся система взаимодействующих электронов, а не отдельный
электрон. В этом состоит принципиалъное отличие мноrоэлектронной
теории от одноэлектронной.
Если во втором условии (24.11) пренебречь малой ве личиli ОЙ q,
что всеrда справедливо для области оптических длин волн в силу
сооmошеНИЙ q == 2; и л  т а' то интерференциовное условие преД-
ставится в виде
к' == к + 2пу. (24.12)
Правила отбора в мноrоэлектронной теории рассмотреныI также
в работе [98].
Выше мы видели, что в одно электронной зонной теории энерmя
электрона в решетке определяется заданием квазиимnyльса k и номе-
ром энерrетической полосы п: Е === Е(п, k). Отсюда при учете пра-
вила отбора k' == k, справедливоrо в одноэлектронной зонной теории,
вытекает хорошо известный вьшод о невозможности квантовых
переходов внутри энерrетической полосы, то есть при п' == п.

168
мноrоэЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ОПТИКИ МЕТАЛЛОВ
[rл. VII
в мноrоэлектронной теории энерrия системы определяется не
только заданием полноrо квазиимnульса К и номером энерrети"
ческой полосы п, но и заданием всех остальных квантовых чисеЛ 1:
Е == Е(К, 1, п).
Учитьmая правила отбора (24.12), приходим к выводу о возможности
KBaHToBbIX переходов внутри энерrетической полосы (п' == п) за счет
изменения квантовых чисел 1, характеризующих относительные дви"
жения электронов [30].
Таким образом, мноrоэлектронная теория приводит к принци..
пиальной возможности HOBoro «внутризонноrо» механизма поrло..
щения света, связанноrо с квантовыми переходами внутри энерrети"
ческих полос. Этот механизм мот бы быть причиной дополнитель..
Horo поrлощения света в длинноволновой части спектр'3..
 25. Дисперсионные формулы квантовой оптики
металлов в мноrоэлектронной теории
Будем описьmать систему взаимодействующих электронов металла
при помощи оператора плотности е. Уравнение движения для опера..
тора плотности в обычных обозначениях имеет вид
ili е == ii е ..... е н,
(25.1)
А u u
rде Н  оператор полнои энерrии системыI взаимодеиствующих
· электронов. металла. В общем случе е представляет собой оператор
в конфиryрационном пространстве всех координат электронов, вклю"
чая и спиновые. Однако, поскольку во мноrих оптических явлениях
спин электронов не иrрает существенной роли, будем под матрицей
оператора плотности подразумевать матрицу, сокращенную по спино..
вым координатам.
При рассмотрении оптических свойств металла по методу матрицы
плЬтносm сначала находится выражение последней в поле электро",
мarнитной волны. Затем определяется полный ток
J == Sp (2 З),
(25.2)
rде J ..... оператор тока, определяемый для системы взаимодействую..
щих электронов в электромаrнитном поле равенством
..... N е..... е2
J ==   т Р} ..... те А. (25.3).
}==1
Среднее значение плотности тока в основной области*) можно-
*) Здесь и ниже ПОД основной областью подразумевается не только основная
область, соответствующая квантовым числам Кх, Ky,Kz, но также и всем непрерыв-
ным квантовым числам 1 р. f'

 25]
ДИСПЕРСИОННЬIE ФОРМУЛЫ
169
представить в виде
· 1 S ( '" .... )
J== V P(lJ.
(25.4)
ПЛотность тока получается путем деления полноrо тока (25.2) на
объем основной области v.
Определив квантовомеханическое выражение для плотности тока
и сравнивая ето с плотностью тока по :классической теории, можно
определить диэлектрическую проницаемость е и световую проводи..
мость (Т, а следовательно и оптические характеристики.
Пусть на металл падает электромarнитная волна с BeKTopным
потенциалом
A(jf, t) == B(jf) ехр iйJt + B*(jf) ехр ..... iйJt.
(25.5)
Подставляя (24.1) в (25.1), после несложных преобразований полу...
чим
. д ( ifIo t А iiio t ) е iHo t [(  '" ) '" А ( ; А )]
1Тl  ехр  (l ехр   ==  ехр  А  р. (l  (l А  р. х
ot n n те n j==1 J }=-1 J
Х ехр i:o t . (25.6)
Оrраничиваясь членами, линейными относительно поля, можно
в правой части последнеrо равенства вместо е взять оператор плотности
в отсутствие поля и в представлении динамических переменных (п g)
написать
i1i :t {( I е I п'g') ехр iш'l} ==
== r:c ехр iйJ't {(пg I А  Р jeol n'g')  (ng I ео А  Р j I n'g')}, (25.7)
rде
йJ' == йJ(пg, n'g') == Е(пе)  Е(п',') .
n
Так как матрица плотности в начальный момент времени t в g..пред...
ставлении является диаrональной, то последнее соотношение можно
представить в виде
i/i  {(пg I е I n'g') ехр iйJ'l } ==
ot
== r:c ехр iйJ' t (пg I А  Р j I n'g') [eo(n'g')  eo(пg)] , (25.8)
тде
(I А P1 I п'g') f qтeA  Р1 qтn'e' dt'
(25.9)
и интеrpирование ведется по всему конфиryрационному пространству
(В, jfik).

170
мноrоэЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ОПТИКИ МЕТАЛЛОВ
[rл. VII
Подставляя (25.5) в (25.8) и интеrрируя по времени, находим
( I е I п'g') ехр iйJ't == (лg I е (О) I п'g') +
+  ) ехр i6)' + 6) t 1 ( nC I B  А . 1 п'С' ) +
lamc t l(6)' + 6) .tч,  Р J Ь
+ ехр i7:;  1 (nC 'В*  Р j I п'') ret(п')  eo(пg)].
(25.1 О)
-Отсюда для матрицы плотности в поле электромаrнитной волныI
получаем
(лg I е I п'g') == (лg I е (О) I п'g') 
...  { ехр (i6.)t)  ехр (i6)'t) ( nC I в  А I п'(:' ) +
nтс t 6)' + 6) .tч,  Р} ь
+ ехр (i6):=-e;p (i6)'t) (nC I В*  Рl I п'')  [eo(п'')  ео(nc)]. (25.11)
Определим теперь плотность тока, возникающеrо под действием
поля световой волны. Подставляя (25.11) и (25.3) в (25.2), оrраничи..
.ваясь, как и ранее, членами первоrо порядка относительно поля,
можем записать ток в следующем виде:
J== т  J J[l!o(п'')  eo(пg)] [ ejQ)t6)--::jQ)'t (nC IB Pl I п'') +
+ j:,=:jQ)'t (nC I В*  Р 1 I п'')] (п'' I  р 1 I пе)  ' 
   J ео(лg) (лg I А 1 лg) dg. (25.12)
те п
Считая основную область кристалла «физически малым объемоw,
переходим к плотности тока j путем деления полноrо тока (25.12) на
()бъем основной области v. Так как длина световой волны 'А в опти..
ческой области спектра значительно больше размеров основной обла-
оСти, то амплитудыI B('Jf), A('Jf) в пределах основной области кристалла
()чень слабо зависят от координат, и поэтому их можно вьmести за
знаки интеrралов по координатам. В результате для плотности тока
получаем следующее выражение:
J "" т' V J Ceo(п'')  eo(пg)] (nC I p 1 I п'') (п'' I p 1 I л{) х
,
I . 1 ei(oo'+w) . 1  ei(oo')t 
Х в e 'oot , + В* e---- UJJt , a.g dg' 
6) + 6.) 6.)  6)
 т;'v A Jl!o(nC}. (25.13)

 25]
ДИСПЕрсионньm ФОРМУЛЫ
171
Используя соотношение iA == ш(веilJ)t  B*eiwt), первый член
в (25.13) можно представить в виде суммы следующих двух членов:
т';; v  f [ео(п',,')  ео(пС")] (пС" I p j I п'''') Х
,
Х ( n'g , 1 A I пС") 6)' + iA  ', (25.14а)
p J 6) 2 6)2
. 2
т' V #, f Сео(п'''')  ео(пС")] (пС" I p j I п',,') (п,,,'1 p j I пС") х
,
х  ехр [i(' + 6.) [] Be icrJt + ехр [i(' 6) t] B*iwt   '. (25.146)
t  Z(6) + 6)  Z(6)  6) j
в (25.14а) сумму по п, п' раз6иваем на две части, соответствующие
ео(п', ,') и ео(п, g), и в первой из них меняем индексы суммирования
n  п'; при этом ш' ----+ ш'. В результате мнимая часть вьшадает, и
тоrда для (25.14а) имеем
 т::: V h,. f f  ' eo() 6)'2  6)2 ( 12р j I п'''') (п'''' I p J I ) А.
, (25.15)
Для преобразования (25. 14б) вместо переменвых интеrpирования
К>." Ку, Kz, 11, . . ., 1 р и К;, к;, к;, I, . . ., I (всето 6 + 2р перемен-
ных, rде р  число непрерьIвных квантовых чисел 1) введем новые
переменные ш', и 1 , . . , и6+2p1' rде и 1 ,.., и6+2P1 суть ортоrоналъныIe
координаты на rиперповерхности в (6 + 2р)..мерном пространстве:
ш' == ш(лg, п'g') == const.
Учитывая соотношение Дирихле
х.
lim J ' /(ж) sin xt dt == j 'Л/(О), если  < о < ,
too х 1 о в осталънъlX случаях,
Х 1
х.
lim f t(x) cos xt dt == о,
too х
Х 1
получаем для момента времени, достаточно удаленноrо от Mol\ieHTa
включения поля t == о:
i1fe 2  J . d d ео(п',')  ео(п,) ( nC J A I 'С' )
т 2 ch V n,n' и 1 · .. и6+2p1 I grad' 6)' I  Lb p J п ь Х
Х (п'g'l p J I лg){ Be iwt Ош,,Ф + B*e iwt ОФ',ш},
rде Igrade' ш'll  як06иан npе06разования от переменных (g, ,')
IC новым переменныM ш', и 1 , . . ., и6+2p1.

172
мноrоэЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ОПТИКИ МЕТАЛЛОВ
[rл. VII
Так как уравнение ш' == ш при замене g  g' и л  л' переходит
в уравнение ш' ==  О, то последнее выражение можно представить
В виде
e2  J (!o(n'')  (!o(n) ( С I .... I "С ) ( 'с' ' ..... I "С ) -
т2еn V ft" dU 1 · · · dU6+2P1 I grad' 6)' I Ль p j.tч, Л Ь p 1 .tч, А.
,
(25.16)
Из (25.13), (25.14), (25.15) и (25.16) получаем для полной nлотносm
тока В металле
J ==  тv  J dg d,' (2o(пg) {А +   6)'2:: 6)' (пg I p j I п',')Х
Х (п',' I p j I пg) А J +
e2  J (!o(n'')  (!o(n) I .... 1 "
+ т 2 Cn6) V ft" dU 1 · · · dU6+2p1 I grad'6)' I (лg p j п g ) х
,
х «л'g' I p 11 Л") 1). (25.17)
Вводя TeHopHЪIe обозначения
{ D(лg, л'g') }аР == (лg I p Ja I л'g') (л'g' ) p 113 I лg)
(25.18)
и сравнивая (25.17) с током по классической теории (18.21), получаем
для е и (т следующие выражения:
. е == 1  т  Л 1 + ;п,  6)'2 ::'ы2 D(g,,)] (20(пg) d, d,'. (25.19)
пе 2  J " eo(n'')  (!о(n;) п ( СС' ) d d ( 25 20"
(т ==  т 2 n6) V , I grad' 6) I ьь и 1 - .. и6+2P1- · J"
,
Следует отметить. принципиальное значение формул (25.19) и
(25.20) как выражеНИЙ, полученныIx в общей теории, которая не связана
с какими бы то ни бьшо модельными представлениями о металле и
упрощающими предположениями о поведении электронной системы
(например, пренебрежением электронным взаимодействием). В самом
деле, в данном расчете бьша использована лишь периодичность решет..
КИе Однако периодичность кристаллической решетки металла есть
существенное свойство металла, подтверждаемое экспериментом
(дифракция электронов). Этот расчет показывает далее, что изложен..
ная общая теория оптических свойств металлов содержит столь же
определенныIe утверждения, как и одноэлектронная. Только в общей
теории эти утверждения не связаныI с какими бы то ни было частныIи
предположениями о поведении электронной системыI в кристалле-
(например, с предположением о малости энерrии взаимодействия
электронов или с тем, что это взаимодействие может ОIIИсьmаться по
методу самосQrласованноrо поля и т. д.). Наконец, хотя выражениs-
(25.19) и (25.20) по своей внешней форме и являются аналоrичными

 26] ДИСПЕрсионньm ФОРМУЛЫ с УЧЕТОМ элвктронноrо 3АТYXAВИJI 173
соответствующим выражениям одноэлектронной ,квантовой оптики
металлов, однако по содержанию они существецно отличаются от
последних тем, что «круrовая частота» w'(ng, п'g'), тензор D(ng, п'') и
оператор плотности опредеЛЯJOТСЯ взаимодействием электронов Me
талла, и правильно е количественное описание оптических свойств
металла невозможно без учета этоrо взаимодействия. Тот факт, что
формулы для диэлектрической проницаемости И световой про ВОДИ"
мости в мноrоэлектронной теории являются сходными с соответствую..
ЩИМИ выражениями в одноэлектронной теории, и дает объяснение
хорошеrо качественноrо описания оптических явлений в рамках
последней. Соответствующая формула для диэлектрической прони..
цаемости в области малых частот впервые была получена в MHoro..
электронной теории Вонсовским [99] и затем уточнена Черепано-
вым [100].
Зависимость величин Си', п(п" п'g')ие(л.g) от KBaHToBbIX чисел К, 1
может быть найдена лишь при использовании той или иной конкретной
мноrоэлектронной модели кристалла. Поэтому вопрос о влиянии
взаимодействия электронов на дисперсию и поrлощение света веще..
ством может быть решен до конца только на базе такой модели.
 26. ДиспеРСИОDНые формулы квантовой оптики
металлов в мноrоэлектронной теории
"
с учетом электронвоrо затухания
Формулы, полученные в  25, справедливы в видимой и ультра
фиолетовой областях спектра лишь без учета затухания электронноrо
. движения. Интересно рассмотреть общий случай, включающий в
рассмотрение электронное затухание.
Как уже ynоминалось выше, в общем случае взаимодействие пере
MeHHoro поля световой волны с электронами металла может быть
как «классическим), так и квантовым. При «классическом» механизме
взаимодействия электронъ MOryт терять приобретенное ими ускоре-
ние в силу взаимодействия их с упрyrими колебаниями решетки (фоно..
нами), во втором случае электронная система вообще не остается
в возбужденном состоянии, а перескакивает обратно), причем на
длительность возбужденноrо состояния поо дрyrих причин
также оказьmает влияние взаимодействие с фононами решетки. Это
взаимодействие электронной системыI с фононами можно учесть фено
менолоrически путем введения фактора затухания электронноrо
движения rl;' == r.
Закон сохранения энерrии и интерференционное условие при
учете взаимодействия электронной системыI с колебаниями решетки
будут иметь вид
E(п'g') == E(пg) ::i:: nт =F nтфон,
к' == K::I:: q 1= qфон + 2пу,
(26.1 )
(26.2)

174
мноrоэЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ОПТИКИ МЕТАЛЛОВ
[rл. VII
тде qфон И 1i0фон --:-- волновой вектор и энерrия поrлощаемоrо или
излучаемоrо фонона.
Если бы взаимодействием электронной системыI с колебаниями
решетки можно бьшо пренебречь, то электронная система находилась
бы очень долrо в возбужденном состоянии (стационарное состояние).
Однако если взаимодействие большое, то электронная система, на..
ходясь в возбужденном состоянии, будет отдавать. свою энерrию
колебаниям решетки (нестационарное состояние). Энерrия колебаний
решетки при этом процесс е возрастает, и с течением времени распреде-
ление ее по всем частотам становится paBHoBecным и повышается
температура решетки.
Влияние колебаний решетки на электронную систему можно
вырзитьь через уменьшение продолжительности нахождения электро"
нов в возбужденном состоянии. Математически это проявляется в
том, что энерrию электронной системыI в возбужденном состоянии
(п',') следует заменить на комплексную величину
Е(п', ')  Etn', ')  i"'F,
rде F ..... фактор затухания электронноrо движения. Для вьшода диспер-
сионных формул при учете взаимодействия электронной системы с
колебаниями решетки нужно, следовательно, во всех формулах
содержащих энерrию Е ( 24 и 25), произвести указанную замену, а
формулыI (24.11), выражающие закон сохранения энерrии и интер..
ференционное условие, заменить формулами (26.1) и (26.2). Однако
поскольку волновым вектором фотона и ВОЛНОВЫМ вектором фонона
можно пренебречь по сравнению с обобщенным волновым век-
тором всей системыI электронов, то интерференционное условие будет
выражаться формулой (24.11). При учете этих соображеНИЙ выраже..
ние для плотности тока (25.13) принимает вид
2
j  m2:ВV # J  iЩ' [ео(п',')  ео(лg)] (лg l1;p J I п',') (п',' l1;p J I лg) х
,
х I Beiwt 1  ехр [i«(i)' + (i)  iT) t] + В* iwt 1  ехр [i(6)'  (i)  iT) t] f .........
, + о т е , о т
(i) (i)l (i) (i)l
е 2
 mcV A  J ео(лg) t;""It iЩ.
(26.3)
Это выражение имеет простой физический смысл. Непосредственно
после включения поля при t  О это выржениеe дает ток поляризаЦИИt
обусловленный начальным распределением электронов по состоя-
ниям eo(). В дальнеЙШем при t > О в результате перераспределения
электронов под действием поля появляются еще два типа членов:
члены, rаРМОЩlчески зависящие от времени t с частотой 0 внешнеrо
электромаrнитноrо поля, и члены, содержащие переменную зависи-
мость от t с резонансной частотой 0' и затухающие со временем.

: 26] ДИСПЕрсионнъm формулы с УЧЕтом ЭЛЕктронноrо ЗАТУХАНИЯ 175
Первые относятся к вынужденным колебаниям си«темыI, а вторые
описывают собственные колебания системыI, возбуждающиеся в.
начальный момент при включении поля и экспоненциально зату"
хающие со временем. Ток, обусловленный первоначальным распреде..
лением электронов, также затухает со временем. При сильном зату"
ханин (при большом F) в случае больших t собственными колеба...
пиями системы и первоначальным током можно полностью пренеб...
речь. Однако в случае отсутствия затухания (F == О) или в случае сла...
боrо затухания (FR:10) нужно учитывать также и собственныIe колебания
системыI. Вообще rоворя, фактор затухания F зависит от квантовых
чисел g и номера п полосы возбужденноrо состояния. Мы, однако,.
везде для упрощения пренебреrаем этой зависимостью.
Для удобства дальнейших вычислений формулу (26.3) можно
представить в виде
j == j1 + ij2, (26.4)
2
11 == m 2 :n V ,J  ' [eo(п'g')  ео(лg)] (лg '1;р i I п'g') (п',' '1;р i I лg) х
,
! Beiwt B*iwt j е2 f
х , + от + , от   y А 1; eo(пg) rt dg, (26.4а}
(с) (с)  z (с)  (с)  z те п
2
12 == m2:n V ,}  ' [eo(п'g')  ео(лg)] (лg l1;pi I п'g') (п'g' l1;pi I лg) х
,
х ! Be iwt ехр [i(' + 6)  iT) t] + В* iwt ехр [i('  (с) o iT) t] f. (26.4б)
 {( (с) + (с)  {Т)  {((с)  (с)  {Т) 
в формуле (26.4а) сумму по п, п' разбиваем на две, соответствующие
eo(n'g') и eo(пg), и в первой из них меняем индексы суммирования
п  п' и переменныIe интеrрирования g  g'; при этом т'   т' .
Собрав затем снова все членыI в одну сумму вместо выражения, стоя..
щеrо в фиrypных скобках в (26.4а), будем иметь
, В ехр i(c)l + В* ехр  i(c)l ..... В ехр i(c)t  В* ехр  iblt f
t (c)' + (с)  [Т (c)'  (с)  iT (с)' + (с)  iT (с)'  (с)  [Т j ·
rрyпnиpуя члены в этой скобке попарно, первый с четвертыМ, второй
с третьим и принимая во внимание соотношения
Be iwt + В* eiwt == А и Be iwt ..... В* iwt == (  ) А
{(с) ,
рассматриваемую скобку можно представить в виде
! [ (с)'  (с) (с)' + 6) ]
..... (6)'  (с)2 + Т2 + «(с)' + 6)2 + Т2 А +
+ [ т ] f
ы (ы' ы)2 + r 2  (ы' + ;2 + r2 А j ·
Прео6разуем теперь формулу (26.4б).

176
мноrоэЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ОПТИКИ МЕТАЛЛОВ
[rл. VII
Для преобразования этоrо выражения заметим, что при любом
конечном значении r =1= о все выражение (26.4б) обращается в нуль
в силу тото, что при t....... 00 мыI будем иметь множитель rt....... о.
Поэтому можно положить
0' :1: 0  ir  0' :1: 0,
что при r == о действительно имеет место, а при r * о вообще все
выражение (26.46) обращается в нуль (при t  (0).
Сделав затем в выражении (26.4б) переход от переменных Интеrри-
рования " " к переменныM 0', ин . . , и6+2P1 аналоrично тому, как
это сделано в  25, получим вместо (26.46) следующее выражение:
пе 2  f d d eo(п'')  eo(n) ( nC I A I 'С' ) « ,c, ) .... I nC ) . )
m 2 etk.> V f:z, и 1 · .. и6+2p1 1 grad' 6)' I Ht, Pj п  п ь Pj . А ·
,
Окончательное выражение для полной плотности тока в металле
будет иметь вид
2
j    y  f dg dg' eO(ng) х
те п
Х (Ar- Тt +   ( ы';:T2 + (6I,:'6I;:r2 )D(,п'g')Aj
 m:2v  f eo() eТt tЩ А + m2V , f tЩ' eo() х
,
х [ (61' 2 +Т2  (61' + 2 +Т 2 ] D(, п'g')..i +
пе 2  f (20(n';')  (20(n) rt ' , . ) 6
+ 2м y  du 1 ... dU6+2p1 1 d' '1  (п(пg,п,)A. (2.5)
т (с) n п' gra  (с)
,
'Сравнение этоrо выражения с током, вычсленнъIмM по классической
теории (18.21), дает для диэлектрической проницаемости е и световой
проводимости (F следующие выражения:
4пе 2 f
.е == 1  mы2V  dgeo()X
Х ( (о т' +   f tЩ' [ (61' ;': Т 2 + (61' ;'ы ':Т2 ] D(, n'g')j (26.6)
2 I
-(}" ==  т2ы v , (f dg ' eo() Х
Х [ (61' 2 +Т 2  (61' +;2 +Т2 ] D(, n'g') +
+ п f du ... du  (20(п'Е')  (20(пЕ) e----- Tt п(пg n'g') f . (26.7)
1 6+2р 1 1 grad' (с)' 1 ' J
Как и следовало ожидать, при r  о выражения для е и (F переходят
 формулыI (25.21) и (25.22), тотда как при r -=1= о члены, содержащие

 26] ДИСПЕРСИОННЫВ ФОРМУЛЫ С УЧЕТОМ элвктРонноrо ЗАТУХАНИЯ 177
схр (rt), обращаются в нуль при t  00, И мыI окончательно полу-
чаем
е == 1  ,:: I  , J[ (6)' :::;rэ + (6)' :'6)t rэ ] Х
х eo() D(, п',') J dg dg', (26.6а)
(]" ..... е 2 I  [ , Р2 2' ] Х
mЧk.JV n,n' (6) 6) +r  (6) + 2 +rэ
Х eJ.p) D(, п',') J dg dg'. (26.7а)
Полученные формулы описьmают дисперсию е и и, обусловленную
как механизмом квантовых переходов между зонами (п' =1= п), так и
возможным механизмом квантовых переходов внутри зон (п' === п).
Для рассмотрения последних следует положить
п(, п'g') === п(пg, ') оn,n.
Переходя в формулах (26.6) и (26.7) от N переменных g к одной пере-
менной g == k И учитывая правила отбора, справедливые в одноэлек-
тронной теории
D(пk, п'h') == D(пk, п'k) o(k' ..... k),
получаем дисперсионныIe формулы одноэлектронной зонной тео-
рии:
4пе 2 J
е ... 1  пy,y.G 8 a8  dk eo(nk) Х
I rt 1, [ 6)'  6) 6)' + 6) ] п ( , ) i
х  + тЯ  (6)' 6)2 + r2 + (6)' + 6)2 + r 2 nk, п k j'
cr ==  т:"a8 , I J eo(nk)dk [ (6)'  2 + r:  (6)' + ;. + rэ ] Х
х D ( пk п'k ) + п- J dи d11 eo(п'k)  eo(пk) eIt D ( пk n'k ) j .
, 1  I gradlc 6)' I '
(26.8)
(26.9)
Если рассмотреть члены с п' == п, то в силу тото, что т'(nk, пk) == О,
получаем
е == 1  4: 8  J e.o(nk) e-----Tt dk, (j == О,
т6) а п
то есть переходы внутри зон в рамках одноэлектронной теории не-
возможны.

r ЛАВА v?III
АНОМАЛЬНЫЙ СКИН..ЭФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ
 27. Общие положения
Если в цепи циркулирует переменный ток достаточно высокой
частоты, то он распределяется неравномерно по сечению проводника,
а именно он концентрируется у поверхности, спадая по мере проникно..
вения в rлубь проводника. Явление концеlПрирования электрическоrо
тока на поверхности проводника и носит название скин..эффекта. Раз..
личают нормальный и аномальный
скин..эффекты.
Явление нормальноrо СJШн"эф"
фекта хорошо объясняется на основе
уравнений Максвелла и закона Ома.
При этом молчаливо предпола..
rается, что въlводыI теории спра..
ведливы для всех температур и
частот. Из ЭТОЙ теории скин"эф",
фекта можно получить связь между
проводимостью проводника при пе..
ременном токе и ето проводимостью при постоянном токе  оказы.
ваетс,Я, что первая пропорциональна квадратному корню из второй.
Однако опьпы Пиппарда [31] показали, что при низких темпера..
турах имеется сильное расхождение между предсказаниями теории и
опытом: с понижением температуры скин"сопротивление перестает
зависеть от сопротивления при постоянном токе. Этому отклонению
от обычной теории скин..эффекта и было присвоено название аномаль..
ното скин..эффекта.
Прежде чем останавливаться на опытах Пиппарда, следует не..
сколько напомнить некоторые понятия из радиотехники. Колеба..
тельный контур представляет собой цепь, состоящую из активноrо
сопротивления R, индуктивноrо L и емкости С (рис. 29). Амплитуда
тока в т.акой цепи, как известно, определяется выражением
и и
== 
,
z
R L r:
'\Iv
Рис. 29.
J==
V R2 + ((blL )2

тде и  внешняя эдс. Если частота внешней эдс совпадает с собствен-
ной частотой колебательноrо контура, то наступает резонанс, при
1 1
котором (i)L == , то есть (i) == lr ' и амплитуда тока в контуре
6)С yLC
U
будет равна J == R . Изменение амплитуды тока в колебатель-
ном контуре в зависимости от частоты колебаний внешней эдс
представляется . rрафиком (рис. 30).
Интересное и очень важное свойство
колебательноrо контура состоит в
том, что при резонансе переменное
напряжение на конденсаторе и на
катушке индуктивности может во
мното раз превыатьь по величине
приложенную эдс. Ясно, что реактив..
ные сопротивления катушки и кон..
денсатора при резонансной частоте
равны друr друту (i)oL == l С . Напря..
(с)о
жения также равны. Обозначим ве..
личину амплиту дыI этих напряжений
через и k.
По закону Ома произведение амплитудыI тока при резонансе на
реактивное сопротивление кати или конденсатора равно напря
жению на катушке или на хонденсаторе
Напряжение на конденсаторе или на
катушке U k больше приложенной эдс
во столько раз, во сколько сопроти-
вление катушки или конденсатора при
резонансе больше активноrо сопро..
тивления. Это отношение называется
добротностью контура. Можно по..
казать, что добротность есть вели-
чина, обратная лоrарифмическому
декременту затухания колебаний. Лоrарифмический декремент
является мерой быстроты затухания колебаНИЙ. Чем больше декре..
мент затухания контура, тем быстрее затухает колебание. Чем
меньше декремент, тем слабее затухают колебания, тем выше
добротность контура.
 27]
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
u/
откуда
о
.
I
I
: 
Ш L Ы О Ш,
ltJ
Рис. 31. Ширина полосы пропус-
кания как разность д(с) между
частотами (с)1 и 6)2, при которых
квадрат напряжения на конден"
саторе равен 1/2 максимума при
(с)==6)о.
179
ы о
(J)
Рис. 30. Изменение амплитуды
тока в колебательном контуре в
зависимости от частотыI кол
баний внешней эдс.
и U 1
U k ==  (i)oL ==  
R R 6) о С '
Q  Uk  6)oL  1
 U  R  (c)oCR .

180
АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
(rл. VIII
1
Введем еще понятие полосы пропускания контура на уровне "2 ·
Ширина полосы пропускания определяется как разность Дт между
1
теми двумя частотами 00:1: "2 Д0, при которых квадрат напряжения
1
на конденсаторе равен "2 максимума при т == то (рис. 31). При таком
определении избирательностью (селективностью) контура называют
величину S == :: . Можно показать, что для кон..
тура с большой добротностью имеет место со..
отношение S == Q == : ' то есть избирательность
контура равна ето добротности. Мы видим, что
селективность обратно пропорциональна сопро..
тивлению контура. Можно показать, что она
приближенно обратно пропорционалъна полному
сопротивлению (имnедансу) цепи резонатора.
В Пиnпард измерял скин"проводимость на ра..
диочастотах при 1200 мzц на серебре, золоте, олове
и ртyrи и сравнивал ее с проводимостью при
постоянном токе. Сопротивление измерялось пу..
тем определения mириныI полосы пропускания
резонатора (колебательнъlЙ контур), в котором
в качестве проводников ynотреблялись иссле..
дуемыIe металлы. Колебания в резонаторе возбу..
ждались с помощью тенератора, частота которото
моrла варьироваться. Амплитуда возбуждаемоrо
тока в резонаторе измерялась следующим об..
разом. Часть энерrии резонатора попадала в
ЛИНИЮ, содержащую кристалличесКИЙ детектор
и rальванометр постоянноrо тока. Вьmрямлен"
, ный ток фиксировался показаниями rалъвано"
метра. измеримыIe отклонения rалъванометра получались лишь
при частоте reHepaTopa, близкой к собственной частоте резонанса.
Схема измерительной установки с резонатором показана на рис. 32.
Образец А в форме узкой проволочной петли прикреплялся к
стержню из дистрена, и ето можно рассматривать как часть двойной
линии передачи, разомкнутой на одном конце и замкнутой ввеху, так
что она резонирует, котда ее длина приблизительно равна четверти
волны с узлом тока на открьпом конце и с nyчностью вверху. Резо..
натор окружается оболочкой В, которая вьmолняет две функции:
уменьшает потери на излучение и не допускает жидкий rеЛИЙ в резо..
натор. Две коаксиальныIe линии передачи С, С оканчиваются на про..
тивоположныIx концах диаметра одинаковыми петлями п, п, которые
индуктивно связьmают резонатор с тенератором и детектором. Сам
резонатор помещается в дюар, который наполняется жидким l"елием;
с
D
Рис. 32. Схема из..
мерительной уста-
новки срезонато..
ром в опытах Ппп-
парда.

 27]
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
181
нейзильберовая трубка Е, через которую вставляется образец, сооб-
щается с баней жидкоrо rелия таКим образом, чтобы всетда имелосъ
достаточное количество паров внутри резонатора для обеспечения
тепловоrо контакта между образцом и баней.
reHepaTop электромаrнитных. волн имел специальный триод
(CV50), который вмонтировыалсяя в коаксиальную полость пере-
менной длины так, чтобы можно было rенерировать частоты винтер..
вале от 1100 до 1250 Мzц. Выводные концыI петли связи резонатора
8 10 12  I 16
..т /0; (OMI СА, /)"Z
Рис. 33. 3ависим:ость скинпроводимости ОТ температуры
(через у 0" ).
соединяются с коаксиальной полостью, в которой помещается кри"
сталлический детектор, и вьmрямленный ток проходит через чув"
ствительный rальванометр. Радиочастотная мощность, попадавшая
в детектор, составляла около одното микроватта; вьmрямленный
1
ток бьш строто пропорционален мощности иравнялся 2 р.,а на 1 JLBm.
В большинстве измерений ток в rальванометре составлял 0,07/La
при максимуме резонансной кривой, соответствующей мощности,
входящей в детектор, равной О,14/Lвт, или около 2ILвт мощности на
выхдеe из резонатора.
При производстве опыта употреблялисъ два частотомера: один
измерял частоту О0 с точностью до 0,1 %, второй был дифференциаль-
ным частотомером, с помощью которото непосредственно измеряласъ
разность частот 1\т == О0 ........ о. Таким образом, можно бьто измерить
ширину резонансной кривой Дт И ш о , а следовательно, и селектив-
ность, а по ней........сопротивление исследуемоrо металла.
1
На рис. 33 нанесен rрафик зависимости скинпроводимости  == R
от температуры (через уо-) . Если бы поведение  соответствовало

182
АНОМАЛЬНЫЙ СКИНЭФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[rл. VIII
классической теории скин..эффекта, то все точки должны были бы
лежать на одной прямой линии, прОходящей через начало координат.
Аномальное поведение проявляется характерным образом В том, что
кривые отклоняются достаточно сильно от ожидаемой прямой линии
и стремятся стать параллельными к оси Уи. Таким образом, здесь
выясняется замечательное явление, состоящее в том, что радиочастот..
пая скин"проводимость практически не зависит от проводимости для
постоянноrо тока при достаточно низких температурах, то есть
коrда средняя длина свободноrо пробеrа электронов достаточно велика
(1 » о).
Из хода кривой зависимости  от V и для золота, серебра и олова
следует, что классическая теория верна лишь при комнатныIx темпе..
ратурах, котда средний своБодныIй пробеr электронов достаточно
мал. С увеличением среднето свободноrо пробеrа скин"проводимость
практически не зависит от (Т. В этом И состоит явление аномальноrо
скин..эффекта.
В чем причина аномальноrо скин..эффекта; почему классическая
теория скин..эффекта оказывается несправедливой при низких темпе..
. ратурах? Причина аномальноrо скин..эффекта заключается в том,
что при низких температурах и в определенном интервале частот не
выполняется основное предположение закона Ома, а именно, что
плотность тока в некоторой точке металла целиком определяется
значением напряженности электрическоrо поля в той же точке.
Аномальное сопротивление металлических проводников при высо"
ких частотах и очень низких температурах было впервые замечено
Лондоном [101], который связывает аномальное поведение поверх..
ностной проводимости со средней длиной свободноrо пробеrа. При
низких температурах блаrодаря возрастанию проводимости rлубина
проникновения поля высокой частоты в металл уменьшается (ибо
д === c ) , тотда как средний свободный пробеr увеличивается,
у 2пы<т
так что он может стать в несколько раз больше rлуБиныI скин"слоя.
С этой точки зрения можно понять, почему классическая теория скип..
эффекта не соответствует экспериментальным данным Пиппарда.
Классическая теория скин..эффекта основывается, с одной стороны,
на уравнениях Максвелла, с дрyrой стороны, на законе Ома. В спра..
ведливости уравнений Максвелла сомневаться не приходится. Следо..
вателъно, подверrается сомнению справедливость закона Ома при
низких температурах. Причина неприrодности закона OM возникает
из предположения о том, что плотность тока в некоторой точке цели..
ком определяется значением напряженности электрическоrо поля
в той же точке. Совершенно очевидно, что котда средняя длина СВО90Д"
Horo пробеrа электрона сравнима или значительно больше rлубины
проникновения поля, то электрон за время одното свободноrо про..
беrа будет двиrаться через области с разной напряженностью П9ЛЯ, и

 27]
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
183
добавочная скорость, которую он получит, будет зависеть от напря-
женности поля вдоль Bcero пути движения. Это означает, что урав..
нение j ==стЕ, в котором (т постоянна для всех частей металла, должно
быть заменено более общим уравнением j == '(Е, Z). Следовательно,
предположение классической теории о том, что электрическое поле
можно рассматривать однородным при расчете плотности тока, не
всеrда справедливо. Это предположение определенно справедливо,
коrда поле изменяется незначительно на расстоянии, равном длине
свободноrо пробеrа электронов про водимости, то есть коrда длина
свободноrо пробеrа электрона значительно меньше rлубины проникно..
вения поля в металл.
Это условие удовлетворяется для всех частот, если температура
достаточно высока (Т  B D ), но при низких температурах (Т  Вn)
следует различать три области частот:
а) для достаточно маль частот rлубина скинслоя значительно
больше длиныI свободноrо пробеrа электрона, и классическая теория
справедлива;
.б) для достаточно выокихx частот rлубина проникновения велика.
сравнительно с расстоянием, проходимым электроном в течение
одноrо периода колебания электрическоrо поля. В этом случае также
независимо от значения свободноrо пробеrа можно рассматривать
электрическое поле однородным при вычислении тока внекоторой
\
точке, так что осуществляются классические условия;
в) при промежуточныIx частотах, однако, ни одно из этих условий
не удовлетворяется, и тоrда нужно учитывать пространственное
изменение электрическоrо поля.
Выражение для плотности тока в общем случае имеет вид опреде-
ленноrо интеrрала, учитывающеrо значения электрическоrо поля ВО
всех точках металла, и поэтому уравнения Максвелла совместно с
этим общим соотношением для плотности тока приводят к интеrро-
дифференциальному уравнению, на решении KOToporo и основы-
вается интерпретация аномалъноrо скин..эффекта. Вид этоrо уравнения
зависит от частной модели, принимаемой для вычисления тока.
Пиппард [31] вывел уравнение для низких частот, коrда период
поля велик сравнительно с временем релаксации. Он получил решение
ДЛЯ случая «линейной» модели, в которой направления движения
электронов предполаrаются лежащими на конусе с постоянным полу-
уrолом V. Да)ке для такой очень упрощенной модели Пиппард не
получил cTpororo решения, но модель предсказывает постоянство
скин-про водимо сти, коrда средняя длина свободноrо пробеrа стано-
вится очень большой.
Более стротое решение задачи аномалъноrо скип-эффекта было
дано Рейтером и Зондrеймером [32]. Их теория основывается, с ОДНОЙ
стороныI, на классических уравнениях Максвелла, с друrой стороны,
на использовании общих положений зоммерфельдовской теории ме..
таллов.

]84
АномАльныIй СКИН-ЭФФЕКТ и ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[rл. VIII
Общее выражение для плотности тока вьmодится при следующих
предположениях.
1. rлубина проникновения поля мала сравнительно с линейными
размерами образца, так что можно рассматривать поверхность
металла как бесконечную плоскую поверхность. Это условие въmол..
няется на практике всеrда для образцов обыкновенных размеров при
температурах и частотах, при которых возникает аномальный скин"
эффект.
2. Электромаrнитная волна падает нормально на поверхность
металла, так что задача может рассматриваться в ОДНОМ измерении.
з. Электроны металла считаются квазисвободными; их энерrия
пропорциональна квадрату волновоrо вектора*).
4. Предполаrается, что механизм столкновеНИЙ всеrда можно
описывать в зависимости от величиныI свободноrо пробеrа 1 электро"
1
нов ПРОВОДИМОСТИ или через время релаксации т, rде т ==. 1 и т
11
MoryT зависеть от величины скорости, но считаются независимыми от
направления движения. Существование свободноrо пробеrа. можно
строто обосновать лишь для высоких температур таких, что величи..
ною (в )2 можно пренебречъ, rде e D  температура Дебая, а также
при весьма низких температурах, коrда существенно лишь остаточное
сопротивление. Однако они указывают, что несущественныIe ошибки
будут иметь место, если предположить, что свободный пробеr суще..
ствует фактически при всех температурах. Это есть слабый пункт
рассматриваемой теории. Однако развить теорию без этоrо предполо..
жения чрезвычайно трудно.
5. Вводятся некоторые предположения относительно отражения
электронов от поверхности металла. Следуя Пиппарду, предпола..
rается, что часть электронов Р, достиrая поверхности, отражается
зеркально, тоrда как остальная часть (1  р) рассеивается диффузно.
Выражение для плотности тока в соединении с уравнениями Мак..
свелла приводит к общему уравнению для электрическоrо поля.
Основное интеrpо..дифференциальное уравнение решается с помощью
теории интеrралов Фурье для двух предельных случаев: 1) идеалъноrо
зеркальноrо отражения электронов от внутренней поверхности метал..
ла (р == 1) и 2) полностью диффузноrо рассеяния (р == О).
Результаты решения показывают, что напряженность электри"
ческоrо поля определяется сложным выражением и не имеет экспонен"
циалъноrо вида, который предсказывается классической теорией.
Так как распространение волны не является более экспоненциальным,
то классическое представление о комплексном показателе преломле..
ния в общей теории теряет свой физичесКИЙ смыIл.. Однако все изме..
*) Авторам работ [37] удалось исследовать некоторые вопросы теории ано-
малъноrо скин-эффекта, используя произвольный закон дисперсии в == в(р).
,.

 27]
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
185
ряемыIe величиныI MOryT быть выражены в зависимости от «поверх..
HOCTHoro импеданса) Z, который равен отношению напряженности
электрическоrо и маrнитноrо полей на поверхности металла, умно..
411'
женному на .
с
Покажем, например, как получается выражение для поверхностноrо
импеданса В МИКРОВОЛНОВОЙ области частот, тде током смещения
можно пренебречь. В этом случае импеданс скин-слоя Z представляет
отношение электрическоrо поля на поверхности металла к полному
току, проходящему через единичную площадку
z == Е(О) .
00
 i dz
о
(27.1 )
Исходим из уравнения Максвелла
d 2 E + 6)2 Е :=: 4пi6) ·
dz2 с2 с 2 1.
(27.2)
Если здесь пренебречь током смещения (второй член), то для тока
получается следующее выражение:
. е 2 d 2 Е
J
 4пi6) dz 2 '
и тоrда
00 00
J I dz ==  J д2 Е dz ==  ( дЕ ) 00 ..... .....  ( дЕ )
4пi6) oz 2 4пi6) OZ о  4пi6) OZ о ·
О О
(27.3)
Отсюда
z == ..... 4пi6) Е(О)
с 2 ( ;:) 0 ·
Но из уравнений Максвелла следует, что
(27.4)
( 8Е ) == (  i6) Н )
OZ z==o с z==o ·
(27.5)
Подставляя (27.5) в выше написанное вь:rpажение для Z, получим
z == 4п Е(О)
с Н(О).
(27.6)
Вещественная и мнимая части Z относятся к поверхностному a:КT
ному сопротивлению R и OBepXНOCTHOМY реактивному сопротивле..
пию Х соответственно. Общее описание явления, справедливое для
любых частот, получается через выражение результатов теории в
зависимости от Z, из которото величины, представляющие физиче..

186
АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ и ОПТИЧЕСКИЕ свойcrВА
[rл. VIII
.ский интерес в любой области частот, можно получить и интерпрети..
ровать.
Дальнейшее развитие теория аномальноrо скин-эффекта в металлах
получила в серии работ Динrля [16, 33], а также в работе rордона и
30ндrеймера [35] и др. Динrль расширил уравнение Рейтера и 30ндrей-
мера тем, что феноменолоrически учел внутренНИЙ фотоэлектрический
ток и атомную поляризуемость материала*). им получена формула
ДЛЯ поверхностноrо ИNПIеданса без численноrо интеrрирования.
Произведен вывод формул, описывающих оптические свойства метал..
лов в близкой инфракрасной, видимой и ультрафиолетовой области
спектра как при р == О, так и при р == 1. Динrль рассмотрел также
общий случай О < р < 1 и дал общую теорию оптических свойств
металлических пленок. Динrлъ сравнивает теоретические выводыI
с экспериментальными данными, полученными недавно некоторыми
экспериментаторами. Из этоrо сравнения следует, что для таких
металлов, как Na, Си, Ag, Аи, Pt, W, AI, РЬ, Sn, наблюдаемые оптиче..
ские свойства металлов находятся в значительно лучшем соответ..
ствии с теоретическими значениями, котда учитывается аномальный
скин..эффект и предполаrается диффузное рассеяние электронов от
поверхности металла. В табл. 8 приведены ето результаты для поrло"
щательной способности чистой меди в близкой инфракрасной области
спектра.
Таблица 8
Поrлощательная способность
(в процевтах)
теория
Температура экспери с учетом
MeHTaJIЬ обычная аномаль-
ные теория Horo
даввые скив
эффекта
Комнатная ........ 1,2 0,5 0,8
]Кидкоrо кислорода 0,8 0,09 0,5
ЖидICоrо rелия ..... 0,6 0,003 0,4
Были про изведены некоторые попытки объяснить расхождение
между опытом и обычной теорией. Например, делались следующие
предположения:
а) Электрическое сопротивление поверхностноrо слоя, в котором
происходит поrлощение света, значительно больше электрическоrо
*) Конечно, такой учет KBaНYoBoro поrлощения и атомной поляризуемости
является непоследовательным. В работе [36] отмечается, что учет квантовых' эф-
фектов при описании оптических свойств металлов в условиях аномалъноrо
скин-эффекта слеДует производить с помощью naнToBoro кинетическоrо урав-
нения [39].
,.

 27]
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
187
сопротивления массивноrо металла. Во мноrих случаях, особенно в
ранних опытах, при которых не предпринималось достаточной осто-
рожности в приrотовлении поверхности, это несомненно справедливо.
Однако трудно представить, чтобы слой поверхности в недавних
, опытах Вейсса и Раманатана имел при комнатной температуре в
два раза большее сопротивление, чем массивный металл, при TeМIIe
ратуре жидкоrо кислорода в десять раз и при rелиевыx температурах
в двести раз. ,
б) Предполаrалось таI(же, что существует дополнительное поrло-
щение, обусловленное rрубостью поверхности. Например, фотоэлек-
трическое поrлощение может происходить на rраницах между кри-
-сталлитами, образующими поверхность металла, особенно при меха-
нической полировке. При cTporo нормальном падении поверхностное
фотоэлектрическое поrлощение исчезает, но если поверхность rрубая,
то будет некоторое фотоэлектрическое поrлощение, даже если излуче..
ине в макроскопическом смысле слова падает нормально на металл.
Дрyrая возможность состоит в том, что rрубостъ поверхности
может оrраничить длину свободноrо пробеrа электронов. Однако
трудно представить, что эти эффекты так велики даже для электро-
полированной поверхности, использованной в опытах Раманатана
[41] при rелиевых температурах, чтобы вызвать поrлощение в двести
раз большее, чем предсказывает обычная теория из сопротивления
массивноrо металла. Динrль считает, что истинный источник расхож
дений заключается в том, что обычная теория не учитывает аномаль-
ной природы скин-эффекта, то есть тот факт, что при высоких частотах
электрическое поле может заметно изменяться на пути свободноrо
пробеrа электрона проводимости, так что более неправильно считать,
что плотность тока в данной точке связана с напряженностью электри"
ческоrо поля лишь в той же самой точке.
Если учитывается аномальная природа скин-эффекта, то полу-
чаемые выводы будут зависеть от рассматриваемоrо способа отраже-
ния электронов от поверхности металла. Общие основы теории опти..
ческих свойств металлов, предполаrающей зеркальное отражение элек..
тронов, были впервые предложены Рейтером и 30ндrеймером [32].
Динrль получил формулы для оптических характеристик как для
зеркальноrо, так и для диффузноrо рассеяния электронов в близкой
инфракрасной, видимой и ультрафиолетовой областях спектра. Теория
Динrля в предположении диффузноrо рассеяния электронов лучше
соответствует эксперименту. Динrль также отмечает, что имеются
независимые экспериментальные доказательства Чамберса [42], кото",
рые указывают, что диффузное рассеяние электронов является физи
чески разумным случаем. Из табл. 8 видно, что учет аномальной
природы скин-эффекта в предположении диффузноrо рассеяния
электронов значительно улучшает соrласие теории с экспериментом.
Расхождение обычной теории с опытом на l\fножителъ порядка 200
уменьшается в новой теории до 2. Небольmое отклоненое 0,4 вместо

188
АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ и ОПТИЧЕСКИЕ свойcrвА
[rл. VIII
0,6, соrласно Динrлю, объясняется тем, что ero теория относится к
монокристаллам, тоrда как поверхностные слои реальных металлов
в действительности состоят из множества кристаллитов, и поэтому
будет существовать некоторое диффузное рассеяние электронов на
всякой межкристаллитной rранице, что приводит к добавочному
поrлощению.
Друrой возможной причиной расхождения теории с опытом
является отмеченное выше отличие сопротивления поверхностноrо
слоя от электрическоrо сопротивления массивноrо металла и наличие
дополнительноrо поrлощения из-за rрубости поверхности.
 28. К1Iассическая теория скин..эффекта
Рассмотрим сначала общую теорию скип-эффекта. Как уже упо..
миналось выше, эта теория полностью вытекает из уравнеНИЙ Максвел..
ла и закона Ома. Решение уравнеНИЙ Максвелла упрощается ДЛЯ
идеализированноrо случая полубесконечной плоскости. Такое упро..
щение справедливо, коrда rлубина проникновения поля в металл
мала по сравнению с линейными размерами образца. Если это не имеет
места, то вычисления несколько усложняются (СМ., например, [102]).
Пусть поверхностью металла является плоскость ОХУ и направим
ось Z внутрь металла. Электрическое поле E(z) e iwt направим по оси
Х, а маrнитное поле H(z) e iwt  по оси У*). В этом случае уравнения
Максвелла имеют вид
 dH == itJ> Е + 4п j ( z ) dE ==  itJ> Н
dz с с ' dz с'
тде j(z)  плотность тока. Исключая Н из этих уравнений, получим
следующее соотношение между Е и j:
d 2 E 2 f 4 .
+ 6) Е   11'16) .
  ..... J
ш2 е 2 е 2 .
(28.1 )
(28.2)
Пренебреrая членом, соответствующим току смещения, и используя
закон Ома j == (ТЕ, получим
d 2 Е == 4пi6)0'" Е (28.3)
ш2 с 2 ,
тде (Т ..... удельная электропр.оводность металла для постоянноrо тока.
Леrко показать, что решение этоrо уравнения есть
Е  Е :t k.z
 О е ,
(28.4)
rде
k 2  4пi6)0'"
O е 2 ·
(28.5)
Электрическое поле имеет наибольшее значение на поверхнос1И
проводниКа и по мере проникновения в металл ослабляется. rлубина
проникновения. поля в металл будет величиной, обратной ko, ибо
*) в дальнейшем мно)китель eiwt будет опускаться.
,.

 28]
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СКИН-ЭФФЕКТА
189
1
при z == k напряженность поля ослабляется в е раз. Определим ko. Из
о
(28.5) следует, что ko ==  V пCiJU ti == 1 + i V2п(i)(1'. Для тото чтобы бьшо
с с
ослабление, а не уси.цение поля при проникновении ето в металл,
очевидно, необходимо взять ko с отрицательным знаком. Тотда окон..
чательно будем иметь
Е == Ео ехр ( : (2п(j)(Т z) ехр (  "Y 2п(j)(Т z ) . (28.6)
Второй сомножитель есть периодическая функция, тотда как из пер-
вото можно определить так называемую классическую rлубину скип..
слоя; она равна*)
о  с (28.7)
 V 2пыО'" ·
Таким образом, электрическое поле экспонеlЩИалъно убывает от
поверхности в rлубь металла, причем rлубина ето проникновения
обратно пропорционалъна квадратному корню из про изведения
частоты на удельную электропроводность.
Задача определения оптических характеристик металла в условиях
скин..эффекта (нормалъноrо или аномальноrо) ставится следующим
образом: электроныI проводимости в кристалле взаимодействуют с
V V .
ero иоинои решеткои и друт с друтом; на поверхность металла падает
электромаrнитная волна определенной интенсивности, направления
и поляризации. ФУНКЦИЯ распределения электронов по энерrиям
(или скоростям) под действием электромаrнитноrо поля и в резулъ..
тате столкновений электронов с решеткой и друт с друтом изменится
на некоторую величину. Считая добавку к равновесной функции
распределения малой и используя методыI теории возмущеНИЙ, можно
определить выражение для плотности тока, которое совместно с
уравнениями Максвелла позволяет найти импеданс, а с помощью
последнеrо вычислить искомыIe оптические величины.
Электроны проводимости рассматриваются как квазисвободные,
то есть их энерrnя е связана с волновым вектором lt. соотношением
h 2 k 2
e==
2т '
(28.8)
rде 1i  постоянная Планка, поделенная на 2п, а т  эффективная
масса электрона. ФУНКЦИЯ распределения электронов представляется
в виде
1 == 10 + t 1 (v, z),
(28.9)
*) Если не пренебреrать током поляризации, то
д== У2е
ы YYe2+( 4: )2e

190
АНОМДЛЬНl>IЙ СКИН-ЭФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[rл. 'YIII
тде 10  равновесная ФУНКЦИЯ распределения Ферми
l  1
о  ee. '
kT
е + 1
't'  скорость электрона, е о  предельная энерrия Ферми и 11  не...
известная функция l' И z, которую следует определить.
При совместном действии электромаrнитноrо поля и столкно...
вений электронов с решеткой ФУНКЦИЯ распределения определяется
уравнением Больцмана [23а]
f + (  )попе ==  1  10 (28.11)
(28.10)
rде
(  ) ==  i ( Е + 1. [1' ХН] ) grad. f + l' grad r 1 (28.12)
поле с
характеризует изменение функции распределения блаrодаря дей
ствию поля.
Подставляя (28.9) в (28.11), используя соотношение
р == m1' == nk, (28.13)
справедливое для квазисвободнЪ1Х электроно пренебреrая произ
ведением Е на 11 и членами, содержащими маrнитное поле, получим
0/1 + 1 + itJ>'r /1 ==  о/о E(z). (28.14)
oz 'rvz mvz ОР х
Действительно, уравнение Больцмана для нестационарноrо случая
имеет вид
о/ + ( 0/ ) ==  ( 0/ ) ==  /  /0
ot ol поле ot сосуд т'
rде
( О/ ) о/ о/ о/ о/ о/ о/
ol == ох v х + О У v у + oz v z + ор ах + ov ау + ov о z ·
поле х У z
Ускорение а можно найти из выражения для силы Лорентца, а именно:
е
та ==  еЕ   [v хн].
с
Если электрическое поле направлено по оси х И маrнитныM полем
можно пренебречь, то будем иметь
тах == eE,Jz),
та у == О,
та? == О,
или
е
а, ==   Е( Z )
х Л1

 28]
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СКИН-ЭФФЕКТА
191
(поле Е изменяется в направлении оси Z). Поэтому уравнение Больц...
мана принимает BД
о/ + о/ v E(Z) ==  tfo (28. 14а)
ot oz z т ор х Т.
Функция распределения изменяется, как и поле, только в направле..
ни оси z. При наличии поля 1 == 10 + 11. Тотда имеем
о/о + 0/1 + о/о v + ofl v   E(z) о/о ..!!... E(z) 0/1... ==  1  10 . (28.14б)
ot ot oz z oz z т ор х т ОР х т
Так как при Е == О 1 == 10" то из (28.14а) получаем
ofo + ofo == О
ot oz v z ·
(28. 14в)
Теперь леrко получить уравнение для /1. Вычитая из уравнения (28.146)
уравнеIШе (28.14в) и пренебреrая членом  E !f 1 , находим
. т иР х
fl + of t v .!:.. of o E(z) ==  /1 (28. 14т)
ot oz z т ор х 'r ·
Принимая во внимание, что временная зависимость /1 имеет вид
'1(Х' У, Z, v x , v y , V z , t) == '1(Х' У, Z, V x ' v y , vz)e iwt ,
лелю понять, что a == i(fJ!l. На основании этоrо уравнение (28.14r)
принимает вид
. f + о! 1 + f 1  е о! о Е( )
lCO 1  V     z.
oz z т т ОР х
Поделив это уравнение на v z , получим
itiJ /1 + ь.... + of 1 ==  010 E(z),
Vz TVz oz mvz ОР х
откуда окончательно находим (28.14).
При классическом рассмотрении задачи первым членом уравне...
пия (28.14), который возникает блаrодаря движению электронов
-
в Z-направлении, молчаливо пренебреrается. В этом I!риближении
имеем
1 ет ofo E(z)
1 == m(l + itiJT) ОР х
(28.15)
И, вспомнив, что плотность тока равна
j(z) ==  2е (  )3 J р х ! dv x dv y dv z ,
(28.16)
получаем
о-Е
j==
1 + i(i)T ·
(28.17)

192
АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[rл. VIII
Для TOrO чтобы установить критерий справедливости классической
теории (условий осуществления нормальноrо скин..эффекта), заметим,
что выражение для Е, получаемое coBMecтным решением (28.2) и
(28.17), будет (пренебреrая в (28.2) током поляризации)
( ( (1 + i) z
Е z) == Е О) ехр ..... -'(1 + i6)'r)l/. '
(28.18)
I'де о ..... известная нам классическая rлубина скин"слоя.
Если поле убывает в rлубь металла на длине порядка о' == 0(1 +
+ i(i)T )'/., то : 1""0./  , так как и функция распределения под воздей
твием поля будет заметно меняться на том же расстоя-
нии. Первым членом : в (28.14) можно пренебречь по сравнению
со вторым, если вьmолняется неравенство
 « 1 + i6)'r 11 или TV z == 1« 0'(1 + iroT).
u 'rvz
Окончательно,
1 «0(1 + iroT)1/2 (1 + iroT) == 0(1 + 02T2)8/t. (28.19)
При низких частотах (0Т« 1) это условие выражает требование,
чтобы средний свободный пробеr 1 был мал сравнительно с rлубиной
скинслоя о. При высоких частотах (roт» 1) условие малости первоrо
члена также будет вьmолняться, но оно будет означать, что путь
, проходимый электроном за один период колебания поля, будет
6)
мал сравнительно с rлубиной проникновения поля, которая теперь
равна о у (i)Т. Однако при низких температурах, rде т велико, существует
IIIИрОICая область частот, в которой условие (28.19) не выплняется..
Например, для чистых металлов при температурах ЖИДICоrо rелия
и для длин волн в 1 О см (0,......, 1010) имеем 1 == 1 03 СМ, Т == 1 on сек
1
и О == 105 СМ, так что д == 100, а 0т == 0,1; и поэтому неравенство
(28.19) нарушается, и первый член значительно больше второто.
Получим теперь явное выражение для импеданса в обычной
теории скин..эффекта. Подставляя (28.17) в (28.2), будем иметь
d 2 Е ( ы 2 ...... 4пiblO'" ) Е == о.
dz 2 + е 2 е 2 ( 1 + iblT)
(28.20)
Это уравнение имеет решение вида
E(z) == Е(О) ехр (----iАz),
которое при подстановке в (28.20) дает
А === ( ы 2 ..... 411' i6IO'" ) 1/2.
с 2 е 2 (1 + ibl'r)
(28.21)
(28.22)
,.

 28
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СКИН-ЭФФЕКТА
193
Используя (27.4) и (28.21), леrко получить выражение для импеданса
в обычной теории с..эффекта
z == 411'(,) ( 6)2 ..... 4пi6)U' ) 1/1 .
кл с2 е2 с 2 (1 + i6)T)
(28.23)
в общем случае следует различать три области частот:
а) При достаточно низких частотах (й)Т« 1) и при пренебрежении
током поляризации (28.23) дает
ZКЛ == R хл + iХ кл == У 2:(,) (1 + i).
си
(28.24)
Отсюда можно заключить, что обычная теория скин..эффекта требует,
чтобы величина L: ==  линейно изменял ась с Уст. При комнатной
температуре эта формула верна для длин волн, больших чем 102 с-м,
но для чистых металлов при температурах жидкоrо rелия, rде т сильно
увеJШчивается, условие й)Т« 1 нарушается для длин волн порядка
10 СМ.
б) При несколько более высоких частотах йJ't' становится сравни..
мой с единицей, тоrда как ток смещения остается пренебрежимо
малым (это всетда справедливо для обычных металлов, если темпера..
тура не Haмнoro выше комнатной). В этом случае имеем
R кл == Y 21r6) 1{ ..... й)Т + (1 + й)2 т 2)1/ I ,
с 2 и '
Х КЛ == У 2:6) у й)т + (1 + (U2 T 2)l/s.
си
(28.25)
(28.26)
в частности, если й)Т» 1, то будем иметь
R кл == V а'Л И Х rш == 20n V а'Л ,
с ти с ти
(28.27)
так что R кл не зависит от й), тоrда как Х КЛ возрастает с й) линейно.
в) При достаточно высоких частотах ток смещения становится
значительным и даже может стать rлавным членом. В этой области
частот, за исключением очень высоких температур, liJ'r» 1, и следо..
u 
вателъно, критическая частота, выше которои член с 2 становится
больше BToporo члена, определяется из соотношения
6)2 4п6)и
  с 2 6)Т
2 4 и 4пNe 2
или й) == п== .
т т
(28.28)
При этой критической частоте, которая расположена в близком
ультрафиолете, диэлектрическая постоянная становится равной
13 А. в. Соколов

194
АНОМАЛЬНЫЙ СКИНФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[rл. VПI
нулю и металл становится прозрачным. С помощью уравнения
(28.23) леrко показать, что R и Х при критической частоте имеют
резкий максимум, равный
4п(пти)1/ 4
R==X== .
с
 29. Основное уравнение задачи аномальноrо
СIQIII..эффекта
в теории, справедливой при любых температурах и частотах
необходимо использовать уравнение (28.14), не пренебреrая первым
членом. При сохранении всех членов в (28.14) общее решение будет
z
11 == ехр [  (1 + i6)T)Z ]  C(-v) +  д/о f E(t) ехр [ 1 + iшт t ] dt, (29.1)
TVz t mvz avz TVz j
rде c('V)  произволъная функция скорости, которая определяется
соответствующими rpаничными условиями. Действительно, предста
вим уравнение (28.14) в следующем виде: '
: + Afl  BE(z),
rде
А == 1 + iшт И В ==  д1 0
TVz mvz дрх ·
Решение соответствующеrо однородното уравнения есть 11 == С 1 eAz.
eTOДOM вариации произвольной постоянной получаем
z
dl еЛz  BE(z) или С 1  В f E(f) e At dt + с.
Следовательно, общее решение будет иметь вид (29.1), причем
С ехр (Azo) == f 1 (zo).
Из уравнения (29.1) для функций распределения, описывающих
поведение электронов, движущихся к rранице металл..вакуум или
от нее, получаем различныIe решения, поскольку rраничные условия
для этих функций различныI. Для функции Лl), описывающей пове..
дение электронов, движущихся к rpанице (V z < О), rраничное условие
требует, чтобы
1)( (0) == О,
в противном случае при удалении от rpаницы вrлубь металла -Аl)
обращалась бы в бесконечность. В силу этоrо rpаничноrо условия из
(29.1) получаем
00
ti 1 } ==   д1 0 ехр [  (1 + i6)T)Z ] f E(t) ехр [ (1 + iCUT)I ] dt. (29.2)
mvz д"х TV z TVz
%

 29]
ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ АНОМАЛЬноrо СКИН-ЭФФЕКТА
195
Следовательно, фуmщия распределения электронов, которые дви..
жутся к поверхности металла, зависит от значений напряженности
электрическоrо поля во всех точках от z до 00.
ЗначеlШе 11 при V z > О, обозначаемое через fз.2), определяется
механизмом рассеяния электронов на поверхности металла. Пред..
положим, что часть р электронов, достиrающих поверхности, отра-
жается зеркально, тотда как остальныIe (1 ...... р) рассеиваются диф-
фузно, то есть изменяют направление их скорости произволъно.
Тотда функция распределения электронов, покидающих поверхность
(z == О), определяется выражением [103]
10 + 11 2 )(v x , V Y ' V z , Z == О) == р {/o + !11)(v x , V Y ' Vz' z == О)} + (1 ..... р)lо,
(29.3)
которое определяет с(",) при V z > о. Действительно, ф ункция распре..
деления электронов, движущихся к поверхности z == О, равна 10 +
+ 111)("" О). Часть из этих электронов р, отражаемых зеркально,
дает вклад
рио + IР>( v x , V Y ' ..... V z , Z == О)]
в функцию распределения электронов, покидающих поверхность.
Остальные электроны, рассеивающиеся диффузно, дают вклад g,
не зависЯЩИЙ от yrла рассеяния. Следовательно, фymщия распреде-
ления электронов, покидающих поверхность, равна
10 + А.2)("" О) == рио + !11)(v x , V Y ' ..... V z , Z == О)] + g.
Отсюда определяется g:
g == 10 + !i 2 )("" О) ..... plo ...... p11 1 )(v x ' V y ' ...... V Z ' Z == О) ==
== (1 ..... p)/ o + И2>("" О) ...... p!il)(v x , V y ' .....v z , z =- О)].
Эта величина должна быть независимой от направления v. Так как
10 ..... изотропная, не зависящая от направления"" ф ункция ; а -А2) и
111) зависят от направления v, то отсюда следует, что величина в квад-
ратных скобках равна нулю, и мыI получаем выражение (29.3), которое
также можно представить в виде
11 2 )(v x , V Y ' V z , Z == О) == p!11)(v x , V y ,  V z , Z == О).
(29.3а)
Это соотношение и является rpаничным условием для f12)(Z). ИЗ
(29.2) имеем
00
ti 2 )(0) == Р  fo J E(t) ехр [ ..... (1 + iroT)t ] dt == С( v X , V y ' V z > О),
mvz иРх TVz
О
13*

196
АиомАлъныIй СКНИ-ЭФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[rл. VIII
а из общеrо решения (29.1) непосредственно получаем
00
112) ==  010 ехр [  (1 + i€A>T)Z ] I р J E(l) ехр [  (1 + i6)T)t ] dl +
mvz ор х TVz TVz
О
..,

+ J E(t) ехр [ О V:6)T)t ] dt J . (29.4)
о
Полаrая E(z) == E(z) при z< О, уравнение (29.4) можно предста..
вить в следующем виде:
z
1(2) ==  010 ех [  (1 + i6)T)Z ] I J E (t) ех [ (1 + i6)T)t ] dt +
1 mvz орх Р TVz Р Р TV z
oo
z
+ (1  Р) J E(l) ехр [ (1 + i6)T)t ] dt  . (29.5)
TVz ,
О
формулыI (29.2) и (29.5) представляют решения уравнения (28.14),
которые удовлетворяют rpаничным условиям рассматриваемой задачи.
Плотность тока можно вычислить теперь сразу при помощи
(28.16). Используя (28.9), (29.2) и (29.5), вводя полярныIe координаты
(v, -и, ср) в пространстве скоростей и интеrрируя по ер, для плот..
ности тока получим следующее выражение:
00 п/2
2пе 2 т 2 J ol J
j(z) ==  h 3 v 2 о: dv sin 3 iJ sec iJdv Х
о о
%
Х 'р JE(t)exp[ (I+i6):(tZ) secv] dt+
oo
z
+ (1  р) J Е(!) ехр [ (1 + i7!(tZ) sec v] dt} +
о
00 п 00
+ 2'Лт2 J v2 ; J sin 3 v sec v dv J E(t) ехр [ (1 + i:T(t z) sec v] dt. (29.6)
о п z
2
Интеrpировавие по v производится леrко, учитьmая формулу [25]:
00
 J g(v) : dv  g(v) ,
1\

 29]
ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ АНОМАЛЪНОrо СКИНФФЕКТА
197
которая справедлива для вырожденноrо электронноrо rаза, v ..... ско-
рость на поверхности распределения Ферми. После простоrо преобра..
зования формулыI (29.6) находим окончательное выражение для плот..
ности тока
00
00
j(z) == 2пе;;2/}2 { р J ka (х 1 t) E(l)dl + (1  р) J ka ( х 1 t J Е(!) dl}, (29.7)
oo о
rде
1'1/2
ka(и) == J sin 3 iJ sec v e(1 + ia) I и I 8ес  diJ ==
о
== Ei 1 {(1 + ia) 1 и I }  Еi з {(1 + ia) I и I} , (29.8)
1 u б u б zt
а == 6)1",  среднии сво одныIи про er, и ==  и
00
Bи
Ein(и) == J е sn ds (Не и > О).
1
(29.9)
При получении (29.7) следует иметь в виду, что формулу (29.6) сначала
нужно представить в несколько иной форме, а именно послеДНИЙ
член в (29.6) разбить на две части и одну из них объе динит ь с первым
а дрyryю со вторым членом (29.6). Обозначая ero через А, можно
получить рА + (1 ..... р)А == А. рА присоединяется к первому члену,
(1 ..... р)А  ко второму.
Уравнение (29.7) является обобщенным соотношением между
плотностью тока и напряженностью электрическоrо поля, которое
заменяет (28.17) при ПРОИЗВОJlЪных значениях ДЛИНЫ свободноrо
пробеrа.
Подставляя (29.7) в (28.2), получим для Е в самом общем случае
уравнение
00
d2 Е + €l)2 Е == 8п 2 i6)e 2 m 2 l)2 ! J k ( Z  t ) E ( t ) dt +
dz 2 е 2 e 2 h 8  р а 1 ,
oo
00
+ (1  р) J ka (х 1 ,) E(t) dt}. (29.10)
о
z t
Если ввести безразмерныIe координаты ж == 1 и у == 1 и обозначить
Е(lж) == t(ж), то уравнение (29.10) принимает следующий вид:
"(x) + 6J;2 t(x) == ia {р J ka (х  у) (y)dy + (1  р) j ka(x  у) (y) d Y } ,
oo О
(29.11)

198
АномАльныIй СКИИ-ЭФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ свойcrвА
[rл. VIII
rде t(x), по определению,  четная функция х и
811'2 6)е 2 т 2 v 2 1 3 ==  (  ) 2
а == с 2 h 3 2 {) ·
(29.12)
(29.11) является основным уравнением задачи аномалъноrо скин",
эффекта.
Для вычисления поверхностноrо eдaHca Z необхоо знать
значения напряженности электрическоrо поля и ero производной
лишь на поверхности металла, так как в соответствии с (27.4) имеем
Z == ..... 4пi6)1 (O)
е 2 l'(O).
(29.13)
Как уже упоминал ось, Динrлъ расIIIИрИЛ основное уравнение задачи
аномальноrо скин..эффекта тем, что Феноменолоmчески'учел внутрен..
пий фотоэлектрический ток, атомную поляризуемость материала
и маrнитную проницаемость.
Внутренний фотоэлектричесКИЙ ток возникает при переходах
электронов между разными состояниями под действием падающеrо
электромаrнитноrо излучения. Такие переходыI мотут происходит
или между эиерrетическими полосами или состоят в вь:rpьmании
электронов из замкнутой оболочки атома *). В настоящее время
можно ввести внутренНИЙ фотоэлектрический ток в теорию аномаль..
Horo скин..эффекта лишь очень rрубым путем, ибо при вычислении
этоrо тока предполаrается, что электрическое поле является одно..
родным. Поэтому будем предполarать, что этот вклад в плотность
тока в некоторой точке пропорционален напряженности электри..
ческоrо поля в той же точке.
Наиболее простой способ учета этоrо эффекта состоит в введении
эквивалентной поляр:рзации Р Фото . Поляризация Р Фото , комплексный
показателъ преломления N, показатели прело мления и поrлощения
п и k связаны соотношениями
4$ PTO == n 2 фото  1 == (п 2  Jc2  1)фото  i(2пk)фото.
Физическое требование Toro, чтобы поляризация Р фОТО отсутство..
вала до включения электрическоrо поля Е, приводит К следующему
соотношению между вещественной и мнимой частями Р фото [104]:
00
( 2  k 2  1) ==  J (2пk)фото v' dv'
п Ф ОТО '2 2 ·
1t V v
О
(29.14)
*) Следует 'иметь В ВИДУ, что такое различие является до некоторой степени
искусственным.

 29]
ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ АНОМАЛЬноrо СКИН-ЭФФЕКТА
199
Внутреннее фотоэлектрическое поrлощение (квантовое) пk фото
связано с линиями (полосами) поrлощения. Если рассматриваемыIe
частоты V не лежат внутри ТИХ линий поrлощения, то мнимой частью,
связанной с поrлощением, можно пренебречъ, и тоrда будем иметь
00
00
411' Рфото === 4 f (пk)фото v' dv ' === i j Uфото (v')dv'
Е п. V'2V2 11' v'2v2'
О О
(29.15)
rде О'"фото(V) === (пk)фОто V есть известная нам «световая проводимость
частоты V.. Очень просто находится вклад (пk)фото по оптическим
измерениям внутри полос поrлощения. Отсюда исключаются полосы
peHTreHoBcKoro поrлощения, их вклад будет содержаться в Рат. ост.
Следует иметь в ВИДУ, что поверхностныIй фотоэлектрический
ток, обусловливаюЩИЙ обычную фотоэмиссию при нормальном
падении электромаrнитноrо излучения на металл, равен нулю. Даже
если падение отлично от нормальноrо, результирующее поrлощение
мало и в любом случае должно просто добавляться к поrлощению,
вызываемому дрyrими эффектами, рассматриваемъlМИ здесь. Однако
следует учитывать поляризацию Рат. ост' обусловленную искажением
атомных остовов электрическим полем в той же самой точке.
При рассмотрении ферромаrнитных металлов следует учитывать
маrнитную проницаемость IL по крайней мере при MaJIых частотах.
. Однако, как мы уже видели выше, при достаточно больших частотах
IL можно всетда считать равной единице.
Таким образом, если учесть внутренний фотоэлектрический ток,
атомную поляризуемость и маrнитную проницаемость, то основное
уравнение задачи аномальноrо скин..эффекта будет иметь вид
d 2 Е + 6)21J- Р Е == 4пi6)1J- .
dz. 2 е 2 е 2 ]'
(29.16)
rде
=== 1 +! j (пk)фото v'dv' + 411' Рат. ост.
р 11' V'2V2 Е
(29.17)
Если ввести безразмерные координаты и от Е переЙТИ к t(x),
то (29.16) перейдет в (29.11) с единственной разницей, что вместо
6)212 6)212
ЧЛена -з---- (!; будет 2""'" IL p .
с с
Тоrда основное уравнение задачи аномальноrо с:кин..эффекта
будет иметь вид
00
00
"(x) + ыZ;p, yt(x) ==ia {р J ka(x  y)t(y)dy + ti  р) J ka(xy)t(y) dY},
· oo О
(29.18)

200
АНОМАльНЫй СКИНФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ свойcrВА
[rл. VIII
 30. формулыI для вапряженвости электрическоrо поJПI
и поверхвосmоrо импедавса
Рассмотрим сначала два частных случая решения уравнения
(29.18), а именно при р == 1 и р == о.
При р == 1 уравнение (29.18) имеет вид [110]
00
t"(x) + Bt(x) == ia J ka (х  у) t(y) dy,
(30.1 )
oo
€l) 2 12fJ-
rде В === е 2 Р И t(x)  есть четная функция х. Уравнение (30.1)
будем решать в предположении, что I t(x) I интеrpируема в интервале
(oo, 00) И стремится к нулю при I х 1.......... 00. Полаrаем таюке, что
t'(x) и t"(x)  функции с одинаковыми свойствами и что t(x) и t"(x)
непрерывны,, тоrда как '(x) непрерывна везде, кроме точки х === О,
в которой
lim t'(x) === Х, lim t'(ж) ==  х.
X x----+o
(30.2)
Введем обозначения
00 00
Ф(t) == J t(x)eixt dx == 2 f t(x) соВ xt dx,
oo о
(30.3)
00
"a(t) == J ka(x) etxt dx.
(30.4)
oo
Из (30.3) после интеrрирования по частям дважды вытекает
00
f t"(x) eixt dx ==  t2 Ф(t)  2х.
(30.5)
oo
Действительно, при интеrрировании по частям леrко получить
00 00
ф(t) == t t'(x) eixt  t J t"(x) eixt dx.
(30.6)
oo oo
В точке х === О t'(x) разрьmна и удовлетворяет условию (30.2) (рис. 34).
Из rрафика следует, что в полученное выражение надо подставить,
кроме пределов ......00 и +00, таюке .....0 и +0. Тотда из (30.6) получаем
00 o + 00
f t"(x) etxt dx .... t2 Ф(t) + t'(x) eixi I + t'(x) r ixt I '.
oo oo +0

, 30]
формулы для НАПРЯЖВННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕскоrо ПОЛЯ
201
Учитывая условие (30.2), получаем (30.5). С дрyrой cTopoны, умно...
Щ (30.1) на eixt и иитеrpируя, леrко получить следующее соотно",
\
mеlШе:
  
f t"(x) eixt dx == ВФ(f) + ia f etxt dx f ka(x  у) t(y) dy ==
 .....

== ..... ВФ( t) + ia 'Ха( t) Ф( t). (30.7)
Тоrда из (30.5) и (30.7) находим
Ф(t) [t2 ..... В + ia "a(t)] -= .....2х. (30.8)
Предполаrая, что t2 ..... В + ia "а( t) =1= о для вещеcrвенноrо t, и применяя
формулы обратноrо преобразо..
вания Фурье, получим
8

2х J cos х t dt
t(x) == .....  12  В + iaa(t ).
о
(30.9)
+0 
I
,+Х
I
,x
 o
х
в частности, при х == О отсюда
следует
00
l(O) 2 J dt
l'(O) == ..... 11' , 2  В + iaa(t).
о
(30.1 О)
Рис. 34. Форма ф уmtт '(ж).
Уравнение (30.10) можно представить в ИНОМ Виде, полаrая s == it
и "а( t) == Ка( it), rде

Ка(В) == f ka(x) esx dx == 1. К ( s. ) == 1 К ( s )
1 + la 1 + la 1 + i€l>t 1 + i€l>t '

(30.11)
К(в) есть значение Ка(В) при а == liJ'r == о. Леrко показать, что явное
выражение для К(8) имеет вид
1 1 . 1 + J
К( в) ==  28..... (1 ..... 82) ln s ,
 'ls
(30.12)
rде выбирается та ветвь Jn  : . которая обращается в нуль при
S == о. К(в) .:.... реryлярная и однозначная функция s во всей s"плоскости
вырезаеМОЙ ОТ .....00 до ......1 и от +1 до +00.

'202
АНОМАЛЬНЫЙ СКИП-ЭФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ свойcrвА
[rл. VIII
Теперь нетрудно понять, что (30.9) можно представить в вИде
00
t(x) == .....  '(o) ! rcostdt. [(30.13)
n t 2  В + 1: к( : )' .
о
I .t )
тде w == 1 + i6JT. Нетрудно показать, что К   по формуле (30.12)
можно заменить выражением
( t ) ( it ) ( t ) 3  ( .. ( t ) 2 ) t-;;= ( t ) f
" w  К w == 2 w t 1. + w arctg w  w j'
(30.14)
"Действительно, соrласно (30.12) имеем
к( : ) ==1 i 3 {)a
t
l+i
2i   (1  i 2 (  ) 2 ) ln 
li
w
ВЫНОСЯ за скобку 2i, будеМ иметь
t
l+i
к (: ) ==  (;)3   (1 + (  п ii ln lil
== 2 ( (a { (1 + (  )2) arctg   (  ) },
что и следовало доказать.
Таким образом, электрическое поле t(x) на rлубине xl в металле
равно
00
t(x) == ..... 2l'(O) f cos Ж dt
1r la ( t ) ,
t2B+", w
(30.15)
тде " () определяется соrласно (30.14). Путь интеrpирования в (30.15)
должен производиться вдоль действительной оси.
t
Вводя новую переменную интеrpирования и == , леrко привести
w
(30.15) х следующему виду:
po/w
t(x) == ..... 2l'(O) J cos ж u w du
пш и 2 + '1J + ,,,,(и) ,
о
(30.16)

о 30]
формулы для НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕскоrо поля
203
в u
rде 'у} ==  """""""2 ....... параметр, связа Н'JJЬЩ с током смещения, внутренним
w
фотоэлектрическим током и атомной поляризацией, а параметр
 ia б
ь  8 связан с о ычным током про во дим ости.
w
Полаrая в (30.16) х  О и заменяя путь интеrpирования от О до
оо/ш просто от о до 00, получим для ПОВерхностноrо импеданса
Z . 411' i6> l lL t(O)
1   с 2 l'(O)
следующее выражение:
00
Z  8i ы 'IL J dи ( 30 17 )
1  ше 2 и 2 + "fJ + ,,,(и) ·
О
(в дальнейшем через Zl и Zo будем обозначать импедансы при зеркаль..
ном и диффузном отражении электронов от металла). Замена пути
интеrрирования возможна ЛИШЬ при условии, котда потос Не распо..
ложен в секторе, оrpаниченном линиями (о, 00 ) и (о, 00/1 + iтт).
Причина для оправдания такой заменыI состоит в следующем: из
физических соображеНИЙ следует ожидать, что электрическое поле
в данной точке является непрерывной функцией частоты. Если roт  о,
то все величины стремятся к их классическим значениям, и потос
не находится в соответствующем секторе, так как площадь сектора
равна нулю. Если бы какой..либо полюс внезапно появился бы в сек..
торе при увеличении шт от нуля, то трудно б;ьто бы понять, как избе..
жать прерывности на кривой поле  частота.
В частном случае 'У) == О леrко исследовать размещение ПОJПOса
как при I g 1« 1, так и при I g 1» 1. Рейтер и Зондrеймер показали,
что при этих условиях полюсов внутри рассматриваемоrо участка
не имеется.
Рассмотрим теперь случай диффузноrо рассеяния электронов
(р  о). Уравнение (29.18) имеет вид
00
t"(ж) + вt(ж)  ia J kа<ж  у) t(y) dy (ж;;?:= О). (30.18)
о
Будем npeдполarаiъ, что t(ж)  О при ж  00. Так как kа(ж)  О ( eI )
для больших Jxl, то из (30.18) следует, что l"(x) и l'(x) также CTp
мятся к нуто при х  00.
Вместо тото чтобы считать l(x) для всех х четной функцией (как
это делалось в  29), теперь более удобно определить ее следующим
()бразом:
l(x)  о
g(x)  О
00
g(ж)   ia r kа(ж  y)t(y) dy
б
при Ж< о,
при x о,
при х< о.

204
АНОМАЛЬНЫЙ СКИН..эффвкт и ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[rл. VIII
При таком определении имеем
00
g(x) ==- t"(x) + Bt(x)  ia J ka<x  у) t(y) dy
(30.19)
oo
для всех х и
g(x)  O(eIXI) при х.....  00.
Введем новую комплексную переменную s  и- + it и определим
двойственное двухстороннее преобразование Лапласа l(x), g(x)
t"(x) и ka(x) через
00
F(s) == J t(x) esx dж,
(30.20)
oo
00
G(s) == J g(x) e8X dx,
(30.21)
oo
00
H(s) == J t"(x) e8X dж,
(зо.)
oo
00
Ka(s) == J ka(x) r 8X dx,
(30.23)
oo
так что Ка(В) определяется уравнениями (30.11) и (30.12). Р(в) и Н(в)
существуют и реryлярныI прии- >0, G(s) прии-< 1 и Ка(В) винтер..
вале .......1 < и- < 1.
Интеrpируя выражение (30.22) по частям дважды, получим
rдe
Н( в) == в2р( в) ..... АВ .....IL,
л  lim (x), IL  lim t'(x).
х---++О х---++О
(30.24)
Решая (30.24) относительно Р(в), имеем
Р(в)  лs1 + ILs2 + O(lsl3),. (30.25)
если Isl ""'-+ 00 равномерно в тобой полуплоскостии-  Ь > о. Выберем
теперь Ь так, чтобы имело место неравенство 0< Ь< 1; тотда Р(в),.
G(s) и Ка(В) все существуют (как абсолютно сходящиеся интеrpалыI)
на и-  ь. Интеrpируя (30.19) от .......00 до +00 и учитывая соотно..
mения (30.20) ..... (30.23) для линии и-  Ь, получим
6(в) == Н(в) + ВР(в) ..... iaKa(s) Р(в). (30.26)
Если использовать (30.24), то это выражение можно представить
в следующем виде:
6(в) + АВ +JL == Р(в) { s2 + В..... iaKa(s)}.
(30.27)

 30]
формулыI для НАПРЯЖЕННОcrи ЭЛЕКТРИЧЕскоrо ПОЛЯ
205
Отсюда явствует, что корни «характеристичекоrо уравнения)
82 + в ..... ia Ка( 8) == О (30.28)
будуТ иrрать важную роль в решении уравнения *) (30.18). Так как
Ка( s) ...... четная ФУНКЦИЯ 8, то корни встречаются парами :i:: 8. Нам
нужно рассмотреть ЛИПIЪ корни внутри IRe sl < 1; их обозначим через
::i:: 8" r == 1, . . . , п (rде Re 8,  О) И Ь выберем настолько близко к
единице, чтобы все эти корни лежали в интервале /Re 8( < ь.
Введем функции P(s) и T(S), определяющиеся следующими равен..
ствами:
Р( s) == (S2 ...... S) . . . (S2 ...... 8),
(30.29)
если есть корни внутри }Re 81 < 1; P(s) == 1, если нет корней внутри
(Re 8( < 1;
(S2  1)n1 2 .
т( 8) == P(s) {8 + в ...... la Ка( 8)},
(30.30)
если есть корни внутри IRe 8( < 1 и п == О, если нет корней внутри
{Re 81 < 1.
Рейтер и Зондrеймер показали с помощью доказательства, анало..
rичноrо методу Хопфа [105], что T(S) можно представить в виде
( ) '['+(s)
т 8 ==
'r(s) ,
rде
c+ ;00
[ 1 f ln 'r(z) ]
т +( s) == ехр ..... 2пi z  8 dz
(о- > ...... с),
cioo
(30.31)
с+;оо
Т (s) == ехр [ ...... 2 1 . f ln 'r(z) dz ] (о- < с).
пl zs
cioo
Здесь О  с < 1 и т + и т  не зависят от с, реryлярныI и не имеют нулей
при о- >.....1 и 0-< 1 соответственно; ln 'Т+(8)I оrpаничен некоторой
полуплоскостъю о- иo > ...... 1, а ]n IT(S) I ...... полуплоскостью
O-O-< 1. Поэтому если Ф+(8) И Ф(s) определить выражениями
Ф+(s) == (8 + 1)1n Т+(8)
Ф (8) == (8 ...... 1)n1 т (s)
(о- > ...... 1), t
(о- < 1), 
(30.32)
*) Действительно, чтобы найти поле l, соrласно (30.20), нужно найти функцию
6(s) + 'As + 
F(s), а она определяется по (30.27) в виде F(s) == .
82 + BiaKa(s)

206
АномАлъный СКИНФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ свойcrвА
[rл. VIII
то IslnЧФ+(в)1 и 1811nIФ(в)J оrраниченыI при U' Ь и U' ь. Урав..
нение (30.30) можно теперь представить в виде
82 + в  ia Ка(8) ==- Р(8) :; '
и при использовании (30.26) это выражение при U'  Ь будет равно
Ф(s) {G(B) + лв +IL} == Р(в) Р(8) Ф+(8).
(30.33)
в этом соотношении член слева реryлярен при U' < 1, а член справ а
при U' > о. Следовательно, обе части вместе. определяют функцию
tp(8), реryлярную при всех 8. Кроме тото, функции в (30.32) обладают
свойством tp(8) == O(18In) при 181  00, так что tp(8) должна бьпь поли..
номом Q(8) со степенью, не превышающей п. Так как 8Р(8)  Л,
Р(з)в2n  1 и Ф +(8)Bn1  1 ПрИU'  00, то Q(8) есть полином степени
n и ето rлавный член равен лвn.
Таким образом, Р( в) можно представить в виде
Q(s)
Р( 8) == P(s) Ф +(8) ·
Но Р(в) ........ реryлярная функция при U' > О, и поэтому Q(s) должна
иметь нули при нулях Р(8) BU' >0, так что полином Q(8) имеет вид
Q( 8) =- л( 8 ..... BJ .. . (8 ..... вn)
и, следовательно,
'А
Р(в)  ф .
(8 + 81) . . . (s + sn) +(8)
(x) можно теперь наЙТИ путем обращения ФОРМУJThI преобразова..
ния Лапласа
(30.34)
'+;00
t(x) == i J Р(8) еХВ ds
cioo
(с > О),
(30.35)
тде интеrpал должен рассматриваться в смысле rлавноrо значения.
Пользуясь формулами (30.34), (30.32) и (30.31), Р( 8) можно пред..
ставить в несколько ином виде:
се(О)
F(s) == (8 + 81) . . . (8 + 8n) (8 + 1)1n ехр х
00
. [ f (t2 + 1)n1 [ t 2  В2 + ia ,, (  )] ]
8  W W
 .......  (t 2 + 82) ln (t2 + 8) . . . (t 2 + 8) ·
О
(30.36)

 30]
формулы для НАПРЯЖВНН:Оcrи элвктРичвскоrо поля
201
Здесь 81, 82, ..., Вп суть корни характеристическоrо уравнения (30.28).
Явная зависимость электрическоrо поля от этих корней совершенно'
непопятна с физической точки зрения, так как их число зависит от
частоты падающеrо излучения, и трудно представить, каким образом.
можно освободиться от npерывности на кривой поле ..... частота вся..
кий раз, котда корень появляется или исчезает. В действительности
все эти корни мотут быть исключеныI из (30.36). Замечая, что имеется
п множителей как в числителе, так и В знаменателе подлоrарифми..
ческоrо выражения, разделим каждый такой множитель на t 2 и затем,
пролоrарифмировав все выражение, получим совокупность интеrpа..
лов вида
{  ln (1 + ) dt  { 518 d8 {  'dt 
t2 + 82  1 1 (и 2 + 82) (и 2 + 8i)
о о oo
J S1 d 11' 11' 1 ( 8 + 81 )
:=: 8 8 ==n
1 1 881(8 + 81) 8 8'
О
(30. 37}',
rде второй интеrpал вычисляется с помощью контурното интеrри-
рования. Заметим, что при 81 == 1 этот интеrpал равен : ln ( 8 :- 1 J .
Используя этот способ, Р(8) можно представить в виде
00
[ S ( 1 n1
ln 1 + t 2
F 8  l(O) ех   J dt
( )  (8 + 81) . . . (8 + 8n) (8 + 1)1n р 11' t 2 + 82 +
о
00
00
 п S ln( 1 +  ) dt   '{ ln ( 1  ; + ; (  ) J dt ] . ( 30.38
+ п i.?1 t 2 + s2 п J t 2 + 82 J'
О О
Подставляя в (30.38) значения интеrpалов из (30.37), окончательно.
получаем
00
се(О) [ 8 S ln ( 1 1: +   () J dt ] ( 30.39 ) 1
Р(8) ==  ехр ..... 11' t 2 + 82 ·
О
Вводя снова перемеННую интеrpированWI
t
u ==,
w
заменяя 

-208
АномАлъный СКИН-ЭФФЕКТ и ОПТИЧЕСКИЕ свойcrвА
[rл. VIII
s
lинтеrpирования по t от О до оо/ш на путь от О до 00 и полаrая Т ==  ,
w
'получим
с+;оо
w 00
t ( ., == (O) J еХТЮ dT [ ..... Т ! In ! 1 + (7} и t1t(и» 1 d ]
Х} 2пi Т ехр 11' и2 + Т2 U ·
cioo О
(30.40)

w
Можно получить более простое выражение для поверхностноrо
импеданса, если учесть соотношение (30.25), предварительно написав
"'ето в ВИДе
l'(O) == lim i 82 F(8) ..... S I
l(O) I s Ioo t t(O)  ·
Разлаrая экспоненциальное выражение (30.39) в ряд по возрастаю..
щим степеням l/s и подставляя полученное значение для F(s) в (30.41),
находим
(30.41 )
00
се'(Оl == lim s [ 1 .....  J ln 11 ;+ 1t() J dt  1 ] 
t(O) Isloo 11' t 2 + 82
о
00
== lim
I s ICIO
1
ln ! 1  В +  ,, (  ) j
t 2 t2 
( 2 dt . (30.42)
: ) + 1
11'
о
t
Вводя снова переменную u ==  и замечая, что при переходе к пре..
w
делу Isl  00 знаменатель подъштеrpальноrо выражения стремится
к единице, получим
00
се'(О) == ....... w J 1  1 + 'у} + ,,,(и) , d
t(O) 11' n t и 2  а.
о
(30.43)
'Таким образом, формула для импеданса в этом случае имеет вид
00
411' itiJlfL Zl =- ! J ln  1 + 'У} + ,,,(и) , du.
шс 2 О  t и l j
О
(30.44)

 31]
р яды для ПОВЕрхнocrноrо ИМIIВДAНСА
209
 31. Риды дли поверхвоствоrо импедавса
Получим теперь 'разложения в ряд интеrpалов, определяющих
поверхностный имnеданс металла при аномальном скин..эффекте.
Соrласно (30.17) и (30.44) поверхностныIй имnеданс металла, котда
пренебреrается током смещения, атомной поляризуемостью и внут-
ренним фотоэлектрическим эффектом, определяется интеrpалами
00
w Z 2 J du
11 == Т ==;- и 2 + ,,,(и) ,
О
00
(31.1)
i 1 f ( ,,,(и» )
10 == ------=--- ==  ln 1 + du
wZ o 11' и 2 '
О
тде
il'(O) с 2
ZI ==..... t(O) == 4пы '/L ZI.
 
Z1 И Zo ..... безразмерные поверхностные импедансы в предположении
соответственно зеркальноrо и дифФузноrо отражения электронов
от поверхности. Для краткости рассмотрим лишь интеrрал, который
соответствует случаю зеркалъноrо отражения (р == 1). В случае диф..
фузноrо рассеяния электронов (р == О) можно использовать тот же
метод. Более тото, окыается,' что метод, рассматриваемый ниже,
применим к целому классу интеrpалов типа (31.1) [35].
1
Сначала рассмотрим разложение для 1,( < 1. Полarая U == Т' по..
лучаем для 11 более простое выражение
00
2 f dt
11 == 11', ,1 + G(t) ,
о
(31.2)
де
G(t) == t2" (  ) == 2tз {(t2 + 1) arcctg t  t},
(31.3)
11'
И Gледует брать ту ветвь arcctg t, которая стремится к "2 при t ""'-+ О
вдоль вещественной оси.
G(t) является четной функцией t, реryлярной и однозначной в
комплексной плоскости t, вырезаемой от i до .....i. Как показали Рей-
тер и 30ндrеймер, при 1,1 < 1 ,1 + G(t) имеет один простой корень
в верхней полуплоскости t.
Рассмотрим интеrрал (31.2) вдоль замкнутоrо контура, изобра-
женноrо на рис. 35. Так как для б6льших ltl интеrpал (31.2) равен
0(1 tl2), то интеrpал вдоль болъmоrо полукрyrа равен нулю. Поэтому
14 А. В. Соколов

210
АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ и ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[rл. VIII
получаем
o + 00
1 f dt 1 f dt 1 f dt
11', ,1 + G(t) + 11', ,1 + 6(t) + 11', ,1 + G(t) +
 00 + о ВДОЛЬ большоI'О
полукрyrа
(+0
1 J . dt 2пi
+ 11', ,1 + G(t)  11', Res,
тде Res есть вычет подынеrpальнойй ФУНКЦИИ в ее полюсе в верхней
полуплоскости, и контурНЫЙ интеrpал берется по петле, начинаю..
щейся и кончающейся в начале координат и обходящей ТОЧКУ i в
положительном направлении. Последнее выражение дает возмож"
ность вычислить 11. Действительно, мыI можем написать
o +00
1 f dt 1 f dt
11 == 11', ,1 + G(t) + 11', ,1 + G(t) ==
oo + о
Рис. 35. Вид замкну..
Toro контура, ВДОЛЬ
Koтoporo вычисляется
интеrрал (31.2).
(i)
1 f dt
== 2i,1 Res + 11', ,1 + 6(t) ,
(31.4)
тде контурныIй интеrpал справа берется по петле, обходящей точку
i в отрицательном направлении.
Для Toro чтобы найти вычет, заменим переменную интеrpиро..
3 f dt
вания t на ш, тде w == 4 G(t). Тотда интеrpал ,1 + G(t) будет иметь вид
() dw
4 ·
,1 +  w
3
Как известно, вычет фушщии вычисляется по формуле
al == lim (z ..... Ь) t(z).
zb
(31.5)
Эта формула позволяет быстро определить вычет функции относи...
тельно простоrо полюса. Точка Ь есть простой полюс фушщии t(z) ==
== : , если tp(z) и tp{z) суть реryлярные ФУНICЦИИ в точке Ь, причем
ср(Ь) =F о, 1р(Ь) == о, 1р'(Ь) =1= о. Вычет функции относительно точки Ь
определяется в этом случае следующим образом:
li ( Ь ) '( ) 1 . q>(z) li q>(z)
a 1 == m z..... z == 1Ш ( ) == m ( )  ( Ь ) '
z---+b zb 1р z zb 1р z 1р
. zb zb
так как соrласно условию 1р(Ь) z= о.

 31]
РЯДЫ для ПОВЕрхнocrноrо ИМПЕДАНСА
211
Имея в виду равенства
limtp(z) == tp(b), lim tp(z)  'р(Ь) == 1р'(Ь) # О,
z...-..+b z...-..+ Ь Z  Ь
окончательно получаем
q;(b)
al == 'р'(Ь) ·
Применяя это соотношение к подъmтеrpалъной, функции (31.5) для
вычета, получаем
3 ( dt )
Res == 4 dш ЯI-=.
4
(31.6)
Далее имеем
3
 G( t)
; == 4 t l == ; t {( t2 + 1) arcctg t  t}.
(31.7)
Поскольку
11' 11'
arcctg t == 2"  arctg t == 2" .....
 [ ;   + 3  5O + 77  9 + ...1 при I t I > 1,
ТО соотношение (31.7) можно записать в виде
w == t 2 t 1  3. . t l + 5. . t&  7':' t 8 +... J · (31.8)
Обратив ряд [106] (31.8), получим
t  ш 1 /. ( 1  Al   .....  ..... ) ( 31.9 )
w 3ш! SШ З · .. ,
1
rде А п есть коэффициент при t2n В разложении фун1ЩИИ ( ; )п2 по
степеням l/t 2 , то есть
1 А 201 А 223 А  903 577 ( 3110'
А 1  ..... 10 ' 2  1400 ' 3 == ..... 1200 ' 4..... 3 696000 · · · · J
На основании (31.6), (31.9) и (31.10) получаем
 Уз (:1/ (1 2 (: 134 (:2 892 (:3 1 807 154 (:4 ) (31 11)
Res  4i Ь. + IS Ь + S2S ь + 2025 Ь + 2 338 875 ,Ь +.... ·
Действительно, имеем
dt l' А 1 А! Аз 
dш  2ш 1 /. t 1 + w + w 2 + ш З + ... j.
Подставляя для w значение З/4g и ИСПОJIЬзуя (31.6), получим (31.11).
14*

212
АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ и ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[rл. VIII
Вычислим теперь интеrpал по петле. Ето можно представить
в виде вещественноrо определевноrо интеrрала. Можно доказать,
что интеrpал по малой окружности равен нуmo, так что остаются
интеrралы вдоль обоих береrов. Нам следует при этом принять
во внимание тот факт, что на правом береry t == ir + а, а на левом
a+O
t  ir + а. Тотда для функции G имеем
a.O
G(ir + а) == 2(ir + а)3 {[(ir + а)2 + 1] arcctg (ir + а)  (ir + а)} ==
 2(i 3 ,.з + 3i2 r2a + 3ira 2 + а 3 ) Х J
х {[z"2 r2 + 2ira + а 2 + 1] arcctg (ir + а) ..... (ir +а)}.
В этом выражении все члены, содержащие а при а ""'-+ О, обращаются
в нуль, но в arcctg (ir + а) а следует сохранить, ибо arcctg (ir + а)
есть мноrозначная функция, эквивалентная соответствующему лоrа..
рифму. Тотда получаем
G(ir + а)  2ir3 {(l ..... r2) arcctg (ir + а)  [т}.
Выразим arcctg (ir + а) через лоrарифм
. 1 i(ir+a)1 1 (l+r)+ia
arcctg(lr +а) ==r 2 . ln .С + ) + 1 == 2 . ln 1 +. ·
1 1 lr а 1  r la
Далее имеем
n [ ....... (1 + т) + ia]  ln [(1  r) + ia] 
== ln R 1 + i arg [ ]1  ln   i arg [ 1,
('де
R 1 == У(1 + т 2 ) + а 2 ,
a
arg [ ]1 == Рl  arctg 1 + r
R 2 == v (1 ..... r2) + а 2 ,
а
arg [ ]2 == Р2 == arctg 1  r ' поэтому находим
i а rcctg (ir + а) == ln :: + i [ arctg - iТr  arctg 1  r] ==
R I 7с + arctg 1  + 2a, если а ""'-+  О,
ln 1 + · r
==  1
R 2 2d
....... 7с + arctg 1 ,если а -----+ + о.
r
(31.12)
Устремляя в (31.12) а ""'-+ :J:O, получим
G(ir ::1:' О) ==  rЗ1 (1  r2) ln    + 2r} ::1: i:7rr3 (1  r2).

 31]
РЯДЫ для ПОВЕрхнocrноrо ИМПЕДАНСА
213
Последние выражения можно представить в виде
G(ir :1: О) ==  t(r) :f: ig(r),
тде
t(r) ==,.з {(1  r2) ln    + 2rt . g(r) ==:rrr3 (1  r2).
Таким образом, интеrpал по петле принимает вид
1 1
i, f dr i, f dr
п ,+ ,2 [f(r) + ig(r)]  п ,,2 [f(r) + ig(r)] ==
о о
1 1
i, J dr i, J dr
== п ,[1  ,f(r)] + i,2g(r)  п ,[1  ,f(r)]  [,2у(т) ·
О О
(31.13)
Освобождаясь в подыIтеrpалъныыx выражениях от иррациональности
в знаменателе, для (31.13) получаем следующее выражение:
1 1
iE J {Е [1  Ef(r)]  iE2g(r)} dr  iE J {Е [1  Ef(r)] + i,2 g (r)} dr (31.14)
'л: Е 2 [1  Е '(т)]2 + E4g2 'л: Е2[1  Ef(r)] 2 + E4g2(r) ·
О О
Отделяя в (31.14) вещественные и мнимыIe части и пренебреrая мнимой
частью, получим
1 1
Е J g(r) dr Е J g(r) dr
'л: [1  Е f(r)]2 + E2g2 + 'л: [1  Ef(r)]2 + E2g2 ==
О О
1
2Е } 1r (1  r 2 ) r3 dr
== п [1  Ef(r)]2 + E2g2(r) == 2gI,
о
(31.15)
rде
1
J (1  т 2 ) r3 dr
12 == [1  Ef(r)]2 + Е 2 g2(r) ·
n
Разлаrая подынтеrpалъное выражение 12 по возрастающим степеням
" получим
12 == IO) + 11), + I2) ,2 + . . . ,
(31.16)

214
АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ и ОПТИЧЕСКИЕ свойcrвА
[rл. VIII
rде коэффициенты ряда 1O), 11), ..., которые можно вычислить
элементарнъ методами интеrpирования, будут
1
I) == J (1  r2)r3dr ==  ,
12
о
1
ll) == 2 f (l  rZ) rt(r) dr == 63 е: 5 + 32 ln 2) ,
о
(31.17)
1
12) == J (1  r) r З (зр.  у2) dr == 1 57 575 (280 792 + 208 176 In 2)  5 .
о
На основании (31.4), (31.11), (31.16) и (31.17) имеем
11 == 0,8660,1/. + 0,1155,1/.  0,1667, + 0,2210g З/ .  0,2901,2 +
+ 0,3815g 5/ .  0,5040g з + 0,6691g 7 /. + . . . (31.18)
Перейдем теперь к разложению для Igl > 1. В этом случае удобно
выбрать путь интеrpирования так, чтобы заменить интеrрирование
от О до 00 интеrрированием В интервале от О до ioo. Для Toro чтобы
показать допустимость такой заменыI, заметим, что разложение
11 должно содержать только вещественные коэффициенты. Следова..
тельно, является ли g вещественным или комплексным  несущественно,
и МbI можем выбрать ero apryмeHT по нашему усмотрению. Мы
выбираем, так, чтобы существовал лишь один корень ,1 + G(t)
в полуплоскости Не( t) > О (вообще имеется один или два корня,
см. работу [32]), и притом корень должен находиться в четвертом
квадранте. Далее, поскольку интеrpал по дyre, соединяющей 00 и
+ioo, обращается в нуль, мы можем, используя теорему Коши, выра-
жение для 11 представить в виде
ioo i ioo
2 !  2 !  2 J 
11 == Е El + G(t) == пЕ El + G(t) + пЕ El + G(t) ·
О О i
(31.19)
Подстановка t == ir во втором интеrрале дает
00
2 i J dr
пЕ El + F(r) J
1
rде функция Р(т) == G(ir) вещественна. Следовательно, если второй
интеrрал вычислять с помощью разложения подъmтеrpальноrо
выражения по возрастающим степеням , (такое разложение допу..
стимо, так как при r > 1 (F(r) 1 > Ig11, то все коэффициенты этоrо

 32]
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИcrик МЕТАЛЛОВ
215
разложения будут чисто мвимыми, и поэтому (31.19) ПРИВОДИТСЯ
I(ИДУ
i
2 f dt
11 == 11" Не ,l + G(I) ·
о
(31.20)
Опуская довольно У'l'омительное вычисление этоrо интеrрала, кото-
рое читатель может найти в работе [35], приведем ero окончатель-
ное выражение через параметр ,:
11 == 0,7698 <,л,)1/а + 0,6534 ('Jlg)2/з +
+ (п,)1 (0,1318 lп 'Л' + 0,0852)  0,1326 (':л:gr l / а + 0,1984 ('Jlg)5/з +
+ ('Jl,)2(0,0819Inпg  0,0808)  0,1046('Jl,)7/з +... (31.21)
 32. Формулы для оптических характеристИк металлов
в близкой инфракрасной области и в области
дливноволновоrо края видимой части спектра
Рассмотрим формулы для оптических характеристик, справедли..
вые при условиях Igl  1 и сит  1. Покажем, что для хороших про-
водников при температурах, равных KoмнaTным и ниже, первое
условие включает второе. Действительно, по определению параметра
, имеем
i  (  ) 2 2
 2 о
1, I == (1 + itiJ'r)3  1.
(32.1 )
Так как при низких температурах 1 > О, то для вьmолнения условия
(32.1) необходимо, чтобы сит  1. Поэтому, пренебреrая единицей
по сравнению с сит, находим
а 1 2е 2 т 2 vБр..
(ы т)3 == ;2 == v2 c 2 h 3  1,
(32.1а)
rде
  t 2 с { 3пт ) 1/1 ]
Vv
3 v Ne 2 р..
есть безразмерная частота. Полаrая IL == 1 и принимая v  1,4. 1()8
см/сек, что действительно вьmолняется для скорости электрона на
поверхности Ферми (1"....." 1 05, Т"....." 1 01З), находим
v  9 · 1012 ceK1, или 'А  3 · 10З см == 30IL.
В данном парarpафе мы также пренебреrаем током смещения,
внутренним фотоэлектрическим током и атомной поляризуемостъю.

216
АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ и ОIПИЧВСКИВ свойcrВА
[rл. VIII
За исюпочением полосы поrлощения это пренебрежение допустимо,
если имеет место соотноmение
( : )(; )1/1  1.
(32.2)
Действительно, чтобы получить это соотноmение, исходим из не..
равенства
i CM < i пров
1 ·
или 41( Е  иЕ.
Принимая Е == Ео ei(J)t, получим
 Во e'Q)t  и Во e/Q)t.
{
Так как i == е 2, то
( N )
Ы i оо' + 
 Е е 2  и Е e!(J)t
411' о  о ,
откуда имеем
1  41(0- 41( е 2 N'f

Ы  ты '
так как и == e 2 N'f . Заменяя в этом неравенстве т через 2  ( :=:  ) ,
т 'Л'У Ы у
получим
1  41(e 2 N .
тыы у
(32.2а)
Далее, используем условие roт  1. Ero можно записать в виде
1
си  :r == 2п)' == й}1'.
Заменяя в (32.2а) й}1' через си, будем иметь
1  41(e 2 N e 2 N
ты 2 m1(v2 ·
Отсюда получаем
или
( : J2(  ) 
(: ) ( ; )1/1  ( )1/1   .
Если заменитЬ в этом веравенстве 1/2 через единицу, то это условие
тем более будет въmолняться. Тем caмым получаем условие (32.2).

 32]
формулы для ОПТИЧЕСКИХ ХАРАКТВриcrик МЕТАЛЛов
217
Если условие (32.2) будет удовлетворено, то будет удовлетворено-
и условие (32.2а).
Из (32.2) получаем второе требование, а именно:
v  4. 1()l5 ceKl, или л  O,I/L.
Объединяя оба условия вместе, получаем
O,l/L  'А  30/L.
Это есть близкая инфракрасная и начало видимой области спектра.
Мы видели, что в общей теории скин..эффекта закон Ома, вообще-
rоворя, уже не имеет Места. Поскольку феноменолоrические урав---
нения оптики металлов основьmались в конечном итоrе На феноме..
· Е 5Е
нолоrическом выражении для плотности тока J == cr + а 5t ' то отсюда
следует, что формулы оптики металлов должны быть видоизмененыI'
для тото, чтобы они бьши справедливы при любых частотах и TeM'
пер атур ах.
Выше бьшо установлено, что в условиях аномальноrо скин"эф".
фекта напряженность электрическоrо поля определяется СЛОЖНЫМ
выражением и не имеет экспонеIЩИальноrо вида, который пред..
сказьmается классической теорией. Так как распространение волны
не является более экспонеIщиалъным, то классическое представ...
ление о комплексном показателе преломления в общей теории теряет
свой физичесКИЙ смысл. Однако все измеряемыIe величиныI мотут
бьпъ выражены в зависимости от импеданса z.
Рассмотрим отдельно случаи нормалъноrо и наклонноrо падения.
Нормальное падение. При нормальном падении измеряемой величи..
ной является поrлощательная способность А. Через имnеданс отра...
жательная способность определяется выражением [107]
(12. == 1  А =-=
411'
Z
С
411'
........ + Z
с
2
,
(32.3)
4п
импеданс вакуума. С дрyrой стороны, известна обычная
формула (СМ. (3.1» для отражательной способности
 == 1  А == I n  1 1 2 (32.4}
n + 1 '
rде n == п  ik  комnлекснъlЙ показатель преломления. Из сравнения
этих двух выражеНИЙ видно, что поверхностный импеданс и комплекс..
вый показатель преломления связаныI соотношением
n == 4п == 411' У ( 32. 5) ;.
eZ с '
тде
с
о ll1 ич еская
тде У == Zl --- полная поверхностная проводимость.

218
АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ и ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[rл. VIII
Пользуясь этим соотношением, МbI можем представить все фор..
мулы оптики металлов в обозначениях строrой теории. Так, например,
(32.4) дает
I 4пУ 12 411' 12
1 z
IA== с с (32.6)
4пУ  4п
+1 +z
с с
Развернув это выражение и учитывая, что поверхностный импеданс
Z == R + iX (rде R  активное сопротивление), получим
 eR  1 ( С Х ) 2  1 ( CR ) 2
А    1  16  ".f  2  ...
(32.7)
Членами, содержащими Х во второй и более высоких степенях, можно
пренебречь, так как условия для такото пренебрежения совпадаlOТ с
условием пренебрежения током смещения, фотоэлектрическим током
и атомной поляризацией. Членом, содержащим R2, также можно
пренебречь, если поrлощательная способность мала, что справедливо
для достаточно хороших проводников. Таким образом, для поrло..
щательной способности получаем следующее окончательное выра..
жение:
А == eR .
11'
(32.8)
Для нахождения различных величин, характеризующих оптические
-свойства металлов в рассматриваемой области спектра, восполь..
зуемся разложением (31.18) и аналоrичным выражением для 10, оста..
вив в них лишь несколько первых членов возрастающих рядов, так
как Igl  1. Тоrда будем иметь
wZ 1 == уз g1/2 + Vз (:1/2   (: + O(g) (32.9)
i 2 15  6 ь ,
wZ o == Vз g1/2 +   83 Vз (:1/2 + ( 41n 2 t--  ) g + O(g), (32.10)
i 2 16 1920 ь 105 322560
i У 1 ==  g1/2  4 gЗ/2 +  g2 + O(g), (32.11)
ш У 3 15 уз 9
i У О ==  g1/2 ..... ,+ 4 с3/2  ( 86 + 16 ln 2 ) с2 + O(g). (32.12)
ш Уз 4 15 уз ь 945 315 ь
lJводя безразмерныIe параметры: v ==   безразмерная скорость на
с
:поверхности Ферми, v == v l H IL ) 1/21  безразмерная частота,
U' == U' I  ( 3;: ) 1/2]  безразмерная удельная электропроводность,
!Найдем, пользуясь формулами (32.9)  (32.12), для поrлощате.црной

 32]
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИcrик МЕТАЛЛОВ
219
способности А, комплексноrо показателя преломления n == n ..... ik,
диэлектрической проницаемости е == п 2 ........ k 2 и для световой проводи..
мости и(v) == nk v и ХО следующие выражения (для случая диффуз..
Horo отражения электронов):
СХ о == 21 3  + 1 ( 83 УЗ +  1 + уз 2 )
пv f .JV V 480 4 (т 4 u' ,
O  vз( V; + 0" 1) 
(32. 13а)
..... 2 j ( 16 ln 2 + 8723 ) + 83 Уз 1 + 3 2 + уз 3 ( 32.13б )
v  105 80 640 192 (т 4 u' 8 и {,
 V2 ( УЗ  )
пои  уз 4 + 0" 1 
 4 ( 86 + 16 ]n 2 + 14 1 +  2 +  з )
v 945 315 15 Уз u' 4 u' 8 Уз u' ,
k  21 з ( 4 11 УЗ2 )
ov R1 уз V  V ,15 уз + 2 O" + -4" O" ,
2 4 2 4 ( 301 5 1 4 2 1
eov R:j  з  + v 720 + 2 Уз u' + "3 u' ,
lТo(V) р 2 R1  V V3 ( V; + 0"1 ) [1  V2 { 1 2 5 + У; 0" 1 + : 0" 2 +
+
8р уз + 16 уз In 2 + 14  1 + 3 уз  2 +  ]
945 315 15 о- 4 (j 8 (j
У З 
 + 0-1
4 
(32.14)
(32.15)
(32.16)
. (32.17)
Соответствующие выражения для случая зеркальноrо отражения
читатель может найти в работе [33].
В этих выражениях явныIM образом вычисляется частотная и тем..
пературная зависимость рассматриваемых физических величин. членыI
обычной теории подчеркнуты одной чертой. В формуле (32. 13б) член,
подчеркнутыIй дважды, впервые был получен Хольштейном [34],
который дал поучительное физическое толкование ero происхожде..
пия.
В оптической части спектра путь vlcи, проходимый электроном за
один период колебания поля, значительно меньше rлубины скин"слоя
с
О == tiJk [см. (2.23)] даже в том случае, коrда 1  о. Поэтому в первом
приближении колебания электрона происходят в однородном поле
и при вычислении величин, которые не обращаются в нуль при отсут..

220
АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФВКТ и ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙCl'ВА
[rл. VIIl
ствии столкновеНИЙ, скин..эффект можно считать иормалъным. К
числу таких величин в первую очередь относится диэлеICтрическа я
проницаемость В, которая вдали ОТ rраницы квантовоrо поrлощени я
4пе 2 N
при 1 """-+ 00 равна в ==  m6fl _ Поэтому при 1 """-+ 00 (то есть практи-
чески при roт  1) поле в меТaл.JIе можно представить в виде
",
%
Е == Ео е tJ cos (rot + 'У),
rде
(32.18)
с с
д == ==
blk ( tИr 1 1/2 '
и учтено, что в этой области k ==
== v  в, 'У  иекоторая произволъ-
ная фаза и z ..... координата, перпен-
дикулярная поверхности металла.
В (32.18) Во есть электрическое поле при z == О, равное сумме таи-
rенциалъных слarающих полей в падающей и отраженной волнах
при z == о. Найдем ero выражение. Из (27.6) и (32.5) следует, что
Е(О) == Н(О) , причем маrнитное поле Но  2Н й' так как отражение
n
является почти полным. Поэтому для искомоrо выражения получаем
Е(О) == 2На == 2 Еа  2Еа == 2iыд Е (32.19)
n n  ik с а'
I
I
2
Рис. 36.
так как в падающей волне, распространяющейся в вакууме, Еа == На-
В приближении стационарноrо rаза свободных электронов потерь
электромаrнитной энерrии не происходит. Однако если принять во
внимание то, что происходит движение электронов к поверхности
MeTamIa и от нее, то получается перенос конечноrо количества
энерrии от электромаrнитноrо поля к электронам.
Полarая 1  00, то есть пренебреrая соударениями, рассмотрим
электрон, двИЖУЩИЙся из rлубины металла к ero поверхности со ско"
ростью 1';(V x ;, О, Vzi) при Z == 00 (рис. 36). Если отражение на rранице
является зеркальным и поле Е == О, то после отражения скорость
электрона равна 1't == 1'; (V Xi ' О, V zi ). При наличии в металле поля
Е =1= о из уравнения движения
d1' е
== Е
dt т
находим
"'t (z == 00) == ",; +  f E(l) dt,
тде E(t)  поле в точке, занимаемой электроном в момент времени t
(при z == 00 t == :1: 00; при z == О t == О). В слабом поле траеКТQРИЮ
(32.20)

 32]
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПТИЧЕСКИХ ХАРАКТВРИСТШ( МЕТАЛЛов
221
электрона практически можно считать такой же, как при отсутствии
поля, в силу чеrо в поле (32.18) принимает вид
Vl(t) cos'"
tJ
E(t) == Ео е
cos (cиt + у),
rде v  уrол, показанныIй на рис. 36.
Средняя энерrия, получаемая электроном под действием поля за
все время пробеrа, равна
00
2 2 [
L\ W 1 == тис ..... тщ == т ..:.
2 2 2 т
f E(t) dt]2,
(32.21)
oo
rде усреднение проводится по фазе у, в силу чеrо член, линейныIй
относительно Е, обращается в нуль (для различных электронов фаза
"/, конечно, различна, и поэтому усреднение необходимо).
В случае диффузноrо отражения от поверхности металла электрон..
пая скорость является «беспорядочной при t == о; тоrда энерrия,
получаемая электроном, равна
о 00
дw о ==  (  )2 [( f E(t) dt)2 + (f E(t) dtП . (32.22)
00 о
Величину энерrии, пере носимой с единицыI поверхности в единицу вре..
мени, можно ПОЛУЧНТЬ,умножая (32.21) и (32.22) на поток электронов*)
dj == Nv ( sin v cos v d ) 3р2 dv (32.23)
2 
и интеrpируя по всем yrлам падения и всем скоростям от нуля до v o .
Делением этоrо результата на падаюЩИЙ поток энерrии на е диницу
поверхности ; 1f щ получаем поrлощателъную способность MeTamIa:
п
2 ие
J J {pL\W s + (1  р) L\Wd} dj
А === О О 2 11' N e2 иЗ О 3 и
===  == Р + ( 1  ) 
с 2 ты 2 е З р 4е '
.......... Е а
811' (32.24)
rде р доля электронов, отражающихся зеркально. При р == о мы
получаем дважды подчеркнутый член формулыI (32.13б).
*) ДиффереlЩИал потока электронов получается из общей формулыI
j == :З f f f I1Z dpx dpy dpz. причем СlCорости предполaraются изотропными с
h 1 /
веЛИЧШlой, изменяющейся от О до р о ==  (ЗN/8п) ., соrласно статистике Фер.-
т
ми  Дирака при абсолютном нуле (j === 1; V z == v cos D).

222
АНОМАЛЬНЫй СКИП-ЭФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[rл. VIII
Заметим, что отношение Ао к Ан
Ао 3 ты 2 е 2 3 ( ыд п ) 2
 ......  ......    1,
Al ...... 2 411' е 2 Nv ...... 2 р о
(32.25)
rораздо больше единицы и в этом случае отличие между зеркальным
и диффузным отражением весьма значительно. Приведенный расчет
показывает, что и при сколь утодно большой длине свободноrо про..
беrа имеется поrлощение, которое связано с работой поля над элек..
троном, отражаюшимся от поверхности металла.
Наклонное падение. Выражения для поверхностноrо импеданса
Z бьши получены выше в предположении, что электрический вектор
всеrда параллелен поверхности металла как и при нормальном паде..
нии света. Поэтому их нельзя применятъ без дополнительноrо обо..
снования, если свет падает наклонно на металл, так как электрическое
поле будет тотда изменяться в двух измерениях. Действительно,.
теперь поверхностныIй импеданс будет несколько различен для двух
составляющих электрической напряженности в падающем излучении.
Однако, как показали Рейтер и Зондrеймер, этой разницей можно
пренебречъ, и поэтому поверхностные импедансы для обеих состав..
ляющих считаются как раз такими, как если бы падение бьшо нормаль..
но при условии, что 1 : J ( ; )1/2  1, которое нами принято в самом
начале этоrо параrрафа.
С той же самой степенью точности формулы обычной оптики
u  .
металлов можно перевести на язык строrои теории, полаrая п ==  &,
с
411'
k ==  В. При наклонном падении измеряемыми величинами являются
с
rлавный yrол паденияФ и rлавный азимут е. Эти величины связаны
с п и k следующим образом (см. rл. 1):
sin 4 ф tg 4 Ф == (п 2 + k 2 )2  2 (п 2 ..... k 2 ) sin 2 ф + sin 4 ф, (32.26)
tg 2 2е ==
j ( 2 nk ) 2 ll/2
 1 + п2k2 siп2ф f + 1
j ( 2nk ) 2 ( 1/2 ·
1+ п2k2siп2ф  1
(32.27)
Исходя из (32.2), (32.21) и (32.22), леrко показатъ, что k 2  1, и поэтому
с достаточной точностью имеем
sin Ф tgФ == (п 2 + Jc2)1/ 2 == 4; IYI,
(32.28)
k В Х
tg2(!== п == G == R ·
(32.29)

 32]
формулы для ОПТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИcrик МЕТАЛЛОВ
2230
На основании этоrо для двух механизмов рассеяния электронов
получаем
. ф Ф 21 з ( 4 1 2 )
V Sln 1 tg 1  lf V + V , + lf O- ,
r 3 15 r 3 2 r 3
(32.30)
I') 2   [1  2 S 2  4 1  2l ]
tg 1  (}" v   V t J уз (}" + 5  1 (}" f '
(32.31}
. Ф t Ф 2 1 з ( 211 + 31 1 2 ) (3232 \..
V Sln о g о  Y  v ...... v Y   8 о- + ,[;; о- , ."
3 960 3 2 r 3
2 I Y 
v  83 3  1 
tg2eo y [ 1 +V2 +0-1+0-2 +
3   960 8 8
 + иl
4 
16 ln 2 + 8723 + 83 o-l + Уз  1 
  0-2 +  0-3
+ 105 уз 80640 Уз 192 4 8
уз + lТ l
4 
(32.33)
Для сравнения теоретических и экспериментальных значеНИЙ Ф
удобно нанести rpафик v sin Ф tg Ф в зависимости от v2, который
позволяет оценить отношение N 1т. Также следует нанести rрафик
Vl tg 2(2 в зависимости от V2; детальная интерпретация этих тра...
фиков зависит от рассматриваемrо механизма рEtссеяния элек...
тронов.
Для хороших ПРОВОДНИICов о- изменяется по порядку величиныI от 1
(комнатныIe температуры) до 103 (rелиевые температуры).
Введем обозначения R Об и А об для поверхностноrо активноrо-
сопротивления и поrлощателъной способности обычной теории и
найдем отношение Ro и Ао к R об И А об В близкой инфракрасной области
спектра (v  1):
Ro ==   1 + уз 0- .
Rоб Аоб 4
. Отсюда видно, что даже при комнатных температурах это отно....
шение значительно отличается от единицы, тотда как при rелиевыx
температурах оно может бьпь порядка 500 (для хороших про во дни...
ков). Следовательно, если электроны отражаются от поверхности
диффузно, как действительно показывают эксперименты, то члены
обычной теории не будут давать даже приближенноrо представления
о величине поверхностноrо импеданса и поrлощательной способ...
ности.

224
АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ свойcrвА
[rл. VIII
Для хороших проводников при очень низких температурах о-  1,
и поэтому для близкой инфракрасной области будем иметь
Ao",и ==  .
h ( 3N ) 1/3 3 h ( 3N ) 1/3
Далее, поскольку v === т 8п ' TO Ао I'J 4'  8п . Отсюда следует,
что измерения поrЛОIЦательной способности позвоЛЯ}От определить
'Число электронов проводимости в единице объема N (СМ. более под..
робно ПО этому вопросу  33). Если принять одиН электрон проводи"
мости на атом, то поrЛОIЦатеJIЪная способность хороших металли..
'Ческих ПРОВОДНИICов будет приблизительно равна 0,3 0,4. '
Для исследования частотной зависимости поrлощательной способ-
ности следует нанести rpафик зависимости А от 1 /v2. Как мыIжеe видели,
.для хороших проводников при низких температурах о-  1 и из (32.16)
и (32.17) тоrда получается, что наклон этоrо rpафика дает возмож-
h ( 3N ) 1/3
ность получить Nv3/m, а следовательно, поскольку v == т 8п ' И
величину N2/m 4 , по которой можно определить N/m 2 .
Анализ формул (32.16) и (32.17) показьmает, что :1 == А А 1 при
.&'0 б об
  
некоторои частоте имеет максимум, тотда как R  ===  A постепенно
об об
-спадает с уменьшением частотыI света.
В близкой инфракрасной области спектра справедливы соотно-
шения
А1Аб ( N ) 1/2 и Ao+ ( N ) 1/2 (32.34)
о и(Т) п т 4 с и(Т) п т '
из которых можно получить температурную зависимость А. Скорость
'электронов, соответствующая поверхности Ферми, и концентрация
электронов N с достаточной степенью точности не зависят от темпе..
ратуры, так что ПОДХОДЯЩИМ rpафиком будет rpафих зависимости
А от 1/0-. По наклону этоrо rрафика можно оценить N I т. Для хороших
DрОВОДНИICОВ, например при температуре жидкоrо воздуха, первый
член в Ао будет преобладать над вторым, так что поrЛОIЦательная
-способность практически не будет зависеть от температуры при
диффузном рассеянии [33] электронов, но будет сильно зависить от
температуры при зеркальном отражении электронов. С дрyrой сторо"
Н ы, для очень плохих ПРОВОДНИICОВ или при температурах значительно
е ( N ) 1/2
mыше комнатных и  1, и тотда А  и(Т) пМ для обоих механизмов
рассеяния электронов, так что поrлощательная способность .будет
'сильно зависеть от температуры в том и дрyrом случае.

 33]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МИКРОХАРАКТЕРИСТИК МЕТАЛЛОВ
225
 33. Форму лы для оптических характеристик металлов
в видимой (высокие частоты) и ультрафиолетовой
областях спектра. Нормальное падение. Определение
микрохарактеристик металлов по их оптическим
постоИIIВЫМ.
в видимой и ультрафиолетовой областях спектра ток поляриза..
ции, фотоэлектрический ток и атомную поляризуемостъ нельзя счи..
тать пренебрежимо малыми величинами. В результате этоrо в фор-
мулах для поверхностноrо импеданса наряду с параметром , должен
учитываться и параметр 7].
В этой области спектра имеют место условия
1,1 «< 1 и йJT ») 1.
(33.1 )
в этом случае выражение для поверхностноrо импеданса при зеркалъ..
ном отражении электронов имеет вид
wZ ( 4 ) 1/2 ( 2 ) 1
Т == 3' + 7] 1 + 15 ' + · .. ..... 6 ' · · ·
(33.2)
На основании первоrо неравенства (33.1) из (33.2) получаем
wZ ( 4 ) 1/2
Т  \3' + 7] ·
Отсюда непосредственно следует, что предположение зеркалъ..
ното отражения электронов приводит к таким же результатам, как
обычная теория, если частота дрстаточно велика.
Для диФФузноrо рассеяния электронов имеем
i ( 4 ) 1/2 1 2 ) 1
wZ o == 3 f + 'YJ 11 + 15 f + · .. :4 f · · ·
(33.3)
Пренебреraя членом :s f по сравнению с единицей, находим
 ( ) 1/2 .
lVZ O D..J. ,+  + ! ,
i "rV 3 'у} 4 ( 4 )
'+'Y}
3
(33.4)
На основании второто неравенства (33.1) и принимая параметр
Q(v) === 1   4 3 Р iJ2 j)2 === 1  pnmv 2
Ne 2
15 А. В. Соколов

226
АНОМАЛЬНЫй СКИН-ЗФФЕКТ и ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[rл. VIII
положителънъlМ, что будет справедливо при средних частотах рас...
сматриваемой области спектра, окончательно нахОДИМ
eR o   Ol + У З o-  1 Q------3/2
пv 4 '
(33.5)
eo  2 V З v QI/2
пv  '
(33.6)
 4пvG o 1 2 ( Уз + 1 r\..--.1 / 2 )
11o v == с  Y3 V ""4 о- и ,
! 2 1 ( Nе 2 ) З/2 ( УЗ  + nI/2 )
по  4 V о- \ пт 4 о- t6 ,
(33.7)
k   4пvB o 2 l n1/2
О V  А:3 , V t6 ,
С ,3
(33.8)
( N 2 ) 1/2
k А:3 vl  а1/2
О пт '
2 4 2n Ne 2 n Ne 2
EoV    V 11 ИJШ е о    11 == Р  
3 nmv2 пmv2 '
(33.9)
o-о(v) v 2   vvз ( Уз QI/2 + 0- 1 )
3 4 
ИJIИ
1 ( Ne 2 ) 2 ( Vз  )
(J"o(V)   V2 o-l   01/2 о- + 1 .
4 пт 4 
(33.10)
Подчеркнутые членыI являются членами, которые получаются в обыч..
ной теории, а также в предположении зеркалъноrо отражения электро"
нов. Существенные вкладыI, обусловленныIe аномальной природоЙl
сmн..эффекта, появляются только в Ro, п ио-о(v). Для хороших провод..
IIИков при низких температурах, rде о-  1, эти величины в ультра..
фиолете обладают совершенно отличной зависимостью от частоты
по сравнению с величинами, вычисленными на основе обычной те...
ории.
Поrлощательную способность можно теперь представить формулой
приближенноrо вида
A==I
eZ 1 2
1  .........
4 pd eR  1   ( еХ ) 2 1  ! ( eR ) 2,
С Z п  16 п j 2 11'
1 +.........
4п
(33.11)
хоторая являет-ся достаточно точной, если параметр Q(v) мало отли"
чается от единицы.

 33]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МИКРОХАРАКТЕРИСТИК МЕТАЛЛОВ
227
Если параметр Q отрицателен, что справедливо при достаточно
высоких частотах, то для оптических характеристик имеем следующие
выражения:
: Aj 2 уз v( Qr1/2 ,
(33.12)
: Aj уз 0" 1 (Q)......з/2,
(33.13)
( N е 2 )
п  V1 пт (.......(2)1/2,
1 ( Ne 2 J
k  '4 V2 o-l пт (.......a)1/2,
(33.14)
(33.15)
Ne2 Ne 2
е А:3  (  О ) === Р ....... 
пmv 2 'Jtтv 2 ,
(33.16)
1 ( Ne 2 )
o-(v)   V2 0"'1  .
4 пт
В этих формулах индексы повсюду опущевыI, поскольку в них суще..
ственные нестандартные членыI отсутствуют.
u V ( т ) 1/2
Котда величинои е N нельзя пренебречь по сравнению с едини..
цей, рассмотрение оптических характеристик в случае на:клонноrо
падения становится весьма сложным.
попыIку Коллинза [108] исследовать оптические характеристики
металлов в видимой и ультрафиолетовой области спектра при наклон-
ном падении света в условиях аномалъноrо скин..эффекта нельзя
считать удачной, так как в ето работе совершены существенныIe ошибки
[109], в результате которых вся работа Коллинза является неверной.
(33.17)
Определение микрохарактеристик металлов
по их оптическим постоянным
За последние rоды теория оптических свойств металлов в условиях
аномалъноrо скин..эффекта получила в ряде работ [36  39] дальнейшее
развитие. Результаты этих теоретических работ следует учитывать
при обработке экспериментальных данных. В частности, необходимо
учитьmать квантовый характер взаимодействия электронов проводи..
мости с электромаrнитным полем и межэлектронные соударения,
которые, как показьmает опыт, существенны уже в близкой инфра..
красной области спектра. Обработка экспериментальных данныIx с
помощью неполной теории может приводить к ошибочнъlМ вы..
водам.
Рассмотрим здесь предложенную Мотулевич [129а] схему обработ"
ки экспериментальных данных, учитьmающую резулътатыI более

228
АНОМАЛЬНЫЙ СКИИ-ЭФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[rл. VIII
строrой теории. В предложенной ею схеме обработки эксперимен..
тальных данныIx измерения оптических постоянных должны быть
дополнены измерениями удельной электропроводности тех же образ..
ЦОВ при разных температурах. Совокупность таких измерений по..
зволяет определить эффективное число электронов проводимости в
единице объема, скорость электронов на поверхности Ферми, частоты
соударений электронов с фононами и с примесями и частоту меж..
электронных соудареНИЙ.
Введем эффективное число соударений
'у ==)I!f + уее + уn, (33.18)
rде у!  частота со ударений электронов с фононами, уее ..... частота
межэлектронных со удареНИЙ, уn ..... частота соударений электронов с
примесями. При измерениях в инфракрасной области спектра для
хороших проводников В большинстве случаев имеет место аномалъныIй
скин..эффект даже при комнатных температурах.
В этой области спектра должныI вьmолняться неравенства
v
 О,
(,)
тт  1
(T==  ),
(,)
  1.
Ы1
(33.19)
формулыI (32.13а) и (32.136) для действительной и мнимой частей по..
BepxHocTHoro импеданса можно привести к виду*)
еХ о  4k ....... 1,34 · 1011 (1 + р2 G)
:7f п 2 + k2  VN л ' (33.20)
сRo  4п == 0,7S{J + з,54v;/6 (",/1/ +-уее +')'")  Р"рп, (33.21)
11' п 2 +k 2 У
р == 2,59 · 1011 fJ V N Л, 2,045 · 105 У
q=== YNfJ '
G == 0,0865 + 0,216 q + 0,125 q2,
D == 0,215 + 0,748 q + 0,750 q2 + 0,216 qЗ.
. Здесь и ниже все величины, кроме л, выражены в системе CGSE. л
длина волны света в микронах.
Все эти выражения бьши получены выше с помощью классическоrо
кинетическоrо уравнения. Соrласно rуржи [39] вычисление этих
выражений и, в частности, G и D методом квантовото кинетическоrо
уравнения приводит к несколько дрyrим коэффициентам. Однако,
ПОСКОЛЬКУ членыI G и D входят лишь как поправочныI,, их можно ВЫ..
числять С меньшей точностью и вместо сложныIx кваитовых выраже..
тде
*) в формулах (32.13а, б) для простоты безразмерныle величиныI V, и ""': 1 и
. у
vl обозначены через fJ, q и р и использовано соотношение pq == .
fA)

 33]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МИКРОХАРАКТВРИСТИК МЕТАЛЛОВ
229
пий пользоваться приведенными формулами с учетом равенства
(33.18). В том же случае, котда эти члены велики, для них нужно брать
выражения, полученные rуржи.
Рассмотрим зависимость)' от m и Т. В работе [39] показано, что
частота межэлектронных соудареНИЙ имеет вид
уее( 6), 1')  "/0'(1') [1 + (:; л '
(33.22)
тде l1{(Т) ........ соответствующая классическая частота межэлектронных
соударений, пропорционалъная Т2. В ближней инфракрасной области
спектра ПФ  kT, поэтому для у/ необходимо пользоваться выра-
жением, полученным из квантовото кинетическоrо уравнения [39]
уе/(т) == )';/(Т)q;(Т), (33.23)
rде yJ(T)  классическое выражение для частоты соударений электро"
нов с фононами, справедливое при пт  kТ. Значения функции
q;(T) вычислены в работе [39]. При т  в q;(T)  1 и ",е ! == "11. При
т  8 уе ! отличается от )'/ тем больше, чем меньше температура.
При Т  8 "//  О, тотда как у/  0,4/(8), тде 1(8)...... классическая
высоко..темnературная частота соударений электрона с фононами при
т
т == 8 (то есть для Т  8 )'if == t(e) в ). Вполне понятно, что частота
соударений электронов с примесями)'П не зависит ни от Ф, ни от Т.
Подставляя (33.22) и (33.23) в (33.21), получим
4п 3,54 · 105 ('Y! qJ + 'Ye +"п)
п 2 + k 2  О,75{J + YN +
1,83 · 102 'V o ee
+ r........ р2 fJ п. (33.24)
Y N Т 2 'А 2
В формулах (33.20) и (33.24) члены р2 G и р2fЗп являются малыми
поправками к основным членам. Поэтому определение микроскопи..
ческих характеристик по измеренным оптическим постоянным металла
можно провести методом последовательных приближений*).
В первом приближении полаrаем в (33.20) и в (33.24) р == о. Опре..
делив N из (33.20) и подставив это значение в (33.24), найдем зависи..
мость 4п/(п 2 + k 2 ) от л2, которая в рассматриваемом приближении
должна быть линейной, причем тантенс уrла наклона прямой дает
)'ge, а отрезок, отсекаемый на оси ординат, при известных ",е/, 'Ye и
"i' определяет V. Затем можно вычислить поправочные члены и найти
те же микроскопические параметры в следующем приближении.
*) Определение микрохарактеристик металла по оптическим измерениям
мож ет бы ть проведено также при использовании выражений для п, k, п 2  k 2 , k/n
и Уп 2 + k 2 . Однако наиболее рационально использовать выражения для R и Х,
так как коэффициентыI в членах G и D минимальны по сравнению с коэффициен"
тами аналоrичных членов в выражениях для n, k и т. п.

230
АНОМАЛЬНЫЙ скин..эФФЕКТ и ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[rл. VIII
Обычно можно оrраничиваться вторым приближением, так как третье
приближение отличается от BToporo менее чем на 1 %.
Для определения v нужно знать 'Y! р + 'Ye + 'У n == ,,/! + 'Ye + "/n +
+ 'У;(ер ..... 1). При вычислении этой суммыI нужно воспользоваться
измерениями удельной электропроводности 0-0. При этом, если Т в,
то ер A:j 1, и достаточно измерить 0"'0 исследуемоrо образца при темпе..
ратуре опыта, ибо
у! +Убе +yn  2,53 (  ) 108. (33.25)
При Т:::::::; е нужно, помимо 0-0' определить'. Это можно делать двумя
способами: 1) используя температурную зависимость 0-0 исследуемоrо
образца при низких температурах, можно вьщелить не зависящую
от температуры величину 'У n по остаточному сопротивлению и затем
опредеЛИТЬ'Уб'; 2) используя таБличвыIe значения статической ПРОВОДИ..
м .
мости чистоrо массивноrо металла o-r, считая, что О-о == (у?! +')1{ +
0-0
+ "/n)/(ro! +'Уъ е ), можно также определить l'g/ и 'У n . При вьmолнении
N
неравенства11е  1'i! можно считать O-  2,53 · 1 08 ! и, следова..
'Уо
телъно, формулу (33.24) привести к вьшоду:
4п VN [ 0-0 1
2+k2 ==0,75fЗ+О,896.104 1+(epl)M +
п  
+ 1,8 102 уе е ..... р2 fJ п. (33.26)
VN Т 2 'А 2
После тото как определеныI микрохарактеристики металла, сле..
дует проверитъ, вьmолняются ли неравенства (33.19). Если первые два
неравенства выполняются, то критерием вьmолнимости третьето
может служить следующее: величина N == 1,79. 1()22 (1 + pG)2 ( п 2 4:1.. Ic2 ) 2
4п 2 fЗ
не должна зависеть от Л, а зависостъ величины п 2 + k 2 + р D
от л должна представляться квадратичной rиnерболой. При этом
измерения должныI быть проведеныI в достаточно большом интервале
длин волн. Оnъп показьmает, что для ряда металлов (Ag, Си, А1)
существует область длин волн, в которой эти неравенства въmол..
няются.
Полученные микрохарактеристики можно сопоставить срезульта..
тами друrих экспериментов. Величины N и v, найденные из оптичес..
ких измереНИЙ, можно сравнить с даннъlМИ по измерению электронной
теплоемкости или с данными по измерению поверхностноrо имnе..
Данса на радиочастотах при низких температурах [36]. Измеряя элек..
тронную теплоемкость, мы получим величину v == 1,44.102/Y 'Yc
VN

 34]
НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЪНЪIE рЕзулътАтыI
231
(здесь Се == 'Ус Т ..... электронная теплоемкость, отнесенная к 1 с.мз).
Из измереНИЙ поверхностноrо импеданса в радиочастотном диапа..
зоне можно определить величину ; =- 2,53. 1{)8 ( } Здесь €т и 1 отно-
сятся к радиочастотному диапазону. Если можно пренебречь анизо..
тропией и рассматривать электроны в металле как ферми..rаз, а не как
ферми"жидкость, то оптические измерения, измерения электронной теп..
лоемкости и радиочастотные измерения доJIжныI дать одни и те же зна..
чения для v/V N и v/N. Если же анизотропия существенна или если
существенна дополнительная корреляция между электронами (ферми..
жидкость), то, как показал Сплин [38], разныIe экспериментальные
методыI приведут к разным значениям для этих величин. Поэтому
такое сопоставление может дать некоторое основание для заключе..
пия о роли анизотропии или о наличии дополнительной корреляции,
но только при условии, котда все эти измерения проведевыI на одних
и тех же образцах.
Величину 'Ye можно определить по измерению температурной
зависимости (то при Т  В. Действительно, в этой области температур
",gl +уn == а + Ь Т, ",ge == g Т2, rде а, Ь и g ..... постоянныI.. Выделяя
Icвадратичный член в кривой, выражающей зависимость (То от Т,
нетрудно получить e. Следует отметить, что вклад межэлектроннъlX
u сR б U Ф U б
соударении в величину  в лизкои ин ракраснои о ласти существен,
w ,
ибо уее( ro) в этой области частот сравнимо с yef, тотда как их вклад в
статическую проводимость мал, так как "Io е  "10/. Поэтому из опти-
ческих измереНИЙ величина "Io е находится более надежно, чем из
змереНИЙ температурной зависимости (То.
 34. Не которые экспериментальные результаты
В своих ранних экспериментах Друде определял оптические кон..
станты металлов для видимоrо света и не делал попъпок наЙТИ их
зависимость от длиныI волны В широкой спектральной области.
Друде и ето ученики [9, 11, 12] вскоре исправили это положние и
получили полныIe дисперсионные кривые для видимой и близкой
ультрафиолетовой области спектра.
Между эксперименталъными данными, полученными разными
учеными, ИМеются существенные расхождения, которые (как теперь
установлено) являются результатом методов приrотовления образцов.
В ранних экспериментах используемыIe образцыI полировались меха..
нически с разнообразными полирующими аrентами. В более поздних
экспериментах исполъзовались электрополированные образцы, а
еще позже образцы изrотовлялись катодным распьтением и вакуум..
ным испарением.
Так как от метода приrотовления образцов в сильной степени
зависят величиныI измеряемых оптических характеристих, то нет

232
АНОМАЛЬНЫй СКИНЭФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[rл. VIII
смысла искать стротото соответствия численныIx значений п, k или
любых дрyrих оптических характеристик той или друrой принятой
теоретической модели металла. Однако качественная :картина явления
и форма крйвых оптических характеристик, как функций длины волны,
вероятно, должныI бьпь подобны теоретической.
Для подтверждения общих представлеНИЙ электронной теории
металлов наибольШИЙ интерес представляют экспериментальные
сведения об оптических свойствах щелочных и блаrородныIx ме..
таллов.
Щелочные металлы. Наилучшеrо соrласия теории с экспериментом
следует ожидать в случае щелочных металлов, так как их валентные
электроныI очень близки 1( свободным и энерrии занятых электронных
уровней можно выразить в той же форме, что и для свободных элек..
тронов, а именно
n 2 k 2
E(k) == 2т. ·
рассчитанныIe значенИЯ т/т* для лития, натрия и калия соответственно
paвНbI: 0,65; 1,07 и 1,6. Используя теорему сумм (18.41) .
f пn == 1   'n'n :=:: т/т*
п'
и тот факт, что для натрия т/т* весьма близко к единице, мыI заклю..
чаем, что  !n'n очень мала. Это знчит, что силы осцилляторов при
п l
переходе от нижней полосы к более высоким очень малыI, и следует
ожидать, что теория Друде'  Зинера для свободных электронов
очень хорошо описывает поведение этоrо металла. Например, выше
мы видели, что в этом случае (то есть ПРИ!пn  1) для диэлеl(триче..
ской проницаемости получается классическая формула Друде  Зине..
ра, на основе которой прекрасно объясняется прозрачностъ этих
металлов в ультрафиолете (см. табл. 2).
Экспериментальные и теоретические кривые для натрия, изобра-
женныIe на рис. 19, находятся в хорошем соrласии в области длин
волн, больших 1900 А, за исключением тото, что наблюденное значе..
ине nk, хотя и весьма малое в области отражения, все же в несколько
раз больше, чем значение, вычисленное из затухания при использова..
нии экспериментально определенноrо сопротивления для постоянноrо
тока. Этот факт указывает на то, что световая проводимость больше
чем следует ожидать из теории свободных электронов.
Так как отношение т/т* для лития и калия значительно отли"
чается от единицыI, то мы должны ожидать, что не только коэффициент
поrлощеmiя для этих металлов будет больше, но и будет наблюдаться
смещение частты, при которой диэлектрическая проницаемость
становится равной нулю (по сравннию со значением для совершенно
свободных электронов). Оптические характеристики п и k для лития

 34]
НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЪНЪIE рЕзулътАтыI
233
по..видимому, не измерялись, тотда как для калия имеются тщатель
ныIe измерения Айвса и Бриrrса [78].
На рис. 37 показаны экспериментальные значения п и k, которые
сравниваются с теоретическими кривыми при т* == т и т* == 1,42 т.
Вторая серия кривых соrласуется более точно с экспериментальными
кривыми. Как и в случае натрия, экспериментальное значение коэффи"
ЦИента поrлощения значительно больше теоретическоrо. Неясно
происходит ли это увеличение
вследствие квантовых переходов
из полосы в полосу или за счет
каких..либо дрyrих причин.
Расчет оптических констант п
и k для калия в рамках зонной
модели в приближении почти сво-
бодных электронов производился
Сертеевым и Черниховским (см.
табл. 5 и рис. 26).
В литии, натрии и калии
квантовое поrлощение не обна-
ружено ни в видимой, ни в ультра..
фиолетовой и ни в инфракрасной
областях спектра.
Цезий и рубидий также иссле..
довались Айвсом и Бриrrсом [78].
Кривые прозрачности, получен-
ные ими для трех пленок раз-
личной толщины, приведеныI на
рис. 38. Уменьшение прозрач..
ности в длинноволновой области
спектра, несомненно, связано с
изменением в отражении; однако
уменьшение прозрачности в коротковолновой области происходит
преимущественно за счет квантовых переходов между полосами
(fn'n 1=- О). I
п'
В работе Фрейлиха [110] показьmается, что колебания плазмы
мотут иrрать важную роль в оптических свойствах этих металлов
(см. также [258)].
Блаrородиые металлы. Блаrородные одновалентные металлы:
медь, серебро и золото широко изучались экспериментально не только
вследствие тото, что их электронная структура проста, но также в
силу тото, что они леrко обрабатьшаются и испаряются. Экспери...
менталъные точки, приведенныIe на рис. 3945, заимствованы из'
работ Майнора [11], Бора и др. [111], Битти и Кона [112], Форстерлинrа
и Фредерикса [15], Шульца [113], Мейера [12] и Ходжсона [66]. На
этих rрафиках представлена световая проводимостъ (nkv) и величина,.
!6
1.2
/,0
0,8
ав
а"
п,k
(8
k
"
0,2 ,
' 1.
О '... .... ........ ..
1200 2000 2800 3600 4.400 5200 6000 6800
л.. А
Рис. 37. величиныI n, k и nk для калия..
Теория Кроииrа (кривые 1 для m*:::s т) и
эксперимент (кривые 2) соrлаСУЮТСJ[, если
т* == 1,42 т (кривые 3).
2

234
АНОМАЛЬНЫИ СКИН-ЗФФЕКТ и ОПТИЧЕСКИЕ свойcrВА
[rл. VIII
пропорциональная поляризуемости (1  е), как функция частоты
света. На рис. 45 представленыI дисперсионные кривые п И k для
серебра.
сплошныIe линии на rрафиках соответствуют результатам теории
Друде  Зинера. Параметры подбирались так, чтобы обеспечить
хорошее соrласие, а не брались из измеренных значений проводимости
ДЛЯ постоянноrо тока. Резкое изменение световой проводимости
меди и золота в области 50006000 А и серебра в области 30004000 А
обычно приписыаютT низкочастотному пределу внутреннето фото-
электрическоrо эффекта. Этот процесс проявляется как увеличение
световой проводимости (nkv)
сверхсветовой провоости,
обусловленной ускорением
электронов. В меди второе
возрастание световой про во..
димости имеет место между
20003000 А.
Мотт и Джонс [24] предnо..
ложили, что возрастание св е..
товой проводимости в MeДll
вблизи 4500 А является резуль..
татом переходов из заполнен..
ной 3d..полосы в вакантную
часть (48 ....... 4р )..полосы, а воз..
Рис. 38. Кривые прозрачности ДЛЯ пленок растание вблизи 2500 А есть
цезия различнъlX толщин. следствие переходов валентных
Цифры у JфИВЫХ ynзывают ТОJПЦИВY в СМ. электронов из (48 ....... 4р )..полосы
в высшую полосу. Для тото
чтобы объяснить квантовое поrлощение серебра и золота, принимается
аналоrичное предположение, при этом «rлавное квантовое число)
(8 ...... р)..полосы увеличивается на 1 и 2 соответственно. Это правдопо"
добно, так как все три металла имеют весьма подобную электрон..
БуЮ и кристаллическую структуру (rранецентрированная кубическая
решетка). Неясно, почему серебро и золото имеют лишь ОДИН край
поrлощения, тотда как медь ....... два (рис. 46).
При обсуждении вопроса о дисперсии поrлощения света в металлах
необходимо различать понятия коэффициента поrлощения k, поrло..
щателъной способности А == 1 ....... (Q и световой проводимости (F ==
== nkv. Эти величиныI ответственныI фактически за несколько различ..
выIe стороны взаимодействия света с электронами металла. Цвет меди
и золота есть следствие наличия полос квантовото поrлощения в
Видимой области спектра. Сильное квантовое поrлощение начи..
нается у меди при 5700 А (2,1 эв ....... желтая область спектра) и кончается
уже в ультрафиолете 3200 А (рис. 46). Это сопровождается увеличением
в указанной области световой проводимости и одновременно ростом
А, в То время как коэффициент поrлощения (затухания) k падает.
50
J,(J

ЗО


20


10
0'200 2000 2800 Э60Q 4400 52lXJ 6flJO
Л,А


....:
<3

l+zиg"=ЭJ

I  1Ig(J '/1.)/ и = [}

::е
tI:

'(;'
.....
........,
=
 
--< 
а
fi
t)
fr
В

i



ltS1
О

t

.
=!

 
  t)
..,  о
шi
00
=


0\
c'f'\



:.о  
1+ и
3  ? '1 ; 3 '
f Jlt} 'JI.уи= 
 t\i
-...;;; 
о
{;
U

'-;)'
I
....
.......,


;( е+
...
i


в


t>




2
о
f-t
В


а.
. '""L 


Q,U

  
..(  u

5

6
ёс
....




.
E-t
О

О
м


 I
....

g;:
c!s
=!- 
Q,

.-( g;:
o:s
а
о
R
4)
 в
+4 :s:
-I$ t::{
++ ;
u
=


c::::r
 s? 
..... ..

J  2t12f= ЭI
.+
'
++...$<J 
:f-.... ... ...<3 '"
4.4
..
't,




' JI:J:J Jfи = {)
........
с::;
;t




о

О
E-t

()

 
g;:E-t
O

O
Q,
:t.  
  с)
ш О
O
=8::(
&i
4)0
B
=
t::i
.
ff')

u
:s:


238
АНоМАЛЬНЫЙ СКИНЭФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙCl'ВА
[rл. VIII
Металл становится более прозрачным для излучения и ето отража..
тельная способность падает.
Максимум световой проводимости и поrлощателъной способности
расположен приблизителъно от 5000 до 4500 А (2,5.......2,7 эв ....... rолубая
область спектра). Следовательно, все цвета от желтоrо до фиолетовоrо
Ir л
.r
13 1.5 [1
,
. е  ' 1
-+...+- 2
.]
п
'0 1,0
+
"
'
,
,Ar
,,"
" "
к" Ir

",'"
· 6'
. '"
'" "
,"
,,'
,lS.
,..'"
,..
;J:t'"
,
5 а5
00
48 1,0 1,2 1,4 6 8
Л,
Рис. 45. Оптические константыI серебра.
1  Шульц, 2  Майнор, 3  Форстерливr и Фредерикс.
сильно поrлощаются медью и в отраженном луче остается лишь оран",
жевый и красный цвет.
В соrласии с предположением Мотта и Джонса находятся также
нежоторые эксперименталъныIe и теоретические исследования [114].
В работе Кошуа [115], посвященной эмиссионным рентrеновским
спектрам меди (Си L П ,III)' показано, что максимум плотности d"состоя",
пий приблизительно на 3 эв ниже первоrо незанятоrо состояния. Это
соrласуется с расчетами Круттера [116], который показал, что мини..
альная разность между уровнями d..полосы и (в ..... р )..полосы в напра..
влении [100] порядка 3 эв, что приближенно соответствует макси..
муму световой проводимости в меди. ,
Макси, который наблюдается около 3700 А в золоте, имеет
то же самое происхождение, как и максимум в видимой области спектра
для меди, так KaIC атомные конфиryрации iJ.l0s И d 9 s 2 очень близки в
обоих случаях. В любом случае наличие максимумов световой про..


 34]
НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЪIE РЕЗУЛЬТАТЫ
239'
ВОДИМОСТИ существенно для xapaIcrepHoro ЦВе1'а этих металлов, в то
время как отсутствием такото максимума у серебра объясняется
нормальныIй металличесКИЙ цвет этоrо металла.
Результаты, полученныIe Шульцем [117] в близкой инфракрасной
области спектра, исправленныIe на аномалъныIй скин..эффект, соrла..
суются с теорией Друде  Зинера (уравнения (12.8) и (12.9)), если
предположить, чо имеется один свободный электрон на атом, и
принять эффективную массу электрона равной 0,98 т, 0,97 m и 1,45 m
для золота, серебра и меди соответственно. Эти значения весьма хоро..
то соrласуются со значениями т*/т, полученными из измерений
электронной удельной теплоемкости металлов.
3
I
Аи
2
nlt
02;)00
3000
,,000
8000
1,000
}",А
Рис. 46. тиIшчныI e пk-:кривые для меди, серебра и золота
(по МaйRору иМейеру).
Это улучшенное соrласие теории с экспериментом является след..,
ствием осторожности, с которой приrотовлялись образцы, и тот(}
факта, что опъпы проводились на образцах, не подверrавшихся
жействию воздуха. Шульц измерял коэффициент поrл.ощения k как в
опыIахx по отражению, так и по прохождению. Было найдено, что
поверхностное (опыты по отражению) значение k меньше, чем объем..
ное (опьпы по прохождению) значение на 510%.
Как было показано в  16, в спектральной области, удовлетворяю..
щей неравенству (16.11), тде 'у  частота соударений электронов с
решеткой и (;)1  циклическая частота, соответствующая rранице
внутреннето фотоэффекта, представляется возможным на основании
измерений оптических постоянных п И k получить численныIe значения
таких важных физических величин, как эффективное число электронов.
проводимости N эф и время релаксации т ==!. Шкляревский и Падалка
'у
[69] произвели измерения п И k для ряда металлов в инфракрасной

240
АНОМАЛЬНЫЙ СКИНЭФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[rл. VIII
области (1  12р,), применив для увеличения точности измереНИЙ мното..
кратные отражения. Объектами измерений служили зеркала, приrо..
товленные испарением металлов в вакууме. Полученные ими резуль..
таты приведены в табл. 9 в сопоставлении с данными Ходжсона и
Битти и Кона. При вычислениях N и т массе электронов проводимости
придавалось значение обычной массы свободноrо электрона*).
Таблица 9
Металл
N . 1 ozz, c.м8 'r ' 1015, сек
[69] [66] (112] [69] [661 I [112]
.
3,8 5,2 3,5 14 ' ,4 14,1
7,2 6,4 5,4 14,2 (4,4 17.5
2,8 3,1 5 17,7
0,4 1,3 7,2 10,2
Медь . . . . . . . .
Серебро .......
Золото ........
Никель ........
Двухвалентные металлы. Исследовались некоторые двухвалентные
'металлыI; мноrие из них обнаруживают аномальное поrлощение в
.красной и в близкой инфракрасной областях спектра. Полосы поrло..
щения являются результатом внутреннето фотоэлектрическоrо поrло..
щения, которое, вероятно, имеет место между валентной полосой и сле..
дующей пустой ПОЛОСОЙ. Так как в этих металлах имеется два электро
на на атом, то валентная полоса почти заполнена. Поэтому наимень"
mая энерrия, необходимая для квантовото поrлощения, меньше, чем
.для одновалентных металлов, если структура полосы имеет вид,
представленный на рис. 22. Отсюда следует, что области поrлощения,
соответствующие переходам между полосами этих металлов, должны
-лежать ближе к красному концу спектра, чем соответствующие обла..
сти поrлощения в одновалентных металлах. Приведенные экспери..
менталъные кривые (о- == nkv) для цинка и бериллия (рис. 47 и 49)
подтверждают это заключение.
цинк ........ типичныIй двухвалентный металл; бериллий обладает
простейmей электронной структурой двухвалентноrо металла. Данные
.для бериллия оrраничены близкой инфракрасной областью спектра.
Полоса квантовото поrлощения имеет длинноволновый край вблизи
2р" возрастает до своето максимума при 0,31L и снова начинает спадать.
Величина (1  е) (рис. 50) имеет .максимум около 0,25р,; тот факт,
что это происходит при длине волны более короткой, чем максимум
кривой световой проводимости, указывает на то, что не существует
полосы поrлощения с более высокой частотой. Это поrлощение,
вероятно, является результатом переходов между валентной 28..
*) По частному сообщению Шкляревс:коrо, полученному при корректУРе,
даннъlе табл. 9 и. 11, взятыIe из работ [69, 69 а] являются неточныIии в силу
заrpязнения конденсированных слоев исследуемых металлов материалом испа-
рителя.
l'



.J+,и", ,,=  'tiii;
е7 .--/
"' '/O/U=D
16


i

'ё;;'
I

'-"


R
r< 
i
о
[
Q)
в

00



""

о

t
5
= I
а:{ .

 !
. : 
i O
I
&






242
АНОМАЛЬНЫЙ еКИИ-ЭФФЕКТ и ОПТИЧЕСКИЕ свойcrвА
[rл. VПI
полосой и 2р..полосой. Интерпретация кривых для цинка (рис. 47 и 48)
аналоrична. ЭI(спериментальные данныI,, приведенные здесь, взяты
из работ [12, 71, 111, 118, 119].
Алюминий. Трехвалентный алюминий широко изучался потому 
что он хорошо обрабатывается и имеет практическое значение в
производстве зеркал и интер..
ференционныIx фильтров. На /00
рис. 51 видно, что аmoМИНИЙ
должен обладать в далеком
ультрафиолете более высокой
отражательной способностью
по сравнению с большинством
1017
"
.

()
::.. ...
 IrI'

1015 0.1
10

,


,
,
,
о'
.......
+
\1
с'
I .
'\1

..
cu
.
.......
01
'О
/ {I
л /1.
).,р
Рис. 49. Дисперсионная кривая для
световой проводимости берWIЛИЯ.
Рис. 50. Дисперсионная кривая (le)
ДЛЯ берШlJIИЯ.
дрyrих металлов (ср. с рис. 19, 39, 41 и 43). Разумное объяснение
этому факту можно найти, если принять, что валентныIe электроны
у алюминия весьма близки к свободным. Если считать их сво"
бодными, то частота v' (при которой происходит переход от про..
зрачности к отражению), определяемая по (12.14), близка к 800 A
котда принимается около 1,3 валентных электрона на атом. Даже
есJIИ бы только один валентный электрон бьш свободен, отражающая
область простиралась бы примерно до 1400 А. rрафики рис. 51
и 52 построеныI по эксперименталъным данным, взятым из работ
[66, 112, 113].
Оптические свойства сурьмыI и висмута в видимой части спектра
сближают их с полупроводниками ..... такими, как кремний и rерманий.
Хатен и Рубенс [120] отмечали, что в инфракрасной области висмут
обладает в 2,5 раза большей эмиссионной способностью, чем это
следует из ero электропроводности. Оптические константы ЛИТЫХ


 34]
НЕКОТОРЫЕ ЭКСIIEРИМЕНТАЛЪНЪIE РЕЗУЛЬТАТЫ
243
образцов сурьмыI, висмута и их сплавов (TBepДbIe растворы) измеряли
в инфракрасной' области (до 121L) по методу rnересекающихся окруж-
ностей» Афанасьевой и Силантьева [121]. Для обоих металлов харак"
терно наличие максимумов поrлощения при 'А == 3,51L (Bi) и 'А == 6,9 
(Sb). Поrлощение сплавов получается из поrлощения :компонент,
приблизительно следуя правилу смеmения.
10'1

cl)
(.,,)


"
'-
ц
1O'5
fO '"
0./
I
10
).. · JL
Рис. 51. Дисперсиовнаи кривu для
световой прОВОДDМости aJПOМИIIWI.
100
ю
0,1
л.
Рис. 52. Дисперсиовнаи кривая (1....')
ДJIJI aJПOМИIIWI.
ШкляревсКИЙ, Авдеенко и Падалка [65] изучили в интервале 1.....12
дисперсию оптических констант сурьмы, испаренной в вакууме. Ими
показано, что при понижении температуры образцов от 290 до 1100 К
максимум поrлощателъной способности А сурьмыI смещается от
'А == 8,11L до 'А == 6,91L. Этим значениям 'А можно, в предположении о
квантовом механизме поrлощения, сопоставить следующие расстоя-
hc
ния между энерrетическими зонами: АЕ == Т == 0,18 эв и 0,15 ЭВ
соответственно.
Жидкие металлы. Ртуть и rаллий изучались экспериментально в
жидком состоянии Шульцем [113] и ранее Мейером [12]. ИзмереIе
оптические константы соrласуются с теорией Друде ..... Зииера в
пределах ошибок эксперимента.
Металлические сплавы. Систематических исследований отража-
тельной и излучательной способности неynорядоченных сплавов в
зависимости от состава в области инфракрасноrо излучения не произ-
водилось. Имеются немноrочисленные работы, посвященныIe изме-
рению отражательной и излучательной способности металлических
сплавов. В частности, в работе Берrмана и rуертлера [122] для сплава
меди с никелем в зависимости от состава измерения ПРОВОДИJШсъ в
16*

244
АномАльныIй СКИН-ЭФФВКТ и ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[rл. VIII
интервале длин волн 4600.....6300 А. Прямоrо сравнения этих данных
с теоретическими результатами проводить нельзя, поскольку опьпныIe
значения rQ(л) относятся к видимой
части спектра, а теория относится к
инфракрасной области спектра. Однако [JJO
из экспериментальных кривых (рис. 53)
80 1..,
70 q}...
п-.
Q(/{lIlA "".... .  ...      
80 ....-I!J..I!JI!)II-i!)
n1i'f!) ...e..........
50 55 ....@......@..........
ОО (!) '1( "Х Х Х
 "
40 ......0 "
о :tf
30 Q
О /0 20 80 40 50 60 70 /JO 90 100
Gu % Ni Nt
Рис. 53. Отражательная способность сплава
Меди с ншселем в зависимости от состава
(по Берrмaнy и rуертлеру).
видно, что с ростом длины BoJIныI имеется тенденция к образованию
провисающих цепных. J1ИНИЙ . Оптические константы сплава Ni.....Pd
по дaнным Лев ков а и Носкова
[188] в видимой области практи
чески не зависят от состава.
Указанием на удовлетвори
тельное соrласие теории с экспе..
риментом MOryт служить работы
Риббека [123], а также Лунда и
Барда [124], в которых произво..
ДИJIИСЪ измерения вариации излу..
чательной способности железо..
з:икелевыx сплавов с составом
при 1 ססoo С в инфракрасной об..
ласти спектра от 1,21L до 2,41L.
Результаты измереНИЙ Лунда и
Барда приведеныI на рис. 54. Кри--
вые представляют предсказы
ваемые теорией выпуклые ЛИНИИ, но с максимумами примерно при
40 % никеля.
l
Е а5с
41
R
0,90
". --- -- ...  ..... "
'" o-.----" ,
/ tТ o'
,1  
 I \ 
;t: I I \
or  b
J I I I I I 100
О 20 40 60 80 100
Ag %Аи Аи
Рис. 55. -' Излучательная способность
сплавов золото.......серебро (по НОСК:ОВУ).
е
1)20
\
\
\
\
\
4150 20 4f) 80 80 IO
.% Ni
Рис. 54. Изменения излучательной
способности железовикелевых.
сплавов с составом при 10000 с.
ПУВКТИРШUI крива. (Р)  даввые Раб-
бека (Лувд в Вард).
l'

 34]
НЕКОТОРЫЕ ЭКСПВРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
( .
24S
Интеrральное инфракрасное излучение сплавов серебро.....золото
в зависимости от состава измерил Носков [125]. Здесь также полу-
ченыI кривые «цепноrо» типа, несколько неправилъной формыI (рис. 55).
ферромаmитRыe металлы. В случае ферромаrнитных металлов и
сплавов особый интерес представляют экспериментальные исследова-
ния оптических свойств в окрестности точки Кюри. Существующие
R,7.
б5i аХ
ф (';)
64. о
64
е ф
8 CJ
8 a 8
J'-  a 08о
8 О 8
е 8
О
Q
Х
)(
БЗ,
4ВВ 500 600
Рис. 56. Отражение вихеля вблизи ТОЧПI
Кюри (Орвmтейв и Коефоед).
результаты набтодений неоднозначны. В ряде работ [126, 127, 129
137] на никеле не удалось заметить скачка оптических свойств в районе
точки Кюри. Однако Орнштейн и Коефоед [128] нашли изменение
R%
tI
.х
+о
о
х О
.
li 6. 6
Ij
fi3
..
.
0)(
i6
6
6
900
1000
/100
/200
Т.ОК
Рис. 57. Отражение железа вблизи ТОЧКИ Кюри (Орнmтейн и
Вандер-Вин).
отражения на 0,5% при 'А == 0,651L (рис. 56). Для железа вблизи точки
Кюри набтодается такая же аномалия TeмnepaтypHoTo хода опти-
ческих свойств [91] (рис. 57). Эти измерения производились в интервале
длин волн от 4500 до 8500 А.
Отражательная способность (при 'А == 6500 А) возрастала на rv4 %
в интервале температур примерно от 750 до 8500 с. Выше этоrо интер-
вала она остается не зависящей от температуры. Окончательное дока..

246
АН ОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФВКТ И ОПТИЧЕСКИЕ свойcrВА
.
[rл. VIII
зателъство тото, что в этих опытах мыI действительно имеем ДiЛО с
самопроизвольной намаrничевностъю, будет получено JШШЬ после
тото, коrда будет обнаружено изменение отражательной способности
при истинном намаrничении. Для никеля это доказательство получено
. .
. .. ,
, _' ее е _
.. .
е . . .. .
.. . . . .
.
.
. .
137801(
/2JO 1.150 1'150
Т. О/{
Рис. 58. Излучательная способность кобальта
вблизи точки КюрИ (Валив и Кноп).
rерлахом прямым определением интенсивности излучения дливных
волн. В работе [91] также обнаружено у железа резкое изменение
излучателъной способности в точке Кюри при 0,651L, которое исчезае1
при 0,451L.
Валин и Кноп [129] обнаружили резкое изменение излучателъной спо..
собности кобальта в точке Кюри при длине волны 'А == 0,66JL (рис. 58).
.
IZ7 -1(
1200 IЗОО ''НJO
1: од
Рис. 59. Излучательиая способность сплава никель......
кобальт (65 % Со) вблизи точки Кюри (Валив
и Кноп).
Они также исследовали изменение излучательной способности сплава
кобальт  никель с температурой. На рис. 59 представлена кривая
излучателъной способности этоrо сплава. Резкое изменение излуча..
тельной споссбности соответствует температуре ферромarнитноrо
превращения.
Лунд и Бард [124] также экспериментально подтвердили существо..
вание аномалий излучательной способности кобальта вблизи темпера..
туры ферромаrнитноrо превращения в инфракрасной области спектра
(л == 1  2,6JL).
.,.

 34]
НЕКОТОРЫЕ ЭКСIIEРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
247
Следует подчеркнуть, что имеющиеся экспериментальныIe иесле..
дования Орнштейна и Ван..дер..Вина [91], Орнmтейна и Коефоеда
[128] по исследованию отражательной способности железа и никеля
в окрестности точки Кюри нельзя считать удовлетворителънъlМИ в
силу больmоrо разброса эксперименталъных точек (что, по"види..
МОМУ, обусловлено несовершенством методики). Поэтому для более
деталъноrо сравнения теории с экспериментом желательно провести
более надежныIe эксперименты по исследованию оптических
характеристик ферромamитных металлов.
ПоrлощатeJlЬиая способность и оmические ПОСТОЯIПIЫе
металлов в условиях aнOMaJlЬHoro скив-эффекта
Вариант теории аномальноrо скин..эффекта, при котором предпо..
лаrается диффузное отражение электронов от поверхности, проверял..
ся экспериментально, и установлено удовлетворительное соrласие
теории с экспериментом. Кроме цитированной работы Вейсса и Рама-
натана, проведенной в близкой инфракрасной области спектра, имеется
работа Бионди [43], который произвел более тщательныIe измерения
поrлощательной способности меди и серебра в интервале от 1,5 до
3,31L при температуре жидкоrо rелия (4,20 К). Ето результатыприведены
в табл. 10. Он использовал травленныIe монокристаллы. Колонка,
<>бозначенная «поверхностная», получена по теории аномальноrо
скин..эффекта, колонка, обозначенная «объемная», получена из кванто..
вомеханической трактовки Хольштейна [34]. Он предложил новый
механизм поrлощения электромаmитных волн, при котором происхо..
дит движение электронов к поверхности металла и ОТ нее (см.  32).
В результате получается перенос конечноrо количества энерrии от
электромarнитноrо поля к электронам решетки. Этот эффект не суще..
ствен при комнатных температурах, но, очевидно, важен при очень
низких.
Таблица 10
Металл
Поrлошательная способность
ТеорИJI Экспери-
мент
поверхв I объемная I полная полвая
ствая
0,0029 0,0020 0,0049 0,0050
0,0036 0,0009 0,0045 0,0044
Медь ...........
Серебро ........
Шхляревский и Падалка [69а] по измеренным ранее [69] значениям
оптических постоянных меди, серебра, золота и никеля на основе
.теории аномалъноrо скин..эффекта рассчитали число электронов про-
водимости в единице объема N, время релаксации 't' и произведение

248
АНОМАЛЬНЫИ СКИН-ЭФФВКТ9I ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
(rл. VIII
коэффициента диффузности (1 ..... р) на скорость электрона на поверх..
ности Ферми.).
Полученные в работах [69] результаты измереНИЙ оптических
характеристик интерпретировались на основе классической теории
Друде  Зинера. По найденным значениям оптических характери-
стик были определены число электронов проводимости в е ,д.иниц е
объема N, время релаксации т и световая проводимостъа-.
полученныIe Динrлем [33] дисперсионныIe формулы для оптических
постоянных металлов в инфракрасной области спектра после некото-
рых преобразований в первом порядке точности можно представить
в виде
11 fF
е == п 2 ..... k 2 -= .....  
с 2 пт '
(34.1 )
д8 о-
nk == fJ ё8 4п2т2 ,
(34.2)
тде и ..... статическая проводимость, 't' ..... время релаксации, л ..... длина
волны, с ....... скорость света в вакууме и
3 '  O-
fJ == 1 +  (1 .... р)  .
4 с с
(34.3)
Формула (34.1) леrко получается из (32.16), если учесть там только
первый член. Точно так же формула (34.2) при fJ == 1 получается из
(32.17). 
Выражение для е совпадает с аналоrичной формулой, даваемой
классической теорией Друде ..... Зинера для случая lel == ln 2  k 2 1  1
что для MRomx металлов в инфракрасной части спектра практически
Бсеrда вьmолняется. Такое совпадение обусловлено тем, что величина
е == п 2 ..... k 2 по теории Друде ..... Зинера оказьmается независимой
от длиныI свободноrо пробеrа электрона в металле, а связана лишь с
длиной волныI И числом электронов проводимости в единице объема.
Это означает, что формула для е является инвариантной относи-
тельно характера скинэффекта. Поэтому определение числа электронов
проводимости
1 п 2  k 2 1 т*пе 2
N == е 2 ')..,2
( 34.4)
по экспериментально найденныl\.{ значениям оптических характери..
стик п и k можно рассматривать как одну из основных задач оптики
металлов, так как формула ДЛЯ е имеет ясный классичесКИЙ смысл
и не зависит по существу от исполъзованных моделъных представле..
пий [36]. .
*) См. примечавие на стр. 240.

 34]
НЕКОТОРЫВ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫВ РЕЗУЛЬТАТЫ
249
Что касается выражения (34.2), то оно совпадает с выражением
Друде ..... Зииера, за исключением множителя {З. Точное совпадение
с теорией Друде ..... Зииера имеет место при р == 1 и {J == 1.
При аномальном скин..эффекте можно получить хорошее соответ"
ствие экспериментальнъlX. результатов с теорией Друде ..... Зинера,.
но найденные параметры и и 't' не будут иметь тото физическоrо
смысла, который им обычно придается. Поэтому в условиях ан о..
мальноrо скин..эффекта нужно пользоваться теорией Динrля.
дисперсионныIe формулы Динrля ВО втором порядке приближения
можно представить в виде
Jc2;; па == А  Вл 2 , (34.5)
пk == С  пА! ( 34.6 )
'АЗ ,
rде
A== c== о- [ 1+(1р )  ( 'Я0- ) 1/2 ] .
пс 2 т ' с3 411'2 '1"2 4 С '1"
Можно показать, что для хороших металлов Бл 2 A И Dл 2  с.
k2п2
Зависимости величин 'А 2 и пk/л 3 относительно л 2 должныI пред..
ставлять собой прямые ЛИНИИ, начальные ординаты которых. дают
значения А и С соответственно.
По определенной таким способом величине А, используя выраже...
u lVe 2 '1"
вие для статическои проводимости и == т* , можно рассчитать
число электронов проводимости в единиц е объема, если известна
эффективная масса электрона т*:
'Яс 2 т* А
N == е 2 · (34.7)
.. '.4'"
Из известной статической проводимости (j И найденной величины
А можно определить также время релаксации
о-
т == ""'""'"2 А ·
'Яс
(34.8)
По найденной начальной ординате С прямолинейной зависимости
пk/л 3 относительно л 2 находится произведение коэффициента диффуз..
ности и средней дJIиныI свободноrо пробеrа
4 ( 40"С )
(1  р) 1 ==  -..ао 1 .
з'Я УА сА2
(34.9)
l
Разделив (34.9) на. (34.8), получаем величину (1 ..... p)v, тде v ==:;: 
фермиевская скорость электрона. Из оптических измерений раздель-
ное определение р и v невозможно.

/('..л 3
л "
40
.35
ЗО
а
1,0
о
0,5
О 25 50 75 100 125 z 150
л
/( 1 л I
7
З4 k
ЗО n/с
26 n.  .t) р
O........ . . о 9 r? ..., ...
u О 26
.22
2"
22 б
20
18
о 16
о
14
о о j 12
О 25 50 75 100 125 z 150
л
;2п2
л 2
10
8 &a&
8 n/r
4- j) . n ... . о . . n АЗ
2
3
2 в
f
О
О  50 75 100 125 2/50
л
Рис. 60. Зависимости f(Л 2 ) и lp('Л2).
tI ..... меДЬ, б ..... ЗОJlОТО, (J  никель.
-
о о
.. .!  .
00
3 n
9 n
.
,.. ... а
о.
nk
· о )..3
2,0

 34]
НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНьm РЕЗУЛЬТАТЫ
251
Н 60 Ф Ф V1ПrППiX k2  па i (  2 )
а рис. приведены тра ики J"'A& A == l' 1\ И
nk
'А а == q;(л 2 ), построенныIe по измеренным ранее [69] значениям показа-
телей преломления п и поrлощения k соответственно для меди, золота
и никеля в интервале длин волн от 1 до 121L. Светлые кружочки
соответствуют значениям f(л 2) и lf(Л 2), построенвьш по эксперименталь..
но измеренньш значениям п и k. темныIe :кружочки соответствуют
N 10  22
8
6
I О (
 n О 
 х. V '" Т=295 0 К
"J )(
1=78"1(
\
, . , I .
"о
I
2
з
4 5
л,f-
Рис. 61.
6
7
8
9
значениям f(л 2 )и ср(л 2 ), определеннъш по сrлаженным кривъш зависи...
мости п и k от длины волны. В последнем случае п и k взяты
для целочисленных значений длин волн. Верхние кривые рисунков пред..
ставляют функцию f('A2); соответствующие оси ординат помещеныI
слева. Нижние кривые даютq:,(л 2 ), их оси ординат расположеныI справа.
Формула (34.7) позволяет рассчитать число электронов проводимости
в единице объема.
Как и следовало ожидать, определенное по постоянной А число
электронов проводимости в единице объема совпадает с найденньш
ранее [69] значением на основе классической теории Друде ..... Зинера.
Если предположить, что проводимость (j образцов равна проводи..
мости массивноrо металла [252], то формула (34.8) позволяет рассчи-
тать время релаксации. Наконец формула (34.9) дает величину (1 ..... р) 1,
если воспользоваться известным значением (j и найденными постоян-
ными А и с.
Медь (рис. 60, а). Линейная зависимость f(л 2 ) хорошо вьmолняется
во всей исследованной авторами области. Величина f(л 2) постоянна
для всех длин волн. Линейная зависимость ср(л 2) набmoдается только
при длинах волн, б6льших 5/-L.
Серебро. Величина f(л 2 ) возрастает с увеличением длиныI волныI л.
Авторы отмечают, что измерение оптических постоянных серебра
связано с наибольшими экспериментальными труДностями и вслед..
ствие этоrо, возможно, п и k определеныI менее точно, чем для дру..
rих металлов, что может явиться одной из причин такото хода кривой
/(л 2). С друrой стороныI, наблюдается очень хорошая линейная зависи-
мость величиныI р(л 2 ) от л 2 . Ве личин а р(л 2 ) убывает с ростом длины
BoJIныI от 1,04 (л == llL) до 0,98 (л == 12/-L). Поэтому величина А бьша

252
АНОМАЛЬНЫЙ СКИИ-ЭФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
[rл. VIII
рассчитана из формулы (34.7) по значению N, найденному ранее
[69] на основе классической теории Дpyд  Зинера, а величина С 
описанным выше методом.
Золото (рис. 60, б). Величина f{л 2) постоянна для длин волн, б6льmих
41L, и равна 25. 108 CM2. Линейная зависимость ср(л 2 ) от л 2 имеет
место также для длин волн, б6льПIИX 4/L. Величина ср(л 2 ) убьmает с
ростом ДЛИНЫ волны сильнее, чем в случае меди и серебра.
Никель (рис. 60, в). Величина t(л 2 ) линейна и постоянна только :в.
области длин волн, б6льПIИX 81L. Величина ср(л 2) изменяется линейно.
с 'А 2 в той же области, что и t(л 2 ), незначительно убьmая с увеличением
длины
 волны.
В табл. 11 приведены найденныIe величиныI А и С и рассчитанныIe
значения N, '1", (1  р) 1 и (1  р) v для меди, серебра, золота и никеля.
В ней же приведены взятые из [252] значения проводимости (j этих
металлов.
Таблица 11
Металлы А. 108 С . 10..12 а . 1<r 18 N . 1022 Т . 10 1t (1p)l. 10& (lp)f1. 1<r 8 .
CM2 cM-- COSE см..- сек см см/сек
Медь .... . . . . 34,1 0,65 58 3,8*) 6,05 2,43 4,02
Серебро . . . 64,2 1,05 61 7,2 3,36 0,57 1,7
Золото ...... 25,0 1,58 44 2,8 6,23 11,7 18,8
Никель ..... 4,15 0,3 13,7 0,46**) 11,7 64,1 55
*) Если, соrласно [253], принять т* == 1,47 т, то N == 5,57. 1022 CM3.
**) Если, соrласно [253], принять т* == 28 т, то N == 12,95 · 1022 CM3.
В работе rоловашкина, Мотулевич и Шубина [255] выполнены
измерения оптических постоянных алюминия в интервале длин волн
от O,891L при комнатной температуре и при температуре жидкоrо
азота, статической проводимости и плотности металлических.
слоев тех же образцов. Полученные экспериментальные данные
бьши обработаны с учетом влияния межэлектронныx соударений
и квантовых поправок для частоты соудареНИЙ электронов с фОНО
нами.
Оптические постоянные при комнатной температуре измерялись
поляризационным методом [67], при температуре жидкоrо азота на
установке, описанной в работе [256]. Измерения проводились на слоях
алюминия, полученных испарением в вакууме с вольфрамовой спирали
на по.лироваlШое стекло. Слои, используемыIe для измерений, бьти
порядка 0, 45 1L, что в 1015 раз больше длины свободноrо пробеrа
электрона. Чистота исходноrо алюминия бъта 99,99 %. Одновременно-
,.

 34]
НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕIПАЛЬНЪIE рЕзулътАтыI
253
с зеркалами напыляIисьь образцыI для измерения статической электро..
проводности о- о И плотности d. Знание плотности бьшо необходимо
для определения числа электронов проводимости, приходящихся на
один атом.
В табл. 12 приведены результаты для оптических постоянных
алюl\шниевыx зеркал, характеризующихся значениями 0-0 == 2,2 · 1017
.CGSE и d == 2,4 Z/CM3. ДЛЯ сравнения приведены данвыIe Битти [257],
полученные при комнатной температуре. Из таблицы видно, что
Н'/О'
4'
3
2
I
00 I
T=lD5°R
Х,
-...x____x
Т=78 0 К х-х
2
з 4 5
Л,
Рис. 62.
6
8 D
7
значения п по rмш ниже значеНИЙ, полученвых Битти. Авторы счи..
тают, что это расхождение, по"видимому, объясняется более низким
значением проводимости, использованным Битти (0-0 == 1,5 · 1017
CGSE). Значения для k хорошо соrласуются между собой в интервале
длин волн до 5f.L. В более далекой области значения для k У Битти Hec
колько ниже, что снова можно объяснить более низким значением про
водимости.
Сравнение данных при комнатной температуре и температуре
'Жидкоrо азота показьmает, что, как и следовало ожидать, k почти
не меняется с температурой, тоrда как п существенно уменьшается.
Экспериментальные данныI,, полученныIe как при комнатной тем..
пературе, так и при температуре жидкоrо азота, были проанализиро..
ваны авторами по схеме Мотулевич, изложенной в  33. При этом
оказалось, что третье приближение отличается от BToporo меньше,
чем на 1 %. Результаты обработки экспериментальных данных приве..
дены в табл. 13, rде N a  концентрация атомов алюминия и остальные
обозначения совпадают с обозначениями, принятыми в  33.
Соrласно rуржиуf выисляетсяя по формуле (33.23). Для алюминия
'Температура Дебая в== 3980 К, поэтому из табл. 13 при Т ::::: 2950 К
'ЧJ(Т) == 1,22. Для Т == 780 к "1;/ практически достиrает предельноr9
значения, paBHoro 1,2. 1013 ceKl. Ошибка при определении микро..
характерисmк алюl\ШНИЯ составляла для N 5%, для Уо е ...... 10%, для
v ..... 30 % при комнатной температуре и}о % при температуре ЖИДICоrо
азота. Большая ошибка в определении v объясняется тем, что для

м ............. .  ......... 
.-с
m
=:(
=:1

\с)
«s
(--t
"
..
+

.
::'

+
..



:t
Q
....
::'
.ас
+
..



:t
Q
....
n:- ;n
h а
R


В&> ;n
m
Е-. n r:!.

:t
со<


u
....



"
h

о
00
....
n
h
::t:
о
It')

n
(....

о
00
....
I
(....

о
It')

R
(....

о
-п
0\ 
М
"
h

о
m

U
(....
S88
V\V\V\vvV)V)V)V)V)V)I I
d о 00'" о о о о'" 00 о'"
vVV)NOI' 8 00 \OooV\1'
'1"8400\0\0\0\ ММ.-с.-с.-с.-с
V\V\vvvvV\V\V\V)V\V\V\
О о о о о о о 0"'0 о о'" о о
v\
V\vV\O\\OOoo.-с'Ol::t'I'V\
",'" "О'" .-с'" N  d "С'" м'" d 00'" 1'''' I I
\OV)VMMN.-c.-c.-c
v\ V)
MoovooV\O\I'OM\OVVI'
 .n ..: N  0\ \tS м d 00 1'''' \tS .n
\OV\M.-c.-c.-c......c
.......ММ 8 МОООм\о......с 1
0\.....1'......с I'V\MMM
о'" \tS м'" м'" N ..: ..: ..: ......с'" ......с'" .-.f'"
......с
O\O\I'......coooo'Ol::t'vV\
OvOO\OvNOooooool'O\
            
MOOVMMNN.-c...........c......c.-.f
......с
00 \О.-с..... 00V\......c 00 0\0
\tS 1'8\ 0\" м" \tS 0\ м d 1''''  N I I
...........c.....MMV)

....
m
М
....
V)NooVOO
I "С'" cs  cs "С'" м'" 0\ ",'" ..:
......cNMvvV)\O
I I I

-п
m

О О \О......с......с 00 V)O\OvO......c......c
\tS 1'''' 0\'" N "С'" 0\ ('f') cs l' '"  ..: 00 м'"
......c......c......cMV)V\"C
I I
О
1 I'NNVV\......c
":":NM\tSo\l
r:::'
m

ON......c l' 0\
I I I MvO\......cO\OO......c
I N ('f')  v\ '" 00'" ..:  r-: ..:
..........с......сМ

-п
-п
М
....
MV\V\vV\
......cOO\......cI'VMool'V\\O
......с'" ..: о ..... '" ..: м'"   \tS 0\ м .n '1"84
..... ......с М
OOO\MV\OV)OOOOOOO
О о ..: ..; N N   ",'" \tS r-: 00 0\

......с


 00 v\
OD .. м- м"
Ь
....

,

Q
..  ('f')
00 '" '"
... ..... .....
I
с:>
....
.
.
r
...
I

(,)
.... l' 0\
... r-: 
Ь
....
....
.
?-
...
I

(,)
.... tr') м
... \tS..:
Ь
....
.
.....
. о
(>-
...
,

(,) 0\
.. 00 ......с
.. o
...
I
с:>
....
.
.
. о
?-
е 00 
  
 ......с .....
..
I
5
.. v ....
.. r-: 1''''
ее
I
с:>
....
.

 v\ 00
.. 0\ l' I
О М
(....
f'

=-
=:1

\с)

(--t

 34]
НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЪНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
255
алю l\fllНИЯ имеет место слабо выражеННЫЙ аномалънъlЙ скин..эффект,
и роль поверхностных потерь мала по сравнению с объемными. Необ..
ходимо подчеркнуть, что для определения v следует брать (то нееле..
дуемых зеркал. При использовании табличных значеНИЙ получаются
существенно завышенные значеНИЯ v (ср., например, последнюю rpафу
табл. 11). Из табл. 13 видно, что N и v для алюминия практически не
меняются с температурой. Изменение "/ое с температурой идет несколь..
ко быстрее, чем ожидаемая теоретически зависимость, пропорцио..
налъная Т2. Соrласно (33.18) и (33.22) эффективное число соудареНИЙ
электронов зависит от длины волны падающеrо света.
Для 'А  5/L при Т == 2950 К
l' R:j 0,9 · 1014 ceKl,
при Т == 780 К
l'  0,6 · 1 014 ceKl.
Используя полученные значения l' и v, можно оценить длину
свободноrо пробеrа электрона 1 и время релаксации т.
Для Т == 2950 К
v
1 ==  R:j 3 · 106 см,
'у
1
т ==  A:j 1 1 · 1014 сек
'у' ,
для т == 780 К
1  4 · 106,
Т  1,7 · 1014ceK.
rлубина скин..слоя для алюмищrя в использованном авторами
интервале длин волн для обеих температур
'А
о == 2пk R:j 2 · 106 см.
Следовательно, 1 r--J О, то есть при обеих температурах для алю...
миния имеет место слабо выражеННЫЙ аномальнъlЙ скин..эффект.
Посмотрим теперь, въшолняются ли неравенства (33.19).
Для 'А == 5f.L при Т == 2950 К
v
00 R::j 0,37,
'1  0,24;
(с)
при Т == 780 К
v
6)д == 0,33,
'у  0,16.
6)

256 АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА [rл. VПI
Следовательно, первые два неравенства удовлетворяются. О вы..
полнепии третьеrо можно судить по характеру зависимости от 'А
веЛИЧИl1
N == 1 79 · 1022 ( 1 + P 2G ) 2 ( 4kЛ ) 2
, п 2 + k 2 '
4п
М == п 2 + k 2 + р2fЗп.
На рис. 61 и 62 приведевы зависимости этих величин от 'А в интервале
1,2 ..... 9,..,.,. Из рисунков видно, что величина N не зависит от 'А, азависи"
мостъ величины М в этом интервале совпадает с рассчитанной кривой,
полученной при учете межэлектровныx соударений. Следовательно,
можно считать, что измерения проведены в области, rде третье не..
равенство также вьmолняется.

ЧАСТЬ 11
МArНЕТООПТИКА
r ЛАВА IX
НЕТООПТИЧЕСКИЕЯВЛЕНИЯ
Оптические эффекты, в которых про является влияние маrнитноrо
поля на излучение света некоторым источником или на ero распро..
странение в веществе, находящемся в этом поле, назьшаются MarнeTo"
оптическими.
Первое маrнетооптическое явление было обнаружено в 1846 Т.
Фарадеем, показавшим, что если через среду, помещенную в мarнитное
поле, про пустить в направлении поля поляризованный пучок света,
то плоскость поляризации света повернется на некоторый yrол, вели-
чина KOToporo пропорционалъна полю и толuцине просвечиваемоrо
вещества. Придавая этому явлению большое значение, Фарадей писал:
«Мне, наконец, удалось намаrнитить и наэлектризовать луч света и
осветить маrнитную силовую линию». Это замечательное открьпие
сыралоo существенную роль в развитии электромarнитной теории
света. Оно явил ось стимулом К проведенmo аналоrичны onыIов,,
из KOTOpbIX наиболее значительным оказалось открытие эффекта
Зеемана. Оно послужило очень ценным средством исследования
механизма излучения и поrлощения света, а также тесно связанных с
ним проблем строения атомов, молекул и кристаллов. В этой rлаве
мы рассмотрим три основных маrнетооптических явления: эффект
Зеемана, эффект Фарадея и эффект Коттона  Мутона.
 35. Эффект Зеемана
Маrнитное поле непосредственно сказывается на спектре атома
или молекулы, вызывая расщепление и специфическую поляризацию
спектралъных линий и полос (эффект Зеемана 1896 Т.). При наблюдении
этоrо явления источник света (натриевое пламя, ртутная дyra и т. п.)
помещается между полюсами электромаrнита, а само излучение
направляется в спектроскоп высокой разрешающей способности.
. При этом можно исследовать спектральный состав света, излучае..
Moro как параллельно маrнитному полю (продольный эффект),
так и перпендикулярно ему (поперечный эффект). Если поле «сильное)
17 А.В. СОICОЛОВ

258
МАrНЕТООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
[ТЛ. IX
(по сравнению с внутренним полем, вызывающим мультиnлетное
расщепление), то мы имеем так называемый нормальный эффект Зее..
мана (или э(рфект Пашена  Бака).
При нормальном продольном эффекте вместо наблюдаемой
в отсутствие поля одной спектральной линии частоты си о , как пра
вило, неполяризованной, наблюдаются две симметрично смещенные
относительно си о линии 0' и 0". Обе они оказьmаются поляризован..
llh1МИ по Kpyry. При нормальном поперечном эффекте наблюдаются
три линейно поляризованных линии  несмещенная линия си о с элек..
трическим вектором, направленным вдоль поля, И две линии 0' и 0",
смещенные так же, как и ПрИ продольном эффекте, но в отличие от
Hero  с электрическим вектором, перпендикулярным направлению
маrнитноrо поля.
Нормальный эффект мо)кно достаточно полно объяснить с по..
мощью простой классической электронной теории. Будем исходить
из уравнения движения электрона  rармоническоrо осциллятора
подверrающеrося действию лорентцевой силы маrнитноrо поля Н:
т; + 'К'" ==   [';' n].
с
(35.1 )
Умножив на е/т, имеем
р + cиp +  [рН] == О,
lпс
(35.2)
rде т0 == х и р == e'l'.
Если маrнитное поле направлено по оси Z, то для (35.2) в состав..
ляющих будем иметь
.. 2 2 . О I
:,х + (})Px + (})LY  '
y + 0оРу 20 L РХ  О,
pz + 05Pz == О,
еВ '
rде 0L ==   2  ларморова частота. Составляющая колебания
те
параллелъная силовым линиям маrнитноrо поля, остается без изме..
нения, ее частота равна частоте невозмущенноrо атома 00.
Решение двух первых уравнений ищем в виде
(35.3)
" 
Рх == ae IW .,
Ру == be iw !.
Подставляя (35.4) в (35.3), получим два линейных однородных урав..
нения
.
(35.4)
a(0  (2) + 2i0L0b == О, 
Ь( 0  й)2)  2i 0 L 0а == о. \
Приравнивая нулю детерминант этих уравнений, получаем уравнение
(35.5)
f'

 35]
ЭФФЕКТ 3ЕЕМАНА
259
относительно (j)2:
(02  0) == 4 01. 02.
(35.6)
Обозначая меньший из корней через 0' и больший через 0", получим
0'2  ш2 ==  20 L 0' 
о ,
0"2  cи == 20 L ш" .
(35.7)
Так как отрицательные значения (j) не имеют смысла, то отсюда
следует
0' ==  си L + V 0 + 01, I
0" == 0 L + V 0 + 01 . 
(35.8)
Таким образом, в маrнитном поле оба колебания, перпендикуляр"
ные к силовым линиям, имеющие при отсутствии возмущения одина..
ковую частоту, переходят в два колебания с различными частотами,
из которых одна 0' меньше, а дрyrая ш" больше пер во начальной
частоты 00.
Соrласно (35.8) первоначальная частота 00 не лежит точно по..
средине между 0' и 0"; но для не слишком сильных полей можно
с достаточным приближением пренебречь 0t по сравнению с 0 под
знаком корня и тоrда из (35.8) следует 0' == 00  0L' 0" == 00 + 0 L ,
то есть 00 лех(ит посредине между 0' и 0".
Форму колебаний, соответствующих 0' и 0", можно получить
из уравнений (35.5); для этоrо, воспользовавшись (35.7), напишем
отношения
Ь' Cc>'2 Сс>2 .
 о  1
а'  2iCc>LCc>'  ,
Ь " "2 2
сс>  (дО
а"  2iCc> L Сс>" 
i
,
которые показывают, что колебания с частотами 0' и й) , поляризо..
ваны по Kpyry влево и вправо.
На основании изложенноrо анализа движения электрона в маrнит"
ном поле можно сделать выводы о поляризации трех зеемановских
компонент. Несмещенному колебанию 00 соответствует определен..
ная линейная поляризация (электрический вектор параллелен направ..
лению Н), а каждой из двух сдвинутых составляющих  волны,
поляризованные по круту в плоскости, перпендикулярной к направ"
лению поля. Поэтому, наблюдая свет, излучаемый атомом по направ"
лению силовых линий маrнитноrо поля, мы увидим две линии, отстоя..
щие на еН/тс дрyr от дрyrа;из них одна поляризована по круту напра..
ВО, дрyrая налево. Несмещенная составляющая при таком наблюдении
(продольный эффект Зеемана) будет отсутствовать, так как осцил..
лирующий ДИПОЛЬ не испускает света в направлении собственных
колебаний (рис. 63, а). Наблюдая же свет перпец'J;ИКУЛЯРНО к направ"
17*

260
МАrнЕТООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
[rл. lX
лению поля, например в направлении оси У, мы получим несдви"
нутую линию, поляризованную так, что электрический вектор парал..
еН
лелен полю, а слева и справа от нее на расстоянии Дси ==  2 две
те
линии, поляризованные так, что электрический вектор перпендикуля"
реН к полю.
Действительно, при наблюдении в направлении у составляющая
р крyrОвыХ колебаний отадает как неизлучающая. Составляющая
у u
Pz излучает с полно и мощ"
(1 ностью; для нее как для диполя
излучение в поперечном на..
правлении максимально. Та..
ким образом, теперь в спектре
будет представлена принадле..
жащая Pz частота колебаний
си о . Также будут представлены
частоты колебаний 00 ::i:: 0 L
обеих KpyтoBыx составляю..
Рис. 63. Нормальный эффект Зеемана.
а  продольное наблюдение, б  поперечное щих, однако только с поло..
наблюдение. винной интенсивностью, так
как действует только РХ. Так
как РХ колеблется перПендикулярно к маrнитному полю, то поле Е,
излученное РХ в поперечном направлении, направлено перпенди"
кулярно к Н, В то время как поле Е, излученное Pz, было на..
правлено параллельно Н. ЭТО отмечено на рис. 63, б при по..
мощи общепринятых обозначений, п (параллельно) и u' (перпенди"
кулярно); одновременно при помощи разной толщины линий ука..
зано отношение интенсивностей 2: 1. Полученная таким о бра..
зом картина носит название «нормальноrо триплета Лорентца».
Лорентц, сразу после открытия 3ееманом в 1896 r. маrнитноrо рас..
щепления, развил теорию, изло)кенную выше. Конечно, первоначаль..
ные наблюдения 3еемана были далеки от Toro, чтобы дать столь
точные спектроrраммы, какие были здесь изображены. Он исполь..
зовал не свет синrулетной линии, а (неразрешенный) дублет D"линий
натрия и получил вместо отдельных составляющих только общее
расширение картины спектра. Однако этоrо уже бьто достаточно
для Toro, чтобы показать, что здесь имеет место новый фундамен"
тальный эффект. Далее, этоrо было достаточно для Toro, чтобы
доказать качественное совпадение с теорией Лорентца. А именно
внешние края световото пятна при поперечном наблюдении были
линейно поляризованы и для них направление колебания вектора
Е было перпендикулярно к Н; с друrой стороны, при продольном
наблrnoдении они были поляризованы по Kpyry с направлением вра..
щения, указанным на рис. 63, а. Последнее имело особенное значение
jVIЯ находящейся тоrда в процессе становления электронной теории,
так как отсюда можно было сделать вывод о том, что колеблющаяся
Jr'.


11:
v
V
,111
V
v V o
о
I
I
I
I
v=v o
5

 35]
ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА
261
частица имеет отрицательный заряд. Действительно, при положителъ..
, u Д6)
ном заряде этои частицы знак перед Дv == 211' ' а потому и направле..
ние вращения для KpyroBoro колебания во всех предыдщих формулах
были бы обратныI..
При таком сравннии эксперимента с теорией существенным
является следующее обстоятельство, которое в то время еще не моrли
знать. Так же и при аномальном эффекте 3еемана о-..составляющие
лежат снаружи, как на рис. 63, ,6, а п"составляющие ..... ближе к сере..
дине картины расщепления. В этих случаях так же, как и на рис. 63, а,
коротковолновые составляющие поляризованы по Kpyry право..
винтовым образом относительно маrнитных силовых линий, ДЛИННО"
волновые левовинтовым образом.
 fJ rc те   t1 те 1'с 
I I I
I I I
I I 1
I I I
I I I
I I I
I I I
I I I
I I I
I I I
I 1 I
I I I
I I I
I I I I I I
'..ОС -.1. -.1 1. . 1. _ 1
.dv \I LJy J111
lI=У о v-v o
а tf
Рис. 64. схемыI расщепления D..линий натрия при по-
перечном наблюдеmm.
а  J1ИIIИЯ D 2 , А == 5896 А; б  ЛИНИЯ D 1 , Л =-= 5890 А.
Мы подтвердим это сразу же на примере схемыI расщепления,
уточненной 3ееманом и дрyrими, при поперечном наблюдении обеих
D..линий: линии п 2 , 'А == 5896 А (рис. 64, а) и (в Два раза менее интен..
сивной) линии п 1 , 'А == 5890 А (рис. 64, 6). На обеих картинах расстоя..
ния отдельных составляющих от Vo составляют целое кратное одной
трети нормальноrо значения ДV. Середина на обеих картинах не
занята и потому на чертеже показана nyнктиром. На расстоянии
ДV на рис. 64, а находится сильная о-"составляющая, на рис. 64, 6
на этом расстоянии ничеrо нет. Первые п"составляющие лежат на
2
расстоянии ДV/3 от середины на рис. 64, а и на расстоянии 3 дv от
середины на рис. 64, б. Вместо нормальноrо триплета Лорентца,
представленноrо на рис. 63, 6, мыI имеем, таким образом, на рис. 64, а 
секстет, а на рис. 64, 6  квартет. ,
Правило Pyнre rласит: при аномальном эффекте 3еемана расстоя..
пия, составляющих от первоначальноrо положения ЛИНИЙ, измерен..
ные в частотах колебаний, всеrда равныI ДV Лорентца, умноженному
на рациональныIe числа: появляюЩийся при этом знаменатель на..
зывается знаменателем Pyнre. Для rлавной серии натрия и остальных

262
МАrНЕТООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
[rл. IX
щелочных металлов он равен трем. Правило Престона rласит:
спектральные линии серий ОДноrо рода имеют одинаковый характер
расщепления.
Однако мы должны эти правила дополнить оrраничением: «при
не очень сильных маrнитныIx полях». Что означает «не очень сильные»?
Найденный Пашеном и Баком ответ rласит:
Дv  дv о .
Здесь Дv  маrнитное расщепление при нормальном эффекте 3еемана
L\v == 4 еН ; L\v o для дублетных линий, например n"линий, обозначает
птое
расстояние между обеими линиями, для «мультиплета»  наименьшее
из расстояний между двумя отдельными линиями. Если, однако,
при возрастании НДv будет приближаться к величине Дvо, то Дv
уже не будет увеличиваться пропорционалъно Н. При Дv  дv о
мультиплет под действием сильноrо маrнитноrо поля, так сказать,
стяrивается в синryлетную линию и эффект Зеемана становится все
более и более нормальныI.. Это явление вырождения носит название
эффекта ПашенаБака. Поэтому линии водорода, обладающие крайне
малым дублетным расщеплением ДV о , уже при слабых маrнитных
полях дают нормальныIй эффек;r Зеемана; поэтому они и линии rелия
долrое время считались типичными представителями нормальноrо
эффекта Зеемана.
Все изложение этоrо параrрафа велось на основе классической
механики и электродинамики. То, что сделанныIe выводы остаются
справедливыми в квантовой теории, определяется тем обстоятель..
ством, что в KBaHTOBbIX условиях для спектральных линий в маrнитном
поле постоянная Планка h, характеризующая квантовую теорию,
в формулу для ларморовской частоты йJ L не входит. Нечто подобное
имеет место и для аномальноrо эффекта Зеемана.
ля поперечноrо наблюдения квантовая механика дает
йJ == йJ + еН ( М' ...... М" )
о 2т о с '
rде М  маrнитное квантовое число, характеризующее возможные
значения проекции полноrо момента количества движения атома
на направление маrнитноrо поля. Теория дает правило отбора
ДМ == М'  м" == =1:1,0 и, следовательно, нормальный триплет.
Если атом обладает нескомпенсированным спином, наблюдается
сложное мноrокомпонентное расщепление спектральных линий  ано-
мальный эффект Зеемана. В этом случае имеем
еН
(i) == йJ o + 2 те ( М}' g J'  М}" g JII),
r д е g == 1 + J (J + 1) + s (8 + 1)  L (L + 1)  Ф акто р Ла нд е а М
. . 2J (J + 1). . ' J
пробеrает все значения от  J до .+ J. Число компонент звисит

 36]
МАrНИТНОЕ ВРАЩЕНИЕ плоскости ПОЛЯРИЗАЦИИ
263
тем самым от квантовых чисел комбинирующих уровней и от значе..
ний факторов Ланде.
Таким образом, маrнитное поле оказьmает непосредственное воз..
действие на частоты и интенсивности спектральных линий И, следо..
вательно, на поляризуемость молекулы. "r
Продольный эффект Зеемана сводится в классической теории
к расщеплению каждой частоты на две. Для волн с левой крyrовой
u б еН
поляризациеи среда прио ретает частоту поrлощения О0  2 ' для
те
  ili
волны с правои поляризациеи  частоту поrлощения О0 +  2
те
вместо общей для света любой поляризации частоты О0 в отсутствие
маrнитноrо поля. Здесь речь идет об обращенном продольном эф..
фекте Зеемана, обращенном, так как мыI рассматриваем поrлощение,
а не испускание света. Следовательно, среда, помещенная в маrнит..
ное поле, в продольном направлении приобретает различныIe поляри..
зуемости для правой и левой волны. Мы увидим, что это должно
привести к вращению плоскости поляризации.
В поперечном явлении Зеемана мы получаем триплетное расщеп..
ление. Для направления колебаний световой волныI, параллельноrо
полю, собственные частоты молекул не меняются под действием
поля, и следовательно, поляризуемость и показатель преломлеimя
среды остаются такими же, как и в отсутствие поля.
Напротив, для волныI, колеблющейся перпендикулярно Н, полу..
чается расщепление частот  изменение поляризуемости и показа..
теля преломления. Следовательно, среда становится двоякопрелом..
ляющей.
 36. Маrнитное вращение плоскости поляризации
(эффект Фарадея)
Опьпное изучение этоrо явления показало, что yrол поворота
плоскости поляризации а пропорционален первой степени напря..
женности поля Н и толщине слоя вещества 1, помещенноrо в поле
а == K1H, (36.1)
rде К  постоянная Верде.
Прежде чем излаrать теорию явления Фарадея, рассмотрим весьма
удобный способ описания поляризованноrо света, плоскость поля..
ризации.котороrо непрерывно поворачивается при распространении.
При распространении света вдоль оси z вектор электрическоrо поля
всеrда расположен в плоскости ху. Вместо Toro чтобы отдельно
задавать составляющие Ех и Еу, будем оnисьmать поле с помощью
комплексной величины, вещественная часть которой равна составляю..
щей по оси х, а мнимая  по оси у. Выражение Ех + iEy == Ae itp
означает, что Ву == А sincp и Ех == А СОSЧ!. Следовательно, А есть

264
МАrНЕТООnТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
[rл. IX
аБСОЛIотное значение силы поля, а ер  yrол, образуемый направле-
нием поля с положительной осью Х.
Линейно поляризованная в определенном направлении волна с
частотой ro, в среде с показателем преломления п, может бьпь задана
в общем виде формулой
Ех + iEy == а COS (jJ (t  п; ) ,
тде а  произвольное комплексное число, абсолютное значение
KOToporo определяет амплитуду, а фазовой yrол  направление
плоскости поляризации.
Если при передвижении на 1 см по направлению оси z фазовый
уrол поворачивается на yrол Х, то ЭТО можно выразить простым
добавлением множителя e ix к комплексной амплитуде. Поэтому
волна с вращающейся плоскостью поляризации должна быть задана
в виде
Е . ' (t 11 Z )
+ zE == ae lXZ cos си .....  .
х у С
(36.2)
Заменив косинус соответствующими показателъными фуmщиями,
получим для вектора электрическоrо поля выражение, тождествен..
ное с (36.2):
. 1  iw[t(n :C )] iw[t(п+ X; )]t
Ех + lEy == 2 а le + е  ·
(36.3)
Эту формулу можно истолковать следующим образом. Рассматри"
ваемое колебание состоит из двух волн, вращающихся одна налево,
а дрyrая направо, с одинаковыми амплитудами, но с разными показа..
телями преломления. Показателъ преломления положительно вращаю..
щейся BoJIныI равен п+ == n  х е , а отрицательно вращающейся 
6)
n == n + Х С . Поэтому вращение плоскости поляризации в каком..
6)
либо веществе будет иметь место тотда, коrда это вещество обладает
«двойным лучепреломлением по круту», т. е. котда оно имеет различ..
mIe показатели пр ело мления для двух волн, поляризованных по
круту в противоположных направлениях. Если п+ и n  показатели
преломления двух таких волн, то из нашеrо рассмотрения следует,
что с прохождением расстояния 1 плоскость поляризации поворачи..
вается на yrол
6) п (
а == X1 == (n  п+)  2 1 ==  п  11+) 1.
с i\.
Перейдем теперь к рассмотрению оптических свойств среды
в маmитном поле.
(.36.4)

 36]
МArНИТНОЕ ВРАЩЕНИЕ плоскости ПОЛЯРИЗАЦИИ
265
Тот факт, что изотропная среда, нахоДЯЩаяся В маrнитном поле,
для света, распространяющеrося вдоль поля, приобретает свой..
ство двойноrо KpyroBoro преломления, можно понять из следующих
общих соображеНИЙ.
Вид тензора диэлектрической проницаемости среды, находящейся
в маrнитном поле, можно найти на основе теории вьmужденной
анизотропии. Изотропную среду, находящуюся в маrнитном поле,
в оптическом отношении можно рассматривать как двоякопрелом..
ляюЩИЙ кристалл, оптические свойства KOToporo определяются
диэлектрическим тензором. Без оrраничения общности можно счи..
тать маrнитное поле Н направленным вдоль оси z. Все плоскости,.
пр о ходящие через это выделенное направление z, эквивалентны между
собой. Отсюда следует, что тензор диэлектрической проницаемости
средыI в маrнитном поле должен обладать цилиндрической сим..
метрией:
Вхх == е уу == в,
Вху ==  Вух == ig,
B xz == e yz == Bzx == е... у == О,
e zz == Во.
(36.5)
Зависимость 9 от внешнеrо поля сводится в изотропной среде к про..
стой пропорпионалъности *)
9 == g'H;
(36.6)
скалярная постоянная g' может бьпъ как положительной, так и отри..
цателъноi.
В отсутствие поля недиаrоналъныIe составляющие тензора обра..
щаются в нуль, а диаrональныIe становятся ОДИНаковыми в == е о ,.
т. е. среда становится оптически вполне изотропной. Подставляя
(36.5) в первое уравнение (1.2), будем иметь
пх == еЕ х  igE y ,
пу == igE x + вЕу,
Dz == BgEz.
Умножив уравнение (36.76) на :1:i и сложив еТо
пх :1: ; пу == (в =F g) (Ех ::l: iEy),
Dz == eoEz.
(36.7а)
(36.7б)
(36.7в)
с (36.7а), получим
(36.8а)
(36.8б)
Выразим теперь произвольное колебание не через Ех, Еу, Ez, а через
их линейные комбинации
Е+ == Е:х + iEy, E == Ех iEy, Ez == Ez. (36.9)
*) Здесь g есть z-составляющая вектора rиpации, обычно определяемоrо из
уравнения D == еЕ + i[gE].

266
МАrНЕТООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
[rл. IX
Тотда из (36.8) видно, что соответствующие составляющие п:
п+ == Dx + iDy,
п == пх iDy,
п, == Dz
(36.10)
удовлетворяют уравнениям
п+ == (е  g)E+,
п == (е + g)E,
Dz == eoEz.
(36.11а)
(36.11б)
(36.11в)
Соrласно основному уравнению кристаллооптики [46]
D == п 2 (Е  s (Е s», (36.12)
волна, распространяющаяся вдоль оси z, должна удовлетворять
уравнениям
пх == п 2 Е х , пу == п 2 Е у , Dz == О,
(36.13)
или
D-:t == п 2 Е1..
Используя (36.11) и (36.13), находим
D-:t == Dx::i:: iDy == (8 =F g) (Ех ::i:: iEy) == n 2 ( E x ::i:: iEy),
Dz == е о Ez.
Отсюда получаем два реПlения:
п == (е =F g) при Ех == =fiEy,
(36.14)
(36.15)
или приближенно
g
П::!: == п =F 2п .
(36.16)
Параллельно силовым линиям распространяются две поперечные
циркулярно поляризованные волныI; показатель прело мления п+ 
соответствует правополяризованной, а п  левополяризованной
волнам.
Тем caмъlМ показано, что среда в маrнитном поле приобретает
свойство двойноrо KpyroBoro преломления, величина котороТО равна
g
п  п+ == 
 п.
(36.17)
Подствляя (36.17), (36.6) в (36.4), для вращения плоскости поляри..
зации находим опытный закон (36.1)
а == ;l l == ::л g' н 1.
(36.18)

 36]
МАrнИТНОЕ ВРАЩЕНИЕ плоскости ПОЛЯРИЗАЦИИ
267
Если бы мы пользовались вместо системы уравнений (36.7) век..
торной формой D == еЕ + i[g Е], то выражение (36.18) можно было
бы представить в виде
'1l1 '1l
а == пА (g. s) == пл gZ. cos v, (36.19)
тде v  уrол между вектором rирации 9 и единичным вектором рас..
пространения s. Разность показателей преломления двух крyrОвыХ
противоположно поляризованных волн можно определить также
на основе эффекта Зеемана.
Известно, что маrнитное поле Н налаrает на невозмущеШlое
движение электронов внутри атома равномерное вращение вокрут
направления поля с частотой Лармора
еН
UJ L ==  2т с · (36.20)
Если на эту атомную систему падает волна с частотой ro, поляризо..
ванная по Kpyry в положительном направлении, то ее частота по
отношению к вращающейся координатной системе будет, очевидно,
на roL меньше, т. е. си  cи L . Волна с той же частотой ro, но левополя-
ризованная по круту, имеет во вращающейся координатной системе
большую частоту, а именно ro + cи L . Поэтому показатели преломления
для обеих рассматриваемых волн будут различныI. Если п(ro) озна..
чает показатель преломления данното сорта атомов в присутствии
маrнитноrо поля для волны с частотой ro, то для право поляризован..
ной волныI мы получим показатель преломления п+(ro) == п(си  ro L ),
а для левополяризованной п(ro) == п(ro + cи L ). Поскольку частота
(UL весьма мала по сравнению с частотами ВИДимоrо света, то леrко
определить разность п  п+, а именно:
dn
п. п+ == п (си + cиL)  п (си  cиL) == 2  d roL. (36.21)
ct)
dn
или так как си dbl
Подставляя (36.21) и (32.20) в (36.4), получаем формулу Беккереля
а ==  bll dn  Н
2е dbl те '
dn
== 'A  то
dл '
а ==  dn lН.
2те 2 d'A
(36.22)
Вне линий поrлощения : < о (нормальная дисперсия), заряд электрона
также отрицателен, так что в общем мы получаем всетда положитель..
ное вращение плоскости поляризации, т. е. вращение совпадает с
направлением тока, вызывающеrо в соленоиде маrнитное поле Н.
Внутри полос поrлощения знак вращения обратныI..

268
м АrНЕТООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
[rл. IX
 37. Маrнитное двойное лучепреломление
(эффект Коттова ....... Мутона)
Исследуем теперь явление распространения света в веществе
при условии, что маrнитное поле перпендикулярно к направлению
cBeToBoro пучка. Из (36.19) следует, что при v == 900 (вектор s перпен"
дикулярен маrнитному полю) линейный по полю эффект, описы..
вающийся формулой (36.16), обращается в нуль. Поэтому при уrлах v,
близких к 900, должныI учитьmаться также и члены, пропорционалъ..
ныIe квадрату поля. Цо тотда необходимо учесть зависимость диаrо..
налънъlX составляющих диэлектрическоro тензора от мarнитноrо
поля. Поэтому мы можем переnисать (36.7) для этоrо случая в виде
пх == eeE  igE y , I
пу  igE x + е"Еу,
Dz  eoEz,
(37.1 )
тде индексы О и е соответствуют обозначениям «обыкновеННЫЙ.
и «необыкновеннъш) в теории двуосных кристаллов, с которыми
последующие рассуждения имеют близкую аналоrию.
Функции ее(Н) и ео(Н) можно разложить в степенной ряд по Н и
оrpа ничи ться первыми поправочными (по сравнению со значениями
в отсутствие поля) членами разложения, т. е.
( ) ...... (О) ( аее ) 1 ( а 2 е е ) 2
ее Н ..... ее + аН Н + 2 аН2 Н + · · ·
н ==0 Н==О
(37.2)
При изменении направления поля на обратное выражение (37.2)
примет вид
( )  (0 :\ ( оее ) 1 ( а 2 е е ) 2
ее Н  ее J  аН Н +"2 аН2 Н ·
н==о Н ==0
(37.3)
Далее, имеем ее(Н) == ее( .....Н), так как физические свойства тела не
должЕыI меняться при изменении направления мarнитноrо поля на
обратное. Сравнивая (37.2) и (37.3), находим
(О) 1 ( 02 ее ) 2
ее == ее + 2 оН2 Н ·
н==о
(37.4)
Введем такой множитель й, чтобы произведение еТО на ее(О) давало
нам значение коэффициента перед Н2 в (37.4), т. е.
1 ( а 2 е е )
2 а Н2 == Ве(О) а.
Н==О
Тоrда
Ее(Н) == ее(О) · (1 + аН2),
(37.5)

 37]
МАnНИТНОЕДВОЙНОЕЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ
269
и аналоrичное выражение находим для ео(Н):
ео(Н) == 80(0) (1 + ЬН2).
(37.6)
Итак, мы получили три существенно различныIx составляющих ди-
электрическоrо тензора 8е' 80 и ig. Блаrодаря отличному от нуля значе-
нию g вещество в маrнитном поле ведет себя по отношению к свету,
распространяющемуся перпендикулярно к полю, не как одноосный,
а как двуосный кристалл.
ДЛЯ ВОЛНЫ, перпендикулярной к полю, например, параллелъной
оси х, имеем
пх == О,
пу == п 2 Е у ,
Dz == n 2 E z .
Тоrда, соrласно (37.1), находим
Ех == i Ey,
ее
D == п 2 Е == eg2 Е
у у У ,
ее
(З 7 . 7)
Dz == n 2 E z == 8oEz.
Таким образом, в среде перпендикулярно полю распространяются
две линейно поляризованныIe ВОЛНЫ с взаимно..перпендикулярныIии
колебаниями
пу == 1,
пу == О,
Dz == О,
D == 1.
z
Их показатели пре ломления равныI
n == v e  g2 == Уе {l + [а  ( ' ) 2] Н2! '
nll == Уео(Н) == Vё(l +bH2),
(37.8)
rде 8 == Е'е(О) == 80(0). Показатель nJ. есть показатель прело мления
световой волны
, колебания электрическоrо вектора в которой проис..
ходят параллельно силовым линиям поля, а показатель nll соответ"
ствует волне с колебаниями, перпендикулярными к ним.
Таким образом, если линейно поляризованный свет падает в
нормальном направлении на плоскопараллельныIй слой вещества,
находяЩИЙся в параллелы\ом ему маrнитном поле, то две компоненты
прошедшеrо в вещество света (с векторами D в плоскостях yz и xz)
распространяются с различными значениями п. В результате этоrо
свет, выходящий через противоположную сторону слоя, оказывается

7()
МАrНЕТООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИ
[rл. IX
').IIJIIIIII r1'1ССКИ поляризованным. Найдем средний показатель прелом...
./ICIII'Isr, ДJlSI чсrо положим, что в отсутствие поля Уе == п. Тотда имеем
! ( У' ) 2 !
4а  4  + ь
/1  2П.L: П[I == п 1 + : Н2 .
).HJl, имеем
(37.9)
( и'
 2a2 ;Ib
пl l  п ==  2
I 6
)
[
пН2, J
(37.10)
( У' ) 2
 2а  2 ---;  ь
п  п == пН2
1. 6 '
01Kyдa получается простое соотношение
п/In  2
п.t  n   ·
Такое соотношение имеет место в электрооптическом эффекте
Керра. Поэтому рассматриваемый эффект является аналоrом упомя..
HYToro явления. Двойное лучепреломление, соrласно (37.10), равно
{ У' ) 2
Ь  2а + 2 ---; 2
n'l  пJ. == 2 пН ·
(37.11)
Таl(ИМ образом, величина мarнитноrо двойноrо лучепреломления
пропорциональна квадрату напряженности маrнитноrо поля, и в
этом смысле это явлеllИе также совершенно аналоrично электроопти"
ческому явлению Керра.
Явление поперечноrо двойноrо лучепреломления в маrнитном
поле впервые было наблюдено Коттоном и Мутоном [46]. Даже
при самых блаrоприятных условиях оно чрезвычайно мало и поэтому
никоrда не наблюдается в rазах, а только в жидкостях и немноrих
стеклообразных твердых телах. Для Toro чтобы обнаружить ero,
вещество помещают между двумя скрещенными николями. При
включении маrнитноrо поля, перпендикулярноrо к ходу лучей, тем..
ное поле зрения освещается. Это явление нельзя скомпенсировать
путем вращения анализатора; для этоrо нужно поставить между
ииколями компенсатор.
Если 1 есть световой путь в веществе, находящемся в поле, то
полученная разность фаз двух лучей равна
о ==  (п/I  fl.L) 1 == clН 2 . (37.12)

9 37]
МArНИТНОЕ ДВОЙНОЕ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ
271
Откуда для постоянной Коттона  Мутона получаем
с  : [ь  2 (а  ( :Т )] ·
(37.13)
Двойное преломление для поля, paBHoro единице, т. е. величину
ело == п ll ;; п.t , называют абсолютной постоянной KOTTOHaMYTO"
на. Знак постоянной е может быть как положительныI,, так и отрица..
тельным.
Тот факт, что двойное лучепреломление в направлении, перпенди"
кулярном полю, пропорционально Н2, показывает, что если мы берем
в явлении Фарадея только члены первоrо порядка относительно Н,
то при переходе от продольноrо к поперечному направлениlO двой"
ное крутовое преломление всеrда равно нулю. Если же берутся также
члены второто порядка, то при некотором промежуточном направ..
лении наБЛlOдения произойдет переход от KpyroBoro двойноrо пре..
ломления к линейному. Для Toro чтобы проследить этот переход,
следует рассмотреть общий случай маrнетооптическоrо эффекта.
.Пусть плоскостью падения является плоскость xz; тотда
Sx == sin v,
Sy == О,
Sz == cos v.
Составляющая вектора п, параллельная и перпендикулярная к плос..
кости падения, суть
DII == пх cos V  Dz sin v,
D == пу.
(37.14)
Условие поперечности световых волн дает
(пв) == пх sin i) + Dz cos v == о.
Решая совместно уравнения (37.14) и (37.15), находим
(37.15)
пх == п" cos v,
пу == D.t,
Dz == DII sin v.
(37.16)
Тоrда на основании OCHOBHoro уравнения кристаллооптики имеем
DII == n 2 E 11 , DJ. == n2E.t,
(37.17)
rде EII и E.t образованы аналоrично DII и D.t. Решив уравнения
(37.1) относительно составляlOЩИХ Е с помощью (37.14), получим
Е == ( ее COS2 V + sn2 -и ) D + ig cos V D
11 2 2 е I1 2 2.t'
ее  g о ее  g
Е   ig cos V D + ее п'
J.  2 2! I 2 2.t ·
ее  g ес'  g
(37.18)

272
МАrНЕТООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
[rл. IX
Решая совместно (37.17) и (37.18), находим
D ( Ве cos 2 v + sin 11 ......  ) + D ig COS 1) == о
11 2 2 В п 2 .t 2 2 '
Beg О eeg
 D ig COS v + D ( ее ........  ) == о
11 2 2 .1 2 2 п 2 ·
Ве  g ее  g
(37.19)
Отсюда мы получаем для отношения амплитуд
ig
 COS v
DII B  и2
D.t == ее cos 2 v sitl 2 V 1
+
в;  g2 Во п 2
Ве 1
2
ее  g2
ig COS v

2 2
Ве g
п 2
(37.20)
'Это дает нам квадратное уравнение для п 2 :.
( ее COs2 v + sin 2 v   ) ( ее ........  ) == g2 Cos 2 -и . (37.21)
е;  g2 ео n е;  g2 п (e  g2)
Отсюда следует
 ==! ( ее (1 + cos 2 -и) + sin 2 -и ) =l: V Si!1 4 v 1 ее .....  ) 2 + g2 cos 2 V
п 2 e  g2 Во 4 \ В;  g2 е о , (B  g2)2 ·
(37.22)
Таким образом, для отношенИЯ амплитуд, находим
DII 
 i
D.t 
sin 2 v ( 8е .....  ) =f V sin 4 1) ( 2 ее   ) ' 2 + g2 cos 2 1)
2 eg2 е о 4 eeg2 Во (Bg2)2
( g ,
е;  g2J cos 1)
.
(37.23)
Исследуем эти формулы для обоих известных предельных случаев.
1. Распространение параллельно полю v == о:
   e =F g  1 п" ==  Z .
 . , :r:: ,
п 2 B  g2 ее + g D 1.
И поскольку DII == пх, D.t == пу, имеем
2 :r пy.
п::!: == ее I g, D :r:: 1.
х
Это соответствует распространению двух волн с круrовой поляриза..
цией, как мы уже знаем из предыдущеrо.
2. Распространение перпендикулярно к полю v == 900:
  ! ( ее +  ) :f: ! ( ее .....  )
п 2  2 e  g2 ео 2 B  g2 ео ·
(37.24)
(37.25)
2 2
Следовательно, пl  ее -:: g , п1  80, что соrласуется с (37.8) и соот-

 37]
МArНИТНОЕ ДВОЙНОЕ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ
273
ветствует обоим случаям DJ. == о, DII == о. Таким образом, в этом
случае мы имеем линейное двойное лучепреломление.
Для распространения света в произвольном направлении мы
получим следующее.
Вычеркнув члены второто порядка по Н, т. е. принимая ее == е о == е
и учитъmая только член g, мы получим
g
1 +  cos -n-
е
1
е
(37.26)
2==
п
Следовательно,
n  П+ == !!.cos v
е
(37.27)
и
DII ==  i
D J. :r::.
Для произвольноrо направления двойное KpyroBoe прелоение
пропорционалъно cos v (ср. (36.19»); следовательно, при переходе
от направления, параллельноrо полю, к перпендикулярному, эта
величина стремится к нулю. При поперечном направлении двойноrо
KpyroBoro лучепреломления вообще нет.
Напротив, рассматривая только члены второй степени, т. е. пола..
rая g == о, мыI этим самым исключаем явление Фарадея и получаем
(  )+ == 00, (  ) == о. (37.29)
(37.28)
Это обыкновенное двойное лучепреломление, как в одноосном крис-
талле:
n  П+
 "'е 8 / 2 sitl 2 1) (    ) .
2 ее е о
(37.30)
в общем случае оба рода двойноrо преломления складъшаются,
причем в продольном направлении наблюдается только крутовое,
а в поперечном  только линейное. В произвольном направлении
имеет место эллиптическое двойное преломление, т. е. распростра-
няются два эллиптических колебания, большие оси которых соответ-
ственно параллельны и перпендикулярны rлавному сечению и которые
имеют несколько различныIe показатели преломления. . При переходе
от v == 00 к v == 900 эллипсы переходят от окружности к прямой линии .
18

rЛАВА х
МAПlEТООПfИЧEСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
В ФЕРРОМAПlEТИКАХ
 38. Общие сведения о ивлеlllUlX Фарадея и Керра
в ферромamетиках
Теория маrнетооптических явлеНИЙ в ферромarнетиках развива..
Jlась в свое время rолъдrаммером [131], Друде [132], Фохтом [133]
И др.
Недостатком этих прежних работ является то, что их авторы
недостаточно резко проводили различие между феноменолоrической
теорий и модельными классическими представлениями, которые
давно устарели. ТеМ более в случае ферромarнетиков классическая
электронная теория несостоятеJIЪна даже с ИЛJПOстративной точки
зрения, так как само явление ферромarнетизма есть чисто :квантовый
эффект. Поэтому вполне целесообразно освободить феноменоло"
rическую теорию мarнетооnтических явлеНИЙ от моделъных пред-
ставлеНИЙ и изложить ее четко и доступно для широкоrо Kpyra физи..
:к:ов. В rл. Х проводится самое общее макроскопическое описание
маmетооnтических явлеНИЙ без привлечения каких бы то ни было
микроскопических моделей.
Различают два основных мarнетооnтических явления: эффект
Фарадея и эффект Керра.
Под эффектом Фарадея понимают вращение плоскости поляри..
зации и одновременное возникновение эллиптичности при прохожде..
нии первоначалъно линейно поляризованноrо света через тонкие
намarниченные пленки ферромаrнитноrо металла.
Под эффектом Керра понимают влияние намаrниченности ферро-
мarнитноrо зеркала на состояние поляризации отраженноrо от еТО
поверхности света. Влияние намarниченности на отраженный свет
cyrцeCТBeннo зависит от взаоrо расположения поверхности зер..
жала, IЩ:оскости падения и направления вектора намarниченности I.
ОБЩИЙ случай сводится к трем ocHoBным, отличающимся располо..
жением вектора намаrниченности, а именно: 1) полярное намarни-
чение, при котором вектор намаrниченности перпендикулярен к плоско-
сти зеркала, но параллелен плоскости падения; 2) меридиональное

 38]
явлвния ФАРАДЕЯ И КЕРРА В ФЕРРОМArНEТИКАХ
275
намаrничение, при котором вектор намarниченности параллелен
как поверхности зеркала, так и плоскости падения; 3) экваториалъ.
ное намаrничение, при котором вектор намаrниченности параллелен
поверхности зеркала, но перпендикулярен к плоскости падения (рис. 65).
Соответственно этому различают ПОЛЯРНЫЙ, меридиональНЫЙ
и экваториалъный эффекты Керра. С целью уяснения существенной
разницы расположеНИЙ 1 и 11 целесообразно рассмотреть случай,
при котором в падающем луче колебания электрическоrо вектора
совершаются параллельно или перпендикулярно к плоскости паде-
ния. Тоrда по законам обычной :м:еталлооптики (без намаrничения)
это состояние колебаний остается при отражении неизмеввь.
о
I 2 3
Рис. 65. Полярный, меридиональный и экваториалъный
эффекты Керра.
Если вектор намarниченности направлен как в 1, то, кроме прямо-
линейноrо колебания электронов в металле, выьmаемоrоo электри..
ческим вектором падающеrо света блarодаря лорентцевой силе,
возникает еще перпендикулярное к нему колебание.
Соответственно этому во вторичной волне возникает нормальная
компонента, назьmаемая компонентой Керра, которая по законам
сложения колебаНИЙ ВblЗъmает эллиптическое колебание отраженноrо
света (которое без намarничения должно быть линеЙНЪш). При мери-
диональном намarничении и при перпендикулярном падении не суще-
ствует никакоrо эффекта, так как мarнитное поле обладает вра-
щательной симметрией. При косом падении света этот эффект
существует. При экваториальном намаrничении, также на основе
симметрии, никакой эффект не имеет места, если в падающем свете
колебания электрическоrо вектора совершаются параллельно или
перпендикулярно плоскости падения. При yrиx. yrлах плоскости
колебаНИЙ падающеrо света относительно плоскостей р и s (р и s .....
плоскости ..... соответственно параллельная и перпендикулярная
к плоскости падения) имеют место изменения амплитуды и фазы
отраженноrо света блаrодаря намаrничению, и соответственно этому
наблюдается эффект.
18.

276
МАrНВТООПТИЧВСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ФЕРРОМАТНЕТИКАХ
[rл. Х
На описании экспериментальных установок, употребляемых для
исследования рассматриваемых эффектов, мы останавливаться не
будем и отсътаем интересующихся к обзорам по этому вопросу
и ориrинальным статьям [154].
Экспериментальное изучение рассматриваемых явлеНИЙ показало,
что величина yrла вращения а и степень эности (  ) в обоих
случаях при заданных внешних условиях (температура, частота света
и т. п.) пропорционалъныI технической намаrниченности 1 ферро..
маrнитноrо образца, а Не ве личин е внешнеrо маrнитноrо поля. Так,
например, для yrла вращения при прохождении света имеем
аф == КфI1, (38.1)
а в случае полярноrо эффекта Керра при нормальном отражении
ак == KK 1 , (38.2)
ТДе 1 ..... ТО Jl'ЦJlн а просвечиваемоrо образца, К Ф ..... постоянная Кундта
и Кк ...... постоянная Керра. Эти постоянныI,, как показъmает опыI,'
зависят от частоты света (дисперсри) и от температуры.
Маrнетооптический эффект Керра обнаружен только в ферро..
маrнетиках и установлено, что, кроме особых маrнитных свойств,
необхоIМ условием еТО существования является наличие поrло..
щеНWI света, т. е. комплексность показателя преломления вещества.
Как правило, у даlШоrо материала в обоих эффектах наблюдаются
разныIe знаки вращения. Несмотря на это, дисперсионные кривые
в обоих эффектах, особенно в чистых металлах, обнаруживают вполне
аналоrичный ход. Кривые вращательной дисперсии, измереНIЦJIе
Дю-Буа [134] и в инфракрасной области спектра  Инrерсоллом
[136], показывают для стали и кобальта достаточно равномерныIй
ход без резких максимумов и минимумов.
Напротив, никель, а также мноrие ферромаrнитныIe соединения
и сплавы [139] показывают резко выраженные максимумыI и МИНИ..
мумыI на кривых зависимости вращения от частоты и даже изменение
Знака вращения. В частности, Инrерсолл, а несколько позже Клит"
цинr [140] нашли, что эффект Керра на никеле в облцсти инфракрас-
нorо света дает положительное вращение, тоrда как в видимой обла..
сти спектра вращение отрицательно (как для стали и кобальта).
Положение нулевой точки находится для эффекта Керра при Л 1 == 1,5 f.L
(v 1 == 2 · 1 014 ceK1), а для эффекта Фарадея при Л 1 == 1 f.L (V1 == 3 · 1 014 ceK 1,
см. рис. 66). Клитцинrом также установлено, что положение нуле-
вой точки в пределах точв'ости измерений не зависит от температуры *)
и силыI поля. Дю-Буа, исследуя эффект Керра на HarpeBaeMoM нике..
левом зеркале, нашел, что вращение исчезает в точке Кюри. Измере..
ния этоrо яления на никеле также были произведеныI Хиршем [135].
.) СМ. по этому вопросу также  56.

 38]
,
I
ЯВЛЕНИЯ ФАРАДЕЯ И КЕРРА В ФЕРРОМArНЕТИКАХ
277
Носковым [155] опыты на никеле были проведеныI в атмосфере водо-
рода и показано, что данныIe указанных авторов неточныI, а именно:
вращение сохраняется и при температурах на несколько rpaдyCOB
выше точки Кюри, вместе с так называемым «ист ияпым намаrни-
чением». Мартин [139] исследовал температурную зависимость вра-
щения Керра на МНоrиx ферромаrнитных соединениях и в каждом
случае, при котором зеркало допускало наrpевание вплоть до точки
Кюри, установил, что вращение с ростом температуры убывает
и исчезает в точке Кюри. Однозначная связь с намаrниченностыQ
была установлена Носковым экспериментально на сплавах :никеля
с медью различной концентрации. На пропорционалъности вращения
Керра намаrниченности основано применение маrнетооптичес:ких
+s'
ф
О
,f'
/O'
15'
20/
25'
30'
J
I
I
Рис. 66.
+10'
Ф
5
o
5'
IO'
2 /1 Л,/L  I  2 1f А.р !
2 3 " '/О Н I 2 3
11. ССИ ' 11" CIJIr'
«(Нулевая точка» на кривых дисперсии маrнетооптических
эффектов.
.
4.10 "
методов к исследованию мarнитноrо поведения ферромarнитвых
веществ. Эти методыI заслуживают внимания также потому, что они
дают возможность определять абсолютное намаrничение из опти-
ческих измереНИЙ. Из тонкой пластиныI исследуемоrо материала
изrотовляют зеркало, намarничивают ero и измеряют полярное
вращение Керра в зависимости от силы поля. Между намarничением
1 пластиныI, размarничиваюЩИЙ фактор которой равен N == 4п,
и силой поля Не существует соотношение
"
1 == 1 + 4п" Не.
В области малых полей восприимчивость " значительно больше
единицы; вследствие этоrо 1, а также и вращение Керра а к пропорцио-
налъно внешнему полю Н е:
1 1
1 == 4п Не и а к == Кк 1 == 4п Кк Не. (38.4)
(38.3)
По измереннъlМ значениям вращения ак при определевных силах
поля в этой области получают постоянную Керра для материала

278
шrНЕТООПТИЧЕСКИВ ЯВЛЕНИЯ В ФВРРОМArНEТИКАХ
[rл. Х
зеркала. По вращению при насыщении а оо получают затем намarни..
чевие насьпцения 100 путем деления первой величины на постоян-
ную Керра, определенную ранее. Дю..Буа этим способом определил
:кривую намarничения и намаrничение насыщения мarнетита. Намarни..
чение насыщения по Дю..Буа можно получить также непосредственно
из rрафическоrо представления вращения Керра в зависимости от
силы поля. Абсцисса ...ТОЧICИ пересечения прямой а ... : Не С асимn
тотой а оо == Kl(loo == const равна Н В == 4пl 00 . Рис. 67 нarлядно
26
21,
22
20
 18

..16

/4
ц5
 12

IO
8

6
4
2
16 18 20 22 24 26 28 ЗО з2 3't 38 98 4IJ
H R
Рис. 67. Маrиетооптическое определение иамаrниченности
насыщнияя железа.
поясняет изложенное. Таким способом Баркеру [138] и Лориа [137]
удалось показать, что мarнетооптическое определение намarничения
насыщения весьма хорошо соответствует мarнитно измеренным
значениям 100. Эти результаты оправдывают применение изложенноrо
метода к зеркалам из друrих. материалов, мarнитное насыщение
которых неизвестно. При сравнении мarнетооптичес:ких методов
с мarнитными нужно помнить, что мarнитные измерения дают сред-
нее намarничение определенноrо объема вещества, в то время как
мarнетооптические измерения дают заключения о состоянии вещества
в Т6НКОМ поверхностном слое, от KOToporo происходит отражение
света. ПОМИМО общих экспериментальных трудностей измерения
ве сьма м алоrо вращения плоскости поляризации имеются еще и
np инI\иllи алъныIe трудности, которые имеют свое основание в не-
совершенстве поверхности зеркал.
Вследствие наличия трещин и пор в материале поверхность зеркала
разбивается На маленькие площадки, размarничиваюЩИЙ фактор кото..
рых меньше -4п. Предположение расчета тоrда более не вьmолняет"
си и потому получается меньшее значение для намar:ЕЩЧеНШJ

 39]
АМПЛИТУДЫ ПАДАЮЩЕЙ и ОТРАЖВШlОЙ волн
279
насыщения. Вышеописанная особенность эффекта Керра, поз-
воляющая получать сведения о состоянии поверхности тела, наводит
На мысль о том, что измерения эффекта Керра MOryт быть полез-
иыми при решении металлоrpафичесПIX вопросов, касающихся:
поверхности обрабатьmаемой детали.
 39. Соотвоmевие между ампJIIIТYдамв падающей и отрazеввой
ВОJIИ В случае Н8МаПIIIЧеввоro ферромаmетвка.
Мввимум- и вуль..вращевие анализатора
и полиризатора и закон взавмвой обратимости
Междуамплитудами электрическоrо вектора А.р и Ав падающей
волныI и амплитудами Rp и Rs волны, отраженной от намarниченноrо
ферромarнетика, существуют соотношения
Rs == ТиАа + r:шА р .  (39.1)
Rp == r21A.S + rp. f
Здесь р и s ..... два взаимно..перпендикулярных направления, а именно
параллельное и перпендикулярное плоскости падения. Параметры
r ik , вообще rоворя, ..... комплексныIe ве личинЫ . Соотношения (39.1)
не зависят от специалъноrо вида теории и допустимыI во всех случаях,
коrда внутри каждой из сред, а также на rранице между ними справед-
ЛИВЫ линеЙНЫе условия ДЛЯ компонент колебаНИЙ в световой волне.
Так как лине йность этих уравнеНИЙ основьmается на опытомM факте
суперпоз ициt.t волн, то можно вышеуказанныIe соотношения рассматри"
вать как требования, вытекающие из опъпа. На уравнения (39.1)
следует смотреть как на обобщение хорошо известных формул Фре-
неля. оБычнъеe формулы отражения Френеля (без влияния намamи-
ченности) можно записать в следующем виде:
{ Rs I == ( r 11 О ) ( A s ) .
Rp О r 22 \Ар
Обобщенные формулыI отражения (с учетом влияния намаrниченности)
можно в соответствии с (39.1) записать следующим образом:
( R s ) == Ir 11 r 12 ) ( As ) . (39.3)
Rp \r 21 r 22 Ар
(39.2)
Из сопоставления (39.2) и (39.3) непосредственно следует, что от на-
мarниченности зависят лишь составляющие матрицы отражения,
имеющие различныIe значки *), тотда :как составляющие с одинако-
ВЫМИ значками должныI бьпь независимы от нее. При намarниченно..
сти, равной нулю, r12 и r 21 обращаются в нуль, и следовательно,
*) Cтporo rоворя, от намarвиченности зависят и диаrоналъные элементы
матрицы отражения, однако эта зависимоcrь так мала, что ею можно пренебречь.

280
МАrнвтооптиЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ФЕРРОМАrнEТИКАХ
[rл. Х
060бщенныe формулыI отражения (39.3) переходят в формулы отраже-
ния Френеля (39.2). Таким образом, мы можем сказать, что вместе
с появлением намаrниченности тела возникают в отраженном свете
керровские компонентыI r 12 .A D и r21.AS. АБсолютныIe значения Ir 12 \ и
Ir 21 I являются мерой отношения амплитуд колебаНИЙ какой-либь
из двух керровских компонент к амплитуде вызвавшей ее падающей
волны. Ве JШ'iИ.Н.bI I r12 1 И I r21 1 аналоrично являются мерой их отно"
r 11 r 22
шения к соответствующей амплитуде обычным образом отраженной
компоненты. TaнreHcы yrла фазовоrо смещения керровской компо"
нентыI по отношению к вызвавшей ее компоненте колебания определи..
ются выражениями
1т (r 12 )
Re (r 12 ) ,
1т (r 21 )
Re (r: и ) ,
(39.4)
rде 1ш обозначает мнимую часть, а Re  вещественную часть r ik -
TaнreHcы yrла фазовоrо смещения керровской компоненты по отно-
шению к обычным образом отраженной компоненте определяются
выражениями
1т ( Т 12 )
Т 11
Re ( Т 12 ) ,
Т 11
1т ( Т 21 )
Т 22
Re ( Т 21 ) ·
Т 22
(39.5)
а) Мввимум-вращевие анализатора и ЭЛ JIИUIИЧИ ОСТЬ
Среди непосредственно наблюдаемых величин при измерении
эффекта Керра !VIИНИ!\1УМ ..вращение анализатора и поляризатора
иrpают особую роль. Если отраже нный свет, как это рассматривается
в общем случае, является эллиптически поляризованным, то направ"
ление :колебаНИЙ, про пускаемых анализатором, дающее наименьшую
интенсивность, очевидно, расположено параллельно меньшей оси
эллипса колебаНИЙ, тотда как большая ось эллипса расположена
перпендикулярно к направлению колебаНИЙ, npопускаемых анализа-
тором. Если представить отраженныIe колебания в виде
R == Pe i ! R == Geig ( 39.6 )
р , S ,
rде F и G ..... вещественныIe амплитудыI, f и g ..... фазовые постоян..
вые, то ось эллипса колебаНИЙ образует с р..направлением уrол ер,
определяемый соотношением
2FG
tg 2ер == р2  G2 cos (f ..... g), (39.7)
причем два зна'9:ения этоrо yrла соответствуют направлениям большой
и малой осям эллипса колебаНИЙ. Если колебания падающеrо света

 39]
АМПЛИТУДЫ ПАДАЮЩЕЙ и ОТРАЖЕнной волн
281
совершаются в плоскости падения (Ав == О), то в отраженном свете
большая ось образует малыIй уrол Х р с р..направлением, и так как при
этом F велико по сравнению с G, то из (39.6) и (39.7) следует
Хр   cos (j  g)  Re ( : ) == Re ( ;:: ) .
(39.8)
На тот же самый yrол следует повернуть анализатор от s-направления
для тото чтобы пропуститъ лишь линеЙНЫе колебания, соответствую-
щие малой оси, то есть установить минимум интенсивности отра-
женноrо света. Наоборот, если в падающем свете направление коле-
баНИЙ :Параллельно s..направлению (Ар == О), то G велико по сравнению
с Р, и большая ось отраженных колебаНИЙ образует с s-направле-
нием малый yrол Хз, равный
Хв == ..... F cos (f  g) == ..... Re ( R p J == ..... Не ( r 21 ) . (39.9)
G Rs r 11
Чтобы получить минимум интенсивности, следует анализатор из
положения, параллелъноrо к р-направлеиию, повернуть на тот же
саМЫЙ yrол. формулыI (39.8) и (39.9) определяют таким образом,
инимум "вращение анализатора, ибо они определяют yrлыI, на кото-
рые следует повернуть анализатор от положения, перпендикулярноrо
1( р-направлению (соответственно перпендикулярноrо к s-направле-
нию), чтобы получить минимальную интенсивность отраженноrо
В .
свеТа. для определения ЭЛЛИП l'ИЧН ОСТИ А == tg -D будем исходить
из хорошо известной формулыI [46]:
G
2
sin 2  :l: ::Gc;a sin (j  g)  :l: FGI sin (j  g). (39.10)
1+
р2
в первом случае (Ав == О) мы считаем G  Р, и следовательно, величи..
ной ( ) I по сравнению с единицей можно пренебречъ; тоrда будем
иметь
в == tg v  sin v == :1: G sin (1 ..... g) == ::i:: 1т ( Rs ) === :1: 1ш ( r12 ) . (39.11)
А F Rp r 22
Аналоrично для BToporo случая (А. р == О) получаем
в == =+ 1т ( r 21 ) .
А r 11
(39.12)

282
МAI1IВТооптиЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ФЕРРОМArНВТИХАХ
[rл. Х
б) Мивимум-вращевие поляризатора и закон взаимной обратимости
РассмотрИl\{ теперь случай, при котором линейно поляризованный
свет падает под yrлом х О К р-оси, и определим х О так, чтобы абсолют..
ные значения Rs или Rp принимали наименьшее значение. Эти оба
значения хо представляют минимум"вращение поляризатора. ЕсJIИ
Ар == А cos хо, As == А sin х О , (39.13)
rде А ..... вещественная амплитуда падающеrо колебания, то колеба-
ния отраженноrо света можно записать в следующем виде:
R == A(r sin х о + r' cos х О ).
 (39.14)
Полarая, далее, r == te iQ и r' == t'&fl', получим
R == Aei Q (t sinXo + 't' ei«(1't}) cos х О ). (39.15)
минимум R определяется минимумом Ir sin Х О + r' е ! (t}'t}) cosxol. Вели..
чина IRJ принимает минимальное значение при значении х О ,
удовлетворяющем условию
2tt'
tg 2 х О == t'2  t2 cos (е' ..... е). (39.16)
Эта формула подобна формуле (39.7) и должна исследоваться таким
же способом. При этом R следует считать один раз как Rs, второй
раз как Rp. Если потребовать, чтобы IRsl обладало минимумом,
то yrол х О должен быть малым и paBным х;. Одновременно следует
полarать r == r 1 1, r' == r 1 2, откуда следует, что t' мало сравнительно
.с r. Формула (39.16) при этом дает
x == ..... t' cos (е' ..... е) ==- ..... Не ( r 12 ) . (39.17)
t r 11
Если потребовать, чтобы IRpl обладало минимумом, то должно
бьпъ
п о
X O=-+ x
2 ,
(тде х; ..... малый yrол), и одновременно следует считать r == r21, r' == r 22 ,
и поэтому t мало сравнительно с r'. В этом случае формула (39.16)
дает
x =- t, cos <е ..... е') == Не ( r 21 ) .
t r22
(39.18)
Полаrая r 1 2 == r 21 (полярный эффект) и сравнивая (39.8) и (39.18) и
соответственно (39.9) и (39.17), получим закон взаимной обратимости
при полярном эффекте, а именно:
, о
Xs ==хр и Хр ==Xs.
(39.19)

 39]
АМ11ЛИТУДЫ ПAДAlQЩЕЙ и ОТРАЖЕННОЙ волн
283
Полarая r 1 2 == ........ r21 (меридиональный эффект) и производя сравнение
'Тех же формул, получим закон взаимной обратимости при меридио-
нальном эффекте, а именно:
о о
ХР == .....ХВ и Xs == .....Х Р.
(39.20)
В) формуJIы для иуль-вращения аваJlИзатора и поляризатора
Всеrда можно выбрать такое положение поляризатора около
8.. или р--направления, при котором отраженнъlЙ свет, являюЩИЙся
вообще rоворя, Э ЛJIиlllи чески поляризованным' будет линейно поля-
ризованным и, следовательно, может быть полностью потушен
анализатором. Это ..... так назьmаемое нуль"вращение, требующее
как вращения анализатора, так и поляризатора. На опъпе нулевые
установки возможныI только при очень малых yrлах вращения, по-
этому одновременно веJIичины ( : ) и ( : ) или ( : ) и ( : )  малые
числа. В первом случае соотношения (39.1) при пренебрежении вели-
чинами BToporo порядка можно записать
Rs == А;-11 + А?12, Rp == r22Ap,
или
Rs ( As )
r 22 Rp == r 11 Ар + r 12 ·
(39.21)
Пусть падаюЩИЙ свет линейно поляризован и составляет yrол 1p
As о Т u
с р..направлением, тоrда А == tpp. ак как отраженнъm свет полностью
р
тушится анализатором, то он должен бьпь также линейно поляризо-
R
Baнным' и соответственно этому мыI можем полarать R S == "Р р' rде
1J1 р есть yrол, определяющий положение плоскости колебаний OTpa
женноrо света относительно р"направления. С учетом этих сооб-
ражеНИЙ формула (39.21) может бьпь записана в следующем виде:
r 2 2"Pp == rl1"P + Т12; (39.22)
в силу комплексной природыI r ik (39.22) представляет два уравнения
для определения "Рр и "Р;. Во втором случае соотношения (39.1) прини-
мают вид
Rs C:I As"11 И Rp == Т21 А в + r22Ap,
или
Rp ( Ар )
r 11 Rs == r 21 + r 22 As ·
(39.23)
Полaraя, как и ранее, : ==  1J1: и : .... 1J1s' получим из (39.23)
(39.24)
о
r 11 "Ps == r 22 VJs ..... r21.

284
МАrНЕТООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ФЕРРОМАrНЕТИКАХ
[rл. Х
Если r 1 2 == ::i:: r 21 , формулы (39.22) и (39.24) снова приводят к закону
взаимной обратимости для нулъ"вращения. Взяв уравнение (39.22)
и ему комплексно сопряженное
* * о *
r 22 "Pp == r 11 "Pp + r 12
И решая их совместно, получим
"Рр 
* *
rll r 1S  r12 r 11
* *
r 11 rss ..... r 11 r22
1т ()
....... 1т ( r 22 ) ,
r 11
(39.25)
о
"Р Р .....
. * *
r1Sr12  r12 rss
* *
r 11 r S2  r 11 r22
1т ( r 12 )
r 22
1т ( r 11 ) ·
r 22
(39.26)
Выполняя аналоrичные вычисления с уравнением (39.24) и ему сопря-
женным' находим
"Р s :::1
1т ( r S1 )
r 22
1т (  ) ,
r 22
(39.27)
( r 21 )
1т........
о r 11
tps == ( Т ) .
I 22
m ........
r 11
(39.28)
 40. ОСНОВЫ макроскопическоrо описания
маmетооптвческвх явлений в ферромаmетиках [156]
С момента открьпия Керром вращения плоскости поляризации
света при ето отражении от намarниченноrо ферромarнитноrо зер-
кала бьш предложен ряд теорий, объясняющих этот эффект. Во всех
этИХ" теориях явно исполъзовались определенные классические микро-
скопические модели, на основе которых и выодиJIисьъ соотношения
для маmетооптичесICИX явлений, в частности и для описания эффекта
Керра. Однако именно в случае ферромarнетиков классическая элек-
тронная теория несостоятелъна даже с иллюстративной точки зрения,
так как само явление ферромаrnетизма есть чисто квантовый эффект.
Как бъшо показано в работе [149], только квантовомехавическая
теория дает возможность получить правилъное микроскопичекое
описание мarнеТОО lll'ич ескоrо явления Керра. Однако можно пока..
зать, что caMO общее формальное макроскопическое описание Marнe-
тооптичесlCИX явлений не требует привлечения никаких микрос}Сопи-

 40]
основы МАКРОСКОПИЧЕскоrо ОПИСАНия
285
ческих моделей. Попытка освободиться от привлечения классической
электронной теории при установлении основных феноменолоrических
соотношений мarнетооптики бьmа сделала Дарвином [141а]. Однако
работа Дарвина не может считаться окончательным и полным реше-
нием этоrо вопроса уже хотя бы потому, ЧТО он оrpаничивается
рассмотрением только нормальноrо падения света при полярном
намаrничении ферромаrнитноrо зеркала. В этом параrpафе указан
путь общеrо феноменолоrическоrо описания маrнетооптических явле-
ний без привлечения микроскопических моделей [141в]. Для макро-
скопическоrо описания маrнетооптических эффектов в ферромаmети-
ках следует исходить из общих дифференциалъных уравнений электро-
маrнитноrо поля
1 ан
  == ..... rot Е
с о! '
(40.1)
1 о»
  == rot Н
с о! '
( 40.2)
и тензорноrо уравнения
D == е' Е,
( 40.3)
rде 8' ..... тензор диэлектрической проницаемости намarниченноrо
ферромarнитноrо металла. Следует заметить, что в макроскопи-
ческой кристаллооптике для описания световых явлений, происходя-
щих в кристаллах, используется та же система уравнений. Тензор
диэлектрической проницаемости для прозрачных веществ является
эрмитовским, что можно леrко показать, используя закон сохра-
нения энерrии. Компоненты тензора 8' для прозрачных кристаллов
суть вещественные величиныI, тотда как для поrлощающих сред они,
вообще rоворя, КОМIIлексные, причем мнимая часть их должна быть
отрицательной.
Тензор диэлектрической проницаемости намаrниченноrо ферро-
маrнетика строится на основе вынужденной анизотропии. Изотроп-
ную намаrниченную среду можно рассматривать в оптическом отно-
шении как двоякопреломляющий кристалл, оптические свойства.
которото определяются тензором диэлектрической проницаемости.
. Без оrраничения общности можно считать, что вектор намаrничен..
ности (остаточная намаrниченность или намаrниченность, «выз-
ванная» внешним полем) направлен вдоль оси z. Все плоскости, про..
ходящие через это выделенное направление z, равноценныI между
собой. Отсюда следует, что тензор диэлектрической проницаемости
намаrниченноrо ферромаrнетика должен обладать цилиндрической
симметрией, то есть
( 8'
е' == ieQ
8'
 ) ,
8'
1)
(40.4)
i8'Q
о

286
МArнвтоопrИЧВСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ФЕРРОМArНEТИКАХ
[rл. Х
, . 411'0-
тде е =- е .... 1  ..... комплексная диэлектрическая проницаемость.
6J
и Q .... мarнетооптичесКИЙ параметр, вообще rоворя, комплексна&
величина, зависящая от намarниченности тела. При намаrниченности,.
равной нулю, недиarональныIe элементы тензора обращаются в нулъ
а диаrональныIe элементы становятся одинаковыми в' == e, то есть
тело становится оптически вполне изотропныI.. Подставляя (40.4)
в (40.3), будем иметь
пх == в' Ех ..... iB'QE y ' !
пу == iB'QE x + 8'Е у ,
Dz == BEz.
Совместное решение (40.1), (40.2) и (40.5) с использованием rpаничных.
условий дает описание всех маrнетооnтических эффектов и, в частности,
эффектов Керра и Фарадея в ферромаrнетиках. диаrоналъныIe ком...
поненты тензора диэлектрической проницаемости ферромarнетика
е;х == е;у == е' являются функциями маrнетооптическоrо параметра Q.
ОПЪП показьmает, что этот параметр мал (Q  1), поэтому функцию
8'(а) можно разложить В степенной ряд по Q и оrpаничиться первыми
членами разложения, то есть
(40.5)
' (Q) , ( ое' ) Q 1 ( д 2 е' ] Q 2
8  во + д а + 2 д а 2 ·
0..0 0==0
(4О.6)
При изменении направления намаrниченности на обратное выражение.
(40.6) примет вид
' ( Q) , ( ае' ] Q 1 ( 02 е ' ) Q 2
8  == 8С)  д а +"2 О а 2 ·
0==0 а==О
(40.7)
Далее имеем B'(Q) == 8'(";","" Q), ибо физические свойства тела не должны
меняться при изменении направления намаrниченности на обратное.
Сравнивая (40.6) и (40.7), получаем
B'(Q) := e +  (;) ao Q2. (40.8)
Введем такой множитель f, чтобы произведение ero на 8 давало нам
значение коэффипиента перед Q2 в (40.8), то есть
1 ( 02 е ' ) ,
2 оа2 ao == Во t.
(40.9)
Тоrда
, , + ' fQ 2
8 == 80 80 .
(40.10)
Описание полярноrо эффекта Керра при нормальном падении можно
получить при помощи уравнеНИЙ (40.1), (40.2) и (40.5), тоrда как для
описания полярноrо эффекта при наклонном падении, а также для

 41]
РАСПРОCI'PАНЕНИЕ IШОСКОЙ НЕОДНОРОДНОЙ волны
287
меридиональноrо и экваториалъноrо эффектов следует использовать
еще дополнительное условие (40.10), которое получено здесь в противо--
положность Фохту без всяких ссылк
C на классическую электронную
теорию.
 41. Распроанение ПЛОСКОЙ иеоДВОРОДВОЙ ВОЛНЫ
внутри феРРОМ 8I'НИ'I'н оrо металла
Известно, что под плоской однородной волной понимают такую
волну, амплитуда которой имеет постоянное значение в волновой пло..
скости и изменяется в направлении распространения (см. rл. 1). Такая
волна аналитически записывается в виде q:e iWT , rде (j) ..... циклическая
частота, т == t аж + ру + "f% и v == 1 V.  комплексная скорость
v l
распространения, V  вещественная скорость, " ..... величина, связан-
ная с показателем поrлощения соотношением "л == k, а, {З,,,/ ..... направ"
ляющие косинусы волновой нормали. В дальнеЙIIlем нам придется
пользоваться неоднородной волной, амплитуда которой, как мы видели
выше, изменяется в волновой плоскости, а плоскость равных фаз
составляет с плоскостью равных амплитуд некоторый уrол, являю..
ЩИЙся вещественным yrлом преломления. Фазу такой неоднородной
волныI мыI можем записать в виде
( а' ж + 'y + 'Y'z  i (а" ж + "y + 'У"%» )
тт == m t..... v '
(41.1)
тде а', {З', 'У' ..... направляющие косинусы нормали к ПЛОСКОСТИ равных
фаз и а", {З", 'У" ..... направляющие косинусы нормали к плоскости
равных амплитуд. Таким образом, неоднородная плоская волна
будет иметь вид
.... (a"v + {З"у + y"z) iw (t а'х + {З'у + ')1'2: )
q:e iWT == (fe V е V .
(41.2)
Если ввести сокращенныIe обозначения
(а' ..... l"a")2 + (fl' ..... 1,,{J")2 + ('У'  iU'Y")2 == 1 ..... х,2  2i'X(a'a" +
+ (З"{З' + "1'''1'') == R
, . "
а  l1ta *
==а,
R
'  i1t "  {З *
R .....,
, . "
'у  l'Y *
R =="1,
v
 == v*
R ,.
то а*2 + (З*2 + 'У. 2 == 1, и фазу плоской неоднородной волны можн()
представить в виде
( а*ж + *y + "1*% )
шт* == ro t..... .
v*
(41.3)
в предъщущем парarpафе мы установили, что для описания матето"
оптических эффектов в ферромarnетиках следует ИСХОДИТЬ из общих

288
МАrНЕТООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ФЕРРОМАrнвтиКАХ
[rл. Х
дифференциальных уравнений электромаrnитноrо поля (40.1), (40.2) и
(40.5). Взяв rot от (40.1) и использовав (40.2), получим
02п
с 2 (ДЕ  grad div Е) == Ol2 .
Подставив (40.5) в (41.4), будем иметь
(41.4)
с 2 {ДЕх  grad x div'E) == е'Ё х  i8'QЁ у ,
с 2 {ДЕу  gra<ly div в) == 8' Ё у + iе'QЁ х ,
c 2 (L1Ez  grad, div в) == еЁz.
( 41.5)
-
с
Принимая решение в общей форме Е == Ео eiro-r* и полаrая v* == п*,
rде п* ..... комплекснъlЙ показателъ преломления намаrниченноrо
ферромаrнетика, получим
8'Е х ..... ie'QEy == п*2 [Ех  а*{а*Ех + {З*Еу + y*EJ],
i8'QE x + 8'Е у == п*2 [Еу  fЗ*(а*Ех + {З*Еу +1:'*Ez)],
8E;! == п*2 [Ez y*(a*Ex + {З*Еу +y*Ez)].
(41.6) ,
Исключая Ех, Еу и Ez, получим уравнение для п*:
[е'(а*2 + fЗ*2) + 8y*2] п*4 ..... [8'2(1  Q2) (а*2 + {З*2) + 8'е'0(1 +у*2)] п*2 +
+ e 8'2( 1 ...... Q2) == о. ( 41.7)
Это уравнение квадратично относительно п*2, и поэтому в любых
двух взаимно-противоположных направлениях распространяются две
волныI с попарно равными скоростями. Умножив уравнение (41.6)
соответственно на а*, {З*, у* и сложив, получим
(е'а* + ie'Q{J*) Ех + (е'fЗ*  i8'Qa*) Еу + Ey*Ez == о.
( 41.8)
Из этоrо уравнения видно, что «комплексное направление колебаНИЙ
электрическоrо поля Е и волновая нормаль s*{a*,{J*,y*) не перпенди-
кулярны дрyr друту. Если волна однородна, то а*, fЗ*, у* вещественныI
и равны а, {З, у. Соотношение (Е. в) == О должно также представлять
поперечность колебаний при комплексном решении Ех, Еу, Ez. Так как
оно не выполняется, то колебания электрическоrо поля даже в одно-
родной волне не поперечныI. Мarнитное поле световой волныI ведет
себя иначе. Из уравнений (40.2) следует для плоской неоднородной
волныI соотношение lf.xa* + НуfЗ* + Hzy* == о, выражающее «комплекс-
ную поперечность». Переходя к однородной волне, то есть заменяя
а*, fЗ*, у* на а, fЗ, у, получаем действительную поперечность. ,.

 42]
ЭФФЕКТ ФАРАДЕЯ'
289
е
 42. Ма l'ИИ'lи ое вращение и Э JLJIИUIИчliОС1'Ь .
при прохождении света через ТОllЮlе слои
ферромаmетвка (эффект Фарадеи)
При прОДОЛЬНОМ распространении света следует положить а* ==
== {З* == о и у* == 1, тотда уравнения (41.6) даюТ 
DI == Dx::f: ipy == 8'(1 =F Q) (Ех ::1:: iEy) == n*2 (Ех ::i:: iEy), (42.1)
Dz == e Ez == о.
Отсюда получаем два решения
ni: 2 == 8' (1 =F Q) при Ех == =F iEy.
( 42.2)
Параллелъно силовым линиям распространяются две поперечныIe
циркулярно поляризованныIe волныI; показателъ преломления n:...
u * u
соответствует левополяризованнои, а n+ правополяризованнои вол-
нам. Если принять во внимание, что показатели преломления n+ и
n:... отличаются дрyr от дpyra, а также от показателя преломления n
в отсутствие намаrниченности лишь на малую величину и что матето-
оптический параметр Q значительно меньше е ДllНИЦРI , то из (42.2)
при пренебрежении малыми величинами BToporo ПОрЯДRа следует
соотношение
* * Q
n ...... n+ == п ,
которое совместно с соотношением n+ + 'n:'" == 2n дает
tt == n (1 1=  Q) .
(42.3)
(42.4)
Из (42.4) также следует
n ...... n;: == ::i:: tt"Q ::==; ::i:: G.

(42.5)
При поперечном распространении света (например, параллельно оси х)
а* == 1, {З* == у* == О, и тоrда (41.7) дает
(п *2 ...... e [п*2  8' (1  Q2)] == О
или
*2 ' * 2 " (1 Q 2 )
n Z == е о , n.L == е ...... ·
(42.5')
Первое соотношение (42.5') представляет показателъ преломлеНия
световой волны, колебания электрическоrо вектора в которой совер-
шаются параллелъно силовым линиям, тотда как второе соответ-
ствует волне с колебаниями, перпендикулярными к ним.
Рассмотрим теперь плоскопараллелъный слой ферромarнитноrо
металла толщиною 1 и положим, что ось z и направление вектора
намаrниченности перпендиJ<улярны к пластинке. Если линейно поля-
ризованный свет падает в направлении намаrниченности, а ось х
19 А. В. С(i)КОЛ()В

290
МArНЕТООПТИЧВСКИЕ JlВJlВНИJI В ФВРРОМArНЕТИКАХ
[rл. Х
параллельна направлению колебаНИЙ и лежит в ПЛОСКОСТИ пласmны
то амплитуды световых :колебаНИЙ в этой ПЛОСКОСТИ равны
Dx == 1, пу == О, то есть D+ == 1, п1 == 1.
По выходе из пластины амплитуды будут равны
(42.6)
' k *
+ l n+
D == е
,
ikn* 1
D==e ,
(42.7)
211' п+ + п п+  п
rде k == т. Так как пх == 2 и Dy == 2 ' то, учитывая
(42.5), будем иметь
пх ==  eikn' [e ikO " е"0,' + ikO,' O,. (42.8)
Вводя сокращенные обозначения
и == kG 2 1, v == kG 1 1,
(42.9)
мы можем выразить пх и пу в следующем виде:
пх == eiknI сЬ (и + iv), пу == ieiknl sh (и + iv).
Отношение амплитуд
(42.10)
пу == ........ i th (и + iv)
пх
(42.11)
оказывается, таким образом, ICOмплексной величиной; линейно поля...
ризованная световая волна, проmедшая через слой ферромаrнитноrо.
металла, становится эллиптически поляризованной. Тот факт, что-
свет становится эллиnтически поляризованным, можно показатъ.
непосредственными выкладками, пользуясь следующими формулами.
теории rиnерболических функций:
sh (и + iv) == Q2eila,
сЬ (и + iv) == Q1ei<'l,
th (и + i v) == а 2 ei,
01
(42.12)
rде
 == v  } (сь 2и  cos 2р) ,
. аl == V  (сь 2и  cos 2р) ,
tgv
tg 01 == th и '
tg 02 == th и tg v,
(4.13)
о == 02 ..... 01 ,
.
tgo 
sin 20
sh 2и ·

 42]
ЭФФЕКТ ФАРАДЕЯ
291
Учитывая (42.12) и вводя временн6й фактор e illJt , получим
i ( rotknZ+ 61 ; )
Dx == al ei(rotknZ+l), пу == й 2 е .
(42.14)
cTaндapTным способом можно показать, что компоненты Dx и пу
удовлетворяют уравнению
п2 п2 пп
 + 4-  2 х у sin о == cos 2 О, (42.15)
а 1 а 2 01 й2
rде
11'
О == 02  01  2.
Но это  уравнение эллипса, лежащеrо в плоскости ху, центр KOToporo
совпадает с началом координат, но оси не совпадают с координатными
осями. Уrол 1р, на который повертьmается большая ось эллипса отно-
сительно первоначальноrо направления колебаний (ось х), можно
найти, пользуясь формулой
2 2аl 02 · 
tg tp == 2 2 Sln и.
й 1 a2
(42.16)
Подставляя из (42.13) й1, й2 И sin о в (42.16), получим
tg 2tp == t 2v
или
1р == v == kG 1 1.
Уrол вращения большой оси эллипса относительно первоначальноrо
направления колебаНИЙ будет
и-ф == tp == v == Re (kGl) == Не : (п  n) 1.
(42.17)
Таким образом, вращение при эффекте Фарадея есть результат двой-
Horo крутовото лучепреломления в «маrнитном поле ферромar..
нетика.
Перейдем к определению эллиптичности. Как известно, эллиптич-
в
ность определяется соотношением А == tg -и.
Исходя из формулы sin 21) == :1: sin 2а · cos о (ибо 02  01  ; == о ) ,
можно показать, что
sin 21) == ::l: th 2и.
Соотношение (42.18) леrко приводится к виду
2 tg i} 2 th и
1 + tg B i} ==::l: 1 + th 2 и ·
(42.18)
(42.19)

292
I МArНЕТООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ФЕРРОМArНЕТИКАХ
[rл. Х
Это соотношение является квадратным уравнением относительно
tg 1), то есть относительно эллиптичности. Если взять знак (+), то
получим два корня
1 .......... th 4 и
tg 1)1 == 2 th и ' tg 1)2 == th и,
если же ВЗ.ilТЬ знак (.....), то получим
l tg 1)з == ..... th и, tg 1)4 === ....... cth и.
ТакЖI:у: образом, эллиптичность равна
( ) ф == ::1:: th и. == th 1ш  (п  п) 1 == ::1:: th  Х
Х (n и  П+ и+) 1 == ::1:: thln (:Y I2, (42.20)
rде d == ехр 1  21 пи)  коэффициент пропускания данной металли-
ческой пленки тО JIIII,и.... Ой 1. Эллиптичность при эффекте Фарадея
есть, таким образом, результат изменения в мarнитном поле про.. '
зрачности металла для противоположных циркуляр но поляризован..
ных компонент световой волныI (циркулярный маrвитныIй дихроизм).
 43. Полярный эффект Керра при нормальном
падении света
в важном случае перпендикулярноrо падения света и полярноrо
намаrвичения (в этом случае измерения наиболее надежныI, так как
нарушающее влияние поверхностной пленки минимально) формулыI
для минимум-вращения и эллиптичности можно получить весьма
просто [157]. В этом случае обычная формула для нормальноrо отра-
жения применима для каждой круrовой слаrающей, так что отра..
женный свет является суперпозицией крyrовых волн с а:мплитудами
n  1 n+ ........ 1
, .
n + 1 n+ + 1
Циркулярные амплитудыI отраженноrо света можно представить в
виде
Е+ == Ех ::i:: iEy.
Из (43.,1) непосредственно следует
(43.1)
Еу 1 E  Е+ 1
E == i E + Е+ == i
n  1 n+  1
n + 1 n+ + 1
n  1 n+  1 ·
+
n + 1 n+ + 1
(43.2)

 43] полярНЫй ЭФФЕКТ ICEРРА IIPИ НОРМАЛЬНОМ ПАДЕНИИ СВЕТА 293
После простых преобразоваНИЙ получим
t ' Еу' . n  П+
gaK ==  == ..... l .
. Ех п+ n  1
Так как отношение амплитуд является комплексной величиной,
то колебание по отражении от намаrниченноrо 'ферромаrнетика
превращается из линейноrо в Э ЛJ1Иlllич еское, и БОJThшая ось поверты-
вается на некоторый yrол относительно первоначалъноrо направле-
ния колебаНИЙ линейно поляризованноrо 'света. Без оrpаничения
общности а к можно считать малой величиной и (43.3) представить
в виде
(43.3)
, . n  п+
а ==...... 1 .
К п+ n  1
(43.4)
Вещественный уrол вращения al( большой оси .эллипса колебаНИЙ
следует отсюда как результат вариации мнимой части показателя
npеломления намarниченноrо ферромarнетика, отличнъlЙ от НУШl
только в поrлощающих телах
( ' ) n  п+
а и == Не ак == ..... 1т 1 ·
&, п+ n 
(43.5)
Эллиптичность, являющаяся результатом вариации действительной
части показателя преломления, будет
( В ) == 1т (а к ) == ...... Не n  п+ . (43.6)
А 1( п+ n  1
Весьма интересный вывод получается при применении этих формул
к прозрачной среде (диэлектрк). В этом случае n и П+ веществевныI
и  (43.5) и (43.6) следует, что  == О, но ( 1 )1( * О. Тоща отражен-
ныIи свет не испыIьmаетT вовсе вращения плоскости поляризации, но
получает эллиптичность с rлавной осью вдоль направления плоскости
поляризации паДaIOщеrо луча. Эффект TaKoro рода еще не наблюден,
так как он исчезающе мал. Действительно, для тяжелоrо флинта в
в
поле Н == 104з А  106.
Для Toro чтобы выразить вращение и эллиптичность через маше-
тооптичесКИЙ параметр Q, мыI моrли бы использовать формулу (43.4).
Однако для целей последующеrо рассмотрения мы пойдем по иному
пути. Будем снова исходить из циркулярных колебаний, которые в
комплексном написании представляются в виде соотношения
Ар == ::i:: iAs. (43.7)
Отраженные :f циркулярные волныI будут иметь тоrда амплитуды
Rs:t == As (rll :l: ir 12 ),  (4з.8)
R"I. == Ар (r 22 =F ir 21 ), 

294
МАrнвтООПТИЧЕСКИЕ .явЛЕНИЯ в ФВРРОМArНВТИКАХ
[rл. Х
в чем лево убедиться, подставляя (43.7) в (39.1). Далее имеем
( :) :!: == r 11 ::l: ir12'
(43.9)
в отсутствие намаrниченности действует обычный закон металли..
ческоrо отражения
( Rs ) 1  n
As о == r 11 == ....... r22 == 1 + n ·
(43.10)
"
Если же ферромarнетик намаrничен, то следует положить
( Rs ) 1 ......... п:!:
As :!: == 1 + пх ·
(43.11)
Подставляя (42.4) в (43.11), будем иметь
. 1n nQ
r 1 1 ::l: Ir 12 == 1 + n ::i:: (1 + п)2
(43.12)
и, следовательно,
in Q
r 12 == r 21 == ....... (1 + п)2 ·
(4з.iз)
Далее, с помощью (43.13) и (43.10), находим
" п Q
Т 12 == ....... Т 12 ==
r 22 r 11 1  n 2
(43.14)
И, пренебреrая единицей по сравнению с п 2 ,
Т 12 Q ("  i)
, 22 == п (1 + ,,2) ·
(43.15)
в том же приближении п 2 (1 + ,(2)  1 справедливы формулыI обыч..
ной металлооптики для rлавноrо азимута е и rлавноrо уrла падения
Ф:
tg 2е == "', siпФ tgФ == п Уl + 2.
Из уравнений (43.16) и Q == I Q I eiq следует тотда
(43.16)
i(q+ ; )
'12 == I Q I е == , eM
Т 22 sin Ф tg Ф ·
(43.17)
Отношение , вещественной амплитудыI компоненты Керра к ампли..
туде обычНым образом отраженноrо света поэтому будет
I Q I
, == sin Ф tg Ф
(43.18)

 43]
полJIpный ЭФФЕКТ КВРРА ОРИ ИОРМAJlЬИОМ ПАДВНИИ СВЕТА
295
и отставание по фазе д первой относительно второй
'"
(, == q + 2 ..... 2е.
(43.19)
Далее минимум-вращение и отношение полуосей эллипса колебаний
отраженноrо света бу
IQlcos ( q+ п 2e )
а == Re ( Т 12 ) == , cos д == 2 (43.20)
к r 22 sin Ф tg Ф ,
I QI sin ( q + п 2e )
( А В ) ==::1: 1ш ( Т 12 ) == 1= , sin  == 1= i Ф 2 Ф . (43.21)
к r 22 s n cos
Опишем друrой способ рассмотрения физическоrо смысла вра..
щенкя и эллиптичности при эффекте Керра, который нам понадобится
при изложении вопроса о влиянии тонких пленок на мarнетооптиче..
ский эффект Керра [141б]. Разложим падающую линейно поляризо..
ванную волну на две круrовых компоненты А+ и A, которые вы-
разятся через проекпии на оси в следующем виде:
А+ == Ах + iAy, A == Ах  iAy,
отсюда
1 1
Ах == 2" (А+ + A), Ау == 2i (А+  A).
(43.22)
Затем для вычисления уrла поворота и эллиптичности в рассматри-
ваемом явлении представим амплитуды отраженных ЦИРlCулярно
поляризованных волн в комплексной форме
А+ == r + ei!p+, A:::: r  ei!p....,
(43.23)
rде ,   коэффициенты отражеция, а 'Р+, ЧJ  смещения фазы
при отражении. Введем следующие обозначения:
1
в+ ==  1n r + , Ф + == ЧJ+ + iO+ , ql == I(lfJ+  ЧJ),
1
O ==  ln r  , ф  == ЧJ + iO, q2 == I{O+  O), (43.24)
111
lfJ == I(lfJ+ +ЧJ), (J == 2(0+ + O), ql + iq2 == I(Ф+ ф)
И, вычисляя Ах и Ау, сrласно (43.22), находим
Ах ==  (А+ + A) ==  (r 8 + &rp+ + r8 eif) ==
==  ei(rp+ ( 8 ) {e<i Q , Q.) + Ir""(iq,q.)} ==
== e i (rp+i8}ch [i(ql + iqJ] == e i (9'+i8}ch[i  (Ф+ ф)]. (43.25)

296
млrНЕТООnТИЧВCюm ЯВJlEНИJI В ФВРРОМArНВТИКАХ
[rл. Х
АналоrичllО получаем
Ау ==  iei(Нiб) sh [i  (Ф+ Ф)]
и, следоватедъно,
1: ==  i th [i  L1Ф] == tg  (Ф+ Ф).
(43.26)
ПОБОрОТ большой оси поnyчаемоrо эллиптическоrо колебания по
Отношению к оси Х обусловлен вариацией действительной части
0606щепноrо смещения фазы, то есть величиной ql ==  (чJ+  чJ).
Поэтому полаrая q2 == О, имеем
Re ( 1 У )  == tg ql == tg Re [  (Ф + Ф ) ] == tga.
х q.  о
Отсюда вращеlШе при эффекте Керра
а == Re [  (Ф+ Ф)] ==  (чJ+ чJ).
(43.27)
Таким образом, вращение при эффекте Керра есть результат изме..
пения в мarнитном поле фазовоrо смещения при отражении ОТ металла
противоположных циркулярно поляризованных компонент световой
волны.
Эллиптичность получаем из условий q1 == О, то есть
() == 1т ( 1:) q, o ==  tg q2 == tg 1т [  ,(Ф+ Ф)] ==
1 ( r ) 1/2 ( А ) 112
== th 2 (0+  O) == thln r  == th ln A · (43.28)
Таким образом, эллиптичность при эффекте Керра есть резуль..
тат изменения в маrнитном поле коэффициента отражения для тех
же компонент.
 44. ПолирВЫЙ эффект Керра при ваклонвом
падении света
Чтобы рассмотреть общий случай проблемы маrнетооптических
явлеНИЙ, нам следовало бы решить уравнение (41.7). Однзко общий
очень сложнъlЙ результат становится относительно простым [133],
если оrpаничиться членами первой степени относительно маrието"
оПтическоrо параметра Q. Подставляя (40.10) в (41.7) после простых,
но довольно утомительных преобразоваНИЙ, получим
п*2 ' [1 :py*Q + (1   (1 + I){1 'Y*2)) Q2]
(44.1)

 44]
поЛЯРНЫЙ ЭФФЕКТ КЕРРА ПРИ НАКЛОННОМ ДАДЕНИИ СВЕТА
297
и также
п*2 == в' [1 1=y*Q   (1 + f) (1 y*2) Q2] .
(44.2)
Двойной знак относится, как и прежде, к ::1: ::;::: циркулярным волнам..
Пренебреrая членами BToporo порядка относительно Q, а также при..
нимая е' == e == п 2 ...... квадрату показателя преломления в отсутствие
намаrниченности, получим
n. 2  п 2 (1 =Fy*Q). (44.3)
Сравнивая эту формулу с (42.2), мы видим, что в общем случае фор...
мулыI для комплексноrо показателя преломления такие же, как если
бы ВОШlа распространялась параллельно вектору намаrничепности,.
но только перед Q появляется соответствующий направляющий коси..
нус 1'*. Леrко по казать, что соотношение (44.3) приводит к формуле,.
аналоrичной (42.4), а именно:
п == п (1 1=  ) , (44.4)
rде Q' == Qy*.
Для рассмотрения общеrо случая проблемыl отражения установлен
ные в  41 результаты о распространении неоднородной волны в
любом направлении к маrнитным силовым линиям следует объеди..
нить с общими rpаничнъlМИ условиями электродинамики для перехода
электромаrнитных волн через rраницу двух сред. Для простоты будем
рассматривать только случай, при котором rраница раздела двух
сред и плоскость падения волны расположеныI параллелъно или пер..
пендикулярно силовым линиям. rеометрические законы отражения и
преломления следуют без введения точноrо вида rраничных условий
уже из Toro факта, что эти условия однородны и линейныI относительно
составляющих напряженности электромаrнитноrо поля. Отсюда
. ( а*х + fJ*y + y*z )
IШ t *
следует, что если оперировать с решением вида (f:e 11 ,
а*х + fЗ*у + 'Y*z
то величина и* должна принимать одинаковое значение
на rpанице для падающей, отраженной и преломленной ВОШl. В частно-
сти, если rраницей будет ХУ -плоскость, а плоскость XZ  плоско-
стью падения как для плоскости равных фаз, так и для плоскости
равных амплитуд, то a*/v*' должно иметь одинаковое значение для
всех трех ВОЛН,.а fЗ* для них равно нулю и а*2 + у*2 == 1. Будем рас-
u u V
сматривать только случаи, коrда свет падает из изотропнои прозрачнои
cpeДbI, в частности из вакуума (или из воздуха), и падающая волна
однородна. При этом в падающей и в отраженной волнах а* и v*
вещещвенныI, и к тому же v* имеет для обеих волн одинаковое значе-
ние c В силу постоянства отношенИя a*/v* для обеих волн а* (то есть
синусы действительныIx yrлов падения и отражения) должны бьпь

298
МАrНВТООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ФЕРРОМАrНЕТИКАХ
[rл. Х
равны; соответствующие значения будем обозначать через а. Уrолу*
.должен тоrда для обеих волн обладать противоположными знаl(ами,
так ХaI( волны в противном случае становятся идентичными. Вообще,
lCомплексная волновая нормаль s* приводится, таким образом, для
падающей и отраженной волн 1( виду
Se == аж + yz, Sr == аж ..... yz.
При сделанных предположениях в падающей и отраженной волнах
колебания поперечныI. Для каждой из двух проникаюЩИХ в намаrни"
ченную среду волн имеет место
* + *
r d == adx Yd Z '
{"де а == а; п;, п; == и и d == 1, 2. Аналоrичные соотношения имеют
d
место, если вместо rраничной плоскости ХУ взять плоскость У Z
или ZX. ДЛЯ полученця общих формул отражения при полярном
намаrничении следовало бы использовать конкретные rраничныIe
условия, требующие непрерывности соответствующих танrенциаль..
ных компонент напряженности электрическоrо и мarнитноrо векторов.
Интересно, однако, что эти формулы мотут бьпь получены также
путем простых рассуждеНИЙ. Пусть на церпендикулярно намаrничен"
ное ферромarнитное зеркало (XZ  плоскость падения, ХУ ..... rpa..
ничная плоскость) под уrлом р падает циркуляр но поляризованная
волна. Разложим крутовое колебание на два, одно из которых 
эллиптическое  расположим в nлоскосm, параллельной плоскости
зеркала, а друтое  линейное  расположим так, чтобы колебания в
нем происходили вдоль маrнитных силовых линий. Колебание, совер..
шающееся вдоль маrнитных силовых линий, вообще не меняется и,
-следовательно, не оказывает влияния на маrнетооптический эффеl(Т
Керра. Эллиптическое колебание будет проекцией KpyroBoro колеба..
ния на плоскость зеркала и приближенно может быть представлено в
виде
А ==::i:: i n cos 9' + cos 11' А
Р n cos 11' + cos tp s ,
( 44.5)
rДе 1р  комплексный уrол преломления (коэффициент перед As равен
'Cos (р ....... "р) A::j cosp). При нормальном падении р == о и эллиптическое
колебание, описываемое формулой (44.5), переходит в кpyroBoe.
Отраженные волныI будут иметь тоrда амплитудыI .
Rs:f:  As (rl1 ::i: i n cos tp + cos 11' r 12 ) ,
n cos 11' + cos tp
Вр:!:  Ар (r22 1= i n cos 11' + cos tp r 21 ) ,
n cos tp + cos 11'
(44.6)


о 44]
ПОЛJIPНЫЙ ЭФФЕКТ КЕРРА ПРВ НАКЛОННОМ ПАДЕНИИ СВЕТА
299
в чем леrко убедиться, подставJWI (44.5) в (39.1). Далее имеем
( R s ) . n cos" + cos '1'
Ав :!: == rll ::ь: l n cos l' + cos Ip r 12 .
В отсутствие иамаrниченности справедливы формуJIы ФренеJIJI
( R s ) cos "  n cos 'fJ'
 == r 11 ==
Ав Q == о cos" + n cos 'fJ' '
( R p " == r 22 == n cos"  cos 'fJ'
Ар Q == о n cos" + cos 'fJ' ·
Если же ферромаrнетик намarничен, то сле.цует положить
(44.7)
(44.8)
(44.9)
( : ):I:
 cos"  n:t: cos 1J'
 cos" + П:l: cos '1' '
(44.9а)
( R р )  n:t: cos tp ......... COS 1р ( 44 9б )
Ар :f:  п:!: cos" + COS'l' · ·
I
Подставляя (44.4) в (44.9а) и (44.96), после некоторых преобразований
получим
in Q' cos tp cos 'fJ'
r r. 
12  21  (cos" + n cos '1') (п cos" + cos 1J') ·
(44.10)
Так как для большинства металлов, включая и ферромаrнитные,
п 2 > 1, то
, V 2
у* == cos 1р == у 1 ..... а*2 == 1..... а 2  1.
I n
Принимая во внимание это замечание, мы получим формулыI отра..
жения при полярном намarничении в следующем виде:
Rs == r 11 Ав + r 12 Ар, Rp == r 21 Ав + r 22 Ар,
cOStp n n cosq>  1
r 1  r. 
1  COS tp + n ' 22  n cos tp + 1 '
in Q cos q>
r 12 == r 21 ==  (cos tp + п) (п cos tp + 1).
(44.11)
Для определения минимум.. и нулъ..вращения прежде Bcero необходимо
знать отношения r 12 /r 11 и r 12 /r 22 . Пренебреrая единицей по сравнению с
п 2 (1 + ,(2), получим
Т 1 2  Q cos tp [ п" cos q> + i (п cos" + sin s ,,)] (44. 12а)
Т 11  (sin 2 tp + п cos ЧJ)2 + п 2 ,,2 cos 2 tp ,
Т 12 Q cos tp [п" cos tp  i (п cos tp  sin l чJ»)
==
Т 22 (sin 2 tp  п cos ЧJ)2 + ,,2 п 2 cos 2 q> ·
(44. 12б)
Параметр Q, вообще rоворя, является комплексной величиной, однако
по опъпным данным известно, что для железа (стали) мнимая часть Q
в желтой и красной области спектра весьма мала по сравнению с

ЗОВ
МjA.I'ЮПООПТИЧЕОКИВ ЯВЛВНИЯ В Фврромлrнв1'I!КАХ
[rл. Х
веществCВIIОЙ, ДWI еля и кобальта ..... по крайней M€.?pe не очень
значительна. Поэтому для :качественноrо обсуждения полученных
резуЛьтатов можно ,щшмой частью Q пренебречъ. Параметр Q
считается положительныI,, если силовые линии расположены парал-
лелъно положительв:ому направлению оси Z. Формулы (44.12a) и
(44. 12б) дают тоrда в силу TOTO что знаменатель всеrда положителен,
. },
для Не ( Т12 ) знак ве .nичиIIыI ...... n" cosep, для 1ш ( Т 1 2 ) знак величины
Т 11 Т 11
+ (п;cosep + sin 2 p), для Re ( Т 12 ) знак в eJшчиныI + n-х COSp, для 1т ( Т 12 )
2 2
знак ве JШЧИНЫ: ....... Gn cos'P ....... sin 2 p). Знак первой величины всеrда
отрицателен, второй и третьей ....... всеrда положителен, тоrда как знак
nоCJiедней величиныI при малых yrлах падения отрицателен, при боль..
mиx ....... Положителен. Изменение знака последней величины имеет
место при yrле падения ЧJ1, определяемом равенством
tg€Pl sinp1 == n. (44.13
Этот осоБЫЙ yrол падения ер! совершенно Не зависит от намаrничен..
кости (следовательно, и от мarнетооптическоrо параметра), а опре-
деляется вещественной частью показателя преломления. Учитывая
приведенные выше замечания о знаках, мы видим, что минимум..
враII(еRие анализатора и поляризатора при r 12 == r 2 !
Х р == X == Re ( :: ).
Xs == X == ....... Re ( Т 12 ) ,
Т 11
то есть при положительном Q, должны быть положительны. Так как
нуль"вращения анализатора и поляризатора при r 12 == r21 выражаются
формулами (СМ.  39)
1рр == 1p ==
1щ ( Т 21 )
Т 11
1т ( Т 22 ) ,
Т 11
11)  tP 0 
TS  Р 
1т ( Т 12 )
Т 22
( Т 1 ) '
I 11
т
Т 22
то при положительном Q в силу Toro, что при всех уrлах падения
1т { Т 11 ) <о, а I ( r 22 ) >0, мы получим, что 1рр ==tp всеrдаположитель..
r 22 "r 11 ,
но, а tps == tPOP при уrлах падения, меньших критическоrо .yrла ф, отри
цателъво, при yrлах падения, б6льших хритическоrо, положкteльно.

 45]
отрАЖЕНИЕ ПРИ МЕРИДИОНАЛЪном НАМArlIИЧБНИИ
3d!
 45. Общие формуJIы отражении ори меридиональном иамaПoiчeшпr
Мы не будем останавливаThCЯ на выводе формул отрения при,
меридиональном намаrничении, а приведем лишь их окончательвыIe
выражения. В том же самом приближении, в каком рассматривался
полярныIй эффект, получим
R B == r 11 Ав + r 12 Ар,
Rp == r 21 Ав + r 22 Ар,
costpn ncostp1
r  r. 
11  cos tp + n' 22 аоооооо n cos tp + 1 '
iQ sin tp cos tp
r ==r. ==
12 21 (cos tp + n) (n cos tp + 1) ·
т r
Для определения минимум.. и нуль"вращения выржения для  и ....ц
Т 11 Т 22
рассчитываются в прежнем приближении, при котором единицей по
сравнению с п 2 (1 + ,(2) пренебреrают:
(45.1)
r 21  Q sin tp cos tp [х (2п cos tp + sin 2 чJ) + i (п (,,2  1) cos tp  sin 2 чJ)]
r 11  п (1 + х 2 ) [(sin 2 tp + п cos ЧJ)2 + п 2 х 2 cos 2 чJ] ,
r 21  Q sin tp cosq> [",(2лсоsq:>siп2q:»i(п(х21) cos<p + sin 2 q:»]
r 22  п (1 + х 2 ) [(sin 2 tp  п cos ЧJ)2 + п 2 х 2 cos 2 чJ] ·
(45.2)
Формулы (45.2) дают тотда в силу Toro, что знаменатель всетда поло..
жителен, для Re ( Т21 ) знак величиныI + 2п cosp + sin 2 tp, для 1т ( Т21 )
Т 11 Т 11
знак величиныI + (п(2  1) cosp  sin 2 p), для Re ( Т21 ) знак величины
Т 22
 (2п cosp ..... sin 2 p), для 1т ( Т21 ) знак величины  (п (2 ..... 1) costp +
Т 22
+ sin 2 ср). Первое выражение всеrда положительно, последнее всеrда
отрицательно, так как в нем  > 1. Второе выражение при малых
yrлах падения положительно и меняет свой знак при р == Р2' опреде..
ляемом посредством равенства
tgP2 sinp2 == п (2  1).
(45.3)
Третье выражение при малых yrлах падения положительно и меняет
свой знак при tp == СРа, причем
tg СРа · sin Ра == 2п. (45.4)
С этими результатами связываем мы формулыI (39.8), (39.9), (39.17),
(39.18), откуда при r 12 == r21 для минимум"вращения анализаторах и.
поляризатора Х О получим
 Хв == X == Re ( ТЗ1 ) "  Х р == x == Re ( Т21 ) . (45.5)
Т 11 Т 22
При Q положительном + Хв и  X будут ДЛЯ всех уrлов падения

302
МАrНВТООПТИЧЕСКИЕ JlВЛЕНИJl,В ФВРРОМАrНЕТИКАХ
[rл. Х
отрицательны, Torдa как + Х р и  X дЛЯ малых yrJtoB паде:НИИ поло-
 u
жительны, для тех же уrлов, которые превышают критическии уrол
tpЗ, ДОЛЖНЫ быть отрицательны. Для нуль-вращения анализатора и
поляризатора из (39.25), (39.26), (39.27) и (39.28) (при предположении
r 12 == r2J следуют формулы
1т ( :::) 1т ( ::: )
 "в == 1JJ ==  tpp == 1JJs == (45.6)
Irn ( Т 11 ) , 1т (  ) ·
r 22 Т 11
Отсюда следует, что при всех уrлах падения 1JJs == tp отрицательны,
тотда как 1JJp== tp? при малых yrлах падения отрицателъныI, для тех
же, которые превышают критический уrол Р2 ..... положительныI. Для
качественноrо обсуждения поведения знака минимум.. и нуль"враще..
ний, мы пренебреrали мнимой частью маmетооптическоrо пара-
метра Q. Отбросив это оrраничение, мы получим относительно про-
стые уравнения, определяющие критические уrлы падения Р1, Р2 И Рз.
Мы видели, что при первых двух через нуль проходит нуль-вращение,
при последнемминимум"вращение. Представляя маrнетооптический
параметр в виде Q== IQI e----- iq , мыI получим из (44.12а), (44.12б) и (45.2)
дЛЯ Р1, Р2 И Рз следующие выражения:
tgCP1 sinp1 == п(1 +  tg q) полярныIй эффект, (45.7)
tg . п(,,2  1)  2п" tg q
mn SlП mn ==
т  т  1 + "tg q ,
tg . 2п" + п(,,2  1) tg q
mn Sln mn ==
,.> Т'> "  tg q
меридиональный (45.8)
эффект.
Эмпирески установлено, что критические уrлы падения СР1, Р2 И
lfJз не зависят от намаrниченности. Отсюда следует, что величина q в
рассматриваемом приближении также не зависит от намаrниченности,
а определяется исключительно оптическими константами. Разверну..
тых формул минимум.. и нуль"вращений, а также эллиптичности в
общем случае наклонноrо падения света при полярном и меридио..
нальном намаrничении из..за их rромозДICОСТИ МbI приводить не
будем. По поводу сравнения с опытом строrих формул для минимум-
и нуль"вращений, а также для фазы и отношения амплитуд при наклон..
ном падении следует обратиться к работам rольдrаммера и Зеемана,
[158]; соrласие удовлетворительное.
 46. ЭкваториальНЫЙ эффект Керра
Рассмотрим теперь случай, при котором вектор намаrниченности
направлен вдоль rpаничной поверхности, но перпендикулярно к
плоскости паДения [159]. Если выбрать плоскость У Z в качестве
rpаничной, УХ в качестве плоскости падения, то для всех уrлов падения

 46]
ЭКВАТОРИАЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ КЕРРА
30J
направляющий косинус у* равен нулю:
а*2 + Р*2 == 1, р! == р/п: ,
причем индекс d относится к обеим преломленным волнам.
случае из (41.6) получаем
е'Е х ........ ie' QEy == п*2 Р*({3* Ех ---- а* Еу), I
{е' QEx + е'Е у == п*2а*(а*Еу ---- (3*Е х ),
eEz == n*2Ez.
в этом
(46.1)
Эти уравнения показывают, что колебания (внутри ферромаrнетика)
параллелъныIe к силовым линиям, совершенно отделяются от колебаНИЙ,.
перпендикулярнъlX к силовым ли-
НИЯМ.' ДЛЯ показателей преломле..
ния справедливы строrие форму-
лы (42.5'), которые при оrраниче..
нии величинами первоrо порядка
относительно Q принимаю т вид
n2 == п!2 == е' == e == п 2 . (46.2)
Обе преломленныIe волны имеют,
следовательно, одинаковые ско"
рости и направления распростра..
нения и совпадают. Проблема
отражения и преломления содер..
жит теперь влияние намаrничен"
ности только через уравнение
(41.8), которое при у* == О будет
иметь вид
х
у
Ра
(а* +if3*Q)Ex +(f3*ia* Q) Еу==О.
(46.3)
Отсюда видно, что компоненты колебаний в плоскости падения
связаны между собой совсем иначе, чем в отсутствие намаrниченности..
Мы полаrаем теперь в соответствии с рис. 68:
Рис. 68. Экваториальный эффект Керра.
'а и Ра  нормаль и направление колебаний в
падающей волне, ',. и РТ  В отраженной волне.
Еа ==  fЗ А ei(J)TtJ Еа == а А ei(J)Ta Еа == А ei(J)Ta \
х Р' у Р , z S' I
 t  ру + ах
Та  V'
Ё' == f3 R ei(J)Tr Е' ==  aR ei(JJTr Е' == R ei(J)Tr
. р , у Р' z S ,
т == t ...... ру  ах ,
r V
E == п(1) ei(J)Td, Е; == п(2) eilOTd, Е1 == п(З) ei(J)Td,
р*у + а*х
т d == t  о* ·
(46.4)

304
МArНЕТООПТИЧЕСКйЕ ЯВЛЕНИЯ В ФЕРРОМArНEТИКAX
[rл. Х
На рис. 68 Та И Ра  нормаль и направление колебаНИЙ в падающей
волне, Tr И Pr  В отраженной волне. rраничныIe условия требуют
непрерывности величин
Е Е оЕ у  оЕ х И oEz
у' z , ох оу ож ·
Применяя rраничныIe условия к (46.4), будем иметь
а(А р  R p ) == п(2), Ар + Rp == п*(а* п(2)  Р* п(1», 
Ав + Rs == п(з), а(Ав  RJ == п*а* п(З).  (46.5)
Компоненты колебаНИЙ, параллельныIe и перпеНДИl(улярные к
ПЛОСКОСТИ падения, остаются поэтому, так же как при проблеме
.отражения, независимъlМИ дрyr от друта. Для преломленных KOМnO--
нент, лежащих в плоскости падения, (46.3) дает соотношение
(а* + ifi* Q) п(1) ===  (Р*  ia*Q) п(2)
или
* п(2)  fЗ * D(l) == n(2)
а а * + ifJ*Q ·
( 46.6)
Подставляя (46.6) в (46.5), получим
Rp[(a* + па) + ifJ*Q] ==  Ар[(а*  па) + ifJ*Q],
Rs(a + п а *) == As(a  па*).
(46.7а)
(46.7б)
Из этих соотношений видно, что компонента, колеблющаяся
. перпендикулярно к плоскости падения и, следовательно, в этой пло..
скости поляризованная, не зависит от намаrниченности. Компонента
ос колебаниями, параллельными плоскости падения, претерпевает
блаrодаря намаrниченности изменение в амплитуде и фазе; однако
доказать непосредственно это изменение весьма трудно. Предметом
наблюдения является дробь Rs/Rp в случае, котда на rpаницу падает
линейно поляризованный свет, составляющий с плоскостью падения
азимут в пределах от О до 900. Так как падающий свет линейно поляри..
зовавный, ТО Ар и Ав будут вещественны и 1 в == tg r, rде rазимут
р
электрическоrо вектора. Из (46.7а) и (46.7б), принимая во внимание
(39.6), получим
Q sin ер
а * + 11 cos ер + i
Rs == G ei(gf) ==  cos ер  11а* .  11 As
R р F cos ер + 11а * . Q sin ер Ар'
а* n cosep + l
11
(46.8)
{'де
n == sin Ф tgФ t; i2e,
* У 1  sin 2 ep
а == 112 ·

 46]
ЭКВАТОРИАЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ КЕРРА
305
Оrраничиваясь членами первото порядка малости относительно (2,
(46.8) можно представить в виде
Rs == G e;(gf) ==  As cos ер   . 0..* + n cos ер . ( 1  iQ si n 2 ер )
Rp F Ар cos ер + па * а *  п cos ер а *2  п 2 cos 2 ер ·
(46.9)
В опытах по измерению экваториальноrо эффекта азимут поляри..
затора устанавливается при таком значении r, при котором ДОСТИ;"
rается равенство компонент F и G (их фазы отличаются незначительно);
это .обнаруживается болометрически. Затем включается маrнитное
поле и измеряется малое вращение оТ поляризатора, которое необходи..
мо для восстановления равенства отраженных компонент. Используя
значок «О» дЛЯ обозначения обычных значений (без намаrниченности,
то есть при Q == О) и полаrая F == G, в каждом случае мы имеем (если
обозначить (у  ') через о)
ic5 t r cos ер  па * 0..* + п cos ер ( 1 i Q sin 2ер J '
е сО' == · 
 cos ер + па * а *  п cos ер а *2  n 2 cos 2 ер ,
 1 .6 t r cos ер  nа* 0..* + п cos ер
е ocg == ·
о cos ер + па * а *  n COS ер ·
(46.10)
!
(46.11)
Поделив первое уравнение на второе, получим
ei(c5o) tg r о == 1  [а Sill 2ер == 1  iQ Sill 2ер
t a r 0..*2  п 2 COs 2 ер sin 2 ер
о 1  п2 cos 2 ep
п 2
(46.12)
Полаrая для краткости n 2 (1 + 2) == Ь И Q == jQIC"""i Q , уравнение (46.12)
можно представить в виде
i( q++i»
tri(.) tgro  1 + I Q I sin 2tpe 2  ,
tg r У[ cos 4е( Ь 2 cos 2 ер + 1> J 2 . 2 [ Ь 2 COS2 ер  1 ] 2
1    + Sln 40
Ь  Ь
(46.13)
rде
Ь 2 COs 2 ер  1
tg v ==  tg 4е 
Ь 2 cos 2 ер + 1  Ь · ec 4е ·
Вместо Ь 2 + 1 можно писать Ь 2 , ибо во всех рассматриваемых случаях
Ь 2 > 100. Выражение (46.13) можно привести к виду
. [ (j  IQI sin 2lp CO (. +q) ]
tgro == I I  I Q I sin 2epsin(v + q> ] el о + у . (46.14)
tg r у ,
тде
V 2 cos 4е
у == Ь 2 cos 4 qJ  2[(Ь  2 cos 4е) cos 4е + 1] cos 2 rp + 1  ь 
20 А. В. СОКОЛОВ

З06
МАrНВТООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ФЕРРОМАrНЕТИКАХ
[rл. Х
Приравнивая модули и арrументы в (46.14), получим
о  0 0 == I Q I sin 2 ер cos (v + q)
. у ,
tg r == tg r о [1 + iQ I sin 2tp ySin (" + q) ] .
Заменяя в левой части r через ТО + ОТ, после простых преобразова..
I ний получим
(46.15)
(46.16)
20 r == I Q I sin 2ер sin 2r о sin (v + q)
у ,
(46.17)
Тде ro определяется формулой
2п sin ер tg ер
cos 2r о == . 2ф t 2 Ф Ь .
sln g +
(46.18)
СНОУ сравнил измерения Инrерсолла (кружки на рис. 69), относя..
щиеся к натриевому свету (л == 5900 А), с изложенной здесь теорией
о'
+15'



 +10'


i

:::) + 5'


цj


"'5'
О
10 20 30 40 SO 80
Уеол поасни.н
Рис. 69.
70 80 900
.
экваТОРИ8.Щ»ноrо эффекта (крестики). Как видно, теория находится
в хорошем соответствии с наблюдениями для железа (стали), никеля
и кобальта. l'

 47]
К ОБЩЕЙ ФЕНОМЕнолоrичЕСКОЙ ТЕории
307
 47. К общей феноменолоrической теории
маmетооптических явлений в ферромаmетиках
Учение о маrнетооптических явлениях в ферромаrнетиках, имею..
щее почти столетнюю историю [130], в последние тодыI нашло широкое
практическое применение в связи с использованием этих явлеНИЙ в
радиотехнике сантиметровых волн [160], а также с изучением домен..
ной структуры ферромаrnитных веществ [145].
Наиболее важные применения нашел эффект Фарадея. Давно было
известно, что фарадеевское вращение плоскости поляризации в оптике
является необратимым [46, 161]. Свойство необратимости отличает
h  н Н '
  1li  
ЛЛОСt{{Н'ШЬ I · nЛОСIfОСпJ{) поляри.за-
ЛЛОС/fость 1 пОЛЯрl130ЦUlJ \  "lIl./  ' иlfОЛЛ N
. ItfJП оЬл Л чо \ '1' J ·
{)О/lJfр";;тщи 1fJ '!I)1 пуча, прошеа... .  lJоdtjJff!jтоз(}
ffl/110ЛЯ N, ШС80 слои 1 I 1,5 1" N. на 450
,
НО/lfJоdлеНlIt Л!lЧО

I
I
I ЛJlОСI1 UGIII/)
ч50IЛОЛЯРlI.3Ul(lJI,
.,JНШfОЛЯ N J
I
{J.лО(,f1UСfIIL
поляризации
I1Ш1(JЛЯ Н '
ЛЛОС/lОСПI{)
1I0ЛЯР"ЭОЦlШ луча.
прОlUсilшеёО '{{IOI.j Z
45
"
{,'lJел, f1t; про.хООи/11
"
'" {,'/)(;flI про.хооu{Л
;Рис. 70. Свойства необратимости эффекта Фарадея.
эффект Фарадея от явления оптической активности, вызьmаемоrо
двойным лучепреломлением кристаллов или от эффекта Коттона .......
Мутона (явление двойноrо лучепреломления в поперечном маrнитном
поле), которые обратимыI. Эта обратимость означает, что если пло..
ско поляризованная световая.волна падает на оякопреломIЦИЙ
кристалл таким образом, что плоскость поляризации повертывается
на уrол v при прохождении света через кристалл в одном направлении,
то это вращение уничтожается при обратном распространении света
через кристалл. Напротив, если при фарадеевском вращении луч,
вышедШИЙ из вещества, заставить с помощью отражения пройти
вторично тот же путь в обратном направлении, то суммарное вращение
будет вдвое больше, чем после одното прохождения. Релей (162]
описал прозрачную в одном направлении оптическую систему, в
которой используется фарадеевское вращение. Эта система состоит
из двух призм николя, установленныIx под yrлом в 450 дрyr к друту;
между николями помещается материал, в котором может вызьmаться
(маrнитным полем) фарадеевское вращение (рис. 70). Представим
себе, что на пути 1 луча света в среде, находяrцейся в маrнитном поле,
плоскость поляризации поворачивается вправо на 450. Пусть луч света
попадает в такую среду, пройдя через николь N 1 . Выйдя из средыI с
плоскостью поляризации, повернутой вправо на 450, луч попадает. в
20*

308
МArНЕТООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ФЕРРОМArНЕТИКАХ
[rл. Х
николь N 2 , КОТОРЫЙ мы повернем на 450 влево по отношению к николю
N 1 . Тотда свет не пройдет через николь N 2 . Наоборот, если при ука..
занной установке николей сначала пропустить свет через николь N 2 и
затем через среду, то свет пройдет через николь N 1 полностью. Таким
образом, данная установка пропускает свет только в одном направле..
нии. Установка представляет собой «световой вентиль».
Это явление нашло практическое применение в аппаратуре санти"
метровых волн. А ИМенно в сантиметровом диапазоне используется
вентиль  передающая система одностороннеrо действия.
..
о@ ,8 4$ а@
а@ ж(D eQ в@
--
Рис. 71.
Если прямоуrольные волноводы, расположенные по обе стороны
круrлоrо волновода, в котором нахоДИТСЯ «вращающий элемент»,
образуют между собой yrол в 450, то волна сможет распространяться
только в ОДНОМ направлении. Рис. 71, а показывает, что волна из
прямоуrольноrо волновода попадает в круrлый. До вращающеrо
элемента поляризация волны не меняется (рис. 71, б), вращающий
элемент поворачивает плоскость поляризации на 450 (рис. 71, в), и с
такой поляризацией волна попадает в прямоуrольный волновод,
который повернут на 450 относительно первоrо (рис. 71, 2).
При распространении в противоположном направлении, как видно
из рис. 71, дз, волна придет с такой поляризацией, что не сможет
распространяться в первом волноводе. Однако, если ее не поrлотить,
она, очевидно, будет отражаться. Отразившись, волна снова пойдет
слева направо (рис. 72, a2), дойдет до BToporo волновода, снова
отразится и, придя к первому волноводу (рис. 72, дз), будет иметь
такую поляризацию, что сможет распространяться в нем. Не оста..
навливаясь на описании конкретных схем, oCHoBaHHLIX на использо...
вании вентиля, отметим лишь, что применение этоrо элемента дает
возможность просто решать целыIй ряд сложных вопросов в технике
сантиме.ТРОВЫХ волн. Вентиль может быть использован, например,
для Toro чтобы изолировать reHepaTop или детектор от волновода в
микроволновой схеме.
. Дрyrие возможные применения вращающеrо элемента основаны на
том, что величину поворота плоскости поляризации можно реrули..

 47]
к ОБЩЕЙ ФЕНОМЕнолоrиЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
309
ровать путем изменения напряженности маrнитноrо поля. На этоМ
принципе основаныI волноводныIe антенныIe переключатели, аттеню-
аторы и дрyrие устройства. Анализ маrнетооптических явлений в
ферромаrнетиках и в особенности в ферритах позволяет реализовать
внешний контроль микроволновых фазовращателей, аттенюаторов,
модуляторов и т. п.
Хотя классическая теория маrнетооптических явлений бьша отправ..
Hым nyнктом и прообразом для построения теории этих явлений в
сантиметровом диапазоне, тем не менее эти явления в оптической
области спектра и в области сантиметровых волн описывалисъ раз..
личными, не связанными между собой схемами. Естественно, что
о CПD 5ф
8@ же
Рис. 72.
6$
а@
е0
о@
такая ситуация не может способствовать еще более успешному раз-
витию этой области науки. Поэтому разработка единой теории этих
явлений представляет существенный интерес [141т, д].
Мы уже видели, что макроскопическое описание маrнетооптиче..
ских явлений в ферромаrнетиках производится с помощью общих
дифференциальных уравнений электромаrнитноrо поля
1 ав
  ==  rot Е (47.1)
с 01 '
1 oD
с дi == rot 11 (47.2)
и тензорных уравнений
(47.3)
в == ILH, (47.4)
rде е' и IL  тензоры диэлектрической и маrнитной проницаемости.
ВИД тензора диэлектрической проницаемости описывается формулой
(40.4).
Предполаrается, что среда является не только электрически, но
и маrнитно анизотропной с тензором маrнитной проницаемости вида
iILM
D == е/Е
,
  (iM
IL
О
) ,
/1-0
(47.5)

310
МАrНВТООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕния в ФЕРРОМАrНЕТИКАХ
[r л. Х
тде М ...... второй маrнетооптичесКИЙ параметр; параметр М, как и
параметр Q, зависит от намаrниченности 1 ИIL === /L'  i/L". В этом
случае волновые уравнения имеют вид
02е' f.LE
ot 2 ==  c 2 {j.L) rot (1L1) rot Е,
02е' f.Lll
д ==  с 2 (е) rot (el) rot Н,
(47.6)
тде через (el) и (J.L1) обозначены тензоры, обратныIe тензорам е и /L.
В дальнейшем расчеты будем про водить с электрическим вектором
Е, хотя те же самые результаты можно получить, пользуясь маrнит"
вым вектором Н. Используя очевидное равенство
( e'IL(1 + QM) ie'IL(Q + М) О ) ( 'Ех )
е'р-Е == ie'p-(Q + М) e'JL(l + QM) ,0 Еу,
О О eolLu Ez
( 47.7)
уравнение (47.6) можно представить в компонентах
e'IL(1 + QM) Ё х  ie'IL(Q + М) Ё у + с 2 [р. rotlL1 rot Е]х == о, I
ie'IL(Q + М) Ё х + e'IL(1 + QM) Ё у + с 2  rotlL1 ret Е]у == о,
e/Lo Ё z + с 2  rot/L1 rot Е].; == о.
Принимая решение в общей форме Е == Ео ехр iCиT* и пользуясь
обозначениями 941, получим уравнение для определения комплексноrо
показателя преломления намаrниченноrо ферромаrнетика
( 47.8)
e'2ep.2ILo(1  Q2)(1 ...... М2)  [e'e1L2(1 ...... М2)(а*2 + {3*2) +
+ e'2 ILILo (1  Q2) (а*2 + {3*2) + 2e'elLp.o(1 + QM)y*2] п*2 +
+ ULoy*2 + lL(a*2 + {3*2)] [ey*2 + е'(а*2 + {3*2)] п*4 == о. (47.9)
.
Полаrая в этом уравнении М == О, а также IL == lLo == 1, получаем
уравнение для описания маrнетооптических явлеНИЙ в области опти...
чес:ких частот. Напротив, полаrая Q == о, а следовательно, е' == e,
получаем уравнение для описания маrнетооптических явлений в
сантиметровом диапазоне.
Однако в промежуточной области частот (начиная уже с инфра..
красной области спектра) следует использовать полученное общее
уравнение. ·
Для рассмотрения задачи прохождения электромаrнитной волны
через ферромаrнети:к, намаrниченный в направлении f>аспростране...
ния света (эффект Фарадея), следует положить а* == {3* == о и у*. == 1.
Тотда из уравнений (47.9) получаем два решения
п2 == e'/L [1 =F (Q + М) + QM], Ех == =F iEy. (47.10)
#'

 47]
к ОБЩЕЙ ФЕНОМЕнолоrиЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
311
Параллелъно силовым линиям распространяются две поперечныIe
циркулярно поляризованныIe волныI; показатель преломления п!
соответствует левополяризованной, а п!  правополяризованной
волне. Если принять во внимание, что показатели преломления п! и
n! отличаются дрyr от друта, а также от показате ля п реломления п
в отсутствие намаrниченности лишь на малую вел и чину и что сумма
маrнетооптических параметров (Q + М) значительно меньше е диницыI ,
то из (47.10) следует соотношение
п!  n === n(Q + М), (47.11)
которое совместно с соотношением п! + п === 2п приводит к
п:  п [1 =r=  (Q +. М)] . (47.12)
Подставляя (47.11) в (42.17) и (42.20), мыI находим для вращения и
эллиптичности в эффекте Фарадея следующие выражения:
аф ==  Re [n(Q + М)], (  )ф == :1: th 1т  [n(Q + М)]. (47.13)
При поперечном распространении света (например, параллельно оси
х) а* == 1, {3* == у* == О, и тотда (47.9) дает .
e'lLeILo(1  Q2) (1 ..... М2)  [e(1  М2) + e'lLo(1  Q2)] п*2 + п*4 == О
или
ni 2 == e'lLo(1  Q2), n: 2 == e(l  М2).
(47.14)
Первое соотношение представляет показатель преломления для
электромаrнитной волныI, колебания электрическоrо вектора в КОТОрОЙ
совершаются параллельно намаrниченности образца, тотда как
второе соответствует колебаниям, перпендикулярным намаrничен"
ности образца. Это есть так называемое явление двойноrо маrнитноrо
преломления.
Для рассмотрения полярноrо эффекта Керра будем исходить из
обобщенных формул Френеля (см.  6). Выберем систему координат
так, чтобы плоскость ху совпадала с поверхностью ферромarнитной
средыI, намаrниченной в z",направлнии. При таком выборе системыI
координат обобщенные формулы Френеля для двух rлавных случаев
поляризации имеют вид
R == f.L cos ер  у в'р.,  sin 2 ep А
s У , . 2 S'
f.L cos ер + в р.,  Sln ер
R ==  в' cos ер  у в'   sin 2 ер А
Р в' cos ер + V в' р.,  sjn 2 ер Р'
v' sin ер
или, если ввести комплексныи уrол преломления tp по формуле  ==
Sln 1р
== п*, получим' .
R == р., cos qJ  11 * cos 1р А R ==...... в' cos ер  п * cos 1р А ( 47.15 )
s р., cos ер + п * cos 1р S' Р в' cos ер + п * cos 1р Р.

312
МАrНЕТООnТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ФЕРРОМArНEТИКАХ
[rл. Х
Этим формулам можно придать простой физический смыIл,, если
считать маrнетооптические параметры Q и М мaJIыми величинами
по сравнению с единицей. Разлаrая е' и IL в степенные рядыI по малым
параметрам Q и М и оrpаничиваясь членами второто порядка малости
[141т] относительно Q и М, получим
, , + , 1 Q 2
е == е о е о 1 и
IL == lLo + J.Lo/2 M2 ,
(47.16)
тде
1 ( 02 В ' )
/1 ==  2 ;- О а 2 ,
Во Q==O
1 ( 02 р., )
12 == 2... оМ2 ·
.0 м ==0
Подставляя (47.16) в (47.9), после простых преобразований находим
п*2 == е.;р,о[1 9=fy*(Q + М) + Фl(Q2, М2)],
а также
п*2 == e'IL[1 =Fy*(Q + М) + Ф2(Q2, М2)],
rд еФ 1 ИФ2  функции, В которые маrнетооптические параметры Q и м
входят ВО второй и более высоких степенях.
Двойной знак относится, как и прежде, к ::i:: циркулярныIM волнам.
Пренебреrая функциями Ф1 и Ф2, а также принимая e'lL == еА == п 2 
квадрату Показателя преломления в отсутствие намаrниченности,
подучим
п*2  п 2 [1 =fy*(Q + М)].
(47.17)
Леrко показать что соотношение (47.17) приводит к формуле, анало..
rичной (47.12), а именно:
. n  n [1 =F  (Q' + М')] ,
тде Q' ==y*Q, М' ==у*М и n == V e'lL  УеА . Подставляя (47.18) в
(47.15), находим
(47.18)
( ) 1,
Rs р., cos ер  п cos tp n р.,а ет COS ер cos tp
As :f: == р., cos ер + п cos tp ::i:: (р., cos ер + п cos tp )2 ,
(47.19)
( ) ,
Rp n cos ер  р., cos tp пр.,ает cos ер cos tp
Ар :f: == ...... п cos ер + р., cos 11' =f (п cos ер + р., cos tp )2 ,
(47.20)
тде Q;m == Q' + М'. Полаrая IL ==J.Lo == 1 и М == О, мыI получим резулъ..
таты классической маrнетооптики для оптических частот, принимая
же Q . о и е' == e, получаются формулыI, справедливые для частот
сантиметрооrо диапазона. Однако в промежуточной области спектра
следует использовать полученные общие формулыI (47.19) И (47.20).
,.

 47]
к ОБЩЕЙ ФЕНОМЕнолоrиЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
31-3
в случае нормальноrо падения света формулы (47.19) и (47.20)
упрощаются
( ) ,
Rs   11 Пf.-tQеm
As :!: ==  + n ::i:: ( + n )2 ,
(47.21)
( R p )  ( n I-L J ' np.Q;m
Ар :!:   п + р. =f (n + р. )2 ·
АналоrичныIM образом можно получить соответствующие формулы
для меридионалъноrо и экваториальноrо эффектов Керра.
Для иллюстрации тото, что излаrаемая здесь общая теория дает
тот же результат в области сантиметровоrо диапазона, что и теория,
которой пользовались до сих пор, рассмотрим, например, эффект
Фарадея.
В области сантиметровоrо диапазона в формулах (47.13) следует
цоложить Q == О, и тотда 8' == 8 == 8 == 81  ie 2 , однако маrнитная
анизотропия остается и тензор IL имеет вид (47.5). Поэтому для трех
составляющих вектора маrнитной индукции имеем равенства
(47.22) ,
Вх ==ILHx  iILMHy, !
Ву == ilLMHx + ILHy,
Bz == ILoH z ·
С друrой стороны, для отыскания явноrо вида второто маrнетоопти"
ческоrо параметра можно воспользоваться хорошо известными фор..
мулами теории ферромаrнитноrо резонанса, а именно [163]:
(47.23)
bz: == II.h!;  iah, !
 r... 1]
Ь,} == iah; +lLhfJ'
Ь == h;,
(47.24)
",,2 НеВе  6)2
IL == 2 н 2 2'
'у e6)
(47.25)
411' 1 z'Y6)
a
 'Y2H  6)2 '
(47.26)
е
тде 1 z ..... намаrниченность образца по оси Z, у ==   матнетомеХа..
I те
ническое отношение. Из сравнения (47.23) и (47.24) находим
/
1t Jr == 411' 1 z'Y6)
jL.J..Y.L 2 ·
'У 2Н е  6)2
Если предположить, что частота переменноrо поля знач ительно боль..
те резонансной частоты т  УНе, а также т  У YHe то, соrласно

3'14


МАrНЕТООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ФЕРРОМАrнвтикАХ


[rл. Х


(47.25), IL == 1, и следовательно, для второто маrнетооптическоrо
параметра получаем следующее явное выражение*):


м == 4пl z Y .
tiJ


(47.27)


Подставляя (47.27) в формулы (47.13) (в которых Q следует положить
равным нулю), получаем выражения для yrла вращения и эллиптич"
ности электромаrнитной волны после прохождения ею в намarни..
ченном ферромаrнетике (феррите) пути 1:
·
 У2: пylzl (1 I + ) 1/2
аф
 8 81 ,
С


(47.28)


( В )
 th У2п у 1 z 1 ( I I ) 1/2
\ А Ф == :r:: с 8
 81 ·


(47.29)


Выражение для уrла вращения (47.28) в точности совпадает с формулой
(21) работы [160а].
вышеприведенныIe расчеты показьшают, что маrнетооптические
явления в ферромаrнетиках обусловливаются как электрическими,
так и маrнитнъlМИ свойствами, причем в оптической области спектра
решающую роль иrрает электрическая анизотропия (тензор диэлек"
трической проницаемости), тотда как в области частот сантиметровоrо
диапазона ведущей является маrнитная анизотропия (тензор мarнит..
ной проницаемости). Однако в промежуточной части спектра следует
учитьшать оба вида анизотропии.
Отсюда непосредственно следует, вопреки утвеl}ждениям работы
[164], что нет никаких основаНИЙ менять установивmиеся представления
в теории маrнетооптических явлений в ферромаrнетиках и вводить
в рассмотрение маrнитные свойства вещества при очень высоких
частотах. Более тото, так как в оптической области существенную
u ( ,. 411' и )
роль иrрает диэлектрическии тензор с элементами 8 == 8
 1 ш '
то отсюда сразу же вьпекает" что маrнетооптические эффекты в
ферромаrнетиках должныI в какой..то мере отражать влияние ферро..
маrнетизма на электрическую проводимость вещества и в силу этоrо
ферромаrнитн:ые металлыI и полупроводники должны различаться
в отношении проявления маrнетооптических свойств за счет различноrо
механизма проводимости.
Что касается физическоrо смыIлаa маrнетооптических параметров
Q и М, то, естественно, ето следует искать на основе какой..либо микро

скопической модели. В этой связи следует отметить, что предпринятая
в работе [164] попытка определения второто маrнетооптическоrо
параметра на основе теории ферромаrнитноrо резонанса представляет..


*) Такой способ отыскания физическоrо смыIлаa маrнетооптическоrо пара..
метра М впервые был предложен в работе [164].


,.





 47]


к ОБЩЕЙ ФЕНОМЕнолоrиЧЕСКОЙ ТЕОРИИ


315


ся нам разумной. Однако распространять этот параметр (как это
делается в той же работе) на область оптическоrо спектра совсем
нельзя, так как физичесКИЙ смысл первото маrнетооптическоrо пара..
метра, в соответствии с отличным микроскопическим механизмом
взаимодействия электромаrнитной волны с ферромаrнитной системой,
совершенно иной.
В заключение отметим, что теория, рассмотренная в этом пара..
rрафе, еправедлива лишь ДЛЯ безrраничной среды. Поскольку в области
сантиметровых волн длина волны может быть сравнима и даже
больше размеров образцов, то здесь начинают иrрать существенную
роль форма образца (размаrничивающий фактор), а также форма
волновода, и имеет место большая вариация rраничных условий.
Поэтому в каждом конкретном случае эти факторы будут накладыI'
вать определенныIй оmечаток на вид второто маrнетооптическоrо
параметра (а в промежуточной области и на первый маrнетоопти"
чесКИЙ параметр).
Кроме тото, нами рассматривался случай, котда оси электри"
ческой и маrнитной анизотропии совпадали. Интересно исследовать
Qбщий случай, котда оси той и друrой анизотропии составляют между
собой некоторый уrол (реальный ферромаrнитный кристалл).