Историко-математические исследования. Выпуск VI - Юшкевич А.П., Рыбкин Г.Ф.

Author: Юшкевич А.П. Рыбкин Г.Ф.

Tags: математика математические исследования

Year: 1953

Similar

История математики с древнейших времен до Нового времени. Том первый

История математики в средние века. Математика до эпохи возрождения

История отечественной математики. Том 1. С древнейших времен до конца XVIII в

Киракос Гандзакеци. История Армении.

Text

ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ |
ИССЛЕДОВАНИЯ

W
ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
ВЫПУСК VI
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Г. Ф. РЫБКИНА и А. П. ЮШКЕВИЧА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНПКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОП ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1953
11-5-4

СОДЕРЖАНИЕ
От редакции............................................. 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТРАКТАТЫ ОМАРА ХАЙЯМА
От переводчика ......................................... И
Трактат досточтимого ученого Гпясэддипа Лбу-л-Фатха
*Омара ибн Ибрагима Хайяма из Нишапура «О доказа-
тельствах задач алгебры и алмукабалы»........... 15
Комментарии к трудным постулатам книги Евклида. Трак-
тат в трех книгах. Сочинение славнейшего шейха, имама
«Доказательства истины» Лбу-л-Фатха Омара ибн Ибра-
гима Хайяма............................................ 67
Трактат досточтимого ученого Лбу-л-Фатха Омара ибн Иб-
рагима Хайяма «Об искусстве определения количества
золота и серебра в состоящем из них теле»............. 108
Б. А. Розенфельд (Баку) и А. И. Юшкевич (Москва).
Примечания к математическим трактатам Омара Хайяма 113
I. Примечания к трактату «О доказательствах задач
алгебры и алмукабалы»............................ 115
II. Примечания к трактату «Комментарии к трудным
постулатам книги Евклида»........................ 143
III. Примечания к трактату «Об искусстве опреде-
ления количества золота и серебра в состоящем
из них теле» ..................................... 168
КИРИК НОВГОРОДЕЦ
Учение имже ведатп человеку числа всех лет. [Фотокопия
со списка рукописи К и р и к а Новгородца.] . . . .
Наставление, как человеку познать счисление лет. [Пере-
вод текста К п р и к а Новгородца.]............
Пг. Зубов (Москва). Примечания к «Наставлению, как
человеку познать счисление лет» Кпрнка Новгородца.
*Делен^0<? (Москва). Кпрпк Новгородец п древнерусские
174
175
192
196
4
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕРИАЛЫ О П. Л. ЧЕБЫШЕВЕ
Б. В. Гнеденко (Киев). Об одном работе П. Л. Чебышева,
не вошедшей в полное собрание сочинений.............. 215
Мнение адыонкта Императорской Академии наук И. Л. Ч е-
бышева о статье полковника Веревкина................. 216
В. Е П рудников (Москва). О статьях И. Л Чебышева,
М. В. Остроградского, В. Я. Вуняков» кого и И. 11. Сомова
в «Энциклопедическом словаре, составленном русскими
учеными и литераторами».............................. 223
С. Я. Далия (Харьков). И. Л. Чебышев и популяризация
математики в России.................................. 239
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ОТЕЧЕСТВЕННЫХ
УНИВЕРСИТЕТАХ И НАУЧНЫХ ОРГАНИЗАЦИЯХ
С. Е. Белозеров (Ростов-па-Допу). Математика в Ростовском
университете......................................... 247
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
В. В. Гуссов (Владивосток). Развитие теории цилиндриче-
ских функций в России и СССР......................... 355
В. Ф. Роеаченко (Львов). Об открытии II. 11. Лобачевским
метода приближенного решения численных алгебраиче-
ских уравнений....................................... 477
Ф. П. Отрадных (Ленинград). Эпизод из жизни академика
А. А. Маркова........................................ 495
Л. Я. Депмаи (Ленинград). В. X. Стеклов в Петербургском
университете......................................... 509
Э. Я. Бахмутская (Харьков). О педагогической деятельно-
сти В. А. Стеклова в Харьковском технологическом
институте............................................ 629
Л. Е. Раик (Молотов). Уральский математик Иван Михее-
вич Первушин ....................................• . 535
II, Я. Депман (Ленинград). Замечательные славянские вы-
числители Г. Вега и Я. Ф. Кулик...................... 573
II. Г. Башмакова (Москва). Дифференциальные методы
в работах Архимеда .................................. 609
Т. Г. Туманъян (Краснодар). «Начала» Евклида по древне-
армянским источникам................................. 659
ОТ РЕДАКЦИИ
]3 четверто'1 выпуске «Псторпко-математпческпх иссле-
дований» редакция отмечала важность изучения научного
наследия математиков пародов Средней Азии и Кавказа,
внесших большой вклад в развитие математической науки.
Первый отдел настоящего выпуска посвящен великому
таджикскому ученому п поэту XI века Омару Хайяму.
Широким кругам читателей Омар Хайям более известен
как автор замечательных «Четверостиший». Между тем,
значение Хайяма для науки, особенно математики, столь
же велико, как и для литературы. Мы публикуем переводы
трактатов «О доказательствах задач алгебры и алмука-
балы», «Комментарии к трудным постулатам книги Евкли-
да» и небольшой работы «Об искусстве определения
количества золота и серебра в состоящем из них теле».
Следует заметить, что перевод «Комментариев к трудным
постулатам Евклида» является первым переводом с араб-
ского и, таким образом, это сочинение Омара Хайяма
впервые становится практически доступным советским
и зарубежным ученым, из которых лишь немногие имеют
возможность пользоваться арабским оригиналом. «Ком-
ментарии» чрезвычайно интересны. В них Омар Хайям
предлагает оригинальную теорию параллельных, которую
строит на некотором новом постулате, и новую теорию
отношений, причем существенно обобщает античное поня-
тие о числе. Идеи, изложенные в этом сочинении, оказали
оольшое влияние на последующее развитие математики на
Востоке и в Европе. К работам Хайяма приложены
исторические и математические примечания.
В следующем отделе воспроизводится первая известная
нам русская работа по математике «Учение пмже ведати
6
ОТ ГЕДАКЦИИ
человеку числа всех лет» новгородского монаха Кприка
(1136 г.). Текст, заново проверенный по сохранившимся
* спискам, свидетельствует о высокой математической куль-
туре древпего Новгорода, о которой столь ярко говорят
также произведенные недавно археологические псследо-
ваппя. Сочинение публикуется параллельно в виде фото-
копии со списка рукописи и в переводе на русский язык;
текст снабжен примечаниями и статьей.
Третий отдел выпуска содержит материалы о П. Л. Че-
бышеве. Здесь прежде всего публикуется недавно обна-
руженная рецензия Чебышева на одну работу по теории
стрельбы, напечатанная в «Артиллерийском журнале» за
1856 г. и по попавшая в закопченное издание полного
собрания сочинений великого математика. К этой публи-
кации непосредственно примыкает статья об «Энциклопе-
дическом словаре, составленном русскими учеными и ли-
тераторами», выходившем в 60-е годы XIX века. В пей
рассматриваются математические статьи словаря, напи-
санные П. Л. Чебышевым, М. В. Остроградским, В. Я. Бу-
няковскпм и II. II. Сомовым и полностью воспроизводят-
ся три статьи Чебышева («Абелева теорема», «Абелевы
функции», «Абель»), также по попавшие в полное со-
брание сочинений. В последней статье отдела освещаются
некоторые стороны популяризаторской деятельности
Чебышева.
В первом выпуске «Историко-математических после-
дований» были помещены четыре работы по исторпп мате-
матики в Московском университете. Изучение истории
математики в отдельных отечественных университетах
п научных учреждениях, а также изучение истории мате-
матических обществ представляют значительный интерес.
В настоящем выпуске помещена статья по истории мате-
матики в Ростовском (до 1917 г.—Варшавском) универси-
тете от его основания до наших дней.
В пятом, последнем, отделе «Из пстории математики»
собраны статьи и материалы различного содержания.
Отдел открывается работой по истории развитая теории
цилиндрических функций, зародившейся в России
в XVIII веке. В работе показан огромный вклад отечествен-
ных ученых в эту важную отрасль математики. Эта работа
ОТ ГЕДЛКППИ
7
ептся к циклу статен по истории отдельных матема-
от« скиХ дисциплин в нашей стране, который редакция
ТПЧ ла печатать с четвертого выпуска и печатание которого
намерена продолжать далее.
* Затем следует статья, посвященная открытию числен-
ного метода решения алгебраических уравнений, носящего
имя Лобачевского; здесь дан подробный сравнительный
анализ изложения этого метода у Лобачевского и бель-
гийского математика Дандолсна.
В трех следующих статьях охарактеризованы некото-
рые стороны передовых общественных взглядов и дея-
тельности академиков А. А. Маркова п В. А. Стеклова.
За ними идет работа об уральском математике-самоучке
И. М. Первушине, приобретшем известность своими вир-
туозными вычислительными работами в области теории
чисел. К ней примыкает статья о двух выдающихся сла-
вянских вычислителях—авторе знаменитых логарифми-
ческих таблиц Г. Вега и создателе обширнейших теоретико-
числовых таблиц Я. Ф. Кулике.
Всем интересующимся историей математики хорошо
известны интеграционные методы и исследования вели-
чайшего ученого древности Архимеда. Гораздо менее изу-
чены были до сих пор ге методы Архимеда, которые можно
назвать дифференциальными. В помещаемой статье об
Архимеде разобраны именно последние и вместе с тем
показано, что эти методы Архимеда также оказали свое
влияние на математику XVII века.
Наконец, в заметке об армянском переводе евклидовых
«Начал» сообщаются интересные сведения об этом памят-
нике старинной армянской математической культуры.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ТРАКТАТЫ
ОМАРА ХАЙЯМА
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Ниже публикуется перевод с арабского двух матема-
тических трактатов выдающегося таджикского ученого
и поэта Омара Хайяма: «О доказательствах задач алгебры
и алмукабалы» и «Комментарии к трудным постулатам
книги Евклида», а также небольшой работы Хайяма
«Об искусстве определения количества золота и серебра
в состоящем из них теле».
Алгебраический трактат переведен с текста издания,
выпущенного Ф. Вспкс в 1851 г. в Париже на арабском
и французском языках1). Арабский текст издания Вспкс
был составлен по трем рукописям, одна из которых нахо-
дилась в Лейденской университетской библиотеке
(№ 1020), а две другие в Парижской национальной биб-
лиотеке (№ 2458,7 и 2461, первая—неполная).
Геометрический трактат переведен с текста издания,
выпущенного Таги Эранп в 1936 г. в Тегеране на арабском
языке2). Текст издания Эранп воспроизводил рукопись,
находившуюся в Лейденской университетской библиотеке
(№ 967,9). Издание Эрани, являющееся библиографиче-
ской редкостью, было предоставлено в распоряжение пере-
водчика директором Отдела рукописей Академии наук
Азербайджанской ССР М. С. Султановым.
Третья работа Хайяма известна в двух вариантах.
Первый из них есть рукопись библ потеки в Готе (№ 1158,
лл. 39b и 40а), второй содержится в гл. 5 кн. 4 сочинения
,, ) L’algebre d’Omar Alkhayyami, publice, traduiteet accompagnee
5, extraits de manuscrits inedits par F. Woepcke, Париж, 1851.
уществует более новый английский перевод: The Algebra of Omar
Па^у^’ transE by D. S. Kasir, Ныо-Порк. 1931.
T i? Dlscyssion of difficulties of Euclid by Ощад Khayyam ed. by
* ь г an i, Тегеран, 1936.
12
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Хазипи «Весы мудрости», рукопись которого хранится
в Ленинградской публичной библиотеке им. М. Е. Салты-
кова-Щедрина (собрание Хапыкова, № 117, лл. 57b—
60b). Текст в сочинении Хазинп более полный; готская
рукопись почти полностью совпадает с ленинградской.
Перевод сделан с ленинградской рукописи (незначитель-
ные отступления оговорены в примечаниях).
Необходимо отметить, что издатель геометрического
трактата Хайяма Таги Эрани (1902—1940) был выдающим-
ся иранским ученым и революционером. До 1930 г. Эрани
работал преподавателем восточной риторики и логики
в Берлинском университете. В 1930 г. он возвратился в Те-
геран, где работал профессором физики и механики в По-
литех пическОхМ институте, а также преподавал математику
и физику в других учебных заведениях. Перу его принад-
лежит несколько учебных руководств, научных работ по
физике, химии, психологии и литературе, а также ряд
статей в редактировавшемся им марксистском обществен-
но-философском журнале «Дунья» («Мир»), Эрани высту-
пал как пламенный патриот, страстный борец против
засилья империалистов в Пране и верный друг Советского
Союза. В 1938 г. Эрани был арестован и явился главным
обвиняемым па известном процессе «пятидесяти трех»,
на котором произнес блестящую защитительную речь.
Он был приговорен к нескольким годам тюремного заклю-
чения; в 1940 г. его преднамеренно поместили в одну ка-
меру с тифозным больным, и он вскоре умер от тифа.
В популярном романе советского писателя Г. Севупца
«Тегеран» (М., 1952) Эрани выведен под именем главного
героя Шэмса Азадп.
Все три трактата Хайяма публикуются па русском
языке впервые. Геометрический трактат не публиковался
ин на одном из европейских языков; только введение
к этому трактату было опубликовано на немецком языке1).
Готская рукопись третьей работы была опубликована па
арабском языке и в немецких переводах, имеется также
немецкий перевод ленинградской рукописи.
*) В статье Jacob G. and Wiedemann Е., Zu Omar-
-i-Chajjam, «Der Islam», 1912, 3, стр. 42—62 (см. стр. 53—59).
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
13
перев°Дам работ Хайяма приложены примечания,
цпсла в квадратных скобках указывают помер соответ-
ствующего примечания. В квадратных же скобках поме-
щены вставленные переводчиком для ясности слова.
Термины, которым не удалось дать точного перевода,
а также упоминаемые Хайямом собственные имена п на-
звания трактатов приведены в примечаниях, а иногда
в подстрочных примечаниях к тексту, по-арабски в рус-
ской транскрипции. В этой транскрипции черточки над
гласными буквами (а, у, и) означают долготу соответ-
ствующих звуков, а черточки и точки под согласными
буквами означают некоторое изменение соответственного
звука русского языка: с и з произносятся как соответ-
ственно глухое и звонкое английское th, х—как немецкое h,
в—как английское w; с, з, т и д читаются как соответ-
ственные звуки с, з, т, д, но произносимые с напряжением;
г, к и х произносятся как гортанные звуки, несколько
напоминающие соответственно г, к и х; знаком ‘ обозна-
чается своеобразный гортанный звук «айв», знаком ’—
перерыв в голосе; сочетание «дж» произносятся слитно, как
английское j; звуков в, г, п в арабском языке нет, вслед-
ствие чего при транскрипции иностранных имен эти звуки
заменяются соответственно звуками в, г, ф.
В чертежах арабские буквы заменены латинскими но
следующей! табл 11 це:
а б дж д х з х т и к л м и с ‘ ф к с
АВС D Е G II F 1 К L М N В О Р Q S
В работе над переводами математических работ Хайяма
большую помощь переводчику оказал свободно владею-
щий арабским языком аспирант Азербайджанского Госу-
дарственного университета им. С. М. Кирова Гасан Гу-
сейн-кули оглы Зарине-заде. Рядом указаний и поправок
переводчик обязан А. П. Юшкевичу.
Б. Розенфельд
Обелиск на могиле Омара Хайяма Выделенная отдельно надпись на обелиске
в Нишапуре. (перевод ее см. в примечании на стр. 113).
ьу* «л» to* tyU» yi*»j и

izz4*4 ’•'-* uJ <&>> $ c* 3*
tm x«u .

Титульный лист трактата Хайяма «Коммента-
рии к трудным постулатам книги Евклида»,
выпущенного Таги Эрани в 1936 г. в Тегеране-
Омар Хайям. Миниатюра из рукописи Али
Герани (1509 г.).
ТГАКТАТ ДОСТОЧТИМОГО УЧЕНОГО
ГПЯСЭДДНПА АБУ-Л-ФЛТХА ОМАРА
НБН ИБРАГИМА ХАЙЯМА 113 НПШАПУРА
(Да освятит Аллах его драгоценную душу!)
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ
И АЛМУКАБАЛЫ1)
Во имя Аллаха всемилостивого, всемилосердного!
Хвала Аллаху, господину миров, добрым конец добро-
детельным, никакой вражды ко всем, кроме несправедли-
вых, и благословение всем пророкам, в особенности Мохам-
меду и всему его святому потомству.
Один из поучительных вопросов, необходимый в раз-
деле философии, называемом математикой, это искусство
алгебры и алмукабалы р], имеющее своей целью опре-
деление неизвестных, как числовых, так п измеримых.
В нем встречается необходимость в некоторых очень слож-
ных видах предложений, в решении которых потерпело
неудачу большинство этим занимавшихся. Что касается
древних, то до нас не дошло сочинение, в котором они рас-
сматривали бы этот вопрос: может быть они искали реше-
ние п изучали этот вопрос, по не смогли преодолеть труд-
ностей, или их исследования не требовали рассмотрения
этого вопроса, или, наконец, пх труды по этому вопросу
х) Рисалат ал-хакйм ал-фадпл Гийас ад-дйи Абй-л-Фатх ‘Умар
пбн Ибрахим ал-Хаййамй ан-Нишабурй фй-л-барахйп ‘ала масапл
ал-докабр ва-л-му^абала.
16
ОМАР ХАПЯМ
не были переведены на наш язык. Что карается поздней-
ших, то средн них Махани [2] высказал мысль алгебраи-
чески проанализировать предпосылку, принятую Архи-
медом в качестве очевидно]'! в четвертом предложении
второй кпнги его трактата «О шаре и цилиндре» [3]. Он
пришел к уравнению, содержащему кубы, квадраты и
числа, которое ему не удалось решить, несмотря на то,
что он долго размышлял о нем. Поэтому объявили, что
это решение невозможно, пока не явился Абу Джафар
Хазин [4], решивший это уравнение с помощью кониче-
ских сечен ini. После него многие геометры нуждались
в некоторых из этих видов и одни решал один из них,
а другой—другой. По никто из них по говорил ничего ни
о перечислении этих видов, пи об изложении случаев каж-
дого вида, ин об их доказательствах, за исключением двух
видов, которые я укажу.
Я же, напротив, всегда горячи стремился к тому, чтобы
исследовать все эти виды и различить среди этих видов
возможные и невозможные случаи, основываясь на дока-
зательствах, так как я знал, насколько настоятельна
необходимость в них в трудностях задач. По я был лишен
возможности систематически запяться этим вопросом
и даже не мог сосредоточиться па размышлении оном, так
как обстоятельства заставили меня потерять много време-
ни. Мы были свидетелями гибели ученых, от которых оста-
лась малочисленная, ио многострадальная кучка людей.
Суровости судьбы в эти времена препятствуют им всецело
отдаться совершенствованию и углублению своей науки.
Большая часть из тех, кто в настоящее время имеет вид
ученых, одевают истину ложью, нс выходя в науке за
пределы подделки и лицемерия, и используют тот запас
знаний, которым они обладают, только для низменных
плотских целен. П если они встречают человека, отличаю-
щегося тем, что он ищет истину и любит правду, старается
отвергнуть ложь и лицемерие и отказаться .от хвастовства
и обмана, они делают его предметом своего презрения и
насмешек. Аллах помогает нам во всех случаях, он наше
прибежище.
Поскольку всевышний Аллах даровал мне благо, я хочу
прервать мою речь в честь его сиятельства, нашего слав-
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБГЫ II АЛМУКАБАЛЫ 17
ного п несравненного господина, судьи судей, имама,
господина Абу Тахира [5], да продолжит Аллах его воз-
вышение и повергнет тех, кто питает против него зависть
или вражду. Я отчаялся увидеть столь совершенно! о во
всех практических и теоретических качествах человека,
который сочетает в себе и проницательность в науках и
твердость в своих действиях и в своих усилиях делать
добро всем людям. Его присутствие расширило мою грудь,
ого общество возвысило мою славу, мое дело выросло от
его света и моя спина укрепилась от его щедрот и благо-
деяний. Благодаря моему приближению к ого высокой
резиденции, я почувствовал себя обязанным восполнить
то, что я потерял из-за превратностей судьбы, и кратко
изложить то, что я изучил до мозга костей из философ-
ских вопросов. II я начал с перечисления этих видов ал-
гебраических предложений, так как математические науки
более всего заслуживают предпочтения. Я ухватился за
веревку помощи всевышнего Аллаха, надеясь, что он
дарует мне успех в доведении до конца размышлений как
по этому вопросу, так и ио вопросу, которым занимались
передо мной в науках более важных, чем другие. Я дер-
жусь за прочную веревку его поддержки, потому что он
господин исполнения молитв и к нему нужно прибегать
во всех случаях.
Я говорю, с помощью Аллаха и при его прекрасной
поддержке, что искусство алгебры и алмукабалы есть
научное искусство, предмет которого составляют абсо-
лютное число и измеримые величины [6], являющиеся
неизвестными, по отнесенные к какой-нибудь известной
вещи, по которой их можно определить. Эта вещь есть
пли количество пли отношение, не связанное пи с чем
другим. В это ты должен глубоко впикпуть. Цель этого
искусства состоит в нахождении соотношений, связываю-
шпх его предмет с вышеуказанными данными. Совершен-
ство этого искусства состоит в знании методов изучения,
посредством которых можно постигнуть способ определе-
ния вышеупомянутых неизвестных, как числовых, так п
геометрических.
Величин, т. е. непрерывных количеств, имеется четыре
вида, линия, поверхность, тело и время, как это изложено
Историко-матем. исследования
18
ОМ VP ХАЙЯМ
кратко в «Категориях» я подробно в «Метафизике» ['].
Некоторые рассматривают место как подразделение по-
верхности, подчиненное роду непрерывного [количества],
но исследование опровергает это мнение и подтверждает,
что место есть поверхность в некотором положении и об-
стоятельствах, определение которых—вне нашего пред-
мета. Время не принято считать предметом алгебраических
задач, но если бы это было сделано, это было бы допустимо.
Обычно алгебраисты в своем искусстве называют не-
известную, которую хотят определить, вещью, ее произве-
дение на себя—квадратом, произведение ее квадрата
па нее—кубом, произведение ее квадрата на себя—квад-
рато-квадратом, произведение ее куба па ее квадрат—
квадрато-кубом, произведение ее куба па себя кубо-кубом
и так далее сколько угодно. 11? сочинения Евклида
«Начала» известно, что все эти степени пропорциональны,
т. е. единица относится к корню, как корень к квадрату
л как квадрат к кубу [8]; следовательно, чпело относится
к корням как корни к квадратам, как квадрат к кубам и как
кубы к квадрато-квадратам и так далее сколько угодно.
Следует знать, что этот трактат может быть понят
только теми, кто хорошо знает сочинения Евклида «Нача-
ла» и «Данные», так же как две кппги Аполлония «Кони-
ческие сечения». Тот, для кого одни из этих путей к зна-
нию загорожен, по сможет проложить путь к его изуче-
нию. Мне с трудом удалось ограничиться в этом трактате
ссылками только на три названные мной сочинения.
Алгебраические решения производятся с помощью
уравнения, т. с., как это хорошо известно, прправпенпя
одних степеней другим. Если алгебраист пользуется
квадрато-квадратом в вопросах измерения, то это следует
понимать метафорически, а нс в прямом смысле, так как
нелепо, чтобы квадрато-квадрат принадлежал к числу
величин. К величинам принадлежит прежде всего одно
измерение, т. е. корень пли сторона по отношению к свое-
му квадрату; затем два измерения, т. с. поверхность;
квадрат также принадлежит к величинам, так как он яв-
ляется квадратной поверхностью. И, наконец, три измере-
ния, т. е. тело; куб также принадлежит к величинам, так
как он является телом, ограниченным шестью квадратами.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ II АЛМУК АВАЛЬ! 19
нет другого измерения, к величинам нс могут
1ак ка** ать ни квадрато-квадрат, ни, тем более, выс-
’’Р^стедени. Если же говорят, что квадрато-квадрат прп-
1,1 ”с т к величинам, то это говорится о некотором
*,аЛде его частей при измерении, а не о том, что он самость
чи снимая [величина],—между этими двумя вещами боль-
щая разница. Квадрато-квадрат нс относится к величинам
ни по существу, ни случайно, как, например, четное и не-
четное/ принадлежащие к величинам случайно через их
отношение к числу, выражающему непрерывность в дис-
кретном виде.
В сочинениях алгебраистов из уравнений, содержащих
эти четыре геометрических количества, т. е. абсолютные
числа, стороны, квадраты и кубы, приводятся три уравне-
ния, содержащих числа, стороны и квадраты [9]. Мы же
предложим методы определения неизвестной в уравнении,
содержащем все четыре степени, о которых мы сказали,
что только они относятся к измеримым количествам,
а именно: число, вещь, квадрат и куб.
Невозможно доказать их с помощью свойств круга, т. е.
двух сочинений Евклида «Начала» и «Данные», где он их
доказал и постарался упростить. То, что возможно дока-
зать только с помощью конических сечений, доказывается
с помощью того, что содержится в двух книгах «Кониче-
ских сечений». Доказательство этих видов в том слу-
чае, когда предмет задачи есть абсолютное число, невоз-
можно ни для вас, ни для кого из тех, кто владеет этим
искусством. Может быть кто-нибудь из тех, кто придет
после нас, узнает это для случая, когда имеется не только
три первых степени, а именно число, вещь и квадрат.
Для того, что доказывается с помощью сочинения Евкли-
да, я укажу и числовое доказательство. И знай, что дока-
зательство геометрическим способом отделяется от чис-
лового доказательства, когда предметом задачи является
число, а не измеримая величина. Ты ведь знаешь, что
Евклид, доказав в пятой книге своего сочинения некото-
рые предложения о пропорциональности величин, дает
снова доказательство точно тех же предложений о про-
порциональности в седьмой книге, когда их предметом
является число [10].
2*
20
ОМАР ХАЙЯМ
Уравнения, содержащие эти четыре степени, бывают
либо простые, либо сложные. Простых уравнений имеется
шесть видов:
1. Число равно корню,
2. Число равно квадрату,
3. Число равно кубу,
4. Корпи равны квадрату,
.5 Квадраты равны кубу,
б. Корпи равны кубу I11].
Три из этих видов упоминаются в сочинениях алге-
браистов. Они говорят: вещь относится к квадрату, как
квадрат к кубу, отсюда необходимо следует, что уравне-
ние, содержащее квадрат и куб, равносильно уравнению,
содержащему вещь и квадрат. Точно так же, число отно-
сится к квадрату, как корень к кубу, но опи не доказали
этого геометрически. Если число равно кубу, то в случае
числовой задачи его ребро может быть найдено только
с помощью последовательного подбора [истпкра], а в слу-
чае геометрической задачи только с помощью кониче-
ских сечений.
Сложные уравнения бывают трехчленные и четырех-
членпые. Видов трехчленных уравнений двенадцать, три
первые из которых суть:
1. Квадрат и корпи равны числу,
2. Квадрат и число равны корням,
3. Корни и число равны квадрату [121.
Эти три вида упоминаются в сочинениях алгебраистов
и доказываются там геометрическим, а нс числовым спо-
собом.
Вторые три вида суть:
1. Куб и квадраты равны корням,
2. Куб и корни равны квадратам,
3. Корпи п квадраты равны кубу [13].
Алгебраисты говорят, что три вторые вида пропорцио’
иальны трем первым, каждый—своему соответственному,
т. е. уравнение: куб и корни равны квадратам—равно-
сильно уравнению: квадрат и число равны корням [14]
и также по отношению к двум другим. Но они не доказали
этого, когда предметы задач суть измеримые количества.
vrFiibCTBAX ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АДМУКАВАЛЫ 21
о ПОКАЗА ___________________________________________
Для случая-
из трактата
когда предмет задач есть число, это ясно
«Начала». Я же докажу л геометрический
СЛУОстальные шесть видов из двенадцати суть:
1 Куб и корни равны числу,
2 Куб и число равны корням,
3. Число и корни равны кубу,
4* Куб и квадраты равны числу,
5* Куб и число равны квадратам,
(к Число и квадраты равны кубу I15].
Ни один из этих видов не имеется в сочинениях алге-
браистов, за исключением отдельного исследования одного
из них [16]. Я же их исследую и докажу геометрическим
способом, но нечисловым. Доказательство этих шести видов
возможно только при помощи свойств конических сечений.
Что касается сложных четырехчлен пых уравнений, то
их имеется две разновидности: во-первых, те, в которых
три степени равны одной степени. Это четыре вида:
1. Куб, квадраты и корпи равны числу,
2. Куб, квадраты и число равны корням,
3. Куб, корпи и число равны квадратам,
4. Куб равен корням, квадратам и числу I17].
Вторая разновидность содержит те [виды], в которых
две степени равны двум степеням. Этих видов три:
1. Куб и квадраты равны корням и числу,
2. Куб п корни равны квадратам и числу,
3. Куб п число равны корням и квадратам [18].
Таковы семь четырехчленных видов. У пас пет другого
способа для их исследования, кроме геометрического.
Один из наших предшественников нуждался в частном
случае одного из этих видов, который я укажу I19]. Дока-
зательство этих видов может быть произведено только
с помощью свойств конических сечений
Теперь перейдем к рассмотрению и доказательствам
одного за другим всех этих двадцати пяти видов, моля
Аллаха о помощи: он руководит тем, кто искренне уповает
на него и тому достаточно [его помощи].
Первый простой вид: корень равен числу, Здесь корень
известен поневоле, что одинаково и для числа и для
величин.
22
ОМАР ХАНЯМ
Второй вид: число равно квадрату. Здесь известен чис-
ловой квадрат, равный известному числу. Его корень
может быть найден числовым способом только с помощью
последовательного подбора, так как тот, кто знает, что
корень из двадцати пяти есть пять, знает это с помощью
последовательного подбора, а по по закону искусства.
Мы не будем ио этому вопросу обращать внимание на то,
что говорят то из мужей этого искусства, которые держат-
ся другого мнения. У индийцев имеются методы нахо-
ждения сторон квадратов и ребер кубов, основанные на
небольшом последовательном подборе, а именно, на зна-
нии квадратов девяти цифр, т. е. квадрата одного, двух,
g С трех пт. д., а также и ро-
--------------- взведений одной из них
на другую, т. с. произве-
дения двух па три и т. д.
--------------- 11ам принадлежит трактат
ВЛ о доказательство иравиль-
Черт. 1. пости этих методов и того,
что они действительно
приводят к цели. Кроме того, мы увеличили число видов,
т. с. мы показали, как определять ребра квадрато-квад-
ратов, квадрато-кубов, кубо-кубов и так далее сколько
угодно, чего раньше по было. Доказательства, которые
я даю но этому вопросу, суть числовые доказательства,
основанные па числовых частях «Стихий» Евклида Г2и|.
Геометрическое доказательство второго вида следую-
щее: предположим, что линия АВ (черт. 1) дана и равна
данному числу и что АС равна единице и перпендику-
лярна АВ. Дополним поверхность AD. Известно, что
мера поверхности AD ость данное число. Построим ква-
дратную поверхность, равную поверхности AD, пусть это
будет квадрат Е, как это показал Евклид в 14-м предло-
жении второй книги своего сочинения [21]. Квадрат Е
будет, таким образом, равен данному числу и будет изве-
стен и ого сторона также будет известна. Обрати внимание
на доказательство, которое дал Евклид. Это то, что хоте-
лось получить.
Всякий раз, когда мы в этом трактате будем говорить:
число равно поверхности, мы будем понимать под числом
0 ПОСОЛЬСТВАХ
ЗАДАЧ
АЛГЕБРЫ II АЛМУКАБАЛЫ
оугольную поверхность, одна из сторон которой есть
пРЯЛппа, а ДРУгая—линия, мера которой равна дап-
сд111 чпслу, так что каждая доля этой меры равна вто-
рой стороне, т- °- тои’ КОтОРую мы приняли за еди-
ницу t2 < тч
Третий вид: число равно кубу. Если предмет задачи—
число, будет известен куб этого числа. Нет другого сред-
ства найти ого ребро, кроме последовательно!о подбора,
что в равной степени относится ко всем числовым стене-
ням, таким, как квадрато-квадрат,
квадрато-куб, кубо-куб, о чем мы го-
ворили выше.
В геометрическом доказательстве
предположим, что квадрат AD
(черт. 2) есть квадрат единицы, т. е.
АВ равна BD и каждая из этих двух
сторон равна единице. Да лее восста-
новим к плоскости AD в точке В пер-
пендикуляр ВС и сделаем его равным
данному числу, как это показано
Евклидом в одиннадцатой книге сво-
его сочинения [23]. Дополним тело ABCDEClf. Известно,
что мера этого тела есть данное число. Далее построим
куб, равный этому телу. Однако построение этого куба
производится только с помощью свойств конических сече-
ний. Поэтому мы отложим это до тех пор, пока не при-
ведем предварительных предложений, относящихся к этим
свойствам.
Всякий раз, когда мы будем говорить: число равно
телу, мы будем понимать под числом тело с параллельны
ми гранями и прямыми углами, имеющее основанием
квадрат единицы и высоту, равную данному числу.
Четвертый вид: квадрат равен пяти своим корням.
Здесь число корней есть корень из квадрата. Числовое
доказательство состоит в том, что корень, умноженный па
самого себя, образует квадрат н что тот же корень, умно-
женный на пять, равным образом образует квадрат,
поэтому он равен пяти. Геометрическое доказательство
аналогично: предполагают, что квадратная поверхность
Равна пяти своим сторонам.
24
ОМАР ХАЙЯМ
Черт. 3.
Пятый вид: вещи равны кубу. Если эта задача число-
вая, очевидно, что этот вид равносилен виду: число равно
квадрату. Например, в силу указанной выше пропорции
[сказать, что] четыре корня равны кубу—все равно, что
сказать: число четыре равно квадрату.
В геометрическом доказательстве предположим, что
мера куба ABCDE (черт. 3) равна четырем его ребрам и
пусть его ребро будет АВ. Тогда его ребро умножен-
ное на четыре, образует куб. ABCDE, и в то же время
его ребро, умноженное па свой квадрат, т. о. квадрат *1С,
образует куб: поэтому квадрат АС
равен четырем.
Шестой вид: квадраты равны кубу.
Это то же, что: число равно корню.
Числовое доказательство состоит
в том, что число относится к корню
как квадраты к кубу, как это пока-
зано в восьмой книге «Начал» [24].
В геометрическом доказательстве
предположим, что куб ABCDE (черт. 3)
равен числу своих квадратов, папрп-
квадратам. Квадрат его ребра есть АС.
Поэтому поверхность АС, умноженная на два, образует
куб ABCDE, и в то же время умноженная на BD,
т. е. на свою сторону, она образует куб ABCDE.
Поэтому BD, т. е. ребро куба, равно двум. Это то, что
хотелось получить.
Всякий раз, когда мы будем говорить в этом трактате:
квадраты куба, мы будем понимать под этим выражением
квадраты его ребер.
Изложив простые виды, рассмотрим теперь три первых
из двенадцати трехчленных видов.
Первый вид из них: квадрат и десять корней равны
числу тридцать девять-. Умножь половину [числа] кор-
ней на себя. Прибавь это произведение к числу и вычти
из корпя из этой суммы половину [числа] корней. Остаток
есть корень квадрата [25J.
Числовая задача нуждается в двух условиях: во-пер-
вых, число корней должно быть четным, чтобы у него
была половица, во-вторых, чтобы квадрат половины [чис-
авеи двум
0 ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ задач алгебры и алмукабалы
25
и к пен лоноав.
1 KOpneJI и чпсло вместе образовали бы квадратное
'рло. В противном случае эта задача в числовом случае
невозможна. геометрическом случае здесь нет невоз-
можных задач.
Числовое доказательство этого просто при геометри-
песком представлении. Вот его геометрическое доказатель-
ство. Предположим, что квадрат
1С (черт. 4) вместо с десятью
своими корнями равен числу
тридцать девять, а десять ого
корней являются поверхностью
СЕ. Поэтому линия 1)Е равна
десяти. Разделим се пополам в
точке G. Тогда, так как линия
DE разделена пополам в точке G
направлении . \D, произведение ЕЛ па JjD, равное поверх-
ности £7?, вместе с квадратом DG равно квадрату GA [2С].
Но квадрат DG, который является половиной [числа] кор-
ней, известен и поверхность ЕЕ, которая является данным
числом, также известна. Поэтому
' квадрат GU известен и линия G’J из-
вестна. Тогда мы отнимаем от нее GE
G и остаток Л/9 известен [2‘].
Другое доказательство этого.
Предположим, что ЛЕСЕ—квадрат
(черт. 5). Продолжим ЕЛ до Е и сде-
лаем ЕЛ равной четверти [числа]
корней, т. е. двум с половиной. Про-
должим 1)А до G, сделав GЛ равной
Г М четверти [числа] корней. Продолжим
Черт. 5. таким же образом линии изо всех
углов квадрата и дополним поверх-
ность НЕ. Опа будет квадратом, так как GE—квадрат,
ЛС—квадрат и CF— квадрат, что показывает шестая книга
«Начал» I28]. Каждый из четырех квадратов в углах боль-
шого квадрата равен квадрату двух с половиной, т. е. их
сумма равна двадцати пяти пли квадрату половины [числа]
корней. Поверхность GE равна двум с половиной корням
квадрата АС, так как GA равно двум с половиной. Поэто-
му эти четыре поверхности вместе равны десяти корням
26
ОМАР ХАЙЯМ
квадрата АС. Но по предположению квадрат Я С вместе
с десятью его корнями равен числу тридцать девять. По-
этому квадрат JIF равен шестидесяти четырем. Берет-
ся его корень и отнимается из него пять. Остается АВ.
Предположим еще, что дана линия АВ (черт. 6), равная
десяти, и желается [найти] квадрат, который, будучи
«ложен с произведением своей стороны на АВ, равнялся
бы данному числу. Предположим, что данное число есть
поверхность Е с параллельными сторонами и прямыми
углами, как мы говорили выше. Приложим к линии АВ
В
А
О
С
Чорт. 6.
будет AJ); сторона
как это показано в
поверхность с параллель-
ными сторонами, равную
поверхности Е, с избыт-
ком в виде квадратной
поверхности, как это по-
казал Евклид в шестой
книге «Начал» [29J. Пусть
это будет поверх ность BD,
а избыточный квадрат
ЯС этого квадрата будет известна,
«Данных» [30].
Второй вид из них: квадрат и число равны корням.
В этом случае необходимо, чтобы число не было бы больше
квадрата половины [числа] корней, в противном случае
задача невозможна. Когда число равно квадрату половины
[числа] корней, половина [числа] корней сама равна кор-
ню квадрата. Когда число меньше, отнимают его от квад-
рата половины [числа] корней, берут корень из остатка
и складывают с полови ной [числа] корней пли отнимают
от пес. Сумма при сложении п остаток при вычитании
есть корень квадрата [31].
Числовое доказательство этого представляется его
геометрическим доказательством. Предположим квадрат
A BCD (черт. 7) л предположим, что [поверхность] EI),
являющаяся числом, [приложена к квадрату] со стороны
\D. Поэтому поверхность ЕС равна, например, десяти I32]
сторонам квадрата АС и, следовательно, ЕВ равна десяти.
В первом случае АВ равна половине ЕВ, во втором больше
ее половины, а в третьем меньше ее половины. В первом
случае АВ равна пяти, а во втором и третьем случаях раз-
Q ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗЛДЛЧ АЛГЕБРЫ II ЛЛМУКАВАЛЫ 27
>' им Е& в точкс таким образом, что линия ЕВ разделе-
в точке G пополам, а в точке Л—па две неравные части.
и3 этом> поверхность па ЕЛ и ЛВ вместе с квадратом GA
1 вна квадрату GB, как это объяснено во второй книге
«('тихий»!33]. Поверхность на ЕЛ и ЛВ, равная данному
числу» известна. Поэтому, когда ее отнимают от квадрата
Черт. 7.
[линии] GB, являющейся половиной [числа] корней,
в остатке получается известный квадрат СЛ. В третьем
случае, отнимая GA от GB, а повторим случае, прибавляя
ее к ней, получают в виде суммы пли разности \В. Это то,
что хотелось получить.
Если угодно, ты можешь доказать это и другими спосо-
бами, но мы ограничимся этим, чтобы избежать растяну-
тости. Предположим, что
данная линия ЛВ (черт. 8)
равна десяти и желается
отнять от нее такую линию,
что если умножить се на
АВ, произведение будет рав-
но квадрат} этой линии,
вместе с другой поверхно-
стью, которая во больше квадрата половины ЛВ, т. е.
вместе с данным числом, являющимся поверхностью Е.
Таким образом, мы хотим отнять от ЛВ линию, квадрат
которой вместе с поверхностью Л1 равен произведению ЛВ
па эту линию. Итак, приложим к известной линии ЛВ
поверхность, равную известной поверхности Е с недо-
статком в виде квадратной поверхности, что возможно,
так как поверхность Е не больше, чем квадрат полови-
ны Л£. Пусть это будет поверхность JG, а недостающий
А
В
С
D
G
Черт. 8.
28 ОМАР ХАНЯМ
квадрат—поверхность CD, как это показал Евклид в
шестой книге «Стихий» [34]. Тогда стброна СВ будет извест-
на, как это показало в «Данных» [35]. Это то, что мы хо-
тели показать.
Этим показало, что у этого вида имеются различные
случаи [36], среди которых имеется невозможный [371.
Ты можешь узнать условия его разрешимости в числах,
подобно тому, что мы объяснили в случае первого вида.
Третий вид: число и корни равны квадрату. Прибав-
ляют квадрат половины [числа] корней к числу, берут
корень из этой суммы и прибавляют половину [числа]
корней и то, что получается, есть ко-
fl G £ Л рент» квадрата I38].
Доказательство. Пусть квад-
рат ЛВСН (черт. 9) равен пяти своим
корням и числу шесть. Отнимем от пего
число, являющееся поверхностью AD.
Останется поверхность ЕС, т. с. корпи,
число которых пять. Поэтому линия
с q Н равна пяти. Разделим ее пополам
т в точке С. Таким образом, линия ЕВ
’ будет разделена тга две равные части
в точке G и в то же время к ней при-
бавлена ЕЛ в ее направлении. Тогда поверхность на ВЛ
и ЛЕ, т. е. известная поверхность AI), вместе с известным
квадратом EG равна квадрату GA [39]. Поэтому квадрат
СЛ и [сама] известны. Но GB известна. Следовательно,
и АВ известна.
Для этого имеются доказательства другими способами;
потрудись пад этим сам.
Предположим также, что линия BE (черт. 10) равна
[числу] корней и что требуется найти такой квадрат и его
сторону, чтобы он был равен данному числу его сторон
вместе с данным числом. Пусть данное число есть поверх
ность F, а II—квадрат, равный этой поверхности. По-
строим квадрат, равный квадрату II вместе с квадратом
[липни] ЕК, равной половине числа сторон. Пусть это
будет квадрат G. Сделаем КС равной стороне G и дополним
квадрат ABCD, Тогда квадрат \1>СГ) есть то. что требова-
лось найти,
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ 29
Этим показано, что в этом третьем виде, так же как
пивом виде, пег невозможного в отличие от второго
С а в котором имеется как невозможное, так и разио-
Вбразпе случаев, чего пет в этих двух видах.
° 1 Докажем теперь, что вторые три из этих видов пропор-
циональны первым трем видам.
В К ЕС

Черт. W.
ело I/ будет равно числу
Черт. 11.
Первый вид из них: куб и квадраты равны корням.
Построим куб ABCDE (черт. II), продолжим АВ в ее
направлении до С, сделаем АС равной числу квадратов
и дополним тело AG1IFCD на продолжении куба ЛЕ,
как это делается обычно,
квадратов и тело BF, рав-
ное кубу вместе с данным
числом квадратов, будет
равно данному числу кор-
ней. Построим поверхность
К, равную данному числу
корней: корень это ребро
куба, т. с. AD. Поэтому
поверхность К, умножен-
ная на AD, будет равна
данному числу ребе]). Поверхность JJB, умноженная на
AD, образует ее куб вместе с данным числом квадратов.
Но два тела—тело BF и тело, построенное ла К и имею-
щее высотой AD,—равны. Следовательно, их основания
будут обратно пропорциональны их высотам [40], и так
как их высоты равны, их основания необходимо также
равны. По основание НВ равно квадрату СВ вместе с (по-
верхностью] ПА, которая равна такому числу корней,
30
ОМАР ХА ИЯМ
каково данное число квадратов. Поэтому К, являющаяся
данным числом корней, равна квадрату и такому числу
корней, каково данное число квадратов. Ото то, что мы
хотели показать.
Вот пример этого рода: куб и три квадрата равны десяти
корням; это то же, что: квадрат и три корня равны числу
десять.
Второй вид из них: куб вместе с двумя корнями равен
трем квадратам. Это то же, что: квадрат вместе с двумя
равен трем корням.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим куб ABCDE
(черт. 12), который вместе с двумя его корнями равен трем
Черт. 12.
квадратам. Построим далее квадрат, равный //, и [линию!
К, равную трем. Тогда произведение // на К равно трем
квадратам куба ЛЕ. Построим на АС поверхность, рав-
ную двум, и дополним тело AGCFD', оно будет равно
числу корней. По когда умножают линию GB на квадрат
АС, получают тело BF\ но тело AF равно числу ребер;
следовательно, тело BF будет равно кубу с тем, что равно
числу его ребер. Поэтому тело BF будет равно числу' его
квадратов. Линия GB, подобно тому как это показано в
предыдущем предложении, равна трем. Поверхность BL
равна квадрату и двум. Следовательно, квадрат и два
равны трем корням, так как поверхность BL образована
произведением АВ на три. Это то, что мы хотели показать.
Третий вид из них: куб равен квадрату и трем корням.
Это то же, что: квадрат равен корню и числу три.
Построим куб ABCDE (черт. 13), равный своему квад-
рату с тремя своими ребрами. Отнимем от липни АВ, яв-
ляющейся ребром куба, линию AG, равную числу квад-
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ tl АЛМУКАБАЛЫ 31
Черт. 13.
ратов, т. с. единицу, и дополним тело AGFHC\ тогда тело
AGFHC будет равно данному числу квадратов. Поэтому
остается тело GE, равное данному числу ребер. Одно из
этих тел относится к другому, как основание GC к основа-
нию GL, как это было показано в одиннадцатой книге
«Начал» так как их высоты равны. Но поверхность GC
равна одному корню квадрата СВ и поверхность GL есть
число корней, т. е. три. Поэтому квадрат СВ будет равен
одному корню с числом три. Это то,
что мы хотели показать.
Пока ты не понял этих доказа-
тельств, проведенных этим способом,
искусство [алгебры] не будет [для
тебя] научным, хотя этот метод до-
казательства и содержит некоторые
трудности.
Теперь, после изложения тех ви-
дов [уравнений], которые могут быть
доказаны с помощью свойств круга,
т. е. с помощью сочинения Евклида,
займемся рассмотрением тех видов, доказательство кото-
рых может быть дано только с помощью конических се-
чений. Это четырнадцать видов: один простои, число равно
кубу, шесть оставшихся трехчленных и семь четырех-
членных.
Предпошлем этому рассмотрению несколько предло-
жений, основанных на сочинении «Конические сечения»
для того, чтобы подготовить изучающего, а также для
того, чтобы этот наш трактат не нуждался в более чем в
трех указанных сочинениях, а именно, в двух сочинениях
Евклида «Начала» и «Данные» и в двух книгах сочине-
ния «Конические сечения».
[П р е д л о ж е н и е 1]. Мы хотим найти две линии
между двумя другими линиями таким образом, чтобы
эти четыре линии были пропорциональны [41J. Пусть АВ
и ВС (черт. 14) суть две прямые линии; расположим их
так, чтобы они заключали прямой угол В. Построим пара-
болу [42], вершина которой есть точка В, ось [43] которой
и прямая сторона [44]—ВС. Это будет парабола BDE,
известная ио положению, так как ос вершина и ось
32
ОМАР ХАНЯМ
известны ио положению, а се прямая сторона известна по
величине [45]. Она касается линии ВЛ, так как угол прямой
и, следовательно, равен координатному углу I46], как это
доказано в 33-м предложении первой книги «Конических
сечений» [47]. Подобным же образом мы построим вторую
параболу, вершина которой есть точка В, ось и прямая
сторона—ЛВ, которая будет параболой BDG, как это
показал Аполлоний в 56-м предложении первой книги [48].
Парабола BDG будет касаться лнинп ВС. Поэтому эти
две параболы необходимо
£ X. пересекутся. Пусть они
\ пересекаются в точке D.
\А Тогда точка D будет из-
----------1^ вестпа по положению, так
уК--------как эти две параболы пз-
\ вести ы ио положении».
\ \ Опустим из точки D два
\ \ перпендикуляра DП, DF
\ \ д на ВС, ЛВ. Они будут
\ \ известны ио величине, как
\ \ это показано в «Данных»
' [19]. Я утверждаю, что че-
।-------------L-------тырс линии АВ, ВП, BF,
£ нВ пропорциональны.
Черт. 14. Доказательств о.
Квадрат HD равен произ-
ведению ВП на ВС, так как линия DII—ордината пара-
болы BDE [50]. Следовательно, ВС относится к 1ID, рав-
ной BF, как BF к ПВ. Линия DE—ордината параболы
BDG. Поэтому квадрат DF, равной ВП, равен произве-
дению ВА на BF. Следовательно, BF относится к ВП,
как ВП к В А. Поэтому эти четыре линии непрерывно про-
порциональны и линия Г)П известна по величине, так как
опа проведена из точки, известной по положению, к ли-
шит, известной по положению, под углом, известным но
величине. Подобным же образом DF также известна но
величине. Отсюда следует, что две линии В11, BF известны
по величине. Но они средине пропорциональные между
двумя линиями ЛВ, ВС, т. е. АВ относится к ВП, как ВП
к BF и как BF к ВС. Это то, что мы хотели показать [51].
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ П АЛМУКАБ \ЛЫ 33
[П р е д л о /К о н и о 2]. Даны квадрат АВСГ)
(черт. 15), являющийся основанием тела ABCDE с парал-
лельными гранями и прямыми углами, и квадрат МН, л мы
хотим построить на основании МН тело с параллельными
гранями и прямыми углами, равное данному телу ABCDE.
Пусть АВ относится к MG, как MG к А', и АВ относится
к А', как GF к A7J. Проведем 6’А пер- Е
пендпкулярпо поверхности МН в точке
G и дополним тело MGFH. И утверж-
щю, что это тело равно данному телу.
Док а з а т е л ь с т в о. Квадрат
{С относится к квадрату МН, как АВ
к А'. Поэтому квадрат АС относится к
квадрату Л/7/, как GF, высота тела
MFH, к ED, высоте тела BE [52]. По
этому эти два тела равны, так как их ос-
нования обратно пропорциональны их
высотам, как это показано в одинна-
дцатой книге «Начал»? [53].
Всякий раз, когда мы будем гово-
рить: тело, это будет обозначать тело
с параллельными гранями и прямыми
углами, так же как всякий раз, когда
мы говорим: поверхность, это обозна-
Черт. 15.
чает поверхность с параллельными сторонами и прямыми
углами.
[П р е д л о ж е и и е 3]. Дано тело ABCL (черт. 15),
основание которого АС -квадрат, и мы хотим построить
тело, основание которого является квадратом, высота
которого равна данной [липни] GF и которое равно дан-
ному телу ACL. Пусть GF относится к BL, как АВ к К,
и возьмем между АВ и К среднюю пропорциональную
GM. Проведем GM перпендикулярно GF и дополним
MF. Далее построим 67/, перпендикулярную поверхности
FM и равную GM, и дополним тело 11GFM. Я утверждаю,
что тело А, основание которого есть квадрат 7/J/ п высо-
та—данная линия GF, равно данному телу L.
Доказательство. Квадрат АС относится к
квадрату НМ, как АВ к К. Поэтому квадрат АС от-
носится к квадрату НМ, как GF к BL [54]. Так как
3 Исторпко-матеи. исследования
34
ОМАР ХАПЯМ
Черт. 16.
оспования этих двух тел обратно пропорциональны их
высотам, эти тела равны. Это то, что мы хотели показать.
После этого перейдем к третьему виду из простых:
куб равен числу. Положим число равным телу ЛВС!)
(черт. 16), основание которого—
квадрат единицы, как мы об этом
говорили, так что его длина рав-
на данному числу. Мы хотим
построить равный ему куб. Возь-
мем между двумя линиями ЛВ,
BD две средние пропорциональ-
ные. Тогда, как мы показали,
они будут известны по величи-
не [55]. Это будут [линии] Е, G.
Проведем IIF, равную линии Е,
и построим па пей куб FHKL.
Тогда этот куб и его ребро бу-
дут известны по величине. Я ут-
верждаю, что этот куб равен
телу В.
Д о к а з а т с л ь с т в о. Квадрат ЛС находится с
квадратом FK в двойном отношении ЛВ к ПК, а двойное
отношение Л В к ПК равно отношению ЛВ к G, первой
к третьей из четырех линий
и, следовательно, равно от-
ношен] по второй ПК к чет-
вертой BD [56]. Поэтому
основания [FK, ПС] куба
L и тела D обратно про-
порциональны их высотам
{ПК, BD}. Отсюда следу-
ет, что эти тела равны.
Это то, что мы хотели по-
казать.
После этого займемся
шестью оставшимися трех-
членными видами. Первый
лу. Положим [линию] Л В (черт. 17) равной стороне квад-
рата, равного числу корней, тем самым она дана. Построим
с помощью построения, указанного нами выше [57], тело,
Л
Черт. 17.
вид: куб и его ребра равны чис-
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ II АЛМУКАБАЛЫ 35
ованпе которого равно квадрату АВ, а высота равна
°пС и которое равно данному числу, и сделаем ВС пер-
пендикулярной АВ. Известно, что у нас понимается под
телесным числом: это тело, основание которого—квадрат
единицы, а высота равна данному числу, т. е. линии,
отношение которой к стороне основания тела равно отно-
шению данного числа к единице. Продолжим АВ до 6’
и построим параболу, вершина которой есть точка В,
ось—BG, а прямая сторона—АВ. Это будет парабола
HBD. Опа известна по положению, как мы это показали
выше [58], и касается липни ВС. Построим на ВС полу
круг: он необходимо пересечет параболу. Пусть он пере-
секает ее в D. Опустим из D, которая, как мы знаем, будет
известна по положению, два перпендикуляра DG, DE на
BG, ВС. Они будут известны по положению и величине.
Так как линия DG есть ордината параболы, ее квадрат
равен произведению BG па АВ; следовательно, АВ будет
относиться к DG, равной BE, как BE к ED, равной GB.
Но BE относится к ED, как ED к ЕС. Поэтому четыре
линии АВ, BE, ED, ЕС пропорциональны и квадрат
первой АВ относится к квадрату второй BE, как вторая
БЕ к четвертой ЕС. Тогда тело, основание которого octi»
квадрат АВ, а высота ЕС, равно кубу BE, так как их
высоты обратно пропорциональны их основаниям. Приба-
вим к ним обоим тело, основание которого есть квадрат
АВ, а высота ЕВ. Куб BE вместе с этим толом будет равен
телу, основание которого есть квадрат АВ, а высота—ВС,
которое мы положили равным данному числу. По тело,
основание которого есть квадрат АВ, равный числу кор-
ней, а высота ЕВ, являющаяся ребром куба, будет равно
данному числу ребер куба ЕВ. Следовательно, куб ЕВ
вместе с данным числом его ребер равен данному числу
l59L Это то, что хотелось получить.
У этого вида нет многообразия случаев и невозможных
задач [60]. Он был решен с помощью свойств круга и па-
раболы.
Второй вид из шести трехчленных видов: куб и число
Равны ребрам. Предположим, что [линия] АВ (черт. 18)
есть сторона квадрата, равного числу корней, и построим
равное данному числу тело, основание которого есть
з*
36
ОМАР ХАЙЯМ
квадрат АВ. Пусть высота этого тела будет ВС и пусть
она будет перпендикулярна АВ. Построим параболу,
вершина которой есть точка В, ось имеет направление
АВ п 1 Й
DBE,
прямая сторона есть АВ, Это будет [парабола]
известная ио положению. Далее построим гипер-
болу [61], вершина которой
есть точка С, ось имеет на
правление ВС, а обе сторо-
ны, прямая и поперечная [02|,
равны ВС. Это будет [гипер-
бола] ECG. Она будет извест-
на по положению, как это
показал Аполлоний в 58-м
предложении первой книги
[вз]. Эти два конических се-
чения или пересекаются или
не пересекаются. Если они не
пересекаются, задача невоз-
можна. Но если они пересека-
ются, касаясь в одной точке
или пересекаясь в двух точ-
ках, эта точка будет извест-
на по положению. Пусть они
пересекаются в точке/?. Опус-
тим из Е два перпендикуля-
ра EF, ЕН на линии BF, ВН.
Эти два перпендикуляра необ-
ходимо известны по положению и величине. • 1иния EF есть
ордината [гиперболы] и, следовательно, квадрат ЕЕ отно-
сится к произведению BF па FC, как прямая сторона
к поперечной стороне, как это показал Аполлоний в 20-м
предложении первой книги [64]. Но прямая и поперечная
стороны равны; поэтому квадрат EF будет равен произ-
ведению BF на FC. Отсюда следует, что BF относится
к FE, как FE к FC. С другой стороны, квадрат ЕН, рав-
ной BF, равен произведению ВН на В А, как это доказано
в 12-м предложении первой книги сочинения «Конические
сечения» [65], следовательно, АВ относится к BF, как BF
к ВН и как ВН, равная EF, к FC. Поэтому эти четыре
линии пропорциональны и квадрат первой АВ относится
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ ХЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ 37
сота
этого
Черт.
квадрату второй BF, как вторая ВЕ к четвертой ВС.
Таким образом, куб ВЕ равен телу, основание которого
есть квадрат ЛВ, а высота CF. Прибавим к ним обоим
тело, основание которого есть квадрат Л В, а высота ВС,
которое мы сделали равным данному числу. Тогда куб
Вf вместе с данным числом будет равен телу, основание
которого есть квадрат ЛВ, а вы
сота BF, т. с. число ребер ку-
ба [”J.
Этим показано, что у этого
вида имеется многообразие сл> - С
чаев, а среди задач этого вида
имеются невозможные |г>7]. Он
был решен с помощью свойств
двух конических сечений па-
раболы и гиперболы.
Третий вид: куб равен реб-
рам и числу. Положи.аг [линию]
ЛВ (черт. 19) равной стороне
квадрата, равного числу ребер,
и построим равное данному
числу тело, основание которо-
го есть квадрат ЛВ. Пусть и
ВС и пусть она будет перпендикулярна ЛВ. Затем про-
должим Л В и ВС в их направлениях и построим пара-
болу, вершина которой ость точка В, ось—на продолже-
нии АВ, а прямая сторона которой есть ЛВ. Это будет
[парабола] DBE', она будет известна но положению и бу-
дет касаться линии ВИ в соответствии с тем, что показал
Аполлоний в 33-м предложении первой книги [68]. Затем
построим другое коническое сечение, гиперболу, вершина
которой есть точка В, ось—на продолжении ВС и обе
стороны, прямая и поперечная, равны ВС. Это будет ги-
пербола GBE. Опа будет известна по положению и будет
касаться линии ЛВ. Эти два конических сечения необхо-
димо пересекутся. Пусть они пересекаются в точке Е.
Эта точка также известна по положению. Опустим из
точки Е два перпендикуляра EF, ЕН. Они будут известны
и по положению и по величине. Линия ЕП есть ордината
[гиперболы] и, как показано выше, се квадрат будет равен
38
ОМАР ХАПЯМ
произведению СН и ВН. Поэтому СИ будет относиться
к ЕН, как ЕН к НВ, Но ЕН, равная BF, относится к НВ,
равной EF, которая есть ордината другого конического
сечения, как EF к АВ, являющейся прямой стороной
параболы. Эти четыре линии пропорциональны: АВ отно-
сится к НВ, как НВ к BF и как BF к СП, и квадрат пер-
вой АВ относится к квадрату второй НВ, как вторая НВ
к четвертой СН. Следовательно, куб ИВ будет равен телу,
основание которого есть квадрат АВ, а высота—СП, так
как их высоты обратно пропорциональны их основаниям.
Но это тело равно телу, основание которого есть квадрат
АВ, а высота ВС, которое мы сделали равным данному
числу, вместе с телом, основание которого есть квадрат
АВ, а высота ВН, равная данному числу ребер куба ВН.
Поэтому куб ВН равен данному числу вместе с данным
числом его ребер. Это то, что хотелось получить [69J.
Этим показано, что у этого вида пет многообразия слу-
чаев и что в его задачах пет ничего невозможного [70].
Он был решен с помощью свойств параболы и гиперболы.
Четвертый вид из шести трехчленных видов: куб и
квадраты равны числу. Положим линию АВ (черт. 20)
равной числу квадратов и построим куб, равный данному
числу. Пусть ребро этого куба будет II. Продолжим АВ
прямо и сделаем BF равной II. Дополним квадрат BFDC
и проведем через точку D гиперболу, которую не ветре-
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ
39
от [линии] ВС п BF [71]. Это будет гипербола EDN, как
ча известно в силу 4 и 5-го предложений второй книги
э 59-го предложения первой книги [72]. Гипербола EDN
”удет известна по положению, так как точка D известна
ио положению и линии ВС, BF известны по положению.
Достроим параболу, вершина которой есть точка Л, ось—
[F а прямая сторона—ВС. Это будет парабола АК.
Тогда парабола ЛА” известна по положению и эти два
конических сечения необходимо пересекутся. Пусть они
пересекаются в точке Е. Тогда Е будет известна но поло-
жению. Опустим из этой точки перпендикуляры EG, EL
па линии AF, ВС. Они будут известны по положению ц ве-
личине. Я утверждаю, что невозможно, чтобы парабола
ЛЕК пересекала гиперболу EDN в такой точке, что пер-
пендикуляр, опущенный из этой точки иа линию AF, па-
дает на [точку] F пли за пей. Пусть, если возможно, он
упадет на F; тогда его квадрат будет равен произведению
AF на FB, равную ВС, по этот перпендикуляр равен пер-
пендикуляру DF, поэтому квадрат FD будет равен про-
изведению AF па FB, а с другой стороны он будет равен
произведению BL на себя, что невозможно; поэтому пер-
пендикуляр не может упасть на F. II точно так же он не
может упасть за F, так как тогда этот перпендикуляр был
бы меньше FD, что еще более невозможно. Поэтому пер-
пендикуляр необходимо упадет на точку между Л и F,
как это имеет место для EG.
Квадрат EG равен произведению Л С па ВС, поэтому
AG относится к EG, как EG к ВС, и поверхность АВ равна
поверхности DB, как это доказано в 8-м предложении вто-
рой книги «Конических сечений» [73], и EG относится
к ВС, как ВС к BG. Поэтому четыре линии AG, EG, ВС,
BG пропорциональны. Следовательно, квадрат четвертой
BG относится к квадрату третьей ВС, как третья ВС к пер-
вой AG. Куб ВС, который мы сделали равным данному
числу, будет равен телу, основание которого есть квадрат
BG, а высота—ЛG. Но это тело, основание которого есть
квадрат BG, а высота—Л6, равно кубу BG вместе с те-
лом, основание которого есть квадрат BG, а высота—АВ.
Но тело, основание которого есть квадрат BG, а высота—
АВ, равно данному числу квадратов. Следовательно, куб
40
ОМАР ХАПЯМ
вместе с данным числом квадратов равен данному числу.
Это то, что мы хотели показать [74|. В этом виде пот мно-
гообразия случаев и среди его задач нет невозможных [75J.
Он был решен с помощью свойств параболы и гиперболы.
Пятый вид из шести остававшихся трехчленных видов:
куб и число равны квадратам. Предположим, что [линия]
АС (черт. 21) равна числу квадратов, и построим куб,
равный данному числу. Пусть ребро этого куба будет //.
Линия 7/ может быть либо равна липни ЛС, либо же быть
больше ее иля меньше. Если 11 равна Л Г, задача невоз-
можна, так как тогда ребро искомого куба будет необ-
ходимо либо равно 11, либо же меньше пли больше. Если
Черт. 21.
они равны, произведение ЛС на квадрат этого ребра будет
равно кубу 11, тогда это число будет равно числу квадра-
тов без того, чтобы добавить к нему куб. Если искомое
ребро меньше 7/, произведение ЛС на квадрат этого ребра
будет меньше данного числа, и тогда число квадратов
будет меньше данного числа без того, чтобы что-нибудь
к нему добавить, и, наконец, если ребро больше 11, его
куб будет больше произведения ЛС на его квадрат, без
того, чтобы добавить к нему число.
Если, далее, 11 больше ЛС, эти три случая тем более
невозможны. Поэтому необходимо, чтобы 11 была меньше
ЛС, иначе задача будет невозможной.
Поэтому отложим па АС [линию] ВС, равную 11. Линия
ВС будет либо равна ЛВ, либо же больше ее или меньше.
Пусть она па первом чертеже равна, на втором больше ее,
0ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ КЛГЕНРЫП \.1МУК\В\.ПЫ 41
на третьем поныне. Дополним па этих трех чертежах
гвадРаТ 11 иРовеДем через точку D гиперболу, которую
не встречают [линии I Л С, СЕ. Это будет па нервом чертеже
J)G, на втором и третьем DF. Построим затем параболу,
вершина которой есть точка .1, ось Л С, а прямая сто-
рона—ВС. Это будет па первом чертеже AF, на втором
AL, а на третьем—ЛК. Эти два конических сечения будут
известны но положению. На первом чертеже парабола
пройдет через точку D, так как квадрат DB равен произве-
дению ЛВ па ВС и D расположена на дуге параболы. Она
встретит [гиперболу] еще в другой точке, что ты можешь
определить при небольшом размышлении. На втором чер-
теже точка D будет расположена впе параболы, так как
квадрат DB здесь будет больше произведения ЛВ на ВС.
Поэтому, если эти два конических сечения встретятся
в другой точке, касаясь пли пересекаясь, перпендикуляр,
опущенный из этой точки [па Л С], необходимо упадет
между точками Л и В, и задача возможна; в против-
ном случае опа невозможна. На это касание или пересече-
ние ле обратил внимания досточтимый геометр Абу-л-
Джуд [7С], который решил, что если ВС больше ЛВ, то
задача невозможна, и упустил этот случай. Этот вид есть
тот из шести видов, в познании которого оказался бессиль-
ным Махани. Па третьем чертеже точка D расположена
внутри параболы, так что два конических сечения пересе-
каются в двух точках.
Во всех этих случаях опустим из точки встречи перпен-
дикуляр на АВ. Пусть это будет па втором чертеже FG.
Точно так же опустим из этой точки другой перпендикуляр
па СЕ; это будет FK. Поверхность FC будет равна поверх-
ности DC и поэтому GC будет относиться к ВС, как ВС
к FG. По FG ордината параболы AFL и ее квадрат равен
произведению Л G на ВС; поэтому ВС относится к FG, как
FGkGA. Тогда эти четыре липни пропорциональны,GC отно-
сится к СВ. как СВ к FG и как FG к GA. Поэтому квадрат
первой GC будет относиться к квадрату второй ВС, как вто-
рая ВС к четвертой GA, и, следовательно, куб ВС, равный!
Данному числу, будет равен телу, основание которого
есть квадрат GC, а высота GL1. Прибавим к обоим куб
GC. Тогда куб GC вместе с данным числом будет равен
42
ОМАР ХАЙЯМ
телу, основание которого есть квадрат GC, а высота
АС и которое равно данному числу квадратов. Это то, что
хотелось получить. Аналогичны этому два остальных слу-
чая, прячем в третьем случае необходимо получаются
два куба, так как каждый из перпендикуляров, [опущен-
ных из двух точек встречи конических сечений], отсечет
от С А ребро куба, [являющееся решением задачи], как
мы это только что показали I77].
Этим показано, что у этого вида имеется многоооразие
случаев и [среди его задач]
Чорт. 22.
имеются невозможные [78]. Он
был решен с помощью свойств
параболы и гиперболы.
Шестой вид из шести ос-
тававшихся трехчленных ви-
дов: куб равен квадратам и
числу.
Предположим, что линия
АВ (черт. 22) равна числу
квадратов, и построим равное
данному числу тело, высота
которого есть АВ, а основа-
ние—квадрат. Пусть сторона
этого основания будет ВС н
пусть она перпендикулярна
АВ. Дополним поверхность DB и проведем через точку С,
известную по положению, гиперболу, которую не встре-
чают [линии] АВ, AD. Это будет гипербола CEG. Построим
другое коническое сечение, параболу, вершина которой
есть точка В, ось—на продолжении АВ, а прямая сто-
рона—АВ. Это будет [парабола] ВЕН. Эти два кониче-
ских сечения необходимо пересекаются. Пусть они пере-
секаются в точке Е. Тогда Е известна по положению.
Опустим из этой точки два перпендикуляра EF, ЕК на
АВ, AD. Поверхность ЕА будет равна поверхности С А
и АК будет относиться к ВС, как АВ к ЕК. Поэтому их
квадраты также будут пропорциональны. Но квадрат ЕК
равен произведению КВ на АВ, так как ЕК есть ордината
параболы ВЕН, и, следовательно, квадрат АВ будет отно-
ситься к квадрату ЕК, как АВ к ВК. Поэтому квадрат ВС
будет относиться к квадрату АК, как ВК к АВ, и тело,
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ 43
основание которого есть квадрат ВС, а высота АВ, равно
телу, основание которого ость квадрат АК, а высота КВ,
так как основания и высоты этих тол обратно пропор-
циональны. Добавим к ним обоим тело, основание которо-
го есть квадрат АК, а высота—АВ, тогда куб Л К будет
равен телу, основание которого есть квадрат ВС, а высо-
та—АВ, н которое мы сделали равным данному числу,
вместе с телом, основание которого есть квадрат ЛА",
а высота АВ и которое равно дан-
ному числу квадратов. Таким обра-
зом, куб АК будет равен данному
числу квадратов вместе с данным
числом [79].
В этом виде нет многообразия
случаев и средн его задач нет не-
возможных [н0]. Он был решен с
помощью свойств параболы и гипер-
болы.
Изложив трехчленные виды, пе-
рейдем к рассмотрению четырех че-
тырехчленных видов, каждый из которых состоит в ра-
венстве трех членов одному члену. Первый вид из четы-
рех четырехчленных: куб, квадраты и ребра равны числу.
Положим [линию] BE (черт. 23) равной стороне квад-
рата, равного данному числу ребер, и построим тело, осно-
вание которого есть квадрат BE и которое равно данному
числу. Пусть его высота будет ВС и пусть она перпенди-
кулярна BE. Поместим BD, равную данному числу квад-
ратов, на продолжении ВС п построим на DC как на диа-
метре полукруг DCC. Дополним поверхность В К и про-
ведем через точку С гиперболу, которую нс пересекают
липин BE, ЕК. Опа пересечет круг в точке С, так как она
пересекает СК, касательную к кругу; тогда гипербола
необходимо пересечет круг во второй точке. Пусть они
пересекаются в G. Тогда G будет известна по положению,
так как круг п гипербола известны по положению. Опу-
стим пз G два перпендикуляра GF, на EK, ЕА. По-
верхность GE будет равна поверхности ВК. Если отнять
от обеих общую часть EL, останется поверхность GB,
равная поверхности LK. Поэтому GL будет относиться
ОМ \1> ХАНЯМ
к LC, как ЕВ к BL, так как ЕВ равно EL, и их квадраты
также будут пропорциональны. Но квадрат GL относится
к квадрату //’, как DL к LC но причине [свойств] круга.
Поэтому квадрат ЕВ будет относиться к квадрату BL,
как DL к LC, и тело, основание которого есть квадрат
ЕВ, а высота LC, равно телу, основание которого есть
квадрат BL, а высота DL. Но это последнее тело равно
кубу BL вместе с телом, основание которого есть квадрат
BL, а высота BD, и которое
равно данному числу квадра-
тов. Добавим к обоим тело,
основание которого есть квад-
рат BE, а высота BL, и кото-
рое равно числу корней. То-
гда тело, имеющее основанном
квадрат ЕВ, а высотой ВС,
и которое мы сделали равным
данному числу, равно кубу
BE вместе с данным числом
его ребер и данным числом
его квадратов. Это то, что мы
хотели показать [81].
В этом виде нет многообра-
зия случаев и среди его задач
нет невозможных I82]. Он
был решен с помощью свойств гиперболы и круга.
Второй вид из четырех четырехч.лепных видов: куб,
квадраты и число равны ребрам.
Положим [линию] ЛВ (черт. 24) равной стороне квад-
рата, равного числу ребер, а ВС равной данному числу
квадратов и перпендикулярной ЛВ. Построим тело, осно-
вание которого есть квадрат ЛВ, и которое равно данному
числу, и пусть его высота BD находится на продолжении
ВС. Дополнив поверхность BE, проведем через точку D
гиперболу, которую не встречают [липни] ЛВ, ЛЕ. Это
будет гипербола GDH. Построим затем другую гиперболу,
вершина которой есть точка D, ось—на продолжении
BD, а прямая и поперечная стороны равны каждая DC.
Пусть это будет [гипербола] FDH. Эта гипербола необ-
ходимо пересечет первую в D. Тогда, если возможно, что-
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВ\Х ЗАД ЧЧ АЛГЕБРЫ И АЛ МА КАБАЛЫ 45
бы эти гиперболы встретились еще в одной точке,
за 1аца возможна, в противном случае она невозможна.
Это встреча в виде касания или пересечения в двух точ-
ках основана на четвертой книге «Конических сечений»,
но мы обещали ссылаться только на две книги этого
сочинения. Во всяком случае это нисколько не вредит нам,
так как, если только эти две гиперболы встречаются, то
безразлично, происходит ли это при касании или пересе-
чении. Пойми это. Таким образом, встреча может быть
касанием или пересечением; при этом если одна из этих
гипербол пересекает другую в точке, отличной от D, то она
необходимо пересекает ее в двух точках.
Во всяком случае опустим из точки пересечен ня пли
встречи, какой бы она ни была, пусть это будет точка If,—
два перпендикуляра //1/, KHL. Они будут известны по
положению и величине, так как точка // известна по поло-
жению. Тогда поверхность J// равна поверхности AD.
Отнимем их общую часть ЕМ, остается MD, которая
равна ЕН. Затем прибавим к обеим 1)П\ тогда ML равно
EL, и стороны, так же как квадраты сторон этих поверх-
ностен, будут обратно пропорциональны. Поэтому квад-
рат АВ будет относиться к квадрату BL, как квадрат HL
к квадрату LD-, но квадрат JIL относится к квадрату LD,
как CL к LD, как мы это уже показывали несколько раз.
Поэтому квадрат АВ будет относиться к квадрату BL,
как CL к LD, и тело, высота которого есть LD, а основа-
ние—квадрат АВ, равно толу, основание которого есть
квадрат BL, а высота LC. По это последнее тело равно
кубу BL вместо с телом, основание которого есть квадрат
BL, а высота ВС, и которое равно данному числу квадра-
тов. Добавим к обоим тело, основание которого есть квад-
рат АВ, а высота BD, и которое мы сделали равным дан-
ному числу. Таким образом, куб BL вместе с данным
числом квадратов и данным числом будет равен телу, осно-
вание которого есть квадрат АВ, а высота—BL которое
равпо данному числу ребер куба BL. Это то, что хотелось
получить [яз].
Тем самым показано, что у этого вида имеется много-
образие случаев: [иногда] в его задачах находят два ребра
двух кубов, а часто в нем, т. с. в его задачах, имеется
46
ОМАР ХАЙЯМ
невозможное I84]. Этот вид был решен с помощью свойств
двух гипербол. Это то, что мы хотелп показать.
Третий вид из четырех четырехчленных: куб, ребра и
число равны квадратам.
Предположим, что линия ВЕ (черт. 25) есть данное
число квадратов, а ВС—сторона квадрата, равного числу
ребер, и ВС перпендикулярна ВЕ. Построим равное дан-
ному числу тело, основание которого ость квадрат ВС.
Пусть высота АВ этого тела находится па продолжении
ВЕ. Построим на АЕ полукруг AGE.
Точка С будет находиться либо внутри круга, либо на
его окружности, либо вне круга.
Пусть сначала она находится внутри круга. Продолжим
ВС прямо до пересечения с кругом в точке G\ дополним
поверхность АС и построим на GC поверхность, равную
поверхности АС. Это будет СИ. Точка 11 будет известна
по положению, так как поверхность СИ известна по вели-
чине, ее углы также известны по величине, а линия GC
известна по положению и величине. И она может нахо-
диться внутри круга, или на его окружности, пли вис его.
Пусть сначала она находится внутри круга. Проведем
через точку 11 гиперболу, которую не встречают [линии]
GC, СМ. В этом положении опа необходимо пересечет
круг в двух точках. Пусть они пересекаются в точках
L иАг, они будут известны по положению. Опустим из этих
точек перпендикуляры LK, NP па АЕ и из точки L пер-
пендикуляр LF на BG. Поверхность LC будет равна по-
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУК АБАЛЫ 47
верхностп СП, а СП равна С А. Прибавим с той и с другой
стороны СК. Получим, что DK равна ЕК. Поэтому сторо-
ны, а также квадраты сторон этих двух поверхностей
обратно пропорциональны. Но квадрат LK относится
к квадрату КА, как ЕК к КА в силу [свойств] круга.
Поэтому квадрат ВС необходимо относится к квадрату
ВК, как ЕК к КА\ поэтому тело, основание которого есть
квадрат ВС, а высота—КА, равно телу, основание кото-
рого есть квадрат ВК, а высота—КЕ. Но первое из этих
двух тел равно данному числу ребер куба ВК вместе
с данным числом. Прибавим с той и другой стороны куб
ВК. Тогда тело, основание которого есть квадрат ВК,
а высота ВЕ, равное данному числу квадратов куба ВК,
будет равно кубу В К вместе с данным числом его ребер
и данным числом. То же относится к кубу ВР в силу такого
же доказательства. Это в том случае, когда точки С, 11
находятся внутри круга.
Если мы построим гиперболу в том случае, когда П
находится вне круга, она может встретить круг, касаясь
или пересекая его (это тот случай этого вида, который
упоминался Абу-л-Джудом в решении задачи, о которой
мы сейчас будем говорить)х), и это приводит к тому, о чем
мы уже говорили. Но если гипербола не встречает круга,
мы всегда можем построить поверхность на линии мень-
шей пли, в другом случае, большей, чем GC. Тогда, если
гипербола не встречает круга, задача невозможна. Дока-
зательство ее невозможности состоит в обращении того,
что мы сказали.
Когда С находится на окружности или вне круга,' мы
продолжим CG прямо и построим поверхность, имеющую
один из своих углов в точке С, и, если провести через
угол, противоположный углу С, гиперболу указанным вы-
ше способом, она встретит круг, касаясь пли пересекая
его. Это узнают посредством легкого сравнения, которое
я опустил, предоставляя его в качестве упражнения чита-
телям моего трактата, так как тот, кто не будет достаточно
силен, чтобы найти это самому, не поймет ничего в этом
трактате, основанном на трех вышеуказанных сочинениях.
г) Фраза в скобках в рукописи написана на полях.—Б. Р.
48
О МАГ ХАНЯМ
Мы докажем невозможность невозможных случаев
этого вида с помощью обращения доказательства, указан-
ного нами для возможных случаев. Для этого установим
сначала, что ребро куба должно необходимо быть меньше
ЕВ, являющейся данным числом квадратов, так как если
бы ребро куба было бы равно числу квадратов, этот куб
был бы равен данному числу квадратов без добавления
чего-либо другого—числа или ребер, а если ребро куба
было бы больше числа квадратов, куб сам был бы больше
данного тела квадратов без добавления чего-либо другого.
Этим доказало, что ребро куба должно быть меньше BE.
Поэтому отнимем от BE равную ему часть, —пусть это
будет ВР, и восстановим в Р перпендикуляр до окружно-
сти круга. Затем обратим указанное нами доказательство.
Этим будет доказано, что вершина перпендикуляра будет
находиться на дуге гиперболы, о которой мы сказали, что
опа не может пересекаться с кругом. Но это невозможно.
Однако я придерживаюсь мнения, что эти испытания
могут быть трудны для некоторых из читателей этого
трактата, вследствие чего мы отбросим все предыдущее и
предложим правило, нс нуждающееся в таком испытании.
Оно состоит в построении на произвольной линии, взятой
на продолжении ВС, каково бы пи было положение точки
С, вне или внутри круга, поверхности, имеющей один из
углов в точке С и равной поверхности АС, стороны которо-
го будут необходимо известны по величине и положению,
и в проведении через вершину, противоположную углу С,
гиперболы, которую нс встречают [ шипи I GC, СМ, послед-
няя* из которых является перпендикуляром [к GC] в точке
С. Тогда, если гипербола встретит круг, касаясь или
пересекая его, задача возможна, в противном же случае
она невозможна. Доказательство невозможности будет
такое же, как я указал выше [85].
Геометр, который нуждался в этом виде, решал его,
но нс доказывал многообразия случаев и ему не приходило
в голову, что иногда решение невозможно, как мы это
показали. Итак, заметьте это и заметьте особенно послед-
нее правило, относящееся к построению этого вида, и раз-
личие между возможными и невозможными случаями L80].
Этот вид был решен с помощью свойств круга и гиперболы;
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ 49
это то, что мы хотели показать. Задача этого вида, в ко-
торой нуждался один из позднейших ученых, состоит
в том, что требуется разделить десять на две части таким
образом, что сумма квадратов обеих частей вместе с част-
ным от деления большей части на меньшую равна семи-
десяти двум. Он положил одну из этих двух частей равной
вещи, а другую—десяти без вещи, как это принято у алге-
браистов при подобных делениях. Это приводится [алге-
браическими] действиями к [уравнению]: куб вместе
с числом пять и тринадцатью с половиной его ребрами
равен десяти квадратам. В этом примере точки С, II нахо-
дятся внутри круга [87]. Этот ученый решил эту задачу,
которая не поддавалась усилиям нескольких ученых
Ирака, в числе которых был Абу-с-Сахл Кухп [88]—да
будет Аллах милосерден к ним! Но даже автору этого
решения,—да будет Аллах милосерден к нему!—несмотря
на его ученость и величину его заслуг в математике, не
пришло в голову это многообразие, а также то, что среди
задач этого вида имеются невозможные. Этим ученым был—
Аллах знает—Абу-л-Джуд или Шанин [8Э].
Четвертый вид из четырех четырехчленных уравнений:
число, ребра и квадраты равны кубу.
Предположим, что BE (черт. 26) есть сторона квадрата,
равного числу ребер, и построим равное данному числу
тело, основание которого есть квадрат BE. Пусть высота
этого тела будет АВ и пусть она будет перпендикулярна
BE, Предположим, что ВС равна числу квадратов и нахо-
дится на продолжении АВ, и дополним [поверхность] АЕ.
Придадим BE продолжение ЕМ произвольной длины и
построим на этой линии ЕМ, являющейся длиной, поверх-
ность, равную АЕ. Пусть это будет поверхность ЕН.
Точка Н тогда будет известна по положению. Проведем
через Н гиперболу, которую не встречают [линии] ЕМ,
ES, это будет [гипербола] HFK. Она будет известна по
положению. Затем построим вторую гиперболу, вершина
которой есть точка С, ось—на продолжении ВС, а прямая
и поперечная стороны равны каждая АС. Это будет
гипербола LCF. Она будет известна по положению и не-
обходимо пересечет гиперболу HFK. Пусть они пересе-
каются в точке F. Тогда F будет известна по положению.
4 Историко-матем. исследования
5о
ОМАР ХАЙЯМ
Опустим из F два перпендикуляра FG, FN на ВС, ВМ.
Они будут известны по величине и положению, и [поверх-
ность] FE будет равна ЕН, которая равна ЕА. Прибавим
к обеим EN\ тогда AS будет равна FB. Стороны этих двух
поверхностен и их квадраты будут обратно пропорцио-
нальны. Но квадрат FN относится к квадрату AN, как
NC к AN, как мы уже показывали несколько раз, в силу
[свойств] гиперболы LCF. Следовательно, квадрат ВЕ
будет относиться к квадрату BN, как NC к А\4, и тело,
основание которого есть квадрат ВЕ, а высота AN, будет
равно телу, основание которого есть квадрат BN, а высота
CN. Но первое из этих тел равно телу, основание которого
есть квадрат ВЕ, а высота АВ, и которое мы сделали рав-
ным [данному] числу, вместе с телом, основание которого
есть квадрат ВЕ, а высота BN, и которое равно данному
числу ребер куба В1\. Прибавим С топ и с другой стороны
тело, основание которого есть квадрат BN, а высота ВС,
и которое равно данному числу квадратов куба BN,
Тогда куб BN необходимо будет равен данному числу его
квадратов вместе с данным числом его ребер и данным чис*
лом. Но это мы и хотели показать [90]. .
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛЫУКАБАЛЫ 51
У этого вида нет многообразия случаев и среди его
задач пет невозможных [91].
Изложив четыре четырехчленных вида, рассмотрим
три вида, каждый из которых состоит из двух членов,
которые положены равными <вум другим членам.
Первый вид нз трех оставшихся четырехчленных урав-
нений: куб и квадраты равны ребрам и числу.
Положим BD (черт. 27) равной стороне квадрата,
который равен данному числу ребер, а СВ равной дан-
ному числу квадратов и перпендикулярной BD. Построим
равное данному числу тело, основание которого есть
квадрат BD. Пусть высота его будет S. Линия S может
быть либо больше ВС, либо меньше се, либо равна ей.
Пусть сначала5 меньше ВС. Отложим на ВС отрезок ЛВ,
равный S, дополним AD и возьмем на продолжении
BD [линию] DG произвольной длины. Построим па DG
поверхность, равную AD, пусть это будет ED. [Точка] Е
будет известна по положению, а стороны поверх пости ED
будут известны по положению и величине. Проведем через
точку Е гиперболу, которую нс встречают [линии] GD,
ВО. Это будет гипербола ЕН, [гипербола] ЕН будет из-
вестна по положению. Затем построим вторую гиперболу,
вершина которой есть точка А, ось АВ, а прямая и
4*
52
ОМАР ХАЙЯМ
поперечная стороны равны каждая АС. Это будет гипербола
АНЕ, и она необходимо пересечет другую гиперболу.
Пусть они пересекаются в [точке] II. Тогда II будет из-
вестна по положению. Опустим из II два перпендикуля-
ра НК, IIL. Оба они будут известны по положению и вели-
чине, и поверхность IID будет равна ED, которая равна
AD. Прибавим общую [поверхность] DK. Тогда поверх-
ность НВ будет равна ЛЛ/. Отсюда следует, что их сто-
роны и квадраты их сторон будут обратно пропорциональ-
ны. Но квадрат НК относится к квадрату А'Л, как СК
к АК, в силу [свойств] гиперболы АНЕ, как мы это пока-
зывали несколько раз. Поэтому квадрат BD будет отно-
ситься к квадрату КВ, как СК к АК, и тело, основание
которого есть квадрат BD, а высота ЛА\ будет равно
телу, основание которого есть квадрат ВК, а высота СК.
По это последнее тело равно кубу В К вместе
с телом, основание которого есть квадрат ВК, а высота—
ВС и которое равно данному числу квадратов. Первое из
этих двух тел равно телу, основание которого есть ква-
драт BD, а высота АВ, и которое мы сделали равным дан-
ному числу, вместе с телом, основание которого есть
квадрат BD, а высота ВК, и которое является данным
числом ребер куба. Следовательно, куб В К вместе с дан-
ным числом своих квадратов равен данному числу вместе
с данным числом своих ребер. Это то, что хотелось полу-
чить.
Если S равна ВС, то BD будет ребром искомого куба.
Доказательство. Тело, основание которого
есть квадрат BD, а высота также BD, и которое является
числом ребер куба BD, равно кубу BD. Тело, основание
которого есть квадрат BD, а высота ВС, являющееся дан-
ным числом квадратов куба, равно телу, основание ко-
торого есть квадрат BD, а высота S, и которое является
данным числом. Поэтому куб BD вместе с данным числом
своих квадратов равен данному числу вместе с данным чи-
слом ребер. Это то, что хотелось получить. Но известно,
что в этом случае куб BD вместе с данным числом будет
равен данному числу квадратов вместе с данным числом ре-
бер этого куба; отсюда вытекает, что этот случай входит
в третий вид: куб п числа равны квадратам и ребрам.
О ДОКАЗ ГГЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ II АЛМУКАБАЛЫ 53
Если S больше ВС, построим АВ, рапную S, и прове-
дем через С вторую гиперболу, обе стороны которой [пря-
мая и поперечная] равны АС. Она необходимо пересечет
другую гиперболу. Ребро куба будет также ВК и осталь-
ная часть построения и доказательство будут такими же,
как и выше, за исключением того, что здесь квадрат НК
относится к квадрату КС, как ЛК к КС [92]. Этим дока-
зано, что у этого вида имеется многообразие случаев и
разновидностей и что одна из этих разновидностей входит
в третий вид; но среди задач этого вида пет невозможных
[93]. Его решение было осуществлено с помощью свойств
двух гипербол.
Второй вид из трех оставшихся четырехчленных видов:
куб и ребра равны квадратам и числу.
Положим ВС (черт. 28) равной данному числу квадра-
тов, a BD равной стороне квадрата, который равен числу
ребер, и перпендикулярной ВС. Построим равное данному
"Черт. 28.
числу тело, имеющее основанием квадрат BD. Пусть
высота его будет S. Линия S меньше ВС, либо равна ей,
либо больше ее.
Пусть сначала [5] будет меньше ВС. Отложим па ВС
отрезок В А, равный S, дополним [поверхность] AD, по-
строим на АС, как на диаметре, круг АКС, который будет
известен по положению, и проведем через точку А гипер-
болу, которую не встречают [линии] BD, DG. Это будет
54
ОМАР ХАЙЯМ
гипербола I1AF, она будет известна по положению.
[Гипербола] IIAF пересекает AG, касательную к кругу,
и, следовательно, пересекает круг, так как, если бы она
попала между ним и AG, мы могли бы провести через
точку А касательную к гиперболе, как это изложил Апол-
лоний в 60-м предложении второй книги I94]. Тогда эта
касательная могла бы либо находиться между кругом и
AG, что невозможно, либо находиться за AG таким обра-
зом, чтобы AG была прямой линией, находящейся между
гиперболой и ее касательной, что также невозможно.
Поэтому гипербола FAII не попадает между AG и кругом
и, следовательно, пересекает его. Опа необходимо пере-
секает его в другой точке. Пусть они пересекаются в [точ-
ке] К. Тогда К будет известна по положению. Опустим
нз нее два перпендикуляра КМ, КЕ па BD, ВС. Оба они,
как ты знаешь, будут известны по положению и величине.
Дополним поверхность KD. Поверхность AD будет равна
поверхности KD. Отнимем общую [поверхность] MG
и прибавим общую [поверхность] АК. Тогда ВК будет
равна AL и стороны обеих поверхностей, так же как ква-
драты их сторон, будут обратно пропорциональны. По
квадрат КЕ относится к квадрату ЕА, как ЕС к ЕА. По-
этому квадрат BD относится к квадрату BE, как ЕС к ЕА,
и тело, основание которого есть квадрат BD и высота ЕА,
равно телу, основание которого есть квадрат BE, а высота
ЕС. Прибавим к обоим куб BE. Тело, основание которого
есть квадрат BE, а высота ВС, будет равно кубу BE вместе
с телом, основание которого есть квадрат BD, а высо-
та ЕА. Но первое тело равно данному числу квадратов куба
BE. Прибавим к обоим тело, основание которого есть
квадрат BD, а высота В А и которое мы сделали равным
данному числу. Тогда куб BE вместе с телом, основание
которого есть квадрат BD, а высота BE и которое равно
данному числу ребер куба BE, будет равно данному числу
квадратов вместе с данным числом. Это то, что хотелось
получить.
Если S будет равна ВС, то ВС будет ребром иско-
мого куба.
Доказательство. Куб ВС равен данному
числу своих квадратов и тело, высота которого есть BCt
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ 55
а основание—квадрат BD, равно данному числу, а также
равно данному числу ребер куба ВС. Поэтому куб ВС
вместе с данным числом своих ребер равен данному числу
своих квадратов вместе с данным числом. Но этот случай
входит также в третий вид, так как данное число ребер
куба ВС равно данному числу, откуда следует, что
куб ВС вместе с данным числом равен данному числу
квадратов вместо с данным числом ребер куба.
Если S больше ВС, сделаем ВЛ равной S и построим
Круг на АС, как па диаметре. Тогда Гипербола, которая
проходит через точку Л, пересечет круг в точке К, как мы
это доказали. Опустим из точки К два перпендикуляра
КЕ, КМ так же, как мы это делали па предыдущем черте-
же. ЕВ будет ребром искомого куба, что доказывается
так же, как выше. Отнимем общую поверхность ED\ сто-
роны поверхностен ЕМ, EG, так же как их квадраты,
будут обратно пропорциональны и доказательство будет
совершенно такое же, как предыдущее, без всякого изме-
нения I95]. Этим доказано, что этот вид имеет многообра-
зие случаев и разновидностей и что одна из этих разно-
видностей входит в третий вид. Среди его задач пет не-
возможных [96]. Он был решен с помощью свойств окруж-
ности п гиперболы.
Третий вид из трех оставшихся четырехчленных видов:
куб и число равиы ребрам и квадратам.
Предположим, что ВС (черт. 29) равна числу квадра-
тов, a BD перпендикулярна ой и равна стороне квадрата,
который равен числу корней. Построим тело, имеющее
основанном квадрат BD и равное данному числу. Пусть
высота этого тела будет S. Линия S может быть мень-
ше ВС, либо равна ей, либо больше се.
Пусть сначала [5] будет меньше ВС. Отложим на ВС
Отрезок ВА, равны]"! S, дополним [поверхность] BG, про-
ведем через Л гиперболу, которую не встречают [линии]
BD, DG, это будет гипербола II АЕ, и построим другую
гиперболу, вершина которой есть точка С, ось—на про-
должении ВС и обе стороны, прямая п поперечная, рав-
ны АС. Эта гипербола необходимо пересечет другую ги-
перболу. Это будет [гипербола] KCL. Пусть гиперболы
KCL и HAF пересекаются в точке М. Точка М будет*
56
ОМАР ХАЙЯМ
известна по положению, так как обе гиперболы известны
по положению. Опустим из этой точки перпендикуляры
JEV, EMO. Они будут известны по положению и величине,
поверхность DA будет равна поверхности DM и NE
равна GE, как мы это показывали несколько раз. Поэто-
му стороны этих двух поверхностей, так же как их ква-
драты, ооратно пропор-
циональны. По квадрат
ME относится к квад-
рату ЕЛ, как СЕ к
ЕА, в силу [свойств]
гиперболы KCL. Следо-
вательно, квадрат BD
будет относиться к ква-
Черт. 29.
драту ВЕ, как СЕ к ЕА, и тело, основание которого
есть квадрат BD, а высота ЕА, будет равно телу, ос-
нование которого есть квадрат ВЕ, а высота СЕ.
Прибавим к обоим тело, основание которого есть квадрат
ВЕ, а высота ВС и которое является числом квадратов
куба ВЕ. Тогда куб ВЕ будет равен данному числу своих
квадратов вместе с телом, основание которого есть ква-
драт BD, а высота ЕЛ. Прибавим с обеих сторон тело, вы-
сота которого есть В А, а основание—квадрат ВЕ и которое
мы сделали равным данному числу. Получится, что тело,
основание которого есть квадрат BD, а высота ВЕ и ког
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ 57
торое равно данному числу ребер куба BE, вместе с дан-
ным числом квадратов куба BE равно кубу BE вместе
с данным числом.
Если S равно ВС, то ВС будет ребром куба.
Доказательство. Куб ВС равен данному
числу своих квадратов, а данное число равно данному
числу ребер куба ВС. Поэтому куб ВС вместе с данным
числом равен данному числу квадратов вместе с данным
числом ребер куба. Это то, что хотелось получить. С дру-
гой стороны, куб ВС вместе с данным числом ребер будет
равен данному числу своих квадратов вместе с данным
числом, откуда следует, что этот случаи входит также во
второй вид.
Если S больше ВС, сделаем ВА равной S, дополним
поверхность [BG] и проведем первую гиперболу через . 1
и вторую также через Л. Опп пересекутся. Если они встре-
чаются второй раз, касаясь в одной точке или пересекаясь
в двух точках, как это известно по четвертой книге сочи-
нения «Конические сечения», задача будет возможна, в про-
тивном случае она будет невозможна. Если они пересека-
ются, опустим из двух точек их пересечения перпенди-
куляры, которые отсекут ребра двух кубов. Доказатель-
ство такое же, как выше, без всякого изменения [97].
Этим показано, что этот вид имеет различные случаи,
некоторые из которых невозможные [98]. Он был доказан
с помощью свойств двух гипербол.
Показано также, что эти три четырехчленных вида
входят один в другой, т. о., как мы показали, имеется
случаи первого вида, являющийся в точности случаем
второго вида, случай второго вида, являющийся случаем
третьего вида, и случай третьего вида, являющийся в точ-
ности случаем второго вида ["].
После того как мы изложили эти двадцать пять видов
предложений алгебры и алмукабалы, дополнили их и
надлежащим образом нашли частные случаи всех этих
видов, предложили правила для распознавания возмож-
ных и невозможных случаев для тех задач, среди которых
имеются невозможные, и показали, что среди большей
части этих видов не имеется невозможных [100J, рассмот-
рим доли.
58
ОМАР ХАЙЯМ
Доля вещи есть число, которое относится к единице,
как единица к этой вещи [101]. Таким образом, если вещь
есть три, ее доля есть треть, если вещь есть треть, ее доля
есть три. Точно так же, если вещь есть четыре, ее доля есть
четверть, если вещь есть четверть, ее доля ость четыре,
и вообще доля произвольного числа это доля, именуемая
по этому числу, как треть по трем, когда это число целое,
и как три по трети, когда это число дробное. Точно также
доля квадрата есть доля, именуемая по числу, равному
квадрату, будет ли это число целым или дробным; то же
самое относится к доле куба. Чтобы сделать это более
наглядно ясным, расположим эти доли в виде таблицы:
доля куба доля квадрата доля корня
1 1 1
8 4 2
единица корень квадрат куб
1 2 4 8
Доля куба относится к доле квадрата, как доля ква-
драта к доле корня, как доля корня к единице, как единица
к корню, как корень i квадиату, как квадрат к кубу.
Таким образом, эти семь последовательных степеней на-
ходятся в непрерывной пропорции. Мы будем говорить
только об уравнениях, содержащих эти степени. Что
касается доли квадрато-квадрата, доли квадрато-куба
и доли куба-куба и так далее, то они также непрерывно
пропорциональны. Но нам пет нужды упоминать их, так
как нет средств решить уравнений, содержащих эти дру-
гие степени.
Знай, что если ты рассматриваешь одну восьмую,
являющуюся долей куба, как куб, то ее долей является
восемь, что является кубом по обращению, то же самое
правило применяется к другим долям, так что четыре
степени—доля куба, доля квадрата, доля корня и еди-
ница—таковы, как куб, квадрат, корень и единица.
Например, если говорят: доля квадрата равна половпне
доли корня, это то же, как если бы сказали: квадрат
равен половине корпя. Тогда этот квадрат есть четверть,
но в действительности он является долей квадрата и иско-
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ II АЛ МУ КАБАЛЫ 59
Mbiii квадрат есть четыре, его доля—четверть п доля его
корня половина [102]. Это правило для простых [видов].
Что касается сложных [видов], то когда говорят:
доля квадрата и две доли корня равны одному с четвертые,
это то же, как если бы сказали: квадрат и два корпя рав-
ны одному с четвертью. Тогда с помощью изложенного
выше способа мы нашли бы, что корень равен половине,
а квадрат равен четверти. Но так как спрашивается о доле
квадрата и двух долях корпя, четверть, которая сначала
была квадратом, будет долей искомого квадрата и иско-
мым квадратом будет четыре [103].
То же самое для четырехчленных [видов]. Когда го-
ворят: доля куба вместо с тремя долями квадрата и пятью
долями корня равны трем и трем восьмым, это то же,
как если бы сказали: куб вместе с тремя квадратами и
пятью корнями равен трем и трем восьмым. С помощью
изложенного выше способа, основанного на конических
сечениях, мы определим ребро куба, которое будет долей
искомого корня. Поэтому положим, что это ребро отно-
сится к дайной единице, как данная единица к другой
линии. Эта линия и будет искомым ребром куба [104].
Очевидно, что имеется двадцать пять видов уравнений,
содержащих эти четыре степени, аналогичные двадцати
пяти предыдущим видам.
Что касается умножения одной из этих степеней на
другую, то это достаточно известно из сочинений алге-
браистов, и ты легко можешь это понять, вследствие чего
мы не-будем останавливаться на этом. Что же касается
уравнений, содержащих этп четыре степени и четыре
предыдущие степени, то это я сейчас покажу. Когда
говорят: куб равен десяти долям куба, т. е. десяти долям
его самого, то куб есть первая из этих семи степеней,
а доли куба—седьмая. Поэтому умножь одну на другую
и возьми корень из произведения. Результат будет сред-
ней степенью, т. е. четвертой, п будет равен искомому
кубу [105]. Для большей точности заметим, что каждое
число, умноженное па долю, именуемую по нему, обра-
зует единицу, [число], умноженное на две своих доли,
образует два, а число, умноженное па десять своих долей,
образует число десять [106]. Поэтому наш пример такой
60
ОМАР ХЛПЯМ
же, как если бы сказали: какой куб, умноженный на себя,
равен десяти; искомым кубом будет корень из десяти.
Далее определение ребра этого куба производится изло-
женным выше способом с помощью конических сечении.
Точно так же, когда говорят: какой квадрат равен шест-
надцати долям, именуемым по нему?—умножь единицу
на шестнадцать и возьми корень из произведения, кото-
рый равен четырем: это и будет искомый квадрат. Согласно
предыдущему правилу, это то же, как если бы сказали:
какой квадрат, умноженный па себя, равен шестнацати?
[107]. II точно так же, когда говорят: какой корень равен
четырем своим долям?—это то же, как если бы сказали:
какое число, умноженное на себя, образует четыре? Это
число есть два [10s].
Но когда говорят: какой квадрат равен некоторому
числу долей куба его стороны?—то решение этой задачи
не может быть выполнено с помощью изложенного нами,
так как оно зависит от определения четырех [средних
пропорциональных] линий между двумя данными линия-
ми, так, чтобы эти шесть линий последовательно находи-
лись в одном отношении [10°]. Это было показано Абу Али
ибн Хайсамом [110], да будет всевышний Аллах мило-
серден к нему! Это построение весьма трудно, и мы не
можем привести его в этом нашем сочинении. Точно так же,
когда говорят: какой куб равен некоторому числу долей
квадрата своего ребра?—нуждаются в том же предложе-
нии и невозможно решить задачу нашими способами.
II вообще, когда первая из этих семи степеней умножена
на шестую [1П], нуждаются в определении четырех линий
между двумя данными линиями так, чтобы эти шесть
линий последовательно находи шсь в непрерывной про-
порции, как это было показано Абу Али ибн Хайсамом,
да будет всевышний Аллах милосерден к нему!
II если говорят: какой куб равен шестнадцати долям
своего ребра?—первая степень умножается па пятую и
корень из корпя произведения будет ребром искомого
куба [112]. То же правило применяется всегда, когда одна
из семи степеней приравнена к такой, которая, считая от
нее, является пятой в непрерывной пропорции [113].
Что касается сложных видов, например: корень равен
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ 61
единице вместе с двумя долями корпя, то он равносилен
[виду]: квадрат равен корню вместе с числом два, так как
три последние степени пропорциональны- трем предыду-
щим. Мы решаем изложенным выше способом, и квадрат
будет равен числу четыре, которое действительно равно
своему корню вместе с числом два. Корень из этого квадра-
та есть то, что ищется; этот корень есть два и он действи-
тельно равен единице вместе с двумя долями этого корпя
[114]. Точно так же, если говорят: квадрат и два его корня
равны единице вместе с двумя долями корня, то это равно-
сильно [тому, чтобы сказать]: куб и два квадрата равны
корню и двум. Мы определим ребро куба, как мы это
показали, с помощью конических сечении и квадрат этого
ребра будет искомым квадратом [115]. Точно так же, если
говорят: корень и число два и десять долей корня равны
двадцати долям квадрата, то это равносильно [тому,
чтобы сказать]: куб и два квадрата п десять корней равны
числу двадцать. Мы определим ребро куба с помощью
конических сечений, и это будет искомый корень [11в].
Вообще произвольные четыре последовательные степени
из этпх семи степеней можно рассматривать как один из
рассмотренных выше двадцати пяти видов.
Но когда этот ряд достигает пяти, шести пли семи сте-
пеней, совсем не существует способа для решения [задачи].
Например,когда говорят: квадрат и два корня равны числу
два и двум долям квадрата, то это невозможно решить,
так как квадрат есть вторая из этих степеней, а доля ква-
драта—шестая, так что ряд распространяется на пять
степеней [117]. Это будет служить правилом и для других
случаев.
Совокупность простых видов, содержащих эти семь
степеней, состоит из двадцати одного вида, два из которых
не могут быть решены с помощью нашего метода, но тре-
буют предложения ибн Хайсама; так что остается девят-
надцать видов, разрешимых таким методом, одни с по-
мощью свойств круга, другие—с помощью свойств кони-
ческих сечений [118]. Совокупность трехчленных видов,
содержащих три последовательные степени, состоит из
пятнадцати видов; они разрешимы с помощью свойств
круга [119]. Совокупность трехчленных видов, содержащих
62
ОМАР ХАЙЯМ
четыре последовательные степени, состоит из двадцати
четырех видов: они разрешимы с помощью свойств кони-
ческих сечений [12°]. Совокупность четырехчленных видов,
содержащих четыре последовательные степени, состоит
из двадцати восьми видов; они разрешимы с помощью
конических сечений [121]. Таким образом, совокупность
видов, содержащих эти семь степеней и разрешимых с по-
мощью методов, изложенных нами, состоит из восьмиде-
сяти шести видов, причем из них были упомянуты в сочи-
нениях моих предшественников только шесть видов.
Для того, кто опирается на изложенные предложения и
в то же время обладает природной силой ума и опытом
в задачах, не будет ничего скрыто в задачах, представляв-
ших трудности для предшественников. На этом нам пора
окончить этот трактат, вознося хвалу всевышнему Аллаху
и благословляя всех его пророков.
Это [нужно добавить].
Через пять лет после составления этого трактата один
человек, малознакомый с геометрией, рассказал мне, что
геометр Абу-л-Джуд Мохаммед ибн Лейс—да будет Аллах
милосерден к нему!—написал трактат о перечислении
этих видов и об анализе большинства с помощью кониче-
ских сечений, однако без полного рассмотрения их слу-
чаев и без различения возможных задач от невозможных,
давая только то, к чему приводит рассмотрение отдель-
ных задач этих видов. Это весьма вероятно, так как два
вида, о которых мы говорили, что они принадлежат одному
[из моих предшественников], приписываются ему. Ты
можешь найти их среди сочинений Абу-л-Джуда, перепи-
санных Хазими Хорезмих).
Один из этих видов—трехчленный, а именно: куб
и число равны квадратам. В нем имеются различные слу-
чаи, причем эти случаи подчинены некоторым условиям,
как показано в этом трактате. Но он не излагает этих усло-
вий полностью, а затем он снова ошибается в связи с этим
видом, утверждая, что если ребро куба, равного данному
х) Ал-Хазпмй ал-Хуваризмй.
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ 63
числу, больше половины числа квадратов, задача невоз-
можна. Но это не так, как мы это доказали. Причина этого
состоит в том, что он не заметил, что два конических сече-
ния в этом случае могут касаться или пересекаться.
Второй вид—четырехчленный, а именно: куб вместе
с числом и ребрами равен квадратам, и, клянусь жизнью,
он знал эту задачу лучше всех, тогда как геометры были
бессильны перед этой задачей. Однако эта задача является
частной, и у этого вида имеются различные случаи, в за-
висимости от условий, и среди его задач имеются невоз-
можные. По он не дал полного изложения, которое сле-
довало дать. Я сказал все это для того, чтобы то, кому
встретятся оба трактата,—если только то, что мы расска-
зали об этом ученом, точно,—смогли бы сравнить этот
мой трактат с тем, который приписывается этому ученому.
Я думаю, что я не пренебрег никаким усилием для того,
чтобы сделать мое изложение полным и в то же время
кратким, чтобы избежать многословия. Если бы я захотел,
я легко мог бы дать примеры каждого вида и их случаев.
Но, боясь многословия, я ограничился изложением общих
правил, доверяя уму учащегося, так как тот, кто хорошо
представляет этот трактат, не будет остановлен частными
примерами и относящимся к ним подбором. К успеху при-
водит содействие Аллаха, он—наше прибежище во всех
случаях.
Добавлю следующее. Один из наших друзей настойчиво
просил нас изложить ошибку Абу-л-Джуда Мохаммеда
ибн Ленса при рассмотрении пятого из шести трехчленных
видов, разрешимых с помощью конических сечений. Это:
куб и число равны квадратам.
Абу-л-Джуд говорит: положил! число квадратов рав-
ным линии АВ (черт. 30) и отложим па АВ отрезок ВС,
равный ребру куба, который равен числу. Линия ВС будет
либо равна С А, либо больше ее, либо меньше.
Он говорит (черт. 30, а): когда С А равна ВС, дополним
-(квадратную] поверхность СЕ и проведем через D гипер-
болу, которую не встречают [линии] АВ, BE. Построим
также параболу, вершина которой есть точка А, ось—АВ,
а прямая сторона ВС. Эта парабола необходимо пройдет
через точку D, как мы это доказали. Далее он думал, что
64
ОМАР ХАЙЯМ
два конических сечения касаются в точке D. Но в этом он
ошибался, так как они необходимо пересекаются.
Доказательство. Сделаем BG равной В А
н соединим AG. Тогда AG необходимо пройдет через точку
D и будет [своей частью AD] внутри параболы. Угол ADB
будет прямыми угол ABD будет равен углу GBD. Известно,
что ось гиперболы делит угол, объемлющий гиперболу
[122], пополам. Поэтому линия BDF есть ось гиперболы,
проходящей через D. Но линия AD параллельна ордина-
там [гиперболы], вследствие чего она касается гиперболы.
Отсюда необходимо следует, что парабола пересекает
гиперболу п не может находиться между гиперболой и каса-
тельной к гиперболе, так как если бы парабола касалась
этой касательной к гиперболе, лпнип, проведенные из
точки D к произвольной точке дуги AD [параболы], попали
бы между параболой и ее касательной, что невозможно.
Отсюда с необходимостью следует, что парабола пересе-
кает гиперболу еще в другой точке, находящейся между А
и D. Это то, что мы хотели показать. Таким образом, этот
ученый ошибся, считая, что эти два конических сечения
необходимо касаются в точке D.
о доказательствах задач алгебры и алмукабалы 65
Далее, что касается слов: когда ВС больше С А, задача
•невозможна, так как эти два конических сечения не встре-
чаются,—то это утверждение ошибочно. Напротив, они
вполне могут встретиться, пересекаясь или касаясь,
в одной или двух точках, находящихся между А и I), как
мы показали выше. Для этого имеется более общее доказа-
тельство, чем то, которое мы предложили.
Пусть число квадратов будет АВ, ребро куба, [равного
данному числу], ВС, причем оио больше половины АВ.
Дополним [поверхность] СЕ и построим два конических
сечения способом, который ты уже знаешь (черт. 30, б).
Пусть АВ равна десяти, a GB—шести. Произведение ее
квадрата па GA равно ста сорока четырем. Это будет дан-
ное число; его ребро, [т. о. ребро куба, равного этому
числу], будет ВС и ВС необходимо будет больше пяти,
так как куб пяти есть сто двадцать пять. Тогда тело, осно-
вание которого есть квадрат GB, а высота GA, равно
кубу ВС. Поэтому их основания обратно пропорциональны
их высотам, т. е. квадрат GB относится к квадрату ВС,
как ВС к GA. Восстановим в G перпендикуляр, который
пересечет гиперболу в точке II, и дополним [поверхность]
НВ. Поверхность НВ будет равна СЕ. Поэтому их стороны
будут обратно пропорциональны, т. е. GB относится к ВС,
как ВС к GII. Поэтому квадрат GB относится к квадрату
ВС, как GB к GH. Но это отношение было равно отноше-
нию ВС к GA п GB относится к G1I, как ВС к GA. Будет
иметь место также и переставленная пропорция [123].
Поэтому четыре линии GB, ВС, Gil, GA последовательно
пропорциональны и квадрат GII равен произведению ВС
на GA. По ВС есть прямая сторона параболы, для которой
АВ—ось, а А—вершина; следовательно, GH есть орди-
ната этой параболы и точка II будет необходимо находиться
на ее дуге. Но II уже находилась па дуге гиперболы, сле-
довательно, эти два конических сечения встречаются и этим
обнаружена ошибка Абу-л-Джуда, утверждавшего, что
эти два конических сечения не встречаются. Это то, что
мы хотели [показать].
Для того чтобы сделать это более ясным, положим АВ
равной восьмидесяти п ВС, являющуюся ребром куба,
равного данному числу, равной сорока одному, так что
5 Историно-матем. исследования
66
ОМАР ХАЙЯМ
она будет больше АС. Точка D будет находиться вне пара-
болы (черт. 30, в). Пусть парабола проходит через точку L.
Тогда линия LC будет равна корню из тысячи пятисот
девяноста девяти, что меньше сорока па небольшое коли-
чество. Сделаем FC равной СВ, В11 равной BF и соединим
FH. Тогда, как мы доказали, F11 будет касательной к ги-
перболе. Отложим отрезок АК, равный четверти АС,
и восстановим в К перпендикуляр, который пересечет
параболу в точке Л/. Квадрат LC будет относиться к ква-
драту КМ, как АС к АК, так как две первые линии являют-
ся ординатами параболы, что было доказано Аполлонием
в 19-м предложении первой книги [124]. Поэтому КМ
будет половиной LC, т. е. равна двадцати без небольшого
количества. Далее CF равно сорока одному, АК—девяти
и трем четвертям, a AF—двум. Поэтому КС будет равно
одиннадцати и трем четвертям, так как KG относится
к KF, как 11В к BF, а эти две линии равны. Отсюда сле-
дует, что линия GM будет больше восьми. Она нахо-
дится по эту сторону касательной к гиперболе и в этом
положении необходимо будет внутри гиперболы, так что
эти два конических сечения не встречаются, когда
ВС больше С А. Но это не во всех случаях обязательно и
Абу-л-Джуд ошибся в своем утверждении [125]. Пойми
это. Если хочешь, можешь найти числовые примеры.
Эта задача приводит к задаче приложения к данной
линии тела, которое за вычетом куба равно данному дру-
гому телу. Поэтому, если ребро куба, равного данному
телу, равно половине этой линии или меньше ее, построе-
ние необходимо возможно, по если оно больше ее, в задаче
может быть невозможное в соответствии с тем, что мы тебе
показали [126].
Аллах облегчает разрешение этих трудностей своими
благодеяниями и великодушием.
Трактат закончен в полдень воскресенья двадцать
третьего [числа] месяца первого рабпя... года [127].
Хвала Аллаху, единственному и всеудовлетворяющему.
Поклон избранным им его рабам.
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ
КНИГИ ЕВКЛИДА
ТРАКТАТ В ТРЕХ КНИГАХ
СОЧИНЕНИЕ СЛАВНЕЙШЕГО ШЕЙХА, ИМАМА
«ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ИСТИНЫ»
АБУ-Л-ФАТХА ОМАРА ИБН ИБРАГИМА ХАЙЯМА1)
Во имя Аллаха всемилостивого, всемилосердного!
Хвала Аллаху милостивому и щедрому, мир избран-
ным его рабам и в особенности главе пророков Мохаммеду
и всему его святому потомству.
Изучение наук и постижение их с помощью истинных
доказательств есть одна из вещей, необходимых тому,
кто хочет спасения и вечного счастья; в особенности это
относится к общим законам п правилам, к которым при-
бегают для изучения воскресения, доказательства суще-
ствования души и ее бессмертия, постижения качеств
всевышнего Аллаха и ангелов, порядка творения и дока-
зательства пророчеств господина, повелениям и запре-
щениям которого повинуются все творения в соответствии
с соизволением всевышнего Аллаха и силами людей.
Что же касается частных предметов, то их нельзя рас-
положить в одном порядке, так как их причины бес-
численны, вследствие чего разум творений не может
х) Рисала фй шарх ма ашкал мин мусадират китаб Уклйдас,
салас макалат, таснйф аш-шейх ал-имам ал-аджалл худжат ал-
хакк Абй-л-Фатх 'Умар ибн Ибрахим ал-Хаййамй.
5*
68
ОМАР ХАЙЯМ
попять их полностью,—можно понять только то, что
постигается чувствами, воображением и мыслью.
Раздел философии, называемый математикой, является
самым легким нз всех разделов с точки зрения предста-
вления и доказательств. Что касается арифметики, это
совершенно ясно. Что же касается геометрии, то это
также ясно для того, кто обладает здравым смыслом, про-
ницательным умом и острой интуицией. Этот раздел фило-
софии сообщает нам гибкость, укрепляет соображение,
приучает пас ненавидеть недоказанное, так как его ис-
ходные положения общеизвестны, доказательства лег-
ки, в нем воображение помогает разуму и мало противо-
речивого .
Из логической пауки, из «Второй Аналитики» []] изве-
стно, что в каждом доказывающем искусстве имеется пред-
мет, в котором рассматриваются как существенные, так
и случайные свойства. В нем имеются также предпосылки,
являющиеся исходными положениями при доказатель-
ствах,—это пли аксиома, как целое больше части, пли
доказанное в другом искусстве, или постулат, не доказы-
ваемый в этом искусстве, но служащий для определения
его предмета и [доказательств] предложений о нем. Если
же действительное определение предмета и положений
искусства невозможно, его все же можно описать неко-
торым удовлетворительным образом.
Эти вопросы весьма подробно разбираются в логиче-
ском искусстве, во «Второй Аналитике», куда и следует
обращаться.
>1 всегда страстно желал тщательно рассмотреть эти
науки, исследовать их и различить одни их части от дру-
гих, и в особенности сочинение «Начала геометрии», так
как оно является основанием всей математики, а прин-
ципы геометрии являются принципами всей математики.
Что касается точки, линии, поверхности, угла, круга,
прямой липни, плоской поверхности и тому подобных
принципов, то их установлением и истинным определе-
нием занимаются то, кто владеет общей наукой философии.
Точно так же такие предпосылки, как деление величии
до бесконечности и проведение из данной точки к любой
другой точке прямой линии и тому подобное, не являются
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 69
аксиомами и не очевидны без доказательства. Это также
дело философа.
Что же касается таких постулатов, как [о существова-
нии] квадрата], пятпуголышк[а], треугольника] п тому
подобное, автор сочинения дает в начале только поминаль-
ные определения [этих понятий] и обосновывает эти посту-
латы в самой книге [2]. В то же время он приводит без
всякого обоснования важный! постулат: всякие две прямые
линии, пересекающие прямую линию в двух точках
с одной стороны, с которой [их внутренние углы] меньше
двух прямых углов, встречаются с этой стороны [3]. Он
считает это очевидным, но этот вопрос геометрии может
быть доказан только в пей. Это необходимо для геометра,
который, хочет он этого или не хочет, имеет право осно-
вывать что-либо на нем только после его доказательства.
Мне известны многие, размышлявшие над этим сочине-
нием и разрешившие его неясности, но совершенно нс
уделившие внимания этому вопросу, вследствие его труд-
ности, как, например, Героп [4] и Евтокнй [5] из древних.
Что же касается таких позднейших ученых, как Хазин [®],
Шанни [7], Табризи [8], которые пытались доказать
это [т постулат], то никому из них не удалось представить
строгого доказательства, каждый из них основывался
на том, что является не более легким допущением, чем
доказываемое. Если бы экземпляры этих сочинений не
были так многочисленны и если бы знакомых с этими сочи-
нениями не было так много, я привел бы здесь это и пока-
зал бы их постулаты и причины их ошибок; ты очень
легко можешь узнать это из их строк.
Далее мне известно сочинение Абу Али ибн Хайсама [9],
Да будет Аллах милосерден к нему, озаглавленное «Раз-
решение сомнений в первой книге» [«Начал»]. Вначале
я не сомневался, что он занимался этой предпосылкой
и доказал ее, но когда я с радостью стал читать это сочи-
нение, я обнаружил, что автор намеревался поместить
этот постулат в начале книги среди других принципов,
не нуждающихся в доказательстве, что привело его к чрез-
ычаииым затруднениям. Он изменил определение парал-
этог Н°СТИ И сделал странные вещи, совершенно не в духе
искусства. В частности, он говорил: если прямая
70
ОМАР ХАЙЯМ
линия, перпендикулярная к другой [прямой] линии,
движется по ней, сохраняя перпендикулярность к этой
линии, то ее второй конец образует прямую линию и обра-
зованная таким образом линия параллельна неподвиж-
ной линии. Далее он берет эти две линии, двигает их,
что совершенно не в духе этого искусства, и создает эти
трудности и неприемлемые вещи для того, чтобы оправ-
дать помещение этого постулата в начале книги [10]. Эти
слова ни в каком случае не имеют отношения к геометрии.
Как может линия двигаться по двум линиям, сохраняя
перпендикулярность к ним, и откуда следует возмож-
ность этого? Какое отношение имеется между геометрией
и движением и что следует понимать под движением?
Согласно ученым несомненно, что линия может существо-
вать только на поверхности, а поверхность—в теле, т. е.
линия может быть только в теле и не может предшествовать
поверхности. Как же опа может двигаться отвлеченно
от ее предмета? Как линия может быть образована дви-
жением точки, в то время как она предшествует точке
по своему существу и по своему существованию? I11], I12].
Он [ибн Хайсам] говорит, что Евклид в начале одинна-
дцатой книги определяет сферу подобным образом, именно,
что он [Евклид] говорит: сфера получается при вращении
полукруга после его возвращения в исходное положение
[13]. В ответ мы скажем, что известно действительно ясное
определение сферы—она есть телесная фигура, ограни-
ченная одной поверхностью, внутри которой имеется
такая точка, что все прямые линии, выходящие из нее
к окружающей поверхности, равны. Но Евклид по небреж-
ности опустил это определение. В книгах о телах много
небрежностей и доверия к опыту изучающего, приобре-
тенному им до занятий этим. Если бы это определение
имело какой-нибудь смысл, мы могли бы определить круг
следующим образом: круг есть плоская фигура, полу-
чающаяся при вращении прямой на плоской поверхности,
причем один ее конец закреплен на своем месте, а другой
возвращается в свое исходное положение. Но, отвергая
определения такого рода, дающие место движению, и
устраняя все, что не может быть включено в основания
этого искусства, мы должны отвергнуть такие сочинения,
КОММЕНТАРИИ к ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 71
бы не впасть в противоречие с законами доказательств,
ЧТ° вилами и общими понятиями книг по логике. Далее,
П ределение сферы Евклида не совпадает с определением
этого мужа [ибп Хайсама!, так как Евклид знал эту вещь
и не недопустимым образом, эта вещь известна многими
другими способами, его неприемлемое определеиие не
ставится в качестве предпосылки значительного дела и он
переходит от этого определения к лучшему, в то время как
этот муж [ибн Хайсам] старается сделать этот вид непри-
емлемого определения предпосылкой того, что нуждается
в доказательстве. Между определениями этих двух мужей
имеется большая разница. Таковы неясности в начале
первой книги.
Что касается неясностей в начале пятой книги, в кото-
рой говорится об отношениях п их видах и о пропорциях
и их разновидностях, они состоят в том, что неизвестен
истинный смысл пропорции с точки зрения геометрии, о ко-
тором мы будем говорить во второй книге этого трактата.
Мы не нашли никого, ни среди древних, ни среди
позднейших, кто говорил бы о смысле пропорции удовле-
творительно с философской точки зрения. Кое-что я нашел
только у Абу-л-Аббаса Табризи, который много говорил
о смысле отношения и пропорции. Вначале я думал, что
его изложение удовлетворительно, но прочтя и обдумав
его, я увидел, что оно нуждается во многих предпосылках,
которые опускаются или не упоминаются, так что оно
также страдает многими недостатками, о Аллах, может
быть, за счет отсутствия нескольких страниц, которые
мы, если будет угодно Аллаху, восполним.
В начале этой главы он [Евклид] помещает без дока-
зательства утверждение о составных отношениях, говоря:
Для всяких трех величин отношение первой к третьей
составлено из отношения первой ко второй и отношения
второй к. третьей [14].
Заметив недостатки в этих трех местах, невразуми-
тельно изложенных и не исправленных, я решил их
исправить. Сейчас я молю всевышнего Аллаха о жизни
и успехе и крепко держусь за веревку его помощи. Я соста-
вил этот трактат в трех книгах: первая из них—о парал-
лельных и разрешении относящихся к ним сомнений,
72
ОМАР ХАЙЯМ
вторая—об истинном смысле отношений величин и об
их пропорциях, третья—о составном отношении и всем,
что к нему относится.
Аллах помогает нам во всех случаях, он наше прибе-
жище, паша надежда, наш лучший помощник.
ПЕРВАЯ КНИГА
ОБ ИСТИННОМ СМЫСЛЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
II ОБ ИЗВЕСТНЫХ СОМНЕНИЯХ
Во имя Аллаха всемилостивого и всемплосердного.
Успех спасения в руке Аллаха.
Необходимо убедиться в том, что причина, из-за которой
Евклид не приводит доказательства этой предпосылки
и помещает ее в начале, состоит в
его воре в заимствованные у фи-
лософа принципы [15] о смысле
прямой линии и прямолинейного
угла, когда он считает, что при-
чиной встречи двух прямых линий
является то, что он поместил в на-
чале.
Пример. Линия АВ (черт. 1)—
прямая, а линия GC1I пересекает
со под прямым углом в точке С,
точно так же линия FDK—в точке
D и LEM—в точке Е. Этот прямой угол равен двум дру-
гим. Поэтому линия GC не может быть наклонена к АВ
ни в какую сторону, как бы мы ни продолжали ее в обоих
направлениях. То же самое по отношению к DF. Поэтому
линия DF не встречает липни GC, так как если бы она
встречала се, одна из этих линий или обе были бы на-
клонны к липин АВ с одной из ее сторон [16]. То же
относится к НС, KD и ME.
Если мы предположим, что CD и DE равны, мы заклю-
чаем, что поверхность GCDF, т. е. место, ограниченное
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 73
ми двумя линиями, налагается на поверхность FDEL.
Но если две линии GC, FD встречаются, то и две линии
FS EL пересекаются в той же точке. Тоже самое произо-
шло бы со всеми линиями, восстановленными под прямыми
углами, если-их основания равны. То же самое имеет место
с другой стороны, т. е. для НС, DK и т. д.
Отсюда следует, что первое утверждение [то, что пря-
мые, перпендикулярные к одной прямой, пересекаются]
невозможно [1' ].
Из этого утверждения следует также, что две липни
GH, FD шт расходятся, пи сходятся, так как и из расхо-
ждения и их схождения также следовало бы указанное
невозможное. Поэтому линии, перпендикулярные к АВ,
параллельны и расстояние между ними постоянно, т. е.
они не расходятся и не сходятся [18].
Далее, если к одной из двух сторон проведена наклон-
ная линия, например, линия ES к стороне АЕ, она необ-
ходимо встретится с FD, так как ES и EL расходятся и
расстояние между ними достигает [любого] заданного
предела, а угол SED меньше прямого, вследствие чего
два угла SED, SDE [вместе] меньше двух прямых [19].
Поэтому Евклид считал, что причиной встречи прямых
ES и SD является то, что дна угла меньше двух прямых.
Считая так, он был прав, ио это может быть доказано
только с помощью дополнительных разъяснений. Такова
причина, по которой Евклид считал эту предпосылку оче-
видной и основывался па ней без доказательства.
Клянусь жизнью, эти рассуждения — полностью вооб-
ражаемые, но здесь необходима помощь разума и это его
право. Можно привести доказательство и против этого,
хотя оно лишь похоже на довод, как мы уже упоминали.
Это доказательство недостаточно и не всесторонне, так как
в начале он [Евклид] помещает целый ряд фактов, не
являющихся аксиомами, по оставляемых им без доказа-
тельства.
Как Евклид позволил себе согласно своему убежде-
нию поместить это утверждение в начале, в то время как
он Доказывал гораздо более простые факты, например,
третьей книге то, что равные центральные углы высекают
па окружностях разных кругов равные дуги? [20]. Это
74
ОМАР ХАЙЯМ
хорошо известно из принципов, так как равные круги
могут быть наложены друг на друга, так же как равные
углы, но при этом дуги необходимо наложатся друг на
друга, т. е. они равны. Кто доказывал таким образом,
не нуждается в указанном доказательстве.
Или, например, его доказательство в пятой книге:
одна величина к двум равным величинам имеет то же
отношение I21]. Если отношение к величине образуется
с тон точки зрения, что эта величина является мерой, то
зачем нужно доказательство? Потому что две равные
величины с той точкп зрения, что они являются мерой,
одинаковы и между [ними] нет никакой разницы. С этой
точки зрения они действительно тождественны и разли-
чие между ними является только различием счета [22].
Пойми это.
Точно так же в книгах о телах он опускает многое,
нуждающееся в доказательстве, однако эти предпосылки
не особенно важны, иначе он доказал бы их. Мы займемся
ими во вторую очередь и с помощью Аллаха исправим
эти книги.
Среди тех, которые занимались этой книгой, Хадж-
джадж [23] просто перевел эту книгу, не исправляя ее.
Что же касается Сабита I24], то он также по существу
только переводчик, хотя он и сделал несколько испра-
влений.
Те же, которые намеревались комментировать эту
книгу и разрешить ее сомнения, как Герои Механик и Евто-
кпй и другие из древних и Абу-л-Аббас Табризи и другие
из позднейших, должны были привести доказательства
подобных утверждений и глубоко продумать их, а на самом
деле они только опровергали прямое утверждение обрат-
ным или обратное прямым. Если известно действительное
доказательство чего-нибудь, это доказательство годится
и для прямого и для обратного утверждения. Но какой
смысл имеет опровергать прямым утверждением обрат-
ное и оставлять эти утверждения без доказательства?
Причина ошибки позднейших ученых в доказательстве
этой предпосылки состоит в том, что они не учитывали
принципов, заимствованных у философа, и не оспаривали
количества [утверждений], приведенных Евклидом в на-
коммента^!!
К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 75
ле перв01"1 книги, в то время как это количество недо-
43 точно и .имеется много необходимых утверждений, кото-
должны предшествовать [изложению] геометрии.
Р Например, среди них [принцип 1]: величины
можно делить до бесконечности, т. е. они не состоят из
неделимых [251. Это философское утверждение необхо-
димо геометру для его искусства. Не следует думать, что
в нем имеется порочный круг. Поскольку философ принял
круг и прямую линию и другие принципы геометрии, он
может привести для этого «доказательство того, что это
так», но не «доказательство того, почему это так» [26], [27],
поэтому по существу это утверждение должно быть пред-
посылкой геометрии, а не ее составной частью.
II среди них [принцип 2]: прямую линию можно
продолжать до бесконечности [28]. Но хотя философ дока-
зывает, что все тела ограничены и вне них нет ни пустоты
ни полноты, он в то же время указывает обстоятельства,
когда геометр имеет право сказать: это бесконечно или
может быть продолжено до бесконечности [29].
И среди них [принцип 3]: всякие две пересекаю-
щиеся прямые линии раскрываются и расходятся по мере
удаления от [вершины] угла пересечения [30].
И среди них [принцип 4]: две сходящиеся прямые
линии пересекаются и невозможно, чтобы две сходящиеся
прямые линии расходились в направлении схожде-
ния [31].
Эти последние утверждения можно доказать с помощью
«доказательства того, что это так», геометрическим путем,
как ты легко сообразишь [32].
И среди них [п р и н ц и п 5]: из двух неравных огра-
ниченных величин меньшую можно взять с такой крат-
ностью, что она превзойдет большую [33]. Может быть,
это утверждение является аксиомой такого рода, что ее
можно постигнуть только после размышления.
Имеются и другие ясные предпосылки и аксиомы. Но
Евклид не привел большинства из них в начале своей
книги, в то время, как он привел совершенно излишние
аксиомы, которые не следовало приводить вовсе,—пли же
нужно было приводить все аксиомы, не упуская ни одной,
Даже если они совершенно очевидны.
76
ОМАР ХАЙЯМ
Мы указали выше причины ошибки Абу Али, вслед-
ствие чего нам не нужно делать это второй раз.
Теперь мы должны принять двадцать восемь предло-
жении книги «Начала», так как они не нуждаются в этой
предпосылке. По в ней нуждается двадцать девятое пред-
ложение, выражающее закономерность параллельных
линий. Поэтому тот, кто хочет, пусть поставит первое
предложение этой книги вместо двадцать девятого пред-
ложения первой книги, включая его, если захочет
Аллах, в содержание книги.
Здесь ты увидишь истинное «доказательство того,
почему это так» при помощи и благосклонности Аллаха;
кто прибегает к нему, он руководит
С пм п удовлетворяет его.
Пр е д л о ж е н и е 1. (29 [пред-
ложенпе I книги] «Начал»).
Дана [прямая] линия АВ (черт. 2).
Проведем линию АС, перпендикуляр-
пую АВ, и построим линию BD, так-
Черт. 2. же перпендикулярную АВ и равную
линии АС. Они параллельны, как
показано Евклидом в предложении 26 [34]. Соединим
CD [Зо]. Я утверждаю, что угол ACD равен углу BDC.
Доказательство. Соединим СВ и AD. Тогда,
так как АС равна BD, АВ общая, а углы А и В прямые,
то основания AD и СВ равны и другие углы равны другим
углам [36]. Поэтому углы ЕАВ и ЕВА равны и линии АЕ
и ЕВ равны, так же как оставшиеся DE и ЕС. Поэтому угол
EDC равен [углу] ECD, [угол] АСВ равен [углу] ADB,
и углы ACD и CDB равны. Это то, что мы хотели
показать.
Отсюда следует, что если углы С АВ и DBA равны и
линии АС и BD также равны, углы BDC и ACD необхо-
димо равны.
Предложение 2. (30 [предложение I книги]
«Начал»).
Рассмотрим снова фигуру ABCD (черт. 3), разделим АВ
пополам в £ и проведем EG перпендикулярно к АВ.
Я утверждаю, что CG равна GD ц что EG перпендику-
лярна DC.
ijf. У ЧАЦ *р»Л-** & у.
JI */£*• j>«l »•* J- -jU-j»J)oyta. j U>l
ji j UjJVIj fttUI оЬдЛ у C-.J V<l
jl, JU ^X\\, . ib>r oyiulaw l«je. cJdljbJI
CA UJ , ^%-У1 4 if* 9 **» «.L£=»
•Й" У, J* *,«£>•$»
y>jXj/y U*KJ)^ 9 j**
J° 0& •->-? 9 «A>.J!^ уМ*/ 9
uwi, uyjl jb fZ^\»J3 ‘«j yen, j iwb jtU
L4U4 <<yS* । •**> Jj£ й^х Az У & J'
Ул-/* J*-l ^zj <—aitM^I fXULj'/'» Li Lfc-ji jK"
tfjUy МДЛ.Д* jU/ j y>WWi U <
j-^J yjJBl **J9^ «J-^U^J6 j*.»U2bt f »Sj»LN
'rJ« JllL-llJ» мДЙДь yC JjVU-i.l
if*j« C«J j 4 \У У«> f^iS /mKJIJ Li '.i^.S' *-Zjt
У ) <«L*J ttre. *?-& <-* Д* j f-Х У'-*
j) ‘«t** W* «>• ,Хк »Л »>••«! •J*1* <Z »Z—*W<
(j>b yi.> |^«иЛЬ»Лд lil 9»-^^ *^t
. P >ZV ')* *5аЯ “** cX*- 4:4 **Ъ<
ц- , Ubrl M- ‘-Я * v> 3*4,
«ул & 9 ^>4^э 4*Х*« «Л 4—> ba. o' <£-»
vkTj- Jfl €%У э Ur A ^J, **e. (1-гУ1 0» >
. »l*wyu JI £ A 13* J .tj« jJ. 1д* JA trA*» 3 >!
tLM, tlAVI JI 1-4.» оЛЕ. Jik / J UL ,
^jfUUl £~Л ;A>JI J V*> *>ъ L*4i- J
.J’WIJI ois^«* £,’йМ^ Зл-Ъ^ыь W
v.A «> ц! Ui^ y^*. J «X- «>*^1 ЦМ1 ♦•** j
(^JL'lc* v-*ci» <у.^д** «X *3' «Л4 *** l*^" v*x*e
JJ j -лТЯ у J* jl «А.
*Jjl с4*Д« оХч > чЗ"^1 •*: ^1 «лА у *3)1 »-л?1
* 1^.\-rC5Cj)j > ^*f*L 4*Ь р.1 (/•ДИ ) •!•** у
• ^-.1 и? уЦ У J у.*1/* «У > ,Л“ *rfc Qr*^ J*
**’ l/>^ «Л O’ 9 l»x •‘•Ч <й’л* У “:*?• *-« Jt P
. If u/'i JI U <>l> Xi. ok ^1 b* fJui Ui tyri
Ц.1> J)-M »jL:X у 'Л&»с , cU Д_ J ,
«/5-*^ J_U»vJI i*‘l J «4^J| r<*_* <—Г Lm. ft
e'c i’A’HI •»>r Jl-*'.^ i
j^JI , £_bl jT-J! *>., JOJI ..U у J,y| J5^|
lj*) .rtlclljl J V>-b oX- J* Jpfl 3iUly
у>*л J**’l !** a4 J^1 Уа**1 A Jl J y*
. .L5 ., .1д> vk /у у J Mjy
H '4-»« J OJ
Пять «принципов, заимствованных у философа». (Фотоснимок из тегеранского издания
трактата Хайяма «Комментарии к трудным постулатам книги Евклида».)
(vi) bj. -JjVi j&ui b-Ab (* *)j (^) CMS Wj( ’) tub} (~.)
(~i) > (-1) } [rj]
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 77
Доказательство. Соединим DE и ЕС. Так как
ЛС равна BD, АЕ равна ЕВ и углы Л, В прямые, то осно-
вания DE и ЕС равны и углы ЛЕС и BED также равны
[37] и оставшиеся [углы] DEG и GEC также равны и линия
DE равна ЕС, a EG общая, откуда следует, что треуголь-
ник [С ЕЕ] равен треугольнику [GED] и их остальные
соответственные стороны и углы
также равны. Поэтому DG равна
GC и угол DGE равен углу С GE
и оба они прямые. Это то, что мы
хотели показать.
Предложение 3. (31
[предложение I книги] «Начал»).
Рассмотрим снова фигуру Л BCD
(порт. 4). Я утверждаю, что углы
ACD и BDC прямые.
Черт. 3.
Доказательство. Разделим ЛВ пополам в Е, восста-
новим перпендикуляр EG, продолжим его прямо и сделаем
GK равной GE и проведем 11KF перпендикулярно к ЕК.
Далее продолжим ЛС и BD. Они пересекут 1IKF в II
и F, так как Л С и КА параллельны [3S], а расстояние между
двумя параллельными пе из-
меняется [31)], и если мы про-
должим АС до бесконечности
параллельно линии ЕК и
продолжим НК до бесконеч-
ности параллельно линии GC,
они, очевидно, необходимо
встретятся [40]. Соединим СК,
DK. Тогда, так как линия
DG равна GC, a GK общая
и в то же время перпендику-
лярна [к DG п GC], то основания DK и КС равны, и
углы GCK и GDK равны [41]. Поэтому углы ИСК и
KDF также равны [42] и дополнительные углы DKG и
CKG равны, и оставшиеся углы КНС и KFD также
равны. Поэтому, так как линия DK равна КС [43], то СН
равна DF и НК равна KF. Если углы ACD и BDC пря-
мые, наша цель достигнута. Если же они пе прямые, то
каждый из них пли меньше прямого или больше его.
?8
ОМАР ХАПЯМ
Пусть сначала они меньше прямого. Если мы наложим
поверхность CF на поверхность СВ, от GK наложится
на GE, так же как 11F на АВ, причем 11F будет равна
линии Лг5, так как угол ПСG больше угла ACG и линия JIF
больше АВ. Точно так же, если эти две липни [СИ и DF]
продолжать до бесконечности, то каждая из соединяющих
[их] линий будет больше, чем другая, и так будет до бес-
конечности. Две линии AC, BD при продолжении в дру-
гом направлении будут расходиться, что доказывается
совершенно так же, так как положения по обе стороны
при наложении необходимо совпадают. Поэтому две пря-
мые липни пересекают под прямыми углами прямую1),
а затем по обе стороны от этой линии расстояние между
ними увеличивается. Но это в силу аксиомы несовместимо
с понятием прямизны, так как между этими двумя линиями
имеется определенное расстояние—этот случай рассмат-
ривался философом I44].
Пусть теперь каждый из них [углов ACD и BDC]
больше прямого. Тогда при наложении линия JIF будет
равна LM, которая будет меньше АВ, так же как все соеди-
няющие линии и этн две линии будут сходиться. С другой
стороны, также будет схождение, так как положения по
обе стороны при наложении совпадают. Если ты немного
подумаешь, ты это поймешь. По это, согласно вышеска-
занному, опять невозможно [45].
Поэтому две линии [ИВ и F1I] не могут быть различ-
ными, т. е. они равны. Так как они равны, два угла
также равны, вследствие чего они являются прямыми.
Ты поймешь это при небольшом размышлении. Поэтому,
чтобы избежать многословия, мы оставим этот вопрос.
Тот, кто захочет провести подробное доказательство,
сможет это сделать, не нуждаясь в нашей помощи.
Ошибка позднейших [ученых] в доказательстве этой
предпосылки происходит от того, что они не учитывали
эту аксиому, даже если ее подлежащее и сказуемое пред-
ставлялись правильно. II те, которые обладают глубокой
г) В оригинале «мустакнмейп»—«две прямые»,—очевидно, опис-
ка, что видно из того, что далее эта прямая называется «залнка-л-
-хатт»—«эта линия».
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА ?9
интуицией и проницательным умом, могут не учитывать
многих аксиом из-за того, что они не представляют их
подлежащих и сказуемых. Но первичность ц истинность
утверждения—не только в представлении его подлежа-
щего и сказуемого, так как справедливость или неспра-
ведливость утверждения зависит не от самих подлежащего
и сказуемого, а только от связи между ними. В этом состоит
причина, по которой аксиома может не учитываться. Пой-
ми это. Если ты представишь себе _____________
истину круга, угла и отношения
величин, то после небольшого раз- / ~------ \
мышления ты поймешь, что цен- / у \
тральные углы относятся так же, I I А \ |
как соответственные дуги, что I I J I
было показано Евклидом в пред- \ V/ /
ложении 36 шестой книги (46], яв- \ у у
ляющемся последним предложе-
нием этой книги. L
К аксиомам следует отнести и Черт. 5.
те, которые уясняются после пред-
ставления их частей, доказательство которых сводится
к напоминанию и замечанию без посредствующих зве-
ньев, так как то, что нуждается в посредствующих
звеньях, должно быть доказано.
Пойми, что хотя эти слова нс входят в цель этого трак-
тата, они чрезвычайно важны и полезны, вследствие чего
мы привели их здесь. Я добавлю подробное разъяснение
этого вопроса для того, чтобы большинство людей это
поняли.
Две линии АВ, АС (черт. 5) пересекаются в точке А.
Я утверждаю, что они раскрываются и расходятся до
бесконечности. Для этого сделаем /1 центром круга АВС
на расстоянии АВ. Расстояние между двумя линиями при
их встрече с кругом есть линия ВС. Продолжим АВ прямо
До D и опишем круг ADE. Далее продолжим АС прямо
до ее пересечения с кругом [AZZE] в точке Е и соединим
&Е. Тогда расстояние между двумя линиями есть DE,
причем линия DE больше ВС, и если представить себе
смысл круга, угла и прямой линии, то, без сомнения, это—
аксиома. Но тот, кто захочет ее доказать, должен будет
80
ОМАР ХАЙЯМ
при этом опираться на утверждения, в свою очередь
нуждающиеся в доказательствах, т. е. попадет в пороч-
ный круг [47].
Автор «Начал» хорошо сделал, поместив в чпсле аксиом
в начале своей книги утверждение, гласящее: две прямые
линии не могут ограничивать поверхности [48], так как
тот, кто знает его определение, необходимо будет знать
и его связи, поэтому это—аксиома.
Расстояние между двумя произвольными линиями есть
линия, соединяющая их таким образом, что внутренние
углы равны. Например, если даны две прямые линии АВ,
CD (черт. 6) на плоскости и предположим на АВ точку Е,
„ то расстояние между точкой Е
/ \ и линией DC есть линия EG
qI____________и угол Е равен углу G [49]. Но
I \ как провести из точки Е линию
/ \ к CD, чтобы внутренние углы
Fг-------------w были равны? Исправление основ
/ \ геометрии—дело геометра, а не
д/_________________философа. Можно ли провести
/ \ линию, обладающую этим свой-
u' Q ством? Этот вопрос относится
к искусству автора [философ-
Черт. 6. ских] принципов. Разъясним
это следующим образом. Из Е
можно проводить к CD бесчисленные линии, образующие
па своих концах бесчисленные углы, отличающиеся друг
от друга тем, что один больше пли меньше другого. Но так
как на двух концах [соединительной прямой] имеются
различные [углы], один из которых больше пли меньше
другого, то в силу того, что величины делимы до беско-
нечности [50], необходимо возможно и равенство двух
углов [EGF и GEH].
Отложим Ell, GF, равные друг другу, и соединим HF.
Тогда угол 11 равен углу F, как показано в первом случае,
так что HF есть расстояние. Поэтому, если IIF больше,
чем EG, две линии расходятся.
Далее отложим НК, FL, равные друг другу, и соеди-
ним KL. Тогда KL есть расстояние. Но если KL меньше,
чем HF, две линии сходятся, что невозможно в силу
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 81
аксиомы, так как они сначала расходились [5Ч То же
необходимо будет и в том случае, если они равны.
Если 11F меньше EG, две линии сходятся. В силу пока-
занного нами, KL необходимо меньше HJ , так как в про-
тивном случае мы в силу аксиомы получим невозможное.
Поэтому ясно, что если две прямые линии на одной
плоской поверхности в одном направлении сходятся,
невозможно, чтобы они расходились в этом направлении.
То же имеет место, если они расходятся.
.Что объяснение является философским, а не геометри-
ческим. Добавленный нами пример предназначен для
того, чтобы сделать изложенное более ярким и более оче-
видным для тех, кто не обладает острой интуицией.
Некоторые говорят, что расстояние между точкой на
линии и другой линией есть перпендикуляр, опущенный
из точки на линию. Это неправильно, так как перпен-
дикуляр, опущенный из места падения первого перпенди-
куляра на первую линию, не равен первому перпендику-
ляру и расстояние точки и ее соответственной было бы
отлично от расстояния соответственной точки и точки
первой линии, что невозможно. Но если внутренние углы
равны, т. е. когда наклон обеих линий к соединительной
линии один и тот же, она дейст-
вительно является расстоянием
между ними и другого нет.
Древние геометры упустили
это из виду, вследствие чего они
поместили в начале изложения
Черт. 7.
утверждение, нуждающееся в до-
казательстве.
После того как доказано, что если дана прямая линия,
в двух концах которой восстановлены перпендикуляры
и на этих перпендикулярах отложены произвольные рав-
ные линии, то расстояния между этими линиями перпен-
дикулярны к ним и эти расстояния равные и две линии
не сходятся и не расходятся, будем называть такие два
перпендикуляра эквидистантными [52].
Предложение 4. (32 [предложение I книги ] «Начал»).
[Дана] поверхность ABCD с прямыми углами (черт. 7).
утверждаю, что АВ равна CD и АС равна BD.
^ст°Рпко-матем. нес ле дова ни я
«2
ОЧАР ХАЙЯМ
Доказательство. Если АВ не равна CD, то
одна пз них больше. Пусть DC больше другой. Отложим
DE, равную АВ, и соединим АЕ.
Тогда угол BAL будет равен углу DEA, по [угол] ВАЕ
меньше прямого. Однако [угол] DEA больше пря-
мого, так как он—внешний угол треугольника АЕС.
Поэтому он больше прямого угла С [5з], что невозможно.
Таким образом, линия АВ равна CD. Это то, что мы хотели
показать.
Предложение 5. (33 [предложение Т книги]
«Начал»).
Даны две эквидистантные липни АВ, DC. Я утвер-
ждаю, что всякая линия, перпендикулярная к одной из
них, перпендикулярна к другой.
Пример1). Опустим из точки Е (чорт. 8) перпенди-
куляр на DC. Это будет EG. Я ут-
верждаю, что угол Е прямой.
Доказательство. Линии
АВ, DC необходимо имеют общий
перпендикуляр, как мы показали.
Пусть это [линия] BD. Если BE
равна DG, угол Е будет прямым.
Но если одна из них больше, отложим
Черт. 8. на большей [линию], равную мень-
шей. [Пусть] это ВН, которую мы
отложили па BE. Тогда угол II прямой, так же как
угол IIGD, тогда как последний меньше прямого. Но это
невозможно. Поэтому BE равна GD и угол Е прямой.
Это то, что мы хотели показать.
П р е д л о ж е и и е 6. (34 [предложение I книги]
«Начал»).
Всякие две линии, параллельные согласно определе-
нию Евклида, т. е. пе встречающиеся, без другого усло-
вия эквидистантны.
Пример. [Линии] АВ, DC (черт. 9) параллельны.
Я утверждаю, что они эквидистантны.
х) В оригинале вместо «пример» ошибочно написано «доказа-
тельство».
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 83
Черт 9.
Доказательство. Отметим точку Е [па Л/?]
ц проведем [линию] EG, перпендикулярную DC. Если
угол Е будет прямым, эти две линии будут эквидистантны.
Но если он не будет прямым, проведем НЕ перпендику-
лярно EG и HEF, DGC будут эквидистантны. Две линии
BEA. FEH пересекаются и расстоя-
ние между ЕН, ЕА возрастает до бес-
конечности, в то время как расстоя-
ние между ЕН, D G одно и то же до
бесконечности, т. е. не возрастает и
не уменьшается. Отсюда с несомнен-
ностью следует, что расстояние меж-
ду ЕА, НЕ станет больше EG, являю-
щейся расстоянием между двумя
эквидистантными. Поэтому линия ЕА
пересечет D G, тогда как мы предполо-
жили, что они параллельны. Это невозможно. Поэтому
угол AEG не больше прямого и нс меньше его, т. о. oil
прямой, линии АВ, DC эквидистантны. Это то, что мы
хотели показать.
Предложение 7. (35 [предложение I книги]
«Начал»).
Это предложение заменяет 29 и 30 предложения I книги
[«Начал»] I54]. Если прямая линия пересекает две парал-
лельные линии, накрестлежащпе углы
равны, впешнин угол равен [соот-
ветственному] внутреннему, а внут-
ренние углы вместе равны двум
прямым.
Пример. Две параллельные ли-
нии АВ, DC (черт 10) пересекаются
линией KGEL. Я утверждаю, что два
накрестлежащпх угла LGD, AEG рав-
ны, два внутренних угла AEG, EGC
равны [вместе] двум прямым, а внеш-
ний угол CGK равен внутреннему
углу AEG.
Доказательство. Опустим из точки Е перпен-
дикуляр EF на DC. Он перпендикулярен АВ, так как
эти Линии эквидистантны. Затем опустим из G перпен
,44 ОМАР \ \Пям
дпкуляр IJ на АВ. Это будет GII. Поэтому поверх-
ность EFGH прямоугольная, ее противоположные
стороны равны. Поэтому накрестлежащие углы 1IEG,
EGF равны, EGF равен СбЖ, внутренний [угол] ЛЕС равен
внешнему [углу] CGK, и так как EGE вместе с EGC
равен двум прямым, AEG вместе с EGC также равен
двум прямым. Это то, что мы хотели показать.
Мы доказали эти свойства параллелей, не нуждаясь
в требующей доказательства предпосылке, которую Евклид
поместил в иача ю. Вот ее доказательство.
Предложение <8. (36 [предложение I книги]
«Начал»).
[Дана] прямая линия EG (черт. 11), от которой прове-
дены две липин |Е]ЕЛ, [C]CD, причем углы AEG и CGE
меньше двух прямых. Я утверж-
\ н даю, что они встречаются в на-
G__________\ Е правлении Л.
\ Доказательство. Про-
должпм эти две липин прямо.
[Пусть] угол AEG меньше, чем '
Перт. 11. EGC, и построим угол HEG, рав-
ный EGD. Тогда две линии 11EF,
DGC параллельны, как доказал Евклид в предложении
27 книги I [55 J, и линия АЕ, пересекающая 1IF, пересечет
линию DC в направлении /1. Это то, что мы хотели показать.
Вот истинное доказательство свойств параллелей и
требуемого. Следовало бы добавить эти предложения в
«Начала» в таком порядке, как мы изложили их в этой
книге. Они вытекают из принципов «Метафизики» [5С].
Мы включили их сюда, хотя они и выходят за пределы
сущности этого искусства, так как мы не смогли избежать
это» о, вследствие того, что этот вопрос труден и обсуждался
многими людьми. Поэтому мы добавили в начале [изложе-
ния] указанные принципы [заимствованные у философа],
так как это искусство нуждается в них для того, чтобы это
искусство имело прочную философскую основу и не вызы-
вало подозрении и сомнений у тех, к го размышляет над ним.
Нам пора закончить первую книгу, восхваляя все-
вышнего Аллаха и приветствуя пророка Мохаммеда и
всех его потомков.
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 85
ВТОРАЯ КНИГА
ОБ ОТНОШЕНИИ, ПРОПОРЦИИ II ИХ ИСТИННОМ СМЫСЛЕ
Автор «Начал» сказал об истинном смысле отношения,
что оно есть любая мера одной из двух однородных вели-
чин в другой I57].
Две однородные величины, о которых идет здесь речь,
таковы, чго одна из них, будучи взята кратной, может
превзойти другую I38], если они отличаются друг от
друга, как две линии, две поверхности, два те ia, два
времени, т. е. между этими двумя величинами существует
разность, в то время как между линией и поверхностью
не существует разности, так как линия имеет одно измере-
ние, поверхность—два, а тело—три, время же измеряется
движением. Все эти виды входят в категорию количества,
и этот вопрос относится к искусству Первого философа 1° ].
Это определение и ил описание, высказанное Евклидом,
близко к истине, если только разъяснить эти слова.
А именно, говоря: любая мера одной из дву х величин в дру-
гой, он рассматривает взаимозависимость междуг двумя
величинами с той точки зрения, что эго есть мера, т. е.
две однородные величины могут быть либо равны, либо же
между ними имеется различие. Различие имеет много
видов, например, меньшая величина может быть долей
большей, т. е. она ее измеряет и отношение может быть
определено вычитанием [60 J, или меньшая величина может
являться несколькими долями большей величины I1!
или еще иначе [°2]. Способность быть равным или нерав-
ным является одним из свойств всякого количества. Отно-
шение есть это самое свойство при взаимозависимости
двух однородных [величин] и вместо с тем, если оно
является отношением величин, оно есть количество
этого отношения [сз]. Это более ясно для чисел, т. е. отно-
шение сначала было найдено для чисел, при рассмотре-
нии их взаимозависимости!, и определение их способности
быть равными или неравными, являющейся свойством
всех количеств. Затем рассматривали неравиые и смо-
трели, не измеряет ли меньшее большее, как, например,
тРи [измеряет] девять, искали количество, показывающее,
86
ОМАР ХАЙЯМ
сколько раз три измеряет девять; это три, так как три
измеряет число девять три раза. В этом случае применяют
производное выражение: треть, и говорят, что отношение
трех к девяти есть треть. В этом состоит свойство быть рав-
ным или неравным и вместе с тем второе свойство, как мы
это объяснили. Отношение девяти к трем трехкратно; для
этого отношения нс имеется названия и ограничиваются
тем, что было; ио это дело языковеда [С4].
Если меньшая величина не измеряет большую, как
в случае отношения двух и семи, ищут такое число, кото-
рое одновременно измеряет и семь и два, но это не удается,
находят только единицу. Поэтому отношение двух к семи
называют двумя седьмыми. Тем самым доказано, что мень-
шие числа могут являться или долей или несколькими
долями больших чисел. В этих случаях существуют числа,
однородные с величинами, так как и те и другие относятся
к категории количества. Тот же вопрос ставили и для
величии. В этом случае, кроме рассмотренных двух слу-
чаев, имеется еще одни случаи, когда величина не состоит
из неделимых частей, т. е. бесконечно делима в отличие от
числа, которое состоит из неделимых частей, т. е. единиц.
Если два числа различны, то, откладывая на большем все
возможные кратные меньшего, так, чтобы остаток стал
меньше меньшего числа, затем откладывая на меньшем все
возможные кратные остатки, так, чтобы остаток стал
меньше другого остатка, и продолжая так последовательно,
мы необходимо получим остаток, измеряющий предыду-
щий остаток, или единицу, так как два данных ограни-
ченных числа состоят из неделимых единиц [65]. Опреде-
ли числа, мы говорим: состоят, так как по употребляемой
нами терминологии составленное множество, собрание
и число—одно и то же. [Евклид] изложил это в начале
седьмо]! книги, и ты это поймешь после небольшого раз-
мышления.
Чго же касается величии, то они не состоят из недели-
мых частей и их делимость ничем не ограничена, вслед-
ствие чего для них указанное не является необходимым
и, так как в них нет единиц, они не требуют обязатель-
ного окончания на единице или на последнем остатке [66].
Этот вопрос и его виды нельзя познать без доказательства;
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 87
все это подробно изложено Евклидом в десятой книге его
сочинения, вследствие чего нам совсем пет нужды разъяс-
нять это.
Таким образом, для двух произвольных величин не
необходимо, чтобы меньшее являлось долей пли долями
большего, по они могут не иметь числового отношения,
что свойственно только величинам.
Если скажут, что третьего случая совсем нет и имеются
только два числовых случая, мы ответим, что рассмотре-
ние правил отношений и пропорций величин в этих трех
случаях нам не мешает и если этот случай будет опроверг-
нут, нас не в чем будет упрекнуть, но поскольку он не
опровергнут, мы рассмотрим его, дополнив два указан-
ных случая, и сможем постигнуть весьма глубокие логи-
ческие тайны. Пойми это [67].
I оворя о пропорции, [Евклид] сказал: она есть подо-
бие отношений I68]. Это хорошо сказано, однако, разъясняя
это, он отклонился от не 1 иппого смыс та пропорции, говоря:
если из четырех однородных величии взять произволь-
ные равные кратные первой и третьей и также произ-
вольные равные кратные второй и четвертой, и сравнить
их и если всегда, когда кратная первой больше кратной
второй, кратная третьей больше кратной четвертой, и если
эти равны, то и те равны, и ес in эти меньше, то и те меньше,
при соответственном сравнении, то говорят, что отноше-
ние первой ко второй равно отношению третьей к чет-
вертой п они называются пропорциональными [сэ].
Но это не определяет истинным смысл пропорции,
и ты поймешь это, если кто-нибудь спросит: «четыре вели-
чины пропорциональны ио Евклиду и первая равна поло-
вине второй; равна ли третья половине четвертой или нет?»
Как доказать, что третья величина равна половине
четвертой по методу Евклида? Если в ответ скажут, что
третья должна быть равна половине четвертой, если пер-
вая равна половине второй, так как между ними имеется
пропорция, то какое доказательство имеется для указан-
ного Евклидом необходимого условия истинной пропор-
ции. Он сказал: если для четырех величин взять кратные
таким образом, что кратная первой больше кратной вто-
рой, а кратная третьей нс больше кратной четвертой,
88
ОМАР ХАЙЯМ
то отношение первой ко второй больше отношения третьей
к четвертой [70].
Вот слова этого мужа о пропорции. Будем называть
это известной пропорцией и будем отличать се от истинной
пропорции.
Вся пятая книга посвящена известной пропорции,
сю (а следует прибегать по вопросам этой пропорции. Мы
добавим в конце этой книги [пятой книги «Начал»] все,
что мы здесь говорим об истинной пропорции. Мы дока-
жем, коротко говоря, что известная пропорция необхо-
дима для истинно!! пропорции и все, что необходимо для
известной пропорции, необходимо в то же время и для
истинной пропорции, как, например, присоединение,
выделение, псреставлоние, перевертывание и т. д., как
это изложил Евклид [71]; то же относится ко всему выте-
кающему из этих слов.
Можешь представить себе истинный смысл отношения
величин следующим образом: всякие две величины могут
быть равны и неравны; в последнем случае одна из них
может быть долей или долями другой. Эти три случая явля-
ются числовыми отношениями. Может быть еще один слу
чай, свойственный геометрии, как мы уже это разъяснили.
Если из четырех величии первая равна второй, а
третья—четвертой пли если первая является долой второй,
а третья—такой же долей четвертой, или если первая
является (олями второй, а третья—такими же долями
четвертой, отношение первой ко второй необходимо равно
отношению третьей к четвертой. Это в случае числового
отношения I72].
Если же пс имеет места ин один из этих трех случаев,
отложим на второй все кратные перво!! так, чтобы остаток
стал меньше первой, и отложим на четвертой все кратные
третьей так, чтобы остаток стал меньше третьей, и пусть
кратность первой во второй равна кратности третьей
в четвертой. Далее, отложим иа первой все кратные остатка
второй так, чтобы остаток стал меньше остатка второй
и точно так же отложим па третьей все кратные остатка
четвертой так, чтобы остаток стал меньше остатка четвер-
той, и пусть кратность остатка второй равна кратности
остатка четвертуй, Также отложим па остатке второй рее
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА. 89
кратные остатка первой и на остатке четвертой все кратные
остатка третьей и пусть их кратности одинаковы. Точно
так же будем последовательно откладывать кратные
остатков одни на других так, как мы объяснили, и пусть
число остатков первой и второй равно числу соответст-
венных остатков третьей и четвертой и так до бесконоч
ности. В этом случае отношение первой ко второй необхо-
димо равно отношению третьей к четвертой. Вот истинная
пропорция, определенная геометрически I73].
Что касается истинного определения того, что [одно]
отношение больше или меньше [другого], то мы скажем:
если из четырех величии первая равна второй, а третья
меньше четвертой или ес in первая больше [второ!!, а
третья равна] четвертой или если первая является долей
второй, а третья является другой до ieii четвертой, мень-
шей тон доли, или [третья является] долями четвертой,
которые вместе меньше той доли, или если первая является
долями второй, а третья является другой долей четвертой,
меньше!! тех долей или [третья является] долями четвер-
той, которые вместе меньше тех долей, отношение первой
ко второй больше отношения третьей к четвертой. Мы огра-
ничивались только долями и для краткости оставили в
стороне кратные, так как одни заменяют другие. В против-
ном случае рассуждение будет тем же самым, и от этого
ничего не изменяется, т. е. если первая является кратной
второй, а третья является кратной четвертой,—ты уже
знаешь, что рассуждение для долей и для кратных для слу-
чая истинной пропорции одинаково. Это в случае число-
вого отношения.
Что касается геометрического отношения, то если мы
отложим па второй все кратные первой, иска нс получим
остатка, а также отложим па четвертой все кратные третьей,
пока не получим остатка, и кратность первой будет меньше
кратности третьей или если оба эти числа будут равны и
мы отложим на первой все кратные остатка второй, пока
не получим остатка, а также отложим на третьей все крат-
ные остатка четвертой, пока не получим остатка, и крат-
ность остатка второй будет больше кратности остатка
четвертой или если оба эти числа будут равны и мы отло-
?ким на остатке второй все кратные остатка первой, а на
90
ОМАР ХАЙЯМ
остатке четвертой—все кратные остатка третьей и крат-
ность остатка первой будет меньше [кратности остатка
третьей! или нет остатка второй или ее остатков, в то время
как имеются остатки четвертой или ее остатков,—тогда
отношение первой ко второй необходимо больше отноше-
ния третьей к четвертой по истинному определению. Точно
так же. если имеется остаток первой или ее остатков, но
нет остатка третьей пли ее остатков пли остатки первой
больше остатков третьей, отношение первой ко второй
необходимо больше отношения третьей к четвертой. Мы
могли бы говорить об этом вопросе более подробно. Ты
можешь понять это с помощью изученных тобой правил;
пойми это р4].
II, наконец, нам следует доказать, что все сказанное
Евклидом необходимо для этого [вопроса] I75].
Одна из предпосылок, нуждающихся в доказатель-
стве, состоит в следующем:
[П р е д л о ж е н и е 1]. Всякая данная величина
[в надлежащей мере] может быть равна всякому данному
отношению, совершенно произвольному [7С]. Это философ-
ская предпосылка, которую мы докажем с помощью при-
мера.
П р и м е р. Даны отношение zl к В и [величина] D.
Я утверждаю, что здесь необходимо подразумевать отно-
। I шение [величины] D к другой ве-
личине, [существование] которой сле-
1111 дует доказать, равное отношению
G | £ | С Z? А к В, хотя оно и не существует
на самом деле—пет никакой разни-
цы, существует ли оно или не существует объективно.
Доказательство. Для удвоения величин и их
деления пополам пет границ и их можно удваивать до бес-
конечности, и точно так же их можно до бесконечности
делить пополам. Поэтому необходимо существует такая
очень большая величина, что отношение D к ней меньше
отношения А к В; пусть это будет Е. Точно так же необ-
ходимо существует такая очень малая величина, что отно-
шение D к ней больше [отношения] А к В [пусть это будет
G]. Так как нет границ делимости величин, то между Е
и G необходимо существует такая величина, что отноше-
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 91
нпе D к ней равно отношению А к В и для этого кет ника-
ких препятствий, так как можно отложить на Е или доба-
вить к G все, что угодно; пусть это будет С. Это то, что мы
хотели показать I77].
[Предложение 2.] Если даны две различные
величины и на большей из них отложить ее половину или
больше и на второй тоже, потом также сделать с остатками,
в конце концов мы получим остаток меньше, чем меньшая
из данных величин [7Ь].
Пример. Даны величины Л и BD. Я утверждаю, что
они подчиняются вышеуказанному правилу.
Доказательство. Возьмем такую величину,
кратную Л, которая была бы больше BD. Пусть это будет
GI, в которой имеются равные Л [ве-
личины] GII, IIF, FI, так что она
[Л] есть треть ее [G/]. Затем отло-
жим на BD [величину] DC, являю-
щуюся ее половиной или больше,
затем отложим на СВ [величину] ЕС,
являющуюся ее половиной или боль-
ше. Затем возьмем величину, крат-
ную ЕВ, кратность которой равна
кратности GI по отношению к вели-
чине Л. Пусть это будет KN. Части1) /CV пусть будут
KL, LM, J/7V.
Так величина BE не больше СЕ, а СЕ не больше, а
меньше CD, величина BD больше, чем BE, взятая трех-
кратно и, значит, она большевзятой трехкратно, т. е.
KN меньше BD. Но GI больше BD, значит, GI больше KN.
Но GI относится к KN, как А к BE, в смысле известного
отношения и, следовательно, величина Л больше BL.
Это то, что мы хотели показать.
Это предложение 1 десятой книги «Начал». Его дока-
зательство нуждается только в пятой кише [7У], помни об
этом’ Мы привели его в этом месте, так как мы нуждаемся
в этом доказательстве. Но Евклид говорит: «если на боль-
шей величине отложить больше со половины», а не говорит,
х) В оригинале вместо «аджза’уху»—«его части» ошибочно на-
писано «ад’афуху»—«его кратные».
92
ОМАР ХАИЯМ
что можно отложить ее половину или больше [80], что
необходимо для того, чтобы рассуждение было более общим.
Удивительно, что он пользуется этим предложением
в 13-м предложении двенадцатой книги, говоря: «Если
отложить на большей величине ее половину и на остатке
его половину» [81]. Рассуждая таким образом, он выигры-
вает по сравнении с указанным местом. Подумай об этом!
[Предложение 3.] Четыре величины пропор-
циональны в смысле истинного отношения и отношение
первой величины ко второй есть числовое отношение.
Я утверждаю, что они пропорциональны в смысле извест-
ного отношения.
11 р и м е р. Пусть АВ относится к DC, как EG к 11F
в смысле истинного отношения, и это отношение числовое.
[Доказательство]. Если АВ относится к DC,
как LG
к III, возьмем произвольные равные кратные
D
L-
С
А
К
В
£
первой и третьей и пусть это будут
[величины] О, S. Если АВ равна DC,
то {EG равна IIF, и] если О иS рав-
ные кратные АВ и EG, [они равные
кратные величин DC и HF, и если
В и Р также равные кратные тех же
величин], В и Р одновременно боль-
ше О и S или равны О и 5 или мень-
ше О и S и АВ относится к DC, как
EG к 11F в смысле известного отно-
О
шения.
Г G
Если АВ есть доля DC, то разде-
лим PC на [доли], равные АВ, пусть
это будут DL, LC, и также разделим
НF, пусть [ее доли] будут BN, NF.
Тогда, если О и S равные кратные
DC и 1IF, то так как DC и 1IF равные кратные АВ
и EG. т. е. DL и ПУ, О и Л являются равными кратными
АВ и EG. Тем самым этот случаи сведен к предыдущему
случаю и величины [ЛВ, DC, EG и IIF\ пропорциональны
[в смысле известного отношения].
Если АВ есть доли DC, то разделим АВ на доли DC,
пусть это будут А К, КН, и так/ке разделим EG, пусть [ее
долп] будут ЕМ, MG
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТ\Л1 КНИГИ ЕВКЛИДI УЗ
Так же, как раньше, как величины 7? п Р, [равные
кратные DC и HF], так и величины О и 5, [равные кратные
дБ и EG], являются равными кратными ЛК и ЕМ. Тем
самым этот случай сведен к первому случаю и, следова-
тельно, величины [AZ?, DC, EG и HF] пропорциональны
в смысле известного отношения. Это то, что мы хотели
показать.
Обратным для этого предложения является следующее:
[Пред л о ж е н и е 4.] Четыре величины А, В, I), С
пропорциональны в смысле известного отношения и отно-
шение А к В числовое в смысле истинного отношения.
Я утверждаю, что они пропорциона тьиы
в смысле истинного отношения.
Доказательство. Если А отно-
сится к В не как D к С в смысле истин-
ного отношения, то пусть [они относятся! с Е D
как D к Е в этом же смысле. Тогда А отно-
сится к В, как D к Е в смысле известного
отношения, но А относится к В, как D к С в известном
смысле и/) относится к С, как D к Е в известном смысле,
как показано в пятой [книге «Начал»] I82]. Поэтому отно-
шение D к С и отношение D к Е—одно и то же в извест-
ном смысле, вследствие чего [величина! С рай
на [величине] Е [83]. Поэтому А относится
к В, как D к С в истинном смысле. Это то,
А-
£
С
В
н
К
что мы хотели показать.
[II р е д л о ж е н и е 5.] Величина ЛВ от-
носится к величине DC, как 11F к К А в из-
вестном смысле, а АЕ относится к DC, как
НМ к KL в известном смысле. Я утверждаю,
что ЕВ относится к DC, как J/Е к KL в изве-
стном смысле.
Доказательство. ЛВ относится к
DC, как HF к АЕ, и DC относится к ЛЕ, как
KL к НМ. Поэтому по равенству отношении
АВ относится к АЕ, как IfF к НМ в известном
смысле [84]} и АВ относится к ЕВ, как HF к MF в из-
вестном смысле I85], и, переставляя, [8G] [мы получим,
что] ЕВ относится к АВ, как MF к IIF. Но АВ отно-
сится к DC, как HF к KL. Поэтому по равенству М F
м
L
94
ОМАР ХАЙЯМ
относится к KL, как ЕВ к DC. Это то, что мы хотели
показать.
В своей пятой книге Евклид доказал много того, что
не нуждается в доказательстве. Мы уже отмечали, что он
говорил: отношение одной и той же величины к двум рав-
ным величинам—одно и то же [87]. Он говорил также:
если первая [величина] относится ко второй, как третья
к четвертой, п третья относится к четвертой, как пятая
к шестой, то первая относится ко второй, как пятая
к шестой I88]. Это не нуждается в доказательстве, так как
если отношение первой ко второй в точности равно отно-
шению третьей к четвертой, а отношение третьей к четвер-
той в точности равно отношению пятой к шестов, то отсюда
D
Е
С
А
N
В
необходимо вытекает, что отношение первой
ко второй в точности равно отношению пятой
к шестой.
14 то же время Евклид, вместо того чтобы
рассмотреть сущность пропорции, рассматри-
вает се свойства; по эти свойства могут вы-
звать сомнение, в то время как истинное отно-
шение не может вызвать сомнения.
К
а
R
L
Н-
м
г
[Предложение 6.] Величина АВ от-
носится к величине DC, как величина IIF к
величине KL в известном смысле, и отношение
АВ к DC не есть числовое отношение Я утвер-
ждаю, что они пропорциональны в истинном
смысле.
Доказательство. Если бы они не
были пропорциональны, одно из отношений
было бы больше другого. Предположим, что отношение
АВ к DC больше отношения HF к KL. Отложим на DC
все кратные АВ, пусть они составляют ЕС. Далее отложим
на KL все кратные 1IF, пусть они составляют GL. Тогда
если число этих кратных различно, число [долей] GL
больше, так как отношение IIF к KL является меньшим.
Тогда отложим па GL, т. е. па [величине], кратной HF,
[величину], равную IIF, взятой в числе [долей] ЕС, пусть
это будет BL. Тогда АВ будет относится к ЕС, как HF
к BL, и, следовательно, АВ буцет относиться к DE, как
IIF к КВ, что невозможно, так как А В больше DE, a HF
КОММЕНТАРИИ К ГРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 9.5
меньше КН. Поэтому число [долей] GL равно числу [до-
лей] НС и СЕ относится к АВ, как GL к 11F.
Отложим теперь на АВ псе кратные DE, пусть они
составляют BN, и отложим на 11F все кратные GK, пусть
они составляют AiF. Тогда число [долей] В\ равно
числу [долей] MF, в противном случае, как мы показали
это в начале книги, чпсло [долей] ВЛ больше, поскольку
отношение АВ к ВС является большим. Но если число
[долей] ВЛ является большим, это невозможно, так же
как выше, и чпсло [долей] ВЛ: необходимо равпо числу
[долей] A1F.
То же относится к числам всех остатков. Но мы пред-
положили, что отношение АВ к DC больше отношения 11F
к KL, откуда необходимо из свойства большего отношения
следует, что чпсло остатков DC меньше числа остатков KL.
что невозможно, или что число остатков АВ больше числа
остатков 111, что также невозможно. Отсюда следует,
что [и в истинном смысле] отношение ЛВ к DC не боль-
ше отношения 111 к KL. Это то, что мы хотели показать.
Помни, что отношения одной и той же величины к двум
равным величинам—это одно п то же отношение, так же
как отношения двух равных величин к одной и той же вели-
чине; эти два случая не нуждаются в доказательстве. По
то, что, если отношение двух величии к одной и той же
величине есть одно и то же отношение, эти [две] величины
равны, нуждается в доказательстве. II также нуждается
в доказательстве то, что, если отношение одной и той же
величины к двум величинам есть одно и то же отношение,
эти [две] величины равны.
[Предложение 7.] Величина AG относится
к СЕ так же, как к BD в истинном смысле. Я утверждаю,
что BD равна СЕ.
Доказательство. Если бы они не были равны,
одна из них должна быть больше. Пусть это будет BD.
Предположим, что AG меньше каждой из них. Если бы AG
было больше каждой из них, доказательство было бы тем же
самым, так же как во всех предшествующих предложениях.
Далее отложим на СЕ все кратные AG, пусть это будет
НЕ, также отложим на BD все кратные ЛС, пусть это
будет FD. Тогда НЕ равно FD и BF больше СН и их раз-
96
ОМАР ХАЙЯМ
ность равна разности BD и СЕ. Далее отложим на AG все
кратные BF, пусть это будет М G, а также отложим на AG
все кратные СИ, пусть это будет NG. Тогда MG необхо-
димо больше Л G, так как число этих кратных равно. Далее
отложим на BF все кратные ЛЛЛ пусть останется BL,
и отложим на СП все кратные /LV, пусть останется СЕ.
Тогда BL должно быть больше СК и их разность должна
быть больше, чем разность BD и СЕ, так как разность В/
и СИ равна разности BD и СЕ, и АН меньше AN и, сле-
довательно, FL меньше КН и разность BL и СК больше
первой разности. Точно так же, применив то же еще раз,
сделаем с СЕ.
мы найдем, что разность остатков BL
больше разности остатков СК и, следова-
тельно, каждая разность будет больше пре
дыдущей разности и так до бесконечности.
Предположим теперь, что величина BD
превышает СЕ па величину, меньшую, чем
она сама [С£]. Тогда отложим на BD часть,
большую ее половины, пусть это будет
/ D, далее отложим на ВС часть, большую
ее половины, пусть это будет / L, и то же
Мы можем откладывать таким образом на
каждом остатке часть, большую его половины, до тех пор.
пока мы не получим величину, меньшую, чем разность
BD и СЕ. Но мы показали выше, что разности постепен-
но увеличиваются, т. е. каждая разность, являющаяся
остатком другой разности, больше предыдущей разности и
каждый раз значительно больше разности [BD и] СЕ, так
как BD неограничен ио больше СЕ, что невозможно. По-
этому BD не может быть ни больше, ни меньше СЕ и, сле-
довательно, равна ей. Это то, что мы хотели показать.
Обратное [предложение] о том, что если отношения
двух [величин| к некоторой [величине] равны, то и сами
они равны, доказывается сходным образом.
[П род л о ж е я и е 8]. /1 относится к В, как D к С
в истинном смысле, п это отношение не числовое. Я утвер-
ждаю, что в этом случае А относится к В, как D к С в
известном смысле.
Доказательство. А относится к В, как D и Е
в известном смысле Мы доказали выше, что для всех
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 97
величии имеет место правило, которое находится по закону
искусства [89]. Поэтому А относится к В, как D к Е в
истинном смысле, откуда D относится к Е, как 1) к С в
истинном смысле и, следовательно, они [Е и С] равны,
и величины [А, В, D и С] пропорциональны в известном
смысле. Это то, что требовалось.
Мы изложили правила истинной пропорции и доказали,
что известная пропорция, изложенная Евклидом, является
одним из ее свойств, т. е. все [величины], пропорцио-
нальные в известном смысле, пропорциональны и в истин-
ном смысле п все [величины], пропорцио-
нальные в истинном смысле, пропорцио-
нальны и в известном смысле. в
Теперь изложим правила неравенства
отношении в истинном смысле.
Если первая [величина] относится ко
второй, как третья к четвертой в истин- с
ном смысле, эти отношения в точности
совпадают. Но если отношения третьей к
четверток больше или меньше отношения пятой к шестой,
отношение первой ко второй будет больше [или меньше]
отношения пятой к шестой в истинном смысле. Этот случай
не нуждается в доказательстве, хотя Евклид приводит
доказательство, ио он упускает [из виду] истинный смысл
и отклоняется от истины и сущности вещи к ее свойству,
не являющемуся очевидным и нуждающемуся в дока-
зательстве.
Так, если имеется две различные величины, то отно-
шение третьей величины к большей величине меньше
отношения той же величины к меньшей величине в истин-
ном смысле. Точно так же отношение большей к указанной
величине больше отношения меньшей величины к у казан-
ной величине в истинном смысле. Эти случаи нисколько
не нуждаются в доказательстве, по Евклид приводит дока-
зательство [90], так как он отклонился от истинного смысла
большего отношения к известному смыслу.
Но [предложение о том, что] если отношение данной
величины к одной из двух данных величии больше отно-
шения этой величины к другой из этих величин в истинном
смысле, то первая данная величина меньше второй, так же
Историко-м»тел. исследования
98
ОМ VP ХАЙЯМ
как обратное [предложение] нуждается в доказательстве
Приведем его.
[II р е д л о ж е и и е 9] Даны две величины АВ, DC
и величина EG, причем отношение EG к АВ меньше ее
отношения [Л6’1 к DC [в истинном смысле]. Я утверждаю,
что АВ больше D .
Доказательство. Если АВ не больше DC, то
они могут быть равны, откуда следует, что EG относится
к АВ, как LG к DC, по так как этого нот, они нс равны.
Поэтому может быть, что [ 1Z?] меньше [DC]. Так как мы
д £ д предположи in, что отношение EG к АВ
меньше отношения EG к DC, число остат-
ков EG на остатках АВ больше числа
к
L
G
н
с
остатков ЕG па остатках DC или число
остатков DC на EG больше числа остатков
[В на EG, так как таковы свойства не-
равенства отношений и ipynie его свой-
ства, которые ты можешь понять при не-
большом размышлении, в особенности если
обдумаешь то, что мы объяс няем
Предположим, что I. G меньше каждой из этих двух
величин, так как если она больше пх пли равна одной из
них или меньше или больше другой, доказатель-
ство является таким же, а в некоторых случаях еще
легче. Ты можешь понять это при небольшом размыш-
лении.
Отложим на АВ все кратные EG, получится остаток AF,
и точно так же отложим на DC все кратные 1 G, получится
остаток DiL Тог ia НС равна В1: если бы они пе были
равны, то в силу неравенства отношений BF была бы
больше ПС, а это невозможно, так как DC больше АВ.
Поэтому ПС равна В1 и Dll больше А1 Отложим на EG
все кратные 1)11, получится остаток ЕК, отложим также
па EG все кратные 1А, получится остаток [LE]. Тогда
чпсло этих остатков [на /аС] одинаково,—иначе, как и в
первом случае, быть не может. Ибо если числа остатков не
равны, а различны, и число таких остатков, как 1ID на
KG, больше [числа] таких остатков, как 4/’ на LG, т)
KL больше AF, но EL меньше ее, что невозможно; а если
число таких остатков, как 111) на A G, меньше числа таких
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КИНГИ ЕВКЛИДА •)!)
остатков, как AF на LG, и отношение EG к DC будет
меньше ее отношения к ЛВ, что невозможно, так как мы
предположили противоположное. Потому число таких
остатков, как/?// па КG, равно числу таких остатков, как
AF на LG.
Точно так же необходимо, чтобы число [последователь-
ных] остатковС па [последовательных ] остатках EG было
равно числу остатков Л В па остатках EG, так же как
число остатков EG на [остатках] DC равно числу остатков
EG на [остатках] ЛВ, так как в противном случае мы
получим указанное выше невозможное.
Поэтому остатки EG после отнимания остатков DC
будут становиться постепенно меньше остатков EG после
отнимания остатков ЛВ, и точно так же остатки DC после
отнимания остатков EG будут становиться больше
остатков ЛВ после отнимания остатков EG. По это про-
тиворечит предположению о том, что отношение EG к ЛВ
меньше отношения EG к DC и поэтому невозможно. Сле-
довательно, DC не больше Л В и не равна ей, т. е. меньше
ее. Это то, что мы хотели показать.
Это предложение обладает различными случаями. Мы
разобрали самый трудный из этих видов; остальные ты
можешь вывести с помощью этою, но мы оставим их,
чтобы избежать многословия. Если ты предложишь эти
виды тому, кто обладает хорошей интуицией и проница-
тельным умом, он, с помощью уже изложенного памп,
постигнет их доказательства за весьма малое время. Точно
так же и в предшествующих предложениях имеется разно-
образие случаев и положений, пути [разрешения] которых,
если ты хочешь их узнать, такие же, как [для тех случаев,
для которых] мы показали. В большинстве геометрических
предложений имеется разнообразие случаев. Имеются
люди, которые трудятся на этими многословными вещами,
снижают цену искусства и уменьшают свой авторитет;
но это только скучное и пустое мучение. Но этой причине
мы воздержимся от этого.
[Предложение 10]. Отношение величины Л
к величине В больше отношения величины D к величине С
в известном смысле. Я утверждаю, что оно больше также
в истинном смысле.
7*
100
ОМАР ХАПЯМ
Доказательство. Если это не так, оно меньше
или равно. Если они равны [в истинном смысле], то Л
относится к В, как D к С, в известном смысле, но мы уже
сказали, что оно [отношение Л к Л] больше его [отноше-
ния D к С] [в известном смысле], поэтому это невозможно.
Если оно [отношение Л к/?] меньше его [отношения/) к С]
[в истинном смысле], то предположим, что Л относится
к В, как D к Е в истинном смысле, и поэтому отношение
D к Е меньше отношения D к С в истинном смысле и С
меньше Е в истинном смысле, как мы доказали в предыду-
щем предложении, по отношение Л к В больше отношения
D к С в известном смысле, отношение D
к Е больше отношения D к С в известном
В
В
С
смысле и С больше Е, в то время как рань-
ше [мы видели, что] она была меньше1).
Это невозможно, и отношение Л к В но
меньше отношения D к С. Поэтому оно
больше его. Это то, что мы хотели показать.
Обратное этому предложению [пред-
л о ж е и и е 11]. Отношение величины
Л к В больше отношения D к С в истинном смыло. Я утвер-
ждаю, что то же имеет место в известном смысле.
[Доказательство]. Если это не так, то отно-
шения не могут быть равны, так как в противном случае
мы получим указанную выше невозможность. Пусть отно-
шение Л к В меньше отношения D к С в известном смысле
и предположим, что Л относится к В, как D к Е в извест-
ном смысле. Поэтому отношение D к Е 'Меньше отношения
D к С и Е больше С. Но так как Л относится к В, как D
к Е в известном смысле и, следовательно, и в истинном
смысле, отношение D к Е больше отношения D к С в
истинном смысле и, следовательно, Е меньше С\ но раньше
[мы видели, что] она была больше ее, что невозможно и,
следовательно, отношение Л к В больше отношения D к С
и в известном смысле. Это то, что мы хотели показать.
Таким образом мы доказали, что все, что Евклид
изложит об определении неравенства отношений, необхо-
димо относится и к неравенству отношений в истинном
г) Здесь исправлены описки в оригинале.
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА Ц)|
смысле, а именно, отношение, большее в известном смысле
в то же время больше и в истинном смысле и то же отно-
сится к меньшему отношению. Обратно, всякое большее
отношение [в истинном смысле] больше и в известном
смысле и точно так же меньшее отношение. Другие случаи,
например присоединенное отношение, выделенное отноше-
ние, переставленное отношение, перевернутое отношение,
отношение по равенству I91] и другие правила, приведенные
Евклидом в пача ie и ш середине пятой книги, зависят от
этого и точно так же все, что он [Евклид] доказал, опи-
рается на это, поэтому все вышесказанное необходимо
относится к отношению в истинном смысле, пропорции
в истинном смысле, а также к неравенству отношений
в истинном смысле. ,
Что же касается составления и разложения отноше-
ний, то они пе нужны в пятой книге; они нужны в шестой
книге и об этом мы скажем в третьей книге этого трактата.
Вторая книга по милости Аллаха и при его прекрасной
помощи завершается. Хвала Аллаху1
ТРЕТЬЯ КНИГА
О СОСТАВЛЕНИИ ОТНОШЕНИИ П ЕГО ИССЛЕДОВАНИИ
Мы говорили в начале второй книги об истинном смысле
отношения величин. Как мы сказали там, отношение есть
взаимозависимость величин и в то же время мера различия
между ними и ничего больше. Мы много говорили об этом.
Мы знаем также, что по вопросу о составлении отно-
шения Евклид сказал: если взять два отношения и умно-
жить одно из них па другое, получится некоторое отноше-
ние; это отношение составлено из перемножаемых отно-
шений [°2]. Далее он поместил в начале пятой книги без
доказательства постулат: из трех однородных величин
отношение первой к третьей составлено из отношения пер-
кой ко второй и отношения второй к третьей [93]. Далее
011 говорит: из трех произвольных пропорциональ-
ных величин отношение первой к третьей равно двойному
102
ОМАР ХЛПЯМ
отношению первой ко второй) и точно так же для четырех
величин, пяти и т. д. [94J.
По следует сказать, что это—важное утверждение и
может быть предпосылкой важных предложении только
при удовлетворительном геометрическом доказательстве.
Если, говоря об умножении отношений, говорят: отно-
шение трех к пяти есть три пятых единицы, то при этом
предполагают единичную величину, т. о. некоторую вели-
чину, которую называют единицей и с которой связывают
все остальные величины. Для всякой измеримой величины
необходимо должно быть нечто, принятое за единицу; так
происходит, когда вторая вещь связывается с первой с
помощью числа. По если отношение величин пе является
числовым, то может быть связан рвадрат этой величины
с квадратом единицы пли квадрат этого квадрата и так
до бесконечности, или же мера отношения остается неиз-
вестной, когда невозможно найти средство постигнуть
величину этого отношения и связать его с принятой еди-
ницей.
Я совсем пе утверждаю, что каждое отношение величин
может быть известно только при помощи измерения; но я
утверждаю, что необходимо, чтобы каждое отношение
являлось величиной, так что можно выбрать за единицу
величину того же рода: так происходит, когда отношение
данной величины к другой рационально [95], как в случае
приведенного нами отношения. Не следует считать, что
эта величина не существует, если эта величина не суще-
ствует объективно для нас [фй-л-'айаип], ио причине
нашего бессилия постигнуть закон искусства, с помощью
которого его можно было бы добыть, так как очень часто
отношение, пе известное с точки зрения чисел, известно
в геометрии. Если бы мы показали, что каждое отношение
величия и.in их степеней связывается с числом, все
вышесказанное было бы нам не нужно.
При этом изучении мы рассмотрим, может ли отноше-
ние величин быть но существу числом, или оно только
сопровождается числом или отношение связано с числом
не по своей природе, а с помощью чего-нибудь внешнего,
или отношение связано с числом по своей природе и не
нуждается ни в чем внешнем. Все эти вопросы относятся
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КИНГИ ЕВКЛИДА 103
к философскому знанию, вследс.твпе чего геометр совсем
не занимается ими. По он должен знать, что вопрос о
составном отношении вследствие близости к нему понятия
числа и единицы существует пли является возможным.
Вопрос о том, является ли природа этой близости одним
из указанных памп выше случаев пли нет, мы не рассма-
триваем: пойми это I96].
Евклид нуждается в составлении отношении в двадцать
третьем предложении шестой книги, где он хочет доказать,
что всякие две поверхности с параллельными сторонами
п равными углами находятся в отношении, составленном
путем умножения одного отношения на другое. После
этого он в своей книге не нуждается ни в этом предложе-
нии I97], ни в другом, в котором он говорит: из трех про-
порциональных величин отношение первой к третьей равно
двойному отношению первой ко второй I9,4] Точно так же
не нуждаются в этом случаи отношения сторон подобных
поверхностей и ребер подобных тел. Я ле знаю, что побу-
дило его поместить эти две предпосылки в начале без дока-
зательства.
Что касается составного отношения в сочинении Пто-
лемея, известном под названием «А.тмагест» ]'9], то в этом
сочинении оно является вещью весьма важной, очень труд-
ной и чрезвычайно полезной: но сам Птолемей помещает
эту предпосылку в начале без доказательства. На этом
основано ирод южеине о полном четырехстороннике I100],
на котором основывается большая часть астроно-
мии, в особенности то, что относится к обращению и
расположению звездного неба и небесною экватора. 1а
ким образом, богатство со< гавного отношения далеко
не мало.
В сочинении «Конические сечения» Аполлония также
применяется [эта] предпосылка, важная для большей части
геометрических наук и в особенности для пауки о телах.
Одним словом, важные предложения астрономии и гео-
метрии, как малые, так и большие, основы каются на со-
ставном отношении.
Что касается составления отношения в музыкальной нау-
ке, то оно другого рода, так как под этим понимается и со-
четание п уменьшение; применение названия «составление»
104
ОМАР ХАНЯМ
к этим двум вещам указывает на их единство и глубокую
связь, хотя грамматически они не совпадают; Евклид изло-
жил составление отношений, рассматривавшихся во второй
книге [этого трактата], и использует его в предложении,
для которого оно в его книге не нужно; ненужность его
для этого предложения мы уже показали. Составное отно-
шение, на котором основываются некоторые разделы
музыки, является числовым, о котором Евклид много
говорит в восьмой книге. Что касается составления в
смысле уменьшения в музыке, то оно па самом деле является
разновидностью составления, метод познания которого
тот же самый, но во всяком случае для того, кто обладает
проницательным умом и хорошей интуицией. Мы косну-
лись этого вопроса несколькими строками в «Коммента-
риях к трудностям книги о музыке» [101].
Но наука о числах не нуждается в геометрии, и, как
это может быть, если она по своему существу предшествует
геометрии и зависимость между ними состоит только в том,
что геометрия нуждается в числах. Как можно отрицать
это, если треугольник есть то, что окружено тремя линиям,
и как может попять треугольник тот, кто не знаком с поня-
тием [числа] три? Таким образом, три есть составная часть
[понятия] треугольника, его причина и по существу пред-
шествует ему.
Изучение числа отличается от изучения геометрии;
это две пауки, только одна из которых применяется в дру-
гой. Геометрия в некоторых своих доказательствах нуж-
дается в числах, как это имеет место в десятой книге и при
измерении величин, т. е. когда узнают отнощрнпе двух
величин с числовом точки зрения, как мы это разъяснили
в начале этом книги, где мы говорили о том, что некоторая
величина принимается за единицу и ею измеряют другие
величины того же рода, т. е. узнают их количество по отно-
шению к этой единице.
Евклид смешивал искусство чисел с искусством гео-
метрии по двум причинам. Одна из них состоит в том, что
он хотел, чтобы ею сочинение содержало большую часть
правил математической науки, и это очень хорошая мысль.
Другая причина состоит в том, что он нуждался в науке
о числах в десятой книге и поэтому не хотел, чтобы доказц-
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА Ю5
тельства его сочинения нуждались бы в чем-нибудь из
метематпческой пауки, что ио содержится в этом сочине-
нии. В обоих случаях следовало бы, чтобы числовое пред-
шествовало геометрическому—и по существу и по здра-
вому смыслу. Но так как числовые доказательства более
трудны для понимания, чем геометрические доказатель-
ства, он поставил геометрические доказательства раньше,
чтобы развивать ум изучающего.
Мы изложили все эти вопросы, некоторые из которых
выходят за рамки цели этой книги, для того чтобы допол-
нить этими вопросами пауку «Начал» и для того чтобы этот
трактат содержал большую часть вещей, потребных изу-
чающему для познания принципов искусства, для пости-
жения принципов общих паук п науки о первопричине
существования и познания истинно необходимого суще-
ства, а также всех других божественных состояний и
воскресения.
Разъясним все, что мы сказали, доказав
[II р е д л о ж сипе 1 [. А, В, D—три однород-
ные величины. Я утверждаю, что отношение величины Л
к величине D составлено из отно-
шения величины .1 к величине В
и из отношения величины В к
величине D.
Доказательство. Вы-
берем единицу и сделаем ее отно-
шение к величине G равным отно-
шению А к В п будем смотреть
на величину G пе как на линию,
D В
А
С единица |
В G
поверхность, тело пли время, но будем смотреть на нее, как
на величину, отвлеченную разумом от всего этого и принад-
лежащую к числам, но пе к числам абсолютным и настоя-
щим, так как отношение zl к В часто может пе быть число-
вым, т. е. нельзя найти двух чисел, отношение которых
было бы равно этому отношению. Поэтому вычислители
и землемеры часто говорят: половина единицы пли треть
се или какая-нибудь другая доля ее, в то время как еди-
ница неделима: они рассматривают не абсолютную, настоя-
щую единицу, из которой образуются настоящие числа
предполагают единицу делимой. Далее они сравниваю]
106
OM.J.P ХАНЯМ
величины с этой делимой единицей и с числами, образо-
ванными из нее. Они часто говорят: корень из пяти, корень
из десяти и т. д.—их слова, действия и измерения изоби-
луют этими выражениями: при этом они имеют в виду
число пять, состоящее из указанных делимых единиц.
Следует, чтобы ты знал, что эта единица является делимой
и величина G, являющаяся произвольной величиной, рас-
сматривается как число в указанном нами смысле I10-].
Когда мы говорим, что мы сделаем отношение единицы
к величине G равным отношению Л к В, это не значит,
что мы можем применить это ко всем величинам, т. е.
сделать это законом искусства, но мы в то же время счп
таем, что по здравому смыслу невозможно, чтобы паше
бессилие сделать это убедило бы нас, что это невозможно
по существу. Пойми этот вопрос.
Затем сделаем отношение единицы к величине С рав-
ным отношению Л кВ, т. е Л относится ixD, как единица
к С, и [сделаем] отношение Е к единице равным отноше-
нию D к В. Тогда по равенству отношений Л относится
к В, как Е к С I103] и Л относится к В, как единица к G,
поэтому Е относится к С, как единица к G, т. е. эти четыре
величины пропорциональны и, следовательно, произведе-
ние единицы, являющейся третьей, па вторую С равно
произведению первой Е на четвертую G [104]. По G есть
отношение В к А, Е есть отношение D к В, а С есть отно-
шение D к Л, т. е произведение отношения А к В на отно-
шение В к D равно произведению [единицы на отношение
/1 к/) или, так как произведение] единицы на всякую вещь
является в точности этой вещью, пи больше и ни меньше,
[мы получаем, что] произведение отношения Л к В на отно-
шение В к D равно отношению А к D. Это то, что мы хотели
показать I105].
Точно так же [предложение 2] Из четырех
произвольных однородных величин отношение первой
к четвертой составлено из отношения первой ко второй,
отношения второй к третьей и отношения третьей к чет-
вертой.
П р и м е р. Величины А, В, D, С—четыре однородные
величины. Тогда Л, В, D—три однородные величины
ц отношение Л к D составлено нз отношения Л к В и отно-
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 107
щсния BkD. /1, D, С—также три однородные величины
ц отношение А к С составлено из отношения Л к D и отно-
шения D к С. Поэтому отношение А к С составлено из
отношения А к В, отношения В к D и отношения D к С.
Это то, что мы хотели показать.
То же правило имеет место и в случае, когда величин
пять, шесть и т. д. до бесконечности
Если три величины пропорциональны, т. е. если отно-
шение первои ко второй равно отношению второй к третьей,
то отношение первой к третьей составлено из отношения
первой ко второй и из отношения второй к третьей, т. е.
отношение первой к третьей равно двойному отношению
первой ко второй, что соответствует тому, что Евклид
поместил в начале пятой книги [10С]. То же правило имеет
место и в случае, когда величии пять, шесть и т. д. до
бесконечности.
Теперь, после того как мы изложили в этом трактате
все намеченные вопросы, нам пора закончить этот трактат,
вознося хвалу всевышнему Аллаху. Знай, что мы вклю-
чили в этот трактат, в особенности в две его последние
книги, вопросы весьма сложные, но мы сказали все, что
к ним относится, согласно нашей цели. Поэтому, если
тот, кто будет размышлять над ними и исследовать их,
займется затем ими сам, основываясь па этих предпосыл-
ках, он приобретет истинное знание геометрии с точки
зрения искусства, а если он исследует ее принципы из
«Метафизики», он приобретет знание с точки зрения разума.
Аллах восхваляем во всех случаях. Мир его лучшему
творению Мохаммеду и его святому потомству. Аллах—
наше прибежище и наилучший помощник. 13 конце этого
трактата шейх имам Омар пои Ибрагим Ханям написал
своей рукой «Это белое зачернено и досуг возвращен
в городе .. в библиотеке Мпнак в конце первого джумада
470 г.» [Ю7]
Этот трактат закопчен рукой Мас’уда ибн Мохаммеда
ибн Али Халфари о ша’бана 615 г. [,0SJ.
ТРАКТАТ ДОСТОЧТИМОГО УЧЕНОГО
АБУЛ-ФАТХА ОМАРА ИБИ ИБРАГИМА ХАПЯМА
ОБ ИСКУССТВЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА
ЗОЛОТА II СЕРЕБРА В СОСТОЯЩЕМ
ИЗ НИХ ТЕЛЕ1) Р].
Если мы хотим узнать количество золота п серебра в
состоящем из них толе, возьмем некоторое количество чи-
в воздухе, а также возьмем
чистое серебро и узнаем
ого вес в воздухе р]. За-
тем возьмем две подобные и
равные чаши весов п одно-
родное коромысло цилин-
дрической формы р] и по-
местим золото в одну из
этих чаш в воде, а в дру-
гую чашу—то, что урав-
новешивает его, так, чтобы коромысло стало параллельно
горизонту, и узнаем количество его [веса золота в воде].
Затем узнаем отношение его веса в воздухе к его весу в воде.
Затем поместим серебро в одну из этих чаш в воде, а в
другую чашу-то, что уравновешивает это I4], и узнаем
количество его |веса серебра в воде] и отношение его веса
в воздухе к его весу в воде. Затем возьмем сплав п узнаем
loTHOineniie] его веса в воздухе к весу в воде PJ. Если это
отношение равно отношению веса золота в воздухе к его
*) Рнсалат ал хакйм ал-фадпл Абй-л Фатх ‘Умар пип Ибрахим
ал-Хайпамй фй-л-пхтпчал ал-марафа.мпкд ipcii ал-захаб ва-л-фпдда
фп джпсм мураккаб мпихума.
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ЗОЛОТА И СЕРЕБРА Ю9
весу в воде, то .этот сплав из чистого золота и в нем совсем
нет серебра Если отношение равно отношению серебра,
тето состоит из серебра и в нем совсем пег золота. Если
ясе это отношение находится меж i\ ними,—то это сплав,
состоящий из ни\ обоих.
Сиосоо определения каждого из них. Если вес сплава
в воздухе относится к его весу в воде, как ЛВ к CD, при-
чем ЛВ есть вес в воздухе lGJ, то предположим, что коли-
чество золота есть ЛЕ. т. е. ЛЕ есть вес золота в воздухе,
а его вес’ в воде—CG. Тогда ЕВ есть вес серебра в воздухе,
a GD—его вес в воде. Известно, что отношение ЛЕ к CG
меньше отношения ЛВ к CD, так как
золото Н воде тяжелее того, что со
стоит из него и серебра, согласно
тому, что доказывают знатоки физи-
ки. Отношение же ЕВ к GD больше
отношения ЛВ к CD, так как сереб-
ро в воде легче того, что состоит из „\\
него и золота. С [елаем отношение ЕП
к GD таким же, как отношение
к CG. Тогда необходимо ЕП будет /7-
меньше ЕВ. Так как ЛЕ относится
Ввоздухе[7]
' Е
И
В
к CG, кДК ЕН к GD, сумма 1 // относится к сумме CD, как
АЕ kCG, как показано в пятой книге «Начал» р]. Отноше-
ние АЕ к CG известно. Поэтому отношение АН к CD также
известно- CD известна, поэтому и АН известна и оста
ток НВ также известен. Отношение ЕН к GD изве
стно, и отношение ЕВ к GD известно, поэтому известны
отношения ЕВ к ЕП и, следовательно, к ИВ. Поэтому ЕВ
известил, а это есть количество серебра. Эти вощи доказаны
в «Данных» [! ]
• Приведем пример, чтобы было легче [это попять]
Пусть вес серебра в воздухе относится к его весу в воде как
десять й десяти с половиной, а вес золота в воздухе отно-
сится к его весу в воде, как десять к одиннадцати [10]
Возьмем количество сплава [с отношением, находящимся!
между ними, и пусть ei о вес в воде будет десять и три чет-
верти, [а его вес в воздухе будет десять! [п]. Отношение
десяти it десяти и трем четвертям больше отношения десяти
к одиннадцати и меньше отношения десяти к десяти с поло-
НО ОМАР ХАЙЯМ
виной, откуда мы узнаем, что это действительно сплав из
них обоих. Предположим, что величина АВ в предыдущем
примере есть десять, а величина CD—десять и три чет-
верти. ЛЕ по предположению есть количество золота,
числа которого мы не знаем, CG—величина его веса в воде.
Мы говорили, что АН относится к CD, как ЛЕ к CG, а ЛЕ
относится к CG I12], как десять к одиннадцати. Поэтому
АН относится к CD, как десять к одиннадцати. Мы поло-
жили, что CD есть десять и три четверти. Поэтому умножим
десять на десять и три четверти и разделим результат на
одиннадцать. Частное есть девять и семнадцать двадцать
вторых частей единицы,—это АН. Поэтому остаток НВ
есть пять двадцать вторых. ЕВ относится к GD, как десять
к десяти с половиной, так как так относится вес серебра
в воздухе к его весу в воде, что мы указали в начале. ЕН
относится к GD , как десять к одиннадцати. Поэтому, если
GD есть десять с полови ной, ЕВ есть десять, а если мы
положим, что GD есть одиннадцать, то ЕВ определится
так: одиннадцать относится к десяти с половиной, как
некоторая вещь к десяти; умножим одиннадцать на десять
и разделим результат на десять с половиной; частное есть
десять п десять двадцать первых, таким образом, если GD
есть одиннадцать, то ЕВ есть десять и десять двадцать
первых. Но ЕН в этом случае есть десять, поэтому остаток
НВ есть десять двадцать первых. И когда мы положили,
что CD есть десять и три четверти, величина ЕН была
пятью двадцать вторыми. Поэтому пя^ь двадцать вто-
рых относятся к десяти двадцать первым, как некоторая
вещь к десяти и десяти двадцати первым. Умножим де-
сять и десять двадцать первых на пять двадцать вто-
рых и разделим результат на десять двадцать первых,
частное есть пять. Это и есть количество серебра. Это ЕВ,
так как мы предположили, что количество серебра
есть ЕВ. Таким образом, мы знаем ЕВ, и тем самым из-
вестны и все остальные величины. Это то, что мы хотели
показать I13].
Следует, чтобы разновес для взвешивания этих тел
в воздухе и в воде был одного рода—либо из железа, либо
пз другой субстанции, чтобы вследствие их различия нс
было расхождения. Расхождение может быть и из-за разли-
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ЗОЛОТк И СЕРЕБРА ].| |
чия в форме тел, по оно мало и пе чувствуется. Если люди
хотят здесь надежности, они должны действовать осторож-
но и тщательно, особенно при взвешивании легких весов.
Определим это же алгебраическим способом, более лег-
ким для вычисления. Предположим АЕ, т. е. вес золота
в воздухе, вещью. Тогда ЕВ есть десять без вещи, CG—
одна и одна десятая вещи, так как АЕ относится к CG,
как десять к одиннадцати, как мы говорили раньше, a GD
есть десять и три четверти без одной и одной десятой вещи,
так как ЕВ если десять без вещи и она относится к GD,
как десять к десяти с половиной, что мы говорили об
отношении серебра. Умножим десять с половший! на де-
сять без вещи, получится сто пять без десяти [с поло-
виной] вещей, разделим это па десять, частное есть десять
с половиной без одной и половины десятой вещи, это и есть
GD. Но раньше GD была десятью и тремя четвертями без
одной и одной десятой вещи. Поэтому десять и три четверти
без одной и одной десятой вещи равны десяти с половиной
без одной и половины десятой вещи. Произведем па обеих
сторонах [операции] алгебры и алмукабалы [14].
Будет: десять и три четверти и одна и половина десятой
вещи равны десяти с половиной и одной и одной десятой
вещи. Сократим, т. е. отбросим одинаковое на обеих сто-
ронах. Останется: число четверть равно половине десятой
вещи. Поэтому одна вещь равна числу пяти. Это и есть
количество золота. Количество всего сплава есть десять.
Остающееся количество серебра есть пять. Поэтому CG,
т. е. вес золота в воде, есть пять с половиной, так как
десять относится к одиннадцати, как пять к пяти с поло-
виной, a GD, т. е. вес серебра в воде, есть пять с чет-
вертью, так как пять относится к пяти с четвертью, как
Десять к десяти с половиной, ('умма CD есть десять
и три четверти. Это соответствует пстиие и является
проверочным вычислением. Это то, что мы хотели пока-
зать I15].
Этот способ—для всех составных тол. Если субстан-
ции [ в] три пли больше, это устанавливается таким же
способом. То, что приписывают по этому вопросу некото-
рым древним,—ошибочно, если нет ошибки в тех пере-
водах и копиях, которые я видел.
112 ОМАР ХАЙЯМ
У меня есть многое и о таком взвешивании в воде,
когда чаша, в которой находится тело,—в воде, а другая
чаша, в которую накладывается разновес до тех пор, пока
коромысло весов не будет параллельно поверхности гори-
зонта,—в воздухе. Чтобы не было расхождения, следует,
чтобы все взвешивания происходили в одной воде и одним
способом. На весах такого рода я не останавливаюсь, так
как это [взвешивание] неточно и редко бывает без ошибки
по причине различия в [видах] воды; ошибка тем меньше,
чем вода, [используемая для] наблюдения, является более
мягкой.
ПРИМЕЧАНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКИМ ТРАКТАТАМ
ОМАРА ХАЙЯМА
7». Л. Розеифелъд и Л. И. Юткевич
Выдающийся таджикски й ученый и поэт Омар Хайям родился
около 1040 г. и умер в 1123 г. в таджикском городе Пшнаиуре г)
(ныне в северном Пране), а жил и работал в Средней Азии и Ира-
не—в Самарканде, Мерне, Ilcnai ани, Рос и других городах. Когда
Хайям был еще молодым, Среднюю \зию, Праи и ряд других стран
Среднего и Влнжпего Востока завоевали кочевники—сельджуки.
Положение ученых в этих порабощенных странах было крайне тяже-
лым о чем свидетельству ют слова самого Хайяма из его алгебраи-
ческого трактата (см. стр. 16 этого издания).
Первым математическим сочинением Хайяма был арифмети-
ческий трактат «Трудности арифметики». Мы не рае полагаем тек-
стом этО1О трактата, но некоторые сведения о нем имеются в алге-
браическом трактате Хайяма2).
Между 10(54 и 1071 гг. Хайям закончил трактат «О доказатель-
ствах задач алгебры н алмукабалы» (см об этом примечание. 127
г) В г. Пшнаиуре в 193-4 г. па могиле Омара Хайяма был поста-
влен обелиск (см. снимок, помещенный между стр. 14 и 13). Надпи-
си на этом обелиске гласят:
(Ученый Омар Хайям. Смерть ученого 516 г. лунной хиджры»
11122-1123 г. и э.].
«У moi илы Хайяма присядь и свою цель потребуй,
Одно мгновенье досуга от горя мира потребуй.
Если ты хочешь знать дату сооружения обелиска,
Тайны души и веры у могилы Хайяма потребуй».
Последняя строка этого четверостишия согласно восточной тра-
диции дает ответ на вопрос о дате сооружения обелиска: если заме-
нить каждую букву этой строки ее числовым значением и сложить,
то получим 1313 г. солнечной хиджры, т. е. 1934 г. Обелиск был
оружец на средства, собранные среди почитателей Хайяма в раз-
ных странах.
) См. стр. 22 перевода.
СтоРико-мат(‘м. исследовании
(14
Б. А РОЗЕНФЕЛЬД И А II. ЮШКЕВИЧ
к этому трактату), а в 1077 г. закончил трактат «Комментарии
к трудным постулатам книги Евклида».
Точная дата написания трактата «Об искусстве определения ко-
личества золота и серебра в состоящем из них теле» нам неизвестна.
Дата (около 1115 г.), сообщаемая Датаром'). сомнительна.
В 1074 г. Хайям попадает ко двору сельджукского султана
Джалалэддпна Малпкшаха, где ему покровительствует визирь сул-
тана прогрессивный таджикский государственный деятель Нпзам-
улмулк. Здесь Хайям становится во главе астрономической обсер-
ватории в Пспагани. Результаты работ этой обсерватории публику-
ются в виде «Маликшакских астрономических таблиц». Здесь же
Хайям разрабатывает реформу солнечного иранского календаря,
аналогичною нашему «новому стилю». В календаре Хайяма, из-
вестном под названием «эры Джалалэддпна», 8 високосных лет при-
ходится не на 32, а па 33 года, вследствие чего ошибка в 1 день на-
капливается за 5000 лет (в нашем «новом стиле» такая ошибка нака-
пливается за 3300 лет)* 2).
Кроме указанных сочинений по математике и астрономии, Хай-
яму принадлежит несколько трактатов по естествознанию, геогра-
фии и философии3).
Параллельно с занятиями наукой Хайям создает своп бес-
смертные «Четверостишия», которые до сих пор живы в широких
массах народов Востока4 *). Вольнодумный дух «Четверостиший»
Хайяма, высмеивающих официальную мусульманскую религию
и ее обряды, привел к тому, что мусульманская реакция стала пре-
следовать Хайяма. Для спасения жизни Хайяму, уже будучи ста-
риком, пришлось предпринять паломничество в Мекку6).
Официальная наука ислама, бывшая служанкой религии,
стремилась вычеркнуть имя Хайяма из числа поэтов и ученых. Мно-
гие замечательные математические результаты Хайяма стали из-
вестны ученым позднейших времен без упоминания его имени. Не
пмея возможности вытравить из сознания масс имя Хайяма-поэта,
реакционеры пытались исказить его облик, истолковать его стихи
в мистическом духе.
х) См. Swami G о v i n d a T I r t h a (V. M. Datar), The
nectar of grace. ‘Omar Khayyam’s life and works, Аллахабад, 1941,
стр. XLV—XL\ I
2) О календаре Хайяма см. F. К. Ginzel, Handbuch der
mathematischen und technischen Chronologic, t. 1, Лейпциг, 1906,
стр. 300—305.
3) Философские трактаты Хайяма на арабском и таджикском
языках и их переводы па английский язык приведены в указанной
книге Swaini Go\inda Tntha, стр. LXX1X—CXXIX.
4) Русский перевод: Омар Хайя м, Четверостишия. Из-
бранное. Сталпнабад, 1949, или в «Антологии таджикской поэзии»,
М., 1951.
6) О Хайяме см. М о р о ч и и к С. Б , Философские взгляды Омара
Хайяма, Сталпнабад, 1952 и Юшкевич А. II., Омар Хайям и его
«Алгебра», «Труды института истории естествознания». 1948, т. II.
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
115
Ц все же за девять веков, отделяющих нас от Хайяма, реакции
не удалось уничтожить память о нем. Изучение научного и поэти-
ческого наследства Хайяма позволяет все лучше и лучше рассмо-
треть его гигантскую фигуру и выяснить огромную роль, которук»
он сыграл в истории человеческой мысли.
Ниже приводятся примечания к публикуемым здесь трем трак-
татам Хайяма
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ
«О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ
И АЛМУКАБАЛЫ»1)
1. Алгебра и алмукабала (ал-джабр ва-л-му кабала)—первопа
чальное название алгебры. Это название впервые встречается
в «Краткой книге об исчислении алгебры и алмукабалы» хорезмско-
го математика Мохаммеда ибн Муса Хорезми (около 830 г.). В соб
ственном смысле слова «ал-джабр» и «а.т-мукабала» означают две
простейшие алгебраические операции—перенесение вычитаемых
членов уравнений в другую часть в виде прибавляемых членов и
приведение подобных членов. Трактат Хорезми бы г переведен в
XII веке на латинский язык под названием Liber de algebra el al
mucabala, откуда происходит наш термин «алгебра».
2. Абу 'Абдаллах Мухаммад ибн г11са ал-Махапй—багдадский
математик и астроном, умер около 880 г., автор трактата «Об отно
шевии», комментариев к 10-й книге «Начал» Евклида и ко 2-й книге
сочинения Архимеда «О шаре и цилиндре».
3. В 4-м предложении 2-й книги сочинения А р х и м с д а
«О шаре и цилиндре» требуется «рассечь данный шар таким обра-
зом, чтобы сегменты шара находились в данном отношении».
Так как объем сегмента шара радиуса г с высотой х равен
, ( х "\ т
г—— \ t задача Архимеда в случае данного отношения — .
г) В примечаниях ссылки па «Начала» Евклида всюду сделаны
по русскому тексту в переводе Д. Д Мордухай Болтонского
кн. 1—VI, М.—Л., 1948; кн. VII—X, 1949; кн. XI—XV, 1950 (для
краткости соответственно т. I, т II, т III); ссылки на «Данные»
Евклида—по французскому тексту сочинений Евклида в переводе* *
Пейрара (Е и с 1 i d е, Les oeuvres en grec, en latin et on fran^ais, ed.
par F. Peyrard, 3, Париж, 1818), ссылки па «Конические сечения-»
Аполлония—по французскому тексту в переводе Вер Экке (А р о 1
* ° n i u s de Perga, Les coniques, trad, par P. Ver Eecke,
рюгге, 1923), ссылки на сочинения Аристотеля—по русским перс-
1934^* ^*®изика>>» изд 2-е, М —Л., 1937; «Метафизика», М.—Л.
М Д*КатегоРпи»’ —Л’’ 1939; «Аналитики первая и вторая»,
8*
116
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД 11 Л. 11. ЮШНЕПНЧ
если обозначить высоту большего сегмента DE (черт. 1) через х и,
следовательно, высоту менынсго сегмента ЕВ через 2г - х, сводится
к определению величины х из пропорции
4г2 Зг
т.
П
ПЛИ
т г
т-\- п
Именно к этой пропорции и приходит (более длинным путем)
Архимед: он обозначает диаметр шара через DB, высоту боль-
шего и меньшего сегмента через соответственно DE и ЕВ,
продолжает высоту меньшего сегмента на расстояние, равное
радиусу шара, до точки G, так что BG = r и, следовательно,
EG — Зг — х, находит на отрезке BG такую точку F, что FG = ,
1 J - гп + п
и формулирует задачу, к кото-
рой свелась его первоначальная
задача, следующим образом: «да
пы две линии BD, BG, из кото-
рых BD вдвое больше BG, а так-
же точка F па липни BG\ тре-
буется разделить линию BD в
точке Е таким образом, чтобы EG
относилась к FG, как квадрат
BD к квадрату ВЕ». Метод реше-
ния в сочинении «О шаре и цилин-
дре» не приведен. Евтокий (VI век)
комментариях к сочинению «О шаре и цилиндре» сообщает,
обнаружил рукопись Архимеда, где задача решается
в своих
что он
с помощью конических сечении.
Архимед, именно, решает несколько более общую задачу
о делении отрезка С на части х и С — х, удовлетворяющие про-
порции
б1 С — х
л- е
где е—данный отрезок, 6 pb—данная площадь. Согласно найден-
ной Евтокпем рукописи решение получается путем построения аб-
i цпесы точки пересечения параболы ру-х* и равносторонней гипер-
болы (С—х)у—Ъе. Приведя пропорцию к уравнению вида
х2(С—x)=-epb или x3-}-(‘pb — Cx~,
Крхпмед тщательно исследовал условия разрешимости обобщенной
задачи и указал некоторые границы (положительных) корней.
Решение Архимеда было надолго утеряно и его не знали уже
(пока (около 180 г. до н. э.) и Дпонпсидор (около 100 г. до н. э.),
предложившие собственные решения задачи о делении шара (пер-
вый—с помощью эллипса и равносторонней гиперболы, второй—
с помощью гиперболы и параболы). Махани, видимо, первый вновь
привел задачу Архимеда к уравнению типа .гя-|~л—cz2 и ее исследо-
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХЛЙЯМЛ
117
пянпем затем занимались многие ученые. См. Archimedes Wer-
ке hr?g von Th. llealh, deulsch von F. Kliem. Берлин, 1914.
стр- 209 и сл. Ср. [78].
4 Абу Джа'фар ал-Хазнпп—математик и астроном из Хора
ана, умер между 96!—971 гг., автор комментариев к кн. X «На-
чал»’ Евклида и нескольких астрономических и математических
сочинении.
5 Aov Тахир (1039- 1091)—оогатый и влиятельный Самарканд
кий вельможа и меценат, покровительствовавший Омару Хайяму
н период написания им алгебраического трактата.
6 . Мы переводим словом «величина» слово «мпкдар», которое
применяется только к непрерывным величинам, и словом «коли-
чество» слово «кампййа», которое применяется как к непрерывным,
так и к дискретным величинам. Под числом Хайям в этом месте
вслед за древними понимает только натуральное число.
7 «Категории» (у Хайяма Катнгуриас)—вторая часть «Орга-
нона» Аристотеля (384— 322 г до и. а.), «Метафизика»—другое из
важнейших сочинений того же философа. Хайям именует «Мета-
физику» ал-хпкмат а.т-ула, т. е. «первая фи юсофня», как ее преи-
мущественно называл сам Аристотель (вероятно, в отличие от на-
TJ рфнлософской «Физики»—«второй философии»). Совокупность
нескольких сочинений, фактически входящих в состав «Метафпзп
кп», получила это название уже после смерти Хрпстотеля.
О непрерывных и дискретных величинах см. \ р и с т о т е л ь,
Категории, гл. 6 (стр. 14): «Между количествами одни раздельны,
другие непрерывны, ... Раздельными являются, например, число
и речь, непрерывными—линия, поверхность тела, а кроме того
еще время и пространство». При этом непрерывность величины
Аристотель понимал как наличие общей границы у двух смежных
частей, на которые разделяется эта величина: например, общей
границей двух смежных частей .пиши является точка, в которой
они соединяются. В «Метафизике», кп. 5, гл. 13 (стр. 93)
Христотель писал: «Количеством называется то, что может быть
разделено на составные части, каждая из которых, бу сет ли их две
пли несколько, является чем то одним, санным налицо. То или
сругое ко шчество есть множество, ес ш его можно счесть, это
величина, если его можно измерить. Множеством при это.м пазы
вается то, что в возможности делится на части не непрерывные,
величина—то, что [делится] па части непрерывные: а у величин
протяжение, непрерывное в одном [ направлении |, есть длина, не-
прерывное в двух [направлениях]—ширина, непрерывная в трех
Iнаправлениях]—глубина. Из этих количеств ограниченное пре-
лом множество есть чпсло, ограниченная длина—линия, огранп-
г7Т11Ная ш,|Р1|на—поверхность, ограниченная глубина—тело». Ср.
I ] к геометрическому трактату Хайяма.
Вопросу об определении понятия места, занимаемого тем или
пням телом, посвящены гл. 1—5, кн. 4 «Физики» Аристотеля
стя»СТ0ТС;1Ь Раз^пРарт здесь четы] >е. возможных понимания «ме-
' как формы материн, протяжения пли промежутка и, наконец,
118
Б А. РОЗЕНФЕЛЬД И А П ЮШКЕВИЧ
границы п прпходпт к заключению: «Необходимо, чтобы место было
последним из четырех предположений, именно границей объемлю-
щею тела «поскольку оно соприкасается с объемлемым). Я разумею
под объемлемым тело, способное двигаться путем перемещения...
Тело, снаружи которого находится какое-нибудь другое объемлю-
щее его тело, находится в известном месте») («Физика»», кн 4, гл 4
и 5, стр. 77—78).
8 To-есть I : х=х : х2=х2 : х3 и т. д.; см. Евклид, «Начала»,
кп IX, предл. 8 (т. II стр. 75). «Если будет сколько угодно после-
довательно пропорциональных чисел от единицы, то третье от еди-
ницы и все через одно [будут] квадратами, четвертое же и все через
два [будут] кубами, седьмое же и все через пять одновременно квад-
ратами и кубами». Далее Хайям говорит о пропорциях а: ах=
—ах : ах2=ах2 : ах3—ахл : а.г4 и т. д.
Термин «вещь» («шан») для обозначения неизвестной величины
впервые встречается в алгебре Мохаммеда Хорезми. Наряду с
этим Хорезми называет неизвестную также «корнем» (ал-джизр).
Происхождение этих терминов пока точно не установлено.
9. Это уравнения х2-{-Ьх—а, x2-\-a—bx, х2=а-\-Ьх, решения
которых приведены уже в алгебраическом трактате Хорезми.
10. См., например, Евклид, «Начала», кн. V, предл. 1
(т. I, стр. 145): «Если будет несколько величин, равнократных каж-
дая каждой каким ппбудь [другим, взятым] в равном количестве
величинам, то сколько раз одна из [первых] величин будет кратна
одной [из вторых], столько же раз будут и все [первые величины
вместе] кратны всем [вторым]» и кп \ II, предл. 5 (т II, стр 15):
«Если число есть часть числа и другое—такая же часть другого, то
н вместе взятые [первые] будет такой же частью вместе взятых
[вторых], как одно одного».
В предл. 1 кн. Л , таким образом, доказывается для величии,
что из равенств Л—па, B=nb, С пс и т. д следует равенство
44-Z?-j C+- • .=H«+»5+«c-f-.. .=п(л-[-Ь-гс-|-...),
а в предл. 5 кн \ II доказывается для чисел, что пз равенств
а—— 1 следует равенство na-]-nb=n О взаимоотно-
шении общей теории отношений и теории отношений целых чисел,
см статью II. Г. Баш м а к о в о й, Арифметические книги
«Начал» Евклида, «Историко-математические исследования», вып. I,
\1,—Л., 1948.
11. 1) х =а, 2) х- а, 3) х3—а, 4) х2=Ъх, 5) х3=сх2, G) х3=Ьх.
12. 1) х2-\-Ьх=а, 2) х2-\-а=Ьх, 3) х2=Ьх-\ а.
13. 1) .т34'Сз2=5а', 2) х3~т-Ьх=сх2, 3) x3=<x2~rbx.
14. Деля а:3+йж=са:2 на т, получим х2-\-Ь=сх. Корень, рав-
ный нулю, алгебраисты пс принимали во внимание вплоть до
XXII века.
15. 1) х3-\-Ьх=а, 2) ж3-|-о=5х, 3) х3=Ьх-\-а, 4) х34-сх2=а,
5) жэ4-«=сл2, 6) т3—сх2-\~а
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ X ШЯМА
119
16. Имеется в виду уравнение я3+а=е.г2.
17. 1) х3+сх’2+дх=«, 2) .г3+гя2+с=6.г, 3) z3-f-6x+o=c.r2,
4) ,r3=cx2+6z+fl.
18. 1) x3+ca,2=6z4-a, 2) д34-Ьх=гх24-а, 3) г3+а=ех2+6л:.
19. Имеется в виду уравнение х3+Ьх-\-а—сх2. См. [85] — (871-
20. Прием извлечения квадратного и кубического корней из
чисел, основанный на применении правил, выражаемых нами фор-
мулами (а-\-Ь)'2=а2-[-2аЬ-\-Ь2, (a-rb)3=a3-\-‘3a2b-\-3ab--{-b3, был
известен китайским математикам не позднее II—I вв. до н. э.
Краткое указание на пего имеется у пнднш кого математика
Арпабхатта (рот в 476 г.), а затем и у других ученых Индии. Этот
же прием для случая квадратного корня известен был и греческим
вычислителям; он описан у Теона Александрийского (IV век и. э.).
Хайям первый предложил общий прием извлечения из чисел
корней n-й степени, вероятно, основанный на знании формулы /г-й
степени двучлена. Рукопись трактата Хайяма, в котором изложено
было это открытие, не обнаружена. Первое описание способа извле-
чения корня n-й степени и формулы «бинома Ньютона» для любого
натурального показателя встречается у самаркандского математика
Гпясэддина Джсмшида ал-Кашп (см. 10 ш к е в и ч А. П., О мате-
матике народов Средней Азин в IX — XV вв., «Псторпко-математн
ческпе исследования», вып. IV, М.—Л., 1951).
«Начала» Евклида Хайям здесь называет ал-истиксат от гре-
ческого названия этого сочинения Х—г/зи (стихии).
21. См. Е в к л и д, «Начала», кн. II, предл. 14 (т. I, стр. 78):
«Построить квадрат, равный данной прямолинейной фигуре».
22 Долпй числа п Хайям называет такую величину, которая
относится к единице так же, как единица к данному числу, т. е.
в наших обозначениях долей величины п является Термин «доля»
восходит к античной древности. В «Началах» Евклида целое число тп,
являющееся делителем целого числа JZ, называется «частью» пли
«долей» последнего: «Часть есть число в числе , меньшее в большем,
если оно измеряет большее» (кн. \ II, опред. 3; т II, стр. 9). «Долей»
1 I
греки называли и дрооь вида — ; например, — это трггоч р.=рос, т. е
третья доля. 10
23. См. Е в к л и д, «Начала», кн. XI, предл 12 (т. III, стр 22):
«К заданной п юскостп из данной на пей точки под прямыми [угла-
ми] восстановить прямую линию».
24. См. Е в к л и д, «Начала», кн IX, предл. 8 (ер. [8]). Веро-
ятно, ссылка Хайяма па восьмую книгу является результатом
описки.
25. Если х2-[-Ьх=а, то х= J/^a-h — -у • Отрицатель-
ные решения Хайям нс принимал. Выдвигаемое Хайямом для цело-
численности положительного корня требование четности «числа
120
Б. Л. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
корней» не обязательно: например, уравнение х2+Зх=10 имеет
положительный корень 2.
26. См. Е в к л и д, «Начала», кн. II, предл. 6 (т. 1. стр. 67):
«Если прямая липни рассечена пополам и к ней по прямой
приложена какая-либо другая прямая, то прямоугольник, за
ключенный между всей примой с приложенной и самой прило-
женной, вместе с квадратом на половине равны квадрату на
(прямой), составленной из половины и приложенной» (черт. 2).
т. е. (Ь }-х)х+(— ) — ~2 х ) • Д-чя геометрического еострое-
Ъ
2
Ъ
2
пня корпя далее следует приме-
ни и. теорему Пифагора.
27. Ec.ur х2-}-Ьх = а, то в
си iy указанного предложении
Евклида a ’
откуда
н
28. См. Евклид, «Начата», кн. \ I, предл. 25 (т. I, стр. 205):
«Построить подобную данной прямолинейной фигуре и равную
другой данной ту же (фигуру)».
Приводимое здесь «другое доказательство» решения квадрат-
ного уравнения х2-р10х = 39 впервые встречается в «Краткой книге
об исчислении алгебры и алмукабалы» Мохаммеда Хорезми, так
же как и самый пример (см. Вплейтпер Г., Хрестоматия
по истории математики, иер. сном., М,- .1., 1935, стр. 27 31).
29. См. Евклид, «Начала», кн. \ I. предл. 29 (т. I, стр. 211):
«К данной прямой приложить равный дайной прямолинейной
фигуре пара.тлелограмм с избытком в виде параллелограмма,
подобно!о данному».
Если иред.т. 6 кп. II «Начал» дает построение корпя уравне
мня х2ф-/ы — а с коэффициентом 1 при .г2, то предл. 29 кп VI
может служить дли построения корпя \равнения гх24-Ьх~а.
В самом деле, заменим параллелограммы па прямоугольники, что
пе меняет сути дела: пусть данная прямая есть Ь, а данный прямо
угольник имеет стороны />, у. Тогда, обозначив стороны избы
п
точного прямоугольника у, х, имеем у:г = р:а, у <= — х = су.
и (Ь-\-у')х = а, где а - площадь данной прямолинейной фигуры,
пли сх*-\-Ьл=а. Построение решения уравнения гх2 ф-да; == « приве-
дено в кн. А I, так как основано на развиваемом в ней учении
о подобии. Следует заметить, что в античной «геометрической
алгебре» соблюдается «принцип однородности»: складываются,
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМ* ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
121
вычитаются и приравниваются члены одинакового измерения (с есть
отношение отрезков р, д, а—площадь). Подробнее см. Цсйтеи Г. Г.,
Пстоппя математики в древности и в средние века, пер. с франц.,
,|31. 2-е. 31.-Л., 1938. стр. 42-48. 105-106.
30. См. Евклид, «Данные», предл. 59 (стр. 398): «Если
цшкый параллелограмм приложен к данной прямой с избытком,
то стороны избыточного параллелограмма известны».
31. Если а:24-й Ъх, то условие вещественности корня ]
Ь / b 2 b
Тогда нриа = ^— J , и .т=у
32. В качестве примера рас-
сматривается случай, когда число
корней Ь=10
33. См. Евклид, «Начала»,
кн. И, предл. 5 (т. I, стр. 65):
«Если прямая линия рассечена на
равные и неравные (отрезки], то
прямоугольник, заключенный ме-
жду неравными [отрезками] всей
прямой, вместе с квадратом на
отрезке между сечениями равен
квадрату на половине» (черт. 3),
т. е. х(Ь — =
переименовании отрезков для случ
Черт. 3.
b
при X < — или при простом
34. Евклид, «Начала», кп. VI, предл. 28 (т. I, стр. 209):
«К данной прямой приложить равный канной прямолинейной
фигуре параллелограмм, имеющий недостаток в виде1 параллели
грамма, подобного данному: необходимо же, чтобы данная прямо
пшенная фигура, равную которой надо приложить, была пе больше
(фигуры], построенной иа половине, подобной недостатку от
(фигуры] иа половине, it подобную которой надо взять в недо-
статке». Ср. (2*].
35. См. Евклид, «Данные», иредл. 58 (стр. 397): «Ec.ni дан-
ный параллелен рамм приложен к данной прямой с недостатком,
то стороны недостающего параллелограмма нзве тны».
П/. Z4 1> b b
оо. с лучаи х =— , х > — , х < —.
j 2 ’ 2 ’ 2
•37. При а >
38. Если а-\-Ьх = х2, то я=-^--ь|/ Друой ко-
рень отрицательный.
122
Б. Л. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
39. См. Евклид, «Начала», кн. II, предл. 6 (см. [2в])- Соот-
ветствующее преобразование в наших обозначениях имеет вид:
X
откуда
и т. д. Ср. Цой те и, пит. соч., стр. 45.
40. См. Евклид, «Начала», кн. XI, предл. 34 (т. III, стр. 50):
«У равных параллелепипедальных тел основания обратно пропор-
циональны высотам: и у каких параллелепипедальных тел основа-
ния обратно пропорциональны высотам, тс будут равны».
И. To-есть для двух данных линий а и Ь найти такие две
линии х, у, что а, х, у, Ь находятся в непрерывной пропорции
а : т = х : у = у : Ь.
42. На робела, гипербола и эллипс называются па арабском
языке соответственно кат* мукафй, дословно «достаточное сечение»,
кат* зайд, дословно «избыточное сечение», и кат* накис, дословно
«недостаточное сечение». Эти термины являются непосредственным
переводом греческих слов «-артро/.т;», «бг.ерЗоЦ» и «гХХгф;»,
от которых произошли наши термины «парабола», «гипербола»
и «эллипс» и которые дословно означают соответственно «прирав-
нивание», «избыток» и «недостаток». О происхождении этих назва-
ний см. Ц е й т е н, цит. соч., стр. 138. Там же см. о построении
двух средних пропорциональных с помощью двух парабол, пред-
ложенном Мепехмом (около 360 г. до и. э.) для решения задачи об
удвоении куба (стр. 65—68).
43. Вершиной (ра’с—дословно голова) конического сечения
Хайям называет то же, что н мы. Выражаясь языком аналитической
геометрии, можно сказать, что Хайям связывает с коническим се-
чением систему координат, координатными осями которой служат
главная ось кривой и касательная в ее вершине, а началом коор-
динат—вершина. Аполлоний, который, опять-таки говоря по совре-
менному, обычно относит конические сечения к более общей системе
координат, координатными осями которой служат произвольный
диаметр кривой и ка ательиая в его конце, называет вершиной этот
конец диаметра, являющийся произвольной точкой кривой. Осью
(сахм—дословно стрела) конического сечения Хайям называет
то, что мы называем главной осью кривой.
Вопрос о том. в какой мере можно говорить о наличии у Апол-
лония методов аналитической геометрии, системы координат и т. п.,
различные историки математики решают по-разному. См. статью
А. П. 10 ш к е в и ч а «О „Геометрии** Декарта» в кн.: Д е-
к а р т Р., Рассуждение о методе, пер. с франц, и латин., М., 1953.
44. Прямой стороной (по-арабски дпл* ал-кайм, по-латыни
lalus rectum) параболы, гпперболы п эллипса Аполлоний п средне-
вековые математики называли некоторый участвующий в их опре-
делении отрезок, по величине равный фокальной хорде этих кривых.
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
123
<г 61 их удвоенному параметру. Ср. В и л е и т и е р, пит. соч.,
с;р 124—125.
г 45. При этом построении Хайям пользуется предл. 52 кн. I
«Конических сечений» Аполлония (стр. 97): «Если на плоско-
сти задана прямая и один из ее концов, провести параболу, диа-
метром которой является данная прямая, вершиной—[данный]
конец этой прямой, для которой квадрат всякой прямой, прове-
денной из [точек] параболы к диаметру под данным углом, равен
прямоугольнику, заключенному между отсекаемой ей прямой от
вершпны параболы и другой данной прямой». Частным случаем
этого предложения является задача построения параболы по ее
вершпне, главной осп и «прямой стороне» (задание последней равно-
сильно заданию параметра параболы).
46. Координатным углом (завпййат ат-тартпб, дословно—угол
упорядочения) Хайям называет угол между главной осью п перпен-
дикулярными к ней хордами (у Аполлония это угол между одним
из диаметров и хордами, сопряженными с ним).
Ординатами (хатт ат-тартйб, дословно—линия упорядочения)
Хайям называет хорды конического сечения, перпендикулярные
К главной осп. Сопряженные с диаметром конического сечения хорды
Аполлоний называл «по порядку проведенными», что Ф. Комман-
дино (1509—1575) перевел в 1566 г. на латынь «ordinalim appli-
catae», т. е. по порядку или упорядоченно приложенные.
Отсюда произошли термины ордината и анликата. Отрезки диамет-
ра, соответствующие нашим абсциссам, Аполлоний называл «отсечен-
ными на диаметре от вершины» (т. е. отсеченными посредством ор-
динат). Коммандино перевел это «quaeab ipsi^ ex diametro ad verti-
cem abscinduntur»; abscindo значит отрезаю, отсекаю, отделяю.
Отсюда—термин abscissa, отсеченная, например, у Б. Кавальерп
(1591?—1647) в 1635 г. (’лова ордината и абсцисса широко употреб-
лял Г. В. Лейбниц (1646—1716), введший также в 1692 г. термин
«координаты».
47. См. А и о л л о и и й, «Конические сечения», кн. I, предл.
32 (стр. 58): «Если через вершину конического сечении провести
прямую, параллельную ординатам, она будет касательной к се-
чению,- и между коническим сечением и этой прямой не может на-
ходиться никакая другая прямая». Нумерация предложений
«Конических сечений» у Хайяма несколько отличается от обще-
принятой ныне.
48. См. А п о л л о и и й, Конические сечения, кн. I, предл. 52
(см. [«]).
49. См. Е в к л и д, «Данные», предл. 30, 25, 26 (стр. 344, 339
и 340): «Если из данной точки провести к данной прямой прямую
линию под данным углом, то проведенная линия будет известна по
положению». «Если две линии, известные ио положению, пересе-
каются, точка их пересечения известна по положению». «Если концы
прямой линии известны по положению, эта прямая известна по по-
ложению п по величине».
-50. Это соотношение устанавливается предл. 11 кн. I «Кони-
ческих сечений» Аполло н и я (стр. 21): «Если конус пересечен
124
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
плоскостью, проходящей через ось, и другой плоскостью, пере-
секающей основание конуса перпендикулярно основанию треуголь-
ника, проходящего через ось, и если при этом диаметр конического
сечения параллелен одной из сторон треугольника, проходящего
через ось (см. черт. 4), то квадрат всякой прямой, проведенной из
[точек] конического сечения параллельно линии пересечения секу-
щей плоскости и основания конуса к диаметру конического сечения,
равен прямоугольнику, заключенному между отсекаемой ею пря-
мой от вершины конического се-
чения и прямой, которая отно-
сится к прямой, соединяющей верши-
ну конуса с вершиной коническо-
го сечения, как квадрат основания
треугольника, проходящего через
ось, к прямоугольнику, заключен-
ному между двумя другими сто-
ронами этого треугольника; будем
называть это коническое сечение па-
раболой».
Это предложение выражает ос-
новное планиметрическое свойство
параболы, первоначально определяе-
мой как сечение конуса плоскостью,
параллельной одной из образую-
щих конуса. Дальнейшее изучение
свойств параболы у Аполлония опирается на это планиметрическое
свойство, распространяемое затем на любые диаметры и сопряжен-
ные с ними хорды.
Если обозначить GL через х, a KL через у, то названное
планиметрическое свойство выразится уравнением параболы в ко-
соугольных координатах у2 — 2рх.
Аналогично определяются у Аполлония эллипс и гипербола
п их основные планиметрические свойства, которые мы выражаем
уравнениями , р „
= 2рх Т — ж2.
а
51. Так как построенные параболы могут быть определены
уравнениями у~ = Ьх и х- = ау, то у : х = Ь : у и у : х — х : а, откуда
а : х =х : i/ = y : Ь.
52. Из \В : MG = MG : К следует, что ЛВ2 : MG2 = AB : К,
т. е. . 1С : МН = ЛВ : K—GF : ED.
53. См. Е в к л и д, «Начала», кн. XI, предл. 34 (см. [40]).
54. Из ЛВ : GM — GM : К следует, что АВ2: GM- — AB : К,
т. е. ЛС: НМ = ЛВ : K = GF : BL.
55. См. предл. 1 Хайяма. Основанном тела ABCD служит еди-
ничный квадрат АС, длиной—отрезок ВО.
с,. а b „ а
5о. Если—= —, то «двойным» называется отношение—,
b с с
f а \2 * а
г. о., говоря по-современному, (•£*)» квадрат отношения -у.
ПРИМЕЧАНИЯ Н ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА |2.'>
См- [e2J 11 Iе4] к трактату «Комментарии к трудным постулатам
книги Евклида».
Из АВ . Е = Е G — G: BD следует, что И : FK = (. \В : НК)2 —
=^(4В :Е)2^=АВ G = E BD = HK :BD.
Q назначении предл. 2 и 3 см. I59].
57. См. предл. 2 Хайяма.
58 См. предл. 1 Хайяма
59. Если данное уравнение имеет вид ж3 Ьх а. то 1Z? ] Ь,
Построенные Хайямом парабола и окружность могут
быть определены уравнениями z2 = ] Ь у н (х—-р/2 = (^0
пли —х \ — У2> вследствие чего абсцисса х точки пересечения
атих кривых удовлетворяет данному уравнению (положительное
направление осп абсцисс —влево; ось ординат направлена вниз).
Хайям получает это, сравнивая пропорцию ЛВ BE — BE.ED,
т. е Ь х — х:у,с пропорцией BL : LD = EL) : ЕС, т. е. х : у
= У
откуда Ь : .г2 = х :
и данное уравнение получается из этого равенства двух тел при
бавлением к обоим тела Ьх. Как впдпо из текста, Хайям вслед
за древними строго соблюдает однородность членов кубического
уравнения, все они оказываются «телесными» (ip [29|): Ь пре-
образуется в квадрат АВ2, а— в тело АВ2 ВС с помощью преды-
дущего вспомогательного предл. 2.
60. Уравнение а:3-|-6а,’ = а имеет единственный вещественный
корень, который всегда положителен, что очевидно из построения.
61. См. [«].
62 Поперечной стороной (по-арабски дил* ал-манл, но-латыпи
latus transversum) гиперболы или эллипса Кноллоппй и последую-
щие математики называли диаметр кривой, пересекающий ее в двух
точках У Хайяма поперечная сторона гиперболы есть отрезок веще-
ственной оси гиперболы, соединяющий ее вершины. Ср. [п] и [,!].
63 См. Аполло и и й, Конические сечения, кп I, предл. 54
(стр 101) «Если даны две ограниченные прямые, перпендикуляр
ные между собой, одна из которых продолжена со стороны прямою
угла, провести в плоскости этих прямых гиперболу такую, что
продолженная прямая есть диаметр сечения, вершина угла есть
вершина гиперболы и квадрат всякой прямой, проведенной нз [то-
чек] гиперболы к диаметру под данным углом, равен прямоуголь-
нику, который, будучи приложен к друюй прямой, имеет шириной
отсекаемую ей прямую от вершины гиперболы, вместе с прямо-
угольником, подобным и подобно расположенным по отноше-
нию к прямоугольнику, заключенному между данными прямыми».
Частным случаем этого предложения является задача вострое
®Ия гиперболы по ее вершине, вещественной! оси и «прямой и
126
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. II. ЮШКЕВИЧ
поперечной сторонам» (задание последних ранносильно заданию
полуосей гиперболы).
64. См. Аполлонии. Конические сечения, кп. I, предл. 21
(стр. 43): «Если в гиперсоле, эллипсе или окружности провести
ординаты к диаметру, их квадраты относятся к прямоугольникам,
заключенным между отсекаемыми ими прямыми от концов попереч-
ной стороны, как прямая сторона к поперечной стороне». Это
предложение определяет уравнение гиперболы, эллипса пли
окружности. В применении к гиперболе это предложение
2-
V2 2р а у2 Ъ2
можно записать в виде;-------------==/.==——. пли —-—^=.— ,
(ж-Г а) (я— а) га 2.а х2— а2 а2
что равносильно уравнению —— 4г — 1
65. См. Аполлоний, Конические сечения, кн. I, предл. 11
(см. 1501).
66. Если данное уравнение имеет вид хя-\-а~Ьх, то =
ВС = . Построенная Хайямом парабола может быть определена
уравнением х2 — У by. Так как прямая и поперечная стороны
построенной Хайямом гииероолы равны — , эта гипербола является
.. f , х~ у~ .
равностороннеи (для гииероолы —у — — = 1 прямая сторона равна
da
— , а поперечная равна с, так что из равенства этих «сторон»
— =с следует равенство c = d п может быть определена уравне-
нием Г х— и*1" х ( х----ВСЛСД(”ГЕПС
чего абсцисса х точки пересечения этих кривых удовлетворяет
данному уравнению. Хайям получает это, сравнивая пропорцию
BF : FE = FE : FC, т. е х : у — у : ( х—, с пропорцией AB.BF —
= BF : EF, т. е. ] Ь:х — х\у, откуда Ь:х2=х: х----или
х3 = Ь ^я:—~ , и данное уравнение получается из этого равенства
двух тел прибавлением к обоям тела, представляющего число а.
67. Уравнение х3 + а = 6х ’имеет всегда один вещественный
отрицательный корень, не учитывающийся Хайямом; два oi таль-
пых корня либо мьимы (задача невозможна), либо положительны
и равны, либо положительны и различны (у вида имеют) я раз-
личные случаи). Понятия о кратных корнях Хайям не имел;
оно возникло в XVII в., после того как А. Жирар (1595? —
1632) в 1629 г. п Р. Декарт (1596-1650) в 1637 г. сфор-
ПРИМЕЧАНИЯ к ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
127
ыулпровали теорему о числе корней алгебраического уравнения
л-й степени.
68 См. Аполлоний, Конические сечения, кн. I, предл. 32
(СМ. Г7])-
69. Если данное уравнение имеет вид л3 = Ьх + а, то .12?=) Ь,
ВС = — и not троенные Хайямом парабола и равносторонняя гипер-
b
бола могут быть определены уравнениями ж2 = у и _
__У2—пли х ^я + -^-^ = у2, вследствие чего абсцисса х
точки пересечения этпх кривых удовлетворяет данному уравнению
(положительное направление оси абсцисс здесь—направо). Хайям
получает это, сравнивая пропорцию CH . ЕН = LII: НВ, т. е.
) : у = у : х, с пропорцией ЕН : HB — EF : АВ, т. е. у : х —
— У'Ъ, откуда b : х2 = х : пли ж3 = & т* е-
z3=fcx4-a.
70. Уравнение х3 = Ьх-{-а имеет всегда один вещественный
положительный корень, два других корня отрицательны или
мнимы и ле учитываются Хайямом.
71. «Гиперболой, которую не встречают лилии ВС и BF»,
Хайям называет гиперболу с асимптотами ВС и BF.
72. См. Аполлоний, Конические сечения, кн. II, предл. 4
(стр. 121): «Даны две прямые, заключающие угол, и точка внутри
этого угла, провести через эту точку гиперболу, для которой дан-
ные прямые являются асимптотами».
73. См. Аполлоний, Конические сечения, кн. II, предл. 12
(стр. 128): «Если из точки гиперболы провести две прямые к асимпто-
там под произвольными углами и из любой точки гиперболы прове-
сти параллели к этим прямым, прямоугольник, заключенный между
этими прямыми, равен прямоугольнику, заключенному между
прямыми, к которым были проведены параллели». В частности,
если проведенные прямые параллельны асимптотам, это предло-
жение определяет уравнение гиперболы ху=К.
74. Если данное уравнение имеет вид ж3-рсж2 = а, то .42?= с,
BF=] а. Построенные Хайямом равносторонняя гипербола и
парабола могут быть определены уравнениями zy = (f а)~ и у2 =
= (x-J-c), вследствие чего абсцисса х точки пересечения этпх
кривых удовлетворяет данному уравнению. Хайям получает дан-
ное уравнение, сравнивая пропорцию AG : EG = LG : ВС, т. е.
' У = У ' I а, с пропорцией EG ВС = ВС : BG. т. е. у : )3 а =
= Fa:x, откуда ж2 : ()Га)а= : (ж-рс) или я2(ж4-с) = а, т. е.
128
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. 11. ЮШКЕВИЧ
Прп водимая Хайямом верхняя граница положительных кор-
ней х < f о для нас тотчас следует из уравнения х3-\-сх2 — а,
откуда хл < а. Вновь поставил проблему определения границ
корней Р. Декарт (1637), после чего ею занимались многие
математики: Ф. Дебон (1601 —1652), М. Ролль (1652—1719).
II. Ньютон (1642 —1727) и др
75. Уравнение х3-{-сх'~ — а всегда имеет один вещественный
положительный корень, два других отрицательны пли мнимы
76. Абу-л-Джуд Мухаммад ибн ал-Дейс, современник хорезм-
ского ученого Абу-р-Гейхана Мухаммада ибн Ахмада Бпруин
(973—1048), известен как автор решения ряда задач, приводящихся
к уравнениям третьей степени, поставленных Бпруин, Хазппом
и др. (трисекция угла, деление окружности на семь пли девять
равных частей). См. [125].
77. Если данное уравнение имеет вид х3-|-п = esc2, то
11 = ВС=^а. Если задача невозможна, так как при
г = ( а оудет 1 рп х < ] а оудет ст- < а и при х > ] а
будет хл >> cj~, что противоречит данному уравнению. Поэтому
] а < с. О трех случаях, различаемых Хайямом: ВС >.!/?,
BQ — AB, ВС АВ, т. е. f а > < — f a, f а —с— ]’ a, ] а < г — J а
см. [71] Построенные Хайямом равносторонняя гипербола пиара-
бола могут быть определены уравнениями ху = {\' а)- и у2—--
= | а (с х), вследствие чего абсцисса х. точки пересечения этих
кривых удовлетворяет данному' уравнению. Хайям получает это,
сравнивая пропорцию GC:BC=BC FG, т. е. x.fa = Ja:i/,
с пропорцией ВС: FG FG GA, т. е. $ а : у у:(с-х), откуда
х2 : (] я)2=Т а:(с — х) или а = х2(с —.г), п данное уравнение
получается из этого равенства прибавлением к обоим его частям
куба аг3
78. Уравнение х3-]-а = сх2 всегда имеет вещественный отрица-
тельный корень, но учитываемый Хайямом; два других корпя
либо мнимы (задача невозможна), шбо положительны и равны,
либо положительны и различны (задача содержит различные
случав).
Уравнение z3 + a = cx2 исследовал, как говорилось, Архимед
(см. [•’]), который установил, что положительное решение суще-
4с3 , v ..
ствует при Анализ Хайяма не исчерпывает все возмож
4с®
пости. Легко показать, что при а < ~ уравнение имеет два
положительных корпя и один отрицательный, при а
(случай
касания параболы и гппербо ibi) — двойной положительный и один
4с3
отрицательный, при а> —-----два комплексных и один отряда-
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
с2 34С”
тельный. Согласно Хайяму при а< — =—
положительных
(т. е.
при
положительных
положительного
корня,
корня,
при
либо
корня, а при
4?— Г а) уравнение имеет два
о 3 з
3«-с
а > ——— может лноо иметь два
один (наш двойной), либо не имеет
а>-с3 не имеет положительного корпя.
Важно заметить, что здесь, как и в случае уравнения
_|_а Ьх, мы впервые в истории алгебры встречаем явное указа-
ние на возможность существования у кубического уравнения двух
(положительных) корней.
Задача Архимеда, как говорилось в [3] явилась предметом
занятий многих математиков Востока. Автор одной арабской
рукописи, которым, быть может, был ал-Кухп (о нем см. [ss]),
произвел анализ условий разрешимости этой задачи и показал
подобно Архимеду, что положительное решение существует при
4с3
• Подробнее см. в приложениях В и С к изданию Венке,
стр. 96—114; см. также [12] к геометрическому трактату Хайяма.
79. Если данное уравнение имеет вид rc3 = cz2-|-a, то АВ = с
. Построенные Хайямом равносторонняя гипербола
и парабола могут быть определены уравнениями ху=}^ас и
у2 = с(х — с), вследствие чего абсцисса х точки пересечения этих
кривых удовлетворяет данному уравнению. Хайям получает это,
= с: у,
сравнивая пропорцию АК : ВС = АВ : ЕК, т. е. х:
с пропорцией ИТ?2: ЕК2 — АВ : 2?А’, т. е. с2: у2 = с : (х — с), откуда
с:(х — с)—х2: пли а = х2(х — с), и данное уравнение полу-
чается из этого равенства прибавлением к обеим его частям тела сх2.
80. Уравнение х3~-сх2 + а имеет всегда один вещественный
положительный корень; два остальных корпя всегда мнимы.
81. Если данное уравнение имеет вид х3-\-сх2-[-Ьх=а, то
ВЕ= ВС = -^~ , BD~c. Построенные Хайямом окружность и
равносторонняя гипербола могут быть определены уравнениями
(а \2
Т~с
х----^-1 +у2 =
—4
ь
2
§ Историко-матем. исследовании
или у'
130
Г.. V РОЗЕНФЕЛЬД II А. II. ЮШКЕВИЧ
11
X (у+ ] Ь)= -^= 11’111
1 6
«?/=1 ‘(у-«)>
вследствие чего абсцисса х точки пересечения этпх кривых удо-
влетворяет данному уравнению. Хайям получает данное уравне-
ние, сравнивая пропорцию GL : LC=EB BL, т. е. у : —х) =
= ) Ь х, с пропорцией GL2: LC~ = DT. I.C,x. е.
гГ:(т (*+“ :(т-г)'
откуда
(.т + с) : (^ — х )=ь -xi
или х3 4- сх2 = а — Ьх, и данное уравнение получается из этого
равенства двух тел прибавлением к обоим тола Ьх.
82. Уравнение х3 -|- сх2 -\-Ьх=а имеет всегда один веществен
ный положительный корень: дна других корпя отрицательны и ш
мнимы.
83. Если данное уравнение имеет вид х3-|-сх24-о = 6х, то
1В = /6, ВС=с, В1)*=~ . Построенные Хайямом дне равносто
ронине гиперболы могут быть определены уравнениями
НЛП fx-|j(x + e)
x{Vb-y) = -^=
У Ь
п in ху
вследствие чего абсцисса х точки пересечения этих кривых удо
в ютворяет данному уравнению. Ханям получает это уравнение,
сравнивая пропорцию АВ . BL = HL : LL), т. е. y'b : а; = у —,
с пропорцией IIL2 LD'-=CLLD, т. е. у2 : х—=
= (х4-с): х —, откуда (л-|-г) : у =е 6 ; .с2 или ж3 f-
4- сх2 = Ьх — а, и данное уравнение получается из этого равенства
двух тел прибавлением к обоим тола, представляющего число а.
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
13!
84- Уравнение ж3+сх2 + а=5« всегда имеет вещественный
отрицательный корень; два других корня либо мнимы (задача
невозможна), либо положительны н равны, либо же положи-
тельны и различны (задача допускает различные .случал).
Двойной положительный корень, соответствующий случаю
— с 4- с2 • 36 г.
касанпя гипероол, равен ---------------. Это значение легко по-
лучить, рассматривая корни уравнения а:3 + сх2 4- а = Ьх как абс-
циссы общих точек кривой у = х3-\-сх2 и прямой у——а-уЬх
и записав условие их касания: Зх24-2сх = />.
85. Если данное уравнение имеет вид х3 + Ьх 4 а сх2, то BE = с,
ВС = 1 '&» = 11°етРос1|||Ые Хайямом окружность и равно-
сторонняя гипербола могут быть определены уравнениями
п
•С (У — У^} = -А- ПЛ II зу^=Уь(х-\-^-
у ь ч ь
вследствие чего абсцисса х точки пересечения этих кривых удо-
влетворяет данному уравнению. Случаям, когда точка G лежит
внутри круга, на его окружности и вне его, соответствуют соотно-
шения коэффициентов Ь2 < ас,Ь2=ае и Ь2 > ас, подслучаям первого
из этих случаев, когда точка Н лежит внутри круга, на его
окружности и вне его, соответствуют соотношения коэффициентов
( У а)3 -|- Ь'2 У с < Ьс У а, (^«)3 + Ь'2 у/ с = Ьс У а
и
( У а)3 -J- Ь2 У с > Ьс У а.
Хайям получает данное уравнение, сравнивая пропорцию
LK:KA = CB: КВ,
т- ₽• У : = У&: х, с пропорцией LK2: КЛ2 — ЕК : КЛ,
т- У2 : ) = (с —х) : » откуда
(с —х)

ЭТОГО
11 сх —х3==Ьх-[-а, п данное уравнение получается из
" Bt>RKTBa Дв*х тсл прибавлением к обоим куба х3.
f Уравнение х3 4- Ьх -f- а = сх2 всегда имеет вещественный
Р Нательный корень; два других корня либо мнимы (задача
132
Б А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. II. ЮШКЕВИЧ
невозможна), либо положительны и равны, либо положительны
и различны (задача допускает различные случаи).
87. (10 — + =72 или х3 + 13-|-х + 5= 10х2. Это
у равнение имеет корни х = 2 и х = 4 ±-^- У 74 .
88. Абу-с-Сахл Вайджан ибп-ар-Рустам ал-Ьухй, математик
и астроном г. Кух в Табаристане (к юго-западу от Каспийского
моря), работавший в Багдаде в конце X века, автор коммента-
риев к «Началам» Евклида и «О шаре и цилиндре» Архимеда и
ряда трактатов ио геометрии и астрономии.
89. Абу-Абдаллах Мухаммад ибн Ахмад аш-Шаппй жил
во времена Бируни и Абу-л-Джуда пли немного ранее (см. [7в])—
автор нескольких геометрических трактатов.
90. Если данное уравнение имеет вид х3 = сх'--\-Ъх-\-а, то
BE = У Ь, АВ=-^ , ВС = с. Построенные Хайямом две равно-
сторонние гиперболы могут быть определены уравнениями
пли у
и х (у—>лЛ)=——= нлп Х1/ =
1 1>
вследствие чего абсцисса х точки пересечения
этих кривых удовлетворяет данному уравнению. Хайям получает
это уравнение, сравнивая пропорцию FN : AN = ВЕ : BN, т. е.
у : ( = ) b :т, с пропорцией FN2 : AN~ = NC : AN, т. е.
откуда (х—с):
У : + у J ={х— с) : +
= Ь. х2 пли х3 — сх2=Ьх а, и данное уравнение получается
из этого равенства двух тел прибавленном к обоим тела сх2.
91. Уравнение х3 = сх2 -р bx-}-a всегда имеет вещестнеппый
положительный корень; два других корпя отрицательны нлп мнимы
92. Если данное уравнение имеет вид х3 сл2 = 6а:-|-а, T"
ВЛ = Уь, СВ = с, S = АВ=^ . Построенные Хайямом две равно
сторонние гиперболы могут быть определены j равнениями
ж (у — У^)~ или
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
133
Н
11.111
!Г = (*т|)(г4-с).
вследствие чего абсцисса х точки пересечения этих кривых удо-
влетворяет данному уравнению. В первом случае (^77 <с^ Хайям
получает это уравнение, сравнивая пропорцию НК : КА=МК : КВ,
т. е. у:^а?4--у =уЪ:х, с пропорцией НК- КА2 = СК:АК,
т. с. = (* + <*) : (а-г , откуда
(х 4- : ( х-f- у \ = Ь : л2 или х34~ схг = Ъх 4- а.
В третьем случаи ( у > с Хайям получает то же уравнение,
сравнивая ту же первую пропорцию с пропорцией НК2:КС2 =
= АК :КС, т. е. у2: (ж 4 <)- — Qt4- у^ : (rr-J-c). Во втором слу-
чае ^у= уравнение можно переписать в виде?3 4- сх2 — Ьх ~-Ъс,
откуда х2 (х 4- с) Ь (.1’4- с) и х — I Ъ; в этом случае вторая равно-
сторонняя гипербола вырождается в пару прямых (x4"f)2—У2 — ^
и корень уравнения является абсциссой точки пересечения первом
равносторонней гиперболы с прямой, проходящей через точку
А=С под углом 45° к прямой АВ
93. Уравнение х3 4- сх2 = Ьх4- а имеет всегда один веществен-
ный положительный корень, два других корпя отрицательны или
мнимы.
94. См. Аполлоний, Конические сечения, кн. II, предл. 49
(стр. 163): «Даны коническое сечение и точка, не лежащая
внутри его, провести через эту точку касательную к коническому'
сечению».
95. Если данное уравнение имеет вид х34-Ьх = сх2-\-а, т0
#С = с, ВН=}/Ъ, S = AB=~. Построенные Хайямом окруж-
ность и равносторонняя гипербола могут быть определены урав-
нениями
К?4 Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. II. ЮШКЕВИЧ
II.I1I
У2 = (^Х~ х) ц r(/b—?/) = _£_
или
XI/ = УЪ^Х— ,
вследствие чего абсцисса х точки К пересечения этих кривых
удовлетворяет данному уравнению. В первом случае (^~ <
Ханям получает это уравнение, сравнивая пропорцию КЕ: ЕЛ=
= BD : BE, т. е. у.(^х— Ь : х, с пропорцией КЕ2 : ЕА2 =
= ЕС:ЕА, т. е. у2 : (^х—= (с— х):^х-------------, откуда
Ь:х2 =(с—х): (х—пли Ьх—а = сх2—х3, н данное уравнение
получается из этого равенства двух тел прибавлением к обоим
тела, представляющего число а, и куба х3. В третьем случае
Ханям получает то же уравнение, сравнивая те же две
пропорции, которые в этом случае могут быть переписаны соот-
ветственно в виде —х^ = УЬ:х и =
Следует заметить, что абсцисса другой точки А пересечения
„ а
окружности и гппероолы, т. е. х = —, в этих случаях куопче
с кому уравнению не удовлетворяет: система
У‘ = (^
ху= УЬ (х —
дает при исключении у уравнение четвертой степени
имеющее корень
а
Т’
который отсутствует у уравнения
Ь ( а -\
—( X---— ) =с—X или
Ь J
х3 + Ьх = сх2 + а.
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТ АТУ X \ПЯМ А
135
(а \
Во втором случае < —=с 1 уравнение можно переписать
п виде ж34-Ьл = сх2-г-6-’, откуда х (х2 + Ь) = с (х2-|-Ь) и х — с;
оьр^жность тогда вырождается в точку С— 1 _с координатами
(с, 0).
96. Уравнение х3 -J- Ьх = сх2 а всегда имеет одни вещественный
положительный корень Во втором и третьем случаях
it ( а Л
два других корня мнимы. Но в нервом случае ( - < с \ два дру-
1 их корня могут быть как мнимыми, так и вещественными поло-
жительными, которые в свою очередь могут быть равны или же
различны. Таким образом, в этом случае уравнение может иметь
три различных вещественных положительных корня. Это важное
обстоятельство нс было замечено Хайямом, анализ которого здесь
пе полон. Характер корней уравнения
хя — сх2 Ц- Ьх—о = 0
зависит от значения его дискриминанта
1) = —faiс3Ь2с2 У 18аЬс—'ib3 — 27 а2.
При 1) < 0 (что, как нетрудно проверить, наверное имеет место при
а . и
— > с, но может оыть п при —
Ъ Ь
тельный корень и
(уравнение имеет один положи-
тельный корень и два мнимых. При D = 0 уравнение, имеет три
положительных корня, причем совпадают либо два, либо все три.
При /) > О оно имеет три различных положительных корня (в этом
случае окружность и ветвь гиперболы имеют еще две упущен-
ные Хайямом из виду точки пересечения между Л и Л).
Наличие у кубического уравнения трех корней было замечено
Дж. Кардано (1501 —1576). Подробнее см. Цейтеп Г. Г., Исто-
рия математики в XVI и XVII веках, пер. с пом., изд. 2-е, М.— JL,
1938, стр. 94 и след.
97. Если данное уравнение
ВС = с, BD=]Sb, S~AB—^-.
b
сторонние гиперболы могут быть
/ °\2
-У==Ы
имеет вид х3 + о «= сх2 -f- Ьх, то
Построенные Хайямом две равно-
определены уравнениями
а
b
пли
У
и
XIJ-
X ( /б— у) = -^=- пли
вследствие чего абсцисса х точек
олетворяет данному уравнению. В нервом случае
пересечения этих кривых удо-
Хайям
136
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
получает это уравнение, сравнивая пропорцию ME : ЕА-
= BD : ВЕ, т. о. у : х—= у^Ь : х, с пропорцией ME2 : ЕА2 —
= СЕ : ЕЛ, т. е. у2 : Г х— = (х—с) : (х— у J , откуда
Ъ:х2
\х—с
или Ъх—а х3—сх2, и данное уравнение
х—
Ъ )
получается пз этого равенства двух тел прибавлением к обоим
тела, представляющего число а, и тела cj2. В третьем случае
^у > Хайям получает то же уравнение, сравнивая те же две
пропорции, но проводит вторую равностороннюю гиперболу не через
правую, а через левую вершину первой равносторонней гиперболы.
Во втором случае ^у = с J уравнение можно переписать н виде
х3-{-Ъс = сх2-\-Ъх, откуда х (л2 — Ъ) = с (х2 — Ь); в этом случае первая
равносторонняя гипербола вырождается в пару пересекающихся
прямых (х—с)2 — у2=0 и найденный Хайямом корень уравнения
с является абсциссой точки пересечения этих прямых (А —С),
являющейся в то же время точкой их пересечения со второй рав-
носторонней гиперболой.
В кн. IV «Конических сечении» Аполлоний детально исследует
вопрос о наибольшем возможном числе точек пересечения или ка-
сания двух каких-либо конических сечений.
98. Уравнение х3а = сх24-Ьх в первом и втором случаях
с*') всегда имеет два вещественных положительных корня,
один из которых в обоих случаях был упущен Хайямом. В нер-
вом случае корень является абсциссой точки пересечения второй
равносторонней гиперболы с правой ветвью первой равносторонней
гиперболы, не рассматривавшейся Хайямом. Во втором случае,
кроме найденного Хайямом корня х = с, имеется также корень
x=Yb, так как уравнение л3-}-Ьс—сх2 -Ьх, кроме вида
я-(ж2 — Ъ) — с(х2 — Ь), можно также переписать в виде х2 (х—с)=-
— Ъ(х—с), что вполне соответствует найденному Хайямом случаю
первого из последних трех видов уравнений, входящему в третий
пз этих видов; корень х = ) Ь является абсциссой точки пересе-
чения второй равносторонней гиперболы с прямой, проходящей
через точку А=С под углом 45° к прямой ЛВ, т. е. второй
точки пересечения прямых (х—с)2 —у2 = 0 со второй равносторон-
ней гиперболой. В третьем случае ^у > уравнение может
иметь два мнимых корня пли два вещественных положительных
корня, которые могут быть равны и различны. Во всех трех сл>
чаях уравнение имеет один вещественный отрицательный корень,
не учитываемый Хайямом.
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХАПЯМА
137
Двойной положительный корень, соответствующий случаю ка-
- с + 1/ с1 2 + ЗЬ ,
санпя гипербол, равен-----—!----- (ср. [8‘]).
99. Хайям ошибается: он показал, что имеется случай первого
вида, являющийся случаем третьего вида; как мы уже указывали,
он упустил соответствующий этому случаю третий вид, являющийся
случаем первого вида.
100. Из двадцати пяти видов уравнений только 7 видов, x2-j
^-a = br, х3 + Ьх = сх2, хлА-а = Ьх, х2-\-а = сх~, х3 + сх2 + а = 6х,
а;3 6х + а = ст2, г3 + « = са:2 + Ьх, допускают случаи, когда уравне-
ние не имеет вещественных положительных корней.
101. Величины, обратные неизвестной и ее степеням до 0-и
включительно, впервые встречаются в «Арифметике» Дно ф а н-
т а (III век н. э.), который изложил правила умножения хп па
1
—- и рассмотрел некоторые j равнения, содержащие такие алгео-
х,п
раичсскпе дроби. Диофант называл неизвестную ар'.Оро; (число),
ее квадрат бймяил; (сила, состояние, степень), куб хбЗо; (куб), чет-
вертую степень buvauotrjvajja; (квадрато-квадрат), пятую ojvaaozujo;
(квадрато-куб), шестую 7.иЪхб.Зс; (кубо-куб). Обратные величины
именовались соответственно ар'Ои-.стбх, ou\auoatc\ и т. д. «Ариф-
метика» Диофанта была переведена на арабский язык нс позднее
конца IX века. См. также [22].
102. Уравнение-^5-=—— равносилья' уравнению г2 = —з;
1
так как корнем последнею является -=— , корнем первого являет-
ся х = 2.
103. Уравнение.-„- +2-^-= 1равносильно уравнению г2 +
2з = 1 — ; так как корнем последнего является з = — , корнем
первого является х — 2.
1113
104. Уравнение + 3 4- 5 — = 3 — равносильно уравне-
нию з3 + 3з2 + 5г = 3; если корнем последнего является г, то
О
1
является — .
корнем первого
105. Хайям располагает степени в следующем порядке: х'.х2,
число, -1 _1
х ’ х
НИ1° г2*3 = 10, откуда х~
1 1
— . >равнение я3 = 10-^- равносильно уравне-
138
В, X. РОЗЕНФЕЛЬД И л. П. ЮШКЕВИЧ
11 1
106. To-есть для любого х : х— = 1, х2 — = 2, я10 — = 10
хх х
и т. д.
1
107. У’равнение я2 =16—равносильно уравнению т2.г2 = 16,
откуда х2 = 1.
1
108. Уравнение х=4— равносильно уравнению хх = 4, откуда
х= 2.
1
109. Уравнение х2 — а— равносильно уравнению х2х-‘= а; для
его решения нужно найти четыре средних пропорциональных
между 1 и а, так как если 1 : х=х : у = у : z = z : и= и : а, то х5 = а.
110. Абу сАлй ал-Хасап ибн Хасан ибн ал-Хайсам ал-Басрй
(965—1039), известный в Западной Европе под латинизированным
именем Альгазеиа из Басры (Ирак), работал в Каире. Один из
кру ннепшпх математиков, физиков и астрономов Востока, автор
«Оптики*, переведенной па латинский язык в XII веке и изданной
в Базеле в 1572 г., комментариев к первым пяти книгам «Начал»
Евклида и ряда трактатов по геометрии, арифметике, физике
и астрономии.
111. Хайям, очевидно, имеет в виду умножение а-3 нс на
, а па х1. У равнение х3 = а —2 равносильно предыдущему урав-
нению. Построение нбп Хапеама не сохранилось.
112. Хайям опять-таки имеет в виду умножение х2 не на — ,
1
а на х. Уравнение х3 -- 16 — равносильно уравнению х3х=16,
откуда х = }у 1^16 = 2.
113. Это сравнения: х3 = а —, хг = а —х=а-^.
1 х х“ а3
1
111. Уравнение х= 1 4-2 — равносильно уравнению я2 = а;4-2,
откуда х — 2.
115. Уравнение х2 -г 2z = 1 4- 2 — равносильно уравнению
а:3 2х2 = х 4- 2
1 1
116. Уравнение а;4-2-}-10 — = 20 — равносильно уравнению
х34-2г24-10х = 20.
117. Уравнение х24-2х = 2-]-2 равносильно уравнению
х44-2х3 = 2х2Ч-2.
ПРПЙЕЧЛНПЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
139
Математики Востока овладели н построением корней отдельных
уравнений 4-й степени. В своем издании алгебры Хайяма Вепке
приводит (стр. 115—116) анонимное решение одной такой задачи,
в котором говорится, что «в течение некоторого времени алгебра-
исты и геометры предлагали друг другу эту задачу, причем ни те,
нп другие не дали ее удовлетворительного решения*.
В задаче требуется построить трапецию ABCD, у которой
ab=ad = 2?С=1()и площадь равна 90. Решение приводится к по-
строению корня уравнения 4-й сте-
пени следующим образом (черт. 5).
Представим себе задачу решенной и
опустим из А перпендикуляр ЯЛ”
на продолжение CD. Обозначим
/)К = з, тогда (10 — з)ЛА'= 90 и
(Ю — -)2 АК- = 902, а . 1А'2 = 102 — z2,
так что
(10 -з)2 (100—з2) = 90-
Черт. 5.
перпендикулярно
’ 9/ю-1/Л т. е.
пли
з1+ 20003 = 20с3-1- 1900.
Восстановим
к АВ отрезок ВЕ
отрезок, равный отношению данной
площади к данной длине трех сто
рон. Проведем через Е гиперболу
ЕС, для которой АВ, -1Z служат асимптотами и уравнение кото-
рой (ось абсцисс В А, ось ординат BI:):
(10—х) //=90.
Построим окружность с центром в В и с радиусом -W = 10:
х2 + //2 = 102.
Эта окружность пересекается с гиперболой, ибо АВ > BEJ и
абсцисса их точки пересечения численно равна корню уравнения
(10—z)2(100—х2) = 902.
Если обе кривые проведены, дальнейшее построение ясно: строим
ВС—В А и В. ID = <QABC, проведя AD =ВС. Опустим па 2?-1
перпендикуляр CL. Треугольник CBL равен треугольнику ADK,
значит, ил”. ЛЯС’Р=ил. ALCK = ил. ABEZ=W.
118. Эю — уравнения: х = а, х2 = а, .т3 = «. х2 — ах, х3 = а.х,
гз „ , 1 ‘ 1 1 1 1 1 1 I
^J = ax-, -— = а—г, = и, —=<i, —,=а — , —
х3 х- х2 у. х. xf х х-
1 1 1 1 „ 1 I n J 3
К^- = аа:, —=- = а, — — ах, — =ах2. — = а.г. — —ах-, —=ах3,
х X3 X2 X ХЛ X- X
л_ , .. 1 1
'^з-=агл, разредлнмые методами лаияма. и ах-, — — ах"
разрешимые методом ибн Хансам а.
140
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
119. Это—уравпенпя: х2А-Ьх = а, х2 + а = Ьх, х2 — Ъх-\-а,
* 1 1
а:3 -{- Ьх2 = ах, х3-\-ас = Ьх2, х3 = bx2 -J- ах,-[-а = Ьх,-^Ъх=а,
1 / 1 1,1,11 1 . , 1 , 1
— = а 4 Ьх, —з- а —— Ь, —г 4 Ь = а — , —^- = а -—\-Ь, —- 4- а —
х х1 х х2 хх2 х ' х3 х2
, 1 1,1 1 1 1 , , 1
= 6 — , — + Ь~ = а — , ——=а—4-6—.
х хА х х- хА х2 х
120. Это — уравнения: x3-\-bx — a, x3 + a = bx, x3 — bx-ia,
х34-6х2-— а, х3-^-а — Ъх2, х3 =Ьх2А-а, -Дт-4-а — = 6, -Д.-4 6—а — ,
хл х х3 ' х
111 1 1 1
—.г = °-F Ь, —— 4~G = fex, —--\-bx~a,—Г = а4-Ьх.-\-ах = Ьх2,
хА х х2 х2 х2 х
1 1 ill 111
х х х3 х2 хА х2 хА х2
11 1 1111 1
—т + °— — Ьх, —~-]-Ьх = а —, —— = а \-Ьх, {-а — Ьх2,-1-
х- х х- хх-х х х
1
Ьх2 = а, — = а4- Ьх-.
х
121. Это — уравпенпя; х34~сх2 -г bx = a, x34-cx24-« = 6x, ж3Ч~
4~&х 4- а — сх2, х3 = сх2 4- Ьх а, х3 4- сх2 — Ьх 4- а., х3 4 Ьх — сх2 4- я,
з , „,1,1,1 1 1 , I I
х3-|-а= сх- 4- Ьх, —т“гл—т + 6— = с, —^--г« -г с — Ь — , —- 4
х3 х- 1 х х3 ‘ х2 хх3
. 1 . 1 I 1,1 1,1,1, 1
+ «---^с = а~Т ’ Т=а~т+6—Нс» —+ °—7 = 6----------Fc> т+
х X2 хА х- х хА х2 X X3'
, , 1 1 , 1 . 1 , , 1 1,1, 1 ,
-[-Ь — = а—-Д-с, -—-{-с—а—^-4-Ь — , —г4а |-6 —сх, —г4-
х х2 х3 х2 ' х х2 х х2
1 1 111 11
+ «---\-сх = Ь, —— 4- Ьн сх = а —, —г = а-Ь^4-сх, —^-4-а— =
х х- х х- х х- х
111 11
= Ь+сх, — -|-6-=а — 4-сх, —\-cx-a — 4-6, —4-о4-6х = сх2,
1 1 11
1-а4-сх- = Ьх, 1- Ьх4-сх2 — а, — = а А-Ьх-\- сх2,-|-а—Ьх + сх2,
х-----------------------------------------------------------г-х х
——}-6х = а4-сх2,-1-ех2 = а 4-6х.
122. «Углом, объем.тющпм гиперболу», Хайям называет угол
между ее асимптотами.
123. To-есть GB BC=GII :GA. Переставленной пропорцией
д 1Я пропорции a.b = c\d называется пропорция a c = b:d
(см. Евклид, «Начала», кн. V, оирсдел. 12 (т. I, стр. 143):
«Переставленное отношение есть взятие [отношения] предыдущего
к предыдущему и последующего к последующему»),
124. См. Аполлонии, Конические сечения, ки. I, предл. 20
(стр. 42): «Если в параболе проведены две ординаты от [точек]
сечеппя к диаметру, отсекаемые ими на диаметре прямые от вер-
шины относятся, как квадраты первых прямых». Частным случаем
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМ* ТРАКТАТУ К \1IHM К
141
?/1 а 1
этого предложения является соотношение -±- =—-, являющееся
У* Х2
непосредственным следствием уравнения параболы у2 = 2рх.
125. Если данное уравнение имеет вид а = сх2, то АВ —с,
0С = ~\ fl Построенные Хайямом равносторонняя гипербола л на
рабола _здесь также могут быть определены уравнениями
ХУ == (Л)2 и а (с — х), вследствие чего абсцисса х точки
пересечения этих кривых удовлетворяет данному уравнению.
В основном тексте тракта Ханям показал, что задача возможна
(имеет вещественные положительные корни) только при fa < г
и различил три случая: ] а >—, у а=—, ] а < — (см. ["|
и [78]). Абу-л-Джуд считал, что в случае J а -S построенные
3 £
кривые касаются в точке />, а при ] а > — вовсе не встречаются.
- ,з— с
Хайям показывает, что, напротив, при ) а = ~2 эти КГПВЫС оиЯ
зательно пересекаются в некоторой точке, отличной от D, а при
] а > эти кривые могут встретиться в одной или двух точках.
Последнее утверждение ;ц называется примером: по Л^ = с= 10G7?
Хайям находит а=х2 (с—а-) = GB2GA — 144, откуда ffa = ] 144 >
> 125 = 5-—-^-: далее он показывает, что соответствующие гипер
бола и парабола встречаются в точке Н. Другой положительный
корень уравнения равен 2 + 2/7, а отрицательный есть 2 — 2 | 7.
о X- -• зг— с
Затем Ханям хочет привести пример случая, когда ) а> — ,
но кривые не встречаются: он рассматривает данное уравнение
ври с = 80 и ]/' « = 41 и строит точки параболы с абсциссами
ВС — fT а = 41 и ВК = fаА-~ (с- j «)=41 + ~ -39. Ординаты
этих точек соответственно равны LC = | | «(с—| «) =
= /41-39= /Тэ99 < 40 и = (с—]а'«)~(с—Г«) =
= ”|/~ ]/' а(с —f/ a)=-^-LC < 20, а ординаты точек гиперболы
з— 412
с темп же абсциссами равны CD = y а- 41 и KN=---------т?-->
41 + 4-39
4
. 4Р 1
2741= 20— , откуда Хайям делает вывод, что построенные им
112
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД II А. 11. ЮШКЕВИЧ
кривые не пересекаются. Здесь Хайям ошибается, так как на
самом деле кривые, построенные нм, пересекаются в двух точках,
между точками, рассматриваемыми Хайямом, что видно, напрн-
11
мер, пз того, что при промежуточном значении т = — -41 = 45,1
ордината точки гиперболы равна — 41=^37,3 н меньше, чем ордп-
пата точки параболы, равная

= /11-34,9 =^37,8.
Черт. 30, в выполнен в соответствии с числовыми данными
Хайяма.
126. Таким образом, задача сводится к построению паралле-
лепипеда сх2 с известным ребром с, которое, если отпять от пего
куб xs, будет равно телу а. Ср. терминологию геометрической
алгебры древних греков [-9] и
127. В рукописях, на которых основан наш текст, год нераз-
борчив. Основная часть трактата была написана Хайямом за 5 .чет
до ого окончания н при этом до 1074 г., когда Хайям был при-
глашен ко двору Маликшаха. Значит, трактат был закончен не
позже Ю79 г. 'Гак как в 1077 г. Хайям закончил свой геометри-
ческий трактат, то алгебраически», вероятно, был готов значи-
тельно ранее.
Дата составления алгебраического трактата может быть опре-
делена пз следующих соображений. 23 число первого рабня за пе-
риод с 1049 по Ю79 гг. приходилось в:
441 г. хиджры на пятницу, 25 августа . . . 1049 г. и. 3.
442 » » » среду, 15 ашуста .... 1050 » » »
443 » » » воскресенье, 4 августа . . 1051 » » »
444 » » » четверг, 23 пиля . . 1052 » » »
445 я » вторник, 13 июля .... 1053 » » )>
446 » » » субботу, 2 июля 1054 » » »
44/ » » » четверг, 22 июня .... 1055 » » »
448 » » » понедельник, 10 нюня . 1056 » » »
449 » » » пятницу, 30 мая 1057 » » »
450 » » i реду, 20 мая 1058 » » »
451 » » > воскресенье, 9 мая . . . 1059 » » »
452 » » » четверг, 27 ащ еля . . . 1(4>0 »> » »
453 » »> >> вторник. 17 апреля . . . 1061 » » »
454 » я » субботу, 6 апреля .... 1062 » » »
4 лэ » » среду, 26 марта 1063 » » »
4э6 » » понедельник, 15 марта . . 1064 » » »
4а/ » »> » пятницу, 3 марта .... 1065 » » »
'ы8 » ь » среду, 22 февраля .... 1066 » » »
459 » я » воскресенье, И февраля.. 1067 » » »
460 » » » четверг, 31 января . . . 1068 » » »
ПР11МЕЧ \uiih КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ \ ШИМ \ 1
461 г. хиджры на вторник, 20 января . . . 1069 г. II. э.
462 » » » субботу, 9 января .... 1070 » »
463 » » » среду. 29 декабря .... 1070 » » »
464 » » »> понедельник, 19 декабря . 10/ 1 » »
465 » » » пятницу, 7 декабря . . . 1072 » » »
466 » » » вторник, 30 ноября . . . 1073 » » »
467 » » » воскресенье,16 ноября . . 1074 » » »
468 » »> » четверг, 5 ноября .... 1075 » » »
469 » » » вторник, 25 октября . . . 1076 » » »
470 » » субботу, 14 октября . . . 1077 »
471 » 1> » среду, 3 октября .... 10/8 » » »
472 » » » ноиеде;1ЫП1К, 23 сеитяоря 10/9 » »
(см. Синхронистические таблицы для перевода исторических дат
по хиджре на европейское летоисчисление, Л., 1940 и Синхрониче-
ские таблицы для перехода от лунного летоисчисления к сол-
нечному и обратно, под ред. Г. Д. Мамедбейлн. Баку, 1949).
Однако применительно к эпохе Хайяма необходимо учесть еще
одно обстоятельство. Выдающийся узбекский астроном Улугбек в
своих «Новых Гураганскпх таблицах» сообщает, что календарь Хай-
яма вступил в силу в воскресенье 5 ша бана 4(>8 г. или в пятницу
10 рамазана 471 г., а по указанным таблицам этим дням соответ-
ствуют понедельник 14 марта 107В г. и суббота 1G марта 1079 г.
(см. Кар ы-Н и я з о в Т. И., Астрономическая школа Улугбека,
М.—Л., 1950, стр. 118). Поэтому применительно к данной эпохе сле-
дует каждый день педели по указанным таблицам заменить следую-
щим. 23 число первого рабпя было понедельником 10 июня 1056 г.
(448 г. хиджры), 15 марта 1064 г. (456 г.), 19 декабря 1071 г.
(464 г.) н 23 сентября 1079 г. (472 г.).
Если учесть, что Хайям родился, насколько известно, около
1040 г., то выпадает первая дата. Маловероятной, как сказано, яв-
ляется и последняя. Таким образом, вероятными датами служат
1064 и, особенно, 1071 гг.
Датар (относящий рождение Хайяма к 1048 г.) полагает, что
алгебраический трактат был написан в 1069—1074 гг. См. S w a m I
Govinda Т i г t h а (V. М. Dal а г), цпт. юч., стр. XLV.
II. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ
«КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ
КНИГИ ЕВКЛИДА»
1. Вторая аналитика (Китаб ал-бурхаи—дословно «Кинга
Доказательства»)—четвертая часть «Органона», одного из важней-
11111X философских сочинений Аристе геля. Ота книга посвящена
теории логического доказательства.
Хайям имеет в виду кн. I «Второй аналитики), где Аристотель
разбирает структуру «доказывающей науки-» и раз7>ясняет смысл
144
В. А. РОЗЕНФЕЛЬД И V II. ЮШКЕВИЧ
лежащих в ее основании определений, аксиом и постулатов
(гл. 6—10).
Упоминаемые далее «Начала геометрии» (Китаб ал-усул фн-л-
-хацдаса)—«Начала» Евклида.
2. Кн. I «Начал» Евклида открывается рядом определений,
среди которых имеются упоминаемые Хайямом «постулаты» о квад
рате и т. д.: «19. Прямолинейные фигуры суть тс, которые содер
жатся между прямыми, трехсторонние—между тремя, четырехсто-
ронние же—четырьмя, многосторонние же—которые содержатся
между более чем четырьмя прямыми», «22. Из четырехсторонних
фигур квадрат есть та, которая и равносторонняя и прямоугольная»
(«Начала», т. I, стр. 12—13). В дальнейшем изложении Евклид
приводит построения, обеспечивающие существование опрсдсляс
мых таким образом фигур. Например, в предл. 22 кн. I строится
треугольник по трем данным отрезкам, при условии, что каждый
из них менее суммы двух других (т. I, стр. 34—35).
Вопросу о роли и характере определений, постулатов и аксиом
«Начал» Евклида, как и вопросу о взглядах Аристотеля на струн
туру «доказывающей пауки» («Вторая аналитика», кн. I), посвящена
обширная литература и мнения авторов во многом расходятся. Ср.,
например, примечания Д. Д. Мордухан-Болтове к ого
к кн. 1 «Начал» (стр. 222—224, 237—241, 244—246), М. Я. В ы
г о д с к и й, «Начала» Евклида, «Историко-математические несло
дованпя», вып. I, М.—Л., 1948, В. Ф. Каган, Основания гео
метр ни, т. I, М.—Л., 1949, стр. 40—45, 100.
3. Это—V постулат Евклида («Начала», т. I, стр. 15): «Если
прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну
сторону углы, меньшие [в сумме] двух прямых, то продолженные
неограниченно, эти прямые встретятся с той стороны, где углы мень-
ше двух прямых».
Сравнительная сложность этого постулата по сравнению с ос
тальными четырьмя постулатами («Начала», т. I, стр. 14: «От
всякой точки до всякой точки [можно] провести прямую линию»,
«ограниченную прямую [можно] непрерывно продолжатьпо прямой»,
«из всякого центра и всяким раствором [может быть] описан круг»,
«все прямые углы равны между собой»), и малая наглядность этого
постулата в случае, когда две прямые пересекаются с третьей под
углами, близкими к двум прямым, привели к тому, что многие мате
матики пытались доказать этот постулат с помощью других аксиом
и постулатов или заменить их более простым и наглядным утвержде-
нием. Так как согласно V постулату через точку можно провести
единственную параллельную прямую к данной прямой — имен
но прямую, которая вместе с данной прямой составляет с неко
торой третьей прямой внутренние односторонние углы, соста-
вляющие в сумме два прямых, этот постулат называют также
«постулатом о параллельных линиях», а раздел геометрии, из\
чающий вопросы, связанные с этим постулатом,—теорией парад
дельных линий.
Центральным пунктом в развитии теории параллельных линий
явилось открытие великим русским ученым Н. II. Лобачевским
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХА.ПЯМА
145
(1792—1856) неевклидовой геометрпн, в которой выполняются все
акспомы п постулаты геометрии Евклида, кроме V постулата, и из
одной точки можно провести к данной прямой в их общей плоскости
бесконечное множество прямых, пе пересекающих этой прямой.
Непротиворечивость этой геометрии доказывает независимость
V постулата от остальных аксиом и постулатов.
Сохраняя \ постулат, но исключая некоторые другие постула-
ты и акспомы геометрии Евклида, в частности т. н. 9-ю аксиому
(«две прямые не содержат пространства»), мы получим другую
неевклидову геометрию—геометрию Б. Римана (1826—1866), в ко-
торой всякие две прямые пересекаются и, в частности, пересека-
ются два перпендикуляра к одной прямой.
Отметим, что на плоскости Евклида сумма углов треугольника
равна двум прямым, па плоскости Лобачевского сумма углов тре-
угольника меньше двух прямых, на плоскости Римана сумма углов
треугольника больше двух прямых; далее на плоскости Евклида
геометрическое место точек, равноотстоящих от прямой, есть пря-
мая, на плоскости Лобачевского это геометрическое место является
кривой, называемой эквидистантой, а на плоскости Римана—окруж-
ностью.
4. Герои, которого Ханям называет также «Герои Механик»
(Прун ал-Мнханнки)—Герои Александрийский (1 век н. э.).
5. Евтокип (Утукус)—Евтокий Аскалонскпй—афинский мате-
матик VI векан. э., известный комментатор Архимеда и Апполонпя,
6. Хазинн—см. примечание [4] к алгебраическому трактату
Хайяма.
7. Шанни—см. примечание [89] к алгебраическому трактату
Хайяма.
8. ‘Абу-л-‘Аббас ал-Фадл ибн ал-Хатим ат-Табрйзй (умер
в 922 г.), известный также под именем Ианрпзп, а в Западной Евро*
пс—под латинизированным именем Анариций,—ученый из Таврпза
(Азербайджан) Имя Найризи, под которым этот математик фигу-
рирует в изданном Эрани тексте трактата Хайяма, является плодом
ошибки переписчика: буквы «и» и «т», а также буквы «б» и «й»
в арабском алфавите отличаются только точками, в первом слу-
чае над, а во втором случае—под буквой (ср. I* о g g е и d о г f f ’ s
Biographisch-litteraiisches Ilandworterbuch, т. 3, Лейпциг, 1898,
стр. 24). Табрнзи—автор комментариев к первым 19 книгам «Начал»
Евклида, переведенных на латинский язык (А и а г i t i u s, In
dcceni libros priores Elementorum Euclidis coin men tarii, cd M. Curtzc,
Лейпциг, 1899, IX дополнительный том к «Euclidis opeia omnia»),
и нескольких астрономических трактатов.
9. Ибн Хансам—см. примечание [ио] к алгебраическому трак-
тату Хайяма.
Ю Ибн Хансам выдвигает в качестве постулата то, что геомет-
рическое место точек, равноотстоящих от прямой, есть прямая.
Из этого постулата можно вывести \ постулат Евклида.
11. Хайям разделяет мнение Аристотеля, что движение не долж-
0 применяться к геометрии: Аристотель говорил, что «математи-
1-0
Историко-матем. исследования
146
Б. \. РОЗЕНФЕЛЬД 11 А. И. ЮШКЕВИЧ
ческпе предметы чужды движению, за исключением тех, которые
относятся к астрономии» (Аристотель, Метафизика, кн 1,
гл. 8, стр. 33).
Это мнение тесно связано с другим представлением Аристотеля,
что точка не может существовать отдельно от линии и поэтому ли-
нию нельзя рассматривать как актуальное множество точек; линия
не может существовать отдельно от поверхности и поэтому поверх-
ность нельзя рассматривать как актуальное множество линий;
поверхность не может существовать отдельно от тела и поэтому тело
нельзя рассматривать как актуальное множество поверхностей;
«невозможно ничему непрерывному состоять из неделимых частей,
например, линии из точек, если линия непрерывна, а точка недели-
ма» (Аристотель, Физика, кн. 6, гл. 1, стр. 124).
Аристотель, критиковавший идеалистическое учение Платона
о существовании идеальных точек, линии и поверхностей вне тел,
и Хайям правильно понимали, что линии и поверхности являются
только абстракциями реально существующих объектов. Однако
выводы из этого о том, что линии, поверхности и тела нельзя рас-
сматривать как актуальные множества соответственно точек, линий
и поверхностей, и о том, что в математике нельзя рассматривать
движение этих образов, с точки зрения современной математики
являются неправильными. На самом деле, поскольку все в природе*
находится во взаимосвязи и в движении и, в частности, те реальные
объекты, абстракциями которых являются точки, линии и поверх-
ности, также находятся во взаимосвязи и в движении, мы не только
можем, но и должны рассматривать точки, линии и поверхности
также находящимися во взаимосвязи и в движении. История ма-
тематики показывает, что именно введению в математику движе-
ния математика обязана своими величайшими победами.
С современной точки зрения в споре между Хайямом и ибн
Хайсамом о возможности применения движения в геометрии,
несомненно, прав ибн Хэйсам.
12. Применение движения к геометрии является принципналь
пой установкой ибн Хайсама, хотя он легко мог бы обойтись
без этого приема. В частности, мы уже указывали, что сформу-
лированный ибн Хайсамом постулат, заменяющий V постулат
Евклида, может быть сформулирован без термина «движение»
(см. I10]).
Приведем пример применения ибн Хайсамом движения для
решения той же задачи Архимеда о делении отрезка, о которой
шла речь ранее (см. издание Вепке алгебры Хайяма, стр. 91—
95). Эта задача, как мы видели (см. примечание [3] к алгебраи
ческому трактату Хайяма), состоит в том, что даны две линии BD,
BG (черт. 1), из которых BD вдвое больше BG, а также точка
F на линии BG; требуется разделить линию BD в точке Е таким
образом, чтобы LG : FG—BD2’.DE2. Иби Хайсам решает эту
задачу—как он сам говорит, «посредством движения линии»—
следующим образом: он восстанавливает в точках D и G два пер
пендпкуляра к линии DG, откладывает на первом отрезок DA=
—BD, а на продолжении DG—отрезок GC~GF. Затем он пред-
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХЛПЯМА
147
двум подвижным паралле-
\1, опродел. 14 (т. III
ставляет себе две прямые линии, вращающиеся вокруг точек А
1Г С, таким образом, что они все время остаются параллель-
ными друг другу. Первая из этих подвижных прямых будет все
время пересекать линию DG в подвижной точке Е, а вторая будет
пересекать перпендикуляр, восстановленный в точке G, в под-
вижной точке И Линия, соединяющая точки пересечения Е и И,
будет менять положение вместе с подвижными прямыми и будет
составлять с ними переменные углы. Среди всех последовательных
положений этих трех подвижных прямых можно зафиксировать то, в
котором линия ЕП перпендикулярна к
лям. Тогда точка Е пересечения являет-
ся искомой, так как в этом случае тре-
угольники ADE и EGH подобны, отку-
па AD : DE=.EG : GH и, следователь-
но, AD- : DE-=EG- : GH2=EG : GC,
пли так как AD—BD, GC=GF, мы
получаем BD'2- : DE2=EG : GF, что и
требовалось.
Заметим, что ибн Хайсам решил
ту же задачу с помощью параболы
и равносторонней гиперболы, найдя
это решение, невидимому, одновремен-
но с Абу-л-Джудом.
13. См. Е в к л и д, «Начала», кн.
стр. 10): «Сфера будет: если при неподвижности диаметра полукруга
вращающийся полукруг снова вернется в то же самое [положение],
из которого он начал двигаться, то охваченная фигура [и есть
сфера]».
14. Постулата о составных отношениях, про который говорит
Хайям, в русском тексте V книги «Начал» нет. Ср. [в2]—[°4].
15. Принципы, заимствованные у (философа—математические
высказывания Аристотеля или приписываемые ему. Ниже Хайям
приводит пять таких принципов, пз которых первые три являются
известными высказываниями Аристотеля.
16. См Е в к л и д, «Начала», кн. I, предл. 17 (т. I, стр. 30):
«Во всяком треугольнике сумма двух углов меньше двух прямых
углов».
17. Ср. так паз. аксиому 9 Евклида («Начала», т. I, стр. 15):
«Две прямые нс содержат пространства». Эта аксиома, повпдпмому,
является вставкой какого-либо позднейшего комментатора или
редактора «Начал».
18. Здесь Хайям делает два допущения. Пз того, что два пер-
пендикуляра к одной прямой не пересекаются, Ханям делает вывод,
что они и не приближаются друг к другу. При этом он допускает,
что если две прямые приближаются друг к другу, они обязательно
Должны пересечься. Далее Хайям оставил без доказательства то,
то два перпендикуляра к одной прямой не могут удаляться друг
т APjra Так как в этом случае два перпендпку лира к одной прямой
Расходились бы по обе стороны от этой прямой, это допущение равно-
• ьно допущению того, что две прямые, приближающиеся друг
10*
148
Б. V РОЗЕНФЕЛЬД И V П. ЮШКЕВИЧ
к другу, пс могут удаляться друг от друга п этом направлении.
Оба эти допущения Хайям ниже приводит в качестве четвертого
принципа, заимствованного у философа.
19. Тем самым Ханям показал, что из его допущения выводится
частный сличай V постзлата Евклида, когда секущая перпендику-
лярна к одной из прямых; отсюда уже нетрудно вывести \ постулат
в общем виде. Способ (оказательства Хайяма здесь совпадает со
способом доказательства V постулата на основе того же допущения
греческим математиком X века н. э. Проклом Дпадохом (см. К а-
г а н, цпт. соч., стр. 117—118).
20. См. Е в к л и д, «Начала», кп. III, предл. 27 (т. I, стр. 107):
«В равных кругах углы, опирающиеся на равные обводы, равны
между собой, стоят ли они при центрах или же при обводах».
21. См. Е в к л и д, «Начала», кн. V, предл. 7 (т. I, стр. 151):
«Равные к тому же имеют то же отношение и это то же [имеет то же
отношение! к равным».
22. To-есть эти равные величины отличаются только иоряд
ком их наименования
23. Ал-Хаджджадж ибн Йусуф ибн Матар, работавший в Баг-
даде в конце XIII и пачале IX века, известен своими переводами
«Начал» Евклида (первый арабский перевод) и других сочинений
древнегреческих философов и математиков.
24. Абу-л-Хасаи Сабит ибн Курра ибн Нарван ал-Харраий
(826?—901)—иракский математик, работавший в Багдаде, автор
перевода «Начал» Евклида с комментариями и многих трактатов
ио геометрии, арифметике, сферической тригонометрии, астрономии
и механике, часть из которых была переведена на латинский язык.
25. Первая часть этого утверждения содержится в известном
утверждении Аристотеля: «длина и время, как и вообще все непре-
рывное, называется бесконечным в двояком смысле: или в отношении
деления или в отношении границ» («Физика», кн. 6, гл. 2, стр. 128),
вторая часть этого утверждения—упоминавшееся нами утверждение
Аристотеля: «невозможно ничему непрерывному состоять из не-
делимых частей, например, линии из точек, если линия непрерывна,
а точка неделима» (там же, кн. 6, гл. 1, стр. 124). У Хайяма «пер-
вый принцип» служит своего рода аксиомой непрерывности.
Ср. [”).
26. Мы переводим словами «доказательство того, что это так»
и «доказательство того, почему это так» термины аристотелевской
логики, которые в русском издании «Аналитик» переведены «доказа
тельетво того, что есть данная вещь» и «доказательство того, почему
есть данная вещь» (см. Аристотель, Вторая аналитика, кп. 1,
гл. 13, стр. 206). Соответственные термины у Хайяма—«бурхан
апии» и «бурхан лпмми» происходят от слов «ан»—«что» и «лпма»—
«почему». Под первым из этих терминов следует понимать—в пре-
делах какой-либо данной науки—доказательство, убеждающее
в правильности доказываемого, по не выясняющее его причину,
а под вторым—доказательство, убеждающее в правильности дока-
зываемого с помощью выяснения его причины
ПРИМЕЧАНИЯ Ко ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА 149
Аристотель различает эти два вида доказательств и в другом
смысле, относя их к различным наукам: «...знание того, что есть
[дают науки], основанные па чувственном восприятии, знание
•дс того, почему есть—математические» («Вторая аналитика»,
стр. 2«')-
27. Слова «поскольку философ принял круг и прямую линию
и ДРУГПС принципы геометрии, он может привести для этого ^доказа-
тельство того, что это так“» означают, что с помощью циркуля и ли-
нейки можно разделить каждый отрезок ионолам и производить
эту операцию бесконечно; этим будет дано доказательство, убежда-
ющее в правильности этого утверждения, но не будет выяснена его
причина: напротив, принципиальная делимость величии до беско-
нечности является причиной выполнимости этой операции.
28. Это утверждение также содержится в утверждении Аристо-
теля, приведенном нами в [2Б]. Оно весьма близко ко II постулату
Евклида («неограниченную прямую [можно] непрерывно продол-
жать по прямой»).
29. Эти слова Хайяма, вероятно, относятся к следующему тек-
сту Аристотеля: «Так как ни одна известная воспринимаемая вели-
чина не бесконечна, ист возможности превзойти любую определен-
ную величину: тогда было бы что-нибудь больше вселенной... Наше
рассуждение, отрицающее актуальность бесконечного в отношении
увеличения как не проходимого до конца, не отнимает у математи-
ков их теории; ведь они не нуждаются в таком бесконечном и не
пользуются им: математикам надо только, чтобы ограниченная ли-
ния была такой величины, какой им желательно» («Физика», кн. 3,
гл. 7, стр. 67).
30. Это также известное утверждение Аристотеля. Прокл
(см. [18]) говорит о своем доказательстве V постулата, что «оно пред-
полагает аксиому, которой пользовался Аристотель в своем дока-
зательстве конечности мира: именно, если из одной точки выходят
две прямые, то при неограниченном продолжении их расстояние
между ними становится больше любой конечной величины». Это
утверждение может быть доказано с помощью аксиоматики Евклида,
причем оно не зависит от V постулата (см. К а г а и, цпт. соч.,
стр. 117).
31. Этот принцип состоит из двух утверждений, каждое из
которых эквивалентно \ постулату Евклида. Эквивалентность
V постулату первого из этих утверждений видна из того, что:
1) как следует из аксиоматики Евклида независимо от V посту-
лата, если две прямые при пересечении с каждой третьей прямой
ооразуют внутренние односторонние углы, состав.ляющие в сумме
меньше двух прямых углов, то расстояние между этими прямыми
уменьшается, т. е. эти прямые сходятся и, значит, по первому
утверждению Хайяма, пересекаются: 2) обратно это утверждение
выводится из \ посту .чата. Эквивалентность \ постулату второго из
этих утверждений видпа из того, что из этого утверждения сле-
дует, что: 1) дна перпендикуляра к одной прямой ио могут расхо-
диться но обе стороны от этой прямой, и так как из аксиоматики
вклида независимо от \ постулата следует, что эти иерпеидпку-
150
Б. Л. РОЗЕНФЕЛЬД 11 Л. И. ЮШКЕВИЧ
ляры нс могут и сходиться по обе стороны от этой прямой, мы полу-
чаем, что два перпендикуляра к одной прямой находятся на посто-
янном расстоянии, откуда легко выводится V постулат: 2) обратно,
это утверждение также выводится пз \ постулата. Далее Хайям вы-
водит V постулат Евклида из этого принципа.
Известно, что вопрос о параллельных линиях также интере-
совал Аристотеля. В «Первой аналитике», разбирая логическую
ошибку «постулирование основания» («petitio principi)», т. е. не-
явное использование утверждения, равносильного доказываемому,
Аристотель пишет («Первая аналитика», кн. 2, гл. 16, стр. 155):
«Так поступают те, кто думает проводить параллельные линии.
В самом деле, они сами того не зная, [в основу доказательства]
берут то, что [само] не может быть доказано, если [линии] не парал-
лельны». Отсюда видно, что современные Аристотелю изложения
теории параллельных линий страдали указанной логической ошиб-
кой; для того чтобы избежать этой ошибки, необходимо открыто
постулировать утверждение, эквивалентное V постулату Евклида.
Возможно, что в одном из недошедших до нас сочинений Аристотель
ввел такой постулат в форме, указанной Хайямом.
32. Слова «эти последние утверждения» стоят в тексте Хайяма
во множественном, а не в двойственном числе, откуда следует, что
они относятся не менее чем к трем утверждениям (в случае двух
утверждений было бы употреблено двойственное число). Невидимому,
эти слова относятся ко всем утверждениям II, III и IV принципов:
мы видели, что в случае 1 принципа также было сказано, что он
допускает «доказательство того, что это так», но не «доказательство
того, почему это так». «Доказательство того, что это так» геомет-
рическим путем—это фактическое построение. Хайям считает, что,
допуская такое доказательство, эти утверждения пе допускают «до-
казательства того, почему это так», которого Хайям вслед за Ари-
стотелем требует от математической науки, и с этой точки зрения
подобные утверждения должно рассматривать как первичные ут-
верждения, являющиеся «предпосылками геометрии, а не ее со-
ставными частями», т. е., ио существу, как постулаты. Хайям
говорит (см. стр. 79—80) об одном пз этих принципов, что тот,
кто захочет его «доказать, должен будет при этом опираться па
утверждения, в свою очередь нуждающиеся в доказательствах,
т. е. попадет в порочный круг».
33. Этот принцип—известная акспома Архимеда («О шаре
и цилиндре», постулат 5): «Пз неравных линий, поверхностен или
тел большая превышает меныпую па такую величину, которая,
будучи прибавлена к себе [достаточное число раз], может быть
сделана больше любой заданной величины, имеющей отношение
с ними обеими». Этот же принцип в несколько другой, по равносиль-
ной формулировке, имеется и в «Началах» Евклида в виде он ре-
дел. 4 кн. V (т. I. стр. 112): «Говорит, что величины имеют отноше
ние между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг
друга», т. с. для любых величин а, Ь, имеющих отношение, суще-
ствуют такие натуральные числа т, п, что та >b, nb>a. Тем самым
исключаются пз рассмотрения так называемые актуально беско-
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
151
нечно малые и актуально бесконечно большие величины. «Аксиома
Архимеда» восходит, по крайней мере, к Евдоксу Книдскому, жив-
шему в первой половине IV века до и. э.
34. См. Е в к л ид, «Начала», кн. I, предл. 28 (т. I, стр. 40):
«Е ли прямая, падающая на две прямые, ооразует внешний угол,
павный внутреннему противолежащему с той же стороны, пли
внутренние односторонние углы [вместе], равные двум прямым, то
прямые будут параллельны между собой».
* 35. Рассматриваемый здесь Хайямом четырехугольник с двумя
прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами
сыграл важную роль в предисторни неевклидовой геометрии Под
влиянием настоящего трактата он рассматривался азербайджанским
математиком Наспрэддпиом Туси (1201—1274), а под влиянием
работ Наснрэддина—немецким математиком X. Клавпем-Шлюс-
селем (1537—1612) и итальянским математиком Дж. Саккери
(1667—1733); вследствие последнего обстоятельства этот четырех-
угольник часто называют «четырехугольником Саккери». См. Р о-
зенфельд Б. А., О математических работах Наснрэддина Туси,
«Историко-математические исследования», 1951, вып. IV.
36. Гипотенузу прямоугольного треугольника нередко имено-
вали вплоть до XVI1 века «основанием», а катеты—«сторонами».
Термины «гипотенуза» (стягивающая,—имеется в виду стягиваю-
щая прямой угол) и «катет» (отвес)—греческого происхождения.
37. Так как треугольники АЕС и BED равны.
38. В силу предл. 28 кн. I Евклида (см. [3|]).
39. Утверждение, что расстояние между двумя перпендику-
лярами и одной прямой в одной плоскости не изменяется, как
мы видели, является следствием четвертого «принципа, заимствован-
ного у философа»; из этого утверждения можно вывести V постулат
Евклида (см. [31]).
40. Из этого утверждения, как и из предыдущего, можно выве-
сти V постулат Евклида. Однако в доказательстве Хайяма это утвер-
ждение не играет существенной роли, так как и при выполнении
V постулата и при его невыполнении можно построить такой четы-
рехугольник, строящийся Хайямом, для которого указанные пря-
мые пересекаются. О понимании Хайямом термина «расстояние»
см. [4в].
41 Так как треугольники CKG и DKG равны.
42. Углы IICG и FDG равны как смежные к углам ACG и BDG,
равенство которых доказано в предложении 2.
43 Из равенства этих линий и углов треугольников СКН
и DKF следует, что эти треугольники равны.
44. To-есть это вытекает из «принципов, заимствованных у фи-
лософа»,—в данном случае из четвертого принципа (см. [31]).
Суть доказательства Хайяма состоит в следующем. Перегибая
чертеж по прямой GD, он показывает, что отрезок 11F при гипотезе
острого угла переходит в отрезок, больший чем АВ, а при гипотезе
тупого угла—в отрезок LM, меныний чем АВ. Затем он перегибает
получившуюся фигуру ио прямой АВ. Тогда оказывается, что при
гипотезе острого угла два перпендикуляра к одной прямой АВ
152
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
расходятся в обе стороны от нее, а при гипотезе тупого угла они
в обе стороны сходятся. Между тем, и то и другое противоречит
четвертому принципу п возможной остается лишь гипотеза пря-
мого угла.
45. To-есть это вытекает пз того же принципа.
46. См. Евклид, «Начала», кн. VI, предл. 33 (т. I, стр. 216):
«В равных кругах углы имеют то же отношение, что обводы, на
которых они стоят, будут ли они находиться при центре или при
обводах».
47. Как мы уже указывали (см. [30]), это утверждение («аксиома
Аристотеля») может быть доказана без впадения в порочный круг.
48. См. [17].
49. Определение расстояния от первой прямой в данной ее точке
до второй прямой, как длины перпендикуляра, опушенного из этой
точки на вторую прямую (т. е как кратчайшего в данной точке пер-
вой прямой отрезка между обеими прямыми), Хайям далее отвер-
гает (стр. 81) из-за ого несимметричности относительно данной
точки первой прямой и «соответственной» ей точки второй, если
под соответственной понимать основание указанного перпендику-
ляра.
50. В силу первого «принципа, заимствованного у философа»,
который для Хайяма служит своего рода аксиомой непрерывности
51. В силу четвертого «принципа, заимствованного у философа».
52. «Мутах азийейн» (дословно «плечо к плечу») в отличие от
«мутавазпйейн», которым переводится термин Евклида «параллель-
ные».-
53. См. Евклид, «Начала», кн. I., предл. 16 (т. I, стр. 29):
«Во всяком треугольнике при продолжении одной из сторон внеш-
ний угол больше каждого из внутренних, [ему} противолежащих».
54 См. Евклид, «Начала», кн I, предл. 29 (т. I, стр. 41):
«Прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрест-
лежащие углы, равные между собой и внешний угол, равный вну-
треннему, противолежащему с той же стороны, и внутренние одно-
сторонние углы, [вместе] равные двум прямым». В предл. 30 русского
текста речь идет о параллельности двух прямых, параллельных
третьей (т. I, стр. 42).
55. См. Евклид, «Начала», кн I, предл. 27 (т. I, стр. 39):
«Если прямая, падающая на две прямые, образует накрестлежащпе
углы, равные между собой, то прямые будут параллельны друг
другу».
56. В тексте стоит «Ал-хикмат ал-ула»; см. примечание [71
к алгебраическому трактату Хайяма. Возможно, что здесь, так же
как ниже (см.р9]) в рукописи стоит не «Первая философия», а
«Первый философ», обычное наименование Аристотеля у философов
Востока.
57. Ср. Е в к л п д, «Начала», кн. V, определ. 3 (т. I, стр. 142):
«Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величии
по количеству».
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХАПЯМА
153
58. Это пятый принцип, заимствованный у философа» (см. (331).
59. Первый философ—обычное наименование Аристотеля у уче-
ных Бостона. В тексте, изданном Эрани, вместо слов «Первый фило-
соф» написано «Первая философия» («Метафизика»), цо сделано при-
мечание, что в рукописи стоят слова «Первый философ».
60. To-есть меньшая величина содержится целое число раз
в большей и, последовательно отнимая меньшую величину из боль-
шей, ми исчерпаем большую величину.
Евклид отдельно строит общую теорию отношений величин
в кн. V «Начал» и теорию отношений чисел в кн. VII (см. статью
Ц. Г. Б а ш м а к о в о й, Арифметические книги «Начал» Евклида,
«Историко-математические исследования», вып. I, М.—Л., 1948).
Хайям имеет здесь в виду определ. 1 кн. V «Начал»: «Часть есть
величина [от] величины, меньшая [от] большей, если она измеряет
[большую]» (т. I, стр. 142), которому соответствует определ. 3,
кн. VII для чисел: «Часть есть число в числе, меньшее в большем,
если оно измеряет большее» (т. II, стр. 9), т. е. величина или число
А есть часть величины или числа В, если nA =В (пли, пользуясь
дробями, А =~В
61. Соответствующего определения для величин в кп. V «Начал»
не имеется; для чисел же определ. 4 кн. \ II, непосредственно при-
мыкающее к определ. 3 (см [®°]), гласит: «Части же,—если оно его
не измеряет», т. е. число А является «частями» числа В, если неко-
торое число N измеряет и Л и В пли же А = mN, B=nN, так что
_ / „ . т „ т 1 \
пА=тВ I илп, пользуясь дрооямп, А=—В, причем — нс есть— \.
62. To-есть меньшая и большая величина несоизмеримы; здесь
с нашей точки зрения отношение является иррациональным числом.
63. О связи между понятиями отношения и числа, а также
о введении понятия «количества отношения» см. [751, [92], [10‘2].
64. Для Хайяма треть—то же, что отношение 1 к 3, но для
отношения 3 к 1 он не имеет специального термина; во всяком слу-
чае здесь он не отождествляет отношение 3 к 1 с числом 3. Несколько
далее Хайям говорит, что дроби суть числа, одноро щые с (соизме-
римыми) величинами, т. к. те и другие относятся к категории
количества.
65. Это так называемый алгоритм Евклида для нахождения
наибольшего общею делителя двух чисел, изложенный им в предл. 2
книги VII «Начал» (т. II, стр. 12): «Для двух данных чисел, не рав-
ных между собой, найти наибольшую общую их меру». Об опре-
делении числа у Евклида см. [*°2].
66. To-есть непрерывные величины могут быть несоизмеримы,
и в этом случае процесс алгоритма Евклида продолжается бес-
конечно. Об открытии несоизмеримых величин, сделанном греками
не позднее начала V века до и. э., см. Центов Г. Г., История
математики в древности и в средние века (по указателю).
В начале кп. X «Начал», о котором говорит далее Ханям, даст-
ся определение соизмеримости и несоизмеримости величии, общин
В. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. II. ЮШКЕВИЧ
критерий несоизмеримости (предл. 2: «Если для двух [заданных]
неравных величин при постоянном попеременном вычитании мень-
шей из большей остающееся никогда не будет измерять своего пред)
шествующего, то величины будут несоизмеримыми»; т. II, стр. 103-
и строптся «алгоритм Евклида» для величин (предл. 3: «Для двух
данных соизмеримых величин найти их наибольшую общую меру»;
т. II, стр. 104). В предл. 5 устанавливается связь между отноше-
ниями величин и отношениями чисел: «Соизмеримые величины
имеют между собой отношение, как число к числу» (т. II, стр. 106).
в предл. 7 доказано, что «несоизмеримые величины нс имеют между
собой отношения, как число к числу» (т. II, стр. 109).
Дальнейшее содержание кн. X посвящено классификации
квадратичных иррациональностей, которые строятся с помощью
циркуля и линейки.
67. Во время Хайяма на Востоке существовало философское
учение так называемых мутакаллпмов, согласно которому все вещи
в мире, а также пространство и время состоят из неделимых эле
ментов. Для представителей этого учения, которых, вероятно, имеет
в виду Хайям, любые две однородные величины были соизмеримы
и иррациональные отношения существовать не могли. В древности
учение о неделимых элементах математических величин развивали
ранние пифагорейцы. Возможно, что таких представлений держался
и великий философ-материалист, основатель физического атомизма
Демокрит из Абдеры (середина V' века до и. э.). Из близких к Ари
стотелю кругов вышло сочинение «О неделимых линиях», содер-
жащее критику современного ему математического атомизма.
Из слов Хайяма как будто следует, что он допускал возмож
ность торжества математического атомизма, но сам во всяком
случае разрабатывал классическую математику.
68. В некоторых списках «Начал» Евклида определ. 8. кн. \
дается словами «пропорция есть подобие (или есть тождество) отно-
шений». В каноническом тексте «Начал» прямого определения про-
порции не имеется.
69. См. Е в к л и д, (Начала», кн. V, определ. 5 (т. I, стр. 142):
«Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко
второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей
одновременно больше пли одновременно равны или одновременно
меньше равнократпых второй к четвертой каждая каждой при какой
бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке»
Другими словами, величины А и В, С и I) находятся в одном
отношении, если для любых натуральных чисел т, п, для которых
имеет место одно из условий пЛ^тВ, одновременно имеет место
и соответствующее условие nC^mD.
Если ввести вместо евклидовых целых пар т, п непосредствен
If С г „ ..
но рациональные числа —, то определ. 5 можно передать так.
А С
отношениями одинаковы, если множество всех рациональных
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
133
чисел одинаково разделяется каждым из них на три подмножества:
т А С
первое, все элементы которого — менее — и второе, которое
либо пусто (случай несоизмеримых величин), либо содержит один
т .. А С т
элемент —•, равный уг н лт ; третье, все элементы которого —
TL Li -L/ IV
А С
более -g- и •
Определение одинаковости двух отношении v Евклида в су-
щественном совпадает таким образом с определением равенства двух
действительных чисел в теории сечений Р. Дедекинда.
Существуют, вместе с том, важные отличия между античной
теорией отношении и теорией Дедекинда. Каждое данное отношение
двух однородных величин производит, говоря ио-современному,
определенное сечение во множестве пар натуральных чисел (пли
рациональных чисел). Однако в античной теории нет предпосылки,
1арантпрующей, что всякое разбиение множества рациональных
чисел на два непустых подмножества, в первом из которых все
элементы менее любого элемента второго, а во втором все элементы
более любого элемента первого, осуществляется отношением неко-
торой пары величин. В теории Дедекинда любое такое разбиение
(сечение) множества рациональных чисел производится каким-либо
действительным числом, существование которого гарантируется
определением иррационального числа как такого сечения множества
рациональных чисел, которое не производится рациональным чис-
лом В силу этого дедекиндова система действительных чисел обла-
дает свойством непрерывности, которое не обеспечивается в антич-
ной теории отношепп т
Общая теория отношений, созданная Евдоксом и развитая
Евклидом, отправлялась непосредственно от натуральных чисел.
Дедекинд и другие создатели современного учения о действительном
числе отправлялись непосредственно от системы рациональных
чисел. Это связано с тем, что проблема приближения любого несо-
измеримого отношения рациональными отношениями с произволь-
ной степенью точности еще не встала тогда перед математикой греков
во всей широте.
Поскольку отношения лишь в весьма ограниченной мере выпол-
няли измерительные функции, на них долгое время смотрели как
на математические объекты, существенно отличные от чисел. Поло-
жение дел стало меняться только с ростом приближенных вычи-
слении и развитием вычислительных алгоритмов, с выдвижением
на первый план проблемы аппроксимации с. произвольной степенью
точности все более и более широких классов отношении.
Ср. Iй] и [ к>2].
Заметим, что сам Евклид не говорит о равенстве отношении
и, например, в предл. И кн V доказывает, что два отношения, оди-
наковые с одним третьим, одинаковы дру 1 с другом (так что одина-
ковость отношений пар величин сама есть отношение типа равен-
ства); если бы определ. 5 было в глазах Евклида определением равен-
156
Б. РОЗЕНФЕЛЬД И А. И. ЮШКЕВИЧ
ства отношений, то предл. И нс нуждалось в доказательстве,
а прямо вытекало бы из аксиомы «Равные одному и тому же равны
и между собой» (т. I, стр. 15). Понятие равенства относится у Евкли-
да к величинам и (натуральным) числам. Лишь много позднее,
в процессе установления той точки зрения, что всякое отношение
есть некоторое (рациональное или иррациональное) число, матема-
тики начинают применять к отношениям термин «равенство».
Определ. 6 кн. V «Начал» гласит: «Величины же, имеющие то же
отношение, пусть называются пропорциональными» (т. I, стр. 142).
70. См. Е в к л и д, «Начала», кн \ , определ 7 (т I, стр. 143):
«Если же из равнократных кратное первой превышает кратное вто-
рой, а кратное третьей не превышает кратное четвертой, то говорят,
что первая ко второй имеет большее отношение, чем третья к чет-
yl С
вертои», т. е. — если существуют такие два натуральных числа
т, п, что одновременно пЛ >тВ и nC<mZ) (или—в терминах рацпо-
т А т С У
нальных чисел—существует такая дроиь —, что — > — > — ) •
Вопрос, поставленный здесь Хайямом, связан, вероятно,
с предл 9 кн. \ I, где требуется «От дайной прямой [ЛВ] отнять пред-
ложенную часть» (т. I, стр. 186). Евклид
С отсекает на данном отрезке АВ третью
f/A часть (черт. 2), проведя произвольную
U.s \ ЛС, взяв на ней любую точку D, отло-
.х'С \ жив DC=2AD, соединив СВ и, наконец,
\__________\ проведя DI параллельно СВ. Тогда, по
/] у g предл 2 ки VI CD относится к DA, как
BI относится к IA, и далее говорится:
Черт. 2. «Но CD вдвое больше следователь-
но, и BI вдвое больше /Л; следователь-
но, ВЛ втрое больше А/».
Доказательство Евклида строго вытекает из определ. 5 кн. V,
ибо согласно определ. 5 для любых натуральных tn, п, для которых
inCD=n-D 1, будет одновременно т BI=n IA и так как CD=
—2DA, то BI=2DA, а это и значит, что IA есть половина BI.
Таким образом, если критика Хайяма направлена непосред-
ственно на это доказательство, то опа несправедлива Но Хайям,
невидимому, и здесь возражает не столько против этого доказатель-
ства, сколько против того, чтобы само определ. 5 принималось за
исходное. «Какое доказательство, спрашивает он, имеется для ука-
занного Евклидом необходимого условия истинной пропорции?»,
т. е на чем основано само определ. 5? Выть может истинным основа
пнем для принятия определ. 5 является определ. 7 неравенства двух
отношений? По и это определ. 7 не является в глазах Хайяма
«истинным».
71. «Присоединение отношения» есть переход от отношения
А А \-В
- к отношению —~.
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
157
Я
(Выделение отношения» есть переход от отношения к отно-
А—В
ШОНИЮ —— •
.. А С
«Переставленное отношение» есть переход от отношении — и
Я В
к отношениям и ^-.
А
«Перевернутое отношение» есть переход от отношения — к от-
ношению . См. Евклид, «Начала», кп V, определ. 14, 15,
12, 13 (т. 1, стр 143—144).
72 Здесь Хайям приступает к построению собственной теории
отношений. Прежде всего бросается в глаза, что он стремится
установить единую теорию для чисел и величин, сразу рассматривая
некоторые категории отношений величии как числовые отношения.
Для этой категории он вводит определение равенства отношений,
почти совпадающее с определением пропорциональности четырех
чисел, имеющемся у Евклида. Согласно определ. 21 кн. VII «Начал»:
«Числа будут пропорциональны, когда первое от второго, а третье
от четвертого будут или равнократными, или той же частью, или
теми же [частями]» (т. II, стр. 10). Другими словами, две нары
чисел А, В и С, Ь пропорциональны, если имеет место какой-либо
из трех случаев:
1) А = пВ и С = п£);
2) nA — В и пС = D\
3) A=mN, B=nN и С=тМ, D=nN, или, пользуясь дробями,
А = -В и C=-D (ср. [С1]).
п П 1
Внешнее отличие определения Хайяма от евклидова состоит
А
в том, что первый рассматривает отношения только для слу-
чая А^В (что Д. Д. Мордухай-Еолтовской совершенно напрасно
приписал Евклиду в своих комментариях к «Началам»; см т. II,
стр. 271). Точно так же поступает Хайям далее в своем общем опре-
делении равенства отношений. Однако, как ясно из слов Хайяма
(см. стр. 89), он делает это лишь «для краткости» изложения.
Одним из важнейших средств построения теории числовых
отношений является так называемый алгоритм Евклида для опре-
деления наибольшей общей меры двух чисел, излагаемый в предл. 2
кн. Ml, а для двух соизмеримых величин в предл. 3 кн. X. Пс
говоря о других применениях алгоритма Евклида, укажем, что
лишь он придает реальное значение определ. 3 и 4, т. е. «части»
и «частей», позволяя доказать, что всякие два числа имеют общую
наибольшую меру (быть может равную единице). Вместе с тем алго-
ритм может служить и для установления равенства двух числовых
158
Е. V. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
отношений, члены которых являются большими составными числа-
ми, посредством сокращения членов каждой пары отношении на их
общий наибольший делитель. В применении к чпслгам А, В, где
В>А, алгоритм состоит, как известно, в следующем. П 3 В вычитает-
ся наибольшее кратное А, нс превосходящее В, так чтго остаток
будет менее Л; далее та же операция применяется к А и причем
получается остаток /?., < затем к остаткам Hi и -У*2 11 т- Д-:
В = ntA +
A-n^li-i
11! = M3 Z?2 "Ь ^3»
ЛК-1 = пА-+1ЛА.
Для целых чисел А, В алгоритм обязательно яв ляется конеч-
ным и на некотором Л-|-1-м шаге завершается рав1енством вида
Kk-i ~nk^ iRk> где Rk я является общим наибольши м делителем.
Алгоритм Евклида равносилен разложению дроби — в не-
прерывную дробь
.1 1
В~ , 1
«| +-----г
П2 ------
П3~Ь
+ /7Г
вепрорыш ые Дроби, как таковые, введены были в копне XVI века).
Для установления равенства двух числовых Отношений 4
** /У
и не треоуется, однако, их сок-ращение па найденные с помощью
алгоритма Евклида общие наибольшие делители каждой пары,
(ело в том, что — тогда и только тогда, когда все соответ-
твеиные частные для одной пары и для другой равны и
число luaioB одинаково; пли же, другими словами,* когда равны
все соответственные неполные частные разложений и в не-
прерывные дроби.
Предлагаемое далее Хайямом общее определение равенства
двух от и ш ши является прямым обобщением этого свойства рав-
ных числовых отношений на случай несоизмеримых величин.
/ . Итак, со 'Ласло общему определению Хайяма» два несоиз-
меримых отношения ~и равны тогда и только тогда, когда равны
между ой соответственные частные, определяемые бесконечным
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
159
алгоритмом Евклида, или, что то же самое, когда равны соответ-
ственные неполные частные тех бесконечных непрерывных дробей,
Л С’ ы
в которые раскладываются отношения п jy. Несоизмеримость
двух величин, для которых алгоритм Евклида бесконечен, была
доказана Евклидом в пэедл. 2 кн. X (т. II, стр. 103).
Несомненно, что общей теории отношений Евдокса—Евклида,
изложенной в кн, V «Начал», предшествовала какая-то другая
теория отношений величин, являвшаяся переходной между более
древней по происхождению теорией числовых отношений кн VII
«Начал» и евдоксовоп На основании некоторых замечаний Аристо-
теля и его античных комментаторов О. Бекер разработал гипотезу,
согласно которой эта промежуточная теория отношений возникла
из распространения алгоритма Евклида с чисел на несоизмеримые
величины Такое же мнение еще ранее высказывал I Цейтен Эту
теорию Бекер назвал антифайретической—от глагола cmu'faipsrv,
что значит «попеременно отнимать», употребляемого Евклидом при
изложении его алгоритма как в кн. А II, так и в кп. X. Определение
равенства отношений, гипотетически предложенное Бекером, точно
совпадает с определенном Хайяма. 'Точно так же совпадают и опре-
деления, предлагаемые Хайямом и Бекером для неравенства 2^->7Г’
Бекер тщательно исследовал, какие предложения кп. V «Начал»
могут быть доказаны непосредственно с помощью антпфайретиче-
ческой теории, а какие нет, и, кроме того, для каких необходимо
применение аксиомы Евдокса — Архимеда. Выяснилось, что ряд
( ip А с
важных теорем например, предл. 16 кн. Л о том, что из сле~
А В \ „
дует — = — для оощих величии непосредственно с помощью «анти-
G U J
файретической» теории недоказуем. Объясняется это тем, что такого
рода теоремы нуждались бы в антифайретическом определении
умножения отношений общих величин, а между тем не существует
простой формулы, которая выражает неполные частные произведе-
ния двух непрерывных дробей через неполные частные дробей-
сомножителей. В итоге Бекер приходит к выводу, что между анти-
файретпческой и евдоксовой теориями некоторое время существо-
вала переходная теория, в основе которой лежало еще антифайрети-
ческое определение, но в которой использовалось в качестве дока-
зуемого свойства позднейшее евдоксово определение, с помощью
которого выводили ряд теорем. Сам Евдокс увидел, что проще и есте-
ственнее положить в основу определ. А и перестроил всю теорию
на новой основе (см. Becker О., Eudoxos-Studien, I, «Quellen
und Studien zur Gcschichte der Mathematik», серия В, т. 2, тетр. 4,
Берлин, 1933).
Построение Хайямом «антифайретической» теории, очевидно
вне всякой связи с давно забытой аналогичной доевдоксовой теори-
ей, является сильным аргументом в пользу гипотезы Бекера, при-
обретающей теперь еще большую убедительность.
160
Б. Л. РОЗЕНФЕЛЬД 11 Л. II. ЮШКЕВИЧ
74. Па языке теории непрерывных дробей определение нера-
венства двух отношений v Хайяма можно передать следующим
„ Д А 1 С 1 А С
ооразом. Пусть ( , д =------у Тогда->~
«1 +—г- ,П1 + ^~Г"
^2“Г'. Шо-f-.
в том случае, если при выполнении равенства ni=i)iL (i=l, 2, 3,
к—1) nh<inh для А-нечетного или пд>/пь для к четного.
Замечательно, что в этом определении Хайям явно объ< (иняет
случаи несоизмеримых и соизмеримых отношений и, говоря по-
современному, тем самым даст критерий для установления харак-
тера неравенства двух заданных иррационального и рациональ-
ного чисел. Мы могли бы формально применять определение не-
равенства «больше» для случаев бесконечной непрерывной дроби
и конечной пли двух конечных дробей, полагая соответствующее
или nik равным 4-со.
75. Как видно из всего текста Хайяма, его критика определе-
ния равенства отношений Евклида имеет целью сблизить и по
возможности соединить теорию отношений чисел и общую теорию
отношений величин. Определ. 5 кп. V Евклида оперирует с крат-
ными величинами, отделено от определ. 21 кп. VII и в нем завуалп
рована возможность приближения с любой степенью любого дан-
А т
кого отношения величин рациональными отношениями чисел —.
Определения Хайяма открывают явную возможность устанавчп
вать с любой требуемой степенью точности равенство пли разность
двух любых отношений. Далее Хайям подходит к той точке зре-
ния, что всякое отношение величии, включая и несоизмеримые,
можно рассматривать как некоторое число.
Эта тенденция к синтезу идей кп. V и VII «Начал», наметив-
шаяся уже в поздней античной науке, но не получившая в ней раз-
вития, явилась следствием быстро возраставшего значения вычисли-
тельной математики и фактического расширения понятия о числе
(см. [®9] и [102]). Идеи Хайяма получили дальнейшее развитие
у Наснрэддина Туси, сочинения которого оказали несомненное
влияние и на некоторых европейских математиков первой полови-
ны XVII века. Эти последние также выступили с критикой ©пре-
дел. 5 кн. V Евклида. Например, А. Таке (1612—1660) писал, что
определ. 5 выражает «нс природу равных отношений, но только неко-
торое их свойство» и является подлежащей доказательству теоремой.
Основания такой критики по существу были те же, что у Хайяма
и Наснрэддина Туси. Новые определения равенства (уже не «подо-
бия» или «одинаковости») отношений должны были непосредственно
отразить процесс приближения любого отношения рациональными
числами. Ср. комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского к «Началам»
Евклида (т. I, стр. 380—384). Следует заметить, что Д. Д. Морду-
хай-Болтовской, не располагая трудами Хайяма и Наснрэддина
Туси, ошибочно думал, что «первая идея о смешении кн. V и VII
является только в XVI веке» (т. II, стр. 283).
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
161
д
76. Хайям имеет в виду, что для данного отношения — и дан-
ной величины D существует четвертая пропорциональная С—такая
величина, что Этим утверждением неявно пользуется Евклид
например, в предл. 18 кн. V «Начал» (т. I, стр. 164) и в других
местах); впоследствии для случая отрезков Евклид доказывает его
в предл. 12 кн. Л I (т. I, стр. 188), но, напрпмер, в предл 2 кн. XII
вновь неявно пользуется им для случая криволинейных площадей.
В явном виде предложение о существовании четвертой пропор-
циональной для любых трех величин, удовлетворяющих условиям
кн. V «Начал», было высказано, насколько известно, Хайямом,
который первый же заметил, что это предложение по существу
является следствием принципа непрерывности (см. [”])• Вслед за
тем это предложение встречается в виде аксиомы в комментирован-
ном латпнеком переводе «Начал», сделанном в середине XIII века
Дж Кампано из Новары, который опирался на более ранний латин-
ский перевод с арабского Аделарда из Бата (первая половина
XII века) и на другие арабские тексты. Кампано также указывал,
что эта аксиома выражает свойство непрерывных количеств (quan-
titatibus contiiiuis). Текст Кампано был трижды напечатан в 1482,
1486, 1491 гг. Еще позднее аксиома о четвертой пропорциональной
была введена в латинском издании «Начал» (1574 и ряд других
изданий) немецкого математика X. Клавня (Шлюсселя, 1537—1612).
См. «Начала» Евклида, т. I, стр. 397—398 и примечания И. 10. Тим-
ченко к «Истории элементарной математики» Ф. К э д ж о р и,
Одесса, 1917, стр. 336—337.
77. В этом доказательстве Хайям неявно предполагает, что
непрерывная величина —, переходя от меньшего значения — к боль-
A G
D А
шему — , принимает и всякое данное промежуточное значение —
между последними; явно высказанных Хайямом предпосылок для его
доказательства недостаточно.
Хотя мы не находим формулировки принципа непрерывности
у Евклида, но античной науке этот принцип был известен и в неко-
торых случаях высказывался явно. Наиболее ранняя известная
формулировка восходит к Бризону (конец V века до н. э.), который
согласно Нроклу утверждал, что существует многоугольник, рав-
ный данному кругу, ибо величина последнего заключена между
величинами любого вписанного и любого описанного многоуголь-
ника, а «к чему существует большее и меньшее, к тому существует
и равное». Аналогичное утверждение имеется у Аристотеля: «ведь
круговая линия будет и больнзе и меньше прямой, следовательно,
и равной ей» («Физика», кн. 7, гл. 4, стр. 160). Однако нет никаких
свидетельств о том, чтобы античные математики явно пользовались
♦аксиомой непрерывности» и пытались доказать с ее помощью
Утверждение о существовании четвертой пропорциональной к трем
° Щим величинам, и вывод Хайяма, как сказано, является первым
11
Историко-матсм. исследования
162
Б. Л РОЗЕНФЕЛЬД II Л. П. ЮШКЕВИЧ
известным нам доказательством этого утверждения. См. В е с к е г О.,
Eudoxos-Studien, II—III, «Quellen und Studien zur Geschichte der
Mathemalik», серия В, т. 3, тетр. 4, Берлин, 1934. О применении
понятия непрерывности у Архимеда см в настоящем выпуске «Исто-
рико-математических исследовании» статью II. Г. Башмако-
вой, Дифференциальные методы в работах Архимеда.
78. Это—предл. 1 кн. X. «Начал» Евклида (т. II, стр. 102):
«Для двух заданных неравных величин, если от большей отнимается
больше половины и от остатка больше половины и это делается по-
стоянно, то остается некоторая величина, которая будет меньше
заданной меньшей величины». Это предложение лежит в основе
«метода исчерпывания», применяющегося в кн. XII «Начал» при
исследовании площади круга и объемов пирамиды и других тел.
Доказательство Хайяма имеется в качестве другого доказательства
этой теоремы в некоторых списках «Начал» Евклида (см т II, стр.363).
79. Здесь используются предл. 14 и 15 кн. У «Начал» Евклида
(т I, стр. 160 и 161): «Если первая ко второй имеет такое же отно-
шение, как третья к четвертой и первая больше третьей, то и вторая
будет больше четвертой, если же равна, то равна, если же меньше,
то меньше» и «Части к своим одинаковым кратным имеют то же
самое отношение, если взять их соответственно друг к другу».
80. В русском тексте «Начал» Евклида после доказательства
предл. 1 кн. X говорится (т. II, стр. 102): «Подобным же образом
докажется п если бы отнимаемые были половинами».
81. В русском тексте «Начал» Евклида указанных слов нет.
82. См. Е в к л н д, «Начала», кн. V, предл. И (т. I, стр. 157):
«[Отношения], тождественные одному и тому же отношению, тож-
дественны и друг другу».
83. См. Е в к л и д, «Начала», кп. А , предл. 9 (т. I, стр. 155):
«[Величины], имеющие к одному и tomj же то же самое отношение,
равны между собой; и те, к которым одно и то же имеет то же самое
Отношение, равны».
Предл. 3 н 4 Хайяма вновь свидетельствуют о том, что он трак-
тует числовые отношения как частный случай общих отношений
величин.
84. См Евклид «Начала» кн. А определ. 17 (т. I, стр. 144):
«По равенству отношение бывает при задании нескольких величин
и равного им количества других, находящихся, взятые попарно,
в том же самом отношении, когда как первая к последней в [ряду!
первых величин, так будет и первая к последней в [ряду] вторых
величин; или иначе: взятие [отношения] крайних с пропуском сред-
А
них», т. е. если
а
DDE AD
-= п —= —, то пропорция тг — получается
Е С Ст*
ио равенству отношений.
Справедливость этой пропорции доказывается в предл 22:
«Если будет несколько величин и другие в равном с ними количе-
стве, [находящиеся] взятые попарно в одном и том же отношении,
то и „по равенству" они будут в одном и том же отношении» (т I,
стр. 168).
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХАПЯМА
163
Т° А—В
85. См Е в к л и д, «Начала», кн. V, предл. 19 (т. I, стр. 165):
«Если как целое к целой, так и отнятая к отнятой, то и остаток
г Л В
к остатку будет как целая к целой», т. е. если — = — ,
С Ij
с
"с- в
86.
87.
88.
«Начала», кп. V определ. 12 (см. [71]).
«Начала», кн. V, предл 7 (см. [21]).
«Начала», кп. V, предл. 11 (см. [82]).
Евклида пропорция не была равенством
является для Хайяма (см. [6sj и р2]).
(при А>В,
См Е и к л и д,
См. Е в к л и д,
См. Е в к л и д.
Напомним, что для
отношений, каковым она
89. Здесь Хайям имеет в виду предл. 1 второй книги своего
трактата, где доказывается существование четвертой пропорцио-
нальной.
90. См Е в к л н д «Начала», кн. V, предл. 8 (т. I, стр. 153):
«Пз неравных величин большая имеет к тому же большее отношение,
чем меньшая, и это то же к мевыпей имеет большее отношение, чем
к большей».
91. См р1], I81].
92. См. Е в к л и д, «Начала», кн. V, определ. 6 (т. I, стр. 174):
«Говорится, что отношение составляется из отношений, когда количе-
ства этих отношений, перемноженные между собой, образуют нечто»,
А С Е
т е. отношение, имеющее в наших ооозначениях вид — = — • ,
В 1) г
называется составным отношением, составленным пз отношений
D И F'
Это определение вес исследователи единодушно считают позд-
нейшей вставкой, поскольку Евклид нигде не трактует отношения
как количества пли числа и пе говорит об умножении отношений.
Вместе с тем составление отношений широко применялось в грече-
ской математике. Сам Евклид использует понятие составного отно-
шения в предл. 23 кп. VI (т. I, стр. 203), где доказывается, что
«Равноугольные параллелограммы имеют друг к другу составное
отношение сторон». Здесь он опирается на попутно вводимое опре-
деление: «Отношение К к М составляется из отношений К к L
и L к Л/», а для образования составного отношения в случае, когда
„ А С •
составляющие — ие имеют оощего члена, пользуется доказанным
им для отрезков предложением о существовании четвертой пропор-
циональной. Он вводит некоторый отрезок А'; тогда существуют
такие L, М, что =v и ~ , а затем отношением, составным
В L I) Л/
А „ С К L К
из » п yr, он называет отношение, составленное пз --и 77» т. е. — .
о D L М М
Аналогично можно было бы определить составное отношение для
отношений общих величин (не специально отрезков!), используя
соответственно более общий принцип четвертой пропорциональной.
164
Б. А РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
Составление отношении встречается затем у Хрхпмеда п Апол-
лония. В связи с развитием тригонометрических вычислений в астро-
номии составные отношения стали играть большую роль и в вычис-
лительной математике, например у Птолемея (около 140 г. н. э.).
Лежавшая и ранее в основе понятия составного отношения идея об
умножении соответствующих чисел пли численных приближений
этих отношении при этом выдвигается па первый план. Вероятно,
примерно в это время возникает не уточняемое понятие о «количе-
стве» (zvjZixoTTp) отношения и об умножении этих количеств—
первый зародыш общего понятия о действительном числе. Ком-
ментатор Птолемея Теон Александрийский (около 370 г.) писал:
«говорится, что отношение составлено нз двух или нескольких отно-
шений, koi (а количества этих отношений, будучи перемножены,
составляют некоторое количество отношения». Этот текст почти
дословно совпадает с псевдоевклпдовым определ. 6 кн. \ I, и по-
следнее восходит, невидимому, к имевшей большое распространение
теоновской редакции «Начал» Евклида.
См. примечания И. К) Тимченко к у казанной в [76] книге Ф. Кэд-
жорп, стр. 402—406, а также Vogel К., Beitragc zur griechischen
Logistik, Tl. 1, «Sitzuiigsberichte der Bayerischen Akademie der
Wissenschaften. Mathematisch natunvissenschaftliche Abteilung»,
1936, ст]). 357—472.
93. Как мы указывали выше (см. [1*]), этого постулата в рус-
ском тексте «Начал» Евклида нет. См. также [®2].
94. См Евклид, «Начала», кн. V, определ. 9 в 10 (т. I,
стр. 143): «Когда же три величины пропорциональны, то говорят,
что первая к третьей имеет двойное отношение первой ко второй»,
«когда же четыре величины пропорциональны, то говорят, что пер-
вая к четвертой имеет тройное отношение первой ко второй и так
А В
далее всегда, пока существует пропорция», т. е. если
А
шенпе 77
В~ С'
то отпо-
! .. АВС
называется двойным отношением, если— =77—73 •
В Ь '
=( -у 1 называется тройным отношением, и т. д.
то отношение
95. Дословно: «разумно» (ма кул).
90. Здесь Хайям со всей определенностью говорит о воз-
можности поставить в соответствие любому рациональному или
иррациональному отношению двух однородных величин некото-
рое ------ -------- ------ ----------" -----
(ср
пис
«число» — вопрос, ответ па который дается несколько далее
Р021).
97. Неясно, какое предложение имеет в виду Хайям Образова-
В
составного отношения пз -и в предл. 23 ки. V I «Начал»,
В с
как говорилось, используется
98. См. [»*]
99. Трактат Птолемея (у Хайяма Битлпмйус), известный под
названием «Алмагсст», на самом деле называется «Великое построе-
ние астрономии», по-гречески че-рЦ au-^afci; dGToovopia;. Назва
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХЛПЯМА
165
пне «Алмагест» происходит от арабского искажении первою слова
этого названия ал-маджистй.
100. Полный четырехсторонник, по-арабски «шакл ал-кпта ’»,
дословно «фигу ра секущей»—фигура, состоящая из четырех прямых
(пли больших кругов сферы), причем каждая прямая (пли круг)
пересекается со всеми остальными прямыми (пли кругами) в трех
точках и в каждой из этих точек сходится не более двух прямых (пли
кругов). «Предложение о полном четырехстороннике»—так назы-
ваемая теорема Менелая (около 100 г. и. э_), автора «Сферпкп»,
текст котором известен лишь но арабским переводам. Теорема Мене-
лая ДЛЯ плоского полного четырехсторонника (черт. 3) гласит, что
AD-BE CF=DB• ЕС ЛЕ; в сферическом случае отрезки сторон за-
меняются па хорды удвоенных отрезков сторон. Сам Менелай форму-
лировал теорему в терминах тео-
Л1) В
рпп отношении: отношение со-
.. СЕ
ставляется из отношении 11 /
. Плоский случай теоремы был ~~ „-------- '"'"'^7
CF ? 1 Д С F
известен во всяком случае до Me- Чей г 3
нелая, который применил его без 1 • •
доказательства при выводе сфери-
ческого случая. Теорема Менелая и ее частные разновидности слу-
жили одним из основных средств тригонометрических вычислений
в древности и Средние века; ей и ее приложениям посвящен был
ряд сочинений на арабском языке (ср. [105]).
101. Начала арифметического учения о музыкальных интерва-
лах и соотношениях длин струн, при одинаковой толщине и натя-
жении, дающих те пли иные созвучия, развиты были в греческой
науке не позднее рубежа \ I—V вв. до и. э Длины, соответствующие
таким музыкальным интервалам (октаве, кварте и др.), находятся
в целочисленных отношениях; сложению музыкальных интервалов
соответствует умножение этих отношении Теории музыки посвящен
ряд сочинений греческих математиков, среди них «Начала музыки»
Евклида, переделкой которых, быть может, является сохранив-
шееся под именем Евклида «Деление канона». Учение о гармонии
явилось предметом многих сочинений на арабском языке, а также
трудов европейских математиков вплоть до XVIII века
Рукопись «Комментариев к трудностям книги о музыке» \ шяма
(Шарх ал-мушкпли млн кнтаб ал-мусйкй) не обнаружена
102. Весь этот абзац является центральным но значению в уче-
нии Хайяма о числе.
Для классической античной математики характерным было
понимание числа как числа натурального, как меры дискретного
множества предметов или же меры непрерывной величины, состав-
ленной из множества однородных с нею. Даже единица не включа-
лась в теоретической науке в категорию чисел Определ. 1 и 2 кн. VII
«Начал> гласят: «1. Единица есть [то], через что каждое из суще-
166
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
ствующих считается единым. 2. Число же—множество, составлен-
ное пз единиц» (т. II, стр. 9). Ни отношения целых чисел, ни отно-
шения несоизмеримых величин Евклид не рассматривал как числа,
несмотря на очевидное наличие у тех и других ряда общих свойств
Дело здесь не просто в терминологии, а в тон роли, которую играли
целочисленные и общие отношения в теоретической математике
эпохи Евклида. Общая теория отношений в классической античной
математике служила, главным образом, базой учения о подобии
в геометрии, теории музыки, а также так называемого «метода
исчерпывания»—древнпх интеграционных приемов, в результате
которых были установлены равенство отношений или целочислен-
ные отношения между некоторыми площадями пли объемами (вроде:
два круга относятся, как квадраты диаметров; сегмент параболы
равен двум третям описанного около него параллелограмма и т и.).
Как уже говорилось в [в91, приближение несоизмеримых отношений
с помощью целочисленных отношений, т. е. рациональных дробей,
было второстепенной проблемой для классической греческой науки.
В этом смысле показательно, что в кп. VII «Начал» не определяется
и не исследуется сложение и вычитание отношений, а в кн. V оно
вводится только для случая отношений с общим последующим
членом: обе эти операции не играли роли в тех вопросах, где нахо-
дила применение теория отношении Таким образом, отношения не
выполняли, вообще говоря, измерительной функции, характерной
для позднейших иррациональных чисел дроби и рациональные
приближения несоизмеримостей применялись почти исключительно
землемерами, архитекторами, военными инженерами и т. д., но не
в теоретическом исследовании, а от самих приближении не требо-
валась особенная точность.
В «Измерении круга» Архимеда мы встречаемся с первым глубо-
ким теоретическим изучением некоторого специального процесса
приближенных вычислений, и он, между прочим, трактует дроби
как числа. Начиная с I века до н э , проблемы вычислительной
математики выдвигаются на передний план математической науки,
оттесняя уже вполне сложившиеся отделы классической эпохи. Мы
указывали, что с этим связано было изменение точки зрения па
отношения, возникновение понятия его «количества», объединение
понятия умножения количеств с понятием составления отношений
Большую роль сыграл при этом тесный контакт поздней i реко-рим
ской пау кп с вычислительной по преимуществу математикой и астро-
номией Востока (Вавилона и Египта). Диофант в III веке н. э. уже
прямо называет дроби числами
Описанный процесс не успел, однако, получить глубокого раз-
вития в шедшем к упадку античном мире, и дальнейшим успехом
здесь мы обязаны средневековой науке Востока и более всею мате
матпкам народов Средней Азии. Еще до Хайяма, в связи с новым
и ярким расцветом вычислительной математики, операции над
иррациональными числами и их рациональными приближениями
становятся повседневным занятием крупных ученых. Комментаторы
кн. X Евклида поясняют ее предложения на примерах сложных
квадратичных числовых иррациональностей. Хайям, продолжая
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХАПЯМА
167
идейную линию, намеченную в его оригинальной теории отношении,
первый со всей определенностью формулирует и новую, более
общую концепцию действительного (положительного) числа. Он
вводит понятие общей абстрактной числовой величины, выражаю-
щей любое отношение, «величины, отвлеченной разумом от всего
этого (т. е. от индивидуальных свойств линии, поверхности, тела
времени) и принадлежащей к числам, но нс к числам абсолютным
и настоящим». Он указывает на практическую важность такого
расширения понятия числа, ссылаясь на вычислителен и землеме-
ров Он подчеркивает, наконец, что новая, вводимая им, как и эти-
ми практиками, единица является делимой,—только у практиков
эта единица всякий раз являлась именованной и могла рассматри-
ваться как множество других более мелких единиц, а у Хайяма
эт0—отвлеченная числовая единица. В этом пункте Хайям ио су-
ществу противопоставляет свою концепцию воззрениям древних,
в частности и Аристотеля, писавшего «Неделимое во всех отноше-
ниях, не наделенное положением называется единицей, а неделимое
во всех отношениях и имеющее положение—точкой» («Метафизика»,
кн. 5, гл. 7, стр. 86).
В итоге, у Хайяма каждому отношению ставится в соответствие
некоторое вещественное (положительное) число и отношения вместе
с числами приобретают функцию измерения любых величин Даль-
нейшее развитие это учение Хайяма получило особенно у Наспр-
эддина Туси (см. [105]).
А _ единица Е
I) ~ С 'В ~~ единица
Л
В
Е
С '
103. Из
104. Из
следует, что
к
С G
единица _ „ _
следует, что единица xC=E G, а отсюда,
что
В D D АВ А
А В ^А П В D D ’
105. В тексте Хайяма сказано: «G есть отношение?! к В, Е есть
отношение В к D, а С есть отношение А к В переводе текст ис-
правлен по смыслу.
Говоря о произведении отношений, Хайям имеет в виду число,
которое можно вычислить с любой нужной степенью точности, пе-
ремножая рациональные дроби, дающие с соответствующей степенью
точности приближенные значения сомножителей (что позволяет
сделать его определение отношения через непрерывную дробь).
Более детально разработал теорию составных отношений Иасир-
эддин Туси, который также рассматривает отношения как числа и
оперирует понятием «количества отношения». При этом Пасирэд-
Дин понимает под количеством отношения «число, измеряемое еди-
ницей, так же как предшествующий член отношения измеряется
последующим членом», и в ходе доказательства предложения,
совпадающего с предл. 1 Хайяма, пишет: «Так как умножение
одного числа на другое есть действие, состоящее в том, что первое
число увеличивается во столько же раз, каково второе число, то
составление одного отношения из двух других есть действие,
состоящее в том, что количество первого отношения увеличу
168
Б. А РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
вается во столько раз, каково количество второго отношения». См.
II а с и р э д д и н Туси М , Трактат о полном четырехсторон
нике (Шаклул Гита), пер. с араб., Баку, 1952, стр. 21—22.
Теория сосанных отношении и учение о числе Хайяма и Па-
сирэддпна Туси, как говорилось в [75], получили известность
в Европе в конце XX I и XVII вв., особенно благодаря изданию
в Риме в 1594 г. «Начал» Евклида в редакции Наспрэддина. Не входя
в детали процесса развития учения о числе в XX II веке, заметим
только, что вершиной его явилось определение числа у Ньютона:
«Под числом мы понимаем не столько собрание единиц, сколько
отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине
того же рода, принятой нами за единицу. Число бывает родов: целое,
дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется
единицей; дробное—кратной долей единицы; иррациональное число
несоизмеримо с единицей» (II ыотоп II., Всеобщая арифметика,
пер с латин., М , 1948).
106. См. [9‘]
107. Дата написания геометрического трактата Хайяма—копен
первого джумада 470 г. хиджры—середина декабря 1077 г. Много-
точием отмечен пробел в рукописи.
108. Дата переписки рукописи трактата, на которой основан
наш текст,—5 ша'бана 615 хиджры—27 октября 1218 г. О перепис-
чике (Мас’удс ибн Мухаммад ибн'Алй ал-Халфарй) никаких допол-
нительных сведений не имеется.
III. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ
«ОБ ИСКУССТВЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА
ЗОЛОТА И СЕРЕБРА В СОСТОЯЩЕМ ПЗ НИХ ТЕЛЕ»
1. Трактат Хайяма «Об искусстве определения количества
золота и серебра в состоящем из них теле» дошел до нас в двух руко-
писях. Одна из них, неполная, находилась в библиотеке восточных
рукописей в г. Гота (Германия) (№ 1158, листы 39b и 40а), другая
рукопись, полная, включена в трактат работавшего в Черве ученика
Хайяма Абу-л-Фатха гАбд-ар-Рахмана Хазивй «Весы мудрости»
(«Мйзан ал-хикма»), написанный в 1121 г.; рукопись последнего
трактата имеется в Ленинградской публичной библиотеке им. Сал-
тыкова-Щедрина (собрание Ханыкова, № 117; трактат Хайяма
изложен на листах 57b—60b). Готская рукопись была опубликована
четыре раза: два раза на арабском языке—в 1924 г типографским
способом в качестве приложения к изданию «Четверостиший»
Хайяма на персидском языке, выпущенному Фр. Розеном в Берли-
не, и в 1936 г. в виде фотокопии с рукописи в качестве приложения
к изданию геометрического трактата Хайяма, выпущенному
Т. Эрани в Тегеране,—и два раза в немецких переводах: в 1906 г.
в статье Wiedemann Е , Zur Geschichte der rsaturwissen-
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРЕТЬЕМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
169
scbaften, VIII. Uber Bestimmung der spezifischen Gewichte, «Sitz-
ungsberichte der Physikalisch-medizinischen Sozietat in Erlangen»,
1906, 38, стр. 163—180 (см. стр. 170—173) и в 1925 г. в заметке:
Rosen Fr., Ein wissenschafllicher Aufsatz linar-i Khayyams,
«Zeitschrift der Deutschen morgenlandischen Gesellschaft»/ 1925,
4(79), стр. 133—135.
Рукопись Хазпнн частично опубликована и подробно описана
в статье обнаружившего ее известного русского ориенталиста
И. В. Ханыкова: К h a n i к о f f N., Analysis and extracts of
Kitab niIran al-hikina (Book of the balance of Wisdom), an arabic
work on the waler-balance, written by al-Khazinf in the twelfth
century, «Journal of the American Oriental Society », 1859, 6, стр. 1 —
128 п в статьях: W i e d e m a n n E., Beit rage zur Gesdiichte der
Katuruisseiischaften, XV, XVI, XXXVII и XXXVIII, «Sitzungs-
berichte dor Physikalisch-medizinischen Sozietat in Erlangen», 1908,
40, стр. 105—132 и 133—159; 1914, 45, стр. 27—38; 1916, 48, стр. 1 —
15. Изложение Хазпнн трактата Хайяма имеется в немецком пере-
воде в первой из указанных здесь статей Видемана.
Приведенный нами заголовок взят из готской рукописи. В сочи-
нении Хазпнн изложение трактата Хайяма находится в четвертой
книге «О водяных весах, упоминавшихся древними и позднейшими
учеными, их форме и способе их применения» и составляет пятую,
последнюю, главу этой книги, озаглавленную «О свободных водя-
ных весах имама Омара Хайяма, способе их применения и его дока-
зательстве, когда обе чаши или одна из них находятся в воде».
Изложение Хазпнн разделено на четыре раздела, озаглавленных:
1) «Об устройстве весов и взвешивании» (первый абзац), 2) «Об опре-
делении того, что имеется в телах, состоящих из золота и серебра,
с помощью геометрического доказательства» (второй, третий и чет-
вертый абзацы). 3) «Об определении того, что имеется в телах,
состоящих из золота и серебра, с помощью алгебры и алмукабалы»
(пятый и шестой абзацы) и 4) «О состоящем из трех субстанций и бо-
лее» (седьмой абзац). Восьмой абзац, в котором говорится о взве-
шивании, при котором в воде находится одна (а не обе) чаша весов,
у Хазпнн нс выделен и заголовка пе имеет. В нашем переводе за-
головки разделов опущены. После заголовка первого раздела Ха-
зпни говорит: «Имам Абу-л-Хафс (не Абу-л-Фатх, как обычно! —
Б. Р. и А. Ю.) Омар ибн Ибрагим Хайям сказал» и далее следует
текст Хайяма. После окончания текста Хайяма говорится: «Это мы
взяли из слов древних и позднейших [ученых] о водяных весах.
Окончилась четвертая книга». Текст готской рукописи обрывается
на середине третьего абзаца. Сравнение обеих рукописей, во мно-
гом совпадающих текстуально, показывает, что обе они копируют
один и тот же исходный текст Хайяма. Публикуемый перевод сделан
с текста Хазпнн за исключением упомянутых заголовков и одной
фразы, исправленной но готской рукописи (см. [п]).
Задача, рассматриваемая Хайямом в этом трактате,—классиче-
ская задача на смешение, решенная Архимедом по просьбе сиракуз-
ского царя Гиерона. В основе решения лежит открытый Архимедом
170
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А II. ЮШКЕВИЧ
закон гидростатики. Существует две версии о решении ее Архимедом.
Согласно Витрувию, римскому архитектору и инженеру времен
императора Августа, Архимед изготовил слитки из чистого золота
и из чистого серебра, имеющие тот же вес, что и сплав, и определил,
пользуясь полным до краев сосудом, вытесняемые всеми тремя слит-
ками объемы воды. Если данный вес сплава есть а, искомые веса
золота и серебра в нем х и у, а вытесняемые объемы воды суть соот-
ветственно v, vlt v2, то объем воды, вытесняемый имеющимся
в сплаве золотом, есть — v., а объем, вытесняемый имеющимся в спла-
а
вс серебром, есть — и2, и задача сводится к системе
л+у=а,
Согласно другому источнику Архимед определил веса всех трех
слитков в воде. Если обозначить потерн в весе сплава, золотого
слитка и серебряного слитка (т. е. веса вытесняемых ими объемов
воды) соответственно at, bj, b2, то задача сводится к системе
bix+b2y=aa),
причем ясно, что at: b1 : b2=v : v,: v2. В обоих случаях по суще-
ству используются удельные веса сплавов и металлов.
Решение Хайяма опирается на определение весов в воздухе
и в воде двух произвольных слитков чистого золота и чистого сере
бра. Интересно заметить, что в определении удельных весов различ-
ных тел ученые Средней Азии XI—XII вв достигли чрезвычайной
точности. Особенно это относится к уроженцу Хорезма Бирупп
(973—1048) и Хазпни, погрешность весов которого при взвешива-
нии 2,2 кг не превосходила 0,06 г.
2. Слова «а также возьмем чистое серебро и узнаем его вес
в воздухе» отсутствуют в готской рукописи.
3. Чертеж отсутствует в готской рукописи.
4. Вместо слов «поместим серебро в одну из чаш в воде, а в дру-
гую чашу—то, что уравновешивает это» в готской рукописи стоит
«возьмем серебро».
5. Слова «затем возьмем сплав и узнаем отношение его веса
в воздухе к его весу в воде» отсутствуют в готской рукописи.
6. Слова «если вес сплава в воздухе относится к его весу
в воде, как АВ и CD, причем ЛВ есть вес в воздухе» отсутствуют
в готской рукописи
7. Слова «в воде» и «в воздухе» над чертежом отсутствуют
в готской рукописи. У Хазпни этот чертеж повторяется на трех
листах.
8. См. Евклид, «Начала», кн. V, предл. 12 (т. I, стр. 158):
«Если несколько величин пропорциональны, то будет, что как одна
из предыдущих к одной пз последующих, так и все предыдущие
[вместе] ко всем последующим». У Хазпни вместо «Начала)
(У9 Ул)—«Стихи» (истиксат).
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРЕТЬЕМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
171
9 Решением Хайяма является объединение двух предложений
из «Данных» Евклида: предл. 23 (стр. 335): «Если отношение целого
к целому дано и отношения частей к частям даны, но не одинаковы,
отношения всех этих величин ко всем этим величинам известны»
и предл. 2 (стр. 305): «Если данная величина имеет данное отноше-
ние к другой величине, эта последняя величина известна».
10. Видеман в своих переводах обеих рукописей искажает
Хайяма, считая, что здесь и дальше Хайям перепутал слова «золо-
то» и «серебро» и «в воде» и «в воздухе» и «исправил» Хайяма. Виде-
ман исходит из предположения, что Хайям опускает в воду только
чашу с испытуемым телом. На самом деле здесь Хайям опускает
в воду обе чаши весов (о взвешивании, при котором опущена в воду
только одна чаша, Хайям говорит далее). Цифры, приведенные
Хайямом, дают возможность вычислить удельный вес металла, из
которого сделан разновес: если удельный вес золота, т. е. вес еди-
ницы объема золота в воздухе, равен 19,05, то вес единицы объема
золота в воде есть 18,05; если удельный вес разновеса х, то объем
разновеса, уравновешивающего единицу объема золота в воз-
19,05 ’ . п_ 19,05
духе, есть—-—, вес этого разновеса вводе есть 19,0а------—,
а вес разновеса, уравновешивающего единицу объема золота
в воде, по условию в 1,1 раза больше указанного веса, т е. ра-
л я Лп лк 19,05Х ялЛ.лл- 19,05
вен 1,1 (19,05-—— ], откуда получаем 1,1 ( 19,Оэ--—
= 18,05; 20,95-^^=18,05; 2,90 = ^-^;
X X
Точно так же если удельный нес серебра равен 10,3,
чаем 1,05 ( Ю,3-^^ = 9,3; 10,8-—=9,3;
\ X J X
10,8 __ m „
х=-т-р-=7,2. Таким образом, приведенные Хайямом
1 9 м
_20,95_
Х~ 2,90
мы пол\ -
1.5 = 1^;
X
цифры не-
противоречивы и соответствуют разновесу с удельным весом 7,2.
11. В готской рукописи вместо слов «и пусть его вес в воде
будет десять и три четверти» стоит: «и пусть его вес в воздухе
будет десять и три четверти, а его вес в воде будет десять».
12. Здесь обрывается готская рукопись.
Щ П ло шлп лл3 АЕ 1° ЕВ 10 II
13. ДаиоЛВ= t0,CD = 10p ?g=1), — По „острое-
ниш Ен АЕ 10 АН 10 _ __ ,,.3
Ю GD^'CG== П ’ откУда 11 СР=Ц ' Отс,ода’ так какС/5=1()4>
7
10-10^ 5
находим ЛЯ=^-2 = ^ = 9^ и НВ = АВ- АН = • С ДРУГО«
стороны,
НВ LB—EH ЕВ ЕН 10 10 5
GD~ GD ~GD GD~A0l/2 11“115»/2’
172
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
откуда
сп-ип. НВ- 5 5 _П51/2 Л
GD-HB • GD-22. • lW-~22~ = 54 ’
Л 10 _r
LB GDgd 54’1o1/2-J>
CG=CD -GD=10 j -5 7=5 *,
4 4 2
AE=AB— EB = 10-5 = 5.
14. Cm. p] к алгебраическому трактату Хайяма.
15. АЕ—х, EB=A0—x, CG=i~x,
Отсюда
11 3 111
102=1 2О’Ж=1О4 — 1 То'*’ ‘4=2б’‘С’ х==:у = ЛЕ'
EB = \G -z=5, CG = l~a:=5.5, GI) = 10 J-- 1 ~z=5-} .
10 2 4 10 4
16. Слово «субстанция» по-арабски «джоухар»,мп ч. «джава-
хпр», что означает также «драгоценный камень». Поэтому данный
абзац можно понять также как трактующий об определении веса
драгоценных камней в содержащих их телах.
КИРП к
НОВГОРОДЕЦ
УЧЕНИЕ НМЖЕ ВЕДАТП ЧЕЛОВЕКУ
ЧИСЛА ВСЕХ ЛЕТ
ФОТОКОПИЯ СОДЛПСКА РУКОПИСИ KHPIIK \ НОВГОРОДЦА
oy* *f« н»‘ Ал'тт аьд (ia'iл t
Ц*пел» шашни t'bmvскб~оя^€
/м л at а t л» а к w лл Уер с iхпа А рь. 6
И|»£Л<<НИ . Ai r
^Atf ro -f}OCfr'axZA*iAf4f(M . /И1£«0Л&
(<н7ГнбТв<^б . 'f. К . И .g^4
/Св'Ч54****Ггт,И/И*^® • илиаМ^ДА4^
* ИЛИг44НГ0<4&Д'0^£4ШИ в|^
vThti arfaAH ^t^AAj^ . -alatAtfa
^AArbAricridrв д** *гп£в( rrt бчмхТн^ЛНбГ^
,grn6A*4%A'tmrg f tlfS
\ ,
(Лист 342)
НАСТАВЛЕНИЕ, КАК ЧЕЛОВЕКУ ПОЗНАТЬ
СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ [I]1)
ПЕРЕВОД ТЕКСТА КПРПКА НОВГОРОДЦА
1. Бог изначально сотворил небо и землю и всю
видимую тварь, с той поры [считаем] до настоящего
времени 6644 года2).
2. Знание3) количества месяцев. От начала со-
творения сего мира до настоящего времени прошло
календарных месяцев 79 7284). Если хочешь сосчи-
тать месяцы от Адама до настоящего времени или
до какого времени хочешь, то считай по 12 месяцев
в каждом году.
3. Учение о счислении недель. От Адама в том же
количестве лет в 6644 годах содержится 346 673 не-
дели 5)
1 Цифрами в прямых скобках отмечены примечания,
помещенные на стр. 192—195.
2) В тексте рукописи 6640: см. [®1.
3) Перевод с Соф.: «ведание».
4) Соф.: 9728 (в буквенном начертании).
5) Соф.: «в толпцех летах [...] 50 педели и 3 дни*.
(Л ист 342)
176
КНРПК НОВГОРОДЕЦ
ил лис г* ллУЧиаК

ИИ
<С4>АИ<саи вСггтб
1<оСГЛЛП,^‘О . ^дчглИп^Жл^ла
пи ш ил<1<^й
, И rtff ИЛ
ujи rrfJArztf с^4гти сД .
НАСТАВЛЕНИЕ, КАК ЧЕЛОВЕКУ ПОЗНАТЬ СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ |77
и 3 дня. И пусть будет известно желающему, как
следует определить количество недель, что в од-
ном году 52 педели и одни день и четверть дня,
а через четыре года из этой четверти получается
одпн день; сначала сочти ’) недели во всех годах,
а также лишние дни, также и четверто и рассчи-
тай2) [их] по 7 дней па педелю и прибавь ко всему
числу. II, таким образом, правильно получится
искомое.
4. Как узнать количество дней. Да будет извест-
но, что в том же количестве лет—2 426 721 день3).
А если хочешь знать, сколько дней до настоящего
дня или до какого-либо, считай сначала по 300
п по 60 и по о дней в году. II когда сложишь все
это количество, сочти еще, сколько у тебя висо-
косных дней, п прибавь их ко всем [ранее получен-
ным] дням; таким образом ты можешь правильно
высчитать.
5. Исследование [количества] часов. От Адама
*) Соф.: «пзочти».
2) Соф.: «розочтп».
3) Соф.: «исследи 20 и 426 721>> (цифры в буквенном на-
чертании).
(Л ист 342 иб.)
12
Историко-магем. исследования
17Я
К111*11 К Н<11*. ГО Р ОД Е11
ко та

gAGrrrb таном MM^Vtu^rtaAAAAoy
<A)K^utcm(L t pd^aAAOE'GyflM
ИК^ККгЛ^МЛГгп Д £crt6A4tjчллк Cf Б|Н»
аед'О^итпь^о . ft . AfkiArtAftbtMaema
0

f«, ^аЧтоти(Л И7£?Л*^ПА «вм*£
^нл* raicf/Yr'A . спогли<^гт*д .
4д|/4.Д.ТП4 . Д ,Д1^4/1И^Х2^Л<^ТП«^До
g^nrn а^а а ?оу|^«тпли н^4 и<тЛ.
AtfJtAH. gt . т ати^стб. 7?£(н/у|С
C/ATTif . иГТД(<6(Ндчни СОГТО/ЗХГДГ^4
"tffhAt . МДДДЛ^
(. I ист 343)
ОСТАВЛЕНИЕ, К\К ЧЕЛОВЕКУ ПОЗНАТЬ СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ
в том же количестве .чет 29 120 652 часа, кро-
ме *) ночных. Те мудрецы [3] или любители рас-
четов, или риторы, которые хотят это усвоить,
пусть знают, что во дне 12 часов. Так образуются
недели, месяцы и годы. Ведь понемногу создается
город и делается большим, так и знание понемногу
растет.
6. А вот наставление об индикте I4]. Да будет
известно, что индикт начинается сентябрем меся-
цем, доходит до 15 лет и опять начинается: 15 лет—
это круг индикта. Если хочешь узнать, который
идет год индикта, раздели все годы от начала мира
на 15 и сколько .чет последнего круга останется,
столько будет лет индикта; если один, то первый
год; если два года, то второй год индикта, если же 15,
то пятнадцатый, и опять начинай с первого. А тех
кругов прошло * 2) от Адама
4) Соф.: «200 исподни п 90 иевсдни в 120 602 часа».
2) Соф.: «пзъшло».
(Л и с т 343)
КНРПК НОВГОРОДЕЦ
и^БЫпа^гпь , 1<длс0л4оякетба£
f(Tt6MNYM6(. <Э • MfWt wrtfl'A
гтшелычнАгаифУгА .tamaaafAev
eaA^rna - (гга^^иш^лш uluihlu
фЧАЛ^АЛКрА) .ПО . t<"
fjAitorn6. ки.
т<^м^|пзркитигт1'&>м<?«{<т1и ГГ*Ц'^
наГИ/и^и. Л1|Х4см^И1*ол^гпом^У
А. <с т г jA. m л т м ^7__ .гт~ »
{/AM* . t . A
ИШьАОи) A
нж1(аХ'гд.и
j tiro н tA&fk ntotmn . коat>flAnim(co
4 .^HhAAya rf нпл^Д наггпа 4m 6
(Л пгт 343 об.)
(ЛСТАВЛЕПНЕ. КАК ЧЕЛОВЕКУ ПОЗНАТЬ СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ ]81
ю настоящего 6644 года 142, а последнего индикта
протекает 14-й год.
7. Как можно познать солнечный круг [5]. Знай,
чго солнечный круг начинается в первый день ок-
тября месяца, он продолжается с 1-го [года] до
28-го и вновь начинается с первого. Если же
захочешь найти какой-либо год солнечного круга,
который ищешь, то раздели все годы от начала
мира па 28 и то число, которое останется, меньше
28-ми, его и возьми. При помощи его и вычисляй
пасху и все месяцы. Ес ш в остатке один год, то это
первый год, если два, то второй, если 28, то два-
дцать восьмой. От Адама прошло 237 солнечных
кругов, а последнего круга идет восьмой год, при
помощи пего я определил пасху в этом 6644 году.
8. Как можно узнать круг лунный [с]. II этого
нельзя пе знать: знай, какой год лунного круга
приходится на первый день января месяца Лун-
ный же круг в каждом году продолжается от пер-
вого [года] до 19-го, п опять
(Л и с т 343 об.)
182
КПРИК НОВГОРОДЕЦ
Д4ТЛГА . К« . А . гаКАЧНН^
ИНЫМ О . FrpSKOOfJ 1ШИ
С1САл4гпИ '. сО^ЧДААтпПЦ^ и tx ft rd
ЛЛИ^А . lid-А**С4и^ж2^4£П*
/vt€Hf .J^l . TTT0ГПИ^л4'ГГГ«дУнН4«^
ГА .или. А <или ^ГПЛ^аб-
^Д-Ь.ИЛИ.^1 MnA«6«CV. Л-. Г0Я4
ННЫ

Нма rant t<алан нУл0 . лг% Аг *м
rnbtrdfj^/и ябА'Ео'ЬнбС 71b ^ин^.
it/a^ndiiAfniHHcT'l,
вm tAZA • « • A*fr<n*I , 44 fern 6 гтт< П0
Ц/Л-ГЛ1(?9 , . ДГЬТПА , м»74Л44<
Н £ ПС *40ПА €Н/И< СЛ4ЛМпД«6ГЛ41
Т-’ ~*Гг
НО п Л/А 4 ГП^ЛА^4 ./М . Л^ ,^.4 гг^угто
к^алп<кхтдли1^лг#. 5*. ^L. Q
(Л ист 344)
4(
НАСТАВЛЕНИЕ, как человеку познать СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ 183
возвращается и начинается с первого Если же хочешь
найти лунный круг, который ищешь, раздели все
годы от начала мира на 19; а если будет мень-
ше 19, то эго и есть год лунного круга; если
[останется] один, то первый год, или второй, если
два, или 19, то [девятнадцатый и] опять начинает-
ся с первого. От Адама до настоящего времени
четыреста лунных кругов без одного, а последнего
круга идет 13-й год. При помощи его я определил
пасху настоящего 6644 года.
9. О веках мира [7]. От Адама до настоящего
года минуло 6 веков, а седьмого века минуло
644 года. Тысяча лет составляет один век.
10. Об обновлении [8] неба. Небо обновляется
через 80 лет. Таких обновлений от Адама до 6644 го-
да—83. От последнего обновления протекло 4 года.
11. О земном обновлении. Земля обновляется
через 40 лет Таких обновлений в том же количе-
стве лет было 166,
(Л ист 344)
184
КНРПК НОВГОРОДЕЦ
Д1
А А ^т(А
и . ^гпали
iHtA^Afb . 0 - И
ЛдК<Н1 А6Н<А a^tiAA • Р*
nAHttvS&rttxiAA tirrtA
А'
ъ
ЛЪмгГК^елГЗкЫpA&vrtbttA .^.. тггхи
. х _. . - 1 . _____

. й< . А rnff^TniAHA^^tA
S/
$СТТЫ<0АН*< ЙЛ1
F'fecTo
. «6
НИЛ₽Нб»/иЧ1£«0б - П*
UcK<>^VHrnb ш-лУн^з ft
А^Ь JT.AH6 .Ивг«д/и7кАЧ?5в<;
(Л и с т£344 об )
НАСТАВЛЕНИЕ, КАК ЧЕЛОВЕКУ ПОЗНАТЬ СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ 185
а от последнего обновления прошло 4 года.
12. На каком году обновляется море. Морс
обновляется через 60 лет. Таких обновлений в том же
количестве лет было ПО, от последнего обновления
прошло 44 года.
13. Обновление воды. Воды обновляются через
70 лет. Таких обновлений было от Адама до настоя-
щего времени 94 и еще остается 64 [года].
14. О високосных годах. Високосный год бывает
на 4-й год. Таких високосных лет было от Адама
1660 и еще один год, високосный, нынешний.
15. О большом круге [°]. Большой же круг
содержит 532 года. Таких кругов от Адама ми-
нуло 12, а 13-го прошло 260 лег.
16. Сообщается, сколько месяцев в году. Да
будет известно, что в одном году 12 календар-
ных [10] месяцев, а небесных лунных месяцев 12
п 11 дней 13-й лупы. II из этих дней на чствер-
(Л и с т 344 об.)
186
КИРПК НОВГОРОДЕЦ
V
|>mo^ . г?.
Агтл. . н\к . t mtf m « А а~£ал у6 - гч.
A4i£M ГС N И CV TOfr о 1*0 fl 4 и <л> S, <
£tib л (£nai<&• га jcza ^р1(али~ггль тзл£гп*&.
^kfl4M6b&yrauaa*bA*% . сб^иьаллгь
К$АЬ . Н(Ь . И й)^й«<5ДНбИ4<4ХСу€
АЛ'Im Mt«CrndM J, . И 4ХГП 0 »А . йГ тД
H/t*/47ll£ |f П1О v A'trnO . IT **•
с*у^,ин<5 , ис(ке77к*1»Гж
ttTKt HA^V'tA
’' •»•» л. ’• tr ^.,
СгтЬгХА^ЬтпЪ , curi0|^A^0А .^М<и.
m. f . J KA A&WA afHXtfrZrfi.
^nn((((iS(TUt{(iii^6iuai^l ^.л^.
. Д ACt*tA ttxinoa'bfla'b'
ал^мТвпшцд^ ntaanis^HtioM. rt
Tt^rrr^ . тп . n n ’r.'tatht. aati»>
l^Ztrrt би И <?0 •
g<Mjar^0Ar0rne»<^'sn0irrt^Ar0 .mr<0
а^дНй w^mh0ai/s . at. $сгпь¥асц.Л
«пА«бж?«йан01^и«
Си^^пию^лл/злт
66Л14ЬЩЛА1'Л . И|*0-гПАц> иа^'З л Ы«Н2Г
Ml
л I
к
•Ч
^•*(4 ОЪ[>*$Ш(АЛГ& .
хньур . ^сА^гиПгУ^Тн^^•
<П0ЛНАЛ) . в/.й’глед^нбй'^л’ Н<Г«Г
(Лист 345)
jj ХСТЛВЛЕН II Е. К ЛК ЧЕЛОВЕКУ ПОЗНАТЬ СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ 187
тын год получается 13-я луна; в месяце насчиты-
вается 4 недели, от года до года проходит 13 [лун-
ных] месяцев и 1 день.
17. Вновь сообщается, сколько недель в году.
Да будет известно, что в одном году 52 недели
и 1 день, называемый нндпктой, и 6 часов. Эти
6 часов через четыре года дают 1 день, называемый
високосным
18. Сообщается, сколько диен в году. В каждом
году 365 диен и иа каждый 4-й год прибавляют
одни день високосный. В каждый 4-й год бывает
366 дней.
19. Это извещается о часах. Да будет известно,
что в одном году дневных часов 4383 и ночных
столько же.
20. О количестве часов в одном дне. Все знают,
н я сообщу, что в (.дном дне 12 часов и в ночи
столько же.
21111]. О дробных часах каждого дня Это же
пишем для любителей мудрости и для желающих
все хорошо усвоить, о так называемых дробных;
как будет их 60, они составят день, так как во дне
12 часов, а в
’) Соф.: «ко..л ко».
(Лист 345)
188
ЬИГКК НОВГОРОДЕЦ
кв
1<г
'V
ice
не
. e ^dOE’Hht. гпцкакно.ч-
- 54Г * !*• ,f| -X>
пО'^&А*6^аБнъл*1 .Г^а(( еттбй^
m ' и гтх^ггга^^
КН6« . t grrraffbt
ф^ЛЕКЫ .^A£tlt>
afyfiK .^Г, t '“рпнц^спмгкч
fl flOEt<hiJ(*b . пгъгтхръ rrr«V/vl'30.^aff
гНлдегпл tea .'t . л £ < ntluaZfluи,
Z • ГПЫт(ф^6ЕНЬ1 uL
fifOEtlCAVb . 7 . FCTH6M По^^и ,
(£) , UJt (mfaIP*Q
Ень* O'b'Te~'*ia*i'bf^(f*Et<tsri'3 .
icrrtk^^aa^HH . Cat. .^,
J UJt tmbiYmtad^rJMrn/ATtiilHAi)11 вк.я
tt^SutEhl HA> firn bd&cw fflifA9KA/aT^
TT'- a -tfl . ’ <*7.
CUt^htfifOGUbt . g*SCrnO«tt*€f<6
rxi «о чи ova fи л и tA ни гТушЛ^
а%А*п&.^Х-м.^
m. Нб
(Лист 345 об.)
н ОСТАВЛЕНИЕ, КАК ЧЕЛОВЕКУ ПОЗНАТЬ СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ 189
каждом часе о дробных [часов], также и ночью.
22. Вторых же дробных в одном первом дроб-
ном [часе] 5, а во дне их 300.
23. Также и третьих дробных в одном втором
дробном часе 5. А во дно их 1 50и.
24. Четвертых же дробных в третьем дробном
также 5, а во дне их 7 500г).
25. Пятых же дробных в четвертом дробном 5,
а во дне их 37 500.
26. Шестых же дробных в пятом дробном—опять-
таки 5, а во дне их 187 500.
27. Пз шестых дробных получаются седьмые
дробные, пз одного 5. Л седьмых дробных часиков
в одном дне 937 500, столько же и в ночи.
Больше же этого не бывает, то-ссть от седьмых
дробных ничего не получается.
Да будет известно, что это исчисление написано
в 6644 году от Адама, а до 7-й тысячи осталось
356 лет; 14-й год индикта 8-й год солнечного круга
и 13-й лунного. Тот
9 В рукописи 7000.
(Л и с т 345 об.)
1У0
Kill’ll I.’ НОВГОРОДЕЦ
A'ktn'tunHtflCO . £7ЛШ« F'bt .пл.
e'hjAn . як? и . . г<4 . а к f
«В. . Кл>«£*<6М0 . ДС^И. П^4
^ЯДКАИ . ДП«тП^0^гГбв.Г10Г<*А • Я
нан-ттЬ . аыш%»«вгд
таилН1л/<%ггпойh»naf ть . носиеег^
гп4<<0 суяр^сг^б гадмлд}
вгл <V»< от ол d. tlgat^
6
м enir'bf a irt^ . прмл^ун г рФ
'Г«с<п«аа7|£мн4' . г«н$п>ок« с ГПйГЛЦ
адгг СнХА/агодК'. кл» Леи и яс и о ау
tiitAti^jatr'adaAd . a3L . ai*. a
п^доияи
и t п п*£?м « н
п*в . . X/vcfttfa? * m . л< . дмд4.
<л .j|. Time дико я?< .
(J ист З'Н»)
НАСТАВЛЕНИЕ. КАК ЧЕЛиВЕКХ ПОЗНАТЬ СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ Ц||
год'был високосный. Еврейская пасха была 21-го мар-
та, а*круг марта 22-й [12]. Благовещенье было вереду
на пасхальной неделе, а Петров день был в по-
недельник. Пост продолжался 6 педель. Раньше
этого пасха не бывает. Так бывает редко, но
от настоящего года черс! 248 ют бу щт также,
если господь в своем милосердии до тех пор сохра-
нит мир.
Писал же в Воликом Новгороде я, грешный
монах I13] Антонова [монастыря! Кирик дьякон,
регент [14] церкви святой богородицы при греческом
царе Иоанне и прн князе Стос шве, сыне Олега [151
в первый год его княжения, в Новгороде, а от роду
в тридцатый (да продлит господь ему года).
И еще при архиепископе новгородском бого-
любивом Нифонте. А от рождения моего до настоя-
щего времени 26 лет, а месяцев 312, а недель I 354,
а дней 9 500 без 3-х дней [т. е. 94971, а часов 113 960
и столько же полных [1в].
(. I и с г 346)
ПРИМЕЧАНИЯ К «НАСТАВЛЕНИЮ,
К ХК ЧЕЛОВЕКУ ПОЗНАТЬ СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ»
КНРИКА НОВГОРОДЦА
В. П. Зубов
1. Внимание исследователей уже нс раз привлекала фигура
русского ученого XII века Кнрика, единственного известного
нам по имени математика-астронома киевского периода, автора
сочинения о календаре. Нельзя, однако, сказать, что деятельность
Кнрика до настоящею времени освещена исчерпывающим образом.
О Кнрнкс писали: Е в г е и и и Б о л \ о в и т и и о в, «Сведения
о Кнрнкс, предлагавшем вопросы Нифонту, епископу Новгород-
скому» («Труды и летописи Общества истории и древностей россий-
ских», 1828, ч. 4, кн. I, стр. 122—129); X а в с к и и П., «Примеча-
ния на русские хронологические вычисления XII пека» («Чтения п
Обществе истории и древностей российских», 1847, кн. 6 (10), отд. 4.
стр. 25—40; этот журнал обозначается дальше сокращенно ЧОИДР);
Боб ы и и н В В., «Состояние математических знаний в России
до XVI в.» («Журнал министерства народного просвещения»,
1884, ч. 232, апрель, стр. 183—209; на стр. 185—191), Степа
нов II. В , «Заметка о хронологической статье Кнрика» («Изве
стня отделения русского языка и словесности Академии Наук»,
1910, 15, кн. 3, стр. 129—150); Райнов Т. II., «Паука в Рос-
сии XI—XVII веков» (М.—Л., 1940, стр. 104—106, 187—188 и 477);
Гнеденко Б, В., «Очерки по истории математики в России»
(М.—Л., 1946, стр. 13—15); 10 ш к свич А. П., «Математика и ее
преподавание в России Х\ II—XIX вв.» («Математика в школе»,
1947, № 1, стр. 29—30).
О биографии Кнрика известно немного. Он родился в 1110 г .
жил в Новгороде и 26-ти лет, в 113G г.1), написал сочинение, которое
г) В трудах о Кирико, как правило, дата написания его сочи-
нения относится к 1134 г., а годом его рождения считается 1108 г.
Как видно из всего текста «Учения» Кнрика, эти даты следует
заменить на 1136 и 1110 гг. (см (2|). На это обратил наше внимание
А. II. Юшкевич.
ПРИМЕЧАНИЯ К ТЕКСТУ КИРИН \ НОВГОРОДЦА
193
в рукописи озагланлено «Кирпка диакона и доместика *) Новгород-
ского Антониева монастыря учение пмже ведан i человеку числа
всех лет».
Кнрпк был близок ко двору новгородскою епископа Нифонта
в участвовал в составлении 1-й Новгородской ictoiuicii. содержащей
несколько точных, со знанием дела составленных записей об астро-
номических явлениях. Указывают па запись иод 6644 (1136) годом:
«Прпиде Новугороду князь Святослав... месяца июля в 19 день,
преже 14 калапда августа, в неделю | воскресенье], на собор снятых
Ехфпмне, в 3 час дне, а луне пебеспеи в 19 день». См. Ст е и а-
н*о в Н. В . «Единицы счета времени (до .XI11 в.) по Лаврентьевской
и 1-й Новгородской летописям» (ЧОНДР, 1909, стр. 37—38).
Приведенный текст летописи дан по старшему изводу. (См. «Новго-
родская первая летопись старинно и младшего изводов», М.—Л.,
1950, стр 24). Болезненный от рождения, он, невидимому, умер
в молодые годы. «Худ бо семь и болен»,—говорил о себе Кирин
(«Вопрошания Нифонту», в кп.: «Русская историческая библиоте-
ка», 6, СПб., 1880, столб. 25).
Текст сочинения Кирпка был впервые опубликован в 1828 г.
Евгением Болховитиновым в указанной выше статье но неполному
списку Новгородской Софийской библиотеки № 475. В Государ-
ственной библиотеке имени В. П Ленина в Москве пахо щтся руко-
писный список Рум. 35 начала XIX века, совпадающий со списком,
опубликованным Евгением Болховитиновым. (См. «Описание рус-
ских и словенских рукописен Румянцевскою музеума», составленное
А. X. Востоковым, СПб., стр. 39). Сведения о более полном списке
№ 76 из Погодинского собрания (ныне находящегося в I осу дарствен-
ной публичной библиотеке им. Салтыкова-Щедрина в Ленинграде)
впервые дал В. В. Бобынин. Этот сборник’ Л? 76, относящийся
к началу Х\ I века, содержит 27 параграфов (£§ 19—27 отсутствуют
в Софийском списке)'). Текст сочинения Кирпка занимает листы
342—346 Погодинской рукописи3) (но верхней нумерации).
Сочинение Кирпка переписывалось вплоть до Х\Ш века,
свидетельством чему служит старообрядческой сборник, хранящий-
ся в Центральном государственном архиве древних актов (фонд 196,
собрание Мазурина А; 1069, л. 115 об.—116 об.: «У чепие пмже ведати
человеку числа всех лет»). Правда, текст здесь неполный. Он кон-
чается словами: «Да аще которпп промузгн хотят и сему навыкну ти
или числолюбцы н рпторп, да ведают, яко 12 часа есть во дни, та же
и недели сочти», т. е. кончается на § 5.
*) (Доместик» пли «уставщик»—регент (запевала) хора.
) Б о б ы и и и, цпт. соч., стр 190—191. Бобынин поправ,
утверждая, что в 25 и 27 приведены ошибочные цифры: 7500
вместо 37 500 и 907 500 вместо 937 500. Цифры в Погодинском
списке указаны правильно. Ошибочно лишь указание 7000 (вме-
сто 7500) в § 24.
) Напечатан в «Хрестоматии но истории древнерусского языка»,
составленной С. П. Обнорским и С. Г. Бархударовым, М.—Л.,
1 мЬ2«
13
Историко-матсм. исследования
194
В. П. ЗУБОВ
В основу перевода рукописи положен текст Погодинского спи-
ска № 76, приводимого в фотокопиях. Разночтения с другими спи
скамн малосущественны, они даются в подстрочных примечаниях
(текст Софийского списка обозначается сокращенно: Соф.).
В своих вычислениях Кпрпк основывался на древнерусской
(византийской) эре, согласно которой счет лет велся от «сотворения
мира». От «сотворения мира» до начала нашей эры считалось
5508 лет. Так как в тексте речь идет лишь о днях, относящихся
к периоду от марта до сентября, .то в данном случае можно не
принимать во внимание разницу между так называемыми мартов-
ским и сентябрьским счетами (о них см. Черепнин Л. В.,
Русская хронология, М., 1944, стр. 26—29).
В перево в текста славянская буквенная нумерация заменена
современной цифровой. Напомним, что буква в кружке означает
десятки тысяч «тьмы», например @ = 10 000—тьма, а буква, окру-
женная пунктиром,—сотни тысяч, например =100 000=легион.
(Кирпк вместо этого более распространенного в позднейшей лите-
ратуре термина пользуется термином «несведп»; ср , например,
§ 4: нссведи и , т. е. 2 400 000.)
В прямых скобках [ ] памп даются слова, необходимые для
понимания текста. Подготовка текста к печати, сличение списков
и перевод ру копией произведены Т. II. Коншиной и В II. Зубовым.
Г. II Коншиной обнаружен и список Мазу ронского собрания в Цен-
тральном государственном архиве древних актов.
2. Исправление цифры 6640, указываемой в рукописи, на 6644
диктуется всеми дальнейшими вычислениями и указаниями. Ср.,
например, § 6: «до сего лета 6640 четвертого». Вот почему неправы
тс исследователи, которые датировали сочинение не 1136 (6644—
5508=1136), а 1134. Соответственно и год рождения Кпрпка (кото-
рому в момент написания труда было 26 лет, см § 27) будет не 1108,
а 1110. Год 1136 находится в большем согласии и с упоминанием
о князе Святославе в § 27. См. [13J.
3. В рукописи «иромузгы». Точное значение этого слова не
известно; мы условно перевели «мудрецы». В словаре древнерус-
ского языка II II Срезневского слово оставлено без объяснения со
ссылкой на употребление его только в труде Кпрпка
1. «Индикт»—пятпадцатплетппй период. Счет по пятнадцати-
летиям ведет начало от римских переписей населения, производив-
шихся одни раз в 15 .лет. К нам он перешел пз Византии.
5. «Солнечный круг»—период в 28 лет, по прошествии которых
новый год в юлианском календаре приходится па тот же день недели.
6. «Круг л ппый»—период в 19 лет, по прошествии которых
у иные фазы приходятся на тс же дни (числа месяца) юлианского
календаря.
7. Под «веком», как явствует пз контекста, понимается тыся-
челетие.
8 В §§ 10—13 говорится о «поновлении» или «обновлении) неба,
ПРИМЕЧАНИЯ К ТЕКСТУ КИРИК к НОВГОРОДЦА
195
земли, моря и воды, происходящих в периоды 80, 40, 60 и 70 лет.
Какие-либо аналогии этим периодам в античной и средневековой
литературе нам не известны.
9. Великий круг, или великий индпктпон,—период в 532 года,
п0 прошествии которого лунные фазы приходятся не только на те
я?е дни (числа месяца) юлианского календаря, по и на те же дни
педели. Число 532 получается путем перемножения 28 (число лет
солнечного круга) и 19 (число лет лунного круга). Ио прошествии
532 лет день пасхи (празднуемой в первое воскресенье после весен-
него полнолуния) приходится, следовательно, на то же число меся-
ца, „ дальнейшее передвижение его но числам календаря совершаст-
ся'в том же самом порядке, но тем же числам календаря, что и в пре-
дыдущем «великом круге».
10. В рукописи «книжных». Под «кппжпымн месяцами» Кпрпк,
видимо, понимает месяцы юлианского календаря, (ср. § 2). Если же
считать месяц в 4 педели, говорит он, то в году будет 13 месяцев
и один день (28x13+1=365).
И. О §§ 21—27 см. статью В. П. Зубова, помешенную в настоя-
щем сборнике па стр. 196—212.
12. Пасха в 1136 г. действительно была 22 марта. Это—пре-
дельно ранний срок ее, на что указывает и Кпрпк («выше того не
восходит»). Он отмечает вместе с тем, что «за 248 .лет також будет».
Если понимать эти слова как «через 248 .тот», то мы получим 6644 (-
+248=6892 г., который соответствует 1384 г. и. э. По па самом деле
пасха вновь была 22 марта в 1383 г. (см. Черс н и и, и цит.
соч., стр. 61). Поэтому возможно, что Кпрпк имел в виду 248 год,
считая первым 1136.
13. В рукописи «калуге})». «Калугер» пли «калогер»—греческое
слово, обозначающее инока, монаха (из старших).
14. В рукописи «доместик»—регент хора.
15. Отослав сын Ольгов—Святослав Ольговнч—князь черни-
говский. В 1136 г. новгоро цы пригласили его в князья, но ему но
удалось утвердиться в Новгороде. Ср. цитату из летописи в р].
16. В числах здесь не все ясно. Число месяцев 312 = 26X12,
число же недель указано неверно 1354, причем за этим еще идет
непонятное слово: дни («а недель 1354 дни»). Деление далее указы-
ваемого числа дней 9497 на 7 дает 1356 недель и в остатке 5 дней.
Так как полные пятые сутки еще не прошли, то, видимо, Кпрпк счи-
тал лишь полные 4 дня. Тогда вместо непонятного «педель 1354 дни»
следовало бы читать «недель 135(6 п] 4 дни». Умножение 9496 дней
яа 12 дает 113 952 часа. Кпрпк указывает 113 960.
Можно понимать это так, что к моменту написания текста про-
шло лишь 8 часов следующего, 9497-го дня. По тогда непонятно
Дальнейшее указание, что ночных часов прошло «толикоже», т. е.
столько же. Если же число часов 113 960 исправить на 113 964,
Тогда отпадет паша конъектура о числе педель, ибо окажется, что
Ирик считает только полные сутки. Ошибки в цифрах 4 и 5 при
Славянском начертании (Дне) малоправдоподобны. Не являют-
Ся ли слова «а нощных толикоже» добавлением переписчика?^
13*
КНРПК НОВГОРОДЕЦ II ДРЕВНЕРУССКИЕ
ДЕЛЕНИЯ ЧАСА
В. П. •iyoon
Предметом нашего рассмотрения является отрывок из
помещенного выше прощшедення Кпрпка, посвященный
дробным делениям часа (§§ 21 27). Кпрпк утверждал,
что час делится на 5 «первых [ровных часа», которые
в свою очередь деля гея каждая на 5 «вторых дробных»
и т. д., вплоть до «седьмых дробных», каковых в часе
оказывается, следовательно, /8125. «Бо.теже сего по бы-
вает, рскше не ража юте я от седьмых дробных»,—заявлял
в своем произведении Кпрпк.
Исследователи обычно толковали упомянутые вычис-
ления как плод отвлеченного «чис юлюбия»г). Пишущий
эти строки предложи I в 1947 г. иное объяснение, которое
в основном (с некоторыми поправками) представляется
ему вероятным и теперь2). Оно заключается в следующем.
*) Например, ('. т он а и о в II. В., Заметка о хронологической
статье Кпрпка, «Известия отделения русского языка и словесности
\ка [емни Наук», 1910, 15, кн. 3, стр. 136—137.
Т. Н. Р a й н о в (Наука в России XI—Х\ II веков, М.—Л., ВИО,
стр. 187—188) говорил в связи с Кнриком о «математическом инте-
ресе, остававшемся как бы оторванным от реальной действительно-
сти и являвшемся в значительной мерс как бы игрой для единичных
..чнс.10.нобцсв“'>. Игра эта, по Раннову, «вырастала, конечно, на поч-
ве практического интереса к числу и мере, но не находила себе доста-
точно нищи в практически необходимых количественных операциях».
-) Зубов В. И., Нз истории средневековой атомистики»
«Труды Института истории естествознания Академии наук 3CCI »,
М.—Л., 1947, 1, стр. 289—290.
ИИРИКНОВГОРОДЕЦПДГЕВНКРУССКИЕ ДЕЛЕНИЯ ЧАСА 1 $)7
Потребность в «дробных часа» и необходимость остано-
ви ься на «седьмых дробных» появляется в случае делс-
нпя определенных чисел на 19. Такое деление оказы-
вается нужным при операциях, основанных на метоно-
вом цикле 19(3=235.1, где С—солнечный год и Л—лун-
ный месяц. Можно принимать за исходную величину 19С
И отсюда определять величину Л (так поступали, как мы
увидим дальше, составители западноевропейских кален-
дарей, делившие 19 юлианских лет, т. е. 69393 t суток
на 23э) Можно, наоборот, принимать за исходное 235Л
и отсюда определять С. Так видимо поступи i Кнрпк, на-
считывая в 235 лунных месяцах полное чпс ю суток, а
именно 6940 1).
Деля 6940 на 19, т. о. определяя С, мы получаем
365 дней (суток) и в остатке 5. Отот остаток обращаем
в часы, т е. умножаем на 24 и делим нроизве (ейне 120 на
19. Остаток 6 обращаем в «первые дробные» (6x5) и 30
«первых дробных» де шм на 19. Имеем одну «первую дроб-
ную» и в остатке 11. Продолжая действовать таким же
образом и далее, Кнрпк доходил до «шестых дробных»,
получая в остатке 4. Обратив этот остаток в «седьмые дроб-
ные» (4 X 5) и разделив на 19, он получил в остатке 1 и стал
втупик: умножение на 5 не позволяло продолжать дальше
операцию деления па 19. На тех же «седьмых дробных»
приходилось ему останавливаться if при других опера-
циях, например, когда он делил на 19 разность в 1 4 суток
между 19 юлианскими годами (69393 4 суток) и ближайшим
целым числом суток 6940. Как бы то пи было, такие и по-
добные им вычисления давали ему повод заявлять «Боле-
же не ражается от седьмых дробных». Следовательно,
«Дробные часы» у Кирпка были не игрой отвлеченного
«чпслолюбпя», а практическим средством календарного
счета.
Счет ни 1/5, 1/.,5 и т. д. не имеет аналогов ни в западио-
европе 1СКПХ трактатах о вычислении календаря («комна-
тах»), ни, насколько мне известно, в восточных те-
кстах. Невидимому, это оригинальное русское деление. Во
. 9 Величина лунного месяца в этом случае раина 29,532 суток
(вместо 29,5306).
198
В. П. ЗУБОВ
всяком случае, в позднейших рукописях оно именуется
таковым. Так, в рукописи XVII века Л» 450 из собрания
В. М. У идольского 9 па листе 17 читаем:
«О году рассказ но русски и о нсделех и часех дробных.
Год 52 недели, нед тя 7 дней, день 24 часа, час 5 дробных.
В другом дробном третьих 5 часов дробных. В третьих дробных
четвертых 5 часов сробных. В пятых дробных шестых 5 часов
дробных, [в шестых] 5 часец седьмых дробных».
II дальше:
«О считанпи в году. О днях и неде.тех и часех дробных
ио русским лунникам п ерусалимскпм* 2). Считан енце. От седь
мых малых дробных часцов от 5 станет одни шестой дробной.
\ от шестых от 5 станет одни ня гой дробной, а от пятых дроб
пых от 5 часов станет одни четвертый час дробной, а от
четвертых дробных от 5 часов станет одни третей час дроб-
ной, а от трети нх дробных от 5 часов станет другой один
час дробной, а от других дробных от 5 часов станет одни
первый час дробной, а от первых дробных 5 часов станет
один час большей, а тех 5 часов, то станет день великой,
а 7 день—неделя, а 52 недели станет год»3).
*) Ценнейшее собрание В. М. У идольского(1815—1864) находит
ся в настоящее время в Библиотеке имени В. 11. Ленина. Ойо осо
бенио богато рукописями математического и астрономического содер-
жания. Владелец собрания интересовался этими вопросами в связи
со своими занятиями хронологией древнерусских летописей. Более
подробные сведения о цитируемых мною рукописях содержатся
в печатном описании: Славяно-русские рукописи В. М. У вдоль
ского, описанные самим составителем и бывшим владельцем собра
нпя с номера 1-го по 579-й. С приложением очерка собрания рукопи-
сей В. М. У идольского в полном составе [иапнеаппого А. Е. Вик
торовым], М., 1870. Указанное описание дало повод к статье
В. О. К лючевско го «Рукописная библиотека В. М. У вдоль
ского» («Православное обозрение», 1870, 1, № 5, стр. 872—894).
Некоторые рукописи из собрания В. М. N идольского были иссле-
дованы В. 13. Бобыниным в его работах по истории древнерус-
ской математики.
2) Указание на «ерусалнмскис* лунники относится к дальней-
шему тексту, нс приводимому нами.
3) Только что приведенный текст имеется и в «Статье о весах
и о мерах Московского государства земли русской» (Рукопись Биб-
лиотеки имени В. 11. Ленина, муз. № 932, л. 49, об. 50, XVII века),
а в рукописи Унд. A? G81 (первая половина XVII века предваряет-
НИРИК НОВГОРОДЕЦ И ДРЕВНЕРУССКИЕ ДЕЛЕНИЯ ЧАСА Ц)!)
Из сказанного явствует, что деление часа, применяв-
шееся Кириком, не было забыто и имело распространение
на Руси и в последующие века. Я уже сказал, что оно ие
было простой арифметической игрой С гораздо большим
основанием характеристика «отвлеченное числолюбие»
приложима к некоторым упражнениям западноевропей-
ских средневековых компутистов—авторов сочинений о
«компуте». Они не ограничивались указанием, что 1 час.
содержит 22560 «атомов» времени, а указывали, что в су г-
ках таких атомов содержится 541440, в одном «знаке»
(т. е. 30 днях)—16243200, а в 12 «знаках» (360 днях)—
1904918400т). По Рабану Мавру солнечный год содержит
190493160 «атомов»2). Анонимный средневековый компу-
тист вычисляет, что Иона провел во «чреве китовом»
2880 моментов (момент—1/40 часа) 3) и т. д. и т. и.
ся указанием на полях: «спс от старых переводов) т. с. пз старинных
рукописей). В рукописи Унд. № 1335 (петровского времени), л. 100 —
100 об изложение ведется в обратном порядке: год=52 неделям,
неделя = 7 дней и т. д., вплоть до «седьмых дробных». В трех ука-
занных рукописях 1 депь=24 большим часам; поэтому утверждение
«а тех 5 часов, то станет день великой» в рукописи № 450 является
видимо ошибкой переписчика.
В «Книжке описательной, како молодым людом торг вести п зна-
ти всему цену», изданной И П. Сахаровым и относимой нм ко вре-
мени 1575—1610 гг. («Записки отделения русской и славянской
археологии Археологического общества», 1851, 1, отд. 3), читаем
(стр. 115): «А коли путем итнть, ино знати время: год 52 педели, не-
деля 7 дней, день 24 часа, в часу 6 дробных часовней: в первом дроб-
ном часовне 10 чассц, во втором дробном часовне 10 часец» [и т д.,
кончая 6-м дробным «часовцем», содержащим 10 дробных часовней,
т. е. всего получается нс 6, а 7 дробных часов]. Ср. Прозоров-
ский Д И., О старинном русском счислении часов, в кп.:
•Труды второго археологического съезда», вын. 2, СПб., 1881,
отд. 4. стр. 166.
*) Libcr de coinputo, стр. 96 (М i g n е J P. Patrologiae cursus
completus, series latina, 129, 1853, столб. 1346—1347; эту серию мы
дальше обозначаем сокращенно: MPL). Сочинение представляет
собой компиляцию ирландского происхождения, опубликованную
по списку IX века.
!) R a b an us М aur us, Libcr de compute, MPL, t. 107.
Париж, 1852, столб. 689 (допущена ошибка в подсчете: следовало
бы 197 631 240). Сочинение Рабана Мавра относится к 820 г.
3) Рукопись не опубликована. Упоминается в кише «Bcdac
opera de temporibus», cd. by Cli. \V. Jones, Кэмбридж (Масс.), 1943.
200
В. П ЗУБОВ
Наряду с кириковским делением часа существовали
в древней Руси другие, в частности проникшие с Запада.
На Западе применялись (с темп же практическими целями
вычисления, что и «дробные часы» Кирпка) следующие
мелкие деления:
1 и 1 4 часа точка punctus (или punclum)
1 10 часа минута minutum
г ы ча( а часть pars
1 40 часа момент momentum
1 СО часа остеит ostentum
1 I Ju час а у нцпя uncia
1 225СО часа атом atomus
Приведенные мелкие деления не представляли собой одну
систему пли шкалу, а сочетание нескольких, хотя в сред-
невековых комиутах они и давались в виде единой табли
цы (сводки). Фактически же в ранных случаях пользова-
лись разными из приведенных единиц (примерно так, каку
пас в России пользовались саженью, аршином, вершками
в одних случаях и саженью, футом и дюймами—в других).
Например, в средневековых комиутах указывается
иногда величина iy нации в виде: 29 дней 12 часов 29 мо-
ментов 318 атомов1). Эта величина получалась при деле-
нии уже известною нам числа дней в Метоновом цикле
(69401 4) па 235. Ее можно было бы представить и в виде
29 дней 12 часов 29 моментов 7 унции 19 атомов или еще
иначе, но всегда во избежание дробных величин нужно
было вводить такую мелкую частицу, которая содер-
J) Ср поэму Филиппа Тайского «Книга творений», написанную
на старофранцузском языке около 119 г. (Thaun, Thaon, Than—
замок в 3 лье от Кана в Нормандии). Popular treatises он science
written (luring the Middle Ages, ed. by Th. Wright, Лондон, 1841,
стр. 55—56 (ио атому изданию я цитирую). Существует (ругос изда-
ние: Philip р е d е 1 h а и n. I i Cninpoz. Der Computus. mil einer
] nleitung, heransg. von E. Mahl. Страссбург, 1873. Филипп до-
бавляет (стихи 1089 -1094, стр. 56): «Так говорит Беда, Борланд
и доблестный Иеброт; и Хелыкрпк говорит это как правду в
своем писанин. II то, что он говорит, без всякого прекословия ис-
пытано как истина и отлично обосновано, а кто скажет больше,
чем он, пусть знает, что будет это напрасно». Атомы автор назы-
вает atoinetes или hourett.es, часиками,
КПРПК НОВГОРОДЕЦ И ДРЕВНЕРУССКИЕ ДЕЛЕНИЯ ЧАСА 201
ткалась бы в более крупной 47 раз или число раз, кратное
47. П действительно, унция содержит 47 атомов, остеит—
376 (т. с. 8 х 47), момент—564 (т. е. 12 х 47) и т. д.1).
Другой случай, когда приходилось обращаться к мел-
ким делениям часа, был связан с так называемым saltus
lunae («скачок луны»). 11 19-летнем цикле насчитывалось
69393/4 дня, а в лунном цикле из 235 месяцев будет на
один день больше (69403/4), ибо J9-летний цикл состоит
из 114 (т. е. 6 х 19) месяцев по 30 дней, 114 месяцев по
29 дней, 7 дополнительных месяцев по 30 дней (menses
embolismales) и \ , дня х 19=43 , дней. Чтобы уравнять
число дней, приходилось пропускать один день лунного
месяца одни раз в каждые 19 лет. Этот скачок и назывался
«скачком лупы».
Если «скачок лупы» за 235 лунных месяцев составляет
один день (сутки), спрашивается, какая доля приходится
на каждый месяц? Здесь опять необходимо производить
деление на 235 и средневековые комнутисты отвечали на
вопрос, называя величину 4 момента 1 упцпя 1 атом2).
Проводником западноевропейских приемов компута на
русскую почву было сочинение Гильома Дюрана (Виль-
гельма Дурандуса) «Rationale divinorum officiorum»3),
г) Первый, кто сжато и точно определил существо дела примени-
тельно к западноевропейским трактатам, был ПольТаннсрп. В статье,
относящейся к 1905 г., он писал: «Пытались установить общую меру
между солнечным годом и лунным месяцем так, чтобы можно было
выражать тот и другой целыми числами и тем самым облегчить вы-
числение дней лупы. Для этого нужно было ввести в подразделения
часа делитель 47». (Snr la division du temps on instants an nioyen-
age в кн.: Tannery P.. «Ah moires scieiitifiques. 5, Гулуза —Ha-
*рнж, 1922, стр. 346—357.)
2) Pseu d o-A 1 c u i n n s, De cnrsn et saltu lunae, MPL,
101, столб. 986—988. Сочинение предшествует сочинениям Беды
о календаре, относящимся к 703 и 726 гг. Ср.также так называемые
стихи Манфреда (середина X I века): Manfredi с а г m i n а,
MPL, 94, столб. 648.
3) Издания Дюранонского Rationale многочисленны. Первое из
них относится к 1459 г. (Майнц). И имел в руках инкунабул Госу-
дарственной публичной библиотеки нм. Салтыкова-Щедрина в
Ленинграде (Страсбург, 1484). .Заглавие трактата раскрывает цель
книги -дать ratio (т. е. объяснение или обоснование) обрядовых
действий (divina officia) пли шире—всего, что связано с культом,
Д° календаря включительно.
202
В П. ЗУБОВ
написанное в 1286—1295 гг. Последняя часть его посвя-
щена компуту. Здесь в качестве мелких делений часа
Дюран указывает точку, момент, унцию и атом (о мину
тах, частях и остеитах он не говорит).
Часть, посвященная компуту, была переведена на
славянский язык «повелением великого Нова граду
п Пскова владыки 1 еннадия» в 1495 г со Страсбургского
издания 1486 г. На рис. 1 воспроизводится explicit—
заключительные строки списка из собрания Погодина
№ 1121, л. 471).
«Скоплавает совещание божественных дел2), напечатано
в Архентипе3) в лето господне i486. Сея книга осман часть
и последняя Переведена на русский язык повелением архи
епископа великого Нона граду и Пскова владыки Геннадия
В дому архиепископии лета 7003 [1495] генваря в 5 день»4).
Текст в Погодинском списке начинается ex abrupto—
прямо со слов: «четыре седмицы».
«..четыре седмицы пли мало боле5 6). Седмица 7 дней,
день 4 четверти, четверть 6 часов, час 4 точки, точка 10 мег
новсипй, мегновенин 12 унспй, унсиа 67 атомус®), атомус не
разделяем есть, заме атомус7) гречески разделение глаголет-
ся, откуду атомус греческий, ипдивизио ж латынскыи, нераз
деление рускпи. Года убо солнечного яко 12-я часть месяць
есть, седмица убо есть яко четвертая часть месяца, день род-
ный8) — седьмая часть седмицы, четверть есть четвертая часть
дни родного. Час шестая часть четверти, точка четвертая
часть часа есть, мегновеппе—десятая часть точьки, унсия—
12-я часть мегновенпа, атомус шестидесятая [?] часть унеси».
*) Рукопись А? 1121 представляет собой сборник XVI века и на-
ходится в Государственной публичной библиотеке в Ленинграде.
2) Этими словами передано заглавие: Rationale divinoruin offi-
cioruin.
3) Argentina или Argentoratum—латинское название Страсбурга.
4) Любопытно отметить, что французский перевод «Rationale»
был напечатан в 1503 г., па 8 лет позднее окончания русского.
5) Вся фраза восстанавливается по латинскому оригиналу:
«Месяц содержит четыре недели с небольшим».
6) Следует: 47 атомов. Ошибка легко могла произойти из-за
смешения XLVII с LXVII.
’) В оригинале: tbomos.
*4 Так передано латинское dies naturalis, т. е. сутки.
^itrOSrtrprtfJ'bi'Ma-cs * рлгоелолнд , л<оле
мал н^лцг€>тгь J*" фпмончдплirnrj 7
/.г- <- т"
0ТОШ1?Х|МАИ€ . Ья^гпйены ^шлгъ ,
Пл&лруГсшине ,
, ул , ULttmA .
• rut ,
WtAiAA» ЧЛСГПЬ, у MffOCHrt
н>лы , n^atf/tHA HAjMflbf ™3*>*
ПО RtnrtHlC^VZ . ^НеПСИЛА
/ ---<2—
£сгг<<оал < ^И*|Н
ГСНЛ^/ЛЧ .
AfJfHt ЛСССПЛИ , Л ft tn А .
<C Z

Г—^
мД,
Рис. 1. Заключительная страница древнерусского перевода Дюрана
(Государственная Публичная библиотека в Ленинграде. Погодин-
ский список № 1121).
204
В. П. ЗУБОВ
Любопытно, что против слова «мегновеппй» припи-
сано другой рукой «момента». Заслуживает внимания
также, что число атомов в унции в обоих случаях указано
неверно: 67 и 60 вместо 47. Мне не известны другие списки
перевода Дюрана, а потомх время появления ошибок уста-
новить невозможно1 2).
Перевод Дюрана произведен в то десятилетие, когда
ио почину Геннадия была составлена «пасхалия» на 8-ую
тысячу лет («от сотворения мира»), т. е. па 1493 г. и далее.
«Унаследованные от византийцев таблицы этого рода кон-
чались 1492 годом. Многие опасались, что конец 7-й ты-
сячи лет означает конец мира, и церковным верхам,
которые и сами иногда не чуждались этих страхов, при
шлось принять срочные меры ыя составления новых пас-
хальных таблиц»
Латинская (западноевропейская) номенклатура мелких
делений часа не привилась па русской почве, и трактат
Дюрана не получил широкого распространения. Этому
препятствовала уже вероисповедная рознь, не позволяв-
шая широко пропагандировать сочинение католического
автора3).
J) О переводе Дюрана ср. Сборник ОРЯС VII СССР, 1928 101
№ 3, стр. 378—380 Имеется предположение, что он сделан домппи
каицем Вениамином, о котором см. Соболеве к и й А. II., Пе-
реводная литература Московской Руси XIV—XVII вв., СПб., 1903,
стр. 254 259 (Со. ОГЯС АН, 74, Д» 1). Вениамин участвовал в
переводе так называемой Гсппадпеной библии.
2) Р а и и о в, нит. соч., стр. 232
3) Инициатор перевода Геннадий Новгородский сам нс боялся
атого. По его инициативе было переведено также полемическое сочи
псине «магистра Николая Де.гпра», а при переводе ополии за основу
взят латинский перевод (В\ тьгата). Геннадии открыто выражал
сочувствие даже отвратите н.пым мето там католической ппквпзп
ции Преследуя еретиков, он писал в 1490 г. митрополиту Зоспме:
«Сказывал ми посол цесарей про шпанского короля, как он свою
очистил землю и аз с тех речей и список к тебе писал» («Русская исто-
рическая библиотека», 6 СПб., 1880, столб. 775; текстэтого«сппска»
опубликован в «'Грудах комиссии ио древнерусской литературе
Академии Наук СССР», 1932, 1, стр. 49—50).
Отзвуком перевода Дюрана является статья в сборнике Носков
ского архива Министерства иностранных дел (ныпе в Центральном
государственном архиве древних актов) № 220/381 (конец XVII—
начало XVIII века), стр. 197—198: От латинская книги осмыя части
KIIPIIK НОВГОРОДЕЦ И ДРЕВНЕРУССКИЕ ДЕЛЕНИЯ ЧАСА 2(К»
Тем не менее в позднейшей ру коииспой .литературе мы
встречаемся с такими мелкими делениями часа, из кото-
рых одно имеет в знаменателе 47 (позволяя делить число
дней Метопова цикла па число л\нации без цюбных ча-
стей). 15 рукописи XVII века «Счетная мудрость» час де-
лится на (50 минут, а минута на 17 секунд и соответственно
величина луиацип определяется в 29 шей 12 часов 44 ми-
нуты 20 секунд1). На л. 121 в статье «Об лунном тече-
нии. Как искать месяцем рождение» читаем:
«А делп так: секунды дели с 47 и что родится ня секунд—
минуты, к тс минуты прилегай к минутом и слоган и дели со 60.
И что родится из минут часов и те часы прплоган к часам
и слоган и дели с 24. И что родится нс чагой и тс дни прплоган
ко дням и слоган и дели с 28» 2).
Полную аналогию находим в другой рукописи кон-
ца ХА 11 века:
«Ащо восхощешп день, час, минуту и фракцу рождения
и ущерба н обоих перекроен небесного месяца ведать, и ты
прежде знай: в нощеденствнп 24 часа, в часу 60 минут, в ми-
нуте 47 фраки, и круг восходит на 19 лет»3).
Последовательное деление часа сначала на (50 минут,
а затем на 47 секунд не встречается в западноевропейских
компутах, где соответственно пет н ве шчниы лупации
О дисх собачинх [т. с. dies canicularesj. Ср. Соболевски й,
цит соч., стр. 231 .Объяснение названий с.озвез, щй в «Азбуковниках»
также восходит к переводу Дюрана. См. указанную в ирнм. на
стр 203 статью в Со. ОРЯС, стр. 38<>.
J) II. В. Степанов («К вопросу о летописном счислении часов.
Исследование таблицы л\иного течения», ЖМНИ, 1909, Лё (5, отд. 2,
стр 270) объяснял происхождение величины 29 дней 12 часов
44 20,47 минут из деления числа дней н Калннновом 76-летнем цикле
(т е. 3651/4х76=27759) на 940 лупацпй
2) «Счетная мудрость» была издана в Петербурге в 1879 г. Обще-
ством любителе!! древне!! письменности но рукописи Л 28, принад-
лежавшей Обществу и в настоящее время находящейся в Государ-
ственной публичной библиотеке в Ленинграде.
3) У кд. Л» 448, л. 51 (рукопись XVII века). Ср. Соболев-
ский, нит. соч., стр. 131—132.
206
В. И. ЗУБОВ
в 29 дней 12 часов 44 минуты 20 секундг). Надо полагать,
что 1 4--я появилась в приведенных текстах нс в резуль-
тате каких либо «влияний», а в результате одинаковых
практических потребностей календарного счета.
Инициатор перевода Дюрана 1 епнадпй Новгородский
был, как известно, яростным противником так называе-
мой Новгороде кой ереси, получившей у ее противников
наименование ереси «жидонствующпх». Новгородские ере-
тики были знакомы (в переводах) с целым ря юм астроно-
мических произведений, написанных па арабском, еврей-
ском п латинском языках. С этой «ересью», получившей
распространение и в Москве, очевидно, связано упоми-
нание в русских календарных расчетах о делении часа
на 1080 чаете г, называемых по-еврейски «хлаками»2).
В сборнике начала XVII века Ленинградской публич-
ной библиотеки Q. XVII, 073) помещена следующая
статья:
«Лушин; иерусалимский. Сказание иерусалимского лун
ника рожепне 24 часа в день. А тысяща да 80 дробей пно
час. II ты бери одинны к одпнцем, да десятки доспевай, а
*) Показательно, что, пользуясь в своих вычислениях 1/4--й
минуты, II. 13. Степанов увидел себя вынужденным дать ей особое
название, подобно тому' как средневековые компутисты (которые
ему, видимо, остались неизвестны) для облегчения счета назвали
Vi?-10 унции «атомом». Степанов предлагал назвать J/47 ю мину-
ты «мнзетой» (от греческого числового обозначения 47 : ;Х). См.
его статью «Исследование ..лунного течения*'», ЧОИДР, 1913,
кн 2, стр. 13.
2) Указывали: число 1080 представляет то удобство, что оно
является кратным всех однозначных делителей, кроме 7 (см. 1 d с-
1 е г L.t Ilandbucb der matbcinalischen mid techniscbcn Chronologic,
1, 2-te Aufl., Ьреславль, 1883, стр. 538). Такое объяснение, од-
нако, неудовлетворительно, ибо 360 в той же мере отвечает указан-
ному требованию. Другие (Пепгебауэр) связывали деление часа на
1080 частей с Вавилоном: в астрономических вычислениях вавило-
няне принимали 1 локоть=21/2°, т.е. 15°(1 час) соответствовал 6 лок-
тям, а 1 локоть у них был равен 180 ячменным зернам. Следователь-
но, 6 локтей=1080 ячменным зернам. Однако наиболее правильным
является предположение, что и в данном случае происхождение
«хлака» объясняется календарно-арифметическим вычислением ве-
личины лунации (см. дальше в тексте).
3) Налл. 161—161 об.
КИРИК НОВГОРОДЕЦ И ДРЕВНЕРУССКИЕ ДЕЛЕНИЯ ЧАСА 207
из десятков сотнпньт, а из сотниц тысячи, а из часов дни,
а из дней седмицы. И ты себе знай, что за седмицею оста-
нется, и ты то держи, а прикладывай дни ко днем, а часы
к часом, а дроби к дробсм, а нс будет одиое продроби и ты
за час не поставил. А 30-я часть часа 36 дробей. А почи-
нается от сентября»1).
За этой статьей следует другая, озаглавленная: «Уче-
ние луннику проведенному от жидовских книг»2). В ней
также «дробные часы» составляют 1 lcgJ часа (или «годины»):
«и смотри дробных часов, да еще будет 1000 и 80, то годину
исполни». Наконец, идет статья (л. 162): «Сей лунник
перусалпмски. Проведен от перусалимска грамоты Козмою
Новгородцем. День пмать часов 24, а един час дробных
часцов 1000 и 80, а начало имать от вечера». Совершенно
очевидно, что все три статьи являются родственными ва-
риантами.
Деление на 1080 частей видимо по своему практическо-
му значению было совершенно аналогично русскому деле-
нию на «дробные часа» и западноевропейскому делению
на «атомы», ибо в еврейских текстах величина лунацип
выражается в виде 29 дне1’1 г/2 дня 2/3 часа часа или в
6 3 1
виде 29 дней 12 часов g часа часа *х6х5хд час»3)-
Кроме того, указание на мелкие деления часа имеется
в «Сказании царя Соломона, что есть печать болшая,
откуду как ему приде»4). Здесь повествуется:
J) Из приведенного текста явствует, что число 1080 разлага-
лось на множители 30 и 36.
2) Па лл. 161 об.—162.
3 Первое выражение встречается у Гамалиеля II (около 100 г.
н. э ). Второе (видимо более раннее) указано у Авраама Савасорды
(XII век), который приписывает его Птолемею.
•*) Находится в сборнике Погодинского собрания № 1561
XVII века в Государственной публичной библиотеке им. Салтыкова-
Щедрина в Ленинграде (лл. 88—89). Ср. Соболевский,
цит. соч., стр. 428—433. Другой список—в Государственной
библиотеке им. В. И. Ленина в Москве (Рум. № 1 !, XVII век,
ЛЛ. 130—160 об.). Ср. Востоков А. X., Описание русских и
словенских рукописей Румянцевского Mj зеума, СПб., 1842, стр. 14—
208
U. II. ЗУБОВ
«Егда Соломон принят царство от рождения своего в два-
десят пятое лето и тогда воеташа на пего псп царие, ему же бо
еще младу сушу. Пача же Соломон тужптн и ироснти у бога
премудрости, а нс царства, н даде ему бог премудрость по
его прошению. Вея киши прошел н звездочстпя навыче
и небесным планетам и беги небесным, и како на поясах звезды
ходят. II како обновляются круги небесные и земля н море,
и за сколько лет, и что в те лоты сотворится, и о летах при
былых, п како и куды телеса идут, п что па четвертой год
прибудет, где положены п како сбредается в коих ютах».
Далее идет иопос родствен по интересующая нас часть:
«II размерил, ио скольку часов больших в году прибудет,
и по скольку часов дробных в часу большом, и по ско тьку то
чек в дроби, п в дроби сколько границ па всяк день прибудет ’),
и в скольких точках и дробях соберется большой час, и сколь-
ко на день прибудет того большого часа. То все развел Соло-
мон царь своею мудрости ю, каков к чему час, к часу дробь
и точька и граница во дни или нощи»* 2).
Мы имеем здесь, следовательно, такие деления час,
дробный час (или дробь) и более мелкие деления —точки
и границы. Как видно из варианта, приведенного в снос-
ках, в нем упоминание о «границах» опущено.
Из последующего текста явствует соотношение между
указанными величинами, а именно: «66 дробей положил
в час большой, а точек во всякой дроби по 72 точки»3).
Из других мест явствует также, что в точке содержится
12 «черт» или «границ»4).
15. Неполный список «Сказания царя Соломона»—в библиотеке
Московского университета (шифр: 4G. в. 1G; список относится к
концу XXII века). Привожу текст ио Погодинскому списку и в
сносках даю варианты по списку Рум. А? 12.
х) Вар.. «... и по скольку точек в дроби, и сколько на всяк день
прибудет...».
2) Вар.: «... каков к чему час, и какова п к чему дробь и в дроби
точка во дни пли нощи».
3) Рум. № 12, л 142.
4) «II на всякой день прибывает но дроби и седмн точек. А во
всякой точке по 12 чертежев Ппо прпбу ;ет во всякой (ель подроби
и по 7 точек и 5 границ, сиречь черт» (Ру к № 12, л. 143).
КИРИК НОВГОРОДЕЦ И ДРЕВНЕРУССКИЕ ДЕЛЕНИЯ ЧАСА 209
А. И. Соболевскийг) утверждает, что в данном
случае «мы имеем дело с компиляцисю, составленною
в Московской Руси пе позднее конца XVI в., па осно-
вании источников греческого происхождения и литера-
туры „жидовствующих"».
Как мы уже указывали, упоминания о подобных си-
стемах встречаются в рукописях наряду с изложением
старорусского счета (ср. заглавие, приведенное на стр. 19Ь:
«О днех и неделях и часех дробных по русским лунникам
и ерусалимским»). Нет никаких основании однако пола-
гать, как II. В. Степанов, что кирпковская система
«дробных часа» сложилась под косвенным воздействием
еврейской системы счета * 2).
Любопытны изображения рук в «Пасхалии» XXII вока:
в первом случае (см. рис. 2) 3) фигурируют «фракны», т е.
*/47 минуты, а во втором (согласно «Птоломейскому лунни-
ку»)—«части часом» и «лепти частом» (рис. З)4).
Современное последовательное деление часа на СО
(минуты, секунды) носило в некоторых рукописях на-
звание «немецкого». Например, в «Статье о весах и о мерах
московского государства земли русской» читаем:
«О считании в году. О днех и чассх и неделях и часех
дробных по немецки. И ты считай еицц: G0 соку и юпь па о ту
минуту, а 60 минутень за 1 час, а 24 часа за 1 день, а 7 день
за 1 неделю, а 52 недели за 1 год»5).
Изучение рукописей XVII века показывает, следова-
тельно, что в это время в Московской Гуси было известно
г) Цит. соч., стр. 433.
2) С т с п а и о в II. В., Заметка о хронологической статье
Кирпка, стр. 136—137. Ср. мою указанную выше статью, стр. 289.
3) Унд. Л? 448, л. 61—62 (рукопись Х\ II века).
4) Там же, л. 59.
5) «Статья о весах и о мерах московского государства земли
русской» (Муз. № 932, л. 49 об., рукопись WH века). Ср. Уцд.
№ 450, л. 17 (рукопись Х\ II века) и ЛЬ 681, л 97 и след, (рукопись
первой половины XVII века). В той же «Статье» несколько раньше
(л. 41 об.): «О временах счет во весь год. по немецки год 52 педели,
педеля 7 дней, день 24 часа, час 60 мп путей, 60 секу идеи, секу идеи
СО терций».
Историко-матем. исследования
2 to
E II. ЗУ БОВ
Рис. 2. Страница рукописи \ \ IГ века из собрания В М Уидоль-
ского (Государственная библиотека им. В. II. Лепина).
КЙРПК НОВГОРОДЕЦ И ДРЕВНЕРУССКИЕ ДЕЛЕНИЯ ЧАСА 211
Рис- 2 Страница рукописи XVII иска па собрания В. М. У идоль-
ского (Государстпсплая библиотека нм. В. II Ленина).
14*
212
В. П. ЗУБОВ
несколько систем деления часа на мелкие единицы и
что эти деления отнюдь не были плодами отвлеченного
«числолюбия».
Русские книжники знали не только древнее, восходя-
щее к XII веку (если нс ранее) русское деление часа па
78123 частей; им было известно также деление на 1080 ча-
стей! (первому знакомству с ним видимо способствовали
новгородско-московские еретики XIV—XV вв.). Опп
знали и своеобразную систему минут (г с0 часа) и секун i,
(* 47 минуты), представлявшую известную аналогию (по
не более) системе латинских компутов на Запа <е. Нако-
нец, им была известна и наша современная система, кото-
рая еще не укоренилась повсеместно.
Я позволяю себе ограничиться этими краткими мет-
рологическими наблюдениями и заметками. Нет сомне-
ния, что проследить подробно историю названных систем
можно лишь на основе всестороннего анализа калсидарпо-
астрономической литературы древней Руси и излагаемых
в пей вычислительных приемов. Одно бесспорно: кален-
дарная техника средневековья, восточного и западного,
будучи всецело арифметической, настойчиво требовала
установления наиболее удобной системы метрологических
единиц для облегчения счета1). Из них, как из мелких ку-
сочков мозаики, слагалось целое. «Помалу созидается
град и велий бывает»,—говорил наш соотечественник Ки-
рик, выражая общее убеждение всех компутистов в воз-
можности соисчислить, соизмерить любые две величины,
движение солнца и движение луны, путем выбора соответ-
ствующих «мпиуцпй», соответствующих «дробных часа».
Мне кажется поэтому, что «дробные часа» Кнрика
и других (безыменных) составителей наших календарей
нельзя рассматривать как дроби; в них следует скорее
видеть мозаичные кусочки, «атомы», из суммирования
которых слагается целое.
х) Недаром самое название «компут» происходит от глагол»
computare—счислять, вычислять.
МАТЕРИАЛЫ
О
П. Л. ЧЕБЫШЕВЕ
ОБ ОДНОЙ РАБОТЕ П. Л. ЧЕБЫШЕВА,
НЕ ВОШЕДШЕЙ В ПОЛНОЕ СОБРАНИЕ СОЧИНЕНИЙ
Б. В. Гнеденко
Веспой 1951 г. при изучении материалов, относящихся
к исследованиям М. В. Остроградского, посвященным
задачам теории стрельбы, я обнаружил работу «Мнение
адъюнкта Императорской Академии паук П. Л. Чебышева
о статье полковника Веревкина» («Артиллерийский жур-
нал», 1856, № 6, стр. 253—262), о которой я не встречал
ранее упоминаний. Гог (а же я сообщи i оо этой находке
председателю редакционной кол югии по из [анию полно-
го собрания сочинении Чебышева акад. С. И. Берн-
штейну. К сожалению, оказало! ь, что к этому времени
тираж после (него пятого тома указанного собрания сочи-
нений был полностью отпечатан, и включить вновь обна-
руженную работу в это издание уже не было возможности,
не удалось ее включить даже в список работ Чебышева.
В то же время я считаю, что опубликование этой ра-
боты представляет несомненный интерес для истории оте-
чественной науки и, в частности, для более всесторон-
него изучения творчества Чебышева. Кстати сказать,
эта забытая работа убедительно показывает, что Чебы-
шев внимательно следи! за научной штературой в тех
областях знания, которые его интересовали в соответ-
ствующие периоды. Этот вывод резко расходится с утвер-
ждением, что Чебышев, изучив в молодости труды класси-
ков науки, впослс (ствии нредпочита i не следить за те-
кущей научной литературой, якобы в целях сохранения
-наибольшей научной самобытности и самостоятельности.
216
П. Л. ЧЕБЫШЕВ
Работа полковника Веревкина, рецензией на которую
является приводимая ниже статья Чебышева, также на-
печатана в «Артиллерийском журнале» (1856, №5, стр. 60—
108, № 6, стр. 230—253).
В рецензии, написанной, невидимому, по предложе-
нию редакции журнала, Чебышев проявил глубокое по-
нимание задач артиллерийской науки и с полным осно-
ванием критиковал как исходные предпосылки, так и вы-
воды полковника Веревкина теоретического и техниче-
ского характера.
Несомненный интерес представляют общие положения
высказанные в приводимом ниже тексте работы. Они вновь
подтверждают то, что Чебышев придерживался материа-
листических убеждении и верно оценивал значение как
опыта, так и теории для развития науки и техники. Смысл
окончательных научных результатов Чебышев видит нс
в составлении удачных формул, а в выяснении существа
явлении с целью предвидения хода процессов, такое
предвидение представляет необходимый элемент при про-
ектировании новых конструкций. Чисто же эмпириче-
ские формулы находят «для себя опору только в согласии
своем с указаниями опыта»; для такого рода формул Че-
бышев намечает границы их применимости и предъявляет
к ним требование простоты и практической доступности
для вычислении.
МНЕНИЕ АДЪЮНКТА ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ
ПАУК П. Л. ЧЕБЫШЕВА
О СТАТЬЕ ПОЛКОВНИКА ВЕРЕВКИНА
В статье под заглавием «(? начальной скорости снаря-
дов» полковник Веревкин предлагает формулу для опре
деления скоростей, получаемых снарядом от различных
зарядов в различных орудиях. Несмотря на то, что он
начинает с рассмотрения вытекания упругих жидкостей
из сосудов и на основании этого выводит формулу для
МНЕНИЕ О СТАТЬЕ ПОЛКОВНИКА ВЕРЕВКИНА
217
определения величины живой силы при вылете снаряда
из орудия, мы не можем не призвать, что все формулы
его относительно стрельбы из орудий и ружья не имеют
теоретического основания. Не говоря уже о том, что действие
пороховых газов в орудии, образующихся по мере сгорания
пороха, нельзя сравнить с действием газа, нагнетенного
в сосуде, всякая связь между теорией и формулами пол-
ковника Веревкина уничтожается вполне от подстановки
4 /—2----------------------------------------
вместо величины А количества 34,15 1/ —Do i L зави-
r С“ ’
сящего и от длины орудия, и от величины снаряда и
его плотности, и от длины заряда,— подстановки, кото-
рой сам г. Веревкин нс оправдывает никакими теорети-
ческими соображениями; он говорит только:
«Величина А, после многих подстановок, более удов-
4 /’-о- ---
летворяющею опытам найдена = 34,15 J/ Do j L, где...
и пр.».
Таким образом составляет полковник Веревкин первую
из своих формул, принимая в основание опыты над
ружейными стволами Потом, переходя к опытам над
8-ми фунтовыми орудиями, он говорит:
«Для 8-ми фунтовых французских пушек, чтобы ско-
рости, вычисленные по формуле, были близки к скоро-
стям, помещенным в § 267 баллистики Дидиопа, вместо
В
нужно вставить в формулу (1) величину
И
3 т
1
1+0,003^-^
а- т
---Г »
«л а1
77
Переходя к орудиям других калибров, он замечает:
«Чтобы формула (3) годилась для других' калибров,
нужно в опой, в члене
_________1
1 + 0,003
а- т
218
п. Л. ЧЕБЫШЕВ
3
0,003 ^2-— помножить на ( — V, где 0,1029 = диа-
’ а2 т \0,1029 J
метру 8-ми фунтового ядра; второй член знаменателя
4
всей формулы, именно 1,514 1/ , помножить на
1
----^0 10~.дуу2 и четвертый член того же знаменателя,
г-7П1 И °2 0,1029
именно 07.У1 -—гт, помножить на —г;—».
’ т L2 JJ
«Чтобы формула (5) могла служить для определения'
начальных скоростей снарядов разных плотностей, в ней
нужно: в члене
f L-----------------------*
3 5
величину 0,003 Д-— Г г-Дпц V помножить на f • Lf. V,
J а2 т \U,1U29 J \_7,Г16 J ’
2-й член знаменателя всей формулы, именно
г; 4 / ,,з
1,514 7 , / 0,11)29 у V т? '
1+<—J
1 / о <) ..
помножить па I/ ..., а 3-и член того же знаменателя,
Г 7,116 ’
именно 1,98 1/А-, па гД,г».
И, наконец,
«Чтобы для камерных орудий скорости, вычисленные
по формуле при зарядах, не наполняющих камору, были
достаточно согласны с опытами, нужно, подобно тому,
как для французских камерных орудий (смотри § 1J),
начиная с известных зарядов, знаменатель всей формулы
положить постоянным».
Как видно из числовых вычислений, сделанных полков-
ником Веревкиным в подтверждение своей формулы,
она не всегда удовлетворительно представляет действи-
тельные скорости снарядов, найденные по опыту, и если
МНЕНИЕ О СТАТЬЕ ПОЛКОВНИКА ВЕРЕВКИНА
219
автор находит возможность, допущениями зазоров и рас-
стрелов в орудиях известной величины, объяснять раз-
ности в показаниях своих формул с опытами—там, где
формулы его дают большие скорости, и обратно, уничто-
жением зазоров—там, где формулы его дают скорости
меньше найденных по опыту,—то это пе может увели-
чить доверие к его формулам, которые могут найти для
себя опору только в согласии своем с указаниями опыта
и верностью их.
Переходя к различным сортам пороха, полковник
Веревкин показывает, какие еще нужно сделать допол-
нения к его формуле, согласно с величиной зерен и их
плотностью. Таким образом дополненную формулу он
поверяет, сличая ее с результатами опытов над пробной
мортиркой, ружьем и орудием 4-х фунтовым Pioberl,
Traile d’artillerie tlieorique et pratique. Из самых ре-
зультатов, приведенных г. Веревкиным в его брошюре,
видно, что эта формула весьма неточно показывает влия-
ние величины зерен пороха и их плотности на изменение
скорости снаряда. Так, при d = 1, опыты, им приведенные,
показывают, что с изменением плотности зерен пороха
с р = 1,3 до р = 1,8 дальность уменьшается на 9 метров,
а по вычислениям г. Веревкина, на основании его фор-
мулы, она должна уменьшаться на 29 метров и т. п. При
такой неверности показаний последней формулы г. Ве-
ревкина, результаты, выведенные из нее автором отно-
сительно влияния сорта пороха на стрельбу из бомбовых
пушек и единорогов, не могут иметь никакого доверия.
Из сделанного памп обозрения собственно математи-
ческой части брошюры полковника Веревкина видно,
что все формулы, им предлагаемые, эмпирические; что
они имеют значение только как аналитическое выражение
по приближению чисел, известных ужо из опыта. Такие
формулы не бесполезны во многих случаях: они заменяют
таблицы результатов, выведенных из опыта, и вместе
с тем дают возможность, пе прибегая к интерполированию,
иметь достаточно точные результаты в тех случаях, кото-
рые собственно нс были подвергнуты испытанию, но
близко подходят к тем случаям, в которых наблюдение
служило основанием эмпирической формулы или ее
220
П. Л. ЧЕБЫШЕВ
поверкою. Там же, где данные вопроса значительно раз-
нятся от тех, при которых сделаны были опыты, принятые
для вывода и поверки эмпирической формулы, к резуль-
татам этой формулы нельзя иметь доверия. Такие формулы
могут служить только для непосредственного определе-
ния того, что может быть выведено с достаточной точностью
интерполированием данных, полученных опытом. Но
автор ошибается, приписывая особенную важность своей
формуле.
Вот что говорит полковник Веревкин относительно
эмпирической формулы, определяющей начальную ско-
рость снарядов:
«1) опа дает возможность составить, без всяких расхо-
дов, для всех орудий, таблицы начальных скоростей,
соответствующих зарядам, достаточно сближенным между
собой. Притом скорости, определенные достаточно вер-
ной формулой, могут даже исправить аномалии в табли-
цах скоростей, определенных помощью баллистического
маятника.
2) Определяя влияние зазора, эта формула может
дагь для скорости снарядов при стрельбе из орудий, зна-
чительно расстрелянных, и формулы баллистики пока-
жут, на сколько должно прибавить углы возвышения
при стрельбе прицельной».
Если ограничиться тем, что близко подходит к слу-
чаям, подвергнутым испытанию и послужившим основа-
нием и поверкой эмпирическом формулы, то из нее, ра-
зумеется, можно с некоторой точностью находить ско-
рости снарядов, не делая новых опытов, и это единствен-
ная выгода, как мы видели, которую можно извлечь из
таких формул. Но здесь представляется вопрос, действи-
тельно ли формулы г. Веревкина могут оказать значи-
тельную услугу, давая прямо то, что может быть выведено
интерполированием? Довольно одною беглого взгляда на
эти формулы, которые заключают в себе по несколько
радикалов в числителе и знаменателе и даже не всегда
помещаются поперек полулиста, чтобы убедиться в труд-
ности вычисления их и, следовательно, в том, что упот-
ребление их затруднительнее простой интерполяции, осо-
бенно при составлении таблиц, о которых говорит автор
МНЕНИЕ О СТАТЬЕ ПОЛКОВНИК к ВЕРЕВКИЙА
221
Что же касается до скоростей снаряда при обстоятельст-
вах, которые значительно разнятся от обстоятельств, под-
вергнутых испытанию, то эмпирические формулы заслу-
живают столь же мало доверия, как и экстраполирование.
«3) Достаточно верно составленная формула разъяс-
няет действие пороха».
Это несправедливо. Мы видели, что в основании нет
ничего общего с свойством пороха п составом эмпириче-
ских формул полковника Веревкина; мы видели даже, что
онп совершено неверно показывают влияние сорта по-
роха на начальную скорость снаряда. 11 вообще из одних
наблюдении столь сложного явления, как стрельба из
орудий, нет возможности вывести свойства основной при
чины действия пороха. Здесь необходим обратный поря
док—найти по опыту скорость горения пороха, упру-
гость и плотность пороховых газов, а потом искать и ско-
рость снаряда при стрельбе из орудий: этому порядку
и следовали в теории огнестрельного оружия.
«4) Формула дает возможность проектировать ору-
дия, удовлетворяющие требуемым условиям стрельбы,
и определить действие орудий проектированных, но еще
не испытанных».
Относительно этого мы опять должны различить два
случая. Когда дело идет об орудии, незначительно раз-
нящемся с теми, которые были подвергнуты испытанию,
то, разумеется, результаты опытов с помощью интерпо-
лирования или практической формулы, из них выведен-
ной, решают вопрос вполне. В противном же случае во-
прос может быть решен удовлетворительно только при
помощи теоретических соображении. Пример этого можно
видеть в решении вопроса о проектировании GO ф. пушки,
сделанном в прошлом году штабс-капитаном Маневскпм *).
Вышеприведенное мнение полковника Веревкина тем
более оказывается несправедливым, что из эмпирических
формул окончательной скорости снаряда нельзя с доста-
точной точностью определить maximum давления на стены
орудия, между тем как это едва ли пе самое главное при
проектировании орудий необыкновенных калибров.
*) «Артиллерийский журнал»,
222
tl. Л. ЧЕБЫП1ЁЁ
Наконец, в пользу эмпирических формул полковник
Веревкин говорит:
«5) Верно и подробно составленная формула может
показать также влияние величины и плотности зерен поро-
ха, а следовательно, оправдать пли опровергнуть принятое
в России мнение и не разделяемое во Франции о сильней-
шем действии в единорогах, мортирах и гаубицах муш-
кетного пороха сравнительно с пушечным».
Чтобы видеть разницу в действии пороха мушкетного
и пушечного, нет надобности прибегать к эмпирическим
формулам: эта разница прямо обнаруживается опытом.,
Что же касается до мнения автора, высказанного им в кон-
це статьи, о выгоде употребления во всей артиллерии
одного сорта пороха, то мы не можем согласиться вполне
с числами, им приводимыми, так как эти числа выведены
из эмпирических формул, которые он поверял только
известными опытами над ружьем, пробной мортирной
и 4-х фунтовой пушкой, и эти опыты, как видели, пока-
зали, что его формулы весьма неверно дают изменение
скорости снаряда при изменении сорта пороха. Какое же
доверие можно иметь к его формулам, при сравнении
действия пороха различных сортов в единорогах, морти-
рах и гаубицах?
Из вышесказанного относительно брошюры полковника
Веревкина видно, что формула его не может доставить тех
выгод, которые можно ожидать, по мнению автора, от
эмпирической формулы начальной скорости, верно со-
ставленной. Но так как эта формула должна заключать
значительное число переменных, изменяющихся в преде-
лах довольно широких, то мы думаем, что едва ли можно
найти эмпирически одну формулу, которая бы вполне удо-
влетворительно давала скорость снаряда во всех возмож-
ных случаях, а потому эмпирическая формула г. Верев-
кина, представляя во многих случаях замечательное со-
гласие с указаниями опыта, по нашему мнению, заслу-
живает внимания и может послужить предметом инте-
ресной статьи для «Артиллерийского журнала».
О СТАТЬЯХ II. Л. ЧЕБЫШЕВА,
М. В. ОСТРОГРАДСКОГО,
В. Я. БУНЯКОВСКОГО II II. II. СОМОВА
В «ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКОМ СЛОВ АРЕ,
СОСТАВЛЕННОМ
РУССКИМИ УЧЕНЫМИ II ЛИТЕРАТОРАМИ»
В. JJ. Прудников
В начале бО-х годов XIX века в России издавался
«Энциклопедическии словарь, составленный русскими уче-
ными и литераторами» (( По., 1861 1863). Главный
редактор этого словаря, известный педагог-математик,
а впоследствии публицист и теоретик народничества
П. Л. Лавров пригласил для сотрудничества в словаре
видне 1шпх русских ученых того времени, в том числе
математиков В. Я. Пуликовского, М. В. Остроградского,
И. И. Сомова и И. Л. Чебышева.
К сожалению, «Энциклопедически!! словарь» просуще-
ствовал всего три года, и дальнейшее его издание было
запрошено но политическим причинам. II. Л. Лавров
в своей автобиографии говорит об этом запрещении сле-
дующее: «Издание Энциклопедического словаря вызвало
многочисленные доносы архиереев и духовных журналов
(особенно Аскочепскогог), требовавшего церковной ана-
фемы и уголовного наказания каторгою) и должно было
х) А с к о ч е н с к и и Виктор Ипатьевич (1813—1879)—реак-
ционный публицист. В журка ю «Домашняя беседа» Аскоченскпй
подверг статьи 11. Л. «Лаврова жестокой критике за их «атеизм»
и «материализм».
ооЛ
-CjX t
В Е. ПРУДНИКОВ
прекратиться на первых же буквах»1). Всего вышло шесть
томов «Энциклопедического словаря»: пять—на букву
«А» и один—на букву «Е».
В этих томах были помещены следующие математиче-
ские статьи и заметки:
В. Я. Б у н я к о в с к и и—Абака, Абако (поэт и ма-
тематик), Абсолютное, Абсурдум, Абсцпсса, Азартные
игры (математическая часть статьи), Алгебраические кри-
вые, Алгорпзм, Алгорифм, Алгорифмия, Алеф-функция,
Амплитуда (начало статьи), Амслер Якоб, Апалеммати-
ческий (или азимутальный) квадрант, Анализ математи-
ческий, Аналогии дифференциальные, Аналогии непи-
ровы, Аничков, (. С., Андерсон А., Апджелис (пли Ангелис)
Стефано, Апконтр (фр. математик), Аикудович В. А.,
Аноним (монах и математик), Антилогарифм, Аптипа-
раллельные линии, Апланстические кривые линии, Апол-
лоний Пергский, Апомекометрпя, Апоризм, Апотома,
/\.ранеа, Арбслон (секпрка), Арбогаст (фр. математик),
Аргирус Исаак, Аргумент, Аренарии (Псаммит), Аристеи
Кротонский, Арифметика, Арифмограф, Арифмография,
Арнфмология, Арнет Артур, Арен, Архит Тарентскии,
Аршепевский В. А., Афанасьев П. А.2), Евдоксип, Единица.
М. В. Остроградски н—Аламберово (д’) пра-
вило и часть статьи Аламбер (o’), содержащая обзор его
математических трудов.
И. II. Сомов —Аксиома, Алгебра, Алгебраические
знаки, Анаморфоз, Ангармоническое отношение, Архи-
мед, Асимптота, Асимптотическая поверхность, Ахил-
лесова задача, Евклид.
П. Л. Ч е б ы ш е в—Абелева теорема, Абелевы функ-
ции, Абель.
Мы остановимся на разборе некоторых из перечислен-
ных статей, причем статьи Чебышева, небольшие по объе-
му, приведем полностью3).
*) Лавров П Л., Избранные сочинения, т. 1, М., 1934,
стр. 79.
2) Авторство В Я. Бу ваковского в этом случае предположи-
тельно.
3) В полное собрание сочинений П. Л. Чебышева, выпущенное
издательством АН СССР, этп статьи не вошли.
МАТЕМАТИЧ. СТАТЬИ В ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКОМ СЛОВ ХРЕ 225
«Абелева теорема. Так называется одна из теорем, от-
крытых великим геометром Абелем. Эта теорема заключается в
выражении суммы или разности нескольких значений интегра-
ла какого-либо алгебраического дифференциала через сово-
купность значений того же интеграла с прибавлением, в общем
виде, членов алгебраического п логарифмических, которые,
в известных случаях, приводятся к пулю. Эту теорему \бель
сначала доказал для частного случая в мемуаре мод загла-
вием: Reinarques stir quelques propri Its gem-rales d’une
cerlaine sorte de functions transcendentes (Oeuvres completes
de N 11. Abel, t. 1, стр, 288), где н показал приложение ее
к трансцендентным функциям, известным ныне пол названием
.абелевых’. Впоследствии, в записке под заглавием Demon-
stration d’une propii I g ш rale d’une cerlaine dasse des fun-
ctions transcendentes (Oeuvres completes, т. I, стр. 324), on
доказал ее в самом общем виде».
«Абелевы (функции (Functions abrliennes). Так называ-
ются трансцендентные функции, к которым приводятся инте-
гралы дифференциалов, заключающих в себе, рациональным
образом, радикал второй степени из полинома выше четвер-
той степени. Эти функции называются „абелевыми’ по имени
великого геометра Абеля, положившего основание их теории.
Лежандр предложил для этих интегралов название ультра-
эллиптических </>уш;ц ий».
«Абель Николай-Генрих (Niels Henrik, Nicolas Henri
Abel)—один из величайших математиков. Он первый! строю
доказал невозможность общего решения в радикалах таких
уравнении, которых степень выпи* четвертой, вследствие
чего совершенно изменился взгляд математиков на решение
уравнений высших степе.пей 1 му же наука обя tana общими
началами для исследования возможности и невозможности
интегрирования различных дифференциалов в конечном виде,
что дало совершенно новый вид этой части интегрального
исчисления. Кроме того, он дал новые приемы для нсследова
пня интегралов алгебраических дифференциалов и показа i
весьма замечательное свойство их, известное под именем
пиюремы Абсл.ч. Теория эллиптических функций обязана
Абе по многими развитиями. Он же положил основание теории
трансцендентных функций того же рода, ио высшего разряда,
которые позднейшие геометры назвали его именем. Этими-то
15
Историко-матем. исследования
22С>
Т$. Е. ПРУДНИКОВ
изысканиями, пиложппшими начало трудам многих поздней-
ших математиков. Абель в особенности снискал себе почетней-
шее место между великими геометрами. Но, сверх того, им сде-
ланы изыскания по некоторым другим частим анализа, и все
они представляют в себе что-либо оригинальное и чрезвычайно
замечательное. Из этих открытий Абеля особенного внимания
заслуживают: определение вида функций по уравнениям,
выражающим их свойства; исследования относительно рядов,
весьма важные но своим приложениям; прямое решение
вопроса об определении кривой, но которой точка, двигаясь
от действия тяжести, в данное время проходит известные
дуги, откуда, как частный случай, получается уравнение
тавпюхронц.
Абель родился 5-го августа 1802 г. и Норвегии, в прихо-
де Фпидое (Findoe), 1 де отец его был пастором. Его начал
учить сам отец. Тринадцати .чет \бель отдан был в училище
мри соборной церкви в Христианин. Особенные способности
ого к математике обнаружн шсь на шестнадцатилетнем его
возрасте, мри решении различных алгебраических и геометри-
ческих вопросов, и тогда он ревностно стал изучать матема
тику. Пройдя с своим наставником сочинения Эйлера Intro-
ductio in Analysin infinilonim и Inslilutionos Calculi differen
tialis el inlegralis, on сам начал читать творения различных
геометров, в особенности Лагранжа. К этому времени отно-
сятся первые его изыскания, которые он предпринял, имея
только очень ограниченные сведения в математической лите-
ратуре. В 1821 г., по окончании курса в училище, Абель по-
ступил в университет в Христиании, где обратил на себя
внимание своими способностями к математике. В продолжение
университетского к\ рса он написал несколько математических
статен, из которых некоторые помещены в Magasin file Natur-
videnskaberne; преимущественно же он занимался в это
время вопросом о решении уравнений 5-п степени—вопросом,
прославившим его имя. Сначала, подобно многим своим пред-
шественникам, он нашел ошибочное решение таких уравнений
в радикалах, но йотом, сам заметив свою ошибку и продол-
жая изыскания по этому предмету, успел строго доказать,
что уравнения 5-й степени, в общем виде, ио самому существ)
своему, неразрешимы в радикалах, что и составляет одно нз
важнейших открытий в математике. Доказательство этого
МАТЕМАТИЧ СТАТЬИ В ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКОМ СЛОВАРЕ 227
свойства уравнений 5-й степени было напечатало Хбе.тем
в Христианин в 1824 году, на французском языке, в мемуаре
иод заглавием: Mt moires snr les equations algc briques oil on
demontre Timpossibililt de la resolution de {'equation gtm-
rale du cinquienic degre. По окончании университетского
курса, в 1825 г., кбель оправился путешествовать. В Верди-
не оп подружился с германским математиком Крелле и при-
нял деятельное участие в издаваемом им математическом
журнале. В 1826 г. Абель был в Париже, где познакомился
с Коши и другими знаменитыми юометрамн. По, несмотря
на те великие открытия, которые им были уже сделаны
и которые ставили его выше многих членов Парижской ака-
демии наук, он не успел обратить на себя ее внимание,
и мемуар, представленный им в Парижскую академию ЗО-го
октября 1826 г. иод заглавием Mvmoire sue ине proprit (ё
generale d’une classe ties ctendiie ties functions traiisccndantes,
остался без мнения, наравне с трудами, не заслуживающими
никакого внимания. После смерти \бсля, Парижская акаде-
мия иапечата ia этот мемуар в своих изданиях (Meinoires
presenti’s par divers savants a l’Acad< mie des sciejices de
l lnstitiit de 1 rance, т. \ II, 1841) как произведение особенно
замечательное. По возвращении из путешествия, через два
года, Абель, продолжая неутомимо своп изыскания, заболел
чахоткою и умер 8-го апреля 1829 г. па фроландском чугун-
ном заводе (Froland), близ Арепдаля (Arendal), i ie была его
невеста девица Кеми (Ixemp.). Там и похоронен он близ церкви.
После смерти \беля, ему, вместе с кёнигсбергским знамени-
тым геометром Якпби, Парижская академия присудила,
в 182>О г., премию за развитие теории эллиптических функ-
ций. Часть этой премии, следовавшую Абелю и составлявшую
1300 франков, академия выдала его наследникам. Полное со-
брание сочинений Абеля издано в Христиании в 1839 г.,
под заглавием: Oeuvres completes de X П. Ybel, publices ей
fran^ais par Ilolmboe (2 \ol. in.—4 p>.
В первых двух своих заметках Чебышев выделил из
богатого научного наследства Абеля носящие имя послед-
него интегралы вида
И (х, )z f[x))dx,
15*
228
В Е. ПРУДНИКОВ
где / (г)—многочлен степени выше 4-й; R—какая-либо
рациональная функция от х и J /(а), а также теорему о сло-
жении этих интегралов, которая представляет собой
очень широкое обобщение теоремы сложения эл шптнче-
ских интегралов, найденной еще в XVIII веке1 11) Эйлером.
Известно, что исследования Абеля ио теории инте-
грирования алгебраических функций привлекали присталь-
ное внимание Чебышева, который получил в этой области
ряд крупнейших результатов -).
Статья Чебышева об Абеле проникнута глубоким ува-
жением н сочувствием к молодому норвежскому матема
тику, недолгие годы творчества которого были омрачены
пренебрежительным отношением к его великим откры-
тиям со стороны ряда авторитетнейших современников
и материальной нуждой. Эта краткая и вместо с тем чрез-
вычайно содержательная статья с полной ясностью рисует
все главные направления работ и открытия Абеля. Пам
думается, что она являлась образцом популярного изло-
жения научной биографии крупного математика, предназ-
наченного для энциклопедии, имеющей широкий круг чи-
тателей.
Отметим, что Чебышев называет заслуживающим осо-
бенного внимания «прямое решение вопроса об определе-
нии кривой, ио которой точка, двигаясь от действия тя
жести, в данное время проходит известные дуги». Здесь
Чебышев имеет в виду мемуар Абеля Solution (les quelques
problomes a 1’aide d integrates definies, где предложено
было решение следующей задачи материн н.ная точка
движется под влиянием силы тяжести по 1 >адкой кривой,
1) Но предложению I». Г. Якоби эти интегразы получи ш снача-
ла имя «абелевых трансцендентных функций». Позднее их стали нме
лопать абелевыми inireiралами, так же как более общие интегралы
вида R(x, y)dx, где г и у связаны любой алгебраической зави-
симостью. Под абелевыми функциями теперь понимают функции,
являющиеся обращениями абелевых интегралов. Подробнее о теореме
\беля см. Ф. К л е й и. Лекции о развитии математики в XIX сто
летии, пер. с нем., М.—Л., 1937, стр. 138 и след. Прим. рсд.
-) См. статью В. В. Голубева «Работы II. Л. Чебышева ио
интегрированию алгебраических функций» («Научное наследие
11 Л. Чебышева, вып. I, Математика», М.—Л., 1945).
МАТЕМАТПЧ. СТАТЬИ В ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКОМ СЛОВАРЕ 229
расположенной в вертикальной плоскости. Время I, ко-
торое ей требуется для того, чтобы спуститься вдоль кри-
вой с высоты ;с до самой низкой точки ее,- есть заданная
функция / (.г); каково уравнение кривой? Задача приво-
дится Абелем к интегральному уравнению
Таким образом, Чебышев считает одним нз важнейших
достижений Абеля «прямое решение» некоторого инте-
грального уравнения. Это тем более знаменательно, что
основы общей теории интегральных уравнений были раз-
работаны только па рубеже XIX и XX веков1).
* *
*
Д’Аламберу в «Энциклопедическом словаре» посвя-
щена довольно большая статья в 10 страниц, состоящая
из двух частей. В первой части, написанной И. .1. . 1авро-
вым, излагается биография Д’Аламбера и освещается
его деятельность как участника «в борьбе XVIII в. со
средневековыми преданиями»; во второй части, написан-
ной М. В. Остроградским, кратко анализируется матема-
тическая деятельность Д’Аламбера. Отметим здесь, что
эта статья была перепечатана в сокращенном виде в «Энци-
клопедическом словаре» II. II. Березина (т. I, СПб.,
1873, стр. 419-120), сотрудниками которою состояли
П. Л. Чебышев, Е. 11. Золотарев, II. II. Сомов и другие
выдающиеся русские математики прошлого века. Мы
коснемся только математической части этой статьи и
статьи «Аламберово (о) правило».
В статье «Аламберово (с/’) правило» Ос 1 роградскпй
указывает, что Д’Аламбер в конце 17'12 г. «предло-
жил правило для составления уравнения движения си-
стемы вещественных частиц, подверженных действию
каких ни есть сил. Это правило носит имя своего
Э Задаче Абеля II. II. Сомов посвятил момуар «Замечание о ре*
Шенин одного вопроса механики, данном Хбе.тем», 1868.
230
В. Е. ПРУДНИКОВ
изобретателя Правило Д’Аламбера ведет к нахождению
уравнении движения системы, на частицы которой дей-
ствуют силы».
Остановившись несколько на разборе и формулировке
этого правила, Остроградскнй дальше пишет:
«Д' Хламберово правило приводит теорию движения
систем к теории их равновесия; такое приведение считают
важным усовершенствованием динамики, а потому п назна-
чают Д’ Хламберову правилу одно из почетнейших мест в этой
науке. Д’Аламбер приложил с успехом свое правило к раз
личным вопросам о движении тел твердых и жидких, для
которого он первый хал уравнения, т с. подчинил это дви
жение математическому анализу».
В то же время Остроградскнй указывает, что Д’Алам-
бер не был в состоянии предложить общей теории движе-
ния систем, потому что «в его время нс знали, как выра-
зить математическим языком свойства или определение
какой ни есть системы тел, и нс имели общего способа для
выражения равновесия сил, или, правильнее, нс знали,
как приложить этот способ*. Это сделал, по мнению
Остроградского, Лагранж:
«[Лагранж] выразил связп систем математическим язы-
ком и приложил к Д’А шмберову правилу начало моментов
или волмоленых скоростей, доставляющее общее выражение
равновесия сил. Уравнения движения систем вообще были
следствием глубокой идеи великого геометра».
«Не должно думать однако же, как многие полагают, что
знаменитое открытие . (аграижа положило предел, за который
динамика не может перейти, что в этой науке не осталось для
исследований предметов, собственно ей принадлежащих, и что
недостатки в ней происходят от малой обработанное™ чистого
анализа. Динамика сама представляет, и конечно всегда
представлять будет, материалы для изысканий, усовершен
ствовапий, открытий; у науки нет конца».
Своими исследованиями по аналитической механике
Остроградений, как известно, показал справедливость
только что приведенных слов.
МАТЕМАТПЧ. СТАТЬИ В ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКОМ СЛОВАКЕ 231
Очень интересно мнение самого Ocipoi раде кого о
«Д’Аламберовом правиле»:
«Не псе геометры приписывают одинаковую важность
(’Аламберову правилу. Эйлер никогда не употреблял этого
право ш, Хмиер также мало дает ему веса. В частном разгово-
ре об этом предмете, он выразился категорически: «D Х1сш-
berl a escainote la Dynainiquo ’). Позволяем себе предложить
собственное мнение. Допуская силу инерции, которую отвер-
гнуть и невозможно и которая всеми принята, т. о. допуская,
что материя противодействует изменению в ее движении
равновесие сил движущих, приложенных к системе, и сил.
проявляющихся от противодействия материи, или сил нт*р-
НИ11, усматривается с совершенною ясностью; ибо то, что из
движущих сил не уничтожается связями в системе, то очевид-
но должно уничтожиться силами пперцни. Таким образом
равновесие сил всегда представляется само собою и с очевид-
ностью. а следовательно правило для приведения вопроса
к этому равновесию делается решительно излишним».
В статье «А.тамбер (</)» о математических заслугах
последнего Остроградскпй говорит:
«Д’А шмбер предложил замечательный способ для инте-
грирования совокупных дифференциальных уравнений, за-
нимался с успехом предметами иебесиой механики, как-то:
движением планет, их фигурою и теорпею лупы. Но и| и
вычислении движения планетных атмосфер, он не имел боль-
шого успеха. Геометрия обязана Д Хламберу введением
в нее нового рода особенных точек кривых iiniiiii, называемых
точками возврата 2 го рода... Существование таких точек
отрицали первостепенные геометры того времени I, Хламбер
имел свой особенный взгляд на дифференциальное исчисление,
на анализ вероятностей, на основные динамические теории
и проч. Интегральное исчисление обязано ему некоторыми
исследованиями об эллиптических функциях, впоследствии
получивших огромное значение в анализе. В алгебре он пока-
зал вид корней уравнений и проч, и проч.».
L) «Д А.тамбер скрыл (или затушевал) динамику».
232
В. Е. ПРУДНИКОВ
Во всех математических трудах Д’Аламбера Остро-
градский подчеркивает «необыкновенную проницатель-
ность п ясный взгляд, освещающий самые темные места
рассматрп наемых п редмето в».
Остроградскпй считает ошибочным мнение некоторых
математиков, приписывающих Д’Аламберу первые опыты
интегрирования уравнений в частных производных. Та-
кое открытие, по мнению М. В. Остроградского, следовало
бы поставить на первое место среди математических
открытий Д’Аламбера, «по мы полагаем, что оно при-
надлежит не Д’Аламберу, а Эйлеру»1).
Разбираемая статья Остроградского важна и в том
отношении, что здесь великий русский математик выска-
зал свое мнение об Эйлере:
«Хотя Клеро и Даниил Бернулли были современниками
Д'Аламбера, но история математики, без сомнения, назвала
бы последнего первым геометром своего времени, если бы
Эйлер, одни из величайших математиков всех времен, не
был также его современником».
Упомянем в этой связи, что знаменитые «Письма к не-
мецкой принцессе» Эйлера Остроградский считал образ-
цом «всякой начальной научной книги, где должны быть
осуществлены два главные требования: полнота содер-
жания и полнота изложения»2).
Э Следует указать, что Остроградскпй был в этом вопросе не-
прав. Д’Аламберу нринад южат важные и основоположные работы
но интегрированию уравнений с частными производными, в частности
уравнения колебания струны, и его заслуги в этой области не
умаляются блестящими исследованиями Ойлера. Вместе с тем.
Д’Аламбер пе был первым ученым, введшим точки возврата второго
рода, о которых говорится уже в «Анализе бесконечно-малых»
„1оииталя 1696 г.; .Доипталь, правда, не привел конкретных приме-
ров кривых с такими особенностями. Существование точек возврата
второго рода отрицал Ж. И. де Гюа де Мальв (1740): Эйлер на
примерах показал (1749) ошибочность мнения этого математика.
Прим. ptd.
2) J. К и р п и ч с в, Начала баллистики, СПб., 1879, стр. 12.
Для характеристики просветительной деятельности М. В. Остро
градского заметим, что он состоя.! редактором математического отде-
ла «Энциклопедического словаря» А. А. Плюшара (1835—1841) и
поместил в нем следующие небольшие заметки: «Абелевы функции».
«Арнфмография», «Хрифмология» и «Амплитуда».
МАТЕМАТПЧ СТАТЬИ В ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКОМ СЛОВАРЕ 233
* *
*
В Я Буняковскнп напечатал в «Энциклопедическом
словаре, составленном русскими учеными и литерато-
рами» около пятидесяти статей и заметок различного со-
держания 1). Важно отметить, что Ьуняковскпй считал
необходимым ознакомить читателей с такими замеча-
тельными русскими педагогами-математиками XX III и
первой половины XIX веков, как Д. С. Хпичков, Ji. Б*. \р-
шспсвскнй, II. А. Афанасьев, Ji. А. Кнкудович.
Самой большой по объему (14 стр.) является статья
Буняковского об арифметике. В этой статье автор кратко
излагает историю развития арифметики, начиная с до-
исторических времен. Происхождение арифметики он свя-
зывает с потребностями практики:
«Люди ста in считать с того уже времени, как состави-
лись общества; они, без сомнения, знали число членов своих
семейств, считали дни, годы своей жизни, вели счет стадам,
производили между собой разделы и нр.».
Дальнейшие успехи арифметики Бупяконский свя-
зывает с расширением круга деятельности людей, уве-
личением и усложнением их взаимных сношении, преи-
мущественно торговых. Ji развитии арифметических зна-
ний он особую роль отводит Инфа!ору, Евклп [у и (ин-
фанту:
«Пифагор славился своими познаниями в арифметике,
геометрии, астрономии, физике и музыке. Утверждают, что
он с особенною любовью занимался исследованиями о свой-
ствах чисел Несомненно то, что действительно в его школе,
возникли п были решены разные вопросы, послужившие
к обогащению арифметики. З аконы, между прочим, теория
фигурных чисел, задача о разложении квадрата па два ipy-
гих в рациональных числах, усовершенствование письмен-
ного счисления и нр. Здесь, для предупреждения всякого
недоразумения, должно заметить, что у греческих математн-
) Часть этих заметок («Арифмографня», «Апотома» и ip.)
ыла без изменения перепечатана из 1-го тома «Лексикона чистой
и прикладной математики» (СПб., 1839) В. Я. Буняковского.
В. Е. ПРУДНИКОВ
ков. и еще после них долгое время, арифметика сливалась
с разными исследованиями, которые относят теперь к нашей
a ireope и к теории чисел. В этом отношении арифметика древ-
них много обязана Евклиду и в особенности Диофанту».
Дальше Буняковскпй останавливается кратко на ло-
гистике (практическом арифметике) древних греков и
более подробно говорит о различных системах нумера-
ции: греческой, римской, славянской, арабско-иидус-
ской, о десятичных дробях, как «самом важном обога-
щении нашей арифметики», и о развитии «числительного
искусства» в древней Руси. Последнее является наиболее
интересной частью статьи Пуликовского об арифметике.
Здесь же автор разбирает одну древнерусскую арифме-
тическую рукопись п дает оценку учебнику арифметики
.’I. Ф. Магницкого. Упомянутая рукопись содержала в себе
такие части: «Аритметика или щислсиис: гиометрия; о часех
сиатерцчиых пли солнечных; козмография или описания
света; архитектуре мплитарис доктрина».
Арифметика в рукописи разделена на три книги:
в первой излагаются «начальные четыре правила», по-
втором «познание фракт» (дробей), в третьей «регула
трех» (тройное правило).
помянутую рукопись Буняковскпй высоко оцени
васт, потому что в иен он находит подтверждение своего
мнения о том, что предмет арифметики надо ограничи-
вать изложением «правил для произношения всяких
чисел, для изображения их приличными знаками и, на-
конец, для upon шо детва над ними различных выкладок
или (епствнй». Это мнение Буняковскпй и положил в ос
нову своего известного учебника арифметики.
Что касается «Арифметики» Л Ф. Магницкого, то это
учебное руководство Буняковскпй оценивал так:
«. В паше время незнакомые с трудом Магницкого отзы-
ваются о нем с некоторым пренебрежением и представляют его
в каком-то шуточном виде. Такое предубеждение лишено
основания; книга его исполнена добросовестно; изложение
в ней ясное, п если примем в соображение тогдашнее состоя
ине математических наук в России, то пе можем отказать ей
[аже в полноте сообщаемых сведений».
МАТЕМАТ11Ч. СТАТЬИ В ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКОМ СЛОВАРЕ 235
Мы не будем останавливаться на других статьях п за-
метках историко-математического содержания, которые
Буняковекпй поместил в «Энциклопедическом словаре»1).
Уже из сказанного ясен немалый интерес Буняковского
К вопросам истории математики
* *
*
Из десяти статей и заметок И И. Сомова, напечатан-
ных в названном «Энциклопедическом словаре», мы оста-
новимся па «Алгебре». В этой статье Сомов дает краткую
историю развития алгебры. Первым учителем алгебры он
считает математика Абу-Джафара Мохаммеда-бен-Мусу
Альховарелмп2), который написал около 830 г. популяр-
ное а пебрапческое руководство для решения вопросов
о наследствах, о завещаниях, о тяжбах, торговле в об
измерения земель, прорытии каналов п т. д.
«В этом сочинении европейцы почерпнули первоначаль-
ные незнания из алгебры; поэтому ее автора можно считать
первым нашим учителем важнейшей отрасли математических
знаний».
Однако Сомов не считает ал-Хорезми основоположни-
ком алгебры.
<Хотя до Мохаммеда-бен-Мусы, ио свидетельству араб-
ских писателей, не было алгебры па арабском языке, нельзя
одиакожь почитать его изобретателем этой пауки Нельзя
даже, но написанному им элементарному руководству, судить,
как обширны были познания арабов IX-го века в алгебре.
J) Приведем еще лишь интересное высказывание Буняковского
о «Псаммите» («Хренарне») Архимеда: «Ареиарип Архимеда пред-
ставляет весьма любопытный памятник древнего греческого счи-
сления и, сверх того, примечателен в том отношении, что Архимед,
рассматривая геометрическую прогрессию чисел, указывает на свой-
ство, но которому произведение нескольких се членов может быть
получено посредством сложения. В этом свойстве усматриваем
я рвын зародыш теории логарифмов, но.1\чпвшен впоследствии
столь важное значение».
) To-есть Мохаммеда-беи-Муса ал-Хорезми, уроженца Хорезма.
236
В. Е. ПРУДНИКОВ
Вероятно, Мохаммед-бон-Муса знал больше того, что поме-
стил н своем сочинении. Если искать зародыша алгебры в ре-
шении уравнении, то мы найдем его в древнейших творениях
греческих геометров. Предложения 27, 28, 29 и 30 шестой
книги «Геометрических начал» Евклида ведут к построению
корней уравнения 2-й степени и в сущности не отличаются от
тех, которые дает Мохаммед-бен-Муса в своей алгебре»J)
Большое значение в развитии алгебры Сомов придает
Диофанту при этом он полагал, что Хорезми знал
«анализ Диофанта, но умолчал об нем, как о предмете,
имеющем мало приложений в практических вопросах».
Затем Сомов выясняет роль в развитии алгебры ин-
дийских ученых, Леонардо Фибоначчи, , 1уки Иаччиолп,
Тартальп, Кардано, Виета, Декарта, Ньютона и Эйлера.
«Дальнейшие (после Ньютона—Е. П.) усовершенствова-
ния алгебры, наравне с друтимп частями анализа, принадле-
жат плодовитейшему из математических гениев, Эйлеру.
Трудно указать па теорию в анализе, к которой не приложил
бы руку этот великий геометр. Он написал элементарную
алгебру, которая всегда останется образцом простоты и ясно-
сти изложения; его сочинение, «Introdiiclio in analyst n infi-
nitorum» (1748 г.) есть стройное изложение общих апалптп
ческих методов и приложений их к геометрии. Мемуары ака-
демий берлинской и петербургской наполнены статьями Зиле
ра об алгебре».
Касаясь развития алгебры в XIX веке, Сомов остапан
ливается на открытиях Коши, Эрмита, Коли, Си и»востра
и др. Особое внимание он уделяет алгебраическим откры-
тиям Абеля и Галуа.
«В 1829 г. гениальный геометр нашего столетия, Абель,
доказал, что не всякое уравнение 5 й степени pa ipciniiMO в ра
дпкалах, так что должно на решение уравнений высших сте-
пеней смотреть как на особенное алгебраическое действие,
которое только в частных случаях может быть приведено
J) Теперь известно, что еще за 2000 лет до н. э. задачи на ква
дратные уравнения умели решать древние вавилоняне.
МАТЕМАТИЧ. СТАТЬИ В ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКОМ СЛОВАРЕ 237
к другим простевшим действиям... По следам Абеля занимал-
ся Галуа (Galois) изысканном условий, при которых уравне-
ния разрешимы в радикалах».
Давая общую оценку разбираемой статье Сомова, мы
должны сказать, что она содержи г интересный и тща-
тельно отобранный фактический материя г. Следует под-
черкнуть, что (’омов упоминает о работах Галуа, которые
лишь незадолго перед тем начали обращать па себя вни-
мание в ученом мире1). Приходится только пожалеть,
что в этой статье обойдены полным молчанием алгебран
четкие открытия II 11. ,Лобачевского и в списке рекомен-
дуемой учебной литературы по алгебре не упомянута его
замечательная «Алгебра пли вычисление конечных».
В большой статье об «Алгебраических знаках» (’омов
даст краткую историю развития алгебраической симво-
лики и упоминает о тех математиках, которые оставили
заметный след в этом развитии.
В «Энциклопедическом словаре, составленном русски-
ми учеными и литераторами» заметки Чебышева. Остро-
градского, Буняковского и Сомова принадлежат к числу
наилучших. Интересно отметить, что 11. .1 Чебышев
и другие крупнейшие математики считали важным лично
участвовать в популяризации математических знаний
для широких кругов читателей через энциклопедические
словари. Рассмотренные заметки показывают также, что
наши знаменитые математики питали глубокий интерес
к истории своей пауки и в помещаемом в словаре мате-
риале отводи ш достаточное место для исторических
све щиий.
*) В это же время Д. Д е л а р ю дал в своей магистерской дис-
сертации «Общая теория алгебраического решения уравнений»
Харьков, 18(И) первое па русском языке изложение теории Галуа.
< м. С у in к е п и ч А. К., Материалы к истории алгебры в России
«Псторпко-матемагнческие исследования», вып. I\, М.—. I , Юл1,
стр. 31!) ц след.).
П. Л. ЧЕБЫШЕВ И ПОПУЛЯРИЗАЦИЯ
МАТЕМАТИКИ В РОССИИ
С. А. Далия
В своей патриотической заботе о росте и ра< прос гра-
нении матоматическон культуры в России II Л Чебышев,
как и другие корифеи русской математики, всегда под-
держивал ценные начинания в области популяризации
математики Эта сторона просветительной юятелыюстп
Чебышева ма ю известна. В настоящей заметке мы хотим
осветить его заслуги в развитии отечественной популярно-
математической периодики.
Как известно, с 1856 ио 1873 г. Чебышев состоя.! членом
Ученого комитета Министерства народного просвещения.
Это официальное положение в сочетании с высоким науч-
ным авторитетом позволило Чебышеву оказать большое
благотворное влияние па многие стороны математиче-
ского просвещения в России, в том числе на развитие на-
шей популярно-математической журнальной деятельности.
Первым известным нам ирон влей нем этого явилось
содействие Чебышева инициативе вп.теиского астронома
М. М. Гусева, приступившего в 1861 i к изданию двух-
недельною «Вестника математических паук», второго ио
времени возникновения спецна.льно математического рус-
ского журнала, посвященного разработке и популяриза-
ции вопросов как высшей, так и элементарной матема-
тики, а также теоретической механики и физики1).
*) Первым математическим периодическим изданием в России
был «Учебный математический журнал» I». Купфера (Ревель,
1833—1834). Общую характеристику журнала Гусена см. и статье
И. Я. Д е п м а и а, «Русские математические журналы для учи-
теля» («Математика в школе», РАН, Д’ (>).
240
С. А. ДАХИЯ
Чебышев охотно откликнулся на обращенную в нему
просьбу Гусева использовать страницы нового журнала
для ознакомления более широких кругов русских чита-
телей с его работами, печатавшимися в специальных
изданиях Петербургской академии паук. В результате
этого в «Вестнике» появился перевод статьи Чебышева
«О преобразовании суставчатого параллелограмма», на-
печатанной по-французски в Бюллетене Петербургской
Академии в 1845 г.1 2).
Содействие Чебышева молодому математическому
журналу ио ограничилось разрешением опубликовать
в нем названную работу. По меньшее значение имел со-
став.ленный Чебышевым но предложению физико-мате-
матического отделения Академии наук-) отзыв ла «Вест-
ник». Отзыв этот был помещен полностью в «Журнале
министерства народного просвещения. Часть псофпциаль-,
пая» (L8G2, ч. 113, март, отдел 4, стр. 153).
Воспроизведем здесь этот документ, свидетельствую-
щий о поддержке великим ученым полезного начинания
на поприще развития нашей научной культуры3):
«В настоящее время Вестник есть единственное у нас
повременное издание, специально посвященное математике п ее
приложениям. Польза его нс подлежит сомнению, и Франция,
Англия, Германия, Италия имеют по носко тьку таких изда-
нии. Вестник Гусева, как видно из его программы и вышедших
номеров, не ограничивается одними статьями высшей мате
матпкп, а допускает статьи более пли менее элементарны»'
и не отвергает таких статей, которые, не имея особой важно-
сти, но могут быть удостоены помещения в академических
изданиях. Таким образом, Вестник открывает возможность
появления у нас таких математических трудов, которые без
J) В полном собрании сочинений П. Л. Чебышева (т. 4, М.—Л.,
1948) эта статья имеет заглавие «О некотором видоизменении колеи
чатого нараллело!рамма Уатта».
2) См. извлечения из протоколов Академии (заседания от2авг.
и 20 септ. 1861 г.), помещенные в т. 5 Полного собрания сочине-
ний II. Л. Чебышева (М.—Л., 1951), стр. 282—283.
3) Отзыв II. Л. Чебышева па «Вестник» не помещен нп в его
Полном собрании сочинений, нп в других известных нам публика-
циях, п освещенных деятельности Чебышева.
ЧЕБЫШЕВ II ПОПУЛЯРИЗАЦИЯ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ 241
того оставались бы навсегда неизвестными, но которые сами
по себе имеют некоторый интерес и, при дальнейшем развитии,
могут привести к результатам, важным для науки. Незави-
симо от пополнения нашей ученой литературы представле-
ние возможности появления в печати подобных трудов тем
более обещает пользы, что этим самым вызывается молодое
поколение к самостоятельным работам по математике и ее
приложениям».
Отзыв Чебышева способствовал уточнению несколько
неопределенной вначале программы «Вестника». Содер-
жание номеров журнала—особенно его второго тома—
показывает, что в своей редакционной работе I усов стре-
мился руководствоваться положениями, выдвинутыми в
этом отзыве. Мысль Чебышева, что в задачу популярного
издания должно входить воспитание у молодежи интереса
и способности к самостоятельному научному творчеству,
стала путеводной питью всего последующего развития
нашей популярно-математической печати.
Журнал Гусева, обещавший стать живым органом
популяризации математики в России, внезапно пре-
кратил свое существование в 1863 г. «во независящим от
издателя причинам» (как было глухо объявлено в «Жур-
нале министерства народного просвещения», 1863,
ч. 119, авг., отдел 6, стр. 112). Есть основания пола-
гать, что эти «причины» находились в связи с запрети-
тельными мерами, принятыми царскими властями ввиду
начавшегося польского восстания1).
Возникший спустя три года после закрытия Вилен-
ского «Вестника» орган Московского математического
общества «Математический сборник» выполнял в течение
первых нескольких лет функции как научного, так и
научно-популярного и методического журнала. Участвуя
в качестве автора первого—научного—отдела «Сборника»,
Ч бышев в то же время поддерживал основателей журнала
в стремлении к надлежащему развитию и второго—по-
пулярно-методического—отдела В этом отношении весьма
*) Указание II. Я. Денмана (в вышеназванной статье), что «Вест-
ник» закрылся только из-за недостатка подписчиков, нам представ-
ляется необоснованным.—С. Д.
16
Историно-матем. исследования
242
С. \. длхпя
показателен его специальный доклад Ученому комитету по
вопросу о выписывании для библиотек учебных заведе-
нии «Математического сборника». 11. Л. Чебышев указы-
вал, что «ознакомление учителей гимназий и учеников
высших классов» с содержанием статей второго отдела
сборника «обещает несомненную пользу» и что «„Матема
тичсскии сборник", как единственное у нас издание, где
такие статьи печатаются, должен быть приобретен гимна-
зическими библиотеками»1).
Быстрый рост оригинальной научной продукции мо
сковских математиков и невозможность расширить объем
«Математического сборника» но недостатку средств у изда-
телей привели к постепенному сокращению, а затем,
в конце семидесятых годов, и к ликвидации второго от-
дела журиа та
Между тем потребность русской учащейся молодежи
и учительства в попу.тярио-иаучпом математическом жур-
нале в эти годы неизменно росла; пробел, образовавшийся
в нашей периодике, требовал заполнения.
Эту задачу взял на себя в 1879 г. московский педагог
и популяризатор А. II. Гольдснберг, приступивший к из-
данию «Математического листка». Недостаток средств
у издателя, однако, вынудил последнего прекратить это
многообещающее издание на втором томе2).
Новые русские популярные журналы по математике
почти одновременно основали в 1884—1885 гг. проф.
В. И. Ермаков3) в Киеве и педагог-математик Н. Сени
гов в Петербурге.
«Журнал элементарной математики» Ермакова с его
программой, направленной па культивирование творче-
ских задатков молодых любителей и преподавателей ма-
тематики, быстро завоевал симпатии читателей п стал
родоначальником всей нашей последующей популярно-
математической печати.
х) Ч е б ы иг е в И. Л., Полное собрание сочинений, т. •»,
М.—Л., 1951, стр. 401—402.
2) Краткую характеристику «.Чистка» см. в указанной выше ста-
тье II. Я Денмана
3) О Ермакове и его журнале см. статью С. А Дахпя «Василий
Петрович Ермаков» в журнале «Математика в школе» (1952, X 6).
ЧЕБЫШЕВ II ПОПУЛЯРИЗАЦИЯ МЛТЕМ VJ.11KH В РОССИИ 243
Иначе сложилась судьба «Школы математики чисто й
и прикладной»—ежемесячного «журнала для учащих
учащихся и всех любителей физико-математических
наук», издававшегося II. Ссниговым1). «Школа» представ-
ляла собой своеобразное соединение учебно-самообразо-
вательного и научно-популярного журналов. В первой
из двух частей «Школы» печатались (с продолжениями)
элементарные математические курсы, принадлежавшие
перу самого издателя. Содержание этих курсов обна-
руживает отсталость методических позиций их автора,
пропагандировавшего отживавшие свой век педагоги-
ческие приемы («монографический способ изучения при-
роды чисел» и словесио-онисательпую пропедевтику гео
метрик2). Неудачное содержание основной учебной части
журнала предопределило неуспех журнала у читателей
(и его прекращение на Aii 3—4).
Между тем научно-популярная часть «Школы» пред-
ставляла значительный интерес. Здесь за педолгое суще-
ствование журнала Сеиигов довольно много сделал для
популяризации работ современных отечественных ма-
тематиков, главным образом Чебышева3). Заручившись
согласием последнего, II. Сеиигов воспроизвел в «Школе»
ряд новых его работ, посвященных проблеме преобразо-
вания движения. Так, в А» 1 за 1885 г. был помещен ме-
муар Чебышева «О преобразовании вращательно! о движе-
ния в движение ио некоторым линиям при помощи сочле-
ненных систем»4), в АЬ 2 было дано описание изобретенной
*) Указание па этот журнал отсутствует в обзоре И. Я. Денмана.
2) Здосьнелншне будет отметить, что Чебышев заяви.! себя ре-
шительным противником подобных пропедевтических курсов гео-
метрии (ср. его отзыв о сочинении Ефремова в Полном собрании со-
чинении, т. 5, М.—Л., 1951, стр. 344—345).
3) В заслугу «Школе.» должно быть поставлено также освещение
научной деятельности С. В. Ковалевской: в .V 1 журнала была по-
мещена перепечатанная из одного стокгольмского еженедельника
статья, в которой давалась высокая оценка математическим трудам
Ковалевской и приветствовалась инициатива Стокгольмского уни-
верситета, впервые в истории предложившего профессуру женщине.
) Этот мемуар был впервые опубликован но-фраицузскп
в «Bulletin de la Socicte nialhematiqiie de France», 1884, 12,
стр. 179—ig7 (Полное собранно сочинений, т. 4, М—Л., 1948,
стр. 161—166).
Иг
2-й
С. А. ДАХПЯ
им машины для хождения, в Л_ 3—4 появилась статья
«О простейших параллелограммах, симметричных около
одной оси»1). Кроме этих работ по теории механизмов, в
журна ie (Л:? 2) была перепечатана также знаменитая речь
Чебышева (1856) «Черчение географических карт», в ко-
торой, между прочим, с особой силой подчеркивалась
руководившая творчеством ученого идея о необходи-
мости теснейшего сближения математических теории с
практикой жизни. Наконец, в журнале был опубликован
подробный (из 52 названий) «Список сочинений академика
Чебышева».
Систематическая публикация «Школой» работ Чебы-
шева и материалов о сю трудах и изобретениях отражала
интерес русских учителей и любителей математики к твор-
честву их великого соотечественника.
В заключение подчеркнем, что постоянная помощь
Чебышева’делу популяризации математики в России была
ие случайным, а органическим элементом плодотворной
просветительной деятельности ученого и вытекала как
из его философско-методологических взглядов па связь
математики с жизнью, так и из его патриотических по-
буждений.
’) Впервые сообщено Французской ассоциации развития наук в
1878 г. (Полное собрание сочинений, т. 4, М —Л., 1948, стр.85—91).
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
В ОТЕЧЕСТВЕННЫХ
УНИВЕРСИТЕТАХ
И НАУЧНЫХ
ОРГАНИЗАЦИЯХ
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
С. Е. Белозеров
1. Введение
Ростовский государственный университет имени
В. М. Молотова существует уже свыше 80 лет. «За это
время его научные работники внесли большой вклад в раз-
витие различных разделов русской и советской пауки,
в том числе математики.
Свое существование Ростовский университет начал
в качестве русского университета в г. Варшаве, где нахо-
дился около 45 лот. В связи с военными событиями (1915 г.)
Варшавский университет вынужден был эвакуироваться.
Представители многих городов претендовали па то, чтобы
Варшавский университет был переведен к ним; однако
выбор остановился па Ростове н Д.
Математики Ростовского (Варшавского) университета:
М. А. Андреевский, 11.11. Алексеев, И. Я. Сонин, В. /V Ани-
симов, Г. Ф. Вороной, 11. 11. Эннии, В. II. Романовский,
Д. Н. Горячев, Д. Д. Мордухай-Болтовской и др.—дали
нашей стране ряд выдающихся работ и подготовили мно-
гих преподавателей математики средних и высших школ.
В годы Советской власти подготовка квалифицированных
кадров математиков в университете развернулась осо-
бенно успешно. Многие его питомцы играют видную роль
в развитии советской математики.
* *
*
Физико-математический факультет Ростовского (Вар-
шавского) университета—одинитвенный факультет уни-
верситета, прошедший фактически весь путь с момента
248
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
его основания до наших дней. Правда, с 1905 по 1908 г.
на нем, как и на всех факультетах, учебные занятия были
прерваны, с 1924 по 1931 г. вместо физико-математического
факультета су шествовало физико-математическое отделение
педагогического факультета, но научная работа в стенах
университета в области математики нс прекращалась на
протяжении всех 84 лет его существования.
По уставу университета, утвержденному в 1869 г.,
физико-математический факультет состоял из двух отде-
лений: естественного и математического. На физико-ма-
тематическом факультете при 10 профессорах и 5 доцен-
тах было учреждено 11 кафедр- 1) чистой математики,
2) механики, 3) физики, 4) астрономии и геодезии, 5) хи-
мии, 6) минералогии, геогнозии и палеонтологии, 7) фи-
зической географии, 8) ботаники, 9) зоологии, 10) техни-
ческой химии nil) агрохимии.
Физико-математический факультет Варшавского
университета создавался на базе физико-математического
факультета Главной школы, существовавшей в Варшаве
с 1862 г., и первыми преподавателями математических
дисциплин в университете явились бывшие преподаватели
Главной школы.
В главной школе математические дисциплины читали
пять преподавателей: Пснчарскпй, Зайончковскпй, Фропц-
кевич, Кветнсвскип и Бабчипский. В связи с сокраще-
нием объема работы по математике в университет перешли
только первые два из них.
Преподавание математики в Главной школе велось на
низком уровне, выбор математических дисциплин, по ко-
торым читались лекции, и объем курсов были случай
иымп. Такая же картина была и па физико-математиче-
ском факультете университета в первый год его существо-
вания. Так, например, наряду с включавшим все аналити-
ческие дисциплины общим курсом анализа, на который
отводилось 6 часов в неделю, читались начертательная
геометрия—5 часов, теория вероятностен 4 часа и теория
чпсел—4 часа. При этом чтение теории вероятностен
было поручено банковскому служащему Бауэру, неплохо
знавшему, повидимому, только финансовые и страховые
операции, а начертательная геометрия—преподавателю
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
249
Здание университета в Варшаве.
250
С. Е. I3J .ЮЗЕРОВ
технических школ, преподававшему только этот предмет.
Зайончковский читал еще специальный курс «Определен-
ные интегралы».
Первыми студентами университета были преимуще
ственио прежние студенты Главной школы, в подавляю-
щем большинстве своем поляки.
В 1869—1870 учебном году в университете было 1036
студентов, из них вновь принятых 200, переведенных и;*.
Главной школы 836. На физико-математическом факуль-
тете в этом году числилось 255 студентов: на 1-м курсе 47.
на 2-м—128, на 3-м—29 и па 4-м—51.
Подготовка студентов и организация учебной работы
по математике, судя по результатам экзаменов, были не-
удовлетворительными: лишь около 50% сту [еитов сдавали
экзамены по математике в установленное время. Ъ ровень
учебной и научной работы но математике в Варшавском
университете в первые годы его существования был
естественно невысок.
Перенесенные в Варшавский университет отсталые
традиции Главной школы и почти полное отсутствие здесь
математиков, активно занимавшихся научной работой,
пс давали возможности хотя бы несколько приблизить
уровень преподавания математики этого уииверт илота
к уровню преподавания университетов Петербурга,
Москвы, Казани, Харькова, Тарту (, (ерита).
Вскоре, однако, в учебной и научной работе но мате
матико произошел неролом в лучшую сторону. Это было
связано с приходом на работу в Варшавский университет
математиков М V Андреевского, П II Алексеева и, осо
беппо, II. Я. Сонина.
2. Первые профессора математики.
II. Я. Сонни
В 1870—1871 учебном году’ в степах Варшавского
университета начал свою кипучую учебную и научную
деятельность молодой магистр Михаил Аркадьевич Анд-
реевский (1847— 1879). К началу его работы в Варшав-
ском университете он был еще малоизвестным магематп
ком. В 1866 г. Андреевский получил степень кандидата
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
251
математических наук в Харьковском университете, а
в 1869 г. защитил в Московском университете Mai истер-
Михаил Аркадьевич Андреевский
(1847—1879)
скую диссертацию на тему: «0(5 интегрирующем множителе
дифференциальных уравнений 2-го порядка, вида
А +Ву' +Cy'm+Dy'm*4- II»1).
Будучи хорошо знаком с постановкой учебной работы по
математике в Харьковском и Московском университетах,
*) «Математический сборник», 1869, 4, стр. ИЗ—224; извлечения
из этой работы напечатаны в отчетах Парижской Академии наук.
252
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
Андреевский вместе с Зайончковским стремился под-
нять уровень преподавания математики и в Варшавском
университете, читая разнообразные математические курсы.
«Дифференциальных уравнений», «Вариационного исчис-
ления», «Теории чисел» и другие—в общей сложности ио
10 часов и более в педелю. В 1871—1872 учебном году он
организовал чтение специального курса по теории эллин
тических функций, дававшего много материала для науч-
ной работы ученых того времени и много тем для канди-
датских сочинений студентов. При выборе курсов для
чтения Андреевский руководствовался не столько пали
чием знатоков тех или других отделов математики, сколько
тон ролью, какую играет тот и ш иной отдел математики
в науке.
Андреевский был первым, активно работающим мате-
матиком в Варшавском университете. Своими работами,
печатавшимися в русских и иностранных журналах, он
первый сделал известным создающимся в Варшаве новый
центр математической мысли в Росспп. Уже в первый год
пребывания в Варшавском университете он закончил и за
щитил в Московском университете докторскую диссер
тацпю на тему: «Об интегрирован пи однородных диффе
репциальных выражений с некоторыми приложениями»1),
получив вслед за тем профессорское звание. В дальней-
шем Андреевский активно продолжал научную работу.
опубликовав ряд статей 2).
Андреевский был одним из первых математиков, па
чавших публикацию математических работ в «Варшавских
университетских известиях». Его работы «О некоторых
определенных интегралах» и «Исследование об определен-
ных интегралах», опубликованные в «Варшавских упи-
х) Варшава, 1870; извлечение из этого труда помешено в жур
нале «Matheinatische Annalen».
2) Об интегрировании однородных дифференциальных выраже-
ний высших порядков между несколькими переменными независимы-
ми, «Математический сборник», 1869, 4, стр. 105—138; «О числе всех
делителей нечетного числа, имеющих одну из линейных форм
4&+1, 4Л—1, 8А^р1, 8ЛфЗ, «Математический сборник», 1872, 6,
стр. 97—110; его работы публиковались также в трудах 2-го съезда
русских естествоиспытателем и в «Nouxelles annales de niatlie-
matiques».
МАТЕМАТИК к В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
253
всрсптетскпх известиях» (1870, 2 и 1873, 5), поло-
жили начало длинному ряду работ математиков Варшав-
ского университета в этой области.
К сожалению, преждевременная смерть не шла воз-
можности полностью развернуться дарованиям этого
многообещающего ученого.
Через год после начала работы Андреевского в Варшав-.
ском университете сюда же был назначен достаточно уже
известный в то время математик—Николай Николаевич
Алексеев (1828—1881).
Окончив в возрасте 111 ют физико-математический
факультет Московского универентега, Алексеев долгое
время работал преподавателем математики в военных
учебных заведениях и читал отдельные математические
курсы но поручению физико-математического факультета
Московского университета. Продолжая научную деятель-
ность, начатую еще в студенческие годы, Алексеев опуб-
ликовал ряд статей и учебников ио высшей математике.
Так, в 1861 и 1862 i г. Алексеев издал курс интегрального
исчисления1). Этот курс Алексеева но объему и орш оваль-
ности изложения материала представлял значительное
явление в русской математической литераторе; Алексеев,
в частности, пропагандировал методы и открытия М. В. Ос-
троградского и Н. Л. Чебышева в математическом анали-
зе. За этот учебник Академия наук присудила А юксееву
половинную (емидовскую премию. В 1864 г. Алексеев
опубликовал заметку «О приведении интеграла, содер-
жащего квадратичный корень из многочлена четвертой
степени, к канонической форме эллиптического инте-
грала и о вычислении модуля» 2). Через год он выпустил
курс аналитической геометрии3). В это же время он соста-
вил курс лекции ио теории эллиптических функции,
---------—
*) 1 icKcecH II., Начала интегрального исчисления,
ч. 1—2, М., 1861—1862.
2) А 1 е х е с f f N., Sur la nduction d’une integrate, contenant
an radical de second degre d’un polynome de qualrieme, a la forme
canoni {ue d’une intcgrale olliplique el sur le calcul du modul,
«Comptes rendus de I’Acadiinie des sciences de Paris», 1864, 59,
стр. 244—248.
) «Аналитическая геометрия па плоскости», пып. 1 М., 1865.
254 С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
читанный им в Московском университете (по неизвестной
причине курс не был издан).
Бу (учи одним из членов-учредителей Московского
математического общества, Алексеев обязан был в пом
«следить за успехами интегрирования иррациональных
функции и эллиптических функции и сообщать в заранее
назначенные сроки письменные отчеты и словесные объяс-
нения о своих занятиях». В печатном opiaHe Общества
«Математическом осборникс» Алексеев принял участие
с момента его основания. Гак, в нервом томе «Математн
ческого сборника» нм помещены две статьи: «Свойство
интегралов от алгебраических иррациональных функ-
ций, которые выражаются одними логарифмами»1), и
«Интегрирование дифференциалов, содержащих корень
квадратный из многочлена четвертой степени, и дифферен-
циалов, содержащих корень кубичный и i многочленов
третьей степени» 2) Во втором томе он опубликовал статью
«Криволинейные ортогональные координаты в прило-
жении к исследованию кривизны кривых на различных
поверхностях»3), в третьем—«О значении интегрирующего
фактора при определении вида интеграла дифференциаль-
ного однородного у равнения первого порядка» 4) и в пятом
«Исследование о функциях, подобных функциям Je
жандра» 5).
В 1868 I., на 1-м съезде русских естествоиспытателей
Алексеев сделал доклад на тему: «Об эллиптических ин-
тегралах с различными модулями».
Совокупность трудов Алексеева дала Московскому
университету полное основание присудить емуг в 1869 г.
ученую степень доктора математических наук без за-
щиты диссертации—honoris causa.
Таким образом, когда Алексеев в 1871 г. был назначен
ординарным профессором кафедры чистой математики
Варшавского университета, он имел уже большой опыт
учебной и научной работы в Москве. Будучи профессором,
1) «Математический сборник», 1866, 1, стр. 173—186.
-) «Математический сборник», 1866, 1, стр. 187—212.
3) «Математический сборник», 1867, 2, стр. 79—128
4) «Математический сборник», 1868, 3, стр. 260—262.
в) «Математический сборник», 1870, 5, стр 125—144.
.МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
255
а затем деканом физико-математического факультета Вар-
шавского университета, Алексеев в значительной мерс
способствовал поднятию уровня учебной и научной работы
по математике в этом университете. В 1877 г. Алексеев
вышел в отставку.
За свое шестплетнее пребывание в стенах Варшавского
университета Алексеев прочитал ряд курсов но аналити-
ческой геометрии, высшей алгебре, теории определенных
интегралов, интегрированию дифференциальных урав-
нении, теории вероятностей и др. В то же время Алексеев
продолжал упорно работать пад у совершенствованием
курса ио интегральному исчислению, и затем выпустил
его вторым изданием с дополнениями и изменениями1).
Тогда же он нодготови.т для издания курс интегрирова-
ния дифференциальных уравнений, начинал работу «Об
иптегрнру ючцем факторе дифференциальных уравнений
первого порядка чч первой степени» чч ряд других.
Все этчч труды выдвинули Алексеева в число видных
русских математиков XIX века. В 1879 г. Алексеев был
приглашен чча должность адъюнкта ио разделу чистой
математики Петербургской Академии наук. К сожалению,
Алексее чч пробыл в той должности только полтора года,
успев написать за это время только две математические
работы. Внезапная смерть оборвала его плодотворную
деятельность.
Особенно значительную роль в превращении физико-
математического факультета Варшавского университета
в одни из центров математической мысли и подготовки
математических кадров чч России сыграл Н. Я. Сонин,
проработавший чч этом университете 20 лет. Деятельность
Н. Я. Сонина незаслуженно мало освещена чч пашей исто-
рико-математической лчч тературе2).
*)• Алексеев 11. 11., Интегральное исчисление, ки. t—2,
изд. 2-е., М., 1874.
’ 2) В пятом выпуске «Петорико-математичеекпх песледоччаиип»
(19о2) В. В. Гуссов проанализировал работы 11. Я. Сонина ио теории
гамма-функиин, а Р. Я. Шостак чч статье, ноеччячцеиччой А. В. Лет-
пикову, коснувшись дискуссии между \. В. Летникоччым чч И. Я. Со-
256
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
Николай Яковлевич Сонин родился 22 (10) февраля
1849 г. в гор Туле, в обедневшей дворянской семье.
В раннем детстве его привезли в Москву, где отец его
Николаи Яковлевич Сонин
(1849—1915)
состоял сначала на государственной службе, а затем за-
нимался адвокатурой. Одиннадцати лот Сонин поступил
ниным, рассмотрел работу II Я. Сонина «О дифференцировании
с произвольным указателем». Но и в этих работах рассматривается
только небольшая часть научного творчества Н. Я Сонина. (В на-
стоящем выпуске «Историко-математических исследований» в ста-
тье В. В. Гуссова подробно рассмотрены работы Н. Я. Сонина по
цилиндрическим функциям. См. стр. 390—412. Прим, ред.)
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
257
в Ш класс 4-й Московской гимназии, где в то время пре-
подавали известные математики-методисты А. Ф. Малинин
п В. II. Буренин. В 1865 г. Сонин окончил курс гимназии
с золотой медалью и в том же году поступил на физико-
математический факультет Московского университета.
В это время начиналась интенсивная научная деятельность
московских математиков.
В университете Сонин слушал лекции М. Ф. Хандри-
кова, А. 10. Давидова, В. Я. Цннгера, В. II. Бугаева,
ф. А. Слудского, Ф. А. Бредихина, Ь. Я. Швейцера,
А. Г. Столетова и II. А. Любимова. Особенно сильное
влияние на развитие научных интересов Н. Я. Сонина
оказал II. В. Бугаев, работавший в различных областях
математического анализа и теории чисел. EyiacB впервые
в Москве читал курс теории функций комплексного пе-
ременного, одним из активных слушателей которого был
Сонин. Под руководством Бугаева студент Сонин напи-
сал работу на тему: «Теория функций мнимого перемен-
ного»1), за которую получил в 1869 г. золотую медаль.
В этом же году Сонин окончил университет со степенью кан-
дидата и был оставлен Бугаевым для подготовки к маги-
стерским экзаменам. В начале 1871 г. он сдал все экза-
мены на степень магистра математики и был приглашен
преподавателем элементарной алгебры и аналитической
геометрии на московские женские курсы, где проработал
полтора года.
В конце 1871 г. Сонин защитил магистерскую диссер-
тацию «О разложении функций в бесконечные ряды»2)
и затем был назначен в Варшавский университет в каче-
стве доцента кафедры чистой математики, которую воз-
главлял в то время Андреевский. Хорошо эрудирован-
ный и имеющий ужо некоторый опыт преподавательской
работы, Сонин сразу стал деятельным помощником Ан-
дреевского и Алексеева, работавших над улучшением
учебной и научной работы в Варшавском университете.
В 1872-1873 учебном году Сонину поручают «менее
9 Этой работы нам пс удалось обнаружить ни в архивах Ml
ни в других московских архивах,—С. />’.
323 ) <‘^атематически11 сборник», 1870, 5, стр. 271—302; стр.
17
Историко-матем. исследования
258..
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
важные курсы»: алгебру, теорию дифференциальных
уравнений и вариационное исчисление. Успешно справ-
ляясь с чтением этих курсов, стараясь внести в них но-
вый материал научных исследований, Сонин вместе с тем
работал над докторской диссертацией. В 1873—1874
учебном году ему была предоставлена командировка за
границу, где он слушал лекции крупных французских
ученых: Лиубилля, Эрмпта, Бертрана, Серре и Дарбу.
Дальнейшие быстрые успехи в научной работе и слу-
жебной деятельности говорят о большом математическом
и педагогическом таланте и организационных способно-
стях Сонина. Как было уже сказано, не прошло и двух лет
после окончания университета, как 22-летний Сонин ста-
новится магистром, в 25 лет—доктором математических
наук, в 28 лет—экстраординарным, а в 30 лет—ординарным
профессором. С 1877 г. Сонин—секретарь факультета,
а с 1885 по 1891 г.—декан и исполняющий обязанности
ректора во время отсутствия последнего. С 1891 г. Сонин—
член-корреспондент Петербургской Академии наук, а с
1893 г.—академик.
Работая в Варшавском университете, Сонин был дол-
гое время председателем физико-химического отделения
и вице-председателем Варшавского общества естество-
испытателей, устав которого был выработан им совместно
с профессором химии А. Л. Потылпцыным.
В 1892—1899 гг. Министерство народного просвещения
назначало Сонина Председателем университетских испы-
тательных комиссий в Петербурге, Москве, Киеве н
Одессе. С 1894 г., проживая в Петербурге, он читал
лекции по математике на Высших женских курсах и в
Петербургском университете.
С 1899 по 1901 г. Сонин—попечитель Петербургского
учебного округа, а с 1901 г.—председатель Ученого ко-
митета и член Совета Министерства народного просвеще-
ния. Следует отметить, что в назначении Сонина на эти
важные административные посты играли роль не только его
организационные способности, но и его консервативные
политические взгляды. Под его руководством был выра-
ботан ряд (далеко не демократических) проектов повых
положений: о частных учебных заведениях, о мужских
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
259
гимназиях, о женских гимназиях, о подготовке учителей
и др. Н. И- Афанасьев1) характеризует Сонина в роли по-
печителя округа как сторонника «строгой законности во
всех проявлениях университетской жизни» и решительного
противника студенческого движения
Вместе с тем как крупный ученый ('опин мною сделал
для развития математической науки в России.
В связи со смертью Андреевского и с уходом из универ-
ситета Алексеева на Сонина легла главная ответствен-
ность за учебную и научную работу по математике в Вар-
шавском университете. Он не допустил снижения уровня
этой работы; более того, Варшавский университет обязан
ему существенным ее подъемом.
За время работы в Варшавском университете Сонин
читал курсы высшей алгебры, аналитической геометрии,
дифференциального и интегрального исчисления, вариа-
ционного исчисления, теории чисел, теории дифферен-
циальных уравнений, начертательной геометрии, исчис-
ления конечных разностей, математической физики и др.
В это же время под его руководством читался ряд специаль-
ных, необязательных курсов Например, приват-доцент
М. А. Барапецкий, работавший в университете с 1875
по 1885 г., читал курсы: теории определителей, синтети-
ческой геометрии, теории la.Tja и др.2 * * s).
Специальный курс «Определенные интегралы» в Вар-
шавском университете имеет свою историю. Его начали
читать с момента основания университета, затем он был
более глубоко разработан Алексеевым и Андреевским.
От Андреевского этот курс перешел к Сонину. Работая
главным образом в области определенных интегралов,
Сонин использовал указанный курс, чтооы заинтересовать
своих учеников, привлечь их к работе в этой же области.
Курс определенных интегралов перешел затем от Сонина
J) «Современники. Альбом биографий», т. 1, СПб., 1909,
стр. 272—273.
2) М. А. Баранецкнй—автор руководств на польском языке:
«Arytmetyka i algebra», Варшава, 1875; «Teoria ^yznaeznikow
(determinantow). Kurs universitetski», Париж, 1879; «Poczgtkowy
^yklad sintetiezny przeciqc stozkowych na podstaMie ich pokrcwicn-
stwa harmomeznego z kolcin», Варшава, 1885, и некоторых других
17*
260
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
к его ученику и преемник у по кафедре Н. Н. Зинпну,
работавшему тоже в областп определенных интегралов.
В дальнейшем этот курс читали В А. Анисимов и
Д. Д. Морду хай-Болтовской; в этом направлении был
выполнен ряд студенческих работ и кандидатских дис-
сертаций.
Сонину принадлежит почин и в постановке практи-
ческих занятий по математике в Варшавском универси
тете, игравших большую роль в повышении знаний сту
центов и в сближении профессора со студентами.
В отличие от Андреевского, отвергавшего «уместность
практических занятии по математике» и считавшего, что
«студентам в стенах университета достаточно усвоить
только общие теоремы», Сонин уже в 1879 г. ведет иракти
ческие занятия по анализу, которые затем были пере
даны Барансцкому. 11. С. Назимов, работавший доцентом
в Варшавском университете с 1886 по 1889 г.1), пытал-
ся наладить постановку практических занятий по ма
тематике более систематически и глубоко, ио удалось
это осуществить только Д. Д. Мордухай-Болгонском\
в 1909 г.
Большую роль сыграл Сонин и в разработке повышен-
ных требований к кандидатским диссертациям; эти тре-
бования направлены к активизации роли профессора
в выборе темы и в руководстве работой над ней, а также
к более тесной связи профессора со студентами па почве
научных интересов.
В своих лекциях Сонин излагал наряду с основным
программным материалом новые результаты исследований,
и собственные и других ученых. Излагая материал в доступ
ной форме, он вместе с тем старался подвести своих слу
х) За этот период II. С. II а з и м о в опубликовал ряд работ
в «Варшавских университетских известиях»: «Некоторые свойства
бинома Ньютона», 1888, Aii 9; «Вычисление вероятностен a poster!
ori», 1889, № 1; «Об уничтожении члена с ту в уравнении кривой
2-го порядка», 1889, Ла 2; «О нрнмененпп способа наименьших
квадратов к случаю,когда неизвестные удовлетворяют некоторым
точным условиям», 1889, Л" 5. В это же время он опубликовал работу
«О сумме чисел взаимно простых с данным числом А и не превышаю'
щнх другого числа Р», «Математический сборник», 1883, П»
стр. 603—610.
МАТЕМАТИКА И РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
261
тателей к пониманию современных проблем математики
и сам стремится разрешить те неясные вопросы, которые
возникали в процессе подготовки к лекциям. Ряд заметок
и научных статен, опубликованных Сониным, возник,
невидимому, при работе над тем или другим курсом1)
(такое предположение мы высказываем па основании не-
которых указаний самого Соиииа, сопоставления времени
выхода в свет этих работ со временем чтения Сониным
соответствующих курсов и па основании того, что многие
из этих вопросов никак ио связаны с его основными науч-
ными интересами).
В год окончания университета (1869 г.) Сонин выступил
с докладом па 2-м съезде русских естествоиспытателей
и врачей в Москве па тему: «О дифференцировании с произ-
вольным указателем»2). В дальнейшем, дополнив получен-
ные результаты, ('опии опубликовал в «Математическом
сборнике» большую статью под указанным названием
(1872, 6, стр. 1—38). Это была первая печатная его ра-
бота. Д. Д. Мордухай-Болтовской, оценивая эту работу
Сонина, писал: «Первая работа II. Я Сонина... по похожа
на работу двадцатилотпого юноши. Автор уже вполне
зрелый научный работник, вступивший как равный в ряд
ученых, запятых этой в то время модной темой, уверенно
критикующий своих старших коллег и мастерски развер-
тывающий теорию дифференцирования с произвольным
х) С о н и н II. В., Заметка о выводе уравнений распростране-
ния теплоты в кристаллах, «Варшавские университетские известии»,
1877, Аг 6; Ободной задаче вариационного исчисления, статья 1—2,
«Записки Математического отделения Новороссийского общества
естествоиспытателей», Одесса, 1885, 6, стр. 1—13, 93—109; Об
определении максимальных и минимальных свойств плоских кри-
вых, «Варшавские университетские известия», 1886, As 1—2; Об
остатке формулы Тейлора, «Варшавские университетские известия»,
1891, Л*2 5; Об остатке формулы Стирлинга, «Протоколы заседаний
отделения физики и химии Варшавского общества естествоиспыта-
телей», 1889, А» 2, стр. 1—3; О так называемом физическом законе
фан-дср-Ваальса, «Протоколы заседаний отделения физики и хи-
мии Варшавского общества естествоиспытателей», 1889, Аг 5,
стр. 9—ц, Д‘„ СТр [—з; q производных функциях высших поряд-
ков, «Известия Академии паук», 1891, Аг 1, стр. 341—312.
2) Доклад опубликован в «Протоколах 2-го съезда русских
естествоиспытателей и врачей», Спо., 1869.
262
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
указателем, взяв новую исходную точку этой теории»1).
II хотя Мордухай-Болтовской несколько переоценил зна-
чение первой работы Сонина, так как в ней содержатся
неясные и даже ошибочные утверждения, все же эта ра-
бота заслуживает быть отмеченной. Она интересна не
только потому, что юный автор ее выступил со смелой
критикой своих старших коллег, в результате чего воз-
никла полемика Сонина с Летниковым, но и в том от-
ношении, что уже в этой работе Сонина выступает ха-
рактерная для его творчества тенденция—замена, ка-
залось бы, «естественных» исходных точек исследуемых
теорий, другими, ведущими к более широким обобще-
ниям.
Не останавливаясь на полемике Сонина с Летнико-
вым2), необходимо указать здесь, что и сам Летников в
своей ответной статье3) не охватывает основные резуль
таты, полученные Сониным в этой работе. Летников,
отстаивая положения, высказанные им в магистерской
диссертации4), и справедливо указывая на ошибки
в работе Сонина, вместе с тем писал об основной общей
формуле Сонина в этой работе для производной поряд
ка р
dPf(x) _ г (р+1) С /(«И*
dxP 2тЛ J (а — х)Р 1 ’
а
что «эта формула, дающая при р = 0, 1, 2, 3, ... ряд
производных целых порядков: /(д’), /'(д), /"(д), 1"' (д:),...,
может служить интерполирующим членом этого ряда,
1) Мор духа й-Б олтовской Д. Д., Очерк научной
деятельности Николая Яковлевича Сонина, «Варшавские уни-
верситетские известия», 1916, № 3, пли отдельный оттиск—Ростов
н Д, 1916.
Существо этой полемики в основном правильно разобрано
Р. Я. Шостаком в статье «Алексей Васильевич Летников».
Исторпко-матсматнческио исследования, М., 1952, вып. V.
стр. 194—195.
3) Летников А. В., К разъяснению главных положений
теории дифференцировавия с произвольным указателем, «Матема-
тический сборник», 1872, 6, стр. 413 — 445.
4) Летников А. В., Теория дифференцирования с произ-
вольным указателем. «Математическийсборник», 1868,3, стр. 1 — 68.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
263
может, с нашей точки зрения, быть взята по определе-
нию за общее выражение производной с произвольным
положительным указателем».
Больше того, Летников дальше показывает, что путем
соответствующего преобразования из формулы Сонина
можно получить формулу
- dpf (х) _ / (и) (х - »)-Р Г (и) (х- и)-Р -1
dxP Г(-/>-Н) Г(—р|-2)
Г(-Р {-'" + <)
+ r(_f+m+ij 5
х+а
«а это,—говорит Летников,—есть формула, тождествен-
ная с нашею формулою». Таким образом, из указан-
ной формулы Сонина действительно получается основная
формула Летникова, а также формулы Лейбница, Лиу-
вилля, Грюнвальда и Коши.
В своей докторской диссертации1) Сонин решает во-
прос о существовании общего интеграла первого порядка.
В этой же работе мы находим важное обобщение способа
интегрирования уравнений с частными производными,
предложенного Дарбу. Указанная выше черта твор-
чества Сонина—при новой исходной точке получать болеег
общие результаты в различных областях математики по
сравнению с известными—отмечена и А. А. Марковым
в некрологе, посвященном Сонину: «Труды Н. Я. Сонина,—
говорит Марков,—относятся ко многим отделам мате-
матики... они отличаются оригинальностью и изяществом
изложения и изобилуют формулами. Большая часть ис-
следований Н. Я. Сонина посвящена вопросам, которыми
ранее занимались другие математики. Но не забывая о
предшественниках и указывая па их труды, Н. Я. Сонин
каждый вопрос трактует по-своему, внося новое освещение
х) Сонин Н. Я., Об интегрировании уравнений с частными
производными второго порядка, «Математический сборник», 1874,’
*• стр. 285—318; эта работа переведена на немецкий язык и опубли-
кована в «Mathematische Annalen», 1897, 49,
264
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
и разъяснение и, в особенности, сообщая вопросу и вы-
водам большую общность»1).
Но основным направлением в научной работе Сонина,
где он завоевал мировую известность, являлась теория
определенных интегралов вообще я особенно—теория
цилиндрических функций. В этой области математиче-
ского анализа Сонин получил большое количество фунда-
ментальных результатов.
Следует заметить, что начало разработки теории ци-
линдрических функций как функций, являющихся реше-
ниями линейного дифференциального уравнения 2-го
порядка, получающегося из уравнения Рпккатп, было
положено в России трудами Даниила Бернулли и Лео-
нарда Эйлера еще в XVIII столетии. Эйлер первый ввел
те функции, которые называют теперь цилиндрическими,
или бесселевыми 2). В дальнейшем теорию цилиндрических
фукций разрабатывали Бессель, Фурье, Нейман, Гейнс,
Ханкель, Шлемильх, Вебер и др.
Молодой Сонин уже в первых своих работах проявил
себя не только большим знатоком того, что сделано в об-
ласти теории цилиндрических функций его предшествен-
никами и современниками, но и глубоким исследователем
в этой области, способным разрешать труднейшие вопросы
упомянутой теории, стоящие на очереди3). Говоря об этом
основном направлении работ Сонина, А. А. Марков в упо-
мянутом выше некрологе указывал, что «из работ Николая
Яковлевича наибольшую известность за границей полу
чили его «Recherches sur les fonctions cylindriques el
le developpement des fonctions continues on series»4).
Один пз трактатов новейшего времени о цилиндрических
функциях 5) содержит очень много ссылок па эту прекрас
’) М а р к о n А. А., II. Я. Сонин (некролог), «Известии \ка
демии наук», 1915, 9, Аг 5, стр. 360—372.
2) См. об этом статью В. В. Г у с с о в а, опублпконанну к»
в настоящем выпуске «Историко-математических исследований-',
стр. 355—475.
3) Обзор работ Сонина по теории цилиндрических функции см
в отмеченной статье В. В. Г у с с о в а (стр. 390—411).
4) «Mathematische Annalen», 1880, 16, стр. 1—80.
6) Имеется в виду капитальный труд: \ ielsen N., Handbuch
der Tbeorie des ZylinderfunkUoneu, Лейпциг, 1904.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
265
ную работу Н. Я. Сонина... Но, несомненно, имеют боль-
шое значение и те его труды, которые опубликованы
только на русском языке».
Труды Сонина, посвященные разработке теории цп-
лпндрпческих функций, являются основополагающими
в изучении более общего класса функций—функции Со-
нина (5П). До появления в свет трудов Сонина в России
почти не уделялось внимания разработке теории цилин-
дрических функции Его труды открыли новую страницу
в истории русской математики и под их влиянием начали
появляться работы русских математиков по теории ци-
линдрических функций—М. И. Акимова, А. И. Попова,
П. С. Каштанова и др., в том числе и математиков Вар-
шавского университета: статья В. А. Анисимова «Уравне-
ние Риккати общего вида»1), кандидатская и докторская
диссертации Н. II. Зинина, работа Г. Ф. Вороного «О раз-
ложении посредством цилиндрических функций двойных
сумм Е f (pm~-\-2qmn-\-rn~), где pm1-^2qmn + rn-—поло-
жительная форма с целыми коэффициентами»2), работа
И. Р. Брайцева «О функциях Фурье-Бесселя и их прило-
жении к изысканию асимптотических представлен nil ин-
тегралов дифференциальных линейных уравнений с рацио-
нальными коэффициентами» 3) и др.
Сонин внес значительный вклад и в развитие теории
гамма функции. Из этой области он давал темы и своим
ученикам. Эти работы Сонина4) являются продолжением
’) «Варшавские j ниверситстскле известия», 1896, ЛЬ 3.
2) Voronoi G., Sur lc dcvoloppement a 1’aide des fonc-
tions cylindriques, des sommes doubles X f (pm~+2qnui-{-rn2). ou
pm2 2qmn rn2 est uno forme positive a coefficients ел tiers, в кн.
«Verhandlungen des dritten Interiiationalen Mathematiker—Kon-
gressen in Heidelberg vom 8 bis 13. August 1904*, Лейпциг, 191)5,
стр. 241—245.
3) Варшава, 1903.
4) Note sur une formulc de Gauss, «Bulletin de la Societe ma-
thematique de France», 1881, 9, стр. 162—166; о бериуллпсвых
полиномах и их приложениях, «Варшавские университетские
известия», 1888, № 3 — 4 (или отдельный оттш к —Варшава, 1888):
G прерывной функции [.г] и ее применениях, «Варшавские универ-
ситетские известия», 1889, Л? 7-8;
f?ur Fintegralo \ F(j-)------- ,
а
266
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
разработки теории гамма функции, начало которой поло-
жил Л. Эйлер1).
Заслуги Сонина в теории определенных интегралов
не исчерпываются сказанным выше. В статье «Оо обоб-
щении одной формулы Абеля» 2) Сонин получает формулу
X и
/ (*) ~ / (ft)= о (а; — и) cZw /' (z) о (гг — z) cZz,
а а
являющуюся обобщением формулы Абеля
х и
/W-/(«)=Г(Р)Г(1-Р) V*~и^рdu 5“г)М/’(z)dz
а а
В статье «Об одной формуле приведения кратных
интегралов» 3) Сонин выводит формулу
а2, . . , хп, с? (хр аг2, ..a,n)] dxrdx2.. . dxn =
(Ы
ъ '
= dl [ F Up а*2, ..., хп, £) dxr ... dxn] ==f,
a (St)
которая является обобщением формулы Каталана
/ (д’р х2, . .., хп) F [<? (а-p х2, ... , aj] dxy dx2.. dxn =
(Sb)
(S/) Г d
= F (Z) { / (7p x2, ..., a-,,) dxt dx2.. . dxn j d!.
a Sc
Заслуживающий внимания результат получил Сонни и
St.-Petcrsbourg, 1892 (Mcmoircs de I’Acadtmie des sciences
38, № 14).
г) Эти работы Comma подробно рассмотрены в статье
В. В. Г у с с о в а «Работы русских ученых по теории гамма-фупк-
цпи» («Историко-математические исследования», М , 1952, вши- 5,
стр 44<) — 445).
2) Sonin о X., Snr la . generalisation d’une forniule d’Abel.
«Acta niathematica», 1884, 4, стр. 171 —176.
3) «Варшавские университетские известия», 1889, № 3.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
267
в статье «Об остатке формулы Тейлора» г). Предполагая,
что
/ (х) = / (а) + /'(«)+••• +(») + /?„+1
? (®) = <? («) + W + • • • + (°) + ?„«,
и используя известную формулу конечных приращений
Коши, Сонин получает соотношение между остаточными
членами двух степенных разложений в форме
о _ ^2 (т___t\n~m (g) о
Лп+1-„| И Ч °m+l-
Об этой форме остаточного члена формулы Тейлора
Д. Д. Мордухай-Болтовскои писал, что она «пред-
ставляет неисчерпаемый источник всевозможных форм
для остаточных членов, точнее определяющих погреш-
ность, чем... формы Лагранжа, Коши, Роша и Штурма»2).
Приходится высказать сожаление, что остаточный
член формулы Тейлора в форме Сонина, так же как и не-
которые другие его результаты, не вошел до сих пор
в учебники по математическому анализу.
О достоинствах многих работ Соппна, на характери-
стике которых здесь пет возможности останавливаться,
можно судить по отзывам таких авторитетных рецензен-
тов, как П. Л. Чебышев, А. А. Марков и В. Г. Пмшепец-
кий, привести которые здесь является пе только умест-
ным, но и совершенно необходимым для полноты и пра-
вильности оценки научного творчества Соппна.
В 1890 г. ему была присуждена премия В. Я Буня-
ковского за семь работ, написанных им в периоде 1885 по
1889 г.: «Об определении максимальных и минимальных
свойств плоских кривых», «О приближенном вычисле-
нии определенных интегралов и входящих при этом
J «Варшавские университетские известия». 1891, Л? 5.
) М о р д у х а и-Б о л т о в с к о н Д. Д., Очерк научной
Д ятельности Николая Яковлевича Сонина, «Варшавские хиивер
ситетские известия», 1916, № 3.
268
С. Е БЕЛОЗЕРОВ
вычислении целых функциях», «О бернуллиевых поли-
номах и их приложениях», «Об одной формуле при-
ведения кратных интегралов», «О приведении одного
кратного интеграла», «О представлении логарифма и
Эйлерова постоянного определенными интегралами» и
«О прерывной функции [х] и ее применениях»1).
Члены комиссии по присуждению премии В. Я. Бу-
няковского, выдающиеся русские ученые П. Л. Чебышев,
А. А. Марков и В. Г. Имшенецкпй, представляя этот
сборник работ Сонина на соискание премии В. Я. Буня-
ковского, писали:
«Перечисленные выше работы Н. Я. Сонина составляют
только дополнение длинного ряда его других научных
трудов, появлявшихся в течение последних двадцати лет
в русских и, частью, иностранных математических перио-
дических изданиях, доставивших ему лестную извест
ность и видное место в среде русских математиков. Ра-
боты, представленные им на соискание премии, как пока-
зывают их заглавия, относятся вообще к области интег-
рального исчисления. В большинстве из них свойства
определенных интегралов составляют или самый предмет
исследования, или же, так сказать, главное апалитпче
ское орудие, глубоко изученное автором и мастерски
примененное им сообразно цели исследования» 2).
Разобрав затем положительные стороны каждого из
семи упомянутых мемуаров, члены комиссии продолжают:
«Из предыдущего общего очерка содержания п харак
тера произведений Н. Я. Сонина можно видеть, что, внося
свои собственные взгляды пли проводя новые мысли
в каком-либо вопросе, он вообще всегда опирался на
основательные критические изучения совокупности соот-
ветствующих произведений специальной литературы,
вследствие чего каждый из его трудов имеет вообще зна-
чение ценного научного вклада»3).
г) См. «Варшавские университетские известия», 1886, № 1— 1
1887, №1-3; 1888, №3—4; 1889, №3; 1889, №7; 1889, № <3,
1889, № 7—8.
2) Архив Академии наук, личное дело Н Я. Сонина, ф. 2, оп- 17,
№ 78, лл. 3—4.
3) Там же, лл. 4—5.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
269
В представлении к избранию Сонина в члены-кор-
респонденты Академии наук (1891) П. Л. Чебышев и
д. А. Марков дают список двадцати работ Н. Я. Сонина
И отмечают его успешную научную и педагогическую дея-
тельность в Варшавском университете, где он «с честью
занимал. . более двадцати лет кафедру чистой матема-
тики».
Представляя в 1893 г. И. Я. Сонина в число ординар-
ных: академиков, 11. Л. Чебышев, Ф. А. Бредихин и
О. А. Ьаклунд писали: «Имя профессора Сонина поль-
зуется большой известностью в ученом мире, и он своими
работами заслужил особенно лестного внимания нашей
Академии наук, которая в 1890 г. присудила ему премию
имени В. Я. Буняковского, в 1891 г. избрала его в своп
члены-корреспонденты». Сославшись затем па данный
ранее отзыв о работах Сонина, опубликованных нм до
конца 1890 г., они останавливаются дальше на работах
Сонина, опубликованных после 1890 г. Здесь имеются
в виду два его мсмуара, напечатанных в академических
изданиях. «О точности определения предельных величин
интегралов»1) и «Об интеграле
a
Эти мемуары,—пишут академики,—«имеют особенный
интерес. В первом из них выводится теорема относительно
интегралов, подобная той, которая была получена одним
из нас и послужила основанием для доказательства
способа наименьших квадратов, употребляемого в науках
физико-математических. Теорема Н. Я. Сонина во всех
отношениях превосходит прежнюю и, вследствие того,
служит к значительному облегчению вывода такого важ-
ного способа, как способа наименьших квадратов. Во вто-
ром мемуаре II. Я. Сонин дает различные приближенные
выражения определенного интеграла, который нередко
*) «Записки Академии наук по физико-математическому отде-
лению», 1892, 69, кн. 1, стр. 1—30.
2) См. стр. 265.
270
С Ё. БЕЛОЗЕРОВ
приходится вычислять при решении многих вопросов
чистой математики... Принимая в соображение все выше-
сказанное, мы, нижеподписавшиеся, находим Н. Я. Со-
нина вполне достойным запять у нас кресло ординарного
академика по чистой математике»г).
А. А. Марков, останавливаясь в указанном выше не-
крологе на характеристике работы Сонина «О точности
определения предельных величин интегралов», особенно
подчеркивает, что здесь «установлено замечательно про-
стое неравенство Сонина, весьма облегчающее доказа-
тельство второй предельной теоремы исчисления вероят-
ностей».
Это были последние мемуары Сонина, опубликованные
в период его работы в Варшавском университете. В Вар-
шавском университете высоко ценили все то, что сделал
для это! о университета Сонин. И когда в связи с перехо-
дом ею па пенсию в 1892 г. встал вопрос об уходе его из
Варшавского университета, физико-математический фа-
культет просил Сонина продолжать чтение порученных
ему курсов. Декан факультета астроном II. А. Востоков,
работавший профессором университета с момента его
организации, па одном из заседании Совета университета,
характеризуя Сонина, сказал: «... известно, что г. Сонин
один из лучших наших математиков и прекрасный пре-
подаватель, т. е. обладает такими качествами, в силу
которых Совет должен принять все зависящие от нею
меры чтобы удержать его при университете в качестве
преподавателя па возможно продолжительное время»* 2). Со-
ответствующее ходатайство Совета было утверждено,
по уже в следующем, 1893 году, в связи с избранием
Сонина ординарным академиком, он переехал в Пе-
тербург.
Работая в дальнейшем и на административных долж-
ностях, Сонин не прекращал свою научную деятельность.
Первые годы после переезда в Петербург он заканчи-
вал многие из начатых еще в Варшаве работ, пуб-
’) Архив Академии наук, ф. 2, оп 17, <N° 78, л. 5. «Один из пас»-
это П. Л. Чебышев.
2) Госархив Рост. обл., ф. 527, on. 1, д. 11, св, 6, л. 46—47.
МАТЕМАТИКА *В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ 271
ликуя почти ежегодно своп мемуары в академических
изданиях.
В одном из этих мемуаров «О некоторых неравенствах»,
относящихся к определенным интегралам»1), он, продолжая
развивать свои прежние идеи, выводит общие формулы
с произвольными интегрирующимися функциями
<р1(х),..., (а) для определения пр( целой, между которы-
ми содержатся величины интегралов вида
ь ъ ъ
\ ° (*’) ? U)2 dx, V-JQdx И f G(z)?(a)O(z)cZj'.
J J т v4 J
a a a
Из общих формул этого мемуара получаются как
частные случаи: теорема Чебышева
ъ ь
ъ J ° (*) ¥ (*') d £ X ° (Ч <? СО(1л
\ 0 (х) ф (а) о (.г) dx - ---ь--------------> 0:
в X 0 (z) dr
неравенство Буваковского
ъ ь
ф2(:г) dx a2 (д) dx — [ 6 (а?) а (а) dx j “ > 0
а а а
и ряд других формул анализа.
Сонин занимался также вопросами истории матема-
тики. Осведомленность Сонина в этой области видна из
введений ко многим его статьям. Однако следует заме-
тить, что, давая по поручению Академии паук в 1899 г.
отзыв па представлявшиеся на соискание премии
три научно-популярные брошюры В. В. Бобынина под
заглавием «Исследования по истории математики», он
оценивает эти исследования резко отрицательно без до-
статочных на то основании2).
Сонину принадлежит и специальное историко-мате-
матическое исследование «Ряд Ивана Бернулли (Эпизод
Э Спб., 1898 («Записки Академии наук по физико-математиче-
скому отделению», 6, № 6).
2) Отзыв имеется в архиве ЛИ, ф. 2, оп. 1896, Аа 30, л. аб.
212
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
из истории математики)»*). В этой работе он показал хо-
рошую ознакомленность с основными трудами по истории
математики того времени и критически отнесся к оцен-
кам ряда Ивана Бернулли, данным Хенкелем, М. Кан-
тором и Райфом. В итоге Сонин писал: «Ряд Ивана Бернул-
ли редко упоминается в трактатах по анализу и до сего
времени не получил правильной оценки в истории мате-
матики». Рассмотрев содержание работы И. Бернулли
1694 г., где он получает «универсальный ряд»
С , z2 dn . z3 d2n
\ndz = zn — -— — -1-
1-2 dz ' 1-2-3 dz* 2 '
Сонин пришел к выводу, что «прием, предложенный
II. Бернулли, можно назвать безукоризненным не толь-
ко для конца XVII в., но и для нашего времени. Этот
прием есть в действительности прием интеграции по
частям».
В начало XX века труды Сонина стали появляться в
печати реже. Это отчасти объясняется тем, что он совместно
с академиком Марковым отдал много времени в редакти-
рование и издание трудов одного из величайших матема-
тиков XIX века Иафнутия Львовича Чебышева, которое
было начато вскоре после смерти Чебышева (1894) и за-
кончено только в 1907 г.
Последними из печатных трудов Сонина были его «Этю-
ды по элементарной алгебре»2), напечатанные под псевдо-
нимом «II. Никое». И в этой работе, посвященной вдумчи-
вому анализу некоторых вопросов элементарной алгеб-
ры, сказались характерные для творчества Сонина черты:
отправляясь от некоторых новых исходных позиций, он
получает ряд общих формул, из которых как частные
случаи получаются и известные формулы элементарной
алгебры.
А. А. Марков, остановившись в некрологе и на ха-
рактеристике «Этюдов», указал, что «при всей простоте
содержания, и эта работа свидетельствует о большом
«Известия Академии наук», 1897, 7, стр. 337—353.
2) «Вестник опытной физики и элементарной математики»,
1913, № 581—584 и 586.
МА ГЕМ VI ПК У В ТЧК ТОШ НОМ УНИВЕРСИТЕТЕ 273
таланте и оригинальности автора, который пишет вид-
ное место в истории математики».
Умер II. Я. ('опии 27 (14) февраля 19J3 г.
За 20 .чет работы в Варшавском у нивергитете он подго-
товил сотни математиков-преподавателей средней школы,
а некоторые из ого учеников стали научными работни-
ками и преподавателями высшей шкалы.
* *
*
Одним из учеников II. Я. Сонина и преемником его по
кафедре математики Варшавского университета был Ни-
колай Николаевич Зинин (1854—1910)—сын знаменитого
русского химика II. II. Зинина. По окончании физико-
математического факультета иетербу ргского универси-
тета Н. 11. Зинин был оставлен при нем для подготовки
к профессорскому званию. Но рекомендации II. J. Чебы-
шева и А. Н. Коркина он в 1880 г. был назначен и. д. до-
цента Варшавского университета, где стал помощником
II. Я. Сонина в учебной работе. В 1885— 1886 учебном
году, например, читая вдвоем все математические курсы,
они делили их между собою так: Сонни читал анали-
тическую геометрию, анализ, приложение анализа к
геометрии и дифференциальные уравнения, а Зинин—
начертательную геометрию, теорию чисел, высшую
алгебру, эллиптические функции и вариационное исчи-
сление.
В 1885 г. Зинин защитил в Петербургском университете
магистерскую диссертацию на предложенную Сониным
тему: «Функция гамма и функция омега»1) и в том же году
был назначен экстраординарным профессором. В 1893 г.
0,1 защити.! докторскую диссертацию «Различные приемы
Приведения кратных интегралов и главнейшие нриложе
ния этих приемов»2) п получил звание ординарного про-
фессора. С 1905 но 1907 г. Зинии был деканом физико-
математического факультета Варшавского университета.
9 СПб, 1885.
1892 ^Варшавские университетские известия», 1891, А- 8—9;
18
Исторпко-матсм. исследовании
274
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
Зинин ценил науку «за ее пользу для жизни людей».
Мысль о «науке как науки» ему была совершенно чужда.
Он не признавал главенства «чистой науки» над практи-
ческой деятельностью людей и вслед за Чебышевым часто
высказывал мыль о том, что науку «двигают вперед жизнь
Николай Николаевич Зинин
(1854—1910)
и потребность человека, ставящие перед ней задачи, разре-
шение которых создает научный прогресс»г). Зинин, кик
и отец его, был горячим патриотом.
*) См. статью. П. Кузнецова, посвященную памяти И- Н.
Зинина, «Известия Донского политехнического института», Ново-
черкасск, 1913, т. 2, стр. 1—14; предыдущие цитаты о Знни,,с
взяты из этой же статьи.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
275
Несмотря на пошатнувшееся здоровье1), Зинин согла-
сился взяться за организацию Донского политехниче-
ского института в Новочеркасске. Будучи с 1907 г. пер-
вым директором этого института, оп затратил много сил
и энергии, чтобы в чрезвычайно трудных условиях нала-
дить работу нового высшего учебного заведения 2). С ува-
жением относясь к прикладным наукам, к технике и ее
орудиям, «которыми она производит удовлетворяющие
житейским потребностям продукты», Зинии вместе с тем
высоко ценил математику и ясно представлял ее огромное
значение для прикладных наук и техники.
Свою краткую приветственную речь на открытии Дон-
ского политехнического института он начал так: «Привет-
ствую вас, как представитель математики—науки, слу-
жащей основой всех технических знаний, без которых
немыслимо благосостояние страны»3 * * * * * *).
Скончался II. II. Зинии в 1910 г. в Новочеркасске.
3. Физико-математический факультет
на рубеже XIX и XX веков. В. А. Анисимов
К концу пребывания Сонина в Варшавском уни-
верситете (1890 г.) на работу в этот университет, по
рекомендации Н. Е. Жуковского, Н. В. Бугаева и ILН.Не-
красова, был приглашен энергичный и талантливый
ученый и педагог—В. А. Анисимов, а вскоре после пере-
езда Сонина в Петербург в Варшавский университет был
направлен на работу (1894) и один из наиболее выдаю-
щихся учеников П. Л. Чебышева—1. Ф. Вороной.
В первые два десятилетия основным направлением
в научной работе математиков Варшавского универси-
тета была разработка теории определенных интегралов.
3 ) В указанной статье говорится о богатырском телосложении
нина и о его гимнастических упражнениях с 6-пудовой штангой.
пурШн 10РДился полученным им за силу мускулов призом на Меж-
аД°пН°М с0стязанпи атлетов в Мюнхене.
инет ЛН налаживания работы Новочеркасского политехнического
Л Л™ были направлены из Варшавы также Г. Ф. Вороной,
зх р °РДУхаи-Болтовской и др.
) см статью Кузнецова, упомянутую выше.
18*
27В
Е. БЕЛОЗЕРОВ
В связи с переходом в Варшавский университет В. А. Анн
симова и Г. Ф. Воронове проблематика математических
исследований расширилась. Геперь здесь развертывается
работа и в области теории чисел, и в области аналитической
теории дифференциальных уравнений. Среди тем для со-
чинений студентов появляются и такие, как «Уравнение
Рпккати и функции, ему удовлетворяющие», «Порядок
системы совместных обыкновенных дифференциальных
уравнений» (темы, интересовавшие В. А. Анисимова),
а также гемы (интересовавшие 1 Ф. Вороново) но теории
алгебраических чисел и но теории квадратичных форм
Учебные курсы по математике распределяются между
гремя профессорами ио возможности с учетом их научных
интересов. Так, в 1896—1897 учебном воду Зинии читал:
а) интегральное псчис шипе (общим курс) студентам 2-го
курса по 2 часа в неделю, студентам 3 во курса по 1 часу
в неделю, студентам Сео курса по 1 часу в педелю; б) тео-
рию определенных интегралов—студентам 3-го курса по
1 часу в поделю: в) эллиптические функции —студентам
i-го курса по 1 часу в поделю; высшую алгебру студен-
там 2-го курса по 2 часа в неделю. Анисимов читал: а) ана-
лиз- студентам 1-го курса ио 3 часа в неделю, в оба полу-
годия; б) приложения дифференциального исчисления
к геометрии—студентам 2-го курса по 3 часа в педелю
в 1-м полугодии и по 2—во 2-м; в) теорию диффсропцпаль
вых уравнений—студентам 3-го курса по 2 часа в педелю
в оба полугодия и г) вариационное исчисление студентам
3-го if 1-1'о курсов (совместно) по 1 часу в неделю во 2-м
полугодии. Вороной читал: а) аналитическую геометрию—
студентам 1-го курса по 4 часа в поделю, в оба полугодия;
б) начертательную геометрию —студентам 1-го п 2-го кур-
сов совместно по 1 часу в неделю, в оба полугодия; в) тео-
рию вероятностей—студентам 3-го и 1-го курсов (совместно)
по 2 часа в неделю в 1-м полугодии и по 1 часу во 2-м полу-
годии. Теория чисел и теория вероятностей в силу пере-
грузки профессоров учебной работой читались через год-
Вопрос о перегрузке учебной работой и о необходимо-
сти расширения штатов преподавателей математики неод-
нократно обсуждался па факультете, но не находил поло-
жительного решения. В 1899 г. вопрос этот был вынесен
МАТЕМУТИКУ В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ 277
на обсуждение Совета университета, где был оглашен
рапорт профессоров Зинина, Анисимова и Вороного в Со-
вет физико-математического факультета. В рапорте гово-
рилось, в частности, что «...молодые .поди, поступая по
окончании гимназии в студенты университета, к слушанию
университетских курсов ио математике являются недоста-
точно подготовленными —необходимы дополнительные за
пятня но элемеиiар пой математике и.in, ио примеру дру-
гих университетов, необходимо читать курс ,,Введение
в аиа юз ... Коренной недостаток преподавания матема-
тики па вашем отделении: эго отсутствие организован-
ных практических упражнений, которые совершенно пеоб-
ХО1ПМЫ для студентов 1-го курса. В результате к акзаме
нам приступает и переходят на 2-й курс менее' половины
всего числа студентов 1 го курса . На старших курсах
необходимо устраивать собеседования со студентами но
интересующим их вопросам... Другой важный иедоста
ток неполнота преподавания ма ю изучаются геометри-
ческие дисциплины... Введение некоторых отделов геомет-
рии— геометрии синтетической в проективной является
1олом безусловно необходимым... На естественном отде-
лении полезно и важно введение преподавания начал выс-
шей математики: аналитической геометрии и анализа...
Наличный состав: 3 профессора-математика не в силах
справиться с указанной работой, так как в среднем каж-
дый из пас уже и так имеет но 71 еженедельных часов
екций—значительно больше, чем имеют ординарные про-
фессора на tpyinx факультетах... дополнительно необ-
ходимо иметь 2 преподавателя математики...»1).
Однако, несмотря на недостатки в учебной работе по
математике, число и объем читаемых инцпи.тии в этот
период близко подходили к таковым же в столичных уни-
верситетах. В дальнейшем были налажены и «ирактиче-
1<не упражнения». Анисимов пытался таже организовать
специальный семинар для студентов старших курсов;
такого же рода попытку предпринял и Д. Д Мордухай-
Б 1товской (1911). Но только в советское время была
налажена в университете эта форма учебной работы,
к—------------
9 locapxnr. Рост. оил., ф. 327, он. 1, дели 18, св. 8, лл. 231—233.
278
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
Характерной чертой преподавания того времени было
стремление лекторов включать в читаемые курсы ре-
зультаты своих исследований, а также новых исследо-
ваний других математиков, публикуемые в периодической
печати.
В учебной жизни физико-математического факультета
Варшавского университета с 1890 по 1905 г. наиболее
видную роль играет В. А. Анисимов, интересовавшимся
преподаванием больше, чем Зинин и Вороной Анисимов
был блестящим лектором. Ои любил преподавание в сред-
ней школе и сам работал в ней с целью подбора талантли-
вых математиков в число студентов. Он начал свою педа-
гогическую деятельность в московских гимназиях. Затем,
будучи уже профессором Варшавского университета, он
преподавал в одной из варшавских гимназий. По отзывам
его учеников, своим живым, ярким изложением матема-
тики он увлекал многих из них, в том числе и тех, которые
раньше относились к математике без особого интереса
Многие его ученики по гимназии становились затем его
учениками и в университете. Анисимов пользовался боль
шим уважением студентов. Д. Д. Мордухай-Болтов-
ской, лично знавший Анисимова по работе в Варшаве,
восторженно отзывался о его лекциях; в некрологе, посвя
щепном Анисимову, он писал:
«Лекции, читаемые покойным, обладавшим при пре-
красной дикции также уменьем живо и изящно излагать
свой предмет, возбуждали в студентах неослабевающий
интерес, и покойный никогда не мог пожаловаться на
малочисленность слушателей»г).
Ясность и изящество мысли Анисимова отразились и в
его учебниках* 2), а также в его диссертациях, относящихся
к аналитической теории дифференциальных уравнения
и рекомендовавшихся в свое время в качестве руководства
для подготовки к магистерскому экзамену.
*) М о р д у х а й -Б о л т о в с к о й Д. Д., Василий Афа
иасьевпч Анисимов. Некролог, Варшава, 1910.
2) «Элементы алгебры действительных многочленов», Варшава,
1902; «Курс вариационного исчисления», Варшава, 1904, и «Курс
теории обыкновенных дифференциальных уравнений», Варшава,
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
279
Но Анисимов был не только блестящим педагогом, он
был вместе с тем известным ученым. Ему принадлежит
около 30 научных работ, в том числе ряд мемуаров, полу-
чивших высокую оценку со стороны русских н иностран-
ных ученых. Печатая свои труды преимущественно в
«Варшавских университетских известиях», он тем самым
способствовал повышению научного авторитета этого
печатного органа. Ряд работ был опубликован им в
«Математическом сборнике» и в иностранных журналах.
В своих исследованиях он касался различных областей
математики, что способствовало и его успешной педагоги-
ческой деятельности. Некоторые работы Анисимова напи-
саны, невидимому, в связи с чтением лекции х).
Творчески работая в различных областях математики,
Анисимов имел, однако, излюбленное, основное направле-
ние в работе—это была аналитическая теория линейных
дифференциальных уравнений. Именно с этой теорией и,
в частности, с методами Фукса, связывают имя Анисимова.
Василии Афанасьевич Анисимов родился 10 марта
(27 февраля) I860 г., в с. Климове-заводе, Юхповского
уезда, Смоленской губернии. Родители Анисимова были
крепостными кн. Юсуповой. Только исключительные
способности и упорство позволили Анисимову в то время
окончить первым учеником гимназию, а затем—матема-
тическое отделение физико-математического факультета
Московского университета. На развитие у Анисимова ин-
тереса к математике оказал большое влияние его учи-
тель гимназии А. И. Томнорусов. А интерес к диффе-
ренциальным уравнениям и к функциям комплексного
переменного сложился у Анисимова под влиянием лек
Ций А. Ю. Давидова, II. В. Бугаева и П. Л. Некрасова.
*) Таковы, например, его статьи: К теории кривых двойной кри-
визны, «Математический сборник», 1894, 17, стр. 447—460; Эле-
м нтарныи вывод теоремы сложения для эллиптической функции
Вейерштрасса, «Варшавские университетские известия», 1894,
№ 2; К теории параллельных кривых на плоскости, «Варшавские
университетские известия», 1894, Л» 3; Уравнение Рпккати общего
вида, «Варшавские университетские известия», 1896, № 3’ О вы-
сотах наиоольшего освещения данных площадей, «Труды Варшав
кого общества естествоиспытателей», 1898: К теории геодезических
Ривых, «Варшавские университетские известия», 1901, Лё 7 и др.
280
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
С большим интерес-ом он слушал и лекции Н. Е. Жуков-
ского по механике. Готовясь к профессорскому званию
(1882—1885) под руководством А. 10. Давидова, Аниси-
мов вынужден был одновременно преподавать в частной
гимназии в Москве.
Василий Афанасьевич кписимов
(1860—1907)
За время работы па I, магистерскими экзаменами у Ани-
симова еще больше прояви ich интерес к теории диффе-
ренциальных уравнений, которой уделяли много вни-
мания в то время и в России н за границей. Проявив
самостоятельность в выборе направления своей работы,
Анисимов решил запяться разработкой повой в то время
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
281. •
теории линейных дифференциальных уравнений. Пз ино-
странных ученых ее особенно интенсивно разрабатывал
немецкий математик Фукс. России только М А. Тихо-
мандрпцкии в своей магистерской диссертации «О гниер-
геометрнчсских рядах», защищенной в Петербургском уни-
верситете в 1876 г., использовал эту теорию для иссле-
дования гауссова ряда.
Будучи в заграничной командировке после сдачи
магистерских жзамеиов, Хнисимов решил прос «ушать .лек-
ции Фукса. Зти лекции позволили Анисимову ji губить
свои познания в области теории линейных дифференциаль-
ных уравнений и уточнить тему магистерской диссерта-
ции. В J889 г. он блестяще защитил в Московском уни-
верситете магистерскую диссертацию на тему «Основа-
ния теории линейных щфференциальпых уравнений»1).
Вскоре нос.те защиты этой диссертации Анисимов с ре-
комендательными письмами своих учителей (Ж\ конского,
Бугаева и Некрасова), в которых они. отмечая его трудо-
любие и крупные педагогические способности, укалывали,
что из него «в будущем выработается основательный и
серьезный ученый», направился на работу в [варшавский
университет. Именно здесь, а также с 1896 г. в в Варшав-
ском политехническом институте трудился он до конца
своей жизни. 17 лет его работы в Варшавском универси-
тете характеризуются непрерывным его стремлением
к улучшению учебного процесса п к активизации научной
работы 11 в том и другом отношении он добился шметпых
успехов, оправдав предвидения своих учителей.
Много труда и энергии вложил Анисимов в создание
и налаживание работы Варшавского политехнического
института, где он долгое время был деканом и членом
правления, одновременно с преподаванием в университете.
Несмотря на большую учебную работу и недостаточный
еще опыт в преподавании, что заставляло его много вре-
мени уделять подготовке к лекциям,—Анисимов через
три года после магистерской защищает и докторскую дис-
сертацию «Предельный круг Фукса»2) н в возрасте 32 лег
х) «Ученые записки Московского университета. Отдел физики
математический», 1880, лып. 9, стр. 1—200.
2) «Варшавские университетские известия», 1892, JV 1.
282
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
получает звание ординарного профессора. Особенно интен-
сивно научная деятельность Аниспмова развернулась
после защиты пм докторской диссертации. Его имя ста-
новится широко известным в России п за границей. Фукс
и Эрмит в переписке с ним подчеркивают важность его
работ.
Теперь имя Анисимова забыто. Даже в работах совет-
ских математиков, посвященных истории русской матема-
тики, он обычно и но упоминается. Нет ссылок на него
и в учебниках по аналитической теории дифферен-
циальных уравнении, не упомянуто это имя и в Большой
Советской Энциклопедии. Нам думается, что Анисимов
забыт незаслуженно, ибо многие его работы оставили
заметный след в пауке, а некоторые из них не утратили
значение и в паше время.
Как говорилось, методами Фукса в решении линейных
дифференциальных уравнений Аннспмов начал интере-
соваться еще на первых порах своей научной деятельно-
сти. Являясь представителем московских математиков, он
в отличие от петербургской школы математиков интере-
суется в большей мере нс интегрированием в конечном
виде, а аналитической теорией интегральных функций.
В своем «Курсе теории обыкновенных дифференциальных
уравнении», рассматривая «двоякую задачу теории обык-
новенных дифференциальных уравнений» п определив
существо первой точки зрения па интегрирование диффе-
ренциальных уравнений (нахождение интегралов в ко-
нечном виде), он пишет:
«Можно в качестве конечной цели ставить вопрос об
изучении свойств тех функции, кои определяются дан-
ными дифференциальными уравнениями. Это более широ-
кая точка зрения и глубже проникающая в суть дела
постановка вопроса. Часто ведь бывает, что интегральные
выражения, дающие с первой точки зрения окончатель-
ное решение задачи, являются чисто формальными и пото-
му почти ничего не дают нам, если на дело смотреть со
второй точки зрения. Чтобы видеть, с какими же именно
функциями имеем мы дело, интегрируя данные уравнения,
какова аналитическая природа этих функций, мы должны
найденные интегральные выражения подвергнуть даль-
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
283
нейшему анализу, опираясь па данные уравнения и поль-
зуясь разнообразными теоремами общей теории аналити-
ческих функций»1).
Таковы исходные методологические позиции Анпсп-
мова в изучении и разработке теории дифференциальных
уравнений. Этих позиций, по возможности, придержи-
вается он и в указанном «Курсе», особенно в последнем,
IV отделе, озаглавленном «Линейные дифференциальные
уравнения», где он излагает некоторые результаты Фукса,
а также результаты своих работ и работ других математи-
ков конца XIX и начала XX вв.
Особенно полно выражена эта точка зрения на инте-
грирование дифференциальных уравнений в работах Ани-
симова, написанных, главным образом, в первый период
его научной деятельности 2). Эти работы Анисимова вместе
с работой С. Савича «О линейных обыкновенных дифферен-
циальных уравнениях с правильными интегралами» (1892)
были первыми значительными трудами по аналитической
теории дифференциальных уравнений на русском языке.
Эти исследования свидетельствовали о том, что еще одна
ветвь современной математики привлекла внимание рус-
ских математиков, стремящихся повысить уровень мате-
матических исследований в России.
Упомянутые работы Анисимова, как уже было сказано,
привлекли внимание и иностранных ученых. А по вопро-
су о нахождении радиуса предельного круга Фукса
между Фуксом, с одной стороны, и Анисимовым и Некра-
совым—с другой, развернулась полемика, в которой
Анисимов вышел победителем. Мы считаем необходимым
привести здесь краткое изложение существа этой по-
лемики.
*) А н и с и м о в В. А., Курс теории обыкновенных диффе-
ренциальных уравнении, Варшава, 1906, стр. 2.
2) Анис и м о в В. А., Основания теории линейных диффе-
ренциальных уравнений, «Ученые записки Московского универ-
ситета. Отдел физико-математический», 1889, выи. 9, стр. 1—200;
1«а1ечанпя 0 предельном круге Фукса, «Математический сборник»,
1891, 16, стр. 234—235. Предельный круг Фукса, «Варшавские уни-
верситетские известия», 1892, А° 1; О представлении и продолжении
Аналитических ФУ11КЦП“» «Варшавские университетские известия»,
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
284
К моменту появления указанных работ Анисимова
I Фукс занима i видное место среди крупнейших евро-
пейских математиков. Но русские математики Анисимов
и Некрасов, обнаружив существенную ошибку в его ис-
следованиях, смело выступили с критикой! его работ.
В своих исследованиях Фукс шел, опираясь на теорию
функций комплексного переменного. Метод Фукса анали-
тического продолжения функций, определяемых линей-
ным дифференциальным уравнением, состоит в использо-
вании отображения одной и юс кости комплексного пере-
менного па другую с помощью рациональных функций.
Болыиу ю роль играет при этом способ нахождения радиуса
предельного круга.
14 1872 г. Фукс опубликовал статью «О представлен пн
функций комплексных переменных и специально иптсгра
лов линейных дифференциальных j равнений»J), где он
рассматривает предельный круг ц in рациональной функ
пни
где /(z) и g(z) не ii.ie функции, не обращающиеся в пуль
при z=0. При этих условиях уравнение

устанавливает некоторое соотношение между точками z в
zr Точкам z, .лежащим внутри некоторого круга Аг ра
диуеа /• с центром в z—О, будут отвечать точки, находя
щиеся вне круга к , до тех пор, пока г не превзойдет не-
которой величины //. Kpyi А с центром в z=0 и с ради
усом, равным 11, называется предельным кругом А(")
и обладает следующими свойствами:
1) всякой точке z внутри К отвечает zx вне А;
2) точкам z окружности А отвечают точки z(, лежа-
щие вообще вне к но между этими zx находится одна пли
несколько точек па окружности А
’) F и с h s L., I'eber die Darstellung der Funktioncn kouiplexer
\ariabeln, insbesondere der Integrate linearer Differentialgteiibui'-
gen, «Journal fur die reine and angewandte Mathematik», 373, 7-5,
стр. 177—223; 76, стр 175—177
МАТЕМАТИК \ В РОСТОВСКИМ УППВЕРОЦТЕТК
285
Основной вопрос, который возн�