Историко-математические исследования. Выпуск VI - Юшкевич А.П., Рыбкин Г.Ф.

Author: Юшкевич А.П. Рыбкин Г.Ф.

Tags: математика математические исследования

Year: 1953

Similar

История математики с древнейших времен до Нового времени. Том первый

История математики в средние века. Математика до эпохи возрождения

История отечественной математики. Том 1. С древнейших времен до конца XVIII в

Киракос Гандзакеци. История Армении.

Text

ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ |
ИССЛЕДОВАНИЯ

W
ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
ВЫПУСК VI
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Г. Ф. РЫБКИНА и А. П. ЮШКЕВИЧА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНПКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОП ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1953
11-5-4

СОДЕРЖАНИЕ
От редакции............................................. 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТРАКТАТЫ ОМАРА ХАЙЯМА
От переводчика ......................................... И
Трактат досточтимого ученого Гпясэддипа Лбу-л-Фатха
*Омара ибн Ибрагима Хайяма из Нишапура «О доказа-
тельствах задач алгебры и алмукабалы»........... 15
Комментарии к трудным постулатам книги Евклида. Трак-
тат в трех книгах. Сочинение славнейшего шейха, имама
«Доказательства истины» Лбу-л-Фатха Омара ибн Ибра-
гима Хайяма............................................ 67
Трактат досточтимого ученого Лбу-л-Фатха Омара ибн Иб-
рагима Хайяма «Об искусстве определения количества
золота и серебра в состоящем из них теле»............. 108
Б. А. Розенфельд (Баку) и А. И. Юшкевич (Москва).
Примечания к математическим трактатам Омара Хайяма 113
I. Примечания к трактату «О доказательствах задач
алгебры и алмукабалы»............................ 115
II. Примечания к трактату «Комментарии к трудным
постулатам книги Евклида»........................ 143
III. Примечания к трактату «Об искусстве опреде-
ления количества золота и серебра в состоящем
из них теле» ..................................... 168
КИРИК НОВГОРОДЕЦ
Учение имже ведатп человеку числа всех лет. [Фотокопия
со списка рукописи К и р и к а Новгородца.] . . . .
Наставление, как человеку познать счисление лет. [Пере-
вод текста К п р и к а Новгородца.]............
Пг. Зубов (Москва). Примечания к «Наставлению, как
человеку познать счисление лет» Кпрнка Новгородца.
*Делен^0<? (Москва). Кпрпк Новгородец п древнерусские
174
175
192
196
4
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕРИАЛЫ О П. Л. ЧЕБЫШЕВЕ
Б. В. Гнеденко (Киев). Об одном работе П. Л. Чебышева,
не вошедшей в полное собрание сочинений.............. 215
Мнение адыонкта Императорской Академии наук И. Л. Ч е-
бышева о статье полковника Веревкина................. 216
В. Е П рудников (Москва). О статьях И. Л Чебышева,
М. В. Остроградского, В. Я. Вуняков» кого и И. 11. Сомова
в «Энциклопедическом словаре, составленном русскими
учеными и литераторами».............................. 223
С. Я. Далия (Харьков). И. Л. Чебышев и популяризация
математики в России.................................. 239
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ОТЕЧЕСТВЕННЫХ
УНИВЕРСИТЕТАХ И НАУЧНЫХ ОРГАНИЗАЦИЯХ
С. Е. Белозеров (Ростов-па-Допу). Математика в Ростовском
университете......................................... 247
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
В. В. Гуссов (Владивосток). Развитие теории цилиндриче-
ских функций в России и СССР......................... 355
В. Ф. Роеаченко (Львов). Об открытии II. 11. Лобачевским
метода приближенного решения численных алгебраиче-
ских уравнений....................................... 477
Ф. П. Отрадных (Ленинград). Эпизод из жизни академика
А. А. Маркова........................................ 495
Л. Я. Депмаи (Ленинград). В. X. Стеклов в Петербургском
университете......................................... 509
Э. Я. Бахмутская (Харьков). О педагогической деятельно-
сти В. А. Стеклова в Харьковском технологическом
институте............................................ 629
Л. Е. Раик (Молотов). Уральский математик Иван Михее-
вич Первушин ....................................• . 535
II, Я. Депман (Ленинград). Замечательные славянские вы-
числители Г. Вега и Я. Ф. Кулик...................... 573
II. Г. Башмакова (Москва). Дифференциальные методы
в работах Архимеда .................................. 609
Т. Г. Туманъян (Краснодар). «Начала» Евклида по древне-
армянским источникам................................. 659
ОТ РЕДАКЦИИ
]3 четверто'1 выпуске «Псторпко-математпческпх иссле-
дований» редакция отмечала важность изучения научного
наследия математиков пародов Средней Азии и Кавказа,
внесших большой вклад в развитие математической науки.
Первый отдел настоящего выпуска посвящен великому
таджикскому ученому п поэту XI века Омару Хайяму.
Широким кругам читателей Омар Хайям более известен
как автор замечательных «Четверостиший». Между тем,
значение Хайяма для науки, особенно математики, столь
же велико, как и для литературы. Мы публикуем переводы
трактатов «О доказательствах задач алгебры и алмука-
балы», «Комментарии к трудным постулатам книги Евкли-
да» и небольшой работы «Об искусстве определения
количества золота и серебра в состоящем из них теле».
Следует заметить, что перевод «Комментариев к трудным
постулатам Евклида» является первым переводом с араб-
ского и, таким образом, это сочинение Омара Хайяма
впервые становится практически доступным советским
и зарубежным ученым, из которых лишь немногие имеют
возможность пользоваться арабским оригиналом. «Ком-
ментарии» чрезвычайно интересны. В них Омар Хайям
предлагает оригинальную теорию параллельных, которую
строит на некотором новом постулате, и новую теорию
отношений, причем существенно обобщает античное поня-
тие о числе. Идеи, изложенные в этом сочинении, оказали
оольшое влияние на последующее развитие математики на
Востоке и в Европе. К работам Хайяма приложены
исторические и математические примечания.
В следующем отделе воспроизводится первая известная
нам русская работа по математике «Учение пмже ведати
6
ОТ ГЕДАКЦИИ
человеку числа всех лет» новгородского монаха Кприка
(1136 г.). Текст, заново проверенный по сохранившимся
* спискам, свидетельствует о высокой математической куль-
туре древпего Новгорода, о которой столь ярко говорят
также произведенные недавно археологические псследо-
ваппя. Сочинение публикуется параллельно в виде фото-
копии со списка рукописи и в переводе на русский язык;
текст снабжен примечаниями и статьей.
Третий отдел выпуска содержит материалы о П. Л. Че-
бышеве. Здесь прежде всего публикуется недавно обна-
руженная рецензия Чебышева на одну работу по теории
стрельбы, напечатанная в «Артиллерийском журнале» за
1856 г. и по попавшая в закопченное издание полного
собрания сочинений великого математика. К этой публи-
кации непосредственно примыкает статья об «Энциклопе-
дическом словаре, составленном русскими учеными и ли-
тераторами», выходившем в 60-е годы XIX века. В пей
рассматриваются математические статьи словаря, напи-
санные П. Л. Чебышевым, М. В. Остроградским, В. Я. Бу-
няковскпм и II. II. Сомовым и полностью воспроизводят-
ся три статьи Чебышева («Абелева теорема», «Абелевы
функции», «Абель»), также по попавшие в полное со-
брание сочинений. В последней статье отдела освещаются
некоторые стороны популяризаторской деятельности
Чебышева.
В первом выпуске «Историко-математических после-
дований» были помещены четыре работы по исторпп мате-
матики в Московском университете. Изучение истории
математики в отдельных отечественных университетах
п научных учреждениях, а также изучение истории мате-
матических обществ представляют значительный интерес.
В настоящем выпуске помещена статья по истории мате-
матики в Ростовском (до 1917 г.—Варшавском) универси-
тете от его основания до наших дней.
В пятом, последнем, отделе «Из пстории математики»
собраны статьи и материалы различного содержания.
Отдел открывается работой по истории развитая теории
цилиндрических функций, зародившейся в России
в XVIII веке. В работе показан огромный вклад отечествен-
ных ученых в эту важную отрасль математики. Эта работа
ОТ ГЕДЛКППИ
7
ептся к циклу статен по истории отдельных матема-
от« скиХ дисциплин в нашей стране, который редакция
ТПЧ ла печатать с четвертого выпуска и печатание которого
намерена продолжать далее.
* Затем следует статья, посвященная открытию числен-
ного метода решения алгебраических уравнений, носящего
имя Лобачевского; здесь дан подробный сравнительный
анализ изложения этого метода у Лобачевского и бель-
гийского математика Дандолсна.
В трех следующих статьях охарактеризованы некото-
рые стороны передовых общественных взглядов и дея-
тельности академиков А. А. Маркова п В. А. Стеклова.
За ними идет работа об уральском математике-самоучке
И. М. Первушине, приобретшем известность своими вир-
туозными вычислительными работами в области теории
чисел. К ней примыкает статья о двух выдающихся сла-
вянских вычислителях—авторе знаменитых логарифми-
ческих таблиц Г. Вега и создателе обширнейших теоретико-
числовых таблиц Я. Ф. Кулике.
Всем интересующимся историей математики хорошо
известны интеграционные методы и исследования вели-
чайшего ученого древности Архимеда. Гораздо менее изу-
чены были до сих пор ге методы Архимеда, которые можно
назвать дифференциальными. В помещаемой статье об
Архимеде разобраны именно последние и вместе с тем
показано, что эти методы Архимеда также оказали свое
влияние на математику XVII века.
Наконец, в заметке об армянском переводе евклидовых
«Начал» сообщаются интересные сведения об этом памят-
нике старинной армянской математической культуры.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ТРАКТАТЫ
ОМАРА ХАЙЯМА
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Ниже публикуется перевод с арабского двух матема-
тических трактатов выдающегося таджикского ученого
и поэта Омара Хайяма: «О доказательствах задач алгебры
и алмукабалы» и «Комментарии к трудным постулатам
книги Евклида», а также небольшой работы Хайяма
«Об искусстве определения количества золота и серебра
в состоящем из них теле».
Алгебраический трактат переведен с текста издания,
выпущенного Ф. Вспкс в 1851 г. в Париже на арабском
и французском языках1). Арабский текст издания Вспкс
был составлен по трем рукописям, одна из которых нахо-
дилась в Лейденской университетской библиотеке
(№ 1020), а две другие в Парижской национальной биб-
лиотеке (№ 2458,7 и 2461, первая—неполная).
Геометрический трактат переведен с текста издания,
выпущенного Таги Эранп в 1936 г. в Тегеране на арабском
языке2). Текст издания Эранп воспроизводил рукопись,
находившуюся в Лейденской университетской библиотеке
(№ 967,9). Издание Эрани, являющееся библиографиче-
ской редкостью, было предоставлено в распоряжение пере-
водчика директором Отдела рукописей Академии наук
Азербайджанской ССР М. С. Султановым.
Третья работа Хайяма известна в двух вариантах.
Первый из них есть рукопись библ потеки в Готе (№ 1158,
лл. 39b и 40а), второй содержится в гл. 5 кн. 4 сочинения
,, ) L’algebre d’Omar Alkhayyami, publice, traduiteet accompagnee
5, extraits de manuscrits inedits par F. Woepcke, Париж, 1851.
уществует более новый английский перевод: The Algebra of Omar
Па^у^’ transE by D. S. Kasir, Ныо-Порк. 1931.
T i? Dlscyssion of difficulties of Euclid by Ощад Khayyam ed. by
* ь г an i, Тегеран, 1936.
12
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Хазипи «Весы мудрости», рукопись которого хранится
в Ленинградской публичной библиотеке им. М. Е. Салты-
кова-Щедрина (собрание Хапыкова, № 117, лл. 57b—
60b). Текст в сочинении Хазинп более полный; готская
рукопись почти полностью совпадает с ленинградской.
Перевод сделан с ленинградской рукописи (незначитель-
ные отступления оговорены в примечаниях).
Необходимо отметить, что издатель геометрического
трактата Хайяма Таги Эрани (1902—1940) был выдающим-
ся иранским ученым и революционером. До 1930 г. Эрани
работал преподавателем восточной риторики и логики
в Берлинском университете. В 1930 г. он возвратился в Те-
геран, где работал профессором физики и механики в По-
литех пическОхМ институте, а также преподавал математику
и физику в других учебных заведениях. Перу его принад-
лежит несколько учебных руководств, научных работ по
физике, химии, психологии и литературе, а также ряд
статей в редактировавшемся им марксистском обществен-
но-философском журнале «Дунья» («Мир»), Эрани высту-
пал как пламенный патриот, страстный борец против
засилья империалистов в Пране и верный друг Советского
Союза. В 1938 г. Эрани был арестован и явился главным
обвиняемым па известном процессе «пятидесяти трех»,
на котором произнес блестящую защитительную речь.
Он был приговорен к нескольким годам тюремного заклю-
чения; в 1940 г. его преднамеренно поместили в одну ка-
меру с тифозным больным, и он вскоре умер от тифа.
В популярном романе советского писателя Г. Севупца
«Тегеран» (М., 1952) Эрани выведен под именем главного
героя Шэмса Азадп.
Все три трактата Хайяма публикуются па русском
языке впервые. Геометрический трактат не публиковался
ин на одном из европейских языков; только введение
к этому трактату было опубликовано на немецком языке1).
Готская рукопись третьей работы была опубликована па
арабском языке и в немецких переводах, имеется также
немецкий перевод ленинградской рукописи.
*) В статье Jacob G. and Wiedemann Е., Zu Omar-
-i-Chajjam, «Der Islam», 1912, 3, стр. 42—62 (см. стр. 53—59).
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
13
перев°Дам работ Хайяма приложены примечания,
цпсла в квадратных скобках указывают помер соответ-
ствующего примечания. В квадратных же скобках поме-
щены вставленные переводчиком для ясности слова.
Термины, которым не удалось дать точного перевода,
а также упоминаемые Хайямом собственные имена п на-
звания трактатов приведены в примечаниях, а иногда
в подстрочных примечаниях к тексту, по-арабски в рус-
ской транскрипции. В этой транскрипции черточки над
гласными буквами (а, у, и) означают долготу соответ-
ствующих звуков, а черточки и точки под согласными
буквами означают некоторое изменение соответственного
звука русского языка: с и з произносятся как соответ-
ственно глухое и звонкое английское th, х—как немецкое h,
в—как английское w; с, з, т и д читаются как соответ-
ственные звуки с, з, т, д, но произносимые с напряжением;
г, к и х произносятся как гортанные звуки, несколько
напоминающие соответственно г, к и х; знаком ‘ обозна-
чается своеобразный гортанный звук «айв», знаком ’—
перерыв в голосе; сочетание «дж» произносятся слитно, как
английское j; звуков в, г, п в арабском языке нет, вслед-
ствие чего при транскрипции иностранных имен эти звуки
заменяются соответственно звуками в, г, ф.
В чертежах арабские буквы заменены латинскими но
следующей! табл 11 це:
а б дж д х з х т и к л м и с ‘ ф к с
АВС D Е G II F 1 К L М N В О Р Q S
В работе над переводами математических работ Хайяма
большую помощь переводчику оказал свободно владею-
щий арабским языком аспирант Азербайджанского Госу-
дарственного университета им. С. М. Кирова Гасан Гу-
сейн-кули оглы Зарине-заде. Рядом указаний и поправок
переводчик обязан А. П. Юшкевичу.
Б. Розенфельд
Обелиск на могиле Омара Хайяма Выделенная отдельно надпись на обелиске
в Нишапуре. (перевод ее см. в примечании на стр. 113).
ьу* «л» to* tyU» yi*»j и

izz4*4 ’•'-* uJ <&>> $ c* 3*
tm x«u .

Титульный лист трактата Хайяма «Коммента-
рии к трудным постулатам книги Евклида»,
выпущенного Таги Эрани в 1936 г. в Тегеране-
Омар Хайям. Миниатюра из рукописи Али
Герани (1509 г.).
ТГАКТАТ ДОСТОЧТИМОГО УЧЕНОГО
ГПЯСЭДДНПА АБУ-Л-ФЛТХА ОМАРА
НБН ИБРАГИМА ХАЙЯМА 113 НПШАПУРА
(Да освятит Аллах его драгоценную душу!)
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ
И АЛМУКАБАЛЫ1)
Во имя Аллаха всемилостивого, всемилосердного!
Хвала Аллаху, господину миров, добрым конец добро-
детельным, никакой вражды ко всем, кроме несправедли-
вых, и благословение всем пророкам, в особенности Мохам-
меду и всему его святому потомству.
Один из поучительных вопросов, необходимый в раз-
деле философии, называемом математикой, это искусство
алгебры и алмукабалы р], имеющее своей целью опре-
деление неизвестных, как числовых, так п измеримых.
В нем встречается необходимость в некоторых очень слож-
ных видах предложений, в решении которых потерпело
неудачу большинство этим занимавшихся. Что касается
древних, то до нас не дошло сочинение, в котором они рас-
сматривали бы этот вопрос: может быть они искали реше-
ние п изучали этот вопрос, по не смогли преодолеть труд-
ностей, или их исследования не требовали рассмотрения
этого вопроса, или, наконец, пх труды по этому вопросу
х) Рисалат ал-хакйм ал-фадпл Гийас ад-дйи Абй-л-Фатх ‘Умар
пбн Ибрахим ал-Хаййамй ан-Нишабурй фй-л-барахйп ‘ала масапл
ал-докабр ва-л-му^абала.
16
ОМАР ХАПЯМ
не были переведены на наш язык. Что карается поздней-
ших, то средн них Махани [2] высказал мысль алгебраи-
чески проанализировать предпосылку, принятую Архи-
медом в качестве очевидно]'! в четвертом предложении
второй кпнги его трактата «О шаре и цилиндре» [3]. Он
пришел к уравнению, содержащему кубы, квадраты и
числа, которое ему не удалось решить, несмотря на то,
что он долго размышлял о нем. Поэтому объявили, что
это решение невозможно, пока не явился Абу Джафар
Хазин [4], решивший это уравнение с помощью кониче-
ских сечен ini. После него многие геометры нуждались
в некоторых из этих видов и одни решал один из них,
а другой—другой. По никто из них по говорил ничего ни
о перечислении этих видов, пи об изложении случаев каж-
дого вида, ин об их доказательствах, за исключением двух
видов, которые я укажу.
Я же, напротив, всегда горячи стремился к тому, чтобы
исследовать все эти виды и различить среди этих видов
возможные и невозможные случаи, основываясь на дока-
зательствах, так как я знал, насколько настоятельна
необходимость в них в трудностях задач. По я был лишен
возможности систематически запяться этим вопросом
и даже не мог сосредоточиться па размышлении оном, так
как обстоятельства заставили меня потерять много време-
ни. Мы были свидетелями гибели ученых, от которых оста-
лась малочисленная, ио многострадальная кучка людей.
Суровости судьбы в эти времена препятствуют им всецело
отдаться совершенствованию и углублению своей науки.
Большая часть из тех, кто в настоящее время имеет вид
ученых, одевают истину ложью, нс выходя в науке за
пределы подделки и лицемерия, и используют тот запас
знаний, которым они обладают, только для низменных
плотских целен. П если они встречают человека, отличаю-
щегося тем, что он ищет истину и любит правду, старается
отвергнуть ложь и лицемерие и отказаться .от хвастовства
и обмана, они делают его предметом своего презрения и
насмешек. Аллах помогает нам во всех случаях, он наше
прибежище.
Поскольку всевышний Аллах даровал мне благо, я хочу
прервать мою речь в честь его сиятельства, нашего слав-
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБГЫ II АЛМУКАБАЛЫ 17
ного п несравненного господина, судьи судей, имама,
господина Абу Тахира [5], да продолжит Аллах его воз-
вышение и повергнет тех, кто питает против него зависть
или вражду. Я отчаялся увидеть столь совершенно! о во
всех практических и теоретических качествах человека,
который сочетает в себе и проницательность в науках и
твердость в своих действиях и в своих усилиях делать
добро всем людям. Его присутствие расширило мою грудь,
ого общество возвысило мою славу, мое дело выросло от
его света и моя спина укрепилась от его щедрот и благо-
деяний. Благодаря моему приближению к ого высокой
резиденции, я почувствовал себя обязанным восполнить
то, что я потерял из-за превратностей судьбы, и кратко
изложить то, что я изучил до мозга костей из философ-
ских вопросов. II я начал с перечисления этих видов ал-
гебраических предложений, так как математические науки
более всего заслуживают предпочтения. Я ухватился за
веревку помощи всевышнего Аллаха, надеясь, что он
дарует мне успех в доведении до конца размышлений как
по этому вопросу, так и ио вопросу, которым занимались
передо мной в науках более важных, чем другие. Я дер-
жусь за прочную веревку его поддержки, потому что он
господин исполнения молитв и к нему нужно прибегать
во всех случаях.
Я говорю, с помощью Аллаха и при его прекрасной
поддержке, что искусство алгебры и алмукабалы есть
научное искусство, предмет которого составляют абсо-
лютное число и измеримые величины [6], являющиеся
неизвестными, по отнесенные к какой-нибудь известной
вещи, по которой их можно определить. Эта вещь есть
пли количество пли отношение, не связанное пи с чем
другим. В это ты должен глубоко впикпуть. Цель этого
искусства состоит в нахождении соотношений, связываю-
шпх его предмет с вышеуказанными данными. Совершен-
ство этого искусства состоит в знании методов изучения,
посредством которых можно постигнуть способ определе-
ния вышеупомянутых неизвестных, как числовых, так п
геометрических.
Величин, т. е. непрерывных количеств, имеется четыре
вида, линия, поверхность, тело и время, как это изложено
Историко-матем. исследования
18
ОМ VP ХАЙЯМ
кратко в «Категориях» я подробно в «Метафизике» ['].
Некоторые рассматривают место как подразделение по-
верхности, подчиненное роду непрерывного [количества],
но исследование опровергает это мнение и подтверждает,
что место есть поверхность в некотором положении и об-
стоятельствах, определение которых—вне нашего пред-
мета. Время не принято считать предметом алгебраических
задач, но если бы это было сделано, это было бы допустимо.
Обычно алгебраисты в своем искусстве называют не-
известную, которую хотят определить, вещью, ее произве-
дение на себя—квадратом, произведение ее квадрата
па нее—кубом, произведение ее квадрата на себя—квад-
рато-квадратом, произведение ее куба па ее квадрат—
квадрато-кубом, произведение ее куба па себя кубо-кубом
и так далее сколько угодно. 11? сочинения Евклида
«Начала» известно, что все эти степени пропорциональны,
т. е. единица относится к корню, как корень к квадрату
л как квадрат к кубу [8]; следовательно, чпело относится
к корням как корни к квадратам, как квадрат к кубам и как
кубы к квадрато-квадратам и так далее сколько угодно.
Следует знать, что этот трактат может быть понят
только теми, кто хорошо знает сочинения Евклида «Нача-
ла» и «Данные», так же как две кппги Аполлония «Кони-
ческие сечения». Тот, для кого одни из этих путей к зна-
нию загорожен, по сможет проложить путь к его изуче-
нию. Мне с трудом удалось ограничиться в этом трактате
ссылками только на три названные мной сочинения.
Алгебраические решения производятся с помощью
уравнения, т. с., как это хорошо известно, прправпенпя
одних степеней другим. Если алгебраист пользуется
квадрато-квадратом в вопросах измерения, то это следует
понимать метафорически, а нс в прямом смысле, так как
нелепо, чтобы квадрато-квадрат принадлежал к числу
величин. К величинам принадлежит прежде всего одно
измерение, т. е. корень пли сторона по отношению к свое-
му квадрату; затем два измерения, т. с. поверхность;
квадрат также принадлежит к величинам, так как он яв-
ляется квадратной поверхностью. И, наконец, три измере-
ния, т. е. тело; куб также принадлежит к величинам, так
как он является телом, ограниченным шестью квадратами.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ II АЛМУК АВАЛЬ! 19
нет другого измерения, к величинам нс могут
1ак ка** ать ни квадрато-квадрат, ни, тем более, выс-
’’Р^стедени. Если же говорят, что квадрато-квадрат прп-
1,1 ”с т к величинам, то это говорится о некотором
*,аЛде его частей при измерении, а не о том, что он самость
чи снимая [величина],—между этими двумя вещами боль-
щая разница. Квадрато-квадрат нс относится к величинам
ни по существу, ни случайно, как, например, четное и не-
четное/ принадлежащие к величинам случайно через их
отношение к числу, выражающему непрерывность в дис-
кретном виде.
В сочинениях алгебраистов из уравнений, содержащих
эти четыре геометрических количества, т. е. абсолютные
числа, стороны, квадраты и кубы, приводятся три уравне-
ния, содержащих числа, стороны и квадраты [9]. Мы же
предложим методы определения неизвестной в уравнении,
содержащем все четыре степени, о которых мы сказали,
что только они относятся к измеримым количествам,
а именно: число, вещь, квадрат и куб.
Невозможно доказать их с помощью свойств круга, т. е.
двух сочинений Евклида «Начала» и «Данные», где он их
доказал и постарался упростить. То, что возможно дока-
зать только с помощью конических сечений, доказывается
с помощью того, что содержится в двух книгах «Кониче-
ских сечений». Доказательство этих видов в том слу-
чае, когда предмет задачи есть абсолютное число, невоз-
можно ни для вас, ни для кого из тех, кто владеет этим
искусством. Может быть кто-нибудь из тех, кто придет
после нас, узнает это для случая, когда имеется не только
три первых степени, а именно число, вещь и квадрат.
Для того, что доказывается с помощью сочинения Евкли-
да, я укажу и числовое доказательство. И знай, что дока-
зательство геометрическим способом отделяется от чис-
лового доказательства, когда предметом задачи является
число, а не измеримая величина. Ты ведь знаешь, что
Евклид, доказав в пятой книге своего сочинения некото-
рые предложения о пропорциональности величин, дает
снова доказательство точно тех же предложений о про-
порциональности в седьмой книге, когда их предметом
является число [10].
2*
20
ОМАР ХАЙЯМ
Уравнения, содержащие эти четыре степени, бывают
либо простые, либо сложные. Простых уравнений имеется
шесть видов:
1. Число равно корню,
2. Число равно квадрату,
3. Число равно кубу,
4. Корпи равны квадрату,
.5 Квадраты равны кубу,
б. Корпи равны кубу I11].
Три из этих видов упоминаются в сочинениях алге-
браистов. Они говорят: вещь относится к квадрату, как
квадрат к кубу, отсюда необходимо следует, что уравне-
ние, содержащее квадрат и куб, равносильно уравнению,
содержащему вещь и квадрат. Точно так же, число отно-
сится к квадрату, как корень к кубу, но опи не доказали
этого геометрически. Если число равно кубу, то в случае
числовой задачи его ребро может быть найдено только
с помощью последовательного подбора [истпкра], а в слу-
чае геометрической задачи только с помощью кониче-
ских сечений.
Сложные уравнения бывают трехчленные и четырех-
членпые. Видов трехчленных уравнений двенадцать, три
первые из которых суть:
1. Квадрат и корпи равны числу,
2. Квадрат и число равны корням,
3. Корни и число равны квадрату [121.
Эти три вида упоминаются в сочинениях алгебраистов
и доказываются там геометрическим, а нс числовым спо-
собом.
Вторые три вида суть:
1. Куб и квадраты равны корням,
2. Куб и корни равны квадратам,
3. Корпи п квадраты равны кубу [13].
Алгебраисты говорят, что три вторые вида пропорцио’
иальны трем первым, каждый—своему соответственному,
т. е. уравнение: куб и корни равны квадратам—равно-
сильно уравнению: квадрат и число равны корням [14]
и также по отношению к двум другим. Но они не доказали
этого, когда предметы задач суть измеримые количества.
vrFiibCTBAX ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АДМУКАВАЛЫ 21
о ПОКАЗА ___________________________________________
Для случая-
из трактата
когда предмет задач есть число, это ясно
«Начала». Я же докажу л геометрический
СЛУОстальные шесть видов из двенадцати суть:
1 Куб и корни равны числу,
2 Куб и число равны корням,
3. Число и корни равны кубу,
4* Куб и квадраты равны числу,
5* Куб и число равны квадратам,
(к Число и квадраты равны кубу I15].
Ни один из этих видов не имеется в сочинениях алге-
браистов, за исключением отдельного исследования одного
из них [16]. Я же их исследую и докажу геометрическим
способом, но нечисловым. Доказательство этих шести видов
возможно только при помощи свойств конических сечений.
Что касается сложных четырехчлен пых уравнений, то
их имеется две разновидности: во-первых, те, в которых
три степени равны одной степени. Это четыре вида:
1. Куб, квадраты и корпи равны числу,
2. Куб, квадраты и число равны корням,
3. Куб, корпи и число равны квадратам,
4. Куб равен корням, квадратам и числу I17].
Вторая разновидность содержит те [виды], в которых
две степени равны двум степеням. Этих видов три:
1. Куб и квадраты равны корням и числу,
2. Куб п корни равны квадратам и числу,
3. Куб п число равны корням и квадратам [18].
Таковы семь четырехчленных видов. У пас пет другого
способа для их исследования, кроме геометрического.
Один из наших предшественников нуждался в частном
случае одного из этих видов, который я укажу I19]. Дока-
зательство этих видов может быть произведено только
с помощью свойств конических сечений
Теперь перейдем к рассмотрению и доказательствам
одного за другим всех этих двадцати пяти видов, моля
Аллаха о помощи: он руководит тем, кто искренне уповает
на него и тому достаточно [его помощи].
Первый простой вид: корень равен числу, Здесь корень
известен поневоле, что одинаково и для числа и для
величин.
22
ОМАР ХАНЯМ
Второй вид: число равно квадрату. Здесь известен чис-
ловой квадрат, равный известному числу. Его корень
может быть найден числовым способом только с помощью
последовательного подбора, так как тот, кто знает, что
корень из двадцати пяти есть пять, знает это с помощью
последовательного подбора, а по по закону искусства.
Мы не будем ио этому вопросу обращать внимание на то,
что говорят то из мужей этого искусства, которые держат-
ся другого мнения. У индийцев имеются методы нахо-
ждения сторон квадратов и ребер кубов, основанные на
небольшом последовательном подборе, а именно, на зна-
нии квадратов девяти цифр, т. е. квадрата одного, двух,
g С трех пт. д., а также и ро-
--------------- взведений одной из них
на другую, т. с. произве-
дения двух па три и т. д.
--------------- 11ам принадлежит трактат
ВЛ о доказательство иравиль-
Черт. 1. пости этих методов и того,
что они действительно
приводят к цели. Кроме того, мы увеличили число видов,
т. с. мы показали, как определять ребра квадрато-квад-
ратов, квадрато-кубов, кубо-кубов и так далее сколько
угодно, чего раньше по было. Доказательства, которые
я даю но этому вопросу, суть числовые доказательства,
основанные па числовых частях «Стихий» Евклида Г2и|.
Геометрическое доказательство второго вида следую-
щее: предположим, что линия АВ (черт. 1) дана и равна
данному числу и что АС равна единице и перпендику-
лярна АВ. Дополним поверхность AD. Известно, что
мера поверхности AD ость данное число. Построим ква-
дратную поверхность, равную поверхности AD, пусть это
будет квадрат Е, как это показал Евклид в 14-м предло-
жении второй книги своего сочинения [21]. Квадрат Е
будет, таким образом, равен данному числу и будет изве-
стен и ого сторона также будет известна. Обрати внимание
на доказательство, которое дал Евклид. Это то, что хоте-
лось получить.
Всякий раз, когда мы в этом трактате будем говорить:
число равно поверхности, мы будем понимать под числом
0 ПОСОЛЬСТВАХ
ЗАДАЧ
АЛГЕБРЫ II АЛМУКАБАЛЫ
оугольную поверхность, одна из сторон которой есть
пРЯЛппа, а ДРУгая—линия, мера которой равна дап-
сд111 чпслу, так что каждая доля этой меры равна вто-
рой стороне, т- °- тои’ КОтОРую мы приняли за еди-
ницу t2 < тч
Третий вид: число равно кубу. Если предмет задачи—
число, будет известен куб этого числа. Нет другого сред-
ства найти ого ребро, кроме последовательно!о подбора,
что в равной степени относится ко всем числовым стене-
ням, таким, как квадрато-квадрат,
квадрато-куб, кубо-куб, о чем мы го-
ворили выше.
В геометрическом доказательстве
предположим, что квадрат AD
(черт. 2) есть квадрат единицы, т. е.
АВ равна BD и каждая из этих двух
сторон равна единице. Да лее восста-
новим к плоскости AD в точке В пер-
пендикуляр ВС и сделаем его равным
данному числу, как это показано
Евклидом в одиннадцатой книге сво-
его сочинения [23]. Дополним тело ABCDEClf. Известно,
что мера этого тела есть данное число. Далее построим
куб, равный этому телу. Однако построение этого куба
производится только с помощью свойств конических сече-
ний. Поэтому мы отложим это до тех пор, пока не при-
ведем предварительных предложений, относящихся к этим
свойствам.
Всякий раз, когда мы будем говорить: число равно
телу, мы будем понимать под числом тело с параллельны
ми гранями и прямыми углами, имеющее основанием
квадрат единицы и высоту, равную данному числу.
Четвертый вид: квадрат равен пяти своим корням.
Здесь число корней есть корень из квадрата. Числовое
доказательство состоит в том, что корень, умноженный па
самого себя, образует квадрат н что тот же корень, умно-
женный на пять, равным образом образует квадрат,
поэтому он равен пяти. Геометрическое доказательство
аналогично: предполагают, что квадратная поверхность
Равна пяти своим сторонам.
24
ОМАР ХАЙЯМ
Черт. 3.
Пятый вид: вещи равны кубу. Если эта задача число-
вая, очевидно, что этот вид равносилен виду: число равно
квадрату. Например, в силу указанной выше пропорции
[сказать, что] четыре корня равны кубу—все равно, что
сказать: число четыре равно квадрату.
В геометрическом доказательстве предположим, что
мера куба ABCDE (черт. 3) равна четырем его ребрам и
пусть его ребро будет АВ. Тогда его ребро умножен-
ное на четыре, образует куб. ABCDE, и в то же время
его ребро, умноженное па свой квадрат, т. о. квадрат *1С,
образует куб: поэтому квадрат АС
равен четырем.
Шестой вид: квадраты равны кубу.
Это то же, что: число равно корню.
Числовое доказательство состоит
в том, что число относится к корню
как квадраты к кубу, как это пока-
зано в восьмой книге «Начал» [24].
В геометрическом доказательстве
предположим, что куб ABCDE (черт. 3)
равен числу своих квадратов, папрп-
квадратам. Квадрат его ребра есть АС.
Поэтому поверхность АС, умноженная на два, образует
куб ABCDE, и в то же время умноженная на BD,
т. е. на свою сторону, она образует куб ABCDE.
Поэтому BD, т. е. ребро куба, равно двум. Это то, что
хотелось получить.
Всякий раз, когда мы будем говорить в этом трактате:
квадраты куба, мы будем понимать под этим выражением
квадраты его ребер.
Изложив простые виды, рассмотрим теперь три первых
из двенадцати трехчленных видов.
Первый вид из них: квадрат и десять корней равны
числу тридцать девять-. Умножь половину [числа] кор-
ней на себя. Прибавь это произведение к числу и вычти
из корпя из этой суммы половину [числа] корней. Остаток
есть корень квадрата [25J.
Числовая задача нуждается в двух условиях: во-пер-
вых, число корней должно быть четным, чтобы у него
была половица, во-вторых, чтобы квадрат половины [чис-
авеи двум
0 ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ задач алгебры и алмукабалы
25
и к пен лоноав.
1 KOpneJI и чпсло вместе образовали бы квадратное
'рло. В противном случае эта задача в числовом случае
невозможна. геометрическом случае здесь нет невоз-
можных задач.
Числовое доказательство этого просто при геометри-
песком представлении. Вот его геометрическое доказатель-
ство. Предположим, что квадрат
1С (черт. 4) вместо с десятью
своими корнями равен числу
тридцать девять, а десять ого
корней являются поверхностью
СЕ. Поэтому линия 1)Е равна
десяти. Разделим се пополам в
точке G. Тогда, так как линия
DE разделена пополам в точке G
направлении . \D, произведение ЕЛ па JjD, равное поверх-
ности £7?, вместе с квадратом DG равно квадрату GA [2С].
Но квадрат DG, который является половиной [числа] кор-
ней, известен и поверхность ЕЕ, которая является данным
числом, также известна. Поэтому
' квадрат GU известен и линия G’J из-
вестна. Тогда мы отнимаем от нее GE
G и остаток Л/9 известен [2‘].
Другое доказательство этого.
Предположим, что ЛЕСЕ—квадрат
(черт. 5). Продолжим ЕЛ до Е и сде-
лаем ЕЛ равной четверти [числа]
корней, т. е. двум с половиной. Про-
должим 1)А до G, сделав GЛ равной
Г М четверти [числа] корней. Продолжим
Черт. 5. таким же образом линии изо всех
углов квадрата и дополним поверх-
ность НЕ. Опа будет квадратом, так как GE—квадрат,
ЛС—квадрат и CF— квадрат, что показывает шестая книга
«Начал» I28]. Каждый из четырех квадратов в углах боль-
шого квадрата равен квадрату двух с половиной, т. е. их
сумма равна двадцати пяти пли квадрату половины [числа]
корней. Поверхность GE равна двум с половиной корням
квадрата АС, так как GA равно двум с половиной. Поэто-
му эти четыре поверхности вместе равны десяти корням
26
ОМАР ХАЙЯМ
квадрата АС. Но по предположению квадрат Я С вместе
с десятью его корнями равен числу тридцать девять. По-
этому квадрат JIF равен шестидесяти четырем. Берет-
ся его корень и отнимается из него пять. Остается АВ.
Предположим еще, что дана линия АВ (черт. 6), равная
десяти, и желается [найти] квадрат, который, будучи
«ложен с произведением своей стороны на АВ, равнялся
бы данному числу. Предположим, что данное число есть
поверхность Е с параллельными сторонами и прямыми
углами, как мы говорили выше. Приложим к линии АВ
В
А
О
С
Чорт. 6.
будет AJ); сторона
как это показано в
поверхность с параллель-
ными сторонами, равную
поверхности Е, с избыт-
ком в виде квадратной
поверхности, как это по-
казал Евклид в шестой
книге «Начал» [29J. Пусть
это будет поверх ность BD,
а избыточный квадрат
ЯС этого квадрата будет известна,
«Данных» [30].
Второй вид из них: квадрат и число равны корням.
В этом случае необходимо, чтобы число не было бы больше
квадрата половины [числа] корней, в противном случае
задача невозможна. Когда число равно квадрату половины
[числа] корней, половина [числа] корней сама равна кор-
ню квадрата. Когда число меньше, отнимают его от квад-
рата половины [числа] корней, берут корень из остатка
и складывают с полови ной [числа] корней пли отнимают
от пес. Сумма при сложении п остаток при вычитании
есть корень квадрата [31].
Числовое доказательство этого представляется его
геометрическим доказательством. Предположим квадрат
A BCD (черт. 7) л предположим, что [поверхность] EI),
являющаяся числом, [приложена к квадрату] со стороны
\D. Поэтому поверхность ЕС равна, например, десяти I32]
сторонам квадрата АС и, следовательно, ЕВ равна десяти.
В первом случае АВ равна половине ЕВ, во втором больше
ее половины, а в третьем меньше ее половины. В первом
случае АВ равна пяти, а во втором и третьем случаях раз-
Q ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗЛДЛЧ АЛГЕБРЫ II ЛЛМУКАВАЛЫ 27
>' им Е& в точкс таким образом, что линия ЕВ разделе-
в точке G пополам, а в точке Л—па две неравные части.
и3 этом> поверхность па ЕЛ и ЛВ вместе с квадратом GA
1 вна квадрату GB, как это объяснено во второй книге
«('тихий»!33]. Поверхность на ЕЛ и ЛВ, равная данному
числу» известна. Поэтому, когда ее отнимают от квадрата
Черт. 7.
[линии] GB, являющейся половиной [числа] корней,
в остатке получается известный квадрат СЛ. В третьем
случае, отнимая GA от GB, а повторим случае, прибавляя
ее к ней, получают в виде суммы пли разности \В. Это то,
что хотелось получить.
Если угодно, ты можешь доказать это и другими спосо-
бами, но мы ограничимся этим, чтобы избежать растяну-
тости. Предположим, что
данная линия ЛВ (черт. 8)
равна десяти и желается
отнять от нее такую линию,
что если умножить се на
АВ, произведение будет рав-
но квадрат} этой линии,
вместе с другой поверхно-
стью, которая во больше квадрата половины ЛВ, т. е.
вместе с данным числом, являющимся поверхностью Е.
Таким образом, мы хотим отнять от ЛВ линию, квадрат
которой вместе с поверхностью Л1 равен произведению ЛВ
па эту линию. Итак, приложим к известной линии ЛВ
поверхность, равную известной поверхности Е с недо-
статком в виде квадратной поверхности, что возможно,
так как поверхность Е не больше, чем квадрат полови-
ны Л£. Пусть это будет поверхность JG, а недостающий
А
В
С
D
G
Черт. 8.
28 ОМАР ХАНЯМ
квадрат—поверхность CD, как это показал Евклид в
шестой книге «Стихий» [34]. Тогда стброна СВ будет извест-
на, как это показало в «Данных» [35]. Это то, что мы хо-
тели показать.
Этим показало, что у этого вида имеются различные
случаи [36], среди которых имеется невозможный [371.
Ты можешь узнать условия его разрешимости в числах,
подобно тому, что мы объяснили в случае первого вида.
Третий вид: число и корни равны квадрату. Прибав-
ляют квадрат половины [числа] корней к числу, берут
корень из этой суммы и прибавляют половину [числа]
корней и то, что получается, есть ко-
fl G £ Л рент» квадрата I38].
Доказательство. Пусть квад-
рат ЛВСН (черт. 9) равен пяти своим
корням и числу шесть. Отнимем от пего
число, являющееся поверхностью AD.
Останется поверхность ЕС, т. с. корпи,
число которых пять. Поэтому линия
с q Н равна пяти. Разделим ее пополам
т в точке С. Таким образом, линия ЕВ
’ будет разделена тга две равные части
в точке G и в то же время к ней при-
бавлена ЕЛ в ее направлении. Тогда поверхность на ВЛ
и ЛЕ, т. е. известная поверхность AI), вместе с известным
квадратом EG равна квадрату GA [39]. Поэтому квадрат
СЛ и [сама] известны. Но GB известна. Следовательно,
и АВ известна.
Для этого имеются доказательства другими способами;
потрудись пад этим сам.
Предположим также, что линия BE (черт. 10) равна
[числу] корней и что требуется найти такой квадрат и его
сторону, чтобы он был равен данному числу его сторон
вместе с данным числом. Пусть данное число есть поверх
ность F, а II—квадрат, равный этой поверхности. По-
строим квадрат, равный квадрату II вместе с квадратом
[липни] ЕК, равной половине числа сторон. Пусть это
будет квадрат G. Сделаем КС равной стороне G и дополним
квадрат ABCD, Тогда квадрат \1>СГ) есть то. что требова-
лось найти,
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ 29
Этим показано, что в этом третьем виде, так же как
пивом виде, пег невозможного в отличие от второго
С а в котором имеется как невозможное, так и разио-
Вбразпе случаев, чего пет в этих двух видах.
° 1 Докажем теперь, что вторые три из этих видов пропор-
циональны первым трем видам.
В К ЕС

Черт. W.
ело I/ будет равно числу
Черт. 11.
Первый вид из них: куб и квадраты равны корням.
Построим куб ABCDE (черт. II), продолжим АВ в ее
направлении до С, сделаем АС равной числу квадратов
и дополним тело AG1IFCD на продолжении куба ЛЕ,
как это делается обычно,
квадратов и тело BF, рав-
ное кубу вместе с данным
числом квадратов, будет
равно данному числу кор-
ней. Построим поверхность
К, равную данному числу
корней: корень это ребро
куба, т. с. AD. Поэтому
поверхность К, умножен-
ная на AD, будет равна
данному числу ребе]). Поверхность JJB, умноженная на
AD, образует ее куб вместе с данным числом квадратов.
Но два тела—тело BF и тело, построенное ла К и имею-
щее высотой AD,—равны. Следовательно, их основания
будут обратно пропорциональны их высотам [40], и так
как их высоты равны, их основания необходимо также
равны. По основание НВ равно квадрату СВ вместе с (по-
верхностью] ПА, которая равна такому числу корней,
30
ОМАР ХА ИЯМ
каково данное число квадратов. Поэтому К, являющаяся
данным числом корней, равна квадрату и такому числу
корней, каково данное число квадратов. Ото то, что мы
хотели показать.
Вот пример этого рода: куб и три квадрата равны десяти
корням; это то же, что: квадрат и три корня равны числу
десять.
Второй вид из них: куб вместе с двумя корнями равен
трем квадратам. Это то же, что: квадрат вместе с двумя
равен трем корням.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим куб ABCDE
(черт. 12), который вместе с двумя его корнями равен трем
Черт. 12.
квадратам. Построим далее квадрат, равный //, и [линию!
К, равную трем. Тогда произведение // на К равно трем
квадратам куба ЛЕ. Построим на АС поверхность, рав-
ную двум, и дополним тело AGCFD', оно будет равно
числу корней. По когда умножают линию GB на квадрат
АС, получают тело BF\ но тело AF равно числу ребер;
следовательно, тело BF будет равно кубу с тем, что равно
числу его ребер. Поэтому тело BF будет равно числу' его
квадратов. Линия GB, подобно тому как это показано в
предыдущем предложении, равна трем. Поверхность BL
равна квадрату и двум. Следовательно, квадрат и два
равны трем корням, так как поверхность BL образована
произведением АВ на три. Это то, что мы хотели показать.
Третий вид из них: куб равен квадрату и трем корням.
Это то же, что: квадрат равен корню и числу три.
Построим куб ABCDE (черт. 13), равный своему квад-
рату с тремя своими ребрами. Отнимем от липни АВ, яв-
ляющейся ребром куба, линию AG, равную числу квад-
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ tl АЛМУКАБАЛЫ 31
Черт. 13.
ратов, т. с. единицу, и дополним тело AGFHC\ тогда тело
AGFHC будет равно данному числу квадратов. Поэтому
остается тело GE, равное данному числу ребер. Одно из
этих тел относится к другому, как основание GC к основа-
нию GL, как это было показано в одиннадцатой книге
«Начал» так как их высоты равны. Но поверхность GC
равна одному корню квадрата СВ и поверхность GL есть
число корней, т. е. три. Поэтому квадрат СВ будет равен
одному корню с числом три. Это то,
что мы хотели показать.
Пока ты не понял этих доказа-
тельств, проведенных этим способом,
искусство [алгебры] не будет [для
тебя] научным, хотя этот метод до-
казательства и содержит некоторые
трудности.
Теперь, после изложения тех ви-
дов [уравнений], которые могут быть
доказаны с помощью свойств круга,
т. е. с помощью сочинения Евклида,
займемся рассмотрением тех видов, доказательство кото-
рых может быть дано только с помощью конических се-
чений. Это четырнадцать видов: один простои, число равно
кубу, шесть оставшихся трехчленных и семь четырех-
членных.
Предпошлем этому рассмотрению несколько предло-
жений, основанных на сочинении «Конические сечения»
для того, чтобы подготовить изучающего, а также для
того, чтобы этот наш трактат не нуждался в более чем в
трех указанных сочинениях, а именно, в двух сочинениях
Евклида «Начала» и «Данные» и в двух книгах сочине-
ния «Конические сечения».
[П р е д л о ж е н и е 1]. Мы хотим найти две линии
между двумя другими линиями таким образом, чтобы
эти четыре линии были пропорциональны [41J. Пусть АВ
и ВС (черт. 14) суть две прямые линии; расположим их
так, чтобы они заключали прямой угол В. Построим пара-
болу [42], вершина которой есть точка В, ось [43] которой
и прямая сторона [44]—ВС. Это будет парабола BDE,
известная ио положению, так как ос вершина и ось
32
ОМАР ХАНЯМ
известны ио положению, а се прямая сторона известна по
величине [45]. Она касается линии ВЛ, так как угол прямой
и, следовательно, равен координатному углу I46], как это
доказано в 33-м предложении первой книги «Конических
сечений» [47]. Подобным же образом мы построим вторую
параболу, вершина которой есть точка В, ось и прямая
сторона—ЛВ, которая будет параболой BDG, как это
показал Аполлоний в 56-м предложении первой книги [48].
Парабола BDG будет касаться лнинп ВС. Поэтому эти
две параболы необходимо
£ X. пересекутся. Пусть они
\ пересекаются в точке D.
\А Тогда точка D будет из-
----------1^ вестпа по положению, так
уК--------как эти две параболы пз-
\ вести ы ио положении».
\ \ Опустим из точки D два
\ \ перпендикуляра DП, DF
\ \ д на ВС, ЛВ. Они будут
\ \ известны ио величине, как
\ \ это показано в «Данных»
' [19]. Я утверждаю, что че-
।-------------L-------тырс линии АВ, ВП, BF,
£ нВ пропорциональны.
Черт. 14. Доказательств о.
Квадрат HD равен произ-
ведению ВП на ВС, так как линия DII—ордината пара-
болы BDE [50]. Следовательно, ВС относится к 1ID, рав-
ной BF, как BF к ПВ. Линия DE—ордината параболы
BDG. Поэтому квадрат DF, равной ВП, равен произве-
дению ВА на BF. Следовательно, BF относится к ВП,
как ВП к В А. Поэтому эти четыре линии непрерывно про-
порциональны и линия Г)П известна по величине, так как
опа проведена из точки, известной по положению, к ли-
шит, известной по положению, под углом, известным но
величине. Подобным же образом DF также известна но
величине. Отсюда следует, что две линии В11, BF известны
по величине. Но они средине пропорциональные между
двумя линиями ЛВ, ВС, т. е. АВ относится к ВП, как ВП
к BF и как BF к ВС. Это то, что мы хотели показать [51].
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ П АЛМУКАБ \ЛЫ 33
[П р е д л о /К о н и о 2]. Даны квадрат АВСГ)
(черт. 15), являющийся основанием тела ABCDE с парал-
лельными гранями и прямыми углами, и квадрат МН, л мы
хотим построить на основании МН тело с параллельными
гранями и прямыми углами, равное данному телу ABCDE.
Пусть АВ относится к MG, как MG к А', и АВ относится
к А', как GF к A7J. Проведем 6’А пер- Е
пендпкулярпо поверхности МН в точке
G и дополним тело MGFH. И утверж-
щю, что это тело равно данному телу.
Док а з а т е л ь с т в о. Квадрат
{С относится к квадрату МН, как АВ
к А'. Поэтому квадрат АС относится к
квадрату Л/7/, как GF, высота тела
MFH, к ED, высоте тела BE [52]. По
этому эти два тела равны, так как их ос-
нования обратно пропорциональны их
высотам, как это показано в одинна-
дцатой книге «Начал»? [53].
Всякий раз, когда мы будем гово-
рить: тело, это будет обозначать тело
с параллельными гранями и прямыми
углами, так же как всякий раз, когда
мы говорим: поверхность, это обозна-
Черт. 15.
чает поверхность с параллельными сторонами и прямыми
углами.
[П р е д л о ж е и и е 3]. Дано тело ABCL (черт. 15),
основание которого АС -квадрат, и мы хотим построить
тело, основание которого является квадратом, высота
которого равна данной [липни] GF и которое равно дан-
ному телу ACL. Пусть GF относится к BL, как АВ к К,
и возьмем между АВ и К среднюю пропорциональную
GM. Проведем GM перпендикулярно GF и дополним
MF. Далее построим 67/, перпендикулярную поверхности
FM и равную GM, и дополним тело 11GFM. Я утверждаю,
что тело А, основание которого есть квадрат 7/J/ п высо-
та—данная линия GF, равно данному телу L.
Доказательство. Квадрат АС относится к
квадрату НМ, как АВ к К. Поэтому квадрат АС от-
носится к квадрату НМ, как GF к BL [54]. Так как
3 Исторпко-матеи. исследования
34
ОМАР ХАПЯМ
Черт. 16.
оспования этих двух тел обратно пропорциональны их
высотам, эти тела равны. Это то, что мы хотели показать.
После этого перейдем к третьему виду из простых:
куб равен числу. Положим число равным телу ЛВС!)
(черт. 16), основание которого—
квадрат единицы, как мы об этом
говорили, так что его длина рав-
на данному числу. Мы хотим
построить равный ему куб. Возь-
мем между двумя линиями ЛВ,
BD две средние пропорциональ-
ные. Тогда, как мы показали,
они будут известны по величи-
не [55]. Это будут [линии] Е, G.
Проведем IIF, равную линии Е,
и построим па пей куб FHKL.
Тогда этот куб и его ребро бу-
дут известны по величине. Я ут-
верждаю, что этот куб равен
телу В.
Д о к а з а т с л ь с т в о. Квадрат ЛС находится с
квадратом FK в двойном отношении ЛВ к ПК, а двойное
отношение Л В к ПК равно отношению ЛВ к G, первой
к третьей из четырех линий
и, следовательно, равно от-
ношен] по второй ПК к чет-
вертой BD [56]. Поэтому
основания [FK, ПС] куба
L и тела D обратно про-
порциональны их высотам
{ПК, BD}. Отсюда следу-
ет, что эти тела равны.
Это то, что мы хотели по-
казать.
После этого займемся
шестью оставшимися трех-
членными видами. Первый
лу. Положим [линию] Л В (черт. 17) равной стороне квад-
рата, равного числу корней, тем самым она дана. Построим
с помощью построения, указанного нами выше [57], тело,
Л
Черт. 17.
вид: куб и его ребра равны чис-
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ II АЛМУКАБАЛЫ 35
ованпе которого равно квадрату АВ, а высота равна
°пС и которое равно данному числу, и сделаем ВС пер-
пендикулярной АВ. Известно, что у нас понимается под
телесным числом: это тело, основание которого—квадрат
единицы, а высота равна данному числу, т. е. линии,
отношение которой к стороне основания тела равно отно-
шению данного числа к единице. Продолжим АВ до 6’
и построим параболу, вершина которой есть точка В,
ось—BG, а прямая сторона—АВ. Это будет парабола
HBD. Опа известна по положению, как мы это показали
выше [58], и касается липни ВС. Построим на ВС полу
круг: он необходимо пересечет параболу. Пусть он пере-
секает ее в D. Опустим из D, которая, как мы знаем, будет
известна по положению, два перпендикуляра DG, DE на
BG, ВС. Они будут известны по положению и величине.
Так как линия DG есть ордината параболы, ее квадрат
равен произведению BG па АВ; следовательно, АВ будет
относиться к DG, равной BE, как BE к ED, равной GB.
Но BE относится к ED, как ED к ЕС. Поэтому четыре
линии АВ, BE, ED, ЕС пропорциональны и квадрат
первой АВ относится к квадрату второй BE, как вторая
БЕ к четвертой ЕС. Тогда тело, основание которого octi»
квадрат АВ, а высота ЕС, равно кубу BE, так как их
высоты обратно пропорциональны их основаниям. Приба-
вим к ним обоим тело, основание которого есть квадрат
АВ, а высота ЕВ. Куб BE вместе с этим толом будет равен
телу, основание которого есть квадрат АВ, а высота—ВС,
которое мы положили равным данному числу. По тело,
основание которого есть квадрат АВ, равный числу кор-
ней, а высота ЕВ, являющаяся ребром куба, будет равно
данному числу ребер куба ЕВ. Следовательно, куб ЕВ
вместе с данным числом его ребер равен данному числу
l59L Это то, что хотелось получить.
У этого вида нет многообразия случаев и невозможных
задач [60]. Он был решен с помощью свойств круга и па-
раболы.
Второй вид из шести трехчленных видов: куб и число
Равны ребрам. Предположим, что [линия] АВ (черт. 18)
есть сторона квадрата, равного числу корней, и построим
равное данному числу тело, основание которого есть
з*
36
ОМАР ХАЙЯМ
квадрат АВ. Пусть высота этого тела будет ВС и пусть
она будет перпендикулярна АВ. Построим параболу,
вершина которой есть точка В, ось имеет направление
АВ п 1 Й
DBE,
прямая сторона есть АВ, Это будет [парабола]
известная ио положению. Далее построим гипер-
болу [61], вершина которой
есть точка С, ось имеет на
правление ВС, а обе сторо-
ны, прямая и поперечная [02|,
равны ВС. Это будет [гипер-
бола] ECG. Она будет извест-
на по положению, как это
показал Аполлоний в 58-м
предложении первой книги
[вз]. Эти два конических се-
чения или пересекаются или
не пересекаются. Если они не
пересекаются, задача невоз-
можна. Но если они пересека-
ются, касаясь в одной точке
или пересекаясь в двух точ-
ках, эта точка будет извест-
на по положению. Пусть они
пересекаются в точке/?. Опус-
тим из Е два перпендикуля-
ра EF, ЕН на линии BF, ВН.
Эти два перпендикуляра необ-
ходимо известны по положению и величине. • 1иния EF есть
ордината [гиперболы] и, следовательно, квадрат ЕЕ отно-
сится к произведению BF па FC, как прямая сторона
к поперечной стороне, как это показал Аполлоний в 20-м
предложении первой книги [64]. Но прямая и поперечная
стороны равны; поэтому квадрат EF будет равен произ-
ведению BF на FC. Отсюда следует, что BF относится
к FE, как FE к FC. С другой стороны, квадрат ЕН, рав-
ной BF, равен произведению ВН на В А, как это доказано
в 12-м предложении первой книги сочинения «Конические
сечения» [65], следовательно, АВ относится к BF, как BF
к ВН и как ВН, равная EF, к FC. Поэтому эти четыре
линии пропорциональны и квадрат первой АВ относится
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ ХЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ 37
сота
этого
Черт.
квадрату второй BF, как вторая ВЕ к четвертой ВС.
Таким образом, куб ВЕ равен телу, основание которого
есть квадрат ЛВ, а высота CF. Прибавим к ним обоим
тело, основание которого есть квадрат Л В, а высота ВС,
которое мы сделали равным данному числу. Тогда куб
Вf вместе с данным числом будет равен телу, основание
которого есть квадрат ЛВ, а вы
сота BF, т. с. число ребер ку-
ба [”J.
Этим показано, что у этого
вида имеется многообразие сл> - С
чаев, а среди задач этого вида
имеются невозможные |г>7]. Он
был решен с помощью свойств
двух конических сечений па-
раболы и гиперболы.
Третий вид: куб равен реб-
рам и числу. Положи.аг [линию]
ЛВ (черт. 19) равной стороне
квадрата, равного числу ребер,
и построим равное данному
числу тело, основание которо-
го есть квадрат ЛВ. Пусть и
ВС и пусть она будет перпендикулярна ЛВ. Затем про-
должим Л В и ВС в их направлениях и построим пара-
болу, вершина которой ость точка В, ось—на продолже-
нии АВ, а прямая сторона которой есть ЛВ. Это будет
[парабола] DBE', она будет известна но положению и бу-
дет касаться линии ВИ в соответствии с тем, что показал
Аполлоний в 33-м предложении первой книги [68]. Затем
построим другое коническое сечение, гиперболу, вершина
которой есть точка В, ось—на продолжении ВС и обе
стороны, прямая и поперечная, равны ВС. Это будет ги-
пербола GBE. Опа будет известна по положению и будет
касаться линии ЛВ. Эти два конических сечения необхо-
димо пересекутся. Пусть они пересекаются в точке Е.
Эта точка также известна по положению. Опустим из
точки Е два перпендикуляра EF, ЕН. Они будут известны
и по положению и по величине. Линия ЕП есть ордината
[гиперболы] и, как показано выше, се квадрат будет равен
38
ОМАР ХАПЯМ
произведению СН и ВН. Поэтому СИ будет относиться
к ЕН, как ЕН к НВ, Но ЕН, равная BF, относится к НВ,
равной EF, которая есть ордината другого конического
сечения, как EF к АВ, являющейся прямой стороной
параболы. Эти четыре линии пропорциональны: АВ отно-
сится к НВ, как НВ к BF и как BF к СП, и квадрат пер-
вой АВ относится к квадрату второй НВ, как вторая НВ
к четвертой СН. Следовательно, куб ИВ будет равен телу,
основание которого есть квадрат АВ, а высота—СП, так
как их высоты обратно пропорциональны их основаниям.
Но это тело равно телу, основание которого есть квадрат
АВ, а высота ВС, которое мы сделали равным данному
числу, вместе с телом, основание которого есть квадрат
АВ, а высота ВН, равная данному числу ребер куба ВН.
Поэтому куб ВН равен данному числу вместе с данным
числом его ребер. Это то, что хотелось получить [69J.
Этим показано, что у этого вида пет многообразия слу-
чаев и что в его задачах пет ничего невозможного [70].
Он был решен с помощью свойств параболы и гиперболы.
Четвертый вид из шести трехчленных видов: куб и
квадраты равны числу. Положим линию АВ (черт. 20)
равной числу квадратов и построим куб, равный данному
числу. Пусть ребро этого куба будет II. Продолжим АВ
прямо и сделаем BF равной II. Дополним квадрат BFDC
и проведем через точку D гиперболу, которую не ветре-
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ
39
от [линии] ВС п BF [71]. Это будет гипербола EDN, как
ча известно в силу 4 и 5-го предложений второй книги
э 59-го предложения первой книги [72]. Гипербола EDN
”удет известна по положению, так как точка D известна
ио положению и линии ВС, BF известны по положению.
Достроим параболу, вершина которой есть точка Л, ось—
[F а прямая сторона—ВС. Это будет парабола АК.
Тогда парабола ЛА” известна по положению и эти два
конических сечения необходимо пересекутся. Пусть они
пересекаются в точке Е. Тогда Е будет известна но поло-
жению. Опустим из этой точки перпендикуляры EG, EL
па линии AF, ВС. Они будут известны по положению ц ве-
личине. Я утверждаю, что невозможно, чтобы парабола
ЛЕК пересекала гиперболу EDN в такой точке, что пер-
пендикуляр, опущенный из этой точки иа линию AF, па-
дает на [точку] F пли за пей. Пусть, если возможно, он
упадет на F; тогда его квадрат будет равен произведению
AF на FB, равную ВС, по этот перпендикуляр равен пер-
пендикуляру DF, поэтому квадрат FD будет равен про-
изведению AF па FB, а с другой стороны он будет равен
произведению BL на себя, что невозможно; поэтому пер-
пендикуляр не может упасть на F. II точно так же он не
может упасть за F, так как тогда этот перпендикуляр был
бы меньше FD, что еще более невозможно. Поэтому пер-
пендикуляр необходимо упадет на точку между Л и F,
как это имеет место для EG.
Квадрат EG равен произведению Л С па ВС, поэтому
AG относится к EG, как EG к ВС, и поверхность АВ равна
поверхности DB, как это доказано в 8-м предложении вто-
рой книги «Конических сечений» [73], и EG относится
к ВС, как ВС к BG. Поэтому четыре линии AG, EG, ВС,
BG пропорциональны. Следовательно, квадрат четвертой
BG относится к квадрату третьей ВС, как третья ВС к пер-
вой AG. Куб ВС, который мы сделали равным данному
числу, будет равен телу, основание которого есть квадрат
BG, а высота—ЛG. Но это тело, основание которого есть
квадрат BG, а высота—Л6, равно кубу BG вместе с те-
лом, основание которого есть квадрат BG, а высота—АВ.
Но тело, основание которого есть квадрат BG, а высота—
АВ, равно данному числу квадратов. Следовательно, куб
40
ОМАР ХАПЯМ
вместе с данным числом квадратов равен данному числу.
Это то, что мы хотели показать [74|. В этом виде пот мно-
гообразия случаев и среди его задач нет невозможных [75J.
Он был решен с помощью свойств параболы и гиперболы.
Пятый вид из шести остававшихся трехчленных видов:
куб и число равны квадратам. Предположим, что [линия]
АС (черт. 21) равна числу квадратов, и построим куб,
равный данному числу. Пусть ребро этого куба будет //.
Линия 7/ может быть либо равна липни ЛС, либо же быть
больше ее иля меньше. Если 11 равна Л Г, задача невоз-
можна, так как тогда ребро искомого куба будет необ-
ходимо либо равно 11, либо же меньше пли больше. Если
Черт. 21.
они равны, произведение ЛС на квадрат этого ребра будет
равно кубу 11, тогда это число будет равно числу квадра-
тов без того, чтобы добавить к нему куб. Если искомое
ребро меньше 7/, произведение ЛС на квадрат этого ребра
будет меньше данного числа, и тогда число квадратов
будет меньше данного числа без того, чтобы что-нибудь
к нему добавить, и, наконец, если ребро больше 11, его
куб будет больше произведения ЛС на его квадрат, без
того, чтобы добавить к нему число.
Если, далее, 11 больше ЛС, эти три случая тем более
невозможны. Поэтому необходимо, чтобы 11 была меньше
ЛС, иначе задача будет невозможной.
Поэтому отложим па АС [линию] ВС, равную 11. Линия
ВС будет либо равна ЛВ, либо же больше ее или меньше.
Пусть она па первом чертеже равна, на втором больше ее,
0ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ КЛГЕНРЫП \.1МУК\В\.ПЫ 41
на третьем поныне. Дополним па этих трех чертежах
гвадРаТ 11 иРовеДем через точку D гиперболу, которую
не встречают [линии I Л С, СЕ. Это будет па нервом чертеже
J)G, на втором и третьем DF. Построим затем параболу,
вершина которой есть точка .1, ось Л С, а прямая сто-
рона—ВС. Это будет па первом чертеже AF, на втором
AL, а на третьем—ЛК. Эти два конических сечения будут
известны но положению. На первом чертеже парабола
пройдет через точку D, так как квадрат DB равен произве-
дению ЛВ па ВС и D расположена на дуге параболы. Она
встретит [гиперболу] еще в другой точке, что ты можешь
определить при небольшом размышлении. На втором чер-
теже точка D будет расположена впе параболы, так как
квадрат DB здесь будет больше произведения ЛВ на ВС.
Поэтому, если эти два конических сечения встретятся
в другой точке, касаясь пли пересекаясь, перпендикуляр,
опущенный из этой точки [па Л С], необходимо упадет
между точками Л и В, и задача возможна; в против-
ном случае опа невозможна. На это касание или пересече-
ние ле обратил внимания досточтимый геометр Абу-л-
Джуд [7С], который решил, что если ВС больше ЛВ, то
задача невозможна, и упустил этот случай. Этот вид есть
тот из шести видов, в познании которого оказался бессиль-
ным Махани. Па третьем чертеже точка D расположена
внутри параболы, так что два конических сечения пересе-
каются в двух точках.
Во всех этих случаях опустим из точки встречи перпен-
дикуляр на АВ. Пусть это будет па втором чертеже FG.
Точно так же опустим из этой точки другой перпендикуляр
па СЕ; это будет FK. Поверхность FC будет равна поверх-
ности DC и поэтому GC будет относиться к ВС, как ВС
к FG. По FG ордината параболы AFL и ее квадрат равен
произведению Л G на ВС; поэтому ВС относится к FG, как
FGkGA. Тогда эти четыре липни пропорциональны,GC отно-
сится к СВ. как СВ к FG и как FG к GA. Поэтому квадрат
первой GC будет относиться к квадрату второй ВС, как вто-
рая ВС к четвертой GA, и, следовательно, куб ВС, равный!
Данному числу, будет равен телу, основание которого
есть квадрат GC, а высота GL1. Прибавим к обоим куб
GC. Тогда куб GC вместе с данным числом будет равен
42
ОМАР ХАЙЯМ
телу, основание которого есть квадрат GC, а высота
АС и которое равно данному числу квадратов. Это то, что
хотелось получить. Аналогичны этому два остальных слу-
чая, прячем в третьем случае необходимо получаются
два куба, так как каждый из перпендикуляров, [опущен-
ных из двух точек встречи конических сечений], отсечет
от С А ребро куба, [являющееся решением задачи], как
мы это только что показали I77].
Этим показано, что у этого вида имеется многоооразие
случаев и [среди его задач]
Чорт. 22.
имеются невозможные [78]. Он
был решен с помощью свойств
параболы и гиперболы.
Шестой вид из шести ос-
тававшихся трехчленных ви-
дов: куб равен квадратам и
числу.
Предположим, что линия
АВ (черт. 22) равна числу
квадратов, и построим равное
данному числу тело, высота
которого есть АВ, а основа-
ние—квадрат. Пусть сторона
этого основания будет ВС н
пусть она перпендикулярна
АВ. Дополним поверхность DB и проведем через точку С,
известную по положению, гиперболу, которую не встре-
чают [линии] АВ, AD. Это будет гипербола CEG. Построим
другое коническое сечение, параболу, вершина которой
есть точка В, ось—на продолжении АВ, а прямая сто-
рона—АВ. Это будет [парабола] ВЕН. Эти два кониче-
ских сечения необходимо пересекаются. Пусть они пере-
секаются в точке Е. Тогда Е известна по положению.
Опустим из этой точки два перпендикуляра EF, ЕК на
АВ, AD. Поверхность ЕА будет равна поверхности С А
и АК будет относиться к ВС, как АВ к ЕК. Поэтому их
квадраты также будут пропорциональны. Но квадрат ЕК
равен произведению КВ на АВ, так как ЕК есть ордината
параболы ВЕН, и, следовательно, квадрат АВ будет отно-
ситься к квадрату ЕК, как АВ к ВК. Поэтому квадрат ВС
будет относиться к квадрату АК, как ВК к АВ, и тело,
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ 43
основание которого есть квадрат ВС, а высота АВ, равно
телу, основание которого ость квадрат АК, а высота КВ,
так как основания и высоты этих тол обратно пропор-
циональны. Добавим к ним обоим тело, основание которо-
го есть квадрат АК, а высота—АВ, тогда куб Л К будет
равен телу, основание которого есть квадрат ВС, а высо-
та—АВ, н которое мы сделали равным данному числу,
вместе с телом, основание которого есть квадрат ЛА",
а высота АВ и которое равно дан-
ному числу квадратов. Таким обра-
зом, куб АК будет равен данному
числу квадратов вместе с данным
числом [79].
В этом виде нет многообразия
случаев и средн его задач нет не-
возможных [н0]. Он был решен с
помощью свойств параболы и гипер-
болы.
Изложив трехчленные виды, пе-
рейдем к рассмотрению четырех че-
тырехчленных видов, каждый из которых состоит в ра-
венстве трех членов одному члену. Первый вид из четы-
рех четырехчленных: куб, квадраты и ребра равны числу.
Положим [линию] BE (черт. 23) равной стороне квад-
рата, равного данному числу ребер, и построим тело, осно-
вание которого есть квадрат BE и которое равно данному
числу. Пусть его высота будет ВС и пусть она перпенди-
кулярна BE. Поместим BD, равную данному числу квад-
ратов, на продолжении ВС п построим на DC как на диа-
метре полукруг DCC. Дополним поверхность В К и про-
ведем через точку С гиперболу, которую нс пересекают
липин BE, ЕК. Опа пересечет круг в точке С, так как она
пересекает СК, касательную к кругу; тогда гипербола
необходимо пересечет круг во второй точке. Пусть они
пересекаются в G. Тогда G будет известна по положению,
так как круг п гипербола известны по положению. Опу-
стим пз G два перпендикуляра GF, на EK, ЕА. По-
верхность GE будет равна поверхности ВК. Если отнять
от обеих общую часть EL, останется поверхность GB,
равная поверхности LK. Поэтому GL будет относиться
ОМ \1> ХАНЯМ
к LC, как ЕВ к BL, так как ЕВ равно EL, и их квадраты
также будут пропорциональны. Но квадрат GL относится
к квадрату //’, как DL к LC но причине [свойств] круга.
Поэтому квадрат ЕВ будет относиться к квадрату BL,
как DL к LC, и тело, основание которого есть квадрат
ЕВ, а высота LC, равно телу, основание которого есть
квадрат BL, а высота DL. Но это последнее тело равно
кубу BL вместе с телом, основание которого есть квадрат
BL, а высота BD, и которое
равно данному числу квадра-
тов. Добавим к обоим тело,
основание которого есть квад-
рат BE, а высота BL, и кото-
рое равно числу корней. То-
гда тело, имеющее основанном
квадрат ЕВ, а высотой ВС,
и которое мы сделали равным
данному числу, равно кубу
BE вместе с данным числом
его ребер и данным числом
его квадратов. Это то, что мы
хотели показать [81].
В этом виде нет многообра-
зия случаев и среди его задач
нет невозможных I82]. Он
был решен с помощью свойств гиперболы и круга.
Второй вид из четырех четырехч.лепных видов: куб,
квадраты и число равны ребрам.
Положим [линию] ЛВ (черт. 24) равной стороне квад-
рата, равного числу ребер, а ВС равной данному числу
квадратов и перпендикулярной ЛВ. Построим тело, осно-
вание которого есть квадрат ЛВ, и которое равно данному
числу, и пусть его высота BD находится на продолжении
ВС. Дополнив поверхность BE, проведем через точку D
гиперболу, которую не встречают [липни] ЛВ, ЛЕ. Это
будет гипербола GDH. Построим затем другую гиперболу,
вершина которой есть точка D, ось—на продолжении
BD, а прямая и поперечная стороны равны каждая DC.
Пусть это будет [гипербола] FDH. Эта гипербола необ-
ходимо пересечет первую в D. Тогда, если возможно, что-
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВ\Х ЗАД ЧЧ АЛГЕБРЫ И АЛ МА КАБАЛЫ 45
бы эти гиперболы встретились еще в одной точке,
за 1аца возможна, в противном случае она невозможна.
Это встреча в виде касания или пересечения в двух точ-
ках основана на четвертой книге «Конических сечений»,
но мы обещали ссылаться только на две книги этого
сочинения. Во всяком случае это нисколько не вредит нам,
так как, если только эти две гиперболы встречаются, то
безразлично, происходит ли это при касании или пересе-
чении. Пойми это. Таким образом, встреча может быть
касанием или пересечением; при этом если одна из этих
гипербол пересекает другую в точке, отличной от D, то она
необходимо пересекает ее в двух точках.
Во всяком случае опустим из точки пересечен ня пли
встречи, какой бы она ни была, пусть это будет точка If,—
два перпендикуляра //1/, KHL. Они будут известны по
положению и величине, так как точка // известна по поло-
жению. Тогда поверхность J// равна поверхности AD.
Отнимем их общую часть ЕМ, остается MD, которая
равна ЕН. Затем прибавим к обеим 1)П\ тогда ML равно
EL, и стороны, так же как квадраты сторон этих поверх-
ностен, будут обратно пропорциональны. Поэтому квад-
рат АВ будет относиться к квадрату BL, как квадрат HL
к квадрату LD-, но квадрат JIL относится к квадрату LD,
как CL к LD, как мы это уже показывали несколько раз.
Поэтому квадрат АВ будет относиться к квадрату BL,
как CL к LD, и тело, высота которого есть LD, а основа-
ние—квадрат АВ, равно толу, основание которого есть
квадрат BL, а высота LC. По это последнее тело равно
кубу BL вместо с телом, основание которого есть квадрат
BL, а высота ВС, и которое равно данному числу квадра-
тов. Добавим к обоим тело, основание которого есть квад-
рат АВ, а высота BD, и которое мы сделали равным дан-
ному числу. Таким образом, куб BL вместе с данным
числом квадратов и данным числом будет равен телу, осно-
вание которого есть квадрат АВ, а высота—BL которое
равпо данному числу ребер куба BL. Это то, что хотелось
получить [яз].
Тем самым показано, что у этого вида имеется много-
образие случаев: [иногда] в его задачах находят два ребра
двух кубов, а часто в нем, т. с. в его задачах, имеется
46
ОМАР ХАЙЯМ
невозможное I84]. Этот вид был решен с помощью свойств
двух гипербол. Это то, что мы хотелп показать.
Третий вид из четырех четырехчленных: куб, ребра и
число равны квадратам.
Предположим, что линия ВЕ (черт. 25) есть данное
число квадратов, а ВС—сторона квадрата, равного числу
ребер, и ВС перпендикулярна ВЕ. Построим равное дан-
ному числу тело, основание которого ость квадрат ВС.
Пусть высота АВ этого тела находится па продолжении
ВЕ. Построим на АЕ полукруг AGE.
Точка С будет находиться либо внутри круга, либо на
его окружности, либо вне круга.
Пусть сначала она находится внутри круга. Продолжим
ВС прямо до пересечения с кругом в точке G\ дополним
поверхность АС и построим на GC поверхность, равную
поверхности АС. Это будет СИ. Точка 11 будет известна
по положению, так как поверхность СИ известна по вели-
чине, ее углы также известны по величине, а линия GC
известна по положению и величине. И она может нахо-
диться внутри круга, или на его окружности, пли вис его.
Пусть сначала она находится внутри круга. Проведем
через точку 11 гиперболу, которую не встречают [линии]
GC, СМ. В этом положении опа необходимо пересечет
круг в двух точках. Пусть они пересекаются в точках
L иАг, они будут известны по положению. Опустим из этих
точек перпендикуляры LK, NP па АЕ и из точки L пер-
пендикуляр LF на BG. Поверхность LC будет равна по-
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУК АБАЛЫ 47
верхностп СП, а СП равна С А. Прибавим с той и с другой
стороны СК. Получим, что DK равна ЕК. Поэтому сторо-
ны, а также квадраты сторон этих двух поверхностей
обратно пропорциональны. Но квадрат LK относится
к квадрату КА, как ЕК к КА в силу [свойств] круга.
Поэтому квадрат ВС необходимо относится к квадрату
ВК, как ЕК к КА\ поэтому тело, основание которого есть
квадрат ВС, а высота—КА, равно телу, основание кото-
рого есть квадрат ВК, а высота—КЕ. Но первое из этих
двух тел равно данному числу ребер куба ВК вместе
с данным числом. Прибавим с той и другой стороны куб
ВК. Тогда тело, основание которого есть квадрат ВК,
а высота ВЕ, равное данному числу квадратов куба ВК,
будет равно кубу В К вместе с данным числом его ребер
и данным числом. То же относится к кубу ВР в силу такого
же доказательства. Это в том случае, когда точки С, 11
находятся внутри круга.
Если мы построим гиперболу в том случае, когда П
находится вне круга, она может встретить круг, касаясь
или пересекая его (это тот случай этого вида, который
упоминался Абу-л-Джудом в решении задачи, о которой
мы сейчас будем говорить)х), и это приводит к тому, о чем
мы уже говорили. Но если гипербола не встречает круга,
мы всегда можем построить поверхность на линии мень-
шей пли, в другом случае, большей, чем GC. Тогда, если
гипербола не встречает круга, задача невозможна. Дока-
зательство ее невозможности состоит в обращении того,
что мы сказали.
Когда С находится на окружности или вне круга,' мы
продолжим CG прямо и построим поверхность, имеющую
один из своих углов в точке С, и, если провести через
угол, противоположный углу С, гиперболу указанным вы-
ше способом, она встретит круг, касаясь пли пересекая
его. Это узнают посредством легкого сравнения, которое
я опустил, предоставляя его в качестве упражнения чита-
телям моего трактата, так как тот, кто не будет достаточно
силен, чтобы найти это самому, не поймет ничего в этом
трактате, основанном на трех вышеуказанных сочинениях.
г) Фраза в скобках в рукописи написана на полях.—Б. Р.
48
О МАГ ХАНЯМ
Мы докажем невозможность невозможных случаев
этого вида с помощью обращения доказательства, указан-
ного нами для возможных случаев. Для этого установим
сначала, что ребро куба должно необходимо быть меньше
ЕВ, являющейся данным числом квадратов, так как если
бы ребро куба было бы равно числу квадратов, этот куб
был бы равен данному числу квадратов без добавления
чего-либо другого—числа или ребер, а если ребро куба
было бы больше числа квадратов, куб сам был бы больше
данного тела квадратов без добавления чего-либо другого.
Этим доказало, что ребро куба должно быть меньше BE.
Поэтому отнимем от BE равную ему часть, —пусть это
будет ВР, и восстановим в Р перпендикуляр до окружно-
сти круга. Затем обратим указанное нами доказательство.
Этим будет доказано, что вершина перпендикуляра будет
находиться на дуге гиперболы, о которой мы сказали, что
опа не может пересекаться с кругом. Но это невозможно.
Однако я придерживаюсь мнения, что эти испытания
могут быть трудны для некоторых из читателей этого
трактата, вследствие чего мы отбросим все предыдущее и
предложим правило, нс нуждающееся в таком испытании.
Оно состоит в построении на произвольной линии, взятой
на продолжении ВС, каково бы пи было положение точки
С, вне или внутри круга, поверхности, имеющей один из
углов в точке С и равной поверхности АС, стороны которо-
го будут необходимо известны по величине и положению,
и в проведении через вершину, противоположную углу С,
гиперболы, которую нс встречают [ шипи I GC, СМ, послед-
няя* из которых является перпендикуляром [к GC] в точке
С. Тогда, если гипербола встретит круг, касаясь или
пересекая его, задача возможна, в противном же случае
она невозможна. Доказательство невозможности будет
такое же, как я указал выше [85].
Геометр, который нуждался в этом виде, решал его,
но нс доказывал многообразия случаев и ему не приходило
в голову, что иногда решение невозможно, как мы это
показали. Итак, заметьте это и заметьте особенно послед-
нее правило, относящееся к построению этого вида, и раз-
личие между возможными и невозможными случаями L80].
Этот вид был решен с помощью свойств круга и гиперболы;
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ 49
это то, что мы хотели показать. Задача этого вида, в ко-
торой нуждался один из позднейших ученых, состоит
в том, что требуется разделить десять на две части таким
образом, что сумма квадратов обеих частей вместе с част-
ным от деления большей части на меньшую равна семи-
десяти двум. Он положил одну из этих двух частей равной
вещи, а другую—десяти без вещи, как это принято у алге-
браистов при подобных делениях. Это приводится [алге-
браическими] действиями к [уравнению]: куб вместе
с числом пять и тринадцатью с половиной его ребрами
равен десяти квадратам. В этом примере точки С, II нахо-
дятся внутри круга [87]. Этот ученый решил эту задачу,
которая не поддавалась усилиям нескольких ученых
Ирака, в числе которых был Абу-с-Сахл Кухп [88]—да
будет Аллах милосерден к ним! Но даже автору этого
решения,—да будет Аллах милосерден к нему!—несмотря
на его ученость и величину его заслуг в математике, не
пришло в голову это многообразие, а также то, что среди
задач этого вида имеются невозможные. Этим ученым был—
Аллах знает—Абу-л-Джуд или Шанин [8Э].
Четвертый вид из четырех четырехчленных уравнений:
число, ребра и квадраты равны кубу.
Предположим, что BE (черт. 26) есть сторона квадрата,
равного числу ребер, и построим равное данному числу
тело, основание которого есть квадрат BE. Пусть высота
этого тела будет АВ и пусть она будет перпендикулярна
BE, Предположим, что ВС равна числу квадратов и нахо-
дится на продолжении АВ, и дополним [поверхность] АЕ.
Придадим BE продолжение ЕМ произвольной длины и
построим на этой линии ЕМ, являющейся длиной, поверх-
ность, равную АЕ. Пусть это будет поверхность ЕН.
Точка Н тогда будет известна по положению. Проведем
через Н гиперболу, которую не встречают [линии] ЕМ,
ES, это будет [гипербола] HFK. Она будет известна по
положению. Затем построим вторую гиперболу, вершина
которой есть точка С, ось—на продолжении ВС, а прямая
и поперечная стороны равны каждая АС. Это будет
гипербола LCF. Она будет известна по положению и не-
обходимо пересечет гиперболу HFK. Пусть они пересе-
каются в точке F. Тогда F будет известна по положению.
4 Историко-матем. исследования
5о
ОМАР ХАЙЯМ
Опустим из F два перпендикуляра FG, FN на ВС, ВМ.
Они будут известны по величине и положению, и [поверх-
ность] FE будет равна ЕН, которая равна ЕА. Прибавим
к обеим EN\ тогда AS будет равна FB. Стороны этих двух
поверхностен и их квадраты будут обратно пропорцио-
нальны. Но квадрат FN относится к квадрату AN, как
NC к AN, как мы уже показывали несколько раз, в силу
[свойств] гиперболы LCF. Следовательно, квадрат ВЕ
будет относиться к квадрату BN, как NC к А\4, и тело,
основание которого есть квадрат ВЕ, а высота AN, будет
равно телу, основание которого есть квадрат BN, а высота
CN. Но первое из этих тел равно телу, основание которого
есть квадрат ВЕ, а высота АВ, и которое мы сделали рав-
ным [данному] числу, вместе с телом, основание которого
есть квадрат ВЕ, а высота BN, и которое равно данному
числу ребер куба В1\. Прибавим С топ и с другой стороны
тело, основание которого есть квадрат BN, а высота ВС,
и которое равно данному числу квадратов куба BN,
Тогда куб BN необходимо будет равен данному числу его
квадратов вместе с данным числом его ребер и данным чис*
лом. Но это мы и хотели показать [90]. .
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛЫУКАБАЛЫ 51
У этого вида нет многообразия случаев и среди его
задач пет невозможных [91].
Изложив четыре четырехчленных вида, рассмотрим
три вида, каждый из которых состоит из двух членов,
которые положены равными <вум другим членам.
Первый вид нз трех оставшихся четырехчленных урав-
нений: куб и квадраты равны ребрам и числу.
Положим BD (черт. 27) равной стороне квадрата,
который равен данному числу ребер, а СВ равной дан-
ному числу квадратов и перпендикулярной BD. Построим
равное данному числу тело, основание которого есть
квадрат BD. Пусть высота его будет S. Линия S может
быть либо больше ВС, либо меньше се, либо равна ей.
Пусть сначала5 меньше ВС. Отложим на ВС отрезок ЛВ,
равный S, дополним AD и возьмем на продолжении
BD [линию] DG произвольной длины. Построим па DG
поверхность, равную AD, пусть это будет ED. [Точка] Е
будет известна по положению, а стороны поверх пости ED
будут известны по положению и величине. Проведем через
точку Е гиперболу, которую нс встречают [линии] GD,
ВО. Это будет гипербола ЕН, [гипербола] ЕН будет из-
вестна по положению. Затем построим вторую гиперболу,
вершина которой есть точка А, ось АВ, а прямая и
4*
52
ОМАР ХАЙЯМ
поперечная стороны равны каждая АС. Это будет гипербола
АНЕ, и она необходимо пересечет другую гиперболу.
Пусть они пересекаются в [точке] II. Тогда II будет из-
вестна по положению. Опустим из II два перпендикуля-
ра НК, IIL. Оба они будут известны по положению и вели-
чине, и поверхность IID будет равна ED, которая равна
AD. Прибавим общую [поверхность] DK. Тогда поверх-
ность НВ будет равна ЛЛ/. Отсюда следует, что их сто-
роны и квадраты их сторон будут обратно пропорциональ-
ны. Но квадрат НК относится к квадрату А'Л, как СК
к АК, в силу [свойств] гиперболы АНЕ, как мы это пока-
зывали несколько раз. Поэтому квадрат BD будет отно-
ситься к квадрату КВ, как СК к АК, и тело, основание
которого есть квадрат BD, а высота ЛА\ будет равно
телу, основание которого есть квадрат ВК, а высота СК.
По это последнее тело равно кубу В К вместе
с телом, основание которого есть квадрат ВК, а высота—
ВС и которое равно данному числу квадратов. Первое из
этих двух тел равно телу, основание которого есть ква-
драт BD, а высота АВ, и которое мы сделали равным дан-
ному числу, вместе с телом, основание которого есть
квадрат BD, а высота ВК, и которое является данным
числом ребер куба. Следовательно, куб В К вместе с дан-
ным числом своих квадратов равен данному числу вместе
с данным числом своих ребер. Это то, что хотелось полу-
чить.
Если S равна ВС, то BD будет ребром искомого куба.
Доказательство. Тело, основание которого
есть квадрат BD, а высота также BD, и которое является
числом ребер куба BD, равно кубу BD. Тело, основание
которого есть квадрат BD, а высота ВС, являющееся дан-
ным числом квадратов куба, равно телу, основание ко-
торого есть квадрат BD, а высота S, и которое является
данным числом. Поэтому куб BD вместе с данным числом
своих квадратов равен данному числу вместе с данным чи-
слом ребер. Это то, что хотелось получить. Но известно,
что в этом случае куб BD вместе с данным числом будет
равен данному числу квадратов вместе с данным числом ре-
бер этого куба; отсюда вытекает, что этот случай входит
в третий вид: куб п числа равны квадратам и ребрам.
О ДОКАЗ ГГЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ II АЛМУКАБАЛЫ 53
Если S больше ВС, построим АВ, рапную S, и прове-
дем через С вторую гиперболу, обе стороны которой [пря-
мая и поперечная] равны АС. Она необходимо пересечет
другую гиперболу. Ребро куба будет также ВК и осталь-
ная часть построения и доказательство будут такими же,
как и выше, за исключением того, что здесь квадрат НК
относится к квадрату КС, как ЛК к КС [92]. Этим дока-
зано, что у этого вида имеется многообразие случаев и
разновидностей и что одна из этих разновидностей входит
в третий вид; но среди задач этого вида пет невозможных
[93]. Его решение было осуществлено с помощью свойств
двух гипербол.
Второй вид из трех оставшихся четырехчленных видов:
куб и ребра равны квадратам и числу.
Положим ВС (черт. 28) равной данному числу квадра-
тов, a BD равной стороне квадрата, который равен числу
ребер, и перпендикулярной ВС. Построим равное данному
"Черт. 28.
числу тело, имеющее основанием квадрат BD. Пусть
высота его будет S. Линия S меньше ВС, либо равна ей,
либо больше ее.
Пусть сначала [5] будет меньше ВС. Отложим па ВС
отрезок В А, равный S, дополним [поверхность] AD, по-
строим на АС, как на диаметре, круг АКС, который будет
известен по положению, и проведем через точку А гипер-
болу, которую не встречают [линии] BD, DG. Это будет
54
ОМАР ХАЙЯМ
гипербола I1AF, она будет известна по положению.
[Гипербола] IIAF пересекает AG, касательную к кругу,
и, следовательно, пересекает круг, так как, если бы она
попала между ним и AG, мы могли бы провести через
точку А касательную к гиперболе, как это изложил Апол-
лоний в 60-м предложении второй книги I94]. Тогда эта
касательная могла бы либо находиться между кругом и
AG, что невозможно, либо находиться за AG таким обра-
зом, чтобы AG была прямой линией, находящейся между
гиперболой и ее касательной, что также невозможно.
Поэтому гипербола FAII не попадает между AG и кругом
и, следовательно, пересекает его. Опа необходимо пере-
секает его в другой точке. Пусть они пересекаются в [точ-
ке] К. Тогда К будет известна по положению. Опустим
нз нее два перпендикуляра КМ, КЕ па BD, ВС. Оба они,
как ты знаешь, будут известны по положению и величине.
Дополним поверхность KD. Поверхность AD будет равна
поверхности KD. Отнимем общую [поверхность] MG
и прибавим общую [поверхность] АК. Тогда ВК будет
равна AL и стороны обеих поверхностей, так же как ква-
драты их сторон, будут обратно пропорциональны. По
квадрат КЕ относится к квадрату ЕА, как ЕС к ЕА. По-
этому квадрат BD относится к квадрату BE, как ЕС к ЕА,
и тело, основание которого есть квадрат BD и высота ЕА,
равно телу, основание которого есть квадрат BE, а высота
ЕС. Прибавим к обоим куб BE. Тело, основание которого
есть квадрат BE, а высота ВС, будет равно кубу BE вместе
с телом, основание которого есть квадрат BD, а высо-
та ЕА. Но первое тело равно данному числу квадратов куба
BE. Прибавим к обоим тело, основание которого есть
квадрат BD, а высота В А и которое мы сделали равным
данному числу. Тогда куб BE вместе с телом, основание
которого есть квадрат BD, а высота BE и которое равно
данному числу ребер куба BE, будет равно данному числу
квадратов вместе с данным числом. Это то, что хотелось
получить.
Если S будет равна ВС, то ВС будет ребром иско-
мого куба.
Доказательство. Куб ВС равен данному
числу своих квадратов и тело, высота которого есть BCt
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ 55
а основание—квадрат BD, равно данному числу, а также
равно данному числу ребер куба ВС. Поэтому куб ВС
вместе с данным числом своих ребер равен данному числу
своих квадратов вместе с данным числом. Но этот случай
входит также в третий вид, так как данное число ребер
куба ВС равно данному числу, откуда следует, что
куб ВС вместе с данным числом равен данному числу
квадратов вместо с данным числом ребер куба.
Если S больше ВС, сделаем ВЛ равной S и построим
Круг на АС, как па диаметре. Тогда Гипербола, которая
проходит через точку Л, пересечет круг в точке К, как мы
это доказали. Опустим из точки К два перпендикуляра
КЕ, КМ так же, как мы это делали па предыдущем черте-
же. ЕВ будет ребром искомого куба, что доказывается
так же, как выше. Отнимем общую поверхность ED\ сто-
роны поверхностен ЕМ, EG, так же как их квадраты,
будут обратно пропорциональны и доказательство будет
совершенно такое же, как предыдущее, без всякого изме-
нения I95]. Этим доказано, что этот вид имеет многообра-
зие случаев и разновидностей и что одна из этих разно-
видностей входит в третий вид. Среди его задач пет не-
возможных [96]. Он был решен с помощью свойств окруж-
ности п гиперболы.
Третий вид из трех оставшихся четырехчленных видов:
куб и число равиы ребрам и квадратам.
Предположим, что ВС (черт. 29) равна числу квадра-
тов, a BD перпендикулярна ой и равна стороне квадрата,
который равен числу корней. Построим тело, имеющее
основанном квадрат BD и равное данному числу. Пусть
высота этого тела будет S. Линия S может быть мень-
ше ВС, либо равна ей, либо больше се.
Пусть сначала [5] будет меньше ВС. Отложим на ВС
Отрезок ВА, равны]"! S, дополним [поверхность] BG, про-
ведем через Л гиперболу, которую не встречают [линии]
BD, DG, это будет гипербола II АЕ, и построим другую
гиперболу, вершина которой есть точка С, ось—на про-
должении ВС и обе стороны, прямая п поперечная, рав-
ны АС. Эта гипербола необходимо пересечет другую ги-
перболу. Это будет [гипербола] KCL. Пусть гиперболы
KCL и HAF пересекаются в точке М. Точка М будет*
56
ОМАР ХАЙЯМ
известна по положению, так как обе гиперболы известны
по положению. Опустим из этой точки перпендикуляры
JEV, EMO. Они будут известны по положению и величине,
поверхность DA будет равна поверхности DM и NE
равна GE, как мы это показывали несколько раз. Поэто-
му стороны этих двух поверхностей, так же как их ква-
драты, ооратно пропор-
циональны. По квадрат
ME относится к квад-
рату ЕЛ, как СЕ к
ЕА, в силу [свойств]
гиперболы KCL. Следо-
вательно, квадрат BD
будет относиться к ква-
Черт. 29.
драту ВЕ, как СЕ к ЕА, и тело, основание которого
есть квадрат BD, а высота ЕА, будет равно телу, ос-
нование которого есть квадрат ВЕ, а высота СЕ.
Прибавим к обоим тело, основание которого есть квадрат
ВЕ, а высота ВС и которое является числом квадратов
куба ВЕ. Тогда куб ВЕ будет равен данному числу своих
квадратов вместе с телом, основание которого есть ква-
драт BD, а высота ЕЛ. Прибавим с обеих сторон тело, вы-
сота которого есть В А, а основание—квадрат ВЕ и которое
мы сделали равным данному числу. Получится, что тело,
основание которого есть квадрат BD, а высота ВЕ и ког
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ 57
торое равно данному числу ребер куба BE, вместе с дан-
ным числом квадратов куба BE равно кубу BE вместе
с данным числом.
Если S равно ВС, то ВС будет ребром куба.
Доказательство. Куб ВС равен данному
числу своих квадратов, а данное число равно данному
числу ребер куба ВС. Поэтому куб ВС вместе с данным
числом равен данному числу квадратов вместе с данным
числом ребер куба. Это то, что хотелось получить. С дру-
гой стороны, куб ВС вместе с данным числом ребер будет
равен данному числу своих квадратов вместе с данным
числом, откуда следует, что этот случаи входит также во
второй вид.
Если S больше ВС, сделаем ВА равной S, дополним
поверхность [BG] и проведем первую гиперболу через . 1
и вторую также через Л. Опп пересекутся. Если они встре-
чаются второй раз, касаясь в одной точке или пересекаясь
в двух точках, как это известно по четвертой книге сочи-
нения «Конические сечения», задача будет возможна, в про-
тивном случае она будет невозможна. Если они пересека-
ются, опустим из двух точек их пересечения перпенди-
куляры, которые отсекут ребра двух кубов. Доказатель-
ство такое же, как выше, без всякого изменения [97].
Этим показано, что этот вид имеет различные случаи,
некоторые из которых невозможные [98]. Он был доказан
с помощью свойств двух гипербол.
Показано также, что эти три четырехчленных вида
входят один в другой, т. о., как мы показали, имеется
случаи первого вида, являющийся в точности случаем
второго вида, случай второго вида, являющийся случаем
третьего вида, и случай третьего вида, являющийся в точ-
ности случаем второго вида ["].
После того как мы изложили эти двадцать пять видов
предложений алгебры и алмукабалы, дополнили их и
надлежащим образом нашли частные случаи всех этих
видов, предложили правила для распознавания возмож-
ных и невозможных случаев для тех задач, среди которых
имеются невозможные, и показали, что среди большей
части этих видов не имеется невозможных [100J, рассмот-
рим доли.
58
ОМАР ХАЙЯМ
Доля вещи есть число, которое относится к единице,
как единица к этой вещи [101]. Таким образом, если вещь
есть три, ее доля есть треть, если вещь есть треть, ее доля
есть три. Точно так же, если вещь есть четыре, ее доля есть
четверть, если вещь есть четверть, ее доля ость четыре,
и вообще доля произвольного числа это доля, именуемая
по этому числу, как треть по трем, когда это число целое,
и как три по трети, когда это число дробное. Точно также
доля квадрата есть доля, именуемая по числу, равному
квадрату, будет ли это число целым или дробным; то же
самое относится к доле куба. Чтобы сделать это более
наглядно ясным, расположим эти доли в виде таблицы:
доля куба доля квадрата доля корня
1 1 1
8 4 2
единица корень квадрат куб
1 2 4 8
Доля куба относится к доле квадрата, как доля ква-
драта к доле корня, как доля корня к единице, как единица
к корню, как корень i квадиату, как квадрат к кубу.
Таким образом, эти семь последовательных степеней на-
ходятся в непрерывной пропорции. Мы будем говорить
только об уравнениях, содержащих эти степени. Что
касается доли квадрато-квадрата, доли квадрато-куба
и доли куба-куба и так далее, то они также непрерывно
пропорциональны. Но нам пет нужды упоминать их, так
как нет средств решить уравнений, содержащих эти дру-
гие степени.
Знай, что если ты рассматриваешь одну восьмую,
являющуюся долей куба, как куб, то ее долей является
восемь, что является кубом по обращению, то же самое
правило применяется к другим долям, так что четыре
степени—доля куба, доля квадрата, доля корня и еди-
ница—таковы, как куб, квадрат, корень и единица.
Например, если говорят: доля квадрата равна половпне
доли корня, это то же, как если бы сказали: квадрат
равен половине корпя. Тогда этот квадрат есть четверть,
но в действительности он является долей квадрата и иско-
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ II АЛ МУ КАБАЛЫ 59
Mbiii квадрат есть четыре, его доля—четверть п доля его
корня половина [102]. Это правило для простых [видов].
Что касается сложных [видов], то когда говорят:
доля квадрата и две доли корня равны одному с четвертые,
это то же, как если бы сказали: квадрат и два корпя рав-
ны одному с четвертью. Тогда с помощью изложенного
выше способа мы нашли бы, что корень равен половине,
а квадрат равен четверти. Но так как спрашивается о доле
квадрата и двух долях корпя, четверть, которая сначала
была квадратом, будет долей искомого квадрата и иско-
мым квадратом будет четыре [103].
То же самое для четырехчленных [видов]. Когда го-
ворят: доля куба вместо с тремя долями квадрата и пятью
долями корня равны трем и трем восьмым, это то же,
как если бы сказали: куб вместе с тремя квадратами и
пятью корнями равен трем и трем восьмым. С помощью
изложенного выше способа, основанного на конических
сечениях, мы определим ребро куба, которое будет долей
искомого корня. Поэтому положим, что это ребро отно-
сится к дайной единице, как данная единица к другой
линии. Эта линия и будет искомым ребром куба [104].
Очевидно, что имеется двадцать пять видов уравнений,
содержащих эти четыре степени, аналогичные двадцати
пяти предыдущим видам.
Что касается умножения одной из этих степеней на
другую, то это достаточно известно из сочинений алге-
браистов, и ты легко можешь это понять, вследствие чего
мы не-будем останавливаться на этом. Что же касается
уравнений, содержащих этп четыре степени и четыре
предыдущие степени, то это я сейчас покажу. Когда
говорят: куб равен десяти долям куба, т. е. десяти долям
его самого, то куб есть первая из этих семи степеней,
а доли куба—седьмая. Поэтому умножь одну на другую
и возьми корень из произведения. Результат будет сред-
ней степенью, т. е. четвертой, п будет равен искомому
кубу [105]. Для большей точности заметим, что каждое
число, умноженное па долю, именуемую по нему, обра-
зует единицу, [число], умноженное на две своих доли,
образует два, а число, умноженное па десять своих долей,
образует число десять [106]. Поэтому наш пример такой
60
ОМАР ХЛПЯМ
же, как если бы сказали: какой куб, умноженный на себя,
равен десяти; искомым кубом будет корень из десяти.
Далее определение ребра этого куба производится изло-
женным выше способом с помощью конических сечении.
Точно так же, когда говорят: какой квадрат равен шест-
надцати долям, именуемым по нему?—умножь единицу
на шестнадцать и возьми корень из произведения, кото-
рый равен четырем: это и будет искомый квадрат. Согласно
предыдущему правилу, это то же, как если бы сказали:
какой квадрат, умноженный па себя, равен шестнацати?
[107]. II точно так же, когда говорят: какой корень равен
четырем своим долям?—это то же, как если бы сказали:
какое число, умноженное на себя, образует четыре? Это
число есть два [10s].
Но когда говорят: какой квадрат равен некоторому
числу долей куба его стороны?—то решение этой задачи
не может быть выполнено с помощью изложенного нами,
так как оно зависит от определения четырех [средних
пропорциональных] линий между двумя данными линия-
ми, так, чтобы эти шесть линий последовательно находи-
лись в одном отношении [10°]. Это было показано Абу Али
ибн Хайсамом [110], да будет всевышний Аллах мило-
серден к нему! Это построение весьма трудно, и мы не
можем привести его в этом нашем сочинении. Точно так же,
когда говорят: какой куб равен некоторому числу долей
квадрата своего ребра?—нуждаются в том же предложе-
нии и невозможно решить задачу нашими способами.
II вообще, когда первая из этих семи степеней умножена
на шестую [1П], нуждаются в определении четырех линий
между двумя данными линиями так, чтобы эти шесть
линий последовательно находи шсь в непрерывной про-
порции, как это было показано Абу Али ибн Хайсамом,
да будет всевышний Аллах милосерден к нему!
II если говорят: какой куб равен шестнадцати долям
своего ребра?—первая степень умножается па пятую и
корень из корпя произведения будет ребром искомого
куба [112]. То же правило применяется всегда, когда одна
из семи степеней приравнена к такой, которая, считая от
нее, является пятой в непрерывной пропорции [113].
Что касается сложных видов, например: корень равен
о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ 61
единице вместе с двумя долями корпя, то он равносилен
[виду]: квадрат равен корню вместе с числом два, так как
три последние степени пропорциональны- трем предыду-
щим. Мы решаем изложенным выше способом, и квадрат
будет равен числу четыре, которое действительно равно
своему корню вместе с числом два. Корень из этого квадра-
та есть то, что ищется; этот корень есть два и он действи-
тельно равен единице вместе с двумя долями этого корпя
[114]. Точно так же, если говорят: квадрат и два его корня
равны единице вместе с двумя долями корня, то это равно-
сильно [тому, чтобы сказать]: куб и два квадрата равны
корню и двум. Мы определим ребро куба, как мы это
показали, с помощью конических сечении и квадрат этого
ребра будет искомым квадратом [115]. Точно так же, если
говорят: корень и число два и десять долей корня равны
двадцати долям квадрата, то это равносильно [тому,
чтобы сказать]: куб и два квадрата п десять корней равны
числу двадцать. Мы определим ребро куба с помощью
конических сечений, и это будет искомый корень [11в].
Вообще произвольные четыре последовательные степени
из этпх семи степеней можно рассматривать как один из
рассмотренных выше двадцати пяти видов.
Но когда этот ряд достигает пяти, шести пли семи сте-
пеней, совсем не существует способа для решения [задачи].
Например,когда говорят: квадрат и два корня равны числу
два и двум долям квадрата, то это невозможно решить,
так как квадрат есть вторая из этих степеней, а доля ква-
драта—шестая, так что ряд распространяется на пять
степеней [117]. Это будет служить правилом и для других
случаев.
Совокупность простых видов, содержащих эти семь
степеней, состоит из двадцати одного вида, два из которых
не могут быть решены с помощью нашего метода, но тре-
буют предложения ибн Хайсама; так что остается девят-
надцать видов, разрешимых таким методом, одни с по-
мощью свойств круга, другие—с помощью свойств кони-
ческих сечений [118]. Совокупность трехчленных видов,
содержащих три последовательные степени, состоит из
пятнадцати видов; они разрешимы с помощью свойств
круга [119]. Совокупность трехчленных видов, содержащих
62
ОМАР ХАЙЯМ
четыре последовательные степени, состоит из двадцати
четырех видов: они разрешимы с помощью свойств кони-
ческих сечений [12°]. Совокупность четырехчленных видов,
содержащих четыре последовательные степени, состоит
из двадцати восьми видов; они разрешимы с помощью
конических сечений [121]. Таким образом, совокупность
видов, содержащих эти семь степеней и разрешимых с по-
мощью методов, изложенных нами, состоит из восьмиде-
сяти шести видов, причем из них были упомянуты в сочи-
нениях моих предшественников только шесть видов.
Для того, кто опирается на изложенные предложения и
в то же время обладает природной силой ума и опытом
в задачах, не будет ничего скрыто в задачах, представляв-
ших трудности для предшественников. На этом нам пора
окончить этот трактат, вознося хвалу всевышнему Аллаху
и благословляя всех его пророков.
Это [нужно добавить].
Через пять лет после составления этого трактата один
человек, малознакомый с геометрией, рассказал мне, что
геометр Абу-л-Джуд Мохаммед ибн Лейс—да будет Аллах
милосерден к нему!—написал трактат о перечислении
этих видов и об анализе большинства с помощью кониче-
ских сечений, однако без полного рассмотрения их слу-
чаев и без различения возможных задач от невозможных,
давая только то, к чему приводит рассмотрение отдель-
ных задач этих видов. Это весьма вероятно, так как два
вида, о которых мы говорили, что они принадлежат одному
[из моих предшественников], приписываются ему. Ты
можешь найти их среди сочинений Абу-л-Джуда, перепи-
санных Хазими Хорезмих).
Один из этих видов—трехчленный, а именно: куб
и число равны квадратам. В нем имеются различные слу-
чаи, причем эти случаи подчинены некоторым условиям,
как показано в этом трактате. Но он не излагает этих усло-
вий полностью, а затем он снова ошибается в связи с этим
видом, утверждая, что если ребро куба, равного данному
х) Ал-Хазпмй ал-Хуваризмй.
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АЛМУКАБАЛЫ 63
числу, больше половины числа квадратов, задача невоз-
можна. Но это не так, как мы это доказали. Причина этого
состоит в том, что он не заметил, что два конических сече-
ния в этом случае могут касаться или пересекаться.
Второй вид—четырехчленный, а именно: куб вместе
с числом и ребрами равен квадратам, и, клянусь жизнью,
он знал эту задачу лучше всех, тогда как геометры были
бессильны перед этой задачей. Однако эта задача является
частной, и у этого вида имеются различные случаи, в за-
висимости от условий, и среди его задач имеются невоз-
можные. По он не дал полного изложения, которое сле-
довало дать. Я сказал все это для того, чтобы то, кому
встретятся оба трактата,—если только то, что мы расска-
зали об этом ученом, точно,—смогли бы сравнить этот
мой трактат с тем, который приписывается этому ученому.
Я думаю, что я не пренебрег никаким усилием для того,
чтобы сделать мое изложение полным и в то же время
кратким, чтобы избежать многословия. Если бы я захотел,
я легко мог бы дать примеры каждого вида и их случаев.
Но, боясь многословия, я ограничился изложением общих
правил, доверяя уму учащегося, так как тот, кто хорошо
представляет этот трактат, не будет остановлен частными
примерами и относящимся к ним подбором. К успеху при-
водит содействие Аллаха, он—наше прибежище во всех
случаях.
Добавлю следующее. Один из наших друзей настойчиво
просил нас изложить ошибку Абу-л-Джуда Мохаммеда
ибн Ленса при рассмотрении пятого из шести трехчленных
видов, разрешимых с помощью конических сечений. Это:
куб и число равны квадратам.
Абу-л-Джуд говорит: положил! число квадратов рав-
ным линии АВ (черт. 30) и отложим па АВ отрезок ВС,
равный ребру куба, который равен числу. Линия ВС будет
либо равна С А, либо больше ее, либо меньше.
Он говорит (черт. 30, а): когда С А равна ВС, дополним
-(квадратную] поверхность СЕ и проведем через D гипер-
болу, которую не встречают [линии] АВ, BE. Построим
также параболу, вершина которой есть точка А, ось—АВ,
а прямая сторона ВС. Эта парабола необходимо пройдет
через точку D, как мы это доказали. Далее он думал, что
64
ОМАР ХАЙЯМ
два конических сечения касаются в точке D. Но в этом он
ошибался, так как они необходимо пересекаются.
Доказательство. Сделаем BG равной В А
н соединим AG. Тогда AG необходимо пройдет через точку
D и будет [своей частью AD] внутри параболы. Угол ADB
будет прямыми угол ABD будет равен углу GBD. Известно,
что ось гиперболы делит угол, объемлющий гиперболу
[122], пополам. Поэтому линия BDF есть ось гиперболы,
проходящей через D. Но линия AD параллельна ордина-
там [гиперболы], вследствие чего она касается гиперболы.
Отсюда необходимо следует, что парабола пересекает
гиперболу п не может находиться между гиперболой и каса-
тельной к гиперболе, так как если бы парабола касалась
этой касательной к гиперболе, лпнип, проведенные из
точки D к произвольной точке дуги AD [параболы], попали
бы между параболой и ее касательной, что невозможно.
Отсюда с необходимостью следует, что парабола пересе-
кает гиперболу еще в другой точке, находящейся между А
и D. Это то, что мы хотели показать. Таким образом, этот
ученый ошибся, считая, что эти два конических сечения
необходимо касаются в точке D.
о доказательствах задач алгебры и алмукабалы 65
Далее, что касается слов: когда ВС больше С А, задача
•невозможна, так как эти два конических сечения не встре-
чаются,—то это утверждение ошибочно. Напротив, они
вполне могут встретиться, пересекаясь или касаясь,
в одной или двух точках, находящихся между А и I), как
мы показали выше. Для этого имеется более общее доказа-
тельство, чем то, которое мы предложили.
Пусть число квадратов будет АВ, ребро куба, [равного
данному числу], ВС, причем оио больше половины АВ.
Дополним [поверхность] СЕ и построим два конических
сечения способом, который ты уже знаешь (черт. 30, б).
Пусть АВ равна десяти, a GB—шести. Произведение ее
квадрата па GA равно ста сорока четырем. Это будет дан-
ное число; его ребро, [т. о. ребро куба, равного этому
числу], будет ВС и ВС необходимо будет больше пяти,
так как куб пяти есть сто двадцать пять. Тогда тело, осно-
вание которого есть квадрат GB, а высота GA, равно
кубу ВС. Поэтому их основания обратно пропорциональны
их высотам, т. е. квадрат GB относится к квадрату ВС,
как ВС к GA. Восстановим в G перпендикуляр, который
пересечет гиперболу в точке II, и дополним [поверхность]
НВ. Поверхность НВ будет равна СЕ. Поэтому их стороны
будут обратно пропорциональны, т. е. GB относится к ВС,
как ВС к GII. Поэтому квадрат GB относится к квадрату
ВС, как GB к GH. Но это отношение было равно отноше-
нию ВС к GA п GB относится к G1I, как ВС к GA. Будет
иметь место также и переставленная пропорция [123].
Поэтому четыре линии GB, ВС, Gil, GA последовательно
пропорциональны и квадрат GII равен произведению ВС
на GA. По ВС есть прямая сторона параболы, для которой
АВ—ось, а А—вершина; следовательно, GH есть орди-
ната этой параболы и точка II будет необходимо находиться
на ее дуге. Но II уже находилась па дуге гиперболы, сле-
довательно, эти два конических сечения встречаются и этим
обнаружена ошибка Абу-л-Джуда, утверждавшего, что
эти два конических сечения не встречаются. Это то, что
мы хотели [показать].
Для того чтобы сделать это более ясным, положим АВ
равной восьмидесяти п ВС, являющуюся ребром куба,
равного данному числу, равной сорока одному, так что
5 Историно-матем. исследования
66
ОМАР ХАЙЯМ
она будет больше АС. Точка D будет находиться вне пара-
болы (черт. 30, в). Пусть парабола проходит через точку L.
Тогда линия LC будет равна корню из тысячи пятисот
девяноста девяти, что меньше сорока па небольшое коли-
чество. Сделаем FC равной СВ, В11 равной BF и соединим
FH. Тогда, как мы доказали, F11 будет касательной к ги-
перболе. Отложим отрезок АК, равный четверти АС,
и восстановим в К перпендикуляр, который пересечет
параболу в точке Л/. Квадрат LC будет относиться к ква-
драту КМ, как АС к АК, так как две первые линии являют-
ся ординатами параболы, что было доказано Аполлонием
в 19-м предложении первой книги [124]. Поэтому КМ
будет половиной LC, т. е. равна двадцати без небольшого
количества. Далее CF равно сорока одному, АК—девяти
и трем четвертям, a AF—двум. Поэтому КС будет равно
одиннадцати и трем четвертям, так как KG относится
к KF, как 11В к BF, а эти две линии равны. Отсюда сле-
дует, что линия GM будет больше восьми. Она нахо-
дится по эту сторону касательной к гиперболе и в этом
положении необходимо будет внутри гиперболы, так что
эти два конических сечения не встречаются, когда
ВС больше С А. Но это не во всех случаях обязательно и
Абу-л-Джуд ошибся в своем утверждении [125]. Пойми
это. Если хочешь, можешь найти числовые примеры.
Эта задача приводит к задаче приложения к данной
линии тела, которое за вычетом куба равно данному дру-
гому телу. Поэтому, если ребро куба, равного данному
телу, равно половине этой линии или меньше ее, построе-
ние необходимо возможно, по если оно больше ее, в задаче
может быть невозможное в соответствии с тем, что мы тебе
показали [126].
Аллах облегчает разрешение этих трудностей своими
благодеяниями и великодушием.
Трактат закончен в полдень воскресенья двадцать
третьего [числа] месяца первого рабпя... года [127].
Хвала Аллаху, единственному и всеудовлетворяющему.
Поклон избранным им его рабам.
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ
КНИГИ ЕВКЛИДА
ТРАКТАТ В ТРЕХ КНИГАХ
СОЧИНЕНИЕ СЛАВНЕЙШЕГО ШЕЙХА, ИМАМА
«ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ИСТИНЫ»
АБУ-Л-ФАТХА ОМАРА ИБН ИБРАГИМА ХАЙЯМА1)
Во имя Аллаха всемилостивого, всемилосердного!
Хвала Аллаху милостивому и щедрому, мир избран-
ным его рабам и в особенности главе пророков Мохаммеду
и всему его святому потомству.
Изучение наук и постижение их с помощью истинных
доказательств есть одна из вещей, необходимых тому,
кто хочет спасения и вечного счастья; в особенности это
относится к общим законам п правилам, к которым при-
бегают для изучения воскресения, доказательства суще-
ствования души и ее бессмертия, постижения качеств
всевышнего Аллаха и ангелов, порядка творения и дока-
зательства пророчеств господина, повелениям и запре-
щениям которого повинуются все творения в соответствии
с соизволением всевышнего Аллаха и силами людей.
Что же касается частных предметов, то их нельзя рас-
положить в одном порядке, так как их причины бес-
численны, вследствие чего разум творений не может
х) Рисала фй шарх ма ашкал мин мусадират китаб Уклйдас,
салас макалат, таснйф аш-шейх ал-имам ал-аджалл худжат ал-
хакк Абй-л-Фатх 'Умар ибн Ибрахим ал-Хаййамй.
5*
68
ОМАР ХАЙЯМ
попять их полностью,—можно понять только то, что
постигается чувствами, воображением и мыслью.
Раздел философии, называемый математикой, является
самым легким нз всех разделов с точки зрения предста-
вления и доказательств. Что касается арифметики, это
совершенно ясно. Что же касается геометрии, то это
также ясно для того, кто обладает здравым смыслом, про-
ницательным умом и острой интуицией. Этот раздел фило-
софии сообщает нам гибкость, укрепляет соображение,
приучает пас ненавидеть недоказанное, так как его ис-
ходные положения общеизвестны, доказательства лег-
ки, в нем воображение помогает разуму и мало противо-
речивого .
Из логической пауки, из «Второй Аналитики» []] изве-
стно, что в каждом доказывающем искусстве имеется пред-
мет, в котором рассматриваются как существенные, так
и случайные свойства. В нем имеются также предпосылки,
являющиеся исходными положениями при доказатель-
ствах,—это пли аксиома, как целое больше части, пли
доказанное в другом искусстве, или постулат, не доказы-
ваемый в этом искусстве, но служащий для определения
его предмета и [доказательств] предложений о нем. Если
же действительное определение предмета и положений
искусства невозможно, его все же можно описать неко-
торым удовлетворительным образом.
Эти вопросы весьма подробно разбираются в логиче-
ском искусстве, во «Второй Аналитике», куда и следует
обращаться.
>1 всегда страстно желал тщательно рассмотреть эти
науки, исследовать их и различить одни их части от дру-
гих, и в особенности сочинение «Начала геометрии», так
как оно является основанием всей математики, а прин-
ципы геометрии являются принципами всей математики.
Что касается точки, линии, поверхности, угла, круга,
прямой липни, плоской поверхности и тому подобных
принципов, то их установлением и истинным определе-
нием занимаются то, кто владеет общей наукой философии.
Точно так же такие предпосылки, как деление величии
до бесконечности и проведение из данной точки к любой
другой точке прямой линии и тому подобное, не являются
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 69
аксиомами и не очевидны без доказательства. Это также
дело философа.
Что же касается таких постулатов, как [о существова-
нии] квадрата], пятпуголышк[а], треугольника] п тому
подобное, автор сочинения дает в начале только поминаль-
ные определения [этих понятий] и обосновывает эти посту-
латы в самой книге [2]. В то же время он приводит без
всякого обоснования важный! постулат: всякие две прямые
линии, пересекающие прямую линию в двух точках
с одной стороны, с которой [их внутренние углы] меньше
двух прямых углов, встречаются с этой стороны [3]. Он
считает это очевидным, но этот вопрос геометрии может
быть доказан только в пей. Это необходимо для геометра,
который, хочет он этого или не хочет, имеет право осно-
вывать что-либо на нем только после его доказательства.
Мне известны многие, размышлявшие над этим сочине-
нием и разрешившие его неясности, но совершенно нс
уделившие внимания этому вопросу, вследствие его труд-
ности, как, например, Героп [4] и Евтокнй [5] из древних.
Что же касается таких позднейших ученых, как Хазин [®],
Шанни [7], Табризи [8], которые пытались доказать
это [т постулат], то никому из них не удалось представить
строгого доказательства, каждый из них основывался
на том, что является не более легким допущением, чем
доказываемое. Если бы экземпляры этих сочинений не
были так многочисленны и если бы знакомых с этими сочи-
нениями не было так много, я привел бы здесь это и пока-
зал бы их постулаты и причины их ошибок; ты очень
легко можешь узнать это из их строк.
Далее мне известно сочинение Абу Али ибн Хайсама [9],
Да будет Аллах милосерден к нему, озаглавленное «Раз-
решение сомнений в первой книге» [«Начал»]. Вначале
я не сомневался, что он занимался этой предпосылкой
и доказал ее, но когда я с радостью стал читать это сочи-
нение, я обнаружил, что автор намеревался поместить
этот постулат в начале книги среди других принципов,
не нуждающихся в доказательстве, что привело его к чрез-
ычаииым затруднениям. Он изменил определение парал-
этог Н°СТИ И сделал странные вещи, совершенно не в духе
искусства. В частности, он говорил: если прямая
70
ОМАР ХАЙЯМ
линия, перпендикулярная к другой [прямой] линии,
движется по ней, сохраняя перпендикулярность к этой
линии, то ее второй конец образует прямую линию и обра-
зованная таким образом линия параллельна неподвиж-
ной линии. Далее он берет эти две линии, двигает их,
что совершенно не в духе этого искусства, и создает эти
трудности и неприемлемые вещи для того, чтобы оправ-
дать помещение этого постулата в начале книги [10]. Эти
слова ни в каком случае не имеют отношения к геометрии.
Как может линия двигаться по двум линиям, сохраняя
перпендикулярность к ним, и откуда следует возмож-
ность этого? Какое отношение имеется между геометрией
и движением и что следует понимать под движением?
Согласно ученым несомненно, что линия может существо-
вать только на поверхности, а поверхность—в теле, т. е.
линия может быть только в теле и не может предшествовать
поверхности. Как же опа может двигаться отвлеченно
от ее предмета? Как линия может быть образована дви-
жением точки, в то время как она предшествует точке
по своему существу и по своему существованию? I11], I12].
Он [ибн Хайсам] говорит, что Евклид в начале одинна-
дцатой книги определяет сферу подобным образом, именно,
что он [Евклид] говорит: сфера получается при вращении
полукруга после его возвращения в исходное положение
[13]. В ответ мы скажем, что известно действительно ясное
определение сферы—она есть телесная фигура, ограни-
ченная одной поверхностью, внутри которой имеется
такая точка, что все прямые линии, выходящие из нее
к окружающей поверхности, равны. Но Евклид по небреж-
ности опустил это определение. В книгах о телах много
небрежностей и доверия к опыту изучающего, приобре-
тенному им до занятий этим. Если бы это определение
имело какой-нибудь смысл, мы могли бы определить круг
следующим образом: круг есть плоская фигура, полу-
чающаяся при вращении прямой на плоской поверхности,
причем один ее конец закреплен на своем месте, а другой
возвращается в свое исходное положение. Но, отвергая
определения такого рода, дающие место движению, и
устраняя все, что не может быть включено в основания
этого искусства, мы должны отвергнуть такие сочинения,
КОММЕНТАРИИ к ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 71
бы не впасть в противоречие с законами доказательств,
ЧТ° вилами и общими понятиями книг по логике. Далее,
П ределение сферы Евклида не совпадает с определением
этого мужа [ибп Хайсама!, так как Евклид знал эту вещь
и не недопустимым образом, эта вещь известна многими
другими способами, его неприемлемое определеиие не
ставится в качестве предпосылки значительного дела и он
переходит от этого определения к лучшему, в то время как
этот муж [ибн Хайсам] старается сделать этот вид непри-
емлемого определения предпосылкой того, что нуждается
в доказательстве. Между определениями этих двух мужей
имеется большая разница. Таковы неясности в начале
первой книги.
Что касается неясностей в начале пятой книги, в кото-
рой говорится об отношениях п их видах и о пропорциях
и их разновидностях, они состоят в том, что неизвестен
истинный смысл пропорции с точки зрения геометрии, о ко-
тором мы будем говорить во второй книге этого трактата.
Мы не нашли никого, ни среди древних, ни среди
позднейших, кто говорил бы о смысле пропорции удовле-
творительно с философской точки зрения. Кое-что я нашел
только у Абу-л-Аббаса Табризи, который много говорил
о смысле отношения и пропорции. Вначале я думал, что
его изложение удовлетворительно, но прочтя и обдумав
его, я увидел, что оно нуждается во многих предпосылках,
которые опускаются или не упоминаются, так что оно
также страдает многими недостатками, о Аллах, может
быть, за счет отсутствия нескольких страниц, которые
мы, если будет угодно Аллаху, восполним.
В начале этой главы он [Евклид] помещает без дока-
зательства утверждение о составных отношениях, говоря:
Для всяких трех величин отношение первой к третьей
составлено из отношения первой ко второй и отношения
второй к. третьей [14].
Заметив недостатки в этих трех местах, невразуми-
тельно изложенных и не исправленных, я решил их
исправить. Сейчас я молю всевышнего Аллаха о жизни
и успехе и крепко держусь за веревку его помощи. Я соста-
вил этот трактат в трех книгах: первая из них—о парал-
лельных и разрешении относящихся к ним сомнений,
72
ОМАР ХАЙЯМ
вторая—об истинном смысле отношений величин и об
их пропорциях, третья—о составном отношении и всем,
что к нему относится.
Аллах помогает нам во всех случаях, он наше прибе-
жище, паша надежда, наш лучший помощник.
ПЕРВАЯ КНИГА
ОБ ИСТИННОМ СМЫСЛЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
II ОБ ИЗВЕСТНЫХ СОМНЕНИЯХ
Во имя Аллаха всемилостивого и всемплосердного.
Успех спасения в руке Аллаха.
Необходимо убедиться в том, что причина, из-за которой
Евклид не приводит доказательства этой предпосылки
и помещает ее в начале, состоит в
его воре в заимствованные у фи-
лософа принципы [15] о смысле
прямой линии и прямолинейного
угла, когда он считает, что при-
чиной встречи двух прямых линий
является то, что он поместил в на-
чале.
Пример. Линия АВ (черт. 1)—
прямая, а линия GC1I пересекает
со под прямым углом в точке С,
точно так же линия FDK—в точке
D и LEM—в точке Е. Этот прямой угол равен двум дру-
гим. Поэтому линия GC не может быть наклонена к АВ
ни в какую сторону, как бы мы ни продолжали ее в обоих
направлениях. То же самое по отношению к DF. Поэтому
линия DF не встречает липни GC, так как если бы она
встречала се, одна из этих линий или обе были бы на-
клонны к липин АВ с одной из ее сторон [16]. То же
относится к НС, KD и ME.
Если мы предположим, что CD и DE равны, мы заклю-
чаем, что поверхность GCDF, т. е. место, ограниченное
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 73
ми двумя линиями, налагается на поверхность FDEL.
Но если две линии GC, FD встречаются, то и две линии
FS EL пересекаются в той же точке. Тоже самое произо-
шло бы со всеми линиями, восстановленными под прямыми
углами, если-их основания равны. То же самое имеет место
с другой стороны, т. е. для НС, DK и т. д.
Отсюда следует, что первое утверждение [то, что пря-
мые, перпендикулярные к одной прямой, пересекаются]
невозможно [1' ].
Из этого утверждения следует также, что две липни
GH, FD шт расходятся, пи сходятся, так как и из расхо-
ждения и их схождения также следовало бы указанное
невозможное. Поэтому линии, перпендикулярные к АВ,
параллельны и расстояние между ними постоянно, т. е.
они не расходятся и не сходятся [18].
Далее, если к одной из двух сторон проведена наклон-
ная линия, например, линия ES к стороне АЕ, она необ-
ходимо встретится с FD, так как ES и EL расходятся и
расстояние между ними достигает [любого] заданного
предела, а угол SED меньше прямого, вследствие чего
два угла SED, SDE [вместе] меньше двух прямых [19].
Поэтому Евклид считал, что причиной встречи прямых
ES и SD является то, что дна угла меньше двух прямых.
Считая так, он был прав, ио это может быть доказано
только с помощью дополнительных разъяснений. Такова
причина, по которой Евклид считал эту предпосылку оче-
видной и основывался па ней без доказательства.
Клянусь жизнью, эти рассуждения — полностью вооб-
ражаемые, но здесь необходима помощь разума и это его
право. Можно привести доказательство и против этого,
хотя оно лишь похоже на довод, как мы уже упоминали.
Это доказательство недостаточно и не всесторонне, так как
в начале он [Евклид] помещает целый ряд фактов, не
являющихся аксиомами, по оставляемых им без доказа-
тельства.
Как Евклид позволил себе согласно своему убежде-
нию поместить это утверждение в начале, в то время как
он Доказывал гораздо более простые факты, например,
третьей книге то, что равные центральные углы высекают
па окружностях разных кругов равные дуги? [20]. Это
74
ОМАР ХАЙЯМ
хорошо известно из принципов, так как равные круги
могут быть наложены друг на друга, так же как равные
углы, но при этом дуги необходимо наложатся друг на
друга, т. е. они равны. Кто доказывал таким образом,
не нуждается в указанном доказательстве.
Или, например, его доказательство в пятой книге:
одна величина к двум равным величинам имеет то же
отношение I21]. Если отношение к величине образуется
с тон точки зрения, что эта величина является мерой, то
зачем нужно доказательство? Потому что две равные
величины с той точкп зрения, что они являются мерой,
одинаковы и между [ними] нет никакой разницы. С этой
точки зрения они действительно тождественны и разли-
чие между ними является только различием счета [22].
Пойми это.
Точно так же в книгах о телах он опускает многое,
нуждающееся в доказательстве, однако эти предпосылки
не особенно важны, иначе он доказал бы их. Мы займемся
ими во вторую очередь и с помощью Аллаха исправим
эти книги.
Среди тех, которые занимались этой книгой, Хадж-
джадж [23] просто перевел эту книгу, не исправляя ее.
Что же касается Сабита I24], то он также по существу
только переводчик, хотя он и сделал несколько испра-
влений.
Те же, которые намеревались комментировать эту
книгу и разрешить ее сомнения, как Герои Механик и Евто-
кпй и другие из древних и Абу-л-Аббас Табризи и другие
из позднейших, должны были привести доказательства
подобных утверждений и глубоко продумать их, а на самом
деле они только опровергали прямое утверждение обрат-
ным или обратное прямым. Если известно действительное
доказательство чего-нибудь, это доказательство годится
и для прямого и для обратного утверждения. Но какой
смысл имеет опровергать прямым утверждением обрат-
ное и оставлять эти утверждения без доказательства?
Причина ошибки позднейших ученых в доказательстве
этой предпосылки состоит в том, что они не учитывали
принципов, заимствованных у философа, и не оспаривали
количества [утверждений], приведенных Евклидом в на-
коммента^!!
К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 75
ле перв01"1 книги, в то время как это количество недо-
43 точно и .имеется много необходимых утверждений, кото-
должны предшествовать [изложению] геометрии.
Р Например, среди них [принцип 1]: величины
можно делить до бесконечности, т. е. они не состоят из
неделимых [251. Это философское утверждение необхо-
димо геометру для его искусства. Не следует думать, что
в нем имеется порочный круг. Поскольку философ принял
круг и прямую линию и другие принципы геометрии, он
может привести для этого «доказательство того, что это
так», но не «доказательство того, почему это так» [26], [27],
поэтому по существу это утверждение должно быть пред-
посылкой геометрии, а не ее составной частью.
II среди них [принцип 2]: прямую линию можно
продолжать до бесконечности [28]. Но хотя философ дока-
зывает, что все тела ограничены и вне них нет ни пустоты
ни полноты, он в то же время указывает обстоятельства,
когда геометр имеет право сказать: это бесконечно или
может быть продолжено до бесконечности [29].
И среди них [принцип 3]: всякие две пересекаю-
щиеся прямые линии раскрываются и расходятся по мере
удаления от [вершины] угла пересечения [30].
И среди них [принцип 4]: две сходящиеся прямые
линии пересекаются и невозможно, чтобы две сходящиеся
прямые линии расходились в направлении схожде-
ния [31].
Эти последние утверждения можно доказать с помощью
«доказательства того, что это так», геометрическим путем,
как ты легко сообразишь [32].
И среди них [п р и н ц и п 5]: из двух неравных огра-
ниченных величин меньшую можно взять с такой крат-
ностью, что она превзойдет большую [33]. Может быть,
это утверждение является аксиомой такого рода, что ее
можно постигнуть только после размышления.
Имеются и другие ясные предпосылки и аксиомы. Но
Евклид не привел большинства из них в начале своей
книги, в то время, как он привел совершенно излишние
аксиомы, которые не следовало приводить вовсе,—пли же
нужно было приводить все аксиомы, не упуская ни одной,
Даже если они совершенно очевидны.
76
ОМАР ХАЙЯМ
Мы указали выше причины ошибки Абу Али, вслед-
ствие чего нам не нужно делать это второй раз.
Теперь мы должны принять двадцать восемь предло-
жении книги «Начала», так как они не нуждаются в этой
предпосылке. По в ней нуждается двадцать девятое пред-
ложение, выражающее закономерность параллельных
линий. Поэтому тот, кто хочет, пусть поставит первое
предложение этой книги вместо двадцать девятого пред-
ложения первой книги, включая его, если захочет
Аллах, в содержание книги.
Здесь ты увидишь истинное «доказательство того,
почему это так» при помощи и благосклонности Аллаха;
кто прибегает к нему, он руководит
С пм п удовлетворяет его.
Пр е д л о ж е н и е 1. (29 [пред-
ложенпе I книги] «Начал»).
Дана [прямая] линия АВ (черт. 2).
Проведем линию АС, перпендикуляр-
пую АВ, и построим линию BD, так-
Черт. 2. же перпендикулярную АВ и равную
линии АС. Они параллельны, как
показано Евклидом в предложении 26 [34]. Соединим
CD [Зо]. Я утверждаю, что угол ACD равен углу BDC.
Доказательство. Соединим СВ и AD. Тогда,
так как АС равна BD, АВ общая, а углы А и В прямые,
то основания AD и СВ равны и другие углы равны другим
углам [36]. Поэтому углы ЕАВ и ЕВА равны и линии АЕ
и ЕВ равны, так же как оставшиеся DE и ЕС. Поэтому угол
EDC равен [углу] ECD, [угол] АСВ равен [углу] ADB,
и углы ACD и CDB равны. Это то, что мы хотели
показать.
Отсюда следует, что если углы С АВ и DBA равны и
линии АС и BD также равны, углы BDC и ACD необхо-
димо равны.
Предложение 2. (30 [предложение I книги]
«Начал»).
Рассмотрим снова фигуру ABCD (черт. 3), разделим АВ
пополам в £ и проведем EG перпендикулярно к АВ.
Я утверждаю, что CG равна GD ц что EG перпендику-
лярна DC.
ijf. У ЧАЦ *р»Л-** & у.
JI */£*• j>«l »•* J- -jU-j»J)oyta. j U>l
ji j UjJVIj fttUI оЬдЛ у C-.J V<l
jl, JU ^X\\, . ib>r oyiulaw l«je. cJdljbJI
CA UJ , ^%-У1 4 if* 9 **» «.L£=»
•Й" У, J* *,«£>•$»
y>jXj/y U*KJ)^ 9 j**
J° 0& •->-? 9 «A>.J!^ уМ*/ 9
uwi, uyjl jb fZ^\»J3 ‘«j yen, j iwb jtU
L4U4 <<yS* । •**> Jj£ й^х Az У & J'
Ул-/* J*-l ^zj <—aitM^I fXULj'/'» Li Lfc-ji jK"
tfjUy МДЛ.Д* jU/ j y>WWi U <
j-^J yjJBl **J9^ «J-^U^J6 j*.»U2bt f »Sj»LN
'rJ« JllL-llJ» мДЙДь yC JjVU-i.l
if*j« C«J j 4 \У У«> f^iS /mKJIJ Li '.i^.S' *-Zjt
У ) <«L*J ttre. *?-& <-* Д* j f-Х У'-*
j) ‘«t** W* «>• ,Хк »Л »>••«! •J*1* <Z »Z—*W<
(j>b yi.> |^«иЛЬ»Лд lil 9»-^^ *^t
. P >ZV ')* *5аЯ “** cX*- 4:4 **Ъ<
ц- , Ubrl M- ‘-Я * v> 3*4,
«ул & 9 ^>4^э 4*Х*« «Л 4—> ba. o' <£-»
vkTj- Jfl €%У э Ur A ^J, **e. (1-гУ1 0» >
. »l*wyu JI £ A 13* J .tj« jJ. 1д* JA trA*» 3 >!
tLM, tlAVI JI 1-4.» оЛЕ. Jik / J UL ,
^jfUUl £~Л ;A>JI J V*> *>ъ L*4i- J
.J’WIJI ois^«* £,’йМ^ Зл-Ъ^ыь W
v.A «> ц! Ui^ y^*. J «X- «>*^1 ЦМ1 ♦•** j
(^JL'lc* v-*ci» <у.^д** «X *3' «Л4 *** l*^" v*x*e
JJ j -лТЯ у J* jl «А.
*Jjl с4*Д« оХч > чЗ"^1 •*: ^1 «лА у *3)1 »-л?1
* 1^.\-rC5Cj)j > ^*f*L 4*Ь р.1 (/•ДИ ) •!•** у
• ^-.1 и? уЦ У J у.*1/* «У > ,Л“ *rfc Qr*^ J*
**’ l/>^ «Л O’ 9 l»x •‘•Ч <й’л* У “:*?• *-« Jt P
. If u/'i JI U <>l> Xi. ok ^1 b* fJui Ui tyri
Ц.1> J)-M »jL:X у 'Л&»с , cU Д_ J ,
«/5-*^ J_U»vJI i*‘l J «4^J| r<*_* <—Г Lm. ft
e'c i’A’HI •»>r Jl-*'.^ i
j^JI , £_bl jT-J! *>., JOJI ..U у J,y| J5^|
lj*) .rtlclljl J V>-b oX- J* Jpfl 3iUly
у>*л J**’l !** a4 J^1 Уа**1 A Jl J y*
. .L5 ., .1д> vk /у у J Mjy
H '4-»« J OJ
Пять «принципов, заимствованных у философа». (Фотоснимок из тегеранского издания
трактата Хайяма «Комментарии к трудным постулатам книги Евклида».)
(vi) bj. -JjVi j&ui b-Ab (* *)j (^) CMS Wj( ’) tub} (~.)
(~i) > (-1) } [rj]
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 77
Доказательство. Соединим DE и ЕС. Так как
ЛС равна BD, АЕ равна ЕВ и углы Л, В прямые, то осно-
вания DE и ЕС равны и углы ЛЕС и BED также равны
[37] и оставшиеся [углы] DEG и GEC также равны и линия
DE равна ЕС, a EG общая, откуда следует, что треуголь-
ник [С ЕЕ] равен треугольнику [GED] и их остальные
соответственные стороны и углы
также равны. Поэтому DG равна
GC и угол DGE равен углу С GE
и оба они прямые. Это то, что мы
хотели показать.
Предложение 3. (31
[предложение I книги] «Начал»).
Рассмотрим снова фигуру Л BCD
(порт. 4). Я утверждаю, что углы
ACD и BDC прямые.
Черт. 3.
Доказательство. Разделим ЛВ пополам в Е, восста-
новим перпендикуляр EG, продолжим его прямо и сделаем
GK равной GE и проведем 11KF перпендикулярно к ЕК.
Далее продолжим ЛС и BD. Они пересекут 1IKF в II
и F, так как Л С и КА параллельны [3S], а расстояние между
двумя параллельными пе из-
меняется [31)], и если мы про-
должим АС до бесконечности
параллельно линии ЕК и
продолжим НК до бесконеч-
ности параллельно линии GC,
они, очевидно, необходимо
встретятся [40]. Соединим СК,
DK. Тогда, так как линия
DG равна GC, a GK общая
и в то же время перпендику-
лярна [к DG п GC], то основания DK и КС равны, и
углы GCK и GDK равны [41]. Поэтому углы ИСК и
KDF также равны [42] и дополнительные углы DKG и
CKG равны, и оставшиеся углы КНС и KFD также
равны. Поэтому, так как линия DK равна КС [43], то СН
равна DF и НК равна KF. Если углы ACD и BDC пря-
мые, наша цель достигнута. Если же они пе прямые, то
каждый из них пли меньше прямого или больше его.
?8
ОМАР ХАПЯМ
Пусть сначала они меньше прямого. Если мы наложим
поверхность CF на поверхность СВ, от GK наложится
на GE, так же как 11F на АВ, причем 11F будет равна
линии Лг5, так как угол ПСG больше угла ACG и линия JIF
больше АВ. Точно так же, если эти две липни [СИ и DF]
продолжать до бесконечности, то каждая из соединяющих
[их] линий будет больше, чем другая, и так будет до бес-
конечности. Две линии AC, BD при продолжении в дру-
гом направлении будут расходиться, что доказывается
совершенно так же, так как положения по обе стороны
при наложении необходимо совпадают. Поэтому две пря-
мые липни пересекают под прямыми углами прямую1),
а затем по обе стороны от этой линии расстояние между
ними увеличивается. Но это в силу аксиомы несовместимо
с понятием прямизны, так как между этими двумя линиями
имеется определенное расстояние—этот случай рассмат-
ривался философом I44].
Пусть теперь каждый из них [углов ACD и BDC]
больше прямого. Тогда при наложении линия JIF будет
равна LM, которая будет меньше АВ, так же как все соеди-
няющие линии и этн две линии будут сходиться. С другой
стороны, также будет схождение, так как положения по
обе стороны при наложении совпадают. Если ты немного
подумаешь, ты это поймешь. По это, согласно вышеска-
занному, опять невозможно [45].
Поэтому две линии [ИВ и F1I] не могут быть различ-
ными, т. е. они равны. Так как они равны, два угла
также равны, вследствие чего они являются прямыми.
Ты поймешь это при небольшом размышлении. Поэтому,
чтобы избежать многословия, мы оставим этот вопрос.
Тот, кто захочет провести подробное доказательство,
сможет это сделать, не нуждаясь в нашей помощи.
Ошибка позднейших [ученых] в доказательстве этой
предпосылки происходит от того, что они не учитывали
эту аксиому, даже если ее подлежащее и сказуемое пред-
ставлялись правильно. II те, которые обладают глубокой
г) В оригинале «мустакнмейп»—«две прямые»,—очевидно, опис-
ка, что видно из того, что далее эта прямая называется «залнка-л-
-хатт»—«эта линия».
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА ?9
интуицией и проницательным умом, могут не учитывать
многих аксиом из-за того, что они не представляют их
подлежащих и сказуемых. Но первичность ц истинность
утверждения—не только в представлении его подлежа-
щего и сказуемого, так как справедливость или неспра-
ведливость утверждения зависит не от самих подлежащего
и сказуемого, а только от связи между ними. В этом состоит
причина, по которой аксиома может не учитываться. Пой-
ми это. Если ты представишь себе _____________
истину круга, угла и отношения
величин, то после небольшого раз- / ~------ \
мышления ты поймешь, что цен- / у \
тральные углы относятся так же, I I А \ |
как соответственные дуги, что I I J I
было показано Евклидом в пред- \ V/ /
ложении 36 шестой книги (46], яв- \ у у
ляющемся последним предложе-
нием этой книги. L
К аксиомам следует отнести и Черт. 5.
те, которые уясняются после пред-
ставления их частей, доказательство которых сводится
к напоминанию и замечанию без посредствующих зве-
ньев, так как то, что нуждается в посредствующих
звеньях, должно быть доказано.
Пойми, что хотя эти слова нс входят в цель этого трак-
тата, они чрезвычайно важны и полезны, вследствие чего
мы привели их здесь. Я добавлю подробное разъяснение
этого вопроса для того, чтобы большинство людей это
поняли.
Две линии АВ, АС (черт. 5) пересекаются в точке А.
Я утверждаю, что они раскрываются и расходятся до
бесконечности. Для этого сделаем /1 центром круга АВС
на расстоянии АВ. Расстояние между двумя линиями при
их встрече с кругом есть линия ВС. Продолжим АВ прямо
До D и опишем круг ADE. Далее продолжим АС прямо
до ее пересечения с кругом [AZZE] в точке Е и соединим
&Е. Тогда расстояние между двумя линиями есть DE,
причем линия DE больше ВС, и если представить себе
смысл круга, угла и прямой линии, то, без сомнения, это—
аксиома. Но тот, кто захочет ее доказать, должен будет
80
ОМАР ХАЙЯМ
при этом опираться на утверждения, в свою очередь
нуждающиеся в доказательствах, т. е. попадет в пороч-
ный круг [47].
Автор «Начал» хорошо сделал, поместив в чпсле аксиом
в начале своей книги утверждение, гласящее: две прямые
линии не могут ограничивать поверхности [48], так как
тот, кто знает его определение, необходимо будет знать
и его связи, поэтому это—аксиома.
Расстояние между двумя произвольными линиями есть
линия, соединяющая их таким образом, что внутренние
углы равны. Например, если даны две прямые линии АВ,
CD (черт. 6) на плоскости и предположим на АВ точку Е,
„ то расстояние между точкой Е
/ \ и линией DC есть линия EG
qI____________и угол Е равен углу G [49]. Но
I \ как провести из точки Е линию
/ \ к CD, чтобы внутренние углы
Fг-------------w были равны? Исправление основ
/ \ геометрии—дело геометра, а не
д/_________________философа. Можно ли провести
/ \ линию, обладающую этим свой-
u' Q ством? Этот вопрос относится
к искусству автора [философ-
Черт. 6. ских] принципов. Разъясним
это следующим образом. Из Е
можно проводить к CD бесчисленные линии, образующие
па своих концах бесчисленные углы, отличающиеся друг
от друга тем, что один больше пли меньше другого. Но так
как на двух концах [соединительной прямой] имеются
различные [углы], один из которых больше пли меньше
другого, то в силу того, что величины делимы до беско-
нечности [50], необходимо возможно и равенство двух
углов [EGF и GEH].
Отложим Ell, GF, равные друг другу, и соединим HF.
Тогда угол 11 равен углу F, как показано в первом случае,
так что HF есть расстояние. Поэтому, если IIF больше,
чем EG, две линии расходятся.
Далее отложим НК, FL, равные друг другу, и соеди-
ним KL. Тогда KL есть расстояние. Но если KL меньше,
чем HF, две линии сходятся, что невозможно в силу
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 81
аксиомы, так как они сначала расходились [5Ч То же
необходимо будет и в том случае, если они равны.
Если 11F меньше EG, две линии сходятся. В силу пока-
занного нами, KL необходимо меньше HJ , так как в про-
тивном случае мы в силу аксиомы получим невозможное.
Поэтому ясно, что если две прямые линии на одной
плоской поверхности в одном направлении сходятся,
невозможно, чтобы они расходились в этом направлении.
То же имеет место, если они расходятся.
.Что объяснение является философским, а не геометри-
ческим. Добавленный нами пример предназначен для
того, чтобы сделать изложенное более ярким и более оче-
видным для тех, кто не обладает острой интуицией.
Некоторые говорят, что расстояние между точкой на
линии и другой линией есть перпендикуляр, опущенный
из точки на линию. Это неправильно, так как перпен-
дикуляр, опущенный из места падения первого перпенди-
куляра на первую линию, не равен первому перпендику-
ляру и расстояние точки и ее соответственной было бы
отлично от расстояния соответственной точки и точки
первой линии, что невозможно. Но если внутренние углы
равны, т. е. когда наклон обеих линий к соединительной
линии один и тот же, она дейст-
вительно является расстоянием
между ними и другого нет.
Древние геометры упустили
это из виду, вследствие чего они
поместили в начале изложения
Черт. 7.
утверждение, нуждающееся в до-
казательстве.
После того как доказано, что если дана прямая линия,
в двух концах которой восстановлены перпендикуляры
и на этих перпендикулярах отложены произвольные рав-
ные линии, то расстояния между этими линиями перпен-
дикулярны к ним и эти расстояния равные и две линии
не сходятся и не расходятся, будем называть такие два
перпендикуляра эквидистантными [52].
Предложение 4. (32 [предложение I книги ] «Начал»).
[Дана] поверхность ABCD с прямыми углами (черт. 7).
утверждаю, что АВ равна CD и АС равна BD.
^ст°Рпко-матем. нес ле дова ни я
«2
ОЧАР ХАЙЯМ
Доказательство. Если АВ не равна CD, то
одна пз них больше. Пусть DC больше другой. Отложим
DE, равную АВ, и соединим АЕ.
Тогда угол BAL будет равен углу DEA, по [угол] ВАЕ
меньше прямого. Однако [угол] DEA больше пря-
мого, так как он—внешний угол треугольника АЕС.
Поэтому он больше прямого угла С [5з], что невозможно.
Таким образом, линия АВ равна CD. Это то, что мы хотели
показать.
Предложение 5. (33 [предложение Т книги]
«Начал»).
Даны две эквидистантные липни АВ, DC. Я утвер-
ждаю, что всякая линия, перпендикулярная к одной из
них, перпендикулярна к другой.
Пример1). Опустим из точки Е (чорт. 8) перпенди-
куляр на DC. Это будет EG. Я ут-
верждаю, что угол Е прямой.
Доказательство. Линии
АВ, DC необходимо имеют общий
перпендикуляр, как мы показали.
Пусть это [линия] BD. Если BE
равна DG, угол Е будет прямым.
Но если одна из них больше, отложим
Черт. 8. на большей [линию], равную мень-
шей. [Пусть] это ВН, которую мы
отложили па BE. Тогда угол II прямой, так же как
угол IIGD, тогда как последний меньше прямого. Но это
невозможно. Поэтому BE равна GD и угол Е прямой.
Это то, что мы хотели показать.
П р е д л о ж е и и е 6. (34 [предложение I книги]
«Начал»).
Всякие две линии, параллельные согласно определе-
нию Евклида, т. е. пе встречающиеся, без другого усло-
вия эквидистантны.
Пример. [Линии] АВ, DC (черт. 9) параллельны.
Я утверждаю, что они эквидистантны.
х) В оригинале вместо «пример» ошибочно написано «доказа-
тельство».
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 83
Черт 9.
Доказательство. Отметим точку Е [па Л/?]
ц проведем [линию] EG, перпендикулярную DC. Если
угол Е будет прямым, эти две линии будут эквидистантны.
Но если он не будет прямым, проведем НЕ перпендику-
лярно EG и HEF, DGC будут эквидистантны. Две линии
BEA. FEH пересекаются и расстоя-
ние между ЕН, ЕА возрастает до бес-
конечности, в то время как расстоя-
ние между ЕН, D G одно и то же до
бесконечности, т. е. не возрастает и
не уменьшается. Отсюда с несомнен-
ностью следует, что расстояние меж-
ду ЕА, НЕ станет больше EG, являю-
щейся расстоянием между двумя
эквидистантными. Поэтому линия ЕА
пересечет D G, тогда как мы предполо-
жили, что они параллельны. Это невозможно. Поэтому
угол AEG не больше прямого и нс меньше его, т. о. oil
прямой, линии АВ, DC эквидистантны. Это то, что мы
хотели показать.
Предложение 7. (35 [предложение I книги]
«Начал»).
Это предложение заменяет 29 и 30 предложения I книги
[«Начал»] I54]. Если прямая линия пересекает две парал-
лельные линии, накрестлежащпе углы
равны, впешнин угол равен [соот-
ветственному] внутреннему, а внут-
ренние углы вместе равны двум
прямым.
Пример. Две параллельные ли-
нии АВ, DC (черт 10) пересекаются
линией KGEL. Я утверждаю, что два
накрестлежащпх угла LGD, AEG рав-
ны, два внутренних угла AEG, EGC
равны [вместе] двум прямым, а внеш-
ний угол CGK равен внутреннему
углу AEG.
Доказательство. Опустим из точки Е перпен-
дикуляр EF на DC. Он перпендикулярен АВ, так как
эти Линии эквидистантны. Затем опустим из G перпен
,44 ОМАР \ \Пям
дпкуляр IJ на АВ. Это будет GII. Поэтому поверх-
ность EFGH прямоугольная, ее противоположные
стороны равны. Поэтому накрестлежащие углы 1IEG,
EGF равны, EGF равен СбЖ, внутренний [угол] ЛЕС равен
внешнему [углу] CGK, и так как EGE вместе с EGC
равен двум прямым, AEG вместе с EGC также равен
двум прямым. Это то, что мы хотели показать.
Мы доказали эти свойства параллелей, не нуждаясь
в требующей доказательства предпосылке, которую Евклид
поместил в иача ю. Вот ее доказательство.
Предложение <8. (36 [предложение I книги]
«Начал»).
[Дана] прямая линия EG (черт. 11), от которой прове-
дены две липин |Е]ЕЛ, [C]CD, причем углы AEG и CGE
меньше двух прямых. Я утверж-
\ н даю, что они встречаются в на-
G__________\ Е правлении Л.
\ Доказательство. Про-
должпм эти две липин прямо.
[Пусть] угол AEG меньше, чем '
Перт. 11. EGC, и построим угол HEG, рав-
ный EGD. Тогда две линии 11EF,
DGC параллельны, как доказал Евклид в предложении
27 книги I [55 J, и линия АЕ, пересекающая 1IF, пересечет
линию DC в направлении /1. Это то, что мы хотели показать.
Вот истинное доказательство свойств параллелей и
требуемого. Следовало бы добавить эти предложения в
«Начала» в таком порядке, как мы изложили их в этой
книге. Они вытекают из принципов «Метафизики» [5С].
Мы включили их сюда, хотя они и выходят за пределы
сущности этого искусства, так как мы не смогли избежать
это» о, вследствие того, что этот вопрос труден и обсуждался
многими людьми. Поэтому мы добавили в начале [изложе-
ния] указанные принципы [заимствованные у философа],
так как это искусство нуждается в них для того, чтобы это
искусство имело прочную философскую основу и не вызы-
вало подозрении и сомнений у тех, к го размышляет над ним.
Нам пора закончить первую книгу, восхваляя все-
вышнего Аллаха и приветствуя пророка Мохаммеда и
всех его потомков.
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 85
ВТОРАЯ КНИГА
ОБ ОТНОШЕНИИ, ПРОПОРЦИИ II ИХ ИСТИННОМ СМЫСЛЕ
Автор «Начал» сказал об истинном смысле отношения,
что оно есть любая мера одной из двух однородных вели-
чин в другой I57].
Две однородные величины, о которых идет здесь речь,
таковы, чго одна из них, будучи взята кратной, может
превзойти другую I38], если они отличаются друг от
друга, как две линии, две поверхности, два те ia, два
времени, т. е. между этими двумя величинами существует
разность, в то время как между линией и поверхностью
не существует разности, так как линия имеет одно измере-
ние, поверхность—два, а тело—три, время же измеряется
движением. Все эти виды входят в категорию количества,
и этот вопрос относится к искусству Первого философа 1° ].
Это определение и ил описание, высказанное Евклидом,
близко к истине, если только разъяснить эти слова.
А именно, говоря: любая мера одной из дву х величин в дру-
гой, он рассматривает взаимозависимость междуг двумя
величинами с той точки зрения, что эго есть мера, т. е.
две однородные величины могут быть либо равны, либо же
между ними имеется различие. Различие имеет много
видов, например, меньшая величина может быть долей
большей, т. е. она ее измеряет и отношение может быть
определено вычитанием [60 J, или меньшая величина может
являться несколькими долями большей величины I1!
или еще иначе [°2]. Способность быть равным или нерав-
ным является одним из свойств всякого количества. Отно-
шение есть это самое свойство при взаимозависимости
двух однородных [величин] и вместо с тем, если оно
является отношением величин, оно есть количество
этого отношения [сз]. Это более ясно для чисел, т. е. отно-
шение сначала было найдено для чисел, при рассмотре-
нии их взаимозависимости!, и определение их способности
быть равными или неравными, являющейся свойством
всех количеств. Затем рассматривали неравиые и смо-
трели, не измеряет ли меньшее большее, как, например,
тРи [измеряет] девять, искали количество, показывающее,
86
ОМАР ХАЙЯМ
сколько раз три измеряет девять; это три, так как три
измеряет число девять три раза. В этом случае применяют
производное выражение: треть, и говорят, что отношение
трех к девяти есть треть. В этом состоит свойство быть рав-
ным или неравным и вместе с тем второе свойство, как мы
это объяснили. Отношение девяти к трем трехкратно; для
этого отношения нс имеется названия и ограничиваются
тем, что было; ио это дело языковеда [С4].
Если меньшая величина не измеряет большую, как
в случае отношения двух и семи, ищут такое число, кото-
рое одновременно измеряет и семь и два, но это не удается,
находят только единицу. Поэтому отношение двух к семи
называют двумя седьмыми. Тем самым доказано, что мень-
шие числа могут являться или долей или несколькими
долями больших чисел. В этих случаях существуют числа,
однородные с величинами, так как и те и другие относятся
к категории количества. Тот же вопрос ставили и для
величии. В этом случае, кроме рассмотренных двух слу-
чаев, имеется еще одни случаи, когда величина не состоит
из неделимых частей, т. е. бесконечно делима в отличие от
числа, которое состоит из неделимых частей, т. е. единиц.
Если два числа различны, то, откладывая на большем все
возможные кратные меньшего, так, чтобы остаток стал
меньше меньшего числа, затем откладывая на меньшем все
возможные кратные остатки, так, чтобы остаток стал
меньше другого остатка, и продолжая так последовательно,
мы необходимо получим остаток, измеряющий предыду-
щий остаток, или единицу, так как два данных ограни-
ченных числа состоят из неделимых единиц [65]. Опреде-
ли числа, мы говорим: состоят, так как по употребляемой
нами терминологии составленное множество, собрание
и число—одно и то же. [Евклид] изложил это в начале
седьмо]! книги, и ты это поймешь после небольшого раз-
мышления.
Чго же касается величии, то они не состоят из недели-
мых частей и их делимость ничем не ограничена, вслед-
ствие чего для них указанное не является необходимым
и, так как в них нет единиц, они не требуют обязатель-
ного окончания на единице или на последнем остатке [66].
Этот вопрос и его виды нельзя познать без доказательства;
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 87
все это подробно изложено Евклидом в десятой книге его
сочинения, вследствие чего нам совсем пет нужды разъяс-
нять это.
Таким образом, для двух произвольных величин не
необходимо, чтобы меньшее являлось долей пли долями
большего, по они могут не иметь числового отношения,
что свойственно только величинам.
Если скажут, что третьего случая совсем нет и имеются
только два числовых случая, мы ответим, что рассмотре-
ние правил отношений и пропорций величин в этих трех
случаях нам не мешает и если этот случай будет опроверг-
нут, нас не в чем будет упрекнуть, но поскольку он не
опровергнут, мы рассмотрим его, дополнив два указан-
ных случая, и сможем постигнуть весьма глубокие логи-
ческие тайны. Пойми это [67].
I оворя о пропорции, [Евклид] сказал: она есть подо-
бие отношений I68]. Это хорошо сказано, однако, разъясняя
это, он отклонился от не 1 иппого смыс та пропорции, говоря:
если из четырех однородных величии взять произволь-
ные равные кратные первой и третьей и также произ-
вольные равные кратные второй и четвертой, и сравнить
их и если всегда, когда кратная первой больше кратной
второй, кратная третьей больше кратной четвертой, и если
эти равны, то и те равны, и ес in эти меньше, то и те меньше,
при соответственном сравнении, то говорят, что отноше-
ние первой ко второй равно отношению третьей к чет-
вертой п они называются пропорциональными [сэ].
Но это не определяет истинным смысл пропорции,
и ты поймешь это, если кто-нибудь спросит: «четыре вели-
чины пропорциональны ио Евклиду и первая равна поло-
вине второй; равна ли третья половине четвертой или нет?»
Как доказать, что третья величина равна половине
четвертой по методу Евклида? Если в ответ скажут, что
третья должна быть равна половине четвертой, если пер-
вая равна половине второй, так как между ними имеется
пропорция, то какое доказательство имеется для указан-
ного Евклидом необходимого условия истинной пропор-
ции. Он сказал: если для четырех величин взять кратные
таким образом, что кратная первой больше кратной вто-
рой, а кратная третьей нс больше кратной четвертой,
88
ОМАР ХАЙЯМ
то отношение первой ко второй больше отношения третьей
к четвертой [70].
Вот слова этого мужа о пропорции. Будем называть
это известной пропорцией и будем отличать се от истинной
пропорции.
Вся пятая книга посвящена известной пропорции,
сю (а следует прибегать по вопросам этой пропорции. Мы
добавим в конце этой книги [пятой книги «Начал»] все,
что мы здесь говорим об истинной пропорции. Мы дока-
жем, коротко говоря, что известная пропорция необхо-
дима для истинно!! пропорции и все, что необходимо для
известной пропорции, необходимо в то же время и для
истинной пропорции, как, например, присоединение,
выделение, псреставлоние, перевертывание и т. д., как
это изложил Евклид [71]; то же относится ко всему выте-
кающему из этих слов.
Можешь представить себе истинный смысл отношения
величин следующим образом: всякие две величины могут
быть равны и неравны; в последнем случае одна из них
может быть долей или долями другой. Эти три случая явля-
ются числовыми отношениями. Может быть еще один слу
чай, свойственный геометрии, как мы уже это разъяснили.
Если из четырех величии первая равна второй, а
третья—четвертой пли если первая является долой второй,
а третья—такой же долей четвертой, или если первая
является (олями второй, а третья—такими же долями
четвертой, отношение первой ко второй необходимо равно
отношению третьей к четвертой. Это в случае числового
отношения I72].
Если же пс имеет места ин один из этих трех случаев,
отложим на второй все кратные перво!! так, чтобы остаток
стал меньше первой, и отложим на четвертой все кратные
третьей так, чтобы остаток стал меньше третьей, и пусть
кратность первой во второй равна кратности третьей
в четвертой. Далее, отложим иа первой все кратные остатка
второй так, чтобы остаток стал меньше остатка второй
и точно так же отложим па третьей все кратные остатка
четвертой так, чтобы остаток стал меньше остатка четвер-
той, и пусть кратность остатка второй равна кратности
остатка четвертуй, Также отложим па остатке второй рее
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА. 89
кратные остатка первой и на остатке четвертой все кратные
остатка третьей и пусть их кратности одинаковы. Точно
так же будем последовательно откладывать кратные
остатков одни на других так, как мы объяснили, и пусть
число остатков первой и второй равно числу соответст-
венных остатков третьей и четвертой и так до бесконоч
ности. В этом случае отношение первой ко второй необхо-
димо равно отношению третьей к четвертой. Вот истинная
пропорция, определенная геометрически I73].
Что касается истинного определения того, что [одно]
отношение больше или меньше [другого], то мы скажем:
если из четырех величии первая равна второй, а третья
меньше четвертой или ес in первая больше [второ!!, а
третья равна] четвертой или если первая является долей
второй, а третья является другой до ieii четвертой, мень-
шей тон доли, или [третья является] долями четвертой,
которые вместе меньше той доли, или если первая является
долями второй, а третья является другой долей четвертой,
меньше!! тех долей или [третья является] долями четвер-
той, которые вместе меньше тех долей, отношение первой
ко второй больше отношения третьей к четвертой. Мы огра-
ничивались только долями и для краткости оставили в
стороне кратные, так как одни заменяют другие. В против-
ном случае рассуждение будет тем же самым, и от этого
ничего не изменяется, т. е. если первая является кратной
второй, а третья является кратной четвертой,—ты уже
знаешь, что рассуждение для долей и для кратных для слу-
чая истинной пропорции одинаково. Это в случае число-
вого отношения.
Что касается геометрического отношения, то если мы
отложим па второй все кратные первой, иска нс получим
остатка, а также отложим па четвертой все кратные третьей,
пока не получим остатка, и кратность первой будет меньше
кратности третьей или если оба эти числа будут равны и
мы отложим на первой все кратные остатка второй, пока
не получим остатка, а также отложим на третьей все крат-
ные остатка четвертой, пока не получим остатка, и крат-
ность остатка второй будет больше кратности остатка
четвертой или если оба эти числа будут равны и мы отло-
?ким на остатке второй все кратные остатка первой, а на
90
ОМАР ХАЙЯМ
остатке четвертой—все кратные остатка третьей и крат-
ность остатка первой будет меньше [кратности остатка
третьей! или нет остатка второй или ее остатков, в то время
как имеются остатки четвертой или ее остатков,—тогда
отношение первой ко второй необходимо больше отноше-
ния третьей к четвертой по истинному определению. Точно
так же. если имеется остаток первой или ее остатков, но
нет остатка третьей пли ее остатков пли остатки первой
больше остатков третьей, отношение первой ко второй
необходимо больше отношения третьей к четвертой. Мы
могли бы говорить об этом вопросе более подробно. Ты
можешь понять это с помощью изученных тобой правил;
пойми это р4].
II, наконец, нам следует доказать, что все сказанное
Евклидом необходимо для этого [вопроса] I75].
Одна из предпосылок, нуждающихся в доказатель-
стве, состоит в следующем:
[П р е д л о ж е н и е 1]. Всякая данная величина
[в надлежащей мере] может быть равна всякому данному
отношению, совершенно произвольному [7С]. Это философ-
ская предпосылка, которую мы докажем с помощью при-
мера.
П р и м е р. Даны отношение zl к В и [величина] D.
Я утверждаю, что здесь необходимо подразумевать отно-
। I шение [величины] D к другой ве-
личине, [существование] которой сле-
1111 дует доказать, равное отношению
G | £ | С Z? А к В, хотя оно и не существует
на самом деле—пет никакой разни-
цы, существует ли оно или не существует объективно.
Доказательство. Для удвоения величин и их
деления пополам пет границ и их можно удваивать до бес-
конечности, и точно так же их можно до бесконечности
делить пополам. Поэтому необходимо существует такая
очень большая величина, что отношение D к ней меньше
отношения А к В; пусть это будет Е. Точно так же необ-
ходимо существует такая очень малая величина, что отно-
шение D к ней больше [отношения] А к В [пусть это будет
G]. Так как нет границ делимости величин, то между Е
и G необходимо существует такая величина, что отноше-
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 91
нпе D к ней равно отношению А к В и для этого кет ника-
ких препятствий, так как можно отложить на Е или доба-
вить к G все, что угодно; пусть это будет С. Это то, что мы
хотели показать I77].
[Предложение 2.] Если даны две различные
величины и на большей из них отложить ее половину или
больше и на второй тоже, потом также сделать с остатками,
в конце концов мы получим остаток меньше, чем меньшая
из данных величин [7Ь].
Пример. Даны величины Л и BD. Я утверждаю, что
они подчиняются вышеуказанному правилу.
Доказательство. Возьмем такую величину,
кратную Л, которая была бы больше BD. Пусть это будет
GI, в которой имеются равные Л [ве-
личины] GII, IIF, FI, так что она
[Л] есть треть ее [G/]. Затем отло-
жим на BD [величину] DC, являю-
щуюся ее половиной или больше,
затем отложим на СВ [величину] ЕС,
являющуюся ее половиной или боль-
ше. Затем возьмем величину, крат-
ную ЕВ, кратность которой равна
кратности GI по отношению к вели-
чине Л. Пусть это будет KN. Части1) /CV пусть будут
KL, LM, J/7V.
Так величина BE не больше СЕ, а СЕ не больше, а
меньше CD, величина BD больше, чем BE, взятая трех-
кратно и, значит, она большевзятой трехкратно, т. е.
KN меньше BD. Но GI больше BD, значит, GI больше KN.
Но GI относится к KN, как А к BE, в смысле известного
отношения и, следовательно, величина Л больше BL.
Это то, что мы хотели показать.
Это предложение 1 десятой книги «Начал». Его дока-
зательство нуждается только в пятой кише [7У], помни об
этом’ Мы привели его в этом месте, так как мы нуждаемся
в этом доказательстве. Но Евклид говорит: «если на боль-
шей величине отложить больше со половины», а не говорит,
х) В оригинале вместо «аджза’уху»—«его части» ошибочно на-
писано «ад’афуху»—«его кратные».
92
ОМАР ХАИЯМ
что можно отложить ее половину или больше [80], что
необходимо для того, чтобы рассуждение было более общим.
Удивительно, что он пользуется этим предложением
в 13-м предложении двенадцатой книги, говоря: «Если
отложить на большей величине ее половину и на остатке
его половину» [81]. Рассуждая таким образом, он выигры-
вает по сравнении с указанным местом. Подумай об этом!
[Предложение 3.] Четыре величины пропор-
циональны в смысле истинного отношения и отношение
первой величины ко второй есть числовое отношение.
Я утверждаю, что они пропорциональны в смысле извест-
ного отношения.
11 р и м е р. Пусть АВ относится к DC, как EG к 11F
в смысле истинного отношения, и это отношение числовое.
[Доказательство]. Если АВ относится к DC,
как LG
к III, возьмем произвольные равные кратные
D
L-
С
А
К
В
£
первой и третьей и пусть это будут
[величины] О, S. Если АВ равна DC,
то {EG равна IIF, и] если О иS рав-
ные кратные АВ и EG, [они равные
кратные величин DC и HF, и если
В и Р также равные кратные тех же
величин], В и Р одновременно боль-
ше О и S или равны О и 5 или мень-
ше О и S и АВ относится к DC, как
EG к 11F в смысле известного отно-
О
шения.
Г G
Если АВ есть доля DC, то разде-
лим PC на [доли], равные АВ, пусть
это будут DL, LC, и также разделим
НF, пусть [ее доли] будут BN, NF.
Тогда, если О и S равные кратные
DC и 1IF, то так как DC и 1IF равные кратные АВ
и EG. т. е. DL и ПУ, О и Л являются равными кратными
АВ и EG. Тем самым этот случаи сведен к предыдущему
случаю и величины [ЛВ, DC, EG и IIF\ пропорциональны
[в смысле известного отношения].
Если АВ есть доли DC, то разделим АВ на доли DC,
пусть это будут А К, КН, и так/ке разделим EG, пусть [ее
долп] будут ЕМ, MG
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТ\Л1 КНИГИ ЕВКЛИДI УЗ
Так же, как раньше, как величины 7? п Р, [равные
кратные DC и HF], так и величины О и 5, [равные кратные
дБ и EG], являются равными кратными ЛК и ЕМ. Тем
самым этот случай сведен к первому случаю и, следова-
тельно, величины [AZ?, DC, EG и HF] пропорциональны
в смысле известного отношения. Это то, что мы хотели
показать.
Обратным для этого предложения является следующее:
[Пред л о ж е н и е 4.] Четыре величины А, В, I), С
пропорциональны в смысле известного отношения и отно-
шение А к В числовое в смысле истинного отношения.
Я утверждаю, что они пропорциона тьиы
в смысле истинного отношения.
Доказательство. Если А отно-
сится к В не как D к С в смысле истин-
ного отношения, то пусть [они относятся! с Е D
как D к Е в этом же смысле. Тогда А отно-
сится к В, как D к Е в смысле известного
отношения, но А относится к В, как D к С в известном
смысле и/) относится к С, как D к Е в известном смысле,
как показано в пятой [книге «Начал»] I82]. Поэтому отно-
шение D к С и отношение D к Е—одно и то же в извест-
ном смысле, вследствие чего [величина! С рай
на [величине] Е [83]. Поэтому А относится
к В, как D к С в истинном смысле. Это то,
А-
£
С
В
н
К
что мы хотели показать.
[II р е д л о ж е н и е 5.] Величина ЛВ от-
носится к величине DC, как 11F к К А в из-
вестном смысле, а АЕ относится к DC, как
НМ к KL в известном смысле. Я утверждаю,
что ЕВ относится к DC, как J/Е к KL в изве-
стном смысле.
Доказательство. ЛВ относится к
DC, как HF к АЕ, и DC относится к ЛЕ, как
KL к НМ. Поэтому по равенству отношении
АВ относится к АЕ, как IfF к НМ в известном
смысле [84]} и АВ относится к ЕВ, как HF к MF в из-
вестном смысле I85], и, переставляя, [8G] [мы получим,
что] ЕВ относится к АВ, как MF к IIF. Но АВ отно-
сится к DC, как HF к KL. Поэтому по равенству М F
м
L
94
ОМАР ХАЙЯМ
относится к KL, как ЕВ к DC. Это то, что мы хотели
показать.
В своей пятой книге Евклид доказал много того, что
не нуждается в доказательстве. Мы уже отмечали, что он
говорил: отношение одной и той же величины к двум рав-
ным величинам—одно и то же [87]. Он говорил также:
если первая [величина] относится ко второй, как третья
к четвертой, п третья относится к четвертой, как пятая
к шестой, то первая относится ко второй, как пятая
к шестой I88]. Это не нуждается в доказательстве, так как
если отношение первой ко второй в точности равно отно-
шению третьей к четвертой, а отношение третьей к четвер-
той в точности равно отношению пятой к шестов, то отсюда
D
Е
С
А
N
В
необходимо вытекает, что отношение первой
ко второй в точности равно отношению пятой
к шестой.
14 то же время Евклид, вместо того чтобы
рассмотреть сущность пропорции, рассматри-
вает се свойства; по эти свойства могут вы-
звать сомнение, в то время как истинное отно-
шение не может вызвать сомнения.
К
а
R
L
Н-
м
г
[Предложение 6.] Величина АВ от-
носится к величине DC, как величина IIF к
величине KL в известном смысле, и отношение
АВ к DC не есть числовое отношение Я утвер-
ждаю, что они пропорциональны в истинном
смысле.
Доказательство. Если бы они не
были пропорциональны, одно из отношений
было бы больше другого. Предположим, что отношение
АВ к DC больше отношения HF к KL. Отложим на DC
все кратные АВ, пусть они составляют ЕС. Далее отложим
на KL все кратные 1IF, пусть они составляют GL. Тогда
если число этих кратных различно, число [долей] GL
больше, так как отношение IIF к KL является меньшим.
Тогда отложим па GL, т. е. па [величине], кратной HF,
[величину], равную IIF, взятой в числе [долей] ЕС, пусть
это будет BL. Тогда АВ будет относится к ЕС, как HF
к BL, и, следовательно, АВ буцет относиться к DE, как
IIF к КВ, что невозможно, так как А В больше DE, a HF
КОММЕНТАРИИ К ГРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 9.5
меньше КН. Поэтому число [долей] GL равно числу [до-
лей] НС и СЕ относится к АВ, как GL к 11F.
Отложим теперь на АВ псе кратные DE, пусть они
составляют BN, и отложим на 11F все кратные GK, пусть
они составляют AiF. Тогда число [долей] В\ равно
числу [долей] MF, в противном случае, как мы показали
это в начале книги, чпсло [долей] ВЛ больше, поскольку
отношение АВ к ВС является большим. Но если число
[долей] ВЛ является большим, это невозможно, так же
как выше, и чпсло [долей] ВЛ: необходимо равпо числу
[долей] A1F.
То же относится к числам всех остатков. Но мы пред-
положили, что отношение АВ к DC больше отношения 11F
к KL, откуда необходимо из свойства большего отношения
следует, что чпсло остатков DC меньше числа остатков KL.
что невозможно, или что число остатков АВ больше числа
остатков 111, что также невозможно. Отсюда следует,
что [и в истинном смысле] отношение ЛВ к DC не боль-
ше отношения 111 к KL. Это то, что мы хотели показать.
Помни, что отношения одной и той же величины к двум
равным величинам—это одно п то же отношение, так же
как отношения двух равных величин к одной и той же вели-
чине; эти два случая не нуждаются в доказательстве. По
то, что, если отношение двух величии к одной и той же
величине есть одно и то же отношение, эти [две] величины
равны, нуждается в доказательстве. II также нуждается
в доказательстве то, что, если отношение одной и той же
величины к двум величинам есть одно и то же отношение,
эти [две] величины равны.
[Предложение 7.] Величина AG относится
к СЕ так же, как к BD в истинном смысле. Я утверждаю,
что BD равна СЕ.
Доказательство. Если бы они не были равны,
одна из них должна быть больше. Пусть это будет BD.
Предположим, что AG меньше каждой из них. Если бы AG
было больше каждой из них, доказательство было бы тем же
самым, так же как во всех предшествующих предложениях.
Далее отложим на СЕ все кратные AG, пусть это будет
НЕ, также отложим на BD все кратные ЛС, пусть это
будет FD. Тогда НЕ равно FD и BF больше СН и их раз-
96
ОМАР ХАЙЯМ
ность равна разности BD и СЕ. Далее отложим на AG все
кратные BF, пусть это будет М G, а также отложим на AG
все кратные СИ, пусть это будет NG. Тогда MG необхо-
димо больше Л G, так как число этих кратных равно. Далее
отложим на BF все кратные ЛЛЛ пусть останется BL,
и отложим на СП все кратные /LV, пусть останется СЕ.
Тогда BL должно быть больше СК и их разность должна
быть больше, чем разность BD и СЕ, так как разность В/
и СИ равна разности BD и СЕ, и АН меньше AN и, сле-
довательно, FL меньше КН и разность BL и СК больше
первой разности. Точно так же, применив то же еще раз,
сделаем с СЕ.
мы найдем, что разность остатков BL
больше разности остатков СК и, следова-
тельно, каждая разность будет больше пре
дыдущей разности и так до бесконечности.
Предположим теперь, что величина BD
превышает СЕ па величину, меньшую, чем
она сама [С£]. Тогда отложим на BD часть,
большую ее половины, пусть это будет
/ D, далее отложим на ВС часть, большую
ее половины, пусть это будет / L, и то же
Мы можем откладывать таким образом на
каждом остатке часть, большую его половины, до тех пор.
пока мы не получим величину, меньшую, чем разность
BD и СЕ. Но мы показали выше, что разности постепен-
но увеличиваются, т. е. каждая разность, являющаяся
остатком другой разности, больше предыдущей разности и
каждый раз значительно больше разности [BD и] СЕ, так
как BD неограничен ио больше СЕ, что невозможно. По-
этому BD не может быть ни больше, ни меньше СЕ и, сле-
довательно, равна ей. Это то, что мы хотели показать.
Обратное [предложение] о том, что если отношения
двух [величин| к некоторой [величине] равны, то и сами
они равны, доказывается сходным образом.
[П род л о ж е я и е 8]. /1 относится к В, как D к С
в истинном смысле, п это отношение не числовое. Я утвер-
ждаю, что в этом случае А относится к В, как D к С в
известном смысле.
Доказательство. А относится к В, как D и Е
в известном смысле Мы доказали выше, что для всех
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 97
величии имеет место правило, которое находится по закону
искусства [89]. Поэтому А относится к В, как D к Е в
истинном смысле, откуда D относится к Е, как 1) к С в
истинном смысле и, следовательно, они [Е и С] равны,
и величины [А, В, D и С] пропорциональны в известном
смысле. Это то, что требовалось.
Мы изложили правила истинной пропорции и доказали,
что известная пропорция, изложенная Евклидом, является
одним из ее свойств, т. е. все [величины], пропорцио-
нальные в известном смысле, пропорциональны и в истин-
ном смысле п все [величины], пропорцио-
нальные в истинном смысле, пропорцио-
нальны и в известном смысле. в
Теперь изложим правила неравенства
отношении в истинном смысле.
Если первая [величина] относится ко
второй, как третья к четвертой в истин- с
ном смысле, эти отношения в точности
совпадают. Но если отношения третьей к
четверток больше или меньше отношения пятой к шестой,
отношение первой ко второй будет больше [или меньше]
отношения пятой к шестой в истинном смысле. Этот случай
не нуждается в доказательстве, хотя Евклид приводит
доказательство, ио он упускает [из виду] истинный смысл
и отклоняется от истины и сущности вещи к ее свойству,
не являющемуся очевидным и нуждающемуся в дока-
зательстве.
Так, если имеется две различные величины, то отно-
шение третьей величины к большей величине меньше
отношения той же величины к меньшей величине в истин-
ном смысле. Точно так же отношение большей к указанной
величине больше отношения меньшей величины к у казан-
ной величине в истинном смысле. Эти случаи нисколько
не нуждаются в доказательстве, по Евклид приводит дока-
зательство [90], так как он отклонился от истинного смысла
большего отношения к известному смыслу.
Но [предложение о том, что] если отношение данной
величины к одной из двух данных величии больше отно-
шения этой величины к другой из этих величин в истинном
смысле, то первая данная величина меньше второй, так же
Историко-м»тел. исследования
98
ОМ VP ХАЙЯМ
как обратное [предложение] нуждается в доказательстве
Приведем его.
[II р е д л о ж е и и е 9] Даны две величины АВ, DC
и величина EG, причем отношение EG к АВ меньше ее
отношения [Л6’1 к DC [в истинном смысле]. Я утверждаю,
что АВ больше D .
Доказательство. Если АВ не больше DC, то
они могут быть равны, откуда следует, что EG относится
к АВ, как LG к DC, по так как этого нот, они нс равны.
Поэтому может быть, что [ 1Z?] меньше [DC]. Так как мы
д £ д предположи in, что отношение EG к АВ
меньше отношения EG к DC, число остат-
ков EG на остатках АВ больше числа
к
L
G
н
с
остатков ЕG па остатках DC или число
остатков DC на EG больше числа остатков
[В на EG, так как таковы свойства не-
равенства отношений и ipynie его свой-
ства, которые ты можешь понять при не-
большом размышлении, в особенности если
обдумаешь то, что мы объяс няем
Предположим, что I. G меньше каждой из этих двух
величин, так как если она больше пх пли равна одной из
них или меньше или больше другой, доказатель-
ство является таким же, а в некоторых случаях еще
легче. Ты можешь понять это при небольшом размыш-
лении.
Отложим на АВ все кратные EG, получится остаток AF,
и точно так же отложим на DC все кратные 1 G, получится
остаток DiL Тог ia НС равна В1: если бы они пе были
равны, то в силу неравенства отношений BF была бы
больше ПС, а это невозможно, так как DC больше АВ.
Поэтому ПС равна В1 и Dll больше А1 Отложим на EG
все кратные 1)11, получится остаток ЕК, отложим также
па EG все кратные 1А, получится остаток [LE]. Тогда
чпсло этих остатков [на /аС] одинаково,—иначе, как и в
первом случае, быть не может. Ибо если числа остатков не
равны, а различны, и число таких остатков, как 1ID на
KG, больше [числа] таких остатков, как 4/’ на LG, т)
KL больше AF, но EL меньше ее, что невозможно; а если
число таких остатков, как 111) на A G, меньше числа таких
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КИНГИ ЕВКЛИДА •)!)
остатков, как AF на LG, и отношение EG к DC будет
меньше ее отношения к ЛВ, что невозможно, так как мы
предположили противоположное. Потому число таких
остатков, как/?// па КG, равно числу таких остатков, как
AF на LG.
Точно так же необходимо, чтобы число [последователь-
ных] остатковС па [последовательных ] остатках EG было
равно числу остатков Л В па остатках EG, так же как
число остатков EG на [остатках] DC равно числу остатков
EG на [остатках] ЛВ, так как в противном случае мы
получим указанное выше невозможное.
Поэтому остатки EG после отнимания остатков DC
будут становиться постепенно меньше остатков EG после
отнимания остатков ЛВ, и точно так же остатки DC после
отнимания остатков EG будут становиться больше
остатков ЛВ после отнимания остатков EG. По это про-
тиворечит предположению о том, что отношение EG к ЛВ
меньше отношения EG к DC и поэтому невозможно. Сле-
довательно, DC не больше Л В и не равна ей, т. е. меньше
ее. Это то, что мы хотели показать.
Это предложение обладает различными случаями. Мы
разобрали самый трудный из этих видов; остальные ты
можешь вывести с помощью этою, но мы оставим их,
чтобы избежать многословия. Если ты предложишь эти
виды тому, кто обладает хорошей интуицией и проница-
тельным умом, он, с помощью уже изложенного памп,
постигнет их доказательства за весьма малое время. Точно
так же и в предшествующих предложениях имеется разно-
образие случаев и положений, пути [разрешения] которых,
если ты хочешь их узнать, такие же, как [для тех случаев,
для которых] мы показали. В большинстве геометрических
предложений имеется разнообразие случаев. Имеются
люди, которые трудятся на этими многословными вещами,
снижают цену искусства и уменьшают свой авторитет;
но это только скучное и пустое мучение. Но этой причине
мы воздержимся от этого.
[Предложение 10]. Отношение величины Л
к величине В больше отношения величины D к величине С
в известном смысле. Я утверждаю, что оно больше также
в истинном смысле.
7*
100
ОМАР ХАПЯМ
Доказательство. Если это не так, оно меньше
или равно. Если они равны [в истинном смысле], то Л
относится к В, как D к С, в известном смысле, но мы уже
сказали, что оно [отношение Л к Л] больше его [отноше-
ния D к С] [в известном смысле], поэтому это невозможно.
Если оно [отношение Л к/?] меньше его [отношения/) к С]
[в истинном смысле], то предположим, что Л относится
к В, как D к Е в истинном смысле, и поэтому отношение
D к Е меньше отношения D к С в истинном смысле и С
меньше Е в истинном смысле, как мы доказали в предыду-
щем предложении, по отношение Л к В больше отношения
D к С в известном смысле, отношение D
к Е больше отношения D к С в известном
В
В
С
смысле и С больше Е, в то время как рань-
ше [мы видели, что] она была меньше1).
Это невозможно, и отношение Л к В но
меньше отношения D к С. Поэтому оно
больше его. Это то, что мы хотели показать.
Обратное этому предложению [пред-
л о ж е и и е 11]. Отношение величины
Л к В больше отношения D к С в истинном смыло. Я утвер-
ждаю, что то же имеет место в известном смысле.
[Доказательство]. Если это не так, то отно-
шения не могут быть равны, так как в противном случае
мы получим указанную выше невозможность. Пусть отно-
шение Л к В меньше отношения D к С в известном смысле
и предположим, что Л относится к В, как D к Е в извест-
ном смысле. Поэтому отношение D к Е 'Меньше отношения
D к С и Е больше С. Но так как Л относится к В, как D
к Е в известном смысле и, следовательно, и в истинном
смысле, отношение D к Е больше отношения D к С в
истинном смысле и, следовательно, Е меньше С\ но раньше
[мы видели, что] она была больше ее, что невозможно и,
следовательно, отношение Л к В больше отношения D к С
и в известном смысле. Это то, что мы хотели показать.
Таким образом мы доказали, что все, что Евклид
изложит об определении неравенства отношений, необхо-
димо относится и к неравенству отношений в истинном
г) Здесь исправлены описки в оригинале.
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА Ц)|
смысле, а именно, отношение, большее в известном смысле
в то же время больше и в истинном смысле и то же отно-
сится к меньшему отношению. Обратно, всякое большее
отношение [в истинном смысле] больше и в известном
смысле и точно так же меньшее отношение. Другие случаи,
например присоединенное отношение, выделенное отноше-
ние, переставленное отношение, перевернутое отношение,
отношение по равенству I91] и другие правила, приведенные
Евклидом в пача ie и ш середине пятой книги, зависят от
этого и точно так же все, что он [Евклид] доказал, опи-
рается на это, поэтому все вышесказанное необходимо
относится к отношению в истинном смысле, пропорции
в истинном смысле, а также к неравенству отношений
в истинном смысле. ,
Что же касается составления и разложения отноше-
ний, то они пе нужны в пятой книге; они нужны в шестой
книге и об этом мы скажем в третьей книге этого трактата.
Вторая книга по милости Аллаха и при его прекрасной
помощи завершается. Хвала Аллаху1
ТРЕТЬЯ КНИГА
О СОСТАВЛЕНИИ ОТНОШЕНИИ П ЕГО ИССЛЕДОВАНИИ
Мы говорили в начале второй книги об истинном смысле
отношения величин. Как мы сказали там, отношение есть
взаимозависимость величин и в то же время мера различия
между ними и ничего больше. Мы много говорили об этом.
Мы знаем также, что по вопросу о составлении отно-
шения Евклид сказал: если взять два отношения и умно-
жить одно из них па другое, получится некоторое отноше-
ние; это отношение составлено из перемножаемых отно-
шений [°2]. Далее он поместил в начале пятой книги без
доказательства постулат: из трех однородных величин
отношение первой к третьей составлено из отношения пер-
кой ко второй и отношения второй к третьей [93]. Далее
011 говорит: из трех произвольных пропорциональ-
ных величин отношение первой к третьей равно двойному
102
ОМАР ХЛПЯМ
отношению первой ко второй) и точно так же для четырех
величин, пяти и т. д. [94J.
По следует сказать, что это—важное утверждение и
может быть предпосылкой важных предложении только
при удовлетворительном геометрическом доказательстве.
Если, говоря об умножении отношений, говорят: отно-
шение трех к пяти есть три пятых единицы, то при этом
предполагают единичную величину, т. о. некоторую вели-
чину, которую называют единицей и с которой связывают
все остальные величины. Для всякой измеримой величины
необходимо должно быть нечто, принятое за единицу; так
происходит, когда вторая вещь связывается с первой с
помощью числа. По если отношение величин пе является
числовым, то может быть связан рвадрат этой величины
с квадратом единицы пли квадрат этого квадрата и так
до бесконечности, или же мера отношения остается неиз-
вестной, когда невозможно найти средство постигнуть
величину этого отношения и связать его с принятой еди-
ницей.
Я совсем пе утверждаю, что каждое отношение величин
может быть известно только при помощи измерения; но я
утверждаю, что необходимо, чтобы каждое отношение
являлось величиной, так что можно выбрать за единицу
величину того же рода: так происходит, когда отношение
данной величины к другой рационально [95], как в случае
приведенного нами отношения. Не следует считать, что
эта величина не существует, если эта величина не суще-
ствует объективно для нас [фй-л-'айаип], ио причине
нашего бессилия постигнуть закон искусства, с помощью
которого его можно было бы добыть, так как очень часто
отношение, пе известное с точки зрения чисел, известно
в геометрии. Если бы мы показали, что каждое отношение
величия и.in их степеней связывается с числом, все
вышесказанное было бы нам не нужно.
При этом изучении мы рассмотрим, может ли отноше-
ние величин быть но существу числом, или оно только
сопровождается числом или отношение связано с числом
не по своей природе, а с помощью чего-нибудь внешнего,
или отношение связано с числом по своей природе и не
нуждается ни в чем внешнем. Все эти вопросы относятся
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КИНГИ ЕВКЛИДА 103
к философскому знанию, вследс.твпе чего геометр совсем
не занимается ими. По он должен знать, что вопрос о
составном отношении вследствие близости к нему понятия
числа и единицы существует пли является возможным.
Вопрос о том, является ли природа этой близости одним
из указанных памп выше случаев пли нет, мы не рассма-
триваем: пойми это I96].
Евклид нуждается в составлении отношении в двадцать
третьем предложении шестой книги, где он хочет доказать,
что всякие две поверхности с параллельными сторонами
п равными углами находятся в отношении, составленном
путем умножения одного отношения на другое. После
этого он в своей книге не нуждается ни в этом предложе-
нии I97], ни в другом, в котором он говорит: из трех про-
порциональных величин отношение первой к третьей равно
двойному отношению первой ко второй I9,4] Точно так же
не нуждаются в этом случаи отношения сторон подобных
поверхностей и ребер подобных тел. Я ле знаю, что побу-
дило его поместить эти две предпосылки в начале без дока-
зательства.
Что касается составного отношения в сочинении Пто-
лемея, известном под названием «А.тмагест» ]'9], то в этом
сочинении оно является вещью весьма важной, очень труд-
ной и чрезвычайно полезной: но сам Птолемей помещает
эту предпосылку в начале без доказательства. На этом
основано ирод южеине о полном четырехстороннике I100],
на котором основывается большая часть астроно-
мии, в особенности то, что относится к обращению и
расположению звездного неба и небесною экватора. 1а
ким образом, богатство со< гавного отношения далеко
не мало.
В сочинении «Конические сечения» Аполлония также
применяется [эта] предпосылка, важная для большей части
геометрических наук и в особенности для пауки о телах.
Одним словом, важные предложения астрономии и гео-
метрии, как малые, так и большие, основы каются на со-
ставном отношении.
Что касается составления отношения в музыкальной нау-
ке, то оно другого рода, так как под этим понимается и со-
четание п уменьшение; применение названия «составление»
104
ОМАР ХАНЯМ
к этим двум вещам указывает на их единство и глубокую
связь, хотя грамматически они не совпадают; Евклид изло-
жил составление отношений, рассматривавшихся во второй
книге [этого трактата], и использует его в предложении,
для которого оно в его книге не нужно; ненужность его
для этого предложения мы уже показали. Составное отно-
шение, на котором основываются некоторые разделы
музыки, является числовым, о котором Евклид много
говорит в восьмой книге. Что касается составления в
смысле уменьшения в музыке, то оно па самом деле является
разновидностью составления, метод познания которого
тот же самый, но во всяком случае для того, кто обладает
проницательным умом и хорошей интуицией. Мы косну-
лись этого вопроса несколькими строками в «Коммента-
риях к трудностям книги о музыке» [101].
Но наука о числах не нуждается в геометрии, и, как
это может быть, если она по своему существу предшествует
геометрии и зависимость между ними состоит только в том,
что геометрия нуждается в числах. Как можно отрицать
это, если треугольник есть то, что окружено тремя линиям,
и как может попять треугольник тот, кто не знаком с поня-
тием [числа] три? Таким образом, три есть составная часть
[понятия] треугольника, его причина и по существу пред-
шествует ему.
Изучение числа отличается от изучения геометрии;
это две пауки, только одна из которых применяется в дру-
гой. Геометрия в некоторых своих доказательствах нуж-
дается в числах, как это имеет место в десятой книге и при
измерении величин, т. е. когда узнают отнощрнпе двух
величин с числовом точки зрения, как мы это разъяснили
в начале этом книги, где мы говорили о том, что некоторая
величина принимается за единицу и ею измеряют другие
величины того же рода, т. е. узнают их количество по отно-
шению к этой единице.
Евклид смешивал искусство чисел с искусством гео-
метрии по двум причинам. Одна из них состоит в том, что
он хотел, чтобы ею сочинение содержало большую часть
правил математической науки, и это очень хорошая мысль.
Другая причина состоит в том, что он нуждался в науке
о числах в десятой книге и поэтому не хотел, чтобы доказц-
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА Ю5
тельства его сочинения нуждались бы в чем-нибудь из
метематпческой пауки, что ио содержится в этом сочине-
нии. В обоих случаях следовало бы, чтобы числовое пред-
шествовало геометрическому—и по существу и по здра-
вому смыслу. Но так как числовые доказательства более
трудны для понимания, чем геометрические доказатель-
ства, он поставил геометрические доказательства раньше,
чтобы развивать ум изучающего.
Мы изложили все эти вопросы, некоторые из которых
выходят за рамки цели этой книги, для того чтобы допол-
нить этими вопросами пауку «Начал» и для того чтобы этот
трактат содержал большую часть вещей, потребных изу-
чающему для познания принципов искусства, для пости-
жения принципов общих паук п науки о первопричине
существования и познания истинно необходимого суще-
ства, а также всех других божественных состояний и
воскресения.
Разъясним все, что мы сказали, доказав
[II р е д л о ж сипе 1 [. А, В, D—три однород-
ные величины. Я утверждаю, что отношение величины Л
к величине D составлено из отно-
шения величины .1 к величине В
и из отношения величины В к
величине D.
Доказательство. Вы-
берем единицу и сделаем ее отно-
шение к величине G равным отно-
шению А к В п будем смотреть
на величину G пе как на линию,
D В
А
С единица |
В G
поверхность, тело пли время, но будем смотреть на нее, как
на величину, отвлеченную разумом от всего этого и принад-
лежащую к числам, но пе к числам абсолютным и настоя-
щим, так как отношение zl к В часто может пе быть число-
вым, т. е. нельзя найти двух чисел, отношение которых
было бы равно этому отношению. Поэтому вычислители
и землемеры часто говорят: половина единицы пли треть
се или какая-нибудь другая доля ее, в то время как еди-
ница неделима: они рассматривают не абсолютную, настоя-
щую единицу, из которой образуются настоящие числа
предполагают единицу делимой. Далее они сравниваю]
106
OM.J.P ХАНЯМ
величины с этой делимой единицей и с числами, образо-
ванными из нее. Они часто говорят: корень из пяти, корень
из десяти и т. д.—их слова, действия и измерения изоби-
луют этими выражениями: при этом они имеют в виду
число пять, состоящее из указанных делимых единиц.
Следует, чтобы ты знал, что эта единица является делимой
и величина G, являющаяся произвольной величиной, рас-
сматривается как число в указанном нами смысле I10-].
Когда мы говорим, что мы сделаем отношение единицы
к величине G равным отношению Л к В, это не значит,
что мы можем применить это ко всем величинам, т. е.
сделать это законом искусства, но мы в то же время счп
таем, что по здравому смыслу невозможно, чтобы паше
бессилие сделать это убедило бы нас, что это невозможно
по существу. Пойми этот вопрос.
Затем сделаем отношение единицы к величине С рав-
ным отношению Л кВ, т. е Л относится ixD, как единица
к С, и [сделаем] отношение Е к единице равным отноше-
нию D к В. Тогда по равенству отношений Л относится
к В, как Е к С I103] и Л относится к В, как единица к G,
поэтому Е относится к С, как единица к G, т. е. эти четыре
величины пропорциональны и, следовательно, произведе-
ние единицы, являющейся третьей, па вторую С равно
произведению первой Е на четвертую G [104]. По G есть
отношение В к А, Е есть отношение D к В, а С есть отно-
шение D к Л, т. е произведение отношения А к В на отно-
шение В к D равно произведению [единицы на отношение
/1 к/) или, так как произведение] единицы на всякую вещь
является в точности этой вещью, пи больше и ни меньше,
[мы получаем, что] произведение отношения Л к В на отно-
шение В к D равно отношению А к D. Это то, что мы хотели
показать I105].
Точно так же [предложение 2] Из четырех
произвольных однородных величин отношение первой
к четвертой составлено из отношения первой ко второй,
отношения второй к третьей и отношения третьей к чет-
вертой.
П р и м е р. Величины А, В, D, С—четыре однородные
величины. Тогда Л, В, D—три однородные величины
ц отношение Л к D составлено нз отношения Л к В и отно-
КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ КНИГИ ЕВКЛИДА 107
щсния BkD. /1, D, С—также три однородные величины
ц отношение А к С составлено из отношения Л к D и отно-
шения D к С. Поэтому отношение А к С составлено из
отношения А к В, отношения В к D и отношения D к С.
Это то, что мы хотели показать.
То же правило имеет место и в случае, когда величин
пять, шесть и т. д. до бесконечности
Если три величины пропорциональны, т. е. если отно-
шение первои ко второй равно отношению второй к третьей,
то отношение первой к третьей составлено из отношения
первой ко второй и из отношения второй к третьей, т. е.
отношение первой к третьей равно двойному отношению
первой ко второй, что соответствует тому, что Евклид
поместил в начале пятой книги [10С]. То же правило имеет
место и в случае, когда величии пять, шесть и т. д. до
бесконечности.
Теперь, после того как мы изложили в этом трактате
все намеченные вопросы, нам пора закончить этот трактат,
вознося хвалу всевышнему Аллаху. Знай, что мы вклю-
чили в этот трактат, в особенности в две его последние
книги, вопросы весьма сложные, но мы сказали все, что
к ним относится, согласно нашей цели. Поэтому, если
тот, кто будет размышлять над ними и исследовать их,
займется затем ими сам, основываясь па этих предпосыл-
ках, он приобретет истинное знание геометрии с точки
зрения искусства, а если он исследует ее принципы из
«Метафизики», он приобретет знание с точки зрения разума.
Аллах восхваляем во всех случаях. Мир его лучшему
творению Мохаммеду и его святому потомству. Аллах—
наше прибежище и наилучший помощник. 13 конце этого
трактата шейх имам Омар пои Ибрагим Ханям написал
своей рукой «Это белое зачернено и досуг возвращен
в городе .. в библиотеке Мпнак в конце первого джумада
470 г.» [Ю7]
Этот трактат закопчен рукой Мас’уда ибн Мохаммеда
ибн Али Халфари о ша’бана 615 г. [,0SJ.
ТРАКТАТ ДОСТОЧТИМОГО УЧЕНОГО
АБУЛ-ФАТХА ОМАРА ИБИ ИБРАГИМА ХАПЯМА
ОБ ИСКУССТВЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА
ЗОЛОТА II СЕРЕБРА В СОСТОЯЩЕМ
ИЗ НИХ ТЕЛЕ1) Р].
Если мы хотим узнать количество золота п серебра в
состоящем из них толе, возьмем некоторое количество чи-
в воздухе, а также возьмем
чистое серебро и узнаем
ого вес в воздухе р]. За-
тем возьмем две подобные и
равные чаши весов п одно-
родное коромысло цилин-
дрической формы р] и по-
местим золото в одну из
этих чаш в воде, а в дру-
гую чашу—то, что урав-
новешивает его, так, чтобы коромысло стало параллельно
горизонту, и узнаем количество его [веса золота в воде].
Затем узнаем отношение его веса в воздухе к его весу в воде.
Затем поместим серебро в одну из этих чаш в воде, а в
другую чашу-то, что уравновешивает это I4], и узнаем
количество его |веса серебра в воде] и отношение его веса
в воздухе к его весу в воде. Затем возьмем сплав п узнаем
loTHOineniie] его веса в воздухе к весу в воде PJ. Если это
отношение равно отношению веса золота в воздухе к его
*) Рнсалат ал хакйм ал-фадпл Абй-л Фатх ‘Умар пип Ибрахим
ал-Хайпамй фй-л-пхтпчал ал-марафа.мпкд ipcii ал-захаб ва-л-фпдда
фп джпсм мураккаб мпихума.
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ЗОЛОТА И СЕРЕБРА Ю9
весу в воде, то .этот сплав из чистого золота и в нем совсем
нет серебра Если отношение равно отношению серебра,
тето состоит из серебра и в нем совсем пег золота. Если
ясе это отношение находится меж i\ ними,—то это сплав,
состоящий из ни\ обоих.
Сиосоо определения каждого из них. Если вес сплава
в воздухе относится к его весу в воде, как ЛВ к CD, при-
чем ЛВ есть вес в воздухе lGJ, то предположим, что коли-
чество золота есть ЛЕ. т. е. ЛЕ есть вес золота в воздухе,
а его вес’ в воде—CG. Тогда ЕВ есть вес серебра в воздухе,
a GD—его вес в воде. Известно, что отношение ЛЕ к CG
меньше отношения ЛВ к CD, так как
золото Н воде тяжелее того, что со
стоит из него и серебра, согласно
тому, что доказывают знатоки физи-
ки. Отношение же ЕВ к GD больше
отношения ЛВ к CD, так как сереб-
ро в воде легче того, что состоит из „\\
него и золота. С [елаем отношение ЕП
к GD таким же, как отношение
к CG. Тогда необходимо ЕП будет /7-
меньше ЕВ. Так как ЛЕ относится
Ввоздухе[7]
' Е
И
В
к CG, кДК ЕН к GD, сумма 1 // относится к сумме CD, как
АЕ kCG, как показано в пятой книге «Начал» р]. Отноше-
ние АЕ к CG известно. Поэтому отношение АН к CD также
известно- CD известна, поэтому и АН известна и оста
ток НВ также известен. Отношение ЕН к GD изве
стно, и отношение ЕВ к GD известно, поэтому известны
отношения ЕВ к ЕП и, следовательно, к ИВ. Поэтому ЕВ
известил, а это есть количество серебра. Эти вощи доказаны
в «Данных» [! ]
• Приведем пример, чтобы было легче [это попять]
Пусть вес серебра в воздухе относится к его весу в воде как
десять й десяти с половиной, а вес золота в воздухе отно-
сится к его весу в воде, как десять к одиннадцати [10]
Возьмем количество сплава [с отношением, находящимся!
между ними, и пусть ei о вес в воде будет десять и три чет-
верти, [а его вес в воздухе будет десять! [п]. Отношение
десяти it десяти и трем четвертям больше отношения десяти
к одиннадцати и меньше отношения десяти к десяти с поло-
НО ОМАР ХАЙЯМ
виной, откуда мы узнаем, что это действительно сплав из
них обоих. Предположим, что величина АВ в предыдущем
примере есть десять, а величина CD—десять и три чет-
верти. ЛЕ по предположению есть количество золота,
числа которого мы не знаем, CG—величина его веса в воде.
Мы говорили, что АН относится к CD, как ЛЕ к CG, а ЛЕ
относится к CG I12], как десять к одиннадцати. Поэтому
АН относится к CD, как десять к одиннадцати. Мы поло-
жили, что CD есть десять и три четверти. Поэтому умножим
десять на десять и три четверти и разделим результат на
одиннадцать. Частное есть девять и семнадцать двадцать
вторых частей единицы,—это АН. Поэтому остаток НВ
есть пять двадцать вторых. ЕВ относится к GD, как десять
к десяти с половиной, так как так относится вес серебра
в воздухе к его весу в воде, что мы указали в начале. ЕН
относится к GD , как десять к одиннадцати. Поэтому, если
GD есть десять с полови ной, ЕВ есть десять, а если мы
положим, что GD есть одиннадцать, то ЕВ определится
так: одиннадцать относится к десяти с половиной, как
некоторая вещь к десяти; умножим одиннадцать на десять
и разделим результат на десять с половиной; частное есть
десять п десять двадцать первых, таким образом, если GD
есть одиннадцать, то ЕВ есть десять и десять двадцать
первых. Но ЕН в этом случае есть десять, поэтому остаток
НВ есть десять двадцать первых. И когда мы положили,
что CD есть десять и три четверти, величина ЕН была
пятью двадцать вторыми. Поэтому пя^ь двадцать вто-
рых относятся к десяти двадцать первым, как некоторая
вещь к десяти и десяти двадцати первым. Умножим де-
сять и десять двадцать первых на пять двадцать вто-
рых и разделим результат на десять двадцать первых,
частное есть пять. Это и есть количество серебра. Это ЕВ,
так как мы предположили, что количество серебра
есть ЕВ. Таким образом, мы знаем ЕВ, и тем самым из-
вестны и все остальные величины. Это то, что мы хотели
показать I13].
Следует, чтобы разновес для взвешивания этих тел
в воздухе и в воде был одного рода—либо из железа, либо
пз другой субстанции, чтобы вследствие их различия нс
было расхождения. Расхождение может быть и из-за разли-
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ЗОЛОТк И СЕРЕБРА ].| |
чия в форме тел, по оно мало и пе чувствуется. Если люди
хотят здесь надежности, они должны действовать осторож-
но и тщательно, особенно при взвешивании легких весов.
Определим это же алгебраическим способом, более лег-
ким для вычисления. Предположим АЕ, т. е. вес золота
в воздухе, вещью. Тогда ЕВ есть десять без вещи, CG—
одна и одна десятая вещи, так как АЕ относится к CG,
как десять к одиннадцати, как мы говорили раньше, a GD
есть десять и три четверти без одной и одной десятой вещи,
так как ЕВ если десять без вещи и она относится к GD,
как десять к десяти с половиной, что мы говорили об
отношении серебра. Умножим десять с половший! на де-
сять без вещи, получится сто пять без десяти [с поло-
виной] вещей, разделим это па десять, частное есть десять
с половиной без одной и половины десятой вещи, это и есть
GD. Но раньше GD была десятью и тремя четвертями без
одной и одной десятой вещи. Поэтому десять и три четверти
без одной и одной десятой вещи равны десяти с половиной
без одной и половины десятой вещи. Произведем па обеих
сторонах [операции] алгебры и алмукабалы [14].
Будет: десять и три четверти и одна и половина десятой
вещи равны десяти с половиной и одной и одной десятой
вещи. Сократим, т. е. отбросим одинаковое на обеих сто-
ронах. Останется: число четверть равно половине десятой
вещи. Поэтому одна вещь равна числу пяти. Это и есть
количество золота. Количество всего сплава есть десять.
Остающееся количество серебра есть пять. Поэтому CG,
т. е. вес золота в воде, есть пять с половиной, так как
десять относится к одиннадцати, как пять к пяти с поло-
виной, a GD, т. е. вес серебра в воде, есть пять с чет-
вертью, так как пять относится к пяти с четвертью, как
Десять к десяти с половиной, ('умма CD есть десять
и три четверти. Это соответствует пстиие и является
проверочным вычислением. Это то, что мы хотели пока-
зать I15].
Этот способ—для всех составных тол. Если субстан-
ции [ в] три пли больше, это устанавливается таким же
способом. То, что приписывают по этому вопросу некото-
рым древним,—ошибочно, если нет ошибки в тех пере-
водах и копиях, которые я видел.
112 ОМАР ХАЙЯМ
У меня есть многое и о таком взвешивании в воде,
когда чаша, в которой находится тело,—в воде, а другая
чаша, в которую накладывается разновес до тех пор, пока
коромысло весов не будет параллельно поверхности гори-
зонта,—в воздухе. Чтобы не было расхождения, следует,
чтобы все взвешивания происходили в одной воде и одним
способом. На весах такого рода я не останавливаюсь, так
как это [взвешивание] неточно и редко бывает без ошибки
по причине различия в [видах] воды; ошибка тем меньше,
чем вода, [используемая для] наблюдения, является более
мягкой.
ПРИМЕЧАНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКИМ ТРАКТАТАМ
ОМАРА ХАЙЯМА
7». Л. Розеифелъд и Л. И. Юткевич
Выдающийся таджикски й ученый и поэт Омар Хайям родился
около 1040 г. и умер в 1123 г. в таджикском городе Пшнаиуре г)
(ныне в северном Пране), а жил и работал в Средней Азии и Ира-
не—в Самарканде, Мерне, Ilcnai ани, Рос и других городах. Когда
Хайям был еще молодым, Среднюю \зию, Праи и ряд других стран
Среднего и Влнжпего Востока завоевали кочевники—сельджуки.
Положение ученых в этих порабощенных странах было крайне тяже-
лым о чем свидетельству ют слова самого Хайяма из его алгебраи-
ческого трактата (см. стр. 16 этого издания).
Первым математическим сочинением Хайяма был арифмети-
ческий трактат «Трудности арифметики». Мы не рае полагаем тек-
стом этО1О трактата, но некоторые сведения о нем имеются в алге-
браическом трактате Хайяма2).
Между 10(54 и 1071 гг. Хайям закончил трактат «О доказатель-
ствах задач алгебры н алмукабалы» (см об этом примечание. 127
г) В г. Пшнаиуре в 193-4 г. па могиле Омара Хайяма был поста-
влен обелиск (см. снимок, помещенный между стр. 14 и 13). Надпи-
си на этом обелиске гласят:
(Ученый Омар Хайям. Смерть ученого 516 г. лунной хиджры»
11122-1123 г. и э.].
«У moi илы Хайяма присядь и свою цель потребуй,
Одно мгновенье досуга от горя мира потребуй.
Если ты хочешь знать дату сооружения обелиска,
Тайны души и веры у могилы Хайяма потребуй».
Последняя строка этого четверостишия согласно восточной тра-
диции дает ответ на вопрос о дате сооружения обелиска: если заме-
нить каждую букву этой строки ее числовым значением и сложить,
то получим 1313 г. солнечной хиджры, т. е. 1934 г. Обелиск был
оружец на средства, собранные среди почитателей Хайяма в раз-
ных странах.
) См. стр. 22 перевода.
СтоРико-мат(‘м. исследовании
(14
Б. А РОЗЕНФЕЛЬД И А II. ЮШКЕВИЧ
к этому трактату), а в 1077 г. закончил трактат «Комментарии
к трудным постулатам книги Евклида».
Точная дата написания трактата «Об искусстве определения ко-
личества золота и серебра в состоящем из них теле» нам неизвестна.
Дата (около 1115 г.), сообщаемая Датаром'). сомнительна.
В 1074 г. Хайям попадает ко двору сельджукского султана
Джалалэддпна Малпкшаха, где ему покровительствует визирь сул-
тана прогрессивный таджикский государственный деятель Нпзам-
улмулк. Здесь Хайям становится во главе астрономической обсер-
ватории в Пспагани. Результаты работ этой обсерватории публику-
ются в виде «Маликшакских астрономических таблиц». Здесь же
Хайям разрабатывает реформу солнечного иранского календаря,
аналогичною нашему «новому стилю». В календаре Хайяма, из-
вестном под названием «эры Джалалэддпна», 8 високосных лет при-
ходится не на 32, а па 33 года, вследствие чего ошибка в 1 день на-
капливается за 5000 лет (в нашем «новом стиле» такая ошибка нака-
пливается за 3300 лет)* 2).
Кроме указанных сочинений по математике и астрономии, Хай-
яму принадлежит несколько трактатов по естествознанию, геогра-
фии и философии3).
Параллельно с занятиями наукой Хайям создает своп бес-
смертные «Четверостишия», которые до сих пор живы в широких
массах народов Востока4 *). Вольнодумный дух «Четверостиший»
Хайяма, высмеивающих официальную мусульманскую религию
и ее обряды, привел к тому, что мусульманская реакция стала пре-
следовать Хайяма. Для спасения жизни Хайяму, уже будучи ста-
риком, пришлось предпринять паломничество в Мекку6).
Официальная наука ислама, бывшая служанкой религии,
стремилась вычеркнуть имя Хайяма из числа поэтов и ученых. Мно-
гие замечательные математические результаты Хайяма стали из-
вестны ученым позднейших времен без упоминания его имени. Не
пмея возможности вытравить из сознания масс имя Хайяма-поэта,
реакционеры пытались исказить его облик, истолковать его стихи
в мистическом духе.
х) См. Swami G о v i n d a T I r t h a (V. M. Datar), The
nectar of grace. ‘Omar Khayyam’s life and works, Аллахабад, 1941,
стр. XLV—XL\ I
2) О календаре Хайяма см. F. К. Ginzel, Handbuch der
mathematischen und technischen Chronologic, t. 1, Лейпциг, 1906,
стр. 300—305.
3) Философские трактаты Хайяма на арабском и таджикском
языках и их переводы па английский язык приведены в указанной
книге Swaini Go\inda Tntha, стр. LXX1X—CXXIX.
4) Русский перевод: Омар Хайя м, Четверостишия. Из-
бранное. Сталпнабад, 1949, или в «Антологии таджикской поэзии»,
М., 1951.
6) О Хайяме см. М о р о ч и и к С. Б , Философские взгляды Омара
Хайяма, Сталпнабад, 1952 и Юшкевич А. II., Омар Хайям и его
«Алгебра», «Труды института истории естествознания». 1948, т. II.
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
115
Ц все же за девять веков, отделяющих нас от Хайяма, реакции
не удалось уничтожить память о нем. Изучение научного и поэти-
ческого наследства Хайяма позволяет все лучше и лучше рассмо-
треть его гигантскую фигуру и выяснить огромную роль, которук»
он сыграл в истории человеческой мысли.
Ниже приводятся примечания к публикуемым здесь трем трак-
татам Хайяма
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ
«О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ
И АЛМУКАБАЛЫ»1)
1. Алгебра и алмукабала (ал-джабр ва-л-му кабала)—первопа
чальное название алгебры. Это название впервые встречается
в «Краткой книге об исчислении алгебры и алмукабалы» хорезмско-
го математика Мохаммеда ибн Муса Хорезми (около 830 г.). В соб
ственном смысле слова «ал-джабр» и «а.т-мукабала» означают две
простейшие алгебраические операции—перенесение вычитаемых
членов уравнений в другую часть в виде прибавляемых членов и
приведение подобных членов. Трактат Хорезми бы г переведен в
XII веке на латинский язык под названием Liber de algebra el al
mucabala, откуда происходит наш термин «алгебра».
2. Абу 'Абдаллах Мухаммад ибн г11са ал-Махапй—багдадский
математик и астроном, умер около 880 г., автор трактата «Об отно
шевии», комментариев к 10-й книге «Начал» Евклида и ко 2-й книге
сочинения Архимеда «О шаре и цилиндре».
3. В 4-м предложении 2-й книги сочинения А р х и м с д а
«О шаре и цилиндре» требуется «рассечь данный шар таким обра-
зом, чтобы сегменты шара находились в данном отношении».
Так как объем сегмента шара радиуса г с высотой х равен
, ( х "\ т
г—— \ t задача Архимеда в случае данного отношения — .
г) В примечаниях ссылки па «Начала» Евклида всюду сделаны
по русскому тексту в переводе Д. Д Мордухай Болтонского
кн. 1—VI, М.—Л., 1948; кн. VII—X, 1949; кн. XI—XV, 1950 (для
краткости соответственно т. I, т II, т III); ссылки на «Данные»
Евклида—по французскому тексту сочинений Евклида в переводе* *
Пейрара (Е и с 1 i d е, Les oeuvres en grec, en latin et on fran^ais, ed.
par F. Peyrard, 3, Париж, 1818), ссылки па «Конические сечения-»
Аполлония—по французскому тексту в переводе Вер Экке (А р о 1
* ° n i u s de Perga, Les coniques, trad, par P. Ver Eecke,
рюгге, 1923), ссылки на сочинения Аристотеля—по русским перс-
1934^* ^*®изика>>» изд 2-е, М —Л., 1937; «Метафизика», М.—Л.
М Д*КатегоРпи»’ —Л’’ 1939; «Аналитики первая и вторая»,
8*
116
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД 11 Л. 11. ЮШНЕПНЧ
если обозначить высоту большего сегмента DE (черт. 1) через х и,
следовательно, высоту менынсго сегмента ЕВ через 2г - х, сводится
к определению величины х из пропорции
4г2 Зг
т.
П
ПЛИ
т г
т-\- п
Именно к этой пропорции и приходит (более длинным путем)
Архимед: он обозначает диаметр шара через DB, высоту боль-
шего и меньшего сегмента через соответственно DE и ЕВ,
продолжает высоту меньшего сегмента на расстояние, равное
радиусу шара, до точки G, так что BG = r и, следовательно,
EG — Зг — х, находит на отрезке BG такую точку F, что FG = ,
1 J - гп + п
и формулирует задачу, к кото-
рой свелась его первоначальная
задача, следующим образом: «да
пы две линии BD, BG, из кото-
рых BD вдвое больше BG, а так-
же точка F па липни BG\ тре-
буется разделить линию BD в
точке Е таким образом, чтобы EG
относилась к FG, как квадрат
BD к квадрату ВЕ». Метод реше-
ния в сочинении «О шаре и цилин-
дре» не приведен. Евтокий (VI век)
комментариях к сочинению «О шаре и цилиндре» сообщает,
обнаружил рукопись Архимеда, где задача решается
в своих
что он
с помощью конических сечении.
Архимед, именно, решает несколько более общую задачу
о делении отрезка С на части х и С — х, удовлетворяющие про-
порции
б1 С — х
л- е
где е—данный отрезок, 6 pb—данная площадь. Согласно найден-
ной Евтокпем рукописи решение получается путем построения аб-
i цпесы точки пересечения параболы ру-х* и равносторонней гипер-
болы (С—х)у—Ъе. Приведя пропорцию к уравнению вида
х2(С—x)=-epb или x3-}-(‘pb — Cx~,
Крхпмед тщательно исследовал условия разрешимости обобщенной
задачи и указал некоторые границы (положительных) корней.
Решение Архимеда было надолго утеряно и его не знали уже
(пока (около 180 г. до н. э.) и Дпонпсидор (около 100 г. до н. э.),
предложившие собственные решения задачи о делении шара (пер-
вый—с помощью эллипса и равносторонней гиперболы, второй—
с помощью гиперболы и параболы). Махани, видимо, первый вновь
привел задачу Архимеда к уравнению типа .гя-|~л—cz2 и ее исследо-
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХЛЙЯМЛ
117
пянпем затем занимались многие ученые. См. Archimedes Wer-
ке hr?g von Th. llealh, deulsch von F. Kliem. Берлин, 1914.
стр- 209 и сл. Ср. [78].
4 Абу Джа'фар ал-Хазнпп—математик и астроном из Хора
ана, умер между 96!—971 гг., автор комментариев к кн. X «На-
чал»’ Евклида и нескольких астрономических и математических
сочинении.
5 Aov Тахир (1039- 1091)—оогатый и влиятельный Самарканд
кий вельможа и меценат, покровительствовавший Омару Хайяму
н период написания им алгебраического трактата.
6 . Мы переводим словом «величина» слово «мпкдар», которое
применяется только к непрерывным величинам, и словом «коли-
чество» слово «кампййа», которое применяется как к непрерывным,
так и к дискретным величинам. Под числом Хайям в этом месте
вслед за древними понимает только натуральное число.
7 «Категории» (у Хайяма Катнгуриас)—вторая часть «Орга-
нона» Аристотеля (384— 322 г до и. а.), «Метафизика»—другое из
важнейших сочинений того же философа. Хайям именует «Мета-
физику» ал-хпкмат а.т-ула, т. е. «первая фи юсофня», как ее преи-
мущественно называл сам Аристотель (вероятно, в отличие от на-
TJ рфнлософской «Физики»—«второй философии»). Совокупность
нескольких сочинений, фактически входящих в состав «Метафпзп
кп», получила это название уже после смерти Хрпстотеля.
О непрерывных и дискретных величинах см. \ р и с т о т е л ь,
Категории, гл. 6 (стр. 14): «Между количествами одни раздельны,
другие непрерывны, ... Раздельными являются, например, число
и речь, непрерывными—линия, поверхность тела, а кроме того
еще время и пространство». При этом непрерывность величины
Аристотель понимал как наличие общей границы у двух смежных
частей, на которые разделяется эта величина: например, общей
границей двух смежных частей .пиши является точка, в которой
они соединяются. В «Метафизике», кп. 5, гл. 13 (стр. 93)
Христотель писал: «Количеством называется то, что может быть
разделено на составные части, каждая из которых, бу сет ли их две
пли несколько, является чем то одним, санным налицо. То или
сругое ко шчество есть множество, ес ш его можно счесть, это
величина, если его можно измерить. Множеством при это.м пазы
вается то, что в возможности делится на части не непрерывные,
величина—то, что [делится] па части непрерывные: а у величин
протяжение, непрерывное в одном [ направлении |, есть длина, не-
прерывное в двух [направлениях]—ширина, непрерывная в трех
Iнаправлениях]—глубина. Из этих количеств ограниченное пре-
лом множество есть чпсло, ограниченная длина—линия, огранп-
г7Т11Ная ш,|Р1|на—поверхность, ограниченная глубина—тело». Ср.
I ] к геометрическому трактату Хайяма.
Вопросу об определении понятия места, занимаемого тем или
пням телом, посвящены гл. 1—5, кн. 4 «Физики» Аристотеля
стя»СТ0ТС;1Ь Раз^пРарт здесь четы] >е. возможных понимания «ме-
' как формы материн, протяжения пли промежутка и, наконец,
118
Б А. РОЗЕНФЕЛЬД И А П ЮШКЕВИЧ
границы п прпходпт к заключению: «Необходимо, чтобы место было
последним из четырех предположений, именно границей объемлю-
щею тела «поскольку оно соприкасается с объемлемым). Я разумею
под объемлемым тело, способное двигаться путем перемещения...
Тело, снаружи которого находится какое-нибудь другое объемлю-
щее его тело, находится в известном месте») («Физика»», кн 4, гл 4
и 5, стр. 77—78).
8 To-есть I : х=х : х2=х2 : х3 и т. д.; см. Евклид, «Начала»,
кп IX, предл. 8 (т. II стр. 75). «Если будет сколько угодно после-
довательно пропорциональных чисел от единицы, то третье от еди-
ницы и все через одно [будут] квадратами, четвертое же и все через
два [будут] кубами, седьмое же и все через пять одновременно квад-
ратами и кубами». Далее Хайям говорит о пропорциях а: ах=
—ах : ах2=ах2 : ах3—ахл : а.г4 и т. д.
Термин «вещь» («шан») для обозначения неизвестной величины
впервые встречается в алгебре Мохаммеда Хорезми. Наряду с
этим Хорезми называет неизвестную также «корнем» (ал-джизр).
Происхождение этих терминов пока точно не установлено.
9. Это уравнения х2-{-Ьх—а, x2-\-a—bx, х2=а-\-Ьх, решения
которых приведены уже в алгебраическом трактате Хорезми.
10. См., например, Евклид, «Начала», кн. V, предл. 1
(т. I, стр. 145): «Если будет несколько величин, равнократных каж-
дая каждой каким ппбудь [другим, взятым] в равном количестве
величинам, то сколько раз одна из [первых] величин будет кратна
одной [из вторых], столько же раз будут и все [первые величины
вместе] кратны всем [вторым]» и кп \ II, предл. 5 (т II, стр 15):
«Если число есть часть числа и другое—такая же часть другого, то
н вместе взятые [первые] будет такой же частью вместе взятых
[вторых], как одно одного».
В предл. 1 кн. Л , таким образом, доказывается для величии,
что из равенств Л—па, B=nb, С пс и т. д следует равенство
44-Z?-j C+- • .=H«+»5+«c-f-.. .=п(л-[-Ь-гс-|-...),
а в предл. 5 кн \ II доказывается для чисел, что пз равенств
а—— 1 следует равенство na-]-nb=n О взаимоотно-
шении общей теории отношений и теории отношений целых чисел,
см статью II. Г. Баш м а к о в о й, Арифметические книги
«Начал» Евклида, «Историко-математические исследования», вып. I,
\1,—Л., 1948.
11. 1) х =а, 2) х- а, 3) х3—а, 4) х2=Ъх, 5) х3=сх2, G) х3=Ьх.
12. 1) х2-\-Ьх=а, 2) х2-\-а=Ьх, 3) х2=Ьх-\ а.
13. 1) .т34'Сз2=5а', 2) х3~т-Ьх=сх2, 3) x3=<x2~rbx.
14. Деля а:3+йж=са:2 на т, получим х2-\-Ь=сх. Корень, рав-
ный нулю, алгебраисты пс принимали во внимание вплоть до
XXII века.
15. 1) х3-\-Ьх=а, 2) ж3-|-о=5х, 3) х3=Ьх-\-а, 4) х34-сх2=а,
5) жэ4-«=сл2, 6) т3—сх2-\~а
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ X ШЯМА
119
16. Имеется в виду уравнение я3+а=е.г2.
17. 1) х3+сх’2+дх=«, 2) .г3+гя2+с=6.г, 3) z3-f-6x+o=c.r2,
4) ,r3=cx2+6z+fl.
18. 1) x3+ca,2=6z4-a, 2) д34-Ьх=гх24-а, 3) г3+а=ех2+6л:.
19. Имеется в виду уравнение х3+Ьх-\-а—сх2. См. [85] — (871-
20. Прием извлечения квадратного и кубического корней из
чисел, основанный на применении правил, выражаемых нами фор-
мулами (а-\-Ь)'2=а2-[-2аЬ-\-Ь2, (a-rb)3=a3-\-‘3a2b-\-3ab--{-b3, был
известен китайским математикам не позднее II—I вв. до н. э.
Краткое указание на пего имеется у пнднш кого математика
Арпабхатта (рот в 476 г.), а затем и у других ученых Индии. Этот
же прием для случая квадратного корня известен был и греческим
вычислителям; он описан у Теона Александрийского (IV век и. э.).
Хайям первый предложил общий прием извлечения из чисел
корней n-й степени, вероятно, основанный на знании формулы /г-й
степени двучлена. Рукопись трактата Хайяма, в котором изложено
было это открытие, не обнаружена. Первое описание способа извле-
чения корня n-й степени и формулы «бинома Ньютона» для любого
натурального показателя встречается у самаркандского математика
Гпясэддина Джсмшида ал-Кашп (см. 10 ш к е в и ч А. П., О мате-
матике народов Средней Азин в IX — XV вв., «Псторпко-математн
ческпе исследования», вып. IV, М.—Л., 1951).
«Начала» Евклида Хайям здесь называет ал-истиксат от гре-
ческого названия этого сочинения Х—г/зи (стихии).
21. См. Е в к л и д, «Начала», кн. II, предл. 14 (т. I, стр. 78):
«Построить квадрат, равный данной прямолинейной фигуре».
22 Долпй числа п Хайям называет такую величину, которая
относится к единице так же, как единица к данному числу, т. е.
в наших обозначениях долей величины п является Термин «доля»
восходит к античной древности. В «Началах» Евклида целое число тп,
являющееся делителем целого числа JZ, называется «частью» пли
«долей» последнего: «Часть есть число в числе , меньшее в большем,
если оно измеряет большее» (кн. \ II, опред. 3; т II, стр. 9). «Долей»
1 I
греки называли и дрооь вида — ; например, — это трггоч р.=рос, т. е
третья доля. 10
23. См. Е в к л и д, «Начала», кн. XI, предл 12 (т. III, стр 22):
«К заданной п юскостп из данной на пей точки под прямыми [угла-
ми] восстановить прямую линию».
24. См. Е в к л и д, «Начала», кн IX, предл. 8 (ер. [8]). Веро-
ятно, ссылка Хайяма па восьмую книгу является результатом
описки.
25. Если х2-[-Ьх=а, то х= J/^a-h — -у • Отрицатель-
ные решения Хайям нс принимал. Выдвигаемое Хайямом для цело-
численности положительного корня требование четности «числа
120
Б. Л. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
корней» не обязательно: например, уравнение х2+Зх=10 имеет
положительный корень 2.
26. См. Е в к л и д, «Начала», кн. II, предл. 6 (т. 1. стр. 67):
«Если прямая липни рассечена пополам и к ней по прямой
приложена какая-либо другая прямая, то прямоугольник, за
ключенный между всей примой с приложенной и самой прило-
женной, вместе с квадратом на половине равны квадрату на
(прямой), составленной из половины и приложенной» (черт. 2).
т. е. (Ь }-х)х+(— ) — ~2 х ) • Д-чя геометрического еострое-
Ъ
2
Ъ
2
пня корпя далее следует приме-
ни и. теорему Пифагора.
27. Ec.ur х2-}-Ьх = а, то в
си iy указанного предложении
Евклида a ’
откуда
н
28. См. Евклид, «Начата», кн. \ I, предл. 25 (т. I, стр. 205):
«Построить подобную данной прямолинейной фигуре и равную
другой данной ту же (фигуру)».
Приводимое здесь «другое доказательство» решения квадрат-
ного уравнения х2-р10х = 39 впервые встречается в «Краткой книге
об исчислении алгебры и алмукабалы» Мохаммеда Хорезми, так
же как и самый пример (см. Вплейтпер Г., Хрестоматия
по истории математики, иер. сном., М,- .1., 1935, стр. 27 31).
29. См. Евклид, «Начала», кн. \ I. предл. 29 (т. I, стр. 211):
«К данной прямой приложить равный дайной прямолинейной
фигуре пара.тлелограмм с избытком в виде параллелограмма,
подобно!о данному».
Если иред.т. 6 кп. II «Начал» дает построение корпя уравне
мня х2ф-/ы — а с коэффициентом 1 при .г2, то предл. 29 кп VI
может служить дли построения корпя \равнения гх24-Ьх~а.
В самом деле, заменим параллелограммы па прямоугольники, что
пе меняет сути дела: пусть данная прямая есть Ь, а данный прямо
угольник имеет стороны />, у. Тогда, обозначив стороны избы
п
точного прямоугольника у, х, имеем у:г = р:а, у <= — х = су.
и (Ь-\-у')х = а, где а - площадь данной прямолинейной фигуры,
пли сх*-\-Ьл=а. Построение решения уравнения гх2 ф-да; == « приве-
дено в кн. А I, так как основано на развиваемом в ней учении
о подобии. Следует заметить, что в античной «геометрической
алгебре» соблюдается «принцип однородности»: складываются,
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМ* ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
121
вычитаются и приравниваются члены одинакового измерения (с есть
отношение отрезков р, д, а—площадь). Подробнее см. Цсйтеи Г. Г.,
Пстоппя математики в древности и в средние века, пер. с франц.,
,|31. 2-е. 31.-Л., 1938. стр. 42-48. 105-106.
30. См. Евклид, «Данные», предл. 59 (стр. 398): «Если
цшкый параллелограмм приложен к данной прямой с избытком,
то стороны избыточного параллелограмма известны».
31. Если а:24-й Ъх, то условие вещественности корня ]
Ь / b 2 b
Тогда нриа = ^— J , и .т=у
32. В качестве примера рас-
сматривается случай, когда число
корней Ь=10
33. См. Евклид, «Начала»,
кн. И, предл. 5 (т. I, стр. 65):
«Если прямая линия рассечена на
равные и неравные (отрезки], то
прямоугольник, заключенный ме-
жду неравными [отрезками] всей
прямой, вместе с квадратом на
отрезке между сечениями равен
квадрату на половине» (черт. 3),
т. е. х(Ь — =
переименовании отрезков для случ
Черт. 3.
b
при X < — или при простом
34. Евклид, «Начала», кп. VI, предл. 28 (т. I, стр. 209):
«К данной прямой приложить равный канной прямолинейной
фигуре параллелограмм, имеющий недостаток в виде1 параллели
грамма, подобного данному: необходимо же, чтобы данная прямо
пшенная фигура, равную которой надо приложить, была пе больше
(фигуры], построенной иа половине, подобной недостатку от
(фигуры] иа половине, it подобную которой надо взять в недо-
статке». Ср. (2*].
35. См. Евклид, «Данные», иредл. 58 (стр. 397): «Ec.ni дан-
ный параллелен рамм приложен к данной прямой с недостатком,
то стороны недостающего параллелограмма нзве тны».
П/. Z4 1> b b
оо. с лучаи х =— , х > — , х < —.
j 2 ’ 2 ’ 2
•37. При а >
38. Если а-\-Ьх = х2, то я=-^--ь|/ Друой ко-
рень отрицательный.
122
Б. Л. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
39. См. Евклид, «Начала», кн. II, предл. 6 (см. [2в])- Соот-
ветствующее преобразование в наших обозначениях имеет вид:
X
откуда
и т. д. Ср. Цой те и, пит. соч., стр. 45.
40. См. Евклид, «Начала», кн. XI, предл. 34 (т. III, стр. 50):
«У равных параллелепипедальных тел основания обратно пропор-
циональны высотам: и у каких параллелепипедальных тел основа-
ния обратно пропорциональны высотам, тс будут равны».
И. To-есть для двух данных линий а и Ь найти такие две
линии х, у, что а, х, у, Ь находятся в непрерывной пропорции
а : т = х : у = у : Ь.
42. На робела, гипербола и эллипс называются па арабском
языке соответственно кат* мукафй, дословно «достаточное сечение»,
кат* зайд, дословно «избыточное сечение», и кат* накис, дословно
«недостаточное сечение». Эти термины являются непосредственным
переводом греческих слов «-артро/.т;», «бг.ерЗоЦ» и «гХХгф;»,
от которых произошли наши термины «парабола», «гипербола»
и «эллипс» и которые дословно означают соответственно «прирав-
нивание», «избыток» и «недостаток». О происхождении этих назва-
ний см. Ц е й т е н, цит. соч., стр. 138. Там же см. о построении
двух средних пропорциональных с помощью двух парабол, пред-
ложенном Мепехмом (около 360 г. до и. э.) для решения задачи об
удвоении куба (стр. 65—68).
43. Вершиной (ра’с—дословно голова) конического сечения
Хайям называет то же, что н мы. Выражаясь языком аналитической
геометрии, можно сказать, что Хайям связывает с коническим се-
чением систему координат, координатными осями которой служат
главная ось кривой и касательная в ее вершине, а началом коор-
динат—вершина. Аполлоний, который, опять-таки говоря по совре-
менному, обычно относит конические сечения к более общей системе
координат, координатными осями которой служат произвольный
диаметр кривой и ка ательиая в его конце, называет вершиной этот
конец диаметра, являющийся произвольной точкой кривой. Осью
(сахм—дословно стрела) конического сечения Хайям называет
то, что мы называем главной осью кривой.
Вопрос о том. в какой мере можно говорить о наличии у Апол-
лония методов аналитической геометрии, системы координат и т. п.,
различные историки математики решают по-разному. См. статью
А. П. 10 ш к е в и ч а «О „Геометрии** Декарта» в кн.: Д е-
к а р т Р., Рассуждение о методе, пер. с франц, и латин., М., 1953.
44. Прямой стороной (по-арабски дпл* ал-кайм, по-латыни
lalus rectum) параболы, гпперболы п эллипса Аполлоний п средне-
вековые математики называли некоторый участвующий в их опре-
делении отрезок, по величине равный фокальной хорде этих кривых.
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
123
<г 61 их удвоенному параметру. Ср. В и л е и т и е р, пит. соч.,
с;р 124—125.
г 45. При этом построении Хайям пользуется предл. 52 кн. I
«Конических сечений» Аполлония (стр. 97): «Если на плоско-
сти задана прямая и один из ее концов, провести параболу, диа-
метром которой является данная прямая, вершиной—[данный]
конец этой прямой, для которой квадрат всякой прямой, прове-
денной из [точек] параболы к диаметру под данным углом, равен
прямоугольнику, заключенному между отсекаемой ей прямой от
вершпны параболы и другой данной прямой». Частным случаем
этого предложения является задача построения параболы по ее
вершпне, главной осп и «прямой стороне» (задание последней равно-
сильно заданию параметра параболы).
46. Координатным углом (завпййат ат-тартпб, дословно—угол
упорядочения) Хайям называет угол между главной осью п перпен-
дикулярными к ней хордами (у Аполлония это угол между одним
из диаметров и хордами, сопряженными с ним).
Ординатами (хатт ат-тартйб, дословно—линия упорядочения)
Хайям называет хорды конического сечения, перпендикулярные
К главной осп. Сопряженные с диаметром конического сечения хорды
Аполлоний называл «по порядку проведенными», что Ф. Комман-
дино (1509—1575) перевел в 1566 г. на латынь «ordinalim appli-
catae», т. е. по порядку или упорядоченно приложенные.
Отсюда произошли термины ордината и анликата. Отрезки диамет-
ра, соответствующие нашим абсциссам, Аполлоний называл «отсечен-
ными на диаметре от вершины» (т. е. отсеченными посредством ор-
динат). Коммандино перевел это «quaeab ipsi^ ex diametro ad verti-
cem abscinduntur»; abscindo значит отрезаю, отсекаю, отделяю.
Отсюда—термин abscissa, отсеченная, например, у Б. Кавальерп
(1591?—1647) в 1635 г. (’лова ордината и абсцисса широко употреб-
лял Г. В. Лейбниц (1646—1716), введший также в 1692 г. термин
«координаты».
47. См. А и о л л о и и й, «Конические сечения», кн. I, предл.
32 (стр. 58): «Если через вершину конического сечении провести
прямую, параллельную ординатам, она будет касательной к се-
чению,- и между коническим сечением и этой прямой не может на-
ходиться никакая другая прямая». Нумерация предложений
«Конических сечений» у Хайяма несколько отличается от обще-
принятой ныне.
48. См. А п о л л о и и й, Конические сечения, кн. I, предл. 52
(см. [«]).
49. См. Е в к л и д, «Данные», предл. 30, 25, 26 (стр. 344, 339
и 340): «Если из данной точки провести к данной прямой прямую
линию под данным углом, то проведенная линия будет известна по
положению». «Если две линии, известные ио положению, пересе-
каются, точка их пересечения известна по положению». «Если концы
прямой линии известны по положению, эта прямая известна по по-
ложению п по величине».
-50. Это соотношение устанавливается предл. 11 кн. I «Кони-
ческих сечений» Аполло н и я (стр. 21): «Если конус пересечен
124
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
плоскостью, проходящей через ось, и другой плоскостью, пере-
секающей основание конуса перпендикулярно основанию треуголь-
ника, проходящего через ось, и если при этом диаметр конического
сечения параллелен одной из сторон треугольника, проходящего
через ось (см. черт. 4), то квадрат всякой прямой, проведенной из
[точек] конического сечения параллельно линии пересечения секу-
щей плоскости и основания конуса к диаметру конического сечения,
равен прямоугольнику, заключенному между отсекаемой ею пря-
мой от вершины конического се-
чения и прямой, которая отно-
сится к прямой, соединяющей верши-
ну конуса с вершиной коническо-
го сечения, как квадрат основания
треугольника, проходящего через
ось, к прямоугольнику, заключен-
ному между двумя другими сто-
ронами этого треугольника; будем
называть это коническое сечение па-
раболой».
Это предложение выражает ос-
новное планиметрическое свойство
параболы, первоначально определяе-
мой как сечение конуса плоскостью,
параллельной одной из образую-
щих конуса. Дальнейшее изучение
свойств параболы у Аполлония опирается на это планиметрическое
свойство, распространяемое затем на любые диаметры и сопряжен-
ные с ними хорды.
Если обозначить GL через х, a KL через у, то названное
планиметрическое свойство выразится уравнением параболы в ко-
соугольных координатах у2 — 2рх.
Аналогично определяются у Аполлония эллипс и гипербола
п их основные планиметрические свойства, которые мы выражаем
уравнениями , р „
= 2рх Т — ж2.
а
51. Так как построенные параболы могут быть определены
уравнениями у~ = Ьх и х- = ау, то у : х = Ь : у и у : х — х : а, откуда
а : х =х : i/ = y : Ь.
52. Из \В : MG = MG : К следует, что ЛВ2 : MG2 = AB : К,
т. е. . 1С : МН = ЛВ : K—GF : ED.
53. См. Е в к л и д, «Начала», кн. XI, предл. 34 (см. [40]).
54. Из ЛВ : GM — GM : К следует, что АВ2: GM- — AB : К,
т. е. ЛС: НМ = ЛВ : K = GF : BL.
55. См. предл. 1 Хайяма. Основанном тела ABCD служит еди-
ничный квадрат АС, длиной—отрезок ВО.
с,. а b „ а
5о. Если—= —, то «двойным» называется отношение—,
b с с
f а \2 * а
г. о., говоря по-современному, (•£*)» квадрат отношения -у.
ПРИМЕЧАНИЯ Н ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА |2.'>
См- [e2J 11 Iе4] к трактату «Комментарии к трудным постулатам
книги Евклида».
Из АВ . Е = Е G — G: BD следует, что И : FK = (. \В : НК)2 —
=^(4В :Е)2^=АВ G = E BD = HK :BD.
Q назначении предл. 2 и 3 см. I59].
57. См. предл. 2 Хайяма.
58 См. предл. 1 Хайяма
59. Если данное уравнение имеет вид ж3 Ьх а. то 1Z? ] Ь,
Построенные Хайямом парабола и окружность могут
быть определены уравнениями z2 = ] Ь у н (х—-р/2 = (^0
пли —х \ — У2> вследствие чего абсцисса х точки пересечения
атих кривых удовлетворяет данному уравнению (положительное
направление осп абсцисс —влево; ось ординат направлена вниз).
Хайям получает это, сравнивая пропорцию ЛВ BE — BE.ED,
т. е Ь х — х:у,с пропорцией BL : LD = EL) : ЕС, т. е. х : у
= У
откуда Ь : .г2 = х :
и данное уравнение получается из этого равенства двух тел при
бавлением к обоим тела Ьх. Как впдпо из текста, Хайям вслед
за древними строго соблюдает однородность членов кубического
уравнения, все они оказываются «телесными» (ip [29|): Ь пре-
образуется в квадрат АВ2, а— в тело АВ2 ВС с помощью преды-
дущего вспомогательного предл. 2.
60. Уравнение а:3-|-6а,’ = а имеет единственный вещественный
корень, который всегда положителен, что очевидно из построения.
61. См. [«].
62 Поперечной стороной (по-арабски дил* ал-манл, но-латыпи
latus transversum) гиперболы или эллипса Кноллоппй и последую-
щие математики называли диаметр кривой, пересекающий ее в двух
точках У Хайяма поперечная сторона гиперболы есть отрезок веще-
ственной оси гиперболы, соединяющий ее вершины. Ср. [п] и [,!].
63 См. Аполло и и й, Конические сечения, кп I, предл. 54
(стр 101) «Если даны две ограниченные прямые, перпендикуляр
ные между собой, одна из которых продолжена со стороны прямою
угла, провести в плоскости этих прямых гиперболу такую, что
продолженная прямая есть диаметр сечения, вершина угла есть
вершина гиперболы и квадрат всякой прямой, проведенной нз [то-
чек] гиперболы к диаметру под данным углом, равен прямоуголь-
нику, который, будучи приложен к друюй прямой, имеет шириной
отсекаемую ей прямую от вершины гиперболы, вместе с прямо-
угольником, подобным и подобно расположенным по отноше-
нию к прямоугольнику, заключенному между данными прямыми».
Частным случаем этого предложения является задача вострое
®Ия гиперболы по ее вершине, вещественной! оси и «прямой и
126
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. II. ЮШКЕВИЧ
поперечной сторонам» (задание последних ранносильно заданию
полуосей гиперболы).
64. См. Аполлонии. Конические сечения, кп. I, предл. 21
(стр. 43): «Если в гиперсоле, эллипсе или окружности провести
ординаты к диаметру, их квадраты относятся к прямоугольникам,
заключенным между отсекаемыми ими прямыми от концов попереч-
ной стороны, как прямая сторона к поперечной стороне». Это
предложение определяет уравнение гиперболы, эллипса пли
окружности. В применении к гиперболе это предложение
2-
V2 2р а у2 Ъ2
можно записать в виде;-------------==/.==——. пли —-—^=.— ,
(ж-Г а) (я— а) га 2.а х2— а2 а2
что равносильно уравнению —— 4г — 1
65. См. Аполлоний, Конические сечения, кн. I, предл. 11
(см. 1501).
66. Если данное уравнение имеет вид хя-\-а~Ьх, то =
ВС = . Построенная Хайямом парабола может быть определена
уравнением х2 — У by. Так как прямая и поперечная стороны
построенной Хайямом гииероолы равны — , эта гипербола является
.. f , х~ у~ .
равностороннеи (для гииероолы —у — — = 1 прямая сторона равна
da
— , а поперечная равна с, так что из равенства этих «сторон»
— =с следует равенство c = d п может быть определена уравне-
нием Г х— и*1" х ( х----ВСЛСД(”ГЕПС
чего абсцисса х точки пересечения этих кривых удовлетворяет
данному уравнению. Хайям получает это, сравнивая пропорцию
BF : FE = FE : FC, т. е х : у — у : ( х—, с пропорцией AB.BF —
= BF : EF, т. е. ] Ь:х — х\у, откуда Ь:х2=х: х----или
х3 = Ь ^я:—~ , и данное уравнение получается из этого равенства
двух тел прибавлением к обоям тела, представляющего число а.
67. Уравнение х3 + а = 6х ’имеет всегда один вещественный
отрицательный корень, не учитывающийся Хайямом; два oi таль-
пых корня либо мьимы (задача невозможна), либо положительны
и равны, либо положительны и различны (у вида имеют) я раз-
личные случаи). Понятия о кратных корнях Хайям не имел;
оно возникло в XVII в., после того как А. Жирар (1595? —
1632) в 1629 г. п Р. Декарт (1596-1650) в 1637 г. сфор-
ПРИМЕЧАНИЯ к ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
127
ыулпровали теорему о числе корней алгебраического уравнения
л-й степени.
68 См. Аполлоний, Конические сечения, кн. I, предл. 32
(СМ. Г7])-
69. Если данное уравнение имеет вид л3 = Ьх + а, то .12?=) Ь,
ВС = — и not троенные Хайямом парабола и равносторонняя гипер-
b
бола могут быть определены уравнениями ж2 = у и _
__У2—пли х ^я + -^-^ = у2, вследствие чего абсцисса х
точки пересечения этпх кривых удовлетворяет данному уравнению
(положительное направление оси абсцисс здесь—направо). Хайям
получает это, сравнивая пропорцию CH . ЕН = LII: НВ, т. е.
) : у = у : х, с пропорцией ЕН : HB — EF : АВ, т. е. у : х —
— У'Ъ, откуда b : х2 = х : пли ж3 = & т* е-
z3=fcx4-a.
70. Уравнение х3 = Ьх-{-а имеет всегда один вещественный
положительный корень, два других корня отрицательны или
мнимы и ле учитываются Хайямом.
71. «Гиперболой, которую не встречают лилии ВС и BF»,
Хайям называет гиперболу с асимптотами ВС и BF.
72. См. Аполлоний, Конические сечения, кн. II, предл. 4
(стр. 121): «Даны две прямые, заключающие угол, и точка внутри
этого угла, провести через эту точку гиперболу, для которой дан-
ные прямые являются асимптотами».
73. См. Аполлоний, Конические сечения, кн. II, предл. 12
(стр. 128): «Если из точки гиперболы провести две прямые к асимпто-
там под произвольными углами и из любой точки гиперболы прове-
сти параллели к этим прямым, прямоугольник, заключенный между
этими прямыми, равен прямоугольнику, заключенному между
прямыми, к которым были проведены параллели». В частности,
если проведенные прямые параллельны асимптотам, это предло-
жение определяет уравнение гиперболы ху=К.
74. Если данное уравнение имеет вид ж3-рсж2 = а, то .42?= с,
BF=] а. Построенные Хайямом равносторонняя гипербола и
парабола могут быть определены уравнениями zy = (f а)~ и у2 =
= (x-J-c), вследствие чего абсцисса х точки пересечения этпх
кривых удовлетворяет данному уравнению. Хайям получает дан-
ное уравнение, сравнивая пропорцию AG : EG = LG : ВС, т. е.
' У = У ' I а, с пропорцией EG ВС = ВС : BG. т. е. у : )3 а =
= Fa:x, откуда ж2 : ()Га)а= : (ж-рс) или я2(ж4-с) = а, т. е.
128
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. 11. ЮШКЕВИЧ
Прп водимая Хайямом верхняя граница положительных кор-
ней х < f о для нас тотчас следует из уравнения х3-\-сх2 — а,
откуда хл < а. Вновь поставил проблему определения границ
корней Р. Декарт (1637), после чего ею занимались многие
математики: Ф. Дебон (1601 —1652), М. Ролль (1652—1719).
II. Ньютон (1642 —1727) и др
75. Уравнение х3-{-сх'~ — а всегда имеет один вещественный
положительный корень, два других отрицательны пли мнимы
76. Абу-л-Джуд Мухаммад ибн ал-Дейс, современник хорезм-
ского ученого Абу-р-Гейхана Мухаммада ибн Ахмада Бпруин
(973—1048), известен как автор решения ряда задач, приводящихся
к уравнениям третьей степени, поставленных Бпруин, Хазппом
и др. (трисекция угла, деление окружности на семь пли девять
равных частей). См. [125].
77. Если данное уравнение имеет вид х3-|-п = esc2, то
11 = ВС=^а. Если задача невозможна, так как при
г = ( а оудет 1 рп х < ] а оудет ст- < а и при х > ] а
будет хл >> cj~, что противоречит данному уравнению. Поэтому
] а < с. О трех случаях, различаемых Хайямом: ВС >.!/?,
BQ — AB, ВС АВ, т. е. f а > < — f a, f а —с— ]’ a, ] а < г — J а
см. [71] Построенные Хайямом равносторонняя гипербола пиара-
бола могут быть определены уравнениями ху = {\' а)- и у2—--
= | а (с х), вследствие чего абсцисса х. точки пересечения этих
кривых удовлетворяет данному' уравнению. Хайям получает это,
сравнивая пропорцию GC:BC=BC FG, т. е. x.fa = Ja:i/,
с пропорцией ВС: FG FG GA, т. е. $ а : у у:(с-х), откуда
х2 : (] я)2=Т а:(с — х) или а = х2(с —.г), п данное уравнение
получается из этого равенства прибавлением к обоим его частям
куба аг3
78. Уравнение х3-]-а = сх2 всегда имеет вещественный отрица-
тельный корень, но учитываемый Хайямом; два других корпя
либо мнимы (задача невозможна), шбо положительны и равны,
либо положительны и различны (задача содержит различные
случав).
Уравнение z3 + a = cx2 исследовал, как говорилось, Архимед
(см. [•’]), который установил, что положительное решение суще-
4с3 , v ..
ствует при Анализ Хайяма не исчерпывает все возмож
4с®
пости. Легко показать, что при а < ~ уравнение имеет два
положительных корпя и один отрицательный, при а
(случай
касания параболы и гппербо ibi) — двойной положительный и один
4с3
отрицательный, при а> —-----два комплексных и один отряда-
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
с2 34С”
тельный. Согласно Хайяму при а< — =—
положительных
(т. е.
при
положительных
положительного
корня,
корня,
при
либо
корня, а при
4?— Г а) уравнение имеет два
о 3 з
3«-с
а > ——— может лноо иметь два
один (наш двойной), либо не имеет
а>-с3 не имеет положительного корпя.
Важно заметить, что здесь, как и в случае уравнения
_|_а Ьх, мы впервые в истории алгебры встречаем явное указа-
ние на возможность существования у кубического уравнения двух
(положительных) корней.
Задача Архимеда, как говорилось в [3] явилась предметом
занятий многих математиков Востока. Автор одной арабской
рукописи, которым, быть может, был ал-Кухп (о нем см. [ss]),
произвел анализ условий разрешимости этой задачи и показал
подобно Архимеду, что положительное решение существует при
4с3
• Подробнее см. в приложениях В и С к изданию Венке,
стр. 96—114; см. также [12] к геометрическому трактату Хайяма.
79. Если данное уравнение имеет вид rc3 = cz2-|-a, то АВ = с
. Построенные Хайямом равносторонняя гипербола
и парабола могут быть определены уравнениями ху=}^ас и
у2 = с(х — с), вследствие чего абсцисса х точки пересечения этих
кривых удовлетворяет данному уравнению. Хайям получает это,
= с: у,
сравнивая пропорцию АК : ВС = АВ : ЕК, т. е. х:
с пропорцией ИТ?2: ЕК2 — АВ : 2?А’, т. е. с2: у2 = с : (х — с), откуда
с:(х — с)—х2: пли а = х2(х — с), и данное уравнение полу-
чается из этого равенства прибавлением к обеим его частям тела сх2.
80. Уравнение х3~-сх2 + а имеет всегда один вещественный
положительный корень; два остальных корпя всегда мнимы.
81. Если данное уравнение имеет вид х3-\-сх2-[-Ьх=а, то
ВЕ= ВС = -^~ , BD~c. Построенные Хайямом окружность и
равносторонняя гипербола могут быть определены уравнениями
(а \2
Т~с
х----^-1 +у2 =
—4
ь
2
§ Историко-матем. исследовании
или у'
130
Г.. V РОЗЕНФЕЛЬД II А. II. ЮШКЕВИЧ
11
X (у+ ] Ь)= -^= 11’111
1 6
«?/=1 ‘(у-«)>
вследствие чего абсцисса х точки пересечения этпх кривых удо-
влетворяет данному уравнению. Хайям получает данное уравне-
ние, сравнивая пропорцию GL : LC=EB BL, т. е. у : —х) =
= ) Ь х, с пропорцией GL2: LC~ = DT. I.C,x. е.
гГ:(т (*+“ :(т-г)'
откуда
(.т + с) : (^ — х )=ь -xi
или х3 4- сх2 = а — Ьх, и данное уравнение получается из этого
равенства двух тел прибавлением к обоим тола Ьх.
82. Уравнение х3 -|- сх2 -\-Ьх=а имеет всегда один веществен
ный положительный корень: дна других корпя отрицательны и ш
мнимы.
83. Если данное уравнение имеет вид х3-|-сх24-о = 6х, то
1В = /6, ВС=с, В1)*=~ . Построенные Хайямом дне равносто
ронине гиперболы могут быть определены уравнениями
НЛП fx-|j(x + e)
x{Vb-y) = -^=
У Ь
п in ху
вследствие чего абсцисса х точки пересечения этих кривых удо
в ютворяет данному уравнению. Ханям получает это уравнение,
сравнивая пропорцию АВ . BL = HL : LL), т. е. y'b : а; = у —,
с пропорцией IIL2 LD'-=CLLD, т. е. у2 : х—=
= (х4-с): х —, откуда (л-|-г) : у =е 6 ; .с2 или ж3 f-
4- сх2 = Ьх — а, и данное уравнение получается из этого равенства
двух тел прибавлением к обоим тола, представляющего число а.
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
13!
84- Уравнение ж3+сх2 + а=5« всегда имеет вещественный
отрицательный корень; два других корня либо мнимы (задача
невозможна), либо положительны н равны, либо же положи-
тельны и различны (задача допускает различные .случал).
Двойной положительный корень, соответствующий случаю
— с 4- с2 • 36 г.
касанпя гипероол, равен ---------------. Это значение легко по-
лучить, рассматривая корни уравнения а:3 + сх2 4- а = Ьх как абс-
циссы общих точек кривой у = х3-\-сх2 и прямой у——а-уЬх
и записав условие их касания: Зх24-2сх = />.
85. Если данное уравнение имеет вид х3 + Ьх 4 а сх2, то BE = с,
ВС = 1 '&» = 11°етРос1|||Ые Хайямом окружность и равно-
сторонняя гипербола могут быть определены уравнениями
п
•С (У — У^} = -А- ПЛ II зу^=Уь(х-\-^-
у ь ч ь
вследствие чего абсцисса х точки пересечения этих кривых удо-
влетворяет данному уравнению. Случаям, когда точка G лежит
внутри круга, на его окружности и вне его, соответствуют соотно-
шения коэффициентов Ь2 < ас,Ь2=ае и Ь2 > ас, подслучаям первого
из этих случаев, когда точка Н лежит внутри круга, на его
окружности и вне его, соответствуют соотношения коэффициентов
( У а)3 -|- Ь'2 У с < Ьс У а, (^«)3 + Ь'2 у/ с = Ьс У а
и
( У а)3 -J- Ь2 У с > Ьс У а.
Хайям получает данное уравнение, сравнивая пропорцию
LK:KA = CB: КВ,
т- ₽• У : = У&: х, с пропорцией LK2: КЛ2 — ЕК : КЛ,
т- У2 : ) = (с —х) : » откуда
(с —х)

ЭТОГО
11 сх —х3==Ьх-[-а, п данное уравнение получается из
" Bt>RKTBa Дв*х тсл прибавлением к обоим куба х3.
f Уравнение х3 4- Ьх -f- а = сх2 всегда имеет вещественный
Р Нательный корень; два других корня либо мнимы (задача
132
Б А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. II. ЮШКЕВИЧ
невозможна), либо положительны и равны, либо положительны
и различны (задача допускает различные случаи).
87. (10 — + =72 или х3 + 13-|-х + 5= 10х2. Это
у равнение имеет корни х = 2 и х = 4 ±-^- У 74 .
88. Абу-с-Сахл Вайджан ибп-ар-Рустам ал-Ьухй, математик
и астроном г. Кух в Табаристане (к юго-западу от Каспийского
моря), работавший в Багдаде в конце X века, автор коммента-
риев к «Началам» Евклида и «О шаре и цилиндре» Архимеда и
ряда трактатов ио геометрии и астрономии.
89. Абу-Абдаллах Мухаммад ибн Ахмад аш-Шаппй жил
во времена Бируни и Абу-л-Джуда пли немного ранее (см. [7в])—
автор нескольких геометрических трактатов.
90. Если данное уравнение имеет вид х3 = сх'--\-Ъх-\-а, то
BE = У Ь, АВ=-^ , ВС = с. Построенные Хайямом две равно-
сторонние гиперболы могут быть определены уравнениями
пли у
и х (у—>лЛ)=——= нлп Х1/ =
1 1>
вследствие чего абсцисса х точки пересечения
этих кривых удовлетворяет данному уравнению. Хайям получает
это уравнение, сравнивая пропорцию FN : AN = ВЕ : BN, т. е.
у : ( = ) b :т, с пропорцией FN2 : AN~ = NC : AN, т. е.
откуда (х—с):
У : + у J ={х— с) : +
= Ь. х2 пли х3 — сх2=Ьх а, и данное уравнение получается
из этого равенства двух тел прибавленном к обоим тела сх2.
91. Уравнение х3 = сх2 -р bx-}-a всегда имеет вещестнеппый
положительный корень; два других корпя отрицательны нлп мнимы
92. Если данное уравнение имеет вид х3 сл2 = 6а:-|-а, T"
ВЛ = Уь, СВ = с, S = АВ=^ . Построенные Хайямом две равно
сторонние гиперболы могут быть определены j равнениями
ж (у — У^)~ или
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
133
Н
11.111
!Г = (*т|)(г4-с).
вследствие чего абсцисса х точки пересечения этих кривых удо-
влетворяет данному уравнению. В первом случае (^77 <с^ Хайям
получает это уравнение, сравнивая пропорцию НК : КА=МК : КВ,
т. е. у:^а?4--у =уЪ:х, с пропорцией НК- КА2 = СК:АК,
т. с. = (* + <*) : (а-г , откуда
(х 4- : ( х-f- у \ = Ь : л2 или х34~ схг = Ъх 4- а.
В третьем случаи ( у > с Хайям получает то же уравнение,
сравнивая ту же первую пропорцию с пропорцией НК2:КС2 =
= АК :КС, т. е. у2: (ж 4 <)- — Qt4- у^ : (rr-J-c). Во втором слу-
чае ^у= уравнение можно переписать в виде?3 4- сх2 — Ьх ~-Ъс,
откуда х2 (х 4- с) Ь (.1’4- с) и х — I Ъ; в этом случае вторая равно-
сторонняя гипербола вырождается в пару прямых (x4"f)2—У2 — ^
и корень уравнения является абсциссой точки пересечения первом
равносторонней гиперболы с прямой, проходящей через точку
А=С под углом 45° к прямой АВ
93. Уравнение х3 4- сх2 = Ьх4- а имеет всегда один веществен-
ный положительный корень, два других корпя отрицательны или
мнимы.
94. См. Аполлоний, Конические сечения, кн. II, предл. 49
(стр. 163): «Даны коническое сечение и точка, не лежащая
внутри его, провести через эту точку касательную к коническому'
сечению».
95. Если данное уравнение имеет вид х34-Ьх = сх2-\-а, т0
#С = с, ВН=}/Ъ, S = AB=~. Построенные Хайямом окруж-
ность и равносторонняя гипербола могут быть определены урав-
нениями
К?4 Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. II. ЮШКЕВИЧ
II.I1I
У2 = (^Х~ х) ц r(/b—?/) = _£_
или
XI/ = УЪ^Х— ,
вследствие чего абсцисса х точки К пересечения этих кривых
удовлетворяет данному уравнению. В первом случае (^~ <
Ханям получает это уравнение, сравнивая пропорцию КЕ: ЕЛ=
= BD : BE, т. е. у.(^х— Ь : х, с пропорцией КЕ2 : ЕА2 =
= ЕС:ЕА, т. е. у2 : (^х—= (с— х):^х-------------, откуда
Ь:х2 =(с—х): (х—пли Ьх—а = сх2—х3, н данное уравнение
получается из этого равенства двух тел прибавлением к обоим
тела, представляющего число а, и куба х3. В третьем случае
Ханям получает то же уравнение, сравнивая те же две
пропорции, которые в этом случае могут быть переписаны соот-
ветственно в виде —х^ = УЬ:х и =
Следует заметить, что абсцисса другой точки А пересечения
„ а
окружности и гппероолы, т. е. х = —, в этих случаях куопче
с кому уравнению не удовлетворяет: система
У‘ = (^
ху= УЬ (х —
дает при исключении у уравнение четвертой степени
имеющее корень
а
Т’
который отсутствует у уравнения
Ь ( а -\
—( X---— ) =с—X или
Ь J
х3 + Ьх = сх2 + а.
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТ АТУ X \ПЯМ А
135
(а \
Во втором случае < —=с 1 уравнение можно переписать
п виде ж34-Ьл = сх2-г-6-’, откуда х (х2 + Ь) = с (х2-|-Ь) и х — с;
оьр^жность тогда вырождается в точку С— 1 _с координатами
(с, 0).
96. Уравнение х3 -J- Ьх = сх2 а всегда имеет одни вещественный
положительный корень Во втором и третьем случаях
it ( а Л
два других корня мнимы. Но в нервом случае ( - < с \ два дру-
1 их корня могут быть как мнимыми, так и вещественными поло-
жительными, которые в свою очередь могут быть равны или же
различны. Таким образом, в этом случае уравнение может иметь
три различных вещественных положительных корня. Это важное
обстоятельство нс было замечено Хайямом, анализ которого здесь
пе полон. Характер корней уравнения
хя — сх2 Ц- Ьх—о = 0
зависит от значения его дискриминанта
1) = —faiс3Ь2с2 У 18аЬс—'ib3 — 27 а2.
При 1) < 0 (что, как нетрудно проверить, наверное имеет место при
а . и
— > с, но может оыть п при —
Ъ Ь
тельный корень и
(уравнение имеет один положи-
тельный корень и два мнимых. При D = 0 уравнение, имеет три
положительных корня, причем совпадают либо два, либо все три.
При /) > О оно имеет три различных положительных корня (в этом
случае окружность и ветвь гиперболы имеют еще две упущен-
ные Хайямом из виду точки пересечения между Л и Л).
Наличие у кубического уравнения трех корней было замечено
Дж. Кардано (1501 —1576). Подробнее см. Цейтеп Г. Г., Исто-
рия математики в XVI и XVII веках, пер. с пом., изд. 2-е, М.— JL,
1938, стр. 94 и след.
97. Если данное уравнение
ВС = с, BD=]Sb, S~AB—^-.
b
сторонние гиперболы могут быть
/ °\2
-У==Ы
имеет вид х3 + о «= сх2 -f- Ьх, то
Построенные Хайямом две равно-
определены уравнениями
а
b
пли
У
и
XIJ-
X ( /б— у) = -^=- пли
вследствие чего абсцисса х точек
олетворяет данному уравнению. В нервом случае
пересечения этих кривых удо-
Хайям
136
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
получает это уравнение, сравнивая пропорцию ME : ЕА-
= BD : ВЕ, т. о. у : х—= у^Ь : х, с пропорцией ME2 : ЕА2 —
= СЕ : ЕЛ, т. е. у2 : Г х— = (х—с) : (х— у J , откуда
Ъ:х2
\х—с
или Ъх—а х3—сх2, и данное уравнение
х—
Ъ )
получается пз этого равенства двух тел прибавлением к обоим
тела, представляющего число а, и тела cj2. В третьем случае
^у > Хайям получает то же уравнение, сравнивая те же две
пропорции, но проводит вторую равностороннюю гиперболу не через
правую, а через левую вершину первой равносторонней гиперболы.
Во втором случае ^у = с J уравнение можно переписать н виде
х3-{-Ъс = сх2-\-Ъх, откуда х (л2 — Ъ) = с (х2 — Ь); в этом случае первая
равносторонняя гипербола вырождается в пару пересекающихся
прямых (х—с)2 — у2=0 и найденный Хайямом корень уравнения
с является абсциссой точки пересечения этих прямых (А —С),
являющейся в то же время точкой их пересечения со второй рав-
носторонней гиперболой.
В кн. IV «Конических сечении» Аполлоний детально исследует
вопрос о наибольшем возможном числе точек пересечения или ка-
сания двух каких-либо конических сечений.
98. Уравнение х3а = сх24-Ьх в первом и втором случаях
с*') всегда имеет два вещественных положительных корня,
один из которых в обоих случаях был упущен Хайямом. В нер-
вом случае корень является абсциссой точки пересечения второй
равносторонней гиперболы с правой ветвью первой равносторонней
гиперболы, не рассматривавшейся Хайямом. Во втором случае,
кроме найденного Хайямом корня х = с, имеется также корень
x=Yb, так как уравнение л3-}-Ьс—сх2 -Ьх, кроме вида
я-(ж2 — Ъ) — с(х2 — Ь), можно также переписать в виде х2 (х—с)=-
— Ъ(х—с), что вполне соответствует найденному Хайямом случаю
первого из последних трех видов уравнений, входящему в третий
пз этих видов; корень х = ) Ь является абсциссой точки пересе-
чения второй равносторонней гиперболы с прямой, проходящей
через точку А=С под углом 45° к прямой ЛВ, т. е. второй
точки пересечения прямых (х—с)2 —у2 = 0 со второй равносторон-
ней гиперболой. В третьем случае ^у > уравнение может
иметь два мнимых корня пли два вещественных положительных
корня, которые могут быть равны и различны. Во всех трех сл>
чаях уравнение имеет один вещественный отрицательный корень,
не учитываемый Хайямом.
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХАПЯМА
137
Двойной положительный корень, соответствующий случаю ка-
- с + 1/ с1 2 + ЗЬ ,
санпя гипербол, равен-----—!----- (ср. [8‘]).
99. Хайям ошибается: он показал, что имеется случай первого
вида, являющийся случаем третьего вида; как мы уже указывали,
он упустил соответствующий этому случаю третий вид, являющийся
случаем первого вида.
100. Из двадцати пяти видов уравнений только 7 видов, x2-j
^-a = br, х3 + Ьх = сх2, хлА-а = Ьх, х2-\-а = сх~, х3 + сх2 + а = 6х,
а;3 6х + а = ст2, г3 + « = са:2 + Ьх, допускают случаи, когда уравне-
ние не имеет вещественных положительных корней.
101. Величины, обратные неизвестной и ее степеням до 0-и
включительно, впервые встречаются в «Арифметике» Дно ф а н-
т а (III век н. э.), который изложил правила умножения хп па
1
—- и рассмотрел некоторые j равнения, содержащие такие алгео-
х,п
раичсскпе дроби. Диофант называл неизвестную ар'.Оро; (число),
ее квадрат бймяил; (сила, состояние, степень), куб хбЗо; (куб), чет-
вертую степень buvauotrjvajja; (квадрато-квадрат), пятую ojvaaozujo;
(квадрато-куб), шестую 7.иЪхб.Зс; (кубо-куб). Обратные величины
именовались соответственно ар'Ои-.стбх, ou\auoatc\ и т. д. «Ариф-
метика» Диофанта была переведена на арабский язык нс позднее
конца IX века. См. также [22].
102. Уравнение-^5-=—— равносилья' уравнению г2 = —з;
1
так как корнем последнею является -=— , корнем первого являет-
ся х = 2.
103. Уравнение.-„- +2-^-= 1равносильно уравнению г2 +
2з = 1 — ; так как корнем последнего является з = — , корнем
первого является х — 2.
1113
104. Уравнение + 3 4- 5 — = 3 — равносильно уравне-
нию з3 + 3з2 + 5г = 3; если корнем последнего является г, то
О
1
является — .
корнем первого
105. Хайям располагает степени в следующем порядке: х'.х2,
число, -1 _1
х ’ х
НИ1° г2*3 = 10, откуда х~
1 1
— . >равнение я3 = 10-^- равносильно уравне-
138
В, X. РОЗЕНФЕЛЬД И л. П. ЮШКЕВИЧ
11 1
106. To-есть для любого х : х— = 1, х2 — = 2, я10 — = 10
хх х
и т. д.
1
107. У’равнение я2 =16—равносильно уравнению т2.г2 = 16,
откуда х2 = 1.
1
108. Уравнение х=4— равносильно уравнению хх = 4, откуда
х= 2.
1
109. Уравнение х2 — а— равносильно уравнению х2х-‘= а; для
его решения нужно найти четыре средних пропорциональных
между 1 и а, так как если 1 : х=х : у = у : z = z : и= и : а, то х5 = а.
110. Абу сАлй ал-Хасап ибн Хасан ибн ал-Хайсам ал-Басрй
(965—1039), известный в Западной Европе под латинизированным
именем Альгазеиа из Басры (Ирак), работал в Каире. Один из
кру ннепшпх математиков, физиков и астрономов Востока, автор
«Оптики*, переведенной па латинский язык в XII веке и изданной
в Базеле в 1572 г., комментариев к первым пяти книгам «Начал»
Евклида и ряда трактатов по геометрии, арифметике, физике
и астрономии.
111. Хайям, очевидно, имеет в виду умножение а-3 нс на
, а па х1. У равнение х3 = а —2 равносильно предыдущему урав-
нению. Построение нбп Хапеама не сохранилось.
112. Хайям опять-таки имеет в виду умножение х2 не на — ,
1
а на х. Уравнение х3 -- 16 — равносильно уравнению х3х=16,
откуда х = }у 1^16 = 2.
113. Это сравнения: х3 = а —, хг = а —х=а-^.
1 х х“ а3
1
111. Уравнение х= 1 4-2 — равносильно уравнению я2 = а;4-2,
откуда х — 2.
115. Уравнение х2 -г 2z = 1 4- 2 — равносильно уравнению
а:3 2х2 = х 4- 2
1 1
116. Уравнение а;4-2-}-10 — = 20 — равносильно уравнению
х34-2г24-10х = 20.
117. Уравнение х24-2х = 2-]-2 равносильно уравнению
х44-2х3 = 2х2Ч-2.
ПРПЙЕЧЛНПЯ К ПЕРВОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
139
Математики Востока овладели н построением корней отдельных
уравнений 4-й степени. В своем издании алгебры Хайяма Вепке
приводит (стр. 115—116) анонимное решение одной такой задачи,
в котором говорится, что «в течение некоторого времени алгебра-
исты и геометры предлагали друг другу эту задачу, причем ни те,
нп другие не дали ее удовлетворительного решения*.
В задаче требуется построить трапецию ABCD, у которой
ab=ad = 2?С=1()и площадь равна 90. Решение приводится к по-
строению корня уравнения 4-й сте-
пени следующим образом (черт. 5).
Представим себе задачу решенной и
опустим из А перпендикуляр ЯЛ”
на продолжение CD. Обозначим
/)К = з, тогда (10 — з)ЛА'= 90 и
(Ю — -)2 АК- = 902, а . 1А'2 = 102 — z2,
так что
(10 -з)2 (100—з2) = 90-
Черт. 5.
перпендикулярно
’ 9/ю-1/Л т. е.
пли
з1+ 20003 = 20с3-1- 1900.
Восстановим
к АВ отрезок ВЕ
отрезок, равный отношению данной
площади к данной длине трех сто
рон. Проведем через Е гиперболу
ЕС, для которой АВ, -1Z служат асимптотами и уравнение кото-
рой (ось абсцисс В А, ось ординат BI:):
(10—х) //=90.
Построим окружность с центром в В и с радиусом -W = 10:
х2 + //2 = 102.
Эта окружность пересекается с гиперболой, ибо АВ > BEJ и
абсцисса их точки пересечения численно равна корню уравнения
(10—z)2(100—х2) = 902.
Если обе кривые проведены, дальнейшее построение ясно: строим
ВС—В А и В. ID = <QABC, проведя AD =ВС. Опустим па 2?-1
перпендикуляр CL. Треугольник CBL равен треугольнику ADK,
значит, ил”. ЛЯС’Р=ил. ALCK = ил. ABEZ=W.
118. Эю — уравнения: х = а, х2 = а, .т3 = «. х2 — ах, х3 = а.х,
гз „ , 1 ‘ 1 1 1 1 1 1 I
^J = ax-, -— = а—г, = и, —=<i, —,=а — , —
х3 х- х2 у. х. xf х х-
1 1 1 1 „ 1 I n J 3
К^- = аа:, —=- = а, — — ах, — =ах2. — = а.г. — —ах-, —=ах3,
х X3 X2 X ХЛ X- X
л_ , .. 1 1
'^з-=агл, разредлнмые методами лаияма. и ах-, — — ах"
разрешимые методом ибн Хансам а.
140
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
119. Это—уравпенпя: х2А-Ьх = а, х2 + а = Ьх, х2 — Ъх-\-а,
* 1 1
а:3 -{- Ьх2 = ах, х3-\-ас = Ьх2, х3 = bx2 -J- ах,-[-а = Ьх,-^Ъх=а,
1 / 1 1,1,11 1 . , 1 , 1
— = а 4 Ьх, —з- а —— Ь, —г 4 Ь = а — , —^- = а -—\-Ь, —- 4- а —
х х1 х х2 хх2 х ' х3 х2
, 1 1,1 1 1 1 , , 1
= 6 — , — + Ь~ = а — , ——=а—4-6—.
х хА х х- хА х2 х
120. Это — уравнения: x3-\-bx — a, x3 + a = bx, x3 — bx-ia,
х34-6х2-— а, х3-^-а — Ъх2, х3 =Ьх2А-а, -Дт-4-а — = 6, -Д.-4 6—а — ,
хл х х3 ' х
111 1 1 1
—.г = °-F Ь, —— 4~G = fex, —--\-bx~a,—Г = а4-Ьх.-\-ах = Ьх2,
хА х х2 х2 х2 х
1 1 ill 111
х х х3 х2 хА х2 хА х2
11 1 1111 1
—т + °— — Ьх, —~-]-Ьх = а —, —— = а \-Ьх, {-а — Ьх2,-1-
х- х х- хх-х х х
1
Ьх2 = а, — = а4- Ьх-.
х
121. Это — уравпенпя; х34~сх2 -г bx = a, x34-cx24-« = 6x, ж3Ч~
4~&х 4- а — сх2, х3 = сх2 4- Ьх а, х3 4- сх2 — Ьх 4- а., х3 4 Ьх — сх2 4- я,
з , „,1,1,1 1 1 , I I
х3-|-а= сх- 4- Ьх, —т“гл—т + 6— = с, —^--г« -г с — Ь — , —- 4
х3 х- 1 х х3 ‘ х2 хх3
. 1 . 1 I 1,1 1,1,1, 1
+ «---^с = а~Т ’ Т=а~т+6—Нс» —+ °—7 = 6----------Fc> т+
х X2 хА х- х хА х2 X X3'
, , 1 1 , 1 . 1 , , 1 1,1, 1 ,
-[-Ь — = а—-Д-с, -—-{-с—а—^-4-Ь — , —г4а |-6 —сх, —г4-
х х2 х3 х2 ' х х2 х х2
1 1 111 11
+ «---\-сх = Ь, —— 4- Ьн сх = а —, —г = а-Ь^4-сх, —^-4-а— =
х х- х х- х х- х
111 11
= Ь+сх, — -|-6-=а — 4-сх, —\-cx-a — 4-6, —4-о4-6х = сх2,
1 1 11
1-а4-сх- = Ьх, 1- Ьх4-сх2 — а, — = а А-Ьх-\- сх2,-|-а—Ьх + сх2,
х-----------------------------------------------------------г-х х
——}-6х = а4-сх2,-1-ех2 = а 4-6х.
122. «Углом, объем.тющпм гиперболу», Хайям называет угол
между ее асимптотами.
123. To-есть GB BC=GII :GA. Переставленной пропорцией
д 1Я пропорции a.b = c\d называется пропорция a c = b:d
(см. Евклид, «Начала», кн. V, оирсдел. 12 (т. I, стр. 143):
«Переставленное отношение есть взятие [отношения] предыдущего
к предыдущему и последующего к последующему»),
124. См. Аполлонии, Конические сечения, ки. I, предл. 20
(стр. 42): «Если в параболе проведены две ординаты от [точек]
сечеппя к диаметру, отсекаемые ими на диаметре прямые от вер-
шины относятся, как квадраты первых прямых». Частным случаем
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРВОМ* ТРАКТАТУ К \1IHM К
141
?/1 а 1
этого предложения является соотношение -±- =—-, являющееся
У* Х2
непосредственным следствием уравнения параболы у2 = 2рх.
125. Если данное уравнение имеет вид а = сх2, то АВ —с,
0С = ~\ fl Построенные Хайямом равносторонняя гипербола л на
рабола _здесь также могут быть определены уравнениями
ХУ == (Л)2 и а (с — х), вследствие чего абсцисса х точки
пересечения этих кривых удовлетворяет данному уравнению.
В основном тексте тракта Ханям показал, что задача возможна
(имеет вещественные положительные корни) только при fa < г
и различил три случая: ] а >—, у а=—, ] а < — (см. ["|
и [78]). Абу-л-Джуд считал, что в случае J а -S построенные
3 £
кривые касаются в точке />, а при ] а > — вовсе не встречаются.
- ,з— с
Хайям показывает, что, напротив, при ) а = ~2 эти КГПВЫС оиЯ
зательно пересекаются в некоторой точке, отличной от D, а при
] а > эти кривые могут встретиться в одной или двух точках.
Последнее утверждение ;ц называется примером: по Л^ = с= 10G7?
Хайям находит а=х2 (с—а-) = GB2GA — 144, откуда ffa = ] 144 >
> 125 = 5-—-^-: далее он показывает, что соответствующие гипер
бола и парабола встречаются в точке Н. Другой положительный
корень уравнения равен 2 + 2/7, а отрицательный есть 2 — 2 | 7.
о X- -• зг— с
Затем Ханям хочет привести пример случая, когда ) а> — ,
но кривые не встречаются: он рассматривает данное уравнение
ври с = 80 и ]/' « = 41 и строит точки параболы с абсциссами
ВС — fT а = 41 и ВК = fаА-~ (с- j «)=41 + ~ -39. Ординаты
этих точек соответственно равны LC = | | «(с—| «) =
= /41-39= /Тэ99 < 40 и = (с—]а'«)~(с—Г«) =
= ”|/~ ]/' а(с —f/ a)=-^-LC < 20, а ординаты точек гиперболы
з— 412
с темп же абсциссами равны CD = y а- 41 и KN=---------т?-->
41 + 4-39
4
. 4Р 1
2741= 20— , откуда Хайям делает вывод, что построенные им
112
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД II А. 11. ЮШКЕВИЧ
кривые не пересекаются. Здесь Хайям ошибается, так как на
самом деле кривые, построенные нм, пересекаются в двух точках,
между точками, рассматриваемыми Хайямом, что видно, напрн-
11
мер, пз того, что при промежуточном значении т = — -41 = 45,1
ордината точки гиперболы равна — 41=^37,3 н меньше, чем ордп-
пата точки параболы, равная

= /11-34,9 =^37,8.
Черт. 30, в выполнен в соответствии с числовыми данными
Хайяма.
126. Таким образом, задача сводится к построению паралле-
лепипеда сх2 с известным ребром с, которое, если отпять от пего
куб xs, будет равно телу а. Ср. терминологию геометрической
алгебры древних греков [-9] и
127. В рукописях, на которых основан наш текст, год нераз-
борчив. Основная часть трактата была написана Хайямом за 5 .чет
до ого окончания н при этом до 1074 г., когда Хайям был при-
глашен ко двору Маликшаха. Значит, трактат был закончен не
позже Ю79 г. 'Гак как в 1077 г. Хайям закончил свой геометри-
ческий трактат, то алгебраически», вероятно, был готов значи-
тельно ранее.
Дата составления алгебраического трактата может быть опре-
делена пз следующих соображений. 23 число первого рабня за пе-
риод с 1049 по Ю79 гг. приходилось в:
441 г. хиджры на пятницу, 25 августа . . . 1049 г. и. 3.
442 » » » среду, 15 ашуста .... 1050 » » »
443 » » » воскресенье, 4 августа . . 1051 » » »
444 » » » четверг, 23 пиля . . 1052 » » »
445 я » вторник, 13 июля .... 1053 » » )>
446 » » » субботу, 2 июля 1054 » » »
44/ » » » четверг, 22 июня .... 1055 » » »
448 » » » понедельник, 10 нюня . 1056 » » »
449 » » » пятницу, 30 мая 1057 » » »
450 » » i реду, 20 мая 1058 » » »
451 » » > воскресенье, 9 мая . . . 1059 » » »
452 » » » четверг, 27 ащ еля . . . 1(4>0 »> » »
453 » »> >> вторник. 17 апреля . . . 1061 » » »
454 » я » субботу, 6 апреля .... 1062 » » »
4 лэ » » среду, 26 марта 1063 » » »
4э6 » » понедельник, 15 марта . . 1064 » » »
4а/ » »> » пятницу, 3 марта .... 1065 » » »
'ы8 » ь » среду, 22 февраля .... 1066 » » »
459 » я » воскресенье, И февраля.. 1067 » » »
460 » » » четверг, 31 января . . . 1068 » » »
ПР11МЕЧ \uiih КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ \ ШИМ \ 1
461 г. хиджры на вторник, 20 января . . . 1069 г. II. э.
462 » » » субботу, 9 января .... 1070 » »
463 » » » среду. 29 декабря .... 1070 » » »
464 » » »> понедельник, 19 декабря . 10/ 1 » »
465 » » » пятницу, 7 декабря . . . 1072 » » »
466 » » » вторник, 30 ноября . . . 1073 » » »
467 » » » воскресенье,16 ноября . . 1074 » » »
468 » »> » четверг, 5 ноября .... 1075 » » »
469 » » » вторник, 25 октября . . . 1076 » » »
470 » » субботу, 14 октября . . . 1077 »
471 » 1> » среду, 3 октября .... 10/8 » » »
472 » » » ноиеде;1ЫП1К, 23 сеитяоря 10/9 » »
(см. Синхронистические таблицы для перевода исторических дат
по хиджре на европейское летоисчисление, Л., 1940 и Синхрониче-
ские таблицы для перехода от лунного летоисчисления к сол-
нечному и обратно, под ред. Г. Д. Мамедбейлн. Баку, 1949).
Однако применительно к эпохе Хайяма необходимо учесть еще
одно обстоятельство. Выдающийся узбекский астроном Улугбек в
своих «Новых Гураганскпх таблицах» сообщает, что календарь Хай-
яма вступил в силу в воскресенье 5 ша бана 4(>8 г. или в пятницу
10 рамазана 471 г., а по указанным таблицам этим дням соответ-
ствуют понедельник 14 марта 107В г. и суббота 1G марта 1079 г.
(см. Кар ы-Н и я з о в Т. И., Астрономическая школа Улугбека,
М.—Л., 1950, стр. 118). Поэтому применительно к данной эпохе сле-
дует каждый день педели по указанным таблицам заменить следую-
щим. 23 число первого рабпя было понедельником 10 июня 1056 г.
(448 г. хиджры), 15 марта 1064 г. (456 г.), 19 декабря 1071 г.
(464 г.) н 23 сентября 1079 г. (472 г.).
Если учесть, что Хайям родился, насколько известно, около
1040 г., то выпадает первая дата. Маловероятной, как сказано, яв-
ляется и последняя. Таким образом, вероятными датами служат
1064 и, особенно, 1071 гг.
Датар (относящий рождение Хайяма к 1048 г.) полагает, что
алгебраический трактат был написан в 1069—1074 гг. См. S w a m I
Govinda Т i г t h а (V. М. Dal а г), цпт. юч., стр. XLV.
II. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ
«КОММЕНТАРИИ К ТРУДНЫМ ПОСТУЛАТАМ
КНИГИ ЕВКЛИДА»
1. Вторая аналитика (Китаб ал-бурхаи—дословно «Кинга
Доказательства»)—четвертая часть «Органона», одного из важней-
11111X философских сочинений Аристе геля. Ота книга посвящена
теории логического доказательства.
Хайям имеет в виду кн. I «Второй аналитики), где Аристотель
разбирает структуру «доказывающей науки-» и раз7>ясняет смысл
144
В. А. РОЗЕНФЕЛЬД И V II. ЮШКЕВИЧ
лежащих в ее основании определений, аксиом и постулатов
(гл. 6—10).
Упоминаемые далее «Начала геометрии» (Китаб ал-усул фн-л-
-хацдаса)—«Начала» Евклида.
2. Кн. I «Начал» Евклида открывается рядом определений,
среди которых имеются упоминаемые Хайямом «постулаты» о квад
рате и т. д.: «19. Прямолинейные фигуры суть тс, которые содер
жатся между прямыми, трехсторонние—между тремя, четырехсто-
ронние же—четырьмя, многосторонние же—которые содержатся
между более чем четырьмя прямыми», «22. Из четырехсторонних
фигур квадрат есть та, которая и равносторонняя и прямоугольная»
(«Начала», т. I, стр. 12—13). В дальнейшем изложении Евклид
приводит построения, обеспечивающие существование опрсдсляс
мых таким образом фигур. Например, в предл. 22 кн. I строится
треугольник по трем данным отрезкам, при условии, что каждый
из них менее суммы двух других (т. I, стр. 34—35).
Вопросу о роли и характере определений, постулатов и аксиом
«Начал» Евклида, как и вопросу о взглядах Аристотеля на струн
туру «доказывающей пауки» («Вторая аналитика», кн. I), посвящена
обширная литература и мнения авторов во многом расходятся. Ср.,
например, примечания Д. Д. Мордухан-Болтове к ого
к кн. 1 «Начал» (стр. 222—224, 237—241, 244—246), М. Я. В ы
г о д с к и й, «Начала» Евклида, «Историко-математические несло
дованпя», вып. I, М.—Л., 1948, В. Ф. Каган, Основания гео
метр ни, т. I, М.—Л., 1949, стр. 40—45, 100.
3. Это—V постулат Евклида («Начала», т. I, стр. 15): «Если
прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну
сторону углы, меньшие [в сумме] двух прямых, то продолженные
неограниченно, эти прямые встретятся с той стороны, где углы мень-
ше двух прямых».
Сравнительная сложность этого постулата по сравнению с ос
тальными четырьмя постулатами («Начала», т. I, стр. 14: «От
всякой точки до всякой точки [можно] провести прямую линию»,
«ограниченную прямую [можно] непрерывно продолжатьпо прямой»,
«из всякого центра и всяким раствором [может быть] описан круг»,
«все прямые углы равны между собой»), и малая наглядность этого
постулата в случае, когда две прямые пересекаются с третьей под
углами, близкими к двум прямым, привели к тому, что многие мате
матики пытались доказать этот постулат с помощью других аксиом
и постулатов или заменить их более простым и наглядным утвержде-
нием. Так как согласно V постулату через точку можно провести
единственную параллельную прямую к данной прямой — имен
но прямую, которая вместе с данной прямой составляет с неко
торой третьей прямой внутренние односторонние углы, соста-
вляющие в сумме два прямых, этот постулат называют также
«постулатом о параллельных линиях», а раздел геометрии, из\
чающий вопросы, связанные с этим постулатом,—теорией парад
дельных линий.
Центральным пунктом в развитии теории параллельных линий
явилось открытие великим русским ученым Н. II. Лобачевским
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХА.ПЯМА
145
(1792—1856) неевклидовой геометрпн, в которой выполняются все
акспомы п постулаты геометрии Евклида, кроме V постулата, и из
одной точки можно провести к данной прямой в их общей плоскости
бесконечное множество прямых, пе пересекающих этой прямой.
Непротиворечивость этой геометрии доказывает независимость
V постулата от остальных аксиом и постулатов.
Сохраняя \ постулат, но исключая некоторые другие постула-
ты и акспомы геометрии Евклида, в частности т. н. 9-ю аксиому
(«две прямые не содержат пространства»), мы получим другую
неевклидову геометрию—геометрию Б. Римана (1826—1866), в ко-
торой всякие две прямые пересекаются и, в частности, пересека-
ются два перпендикуляра к одной прямой.
Отметим, что на плоскости Евклида сумма углов треугольника
равна двум прямым, па плоскости Лобачевского сумма углов тре-
угольника меньше двух прямых, на плоскости Римана сумма углов
треугольника больше двух прямых; далее на плоскости Евклида
геометрическое место точек, равноотстоящих от прямой, есть пря-
мая, на плоскости Лобачевского это геометрическое место является
кривой, называемой эквидистантой, а на плоскости Римана—окруж-
ностью.
4. Герои, которого Ханям называет также «Герои Механик»
(Прун ал-Мнханнки)—Герои Александрийский (1 век н. э.).
5. Евтокип (Утукус)—Евтокий Аскалонскпй—афинский мате-
матик VI векан. э., известный комментатор Архимеда и Апполонпя,
6. Хазинн—см. примечание [4] к алгебраическому трактату
Хайяма.
7. Шанни—см. примечание [89] к алгебраическому трактату
Хайяма.
8. ‘Абу-л-‘Аббас ал-Фадл ибн ал-Хатим ат-Табрйзй (умер
в 922 г.), известный также под именем Ианрпзп, а в Западной Евро*
пс—под латинизированным именем Анариций,—ученый из Таврпза
(Азербайджан) Имя Найризи, под которым этот математик фигу-
рирует в изданном Эрани тексте трактата Хайяма, является плодом
ошибки переписчика: буквы «и» и «т», а также буквы «б» и «й»
в арабском алфавите отличаются только точками, в первом слу-
чае над, а во втором случае—под буквой (ср. I* о g g е и d о г f f ’ s
Biographisch-litteraiisches Ilandworterbuch, т. 3, Лейпциг, 1898,
стр. 24). Табрнзи—автор комментариев к первым 19 книгам «Начал»
Евклида, переведенных на латинский язык (А и а г i t i u s, In
dcceni libros priores Elementorum Euclidis coin men tarii, cd M. Curtzc,
Лейпциг, 1899, IX дополнительный том к «Euclidis opeia omnia»),
и нескольких астрономических трактатов.
9. Ибн Хансам—см. примечание [ио] к алгебраическому трак-
тату Хайяма.
Ю Ибн Хансам выдвигает в качестве постулата то, что геомет-
рическое место точек, равноотстоящих от прямой, есть прямая.
Из этого постулата можно вывести \ постулат Евклида.
11. Хайям разделяет мнение Аристотеля, что движение не долж-
0 применяться к геометрии: Аристотель говорил, что «математи-
1-0
Историко-матем. исследования
146
Б. \. РОЗЕНФЕЛЬД 11 А. И. ЮШКЕВИЧ
ческпе предметы чужды движению, за исключением тех, которые
относятся к астрономии» (Аристотель, Метафизика, кн 1,
гл. 8, стр. 33).
Это мнение тесно связано с другим представлением Аристотеля,
что точка не может существовать отдельно от линии и поэтому ли-
нию нельзя рассматривать как актуальное множество точек; линия
не может существовать отдельно от поверхности и поэтому поверх-
ность нельзя рассматривать как актуальное множество линий;
поверхность не может существовать отдельно от тела и поэтому тело
нельзя рассматривать как актуальное множество поверхностей;
«невозможно ничему непрерывному состоять из неделимых частей,
например, линии из точек, если линия непрерывна, а точка недели-
ма» (Аристотель, Физика, кн. 6, гл. 1, стр. 124).
Аристотель, критиковавший идеалистическое учение Платона
о существовании идеальных точек, линии и поверхностей вне тел,
и Хайям правильно понимали, что линии и поверхности являются
только абстракциями реально существующих объектов. Однако
выводы из этого о том, что линии, поверхности и тела нельзя рас-
сматривать как актуальные множества соответственно точек, линий
и поверхностей, и о том, что в математике нельзя рассматривать
движение этих образов, с точки зрения современной математики
являются неправильными. На самом деле, поскольку все в природе*
находится во взаимосвязи и в движении и, в частности, те реальные
объекты, абстракциями которых являются точки, линии и поверх-
ности, также находятся во взаимосвязи и в движении, мы не только
можем, но и должны рассматривать точки, линии и поверхности
также находящимися во взаимосвязи и в движении. История ма-
тематики показывает, что именно введению в математику движе-
ния математика обязана своими величайшими победами.
С современной точки зрения в споре между Хайямом и ибн
Хайсамом о возможности применения движения в геометрии,
несомненно, прав ибн Хэйсам.
12. Применение движения к геометрии является принципналь
пой установкой ибн Хайсама, хотя он легко мог бы обойтись
без этого приема. В частности, мы уже указывали, что сформу-
лированный ибн Хайсамом постулат, заменяющий V постулат
Евклида, может быть сформулирован без термина «движение»
(см. I10]).
Приведем пример применения ибн Хайсамом движения для
решения той же задачи Архимеда о делении отрезка, о которой
шла речь ранее (см. издание Вепке алгебры Хайяма, стр. 91—
95). Эта задача, как мы видели (см. примечание [3] к алгебраи
ческому трактату Хайяма), состоит в том, что даны две линии BD,
BG (черт. 1), из которых BD вдвое больше BG, а также точка
F на линии BG; требуется разделить линию BD в точке Е таким
образом, чтобы LG : FG—BD2’.DE2. Иби Хайсам решает эту
задачу—как он сам говорит, «посредством движения линии»—
следующим образом: он восстанавливает в точках D и G два пер
пендпкуляра к линии DG, откладывает на первом отрезок DA=
—BD, а на продолжении DG—отрезок GC~GF. Затем он пред-
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХЛПЯМА
147
двум подвижным паралле-
\1, опродел. 14 (т. III
ставляет себе две прямые линии, вращающиеся вокруг точек А
1Г С, таким образом, что они все время остаются параллель-
ными друг другу. Первая из этих подвижных прямых будет все
время пересекать линию DG в подвижной точке Е, а вторая будет
пересекать перпендикуляр, восстановленный в точке G, в под-
вижной точке И Линия, соединяющая точки пересечения Е и И,
будет менять положение вместе с подвижными прямыми и будет
составлять с ними переменные углы. Среди всех последовательных
положений этих трех подвижных прямых можно зафиксировать то, в
котором линия ЕП перпендикулярна к
лям. Тогда точка Е пересечения являет-
ся искомой, так как в этом случае тре-
угольники ADE и EGH подобны, отку-
па AD : DE=.EG : GH и, следователь-
но, AD- : DE-=EG- : GH2=EG : GC,
пли так как AD—BD, GC=GF, мы
получаем BD'2- : DE2=EG : GF, что и
требовалось.
Заметим, что ибн Хайсам решил
ту же задачу с помощью параболы
и равносторонней гиперболы, найдя
это решение, невидимому, одновремен-
но с Абу-л-Джудом.
13. См. Е в к л и д, «Начала», кн.
стр. 10): «Сфера будет: если при неподвижности диаметра полукруга
вращающийся полукруг снова вернется в то же самое [положение],
из которого он начал двигаться, то охваченная фигура [и есть
сфера]».
14. Постулата о составных отношениях, про который говорит
Хайям, в русском тексте V книги «Начал» нет. Ср. [в2]—[°4].
15. Принципы, заимствованные у (философа—математические
высказывания Аристотеля или приписываемые ему. Ниже Хайям
приводит пять таких принципов, пз которых первые три являются
известными высказываниями Аристотеля.
16. См Е в к л и д, «Начала», кн. I, предл. 17 (т. I, стр. 30):
«Во всяком треугольнике сумма двух углов меньше двух прямых
углов».
17. Ср. так паз. аксиому 9 Евклида («Начала», т. I, стр. 15):
«Две прямые нс содержат пространства». Эта аксиома, повпдпмому,
является вставкой какого-либо позднейшего комментатора или
редактора «Начал».
18. Здесь Хайям делает два допущения. Пз того, что два пер-
пендикуляра к одной прямой не пересекаются, Ханям делает вывод,
что они и не приближаются друг к другу. При этом он допускает,
что если две прямые приближаются друг к другу, они обязательно
Должны пересечься. Далее Хайям оставил без доказательства то,
то два перпендикуляра к одной прямой не могут удаляться друг
т APjra Так как в этом случае два перпендпку лира к одной прямой
Расходились бы по обе стороны от этой прямой, это допущение равно-
• ьно допущению того, что две прямые, приближающиеся друг
10*
148
Б. V РОЗЕНФЕЛЬД И V П. ЮШКЕВИЧ
к другу, пс могут удаляться друг от друга п этом направлении.
Оба эти допущения Хайям ниже приводит в качестве четвертого
принципа, заимствованного у философа.
19. Тем самым Ханям показал, что из его допущения выводится
частный сличай V постзлата Евклида, когда секущая перпендику-
лярна к одной из прямых; отсюда уже нетрудно вывести \ постулат
в общем виде. Способ (оказательства Хайяма здесь совпадает со
способом доказательства V постулата на основе того же допущения
греческим математиком X века н. э. Проклом Дпадохом (см. К а-
г а н, цпт. соч., стр. 117—118).
20. См. Е в к л и д, «Начала», кп. III, предл. 27 (т. I, стр. 107):
«В равных кругах углы, опирающиеся на равные обводы, равны
между собой, стоят ли они при центрах или же при обводах».
21. См. Е в к л и д, «Начала», кн. V, предл. 7 (т. I, стр. 151):
«Равные к тому же имеют то же отношение и это то же [имеет то же
отношение! к равным».
22. To-есть эти равные величины отличаются только иоряд
ком их наименования
23. Ал-Хаджджадж ибн Йусуф ибн Матар, работавший в Баг-
даде в конце XIII и пачале IX века, известен своими переводами
«Начал» Евклида (первый арабский перевод) и других сочинений
древнегреческих философов и математиков.
24. Абу-л-Хасаи Сабит ибн Курра ибн Нарван ал-Харраий
(826?—901)—иракский математик, работавший в Багдаде, автор
перевода «Начал» Евклида с комментариями и многих трактатов
ио геометрии, арифметике, сферической тригонометрии, астрономии
и механике, часть из которых была переведена на латинский язык.
25. Первая часть этого утверждения содержится в известном
утверждении Аристотеля: «длина и время, как и вообще все непре-
рывное, называется бесконечным в двояком смысле: или в отношении
деления или в отношении границ» («Физика», кн. 6, гл. 2, стр. 128),
вторая часть этого утверждения—упоминавшееся нами утверждение
Аристотеля: «невозможно ничему непрерывному состоять из не-
делимых частей, например, линии из точек, если линия непрерывна,
а точка неделима» (там же, кн. 6, гл. 1, стр. 124). У Хайяма «пер-
вый принцип» служит своего рода аксиомой непрерывности.
Ср. [”).
26. Мы переводим словами «доказательство того, что это так»
и «доказательство того, почему это так» термины аристотелевской
логики, которые в русском издании «Аналитик» переведены «доказа
тельетво того, что есть данная вещь» и «доказательство того, почему
есть данная вещь» (см. Аристотель, Вторая аналитика, кп. 1,
гл. 13, стр. 206). Соответственные термины у Хайяма—«бурхан
апии» и «бурхан лпмми» происходят от слов «ан»—«что» и «лпма»—
«почему». Под первым из этих терминов следует понимать—в пре-
делах какой-либо данной науки—доказательство, убеждающее
в правильности доказываемого, по не выясняющее его причину,
а под вторым—доказательство, убеждающее в правильности дока-
зываемого с помощью выяснения его причины
ПРИМЕЧАНИЯ Ко ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА 149
Аристотель различает эти два вида доказательств и в другом
смысле, относя их к различным наукам: «...знание того, что есть
[дают науки], основанные па чувственном восприятии, знание
•дс того, почему есть—математические» («Вторая аналитика»,
стр. 2«')-
27. Слова «поскольку философ принял круг и прямую линию
и ДРУГПС принципы геометрии, он может привести для этого ^доказа-
тельство того, что это так“» означают, что с помощью циркуля и ли-
нейки можно разделить каждый отрезок ионолам и производить
эту операцию бесконечно; этим будет дано доказательство, убежда-
ющее в правильности этого утверждения, но не будет выяснена его
причина: напротив, принципиальная делимость величии до беско-
нечности является причиной выполнимости этой операции.
28. Это утверждение также содержится в утверждении Аристо-
теля, приведенном нами в [2Б]. Оно весьма близко ко II постулату
Евклида («неограниченную прямую [можно] непрерывно продол-
жать по прямой»).
29. Эти слова Хайяма, вероятно, относятся к следующему тек-
сту Аристотеля: «Так как ни одна известная воспринимаемая вели-
чина не бесконечна, ист возможности превзойти любую определен-
ную величину: тогда было бы что-нибудь больше вселенной... Наше
рассуждение, отрицающее актуальность бесконечного в отношении
увеличения как не проходимого до конца, не отнимает у математи-
ков их теории; ведь они не нуждаются в таком бесконечном и не
пользуются им: математикам надо только, чтобы ограниченная ли-
ния была такой величины, какой им желательно» («Физика», кн. 3,
гл. 7, стр. 67).
30. Это также известное утверждение Аристотеля. Прокл
(см. [18]) говорит о своем доказательстве V постулата, что «оно пред-
полагает аксиому, которой пользовался Аристотель в своем дока-
зательстве конечности мира: именно, если из одной точки выходят
две прямые, то при неограниченном продолжении их расстояние
между ними становится больше любой конечной величины». Это
утверждение может быть доказано с помощью аксиоматики Евклида,
причем оно не зависит от V постулата (см. К а г а и, цпт. соч.,
стр. 117).
31. Этот принцип состоит из двух утверждений, каждое из
которых эквивалентно \ постулату Евклида. Эквивалентность
V постулату первого из этих утверждений видна из того, что:
1) как следует из аксиоматики Евклида независимо от V посту-
лата, если две прямые при пересечении с каждой третьей прямой
ооразуют внутренние односторонние углы, состав.ляющие в сумме
меньше двух прямых углов, то расстояние между этими прямыми
уменьшается, т. е. эти прямые сходятся и, значит, по первому
утверждению Хайяма, пересекаются: 2) обратно это утверждение
выводится из \ посту .чата. Эквивалентность \ постулату второго из
этих утверждений видпа из того, что из этого утверждения сле-
дует, что: 1) дна перпендикуляра к одной прямой ио могут расхо-
диться но обе стороны от этой прямой, и так как из аксиоматики
вклида независимо от \ постулата следует, что эти иерпеидпку-
150
Б. Л. РОЗЕНФЕЛЬД 11 Л. И. ЮШКЕВИЧ
ляры нс могут и сходиться по обе стороны от этой прямой, мы полу-
чаем, что два перпендикуляра к одной прямой находятся на посто-
янном расстоянии, откуда легко выводится V постулат: 2) обратно,
это утверждение также выводится пз \ постулата. Далее Хайям вы-
водит V постулат Евклида из этого принципа.
Известно, что вопрос о параллельных линиях также интере-
совал Аристотеля. В «Первой аналитике», разбирая логическую
ошибку «постулирование основания» («petitio principi)», т. е. не-
явное использование утверждения, равносильного доказываемому,
Аристотель пишет («Первая аналитика», кн. 2, гл. 16, стр. 155):
«Так поступают те, кто думает проводить параллельные линии.
В самом деле, они сами того не зная, [в основу доказательства]
берут то, что [само] не может быть доказано, если [линии] не парал-
лельны». Отсюда видно, что современные Аристотелю изложения
теории параллельных линий страдали указанной логической ошиб-
кой; для того чтобы избежать этой ошибки, необходимо открыто
постулировать утверждение, эквивалентное V постулату Евклида.
Возможно, что в одном из недошедших до нас сочинений Аристотель
ввел такой постулат в форме, указанной Хайямом.
32. Слова «эти последние утверждения» стоят в тексте Хайяма
во множественном, а не в двойственном числе, откуда следует, что
они относятся не менее чем к трем утверждениям (в случае двух
утверждений было бы употреблено двойственное число). Невидимому,
эти слова относятся ко всем утверждениям II, III и IV принципов:
мы видели, что в случае 1 принципа также было сказано, что он
допускает «доказательство того, что это так», но не «доказательство
того, почему это так». «Доказательство того, что это так» геомет-
рическим путем—это фактическое построение. Хайям считает, что,
допуская такое доказательство, эти утверждения пе допускают «до-
казательства того, почему это так», которого Хайям вслед за Ари-
стотелем требует от математической науки, и с этой точки зрения
подобные утверждения должно рассматривать как первичные ут-
верждения, являющиеся «предпосылками геометрии, а не ее со-
ставными частями», т. е., ио существу, как постулаты. Хайям
говорит (см. стр. 79—80) об одном пз этих принципов, что тот,
кто захочет его «доказать, должен будет при этом опираться па
утверждения, в свою очередь нуждающиеся в доказательствах,
т. е. попадет в порочный круг».
33. Этот принцип—известная акспома Архимеда («О шаре
и цилиндре», постулат 5): «Пз неравных линий, поверхностен или
тел большая превышает меныпую па такую величину, которая,
будучи прибавлена к себе [достаточное число раз], может быть
сделана больше любой заданной величины, имеющей отношение
с ними обеими». Этот же принцип в несколько другой, по равносиль-
ной формулировке, имеется и в «Началах» Евклида в виде он ре-
дел. 4 кн. V (т. I. стр. 112): «Говорит, что величины имеют отноше
ние между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг
друга», т. с. для любых величин а, Ь, имеющих отношение, суще-
ствуют такие натуральные числа т, п, что та >b, nb>a. Тем самым
исключаются пз рассмотрения так называемые актуально беско-
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
151
нечно малые и актуально бесконечно большие величины. «Аксиома
Архимеда» восходит, по крайней мере, к Евдоксу Книдскому, жив-
шему в первой половине IV века до и. э.
34. См. Е в к л ид, «Начала», кн. I, предл. 28 (т. I, стр. 40):
«Е ли прямая, падающая на две прямые, ооразует внешний угол,
павный внутреннему противолежащему с той же стороны, пли
внутренние односторонние углы [вместе], равные двум прямым, то
прямые будут параллельны между собой».
* 35. Рассматриваемый здесь Хайямом четырехугольник с двумя
прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами
сыграл важную роль в предисторни неевклидовой геометрии Под
влиянием настоящего трактата он рассматривался азербайджанским
математиком Наспрэддпиом Туси (1201—1274), а под влиянием
работ Наснрэддина—немецким математиком X. Клавпем-Шлюс-
селем (1537—1612) и итальянским математиком Дж. Саккери
(1667—1733); вследствие последнего обстоятельства этот четырех-
угольник часто называют «четырехугольником Саккери». См. Р о-
зенфельд Б. А., О математических работах Наснрэддина Туси,
«Историко-математические исследования», 1951, вып. IV.
36. Гипотенузу прямоугольного треугольника нередко имено-
вали вплоть до XVI1 века «основанием», а катеты—«сторонами».
Термины «гипотенуза» (стягивающая,—имеется в виду стягиваю-
щая прямой угол) и «катет» (отвес)—греческого происхождения.
37. Так как треугольники АЕС и BED равны.
38. В силу предл. 28 кн. I Евклида (см. [3|]).
39. Утверждение, что расстояние между двумя перпендику-
лярами и одной прямой в одной плоскости не изменяется, как
мы видели, является следствием четвертого «принципа, заимствован-
ного у философа»; из этого утверждения можно вывести V постулат
Евклида (см. [31]).
40. Из этого утверждения, как и из предыдущего, можно выве-
сти V постулат Евклида. Однако в доказательстве Хайяма это утвер-
ждение не играет существенной роли, так как и при выполнении
V постулата и при его невыполнении можно построить такой четы-
рехугольник, строящийся Хайямом, для которого указанные пря-
мые пересекаются. О понимании Хайямом термина «расстояние»
см. [4в].
41 Так как треугольники CKG и DKG равны.
42. Углы IICG и FDG равны как смежные к углам ACG и BDG,
равенство которых доказано в предложении 2.
43 Из равенства этих линий и углов треугольников СКН
и DKF следует, что эти треугольники равны.
44. To-есть это вытекает из «принципов, заимствованных у фи-
лософа»,—в данном случае из четвертого принципа (см. [31]).
Суть доказательства Хайяма состоит в следующем. Перегибая
чертеж по прямой GD, он показывает, что отрезок 11F при гипотезе
острого угла переходит в отрезок, больший чем АВ, а при гипотезе
тупого угла—в отрезок LM, меныний чем АВ. Затем он перегибает
получившуюся фигуру ио прямой АВ. Тогда оказывается, что при
гипотезе острого угла два перпендикуляра к одной прямой АВ
152
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
расходятся в обе стороны от нее, а при гипотезе тупого угла они
в обе стороны сходятся. Между тем, и то и другое противоречит
четвертому принципу п возможной остается лишь гипотеза пря-
мого угла.
45. To-есть это вытекает пз того же принципа.
46. См. Евклид, «Начала», кн. VI, предл. 33 (т. I, стр. 216):
«В равных кругах углы имеют то же отношение, что обводы, на
которых они стоят, будут ли они находиться при центре или при
обводах».
47. Как мы уже указывали (см. [30]), это утверждение («аксиома
Аристотеля») может быть доказана без впадения в порочный круг.
48. См. [17].
49. Определение расстояния от первой прямой в данной ее точке
до второй прямой, как длины перпендикуляра, опушенного из этой
точки на вторую прямую (т. е как кратчайшего в данной точке пер-
вой прямой отрезка между обеими прямыми), Хайям далее отвер-
гает (стр. 81) из-за ого несимметричности относительно данной
точки первой прямой и «соответственной» ей точки второй, если
под соответственной понимать основание указанного перпендику-
ляра.
50. В силу первого «принципа, заимствованного у философа»,
который для Хайяма служит своего рода аксиомой непрерывности
51. В силу четвертого «принципа, заимствованного у философа».
52. «Мутах азийейн» (дословно «плечо к плечу») в отличие от
«мутавазпйейн», которым переводится термин Евклида «параллель-
ные».-
53. См. Евклид, «Начала», кн. I., предл. 16 (т. I, стр. 29):
«Во всяком треугольнике при продолжении одной из сторон внеш-
ний угол больше каждого из внутренних, [ему} противолежащих».
54 См. Евклид, «Начала», кн I, предл. 29 (т. I, стр. 41):
«Прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрест-
лежащие углы, равные между собой и внешний угол, равный вну-
треннему, противолежащему с той же стороны, и внутренние одно-
сторонние углы, [вместе] равные двум прямым». В предл. 30 русского
текста речь идет о параллельности двух прямых, параллельных
третьей (т. I, стр. 42).
55. См. Евклид, «Начала», кн I, предл. 27 (т. I, стр. 39):
«Если прямая, падающая на две прямые, образует накрестлежащпе
углы, равные между собой, то прямые будут параллельны друг
другу».
56. В тексте стоит «Ал-хикмат ал-ула»; см. примечание [71
к алгебраическому трактату Хайяма. Возможно, что здесь, так же
как ниже (см.р9]) в рукописи стоит не «Первая философия», а
«Первый философ», обычное наименование Аристотеля у философов
Востока.
57. Ср. Е в к л п д, «Начала», кн. V, определ. 3 (т. I, стр. 142):
«Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величии
по количеству».
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХАПЯМА
153
58. Это пятый принцип, заимствованный у философа» (см. (331).
59. Первый философ—обычное наименование Аристотеля у уче-
ных Бостона. В тексте, изданном Эрани, вместо слов «Первый фило-
соф» написано «Первая философия» («Метафизика»), цо сделано при-
мечание, что в рукописи стоят слова «Первый философ».
60. To-есть меньшая величина содержится целое число раз
в большей и, последовательно отнимая меньшую величину из боль-
шей, ми исчерпаем большую величину.
Евклид отдельно строит общую теорию отношений величин
в кн. V «Начал» и теорию отношений чисел в кн. VII (см. статью
Ц. Г. Б а ш м а к о в о й, Арифметические книги «Начал» Евклида,
«Историко-математические исследования», вып. I, М.—Л., 1948).
Хайям имеет здесь в виду определ. 1 кн. V «Начал»: «Часть есть
величина [от] величины, меньшая [от] большей, если она измеряет
[большую]» (т. I, стр. 142), которому соответствует определ. 3,
кн. VII для чисел: «Часть есть число в числе, меньшее в большем,
если оно измеряет большее» (т. II, стр. 9), т. е. величина или число
А есть часть величины или числа В, если nA =В (пли, пользуясь
дробями, А =~В
61. Соответствующего определения для величин в кп. V «Начал»
не имеется; для чисел же определ. 4 кн. \ II, непосредственно при-
мыкающее к определ. 3 (см [®°]), гласит: «Части же,—если оно его
не измеряет», т. е. число А является «частями» числа В, если неко-
торое число N измеряет и Л и В пли же А = mN, B=nN, так что
_ / „ . т „ т 1 \
пА=тВ I илп, пользуясь дрооямп, А=—В, причем — нс есть— \.
62. To-есть меньшая и большая величина несоизмеримы; здесь
с нашей точки зрения отношение является иррациональным числом.
63. О связи между понятиями отношения и числа, а также
о введении понятия «количества отношения» см. [751, [92], [10‘2].
64. Для Хайяма треть—то же, что отношение 1 к 3, но для
отношения 3 к 1 он не имеет специального термина; во всяком слу-
чае здесь он не отождествляет отношение 3 к 1 с числом 3. Несколько
далее Хайям говорит, что дроби суть числа, одноро щые с (соизме-
римыми) величинами, т. к. те и другие относятся к категории
количества.
65. Это так называемый алгоритм Евклида для нахождения
наибольшего общею делителя двух чисел, изложенный им в предл. 2
книги VII «Начал» (т. II, стр. 12): «Для двух данных чисел, не рав-
ных между собой, найти наибольшую общую их меру». Об опре-
делении числа у Евклида см. [*°2].
66. To-есть непрерывные величины могут быть несоизмеримы,
и в этом случае процесс алгоритма Евклида продолжается бес-
конечно. Об открытии несоизмеримых величин, сделанном греками
не позднее начала V века до и. э., см. Центов Г. Г., История
математики в древности и в средние века (по указателю).
В начале кп. X «Начал», о котором говорит далее Ханям, даст-
ся определение соизмеримости и несоизмеримости величии, общин
В. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. II. ЮШКЕВИЧ
критерий несоизмеримости (предл. 2: «Если для двух [заданных]
неравных величин при постоянном попеременном вычитании мень-
шей из большей остающееся никогда не будет измерять своего пред)
шествующего, то величины будут несоизмеримыми»; т. II, стр. 103-
и строптся «алгоритм Евклида» для величин (предл. 3: «Для двух
данных соизмеримых величин найти их наибольшую общую меру»;
т. II, стр. 104). В предл. 5 устанавливается связь между отноше-
ниями величин и отношениями чисел: «Соизмеримые величины
имеют между собой отношение, как число к числу» (т. II, стр. 106).
в предл. 7 доказано, что «несоизмеримые величины нс имеют между
собой отношения, как число к числу» (т. II, стр. 109).
Дальнейшее содержание кн. X посвящено классификации
квадратичных иррациональностей, которые строятся с помощью
циркуля и линейки.
67. Во время Хайяма на Востоке существовало философское
учение так называемых мутакаллпмов, согласно которому все вещи
в мире, а также пространство и время состоят из неделимых эле
ментов. Для представителей этого учения, которых, вероятно, имеет
в виду Хайям, любые две однородные величины были соизмеримы
и иррациональные отношения существовать не могли. В древности
учение о неделимых элементах математических величин развивали
ранние пифагорейцы. Возможно, что таких представлений держался
и великий философ-материалист, основатель физического атомизма
Демокрит из Абдеры (середина V' века до и. э.). Из близких к Ари
стотелю кругов вышло сочинение «О неделимых линиях», содер-
жащее критику современного ему математического атомизма.
Из слов Хайяма как будто следует, что он допускал возмож
ность торжества математического атомизма, но сам во всяком
случае разрабатывал классическую математику.
68. В некоторых списках «Начал» Евклида определ. 8. кн. \
дается словами «пропорция есть подобие (или есть тождество) отно-
шений». В каноническом тексте «Начал» прямого определения про-
порции не имеется.
69. См. Е в к л и д, (Начала», кн. V, определ. 5 (т. I, стр. 142):
«Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко
второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей
одновременно больше пли одновременно равны или одновременно
меньше равнократпых второй к четвертой каждая каждой при какой
бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке»
Другими словами, величины А и В, С и I) находятся в одном
отношении, если для любых натуральных чисел т, п, для которых
имеет место одно из условий пЛ^тВ, одновременно имеет место
и соответствующее условие nC^mD.
Если ввести вместо евклидовых целых пар т, п непосредствен
If С г „ ..
но рациональные числа —, то определ. 5 можно передать так.
А С
отношениями одинаковы, если множество всех рациональных
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
133
чисел одинаково разделяется каждым из них на три подмножества:
т А С
первое, все элементы которого — менее — и второе, которое
либо пусто (случай несоизмеримых величин), либо содержит один
т .. А С т
элемент —•, равный уг н лт ; третье, все элементы которого —
TL Li -L/ IV
А С
более -g- и •
Определение одинаковости двух отношении v Евклида в су-
щественном совпадает таким образом с определением равенства двух
действительных чисел в теории сечений Р. Дедекинда.
Существуют, вместе с том, важные отличия между античной
теорией отношении и теорией Дедекинда. Каждое данное отношение
двух однородных величин производит, говоря ио-современному,
определенное сечение во множестве пар натуральных чисел (пли
рациональных чисел). Однако в античной теории нет предпосылки,
1арантпрующей, что всякое разбиение множества рациональных
чисел на два непустых подмножества, в первом из которых все
элементы менее любого элемента второго, а во втором все элементы
более любого элемента первого, осуществляется отношением неко-
торой пары величин. В теории Дедекинда любое такое разбиение
(сечение) множества рациональных чисел производится каким-либо
действительным числом, существование которого гарантируется
определением иррационального числа как такого сечения множества
рациональных чисел, которое не производится рациональным чис-
лом В силу этого дедекиндова система действительных чисел обла-
дает свойством непрерывности, которое не обеспечивается в антич-
ной теории отношепп т
Общая теория отношений, созданная Евдоксом и развитая
Евклидом, отправлялась непосредственно от натуральных чисел.
Дедекинд и другие создатели современного учения о действительном
числе отправлялись непосредственно от системы рациональных
чисел. Это связано с тем, что проблема приближения любого несо-
измеримого отношения рациональными отношениями с произволь-
ной степенью точности еще не встала тогда перед математикой греков
во всей широте.
Поскольку отношения лишь в весьма ограниченной мере выпол-
няли измерительные функции, на них долгое время смотрели как
на математические объекты, существенно отличные от чисел. Поло-
жение дел стало меняться только с ростом приближенных вычи-
слении и развитием вычислительных алгоритмов, с выдвижением
на первый план проблемы аппроксимации с. произвольной степенью
точности все более и более широких классов отношении.
Ср. Iй] и [ к>2].
Заметим, что сам Евклид не говорит о равенстве отношении
и, например, в предл. И кн V доказывает, что два отношения, оди-
наковые с одним третьим, одинаковы дру 1 с другом (так что одина-
ковость отношений пар величин сама есть отношение типа равен-
ства); если бы определ. 5 было в глазах Евклида определением равен-
156
Б. РОЗЕНФЕЛЬД И А. И. ЮШКЕВИЧ
ства отношений, то предл. И нс нуждалось в доказательстве,
а прямо вытекало бы из аксиомы «Равные одному и тому же равны
и между собой» (т. I, стр. 15). Понятие равенства относится у Евкли-
да к величинам и (натуральным) числам. Лишь много позднее,
в процессе установления той точки зрения, что всякое отношение
есть некоторое (рациональное или иррациональное) число, матема-
тики начинают применять к отношениям термин «равенство».
Определ. 6 кн. V «Начал» гласит: «Величины же, имеющие то же
отношение, пусть называются пропорциональными» (т. I, стр. 142).
70. См. Е в к л и д, «Начала», кн \ , определ 7 (т I, стр. 143):
«Если же из равнократных кратное первой превышает кратное вто-
рой, а кратное третьей не превышает кратное четвертой, то говорят,
что первая ко второй имеет большее отношение, чем третья к чет-
yl С
вертои», т. е. — если существуют такие два натуральных числа
т, п, что одновременно пЛ >тВ и nC<mZ) (или—в терминах рацпо-
т А т С У
нальных чисел—существует такая дроиь —, что — > — > — ) •
Вопрос, поставленный здесь Хайямом, связан, вероятно,
с предл 9 кн. \ I, где требуется «От дайной прямой [ЛВ] отнять пред-
ложенную часть» (т. I, стр. 186). Евклид
С отсекает на данном отрезке АВ третью
f/A часть (черт. 2), проведя произвольную
U.s \ ЛС, взяв на ней любую точку D, отло-
.х'С \ жив DC=2AD, соединив СВ и, наконец,
\__________\ проведя DI параллельно СВ. Тогда, по
/] у g предл 2 ки VI CD относится к DA, как
BI относится к IA, и далее говорится:
Черт. 2. «Но CD вдвое больше следователь-
но, и BI вдвое больше /Л; следователь-
но, ВЛ втрое больше А/».
Доказательство Евклида строго вытекает из определ. 5 кн. V,
ибо согласно определ. 5 для любых натуральных tn, п, для которых
inCD=n-D 1, будет одновременно т BI=n IA и так как CD=
—2DA, то BI=2DA, а это и значит, что IA есть половина BI.
Таким образом, если критика Хайяма направлена непосред-
ственно на это доказательство, то опа несправедлива Но Хайям,
невидимому, и здесь возражает не столько против этого доказатель-
ства, сколько против того, чтобы само определ. 5 принималось за
исходное. «Какое доказательство, спрашивает он, имеется для ука-
занного Евклидом необходимого условия истинной пропорции?»,
т. е на чем основано само определ. 5? Выть может истинным основа
пнем для принятия определ. 5 является определ. 7 неравенства двух
отношений? По и это определ. 7 не является в глазах Хайяма
«истинным».
71. «Присоединение отношения» есть переход от отношения
А А \-В
- к отношению —~.
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
157
Я
(Выделение отношения» есть переход от отношения к отно-
А—В
ШОНИЮ —— •
.. А С
«Переставленное отношение» есть переход от отношении — и
Я В
к отношениям и ^-.
А
«Перевернутое отношение» есть переход от отношения — к от-
ношению . См. Евклид, «Начала», кп V, определ. 14, 15,
12, 13 (т. 1, стр 143—144).
72 Здесь Хайям приступает к построению собственной теории
отношений. Прежде всего бросается в глаза, что он стремится
установить единую теорию для чисел и величин, сразу рассматривая
некоторые категории отношений величии как числовые отношения.
Для этой категории он вводит определение равенства отношений,
почти совпадающее с определением пропорциональности четырех
чисел, имеющемся у Евклида. Согласно определ. 21 кн. VII «Начал»:
«Числа будут пропорциональны, когда первое от второго, а третье
от четвертого будут или равнократными, или той же частью, или
теми же [частями]» (т. II, стр. 10). Другими словами, две нары
чисел А, В и С, Ь пропорциональны, если имеет место какой-либо
из трех случаев:
1) А = пВ и С = п£);
2) nA — В и пС = D\
3) A=mN, B=nN и С=тМ, D=nN, или, пользуясь дробями,
А = -В и C=-D (ср. [С1]).
п П 1
Внешнее отличие определения Хайяма от евклидова состоит
А
в том, что первый рассматривает отношения только для слу-
чая А^В (что Д. Д. Мордухай-Еолтовской совершенно напрасно
приписал Евклиду в своих комментариях к «Началам»; см т. II,
стр. 271). Точно так же поступает Хайям далее в своем общем опре-
делении равенства отношений. Однако, как ясно из слов Хайяма
(см. стр. 89), он делает это лишь «для краткости» изложения.
Одним из важнейших средств построения теории числовых
отношений является так называемый алгоритм Евклида для опре-
деления наибольшей общей меры двух чисел, излагаемый в предл. 2
кн. Ml, а для двух соизмеримых величин в предл. 3 кн. X. Пс
говоря о других применениях алгоритма Евклида, укажем, что
лишь он придает реальное значение определ. 3 и 4, т. е. «части»
и «частей», позволяя доказать, что всякие два числа имеют общую
наибольшую меру (быть может равную единице). Вместе с тем алго-
ритм может служить и для установления равенства двух числовых
158
Е. V. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
отношений, члены которых являются большими составными числа-
ми, посредством сокращения членов каждой пары отношении на их
общий наибольший делитель. В применении к чпслгам А, В, где
В>А, алгоритм состоит, как известно, в следующем. П 3 В вычитает-
ся наибольшее кратное А, нс превосходящее В, так чтго остаток
будет менее Л; далее та же операция применяется к А и причем
получается остаток /?., < затем к остаткам Hi и -У*2 11 т- Д-:
В = ntA +
A-n^li-i
11! = M3 Z?2 "Ь ^3»
ЛК-1 = пА-+1ЛА.
Для целых чисел А, В алгоритм обязательно яв ляется конеч-
ным и на некотором Л-|-1-м шаге завершается рав1енством вида
Kk-i ~nk^ iRk> где Rk я является общим наибольши м делителем.
Алгоритм Евклида равносилен разложению дроби — в не-
прерывную дробь
.1 1
В~ , 1
«| +-----г
П2 ------
П3~Ь
+ /7Г
вепрорыш ые Дроби, как таковые, введены были в копне XVI века).
Для установления равенства двух числовых Отношений 4
** /У
и не треоуется, однако, их сок-ращение па найденные с помощью
алгоритма Евклида общие наибольшие делители каждой пары,
(ело в том, что — тогда и только тогда, когда все соответ-
твеиные частные для одной пары и для другой равны и
число luaioB одинаково; пли же, другими словами,* когда равны
все соответственные неполные частные разложений и в не-
прерывные дроби.
Предлагаемое далее Хайямом общее определение равенства
двух от и ш ши является прямым обобщением этого свойства рав-
ных числовых отношений на случай несоизмеримых величин.
/ . Итак, со 'Ласло общему определению Хайяма» два несоиз-
меримых отношения ~и равны тогда и только тогда, когда равны
между ой соответственные частные, определяемые бесконечным
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
159
алгоритмом Евклида, или, что то же самое, когда равны соответ-
ственные неполные частные тех бесконечных непрерывных дробей,
Л С’ ы
в которые раскладываются отношения п jy. Несоизмеримость
двух величин, для которых алгоритм Евклида бесконечен, была
доказана Евклидом в пэедл. 2 кн. X (т. II, стр. 103).
Несомненно, что общей теории отношений Евдокса—Евклида,
изложенной в кн, V «Начал», предшествовала какая-то другая
теория отношений величин, являвшаяся переходной между более
древней по происхождению теорией числовых отношений кн VII
«Начал» и евдоксовоп На основании некоторых замечаний Аристо-
теля и его античных комментаторов О. Бекер разработал гипотезу,
согласно которой эта промежуточная теория отношений возникла
из распространения алгоритма Евклида с чисел на несоизмеримые
величины Такое же мнение еще ранее высказывал I Цейтен Эту
теорию Бекер назвал антифайретической—от глагола cmu'faipsrv,
что значит «попеременно отнимать», употребляемого Евклидом при
изложении его алгоритма как в кн. А II, так и в кп. X. Определение
равенства отношений, гипотетически предложенное Бекером, точно
совпадает с определенном Хайяма. 'Точно так же совпадают и опре-
деления, предлагаемые Хайямом и Бекером для неравенства 2^->7Г’
Бекер тщательно исследовал, какие предложения кп. V «Начал»
могут быть доказаны непосредственно с помощью антпфайретиче-
ческой теории, а какие нет, и, кроме того, для каких необходимо
применение аксиомы Евдокса — Архимеда. Выяснилось, что ряд
( ip А с
важных теорем например, предл. 16 кн. Л о том, что из сле~
А В \ „
дует — = — для оощих величии непосредственно с помощью «анти-
G U J
файретической» теории недоказуем. Объясняется это тем, что такого
рода теоремы нуждались бы в антифайретическом определении
умножения отношений общих величин, а между тем не существует
простой формулы, которая выражает неполные частные произведе-
ния двух непрерывных дробей через неполные частные дробей-
сомножителей. В итоге Бекер приходит к выводу, что между анти-
файретпческой и евдоксовой теориями некоторое время существо-
вала переходная теория, в основе которой лежало еще антифайрети-
ческое определение, но в которой использовалось в качестве дока-
зуемого свойства позднейшее евдоксово определение, с помощью
которого выводили ряд теорем. Сам Евдокс увидел, что проще и есте-
ственнее положить в основу определ. А и перестроил всю теорию
на новой основе (см. Becker О., Eudoxos-Studien, I, «Quellen
und Studien zur Gcschichte der Mathematik», серия В, т. 2, тетр. 4,
Берлин, 1933).
Построение Хайямом «антифайретической» теории, очевидно
вне всякой связи с давно забытой аналогичной доевдоксовой теори-
ей, является сильным аргументом в пользу гипотезы Бекера, при-
обретающей теперь еще большую убедительность.
160
Б. Л. РОЗЕНФЕЛЬД 11 Л. II. ЮШКЕВИЧ
74. Па языке теории непрерывных дробей определение нера-
венства двух отношений v Хайяма можно передать следующим
„ Д А 1 С 1 А С
ооразом. Пусть ( , д =------у Тогда->~
«1 +—г- ,П1 + ^~Г"
^2“Г'. Шо-f-.
в том случае, если при выполнении равенства ni=i)iL (i=l, 2, 3,
к—1) nh<inh для А-нечетного или пд>/пь для к четного.
Замечательно, что в этом определении Хайям явно объ< (иняет
случаи несоизмеримых и соизмеримых отношений и, говоря по-
современному, тем самым даст критерий для установления харак-
тера неравенства двух заданных иррационального и рациональ-
ного чисел. Мы могли бы формально применять определение не-
равенства «больше» для случаев бесконечной непрерывной дроби
и конечной пли двух конечных дробей, полагая соответствующее
или nik равным 4-со.
75. Как видно из всего текста Хайяма, его критика определе-
ния равенства отношений Евклида имеет целью сблизить и по
возможности соединить теорию отношений чисел и общую теорию
отношений величин. Определ. 5 кп. V Евклида оперирует с крат-
ными величинами, отделено от определ. 21 кп. VII и в нем завуалп
рована возможность приближения с любой степенью любого дан-
А т
кого отношения величин рациональными отношениями чисел —.
Определения Хайяма открывают явную возможность устанавчп
вать с любой требуемой степенью точности равенство пли разность
двух любых отношений. Далее Хайям подходит к той точке зре-
ния, что всякое отношение величии, включая и несоизмеримые,
можно рассматривать как некоторое число.
Эта тенденция к синтезу идей кп. V и VII «Начал», наметив-
шаяся уже в поздней античной науке, но не получившая в ней раз-
вития, явилась следствием быстро возраставшего значения вычисли-
тельной математики и фактического расширения понятия о числе
(см. [®9] и [102]). Идеи Хайяма получили дальнейшее развитие
у Наснрэддина Туси, сочинения которого оказали несомненное
влияние и на некоторых европейских математиков первой полови-
ны XVII века. Эти последние также выступили с критикой ©пре-
дел. 5 кн. V Евклида. Например, А. Таке (1612—1660) писал, что
определ. 5 выражает «нс природу равных отношений, но только неко-
торое их свойство» и является подлежащей доказательству теоремой.
Основания такой критики по существу были те же, что у Хайяма
и Наснрэддина Туси. Новые определения равенства (уже не «подо-
бия» или «одинаковости») отношений должны были непосредственно
отразить процесс приближения любого отношения рациональными
числами. Ср. комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского к «Началам»
Евклида (т. I, стр. 380—384). Следует заметить, что Д. Д. Морду-
хай-Болтовской, не располагая трудами Хайяма и Наснрэддина
Туси, ошибочно думал, что «первая идея о смешении кн. V и VII
является только в XVI веке» (т. II, стр. 283).
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
161
д
76. Хайям имеет в виду, что для данного отношения — и дан-
ной величины D существует четвертая пропорциональная С—такая
величина, что Этим утверждением неявно пользуется Евклид
например, в предл. 18 кн. V «Начал» (т. I, стр. 164) и в других
местах); впоследствии для случая отрезков Евклид доказывает его
в предл. 12 кн. Л I (т. I, стр. 188), но, напрпмер, в предл 2 кн. XII
вновь неявно пользуется им для случая криволинейных площадей.
В явном виде предложение о существовании четвертой пропор-
циональной для любых трех величин, удовлетворяющих условиям
кн. V «Начал», было высказано, насколько известно, Хайямом,
который первый же заметил, что это предложение по существу
является следствием принципа непрерывности (см. [”])• Вслед за
тем это предложение встречается в виде аксиомы в комментирован-
ном латпнеком переводе «Начал», сделанном в середине XIII века
Дж Кампано из Новары, который опирался на более ранний латин-
ский перевод с арабского Аделарда из Бата (первая половина
XII века) и на другие арабские тексты. Кампано также указывал,
что эта аксиома выражает свойство непрерывных количеств (quan-
titatibus contiiiuis). Текст Кампано был трижды напечатан в 1482,
1486, 1491 гг. Еще позднее аксиома о четвертой пропорциональной
была введена в латинском издании «Начал» (1574 и ряд других
изданий) немецкого математика X. Клавня (Шлюсселя, 1537—1612).
См. «Начала» Евклида, т. I, стр. 397—398 и примечания И. 10. Тим-
ченко к «Истории элементарной математики» Ф. К э д ж о р и,
Одесса, 1917, стр. 336—337.
77. В этом доказательстве Хайям неявно предполагает, что
непрерывная величина —, переходя от меньшего значения — к боль-
A G
D А
шему — , принимает и всякое данное промежуточное значение —
между последними; явно высказанных Хайямом предпосылок для его
доказательства недостаточно.
Хотя мы не находим формулировки принципа непрерывности
у Евклида, но античной науке этот принцип был известен и в неко-
торых случаях высказывался явно. Наиболее ранняя известная
формулировка восходит к Бризону (конец V века до н. э.), который
согласно Нроклу утверждал, что существует многоугольник, рав-
ный данному кругу, ибо величина последнего заключена между
величинами любого вписанного и любого описанного многоуголь-
ника, а «к чему существует большее и меньшее, к тому существует
и равное». Аналогичное утверждение имеется у Аристотеля: «ведь
круговая линия будет и больнзе и меньше прямой, следовательно,
и равной ей» («Физика», кн. 7, гл. 4, стр. 160). Однако нет никаких
свидетельств о том, чтобы античные математики явно пользовались
♦аксиомой непрерывности» и пытались доказать с ее помощью
Утверждение о существовании четвертой пропорциональной к трем
° Щим величинам, и вывод Хайяма, как сказано, является первым
11
Историко-матсм. исследования
162
Б. Л РОЗЕНФЕЛЬД II Л. П. ЮШКЕВИЧ
известным нам доказательством этого утверждения. См. В е с к е г О.,
Eudoxos-Studien, II—III, «Quellen und Studien zur Geschichte der
Mathemalik», серия В, т. 3, тетр. 4, Берлин, 1934. О применении
понятия непрерывности у Архимеда см в настоящем выпуске «Исто-
рико-математических исследовании» статью II. Г. Башмако-
вой, Дифференциальные методы в работах Архимеда.
78. Это—предл. 1 кн. X. «Начал» Евклида (т. II, стр. 102):
«Для двух заданных неравных величин, если от большей отнимается
больше половины и от остатка больше половины и это делается по-
стоянно, то остается некоторая величина, которая будет меньше
заданной меньшей величины». Это предложение лежит в основе
«метода исчерпывания», применяющегося в кн. XII «Начал» при
исследовании площади круга и объемов пирамиды и других тел.
Доказательство Хайяма имеется в качестве другого доказательства
этой теоремы в некоторых списках «Начал» Евклида (см т II, стр.363).
79. Здесь используются предл. 14 и 15 кн. У «Начал» Евклида
(т I, стр. 160 и 161): «Если первая ко второй имеет такое же отно-
шение, как третья к четвертой и первая больше третьей, то и вторая
будет больше четвертой, если же равна, то равна, если же меньше,
то меньше» и «Части к своим одинаковым кратным имеют то же
самое отношение, если взять их соответственно друг к другу».
80. В русском тексте «Начал» Евклида после доказательства
предл. 1 кн. X говорится (т. II, стр. 102): «Подобным же образом
докажется п если бы отнимаемые были половинами».
81. В русском тексте «Начал» Евклида указанных слов нет.
82. См. Е в к л н д, «Начала», кн. V, предл. И (т. I, стр. 157):
«[Отношения], тождественные одному и тому же отношению, тож-
дественны и друг другу».
83. См. Е в к л и д, «Начала», кп. А , предл. 9 (т. I, стр. 155):
«[Величины], имеющие к одному и tomj же то же самое отношение,
равны между собой; и те, к которым одно и то же имеет то же самое
Отношение, равны».
Предл. 3 н 4 Хайяма вновь свидетельствуют о том, что он трак-
тует числовые отношения как частный случай общих отношений
величин.
84. См Евклид «Начала» кн. А определ. 17 (т. I, стр. 144):
«По равенству отношение бывает при задании нескольких величин
и равного им количества других, находящихся, взятые попарно,
в том же самом отношении, когда как первая к последней в [ряду!
первых величин, так будет и первая к последней в [ряду] вторых
величин; или иначе: взятие [отношения] крайних с пропуском сред-
А
них», т. е. если
а
DDE AD
-= п —= —, то пропорция тг — получается
Е С Ст*
ио равенству отношений.
Справедливость этой пропорции доказывается в предл 22:
«Если будет несколько величин и другие в равном с ними количе-
стве, [находящиеся] взятые попарно в одном и том же отношении,
то и „по равенству" они будут в одном и том же отношении» (т I,
стр. 168).
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХАПЯМА
163
Т° А—В
85. См Е в к л и д, «Начала», кн. V, предл. 19 (т. I, стр. 165):
«Если как целое к целой, так и отнятая к отнятой, то и остаток
г Л В
к остатку будет как целая к целой», т. е. если — = — ,
С Ij
с
"с- в
86.
87.
88.
«Начала», кп. V определ. 12 (см. [71]).
«Начала», кн. V, предл 7 (см. [21]).
«Начала», кп. V, предл. 11 (см. [82]).
Евклида пропорция не была равенством
является для Хайяма (см. [6sj и р2]).
(при А>В,
См Е и к л и д,
См. Е в к л и д,
См. Е в к л и д.
Напомним, что для
отношений, каковым она
89. Здесь Хайям имеет в виду предл. 1 второй книги своего
трактата, где доказывается существование четвертой пропорцио-
нальной.
90. См Е в к л н д «Начала», кн. V, предл. 8 (т. I, стр. 153):
«Пз неравных величин большая имеет к тому же большее отношение,
чем меньшая, и это то же к мевыпей имеет большее отношение, чем
к большей».
91. См р1], I81].
92. См. Е в к л и д, «Начала», кн. V, определ. 6 (т. I, стр. 174):
«Говорится, что отношение составляется из отношений, когда количе-
ства этих отношений, перемноженные между собой, образуют нечто»,
А С Е
т е. отношение, имеющее в наших ооозначениях вид — = — • ,
В 1) г
называется составным отношением, составленным пз отношений
D И F'
Это определение вес исследователи единодушно считают позд-
нейшей вставкой, поскольку Евклид нигде не трактует отношения
как количества пли числа и пе говорит об умножении отношений.
Вместе с тем составление отношений широко применялось в грече-
ской математике. Сам Евклид использует понятие составного отно-
шения в предл. 23 кп. VI (т. I, стр. 203), где доказывается, что
«Равноугольные параллелограммы имеют друг к другу составное
отношение сторон». Здесь он опирается на попутно вводимое опре-
деление: «Отношение К к М составляется из отношений К к L
и L к Л/», а для образования составного отношения в случае, когда
„ А С •
составляющие — ие имеют оощего члена, пользуется доказанным
им для отрезков предложением о существовании четвертой пропор-
циональной. Он вводит некоторый отрезок А'; тогда существуют
такие L, М, что =v и ~ , а затем отношением, составным
В L I) Л/
А „ С К L К
из » п yr, он называет отношение, составленное пз --и 77» т. е. — .
о D L М М
Аналогично можно было бы определить составное отношение для
отношений общих величин (не специально отрезков!), используя
соответственно более общий принцип четвертой пропорциональной.
164
Б. А РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
Составление отношении встречается затем у Хрхпмеда п Апол-
лония. В связи с развитием тригонометрических вычислений в астро-
номии составные отношения стали играть большую роль и в вычис-
лительной математике, например у Птолемея (около 140 г. н. э.).
Лежавшая и ранее в основе понятия составного отношения идея об
умножении соответствующих чисел пли численных приближений
этих отношении при этом выдвигается па первый план. Вероятно,
примерно в это время возникает не уточняемое понятие о «количе-
стве» (zvjZixoTTp) отношения и об умножении этих количеств—
первый зародыш общего понятия о действительном числе. Ком-
ментатор Птолемея Теон Александрийский (около 370 г.) писал:
«говорится, что отношение составлено нз двух или нескольких отно-
шений, koi (а количества этих отношений, будучи перемножены,
составляют некоторое количество отношения». Этот текст почти
дословно совпадает с псевдоевклпдовым определ. 6 кн. \ I, и по-
следнее восходит, невидимому, к имевшей большое распространение
теоновской редакции «Начал» Евклида.
См. примечания И. К) Тимченко к у казанной в [76] книге Ф. Кэд-
жорп, стр. 402—406, а также Vogel К., Beitragc zur griechischen
Logistik, Tl. 1, «Sitzuiigsberichte der Bayerischen Akademie der
Wissenschaften. Mathematisch natunvissenschaftliche Abteilung»,
1936, ст]). 357—472.
93. Как мы указывали выше (см. [1*]), этого постулата в рус-
ском тексте «Начал» Евклида нет. См. также [®2].
94. См Евклид, «Начала», кн. V, определ. 9 в 10 (т. I,
стр. 143): «Когда же три величины пропорциональны, то говорят,
что первая к третьей имеет двойное отношение первой ко второй»,
«когда же четыре величины пропорциональны, то говорят, что пер-
вая к четвертой имеет тройное отношение первой ко второй и так
А В
далее всегда, пока существует пропорция», т. е. если
А
шенпе 77
В~ С'
то отпо-
! .. АВС
называется двойным отношением, если— =77—73 •
В Ь '
=( -у 1 называется тройным отношением, и т. д.
то отношение
95. Дословно: «разумно» (ма кул).
90. Здесь Хайям со всей определенностью говорит о воз-
можности поставить в соответствие любому рациональному или
иррациональному отношению двух однородных величин некото-
рое ------ -------- ------ ----------" -----
(ср
пис
«число» — вопрос, ответ па который дается несколько далее
Р021).
97. Неясно, какое предложение имеет в виду Хайям Образова-
В
составного отношения пз -и в предл. 23 ки. V I «Начал»,
В с
как говорилось, используется
98. См. [»*]
99. Трактат Птолемея (у Хайяма Битлпмйус), известный под
названием «Алмагсст», на самом деле называется «Великое построе-
ние астрономии», по-гречески че-рЦ au-^afci; dGToovopia;. Назва
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХЛПЯМА
165
пне «Алмагест» происходит от арабского искажении первою слова
этого названия ал-маджистй.
100. Полный четырехсторонник, по-арабски «шакл ал-кпта ’»,
дословно «фигу ра секущей»—фигура, состоящая из четырех прямых
(пли больших кругов сферы), причем каждая прямая (пли круг)
пересекается со всеми остальными прямыми (пли кругами) в трех
точках и в каждой из этих точек сходится не более двух прямых (пли
кругов). «Предложение о полном четырехстороннике»—так назы-
ваемая теорема Менелая (около 100 г. и. э_), автора «Сферпкп»,
текст котором известен лишь но арабским переводам. Теорема Мене-
лая ДЛЯ плоского полного четырехсторонника (черт. 3) гласит, что
AD-BE CF=DB• ЕС ЛЕ; в сферическом случае отрезки сторон за-
меняются па хорды удвоенных отрезков сторон. Сам Менелай форму-
лировал теорему в терминах тео-
Л1) В
рпп отношении: отношение со-
.. СЕ
ставляется из отношении 11 /
. Плоский случай теоремы был ~~ „-------- '"'"'^7
CF ? 1 Д С F
известен во всяком случае до Me- Чей г 3
нелая, который применил его без 1 • •
доказательства при выводе сфери-
ческого случая. Теорема Менелая и ее частные разновидности слу-
жили одним из основных средств тригонометрических вычислений
в древности и Средние века; ей и ее приложениям посвящен был
ряд сочинений на арабском языке (ср. [105]).
101. Начала арифметического учения о музыкальных интерва-
лах и соотношениях длин струн, при одинаковой толщине и натя-
жении, дающих те пли иные созвучия, развиты были в греческой
науке не позднее рубежа \ I—V вв. до и. э Длины, соответствующие
таким музыкальным интервалам (октаве, кварте и др.), находятся
в целочисленных отношениях; сложению музыкальных интервалов
соответствует умножение этих отношении Теории музыки посвящен
ряд сочинений греческих математиков, среди них «Начала музыки»
Евклида, переделкой которых, быть может, является сохранив-
шееся под именем Евклида «Деление канона». Учение о гармонии
явилось предметом многих сочинений на арабском языке, а также
трудов европейских математиков вплоть до XVIII века
Рукопись «Комментариев к трудностям книги о музыке» \ шяма
(Шарх ал-мушкпли млн кнтаб ал-мусйкй) не обнаружена
102. Весь этот абзац является центральным но значению в уче-
нии Хайяма о числе.
Для классической античной математики характерным было
понимание числа как числа натурального, как меры дискретного
множества предметов или же меры непрерывной величины, состав-
ленной из множества однородных с нею. Даже единица не включа-
лась в теоретической науке в категорию чисел Определ. 1 и 2 кн. VII
«Начал> гласят: «1. Единица есть [то], через что каждое из суще-
166
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
ствующих считается единым. 2. Число же—множество, составлен-
ное пз единиц» (т. II, стр. 9). Ни отношения целых чисел, ни отно-
шения несоизмеримых величин Евклид не рассматривал как числа,
несмотря на очевидное наличие у тех и других ряда общих свойств
Дело здесь не просто в терминологии, а в тон роли, которую играли
целочисленные и общие отношения в теоретической математике
эпохи Евклида. Общая теория отношений в классической античной
математике служила, главным образом, базой учения о подобии
в геометрии, теории музыки, а также так называемого «метода
исчерпывания»—древнпх интеграционных приемов, в результате
которых были установлены равенство отношений или целочислен-
ные отношения между некоторыми площадями пли объемами (вроде:
два круга относятся, как квадраты диаметров; сегмент параболы
равен двум третям описанного около него параллелограмма и т и.).
Как уже говорилось в [в91, приближение несоизмеримых отношений
с помощью целочисленных отношений, т. е. рациональных дробей,
было второстепенной проблемой для классической греческой науки.
В этом смысле показательно, что в кп. VII «Начал» не определяется
и не исследуется сложение и вычитание отношений, а в кн. V оно
вводится только для случая отношений с общим последующим
членом: обе эти операции не играли роли в тех вопросах, где нахо-
дила применение теория отношении Таким образом, отношения не
выполняли, вообще говоря, измерительной функции, характерной
для позднейших иррациональных чисел дроби и рациональные
приближения несоизмеримостей применялись почти исключительно
землемерами, архитекторами, военными инженерами и т. д., но не
в теоретическом исследовании, а от самих приближении не требо-
валась особенная точность.
В «Измерении круга» Архимеда мы встречаемся с первым глубо-
ким теоретическим изучением некоторого специального процесса
приближенных вычислений, и он, между прочим, трактует дроби
как числа. Начиная с I века до н э , проблемы вычислительной
математики выдвигаются на передний план математической науки,
оттесняя уже вполне сложившиеся отделы классической эпохи. Мы
указывали, что с этим связано было изменение точки зрения па
отношения, возникновение понятия его «количества», объединение
понятия умножения количеств с понятием составления отношений
Большую роль сыграл при этом тесный контакт поздней i реко-рим
ской пау кп с вычислительной по преимуществу математикой и астро-
номией Востока (Вавилона и Египта). Диофант в III веке н. э. уже
прямо называет дроби числами
Описанный процесс не успел, однако, получить глубокого раз-
вития в шедшем к упадку античном мире, и дальнейшим успехом
здесь мы обязаны средневековой науке Востока и более всею мате
матпкам народов Средней Азии. Еще до Хайяма, в связи с новым
и ярким расцветом вычислительной математики, операции над
иррациональными числами и их рациональными приближениями
становятся повседневным занятием крупных ученых. Комментаторы
кн. X Евклида поясняют ее предложения на примерах сложных
квадратичных числовых иррациональностей. Хайям, продолжая
ПРИМЕЧАНИЯ КО ВТОРОМУ ТРАКТАТУ ХАПЯМА
167
идейную линию, намеченную в его оригинальной теории отношении,
первый со всей определенностью формулирует и новую, более
общую концепцию действительного (положительного) числа. Он
вводит понятие общей абстрактной числовой величины, выражаю-
щей любое отношение, «величины, отвлеченной разумом от всего
этого (т. е. от индивидуальных свойств линии, поверхности, тела
времени) и принадлежащей к числам, но нс к числам абсолютным
и настоящим». Он указывает на практическую важность такого
расширения понятия числа, ссылаясь на вычислителен и землеме-
ров Он подчеркивает, наконец, что новая, вводимая им, как и эти-
ми практиками, единица является делимой,—только у практиков
эта единица всякий раз являлась именованной и могла рассматри-
ваться как множество других более мелких единиц, а у Хайяма
эт0—отвлеченная числовая единица. В этом пункте Хайям ио су-
ществу противопоставляет свою концепцию воззрениям древних,
в частности и Аристотеля, писавшего «Неделимое во всех отноше-
ниях, не наделенное положением называется единицей, а неделимое
во всех отношениях и имеющее положение—точкой» («Метафизика»,
кн. 5, гл. 7, стр. 86).
В итоге, у Хайяма каждому отношению ставится в соответствие
некоторое вещественное (положительное) число и отношения вместе
с числами приобретают функцию измерения любых величин Даль-
нейшее развитие это учение Хайяма получило особенно у Наспр-
эддина Туси (см. [105]).
А _ единица Е
I) ~ С 'В ~~ единица
Л
В
Е
С '
103. Из
104. Из
следует, что
к
С G
единица _ „ _
следует, что единица xC=E G, а отсюда,
что
В D D АВ А
А В ^А П В D D ’
105. В тексте Хайяма сказано: «G есть отношение?! к В, Е есть
отношение В к D, а С есть отношение А к В переводе текст ис-
правлен по смыслу.
Говоря о произведении отношений, Хайям имеет в виду число,
которое можно вычислить с любой нужной степенью точности, пе-
ремножая рациональные дроби, дающие с соответствующей степенью
точности приближенные значения сомножителей (что позволяет
сделать его определение отношения через непрерывную дробь).
Более детально разработал теорию составных отношений Иасир-
эддин Туси, который также рассматривает отношения как числа и
оперирует понятием «количества отношения». При этом Пасирэд-
Дин понимает под количеством отношения «число, измеряемое еди-
ницей, так же как предшествующий член отношения измеряется
последующим членом», и в ходе доказательства предложения,
совпадающего с предл. 1 Хайяма, пишет: «Так как умножение
одного числа на другое есть действие, состоящее в том, что первое
число увеличивается во столько же раз, каково второе число, то
составление одного отношения из двух других есть действие,
состоящее в том, что количество первого отношения увеличу
168
Б. А РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
вается во столько раз, каково количество второго отношения». См.
II а с и р э д д и н Туси М , Трактат о полном четырехсторон
нике (Шаклул Гита), пер. с араб., Баку, 1952, стр. 21—22.
Теория сосанных отношении и учение о числе Хайяма и Па-
сирэддпна Туси, как говорилось в [75], получили известность
в Европе в конце XX I и XVII вв., особенно благодаря изданию
в Риме в 1594 г. «Начал» Евклида в редакции Наспрэддина. Не входя
в детали процесса развития учения о числе в XX II веке, заметим
только, что вершиной его явилось определение числа у Ньютона:
«Под числом мы понимаем не столько собрание единиц, сколько
отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине
того же рода, принятой нами за единицу. Число бывает родов: целое,
дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется
единицей; дробное—кратной долей единицы; иррациональное число
несоизмеримо с единицей» (II ыотоп II., Всеобщая арифметика,
пер с латин., М , 1948).
106. См. [9‘]
107. Дата написания геометрического трактата Хайяма—копен
первого джумада 470 г. хиджры—середина декабря 1077 г. Много-
точием отмечен пробел в рукописи.
108. Дата переписки рукописи трактата, на которой основан
наш текст,—5 ша'бана 615 хиджры—27 октября 1218 г. О перепис-
чике (Мас’удс ибн Мухаммад ибн'Алй ал-Халфарй) никаких допол-
нительных сведений не имеется.
III. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ
«ОБ ИСКУССТВЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА
ЗОЛОТА И СЕРЕБРА В СОСТОЯЩЕМ ПЗ НИХ ТЕЛЕ»
1. Трактат Хайяма «Об искусстве определения количества
золота и серебра в состоящем из них теле» дошел до нас в двух руко-
писях. Одна из них, неполная, находилась в библиотеке восточных
рукописей в г. Гота (Германия) (№ 1158, листы 39b и 40а), другая
рукопись, полная, включена в трактат работавшего в Черве ученика
Хайяма Абу-л-Фатха гАбд-ар-Рахмана Хазивй «Весы мудрости»
(«Мйзан ал-хикма»), написанный в 1121 г.; рукопись последнего
трактата имеется в Ленинградской публичной библиотеке им. Сал-
тыкова-Щедрина (собрание Ханыкова, № 117; трактат Хайяма
изложен на листах 57b—60b). Готская рукопись была опубликована
четыре раза: два раза на арабском языке—в 1924 г типографским
способом в качестве приложения к изданию «Четверостиший»
Хайяма на персидском языке, выпущенному Фр. Розеном в Берли-
не, и в 1936 г. в виде фотокопии с рукописи в качестве приложения
к изданию геометрического трактата Хайяма, выпущенному
Т. Эрани в Тегеране,—и два раза в немецких переводах: в 1906 г.
в статье Wiedemann Е , Zur Geschichte der rsaturwissen-
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРЕТЬЕМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
169
scbaften, VIII. Uber Bestimmung der spezifischen Gewichte, «Sitz-
ungsberichte der Physikalisch-medizinischen Sozietat in Erlangen»,
1906, 38, стр. 163—180 (см. стр. 170—173) и в 1925 г. в заметке:
Rosen Fr., Ein wissenschafllicher Aufsatz linar-i Khayyams,
«Zeitschrift der Deutschen morgenlandischen Gesellschaft»/ 1925,
4(79), стр. 133—135.
Рукопись Хазпнн частично опубликована и подробно описана
в статье обнаружившего ее известного русского ориенталиста
И. В. Ханыкова: К h a n i к о f f N., Analysis and extracts of
Kitab niIran al-hikina (Book of the balance of Wisdom), an arabic
work on the waler-balance, written by al-Khazinf in the twelfth
century, «Journal of the American Oriental Society », 1859, 6, стр. 1 —
128 п в статьях: W i e d e m a n n E., Beit rage zur Gesdiichte der
Katuruisseiischaften, XV, XVI, XXXVII и XXXVIII, «Sitzungs-
berichte dor Physikalisch-medizinischen Sozietat in Erlangen», 1908,
40, стр. 105—132 и 133—159; 1914, 45, стр. 27—38; 1916, 48, стр. 1 —
15. Изложение Хазпнн трактата Хайяма имеется в немецком пере-
воде в первой из указанных здесь статей Видемана.
Приведенный нами заголовок взят из готской рукописи. В сочи-
нении Хазпнн изложение трактата Хайяма находится в четвертой
книге «О водяных весах, упоминавшихся древними и позднейшими
учеными, их форме и способе их применения» и составляет пятую,
последнюю, главу этой книги, озаглавленную «О свободных водя-
ных весах имама Омара Хайяма, способе их применения и его дока-
зательстве, когда обе чаши или одна из них находятся в воде».
Изложение Хазпнн разделено на четыре раздела, озаглавленных:
1) «Об устройстве весов и взвешивании» (первый абзац), 2) «Об опре-
делении того, что имеется в телах, состоящих из золота и серебра,
с помощью геометрического доказательства» (второй, третий и чет-
вертый абзацы). 3) «Об определении того, что имеется в телах,
состоящих из золота и серебра, с помощью алгебры и алмукабалы»
(пятый и шестой абзацы) и 4) «О состоящем из трех субстанций и бо-
лее» (седьмой абзац). Восьмой абзац, в котором говорится о взве-
шивании, при котором в воде находится одна (а не обе) чаша весов,
у Хазпнн нс выделен и заголовка пе имеет. В нашем переводе за-
головки разделов опущены. После заголовка первого раздела Ха-
зпни говорит: «Имам Абу-л-Хафс (не Абу-л-Фатх, как обычно! —
Б. Р. и А. Ю.) Омар ибн Ибрагим Хайям сказал» и далее следует
текст Хайяма. После окончания текста Хайяма говорится: «Это мы
взяли из слов древних и позднейших [ученых] о водяных весах.
Окончилась четвертая книга». Текст готской рукописи обрывается
на середине третьего абзаца. Сравнение обеих рукописей, во мно-
гом совпадающих текстуально, показывает, что обе они копируют
один и тот же исходный текст Хайяма. Публикуемый перевод сделан
с текста Хазпнн за исключением упомянутых заголовков и одной
фразы, исправленной но готской рукописи (см. [п]).
Задача, рассматриваемая Хайямом в этом трактате,—классиче-
ская задача на смешение, решенная Архимедом по просьбе сиракуз-
ского царя Гиерона. В основе решения лежит открытый Архимедом
170
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А II. ЮШКЕВИЧ
закон гидростатики. Существует две версии о решении ее Архимедом.
Согласно Витрувию, римскому архитектору и инженеру времен
императора Августа, Архимед изготовил слитки из чистого золота
и из чистого серебра, имеющие тот же вес, что и сплав, и определил,
пользуясь полным до краев сосудом, вытесняемые всеми тремя слит-
ками объемы воды. Если данный вес сплава есть а, искомые веса
золота и серебра в нем х и у, а вытесняемые объемы воды суть соот-
ветственно v, vlt v2, то объем воды, вытесняемый имеющимся
в сплаве золотом, есть — v., а объем, вытесняемый имеющимся в спла-
а
вс серебром, есть — и2, и задача сводится к системе
л+у=а,
Согласно другому источнику Архимед определил веса всех трех
слитков в воде. Если обозначить потерн в весе сплава, золотого
слитка и серебряного слитка (т. е. веса вытесняемых ими объемов
воды) соответственно at, bj, b2, то задача сводится к системе
bix+b2y=aa),
причем ясно, что at: b1 : b2=v : v,: v2. В обоих случаях по суще-
ству используются удельные веса сплавов и металлов.
Решение Хайяма опирается на определение весов в воздухе
и в воде двух произвольных слитков чистого золота и чистого сере
бра. Интересно заметить, что в определении удельных весов различ-
ных тел ученые Средней Азии XI—XII вв достигли чрезвычайной
точности. Особенно это относится к уроженцу Хорезма Бирупп
(973—1048) и Хазпни, погрешность весов которого при взвешива-
нии 2,2 кг не превосходила 0,06 г.
2. Слова «а также возьмем чистое серебро и узнаем его вес
в воздухе» отсутствуют в готской рукописи.
3. Чертеж отсутствует в готской рукописи.
4. Вместо слов «поместим серебро в одну из чаш в воде, а в дру-
гую чашу—то, что уравновешивает это» в готской рукописи стоит
«возьмем серебро».
5. Слова «затем возьмем сплав и узнаем отношение его веса
в воздухе к его весу в воде» отсутствуют в готской рукописи.
6. Слова «если вес сплава в воздухе относится к его весу
в воде, как АВ и CD, причем ЛВ есть вес в воздухе» отсутствуют
в готской рукописи
7. Слова «в воде» и «в воздухе» над чертежом отсутствуют
в готской рукописи. У Хазпни этот чертеж повторяется на трех
листах.
8. См. Евклид, «Начала», кн. V, предл. 12 (т. I, стр. 158):
«Если несколько величин пропорциональны, то будет, что как одна
из предыдущих к одной пз последующих, так и все предыдущие
[вместе] ко всем последующим». У Хазпни вместо «Начала)
(У9 Ул)—«Стихи» (истиксат).
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРЕТЬЕМУ ТРАКТАТУ ХАЙЯМА
171
9 Решением Хайяма является объединение двух предложений
из «Данных» Евклида: предл. 23 (стр. 335): «Если отношение целого
к целому дано и отношения частей к частям даны, но не одинаковы,
отношения всех этих величин ко всем этим величинам известны»
и предл. 2 (стр. 305): «Если данная величина имеет данное отноше-
ние к другой величине, эта последняя величина известна».
10. Видеман в своих переводах обеих рукописей искажает
Хайяма, считая, что здесь и дальше Хайям перепутал слова «золо-
то» и «серебро» и «в воде» и «в воздухе» и «исправил» Хайяма. Виде-
ман исходит из предположения, что Хайям опускает в воду только
чашу с испытуемым телом. На самом деле здесь Хайям опускает
в воду обе чаши весов (о взвешивании, при котором опущена в воду
только одна чаша, Хайям говорит далее). Цифры, приведенные
Хайямом, дают возможность вычислить удельный вес металла, из
которого сделан разновес: если удельный вес золота, т. е. вес еди-
ницы объема золота в воздухе, равен 19,05, то вес единицы объема
золота в воде есть 18,05; если удельный вес разновеса х, то объем
разновеса, уравновешивающего единицу объема золота в воз-
19,05 ’ . п_ 19,05
духе, есть—-—, вес этого разновеса вводе есть 19,0а------—,
а вес разновеса, уравновешивающего единицу объема золота
в воде, по условию в 1,1 раза больше указанного веса, т е. ра-
л я Лп лк 19,05Х ялЛ.лл- 19,05
вен 1,1 (19,05-—— ], откуда получаем 1,1 ( 19,Оэ--—
= 18,05; 20,95-^^=18,05; 2,90 = ^-^;
X X
Точно так же если удельный нес серебра равен 10,3,
чаем 1,05 ( Ю,3-^^ = 9,3; 10,8-—=9,3;
\ X J X
10,8 __ m „
х=-т-р-=7,2. Таким образом, приведенные Хайямом
1 9 м
_20,95_
Х~ 2,90
мы пол\ -
1.5 = 1^;
X
цифры не-
противоречивы и соответствуют разновесу с удельным весом 7,2.
11. В готской рукописи вместо слов «и пусть его вес в воде
будет десять и три четверти» стоит: «и пусть его вес в воздухе
будет десять и три четверти, а его вес в воде будет десять».
12. Здесь обрывается готская рукопись.
Щ П ло шлп лл3 АЕ 1° ЕВ 10 II
13. ДаиоЛВ= t0,CD = 10p ?g=1), — По „острое-
ниш Ен АЕ 10 АН 10 _ __ ,,.3
Ю GD^'CG== П ’ откУда 11 СР=Ц ' Отс,ода’ так какС/5=1()4>
7
10-10^ 5
находим ЛЯ=^-2 = ^ = 9^ и НВ = АВ- АН = • С ДРУГО«
стороны,
НВ LB—EH ЕВ ЕН 10 10 5
GD~ GD ~GD GD~A0l/2 11“115»/2’
172
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
откуда
сп-ип. НВ- 5 5 _П51/2 Л
GD-HB • GD-22. • lW-~22~ = 54 ’
Л 10 _r
LB GDgd 54’1o1/2-J>
CG=CD -GD=10 j -5 7=5 *,
4 4 2
AE=AB— EB = 10-5 = 5.
14. Cm. p] к алгебраическому трактату Хайяма.
15. АЕ—х, EB=A0—x, CG=i~x,
Отсюда
11 3 111
102=1 2О’Ж=1О4 — 1 То'*’ ‘4=2б’‘С’ х==:у = ЛЕ'
EB = \G -z=5, CG = l~a:=5.5, GI) = 10 J-- 1 ~z=5-} .
10 2 4 10 4
16. Слово «субстанция» по-арабски «джоухар»,мп ч. «джава-
хпр», что означает также «драгоценный камень». Поэтому данный
абзац можно понять также как трактующий об определении веса
драгоценных камней в содержащих их телах.
КИРП к
НОВГОРОДЕЦ
УЧЕНИЕ НМЖЕ ВЕДАТП ЧЕЛОВЕКУ
ЧИСЛА ВСЕХ ЛЕТ
ФОТОКОПИЯ СОДЛПСКА РУКОПИСИ KHPIIK \ НОВГОРОДЦА
oy* *f« н»‘ Ал'тт аьд (ia'iл t
Ц*пел» шашни t'bmvскб~оя^€
/м л at а t л» а к w лл Уер с iхпа А рь. 6
И|»£Л<<НИ . Ai r
^Atf ro -f}OCfr'axZA*iAf4f(M . /И1£«0Л&
(<н7ГнбТв<^б . 'f. К . И .g^4
/Св'Ч54****Ггт,И/И*^® • илиаМ^ДА4^
* ИЛИг44НГ0<4&Д'0^£4ШИ в|^
vThti arfaAH ^t^AAj^ . -alatAtfa
^AArbAricridrв д** *гп£в( rrt бчмхТн^ЛНбГ^
,grn6A*4%A'tmrg f tlfS
\ ,
(Лист 342)
НАСТАВЛЕНИЕ, КАК ЧЕЛОВЕКУ ПОЗНАТЬ
СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ [I]1)
ПЕРЕВОД ТЕКСТА КПРПКА НОВГОРОДЦА
1. Бог изначально сотворил небо и землю и всю
видимую тварь, с той поры [считаем] до настоящего
времени 6644 года2).
2. Знание3) количества месяцев. От начала со-
творения сего мира до настоящего времени прошло
календарных месяцев 79 7284). Если хочешь сосчи-
тать месяцы от Адама до настоящего времени или
до какого времени хочешь, то считай по 12 месяцев
в каждом году.
3. Учение о счислении недель. От Адама в том же
количестве лет в 6644 годах содержится 346 673 не-
дели 5)
1 Цифрами в прямых скобках отмечены примечания,
помещенные на стр. 192—195.
2) В тексте рукописи 6640: см. [®1.
3) Перевод с Соф.: «ведание».
4) Соф.: 9728 (в буквенном начертании).
5) Соф.: «в толпцех летах [...] 50 педели и 3 дни*.
(Л ист 342)
176
КНРПК НОВГОРОДЕЦ
ил лис г* ллУЧиаК

ИИ
<С4>АИ<саи вСггтб
1<оСГЛЛП,^‘О . ^дчглИп^Жл^ла
пи ш ил<1<^й
, И rtff ИЛ
ujи rrfJArztf с^4гти сД .
НАСТАВЛЕНИЕ, КАК ЧЕЛОВЕКУ ПОЗНАТЬ СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ |77
и 3 дня. И пусть будет известно желающему, как
следует определить количество недель, что в од-
ном году 52 педели и одни день и четверть дня,
а через четыре года из этой четверти получается
одпн день; сначала сочти ’) недели во всех годах,
а также лишние дни, также и четверто и рассчи-
тай2) [их] по 7 дней па педелю и прибавь ко всему
числу. II, таким образом, правильно получится
искомое.
4. Как узнать количество дней. Да будет извест-
но, что в том же количестве лет—2 426 721 день3).
А если хочешь знать, сколько дней до настоящего
дня или до какого-либо, считай сначала по 300
п по 60 и по о дней в году. II когда сложишь все
это количество, сочти еще, сколько у тебя висо-
косных дней, п прибавь их ко всем [ранее получен-
ным] дням; таким образом ты можешь правильно
высчитать.
5. Исследование [количества] часов. От Адама
*) Соф.: «пзочти».
2) Соф.: «розочтп».
3) Соф.: «исследи 20 и 426 721>> (цифры в буквенном на-
чертании).
(Л ист 342 иб.)
12
Историко-магем. исследования
17Я
К111*11 К Н<11*. ГО Р ОД Е11
ко та

gAGrrrb таном MM^Vtu^rtaAAAAoy
<A)K^utcm(L t pd^aAAOE'GyflM
ИК^ККгЛ^МЛГгп Д £crt6A4tjчллк Cf Б|Н»
аед'О^итпь^о . ft . AfkiArtAftbtMaema
0

f«, ^аЧтоти(Л И7£?Л*^ПА «вм*£
^нл* raicf/Yr'A . спогли<^гт*д .
4д|/4.Д.ТП4 . Д ,Д1^4/1И^Х2^Л<^ТП«^До
g^nrn а^а а ?оу|^«тпли н^4 и<тЛ.
AtfJtAH. gt . т ати^стб. 7?£(н/у|С
C/ATTif . иГТД(<6(Ндчни СОГТО/ЗХГДГ^4
"tffhAt . МДДДЛ^
(. I ист 343)
ОСТАВЛЕНИЕ, К\К ЧЕЛОВЕКУ ПОЗНАТЬ СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ
в том же количестве .чет 29 120 652 часа, кро-
ме *) ночных. Те мудрецы [3] или любители рас-
четов, или риторы, которые хотят это усвоить,
пусть знают, что во дне 12 часов. Так образуются
недели, месяцы и годы. Ведь понемногу создается
город и делается большим, так и знание понемногу
растет.
6. А вот наставление об индикте I4]. Да будет
известно, что индикт начинается сентябрем меся-
цем, доходит до 15 лет и опять начинается: 15 лет—
это круг индикта. Если хочешь узнать, который
идет год индикта, раздели все годы от начала мира
на 15 и сколько .чет последнего круга останется,
столько будет лет индикта; если один, то первый
год; если два года, то второй год индикта, если же 15,
то пятнадцатый, и опять начинай с первого. А тех
кругов прошло * 2) от Адама
4) Соф.: «200 исподни п 90 иевсдни в 120 602 часа».
2) Соф.: «пзъшло».
(Л и с т 343)
КНРПК НОВГОРОДЕЦ
и^БЫпа^гпь , 1<длс0л4оякетба£
f(Tt6MNYM6(. <Э • MfWt wrtfl'A
гтшелычнАгаифУгА .tamaaafAev
eaA^rna - (гга^^иш^лш uluihlu
фЧАЛ^АЛКрА) .ПО . t<"
fjAitorn6. ки.
т<^м^|пзркитигт1'&>м<?«{<т1и ГГ*Ц'^
наГИ/и^и. Л1|Х4см^И1*ол^гпом^У
А. <с т г jA. m л т м ^7__ .гт~ »
{/AM* . t . A
ИШьАОи) A
нж1(аХ'гд.и
j tiro н tA&fk ntotmn . коat>flAnim(co
4 .^HhAAya rf нпл^Д наггпа 4m 6
(Л пгт 343 об.)
(ЛСТАВЛЕПНЕ. КАК ЧЕЛОВЕКУ ПОЗНАТЬ СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ ]81
ю настоящего 6644 года 142, а последнего индикта
протекает 14-й год.
7. Как можно познать солнечный круг [5]. Знай,
чго солнечный круг начинается в первый день ок-
тября месяца, он продолжается с 1-го [года] до
28-го и вновь начинается с первого. Если же
захочешь найти какой-либо год солнечного круга,
который ищешь, то раздели все годы от начала
мира па 28 и то число, которое останется, меньше
28-ми, его и возьми. При помощи его и вычисляй
пасху и все месяцы. Ес ш в остатке один год, то это
первый год, если два, то второй, если 28, то два-
дцать восьмой. От Адама прошло 237 солнечных
кругов, а последнего круга идет восьмой год, при
помощи пего я определил пасху в этом 6644 году.
8. Как можно узнать круг лунный [с]. II этого
нельзя пе знать: знай, какой год лунного круга
приходится на первый день января месяца Лун-
ный же круг в каждом году продолжается от пер-
вого [года] до 19-го, п опять
(Л и с т 343 об.)
182
КПРИК НОВГОРОДЕЦ
Д4ТЛГА . К« . А . гаКАЧНН^
ИНЫМ О . FrpSKOOfJ 1ШИ
С1САл4гпИ '. сО^ЧДААтпПЦ^ и tx ft rd
ЛЛИ^А . lid-А**С4и^ж2^4£П*
/vt€Hf .J^l . TTT0ГПИ^л4'ГГГ«дУнН4«^
ГА .или. А <или ^ГПЛ^аб-
^Д-Ь.ИЛИ.^1 MnA«6«CV. Л-. Г0Я4
ННЫ

Нма rant t<алан нУл0 . лг% Аг *м
rnbtrdfj^/и ябА'Ео'ЬнбС 71b ^ин^.
it/a^ndiiAfniHHcT'l,
вm tAZA • « • A*fr<n*I , 44 fern 6 гтт< П0
Ц/Л-ГЛ1(?9 , . ДГЬТПА , м»74Л44<
Н £ ПС *40ПА €Н/И< СЛ4ЛМпД«6ГЛ41
Т-’ ~*Гг
НО п Л/А 4 ГП^ЛА^4 ./М . Л^ ,^.4 гг^угто
к^алп<кхтдли1^лг#. 5*. ^L. Q
(Л ист 344)
4(
НАСТАВЛЕНИЕ, как человеку познать СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ 183
возвращается и начинается с первого Если же хочешь
найти лунный круг, который ищешь, раздели все
годы от начала мира на 19; а если будет мень-
ше 19, то эго и есть год лунного круга; если
[останется] один, то первый год, или второй, если
два, или 19, то [девятнадцатый и] опять начинает-
ся с первого. От Адама до настоящего времени
четыреста лунных кругов без одного, а последнего
круга идет 13-й год. При помощи его я определил
пасху настоящего 6644 года.
9. О веках мира [7]. От Адама до настоящего
года минуло 6 веков, а седьмого века минуло
644 года. Тысяча лет составляет один век.
10. Об обновлении [8] неба. Небо обновляется
через 80 лет. Таких обновлений от Адама до 6644 го-
да—83. От последнего обновления протекло 4 года.
11. О земном обновлении. Земля обновляется
через 40 лет Таких обновлений в том же количе-
стве лет было 166,
(Л ист 344)
184
КНРПК НОВГОРОДЕЦ
Д1
А А ^т(А
и . ^гпали
iHtA^Afb . 0 - И
ЛдК<Н1 А6Н<А a^tiAA • Р*
nAHttvS&rttxiAA tirrtA
А'
ъ
ЛЪмгГК^елГЗкЫpA&vrtbttA .^.. тггхи
. х _. . - 1 . _____

. й< . А rnff^TniAHA^^tA
S/
$СТТЫ<0АН*< ЙЛ1
F'fecTo
. «6
НИЛ₽Нб»/иЧ1£«0б - П*
UcK<>^VHrnb ш-лУн^з ft
А^Ь JT.AH6 .Ивг«д/и7кАЧ?5в<;
(Л и с т£344 об )
НАСТАВЛЕНИЕ, КАК ЧЕЛОВЕКУ ПОЗНАТЬ СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ 185
а от последнего обновления прошло 4 года.
12. На каком году обновляется море. Морс
обновляется через 60 лет. Таких обновлений в том же
количестве лет было ПО, от последнего обновления
прошло 44 года.
13. Обновление воды. Воды обновляются через
70 лет. Таких обновлений было от Адама до настоя-
щего времени 94 и еще остается 64 [года].
14. О високосных годах. Високосный год бывает
на 4-й год. Таких високосных лет было от Адама
1660 и еще один год, високосный, нынешний.
15. О большом круге [°]. Большой же круг
содержит 532 года. Таких кругов от Адама ми-
нуло 12, а 13-го прошло 260 лег.
16. Сообщается, сколько месяцев в году. Да
будет известно, что в одном году 12 календар-
ных [10] месяцев, а небесных лунных месяцев 12
п 11 дней 13-й лупы. II из этих дней на чствер-
(Л и с т 344 об.)
186
КИРПК НОВГОРОДЕЦ
V
|>mo^ . г?.
Агтл. . н\к . t mtf m « А а~£ал у6 - гч.
A4i£M ГС N И CV TOfr о 1*0 fl 4 и <л> S, <
£tib л (£nai<&• га jcza ^р1(али~ггль тзл£гп*&.
^kfl4M6b&yrauaa*bA*% . сб^иьаллгь
К$АЬ . Н(Ь . И й)^й«<5ДНбИ4<4ХСу€
АЛ'Im Mt«CrndM J, . И 4ХГП 0 »А . йГ тД
H/t*/47ll£ |f П1О v A'trnO . IT **•
с*у^,ин<5 , ис(ке77к*1»Гж
ttTKt HA^V'tA
’' •»•» л. ’• tr ^.,
СгтЬгХА^ЬтпЪ , curi0|^A^0А .^М<и.
m. f . J KA A&WA afHXtfrZrfi.
^nn((((iS(TUt{(iii^6iuai^l ^.л^.
. Д ACt*tA ttxinoa'bfla'b'
ал^мТвпшцд^ ntaanis^HtioM. rt
Tt^rrr^ . тп . n n ’r.'tatht. aati»>
l^Ztrrt би И <?0 •
g<Mjar^0Ar0rne»<^'sn0irrt^Ar0 .mr<0
а^дНй w^mh0ai/s . at. $сгпь¥асц.Л
«пА«бж?«йан01^и«
Си^^пию^лл/злт
66Л14ЬЩЛА1'Л . И|*0-гПАц> иа^'З л Ы«Н2Г
Ml
л I
к
•Ч
^•*(4 ОЪ[>*$Ш(АЛГ& .
хньур . ^сА^гиПгУ^Тн^^•
<П0ЛНАЛ) . в/.й’глед^нбй'^л’ Н<Г«Г
(Лист 345)
jj ХСТЛВЛЕН II Е. К ЛК ЧЕЛОВЕКУ ПОЗНАТЬ СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ 187
тын год получается 13-я луна; в месяце насчиты-
вается 4 недели, от года до года проходит 13 [лун-
ных] месяцев и 1 день.
17. Вновь сообщается, сколько недель в году.
Да будет известно, что в одном году 52 недели
и 1 день, называемый нндпктой, и 6 часов. Эти
6 часов через четыре года дают 1 день, называемый
високосным
18. Сообщается, сколько диен в году. В каждом
году 365 диен и иа каждый 4-й год прибавляют
одни день високосный. В каждый 4-й год бывает
366 дней.
19. Это извещается о часах. Да будет известно,
что в одном году дневных часов 4383 и ночных
столько же.
20. О количестве часов в одном дне. Все знают,
н я сообщу, что в (.дном дне 12 часов и в ночи
столько же.
21111]. О дробных часах каждого дня Это же
пишем для любителей мудрости и для желающих
все хорошо усвоить, о так называемых дробных;
как будет их 60, они составят день, так как во дне
12 часов, а в
’) Соф.: «ко..л ко».
(Лист 345)
188
ЬИГКК НОВГОРОДЕЦ
кв
1<г
'V
ice
не
. e ^dOE’Hht. гпцкакно.ч-
- 54Г * !*• ,f| -X>
пО'^&А*6^аБнъл*1 .Г^а(( еттбй^
m ' и гтх^ггга^^
КН6« . t grrraffbt
ф^ЛЕКЫ .^A£tlt>
afyfiK .^Г, t '“рпнц^спмгкч
fl flOEt<hiJ(*b . пгъгтхръ rrr«V/vl'30.^aff
гНлдегпл tea .'t . л £ < ntluaZfluи,
Z • ГПЫт(ф^6ЕНЬ1 uL
fifOEtlCAVb . 7 . FCTH6M По^^и ,
(£) , UJt (mfaIP*Q
Ень* O'b'Te~'*ia*i'bf^(f*Et<tsri'3 .
icrrtk^^aa^HH . Cat. .^,
J UJt tmbiYmtad^rJMrn/ATtiilHAi)11 вк.я
tt^SutEhl HA> firn bd&cw fflifA9KA/aT^
TT'- a -tfl . ’ <*7.
CUt^htfifOGUbt . g*SCrnO«tt*€f<6
rxi «о чи ova fи л и tA ни гТушЛ^
а%А*п&.^Х-м.^
m. Нб
(Лист 345 об.)
н ОСТАВЛЕНИЕ, КАК ЧЕЛОВЕКУ ПОЗНАТЬ СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ 189
каждом часе о дробных [часов], также и ночью.
22. Вторых же дробных в одном первом дроб-
ном [часе] 5, а во дне их 300.
23. Также и третьих дробных в одном втором
дробном часе 5. А во дно их 1 50и.
24. Четвертых же дробных в третьем дробном
также 5, а во дне их 7 500г).
25. Пятых же дробных в четвертом дробном 5,
а во дне их 37 500.
26. Шестых же дробных в пятом дробном—опять-
таки 5, а во дне их 187 500.
27. Пз шестых дробных получаются седьмые
дробные, пз одного 5. Л седьмых дробных часиков
в одном дне 937 500, столько же и в ночи.
Больше же этого не бывает, то-ссть от седьмых
дробных ничего не получается.
Да будет известно, что это исчисление написано
в 6644 году от Адама, а до 7-й тысячи осталось
356 лет; 14-й год индикта 8-й год солнечного круга
и 13-й лунного. Тот
9 В рукописи 7000.
(Л и с т 345 об.)
1У0
Kill’ll I.’ НОВГОРОДЕЦ
A'ktn'tunHtflCO . £7ЛШ« F'bt .пл.
e'hjAn . як? и . . г<4 . а к f
«В. . Кл>«£*<6М0 . ДС^И. П^4
^ЯДКАИ . ДП«тП^0^гГбв.Г10Г<*А • Я
нан-ттЬ . аыш%»«вгд
таилН1л/<%ггпойh»naf ть . носиеег^
гп4<<0 суяр^сг^б гадмлд}
вгл <V»< от ол d. tlgat^
6
м enir'bf a irt^ . прмл^ун г рФ
'Г«с<п«аа7|£мн4' . г«н$п>ок« с ГПйГЛЦ
адгг СнХА/агодК'. кл» Леи и яс и о ау
tiitAti^jatr'adaAd . a3L . ai*. a
п^доияи
и t п п*£?м « н
п*в . . X/vcfttfa? * m . л< . дмд4.
<л .j|. Time дико я?< .
(J ист З'Н»)
НАСТАВЛЕНИЕ. КАК ЧЕЛиВЕКХ ПОЗНАТЬ СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ Ц||
год'был високосный. Еврейская пасха была 21-го мар-
та, а*круг марта 22-й [12]. Благовещенье было вереду
на пасхальной неделе, а Петров день был в по-
недельник. Пост продолжался 6 педель. Раньше
этого пасха не бывает. Так бывает редко, но
от настоящего года черс! 248 ют бу щт также,
если господь в своем милосердии до тех пор сохра-
нит мир.
Писал же в Воликом Новгороде я, грешный
монах I13] Антонова [монастыря! Кирик дьякон,
регент [14] церкви святой богородицы при греческом
царе Иоанне и прн князе Стос шве, сыне Олега [151
в первый год его княжения, в Новгороде, а от роду
в тридцатый (да продлит господь ему года).
И еще при архиепископе новгородском бого-
любивом Нифонте. А от рождения моего до настоя-
щего времени 26 лет, а месяцев 312, а недель I 354,
а дней 9 500 без 3-х дней [т. е. 94971, а часов 113 960
и столько же полных [1в].
(. I и с г 346)
ПРИМЕЧАНИЯ К «НАСТАВЛЕНИЮ,
К ХК ЧЕЛОВЕКУ ПОЗНАТЬ СЧИСЛЕНИЕ ЛЕТ»
КНРИКА НОВГОРОДЦА
В. П. Зубов
1. Внимание исследователей уже нс раз привлекала фигура
русского ученого XII века Кнрика, единственного известного
нам по имени математика-астронома киевского периода, автора
сочинения о календаре. Нельзя, однако, сказать, что деятельность
Кнрика до настоящею времени освещена исчерпывающим образом.
О Кнрнкс писали: Е в г е и и и Б о л \ о в и т и и о в, «Сведения
о Кнрнкс, предлагавшем вопросы Нифонту, епископу Новгород-
скому» («Труды и летописи Общества истории и древностей россий-
ских», 1828, ч. 4, кн. I, стр. 122—129); X а в с к и и П., «Примеча-
ния на русские хронологические вычисления XII пека» («Чтения п
Обществе истории и древностей российских», 1847, кн. 6 (10), отд. 4.
стр. 25—40; этот журнал обозначается дальше сокращенно ЧОИДР);
Боб ы и и н В В., «Состояние математических знаний в России
до XVI в.» («Журнал министерства народного просвещения»,
1884, ч. 232, апрель, стр. 183—209; на стр. 185—191), Степа
нов II. В , «Заметка о хронологической статье Кнрика» («Изве
стня отделения русского языка и словесности Академии Наук»,
1910, 15, кн. 3, стр. 129—150); Райнов Т. II., «Паука в Рос-
сии XI—XVII веков» (М.—Л., 1940, стр. 104—106, 187—188 и 477);
Гнеденко Б, В., «Очерки по истории математики в России»
(М.—Л., 1946, стр. 13—15); 10 ш к свич А. П., «Математика и ее
преподавание в России Х\ II—XIX вв.» («Математика в школе»,
1947, № 1, стр. 29—30).
О биографии Кнрика известно немного. Он родился в 1110 г .
жил в Новгороде и 26-ти лет, в 113G г.1), написал сочинение, которое
г) В трудах о Кирико, как правило, дата написания его сочи-
нения относится к 1134 г., а годом его рождения считается 1108 г.
Как видно из всего текста «Учения» Кнрика, эти даты следует
заменить на 1136 и 1110 гг. (см (2|). На это обратил наше внимание
А. II. Юшкевич.
ПРИМЕЧАНИЯ К ТЕКСТУ КИРИН \ НОВГОРОДЦА
193
в рукописи озагланлено «Кирпка диакона и доместика *) Новгород-
ского Антониева монастыря учение пмже ведан i человеку числа
всех лет».
Кнрпк был близок ко двору новгородскою епископа Нифонта
в участвовал в составлении 1-й Новгородской ictoiuicii. содержащей
несколько точных, со знанием дела составленных записей об астро-
номических явлениях. Указывают па запись иод 6644 (1136) годом:
«Прпиде Новугороду князь Святослав... месяца июля в 19 день,
преже 14 калапда августа, в неделю | воскресенье], на собор снятых
Ехфпмне, в 3 час дне, а луне пебеспеи в 19 день». См. Ст е и а-
н*о в Н. В . «Единицы счета времени (до .XI11 в.) по Лаврентьевской
и 1-й Новгородской летописям» (ЧОНДР, 1909, стр. 37—38).
Приведенный текст летописи дан по старшему изводу. (См. «Новго-
родская первая летопись старинно и младшего изводов», М.—Л.,
1950, стр 24). Болезненный от рождения, он, невидимому, умер
в молодые годы. «Худ бо семь и болен»,—говорил о себе Кирин
(«Вопрошания Нифонту», в кп.: «Русская историческая библиоте-
ка», 6, СПб., 1880, столб. 25).
Текст сочинения Кирпка был впервые опубликован в 1828 г.
Евгением Болховитиновым в указанной выше статье но неполному
списку Новгородской Софийской библиотеки № 475. В Государ-
ственной библиотеке имени В. П Ленина в Москве пахо щтся руко-
писный список Рум. 35 начала XIX века, совпадающий со списком,
опубликованным Евгением Болховитиновым. (См. «Описание рус-
ских и словенских рукописен Румянцевскою музеума», составленное
А. X. Востоковым, СПб., стр. 39). Сведения о более полном списке
№ 76 из Погодинского собрания (ныне находящегося в I осу дарствен-
ной публичной библиотеке им. Салтыкова-Щедрина в Ленинграде)
впервые дал В. В. Бобынин. Этот сборник’ Л? 76, относящийся
к началу Х\ I века, содержит 27 параграфов (£§ 19—27 отсутствуют
в Софийском списке)'). Текст сочинения Кирпка занимает листы
342—346 Погодинской рукописи3) (но верхней нумерации).
Сочинение Кирпка переписывалось вплоть до Х\Ш века,
свидетельством чему служит старообрядческой сборник, хранящий-
ся в Центральном государственном архиве древних актов (фонд 196,
собрание Мазурина А; 1069, л. 115 об.—116 об.: «У чепие пмже ведати
человеку числа всех лет»). Правда, текст здесь неполный. Он кон-
чается словами: «Да аще которпп промузгн хотят и сему навыкну ти
или числолюбцы н рпторп, да ведают, яко 12 часа есть во дни, та же
и недели сочти», т. е. кончается на § 5.
*) (Доместик» пли «уставщик»—регент (запевала) хора.
) Б о б ы и и и, цпт. соч., стр 190—191. Бобынин поправ,
утверждая, что в 25 и 27 приведены ошибочные цифры: 7500
вместо 37 500 и 907 500 вместо 937 500. Цифры в Погодинском
списке указаны правильно. Ошибочно лишь указание 7000 (вме-
сто 7500) в § 24.
) Напечатан в «Хрестоматии но истории древнерусского языка»,
составленной С. П. Обнорским и С. Г. Бархударовым, М.—Л.,
1 мЬ2«
13
Историко-матсм. исследования
194
В. П. ЗУБОВ
В основу перевода рукописи положен текст Погодинского спи-
ска № 76, приводимого в фотокопиях. Разночтения с другими спи
скамн малосущественны, они даются в подстрочных примечаниях
(текст Софийского списка обозначается сокращенно: Соф.).
В своих вычислениях Кпрпк основывался на древнерусской
(византийской) эре, согласно которой счет лет велся от «сотворения
мира». От «сотворения мира» до начала нашей эры считалось
5508 лет. Так как в тексте речь идет лишь о днях, относящихся
к периоду от марта до сентября, .то в данном случае можно не
принимать во внимание разницу между так называемыми мартов-
ским и сентябрьским счетами (о них см. Черепнин Л. В.,
Русская хронология, М., 1944, стр. 26—29).
В перево в текста славянская буквенная нумерация заменена
современной цифровой. Напомним, что буква в кружке означает
десятки тысяч «тьмы», например @ = 10 000—тьма, а буква, окру-
женная пунктиром,—сотни тысяч, например =100 000=легион.
(Кирпк вместо этого более распространенного в позднейшей лите-
ратуре термина пользуется термином «несведп»; ср , например,
§ 4: нссведи и , т. е. 2 400 000.)
В прямых скобках [ ] памп даются слова, необходимые для
понимания текста. Подготовка текста к печати, сличение списков
и перевод ру копией произведены Т. II. Коншиной и В II. Зубовым.
Г. II Коншиной обнаружен и список Мазу ронского собрания в Цен-
тральном государственном архиве древних актов.
2. Исправление цифры 6640, указываемой в рукописи, на 6644
диктуется всеми дальнейшими вычислениями и указаниями. Ср.,
например, § 6: «до сего лета 6640 четвертого». Вот почему неправы
тс исследователи, которые датировали сочинение не 1136 (6644—
5508=1136), а 1134. Соответственно и год рождения Кпрпка (кото-
рому в момент написания труда было 26 лет, см § 27) будет не 1108,
а 1110. Год 1136 находится в большем согласии и с упоминанием
о князе Святославе в § 27. См. [13J.
3. В рукописи «иромузгы». Точное значение этого слова не
известно; мы условно перевели «мудрецы». В словаре древнерус-
ского языка II II Срезневского слово оставлено без объяснения со
ссылкой на употребление его только в труде Кпрпка
1. «Индикт»—пятпадцатплетппй период. Счет по пятнадцати-
летиям ведет начало от римских переписей населения, производив-
шихся одни раз в 15 .лет. К нам он перешел пз Византии.
5. «Солнечный круг»—период в 28 лет, по прошествии которых
новый год в юлианском календаре приходится па тот же день недели.
6. «Круг л ппый»—период в 19 лет, по прошествии которых
у иные фазы приходятся на тс же дни (числа месяца) юлианского
календаря.
7. Под «веком», как явствует пз контекста, понимается тыся-
челетие.
8 В §§ 10—13 говорится о «поновлении» или «обновлении) неба,
ПРИМЕЧАНИЯ К ТЕКСТУ КИРИК к НОВГОРОДЦА
195
земли, моря и воды, происходящих в периоды 80, 40, 60 и 70 лет.
Какие-либо аналогии этим периодам в античной и средневековой
литературе нам не известны.
9. Великий круг, или великий индпктпон,—период в 532 года,
п0 прошествии которого лунные фазы приходятся не только на те
я?е дни (числа месяца) юлианского календаря, по и на те же дни
педели. Число 532 получается путем перемножения 28 (число лет
солнечного круга) и 19 (число лет лунного круга). Ио прошествии
532 лет день пасхи (празднуемой в первое воскресенье после весен-
него полнолуния) приходится, следовательно, на то же число меся-
ца, „ дальнейшее передвижение его но числам календаря совершаст-
ся'в том же самом порядке, но тем же числам календаря, что и в пре-
дыдущем «великом круге».
10. В рукописи «книжных». Под «кппжпымн месяцами» Кпрпк,
видимо, понимает месяцы юлианского календаря, (ср. § 2). Если же
считать месяц в 4 педели, говорит он, то в году будет 13 месяцев
и один день (28x13+1=365).
И. О §§ 21—27 см. статью В. П. Зубова, помешенную в настоя-
щем сборнике па стр. 196—212.
12. Пасха в 1136 г. действительно была 22 марта. Это—пре-
дельно ранний срок ее, на что указывает и Кпрпк («выше того не
восходит»). Он отмечает вместе с тем, что «за 248 .лет також будет».
Если понимать эти слова как «через 248 .тот», то мы получим 6644 (-
+248=6892 г., который соответствует 1384 г. и. э. По па самом деле
пасха вновь была 22 марта в 1383 г. (см. Черс н и и, и цит.
соч., стр. 61). Поэтому возможно, что Кпрпк имел в виду 248 год,
считая первым 1136.
13. В рукописи «калуге})». «Калугер» пли «калогер»—греческое
слово, обозначающее инока, монаха (из старших).
14. В рукописи «доместик»—регент хора.
15. Отослав сын Ольгов—Святослав Ольговнч—князь черни-
говский. В 1136 г. новгоро цы пригласили его в князья, но ему но
удалось утвердиться в Новгороде. Ср. цитату из летописи в р].
16. В числах здесь не все ясно. Число месяцев 312 = 26X12,
число же недель указано неверно 1354, причем за этим еще идет
непонятное слово: дни («а недель 1354 дни»). Деление далее указы-
ваемого числа дней 9497 на 7 дает 1356 недель и в остатке 5 дней.
Так как полные пятые сутки еще не прошли, то, видимо, Кпрпк счи-
тал лишь полные 4 дня. Тогда вместо непонятного «педель 1354 дни»
следовало бы читать «недель 135(6 п] 4 дни». Умножение 9496 дней
яа 12 дает 113 952 часа. Кпрпк указывает 113 960.
Можно понимать это так, что к моменту написания текста про-
шло лишь 8 часов следующего, 9497-го дня. По тогда непонятно
Дальнейшее указание, что ночных часов прошло «толикоже», т. е.
столько же. Если же число часов 113 960 исправить на 113 964,
Тогда отпадет паша конъектура о числе педель, ибо окажется, что
Ирик считает только полные сутки. Ошибки в цифрах 4 и 5 при
Славянском начертании (Дне) малоправдоподобны. Не являют-
Ся ли слова «а нощных толикоже» добавлением переписчика?^
13*
КНРПК НОВГОРОДЕЦ II ДРЕВНЕРУССКИЕ
ДЕЛЕНИЯ ЧАСА
В. П. •iyoon
Предметом нашего рассмотрения является отрывок из
помещенного выше прощшедення Кпрпка, посвященный
дробным делениям часа (§§ 21 27). Кпрпк утверждал,
что час делится на 5 «первых [ровных часа», которые
в свою очередь деля гея каждая на 5 «вторых дробных»
и т. д., вплоть до «седьмых дробных», каковых в часе
оказывается, следовательно, /8125. «Бо.теже сего по бы-
вает, рскше не ража юте я от седьмых дробных»,—заявлял
в своем произведении Кпрпк.
Исследователи обычно толковали упомянутые вычис-
ления как плод отвлеченного «чис юлюбия»г). Пишущий
эти строки предложи I в 1947 г. иное объяснение, которое
в основном (с некоторыми поправками) представляется
ему вероятным и теперь2). Оно заключается в следующем.
*) Например, ('. т он а и о в II. В., Заметка о хронологической
статье Кпрпка, «Известия отделения русского языка и словесности
\ка [емни Наук», 1910, 15, кн. 3, стр. 136—137.
Т. Н. Р a й н о в (Наука в России XI—Х\ II веков, М.—Л., ВИО,
стр. 187—188) говорил в связи с Кнриком о «математическом инте-
ресе, остававшемся как бы оторванным от реальной действительно-
сти и являвшемся в значительной мерс как бы игрой для единичных
..чнс.10.нобцсв“'>. Игра эта, по Раннову, «вырастала, конечно, на поч-
ве практического интереса к числу и мере, но не находила себе доста-
точно нищи в практически необходимых количественных операциях».
-) Зубов В. И., Нз истории средневековой атомистики»
«Труды Института истории естествознания Академии наук 3CCI »,
М.—Л., 1947, 1, стр. 289—290.
ИИРИКНОВГОРОДЕЦПДГЕВНКРУССКИЕ ДЕЛЕНИЯ ЧАСА 1 $)7
Потребность в «дробных часа» и необходимость остано-
ви ься на «седьмых дробных» появляется в случае делс-
нпя определенных чисел на 19. Такое деление оказы-
вается нужным при операциях, основанных на метоно-
вом цикле 19(3=235.1, где С—солнечный год и Л—лун-
ный месяц. Можно принимать за исходную величину 19С
И отсюда определять величину Л (так поступали, как мы
увидим дальше, составители западноевропейских кален-
дарей, делившие 19 юлианских лет, т. е. 69393 t суток
на 23э) Можно, наоборот, принимать за исходное 235Л
и отсюда определять С. Так видимо поступи i Кнрпк, на-
считывая в 235 лунных месяцах полное чпс ю суток, а
именно 6940 1).
Деля 6940 на 19, т. о. определяя С, мы получаем
365 дней (суток) и в остатке 5. Отот остаток обращаем
в часы, т е. умножаем на 24 и делим нроизве (ейне 120 на
19. Остаток 6 обращаем в «первые дробные» (6x5) и 30
«первых дробных» де шм на 19. Имеем одну «первую дроб-
ную» и в остатке 11. Продолжая действовать таким же
образом и далее, Кнрпк доходил до «шестых дробных»,
получая в остатке 4. Обратив этот остаток в «седьмые дроб-
ные» (4 X 5) и разделив на 19, он получил в остатке 1 и стал
втупик: умножение на 5 не позволяло продолжать дальше
операцию деления па 19. На тех же «седьмых дробных»
приходилось ему останавливаться if при других опера-
циях, например, когда он делил на 19 разность в 1 4 суток
между 19 юлианскими годами (69393 4 суток) и ближайшим
целым числом суток 6940. Как бы то пи было, такие и по-
добные им вычисления давали ему повод заявлять «Боле-
же не ражается от седьмых дробных». Следовательно,
«Дробные часы» у Кирпка были не игрой отвлеченного
«чпслолюбпя», а практическим средством календарного
счета.
Счет ни 1/5, 1/.,5 и т. д. не имеет аналогов ни в западио-
европе 1СКПХ трактатах о вычислении календаря («комна-
тах»), ни, насколько мне известно, в восточных те-
кстах. Невидимому, это оригинальное русское деление. Во
. 9 Величина лунного месяца в этом случае раина 29,532 суток
(вместо 29,5306).
198
В. П. ЗУБОВ
всяком случае, в позднейших рукописях оно именуется
таковым. Так, в рукописи XVII века Л» 450 из собрания
В. М. У идольского 9 па листе 17 читаем:
«О году рассказ но русски и о нсделех и часех дробных.
Год 52 недели, нед тя 7 дней, день 24 часа, час 5 дробных.
В другом дробном третьих 5 часов дробных. В третьих дробных
четвертых 5 часов сробных. В пятых дробных шестых 5 часов
дробных, [в шестых] 5 часец седьмых дробных».
II дальше:
«О считанпи в году. О днях и неде.тех и часех дробных
ио русским лунникам п ерусалимскпм* 2). Считан енце. От седь
мых малых дробных часцов от 5 станет одни шестой дробной.
\ от шестых от 5 станет одни ня гой дробной, а от пятых дроб
пых от 5 часов станет одни четвертый час дробной, а от
четвертых дробных от 5 часов станет одни третей час дроб-
ной, а от трети нх дробных от 5 часов станет другой один
час дробной, а от других дробных от 5 часов станет одни
первый час дробной, а от первых дробных 5 часов станет
один час большей, а тех 5 часов, то станет день великой,
а 7 день—неделя, а 52 недели станет год»3).
*) Ценнейшее собрание В. М. У идольского(1815—1864) находит
ся в настоящее время в Библиотеке имени В. 11. Ленина. Ойо осо
бенио богато рукописями математического и астрономического содер-
жания. Владелец собрания интересовался этими вопросами в связи
со своими занятиями хронологией древнерусских летописей. Более
подробные сведения о цитируемых мною рукописях содержатся
в печатном описании: Славяно-русские рукописи В. М. У вдоль
ского, описанные самим составителем и бывшим владельцем собра
нпя с номера 1-го по 579-й. С приложением очерка собрания рукопи-
сей В. М. У идольского в полном составе [иапнеаппого А. Е. Вик
торовым], М., 1870. Указанное описание дало повод к статье
В. О. К лючевско го «Рукописная библиотека В. М. У вдоль
ского» («Православное обозрение», 1870, 1, № 5, стр. 872—894).
Некоторые рукописи из собрания В. М. N идольского были иссле-
дованы В. 13. Бобыниным в его работах по истории древнерус-
ской математики.
2) Указание на «ерусалнмскис* лунники относится к дальней-
шему тексту, нс приводимому нами.
3) Только что приведенный текст имеется и в «Статье о весах
и о мерах Московского государства земли русской» (Рукопись Биб-
лиотеки имени В. 11. Ленина, муз. № 932, л. 49, об. 50, XVII века),
а в рукописи Унд. A? G81 (первая половина XVII века предваряет-
НИРИК НОВГОРОДЕЦ И ДРЕВНЕРУССКИЕ ДЕЛЕНИЯ ЧАСА Ц)!)
Из сказанного явствует, что деление часа, применяв-
шееся Кириком, не было забыто и имело распространение
на Руси и в последующие века. Я уже сказал, что оно ие
было простой арифметической игрой С гораздо большим
основанием характеристика «отвлеченное числолюбие»
приложима к некоторым упражнениям западноевропей-
ских средневековых компутистов—авторов сочинений о
«компуте». Они не ограничивались указанием, что 1 час.
содержит 22560 «атомов» времени, а указывали, что в су г-
ках таких атомов содержится 541440, в одном «знаке»
(т. е. 30 днях)—16243200, а в 12 «знаках» (360 днях)—
1904918400т). По Рабану Мавру солнечный год содержит
190493160 «атомов»2). Анонимный средневековый компу-
тист вычисляет, что Иона провел во «чреве китовом»
2880 моментов (момент—1/40 часа) 3) и т. д. и т. и.
ся указанием на полях: «спс от старых переводов) т. с. пз старинных
рукописей). В рукописи Унд. № 1335 (петровского времени), л. 100 —
100 об изложение ведется в обратном порядке: год=52 неделям,
неделя = 7 дней и т. д., вплоть до «седьмых дробных». В трех ука-
занных рукописях 1 депь=24 большим часам; поэтому утверждение
«а тех 5 часов, то станет день великой» в рукописи № 450 является
видимо ошибкой переписчика.
В «Книжке описательной, како молодым людом торг вести п зна-
ти всему цену», изданной И П. Сахаровым и относимой нм ко вре-
мени 1575—1610 гг. («Записки отделения русской и славянской
археологии Археологического общества», 1851, 1, отд. 3), читаем
(стр. 115): «А коли путем итнть, ино знати время: год 52 педели, не-
деля 7 дней, день 24 часа, в часу 6 дробных часовней: в первом дроб-
ном часовне 10 чассц, во втором дробном часовне 10 часец» [и т д.,
кончая 6-м дробным «часовцем», содержащим 10 дробных часовней,
т. е. всего получается нс 6, а 7 дробных часов]. Ср. Прозоров-
ский Д И., О старинном русском счислении часов, в кп.:
•Труды второго археологического съезда», вын. 2, СПб., 1881,
отд. 4. стр. 166.
*) Libcr de coinputo, стр. 96 (М i g n е J P. Patrologiae cursus
completus, series latina, 129, 1853, столб. 1346—1347; эту серию мы
дальше обозначаем сокращенно: MPL). Сочинение представляет
собой компиляцию ирландского происхождения, опубликованную
по списку IX века.
!) R a b an us М aur us, Libcr de compute, MPL, t. 107.
Париж, 1852, столб. 689 (допущена ошибка в подсчете: следовало
бы 197 631 240). Сочинение Рабана Мавра относится к 820 г.
3) Рукопись не опубликована. Упоминается в кише «Bcdac
opera de temporibus», cd. by Cli. \V. Jones, Кэмбридж (Масс.), 1943.
200
В. П ЗУБОВ
Наряду с кириковским делением часа существовали
в древней Руси другие, в частности проникшие с Запада.
На Западе применялись (с темп же практическими целями
вычисления, что и «дробные часы» Кирпка) следующие
мелкие деления:
1 и 1 4 часа точка punctus (или punclum)
1 10 часа минута minutum
г ы ча( а часть pars
1 40 часа момент momentum
1 СО часа остеит ostentum
1 I Ju час а у нцпя uncia
1 225СО часа атом atomus
Приведенные мелкие деления не представляли собой одну
систему пли шкалу, а сочетание нескольких, хотя в сред-
невековых комиутах они и давались в виде единой табли
цы (сводки). Фактически же в ранных случаях пользова-
лись разными из приведенных единиц (примерно так, каку
пас в России пользовались саженью, аршином, вершками
в одних случаях и саженью, футом и дюймами—в других).
Например, в средневековых комиутах указывается
иногда величина iy нации в виде: 29 дней 12 часов 29 мо-
ментов 318 атомов1). Эта величина получалась при деле-
нии уже известною нам числа дней в Метоновом цикле
(69401 4) па 235. Ее можно было бы представить и в виде
29 дней 12 часов 29 моментов 7 унции 19 атомов или еще
иначе, но всегда во избежание дробных величин нужно
было вводить такую мелкую частицу, которая содер-
J) Ср поэму Филиппа Тайского «Книга творений», написанную
на старофранцузском языке около 119 г. (Thaun, Thaon, Than—
замок в 3 лье от Кана в Нормандии). Popular treatises он science
written (luring the Middle Ages, ed. by Th. Wright, Лондон, 1841,
стр. 55—56 (ио атому изданию я цитирую). Существует (ругос изда-
ние: Philip р е d е 1 h а и n. I i Cninpoz. Der Computus. mil einer
] nleitung, heransg. von E. Mahl. Страссбург, 1873. Филипп до-
бавляет (стихи 1089 -1094, стр. 56): «Так говорит Беда, Борланд
и доблестный Иеброт; и Хелыкрпк говорит это как правду в
своем писанин. II то, что он говорит, без всякого прекословия ис-
пытано как истина и отлично обосновано, а кто скажет больше,
чем он, пусть знает, что будет это напрасно». Атомы автор назы-
вает atoinetes или hourett.es, часиками,
КПРПК НОВГОРОДЕЦ И ДРЕВНЕРУССКИЕ ДЕЛЕНИЯ ЧАСА 201
ткалась бы в более крупной 47 раз или число раз, кратное
47. П действительно, унция содержит 47 атомов, остеит—
376 (т. с. 8 х 47), момент—564 (т. е. 12 х 47) и т. д.1).
Другой случай, когда приходилось обращаться к мел-
ким делениям часа, был связан с так называемым saltus
lunae («скачок луны»). 11 19-летнем цикле насчитывалось
69393/4 дня, а в лунном цикле из 235 месяцев будет на
один день больше (69403/4), ибо J9-летний цикл состоит
из 114 (т. е. 6 х 19) месяцев по 30 дней, 114 месяцев по
29 дней, 7 дополнительных месяцев по 30 дней (menses
embolismales) и \ , дня х 19=43 , дней. Чтобы уравнять
число дней, приходилось пропускать один день лунного
месяца одни раз в каждые 19 лет. Этот скачок и назывался
«скачком лупы».
Если «скачок лупы» за 235 лунных месяцев составляет
один день (сутки), спрашивается, какая доля приходится
на каждый месяц? Здесь опять необходимо производить
деление на 235 и средневековые комнутисты отвечали на
вопрос, называя величину 4 момента 1 упцпя 1 атом2).
Проводником западноевропейских приемов компута на
русскую почву было сочинение Гильома Дюрана (Виль-
гельма Дурандуса) «Rationale divinorum officiorum»3),
г) Первый, кто сжато и точно определил существо дела примени-
тельно к западноевропейским трактатам, был ПольТаннсрп. В статье,
относящейся к 1905 г., он писал: «Пытались установить общую меру
между солнечным годом и лунным месяцем так, чтобы можно было
выражать тот и другой целыми числами и тем самым облегчить вы-
числение дней лупы. Для этого нужно было ввести в подразделения
часа делитель 47». (Snr la division du temps on instants an nioyen-
age в кн.: Tannery P.. «Ah moires scieiitifiques. 5, Гулуза —Ha-
*рнж, 1922, стр. 346—357.)
2) Pseu d o-A 1 c u i n n s, De cnrsn et saltu lunae, MPL,
101, столб. 986—988. Сочинение предшествует сочинениям Беды
о календаре, относящимся к 703 и 726 гг. Ср.также так называемые
стихи Манфреда (середина X I века): Manfredi с а г m i n а,
MPL, 94, столб. 648.
3) Издания Дюранонского Rationale многочисленны. Первое из
них относится к 1459 г. (Майнц). И имел в руках инкунабул Госу-
дарственной публичной библиотеки нм. Салтыкова-Щедрина в
Ленинграде (Страсбург, 1484). .Заглавие трактата раскрывает цель
книги -дать ratio (т. е. объяснение или обоснование) обрядовых
действий (divina officia) пли шире—всего, что связано с культом,
Д° календаря включительно.
202
В П. ЗУБОВ
написанное в 1286—1295 гг. Последняя часть его посвя-
щена компуту. Здесь в качестве мелких делений часа
Дюран указывает точку, момент, унцию и атом (о мину
тах, частях и остеитах он не говорит).
Часть, посвященная компуту, была переведена на
славянский язык «повелением великого Нова граду
п Пскова владыки 1 еннадия» в 1495 г со Страсбургского
издания 1486 г. На рис. 1 воспроизводится explicit—
заключительные строки списка из собрания Погодина
№ 1121, л. 471).
«Скоплавает совещание божественных дел2), напечатано
в Архентипе3) в лето господне i486. Сея книга осман часть
и последняя Переведена на русский язык повелением архи
епископа великого Нона граду и Пскова владыки Геннадия
В дому архиепископии лета 7003 [1495] генваря в 5 день»4).
Текст в Погодинском списке начинается ex abrupto—
прямо со слов: «четыре седмицы».
«..четыре седмицы пли мало боле5 6). Седмица 7 дней,
день 4 четверти, четверть 6 часов, час 4 точки, точка 10 мег
новсипй, мегновенин 12 унспй, унсиа 67 атомус®), атомус не
разделяем есть, заме атомус7) гречески разделение глаголет-
ся, откуду атомус греческий, ипдивизио ж латынскыи, нераз
деление рускпи. Года убо солнечного яко 12-я часть месяць
есть, седмица убо есть яко четвертая часть месяца, день род-
ный8) — седьмая часть седмицы, четверть есть четвертая часть
дни родного. Час шестая часть четверти, точка четвертая
часть часа есть, мегновеппе—десятая часть точьки, унсия—
12-я часть мегновенпа, атомус шестидесятая [?] часть унеси».
*) Рукопись А? 1121 представляет собой сборник XVI века и на-
ходится в Государственной публичной библиотеке в Ленинграде.
2) Этими словами передано заглавие: Rationale divinoruin offi-
cioruin.
3) Argentina или Argentoratum—латинское название Страсбурга.
4) Любопытно отметить, что французский перевод «Rationale»
был напечатан в 1503 г., па 8 лет позднее окончания русского.
5) Вся фраза восстанавливается по латинскому оригиналу:
«Месяц содержит четыре недели с небольшим».
6) Следует: 47 атомов. Ошибка легко могла произойти из-за
смешения XLVII с LXVII.
’) В оригинале: tbomos.
*4 Так передано латинское dies naturalis, т. е. сутки.
^itrOSrtrprtfJ'bi'Ma-cs * рлгоелолнд , л<оле
мал н^лцг€>тгь J*" фпмончдплirnrj 7
/.г- <- т"
0ТОШ1?Х|МАИ€ . Ья^гпйены ^шлгъ ,
Пл&лруГсшине ,
, ул , ULttmA .
• rut ,
WtAiAA» ЧЛСГПЬ, у MffOCHrt
н>лы , n^atf/tHA HAjMflbf ™3*>*
ПО RtnrtHlC^VZ . ^НеПСИЛА
/ ---<2—
£сгг<<оал < ^И*|Н
ГСНЛ^/ЛЧ .
AfJfHt ЛСССПЛИ , Л ft tn А .
<C Z

Г—^
мД,
Рис. 1. Заключительная страница древнерусского перевода Дюрана
(Государственная Публичная библиотека в Ленинграде. Погодин-
ский список № 1121).
204
В. П. ЗУБОВ
Любопытно, что против слова «мегновеппй» припи-
сано другой рукой «момента». Заслуживает внимания
также, что число атомов в унции в обоих случаях указано
неверно: 67 и 60 вместо 47. Мне не известны другие списки
перевода Дюрана, а потомх время появления ошибок уста-
новить невозможно1 2).
Перевод Дюрана произведен в то десятилетие, когда
ио почину Геннадия была составлена «пасхалия» на 8-ую
тысячу лет («от сотворения мира»), т. е. па 1493 г. и далее.
«Унаследованные от византийцев таблицы этого рода кон-
чались 1492 годом. Многие опасались, что конец 7-й ты-
сячи лет означает конец мира, и церковным верхам,
которые и сами иногда не чуждались этих страхов, при
шлось принять срочные меры ыя составления новых пас-
хальных таблиц»
Латинская (западноевропейская) номенклатура мелких
делений часа не привилась па русской почве, и трактат
Дюрана не получил широкого распространения. Этому
препятствовала уже вероисповедная рознь, не позволяв-
шая широко пропагандировать сочинение католического
автора3).
J) О переводе Дюрана ср. Сборник ОРЯС VII СССР, 1928 101
№ 3, стр. 378—380 Имеется предположение, что он сделан домппи
каицем Вениамином, о котором см. Соболеве к и й А. II., Пе-
реводная литература Московской Руси XIV—XVII вв., СПб., 1903,
стр. 254 259 (Со. ОГЯС АН, 74, Д» 1). Вениамин участвовал в
переводе так называемой Гсппадпеной библии.
2) Р а и и о в, нит. соч., стр. 232
3) Инициатор перевода Геннадий Новгородский сам нс боялся
атого. По его инициативе было переведено также полемическое сочи
псине «магистра Николая Де.гпра», а при переводе ополии за основу
взят латинский перевод (В\ тьгата). Геннадии открыто выражал
сочувствие даже отвратите н.пым мето там католической ппквпзп
ции Преследуя еретиков, он писал в 1490 г. митрополиту Зоспме:
«Сказывал ми посол цесарей про шпанского короля, как он свою
очистил землю и аз с тех речей и список к тебе писал» («Русская исто-
рическая библиотека», 6 СПб., 1880, столб. 775; текстэтого«сппска»
опубликован в «'Грудах комиссии ио древнерусской литературе
Академии Наук СССР», 1932, 1, стр. 49—50).
Отзвуком перевода Дюрана является статья в сборнике Носков
ского архива Министерства иностранных дел (ныпе в Центральном
государственном архиве древних актов) № 220/381 (конец XVII—
начало XVIII века), стр. 197—198: От латинская книги осмыя части
KIIPIIK НОВГОРОДЕЦ И ДРЕВНЕРУССКИЕ ДЕЛЕНИЯ ЧАСА 2(К»
Тем не менее в позднейшей ру коииспой .литературе мы
встречаемся с такими мелкими делениями часа, из кото-
рых одно имеет в знаменателе 47 (позволяя делить число
дней Метопова цикла па число л\нации без цюбных ча-
стей). 15 рукописи XVII века «Счетная мудрость» час де-
лится на (50 минут, а минута на 17 секунд и соответственно
величина луиацип определяется в 29 шей 12 часов 44 ми-
нуты 20 секунд1). На л. 121 в статье «Об лунном тече-
нии. Как искать месяцем рождение» читаем:
«А делп так: секунды дели с 47 и что родится ня секунд—
минуты, к тс минуты прилегай к минутом и слоган и дели со 60.
И что родится из минут часов и те часы прплоган к часам
и слоган и дели с 24. И что родится нс чагой и тс дни прплоган
ко дням и слоган и дели с 28» 2).
Полную аналогию находим в другой рукописи кон-
ца ХА 11 века:
«Ащо восхощешп день, час, минуту и фракцу рождения
и ущерба н обоих перекроен небесного месяца ведать, и ты
прежде знай: в нощеденствнп 24 часа, в часу 60 минут, в ми-
нуте 47 фраки, и круг восходит на 19 лет»3).
Последовательное деление часа сначала на (50 минут,
а затем на 47 секунд не встречается в западноевропейских
компутах, где соответственно пет н ве шчниы лупации
О дисх собачинх [т. с. dies canicularesj. Ср. Соболевски й,
цит соч., стр. 231 .Объяснение названий с.озвез, щй в «Азбуковниках»
также восходит к переводу Дюрана. См. указанную в ирнм. на
стр 203 статью в Со. ОРЯС, стр. 38<>.
J) II. В. Степанов («К вопросу о летописном счислении часов.
Исследование таблицы л\иного течения», ЖМНИ, 1909, Лё (5, отд. 2,
стр 270) объяснял происхождение величины 29 дней 12 часов
44 20,47 минут из деления числа дней н Калннновом 76-летнем цикле
(т е. 3651/4х76=27759) на 940 лупацпй
2) «Счетная мудрость» была издана в Петербурге в 1879 г. Обще-
ством любителе!! древне!! письменности но рукописи Л 28, принад-
лежавшей Обществу и в настоящее время находящейся в Государ-
ственной публичной библиотеке в Ленинграде.
3) У кд. Л» 448, л. 51 (рукопись XVII века). Ср. Соболев-
ский, нит. соч., стр. 131—132.
206
В. И. ЗУБОВ
в 29 дней 12 часов 44 минуты 20 секундг). Надо полагать,
что 1 4--я появилась в приведенных текстах нс в резуль-
тате каких либо «влияний», а в результате одинаковых
практических потребностей календарного счета.
Инициатор перевода Дюрана 1 епнадпй Новгородский
был, как известно, яростным противником так называе-
мой Новгороде кой ереси, получившей у ее противников
наименование ереси «жидонствующпх». Новгородские ере-
тики были знакомы (в переводах) с целым ря юм астроно-
мических произведений, написанных па арабском, еврей-
ском п латинском языках. С этой «ересью», получившей
распространение и в Москве, очевидно, связано упоми-
нание в русских календарных расчетах о делении часа
на 1080 чаете г, называемых по-еврейски «хлаками»2).
В сборнике начала XVII века Ленинградской публич-
ной библиотеки Q. XVII, 073) помещена следующая
статья:
«Лушин; иерусалимский. Сказание иерусалимского лун
ника рожепне 24 часа в день. А тысяща да 80 дробей пно
час. II ты бери одинны к одпнцем, да десятки доспевай, а
*) Показательно, что, пользуясь в своих вычислениях 1/4--й
минуты, II. 13. Степанов увидел себя вынужденным дать ей особое
название, подобно тому' как средневековые компутисты (которые
ему, видимо, остались неизвестны) для облегчения счета назвали
Vi?-10 унции «атомом». Степанов предлагал назвать J/47 ю мину-
ты «мнзетой» (от греческого числового обозначения 47 : ;Х). См.
его статью «Исследование ..лунного течения*'», ЧОИДР, 1913,
кн 2, стр. 13.
2) Указывали: число 1080 представляет то удобство, что оно
является кратным всех однозначных делителей, кроме 7 (см. 1 d с-
1 е г L.t Ilandbucb der matbcinalischen mid techniscbcn Chronologic,
1, 2-te Aufl., Ьреславль, 1883, стр. 538). Такое объяснение, од-
нако, неудовлетворительно, ибо 360 в той же мере отвечает указан-
ному требованию. Другие (Пепгебауэр) связывали деление часа на
1080 частей с Вавилоном: в астрономических вычислениях вавило-
няне принимали 1 локоть=21/2°, т.е. 15°(1 час) соответствовал 6 лок-
тям, а 1 локоть у них был равен 180 ячменным зернам. Следователь-
но, 6 локтей=1080 ячменным зернам. Однако наиболее правильным
является предположение, что и в данном случае происхождение
«хлака» объясняется календарно-арифметическим вычислением ве-
личины лунации (см. дальше в тексте).
3) Налл. 161—161 об.
КИРИК НОВГОРОДЕЦ И ДРЕВНЕРУССКИЕ ДЕЛЕНИЯ ЧАСА 207
из десятков сотнпньт, а из сотниц тысячи, а из часов дни,
а из дней седмицы. И ты себе знай, что за седмицею оста-
нется, и ты то держи, а прикладывай дни ко днем, а часы
к часом, а дроби к дробсм, а нс будет одиое продроби и ты
за час не поставил. А 30-я часть часа 36 дробей. А почи-
нается от сентября»1).
За этой статьей следует другая, озаглавленная: «Уче-
ние луннику проведенному от жидовских книг»2). В ней
также «дробные часы» составляют 1 lcgJ часа (или «годины»):
«и смотри дробных часов, да еще будет 1000 и 80, то годину
исполни». Наконец, идет статья (л. 162): «Сей лунник
перусалпмски. Проведен от перусалимска грамоты Козмою
Новгородцем. День пмать часов 24, а един час дробных
часцов 1000 и 80, а начало имать от вечера». Совершенно
очевидно, что все три статьи являются родственными ва-
риантами.
Деление на 1080 частей видимо по своему практическо-
му значению было совершенно аналогично русскому деле-
нию на «дробные часа» и западноевропейскому делению
на «атомы», ибо в еврейских текстах величина лунацип
выражается в виде 29 дне1’1 г/2 дня 2/3 часа часа или в
6 3 1
виде 29 дней 12 часов g часа часа *х6х5хд час»3)-
Кроме того, указание на мелкие деления часа имеется
в «Сказании царя Соломона, что есть печать болшая,
откуду как ему приде»4). Здесь повествуется:
J) Из приведенного текста явствует, что число 1080 разлага-
лось на множители 30 и 36.
2) Па лл. 161 об.—162.
3 Первое выражение встречается у Гамалиеля II (около 100 г.
н. э ). Второе (видимо более раннее) указано у Авраама Савасорды
(XII век), который приписывает его Птолемею.
•*) Находится в сборнике Погодинского собрания № 1561
XVII века в Государственной публичной библиотеке им. Салтыкова-
Щедрина в Ленинграде (лл. 88—89). Ср. Соболевский,
цит. соч., стр. 428—433. Другой список—в Государственной
библиотеке им. В. И. Ленина в Москве (Рум. № 1 !, XVII век,
ЛЛ. 130—160 об.). Ср. Востоков А. X., Описание русских и
словенских рукописей Румянцевского Mj зеума, СПб., 1842, стр. 14—
208
U. II. ЗУБОВ
«Егда Соломон принят царство от рождения своего в два-
десят пятое лето и тогда воеташа на пего псп царие, ему же бо
еще младу сушу. Пача же Соломон тужптн и ироснти у бога
премудрости, а нс царства, н даде ему бог премудрость по
его прошению. Вея киши прошел н звездочстпя навыче
и небесным планетам и беги небесным, и како на поясах звезды
ходят. II како обновляются круги небесные и земля н море,
и за сколько лет, и что в те лоты сотворится, и о летах при
былых, п како и куды телеса идут, п что па четвертой год
прибудет, где положены п како сбредается в коих ютах».
Далее идет иопос родствен по интересующая нас часть:
«II размерил, ио скольку часов больших в году прибудет,
и по скольку часов дробных в часу большом, и по ско тьку то
чек в дроби, п в дроби сколько границ па всяк день прибудет ’),
и в скольких точках и дробях соберется большой час, и сколь-
ко на день прибудет того большого часа. То все развел Соло-
мон царь своею мудрости ю, каков к чему час, к часу дробь
и точька и граница во дни или нощи»* 2).
Мы имеем здесь, следовательно, такие деления час,
дробный час (или дробь) и более мелкие деления —точки
и границы. Как видно из варианта, приведенного в снос-
ках, в нем упоминание о «границах» опущено.
Из последующего текста явствует соотношение между
указанными величинами, а именно: «66 дробей положил
в час большой, а точек во всякой дроби по 72 точки»3).
Из других мест явствует также, что в точке содержится
12 «черт» или «границ»4).
15. Неполный список «Сказания царя Соломона»—в библиотеке
Московского университета (шифр: 4G. в. 1G; список относится к
концу XXII века). Привожу текст ио Погодинскому списку и в
сносках даю варианты по списку Рум. А? 12.
х) Вар.. «... и по скольку точек в дроби, и сколько на всяк день
прибудет...».
2) Вар.: «... каков к чему час, и какова п к чему дробь и в дроби
точка во дни пли нощи».
3) Рум. № 12, л 142.
4) «II на всякой день прибывает но дроби и седмн точек. А во
всякой точке по 12 чертежев Ппо прпбу ;ет во всякой (ель подроби
и по 7 точек и 5 границ, сиречь черт» (Ру к № 12, л. 143).
КИРИК НОВГОРОДЕЦ И ДРЕВНЕРУССКИЕ ДЕЛЕНИЯ ЧАСА 209
А. И. Соболевскийг) утверждает, что в данном
случае «мы имеем дело с компиляцисю, составленною
в Московской Руси пе позднее конца XVI в., па осно-
вании источников греческого происхождения и литера-
туры „жидовствующих"».
Как мы уже указывали, упоминания о подобных си-
стемах встречаются в рукописях наряду с изложением
старорусского счета (ср. заглавие, приведенное на стр. 19Ь:
«О днех и неделях и часех дробных по русским лунникам
и ерусалимским»). Нет никаких основании однако пола-
гать, как II. В. Степанов, что кирпковская система
«дробных часа» сложилась под косвенным воздействием
еврейской системы счета * 2).
Любопытны изображения рук в «Пасхалии» XXII вока:
в первом случае (см. рис. 2) 3) фигурируют «фракны», т е.
*/47 минуты, а во втором (согласно «Птоломейскому лунни-
ку»)—«части часом» и «лепти частом» (рис. З)4).
Современное последовательное деление часа на СО
(минуты, секунды) носило в некоторых рукописях на-
звание «немецкого». Например, в «Статье о весах и о мерах
московского государства земли русской» читаем:
«О считании в году. О днех и чассх и неделях и часех
дробных по немецки. И ты считай еицц: G0 соку и юпь па о ту
минуту, а 60 минутень за 1 час, а 24 часа за 1 день, а 7 день
за 1 неделю, а 52 недели за 1 год»5).
Изучение рукописей XVII века показывает, следова-
тельно, что в это время в Московской Гуси было известно
г) Цит. соч., стр. 433.
2) С т с п а и о в II. В., Заметка о хронологической статье
Кирпка, стр. 136—137. Ср. мою указанную выше статью, стр. 289.
3) Унд. Л? 448, л. 61—62 (рукопись Х\ II века).
4) Там же, л. 59.
5) «Статья о весах и о мерах московского государства земли
русской» (Муз. № 932, л. 49 об., рукопись WH века). Ср. Уцд.
№ 450, л. 17 (рукопись Х\ II века) и ЛЬ 681, л 97 и след, (рукопись
первой половины XVII века). В той же «Статье» несколько раньше
(л. 41 об.): «О временах счет во весь год. по немецки год 52 педели,
педеля 7 дней, день 24 часа, час 60 мп путей, 60 секу идеи, секу идеи
СО терций».
Историко-матем. исследования
2 to
E II. ЗУ БОВ
Рис. 2. Страница рукописи \ \ IГ века из собрания В М Уидоль-
ского (Государственная библиотека им. В. II. Лепина).
КЙРПК НОВГОРОДЕЦ И ДРЕВНЕРУССКИЕ ДЕЛЕНИЯ ЧАСА 211
Рис- 2 Страница рукописи XVII иска па собрания В. М. У идоль-
ского (Государстпсплая библиотека нм. В. II Ленина).
14*
212
В. П. ЗУБОВ
несколько систем деления часа на мелкие единицы и
что эти деления отнюдь не были плодами отвлеченного
«числолюбия».
Русские книжники знали не только древнее, восходя-
щее к XII веку (если нс ранее) русское деление часа па
78123 частей; им было известно также деление на 1080 ча-
стей! (первому знакомству с ним видимо способствовали
новгородско-московские еретики XIV—XV вв.). Опп
знали и своеобразную систему минут (г с0 часа) и секун i,
(* 47 минуты), представлявшую известную аналогию (по
не более) системе латинских компутов на Запа <е. Нако-
нец, им была известна и наша современная система, кото-
рая еще не укоренилась повсеместно.
Я позволяю себе ограничиться этими краткими мет-
рологическими наблюдениями и заметками. Нет сомне-
ния, что проследить подробно историю названных систем
можно лишь на основе всестороннего анализа калсидарпо-
астрономической литературы древней Руси и излагаемых
в пей вычислительных приемов. Одно бесспорно: кален-
дарная техника средневековья, восточного и западного,
будучи всецело арифметической, настойчиво требовала
установления наиболее удобной системы метрологических
единиц для облегчения счета1). Из них, как из мелких ку-
сочков мозаики, слагалось целое. «Помалу созидается
град и велий бывает»,—говорил наш соотечественник Ки-
рик, выражая общее убеждение всех компутистов в воз-
можности соисчислить, соизмерить любые две величины,
движение солнца и движение луны, путем выбора соответ-
ствующих «мпиуцпй», соответствующих «дробных часа».
Мне кажется поэтому, что «дробные часа» Кнрика
и других (безыменных) составителей наших календарей
нельзя рассматривать как дроби; в них следует скорее
видеть мозаичные кусочки, «атомы», из суммирования
которых слагается целое.
х) Недаром самое название «компут» происходит от глагол»
computare—счислять, вычислять.
МАТЕРИАЛЫ
О
П. Л. ЧЕБЫШЕВЕ
ОБ ОДНОЙ РАБОТЕ П. Л. ЧЕБЫШЕВА,
НЕ ВОШЕДШЕЙ В ПОЛНОЕ СОБРАНИЕ СОЧИНЕНИЙ
Б. В. Гнеденко
Веспой 1951 г. при изучении материалов, относящихся
к исследованиям М. В. Остроградского, посвященным
задачам теории стрельбы, я обнаружил работу «Мнение
адъюнкта Императорской Академии паук П. Л. Чебышева
о статье полковника Веревкина» («Артиллерийский жур-
нал», 1856, № 6, стр. 253—262), о которой я не встречал
ранее упоминаний. Гог (а же я сообщи i оо этой находке
председателю редакционной кол югии по из [анию полно-
го собрания сочинении Чебышева акад. С. И. Берн-
штейну. К сожалению, оказало! ь, что к этому времени
тираж после (него пятого тома указанного собрания сочи-
нений был полностью отпечатан, и включить вновь обна-
руженную работу в это издание уже не было возможности,
не удалось ее включить даже в список работ Чебышева.
В то же время я считаю, что опубликование этой ра-
боты представляет несомненный интерес для истории оте-
чественной науки и, в частности, для более всесторон-
него изучения творчества Чебышева. Кстати сказать,
эта забытая работа убедительно показывает, что Чебы-
шев внимательно следи! за научной штературой в тех
областях знания, которые его интересовали в соответ-
ствующие периоды. Этот вывод резко расходится с утвер-
ждением, что Чебышев, изучив в молодости труды класси-
ков науки, впослс (ствии нредпочита i не следить за те-
кущей научной литературой, якобы в целях сохранения
-наибольшей научной самобытности и самостоятельности.
216
П. Л. ЧЕБЫШЕВ
Работа полковника Веревкина, рецензией на которую
является приводимая ниже статья Чебышева, также на-
печатана в «Артиллерийском журнале» (1856, №5, стр. 60—
108, № 6, стр. 230—253).
В рецензии, написанной, невидимому, по предложе-
нию редакции журнала, Чебышев проявил глубокое по-
нимание задач артиллерийской науки и с полным осно-
ванием критиковал как исходные предпосылки, так и вы-
воды полковника Веревкина теоретического и техниче-
ского характера.
Несомненный интерес представляют общие положения
высказанные в приводимом ниже тексте работы. Они вновь
подтверждают то, что Чебышев придерживался материа-
листических убеждении и верно оценивал значение как
опыта, так и теории для развития науки и техники. Смысл
окончательных научных результатов Чебышев видит нс
в составлении удачных формул, а в выяснении существа
явлении с целью предвидения хода процессов, такое
предвидение представляет необходимый элемент при про-
ектировании новых конструкций. Чисто же эмпириче-
ские формулы находят «для себя опору только в согласии
своем с указаниями опыта»; для такого рода формул Че-
бышев намечает границы их применимости и предъявляет
к ним требование простоты и практической доступности
для вычислении.
МНЕНИЕ АДЪЮНКТА ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ
ПАУК П. Л. ЧЕБЫШЕВА
О СТАТЬЕ ПОЛКОВНИКА ВЕРЕВКИНА
В статье под заглавием «(? начальной скорости снаря-
дов» полковник Веревкин предлагает формулу для опре
деления скоростей, получаемых снарядом от различных
зарядов в различных орудиях. Несмотря на то, что он
начинает с рассмотрения вытекания упругих жидкостей
из сосудов и на основании этого выводит формулу для
МНЕНИЕ О СТАТЬЕ ПОЛКОВНИКА ВЕРЕВКИНА
217
определения величины живой силы при вылете снаряда
из орудия, мы не можем не призвать, что все формулы
его относительно стрельбы из орудий и ружья не имеют
теоретического основания. Не говоря уже о том, что действие
пороховых газов в орудии, образующихся по мере сгорания
пороха, нельзя сравнить с действием газа, нагнетенного
в сосуде, всякая связь между теорией и формулами пол-
ковника Веревкина уничтожается вполне от подстановки
4 /—2----------------------------------------
вместо величины А количества 34,15 1/ —Do i L зави-
r С“ ’
сящего и от длины орудия, и от величины снаряда и
его плотности, и от длины заряда,— подстановки, кото-
рой сам г. Веревкин нс оправдывает никакими теорети-
ческими соображениями; он говорит только:
«Величина А, после многих подстановок, более удов-
4 /’-о- ---
летворяющею опытам найдена = 34,15 J/ Do j L, где...
и пр.».
Таким образом составляет полковник Веревкин первую
из своих формул, принимая в основание опыты над
ружейными стволами Потом, переходя к опытам над
8-ми фунтовыми орудиями, он говорит:
«Для 8-ми фунтовых французских пушек, чтобы ско-
рости, вычисленные по формуле, были близки к скоро-
стям, помещенным в § 267 баллистики Дидиопа, вместо
В
нужно вставить в формулу (1) величину
И
3 т
1
1+0,003^-^
а- т
---Г »
«л а1
77
Переходя к орудиям других калибров, он замечает:
«Чтобы формула (3) годилась для других' калибров,
нужно в опой, в члене
_________1
1 + 0,003
а- т
218
п. Л. ЧЕБЫШЕВ
3
0,003 ^2-— помножить на ( — V, где 0,1029 = диа-
’ а2 т \0,1029 J
метру 8-ми фунтового ядра; второй член знаменателя
4
всей формулы, именно 1,514 1/ , помножить на
1
----^0 10~.дуу2 и четвертый член того же знаменателя,
г-7П1 И °2 0,1029
именно 07.У1 -—гт, помножить на —г;—».
’ т L2 JJ
«Чтобы формула (5) могла служить для определения'
начальных скоростей снарядов разных плотностей, в ней
нужно: в члене
f L-----------------------*
3 5
величину 0,003 Д-— Г г-Дпц V помножить на f • Lf. V,
J а2 т \U,1U29 J \_7,Г16 J ’
2-й член знаменателя всей формулы, именно
г; 4 / ,,з
1,514 7 , / 0,11)29 у V т? '
1+<—J
1 / о <) ..
помножить па I/ ..., а 3-и член того же знаменателя,
Г 7,116 ’
именно 1,98 1/А-, па гД,г».
И, наконец,
«Чтобы для камерных орудий скорости, вычисленные
по формуле при зарядах, не наполняющих камору, были
достаточно согласны с опытами, нужно, подобно тому,
как для французских камерных орудий (смотри § 1J),
начиная с известных зарядов, знаменатель всей формулы
положить постоянным».
Как видно из числовых вычислений, сделанных полков-
ником Веревкиным в подтверждение своей формулы,
она не всегда удовлетворительно представляет действи-
тельные скорости снарядов, найденные по опыту, и если
МНЕНИЕ О СТАТЬЕ ПОЛКОВНИКА ВЕРЕВКИНА
219
автор находит возможность, допущениями зазоров и рас-
стрелов в орудиях известной величины, объяснять раз-
ности в показаниях своих формул с опытами—там, где
формулы его дают большие скорости, и обратно, уничто-
жением зазоров—там, где формулы его дают скорости
меньше найденных по опыту,—то это пе может увели-
чить доверие к его формулам, которые могут найти для
себя опору только в согласии своем с указаниями опыта
и верностью их.
Переходя к различным сортам пороха, полковник
Веревкин показывает, какие еще нужно сделать допол-
нения к его формуле, согласно с величиной зерен и их
плотностью. Таким образом дополненную формулу он
поверяет, сличая ее с результатами опытов над пробной
мортиркой, ружьем и орудием 4-х фунтовым Pioberl,
Traile d’artillerie tlieorique et pratique. Из самых ре-
зультатов, приведенных г. Веревкиным в его брошюре,
видно, что эта формула весьма неточно показывает влия-
ние величины зерен пороха и их плотности на изменение
скорости снаряда. Так, при d = 1, опыты, им приведенные,
показывают, что с изменением плотности зерен пороха
с р = 1,3 до р = 1,8 дальность уменьшается на 9 метров,
а по вычислениям г. Веревкина, на основании его фор-
мулы, она должна уменьшаться на 29 метров и т. п. При
такой неверности показаний последней формулы г. Ве-
ревкина, результаты, выведенные из нее автором отно-
сительно влияния сорта пороха на стрельбу из бомбовых
пушек и единорогов, не могут иметь никакого доверия.
Из сделанного памп обозрения собственно математи-
ческой части брошюры полковника Веревкина видно,
что все формулы, им предлагаемые, эмпирические; что
они имеют значение только как аналитическое выражение
по приближению чисел, известных ужо из опыта. Такие
формулы не бесполезны во многих случаях: они заменяют
таблицы результатов, выведенных из опыта, и вместе
с тем дают возможность, пе прибегая к интерполированию,
иметь достаточно точные результаты в тех случаях, кото-
рые собственно нс были подвергнуты испытанию, но
близко подходят к тем случаям, в которых наблюдение
служило основанием эмпирической формулы или ее
220
П. Л. ЧЕБЫШЕВ
поверкою. Там же, где данные вопроса значительно раз-
нятся от тех, при которых сделаны были опыты, принятые
для вывода и поверки эмпирической формулы, к резуль-
татам этой формулы нельзя иметь доверия. Такие формулы
могут служить только для непосредственного определе-
ния того, что может быть выведено с достаточной точностью
интерполированием данных, полученных опытом. Но
автор ошибается, приписывая особенную важность своей
формуле.
Вот что говорит полковник Веревкин относительно
эмпирической формулы, определяющей начальную ско-
рость снарядов:
«1) опа дает возможность составить, без всяких расхо-
дов, для всех орудий, таблицы начальных скоростей,
соответствующих зарядам, достаточно сближенным между
собой. Притом скорости, определенные достаточно вер-
ной формулой, могут даже исправить аномалии в табли-
цах скоростей, определенных помощью баллистического
маятника.
2) Определяя влияние зазора, эта формула может
дагь для скорости снарядов при стрельбе из орудий, зна-
чительно расстрелянных, и формулы баллистики пока-
жут, на сколько должно прибавить углы возвышения
при стрельбе прицельной».
Если ограничиться тем, что близко подходит к слу-
чаям, подвергнутым испытанию и послужившим основа-
нием и поверкой эмпирическом формулы, то из нее, ра-
зумеется, можно с некоторой точностью находить ско-
рости снарядов, не делая новых опытов, и это единствен-
ная выгода, как мы видели, которую можно извлечь из
таких формул. Но здесь представляется вопрос, действи-
тельно ли формулы г. Веревкина могут оказать значи-
тельную услугу, давая прямо то, что может быть выведено
интерполированием? Довольно одною беглого взгляда на
эти формулы, которые заключают в себе по несколько
радикалов в числителе и знаменателе и даже не всегда
помещаются поперек полулиста, чтобы убедиться в труд-
ности вычисления их и, следовательно, в том, что упот-
ребление их затруднительнее простой интерполяции, осо-
бенно при составлении таблиц, о которых говорит автор
МНЕНИЕ О СТАТЬЕ ПОЛКОВНИК к ВЕРЕВКИЙА
221
Что же касается до скоростей снаряда при обстоятельст-
вах, которые значительно разнятся от обстоятельств, под-
вергнутых испытанию, то эмпирические формулы заслу-
живают столь же мало доверия, как и экстраполирование.
«3) Достаточно верно составленная формула разъяс-
няет действие пороха».
Это несправедливо. Мы видели, что в основании нет
ничего общего с свойством пороха п составом эмпириче-
ских формул полковника Веревкина; мы видели даже, что
онп совершено неверно показывают влияние сорта по-
роха на начальную скорость снаряда. 11 вообще из одних
наблюдении столь сложного явления, как стрельба из
орудий, нет возможности вывести свойства основной при
чины действия пороха. Здесь необходим обратный поря
док—найти по опыту скорость горения пороха, упру-
гость и плотность пороховых газов, а потом искать и ско-
рость снаряда при стрельбе из орудий: этому порядку
и следовали в теории огнестрельного оружия.
«4) Формула дает возможность проектировать ору-
дия, удовлетворяющие требуемым условиям стрельбы,
и определить действие орудий проектированных, но еще
не испытанных».
Относительно этого мы опять должны различить два
случая. Когда дело идет об орудии, незначительно раз-
нящемся с теми, которые были подвергнуты испытанию,
то, разумеется, результаты опытов с помощью интерпо-
лирования или практической формулы, из них выведен-
ной, решают вопрос вполне. В противном же случае во-
прос может быть решен удовлетворительно только при
помощи теоретических соображении. Пример этого можно
видеть в решении вопроса о проектировании GO ф. пушки,
сделанном в прошлом году штабс-капитаном Маневскпм *).
Вышеприведенное мнение полковника Веревкина тем
более оказывается несправедливым, что из эмпирических
формул окончательной скорости снаряда нельзя с доста-
точной точностью определить maximum давления на стены
орудия, между тем как это едва ли пе самое главное при
проектировании орудий необыкновенных калибров.
*) «Артиллерийский журнал»,
222
tl. Л. ЧЕБЫП1ЁЁ
Наконец, в пользу эмпирических формул полковник
Веревкин говорит:
«5) Верно и подробно составленная формула может
показать также влияние величины и плотности зерен поро-
ха, а следовательно, оправдать пли опровергнуть принятое
в России мнение и не разделяемое во Франции о сильней-
шем действии в единорогах, мортирах и гаубицах муш-
кетного пороха сравнительно с пушечным».
Чтобы видеть разницу в действии пороха мушкетного
и пушечного, нет надобности прибегать к эмпирическим
формулам: эта разница прямо обнаруживается опытом.,
Что же касается до мнения автора, высказанного им в кон-
це статьи, о выгоде употребления во всей артиллерии
одного сорта пороха, то мы не можем согласиться вполне
с числами, им приводимыми, так как эти числа выведены
из эмпирических формул, которые он поверял только
известными опытами над ружьем, пробной мортирной
и 4-х фунтовой пушкой, и эти опыты, как видели, пока-
зали, что его формулы весьма неверно дают изменение
скорости снаряда при изменении сорта пороха. Какое же
доверие можно иметь к его формулам, при сравнении
действия пороха различных сортов в единорогах, морти-
рах и гаубицах?
Из вышесказанного относительно брошюры полковника
Веревкина видно, что формула его не может доставить тех
выгод, которые можно ожидать, по мнению автора, от
эмпирической формулы начальной скорости, верно со-
ставленной. Но так как эта формула должна заключать
значительное число переменных, изменяющихся в преде-
лах довольно широких, то мы думаем, что едва ли можно
найти эмпирически одну формулу, которая бы вполне удо-
влетворительно давала скорость снаряда во всех возмож-
ных случаях, а потому эмпирическая формула г. Верев-
кина, представляя во многих случаях замечательное со-
гласие с указаниями опыта, по нашему мнению, заслу-
живает внимания и может послужить предметом инте-
ресной статьи для «Артиллерийского журнала».
О СТАТЬЯХ II. Л. ЧЕБЫШЕВА,
М. В. ОСТРОГРАДСКОГО,
В. Я. БУНЯКОВСКОГО II II. II. СОМОВА
В «ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКОМ СЛОВ АРЕ,
СОСТАВЛЕННОМ
РУССКИМИ УЧЕНЫМИ II ЛИТЕРАТОРАМИ»
В. JJ. Прудников
В начале бО-х годов XIX века в России издавался
«Энциклопедическии словарь, составленный русскими уче-
ными и литераторами» (( По., 1861 1863). Главный
редактор этого словаря, известный педагог-математик,
а впоследствии публицист и теоретик народничества
П. Л. Лавров пригласил для сотрудничества в словаре
видне 1шпх русских ученых того времени, в том числе
математиков В. Я. Пуликовского, М. В. Остроградского,
И. И. Сомова и И. Л. Чебышева.
К сожалению, «Энциклопедически!! словарь» просуще-
ствовал всего три года, и дальнейшее его издание было
запрошено но политическим причинам. II. Л. Лавров
в своей автобиографии говорит об этом запрещении сле-
дующее: «Издание Энциклопедического словаря вызвало
многочисленные доносы архиереев и духовных журналов
(особенно Аскочепскогог), требовавшего церковной ана-
фемы и уголовного наказания каторгою) и должно было
х) А с к о ч е н с к и и Виктор Ипатьевич (1813—1879)—реак-
ционный публицист. В журка ю «Домашняя беседа» Аскоченскпй
подверг статьи 11. Л. «Лаврова жестокой критике за их «атеизм»
и «материализм».
ооЛ
-CjX t
В Е. ПРУДНИКОВ
прекратиться на первых же буквах»1). Всего вышло шесть
томов «Энциклопедического словаря»: пять—на букву
«А» и один—на букву «Е».
В этих томах были помещены следующие математиче-
ские статьи и заметки:
В. Я. Б у н я к о в с к и и—Абака, Абако (поэт и ма-
тематик), Абсолютное, Абсурдум, Абсцпсса, Азартные
игры (математическая часть статьи), Алгебраические кри-
вые, Алгорпзм, Алгорифм, Алгорифмия, Алеф-функция,
Амплитуда (начало статьи), Амслер Якоб, Апалеммати-
ческий (или азимутальный) квадрант, Анализ математи-
ческий, Аналогии дифференциальные, Аналогии непи-
ровы, Аничков, (. С., Андерсон А., Апджелис (пли Ангелис)
Стефано, Апконтр (фр. математик), Аикудович В. А.,
Аноним (монах и математик), Антилогарифм, Аптипа-
раллельные линии, Апланстические кривые линии, Апол-
лоний Пергский, Апомекометрпя, Апоризм, Апотома,
/\.ранеа, Арбслон (секпрка), Арбогаст (фр. математик),
Аргирус Исаак, Аргумент, Аренарии (Псаммит), Аристеи
Кротонский, Арифметика, Арифмограф, Арифмография,
Арнфмология, Арнет Артур, Арен, Архит Тарентскии,
Аршепевский В. А., Афанасьев П. А.2), Евдоксип, Единица.
М. В. Остроградски н—Аламберово (д’) пра-
вило и часть статьи Аламбер (o’), содержащая обзор его
математических трудов.
И. II. Сомов —Аксиома, Алгебра, Алгебраические
знаки, Анаморфоз, Ангармоническое отношение, Архи-
мед, Асимптота, Асимптотическая поверхность, Ахил-
лесова задача, Евклид.
П. Л. Ч е б ы ш е в—Абелева теорема, Абелевы функ-
ции, Абель.
Мы остановимся на разборе некоторых из перечислен-
ных статей, причем статьи Чебышева, небольшие по объе-
му, приведем полностью3).
*) Лавров П Л., Избранные сочинения, т. 1, М., 1934,
стр. 79.
2) Авторство В Я. Бу ваковского в этом случае предположи-
тельно.
3) В полное собрание сочинений П. Л. Чебышева, выпущенное
издательством АН СССР, этп статьи не вошли.
МАТЕМАТИЧ. СТАТЬИ В ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКОМ СЛОВ ХРЕ 225
«Абелева теорема. Так называется одна из теорем, от-
крытых великим геометром Абелем. Эта теорема заключается в
выражении суммы или разности нескольких значений интегра-
ла какого-либо алгебраического дифференциала через сово-
купность значений того же интеграла с прибавлением, в общем
виде, членов алгебраического п логарифмических, которые,
в известных случаях, приводятся к пулю. Эту теорему \бель
сначала доказал для частного случая в мемуаре мод загла-
вием: Reinarques stir quelques propri Its gem-rales d’une
cerlaine sorte de functions transcendentes (Oeuvres completes
de N 11. Abel, t. 1, стр, 288), где н показал приложение ее
к трансцендентным функциям, известным ныне пол названием
.абелевых’. Впоследствии, в записке под заглавием Demon-
stration d’une propii I g ш rale d’une cerlaine dasse des fun-
ctions transcendentes (Oeuvres completes, т. I, стр. 324), on
доказал ее в самом общем виде».
«Абелевы (функции (Functions abrliennes). Так называ-
ются трансцендентные функции, к которым приводятся инте-
гралы дифференциалов, заключающих в себе, рациональным
образом, радикал второй степени из полинома выше четвер-
той степени. Эти функции называются „абелевыми’ по имени
великого геометра Абеля, положившего основание их теории.
Лежандр предложил для этих интегралов название ультра-
эллиптических </>уш;ц ий».
«Абель Николай-Генрих (Niels Henrik, Nicolas Henri
Abel)—один из величайших математиков. Он первый! строю
доказал невозможность общего решения в радикалах таких
уравнении, которых степень выпи* четвертой, вследствие
чего совершенно изменился взгляд математиков на решение
уравнений высших степе.пей 1 му же наука обя tana общими
началами для исследования возможности и невозможности
интегрирования различных дифференциалов в конечном виде,
что дало совершенно новый вид этой части интегрального
исчисления. Кроме того, он дал новые приемы для нсследова
пня интегралов алгебраических дифференциалов и показа i
весьма замечательное свойство их, известное под именем
пиюремы Абсл.ч. Теория эллиптических функций обязана
Абе по многими развитиями. Он же положил основание теории
трансцендентных функций того же рода, ио высшего разряда,
которые позднейшие геометры назвали его именем. Этими-то
15
Историко-матем. исследования
22С>
Т$. Е. ПРУДНИКОВ
изысканиями, пиложппшими начало трудам многих поздней-
ших математиков. Абель в особенности снискал себе почетней-
шее место между великими геометрами. Но, сверх того, им сде-
ланы изыскания по некоторым другим частим анализа, и все
они представляют в себе что-либо оригинальное и чрезвычайно
замечательное. Из этих открытий Абеля особенного внимания
заслуживают: определение вида функций по уравнениям,
выражающим их свойства; исследования относительно рядов,
весьма важные но своим приложениям; прямое решение
вопроса об определении кривой, но которой точка, двигаясь
от действия тяжести, в данное время проходит известные
дуги, откуда, как частный случай, получается уравнение
тавпюхронц.
Абель родился 5-го августа 1802 г. и Норвегии, в прихо-
де Фпидое (Findoe), 1 де отец его был пастором. Его начал
учить сам отец. Тринадцати .чет \бель отдан был в училище
мри соборной церкви в Христианин. Особенные способности
ого к математике обнаружн шсь на шестнадцатилетнем его
возрасте, мри решении различных алгебраических и геометри-
ческих вопросов, и тогда он ревностно стал изучать матема
тику. Пройдя с своим наставником сочинения Эйлера Intro-
ductio in Analysin infinilonim и Inslilutionos Calculi differen
tialis el inlegralis, on сам начал читать творения различных
геометров, в особенности Лагранжа. К этому времени отно-
сятся первые его изыскания, которые он предпринял, имея
только очень ограниченные сведения в математической лите-
ратуре. В 1821 г., по окончании курса в училище, Абель по-
ступил в университет в Христиании, где обратил на себя
внимание своими способностями к математике. В продолжение
университетского к\ рса он написал несколько математических
статен, из которых некоторые помещены в Magasin file Natur-
videnskaberne; преимущественно же он занимался в это
время вопросом о решении уравнений 5-п степени—вопросом,
прославившим его имя. Сначала, подобно многим своим пред-
шественникам, он нашел ошибочное решение таких уравнений
в радикалах, но йотом, сам заметив свою ошибку и продол-
жая изыскания по этому предмету, успел строго доказать,
что уравнения 5-й степени, в общем виде, ио самому существ)
своему, неразрешимы в радикалах, что и составляет одно нз
важнейших открытий в математике. Доказательство этого
МАТЕМАТИЧ СТАТЬИ В ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКОМ СЛОВАРЕ 227
свойства уравнений 5-й степени было напечатало Хбе.тем
в Христианин в 1824 году, на французском языке, в мемуаре
иод заглавием: Mt moires snr les equations algc briques oil on
demontre Timpossibililt de la resolution de {'equation gtm-
rale du cinquienic degre. По окончании университетского
курса, в 1825 г., кбель оправился путешествовать. В Верди-
не оп подружился с германским математиком Крелле и при-
нял деятельное участие в издаваемом им математическом
журнале. В 1826 г. Абель был в Париже, где познакомился
с Коши и другими знаменитыми юометрамн. По, несмотря
на те великие открытия, которые им были уже сделаны
и которые ставили его выше многих членов Парижской ака-
демии наук, он не успел обратить на себя ее внимание,
и мемуар, представленный им в Парижскую академию ЗО-го
октября 1826 г. иод заглавием Mvmoire sue ине proprit (ё
generale d’une classe ties ctendiie ties functions traiisccndantes,
остался без мнения, наравне с трудами, не заслуживающими
никакого внимания. После смерти \бсля, Парижская акаде-
мия иапечата ia этот мемуар в своих изданиях (Meinoires
presenti’s par divers savants a l’Acad< mie des sciejices de
l lnstitiit de 1 rance, т. \ II, 1841) как произведение особенно
замечательное. По возвращении из путешествия, через два
года, Абель, продолжая неутомимо своп изыскания, заболел
чахоткою и умер 8-го апреля 1829 г. па фроландском чугун-
ном заводе (Froland), близ Арепдаля (Arendal), i ie была его
невеста девица Кеми (Ixemp.). Там и похоронен он близ церкви.
После смерти \беля, ему, вместе с кёнигсбергским знамени-
тым геометром Якпби, Парижская академия присудила,
в 182>О г., премию за развитие теории эллиптических функ-
ций. Часть этой премии, следовавшую Абелю и составлявшую
1300 франков, академия выдала его наследникам. Полное со-
брание сочинений Абеля издано в Христиании в 1839 г.,
под заглавием: Oeuvres completes de X П. Ybel, publices ей
fran^ais par Ilolmboe (2 \ol. in.—4 p>.
В первых двух своих заметках Чебышев выделил из
богатого научного наследства Абеля носящие имя послед-
него интегралы вида
И (х, )z f[x))dx,
15*
228
В Е. ПРУДНИКОВ
где / (г)—многочлен степени выше 4-й; R—какая-либо
рациональная функция от х и J /(а), а также теорему о сло-
жении этих интегралов, которая представляет собой
очень широкое обобщение теоремы сложения эл шптнче-
ских интегралов, найденной еще в XVIII веке1 11) Эйлером.
Известно, что исследования Абеля ио теории инте-
грирования алгебраических функций привлекали присталь-
ное внимание Чебышева, который получил в этой области
ряд крупнейших результатов -).
Статья Чебышева об Абеле проникнута глубоким ува-
жением н сочувствием к молодому норвежскому матема
тику, недолгие годы творчества которого были омрачены
пренебрежительным отношением к его великим откры-
тиям со стороны ряда авторитетнейших современников
и материальной нуждой. Эта краткая и вместо с тем чрез-
вычайно содержательная статья с полной ясностью рисует
все главные направления работ и открытия Абеля. Пам
думается, что она являлась образцом популярного изло-
жения научной биографии крупного математика, предназ-
наченного для энциклопедии, имеющей широкий круг чи-
тателей.
Отметим, что Чебышев называет заслуживающим осо-
бенного внимания «прямое решение вопроса об определе-
нии кривой, ио которой точка, двигаясь от действия тя
жести, в данное время проходит известные дуги». Здесь
Чебышев имеет в виду мемуар Абеля Solution (les quelques
problomes a 1’aide d integrates definies, где предложено
было решение следующей задачи материн н.ная точка
движется под влиянием силы тяжести по 1 >адкой кривой,
1) Но предложению I». Г. Якоби эти интегразы получи ш снача-
ла имя «абелевых трансцендентных функций». Позднее их стали нме
лопать абелевыми inireiралами, так же как более общие интегралы
вида R(x, y)dx, где г и у связаны любой алгебраической зави-
симостью. Под абелевыми функциями теперь понимают функции,
являющиеся обращениями абелевых интегралов. Подробнее о теореме
\беля см. Ф. К л е й и. Лекции о развитии математики в XIX сто
летии, пер. с нем., М.—Л., 1937, стр. 138 и след. Прим. рсд.
-) См. статью В. В. Голубева «Работы II. Л. Чебышева ио
интегрированию алгебраических функций» («Научное наследие
11 Л. Чебышева, вып. I, Математика», М.—Л., 1945).
МАТЕМАТПЧ. СТАТЬИ В ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКОМ СЛОВАРЕ 229
расположенной в вертикальной плоскости. Время I, ко-
торое ей требуется для того, чтобы спуститься вдоль кри-
вой с высоты ;с до самой низкой точки ее,- есть заданная
функция / (.г); каково уравнение кривой? Задача приво-
дится Абелем к интегральному уравнению
Таким образом, Чебышев считает одним нз важнейших
достижений Абеля «прямое решение» некоторого инте-
грального уравнения. Это тем более знаменательно, что
основы общей теории интегральных уравнений были раз-
работаны только па рубеже XIX и XX веков1).
* *
*
Д’Аламберу в «Энциклопедическом словаре» посвя-
щена довольно большая статья в 10 страниц, состоящая
из двух частей. В первой части, написанной И. .1. . 1авро-
вым, излагается биография Д’Аламбера и освещается
его деятельность как участника «в борьбе XVIII в. со
средневековыми преданиями»; во второй части, написан-
ной М. В. Остроградским, кратко анализируется матема-
тическая деятельность Д’Аламбера. Отметим здесь, что
эта статья была перепечатана в сокращенном виде в «Энци-
клопедическом словаре» II. II. Березина (т. I, СПб.,
1873, стр. 419-120), сотрудниками которою состояли
П. Л. Чебышев, Е. 11. Золотарев, II. II. Сомов и другие
выдающиеся русские математики прошлого века. Мы
коснемся только математической части этой статьи и
статьи «Аламберово (о) правило».
В статье «Аламберово (с/’) правило» Ос 1 роградскпй
указывает, что Д’Аламбер в конце 17'12 г. «предло-
жил правило для составления уравнения движения си-
стемы вещественных частиц, подверженных действию
каких ни есть сил. Это правило носит имя своего
Э Задаче Абеля II. II. Сомов посвятил момуар «Замечание о ре*
Шенин одного вопроса механики, данном Хбе.тем», 1868.
230
В. Е. ПРУДНИКОВ
изобретателя Правило Д’Аламбера ведет к нахождению
уравнении движения системы, на частицы которой дей-
ствуют силы».
Остановившись несколько на разборе и формулировке
этого правила, Остроградскнй дальше пишет:
«Д' Хламберово правило приводит теорию движения
систем к теории их равновесия; такое приведение считают
важным усовершенствованием динамики, а потому п назна-
чают Д’ Хламберову правилу одно из почетнейших мест в этой
науке. Д’Аламбер приложил с успехом свое правило к раз
личным вопросам о движении тел твердых и жидких, для
которого он первый хал уравнения, т с. подчинил это дви
жение математическому анализу».
В то же время Остроградскнй указывает, что Д’Алам-
бер не был в состоянии предложить общей теории движе-
ния систем, потому что «в его время нс знали, как выра-
зить математическим языком свойства или определение
какой ни есть системы тел, и нс имели общего способа для
выражения равновесия сил, или, правильнее, нс знали,
как приложить этот способ*. Это сделал, по мнению
Остроградского, Лагранж:
«[Лагранж] выразил связп систем математическим язы-
ком и приложил к Д’А шмберову правилу начало моментов
или волмоленых скоростей, доставляющее общее выражение
равновесия сил. Уравнения движения систем вообще были
следствием глубокой идеи великого геометра».
«Не должно думать однако же, как многие полагают, что
знаменитое открытие . (аграижа положило предел, за который
динамика не может перейти, что в этой науке не осталось для
исследований предметов, собственно ей принадлежащих, и что
недостатки в ней происходят от малой обработанное™ чистого
анализа. Динамика сама представляет, и конечно всегда
представлять будет, материалы для изысканий, усовершен
ствовапий, открытий; у науки нет конца».
Своими исследованиями по аналитической механике
Остроградений, как известно, показал справедливость
только что приведенных слов.
МАТЕМАТПЧ. СТАТЬИ В ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКОМ СЛОВАКЕ 231
Очень интересно мнение самого Ocipoi раде кого о
«Д’Аламберовом правиле»:
«Не псе геометры приписывают одинаковую важность
(’Аламберову правилу. Эйлер никогда не употреблял этого
право ш, Хмиер также мало дает ему веса. В частном разгово-
ре об этом предмете, он выразился категорически: «D Х1сш-
berl a escainote la Dynainiquo ’). Позволяем себе предложить
собственное мнение. Допуская силу инерции, которую отвер-
гнуть и невозможно и которая всеми принята, т. о. допуская,
что материя противодействует изменению в ее движении
равновесие сил движущих, приложенных к системе, и сил.
проявляющихся от противодействия материи, или сил нт*р-
НИ11, усматривается с совершенною ясностью; ибо то, что из
движущих сил не уничтожается связями в системе, то очевид-
но должно уничтожиться силами пперцни. Таким образом
равновесие сил всегда представляется само собою и с очевид-
ностью. а следовательно правило для приведения вопроса
к этому равновесию делается решительно излишним».
В статье «А.тамбер (</)» о математических заслугах
последнего Остроградскпй говорит:
«Д’А шмбер предложил замечательный способ для инте-
грирования совокупных дифференциальных уравнений, за-
нимался с успехом предметами иебесиой механики, как-то:
движением планет, их фигурою и теорпею лупы. Но и| и
вычислении движения планетных атмосфер, он не имел боль-
шого успеха. Геометрия обязана Д Хламберу введением
в нее нового рода особенных точек кривых iiniiiii, называемых
точками возврата 2 го рода... Существование таких точек
отрицали первостепенные геометры того времени I, Хламбер
имел свой особенный взгляд на дифференциальное исчисление,
на анализ вероятностей, на основные динамические теории
и проч. Интегральное исчисление обязано ему некоторыми
исследованиями об эллиптических функциях, впоследствии
получивших огромное значение в анализе. В алгебре он пока-
зал вид корней уравнений и проч, и проч.».
L) «Д А.тамбер скрыл (или затушевал) динамику».
232
В. Е. ПРУДНИКОВ
Во всех математических трудах Д’Аламбера Остро-
градский подчеркивает «необыкновенную проницатель-
ность п ясный взгляд, освещающий самые темные места
рассматрп наемых п редмето в».
Остроградскпй считает ошибочным мнение некоторых
математиков, приписывающих Д’Аламберу первые опыты
интегрирования уравнений в частных производных. Та-
кое открытие, по мнению М. В. Остроградского, следовало
бы поставить на первое место среди математических
открытий Д’Аламбера, «по мы полагаем, что оно при-
надлежит не Д’Аламберу, а Эйлеру»1).
Разбираемая статья Остроградского важна и в том
отношении, что здесь великий русский математик выска-
зал свое мнение об Эйлере:
«Хотя Клеро и Даниил Бернулли были современниками
Д'Аламбера, но история математики, без сомнения, назвала
бы последнего первым геометром своего времени, если бы
Эйлер, одни из величайших математиков всех времен, не
был также его современником».
Упомянем в этой связи, что знаменитые «Письма к не-
мецкой принцессе» Эйлера Остроградский считал образ-
цом «всякой начальной научной книги, где должны быть
осуществлены два главные требования: полнота содер-
жания и полнота изложения»2).
Э Следует указать, что Остроградскпй был в этом вопросе не-
прав. Д’Аламберу нринад южат важные и основоположные работы
но интегрированию уравнений с частными производными, в частности
уравнения колебания струны, и его заслуги в этой области не
умаляются блестящими исследованиями Ойлера. Вместе с тем.
Д’Аламбер пе был первым ученым, введшим точки возврата второго
рода, о которых говорится уже в «Анализе бесконечно-малых»
„1оииталя 1696 г.; .Доипталь, правда, не привел конкретных приме-
ров кривых с такими особенностями. Существование точек возврата
второго рода отрицал Ж. И. де Гюа де Мальв (1740): Эйлер на
примерах показал (1749) ошибочность мнения этого математика.
Прим. ptd.
2) J. К и р п и ч с в, Начала баллистики, СПб., 1879, стр. 12.
Для характеристики просветительной деятельности М. В. Остро
градского заметим, что он состоя.! редактором математического отде-
ла «Энциклопедического словаря» А. А. Плюшара (1835—1841) и
поместил в нем следующие небольшие заметки: «Абелевы функции».
«Арнфмография», «Хрифмология» и «Амплитуда».
МАТЕМАТПЧ СТАТЬИ В ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКОМ СЛОВАРЕ 233
* *
*
В Я Буняковскнп напечатал в «Энциклопедическом
словаре, составленном русскими учеными и литерато-
рами» около пятидесяти статей и заметок различного со-
держания 1). Важно отметить, что Ьуняковскпй считал
необходимым ознакомить читателей с такими замеча-
тельными русскими педагогами-математиками XX III и
первой половины XIX веков, как Д. С. Хпичков, Ji. Б*. \р-
шспсвскнй, II. А. Афанасьев, Ji. А. Кнкудович.
Самой большой по объему (14 стр.) является статья
Буняковского об арифметике. В этой статье автор кратко
излагает историю развития арифметики, начиная с до-
исторических времен. Происхождение арифметики он свя-
зывает с потребностями практики:
«Люди ста in считать с того уже времени, как состави-
лись общества; они, без сомнения, знали число членов своих
семейств, считали дни, годы своей жизни, вели счет стадам,
производили между собой разделы и нр.».
Дальнейшие успехи арифметики Бупяконский свя-
зывает с расширением круга деятельности людей, уве-
личением и усложнением их взаимных сношении, преи-
мущественно торговых. Ji развитии арифметических зна-
ний он особую роль отводит Инфа!ору, Евклп [у и (ин-
фанту:
«Пифагор славился своими познаниями в арифметике,
геометрии, астрономии, физике и музыке. Утверждают, что
он с особенною любовью занимался исследованиями о свой-
ствах чисел Несомненно то, что действительно в его школе,
возникли п были решены разные вопросы, послужившие
к обогащению арифметики. З аконы, между прочим, теория
фигурных чисел, задача о разложении квадрата па два ipy-
гих в рациональных числах, усовершенствование письмен-
ного счисления и нр. Здесь, для предупреждения всякого
недоразумения, должно заметить, что у греческих математн-
) Часть этих заметок («Арифмографня», «Апотома» и ip.)
ыла без изменения перепечатана из 1-го тома «Лексикона чистой
и прикладной математики» (СПб., 1839) В. Я. Буняковского.
В. Е. ПРУДНИКОВ
ков. и еще после них долгое время, арифметика сливалась
с разными исследованиями, которые относят теперь к нашей
a ireope и к теории чисел. В этом отношении арифметика древ-
них много обязана Евклиду и в особенности Диофанту».
Дальше Буняковскпй останавливается кратко на ло-
гистике (практическом арифметике) древних греков и
более подробно говорит о различных системах нумера-
ции: греческой, римской, славянской, арабско-иидус-
ской, о десятичных дробях, как «самом важном обога-
щении нашей арифметики», и о развитии «числительного
искусства» в древней Руси. Последнее является наиболее
интересной частью статьи Пуликовского об арифметике.
Здесь же автор разбирает одну древнерусскую арифме-
тическую рукопись п дает оценку учебнику арифметики
.’I. Ф. Магницкого. Упомянутая рукопись содержала в себе
такие части: «Аритметика или щислсиис: гиометрия; о часех
сиатерцчиых пли солнечных; козмография или описания
света; архитектуре мплитарис доктрина».
Арифметика в рукописи разделена на три книги:
в первой излагаются «начальные четыре правила», по-
втором «познание фракт» (дробей), в третьей «регула
трех» (тройное правило).
помянутую рукопись Буняковскпй высоко оцени
васт, потому что в иен он находит подтверждение своего
мнения о том, что предмет арифметики надо ограничи-
вать изложением «правил для произношения всяких
чисел, для изображения их приличными знаками и, на-
конец, для upon шо детва над ними различных выкладок
или (епствнй». Это мнение Буняковскпй и положил в ос
нову своего известного учебника арифметики.
Что касается «Арифметики» Л Ф. Магницкого, то это
учебное руководство Буняковскпй оценивал так:
«. В паше время незнакомые с трудом Магницкого отзы-
ваются о нем с некоторым пренебрежением и представляют его
в каком-то шуточном виде. Такое предубеждение лишено
основания; книга его исполнена добросовестно; изложение
в ней ясное, п если примем в соображение тогдашнее состоя
ине математических наук в России, то пе можем отказать ей
[аже в полноте сообщаемых сведений».
МАТЕМАТ11Ч. СТАТЬИ В ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКОМ СЛОВАРЕ 235
Мы не будем останавливаться на других статьях п за-
метках историко-математического содержания, которые
Буняковекпй поместил в «Энциклопедическом словаре»1).
Уже из сказанного ясен немалый интерес Буняковского
К вопросам истории математики
* *
*
Из десяти статей и заметок И И. Сомова, напечатан-
ных в названном «Энциклопедическом словаре», мы оста-
новимся па «Алгебре». В этой статье Сомов дает краткую
историю развития алгебры. Первым учителем алгебры он
считает математика Абу-Джафара Мохаммеда-бен-Мусу
Альховарелмп2), который написал около 830 г. популяр-
ное а пебрапческое руководство для решения вопросов
о наследствах, о завещаниях, о тяжбах, торговле в об
измерения земель, прорытии каналов п т. д.
«В этом сочинении европейцы почерпнули первоначаль-
ные незнания из алгебры; поэтому ее автора можно считать
первым нашим учителем важнейшей отрасли математических
знаний».
Однако Сомов не считает ал-Хорезми основоположни-
ком алгебры.
<Хотя до Мохаммеда-бен-Мусы, ио свидетельству араб-
ских писателей, не было алгебры па арабском языке, нельзя
одиакожь почитать его изобретателем этой пауки Нельзя
даже, но написанному им элементарному руководству, судить,
как обширны были познания арабов IX-го века в алгебре.
J) Приведем еще лишь интересное высказывание Буняковского
о «Псаммите» («Хренарне») Архимеда: «Ареиарип Архимеда пред-
ставляет весьма любопытный памятник древнего греческого счи-
сления и, сверх того, примечателен в том отношении, что Архимед,
рассматривая геометрическую прогрессию чисел, указывает на свой-
ство, но которому произведение нескольких се членов может быть
получено посредством сложения. В этом свойстве усматриваем
я рвын зародыш теории логарифмов, но.1\чпвшен впоследствии
столь важное значение».
) To-есть Мохаммеда-беи-Муса ал-Хорезми, уроженца Хорезма.
236
В. Е. ПРУДНИКОВ
Вероятно, Мохаммед-бон-Муса знал больше того, что поме-
стил н своем сочинении. Если искать зародыша алгебры в ре-
шении уравнении, то мы найдем его в древнейших творениях
греческих геометров. Предложения 27, 28, 29 и 30 шестой
книги «Геометрических начал» Евклида ведут к построению
корней уравнения 2-й степени и в сущности не отличаются от
тех, которые дает Мохаммед-бен-Муса в своей алгебре»J)
Большое значение в развитии алгебры Сомов придает
Диофанту при этом он полагал, что Хорезми знал
«анализ Диофанта, но умолчал об нем, как о предмете,
имеющем мало приложений в практических вопросах».
Затем Сомов выясняет роль в развитии алгебры ин-
дийских ученых, Леонардо Фибоначчи, , 1уки Иаччиолп,
Тартальп, Кардано, Виета, Декарта, Ньютона и Эйлера.
«Дальнейшие (после Ньютона—Е. П.) усовершенствова-
ния алгебры, наравне с друтимп частями анализа, принадле-
жат плодовитейшему из математических гениев, Эйлеру.
Трудно указать па теорию в анализе, к которой не приложил
бы руку этот великий геометр. Он написал элементарную
алгебру, которая всегда останется образцом простоты и ясно-
сти изложения; его сочинение, «Introdiiclio in analyst n infi-
nitorum» (1748 г.) есть стройное изложение общих апалптп
ческих методов и приложений их к геометрии. Мемуары ака-
демий берлинской и петербургской наполнены статьями Зиле
ра об алгебре».
Касаясь развития алгебры в XIX веке, Сомов остапан
ливается на открытиях Коши, Эрмита, Коли, Си и»востра
и др. Особое внимание он уделяет алгебраическим откры-
тиям Абеля и Галуа.
«В 1829 г. гениальный геометр нашего столетия, Абель,
доказал, что не всякое уравнение 5 й степени pa ipciniiMO в ра
дпкалах, так что должно на решение уравнений высших сте-
пеней смотреть как на особенное алгебраическое действие,
которое только в частных случаях может быть приведено
J) Теперь известно, что еще за 2000 лет до н. э. задачи на ква
дратные уравнения умели решать древние вавилоняне.
МАТЕМАТИЧ. СТАТЬИ В ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКОМ СЛОВАРЕ 237
к другим простевшим действиям... По следам Абеля занимал-
ся Галуа (Galois) изысканном условий, при которых уравне-
ния разрешимы в радикалах».
Давая общую оценку разбираемой статье Сомова, мы
должны сказать, что она содержи г интересный и тща-
тельно отобранный фактический материя г. Следует под-
черкнуть, что (’омов упоминает о работах Галуа, которые
лишь незадолго перед тем начали обращать па себя вни-
мание в ученом мире1). Приходится только пожалеть,
что в этой статье обойдены полным молчанием алгебран
четкие открытия II 11. ,Лобачевского и в списке рекомен-
дуемой учебной литературы по алгебре не упомянута его
замечательная «Алгебра пли вычисление конечных».
В большой статье об «Алгебраических знаках» (’омов
даст краткую историю развития алгебраической симво-
лики и упоминает о тех математиках, которые оставили
заметный след в этом развитии.
В «Энциклопедическом словаре, составленном русски-
ми учеными и литераторами» заметки Чебышева. Остро-
градского, Буняковского и Сомова принадлежат к числу
наилучших. Интересно отметить, что 11. .1 Чебышев
и другие крупнейшие математики считали важным лично
участвовать в популяризации математических знаний
для широких кругов читателей через энциклопедические
словари. Рассмотренные заметки показывают также, что
наши знаменитые математики питали глубокий интерес
к истории своей пауки и в помещаемом в словаре мате-
риале отводи ш достаточное место для исторических
све щиий.
*) В это же время Д. Д е л а р ю дал в своей магистерской дис-
сертации «Общая теория алгебраического решения уравнений»
Харьков, 18(И) первое па русском языке изложение теории Галуа.
< м. С у in к е п и ч А. К., Материалы к истории алгебры в России
«Псторпко-матемагнческие исследования», вып. I\, М.—. I , Юл1,
стр. 31!) ц след.).
П. Л. ЧЕБЫШЕВ И ПОПУЛЯРИЗАЦИЯ
МАТЕМАТИКИ В РОССИИ
С. А. Далия
В своей патриотической заботе о росте и ра< прос гра-
нении матоматическон культуры в России II Л Чебышев,
как и другие корифеи русской математики, всегда под-
держивал ценные начинания в области популяризации
математики Эта сторона просветительной юятелыюстп
Чебышева ма ю известна. В настоящей заметке мы хотим
осветить его заслуги в развитии отечественной популярно-
математической периодики.
Как известно, с 1856 ио 1873 г. Чебышев состоя.! членом
Ученого комитета Министерства народного просвещения.
Это официальное положение в сочетании с высоким науч-
ным авторитетом позволило Чебышеву оказать большое
благотворное влияние па многие стороны математиче-
ского просвещения в России, в том числе на развитие на-
шей популярно-математической журнальной деятельности.
Первым известным нам ирон влей нем этого явилось
содействие Чебышева инициативе вп.теиского астронома
М. М. Гусева, приступившего в 1861 i к изданию двух-
недельною «Вестника математических паук», второго ио
времени возникновения спецна.льно математического рус-
ского журнала, посвященного разработке и популяриза-
ции вопросов как высшей, так и элементарной матема-
тики, а также теоретической механики и физики1).
*) Первым математическим периодическим изданием в России
был «Учебный математический журнал» I». Купфера (Ревель,
1833—1834). Общую характеристику журнала Гусена см. и статье
И. Я. Д е п м а и а, «Русские математические журналы для учи-
теля» («Математика в школе», РАН, Д’ (>).
240
С. А. ДАХИЯ
Чебышев охотно откликнулся на обращенную в нему
просьбу Гусева использовать страницы нового журнала
для ознакомления более широких кругов русских чита-
телей с его работами, печатавшимися в специальных
изданиях Петербургской академии паук. В результате
этого в «Вестнике» появился перевод статьи Чебышева
«О преобразовании суставчатого параллелограмма», на-
печатанной по-французски в Бюллетене Петербургской
Академии в 1845 г.1 2).
Содействие Чебышева молодому математическому
журналу ио ограничилось разрешением опубликовать
в нем названную работу. По меньшее значение имел со-
став.ленный Чебышевым но предложению физико-мате-
матического отделения Академии наук-) отзыв ла «Вест-
ник». Отзыв этот был помещен полностью в «Журнале
министерства народного просвещения. Часть псофпциаль-,
пая» (L8G2, ч. 113, март, отдел 4, стр. 153).
Воспроизведем здесь этот документ, свидетельствую-
щий о поддержке великим ученым полезного начинания
на поприще развития нашей научной культуры3):
«В настоящее время Вестник есть единственное у нас
повременное издание, специально посвященное математике п ее
приложениям. Польза его нс подлежит сомнению, и Франция,
Англия, Германия, Италия имеют по носко тьку таких изда-
нии. Вестник Гусева, как видно из его программы и вышедших
номеров, не ограничивается одними статьями высшей мате
матпкп, а допускает статьи более пли менее элементарны»'
и не отвергает таких статей, которые, не имея особой важно-
сти, но могут быть удостоены помещения в академических
изданиях. Таким образом, Вестник открывает возможность
появления у нас таких математических трудов, которые без
J) В полном собрании сочинений П. Л. Чебышева (т. 4, М.—Л.,
1948) эта статья имеет заглавие «О некотором видоизменении колеи
чатого нараллело!рамма Уатта».
2) См. извлечения из протоколов Академии (заседания от2авг.
и 20 септ. 1861 г.), помещенные в т. 5 Полного собрания сочине-
ний II. Л. Чебышева (М.—Л., 1951), стр. 282—283.
3) Отзыв II. Л. Чебышева па «Вестник» не помещен нп в его
Полном собрании сочинений, нп в других известных нам публика-
циях, п освещенных деятельности Чебышева.
ЧЕБЫШЕВ II ПОПУЛЯРИЗАЦИЯ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ 241
того оставались бы навсегда неизвестными, но которые сами
по себе имеют некоторый интерес и, при дальнейшем развитии,
могут привести к результатам, важным для науки. Незави-
симо от пополнения нашей ученой литературы представле-
ние возможности появления в печати подобных трудов тем
более обещает пользы, что этим самым вызывается молодое
поколение к самостоятельным работам по математике и ее
приложениям».
Отзыв Чебышева способствовал уточнению несколько
неопределенной вначале программы «Вестника». Содер-
жание номеров журнала—особенно его второго тома—
показывает, что в своей редакционной работе I усов стре-
мился руководствоваться положениями, выдвинутыми в
этом отзыве. Мысль Чебышева, что в задачу популярного
издания должно входить воспитание у молодежи интереса
и способности к самостоятельному научному творчеству,
стала путеводной питью всего последующего развития
нашей популярно-математической печати.
Журнал Гусева, обещавший стать живым органом
популяризации математики в России, внезапно пре-
кратил свое существование в 1863 г. «во независящим от
издателя причинам» (как было глухо объявлено в «Жур-
нале министерства народного просвещения», 1863,
ч. 119, авг., отдел 6, стр. 112). Есть основания пола-
гать, что эти «причины» находились в связи с запрети-
тельными мерами, принятыми царскими властями ввиду
начавшегося польского восстания1).
Возникший спустя три года после закрытия Вилен-
ского «Вестника» орган Московского математического
общества «Математический сборник» выполнял в течение
первых нескольких лет функции как научного, так и
научно-популярного и методического журнала. Участвуя
в качестве автора первого—научного—отдела «Сборника»,
Ч бышев в то же время поддерживал основателей журнала
в стремлении к надлежащему развитию и второго—по-
пулярно-методического—отдела В этом отношении весьма
*) Указание II. Я. Денмана (в вышеназванной статье), что «Вест-
ник» закрылся только из-за недостатка подписчиков, нам представ-
ляется необоснованным.—С. Д.
16
Историно-матем. исследования
242
С. \. длхпя
показателен его специальный доклад Ученому комитету по
вопросу о выписывании для библиотек учебных заведе-
нии «Математического сборника». 11. Л. Чебышев указы-
вал, что «ознакомление учителей гимназий и учеников
высших классов» с содержанием статей второго отдела
сборника «обещает несомненную пользу» и что «„Матема
тичсскии сборник", как единственное у нас издание, где
такие статьи печатаются, должен быть приобретен гимна-
зическими библиотеками»1).
Быстрый рост оригинальной научной продукции мо
сковских математиков и невозможность расширить объем
«Математического сборника» но недостатку средств у изда-
телей привели к постепенному сокращению, а затем,
в конце семидесятых годов, и к ликвидации второго от-
дела журиа та
Между тем потребность русской учащейся молодежи
и учительства в попу.тярио-иаучпом математическом жур-
нале в эти годы неизменно росла; пробел, образовавшийся
в нашей периодике, требовал заполнения.
Эту задачу взял на себя в 1879 г. московский педагог
и популяризатор А. II. Гольдснберг, приступивший к из-
данию «Математического листка». Недостаток средств
у издателя, однако, вынудил последнего прекратить это
многообещающее издание на втором томе2).
Новые русские популярные журналы по математике
почти одновременно основали в 1884—1885 гг. проф.
В. И. Ермаков3) в Киеве и педагог-математик Н. Сени
гов в Петербурге.
«Журнал элементарной математики» Ермакова с его
программой, направленной па культивирование творче-
ских задатков молодых любителей и преподавателей ма-
тематики, быстро завоевал симпатии читателей п стал
родоначальником всей нашей последующей популярно-
математической печати.
х) Ч е б ы иг е в И. Л., Полное собрание сочинений, т. •»,
М.—Л., 1951, стр. 401—402.
2) Краткую характеристику «.Чистка» см. в указанной выше ста-
тье II. Я Денмана
3) О Ермакове и его журнале см. статью С. А Дахпя «Василий
Петрович Ермаков» в журнале «Математика в школе» (1952, X 6).
ЧЕБЫШЕВ II ПОПУЛЯРИЗАЦИЯ МЛТЕМ VJ.11KH В РОССИИ 243
Иначе сложилась судьба «Школы математики чисто й
и прикладной»—ежемесячного «журнала для учащих
учащихся и всех любителей физико-математических
наук», издававшегося II. Ссниговым1). «Школа» представ-
ляла собой своеобразное соединение учебно-самообразо-
вательного и научно-популярного журналов. В первой
из двух частей «Школы» печатались (с продолжениями)
элементарные математические курсы, принадлежавшие
перу самого издателя. Содержание этих курсов обна-
руживает отсталость методических позиций их автора,
пропагандировавшего отживавшие свой век педагоги-
ческие приемы («монографический способ изучения при-
роды чисел» и словесио-онисательпую пропедевтику гео
метрик2). Неудачное содержание основной учебной части
журнала предопределило неуспех журнала у читателей
(и его прекращение на Aii 3—4).
Между тем научно-популярная часть «Школы» пред-
ставляла значительный интерес. Здесь за педолгое суще-
ствование журнала Сеиигов довольно много сделал для
популяризации работ современных отечественных ма-
тематиков, главным образом Чебышева3). Заручившись
согласием последнего, II. Сеиигов воспроизвел в «Школе»
ряд новых его работ, посвященных проблеме преобразо-
вания движения. Так, в А» 1 за 1885 г. был помещен ме-
муар Чебышева «О преобразовании вращательно! о движе-
ния в движение ио некоторым линиям при помощи сочле-
ненных систем»4), в АЬ 2 было дано описание изобретенной
*) Указание па этот журнал отсутствует в обзоре И. Я. Денмана.
2) Здосьнелншне будет отметить, что Чебышев заяви.! себя ре-
шительным противником подобных пропедевтических курсов гео-
метрии (ср. его отзыв о сочинении Ефремова в Полном собрании со-
чинении, т. 5, М.—Л., 1951, стр. 344—345).
3) В заслугу «Школе.» должно быть поставлено также освещение
научной деятельности С. В. Ковалевской: в .V 1 журнала была по-
мещена перепечатанная из одного стокгольмского еженедельника
статья, в которой давалась высокая оценка математическим трудам
Ковалевской и приветствовалась инициатива Стокгольмского уни-
верситета, впервые в истории предложившего профессуру женщине.
) Этот мемуар был впервые опубликован но-фраицузскп
в «Bulletin de la Socicte nialhematiqiie de France», 1884, 12,
стр. 179—ig7 (Полное собранно сочинений, т. 4, М—Л., 1948,
стр. 161—166).
Иг
2-й
С. А. ДАХПЯ
им машины для хождения, в Л_ 3—4 появилась статья
«О простейших параллелограммах, симметричных около
одной оси»1). Кроме этих работ по теории механизмов, в
журна ie (Л:? 2) была перепечатана также знаменитая речь
Чебышева (1856) «Черчение географических карт», в ко-
торой, между прочим, с особой силой подчеркивалась
руководившая творчеством ученого идея о необходи-
мости теснейшего сближения математических теории с
практикой жизни. Наконец, в журнале был опубликован
подробный (из 52 названий) «Список сочинений академика
Чебышева».
Систематическая публикация «Школой» работ Чебы-
шева и материалов о сю трудах и изобретениях отражала
интерес русских учителей и любителей математики к твор-
честву их великого соотечественника.
В заключение подчеркнем, что постоянная помощь
Чебышева’делу популяризации математики в России была
ие случайным, а органическим элементом плодотворной
просветительной деятельности ученого и вытекала как
из его философско-методологических взглядов па связь
математики с жизнью, так и из его патриотических по-
буждений.
’) Впервые сообщено Французской ассоциации развития наук в
1878 г. (Полное собрание сочинений, т. 4, М —Л., 1948, стр.85—91).
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
В ОТЕЧЕСТВЕННЫХ
УНИВЕРСИТЕТАХ
И НАУЧНЫХ
ОРГАНИЗАЦИЯХ
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
С. Е. Белозеров
1. Введение
Ростовский государственный университет имени
В. М. Молотова существует уже свыше 80 лет. «За это
время его научные работники внесли большой вклад в раз-
витие различных разделов русской и советской пауки,
в том числе математики.
Свое существование Ростовский университет начал
в качестве русского университета в г. Варшаве, где нахо-
дился около 45 лот. В связи с военными событиями (1915 г.)
Варшавский университет вынужден был эвакуироваться.
Представители многих городов претендовали па то, чтобы
Варшавский университет был переведен к ним; однако
выбор остановился па Ростове н Д.
Математики Ростовского (Варшавского) университета:
М. А. Андреевский, 11.11. Алексеев, И. Я. Сонин, В. /V Ани-
симов, Г. Ф. Вороной, 11. 11. Эннии, В. II. Романовский,
Д. Н. Горячев, Д. Д. Мордухай-Болтовской и др.—дали
нашей стране ряд выдающихся работ и подготовили мно-
гих преподавателей математики средних и высших школ.
В годы Советской власти подготовка квалифицированных
кадров математиков в университете развернулась осо-
бенно успешно. Многие его питомцы играют видную роль
в развитии советской математики.
* *
*
Физико-математический факультет Ростовского (Вар-
шавского) университета—одинитвенный факультет уни-
верситета, прошедший фактически весь путь с момента
248
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
его основания до наших дней. Правда, с 1905 по 1908 г.
на нем, как и на всех факультетах, учебные занятия были
прерваны, с 1924 по 1931 г. вместо физико-математического
факультета су шествовало физико-математическое отделение
педагогического факультета, но научная работа в стенах
университета в области математики нс прекращалась на
протяжении всех 84 лет его существования.
По уставу университета, утвержденному в 1869 г.,
физико-математический факультет состоял из двух отде-
лений: естественного и математического. На физико-ма-
тематическом факультете при 10 профессорах и 5 доцен-
тах было учреждено 11 кафедр- 1) чистой математики,
2) механики, 3) физики, 4) астрономии и геодезии, 5) хи-
мии, 6) минералогии, геогнозии и палеонтологии, 7) фи-
зической географии, 8) ботаники, 9) зоологии, 10) техни-
ческой химии nil) агрохимии.
Физико-математический факультет Варшавского
университета создавался на базе физико-математического
факультета Главной школы, существовавшей в Варшаве
с 1862 г., и первыми преподавателями математических
дисциплин в университете явились бывшие преподаватели
Главной школы.
В главной школе математические дисциплины читали
пять преподавателей: Пснчарскпй, Зайончковскпй, Фропц-
кевич, Кветнсвскип и Бабчипский. В связи с сокраще-
нием объема работы по математике в университет перешли
только первые два из них.
Преподавание математики в Главной школе велось на
низком уровне, выбор математических дисциплин, по ко-
торым читались лекции, и объем курсов были случай
иымп. Такая же картина была и па физико-математиче-
ском факультете университета в первый год его существо-
вания. Так, например, наряду с включавшим все аналити-
ческие дисциплины общим курсом анализа, на который
отводилось 6 часов в неделю, читались начертательная
геометрия—5 часов, теория вероятностен 4 часа и теория
чпсел—4 часа. При этом чтение теории вероятностен
было поручено банковскому служащему Бауэру, неплохо
знавшему, повидимому, только финансовые и страховые
операции, а начертательная геометрия—преподавателю
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
249
Здание университета в Варшаве.
250
С. Е. I3J .ЮЗЕРОВ
технических школ, преподававшему только этот предмет.
Зайончковский читал еще специальный курс «Определен-
ные интегралы».
Первыми студентами университета были преимуще
ственио прежние студенты Главной школы, в подавляю-
щем большинстве своем поляки.
В 1869—1870 учебном году в университете было 1036
студентов, из них вновь принятых 200, переведенных и;*.
Главной школы 836. На физико-математическом факуль-
тете в этом году числилось 255 студентов: на 1-м курсе 47.
на 2-м—128, на 3-м—29 и па 4-м—51.
Подготовка студентов и организация учебной работы
по математике, судя по результатам экзаменов, были не-
удовлетворительными: лишь около 50% сту [еитов сдавали
экзамены по математике в установленное время. Ъ ровень
учебной и научной работы но математике в Варшавском
университете в первые годы его существования был
естественно невысок.
Перенесенные в Варшавский университет отсталые
традиции Главной школы и почти полное отсутствие здесь
математиков, активно занимавшихся научной работой,
пс давали возможности хотя бы несколько приблизить
уровень преподавания математики этого уииверт илота
к уровню преподавания университетов Петербурга,
Москвы, Казани, Харькова, Тарту (, (ерита).
Вскоре, однако, в учебной и научной работе но мате
матико произошел неролом в лучшую сторону. Это было
связано с приходом на работу в Варшавский университет
математиков М V Андреевского, П II Алексеева и, осо
беппо, II. Я. Сонина.
2. Первые профессора математики.
II. Я. Сонни
В 1870—1871 учебном году’ в степах Варшавского
университета начал свою кипучую учебную и научную
деятельность молодой магистр Михаил Аркадьевич Анд-
реевский (1847— 1879). К началу его работы в Варшав-
ском университете он был еще малоизвестным магематп
ком. В 1866 г. Андреевский получил степень кандидата
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
251
математических наук в Харьковском университете, а
в 1869 г. защитил в Московском университете Mai истер-
Михаил Аркадьевич Андреевский
(1847—1879)
скую диссертацию на тему: «0(5 интегрирующем множителе
дифференциальных уравнений 2-го порядка, вида
А +Ву' +Cy'm+Dy'm*4- II»1).
Будучи хорошо знаком с постановкой учебной работы по
математике в Харьковском и Московском университетах,
*) «Математический сборник», 1869, 4, стр. ИЗ—224; извлечения
из этой работы напечатаны в отчетах Парижской Академии наук.
252
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
Андреевский вместе с Зайончковским стремился под-
нять уровень преподавания математики и в Варшавском
университете, читая разнообразные математические курсы.
«Дифференциальных уравнений», «Вариационного исчис-
ления», «Теории чисел» и другие—в общей сложности ио
10 часов и более в педелю. В 1871—1872 учебном году он
организовал чтение специального курса по теории эллин
тических функций, дававшего много материала для науч-
ной работы ученых того времени и много тем для канди-
датских сочинений студентов. При выборе курсов для
чтения Андреевский руководствовался не столько пали
чием знатоков тех или других отделов математики, сколько
тон ролью, какую играет тот и ш иной отдел математики
в науке.
Андреевский был первым, активно работающим мате-
матиком в Варшавском университете. Своими работами,
печатавшимися в русских и иностранных журналах, он
первый сделал известным создающимся в Варшаве новый
центр математической мысли в Росспп. Уже в первый год
пребывания в Варшавском университете он закончил и за
щитил в Московском университете докторскую диссер
тацпю на тему: «Об интегрирован пи однородных диффе
репциальных выражений с некоторыми приложениями»1),
получив вслед за тем профессорское звание. В дальней-
шем Андреевский активно продолжал научную работу.
опубликовав ряд статей 2).
Андреевский был одним из первых математиков, па
чавших публикацию математических работ в «Варшавских
университетских известиях». Его работы «О некоторых
определенных интегралах» и «Исследование об определен-
ных интегралах», опубликованные в «Варшавских упи-
х) Варшава, 1870; извлечение из этого труда помешено в жур
нале «Matheinatische Annalen».
2) Об интегрировании однородных дифференциальных выраже-
ний высших порядков между несколькими переменными независимы-
ми, «Математический сборник», 1869, 4, стр. 105—138; «О числе всех
делителей нечетного числа, имеющих одну из линейных форм
4&+1, 4Л—1, 8А^р1, 8ЛфЗ, «Математический сборник», 1872, 6,
стр. 97—110; его работы публиковались также в трудах 2-го съезда
русских естествоиспытателем и в «Nouxelles annales de niatlie-
matiques».
МАТЕМАТИК к В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
253
всрсптетскпх известиях» (1870, 2 и 1873, 5), поло-
жили начало длинному ряду работ математиков Варшав-
ского университета в этой области.
К сожалению, преждевременная смерть не шла воз-
можности полностью развернуться дарованиям этого
многообещающего ученого.
Через год после начала работы Андреевского в Варшав-.
ском университете сюда же был назначен достаточно уже
известный в то время математик—Николай Николаевич
Алексеев (1828—1881).
Окончив в возрасте 111 ют физико-математический
факультет Московского универентега, Алексеев долгое
время работал преподавателем математики в военных
учебных заведениях и читал отдельные математические
курсы но поручению физико-математического факультета
Московского университета. Продолжая научную деятель-
ность, начатую еще в студенческие годы, Алексеев опуб-
ликовал ряд статей и учебников ио высшей математике.
Так, в 1861 и 1862 i г. Алексеев издал курс интегрального
исчисления1). Этот курс Алексеева но объему и орш оваль-
ности изложения материала представлял значительное
явление в русской математической литераторе; Алексеев,
в частности, пропагандировал методы и открытия М. В. Ос-
троградского и Н. Л. Чебышева в математическом анали-
зе. За этот учебник Академия наук присудила А юксееву
половинную (емидовскую премию. В 1864 г. Алексеев
опубликовал заметку «О приведении интеграла, содер-
жащего квадратичный корень из многочлена четвертой
степени, к канонической форме эллиптического инте-
грала и о вычислении модуля» 2). Через год он выпустил
курс аналитической геометрии3). В это же время он соста-
вил курс лекции ио теории эллиптических функции,
---------—
*) 1 icKcecH II., Начала интегрального исчисления,
ч. 1—2, М., 1861—1862.
2) А 1 е х е с f f N., Sur la nduction d’une integrate, contenant
an radical de second degre d’un polynome de qualrieme, a la forme
canoni {ue d’une intcgrale olliplique el sur le calcul du modul,
«Comptes rendus de I’Acadiinie des sciences de Paris», 1864, 59,
стр. 244—248.
) «Аналитическая геометрия па плоскости», пып. 1 М., 1865.
254 С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
читанный им в Московском университете (по неизвестной
причине курс не был издан).
Бу (учи одним из членов-учредителей Московского
математического общества, Алексеев обязан был в пом
«следить за успехами интегрирования иррациональных
функции и эллиптических функции и сообщать в заранее
назначенные сроки письменные отчеты и словесные объяс-
нения о своих занятиях». В печатном opiaHe Общества
«Математическом осборникс» Алексеев принял участие
с момента его основания. Гак, в нервом томе «Математн
ческого сборника» нм помещены две статьи: «Свойство
интегралов от алгебраических иррациональных функ-
ций, которые выражаются одними логарифмами»1), и
«Интегрирование дифференциалов, содержащих корень
квадратный из многочлена четвертой степени, и дифферен-
циалов, содержащих корень кубичный и i многочленов
третьей степени» 2) Во втором томе он опубликовал статью
«Криволинейные ортогональные координаты в прило-
жении к исследованию кривизны кривых на различных
поверхностях»3), в третьем—«О значении интегрирующего
фактора при определении вида интеграла дифференциаль-
ного однородного у равнения первого порядка» 4) и в пятом
«Исследование о функциях, подобных функциям Je
жандра» 5).
В 1868 I., на 1-м съезде русских естествоиспытателей
Алексеев сделал доклад на тему: «Об эллиптических ин-
тегралах с различными модулями».
Совокупность трудов Алексеева дала Московскому
университету полное основание присудить емуг в 1869 г.
ученую степень доктора математических наук без за-
щиты диссертации—honoris causa.
Таким образом, когда Алексеев в 1871 г. был назначен
ординарным профессором кафедры чистой математики
Варшавского университета, он имел уже большой опыт
учебной и научной работы в Москве. Будучи профессором,
1) «Математический сборник», 1866, 1, стр. 173—186.
-) «Математический сборник», 1866, 1, стр. 187—212.
3) «Математический сборник», 1867, 2, стр. 79—128
4) «Математический сборник», 1868, 3, стр. 260—262.
в) «Математический сборник», 1870, 5, стр 125—144.
.МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
255
а затем деканом физико-математического факультета Вар-
шавского университета, Алексеев в значительной мерс
способствовал поднятию уровня учебной и научной работы
по математике в этом университете. В 1877 г. Алексеев
вышел в отставку.
За свое шестплетнее пребывание в стенах Варшавского
университета Алексеев прочитал ряд курсов но аналити-
ческой геометрии, высшей алгебре, теории определенных
интегралов, интегрированию дифференциальных урав-
нении, теории вероятностей и др. В то же время Алексеев
продолжал упорно работать пад у совершенствованием
курса ио интегральному исчислению, и затем выпустил
его вторым изданием с дополнениями и изменениями1).
Тогда же он нодготови.т для издания курс интегрирова-
ния дифференциальных уравнений, начинал работу «Об
иптегрнру ючцем факторе дифференциальных уравнений
первого порядка чч первой степени» чч ряд других.
Все этчч труды выдвинули Алексеева в число видных
русских математиков XIX века. В 1879 г. Алексеев был
приглашен чча должность адъюнкта ио разделу чистой
математики Петербургской Академии наук. К сожалению,
Алексее чч пробыл в той должности только полтора года,
успев написать за это время только две математические
работы. Внезапная смерть оборвала его плодотворную
деятельность.
Особенно значительную роль в превращении физико-
математического факультета Варшавского университета
в одни из центров математической мысли и подготовки
математических кадров чч России сыграл Н. Я. Сонин,
проработавший чч этом университете 20 лет. Деятельность
Н. Я. Сонина незаслуженно мало освещена чч пашей исто-
рико-математической лчч тературе2).
*)• Алексеев 11. 11., Интегральное исчисление, ки. t—2,
изд. 2-е., М., 1874.
’ 2) В пятом выпуске «Петорико-математичеекпх песледоччаиип»
(19о2) В. В. Гуссов проанализировал работы 11. Я. Сонина ио теории
гамма-функиин, а Р. Я. Шостак чч статье, ноеччячцеиччой А. В. Лет-
пикову, коснувшись дискуссии между \. В. Летникоччым чч И. Я. Со-
256
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
Николай Яковлевич Сонин родился 22 (10) февраля
1849 г. в гор Туле, в обедневшей дворянской семье.
В раннем детстве его привезли в Москву, где отец его
Николаи Яковлевич Сонин
(1849—1915)
состоял сначала на государственной службе, а затем за-
нимался адвокатурой. Одиннадцати лот Сонин поступил
ниным, рассмотрел работу II Я. Сонина «О дифференцировании
с произвольным указателем». Но и в этих работах рассматривается
только небольшая часть научного творчества Н. Я Сонина. (В на-
стоящем выпуске «Историко-математических исследований» в ста-
тье В. В. Гуссова подробно рассмотрены работы Н. Я. Сонина по
цилиндрическим функциям. См. стр. 390—412. Прим, ред.)
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
257
в Ш класс 4-й Московской гимназии, где в то время пре-
подавали известные математики-методисты А. Ф. Малинин
п В. II. Буренин. В 1865 г. Сонин окончил курс гимназии
с золотой медалью и в том же году поступил на физико-
математический факультет Московского университета.
В это время начиналась интенсивная научная деятельность
московских математиков.
В университете Сонин слушал лекции М. Ф. Хандри-
кова, А. 10. Давидова, В. Я. Цннгера, В. II. Бугаева,
ф. А. Слудского, Ф. А. Бредихина, Ь. Я. Швейцера,
А. Г. Столетова и II. А. Любимова. Особенно сильное
влияние на развитие научных интересов Н. Я. Сонина
оказал II. В. Бугаев, работавший в различных областях
математического анализа и теории чисел. EyiacB впервые
в Москве читал курс теории функций комплексного пе-
ременного, одним из активных слушателей которого был
Сонин. Под руководством Бугаева студент Сонин напи-
сал работу на тему: «Теория функций мнимого перемен-
ного»1), за которую получил в 1869 г. золотую медаль.
В этом же году Сонин окончил университет со степенью кан-
дидата и был оставлен Бугаевым для подготовки к маги-
стерским экзаменам. В начале 1871 г. он сдал все экза-
мены на степень магистра математики и был приглашен
преподавателем элементарной алгебры и аналитической
геометрии на московские женские курсы, где проработал
полтора года.
В конце 1871 г. Сонин защитил магистерскую диссер-
тацию «О разложении функций в бесконечные ряды»2)
и затем был назначен в Варшавский университет в каче-
стве доцента кафедры чистой математики, которую воз-
главлял в то время Андреевский. Хорошо эрудирован-
ный и имеющий ужо некоторый опыт преподавательской
работы, Сонин сразу стал деятельным помощником Ан-
дреевского и Алексеева, работавших над улучшением
учебной и научной работы в Варшавском университете.
В 1872-1873 учебном году Сонину поручают «менее
9 Этой работы нам пс удалось обнаружить ни в архивах Ml
ни в других московских архивах,—С. />’.
323 ) <‘^атематически11 сборник», 1870, 5, стр. 271—302; стр.
17
Историко-матем. исследования
258..
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
важные курсы»: алгебру, теорию дифференциальных
уравнений и вариационное исчисление. Успешно справ-
ляясь с чтением этих курсов, стараясь внести в них но-
вый материал научных исследований, Сонин вместе с тем
работал над докторской диссертацией. В 1873—1874
учебном году ему была предоставлена командировка за
границу, где он слушал лекции крупных французских
ученых: Лиубилля, Эрмпта, Бертрана, Серре и Дарбу.
Дальнейшие быстрые успехи в научной работе и слу-
жебной деятельности говорят о большом математическом
и педагогическом таланте и организационных способно-
стях Сонина. Как было уже сказано, не прошло и двух лет
после окончания университета, как 22-летний Сонин ста-
новится магистром, в 25 лет—доктором математических
наук, в 28 лет—экстраординарным, а в 30 лет—ординарным
профессором. С 1877 г. Сонин—секретарь факультета,
а с 1885 по 1891 г.—декан и исполняющий обязанности
ректора во время отсутствия последнего. С 1891 г. Сонин—
член-корреспондент Петербургской Академии наук, а с
1893 г.—академик.
Работая в Варшавском университете, Сонин был дол-
гое время председателем физико-химического отделения
и вице-председателем Варшавского общества естество-
испытателей, устав которого был выработан им совместно
с профессором химии А. Л. Потылпцыным.
В 1892—1899 гг. Министерство народного просвещения
назначало Сонина Председателем университетских испы-
тательных комиссий в Петербурге, Москве, Киеве н
Одессе. С 1894 г., проживая в Петербурге, он читал
лекции по математике на Высших женских курсах и в
Петербургском университете.
С 1899 по 1901 г. Сонин—попечитель Петербургского
учебного округа, а с 1901 г.—председатель Ученого ко-
митета и член Совета Министерства народного просвеще-
ния. Следует отметить, что в назначении Сонина на эти
важные административные посты играли роль не только его
организационные способности, но и его консервативные
политические взгляды. Под его руководством был выра-
ботан ряд (далеко не демократических) проектов повых
положений: о частных учебных заведениях, о мужских
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
259
гимназиях, о женских гимназиях, о подготовке учителей
и др. Н. И- Афанасьев1) характеризует Сонина в роли по-
печителя округа как сторонника «строгой законности во
всех проявлениях университетской жизни» и решительного
противника студенческого движения
Вместе с тем как крупный ученый ('опин мною сделал
для развития математической науки в России.
В связи со смертью Андреевского и с уходом из универ-
ситета Алексеева на Сонина легла главная ответствен-
ность за учебную и научную работу по математике в Вар-
шавском университете. Он не допустил снижения уровня
этой работы; более того, Варшавский университет обязан
ему существенным ее подъемом.
За время работы в Варшавском университете Сонин
читал курсы высшей алгебры, аналитической геометрии,
дифференциального и интегрального исчисления, вариа-
ционного исчисления, теории чисел, теории дифферен-
циальных уравнений, начертательной геометрии, исчис-
ления конечных разностей, математической физики и др.
В это же время под его руководством читался ряд специаль-
ных, необязательных курсов Например, приват-доцент
М. А. Барапецкий, работавший в университете с 1875
по 1885 г., читал курсы: теории определителей, синтети-
ческой геометрии, теории la.Tja и др.2 * * s).
Специальный курс «Определенные интегралы» в Вар-
шавском университете имеет свою историю. Его начали
читать с момента основания университета, затем он был
более глубоко разработан Алексеевым и Андреевским.
От Андреевского этот курс перешел к Сонину. Работая
главным образом в области определенных интегралов,
Сонин использовал указанный курс, чтооы заинтересовать
своих учеников, привлечь их к работе в этой же области.
Курс определенных интегралов перешел затем от Сонина
J) «Современники. Альбом биографий», т. 1, СПб., 1909,
стр. 272—273.
2) М. А. Баранецкнй—автор руководств на польском языке:
«Arytmetyka i algebra», Варшава, 1875; «Teoria ^yznaeznikow
(determinantow). Kurs universitetski», Париж, 1879; «Poczgtkowy
^yklad sintetiezny przeciqc stozkowych na podstaMie ich pokrcwicn-
stwa harmomeznego z kolcin», Варшава, 1885, и некоторых других
17*
260
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
к его ученику и преемник у по кафедре Н. Н. Зинпну,
работавшему тоже в областп определенных интегралов.
В дальнейшем этот курс читали В А. Анисимов и
Д. Д. Морду хай-Болтовской; в этом направлении был
выполнен ряд студенческих работ и кандидатских дис-
сертаций.
Сонину принадлежит почин и в постановке практи-
ческих занятий по математике в Варшавском универси
тете, игравших большую роль в повышении знаний сту
центов и в сближении профессора со студентами.
В отличие от Андреевского, отвергавшего «уместность
практических занятии по математике» и считавшего, что
«студентам в стенах университета достаточно усвоить
только общие теоремы», Сонин уже в 1879 г. ведет иракти
ческие занятия по анализу, которые затем были пере
даны Барансцкому. 11. С. Назимов, работавший доцентом
в Варшавском университете с 1886 по 1889 г.1), пытал-
ся наладить постановку практических занятий по ма
тематике более систематически и глубоко, ио удалось
это осуществить только Д. Д. Мордухай-Болгонском\
в 1909 г.
Большую роль сыграл Сонин и в разработке повышен-
ных требований к кандидатским диссертациям; эти тре-
бования направлены к активизации роли профессора
в выборе темы и в руководстве работой над ней, а также
к более тесной связи профессора со студентами па почве
научных интересов.
В своих лекциях Сонин излагал наряду с основным
программным материалом новые результаты исследований,
и собственные и других ученых. Излагая материал в доступ
ной форме, он вместе с тем старался подвести своих слу
х) За этот период II. С. II а з и м о в опубликовал ряд работ
в «Варшавских университетских известиях»: «Некоторые свойства
бинома Ньютона», 1888, Aii 9; «Вычисление вероятностен a poster!
ori», 1889, № 1; «Об уничтожении члена с ту в уравнении кривой
2-го порядка», 1889, Ла 2; «О нрнмененпп способа наименьших
квадратов к случаю,когда неизвестные удовлетворяют некоторым
точным условиям», 1889, Л" 5. В это же время он опубликовал работу
«О сумме чисел взаимно простых с данным числом А и не превышаю'
щнх другого числа Р», «Математический сборник», 1883, П»
стр. 603—610.
МАТЕМАТИКА И РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
261
тателей к пониманию современных проблем математики
и сам стремится разрешить те неясные вопросы, которые
возникали в процессе подготовки к лекциям. Ряд заметок
и научных статен, опубликованных Сониным, возник,
невидимому, при работе над тем или другим курсом1)
(такое предположение мы высказываем па основании не-
которых указаний самого Соиииа, сопоставления времени
выхода в свет этих работ со временем чтения Сониным
соответствующих курсов и па основании того, что многие
из этих вопросов никак ио связаны с его основными науч-
ными интересами).
В год окончания университета (1869 г.) Сонин выступил
с докладом па 2-м съезде русских естествоиспытателей
и врачей в Москве па тему: «О дифференцировании с произ-
вольным указателем»2). В дальнейшем, дополнив получен-
ные результаты, ('опии опубликовал в «Математическом
сборнике» большую статью под указанным названием
(1872, 6, стр. 1—38). Это была первая печатная его ра-
бота. Д. Д. Мордухай-Болтовской, оценивая эту работу
Сонина, писал: «Первая работа II. Я Сонина... по похожа
на работу двадцатилотпого юноши. Автор уже вполне
зрелый научный работник, вступивший как равный в ряд
ученых, запятых этой в то время модной темой, уверенно
критикующий своих старших коллег и мастерски развер-
тывающий теорию дифференцирования с произвольным
х) С о н и н II. В., Заметка о выводе уравнений распростране-
ния теплоты в кристаллах, «Варшавские университетские известии»,
1877, Аг 6; Ободной задаче вариационного исчисления, статья 1—2,
«Записки Математического отделения Новороссийского общества
естествоиспытателей», Одесса, 1885, 6, стр. 1—13, 93—109; Об
определении максимальных и минимальных свойств плоских кри-
вых, «Варшавские университетские известия», 1886, As 1—2; Об
остатке формулы Тейлора, «Варшавские университетские известия»,
1891, Л*2 5; Об остатке формулы Стирлинга, «Протоколы заседаний
отделения физики и химии Варшавского общества естествоиспыта-
телей», 1889, А» 2, стр. 1—3; О так называемом физическом законе
фан-дср-Ваальса, «Протоколы заседаний отделения физики и хи-
мии Варшавского общества естествоиспытателей», 1889, Аг 5,
стр. 9—ц, Д‘„ СТр [—з; q производных функциях высших поряд-
ков, «Известия Академии паук», 1891, Аг 1, стр. 341—312.
2) Доклад опубликован в «Протоколах 2-го съезда русских
естествоиспытателей и врачей», Спо., 1869.
262
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
указателем, взяв новую исходную точку этой теории»1).
II хотя Мордухай-Болтовской несколько переоценил зна-
чение первой работы Сонина, так как в ней содержатся
неясные и даже ошибочные утверждения, все же эта ра-
бота заслуживает быть отмеченной. Она интересна не
только потому, что юный автор ее выступил со смелой
критикой своих старших коллег, в результате чего воз-
никла полемика Сонина с Летниковым, но и в том от-
ношении, что уже в этой работе Сонина выступает ха-
рактерная для его творчества тенденция—замена, ка-
залось бы, «естественных» исходных точек исследуемых
теорий, другими, ведущими к более широким обобще-
ниям.
Не останавливаясь на полемике Сонина с Летнико-
вым2), необходимо указать здесь, что и сам Летников в
своей ответной статье3) не охватывает основные резуль
таты, полученные Сониным в этой работе. Летников,
отстаивая положения, высказанные им в магистерской
диссертации4), и справедливо указывая на ошибки
в работе Сонина, вместе с тем писал об основной общей
формуле Сонина в этой работе для производной поряд
ка р
dPf(x) _ г (р+1) С /(«И*
dxP 2тЛ J (а — х)Р 1 ’
а
что «эта формула, дающая при р = 0, 1, 2, 3, ... ряд
производных целых порядков: /(д’), /'(д), /"(д), 1"' (д:),...,
может служить интерполирующим членом этого ряда,
1) Мор духа й-Б олтовской Д. Д., Очерк научной
деятельности Николая Яковлевича Сонина, «Варшавские уни-
верситетские известия», 1916, № 3, пли отдельный оттиск—Ростов
н Д, 1916.
Существо этой полемики в основном правильно разобрано
Р. Я. Шостаком в статье «Алексей Васильевич Летников».
Исторпко-матсматнческио исследования, М., 1952, вып. V.
стр. 194—195.
3) Летников А. В., К разъяснению главных положений
теории дифференцировавия с произвольным указателем, «Матема-
тический сборник», 1872, 6, стр. 413 — 445.
4) Летников А. В., Теория дифференцирования с произ-
вольным указателем. «Математическийсборник», 1868,3, стр. 1 — 68.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
263
может, с нашей точки зрения, быть взята по определе-
нию за общее выражение производной с произвольным
положительным указателем».
Больше того, Летников дальше показывает, что путем
соответствующего преобразования из формулы Сонина
можно получить формулу
- dpf (х) _ / (и) (х - »)-Р Г (и) (х- и)-Р -1
dxP Г(-/>-Н) Г(—р|-2)
Г(-Р {-'" + <)
+ r(_f+m+ij 5
х+а
«а это,—говорит Летников,—есть формула, тождествен-
ная с нашею формулою». Таким образом, из указан-
ной формулы Сонина действительно получается основная
формула Летникова, а также формулы Лейбница, Лиу-
вилля, Грюнвальда и Коши.
В своей докторской диссертации1) Сонин решает во-
прос о существовании общего интеграла первого порядка.
В этой же работе мы находим важное обобщение способа
интегрирования уравнений с частными производными,
предложенного Дарбу. Указанная выше черта твор-
чества Сонина—при новой исходной точке получать болеег
общие результаты в различных областях математики по
сравнению с известными—отмечена и А. А. Марковым
в некрологе, посвященном Сонину: «Труды Н. Я. Сонина,—
говорит Марков,—относятся ко многим отделам мате-
матики... они отличаются оригинальностью и изяществом
изложения и изобилуют формулами. Большая часть ис-
следований Н. Я. Сонина посвящена вопросам, которыми
ранее занимались другие математики. Но не забывая о
предшественниках и указывая па их труды, Н. Я. Сонин
каждый вопрос трактует по-своему, внося новое освещение
х) Сонин Н. Я., Об интегрировании уравнений с частными
производными второго порядка, «Математический сборник», 1874,’
*• стр. 285—318; эта работа переведена на немецкий язык и опубли-
кована в «Mathematische Annalen», 1897, 49,
264
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
и разъяснение и, в особенности, сообщая вопросу и вы-
водам большую общность»1).
Но основным направлением в научной работе Сонина,
где он завоевал мировую известность, являлась теория
определенных интегралов вообще я особенно—теория
цилиндрических функций. В этой области математиче-
ского анализа Сонин получил большое количество фунда-
ментальных результатов.
Следует заметить, что начало разработки теории ци-
линдрических функций как функций, являющихся реше-
ниями линейного дифференциального уравнения 2-го
порядка, получающегося из уравнения Рпккатп, было
положено в России трудами Даниила Бернулли и Лео-
нарда Эйлера еще в XVIII столетии. Эйлер первый ввел
те функции, которые называют теперь цилиндрическими,
или бесселевыми 2). В дальнейшем теорию цилиндрических
фукций разрабатывали Бессель, Фурье, Нейман, Гейнс,
Ханкель, Шлемильх, Вебер и др.
Молодой Сонин уже в первых своих работах проявил
себя не только большим знатоком того, что сделано в об-
ласти теории цилиндрических функций его предшествен-
никами и современниками, но и глубоким исследователем
в этой области, способным разрешать труднейшие вопросы
упомянутой теории, стоящие на очереди3). Говоря об этом
основном направлении работ Сонина, А. А. Марков в упо-
мянутом выше некрологе указывал, что «из работ Николая
Яковлевича наибольшую известность за границей полу
чили его «Recherches sur les fonctions cylindriques el
le developpement des fonctions continues on series»4).
Один пз трактатов новейшего времени о цилиндрических
функциях 5) содержит очень много ссылок па эту прекрас
’) М а р к о n А. А., II. Я. Сонин (некролог), «Известии \ка
демии наук», 1915, 9, Аг 5, стр. 360—372.
2) См. об этом статью В. В. Г у с с о в а, опублпконанну к»
в настоящем выпуске «Историко-математических исследований-',
стр. 355—475.
3) Обзор работ Сонина по теории цилиндрических функции см
в отмеченной статье В. В. Г у с с о в а (стр. 390—411).
4) «Mathematische Annalen», 1880, 16, стр. 1—80.
6) Имеется в виду капитальный труд: \ ielsen N., Handbuch
der Tbeorie des ZylinderfunkUoneu, Лейпциг, 1904.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
265
ную работу Н. Я. Сонина... Но, несомненно, имеют боль-
шое значение и те его труды, которые опубликованы
только на русском языке».
Труды Сонина, посвященные разработке теории цп-
лпндрпческих функций, являются основополагающими
в изучении более общего класса функций—функции Со-
нина (5П). До появления в свет трудов Сонина в России
почти не уделялось внимания разработке теории цилин-
дрических функции Его труды открыли новую страницу
в истории русской математики и под их влиянием начали
появляться работы русских математиков по теории ци-
линдрических функций—М. И. Акимова, А. И. Попова,
П. С. Каштанова и др., в том числе и математиков Вар-
шавского университета: статья В. А. Анисимова «Уравне-
ние Риккати общего вида»1), кандидатская и докторская
диссертации Н. II. Зинина, работа Г. Ф. Вороного «О раз-
ложении посредством цилиндрических функций двойных
сумм Е f (pm~-\-2qmn-\-rn~), где pm1-^2qmn + rn-—поло-
жительная форма с целыми коэффициентами»2), работа
И. Р. Брайцева «О функциях Фурье-Бесселя и их прило-
жении к изысканию асимптотических представлен nil ин-
тегралов дифференциальных линейных уравнений с рацио-
нальными коэффициентами» 3) и др.
Сонин внес значительный вклад и в развитие теории
гамма функции. Из этой области он давал темы и своим
ученикам. Эти работы Сонина4) являются продолжением
’) «Варшавские j ниверситстскле известия», 1896, ЛЬ 3.
2) Voronoi G., Sur lc dcvoloppement a 1’aide des fonc-
tions cylindriques, des sommes doubles X f (pm~+2qnui-{-rn2). ou
pm2 2qmn rn2 est uno forme positive a coefficients ел tiers, в кн.
«Verhandlungen des dritten Interiiationalen Mathematiker—Kon-
gressen in Heidelberg vom 8 bis 13. August 1904*, Лейпциг, 191)5,
стр. 241—245.
3) Варшава, 1903.
4) Note sur une formulc de Gauss, «Bulletin de la Societe ma-
thematique de France», 1881, 9, стр. 162—166; о бериуллпсвых
полиномах и их приложениях, «Варшавские университетские
известия», 1888, № 3 — 4 (или отдельный оттш к —Варшава, 1888):
G прерывной функции [.г] и ее применениях, «Варшавские универ-
ситетские известия», 1889, Л? 7-8;
f?ur Fintegralo \ F(j-)------- ,
а
266
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
разработки теории гамма функции, начало которой поло-
жил Л. Эйлер1).
Заслуги Сонина в теории определенных интегралов
не исчерпываются сказанным выше. В статье «Оо обоб-
щении одной формулы Абеля» 2) Сонин получает формулу
X и
/ (*) ~ / (ft)= о (а; — и) cZw /' (z) о (гг — z) cZz,
а а
являющуюся обобщением формулы Абеля
х и
/W-/(«)=Г(Р)Г(1-Р) V*~и^рdu 5“г)М/’(z)dz
а а
В статье «Об одной формуле приведения кратных
интегралов» 3) Сонин выводит формулу
а2, . . , хп, с? (хр аг2, ..a,n)] dxrdx2.. . dxn =
(Ы
ъ '
= dl [ F Up а*2, ..., хп, £) dxr ... dxn] ==f,
a (St)
которая является обобщением формулы Каталана
/ (д’р х2, . .., хп) F [<? (а-p х2, ... , aj] dxy dx2.. dxn =
(Sb)
(S/) Г d
= F (Z) { / (7p x2, ..., a-,,) dxt dx2.. . dxn j d!.
a Sc
Заслуживающий внимания результат получил Сонни и
St.-Petcrsbourg, 1892 (Mcmoircs de I’Acadtmie des sciences
38, № 14).
г) Эти работы Comma подробно рассмотрены в статье
В. В. Г у с с о в а «Работы русских ученых по теории гамма-фупк-
цпи» («Историко-математические исследования», М , 1952, вши- 5,
стр 44<) — 445).
2) Sonin о X., Snr la . generalisation d’une forniule d’Abel.
«Acta niathematica», 1884, 4, стр. 171 —176.
3) «Варшавские университетские известия», 1889, № 3.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
267
в статье «Об остатке формулы Тейлора» г). Предполагая,
что
/ (х) = / (а) + /'(«)+••• +(») + /?„+1
? (®) = <? («) + W + • • • + (°) + ?„«,
и используя известную формулу конечных приращений
Коши, Сонин получает соотношение между остаточными
членами двух степенных разложений в форме
о _ ^2 (т___t\n~m (g) о
Лп+1-„| И Ч °m+l-
Об этой форме остаточного члена формулы Тейлора
Д. Д. Мордухай-Болтовскои писал, что она «пред-
ставляет неисчерпаемый источник всевозможных форм
для остаточных членов, точнее определяющих погреш-
ность, чем... формы Лагранжа, Коши, Роша и Штурма»2).
Приходится высказать сожаление, что остаточный
член формулы Тейлора в форме Сонина, так же как и не-
которые другие его результаты, не вошел до сих пор
в учебники по математическому анализу.
О достоинствах многих работ Соппна, на характери-
стике которых здесь пет возможности останавливаться,
можно судить по отзывам таких авторитетных рецензен-
тов, как П. Л. Чебышев, А. А. Марков и В. Г. Пмшепец-
кий, привести которые здесь является пе только умест-
ным, но и совершенно необходимым для полноты и пра-
вильности оценки научного творчества Соппна.
В 1890 г. ему была присуждена премия В. Я Буня-
ковского за семь работ, написанных им в периоде 1885 по
1889 г.: «Об определении максимальных и минимальных
свойств плоских кривых», «О приближенном вычисле-
нии определенных интегралов и входящих при этом
J «Варшавские университетские известия». 1891, Л? 5.
) М о р д у х а и-Б о л т о в с к о н Д. Д., Очерк научной
Д ятельности Николая Яковлевича Сонина, «Варшавские хиивер
ситетские известия», 1916, № 3.
268
С. Е БЕЛОЗЕРОВ
вычислении целых функциях», «О бернуллиевых поли-
номах и их приложениях», «Об одной формуле при-
ведения кратных интегралов», «О приведении одного
кратного интеграла», «О представлении логарифма и
Эйлерова постоянного определенными интегралами» и
«О прерывной функции [х] и ее применениях»1).
Члены комиссии по присуждению премии В. Я. Бу-
няковского, выдающиеся русские ученые П. Л. Чебышев,
А. А. Марков и В. Г. Имшенецкпй, представляя этот
сборник работ Сонина на соискание премии В. Я. Буня-
ковского, писали:
«Перечисленные выше работы Н. Я. Сонина составляют
только дополнение длинного ряда его других научных
трудов, появлявшихся в течение последних двадцати лет
в русских и, частью, иностранных математических перио-
дических изданиях, доставивших ему лестную извест
ность и видное место в среде русских математиков. Ра-
боты, представленные им на соискание премии, как пока-
зывают их заглавия, относятся вообще к области интег-
рального исчисления. В большинстве из них свойства
определенных интегралов составляют или самый предмет
исследования, или же, так сказать, главное апалитпче
ское орудие, глубоко изученное автором и мастерски
примененное им сообразно цели исследования» 2).
Разобрав затем положительные стороны каждого из
семи упомянутых мемуаров, члены комиссии продолжают:
«Из предыдущего общего очерка содержания п харак
тера произведений Н. Я. Сонина можно видеть, что, внося
свои собственные взгляды пли проводя новые мысли
в каком-либо вопросе, он вообще всегда опирался на
основательные критические изучения совокупности соот-
ветствующих произведений специальной литературы,
вследствие чего каждый из его трудов имеет вообще зна-
чение ценного научного вклада»3).
г) См. «Варшавские университетские известия», 1886, № 1— 1
1887, №1-3; 1888, №3—4; 1889, №3; 1889, №7; 1889, № <3,
1889, № 7—8.
2) Архив Академии наук, личное дело Н Я. Сонина, ф. 2, оп- 17,
№ 78, лл. 3—4.
3) Там же, лл. 4—5.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
269
В представлении к избранию Сонина в члены-кор-
респонденты Академии наук (1891) П. Л. Чебышев и
д. А. Марков дают список двадцати работ Н. Я. Сонина
И отмечают его успешную научную и педагогическую дея-
тельность в Варшавском университете, где он «с честью
занимал. . более двадцати лет кафедру чистой матема-
тики».
Представляя в 1893 г. И. Я. Сонина в число ординар-
ных: академиков, 11. Л. Чебышев, Ф. А. Бредихин и
О. А. Ьаклунд писали: «Имя профессора Сонина поль-
зуется большой известностью в ученом мире, и он своими
работами заслужил особенно лестного внимания нашей
Академии наук, которая в 1890 г. присудила ему премию
имени В. Я. Буняковского, в 1891 г. избрала его в своп
члены-корреспонденты». Сославшись затем па данный
ранее отзыв о работах Сонина, опубликованных нм до
конца 1890 г., они останавливаются дальше на работах
Сонина, опубликованных после 1890 г. Здесь имеются
в виду два его мсмуара, напечатанных в академических
изданиях. «О точности определения предельных величин
интегралов»1) и «Об интеграле
a
Эти мемуары,—пишут академики,—«имеют особенный
интерес. В первом из них выводится теорема относительно
интегралов, подобная той, которая была получена одним
из нас и послужила основанием для доказательства
способа наименьших квадратов, употребляемого в науках
физико-математических. Теорема Н. Я. Сонина во всех
отношениях превосходит прежнюю и, вследствие того,
служит к значительному облегчению вывода такого важ-
ного способа, как способа наименьших квадратов. Во вто-
ром мемуаре II. Я. Сонин дает различные приближенные
выражения определенного интеграла, который нередко
*) «Записки Академии наук по физико-математическому отде-
лению», 1892, 69, кн. 1, стр. 1—30.
2) См. стр. 265.
270
С Ё. БЕЛОЗЕРОВ
приходится вычислять при решении многих вопросов
чистой математики... Принимая в соображение все выше-
сказанное, мы, нижеподписавшиеся, находим Н. Я. Со-
нина вполне достойным запять у нас кресло ординарного
академика по чистой математике»г).
А. А. Марков, останавливаясь в указанном выше не-
крологе на характеристике работы Сонина «О точности
определения предельных величин интегралов», особенно
подчеркивает, что здесь «установлено замечательно про-
стое неравенство Сонина, весьма облегчающее доказа-
тельство второй предельной теоремы исчисления вероят-
ностей».
Это были последние мемуары Сонина, опубликованные
в период его работы в Варшавском университете. В Вар-
шавском университете высоко ценили все то, что сделал
для это! о университета Сонин. И когда в связи с перехо-
дом ею па пенсию в 1892 г. встал вопрос об уходе его из
Варшавского университета, физико-математический фа-
культет просил Сонина продолжать чтение порученных
ему курсов. Декан факультета астроном II. А. Востоков,
работавший профессором университета с момента его
организации, па одном из заседании Совета университета,
характеризуя Сонина, сказал: «... известно, что г. Сонин
один из лучших наших математиков и прекрасный пре-
подаватель, т. е. обладает такими качествами, в силу
которых Совет должен принять все зависящие от нею
меры чтобы удержать его при университете в качестве
преподавателя па возможно продолжительное время»* 2). Со-
ответствующее ходатайство Совета было утверждено,
по уже в следующем, 1893 году, в связи с избранием
Сонина ординарным академиком, он переехал в Пе-
тербург.
Работая в дальнейшем и на административных долж-
ностях, Сонин не прекращал свою научную деятельность.
Первые годы после переезда в Петербург он заканчи-
вал многие из начатых еще в Варшаве работ, пуб-
’) Архив Академии наук, ф. 2, оп 17, <N° 78, л. 5. «Один из пас»-
это П. Л. Чебышев.
2) Госархив Рост. обл., ф. 527, on. 1, д. 11, св, 6, л. 46—47.
МАТЕМАТИКА *В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ 271
ликуя почти ежегодно своп мемуары в академических
изданиях.
В одном из этих мемуаров «О некоторых неравенствах»,
относящихся к определенным интегралам»1), он, продолжая
развивать свои прежние идеи, выводит общие формулы
с произвольными интегрирующимися функциями
<р1(х),..., (а) для определения пр( целой, между которы-
ми содержатся величины интегралов вида
ь ъ ъ
\ ° (*’) ? U)2 dx, V-JQdx И f G(z)?(a)O(z)cZj'.
J J т v4 J
a a a
Из общих формул этого мемуара получаются как
частные случаи: теорема Чебышева
ъ ь
ъ J ° (*) ¥ (*') d £ X ° (Ч <? СО(1л
\ 0 (х) ф (а) о (.г) dx - ---ь--------------> 0:
в X 0 (z) dr
неравенство Буваковского
ъ ь
ф2(:г) dx a2 (д) dx — [ 6 (а?) а (а) dx j “ > 0
а а а
и ряд других формул анализа.
Сонин занимался также вопросами истории матема-
тики. Осведомленность Сонина в этой области видна из
введений ко многим его статьям. Однако следует заме-
тить, что, давая по поручению Академии паук в 1899 г.
отзыв па представлявшиеся на соискание премии
три научно-популярные брошюры В. В. Бобынина под
заглавием «Исследования по истории математики», он
оценивает эти исследования резко отрицательно без до-
статочных на то основании2).
Сонину принадлежит и специальное историко-мате-
матическое исследование «Ряд Ивана Бернулли (Эпизод
Э Спб., 1898 («Записки Академии наук по физико-математиче-
скому отделению», 6, № 6).
2) Отзыв имеется в архиве ЛИ, ф. 2, оп. 1896, Аа 30, л. аб.
212
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
из истории математики)»*). В этой работе он показал хо-
рошую ознакомленность с основными трудами по истории
математики того времени и критически отнесся к оцен-
кам ряда Ивана Бернулли, данным Хенкелем, М. Кан-
тором и Райфом. В итоге Сонин писал: «Ряд Ивана Бернул-
ли редко упоминается в трактатах по анализу и до сего
времени не получил правильной оценки в истории мате-
матики». Рассмотрев содержание работы И. Бернулли
1694 г., где он получает «универсальный ряд»
С , z2 dn . z3 d2n
\ndz = zn — -— — -1-
1-2 dz ' 1-2-3 dz* 2 '
Сонин пришел к выводу, что «прием, предложенный
II. Бернулли, можно назвать безукоризненным не толь-
ко для конца XVII в., но и для нашего времени. Этот
прием есть в действительности прием интеграции по
частям».
В начало XX века труды Сонина стали появляться в
печати реже. Это отчасти объясняется тем, что он совместно
с академиком Марковым отдал много времени в редакти-
рование и издание трудов одного из величайших матема-
тиков XIX века Иафнутия Львовича Чебышева, которое
было начато вскоре после смерти Чебышева (1894) и за-
кончено только в 1907 г.
Последними из печатных трудов Сонина были его «Этю-
ды по элементарной алгебре»2), напечатанные под псевдо-
нимом «II. Никое». И в этой работе, посвященной вдумчи-
вому анализу некоторых вопросов элементарной алгеб-
ры, сказались характерные для творчества Сонина черты:
отправляясь от некоторых новых исходных позиций, он
получает ряд общих формул, из которых как частные
случаи получаются и известные формулы элементарной
алгебры.
А. А. Марков, остановившись в некрологе и на ха-
рактеристике «Этюдов», указал, что «при всей простоте
содержания, и эта работа свидетельствует о большом
«Известия Академии наук», 1897, 7, стр. 337—353.
2) «Вестник опытной физики и элементарной математики»,
1913, № 581—584 и 586.
МА ГЕМ VI ПК У В ТЧК ТОШ НОМ УНИВЕРСИТЕТЕ 273
таланте и оригинальности автора, который пишет вид-
ное место в истории математики».
Умер II. Я. ('опии 27 (14) февраля 19J3 г.
За 20 .чет работы в Варшавском у нивергитете он подго-
товил сотни математиков-преподавателей средней школы,
а некоторые из ого учеников стали научными работни-
ками и преподавателями высшей шкалы.
* *
*
Одним из учеников II. Я. Сонина и преемником его по
кафедре математики Варшавского университета был Ни-
колай Николаевич Зинин (1854—1910)—сын знаменитого
русского химика II. II. Зинина. По окончании физико-
математического факультета иетербу ргского универси-
тета Н. 11. Зинин был оставлен при нем для подготовки
к профессорскому званию. Но рекомендации II. J. Чебы-
шева и А. Н. Коркина он в 1880 г. был назначен и. д. до-
цента Варшавского университета, где стал помощником
II. Я. Сонина в учебной работе. В 1885— 1886 учебном
году, например, читая вдвоем все математические курсы,
они делили их между собою так: Сонни читал анали-
тическую геометрию, анализ, приложение анализа к
геометрии и дифференциальные уравнения, а Зинин—
начертательную геометрию, теорию чисел, высшую
алгебру, эллиптические функции и вариационное исчи-
сление.
В 1885 г. Зинин защитил в Петербургском университете
магистерскую диссертацию на предложенную Сониным
тему: «Функция гамма и функция омега»1) и в том же году
был назначен экстраординарным профессором. В 1893 г.
0,1 защити.! докторскую диссертацию «Различные приемы
Приведения кратных интегралов и главнейшие нриложе
ния этих приемов»2) п получил звание ординарного про-
фессора. С 1905 но 1907 г. Зинии был деканом физико-
математического факультета Варшавского университета.
9 СПб, 1885.
1892 ^Варшавские университетские известия», 1891, А- 8—9;
18
Исторпко-матсм. исследовании
274
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
Зинин ценил науку «за ее пользу для жизни людей».
Мысль о «науке как науки» ему была совершенно чужда.
Он не признавал главенства «чистой науки» над практи-
ческой деятельностью людей и вслед за Чебышевым часто
высказывал мыль о том, что науку «двигают вперед жизнь
Николай Николаевич Зинин
(1854—1910)
и потребность человека, ставящие перед ней задачи, разре-
шение которых создает научный прогресс»г). Зинин, кик
и отец его, был горячим патриотом.
*) См. статью. П. Кузнецова, посвященную памяти И- Н.
Зинина, «Известия Донского политехнического института», Ново-
черкасск, 1913, т. 2, стр. 1—14; предыдущие цитаты о Знни,,с
взяты из этой же статьи.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
275
Несмотря на пошатнувшееся здоровье1), Зинин согла-
сился взяться за организацию Донского политехниче-
ского института в Новочеркасске. Будучи с 1907 г. пер-
вым директором этого института, оп затратил много сил
и энергии, чтобы в чрезвычайно трудных условиях нала-
дить работу нового высшего учебного заведения 2). С ува-
жением относясь к прикладным наукам, к технике и ее
орудиям, «которыми она производит удовлетворяющие
житейским потребностям продукты», Зинии вместе с тем
высоко ценил математику и ясно представлял ее огромное
значение для прикладных наук и техники.
Свою краткую приветственную речь на открытии Дон-
ского политехнического института он начал так: «Привет-
ствую вас, как представитель математики—науки, слу-
жащей основой всех технических знаний, без которых
немыслимо благосостояние страны»3 * * * * * *).
Скончался II. II. Зинии в 1910 г. в Новочеркасске.
3. Физико-математический факультет
на рубеже XIX и XX веков. В. А. Анисимов
К концу пребывания Сонина в Варшавском уни-
верситете (1890 г.) на работу в этот университет, по
рекомендации Н. Е. Жуковского, Н. В. Бугаева и ILН.Не-
красова, был приглашен энергичный и талантливый
ученый и педагог—В. А. Анисимов, а вскоре после пере-
езда Сонина в Петербург в Варшавский университет был
направлен на работу (1894) и один из наиболее выдаю-
щихся учеников П. Л. Чебышева—1. Ф. Вороной.
В первые два десятилетия основным направлением
в научной работе математиков Варшавского универси-
тета была разработка теории определенных интегралов.
3 ) В указанной статье говорится о богатырском телосложении
нина и о его гимнастических упражнениях с 6-пудовой штангой.
пурШн 10РДился полученным им за силу мускулов призом на Меж-
аД°пН°М с0стязанпи атлетов в Мюнхене.
инет ЛН налаживания работы Новочеркасского политехнического
Л Л™ были направлены из Варшавы также Г. Ф. Вороной,
зх р °РДУхаи-Болтовской и др.
) см статью Кузнецова, упомянутую выше.
18*
27В
Е. БЕЛОЗЕРОВ
В связи с переходом в Варшавский университет В. А. Анн
симова и Г. Ф. Воронове проблематика математических
исследований расширилась. Геперь здесь развертывается
работа и в области теории чисел, и в области аналитической
теории дифференциальных уравнений. Среди тем для со-
чинений студентов появляются и такие, как «Уравнение
Рпккати и функции, ему удовлетворяющие», «Порядок
системы совместных обыкновенных дифференциальных
уравнений» (темы, интересовавшие В. А. Анисимова),
а также гемы (интересовавшие 1 Ф. Вороново) но теории
алгебраических чисел и но теории квадратичных форм
Учебные курсы по математике распределяются между
гремя профессорами ио возможности с учетом их научных
интересов. Так, в 1896—1897 учебном воду Зинии читал:
а) интегральное псчис шипе (общим курс) студентам 2-го
курса по 2 часа в неделю, студентам 3 во курса по 1 часу
в неделю, студентам Сео курса по 1 часу в педелю; б) тео-
рию определенных интегралов—студентам 3-го курса по
1 часу в поделю: в) эллиптические функции —студентам
i-го курса по 1 часу в поделю; высшую алгебру студен-
там 2-го курса по 2 часа в неделю. Анисимов читал: а) ана-
лиз- студентам 1-го курса ио 3 часа в неделю, в оба полу-
годия; б) приложения дифференциального исчисления
к геометрии—студентам 2-го курса по 3 часа в педелю
в 1-м полугодии и по 2—во 2-м; в) теорию диффсропцпаль
вых уравнений—студентам 3-го курса по 2 часа в педелю
в оба полугодия и г) вариационное исчисление студентам
3-го if 1-1'о курсов (совместно) по 1 часу в неделю во 2-м
полугодии. Вороной читал: а) аналитическую геометрию—
студентам 1-го курса по 4 часа в поделю, в оба полугодия;
б) начертательную геометрию —студентам 1-го п 2-го кур-
сов совместно по 1 часу в неделю, в оба полугодия; в) тео-
рию вероятностей—студентам 3-го и 1-го курсов (совместно)
по 2 часа в неделю в 1-м полугодии и по 1 часу во 2-м полу-
годии. Теория чисел и теория вероятностей в силу пере-
грузки профессоров учебной работой читались через год-
Вопрос о перегрузке учебной работой и о необходимо-
сти расширения штатов преподавателей математики неод-
нократно обсуждался па факультете, но не находил поло-
жительного решения. В 1899 г. вопрос этот был вынесен
МАТЕМУТИКУ В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ 277
на обсуждение Совета университета, где был оглашен
рапорт профессоров Зинина, Анисимова и Вороного в Со-
вет физико-математического факультета. В рапорте гово-
рилось, в частности, что «...молодые .поди, поступая по
окончании гимназии в студенты университета, к слушанию
университетских курсов ио математике являются недоста-
точно подготовленными —необходимы дополнительные за
пятня но элемеиiар пой математике и.in, ио примеру дру-
гих университетов, необходимо читать курс ,,Введение
в аиа юз ... Коренной недостаток преподавания матема-
тики па вашем отделении: эго отсутствие организован-
ных практических упражнений, которые совершенно пеоб-
ХО1ПМЫ для студентов 1-го курса. В результате к акзаме
нам приступает и переходят на 2-й курс менее' половины
всего числа студентов 1 го курса . На старших курсах
необходимо устраивать собеседования со студентами но
интересующим их вопросам... Другой важный иедоста
ток неполнота преподавания ма ю изучаются геометри-
ческие дисциплины... Введение некоторых отделов геомет-
рии— геометрии синтетической в проективной является
1олом безусловно необходимым... На естественном отде-
лении полезно и важно введение преподавания начал выс-
шей математики: аналитической геометрии и анализа...
Наличный состав: 3 профессора-математика не в силах
справиться с указанной работой, так как в среднем каж-
дый из пас уже и так имеет но 71 еженедельных часов
екций—значительно больше, чем имеют ординарные про-
фессора на tpyinx факультетах... дополнительно необ-
ходимо иметь 2 преподавателя математики...»1).
Однако, несмотря на недостатки в учебной работе по
математике, число и объем читаемых инцпи.тии в этот
период близко подходили к таковым же в столичных уни-
верситетах. В дальнейшем были налажены и «ирактиче-
1<не упражнения». Анисимов пытался таже организовать
специальный семинар для студентов старших курсов;
такого же рода попытку предпринял и Д. Д Мордухай-
Б 1товской (1911). Но только в советское время была
налажена в университете эта форма учебной работы,
к—------------
9 locapxnr. Рост. оил., ф. 327, он. 1, дели 18, св. 8, лл. 231—233.
278
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
Характерной чертой преподавания того времени было
стремление лекторов включать в читаемые курсы ре-
зультаты своих исследований, а также новых исследо-
ваний других математиков, публикуемые в периодической
печати.
В учебной жизни физико-математического факультета
Варшавского университета с 1890 по 1905 г. наиболее
видную роль играет В. А. Анисимов, интересовавшимся
преподаванием больше, чем Зинин и Вороной Анисимов
был блестящим лектором. Ои любил преподавание в сред-
ней школе и сам работал в ней с целью подбора талантли-
вых математиков в число студентов. Он начал свою педа-
гогическую деятельность в московских гимназиях. Затем,
будучи уже профессором Варшавского университета, он
преподавал в одной из варшавских гимназий. По отзывам
его учеников, своим живым, ярким изложением матема-
тики он увлекал многих из них, в том числе и тех, которые
раньше относились к математике без особого интереса
Многие его ученики по гимназии становились затем его
учениками и в университете. Анисимов пользовался боль
шим уважением студентов. Д. Д. Мордухай-Болтов-
ской, лично знавший Анисимова по работе в Варшаве,
восторженно отзывался о его лекциях; в некрологе, посвя
щепном Анисимову, он писал:
«Лекции, читаемые покойным, обладавшим при пре-
красной дикции также уменьем живо и изящно излагать
свой предмет, возбуждали в студентах неослабевающий
интерес, и покойный никогда не мог пожаловаться на
малочисленность слушателей»г).
Ясность и изящество мысли Анисимова отразились и в
его учебниках* 2), а также в его диссертациях, относящихся
к аналитической теории дифференциальных уравнения
и рекомендовавшихся в свое время в качестве руководства
для подготовки к магистерскому экзамену.
*) М о р д у х а й -Б о л т о в с к о й Д. Д., Василий Афа
иасьевпч Анисимов. Некролог, Варшава, 1910.
2) «Элементы алгебры действительных многочленов», Варшава,
1902; «Курс вариационного исчисления», Варшава, 1904, и «Курс
теории обыкновенных дифференциальных уравнений», Варшава,
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
279
Но Анисимов был не только блестящим педагогом, он
был вместе с тем известным ученым. Ему принадлежит
около 30 научных работ, в том числе ряд мемуаров, полу-
чивших высокую оценку со стороны русских н иностран-
ных ученых. Печатая свои труды преимущественно в
«Варшавских университетских известиях», он тем самым
способствовал повышению научного авторитета этого
печатного органа. Ряд работ был опубликован им в
«Математическом сборнике» и в иностранных журналах.
В своих исследованиях он касался различных областей
математики, что способствовало и его успешной педагоги-
ческой деятельности. Некоторые работы Анисимова напи-
саны, невидимому, в связи с чтением лекции х).
Творчески работая в различных областях математики,
Анисимов имел, однако, излюбленное, основное направле-
ние в работе—это была аналитическая теория линейных
дифференциальных уравнений. Именно с этой теорией и,
в частности, с методами Фукса, связывают имя Анисимова.
Василии Афанасьевич Анисимов родился 10 марта
(27 февраля) I860 г., в с. Климове-заводе, Юхповского
уезда, Смоленской губернии. Родители Анисимова были
крепостными кн. Юсуповой. Только исключительные
способности и упорство позволили Анисимову в то время
окончить первым учеником гимназию, а затем—матема-
тическое отделение физико-математического факультета
Московского университета. На развитие у Анисимова ин-
тереса к математике оказал большое влияние его учи-
тель гимназии А. И. Томнорусов. А интерес к диффе-
ренциальным уравнениям и к функциям комплексного
переменного сложился у Анисимова под влиянием лек
Ций А. Ю. Давидова, II. В. Бугаева и П. Л. Некрасова.
*) Таковы, например, его статьи: К теории кривых двойной кри-
визны, «Математический сборник», 1894, 17, стр. 447—460; Эле-
м нтарныи вывод теоремы сложения для эллиптической функции
Вейерштрасса, «Варшавские университетские известия», 1894,
№ 2; К теории параллельных кривых на плоскости, «Варшавские
университетские известия», 1894, Л» 3; Уравнение Рпккати общего
вида, «Варшавские университетские известия», 1896, № 3’ О вы-
сотах наиоольшего освещения данных площадей, «Труды Варшав
кого общества естествоиспытателей», 1898: К теории геодезических
Ривых, «Варшавские университетские известия», 1901, Лё 7 и др.
280
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
С большим интерес-ом он слушал и лекции Н. Е. Жуков-
ского по механике. Готовясь к профессорскому званию
(1882—1885) под руководством А. 10. Давидова, Аниси-
мов вынужден был одновременно преподавать в частной
гимназии в Москве.
Василий Афанасьевич кписимов
(1860—1907)
За время работы па I, магистерскими экзаменами у Ани-
симова еще больше прояви ich интерес к теории диффе-
ренциальных уравнений, которой уделяли много вни-
мания в то время и в России н за границей. Проявив
самостоятельность в выборе направления своей работы,
Анисимов решил запяться разработкой повой в то время
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
281. •
теории линейных дифференциальных уравнений. Пз ино-
странных ученых ее особенно интенсивно разрабатывал
немецкий математик Фукс. России только М А. Тихо-
мандрпцкии в своей магистерской диссертации «О гниер-
геометрнчсских рядах», защищенной в Петербургском уни-
верситете в 1876 г., использовал эту теорию для иссле-
дования гауссова ряда.
Будучи в заграничной командировке после сдачи
магистерских жзамеиов, Хнисимов решил прос «ушать .лек-
ции Фукса. Зти лекции позволили Анисимову ji губить
свои познания в области теории линейных дифференциаль-
ных уравнений и уточнить тему магистерской диссерта-
ции. В J889 г. он блестяще защитил в Московском уни-
верситете магистерскую диссертацию на тему «Основа-
ния теории линейных щфференциальпых уравнений»1).
Вскоре нос.те защиты этой диссертации Анисимов с ре-
комендательными письмами своих учителей (Ж\ конского,
Бугаева и Некрасова), в которых они. отмечая его трудо-
любие и крупные педагогические способности, укалывали,
что из него «в будущем выработается основательный и
серьезный ученый», направился на работу в [варшавский
университет. Именно здесь, а также с 1896 г. в в Варшав-
ском политехническом институте трудился он до конца
своей жизни. 17 лет его работы в Варшавском универси-
тете характеризуются непрерывным его стремлением
к улучшению учебного процесса п к активизации научной
работы 11 в том и другом отношении он добился шметпых
успехов, оправдав предвидения своих учителей.
Много труда и энергии вложил Анисимов в создание
и налаживание работы Варшавского политехнического
института, где он долгое время был деканом и членом
правления, одновременно с преподаванием в университете.
Несмотря на большую учебную работу и недостаточный
еще опыт в преподавании, что заставляло его много вре-
мени уделять подготовке к лекциям,—Анисимов через
три года после магистерской защищает и докторскую дис-
сертацию «Предельный круг Фукса»2) н в возрасте 32 лег
х) «Ученые записки Московского университета. Отдел физики
математический», 1880, лып. 9, стр. 1—200.
2) «Варшавские университетские известия», 1892, JV 1.
282
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
получает звание ординарного профессора. Особенно интен-
сивно научная деятельность Аниспмова развернулась
после защиты пм докторской диссертации. Его имя ста-
новится широко известным в России п за границей. Фукс
и Эрмит в переписке с ним подчеркивают важность его
работ.
Теперь имя Анисимова забыто. Даже в работах совет-
ских математиков, посвященных истории русской матема-
тики, он обычно и но упоминается. Нет ссылок на него
и в учебниках по аналитической теории дифферен-
циальных уравнении, не упомянуто это имя и в Большой
Советской Энциклопедии. Нам думается, что Анисимов
забыт незаслуженно, ибо многие его работы оставили
заметный след в пауке, а некоторые из них не утратили
значение и в паше время.
Как говорилось, методами Фукса в решении линейных
дифференциальных уравнений Аннспмов начал интере-
соваться еще на первых порах своей научной деятельно-
сти. Являясь представителем московских математиков, он
в отличие от петербургской школы математиков интере-
суется в большей мере нс интегрированием в конечном
виде, а аналитической теорией интегральных функций.
В своем «Курсе теории обыкновенных дифференциальных
уравнении», рассматривая «двоякую задачу теории обык-
новенных дифференциальных уравнений» п определив
существо первой точки зрения па интегрирование диффе-
ренциальных уравнений (нахождение интегралов в ко-
нечном виде), он пишет:
«Можно в качестве конечной цели ставить вопрос об
изучении свойств тех функции, кои определяются дан-
ными дифференциальными уравнениями. Это более широ-
кая точка зрения и глубже проникающая в суть дела
постановка вопроса. Часто ведь бывает, что интегральные
выражения, дающие с первой точки зрения окончатель-
ное решение задачи, являются чисто формальными и пото-
му почти ничего не дают нам, если на дело смотреть со
второй точки зрения. Чтобы видеть, с какими же именно
функциями имеем мы дело, интегрируя данные уравнения,
какова аналитическая природа этих функций, мы должны
найденные интегральные выражения подвергнуть даль-
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
283
нейшему анализу, опираясь па данные уравнения и поль-
зуясь разнообразными теоремами общей теории аналити-
ческих функций»1).
Таковы исходные методологические позиции Анпсп-
мова в изучении и разработке теории дифференциальных
уравнений. Этих позиций, по возможности, придержи-
вается он и в указанном «Курсе», особенно в последнем,
IV отделе, озаглавленном «Линейные дифференциальные
уравнения», где он излагает некоторые результаты Фукса,
а также результаты своих работ и работ других математи-
ков конца XIX и начала XX вв.
Особенно полно выражена эта точка зрения на инте-
грирование дифференциальных уравнений в работах Ани-
симова, написанных, главным образом, в первый период
его научной деятельности 2). Эти работы Анисимова вместе
с работой С. Савича «О линейных обыкновенных дифферен-
циальных уравнениях с правильными интегралами» (1892)
были первыми значительными трудами по аналитической
теории дифференциальных уравнений на русском языке.
Эти исследования свидетельствовали о том, что еще одна
ветвь современной математики привлекла внимание рус-
ских математиков, стремящихся повысить уровень мате-
матических исследований в России.
Упомянутые работы Анисимова, как уже было сказано,
привлекли внимание и иностранных ученых. А по вопро-
су о нахождении радиуса предельного круга Фукса
между Фуксом, с одной стороны, и Анисимовым и Некра-
совым—с другой, развернулась полемика, в которой
Анисимов вышел победителем. Мы считаем необходимым
привести здесь краткое изложение существа этой по-
лемики.
*) А н и с и м о в В. А., Курс теории обыкновенных диффе-
ренциальных уравнении, Варшава, 1906, стр. 2.
2) Анис и м о в В. А., Основания теории линейных диффе-
ренциальных уравнений, «Ученые записки Московского универ-
ситета. Отдел физико-математический», 1889, выи. 9, стр. 1—200;
1«а1ечанпя 0 предельном круге Фукса, «Математический сборник»,
1891, 16, стр. 234—235. Предельный круг Фукса, «Варшавские уни-
верситетские известия», 1892, А° 1; О представлении и продолжении
Аналитических ФУ11КЦП“» «Варшавские университетские известия»,
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
284
К моменту появления указанных работ Анисимова
I Фукс занима i видное место среди крупнейших евро-
пейских математиков. Но русские математики Анисимов
и Некрасов, обнаружив существенную ошибку в его ис-
следованиях, смело выступили с критикой! его работ.
В своих исследованиях Фукс шел, опираясь на теорию
функций комплексного переменного. Метод Фукса анали-
тического продолжения функций, определяемых линей-
ным дифференциальным уравнением, состоит в использо-
вании отображения одной и юс кости комплексного пере-
менного па другую с помощью рациональных функций.
Болыиу ю роль играет при этом способ нахождения радиуса
предельного круга.
14 1872 г. Фукс опубликовал статью «О представлен пн
функций комплексных переменных и специально иптсгра
лов линейных дифференциальных j равнений»J), где он
рассматривает предельный круг ц in рациональной функ
пни
где /(z) и g(z) не ii.ie функции, не обращающиеся в пуль
при z=0. При этих условиях уравнение

устанавливает некоторое соотношение между точками z в
zr Точкам z, .лежащим внутри некоторого круга Аг ра
диуеа /• с центром в z—О, будут отвечать точки, находя
щиеся вне круга к , до тех пор, пока г не превзойдет не-
которой величины //. Kpyi А с центром в z=0 и с ради
усом, равным 11, называется предельным кругом А(")
и обладает следующими свойствами:
1) всякой точке z внутри К отвечает zx вне А;
2) точкам z окружности А отвечают точки z(, лежа-
щие вообще вне к но между этими zx находится одна пли
несколько точек па окружности А
’) F и с h s L., I'eber die Darstellung der Funktioncn kouiplexer
\ariabeln, insbesondere der Integrate linearer Differentialgteiibui'-
gen, «Journal fur die reine and angewandte Mathematik», 373, 7-5,
стр. 177—223; 76, стр 175—177
МАТЕМАТИК \ В РОСТОВСКИМ УППВЕРОЦТЕТК
285
Основной вопрос, который возникает при этом,—это
способ нахождения радиуса 1{ продельного крут Л Фукс
в указанной работе утверждает, что /{ равен наименьшем)
из модулей корней уравнения F'(z) = 0.
Около 20 лот математики считали эго утверждение
фукса верным. II только русские математики Некрасов и.
особенно, Анисимов обнаружили ошибку (Рукса Ошибка
в способе Фукса, данного для нахождения радиуса Н и pi1
дельного круга, была впервые отмечена II. А. Некрасо
вым в его письме к Хппспмову') и в работе «Исследование
уравнений вида -рип </=()»2 *).
Но рассуждения Некрасова при этом были очень гро-
моздкими. Анисимов убедительно показал ошибочность
метода Фукса на простом примере и сообщил о своих ис-
следованиях и о результатах Некрасова в письме к Фуксу.
Впоследствии в статье «О предельном круге Фукса»")
Хнисимов, вспоминая о начале 80-х годов, писал об этом:
«Тогда же я написал профессору Фуксу письмо, в котором
я привел пример, показавший со всей ясностью ошибоч-
ность этой теоремы». В качестве указанного примера
Анисимов взя । функцию
для которой при т >2 не выполняется теорема Фукса
о нахождении /?. Болес подробно этот вопрос Анисимов
рассмотрел в своей магистерской диссертации. Эта работа
Анисимова получила высокую оценку. Сам Фукс имел
полное основание в своем ин ьме к Анисимову назвать
эту работу «элегантной и интересной». Д. Д. Морду хай-
Болтовскоп писал4) в 1910 г. об этой работе: «Даже до
настоящего времени работа эта является настольной кни-
гой для всякого, ведущего свои исследования над линей-
ными дифференциальными уравнениями». В этой работе
9 Об этом письме Некрасова Хииспмов упоминает в письме
К Фуксу.
9 «Математический сборник», 1883, И, стр. 1 —174.
) An is si mow У\ I’eher der Eiiehs’schen Grenzkrcis, oMallir-
n>atische Annalcn», 1892, 40, стр. 145—148.
4) Некролог, посвященный В А Хиисимову, стр. 4.
286
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
приведен ряд примеров, подтверждающих ошибочность
метода Фукса нахождения радиуса предельного круга.
Все это вынудило Фукса опубликовать «Замечания к ра-
боте, опубликованной в 75-м томе этого Журнала,
стр. 177»г), где он признал ошибочность своего правила.
При замене прежнего правила другим Фукс дал его для
нахождения 1{ в виде такой теоремы: «Радиус предельного
круга для функции F(z) равняется наименьшему положи-
тельному значению г, удовлетворяющему следующей си-
стеме уравнений:
F(zt)-F(=2) Q
“1 — г2
Г’ (21) + Z2 F' (z2) = 0, |z1| = |z2|».
По и это «новое» правило было также неверно. В статье
Некрасова «О предельном круге Фукса» * 2) была дана кри-
тика нового правила Фукса, причем вместо указанно!)
системы Фукса Некрасов предложил следующую систему
уравнений:
F(Z|)-F(=2)_0
zF' (zj + kz,/’' (z2) = 0, |г1| = |г2|,
где k—положительное число, не обращающееся в пуль.
Некрасов верно указал на ошибочность «нового» пра-
вила Фукса, но Фуксу эта критика Некрасова казалась,
невидимому, недостаточно убедительной. Во всяком слу-
чае он с ней не посчитался, и в своей работе «Об одном
отображении с помощью рациональной функции»3) он
продолжал пользоваться своим «новым» правилом. Тогда
с более решительной и вполне убедительной критиков
выступил в ряде работ Анисимов, показавший ошибоч-
г) F uchs L., Bemcrkung zu dcr Arbeit im Band 75, Seite 177
dieses Journals, «Journal fiir die reine und angewandte Matbcinatik»,
1890, 106, стр. 1—4.
2) Ilekrasow P., Ueber Fuchs’schen Grenzkreise, «Matbc-
matische Annalen», 1890, 38, стр. 82—90.
3) Fuchs L., Ueber cine Abbildung durch cine rationale
Funktion, «Journal fiir die reine und angewandte Malheniatik», 1891,
108, стр 181—192.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
287
ность взгляда Фукса по этому важному для аналитической
теории дифференциальных уравнений вопросу. В 1891 г.
Анисимов публикует свое «Замечание о предельном круге
фукса», а в 1892 г. вышла в свет его докторская диссерта-
ция «Предельный круг Фукса» и статьи «О предельном
круге Фукса» и «О представлении и продолжении аналити-
ческих функций»1). В докторской диссертации Анисимов
дает способ нахождения бесчисленного множества приме-
ров, опровергающих правило Фукса. В статье «О пре-
дельном круге Фукса» Анисимов в качестве примера,
опровергающего правило Фукса,
(-______/,)3
F(z)=—,—Ц, где а—вещественное,
' ' XI г.—
исследует функцию
положительное чп-
•711
ело, ab=ae3.
Ошибка, допущенная Фуксом в нахождении 11, «.тек-
ла за собой необходимость пересмотра всего метода пред
ставлеппя аналитических функций. Так как правило
Фукса нахождения Н неверно, то Анисимов в заключе-
нии своей статьи справедливо указывает, что «метод
Фукса для представления аналитических функций, изло-
женный в ж. Креля (тт. 75 и 108), требует уточнений».
Аниспмов считал, что для правильного нахождения 11
необходимо ошибочную систему уравнений Фукса заме-
нить правильной системой Некрасова.
После работ Анисимова для математиков стало ясно,
что теория Фукса в этой части ошибочна и требуется
замена ее другой. Но в целом методы Фукса в создании
аналпческой теории дифференциальных уравнений были
весьма продуктивными: ими широко пользовались мате-
матики конца XIX и начала XX века. В России в то
время наиболее глубоким знатоком этих методов был
Анисимов. Аниспмов умело использовал эти методы
и в других работах. Так, в большой и интересной работе
«Уравнение Рпккати общего вида» 2) он исследует функ-
ции, определяемые уравнением Рпккати
У' + Py~ + Qy + R = 0.
9 См. стр. 283.
*) См. стр. 279.
2.8S
С. Е. БЕ. ЮЗ ЕГО С.
Указанное уравнение с помощью известном подстановки
легко приводится к линейному дифференциальному урав-
нению второго порядка. «Благодаря этому обстоятель-
ству,— как пишет Анисимов, — оказывается возможным
применить при изучении свойств функции Риккатн тео-
рию линейных дифференциальных уравнении, прочные
основания которой положены классическими исследова
пнями Фукса. Этим путем мы приходим к некоторым
результатам, не лишенным, как нам кажется, некоторо
го интереса».
Действительно, с помощью подстановки
указанное у равнение приводится к уравнению
II - 1 I 1 1
Пос леднее же уравнение иреооразовая нем е , = —[- —
'! S1 ?1
где *4= Рос/.г. приводится к уравнению
*0
'Р + Лг:; + «1 = »-
(lx ill I
Il I , I 1
Положив = —-р——, получим ряд уравнении
•s7t xii
в которых
sit > — —Ph_is it,
sk = ) Pu-idx
*0
(A = l, 2, ..., 0-
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

289
Из предыдущего следует, что
• -1 . .
О —' .. Л" I 2
_1_ 4,
V.» 1
квадратур, если толь-
Ого последнее требо-
const. Тогда из пре-
Отсюда г0 получи гея при помощи
ко найдется через квадратуры.
r Pi
ванне будет выполнено, если =
дыдущего вытекает, что интеграл общего уравнения Рпк-
кати получается при помощи конечного числа квадратур,
если выполняется одно нз условий:
7*0 Г .«»•.V,- ... •,<?; ] 4
77- —5-------— = const >
7<n L *j‘A3'• • • I
2-S4-...-Sj
•Sl ‘Л'3’
= const.
А отсюда, как следствие, вытекают условия интегрируемо-
сти уравнения Рпккати у' + ау~ = bih.
Главную часть своего исследования Анисимов посвя-
щает исследованию характеристических свойств функций
Рпккати, изучению особых точек функции Рпккати (пе-
подви/кпых и подвижных), рассмотрению свойств функ-
ции Рпккати в области ее особых точек и установлению
условии однозначности функции Рпккати на всей пло-
скости переменного. Он доказывает здесь, что функция
Рпккати может иметь, во-первых, неподвижные особые
точки: 1) существенно особые, 2) критические алгебраи-
ческие, 3) полюсы, 4) особые по виду — и, во-вторых,
подвижные особые точки, являющиеся полюсами первого
порядка, если они не совпадают с неподвижными.
Условие однозначности функции Рпккати па всей пло-
скости переменного Анисимов формулирует так: «Функ-
ция Рпккати при всяком значении произвольного по-
Г f
1 тоянпогоС = (Г , входящего в общее решение уравнения
Историно-мате.м. исследовании
29(> Е. Г.ЕЛ<»31
4^ -к <?. — -I-snz = 0, имеющего два различных (линейно
«л- 1 dj 1
независимых — С. Б.) интеграла н z2, останется одно-
значною ио всей плоскости переменного, если в области
каждой особом точки оба uirrei pa ia принадлежат к одной
группе н ни одни из них не содержит log.?».
Результаты работ Хппсимова второго периода его де я
тельпос.тп. связанные с интегрированием г. конечном
виде н с аналитической теорией дифференциальных уран
нений,— «Форма интегралов дифференциальных уравно
пип с периодическими коэффициентами»1) и «К вопросу
о форме интегралов дифференциальных уравнений с пе-
риодическими коэффициентами»2)—также обратили на себя
внимание математиков того времени.
Дифференциальные уравнения с периодическими коэф-
фициентами, как известно, находят применение в меха-
нике, геодезии и т. д. Теория же их была еще слабо раз-
работана. Вот почему эти уравнения привлекли внимание
Анисимова Он рассматривает здесь уравнение 1-го п 2-го
порядков и системы дпфферепциа и.ных уравнений с пе
рподическими коэффициентами. В частности, рассматри-
вая уравнение
и' = + h у)- (О
он получает сначала не совсем правильную форму общего
интеграла, на что обратил его внимание Гн н.берт. А затем
и в своих работах и в письме к Эрмиту 3) Аппспмов форму-
лирует уже верпую теорему
«Общин интеграл уравнения (1) с периодическими
коэффициентами имеет всегда следующую форму:
= Р (./)],
где Р(.г-|-1) = />(.с), причем /-*(.')—периодическая функция,
а Я—определенная константа, которая может быть равна
нулю».
1) «Варшавские университетские известия», 1896, Л' 2—3-
2) «Математический сборник», 1899, 20, стр. 411—430.
3) Выдержки из писем В. А. Анисимова и Ш. Эрмита, опуо.ти-
коваиы в «Математическом сборнике», 1900, 21, стр. 62—67.
МАТЕМАТИКА I! I'liC I ОВСКО M У НН I’.ErciUETI-:
2fl I
В ответном письме Эрмпт писал Анисимову «Частный
случай, который был предметом Вашего исследования,
где функция /(.с, у) является периодической но отноше-
нию к переменной, безусловно очень важен, и вывод,
к которому Вы пришли, очень изящен».
Анисимов широко использовал функции комплексного
переменного и в других своих работах.
Возьмем, к примеру, наиболее крупную геометриче-
скую работу его «К теории геодезических кривых»1)-
Здесь с помощью комплексных переменных доказывается
возможность получить во многих случаях полный инте-
грал дифференциального уравнения геодезических кривых
без помощи квадратур. Идя в изыскании j еодезических
кривых путем, отличным от того, которым шел Дарбу,
Анисимов получает некоторые важные резу платы в тео-
рии геодезических кривых: так, используя теорему Якоби,
он ДО конца решает задачу Воннэ. «Наше перерешение
старой задачи Воина,—пишет Анисимов,—открывает, но-
вые стороны в этом старом вопросе, который казался уже
совершенно исчерпанным» (стр. 3). Он вводит з щсь поня-
тие поверхности 1-го и 2-го классов в зависимости от
характера первых интегралов геодезических линий.
Прав щ, после критического замечания Д. Ф. Егорова
по поводу классификации поверхностей Анисимовым по-
следний согласится с этими замечаниями и в «Добавлении
к статье „К теории геодезических кривых"»2) фактически
отказался от прежней классификации поверхностен. Но
зато в этом «Добавлении» он (форму (провал ряд новых
важных теорем. Здесь он указывает и на то, что «для урав-
нения геодезических кривых в координатах снмметрпче-
ких (комплексных) существуют первые интегралы
1-го и 2-го классов». При этом он уточняет определение
интегралов 1-го и 2-го классов:
«Интегралы 1-го класса, по переходе к координатам
деветвите кшым, дают в этих новых координатах только
одни первый питегра I, нахождение общего интеграла но
теореме Якоби приводи гея тогда к ква (ратурам.
х) «Варшавские университетскш известия», 1901, Aj 7, или
•xnnales de I’Ecole Aonnale siipvrieure», 1901.
) «Варшавские университетские известия», 1901, А’ 8.
19*
292
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
Интегралы же 2-го класса, по переходе к действитель-
ным координатам, дают в этих последних координатах
два независимых интеграла. Общин интеграл уравнения
геодезических линии в этом случае получается без квад-
ратур».
Введение комплексных переменных для нахождения
общих интегралов дифференциальных уравнении геодези-
ческих линий дало Анисимову возможность установит!,
некоторые новые теоремы. Значение комплексных пере-
менных он особенно подчеркивает: «Указанный нами
способ—способ введения комплексных переменных—мо-
жет быть рассматриваем как общий прием для интегри-
рования действительных дифференциальных уравнений
какого угодно порядка и в применении к уравнениям
произвольного порядка ведет к интересным заключениям».
В другой статье: «О способах интегрирования
обыкновенных дифференциальных уравнений и некоторые
приложения способа дифференцирования» г)—Анисимов
писал: «При решении с такой точки зрения (т. е. с точки
зрения изучения характеристических свойств функ-
ции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению
/ (я, У, у') = 0.—С. Б.) неоцененные услуги, думаем мы,
вопреки мнению профессора А. Н. Коркина («Malhema-
tische Annalen», т. XLVI1I, стр. 317) оказывает теория
функции комплексного переменного с ее общими положе-
ниями и теоремами».
Таким образом, почти все основные работы Анисимова
базируются на теории функций комплексного перемен-
ного. Это—один из многочисленных примеров того, что
русские математики второй половины XIX и начала
XX вв. не избегали, вообще говоря, теории функции ком-
плексного переменного, как это утверждают некоторые
современные математики, а с успехом использовали ее
в своих работах, а иногда и обогащали ее значительными
новыми открытиями.
Но не только крупные работы Анисимова заслуживают
нашего внимания,—и в своих небольших заметках ()Н
получал иногда важные результаты. Результаты пекото-
1) «Варшавские университетские известия», 1897, Ai 4.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
293
пых работ оп докладывал на заседаниях Московского
математического общества, членом которого был с 1889 г.
13 1883 г. ои доложил па заседании Общества содержа-
ние работы «Несколько теорем о кривых двойной кривиз-
ны и их развертках»1), где им доказаны пять теорем, отно-
сяшпхея к кривым двоякой кривизны и имеющих значе-
ние в дифференциальной геометрии.
В небольшой заметке «Уравнение асимптот алгебраиче-
ской кривой па плоскости»2). Анисимов предложил инте-
ресный способ нахождения уравнении всех асимптот
алгебраической кривой па плоскости. Оп доказал, что
если
С.= о О)
—кривая и-го поря ска, то «можно, исходя из простых со-
ображений, указать пути для составления уравнения,
определяющего все ее асимптоты». Обозначая через
Gi-2 много*!.ien (?? —2) й степени с произвольными коэффи-
циентами. вводя С'„=Сп- Сп-2 и замечая, что кривая С'„
будет иметь те же бесконечно удаленные точки, что и Сп,
он выбирает («если это окажется возможным») коэффи-
циенты Сп-2 так, чтобы уравнение
G = 0 (2)
представляло систему п прямых. При таком выборе урав-
нении С'п= 0 п будет уравненном всех асимптот кривой (1).
Этот способ Анисимова нахождения асимптот алгеб-
раических кривых, так же как и некоторые другие его
результаты, могли бы быть введены в университетские
курсы математического анализа.
Учебники Анисимова, работе над которыми оп уделял
много времени, сыграли заметную роль. Для этих учеб-
ников характерны: сжатость, ясность изложения, уменье
выделить наиболее существенное, а также изложить
новейшие достижения науки в доступной для студентов
форме.
По учебникам Анисимова можно составить некоторое
представление о взглядах автора на методы изложения
J) «Математический сборник», 1885, 12, стр. 42—48.
2) «Математический сборник», 1901, 22, стр. 577—579.
294
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
математики в студенческих курсах. Так, говоря в предисло-
вии к «Курсу вариационного исчисления»1) о своем изложе-
нии вариационного исчисления и о нежелании копировать
иностранных авторов, он писал:
«Мы но подражали примерам современных математи-
ков, которые строгость и точность изложения ставят на
нервом плане. Бесспорно, это-хорошие качества изло-
жения... если только они не идут в разрез с другими,
бо tee важными в наших глазах требованиями: дать пони
тис о сути (ела, об основных идеях, лежащих в основе
того или другого вопроса.. Нам кажется, что так на гы
ваемая ныне строгость изложения иногда мешает делу,
заставляя читателя из-за массы частностей нс видеть
коренных сторон рассматриваемых вопросов».
В том же предисловии Анисимов справедливо обруши
вается на иностранных ученых —Штекксля и Е. Паскаля,
необоснованно проявлявших скептицизм в отношении
вариационного исчисления . I. Эйлера, которое популяри-
зировали и развива nt в России В. 11. Ермаков, В. А Аннеи
мов и др. Говоря о книге Е. Паскаля «Вариационное исчис-
ление»2), в которой он критикует Л. Эйлера за то, что
последний вводит в это исчисление бесконечно малые,
и считает возможным построить вариационное исчисли
ине без привлечения бесконечно малых, Книспмов пишет:
«11 что же мы видим? Гот же Е. Паска н> на 66 стр., укло
нившись формально от вне шипя бесконечно малых
повторяет вслед за Лаграпжем, что
Подобный абсурд может быть и простительным для вели
кого математика, задававшегося когда-то великой целью:
создать теорию аналитических функций, независимую от
исчисления бесконечно малых, непростителен в наших
глазах i ш рядового деятеля науки, в особенности, если
') Варшава, 1904.
-) Pascal Е., Die \ ariationsrecliiiung. kutorisiertc deiibclu
Ausgabc von \ Schepp, Jciinunr, 1899.
МАТЕМАТИК\ It 1’оГЮВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
29.1
он выражает вышеприведенное мнение и суждение об
одном из leiiiia.ii.iieiiinux создании i eiina.ii.noi о Jii iepa!».
Можно отметить как характерную черту Хнисимова—
скромность п честность в науке. Выше было упомянуто
письмо (. Ф. Егорова к Анисимову, в котором первый
обратил внимание Анисимова на ошибку в одной из его
работ. В «Добавлении» к указанной статье Анисимов
не только при шал эту критику справедливой, ио и, неви-
димому, приписал 1 горову некоторые свои результаты.
Следствием этого было появление в «Варшавских универ-
ситетских известиях» (1902. Л* 2) письма Егорова па имя
Анисимова, в котором он писал: «Результаты, приводи-
мые Вами от моего имени, я ни в коем случае не могу
рассматривать, как принадлежащие мне шчио. Самая
формулировка предложений и изложение доказательств
прппад 1ежат Вам .
Даже этот неполный анализ, научной и педагогической
деятельности Кишинева дает нам основание сказать, что
мы не должны, не имеем права забывать имя этого замеча-
тельного русского педагога и у чеши о, сыгравшего замет-
ную роль в развитии математики и в подготовке матема-
тиков в России.
Сконча н я В. А Хнпсимов 9 сентября (27 августа)
1907 г. полным научных и научно-педагогических замы-
слов. За 17 лет его работы в Варшавском университете
сотпи молодых людей учились у него математике и по
окончании университета тепло вспоминали своего учи-
теля. Многие из его учеников стали научными работни-
ками и преподавателями в высшей школе. Хотя под
готовка научных работников по математике при упи
верситете в то время была организована плохо, все же
профессорам математикам удава юсь иногда оставлять при
универ итоге небольшое чисто молодых талантливых
математиков.
Гак, учениками В». \. Анисимова были XI Ф. Зимин
и А. ф. ( армипскнн. Зимин работал долгое время в Ново-
черкасском нолитехппческом институте ассистентом, де-
понтом п профессором до 1938 1. н некоторое время—при-
оат-доцентом в Донском университете: ему принадлежит
РлД интересных работ но теории функций, (.’армянский,
296
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
работая ассистентом в Варшавском политехническом и и
ституте до 1914 г., тоже написал несколько работ по тема-
тике Анисимова, но затем, почти полностью потеряв зре-
ние, перешел на работу в средней школе. Питомец Вар-
шавского университета М. Фельдблюм некоторое время
работал под руководством Д. Гильберта над темой: «О по-
строениях с помощью диссектора», опубликовал работу,
относящуюся к основаниям геометрии Гильберта (1899),
но вскоре он перешел на другую работу.
Наиболее выдающимся питомцем Варшавского универ
ситета этого периода был В. Сорпинскнй, начавший работу
под руководством Г. Ф. Вороного, но затем занявшийся
изучением теории множеств и теории функций веществен
ного переменного. В. Серипнскпй является в настоящее
время одним из крупнейших математиков Народно-Демо-
кратической Польши.
4. Г. Ф. Вороной
Самым крупным из математиков, работавших в Варшав
ском университете, был Георгий Федосеевич Вороной
Общеизвестно значение его работ в области теории чисел,
которые способствовали и продолжают способствовать
обеспечению ведущей роли работ математиков нашей
страны в этой области и оказали большое влияние на
развитие этой части математики. К сожалению, деятель
иость Вороного весьма мало освещена в нашей ли
торатуро. Так, в популярных «Очерках по истории мате
матпки в России»1) 13. В. Гнеденко Вороному отведено не-
сколько строк. То же самое относится к работе А. П. Юшке-
вича «Математика нее преподавание в России вXVII—XIA
веках»2). Правда, в монографии В. II. Делоне «Петер-
бургская школа теории чисел»3) дается подробный разбор
работ Вороного по теории чисел. Делоне справедливо
высоко оцени.! значение работ Вороного: «Чебышев, Воро-
ной и Виноградов,—писал оп,—три крупнейших арифме
гика петербургской школы» (стр. 322—323).
О М.—Л„ 1946.
2) «Математика в школе», 1919, Л° 1.
3) М.—Л., 1947.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
297
Издательство Академии наук Украинской ССР в
1952 г. выпустило в свет два тома трехтомного собра-
ния сочинении Г. Ф. Вороного. В предисловии редакция
отмечает: «Исследования Георгия Федосеовича Вороного
оказали огромное влияние па развитие теории чисел
и в полной мере сохранили свою ведущую роль в настоящее
время. Вороной одновременно с Минковским был создате-
лем новой отрасли математики -геометрии чисел и, вместе
с тем, дал основополагающие, глубокие результаты в ана
литической теории чисел».
Почти весь творческий период в жизни Вороного сов-
падает со временем его работы в степах Варшавского
университета, где он оказал заметное влияние не только
на развитие математики, по и на улучшение подготовки
математиков.
В связи со всем сказанным выше вполне уместно отве-
сти в этом очерке соответствующее место для характери-
стики жизип и деятельности этого выдающегося русского
ученого. Учитывая же наличие обстоятельного анализа
работ Вороного в названной выше монографии Б. II. Де-
лоне, можно ограничиться лишь краткой характеристикой
работ Вороного. Для более основательного знакомства
с его работами необходимо обратиться к трудам Вороного
и к указанной монографии.
Георгий Федосеевич Вороной родился 28(16) апреля
1868 г. в местечке Журавка Полтавской губернии. Отец
его некоторое время был профессором Нежинского лицея,
а потом работал директором гимназий Кишиневской,
Бердянской и Прилукской. Интерес к математике у Воро-
ного проявился в рапном возрасте; в развитии у него
интереса к математике большую роль сыграл его учитель
математики в Прилукской гимназии—Богословский. Из
«Дневника» Вороного видно, что, еще будучи гимнази-
стом, ои пользовался славой прекрасного математика среди
товарищей. Особенно он полюбил алгебру. О его мате-
матических способностях этого времени можно судить и
потому еще, что в 1885 г. в 1-м номере 2-го тома выпускае-
мого профессором Киевского университета В. П. Ермако-
вым «Журнала элементарной математики» было помещено
решение Вороным предложенного Ермаковым вопроса:
298
К. ИЕЛОЗЕРоВ
«Разложение многочленов па множители, основанное па
свойстве корней квадратного уравнения».
Окрыленнbiii первыми успехами, Вороной ставит своей
целью решение в целых положительных числах неон ре-
Георгий Федосеевич Воронов
(1868—1908)
деленного уравнения z2 у- z-=2 ni.ryz, где т целое
положительное число. Поступив в 1885 г. на математиче-
ское отделение физико-математического факультета Петер-
бургского университета, Вороной продолжал размышлять
над решением указанной выше задачи. Но, убедившись
в том, что решение этого вопроса превосходит его позна-
ния, он начинает усиленно работать нал усовершепсгвова-
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ 299
ином своих знании, усердно посещая лекции но матема
тике и дополним их чтением монографии II. .1. Чебышева
и иностранных авторов. Хотя в это время сам Чебышев
ужо ис работал в Петербургском университете, но связи
с университетом он не порывал, и влияние Чебышева на
математическую жизнь университета понрежпему живо
чувствовалось. Идеи Чебышева в теории чисел, теории
вероятности, теории функции и теории механизмов в
Петербургском университете в это время доносили до
студенческой молодежи его выдающиеся ученики:
А. II. Коркин, \. А. Марков, 10. В. ('.охоцкпй и др.
В студенческие годы Вороной испытывал большие
материальные затруднения. По все же он продолжал
успешно н с увлечением заниматься математикой. В своем
дневнике студент Boponoii записывает: «.'1екцпи но чистой
математике меня все более увлекают. . Iokiuhi профессора
Сохоцкого по специальному курсу высшей алгебры я пред-
почитаю всем остальным...»1)- В другой записи днев-
ника говорится: «Теперь у меня есть настоящее жела-
ние работать без всякого насильственного усаживания за
книгу... Сегодня я работа.! тоже порядочно. Записал
шесть лекций, так что на последней даже рука отказа-
лась писать. Встаю в 5 часов и ио утрам занимаюсь ма
тематикой. Что за прелестная вещь! Хотя и масса фо-
рму.!, но все они настолько симметричны, что легко
запоминаются».
В свободное от запятой математикой время Boponoii
пополняет свое общее образование, читая ху (ожест венную
литературу и философские произведения. В то же время
он повышает свое знание французского и немецкого язы-
ков ц изучает англпйский. На третьем курсе, судя ио
записи дневника, его начинает занимать вопрос о наличии
у пего таких способностей, которые позволили бы ему
в дальнейшем стать ученым, отдаться целиком научной
работе. «Главное, что меня занимает, пишет он, есть ли
У меня достаточно способностей... быть ли мне профессо-
ром пли по быть».
’) См. некролог «Г. Ф. Вороной-', нашк-авнын 11 I’. Крайневым
(«Варшавские университетские известия>, 1909, ЛИ).
300
С. Е БЕЛОЗЕРОВ
Занявшись самостоятельно решением ряда сложных
примеров и в том числе интегрированием пре уложенного
Марковым дифференциального уравнения
+ ?/" +
4- [РУ + q - (р* + '•)/]( 1 + У'* 2) = 0,
где р, q, г и s—постоянные числа, Вороной, невидимому,
убедился в наличии у себя математических способностей.
Теперь он смело приступает к отысканию и изучению
новых свойств так называемых чисел Бернулли. Резуль-
татом упорной работы Вороного в этой области появилось
его кандидатское сочинение «О числах Бернулли», где им
доказана важная общая теорема:
«Если //г-е берпуллпево число Вт=~, где —--------
а л ат
дробь несократимая, то
(_ !)> 1 («’• -!)/>„ = 2mav" >Qm [ I2”1'1е(£) +
+ 2"-‘ 2 Q) + • • • + (X-1)2'-> е ] (mod А),
где а и Л’ —произвольные положительные целые числа,
взаимно простые между собой; символ е обозначавi
целую часть Дроои^у J»1).
Из этой теоремы он выводит многие следствия, в том
числе получает теорему Адамса:
«Если число т, значок ?н-го бери} тлиева числа,
имеет делителем число к = р* р\ . . .р\, где рх, р2, ..., ре —
простые числа, не делящие знаменателя m-го берн^л-
лиева числа, то числитель его будет делиться па А»2).
Эта работа Вороного получила высокую оценку
А А Маркова и по его представлению была опублико-
вана в журнале «Сообщения Харьковского математиче-
ского общества» (1890 г., 2, стр. 129 — 148). Резуль-
таты, полученные Вороным в этой первой его работе,
О Вороной Г. Ф , Собр. соч.. 1952, т. 1, стр. 7,
2) Там же.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
301
высоко оценивались и в дальнейшем. Гак, Марков
в 1908 г. в некрологе, посвященном Вороному, писал:
«Блестящий талант Г. Ф. обнаружился уже в неболь-
шой работе «О берпуллповых числах», исполненной 1. Ф
еще в студенческие годы, и ярко развернулся в глубо-
ких исследованиях в области целых алгебраических
чисел, зависящих от корпя уравнения третьей степени»1).
К исследованиям в области целых алгебраических чисел,
продолжающим работы Золотарева, Вороной приступил
после окончания университета, при подготовке к профес-
сорскому званию. Работа над этой трудной проблемой,
как видно, проходила успешно. Вороной как бы чутьем
угадывал теоремы, затем проверял их на большом числе
примеров и, наконец, убедившись в правильности их,
приступал к их обоснованию. «Все теоремы, данные мной,—
пишет он в дневнике,—возникали совершенно независимо,
и мне оставалось их только проверять».
Результаты, полученные Вороным в этой области, но
праву считаются классическими. Его магистерская дис-
сертация «О целых алгебраических числах, зависящих
от корня уравнения 3-й степени»2) посвящена исследова-
нию общего кубического поля в отношении нахождения
базиса кольца всех целых его чисел и разложения их па
простые идеалы. В предисловии к своей работе Вороной
так характеризует ее содержание: «В предлагаемом сочи-
нении результаты общей теории целых алгебраических
чисел прилагаются к частному случаю—чисел, зависящих
от корня неприводимого уравнения р3= го+ $. Результаты,
полученные при этом, оказываются вполне наглядными.
Можно указать форму, в которой заключаются все целые
числа рассматриваемой области...».
Полученные в работе результаты поставили ее в один
ряд с работами Золотарева и Маркова по теории кубиче-
ских полей. Впоследствии эту проблематику успешно раз-
рабатывали советские ученые Б. II. Делоне (1922, 1940),
Д. К. Фаддеев (1934, 1940), Б \ Венков (1935), О К Жи-
томирский (1935).
9 М а р к о в Л. А., Г. Ф. Вороной.^ Некролог, «Известия Ака-
демии наук», 1908, 2, А» 17, стп. 1247—1248
2) СПб., 1894.
Блестящая защита диссертация дала Вороному сте-
пень магнстргх чистой математики, звание экстраординар-
ного профессора и известность в науке. Вся дальнейшая
(еяте.чыюсть Вороного связана с Варшавским универси-
тетом и отчасти с Варшавским политехническим институ-
том. 1895 1908 гг. жизни Вороного характеризуются
прежде всего интенсивностью научной работы и новыми
б lecTHiiuiMH v вехами. Не проходит и двух лет с момента
защиты магистерской диссертации, как он публикует,
а затем защищает в Петербургском университете доктор-
скую диссертацию «Об одном обобщении алгорифма не-
прерывных дробен»1). В этой (псссртацин были получены
иаплучшис, из существовавших к тому времени, алгориф-
мы для вычисления основных единиц в общем кубпче
ском поле как oi рицатильного, так и положительного
дискрнмпнаигов.
О том, каким путем получи?! Вороной свои алгорифм
существуют различные точки зрения: например,
В. II Be.Ti.Mini считает, что а порпфм был получен анали-
тически, а Б. II. Делоне утверждает, что путь, ио кото
рому шел Вороной при получении своего алгорифма,
был геометрический. Последнее предположение весьма
вероятно.
Д А. Граве, говоря об этой диссертации в статье «Об
обобщении алгорифма Вороного», вспоминает интересный
эпизод, связанный с ее защитой. «Пет сомнения,—пишет
оп,—что Вороной нашел алгорифм геометрически, но
изложил он его аналитически, и подал эту работу, как
диссертацию, академику А \ Маркову, который довольно
долго пе решался ее утвердить. Затем Марков по телегра-
фу вызвал Вороного из Варшавы в Петербург. Посадив
ею в своем кабинете, он пред южпл Воронову вычи-
слить единицу для уравнения [/=23... Вороной рассчиты
ват три часа период составился из 21 члена. Чтобы
получить основную единицу, пришлось перемножить
21 число...
Резу плат Вороного говна i с единицей, найденной
Марковым искусечвенным способом... Гак было доказано,
9 Варшава, 181)6.
MXTE>IXTIIK\ В РОСТОВСКОМ X И ПВЕГСПТЕТЕ
303
что алгорифм действито.тыю существует. Вскоре был на-
значен диспут, 11 Марков похвалил Вороного»1)
Эта работа Вороного была опубликована в Варшаве
в 1896 г. В конце того же года Академия наук присудила
Г. Ф. Вороному премию им. В. Я. Вуняковского за две
указанные диссертации. Хоти члены комиссии, рассма-
тривавшей сочинения четырех авторов, претендовавших
в 1896 г. па премию им. Вуняковского, еще не могли пред-
ставить себе во всей полноте значение указанных paooi
Вороного и тон роли, которую им суждено было сыграть
в истории русской и мировой науки, но все-таки они уже
тогда высоко оценили эти работы. В их отзыве, в частно-
сти, говорится:
«...Эти труды представляют совершенно самостоятель-
ною и оригиналы!ую разработку в высшей степени труд-
ной теории целых чисел, зависящих от корпя уравнения
3-й степени... В груде „О целых алгебраических числах,
зависящих от корпя уравнения 3-й сГ(*lleIlll*• г. Вороной
устанавливает вид целых чисел рассматриваемой области
и определяет соответствующие идеалы. Выводы ангора
основаны на подробном изучении решения уравнения
3-й степени при модуле простом и составном и на предва-
рительном рассмотрении особых комплексных выражений,
которые он называет комплексными числами по модулю.
Во втором труде Об одном обобщении алгорифма не-
прерывных дробей ‘, служащем продолжением первого,
г. Вороной устанавливает новые алгорифмы для нахожде-
ния основных комплексных единиц и для решения вопроса
об эквивалентности идеалов в случае тех же целых чисел,
зависящих о г корпя уравнения 3-й степени... Практич-
ность новых алгорифмов автор доказывает па нескольких
интересных численных примерах»2).
Таким образом, первые два года работьi Вороного
в Варшавском университете принесли молодому ученому
степень доктора, ординарную лрофессуру, премию
им. В. Я. Вуняковского и широкую известность. Фнзико-
х) Г р а в е Д. ()., Про загалыичшя алгоритма Порового. «Жур-
нал математпчного niK.iv ВсеукраТнсыам академ)i паук», 1933,
1, V» 2. ‘
2) «Известия Академии наук», 1697, Ж X 4, стр. 428—430.
304
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
математический факультет Варшавского университета,
в составе которого в это время работали наряду с Вороным
такие известные ученые, как В. II. Палладии, II В. Насо-
нов, Е. Е. Вагнер, В. П. Амалпцкий, А. Е. Лагорио,
Г. В. Вульф, П. II. Сомов, II. А. Востоков, II. А. Зи
лов, В. А. Анисимов и др , становился все более круп-
ным центром русской научной, в частности математиче-
ской, мысли
В 1897 и 1901 гг. Вороной выступал с докладами на X
и XI съездах естествоиспытателей и врачей. Глубокие идеи
высказанные Вороным в этих докладах, служат и в паше
время предметом обсуждении и стимулом разработки не-
которых вопросов теории чисе i и суммирования расхо
дящихся рядов.
В 1903 г. он опубликовал мемуар «Об одной задаче и i
теории асимптотических функции» г), где получил формулу
для подсчета числа целых точек между гиперболой гу=п
и осями координат
sn = п (log п Е 2с — 1) 4- 0п 1' п log п
( бп[ ограничен при п—>оо). Этот результат значительно
продвинул решение так называемой задачи Дирихле о де-
лителях, поставленной еще в 1849 г. Вместе с тем эта
работа Вороного сыграла значительную роль в развитии
аналитической теории чисел и явилась одним из исходных
пунктов творчества И. М. Виноградова* 2).
В 1904 г. Вороной сделал два небольших доклада на
Всемирном математическом конгрессе в Гейдольбер! с.
В одном из докладов «О разложении посредством цилин
дрическпх функций двойных сумм 2 / (pm2-\-2qmn-\-rn~),
где pin2+2qmn-rrn2—положительная форма с целыми
коэффициентами»3), он впервые дал приложение цилпидри
ческих функций к теории чисел, что послужило началом
*) V о г о п о i G., Sur un probleme du calcul des fonctions
asymptotiques, «Journal fiir die reine und angewandte Mathematik»,
1903, 12G, стр. 241-282.
2) Заметим, что В. Серппнский в 1906 г , применив метод Воро-
ного, получил формулу для вычисления целых точек (г, у), в круге
~Н/2 О.
э) См. стр 263.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
305
многих исследований других ученых. В этом же году вы-
ходит в свет окончание большой его работы «Об одной
трансцендентной функции и ее приложениях к суммиро-
ванию некоторых рядов»1).
Начиная с 1905 г. и до конца своей жизни, Вороной
вел исследования по теории квадратичных форм. Здесь оп
получил результаты, которыми гордился сам; они состав-
ляют гордость нашей отечественной нау кп.
В 1907 г. он опубликовал работу «О некоторых свой-
ствах положительных совершенных квадратичных форм»2),
продолжающую исследования Коркина и Золотарева.
В этой работе Вороной как бы завершает изучение вопро-
сов, связанных с минимумами положительных квадратич-
ных форм. Вороной показал, что наиболее стройная тео-
рия получается, если рассматривать по формы с наиболь-
шим минимумом, как это было предложено в свое время
Эрмитом, и даже нс предельные формы, как это рассматри-
вали Коркин и Золотарев в мемуаре 1878 г., а так назы-
ваемые им «совершенные формы», т. с. положительные
квадратичные формы, удовлетворяющие определенному
условию. При этом всякая предельная фирма есть совер-
шенная, по не всякая совершенная форма есть продель-
ная. Найденный им алгорифм позволяет найти все совер-
шенные формы
Из работ Вороного о квадратичных формах особенного
внимания заслуживает его большой многолетний труд
«Исследования о примитивных параллслоэдрах»3). Здесь
Вороной, с одной стороны, продолжает исследования
Коркина и Золотарева по теории неопределенных квадра-
тичных форм, а с другой стороны—развивает идеи, имею-
щие большое значение для кристаллографии и теории
, *) Voro no i G., Sur uno fonclion transcendantc ct ses appli-
cations a la sonimalion des quclqucs series, «Annales scicntifiqucs
de 1’Ecolc Normalc superieure de Paris», 1904, 21, cw. 207—
267, 459-533.
2) Vorono i G., Sur quclqucs proprictes des formes quadrati-
ques positives parfaites, «Joui nal fiir die reine und angewandte Malhc-
matik», 1908, 133, стр. 97—178.
3) Voronol G., Rcchcrches sur les paralleloidres priniitifs,
«Journal fiir die reine und angewandte Matlienialik», 1908, 134,
стр. 198—287; 1909, 136, стр. 67—179.
20
Исторпко-матем. исследоваипп
306
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
кристаллических структур. В этой работе для /i-мерного
пространства при примитивном заполнении его параллело-
эдрамп, т. е. когда в каждой вершине сходятся только тг-}-1
параллслоэдр, Вороной доказал замечательную теорему:
всякое примитивное заполнение есть аффинный образ за-
полнения так называемыми областями Вороного для не-
которой решетки.
Этот труд Вороной создавал, в основном, в течение
тех трех лет (1905—1908), когда учебные занятия в Вар-
шавском университете былп прерваны Сама тема работы
родплась у Вороного в результате общения с его другом—
кристаллофпзиком Г. В. Вульфом, познакомившим Воро-
ного с работами знаменитого русского геометра и кристал-
лографа Е. С. Федорова.
Работа Вороного явилась продолжением работы и
Федорова. Последний в своей книге «Начала учения о фи-
гурах» ’) поставил и решил вопрос об одинаковых, парал-
лельно расположенных выпуклых многогранниках, ко-
торые заполняют трехмерное пространство, нс входя друг
в друга. Вороной решил аналогичную проблему, но д ш
/i-мерного пространства.
Вороной изучал эту тему и тогда, когда оп работал
в качестве и. о. декана механического факультета в Ново-
черкасском политехническом институте (1907—1908),
где директором в то время был его коллега-математик
II. II. Зинин п где Вороной пробыл около года. В послед-
ние годы жизни математический гении Вороного проявил-
ся с особой силой; из множества родившихся идеи он смог
далеко пс все развить в указанной, последней своей
работе.
Работая в Новочеркасске над теорией неопределенных
квадратичных форм, Вороной записал в своем дневнике:
«Я делаю большие успехи в разбираемом вопросе, но в то
же время здоровье мое все ухудшается и ухудшается. Вче-
ра я первый раз получил отчетливую идею об алгорифме,
который должен разрешить все вопросы рассматриваемой
теории форм, и вчера же я имел сильный припадок желч-
ной колики, который мне помешал заниматься вечером и
>) СПб., 1885.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
307
не дал возможности заснуть всю ночь. Я так боюсь, чтобы
результаты моих долгих усилий, с таким трудом добывае-
мые, пе погибли вместе со мною» г).
Таким образом, даже в период очень тяжелой болезни
Вороной прежде всего заботился о том, чтобы по у нести
с собой в могилу «результаты долгих усилий», научных
поисков, а передать их своим соотечественникам, обога-
тить ими русскую науку.
«Исследования о примитивных параллелоэдрах» Воро-
ному удалось все же закончить и направить в редакцию
журнала Крелля в 1908 г. для опубликования. Ота работа
относится, с одной стороны, к теории квадратичных форм,
а с другой—к геометрии чисел В этой работе оп дал спо-
соб находить все примитивные параллелоэдры. Вопрос же
о нахождении всех иараллелоэдров л-мериого простран-
ства им до конца ве был разрешен.
Б. II. Делоне так оценивает значение этого мемуара:
«Мему ар Bopoiioi о о параллелоэдрах—одно из самых глу-
боких исследовании в области геометрии чисел во всей
мировой литературе, а своеобразие методов чисто геоме-
трической первой части накладывает па этот мемуар печать
гениальности» 1 2).
Исследования в этой области продолжают теперь совет-
ские математики (Б II. Делоне, А, Д. Александров и др )
Таким образом, среди известных советских математи-
ков имеется немало продолжагелей дела Вороного во
всех трех направлениях, в которых оставил он глубокий
след своего творчества, чего, однако, нельзя сказать
о зарубежных математиках. В этой области,—может быть,
даже больше, чем в других основных областях матема-
тики,—советские математики, продолжая славные тра-
ции знаменитых русских ученых, добились таких успехов,
которые обеспечивают советской науке о числах бесспорно
первое, ведущее место в мировой науке.
Незнакомство многих зарубежных математиков с клас-
сическими работами Вороного нередко ставит их в смеш-
1 Делоне Б II Петербургская школа теории чисел,
СТР. 200. ’
2) Там же, стр. 295.
20*
308
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
ное положение. Так, немецкий математик Бюллпнг, не
будучи знаком с докторской диссертацией Вороного, напе-
чатанной па русском языке, спустя почти 50 лет после
выхода ее в свет, получил в 1939 и 1940 гг. некоторые
результаты, открытые Вороным еще в 1896 г. Впрочем,
не все зарубежные математики были плохо осведомлены
о работах Вороного. Г Минковский, по свидетельству
Б. II. (слоне, относился к Вороному «с большим инте-
ресом п величайшим уважением»1). Бахман в предисловии
к его известной книге о квадратичных формах признавал:
«Оказалось, что я был вынужден предварительно изло-
жить результаты исследований Запада (Эрмита) и Востока
(Вороного и Маркова)» 2). Известно также, что один из
основных математических журналов Америки «Annals
of mathematics» (1932, т. 33, № 3, стр. 422—428) перепе-
чатал небольшую заметку Вороного о теории рядов,
содержащую метод суммирования расходящихся рядов,
определяемый формулой
тт/_ ^nso ~1~ si ~F~ • • 4~
Л) + -^1+ • • -W п
Редакция журнала отмстила тогда, что эта заметка содер-
жала в себе идею целого направления в этой теории и по-
служила началом ряда работ математиков разных стран.
Изложению методов, содержащихся в этой заметке3) и не-
законно приписывавшихся IIорлу иду, рассмотревшему их
спустя 18 лет, посвящено несколько параграфов в переве-
денной на русский язык киш е Харди «Расходящиеся
ряды»4) (стр. 88 и след.).
Д. Д. Мордухай-Болтовской в беседе с памп о Г. Ф. Во-
роном рассказывал, что Вороной, якобы, пе любил педаго-
гическую работу и «был кабинетным ученым». Но это, нам
думается, противоречит известным фактам. Верно в этом,
пожалуй, лишь то, что Вороной отдавал предпочтение ис-
Э Д с л о и е Б. II., нит. соч., стр. 199.
2) Д с л о и е Б. Н., 10. Ф. Вороной, «Журнал математпчпого
д1К.ту Всеукрашсько! академи паук», 1933, т. 1, № 2.
3) В о р о в о й Г. Ф., Продолжение заметки о пределе суммы
членов бесконечного ряда, в кн.: Дневник одиннадцатого съезда рус-
ских естествоиспытателей и врачей, СПб., 1902, стр. 60—61.
4) М , 1951.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
309
следовательской, а не педагогической работе, но он любил
п преподавать математику молодежи.
Мы говорили уже о той заботе, которую проявляли
в конце XIX века Анисимов, Зинин и Вороной об улучше-
нии постановки учебной работы в университете. Рапорт
Вороного факультету, записанный в протоколе засе-
дания Совета университета от 27/XI 1903 г., указы-
вает на то, что эти вопросы продолжали волновать его
и позже. Он писал: «Еще в 19001., прп обсуждении физма-
том его нужд, было заявлено представителями кафедры
математики о необходимости уси юипя преподавання ма-
тематики иа факультете введением практических упражне-
ний, для чего требовалось пригласить, по крайней мере,
одного доцента. Нс ожидая времени осуществления вы-
сказанных пожеланий, проф. Анисимов и я начали вести
практические занятия но математике па нервом курсе
совместно, сначала но I часу в неделю, а в последние два
года—по 2 часа в педелю. В это же время я читал следую-
щие курсы: аналитическую геометрию ежего (по по 4 часа
в неделю, начертательную геометрию—через год но 1 часу
в неделю, теорию чисел через год но 2 часа в неделю и тео-
рию вероятностей через год 2 часа в неделю», [альте он
указывает па свою чрезмерную перегрузку учебной
работой, что тормозит выполнение нм исследовательской
работы, и просит усилить штат работников кафедры ма-
тематики.
Вороной нс относился равнодушно к преподаватель-
ской деятельности, что видно из того, с каким вниманием
он обрабатывал курс своих лекций «Дифференциальное
и интегральное исчисление», стоявший на уровне требо-
вании того времени и содержавший бо 1ьшое количество
тщательно подобранных примеров. Этот труд Вороного
был опубликован (под редакцией проф. II. 1 Брайцева)
в «Варшавских университетских известиях» уже после
смерти Г. Ф. Вороного1).
Вороной не стоял в стороне п о г общественных дел и
событии того времени. Из протоколов заседаний Совета
*) Вороной Г. Ф., Дифференциальное и интегральное
исчисление. Под редакцией II. 1’. Брайцева, «Варшавские универ-
ситетские известия», 1909, №4—9; 1910, №1—9; 1911, № 1—8.
310
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
университета видно, что Вороной был одним из активных
его членов. В 1905—1908 гг. профессора университета
вольно или невольно участвовали в обсуждении вопросов
не только «академических», но и политических. Мы счи-
таем уместным привести здесь один пример из жизни
университета того времени, отчасти характеризующий
отношение Вороного к тогдашним политическим событиям
На экстренном заседании Совета 22—23 февраля 1905 г
ректор университета Л. А. Зилов доложи i о студенческих
«беспорядках» и просил профессоров высказать мнение
по вопросу об их отношении к требованиям студентов,
в том числе о роспуске инспекции и ликвидации должно-
стей педелей. Boponoii, выражая мнение прогрессивной
части профессу ры университета (Вульф, Щербак, Погодин,
Петрушевский и др ), заявил: «Инспекция должна быть
упразднена, а вместо нее следует устроить канцелярию
ио студенческим делам». Boponoii и Амалицкий входили
в это время от факультета в состав комиссии ио преобра-
зованию университета, которая добилась решения Совета
университета об устранении инспекции, неделей, о раз-
решении свободы собраний студентов и т. д. Известно
также, что Вороной, будучи членом университетского
суда, часто защищал студентов, обвинявшихся в нолптп
ческой «неблагонадежности».
Пз сказанного видно, что Вороной был ученым-па г
риотом, заботившимся о развитии русской науки и любив
шнм свой университет, с которым у пего было связано
много хороших воспоминаний. Получив еще одно подтвер-
ждение высокой оценки своих научных заслуг—избра-
ние в члены-корреспонденты Академии наук (1908 г.),
он мог бы свободно перейти на работу в Петербург, куда
его еще в 1906 г. приглашал В. А Стеклов, по он хоте i
продолжать свою деятельность в Варшавском универси-
тете. II когда возобновилась учебная работа в этом унн
верситетс в 190S г Boponoii, несмотря на сильно пошат-
нувшееся здоровье, вновь возвращается в Варшавски и
университет. К этому времени в университете уже но было
ни Н. II. Зинина, пи В. А. Анисимова, скончавшегося
в 1907 г Вместе с магистром чистой математики II. Р. Bpaii-
цевым, приглашенным па работу в университет в 1908 г.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
311
по совместительству, Г. Ф. Вороной, преодолевая свою
серьезную болезнь (желчные камни), прилагает много
усилий, чтобы наладить в университете учебную работу
по математике. Он полон замыслов и научных планов,
осуществить в полной мере которые ему помешала тяже-
лая болезнь.
Насколько тяжело переживал Г. Ф. Вороной утрату
возможности заниматься математикой, видно из ого слов,
сказанных при отъезде из Новочеркасска в Варшаву:
«Врачи мне запрещают заниматься. Я и сам заметил, что
сильное умственное напряжение всегда вызывает отклик
в моей боле ни. Но нс знают, что значит для меня нс за-
ниматься математикой. Только одной моей жене известно,
что математика для меня—жизнь, все»1).
20 (7) ноября 1908 г. 1 . Ф. Вероной скончался.
II. Р. Брайцсв, много лет работавший! вместо с Вороным
в Варшавском политехническом институте, хорошо знав-
ший и его и мнения о нем окружающих, писал в некро-
логе: «Глубокая скорбь поразила пе только жену, ею
помощницу даже в научных трудах, его шестерых детей,
но и всех его товарищей—профессоров и преподавателей
Варшавского университета и политехнического института.
Никому пе хотелось верить, что угас Георгий Федосеевпч,
которого все так глубоко уважали и любили. Все сознава-
ли, что понесена преждевременная потеря выдающегося
ученого, славного профессора, который был гордостью
и украшением двух высших школ Варшавы. Политехни-
ческий же институт в лице почившего оплакивал, кроме
того, своего первого выборного декана механического
отделения, заслужившего на этом поприще общее уваже-
ние п благодарность... Все скорбели также о потере
всегда правдивого, отзывчивого, сердечного человека»2).
Похоронен 1. Ф. Вороной на родине, в Жу равно (У краина).
На деятельности Г. Ф. Вороного, так же как и на дея-
тельности других передовых русских ученых, сказались
тяжелые условия для науки в царской России. Немно-
гочисленны были в то время ученики и последователи
*) Цитируется по некрологу, написанному И. Р. Брянцевым,
см. «Варшавские л ниверсптетские известия», 1909, V 1
2) Там же.
312
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
Вороного. Только в советское время научные результаты
Вороного были по достоинству оценены п была продол-
жена разработка его глубоких идей. Советские ученые
гордятся тем, что в числе их выдающихся соотечественни-
ков был п Г. Ф. Вороной—первоклассный ученый и чело-
век замечательной души.
5. Физико-математический факультет перед
Великой Октябрьской социалистической революцией.
Д. Д. Мордухай-Болтовской
После отъезда II. II. Зинина в Новочеркасск (1907),
смерти В. А. Анисимова (1907) и Г. Ф. Вороного (1908)
в Варшавском университете появляются новые, мало из-
вестные еще в пауке математики.
С 1909 г. в стенах Варшавского университета развер-
нулась учебная п исследовательская деятельность моло-
дых тогда профессоров Д. Д. Мордухай-Болтовского и
Д. Н. Горячева и и. о. доцента В. П. Всльмина.
Полная смена состава математиков отразилась не
столько на учебной, сколько па научной работе. Правда,
и в учебной работе после 1908 г произошли некоторые
изменения. Теперь не только все профессора п препода-
ватели математики были новые, но и все студенты были
новые—«более благонадежные». Пз 729 студентов, приня-
тых в университет в 1908 г. на первые курсы, па математи-
ческом отделении было только 5а, причем большинство
их окончило духовные ссмппарпи п, следовательно, имело
слабую подготовку по математике. Семинаристам, в кото-
рых власти надеялись иметь «будущих надежных студен-
тов», предоставлялись всевозможные льготы при поступле-
нии в Варшавский университет. Физико-математически и
факультет, зная чрезвычайно слабую подготовку семина-
ристов по математике п физике, в 1908 г. на одном из своих
заседании решил, что они должны подвергаться вступи-
тельному испытанию по математике и физике. Но п эта
мера мало помогла поднятию уровня математической под-
готовки поступавших в университет семппарпстов.
В первый год после возобновления учебной работы
Варшавского университета для студентов математическое
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
313
го отделения пз математических дисциплин читались:
анализ—4 часа в неделю и аналитическая геометрия—
4 часа в неделю. Студентам естественного отделения чи-
тался сокращенный курс математики. По, уже начиная
со следующего учебного года и в дальнейшем, объем
учебной работы по математике увеличивается, возрастает
и число часов, отведенных на некоторые математические
дисциплины. Расширяется объем преподавания матема-
тики вообще и, в частности, практических занятий. В этот
период несколько повышается качество студенческих дип-
ломных (кап цгдатских) работ.
По наиболее существенные изменения произошли в на-
учной работе по математике: изменились направления и
объем работы. При всей талантливости научной молодежи,
прише (шей пЛ кафедру математики Варшавского универ-
ситета, нм трудно было, особеппо в первое время, иод тер-
живать авторитет кафедры па такт! высоте, на какой он
был при Сонине пли при Анисимове н Вороном По в даль-
нейшем, благодаря трудам математиков Мордухай-Бол-
товского, Вельмнна и Романовского, механика Горячева,
астронома Черного, физика Колли и других ученых, авто-
ритет математического отделения университета вновь
возрос.
В этот период, а отчасти и в следующий, руководящая
роль в учебной и научной работе по математике в Вар-
шавском университете принадлежала Д. Д. Mop iy хай-
Болтовскому.
Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской родился
8 августа (27 июля) 1876 г. Будучи студентом физико-
математического факультета Петербургского универси-
тета, он слушал лекции А. II. Коркина, А. А. Маркова,
Ю. В. Сохоцкого и К. А. Поссе.По окончании уни-
верситета (1898 г.) Мордухай-Болтовской был оставлен
при университете для подготовки к профессорской дея-
тельности. Однако, стремясь поскорее начать педагоги-
ческую деятельность, он в том же году направляется
на работу в качестве ассистента к Г Ф Вороному»' в Вар-
шавский политехнический институт С этого же времени
устанавливается связь Мордухай-Болтовского с мате-
матиками Варшавского университета Педагогическая
314
С. В. БЕЛОЗЕРОВ
работа не помешала молодому ассистенту в подготовке
к магистерским экзаменам, которые он и сдал в 1901 г.
Хотя в ряде направлений своей многосторонней
научной деятельности Мордухай-Болтовской всегда оста-
Дмитрпй Дмитриевич Мордухай-Болтовской
в 1915 г.
вален представителем Петербургской математической
школы, по уже на первых порах научно-педагогической
деятельности он проявил интерес к различным про-
блемам, далеким от «петербургской» проблематики,
а также к вопросам методики и истории математики.
В результате его успешной ассистентской деятельности
в 1899—1900 гг. был издан литографированный «Задач-
ник по дифференциальному п интегральному исчисле-
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
315
нпю»1), переработанный затем в «Систематический сборник
элементарных упражнений по дифференциальному и интег-
ральному исчислению»2), выдержавший несколько изданий
в том числе и на польском языке) Методическая структура
этого сборника была принята позднее и другими авторами
задачников по математическому анализу. Первая печатная
работа Д. Д. Мордухай-Болтовского «Об одном обобщении
теоремы Абеля» появилась в 1902 г.3). После этого он еже-
годно публикует по нескольку статей в русских и инос-
транных журналах В 1903 г. он опубликовал три работы4).
Все это дало основания Г. Ф. Вороному в конце 1903 г.,
когда вредно.латалось расширение штатов преподавателей
математики в Варшавском университете, рекомендовать
своего ассистента по Политехническому институту в
качестве преподавателя ма ематкн. Вороной писал
в своей рекомендации: <<Д. Д. Мордухай-Болтовской мне
известен как опытный преподаватель, в течение 5 лет
ведущий под моим руководством практические занятия
но высшей математике в политехническом институте ..
Я могу рекомендовать Д. Д. Мордухай-Болтовского фа-
культету также и как талантливого молодого ученого, уже
заявившего себя в науке»5 6).
В 1906 г. Мордухай-Болтовской защитил в Петербург-
ском университете магистерскую диссертацию «О приве-
дении абелевых интегралов к низшим трансцендентным»0),
где он дает обобщение результатов Пуанкаре-Пикара в этой
Н Харьков, 1899—1900.
2) Варшава, 1904.
3) «Сообщения Харьковского математического общества», 1902,
7, Д« 6, стр. 268—283.
4j Мор д у х а и Г» о л то в с к о й Д. Д., Об инвариантных
преобразованиях ультраэллиптпческнх интегралов, «Сообщения
Харьковского математического общества», 1902—1903, 8, Дё 1—3;
О некоторых биномиальных интегралах, приводимых к эллипти-
ческим и ультраэллиптпческим, «Протоколы заседаний общества
естество испытателей при Варшавском университете», 1903; О при-
ведении абелевых интегралов к ультраэллиптпческим первого
класса, «Известия Варшавского политехнического института»,
1903, вып. 1, стр. 1—87.
5) Госархив Рост, обл , ф. 527, on. 1, ед хр. 22, л 386.
6) «Известия Варшавского политехнического института», 1905,
вьш. 1, стр. 1—96.
316
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
области, решение проблемы Шварца относительно преоб-
разования интегралов Абеля, а также вывод условий су-
ществования алгебраического решения обобщенного урав-
нения Эйлера и другие результаты.
В 1907 г. Д Д. Мордухай-Болтовской вместе с Г. Ф. Во-
роным, И. Р. Брайцевым и другими учеными Варшавы под
руководством профессора II. Н. Зинина был направлен
в Новочеркасск для налаживания учебной работы во
вновь открытом Политехническом институте. В 1909 г.
он был избран экстраординарным профессором Варшав-
ского университета и вернулся в Варшаву; к этому времени
он опубликовал уже 15 работ и в том числе большую работу
«Общие исследования, относящиеся к интегрированию
в конечном виде дифференциальных уравнений первого
порядка»1) и «Курс дифференциального и интегрального
исчисления»2). С этого времени он связал свою деятель-
ность с университетом и почти до конца жизни, лишь
с небольшими перерывами, возглавлял в нем учебную и
учебно-методическую работу, а также основные направ-
ления в научной работе.
Д. Д. Мордухай-Болтовской пе относился к числу «бле-
стящих» лекторов, по педагогическую работу в школах
всех ступеней он горячо любил, читал студентам содержа-
тельные лекции, часто вызывавшие интерес к научной
работе и привлекавшие студентов в семинар При этом
он уделял много внимания вопросам методики преподава-
ния математики, начиная с начальной и кончая высшей
школой. В опубликованных статьях по методике матема-
тики он выступал сторонником реформы преподавания
математики и, в частности, сторонником изучения эле-
ментов истории пауки в средней школе. Он писал: «...Изу-
чение истории науки в средней школе является не менее
полезным, чем изучение каких-либо междоусобных войн
или дворцовых интриг»3).
’) «Сообщения Харьковского математического общества», 1907—
1909, 10, № 1, стр. 34—64; № 5—6, стр. 231—270.
2) Варшава, 1909, литограф, изд.
3) М о р д у х а й-Б о л т о в с к о й Д Д., О первом Всерос
списком съезде преподавателей математики, «Варшавские универ-
ситетские известия», 1913, № 3.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
317
За свою многолетнюю работу в университете Мордухай-
Болтовской читал в разное время почти все обязатель-
ные по плану математические курсы, многие специ-
альные курсы, а иногда даже курсы по механике и
астрономии.
Основными направлениями в научной работе Морду-
хай-Болтовского в дореволюционный период были иссле-
дования по интегрированию в конечном виде трансцен-
дентных функций и но решению в квадратурах дифферен-
циальных уравнений. Особенно значительными работами
этого периода являются. «Об интегрирован пи лппейпых
дифференциальных уравнений в конечном виде»1) и
«О гипсртрансцсидситиости функции •' (s, z)»2). В послед-
ней работе решена так называемая 22-я проблема 1 иль-
берта, т. с. доказано, что ^-функция ие может быть опре-
делена алгебраическим дифференциальным уравнением.
В работе «К теории трансцендентных чисел»3), дополнен-
ной затем в 1926 г., Мордухай-Болтовской получил инте-
ресные результаты па пути к решению 7-й проблемы Гиль-
берта (об арифметической природе чисел вида сд1). Полно-
стью эта проблема, как известно, была решена в 1934 г.
советским математиком А. О. Гсльфоидом.
Большой заслугой Мордухай-Болтовского в этот пе-
риод его деятельности является организация им в 1911 г.
семинара, в котором принимали активное участие наиболее
сильные студенты, в том числе и студенты, ставшие впо-
следствии научными работниками университета: С. А. Хвял-
ковский, М. Ф. Субботин, 11. М. Несторович, А. А. Ба-
тырев и др., а также В. II. Романовский. В том же году
по инициативе Мордухай-Болтовского был создан в уни-
верситете прекрасный математический кабинет
В 1915 г Мордухай-Болтовской вместе с университетом
переехал в Ростов и Д и здесь приложил много усилий
в организации па новом месте учебной и научной работы по
математике, создании заново математического кабинета,
*) «Варшавские университетские известия», 1909, № 8—9;
1910, № 1—9; 1911, № 1.
2) «Известия Варшавского политехнического института», 1913.
3) «Протоколы заседании общества естествоиспытателей при
Варшавском университете», 1913, Л; 1—2.
318
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
в налаживании продуктивной работы математического
семинара.
Одновременно с Мордухай-Болтовскпм в Варшавском
университете начали работу профессор прикладной мате-
матики Д. II. Горячев, профессор астрономии С. Д. Чер-
ный, профессор физики А. Р. Колли и доцент чистой мате-
матики ученик Д. А. Граве и В. Я. Букреева В. II. Вель-
мпн (работавший в области теории алгебраических чисел),
а через два года присоединился к ним и профессор чистой
математики В. II. Романовский.
Дмитрий Никапоровиц, Горячев (1867—1949) перешел
в 1909 г. в Варшавский университет из Московского уни-
верситета, где оп, еще будучи студентом, написал под ру-
ководством II. Е. Жуковского сочинение «Определение
продолжительности удара упругих тел», удостоенное сере-
бряной медали. После окончания университета оп про-
должал работать под руководством II. Е. Жуковского
и в 1899 г. защитил магистерскую диссертацию: «О неко-
торых случаях движения прямолинейных параллельных
вихрей»1). В дальнейшем он приступил к исследованию
классической задачи динамики—о движении твердого
тела вокруг неподвижной точки, опубликовав еще в конце
прошлого столетия первую из этой серии работ: «Повое
частное решение задачи о движении тяжелого твердою
тела вокруг неподвижной точки»2).
После сдачи магистерских экзаменов Д. П. Горячее,
работал доцентом по механике и математике в Московском
университете и Высшем техническом училище, показав
прекрасный лекторский талант. Таким образом, к момен-
ту избрания его профессором Варшавского университета
оп проявил себя и на научном и на педагогическом поприще.
Продолжая в Варшаве работу над проблемой о движе-
нии твердого тела вокруг неподвижной точки, где уже
были получены блестящие результаты С. В. Ковалевской,
Д. Н. Горячев закапчивает и публикует свою известную
*) «Ученые записки Московского университета. Отдел физико-
математический», 1898, вып. 16.
2) «Труды Отделения физических паук Общества любителей
естествознания, антропологии и этнографии при Московском упи-
верептете», 1898, 9, вып. 2, стр. 14—16.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
319
работу «О движении тяжелого твердого тола в случае
j4=Z?=4C'»1). Этот случай известен теперь во всей мировой
литературе по механике как «случай Горячева», пли «слу-
Дмптрпи Никаиорович Горячев
(1867—1949)
чай Чаплыгина-Горячева». 13 1912 г. он успешно защитил
в Московском университете докторскую диссертацию на
тему: «Некоторые общие интегралы в задаче о движении
твердого тела»2). Следующий цикл работ Д. II. Горячева
*) «Математический сборник», 1900, 21, стр. 431—438.
2) «Варшавские университетские известия», 1911, № 2—6.
320
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
посвящен, главным образом, изучению движения твер-
дого тела в жидкости, т. е. относится к гидромеханике* 2).
Горячев, стремясь помочь учащимся реальных учи-
лищ и студентам в овладении основами высшей матема-
тики, написал два хороших учебника по математике:
«Основания анализа бесконечно малых»2) и «Основания
аналитической геометрии на плоскости»3), выдержавших
много пздаиип. По этим учебникам учились основам
высшей математики многие поколения учащихся средних
учебных заведений п ими же пользовались и студенты.
Всеволод Иванович Романовский (род. в 1879 г.),
ученик Коркина и Маркова, при поступлении в 1911 г.
в Варшавский университет в качестве и. о. доцента пред-
ставил три работы: «Обобщение интеграла Фурье», «За-
метка о симметрических функциях» и «О парадоксе
Бертрана». При этом Романовский представил также ре-
комендацию профессоров Петербургского университета
Пташпцкого, Стеклова и Селиванова, в которой они харак-
теризовали его как «человека способного, знающего, трудо-
любивого и очень порядочного». Весьма положительный
отзыв о его работе дали и профессора Мордухай-Болтов-
ской и Брайцсв.
В. II. Романовский в Варшавском-Ростовском уни-
верситете работал около семи лет. Как ученик Коркина
и Маркова он проявлял, естественно, интерес к вопросам
классического анализа и теории вероятностен Еще до
работы в Варшавском университете Романовский под
влиянием Коркина начал заниматься разработкой темы:
«К теории интегрирования дифференциальных уравнений
с частными производными второго и третьего порядков
с двумя независимыми переменными»4). Продолжив эту
работу в Варшавском университете, он оформил ос, заши-
9 1 о р я ч с в Д. II., Новые случаи интегрируемости дина
мпческих уравнений Эйлера, «Варшавские университетские изве-
стия», 1916, № 3; Некоторые случаи симметричного относительно
оси движения жидкости, «Труды Северо Кавказской ассоциации
научно-исследовательских институтов», 1930, 77, стр. 9—19.
2) М., 1907 (8-е исиравл. изд., М.—Л., 1923).
3) М., 1908 (6-е исиравл. изд. М.—Л., 1918).
4) «Варшавские университетские известия», 1911, №9.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
321
тил как магистерскую диссертацию в 1912 г. и получил
звание экстраординарного профессора. За время работы
в Варшавском-Ростовском университете Романовский на-
писал, кроме диссертации, еще ряд работ1), в том числе
большую работу «Интегрирование инволюционных систем
первого класса»2). Эта работа была посвящена интегриро-
ванию систем уравнений с частными производными, имею-
щими общин интеграл, зависящий от одной произволь-
ной функции одного аргумента и конечного числа
произвольных постоянных. Это была первая работа на
русском языке, исследующая эту проблему, изучав-
шуюся математиками других стран в конце XIX и в
начале XX вв.
Оказавшись в силу ряда обстоятельств с 1918 г. на
работе в Средне-Азиатском государственном университете,
Романовский первое время продолжал там работу над
темами, начало разработки которых было положено им еще
в рассматриваемый период его работы.
В настоящее время В. И. Романовский является круп-
нейшим представителем в области математической стати-
стики в нашей стране. Он—действительный член Акаде-
мии наук Узбекской ССР и лауреат Сталинской премии.
В Варшавском-Ростовском университете Романовский
читал курсы: интегрирования дифференциальных урав-
нении, исчисления конечных разностей, теорпп вероят-
ностей и др. В 1918—1920 гг., в связи с отъездом Рома-
новского из Ростова, некоторые математические курсы
временно читали Б. М. Коялович, М. Ф. Субботин и
М. Ф. Зимин. Иногда отдельные математические курсы чита-
ли Д. Н. Горячев и С. Д. Черный (астроном). Ассистента-
ми по математике были С. А. Хвялковский и Н. М. Несто-
рович.
Таким образом, для математики последних лет жизни
университета в Варшаве характерно, что в связи с при-
ходом в него на работу новых математиков здесь начинают
разрабатываться и новые проблемы: некоторые вопросы
классического анализа (Мордухай-Болтовской, Романов-
*раРшавские университетские известия», 1912, № 1—5.
J «Варшавские университетские известия», 1916, А»3.
Историко-матем. исследования
322
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
скин), алгебры п теории чисел (Величин) и теоретической
механики (Горячев). В учебной работе по математике
этого времени можно отметить некоторое увеличение
числа общих и специальных курсов, начало работы гео-
метрического кабинета п семинара для студентов стар-
ших курсов, что способствовало вовлечению большого
числа студентов в исследовательскую работу.
* *
*
Переезд Варшавского университета в 1915г.вРостов п/Д
(где в 1917 г. он был переименован в Донской универ-
ситет) не внес первоначально существенных изменений
ни’в учебную, нп в научную работу по математике. Про-
фессорско-преподавательский состав оставался в основ-
ном тот же, объем и направление работы были теми
же, что и в варшавский период.
Некоторые изменения произошли только в составе
студентов: теперь в университет стали поступать многие
гимназисты, подготовленные по математике лучше, чем
семинаристы. Общее число студентов математического
отделения в 1915/16 учебном году было 143, т. с. несколь-
ко даже больше, чем в Варшаве в 1914 15 учебном году
(123). Изменился социальный состав студентов: увели-
чился процент детей купцов, чиновников и зажиточных
казаков за счет значительного уменьшения числа сту-
дентов-выходцев из духовного звания. Для детей рабо-
чих и крестьян двери университета оставались попрежпему
накрепко закрытыми до установления Советской власти
на Дону.
Хотя появление и деятельность университета в Ро-
стове н/Д оказали положительное влияние на культур)
этого купеческого, в те времена, города, все же и универ-
ситет в целом и его физико-математический факультет,
в частности, в досоветский период не могли надлежа-
щим образом развернуть свою и научную и учебную де-
ятельность. Военные события и дикий произвол бело-
гвардейщины на Дону поставили университет и его со-
трудников в чрезвычайно тяжелое положение. Учебные
занятия в это время проходили с перебоями в неотаплИ'
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
323
ваемых помещениях с керосиновыми лампами и свечами.
Лаборатории и учебные помещения были плохо обору-
дованы. Несколько этажей главного корпуса универ-
ситета было занято белогвардейскими воинскими частями.
Подготовка научных работников-математиков, проводив-
шаяся в университете и раньше в незначительных раз-
мерах, теперь почти полностью прекратилась. Объем
научной работы в области математики в это время зна-
чительно уменьшился. Положение Донского универси-
тета с каждым месяцем становилось все более и более
тяжелым.
6. Математика в Ростовском университете
в советский период
Г
Новый период в жизни университета вообще и его ма-
тематических кафедр в частности начинается с уста-
новления Советской власти на Допу.
В январе 1920 г. под ударами Красной Армии пал
главный очаг южной контрреволюции— Ростов п/Д. С это-
го момента в Донском университете началась упор-
ная работа по превращению его в полноценное советское
высшее учебное заведение.
Советское правительство и Коммунистическая партия
в тяжелые годы гражданской войны уделяли огромное вни-
мание развитию науки и культуры. В первые же годы
существования Советской власти 1k П Ленин подписал
ряд декретов об открытии новых университетов, научно-
исследовательских институтов и рабфаков. Когда Ростов
стал советским, представители командования Красной
армии вручили университету охранную грамоту; помеще-
ния университета были приведены в порядок после «хо-
зяйничанья» в них белых и полностью предоставлены для
учно-учебной работы; было выделено дополнительно
помещение для научной библиотеки.
Советская власть широко открыла двери универ-
ситета для рабочих, трудящихся крестьян и их детей,
она предоставила женщинам права, равные с правами
мужчин при поступлении в университеты п в другие
21*
324
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
Но не сразу после изгнания белобандитов из Ростова
рабоче-крестьянская молодежь заняла в университете
ведущее место: трудящаяся молодежь в массе своей не
имела тогда необходимого среднего образования, кроме
того, лучшая часть рабоче-крестьянской молодежи в рядах
славной Красной армии защищала свою Родину от внеш-
них и внутренних врагов.
Поэтому в первые годы существования Советской власти
в Ростове в составе студентов университета еще преоб-
ладали дети представителей разгромленной буржуазии,
дворянства, чиновничества, дети кулаков, мещан. Со-
циальный состав студенчества в эти годы (1920—1921)
еще мало отличался от состава студенчества дореволю-
ционного времени.
Значительная часть профессорско-преподавательского
персонала университета стояла в стороне от мероприятии
Советской власти по перестройке университета, а часть
из них тормозила эти мероприятия. Маленькой груп-
пе коммунистов и комсомольцев, пролетарской части
студенчества и небольшой части профессорско-преподава-
тельского состава, отколовшейся от «нейтральной» про-
фессуры, приходилось проводить жестокую борьбу с
остатками контрреволюционных элементов, засевшими в
университете.
Одной из основных задач того времени, успешное
разрешение которой способствовало советизации уни-
верситета, была задача изменения организационной
структуры университета и состава факультетов с целью
удовлетворения запросов советской действительности и
интересов масс трудящихся.
Осенью 1920 г. был открыт при университете рабочий
факультет. В 1924—1925 гг. из 300 студентов, принятых
на 1-й курс в университет, было уже 114 рабфаковцев
(38%). Среди окончивших рабфак и поступивших в уни-
верситет было много рабочих, крестьян и их детей, чле-
нов Коммунистической партии и комсомольцев—людей,
прошедших большую жизненную школу на производстве
и в Красной Армии. Эти студенты сыграли особенно боль-
шую роль в преобразовании университета в советское
высшее учебное заведение.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
325
К началу 1922/23 учебного года в университете был
организован педагогический факультет в составе четырех
отделений: физико-технического, социально-экономиче-
ского, естественного и лингвистического. В конце 1923/24
учебного года физико-математический факультет был
присоединен к педагогическому факультету.
В июле 1925 г. университет был переименован из
Донского в-Т'ёверо-Кавказский государственный. Этим
было подчеркнуто его большое значение не только для
Дона, но и для всего Северного Кавказа.
В 1930 г. прежние факультеты выделились из состава
СКГУ в самостоятельные институты, а университет,
переименованный в Ростовский государственный универ-
ситет, с 1931 1\~1родо7ИкДл пюсГ существование с новым
составом факультетов; в числе последних был и физико-
математический. Учитывая значительные заслуги кол
лектина Ростовского государственного университета, Пра-
вительство присвоило университету в 1936 г. имя
В. М. Молотова.
Огромная помощь Партии и Правительства, оказан-
ная университету, позволила ему быстро залечить раны,
которые были нанесены империалистической войной и гос-
подством белогвардейщины, и он вскоре начал играть за-
метную роль в развитии народного хозяйства и культуры
на Дону и Северном Кавказе.
В результате широкой организационной и воспита-
тельной работы, проведенной в университете, большин-
ство старой профессуры убедилось в правильности по-
литики Коммунистической партии и Советского правитель-
ства и стало активно помогать партийной организации
и руководству университета в улучшении научной работы
и в подготовке квалифицированных кадров. Для работы
в университете были привлечены и новые, марксистски
образованные кадры.
Изменился и социальный состав студенчества. Так,
если в 1923/24 учебном году среди студентов, обучавших-
ся в университете, рабочих и их детей было 15%, крестьян
и их детей—18%, служащих и их детей—41%, ремеслен-
ников и их детей—9% и прочих—17%, то в 1928/29 учеб-
ном году их_было соответственно 31, 26, 40, 3 и 0%. Если
Главное здание Ростовского государственного университета (современный вид).
яоляеокяа
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
327
до Великой Октябрьской социалистической революции
в числе студентов университета не было пи одной женщины,
то в 1923/24 учебном году процент студенток среди уча-
щихся достиг 38.
Хотя в первые годы Советской власти в университете
работали, в основном, те же математики, что и в конце
предыдущего периода, но характер учебной и научной
работы резко изменился. Особенно заметно изменилась
в университете работа по подготовке кадров научных
работников-математиков и усилилось привлечение наи-
более талантливых из них па работу в университет.
В связи с расширением объема учебной работы по мате-
матике и благодаря открывшимся для молодежи широ-
ким возможностям научно-педагогической деятельности
коллектив математиков университета вскоре пополнился
молодыми учеными, начавшими играть заметную роль
в улучшении преподавания математики.
Чтобы дать некоторое представление о характере
общих и специальных курсов по математике на физико-
математическом факультете Ростовского университета,
назовем здесь хотя бы только курсы, читавшиеся в разное
время Д. Д. Мордухай-Болтовским и В. П. Вельминым.
Эти курсы следующие: аналитическая геометрия, введение
в математический анализ, дифференциальное исчисление,
интегральное исчисление, кратные интегралы, интегрирова-
ние дифференциальных уравнении, интегрирование уравне-
нии с частными производными, численное интегрирование
дифференциальных уравнений, вариационное исчисление,
теория вероятностей, элементы математической статистики,
исчисление конечных разностей, интегральные уравнения,
определенные интегралы, эллиптические функции, тео-
рия функций вещественного переменного, теория функ-
ций комплексного переменного, теория алгебраических
кривых, начертательная геометрия, синтетическая гео-
метрия, проективная геометрия, неевклидова геометрия,
высшая алгебра, теория Галуа, элементы теории чисел,
теория алгебраических чисел, аналитическая теория чи-
сел> теория непрерывных дробей, теория форм, двучлен-
ные уравнения, арифметика в квадратичных областях,
математическая логика, история фпзико-математпчсских
328
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
наук, методика математики и др. Лекции по геометри-
ческим курсам, по истории, философии и методике мате-
матики и по теории функций читал обычно Мордухай-
Болтовской, по алгебраическим и арифметическим курсам
Вельмин, а курсы анализа они делили между собой и
читали по очереди. Преподавательскую работу по мате-
матике вел также Н. М. Несторович.
Лекции по всем курсам механики и некоторым курсам
математики читал в это время Д. Н. Горячев, написав-
ший около 40 работ. Замечательные по содержанию,
ясности, наглядности и простоте лекции Горячева ио
механике и математике неизменно с благодарностью
вспоминают его многочисленные ученики, многие из ко-
торых в настоящее время сами являются профессорами
и доцентами высшей школы.
Горячев был талантливым популяризатором науки
и любил выступать перед широкой аудиторией с научно-
популярными лекциями. В своей автобиографии он писал:
«Я считал и считаю своим профессионально-общественным
долгом популяризировать научные знания в пределах
своей компетенции». И он часто выступал с лекциями
в Ростове, в Новочеркасске, Таганроге и других горо-
дах и районных центрах Ростовской области в пер
вые годы существования Советской власти на Дону
Темы его лекций были связаны с авиацией, с принци-
пом относительности, с возможностью космических поле
тов и др.
Наряду с Мордухай-Болтовским и другими про-
фессорами Горячев был организатором и активным участ-
ником студенческого авиационного кружка, существовав
шего в 20-е годы при университете. Этот кружок сыграл
заметную роль в истории математики университета. Здесь
зарождались идеи гидродинамических работ Горячева п
работ Мордухай-Болтовского по теории полета жестко-
крылых. Многие студенты получили здесь темы диплом-
ных работ. Здесь начинал работать и ученик Горячева
будущий профессор механики В. Н. Лысков.
Наряду с авиационным кружком при университете
продолжал успешно работать математический семипар,
организоранцыц еще в 1911 г. Работал и философский
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
329
кружок. В них принимали деятельное участие научные
работники и студенты-математики. Участие в этих круж-
ках и в работе семинара математиков-профессоров, до-
центов, ассистентов и студентов способствовало активи-
зации научной работы по математике, приближению ее
тематики к запросам жизни и повышению уровня фи-
лософской подготовки. Мордухай-Болтовской, Вельмин
и Горячев опубликовали в эти годы ряд интересных
статей.
К моменту ликвидации физико-математического фа-
культета Донской университет стал одним из известных
периферийных математических центров Советской Рос-
сии и крупнейшим математическим центром на Дону
и Северном Кавказе К этому времени относятся защита
в Донском университете докторской диссертации Н. С. Ко-
шляковым (1928) и подготовка в университете из числа
питомцев его ряда молодых талантливых ученых, в том
числе и математиков.
Ликвидация физнко-математиче( кого факультета уни-
верситета в 1924 г. и объединение его математического
отделения с физико-математическим отделением педаго-
гического факультета внесли существенные изменения
в учебную работу, хотя на уровне научной работы в об-
ласти математики это отрази юсь мало. Перед физико-
математическим отделением педагогического факультета
была поставлена задача готовить только преподавателей
математики для средних школ; это повлекло за собой
ликвидацию многих специальных курсов и уход из Дон-
ского университета лучших студентов-математиков в дру-
гие университеты, где сохранялись физико-математиче-
ские факультеты. Но профессора-математики остались
на физико-математическом отделении в основном те же.
Поэтому объем основных курсов по .математике не из-
менился и физико-математическое отделение выпускало
не только преподавателей средних школ, но и ассистен-
тов вузов. При отделении была организована и подго-
товка аспирантов.
Большую роль в подготовке квалифицированных кад-
ров математиков играл в это время созданный в си-
стеме университета Научно-иссдедорательский физике-
330
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
математический институт, при котором имелась и аспи-
рантура.
Институт способствовал развитию математики тем,
что организовал печатание трудов, созывал конферен-
ции, предоставлял научные командировки и системати-
чески устраивал собрания с докладами. Работа в инсти-
туте велась по трем кафедрам: анализа, алгебры и теории
чисел и геометрии.
Особенно успешно в это время развернулась работа
методического коллоквиума но математике под руковод-
ством Мордухай-Боцтовского.
С переходом па педагогический факультет перед пре-
подавателями математиками (особенно молодыми) встал
вопросе «методической переподготовке», что и было ocj
ществлено на одногодичных курсах под руководством
Мордухап-Болтовского. В дальнейшем эта работа пре
в рати лас ь в работу коллоквиума, в котором сначала уча
ствовалп только преподаватели математики универси
тета и студенты старших курсов Активное участие в кол-
локвиуме принимал и 11. М. Несторович, В. К. Матышук,
М. Г. Хап шпон и др. Здесь детали доклады по методике
высшей и элементарной математике и по истории мате-
матики. В дальнейшем в работах коллоквиума прини-
мали активное участие и многие преподаватели мате
матпки средних школ. Коллоквиум работал до кон-
ца 1930 г., т. с. (о момента реорганизации универ
ситога.
За эти 7 лег (1924 —1931) был написан ряд научных
работ по математике, главным образом Мордухай-Бол-
товским и его учениками, работавшими в это время па
физико-математическом отделении Северо-Кавказского го-
сударственного университета. В этот период универси
тетом было подготовлено большое число преподавателей
математики, так как факультеты и отделения в указан-
ные годы были достаточно многолюдными: число студен
тов университета порой превышало 5000. Многие из
этих преподавателей математики в дальнейшем стали аспн
рантами, а затем научными работниками и преподавате-
лями вузов Ростовской области, областей и краев Север-
ного Кавказа и других областей.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
331
В начале 1931 г. из состава университета выделились
в самостоятельные институты факультеты педагогический,
медицинский и экономический. Университет коренным
образом реорганизуется. В нем вновь открывается физи-
ко-математический факультет, но с новыми задачами.
Направление в учебной работе по математике, опреде-
лявшееся учебным планом и программами этого времени,
можно характеризовать как прикладной анализ, где глав-
ное внимание обраща юсь на преподавание приближен-
ного интегрирования, номографии и т. и. Предусматри
валось, что питомцы факультета должны быть специа-
листами, способными решать технические задачи. Как
и в предыдущие периоды, кафедры математики пока еще
не имели топ специализации, какую они приобрели после
1933 г. и имеют в настоящее время.
В 1933 1 программы по математике резко меняются
в сторону усиления основных теоретических дисциплин,
и значительно увеличивается объем работы но матема-
тике. На три, четко определившиеся теперь кафедры: мате-
матического анализа, алгебры и теории чисел и юометрии,
было приглашено сравнительно большое количество мо-
лодежи, окончившей математическую аспирантуру. Эти
математики обеспечивали, а многие из них обеспечивают
и в настоящее время учебную и исследовательскую
работу.
Особенно тяжело отразилась па работе в области ма-
тематики вторая мировая война. Многие математики
ушли на фронт, некоторые выбы ш из университета по дру-
гим причинам. Здание физико-математического факуль-
тета было разрушено фашистскими варварами. Число сту-
дентов факу штата уменьшилось с оОО в предвоенное время
до нескольких десятков человек в период эвакуации уни
верситета в i Ош. Объем работы по математике уменьшил
ся, но даже в трудных условиях прифронтового города и
в период эвакуации в Среднюю Азию работа по математике
не прекращалась. Некоторые математики во время войны,
кроме учебной работы, выполняли важные работы для
ооороны страны, проводили большую методическую ра-
боту с преподавателями математики средних школ. За
успешную учебную и научную работу и за большую
332
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
Старое здание физико-математического факультета, разрушенное гитлеровцами при
бомбежке 8 июля 11)42 г
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
333
помощь, оказанную Киргизии, ряд ученых, и в том числе
математики II М Несторович и \1 Г. Хапланов, бы 1
награжден почетными грамотами Президиума Верхов-
ного Совета Киргизском ССР.
В послевоенное время в Ростовском университете
вновь собрались почти все математики, работавшие здесь
в довоенное время, кроме того, этот коллектив попол-
нился новыми членами. С этого времени научная рабо-
та в области математики развертывается еще более
успешно.
За последние тридцать лет математики Ростовского
университета внесли заметный вклад в развитие совет-
ской математики: в «Ученых записках» Ростовского
государственного университета, в трудах Научно-исследо-
вательского физико-матема ического института, в цен-
тральных советских и иностранных журналах они опу-
бликовали свыше двухсот статей и заметок, издали
несколько монографий. Остановимся кратко па основных
направлениях в работе ростовских математиков и на не-
которых результатах, получен пых за э го время.
Большинство работ (около 150) из числа написанных
в этот период математиками Ростовского университета
принадлежит Д. Д. Мордух’ай-Болтовскому. В работах
по классическому анализу он продолжал разработку
прежних направлений. Наряду с этим он сосредоточи-
вает внимание на проблемах четырехмерного простран-
ства и пространства Лобачевского, а также на вопросах
истории и методики математики. В каждом из этих на-
правлении Мордухай-Болтовской имел учеников и после-
дователей. Замечательные результаты были получены
им в области теории трансцендентных чисел. Содержание
этих работ подробно изложено в монографии А О. Гель-
фонда 1).
Из геометрических работ Мордухай-Болтовского,
связанных с разработкой наследия II. II. (Лобачевско-
го, можно назвать статью «О геометрических построе-
ниях в пространстве Лобачевского»2), продолженную в
1)Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические
числа-, М., 1952.
2) «Известия Донского университета», 1918.
Новое здание физико-математического факультета, восстановленное в 1949 г.
БЕЛОЗЕРОВ
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
335
дальнейшем1). В этой работе заложены основы общей тео-
рии построений геометрии Лобачевского: здесь устанавли-
вается набор инструментов, необходимых для решения
конструктивных задач геометрии . Гобачевского, а также
вводится понятие порядка и класса конструктивной за-
дачи. Автор впервые доказал здесь, что всякая задача
'второго порядка решается с помощью линейки, циркуля
и гиперциркуля; эти идеи затем разрабатывали многие
иностранные ученые. В этом же направлении успешно
работал п работает питомец университета—ученик Мор-
духай-Болтовского, заведующий кафедрой геометрии Ни-
колай Михаилович Несторович (род. в 1S91 г.), напи-
савший около 40 работ, большинство из которых относится
к конструктивной геометрии в плоскости Лобачевского
и Римана.
В 1936 г Несторович защитил кандидатскую диссер-
тацию на тему: «I еометрпческпе построения в простран-
стве Лобачевского»2). Итоги своих исследований в ука-
занной области Несторович объединил в монографии
«Геометрические построения в плоскости Лобачевского»3).
В этой монографии дано решение ряда общих задач
конструктивной! геометрии. Здесь доказаны: 1) теорема
об эквивалентности в конструктивном отношении ком-
плекса чертежных инструментов МБ (циркуль—линейка
гиперциркуль) и классического комплекса Е (циркуль-
линеика); 2) теорема о конструктивной мощности ком-
плекса Е на плоскости Лобачевского; 3) теорема об экви-
валентности гиперциркуля и обычного циркуля и 4) тео-
рема об эквивалентности орицнркуля обычному циркулю.
Кроме того, здесь дано исчерпывающее решение задачи
о квадратуре круга и циркулятуре квадрата в плоскости
• Гобачевского, дан исчерпывающий разбор конструктив-
ного решения всех собственных и несобственных треуголь-
ников во всех возможных случаях задания их основными
*) Опубликовано в сборнике «In memorial!! Lobatschevskii»,
ч. 2, М.-Л., 1927, стр. 67—82.
2) Опубликована частично в «Ученых записках Научно-иссле-
довательского института математики и физики при Ростовском го-
гУДа^ственном университете», 1940, 4, стр. 41—65.
336
С. Ё. БЕЛОЗЕРОВ
элементами (53 случая), разработана геометрография
построений в плоскости Лобачевского и выведено значи-
тельное число формул, связывающих элементы треуголь-
ника на плоскости Лобачевского, приведен ряд других
формул и теорем. В январе 19эЗ г. Несторович защитил
эту работу в Киевском университете на степень доктора
физико-математических наук. Теперь этой книгой как
учебным пособием широко пользуются во многих универ-
ситетах.
В этой же области геометрии работал в последнее
время доцент К. К. Мокрищев, опубликовавший работу
«О разрешимости конструктивных задач второй степени в
плоскости Лобачевского с помощью гиперциркуля или
циркуля и орпциркуля» х).
Конструктивными задачами на сфере и в плоскости
Евклида занималась аспирантка Мордухай-Болтовского—
Н. В. Наумович, работающая теперь доцентом Ростов-
ского инженерно-строительного института.
Изучению некоторых вопросов геометрии Лобачевского
посвящены и другие работы Мордухай-Болтовского* 2).
Геометрические работы Мордухай-Болтовского, иду-
щие в других направлениях, также нашли своих продол-
жателей среди его учеников.
В обзорных статьях по геометрии в сборнике «Ма-
тематика в СССР за тридцать лет» уделено внимание
рассмотрению работ ростовских геометров: Н. М. Несто-
ровича, Б. Н. Саморукова, М. П. Черняева, К. К. Мокри-
щева. Из указанных геометров в университете продол-
жают работать Н. М. Несторович, К. К. Мокрищев и
Б. Н. Саморуков.
К. К. Мокрищев, окончив аспирантуру в Ростовском
университете, здесь же защитил в 1938 г. и кандидат-
скую диссертацию на тему «Кривые Бертрана». В этой
работе систематически изложена теория кривых Бер-
трана трехмерного пространства, и эта теория развита
для кривых, аналогичных кривым Бертрана, в четырех-
х) «Доклады Академии паук СССР», 1953, 91, стр. 453—456.
2) См. библиографию к разделу «Геометрия» в книге «Математи-
ка в СССР за тридцать лет (1917—1947)», М.—Л., 1948
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
мерном евклидовом [пространстве *). Мокрищев опублико-
вал до войны еще две заметки, посвященные построениям
аналогов теорем Чевы и Менелая в трехмерном евклидо-
вом пространстве 2).
После войны Мокрищев опубликовал заметку на тему:
«О некоторых кривых и связанных с ними поверхностях
4-мерного эвклидова пространства»s). Здесь рассматрп-
ваются деформации (изгибания) одиополостного гипер-
болоида вращения и катеноида в четырехмерном евкли-
довом пространстве и поведение их с,тракционных линий
прп некоторых дополнительных условиях. В частности,
дано далеко идущее обобщение известной в теории кри-
вых Бертрана теоремы . lareppa. Мокрищев продолжает
изучение свойств аффинно-параллельных поверхностей
и j кривых «-мерного евклидова пространства, анало-
гичных кривым Бертрана. Здесь на основе геометриче-
ского определения класса кривых «-мерного евклидо-
ва пространства, аналогичных кривым Бертрана, строит-
ся их аналитическая теория и изучаются их основные
свойства.
Б. Н. Саморуков окончил физико-математический фа-
культет Ростовского университета и аспирантуру вод
руководством Мордухай-Болтовского. Еще будучи аспи-
рантом, Саморуков написал две статьи: «О некоторых эле-
ментах, характеризующих кривую в бесконечно-малых
частях» и «О двух конфигурациях прямых, аналогичных
1) Основные результаты этой работы опубликованы в трех за-
метках в «Ученых записках Научно-исследовательского пистптч га
математики и физики при Ростовском государственном универ-
ситете»: «О теореме Niewenglowski в теории кривых Heit rand’а»
(1938, 2, стр. 60—63); «О некоторых свойствах кривых Бертрана
в четырехмерном евклидовом пространстве» (1040, 4, стр. 31—34)
и «Об одном классе кривых чстырехмерпого евклидова пространства»
(1940, 4, стр. 35-40).
2) М о к р и щ е в К. К., Об одном обобщении теоремы Мене-
лая, «Ученые записки Научно-исследовательского института мате-
У®™1 2® u Фпзики при Ростовском государственном университете»,
q • 2, стр.^38—39; Об одном пространственном аналоге теоремы
Свв£ и ей обратной, т а м ж с, стр. 51—59.
25__^*"ченые записки Ростовского университета», 1951, 14, стр.
22
Исторпко-матсм. исследования
338
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
конфигурации Истерссп-Морлея»1). В последней заметке до-
казана следующая теорема: «Если а, Ь, с—три прямые, рас-
положенные произвольным образом в трехмерном евклидо-
вом пространстве, alt blf с1—прямые, ортогонально пересе-
кающие соответственно b и с, с и а, а и Ь, то прямые а.,
b,., с., ортогонально пересекающие прямые а и а1} Ь
и 6Х, с и сх, располагаются всегда так, что существует
прямая d, которая ортогонально пересекает последние
трп прямые».
В указанной статье Б II Саморуков, исходя из поня-
тия дуального треугольника, рассмотрел другие конфи-
гурации из 10 прямых п получил теоремы, подобные упо-
мянутой. Статья эта была доложена впервые на семинаре
по геометрии многообразий прямых линий, который
в то время работал в университете. В 1946—1947 гг.
Б. II. Саморуков, работая в Научно-исследователь-
ском институте математики и физики, выполнил две
работы «О производных кривых» и «О конгруэнции
прямых, ассоциированной с данной точкой поверхно-
сти». В настоящее время Б. Н. Саморуков работает
в области геометрии и механики неевклидовых про-
странств.
Несколько геометрических работ математиков Ро-
стовского университета было посвящено развитию идеи
П. Л. Чебышева, содержащихся в его работе «О кройке
платьев» (об одевании поверхностей). Проблеме одева-
ния поверхностей были посвящены работы Д. ’Д. Морду-
хай-Болтовского, его учеников Н. В. Ефимова, М.П. Че|
нясва п других ростовских математиков.
Но еще более успешно развивают ростовские мате-
матики идеи ГТ. Л. Чебышева в области математического
анализа. Работы в этой области входят в одно из двух
основных направлений математического анализа, разра-
батывавшихся в университете: теорию аналитических
функции и интегрированно функций и дифференциальных
уравнений в ко (очном виде. Оба эти направления долгое
время возглавлял Мордухай-Болтовской, написавший за
х) Опубликованы в «Ученых записках Научно-исследователь-
ского института математики и физики при Ростовском государствен-
ном университете», 1938, 2, стр. 28—-30 и 64—68.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
339
годы Советской власти около 50 работ по теории функций.
Многие из этих его работ, а также работ его учеников:
jj. ф. Субботина, М. Г. Хапланова, С. Я. Альпера,
А. П. Гремячипского и Б. Я. Левина, работавших в об-
ласти теории аналитических функций, содержат важные
результаты1).
М- Г. Хапланов в своей первой работе, выполненной
еще в студенческие годы, указал применение схемы Гор-
нера для такого составления системы уравнений, опреде-
ляющих неопределенные коэффициенты в разложении ра-
циональной дроби на простейшие, из которой эти коэф-
фициенты могли бы быть найдены последовательно один
за другим2).
В следующей работе «О рациональных преобразова-
ниях 2-го и 3-го порядков алгебраических кривых»3 * * *), вы-
полненной уже после окончания университета, Хапла-
нов исследовал, главным образом, вопрос о том, как
меняется характер особой точки алгебраической кри-
вой, если подвергнуть се конформному преобразова-
нию с помощью дробной рациональной функции 2-го и
3-го порядков.
В этой работе выводится уравнение
СО
2 [ 2 О’ - i) (к - О (к- /) Ailk ] = О,
m-Э
определяющее значения параметра / кривой
х = Mn-Wn~1+---+ttn _ boi”+bд»-Ч- • • • + Ъп
cotn + -г сп ’ 7 с0ГП_|_сдп-1+...+гп »
1) См. о них сборник «Математика в СССР за тридцать лет
(1917—1947)», М.—Л., 1948, отдел «Теория множеств и теория
функций».
а) Напечатано в
1924, № 2
студенческом журнале «Научный вестник»,
) Краткое резюме этой работы напечатано в «Протоколах Обще-
тва естествоиспытателей при Ростовском университете», 1927, а из-
ечение из работы—в виде статьи «К вопросу о разыскании точек
региба уникурсальной кривой» («Ученые записки Ростовского
Университета», 1934, вып. 1, стр. 139—144).
22*
С. Е. DF.103EP0B
340
прп которых кривая имеет точки перегиба; здесь

К ct
ai с,
«Ь bk Ck
За последние годыJ) в «Докладах Академии наук» Хап-
лаиов опубликовал пять статен* 2). В них кратко изложены
отдельные главы большой работы, посвященной изуче-
нию линейных преобразовании
У1 = Я1Л + «12^2'1- • •
^2 = ^214 - О22а 2 + • • •
одного пространства бесконечного числа измерений в
другое в случае, когда эти пространства не принадлежат
к типу (В).
В направлении развития идей П. « I. Чебышева о при-
ближении функций идут последние работы А. В. Ъатырева
и С. Я. Альпера по теории аналитических функций.
В 1951 г. А. В. Батыров опубликовал три работы по
теории приближения функций многочленами в комплекс-
ной области. В работе «О полиноминальных базисах
в пространство аналитических функций»3) рассмотрены
достаточные условия, при которых совокупность много-
членов, близких к многочленам Фабера, будет базисом.
В заметке «О признаках трансцендентности и гппертрапс-
цендеитности аналитических функций»4) дается приложе-
ние теории приближения апа штическнх функции миого-
х) О работах Хапланова «О характере степенных разложений
функций, имеющих на круге сходимости одну особую точку» («Уче-
ные записки Ростовского университета», 1936, 8, стр. 92—130)
и «О коэффициентах ряда Тейлора одного класса мероморфных функ-
ций» («Доклады Академии наук СССР», 1940, 28, № 8, стр. 679—
684) см. в сборнике «Математика в СССР за тридцать лот (1917—
1947)», М,—Л., 1948.
2) «Доклады Академии паск СССР», 1951, 79, стр. 929—932;
1951, 80, стр. 21—24, 177—181; 1952, 83, стр. 35—38; 1953, 90,
стр. 969—972.
) «Ученыезаписки Ростовского университета», 1951, 14, Тру (Ы
физико-математического факультета, пып 1, стр. 9—12.
4) «Доклады Академии наук СССР», 1951, 76, Л" 1, стр. 5—8.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
341
членами к решению вопросов об их трансцендентности
п гппертрапсцеидситности. Наконец, в работе «К вопросу
о наилучшем приближении аналитических функции поли-
номами»1) уточняется оценка наилу чшего приближения ана-
литической функции многочленами в случае, если харак-
тер особых точек на липин уровня известен. Установ-
лена связь наплучших приближении целых функции
с их порядком и типом.
В кандидатской диссертации С. Я. Альпера «О неко-
торых свойствах аналитических функций, связанных с
арифметическими свойствами коэффициентов их разло-
жений в ряды»2) изучаются степенные ряды с трансцен-
дентными коэффициентами спецна н.ного вида, представ
ляющими лилейные формы от чисел вида е’Ч (.т;—алгеб-
раические числа) пли полиномы от числа ;, алгебраи-
чески зависящие от чисел еЛ; . Используются принцип,
лежащий в основе доказательства известной теоремы
Бореля о степенных рядах с целочисленными коэффициен-
тами, представляющих мероморфные функции, и оценки
Мордухай-Болтовского для трансцендентных чисел опре-
деленной формы. В той же работе обобщаются теоремы
Г. Полна об аналитической непродолжаемости рядов
Ламберта с целочисленными коэффициентами. В работе
<<0 сверхсходимости рядов по полиномам»3) Альнер уста-
навливает теорему^ о сверхсходимости рядов по много-
членам. Вводимый здесь класс многочленов охватывает
многочлены Фабера и Чебышева, многочлены, ортогональ-
ные по контуру, и др. В работе «О полноте системы анали-
тических функций4 * * *) доказана теорема, содержащая ряд
специальных теорем А. О. Ге.п,фон да, А. II. Маркуше-
вича, И. И. Ибрагимова о полных системах аналитических
х) «Доклады Академия паук СССР», 1951, 76, А" 2, стр. 173—
176.
2) «Ученые записки Научно-исследовательского института ма-
лл«лТ,1кп 11 физики при Ростовском государственном университете»,
1939, 3, стр. 3—27.
соо 3) «Доклады Академии паск СССР», 1948, 59, А" 4, стр. 625—
628. • 1
1032*) *^01<ладыАкадемии наук СССР», 1949, 66, А'6, стр. 1029—
342
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
функции, причем полнота устанавливается не в круге,
как у указанных авторов, а в более общей односвязной
области. В работе «О разложении целой функции в интер-
поляционный ряд Абеля-Гончарова»х) устанавливается
верхняя граница роста целой функции, допускающей раз-
ложение в интерполяционный ря ( Абеля-Гончарова с узла-
ми интерполяции х(), j\,.. , xnt .., для которых ряд
оо
расходится. Закончившая под руководством Хапланова
аспирантуру II. II. Рожанская опубликовала часть своей
диссертации в «Докладах Академии наук СССР» (1953,
92, стр. 7—10).
В области интегрирования функций и дифференциаль-
ных уравнений вели работу Д Д. Мордухаи-Болтов-
ской и его ученики: Л. М. Галоиен, В. К. Матышук,
3. Д. Горская, А. В. Батырев и др. Из работ Мор-
духай-Болтовского, написанных в советское время, в
этом направлении можно указать «Об интегрировании
в конечном виде дифференциальных биномов в случае
иррациональных показателей»* 2) и «Об арифметических
свойствах интегралов дифференциальных уравнений пер-
вого порядка типа Пенлеве»3). Батырев при окончании
аспирантуры защитил кандидатскую диссертацию «При-
ложение теории групп к интегрированию линейных диф-
ференциальных уравнении в конечном виде в квадрату-
рах». Матышук, выполнив кандидатскую диссертацию
об интегрировании в конечном виде тригонометрических
функции, переключился на работу, главным образом,
в области методики математики. Галоиен в 1939 г. защи-
тила кандидатскую диссертацию на тему «Каскадный
метод интегрирования дифференциальных уравнении в част-
ных производных и некоторые его обобщения». Будучи
-1) «Ученые записки Ростовского университета», 1951, 14; Труды
физико-математического факультета, вып. 1, стр 3—9.
2) «Известия физико-математического общества при Казанском
университете, сер. 3», 1926, 1, стр. 14—25.
3) «Известия физико-математического общества при Казанском
университете, сер. 3», 1927, 2, стр. 1—13,
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
343
теперь заведующей кафедрой высшей математики Ростов-
ского инженерно-строительного института, она продол-
жает работу в области уравнений в частных производных.
Защитившая в Ростовском университете кандидатскую
диссертацию 3. Д Горская заведует кафедрой математики
в Ростовском институте сельскохозяйственного машино-
строения.
По алгебре и теории чисел работа в Ростовском у ин-
верентете шла под руководством В. П. Вельмипа в нанрав
лении изучения алгебраических чисел (теория идеалов)—
решения уравнений в радикалах и обобщения алгорифма
непрерывных дробей.
Результаты многих работ математиков Ростовского
университета по алгебре и теории чисел (В. II. Вельмина,
П С. Панкова, Г. П. Самко, Е. А. Мурзаева, В. 10. Бурья-
на и Д. А. Супруненко) изложены в соответствующих
отделах книги «Математика в С СР за тридцать лет
(1917—1947)». Не останавливаясь здесь на этих работах,
укажем только на основной результат, полученный
Е. Л. Литвером в кандидатской диссертации «К теории
обобщенных полей Дирихле»х). В этой работе Лит вор до-
казал следующую теорему: «Число идеальных классов
поля, образованного произвольным количеством корней
степени простого числа р п чисел алгебраического поля
с одним идеальным классом, отличается множителем типа
р* от произведений чисел классов его подполей, зависящих
каждое от одного такого поля». Доказательство проводится
арифметически с использованием элементов теории групп.
Из многих аспирантов Ростовского университета, за-
щитивших здесь кандидатские диссертации по алгебре
и теории чисел и работающих теперь в вузах Ростова и
других городов, наиболее значительные результаты были
получены в работе Д. А. Супруненко, ныне заведующего
кафедрой алгебры и теории чисел и Белорусском универ-
ситете. Ему удалось решить* 2) одну из трудных задач
теории Галуа, решение которой не поддавалось усилиям
*) «Доклады Академии наук СССР», 1949, 66, № 3, стр. 335—338.
2) С у п р у н е и к о Д А., Примитивные разрешимые группы
подстановок, «Математический сборник», 1947, 20 стр. 331—350
344
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
многих математиков. Супруненко нашел все разреши-
мые группы степени рч (q—простое число) и дал способ
определения многообразия разрешимых i рупп и в об-
щем случае.
Кафедра алгебры и теории чпеел Ростовского универ-
ситета иодготови ia из числа аспирантов ряд кандидатов
наук, работающих во многих вузах нашей страны:
Д. А. Сунрувепко—в Минске, В. Ю. Бурьян—в Красно-
даре, Е. Л. Мурзаев—в Саратове, Г. П. Самко—в Ростов-
ском педагогическом институте, II. Е. Дапко—в Ростов-
ском институте инженеров железнодорожного транспорта,
II. Д. Королев—в У рюнппскс.
В области методики математики работу продолжают
В. К. Матышук (Архапге п>ск), 10 С. Хапланова и частич-
но 11. М. Несторович. '
Из учеников Д. Д. Мордухай-Болтовского, посвятив-
ших свою деятельность специально разработке истории
математики, можно назвать М. Я. Выгодского (Москва)
и В. Л. Минковского (Орел).
Остановимся несколько подробнее на характеристике
работ по истории математики.
Из всех математиков, работавших в этом университете,
особенно много внимания вопросам истории математи-
ки уделял Д. Д. Мордухай-Болтовской, которому при-
надлежит здесь ряд цепных трудов, хотя многие его
работы по истории математики и особенно по философии
математики страдали серьезными методологическими
пороками.
Вопросы истории математики, которые привлекали
внимание Мордухай-Болтовского, были разнообразными.
Первыми его публикациями по истории математики были
очерки, посвященные характеристике научной деятельно-
сти В. А. Анисимова (1909) (некролог), И. П. Долбни
(1912) п 11. Я. Сонина (1916). В 1916 г. появляется его
обстоятельное исследование «Из прошлого пятой книги
„Начал" Евклида» х). В этот же период, как ужо было ска-
зано выше, активно работал научный семипар, па засе-
даниях которого наряду с докладами по математике
х) «Математическое образование», 1916, № 7—8,
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
Мордухай-Бол говской и его ученики (II М Несторо-
вич, М. Ф. Субботин и др.) часто делали доклады и по
истории математики, например: «Первая книга „Начал"
Евклида» (1913), «Теория флюксий Ньютона», «История
(мптрлй Дмитриевич Морду хан-Болтонской
(1876—1952) в последние годы жизни.
логарифмов» (1917), «Из истории постулата Евклида»
(1919) и др.
Таким образом, несмотря на недооценку значения работ
п истории математики в официальных кругах и па скепти-
ческое отношение к историко-математическим исследова-
ниям со стороны большинства математиков того време-
ни, Мордухай-Болтовской был одним из немногих русских
346
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
математиков, которые проводили исследования в этом
направлении. Особенно интенсивно развернулась работа
по истории математики Мордухай-Болтовского и его уче-
ников в годы Советской власти. При возобновлении работы
математического семипара в 1921 г. его сотое заседание
было посвящено разбору и характеристике «Начал» Евкли-
да (доклад Мордухай-Болтовского). В течение трех после-
дующих лет в семинаре были сделаны по истории матема-
тики доклады: «Происхождение проблемы решения урав-
нений в радикалах», «История нумерации», «Некоторые
теоремы геометрии Лобачевского», «Интегральное исчисле-
ние начала XVIII в.», «История алгебраической симво-
лики» и др.
Написанные в эти годы работы но истории математики
Мордухай-Болтовской начинает публиковать с 1927 г.
В 1927 г. он опубликовал статьи «Ньютон»1) и «Лобачев-
скин и основные ло1 ическпо проблемы в математике»2).
В 1928 г. Мордухай-Болтовской опубликовал цикл очер-
ков по истории математики3): «Два основных источника ме
тодов решения уравнений», «Генезис современного числа»,
«Первые шаги буквенной алгебры», «Аксиоматика XVII ве-
ка (Первая половина XVII века)», «Генезис и история
теории пределов (XVIII в)», «Философские элементы
в эволюции методических идеи в математике первой поло-
вины XIX века», объединенных общим введением «Иссле-
дования о происхождении некоторых основных идей
современной математики». В этом введении автор указы-
вал, что эти очерки составляют только небольшую часть
его большого, многолетнего труда по истории математики.
Разбор и оценка указанных работ были даны в свое время
М. Я. Выгодским в статье «„Исследования" Мордухай-Бол-
товского»4). Выгодский показал тогда, что некоторые нз
этих работ содержат важный конкретный материал и пнте-
х) В кн «Очерки по истории знаний», т. 1, Л , 1927, стр. 1—73.
2) «Известия Северо-Кавказского университета», Ростов и, I,
1927, 2, стр. 78—95.
3) См. «Известия Северо-Кавказского университета», Ростов
н/Д, 1928, 3, стр. 35—129.
4) Сборник «На борьбу за материалистическую диалектику
л математике», М —Л., 1931,
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
347
ресные исторические оценки, хотя ряд высказываний
автора носит явно идеалистический характер.
Указывая, что, в основном, историков математиков
можно разделить на группы: историкп-прагматпсты, иссле-
дующие только факты, и историки-философы, занимающие-
ся более широкими выводами, с учетом влияния на мате-
матические открытия общей культуры, экономических
факторов и т. д., и считая такого рода исследования непол-
ноценными, Мордухай-Болтовской писал: «Но более глу-
бокой работой является исследование третьего типа, нося-
щее уже психологический характер, занимающееся опре-
делением происхождения тех или иных идей» х).
В соответствии с этим он в указанных очерках исследует
не вопросы «анатомии» и «физиологии» истории матема-
тики, а, как он говорит во введении, вопросы «эмбриоло-
гии, т. е. генезис математических идей, начиная с их заро-
ждения». Будучи далек от материалистического понима-
ния истории математики, Мордухай-Болтовской в первом
же своем очерке при вскрытии «источников методов ре-
шения уравнений» пишет: «Я хочу показать, что эти идеи
с психологической необходимостью должны были раз-
виться из основных свойств нашего ума». В «основных
свойствах нашего ума», а не в требованиях общественной
практики людей видел Мордухай-Болтовской стимулы
развития «основных идей анализа бесконечно малых»
(«Введение») и происхождения числа («Генезис современ-
ного числа»). Кроме указанных очерков, в этот период
Мордухай-Болтовской опубликовал еще статью «Из исто-
рии метода наложения в элементарной геометрии»* 2),
«Метод исчерпывания»3) и «Эволюция понятия функции
В прошлом и настоящем»4).
Наиболее крупным вкладом Д. Д. Мордухай-Болтов-
ского в этом направлении были переводы двух клас-
г) Отзыв Д. Д. Мор дух а й-Б о л т о в с к о г о на работу
Т. Г. Туманьяна «Математические работы армянского ученого VI 1-го
века Анании Ширакаци» (хранится в делах РГУ).
2) «Математическое образование», 1928, № 3, стр. 107—113.
3) «Математическое образование», 1928, № 6, стр. 229—240.
4) «Ученые записки Научно-исследовательского института ма-
тсматики и физики при Ростовском государственном университете»,
1937, 1, стр. 51—52,
348
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
сических математических произведсппй п комментарии
к ним.
В 1937 г. выш in в свет «Математические работы»
Ньютона1). Мордухай-Болтовской перевел с латинского
языка эти работы, положившие основание математиче-
скому анализу и продолжавшие развитие аналитической
геометрии; он же написал вводпу го статью и дал обсто-
ятельные комментарии к ним.
Вторым классическим математическим трудом, многие
годы привлекавшим внимание Мордухай-Болтовского, кац
мы видели, были «Начала» Евклида. Свыше двух тысяч
лет люди изучали геометрию но «Началам» Евклида, да
и в паше время этот труд пс утратил своего значения.
Вот почему «Начала» множество раз переводились па все
языки культурных народов. На русский я илк отдельные
книги «Начал» были переведены в прошлом шесть раз:
три раза—в XVIII и три раза в XIX столетни. Последний
(не очень удачный) перевод «Начал» с комментариями был
сделан в 1880 г. Ващенко-Захарченко. По все эти издания
«Начал» к нашему времени стали библиографической ред-
костью, а между тем потребность в «Началах», особенно
со стороны наших преподавателей математики, была
велика. Вот почему встал вопрос о новом переводе
«Начал» Евклида.
Перевод старинных математических произведений, как
известно, сопряжен с большими трудностями: при этом
необходимы не только отличное знание языков, по и боль-
шая математическая эрудиция, знание специфики мате-
матики того времени, а также специфики творчества того
автора, произведение которого намечено перевести. Всеми
этими качествами обладал Мордухай-Болтовской. К 1941 г.
работа над первыми книгами «Начал» была им закопчена
и сдана в печать, но война помешала тогда осуществить
это издание. По окончании войны, оправившись от ране-
ния осколком фашистской бомбы, Мордухай-Болтовской
продолжил работу над переводом «Начал» п над состав-
лением к ним обстоятельных комментариев. В 1948 г.
вышли в свет «„Начала ‘ Евклида. Кинги I—VI. Перевод
!) М,—Л , 1937.
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
349
с греческого к комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского»,
в 1949 г. вышел в свет и следующий том «Начал» Евклида,
содержащий книги VII—X, а в 1950 г. и последний
том (книги XI—XV). Издание «Начал» явилось важным
событием в развитии математической культуры в па-
шей стране. Работами ио истории математики Морду-
хай-Болтовской занпмался”до самой кончины (7 февраля
1952 г.).
Своп псторпко-матсматнческпе исследования продол-
жал и М. Я. Выгодский в период его работы (после окон-
чания войны) в Ростовском университете.
К истории математики проявляют интерес и все уче-
ники Мордухай-Болтовского, работающие в Ростовском
университете.
В Ростовском университете в 194G г. была защищена
кандидатская диссертация преподавателем математики
Краснодарского пединститута Г. Г. Тумапьяном «Мате-
матические работы армянского ученого VI I-го века
Анании Шпракаци».
В 1948 г. Министерство высшего образования СССР,
учитывая наличие в Ростовском университете группы работ-
ников, работающих в области истории наук, создало кафе-
дру истории физико-математических наук. Эта кафедра
объединяет всех профессоров и преподавателей, читающих
курсы по истории наук, и направляет их научную деятель-
ность в области истории паукх).
❖
Чтобы представить состояние математики в Ростовском
университете с большей полнотой, необходимо, хотя бы
очень кратко, упомянуть еще о некоторых фактах из жиз-
ни и деятельности коллектива математиков.
г) В области истории математики работает и автор настоящего
очерка С. Е. Белозеров. Белозеров в 1939 г. защитил в Московском
университете кандидатскую диссертацию «О некоторых вопросах
из истории теории функций комплексного переменного» и напечатал
статью «Роль Л. Эйлера в развитии теории функций комплексного
переменного» («Ученые записки Ростовского университета», 1951,
р * Труды Физико-математического факультета, вып. 1, стр. 13—18).
В Ростовском университете оп читает курс истории математики.
{Прим, ред.)
350
С. Е. БЕЛОЗЕРОВ
По инициативе математиков при университете было
создано Физико-математическое общество. В работе меха-
нико-математической секции этого общества, руководи-
мой работниками университета, принимают участие но
только математики и механики других вузов Ростова,
Ростовской области и частично Северного Кавказа, ио
и преподаватели математики средних школ. На съездах
и конференциях научных работников Дона и Северного
Кавказа, проводившихся по инициативе университета,
обычно создавались секции физико-математических наук,
где руководящая роль принадлежала университетским
работникам.
Математики университета принимали активное уча-
стие во всесоюзных и других съездах и конференциях
математиков нашей страны.
На физико-математическом факультете университета
обычно работает один, а иногда и два математических се-
минара, где разрабатывается определенный круг проблем,
например—теория приближения функций в кбмплексной
плоскости. В семинарах принимают участие и работни-
ки других вузов Ростова и Новочеркасска. В течение
нескольких последних лет работники факультета актив-
но участвуют в работе семинара по истории и методоло-
гии наук.
Математики Ростовского университета подготовили
большое количество кадров, в том числе и научных
работников по математике.
Со времени Постановления ЦК ВКП(б) и СНК СССР
от 23 июня 1936 г. «О работе высших учебных заведений
и о руководстве высшей школой» при университете защи-
щено свыше 30 кандидатских диссертации по матема-
тике, в том числе работниками университета—18 и
работниками других вузов 14 диссертации. Из числа
защитивших диссертацию в Ростовском университете в
настоящее время работают в этом же университете: до-
центы Н. М. Несторович, М. Г. Хапланов, К. К. Мокри-
щев, С. Я. Альпер, А. А. Батырев, Б. Н. Саморуков,
Е. Л. Литвер.
За время с 1920 г. из питомцев физико-математического
факультета Ростовского университета вышло 20 профос-
МАТЕМАТИКА В РОСТОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
351
соров—докторов наук, 60 доцентов—кандидатов паук и
около 200 преподавателей и ассистентов вузов.
Среди них назовем члена-корреспондента Академии
наук СССР астронома М Ф ( убиотина, геометра профес-
ора Н. В. Ефимова, профессоров-математиков А. Ф. Бер-
манта и Б. Я. Левина, профессоров-физиков В. Н. Кес-
сенпха, лауреатов Сталинской премии II. А. Добротина и
П. И. Морозова. Здесь же начинали свою математическую
подготовку профессора-математики М. Я. Выгодский,
С. В. Чуппхил, А. А. Бухштаб, II. С. Куклес.
Почти во всех вузах Ростова, Ростовской области
и Северного Кавказа, в которых читается математика,
работают воспитанники Ростовского университета. Многие
математики—питомцы Ростовского университета работают
в вузах и научных учреждениях других областей, всего
в 43 городах Советского Союза.
Только в предвоенные и военные годы из 358 студентов,
окончивших физико-математический факультет Ростов-
ского университета, направлены па работу в вузы 63,
в том числе 20 оставлено при университете, в Науч-
но-исследовательские институты и лаборатории—35 че-
ловек. Питомцы университета успешно готовят кадры
и ведут исследовательскую работу в тех направлениях,
в которых начали они работать еще в стенах универ-
ситета.
В послевоенное время число студентов и выпускников
математиков ежегодно увеличивается. Па факультете
восстановлена аспирантура по теории аналитических
функций, вновь создана аспирантура по неевклидовой
геометрии. Улучшилось но сравнению с довоенным каче-
ство подготовки математиков из числа студентов и через
аспирантуру. Развертывается серьезная работа математи-
ков над подготовкой докторских диссертаций.
В 1953 г. па заведывание кафедрой математического
анализа nej сшсл из Казанского университета профес-
fop Ф. Д. Гахов.
Большой вклад в развитие прикладной математики
внесли за последние годы работники кафедры теоретиче-
ской механики: профессор А. II. Коробов, доценты
А. К. Никитин, И. II. Моисеев, Л. А. Толоконников и др.
352 С. Г.. БЕЛОЗЕРОВ
Но несмотря на большие успехи, которых добились
математики Ростовского университета, все же уровень
математической работы в нем недостаточно еще высок,
особенно если учесть задачи огромной важности, стоя-
нию перед советскими математиками. Коллективу матема-
тиков Ростовского университета, как и всем советским
ученым, предстоит напряженный тру I ио выполнению
этих задач.
ИЗ ИСТОРИИ
МАТЕМАТИКИ
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
В РОССИИ И СССР
В. В. Гу г сое
I. ВВОДНЫЕ 3 \МЕЧ кНИЯ
Среди трансцендентных (функций большую роль играют
цилиндрические функции, которые имеют как чисто тео-
ретическое, так п широкое прикладное значение и исполь-
зуются при решении многих задач техники, физики и
астрономии.
Имеется четыре классических вида цилиндрических
функций1). Определение первых трех из них мы напом-
ним сейчас, а о четвертом — функциях I Г. Я. ('.опина —
скажем далее.
Ци л и идричс с кую функцию первого рода
п го порядка определяют как частный интеграл диффе-
ренциального jравнейпи
!^ + l^+f|_'4Y/ = 0.
dx- х dx \ х- J ’
который при с—О остается ограниченным. Зга функция
. *) Гермин «цилиндрические функции» был предложен Гейне
(Ем. II еi не Е., Die Fourier-Bessei’sclic Fuiiklion, «Journal fur die
1 me und angewaiidlc Mathematik», 1868, 69, стр. 128). Нередко
\ка энные функции называют также «функциями Бесселя». Однако
этот последний термин исторически нс оправдан. Если эти функ-
ции должны быть связаны с чьим-либо именем, то им может быть,
'аь читатель убедится из последующего, имя Л, Эйлера.
23*
356
В. В. ГУССОВ
обозначается1) через /п(ж); ее можно представить в виде
ряда
J , л _ Хп f . X2
Jn ~ 2ПГ (п + 1) 11 “ 2 (2??+ 2) +
+ 2 • 4(2п+2) (2п + 4) “•••}•
Здесь множитель, не зависящий от ж, подобран так,
чтобы при п целом и положительном имело место соот-
ношение
ТС
1 с
Jn (х) = — \ cos (псп — х sin <n) (3)
о
Цилиндрической функцией второго рода
называют частный интеграл уравнения (1), который
при я = 0 не остается конечным. Эту функцию мы будем
обозначать2) через Yn(x). В настоящее время в качестве
канонической формы функции второго рода обычно берут
функцию
у _____Jn (х) COS п~ J-п (ж) / / \
п' ' sin П7С * '
где в случае п целого рассматривают предел правой
части.
Цилиндрические функции третьего рода
можно определить при помощи линейных комбинаций
функций первого и второго рода 2):
- Л (х) + iYn (ж), Н™ (г) = Jn(x) - iYn (х). (5)
Функции Jn(x), Yn(x), flJPfs) и Яп2)(ж) всегда об-
разуют фундаментальную систему решений уравнения (1).
История цилиндрических функций в значительной
мере связана с именами ученых нашей страны. В России
х) Эволюция обозначений цилиндрических функции первого
рода: (Бессель, 1824), (Хансен, 1843), (Ломмель, 1868),
2
Jn (ж) (Ханкель, 1869), Jn (х) (Вебер, 1873).
2) О возникновении символики см. ниже.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 357
цилиндрические функции были открыты, в России же
были созданы наиболее важные части их теории. В пред-
лагаемой вниманию читателя статье рассмотрены работы
отечественных ученых по теории цилиндрических функ
ций от момента ее возникновения в первой половине
XVIII века по 1950 г.
Мы рассматриваем историю цилиндрических функций
в России и СССР в связи с историей этих функций в дру-
гих странах. При этом мы показываем глубоко прогрес-
сивное влияние результатов математиков нашей страны на
развитие теории цилиндрических функций во всем мпре.
II. ОТКРЫТИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
И ПЕРВЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ИХ СВОЙСТВ
1. Исследование петербургским академиком Д. Бернулли
колебаний тяжелых цепей. Первый случай появления
цилиндрических функций
Проблема колебаний нетвердых тел занимала матема-
тиков еще в XVII веке. Над этим вопросом работал и Гали-
лей и Мерсенн; последний описал в 1663 г. опыты над ко-
лебаниями струп и установил эмпирические законы этих
колебаний. Впервые (в 1715 г.) серьезному математиче-
скому анализу подверг подобные задачи Тэйлор на при-
мере изучения колебания струн.
В 1727 г. Иван Бернуллих) обратил внимание своего
сына, члена петербургской Академии наук, Даниила Бер-
нулли на задачу колебаний струны. Под влиянием этого
Д. Бернулли занялся изучением колебаний нетвердых
тел вообще и, в частности, задачей о колебании верти-
кально висящей цепи, которая была им же поставлена
и в последующем решена.
Чтобы лучше понять эти исследования Д. Бернулли,
в которых мы впервые встречаемся с цилиндрическими
1) И. Бернулли посвятил этому вопросу работу «О колеблю-
щихся струнах» (Meditationes de chordis vibrantibus, «Commentarii
Academiae scientiaruni imperialis Petropolitanae», 1730, 3 (1728),
стр. 13—28.
В. В. ГУССОВ
358
функциями, изложим вначале суп» дела, пользуясь для
ясности современной термипологиеп.
Пусть AMF (см. чертеж) — однородная гибкая нить
(цепь), подвешенная в точке Л и совершающая колеба-
ния под действием силы тяжести. Максимальное откло-
нение ее конца F от вертикали обозначим через
h, а длину нити через I. Если колебания инти
малы, то имеет место уравнение
$-4^0. («)
где х= И/*’ —длина части инти, расположенной
ниже точки М, у — отклонение гоп же точки I/
от вертикали, а у— ускорение силы тяжести.
Разыскивая решение уравнения ((>) в виде произве-
дения (вух функций п (.? ) г,(/), находим

О/7)
sin (at -f- 6).
(7)
Здесь С, а и b— постоянные; а определяется из того
условия, что при х = 1, т. е. в точке Л, цепь имеет
точку привеса и, следовательно, У —О при всех значе-
ниях t. Уто возможно лишь в том с |учао, если
одному из корней
потому 2а I — должно
функции У0(х). Отсюда
равняться
для а по-
лучается значение:
Формула (7) показывает,
что точки цени могут совершать гармонические колеба-
тельные движения. При этом амплитуда колебаний ме-
няется от точки к точке и равна CJ 2а . В точ
ке х = 0 она равна h, и потому в этом случае C = h, а
у=*Л >-..Ут)^(тКтг+4)-
(Я)
Различным значениям т соответствуют различные формы
колебания цепи. Действительное качание цепи состоит
обычно из наложения одновременных колебаний вида (7),
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 359
иными словами, // выражается формулой
оо ___ ______________
у= 2 СгЛ(\п|/ М •
14 = 1
Входящие в это выражение постоянные Ст н Ьт мо-
гут быть определены по значению функции у и ее нро-
.. <)у
пзводноп в начальный момент времени, если восполь-
зоваться рядами Фурье —Бесселя.
Первая из указанных работ Д. Бернулли — «Теоремы
о колебаниях тел, соединенных гибкой нитью и верти-
кально подвешенных к цепи»—была опубликована в
1738 г. в мемуарах Петербургской Академии наук1);
она была выполнена им в Петербурге. В этой работе
Д. Бернулли излагает ряд открытых нм теорем, относя-
щихся к колебаниям вертикально подвешенных веревок
и цепей. Наряду с формулировкой соответствующих
теорем имеются лишь краткие пояснения к ним, даказа-
тельства полностью отсутствуют.
Теоремы 1 — 7 упомянутого мемуара относятся к ко-
лебаниям дискретных систем грузов, укрепленных на
вертикально подвешенных идеально гибких невесомых
нитях.
Начиная с теоремы 8, Д. Бернулли переходит к фор-
мулировке свойств колеблющихся цепей. Имен но в этой
теореме и встречается впервые в истории пауки цилиндри-
ческая функция, которая здесь выражена в виде бесконеч-
ного степенного ряда. В переводе эта теорема гласит2):
«Теорема 8. О фигурах колебании однородной цепи.
Пусть однородная тяжелая идеально гибкая цепь под-
вешена в точке .1; будем считать к тому же, что коле-
оания происходят непрерывно. Предположим, что цепь
находится в положении AMF; пусть длина цеии = /,
Длина произвольной части FM = х; положим, что п
... *) В_ег и oul I i D., Theoreinala de oscillalionibus corporum
о Ilexili connexorum et catenae verticaliter suspensae, «Coinnien-
Academiae scientiaruni iniperialis Petropolilanae», 1738. 6
(1732-.1733), стр. 108-122. '
) 1ам же, стр. 116,
360
В. В ГУССОВ
является числом, удовлетворяющим условию
л _£ и I3 ,
п 4п • п 4 9 • zt3
+ 4 • 9 - 16п4 “ 4 • 9 • 16 25п6 11 Т* д* = °- (9)
Положим, далее, что отклонение крайней точки F от
вертикали =1. Я утверждаю, что расстояние произволь-
но взятой точки М от этой же вертикали равно
, X . XX Xй
п 4zi • п 4 • 9п3
4 • 9 • — 4 • 9 • 16 • 25п5 + П Т Д’ 1
Если мы сопоставим последний из рядов, фнгурпру
тощих в этой теореме, с выражением (2) цилиндрической
функции, то увидим, что ряд (10) является цилиндриче-
ской функцией (от аргумента 2 "|Лпервого рода ну-
левого порядка.
За теоремой 8 следует схолия (пояснение). Последнее
замечание этой схолии указывает на то, что Д. Бернулли
было уже известно в то время наличие бесконечного числа
нулей у функции Jo (х). В схолии 2-й к теореме 9 он выра-
жается еще определеннее, говоря, что уравнение теоремы 8
«имеет бесчисленное множество действительных корней»1)
(формальное доказательство этой научной догадки было
найдено значительно позднее). В § 17 указаны также пер-
вые два корня уравнения (9): п = 0,691/ и п = 0,13/. Как
говорит Д. Бернулли, эти значения он нашел с помощью
простого вычисления, пользуясь своим методом, указан-
ным в «Заметках о бесконечно продолжающихся урав-
нениях»2). Так как число п связано с корнем Хт функции
Jq{x) соотношением 2 j/"— =Xm, то полученные Д. Бернулли
числа дают для \т соответственно значения >ч=
*) Там же, стр. 118.
2) В е г в о u 1 1 1 D , Notationes de aequationibus, quae progrc-
diuntur in infinitum, «Commentarii Academiae scicntiarum imperia-
lis Petropolitanae», 1738, 5 (1730—1731), стр. 63—82.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 361
=2 406 и к2=5,547. Более точные значения первых двух
корней цилиндрической функции первого рода нулевого
порядка суть 2,404 и 5,520.
Доказательство теоремы 8 и других теорем рассматри-
ваемого мемуара было опубликовано Д. Бернулли в 1740 г.
в мемуаре «Доказательства теорем о колебаниях тел, со-
единенных гибкой питью и вертикально подвешенных к це-
пи»1), появившемся также в «Комментариях Петербург-
ской Академии паук». Для получения выражений (9)
и (Ю) Д. Бернулли вывел уравнение
ndy dx +nxddy ——у dx2, (И)
«которое определяет природу кривой А/’» 2). Здесь х, у
и AF имеют то же значение, что и выше, а п — постоян-
ное число, об определении которого мы скажем ниже.
Далее автор пишет, что так как в действительности
интеграл уравнения (И) не получается (non apparel),
то он полагает
у = а — (За; — ухх — За:3 - еа:4 — и т. д.,
dy=—$x— 2ух dx — 33 хх dx — 4га:3 dx— и т. д.,
ddy— — 2ydx2 — 2 • Soxdx2 — 3 • 4sxxdx2 — и т. д.
Подставив этп выражения в (И), Д. Бернулли получает
уравнение
— р — 2^х — 33 а;# — 4га:3— и т. д.
— 2-(х — 2 • 33а:а: — 3 • 4га:3 — и т. д.
. а 3 T б „
Ч------- X--XX------а?’—И Т. Д.
п п п п
«которому удовлетворим, положив
, р 1 1.1
а ‘ “ п ’ 4пп ’ ° 4 • 9п3 ’
е=-4-^бЙ4 и Т. д.,
. х) Bernoulli D., Dernonstrationes theorcmatum suoruin de
oscillationibus corporum filo flexili connexoruin et catenae vertica-
Hter suspensae, «Commentarii Academiae scientiaruni imperialis
mropolitanae», 1740, 7 (1734—1735), стр. 162—173.
2) Там же, стр. 171.
В. В. ГУССОВ
откудах)
. х тх хя ж1
п inn 4 • 9/г3 ‘ 4 • 9 • 1б«4
1де под 1 понимается расстояние точки F от вертикали;
и так как, положив х — 1, имеем у = 0, то также найдем
. £ । ______, _л
п inn 4 9я.3 4 9 • 16/Н 11 1 • ' •
Отсюда получается значение буквы я»2).
Как мы видим, в рассматриваемом мемуаре не только
даны цжазательства ранее высказанных теорем, но здесь
же находится и уравнение (11), которое по существу
совпадает с уравнением (1) при значении индекса, равном
нулю. Это первый в истории математики с [учай появления
уравнения (I), названного позже уравнением Бессе.ля. Та-
ким образом, первый частный случай так на шваемого урав-
нения Бесселя рассмотрел еще Д. Бернулли. Мы увидим,
что приоритет в получении того же уравнения при любых
значениях индекса принадлежит Эйлеру Бессель рас-
сматривал уравнение (1) после Эйлера3) и только при
целых значениях индекса и.
От уравнения (6) к уравнению (11) и его решению
в настоящее время можно было бы перейти так. Положив
// = н(л) r(Z), находим, что г; (/) = В sin (at -f- b), где В, а,
b — постоянные, а и (х) удовлетворяет уравнению
d-и du . п-и п
+л+-Г=2-
|Т 1 /" "
Положив здесь а = у — , последнее уравне-
ние приводим к виду (II). Решая уравнение (11), мы
найдем конечное при .г = 0 решение в виде
4) Д Бернулли не дает закона образования общего члена
полученного разложения Он удовлетворяется очевидностью по-
следовательного образования каждого члена полученного степен-
ного ряда, что было характерно для его времени
Там же, стр. 172.
3) Соответствующий результат опубликован Эй юром в 176').
а Бесселем в 1826. См. об этом ниже.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 3(53
(р__постоянное), а потому для // получается выражение
г/=С’Л(2/<)мп(/|/+4у (12)
Приняв для фиксированного момента
Tsin 1/ -у-^о + ^) :,а единицу масштаба,
/„ величину
получим, что
функция
определяет координату у колеблю-
щемся цени. Эго полностью совпадает с формулой (10)
Бернулли. Поскольку при х = / все время //= 0, то
Jo 2 — Э; иными словами, мы имеем уравнение (9).
Обозначив через ).т fti-i'i корень функции (./•),
получаем возможные величины для п из уравнения
п 1 /Т . .. 4/
2 I/ — = л,„, т. е. п может иметь люоое из значении •
г Я К **
Найденные выражения характеризую! величину коор-
динаты у и форму колеблющейся цени в любой фиксиро-
ванный момент /(). Закон изменения у с течением времени
определяется множителем Г si и • Этому мпо-
2г
жителю соответствует период колебания 7 — —
1/' —
г п
= 2icj/"y, т. е. каждая точка цепи колеблется также,
как н математический маятник длины п. Этот последний
результат был известен Д. Бернулли. Вообще ему было
известно о колебании цени все, что мы теперь выражаем
Уравнением (12), п.ш, что то же, уравнением (7). Но эти
замечания имеют уже болынпи нитерес для историка
механики.
В заключение важно еще раз заметить, что рассмотрен-
ные нами исследования Д. Бернулли о колебаниях ценой,
в которых впервые была введена в науку цилиндрическая
Функция, но только были напечага.... в Петербурге, ио
падают также на время его работы в Петербургской
Академии наук. II хотя второе исследование помещено
364
В. В. ГУССОВ
в «Комментариях» Академии за 1734—1730 гг., когда автор
находился уже за пределами России, но содержанием его
он, безусловно, владел к моменту появления первого
исследования, которое было выполнено в Петербурге.
2. Введение Л. Эйлером в анализ цилиндрических
функций первого рода любого порядка и некоторых
цилиндрических функций второго рода
Вслед за Д. Бернулли с цилиндрическими функциями
встретился в своих исследованиях член Петербургской
Академии наук Л. Эйлер. Здесь, прежде всего, следует
указать па исследование Эйлером вопроса о колебании
мембран, который вырос из его работ по акустике. Эти
исследования Эйлера чрезвычайно важны для истории
цилиндрических функций, так как в них впервые в связи
с решением уравнения колебаний мембраны были введены
в анализ цилиндрические функции первого рода произ-
вольного порядка. Относящийся к данному исследованию
мемуар Эйлера «О колебательном движении тимпанов»
был опубликован в 1766 г. в Петербурге х). В этом мемуаре
Эйлер приводит решение задачи о колебании упругой
мембраны к уравнению
<1з)
в котором z означает поперечное смещение точки с поляр-
ными координатами (г, ср) к моменту t, а е —постоянная,
зависящая от плотности п упругости мембраны2). При
помощи подстановки z = г sin (at + ЭД) Эйлер переписывает
уравнение (13) в виде
*) Euler L., De motu vibratorio tympanorum, «Novi common -
tarii Academiae scientianun imperialis Petropoli tanae», 1766, Ю
(1764), стр. 243—260.
2) Эйлер употребляет здесь букву d для обозначения частной
производной.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 365
а из"этого последнего, положив d — и sin (р? -р 53), где и —
функция только от г, получает следующее:
г, аа 69 du d du
0 = —и — —тг+т^-- (!4)
ее rr г dr dr2 ' 7
Приняв здесь u — r^s, Эйлер находит:
А аа (23 -4- 1) ds d ds
ее r dr dr-
Обозначив здесь «для краткости» 2(3 -р1 через п и поло-
жив
$ — А — В г2 -f- Cr* — Dr6 -р Ег8 —- и т. д.,
Эйлер приходит1) к такому выражению для и:
л / . ааг2 ( а4г4
Н = ЛгР^1 2(п+1)^ + 2-40+1)(п4-3)с‘
— 2-4-6 (ztj-1) (л+ 3) (п-р5) е6 + 11 т* д’ (15)
Чтобы лучше оценить найденные Эйлером результаты,
заметим следующее. Уравнение (14) по существу совпа-
дает с уравнением (1), так как при £ = — °но прини-
мает вид
d2u , 1 du . ( . н2 Л л
л-, Н---г~~Р( ! —-V )и = 0.
dx2 х dx \ х- J
Решение этого уравнения, ограниченное в начале коорди-
нат, равно /р(я), где С — постоянная, и потому решение
уравнения (14) можно записать так:
а₽
Обозначив постоянную величину С одной бук-
вой А, мы получим формулу (15). Фигурирующее в по-
следней в качестве множителя при А выражение отлпчает-
_ Z аг 'Ч
ся от Jal — ) лишь множителем g---------------—, не со-
р< е J (3-+-1)
Держащим г.
*) Там же, стр 256
3(и; 1’.. в. гуссов
Сопоставив только что сказанное с результатами
Эйлера, мы впдим, что Эйлер получил уже общее уравнение
Бесселя с любым индексом 3 и построил с точностью
до множителя, но содержащего аргумента, цилиндриче-
скую функцию первого рода порядка 3. Как полученное им
уравнение Бесселя, так и представление цилиндрических
функции первого рода в виде ряда (15) имеют самый
общий характер п пригодны как при вещественных, так
и комплексных значениях 3. Из .этого следует, что Эйлер
ввел в анализ цилиндрические функции первого рода
для любых значений индекса.
Помимо цилиндрических функций первого рода, Эйле-
ром были рассмотрены также и цилиндрические функции
второго рода. Впервые это было им сделано во 2-м томе
«Интегрального исчисления» А), опубликованном в Петер
бурге в 1769 г. Этот том посвящен преимуществен по
линейным дифференциальным уравнениям, а представля
ющне для пас особый интерес главы VII и VI11 — сне
цпалыю решению дифференциальных уравнений второго
порядка при помощи бесконечных рядов.
В главе VII упомянутого сочинения рассматривается
решение при помощи степенных рядов таких линейных
дифференциальных уравнений, которые получаются из
уравнения Рпккати du 4- и2 dx ахп dx = 0 с помощью
1 dy
преооразованця =
В § 935 главы VII Эйлер даст при помощи рядов
полное решение уравнения
г/^ + ^.2 = 0. (16)
Это решение имеет вид
И = Р + *<7 +
где
г) Euler L., Inslilutionum calculi integrals volumen secun-
dum, Pelropoli, 1769.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИП 367
р = А + Сх2 + + &ji + + и т• д.,
причем
'?( г_ За2( . — 14а*>( 70fl3?(
Л— — rt - “ 13.92’ — 13.93.32 ’ Л — |3.93.3.1./|2>
,, _ - /.(Уш •?(
' “ 13.93.33.43.32 > • • ’ >
9( и а — произвольные постоянные. Для чисел 14, 70,
404 и т. д. Эйлер указывает закон их образования:
14 = 3-34-5-1, 70 = 4-144-7-1-2, 404 = 5-704-9-1-2-3,
2688 = 6-4044- IJ • 1 -2-3-4.
В настоящее время решение уравнения (16) записы-
вается в виде
Эйлер дал1) также полное решение уравнения
имеющего в качестве интеграла выражение
1 1 Lx 1 z 1 1
// = Cvr- J2 ^4о2 .r'1 J 4- C2.r- Y2(ba- .
Глава VIII 2-го тома «Интегрального исчисления»
(как и главы IX — XI) относится почти целиком к ис-
следованию уравнення
тт (а 4- b.rn) d dy 4- х (с -I- e.r”) dr dy 4- (/ 4- ". г") у d.r- = 0,
которое в несколько видоизмененной форме позже явилось
предметом многочисленных классических исс. 1едованнй.
Решение указанного уравнения при помощи степенных
рядов рассмотрено Эйлером в главе VIII. В качестве
примера применения развитой нм toojhiii Эйлер в § 977
ставит и решает проблему нахождения полного интеграла
г) Там же, § 9.37.
68
6. Й. ГУССОЙ
уравнения
xd dy + dx dy + £хп~'1 у dx2 = 0 (17)
при помощи степенных рядов. Результат Эйлера в его
же обозначениях таков1).
Общим решением уравнения (17) является
__^-Ag д.п §Agg 2п [ %2Ag3______ICKMg4 * ,п .
п3 1-8/н + 1.8-27/17 1-8-27-64п8 + Д' Ь
1 _L JL_ х2п _ gL-~3п _р
1 • 4 •9л6
4- а — — хп 4- .а§,- л %2п —
пп 1 1 •4п4
а£Э Х3п L а^4 х^п _ и т т.
1-4.9п® ^1-4-9-16п8 Д*’
1-4п4
gi
8Z4t> —и Т. Д.
1 -4-9- lb/i8
где А и а — произвольные постоянные.
Для нахождения последовательности чисел, стоящих
в первой строке, Эйлер указывает правило:
6 = 3-2 —1 0, 22 = 5-6-4-2, 100 = 7-22-9.6,
548 = 9-100 — 16-22, 3528 = 11-548-25-100 и т. д.
При л = 2 и g=l уравнение (17) переходит в уравне-
ние (1) с индексом, равным нулю, и его решение может
быть записано в виде
Отсюда ясно, что в данном выше Эйлером решении
уравнения (17) содержится цилиндрическая функция
второго рода нулевого порядка, представленная в виде
степенного ряда.
В мемуарах «О малых колебаниях свободно подвешен-
ной нити» 2) и «О нарушении движения струн, происхо-
дящего от их веса»3) Эйлер продолжает относящиеся
х) Там же, стр. 188.
2) Euler L., De oscillationibus minimis funis libcre suspensi,
«Acta Academiae scientiarum impenalis Petropolitanae pro anno 1781»,
1784, ч. 1, стр. 157—177.
3) E u 1 e r L., De pertuibatione motus chordarum ab earum pon-
dere oriunda, «Acta Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae
pro anno 1781», 1784, ч. 1, стр. 178—190.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 3R9
к колебаниям цепи исследования Д. Бернулли и в первом
из них выводит для цепи дифференциальное уравнение
движения с частными производными вида (6) с помощью
нового метода, основанного на рассмотрении сил, действу-
ющих на элемент цепи.
Если / — длина эквивалентного математического маят-
ника, то для любого собственного колебания цепи можно
написать:
г/ = ЛП QQ sin(c-H j/y) > (18)
где Л и С —постоянные. Тогда П^-у-^ оказывается реше-
нием уравнения
(19)
ах \ ах / j ’ ' >
т. е. уравнения вида (И), о котором уже упоминалось
выше. Полученное уравнение Эйлер как в первом, так
и во втором из рассматриваемых мемуаров интегрирует
с помощью ряда, пользуясь методом неопределенных коэф-
фициентов. По поводу найденного ряда автор замечает,
что он содержит только одну произвольную постоянную
и потому представляет собой один частный интеграл,
из которого нетрудно «с помощью известных приемов»
разыскать также и полный интеграл рассматриваемого
уравнения. Обозначив через v первый интеграл, а через
D и Е две произвольные постоянные и положив -у-—к,
Эйлер привел уравнение (19) к виду
^Си^)+о=0 <20>
и нашел для v выражение
,, __ л и и- и3 । U4
1 1 + 1-4 1.4.9 + 1.4.9.16 11 Т‘ Д'’
совпадающее с J0(2j/w), и получил (в первом из указап-
Вых мемуаров в § 23, стр. 169, во втором —в §§ 13 и 14,
СТР. 186) полный интеграл уравнения (20)
DtA—, + Ev.
J uv*
24 v
Историко-матем. исследования
370
В. В. ГУССОВ
Во втором мемуарс (§§ 15—18, стр. 187—190) этот инте-
грал представлен в виде
D (с log и -J- Ъп 4- си2 + du3 4- си4 * 4- и т. д.) 4- Ее,
где
.2 4 2 , G , 4 . 2
1 ’ С~ 1-4-4 1-4’^ 1-4-9-9*1” 1-4-4-9 + 1-4-9 11 Т‘ Д'
Подстановка z = 2} и приводит уравнение (20) к урав-
нению (1) с индексом нуль, а поэтому в современных
обозначениях полный интеграл этого уравнения запасы
вастся так:
.U„(2)/«)+£K„(2V«).
Следовательно, и здесь у Эйлера появляется цилиндриче-
ская функция второго рода пулевою порядка. Таким
образом, Эйлеру принадлежит также введение в науку
цилиндрической функции второго рода как второго реше-
ния соответствующего уравнения (1), причем он дал пред-
ставление этой функции в виде ряда, содержащего лога-
рифмически!! член. Эйлер нашел также и интегральное
представление цилиндрической функции второго рода ну-
левого порядка, что следует из полученного им выражения
De
J ио-
В первом из цитированных выше мемуаров Эйлер
посвятил несколько параграфов (§§ 23-31, стр. 170 и да-
лее) решению уравнения Jo(2] и) = 0. Он изложил остро-
умный метод вычисления наименьших корней цилиндри-
ческой функции первого рода пулевого порядка и при-
менил его <ля нахождения трех ее наименьших корней.
Этот метод подробно изложен в трактате Ватсона г), по-
этому мы па нем останавливаться не будем.
В этом же мемуаре имеется еще одно важное место,
связанное с замечаниями Эйлера по поводу’ решения ура-
J) Ban он Г. II., Теория бесселевых функций, нор. с англ--
ч I, М., 1949, стр. 551 —553. В последующем указанное сочинение
будет цитироваться как «Ватсон, ч. I».
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 371
вненпя (6) с частными производными. Эйлер указывает,
что любая сумма решений вида (18) с произвольными
постоянными в качестве множителей является также
решением уравнения (6). Образовав бесконечный ряд
с бесконечным количеством произвольных постоянных
коэффициентов, можно получить, как пишет далее автор,
наиболее общее (maxi me genera lent) решение уравне-
ния (6)- Однако в каждой частной проблеме указанные
постоянные должны быть определены в соответствии с
вача 1Ы1ЫМИ условиями. Из приведенных замечании Элле-
ра следует, что хотя и в неявной форме, по он уже рас
сматривал вопрос о разложении произвольных функций
в ряд цилиндрических функции первого рода ну юного
порядка. I
Тот же замечательный мему ар содержит и другие
важные результаты Эйлера в теории цилиндрических
функций. Так, ему удалось заметить (с гр. 174), что J0(.c)
имеет только вещественные корни и что J0(.r) можно
представить в виде бесконечного произведения (стр. 170)
СЮ
где л)П обозначают корни функции /0(з), причем /•!]<
< | Л2 | • •
Эйлер нашел также1) интегральное представление ци-
линдрических функций первого рода, а именно, он указал,
что пнтегра юм уравнения
dy fCy . . du . .. л
~—г 4- (2/.с — л + 1) —-—h у — 0
du- v 1 ' и du 1 J
я вл яет с я выражение
у = dx (аа — хх)г ~1 cos ud- х,
в котором после интегрирования следует положить ,г = о.
i . 1 J u 1 ег L.. Opera omnia, scria 1. I. 12—Inslihilioncs calculi
icgralis, t. 2, Лейпциг—Берлин, 1914, стр. 238.
24*
372
В. В. ГУСС0В
4
Полагая в формулах Эйлера ?* = у » а X = а = н — 1,
получаем:
4*'+4_+у=о,
du~ и du d
1
у = \ dx (1 — хх) 2 cos их,
причем в последнем равенстве после интегрирования не-
обходимо принять ж==1. Чтобы сравнить интегральное
представление Эйлера для цилиндрической функции пер-
вого рода нулевого порядка с употребляемым теперь, вве-
дем новое переменное х = sin ср и получим:
п.
1 2
f cosua: . Г / • \ j
у — \ -------dx = \ cos (« sin ср) аср.
•’ V 1 —х2 •'
о г о
С другой! стороны, теперь известно, что
К
к 2
J (и) cos (u sin ср) tZcp — ~ cos (и sin ср) с7ср.
о о
Это выражение отличается от выражения Эйлера
только постоянным множителем.
Наряду с перечисленным выше Эйлеру принадлежит
и открытие целого ряда других важных свойств цилиндри-
ческих функций.
Еслп v = n-}-y, где п—целое, то функция Jy(x)
может быть выражена конечным образом через алгебраи-
ческие и тригонометрические функции от х. Соответствую-
щие решения в конечном виде дифференциального урав-
нения, связанного с функцией /«уД- (х)> были найдены
Эйлером, который! заметил, что решение упомянутого
уравнения относительно eixJn+d.(x) может быть выражено
в конечном виде1).
Ч В а т с о и, ч I, стр G5.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
373
3. Цилиндрические функции в астрономии, теории
теплопроводности и гидродинамике
Не прошло и десяти лот после появления в исследова-
ниях Эйлера о колебаниях мембраны цилиндрических
функций первого рода любого порядка, как некоторые
частные виды этих функции встретились при изучении
вопроса об эллиптическом движении планет.
В 1770 г. Лагранж вывел формулы, позволяющие выра-
зить эксцентрическую аномалию и радиус-вектор планеты
в функции времени. При выводе этих формул Лагранж
получил выражения с точностью до числовых множителей
для функций J2(.r), J3(.c) и их производных. Эти
функции, как и цилиндрические функции в задаче
Д, Бернулли о колебаниях вертикально висящей цени
п в задаче Эйлера о колебаниях мембраны, были получены
в виде бесконечных степенных рядов.
Кроме механики и астрономии, в развитии учения о ци-
линдрических функциях важную роль играла теория
теплопроводности.
Исследуя задачу о симметричном движении тепла
в твердом круглом цилиндре, Фурье встретился с цилин-
дрической функцией первого рода пулевого порядка ’).
В ходе решения указанной конкретной задачи он развил
довольно полную теорию этой функции, причем каждый
рассмотренный им математический вопрос естественно
возникал в ходе выполняемого физического исследования.
Сопоставляя результаты Фурье с результатами Эйлера,
можно установить, что существенно новым, с точки зрения
теории цилиндрических функций, у Фурье явились только
разложение произвольной функции в ряд по цилиндриче-
ским функциям первого рода и явное выражение в инте-
гральной форме коэффициентов этого ряда. Во всех дру-
гих вопросах теории цилиндрических функций Эйлер
намного опередил Фурье.
В связи с задачами теории теплопроводности некоторые
новые результаты, имеющие значение для дальнейшего
^Fourier J. 13. J., Theorie analvtiquc de la clialcur,
•ИЖ, 1822, гл. VI.
374
В. В. ГХССОВ
развития теории цилиндрических функции, были получены
также Пуассоном, доложившим о них Парижской акаде-
мии в 1821 г.
Выдающемуся русскому ученому М. В. Остроградско-
му цилиндрические функции встретились еще в одной по-
вои для них области науки—гидродинамике. Относящийся
к этому вопросу материал был изложен Остроградским
в «Мсмуаре о распространении волн в цилиндрическом
сосуде»1). Хотя этот мемуар был представлен Парижской
академии в 1826 г., ио по своему характеру он еще отно-
сится к рассматриваемому нами сейчас периоду истории
цилиндрических функций.
Указанный мемуар, являющийся первой значительной
научной работой Остроградского, посвящен изучению
волнового движения жидкости, имеющей свободную верх-
нюю поверхность и заключенной в бассейне цилиндриче-
ской формы с круглым горизонтальным дном.
В ходе решения поставленной задачи Остроградскпй
приходит к необходимости интегрировать уравнение
0 = ^-р1
«у2 у су у-
где В—неизвестная функция, п—целое положительное
число, 0—произвольное действительное число. 11 дол-
жно оставаться конечным ври всех у от 0 до I (I—радиус
бассейна). Решая приведенное уравнение, Остроградскпй
пришел к цилиндрическим функциям.
III. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. Цилиндрические функции первого рода
В течение XV11I в. и первых десятилетий XIX в.
накопился значительный материал, относящпш я к цплин
дричсским функциям.
Ц Ost гogг ads к у М., Mihnoire sur la propagation des
ondes dans un bassin cylindrique, «Mtnioircs presentes par divers
savants а Г Academic royale des sciences de 1 Institut de France.
Sciences mathCinatiques et physiques», 1832, 3, стр 23—44
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 375
Важный этап в дальнейшем развитии теории цилиндри-
ческих функций связан с мемуаром Бесселя 1824 г. «Ис-
следование тех из планетных возмущений, которые воз-
никают от движения Солнца»1). Эта работа ознаменовала
начало второго периода развития этой теории, переход от
получения разрозненных фактов теории к систематиче-
ской! разработке теории отдельных видов цилиндрических
функций. Упомянутый! мемуар Бесселя посвящен решению
астрономической проблемы, о содержании которой лучше
всего можно составить себе представление по следующим
словам самого автора в начале его работы.
«Возмущения эллиптического движения планеты дру-
гой планетой состоят нз двух частей: первая возникает
от притяжения, которое испытывает возмущаемая плане-
та со стороны возмущающей; другая—от движения Солн-
ца, вызываемого этой последней. В исследованиях, выпол-
нявшихся до настоящего времени, обе части планетных
возмущений! рассматривались совместно: однако, более
целесообразным является исследование каждой из них обо-
собленно... Это разделение явится даже необходимым, если
захотеть подвергнуть проверке ныне общепринятое допу-
щение, согласно которому возмущающая планета дейст-
вует одной и той же 2) массой на возмущаемую планету и
на Солнце. Указанное допущение является следствием того
предположения, что тела притягивают пропорционально
их массам. Это предположение, как известно, устано-
вил Ньютон... Но можно показать, что данные, которые
Ньютон положил в основу своего допущения, пи в косм
случае нс исключают других возможностей, и потому
дальнейшие опыты должны решить, действительно ли
закон, согласно которому притяжение тел пропорциональ-
но их массам, является всеобщим законом природы»3).
Из приведенных слов Бесселя ярко видна вся кон-
кретная физическая направленность мемуара. Исследуя
«... ') Vessel F. \V., Untersuchung des Theils dor planetarischcn
torungen, welclicr aus dor Bewegung dor Sonne enlslcht, «Abhand-
n d°.r koniglichcn Akadcmie der Wissenscliaften zn Berlin,
atneinatische Kiasse. Jahr 1824>>, 1826, стр. 1—52.
з\ РОдчеРК|,уто Бесселем.—В. Г.
) Bessel, цат. соч., стр. 1 — 2.
376
В. В. ГУССОВ
возникающую от движения Солнца часть возмущений ра-
диуса-вектора планеты и других ее координат, Бессель
встретился при вычислении соответствующих возмуще-
ний с различными постоянными интегрирования, которые
необходимо было определить достаточно точно для пол-
ного решения задачи. В полученных результатах главную
роль играли два следующих интеграла (сохраняем форму
записи автора):
cos гр cos s de п sin гр sin е de,
где р—средняя, е—эксцентрическая аномалия, а I—на-
клонность орбиты к эклиптикех). Эти интегралы с по-
мощью уравнения Кеплера приводятся к виду
cos (As — к sin е) de,
где /г—целое число.
«Этот последний интеграл я буду обозначать через
cos(As —Asins)t?s = 2TC/v>. (21)
Таким образом, Бессель впервые ввел особый знак для
обозначения цилиндрических функций первого рода.
Сравнение с формулой (3) показывает2), что 1%. соответ-
ствует принятому теперь обозначению Jh (А), т. е. цилин-
дрической функции первого рода порядка А от аргумента к.
Символ Ik Бессель не называет никаким специальным
именем. Говоря о нем, он обычно употребляет выражение
«определенный интеграл /£» или просто «интеграл /£».
х) Bessel, цит. соч., стр. 22. У знака интеграла Бессель по
ставит пределов интегрирования, по всюду подразумевает, что для
у, е и ;л интегрирования производятся в пределах от нуля до 2л.
2) Деля пополам промежуток интегрирования и заменяя во
втором интеграле е па 2к—е, можно убедиться, что
2п п
— \ cos (Ле —к sin е) de — — \
2~. J 4 ' it J
О О
cos (Ле — Л sin е) de.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 377
Иногда Бессель именует его «функция /£». Для интеграла
Бессель находит разложение в ряд вида (2).
Необходимость дальнейшего развития теории функ-
ции 1k автор мотивирует так:
«Хотя постоянно сходящийся ряд (указанного вида—
В. Г.) достаточен для определения числовых значений Ih,
и поэтому с этой стороны ничего не оставляет желать в от-
ношении задачи, которую необходимо было решить, одна-
ко я все же считаю возможным использовать данный слу-
чай, чтобы кое-что сказать об определенных интегралах,
которые были здесь применены.
Не только уравнение центра и величины
1 1 .
cosep, smep, г cos ср, г sin ср, j^cosep, sin ср
(ср—истинная аномалия, г—радиус-вектор планеты—
В. Г.) приводят прп разложениях в ряды к этим опреде-
ленным интегралам, но это же имеет всегда место в случае
выражений
log г, rn, rn cos пгер, ...
Так как большинство проблем физической астрономии 1)
приводится к таким разложениям, то является желатель-
ным более подробное знание свойств упомянутых инте-
гралов» 2).
Развивая высказанную мысль, Бессель получил ряд
свойств цилиндрических функций первого рода целого
порядка, в том числе важные для теории этих функций
рекуррентные формулы. К указанному мемуару Бес-
сель приложил таблицы, дающие и с десятью
десятичными знаками для значений к от 0,00 до 3,20
с шагом, равным 0,01. В последнем параграфе мемуара
приведены примеры употребления этих таблиц в астроно-
мических вычислениях.
*) Под физической астрономией в то время понимали ту часть
астрономии, в которой явления изучались на основании закона
тяготения Ньютона.
3) Bessel, цит. соч., стр. 26.
378
В. В. ГУССОВ
Специфически новым, что внес Бессель в теорию ци-
линдрических функций, явилось введение им особого
обозначения для соответствующих функций. Однако это
далеко вс все. Важнейшей заслугой Бесселя является
то, чю он впервые начал изучать каждую из функций
/„(.г) не в отдельности, а как элемент системы функций
.J 2 М, Л(Д Л ('), Л ('). ЛИ. •••
Рассматривая интеграл как функцию двух аргументов,
Бессель получил соответствующую систему функций, для
которой установил ряд свойств, в том числе рекуррентные
соотношения. Потому рассматриваемый мемуар Бесселя
ознаменовал начало второго периода развития теории
цилиндрических функций, переход от изучения отдельных
их свойств к систематической разработке теории отдель-
ных видов цилиндрических функций.
Но на этом пути еще предстояла большая работа. Бес-
сель рассматривал только цилиндрические функции пер-
вого рода да и то лишь целого порядка. Для нужд астро-
номии в ряде случаев этого было достаточно, но запросы
техники и развивающейся математической физики тре-
бовали построения в удобной форме и изучения полного
интеграла дифференциального уравнения (1) при любых
комплексных значениях индекса п. Однако при переходе
от целых значений индекса к нецелым продолжение пути,
по которому шел Бессель, оказалось неприемлемым.
После Бесселя большое значение для дальнейшего
развития теории цилиндрических функций имели работы
директора Обсерватории в Зосберге Хансена. Основной
в данном отношении является его работа «Определение
абсолютных возмущений для эллипсов произвольного
эксцентриситета и наклона» (1843)1). В пей Хансен зани-
мается исследованием возмущений небесных тел мри их
движении по эллипсам с любыми эксцентриситетами и
любым углом наклона к эклиптике.
При решении возникших астрономических проблем
Хансену пришлось углубить исследования Бесселя п<>
l) Hansen Р. A., Erinittelung dor absolute» Slorungen in
Ellipse» von beliebiger Exzentricitat und Ncigung, ч.1, Гога, 1843
(Schriften dor Sternwarte Sccberg).
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 379
теории цилиндрических функций. Так, ему потребовалось
вычислить значения функций J^z) при значениях аргу-
мента, больших, чем это сделал Бессель. Для этого он
получил, хотя и чисто формальным путем, асимптотиче-
ское разложение функции Jj (./•). (’.равнение результатов,
найденных для отдельных значений зс, с результатами,
полученными с помощью обычных степенных рядов, при-
вели Хансена к заключению, чго для вычислений мож-
но с успехом пользоваться даже расходящимися раз-
ложениями.
В своих астрономических работах Хансен получил
и другие результаты, относящиеся к теории цилиндриче-
ских функций. Он указал, например, несколько частных
случаев теоремы сложения для этих функций и подготовил
для построения их теории метод производящих функций.
Как мы видим, еще долгое время после работы Бесселя
цилиндрические функции почти всегда рассматривались
только в связи с темп или иными задачами прикладного
характера, для решения которых они были необходимы.
И лишь постепенно, по мере накопления соответствующего
материале! при решении разнообразных важных задач,
исследование этих функций! приобрело самостоятельный
математический’ интерес.
Первым шагом по этому пути явилась работа Шлёмиль-
ха «О функции Бесселя»1), опубликованная в 1857 г. Здесь
впервые делается попытка построения более или менее
полной! самоенюятелъиой теории цилиндрических функ-
ций независимо от непосредственных задач прикладного
характера. Мотивы создания одной из важных глав совре-
менного анализа с особенной ясностью показаны автором
во введении к этой работе.
Свою статью Шлёми.тьх начинает словами: «„Исследо-
вание тех из планетных возмущений, которые возникают
°т движения Солнца ', привело Бесселя к своеобразной
трансцендентной функции, которая также встречается
в теории тепла (Фурье...) н которая в последнее время
. ?) S c h 1 о in i 1 с 1) О., ГеЪег die Bessrl'sclie Funktion, «Zeit-
enrtft fur Mathcmatik und Pliysik», 18.r>7, Jalirgang 2, стр. 137—
380
В. В. ГУССОВ
приобрела, благодаря вычислениям возмущений г. док-
тором Хансеном..., такое значение, что этот последний
оказался вынужденным значительно расширить бесселевы
таблицы этой функции. В соответствии с этими фактами
указанная трансцендентная функция, которую, как мы
полагаем, лучше всего назвать именем открывшего ее уче-
ного г), определенно заслуживает полного внимания. Если
к этому еще прибавить, что названные аналитики изучали
только те свойства этой функции, которые были необхо-
димы для их ближайшей цели, то нижеизложенная попытка
теории этих трансцендентных, быть может, пе покажется
излишней»2).
Далее Шлёмпльх строит теорию цилиндрических функ-
ций первого рода с целым индексом. При этом автор после-
довательно использует и развивает метод производящей
функции, к которому пришел раньше Хансен.
До середины пятидесятых годов прошлого века цилин-
дрические функции, определяемые равенством (21), рас-
сматривались только при целых значениях индекса. Айгер
в работе 1855 г. «Исследования функции с приложением
ее к проблеме Кеплера» 3) решил обобщить указанные функ-
ции на случай нецелых значений индекса. В качестве
исходной точки для своего обобщения Ангер взял форму -
лу (21) и стал приписывать в ней h не только целые, по
и другие значения. Такое обобщение представлялось
вполне естественным, так как к тому времени важность
функции, определяемой указанным равенством, была уже
полностью выяснена, и потому казалось, что область при-
ложения этой функции еще значительнее вырастет, если
только спять налагавшееся ранее па h ограничение и при-
давать ему в формуле (21) любые значения. Для рассма-
2) Здесь впервые в литературе мы встречаем предложение о вве-
дении особого наименования для данного вида функций. (Ватсон
ошибается, приписывая название «функции Бесселя» Якоби.)
Как видит читатель, в приводимой цитате Шлёмпльх идет вразрез
с исторической истиной, нс указывая на работы Эйлера и их зна-
чение.
2) S с li 1 б m i 1 с 11, цпт. соч., стр. 137.
3) A n g е г С. Т., Uiitersucliungcn uber die Funktion mi t
Anwendung auf das Kepler’sche Problem, Данциг, 1855.
развитие теории цилиндрических функций 381
трпвавшепся пм функции
уравнение, которому ош
ST- <"* <lk +J"
Ангер нашел дифференциальное
i удовлетворяет:
- р)+ (*£•) sin 2* «-0. (22)
При Л целом это уравнение переходит в уравнение (1).
Вид полученного уравнения (22) делает для нас оче-
видной неудачу попытки Ангера, так как решение многих
задач теории колебании, электротехники, теории рефрак-
ции, прикладной геофизики и т. п. приводит к интегриро-
ванию уравнения (1), а по уравнения (22). В случае осевой
симметрии задачи, сводящиеся к главнейшим уравнениям
математической физики, например к уравнению передачи
тепла, волновому уравнению, уравнению колебания пла-
стинки и т. д., приводятся к дифференциальному урав-
нению (1). II псе эти проблемы не имеют ничего общего
с уравнением Ангера (22).
Попытка Ашера представляет одни из примеров того,
как делаемые в математике наугад, без достаточного осно-
вания, обобщения, даже если они и кажутся на первый
взгляд очень естественными, в действительности могут
оказаться мало полезными для пауки.
Чтобы успешно построить теорию цилиндрических
функции первого рода для произвольных значений индекса,
следовало либо положить в основу теории эйлерово пред-
ставление соответствующей функции в виде ряда, либо
воспользоваться интегральными выражениями, отлич-
ными от бесселевой формы (21). По этому последнему
пути и пошло в действительности развитие рассматри-
ваемой теории.
Первая успешная попытка построения теории цилин-
дрических функций в случае любого вещественного зна-
чения индекса была выполнена в 1868 г. Ломмелсм. В сво-
ей монографии «Исследования функций Бесселя»1) Лом-
мель, так же как и ранее Айгер, рассматривает вопрос
°б обобщении цилиндрических функций па случай не-
целых значении индекса. По обобщение, предложенное
’—
ттлД ) L о Bi m с 1 Е., Studien iibcr die Bessel’schen Funktionen,
леипцпг, 1868.
382
В. В. ГУССОВ
Ломмелем, является более глубоким и плодотворным, так
как оно непосредственно связано с дифференциальным
уравнением (1). О предпринимаемом обобщении Ломмель
говорит: «Естественная необходимость этого обобщения
выступает... при интегрировании линейных дифферен-
циальных уравнении» х).
В основу предложенного им обобщения Ломмель поло-
жил выражение * 2)
A (z)
2'7Г
cos (z cos о») sin2' w
I"
при помощи рекуррентных формул.
По поводу выполненного интегрирования уравнения (1)
Ломмель замечает: «Во-первых, оно нам показывает, что
предпринятое с самого начала расширение понятия бес-
селевой функции путем допуска также и дробных показа-
телей не было произвольным актом, по являлось необхо-
димостью, обоснованной природой вещей. Благодаря бес-
селевым функциям первого рода с дробным указатс icm
оказался заполненным пробел в интегрировании уравне-
ния (1) и других дифференциальных уравнений, как эго
будет видно из дальнейшего»3). Вся монография Лом-
меля проникнута идеей разработки аналитического ап-
парата для решения соответствующих дифференциальных
уравнений.
Следующий шаг по пути обобщения теории цилиндри-
ческих функций сделал в 1869 г. Хаикель 4 *), развивший тео-
рию этих функций при произвольных комплексных зна-
9 Lorn me 1, цпт. соч., стр. IV.
2) Интеграл, фигурирующий в приведенном выражении, изу-
чали до Ломмеля Эйлер, Плава, Пуассон, Бессель, Якоби п Д«>а‘
мель. Обозначение нецелых значений индекса греческой букнов >
введено Ломмелем.
3) L о m in е 1, цит. соч., стр. 106.
4) Н a n k е 1 II., Die Zylinderfunktionen erster un<l zweitci
Art, «Mathematisclic Annalcn», 1869, 1, стр. 467—501.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 383
пениях индексов. Поело мемуара Ханкеля теория цилин-
дрических функций начала развиваться в тесной связи
с теорией функций комплексного переменного.
2. Цилиндрические функции второго рода
До сих пор мы говорили о цилиндрических функциях
первого рода. Указанный влд функций появлялся как
при интегрировании дифференциального уравнения (1),
так и в других случаях, не имевших непосредственного
отношения к этому уравнению. Плаче обстояло дело
с цилиндрическими функциями второго рода, введение
которых постоянно было связано с уравнением (J).
Ци ши цшческпе функции второго рода в виде вторых
интегралов уравнения (1) в трсчаются в трудах Эйлера,
Фурье и Пуассона. По подробным изучением этих функций
впервые занялся К. Нейман и он же ввел для них особый
символ1), а именно } " (./•). Однако при этом указанный ав-
тор ограничивался лишь целыми значениями индекса п.
Через принятую в настоящее время в качестве канони-
ческой функции второго рода функцию }„(/), определя-
емую равенством (4), функция Неймана выражается по
формуле
3 " (•**) = у Yn (*) + (1п 2 - y) Jn (z),
где у—постоянная Эйлера.
Вслед за Нейманом цилиндрическими функциями вто-
рого рода специально занимался Ломмель в цитированной
выше монографии, i лава 2-я которой целиком посвящена
этим функциям. При этом 1омме 1ь, как и Нейман, рас-
сматривает цилиндрические функции второго рода только
при целых значениях индекса.
На случай нецелых, в том числе и комплексных, значе-
нии индекса попятно цилиндрической функции второго
Р°Да обобщил в J 869 г. Ханкель2). Однако когда нп-
Д°к равен половине нечетного числа, данное Хайкелом
р. )Neumann С., Thcorie dor Bessel’schon Funktionen.
-* n Analogon zur Thcorie der Krigelfunklioiien, Лейпциг, 1867.
) Hanke I, цнт. соч., стр. 472.
384
В. В ГУССОВ
определение оказывается непригодным. От неудобства,
вызываемого этим последним обстоятельством, освобо-
дились, когда в качестве канонической функции второ-
го рода приняли функцию, определяемую равенством (4).
Впервые эта функция введена Вебером в статье «Об
установившихся движениях электричества в цилиндрах»,
датированной 1872 г.х). Свою функцию Вебер обозначил
через Ап(й). По поводу записи индекса у нижней части
знаков J и К автор замечает: «Я здесь предпочитаю, враз-
рез существующему обычаю, помещать индекс внизу,
чтобы иметь возможность удобнее обозначать производ-
ные ио способу Лагранжа»* 2).
Введенная Вебером функция Кп(х) совпадает с функци-
ей Уп (.г), определяемой равенством (4), но такой форму-
лы у него нет.
По поводу введения Вебером рассматриваемом функции
Ватсон делает следующее ошибочное замечание. Он утвер-
ждает, «что определение функции второго рода, данное
Ханкелем, было несколько видоизменено Вебером.,
с целью устранения неудобства, вызываемого несостоя-
тельностью определения в случае, когда индекс функции
равен половине нечетного числа»3).
Исторически это совершенно неверно. Вебер занимался
такими вопросами, при решении которых ему были нужны
функции только при целых значениях индекса. Более
того, выражение, посредством которого Вебером опреде-
лена функция Л'п(.т), пригодно только при п целом. Пре-
следовавшиеся Вебером цели нс имели ничего общего
с приписанными ему Ватсоном. Вебера в данном случае
нисколько не интересовали нецелые значения индекса,
так же как и вопрос о распространении определения цилин-
дрических функций второго рода на все значения индекса
и устранение соответствующею дефекта в определении
Хаикеля. Тот факт, что определение Вебера, будучи обоб-
щенным соответствующим образом, оказалось лишенным
г) \\ сЪег II, Ueber die stationaren Stromungcn der Elek-
tricitat in Zylindcrn, «Journal fiir die reine und angewandtc Matin'"
matik», 1873, 76, стр. 1—20.
2) Там же, стр. 3.
3) Ватсон, ч. I, стр. 77.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
385
недостатка определения Ханкеля, явился делом чистого
случая.
Как мы уже говорили, у Вебера нет формулы (4), хотя
его определение, если его обобщить на все значения инде-
кса, эквивалентно этой формуле. Впервые подобную фор-
мулу, отличающуюся от данной только множителем у ,
мы встречаем у Шлефлп * *). Но большинство последующих
авторов пользовалось выражением (4) без дополнитель-
ного множителя у, рассматривая, таким образом, функ-
ции, совпадающие с функциями, введенными Вебером.
Особенно много содействовал распространению функции (4)
в качестве канонической формы цилиндрической функции
второго рода Ватсон. Им же зафиксировано обозначение
Уп(.г) для этой функции 2).
Что касается терминов «функция первого рода» и «функ-
ция второго рода», то первый из них по аналогии с шаро-
выми функциями (для которых соответствующие термины
уже существовали) ввел Нейман3), а второй Ломмель4).
Попутно заметим, что в многочисленных исследованиях
по теории цилиндрических функций встречаются две ком-
бинации цилиндрических функций первого и второго рода,
а именно
Jп (-^) ± п (^)«
Исходя из этого, Нильсен6) в 1904 г. счел нужным ввести
в рассмотрение соответствующую пару функции как фун-
даментальную систему решений уравнения (1) и назвал
их функциями третьего рода. В честь Ханкеля, у которого
встречаются аналогичные комбинации, он обозначил их
символом Н.
1)Schliifli L., Sull’uso dello linee lungo le quali il valore
assoluto di una funzione e constante, «Annali di matematica puro cd
appheata», 1873—1875, 6, стр. 17.
*) Ватсон, ч. I.
) Neumann, цит. соч., стр. 163.
) Lorn me 1, цпт. соч., стр. III.
’) Nielsen, стр. 16. Здесь и в последующем подобная запись
значает ссылку на книгу Nielsen N., Handbuch der Theorie
ег Zylinderfunktionen, Лейпциг, 1904.
Историко-матем. исследования
386
В. В. ГУССОВ
3. Первое систематическое изложение цилиндрических
функций русским ученым М. Ф. Хандриковым
В результате деятельности цело! о ряда ученых к на-
чалу 70-х годов прошлого века были созданы основы тео-
рии цилиндрических функций первого и второго рода.
Наряду со специальными монографиями и статьями, по-
священными указанным функциям, их теория в той или
иной степени излагалась в различных сочинениях н<>
астрономии и математической физике.
Первое, насколько нам известно, систематическое изло-
жение элементов теории цилиндрических функций в Рос-
сии принадлежит воспитаннику Московского универси-
тета, профессору астрономии и геодезии Киевского универ
ситета М. Ф. Хапдрикову. Его книга, содержащая эти
вопросы, относится к области небесной механики х). В своем
труде Хапдрпков широко использует цилиндрические
функции первого рода и последнюю часть (в количестве
26 страниц) посвящает специально этим функциям. Ука
заниая часть начинается словами:
«Имея это (т. е. полученный автором на предыдущих
страницах результат.—В. Г.), мы считаем вопрос о разло-
жении пертурбационной функции решенным. Мы видели,
что выражения коэффициентов этого разложения завися!
от бесселевой трансцендентной функции, а потому в за
ключенпе этой главы находим необходимым показать как
некоторые главные свойства этой функции, так и простей-
шие способы ее выражения»* 2).
Свое изложение теории цилиндрических функции Ханд
рпков основывает на методе производящей функции, lice
его изложение сводится к сообщению материала, необхо-
димого для вычисления цилиндрических функций первого
рода. Других свойств указанных функции автор не рас-
сматривает. С точки зрения развития теории цплипдрн
ческих функции, книга М. Ф. Хапдрикова новых резуль-
татов не содержит.
*) Хандри ков М. Ф , Общая теория возмущений, М-»
1871.
2) Там же, стр. 325.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФЪ НКЦИП
387
4. Исследование В. П. Ермакова.
Создание новых основ построения теории
цилиндрических функций А. В. Летнпковым
Новый результат, относящийся к теории цилиндриче-
ских функций, был получен в 1872 г. профессором Киев-
ского университета по кафедре чистой математики В. II. Ер-
маковым, который в статье «О цилиндрической функции» х)
показал, что доказательство одной из формул Неймана,
данное Мелером, может быть заменено иным и получено
путем простого преобразования интеграла Фурье.
Результат Ермакова относился только к частному во-
просу теории цилиндрических функций. Другой характер
имела работа профессора Московского Технического учи-
лища А. В. Лстпикова2), опубликованная два года спустя
после упомянутой статьи Ермакова. Летников создал
новые основы построения теории цилиндрических функции
первого рода. Сообщение об этом он сделал Московскому
математическому обществу 17 ноября 1873 г., а опубли-
ковал в 1874 г.3).
Важнейшее место в научных трудах Лстпикова зани-
мают работы по дифференцированию с дробным показа-
телем. С ними связаны целиком п результаты этого ученого
по теории цилиндрических функций. Созданная Летнпко-
вым теория дифференцирования была названа пм «теорией
междупределыюго дифференцирования с произвольным ука-
зателем» . Междупредсльпая производная с любым отри-
цательным показателем—р определяется у Лстпикова
равенством4):
X
[£>"р/(я)]а==р^у (x-fl)P-1 / (a) da.
_______________ а
*) Е г m a к о f f W., Ucber die Zvlinderfunktion, «Mathemati-
sche^Annalen», 1872, 5, стр. 639—040.'
) См. статью P. Я. Шостака, .Алексеи Васильевич Лстии-
°В з «Историко-математические исследования», М., 1952, нып. V).
) Л е т н п к о в А. В , Исследования, относящиеся к теории
интегралов вида J (х—и)г /(и) du, «Математический сборник»,
1874. 7, вып. 1. °
) Летников, цит. соч, стр. 49.
25*
388
В. В. ГУССОВ
Для производной порядка q-rn, где п—целое положитель-
ное чпсло, a q заключено в пределах 0<q<_ 1, Л. В. Лет-
ников устанавливает выражение х)
[^+ /(*)£= \ (7 - V х
Г (1 —ff) (®—fl) т J (х — a) J
.а"41 О—
<hn+1
Эта формула дает общее выражение междупредельпой про-
изводной Летпикова с положительным указателем.
В названной выше монографии Летников в качестве
первого приложения междупродслыюго дифференциро-
вания с произвольным указателем выбрал интегрирование
известного в истории пауки линейного дифференциального
уравнения второго порядка вида
(«о^* 2 4- bQx + Со) + (агг + 4- а2у = 0.
Получив своим методом для этого уравнения ряд важных
результатов, Летников в конце указанной монографии еще
особо остановился па уравнении (1) и нашел его решение
в виде
1 _
Jn(x) = Cx~n [D 2 "sin], z]o,
где z=xz. Подобрав число С так, чтобы произведение
1
х'п Jn (х) при я=0 было равно 2нгц1ря~) * 011 П0ЛУ11асг
выражение цилиндрической функции первого рода с про-
извольным вещественным индексом п в следующем виде2):
(23)
где z=xz. Пз этого выражения Летников легко выводит
ряд свойств цилиндрических функций первого рода: раз-
ложение в обычный степенной ряд, соотношение между
функциями целого положительного и отрицательного
*) Лет ц и к о в, цпт. соч., стр. 55.
2) Летников, цпт. соч, стр. 194.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
189
порядков, выражение функций целого порядка через про-
изводные функции пулевого порядка, а также интеграль-
пое представление рассматриваемых функций.
Заканчивая свою монографию, Летников пишет: «Фор
мула (23) может служить исходным пунктом для построе-
ния новой теории бесселевой функции, что, само -собой
понятно, поведет к значительному упрощению этой тео-
рпи. Развитие этой мысли отвлекло бы нас весьма далеко
от главной цели настоящего исследования» *).
J3 1936 г. формула Летникова была применена А. II. По-
повым для получения рядов и интегралов с цилиндриче-
скими функциями первого рода * 2). Метод Попова основан
на том, что всякий тригонометрический ряд (или соответ-
ствующий интеграл) может быть использован для полу-
чения соответствующего ряда (или интеграла) с цилиндри-
ческими функциями первого рода, если воспользоваться
формулой [етнпкова (23). Спомощью этого метода могут
быть выведены ряды Нильсена, Дёча и многие другие.
Заметим в заключение, что связь между цилиндриче-
скими функциями и производными с дробным указателем
от тригонометрических функций предугадывалась Лом-
мелем в 1870г.3), по оп имел в виду лишь цилиндрические
функции целого порядка, да и то не мог притти к точному
и определенному результату, так как не располагал над-
лежащими формулами для производных с произвольным
указателем 4).
*) Л отнико в, цит., соч. стр. 197—198.
2) Попов Л. И., Несколько замечаний о функциях Бесселя,
«Труды Ленинградского индустриального института», 193G, «№ 10.
раздел физико-математических паук, вып. 3, стр. 49—52.
3\ т • тп-ф* Ту д ?/
) LommelE, Integration der Gleichung x - —--------------X
X ___n
it,,?,, durch Bessel'schon Funktionen, «Mathematische Annalon»,
1870, 2, стр. 635.
nn ) Говоря о научных заслугах Летникова, необходимо отметить
риоритет этого ученого в обобщении понятия многочленов Лс-
ныи^Ра На £лУчав любого вещественного индекса, так как указан-
припВаЖНЫй Шаг в те0Р1ш данного вида многочленов незаслуженно
вРЭтоПСЫвается Другим. Доказательство приоритета Летникова
в„ОпР°се см.: Гуссов В. В., Из истории трансцендентных
Дни в России и СССР, М., 1950 (диссертация), стр. 237—238
390
В. В. ГУССОВ
IV. ИССЛЕДОВАНИЯ И. Я. СОНИНА II НАЧАЛО
НОВОГО ПЕРИОДА В РАЗВИТИИ
ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Новый период в развитии теории цилиндрических функ-
ций—период создания общей теории этих функций и раз-
личных их обобщений—начинается с мемуара Н. Я. Со-
нина «Исследования о цилиндрических функциях и о раз-
ложении непрерывных функций в ряды» (1880)х).
Исследования Сонина по теории цилиндрических функ-
ций явились замечательным научным достижением и име-
ют принципиальное значение для развития интересующей
нас теории. Труды Сонина чрезвычайно обогатили теорию
цилиндрических функции новыми фактами и идеями боль-
шой важности, дали ей повое обоснование с помощью ре-
куррентных соотношений и ввели в нее новые мощные
методы. Сонину принадлежит заслуга введения и изучения
новых функций, связанных с цилиндрическими функция-
ми и играющих значительную роль в их теории. Сочине-
ния Сонина обладают по только научными, по и мето-
дологическими и литературными достоинствами, кото-
рые были признаны современными ему п позднейшими
учеными.
Уже магистерская диссертация Сонина, носившая на-
звание «О разложении функций в бесконечные ряды.»
п опубликованная в 1870 г. в V томе «Математического
сборника», представляет большой интерес для теории
цилиндрических функций, функций Лежандра и др.
В ней автор развивает следующие идеи.
С помощью формулы Коши
f(7\~ 1 ( f da
' ' ' 2гЛ J а — z
Ч
вопрос о разложении аналитической функции / (z) по сте-
пеням z легко приводится к разложению функции •
х) S о n i n е N., Recherches sur les fonctions cylindriqucs et lo
developpement des fonctions continues en series, «Matheniatische
Annalen», 1880, 16, стр. 1—80. В дальнейшем этот мемуар мы будем
цитировать коротко: «Сонин, мемуар 1880 г.».
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 391
Из той же формулы Коши можно получить разложе-
ние аналитических функций по самым разнообразным
функциям, причем вопрос и в этом случае сводится к раз-
ложению единственной функции - в ряд вида
Л А + А + • • • + AnZn 4- . ...
где Л —функция а и целого указателя п, a Z—функция
z и п. Рассматриваемая нами работа Сонина представляет
развитие этой идеи с самой общей точки зрения. До ра-
боты Сонина общеизвестными являлись степенные раз-
ложения Коши и Лорана, а также факториальное разло-
жение Шлёмильха.
Сонин поставил общий вопрос об определении раз-
ложения
СО
— =у л z
a— z Zj п п
О
по произвольно выбранному виду аналитических функций
Zn. На многочисленных частных примерах он показывает
приложение развитых им общих формул, выбирая в ка-
честве функций Zn последовательно цилиндрические функ-
£п
ции Jn(z), функции Лежандра Рп(г) и функцию •
Извлеченные из чрезвычайно общей идеи результаты
Сонина имеют также большую степень общности. Однако
путь, которому следует развитие этой идеи, как указывает
сам автор, не решает одновременно вопроса о сходимости.
Поэтому во второй части работы он проводит рассуждения
в меиее общем плане, но зато непосредственно выражает
условия сходимости.
Указанные рассуждения Сонина основаны на рассмо-
трении функций двух переменных, которые являются
образующими по отношению к функциям Zn. Общие сооб-
ражения затем применяются автором к выражениям, даю-
щим разложение по цилиндрическим функциям, функ-
Цпям Лежандра и т. д., с полным выяснением условий
сходимости этих разложений. В частности, Сонин получил
(стр. 7Q—71) разложение четных функций по квадратам
392
В. В. ГУССОВ
цилиндрических функций первого рода, возможность
которого предугадывал Ломмель г).
Проведенное Сониным в рассматриваемой работе иссле-
дование общего типа разложения для - Ватсон * 2) счита-
ет чрезвычайно интересным и плодотворным и в своем
трактате по теории бесселевых функций почти буквально
излагает ход мыслей Сонина, используя даже введенные
последним символы Ф и ♦ и формулируя его общую тео-
рему. Мы, к сожалению, не имеем возможности подробнее
остановиться на всех результатах, содержащихся в выше-
указанной диссертации Сонина и приводящих к много-
численным разложениям, получаемым единым методом.
Отмстим только результат, относящийся к двум видам
разложения , связанным с цилиндрическими функ-
циями. Одно из этих разложений в частном случае было
дано Гейне в 1861 г. Сонин получил обгций результат.
В конце работы он дал другой вид разложения той же
дроби. Эти результаты Сонина были переоткрыты Геген-
бауэром в 1876 г.3), который получил их, не зная, неви-
димому, о работе русского ученого.
В 1880 г. появился уже упоминавшийся мемуар Сони-
на, относящийся к теории цилиндрических функций. Этот
мемуар был закончен в 1879 г. и является исключительно
важной вехой на пути развития теории цилиндрических
функций. Почти каждая строка его содержит ценные но-
вые результаты. К рассмотрению указанного мемуара мы
и перейдем. При этом формулы будут приведены в том
виде, как они даны у Сонина, за тем исключением, что
вместо принятого им для цилиндрической функции перво-
го рода обозначения Jn (х) мы всюду будем писать Jn (т).
Остановимся сначала па тех общих идеях, которые бы-
ли развиты автором в его мемуаре. Сонину присуща теи-
*) L о m m с 1, цпт. соч., стр. 50.
2) В а тс о и, ч. I, стр. 307.
3) Gegenbauer L., Oebcr die Bcssel’schen Funktioncn,
«Sitzungsbcrichte dor mathematisch-naturwisscnschaftlichen Klasse
dOr kaiserlichen Akademie der Wissenschaften zu Wien», 1877, 74,
раздел. 2, стр. 126.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 393
девдпя к замене исходных предпосылок исследуемой
теории более общими, содержащими тот минимум, кото-
рый необходим для извлечения из них основных положе-
ний теории, в результате чего открывается путь к широким
обобщениям. При этом замечательно, что получаемое
широкое обобщение достигается без усложнения соответ-
ствующей теории и ее формул, а иногда более общая
теория даже выигрывает в элегантности изложения и имеет
более простой аппарат формул. Подобная тенденция.
Сонина сказалась в ряде его работ, в частности в его ис-
следованиях по теории гамма-функции и по многочленам
Бернулли, особенно же в мемуаре 1880 г. о цилиндриче-
ских функциях.
Из обычных определении цилиндрических функций
выводятся две основные рекуррентные формулы
= (24)
J„-l (*)+ Л+1 (z) = —1(25)
которым удовлетворяют не только цилиндрические функ-
ции первого рода, но и цилиндрические функции второго
и третьего родов.
Эти формулы Сониным не выводятся, а даются как
определение цилиндрических функций. Сонин, таким обра-
зом, впервые принял рекуррентные формулы за исходный
пункт развития теории цилиндрических функций, создав
тем самым возможность построения общей теории этих
функций, охватывающей! одновременно цилиндрические
функции всех трех родов. Идея Сонина была впоследствии
использована Нильсоном и Ватсоном в их трактатах по
теории цилиндрических функций. Подобное изменение
исходного пункта теории нс только привело к общему
исследованию цилиндрических функций, по и к еще более
значительному обобщению, а именно к введению в пауку
и исследованию функций, удовлетворяющих одному рекур-
рентному соотношению вида (21).
2^^- = S„^(x)-S^i(x), (26)
394
В В. ГУССОВ
без учета соотношения (25). При этом дополнительно
предполагается только, что
^1=-^- (27)
Эти функции обозначаются Сониным через 5п(.г). Олп
введены в анализ и подробно исследованы Сониным и по-
этому с полным правом должны носить имя этого русского
ученого. Для отличия от общих цилиндрических функции,
которые также необходимо именовать функциями Соппна,
функции Sn(x) целесообразно называть полуцилиндриче-
скими функциями Сонина.
Исследования Сонина по теории полуцилиидрпчсскн.х
функций в дальнейшем подробно излагались различными
авторамиг).
В выборе для изучения именно формулы (24), а не (25)
особенно сказалось научное чутье Сонина, так как ре
куррептпая формула
<?п-1 (*) + <Рп + 1 (ж) = у ?п СП
определяет функции, по существу не более интересные,
чем полиномы Ломмеля.
Из соотношении (26) и (27) вытекает, что
5 = (-Д + /2Д+1)п+(-Д-/1 _ 5 f (28)
где D является символом производной функции 80, кото-
рая остается произвольной и должна удовлетворять только
соответствующим условиям дифференцируемости. При раз-
ложении функции / (а + х) по функциям Sn (х) коэффи-
циенты в этом разложении оказываются такими фупкцк
ями от а, которые удовлетворяют тем же соотношениям
(26) и (27), что и функции 8п(х), т. о. тоже являются
полуцплипдрическимп функциями Сонина.
В качестве конечного результата первой главы своей
исследования Сонин получает следующее разложение
х) См., например, Ватсон, ч I, стр. 38а и далее
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 395
функции so (a f х) в ряд:
5„ (а + я) = Л (а) S„ (х) + 2 2 (- l)n J„ (х) 5„ (х). (29)
71=1
В этой формуле J — обыкновенная цилиндрическая функ-
ция первого рода. Ввиду того, что Sn(x) является не-
определенной, мы получаем разложение указанного типа
для всякой функции /(z) = 50(а -р х), разложимой в ряд
Тэйлора.
Заменяя 50 на $р, мы получим разложение Сонина
•s» (»+*)= 2 (30)
псо
<
справедливое в случае, когда а 4-я лежит внутри наи-
большего круга с центром в точке х, не содержащего
никаких особенностей данных полуцплпидричсскпх функ-
ций Сонина. Это разложение остается верным и в том
случае, если 5, (.г) будет удовлетворять только условию
(26) без условия (27).
Формула Сонина (30) является общей теоремой сложе-
ния полуцплпндрических и общих цилиндрических функ-
ции1). Как весьма частые случаи эта формула заклю-
чает в себе формулы сложения цилиндрических функций
первого рода
2 т G) Jт (z)>
оо
цилиндрических функций второго рода
yv(z + «)= 2
со
*) Несколько частных случаев формулы сложения для цилин-
дрических функций первого рода, согласно которой ЛДз-J-t) может
быть выражено через цилиндрические функции первого рода от z
в^У“аза^еще в г‘ Хансен (цит. соч., стр. 107 и след.),
j г. К. Нейман (цит. соч., стр. 40) получил выражение для
стп Год спустя Ломмель (цит. соч., стр. 27) нашел соотвст-
ЛЮ&1? Ф°РМУЛУ для цилиндрических функций первого рода
ого целого положительного порядка.
396
в. в. гуссов
цилиндрических функции Сонина, разложения полиномов
Шлефли, Неймана и большое множество различных дру-
гих разложении.
В главе II своего мемуара Сонни обобщает, прежде
всего, определение функций Sn(x) на случай нецелого п.
С этой целью он получает интегральное представление
этих функций:
^Ф(/)-Д. (31)
Каковы бы ни были постоянные а и Ь и функция ф (/),
интеграл, стоящий в правой части этой формулы, если
только ои имеет смысл, удовлетворяет условию (26).
Чтобы он удовлетворял также и условию (27), необхо-
димо связать а, b и ф (Z) соотношением
ф(г)б/е2('“^ = О.
а
В последующем изложении Сонин ставит перед собой
задачу подобрать так произвольную функцию ф в выра-
жении (31), чтобы функции 8п удовлетворяли не только
условию вида (24), но и условию вида (25). В резуль-
тате он получает четыре частных решения уравнений:
5„+, (г) + 2 - S„_t (z) = О
nSn (*) = т I^n-I (зО + ^п-н (я)],
(32)
представленных им в виде определенных интегралов.
Любое решение системы (32) Сонин назвал цилиндри-
ческой функцией и подверг его детальному изучению.
Этим он значительно обобщил имевшуюся до него кон-
цепцию цилиндрических функций и внес существенный
элемент в построение классической теории этих функций.
Поэтому эти общие цилиндрические функции надлежит
именовать цилиндрическими функциями Сонина, или ко-
роче функциями Сонина. При помощи цилиндрических
развитие теории ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 397
функций первого и второго родов функции Сонина могут
быть выражены в виде
/п(.т) + о)2(?г)Уп(^),
где о>1 («) 0,2 (w)—произвольные периодические функции
от п с периодом, равным единице. Для построения теории,
которая могла бы представлять известный интерес, па
функции coj и о)2 необходимо наложить некоторые огра-
ничения, например считать их аналитическими. Частны-
ми видами функций Соппна являются цилиндрические
функции первого, второго и третьего родов.
Введенные Сониным общие цилиндрические функции
были затем включены в теорию цилиндрических функций
в качестве одной из основных составных частей. Особенно
рельефно это выполнено в цитированном выше трактате
Ватсона.
Помимо введения в пауку только что указанных общих
цилиндрических функций, глава II рассматриваемого
мемуара Сонина замечательна еще и в другом отношении.
В ней Сонни разработал совершенно новый общий метод
получения интегральных представлений цилиндрических
функций, который обладает большими преимуществами.
Прп этом не только результаты, по и форма изложения
Сонина оказалась настолько важной и интересной, что ее
придерживались другие авторы. Так, при изложении этого
метода Нильсен пишет: «мы следуем, с согласия Н. Я. Со-
нина, почти дословно его изложению»1). Ватсон в своем
трактате также излагает, по его собственным словам2),
вопрос о различных интегральных представлениях цилин-
дрических функций, следуя Сонину и Шлефлп. Кроме того,
указанные идеи Соппна были использованы М. II. Акимо-
вым при интегральном представлении цилиндрических
Функций многих переменных3).
Из общей формулы (31) Сонин получил целый ряд
интегральных представлений цилиндрических функций,
*) N i 1 s с и, стр. 116.
) В а т с о и, ч. I, стр. 195—196.
v . ) Akim off М.» Transcendantes de Fourier — Bessel a plusieurs
1916 Гл’ «Comptes rendus de Г Academic des sciences de Paris»,
°’ 163, стр. 26- 29, а также другие работы того же автора.
398
Ъ. В. ГУССОВ
которые являются новыми и зачастую далеко идущими
обобщениями ранее имевшихся результатов. Ему, в ча-
стности, принадлежит общее интегральное представление
цилиндрических функций первого рода1):
п (к—Ф) iff
Jn (г) =----------- -I \ e~Xi sin * cos 3 cos (x cos ф sin о -|- na) da —
1 о
(33)
6
Формула Comnia имеет то большое преимущество, что
при любом заданном х (кроме ж = 0) всегда можно так
распорядиться ty, что эта формула окажется применимой.
Полагая ф = тс и считая тем самым R (х) > 0, из фор-
мулы (33) получаем формулу Шлефли2)
ТС
1 с
Jn (а) = — \ cos (х sin © — пу) dy —
о
Я(Г)>О,
о
являвшуюся первым общим интегральным представлением
функции Jn(x) (при указанном, однако, ограничении
/?(гг)>0). Если п будет целым числом, то из формулы
Шлефли, а следовательно, в окончательном итоге из фор-
мулы Сонина получается интегральное представление
Бесселя (3).
Чтобы из формулы Сонина вывести интегральное пред-
ставление цилиндрической функции первого рода при
Я (х) < 0, можно взять ф = О, а для чисто мнимого зна-
чения х принять ф==-^-, у. Полагая ф = у, из формулы
г) Сонин, Мемуар 1880 г., стр. 14.
2)Schlafli L , Sulle rclazioni tra diversi integral! defini-
tiche giovano ad esprimere la soluzionc general? della equazioiie
di Riccati, «Annali di matematica pura ed apphcata», 18(57—1808, 1»
стр. 237.
развитие теории цилиндрических функций
399
Сонина находим формулу
Jn (а) = eix cos ? cos (nep) dy —
о
СО
- \ e~ix ch 0 е-’,°(lQ’ R w > °’
о
которая при п целом переходит в формулу Хансена1).
В последующем замечательная формула Сонина (33)
была обобщена М. II. Акимовым на случай цилиндрических
функций многих переменных2), о чем подробнее будет
сказано ниже.
Отметим еще одно новое интегральное представление
цилиндрических функций, полученное Сониным3):
г = Д (,t'ri)—2а (Н п)
Jnk ’ 2п } С (A-f-ri)»' 1 ’
—оо
а > О, П (п) > 0. (34)
Эту формулу Сонин считает, как оп об этом пишет
в другой статье4), наиболее удобной для изучения функ-
ции Jn(x). Многочисленные применения ее мы находим
в рассматриваемом сейчас мемуарс.
Оканчивая изложение главы II работы Сопнпа, ука-
жем еще на два его результата. В качестве первого
приведем принадлежащее ему разложение5):
ft=q
Jn^g(x) у П? и+2А- П (п + А —1) J .
Z HAlIfa—к) 24 Il (n-j-y + A) Jn+2h
*) Hansen Р. A., Memoire sur la determination des perturba-
tions absolues dans les ellipses d’une excentricitc et d’une inclinai-
son quelconques, Париж, 1845, стр. 105.
) Акимов M. II., О функциях Бесселя многих переменных
И ИХ3 пРпл°жеппях в механике, Л., 1929, стр. 103.
) Сонин, мемуар 1880 г., стр. 25.
. ) So nine N. J., Sur les fonctions cylindriques (Extrait
l«R?c«»lct'trc adressee a la redaction), «Mathematische Annalen»,
30, Стр. 583.
5) Co ц ц и, мемуар 1880 г., стр. 22.
400
В. В. ГУССОВ
Приведенная формула Сонина была затем обобщена Ват-
соном 4).
Вторым результатом является следующее тождество,
полученное им косвенным путем:
ес cos ? cos = (— 1 )n е~с cos * cos пу dtp =
По поводу этого тождества Сонин замечает2), что прямое
его доказательство кажется почти невозможным. Только
в 1897 г. такое доказательство дал Гублер3).
Глава III мемуара Соппна посвящена неопределен-
ным интегралам
о (х) Sy, (<ря) (фж) dx
и разысканию тех случаев, когда они могут быть пред-
ставлены в виде
(ух) 4- BS^+j (<pz)] Sy (фя)-{-
4" (?**-) (?ж)] *^v+i (ФЖ)’
Аналогичные задачи, но в более частном случае рассма-
тривал до Соппна Ломмель4). Этой задачей Сонин занялся
потому, что, как он пишет5), формулы Ломмеля не имеют
всей желаемой общности. В результате этого исследова-
ния Сонину удалось получить соответствующие общие
формулы.
*) Ватсон, ч I, стр. 153.
2) Сопин, мемуар 1880 г., стр. 19.
s) 6ubier Е., Beweis eincr Form el des Herrn Sonine,
«Mathcinatischc Annalen», 1897, 49, стр. 584.
4)Lommel E., Zur lheorie der Bessel’schen Funktionen,
«Mathematische Annalen», 1879, 14 стр. 510 — 536.
6) Сонин, мемуар 1880 г., стр 29.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦПЛНПДРИЧЕСКПХ ФУНКЦИИ АО 1
В главе IV ('опии изучает главным образом несоб-
ственные интегралы, содержащие под знаком интеграла
цилиндрические функции первого рода. Эти интегралы
представляют значительный интерес не только с чисто
математической точки зрения, но также и потому, что
они исключительно важны для многих областей матема-
тической физики. При вычислении несобственных инте-
гралов Сонин систематически пользуется методом замены
цилиндрической функции каким-нибудь интегральным се
представ.чей нем (в основном формулой (34)) н преобразо-
ванием получающихся двойных интегралов. В резуль-
тате Сонин находит большое количество формул, многие
из которых являются новыми и чрезвычайно общими.
Для других же ранее известных формул он устанавлн
ваот важные, неизвестные прежде взаимосвязи. Благо-
даря этим исследованиям Сонина цилиндрические функ-
ции приобрели в теории определенных интегралов тоже
право гражданства, что имели раньше логарифмические
и тригонометрические функции и гамма-функция.
В основе указанных исследований Сонина лежал его
интерес к определенным интегралам, в которых он ви-
дел сильное математическое орудие и которые играли
выдающуюся роль во многих его работах.
Из новых формул Сонина, полученных им в главе IV,
укажем прежде всего следующую1):
Г Jm (bx) 1 dr =
J (|/х- + л-)
ап z ) Jn—m— 1 (- V а~ — 6“),
.0, а < Ъ,
а > Ь, (35)
(п>т> — 1, а > 0, 6>U).
Все значение этой формулы было ясно уже самому
Сонину, который называет ее «очень важной» -). Им
были даны многочисленные применения этой формулы,
*) Со в и я, мемуар 1 <S80 г., стр. 38.
2) Там же, стр. 1.
26
Исторпно-матем. исследовании
402
В. В. ГУССОВ
в частности с ее помощью получено обобщение известной
формулы Абеля1).
Разрывный несобственный интеграл (35) является
прерывным множителем в смысле Дирихле, так как при
а > b он отличен от нуля, а при а < b он равен нулю.
При этом интеграл (Зэ) представляет собой далеко иду-
щее обобщение прерывных множителей Дирихле, Вебера
и Шафхейтлпна, которые получаются из него как част-
ные случаи. Результат Сонина (35) послужил основой
для дальнейших исследовании Нильсена2).
Укажем еще несколько результатов, принадлежащих
Сонину п полученных им в IV главе:
а) *MGC) =
2mi-icm
Г sin ay dy
\ Г»
с (»2-«2) 2
Эта формула 3) представляет обобщение формулы Мелера 4)
и переходит в нее при т = 0. Это пример одного из тех
изящных определенных интегралов, которые были даны
Сониным для выражения цилиндрических функций.
а
б) Jm+nu (ад) = 2;|Д $ Лп(^) zm+1 (“2 - х2)п dx-
а 0
, (30)
Формула (36) выражает5 б) любую цилиндрическую
функцию первого рода через интеграл, содержащий
цилиндрическую функцию с меньшим индексом. Эта фор-
мула Сонина была псреоткрыта и исследована Руперсом
г) Сонни, мемуар 1880 г., стр. 47—48.
2) hi el sen, сгр. 254—256.
3) Сонин, мемуар 1880 г., стр. 39.
4) Mohler F. G., hotiz fiber die Dirichlet’schen Integra**
ausdriicke fiir die Kugclfunktionen in (cost)) und fiber eine analog0
liitegrallorm iiir die Zylindcrlunktion J (x), «Malhcmatische An*
nalcn», 1872, 5, стр. 144.
б) Соннн, мемуар 1880 г., стр. 36.
развитие -ТЕОРИИ Цилиндрических функций 405
в 1905 г. и Шафхейтлипым в 1908 г. »). По еще в 1904 г
Сонин изучил се глубже, рассмотрев функциональное
уравнение, получающееся из (36) путем замены цилин-
дрических функции функциями F™ ц Подробнее
об этом мы скажем далее. Поэтому Ватсон 2) совершенно
прав, называя формулу г
2
~v+l
24’(v + l)
Jpu + v + i (Z)
J|x (zsin 6)sin>x + 1 Ocos2’'+1 0^0,
которая лишь но форме отлична от (36), первым опре-
деленным интегралом Сонина. Вторым определенным
интегралом Сонина он называет3) формулу, соответ-
ствующую интегралу
те
2
(aQ cos ?) Л» (az sin ср) cosm+1 ср sin71*1 <p d? —
о
'lm~n Лп.п-,(а
a (i ^+=V‘T,lrl ’
полученному Сониным на стр. 36 его мемуара 1880 г.
Из этой формулы легко получается целый ряд других
интегральных формул, в частности формула Гегенбауэра.
СО o2+q3
в) \jm№)Jm(ax)e~hx-xdx=~e ,Jl ,
л
m>—1.
С помощью этого выражения Сонин получил два разло-
жения функций в ряды по полиномам. При т целом
оно было известно Ханкслю4), ио в общем виде впервые
Дано Сониным.
*) Ватсон, ч. 1, стр. 406.
*) Там же.
4) H^nTel ^H., ^estininitc Integrateinit Zylindcrfunklionen,
tuematische Annalcn», 1875, 8, cap. 470.
26*
404
В. В. ГУССОВ
г) Сонину1) принадлежит важная формула для вели
чины интеграла
СО ____
J„-m-t (с J а2 — 62) - 1 e~hu da,
ь
которая впоследствии была обобщена Нильсеном2).
д) Формула
со ГТ
\ J„ (аз) х" <1х = • — —г-,
) пх ' a'l + l ттп — q—l’
о 11 й—
7 < 4 ’ л + 7 + 1 > 0,
была получена Вебером3) для целых значений п. Сонин4)
распространил этот результат на любые значения п.
с) Сонни исследовал и упростил доказательства
одной формулы Гегенбауера 5 6), вследствие чего Ватсон
присвоил соответствующему очень важному интегралу
название интеграла Сонина —Гегснбауэра.
Среди других новых результатов, принадлежащих
Сонину, отметим еще интересный несобственный инте-
грал, содержащий под знаком интеграла три цилиндри-
ческие функции °):
СО
и
т- 1
[(а.+ 64-с) (a-j-6 — с)(6 + с — а)(с-^а — 6)) 2 1
— _ __ — —-- , щ > •
|/т:23,п-1 Ц ( m — — ) ambmcm
J) С о н и п, мемуар 1880 г., стр. 55.
2) Nielsen, стр. ЗУ.
3) Weber II., Ccber einige bestinunte Integrale, «Journal
fiir die reine und angcwaiidle Malheinatik», 1869, 69, стр. -30-
*) Сони u, мемуар 1880 г , стр. ЗУ.
5) Там же, стр. :>7.
6) 'Гам же, стр. 46.
РД43ВНТЫЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ /,оз
gTo равенство имеет место при условии, что можно обра-
зовать треугольник со сторонами а, b и с. В противном
случае интеграл равен нулю.
Сонин получил так много новых важных интеграль-
ных формул для цилиндрических функции, что пере-
числить их здесь мы не имеем возможности и вынуждены
ограничиться указанием только некоторых нз них. В за-
ключение еще упомянем, что ему также принадлежат
интегральные представления произведений цилиндриче-
ских функции х).
В конце IV главы Сонин приводит чрезвычайно изящ-
ное интегральное представление цилиндрической функции
второго рода2)
оо
УД*)=-2 Ц(г)^£+*> </;,: =
о
= _2(2^ + 2(sin(A-<-os¥)(7?.
о о
К этому представлению Сонин пришел3) путем рассмо-
трения символического выражения цилиндрических
-функций второго рода, получившегося из символического
решения уравнения (1).
Формулы, полученные Сониным, являются чрезвычайно
важными в теории цилиндрических функций. Они посто-
янно используются как при развитии теории этих функ-
ции, так и в приложениях.
Перейдем теперь к краткому рассмотрению дву х
последних глав знаменитого мемуара 1880 г.
Глава V посвящена изучению символической формы
решения уравнения (1), данной Харгровом. На этом при-
мере Сонин хотел показать, как он пишет4), какую
пользу часто может иметь решение в символическом
I_____________
г? р0И ,1Н» мемуар 1880 г., стр. 51 и др
собой а матРПвавшаяся Сониным функция Уо (А) представляет
и Удвоенную функцию Неймана.
*) мсмУаР IkbO г., стр. 2.
406
В. В. ГУССОВ
виде, даже если оно не имеет прямой интерпретации.
В этой главе Сонин получает из символического решения
уравнения (1), данного Харгровом в виде
,1/Л rw”—у С sin .т 4-Ct cos я 1
?/ = 2’1 (1н Z)2) 2 --
ряд интегральных представлений цилиндрических фупк-
<. sin х 1
ции. Его метод заключается в выражении ------- пли -L
х х
П-1
через определенный интеграл и в разложении (1 4- Z)2) 2.
Оригинальность применения символического метода Сони-
ным состоит в том, что он в некоторых своих изыска-
ниях пользуется введенным им новым символом
D = i cos А,
в результате чего формула (28) приобретает такой лако-
нический символический вид:
Sn = (— l)n cos nAS0.
Глава VI мемуара Сонина посвящена новому методу
получения разложения функции в ряды. Этот метод за-
ключается в значительном естественном обобщении иссле-
дований главы I. При этом п, как и в первой главе,
предполагается числом целым, но вместо рекуррентных
формул (26) и (27) берутся более общие:
где D — символ дифференцирования. В рассматриваемой
главе автор показывает, как из любого разложения еах
по каким-либо многочленам (а) можно получить ана-
логичное разложение любой функции So (а ф- х) по тем же
многочленам, причем Sn(x) будут коэффициентами этого
разложения. Свой метод Сонин прилагает к различным
частным случаям, полагая, например, 5а(а:) = —, ^(^^
= —-— и т. д. Этим последним указанием закончи!
характеристику мемуара Сонина 1880 г.
Р ЧЗВПТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ /,07
Заслуги Сонина по теории специальных функции всегда
признавались и высоко ценились в России и за рубежом,
результаты, полученные этим русским ученым, кла-
лись в основу многих дальнейших исследований и изла-
гались в фундаментальных трактатах по теории спе-
циальных функций. За многими формулами укрепилось
имя Сонина.
Результаты Соппна неоднократно перестирывались
иностранными учеными. 13 качестве примера укажем па
немецкого ученого Шафхептлпиа. Лучше всего можно со-
ставить себе представление о данном случае по письму
Сонина1), которое он 24/Х 1887 г. направил редакции
журнала «Mathematische Annalen» и выдержки нз кото-
рого мы сейчас приведем. «В начало недавно появившейся
новой тетради Math. An. XXX, 3 находится статья
г. Шафхейтлипа, — пишет Сонни и далее продолжает. —
Как кажется, автор не познакомился с прежними работами
по рассматриваемому им вопросу: по кранной мерс, среди
цитат по теории цилиндрических функций в ого статье
упоминаются только два мемуара Вебера, по ист, напри-
мер, упоминания о мемуарс Хайкел я..., а также о моих
Recherches sur les fonctions cylindriqucs... В этом послед-
нем мемуаре автор смог бы сыскать две свои общие фор-
мулы (51) и (52) объединенными в одной, а также много
других частных формул своей статьи».
В качестве пояснения заметим, что речь здесь идет
о формуле, помещенной на стр. 51 — 52 мемуара Соппна
1880 г. и дающей выражение интеграла
оо
Jn (ах) Jp (ст) xh dx
о
через пшергеометрпческнй ряд. Этот интеграл для част-
ных случаев
Л = п = 0, р = 1; = у, п = 0, р = ± у
j .. So nine N., Sur les fonctiuns cу line! i iques. (Extrait d’une
сТрГ%^Ге583е a I** r^^act,’on^ «Mathematische \.nnalcn>>, 1887, 30,
<08
В. В ГУССОВ
ранее был уже псе.ледовая Вебером1). Вычисление ;ке
этого интеграла при всех значениях к, п, р, для которых
он сходятся, впервые выполнил Сонин.
На письмо Сонина в адрес редакции того же журнала
последовал ответ Ш фхейтлипа2). В нем последний при
знает, что при просмотре прежних работ по данной теме
оп не познакомился е мемуаром Сонина и поэтому выра
/кает сожаление, что, приводя формулы (51) и (52), не
указал на автора, «так как эти формулы в действитель-
ности были по (/хурме установлены г. Сониным, хоти
по содержанию они и не совпадают с моими формулами»
(подчеркнуто Шафхейтлнпы.м. — В. Г.). Однако заявление
Шафхептлипа, что формула Сонина только ио форме сов-
падает с его формулами, неверно, так как опа совпадает
с ними и по содержанию. Единственно, что можно в связи
с этим сказать, это то, что исследование Сонина не было
достаточно детальным и что он не отметил, как это сдела г
Шафхейтлии, нарушения непрерывности рассматриваемого
интеграла при а = с.
Последняя работа Сонина по теории ци шндрическпх
функций, па которой мы остановимся, — это его письмо
Нильсену, опублпкованное в 1904 г. 3).
Как мы уже неоднократно говорили, це шй ряд резуль-
татов Сонина послужил исходным пунктом для исследо-
вания других авторов, средн которых мы, в частности,
указывали выше Нильсона, который обобщил некоторые
формулы Сонина. К письме к Нильсену Сопки в свою
очередь показывает, как может быть обобщен ряд ре-
зультатов этого ученого. Письмо, на котором мы остано-
вимся сенчас подробнее, содержит и много других важ-
ных результатов, относящихся к теории цилиндрических
функций.
*) Weber II.. Ueber die Bessel’schen Funktionen und ilire
Anwendung auf die Theorie der elektrische Strome, «Journal fiir
die reine und angewandle Mathcmalik», 1873, 75, стр. 75 — 80.
Schafheitlin P., Ueber cine Integraldarstellung der
hypcrgeoinelrischen Reihe, «Matheinatische Annalen», 1888, 31,
стр. 156.
3) So nine N’., Sur les functions cylindriques (Extrait d'unc
lettre adressee a in. Meis Nielsen), «Mathematische Annalen», ГЛД
59, стр. 529 — 552.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 409
Еще в мемуаре 1880 г. Сонин установил формулу (36),
которая нашла впоследствии ряд применений (Нильсен,
например» использовал ее1) для суммирования ряда
оо
«n^v+n+i (т)). В рассматриваемом сейчас письме Сонин
71=0 „
ставит следующий оощип вопрос: что можно сказать
о функции Fm (т) двух переменных .г и т, если известно,
что опа удовлетворяет уравнению, аналогичному (36),
т. е. уравнению
у(’7п + »'+ •
2“ И (//.) а111'11*1
(«'/) =
\ (,ry)"‘H (a--x~)"dx.
и
Постановка указанного вопроса связана со следующими
обстоятельствами. В анализе имеется ряд выражении,
в которых фигурируют целые индексы. Можно ли при
давать (а если можно, то какой) смысл этим соотношениям
при любых значениях индексов. Этот вопрос пе раз ставил
перед собой Сонин. Так, например, он рассматривает его
в работе «О дифференцировании с произвольным указа-
телем» 2). С подобным же подходом мы встречаемся и здесь.
Решение поставленного вопроса приводит Сонина
к важным результатам. В качестве простейшего решения
уравнения (37) он находит:

где а (к) — постоянная, пе зависящая от х и т. Другие
решения получаются суммированием пли интегрированием
по к. Путем специализации выражения для о (А) Сонин
приходит, в частности, к такому решению уравнения (37):
со (_W±YS
Fm(x) = (±Yn+2z V ___________k2J_______ m + j + i > о
<2 J Z ii(p + s)ii(w + /+6)’
s—0
L_____ (38)
’) Nielsen, § 102.
7 «Математический сборник», 1872, G, стр. 1 — 38.
41Л
В. В. ГУССОВ
При 1 = 0, р = 0 эта функция превращается в обычную
цилиндрическую функцию При р = ±-, Z = -^ по-
лучается функция, обозначенная Нильсеном через Z'n (у)
и рассмотренная им в его трактате1). Поэтому формула 2)
Нильсена (6) является но чем иным, как частным случаем
общей формулы (37), которая приложима к этой функции.
Наконец, при р - 1 = , m = v функция (38) только
множителем cos £ (р — v) отличается от функции П (.?),
играющей очень большую роль в том же трактате Ниль-
сена и названной этим последним функцией Ломмсля.
В основу дальнейшей части исследования Сонин по-
ложил следующую свою замечательную формулу3):
лт+п+1 „п V ?2 + z3)
(/g2+z2),n+71+1
= \ a2 — x2) (Уа2-х ) dx, (39)
m> — 1, n > — 1,
с помощью которой цилиндрическая функция может быть
представлена в виде интеграла, содержащего в свою
очередь цилиндрические функции с другими аргументами
и индексами (заметим, между прочим, что, деля обе части
этой формулы на z и полагая z~>0, получаем фор-
мулу (36)).
В рассматриваемом письмо к Нильсену Сопин показал,
что формула (39) почти полностью определяет аналитиче-
скую функцию J а(х), а именно имеет место следующая
теорема: наиболее общая аналитическая функция, удовле-
х) Nielsen, стр. 54 и далее.
2) Там же, стр. 95.
3) Сонин, мемуар 1880 г., стр. 36,
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 4Ц
творяющая уравнению (39), имеет вид
где р п А — произвольные постоянные. Поэтому формула
(§9) является характеристической для цилиндрических
функций первого рода п из пес можно получить все сущест-
венные свойства этих функции, как это подробно показы-
вает Сонин на примере вычисления асимптотического зна-
чения J 1 (z).
т~ 2
Заканчивая на этом разбор сочинений Сонина, мы
должны в заключение отметить следующие его основные
заслуги в развитии теории цилиндрических функций. Ему
принадлежит:
1) Введение общих цилиндрических функций и созда-
ние их теории, основанной па рекуррентных соотноше-
ниях (32).
2) Введение полуцплпидрических функций и разработка
их теории.
3) Создание нового, общего метода получения инте-
гральных представлений цилиндрических функций и вывод
с его помощью многих важных случаев интегральною
представления отдельных видов этих функций.
4) Установление общей теоремы сложения.
5) Вычисление многочисленных важнейших определен-
ных интегралов, содержащих цилиндрические функции.
Основное произведение Сонина по теории цилиндриче-
ских функций—«Исследования о цилиндрических функ-
циях» — стало классическим. Результаты этого мемуара
излагались и излагаются в основных трактатах по теории
Цилиндрических функций и служат основой многочислен-
ных исследований других авторов (М. II. Акимова,
А. И. Попова, И. С. Кошлякова, Нильсена, Ватсона
И др.). За многими формулами, полученными в этом
мемуаре, прочно установилось имя Сонина. Благодаря
исследованиям этого выдающегося представителя русской
математики XIX в. в развитии теории цилиндрических
Функций наступил третий период, продолжающийся и по
Настоящее время.
412
В. В. ГУССОВ
V. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО В РОССИИ И СССР
1. Функции Г. О. Струве
После создания II. Я. Сониным общей теории цилиндри-
ческих функции разработка теории отдельных их видов
но прекратилась, а, напротив, предо икала усиленно
развиваться. В эту теорию были введены новые виды
функций, не являющиеся в собственном с мысле цилиндра
вескими, по тесно с ними связанные и играющие известную
роль в данной теории. Одним из наиболее важных видов
таких функции бы ш функции Струве.
Функции Струве //n(z) связаны с цилиндрическими
функциями первого рода и определяются формулой
1
ври условии Н (я) >---у . Ря I
со
я,.(г)= 2
?п - О
определяет функцию Д-,я всех коми юкспых зпаче-
' - ( 1 А”
вин п, и если отпросить множитель ( — з , то оставшее-
ся выражение будет целой функцией от z.
Функции Hn(z') носят название функции Струве, так
как они были введены в науку астрономом Пулковской
обсерватории Г. О. Струве в 1882 г. в VIII главе его
докторской диссертации «О в тяпни дпффракцип телеско-
пов на цветные ореолы» *). К функциям, носящим его имя.
Струве пришел, изучая вопросы распределения света
*) Struve И,, Uebcr den EinfluB der Diffraction an Eernroh
ren auf Lichtscheiben, St.-Pctersbourg, 1882 (Mcmoires de 1 Acade-
mic des sciences de gt.-Pelersbourg, 30, № 8).
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 413
в астрономических инструментах. ')тп исследования заклю-
чались в следующем.
Чтобы определить распределение света в освещенных
точках в случае по.ту крутого отверстия, необходимо
согласно законам оптики вычислить интегралы
(*•'’ + dx dy,
s=\\ ^'r + dx d{h
и тогда интенсивность какой-либо освещенной точки фо-
кальной плоскости может быть найдена по формуле1)
J = C24 У2.
Путем некоторых преобразований автор приводит указан-
ные выше интегралы к виду
К
2 2
С = 2 ~ z dz cos (z cos w) dw,
b и
z T-,tl
5 = 2-^-^zc/z sin (z cos c?) dw,
b о
где Я —радиус полукруга.
Ниже дается перевод того места диссертации Струве,
где ои вводит свои функции:
«Как видно, С опять можно выразить через бесселевы
функции первого рода. По здесь трудность лежит в опре-
делении более сложного интеграла 5... Мы ограничимся
исследованием распределения света в двух главных на-
правлениях, параллельно и парненоикул.чрно линии раз-
реза (У-оси).
Первый случай тотчас исчерпывается замечанием, что
Для него 0^=-^-, S :-U и, следовательно, J ...
4 Ст ру в с, цпт. соч., стр. !)7.
414
Й. Й. ГУССОЙ
Распределение света в другом главном направлении
обнаруживает иное поведение. А именно для направле-
ния, перпендикулярного к линии резреза:
К
z 2
7?2 С С
u/j = О, S = 2 I z dz \ sin (z cos w) dw.
о b
Поэтому, если мы введем следующие определения,
аналогичные определениям бесселевых функции нулево-
го и первого порядков:
ъ
2 z
Но (z) = - sin (z cos w) dw, zHL (z) = \ zH0 (z) dz,
b b
то будем иметь:
C = r.R^
и потому
Задача, таким образом, сведена к исследованию инте-
гральной функции Ях(г), которым мы кратко и зай-
мемся» г).
Так был введен в науку новый важный вид функ-
ций. В дальнейшем изложении Струве приводит диф-
ференциальное уравнение для функции Hv(z) и следую-
щее интегральное представление для HL(z):
7L
“2
Я\ (z) = ~ ( 1 — cos (z cos w) cos w dw
0
l) Струве, цит. соч., стр. 99—100.
Развитие теории'цилиндрийеских функций 415
из которого он получает для этой функции всюду схо-
дящийся степенной ряд.
Как мы видим, Струве ввел и изучил функции
с индексами пуль и единица. Эти функции привлекли
внимание многих ученых и за ними (также и в случае
любых индексов) укрепилось название функций Струве1).
Свойства общих функций Струве были несколько позже
изучены Симоном2) п Уокером3).
В рассматриваемой нами диссертации Струве было
указано также асимптотическое разложение функции
которое раскрывает природу этой функции для
больших значений модуля аргумента. Уже выражение
-г z \ 2 -\Г 2 / л \
= — — у — cos ( z—y-j, найденное из данного
разложения, дало Струве возможность получить при-
ближенное представление о распределении света в обоих
главных направлениях. Асимптотическое разложение
для Н0(г) было впоследствии дало Ролеем4). В общем
случае разложение для Hp(z) было дано Уокером5).
Струве отметил и некоторые другие свойства функ-
ции H^z), например, свойство ее оставаться всегда по-
ложительной при вещественных значениях z. Обобще-
ние этого свойства на более широкий класс значений
индекса р дано Ватсоном6).
В той же работе7) при определении полной интен-
сивности освещения точки Струве встретился с необхо-
димостью вычисления интеграла
о
х) См,, например, Ватсон, ч. 1.
2) Siem on Р., «Jahibuch uber die Fortschrittc der Mathe-
matik», 1890, 22, стр. 340—342.
8) Wa 1 k e r J., The analytical theory of light, Кембридж, 1904.
4) Rayleigh J. W. S , On point-, line-, and plane-sources of
sound, «Proceedings of the London mathematical society», 1888,
стр. 504.
b) Walker, цит. соч., 394—395.
’) Ватсон, ч. I, стр. 367.
7) Струве, цит. соч., стр. 104.
416
в. в, гхссов
Поэтому в последующем интегралы более общего вида
j
о
получили имя интегралов Струве. Они были исследова-
ны Ватсоном1). Имя Струве носят и несобственные ин-
тегралы
с VOAW rf
о
содержащие произведения цилиндрических функции2).
При p = v=l они были вычислены Струве, который
встретился с ними при исследовании распределения
света на световых линиях 3).
Введенные им функции Струве использовал также
в другом мамуаро «К теории шипи Га и.бота» 4), где
щно решение одной спектроскоппческои проблемы (тео-
рия липни Тальбота для круглого отверстия).
В заключение отметим, что с помощью функций Струге
строятся так называемые обобщенные ряды Шлёмильха:
_L
(J-y
Эти ряды рассматривались в нескольких мемуарах Ниль-
сена5). Другим методом их исследовал Ватсон6).
Из вышспз южепного видно, что функции Струве
вызвали к себе значительный интерес, прочно вошли в
’) Вате и в, ч. I, стр. 435.
2) Там же, стр. 434.
8) ('.тру в с, цит. соч., стр 91 — 92.
4) Struve Н, Zur Thcoric der Talbot’schcn Linicn, St
Pt tersbourg, 1883 (Mdmoires de Г Academic des sciences de St
Pt’tersbourg, 31, № 1, стр. 1 —13).
5) Nielsen N., Sur 1c divcloppcment du zero on series de
fonclions cylindriques, «Mathematischc Annalen», 1899, 52, < rp.
582—587; Sur une classe de st l ies infinics analogues a cellos
Schloniilch s?lon dos functions cylindriques, «Annali di matenu i
ca pura ed applicala», 1901, 6, стр. 301 — 329.
6) Ватсон, ч. I, стр. 682
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 417
науку и явились источником многочисленных исследова-
ний Симона, Уокера, Релся, Нильсена, Ватсона и др.
функции Струве //0(.г) и 7/1(.г) были табулированы
Ватсоном1). Сам Струве2) табулировал функцию, опреде-
ляемую интегралом
СО
~ з t-
X
с четырьмя знаками от ,т = 0 до »,0 (с интервалом 0,1),
От х = 4,0 до 7,0 (с интервалом 0,2) н от х = 7,0 до
11,0 (с интервалом 0,4).
2. Асимптотические разложения цилиндрических
функций
Первые шаги в вопросе вычисления значении цилин-
дрических функций при больших значениях индекса и
модуля аргумента относятся к началу XIX в. Они были
связаны с решением конкретных за шч астрономии и ма-
тематической физики. Асимптотические форму n>t для ци-
линдрических функций с большим индексом впервые были
получены Карлики (1817) при вычислении приближен-
ных значений выражении, определяющих положение пла-
неты на со орбите. Лаплас (1827) продолжил эти ис-
следования.
* Асимптотическую формулу для цилиндрической функ-
ции Jo (х) при больших значениях аргумента получил
чисто формальным путем в 1823 г. Пуассон, рассматривая
вопрос о несимметричном движении теп ia в сплошном
цилиндре. 13 1813 г. Хашей, занимаясь теорией возму-
щении, получил формальное асимптотическое разложение
Для (.г), аналогичное указанному выше разложению
Пуассона для /0 (./). В 1819 г. Плана опубликовал метод
преобразования интеграла Парсеваля, с помощью кото-'
Рого оказалось возможным более полно обосновать раз-
1 Ватсон, ч. II, стр. 18 -49.
гбЬ ) Struve 11., licit rag ziir '1 lieoiie der hiliraclion an Fern-
Геп’ «Annalen dor 1’hysik and ('.lieinie», 1882, 17, стр. 1008—1016.
Всторико-матсм. исследовании
418
В. В. ГУССОВ
ложение для Jo (х). В этом же году была опубликована
более общая формула для Jn (х), принадлежащая Якоби.
В 1859 г. появилась работа Липшица, давшего первое
строгое исследование асимптотического разложения для
Jo (х) с помощью теории контурного интегрирования. Лип-
шиц также указал, что его результаты могут быть при-
менены к Jn (х).
Изучение остатка ряда в асимптотических разложениях
для различных цилиндрических функций провел в 1866 г.
Стильтьес. Общий характер асимптотической формулы
для Уп (х) был указан Ломмелем в 1868 г. Общие формулы
для J\(z) и yv (z), где v имеет любое заданное (комплексное)
значение, а модуль комплексного числа z достаточно ве-
лик, были опубликованы Ханкелем в 1869 г.1).
В 1902—1903 гг. И. Р. Брайцев опубликовал исследова-
ние «О функциях Фурье—Бесселя и их приложении к изы-
сканию асимптотических представлений интегралов диф-
ференциальных уравнении с рациональными коэффициен-
тами»2 *). Это исследование Брайцева представляет собой
большой интерес как разработка методов получения
асимптотических разложений цилиндрических функций
при больших значениях модуля аргумента с точки зрения
теории асимптотических решений дифференциальных урав-
нений. Насколько нам известно, этот метод был применен
в теории цилиндрических функций Браицевым впервые.
Изучая при помощи определенных интегралов иррегу-
лярные интегралы дифференциальных линейных уравне-
нии с рациональными коэффициентами в окрестности их
точек неопределенности, Брайцев пришел к рассмотрению
функций класса Фукса, удовлетворяющих системе урав-
нении
д2у । /л 1 \ ду ду х ду
ж~-ф-(14- v) -f- = zy, =
дх2 ' ' 7 дх и dz z дх
В главе 1 указанного выше мемуара Брайцев устанав-
ливает два линейно независимых интеграла этой системы,
*) Дальнейшие сведения см. Ватсон, ч. I, стр. 15—и
217—219.
2) «Известия Варшавского политехнического института*, В" ’
вып. 1—2; 1903, вып. 1, или отдельное издание—Варшава, Юи
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 419
которые он обозначает через oj(v; xz) н <о1 (>; xz) и назы-
вает функциями Фурье—Бесселя. Эти последние, однако,
не представляют собой функции Jn (х) пли иных обычных
видов цилиндрических функций, но являются некоторыми
особыми их линейными комбинациями. Функции w (ч; xz)
0*; az) Брайцев определяет двояким образом: при
помощи бесконечных рядов, сходящихся во всей конечной
плоскости переменного xz, и при помощи определенных
интегралов. Из нескольких формул этого вида, получен-
ных Браицевым, укажем только следующие интеграль-
ные представления функций <о и «>1:
со (\; xz) =
1 Ф * _JL __L
==A(lfxz) v 2e-2yXz т —“ d~,
— 3- -}- e < arg (xz) < 3~ — e.
где
В = 4'
a e—сколь угодно малое положительное число.
Приведенные интегральные представления позволяют
исследовать характер функций <о и в окрестности бес-
конечно удаленной точки и, в частности, получить их
асимптотическое представление. Данному вопросу пос-
®яЩен § 5 рассматриваемой работы, в котором указаны
т рмулы, асимптотически представляющие функции «
Для больших значений | xz | и годные для тех же
27*
420
В. В. гъссов
значений arg (zz), что и приведенные выше интегральные
представления функций ш и wr
Эти результаты изложены Крайневым в главе I. В даль-
нейших главах его мемуара результаты исследовании гла-
вы 1 применяются к получению асимптотических пред-
ставлении и исследованию интегралов некоторых видов
дифференциальных уравнений.
К проблеме определения асимптотических разложений
цилиндрических функций относится также статья А. А. Ада-
мова «Об асимптотических выражениях цилиндрических
функций J.?(z) и их производных Jy(z) при больших зна-
чениях модуля z»1). В этой статье автором уточнены асим-
птотические выражения функции J (z) и J.'(z), данные
Дини в его работе «Ряды Фурье и другие аналитические
представления функций одного действительного перемен-
ного»2) и исправлены результаты этого автора для асимпто-
тических выражений функций (az) и J'v(az). Это по-
следнее обстоятельство имело значение в вопросе о раз-
ложении функций в ряды, расположенные по цилиндри-
ческим функциям 3).
К Toil же проблеме получения асимптотических выра-
жений различных функций относится фундаментальное
исследование В. А. Стеклова «Об асимптотических выра-
жениях некоторых функций, определяемых линейными
дифференциальными уравнениями второго порядка и их
приложениях к вопросу о разложении произвольной
функции в ряды, расположенные по этим функциям»4 * * * * *)
в котором он показал, как найти пе только главные,
но и последующие члены асимптотических выражений
и оценить соответствующие погрешности (этот метод иолу-
х) «Известия С.-Петербургского политехнического института.
Отдел техники, математики и механики», 1906, 6, стр. 239—265.
2) Dini (J., Serie di Fourier е altre rappresentazioni analytic^10
delle funzioui di una variabile reale, Пиза, 1880.
3) А д а м о в, цит. соч., стр. 264—265.
4) Stekloff \V., Sur les expressions asymptotiques des cer-
taines fonctions, definies par les equations diffcrentielles lineal re
du second ordre et lours applications au probleine du developpeinen
d’une fonction arbitraire en series precedent suivant les-ditvs foil*
tions, «Сообщения Харьковского математического общества1.
1907, 10, № 3—6, стр. 97—199.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
421
чип в литературе название метода Лиувпдля—Стек-
лова).
Знание асимптотических выражении функций необхо-
димо во многих вопросах анализа и его приложений. Но
до Стеклова существовал лишь ря i частных методов для
получения подобных разложении (Лаплас, Бонна, Дини,
Адамов и др.) В указанной работе Стеклову удалось дать
общий и простой метод получения асимптотических выра-
жении для всех последовательностей функций (.г), кото-
рые удовлетворяют линейному дифференциальному урав-
нению
pilu 4- (JUn + 'tfiFU" = О
при а^х<Ъ, где р и г—.две действительные положи-
тельные непрерывные функции вещественного перемен-
ного х, которые нс обращаются в нуль в интервале (а, Ь)
и имеют в нем две первые производные, a q непрерывно
в (а, Ъ) и имеет первую производную; л*, X*,.. .
последовательность положительных чисел, неограниченно
растущих вместе с п.
Метод Стеклова распространяется на многочлены Чебы-
шева, Чебышева—Эрмита, Якоби и др., а также цилиндри-
ческие функции, функции Ламе и еще более общие функ-
ции Штурма—Лиувилля
Общие методы, разработанные Стекловым в рассма-
триваемом исследовании, были применены им к определе-
нию асимптотического выражения для цилиндрических
функции первого рода при очень больших значениях
переменных г).
Асимптотические разложения для цилиндрических
функций с большим индексом изуча i В. А. Фок. В 1934 г.
он получил асимптотические формулы дли функции У.Дд)
И Yn(x) с большим индексом 2). Основная ценность асим-
птотического выражения, найденного Фоком, состоит
в том, что оно справедливо равномерно при всех веществен-
ных значениях х от г=0 до х—со.
-__________
’) Стекло в, цпт. соч., § 28—30.
2) Ф о ь. И. Л., Новое асимптотическое выражение для бес-
левых функций, «Доклады Академии наук СССР», 1934, 1, Аг 3,
стр. 97—Ю2.
422
В. В. ГУССОВ
Для иллюстрации точности полученных формул Фок
в конце работы приводит таблицу приближенных значе-
ний, даваемых этими формулами, и таблицу точных
значений J1(, (а:). Из сравнения указанных таблиц видно,
что при м=10 точность формул Фока оказывается весь-
ма значительной. Впоследствии А. В. Светлов указал1),
что формулы Фока могут быть выведены из известных
ранее формул Лангера путем введения функций Kj и
з з
В той же работе Светловым приведены, следуя Лангеру,
остаточные члены этих формул. В работе «Диффракция
радиоволн вокруг земной поверхности» 2) Фок дал также
асимптотические выражения для функции
и ее производной.
Изучением остатков в асимптотических разложениях
цилиндрических функций занимался И. С. Кошляков.
История этого вопроса такова. Стильтьес3) установил выра-
жение для остатков в асимптотических разложениях функ-
ций Ко (z), 10 (т), Jo (х), Yo (а) и некоторых других при
больших вещественных значениях аргумента. Частично
его результаты были распространены Каландро4) на ци-
линдрические функции целого порядка, а Кошляковым
в 1929 г.—на функции порядка v, где v находится
1 1
в пределах—2<' V<'T' ^каза11ное исследование было
выполнено Кошляковым для цилиндрических функций
х) Светлов А. В., Об асимптотическом выражении для
бесселевых функций большого порядка, «Доклады Академии наук
СССР», 1934 2, А» 8, стр. 445—448
2) М,—Л., 1946.
3)Stiltjes Т h„ Recherches sur quclqucs series semi conver-
gentes, «Annates scientifiqucs de ГЁсо1е normale suptrieure de Paris»,
1886, 3, стр. 251—258.
4) Cal 1 and rea u 0., Calcul des transcendantes de Bessel
. Ш [ (0! (vY 1
. 2. ... • np 1 . (+1)+ 1 • 2 (n1) (n 4-2) "J’
pour les grandes \aleurs de a, au moyen des series semi con vergen tes,
«Bulletin des sciences mathematiques», 1890, 14, стр. 110—114.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 423
(г) П 1-Лх) от вещественного аргумента
в «Заметке об остатках в асимптотических разложениях
функций Бесселя»1). Исследование Кошлякова, связанное
с асимптотическим разложением цилиндрических функ-
ций, было продолжено в 1935 г. Светловым в статье «Об
асимптотическом разложении копфлюентпых гппергео-
летрпческпх функций»2).
Этот автор дал асимптотическое разложение и удобные
выражения остатка для копфлюентпых гииергеометрпче-
ских функций (z) при любых больших по модулю
комплексных пли действительных положительных значе-
ниях аргумента и для значков к пт, удовлетворяющих
1
весьма общему условию: р-\-т—где р—число
членов асимптотического разложения.
Как известно, многие функции, употребляемые в мате-
матике и математической физике, выражаются через
(z),—например цилиндрические функции первого
и второго рода, функции Кт (z), ker z, kei z, ber z, bei z,
функции параболического цилиндра, функции Соппна
и многие другие. Поэтому результат Светлова носит об-
щий характер и может быть использован для всех перечи-
сленных выше видов функций.
Пользуясь полученным результатом, в § 3 своей статьи
Светлов находит асимптотические разложения для функций
Шлёмильха, Ei (z), интегральных косинуса и синуса, не-
полной гамма-функцпп, Erf z, Кт (z), Jm (z) и Ym (z). Ha
стр. 216—217 приведены формулы для Jjn(z) и У„г (z). Они
годны при любом вещественном т и любом комплексном
z, удовлетворяющим^ условиям
m+y|<2р'RW>®‘
Эти формулы Светлова заключают в себе как частные слу-
чаи соответствующие формулы Кошлякова.
г) К о s h 1 i а к о v N. S., Note on the remainders in the
asymptotic expansions of Bessel functions, «Journal of the London
mathematical society», 1929, 4, ч. 4, стр. 297—299.
.. 2) S v e t 1 о v A., On the asymptotic expansions of the con-
luenthypergeometric functions, «Труды Математического инстн-
тута имени В. А. Стеклова», 1935, 9, стр. 201—221.
/i2'i
В. В. ГУССОВ
Как замечает автор х), аналогичные результаты могут
быть получены и при /?(z) < 0 и,следовательно, для всех
больших но модулю значений аргумента за исключением
чисто мнимых.
Изучением остатка в этом последнем случае занима кн
В. Строганов. В работе «Об асимптотпческом разложении
функции Бесселя от мнимого аргумента»2) этот исследова-
тель рассматривает остаточный член Нп (2а, у) асимптоти-
ческого разложения функции J.,(ai) от чисто мнимого
1 1
аргумента и доказывает, что при—этот остаточ-
ный член как функция от 2а имеет корень. ( ш этого
корня автор получает приближенное выражение, которое
мри v=() совпадает с результатом Стнльтьеса, данным
им для (ai).
В то время как Стильтьес исследовал остаток Вп (2act)
лишь при у=0, Строганову удалось не только дока
зап» су шествование соответствующего корня и получить
его приближенное выражение при большом значении п
для любых v, заключенных между—1/2 и 1/2, но и по-
казать, что его результат остается верным для любого
, । / 1
вещественного значения v, если v <п —— не равняется
целому нечетному числу.
Однако даже о наиболее простом случае цилиндриче-
ской функции пулевого порядка Jo (ai) Стильтьес писал:
«В этом случае приближенное решение уравнения
О представляет трудности, которые мы смогли пре-
одолеть только путем довольно деликатных рассуждении»3)-
3. Разложение в ряды по цилиндрическим функциям
Обратимся теперь к истории различных видов разло-
жений функции в ряды, общие члены которых содержат
цилиндрические функции
J) Светлов, цпт. соч., стр 217
г) S t г о g а и о f f \V., On the asymptotic expansion of the
Bessel function with purely imaginary argument, «Труды Математи-
ческого института имени В. А. Стеклова», 1935, 9, стр. 223—2 3.
3) S t i 1 t j e s, цит. соч., стр. 207.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИX ФУПКЦНП
425
Уже Эйлер высказывал мысли развитие которых
привело в последующем к разложению указанного ви щ.
J3 явном виде разложение произвольной функции /(.<)
вещественного переменного в ряд
т О
г {С через /ч, Х2, ).3, ... обозначены положительные корпи
функции /(,(•>'), расположенные в порядке их возраста-
ния, опубликовал в 1822 г. Фурье. К подобным разло-
жениям он пришел в своих исследованиях по теории
теплопроводности. В 1857 г. Шлёмпльх ис< гедония ряды
со со
типа У ат Jy (т.г) и У} В 1868 г. результаты
т— I т=1
ф^рье и 111 лёмпльха были обобщены Ломмелем на с 1учай
цилиндрических функций первого рода других порядков.
В 1880 г. Дипп1) изучил более общее разложение
СО
/О) = S Л
7/1=1
где Хр Х2» • • • обозначают положительные корпи
(расположенные в порядке возрастания) функции
{x7'v (.? ) + //Д (z)}
I
при условии, что , а // — некоторая данная по-
стоянная. Впервые подобного вида разложение при *> — ()
было рассмотрено Фурье в задаче о распределении тепла
в излучающем круглом цилиндре.
Выражения Дини исследовал далее V V. Адамов в
1907 г.2). Целью исследования явилось распространение
метода Дирихле, примененного им к разложению произ-
вольной функции в тригонометрические ряды, па слу-
чаи некоторых других разложений, встречающихся в
*) Dini, цпт. соч., стр. 190-277.
') Адамов А. X., О разтожепнп произвольной функции
ДН ц вещественной переменной в ряды, расположенные но функ-
циям определенного рода, СПб., 1907
426
В. В. ГУССОВ
анализе. Данный вопрос тесно связан с представлением
произвольных функций от одного вещественного перемен-
ного определенными интегралами. Этому последнему во-
просу посвящена глава I указанной монографии Ада-
мова. В главе II полученные результаты прилагаются к
разложению произвольных функции в ряды, расположен-
ные по функциям данного рода, и показывается, как и
при каких условиях из имеющегося разложения произ-
вольной функции в ряд можно вывести новые разложе-
ния той же функции. Остальные пять глав посвящены
приложениям общей теории, развитой Адамовым, к раз-
бору различных частных случаев: разложению по триго-
нометрическим функциям, по 0-функциям Якоби, по
ультрасфернческим многочленам, по многочленам Чебы-
шева—Эрмита и но цилиндрическим функциям.
Непосредственное отношение к теории цилиндрических
функций имеет глава VII монографии Адамова. В пей
рассматриваются разложения по функциям Jv(Xa,-) при
v > — 1, причем X означают положительные корни урав-
нений
Jy (ж) = 0 пли xJ\ (.г) — hJv (х) = 0.
В то время как Дини вел все исследования относитель-
но функций Pv(z), связанных с Jv(z) зависимостью
Py(z) = Az^J^ (z),
Адамов предпочел, как он пишет об этом в предисловии,
заняться прямо функциями Jv(z). Его теоремы оказались
отличными от теорем Дини относительно формы разло-
жений и условий, которым должна удовлетворять разла-
гаемая функция.
Результаты исследований Адамова сформулированы
им в виде двух теорем. Первая из них относится к рядам
Фурье —Бесселя, а вторая —к рядам Дини1).
По поводу первой теоремы Адамова необходимо заме-
тить следующее. Уже Дини полагал, что при известных
ограничениях, наложенных на функцию f(x), разложе-
!) Адамов, цит. соч., стр. 188—189.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 427
пне Фурье — Бесселя окажется справедливым при всех
значениях v, для которых интеграл
1
Um О (/и О
и
сходится, г. о. при v> —1. Однако Дини констатировал
- । 1
трудность изучения ооластп —1 < v< —— и ограничился
1 .
областью • Адамову удалось выполнить исследо-
вание для всех v> —1. Поэтому Ватсон1) ошибается,
когда полагает (1922), что никто не взял еще на себя
труд выполнить работу по рассмотрению области, по
изученной Дини. Кстати сказать, сам Ватсон тоже по
взялся за нес гедовапие этой казавшейся ему порешенной
проблемы.
В теореме, относящейся к рядам Дини, Адамов ука-
зал правильную форму первого члена этих рядов, испра-
вив тем самым ошибки, допущенные в этом вопросе Дини
и Нильсеном.
Другая ошибка Дини, устраненная Адамовым, заклю-
чается в том, что Дини не указывает па появление в раз-
ложении, фигурирующем в рассматриваемой теореме,
добавочного первого члена при условии h > v.
В том же 1907 г., когда появилась только что рассмо-
тренная монография Адамова, был опубликован упоминав-
шийся уже выше2) мемуар В. А. Стеклова, также затра-
гивавший вопрос .о рядах Дини. Однако метод исследова-
ния, предложенный Стекловым, отличался от метода Ада-
мова, так как был связан с уравнениями Штурма—Лиу-
вилля. В § 31 указанного мемуара Стеклов, пользуясь
своим методом разложения в ряды, получил общие ус-
ловия сходимости разложения Дини по цилиндрическим
Функциям.
В 1911 г. появились две работы русских ученых, отно-
сящиеся к разложению функции в ряды по цплпндрпче-
-1) Ватсон, ч. I, стр. 634.
2) См. стр. 420.
428
В. В. ГУССОВ
сейм функциям: работы А. Н. Днннпка1) п В. С. Игна-
те вс ко го 2).
В статье Днипика введен интересный прием вычисле-
ния коэффициентов разложения функции в ряд Фурье-
Бесселя, содержащий цилиндрические функции первого
рода нулевого порядка. В другой работе3) Динпикраспро-
странил этот прием на цилиндрические функции первого
рода любого порядка.
Работа Пгпатовского, относящаяся к разложению
функций по цилиндрическим функциям, является наи-
более ранней работой этого автора по теории цилиндри-
ческих функции, которой он впоследствии посвятил
целый ряд исследований.
В то время как в основе творчества II. Я. Сонина
лежало стремление естественного обобщения теории
и придания ей наиболее совершенной и законченной
формы, стимулом для работ Пгпатовского по дальней-
шему развитию теории цилиндрических функций явля-
лись проблемы физики, точнее, теория диффракции.
В упомянутой статье Пгиатовский решает следующую
проблему, относящуюся к разложению функций по цилин-
дрическим функциям.
Пусть функция 1 задана рядом
F — ЛЬН\ (хг) 4- 2* ^^2 (xr) cos sx 4"
s=i
со
+1 в я: (xr)sinsa, 00)
s- 1
в которой г обозначает расстояние от фиксированной
точки О, а —угол, образуемый с неизменной осью,
г) Д и н н и к А. II., О разложении произвольной функции
в ряд Бесселя, «Известия Киевского политехнического института,
Отдел инженерно-механический», 1911, кн. 1, стр. 83—85.
2) Ign a towsk i W., Leber die Reihenentwicklungen mil
Zylinderfunktionen («О разложениях в ряды по цилиндрическим
функциям»), «Archie der Mathematik and Pliysik», 1911, 1И»
стр. 322—327.
3) Д и н и н к А. II., Приложение функций Бесселя к задачам
теории упругости, ч. 1—Статика, Новочеркасск, 1913, стр. 2
233.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУ ПКЦИП 429
(хг) — функцию Ханксля второго рода порядка s
с аргументом хг. При этом принимается, что F пред-
ставимо рядом (40) вне круга радиуса 1\. Пусть, далее,
та же функция разложена в ряд вида
СО
F = D„ + J„ (zp) + 2 D„J„ (zp) cos +
+ 2 £,/„(«?) sin (41)
1
где p —расстояние от точки O', расположенной на неиз-
менно]! оси, ? — угол, образуемый р с осью, а ОО' = b > 1\.
Решенная Пгнатовским проблема заключается в опреде-
лении коэффициентов Dn и Еп разложения (41), имеющего
место в окрестности О', по данным коэффициентам и В,.
В заключение статьи автор указывает на возмож-
ность применения полученного разложения при решении
задачи об отражении плоской волны от проволочной
решетки. По при дальнейшем разработке этого вопроса,
пишет Игнатове кий, возникла трудность, заключавшаяся
в том, что в науке ие было ничего известно о суммах
ханкелевых функций с кратными аргументами. Поэтому
автору пришлось прежде всего приступить к решению
этой проблемы, чему и посвящена ого работа «О рядах
цилиндрических функций кратных значений] аргумента» х).
В ней рассматриваются цилиндрические функции только
с четным индексом, так как именно они были необхо-
димы автору для проблемы решетки. В этой статье,
таким образом, речь идет о вычислении сумм
со оо оо
5 A-Jgas), S ^2v(gas), 2 <?2-,(gas),
S =1 S' 1 S=1
где ()—умноженная на так называемая
Функция второго рода. Первая из этих
известна раньше; но у Пгнатовского опа
хаиколева
сумм была
вычислена
Ч Ig па tows к у W.% Ueber Reiheii mil Zylinderfiinktionen
Па h dem Vielfachen des Arguments, «Archiv der Matheinatik
and Physik», 1914, 23, стр. 193.
430
13. В. ГУССОВ
по новому методу, который ведет также к вычислению
двух других сумм. В § 3 автор показывает, что для опре-
деления этих сумм необходимо произвести вычисление
интеграла
00 ____________
Мп = Qo (g ]/х* 2 + у2) cos by dy,
0
которое он выполняет, опираясь па данную им в 1908 г.
особую форму решения электродинамических ура-впешш
Максвелла.
С другими результатами Игнатовского по теории ци-
линдрических функций мы познакомимся шике, а сейчас
продолжим рассмотрение работ, связанных с разложе-
ниями функций в ряды по цилиндрическим функциям.
В 1934 — 1936 гг. обобщением одного разложения
Шлёмильха и разложением произвольных функций в ряды
Шлёмильха занимался Я. А. Мппдлпп. Как уже гово-
рилось, Шломильх в 1857 г. дал разложение произволь-
ной функции в ряд цилиндрических функций первого
рода нулевого порядка. Миндлинт) получил значительно
более общий результат, относящийся к разложению
функции в ряд вида
f (z) = 4Ч (z) + «(2">4 (2х) + a^Jn (Зя) + ...
В другой статье2) автор нашел дальнейшее обоб-
щение упомянутого выше разложения Шлёмильха,
а именно, доказал, что при выполнении определенных
условий функция / (х) может быть разложена в ряд
/(*)=
_ 4Я+,Ч+v ю 4я+,Ч+, (М , 4Я+,Ч+. (м ,
СИ (W
х) Мин длин Я. Л. Обобщение одного разложения 1П.тё
мпльха, «Доклады Академии наук СССР», 1934, 2, 9»
стр. 537—539.
2) Мин длин Я. А., О разложении произвольной функции
в ряды Шлёмильха, «Доклады Академии наук СССР», 1936, 1, А '*•
стр. 147—150.
Разбитие теории цилиндрических функции 431
годный в промежутке (0, В статье приведены выра-
жения для коэффициента Chn+v) и дополнительно рас-
смотрен случай v = у .
различные ряды, содержащие цилиндрические функ-
ции Д(^) и дает А. II. Попов1). Некоторые
пз этих рядов представляют обобщение результатов
Харди, Рамануджана и др.
4. Исследование различных видов интегралов,
содержащих цилиндрические функции
В предыдущем разделе мы видели, как много было
сделано II. Я. Сониным в исследовании интегралов,
содержащих цилиндрические функции. После Сонина
подобные исследования продолжались в России, а затем
и в СССР очень интенсивно. Ими занимались В С. Пгпа-
товский, Ф. А. Миллер, В. А. Фок, А. II. Понов,
Н. С. Кошляков и др. Ознакомление с работами в этом
направлении мы начнем с наиболее важных после трудов
Сонина исследований Пгпатовского.
Самой большой работой Пгпатовского по теории диф-
фракции является исследование дпффракцни диска,
круглого отверстия, полосы и щели. В этой работе
автор стремился получить полное решение поставленной
задачи2). Хотя это последнее ему и пе удавалось
(в 1932 г. он писал* «... Эти исследования еще не достигли
желаемого мною завершения ...») 3), но попутно он нашел
много важных результатов математического характера.
Игнатовский рассматривал задачу об экране (напри-
мер, диске), который предполагался бесконечно тонким
г) Попов А. И., О рядах, содержащих цилиндрические
Функции, «Доклады Академии наук СССР», 1935, 2, № 2,
стр. 96—99.
2) И г н а т о в с к и й В. С., К теории дпффракцни, «Журнал
Русского физико-химического общества. Часть физическая», 1924,
&6, вып. 5—6, стр. 621.
3) I g па t о vvs к у W, Kieis^cheibenkondcDsator («Копденса-
J Р с обкладками, имеющими форму круга»), «Труды Фнзнко мате-
матического института имени В. z\. Стеклова», 1932, 2, вып. 3,
432
в. В ГУССОВ
и абсолютно проводящим. Падающая волна считалась
плоской, поляризованной и движущейся но положитель-
ному направлению оси z. Решение должно было удов-
летворять уравнениям Максвелла для пустоты, соответ-
ственным поверхностным условиям на экранеп условиям
па бесконечности. Оно сводилось к определению таких
функции и, которые удовлетворяют уравнению волны
О'1 и . д-ll и-и . ,п
—т»-|-—оЧ-А-« = 0 (42)
их- Оу- Oz- ' /
и при помощи которых можно определить слагаемые
электрических и магнитных сил, удовлетворяющие урав-
нениям Максвелла и прочим условиям.
Пгнатовскнй рассматривал задачу’ также и в цилин-
дрических координатах. В этом случае вместо уравне-
ния (42) для определенного s получается уравнение
^+^+1^+„ *2-4) =0, (/..-л
(>} - с*р- р др ® X, р- J '
которое автор называет уравнением волны порядка х.
Для решения поставленной задачи Игнатове кому
прежде всего было необходимо изучить интеграл
“ (р/) (а/) (ц
~ J z7 + e /£•- —1
1 г
V е 1 dt <44)
U
содержащий цилиндрические функции и удовлетворяю-
щий при определенных значениях р уравнениям вида (4-)
п (43)1).
Интегралы (44), обнимающие собой, следовательно,
пространственный и плоскостной случаи, имеют очень
l) Hi натовский 13. С., К теории дпффракцип, стр. ЫЬ.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 433
общий характер и включают как частные много из-
вестных раньше случаев. Так, например, внутри опре-
деленной области они включают в себя интегралы
Доммеля.
Монография Пгнатовского «Исследование некоторых
интегралов с бесселевыми функциями и их применение
к явлениям изгиба и другим» х) возникла па основе ис-
следований, которые были выполнены автором в период
1918—1924 гг. Как сказано выше, первоначальной
целью этих исследований! было полное решение проблемы
цпффракцни диска, круглого отверстия, полосы и щели.
«С этой целью, — пишет Пгпатовский, — первона-
чально должны были быть выяснены пути, ведущие
к этому решению. Поэтому неизбежным явилось деталь-
ное исследование в различнейших направлениях . .. Бла-
годаря этому, а также благодаря невольно навязыва-
ющемуся обобщению примененных математических рас-
суждении, исследования разрослись несоразмерно ио
отношению к поставленной цели, так что начальная
цель постепенно начала отступать на задний план. Наконец,
все выкристаллизнровалось в двух формах. Во главе
исследования был поставлен и рассмотрен во всей
полноте определенный класс интегралов с бесселевыми
функциями . .. .Эти интегралы служат в качестве базиса
для задачи решения волнового уравнения внутри поло-
жительного полупространства (.? —положительно) при
некоторых краевых условиях па плоскости KZ» 2).
В своей монографии Пгпатовский подвергает общему
исследованию интегралы определяемые формулой
(44). Эти интегралы упоминались Пгнатовским ранее 3), при-
чем некоторые полученные автором для них результаты
даны без доказательства. Доказательство их приведено
в рассматриваемой монографии. Наряду с лите! ралами (44)
1) I g n a t о w s к у W., Untertufhung cinigcr Integrate mit
Bessel’schen Funktioncn und ihre inwciiduiig auf Beugungserschei-
oungen und andcie. Toil I —L’nter sue hung der Integrate, «Труды
взико математического института имени В. А Стеклова», 1933,
°’ вып I, стр. 1 —X п 1-118.
л И г н а т о в с к и и, цнт. соч., стр. V.
Игнатове кп и В С., К теории дпффракцпи, стр. 616.
Историко-матем. исследования
434
в. в. ГУССОВ
Игнатове кий изучает также их обобщения:
С°JT (pt) Js («0 t2'' (t*- I)5 dt
J zTts/TTZ-i
1 ________________________
™szv c
COS s(6+>) J /Y4 6
V
а также н irrei pa in
и ряд других функций, устанавливая многочисленные и\
свойства. Так, например, для функций trT,e,n, называемых
автором нормальными волновыми интегралами первого
рода, разрешены вопросы о разложении в ряды, о их
поведении при больших значениях некоторых аргументов,
даны различные применения этих функций (в первую
очередь к решению волнового уравнения) и т. д.
Результаты, полученные Игиатовским в рассмотрен-
ной монографии, дали ему возможность исследовать еще
одни интеграл. Как пишет автор в статье «Об одном
интеграле с бесселевыми функциями» *), решение одной
технической задачи привело его к интегралу
Л = Г Уо(Хг) ,
О
исследование которого усложнялось тем, что величина о
должна определяться из условия J\(ro) = 0, являясь
любым (кроме пулевого) корнем этого уравнения.
Пгнатовскпй обобщил интеграл А и в основу только
что названной работы положи.! интеграл
Ал (г, z, v, о) =
JY (Хг) dl
AT(X2-S2)
Здесь г, к и z считаются действительными числами и,
Igna towsky \V , L'ebcr ein Integral mit Bcsscl'scbcn
Funktionen, «Известия Академии наук СССР Отделение матема-
Т 1чрскпх и естественных наук», 1933, № 3, стр. 345.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУИКЦПП
435
кроме того, z неотрицательно. При '( = 0 и = у этот
интеграл переходит в первоначально данный интеграл А.
Подробному исследованию интеграла z, v, 8) и
посвящена указанная работа Hi натовского.
Кроме теории днффракцнп, у IJj натовского бы in также
другие стимулы для развития теории цилиндрических
функций. Гак, рассматривая проблему' конденсатора,
он встретился с необходимостью исследования некоторых
несобственных интегралов, содержащих цилиндрические
функции. 13 результате он вырази i
) 7
через разность произведений бесконечных степенных
рядов, а также нашел выражение для интеграла
со
е~^ Jo (Z) Jx (Z) dt
о
через полный эллиптический интеграл первого рода г).
Проблемы физического характера побудили заняться
исследованием интегралов, содержащих цилиндрические
функции, и Ф. А. Миллера. Рассматривая вопрос о рас-
пространении пространственно-незатухающих электри-
ческих колебаний вдоль полунилиндрического земляного
вала, расположенного на поверхности* 2), Миллер встре-
тился с рядом неопределенных интегралов с ироизволь-
нымп пределами интегрирования, содержащих произве
дение двух цилиндрических функции одинакового пли
различного вида и различных аргументов. Более под-
робное изучение этого вопроса привело Миллера к вычис-
лению этих интегралов в некоторых случаях как неопре-
деленных и представлению их в форме выражений, со-
держащих цилиндрические функции, или к установлению
*) Igna towsky W., Kreisst heibenkondeiisator.
2) M ил л ер Ф. А., О распространении коротких незатухающих
электромагнитных волн вдоль полунилиндрического земляного
®ала> расположенного на поверхности земли, «Журнал Русского
физико-химического общества. Часть физическая», 1926, 58,
вып. 5 — 6, стр. 829 -852.
28*
436
В. В. ГУССОВ
линейной зависимости между такого рода интегралами
в других случаях1).
В работах В. А. Фока мы снова встречаемся со стиму-
лами прикладного характера в развитии теории цилин-
дрических функций. Для определения электромагнитного
ноля при наличии плоской границы (радио, земные токи)
является естественным метод интегрального предста-
вления искомого решения в виде интеграла Фурье, содер-
жащею цилиндрические функции. В работе В. А. Фока
и В. Р. Бурсиапа2) определение электромагнитного поля
заземленной цепи переменного тока было приведено к ин-
тегралам такого типа, а эти последние выражены для по-
верхности земли через цилиндрические функции первого
и третьего родов. В работе Фока «К вычислению электро-
магнитного поля переменного тока при наличии плоской
границы3) эти результаты изложены я несколько рас-
ширенном виде.
Все интегралы, полученные Фоком для определения
указанного электромагнитного поля в плоскости земли,
могут быть выражены через следующий определенный
интеграл 4):
/)7+Г2 - /X2+Л,2У XdX ,
/хЯ^-Р/Х2-^'2/ /хЯ^/^ + А-'2*
Этот интеграл при В (Zc) > В (Zcz) > 0 Фоку удалось вы-
разить через произведение двух цилиндрических функций:
СО
о
х) М и л л е р Ф. А., Вычисление некоторых неопределенных
интегралов, содержащих произведение двух бесселевых функций,
«Известия Ленинградского политехнического института имени
М. И. Калинина, Отдел техники, естествознания п математики»,
1927, 30, стр. 123—133.
2) Ф о к В. А. и Б у р с и а н В. Р., Электромагнитное поле
переменного тока в цепи с двумя заземлениями, «Журнал Русско-
го физико-химического общества. Часть физическая», 1926, 58.
вып. 2, стр. 355—363.
s) F о с k V., Zur Berechnung des elektromagnetischcn Wecbsel-
stromfeldes bei ebener Bcgrenzung, «Annalen der Physik», 1933,
17, вып. 4, стр. 401—420.
4) Фок, там же, стр. 408
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 437
Полученный результат Фок- затем применил к иссле-
дованию поставленной им физической проблемы.
В дальнейшем и другие авторы применяли формулу
Фока в различных физических исследованиях. В 1934 г.
Н- С. Кошляков1) дал простои вывод общего интеграла,
содержащего (45) как частный случай.
Помимо рассмотренной работы, отметим еще одну за-
метку Фока, относящуюся к интегралам, содержащим
цилиндрические функции2). В этой заметке Фок дал чрез-
вычайно простой метод вычисления пнтегра ia:
СО
ZA\ (t | a) KN (z | b) dt,
i
из которого получается формула, рассмотренная в одной
пз работ Кошлякова 3).
Интегралу Фока (45) была посвящена статья А. II. По-
пова4). Как замечает Попов, понос родственная ценность
оригинального результата Фока побудила автора ука-
зать новый путь вывода этого «интересного опреде-
ленного интеграла», что он и выполнил в указанной
статье.
С той же работой Фока 1933 г. соприкасается и другая
статья Попова5 б). В этой последней выведены формулы
г) Кошляков II. С., Об одном определенном интеграле, со-
держащем цилиндрическую функцию J («), «Доклады Академии
наук СССР», 1934, 2, № 3, стр 145— 147.
2) Фок В. А., Об одном определенном интеграле, содержащем
цилиндрическую функцию «Доклады Академии паук СССР»,
1934, 1, № 8, стр. 443 — 444.
3) Кошляков II. С., Об одном определенном интеграле,
содержащем цилиндрическую функцию А'.Дх), «Доклады Академии
наук СССР», 1934, 1, № 3, стр. 103— 104.
4) Попов A. II., Замечание к работе В. А Фока «Zur Ве-
rechnung des elektromagnetischen Wei-fascist roinfoidcs bei ebener
Begronzung», «Доклады Академии паук СССР», 1934, 1, Л» 7,
стр. 380 — 381.
б) Попов А. II., О некоторых определенных интегралах, со-
держащих цилиндрические функции, «Доклады Академии наук
СССР», 1934, 2, № 1, стр 11-12.
438
В. В. ГУССОВ
для некоторых несобственных интегралов, содержащих
цилиндрические функции, в том числе для интеграла
о
(4G)
Если к интегралу (46) применить известное преобразова-
ние Ханкеля, то получится результат Фока. II обратно,
с помощью интеграла Фока и преобразования Хайкела
может быть получен интеграл (46). Если положить в ра-
венство (46) р = 0, то найдется определенный интеграл,
послуживший предметом статьи Кошлякова *).
Последняя из работ Попова* 2), которую мы рассмотрим
в этом параграфе, относится не только к исследованию
интегралов, содержащих цилиндрические функции, ио
заключает в себе также следующие результаты: интеграль-
ное представление цилиндрической функции первого рода’
содержащая цилиндрические функции укороченная фор-
мула суммирования для числа целых точек внутри
круга; метод получения интегралов с тригонометриче
скими функциями, основанный на формуле (23) Лет-
нпкова.
Как сказано, интеграл Фока (45) был рассмотрен Кошля-
ковым3). В той же работе Кошляков дает вывод одного не-
собственного определенного интеграла, содержащего
функцию Jy. (х) и гипергеометрическую функцию /’ (а, 3,
7, х). Полученная автором формула содержит как частные
случаи многие известные интегралы: одни из интегралов
Сонина, формулу Фока и др.
В другой работе Кошлякова4) дан ряд несобственных
*) Кошляков, цит. соч.
2) Попов А. И., Несколько замечаний о функциях Бесселя,
«Труды Ленинградского индустриального института», 1936, № I”»
Раздел физико-математических наук, выи. 3, стр. 49—51.
3) Ко ш л я к о в II. С., Об одном определенном интеграле,
содержащем цилиндрическую функцию (.г), «Доклады Академии
наук СССР», 1934, 2, № 3, стр. 145—147.
4) К о ш л я к о в II. С., О некоторых определенных инте-
гралах, содержащих бесселевы фчнкции, «Известия Академии паук
СССР. Отделение математических и естественных наук. Серия мате-
матическая», 1938, №4, стр. 417—425,
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 439
интегралов вида
Д (/) | е~ К->v (2г |/^) f- е К2v (2г ]<77) | dt = Kv (/),
b
(47)
где
и некоторые другие определенные интегралы, содержащие
функции Харди
J/vGr) = ~A\(z)-I\(;r).
Там же исследованы функции
а
и
со
Qa, ; (*) = (Z) lx~l dt.
а
Во всей обширной литературе но теории цилиндрических
функций до указанной работы Кошлякова функции Ра,у(х)
и фа.'Дя’) почти не изучались.
Из других работ советских ученых, относящихся
к исследованию интегралов, содержащих цилиндрические
функции, укажем еще на статью А. Заборовского1). Итого
автора, как и Фока, к исследованию соответствующих
интегралов привели проблемы электродинамики, а именно
задача определения магнитного ноля круговой рамки,
несущей переменный ток.
) 3 а б о р о в с к н й \., Одна теорема из теории функций Г»е< -
селя, «Труды Московского геолого-разведочпого института им. Ор-
ДЯхОпикидзе», 1910, 20, стр. 275 — 276,
440
В, В. ГУССОВ
5. Работы, связанные с сумматорнымп формулами
и определением арифметической природы
значений некоторых выражений
В статье «О некоторых приложениях теории пптеграль
ных вычетов» х) Н. С Кошляковым дана одна общая сумма-
торпая формула, содержащая цилиндрические функции.
В 1937 г. он указал2) новый вид этой сумматорпой фор-
мулы. С помощью сумматорпых формул Кошлякова может
быть изучен аналитический характер функций, заданных
рядами, расположенными по цилиндрическим функциям,
а также можно получать преобразования для различных
сумм, содержащих эти функции. Например, с помощью
формул Кошлякова можно преобразовать ряд
V Jo(Jtinr) kmX
Ji(kina)
т—1
где ку, к2, к3, ...—положительные корни уравнения
Jo (Аа) = 0, в новый ряд, расположенный по степеням х
и облегчающий вычисление этой суммы при малых его
значениях. Примеры подобных преобразовании приведены
в рассматриваемой статье.
А II. Попов3) также использовал теорию цилиндриче-
ских функций для получения некоторых сумматорпых
формул, в том числе формулы, содержащей
В трактатах Нильсена и Ватсона по цилиндрическим
функциям находятся лишь частные случаи указан ной
формулы Попова.
х) «Записки математического кабинета Таврического универ» п-
тета», 1920.
2) Кошляков Н. С., О некоторых разложениях в ряды
Fourier—Bessel'a, «Доклады Академии наук СССР», 1937, 14, № 4,
стр 173- 176.
3) Попов А. II., О различных рядах, «Доклады Академии
наук СССР», 1935, 2, № 2, стр. 94 — 95.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 441
Исследованию арифметической природы значений не-
которых выражений, содержащих цилиндрические функ-
ции, посвящена одна работа Р. О. Кузьмина *). Источни-
ки ее находятся в теоретико-арифметических исследова-
ниях автора.
Как известно, вопрос об определении арифметической
природы встречающихся в анализе чисел представляет
значительные трудности. Кузьмину удалось указать
новый класс иррациональных чисел, а именно, он доказал
теорему:
Значения функций
Jn (х)
Jn (-с)
jп
Jn (х)
(при Jn(.r)#=0)
(при J'n (.г) #= 0)
при рациональных значениях аргумента иррациональны
(п—число целое). Частным случаем этой теоремы являет-
ся предложение: все отличные от пуля корни функций
J (т) и Jn(x) являются числами иррациональными.
6. Применение операционного исчисления
к теории цилиндрических функций
Для решения обыкновенных дифференциальных урав-
нении и уравнений с частными производными иногда при-
меняется так называемый операторный метод. Им поль-
зовались еще Лагранж, Буль, Релей и др. Особенно
следует отметить в связи с указанным методом работу
М Е. Ващенко-Захарченко «Символическое исчисление
и приложение его к интегрированию линейных дифферен-
циальных уравнений» 2). Значительное развитие этому
методу дал Хевисайд, придавший ему в конце прошлого
века вид особого —операционного —исчисления.
*) Кузьмин Р. О., О корнях бесселевых функций, «'/Куриал
Физико-математического общества при Пермском государственном
Университете», 1919, вып. 2, стр. 17 — 21.
а) Киев, 1862.
442
В. В. ГУСС0В
По мере развития операционного исчисления область
его применения все возрастала. Важные приложения этого
исчисления к анализу, в частности к цилиндрическим
функциям, даны А. М. Эфросом, па изложении резуль-
татов которого мы сейчас остановимся
В 1935 г. Эфрос доказал предложение1):
Если известно решение <р(т) интегрального уравнения
с'?,г ср (т) d- = Ф (/>),
о
то решение интегрального уравнения
СО
^"Г?*(/)Л = Ф[Д/О]ЬГ(/’)
о
дастся формулой
СО
<Р*С)=Д ?(')'> С , О dx, (48)
6
где 6(т, /) является решением интегрального уравнения
^е'р‘ф(т, Z) dt = U (р).
о
Полученную формулу (48) Эфрос применил к вычислению
определенных интегралов, содержащих цилиндрические
функции, и установил тождество, дающее связь между
многочленами Чебышева — Лагерра и цилиндрическими
функциями первого рода.
Дальнейшие применения операционного исчисления
к анализу даны Эфросом в другой статье 2). В этой статье
*) Эфрос А. М , О некоторых применениях операторного
inчле гения к анализу, «Математический сборник», 1933, 42. выв. Ь»
<тр. 699 — 706,
2) Ефрос О. М , Долги врикладання операщйного числения
до аналгзу, «Записки иауково-дос.пдиого пгетптуту математик»
и механиш i Харыинського математнчпого товариства», 1937, •*•
стр. 205—225,
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 443
установлен ряд результатов: некоторые из них относятся
к теории цилиндрических функции. Так, например, поль-
зуясь известными значениями интегралов
\e1>l JQ(U)dt,
О
со
J /
о
и теоремой Бореля, Эфрос получает повое соотношение
t
о
При помощи операционного исчисления в § L автором
получено также равенство
f п п
О
2п + 1
= (^) 2 A.+,(21Z2W).
В § 2 содержится решение операционных уравнений
^w=/G+y).
?* (О=/(/' +Г)
при помощи интегралов, содержащих цилиндрические
функции1). Установленные в этом параграфе предложения
используются в § 3 для решения некоторых операционных
уравнений п вычисления интегралов.
Сила операционного исчисления возрастает с ростом
количества известных соотношений /(/?) = ?(/)• В рас-
сматриваемой статье получено значительное количество
правил этого рода, в том числе соотношения, содержащие
Цилиндрические функции и функции Струве.
Сводка полученных Эфросом результатов, а также
Дальнейшее развитие приложений операционного печпеле-
—--------------
*) Символ = обозначает, что функция от i является фувкцпен-
1гиналом, имеющей своим изображением соответствующую Функ-
44!
В. В. ГУССОВ
нпя к теории цилиндрических функций имеются в моно-
графии А. М. Эфроса и А. М. Данилевского1).
Вопросам приложений операционного исчисления к ана-
лизу посвящена глава IV указанной монографии. Среди
других многочисленных фактов, относящихся к цилиндри-
ческим функциям, здесь дается вычисление операцион-
ным методом интеграла
е ' 4 xJn (г) Jn (ах) de
о
и многих других, содержащих цилиндрические функции
выведены соотношения между этими функциями и много
членами Чебышева — Лагерра и Чебышева — Эрмита пт. д.
В § 12 главы IV даны некоторые частные приложения
общих методов операционного исчисления к цилиндрит
скпм функциям и функциям параболического цилиндра.
А именно, при помощи формулы
1 п
p-r'e^^J^V t)
(здесь р —-оператор Хевисайда и методов опора-
циопного исчисленняа вторы выводят здесь целый ряд
соотношений, содержащих цилиндрические функции. Эти
соотношения были уже известны раньше, но найдены
они были иными путями. Установление же этих соотно-
шений новым способом обнаружило, как пишут авторы,
что «легкость, с какой они выводятся при помощи опера-
ционного исчисления, весьма показательна».
В § 13 главы IV авторы рассматривают метод сумми-
рования изображений и находят с его помощью суммы
некоторых рядов, содержащих цилиндрические функции
В § 14 тон же главы указаны три интересные формулы
для - . Для их получения производится дифференци-
рование по п трех операционных выражений цилиндри-
ческих функций. Об этих формулах авторы пишут, чт0
Ч Эфрос А. М и Данилевский А. М.» Операип°н,|0С
исчисление п контурные интегралы, Харьков, 1937.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 445
«их получение без применения операционного исчисления
было бы затруднительно».
Не имея возможности далее останавливаться па ре-
{ультата\, находящихся в монографии Эфроса и Дани-
левского, отметим только, что в пен содержится (богатый
материал по применению цилиндрических функций к мно-
жеству вопросов, относящихся к самым разнообразным
отделам техники и физики.
7. Обобщение цилиндрических функций
М. II. Олевскпм
Некоторые задачи математической физики привели
М. Н. Олевского к одному обобщению цилиндрических
функции. Олевский установил1), что при рассмотрении
ряда основных задач математической физики в простран-
стве постоянной кривизны к существенную роль играет
уравнение
I sin/fts (IS . Г /sinVA-s|2 „1 с n ,,nx
+ _^cos/As_+|_^_7_^ -^J5 = O, (49)
обращающееся при к—>0 в уравнение (1).
Функции, определяемые уравнением (49), представ-
ляют собой обобщенно цилиндрических функций. Основ-
ные факты, относящиеся к теории этих функций, даны
Олевским2) в 1943 г. Наметив в общих чертах идею
рассмотрения функций J (к, р, и, .т) и Y (к, р, р, х),
х) Олевский М. Н., Решение некоторых начальных и крае-
вых задач для волнового уравнения, уравнения теплопроводности
И уравнения Лапласа в пространствах постоянной кривизны,
♦Доклады Академии паук СССР», 1941, 33, № 4. стр. 282—2з6.
2) Олевский М. Н., Об одном обобщении бесселевых функ-
ций, «Доклады Академии наук СССР», 1943, 40, № 1, стр. 5—10.
446
В. В. ГУССОВ
с помощью которых можно записать общин интеграл
уравнения
ж2 (1 - кх"-) у" + .т (1 - 2Лх2) у' + (ч2х2 - р’-)у = О,
в которое прообраз) ется уравнение (49) при обозначениях
Олевскии в дальнейшем «ради краткости» ограничивается
рассмотрением функции J' (и., 5), обобщающей цилиндри-
ческую функцию первого рода и при к —>0 обращаю-
щейся в Jp(tis).
В статье 1943 г. Олевскии указал случаи вырожде
нпя этой функции в элементарную, привел для нее реку р
рентные формулы, нашел значение определенного интег-
рала
С ып /Ь j? ds^
** I А
о ’
вывел спектральное представление по функциям Jp(u, s)
(обобщение формулы Фурье -Ханкеля) и ряд других фор-
мул и утверждении, обращающихся при к~>0 в хорошо
известные факты из теории цилиндрических функций.
8. Создание II. II. Векуа нового общего способа
построения теория цилиндрических функций
Для М II Олевского отправным пунктом в развития
теории цилиндрических функций были задачи математи-
ческой физики. В работах И. II. Векуа таким источником
явились теоретические исследования по эллиптическим
уравнениям. Векуа впервые систематически применил
аппарат теории функций комплексного переменного для
изучения целого класса линейных дифференциальных
уравнении эллиптического типа с аналитическими коэф
фпциентами. При этом он предложил эффективные спо-
собы построения линейных операторов, представлявши**
любые решения этих уравнений, через голоморфные фу я к-
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 447
цлп одного комплексного переменного. Новые методы,
развитые Векуа, нашли широкие применения во многих
разделах математической физики. В 1946 г. на основе
этих методов Векуа был предложен новый общий способ
построения теории цилиндрических функций1).
В основу своего способа Векуа кладет общее комплекс-
ное представление решений дифференциального уравне-
ния
+ и!1!1 + = О (ЙО)
(). комплексное постоянное). Из формулы, дающей это
общее представление и содержащей две аналитические
функции комплексного переменного, путем соответствую-
щего подбора указанных функций получаются цилиндри-
ческие функции первого, второго и третьего рода. Помимо
этого, та же формула дает возможность доказать ряд
основных свойств цилиндрических функции и получить
различные интегральные их представления и разложения.
В более поздней монографии, вышедшей в 1948 г.,
Векуа несколько подробнее развивает свою теорию
цилиндрических функций2). В этой книге особенно ясно
видна тесная связь между предложенной Векуа новой
теорией цилиндрических функций и ею работами по тео-
рии эллиптических уравнений. Более того, здесь теория
цилиндрических функций излагается как одно из приме-
нений результатов общих исследований автора.
VI. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Начиная с работ Сонина, понятие цилиндрических
функций стало обобщаться в различных направле-
ниях. Так, например, еще самим Сониным была создана
теория полу цилиндрических функций, а Олевскнм -тео-
рия функций /р(ч, s). Эти исследования были связаны
Ч Векуа 11. II., К теории цилиндрических функций, «Сооб-
щения Академии наук Грузинской ССР», 1946, 7, А?’3, стр. 95—101
(на грузинском языке).
2) Векуа 11. II., Новые методы решения эллиптических урав-
нений, М.—Л., 1948, стр. 95—103.
448
В. В. ГУСС0В
с рассмотрением функции от одного основного аргумента
Но в ходе развития науки возникли обобщения и в ином
направлении, обобщения, относящиеся к цилиндрическим
функциям многих переменных.
Отправляясь от исследований Бесселя, в 1849 г. Шлё-
мильх с целью решения астрономических вопросов в моно-
графии «Общее обращение заданных функций»1) рассма-
тривал обобщенное уравнение Кеплера
х — ехsin х — е2 sin 2х — ... — emsin тх— ... = у (51)
и дал его решение в виде тригонометрического ряда
СО
•£ = ?/ + 2 У Jk (/tCj, ке2..кет, ...) sin ку, (52)
1 де
А (^1» ^2» • • • » Ai» • • •) =
ТС
= -L cos (ки — sin и — ... — tm sin mu — ...) du. (53)
*o
Позже (в 1866 г.) Вейерштрасс также занимался обра-
щением ряда (51). Но ни Шлсмильх, ни Вейерштрасс
не изучали интегралы (53) как функции аргументов Zp
/2, ... Только в 1915г. П. Аппель2) предложил
рассматривать интегралы (53) как обобщение классической
цилиндрической функции Jh (Z) на случаи многих пере-
менных (Zlf t2, ...), число которых может и не
оставаться конечным.
1)Schl6milch О., Die allgemeine Lmkehrung gegebener
Funktionen, Галле, 1849.
2) Appel P., Sur 1’inversion approchke des certaines integrates
reelles et sur 1’extension de 1’equation de Kepler et des fonctions de
Bessel, «Comptes rendus de I’Academie des sciences de Paris», 19te»
160, стр. 419 — 423.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФЪ НКЦИЙ
449
После Аппеля эти функции в случае целого индекса
изучали Перес * *) и Джоковскпй -).
Идея рассмотрения цилиндрических функций многих
переменных при любом значении индекса впервые была
высказана М. II. Акимовым. В работе «Трансцендентные
функции Фурье -Бесселя многих переменных» 3) Акимов
поставил себе целью рассмотреть эти функции при любом
индексе, следуя глубже за тесной аналогией, которая
обнаруживается между этими функциями и классическими
функциями одного переменного.
Ход мыслен Акимова заключался в следующем. Уста-
новив производящую функцию для //Дай, д2,..., Д„) при це-
лых значениях индекса и воспользовавшись соотношением
3 (и—1)+^ („=_!_)+...+^ _ J)
g 2 ' U' 2 4 и-' 2 ' ип' __
4-оо
= 2 х2, зсп)ин, (54)
Ь= — со
автор выражает левую часть этого последнего формулой
4-со +со 4-со
2 .2 ... 2 4W4W •••
<1=—00 12 = —со itl——со
•••Ли(дп) «ii+2i2+-
и получает представление функции д?, ..., дп)
в виде кратного ряда из произведении обыкновенных ци-
линдрических функции первого рода
ЛСЧ, •••> *п) =
4-со 4-оо
= . 2 ••• 2 A—2io—...— niM (^1) Ji-2. (^2) • • ’ hi (Xr)'
i2=—00 in——00
*) Peres J., Sur les functions de Bessel a plusieurs variables,
*C inptes rendus de Г kcadiinie des sciences de Paris», 1915, 161,
стр. 168.
)Jekhowsky B, Les fonctions de Bessel dos plusieurs
variables exprinn'es par des functions de Bessel d’une variable.
«С uiptcs rendus de Г Academic des sciences de Paris», 1916, 162,
стр. 318.
) Л k i rn о f f M , Transccndantes de Fourier—Bessel a plusieurs
У3ВаЬ1еч, «Comptes rendus de PAcadunie des sciences de Paris»,
1916, 163, стр. 26-29.
29 тт
Историко-матсм. исследовании
450
В. В. ГАССОВ
Придавая индексу к произвольное значение и поль-
зуясь известными свойствами функции J£ (.т), при помощи
по lyuenuoro выражения можно распространить на случаи
любого А все соотношения, полученные раньше Пересом1)
только для целых значении индекса.
В этой же статье Акимов, пользуясь результатами
Сонина, находит общее иптенральпое представление функ-
ции J (г15 дп) для любого (и нецелого) значения
индекса к в виде
с
Как частные случаи этой формулы автор получает сле-
дующие интегральные представления:
А (•* х> • • • ’ J ~
= — cos (Атг — sin и — z2 sin — ... — л'п sin пи) du —
о
СО
__s'n С е— д-j sh v4 л-J sh 2n (—1)“лм sh nv—hv
0
и
Jk ‘^2’ ’ ’ ' > *^п)
к
= L_22^COS (ки+л\ sin и - х2 sin 2и+... - (-1)пт,( sin пи) du -
и
оо
__( 0^ s*n 1'" gxi sh v-f-.x-j sh 2v-|-...4xH sh nv—hv )
0
/?(<.) <0, Л(л)<0.
Рассматриваемую статью Акимов закапчивает словами
«Повторяя рассуждения II. Я. Сонина (делается ссылка
*) Peres, цит. соч.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
451
на его мемуар 1880 г.—В. Г.), получим другие интег-
ралы, например интегралы, представляющие функции
Бесселя второго и третьего рода с произвольным числом
переменных» г).
В другой статье под тем же названием* 2) Акимов
приводит следующее разложение функций J (.<•„ ,то, . .. гтп)
в ряд из произведений многочленов fr (,гг .г.,, ...,
г = 0, 1,2, определяемых условием
Ti X- х 00
,+т ,2+...+й = д (5(j)
i = 0
..., ж») ( —3:|t — ж2, ..., — a?„) _ _
Z 2*-®"*Г(А*-|-т-|-1).Ь2.....т ‘
m 0
При n — 1 этот ряд приводится к степенному ряду для
обыкновенных цилиндрических функции первого рода:
СО
2 2^3"'.Г (Л-Ь/?? + !)• 1-2 ... m -
7И = 0
Д 1я /1 = 2 и J\ — x, я’2 = у функции г2 Ху— нредста
вляют известные многочлены, удовлетворяющие уравне-
нию теории тепла
0vr _ d2i?r
ду dx3
и выражающиеся через многочлены Чебышева Эрмита
е* dzr^e
’) Akiinoff, цпт. соч., стр. 29.
2) Akimoff М., Transcnndantes de Fourier—Bessel a plusieurs
variables, «Comptes rendus de 1’Aeadi mie des sciences de Paris»,
1917, 165, стр. 23 — 25.
29*
452
В. В. ГУССОВ
Разложение (57), так же как (56) и (о4), рассматри-
вал в 1871 г. астроном Пулковской обсерватории Гильдецг),
не касаясь связи их с общей теорией цилиндрических
функций многих переменных.
В статье Акимова* 2) указано кроме того суммирование
при помощи многочленов бесконечных рядов, содержа-
щих цилиндрические функции многих переменных. Закан-
чивается опа формулой сложения для цилиндрических
функции многих переменных
Доо
S 1» *^2> • • • > *^п) (У1> У2> • • ' > Уп)> I | < Уц I •
т=—со
В других работах Акимов3) дополнительно установил
ряд важных результатов по теории цилиндрических
функций многих переменных:
а) из общего интегрального представления (55) выве-
дено интегральное выражение функции Jh(a\, г2, . .,хш)
при целом значении к:
1 с '
____ \ pi (Xl COS иДЛо COS 3v+...) у
i'<rt J
(J
X cos (rr2 sin 2r — sin 4t + At) tZc,
данное Хансеном для m — 1 в 1843 г.;
б) получено обобщение функции Yh(x) на случаи
многих переменных:
X2t • • •> Хп)~
cosknJk (a?|t х2, ., a:,,) —J-a (a?lt — а-2, ..( —l)n~xa:re) .
sin An ’
г) Gylden H., Studicn auf dem Gebiete dor Storungs-
tbeorio. 1—Entwicklun eima;cr Verbindungen elliptischor Funklio-
nen, St.-Pctersbourg, 1871 (Mernoires de 1* Academic des sciences de
St.-Petersbourg, 16, № 10).
2) Л к и м о n, цпт. соч.
3) Акимов M. И , О функциях Бесселя многих переменных
п пх приложениях в механике, Л., 1929.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 453
в) указаны некоторые обобщения для функции
А(*г1’ ‘г2> ••) РЯД°П Ломмеля, Неймана, Шлсмильха,
Каптейна и Нильсена, расположенных по функциям
Л(г). Л(М или Jh(kx) (& = 0, 1, 2. ...), а также по
произведениям этих функции;
г) дапо много важных соотношений в теории цилин-
дрических функций многих переменных, как, например,
71
1 С
— \ J2Jt cos а, 2д'2 cos 2а, .. ., 2.rin cos /на, . . .) da =
о
==[А(Л'1» J2> •••Л’пи •••)]“
и ряд других;
д) получено интегральное представление цилиндри-
ческих функций многих переменных, представляющее
собой обобщение замечательного интегрального предста-
вления Сонина, о котором подробно говорилось в раз-
деле IV.
Соответствующая формула Акимова имеет вид1)
ек (тс—Ф) i
Jh ( 1» ^2’ • • • » ^n) ~ X
X [ S e"ixlSin’’'COS3+iX2Sin 2’J'cos25"-cos(^icoS'bsina-
о
— x2 cos 2tp sin 2o + kd) ds — sin k~ x
f £1 (е0+ф1_е-6-ф{)+£? (e2 (0-H>i)_e-2 (О+ф*)) j. _/t0 ,
X \ e2 2 dO .
о
Для п = 1 эта формула переходит в формулу Сонина (33).
Акимов применил обобщенные цилиндрические функ-
ции к разложению пертурбационной функции в двукрат-
ные тригонометрические ряды по синусам и косинусам
истинных аномалий возмущающей и возмущаемой планет,
а также к решению целого ряда других задач астрономии,
механики и математической физики. Им написано свыше
15 работ, посвященных цилиндрическим функциям многих
переменных и их приложениям, в том числе цнтирован-
Акимов, цит. соч., стр. 103.
454
В. В. ГУССОВ
пая выше фундаментальная монография 1929 г. В этой
последней имеется подробный перечень литературы,
включая работы самого автора. О своих исследованиях
в рассматриваемом направлении Акимов докладывал
на Всероссийском съезде математиков в Москве в 1927 г.
и на Международном математическом конгрессе в 1928 г. -).
Пз сказанного следует, что Акимов был первым ученым,
подвер] шим систематическому исследован!но цилиндри-
ческие функции многих переменных, и что ему принад-
лежит основная роль в развитии их теории.
VII. РАБОТЫ ОТЕЧЕСТВЕННЫХ МАТЕМАТИКОВ
В ОБЛАСТИ ТАБУЛИРОВАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИИ
Русским ученым принадлежит создание ряда важней-
ших таблиц цилиндрических функции.
Наиболее равняя нз таблиц, вычисленных А. II. Дци-
ником, относится к 1911 г.3). Это таблица цилиндри-
ческих функций первого рода дробных порядков. В пей
даны значения функций J i (.г) и J г(з’) для величии
±з ~з
аргумента зс, заключенных в пределах от 0 до 8, с интер-
валом в 0,2. С этими функциями Динник встретился
в задаче об изгибе вертика 1ьных стержней под действием
их собственного веса.
Из указанной таблицы автором получены значения
первых двух корней функций Л (z) и (я) и первых
з з
J) Акимов М. II., О функциях Bessel’a многих переменных
и их приложениях в механике, в кн.: «Труды Всероссийского
съезда математиков в Москве 27 апреля—4 мая 1927», М.—Л., 1928,
стр. 224—225.
-) Akim off М., Ueber die Bessel’schen Funktionen rnelirerer
Variabeln, в кн.: «Atti del Congresso internazionale dei mate-
matici. Bologna 3 —10 settenibre 1928 (\ 1)>>, t 3, Bologna, 1930,
стр. 333 — 339.
3) D nnik A. X , Tafeln der Bessel’schen Funktionen
J j und J 2, «Archiv der Mathematik und Physik», 1911, 18, cip.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
455
трех корней функций/ i (aj и J 2 (.г). Первым корень
~ з “ з
для функции /[ был раньше вычислен 1 рппхиллом *).
3
Гринхплл дает для него приближенное значение (с из-
бытком).
К составлению другой таблицы цилиндрических фу нк-
дин, а именно функции первого рода порядка ± и ±—
Дииник пришел, рассматривая задачу об устойчивости
плоской формы изгиба, которая в случае сосредоточенных
сил решается с помощью указанных функций. Эта задача
была впервые исследована Праидтлем* 2), который при
этом вместо классических цилиндрических функций ввел
функции, довольно сложно связанные с этими последними.
Для них Прапдтль составил таблицы с тремя десятичными
знаками. Однако вычисление но этим таблицам цилин-
дрических функций является довольно затруднительным.
Кроме того, таблицы Прапдтля содержат ошибки. Поэтому
Дииник вычислил заново, пользуясь непосредственно
соответствующими степенными рядами, таблицы функции
J 1 и J з- Они были опубликованы в статье «Об устой-
±4 ±4
чивостн плоской формы изгиба» 3), где даны также первые
корни этих функций.
В задаче об устойчивости изгиба в случае равномерно
распределенных сил Диипику потребовались таблицы
функции J 1. Таблицы этих функций и их первые кор-
ни Дииник опубликовал в 1913 г.4). В этой же работе
Ч Greenhill A G., Determination of the greatest height
consistent with stability that a vertical pole or mast can be made,
and of the greatest height to which a tree of given proportions can
grow, «Proceedings of the Cambridge philosophical society», 1883,
% стр. 65- 73.
2) Prandtl L., Kippeischcinungen, 1899.
3) Дииник A. II., Об устойчивости плоской формы изгиба,
Известия Донского политехнического института», 1913, 2,
стр. 47—78.
’) Д н пи и к \ II., Приложение функций Бесселя к задачам
теории упругости, ч. 1—Статика, Новочеркасск, 1913
456
В. В ГУССОВ
приведены таолпцы Jр при р = ± у , ± у , ± — • Для
целых значений аргумента подобные таблицы были со-
ставлены Ломмелем. Но для решения некоторых задач
о кручении этого было недостаточно. Последнее обстоя-
тельство побудило Дпнника вычислить таблицы этих
функций через каждые 0,2 от х = 0 до х — 8.
В 1913 г. Динпик опубликовал1) таблицы цплиидрп
х ,1,3,5
ческпх функции первого рода порядков ± у, ± у , ± у,
1 3
± у , zb у- ^ти та^,,нцы Дагот с четырьмя десятичными
знаками значения соответствующих функции для aprj
мента от 0 до 8 с интервалами в 0,2. Они дополнили
существовавшие таблицы Янке и Эмде, ограничивавшиеся
только функциями целого порядка. В сопроводительном
тексте к этим новым таблицам автор кратко указал на
их применение при решении задач статики и теории
упругости. В 1914 г. Динпик опубликовал2) таблицы
функций / 1 (zz) и J 2(^)- Указанные функции были
*3 ±з
вычислены им с помощью степенных рядов от z = 0 до
х --8 с интервалами в 0,2 и с четырьмя десятичными
£ 1
знаками. При этом для г3 и i 3 были взяты простейшие
значения — i и -£-z. Из таблиц найдены минимум функ-
ции—iJ i(xi) и максимум функции J г(^)-
“з "з
*) Dinnik Л. N., Tafeln der Bcssel’schen Funktioncn J p
±2
J з und J 5, «Archiv der Mathematik und Physik», 1913, 20,
±2 ±-2
стр. 238—240; Dinnik A. N., Tafeln der Bessel 'schen Funktioncn
J j und J 3, «Archiv der Matheniatik und Physik», 1913, 21,
±4 ±4
стр. 324 — 326.
2) Dinnik A N., Tafeln der Bcssel’schen Funktioncn J ।
±3
und J 2, «Archiv der Mathematik und Physik»', 1914,22, стр. 226—2 •
±Э
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 457
Вышеуказанные таблицы были затем дополнены
и расширены их автором в следующих работах:
1) Таблицы функций Бесселя нулевого и первого
порядка от комплексного аргумента, «Журнал Русского
физико-химического общества Физический отдел», 1923,
55, вып. 1 —3, стр. 1-1 — 127.
2) Таблицы бесселевых функций дробного порядка,
«Записи! природо-техничного в!дд! л v Академы паук УРСР»,
1933, 29.
Перечисленные таблицы содержат значения функции
з з
4Cr)> G(*). ЛС«* 2 *)> AUO
п функции дробного поря пса
4(г) и Л(г)
. 12 13 15
для -Ьп=-т,-т, v, т, т , лг с четырьмя знаками,
3 .3 ’ 4 4 b ’ b 1
при х от 0,0 до 15,0 с интервалом 0,1, а также значения
первых нулей этих функции. Названные таблицы Дпн-
ннка перепечатывались затем в немецких таблицах Никс
и Эмде и в таблицах Ханши.
Диипнку принадлежит также целый ряд других таблиц,
например, вычисленные в 1915 г. небольшие таблицы
значений функций
С 1 г —-
A (z) = \ z~4 J\ (z) dz, B(z)=\z 4 J i(z)dz,
J 4 J ~4
содержащих цилиндрические функции под знаком инте-
грала1).
Кроме Дпннпка, таблицы цилиндрических функции
дробных порядков в СССР табулирова ш также JI 1 ришкова
и В. Р. Бурснан.
Гришкова в 1925 г. опубликовала2) таблицы функций
х) Д и н и и к A. II., О продольном изгибе при распределенной
нагрузке, «Известия Екатеринославского горного института», 1915,
вып. 1, стр. 15.
2) Гришкова II., Таблицы бесселевых функции J , и J 2
±з ±з
Действительного и мнимого аргументов, «Труды Донецкого техни-
кума им. Артема», 1925, стр. 52—57.
458
В. В. ГУССОВ
J ( н J 2, представляющие собой расширение соотвст-
±3 ~ 3
ствующпх таблиц Диппика. Для Zi (я) Бурсиап в 1935 г.
з
дал1) более точные и подробные, чем у Диппика, таблицы,
содержащие (v) А (а>) Для ж <1,2 и е~х1\(х) для
1,2<.т< 16.
Ценные таблицы значении интегралов от фу нкцпй /0 (х)
и Л'0(.г) принадлежат Бурспаиу и Фоку2). Эти таблицы
содержат значения функций
со х со х
А”о (.т) dr, /0 (г) dr, ех Ао (.г) dr, е~х 70 (д) dx
х 0 х О
в интервале 0,0 — 16,0 с шагом, равным 0,1 и с семью
значащими цифрами (некоторые из этих функции табули-
рованы только в части указанного интервала) Вычислен-
ные функции могут быть использованы для конструирова-
ния того решения дифференциального уравнения
которое конечно при х — 0 и стремится к нулю при х—>ос.
Довольно подробные таблицы цилиндрических функ-
ций включены в «математические и астрономические
таблицы», составленные С. II. 1 шзепапом при участии
А. А. Адамова, II. С. Кошлякова и др.3). Приведенные
в них таблицы цилиндрических функций, а также функ-
ций lL,(r) Г. О. Струве взяты из трактата Ватсона но
теории бесселевых функций.
х) 6 у реп а н В. 1’., Таблицы значений функции «Ученые
з
записки Ленинградского университета. Серия физических наук»,
1935, 1, вып 1, стр. 4 — 7.
2) В и г s I a n V. and Foe k V., Tabler of the functions,
«Труды физико-математического института имени В. А. Стеклова»,
1931, 2, вын. 1, стр. 1—10.
3) Г л а зела и С. II., Математические ц астрономические
таблицы, Л , 1932.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 459
13 конце книги Р. О. Кузьминаг) также помещены
таблицы цилиндрических функции. Значительная часть
этих таблиц не оригинальна, но некоторые из них
(например, таблиц],! функции мнимого аргумента) были
составлены заново пли существенно переработаны. Пере-
вычисление таблиц для данной книги производили ра-
ботавшие под руководством Кузьмина вычислители бюро
Научно-исследовательского института гидротехники. Во
втором издании киши количество таблиц осталось без из-
менении.
В заключение этого параграфа остановимся еще на та-
булировании функций koras, koi а: и их производных ker' .г,
kei' х. Эти функции* 2) табулировались очень подробно ввиду
их важности в теории переменных токов. Так, например,
для них были опубликованы3) таблицы с шестью или семью
значащими цифрами от as=O до .г = 10 с интервалом 0,1.
У Бурспана даны более современные таблицы перечи-
сленных сейчас функций. Первая из таблиц, приведен-
ных у Бурсиапа4), составлена по литературным данным,
проверена и местами перевычиелена Фоком. Она дает
значения функции ker .г, koi х, ker' х, koi' х с шестыо-ссмыо
значащими цифрами в области 0 0—10,0 с интервалом 0,1.
Вторая из упомянутых таблиц5) вычислена Бурспаном
и проверена, а также продолжена интерполяцией преды-
дущей таблицы. Она содержит значения только первых
двух функций с четырьмя десятичными знаками в области
0,00—1,20 с интервалом 0,01 п в области 1,20—2,40
с интервалом 0,02.
В послевоенные годы были изданы таблицы Л. А. Лю-
стерника, II. Я. Акушского, В. А. Диткпна 6), таблицы
0 Кузьмин Р. О, Бесселевы функции, Л. — М., 1933;
пзд 2-е, 7l. —М.. 1935.
2) Функции ker .г и kei х ввел в 1909 г. Рессел, определив их
соотношениями ker г i t kei х = Ко (х] /).
3) «British Association Report», 1915.
4) Б у р с и а н В Р., Теория электромагнитных полей,
применяемых в электроразведке, ч. 2, вып. 1, Л.—М., 1936,
стр. 117—120.
s) Там же, стр. 121—124.
®) Л ю с т е р п и к Л. А., А к у ш е к и й И. Я. п Дпт*
к п н В. А., Таблицы бесселевых функций» М.—Л.» 1949.
460
В. В. ГУССОВ
В. Н. Фаддеевой и М. К. Гавурина1), а также изданные
Академией наук СССР «Таблицы значений функций! Бес-
селя от мнимого аргумента»2 *).
Остановимся сначала па таблицах Люстсрпика, Акупг-
ского и Диткппа. Первая часть этих таблиц содержит ци-
линдрические функции первого рода нулевого и первого
порядков с семью знаками в интервале изменения аргу-
мента от ге=О до х=25. Часть вторая этих таблиц является
совершенно оригинальной и содержит впервые табулиро-
ванный материал. Появление ее бы.ю вызвано тем, что
существовавшие раньше таблицы были крайне неудобны
для использования при решении задач математической
физики, связанных с рядами Фурье- Бесселя, так как
применяемые при этом ортогональные системы функций
получаются из обыкновенных цилиндрических функций
умножением их аргументов на иррациональные числа. Соот-
ветственно этому в таблицах второй части приведены зпа
ченпя ортогональных систем функций J0(a/{rr), /0(Рр’).
разложение но которым особенно часто встре-
чается при решении задач математической физики. Здесь
а —корни дравнения
Л,Ю=о,
—корни уравнения
^Уо(.г)=-Л(Ж) = О
и —корни уравнения
с/х 1 4 '
Дополнительно приводится также таблица, содержащая по
сорок значений каждого из этих корней. Таблица закап-
чивается значениями нормирующих множителей для коэф-
фициентов Фурье—Бесселя. Таблицы Л юстсриика, Акуш-
ского и Диткппа имеют самую широкую область практи-
Ч Ф а д д е е в а В. П. п Г а в у р и п М. К., Таблицы функций
Бесселя Jn (х) целых номеров от 0 до 120, М.—Л., 1950.
2) Под ред. И. М Виноградова п II Г Ч е т а с в а,
М.—Л.» 1950.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
461
четких применений, давая возможность для цилиндриче-
ских функций решать задачи гармонического анализа
и синтеза.
1 од спустя после появления рассмотренных только что
таблиц вышли таблицы Фаддеевой и 1ав\рииа.
До выхода этой книги систематические таблицы цилин-
дрических функций первого рода целого порядка имелись
лишь для функций нескольких первых порядков (напри-
мер, таблицы Ханши, Камби, Ватсона, Кузьмина, ука-
занные выше таблицы трех авторов). Однако таблицы
цилиндрических функции первого рода целого порядка
и для больших значений порядка часто встречаются в раз-
личных вопросах, связанных с теорией колебаний и дру-
гими задачами матема1ическои физики, в частности
в электротехнике, радиотехнике, теории упругости, гид-
ромеханике. Поэтому вопрос о составлении соответствую-
щих таблиц стал актуальным.
Ленинградское отделение Математическою института
All ССС Р предприняло вычисления по составлению шести-
значных таблиц функций /п (1) для /4—0, 1.....120 и
О < ж <125 с шагом Дж = 0,1. Результаты вычисления
и составили основную часть указанных таблиц, появление
которых устранило имевшийся прежде в мировой литера-
туре столь существенный пробел.
1950 г. ознаменовался также выходом других больших
таблиц цилиндрических функций, которые были изданы
Академией наук СССР 1). Эти таблицы содержат значения
цилиндрических функций первого рода от мнимого аргу-
мента. Они появились в результате сотрудничества не-
скольких научных институтов Советского Союза. Вопрос
об их составлении возник во Всесоюзном научно-исследо-
вательском институте гидротехники в связи с исследова-
ниями В. Г. 1 алеркпиа ио цилиндрическим оболочкам
любой толщины. С 1936 г. вычисление этих таблиц со-
средоточилось в Академии паук СССР и было закон-
чено в 1937 г. при участии Математического инсти-
тута им. В. А Стеклова и Института механики. Большое
Таблицы значений функций Вессели иг мнимого аргумента,
под ред. П. М. В ц и о г р а д о и а н 11. Г. Ч е i а с в а, М.—Л., I960.
4В2
В. В. ГУССОВ
значение для выполнения этой работы имело общее ру-
ководство инициатора составления таблиц Галеркипа.
В 1941 г. издательство Академии иа^к закончило набор
этих таблиц. Однако но обстоятельствам военного вре-
мени издание было задержано. По окончании войны та-
блицы были просмотрены вновь и расположение мате-
риала в них улучшено. В 1949 г. издание их возобнови-
лось и в след\ ющем году они вышли в свет. казан-
ные таблицы содержат значения функций
70(йг), -Й/Дм), -//^(йт)
и функций
Ji (йг), J i (йс), А’0(а) н АД.г).
2 — 2
Значения функций!
/0(йг), —
даются с восемью знаками после запятой. Значения
остальных функций даются с восемью значащими цифрами.
Аргумент изменяется через 0,601 в интервале от 0 до 10.
Приведены также первые разности значений функций.
VIII. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИИ В ИССЛЕДОВАНИЯХ РУССКИХ УЧЕНЫХ
Мы остановимся здесь на некоторых вопросах, не
игравших роли в развитии самой теории, но при решении
которых успешно применялась последняя. При этом мы
ограничимся указанием лишь на отдельные работы рус-
ских авторов, использовавших теорию цилиндрических
функций для получения новых результатов в математике,
математической физике н технике.
О мемуарс М. В. Остроградского но гидродинамике
речь была в главе I.
Чисто математическое применение цилиндрических
функций имеется в исследовании преемника II Я (.’опина
по Варшавскому университету Г. Ф. Вороного. В докладе
на третьем международном конгрессе математиков в 1 с”"
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ИИ ЛИН ДГПЧГС1Л1Х Ч5ИИШ1П 463
дельборге1) Вороной решил задачу о представлении
с помощью цилиндрических функций двойной суммы
£ = У / (pn2 -j- 2qmп -ф г/г2),
т,п
распространенной па все целые решения неравенства
а < pin2 4- Iqmn -г гп2< Ь,
где а и Ъ—два положительных числа, a pm2-\-2qmn-\-
-{-гп2—положительная квадратичная форма с целыми коэф-
фициентами; /(.?;)—какая-либо функция, непрерывная
в интервале а<х< b и имеющая в этом интервале конечное
число максимумовп минимумов. Boponoii получил формулу
для 5, содержащую цилиндрические функции первого рода
нулевою порядка. Из найденного выражения для Л при
помощи асимптотических разложений цилиндрических
функций вытекают замечательные результаты, относящие-
ся к приближенным значениям рассматриваемых сумм.
Этими исследованиями Вороного была открыта новая
область применения асимптотических разложений ци-
линдрических функций для больших значений модуля
аргумента.
При решении вопроса о распространении теплоты в те-
кущей жидкости путем теплопроводности и конвекции
в 1891 г. цилиндрические функции были использованы
Г. Н. Шебуевым2). К вопросу о движении нагретой жидко-
сти в трубопроводах цилиндрические функции были
в 1907 г. применены К. А. Есиповым3). В другой
О Voronoi G., Sur 1с (Lvc kip решен I a 1’aide des functions -
cylindriques des soinmes doubles Yf (pm2-[-2'rmn-\-rn2), ou
pm2 \-2qmn-\-rn2 est uno forme positive a coefficients enlie's, и кн.:
«Verhandhingen desdritten Inter nalionaleii Mallienialiker-Kongress in
Heidelberg voin 8. bis 13. August 1904»,, leiiimnr, 19(15(стр. 241 — 245).
2) Шебу св Г. 11., К вопросу о распространении теплоты
в текущей жидкости путем теплопроводности и конвекции, «Из-
вестия Физико-математического общества при Казанском универ-
ситете», 1891, 1, А" 1, стр. 22—45.
3) Е си по в К. А., К вопросу о движении нагретой жидко-
сти в трубопроводах, «Труды Отдела физических наук Общества
любителей естествознания, антропологии и этнографии при Москов-
ском университете», 1907, 13, вып. 2, стр. 1—И.
464
В. В. ГУССОВ
статье1) Есппов рассматривает с помощью цилиндриче-
ских функций вопрос о равновесии упругого диска на
деформирующейся опорной поверхности, приводя при этом
решение к удобному для практических целей виду.
Интересным примером применения цилиндрических
функций к гидродинамике является статья С. А. Чаплы-
гина, опубликованная в 1903 г.2). В этой статье автор ре-
шает задачу о плоско-параллельном движении беспре-
дельной массы несжимаемой жидкости, причем движение
ее вне некоторого круглого цилиндра происходит с потен-
циалом скорости и притом в бесконечно удаленных точках
скорость равна пулю. Требовалось подобрать такое рас-
пределение вихревых нитей внутри цилиндра, чтобы по-
лучился поступательно перемещающийся вихревой столб,
чтобы скорости всюду изменялись непрерывно и чтобы
давление нигде не падало ниже пуля. Все исследование
Чаплыгина основано па цилиндрических функциях и их
свойствах, так как эти функции входят в выражение
функции тока.
Обратимся теперь к работам Диппика, который сыграл
выдающуюся роль в деле внедрения цилиндрических
функций в инженерную практику. Уже в 1911 г. цилин-
дрические функции были с успехом применены этим уче-
ным при решении вопроса об устойчивости сжатой круг-
лой пластинки3) и для определения температурных на-
пряжений п деформаций в цилиндре4).
Эта последняя задача приводит к совместному инте-
грированию уравнений теплопроводности и теории упру-
гости и поэтому представляет весьма большие трудности.
х) Есипов К. А., О равновесия упругого диска на дефор-
мирующейся опорной плоскости, «Труды Отдела физических наук
Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии
при Московском университете», 1904, 12, вып. 2, стр. 1—12.
2) Чап л ы г и п С. А , Один случай вихревого движения
жидкости. См. Соор, соч., т. 11, М.—Л., 1948, стр.155—165.
3) Динпик А. II., О разложении произвольной функции
в ряд Бесселя, «Известия Киевского политехническою института,
Отдел инженерно-механический», 1911, кп. 1, стр. 83—85.
4) Д и и н и к А. II., Температурные напряжения в цилиндре,
«Известия Киевского политехнического института. Отдел инже-
нерно-механический», 1911, кн. 2, стр. 151—167.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
465
До работы Дпшшка имелось решение лишь для немногих
частных случаев и то главным образом для стационар-
ного распределения температур. Дипнику удалось рас-
смотреть случаи цилиндра (сплошного и полого) при не-
стационарном распределении температуры. При этом
он получил удобные расчетные формулы и привел число-
вые примеры. Основную роль при решении дайной про-
блемы играют цилиндрические функции, с помощью
которых ПНТС1 рнруются соответствующие дифференциаль-
ные уравнения.
В 1914 г. Дипннк опубликовал работу, относящуюся
к продо тыюму изгибу стержней1). Сжатые стержни пере-
менного сечения, подвергающиеся опасности продольного
изгиба, часто встречаются в строительной практике. До
указанной работы Див ника проверка подобных стержней
па прочность производилась обычно при помощи формулы
Эблера, справедливой лишь для призматических стерж-
ней. Эго приводило к значительным погрешностям.
Автору удалось, пользуясь цплин [рическимп функциями,
получить простые расчетные формулы для некоторых за-
дач соответствующего вида, имеющих практическое зна-
чение, а именно, оп рассмотрел вопрос о продольном изги-
бе стержней, жесткость которых меняется по биномиаль-
ному закону.
Оставаясь верным своей постоянной тенденции пред-
ставлять результат в форме, пригодной для практического
использования, и пользуясь установленными им точными
формулами, Днннпк получил в рассматриваемой статье
ряд числовых таблиц для коэффициентов устойчивости
и дал примеры определения критической силы для качаю-
щейся опоры виадука и для шатуна.
Другая работа Динппка2) посвящена вопросу о про-
дольном изгибе при нагрузке, распределенной вдоль
г) Д и н п и к A. II., Продольный изгиб стержней, жест-
кость которых меняется по биномиальному закону, «Известия
Екатерпнославского горного института за 1914 год», вып. 2,
стр. * Ц1—22.
2) Дииник Л. II., О продольном изгибе при распределен-
ной^ нагрузке, «Известия Екатерпнославского горного института»,
Ulo, вып. 1, стр. 1—19.
30 Исторпки-матем. исследования
466
в. в. ГУССОВ
длины стержня. До него в России этой задачей занима-
лись главным образом Ф. С. Ясинский и С. П. Тимо-
шенко. Еще до этих исследований англичанин Грип-
хилл рассмотрел один частным случаи, для которого
он составил уравнения изгиба, проинтегрировал их, ио
почти не вычислял критических нагрузок, так как в
то время не было таблиц цилиндрических функций дроб-
ного порядка, необходимых для подобных вычисле-
нии. Соответствующие таб шцы были составлены Динни-
ком в 1913 г.1). Пользуясь ими, Динпик продолжил
прежние исследования рассматриваемого вопроса и со-
ставил числовые таблицы для коэффициентов устойчи-
вости.
В статье «К теории цилиндрических резервуаров со
стенкой церемонной толщины»2) Динпик решил задачу об
определении напряжений и деформаций в цилиндрических
резервуарах с учетом изгиба и деформации срединной
поверхности. До этой работы для цилиндрического бака
со стенкой, толщина которой меняется по линейному за-
кону, существовало только решение . 1орепца в виде сте-
пенного ряда3). Рядами же были выражены все напря-
жения и деформации.
Все эти ряды достаточно быстро сходились в случае
значительной толщины стенок (каменные водохранилища,
плотины); для тонкостенных сосудов (например, железных
резервуаров) сходимость рядов была настолько мала, что,
как признавал сам Лоренц, все решение было практически
неп] игоднэ.
Это обстоятельство побудило Динника искать реше-
ние в замкнутой форме с помощью цилиндрических
функций. Ему это удалось, и в результате он получил
формулы, годные для расчетов как толстостенных, так
и тонкостенных резервуаров. Важную роль в разработке
вопросов применения цилиндрических функции к задачам
х) Д и н н н к А. II., Приложение (J j акций Бесселя к задачам
теории yiipj гости, ч. 1—Статика, Новочеркасск, 1913.
2) «Известия Екатерниославского горного института», 1914,
вып. 2, стр. 1—9.
3) L о г с n z Н., Lehrbuch der techuischen Physik, т. 4,
Technische Elaslizitatslchre, Мюнхен, 1913, j 63, II.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 467
прикладного характера сыграла монография1) того же
автора.
В разделе I первой части этой монографии в общих
чертах, иногда без «.оказ.ательства, ио четко н ясно при-
ведены основные положения теории цилиндрических функ-
ции, содержащие только тот материал, который необходим
для понимания остального текста. Написать указанную
главу автора побудило полное отсутствие в го время како-
го-либо руководства по цилиндрическим функциям па
русском языке. ((.'-ведения, имевшиеся в упоминавшейся
нами ранее монографии \1. Ф. Хандрпкова, были совер-
шенно недостаточны.)
В следующих главах первой части содержатся прило-
жения цилиндрических функции в теории упругости.
В дополнении к ней даны вычисленные автором таблицы
некоторых из этих функции. В этой части монографии
разобраны многочисленные статические задачи теории
упругости, решаемые при помощи цилиндрических функ-
ций (теория крут юй мембраны, круглая пластинка при
симметричной нагрузке, устойчивость сжатой круглой
пластинки, продольный изгиб и т. д.).
Во второй части монографии Дииник даст решения мно-
гочисленных задач из области колебательных явлений,
дифференциальные уравнения которых могут быть про-
интегрированы с помощью цилиндрических функций.
Здесь последовательно и систематически рассматриваются
отдельные группы задач, например колебания струн
с переменной и ютпостыо, стержней переменного сечения,
различные вп и»! колебаний цилиндров, пластин, темпера-
турные колебания в цилиндрах, колебания подвешенных
нитей, пружин и т. д. В каждой группе исследуются раз-
нообразнейшие Iраипчиыс условия.
Пользуясь цилиндрическими функциями, автор полу-
чает точные решения рассматриваемых задач и в ряде слу-
чаев производит интересные сравнения с ранее известными
приближенными их решениями. Почти все задачи сопро-
*) Д и н в пк А. Н., Приложение функций Беос.еЖя к зада-
чам теории упругости. Часть 1—Статика, Новочеркасск, 1413.
Часть 2—Теория колебаний, «Известия Екатерпнославского гор-
ного института», 1У15, выв. 2, стр. 1—137.
30*
468
в в. ГУССОВ
вождаются соответствующими числовыми примерами, от-
носящимися к определению распределения узлов, пери-
одов колебании, возникающих при колебаниях напряже-
ний и т. д Особо обсуждаются результаты, важные для
практических применений, как, например, продольные
колебания подъемных канатов в шахтах, радиальные ко-
лебания стволов орудии и многие другие. К этой части
также приложены некоторые таблицы цилиндрических
функций дробного порядка и их корней, которые необхо-
димы д 1я решения помещенных в тексте задач.
Из более поздних работ Диннпка по приложению ци-
линдрических функций к решению технических проблем
отмстим ею доклад1) на 11 Всесоюзном математическом
съезде в Ленинграде в 1934 г., где он указывает на решение
им в ряде случаев с помощью цилиндрических функций
задачи определения критической силы для составного
стержня. Эта задача представляет большой технический
интерес, так как подобные стержни встречаются очень
часто в инженерных сооружениях.
Рассмотренные нами выше работы Динника далеко не
исчерпывают всех исследовании этого автора, относящих-
ся к пашей томе.
При выборе примеров применений цилиндрических
функций мы намеренно останавливались на более ранних
работах русских авторов, так как современная литература
более известна и, кроме того, даже простое упоминание
о всех работах прикладною и теоретического характера,
которые вышли после 1917 г. и в которых используются
цилиндрические функции, невозможно, да и не входит
в наши намерения. Укажем лишь для примера па некоторые
работы, относящиеся к теории электрического карротажа.
С 1928 I. в геологоразведке начал применяться так
называемый метод электрического карротажа. Карротаж
представляет собой электрическое исследование скважины,
имеющее целью определение сопротнв юния пород, пере-
секаемых буровой скважииои, без их извлечения. Это
*) Дин ни к А. II., Продольный изгиб стержней перемен-
ного сечения, вкп.: «Труды II Всесоюзного математического съезда.
Ленинград, 24—30 нюня 1934», т. 2, Л.—М., 1936 (стр. 277—281).
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 4С9
определенно дает результаты, которые могут быть исполь-
зованы для целей промысловой практики аналогично ре-
зультатам исследования образцов, взятых пз скважины.
Успешное применение карротажа позволяет ускорить
п удешевить проходку.
В 1933 г. В. А. Фок соз 1ал точную математическую тео-
рию карротажа1). Дальнейшее развитие этой теории при-
надлежит Л. М. Альпину2). В построении и развитии этой
теории существенную роль играет теория цилиндрических
функций. Без иее невозможно было бы создание теории
карротажа.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Введение в математику цилиндрических функций было
вызвано важными нуждами анализа и его приложений.
Но, прежде чем эти новые аналитические элементы вошли
в науку в качестве признанных составных частей, потре-
бовалась большая предварительная работа, показавшая
все их значение и необходимость.
Цилиндрические функции вошли в пауку при решении
проблем механики, динамической астрономии и математи-
ческой физики. Сначала свойства этих функций получа-
лись как побочный продукт при исследованиях естествен-
но-научного характера, но, начиная с 30—60гг. XIX века,
изучение этих функций становится во многих исследова-
ниях самостоятельной целью.
В развитии теории цилиндрических функций можно
выделить три периода:
1. Период введения понятия этих функций и первого
исследования их отдельных свойств (1738—182-4).
2. Период оформления теории отдельных видов цилин-
дрических функций (1824—1880).
3. Период создания общей теории указанных функций
и различных их обобщений (начался около 1880 г., про-
должается но настоящее время). ,
х) Ф о к В. А., Теория определения сопротивления горных
пород по способу карротажа, Л.—М., 1933.
2) А л ь п и н Л. М., К теории электрического карротажа бу-
ровых скважин, М.—Л., 1938.
470
В. В. гуссов
К первому периоду относится деятельность Д. Бернул-
ли, Эйлера, Лагранжа, Фурье п Пуассона. Начало его
положено работами петербургского акад. Д. Бернулли,
а основные результаты были найдены петербургским
акад. Л. Эйлером. В этот период цнлпндрическпс функ-
ции появлялись при решенпи различных конкретных
задач и еще не были самостоятельным объектом изучения
в математическом анализе. Они не имели никаких спе-
циальных обозначений и названий. Каждая из встретив
шихся функций рассматривалась вне связи с другими
функциями того же рода.
Второй период в развитии теории цилиндрических
функций датируется с мемуара Бесселя 1824 г. В тече-
ние этого периода, продолжавшегося до 1880 г., была
более или менее систематически разработана теория цилин-
дрических функций первого и второго рода, введены спе-
циальные обозначения и наименования для этих функций,
обобщено понятие о них на все вещественные и комплекс-
ные значения индекса. При этом начали рассматривать по
каждую из функций Jn(.r) и >’п(.г) саму по себе, а систе-
мы соответствующих видов функций. К этому же периоду
относится установление самой тесной связи теории цилин-
дрических функций с теорией аналитических функций.
Третий период был вызван к жизни мемуаром II. Я. Со-
нина 1880 г., в котором была создана общая теория цилин-
дрических и полуцплиндрическпх функции. Этот период
продолжается и по настоящее время.
В пашей стране были выполнены важнейшие исследо-
вания по теории цилиндрических функций. С пей полно-
стью связано начало первого и третьего периодов в раз-
витии их теории и получены следующие основные резуль-
таты этой теории:
1. Впервые введены в пауку в виде бесконечного сте-
пенного ряда цилиндрические функции первого рода ну-
левого порядка (Д. Бернулли, 1738).
2. Отмечено наличие бесконечного числа нулей у функ-
ции J0(.r) (Д. Бернулли, 1738).
3. Найдено основное дифференциальное уравнение
(уравнение Бесселя) цилиндрических функций (Д boj»-
нуллп, 1740; Л. Эйлер, 1764).
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
471
4. Введены в анализ цилиндрические функции первого
рода с любым индексом (Л. Эйлер, 17(54).
5. Установлено, что функция в случае v, рав-
ного половине нечетного числа, может быть выражена
конечным образом через элементарные функции (Л. Эй-
лер, 1762-1765).
6. Введена в науку цилиндрическая функция второго
рода, для которой дан ряд и интегральное представление
(Л. Эйлер, 1769).
7. Использовано выражение, дающее интегральное
представление цилиндрических функций первого рода
(Л. Эйлер, 1769).
8. Получено выражение функции 70(.z) в виде бесконеч-
ного произведения (Л. Эйлер, 1781).
9. Открыт метод вычисления наименьших корней ци-
линдрических функций (Л. Эйлер, 1784).
10. Созданы новые принципы построения теории ци-
линдрических функций при помощи теории межд^ пре-
дельного дифференцирования с произвольным указате-
лем (А. В. .Четников, 1874).
11. Введены в математику общие цилиндрические функ-
ции и создана их тсорпя, основанная на рекуррентных
соотношениях (II. Я. Сонни, 1880).
12. Введены в науку полупи шпдричсские функции
и разработана их теория (II. Я. Сонин, 1880).
13. Создай новый, общий метод получения интеграль-
ных представлений цилиндрических функций и с его
помощью найдены многие важные интегральные пред-
ставления отдельных видов этих функции для случая
одного аргумента (II. Я. Сонин, 1880).
14. Установлена общая теорема сложения (II. Я. Со-
нин, 1880).
15. Введены функции и заложены основы построе-
ния их теории (1. О. Струве, 1882).
16. Разработаны методы получения асимптотических
разложений цилиндрических функций с помощью теории
Дифференциальных уравнений (И. Р. Брайцев, 1902;.
В. А. Стеклов, 1907).
17. Найдена производящая функция для цилиндри-
ческих функций миогпх переменных и понятие о них рас-
472
В. В. ГУССОВ
пространено на случай нецелого указателя (М. И. Аки-
мов, 1916).
18. Представлены в виде различных рядов цилиндри-
ческие функции многих переменных и для этих функ-
ции получена формула сложения (М. II. Акимов,
1917).
19. Найдены важнейшие виды интегральных представ-
лений цилиндрических функций многих переменных и
для них обобщены ряды Ломмсля, Неймана, Шлёмильха,
Каптейна и Нильсена (М. И. Акимов, 1916—1929).
20. Введены и изучены функции (77,6,v, и др.
(В. С. Игнатовскии, 1924).
21. Обобщено понятие цилиндрических функций вто-
рого рода на случай многих переменных (М. И. Аки-
мов, 1927).
22. Произведено обобщение цилиндрических функций
в направлении изучения функций J(k,p,[).,x) и Y(k,p,p,x)
(М. II. Олевский, 1943).
23. Создан новый общий метод построения теории ци-
линдрических функций, основанный на теории эллипти-
ческих уравнении (И. Н. Векуа, 1946).
24. Вычислено много важнейших определенных инте-
гралов, содержащих под знаком интеграла цилиндриче-
ские функции (II. Я. Сонин, В. С. Игнатовскии, П. С. Ко-
шляков, В. А. Фок, А. И. Попов и др ).
25. Исследованы асимптотические разложения цилин-
дрических функций (А. А. Адамов, Н. С. Кошляков,
А. В. Светлов, В. Строганов).
26. Создан для цилиндрических функций ряд важных
таблиц (А. II. Дииник и др.).
27. Найдены широкие применения этих функций для
решения проблем математики, механики, математической
физики и техники (М. В. Остроградскпй, Г. Ф. Вороной,
А. Н. Динник, М. И. Акимов, С. А. Чаплыгин, В. А Фок
и др.).
Некоторые из только что перечисленных важных ре-
зультатов были повторены иностранцами.
Таким образом, заслуги отечественных ученых в со-
здании и развитии теории цилиндрических функций,
в обогащении мощного формульного аппарата этих функ-
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
473
цпй, а также в открытии новых областей их приложений
в самой математике, физике и технике весьма велики
и многообразны. При этом в советский период были уста-
новлены новые плодотворные взаимосвязи расматри-
ваемоп теорпп с другими важными математическими
теориями, указаны многочисленные практические при-
менения цилиндрических функций, а также сделаны
замечательные успехи в пх табулировании. Работы оте-
чественных ученых оказали глубокое влияние на раз-
витие мировой науки.
Настоящая статья далеко не исчерпывает всего богат-
ства исследований отечественных авторов по теории инте-
ресующих нас функции, по и сказанное с полной убе-
дительностью доказывает, что теория цилиндрических
функций возникла и была е сугцественнейших ее элементах
разработана в России и СССР.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВОПРОСЫ ТЕРМИНОЛОГИИ
В течение длительного промежутка времени математики полу-
чали и использовали ряды и интегралы, соответствующие различ-
ным нитам цилиндрических функций, не применяя для них спе-
циальных наименований и обозначений. •
Впервые особый символ для цилиндрических функции ввел
в 1824 г Бессель. Однако никаких терминов для этих функций еще
долго не существовало.
Первоначально цилиндрические функции были пазвайы «функ-
ции Бесселя». Ватсон пишет1), что такое название впервые употре-
бил Якоби. Однако это не так. В статье Якоби, на которую ссылает-
ся Ватсон, имеются лишь фразы, вроде «если мы положим вместе
с знаменитым Бесселем... («si cum ill. Bessel ponimus... Jfe»)
и т. д. но выражения «бесселевы функции» или «функции Бес-
селя» отсутствуют, не говоря уже о том, что Якоби совсем не ста-
вит вопроса о каком-либо особом наименовании для рассматривае-
мых функций.
В а т с о н, ч I, стр 98
' 1). В ГУССОВ
В действительности термин «бесселева функция» ввел в 1857 г.
Шлёмпльх 1). Предложенный Шлсмпльхом термин был подхвачен
многими исследователями, так как к тому времени созрела необ-
ходимость какого-либо особого наименования для соответствующего
Понятия, которое уже завоевало в науке все права гражданства.
Несколько позаже, в 1828 г., возник термин «цилиндрическая
функция». Эго название было предложено Гейнс но аналогии с су-
ществовавшим еще с 1828 г. термином «шаровая функция».
Вот что в связи с этим пишет Гейнс:«... Функция, которая в тео-
рии теплоты и притяжения цилиндра играет ту же роль, что н ша-
совая функция в случае шара, неоднократно рассматривалась в по-
следнее время.... Так как Фурье ввел эту функцию2 3) и открыл
важные ее свойства, то противоречит обычаям, несмотря па несом-
ненное значение работ Бесселя, наименование ее бесселевой, как
это происходит в последнее десятилетие... Если необходимо особое
найм новани-е, то можно употреблять название ^цилиндрическая
функция*9), если нс предпочесть термина, который соответствовал
бы се значению при вычислении возмущении ’)».
Хотя только что цитированная статья Гейнс и носит название
«функция Фурье—Бесселя», ио очевидно, что имя Бссссля в заголов-
ке этой статьи было у помянуто с той целью, чтобы читатель дога-
дался о сс содержании, так как термин «бесселева функция» к тому
времени уже получил достаточное распространение. Что же касает-
ся имени Фурье, то его присоединение к имени Бссссля понятно
из только что приведенной цитаты. Во всей статье, а также и в дру-
гих своих работах, Гейне пользовался предложенным им термином
«цплипдрююская функция». По его пути пошел и ряд других ученых,
в том числе Ханксль, который, употребив для функции Jn (х) на-
звание «цилиндрической», далее пояснил: «Я здесь присоединяюсь
к удачному предложению г. Гейне» 5 * *).
Пз сказанного видно, насколько неправ Ватсон, когда он пишет:
«Невидимому, 1 ейие тоже поддерживал введение термина „цилин-
дрические функции*4 ®). Во первых, не «повпдпмому», так как Гейне
прямо писал (см. выше): «Если необходимо особое наименование,
то...» и всюду последовательно придерживался этого термина.
Во-вторых, из кппги Ватсона может создаться впечатление, что
х) Sch16 milch О , I’eber die Bcssel’sche Funktion, «Zeits-
chrift fur Mathcinatik und Physik», 1857, Jahrgang 2, стр 137 Соот-
ветствующую цитату, представляющую интерес и в других отноше-
ниях, читатель найдет на стр. 379—380 пашой статьи.
2) Как мы знаем, эта заслуга принадлежит не Фурье, а Д. Бер-
нулли и Эйлеру.—В. Г.
3) Подчеркнуто нами.—В. Г.
4) Heine Е , Die Fourier—Bcssel’sche Funktion, «Journal
fur die reine und angewandte Mathematik», 1868, 69, стр 128
5) Hanke 1 II., Die Zj lindcrfunktioncn erster und zweitcr
Art, «Matheniatischc Annalen», 1869, 1, стр 467
*) Ватсон, ч. I, стр. 98.
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
475
уже до Гейне существовал термин «цилиндрическая функция» п что
Гейне его только поддерживал. Но и это неверно, так как Гейне ввел
этот термин сам.
Попутно исправим еще одну ошибку Натсона, который заме-
чает: «Некоторые авторы (в примечании к этому месту Ватсон на-
зывает Никола.—7>. Г.), следуя 1 ейне, назвавшего Jn (z) функцией
Фурье—Бесселя, именуют Jlt(=) функцией Фурье» ’)-
Выше мы видели, что Гейнс не был инициатором наименования
«функция Фу рье—Бесселя», а одна небольшая цитата из статьи Ни-
кола, па которую ссылается Ватсон, ясно покажет, что этот автор
ввел термин «функция Фурье» вопреки Гейне.
Указав, что Гейне предложил наименование «цилиндрическая
функция», Никола далее говорит: «... по поскольк является спра-
ведливым восстановление чести, законно принадлежащей фран-
цузскому ученому, мы их (т. с. упомянутые выше функции.—В. Г.)
охотнее назовем функциями Фурье...» 2).
Свою историческую справку, которая относится к вопросу упо-
требляемой в теории цилиндрических функций терминологии и с со-
держанием которой мы познакомились выше, Ватсон закапчивает
словами: «Но вопросу о том, какое название на самом деле следовало
бы и шевоить этим функциям, нет полного согласия. Полемику на
эту тему можно найти в ряде писем в Nature, LX (1899), стр. 101,
174; LXXX1 (1901), стр. 68»3)
Вряд ли Ватсон поместил бы процитированную сейчас фразу
в данном контексте, если бы сам взглянул в указа иные нм письма,
так как в них вся полемика связана с одним единственным вопросом:
писать ли «Bessel functions» пли «Bessel’s functions»!!!
Мы in останавливались бы на разборе исторических замечании
Ватсона, если бы его книга не играла в настоящее время роль основ-
ного справочною руководства.
х) Ватсон, ч. I, стр. 98.
N i с о 1 a s J., Etude des fonctions de Pourier (premiere
et deuxiemc especes), «Annales scientifiques de 1’1‘kole normale su-
pcricure de Paris», 1882, supplement an t 11, стр. 47.
3) Ватсон, ч. I, стр. 98.
ОБ ОТКРЫТИИ И. И. ЛОБАЧЕВСКИМ хМЕТОДА
ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В, Ф. Рогаченио
Среди приемов приближенного решения численных
алгебраических уравнений выделяется по своей важности
метод, основанный па составлении вспомогательных урав-
нений, корни которых суть достаточно высокие, 2₽-е,
степени корней заданного уравнения. Долгое время откры-
тие этого метода приписывали швейцарскому математику
К. 1. Греффе (1837). Ф. Кеджори в 1910 г. выступил с утвер-
ждением, что метод последовательного возведения кор- •
нон в квадрат принадлежит бельгийскому математику
Ж. И. Дапделепу (1826)х). В последнее время в литературе
по истории математики высказывалось мнение, что неза-
висимыми друг от друга создатс шми этого метода были
Дапделен (1826), 11. И.’ Лобачевский (1834) и Греффе
(1837). Мы покажем, что это мнение не вполне соответст-
вует действию 1ыюму положению вещей и что по существу
приоритет в открытии названного метода принадлежит
великому русскому геометру.
На тот факт, что 1обачевский нашел этот метод ранее
Греффе, впервые указали Э. Уиттэкер и Г. Робинсон
и профессор Казанского университета И. II. Парфентьев.
Ч С a j о г у F., A history of the arithmetical methods of appro-
ximation to the roots of numerical expiations of one unknown quan-
tity, «Colorado college publications. Science series», 1910, 12. Cp
Wiclei tner II., Gcschichle der Mathematik, ч. 2, Берлин.
1923, стр. 73.
478
В. Ф. РОГЛЧЕПКО
Первые два автора, приступая в своем курсе приближен-
ных вычислении к изложению интересующего нас метода,
пишут, что он «...был предложен независимо друг от друга
Дапделсиом в 1826 г., Лобачевским в 1834 г. и Греффе
в 1837 г.»1). Парфентьев пишет: «Своей заметкой я хотел
бы подчеркнуть, что при изложении метода Греффе и
пользовании им надлежит всегда помнить, что метод этот
по приоритету должен называться методом П. П. Лоба-
чевского»2). II тут же, противореча себе, он продолжает:
«Мои справки но истории этого вопроса показали мне,
что дгетода Греффе была в науке использована Дапдсле-
пом в 1826 г...а посему справедливость требует, чтобы
при изложении этого метода и пользовании им были назы-
ваемы все три автора, невидимому, независимо открывшие
метод». Парфентьев указывает, что о существовании ме-
муара Данделена оп узнал из книги Уиттэкера и Робин-
сона, причем, как явствует из текста статьи, с содержа-
нием этого мемуара он знаком не был.
11. Г. Чеботарев, редактор алгебраических сочинений
Лобачевского (4-й том Полного собрания), несколько раз
указывает на то, что Лобачевский раньше Греффе открыл
метод решения уравнений3). По, перепечатывая в том же
томе заметку Парфентьева, он ни словом нс обмолвился
об отношении Данделена к истории открытия этою
метода.
А. II. Юшкевич, давая в своей работе «Математика и ее
преподавание в России в XVII—XIX веках» краткий об-
вор «Алгебры» Лобачевского и касаясь его метода, пишет:
•«Прием этот, до сих пор часто называемый способом Грсф-
х) \\ hittakcr Е. Т. and lloltiiison G., The calculus
of observations: a treatise on numerical mathematics, Нью-Йорк,
1924, изд. 3-е, Глазго, 1928; рус. пер.—«Математическая обработка
результатов наблюдения», Л.—М., 1933, стр. 102.
2) И а р ф ситьсв II. И., Историческая заметка но поводу
одного метода решения численных алгебраических уравнении, дан-
ного II. П. Лобачевским, «Ученые записки Казанского универ-
ситета», 1925, 85, стр. 53 — 55. Цитируется но перепечатке^ в
«Полном собрании сочинений» II. И. Лобачевского, т. 4, М.—Л-,
1,948,. стр. 432.
3) Д о о а ч е в с к и й II. II., Полное собранно сочинении,
т. 4, М,—Л., 1948, стр. 19, 20, 365, 431.
ОТКРЫТИЕ ЛОБАЧЕВСКИМ МЕТОДА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 479
фе, был опубликован Лобачевским на три года ранер
Греффе (в 1826 г. его нашел также бельгиец Данделеп)
По существу этот способ должен называться методом Дан-
дслена—Лобачевского»1). То же самое пишет Юшкевич в
одном из примечании ко «Всеобщей арифметике» Ньютона2).
В статье А. П. Юшкевича и II. Г. Башмаковой «, Алгебра
пли вычисление конечных" 11 11 Лобачевского»3) в каче-
стве первых изобретателен метода также называются
Данделеп и .Лобачевский. При этом авторы кратко изла-
гают некоторые из теорем Данделеиа (мы подробно приве-
дем их далее) и приходят к заключению об «очевидных
правах Данделеиа и Лобачевского на первенство в изобре-
тении данного метода»4).
Наконец, отметим, что ц статье А. II. Доморяда «Числен-
ные п графические методы решения уравнений» при изло-
жении способа Лобачевского делается оговорка; «Неза-
висимо от Лобачевского аналогичный способ был предло-
жен бельгийским математиком Дапделеиом (1826) и швей-
царским математиком Греффе (1837)»5).
Из всех приведенных высказываний следовало бы сде-
лать вывод о том, что приоритет в открытии метода при
надлежит Дапделепу, а не Лобачевскому. На самом деле
это не так. Для того чтобы разобраться в этом вопросе,
необходимо подвергнуть анализу соответствующие работы
Данделеиа и Лобачевского.
Идея, которая лежит в основе метода, была высказана
еще Ньютоном (опубликована в 1707 г.). Ограничиваясь
случаем, когда все корпи алгебраического уравнения /г-н
степени действительны, Ньютон показал, что верхней
границей наибольшего по модулю корпя служит величина
Д «Математика в школе», 1948, Л" 2, стр. 12. В статье опечатка:
вместо 1826 г. указано 1828 г.
2) Н ь ю т о п И., Всеобщая арифметика, или книга об арифме-
тических синтезе и анализе, перевод с латин., статья и комментарии
А. П Юшкевича, М., 1948, стр. 432.
194Q3^ ^CT0P,,K0"'iaT0siaTll4CCK,IC исследования, выи. 11, М.—Л.„
4) Там же, стр. 126—127.
6 См. Энциклопедию элементарной математики, кн. 2, М.-“Л ,
1951, стр. 343. .»
480
В. Ф. РОГАЧЕНКО
где ^ = 2 xik> xi—корни данного уравнения1).
Кроме того, Ньютон привел рекуррентное соотношение,
с помощью которого можно выразить сумму одинаковых
степеней всех корней данного уравнения через коэффи-
циенты этого уравнения и все предшествующие суммы
степеней корней. В современной записи это соотношение
выглядит так:
= аг Sk-i 4 «2 2 + • • • + ah—i «^i + oh 50,
при к = п 4- т (ттг > 0) все а,1+тп = 0, где ai суть коэф-
фициенты уравнения, взятые с противоположным знаком.
Соотношение Ньютона было позже доказано Маклерс-
ком, а затем и другими математиками. В 1762 г. Варпнг
дал явные выражения сумм Sh через коэффициенты
уравнения и обратно—коэффициентов через суммы Sh.
В XVIII веке ряд математиков (Д. Бернулли, Эйлер,
Лагранж и др.) использовали высказывания Ньютона для
получения различных способов приближенного решения
алгебраических уравнений. Однако все эти способы обла-
дали теми или иными недостатками.
Лобачевский2) последнюю—17-ю—главу своеи «Алгеб-
ры» посвятил теории алгебраических уравнении. В стать-
ях 245—248 этой главы подготовлены теоретические
основы для создания метода решения уравнений, изло-
женного в последней—257-й—статье книги.
В статье 245, рассматривая уравнение
жп-Р1а;’г-14-Р2жп-2-...-(-1)пРп = 0, (1)
г) Ньютон, цит. соч , стр. 265; см. также в статье и коммента-
риях А. П. Юшкевича, стр. 379, 431—432, а также в цитированной
статье А. П. Юшкевича и И. Г. Башмаковой, стр. 126.
2) Лобачевский Н. II., Полное собрание сочинений, т. 4,
М. — Л.. 1948, стр. 283 — 356. Отметим здесь же, что хотя «Алгебра»
вышла из печати в Казани в 1834 г., разрешение на печатание было
дано цензором С. Т. Аксаковым в Москве 18 февраля 1832 г. Сле-
довательно, книга была готова к печати не позднее конца 1831 г.
Ссылки на это сочинение в тексте настоящей статьи приве-
дены по 4-му тому «Полного собрания сочинений» II. II. Лоба-
чевского.
ОТКРЫТИЕ ЛОБАЧЕВСКИМ МЕТОДА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 481
Лобачевский дал простой и оригинальный вывод рекур-
рентного соотношения Ньютона, записав его в виде
т^га — $1 ^т-1 *^2 ^т-2 + *$3 ^т-3 • • ~ ^нг
Отсюда, полагая последовательно т — 1, 2, 3, 4, он полу-
чает выражения:
S2^P;-2P2,
S3 = Р^-ЗР.Рг+ЗРз,
= Z'| - 4ZJ‘f Р., 4- 4Z\ /’з - 4Z\ + 2Pt
В статьях 246 — 247 выводится общая формула, даю-
щая явное выражение любого S через коэффициенты
уравнения, а также общая формула, дающая явное выра-
жение любого коэффициента уравнения через суммы Sh.
Особенно важное значение имеет статья 248. В ной по-
казано, как выражаются коэффициенты уравнения, корпи
которою суть степени корней данного уравнения (1),
через коэффициенты этого уравнения (1). В частности,
для случая, когда отыскиваются коэффициенты Z?, урав-
нения
г2" - Z?x х2 ("“О +П2 г* <«-2> 1)" Нп = 0, (2)
корни которого суть квадраты корней уравнения (1), Ло-
бачевский находит выражения1):
Л, = Р1~2Рг, )
li2 = Pl-2P1P.i + 2Pi, I
Л,^Р’-2Р2/>1+2Р17>5-2Рв, |
И, - />;-2Р.3 Р, + 2Р2 Ре — 2Р1 Р, + 2Р,. ]
Изложив в статьях 255 —25(5 способ Фурье отделения
корней и способы Ньютона и Лагранжа приближен-
ного вычисления корней, Лобачевский в статье 257 дает
*) В тексте (стр. 336) ошибка или опечатка: в формулах для
7?з и l{t отсутствуют члены — 2Рв и соответственно 4-2Р8.
31 Исторнко-матем. исследования
482
В Ф. РОГАЧЕНКО
указания относительно найденного нм способа приближен-
ного вычисления корней алгебраических уравнении
Этот способ основан, как пишет Лобачевский, «... па
том, что с возвышением в степень числа, наконец, дела-
ются неприметными в сравнении с самым большим из них
но величине. Так, если дается уравнение
хп — + «2 ап~2 — — 1)" ап = 0 (4)
и составляется повое
Уп - ЛУ-* + — 1)" А„ = О, (5)
которого корни будут степени с показателем г от корней
данного, то чем г возьмем более, тем р сделаем ближе
к самому большому по величине из корней первого урав-
нения» (стр. 356). Далее Лобачевский пишет: «Всею
простое возвышать корпи у равнения несколько раз в квад-
рат, покуда приближение окажется достаточным» и выпи
сывает выражения коэффициентов уравнения (5) через
коэффициенты уравнения (4), соответствующие выведен
ным им в статье 248 выражениям (3). В качестве при-
мера Лобачевский, ограничившись возведением корней
в восьмую степень, вычислил наибольший по модулю
корень уравнения
х.5_з,.4_7,гз_5^+ i=0
и получил х — 4,70968.
Отметим, что Лобачевский ограничился рассмотрением
случая, когда наибольший по модулю корень дсйстви
тельный, хотя net юдоваппе других случаев пе представ
ляло бы для него особого труда, особенно если учесть
замечание, сделанное им в связи с рассматриваемым слу-
чаем: «Если бы даже встречались между корнями по
два воображаемых, которым всегда можно давать вид
a-j-ij/ — 1, а — J —1 или
p(cosO + У~ 1 sin 0), p(cosO — У — IsinO),
положивши р2 = а2 b2, b = algO, то и степени таких
корней делаются, наконец, неприметными, как скоро р
менее самого большого из действительных корней».
ОТКРЫТИЕ ЛОБАЧЕВСКИМ МЕТОДА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ 483
О своем методе в предисловии к «Алгебре» Лобачев-
скин писал, что он «кажется заслуживает внимания по
краткости и легкости вычисления в сравнении г другими,
известными мне способами» (стр. 27). При этом нужно
подчеркнуть, что Лобачевский получил свои метод, исходя
из общей теории соотношений между коэффициентами
и корнями алгебраического уравнения.
Прежде чем перейти к анализу мемуара (апделепа,
отметим, что, кроме указанной выше идеи о приближенном
вычислении наибольшего по модулю корня алгебраиче-
ского уравнения, Ньютон высказал и подробнее разрабо-
тал другую идею, давшую известный итерационный метод
касательных. Этот метод изложен в работе Ньютона «Ана-
лиз с помощью уравиенш с бесконечным числом членов»,
которая была написана около 1665 г. и впервые опублико-
вана в 1711 г.1). Краткое изложение этого метода Н ьютона
было дано Валлисом в его «А небре» (1685)2). Этот метод
основан на линеаризации данного уравнения /(.с)=0.
В геометрической форме дело сводится к проведению каса-
тельной к кривой //=/(?) в точке, абсцисса которой zf,
служит верным приближением искомого корпя Абсцисса
хл точки пересечения касательной с осью абсцисс дает
второе приближение корпя Затем операция повторяется
необходимое число раз. Эй iep (1753) придал методу Ньюто-
на более совершенную форму 3), а Фурье 4) исследовал схо-
димость приближения и условия применимости этого ме-
тода, который в современной записи может быть выражен
формуло/i:
... — г
A+1 'h /' (xk)
*) Пью то и IL, Математические работы, перевод с латин.,
вводная статья и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского,
М —Л., 1937. Метод касательных изложен на стр. 9—11.
2) Дж. Рефсонв 1G90 г. опубликовал тот же метол, хотя несколь-
ко и отличающийся но форме. Поэтому метод касательных иногда
называют методом Ньютона—Рефсона.
3) 3 и л о р Л., Дифференциальное исчисление, перевод с ла-
тин., вступительная статья н примечания М. Я Выгодского,
М.— I., 1949, стр. 367 и след.
4) Fourier J. В., Analyse des equations diteniiiuees, ч. 1,
Париж, 1831.
31*

В Ф РОГЛЧЕНКО
Известен тт другой итерационный метод, истоки кото-
рого можно нантм в математике древности. Это метод
ложного положения пли метод хорд, который, как и ме-
тод Ньютона, основан на линеаризации данного уравне-
ния 13 современной записи он может быть выражен фор-
мулой :
_ (j-q —a--fc)/(a;fe)
‘ft+1 h ’
где .г(, (А' = 0) и аг' имеют значения, близкие к значению
искомого корня уравнения, причем / (а\,) /(з') < 0, а урав-
нения /'(./) = О и /"(z) = 0 не имеют корней между
и
Перейдем к рассмотрению работы Данделена1) «Иссле-
дования о решении численных уравнении» 2). В этой
работе Даидслен предложил, между прочим3), соединить
оба итерационных метода—метод касательных и метод
хорд,—что вместе с ускорением сходимости приближения
дает возможность на каждом этапе вычислении получить
одновременно и верхний и нижний пределы значений
искомою корня. Когда цифры, общие для этих пределов,
будут принадлежать точному значению корня, чем весьма
просто решается вопрос о достигнутой в процессе вычи-
слений ТОЧНОСТИ. ВЫЧИС 1011ПЯ при этом проводятся ио
формулам
, _ . , / (Xh)
"+,~ " /-(«)’
г) Жерминаль Пьер Дан делен (1794—1847) — профессор горного
искусства в университете в Люттпхе, профессор физики н Намюре,
позднее чмйи Бельгийской Академии наук. Кроме рассматриваемой
нами работы написал два учебника механики и машиноведения,
а также несколько работ ио гиомотрни, относящихся, главным
образом, к период у 18-2 —1828 гг.
2) Da nd el in Ст 1’., Reclierehes sur la resolution des equa-
tieiis nurih rii|ues, «Aouviaux nitinoires de Г Academic royalc des
sciences el b lles-leltrcs de Bruxelles», 1826, 3, стр. 3 — 71.
®) 'Гам же, стр 30—37.
ОТКРЫТИЕ ЛОБАЧЕВСКИМ МЕТОДА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ 4,9,5
причем х0 п х' удовлетворяют указанным выше условиям.
Взяв по окончании процесса итерации среднее арифме-
тическое найденных значений xk f и x'h t, можно еще
больше увеличить точноегь вычисления.
В работе Данделеиа имеется три приложения. Второе
из них «Об одном способе более быстрого приближеипя,
когда уже получены весьма тесные пределы корней» ').
В нем и содержится материал, относящийся к интересу-
ющей нас теме.
В начало этого приложения Данделен отмечает,- что
определение числовых значений мпогоч гона необходи-
мое при использовании метода касательных и хорд, пред-
ставляет крайне утомительную операцию, особенно если
степень мпогоч.icna достаточно высока, а количество
знаков в числах, дающих пределы искомого корпя и по-
лученных в процессе итерации, достаточно велико. По-
этому, чтобы ускорить процесс приближения когда уже
найдены некоторые пределы хк ч хк, Данделен предлагает
проводить две параболы, соприкасающиеся с графиком
функции у = / (.г) в точках с абсциссами хк и хк. Уран
пения этих парабо.т буду г
У = у /" (*л) (- ^)2 т У' (А) (* - У (х\),
У — у / С' 0 ( ' — ^k)2 + / ( rk) (**’ - + / ( rk)-
Соответствующие точки пересечения парабо.т с осью
абсцисс дадут пределы .r/l+1 и х', г более тесные, чем те,
"которые получаются обычным очередным проведением
касательной и хорды.
Мы остановились на объединении Данделспом метода
касательных и метода хорд и применении нм в этом объеди-
ненном методе соприкасающихся парабол потому, что они
служат отправным пунктом в дальнейших рассуждениях
Данделеиа, который отмечает, что «упрощение, только
что нами указанное (соприкасающиеся параболы.—li. Р.),
Д) Sur tin inoyc.n d’approxinifition plus rapidc lorsqu’on o>t
arrive a des Uiuites tres-vessences des racincs, там a<e, стр. 45 — 61,
486
В. Ф. РОГЛЧЕПКО
не является единственным, которое получается пз правила
касательных и хорд» (стр. 47).
Данделеп отмечает, что если а и b—границы некото-
рого корня уравнения /(д)=0, причем между этими гра-
ницами можно применигь метод касательных или метод
хорд, то эти же методы можно применить для решения
нового уравнения, корни которого суть квадраты корней
данного. 1огда соответствующий корень нового уравнения
будет заключен в интервале (д2, /г). При этом он предла-
гает подобрать а п Ь так, чтобы о=«—b< 1 и предвари-
тельно преобразовать данное уравнение, положив х—а-\-у,
чтобы искомый корень заключался в интервале (0, 6)
а затем уже составить новое уравнение относительно у2,
соответствующий корень которого будет заключаться
в интервале (0, о2). Дай селен указывает, что в этом интер-
вале кривая, соответствующая новому уравнению, будет
гораздо меньше отличаться от прямой, чем кривая, соот-
ветствующая данному уравнению в интервале (0, о). Сле-
довательно, касательная или хор щ будет мало отличаться
от кривой и значение J у2, полученное с помощью этой
касательной п иг хорды, более точно, чем значение у, полу
чениое пз первоначального уравнения. Далее, указывает
Данделеп, можно составить, если нужно, новое уравнение
относительно у4 н т. д. до у~ .
Затем Данделеп рассматривает уравнение
z3 —2z —5 = О
и показывает, как, зная границы (2; 2,1) действительного
корня этого уравнения, найти его более точное значение1).
Для этого он делает замену a?=2,l-f-y и, получив уравнение
относительно //, находит соответствующее храпение отно-
сительно у2, которое и решает с помощью метода каса-
тельных.
Для контроля рекомендуется к тому же уравнению
применить метод хорд.
Таким образом, хотя Данделеп н предложил здесь
составлять уравнение, корпи которого будут степенями
г) Это у равнение являлось примером тля испытания силы раз-
личных методов, начиная с Ньютона.
ОТКРЫТИЕ ЛОВ кЧЕВСКИМ МЕТОД \ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 487
корней данного уравнения, пока что он дал лпшь даль-
нейшее развитие метода касательных и хорд.
Вторую часть рассматриваемого приложения (стр. 51—г
61) Данделен начинает с рассмотрения многочлена f(x)
степени т-\-п, все корни которого представляет в комплекс-
ной форме
p(cosO-f- i sinO),
и высказывает такую теорему:
«Если из 7П-|-/г корней /(j) т корней но модулю зна-
чительно превосходят остальные п корней, то первые будут
корнями уравнения, образованного первыми чле-
нами /(./), а остальные п будут корнями уравнения, обра-
зованного «~г 1 последними членами» (стр. 52). В таком
случае уравнение /(.г)=0 Данделен называет разделимым
(separable). Если таких групп корней, модули которых
имеют различные порядки малости, будет не две, а больше,
то аналогично получается соответствующее количестве
уравнений, корни которых (приближенно) будут корнями
уравнения /=0. Чтобы получить уравнение, разделимое
на максимальное число уравнений, Данделеп предлагает
от данного уравнения /=0 последовательно переходить
к уравнениям /р—О1). Тогда, как отмечает Данделеп, «при
бесконечно большом р уравнение относительно х~р разде-
лится на столько уравнений первой степени, сколько урав-
нение /=0 имеет действительных корней, и на столько
уравнений второй степени, сколько /—0 имеет пар ком-
плексных корней» (стр. 55). Желая найти приближенные
значения корней данного уравнения/—О, делаем р доста-
точно большим и находим линейные п квадратные урав-
нения, па которые разделится новое уравнение/р=0.
Извлекая из корней этих уравнений корень 2р-й степени,
находим приближенные значения корней данного урав-
нения.
Все сказанное Данделен поясняет па примере уравне-
ния, корни которого заранее известны:
(х-100) (я—1) (.г-0,01)-0.
1 В дальнейшем для краткости будем обозначать через /р=0
уравнение, корни которого ехть 2₽-е степени корней данного урав-
нения /=0.
488
В. Ф. РОГАЧ F НК О
Затем Данделен дает указания о способах решения двух
вопросов: 1) Как узнать, является ли уравнение разде-
лимым в заданных пределах приближенья? 2) Как из 2г
2? __________________
значении корня |/выбрать то значение, которое будет
корнем уравнения /=0? Однако эти указания не имеют
практического значения, так как не дано способа, с по-
мощью которого можно было бы получать ли небные
и квадратные уравнения, па которые разделяется уравне-
ние /р=0. Данделен далее отмечает, что предложенный
им способ численного решения алгебраических уравнений
«полезен для нахождения нерв ы х з и а к о в действи-
тельных или мнимых корней, после чего для определения
корней можно применить более с т р о г и й и т о ч-
н ы й мето д» (стр. 59; подчеркнуто нами.—13. Р.).
Из этого замечания видно, что Данделен не сумел оценить
возможностей, вытекающих из его соображений, придавая
им лишь вспомогательное значение.
В заключение Данделен отмечает, что самая трудная
и длинная операция,—это составление преобразованных
уравнений /р=0. В тех случаях, когда модули нескольких
корней уравнения /=0 больше единицы и мало отличаются
друг от друга, приходится брать р достаточно большим,
что еще более усложняет операцию. В этих случаях, чтобы
обойтись меньшим значением р, Данделен предлагает
делать замену х—а-\-у, где а—число, близкое к значению
модуля одного из корней. Однако и это указание пс имеет
практической ценности, так как а наперед не известно.
То же самое нужно сказать и о совете ангора полагать
последовательно
а=±1, ±2, ±3,...
до тех пор, пока корень пе попадет в интервал (0, 1)
или (—1,0).
Оценивая значение рассматриваемой работы, можно
сделать следующие выводы. Данделен высказал и доста-
точно обосновал идею о последовательном возведении
корней данного уравнения в квадрат, для того чтобы
перейти к новому уравнению, которое с некоторым при
ближенпем окажется разделимым па линейные и квадрат
ныс уравнения, корни которых позволят найти приблп-
ОТКРЫТИЕ ЛОБАЧЕВСКИМ МЕТОДА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 489
гкенные значения корней данного уравнения. Однако эта
идея возникла у Данделеиа не в связи с общей теорией
симметрических функций корней алгебраического урав-
нения, как это было у Лобачевского. Исходным пунктом
рассуждений Данделеиа служили методы касательных
и хорд. К ним же в случае действительных корней возвра-
щался Данделен, рекомендуя находить первые несколько
знаков с помощью возведения в степень, а затем применять
«более строгие и точные методы». Это и привело к тому, что
метода решения уравнений как такового Данделен ио
создал. Он не привел и рекуррентных соотношений,
с помощью которых вычисляются коэффициенты уравне-
ния /п=0 но коэффициентам уравнения /р_г=0. Не дал он
также критерия, на основании которого можно было бы
находить те линейные и квадратные уравнения, на кото-
рые разделяется уравнение /,=0. А отсутствие таких
соотношений и такого критерия в данном случае равно-
сильно отсутствию метода.
Заслугой Лобачевского является то, что он, придя
к идее метода совершенно самостоятельно и основываясь
на общей теории, придал этой идее такую форму, которой!
сразу можно воспользоваться для конкретного вычисле-
ния корней конкретно заданных уравнений, т. е в отличие
от Данделеиа действительно создал практически пригод-
ный метод, а не остановился на общих теоретических
рассуждениях, лежащих в его основе.
Дапделеиу, конечно, следует отдать должное, но прио-
ритет в открытии рассматриваемого метода, несомненно,
принадлежит Лобачевскому.
Остановимся вкратце еще на работе Греффе1), в которой
дан метод, совпадающий с методом (обачевского.
О G г а о f f о С. II., Die Auflosung <1ег hoheren nunierisclieii
Gleichungen, Цюрих, 1837. Краткое предисловие к брошюре датиро-
вано октябрем 1836 г. Карл Генрих Греффе (1799—1873), с 1826 г.
учитель, а с 1833 г.—профессор математики в высшей технической
школе в Цюрихе. Одновременно, начиная с 1833 с., работал в Унп-
версптсте в Цюрихе. Кроме докторской диссертации по истории
вариационного исчисления (1825) и учебников по математике (1835)
и механике (1848) издал четыре работы, относящиеся к решению
Численных ypanueiuiii (I833J837J838,1841).
490
В. Ф РОГАЧЕНКО
Прежде чем говорить об основной работе 1837 г., сде-
лаем некоторые замечания, относящиеся к работе 1833 г. х).
Н. Г. Чеботарев поместил ее в качестве приложения
к «Алгебре» Лобачевского 1 2). При этом он допустил неточ-
ность в оценке работы Греффе.
В кратком обзоре «Алгебры» Лобачевского Чеботарев
пишет:
«В ст. 237 даются краткие указания на способ при-
ближенного вычисления корней, впоследствии непра-
вильно полечивший название способа 1 реффе. Этот спо-
соб придуман Лобачевским раньше, чем Греффе. В прило-
жен ни к настоящему сочинению (на стр. 427) мы поме-
щаем статью I реффе (1833 г.), из которой читатель уви-
дит, что автор пс даст описания практического приема для
вычисления корней, а ограничивается лишь доказатель-
ством сходимости процесса. I реффе выпустил в 1837 г.
книгу по этому вопросу, которой нам пе удалось видеть.
Если принять во внимание, что книга Лобачевского, вышед-
шая в 1834 г., была готова к печати в 1832 г., как об этом
свидетельствует виза цен юра, то надо признать, что при-
оритет изобретения этого лучшего современного способа
вычисления корней принадлежит не I реффе, а Лобачев-
скому» 3).
В примечании к статье 257 Чеботарев пишет: «В при-
ложении помещен перевод более ранней статьи 1 реффе
от 1833 г., из которой мы можем убедиться, что в то время
Греффе еще пе придумал своего метода в том совершен-
ном виде, который уже был предложен Лобачевским»4).
Наконец, в примечании к статье II II. Парфентьева
оп пишет:
«Впрочем, Греффе опубликовал первоначальный вари-
ант своей работы в журнале Крелля еще в 1833 i., по и при
этой дате приоритет все же принадлежит Лобачевскому» ’)
1)Graeffe С Н., Beweis cincs Satzcs aus der Tlieorie der
nunieiischen Gleichungen, «Journal fui die reinc und angewandte
Matheniatik>, 1833, 10,стр. 288—291.
2) Л о б а ч e в с к и ii II. IL, Полное собрание сочиненны,
т. 4, М,—Л., 1948, стр. 427—430.
3) Гам же, с гр. 19.
J) Там же, стр. 365.
Б) Там же. стр 431.
ОТКРЫТИЕ ЛОВАЧЕВСКИМ МЕТОЛА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ /,9|
Однако внимательный просмотр этой статьи 1833 г.
показывает, что опа никакого отношения к интересующему
нас методу не пмеет. В ней, действительно, Греффе
дает доказательство сходимости процессе! приближен-
ного определения корня алгебраического уравнения.
Но это тот процесс, в котором применяются рекур-
рентные ряды п который был указан Д. Бернулли1) и раз-
вит Эйлером2). Поэтому помещение перевода статьи Греффе
в приложении к «Алгебре» Лобачевского было совершенно
излишним. Также совершенно излишни соображения
Чеботарева относительно того, что «... и при этой дате
(опубликования работы Греффе в 1833 г.—В. Р.) при-
оритет все же (подчеркнуто нами.—В. Р.) принадлежит
Лобачевскому». Метод решения уравнений с помощью
возведения корней в квадрат у Греффе был изложен'
впервые в его работе 1837 г., то есть позже, чем у Лоба-
чевского.
*) Bernoulli D., Observatines de seriebus quae formantur
ex additione vel subtractione quacunque terminoruni se muluo con-
sequentium, ubi praesertim earundem insignis usus pro inveniendis
radicuni omnium aequationum algebraicarum ostenditur, «Сошшеп-
tarii Academiae scientiarum Petropolitanae», 1728 (pro anno 1726),
3, стр. 85—100.
2) Euler L., Introductio in analysin infiniloruin, 1, Lausannae,
1748, гл. 17. Дальнейшее развитие метод Д. Бернулли получил
в работах Лагранжа, Фурье, Штерна («Journal fur die reinc und
angewandte Matliematik», 1833, 10, стр. 1—22, 151—166, 241—274,
364—376; 1834, 11, стр. 33—66, 142-168,277-306, 311—350), Якобц
(там же, 1835, 13, стр. 310—352), Кона («Matliematische Annallcn»,
1894, 44, стр. 473—538).
Этот метод, как и метод Лобачевского, основан на том, что
при возведении корней в степень меньшие корпи исчезают по
сравнению с большими. При этом
х у = lini --------->
ft-» СО ” h-j
xi
t = I
где —наибольший по абсолютной величине корень. См. Э. У и т-
тэкер п Г. Р о б и и с о и, Математическая обработка результа-
тов наблюдений, стр. 95—96, 107.
492
В. Ф ГОГАЧЕНКО
Метод Лобачевского, изложенный на русском языке,
в книге, вышедшей в Казани, остался незамеченным и в
1836 г. Берлинская Академия наук объявила конкурс на
решение задачи о приближенном вычислении всех кор-
ней алгебраического уравнения. Ответом па поставлен-
ную конкурсную задачу и была работа Греффе. Кроме не-
большого введения брошюра Греффе содержит четыре
отде. ia.
В первых двух (стр. 3—8) излагаются известные методы
вычисления комплексных корней—метод исключения и
мето ( Лагранжа, основанные па вычислении действитель
пых корней соответствующим образом полученных новых
уравнений. Ври этом Греффе указывает на практическую
непригодность этих методов, так как новые уравнения
имеют более высокие степени, чем данные.
В следующем отделе (стр. 8—16) излагается метод
Д. Бернулли решения уравнении с помощью рекуррент-
ных рядов Здесь, между прочим, в более ра шитом виде
излагается содержание работы Греффе 1833 г., о которой
говорилось выше.
Последний, четвертый, отдел (стр. 17—34) имеет назва
нис: «Решение численных уравнений с помощью последо-
вательного возведения корней в квадрат». Здесь Греффе
дает изложение того метода, который он пашел позже Лоба-
чевского, хотя и независимо от него. Греффе указывает
способ выражения коэффициентов уравнения, корнями
которого служат квадраты корней дачного уравнения,
черс? коэффициенты последнего. Дапсе он подробно рас
сматрпвает случаи, когда все корнп уравнения действа
тельные и имеют различные модули, когда два корня
имеют равные модули (действительные равные корни
или действительные корни с равными модулями, по
противоположными знаками, или комплексные сопря-
женные корпи). Затем рассматривается случай, когда
уравнение имеет более чем одну пару комплексных
корней. Для иллюстрации этих случаев Греффе право
дит шесть примеров—решении соответствующих уран
нений.
Через четыре года после появления сочинения Греффе
астроном Энке (1791—1865) напечатал работу «Общее рр'
ОТКРЫТИЕ ЛОБАЧЕВСКИМ МЕТОДА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ 493
шснис численных у равнений» *). Энке, а позднее Карвалло2)
усовершенствовали метод возведения корней в квадрат
и придали ему ту форму, которой пользуются и теперь.
Работа Энке была первой работой, в которой имя Греффе
было присвоено методу возведения корней в квадрат. Слег
кон руки Энке в литературе этот метод стал известен
иод названием метода Греффе.
11а самом же деле приоритет в открытии этого метода,
как мы видели, бесспорно принадлежит 11. II. 1обачев-
скому и потому метод возне гении корней в ква ipar с пол-
ным правом должен называться методом . 1обачевского.
ЗАМЕЧАНИЕ ПРИ КОРРЕКТУРЕ
Уже после того, как настоящая работа была набрана,
автор ознакомился со статьей Д. М. Синцова «„Алгебра або
числения счйнчеппих" II. 1. Лобачеве ькогб i ciiocio
Греффе исчисления кореш в чис.тових р1вияпь» (Учен!
Записки Харыбвського Держ. Ушверситету, Книга К),
1937, 41—56). Большая часть статьи, как указывает
Д. 11. Синцов, была им паншана к столетию открытия
Лобачевским неевклидовой геометрии. Эта часть посвяще-
на краткому изложению всех глав «Алгебры» Лобачевско-
го и подробному изложению интересующего пас метода
Лобачевского. Здесь же перечисляются сочинения, посвящен-
ные дальнейшему развитию метода Бернулли и работы
Греффе. Последние полторы страницы своей статьи
*) Enrkc .1. Е.. \llgeinaine \uflosung der numerischen
Gleichungen, «Berliner astronoinisches Jahrbuch Hir 1841», 1839.
66, стр. 281—338; то же в «Journal fiir die reine und aiigewandle
Mathcmatik», 1841, 22, стр. 193—248; то же, в кн. «Gesannnelle
malhcmatisclic und astronomische Abhandlungen von J. E. Encke»,
t. 1, Берлин. 1888.
у) C a r vallo t E., Methode pratique pour la resolution nu-
merique complete des equations algebriqne ou Iranscendantes, These,
1891. Ранее напечатано в «Annales de la Eaculte des sciences de
Toulouse, pour les sciences mat hemal iques et physiques», 1889, 3.
494
В. Ф. РОГАЧЕНКО
Д. П. Синцов добавил позднее,—после ознакомления со
статьей Данделеиа, ограничившись при этом изложением
содержания лишь ее первой части. Сразу после этого
Д. Л. (инцов закапчивает свою статью следующими словами:
«)1 намеренно привел подробный реферат мало доступной
(в смысле понимания текста.—В. Р.) работы Данделеиа,
чтобы подчеркнуть интересный факт, который часто встре-
ча гея в науке: почти одновременно и почти идентично
возникают идеи способа у трех различных научных дея-
телей, которые совершенно независимо разработали одну
идею,—и после этого ознакомления мне остается только
подтвердить тот вывод, который мы сделали выше» (о том,
что следует называть способ Греффе способом Данделеиа—
Л обачевс кого—Греффе.—В. Р.)
Как видно из приведенного нами подробного анализа
всей работы Данделеиа, оснований для такого вывода
у Д. 11. Синцова не было.
эпизод пз жизни
АКАДЕМИКА А. А. МАРКОВА
Ф. П. Отрадных
Жизнь п деятельность великих русских математиков
прошлого в пашей литературе не получили еще достаточно
полного и всестороннего освещения. Эго относится,
в частности, к выдающемуся русскому математику Андрею
Андреевичу Маркову^ (1856—1922). Если о научных заслу-
гах академика Маркова в нашей литературе имеются доста-
точные сведения, то о его деятельности как гражданина
и патриота своей родины почти ничего нет. А между том
известно, что Марков был действительно пламенным
патриотом Он со всей резкостью выступал против того,
что шло в разрез с его научными и общественными взгля-
дами. При этом он не обращал внимания ни па лиц, пи
па последствия, которые могли так илп иначе отразиться
на его служебном положении.
Интересно отношение Маркова к православию и веро-
ванию вообще. Мы имеем при этом в впдуг в первую очередь
обращение Маркова в синод и отречение его от церкви—
факт, из которого выясняются философские и обществен-
ные взгляды Маркова.
Архивные материалы, с которыми мы ознакомились,
показывают, что в основе обращения Маркова в синод
лежат ого принципиальные взгляды прогрессивного уче-
ного-математика материалиста. Не останавливаясь по-
дробно на вопросе о мировоззрении Маркова, мы приве-
дем его письмо, которым начинается дело об oiлучении его
от православия:
49б
Ф. П ОТРАДНЫХ
«Святейшему Правительствующему Синоду
Прошение академика А. А. Маркова
Честь имею покорнейше просить Святейший Синод об
отлучении меня от церкви.
Надеюсь, что достаточным основанием для отлучения
может служить ссылка на мою книгу „Исчисление вероят-
ностей", где ясно выражено мое отрицательное отношение
к сказаниям, лежащим в основании еврейской и христиан-
ской религии.
Нот выдержка из этой книги (стр. 213—214): „Незави-
симо от математических формул, на которых мы не остано-
вимся, нс придавая им большого значения, ясно, что к
рассказам о невероятных событиях, будто бы происшедших
в давно мпп\ вшее время, следует относиться с крайним со-
мнением. И мы никак не можем согласиться с акад. Пули-
ковским („Основания математической теории вероятностен",
стр.32(5), что необходимо выделить известный класс расска-
зов, сомневаться в которых он считает предосудительным.
Чтобы нс иметь дело с еще более строгими судьями
и избежать обвинений в потрясении основ, мы не останавли-
ваемся на этом предмете, не относящемся непосредственно
к математике".
Чтобы не оставалось никаких сомнений, о чем идет здесь
речь, приведу соответствующую выписку из книги Буняков-
ского: „некоторые философы, в видах предосудительных,
пытались применять формулы, относящиеся к ослаблению
вероятности свидетельств и преданий к верованиям ради, пол-
ным и тем поколебать их".
Если приведенной выдержки недостаточно, то покор-
нейше прошу принять во внимание, что я не усматриваю су-
щественной разницы между иконами и мощами, с одной
стороны, и идолами, которые, конечно, не uoi и, а их изобра-
жения, с другой, и не сочувствую всем религиям, kotoj ые,
подобно православию, поддерживаются огнем и мечом п сами
,,м А Марков
12 февраля 1912 года С-Петербург,
В. О. 7 линия 2 (Академия Наук)» х).
!) Леппнградскпп областной архив, ф 19, св 1018/34, дело 465,
л. 5—6
ЭПИЗОД ИЗ ЖИЗНИ АКАДЕМИКА А. А МАРКОВА
497
Пз этого письма видно, что непосредственным поводом
обращения в синод у Маркова были разногласия с Буня-
ковским в вопросе о вероятностях событий, которые не
подчинены физическим законам, а внутренними побуди-
телями к тому были, несомненно, более глубокие причины—
взгляды Маркова на религию и верования вообще.
Синод рассмотрел прошение Маркова в своем засе-
дании от 24 февраля 1912 г. и решил препроводить
его С.-Петербургскому митрополиту с приказанном, чтобы
последний дал поручение кому-либо из служителей церкви
преподать Маркову пастырские увещания и вразумле-
ния Вот протокольная запись заседания синода за № 1688:
*1912 года февраля 24 дня. По указу Его Император-
ского величества, Святейший Правительственный Синод
слушали: полученное 13 февраля 1912 года прошение ака-
демика А. А. Маркова об отлучении его от церкви, в виду
того, что он отрицательно относится к сказаниям, лежащим
в основе еврейской и христианской религии, не усматривает
существенной разницы между иконами и мощами, с одной
стороны, п идолами, с другой, и „не сочувствует" православ-
ной вере.
Прошение при сем прилагается.
II р и к а з а л и: Настоящее прошение академика Мар-
кова препроводить, при указе, к Преосвященному митро-
политу С.-Петербургскому, по принадлежности, с поруче-
нием сделать распоряжение о преподании просителю пас-
тырских увещаний и вразумления.
Исполнено: Марта „2“ дня 1912 года. Указ Пр-му митро-
политу С.-Петербургскому за № 3118, с приложением
прошения Маркова»1).
2 марта 1912 г. приказание синода и прошение Маркова
попадают к С.-Петербургскому митрополиту, и 5 марта
последит) поручает отцу Ориатскому «преподать г. Мар-
кову должные увещания, и о последующем донести»2).
г) Ц1 ПА, ф. 796, опись 195, дело 2988, л. 1.
8) Ленинградский областной архив, ф. 19, св. 1018/34, дело
465, л 1,
32 Псторпко-матсм. исследования
4S8
Ф. П. ОТРАДНЫХ
Получив задание, отец Орпатскмй пишет письмо ака-
демику Маркову г), в котором оп просит Маркова назна-
чить день и час встречи i ш разговора по поводу его, Мар-
кова, прошения в синод.
Вот содержание этого письма:
«Милостивый Государь
Многоуважаемый Андрей Андреевич
Вследствие поданного Вашим Превосходительством
12 февраля сего года в Святейший Синод прошения, я имею
поручение от Митрополита С.-Петербургского Побеседовать
с Вамп. Будьте милостивы назначить мне день и час, когда
я мог бы явиться к Вам, чтобы исполнить свой долг. В или
жайшпе дни четверг п пятницу я свободен от 5 час. вечера,
а в субботу днем до 4 час. дня.
Божие благоволение да будет над Вамп!
Прошу принять уверение в искреннем уважении и се-
вер шеи noii предан пости.
Вашего Превосходительства покорный слуга
Протоиереи Ф Орнатсний
4 апреля 1912
С.-Петербург, Фонтанка
д. 144 кв. 38».
Иа просьбу Ориатского Марков отвечает письмом, кото-
рое мы приводим полностью.
< \1 и л ос тп вы й Государь
Многоуважаемый Философ Николаевич
Если бы цель предполагаемой Вамп беседы состояла
в получении от меня каких-нибудь полезных для Вас указа-
ний по моей специальности, то я счел бы своим долгом при-
нять Вас и по мере сил оказал бы Вам свое содействие.
Письмо Ориатского нам любезно предоставил сын акад.
А. А. Маркова профессор А. А. Марков.
ЗГШЗОД НЗ 7КИ31П1 ХКАДЕМИКЛ X. МАРКОВА
499
По от таких бесед, которые не могут принести никакой
пользы ни мне, ни моему собеседнику, а могут вести только
к напрасной потере времени и к взаимному раздражению,
я считаю необходимым уклониться.
Желаю Вам всего хорошего и прошу принять уверения
в совершенном уважении и преданности.
Готов к услугам I Мчрноч
17-го апреля 11112 года»1).
J) апреля 1912 г. Ориатскпн пишет рапорт С..-Нетер
буржскому митрополиту, в котором сообщает о предпри-
нятых им мерах и неудачах при атом. Вог рапорт Орнат-
ского:
«Его Высокопреосвященству
Высокопреосвященному Антонию,
Митрополиту ( ПИ и .Ладожскому
Протоиерея Философа Орпатского
Г а и о р т
Возвращая при сем указ Св. Синода, вместе с прошением
академика А Маркова об отлучении его от церкви, я считаю
1О.1ГОМ донести, что по исполнение резолюции Вашего Высоко-
преосвященства, я обратился к I. Маркову с письмом, коим
просил его назначить мне день и час для беседы с ним по со-
держанию ею прошения. Академик Марков ответил мне
письмом, при сем прилагаемым, с решительным отказом всту-
пить со мною в беседу, которая по его мнению, „не может
принести никакой пользы ни ему, пи его собеседнику, а мо-
жет вести только к напрасной потере времени и к взаимному
раздражению-*.—2<> апреля 1912 года.
Протоиерей 4>u.'uu-oJ] ОршипскиИъ ’-).
Рапорт Орпатского рассматривался в ( .-Петербург-
ской духовной консистории 8 мая 1912 i В протокольной
*) ЦГ11А, ф. 791», опись 195, дело 2988, л. А.
2) ЦГ11 \, ф. 796, опись 195, дело 2988, т 3.
32*
500
Ф. П. ОТРАДНЫХ
заппси за № 611 поело изложения сутп дела сформули-
ровано следующее решение:
«О результате предпринятых к исполнению указа Св.
Синода, от 2 марта сего года за № 3118, мер донести от
имени его преосвященства Св. Синоду На подлиннике ру-
кою митрополита Литония приписано: „с присовокуплением,
что г. Маркова следует считать отпавшим от церкви и под-
лежащим исключению из списков лиц православных-1» *).
А далее 2U мая 19121. С.-Петербургский дштроио.тн г Анто-
нин пишет синоду следующий рапорт:
«Святейшему Правительствующему Синоду
Синодального Члена Литония,
Митрополита С.-Петербургского и Ладожского
1’ а порт
13 исполнение указа Святейшо о ( инода, от 2 марта сего
года за Л» 3118, мною предписано было, через Консисторию,
настоятелю церкви при Экспедиции Заготовления Государ-
ственных 6} маг, в С.-Петербурге, Протоиерею Орнатскому
произвести пастырские увещания и вразумление ака ie-
мпку \ Маркову, обратившемуся с прошением об отлуче-
нии ею от церкви, и виду того, что он отрицательно относится
к сказаниям, лежащим в основе еврейской и христианской
религии, не усматривает существенной разницы между ико-
нами и мощами, с одной стороны, и идолами, с другой, н „не
сочувствует- православной вере. Протоиерей Орнатскнй,
вследствие такового предписания, обратился к г. Маркову
с письмом, где просил его назначить день и час для беседы
с ним ио содержанию его прошения. Академик Марков от-
ветил ему, протоиереи) Орнатскому, письмом с решительным
отказом вступить с ним, протоиереем Орватским, в беседу
которая, по его, Маркова, мнению, ,.ие может принести ив
какой пользы ни ему, нп его собеседнику, а может привести
только к напрасной потере времени к взаимному раздра-
жению-'.
*) Ленинградский областной архив, ф. 19, св. 1018/34, дело Мю,
ЭПИЗОД ИЗ ЖИЗНИ АКАДЕМИКА X. А. МАРКОВА
501
В виду того, что г. Марков отказался от беседы с назна-
ченным для сего протоиереем Орпатскнм, С.-Петербургское
Епархиальное Начальство находит, что его, Маркова, сле-
дует считать отпавшим от церкви божьей п подлежащим
исключению из списков лиц православных.
О прописанном имею долг почтительнейше донести Свя-
тейшему Правительствующему Синоду, в исполнение озна-
ченного Синодального указа за Al- 3118, возвращая при сем
прошение г. Маркова па имя Святейшего Сппода п препро-
вождая ответное письмо Маркова па имя протоиерея Ориат-
ского и рапорт cci о последнего па мое имя о результате
увещания.
Вашего святейшества покорнейший слуга
Антоний
Мптрополпт С.-Петероургскпп
Ai: 5362
,.20“ мая 1912 года» 1).
Из протокольной записи синода от I июля 1912 г. под
№ 4942 видно, что, рассмотрев рапорт митрополита
С.-Петербургского < г 20 мая 1912 г., было решено:
«...усматривая из настоящего рапор га преосвященного Ми-
трополита С.-Петербургского, что академик А. Марков, за-
явивший безрассудное желание быть отлученным от церкви,
откаылся выслушать от духовного пастыря наставление и
у вещание оставить вышеозначенное свое желание, Святей-
ший Синод определяет: прошение Маркова об отлучепии его
от церкви препроводит!., при указе, на зависящее распоря-
жение С.-Петербургского епархиального начальства» 2).
Это решение и было сообщено при указе сппода от 28 ию-
ня 1912 г. временно управляющему С.-Петербургской епар-
хией преосвященному Никанору, епископу Нарвскому3).
Епархиальное начальство нашло, что Маркова «следует
счптат > отпавшим от церкви божьей и подлежащим исклю-
чению из сиисков лиц православных», и эго заключение
*) ЦГПА, ф. 796, опись 195, дело 2988. л. 2.
2) ЦГПА, ф. 796, опись 195, дело 2988, л. 7.
3) Лепингра (скпй областной архив, ф. 19, св. 1018/34, дело 465,
502
Ф. IT. ОТРАДНЫХ
вместо с указом синода от 28 топя было передано С.-Петер-
бургской консистории Духовная консистория в своем
заседании 28 сентября 191 _ г. рассмотрела (ело Маркова
и вынесла такое решение:
«('.читать \ Маркова отпавшим от церкви божьей п ис-
ключить из списков лиц правое швных. О настоящем поста-
новлении донести Св. Синоду и уведомить С11Б градоначаль
инка. Независимо от этого предложить г. Маркову сообщить
консистории сведения о месте и времени рождения и кре-
щения и об именах п отчествах его родите icii»1).
С.-11етррб\ pi cKiiii митрополит Антонин рапортом от
19 октября J912 г. за AL 9775 сообщает синоду, что епар-
хиальное начальство постановило «считать \. Маркова
отпавшим от церкви и исключить из списков лиц право-
славных», и, кроме того, он сообщает, что духовная конси-
стория решила уведомить об этом СИВ градоначальника
и предложила Маркову сообщить консистории сведения
о месте и времени ею рождения и крещения и об именах
и отчествах его родителей 2). Синод в своем заседании от
30 октября 1912 г. (протокол 9988), рассматривая рапорт
митрополита Антония от 19 октября, решил:
«Припять к сведению настоящее, донесение нреосвяшеп
лого Мпт| оиолпта С.-Петербургского, разъяснить С.-Петер
бургекому епархиальному начальству, что об изложенном
н сем донесении постановлении относительно академика Мар-
кова евархпа н.ному начальству надлежит сообщить ближай-
шему начальству Маркова для отметки в сю формулярном
списке в вместе просить о досгавягшнг (.-Петербургской
духовной консистории вышеозначенных сведений о Маркове,
о чем, для исполнения, преосвященному Митрополиту
С.-Петербургскому пос <ать указ»3).
9 Ленинградский областной архив, ф. 19, св. 1018/34, дело
4б5, л. 7.
ЦГ11Л, ф. 796. опись 195, дело 2988, л. 8. (В ,1еи!1пградско.м
областном архиве, ф. 19, св. 1U18/34. дело 465, i. 8.)
3) ЦГНЛ, ф. 796. опись 195, дело 2988, л. 11. (В Ленинград-
ском областном архиве, ф. 19, св. 1018/34 дело 465, л. 16.)
ЭПИЗОД ИЗ ЖИЗНИ АКАДЕМИКА А. X. МАРКОВА
503
В архиве Академии наук имеется отношение духовно]!
консистории в правление Академии наук от 18 декабря
1912 г. за № 9608, в котором сообщается, иго академик
Марков отлучен от церкви и что необходимо прислать
в консисторию сведения о нем. Таким образом, факт отлу-
чения Маркова от церкви не подлежит сомнению, а пове-
дение его при разборе отого дела было безупречным.
Из рассмотренных документов видно, ч!о, отлучив
Маркова от церкви, духовные власти спешили, прежде
всего, довести об этом до сведения ('..-Петербургского гра-
доначальника. Лто видно из донесения члена консистории
от 15 октября 1912 г за Л? 7838, который пишет.
«Его Превос хо ште н.ству
Господин)' СНГ) Градоначальнику
Проживающий в доме Д? 2 (Академия наук) ио 7 линии
Вас. Остр, академик А. \ Марков обратился в (’.в. Синод
с прошением об отлхчепип его от церкви, кое и было препро-
вождено на зависящее распоряжение СП В Епархиального
начальства Ввиду того, что академик А Марков, отказав-
шись выслушать от духовного пастыря наставление и увеща-
ние, остался непреклонным в своем желании быть отлучен-
ным от церкви, СПБ Епархиальное начальство определе-
нием своим от 28 сентября—i октября с. г., между прочим,
постановило считать Л. Маркова отпавшим от церкви бо-
жией н исключить из списков лиц православных.
Об изложенном СПБ Духовная консистория согласно
постановлению Епархиального начальства имеет честь уве-
домить Ваше превосходительство.
Член консистории
Секретарь» 1)-
Об этом же 8 декабря 1912 г. было сообщено Академии
наук, где протекала тогда деятельность Маркова в каче-
стве академика
*) Ленинградский областной архив, ф. 19, св. 1<Н8/34. дело 4(i5,
л. 9
504
Ф. П. ОТРАДНЫХ
«В правление СПБ Пмпер. Академии наук
СПБ Духовная консистория имеет честь уведомить Пра-
вление СПБ Императорской Академии наук для отметки
в формулярном списке академика А. А. Маркова, что СПБ
Епархиальное начальство, принимая во внимание, что
академик А Марков, отказавшись выслушать от духовного
пастыря наставление и увещание, остался непреклонным
в своем желании быть отлученным от церкви, по определению
от 28 сентября—4 октября 1912 года постановило: считать
А. Маркова отпавшим от церкви божией и исключить из
списков лиц православных, предложив ему сообщить конси-
стории сведения о месте и времени его рождения и об именах
и отчествах его родителей. Ввиду того, что академик А. Мар-
ков на просьбу консистории отказался сообщить подробные
сведения о месте п времени его рождения и крещения по пра-
вославному обряду, СПБ Духовная консистория имеет честь
просить правление СПБ Императ. Академии наук доста-
вить ей таковые.
Член консистории
Секретарь’)1).
Академия наук документом от 22 декабря 1912 г. за
№ 4210 ответила следующее:
«Правление Императорской Академии наук, вследствие
отношения от 18 декабря сего года за Aii 9G08, имеет честь
уведомить, что академик А. А. Марков, как усматривается
пз формулярного о службе его списка, родился 2-го июня
1856 года, сведений же о месте и времени его крещения по
православному обряду, а равно об именах его родителей,
в Академии паук пе имеется; они могут быть лишь в Импера-
торском С.-Петербургском университете, как первоначаль-
ном месте служения академика Маркова,—куда консисто-
рии и надлежит обратиться за указанными сведениями*2).
После этого консистория и С.-Петербургский универ-
ситет обменялись следующими письмами:
1) Ленинградский областной архив ф. 19, св. 1018/34, дело 46а,
л. 17.
2) Там же, л. 18.
ЭПИЗОД ИЗ ЖИЗНИ АКАДЕМИКА \ МАРКОВА
505
«В Канцелярию С -Петербургского
Императорского университета
Январь 2 дня 1913 года .V .4.
Во исполнение указа Святейшего Сппода, от 8 декабря
1912 I за Л? 18749 СЫ1 Духовная консистория имеет честь
просить канцелярию Ими. университета доставить консисто-
рии сведения о месте и времени рождения и крещения но пра
посланному обряду академика V Маркова для исключения ого
из списков лиц православных, каковые сведения, но сообще-
нию правления Ими Ккадемип наук, moi ут быть лишь в Им-
ператорском СПБ университете, как первоначальном месте
служения академика Маркова.
S
Член консистории
Секретарь»1).
«В Петербургскую духовную консисторию
Января 8 дня 1913 года Л’- 57
На отношение от 2 сего январи за As 4 имею честь сооб-
щить Духовной консистории, что академик \. \. Марков
родился 2 топя I860 г. в г. Рязани, а крещен 5 того же нюня
в Ново-Возиесенской церкви г Рязани
И. о. Ректора
Сскрстарь Совета»2).
Интересна переписка С.-Петербургской духовной кон-
систории с Марковым чере» пристава первого участка
Васильевской части:
«Духовная консистория просит Вас, М. Г., предложить
проживающему но 7 линии Васильевского Острова, в д. As 2
(Академии наук) академику А А Маркову сообщить о вре-
мени и месте его рождения и крещения по православному
обряду, а также о звании, имени, отчестве и фамилии его
родителей, каковые сведения и доставить в консисторию» 3).
1 Ленинградский областной архив, ф. 14 св. 238, щло 8109,
л. 184.
г) Там же, ф. 19, св 1018/34, дело 465, л. 20.
8) Там же, л. 10—11.
506
<Т> П. ОТРАДНЫХ
На обороте этой же бумаги имеется ответ Маркова,
а затем приписка: «С отзывом препровождается. СПБ
Духовная консистория. 28 октября 1912 г. Начальник
Вас. части Пристав Лj 27357». Марков ответил:
«Мон родители
Надежда Петровна Федорова
\н ipeii Григорьевич Марков
Родился 2-го июня 1856 года. Метрического свидетель-
ства под рукой пс имею. Других сведений я давать не буду.
.1. Марков.
27-го окт. 1912 г.» *).
Ответ Маркова обсуждался в С.-Петербургской конси-
стории 23-ю ноября J912 г. и было вынесено решение:
«Ответ академика Маркова сообщить от .ища Его Пре-
освященства Св. Синоду в дополнение к донесению его Высоко-
преосвященства от 19 октября с. г. за Л? 9775 * 2).
А через несколько дней в(ииод был послан такой до-
ку мент:
«Святейшем) Правительствующему ( иноду
Временно управляющего СНГ» Енархнею
Пнкапдра Епископа Нарвского
1* а н о р т
В дополнение к рапорту почившего Высоконреосвящен-
пеншего Митрополита Хнтопия, от 20 мая с. г. за Д’ 5362, и
донесению его от 19 октября с. г. за .V 9775, долг имею до-
пестн Свят( шиему Синоду, что академик \ Марков на прось-
бу консистории через местного полицейского пристава сооб-
щить о времени и месте его, Маркова, рождения и крещения
по православному обряду, а также о знании, имени, отчестве,
и фамилии родителей, ответил е.к iy ющее:
, Мои родители Надежда Петровна Федорова, Андрей
Григорьевич Марков. Водился я 2 ю июня 1856 года. Ме-
*) Пеиппградскин областной архив, ф. 19, св. 1018,3'1, дело
465. л 10.
2) Там же, л 14.
ЭПИЗОД 113 ЖИЗНИ ХКЛД1.МИКА V \. Маркова
507
трпческого свидетельства иод рукой нс имею. Других све-
дений я давать не буду".
Вашего Святейшества Нижайший иослушипк
Нииаидр,
Еинскон Нарвский
временно управляющий
С.-Петербургской Епархией»1).
Декабря „7" дня
1912 г. .V 11357
В журнальной записи синода ог 21 декабря 1912 г.
под «V 133 имеются следы разбора рапорта управляющего
СП Б Епархией от 7 декабря (№ 11357) и решение: «Настоя-
щий рапорт пр-я Парис того принять к сведению»2).
В связи с делом отлучения А. Л. Маркова от церкви
произошла переписка между СПБ и Рязанской конснсто-
рпей, следы которой хранятся в Ленинградском област-
ном архиве.
11 января 1913 г. отношением за Л» 207 СПБ духовная
консистория пишет в Рязань:
«В Рязанскую Дух. консисторию
С.ПГ> Духовная консистория просит Рязанскую консисто-
рию сделать распоряжение об исключении из числа право-
славных в метрических списках Пово-Возиесенской города
Рязани церкви, как отпавшего от православной церкви
сына Андрея Григорьевича и Надежды Петровны Марковых
академика Андрея Андреевича Маркова, родившегося
2 июня 1856 года»3).
4 февраля 1913 г. за № 20,j6 Рязанская консистория
отвечает:
(<В С.-Петербургскую Духовную консисторию
Рязанская Духовная консистория имеет честь просить
таковую же С.-Петербургскую доставить опой, в дополнение
х) ЦГПА, ф. 796, опись 195, дело 2988, л. 12.
2) 'Гам же, л. 1.3.
3) Ленинградский областной архив, ф. 19, св. 1018/31, дело 16а,
л. 21.
508
Ф П ОТРАДНЫХ
к отношению от 11 января 1913 г. за № 207 сведения о том,
в какую же именно секту перешел пз православия акаде-
мик Хвдрей Андреевич Марков» г).
20 февраля 1913 г. С.-Петербургская консистория
разъясняет это следующим образом:
«В Рязанскую Духовную консисторию
На отношение от 4 февраля с. г. за Л; 2046 СПБ Дух.
консистория имеет честь сообщить Рязанской консистории,
что постановление об исключении академика Л. \. Маркова из
списка лиц православных состоялось вследствие его просьбы
об отлучении от православной церкви, так как он, между про-
чим, не сочувствует всем религиям»®).
Заключительные строки этою ответа совершенно пра-
вильно характеризуют отрицательное отношение Маркова
ко всем религиям.
9 Ленинградский областной архив, ф. 19, св. 1018/34, дело
465, л. 22. ►-
2) Там же, л. 23.
В. Л. СТЕКЛОВ
В ПЕТЕРБУРГСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
If. Я» Денман
Оценке трудов Владимира Андреевича Стеклова, круп-
нейшего математика и физика, посвящено много ста-
тен и сборник «Памяти В. А. Стеклова»1). Освещалась
и роль Стеклова как организатора научной работы в моло-
дой! советской стране в качестве вице-президента Академии
наук СССР. Стеклов одним из первых деятелей дореволю-
ционной «императорской» академии паук в 1917 г. сразу
перешел на сторону победившего народа и всю свою неисчер-
паем} ю энергию посвятил переводу работы академии на
новый путь.
Последующие строки имеют целью дать некоторые све-
дения о Стеклове как работнике Петербургского универ-
ситета, в котором он в течение последнего дореволюцион-
ного десятилетня играл очень большую роль нс только
в качестве ученого, во и гражданина, при каждом случае
подымавшего своп голос против полицейского режима
и покорно емуг подчинявшегося большинства универси-
тетских деятелей царской России.
г) Л, Издательство АН СССР, 1928. Содержание сборника:
Гюнтер II XI , О научных достижениях 13. А. Стеклова;
С м и р н о н 13. II , В А. Стеклов, Ьнографнческнн очерк; 1 а-
леркнн Г>. Г., Труды В. А. Стеклова во теории упругости;
М е щ е р с к и й И В., Гидродинамические труды В X. Стекло-
ва: I юн тер II. М., Груды В. \ Стеклова но математической
физике; Кузьмин Р. О., О работах В. X. Стеклона но теории
•механических квадратур; Список работ В \ Стеклова.
510
И. Я. ДЕПМ кН
В Петербургский университет Стеклов перешел из Харь-
кова в 1906 г. В протоколах заседании совета Петербург-
ского университета читаем:
«30 января 11ЮВ г. ректор докладывает сонету, что лысо
чапшпм приказом по гражданскому ведомству, иоследовавпшм
21 января с. г., уволен, cor lacuo прошению, от должности ор
дипарпого профессора ио кафедре математики заслуженный
профессор академик \. \. Марков. Посему фпзнко-математи-
ческнн факультет, озабочпваясь .замещением сей кафедры,
избрал в качестве кандидата на оную профессора физико-
математического факультета Харьковскот о университета
Г». V Стеклова. Имя В. У. Стеклова хорошо известно в уче-
ном мире. Он написал больше 50 научных работ в области
математики, механики и физики Избрание В. \. Стеклова
было бы весьма пенным приобретением не только для фа-
ку п.тета, но и тля университета и совета».
Совет постановил ходатайствовать об утверждении
Стеклова в должности ординарного профессора ио кафедре
математики в Петербургском университете.
Далее 17 апреля ректор сообщает совету, что приказом
ио гражданскому ведомству от 3 апреля ординарный про-
фессор Харьковского университета Стеклов перемешен
ординарным профессором в Петербургский университет,
а 23 августа совет университета приветствовал впервые
присутствовавшего в заседании Стеклова.
Многие крупные ученые относились безразлично к те-
кущим университетским делам. Не таков был В. А. Стек-
лов. Он, подобно своему предшественнику ио кафедре
А. А. Маркову, самым живым образом реагировал на
вопросы университетской и общей политической жизни.
Очень многие протоколы заседании совета университета
сопровождаются особыми мнениями Стеклова, в обсужде
нин каждого мало-мальски существенного дела оп прини-
мал активное участие, проявляя большую настойчивость
в отстаивании своих взглядов. Заседания совета он иосе-
ща т Kpai не аккуратно, так что почти пег заседании, в ко
торых он не участвовал.
С большой определенностью и резкостью (.теклов высту-
пал но вопросам, имевшим политический характер Из его
В. X. СТЕКЛОВ В ПЕТЕРБУРГСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ 5 Ц
воспомппаппй о своем учителе А \1. Ляпунове известно,
что он еще студентом был весьма передового для того вре-
мени образа мыслен. Повидпмому, здесь сказалось воспи-
тание в семье н ее традиции; Стеклов бы i по матери пле-
мянником знаменитого критика Н X. Добролюбова. Гаким
же передовым, каким он был студентом. Стеклов осгался
и бу (учи профессором.
115 выступлении Стеклова, имевших политический
характер, заслуживает внимания его речь в совете уни-
верситета по поводу шибюров представителя университетов
и Академии паук в Государственный Совет (протоколы
заседания сл>нота университета 29 января 1907 г.)1). Перед
советом университета, обсуждавшим вопрос о том, как
выбирать своего представителя для избрания членов Госу-
дарственного Совета от пауки, Стек iob поднял совсем
иной вопрос: нужно ли вообще выбирать, годится ли уче-
ным участвовать в этой комедии? Он дал на это резко отри-
цательный ответ, выступив с большой речью, хотя и знал,
что большинство совета пойти за ним ие решится. Вот как
отражает протокол эту' лекцию гражданственности, про-
читанную математиком собранию, в котором значительное
ядро составляли гогущарствоведы.
«Профессор В. У Стеклов заявил, что хотя он имеет
основание предполагать, что его мнение не будет принято
большинством совета, тем не менее он считает своей обязан-
ностью сказать то, что думает, не считаясь с после дствиями
Государственный Совет состоит, главным образом, из
назначенных членов из числа сановников, высшей бюрокра
тип и из выборных представителей некоторых привилегиро-
ванных сословий. Это—учреждение, как видно из самой ее
организации, бюрократическое п сословное, которое но не-
обходимости должно и будет отстаивать интересы бюрокра-
тии и прнвп.югнрованных классов, защищать их интересы,
которые выросли под покровительством старого строя,
9 13 1905 г. царское правительство в целях создания в глазах
населения авторитета Государственному Совету ввело в нею не-
скольких представителей Академии наук п унпверспготов. Осталь-
ные 200 членов назначались верховной властью или избирались
Дворянством.
512
И. Я ДЕНМАН
теоретически отмененного манифестом 17 октября. Спраши-
вается, какую роль может играть в этом учреждении про-
фессор пли академик, как представитель университета и
науки, интересы которой по самой сущности дела стоят вис
и выше условностей сословных интересов. Представителю
науки, именно как таковому, а не гражданину вообще, там не
место, если смотреть на дело прямо, лроф. В. А. Стеклов
прямо должен сказать, что считает введение в Государст-
венный Совет представителей от академии и у ниверситетов
непонятным для нею недоразумением
Но говорят, что жизнь часто нс считается с принципами,
отступление от них признается часто необходимым п полез-
ным для общего блага. Проф. В. А. Стеклов с этим решительно
не согласен, но тем нс менее постарается, оставив принци-
пиальна ю сторону, взглянуть на дело практически. Можно ли
Оправдать нарушение вышеуказанного принципа темп выго-
дами, которые представит вступление профессоров в Госу-
дарственный Совет, стоит ли для этих выгод нарушать этот
принцип»? Профессор может пожелать войти в Государ-
ственный Совет, воспользовавшись случайно предоставлен-
ным ему правом, с целью проводить через пего в жизнь свои
политические убеждения, защищать интересы своп пли того
класса или сословия, к которому он принадлежит, пе как
профессор, а как житель данного государства. С этого мо-
мента он перестанет быть профессором, а следовательно и
представителем у ииверситета.
По, оставив это в стороне, проф В Л. Стеклов спраши-
вает, какую роль может играть в Государственном Совете
профессор в этом случае? Если оп во своим убеждениям при-
надлежит к большинству Государственного Совета, если он
ставит задачей защищать п поддерживать старый порядок
или интересы привилегированных сословий, оп, конечно,
даст лишний голос большинству. Но и в этом случае его роль
будет довольно печальна. В Государственном Совете и без
него достаточно и более опытных и более сильных и влия-
тельных лиц, которые и без него и лучше его сумеют отстоять
свои интересы. Па нею все-таки будут смотреть сверху вниз
п ему, в лучшем случае, придется только играть роль мухи
у вола па рогах. Стоит ли из-за такой перспективы бросать
дело своей жизни, университет и науку, хотя бы и временно.’’
В. к СТЕКЛОВ В ПЕТЕРБУРГСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ 513
Если же убеждения профессора противоположны убеждениям
большинства, то положение такого члена Совета будет прямо
невыносимым. Лиц, подобных себе, он встретит в Совете де-
сяток, много другой Что же может сделать такая ничтож-
ная кучка в коллегии из 200 человек? Речи его, если ему
и удастся иногда говорить, будут в истинном смысле гласом
вопиющего в пустыне. К нему не только будут относиться,
как к низшему, но и прямо враждебно, и он непрерывно дол-
жен будет испытывать сознание своей бесполезности и бес-
силия. Если прибавить к этому, что при желании добросовест-
ного отношения к делу он будет принужден всецело погру-
зиться в крайне сложную и ответственную работу полити-
ческого деятеля и поэтому совершенно забыть науку, которой
до сих пор служил, по необходимости отстать от нее, то
станет яспо, что от пребывания его в Государственном Со-
вете произойдет вред и только один пред и для нею самого
и для университета.
13о всех случаях польза, которую может принести про-
фессор, как ученый, в Государственном Совете, при его
настоящей организации и при настоящем положении вегцей,
более чем сомнительна и может быть рассчитана только на
русское „авось“.
Стоит ли для этого „авось“ нарушать основную идею,
что академиям и университетам, как ученым учреждениям,
ио самому существу их определения, по место в учрежде-
ниях сословных, бюрократических и привилегированных?
Но мнению проф. В. А. Стеклова, Совету университета
следует отказаться от выборов своих представителей в Го-
сударственный Совет».
К высказанному Стекловым из 54 присутствовавших на
заседании профессоров присоединились только двое, при-
том один с оговорками.
Аналогичные выборы 22 септяоря 1908 г. вновь дали
Стеклову повод заявить, что он остается при том же мнении,
какое им было высказано в собрании совета 29 января
1907 г. На совет это заявление произвело столь же мало
впечатления, как и первое выступление. Более того, при
выдвижении кандидатов в выборщики наибольшее число
избирательных голосов получает... В. А. Стеклов, который
33 Исторнко-матем. исследования
514 —
И. Я. ДЕНМАН
вновь заявляет, что «ввиду высказывавшегося им доселе
и в настоящем собрании принципиального взгляда по
вопросу об и юранпп членов Госу щрствеппого Совета он
ио может принять на себя обязанность участвовать
в выборах».
В том же 1908 г. Стеклову пришлось еще раз выступить
с большой речью принципиального характера. Именно,
в заседании 5 мая было доложено совету, что циркулярным
предложением министра народного просвещения от 25 ян-
варя 1908 г. в университет прислана утвержденная
министром инструкция профессорскому дисциплинарному
су iy при университете. В том же заседании было доложено
пред юженпс попечителя Петербургского учебного округа
от 1о февраля с утвержденной министром инструкцией
проректору. Проректор проф. Браун указал, что в этой
инструкции, так же как и в инструкции профессорскому
дисциплинарному суду, мало общего с представленным
к утверждению проектом. Однако проф. Браун и другие
члены совета предлагали «при существующих условиях»
инструкции принять, причем относительно инструкции
дисциплинарному суду указать, что «согласно высочай-
шему указу от 27 августа 1905 г. выработка инструкции
этой принадлежит компетенции совета, а ныне утвержден-
ная министром инструкция принимается в качестве
правил, подлежащих проверке на опыте, с правом вой-
ти на основании данных опыта с ходатайством об из-
менениях в пен». Такое предложение вызвало резкую
отповедь со стороны Стеклова, который ранее, в засе-
дании совета 8 октября 1907 г., категорически выска-
зался против возможности самого существования в уни-
верситете профессорского дисциплинарного суда. Со-
гласно протоколу
«...профессор В. А. Стеклов, указав на отсутствие сход-
ства между инструкциями—выработанной советом и пред-
ставленной им на утверждение министра нар. проев., с одной
Стороны, и утвержденной министром, с другой,—решительно
протестовал против принятия последней советом и но этому
поводу высказал следующее свое мнение: „на основании н 2
высочайше утвержденных правил 11-го нюня 1907 г издание
В. 1. СТЕКЛОВ В ПЕТЕРБУРГСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ 515
инструкции, определяющей порядок рассмотрения дел уни-
верситетским дисциплинарным судом, возлагается па советы
университетов. На основании этой формулировки дело о
составлении инструкции для профессорского дисциплинар-
ного суда можно отнести к разряду тех дел, окончательное
решение которых предоставляется советам университетов
и не требует утверждения высших инстанций. Можно, следо-
вательно, полагать, что проект такой инструкции нс требует
даже утверждения министра. Во всяком случае, вопрос о том,
следует ли представлять рассматриваемую инструкцию, вы-
работанную советом, па утверждение министра, представляет-
ся сомнительным и может допустить двоякое толкование,
если держаться лишь текста правил 11-го июня. Однако,
в циркулярном предложении от 5-го июля 1907 г. министер-
ство истолковало пункт 12-н правил в том смысле, что выра-
ботанные советом университета инструкции должны вос-
ходить па утверждение министра народного просвещения,
предложив совету представить проект инструкции на утвер-
ждение последнего. Признав возможность такого толкова-
ния пункта 12-го правил 11-го нюня, совет представил на
утверждение министра выработанную нм инструкцию. Ми-
нистр мог либо утвердить таковую, .либо признать ее не под-
лежащей утверждению, если в представленном советом проек-
те имелись, но его мнению, положения, не согласные с дей-
ствующими законами и им противоречащие. В последнем слу-
чае министерство должно было возвратить проект инструкции
в совет с соответствующими указаниями. Совет должен был
обсудить указанные замечания и, в случае сог кмшя, перера-
ботать инструкцию в соответствии с указаниями министра
и вновь представить исправленный проект на его утвержде-
ние. В случае же разно! ласпя в толковании законности вы-
работанных советом правил совет обязан был возвратить
министру проект инструкции с указанием па полное соот-
ветствие, но мнению совета, выработанных нм положений
с действующими законами.
Если и с той и с другой стороны в последнем случае но
последовало бы соглашения в толковании закона, то совет
обязан обратиться в высшую инстанцию, которой предоста-
влено право окончательного разрешения смысла действую-
щих законов, т. с. в Правительственный Сенат.
33*
516
П. Я. ДЕПМАН
Если при утверждении того или ппого проекта, соста-
вление которого по праву принадлежит совету, последний
найдет в действии министра хотя бы малейшее нарушение
прав, законом совету предоставленных, то совет обязан, на
основании статьи 191 Общ. Св. законов, представить об
этом министру и, в случае несогласия последнего, обжало
вать его действия в Сенат4*.
Таков, по мнению профессора В. \. Стеклова, нормаль-
ный поря {.ок вещей, вытекающий из требований законов,
на точном основании которых управляется Российская
Империя
В данном случае министерство вышло, но его мнению,
из пределов прав, ему по закону предоставленных. Вместо
утверждения пли неутверждеипя представленной советом
инструкции в порядке, у казанном выше, министр утвердил
не проект [инструкции совета], а какую-то другую инструк-
цию, неизвестно кем составленную, препроводив таковую
в совет для исполнения. Такое действие министра народного
просвещения представляется несогласным с действующими
законами и является нарушением прав совета, предоставлен-
ных ему высочайшими указами 27 августа 1905 г. и 11 июня
1907 г.’
Если совет желает строго следовать велениям закона
и действительно охранять законом данные ему7 начала авто-
номии, то обязан, на основании ст 191, сделать соответ-
ствующее представление министру с указанием на незаконо-
мерные действия последнего, в случае же несогласия мини-
стра, точно руководствуясь той же 191 ст., обжаловать дей-
ствия министра в Сенат. Припять же инструкцию, соста-
вленную не советом, к исполнению—значит не только добро
вольно отказаться от прав, предоставленных совету законом,
во и совершить незаконное действие, не исполнив обязан
пости, налагаемой на всякое лицо и тем более па всякое
учреждение статьей 191.
Совершенно в таком же положении находится и дело
с инструкцией для проректора, право составления которой
также принадлежит совету, а министру только право утвер-
ждения инструкции, выработанной советом, а не какими бы
то пи было другими лицами пли учреждениями. Это под-
тверждается и самим министерством, ибо в цирку лярс от
В V СТЕКЛОВ В ПЕТЕРБУРГСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ 517
1 августа 1907 г. ..министр нар. проев, предлагает совету
Петербургского университета выработать проект инструкции
для проректора и представить оный ва его утверждение".
II в данном случае министр лар. проев. утвердил
не [проект совета], а какой-то другой, неизвестно кем соста-
вленный.
Возможно, наконец, допустить в данных случаях и про-
стую ошибку канцелярии министерства. Ведь было же
несколько месяцев тому назад препровождено ректору уни-
верситета высочайшее повеление иод видом секретной бума-
ги. Можно предположить, что и теперь в совет у ливерентета
по ошибке попала инструкция, выработанная советом какого-
нибудь другого университета и утвержденная министром.
Ввиду всех этих соображений проф. Стеклов считает необ-
ходимым сделать министру представление в вышеуказанном
смысле. Ответ министра разъяснит недоразумение: либо
убедит совет в неправильности его, совета, мнения, либо,
наоборот, окончательно подтвердит правильность такового.
В нервом случае совет обязан будет подчиниться законному
требованию министра, во втором обязан обжаловать дей-
ствие министра в Сенат, руководствуясь ст. 191. Другое
какое-либо отношение к делу не допускается ни достоин-
ством совета, ни велениями закона.
В заключение проф. В. \. Стеклов просил поставить
па голосование предложение его войти к министру нар.
проев, е заявлением от имени совета университета о том, что
утвержденная министром инструкция проректору универси-
тета не соответствует составленной советом и представленной
министру па утверждение и что таким образом оказалось
нарушенным принадлежащее совету университета право.
В случае же, если министр с этим не согласится, представить
все дело в Сенат».
Однако совет большинством голосов (21 против 17)
не согласи 1ся с предложением (леклова и постановил
инструкцию принять. Инструкция профессорскому дис-
циплинарному суду была принята большинством всего
лишь двух голосов (19 за, 17 против).
Столь же определенно выступал Стеклов по дру-
гим вопросам, например по поводу студенческих сходок
518
И. Я. ДЕПМЛН
и действий полиции в университете. 4 января 1907 г.
был произведен обыск в университете и в студенческой
столовой, было арестовано свыше 70 человек, избито не-
сколько студентов. Все это происходило при полном
игнорировании полицией ректора и университетского
начальства.
По поводу предложения (экстренное заседание совета
5 февраля) обратиться с заявлением по этому поводу
к министру народного просвещения Стеклов, поддержан-
ный проф. Дсрюжипскпм, со своей стороны внес следую-
щее предложение:
«Находя бесполезным протестовать по существу против
вторжения полиции в университет, совет тем не менее счита-
ет своим долгом заявить, что введение полиции в здание
университета без предупреждения ректора и университетской
администрации, без предъявления установленного законом
предписания властей, представляет явное нарушение прав и
привилегий университета, в чем университет усматривает
полное пренебрежение к его достоинству».
Когда это предложение получило 20 голосов за и 22
против и принято было постановление обратиться к ми-
нистру с заявлением, Стеклов вносит дополнительное пред-
ложение:
«Сверх того совет постановляет довести до сведения
министра народного просвещения об избиении двух студен-
тов университета чипами конной полиции и об оскорблении
университетского врача и просит принять меры к тому,
чтобы по этому поводу было назначено судебное расследова-
ние и виновные были привлечены к законной ответственности».
Это предложение было принято советом единогласно.
Сходка в университете 20 февраля 1907 г. с участием
некоторых членов Государственной Думы и дру1 их «по-
сторонних» лиц вызвала бесцеремонное вмешательство
в дела университета градоначальника. В заседании совета
26 февраля было средн прочих мер пре (ложено обратиться
с увещеванием к студентам и публике «беречь универси-
тет». Стеклов выступил по этому поводу со следующим
особым мнением:
В. V СТЕКЛОВ В ПЕТЕРБУРГСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ 519
«Совет безусловно нс должен делать какого бы то нп
было заявления пли протеста против участия некоторых чле-
нов Государственной Думы па сходке в университетских зда-
ниях 20 февраля, протеста, обращенного к Государственной
Думе или к ее председателю, как здесь было предложено не-
которыми членами совета. Bcei ia возможно, что отдельные
лица из состава хотя бы и народных представителей совер-
шают те пли иные поступки, которые другими лицами или
учреждениями будут признаны неправильными, нетактич-
ными п тому подобное, по раз они действуют как частные
липа, а но по поручению тою учреждения, членами которого
они состоят, то ио меньшей мерс странно обращаться с жало-
бами на них к этому последнему. Если сверх того принять
во внимание справедливое замечание проф. Петражпцкого,
что Гос. Дума не облечена дисциплинарными полномочиями
по отношению к ее членам за их действия и посту пки, совер-
шенные не в Гос. Думе, пли, по крайней мере, не направлен-
ные непосредственно против самого учреждения Думы, то
станет ясна полная неуместность выступления совета уни-
верситета в предложенном направлении. На основании
этого п некоторых из мотивов, уже раньше высказанных
в нервом мнении проф. ПетражНцкпм, следует решительно
высказаться против выступления совета с какими бы то
нп было заявлениями вообще.
Предложение сделать от имени совета особое обращение
как к студенчеству, так и к лицам, посторонним университету
чисто, так сказать, морального характера, обратить внима-
ние известной части лиц па нежелательность их проникнове-
ния па студенческие сходки и на те печальные последствия
для жизни университета, которые могут явиться прямым
следствием такого образа действий и т. п.. совершенно бес-
полезно и нежелательно. Такие рассуждения совершенно не-
убедительны для тех, кто отнюдь несогласен с тем, что уни-
верситет должен жить только наукой и только ради науки.
Для лиц этой категории все подобного рода заявления будут,
в лучшем случае, лишь жалкими словами, не имеющими
значения. Такая резолюция не достигнет цели, может только
подчеркнуть бессилие совета и вызовет лишь ироническое
к пой отношение. Опа пройдет без действия и мимо тех,
для кого опа, собственно, и предназначена Если совет
520
II. Я. ДЕПМЛП
выступил с протестом протии действий полиции 4 февраля,
то тем самым оп совершенно пе вынуждается протестовать
и против другой, так сказать, стороны. Сопостав.к пне, па мой
взгляд, неосновательное, ибо здесь дело идет о вещах не-
соизмеримых. В первом слу iac было отступление от закон-
ной формы действия власти чипами правительственной вла-
сти при исполнении ее прямых служебных обязанностей по
отношению к учреждению также государственному—уни-
верситету, во втором действовали частные лица по собствен-
ному разумению и на свой страх, и, во всяком случае, без
каких бы то ни было полномочий от какого бы то ни было
государственного учреждения. Несоответствие этих двух
положении очевидно. На совершившееся 20 февраля есть
уже вполне определенный ответ и заявление правительствен-
ной власти, это расклеенное повсюду объявление Петербург-
ского градоначальника о мерах более решительных, чем воз-
действия на чувства и совесть. Тем более покажется наивной
[резолюция совета]. Наконец, совет еще в августе высказал
свой взгляд на дело при составлении общих правил универ-
ситетского распорядка и правил о студенческих собраниях.
Нет смысла повторять несколько раз одно и то же, только
другими более длинными словами. Итак, совету решительно
следовало бы отказаться от какой бы то ни было резолюции
в указанном выше смысле, а от резолюции, только что про-
читанной, в особенности».
Когда в заседании 29 января 1911 г. совет снова поста-
новил обратиться к студентам «с безусловным осуждением
учебной забастовки, как бы она ни мотивировалась»,
Стеклов вновь заявил, что «он решительно высказывается
против каких бы то ни было обращений к студентам
и в особенности против той редакции, которая приведена
выше».
Неоднократно приходилось Стеклову протестовать,
когда совет стремился обходить острые положения. Когда,
например, в 1911 г. министр Кассо указал, что «совет
Петербургского университета, невидимому, пе интересуясь
необходимой выработкой действительных мер для уста-
новления надзора за учащимися и предупреждения бес-
порядков, в то же время озабочен лишь скорейшим дозво-
В. А. СТЕКЛОВ В ПЕТЕРБУРГСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ 521
лепном студенческих сходок и возвращением в универси-
тет лиц, уволенных за беспорядки» и когда совет универ-
ситета в заседании 12 сентября 1911 г. сочиняет ответ
Кассо, в котором старается показать, что его заявление
является недоразумением, Стеклов подает особое мнение.
«Считаю невозможным принять предлагаемый проект
ответа па предложелнгс министерства нар. иросв. от 27 июня
с. г. но следующим причинам:
1. Никакого недоумения совершенно определенное за-
явление министра, что ..совет, потш.тимому, нисколько не
интерес} ясь необходимой выработкой действительных мер
для установления надзора за учащимися и предупреждения
беспорядков, в то же время озабочен .тишь скорейшим дозво-
лением студенческих сходок и возвращением в университет
лиц, уволенных за беспорядки”, вызывать не может, а являет-
ся просто оскорбительным для совета и в официальной
бумаге, по моему мнению, недопустимым.
2 Вторая часть записки может быть истолкована как
оправдание совета, что, но миому мнению, не соответствует
достоинству совета.
Ввиду этого я высказываюсь решительно против при-
нятия предлагаемой записки».
Резко выступая против всякого самоунижения перед
царской властью, Стеклов вместе с том горячо одобрял вся-
кое проявление сознания с.восго гражданского достоинст-
ва. В заседании совета 18 января 1910 г. ректор 11. II. Борг-
ман сообщил, что он был вынужден подать прошение об
отставке, что сделал и проректор J. Д. Гримм, которое
было вызвано следующими обстоятельствами: 19 декабря
он и проректор были вызваны к товарищу министра народ-
ного просвещения, который поставил ректору и прорек-
тору на вид, что по имеющимся у министра сведениям
в университете происходил в октябре съезд делегаток
вольнослушательниц всех университетов, что состоялось
8 заседаний, дни которых министерству известны. К заявле-
нию ректора и проректора, что таких собраний в универ
ситете не происходило, товарищ министра, невидимому,
отнесся недоверчиво. Броме того, было поставлено па вид,
что правлению университета остался неизвестным состав
522
И. Я. ДЕПМАН
президиума сходки 7 ноября. На указание ректора на
невозможность знать состав летучих сходок товарищ ми-
нистра заметил, «что если ректор не может принять мер
для достижения такой осведомленности, то, быть может,
кто-нибудь иной будет в состоянии это выполнять». Такое
замечание было понято ректором, как предложение оста
вить исполнение обязанностей ректора. Стеклов по этому
поводу заявил:
«Принимая в расчет заявление, сделанное ректором
о причинах, побудивших его подать в отставку 19-го декабря
после разговора с товарищем министра народного просвеще-
ния, и мотивы, по которым проректор подал заявление о
своей отставке еще раньше только что упомянутого разгово-
ра, и разные другие обстоятельства университетской жизни
за последние два года, я прихожу к следующему выводу:
уничтожив институт инспекции с ее функциями полицей-
ского характера, министерство, основываясь па указах
27 августа 1905 г., 11 декабря 1908 г. и так далее, требует,
чтобы функции инспекции были перенесены на выборную
университетскую администрацию, на ректора и в особен-
ности на проректора университета. Конечно, университет-
ское начальство должно руководить внешним порядком
в университете, но шт один профессор, как ученый и член
совета, но его мнению, по имеет права взять на себя исполне-
ние тех обязанностей, которые до 1906 г. лежали па инспек-
ции, не может и не должен обладать той „осведомнтель-
ностыо“, отсутствие которой ставилось в вину ректору и про-
ректору. Единственным ответом на такое требование может
быть прошение об отставке от исполнения административных
обязанностей. Такой образ действий ость единственно до-
стойный для члена ученого и высшего просветительного
учреждения Профессора Э. Д. Гримм и затем II. II. Борг-
ман поступили именно так, как требовало достоинство и их
звания и учреждения, которому они служат, и точно так же
должен поступить и впредь каждый другой член совета.
Об этом, по мнению профессора Стеклова, совет должен кате-
горически заявить в своем постановлении, а ректору и про-
ректору выразить одобрение за их образ действий, един-
ственно правильный при указанных выше условиях».
В. Л СТЕКЛОВ В ПЕТЕРБУРГСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ 523
Интересны регулярные выступления Стеклова при
обсуждении сметы университета. Так, ежегодно, начиная
с 1906 г., Стеклов заявляет, что, по его мнению, подле-
жали бы удалению из сметы университета следующие
статьи расхода:
а) преподавателю музыки на музыкальные упражне-
ния студентов и па содержание церковных певчих ввиду
того, что более существенные нужды преподавания пс
обеспечены;
б) квартирные деньги чинам канцелярии попечителя
Петербургского учебного округа и на содержание ученого
комитета министерства ввиду того, что этот расход неза-
конно отнесен на специальные средства университета
министерством, распоряжения коего по сему поводу под-
лежали бы обжалованию ио ст. 191 и в Правительствую-
щий Сопат.
В 1912 I обсуждение сметы приобрело отчетливый поли-
тический характер. Согласно протоколам в заседании
3 декабря 1912 г. ректор доложил совету, что правление
универси гета вносит предложение о ежегодном назначе-
нии кредита из специальных средств университета на
5 стипендиальных пособий студентам в память 300 летия
царствующего дома Романовых. Стеклов по этому поводу
заявил:
«Но поводу предложения правления о назначении сти-
пендиальных пособий считаю долгом сделать заявление, для
обоснования которого достаточно прочесть первые строки
повестки: „предложение правления университета о ежегод-
ном назначении из специальных средств университета
о стипендиальных пособии"...
Безразлично, каковы бы ни были мотивы п цели такого
предложения, нельзя совершать никаких действии, явно про-
тиворечащих установленным правилам и даже закону. Если
бы шла речь о пособиях на данный год, смета которого рас-
сматривается, можно было бы говорить о целесообразности,
во в данном случае это излишне. Из сметы данного года
можно делать ассигновки лишь на данный же год, уста-
навливать же наперед какие-либо ассигнования из несу-
ществующих смет будущих годов никто пе имеет права.
Поэтому, с чисто формальной точки зрения, предложение
524
II. Я. ДЕПМ VII
правления, как противоречащее закону ежегодного соста-
вления смет, нс может даже подлежать обсуждению н долж-
но быть отклонено».
По поводу ассигнований по ст. 1 на наем певчих, квар-
тирные деньги п пр. Стеклов заявил:
«Что касается ассигнования но ст. 1 лит. в, они, конечно,
противоречат прямому смыслу ст 147 университетского
устава. Необходимость, однако, заставляет производить
такого род ассигновки волей-неволей. Чтобы встать в согла-
сие с законом и при необходимости выбирать из всех зол
меньшее, необходимо отнести их под рубрику „пособий",
само собой разумеется постольку, поскольку эти ассигнова-
ния являются безусловно необходимыми и неизбежными.
К таковым во всяком случае не принадлежат расходы пс
найму певчих. Такие расходы, отнюдь не вызываемые необ-
ходимостью, при несомненной скудости специальных средств,
как очевидно противоречащие требованиям ст. 147 устава,
должны быть уничтожены. В „Объяснительной записке-
сказано, что ассигнования но ст. 1 внесены в смету условно..
..ввиду имеющихся сведений о предстоящем всенодданней
тем докладе министра народного просвещения по пспроше
нию высочайшего соизволения на производство из спецналь
вых средств у ппверситета дополнительного содержанш
штатным служащим**. Этот пункт вызывает нечто большее
чем удивление.
Во-первых, спрашивается. можно ли при пастоящел
государственном строе испрашивать кому бы то пи было
кроме заново щтельных палат (или через эти палаты), высо
чайшего соизволения па изменение ныне действующих за
копов? 11а этот вопрос двух ответов быть не может.
Статью 147 устава, внесенную в Свод законов, целый
применять в порядке управления, как нельзя применять
не нарушая основных законов, никакой статьи закона бе
одобрения законодательных палат. Статья же 147 говори
совершенно определенно, на что именно могут расходовать!*
специальные средства, и отнюдь не дает права ассигновал
их па дополнительное содержание штатных служащих.
Министр не вправе испрашивать высочайшего соизвож
пня на изменение закона и если это будет сделано, то эт
В. А. СТЕКЛОВ В ПЕТЕРБУРГСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
525
будет акт незаконный. Толковать ст. 147 распространитель-
но, полагая, что указанные там пункты суть примерные—
пет нп малейшего основания: законы ..для примера" не пи-
шутся, да и форма этой статьи отнюдь не такова. Утверждаю
это, считая излишним входить в подробности
Во-вторых, тем более странно университету основывать
спои действия на еще не совершившемся факте, на каких-то
„имеющихся сведениях" о еще „предстоящем" исирошенпи,
т. с. на возможности предстоящего еще действия, еще пе осу-
ществленного, и иритом действия, которое, па мой взгляд,
должно считать противоречащим установленному в империи
государственному режиму Мотивировка эта должна быть
уничтожена. Вместо того чтобы косвенным образом содей-
ствовать акту, который может быть толкуем, как несоответ-
ствующий законам, необходимо обратиться с ходатайством
об увеличении штатных ассигновании на те нужды, которые
теперь, в силу необходимости и в обход закона, покрываются
на специальных средств.
Мотивировку же привести такую: „ассигнования но
лит. в—л вносятся как пособия условно до тех пор, пока
не будут в установленном законом порядке увеличены до
необходимых размеров штатные ассш новация на эти пред-
меты,—и возбудить одновременно соответствующее^ хода-
тайство"».
Выступая регулярно ио вопросам политическим, адми-
нистративным и сметным, Стеклов еще мопсе мог оста-
ваться молчаливым зрителем, когда, по ею мнению,
затрагивались прямые интересы науки. В одном из пер-
вых заседаний, на котором он присутствовал (27 ноября
1906 г.), при рассмотрении предложения историко-фило-
логического факультета возвести профессоров Брауна
и Шляпкнна, имеющих только магистерскую степень,
в звание и. д. ординарных профессоров, Стеклов заявил:
«Вполне присоединяясь к намерению историко-фило-
логического факультета оцепить так пли иначе долголет-
нюю деятельность проф. Брауна и Шляпкнна на пользу
университета, я тем не менее1 не могу согласиться с формой
осуществления этого намерения, предлагаемого историко-
.26
И. Я. ДЕПМАН
филологическим факультетом. Сохранение двух ученых сте-
пеней (магистра и доктора) я считаю безусловно необходи-
мым; замена двух степенен только одной должна привести,
по моему мнению, к последствиям, весьма вредным для
научного достоинства университета. Возведение магистров
в звание и. д. ординарных ирофессо] ов фактически равно-
сильно уничтожению степени доктора, почему я высказы-
ваюсь против предложения историко-филологическою фа-
культета, тем более, что естественным последствием при-
нятия такой меры по отношению к кому-либо одному из
магистров является последующее возведение в и. д. орди-
нарного профессора всех имеющих только степень магистра.
Ясно, что таким путем уничтожается докторская степень.
Если профессора Браун и Шляпкни представляют собой
исключительное явление по научным работам, то уже лучше
возвести их в степень доктора, на что факультет имеет право,
хотя я совершенно согласен с заявлением проф. Горчакова
о нежелательности этого и вполне одобряю практику Пе-
тербургского университета никого пе возводить в степень
доктора без публичной защиты диссертации, по считаю
нарушение этого отличного обычая в исключительном слу-
чае злом во всяком случае меньшим, чем полное упраздне-
ние степени доктора при помощи возведения в и. д. орди-
нарного профессора всех экстраординарных профессоров.
Этой мере, примененной впервые правительством, когда
потребовалось назначить профессора Зверева ректором Мо-
сковского университета (были и другие подобные случаи),
и справедливо осуждавшейся в свое время представителями
науки, не следует подражать1).
На основании всего сказанного я полагаю, что ходатай-
ство историко-филологического факультета о возведении
профессоров Брауна и Шляпкина, пе имеющих степени
доктора, в звание п. д. ординарных профессоров должно
быть отклонено».
Эту точку зрения Стеклов высказывал позднее неодно-
кратно.
х) Проф. И. А. Зверев—известный ретроград, впоследствии
член Государственного Совета по назначению.—//.
В. А. СТЕКЛОВ В ПЕТЕРБУРГСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ 527
Однако Стеклов не относился к требованию об ученых
степенях формально. Когда в 1911 г. совет университета
постановил ходатайствовать перед министерством о возве-
дении экстраординарного профессора академика Коков-
цева (магистра) в и. д. ординарного профессора, то Стек-
лов ио возражал против этого ходатайства, так как по
закону 1816 г. от академиков при допущении на должность
профессора пе требовалась ученая степень. Этот случаи
показывает, что Стеклов считал требование о степенях
излишним в тех случаях, где есть другие доказательства
ученых заслуг, а требовал их, очевидно, там, где других
васлуг у кандидата ие имелось.
Заботясь о процветании университета, Стеклов стре-
мился к устранению устарелых порядков как при приеме
В университет, так и в степах самого университета. Так,
в 1907 г. при обсуждении требовании к лицам женского пола
при поступлении в университет, Стеклов подаст особое
мнение относительно требовании знания латинского языка
от поступающих.
«Присоединяясь к мнению, чтобы предоставить декапам
факультетов выработать правила и программы добавочных
испытаний для лиц женского пола для приема таковых
в университет, я считаю, что для лиц, желающих поступить
па математическое отделение физико-математического фа-
культета, пе нужно никакого экзамена но латинскому языку.
Эти экзамены представляют лишь ненужную формальность.
Лицо, желающее работать, без всякого труда самостоятельно
может настолько ознакомиться с латинским языком, что
не встретит никаких затруднении при чтении тех немногих
сочинений по математике Эйлера, Ньютона, Якоби и неко-
торых других, с которыми ему придется иметь дело».
В апреле 1912 г. Стеклов подает в факультет заявление.
«Оказывается, что но правилам вход в лекторию (про-
фессорскую) лицам, оставленным при университете для при-
готовления к профессорскому званию, воспрещается Таким
образом молодые ученые лишены возможности знакомить-
ся с новейшей литературой по журналам, которые лежат
528
И. Я. ДЕПМЛП
в лектории иногда по несколько месяцев. Для многих из
лиц, начинающих самостоятельно работать, указанное
выше запрещение является кракле неудобным. Считая, по
весьма понятным причинам, такие правила не только не
имеющими смысла, но и очевидно вредными, я обращаюсь
к факультету с просьбой ходатайствовать о немедленной
отмене этих отживших правил и возможно скорее раз-
решить свободный доступ стипендиатам в лекторию».
Вот несколько фактов, характеризующих Стеклова как
профессора Петербургского университета. Физико-мате-
матический факультет университета был глубоко прав,
когда он в своем представлении совету об избрании Стек-
лова сказал, что избрание его было бы весьма ценным
приобретением не только для факультета, но и для уни-
верситета и совета.
Владимир Кидреевпч Стеклов
в 1925 г.
Шз собрания портретов II Я. Денмана.)
Владимир Андреевич Стеклов
в период работы п Харькове
О ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
В. А. СТЕКЛОВА В ХАРЬКОВСКОМ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМ ИНСТИТУТЕ
Э. Я. Бахм утекая
С 1 января 1894 г. ст. ст. В. А. Стеклов, бивший в то
время приват-доцентом Хархковского университета, был
приглашен в Харьковский технологический институт для
чтения курса лекции по теоретической механике, сменив
на этом посту А. М. Ляпунова по просьбе и рекомендации
последнего.
Директор Харьковского технологического института,,
профессор прикладной механики В. Л. Кпрпичев, уде.'
лявший большое внимание повышению уровня общетео-
ретического образования студентов, писал по поводу при-
глашения Стеклова попечителю Харьковского учебного
округа в декабре 1893 г.: «А. М. Ляпунов указал на приват-
доцента В. А. Стеклова, как на кандидата, который мог
бы с успехом заменить его. Со своей стороны я должен
засвидетельствовать, что г. Стеклов многочисленными
своими работами и сообщениями в Харьковском матема-
тическом обществе зарекомендовал себя как весьма талант-
ливого и сведущего ученого в разных отделах аналитиче-
ской механики, в особенности гидродинамики и теории
упругости, имеющих первостепенные значения для науч-
ного образования технолога, и действительно предста-
вляется весьма желательным открывшуюся вакансию
передать ему»J).
*) Харьковский областной архив, ф. 770, д. № 307, личное
дело В. А. Стеклова.
Историке-матем. исследовании
530
3. Я. БАХМУТХЖЛЯ
В Харьковском технологическом институте Стеклов
читал курс теоретической механики па протяжении десяти
лет—до 10 апреля 1904 г.
Не ограничиваясь одним только преподаванием курса.
Стеклов, как это следует из материалов Харьковского
областного архива, принимал деятельное участие в самой
организации преподавания общетеоретических предметов
в институте, в обсуждении методики преподавания мате-
матики и теоретической механики.
Об этом свидетельствуют сохранившиеся в архиве
тексты выступлений Стеклова в протоколах заседаний
Учебного комитета института. Особое внимание обра-
щает на себя большая речь Стеклова, произнесенная им па
заседании чебиого комитета института 9 декабря 1897 i.
Заседание было посвящено вопросу о целесообразной по-
становке так называемых репетиции—занятий, посвящен-
ных опросу студентов по математике и механике (по каж-
дому предмету раз в 6 недель) с выставлением отметок,
которые впоследствии учитывались при выводе экзамена-
ционного балла по данному предмету
В обширной речи, произнесенной в самом начале засе-
дания, Стеклов сформулировал свои взгляды па задачи
высшего образования и па то, какой должна быть мето-
дика преподавания математики, теоретической механики
и других общетеоретических предметов в высшей техн и
ческой школе.
«Задача всякого высшего заведения—создать класс
людей образованных вообще и в топ специальности, в кото-
рой они чувствуют призвание и которой сознательно’ по-
свящают свои силы—в частности. Эта задача может быть
выполнена успению тогда и только тогда, когда студенту
самой организацией преподавания будет предоставлена пол
Пая возможность самостоятельно и серьезно разбираться
п вникать в изучаемые нм науки, когда высшее* учебное за-
ведение всем своим строем будет постоянно напоминать
учащимся, что главным побуждением учиться можег и дол-
жен служить лишь интерес к науке и сознание приносимой
ею пользы, а не какие-либо внешние принудительные при-
чины. Только на почве не приму (нтсльпого изучения науки
О ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТЕКЛОВА
(не говоря уже „преподавания”) возможна самостоятельная,
развивающая работа.
В противном случае неизбежно получится то ..учени-
ческое отношение к делу, механическое усвоение знаний",
и то равно хушпе к интересам пауки, тот ..бесхарактерный
эклектизм голов**, о котором говорит автор статьи „Органи-
ческий недуг современных гимназий”, помещенной в ,./Кур-
иале министерства народною просвещения” за 1895 г.')1).
В этой вводной части своей речи Стеклов выступает
как ревностный поборник углубленного самостоятельного
изучения студентами основ науки, воспитания в них инте-
реса к науке, основывающегося иа сознании пользы ее
практического примененья. Стеклов неуклонно требовал
искоренения ученического, механического заучивания
отдельных разделов, основанного лишь на стремлении ио. iy -
чить хорошую отметку. Исходя из этих основных положе-
нии, он отстаивал необходимость предоставления студен-
там большей самостоятельности в учебе, считая, что
только таким образом можно обеспечить творческое усвое-
ние изучаемых предметов. Считая репетиционную систему
вредной, мешающей творческой работе и развитию инте-
реса к пауке, Стеклов предложил заменить репетиции
практическими занятиями, на которых решались бы задачи
ио курсу, способствующие развитию интереса к нему,
и давались бы дополнительные разъяснения наиболее
трудных мест в курсе. Критикуя репетиционную систему,
он указал, что наиболее вредными ее особенностями
являются строхая принудительность и стремление учить
механически с единственной целью добиться нужных
отметок.
Приведем характеристику репетиционной системы, дан-
ную в речи, так как в критике этой системы нашли яркое
отражение педагогические взгляды Стеклова:
«Каждый из сотен студентов должен в определенный
срок и к определенному' сроку „выучить11 тот предмет пли
отдел предмета, который назначен по расписанию. Каждый
г) Харьковский областной архив, ф. 770, д. № 277.
Э. Я. БАХМУТСКЛЯ
студент должен мыслить в наперед заданном направлении
но заказу в течение шести дней. Через шесть дней он должен
па долгое время забросить только что выученный предмет,
чтобы перейти на следующие шесть дней к другому, часто
не имеющему непосредственной связи с предыдущим, через
шесть днем — к новому и т д. Выучивая в течение положен-
ных шести дней какой-либо отдел науки, студент не может
спокойно располагать даже и этим небольшим промежутком
времени. Он пе может не сознавать, что в этот короткий про-
межуток времени при массе других занятий он не в состоя-
нии усвоить предмет настолько, чтобы сознательно и разумно
отвечать на всякий предложенный вопрос, но он знает, что
ему надо получить нс только удовлетворительную, но хоро-
шую отметку на репетиции, которая до известной степени
решает его судьбу. II он волнуется, усиленно учит уже не
потому, что его интересует предмет, а потому, что оп должен
так или иначе обеспечить свою судьбу, л потому, в свою оче-
редь, паука перестает интересовать его и все внимание но
необходимости сосредоточивается па чисто механическом
заучивании И это постоянное нервное напряжение и уси-
ленное зубрение продолжаются, благодаря репетициям,
из недели в неделю в течение двух первых (и самых важных
в студенческой жизни) лет».
В своих выступлениях на других заседаниях Учебного
комитета Стеклов продолжал развивать изложенную
в этой речи точку зрения. Гак, например, на заседании
30 ноября 1898 г. х) Стеклов, поддерживая предложение
В. 11. Алексеевского о введении в дополнение к годовым
полугодовых экзаменов высказался, однако, против того,
чтобы эти полугодовые экзамены были обязательными,
так как «не следует водить студентов на помочах» и «обя-
зательность но поможет слабовольным». Предложение
Учебного комитета Харьковского технологического инсти-
тута о введении практических занятий, разработанное
по инициативе и при деятельном участии Стеклова, было
поддержано другими высшими техническими учебными
заведениями страны. Практические занятия по матома-
’) Харьковский областной архив, ф. 770, д. ,V 305.
О ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТЕКЛОВА
533
тике и теоретической механике были введены повсе-
местно в 1899 г., однако, помимо их, были оставлены
в небольшом количестве контрольные репетиции (по 2
в год) по каждому из этих предметов.
В библиотеке Харьковского политехнического института
им. В. II. Ленина сохранился литографированный в 1901 г.
курс лекций Стеклова ио теоретической механике для
студентов-технологовх).
Лекции Стеклова были не только образцом превосход-
ного изложения курса теоретической механики в техни-
ческом высшем учебном заведении: они существенным
образом дополняли п самое преподавание математики
в институте как изложенном ря ia дополнительных разде-
лов, нс входивших тогда в программу ио математике для
технической высшей школы (элементы векторной алгебры
и векторного анализа, криволинейные интегралы, про-
стейшие свойства эллиптических функций и др.), так
и блестящим применением уже полученных в курсе мате-
матики познаний.
1904 г —год ухода Стеклова из института—ознамено-
вался нарастанием предреволюционного подъема во всей
стране. В Харьковском технологическом институте этот
год также был характерен ростом революционных настрое-
нии среди наиболее передовой части студентов и препода-
вателей. Директором института с августа 1903 г. до января
1905 г. был проф. И. 11. Шиллер—ставленник реакцион-
ных кругов Министерства народного просвещения, впо-
следствии, в 1905г,, назначенный членом совета министер-
ства. Система управления Шиллера, как писали впослед-
ствии преподаватели института в докладной записке ми-
нистру просвещения в ноябре 1905 г.2), была «одинаково
оскорбительной для преподавателей и студентов». Шиллер
в 1904 г. произвел массовое увольнение студентов и части
преподавателей, заподозренных в поддержке революцион-
ных настроений. Большая группа преподавателей ушла
Ю сентября из института в знак солидарности с уволеп-
’) Теоретическая механика. Лекции, читанные в Харьковском
технологическом институте профессором Харьковского универ
ептата В. \ Стекловым, Харьков, 1901.
) Харьковский областной архив, ф. 770, д. № 528 за 19()5 j,
534
Э. Я. г.лхму текли
ними и протеста против реакционного режима, установ-
ленного Шиллером. Несколько ранее, 10 апреля 1904 г.,
подал заявление об уходе из института и Стеклов. Хотя
в официа льном заявлении Стеклов, являвшийся уже
тогда ординарным профессором Харьковского универси-
тета, и мотивировал свой уход занятостью в университетех),
однако есть некоторые основания предполагать, что и его
д ход из института связан был с описанными выше собы-
тиями, получившими потом название «шиллеровского
инцидента». Об этом свидетельствует, в частности, тот
факт, что студенты Харьковского технологического инсти-
тута во время революционной сходки 21—22 октября
190э г., выставив ( редп других своих требовании, предъяв-
ленных к Учебному комитету института, требование воз-
вращения на работу всех ушедших пз института во время
«шиллеровского ипцп (сита» преподавателей и студентов,
включили в представленный ими список преподавателей
и имя В. А. Стеклова2).
х) Харьковский областной архив, ф 770, д. Л» 307. Личное
дело В. А. Стеклова.
-’) Там же, ф. 770, д. А« 528 за 1905 г.
УРАЛЬСКИМ МЧТЕМ \ТНК
ИВАН МИХЕЕВИЧ ПЕРВУШИН
Л. 7*7. Ра и к
Пиан Михеевич Первушин принадлежал к числу тех
гамечательпых русских люден, которые, но будучи уче-
ными по профессии, бескорыстно отдавали пауке все свое
свободное время, энергию и страсть. Областью матема
тики, интересовавшей Первушина, была теория чисел,
и особенно исследование природы чисел вида 22’п±1.
* *
*
Вопрос о структуре основного понятия математики
числа интересовал математиков еще издавна II в первую
очередь, естественно, встава i вопрос о распределении
в натуральном ряду пропны.с чисел, из которых мультипли-
кативно составляются все натуральные числа.
Основное предложение о числе простых чисел было
найдено древними греками. ( огласки предложению 20
kh.IX «Начал» Евклида простых чисел в натуральном ряду
бесконечно много. В течение двух е лишним тысячелетни
оставалось, однако, неизвестным, насколько часто встре-
чаются простые числа среди натуральных. Сама проблема
определения функции z(./j, выражающей число простых
чисел от 2 до т, была серьезно поставлена только в конце
XVII [ столетня
Первую простую форму у i ш больших .с дал па осно-
вании нестрогих соображении . 1ежандр, а именно;
) liu‘ 1ДЙЗЗ<Я>
536
A. E. PAIIK
Независимо от Лежандра Гаусс также дал эмпириче-
скую приближенную формулу для ~(.г). Но доказатель-
ства справедливости этих формул за пределами использо-
ванных ими таблиц простых чисел ни Лежандр, ни Гаусс
не дали. Таким образом, теория чисел оставалась лишь
па подступах к решению этой проблемы.
Первые теоретические результаты, устанавливающие
связь т (о-) с отношением , принадлежат великому
русскому математику П. Л. Чебышеву. В своей работе
«Об определении числа простых чисел, не превосходящих
данной величины» х) Чебышев доказал фундаментальное
для проблемы распределения простых чисел предложе-
ние, что ~(гс) при изменении х от 2 до со колеблется
около
Г dx
J In а-
9
Ота и другие работы Чебышева послужили основой для
дальнейшего развития теории чисел.
Многочисленные попытки были предприняты, начиная
с XVII века, в отыскании целочисленной функции, при-
нимающей только простые числовые значения. В частно-
сти, рассматривалась функция
/(«) = 2n± 1.
Числа вида 2Л + 1 могут быть простыми только при усло-
вии, что п не содержит нечетного делителя, т. е. когда
само п имеет вид
п — 2т (т = 0, 1, 2, 3, ...).
В самом деле,
a:2ft+1 + 1 = д_ 1) _ а.2/,-1 _ х1).
Если п содержит нечетный множитель 2к + 1, п = 1 (2Л-{- 1).
то, полагая х = 21, видим, что 2П 1 = xzh+1 делится на
г) Чебышев 11. Л., Полное собрание сочинений,!. 1,М.—«Л..
1946 (ранее опубликовано на франц, языке в «Mcmoires des savants
ft rangers de 1’Academic des sciences de St-Pclersbaurg». 1848, 6,
стр. 1 —19).
УРАЛЬСКИЙ МАТЕМАТИК И. М. ПЕРВУШИН
2'4-1. Ферма полагал, что чпсла вида
+ 1
простые при всяком т. Испытания при т — 0, 1, 2,3 и 4
как будто подтверждали это предположение. Однако Эблер
в 1732 г. доказал ошибочность предноло/кеппя Ферма,
показав, что уже при т = 5
2- 4" 1
есть число составное. Необходимые и (.остаточные условия
разложимости чисел вида
\ + |
до сих пор установить нс удалось; проверке может оыть
подвергнуто лишь незначительное число таких чисел для
весьма малых //?, так как
+ 1
растет чрезвычайно быстро.
Чпсла вида 2" 4-1 привлекали и привлекаю г внимание
математиков еще и потому, что с ними связан вопрос о
делении окружности па равные части при помощи цир-
куля и линейки. Известная теорема Гаусса утверждает,
что окружность может быть разделена на Р равных ча-
стей циркулем и линейкой только в том случае, когда Р
есть простое число вида
2" 4- 1,
а последнее возможно только для п = 2,п1). Естественно,
что теорема Гаусса значительно повысила интерес к ис-
следованию чисел вида 2п ± 1 и, в частности, вида
Именно числа указанного вида, как сказано, и слу
жили главным предметом исследований И. М. Первушина.
Э Еще греки умели делить с помощь)») линейки и циркуля
окружность на 3=22°4-1 и па о = 221 1 частей.
538
\ Е.
1' \lfk
* *
*
Иван Михеевич Первушин родился 21 января (2 фев-
раля) 1827 г. в поселке при . 1ысьвепском заводе (теперь
I Лысьва Молотовской области) в семье пономаря Один-
надцати лет он поступил в духовное училище, а в 1812 г.—
в пермскую духовную семинарию. Семипаршо он окончи, i
в 1848 г. первым учеником, после чего был послан учиться
в Казанскую духовную академию на казенный счет.
На выпускном экзамене в Казанской академии при
сутствовал академик II. Л. Чебышев, который впослед-
ствии высоко ценил математические способности и труды
Первушина. Уральский математик Торопов в статье,
посвященной памяти И. М. Первушина, писал, что
И. Л.Чебышев на лекциях по теории чисел говорил о Пер
вушпне и его работах в этог’1 области. «Заговорив о Перву-
шине,—пишет Торопов,—Пафнутий Львович Чебышев
сообщил, что это редкий, единственный в своем роде свя-
щенник, давно уже занимается математикой, преимуще-
ственно теорией чисел, что труды его в этой области чрез-
вычайно кропотливы и весьма сложны»').
Как вспоминает сам Первушин, оп с одиннадцати лет
ста! увлекаться операциями над целыми числами Все
свое свободное время в годы пребывания в семинарии п
академии оп посвятил отысканию простых чисел.
«Только необыкновенная сердечная привязанность
к выкладкам,—писал оп в своей автобиографической за-
писке,—и in скорее страстное желание постичь истину,
решить вопрос: прекратятся лп и скоро ль прекратятся
непроизводные числа и затем последуют производные
только? возбуждали мои пробудившиеся умственные силы
Несколько раз бросал, даже вовсе уничтожал все своп
трудовые выкла (Ки, по отчаяние проходи ю, и я с боль-
шим жаром, с большим ожесточением принимался за не-
благодарный труд, вредивший и здоровью... Свободный
вольный студент я сделался рабом своей задачи. По чем
более я шел вперед, гем запутаннее становился ответ...
г) Торонов К., Памяти о. Иоанна Первушина, «Перм-
ские губернские ведомости», Aj 273 от 17 декабря 1900 г
Иван Михеевич Пернувши
(1827—1900)
(Из собрания портретов 11. Я Денмана )
УРАЛЬСКИЙ МАТЕМАТИК И. М. IIEPBMHI1H 539
II вышел я из высшего учебного заведения, пе разгадав
младенческой загадки» ’)•
После окончания духовной академии Первушин воз-
вращается в Пермь, где некоторое время преподает мате-
матику в (уховпон семинарии. Перед ним открывалась
дорога ученого. Однако он не пошел по этому пути. Оста-
вив работу в семинарии, он становится приходским свя-
щенником одной из церквей г. Перми. Через три года,
в 1856 г. он уезжает па должность священника в захолуст-
ное се ю Замараевское Шадрпнского уезда Пермской гу-
бернии.
Что заставило Первушина оставить преподавание лю-
бимой науки -математики—н стать рядовым священником,
пока совершенно неизвестно. Об этом периоде своей жизни
Первушин говорит вскользь: «Гут бушевали страсти и
произвели столько крушений, что при памятование ста-
новится болезненным для меня, соблазнительным для
других, возбуждающим я (овитые насмешки в прочих—
злых сердцах» ’).
13 селе Замараевском Первушин взялся за открытие
начальной школы для крестьянских детей. Грн года он
вел ио этому вопросу переписку с (\ ховными и граждан-
скими ведомствами, по ничего не доби н я. Па четвертый
год, отчаявшись получить помощь от властей, он откры-
вает бесила гнуто школ у для детей у себя на квартире.
Через некоторое время он убеждает и взрослых крестьян
посещать воскресную шкоту. «9!) сотых почти целиком
безграмотных»3),- сокрушается Первушин по поводу со-
стояния просвещения в своем приходе. Занятия в обеих
школах ведет он сам: сам создает наглядные пособия
и таблицы.
Кроме организации школы. Первушин задумал изда-
вать рукописный журнал. В конце I860 г. он приступил
к осуществлению этого замысла. 11 в январе 1861 г. появи-
лась первая книжка рукописного ж\рпа ia названно-
го нм «111а (рипскпм вестником». ИЛ риал должен был
Ч I’ о ж л е с т в <• и с к а я I».. Рукописный жу риал мате-
матика Нерву ниша, кишский современник», 19'i2. Л» (>.
2) Там же.
3) 'Гам же,
540
A. E. PA11K
выходить небольшими книжками по 80—100 страниц ежеде-
кадно. Первушин думал привлечь к участию в журнале
широкую общественность, интеллигенцию Шадрине кого
уезда. Но его призыв был встречен холодно. Это не оста-
новило Первушина, и всю тяжесть издания журнала он
принял па себя.
В «Шадринском вестнике» Первушин призывал интел-
лигенцию к широкой общественной деятельности, и в пер-
вую очередь—к обучению крестьян, к борьбе за просве-
щение. Он умел остро подмечать характерные для своего
времени отрицательные факты социальной жизни. Против
них и была направлена его смелая и открытая критика.
«Говорю смело,—пишет он,—открыто, не боясь обличения
во лжи. Впрочем, пусть защищаются, если узнают, как
по правде их ценить должно»1).
В конце последней книжки, вышедшей в 1861 г., мы
находим краткую запись: «Ухо востро! Глаз зорко! Пом-
нить расчет Пик. 1 авр. Чернышевского».
Чернышевский в то время сидел в Петропавловской
крепости Может быть, эти слова были написаны Перву-
шиным как предупреждение себе. Во всяком случае можно
думать, что Первушину не были чужды идеи русского ре-
волюционно-демократического движения 60-х ходов. Изве-
стно, что в 60-х годах прошлого века Пермская духовная
семинария была о цшм из очагов распространения рево-
люционных идей; там была раскрыта революционная
группа, с руководителями которой, Иконниковым, Воскре-
сенским и др., царские власти жестоко расправились.
Одним из пунктов распространения революционно-демо-
кратических идей 60-х годов была и Казанская духовная
академия. Весьма возможно, что Первушин был связан
в некоторой степени с этими кругами. К сожалению, архив-
ные материалы, которые могли бы осветить личность Пер-
вушина с этой стороны, до сих пор разыскать не удалось.
Совсем недавно найдены дополнительные материалы
об 11. М. Первушине, а именно: обнаружен список членов
Пермско-Казанского революционного кружка, составлеи-
’) Р о ж де с т в о и с к а я К., Рукописный журнал матема-
тика Первушина, «Уральский современник», 1942, № 6.
УРАЛЬСКИЙ МАТЕМАТИК II. М. ПЕРВУШИН 541
ный в 1862 г. флигель-адъютантом подполковником Мезен-
цевым (впоследствии начальник жандармского управле-
ния), в котором под рубрикой «П», Л» 8 значится: «Перву-
шин, священник в Шадрппском уезде Пермской губернии
(сомнительно, чтобы ныне участвовал)»1).
Таким образом, II. М. Первушин, очевидно, принимал
активное участие в революционной деятельности в Перми
и Казани в 40-х и 50-х годах прошлого века. Весьма воз-
можно, что его назначение в отдаленное село Замараев-
скос Шадрлпского уезда Пермской губернии рядовым
священником следует рассматривать как наказание. Заме-
чание Мезенцева вполне естественно, так как сохранить
связи с членами кружка или проводить активную рево-
люционную деятельность в таких условиях было, конечно,
почти невозможно.
Предупреждение, приведенное выше, было, конечно,
не напрасным. За памфлет, в котором высмеиваются уезд-
ные порядки, па Первушина был сделан донос, после чего
он, выпустив в 1862 г. еще несколько книжек «Щадрии-
ского вестника», вынужден был прекратить это издание.
А незадолго до этого была закрыта и школа.
Итак, два заветных дела Первушина погибли, едва
они успели возникнуть. После этого оп почти целиком
отдается математике и краеведению. Он становится актив-
ным членом Екатеринбургского общества любителей при-
роды, ведет регулярно метеорологические наблюдения,
таблицы которых отсылает в Петербургскую Академию
наук.
И. М. Первушин состоял почетным членом Казанского
физико-математического общества и принимал активное
участие в его работе.
22—24 октября 1893 г. научная общественность России
и за рубежом широко отмечала столетие со дня рождения
гениального русского математика Николая Ивановича
Лобачевского. При Казанском физико-математическом об-
ществе был образован учредительный комитет по созданию
капитала имени II. II. Лобачевского для премирования
*) ЦГПАМ, ф. 101), 1-я экспедиция, III отделение, 1862 г.,
опись 37, д. 67, т. 53 об
К Е. РАН К
выдающихся произведении в области геометрии. Пер-
вушин был избран почетным членом этого комитета1 *).
Передовые взгляды Первушина, его бескорыстное слу-
жение народу на ниве просвещения, очевидно, были не по
нутру ни его духовному начальству, ни местным властям
29 марта 1887 i. он иостановлением Екатеринбургской
духовной консистории был уволен с места священника
Шадрипской церкви Основанием для этого послужило
конфиденциальное сообщение начальника Пермского гу-
бернского жандармского управления по{полковника Ев-
стафиева за № 612 от 25 октября 1886 г. Первушин обра-
тился к Петербургской Академии наук с просьбой засту-
питься за пего, так как в случае увольнения он остается
без всяких средств к существованию в престарелом уже
возрасте*). Математики Академии наук приняли горячее
участие в этом деле Благодаря их шступпичеству перед
синодом Первушин не был уволен, но его перевели в дру-
гой приход, в село Мехопское того же уезда.
Для своих математических работ Первушин очень
нуждался в специальной литературе, в особенности в спе-
циальных таблицах. Физико-математическое отделение
Академии наук обратилось к синоду с просьбой оказать
Первушину содействие в приобретении литературы в поряд-
ке поощрения ею занятий по математике. В ответ на это
ходатайство синод выслал Первушину некоторые таблицы
и постановил выдать ему7 пособие в сумме 93 руб. 65 коп.3 * *).
Этим и закончилась забота синода об этом замечательном
человеке.
Скончался 11. М. Первушин 17 (30) июня 19001. в селе
Мехонском [Падри некого уезда.
х) Отчет местного распорядительного комитета, организован-
ного Физико-математическим обществом для составления капи-
тала имени 11. II. Лобачевского (1893—1895), «Известия Физико-
математического общества при Казанском университете», 1894/9;»,
4, .V 3.
-) Прощение И \1. Первушина президенту Ккадемнп наук,
Архив АП СССР, ф. 1, опись 2, 1887, 12, § 30.
3) Письмо управляющего канцелярией синода С. Карского
Дубровину от I мая 1895 г., До 159, Архив АП СССР, ф. Е
опись 2, 1*895, А 8, л 132 об.
УРАЛЬСКИЙ МАТЕМАТИК II. М. ПЕРВУШИН
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ И. М. ПЕРВУШИНА
$ I. Делимость чисел 2 ‘?1“ - 1 и 2‘2’3 -}- 1
Как и многих его предшественников и современников.
Первушина занимал, главным образом, вопрос о простых
и составных числах вида 2?'j- 1, 2’2”*±1- Ему принадлежит
открытие простого числа 2е1—1, разложимости чисел
7212+|, 222:‘+1. 2^+1-
Результаты, им полученные, были вновь открыты гораздо
позже другими математиками, а между тем имя Перву-
шина почти забыто. Даже хорошо знавший его современ-
ник профессор А. В. Васильев в своей книге «Целое число»
(1922) пе нашел нужным хотя бы вскользь остановиться
на его работах.
Предположение Ферма, что числа
22™ + I
простые при всяком т, долгое время оставалось предметом
совершенно бесплодных поисков Первушина. Он упорно
трудился, настойчиво искал. П вот в ноябре 1877 г., почти
через полтораста лет после открытия Эйлером делимости
числа
225+ 1,
Первушин сообщил Петербургской .Академии наук1) о но-
вом, нервом после Эйлера, случае делимости числа вида
O2m -L 1
*) Б у в я к о в с к п ii В. Я., О новом случае делимости
чисел вида 22т р сообщенном Академии о. II. Первушиным, СПб.,
1878; то же на франц, языке в «Melanges niatln inaliqiies el
astionomiqiies tires du Bulletin de I'Acaduiiie des sciences de St.-Pr-
tersbourg», 187V), 5, стр. 503—50(>. Через два месяца после того,
как Первушин представил в Петербургскую Академию наук свою
записку о делимости числа 221“-|-1. в записках Гурийской Акаде-
мии наук была опубликована статья французского математика
Э. Люка, в которой он приводит этот же случаи делимости. А. Ве-
стерн лишь в 1903 г. доказывает делимость этого числа.
Л. Е. РА ПК
а именно:
2212 4- 1 = 0 (mod 114689) = 0 (mod 7-214 ф 1).
А через несколько месяцев, в январе 1878 г. Первушин
представил в Петербургскую Академию наукг) вторую
записку, в которой он утверждает, что число
222з+1
тоже составное и делится оно на число
167 772 161 = 5 -225 + 1.
Этп результаты обратили на себя внимание спецна-
шстов. Академик 13. II. Бупяковскпй в своем донесении
отделению физико-математических наук Академии но
поводу первой записки писал: «По моему мнению, факт
о новом случае делимости чисел вида
92’n _|_ j
не лишен научного интереса для занимающихся теорией
чисел, и желательно, чтоб он получил гласность»* 2). Ввиду
научного интереса, который представляют этп результаты,
Буняковский по определению Академии наук составил
заметку, которая была опубликована на русском языке
в Записках и на французском языке в Бюллетене Акаде-
мии наук.
К сожалению, разыскать оригиналы этих работ Пер-
вушина по удалось. Судя по имеющимся документам, пред-
ставленные заппскп содержали лишь окончательный ре-
зультат. Академия наук обратилась к Первушину с прось-
бой сообщить, какими методами и с помощью какого аппа-
рата он получил этп результаты3). Первушин выслал
*) Б у п я к о в с к п и В. Я., О новом случае делимости
чисел вида 22,п-{-1, сообщенном Академии о. II. Первушиным,
СПб, 1878; то же на франц, языке в «Melanges Matheinatiqucs et
astronomiques tires du Bulletin de Г Academic des sciences de St.
Petersbourg», 1879, 5, стр. 519—520.
2) .Мнение акад. В. Буняковского, Архив ЛИ СССР, ф. 1
опись 2, 1878, № 12, § 8.
• 3) Письмо Первушина от 8 апреля 1878 г., № 331, там же, Л’. 18,
§ 84.

3&> &tj'l3.f
Jjt’^ —Ъ Кл Л» Г^И>
»♦.♦« -mimi#
ij)< anгз (W?.wW
-. \«z iKttCt.» Цо txt
Aef* * j»x z/z /<s rtt f
writ en >tl mSjr
l&f щ ycy
4^^*a УЖ^-А> OV J C <f
Г й5>Т^4^нл uttz
* 9?3 з fj if io r
Г1^/гс>Л^«ОЯС«^
Г*&Г7>Г»1Г izT^t
tZj^LZCZ ?*• znj-Jz <f
»^/<7Гг£V
13 tit rrt ззлё»
e2a-'^<P?
<<?7
» —ж<л»
4
*-
!» тзГг^з :<
»ftX iiTtt.
'^4~».ЗО)1 fK>
. - и-7?»<?г >ZK?z'^
nU>»///?7f74Z?/
„ .2* <s«r t»».
MjL tl/JZH.f
|>ЛГГ^/2ХЛ/ >jx ЗЦ
I ffftrj yez 90314^3.
i.134 »<?•/• J-fcj> jrjz
MH >t* ft г is f tjgijf
i4-tt4 *x? <»/i (»3,f3S
trrijFZlo t+t.
.i-lfli
tr. 4 f *&&<** t»^i>i
tJX.!П ЫЗ.Ш.гс*.»
’S?<-
trt*

*** /</♦«•> у^вгд/
,in гзм»Н)-п
’ ilt t>! • »<- 2®
At- 1А0 ^
r*t fr*1'
Ai-SS9SA °** ЧС >£Z
)>. Г< А Г/<з >/ /с > Л ♦
«*7ti
б>л
1Г'*л*5ч it
iitLi?* гзз^у.зз
i- Э
nr№
. - >tj;: • ;• t
>»zrftZ7 t ’4 ifi iii
Страница из черновиков II M. Первхшина
546
A. E. PA UK
несколько своих черновиков1), относящихся, правда, не
к исследованию указанных чисел
22l2+l и 2223+1.
Но п этп черновики дают представление о том, каким путем
он шел в данном случае.
Мировая математическая литература в середппо прош-
лого столетия получила замечательный труд: «Теорию
сравнений»2) П. Л. Чебышева. Именно эту книгу Перву-
шин широко и использовал в своих работах по теории
чисел. В частности, при определении делимости числа
2Р—1, где /’—простое число, Первушин опирается на
теорему 66 «Теории сравнений», которая утверждает,
что если число 2Р — 1 при простом Р составное, то оно
разлагается на множители вида
2P-Z+1,
т. е.
2Р —1 = (2/J s+l)(2Z> Z4-1)
Таким образом, задача сводится к испытанию делимости
числа 2Р — 1 ла простое число вида
2Z> z + 1,
иначе говоря, к решению сравнения
2P = l(mod2P z-M).
II действительно, так Первушин проверил делимость чн
сел вида 2Р — 1 для
Р = 11, 23, 29.
Нечто похожее получается и с разложимостью эйлерова
чпсла
22®+1.
9 Образчик черновых работ для разыскания делителей чисел
вида 22ТП-|-1, там же, А» 22, § 157.
2) Ч е б ы ш е в II Л., Теория сравнении, СПб, 1849 (пли Пол-
ное собрание сочинений, т. 1, М.—Л., 1946).
УРАЛЬСКИП МАТЕМАТИК И. М. НЕ РВУ 111 1111
547
Оно делится на простое число 641, т. с.
225 + 1 = 0(mod 641) = 0(mod 5 27 4- 1).
Весьма возможно, что это натолкнуло Первушина искать
делителей чисел
аналогичного вида, т. е.
п2»у24- 1,
начиная и небольших простых а. Последовательным воз
ведением сравнения в квадрат легко установить делимость
22’И-Н на «2™+2+1.
В самом доле, чтобы, например, показать, что число
2-4-1 составное, число 2 возводится последовательно
в квадрат до тех пор, пока получается число, большее
7-214+1. Первым таким числом будет 2L°. При делении
этого числа на 7• 214 4- 1 получается в остатке 93 624, т. е.
225 = 93624(mod7-214 4-1).
Теперь последовательным возведением обеих частей иолу
чеиного сравнения в квадрат получаем, что
2212 = —1 (mod 7 -214 4-!)•
Так, очевидно, Первушин и поступал в данном случае.
Нашу мысль подтверждает и образчик его черновиков.
В присланном в Академик) наук черновике он проверяет
таким же путем делимость числа
на
7-2504- 1.
Первые результаты произвели на Первушина сильное
впечатление. Казалось, что проблема делимости чнее i
Ферма близка к разрешению. Ои сначала полагал, что
если число
22’” 4- 1
35*
548
\ Е. ['ЛИК
составное, то оно обязательно должно делиться на число
a2'n2-h 1,
где а =. 5 в случае нечетного т и а = 7 в случае чет-
ного т. Он бы. г так убежден в этом, что, когда оказа-
лось, что
2-48+1
нс делится на 7-2й0-]- 1, он сделал следующую запись1);
2-48 + 1 = Р.
простое
Вскоре, однако, Первушин убедился, что этот вывод
слишком поспешный и необоснованный. Тогда он стал
искать другие подходы к решению этой заманчивой за-
дачи.
Огромные численные выкладки, которых потробова и
эти работы, свидетельствуют о редкой неутомимости Пер-
вушина, о ею исключительном искусстве вычислители.
Однако было бы совершенно несправедливо, если бы мы
представили его только шин. как искусного вычислителя.
Работы Первушина обнаруживают его недюжинное мате-
матическое дарование и способность к оригнна п.ным ана-
литическим построениям, что неоднократно отмечалось
Буняковским.
§ 2. Решение сравнения x2r= ± 1 (mod q)
Начиная с 1877 г., Первушин почти в течение два
дцатп лет состоял в переписке с Петербургской Академией
паук, посылая туда своп математические труды. Пам из
вестно, что он иредставп i в Академию паук свыше два-
дцати записок, подавляющее большинство которых посвя
щеио вопросу делимости чисел вида
2” + I. и 22"’±1,
в том числе и записку о знаменитом простом число
*) Архив АЛ СССР, ф. 1, опись 2, 1878, Av 22, § 157.
УРАЛЬСКИП МАТЕМАТИК И. М. ПЕРВУШИН
549
Первушина
26] 1 = 2 305 <843 009 213 693 951.
В первой записке, озаглавленной «Разыскание дели-
телей чисел вида 2Р—1» г), Первушин, как ужо указы-
валось, с помощью ф рмулы
2p-l = (2Pz4-l)(2PZ4-l)
нашел делители чисел 211 —1,2-'— 1 и 229— 1 Но затем
он установил делимость еще десяти чисел вида 2 —1
для больших Р, а именно:
2з‘_ 1, 243— 1 247—1 27:l—1, 2*а—1 2m —1
2179 ] о191 2239 1, 225‘— 1.
Большой интерес представляет способ) определения дели-
мости этих чисел. Этот способ опирается на оригиналь-
ный и принадлежащий «имому Первушину метод решения
сравнейия
з 2Ч as ± 1 (mod 7),
где г/ может быть любым нечетным числом2), который
он дает в рукописи «О сравнении s 2V== ± I (mod 7)».
Остановимся на нос 1С.днем.
Сравнения
z kx = ± 1 (mod 7)
решаются теперь, как известно, методом индексов Как
мы убедимся, способ Первушина для случая/с = 2 исклю-
чительно прост. Первушин составляет табличку, состо-
ящую из трех колонок. В первой колонке выписываются
числа натурального ряда, начиная с единицы; в первой
строке второй колонки стоит число
7- 1
2 ’
а в первой строке третьей колонки число . Одно пз
4) Архив АН СССР, ф. 1, опись 2, 1878, № 20, § 123.
г) Там же, № 23, § 171
550
Л. Е. РАИН
д-1 ? + 1 -
чисел и -L-^— обязательно четное, а другое — нечет-
ное. Четное число делится пополам и результат подпи-
сывается под ним; во второй строке другой колонки
подписывается сумма полученной половины и чпсла,
стоящего в этой колонке в первой строке. Этот процесс
продолжается и дальше, причем наступит момент, когда
во второй колонке окажется число q — 1, а в третьей 1,
а затем процесс будет периодически повторяться. В каче-
стве примера составим таблицу для q — 15:
<7—1
I
3
4
5
И
7
8
9
7
11
13
14
7
И
13
14
7
8
4
1
8
4
2
1
8
Во второй колонке расположены z, удовлетворяющие
(•равнению
z 2 — 1 (mod 7),
решением которого эс является порядковый номер в пер-
вой колонке, соответствующий данному z, а в третьей
колонке расположены z, удовлетворяющие сравнению
z 2х = 4-1 (mod q).
Полученные таким образом таблицы полностью и чрез-
вычайно просто решают сравнения
z 2х = ± 1 (mod q)
для любого нечетного q. В самом деле: пусть х = 1,
, g — 1 „ 7 I
тогда z = —^~ , a z" = и для них всегда справедливы
4 4
УРАЛЬСКИП МАТЕМАТИК И. М. ПЕРВУШИН
551
сравнения:
2г = — 1 (mod д'), 21 == 4-1 (mod д).
„ О , Q — 1 <7 — 1
Пусть т —2, тогда z = Т)Л- , если —-----------------число четное,
пли
<1~ 1 . 7+1 _ 3?~ 1
— 2 ' 2- 23
? —1
2
если
число нечетное, z" соответственно равно либо
g+1 । ?—1 —3?-|-1
2 22 " 22 ’
либо . При любом и.? этих значении z’ н z" удов-
летворяют сравнениям:
z' 22== — 1 (mod д), z" 22 = 1 (mod д).
Нетрудно убедиться, что для х=п
41 2П
" — Zl7 4 1
' ‘ 2"
и онп удовлетворяют сравнениям
z' 2П = — 1 (mod д), z" 2П= + 1 (mod д).
Периодичность этих таблиц Первушина нетрудно
показать. В самом доле, х принимает все значения нату-
ральных чисел, z' п z", принимая также только целые
значения, остаются, однако, всегда мсныпимп д'
z < д н z" < д.
Следовательно, значения z' и z"
повторяться, но чтобы
должны
псрподнческп
необходимо, чтобы предыдущее значение
zA = д — 1, a z" = 1.
Вопрос, который при этом возникает, заключается
R полноте таблиц Первушина, исчерпываются ли этими
552 К Е. РАИН
тао шцами псе решения сравнения
z 2х = ± I (mod 7)
для заданного 7? Так как в ряд} значений х пет про-
белов, оно пробегает все значения натура 1ыюго ряда,
то, очевидно, этим исчерпываются и те значения z, для
которых сравнение
z 2х = +1 (mod 7)
разрешимо для .любого нечетного 7. Изложенное спра-
вед 1иво и для сравнения
z2 = — 1 (mod 7)
для любого нечетного 7.
Как видим, прием Первушина исключительно прост.
Это действительно интересное конструктивное решение
поставленной задачи. Оно, безусловно, свидетельствует
о том, что автор был творческим математиком. Хотя
таблицы Первушина составлены для z < 7, но никакого
труда не представляет их продолжить для z > 7, построить
таблицы с подвижной шкалой. Что привело Первушина
к этим таблицам Что явилось источником их появления?
В поисках условий делимости чисел вида
22”‘+| и 2м—I
он, естественно, начал с изучения известных уже ему
составных чисел такого вида. Оказалось, что они делятся
на простые числа вида
а 2"’+2 -|- I.
Таким образом, стало необходимым рассмотрение и таких
чисел. II действительно, значительную часть своей
записки «Об исключении составных из ряда чисел формы
— J»1) Первушин посвящает вопросу исключения
составных чисел из ряда чисел формы
я2п-г1,
т. е. тех случаев, когда а 2п \ = kq. Очевидно, это
Архив ЛИ СССР, ф. I, опись 2, 1878, № 26, § 213.
Начало таблицы составных чисел 7-2пЧ-1 с указанием наименьших
делителей, составленной И. М Первушиным.
554
A. E. РАИК
обстоятельство п привело Первушина к мысли о состав-
лении таблиц, которыми оп в первую очередь и воспользо-
вался, доказав делимость еще десяти чисел вида 2n —1.
Придавая особое значение случаям, когда а = 5 и
а = 7, он составил таблицы с указанием наименьших
делителей составных чисел 5-2n-{-1 п 7-2п-|-1 для п
от 1 до 4400.
§ 3. Теорема о
не делятся
л2’м
том, что числа вида 2 -р 1
на числа подобного вида
В одном пз своих ранних рассуждений о делимости
чисел вида
Первушин пользуется допущением, что числа вида
не делятся на числа вида
22”+1 и 2п-р1,
нс приводя ею доказательства. Это дало основание Буня-
ковскому *) в своем донесении физико-математическому
отделению Академии наук упрекнуть Первушина в голо-
словных допущениях и бездоказательности утверждений,
лишающих общности его исследования и результаты.
Очевидно, в ответ на указанное донесение Первушин
в августе 1879 г. прислал Академии наук две заметки,
в которых доказывает, что числа вида
„та
22 +1
не делятся на числа вида
22”+1 и 2п + 1.
Приведем содержание первой из них «О неделимости
„та 2й
формулы 2 4-1 на подобную ей 2 -J-1»2).
х) Отзыв акад. Бупяковского на статьи Первушина, Архив
АН СССР, ф. 1, опись 2, 1878, № 24, § 186.
г) Архив АН СССР, Р. IV, опись 1, Д'» 231
УРАЛЬСКИЙ МАТЕМАТИК II М. ПЕРВУШИН
555
Первушин допускает возможность такого деления
и рассматривает проп введение
qH q Н * q ш
(2“ +1) (34 2“ +1) = 2- 4-1 (,n>w).
Но
ъП .,н 1 „п я
(2“ 4-1) (342“ 4-1) = 34 2“ + 3422 4-22 4-1,
следовательно,
nil П «М
342“ (2“ +1)4-2' =2“ .
Разделим обе части равенства на 2“ . Тогда
,у>п „н
34 (22 + 1) + 1 = 22 ““ ,
пли
on .ЛИ ,14
34(2“ +1) = 22 ~ -1,
откуда
о» oin- 1 оп-1 .>w_2
3,1(2- +1) = (2‘ — +1)(2- +1)...
„О»”-* . nW-Я о
,..(2“ -, + 1)(2“ -2-1).
Пусть
г о2»‘-3-2'1-6 ,
/'6 = 2 -р 1.
/’б делится па 2“ + 1, если имеет место равенство
2»n-e_2”-s = (2/+ 1) 'Г, (а)
и тогда
2'2'^|,2"+l=0(mod2z"4 I),
ИЛИ
2<2'+,>2"+.1 = (22’+1)У.
Разделим обе части равенства (а) на 2П, тогда получим:
2f 4" 1 = 2т~п~п—с_____________1
26
Последнее возможно, если о — 0. а следовательно,
«ш «л
/0 = 22 “2 4-1.
Но тогда
2(2'+,)2"+1 = 22'"-2" + 1=г(22”+1)Г
556
A. E. РАИК
Так как
22 “2 4-l = 3A(22 + 1) + 2,
TO
•>n 9n
(2 +1)F = 3.4(22 +1)4-2
И
2
y = 3z+-#—,
22 4-1
что противоречит условию задачи, ибо У —целое число.
Таким образом, ни один из множителей вида
,,т—3 п—о
2 , +1
пе делится па
„н
2" 4~ 1 •
Множитель
п_________________________
2“ * - 1
имеет своими простыми делителями числа вида
7 = 8(2'"-”-J)Z4- 1, <? = 2(2’”-l-l) (4Z 4-1)4-1,
которые ие могут быть приведены к виду
Итак, доказано, что
Л» Л» «.Ш
(2- 4-1) (ЗА 2- 4-1) 2- 4-1,
не может быть делителем числа
„т
2“ 4-1-
Надо сказать, что эти заметки остались незамеченными,
а между тем Первушин, несомненно, первый доказал
эти теоремы. Правда, и здесь можно упрекнуть Пер-
вушина в том, что оп делает общие выводы, исходя
из частных предположении, взяв
л Я «Л
2“ +1 = (22 +1)(ЗЛ2- +1).
УРАЛЬСКИЙ MATEMAT IK 11. М. НЕРВМППН
557
т. е. одну и ту же степень двух — 2'1. Но нам пред-
ставляется, что в этом виновата только его манера
изложения.
Недостаточная, может быть, математическая подготовка,
отдаленность от научных центров тогдашне и России,
отсутствие возможности личного общения с ведущими
русскими математиками, конечно, сказывались как на
творчестве Первушина, так и на его изложении. Пред-
ставление только готового результата без изложения
доказательства затрудняло не только вскрытие путей
его творчества, но часто и проверку правильности резуль-
татов. Поэтому Бупяковскпй был, конечно, прав, когда
он предложил Первушину объединить содержание раз
розненных записок в виде монографии, где были бы
изложены не только результаты, по и подробные дока-
зательства в систематической, ясной, доступной форме 1).
Но сам Первушин был, очевидно, другого взгляда.
Хотя в одном мосте он и говорит, что «дорога не сама
цель, а дорога к ней», но он меньше всего заботя ия
о том, чтобы эту дорогу показать, чаще ж его доклады
вал лишь о достигнутой цеш Тем самым результаты,
достигнутые ценой огромных усилии, освещались в новы
годном для него свете.
Между прочим, доцент Молотове кого государственного
университета Е. X. Драхлип в 1945 г. доказал более
общую теорему, а именно: числа вида
при п=1, 2, 3, ..., любом нечетном целом фикенро
ванном к, а и Ь — целые числа, а > b (a, b) = 1, не имеют
общих делителей, кроме 2. Последнее имеет место в том
случае, когда а и Ь нечетные чпсла. С разрешения
автора приведу ого доказательство.
Составим тождество:
п—1
(а/4 - Ьк) [J (a2'ft + b2'k) 4- W"4t = a~4i + 62n,t.
i=-0
l) Донесение акад. Буняковского, Архив АН СССР, ф. 1,
опись 2, 1879, № 27, § 266.
558
X Е. РАЦК
Легко видеть, что правая часть этого тождества ие имеет
общих делителей с первым слагаемым • левой части,
за исключением 2. Действительно, если 7 —простой нечет-
ный делитель какого-либо множителя первого слагаемого
левой части тождества, то он не может быть делителем
правой части, так как 2 b2'4i не делится на q, в против-
ном случае и b делилось бы на q, а значит, и а дели-
лось бы па q, что невозможно, так как («, 6) = 1. Ана-
логично доказывается, что а2н~1к т Ь2п~1к не имеет общих
делителей с произведением
п-2
(аь-4'')П (ал + 62"‘)
г-0
и т. д. Тем самым теорема доказана.
При k = i и Ь=1 получается теорема Первушина.
§ 4. Число Первушина 261 — 1
В 1883 г Первушин прнс ia.i в Академию наук за-
писку, озаглавленную: «Число
2е1 - 1 = 2 305 843 009 213 G93 951 = Р
ость простое число»1).
В науке этому числу присвоено имя первушппского
числа. Со времени Эйлера, который доказал, что число
231 — 1
простое, это было первое столь большое простое число.
В этой краткой записке Первушин лишь вскользь указы-
вает на прием, им примененный, а в конце просит подверг-
нуть его результат академической проверке и опублико-
вать работу. К работе были также приложены таблицы
значении членов числовой последовательности, на осно-
вании которой он сделал вышеуказанный вывод.
Эта записка, как и все предыдущие, была также пере-
дала па рассмотрение Буняковскому. В своем донесении
физико-математическому отделению Академии Буияков-
скии указывает, что «автор записки приложил правильно
формулы сказанного способа (т. е. использование одной
9 Архив АН СССР, ф. 1, опись 2, 1883, № 28, § 270.
a

r ~ J>'n. Г<n
H /Г , .. ,"f
* 3(!S.Mj'f<Jit'< .* 9Г / /» ч‘ *6
Записка о числе Периушпна, предела! ленная им в Академию Паук.
56' ।
V. К. Г.ХИК
члсловоп последовательности — J. /*.) к решению запп
мающего его вопроса, что же касается до полученных нм
численных результатов, то для их проверки потробова-
юсь бы очень много времени даже от вычислителя, вполне
привыкшего к этого рода труду»1).
Признавая этот результат Первушина несомненно инте-
ресным и важным для теории чисел, Бупяковскпй, однако,
не решился принять па себя ответственность относительно
непогрешимости представленных численных выкладок
автора, несмотря на то, что «прежние известные нам тру u»i
отца Первушина п евн щтельегвуют о его навыке к вычн
слепням» и что правильность численных результатов
в прежних работах всегда подтверждалась.
Таким образом, в 1883 г. открытие Первушина не было
опубликовано. Физико-математическое отделение Акаде-
мии наук ограничилось лишь занесенном в протокол извле-
чения из донесения Буняковского. 11 только в 1887 г.,
нос io того как Зеельхоф тоже доказал, что
461_ ]
простое число, было решено опубликовать заявление на
французском языке в Бюллетене Академии для обеспе-
чения нрава первенства за 11 М. Первушиным2).
Еще в марте 1879 г. Пернувши упоминает об этом числе
в посланной в Академию наук работе: «Новый опыт реше-
ния старых задач князя Б. Бу опкамнапьп»3). 1ам он пишет:
«Исследование делимости числа
2е1— 1
нотребова.ю предварительного исследования неопределен-
ных уравнений второй степени. Исследование уравнений
вида
Ах--\-Ву- = С
вновь пересматривается».
К сожалению, хил нс знаем о той работе, которую пред-
варительно выполнил Первушин в связи с доказатсль-
9 Архив АН СССР, ф. 1, опись 2, 1883, № 28, § 303.
2) Донесение академиков Пмшенецкого и Буши овско. о,
Архив АН СССР, ф. 1, опись 2, 1887, А 12, § 30.
3) Там же, 1879, № 16, § 103.
> РЛ.1Ь< ВИН МАТЕМАТИК II. M. ПЕРИМиИП
561
ством простоты числа
2G1 — I
Вероятно, он шел тем же путем, как и другие мате-
матики, обращаясь к свойствам симметрических функций
корней квадратных уравнений и неопределенных уравне-
нии второй степени для определения делимости чисел
оп реде л е и । ю го вида.
□тот вопрос подробно изложен в работе □. ,'1юка1),
опубликованной в 1878 г. В § 29 этой работы содержится
критерий, который дает возможность установить, является
ли число вида
/> _ 1 _ ।
простым или составным. □ гот критерии основан на свой
стве числовой! последовательности
//,, /|о> -7?^, •••, Л I > ••>
каждый член которой получается из предыдущего по фор-
муле
/г;_1-2=<а7,+/Ср
т. е. /?„ есть остаток от деления /?,“ ( — 2 па исследуемое
число Р = 2* 1 — J, а /?, = 4.
Число
р = 2Ц 1 — 1
будет составным, если пи о щи из первых 4</ф 1 членов
послсдовате. 1ьнос гп
/?р /?2, ..., /Л4а, /Р„м1, . .
пе равен нулю. Число Р простое, если средн членов
от 2q до 4</-^ 1 нет ни одного простого числа. Несмотря
иа наличие этой теоремы, вопрос о делимое ги числа
261 - I
ф Lucas Е. Theorie des fenclnms num riqnef? simplemenl
| el iodiqiies, « \ini ri< an jouinal of nial heir.aliis jure and applied».
1878, I, стр. 184 240, 289 32E
36 Историки-матем. nec.ic.ioiiaiiini
562 A- E- РАИК
не был решен Люка, точно так же, как и не был им
решен вопрос о делимости числа
2* 2°+1 = 264 + 1.
И. М. Первушин действительно получил свой резуль-
тат, опираясь на свойства аналогичной числовой после-
довательности, т. е. последовательности остатков от деления
Bl-2
на 261— 1, первый член которой /?х=| 6:
|/6, 4, 14, 194, 38414, ...
Оказалось, что все Rn для
тг = 1, 2, 3, ..., 59, 60
отличны от пуля, а /?с1 = 0. Что касается членов после-
довательности от 7?30 до Яс1, то лишь в семи случаях
не сраз)г очевидно, что они составные и нужно проверить
их делимость.
Первушин обещал прислать Буняковскому особое
письмо с подробными выкладками, которые могли бы
облегчить проверку правильности его вычислений и резуль-
тата. Но такого письма, очевидно, не последовало.
В 1887 г. Первушин1) опять вернулся к числу
2C1-1
и доказал справедливость сравнения
З2 — 1 =—1 (mod 2е1 — 1),
З2” -2 = 4-1 (mod 261 —1).
При этом он указал, что 3 есть первообразный корень
по модулю числа
2G1 —1.
В записке, речь о которой будет иттп в следующем
параграфе2), Первушин писал:
х) Письмо Первушина, Архив АН СССР, ф. 1, опись 2, 1887,
№ 12, § 30.
2) См. фотоснимок на стр 564
УРАЛЬСКИЙ математик и. М. ПЕРВУШИН
563
«В таблицах французского математика Эд. Люка
(25 марта 1869), заключающих разложение иа факторы
чисел вида 2П±1, не означено того, простые или составные
числа как 261 —1, так и 2644~1».
Вот что, очевидно, натолкнуло Первушина взяться за
решение этой задачи. Когда он приступил к ее решению,
сказать трудно, но вряд ли ему тогда была известна
работа Люка, вышедшая лишь в 1878 г.
Каким бы путем ни шел Первушин к достижению CBoeii
цели, т. е. к доказательству простоты числа
261—1,
эта работа потребовала от него большого творческого
и вычислительного труда.
§ 5. Делимость числа 2-6 4- 1 = 264 4~ 1
Почти одновременно с запиской о числе
261 — 1
Первушин представил в Академию наук записку «Число
^3 = 226+6 = 2fi4 + l = (a28-b 1) (Л 2* 4-1) = 18 446 744
073 709 551617 есть составное»1).
В своем донесении 2) на эту записку Бупяковский пишет:
«По поводу этого труда отца Первушина я могу ска-
зать, что с ним случилось то, что бывает иногда с другими
тружениками науки: уже четыре года как сообщаемое им
предложение не только доказано математиком Ландри
Landry), но даже найдены им и самые два фактора числа
264 4-1,
а именно следующие:
2644- 1 = 274177 х 67280421310721,
что легко проверяется. Первый из них число простое, а о
втором Ландри замечает, что ему неизвестно, простой
ли он пли составной».
Однако тот факт, что это предложение было доказано
Ландри, не умаляет труда самого Первушина. Несом
х) Архив АН СССР, ф. 1, опись 2, 188!, Д’ 11, § 5.
2) Там же.
36*
J/UU <•,»**• >**»*
•Л ЛлХгЛЛАЛ,. '^%л-л»лллл^ ,-jZ
»<ь<
<»Л^ *Г/ z»<-j//Г/-+y-
er йЙХ'Щ.^”'®"5™'
Л ОЦД •/»«€ цел**. Лм,
<Х/<мгГм«<»у Ai<« ’Juuty^fy V.
{'faflU/jf ! I

J^CCu •* vZ«* •Л1Л/«лЛ<^

/М.Сл.
«4
Записка IT. M Первугппна
о
составном число 22®-|-lr=2e,-f-l-
УРАЛЬСКИП МАТЕМАТИК И. И. ПЕРВУШИН
565
ценно, что Первушин пришел к этому результату своим
собственным путем, нс зная о работе Ландри II эта задача
потребовала от него большого кропотливого труда. После-
довательным возведением в квадрат 3 он показал, что
З^64 == 8 752 249 535 465 627 170 (mod 264 + 1).
Следовательно.
2fi4+ 1
ие есть число простое, ибо в противном случае имело бы
место сравнение
32b,, = J (mod 2е4 + 1),
так как для всякого простого Р справедливо сравнение
3/,-1=’1(шо<1 Р).
Что касается наименьшего простого делителя числа
2«i_p |
то хотя к моменту представления записки Первушин его
еще пе вычислял, по указал, что он должен иметь вид
/<> = </3 2564-1.
Л = ^4- ь
II в самом деле, 2.74 177=4071 х 2лб I.
(ля того чтобы оценить метод Первушина, (.остаточно
заметить следующее. Известен прием проверки простоты
чисел вида 2"' 1 с помощью формы 2'' I. По, как ука-
зывает .') . Пока в цитированном выше сочинении, для тою
чтобы таким образом установить, простое ли число
22<3 1, потребовался бы вычислитель, усердно работаю-
щий около трех тысяч лет. I» цитированной работе •). Лю-
ка изложен метод определения простоты чисел внда22 1,
основанный па распределении простых чисел в последо-
вательности Нелля. В последнем случае для решения
вопроса о числе 22'’ 1 потребовалось бы, по словам Люка,
только 30 часов. Расчет но методу Первушина вряд ли
может потребовать более 10 часов.
566
A. E. PAIIK
§ 6. Таблицы простых чисел
Математические таблицы всегда занимали и занимают
почетное место в математике и математической литературе.
Великие математики придавали им большое значение
и с большим уважением относились к такому труду и их
авторам. Болес того, Эйлер, Гаусс и другие крупные мате-
матики оставили лично ими составленные обширные
таблицы, относящиеся к различным разделам математики.
Значительное место занимают различные таблицы в тео-
рии чпеел, среди которых таблицы простых чисел выдви-
гаются, пожалуй, на первый план.
Составление таблиц требует большого трудолюбия,
упорного, длительного и исключительно скрупулезного
труда. Надо уметь еще преодолевать трудности, связанные
с некоторым однообразием при выполнении такого рода
работы. Всеми этими качествами Первушин обладал в до-
статочной степени.
Много сил, времени и упорного труда отдал Первушин
составлению математических таблиц, среди которых таб-
лицы простых чисел по праву являются крупнейшим
достижением. Он составил таблицы простых чисел до
10 000 000. Эго—первые такие обширные таблицы про-
стых чисел в России. Начал ои их составлять еще в 1854 г.,
а закончил в 1897 г. Таким образом, более сорока лет
он посвятил этому труду. Эти таблицы составлялись
Первушиным для «Уральского общества любителей есте-
ствознания в Екатеринбурге», членом которого он со-
стоял.
Кроме простых чисел, таблицы содержат разности про-
стых чисел ДР для Р до 1 299 709 и от 3 047 431 до
3 738 937 и их суммы:
3? по Р= 1583 599,
для Л'= 22 025 п
2(2,р«)=Е.Рлг
для .¥ = 8 251, где А’ —номер простого числа Р.
УРАЛЬСКИЙ математик И. М. ПЕРВУШИН
567
Особенно тепло и внимательно отнесся к этому труду
Первушина академик А. А. Марков, который считал эту
работу весьма ценной и полезной 1). Для составления этих
таблиц Первушину потребовались факториальные табли-
цы Глешера. По предложению Маркова Академия наук
обратилась по этому поводу с ходатайством в синод. По-
следний действительно выслал Первушину необходимые
ему факториальные таблицы.
В 1897 г. Первушин обратился в Академию науке прось-
бой напечатать его таблицы простых чисел. Академия не
нашла возможным этого сделать из-за отсутствия средств,
но она в свою очередь обратилась к Первушину с пред-
ложением подарить таблицы Академии паук, чтобы каждым
нуждающийся в них мог ими воспользоваться. Первушин
передал свой многолетний труд в дар Академии наук,
в архиве которой он и хранится2)
Чтобы иметь представление о той огромной работе,
которую выполнил Первушин, достаточно сказать, что
результат изложен более чем па 750 листах, заполненных
числами мелкого, часто бисерного шрифта. Эго—резуль-
тат, по ведь эти числа надо было получить, подсчитать
и тщательно проворить!
К сожалению, этот огромный труд Первушина остался
почти позабытым. Даже не всем математикам, занимаю-
щимся теорией чисел, известно о существовании этих таб-
лиц. Д. А. Граве в своей книге «Энциклопедия математи-
ки» (стр. 303), вышедшей в 1912 г., пишет о существовании
таблиц простых чисел до 9 000 000, имея в вп таблицы,
составленные цо Первушина.
Надо заметить, что многие таблицы, составленные Пер-
вушиным, имели для того времени значительную ценность,
как, например, таблицы, составленные им для исключения
составных чисел из чисел вида
«2» + 1 = §
для случаев а =5 и а =7, и др.
*) Протоколы заседания физико-математического отделения
Академии наук за 1894 г., § 413.
2) Архив АН СССР, Р. IV, опись 1, К 231.
58
X. Е. рл нк-
§ 7. О проверке арифметических действий
над большими числами
В своих математических изысканиях Первушину при
ходилось выполнять большую вычислительную работу,
оперировать с очень большими числами. Поэтому естествен
но вставал вопрос о безупречном, простом и всегда вы
полнимом способе проверки правильности результатов.
Общеизвестным способом проверки правильности резуль
татов арифметических операций является проверка с по-
мощью числа 9. Однако этот способ имеет весьма огра-
ниченную область применения и с его помощью пе всегда
можно обнаружить ошибку.
Первушин разработал весьма простой и оригинальный
метод проверки правильности результатов арифметических
операций с большими числами. Метод Первушина изложен
в его работе «О нанлучшой проверке арифметических
действий над огромными числами»1).
Первушин проверяет правильность результатов деле-
нием данных чисел и полученного числа на
998= 1000-2 = 2-499.
Такая проверка, во-первых, гарантирует верность вычисле-
ния на 498 цифр и, во-вторых, сама проверка производится
быстро и просто при помощи русских счетов.
Идея этого метода такова: всякое число .V может быть
всегда представлено в виде:
Л' = а, 10('l“I)34-«„ t 10(,‘-2)3-|-о,1_2 10("_Н)3+...
...4 + (Ь)
где
C/ji-I, (1Н. 2, • - , ^2’
трехзначные числа. Например:
345 273 195 --345-IO2‘3-j 273-К)1’3-}-195.
г) «Известна Физико-математического общества при Казанском
университете», 189-4,95, 4, j\° 2, rip. 74 — 75. В 1893 i. эта работа
И. М. Первушина была представлена па Математическом конгрессе
в Чикаго. См. \. В., Математический конгресс в Чикаго, там же,
стр. 65—67.
УРАЛЬСКИЙ МАТЕМАТИК И. М. ПЕРВУШИН
Так как
10(,,~1)3 = [103]”"1 = 2,'~1 (mod 998),
то
V = [«„ 2"-1 + , 2"" 2 + . .. + «, 2- + в. 2 + а,] (mud 998),
ПЛИ
-V = [{[(2«„ 4- ) 2 4-2 4-2 + ... I (mod 99b).
Таким образом, для того чтобы проверить, например, что
323 = 94 143 178 327,
поступают следующим образом: (начала число разделяют
на классы по три знака, сатем, начиная слева, удваивают
первую группу и прибавляют ко второй:
91.2 143 = 331;
полученную с\мму опять удваивают и прибавляют
к третьей группе:
1)1)2 4- 178 = 840;
удвоенную сумм) делят па 998 и остаток прибавляют
к следующей группе цифр:
840 • 2 = 16<8и,
IG80 = 998 4-1^2,
G82 4-827 = 1509.
Наконец, делят последнюю сумм) на 998, и в остатке
получается 511.
При последовательном возведении в степень 3 тоже
получается в результате, что
З23 — 511 (mod 99<S).
Если в представ.чеини Л формулой (Ь) поменять местами
и ар то ошибка может не обнаружиться только тогда,
когда
ип 1О(”~1)34- = 10(,,~|)3 -l-«,()(mod 998).
570
A. E PAIIK
Но так как
10(n-l)3^2n-i (mod 998),
a
21G7 = 2(mod 998),
то очевидно, что только при замене яп-Мбб через ап не
вскроется ошибка при помощи деления на 998. В случае
таких больших чисел результат можно проверить деле-
нием на
9998 = 104 — 2 = 2-4999
и число N надо разбивать на группы по 4 знака.
Таким образом, этот метод действительно гарантирует
верность вычислении в весьма широкой области, над
числами, состоящими более чем из сотни цифр.
§ 8. Формула простых чисел
При составлении таблицы простых чисел Первушин
пришел к следующей мысли: функция ~ (rr), определяющая
число N простых чисел, меньших x = P-ta (Р — наиболь-
шее простое число, меньшее я), как это доказал Чебышев
в своей «Теории сравнении», приближенно выражается
формулой
AZ — A. I i L Ь2а? _1_ д_ 1,2 3 («—1)д
).х ),‘-х А3л • • • “г лп х ’
где л —неперов логарифм. Нельзя ли решить обратную
задачу: определить такую функцию
f(N)^ P = x — а (Р —простое число),
которая по порядковому помору 1N простого чпсла Р
приближенно выражала бы величину этого простого чпс-
ла Р и которая позволила бы определить сумму S
всех простых чисел включительно по Р так же как
функцию номера этого же простого числа Р, т. е.
£/(Л) = £р=5=Ф(лт
Наблюдения и подсчеты привели Первушина к пред-
положению, что разность отношений значения простого
числа Р к его номеру N и соответствующих сумм стремит
УРАЛЬСКИП МАТЕМАТИК И. М. ПЕРВУШИН
571
ся к постоянному числу, близкому к половине, а именно:
Р _ Р S ,
* 2* л |л^+1)-й'
где d~>0,522, и что
2d> 1,08366,
т. е. числа в известной формуле Лежандра
ДГ=____*____
Ь —1,08366 '
Эти соображения Первушин высказал в небольшой
заметке «Задача из теории чисел. Формула простых
чисел»т). Заметка заканчивается обращением к членам
общества: «...не угодно ли будет взять иа себя труд выше-
означенную задачу определения функций />.-=:/(/¥) и
S = <b(N) решить теоретически прежде чем решу ее через
20 лет практически».
Вскоре после появления этой заметки юрьевский мате-
матик Л. К. Лахтин* 2) доказал, что
rf=F——
L АГ S.VJ^2-
I
Отбрасывая бесконечно малые порядка р-, он получил
следующее выражение d:
,1,117 1
2 Т"2 1л Р~г 4 In2/» ‘
Если Р возрастает, то d—>~ как к своему проделу.
Что же касается основного вопроса, поставленного
Первушиным, определения функций
P = j(N) и S = <p(JV),
то некоторые результаты мы находим в небольшой ого
заметке па французском языке «Формулы для приближен-
ного определения простых чисел, их суммы и их разности
х) Известия Физикоматематического общества при Казанском
университете, 1894/95, 4, № 2, стр. 70—71.
2) Лахтин Л. К., Но поводу одной теоремы теории чисел,
найденной эмпирически отцом II. М. Первушиным, «Математиче-
ский сборник», 1892, 16, стр. 460—468.
Л. Е. BATIK
по помору этих чисел»1). На основании составленных им
таблиц простых чисел до Л’= 94 000 и их сумм Первушин
получил следующие формулы:
=,п + 1п“Л — Ьэ — 121п2у ’
__ = In + In- Л — J 4- 12Jn ;Y 4- 24 ln21N ,
SP = 7<v — Р\-1 = 1 n iV + In- Л + 121н Л — 81n2iY “ 121и3Л’ ’
р V р j 1
d = 7Г ~ ~у~У = 0,0 + ПпЛ' + 24 In2 N ‘
*
*
II \1 Первушин —талантливый русский математик,
замечательный вычис штель, жизнь которого не прошла
бесследно дли науки. Часто он подписывался: «математик-
самоучка». II это вно.иге справедливо. Никакого специаль-
ного математического образования Первушин не получил,
до всего ему приходилось доходить самому. 1 рудпость
усугублялась еще и тем, что он вынужден был безвыездно
находиться в глуши, далеко от культурных и научных
центров. Ею попытки добиться разрешения выехать в Пе-
тербург для встречи со знаменитыми русскими математн
ками успехом не увенчались. Но он в меру своих воз-
можностей с 1едп । та математичес кой литературой, главным
образом, в области интересующих его вопросов.
Галант вычислителя во всей своей полноте проявляется
в многочисленных таблицах Первушина, среди которых
самой ценной и важной является, конечно, таблица про-
стых чисел. Сн та.теко расширил ее пределы. Поражают
его исключительное трудолюбие и настойчивость в работе.
Имя II. \1 Первушина не должно быть забыто в исто-
рии отечественной науки.
’) Pci v о вс hi в е l.i es I'oinitdcs pour la cl Icrininaf ion ap-
proxiinalive des noiubres pi t miers, de lour sonnne et do lour diffe-
rent c d’apres lu mini ro de c.es noinbres, «Известия Физико-мате-
матического общества при Казанском университете», 1894/95, 4,
А» 2, стр. У4 !И>.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ СЛАВЯНСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ
Г. ВЕГА И Я. Ф. КУЛИК
И. Я. Де план
I. Г Е О I* Г В Е Г \
Имя Георга Веги хорошо известно всем математикам,
астрономам, геодезистам, (доставленные нм семизначные
таблицы логарифмов имеют широкое распространение во
всем мире. Ими повсюду пользовались в школах. С конца
прошлого века, когда семизначные югарифмы были при-
знаны для общеобразовательной школы излишне точными,
таблицы Веги вышли из школьного обихода, по остались,
так сказать, на вооружении каждого вычислителя в раз
ных научно-исследовательских учреждениях, у астроно-
мов и геодезистов. Об этом свидетельствуют про до окающие
выходить издания этих таблиц на всех языках Однако
мало кто из потребителей этих таблиц знает, что автор их,
именуемый в старых изданиях «барон Георг Вега», а в не-
мецких «Freiherr Georg хон Vega», был славянин, сын бед-
ного Краппского крестьянина1), получивший «баронство»
лишь за свои научные и военные заслуги в 1800 г., сорока
шести лет от роду. Вега был также проведен в члены родного
Крайнского сейма, несмотря па то, что не имел имуще-
ственного ценза.
Возведенный в бароны австрийским правительством,
словинский крестьянин никогда не только не скрыва i
*) Вега—правильнее Veha—слово словинское л означает иг» мест
ном диалекте «дыра», «дыра для втулки».
574
И. Я. ДЕПМАН
ни своей славянской национальности, ни своего «низкого»
происхождения, но при каждом случае подчеркивал и то
и другое.
Георг Вега родился 12 (23) марта 1754 года1) в Заго-
рице на Крайне в семье словинского крестьянина. Роди-
тели Веги жили в крайней бедности, однако исключи-
тельные способности мальчика побудили родителей по-
местить его в школу в городе Любляпнце (по немецкой
транскрипции Лайбах), где мальчик быстро научился не-
мецкому языку, в детстве для него чуждому. Благодаря
некоторой помощи со стороны благотворителей и собствен-
ным заработкам уроками Вега позднее смог посещать
гимназию в качестве «нищего студента» (Bcttelsludent).
. 1ицеи в Любляпнце он кончил в возрасте 21 года и полу-
чил назначение на должность навигационного инженера
в Нпжнеи Австрии. Главной обязанностью его было регу-
лирование течения бурной реки Савы. Однако это положе
ние не соответствовало склонностям Веги. Как рассказы-
вает он сам в пре щеловип к одному из своих сочинений, из
«неудержимой склонности к артиллерийской службе» он
в двадцатишестилетнем возрасте перешел в военную служ-
бу простым капониром. Через год Вега получает первый
офицерский чин; через четыре года оп—обер-лейтеиант,
а еще через три года—капитан и профессор математики
в известном а истринском бомбардирском корпусе. Такое
быстрое продвижение сына словинского крестьянина
в чопорной австрийской артиллерии было результатом его
исключительных теоретических и практических успехов.
Оказавшись с 1782 г. в положении, к которому стре-
мился, Вега получил возможность беспрепятственно само-
стоятельно расширять свой математический кругозор,
а практическая работа познакомила его с неудовлетвори
тельным состоянием преподавания математики, в значи-
тельной степени связанным с отсутствием удовлетвори
тельных руководств. Вега берется за перо и уже в 1782 г.
издает первый том своих «Лекций по математике», за ко
торым последовали второй в 1784 г., третий в 1787 г.
*) Все биографии указывают этот год, по Поггепдорф иодчер
к ну то называет 1756-й: Р о g g е n d о г f f, т. 2, 1866.
СЛАВЯНСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ ВЕГА И КУЛИК
575
и четвертый в 1790 г.1). В 1787 г. он издал часть третьего
тома отдельно, в виде руководства по бросанию бомб 2).
«Лекции по математике» переиздавались с дополнениями
проф. В. Мацкп (\V. Matzka) несколько раз и выходили
еще в середине XIX века восьмым изданием. Красной
нитью через все четыре объемистых тома проходит неодно-
кратно подчеркиваемая мысль о том, что успех артил-
лерийского дела целиком зависит от основательного зна-
ния артиллеристами математики.
Автор в предисловии к своим лекциям писал*
«Моею целью было дать необходимое руководство тем
из артиллеристов, которые пожелают приобрести нужные
для них знания по высшей, и прикладной математике.
Я не могу допустить мысли об отсутствии у вас этого
желания, так как не могу представить, чтобы кто-ни-
будь из вас решился раскрыть книгу по артиллерии без
указанных мною знаний по математике».
В предисловии к третьему изданию «Лекций» Вега
заявлял: «Тринадцать лет беспрерывных военных действий
доказали теорему о том, что математика является проч-
нейшим фундаментом подлинной военной науки».
Нельзя не согласиться с тем, что это сказано и пра-
вильно и красиво.
Содержание «Лекций по математике» Веги следующее:
I том: арифметика и алгебра;
II том: планиметрия, стереометрия, плоская и сфери-
ческая тригонометрии, практическая геометрия, основа-
ния аналитической геометрии на плоскости и дифферен-
циального п интегрального исчислений;
III том: механика твердых тел;
IV том: введение в гидродинамику.
Книги эти содержат очень обильный фактический мате-
риал. Было большой смелостью поставить себе задачу
изложения этого материала не имевшим систематической
подготовки артиллеристам. Вега, нс пугаясь трудностей,
изыскивает все новые и новые приемы объяснения, при-
V eg a G., Voiicsungen uber die Malhcnialik, т. 1—4, Bena,.
1782-1790
2) V eg a G., Praktischc Amvcisung zuin Bombenwerfen niittels
dazu eingerichteter Hilfstafeln, Bena, 1787.
5/6
II. Я. ДЕН.М XII
меняя своеобразные средства. Гак, например, па обязан
пости одного из учеников в каждом классе были информи-
ровать Вегу о всех трудных для понимания местах изло-
жения. Интересно, что Вела старался научить своих
учеников преподавать, поручая нм изложение отдельных
вопросов. Некоторые примеры ученического изложения оп
включи г в своя «Пекцнп». В результате Вега блестяще
достиг нос гав.тонной цели.
Мирная деятельность влюбленного в свое дело профессо-
ра математики вскоре была прервана. В J789 г. началась
очередная война с Турцией, владевшей в то время почти
всем Балканским полуостровом, п Вега добровольно ухо-
дит на фронт, чтобы,—как писал оп в своем прошении
о назначении в действующую армию,—иметь возмож-
ность показать практическое выполнение того, чему он
учил артиллеристов теоретически Он понадает в артил-
лерию, осаждавшую Белград, и показывает высокие
качества боевого офицера. Командуя мортирной батареей,
он вводит ряд изменений в мортирную службу и содей-
ствует сдаче крепости в непредвиденно краткий срок.
Но взятии Белграда Вега отправляется с армией
в Силезию и здесь нише г дополнения к третьему тому сво-
их «Лекций». В 1792 г. он возвращается в Вену, получает
повышение в майоры бомбардирского корпуса и направ-
ляется в рей некую армию, действующую против франку
зов. В октябре 1793 г. при занятии крепости Jlayrepoypi
Вега до прибытия высшего начальства 14 часов подряд со
шпагой в руке стоял па командном посту, а в ноябре того же
года получил командование артиллерией, осаждавшей
сильную крепость Сен-Луи па одном из островов Рейна.
Крепость осаждалась долго, и взятие со казалось выс-
шему командованию безнадежным. Вега заявил генералу,
что оп припу шт крепость к сдаче, если ему будет предо-
ставлена свобода действий с артиллерией. Командующий
армией cor.iacn.icH и обещал, что в случае успеха Вега
будет представлен к высшему’ австрийскому военному зла-
ку отличия—ордену Марии-Терезы. Благодаря ряду
введенных Вегой коренных изменений в действиях артил-
лерии, увеличивших (.альпость полета с 800 саженой до
1610, крепость вскоре была взята. Вега получил обещан
1 сорт Гм‘г;|
(1751—1802)
СЛАВЯНСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ ВЕГА И КУЛИК
577
ный военный орден, правда, лишь через три года. Это был
первый случаи награждения этим орденом человека «низ-
кого» происхождения.
Усовершенствованные Вегой на основании опыта вой-
ны на Рейне мортиры были приняты на вооружение австрий-
ской артиллерии и оказали основную услугу при взятии
Манигейма в ноябре 1795 г.
После заключения мира в Кампо-Формпо (1797 г.)
Вега, возведенный в чин обсрст-лейтенапта (подполков-
ника) и в бароны, возвращается в Вену, где занимается
реформой австрийской артиллерии и математикой. 17 сен-
тября 1802 г. ои внезапно исчез, а 26 сентября труп его
был найден в Дунас. Для предполагавшегося самоубий-
ства не могли найти никакого повода. Только через девять
лет случайно выяснилось, что Вега 17 сентября 1802 г.
отправился к некоему мельнику под Benoit покупать доро-
гостоящую лошадь. Получив деньги, мельник пошел про-
водить покупателя через дамбу и здесь столкнул его
в реку. Только нахождение в 1811 г. у мельника имен-
ного чертежного прибора Веги позволило следователю
объяснить загадочное исчезновение Веги; мельник сознался
в убийстве с корыстною целью п был казней.
* *
*
Славу Георга Веги в математике составляют его лога-
рифмические таблицы. Логарифмы, как известно, появи-
лись в начале XVII века и сразу стали необходимым аппа-
ратом при вычислениях. Первые таблицы логарифмов
опубликованы были Джоном Пейером г) в 1614 г.
В связи со специальными целями Лепера его таблицы
содержали логарифмы тригонометрических величии, от-
личные и от десятичных и от так называемых натуральных
^неперов логарифм числа У равен 107 In . По Попер
*) Его фамилию следует произносить «Неппр», как ее произносят
в Шотландии и Англии, а не «Непер» от латинизированной формы
Neperus.
37 историко-матсм исследования
578
И. Я. ДЕПМАН
сам понимал важность вычисления таблиц десятичных
логарифмов. Он писал:
«Теперь мы нашли гораздо более прекрасную разно-
видность этих самых логарифмов и решили опубликовать
как способ вычисления, так и способ их употребления.
Однако самое вычисление новых таблиц, по причине слабо-
сти нашего тела, мы предоставляем людям, опытным в это-
го рода занятиях, и прежде всего ученейшему мужу док-
тору Генрп Бриггу, профессору геометрии в Лондоне
и нашему дражайшему другу».
В 1617 г. Бригг1) выпускает таблицу десятичных лога-
рифмов первой тысячи с 14 знаками, в 1624 г.—капиталь-
ный труд «Логарифмическая арифметика»2), в котором
даны десятичные логарифмы с 14 знаками для чисел
1—20000 и 90000—100000 (в некоторых экземплярах до
101000). Голландец Адриан Влакк в 1628 г. выпустил вто-
рое издание книги Бригга, дополнив пробел таблицы
логарифмами чисел от 20000 до 90000, но уже только
с 10 знаками. В 1633 г. тот же Влакк вновь издал таблицы
с 10 знаками под названием «Искусственная тригономе-
трия» 3), в которых логарифмы тригонометрических величии
даны через каждые 10 секунд4). Таблицы Влакка стали
основой для всех дальнейших изданий таблиц логарифмов.
На русском языке первые таблицы логарифмов появи-
лись в 1703 и вновь в 1716 гг. «тщанием мафематических
наук учителей Андрея Фархварсона, Стефана Гвына
и Леоньтья Магницкого и иждивением библиотекаря
В. Кпприанова». В них даются логарифмы чисел от
1 до 10000.
Приемы вычисления логарифмов у Бригга и Влакка
были весьма громоздки, и надо удивляться тому количе-
ству работы, которое они выполнили.
х) Эту фамилию надо писать Бриггс, а не Бригг, от латинизиро"
ванной формы Briggius.
2) Briggs Н., Arithmeticalogarithmica, т. 1—2, Лондон, 1G24.
3) Vlacq A., Trigonomctria artificialis, Гуда, 1633.
4) На эти книги ссылается Вега (см. ниже). Термин artificialis
(искусственная) ведет свое начало от Непера, который в своей пер-
вой книге называл логарифмы—numeri artificiales (искусственные
числа).
СЛАВЯНСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ ВЕГА И КУЛИК
579

g§
*Tr45W М ’ АОГАрДА<Шв» ’ V ПнЙшЗХ ’
<^j> | TAWffKWBX > f&rtfWs'A . fcX Н*- Ш
|g» tfwti'W AfOAKSittKi/Z TljlATMfH J
Ss Ндонтли? Пеал'&Гедз ^лгс^нтнйи.
фб шдглу Кяикдгш Пел нашгш J|«a ’ н gj
MWUfW f Kh'jA ПеЧ*|?Л ¥g
MA 6f.4MK?A H ЛШ$»<А и С*£лЫА fWiflil ;gM>
aw4^W • П^и £лго|одн'£|«лг«х ыаи- g|
ГдИ ншя,ия f Црбкть ъ " |Ц
§* ««Айном! Кнз£ AAigitt фтрляч£ » 5g
6* Ц|Тв^1Ж1 6tAHK0,M? Fjai'K могкИ* ’
a» 4^ro W f3T40ffK»A ^A » 'fgM* >
W I^TSA *t ПО ПЛОТИ БГ4 FW>
ждкгл Al • АЦЦ •
Ь.'СА
Титульный лист первого издаппя русских таблиц лога-
рифмов 1703 г.
37*
580
II Я ДЕПМАН
Вега поставил себе задачу перевычисления логариф-
мов (конечно, уже другими средствами), чтобы исправить
ошибки, которые в большом количестве, как это естествен-
но ожидать, встречались в указанных классических трудах.
Глтульныи лист второго издания русских таблиц логарифмов 1716 г.
Логарифмическими вычислениями Вега занимался в тече-
ние всей второй половины своей жизни, не прерывая их
п в боевой обстановке. Предисловие к изданию таблиц
1794 г. заканчивается словами: «Писано при император-
ско-королевской армии на верхнем Рейне 1 октября».
СЛАВЯНСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ ВЕГА И КУЛИК
381
Первое издание семизначных таблиц логарифмов Геор-
га Веги («Логарифмические, тригонометрические и другие
таблицы и формулы д 1я употребления математиков») вы-
шло в 1783 г.1). В предисловии Вега писал:
«Б шгодаря самой усердной поддержке моих учеников,
канониров и унтер-офицеров ][ полка половой артилле-
рии, осмеливаюсь я сделать попытку удовлетворить в не-
которой мерс потребности всех тех, кто давно ожидает
издания достаточно полного, свободного по возможности от
ошибок, дешевого собрания математических таблиц и фор-
мул, какового собрания потребитель до сих нор тщетно
ищет в продаже».
Это обещание Вега выполнил. Таблицы логарифмов
Веги с 24 дополнительными собраниями формул ио мате-
матике и географии превзошли точностью все прежние
подобные издания. В какой мере автор стремился избежать
обычных в таких таблицах ошибок, можно видеть, между
прочим, из того, что он объявил награду в одни дукат
(около 3 рублей золотом) каждому, нашедшему ошибку
в его таблицах и первым об этом заявившему. О тщатель-
ности работы самого Bern при перевычислении югарнф-
мов свидетельствует тот факт, что за первое издание таб-
лиц авторуг пришлось уплатить всего-навсего только два
дуката (всего в них было, как выяснилось впоследствии,
пять ошибок) В то же время при перевычислении таблиц
для своего издания Вега обнаружил большое число неза-
меченных до него ошибок в прежних таблицах (напри-
мер у Влакка бы ю 173 ошибки, у 1 ардппера в 1742 г.
19 ошибок). Этот первый вариант таблиц Веги переиз-
давался несколько раз как пособие пришкольном изу ченин
математики. С 1848 г. они, дополненные математиком
И. А. Хюльсе, печатались много раз 2) и находятся в обра-
щении до сих пор.
Во время походов Вега подготовил два более капиталь-
ных издания: «Логарифмическо-тригонометрическое ру-
ководство для занимающихся математикой, взамен малых
1) Vega G., Logarilhinijsclie, trigononiclrische und andere
zuni Gebrauche tier Matliemalikern eingerichtetc Tafeln und Formein,
Вена, 1783; титульный лист этих таблиц воспроизводится па стр 580.
2) Под названием Sannnlung maUieinatischer Formeln.

—.
Herausgegeben
von
I 7 S S-
► xxmxxk-OSSSS» V’** / *W*'S9tr:«5«>op<X'

LOGARITHMISCHE,
TRIGONOMETRISCHE,
und andere
zum Gebrauche der Mathematik
e ingerichtete
TAFELN und FORMELN.
£ *
Н
ж

Unterlieurenant und Lehrer der Mathematik
bey dem K.K. zweyten Feld-Artillene-
Regiment
?• л
и
X X
Ас
4X===»===!=WK®
WIEN
gedruckt bey Johann Thomas Edlen von Trattnem 4
kaiferl. konigl Hofbnchdrackern ondBachhiiadlern.
]

Титульный лист первого издания таблиц Вега 1783 г.
СЛАВЯНСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ ВЕГА И КУЛИК
583
таблиц этого рода Влакка, Вольфа п других, в большин-
стве случаев содержащих много ошибок»х) и «Полное
собрание более подробных логарифмическо-тригоно-
метрических таблиц по Arithmetica Logar it limica и
Trigonometria artificialis Адриана Влакка, с улучшения-
ми, дополнениями и в новом расположении* 2).
Таким образом, потребитель получил от автора стоя-
щие на трех разных уровнях логарифмические таблицы:
семизначные таблицы 1783 г. для учащихся, «Руковод-
ство», также семизначные таблицы, для математиков, и де-
сятизначное «Полное собрание» для производящих точ-
ные вычисления (астрономов и геодезистов).
Особенный успех имело «Руководство», выдержавшее за
первые сто лет со дня выхода не менее ста изданий. Изда-
валось оно на всех языках культурного мира. Существуют
десятки изданий на русском языке. Па русском языке
таблицы Георга Веги, именно второй вариант ого таблиц,
издавались под заглавием «Логарифмическо-трпгономе-
трпческое руководство барона Георга Вега. Стереотипное
издание, вновь пересмотренное и дополненное доктором
К. Бремикером» (Берлин, издание Вейдсмана Ш-|-ХХХ-|-
-|-575 страниц). В Государственной библиотеке СССР име-
ни В. И. Лепина имеются берлинские издания за годы
1859, 1862, 1864, 1867, 1868, 1881, 1890, в Ленинградской
государственной публичной бпбпотекс имени М. Е. Сал-
тыкова Щедрина—за годы 1859, 1873, 187о, 1878, 1881,
1883, 1888, 1890, 1894, 1897, 1899, 1911, в библиотеке
Института теоретической астрономии Академии паук СССР
имеется еще издание 1902 г. Кроме этих изданий та-
блицы Георга Веги в виде, вполне совпадающем с бер-
линским изданием, вышли в 1896 и 1910 гг. в издании
М. О. Вольфа (Петербург и Москва) и с предисловием
*)Vega G., Logarithmisch-trigonomelrischcs Handbuch an-
statt der klcinen Vlack’ schen, Wolf’ schen und anderen dergleichen,
meistens schr fehlcrhaflen logarithmisch-trigonometrischen Tafeln
fur die Mathematik-Beflissenen eingerichtet, Лейпциг, 1793.
2) Vollstandigc Sanimlung grosserer logarilhmisch-lrigonomet-
rispher Tafeln, nach Adrian Vlack’s Arithmetica Loganthmica und
Trigonometria artificialis, verbessert, neugeordnet und vermehrt,
Вена, 1794. Те же таблицы изданы в 1794 г. в Лейпциге; титульный
лист этих таблиц воспроизводится на стр. 582.
THESAURUS
LOGARITHMORUM
COMPLETUS,
EX
ARITHMETICA LOGARITHM!CA, ET EX TRIGONOMETRIA
ARTIFICIAL!
ADRIANI VLACCI
COLLECTUS.
PLURIMIS ERRORIBUS
PUBCATVS,
IN NOVUM О В DIN EM RED ACTU $,
FH'MA POST CXNTESIMAM t. OG * П IT H M О R V H CHlttADE, PABT1BUS
C'VIBUSOAM PROPORTION*L1BUS DI tt ER E NT 1A R UM, LOGAR1THMTS SINUl'M,
roSINVI'M, TANGESflUM ET COT* NGEN TIU К PRO PXTM1S AC POSTREMIS
H'OBUa QUAE>R*NT1S GRAD1BUS All SINGULA MINUT* StCUNDA, EORMULIS
NONNUEITS TR1CONOMETR1CIS, WOLFRAM!! DENIQUE
TABULA LOCARITNMOnuM NATUBALIUM
LOCUFLETATUS
L Г P S I A E
W EID M A N NT A
GEORGIO VEGA
CUH FRIVlltGIO TMPRBSSOR1CI PRIVA
REG. EPOST. МШ5Г
Титульный лист лейпцигского пзданпя логарифмическо-три-
гонометрических таблиц Веги по Бланку 1794 г.
СЛАВЯНСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ ВЕГА И КУЛИК
585
А. Ф. Малппппа т) в годы 1879, 1882, 1885, 1889 в издании
книжного магазина В. Думнова2).
Более ранними, чем полные издания таблиц Веги,
являются сокращенные издания их для школьного препо-
давания под заглавием «Сокращенные таблицы обыкно-
венных логарифмов, составленные по руководству Веги
для употребления в учебных заведениях, Ф. II. Буссе»3).
Первое издание их вышло в 1835 г. (Петербург), а затем
были издания в годы 1846, 1855, около 1860 (четвертое
издание), 1867, 1870, 1878, 1885.
В советское время логарпфми’нчко-тригопометрическос
руководство Георга Вши переиздавалось неоднократно:
Вега Г., Логарифмическо-тригонометрическое ру-
ководство. Объяснения к таблицам профессора В. Высоц-
кого, Москва—Ленинград—Новосибирск, 1932.
Второе издание топ же книги, с дополнениями, 1932
Третье издание под названием «Таблицы семизначных
логарифмов», М.—Л., 1939.
Последним по времени изданием является:
Вега 1., Таблицы семизначных логарифмов, М., 1949.
Приведенный список издании нс является полным. Если
учесть еще, что многие другие русские издания таблиц
логарифмов в XIX и XX вв. в основном базировались на
таблицах Веги, то становится ясным значение труда этого
славянского математика-вычислителя для русской школы.
х) Александр Федорович Малинин (1835—1888)—ученик акаде-
мика Д. М. Перевощпкова по Московскому университету, преподава-
тель гимназии в Твери и Москве, Московской военной гимназии
и впоследствии директор Московского дчнтельского института
Малинин, частично в сотрудничестве с К. Бурениным н Ф. Егоро-
вым, состава । 15 учебников по математике, которые долгое время
были в употреблении в средних школах и выдержали десятки изда-
ний. См. о нем Сборник «Памяти Александра Федоровича Малп-
нппа», М., 1888.
) «Таблицы логарифмов барона Георга Вега, пересмотренные
К. Бремпкером». С предисловием А. Ф. Малинина, Москва.
3) Федор Иванович 1> у с с е (1794—1859)—профессор Главного
педагогического института, директор III Санкт-петербургской гимна-
зии и деятельный участник всех комиссий Министерства народного
просвещения по реформе русской школы во второй четверти Х1\
века. Автор большого числа руководств по математике для средней
и начальной школ, бывших в употреблении в течение десятков лет.
586
И. Я. ДЕПМАН
Как добавление к десятизначным таблицам Вега пере-
печатал 48-значные натуральные логарифмы чисел от
1 до 10009 голландского артиллериста Исаака Вольфра-
ма1). О таблицах Вольфрама Вега пишет в предисловии
к своей книге: «Об употреблении этих таблиц я не даю
никаких указаний. Для тех, кто не приобщен к тонкой
математике и механике, такие указания были бы беспо-
лезны; для посвященных в эти возвышенные учения они
излишни». Таблицы Вольфрама впервые опубликовал
соучастник их составления Шульце2) в 1778 г. Одно из
последних изданий их относится к 1908 г.3). Таблицы Воль-
фрама были перепечатаны также в распространенных
французских таблицах логарифмов Калле 4) и в некоторых
позднейших изданиях. Они послужили основанием при
составлении всех логарифмических таблиц большой точно-
сти. Таковы таблицы, изданные с одобрения Петербург-
ской Академии наук, русского вычислителя 3. Ппнето5),
9 О Вольфраме известно лишь, что он в 1747 г. получил первый
офицерский чип младшего лейтенента, в 1772 г. переписывался
о таблицах с Ламбертом и что он кроме упомянутых таблиц вычислил
логарифмы простых чисел для этих таблиц с 63 и 88 знаками.
2) Schulze J. С., Recueil de tables logarithmiques, trigono-
metriques et autres m'cessaires dans les mathematiques pratiques,
т. 1, Берлин, 1778, стр. 189—259.
3) Thiele W., Tafel dec Wolfram’schcn hyperbolischen 48-
stelligen Logarithmen, Дессау, 1908.
4) C a 11 e t F., Tables portalives des logarithmes, Париж, 1795.
Б) P i n e t о S., Tables des logarithmes vulgaires a dix decimales,
construites d’ apres un nouveau mode. Approuvees par 1’ Academie
Imperiale des Sciences de St.-Pitersbourg, СПб., 1871.
О 3. Ппнето, как составителе различных таблиц и как мате-
матике, давшем попутно легкий способ решения некоторого класса
трехчленных уравнений высоких степеней, дают одобрительный
отзыв академики II. И. Сомов и А. Н. Савич. См. Ппнето 3.,
Новые таблицы для быстрого вычисления размера процентов (роста)
государственных займов, оборотов разных кредитных, акционерных
н страховых обществ и частных оборотов, известных под названием
«срочных уплат», и для решения таких задач, в которых по данным:
капиталу, срочному платежу и числу сроков, требуется вычислить
размер процентов роста. Теоретическая часть. СПб., 1872; то же,
Практическая часть. СПб., 1871». Таблицы Ппнето были изданы на
французском языке (Р i n е t о S., Nouvelles tables ft 1’aide desquel-
les on trouve facilement le taux d’ intcret etc. fidition stereotype,
СПб., 1871).
586
И. Я. ДЕПМАН
Как добавление к десятизначным таблицам Вега пере-
печатал 48-значные натуральные логарифмы чисел от
1 до 10 009 голландского артиллериста Исаака Вольфра-
ма1). О таблицах Вольфрама Вега пишет в предисловии
к своей книге: «Об употреблении этих таблиц я не даю
никаких указаний. Для тех, кто не приобщен к тонкой
математике и механике, такие указания были бы беспо-
лезны; для посвященных в эти возвышенные учения они
излишни». Таблицы Вольфрама впервые опубликовал
соучастник их составления Шульце2) в 1778 г. Одно из
последних изданий их относится к 1908 г.3). Таблицы Воль-
фрама были перепечатаны также в распространенных
французских таблицах логарифмов Калле 4) и в некоторых
позднейших изданиях. Они послужили основанием при
составлении всех логарифмических таблиц большой точно-
сти. Таковы таблицы, изданные с одобрения Петербург-
ской Академии наук, русского вычислителя 3. Ппнето5),
9 О Вольфраме известно лишь, что он в 1747 г. получил первый
офицерский чин младшего лейтенента, в 1772 г. переписывался
о таблицах с Ламбертом и что он кроме упомянутых таблиц вычислил
логарифмы простых чисел для этих таблиц с 63 и 88 знаками.
2) Schulze J. С., Recueil de tables logarithmiques, trigono-
metriques et autres m'cessaires dans les mathematiques pratiques,
т. 1, Берлин, 1778, стр. 189—259.
3) Thiele W., Tafel der Wolfram’schcn hyperbolischen 48-
stelligen Logarithmen, Дессау, 1908.
4) C a 11 e t F., Tables portalives des logarithmes, Париж, 1795.
Б) P i n e t о S., Tables des logarithmes vulgaires a dix decimales,
construites d’ apres un nouveau mode. Approuvees par 1’ Academie
Imperiale des Sciences de St.-Pitersbourg, СПб., 1871.
О 3. Ппнето, как составителе различных таблиц и как мате-
матике, давшем попутно легкий способ решения некоторого класса
трехчленных уравнений высоких степеней, дают одобрительный
отзыв академики II. И. Сомов и А. Н. Савич. См. Ппнето 3.,
Новые таблицы для быстрого вычисления размера процентов (роста)
государственных займов, оборотов разных кредитных, акционерных
н страховых обществ и частных оборотов, известных под названием
«срочных уплат», и для решения таких задач, в которых по данным:
капиталу, срочному платежу и числу сроков, требуется вычислить
размер процентов роста. Теоретическая часть. СПб., 1872; то же,
Практическая часть. СПб., 1871». Таблицы Ппнето были изданы на
французском языке (Р i n е t о S., Nouvelles tables й 1’aide desquel-
les on trouve facilement le taux d’ intcret etc. fidition stereotype,
СПб., 1871).
СЛАВЯНСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ ВЕГА II КУЛИК
587
таблицы Петерса (имеется русское издание), Шрена,
Штейна, 27-значные таблицы логарифмов Томана1) и дру-
гие. Проверкой таблиц Вольфрама занимались Гудерман,
Глейшер, Барцеллпнп и др. Точность таблиц можно счи-
тать в настоящее время вполне установленной2).
Общее число изданий таблиц Вега до настоящего мо-
мента достигает, вероятно, нескольких сотен. В предисло-
вии ко второму изданию школьных таблиц, вышедших
в 1797 г. под несколько измененным заглавием3), автор
писал: «Изданием в 1783 году таблиц я имел счастье заслу-
жить признание всех лиц, понимающих полезность такого
пособия и трудоемкость его составления. Эта лестная для
меня оценка даст мне силы, на досуге, по возвращении из
похода против турок, продолжить свои математические
труды, дабы приблизить еще более к совершенству мое
собрание таблиц и формул для изучающего математику,
и исчерпать вопрос, где это возможно, до такой степени,
чтобы па будущее время авторы книг по математике не
видели себя вынужденными вновь тратить свои силы па
выполнение подобной работы».
Отмстим характерный для личности Веги штрих. На-
чиная с шестого издания, «Руководство» печаталось со
J) Т h о m а n F., Tables des logarithines а 27 decimales pour
les calculs de precision, Париж, 1867.
2) Интересно отметить, что новейшим изданием многозначных
логарифмических таблиц являются 23-зпачпые таблицы Спенслп
и Эпсрсоиа: Smithsonian logarithmic tables by G. W. und R. A.
Spenceley and E. R. Epperson, Вашингтон, 1952, XIV f-402 стр.
Они позволяют производить вычисления с 23 знаками после
запятой. В них использован метод НойеГ я представления всех чисел
от 1 до К)23 в виде произведения ио более четырех множителей.
Даются логарифмы этих сомножителей. Если бы напечатать такие
логарифмы всех чисел до 1023, нужно было бы иметь 33-1018
томов того же размера. Полка для этих таблиц была бы дли-
ной 1014 л-.и.
Такие таблицы имеют только теоретическое значение, напри-
мер при вычислении значений эллиптических функций. Значение
числа тс, вычисленное с 16 знаками после занпятой, даст точность,
при которой длина окружности с радиусом Земля Солнце отли-
чается от истинной на толщину волоса.
3) Georg Vega’s Logarithmisch-trigonomctrische Tafeln nebst
andern zuni Gebrauch der Matheniatikern eingerichteten Tafeln und
Formeln, Вена, 1797.
588
II. Я. ДЕПМАН
стереотипа. Авторские права на него Вега уступил изда-
телю, отказавшись от гонорара. Этот благородны!! шаг был
сделан во исполнение высказанного Вегой в предисловии
к таблицам обещания дать любителям математики деше-
вое издание необходимого пособия. Свыше полутораста
лет все культурные народы пользуются тремя вариантами
логарифмических таблиц Веги. Этот факт сам по себе
свидетельствует о том, что автор таблиц выполнил данное
обещание—довести таблицы до возможного совершенства
О любви Неги к вычислениям свидетельствуют и дру-
гие его труды. В 1789 г. поступила в Петербургскую
Академию наук (представлена 20 августа) работа Г. Веги
о вычислении значения числа z с 140 знаками.
В журнале Академии напечатана выдержка из этой
работых) («Определение полуокружности круга с диамет-
ром 1, выраженной со 140 десятичными знаками») с ука-
занием, что Академия нс считает целесообразным печатать
целиком длинные и утомительные вычисления автора, а
ограничивается опубликованием тех двойных рядов, ко-
торыми он пользуется. Ряды эти следующие:
о f 78 . 169 , . 265 . 361 1 . 457 553 , .
Г'~ 8 ‘ |b3a^“5^7 ^ + {П1 С + 13Л5 ^ + ТГ19 е+ 2Ь23 ^ +
1 649 I 1 26 1 I 58 п I 90 г . 122 п
+ 25-27 #+ • • • +1.3 *1+ 5-7 #+ 9-11 ^+ 13-15 ^ +
I 1,)4 р I г I 2^8 р I 1
+ ТМ9 Л+2Ь23/ +25727G + --J ’
где
1 4 1
а ~ 343 ’ Л “ 27
, а а п А
Ь~ 77343 П,НГ 7Т’ В ~ 81 ’
_ Ь
С 7-343’ 81’
Й = Т343
и т. Д. II т. д.
1)Vega G., Dt'tcrinination de la demi-circonfcrencc d’un
circle, dont le diametre est = l, exprimee en 140 figures decimates,
«Nova acta Academiae sciential urn Petropolitanac», 1795, 9,
Suppleinentum, стр. 41—44.
СЛАВЯНСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ ВЕГА И КУЛИК
589
В сноске от редакции указывалось, что эти два ряда
сходятся кранио быстро, ио как числители, так и зна-
менатели входящих в ряды дробей суть числа, мало
удобные для вычислений. Покойный Эйлер, говорится
в сноске, дал1) другой двойной ряд, который, хотя и ие
сходится так быстро, как ряды майора Веги, но имеет
более близкий к прогрессия закон составления, поэтому
он для вычисления удобнее, поскольку несравненно
сокращает работу того, кто воспользуется им для вы
числения значения чпела
Вот этот двоимой ряд:
I8. [i-А. + +
10 [/^3 100 ‘3-5 <1907 '3-5-7 <100/
214±1Ну+ U-
3-5-7-9 < 100/ J
. 30336 Г _2 144 2.4/ 144 у
"И 100000 L "И 3 100000^3-5 <100000 7 "И
. 2±6/ Ш Y.
‘3-5-7 <1000007
Возвращаясь к работе Веги, редакция журнала от-
мечала, что вывод рядов, использованных для вычи-
сления значения дан автором во II томе его лек-
ции (стр. 203 и след.) и что при помощи их автор
вычисляет 140 десятичных знаков числа г и, кроме того,
еще следующие три знака, за верность которых нельзя
ручаться. Сравнение полученных Вегой 140 знаков
с дававшимися в то время в разных книгах 127 знаками
значения ~ показано, что у Веги 113-я цифра после за-
нятой 8, а у прежних авторов 3. Так как результат
Веги несколько раз им был проверен, то нужно считать,
*) В мемуаре, представленном Хкадемпи 7 нюня 1/79 г., но
опубликованном лишь в 1798 г.: Euler L., Investigalio
quarundaiu serierum, quae ad ralionein peripheriae circuit ad dia-
metrum vero proximo definiejidam maxima sunt accomodatac
(Разыскание некоторых рядов, наиболее подходящих для весьма
точного определения отношения окружности круга к диаметру),
«Nova acta Academiae scientiarum Petropolitanac». 1798, 11,
стр. 133 — 149
590
И. Я. ДЕПМАН
что он исправил ошибку прежних авторов1). Сравнение
цифр, полученных Вегой, с несомненно точно известными
в настоящее время значениями ~ показывает, что Вега
был прав.
В заключение своей работы Вега дает еще другой способ
вычисления значения ~ при помощи следующих трех
рядов:
К Л 73 Л I D ! Г I ^61 n I 17 I Л I
* = 5 Аьз А + Г7 В + 9-11 С + 1М5 D + 17 19 Е + • • J +
+ 1- Cfl + 4c + |e+13£ + п£+ ••• ~
-1.^1 t + + + ,
где
A 343 ’ 3 a ~ 79 ’
В = A = —- 7-343 2401 ’ . 9a 9a b~ 6241 “792
G “ 2401 ’ 95 C “ 6241 ’
D = -^— " 2401 ’ , 9c d~ 6241 ’
p в E 2401 9d e ~ 6241
И T. Д. и т. Д.
* *
*
В 1801 г. вышла в Вене цепная для хронологии
книга «Введение в хронологию Г. А. К. ф. К.»2 *).
г) В настоящее время при помощи электронных счетных машин
значение к вычислено с 2035 десятичными знаками после занятой,
а 800 с лишком знаков значения it вычислялись ручным способом
в последние годы неоднократно (при этом оказалось, что из вы-
численных в середине прошлого века Шенксом 707 знаков значе-
ния it были верны лишь первые пятьсот с небольшим).
2) Anleitung zur Zeitkunde... von H. A.C. v. К., Bena—Лепи-
циг, 1801.
СЛАВЯНСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ ВЕГА И КУЛИК
591
Автор ее до сих пор остается неизвестным. Нс находя
издателя для своей книги, автор обратился к Веге, который
и издал книгу со своими критическими замечаниями отно-
сительно французскою революционного календаря. Вега
упрекает составителей этого календаря в непоследова-
тельности: они делят день на 10 часов, час на 100 минут,
минуту на 100 секунд, год на 12 месяцев, месяц на
3 декады. Такой разнобой лишен общей идеи. Кроме того,
недостатком этого календаря, по мнению Веги, является
то, что названия месяцев приноровлены к северному
полушарию, в то время как по идее авторов календарь,
как и метрическая система мор, назначались для всех
времен и для всех страп. Также пет в новом календаре
удобного правила для определения високосных годов.
Зато с полным одобрением отнесся Вега к метрической
системе мер. Он явился первым пропагандистом ее не
только в Австрии, но, вероятно, первым вообще вне гра-
ниц Франции. Этому вопросу посвящена последняя рабо-
та Веги: «Естественная, выведенная из действительных
размеров нашего земного шара и введенная во всеобщее
употребление законодательным путем во всей Франции
и в некоторых пограничных с пей странах система мер,
весов и монет»1). Пропаганда Вегой метрической системы
мер в то время является свидетельством его передовых
взглядов и в этом вопросе.
Научные работы Веги нашли широкое признание2).
В 1790 г. Вега был избран членом Эрфуртского физико-
математического общества. То же сделали вслед за этим
г) Vega G., Natiirliches, aus dor wirklicben Grosse unserer
Erdkugel abgcleitetes, in ganz Frankreich und cinigen angrenzenden
Landern zum allgcmeinen Gebrauch gesetzniassig eingefuhrles Mass-
Gewichts- und Miinzsystem, Вона, 1802.
2) Кроме указанных в статье работ Веги им были еще напеча-
таны: Vega G., Versuchc fiber die Enthiiliung nines Gcheinmisses
der bekannten Lobro dor allgeineinen Gravitation, Bena, 1800; Disqui-
sitio de supputatione massarum corporum coclestium, Вена, 1801;
Mathematische Bctrachtungen uber cine sich uni cine unbewegliche
Axe gleichformig drehende festc Kugol und die Folgen dicser Voraus-
setzung fur Astronomic, Geographic und Mechanik, in Beziehung
auf unser Erdspharoid, «Nova Acta Academiae electoralis Mogun-
tina Erfordensae», 1799, 1.
592
И. Я. ДЕНМАН
академии наук и ученые общества в Майнце, Берлине,
Праге и Геттингене. В столетие со дня смерти Г. Веги
(1902) была объявлена между народная подписка па сбор
средств для сооружения ему памятника в городе Любляни-
це (Лайбахе). Это мероприятие привлекло внимание широ-
ких кругов математиков к забытому автору. Так, напри-
мер, один из французских журналов1) писал:
«Вега—автор известных таблпц логарифмов. По он
был автором не только таблиц, которые выдержали уже
80 изданий, но и многих других трактатов, также имевших
большое число изданий, из которых один служил руковод-
ством в артиллерийской школе в течение более полувека.
Вега является в буквальном смысле слова одним из пер-
вых, понявших необходимость введения высокой матема-
тической культуры в военные школы. Он также первым
в Австрии пропагандировал введение метрической систе-
мы мер и весов».
Подпиской па постановку памятника Веге на его ро-
дине руководил его земляк капитан Иоанн Крамарчич,
а другими его земляками—капитаном Фрпдолином Каучи-
чем и профессором Андреем Вречко были написаны под-
робные биографии Веги. Тепло написанная Каучпчем
биография заканчивается следующей характеристикой
Bern: «Это была высокоодаренная и монументальная натура
во всех отношениях. Он был хладнокровный, смелый и
решительный солдат, соединявший в себе воспитанность
светского человека с деревенской простотой, прямотой
и непретенцпозпостыо в отношении к своей личности. По
Вега был не только бесстрастным вычислителем в своем
кабинете пли удалым рубакой в бою. Под его солдатской
шинелью билось храброе, но доброе и чувствительное
сердце. Достигнув высокого положения в общественной
иерархии, он нс стыдился своего крестьянского происхо-
ждения из недр крошечной славянской национальности
и часто и охотно рассказывал о том, что его родители
и родня были бедные русинские крестьяне из Крайпы»2).
А) L’ Enseigneinent math*'matique, 7-й год, 1905, стр. 60 и след.
2) К а и б i 6 F., Georg Freiherr von Vega, изд. 2-е, Вена, 1904,
стр. 58.
СЛАВЯНСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ ВЕГА И КУЛИК
593
Литература о Г. Веге
1. Kaucic F., Georg von Vega, «Organ def Militiirwisscn-
schaftlichen Vercino», 1887. Эта статья появилась и отдельной
брошюрой и позднее вторым дополненным изданием под заглавием:
2. К a u с i ё F., Georg Freiherr von Vega. Zxvcite xeihesserle
und illustrierlc Auflage, Bena, 1904, 58 стр. Перу того же автора
принадлежит ряд журнальных статей о его славном земляке (на-
пример, Ilhistricrle Zeilung, Лейпциг, 2 октября 1902 г., М 3092).
3. Can t о г [М.], Vega Georg Freiherr v. в кп.: Allgemeine
deutsche Biographic, т. 39, Лейпциг, 1895, стр. 523—525.
4. Kaucic F., Georg Freiherr con \ ega, «Zeitschrift fui
inathcniatischen und iiaturwissenschaft lichen Interricht», 1902,
выл. 7, стр. 525—528. Эта статья была в сокращенном виде помещена
в журнале «Вестник опытной физики и элементарной математики»,
1903, 29, А- 2 (337).
5. G ео rg \ ega, «Jahresbericht der deulschen Matheniatikcr-
Verciniguiig», 1901—1902, стр. 437 и след.
6. D о e h I c in а и n K., Gcoig von Vega, «Zeitsc.hrift fiir
Mathematik und Physik. llistorisch-litcrarischc Ybteilung», 1902, 39
стр. 204—211.
Monument an matin’inaticieii Vt'ga, «L’ Enseignemont math
niatique», 7-й год, 1905, стр. (И) и след.
8. \\ ret sell ku A., Georg Freiherr von Vega, Брюни Вена.
1885.
2. Я. Ф. КУЛИК
Имя профессора Пражского университета Якуба Фи-
липа Кулика известно мало кому из математиков, кроме
специалистов по теории чисел. О нем упоминалось
только мимоходом в журнальных статьях, в которых
речь шла о таблицах простых чисел. Па русском языке
не было, невидимому, пи одной статьи о нем, на иностран-
ных языках нам также не приходилось встречать о Кули-
ке ничего, кроме биографической статьи в чешском науч
ном словаре *).
Однако этот исключительны!! вычислитель, «чпелолю-
бец», вызывал удивление у всех математиков, знавших
*) К u I i k Jakob Filip в кн.: Ottftv slovnik naueny, т. 15,
Прага, 1900, стр. 344—345.
8 Исторпко-матем. исследования
594
И. Я. ДЕГ1М кН
его. Так, например, Якоби, будучи в 1839 г. в Вене,
писал своей жене: «Я нашел здесь время от времени
появляющийся феномен — человека, который выпол-
няет не только с энтузиазмом, по, вернее сказать,
с фанатическим миоготерпенпем самую страшную работу,
от которой, при одной мысли о пей, волосы становятся
дыбом»* 2).
Известность Кулика основана на составлении им таб-
лицы простых чисел первой сотни миллионов. История этого
вопроса следующая.
Неограниченность последовательности простых чисел
была известна еще математикам древности. Составление
таблиц простых чисел начинается с ХА 11 века. Катальди
в 1603 г. напечатал в Болонье первые известные нам та-
блицы простых чисел, охватывающие числа до 750,
Шутен в 16э7 г.—таблицы простых чисел в пределах 10000.
Нелль и Бранкер в 1668 г. в приложении к английскому
переводу «Алгебры» Рана поместили таблицу наименьших
делителей чисел, не делящихся на 2, 3 и 5, в пределах
100000.
В 1770 г. Ламберт издал таблицу папмеиыипхделптелей
всех чисел, не превышающих 102 000 и не делящихся
на 2, 3 и 5. Призывая к продолжению этой работы, Лам-
берт гарантировал бессмертие тому, кто, не боясь этого
ужасного, по его словам, труда, довел бы таблицу дели-
телей до 1 000000. Одним из многих лиц, взявшихся за эту
работу, был Гинденбург, составивший такую таблицу,
однако его большая рукопись осталась ненапечатанной.
Параллельно с Гинденбургом эту работу выполнил и Фель-
кель, который в 1776 г. напечатал часть своей таблицы,
доходившую до 408 000 За отсутствием достаточного
числа потребителей подобного издания печатание не
было продолжено, а напечатанная киша, за псключе
пнем очень небольшого числа экземпляров, пошла па...
изготовление патронов в начавшейся в эти годы войне
против турок2).
^Jacobi С. G. J und J а с о b i М. II., Brief wechsel.
Ilerausgegeben con Dr. W. Ahrens, Лейпциг, 1907, XX-j- 282 стр.
2) Имеются вызывающие очень серьезные сомнения указания,
что Фелькель довел спои таблицы до 10 миллионов.
СЛАВЯНСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ ВЕГА И КУЛИК
593
В 1811 г. были напечатаны таблицы Черпака, дающие
простые делптелп всех чисел, пс делящихся на 2, 3 и 5,
в пределах 1020000. Этот громадный труд на 1020 стра-
ницах большого формата, по проверке Буркгардтом, срав-
нившим его с рукописью Шен марка, оказался чрезвы-
чайно тщательно выполненным: было обнаружено только
5 ошибок, сделанных вычислителем. В 1814 г. Буркгардт
издал таблицы наименьших делителей чисел второго
миллиона, через два года — такие же таблицы для чисел
третьего миллиона, а в 1817 г.—проверенные таблицы
Черпака и Шенмарка делителей чисел первого миллиона.
Таблицу делителей чисел четвертого, пятого и шестого
миллионов составил Крелле, но в мой было обнаружено
столько ошибок, что Берлинская академия наук отказа-
лась от печатания ее. Во время проверки таблиц Крелле
феноменальный вычислитель Дазс под влиянием Гаусса
занялся составлением делителей чисел седьмого, восьмого
и девятого миллионов, успев к своей внезапной кончине
(1861) закончить седьмой и почти весь восьмой миллион
Окончание работы Дазе (девятый миллион) его сотруд-
ником Розенбергом, составившим рукопись и для десятого
миллиона, по качеству выполнения не выдерживает ника-
кого сравнения с изумительной точностью работы Дазе.
Таблицы делителей чисел седьмого, восьмого и девятого
миллионов были напечатаны в 1862—1865 гг. Отсутство-
вавшие в печатном издании таблицы четвертого, пятого
и шестого миллионов были вновь составлены Глейшером
и изданы Британской ассоциацией преуспеяния паук
в 1879, 1880 и 1883 гг.; в них обнаружена только одна лег-
кая вычислительная поточность и два незначительных
типографских недочета.
Параллельно с таблицами делителей составлялись
таблицы простых чисел, первыми более значительными из
которых являются таблицы В. Лебега 1864 г.
В те же годы в печати появились казавшиеся совершен-
но невероятными сведения о том, что в Венскую академию
наук представлена рукопись пражского математика Ку-
лика, содержащая таблицы делителей чисел, пе кратных
Двум, трем и пяти, доведенная до 100 миллионов. Такие
сведения имелись в виде заявлении самого Кулика
38*
596
II. Я. ДЕПМЛП
в журнале Пражского научного общества в 1860 г.1), в от-
чете венского профессора Петцваля в венском журнале 2),
в 1866 г. и в «Энциклопедия математических наук»3).
В связи с подготовкой к печати в начале нынешнего
века таблицы делителей их редактор Лемер посетил
Вену и убедился в действительном существовании в биб-
пютеке Венской академии наук семи громадных томов4)
рукописи таблиц под названием на латинском языке:
«Великий канон делителей всех чисел, не делящихся
на 2, 3 и 5 и содержащихся между ними, простых чисел до
100330201 Якуба Филипа Кулика, публичного ординарного
профессора высшей математики в Пражском универси-
тете.
В 1909 г. вышли «Таб шцы делителей чисел, не крат-
ных 2, 3, 5 и 7, в границах 0 и 10017 000» Лемера5) него
же «Таблицы простых чисел»6) 1911 г.
Первая таблица имеет размер текста 16x12 дюймов,
содержит 487 страниц п печаталась в 600 экземплярах
с машинописного экземпляра фотографированием на сте-
кло. Печатание набором бы ю ври niano невозможным, так
как на каждой огромной странице содержится свыше
20 тысяч литер, которые невозможно удержать при печа-
тании и при многократных корректурах аккуратно в пря-
мых строках, без чего таблица становится неиспользуе-
мой. При печатании фотографическим путем были исклю-
9 «Rozpravy Indy inatematicko-prirodovrdecke Kralovske C’eske
spolcciiosti nauk» (в наших библиотеках этот журнал обычно катало-
। пзнрован иод его немецким названием: «Abhandlungen der mathema-
tiscb-naturwissenschaftlichen < lasFe der koniglich Bohmischcn Gesel-
schaft der Wissenschaflen»).
2) «Sitzungsbcrichte der \cadeiuic der Wissenscliaften in Wien.
Matlieinalisch-naturwissenschaftliche Klasse», 1866, стр. 460.
3) Encyklopiidie der niatheinalischen Wissenschaflen mil Ein-
sc hl uss i brer Anwendungcn, т. I, ч. 2, стр. 951 и след.: 11. М с h in k е,
Nuinerisches Rechnen.
l) Микрофильме I тома таблиц Кулика в настоящее время имеет-
ся в руках работающих в этой области вычислителей.
5)*Leliincr D. N , Factor table for the first ten millions;
containing the smallest factor of every number not divisible by 2, 3,
5 or 7 between the limits 0 and 10 017 000, Вашингтон, 1909.
e) Leh m er D. N., List of prime numbers... from 1 to 10006 721,
Вашингтон, 1914.
СЛАВЯНСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ ВЕГА 11 КУЛИК
597
ченып обычные при печатании с литер поломка и выпаде-
ине их. Принятая в таблице система расположения чисел
в очень сильной степени экономит место. По расчету «Но-
мера таблицы Кулика можно уместить в пять таких то-
мов. Если такое издание koi ia-либо бу ют предпринято,
то рукопись Кулика получит исключите iwioe значение
и, конечно, будет использована. Об этом будет речь в даль-
нейшем. Впрочем, нужно считать, что использование та-
блиц Кулика ужо началось. В 1951 г. вышла таблица про-
стых чисел одиннадцатого миллиона (вернее, от 10006 TH
до 10999 997), средн авторов которой на первом месте по-
ставлен Кулик1). Таблица эта состоит из II -г 25 страниц,
размер набора 20,3x27,6 е.ч. Таблицы дли 100 миллионов
при таком издании занимали бы до 2500 страниц, т. с.
примерно пять томов размера таблиц Номера. Комиссия
по изданию этих таблиц, организованная в 1916 г. Фран-
цузской ассоциацией преуспеяния наук, использовала
рукописные таблицы четырех авторов, производивших
вычисления независимо друг от друга, и выражает сожале-
ние о том, что для нее остались недоступными таблицы
делителей одиннадцатого миллиона, составленные учите-
лем сродней школы в городе Кувишпово, Калининской
области, Василием Антоновичем Голубевым, о существо-
вании которых в Математическом институте Академии паук
СССР авторы, как п . !емср, имели сведения.
Русские математики и любители математики много за-
нимались не только теорией простых чисел (громадное
число мемуаров Эйлера, бессмертные достижения
П. Л. Чебышева, работы И. М Первушина2), II. II. Ива-
нова и др.), ио и составлением таблиц простых чисел, вно-
ся оригинальные идеи в этот очень старый вопрос. В треть-
ем приложении к 41-му тому Записок Академии паук
(1882) В. Я. Ьуняковскнй, панпсавшнй ряд мемуаров
о простых числах, издал работу «Об одном видоизменении
’) Kulik J. 1’., Р о 1 е I I 1 L cl Г' о г 1 с г 11. J., Lisle des
nombros premiers du onzienie million (plus prtcisvmcut de 10 066 741
a 10 999 997), Амстердам, 1951.
2) Таблицы простых чисел до Iо 000 000 П. М. Первушина
хранятся в архиве АН (’.(’(’.Р. т. 1\, он. 1, Л1 231 О Первушине см.
статью А I Раик в настоящем выпуске.
598
II. Я. ДЕПМАН
способа, известного под названием „Эратосфепова реше-
та"». В этой статье элементарными средствами (требуется
лишь умение решать в целых числах неопределенные урав-
нения первой степени с двумя неизвестными) решаются
вопросы о нахождении всех простых чисел определенного
вида, например простых чисел, имеющих первой и по-
следней цифрой единицу, или простых чисел, сумма цифр
которых дана, и т д
Вопросом о таблицах простых чисел занимался приват-
доцент Казанского университета, доктор астрономии
II. С. Порецкпй, известный как один из основоположников
современной математической логики. От имени Порецкого
профессор Д. Ф. Селиванов на XI съезде русских естество-
испытателей и врачей в 1894 г. докладывал о его новом
способе для составления таблиц наименьших делителей
чисел. По расчету Порецкого применение его метода дает
возможность уложить таблицы наименьших делителей чи-
сел от девятого до (венадцатого миллиона на 480 страни-
цах, из которых 24 страницы с 9308 простыми числами
были представлены съезду (см. «Дневник XI съезда рус-
ских естествоиспытателей и врачей», СПб., 1894). В 1891 г.
в Казани была издана анонимная книга «Схема таблицы
простых чисел). Схема доведена в ней до 100000, дано ее
обоснование и обещан второй выпуск, который, невиди-
мому, не вышел. Автор остается неизвестным. Предполо-
жение о том, что автором ее является 11. С. Порецкпй,
отпадает, так как в книге содержатся ссылки па Порец-
кого, говорящие о последнем в третьем лице.
В «Известиях Ака (омни наук СССР. Серия математи-
ческая», № 4 за 1938 г., стр. 483 напечатано сообщение
о том, что «С. А Хороший представил в Математически и
институт Академии наук СССР составленные им таблицы
для нахождения простых делителей чисел, нс превосходя-
щих 1 000 000. С помощью этих таблиц можно сразу найти
каноническое разложение любого чпсла до 1 000 000,
если оно не имеет однозначных или двузначных простых
делителей. Если же данное число имеет несколько одно-
значных илп двузначных делителей, отличных от 2 и 5,
то таблицы дают возможность сразу найти все различные
простые делители, не превосходящие 100. Поэтому, если
СЛАВЯНСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЯ ВЕГА И КУЛИК
599
в каноническом разложении данного чпсла, нс делящего-
ся на 2 и 5, высший показатель, с которым встречаются
однозначные пли двузначные простые делители, есть А,
то каноническое разложение такого числа по таблицам
С. А. Хорошего получается при помощи А-f-l приискания.
Таким образом, таблицы С. V Хорошего имеют известное
преимущество по сравнению с существующими таблицами
для разложения чисел па простые делители (доведенными
до 10 017 000), где для каждого числа дается его наимень-
ший простой делитель.
При составлении своих таблиц ( Хороший основы-
вался па том простом факте, что если число разложить
в сумму двух слагаемых, пайтп наименьший положитель-
ный вычет первого слагаемого ио модулю /> и наименьший
отрицательный вычет второго слагаемого но тому же моду-
лю, то число делится или не делится па р, смотря по тому,
равны или нс равны найденные вычеты.
В конце своих таблиц С. А. Хороший приложил
щполнение, дающее возможность находить простые дели-
тели, нс превосходящие 100 для всех чисел, пе превосхо-
дящих 1012>>.
Очень успешно в вопросе о таблицах простых чисел
работает В. А. Голубев. Окончив в 1911 г. учительскую
семинарию, в бытность учеником которой он открыл гра-
фический способ составления таблиц простых чисел и позд-
нее применил к десятому, одиннадцатому и двенадцатому
ми шпонам, В А Голубев после окончания в 1934 г.
заочно Смоленского педагогического института рабо-
тает учителем в гор. Кувшинове. Составленные им та-
блицы простых чисел одиннадцатого и двенадцатого
миллионов представлены в Математический институт Ака-
демии наук.
В настоящее время разными авторами составлены таб-
лицы простых чисел для отдельных участков числового
ряда вис первых десяти миллионов. Гаковы, например,
Factor table для шестнадцатого миллиона Дарфи и ряд
таблиц, частично напечатанных Полепи. Нм составлены
таблицы простых чисел для промежутка от 14 984 970
До 19 225210 и для отдельных, небольших сравнигелынц
промежутков миллионов 33 го, 35-го, 44-го. .*>3-го 59-го
(500
II. Я. ДЕНМАН
и 77-го. Полетти печатал, кроме того, ряд списков про-
стых чисел, превышающих 10 миллионов, в изданиях раз-
ных итальянских научных институтовх). Самым большим из
этих списков больших простых чисел является его «Атлас
Г16 683 простых чисел между 10 000 813 и 5 101 683 361»
(рукопись). В нем, между прочим, даны простые числа
Эйлера вида .т2+х4-41 для значений х до 55 102 и простые
числа Номера вида z2-f-rrJ 146 452961 для значений х до
70400. Среди 70400 значений последнего выражения ока-
залось 27 858 простых чисел. Основным практическим ору-
дием в охоте за большими простыми числами является
видоизмененное решето Эратосфена, рассматривающее
циклы чисел по30030 = 2-3 5-7-11 • 13. Обоснование мето-
да дано несколькими авторами (Лобов, Полетти)2).
Литература о методах определения простоты чисел
содержит несколько десятков разных приемов, начиная
с Эйлера3). Существенный вклад в науку по этому во-
просу сделали В. Я. Буняковский и П. С. Порецкпй4),
применением формулы
'M«) = ?(l) + ? (2)-Ь ••• !-?(«)•
Существует обширная литература по вопросу о разложе-
нии па множители чисел частного вида, например чисел
вида 2м ±1. Здесь особенно многочисленными являются
работы Капниигхсма и Крайчика5 6). Обзор старых работ
(до 1918 г.) о простых числах дан в «Истории теории
Э Islitulo Lombardo di scienze c lettere. Rcndiconti. (Милан,
1928, 61.) Atti della Reale accadeinia nazionale dci Lincei.
Rcndiconti. CUasse di scienze fisiche, matcinatiche e natural! (Рим,
1931, 13—14), Consiglio nazionale dellc Ricerche (1938) и др.
2) Lcbon E., Tabic de caractcristiques; Polctli L.,
Neocribrum ad nunieros partiendos juxta factorcm minimum,
Bcrtocchi, 1948.
3) E u 1 с r I ., Coinmentaliones arithmeticae collcctac, t. 2,
Петербург, 1849, стр. 64.
4) «Известия Казанского физико-математического общества»,
1888, 6, стр. 52—142.
6) Cunning ham, Binomial Factorisation, Лондон, 1923 и
след., вып. 7; М. Крайчнк (до революции печатавший пособия
по математике под фамилией М. К. Лаврова) издаст специальный
журнал «Sphinx—Oedipe», посвященный в основном вопросам о
простых числах.
Якуб Филип Кулик
(1793—1863)’
СЛАВЯНСКИЕ ВЫЧИСЛИ ГЕЛИ ВЕГА II КАЛИК
601
чисел» Диксона1). Большое число новых работ (до конца
1950 г.) рассмотрено в обзоре Дж. Палама2).
После этого экскурса в историю вопроса вернемся
к Я. Ф. Кулику.
* *
*
По архивным данным, любезно сообщенным в июле
1952 г. ректоратом Карлова университета в Праге, и био-
графиям Кулика, помещенным в биографических слова-
рях3), жизнь и деятельность этого ученого рисуются в сле-
дующем виде.
Якуб Филип Кулик родился 20 апреля (1 мая) 1793 г. в
Львове в польской семье 4). Но окончании местной гимна-
зии в 1809 г. он по желанию'отца изучал в Львовском
университете два года философию и три года право, а также
без ведома отца—математику, к которой питал явно
выраженную склонность. В 1814 г., опять-таки без ведома
родных, оп участвовал в конкурсе на должность профес-
сора математики лицея в Оломуце, па котором оказался
избранным, хотя был самым молодым из кандидатов, имея
всего двадцать один год от роду. Звание гимназического
профессора, в Австрии и Германии до сих пор даваемое
преподавателям старших классов средней школы, по яв
лястся ученым званием в нашем смысле. Выдержав дис-
путы ио философии, математике, физике и истории, Кулик
в 1825 г. был провозглашен доктором философии. В 1826 г.
Кулик, бывший перед этим в течение десяти лет профес-
сором физики в лицее (университете) ('тирского Градца,
9 D ickson 1 History of the theory of numbers, т. 1—3,
Пыо-Порк. 1934.
2) Pal a m a G., Holletino della Lnione niatemalica Italiana,
1950, Ai> 3—4, стр. 343 и след.
a) Riegiuv slovnik напеву, t. 4. Прага, стр. 1U"»4; Wiirz-
bach C , Biographischcs Lexiton des Kaiscrthums Ovstcrci h,
т. 1. . Bena, 1865, стр. 356—359 и др.
9 Портрет Я. ф. Кулика в печати появляется здесь впервые,
Мы имеем возможность поместить настоящий портрет благодаря ис-
ключительно й отзывчивости заведующего кафедрой математики и
математической статистики Карлова университета в Праге академи-
ка Вл. Коржппека и историка математики, профессора того же уни-
верситета, доктора Гвидо Веттера. Им обоим мы выражаем искрен-
нюю благодарность. i
602
II. Я. ДЕНМАН
был назначен профессором высшей математики в Пражский
университет. В жизни университета Кулик принимал
деятельное участие: он состоял деканом факультета, в
1834 г. по поручению университета давал вместе с про-
фессором Битнером отзыв о какой-то «геометрической
работе известного шведского ученого» (согласно сенатскому
протоколу), в 1848 г. состоял в комиссии по созданию
в университете специального технического факультета и пр.
В 1851 г. министерство просвещения поручило Кулику
составление логарифмических таблиц для школ.
С 1831 г. Кулик состоял членом Чешского научного
общества и членом его правления Он писал на латинском,
немецком и польском языках, владел русским и, конеч-
но, чешским. Последним научным поручением, выполнен-
ным им, был отзыв о работе русского математика Козлова,
присланной в университет русским посольством в Вене1).
Кулик горячо радел о просвещении родного края. Он
роздал много книг чешским и галицийским гимназиям
и Львовскому университету, чья библиотека сгорела
в 1848 г. (тысяча томов), а свою математическую библиотеку
(800 томов) пожертвовал математическому обществу в Пра-
ге. Напечатав в 1842 г. па собственные средства плакаты
для практического курса черчения в 40 000 листах,
0 Здесь речь идет, невидимому, об авторе кипит [К оз лов И ],
Решение численных уравнении по способу Ивана Козлова.
Одесса, 1856 (43 стр. большого формата). 13 предисловии указано,
что автор студент. Но другим сведениям «чиновник в Одессе Козлов »
в 1862 г. представил в Министерство просвещения свой способ ре-
шения уравнений, и ему, по представлению II. Л. Чебышева, была
назначена стипендия в 500 рублей па все время пребывания в Ново
российском университете. Имеются сведения еще о полковнике Коз
лове, изобретателе «цнфраря-дпаграммомстра Козлова». «Цифрарь»
хранится в Ленинградском институте усовершенствования j чите-
лей. Л. И. Крылов в своих воспоминаниях рассказывает, как у этого
Козлова в Русском техническом обществе было столкновение с ма-
гистром русской словесности В. II. Срезневским и как в результате
этого столкновения, согласно протоколу, «фуражка полковника
Козлова коснулась лица статского советника Срезневского».
Имеющаяся брошюра —«Цифрарь В. С. Козлова. Научное посо-
бие для занимающихся статистикой, облегчая пользование графи-
ческим методом, служит для его развития и даст новые средине
(обобщения) посредством измерения (взвешивания) различных частей
диаграммы, СПб., 1889»—дает краткие сведения о цнфраре.
СЛАВЯНСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ ВЕГА И КУЛИК
603
он роздал их школам. Ь мер Кулик в Праге 28 февраля
1863 г. Оценка университетом своего бывшего профессора
дана в следующем извещении о его смерти:
«Коллегия профессоров и докторов философского фа-
культета императорского Карлова-Фсрдинандова универ-
ситета с глубокою скорбью извещает о смерти славней-
шего п ученейшего Якуба Филипа Кулика, доктора фило-
софии, соииора ко меги и профессоров философского
факультета, публичного ординарного профессора высшей
математики, декапа Пражского университета в 1849 г.
и бывшего славного ректора Граднской академии, члена
многих ученых обществ, славного и неутомимого учителя,
известнейшего автора многих трудов, как математических,
так и физических, мужа в высшей степени отмеченного
благочестием, человечностью и цельностью личности».
Кулик был очень плодовитым писателем по разнообраз-
нейшим вопросам математики, физики и астрономии.
Работы эти почти равномерно распределяются между чисто
прикладными, с одной стороны, и таблицами делите.чей,
стоящими далеко от практических применений,—с другой.
Подавляющее большинство работ Кулика носит вычисли-
тельный характер. Якоби в цитированном уже письмо
отмечает, что Кулик был из тех людей, которые по только
берутся за новую, самую ужасную, вычислительную рабо-
ту, не сулящую никакого материального вознаграждения,
но готовы отдать все, что имеют, чтобы только видеть своп
таблицы напечатанными.
Далеко не полный список работ Кулика следующий [мы
даем названия их в переводе; самые работы, особенно
табличные, как видно из ряда статей в специальном жур
нале «Mathematical tables and aids to computation»
(1946—1952), являются исключительно редкими, извест-
ными только в одном-двух экземплярах |;
Руководство к математическим таблицам, Грац, 1824.
Собрание математико-физических таблиц, Грац, 1826.
Канон 48-значных натуральных логарифмов, Грац, 1826.
Тысячелетний календарь для историков, дипломатов, архива-
риусов и судей, Прага, 1831.
Руководство по высшему анализу, Прага, 1831.
Теория и таблицы цепной линии, Прага, 1832.
„Таблицы для вычисления длин, площадей и объемов, Прага. 1833.
604
И. Я. ДЕНМАН
Вычисление вместимости цилиндрических п конических бочек,
Львов, 1836.
Исследование о ценных мостах. Прага, 1838.
Повое аналитическое доказательство предложения о паралле-
лограмме сил. 1811.
Ответ Допплеру па его критику этого сочинения, Прага, 1840.
Простои способ разложения больших чисел на множители, 1843.
Об определении количества простых чисел, не превышающих
данною чпсла. 1843.
Таблицы квадратов н кубов чисел до 100 000 с использованием
к разложению на множители больших чисел, Лейпциг, 1848.
Новые таблицы умножения, Лейпциг, 1851.
Таблицы для вычисления гиперболических секторов и длин
эллиптических (уг и ква (рантов, Лег пцпг, 1851.
Христианское летосчисление, Прага, 1861.
Обширные труды Ку шка остались в рукописях и сре-
ди них — таблицы делителей чисел первых ста миллионов,
бла! одари которым его имя вошло в историю математики
Рукопись, как сказано выше, озаглавлена:
«Великий канон делителей всех чисел, не делящихся на
2, 3 и 5, и заключенных между ними простых чисел
до 100 330 201
Якуба Филипа Кулика,
публичного ординарного профессора высшей математики
в Пражском университете»1).
Па заг ипшом листе рукописи помещена в виде девиза
характеризующая автора латинская эпиграмма Иоанна
Овеиа, перевод которой гласит:
«Пусть по по вкусу глупцам, коих много,
Песни мои,—многим угодить вс стараюсь:
Будет с меня и немногих читателей, даже единого.
Если ж вс станет читать никто меня -буду доволен
п этим»2).
Magnus canon clivisorum рю omni bus numeris per 2, 3 et 5
non divisibiiibus, et nunicroruin priiiiociun inlerjaceutiuin ad miilies
ccntcna millia accuralius ad 100 330 201 usque. Auctorc Jacobo
Philippo Kulik galiciano Lcopoldiensi, in universilate Pragena ma-
thescos subliniioris Profcssorc publ. ac. ord.
s) Nc placcarit s’.ullis, quorum sunt omnia plena
Carmina non mullis nostra placero xolo.
Sat iiiihi sunt pauci Icclores, cst satis unus:
Si ine nemo legat, sat niilii nullus ciit. Joan Chveni Epigr.
Джон Овсп, латинизированная форма Xudoenus,—поволатшь
скин поэт копна W I и начала \\ II веков, англичанин. написавший
СЛАВЯНСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ ВЕГА И КУЛИК
с.ог»
Страницы рукописи имеют размеры 14.5x11,5 пойма,
на каждой 80 строк и 77 столбцов. Для нос ледовательных
простых чисел введены буквенные обозначения: а = 1 I,
6 = 13, с=17 ит. д. до z— 109, затем сочетания букв .латин-
ского алфавита но две, так что, например, zp=‘18YA:
для числа 7 введен особый знак. Этим сильно сокращается
объем таблиц. Было указано (Петцваль), что печатание
этих краппе важных таблиц бу щт возможно лишь после
того, как идея Кулика о стенографпзацвп записи будет
продолжена дальше.
Рукопись таблиц, над которой Кулик работал послед-
ние 20 лег жизни, состоя га из восьми томов в
4212 страниц. Начинаются они с числа 3 033 001, т. е.
с того места, до которого были доведены существовавшие
в то время самые полные таблицы Буркгардта. 1» 1911 г.
было констатировано, что второй том, охватывающий числа
от 12 642 601 до 22852800, исчез и до сих пор не обнаружен.
На рукописи есть надпись автора, гласящая, что она
предоставляется в пользование и в случае надобности
для снятия частичных копий всем друзьям и люби гелям
знаний.
Первый том таблиц Кулика был тщательно проверен
Лсмером (подготовлявшиеся последним к печати таблицы
делителей простираются лишь до 10017 000). Лемер обна-
ружил в них, как и надо было ожидать, ошибки (в первых
десяти миллионах 226). По такие же ошибки были обна-
ружены и во всех прежних таблицах, которые включали
числа первых миллионов и неоднократно печатались п не-
сколько раз псревычпслялись, причем оказалось, что не-
которые ошибки повторялись у' всех авторов Самым курь-
езным из этих случаев является квалификация в очень
солидных таблицах Буркгардта числа 9899 как простого,
хотя оно делится на 19. Возможно, что это типографская
опечатка, по во всяком случае опа показывает, в какой
мере такие ошибки возможны даже в тех изданиях, смысл
десять книг эпиграмм, очень удачно подражающих Марциалу.
Эпиграммы п большинстве остроумные н пикантные и очень я (овц-
тыс, когда они атакуют римскую церковь. Последняя включила нх
в список запрещенных книг. Имеются переводы эпиграмм Омена
на современные языки и имитации.
бОн
И. Я. ДЕНМАН
которых Б возможной точности. Много ошибок в прежних
таблицах было обнаружено Мейсселем ) применением его
формулы для определения количества простых чисел, не
превышающих данной границы, и 1 рамом2) при помощи
Toii же формулы Мейсссля. Лемср при подготовке к пе-
чати своих таблиц иеревычш лил числа первых трех мил-
лионов по шесть раз, числа следующих шести миллионов
по пять раз и обнаружил в этих, так сказать многократно
«изъезженных», миллионах до 500 ошибок в прежних таб-
лицах. В свете этих фактов естественно было ожидать
ошибок в рукописи Кулика. С пей, очевидно, будут срав-
ниваться все дальнейшие издания таблиц, как это делал
Лемср для десятого миллиона, им впервые печатавшего-
ся, и как поступали издатели уже упомянутых новейших
таблиц делителе]'! одиннадцатого миллиона.
Кулик занимался вычислением и друтх математиче-
ских таблиц, например, таблиц первообразных корней.
Начало этим таблицам положил М. В. Остроградский3),
вычислив первообразные корни всех простых чисел, мень-
ших 200, с таблицей для нахождения индекса данного
числа и числа по данному индексу. Способ вычисления
Остроградского изложен в его «Лекциях алгебраического
и трансцендентного анализа» 1837 г.4). Якоби5) довел табли-
цу до 1000, указав на некоторые опечатки (или пеправил!-
постп) в таблицах Остроградского, оставшиеся неисправ-
ленными и в новом издании трудов Остроградского.
Таблицы первообразных корней для чисел до 2000 состав-
лены Куликом. Якоби писа i своей жене, что он поражен
0 «Mathematischc Annalcn», 1883, 21, стр. 600; 1885, 25,
стр. 257.
r 2) G г a in 1. Р., Rapport stir quclqucs calculs entrepris par
M. Bcrtclscn ct concernanl les noinbres premiers, «Acta mathematica»,
1893, 17, стр. 301—314.
3) Ostrogradsky M., Tables des racincs primitives
pourtous les nombres premieres au dcssous de 200, avec table pour
trouver I’indice d’un nombre donm ct pour trouver le nonibre
d’apres I’indice, «Mcmoires de Г Academic des sciences de St.-Pcters-
bourg. Sciences mathematiques ot physiques», 1838, 1, стр. 359—38a.
4) Новое издание Академии наук в полном собрании сочинений,
т 2, изд. 2-е, М —Л., 1940.
8) В споем «Canon arithmeticus», Берлин 18.39.
СЛАВЯНСКИ!- ВЫЧИСЛИТЕЛИ ВЕГА 11 КУЛИК
607
человеком, \ щоившим его «канонирские» таблицы1), что
потребовало учетверенной работы по сравнению с. нерпой
тысячен. Таблицы первообразных корней Кулика были
напечатаны в J833r.2). Но инициативе Д. А. Граве студенты
Киевского университета, пользуясь счетными машинами,
продолжили таблицы Якоби до 2000. I ране, сообщая
об этом3), нс упоминает таблицы Кулика. Невидимому,
большая вычислительная работа была выполнена вто-
рично. Из работ русских математиков в этом направлении
следует отмстить еще мемуар А. И. Коркина, напеча-
танный после смерти автора в 1909 г.4). Г1 аблпца Коркина
была продолжена К. А. Поссе5). Некоторые подробности
об этом и самые таблицы имеются в «Элементарном курсе
теории чисел» Граве. ♦
В последние годы неоднократно высказывалось мнение,
что очередной задачей в области теории простых чисел
является восполнение утерянного тома таблиц несравнен-
ного славянского математика-вычислителя Кулика и изда-
ние, после проверки, ого таблиц.
Г> и б л п о г р а ф п я т р у л о в Я. Ф. К у л и к а
1. De phaenomenis iridis Disserlatio inatheniatico-physica,
Graccii, 1822.
2. llandbuch matheniatischer Tafeln, Gratz, 1824.
3. Divisorcs nunieroruin dories niillia non cxcedentium etc.
Tafcln dor einfaclien 1 aclorcn jeder grosseien Zahl unter finer
Million, Gratz, 1826.
2) Якоби озаглавил спои таблицы, доведенные до 10ОО, «Canon
aritlimeticus». Простые вычисления в этих таблицах выполнял
некий канонир, для которого Якоби в домашнем обиходе называл
спой канол «канонирскими» таблицами.
2) Kulik I. F., Ueber die Tafel primitive!1 \\ urzeln, «Journal
fiir die reine und angewandte Mallieinalik», 1853, 45, стр. 55—81.
3) 1 райо Д. Л., Элементарный курс теории чисел, изд 2 е,
Киев, 1913.
4) К о р к п н А II., О распределении целых чисел по простому
модулю и о двучленных сравнениях, с таблицей первообразных кор-
ней и характеров, к ним относящихся, для простых чисел, мсньшп_х
4000, «Математический сборник», 1909, 27, стр. 28—115, 120—137.
5) Подготовившим к печатни работу Коркина («Математический
сборник», 1909, 27, стр. 175—179, стр. 238—257 и «Acta niathe
malica», 1912, 35).
608
II. Я. ДЕНМАН
4. Canon logarilhmorum natmaliurn in nolis decimalibus duo-
dcquinquaginta, Graecii. 1826.
5. Dcr tauscnd jiihrigQ Kalender. Kin niilzliches llandbuch fiir
llistoriographen, Diplomaliker, \rchivaren, Richter u. a. Prag, 1831;
изд. 2-е. Прага, 1834; изд. 3-c см. Л» 1*9.
G. Lehrbuch dcr hohcren Analysis, Prag, J831; то же, мзде 2-е,
т 1—2, Прага, 1843—1844 (т. 1 имеет название «Lehrbuch dcr hohcren
\rithmetik mid Algebra. Enlhaltcnd nebst den wichtigsten Lehren
der hohcren \nalysis riach Griiffe’s, Budan’s, Sturm's, Fourier’s.
Horner’s und Stein’s Xuflosungsniclhoden numerischer Gleichun
gen», 1’rag, 1843).
7. Thcorie und Tafeln der Kcllenlinie, Prag, 1832.
8. Die Toisirlafelii zur leichteren Berechnung de Langen-. Flachen-
und Kubik- Inhalts und die verschiedenen Mini?-, Mass-, und Gewichts-
betrage, Prag, 1833.
fafeln zur Bestimmung des Inhalts lindi ischer und koni
seller Gcfiis.se in Bicrhrauereien und Branntwciiibrenncrcien, Lem-
berg, 1836.
10. I ntcrsuchimgen fiber Kettenbiiickenlinien, Prag, 1838.
11. Aufsatz iiber einen ncuen analytischen Bowcis des Saizes vom
Parallologramm der Kriifte, «Abhan (Hungen der koniglichen Bohini
schcn Gesellschaft der Wissenschaften», 811, 1, стр. 2—3.
12. knlikrilik der Krilik Doppler’s iiber den «\eucn analytischen
Bcwcis ctc.»>, там же, стр. 6—7.
13. Einfachos Verfahren bei Zerlegung grosser Zahlen in ihre
Facloren, там же, 1843, 2, стр. 14—l(i.
14. Leber die Bestimmung der Anzahl der Priuizahlen nnterlialb
ciner gegebenen Zahl, там же, стр. 17—18.
15. Anfangsgiiinde dcr hoheren Mathematik mil Riicksichl
auf ihre technischon Xnwemhmgcri, Leipzig, 1844—1846.
16. Tafeln der Quadrat- und Kubikzahlen alter naliirlicheu Zah
leu bis llunderttausend nebst Hirer Xnwendung auf die Zerlegung
grosser Zahlen auf ihre Facloren, Leipzig, 1818.
17. None Mulliplicationstafeln. Ein uncnlbebrliches Hilfsmitlel...
um sclmell, sicher... zu lochnen, Leipzig, 1851.
18 Tafeln dor hyperbolischen Secloren und der Langen ellipli-
schcr Bcgon und Quadranten, Leipzig, 1851.
19. Die Jahre.-formen der christlichen Zeitrechnung, Prag, 1861.
20. Bcilrage zur Xuflosung lioherer Glcichungen, «Abhandluiigen
der koniglichen Bohmischen Gesellschaft del Wisscnschafleim,
1861, 11.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В РАБОТАХ
АРХИМЕДА
II. Г. Башмакова,
§ 1. Метод исчерпывания в античной математике
В историко-математической литературе были хорошо
исследованы работы Архимеда, посвшцсииые определению
площадей, объемов и нахождению центров тяжести. Было
выяснено1), что Архимед на основе «метода исчерпывания»
Евдокса развил интеграционные методы и впервые ввел
в рассмотрение верхние и нижние интегральные суммы.
При этом площади или объемы фактически рассматривались
как общий предел обеих этих сумм. Так, /Крхимед нашел
площадь, ограниченную первым витком спирали р=до
и полярной осью, объемы эллипсоида вращения, сегмен-
тов параболоида и двуполостного гиперболоида вращения.
Развивая «метод исчерпывания», Евдокс, Евклид
и Архимед установили ряд теорем о пределах, причем
некоторые из них доказывались в общем виде, а другие—
для тех пли иных конкретных величин, но так, что дока-
зательства можно было повторить и для любых других
величин того же рода.
Естественно возникает вопрос, не примени шсь ли эле-
менты теории пределов и для задач, которые мы теперь
*) Ц с й т е и Г. Г., История математики в древности и в сред-
ние века, изд. 2-е, пер. с франц., М.—Л., 1938; статья «Исчерпыва-
ния метод» (БСЭ, изд. 2-е, т. 19); 10 ш кепи ч А. П., О методе
исчерпывания древних математиков («Труды совещания по истории
естествознания 24—26 декабря 1946 г.», М.—Л., 1947); его же,
Интегральное исчисление (БСЭ, изд. 2-е, т. 18).
39 Исторнно-матем. исследования
Glu
И. Г. БАШМАКОВ\
решаем дифференцированием. Эют вопрос оставался до
сих пор в тени. Между тем Архимед решает ряд задач та-
кого рода: в работе «О спиралях» он определяет полярную
подкасательную в любой точке спирали р—cs, а в сочи-
нении «О шаре и цилиндре» при исследовании задачи
о делении шара в заданном отношении, сводящейся к куби-
ческому уравнению:
х- (я — х) = Ь2с,
он находит максимум выражения .т2(о—г). При этом он
систематически оперирует некоторыми строгими неравен-
ствами, так же как и в доказательствах но методу исчер-
пывания.
Весь этот комплекс работ Архимеда пс получил пра-
вильной оценки *). Историю дифференциальных методов
обычно начинают только с XV1J века, отмечая, что здесь.
в противоположность интегральным методам, почти нечему
было учиться у ipcBiuix. Мы постараемся показать, что
такое мнение является совершенно неосновательным. Для
этого мы детально разберем работы Архимеда, посвящен-
ные определению касательных н экстремумов. Мы увидим,
что Архимед нользова тся бесконечно малым характеристи-
ческим треугольником, определяя с ого помощью предел
отношения приращения полярного радиуса-вектора к со-
ответствующему приращению дуги при стремлении по-
следней к нулю, т. с., говоря современным языком, пахо-
</р ,,
дя производную радиуса-вектора-^-, «Задачи па опре-
деление экстремума Архимед сводил к задачам па каса
тельные, устапав швая тем самым тесную связь между
ними. 11 обходимое условие для существования экстрему
ма, найденное Архимедом, равносильно условию равенства
пулю производной. Таким образом, историю дифферен-
циальных методов, так же как и интегральных, следует
начинать с Крхнмеда.
Преж ie чем перейти к непосредственному разбору соот-
ветствующих работ Архимеда, мы остановимся кратко на
развитых в древности элементах теории пределов, которые
2) Крнтпческннобзор исследовании, посвященных соответствую
щнм работам Чрхпмеда, мы дадим,в § 3.
. 1 ii<i><i>i:i*i<i11Lii 11.11ык методы в гувотух угхнмеду с>| I
тогда как и теперь, являлись основой интегральных
я дифференциальных методов.
Творец метода исчерпывания Евдокс из Кинда положил
в основу метода лемму, которая является ио существу
первым строго доказанным и притом абстрактно сформули-
рованным предложением теории пределов. Лемма эта
дошла до ши в изложении Евклида (кн. X. предложение 1);
опа состоит в следующем: если даны две однородные вели-
чины а и 6. которые «взятые кратно могут превзоши друг
друга», т. е. найдется такое целое п, что паи такое
целое т, что mb а, то, вычитая из величины а больше ее
половины, из полученного остатка больше его половины
и т. д., мы после конечного числа таких вычитании придем
к величине а,, которая будет меньше Ь. Иными словами,
существует такое А, что при л>А.
или, в современных терминах, ап является бесконечно ма-
ioii величиной:
innan — Jim —о
71—7 00 71-00 2П
остальные предложения теории пределов доказывались
для тех или иных конкретных величин. При этом, однако,
специальными свой» твамн этих величин не пользовались,
так что на самом деле доказыва ш больше, чом содержалось
в формулировке теоремы. Гак, например, Евдокс первый
строго доказал, ч то площади тву х кругов () и q относятся,
как квадраты, нот троенные на их диаметрах 1) н (I:
Q D-
Ч ~ d ’
Доказательство это дошло до пас в изложении Евклида
(кн \11 предложения 1—2). Оно основано па уставов
лопни следующих фактов:
1) если 6 п &(1 — подобные правильные мпогоуголь
лцкн, вписанные, соответственно, в () и q, то
^1^22-
•Si fl- ’
39*
(i 12
И. Г. Г.ЛП1М U.OB \
2) какова бы ни была заданная площадь Ь, при до-
статочно больших п
Q-Sn<b п q-sn<b.
Исходя пз этого, фактически доказывается, что
.. S„ lini 5-n Q D2
Sn Ilin Sn q a-
t. e. показывается, что если даны две последовательности
величин Sn и sn, которые имеют пределы (Q и q), и если
отношение Sn:sn постоянно, то и пределы будут иметь
то же отношение.
Для определения объемов сегментов эллипсоида, пара-
болоида и гиперболоида вращения Архимед вписывал в
определяемое тело и описывал вокруг него ступенчатые
фигуры, состоящие пз цилиндров равной высоты — , где
а —высота всего сегмента. Он доказал следующую общую
лемму (предложения 19 — 20 сочинения «О коноидах и
сфероидах»), которая заменяла ему вышеупомянутую
лемму Евдокса: какова бы пи бы ia заданная (телесная)
величина Ь, всегда можно вписать в данный сегмент V
и описать вокруг пего такие фигуры и Vn, t'n < V <Vn,
что
Vn-rn<b. (1)
Затем Архимед путем суммирования объемов элементар-
ных цилиндров, из которых состоят фигуры Fn и
находит такой объем Z, что
Z<k'„<Z + «„, (2)
Z-3„<r„<Z, (2')
где величины ап и Зп с возрастанием п становятся мень-
ше любой наперед заданной величины. После этого Архи-
мед утверждает, что искомый обым
V = Z. (3)
Справедливость (3) он доказывает от противного. Пусть
утверждение неверно, т. е. Г Z, и пусть И > Z. Тогда
примем b — V — Z и возьмем такие описанную п вписан-
ДПФФЕРЕНШ! \ЛЫ1ЫЕ МЕТОДЫ 15 РАБОТАХ АРХИМЕДА 613
ну ю фигуры, ЧТО
V __ г у _ z
r п L h ' г •
Но Уп как описанная фигура всегда больше Г. Поэтому
должно быть
> Z,
что невозможно вследствие (2'). Аналошчпо с помощью
(1) н (2) опровергается х) п предположение V < Z.
В этой схеме доказательства сод ржится следующее
важное утверждение теории пределов; если некоторая
постоянная величина V заключена между членами двух
последовательностей величин rtl и Г„, так что при всех п
и если разность между членами этих последовательно-
стей с ростом п становится меньше любой наперед за-
данной величины b > 0:
Vu-cn<b
при п>Аг, то lini I п = lim сп = 1 .
?1->СО ??->СО
В «Нача тах» Евклида (кп. IX, предложение 35) дан
строгий вывод предложения, эквивалентного формуле
для суммы конечного числа членов геометрическом npoipec-
епп a, аЬ, air, ..., ab". Математики V —III вв. до п. э.
несомненно знали, что если знаменатель прогрессии b< 1,
то сумма конечного числа членов ее становится как угодно
близка к , если взять достаточно много членов про-
1 — ь
грессии. Но только в одной из работ Хрхимеда мы
находим строгое обоснование этого предложения для
1
Ь — . Для определения площади сектора параболы Архи-
мед вписывает в него многоугольные фигуры, площади
которых составляют последовательные частные суммы
геометрической npoi ресспи:
5,=а, 52=« + |, Д-,=а + |+*...........
, а . а. i 1 а
6п — 11 + -у, + ' • + 177=7 — з (1 — ;f 7рР7 •
’) Для пронеделня доказательства Архимед использует длин,
левую часть нсрапспетиа (2) и правую часть неравенства (2').
G14
И. Г. БАШМАКОВА
Далее Архимед показывает, что разность между площадью
сегмента параболы 5 н 5(1 может быть сделана как
угодно малой
5-5 < (',
а так как, с др\ гой стороны, 5 как угодно мало or.ni-
4
чаются от К = ; а, то S К, что и доказывается от
противного. Таким образ< м, здесь Архимед фактически
рассматривает сумму бесконечного ряда как предел после-
довательности его частных сумм; для случая бесконечной
убывающей геометрической прогресс ни оп доказывает.
с а
что о = .
1 — Ь
Накопай, в школе Евдокса, его учеником Днностратом
были доказаны предложения, эквивалентные тому, что
о чем мы скажем подробнее в следующим параграфе.
Заключительной частью всех доказательств по методу
исчерпывания было доказательство от противного. Оно в
точности соответствует современному доказа те л ьству
единственности предела монотонно возрастающей (ii.ni
убывающей) ограниченной сверху (пли снизу) ногледина
телыюстн величин. Отличие состоит в том, что древние
не установили общим образом условия, обеспечивающие
существование и единственность предела, а всякий раз
для данных конкретных величии проводи.ш все доказа
тельстпо заново. Хналогпчпая ситуация очень часто
встречается в истории математики; так. например, мате-
матики XVIII — начала XIX вв., исследуя конкретные
конечные группы, каждый раз заново доказывали, что
порядок любой подгруппы является делителем порядка
группы. Только во второй половине прошлого века ма
тематики выделили основные свойства, характеризующие
группу, и cia.ni проводить доказа। мьстпо общим образом
раз и навсегда.
Второе отличие в .методе изложения древних заклю-
чается в том, ч го шнде прямо ие говорится о пределе
последовательности, не вводите я явно я самое понятие
Д11<1>Ф1 РЕНЦИ X IbiJl.lE МЕТОДЫ В Р.КВОТАХ АРХИМЕДА 615
предела. Мы видели, что вместо этого математики древней
1'pei пн устанавливали систему строгих неравенств. Ход
их рассужен iinii больше напоминает современные доказа-
тельства с s и о (только 6 еще не опреде шется явно
через г), чем в значительной мере интуитивное опериро-
вание с пределами и предельными отношениями матема-
тиков XVII-XVIII вв.
При этом не было никакого разрыва между методом
нахождения результата н его доказательством. Результат
находился фактически как ироде г последовательности или
как общин предел двух послсдователмюстей величин,
а доказательство служило для обоснования законности
такою предельного перехода. Кроме того, последователь-
ности величии, дающие решение задачи, строились в ходе
самого щказател ьс । ва.
Заметим еще, что при ирове гении доказательств но
методу исчерпывания и Архимед, и его предтечтвеппнкп
пользовались теорией отношений Евдокса, замени вшей
в античной математике теорию деветвите н.ных чисел.
Поэтому вместо равенств между самими величинами они
оперировали пропорциями, т. е. равенствами межд> отно
шеннямн величии. В настоящей работе для облегчения
изложения мак риала мы будем иногда пользоваться
вместо пропорций равенствами межд} величинами.
\1ы перейдем теперь к рассмотрению того, как были
а станов.лены предложения, эквивалентные равен твам (4).
§ 2. Пределы и при ?->0
и трактовка их Диностратом
Работы Дпнострата (IV век до и. э.), ученик;! Евдокса,
дошли допас в передаче Нанна (111 век н. э.). Из. отрыв
ков, приведенных Паппом, видно, что предложения,
эквиватентпые равенствам
lini
.-»о
с
tg?
616
II. Г. БАШМАКОВА
были найдены и строго обоснованы Диностратом в связи
с его исследованием квадратрпсы — первой трансцендент-
ной кривой, известно]! древним.
Квадрат риса была введена еще в V веке до и. э.
софистом Гппппом из Элиды для решения задачи о три-
секции угла. Кривая эта определяется следующим обра-
зом: пусть некоторый отрезок О А = г равномерно вра-
щается по часовой стрелке вокруг точки О, а отрезок
АВ равномерно падает параллельно самому себе, причем
оба движения происходят так,
что отрезки О А и АВ одновре-
менно достигают положения ОС
(черт. 1). Геометрическое место
точек Н пересечения движущих-
ся описанным образом отрезков
и образует квадратрпсу.
Из определения ясно, что эта
кривая обладает том свойством,
что ординаты ее точек пропор-
циональны соответствующим
О L К С углам:
У _<?
Черт. 1. (П
Отсюда и вытекает возможность применения квадрат-
рпсы для деления угла па любое число равных частей.
Величина О/С, где К — точка пересечения крадратрнсы
с горизонтальной прямой, не определена, так как при
этом обе прямые АВ и CL1, пересечение которых и опре-
деляет квадратрпсу, сливаются в одну. Это соответствует
л м У sin?
тому, что при © = 0, у — 0 отношение ~ = является
неопределенным. Дпнострат находит фактически предел
этого отношения при <?—>0. С пашей точки зрения оп
доопределяет квадратрпсу при с/ = 0 по непрерывности.
При этом оп устанавливает, что
О Л
ОК
о.!
е.
ОК =
CU2
и ЛЁГ
I.
г
ДПФФЕ1Ч IIIUI \ЛЫ11>1К МЕТОДЫ В Г КВОТАХ КРХПМЕДА 617
Таким образом, - может быть определено как четвер-
тая пропорциональная к ОК, 1 и 2г, а значит, квадрат-
рига (доопределенная при о = 0по непрерывности) может
служить для решения задачи квадратуры круга.
Посмотрим, как [ипострат могпапти1) величину ОК.
Из пропорции (1) при !/1 = ОЛ = г и = ЛЕС полу-
чается:
г AEG ______ 2
У ’ \J ЕС ~ с
откуда
2г у
Но y = HL является лпнпен синуса в круге радиуса ОН
я линией тангенса в круге радикса OL (черт. 2), т. е.
~ = 0^ КТТПГ = 0L \JET~ '
к 11 tl t LI j
ПЛИ
*L = OH^ = OL^.
~
При <p = U оба отрезка ОН и OL сливаются с отрез-
ком ОК, следовательно,
ОК — lim — = lim — ——— .
? >и * s"‘r ?->о к
Значит, если пределы и равны единице, то
2г _ V - ? 9Г
ОК— ~. Наоборот, если показать, что ОК". = — . то тем
самым будет доказано, что
lim- = lim
9
tg?
*) С точки зрения Дппос-трата дело шло, разумеется, нс о
доопpede.ienuu по нспрс'сыниостн, а о нахождении отрезка ОК.
При этом Дпнистрат неявно исходит из предпо.тожевпя о непре-
рывности квадратрпсы.
618
II. Г. БАШМАКОВА
Динострат и доказывает методом от противного, что
“9 Z*
ОК =— . Схематически доказательство Ди пострата (в не
редаче Паппа) выглядит так:
1) Пусть ОК ~ . Пусть ОК < ^ = z, г = ~ z. При-
ведем окружность радиуса C2//1 = z=-; r> z >ОК,
следовательно, эта окружность пересечет квадратрпс \
в некоторой точке И, радиус
Л В вектор которой равен z, а угол
'4. Тогда
У ~ ‘
По r = ~-z, следовательно, // =
= z,z — 1111 , что противоре-
чиво, так как
// — z si и ъ = HL < 11 Hl -= z-f.
О L К Н, С
тт 2) Пусть теперь ОК > z =
Черт. 2. 1
= , г --7З. Проведем окруж-
ность радиуса OL = z и касательную к ней в точке Л» до
пересечения с квадратрисой в точке //(.у, ^). Тогда
/•
ч
т. е. y = yz, а это противоречиво, гак как
i/=3lgs HL^oLL^ z,z.
Таким образом, при доказательстве с\ществснио исполь-
зуется неравенство:
sin ? < ? < tg?.
Мы не знаем, как было получено это неравенство. . 1евая
часть его sin ^<9 непосредственно очевидна, так как
хорда в круге меньше стягиваемой сю дуги, а значит ли
ния синуса, т. е. полухорда, меньше ш ловпны этой дуги.
ДПФФЕРЕШШ Х.1Ы1ЫЕ МЕТОДЫ В РАБОТАХ ХРХНМЕДА 619
Зато правая часть 5 < tg'p совсем не очевидна. Она могла
быть получена, например, так (черт. 3): пусть АВ— ли-
ния тангенса, соответствующая ВОЛ. Отложим СОВ —
= ВОЛ и проведем касательную СВ\ тогда СВ —АВ и
СВ 4- Л В > VJ \DC = ^CD \-^AD,
2.1/? > 2«W,
Л В > ID.
т. е.
tg?> г-
Выделим теперь основную идею доказательства Дино-
ст} ата того, что
lini — liniт — = 1.
•_-_><)sln? s-,0lor?
Прежде всего возникает вопрос, какую
доказательстве играет сама квадратриса.
тельство справедливости (2) свя-
зано именно с этой кривой. Рас
смотрим функцию
J — ---.
1 ЯП 'у
Она совпадает с точностью до по-
стоянного множителя с правой
частью полярного уравнения квад-
рат рисы
роль при этом
Почему доказа-
Такое представление, разумеется в геометрической форме,
по было чуждо древним. Мы увидим, что Хрхимед в со-
чинении «О спиралях > ио существу пользовался поляр-
ными координатами. Но и Дипострат фактически имеет
Дело с ними, когда проводит окружности и рассматривает
радиусы -векторы точек пересечения .'них окружностей с
кгадра rpiicoii.
Нужно теперь исследовать, какое значение прпии
мает р при <5 = 0. Существование такого значения р — р(),
620
И. Г. БАШМАКОВА
.. v
т. е. существование Inn - , ооеспечпвается тем. что
J ? _ о sin ¥
1) радиусы-векторы р = убывают вместе с убыванием
угла ср (это, вероятно, Дииострат усматривал из чертежа);
2) выражение -Д— ограничено снизу, так как всегда
' 1 sin у
о > sin С5,
т. е.
- > 1.
sin
При этом легко заметить, что при малых углах значение
это как угодно близко к единице. Совершая неявный пре-
дельный переход, Дппострат находит, что
р0 = Пш-Д— >1. (3)
и sin у ' '
Для строгого обоснования (3) недостаточно, однако, простои
констатации убывания радиусов-векторов вместо с углами.
Но для этого достаточно показать, что между двумя
какими-либо значениями р — а и?=Ь, а < Ь, радиусы-век-
торы принимают все промежуточные значения. Если мы
это пока примем и заметим, что при ср = , р = р1=
а при малых ср значение р близко к единице, то механизм
доказательства Дпнострата станет совершенно ясным.
Пусть было бы р0 < 1. Тогда, так как р0 < 1 < р1 = ^-, г<>
существовал бы радиус-вектор р, в точности равный
единице, т. е. существовал бы такой угол ср, что
sin <f ~ — ’
т. е. ср = sin ср. По это невозможно, так как всегда
© > sin ср.
Остается показать, что радиус-вектор р между двумя
своими значениями принимает все промежуточные. -Jto
Дииострат доказывает геометрически, находя точку пере-
сечения квадратрисы с окружностью радиуса р, т. е. он
молчаливо опирается на непрерывность квадратрисы.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ГАВОТАХ АРХИМЕДА 621
Во второй части доказательства Динострат, показы-
вает, что
?o=lin! dr*1
,-»0 о Т
Для этого он опирается на то, что: 1) отношение
возрастает с убыванием угла о; 2) оно ограничено сверху
<1; 3) между двумя своими значениями прини-
мает все промежуточные. Последнее обстоятельство опять
таки устанавливается геометрически на основании свойств
квадратрпсы.
Обе части доказательства вместе дают: р0>1 и р0<1,
т. е. р0= 1, а значит
Заме him, что в доказательстве Дипострата фактически
устанавливается, что монотонно возрастающая (или убы-
вающая) непрерывная и ограниченная сверху (пли снизу)
величина не может иметь предела большего (или соот-
ветственно меньшею), чем ограничивающая ее постоян-
ная.
Итак, при обосновании справедливости (2) квадратрпса
играет весьма существенную роль: она служит для доказа-
С5 , С
тельства того, что величины р=-^— и о =—— меняются
‘ Silly 1 1g ?
непрерывно. При этом для данного частного случая гео-
метрически устанавливается одно из важнейших свойств
непрерывной функции, а именно, что опа между двумя
своими значениями принимает все промежуточные.
Интересно отметить, что формулировку этого предло-
жения мы находим у многих древних авторов (причем,
разумеется, говорится ио о функциях, а о геометрических
величинах). Так, Прокл писал о квадратуре круга, пре-
дложенной Бри нэпом:
«Круг,—говорит Ьризоп,—больше, чем каждый впи-
санный, и меньше, чем каждый описанный многоугольник.
Но к чему существует большее п меньшее, к тому суще-
ствует и равное. Существуют многоугольники большие
Ii22
И. Г. БАШМАКОВ \
и меньшие, чем круг, значит существует также одни, рав-
ны]"! ему»1).
Выражение той же мысли мы находим еще в «Физике»
Аристотеля:
«Ведь круговая линия будет и больше и меньше прямой,
следовательно, п равной ей»2).
Однако в математических сочинениях Евклида. Архи
меда, Аполлония и других ученых эпохи эллинизма
такое предложение в общем виде никогда ле встречается
Повидимом) , это было связало с тем, что пе существовало
общего определения непрерывной величины, а значит
нельзя было общим образом установить, каким условиям
должны удовлетворять величины, которые между двумя
своими значениями принимают все промежуточные. \1ы
видели, что Дппострат при своем доказательстве поль-
зовался непрерывностью кривой, определяемой кине-
матически.
Другой путь доказательства непрерывности величин
был найден в школе Евдокса. Как показал Цейтен 3), для
доказательства непрерывности геометрических мест, онре
(еляемых пропорциями
ах а и
— = — и — = —
х у х b
ученик Евдокса, брат Ди пос грата, Мепехм показа.т, что
эти геометрические места могут быть представлены как
сечения конусов вращения плоскостью, перпендикулярной
к образующей. Так как в непрерывности прямой и окруж
пости, а значит и поверхности конуса, древние пе сом по
вались, то ие было сомнении и в непрерывности поверхно-
сти конуса. Следовательно, были непрерывными и рассма
J) Цитируется по статье О. Бекера: Becker ()., Endoxos
Studion, II. «Quellen und Shidien zur Geschiehte der Malltenialik.
seria В», Berlin, 1931, t. 3, тетр. 4.
2) A p и стотел ь, Физика, изд. 2-е, АЕ, 1937, гл. Л II, 21.$ в.
Приведенное высказывание Аристотеля, как это следует из
контекста, нужно понимать так: поскольку существуют отрезки
.(У Аристотеля «прямые») и большие и мсныппс, чем длина окруж
ностп (у Аристотеля—«круговой линии»), то существуют и отрезки,
равные ей.
3) См. Ц сите н, цит. соч., стр. 130—135.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ .МЕТОДЫ 1! РДЬоТчХ ХРХПМЕДА (>23
трпваемые геометрические места, значит можно было
решат!, задачи путем нахождения их точек пересечения.
Позднее Архимед при построении касательной к спирали
должен был воспользоваться непрерывным изменением
отношения двух отрезков. Однако Архимед уже не до-
вольствовался, подобно Ди иострату, паглядно-геометрп
ческн.м доказательством того, что непрерывная величина
между двумя своими значениями принимает все промежу-
точные. Он дал строгое дока жительство этому предложе-
нию для нужных ому отношении. При этом он пользовался
построением, которое может быть осуществлено с по-
мощью конических сечений. Таким образом, Архимед су мел
развить и объединить идеи Дпиострата и Менехма.
§ 3. Сочинение Архимеда «О спиралях»
и его оценка
Мы говорили уже, что работы Архимеда, в которых
определяются касательные и экстремальные значения не-
которых выражении, получили совершенно недостаточное
освещение, в историко-математическом литературе Осо-
бенно это относится к замечательному сочинению «О спира-
лях». Эту работу Архимеда постигла странная судьба.
Еще в III веке и. э. Пани раскритиковал метод, при-
мененный Архимедом для доказательства основных лемм
этого сочинения (предложений 5—9). Он утверждал, что
зги леммы можно было бы вполне доказать, пользуясь
только построениями циркулем и линейкой, и что поэтому
Хрхпмед допустил ошибку, применив д ш этого «метод
вставок»—прием, эквивалентный для рассматриваемого
случая применению конических сечений. .Многие историки
математики, вп ють до самого недавнего времени (II. Таи-
пери, \пзс и др.), также иска ш для лемм Архимеда более
простые доказательства. Таким образом, с легкой руки
Нанна внимание мши их историков было сосредоточено не на
том, чтобы попять ход мыслен Архимеда, а на том, чтобы
упростить его приемы. При этом, как мы постараемся по-
казать, все «упрощения» подобного рода приводили только
к обеднению содержания великого творения Архимеда
Такое отношение к сочинению «О спиралях» привело к не-
624
II. Г. БАШМАКОВА
правильном его оценке. Так, С. Я. Лурье пишет о методе
нахождения подкасательной к спирали у Архимеда: «Край-
няя искусственность этого решения и неожиданность (?)
получающегося результата вызвали протесты (!) матема-
тиков последующего времени, начиная с Паппа, жившего
в III в. н. э., п до наших дней»1).
Насколько нам известно, впервые правильно подошел
к оценке сочинения «О спиралях» датский историк мате-
матики Цейтен. Он писал, что основной целью этого сочи-
нения наряду с вычислением площадей «является еще
другой вопрос из области бесконечно-малого, именно нахо-
ждение касательных к спиралям. Для этого Архимед рас-
сматривает (пользуясь, разумеется, обязательно доказа-
тельством путем исчерпывания) тот самый бесконечно-
малый треугольник, который употребляют и теперь для
нахождения касательных к кривым, выраженным в по-
лярных координатах. В итоге оп получает, что полярная
подкасательная равна гО»2). К сожалению, Цейтен огра-
ничился только этим замечанием; он не дал подробного
разбора метода Архимеда.
Историк греческой математики Хизс, как и Цейтен,
полагал, что Архимед нашел основное свойство касатель-
ной к спирали из рассмотрения бесконечно малого тре-
угольника. Хизс считал, однако, что ход доказательства
Архимеда совершенно отличен от метода получения ре-
зультата. Хизс приходит к выводу, что Архимед, хотя
и находился в «опасной близости» к инфинитезимальным
методам, однако сумел избежать их применения и остался
на твердой почве классической геометрии3). Кроме того,
Хизс упрекает Архимеда за излишнюю сложность его
доказательства, объясняя это только «пристрастием» Архи-
меда к методу заключения от противного.
Он дает собственное доказательство, которое, как ему
кажется, строго выдержано в духе классической античной
математики и, кроме того, отличается бо няней простотой.
Впоследствии мы остановимся подробно па доказатсль-
*)Лурьс С. Я., Архимед, М.—Л., 1945, стр. 1G2.
2) Цейтен, цпт. соч., стр. 126.
3) Heath Th. L., A history of Greek mathematics, t. 2,
Оксфорд, 1921, стр. 556—561.
ДИФФЕГ! ППЛАЛЬПЫЕ MI/ГОДЫ В РАБОТАХ АРХИМЕДА 625
стве Хизса и покажем, почему оно нс могло бы удовле-
творить Архимеда.
Более радикальной, па первый взгляд, представляется
точка зрения \1. Симона, писавшего в о цюй из статен, что
Архимед «нашел карательную к своей спирали, уравнение
которой в полярных координатах было ему хорошо извест-
но, с помощью дифференцирования»г).
Симон не поясняет, что он понимает под «дифференциро-
ванием», и пе подкрепляет свое утверждение никакими
аргументами В своей «Истории математики в древности»
Симон вернулся к вопросу о методах Архимеда. Здесь он
несколько развивает свою мысль «Архимед нашел дока-
зательства своих предложений (т. о. предложений о каса-
тельной к спирали.—//. />.) с помощью бесконечно малых;
па дифференциальном исчислении основано его постро-
ение касательной к спирали, которое есть пе что иное, как
метод Роберваля-Торичеллп, на интегрировании—опре-
деление площадей и объемов. Впрочем, имея в виду своих
читателей, Архимед счел себя вынужденным скрыть диф-
ференциальное исчисление так называемым принципом
Архимеда»* 2). Если отбросить употребленные Симоном явно
неподходящие слова «дифференциальное исчисление», то
высказывание это можно попять лишь в том смысле, что
Архимед нашел свои предложения с помощью приема,
аналогичного методу Роберваля-Торичеллп. Как видно,
утверждение Симона несущественно отличается от мнения
Хизса, который также полагал, что Архимед пришел к рас-
смотрению бесконечно малого треугольника, исходя из
кинематических соображений, как )то впоследствии имело
место у Роберваля и Торичелли. Мы думаем, что Симон
и ио утверждал, что Архимед владел алгоритмом дифферен-
цирования, иначе незачем ему были бы добавлять, что
способ Архимеда есть «не что иное, как метод Робор-
валя-Торичеллп». Кроме того, последняя из приведенных
х) S mon М., Zur GeM'hichte und Philosophic der D iff erent ial-
rcchnung, «Ahhandlimgen zur Gesuhichte der Malheniatik», . leiiuiuir,
1898, тетр. 8, стр. 116 (Приложение к т. 42 «Zeitschiift fur Mathc-
matik und Physik»).
2) Simon M„ Geschichtc der Malheniatik ini Allertuin in
Vcrbindung mit antikcr Kullurgcschichte, Г>срлпл, 1909, стр. 263.
Исторпно-матем. исследования
G26
II Г. ВА1ИМЛК0ВА
цитат показывает, что п Симон, как впослед( твои Хизс,
считал, что Архимед скрыл истинный метод опреде-
ления касательной, что метод доказательства Архимеда
не имел ничего общего с методом нахождения ре-
зультата.
А. Чвалпиа в приложении к своему изданию сочинении
«О спиралях»1) называет предложения 18—20, в которых
речь идет об определении касательной к спирали, дифферен-
циальными. Однако и он считает очевидным, «что Архимед
нашел дифференциал иные предложения не тем путем,
которым он их доказал Ведь доказательство является
косвенным»2). Чвалпиа предлагает свою реконструкцию
архимедова метода нахождения касательной. При этом
он вовсе игнорирует само доказательство, приводимое
Архимедом и предлагаемая им реконструкция действи-
тельно не имеет ничего общего с этим цжазате.п.ством.
Мы приведем рассуждения Чвалина более подробно после
тою, как разберем основное предложение о касательной
к спирали.
Итак, в псторико-математпческоп литературе мы имеем
ряд высказываний о методах определения касательной
к спирали Хрхпме ia, которые, как врали ю, не подкрепле-
ны никакими аргументами. Кроме того, высказывания эти
относятся не к самому доказательству Архимеда, а к пред-
полагаемому способу, которым Архимед нашел свой ре-
зультат. И Хизс, и Симон, и Чвалпиа прямо говорят, что
доказате п>ства Архимеда совершенно не следуют пути на-
хождения результата. С. Я. Лурье характеризует ход
доказательства Архимеда как крайне искусственный Тем
самым упомянутые историки математики признают, что
даваемые ими реконструкции методов Архимеда не основа
ны па его доказательствах. Наоборот, все эти авторы про
являют недоверие к тексту Архимеда, полагая, что вели
кип математик стремился нарочно скрыть своп методы. По-
добная точка зрения бы ia распространена и относительно
*) См. А г с h i m е d и s, Uber Spiralen, iibcrsetzl mid mil
zVnincrkungen und einem Anhang versdien aqh Dr. A. Czwalina-
Allenslcin, Лсйнииг, 1922, стр. 41—63.
2) Там же, стр. 62.
Д11ФФКР1 11 ЦП У. 1 Ы1 Ы Г. МЕТОДЫ 1', ГУВОТАХ хРХПМЕДА 627
доказательств Евдокса и .Лрхиме щ по методу исчерпыва-
ния. В настоящее время можно считать установленным, что
этот метод определения площадей и объемов служил
одновременно и для нахождения резу штата и для обосно-
вания его1). Mid покажем, что и при определении касатель-
ной к спора in не было разрыва между методом нахождения
ре д плата и методом доказательства,— во всяком слу-
чае разрыв был не больший, чем при любом современном
доказательстве, использующем предельный переход. Мы
постараемся восстановить путь, с помощью которого была
найдена касательная к спирали, исходя из самого дока-
зательства Архимеда.
Перейдем теперь к изложению основных пред.южспий
сочинения «О спиралях».
§ Определение спирали и вывод ее свойств
К исследованиям спиралей могли привести Архимеда
занятия механикой, особенно связанные с изобретенным
им бесконечным винтом. -)ти кривые должны были при-
обрести большой интерес для Архимеда после того, как
он установил, что полярная подкасательная спирали
P = равна р'5, а значит при ij = _r, подкаса-
тельная равна 4~2а = 2-Sj, т. е. длине окружности с ра-
диусом, равным раднусу-г.ектор} конца первого витка
спирали (предложение 19). Таким образом, спираль может
служить для решения задачи о спрямлсшш окружности
и тем самым задачи о квадрату ре круга
Основная цель первой части сочинения «О спиралях»2)
(до предложения 20 включительно) и состоит в оп ре дело-
пин ноляршш подкасательнон к еппра ш. Архимед опре-
деляет спираль кинематически; пусть луч прямой равно-
9 См., например, А. II. К) ш к с в и ч, цнт. соч.
2) Сочинение «() спиралях» имеется в переводах на ряд новых
языков. Немецкий перевод Ч вал я па указан выше. Французский
перевод в Les oeuvres completes <1 \rchimede, trad, par Paul. Ver
Eecke, Париж— Брюссель, 1921. Английский перевод в The works of
Archimedes ediled by T. L. Heath, Кембридж, 1897. Полное рус-
ское издание сочинений Архимеда готовится в настоящее время
к печати.
40*
н. г. в vinм \ hOii \
мерно вращается (против часовой стрелки) вокруг точки О
и одновременно вдоль луча, начиная от О, равномерно дви-
жется точка А. Геометрическое место, описываемое точ-
кой Л, Архимед называет спиралью. Таким образом, Архи-
мед, как и Дппострат, использует для определения кривой
комбинацию двух движений: равномерного вращатель-
ного и равномерного поступательного. Спираль Архп-
Чорт.
меда явилась второй (после ква-
дратрисы) трансцендентной кри-
вой, известной в древности.
Часть спирали, соответствую-
ще ю первому полному обороту
.туча, будем называть первым ее
витком Соединим начало О с ка-
кой-либо точкой спирали Р. Часть
спирали, находящуюся по ту сто-
рону от ОР, в которую происхо-
дит вращение луча, мы пазовом
вслед за Архимедом направлен-
ной «вперед», а противоположною часть— направленной
«назад».
Архимед выводит соотношение, эквивалентное поляр-
ному уравнению спирали: он показывает, что если Р и Q—
две точки первого витка спирали, то
OP \j АМР'
OQ~^ AMQ' ’
где 0-1 \1Р' и <^ЛМО'—соответствующие точкам Р и Q
дуги «первого круга», т. е. круга, описанного из О радиу-
сом, равным расстоянию до конца первого витка спирали
(черт. 4) Если же Р и Q—точки л-го витка спирали, то
ОР _ (n—l)c-}-sJ/ШР'
OQ ~ (n-l)c + ^AJ/Q"
(О
1дес—окружность первого круга (предложения 14—15).
Мы видим, что Архимед пользуется фактически полярпы
ми координатами, но только в геометрической форме:
каждая точка спирали характеризуется своим радиусом-
вектором ОР и дую!! (п—l)c-|-oJ UP'. При дальнейших
исследованиях Архимед применяет соотношение (1) точно
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В РАБОТАХ АРХИМЕДА 629
и с прямой Ол.
в радианной мерс.
так же, как мы применили бы соответствующее полярное
уравнение. Мы можем записать полученное им свойство
спирали так:
Pi = 21
Р-2 ?2 ’
где Oj и »2- углы, образованные
Предполагается, что они выражены
Примем для простоты, что уравнение
спирали есть
Р = ?•
Для определения касательной к
спирали Архимед устанавливает пред-
варительно два основных ее свойства:
1) если прямая касается спирали,
то она касается только в одной точке
(предложение 13);
2) касательная к спирали обра-
зует с радиусом-вектором, прове-
денным в точку касания в направле-
нии «вперед», тупой угол, а в направлении «назад»—острый
(предложения 16—17).
Заметим, что Архимед не дает определения касатель-
ной. Пз дальнейших ого рассуждений, однако, ясно, что
он понимает под касательной «опорную прямую», т. е.
прямую, имеющую с кривой общую точку и лежащую
в окрестности этой точки но одну сторону от кривой. Таким
образом, точки перегиба нс охватываются этим опре-
делением.
Первое свойство Архимед доказывает от противного.
Пусть прямая касается спирали (имеется в виду все время
только один ее виток) в двух точках Р п Q (черт. 5). Разде-
лим угол между радиусами-векторами ОР и 0Q пополам.
Пусть прямая, делящая этот угол пополам, встретит спи-
раль в точке R и прямую PQ в точке А. Тогда
0R=°^-,
т. е.
, <?Р ? + ?р Pp+Pq
pB = Н-----9--- --- •
630
И. Г. Г>А ШМАКОВА
Но OS является биссектрисой угла POQ треугольника
POQ, следовательно,
os < .
т. е. OS < ОН, значит прямая PQ пересекает спираль.
Интересно отметить, что, повторяя рассуждение Архимеда,
можно паити на прямой PQ точки, как угодно близкие
к Р пли Q п лежащие внутри сиира in. 11з этого пред-
ложения следует, что если Pi касательная к спирали
в точке Р, то расстояние ОГ = г до касательной, где пря-
мая ОТ образует угол 'р с СМ, всегда больше, чем соот-
ветствующий радиус-вектор 'j — OQ'.
Этим предложением Архимед существенно пользуется при
определении подкасательной к спирали.
Второе утверждение доказывается так (черт. 7): прежде
всего ясно, что если PC касательная к спирали в точке Р,
то ОРС (направление «вперед») не может быть острым.
Для этого достаточно провести окружность радиусом ОР
и заметить, что «вперед» от ОР она пройдет внутри спи-
рали, так как радиусы векторы спирали буду! больше
ОР, а «назад» от ОР она прой icr вне сиира in Если бы
/_ОРС был острым, то касательная PC ноги ia бы внутрь
окружности в направлении «вперед» от ОР, а значит
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В РАБОТАХ ХРХПМЕДА 631
и внутрь спирали, что невозможно. Остается показать,
что этот мол по может быть прямым, т. е. что окруж-
ность и спираль не могут иметь в точке Р общую каса-
тельно ю.
Чтобы показать, что угол ОРС не может быть прямым,
Архимед опирается па следующую гемму (и род ложе
пне о): ос.in дан круг с центром в О и к нему в точ-
ке Л проведена касательная, то через О можно прове-
сти прямую ОРР, которая встречает круг в Р и каса-
тельную в Р, так чю
РР : P0<Vj
(3)
где с- длина окружности произволь-
ного круга (чарт. 8). Обозначим РР =
ОР - ОР = Аг, О А = г, АР =
= А'5-г, тогда утверждение леммы
равносильно тому, что найдется
такое Аср, что
где с—произвольная величина. В частности, можно взять
с > г2, тогда
< I, т. е. Аг < А'5.
Лер
Неравенство (3) фактически и используется Архимедом
д in доказательства того, что ZLOPC (черт. 7) не
является прямым. Опуская доказательство леммы (оно
будет рассмотрено ниже вместе с доказательствами дру-
гих лемм Архимеда, составляющих единое целее), про
дояжпм доказательство второго свойства касательной.
Пусть ОРС прямой (черт. 7) Тогда PC является каса-
тельной к окружности. Значит на PC можно найти такую
точку С, что
CR \j PR
RO \jDLP ’
или
CRA-HO '\jPR + yjDLP ^l>i.R
RO V1)L1‘ ~\JDLP ’
632
И. Г. БАШМАКОВА
т. е.
OR < <?р ОР •
Но OR - ОР, значит мы получили бы, что СО < 0Q, что
противоречит неравенству (2), так как СО -г есть рас-
стояние до касательной, a 0Q = р—соответствующее рас-
стояние до спирали.
Заметим, что в лемме Архимеду надо показать, что
кг г
-г— при достаточно малом я может быть меньше люоого
наперед заданного отношения г—. В силу произвольно-
сти с его можно брать как угодно большим. Отсюда мы
получили бы, что1)
lim^=^ = 0.
Архимед выражает то же самое с помощью строгих нера-
венств.
Этим фактически устанавливается важнейшее свойство
касательной к окружности: вблизи точки касания при-
ращение полярного радиуса-вектора касательной PF яв-
ляется бесконечно малой высшего порядка но сравнению
с приращением дуги. Еще Евклид в «Началах» (кп. III,
предложение 1(5) показал, что касательная примыкает
к окружности ближе, чем любая другая прямая; точнее
говоря, любая другая прямая, проходящая через точку
касания М, пересечет окружность в некоторой точке N
так, что часть дуги, находящаяся между точками каса-
ния М и пересечения N, будет лежать между второй
прямой и касательной, т. с. «ближе» к касательной.
Лемма Архимеда давала оценку этой «близости» по
сравнению с малыми приращениями дуги.
*) Чвалпна в примечании к цитированному выше изданию
сочинения «О спиралях» (стр. 11) дает следующее переложение
на современный язык предложения 5:
—----1
.. cos а
11 m-------=0.
«=о “
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В РАБОТАХ АРХИМЕДА 633
§ 5. Нахождение касательной к спирали
Основная дель Архимеда — найти касательную в лю-
бой точке спирали. Для этого оп определяет величину
полярной подкасательной ОТ. Проведем касательную
в произвольной точке Р сиира in и перпендикуляр в
точке О к радиус у-вок- .
тору ОР до персссчс- /]т
пия с касательной в точ- //
ко Т (черт. 9). Пересе- / /
ченио произойдет в па- / /
правлении «назад» от Р, / /
так как х_ОРТ, ио до-
казанному, острый. Ар- \
хпмед утверждает (пред- /} \
ложсппе 20), что ОТ pan- п ----i-------/
няется длине дуги ок- /Ql \ /
ружности радиуса OP, / I /
считая от точки се не- 7 \ /
рсссчоппя с начальной X. У
линией ОЛ до точки Р -------
ОТ —уз. Черт 9.
Несомненно, что Архимед нашел это значение, рассматри-
вая бесконечно малый треугольник PRF1), образованный
касательной к спирали, дугой окружности радиуса ОР = р
и радиусом вектором OQ, близким к ОР. Этот криволи-
нейный треугольник является прямоугольным, так как
/_PRF—прямой. Криволинейный треугольник PRF будет
приблизительно подобен прямолинейному треугольнику
ОРТ, так как они оба прямоугольны и /_РТ0ъZ_ FPR.
Тогда
(1)
,jPH ОТ ' '
Но РО — р, PR = р As, FR = Аг Др, поэтому (1) можно
х) Па это обстоятельство, как мы уже говорили, указал еще
Цейтен. Хизс также считал, что Архимед ио 1ьзовался таким беско-
нечно малым треугольником.
634
И. Г. БАШМАКОВ к
переписать в виде
Др р р . ,
—V- tga, (Г)
р Д<р ОТ St ° 4 '
где St=OT—подкасательная, a — z РТО.
Соотношение (Г) является вполне общим: оно, выра-
жает тангенс угла наклона касательной по отношению
к полярной подкасательной St для любой кривой р = р(гр).
заданной в полярных координатах. Если теперь неогра
ниченно приближать Q к Р, т. о. устремить До к нулю,
то в пределе получим
1 dp р I
—-7- = -тг= tga,
р (l^ St °
пли
с __г.2
~r dp •
В частности, для спирали р = о, Др = Д<р, следовательно,
р л_р_ = = Д_ •
S't р др Р д? ? ’
так как
Др _ I
Р Д? ~ Р ’
то и в пределе
1 d? 1
р с/у — Р •
Тогда
St =р2 = р?-
То, что полярная подкасательная была найдена именно
так, видно из самого доказательства Архимеда, которое
является только более строгим изложением приведен-
ного рассуждения. Действительно, для проведения дока-
зательства Архимед рассматривает в специальных
леммах отношение приращения Дг радиуса-вектора г Л<>
некоторой прямой к хорде или отрезку касательной,
отвечающим дуге г Л©, т. е. непосредственно исследует
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В РАБОТАХ АРХИМЕДА 635
бесконечно малый треугольник PFR, заменяя только
дугу PH соответствующей .'iniiiieii синуса или тангенса.
Это делается в следующих леммах"
1) II р е д л о ж е и не 7.
Если дан круг с центром в О (чорт. 10) и в нем
проведена хорда \Р, мепыная диаметра, и если задано
любое отношение
• i /, у г . I
"Л>М<> 1 = 18а1.
то всегда можно провести прямую OF так, что
Fll :RP = a:b> РМ : МО,
где/’ —точка пересечения прямой с продолжением хорды
АР, II — точка пересечения с окружностью и PR — хорда *).
2) II ре д ложен н е 8.
Если даны кру| с центром в (черт. 11) и его
хорда \Р, меньшая диаметра, а в точке Р проведена
касательная к кругу и задано любое отношение а: Ь,
меньшее, чем Р М . МО [ = tg’а], то всегда можно провести
прямую OG, так что
FR : pG = a : 6 1 < t-g а],
Э Если обозначить — ГОИ через Да, то — MPR будет равен
— Да^ , так nai; Z РИО можно считать равным пря-
мому. Тогда Z FPR = а~р Да, а j>^ = (а-}-Да) > tga. Таким об-
разом. в лемме утверждается, что tg (а — Да) > tg а и может
принимать любое значение, большее Lga.
636
И. Г. БАШМАКОВА
где G— точка пересечения этоп прямой с касательной
в точке Р, 7? —точка се пересечения с окружностью,
a F—c хордой.
Мы опять пока опустим доказательства лемм и рас-
смотрим сначала доказательство основной теоремы, т. с.
предложения 20.
Пусть (черт. 12) ОТ > р©. Тогда
ОР ОР_
рс 0'1
ГМ
МО
tga] .
Черт. 12.
Проведем круг с центром в О и
радиусом ОР. Касательная PF спи-
рали пересечет этот кру i в напра-
влении «назад», так ыак/_ОРВ —
острый (по второму свойству каса-
тельно]! к спирали). Зададим теперь
а
отношение -т- так, что
О/» а_ ГМ ОР
р<р b ЛЮ ОТ
Так как
то можно применить предложение 7, т. е. можно прове-
сти такую прямую OF, что
FB _ а_ ОР
ИР ~ b < р? '
Тогда
FK ВР \Jj B
ОР р¥ pv ¥
или
FB+OP у + Д<р
ОР <? <fp ’
,т. с.
OF У® _-°Q
Р ~ Р ’
ДНФФЕРЕ1ЩП Х.ЛЫ1ЫЕ МЕТОДЫ В РАБОТАХ АРХИМЕДА С>37
Тогда
ОР г
но последнее неравенство означает, что 1\ — Ог <C'(/ = pi,
что невозможно вследствие первого свойства касательной
к спирали (см. неравенство (2) § 4).
Пусть теперь ОТ <
ОР
Р¥
Проведем касательно ю
\ иГ l vo j •
PL к окружности с центром в 6
единицы (Архимед
Вычитая обо части неравенства из
делает это, чтобы но рассматривать отрицательных при-
ращений), получаем.
OP—R'P’ <р—Д? PQ'
ОР
¥ Р
или
О/р
PQ
т. е.
г2 = О Г < = р2,
что опять-таки противоречит первому свойству касатель-
ной к спирали.
Мы видим, что ничего «неестественного» и «неожидан-
ного» в доказательство Архимеда пет. Наоборот, оно
638
И. I'. ВАНШДКОВА
чрезвычайно прозрачно и ясно. При этом бесконечно малый
полярный треугольник выступает вполне отчетливо.
Как видно пз приведенного доказательства, Архимед
опирается на следующие факты (чорт. 14).
1) (ля любою угла 6 о расстояние до касательной
к спирали 7’ф больше, чем расстояние до самой спирали рф:
При этом, если Ф > то имеем:
Гф = рД-Дг; рф = р -|- До,
р — радиус-вектор, отвечающий
углу о. Значит при О > ср
Аг > Др. (2)
Ес иг же 6 < о, то
Гф = р — > рф - р — Др,
т. е.
Аг < Др.
2) Отношение
Р
при малых у глах До ста-
новится как угодно близ
ким к отношению
Р Р 1 1 ,
-с- — — =— — —= 1 су а
от Р? ? р
Это устанавливалось при помощи сравнения бесконечно
малого треугольника с катетами А/’ Др и р До и конеч-
ного треугольника с катетами р и ОТ. Для строгого
обоснования равенства ОТ = гл Архимед показывал, что,
каково бы пи было отношение а : b ф tga> всегда находится
л Аг
такой угол До, что —— меньше отличается or tn а, чем
J ‘ рА<Р Ь
отношение а : Ъ, т. е. если а : b > 1g а, то
1 Аг
а: Ь>- — > tga.
рА?
а если а : b < tg а, то
. Дг
т : b < ——
' • Р А?

дифф к pi: инн \.1ып>1 е методы в работах Архимеда 639
Пользуясь 1) л 2), Архимед без труда доказывает,
что ОТ = ps пли что
, Р 1 1
Р? ¥ Р
Действительно, если 0'1 > р«, т. е. tga< —, то можно
О р
начти такое положительное До, что
Дг 1
8 7 р А<р < 7 ’
но тогда
Д/- < Д? = ДР,
что противоречит (2). Аналогично опровергается и пред
положение ОТ < ръ.
Таким образом, все доказательство Архимеда основы-
вается на рассмотрении бесконечно малого характеристи-
ческого треугольника, с по-
мощью которого оп и нашел
подкасательную в любой точке
спирали.
Обратимся теперь к рекон-
струкция Чвалпиа. Чвалпиа рас-
сматривает (черт. 15) две близ-
кие точки Р п Q спирали с
начальной точкой О и приводит
окружность радиусом р = ОР,
которая пересечет радиус-век-
тор OQ в точке R и полярную
ось 00' в точке D. Тогда па
основании самого опре-
деления спирали имеем
\J PH \J DP
Q1P~ OP ‘
llo PR является приращением дуги DP = pq, где
ф — /_POD, a QR приращением полярного радиуса-век-
тора р, т. е.
xj PH р Дер_р'р_
~qh" р' = ?‘
Если теперь стремить точку Q к Р, то в пределе будем
иметь
(I ср
pv
640
И. Г ЬАШМ \ков \
□то п есть угол, который образует радиус-вектор р = ОР
с касательной к спирали в точке Р. Отсюда полярная
подкасательная к спирали St равна pz>, что и является
основным результатом Архимеда. Чвалппа полагает, что
именно таким способом Архимед нашел касательную
к сиира пт «Это дифференциальное рассмотрение, — заклю-
чает Чвалппа, — Архимед стремится заменить и обойти
п ос родством с лож пых и редл ожеп nil 5 — 9 »1).
Математически корректная реконструкции Чвалппа
страдает только одним существенным недостатком—она не
подтверждается текстом Архимеда. Согласно этой рекон-
струкции подготовительные леммы служат для «замены и
обхода» пути, который намечает Чвалппа. В действительно-
сти, так называемый «обходный путь» Архимеда состоит
просто в рассмотрении бесконечно ма юго характеристиче-
ского треугольника и в сравнении его с конечным, т. с. это
путь, которым шли математики XVII века, которому
следуют и теперь при решении задач па касательные.
Строгое изложение определения касательной этим путем
и дано в леммах и основной теореме Архимеда: оно бы.и
только более совершенным логическим оформлением спо-
соба нахождения касательной из характеристического
треугольника.
Нам остается рассмотрен., как доказывал Архимед
свои основные леммы (предложения 5 — 9).
§ 6. Основные леммы в сочинениях
«О спиралях»
Наибольшее число нападок историков математики отно-
сится именно к основным .леммам, т. е. предложениям
5 — 9, предпосланным непосредственному исследованию
спирали и ее касательных (т. е. предложениям 12 — 20).
Мы говорили, что еще Панн (III век и. э.) упрекнул
Архимеда в том, что он применил для их доказаюльства
слишком громоздкие сродства. Хизс в своей «Истории
греческой математики» (19_1) посвятил сочинению «О спи-
ралях» специальное дополнение, в котором оп и излагает
Ч Ч в а л и н а, цитированное выше издание Архимеда, стр. 62.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И РАБОТАХ АРХИМЕД \ 641
свое, как ему кажется, более простое доказательство
основного свойства подкасательной к спирали. При этом
он отмечает одни очень интересный факт, а именно, что
Архимед при своем доказательстве пользуется лишь пред-
ложениями 7 и 8 и совсем ио использует пред уже-
ний 6 и 9. Хизс, наоборот, строит свое доказательство
как раз па предложениях 6
и 9, которые он к тому же
по-новому обосновывает.
Сейчас мы более подробно
остановимся па леммах Ар-
химеда, поставив себе целью
выяснить вопросы: 1) зачем
Архимед включает в сочине-
ние «О спиралях» предложе-
ния 6 и 9, которыми ои даль-
ше по пользуется; 2) почему
Архимед по мог следовать пу-
ти доказательства, предлагаемому Хизсом. Начнем с пред-
ложения 5, формулировку которого мы дали в § 4.
Доказывается лемма следующим образом. Пусть дан
круг с центром в О и к нему проведена касательная
в точке А (черт. 16). Надо показать, что можно провести
прямую OPF так, чтобы
Ь Р'.ОР АР-.с,
(1)
где с —произвольная окружность.
Возьмем отрезок D > с. Проведем ОН AF и сделаем
«вставку», т. е. найдем прямую, проходящую через А
и такую, что се отрезок, заключенный между окружностью
и прямой ОН, равен D. Пусть это будет прямая АН,
которая пересечет окружность в Р (т. с. PH — D). Тогда
прямая OPF будет искомой. Действительно, Л APF
подобен Л ОРН, откуда
FP : 0Р = АР : РН = АР : D = >J АР : с.
Этим лемма доказана. Мы говорили уже, что она
эквивалентна установлению того, что приращение поляр-
ного радпуса-всктора касательной к окружности Xr = FP
Историко-матем. исследования
642
И Г. ВА11Ц1АКОНА
является бесконечно малой высшего порядка по сравне-
нию с приращением угла
Построение «вставки», нужной для доказательства
леммы, можно осуществить с помощью конических сече-
ний. Обозначим / _Ю/ через я и примем г = 1. Тогда
OF — scca, АО = sec 0° — 1, ^АР = т., и неравенство (1)
перепишется в виде
sec я — 1
(Г)
с ’
причем левая часть может принять любое значение,
меньшее правом части. Перепишем (Г) в виде
sec а < 1 4— .
с
С другой стороны, seca>l. Таким образом, лемма пока-
зывает, что радиус-вектор (sec я) всегда ^AO = i и при
малых а как угодно близко под-
ходит к AO—i. Каково бы ни
д f м /тЧу /? было с, найдется такой угол a
/ что
I s' sec a < 1 4- — .
I оIt н
\ J Перейдем к предложению 6,
х. гласящему: если дан круг
(чорт. 17) с цен гром в О и его
Черт. 17. хорда АВ, меньшая, чем диа-
метр, на которую из О опущен
перпендикуляр ОМ, и если задано любое отношение а : Ь <
< ВМ : МО [ = tga], то всегда можно провести прямую
OFP такую, что
FP:PB = a:b[<iga].
Таким образом, в лемме утверждается, что FP: РВ может
принять любое значение, меньшее tga. Мы помним, что
Динострат в аналогичной ситуации, когда ему нужно
было показать, что
р— .
г Sin <f>
Л11ФФЕРЕШШ Ч.1Ы1ЫЕ МЕТОДЫ В РКВОТАХ АРХИМЕДА 64.';
принимает между двумя своими значениями любое про-
межуточное, прибегал к непрерывности квадратрисы.
Архимед нс прибегает к наглядно очевидному факту
непрерывности отношения FP : РВ, равного г : PH, где PH
возрастает при движении точки Р от В к А. Он и эту
лемму доказывает с помощью вставки, т е. опирается
на непрерывность конических сечении, доказанную еще
Меиехмом.
Доказательство Архимеда состоит в следующем. Про-
ведем ВТ | ОВ; тогда
ВМ
МО
ОВ , м ,
НТ L а1 •
Так как заданное отношение а : b > ВМ : МО, то а:Ь>
> ОВ : ВТ. Выбираем отрезок с так, чтобы а : b = ОВ : с,
и делаем «вставку»: находим прямую, проходящую
через В, отрезок которой, заключенный между точкой се
пересечения с окружностью Р и прямой ОН, параллель-
ной АВ, равнялся бы с Точка Р нс совпадает с В, так
как с = РН>ВТ. Прямая ОР и будет искомой. Действи-
тельно, [\FPB подобен Л ОРН, следовательно,
FP : РВ = ОР ; PH = ОВ-.с = а;Ь.
«Вставка», необходимая при этом доказательстве, опять
таки может быть осуществлена с помощью конических
сечении
Хизс в своей трактовке этой же леммы рассматривает
отношение
FPРВ = ОР; PH —г; PH.
Так как г постоянно, а PH при движении точки Р от
конца хорды В к концу А по окружности круга возрастает,
то отношение FP: РВ будет непрерывно убывать, оста-
ваясь все время меньшим, чем г: ВТ. Таким образом,
Хизс оперирует наглядной очевидностью непрерывного
убывания отношения г'.PH при возрастании PH от ВТ
до бесконечности. При атом, однако, нужно еще доказать,
что отношение г: PH может принять все значения, мень-
шие г: ВТ. Хизс не учитывает, что общее предложение
о jqm, что непрерывная ве шчнпа межд\ двумя своими
41*
64't
И. Г. ВАШИ ХКОВА
значениям» принимает все промежуточные, было доказано
только в XIX веке. Он нс учитывает также, что древние
не имели математически точного определения непрерыв-
ности. Между тем, доказательство Архимеда для данного
конкретного случая является вполне строгим: оно опи-
вается (черт 18), что
рается только па ужо доказан-
ные теоремы. Архимед устанав-
ливает, что FP : РВ принимает
все значения, меньшие, чем
г : ВТ [ = tg а ], чего нельзя не-
посредственно извлечь пз дока-
зательства Хпзса. Лот почему
Архимед и не смог бы с ним
согласиться.
Предложение 7 дополняет
предложение 6. В ном доказы-
еслп задано любое отношение
а : b > ВМ : МО [ = tg а], то всегда можно провести прямую
OF так, чтобы
FP;PB = a:b>[tga].
6 и 7 на язык
рассматривается
Для ею доказательства также применяется вставка.
Переведем результаты предложений
современной символики. В обеих леммах
некоторая прямая АВ и точка (по-
люс) О (черт. 19). Обозначим рас-
стояние от точки О до прямой АВ,
т. е. ОМ через р. Тогда полярным
уравнением прямой АВ будет
г = р sec 7,
1дс 7 — уюл, составляемый г с ОМ.
Обозначим / ВОМ = а. В предло-
жении 6 Архимед рассматривает
радиусы-векторы OFY, проходящие
внутри угла ВОМ, в предложе-
нии 7 — радиусы векторы OF, расположенные вне этого
угла. Будем обозначать абсолютные величины углов, ко-
торые образ) ют эти радиусы-векторы с прямой ОВ,
через Да; РТ и Т {РХ будут соответствующие этим углам
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В РАБОТАХ АРХИМЕДА 645
приращения радиуса-вектора г — psec а = ОВ:
PF = OF — OP = р sec (а 4- Да) — р sec а =
= р [sec (а Да) — sec а],
— ^‘1 = Р рес а - Р рос (а — ^а) ==
= р [sec а — sec (а — Да)].
Хорды ВР и BPY будут равны 2(7^ sin = 2/? sec а sin у ;
тогда оба предложения G и 7 дадут:
see a —see (а —Да) , sec (а + Да) - sec а
„ . Да о . Да ’ k '
sec а 2 sin — sec а 2 sin —
причем левая часть неравенства при соответствующих Да
может принимать все значения, меньшие tga (каково бы
ни было a’b< tga, существует такой мол Да, что левая
часть будет в точности равна а : Ь), а правая часть — все
значения, большие tga. Мы записали бы сейчас соот-
ношение (2) в более привычном для нас виде3):
sec a- sec (a — Да) _ , _ sec (a4-Да) — sec a
------------------- tg a sec a <----------------------
° • Да
2 sin —
п • Да
2sin —
Итак, Архимед фактически приближает отношение
ВМ : МО = tga с обеих сторон отношениями приращения
Да
радиуса-вектора Дг к хорде 2r sin— дуги г Да. Архимед
О Чвалппа даст следующую интерпретацию предложения 7:
если обозначить Z ВМО — а, io РЕ = г --Оь а _ | ) Гд0 _ FU\I =х,
\COSX J
a — х _
а Вг='2.гsin —— , то в предложении / утверждается, что когда
cos а ।
„ к cos х
х пробегает значения от а до — — а, то выражение-------------про-
— п • ~ ®
“Й1П 2
бегает все значения от tga до со (см. сноску на стр. 14 цитиро-
ванного ранее сочинения Чвалппа «О спиралях»). Нам кажется
что такая форма мепее удобна для выяснения связи предложен нн
Архимеда с современными.
64G
II. Г. БХШМАКоВЛ
нс может прямо взять нужное ему отношение —, так
как первым членом его является отрезок прямой,
а вторым — дуга круга, спрямление которой еще нс про-
ведено. Ведь само определение касательной как раз
и должно служить для нахождения отрезка, равного
по длине окружности. Поэтому-то Архимед и берет вместо
дуги г Да хорду 2rsin:^t. При этом оп, вероятно, ру ко-
да - I
водствовался тем, что отношение ----> 1 и при малых
2sin^
Да как угодно мало отличается от единицы. С нашей
точки зрения Архимед просто заменяет одну бесконечно
малую :iругой, ей эквивалентной.
В предложениях 8 — 9 рассматриваются уже отношения
Дг
-- , т. е. приращения радиуса-вектора прямой к линии
тангенса, соответствующей этому приращению дуги г Да.
В предложении 8 (черт. 20) доказывается, что каково
бы пи было отношение а : b < ВМ : МО [ = tg а], всегда
можно провести такую прямую OFPL, что
В предложении 9 (черт. 21) рассматриваются прямые,
проведенные1 вне угла МОВ, т. е. рассматриваются поло-
жительные приращения Да. Показывается что, каково
Д1ТФФ1- РЕПИНА. 1Ы1ЫЕ МЕТОДЫ В РЛГ.ОТАХ АРХИМЕДА 647
бы ни было « : 6 >/М/: .1/0 [ = tga], можно всегда про-
вести такую прямую OP > LF, что
FP.BL = a:b.
Оба предложения, как и предыдущие, Архимед дока-
зывает, применяя «вставки», которые могут быть построены
с помощью конических сечении. 13 современных обозна-
чениях предложения 8 и 9 можно записать так:
sec а — sec (а— Да) ttr а <Г SPc scc g /34
РОС а tg Да sec a tg Да ' '
При этом правая часть принимает любое большее,
а левая —любое меньшее, чем tga, значение1).
Оба неравенства (2) и (3) вместе дают картину иовсде-
.. Дг
ния и самого отношения приращении — ; действительно,

(5)
. Дг
А это и значит, что —
’ Да
rtga = sec a tga.
как уi одно мало отличается
от
*) Предложению 8 Чва шна придает следующий вид: если
снова обозначить ^ВОМ—а, а — РОМ — х, то PF=r— ?C0S а ,
COS X
LB —г tg (a — г) и, когда х принимает нее значения от а до — a,
t COS a
cosx
выражение ------— принимает все значения от tga до пуля.
Аналогичного перевода предложений 6 и 9 па современный
язык Чвалпиа по дает.
G'iS
И. Г БАШМАКОВА
Теперь мы можем ответить и на вопрос о том, зачем
Архимед включил в сочинение «О спиралях» предложе-
ния 6 и 9. Мы видели, что для доказательства основной
теоремы о касательной к спирали эти предложения дей-
ствительно не нужны, — для этого достаточно предло-
жения 7 и 8, что соответствует правой части неравенства (2)
и левой части неравенства (3). Ми видели также, что
только все четыре предложения 6 — 9 вместе позволяют
Аг
полностью охарактеризовать поведение отношения ,
когда Азе приближается с обеих сторон к нулю. А именно,
они показывают, что общим пределом этих отношений
будет г tg зс = sec a tg зс. Этому результату Архимед при-
давал самостоятельное значение—вот почему он включил
предложения 6 и 9 в сочинение «О спиралях», хотя они
и не находят там непосредственного применения.
Очевидно, что результат Архимеда, содержащийся
в предложениях 6 — 9, эквивалентен определению про-
изводной г = sec а по а:
dr d (see а) ,. Ar
-j- = —Ц—- = lim -V- = r tg а = sec a tg а.
Да-0 Ь 6
§ 7. Экстремальные задачи у Архимеда
В сочинении «О шаре и цилиндре» (кн. II, предложе-
ние 4) Архимед ставит задачу о разбиении шара па такие
два сегмента и г2, объемы которых имели бы заданное
отношение т:п. Он показывает, что высота большего
сегмента х должна удовлетворять пропорции
4а2: .т2 = (За — х\: ———а, (1)
4 ' т р п ' '
где а —радиус шара. Архимед обобщает задачу: разделить
отрезок а на такие две части х и а — .г, чтобы
S : х- = (а — х): с, (2)
где с — заданный отрезок, а 5 — заданная площадь. Но
в таком общем виде задача требует дпоризма, т. е. огра-
ничительного условия, наложенного на S и с, для того
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ Н РАБОТАХ АРХИМЕДА 649
чтобы пропорция (2) могла иметь действительные положи-
тельные решения. Архимед отмечает это, но откладывает
анализ и синтез задачи до конца книги. Решение Архи-
меда было, однако, вскоре утеряно. По крайней мере,
математики Диокл (около 100 г до и. э.) и Дпониспдор
уже не могли восстановить сто. Оба геометра предложили
свои довольно громоздкие решения задачи (1); исследова-
ние общего случая (2) ни одни из них не провел. Только
много позже, в \ I воке и. э., комментатору Архимеда
Евтокшо удалось найти древнюю рукопись, в которой
содержалось утраченное решение1). Евдокий отмечает, что
эта рукопись была написана на том же дорийском наречии,
па котором обычно писал Архимед. Но и без этого—льва
можно было бы узнать но его когтям.
В переданном Евтокием отрывке из Архимеда для
решения задачи (2) рассматриваются конические сечения:
парабола
//=—, где S = pb, (3)
и гипербола
у =2^ ’ W
Обе кривые сразу же получаются из пропорции (2).
Разумеется, Архимед записывает и исследует их с помощью
геометрической алгебры. Он рассматривает обе кривые
только па участке так как в задаче требуется
разделить на две части именно отрезок длины а. Ясно,
что по при любых а, с и S решение будет существовать.
Для исследования условий возможности решения задачи
Архимед переходит от пропорции (2) к кубическому
уравнению
а2 (а — а?) — cS — cbp, (5)
которое оп записывает как условие равенства для двух
пара ьлелепппедов. Для возможности решения задачи
J) Автор приносит глубокую благодарность II. 11. Веселовскому,
любезно предоставившему ему перевод соответствующего места
из Евтокия.
G50
IT. Г. BAIHMAKOBA
необходимо, чтобы правая часть не превосходила макаь
малыюго значения, которое может принять х2(а — х).
конечно, при положительных 0 < х < а.
Архимед утверждает,
2
пума при х = -^-а. В дошедшем до нас
говорится о том, как было найдено это значение. Однако
из приводимого Архимедом доказательства можно извлечь
что .г2 (а —ж) достигает макси-
тексте ничего не
Черт. 22.
случаи cS = ^a3. Т<
и его метод нахождения экстре-
мумов.
Так как максимум х2(а—
ч 4 о 1 4 „
—х) — ~а---7г-а = я3, то ясно,
J о Z- /
что при cS > а3 у равнение
(5) не имеет положительных
решений. Если с5<^п3, то,
как показывает Архимед, ре-
шение всегда имеется и мо-
жет быть найдено как точка
пересечения кривых (3) и (4)
(черт. 22). Наконец, он иссле-
9
огда х=^~а является решением
дует
задачи. Значит, кривые (3) и (4) пересекаются в точке
9
Р с абсциссой а. Архимед проводит касательную к
параболе (3) в точке Р. Тогда но известному свой-
ству касательной к параболе OD = PQ (см. черт. 22).
2
Но ОА = а. OQ — — a и &OBJ)= &BPQ, следовательно,
и
ОВ=. BQ = ^a = QA. С другой стороны, пз подобия тре-
угольников &СВА и &PQB вытекает, что ^ = ^-,
т. е. ВС = 2РВ, РВ = РС, значит касательная РВ к пара-
боле (3) является одновременно и касательной к гипер-
боле (4) (в силу того что точка пересечения прямой PC
с гиперболой делит отрезок этой прямой, заключенный
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ II ГАВОТАХ ЧРХИМЕДЛ 651
между асимптотами, пополам). Итак, кривые (3) и (4)
имеют в этом слу час* точку касания (а следовательно,
уравнение (5) —кратный корень).
После этого Архимед доказывает лемму о том, что
при х = -^а выражение .г2 (а—.г) действительно имеет ма-
ксимум Ход его рассуждения следующий (черт. 23): пусть
2
отрезок ОА = а‘, возьмем точку : левее Q = ~a, г е.
О < с < “с/, п восставим из ; пер-
пендикуляр до пересечения с ги-
перболой
в точке 1/. Проведем через М пря-
мую МН, параллельную О А, и про-
должим ее до встречи в точке /V
с параболой ру — .г2. Тогда орди-
Ьс
нага гииероолы тп/=——в точке
М равна по построению ординате
Ъс
Черт. 23.
параболы в точке А:
•^=4.4 = -^ = — .
откуда .?;2-- ——. По абсцисса .г = НА параболы будет
больше* абсциссы ; •— МН гиперболы, поэтому
pbc
а— 4
т. е.
Е2 (а —;) < pbc = = а3.
Аналогично доказывается, что с(а —£) будет <^а3,
если? будет лежать вправо от точки Q = -^a. При дока-
зательстве Архимед существенно опирается на то, что
вблизи точки касания одна из кривых (гипербола) ле-
жит по одну и ту же сторону от другой (параболы),
652
И. Г. БАШМАКОВА
нлп одна из кривых (парабола) проходит между другой
(гиперболой) и их общей касательной. Рассуждение Архи-
меда может быть дословно повторено для любых кривых
0
у = —^ п У = f (х), если точка касания Р не является
пп для одной из них и точкой перегиба.
Попытаемся восстановить, каким способом Архимед
нашел максимум г-(а— .г). Пусть нужно наити максимум
произведения /(.г) g(x) п пусть максимум, равный С, до
стпгается при х = х0. Для определения х0 рассматриваются
кривые y = f(r) и = ГДС g (.г0) / (.г0) = С, которые,
разумеется, предполагаются имеющими в каждой точке
касательную. Тогда можно показать, что если обе кри-
вые пересекаются (по по касаются) в точке Р (z0, ?/0), то
выражение z — /(.z)g(a) не может иметь максимума
при X — Xq.
Действительно, если Р — точка пересечения обеих кри-
вых, то с одной се стороны одна из кривых проходит
выше другой, а с другой — вторая выше первой, т. о. если
при х < .т0 (и достаточно близких к т0) /(т)
/(я)#(я)<С, то при х>х0
С
< -г-?, а значит
g(x)
и f(x)g(x)>C
Следовательно, если Р — точка пересечения кривых, то
соответствующее си значение С не может быть максимумом.
Таким образом, Архимед мог получить необходимое усло-
вие для существования максимума.
В конкретном случае, чтобы найти экстремум х~(а — х\
он воспользовался для нахождения точки xQ, в которой
достигается этот максимум, известными уже свойствами
касательных к параболе и гиперболе. Ход рассуждений
должен был быть обратный тому, который приводится
у Архимеда для доказательства, что при С— cS = -^a3
кривые (3) и (4) касаются в точке Р с абсциссой х—-^а
А именно (черт. 24): пусть кривые (3) и (4) в точке Р
имеют общую касательную. Тогда по свойству касатель-
ной к параболе OD—PQ, следовательно, OB = BQ, а по
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В РАБОТЧХ ХРХИМЕДЛ 653
свойству касательной к гиперболе РВ — PC, т. е. BQ — QA.
Значит
OB = BQ = QA^--ia п ,r = OQ = ^a.
Именно таким образом рассуждение Архимеда и воспро-
изводится в книге Цейтеиа «История математики в древно-
сти и в средние века». Однако Цейтен считает, что Архи-
мед рассматривал точку касания
областью и вменения параметров
с и S, для которых существует
положительное действительное
значение, и областью, для кото-
рой таких решении нет, т. е.
соответствующие парабола п ги-
пербола над прямой О А по пе-
ресекаются. Нам кажется, что
такое рассуждение не показы-
вает еще достаточно ясно, поче-
му точка касания кривых (3)
и (4) является одновременно и
точкой максимума выражения
.с2 (а —.г). Приведенное нами вы-
ше доказательство того, что ка-
как граничную между
саиие обеих кривых является необходимым условием для
максимума, нам кажется и проще и яснее.
Для того чтобы установить связь метода Архимеда
с современными методами, запишем рассуждения Архимеда
аналитически. Так как при х = з0 кривые пересекаются, то
/WsW-c.
Но в этой точке они имеют общую касательную, т. о.
/'(Ms2W + Q'Oo) = o.
Но С = / (т0) g (.г0), поэтому
/' W О2 (;Го) +- / W 8 W / Ы = О
654
И. Г. БАШМАКОВА
It
Г W 8 (Л>) + / (го) 8' М = 0.
Таким образом, прием Архимеда эквивалентен нахожде-
нию необходимого условия для существования экстремума
произведения двух функции О щако для возможности
его применения надо наложить дополнительное условие
Архимед показывает (см. начало этого параграфа),
что для рассматриваемого им случая условие существо-
вания общей касательной является и достаточным. Дока-
зательство Архимеда годится всегда, если точка касания
С
кривых у = / (л) и у = ——- нс является одновременно точ-
кои перегиоа пи для одной из них. При этом достаточно
рассмотреть точки Ё, .лежащие вблизи абсциссы точки
касания .т, т. е. рассуждение Архимеда является по
существу локальным.
§ 8. Заключение
Итак, мы видели, что наряду с методами определения
площадей и объемов, равносильными интегрированию,
в древности существовали методы определсипя экстрему-
мов и нахождения касательных к кривым, равносильные
дифференцированию. При этом в обоих случях применя-
лись элементы теории пределов. Архимед в своих работах
существенно развил оба метода' оп впервые ввел в рас-
смотрение верхние и нижние интегральные суммы, причем
площадь или объем находились фактически как общий
предел этих сумм, и он же вве i в рассмотрение отноше-
ния приращении ,
непрерывно приближающихся к неко-
торому постоянному отношению а : Ь (которое получило впо-
следствии название производной).
Исследуя свойства полярной подкасательной к спирали,
Архимед дал общий метод опреде юння касательных к кри-
вым. Метод заключался в рассмотрении бесконечно малого
треугольника, образованного приращением полярного рали-
уса-вектора касательной Дг отрезком касательной и соот-
ветствующим отрезком дуги г Др, и в сравнении его с ко
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫ Е МЕТОДЫ В РАБОТАХ АРХИМЕДА 655
ночным треугольником, образованным радиусом-вектором р,
подкасательной St, проведенной перпендикулярно к р,
и отрезком касательной от точки пересечения с подкасатель-
ной до точки касания. Архимед показал в своих леммах,
что отношение катетов бесконечно малого полярного тре-
Дг .
угольника -г- при малых Д'5 как угодно мало отличается
* г Дер 1 1
от отношения соответствующих катетов конечного треуголь-
ника -£- = lga. Короче говоря. Архимед установил, что
оба эти треугольника можно рассматривать как подобные.
Рассуждения Архимеда вполне общие: метод, основанный
на сравнении бесконечно малого полярного треугольника
с соответствующим конечным, примененный Архимедом
к спирали, может служить-основой для определения ка-
сательной к любой (разумеется, дифференцируемой) кри-
вой, заданной в полярных координатах р = р(?)-
Предположения, найденные Архимедом, эквивалентны
следующим:
1) £=[tga]-= lim X Г
д?-»0га? L р
2) в частности, для спирали
. р 1. Дг 1
tg а = -?-= = — »
° St Д<р р
р = Ф, =
для окружности р = с
f- = tga=lim .
3) отношения приращений
РСс(1-рДа) — sec а sec а — sec (а — Да)
Аг 0;
Да
Да
как угодно близко приближают с обеих сторон tga^eca,
иначе говоря,
,. sec. (а4-Да) — sec а г , ,
lim — .-------= [sec al = tg a sec а.
Все эти результаты были доказаны вполне строго
с помощью элементов теории пределов, основанной па
65В
И. Г. В A HIM VKOBA
теории отношений Евдокса (аналогично тому, как современ-
ная теория пределов базируется па теории действитель-
ных чисел).
Далее Архимед нашел общий прием для сведения за-
дач на экстремумы к задачам на касательные. Он уста-
новил, что значение аргумента, дающее максимум, равный
С, выражению / (.т)^(.т), необходимо является той точкой,
в которой кривые y — f (.г)
сательпую. Если эта точка
С
S(-r)
имеют
общую
ка-
пе является одновременно и
точкой перегиба ни для одной из кривых, то условие и до-
статочно. Поскольку Архимед обладал общим методом
нахождения касательных, он мог, таким образом, решать
очень широкий класс задач на экстремумы.
Наконец, в древности было выделено (и сформулирова-
но) важнейшее свойство непрерывных величин, а имен-
и
но то, что они между двумя своими значениями прини-
мают все промежуточные. Это свойство сначала устанав-
ливалось из графика кривой пли из ее кинематического
определения (Дииострат), затем оно доказывалось, исходя
из непрерывности прямой, окружности и конических сече-
ний (Архимед).
Огромное значение Архимеда для развития интегра-
ционных методов в XVI—XVII вв. общеизвестно. Гораздо
менее изучен вопрос о топ роли, которую сыграли труды
Архимеда в разработке дифференциального исчисления.
Между тем, несомненно, что сочинение «О спиралях»
сыграло здесь фундаментальную роль. Внимание на пего
обратил еще Виет*). Кавальери приложил свой метод
неделимых к квадратуре витка спирали Архимеда. Тори-
челли предпринял в ряде своих работ всестороннее иссле-
дование как спирали Архимеда и ее обобщений, так и ло-
гарифмической спирали. В частности, он рассмотрел во-
прос о проведении касательных к спиралям * 2) и дал доказа-
тельство основного свойства касательной (предложение 18
х) См. Heath Th. L , A history of Greek mathematics, стр. 556.
К сожалению, мы не имели возможности познакомиться с самим со-
чинением Виета.
2) Т о г г i с е 1 i i Е., Ореге edite da G. Loria e G. Vassura,
T. 2, Фаэнца, 1919.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В РАБОТкХ кРХПМЕДк 657
о свойствеТюлярной подкасательной в конце первого витка
спирали), пользуясь методом сложения скоростей шиже-
ния точки, описывающей спираль: скорости вдоль радиу-
са-вектора и скорости криволинейного движения, напра-
вленной по касательной к соответствующей окружности.
Весьма вероятно, что и самый кинематический метод опре-
деления касательной Торичелли-Роберваля, который осно-
вывался па сложении составляющих скоростей движения
точки, описывающей кривую, был разработан обоими гео-
метрами на основе изучения приемов Архимеда.
В 1643 г. Роберваль свел задачу об определении дли-
ны дуги спирали Архимеда к задаче о спрямлении дуги
параболы. Паскаль в 1638 г. в сочинении «Равенство спи-
ральной и параболической линий»1) произвел это сведение
строгим методом с помощью вписанных и описанных около
дуг обеих кривых фигур. Переписку по этому вопросу
с Паскалем вел Ферма, произведший спрямление спиралей
высших порядков (рп —«ср; р = «ср’'). При этом Паскаль
и Ферма прямо пользовались свойствами касательной
к спира in, установленными Архимедом. Наконец, со-
чинение Архимеда «О спиралях», как и другие его труды,
явилось предметом специального изучения и Барроу,
который в 167э г. опубликовал повое издание сочинений
Архимеда, где он излагал доказательства Архимеда на
языке математики своего времени. Аналогичное переложе-
ние ряда трудов Архимеда Барроу давал еще раньше
в своих лекциях в Кембриджском университете, а специ-
ально задачу о касательной к спирали он разобрал в «Гео-
метрических лекциях» 1670 г.
Ясно, что Барроу делал это пс столько с целью чисто
исторического исследования, сколько для того, чтобы луч-
ше изучить приемы Архимеда и установить их связь
з методами бесконечно малых.
Таким образом, спираль Архимеда явилась предметом
исследования наиболее выдающихся математиков XVI—
K.VII вв., которые пробовали на ней новые методы и при-
нты. Все эти ученые досконально знали работу Архимеда
*) Oeuvres completes de В. Pascal, т. 2, Париж, 1858, стр. 622
t след.
2 Исторпко-матсw. исследования
65$
II. Г. БАШМАКОВА
«О спиралях» и стремились овладеть его методами. Разу-
меется, они ие могли при этом нс обратить внимания на
сразу бросающийся в глаза в предложениях 18—20
и 6—9 характеристический треугольник и па его подобие
с треугольником, образованным радиусом-вектором, каса-
тельной и полярной по (.касательной к спирали. Особенно
это о [носится к Паскалю и Барроу, которые впервые
в XVII веке явно ввели в математику бесконечно малый
характеристический треугольник: первый—в своих рабо-
тах по интегрированию, а второй— при решении задач
на проведение касательных и при доказательстве взаимно
обратной зависимости между задачами на квадратуры
и на касательные. Было бы чрезвычайно интересно в этой
связи привлечь упомянутое издание трудов Архимеда,
сделанное Барроу, особенно его переложение сочинения
«О спиралях». К сожалению, этого издания мы пока разы-
скать нс могли. Ио и независимо от этого очевидно, что
архимедов метод проведения касательной к спирали сы-
грал серьезнейшую роль в развитии приемов дифферен-
циального исчисления. Достаточно сказать, что бесконеч-
но малый характеристический треугольник явился отправ-
ным пунктом для создания дифференциального исчисле-
ния, как об этом свидетельствует первый печатный мемуар
Лейбница.
Математики XVIL века и сами прекрасно понимали
значение трудов Архимеда для создания методов бесконеч-
но малых и видели в Архимеде своего гениального пред-
шественника. Создатель дифференциального и интеграль-
ного исчисления Лейбниц писал: «Внимательно читая
сочинения Архимеда, перестаешь удивляться всем новей-
шим открытиям геометров».
«НАЧАЛА» ЕВКЛИДА ПО ДРЕВНЕ АРМЯНСКИМ
ИСТОЧНИКАМ1)
Т. Г. Ту маньяк
Перевод «Начал» Евклида в Армении был предпринят
не позже половины X I века. В настоящее время имеется
лишь небольшой отрывок перевода. Остается открытым
вопрос о том, существовал ли полный перевод «Начал».
Есть разно] гасия в вопросе о личности переводчика и дате
перевода. Дошедший до нас отрывок перевода имеется
в нескольких списках, которые хранятся:
1) в Ереване—в Государственном Хранилище (Матеиа-
дарапе) древних рукописен! и книг при Совете Министров
Армянской (. ( Р (рукопись 416b XIН века);
2) в Тюбингене1 -в университетской библиотеке (сой.
arm. № 74);
3) в Венеции—в библиотеке1 армянского монастыря
М хита ристо в;
4) в Павии—в университетской библиотеке (fondo
Alelini № 178)2).
В последней рукописи утеряй первый лист перевода,
и текст начинается с определения прямолинейных фигур.
Отрывок армянского перевода «Начал» печатался в раз-
нос время—целиком и частично—в нескольких изданиях:
1) В «Новом словаре армянскою языка» (А в е т и-
к я и Г., С ю р м е л я н X. и А в г е р я и М., Венеция,
J) \нтор статьи выражает глубокую благодарностьироф. М. Я
Выгодскому за ценные указания.
-) Сведения о последних трех рукописях взяты из статьи II. Аки-
нина в армянском журнале «Андес Амсоря», 1937, А« 6—8, Вена.
AGO
Т. Г. ТУМ кНЬЯН
т. 1—2, 1836—1837 гг.) приведены выдержки из от-
рывка «Начал» в качестве примеров оборотов речи, упо-
треблявшихся в древней Армении. Выдержки взяты из
Венецианской рукописи.
2) В 1831 г. А. Сукряи опубликовал в армянском жур-
нале «Базмавеп» (т. 42, стр. 30—34, Венеция) па древне-
армянском языке без комментариев текст Павийской
рукописи.
3) В 1936 г М Леруа1) напечатал тог же текст со сво-
им переводом на латинский язык, предисловием и ком-
ментариями.
4) В 1937 г. II. Акинян опубликовал в журнале «Андес
Амсоря» (Д‘_ 6—8, стр 226—241) статью на армянском
языке под заголовком «„Начала" Евклида в армянской
литературе». В этой статье Акинян поместил текст отрыв-
ка «Начал», в основу которого положил Тюбингенскую
рукопись, и привел все разночтения сравнительно с издан-
ными Сукряном и . lepya текстами, а также с выдержками,
приведенными в «Новом словаре армянского языка».
Акинян излагает доводы в пользу своего предположе-
ния, что «Начала» Евк гида перевел па армянский язык
в VII в. и. э. греческий математик Гюхпк для своего уче-
ника Анании Ширакаци, ставшего впоследствии круп-
ным ученым и знаменитым математиком древней Ар-
мении
5) В 1945 г. в «Известиях Академии паук Армян-
скоп (X Р» (Отделение общественных паук, № 1—2,
стр. 59—73) была напечатана статья Г. Петросяна на ар-
мянском языке под заголовком «Армянский древнейший
перевод Геометрии Евклида и ого значение для истории
математики». В ней автор приводит библиографические
( ведения о «Пача гах» Евклида и армянском переводе их,
затем останавливается на культурном состоянии Ар-
мении в XI в. и роли выдающегося армянского деятеля
и ученого того времени I ригора Магпстроса; последнего
Г. Петросян считает переводчиком «Начал» с грече-
ского языка на армянский на основании письма 1 р. Маги-
*) Ann naira de 1’Instilut de Philologie et d Histoirc Orientales
el Slaves, Bruxelles, 193G, 4, стр. 785—816.
«НАЧАЛА» ЕВКЛИДА ПО ДРЕВНЕАГМЯНСКИМ ИСТОЧНИКАМ 6G1
строса архимандриту Саркису, которое мы приведем
ниже.
Г. Петросян впервые использовал в своей статье текст
«Начал» из рукописи № 4166 Матепадарапа (в Ереване),
но привел лишь два определения, постулаты и аксиомы.
Автор не отметил всех отличий армянского перевода от
греческих текстов «Начал», обратив внимание лишь на
вопрос о числе аксиом и месте нахождения аксиомы парал-
лельных прямых средн постулатов.
6) В 1951 г. в «Трудах Краснодарского института пище-
вой промышленности» (выпуск 10) была напечатана статья
«Геометрия Евклида па древпеармяпском языке», прина-
длежащая пишущему эти строки. Настоящая статья являет-
ся ее существенной переработкой, содержащей ряд до-
полнений.
Сличение отрывка «Начал», сохранившегося в руко-
писи № 4166, с текстами, помещенными в статье Акипяна,
приводит к заключению, что между четырьмя рукописями,
поименованными выше, пет существенных различий. Неви-
димому, все они списаны с одного первоисточника.
Отрывок «Начал» на древнеармянском языке содержит
лишь определения, постулаты и первые три предложения
кн. 1 «Начал».
Ниже приводится перевод-по возможности букваль-
ный—тех пунктов армянского текста из рукописи № 4166,
которые в чем-либо отличаются от соответствующих
пунктов греческих текстов,' учтенных в издании Гей-
берга1). Русский перевод этого издания опубликован
проф. Д. Д. Мордухай-Болтовским в 1948—1950 гг.2).
Тексты заключены в кавычки в отличие от коммента-
риев к ним.
2. «.Линия же есть длина без ширины».
3. «II содержится между своими двумя точками».
Второе определенно тождественно с текстом издания
Гейбсрга, но оно приводится здесь в связи с третьим опре-
’) Heiberg I. L., Euclides Elenienta, Лейпциг, 1883.
*) «Начала» Евклида. Перевод с греческого и комментарии
Д. Д. Мордухан-Болтовского, книги 1—VI; книги VII—X; книги
XI-^XVr AL—Л., 1948—1950.....................
662
Т. Г. ТУМАНЬЯП
делением, отличающимся от определения в тексте Гепбер-
га: «Концы же линии—точки».
Третье определение армянского варианта является
дополнением ко второму, где линия определяется только
с точки зрения ее размерности. По смыслу фразы выходит:
а) Линия представляет ряд точек, две из которых
яв киотея концами ее.
б) Линия может содержаться между двумя любыми
своими точками, т. о. имеет части, которые являются тоже
линиями.
4. «Прямая же линия есть [таI1), которая расположена
на точках, находящихся на ней друг против друга».
В известных нам греческих текстах соответствующее
определение сформулировано иначе, а именно (цитирую
по переводу Д. Д. Мордухан-Болтовского):
«Прямая линия есть та, которая равно расположена
по отношению к точкам на псп».
В армянском тексте мы имеем некоторую конкретиза-
цию понятия о «равном расположении» прямой и более на-
глядный образ прямой. Однако и армянский вариант опре-
деления прямой не обладает ясностью и точностью.
М. Я. Выгодский -) объясняет формулировку четвертого
определения прямо)! тем, что Евклид стремился сформули-
ровать в отвлеченной форме существовавшее задолго до него
определение прямой, основанное па процессе визирования.
Нам кажется, что текст армянского списка подтверждает
правильность этого объяснения.
4'. «Пли прямая линия есть кратчайшая линия, за-
ключенная между двумя точками».
Это определение отсутствует в текстах «Начал», учтен-
ных Гейбергом. Вероятно, в первоначальных текстах
«Начал» не было этого определения прямой; его принял как
аксиому Архимед в своем сочинении «О шаре и цилиндре».
6. В армянском переводе во всех четырех вышеупомя-
нутых рукописях отсутствует определение, стоящее в из-
дании Гейберга под номером 6: «Концы же поверхности—
*) В прямых скобках помещаются добавления, необходимые для
понимания текста.
2) Выгоде кп и М. Я., «Начала» Евклида, в кн.: «Историко-
математические исследования», вин. I, М.—Л., 1948, стр. 243—244.
НАЧАЛА» ЕВКЛИДА ПОДРЕВПЕАРМЯИСКПМ ИСТОЧНИКАМ 663
линии». Это обстоятельство позволяет высказать предпо-
ложение, что определение 6 имелось не во всех древних
списках.
7. «Плоская же поверхность есть [та], которая располо-
жена на прямых, находящихся на neii друг против друга»1).
Определение плоскости построено аналогично опреде-
лению прямой.
14 «Фигура же есть [то], что содержится внутри одной
границы или многих».
В известных нам греческих списках «Начал» в этом
определении вместо «одной» и «многих» имеем «какой-
нибудь» пли «каких-нибудь».
15. «Круг есть плоская фигура и объемлет его одна
линия, внутри него имеется одна такая точка, что прямые
линии, которые исходят из нее и oi раппчиваются окруж-
ностью2), равны между собой».
В тексте Гсйберга сюит:
«Круг есть п юская фигура, содержащаяся внутри
одной линии, [которая называется окружностью], па кото-
рую все из одной точки внутри фигуры падающие [на
окружность круга] прямые равны между собой».
Гейбсрг полагает, что слова, заключенные в скобки,
являются поздней шеи вставкой!. Однако эти слова имеются
в большинстве дошедших до нас рукописей.
В первой части армянского варианта определения, как
видно, говорится об «объемлющей круг о той линии», по
пе дается название ее, а в конце фразы вводится термин,
соответствующий греческому хохаоч '-со'.^гог'.а.
16. «Эта точка есть центр кру i а, то-есть [его] середина».
Для обозначения центра армянский переводчик при-
меняет слово «кеитровп», что армепнзнровано от грече-
ского -zivrpov, ни тут же 1ля пояснения дает армянское
слово «мпджоц» (середина).
18. «Полукруг есть фигура, которая ограничивается
диаметром и той дугой, которую отсекает диаметр от
окружности.
Э В рукописи А 4166 Матепадараиа Армянской ССР пет опре-
деления плоскости; здесь приводится определение, взятое из Тю-
бингенской рукописи.
2) Буквально: линией круга.
6G4
Т. Г ТУМАНЬЯИ
Сегмент1) есть фигура, которая ограничивается прямой
линией и частью окружности—или большей или меньшей
половины ее».
В армянском тексте (так же как и в оксфордском изда-
нии 1703 г., с которого перевел «Начала» Ф. Петрушевский
в 1819 г., и в других изданиях) нет дополнения к этому
определению о совпадении центров полукруга и круга,
которое есть в reiioepi овском издании.
Определение сегмента в большинстве текстов «Начал»
дается в кн. I U под № 6. Содержащаяся в армянском пере-
воде редакция воспроизводит дополнение Ирокла (см.
примечание Гсйбсрга к определению 18 кн. I).
19. «Прямолинейные фигуры [это те], которые огра-
ничены прямыми лппнями; из них трехсторонние ограни-
чиваются тремя прямыми линиями; четырехсторонние—
четырьмя прямыми линиями и если больше [пятисторон-
ннс и т. д. ], чем эти, также ограничиваются соответствую-
щим количеством прямых линий».
В греческом тексте издания 1 ейберга в конце опреде-
ления сказано: «многосторонние же—которые содержатся
между более чем четырьмя прямыми». В армянском тексте
ист термина «многосторонние» (гоХбгсХавра), но более точно
указывается соответствие между числом сторон и числом
прямых линий, ограничивающих многосторонние фигуры.
20. «Из трехсторонних [фигур] равносторонние те,
у которых три стороны равны между собой; равнобедрен-
ными называются те, которые из сторон своих две имеют
равные; разносторонними называются те, у которых три
стороны не равны друг другу».
В издании Гсйбсрга и в других текстах это определение
начинается так: «Из трехсторонних фигур равносторонний
треугольник» н т д., остальное аналогично с армянским
текстом. Здесь не определено понятие треугольник(тргрлюу),
и потому мне кажется, что армянская редакция в этом
отношении. ..ближе к подлиннику, чем греческие тексты.
Как в 19, так и в 20 определениях Евклид рассматривает
фигуры исключительно в зависимости от числа и характе-
ра сторон и, не забегая вперед, пока этим и ограничивает-
') Буквально: отрезок круга—точный перевод греческого тер-
ми па У.и7.?.5э тр.?(;ла.
«НАЧАЛА* ЕВКЛИД к ПО ДРЕВПЕАРМЯПСКПМ ИСТОЧНИКАМ 6f>5
ся. В следующем 21 определении трехсторонние фигуры
рассматриваются уже по характеру углов (прямого, ту-
пого, острых), и тут только уместен термин «треугольник».
В дальнейшем Евклид пользуется только этим термином.
23. «Расположенные друг около друга прямые *)—те,
которые находятся на одной и той же п юскости и если
продолжаются в обе стороны без ограничения, то не сбли-
жаются друг с другом пи с топ, ни с другой стороны».
Здесь греческое слово -яря/./.г/.oi армянский пере-
водчик не армеиизирует, как термин центр («кентровн»)
и диаметр («диаметров!!»), а переводит буквально «распо-
ложенные друг около друга». В современном армянском
языке термин «параллельный» обозначается одним сло-
вом «зугаер». <
Характерно, что в оирЬделении 23 греческий глагол
□’jtiKiTZTc'A, что означает совпадать, сталкиваться, пере-
веден на армянский язык несколько вольно с швом
«мердзенал», т. е. сближаться, приближаться. Тот же
глагол дальше в 5 постулате о пара адельных прямых пе-
реведен словом «динод», т. е. сталкиваться, встречаться,
что вполне соответствует смыс iy постулата и является
уместным. Армянский переводчик, очевидно, хотел особо
подчеркнуть при определении параллельных то, что пря-
мые при продолжении не только не встречаются, но и не
сближаются. Следует заметить, что Евклид в дальнейшем
не доказывает, что парад юльные прямые везде одинаково
удалены друг от друга. После определений Евклид изло-
жил свои постулаты под заголовком «Астт^атя», что бук-
вально означает «требования».
В армянском тексте имеется следующий заголовок:
«Пять вероятных допущений» * 2), далее следуют постулаты,
причем перед началом их пет вводного слова «допустим»
( Нлттр&ц)), как в других текстах: переводчик отразил это
допущение в самом заголовке.
1. «От всякой точки до всякой точки можем провести
прямую линию».
2. «Ограниченная прямая линия может быть продол-
жена еще в том же направлении».
*) To-есть параллельные прямые.
2) Буквально: «II то, что полагаем быть вероятным—их нятьк
66G
Т. Г. ТУМАНЬЯП
3. «Из всякой точки п всякой мерой можем описать
круг».
4. «Все прямые углы равны между собой».
5. «Если прямая линия упадет на две прямые и обра-
зует с ними по одну сторону два угла, которые будут
меньше двух прямых углов, то, когда пойдут в ту сторону,
где меньше, столкнутся друг с другом».
В формулировке заголовка постулатов указывается
число их—пять.
Следует отметить, что армянский перевод «Начал»
сделан с такого греческого текста, в котором положение
о параллельных прямых бы ю определенно причислено
к постулатам, а не к аксиомам К постулатам отнесено
также положение и равенстве прямых углов. Из заголовка
следует, что постулаты не рассматриваются как очевид-
ные истины.
Во втором постулате армянского текста не говорится
о том, что ограниченную прямую можно продолжать не-
прерывно (как это имеется в издании Гейбсрга), но что она
«может быть продолжена еще в том же направлении».
Третий постулат в издании Гсйберга-) гласит:
«И что и j всякого центра и всяким расстоянием может
быть описан круг».
В армянском тексте термин расстояние (о аа-7][ш) пере-
веден словом «чаф», т. о. мера, размер.
После постулатов в армянском тексте помещены
10 аксиом под заголовком:
Общепризнанные су ж д е и и я 3)
1. «Вещи, которые равны одной и той же вещи, равны
между собой».
2. «И если к равным прибавить еще равные, то и це-
лые будут равны».
1) См. замечание к 23 определению.
2) В переводе Д. Д. Мордухай-Болтовского термпн «расстояние»
(oida-njua) заменен термином «раствор». По мнению переводчика,
слово «расстояние»содержит метрический оттенок, чуждый Евклиду.
В связи с этим можно сказать, что в слово «раствор» содержится
«пне тру ментальны й оттенок», совершенно чуждый Евклиду.
3) Буквально: знание, одобренное всеми (или вероятное для
всех).
«НАЧАЛА»ЕВКЛИДА ПО ДРЕВНЕАРМЯПСКПМ ИСТОЧНИКАМ 667
3. «II если от равных отнять равные, то остатки будут
равны».
4. «II если к неравным прибавить равные, то и целые
будут не равны».
5. «II если от неравных отпять равные, то остатки
будут не равны».
6. «II удвоенные одного и того же равны между собой».
7. «II половины одного и того же равны между собой».
8. «II те, которые при наложении друг па друга совме-
щаются, равны между собой».
9. «II целое больше части».
10. «II две прямые линии не заключаютпро трапства».
В формулировках аксиом армянский текст не отличает-
ся существенно от греческих. Различные авторы сомнева-
ются относительно принадлежности Евклиду всех приве-
денных выше аксиом. Гейберг считает, что подлинными
являются лишь пять из них: I, 2, 3, 8 и 9. Аксиомы 4, 6, 7
и J0, как по принадлежащие Евклиду, Гейберг поместил
в скобках. Пятая аксиома армянского списка отсутствует
в издании Гейберга.
Древнеармянский перевод отрывка «Начал», кроме
определений, постулатов и аксиом, содержит еще три пер-
вых предложения кн. I Евклида.
Ниже приводится русский перевод первого предложе-
ния.
«Вступление к 1.-му предложению* 2)
Желаем построить па данной прямой равносторонний
треугольник.
Пусть АВ будет данная прямая. Из точки А как из
центра опишем круг BCD мерой Л В и опишем из точки В
как из центра круг .167: мерой ВЛ. Прове щм прямые АС
и ВС и скажем, что построили равносторонний треуголь-
ник па данной прямой.
Доказательство этого следующее:
АС равна АВ, как половины диаметра круга BCD,
и ВС равна В А, как половины диаметра круга АСЕ',
9 Точнее: «но охватывают» п.ш «не очерчивают».
2) Дословно: ^предисловие к первой речи».
следовательно, АС и ВС равны, и это то, что хотели
доказать».
Содержание всех трех предложений в основном соот-
ветствует тому, что имеется в других списках «Начал».
Для решения задачи сначала приводится построение
и затем доказательство, которому предшествует заго-
ловок.
В заключение объявляется о том, что задача решена.
Это сделано согласно той схеме, о которой упоминается
у Прокла (комментарии к кн. 1
«Начал»).
В армянском переводе трех
предложений имеются с юдую-
щие особенности:
1) Изложение ведется более
лаконично, чем в i реческом тек-
сте: часть силлогизмов опуще-
на там, где они подразумева-
ются.
2) У Евклида нет особого термина для обозначения
радиуса; он пользуется термином «[прямая] из центра»
(от слова «прямая» сохраняется только артикль т().
В армянском тексте этот термин обозначается словом
«полудиаметр» или «половина диаметра».
Некоторая переработка i рсчсского текста, произведен-
ная переводчиком, говорит о том, что он хорошо владел
предметом, (лпль перевода простои, удобопонятный.
Армянский перевод «Начал» прерывается на третьем
предложении первой книги Евклида. Продолжение не вы-
явлено в рукописях Матенадарана Армянской ССР.
По вопросу о переводчике и дате армянского перевода
«Начал» Евклида необходимо отметить следующее.
- В тексте перевода в рукописи № 4166 Матенадарана
Армянской ССР, а также и в других рукописях имя пере-
водчика нс упоминается.
4 - Известный ученый и государственный деятель Армении
Григор Магистрос, жившим в XI веке и. э., в письме архи-
ландриту Саркису, написанном приблизительно в 1051 г.,
ообщает: «Никогда мы пе переставали также переводить;
)сть множество книг, которых мы пе нашли на нашем язы-
«НАЧАЛА» ЕВКЛИДА ПО ДРЕВПЕАГМЯПСКПМ ИСТОЧНИКАМ 669
ко» г). После этого Магпстрос перечисляет некоторые из
тех книг, переводов которых он не нашел. Далее он про-
должает:
«Но нашли мы переведенное на наш армянский язык
сочинение Олимниодора, о котором упоминает Давид
и которое является весьма замечательным и чудесным поэ-
тическим произведением, равноценным всем философским
творениям; нашли п Каллимаха и Андроника па армян-
ском языке; но и геометрию Евклида начал переводить
и, если бог захочет продлить мою жизнь, буду весьма оза-
бочен тем, чтобы, не медля, переводить все остальные
греческие и сирийские сочинения».
Как видно из письма, Григор Магпстрос начал перево-
дить «Начала». Однако возникает вопрос, принадлежит ли
Магнстросу тот перевод, который дошел до нас. На это
можно с большой вероятностью ответить утвердительно
по следующим мотивам:
1. Григор Магпстрос был всесторонне образованным
ученым и известен в истории своими трудами по филосо-
фии, риторике, грамматике, литературе. Как философ он
должен был изучить и знать классические геометрические
труды древних греков. Магпстрос переводил сочинения
Платона; ему было известно, что Платон настойчиво реко-
мендовал всем изучать математику («Государство», VII).
В своем письме* 2) католикосу Петросу об Анании Шира-
каци Магистров цитирует надпись па фронтоне Ака-
демии Платона: «По знающий геометрии, да не войдет
в Академию».
2. С точки зрения лингвистических особенностей мож-
но утверждать, что словообразования, грамматические
формы и стиль перевода соответствуют эпохе Григора Маги-
строса, т. е. XI веку, и что перевод сделан именно им3).
3. В древнеармянских источниках, насколько извест-
но, нет, кроме упомянутого письма, никаких сведений
х) Письма Григора Магистроса, изданные К. Постоянном,
Александрополь, 1910, стр. 66 (на армянском языке).
2) Там же, стр. 4—10
3) Аира а м я я А., Научные труды Анании Ширакаци, Ереван,
1943; см. главу о переводчике геометрии Евклида (на армянском
языке).
<;70
T. I’. ТУМАНЫ! Il
<> переводах «Начал», и письмо архимандриту Саркису
является хотя и единственным, ио очень веским аргумен-
том в пользу высказанного выше утверждения об автор-
стве армянского перевода отрывка «Нача 1».
Однако 11. Акннян без серьезных данных оспаривает
авторство перевода за Григором Магистрос.ом, приписы-
вая перевод греческому ученому Гюхику. В упомянутой
выше статье «„Начала" Евклида в армянской литературе»
Н. Акннян, анализируя письмо Магистроса к архи-
мандриту Саркису, пишет:
«По невниманию ли переписчиков или но другой при-
чине произошло смешение и. in, точнее, перемещение строк
в письме, написанном обычным для I р. Магистроса тяже-
лым стилем».
Акиняп замечает, что, приступая к переводу, Маги-
строс должен был сначала поинтересоваться тем, какие
переводы уже имеются па армянском языке, и лишь затем
приступить к переводу тех сочинении, которые еще не
переведены и частично отмечены мм в письме. На этом
основании Акннян полагает, что в письме к Саркису
Магистров придерживался такого же порядка, и соответ-
ственно с этим переставляет строки п слова, излагая это
письмо в своей редакции. В результате получается, что
Магнстрос нашел прежде сделанный перевод «Начал»
Евклида.
Такое перемещение текста является весьма произволь-
ным п не может оправдываться ни невниманием переписчи-
ков, ни «другой причиной», которой Акиняп не раскрывает.
Акиняп не дает сравнительного лингвистического ана-
лиза эпохи XI века, в которой жил Машстрос, и эпохи
XII века, к которой относит армянский перевод.Он лишь
констатирует, что язык перевода простой и гладкий, ко-
торого не могло быть у Магистроса, но ничем не подкре-
пляет свое утверждение. Акиняп предполагает, что пере-
вод сделан по ранее VII века и не позже VI11 века.
По свидетельству Анании Ширакаци, его учитель
Тюхик хорошо знал армянский язык. Па этом основании
Акннян считает, что «Начала» перевел Тюхик с той целью,
чтобы дать своему ученику j чебпик геометрии. Акиняп
предполагает, что перевод написан рукой Ширакаци, но
«НАЧАЛА» ЕВКЛИДА ПО ДРЕВПЕАР.МЯПСКП.М ИСТОЧНИКАМ (>71
иод диктовку Гюхика, ибо Ширакаци, ио ого мнению, за
«короткое время» (8 лет) пребывания у своего учителя не
мог овладеть греческим языком настолько, чтобы изучать
самостоятельно математику ио греческим первоисточ-
никам.
Это предположение совершенно неправдоподобно, так
как Анания Ширакаци, как видно из его автобиографии,
хорошо изучил греческий язык и потому не нуждался
в специальных пособиях на армянском языке, записанных
под диктовку Тюхика. Кроме того, нет никаких основании
предполагать, что Тюхик создал для Ширакаци целую
библиотеку переводов греческих' классиков.
Необходимо отметить, что перевод геометрии Евклида,
очевидно, был вызван ошцим подъемом материальной
и духовной культуры в Армении в X и XI вв. и, в частно-
сти, в связи с большими сооружениями, которые воздви-
гались в это время.
Перевод «Начал» Евклида приобщил армянский народ
к высоким достижениям геометрии древних греков и обо-
гатил армянский язык новыми словами и терминами.
Редактор В. II. Бипчацкпо.
Техн, редактор Н. А. Тумаркина.
Корректор Ц. С. Варшавская.
* *
*
Подписано к печати 30 XI 1953 г Бу-
мага 84Х108»з2. 10,5 бум. л.-j-б вклеек
0.19 л. 33.44 печ. л.+ 6 вклеек 0.6 л.
33.90 уч.-изд. л. 39 00(1 тип. зн. в печ. л.
Тираж 4000 зкз. Т-08275. Цена книги
16 р. 95 к. Переплет 2 р. Заказ ЛУ 1251.
16-я тип. Союзполпграфпрома Глав-
издата Министерства культуры СССР.
Москва, Трехирудныи пер., д. 9.