АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ
Э.КОЛЬМАНДП.ЮШКЕВИЧ
АТЕМАТИКА
до
ЭПОХИ ВОЗРОЖДЕНИЯ

А.П.ЮШКЕВИЧ
СТО[Ш
ИАТЕПАТИКИ
В СРЕДНИЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1961

Ответственный редактор
В. А. РОЗЕНФЕЛЬД
АННОТАЦИЯ
В книге содержится обзор развития
математики в Китае, Индии, странах ислама (арабские
страны, Средняя Азия, Иран, Азербайджан) и
средневековой Европе. Подводя итог
многочисленным исследованиям, автор делает ряд
выводов, помогающих часто совершенно по-новому
понять эту эпоху в развитии математики.
Исторические справки дают возможность проследить
развитие математики параллельно ходу
исторических событий.
Настоящая книга и книга Э. Кольмана
«История математики в древности», вскоре выходящая
в свет, составляют общий труд, название
которого — «Математика до эпохи Возрождения» —
отражено на контртитуле. Этот труд вместе с
выпущенной Физматгизом в 1960 году книгой
Г. Вилейтнера «История математики от Декарта
до середины XIX столетия» охватывают историю
развития математики от ее зарождения до
1850 года.
Помимо специалистов по истории науки,
книга будет полезна студентам университетов
и педагогических институтов, а также
любителям математики.
Юшкевич Адольф Повлович
История математики в средние века
Редакторы Я. А. Угарова, С. М. Половинкин
Технический редактор С. Н. Ахламов. Корректор С. Н. Емельянова.
Сдано в набор 26/Х 1960 г. Подписано к печати 6/П 1961 г. Бумага 60x92 Vie-
Физ. печ. л. 28. Условн. печ. л. 28. Уч.-изд. л. 27,11. Тираж 15000 экз. Т-01520.
Цена книги 1 руб. 51 коп. Заказ № 663.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Московская типография № 5 Мосгорсовнархоза.
Москва, Трехпрудный пер., 9

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Введение
Глава I. Математика в Китае
Обпще сведения (19). Древнекитайская нумерация (23).
Счетная доска (27). Дроби (30). Десятичные дроби (32). «Математика
в девяти книгах» (34). Линейные задачи; первый метод избытка
и недостатка (38). Линейные задачи; второй метод избытка и
недостатка или правило двух ложных положений (41). Системы
линейных уравнений со многими неизвестными (44).
Отрицательные числа (48). Линейные неопределенные уравнения (52).
Извлечение квадратного и кубического корней (54). Задачи,
приводящие к квадратным уравнениям (61). Геометрия;
применение прямоугольного треугольника (64). Измерение
плоских фигур (68). Вычисление я (70). Измерение объемов (73).
Геометрия и алгебра (76). Кубические уравнения (77). Алгебра
в XIII веке; метод тянь-юань (79). Нелинейные системы
уравнений (84). Биномиальные коэффициенты (88). Задачи теории
чисел (90). Суммирование конечных рядов (93).
Интерполирование (100). Историческая роль математики древнего Китая (104).
Глава II. Математика в Индии
Общие сведения (106). Важнейшие математические
сочинения (108). Математика в книгах «Правила веревки» (112).
Создание десятичной позиционной нумерации (118).
Арифметические действия (124). Извлечение корней (128). Проверка
девятью (130). Арифметические задачи; тройное правило (131).
Алгебраическая символика (134). Линейные и квадратные
уравнения (137). Неопределенные уравнения (143). Числовые
ряды (149). Соединения (151). Геометрия (151). Начала
тригонометрии (155). Вычисление я и ряд арктангенса (160).
Глава III. Математика в странах ислама
Обпще сведения (168). Распространение десятичной
позиционной нумерации (177). Дроби (183). Алгебраический трактат
ал-Хорезми (191). Тройное правило (201). Правила ложных
положений (201). Геометрия в трудах ал-Хорезми (204).
Трактаты по алгебре Абу Камила и ал-Караджи (208). Вопросы
теории чисел (221). Развитие позиционной системы; десятичные
дроби (225). Извлечение корней и бином Ньютона (231). Ирра-
11
19
168
106
7

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
диопальные числа и теория отношений (237). Геометрические
задачи и кубические уравнения (246). Геометрическая теория
кубических уравнений Омара Хайяма (250). Алгебраическая
символика ал-Каласади (259). Вопросы геометрии. Абу-л-Ва-
фа (261). Учение о параллельных (267). Конические сечения;
новые кубатуры ибп ал-Хайсама (277). Развитие
тригонометрии (281). Сферическая тригонометрия (289).Трактат о полном
четырехстороннике Насирэддина ат-Туси (290).
Тригонометрические таблицы (294). Измерение круга ГиясэДдина ал-Капш
(299). Алгебраическое решение уравнения трисекции угла (307).
Влияние математики стран ислама на науку Западной Европы
(313).
Глава IV. Математика в средневековой Европе ^ * 315
Общественные условия (315). Зачатки математических знаний
(318). Математика в Византии (319). Математика в Армении и
Грузии (320). Николай Артавазд (323). Беда и Алькуин (325).
Предпосылки дальнейшего развития математики (328). Герберт
(328). Переводы с арабского и греческого (330). Первые
университеты (335). Абак (336). Распространение позиционной
арифметики (340). Книги об алгоризме (342). Развитие нумерации
в России (348). Шестидесятеричные и десятичные дроби (352).
Арифметические действия (356). Инструментальный счет.
Русские счеты (358). Леонардо Пизанский и его «Книга абака» (362).
«Практика геометрии» и «Книга квадратов» (377). Иордан
Неморарий (380). Некоторые проблемы «Начал» (384). Томас
Брадвардин. Учение о континууме (387). Николь Орем и
учение о дробных отношениях (393). Теория широт форм (395).
Математическая культура в Средней и Южной Европе (403).
Начало эпохи Возрождения (407). Региомонтан и развитие три-
гопометрии (408). Начало символической алгебры (411).
Леонардо да Винчи (414). Лука Пачоли (417). Никола Шюке (422).
Заключение (424).
Библиография 426
Именной указатель
43&

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предметом настоящего труда является история математики
до начала эпохи Возрождения.
В вопросе о периодизации истории математики авторы
руководствуются принципом восхождения этой науки от одной
«ступени абстракции к другой, более высокой, учитывая при
этом разнообразие социальных, экономических и
географических условий. Основные черты такой периодизации выражены
А. Н. Колмогоровым в статье «Математика», напечатанной
в 26-м томе 2-го издания Большой Советской Энциклопедии.
Таким образом, можно сказать, что в предлагаемом труде
рассмотрены период зарождения математики и период
элементарной математики.
Работа состоит из двух книг. Первая книга, написанная
Э. Кольманом, посвящена истории математики в древности.
В ней рассматривается возникновение математических понятий
и развитие математики у народов, создавших древнейшие
цивилизации (египтяне, вавилоняне, финикияне, евреи, майя, инки,
ацтеки; о математике древних китайцев и индийцев речь идет
в главах второй книги, специально посвященных этим странам);
далее рассматривается история математики в древней Греции,
эллинистических государствах и странах Римской империи.
Вторая книга, написанная А. П. Юшкевичем, посвящена
истории математики в средние века в Китае и Индии
(начиная с древности), странах ислама (арабские страны, Средняя
Азия, Иран, Азербайджан) и Европе. Изложение истории
математики на Востоке дано в соответствии с недавними
исследованиями, которые не только раскрыли многие неизвестные
ранее факты, но и привели к новому представлению об этой
эпохе в истории математики. Естественно, что эти главы имеют
относительно больший объем, чем было принято ранее.
Отдельные небольшие части текста в первой книге принадлежат
А. П. Юшкевичу, а во второй — Э. Кольману.
Изложение доведено до начала XVI в. Хотя период
элементарной математики заканчивается только в XVI в., авторы
«сочли правильным остановиться на предыдущем столетии, так

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
как в XVI в. в недрах новой алгебры уже подготовлялось
открытие исчисления бесконечно малых и аналитической
геометрии и деятельность ряда ученых, особенно Виета,
непосредственно содействовала становлению математики
переменных величин, учения о функциях и геометрических
преобразованиях.
Авторы более всего ставили своей целью выяснить
историческое развитие основных математических понятий, методов
и алгоритмов, учитывая, по возможности, тенденции
современного развития науки. Новые задачи, стоящие перед наукой,
приводят к изменению исторической перспективы прошлого.
Например, бурное развитие вычислительной математики
ставит теперь перед историками задачу более полного освещения
приближенных методов вычислений, начиная с древности.
Только что названной цели мы подчинили освещение
творчества отдельных ученых. Развитие математики можно
прослеживать в различных планах. Можно сделать упор на
внутренние связи в творчестве одного человека, можно
прослеживать историю проблемы, оставляя или почти оставляя в
стороне ее связи с другими, можно говорить об истории
научной школы и пр. В нашей книге, посвященной развитию
математики, как единого целого, мы, стремясь не отходить от
указанной цели, вместе с тем держали в сфере внимания взаимосвязи
математики и естествознания, математики и техники,
математики и философии, а также — при должном учете национальных
особенностей развития науки в то или иное время — связи
международные. Это невольно определило известную
многоплановость изложения в различных частях и отделах труда;
мы не говорим уже о чисто индивидуальных особенностях,
свойственных авторам. При всем том, руководящим
положением было, что специфичность математики как науки состоит
в особой общности и абстрактности ее понятий и методов, что,
развиваясь под влиянием практической деятельности людей
и потребностей общества (причем иногда это влияние
проявляется непосредственно, иногда — только в конечном счете),
она имеет возможность в той или иной мере развивать раз
созданные абстракции самостоятельно.
Литература по истории математики громадна, но
обобщающих трудов, написанных с позиций марксизма, пока почти
не имеется. Поэтому авторам многие вопросы приходилось
решать впервые. Разумеется, мы не считаем свои ответы и
решения окончательными.
Несколько замечаний о характере изложения. Ссылки на
литературу в тексте сделаны в квадратных скобках, сама
литература, в том числе издания первоисточников, приведена
в конце каждой книги под названием «Библиография».

ПРЕДИСЛОВИЕ
9
Оригинальная транскрипция имен ученых, о которых говорится
в книге, дана в именном указателе, причем для ученых
Востока — русскими буквами. Слова в квадратных скобках в
цитатах принадлежат нам или переводчикам соответствующих
текстов.
Авторы благодарны проф. Б. А. Розенфельду,
прочитавшему всю рукопись и корректуры и сделавшему ряд очень
ценных указаний.
Авторы просят читателей направлять свои замечания и
пожелания в адрес Государственного издательства
физико-математической литературы: Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Москва, Э. Колъман
24 февраля 1958 г. А. П. Юшкевич
Перед сдачей этой книги в набор я дополнил текст,
опираясь на новые труды, опубликованные с начала 1958 г. до
середины 1960 г. Результаты некоторых недавних исследований
мне все же пришлось оставить в стороне, ограничившись
указанием литературы, которую я еще мог включить в
«Библиографию». Должен сказать в этой связи, что «Библиография»
не является исчерпывающей. В названных в ней сводных
сочинениях читатель найдет указания на ряд специальных статей,
мною не приведенных.
Выражаю признательность канд. физ.-матем. наук Э. И. Бе-
резкиной, которая познакомила меня со многими работами на
китайском языке и проверила транскрипцию китайских имен
и терминов в настоящем издании.
Москва,
2 декабря 1960 г.
А. П. Юшкевич-

ВВЕДЕНИЕ
Еще задолго до распада Римской империи начался новый
большой цикл развития математики на далеком Востоке —-
в Китае и Индии, который получил свое продолжение
в арабских странах, Иране и Средней Азии, затем в Европе
и закончился примерно в XV — XVI вв.
В древнем Вавилоне математика достигла высокого
развития уже за 20 веков до начала н. э. В центре внимания стояли
задачи практической арифметики, измерение сравнительно
простых фигур, позднее — вопросы астрономии, требовавшие
более сложных расчетов. Характерно было очень широкое
применение в вычислениях готовых таблиц умножения и
деления. В плане более отвлеченного развития происходило
обращение ряда задач — практически данные величины
принимались за искомые, а искомые — за данные; это явилось одной
из предпосылок разработки алгебраических приемов.
Кульминационные достижения вавилонян были: шестидесятеричная
позиционная система целых чисел и дробей, позднее с
частичным употреблением знака нуля; решение в радикалах
квадратных уравнений и приводящихся к ним систем с двумя
неизвестными; итерационный прием приближенного извлечения
квадратного корня с помощью средних арифметических из
приближений по недостатку и по избытку, так называемая теорема
Пифагора. Должны были иметься первые зачатки доказательств
в виде отдельных алгебраических преобразований и
геометрических построений (в текстах их нет). Несколько ниже по
уровню была, видимо, математика в Египте. Здесь при
умножении и делении пользовались удвоением и раздвоением;
операции с дробями приводились к действиям с долями единицы
2
и употреблению таблицы разложений дробей вида 2 .
в суммы единичных. Задачи, приводящие к квадратным
уравнениям, отсутствовали. Изложение в клинописных таблицах

12
ВВЕДЕНИЕ
и папирусах имеет форму предписаний, без всякого
обоснования; иногда дается проверка.
Древнегреческая математика, в ранней стадии обязанная
восточной большим фактическим материалом, в классическую
эпоху V—III вв. до н. э. обретает принципиально иные черты.
В математические исследования широко проникают
доказательства; в качестве ведущего средства открытия новых истин
на первое место выдвигается логическое рассуждение, конечно,
в сочетании с наблюдением и индукцией. Большие области
математики формируются в дедуктивные системы, строится
теория математического доказательства, и все это находит
выражение в стиле изложения учебных руководств и научных
трудов. Непосредственно вычислительные вопросы, породи»
ряд важных больших теорий, отступают на задний план. В силу
ряда обстоятельств алгебра квадратных уравнений выступает
как совокупность геометрических теорем о преобразовании
площадей; открытие иррациональностей приводит к
созданию общей теории отношений, развитой только частично и
потому не пригодной в широком плане заменить учение о
действительном числе. В III в. завершается построение начал
геометрии, первых основ теории чисел, учения о конических
сечениях, античных форм интеграционных и
дифференциальных методов. Существенно новый вклад в эти отделы был
внесен спустя две тысячи лет. Наконец, закладываются первые
камни в фундамент математического естествознания: теорию
музыки, механику, включая механику жидкостей, оптику,
космографию.
Со II века развитие классических направлений греческой
математики почти полностью останавливается. Вместе с тем,
в эллинистических государствах тесно соприкасаются
культура Греции с культурой Востока и в связи с разнообразными
вопросами астрономии и геодезии успешно развиваются
другие направления: сферическая геометрия, тригонометрия хордг
приближенные вычисления. Интересы склоняются к
вычислительной математике; частично заимствуются шестидесятерич-
ная система и единичные дроби; получает развитие числовая
алгебра линейных и квадратных уравнений, решение
неопределенных уравнений в рациональных числах; создается в
скромных размерах алгебраическая символика. Однако это
течение продолжалось в условиях распада античного мира
недолго. Оно оставило важное для дальнейшего наследие
в азиатских и африканских областях бывшей Римской
империи.
После краха античного рабовладельческого общества
развитие математических наук в течение многих столетий
происходило главным образом в странах Востока. Средневековая

ВВЕДЕНИЕ
13
восточная математика представляла собой учение о
постоянных величинах и неизменных геометрических фигурах, однако
такая характеристика еще недостаточно конкретна. Это была,
прежде всего, вычислительная математика, совокупность
расчетных алгоритмов для решения арифметических,
алгебраических, геометрических задач, вначале более простых, но
затем значительно усложняющихся; вначале алгоритмов
разрозненных, затем объединяемых в целые научные
дисциплины. Развитие математики на Востоке в средние века
начинается с уровня, гораздо более низкого, чем достигнутый
в эллинистических странах, но к концу этого периода в ряде
направлений оставляет далеко позади науку времен
Птолемеев,— мы имеем в виду такие области, как коммерческая
арифметика, числовая алгебра и ее приложения, приближенные
вычисления, учение о числе, тригонометрия. Все сказанное
относится к Китаю, Индии и арабским странам (из-за
недостатка сведений мы вынуждены оставить в стороне древний
Хорезм, Вьетнам, Индонезию).
Общее направление в развитии математики в Азии средних
веков было обусловлено в конечном счете родством
общественной структуры стран Востока. Население занималось здесь
земледелием, ремеслом, торговлей в формах, присущих
постепенно укреплявшемуся феодальному укладу. В политическом
отношении государства средневекового Востока представляли
<юбой непрочные деспотии, то объединявшие на несколько
веков, а иногда всего на десятилетия, большие территории, то
распадавшиеся на части и нередко становившиеся добычей
завоевателей.
Вопросом жизни и смерти этих государств было
искусственное орошение полей, создание и постоянная поддержка
системы ирригации, борьба с губительными разливами рек и т. п.
«Отсюда,— писал Маркс,— та экономическая функция,
которую вынуждены были выполнять все азиатские
правительства, а именно функция организации общественных работ»
[5, стр. 337]. Это же подчеркивал Энгельс: «Первое условие
земледелия здесь — это искусственное орошение, а оно
является делом либо общим, либо провинций, либо
центрального правительства. Правительства на Востоке всегда
имели только три ведомства: финансы (грабеж внутри страны),
война (грабеж внутри страны и грабеж чужих стран) и
общественные работы (забота о воспроизводстве)».
Плодородие почвы целиком опиралось на искусственное орошение
и этим,— добавляет Энгельс,— объясняется «тот факт, что
достаточно бывало одной опустошительной войны, чтобы
обезлюдить страну и уничтожить ее цивилизацию на сотни
лет» [6, стр. 75].

14
ВВЕДЕНИЕ
Среди проблем, которые надлежало решать восточным
математикам с древнейших времен и на протяжении всего
рассматриваемого времени, большое место занимали задачи,
возникавшие при строительстве каналов и плотин, дорог,
военных укреплений, дворцовых и храмовых сооружений и пр.
Здесь требовалось измерение объемов и площадей, вычисление
потребного числа материалов и рабочих, а также прокорма
и оплаты последних. Финансовые ведомства имели дело с
распределением налогов в зависимости от различных норм
обложения, с поставками натурой, зависевшими от качества земли,
расстояния до места доставки и пр. К этому присоединялись
всякого рода задачи коммерческой арифметики и, особенно
в арабских странах, задачи на раздел наследств в соответствии
с довольно сложными канонами мусульманского
наследственного права. Очевидный практический интерес имело
измерение расстояний до недоступных предметов и их размеров.
Все это поставляло богатый материал для выделения классов
типичных задач на пропорции, на линейные уравнения и их
системы, на извлечение квадратного и кубического корней,
а при некотором усложнении — на квадратные и даже
кубические уравнения.
Показательным в этом смысле является классический
китайский трактат «Математика в девяти книгах» («Цзю чжан суан
шу») [42], составленный по недошедшим до нас более ранним
источникам примерно во II—I в. до н. э. Это — сборник задач
с ответами и лаконичными правилами, решения. Здесь
нередко говорят за себя самые названия некоторых книг:
«Измерение полей», «Соотношение между различными видами
зерновых культур» и т. п. Тысячу лет спустя один из
основоположников арабской математики и астрономии Мухаммад ибн Муса
ал-Хорезми в начале своей «Краткой книги об исчислении
алгебры и алмукабалы» («Ал-китаб ал-мухтасар фи хисаб
ал-джабр ва-л-мукабал») писал, что включил в нее то, что*
«постоянно необходимо людям при наследовании и завещаниях,
при разделах имущества и судебных процессах и во всяких
их взаимоотношениях, и при измерении земель, и при
проведении каналов, и в геометрии и других различных вопросах»
[104, стр. 4].
Математическая проблематика определялась, однако,
потребностями хозяйственной жизни или государства не только
непосредственно. Практика стимулировала развитие
математики через другие науки, более всего астрономию. Изучение
закономерностей небесных явлений и календарные расчеты
требовали специфических приемов математики. В Китае
успешные работы над календарем и согласованием солнечного года
с лунными месяцами велись еще в XIV в. до н. э. С астроно-

ВВЕДЕНИЕ
15
мией связано было в Китае и Индии решение в целых числах
неопределенных линейных'уравнений, позднее встречающееся
и в арабской литературе. Астрономия же вызвала к жизни
целую серию китайских работ по интерполированию с
помощью эмпирических формул до третьей степени
включительно. В Индии и затем в арабских странах для нужд
астрономии разрабатывали тригонометрию и связанный с нею
аппарат приближенных вычислений. В Багдадском халифате в том
же направлении воздействовала геодезия: здесь в IX в., по
примеру древней Александрии, проводились градусные
измерения. На сто лет ранее длина градуса меридиана была
измерена и в Китае. Характерно, что большинство математиков
Востока были одновременно астрономами.
Во всех обществах, в которых математические знания
выходят за пределы счета с небольшими числами и
простейших измерений, мы встречаемся с более или менее
интенсивным саморазвитием математики. Математика в силу высокой
абстрактности, общности и взаимозависимости ее понятий
и методов всегда работала хотя бы отчасти впрок, на
будущее. Это наблюдается уже в Вавилоне и Египте. Также обстояло
дело в Китае или Индии. В той же древнекитайской
«Математике в девяти книгах», где многочисленные задачи и целые
книги имеют самое непосредственное прикладное назначение,
есть другие большие отделы, возникшие из анализа
практических вопросов, но имевшие в то время преимущественно
отвлеченный интерес. Именно в порядке имманентного
развития возник, например, алгоритм решения канонической
системы линейных уравнений с любым числом неизвестных,
изложенный в VIII книге «Математики». То же относится к общему
способу численного решения алгебраических уравнений
произвольной степени, который возник путем обобщения приема
извлечения квадратного и кубического корней из целых чисел.
Примеры такого рода, скажем, циклический способ решения
уравнения Пелля, нередки и в математике Индии, не говоря
уже об арабской.
Мы охарактеризовали в общих чертах предмет
исследований математиков восточных стран в средние века. Скажем
несколько слов о методе этих исследований.
В некоторых работах по истории науки высказывалось
мнение, что математика старинного Китая была только
эмпирической. Указывают, что старые китайские книги не
содержат доказательств, что это, собственно, сборники рецептов,
поясняемых примерами. Многие китайские сочинения по
математике в самом деле не содержат теоретических выводов.
Однако в этом китайские книги родственны многим книгам
средневековых индийских, арабских и европейских авторов

16
ВВЕДЕНИЕ
по практической арифметике или геометрии. Нужно проводить
различие между манерой изложения, в большой мере
связанной с назначением книги, и приемами исследования.
Догматизм изложения, механическое заучивание наизусть
всяческих правил, самая многочисленность и раздробленность
последних обусловлены были тем, что средневековая учебная
литература предназначалась главным образом для деловых
людей: купцов, землемеров, чиновников, строителей и пр.
Таким читателям нужны были механические и, по
возможности, краткие правила решения строго очерченного и узкого
круга вопросов.
Заметим, далее, что отнюдь не все старинные китайские
труды по математике лишены выводов и объяснений. Те и
другие имеются, например, в ряде сочинений, пояснявших и
развивавших «Математику в девяти книгах». Многие научные
результаты, вообще, не могли быть получены эмпирически
и индуктивно и должны были опираться на логическую
дедукцию. Не приходится сомневаться и в том, что при обучении
специалистов — математиков и астрономов — им устно
сообщались некоторые доказательства.
Различные части математики, конечно, находились во
взаимодействии. На геометрической основе доказывались иногда
арифметические предложения, например правила
суммирования некоторых рядов; с другой стороны, алгебра применялась
к решению геометрических задач, выражавшихся уравнениями.
Вместе с тем, в математике старинного Китая мы не находим
развернутых дедуктивных систем, характерных для
классической Греции, выделения аксиом геометрии, логически
построенной теоретической арифметики и т. п. Математика здесь
еще не расчленяется четко на относительно самостоятельные
дисциплины, хотя зачатки такого расчленения были налицо
в группировке правил и задач. В частности, не выделяется
как особая наука геометрия. Здесь можно провести параллель
с наукой Вавилона, о которой О. Нейгебауер писал: «В
сравнении с алгебраической и числовой компонентой в
вавилонской математике роль „геометрии" довольно незначительна.
Само по себе это неудивительно. Центральной проблемой
раннего развития математики является численное решение,
удовлетворяющее некоторым условиям». И далее: «... „геометрия"
не является особой математической наукой, но трактуется
на равных правах с любой другой формой численных
отношений между объектами практики» [48а, стр. 44—45].
Впрочем, объем геометрических знаний в Китае был значительно
больше, чем в Вавилоне.
Вопрос о причинах этой особенности математики
старинного Китая весьма сложен. Другой стороной того же вопроса

ВВЕДЕНИЕ
17
является проблема возникновения и успешного развития
дедуктивной науки в Греции. Мы ограничимся замечанием, что,
вероятно, дело в конечном итоге сводится к глубоким
различиям в структуре и идеологии греческих полисов —
рабовладельческих государств с относительно демократической
формой правления — и восточных аграрнобюрократических
феодальных или полуфеодальных деспотий.
Теоретический уровень математики в Индии и, особенно,
в странах Ближнего и Среднего Востока был выше, чем в Китае.
Здесь сказалось влияние греческой науки, более
поверхностное в Индии, где связи с далекими центрами
эллинистического мира, установленные в результате походов Александра
Македонского, не были особенно интенсивными, и гораздо
более значительное в странах ислама, включавших
территории прежних эллинистических государств. Ученые стран
Ближнего и Среднего Востока восприняли в VIII—IX вв.
от греков не только огромный запас конкретных знаний, но
и глубоко овладели их дедуктивным методом исследования
и изложения. Именно это отличало математику в арабских
странах от китайской и, в меньшей мере, от индийской, именно
это обеспечило ее особые преимущества.
В центре внимания математиков Ближнего и Среднего
Востока стояли те же проблемы, что в Китае и Индии, но,
опираясь на греческое наследие, они смогли пойти в разработке
вычислительной математики значительно дальше. Если,
например, индийцы ограничились в тригонометрии заменой
хорды синусом, введением косинуса и синус-верзуса и
применением к вычислению небольших таблиц простейших связей,
основанных только на теореме Пифагора, то математики стран
ислама создали тригонометрию, как разветвленную большую
науку. Широкий интерес к алгебраическим задачам геометрии
привел здесь не только к разработке приемов числового
решения уравнений, как в Китае, но к выделению алгебры в
самостоятельную дисциплину. Ярким примером теоретической
обработки конкретных процедур вычислительной математики
является здесь развитие общей теории отношений и введение
понятия об иррациональном (положительном) числе. Мы вовсе
не утверждаем, что арабские математики занимались
исключительно вычислительными проблемами или связанными с ними
обобщениями. Эти вопросы стояли на первом плане, и со
временем их удельный вес возрастал. Вместе с тем, в странах
ислама были получены ценные результаты и в классических
направлениях, например в основаниях геометрии — в
учении о параллельных.
Общность математических исследований в различных
странах Азии поддерживалась благодаря торговым, политическим

18
ВВЕДЕНИЕ
и культурным связям. Конечно, в те времена научные контакты
были нерегулярными, нередко нарушались, но, если брать
большие промежутки времени, они играли важную роль.
В полной мере эти контакты до сих пор не изучены, и
исследование их затрудняется отсутствием в соответствующих
сочинениях ссылок на труды других ученых. Здесь нам
приходится опираться на данные общей истории, на
хронологическую последовательность открытий, на известные нам
путешествия старинных ученых, совпадение задач и методов и т. д.
Только совокупность всех этих данных создает более или менее
отчетливую картину, в которой все же остается много пробелов.
Истории математики в странах Востока посвящены три
первые главы этой книги, математике в Европе —четвертая глава.
Развитие математики в средневековой Европе началось с
низкого уровня. В Риме и его западноевропейских провинциях
не было естественнонаучных центров, как в восточных
районах империи. Новые феодальные государства франков,
германцев, кельтов, славян и иных народов получили в наследие
лишь самые скромные арифметнческо-геометрические сведения
прикладного характера, которые оказались достаточными на
ранней стадии европейского феодализма, с его примитивной
техникой, слабой торговлей, ничтожными внешними связями.
Положение меняется в эпоху развитого феодализма, возвышения
городов и становления национальных монархий. С XI—XII вв.
богатства арабской и античной культуры раскрываются
европейцам на Пиренейском полуострове, в военных походах или
торговых поездках в мусульманские страны Азии и Африки,
в Византии. Идет быстрое усвоение арабской философской
и научной литературы и через нее, а частью и
непосредственно — античной. Создается собственная литература на латыни,
а затем и па новых национальных языках. Математические
идеи и методы феодального Востока великолепно прививаются
в близких по социальным условиям странах Европы и дают
здесь новые плоды. К XIII—XIV вв. ученые Италии,
Франции, Англии, Германии не только творчески овладевают
большой частью математических и астрономических знаний своих
учителей, но в ряде направлений, например в алгебре,
продвигаются далее. Более того, здесь появляются ростки идей
функции, ее графического представления и новых инфинитези-
мальных приемов — первые предвестники близкого вступления
математики в новый период развития, период математики
переменных величин.

ГЛАВА I
МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
Общие сведения. Отрывочные знания о математике Китая
в древнейший период его истории восходят к середине 2-го
тысячелетия до н. э.; они опираются преимущественно на
сведения о календаре. Земледелие уже тогда было главным
занятием населения, и правильное определение сроков сева и
уборки риса и других зерновых приобрело решающее значение для
всего хозяйства. Поэтому наблюдение, например по
кульминации отдельных звезд, дней равноденствий и солнцестояний
издавна велось в Китае специальными учеными чиновниками
и совершенствование календаря на протяжении тысячелетий
являлось важной функцией правительственного аппарата.
Еще в XIV в. астрономы были озабочены согласованием
общеупотребительного лунного календаря с солнечным. Деление
па большие и малые месяцы, соответственно по 30 и 29 дней,
определялось фазами Луны, но 12-месячный лунный год
в 354 дня был крайне неудобен для потребностей сельского
хозяйства. Дни смены четырех времен года в этом календаре
не связаны жестко с определенными числами и месяцами:
лунный год на 11 дней короче тропического, продолжительность
1
которого китайцы довольно точно установили в 365 j дней.
Около 600 г. до н. э. в Китае каждые 19 лет вставляли 7
дополнительных месяцев: 19-летний солнечный цикл отличается
от 235 лунных месяцев менее чем на сутки. В Греции афинянин
Метон ввел такой же цикл примерно на полтораста лет
позднее [39).
Соответствующие календарные расчеты предполагали
хорошие арифметические знания. Однако мы не располагаем
достаточно подробными данными о развитии математики в Китае
почти до самого начала н. э.
В первом же дошедшем до нас специально математическом
сочинении «Математика в девяти книгах» мы находим весьма

20
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
богатый комплекс знаний, характеризующих состояние нашей
науки в эпоху первой династии Хань (206 до н. э.—25).
Царство Хань, где получили значительное развитие феодальные
отношения, распространяло власть на обширные территории.
В эту эпоху велись большие работы по проведению дорог,
незадолго до того началась постройка Великой китайской
стены, широко развертывалось гидротехническое
строительство. Правители Ханьской династии старательно укрепляли
разветвленный государственный аппарат, который управлял
всеми крупными строительными работами, сбором податей,
ведал разверсткой трудовой повинности и пр.
В период правления обеих династий Хань (до 220 г.)
продолжались успешные работы по астрономии: уточнение и
расширение звездных каталогов, совершенствование солнечного
календаря и пр. Наряду с водяными часами, применявшимися
издавна, появились солнечные. Наблюдения достигли
высокого совершенства. Например, время звездного периода
обращения Сатурна, за 100 лет до н. э. считавшееся равным 28
годам, перед началом н. э. было определено в 29,79, а в конце
первого века в 29,51, что лишь на 0,05 года больше
действительной величины. Выдающийся астроном Чжан Хен (I—
II вв.), конструктор вращающегося глобуса и планетария,
учил о сферичности Земли, о безграничности вселенной в
пространстве и времени. Он же положил начало серии работ по
более точному вычислению значения я. Около 330 г. Юй Си
вновь открыл прецессию равноденствий, уточнением величины
которой наблюдатели продолжали заниматься и позднее.
Китайская математическая литература 1-го тысячелетия
н. э. сохранилась лишь в небольшой части. По дошедшим
сочинениям и историческим хроникам видно, что в первые пять
веков методы «Математики в девяти книгах» получили
дальнейшее развитие у ее выдающихся комментаторов, таких, как
Лю Хуэй (III в.), а также в трудах Сунь-цзы (III или IV в.), Цзу
Чун-чжи (V в.), Лю Чжо (VI в.), Ли Чунь-фена (VII в.) и др.
Несмотря на частые внешние и внутренние войны, несмотря
на нередкие восстания крестьян, китайское государство крепло.
В эпоху династии Тан (618—907) Китай был обширнейшим
государством, простиравшимся от Тихого океана до Тибета
и от Великой стены до Вьетнама. В больших городах
расцветали различные ремесла. Китайские инженеры к этому
времени сделали ряд ценнейших технических изобретений. Для
развития науки важное значение имело изобретение
книгопечатания — с гравированных досок в VII в. и с подвижным
шрифтом в XI в.; бумагу стали изготовлять еще в I или II в.
Замечательным образцом деятельности китайских инженеров
явился Великий канал, соединяющий южные районы страны

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
21
с северными. Строительство его началось в VII в. и шло с
перерывами; по завершении в XIII в. длина канала достигла
1700 км.
Значительно возросли в период Тан международные связи.
Еще в конце II в. до н. э. Китай вел караванную торговлю
со Средней Азией и через ее посредство с Европой; китайские
шелка и парча славились в Риме. В I в. усиливаются связи
с Индией, о чем говорит начавшееся тогда в Китае
распространение буддизма. Китайские путешественники объезжают всю
Индию, как, например, Фа Сянь на рубеже IV—V вв.
Водными путями, через Китайское море и Индийский океан,
поддерживаются связи Китая с Индонезией, Индией, Персией,
Аравией. В VII в. в Китае работали отдельные индийские
ученые. Насколько оживленны были в танскую эпоху деловые
отношения с другими государствами, свидетельствует один
арабский путешественник, сообщающий, что в столичном
городе Гуанчжоу (Кантоне) тогда проживало 120 000
иностранцев.
В эпоху Тан окончательно сложилась своеобразная
иерархия бюрократического аппарата, в который входили также
научные учреждения — Палата ученых и Астрономическое
бюро. Для получения государственных должностей в Китае
требовалась сдача экзаменов, в том числе и по математике.
Заметим, что в Китае весьма рано было отведено видное
место преподаванию математики. Еще в эпоху династии Чжоу
(1027—249 до н. э.) была разработана система обучения
арифметике детей с 6—8 лет. Математическое образование и
экзамены были серьезно поставлены во второй половине 1-го
тысячелетия н. э. В учебной программе императорской академии
в эпоху династии Тан среди шести дисциплин была и
математика, которую изучали семь лет. В стране имелись
тогда значительные кадры дипломированных математиков,
например, при императоре Тай-цзуне (627—649) их
насчитывалось 3260.
Одним из наиболее замечательных научных мероприятий
этого периода явилось градусное измерение. Идея измерения
с помощью шнура одного градуса меридиана для решения
некоторых спорных вопросов была выдвинута еще около 600 г.
Лю Чжо, но осуществлена была в 725 г. астрономом Нань Гу-
шо. В градусном измерении принял участие также И Синь,
который вслед за Лю Чжо занимался разработкой
интерполяционных методов для^ нужд астрономии. Оценить точность
этого измерения нельзя, так как мы не умеем перевести
результат — 351 ли 80 пу — в наши меры. Современником И Синя
был астроном и алгебраист Ван Сяо-тун, занимавшийся среди
прочего решением числовых кубических уравнений.

22
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
Третий важный период в развитии науки Китая приходится
на правление династии Сун (960—1279). Еще больший размах
получает тогда заморская торговля, бывшая оживленной еще
в эпоху Тан. Развивается кораблестроение, мореплаватели
начинают применять компас, открытый значительно ранее. Одно
из первых научных описаний свойств магнитной стрелки дал
инженер и математик XI в. Шэнь Ко, занимавшийся также
астрономией и предложивший календарь, более
соответствовавший климатическим особенностям четырех времен года.
В технике и военном деле находит употребление порох. В связи
с расширением внешних связей усиливаются географические
работы и составление карт. Высокого расцвета достигает
алгебра, которой в XIII в. посвящают свои классические трактаты
Цинь Цзю-шао, Ли Е, Ян Хуэй и Чжу Ши-цзе; к этим именам
следует добавить имя астронома и математика Го Шоу-цзиня.
На рубеже XIII и XIV вв. Го Шоу-цзинь руководил
обширной сетью обсерваторий, в которых велись весьма точные
астрономические и географические наблюдения; подобно
многим другим китайским математикам, он также был видным
реформатором календаря.
Монгольские завоевания привели в XIII в. к усилению
связей между Китаем и Средней Азией. Китайские ученые
направляются в обсерватории арабских стран, в Пекине
работают специалисты из Средней Азии. Эти контакты оказали
взаимное влияние на прогресс астрономии и математики.
Достижения китайских ученых в алгебре распространяются
на Запад, приборы и научные знания арабских астрономов
становятся достоянием китайцев. В XIII—XIV вв. в Китае
появляются мастера и купцы из Европы.
Иго монголов, свергнутое лишь в середине XIV в., долгие
и тяжелые войны, а главное, сохранение бюрократически-
феодальных отношений и экономический застой надолго
задержали дальнейший прогресс науки в Китае. Укреплению
феодальных порядков содействовали приход в XVII в. к власти
маньчжурских захватчиков а позднее— закабаление великой страны-
капиталистическими иностранными державами. OtXIV—XVI вв.
дошли до нашего времени многие десятки книг по
коммерческой арифметике, пользовавшихся большим спросом со
стороны деловых людей, но математический интерес их
незначителен. С конца XVI в. в Китае начинают знакомиться с новыми
открытиями европейских математиков. Однако в течение
длительного периода уровень оригинальных научных
исследований по математике оставался здесь в Новое время ниже,
чем в Европе. На новый путь творческого развития
математика в Китае стала лишь в результате резкого подъема
национального освободительного движения последних деся-

Д РЕБ НЕКИТ АЙСК АЯ НУМЕ РАЦИЯ
23
тилетий и, особенно, после победы китайского народа и
установления Китайской Народной Республики.
Мы сказали выше, что многие старинные китайские
сочинения по математике не сохранились. К этому следует
добавить, что и дошедшая до наших дней литература изучена
недостаточно, а оригинальные произведения классиков
китайской математики доступны немногим. На европейские языки
переведены полностью только упомянутая «Математика в девяти
книгах» и небольшое сочинение по геометрии; об остальном
приходится судить по изложениям [34, 40]. Многие важнейшие
труды по истории математики в Китае также изданы на
китайском языке [35, 36, 37).
Древнекитайская нумерация. Древнейшие числовые записи
в Китае встречаются на гадальных костях XIV—XI вв. до н. э.
и на гончарной или бронзовой утвари и монетах X—III вв.;
наибольшее встречающееся здесь число 30 000. Уже тогда счет
носил десятичный характер. Соответствующие цифры для
чисел от 1 до 10 приведены в таблице 1. Принцип
образования цифр для первых четырех чисел весьма прост: это
параллельные черточки. Происхожденде цифр для чисел 5—9
неизвестно. Десять опять обозначается одной чертой, только
вертикальной.
В записи больших чисел пользовались как аддитивным,
так и мультипликативным принципами, причем существовали
индивидуальные знаки для 100 и 1000. Так, для 11—14 к
вертикальной черте приставлялось нужное количество
горизонтальных черточек поменьше. Числа 20—40 изображали в виде 2-,
3-, 4-зубцев или перечеркивая знак 10 знаками 2, 3, 4. Для
50 и, скажем, 80 над цифрами 5 и 8 ставили знак 10;
сочетания знаков двойки, тройки и т. д. со знаками 100 и 1000
изображали сотни и тысячи. Некоторые элементы такой
нумерации вошли в состав гораздо более систематической записи
с помощью так называемых цифр-палочек.
С IV века до н. э., может быть и ранее, китайцы
употребляли при вычислениях цифры-палочки (табл. 1), которые были
в ходу на протяжении полутора тысяч лет, до XIII в. и
позднее. Эти цифры также образуются по аддитивному принципу
из вертикальных или горизонтальных отрезков.
Чрезмерного нагромождения отрезков, которое лишило бы запись
наглядности, избегали, присваивая одной палочке значение 5
для чисел 6—?) и соответственно значение 50 для чисел 60—90.
Быть может, здесь мы имеем дело с отзвуком более давнего
пятеричного счета. В данной нумерации всего 18 цифр для
единиц от 1 до 9 и для десятков от 10 до 90; обе группы цифр
весьма сходны, отличаясь лишь расположением. Цифры-па-

24
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
лочки непосредственно изображали при письме, как
представляется число на .счетной доске (абаке) посредством настоящих
палочек. Счет с помощью цифр-палочек имел позиционный
характер. Цифры для единиц служили также для обозначения
Таблица 1. Цифры в древнем и средневековом Китае
(по книге Дж. Нидема)
1
1 1
2
3
4
5
6
7
8
9
to
100
WOO
10000
I 0
i
t
—
»
:n
и
%
¦к
A
X
+
W
I1
К
Ш
1
1
1
a
зр
сань
сы
У
лю
ци
ба
цзш
иш
бай
тянь
вань
лин
—
=
=
=
X
л А
+
)(
S
1
w
*
! -
115
—
=
=
=
X
А
+
)(
К
\
Щ
Цифры-палочки I
//в. до н. «я
-Л//е. н.э.
Еди- Дет-
Huubiku
1 -
II =
III =
1111 ш
inn ш
Tl
т±
ii
wi
XIII в. 1
Единиць/ Десятки
r Ч
1 ~
II =
III =
llll x = x
lllll oi6
T _L
T J_
? i
1 X | X
о 1|
сотен, десятков тысяч и т. д., цифры для десятков — для тысяч,
сотен тысяч и т. д. Принцип поместного значения явно высказан
китайским ученым III или IV в. Сунь-цзы, который писал: «При
вычислениях мы должны прежде всего знать положения чисел.
Единицы вертикальны, а десятки горизонтальны; сотни стоят,
между тем как тысячи лежат; таким образом, тысячи и десятки

ДРЕВНЕКИТАЙСКАЯ НУМЕРАЦИЯ
25
имеют одинаковый вид, и также десятки тысяч и сотни» [34,
стр. 27].
Числа писались в строку. Например, число 6728
изобразится так:
лт=ттг.
Нумерация с помощью цифр-палочек — древнейшая среди
десятичных позиционных систем, как нумерация вавилонян —
древнейшая шестидесятеричная позиционная система. В обеих
нумерациях, однако, позиционный принцип не доведен до
конца: в письменной нумерации с помощью цифр-палочек
недоставало знака нуля. Это объясняется непосредственной
связью счета цифрами-палочками со счетной доской.
Отсутствие знака нуля здесь не мешало: соответствующие ряды
доски просто оставались незаполненными. Вероятно, именно
то обстоятельство, что большинство выкладок даже после
изобретения бумаги велось на абаке, задерживало
совершенствование письменной китайской позиционной системы и введение
знака нуля.
Символ нуля был принесен в Китай извне. О нем впервые
упоминается в одном трактате по астрономии и астрологии,
составленном между 718 г. и 729 г. Автором трактата был индиец
Гаутама Сидхарта, работавший в Астрономическом бюро
Китая; по-китайски его звали Цюйтань Сида. Излагая
индийские приемы вычислений, Цюйтань Сида указывает, что для
обозначения пустого места в столбце абака следует ставить
точку [40, стр. 12]. Такое нововведение привилось, однако,
не сразу. В печати знак нуля в форме кружка встречается
впервые в 1247 г. в сочинении «Девять книг по математике»
Цинь Цзю-шао. Впрочем, некоторые китайские ученые
полагают, что знак нуля введен был в Китае самостоятельно.
В Китае существовали и другие способы нумерации. Весьма
древними и наиболее употребительными при письме были
иероглифические цифры (табл. 1), форма которых
установилась еще в III в. до н. э. и которые применяются и в наше
время, хотя из научной литературы их уже вытеснили так
называемые арабские цифры. В этой системе имелись
специальные знаки для единиц некоторых высших десятичных разрядов
и при записи чисел использовался мультипликативный
принцип, с которым тесно связан и принцип поместного значения.
Здесь нет особых иероглифов для 20, 200, 2000 и т. д., как
в алфавитной системе, и, скажем, для обозначения 200 следует
поставить рядом иероглифы 2 и 100. При этом иероглифы
десятков, сотен и т. д« употребляются только для установления
разряда предшествующей цифры единиц; самостоятельными

26
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
цифрами они не являются. Чтобы выразить 325, следует
записать последовательно друг под другом иероглифы трех, сотни,
двух, десятка и пяти,— если пользоваться римскими
цифрами для десятичных разрядов и арабскими для единиц и писать
в строку, то запись была бы ЗС 2X5. Такая письменная
нумерация непосредственно отражает устную речь (три-ста два-дцать
пять). Ее можно было бы назвать именованной позиционной
десятичной системой без знака нуля.
Мы не будем останавливаться на разновидностях цифр-
иероглифов, например торговых цифрах.
Одни и те же иероглифы высших десятичных разрядов уже
во II в. н. э. имели различные значения. Согласно Сю Е (ок.
190 г.) существовали три варианта системы счета: «верхний»,
«средний» и «нижний».
вань
и
чшао
цзпн
Верхний счет
10*
10»
Ю16
1032
Средний счет
104
108
10"
10"
Нижний счет
104
10б
106
107
Старший разряд назывался цзай, что соответствует в среднем
счете 1044; впрочем, сам Сю Е не идет далее разрядов,
указанных в таблице. Из трех систем счета древнейшим был, согласно
Шэнь Ко, «нижний».
Аналогичное явление встречается и у других народов.
Так, согласно русским математическим рукописям XVII в.,
в средние века на Руси существовали две различные системы
основных единиц высших десятичных разрядов — «малое
число» и «большое число».
тьма
легион
леодр
ворон
Малое число
10*
105
106
~~
Большое
число
106
1012
1024
10*8
Другую параллель представляет счет миллионами,
биллионами, триллионами и т. д., развившийся в Европе в XIV—
XV вв. До сих пор в одних странах биллионы, триллионы
и пр. означают 109, 1012 и т. д., то есть степени тысячи, д в
других 1012, 1018, ..., т. е. степени миллиона.

СЧЕТНАЯ ДОСКА
27
Китайские иероглифические цифры употреблялись
обыкновенно для записи чисел, но не для выкладок. В более позднее
время иногда встречаются записи и вычисления в десятичной
позиционной системе, но с иероглифическими знаками первых
девяти цифр и кружком вместо нуля (см. рис. 1 из одной
китайской арифметики 1355 г., где представлено 3069-45=
=138 105). С аналогичным
явлением мы встречались уже в
александрийской математике и еще
встретимся далее в нумерации
средневековой Европы.
Счетная доска. Как
сказано, сколько-нибудь сложные
вычисления производились на
счетной доске с помощью палочек. рис i#
-Собственно говоря, специальной
счетной доски не требовалось:
ею могла служить любая горизонтальная плоская
поверхность, на которой столбиками раскладывались счетные
палочки. Палочки в древнем Китае были длиной до 15 см
и толщиной до 1/2 см; изготовлялись они из дерева, позднее из
чугуна, а для богатых людей из слоновой кости. Одни и те же
палочки изображали в горизонтальном положении единицы,
сотни и т. д., а в вертикальном — десятки, тысячи и т. д.
Рассмотрим на примерах, как производились с помощью
палочек простейшие арифметические действия [41]. Сложим
9876 и 5647. Сперва оба числа изображают рядом. Затем тысячи
1 ' —
1 II
1 ш
1 1 ш
±
/ 5
1 5
/ 5
/ 4
3
illll
Hill
1111
?
?
5
5
8
8
=
—
±
J_
=L
г
i
7
7
7
Таблица
III
т
т
т
т
3
6
в
в
8
2
т
=§ т
т
ш т
8
5 8
ш J 1
^ Т |
7
4 7
4 7
4 7

28
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
второго слагаемого прибавляют к тысячам первого;
получается 14 876, а от второго слагаемого остается 647. Далее
сотни второго слагаемого прибавляют к сотням первой
промежуточной суммы; аналогично поступают со второй
промежуточной суммой и десятками второго слагаемого и т. д. Все
стадии выкладки представлены в таблице 2 (выкладки следует
читать снизу вверх).
При умножении, скажем, 234 на 24 (табл. 3) низший разряд
множителя 24 ставится под высшим разрядом множимого и
множитель умножается на 2. Результат 48 выкладывается в
средней строке. Затем множитель 24 сдвигается на один разряд
Т аблица 3
\234
24
234
48
24
34
48
24
34
54
24
34
552
24
4
552
24
4
560
24
А
5В1В\
24 \
вправо, цифра 2 в множимом отбрасывается, 24 умножается
на 3 в два приема,— сперва 2 на 3, и 6 прибавляется к 48, что
дает 54, а потом 4 на 3, и 12 прибавляется к 540, что дает
552 и т. д.
Описанные выкладки отличаются от современных тем, что
действия начинаются с высших разрядов и постепенно
переходят к низшим. Такой порядок требовал частого внесения
поправок в результаты, найденные на промежуточных стадиях
выкладки. Другой особенностью является постепенное
исчезновение со счетной доски промежуточных результатов и уже
использованных цифр одного или обоих исходных чисел.
Оба эти момента встречаются также в математике индийцев,
а позднее и в арабской математике1).
Таблица 4
\56/6
24
2
5616
24
2
/676
24
23
8/6
24
23
2/6
24
234
96
24
234\
\
Мы приведем еще пример деления 5616 : 24=234 (см.
табл. 4).
х) Древние греки, по крайней мере при умножении, также начинали
с высших разрядов.

СЧЕТНАЯ ДОСКА
29
Заметим, что до начала деления определяется число разрядов
частного. Для этого делитель, который сперва выкладывается
поразрядно под делимым, передвигается влево до тех пор, пока
начальные цифры делимого не образуют возможно меньшее
число, превосходящее делитель. Тогда число столбиков, на
которые приходится сдвинуть делитель, увеличенное на
единицу, дает число знаков частного. При делении с остатком
на счетной доске в конце концов остается целая часть
частного, а под ней остаток и еще ниже делитель, так что
результат можно было читать как
целое с дробью.
Наряду с
инструментальным счетом, естественно,
применялся в более узких
границах и устный. Знание
таблицы умножения до 9 X 9
было составной частью
математического образования уже
не позднее VIII в. до н. э.
Сохранились такие таблицы,
написанные лаком на
деревянных дощечках и
содержащие произведения от lXl Рис. 2. Китайский суаньпань, на
до 9x9; археологи относят котором отложены числа 108 и 1872.
их к I в. н. э.
Китайские математики достигли большого искусства в
вычислениях с помощью палочек. Пользуясь ими, они
производили не только четыре действия арифметики, но и извлечение
корней и численное решение алгебраических уравнений.
Вычислителей не смущали большие числа. В «Математике »в девяти
книгах» встречаются весьма большие числа,— наибольшее из
16
них 1 644 866 437 500, а его требуется еще умножить на ^.
Мы не располагаем точными свидетельствами о том, как
и котда был создан другой вид китайского абака, суаньпань
(буквально — счетная доска) (рис. 2). Известно, что не позднее
VI в. н. э., а может быть и во II в. н. э., наряду со счетом при
помощи палочек стали применять иные формы
инструментального счета. В старинной книге, приписываемой Чжань Луаном
(ок. 570 г.) Сю Е, описаны два таких приема. В.одном случае
речь идет о доске с несколькими параллельными веревками,
продетыми каждая через пять шариков. Последний шарик на
каждой веревке имел цвет, отличный от четырех других, и означал
5 единиц соответствующего разряда, так что все вместе они
могли означать числа до 9. В другом инструменте чертили
10 горизонтальных прямых и перпендикулярно к ним пере-

30
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
мещали вдоль колонок шарики; числовое значение шарика
в колонке определялось полосой, в которой он находился [40г
стр. 77].
Вероятно, в результате эволюции первой формы доски
возник суаньпань, описания которого встречаются в литературе-
XV—XVI вв. Суаньпань напоминает русские счеты. В
прямоугольной раме суаньпаня протянуты параллельно друг другу
проволоки или веревки числом от 9 и более; перпендикулярно
к этому направлению суаньпань перегорожен линейкой на две
неравные части. В большем отделении на каждой проволоке
нанизано по 5 подвижных шариков, в меньшем отделении по
1 или, чаще, по 2, первые как бы соответствуют пяти пальцам,
а вторые — руке или двум рукам. Проволоки соответствуют
десятичным разрядам; каждый шарик меньшего отделения
имеет значение, пятикратное значению шариков, находящихся
на той же проволоке в большем отделении. Для изображения
чисел шарики сдвигают к поперечной линейке. При
сложении, вычитании и умножении достаточно применять по одному
из шариков меньшего отделения, но при делении выгодно
использовать оба. Как и на русских счетах, вычисления на
суаньпане можно вести с большой скоростью.
В конце средних веков суаньпань получил широкое
распространение не только в Китае, но и в Японии, где
называется соробаном. В меньшем отделении соробана нанизано
по одному шарику с пятикратным значением. Эти приборы
сохраняют в обеих странах широкую популярность до наших
дней, как в СССР русские счеты.
Дроби. Обыкновенные дроби вида — были известны в Китае
издавна. Специального знака для дроби не имелось, и, вообще
говоря, дробь — записывали в виде «га-х долей яг». Для
наиболее употребительных дробей сохранялись также особые
древние наименования и иероглифы. Так, в книгах II—VIII
«Математики в девяти книгах» половина (бань) изображается
иероглифом ^ , одна треть — «малая половина» (шао-бань)
^р^ , а две трети — «большая половина» (тай-бань) ^Щ^ •
В арифметическом руководстве Сяо Яня, составленном около
500 г., есть еще название для одной четверти — «слабая
половина». Наличие особых знаков для основных дробей, как
112 «
о » о » о » не было, как мы знаем, уделом лишь китайской
Ci О О
математики: с этим же мы встречаемся, например, в греческой
нумерации.

ДРОБИ
31
Действия над дробями, также производившиеся на
счетной доске, были разработаны в китайской арифметике весьма
детально; при этом широко применялось сокращение дробей.
Об этом говорит хотя бы то, что первые задачи «Математики
в девяти книгах» посвящены сокращению дробей и
предшествуют их сложению и вычитанию. Правило сокращения
гласит:
«То, что можешь разделить пополам, раздели пополам;
если нельзя разделить пополам, то установи количества
числителя и знаменателя, из большего вычти меньшее;
продолжай взаимно уменьшать до тех пор, пока не получатся равные
[числа]; на это равное число и сократи» [42, стр. 440].
Это лаконичное правило есть не что иное, как отыскание
наибольшего общего делителя двух натуральных чисел с
помощью так называемого алгоритма Евклида. Алгоритм Евклида
для двух не простых между собой чисел а и Ъ можно
представить схемой
a — bq = rv
ь - ГгЯг = ra,
' П-2. 'п-1Чп-1 ' 71»
' п-1 == 'пЧп'
Впрочем, у Евклида, как и у китайских математиков, речь
идет не о делении ти-\ на гк, а о вычитании rft из г&_а
наибольшее возможное число раз. Общий наибольший делитель
получается, когда «при постоянном отнятии меньшего из большего
останется некоторое число [именно гп.—А. ЮЛ, которое
измерит предыдущее» 133а, I, стр. 12]. Схематически представляя
алгоритм «Математики в девяти книгах», мы должны только
заменить последнюю строку написанных выше равенств
следующей:
гп-1 ~~ гп \Яп "— 1) = гп>
здесь общий наибольший делитель гп появляется, когда
«получатся равные числа». Первые слова китайского правила
хранят, быть может, след времени, когда сокращали дроби в
простейшем случае четных числителя и знаменателя.
Действия над дробями описаны в древнекитайских книгах
очень сжато и не всегда ясно. Это, впрочем, относится и ко
многим другим правилам и объясняется тем, что они
подробнее объяснялись устно. Согласно правилу книги I
«Математики в девяти книгах» знаменатель суммы дробей получали

32
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
просто перемножением знаменателей слагаемых; о
составлении наименьшего общего кратного не говорится. После
сложения дробей полученную сумму сокращали. В книге IV того же
сочинения в задачах 1—11 последовательно требуется
складывать дроби
и в качестве общих знаменателей берутся 2, 6, 12, 60, 120, 420,
840, 2520, 2520, 27 720, 83 160. Здесь все знаменатели, за
исключением двух (120 и 83 160), являются общими
наименьшими кратными. Возможно, что здесь был использован более
совершенный прием составления общего наименьшего
знаменателя нескольких дробей, однако явно он не сформулирован.
Современное правило приведения к общему наименьшему
знаменателю восходит на Востоке к Абу-л-Вафе (X в.), а в Европе
к Леонардо Пизанскому, широкое употребление оно получило
только в XVI-XVII вв. [33, I, стр. 171-172].
Для деления числа на дробь делимое прямо умножали на
знаменатель делителя и результат делили на числитель. Это
столь привычное для нас правило встречается в китайской
математике впервые; позднее мы находим его у индийских
ученых Брахмагупты (VII в.), Магавиры (IX в.) и Бхас-
кары (XII в.).
Математики древности и средних веков при делении
обыкновенных дробей приводили оба числа сперва к общему
знаменателю, после чего числитель делимого делили на
числитель делителя. Так поступали древние греки и византийцы,
математики арабских стран и средневековой Европы. Только
М. Штифель в 1544 г. вновь сформулировал правило деления
на дробь в форме умножения на обратную дробь и специально
подчеркнул простоту этого приема.
Стоит заметить, что ученые Китая уже в давние времена
рассматривали как частный случай дроби и единицу; это видно
из первых задач книги IV «Математики в девяти книгах».
Десятичные дроби. Десятичный счет был распространен
в Китае и на дроби: здесь ранее, чем где-либо, пришли к
десятичным дробям; связано это было с развитием десятичной
системы мер. Уже во II в. до н. э. в Китае применялась развитая
система мер длины:
1 чи (фут) =10 цунь,
1 цунь =10 фэнь,
1 фэнь =10 ли,
1 ли =10 фа,
1 фа =10 хао.

ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
33
В 111 веке эта система мер длины получила дальнейшее
развитие, и тогда же наряду с другими системами появляются
десятичные системы объемов и веса. В конце X в. была
официально установлена десятичная система мер веса с
нисходящими единицами
1 лан=10 цянь,
1 цянь=10 фэнь,
1 фэнь=10 ли,
1 ли=10 хао,
1 хао=10 сы,
1 сы=10 ху.
История китайских десятичных мер изучена пока не
полностью. Возможно, что их развитие было обусловлено широким
распространением в быту и хозяйственной деятельности
десятичной по своей структуре счетной доски. Есть
предположение, что метрологические термины первоначально
служили для наименования разрядов столбцов абака. Так или
иначе, эти же термины получили математическое значение
как названия разрядов десятичных дробей.
Проникновению десятичных дробей в математику
способствовало большое место, отводившееся в математических
сочинениях измерению площадей и объемов. Комментатор
«Математики в девяти книгах» Лю Хуэй в III в. записывал длину
диаметра в 1,355 фута в терминах мер длины: 1 чи 3 цуня
5 фэней 5 ли. Он же при извлечении нецелых корней
рекомендовал пользоваться дробями со знаменателями 10, затем 100
и т. п.
Таким образом, сначала десятичные дроби выступили
в виде именованных чисел — единиц десятичной системы мер;
понемногу последние приобретают характер отвлеченных
десятичных дробей. Еще в VII в. десятичное приближение для
я^З,1415927, полученное в V в. Цзу Чун-чжи при диаметре,
равном 108 футов, писали в виде: 3 чжана 1 чи 4 цуня 1 фэнь
5 ли 9 хао 2 мяо 7 ху. Но уже вскоре стали иногда опускать
названия различных разрядов, отделяя лишь специальным
иероглифом «дянь» (точка) целую часть числа от дробной.
Примеры с десятичными дробями — мерами и извлечение
корней в десятичных дробях встречаются в сочинениях
алгебраистов XIII в. Например, Ян Хуэй в ряде случаев переводит
дроби в десятичные и уже затем приступает к вычислениям.
Определяя площадь прямоугольного поля с шириной 24 шага
/ я
3 и^ фута и длиной 36 шагов 2 Итл фута, он переводит все
в десятичные доли шага (шаг=5 футам) и затем перемножает
24,68x36,56=902,3008.

34
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
Мы не будем останавливаться на особенностях
терминологии ученых XIII в. Ян Хуэя, Цинь Цзю-шао, Ли Е и Чжу
Ши-цзе. Заметим лишь, что последний применял термин
сяо-шу, означающий десятичную дробь и в настоящее время.
По-видимому, китайские ученые XIII в. оценили удобства
вычислений с десятичными дробями. Впрочем, еще в V или VI в.
Сяо Янь говорил, что при делении на степень 10 делить,
собственно, не требуется [40, стр. 82 и ел.].
Открытие десятичных дробей явилось выдающимся
достижением математиков Китая. Однако десятичные дроби вплоть
до конца рассматриваемого периода оставались тесно
связанными с десятичной метрологией. Более полное и
систематическое развитие система десятичных дробей получила у Джем-
шида ал-Каши в XV в. и позднее у голландца С. Стевина
в XVI в.
«Математика в девяти книгах». Обратимся к центральному
сочинению старинной китайской математической литературы
«Математике в девяти книгах» («Цзю чжан суань шу») [42, 43].
В этом трактате были подведены итоги многовековой работы
математиков, живших в 1-м тысячелетии до н. э., и он же
оказал сильнейшее влияние на все последующее развитие
математики в Китае, а отчасти и за его пределами. Как говорилось,
этот трактат — древнейший дошедший до нас специально
математический китайский труд. Написана «Математика» на
древнем языке, значительно отличающемся от современного
китайского литературного языка.
Точное время составления, источники, авторы «Математики
в девяти книгах» неизвестны. Лю Хуэй, комментировавший
«Математику» в III в., сообщает, что она была составлена по
более ранним сочинениям видным чиновником финансовой
службы Чжан Цанем, ряд лет занимавшим пост главного
министра. Чжан Цань, согласно древнекитайской хронике,
умер в 152 г. до н. э. Тот же Лю Хуэй сообщает, что примерно
100 лет спустя книга была подвергнута переработке другим
крупным чиновником и министром Гэн Чоу-чаном, расцвет
деятельности которого приходится на царствование
императора Сюань-ди (73—49 до н. э.),
«Математика» дошла до нас в редакции Лю Хуэя 263 г.
и вытеснила другие аналогичные книги эпохи Хань, из
которых не сохранилась ни одна. Она многократно
переписывалась и комментировалась, а во времена династии Тан была
включена в сборник «Десять образцовых трактатов по
математике», официально принятый еще в 656 г, как основное
руководство. Первое известное нам печатное издание этого
сборника появилось в 1084 г.

«МАТЕМАТИКА В ДЕВЯТИ КНИГАХ»
35
Содержание «Математики в девяти книгах» разнообразно.
Собственно говоря, это была энциклопедия математических
знаний для землемеров и строителей, финансовых работников
и хозяйственников, купцов и ремесленников и т. д. В
каждой книге, чуть ли не в каждой задаче чувствуется биение
пульса экономической и административной жизни огромного
государственного организма: речь идет здесь об обмене
продуктов, строительстве каналов и плотин, возведении
крепостных стен, наборе рабочих, налогах, распределении добычи
и т. д. Мы уже приводили характерные названия ряда книг,
вроде «Измерения полей». Впрочем, есть и книги с чисто
математическими названиями. Весьма своеобразно
распределение материала в «Математике». Разнородные по
существу задачи нередко собираются в одной книге, причем
объединяющим началом служит не общность метода, а единство
объекта задач или связь задач с точки зрения
профессионального интереса и т. п. Например, в книге IX собраны задачи,
в которых применяются прямоугольные треугольники, причем
в одних основную роль играет теорема Пифагора, а в других —
подобие, в одних требуется решать квадратные уравнения,
а в других неизвестная величина находится из простой
пропорции.
В «Математике» ярко отражено то нерасчлененное
состояние нашей науки, о котором говорилось выше (ср. стр. 16).
Не выделяется особо геометрия, и характерно, что одна часть
геометрических сведений изложена в книге I под названием
«Измерение полей», другая (измерение объемов) — в книге V
под названием «Оценка работ», а задачи на прямоугольные
треугольники — в книге IX.
Изложение «Математики» — строго догматическое. Это —
собрание 246 задач без вводных текстов, предварительных
разъяснений и пр. Всякий раз сперва формулируется задача,
затем сообщается ответ и, наконец, в сжатой форме
указывается способ решения, начинающийся словами «согласно
правилу...». Во многих случаях текст не достаточен для того,
чтобы даже смышленый читатель мог сам разобрать его.
Изучение этого труда предполагало уже знакомство с некоторыми
начальными сведениями (например, со счетом и с
употреблением абака) и нуждалось в многочисленных устных
пояснениях учителя.
Книга I «Математики», называемая «Измерение полей»,
содержит правила вычисления площадей некоторых простых
прямолинейных фигур, круга и его частей, а также
вспомогательные сведения об арифметических операциях над дробями.
Книга II «Соотношение между различными видами зерно-
бых культур» открывается обширной таблицей норм взаимного

36
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
обмена различных зерновых культур — проса, принятого за
50, грубо обработанного пшена (30), очищенного пшена (27),
лучше очищенного пшена (24), пшена для князей (21), бобов,
пшеницы, гороха, риса, винной закваски и др. Далее следует
31 задача на определение количества того или иного сорта
продуктов, подлежащего обмену на данное количество другого
сорта. К этим задачам, выражающимся пропорциями с одним
неизвестным, примыкают задачи на расчет стоимости одного
или нескольких одинаковых предметов по известной стоимости
данного числа тех же предметов. Такие задачи впоследствии
получили в Европе название задач на тройное правило. В
последних задачах книги II определяется стоимость нескольких
различных предметов по условиям, которые выражаются
неопределенными линейными системами, правда, имеющими
единственное целое решение.
В книге III о «Делении по ступеням» содержится несколько
задач на раздел величин пропорционально данным числам.
В средневековой европейской литературе такие задачи
объединяли под рубрикой правила товарищества. Например, в
первой задаче книги III требуется распределить пять оленьих
туш между чиновниками различного ранга пропорционально
числам 5:4:3:2:1. В пятой задаче нужно определить,
сколько рабочих должен выставить для несения повинности
каждый из трех уездов, если всего требуется 378 человек,
а доли уездов соответственно количествам плательщиков
подушного налога пропорциональны числам 8758 : 7236 : 8356.
Ответы приходится округлять, так как вычисления непосред-
* .оЛ1637 4„о 4004 .оп 8709
ственно дают дробные числа 135 121?5, И212175 и 129 Ш75 .
Есть задачи на тройное правило.
В книге IV «Шао гуан»1) речь идет об отыскании стороны
прямоугольника по площади и другой стороне, стороны
квадрата по его площади и ребра куба по его объему, а также
диаметров круга и шара.
Книга V «Оценка работ» имеет предметом измерение объемов
стен, каналов, плотин, рвов различной, иногда довольно
сложной формы и вычисление числа рабочих, потребного для
различных строительных работ. Например, даются общий объем
работы и выработка одного человека зимой, весной, летом
и осенью; ответы нередко дробные и подлежат округлению.
В книге VI «Пропорциональное распределение» собраны
линейные задачи различного содержания. Важная серия задач
посвящена вычислению размеров зерновых поставок четырех
уездов с учетом постепенно усложняющихся условий: поставки
2) Термин этот трудно переводим, и ему дают различное толкование.

«МАТЕМАТИКА В ДЕВЯТИ КНИГАХ»
37
пропорциональны числу дворов, обратно пропорциональны
числу дней пути до места доставки; затем принимаются во
внимание стоимость зерна в данном уезде и дальность перевозки
и пр. Тут же находятся разнообразные задачи на определение
пути, пройденного (или времени, истекшего) до места встречи
следующими друг за другом или идущими друг другу навстречу
путниками, и задачи на бассейны, которые примерно в ту же
пору решали в далекой Александрии. Очень интересна одна
задача на арифметические прогрессии, к которой мы еще
вернемся (стр. 93—94).
В книге VII об «Избытке и недостатке» даются приемы
решения систем двух уравнений первой степени с двумя
неизвестными. Один из приемов есть правило двух ложных
положений, которое сперва применяется к одному уравнению с одним
неизвестным.
Книга VIII «Фан-чэн» содержит общий алгоритм решения
определенных линейных систем со многими неизвестными1).
Наконец, в книге IX «Гоу-гу», как говорилось, собран ряд
задач на применение прямоугольных треугольников. Среди
них есть задачи на определение расстояний до недоступных
предметов, глубины колодца и др. Книга именуется «Гоу-гу»,
так как гоу называли меньший, и притом горизонтальный,
катет прямоугольного треугольника, а гу — больший
вертикальный; гоу-гу означало также саму зависимость,
выражаемую теоремой Пифагора.
Несомненно, что отдельные книги «Математики» были
написаны в разное время и соответствовали разным уровням
состояния науки. Задачи иногда в пределах одной книги
отличаются весьма различной степенью абстрактности. Одни имеют
действительно практический характер и могли служить
образцом, для решения таких же или близких задач землемерия,
торговли и т. д. Другие представляют собой упражнения
отвлеченного содержания, хотя и выраженные в псевдопрактической
форме. Это — теоретические задачи позднейшего
происхождения, возникшие из задач первой группы путем их нарочитого
усложнения или видоизменения, например обращенияданных
и искомых величин. Особенно много таких задач в трех
последних алгебраических книгах, но они встречаются и в
начальных книгах, которые, по-видимому, более древнего
происхождения. Любопытна задача 18 книги I, в которой требуется
разделить некоторую сумму между 3 ^ людьми. Ничего
подобного в математических руководствах других древних народов
мы не встречали.
L) Фан-чэн и означает этот алгоритм.

38
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
В силу такой разнородности «Математика в девяти книгах»
в целом значительно превосходила потребности широких
кругов низших служащих, торговцев и пр., для которых
издавалось много других, более элементарных учебников,
содержавших начальные сведения о четырех действиях арифметики,
о простейших задачах на тройное правило и на измерение
простейших фигур.
Рассмотрим теперь важнейшие методы и идеи, содержащиеся
в «Математике в девяти книгах».
Линейные задачи; первый метод избытка и недостатка.
Трактовка задач, приводящихся к системам уравнений первой
степени, излагаемая в книгах VII и VIII «Математики в девяти
книгах», заслуживает подробного анализа. В этом случае, как
и в некоторых других, мы имеем дело с наслоением в
китайском трактате приемов, разработанных в достаточно
отдаленные друг от друга времена.
На протяжении сочинения мы наблюдаем постепенное
усложнение линейных задач и усиление методов их решения, начиная
с простой пропорциональности (тройное правило и т. п.),
продолжая правилами решения частных видов систем с двумя
неизвестными, затем решением таких же, но уже
произвольных систем по способу двух ложных положений, и кончая
общим алгоритмом решения любой определенной системы со
многими неизвестными, приведенной к канонической форме.
При этом более общие методы и, очевидно, более поздние
решения систем со многими неизвестными не вытесняли
частных способов решения систем с двумя неизвестными. Нет
и указаний на связи между теми и другими приемами.
Древнейшими, несомненно, являются два метода «избытка
и недостатка», применяемые в книге VII к линейным
системам двух уравнений с двумя неизвестными. Первый метод
«избытка и недостатка» применяется к кругу задач (задачи 1—8),
в которых коэффициенты при одном из неизвестных равны
единице. Название метода связано с тем, что в задачах идет
речь об избытке или недостатке некоторой денежной суммы.
Например, во второй задаче книги VII ищется число
покупателей и стоимость покупаемой вещи при условиях: а) если
каждый покупатель внесет «норму» 9, то избыток будет 11;
б) если каждый внесет «норму» 6, то недостаток будет 16.
Правило решения формулируется словесно. Из текста ясно, что
вычисления ведутся на счетной доске, на которой
выкладываются данные коэффициенты. Между прочим, правило
сообщается только после задачи 4.
Поскольку составители «Математики» оперируют в
книге VII только с положительными числами, то метод «избытка

ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ; ПЕРВЫЙ МЕТОД ИЗБЫТКА И НЕДОСТАТКА 39
и недостатка» разделяется на три различных правила. В
первом из них речь идет о решении задач, выражающихся в
наших обозначениях системой
(о1>аа); (1)
a2x = y — d2 J
-здесь нормы суть av а2, избыток dx, недостаток d2.
Согласно правилу следует отложить на доске вносимые
нормы, под ними поместить соответствующие избыток и
недостаток, перемножить те и другие накрест и составить сумму
этих произведений «ши», сумму избытка и недостатка «фа»,
а также разность большей и меньшей норм. Частные от
деления «ши» и «фа» на разность норм дают соответственно
стоимость вещи и число покупателей. При наличии дробей их
предварительно приводят к общему знаменателю: это позволяет
затем во всех выкладках иметь дело только с целыми
числителями.
В наших обозначениях алгоритм решения системы (1)
выглядит так: из чисел
аг а2
dx d2
образуются
ши = a1d2 + a2d1,
фа = dx + d2,
разность = ах — а2
и неизвестные вычисляются по формулам
х_ dx-\~d2 fl^2+Mi *2)
а1 а2 ' а1 — а2
В том же правиле содержится другой вариант решения.
Сначала определяется
а1 — а2
а затем из уравнений (1) находится
y = a1x-d1
или
y = a2x~\-d2.
Правило вычисления у в первом варианте, очевидно, было
сголучено с помощью алгебраических преобразований. Скорее
всего, здесь было применено исключение х путем уравнивания

40
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
коэффициентов: именно этот способ используется в книге VIII
«Математики».
К правилу «избытка—недостатка» примыкают два анало-
логичных: «оба избытка — оба недостатка» и «избыток —
равновесие или недостаток —равновесие».
В правиле «оба избытка—оба недостатка»
рассматриваются задачи, выражаемые системами
a&^y + dn
a2x = y + d2
или
a1z = y — d1,
a2x = y—d2,
с решениями (положительными)
di—fl?2
.я = -
У =
а1 а2
а>\—я2
ИЛИ
X = •
d*—d-y
Во втором варианте решения
dx—с?2
ai—а2
#1^2 a2^i
или
а1 а2
у = ахх — dx = а2х ¦
d2—di
(3)
(4)
(5)
(6)
(7>
(8>
а1 а2
у = агх + dx = а2х + d2
Правило «избыток — равновесие или недостаток — равнове
сие» применяется к задачам, выражающимся системами
a1x = y + dv
а2х = у
или
a1x = y — du
а2х = у,
(9)
(Ю>

ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ; ВТОРОЙ МЕТОД ИЗБЫТКА И НЕДОСТАТКА 41
с решениями
X = ¦
И)
у = а2х
или
dx
X = ¦
а2 — а1
у-=а2х.
(12)
В описанных правилах нашла отражение важнейшая черта
математики древнего Китая, со все большей отчетливостью
выступающая в дальнейшем: стремление к созданию детально
разработанных вычислительных алгоритмов для решения
определенных комплексов задач. Насколько известно, такой
регулярный прием решения линейных систем с двумя
неизвестными встречается впервые в китайской литературе.
Здесь речь шла об уравнениях, в которых коэффициенты
при одном из неизвестных равны единице. Более общий
случай системы двух уравнений с двумя неизвестными решается
далее в той же книге VII по другому способу, который,
впрочем, сначала не выделяется и даже фигурирует под тем же
названием. Этот другой способ решения линейных задач получил
затем широкое распространение в индийской, арабской и
европейской литературе. По-арабски этот прием был назван
правилом двух ошибок (стр. 202), а в Европе — правилом двух
ложных положений — regula duorum falsorum positionum.
Линейные задачи; второй метод избытка и недостатка или
правило двух ложных положений. Правило двух ложных
положений в применении к линейному уравнению с одним
неизвестным
ах=Ь (1)
или
ах + с = Ь (Г>
заключается в том, что неизвестному приписываются два
отличных от истинного значения х1 и х2, порождающих при
подстановке в левую часть ошибки ^ и й2:
ax1 = b + d1, | ^
ах2= Ъ +d2.
Отсюда легко получить пропорцию
хг—X б?!
х* — х dc

42
ГЛ. I МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
и значение х:
х= d2-dx ' W
Конечно, к задачам типа (1) применять правило двух
ложных положений нет особого смысла. Историческая роль
правила двух ложных положений определялась тем, что оно дает
удобный алгоритм для автоматического решения любых как
угодно сложных задач, выражающихся линейным уравнением
с одним неизвестным, причем не требуется ни анализа задачи,
ни ее представления в форме алгебраического уравнения, ни
ее приведения к «канонической» форме (1). Более того,
правило распространяется на системы уравнений с несколькими
неизвестными. Если, например, дана система
а2х + Ь2у = с2, )
то, придавая х значения хх и х2, затем определяя
соответственные значения у1 и у2 из первого уравнения системы и
подставляя все во второе, мы фактически сводим систему к одному
уравнению с одним неизвестным
а2х + Ъ2 (^7^) = с2- (5)
По правилу ложных положений в книге VII «Математики»
решены задачи 9—20 с одним или двумя неизвестными. Во
всех 12 случаях одно ложное положение дает результат
недостаточный, а другое — избыточный, т. е. ошибки разных
знаков. Поэтому, если пользоваться только положительными
числами, решение имеет вид
x1d2-\-X4,di /о/\
Вероятно, структурное сходство выражения (2) для у в первом
методе «избытка — недостатка» и выражения (3') для х во
втором1) было причиной одинакового названия и объединения
этих двух различных приемов, относившихся, к тому же,
к различным типам задач. Для читателя первые девять задач
на метод ложных положений должны были представить
большую трудность, так как по формулировке они вовсе не похожи
г) А также уравнений (1) предыдущего параграфа и (2) настоящего
{причем d2 в последнем случае выступает как вычитаемое) [ср. 43а].

ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ, ВТОРОЙ МЕТОД ИЗБЫТКА И НЕДОСТАТКА 43
на предыдущие1), а совет применить здесь правило «избытка—
недостатка» был без дополнительных разъяснений непонятен, так
как, например, в выражении (3') делитель есть сумма избытка
и недостатка, а в первом методе эта сумма давала делимое (для х),
делителем же служила разность норм. Формулируется правило
лишь в задаче 18, которую мы и рассмотрим, заметив
предварительно, что мера веса цзинь=16 лан=16-24 чжу.
В задаче ищутся веса золотого и серебряного слитков по
условиям: 1) вес 9 слитков золота равен весу 11 слитков
серебра, 2) если обменять местами слиток золота и слиток серебра,
то золото станет легче на 13 лан. Иными словами,
8х + у + 13 = 10у + а. J
Вычисления ведутся на счетной доске, и, как говорилось о
первом методе «избытка и недостатка», общие знаменатели не
вык л а дыв аются.
Сначала берется «норма» х1=3 цзинь=48 лан, так что по
первому уравнению системы (6)
5 3
уг = 2 jj цзинь = 39 л лан;
следовательно, во втором уравнении системы (6) слева имеется
недостаток 49/11 лан,— в тексте говорится о недостатке 49.
Затем принимается «норма» х2=2 цзинь=32 лан, причем
7 2
У2 = ^л Цзинь = 26 -jj лан;
следовательно, во втором уравнении системы (6) слева имеется
избыток в jj лан,— в тексте говорится об избытке 15. Далее
рекомендуется умножить избыток 15 и недостаток 49 накрест
х) Вот две первые задачи на правило ложных положений:
№ 9) В бочке в 10 доу есть неизвестное количество пшена. Бочка
дополнена неочищенным просом, и еслп последнее очистить, то всего получится
7 доу пшена. Задачу можно выразить уравнением
х + у(10-*)=7,
— коэффициент перехода от проса к пшену из книги II «Математики».
о
8 трактате берутся «нормы» хг= 2, х2— 3.
№ 10) Наверху стены в 90 цуней растет тыква, стебель которой за день
вырастает на 7; внизу растет кабачок, стебель которого вырастает за день
на 10. Когда они встретятся? Задача может быть выражена уравнением
(7+10)ж=90.
В трактате принимается хг= 5 и х2= 6.

44 ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
на принятые нормы, т. е. на 2 и 3, и сумму произведений
поделить на сумму избытка и недостатка,— это и даст вес слитка
золота
2-49+3.15 о о 4о /ггч
х = 15_! /о цзинь = I цзинь 6 лан 18 чжу. (7)
Наконец из первого уравнения системы (6) находится:
y=j-x = l цзинь 13 лан 6 чжу. (8)
В «Математике» рассмотрен случай правила двух ложных
положений, когда ошибки — различных знаков. Разбор
случаев ошибок одинакового знака встречается затем в арабской
литературе.
Правило двух ложных положений, дающее точное решение
линейных задач, есть вместе с тем один из методов
приближенного решения нелинейных уравнений и интерполирования.
Для линейной интерполяции его использовал при составлении
таблиц хорд александрийский астроном Птолемей.
Системы линейных уравнений со многими неизвестными.
Метод фан-чэн, изложенный в книге VIII, является вершиной
достижений китайских ученых в решении линейных задач.
Это — регулярный алгоритм решения системы п линейных
уравнений с п неизвестными. Пользуясь символикой, можно
сказать, что метод фан-чэн применяется к канонической
системе:
Яцж1 ~Ъfli2^2"i~ ••• ~Ьainxn — ^1»
а2\Х\ "Г ^22*^2 "Г ••• "+" а2пХп == ^2»
«in»! + «пЛ + • • • + «„А = Ъп.
(1)
Система изображается на счетной доске таблицей фан-чэн,
вполне заменяющей нашу запись (1) и в некотором смысле
более простой, так как не требуется выписывать символы
неизвестных. Коэффициенты каждого уравнения выкладываются
вверху вниз, уравнения следуют справа налево:
ап1 . . . а21 ап ч
йп2 • • • #22 а12
У (2)
апп • • • а2п а1п
ьп ... ьг ъх

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ со многими НЕИЗВЕСТНЫМИ 45
Таблица (2), или, выражаясь современным языком, матрица
системы (1), преобразуется путем последовательного
вычитания элементов первого (справа) столбца из чисел, равных
соответственным элементам второго, третьего и т. д.
столбцов, умноженным на alv причем вычитание ведется до тех
пор, пока вся первая строка, за исключением элемента аи,
яе будет состоять из пустых мест1). Далее аналогично
поступают с частью преобразованной таблицы, обведенной чертой:
а12
i } (3)
аы |
ьг )
Продолжение этого процесса приводит в конце концов к таблице
0>пп
?01-1)
Очевидно, что преобразования соответствуют последовательному
исключению неизвестных и составлению вспомогательной
системы
а11х1 + а12х2 + ... +а1пхп = Ьх, \
а$х2+ ... +a$fcn = b$\ |
^(П-1)^ _ /,(71-1) I
Неизвестные хп, хп_г ,..., х1 вычисляются затем по порядку
«с помощью таблицы (4).
*) Коэффициенты в задачах «Математики» — целые числа.
ОЙ .
апп .
7Л1)
ип
¦ аЙ
• а&
. ьр
а®
aSS
ЬГ
«Й
а&
ър
ап
«12
•
ат
h
(4)

46
ГЛ. 1. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
Иллюстрируем эту общую схему первой задачей книги VIII,
на основе которой и формулируется правило фан-чэн:
3 снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего и 1 сноп плохого
урожая дают 39 доу зерна; 2 снопа хорошего урожая, 3
среднего и1 плохого дают 34 доу;
I II ||| 1 сноп хорошего, 2 снопа
среднего и 3 плохого дают 26 доу
(рис. 3). Спрашивается, сколь-
|| HI || ко зерна дает каждый сноп
хорошего, среднего и плохого
урожаев?
||| | | В тексте книги задача
излагается словесно. Исходная
таблица фан-чэн представлена
нами на рис. 3.
Основные этапы преобра-
Рпс. 3. зований таблицы, которые в
китайском трактате не
выписаны, но непосредственно определяются словесно выраженным
правилом, таковы:
Исходная таблица:
1
1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
Преобразование второго столбца,
жаются на 3:
1 3
2 5 2
3 1 1
26 24 39
Преобразование третьего столбца,
жаются на 3:
3
4 5
8 1
39 24
2
1
39
элементы которого умно-
Преобразование левого столбца урезанной таблицы, эле-
.иенты которого умножаются на 5:
3
5 2 (4')
1 1
36
99 I 24 39

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ со многими НЕИЗВЕСТНЫМИ 47
Последняя таблица выражает систему уравнений
3x + 2y + z = 39, |
36z = 99. J
Способ вычисления неизвестных из преобразованной
таблицы (4') формулируется применительно к действиям на
счетной доске с целыми числами, в обход действий с дробями.
В правиле сказано, что верхнее число левого столбца есть
знаменатель дроби, выражающей z> а нижнее число — его
числитель. Это верхнее число принимается за общий
знаменатель всех трех неизвестных. Числитель для у находится из
среднего столбца следующим образом: из произведения
нижнего числа среднего столбца на общий знаменатель вычитается
числитель дроби для z и разность делится на верхнее число
среднего столбца. Наконец, числитель для х получается так:
из произведения нижнего числа правого столбца на общий
знаменатель вычитается числитель дроби для z и умноженный
на второе число правого столбца числитель дроби для г/, а
разность делится на верхнее число правого столбца. Итак,
99 _9 3
Z==36-ZT'
24.36 — 99 оа 153 , 1
У- § :3б=36-==4Т'
39-36—99—2-153 ос 333 п 1
х = з :36=зб- = 9Т-
В книге VIII есть также задачи на системы с двумя,
четырьмя и пятью неизвестными. Вот пример задачи с пятью
неизвестными в современной символике:
9ж + 7г/ + 32 + 2н + 5а=140, |
1х + 6у + 4z + 5и+ 3v = 128,
3x + 5y+7z + 6u + 4v=116, J
2x + 5y + 3z + 9u + 4v = 112,
x + 3y + 2z + Su -f 5v = 95. ]
Здесь #=7, #=4, я=3, и=5, г?=6.
Хотя правило фан-чэн пояснено в «Математике» на
конкретном примере системы с тремя неизвестными, оно изложено
достаточно общим образом. Ученые других стран и раньше
решали линейные задачи, но единообразный алгоритм решения
канонической системы линейных уравнений с любым числом
неизвестных явился открытием ученых Китая,

48
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
Преобразование таблицы фан-чэн (2) напоминает нам
действия над столбцами матриц и определителей. В своем
дальнейшем развитии на Востокех) метод фан-чэн действительно был
преобразован в своеобразное учение об определителях, прежде
всего в рукописном труде японского математика Секи Шен-
суке Кова (1683). В Европе первый подход к регулярному
решению системы линейных уравнений мы встречаем у
Леонардо Пизанского и затем у Дж. Кардано (1545)2). Вполне
отчетливо высказал идею о введении определителей в связи
с исключением неизвестных Г. В. Лейбниц в письме к Г. Ф. Ло-
питалю (1693); подробнее ее разработал и применил к решению
линейных систем Г. Крамер (1750).
Отрицательные числа. В книге VIII «Математики» впервые
в истории науки встречается различение положительных
и отрицательных чисел. По всей вероятности, отрицательные
числа были введены именно при распространении метода фан-
чэн на любые линейные задачи. Отрицательные числа
требовались уже при составлении канонической таблицы (2), ибо,
вообще говоря, исходные условия задач не выражаются сразу
системами вида (1). Отрицательные числа требовались также
при преобразовании таблицы (2) к виду (4). Здесь важное
значение имело применение счетной доски, где нужно было как-то
отличить друг от друга палочки, изображающие коэффициенты
прибавляемых и вычитаемых величин, и где эти палочки жили,
так сказать, самостоятельной жизнью, независимо от условий
задачи.
С преобразованиями к канонической таблице (2),
соответствующими переносу членов равенства с одной стороны на
другую, мы встречаемся в нескольких задачах книги VIII,
в которых снова речь идет об определении количеств зерна
в снопах хорошего, среднего и плохого урожаев. Так, для
задачи № 4, непосредственно выражающейся условиями
5з —11 = 7у,
7я-25 = 5г/,
х) О задачах на метод фан-чэн у Сунь-цзы см. [436].
2) Кардано дал механическое правило решения систем двух
уравнений по коэффициентам
агх + bxy = с1? а2х + Ьгу = с2.
Выписав числовые коэффициенты в две строки, оп на примере
формулирует правило

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
49
таблица фан-чэн будет:
7 5
—5 —7
25 11
В другой задаче (№ 5) с условиями
6ж—18 = 10у,
15?/— 5= Ъх
таблица должна иметь такой вид:
-5 6
15 -10
5 18
Для различения положительных и отрицательных
коэффициентов (и отдельных чисел!) введены были специальные
термины и особые палочки, а позднее — знаки. Положительные
элементы таблицы назывались чжэн, отрицательные — фу1).
Согласно Лю Хуэю, первые изображались красными счетными
палочками, а вторые — черными. Такой способ изображения
применялся и в книгопечатании: в эпоху Сун положительные
числа нередко печатали красным цветом, а отрицательные —
черным. Существовали и другие приемы, например, числа
чжэн изображали палочками с треугольным сечением, а числа
фу — с квадратным или же в первом случае палочки клали
вертикально, а во втором — наклонно. Ли Е в середине
XIII в. изображал отрицательные числа цифрами —
палочками, перечеркивая наискосок последнюю цифру, так,
—10 724 имеет вид
ютг=ж
В развитии математических понятий часто не легко
установить грань, при переходе через которую они приобретают
новый смысл. Трудно сказать, когда отрицательный
коэффициент начинает восприниматься или вправе быть истолкован
как отрицательное число. Диофант и, надо думать, какие-то
его предшественники знали правила действий над
коэффициентами вычитаемых количеств, входивших в состав
многочленов наряду с прибавляемыми количествами и писавшихся
обязательно следом за последними. Диофант даже
формулировал правило: вычитаемое, умноженное на вычитаемое, дает
прибавляемое, а вычитаемое, умноженное на прибавляемое,
дает вычитаемое. Тем не менее у Диофанта не было отрицатель-
г) Слово чжэн означает правильный, справедливый и т. п. Слово фу
имеет значения долг, недостаток и т. п., а также ложный.

50
ГЛ I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
ных чисел. Вычитаемые числа не были у него самостоятельным
объектом и правила действий над знаками имели отношение
только к членам разностей, вроде наших а—Ъ или ах2—Ьх
и т. п., в которых уменьшаемое больше вычитаемого. В
математике древнего Китая вычитаемые коэффициенты выступают
как самостоятельные объекты. Сам способ представления на
счетной доске содействовал их восприятию изолированно от
других чисел или от тех количеств, коэффициентами которых
они могли быть. Символ типа — а фигурирует в китайской
науке не только в составе разностей, в которых уменьшаемое
больше вычитаемого, но и как результат вычитания большего
количества из заведомо меньшего. Это была принципиально
новая мысль исключительной важности.
Надо думать, что сначала метод фан-чэн применяли в
задачах, где преобразования таблицы (2) требовали вычитания из
данных чисел — меньших. Применение того же алгоритма
к другим задачам неминуемо должно было натолкнуться на
трудность, связанную с вычитанием больших чисел из
меньших, или, так сказать, из ничего.
Приведем третью задачу книги VIII, где впервые говорится
о числах чжэн и фу. Условия задачи требуют введения
отрицательных разностей; тут же формулируются простейшие
правила действий над отрицательными числами.
«2 снопам хорошего урожая, 3 снопам среднего урожая
и 4 снопам плохого урожая не хватает до 1 доу соответственно
по 1 снопу среднего урожая, плохого урожая, хорошего
урожая. Спрашивается, сколько [зерна] получили из каждого
снопа хорошего, среднего и плохого урожая?» [42, стр. 500].
Задача выражается уравнениями
2^=1-?/,
Зу=1-*,
4z= 1 — х.
В правиле решения сказано, что следует составить таблицу
фан-чэн (которая в тексте отсутствует):
1 2
3 1
4 1
1 1 1
Очевидно, что предписанные методом фан-чэн операции над
столбцами приводят здесь к отрицательным числам. Поэтому,
далее, рекомендуется действовать согласно правилу чжэн-фу.
которое формулируется в таких словах:
«Если одинакового названия, то вычитается; если разного
названия, то прибавляется; если положительное без пары, то

ОТРИЦАТЕЛЬНЫ^ ЧИСЛА
51
[становится] отрицательным; если отрицательное без пары, то
[становится] положительным. Если разного названия, то
вычитается; если одинакового названия, то прибавляется;
если положительное без пары, то [становится]
положительным; если отрицательное без пары, то [становится]
отрицательным» [42, стр. 500].
В наших символах первая часть правила гласит:
(±а)-(±Ь)=±(а-Ь),
(±а)-(ТЬ) = ±(а + Ь),
0-{±Ь) = ТЬ.
Вторая часть правила выражается так:
(±а) + (ТЬ)=±(а-Ь).
(±а) + (±Ь)=±(а + Ь),
0 + (±Ъ)=±Ь.
Соответствующие правила умножения и деления в
«Математике» не изложены и в ее задачах не нужны.
Древние китайские математики свободно обращались с
отрицательными числами. В задачах книги VIII
отрицательными бывают не только промежуточные, но и начальные
элементы столбцов таблицы фан-чэн (см. стр. 49) и даже
свободные члены уравнения. Более того, ученые Китая подошли
к простейшему реальному истолкованию отрицательных
чисел, как это видно из 8-й задачи, в которой нехватка денег
выражается числом фу. В задаче требуется определить
стоимость буйвола, барана и свиньи по условиям: 1) при продаже
2 буйволов, 5 баранов и покупке 13 свиней осталось 1000 цяней,
2) при продаже 3 буйволов, 3 свиней как раз хватило на
покупку 9 баранов, 3) при продаже 6 баранов, 8 свиней купили
5 буйволов и не хватило 600 цяней. Таблица должна быть
такова:
3 2
9 5
3 -13
1000
8 правиле решения задачи сказано:
«Составь таблицу фан-чэн. Установи, что 2 буйвола, 5
баранов положительны, 13 свиней отрицательны, остаток цяней
положителен. Еще установи, что 3 буйвола положительны,
9 баранов отрицательны, 3 свиньи положительны; еще
— о
6
8
600

52-
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
установи, что 5 буйволов отрицательны, 6 баранов
положительны, 8 свиней положительны, недостаток цяней отрицателен.
Вычисляй по способу чжэн-фу» [42, стр. 502].
Заметим попутно, что мы впервые встречаемся здесь с
условием, равносильным уравнению с нулевой правой частью
(3x-9y+3z=0).
Отрицательные решения уравнений в математике Китая
не были известны вплоть до конца рассматриваемого периода.
Введение отрицательных чисел и правил их сложения
и вычитания над ними явилось одним из самых крупных
открытий, сделанных китайскими учеными. Позднее отрицательные
числа распространяются в индийской математике; впервые
мы находим их здесь в сочинениях Брахмагупты, т. е. в начале
VII в. В Европе к ввдению отрицательных чисел подошел в
начале XIII в. Леонардо Пизанский, но в явном виде их стал
применять лишь в конце XV в. Н. Шюке и в середине
следующего столетия М. Штифель.
Заслуживает внимания, что отрицательные числа были
введены в Китае для формального распространения алгоритма
решения линейных уравнений на любые соответствующие
задачи. С аналогичным явлением мы встречаемся в
дальнейшей истории расширения понятия числа: как известно,
итальянские алгебраисты XVI в. ввели мнимые числа для
сохранения общезначимости за только что открытыми ими
алгоритмами решения в радикалах уравнений третьей степени.
Линейные неопределенные уравнения. Мы упоминали, что
в книге II «Математики» есть серия задач на вычисление
стоимости одного или нескольких предметов по данной стоимости
данного числа таких же предметов. За этими задачами на
пропорции в той же книге следуют задачи на определение
стоимости двух различных предметов. Эти две категории задач
объединены сходством вопроса, но по существу несходны.
Задачи на вычисление стоимости двух предметов выражаются
системами трех уравнений с четырьмя неизвестными, которые
можно легко привести к одному уравнению с двумя
неизвестными. Последнее уравнение в каждой задаче имеет
единственное целое решение.
Вот первая и простейшая из этих задач (38): 78 бамбуков
большого и малого размеров стоят 576 цяней; спрашивается,
сколько каждый? В условии не оговорено предположение, что
разница в цене большого и малого бамбуков составляет 1 цянь
(так обстоит дело во всех девяти задачах) и что цены
предполагаются целыми.
Если обозначить искомые количества через х, г/,
соответственные цены за штуку через и, v, то задача может быть

ЛИНЕЙНЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
53
представлена системой
откуда
и
х + уг=78,
гг# + У2/ = 576,
78гг + 2/ = 576
«+^-7+5.
(1)
78'
78
Единственные целые положительные значения щ г/,
удовлетворяющие первому и последнему уравнениям, суть гг=7,
у=Ъ0, откуда г;=8, я=48.
Несколько последующих задач отличаются от приведенной
тем, что покупка (в данном случае шелковые нитки)
выражается в именованных числах различных единиц. В этих
задачах, требующих довольно сложных выкладок,
т
п
х + у = -
ux-\-vy = A,
(An > т).
(2)
Решение состоит, по существу, в том, что система (2) с помощью
подстановки
х' — хп, у' = уп (3)
преобразуется в другую, все коэффициенты которой — целые:
х' + у' =т, \
ux' + vy' = Лп, \ (V)
а = и+1. j
Теперь
ит + у' = Ап, |
' т т )
An
как числитель
Далее м находится как целая часть — , а у'
дробной части.
В правиле, данном в китайском трактате, указано только,
как составить числитель и знаменатель дроби — , по которой
находятся и и у .

54
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
Извлечение квадратного и кубического корней. Приемы
извлечения квадратных и кубических корней в «Математике»
основаны на разложениях квадрата и куба двучлена, о чем,
впрочем, совершенно не говорится. Приемы сходны с теми,
которым еще недавно обучали в курсе алгебры средних школ,
но имеют некоторые важные особенности. Мы разберем два
примера из книги IV, используя сформулированные в ней же
общие правила. Правила сжаты и неполны, их удалось
реконструировать только недавно [44].
Алгоритм извлечения корня из целого точного квадрата или
куба состоит в последовательном определении чисел всех
десятичных разрядов корня. Вычисления разбиваются на
столько шагов, сколько цифр в корне. На каждом шагу
выкладки состоят в нахождении с помощью проб целой части корня
некоторого вспомогательного квадратного или кубического
уравнения или неравенства, причем с помощью линейной
подстановки вида 10п#=#г всякий раз добиваются того, что
этот корень меньше 10. Каждое уравнение, не считая
исходного, получается из предыдущего с помощью линейной
подстановки вида х=р-\-у. Конечно, в китайском тексте не
говорится об уравнениях и подстановках, но выкладки вполне
адекватны сказанному.
Извлечение квадратного корня из точного квадрата мы
покажем на примере j/55 225 (задача 12), что соответствует
определению положительного корня x=W0p-\-10q-\-?* двучленного
уравнения
х2 = 55 225. (1)
Запишем ход вычислений, опуская менее важные детали,
в два столбца: слева — по реконструированному правилу
«Математики», справа — в современных алгебраических
знаках. Число цифр корня находится, в сущности, как теперь.
На счетной доске откладываем
данное число, «делимое» — ши, и в
разряде десятков тысяч ставим
цзе-суань, счетную палочку,
изображающую число 10 000
Определение сотен корня
Полагаем в (1)
5 52 25 ши
100 00 цзе-суань
Подбираем первую цифру корня
р = 2, как наибольшее целое та-
^ = 100.^,
причем хг = р + у, где
целое /?<10, 0<г/< 1.
Имеем:
10000^ = 55 225. (1#)
Подбираем р = 2, так что
хг = 2+у.

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО И КУБИЧЕСКОГО КОРНЕЙ
00
кое, что (/?.10000).р<55 225 или
же /?2<5. Эту цифру заносим в
строку корня —фан над данным
числом в разряде сотен.
В разряде десятков тысяч,
соответственно найденной цифре р = 2,
откладываем две палочки,
изображающие «делитель»—фа, равный
р-10000, то есть 20000, так
называемое со-дэ:
2
5 52 25
фан
ши
20000 фа
10000
цзе-суань
Делим шина фа, частное есть уже
найденная цифра корня, остаток
откладываем на месте ши, заменяя
первую цифру ши, т. е. 5 на 1:
2
1 52 25
фан
остаток
20000 фа
10000
цзе-суань
Удваиваем фа и затем цифру
4 сдвигаем на разряд вправо,
что дает «фиксированный
делитель»—дин-фа, т. е. 4000. Цзе-
суань сдвигаем на два разряда
вправо.
Если подставить х± =
= 2 + 2/ в (!')' то
получится:
40000 + 40 000*/ +
+ 10 0002/2 = 55 225
или
40000?/+ 10 ОООг/2 = 15225-
(2)
Китайские математики
находят остаток 15 225 не
вычитанием, а делением
на фа = 2.10000. В
правиле указано, как составить
коэффициенты уравнений
(2) и (2'), приводимого
далее.
Полагаем в (2) 10г/ = г/г
Это дает (2') (см. далее).
Определение десятков корня
Теперь налицо схема для
определения числа десятков корня q:
23
15225
40 00
100
фан
остаток
дин-фа
цзе-суань
Подбираем <? = 3, как наибольшее
целое, удовлетворяющее нера-
4000^+100^=15 225,
(2')
причем уг = q + z, где
целое q < 10, 0<z < 1, так
что
(4000 + q). q< 15 225 (2")
и
</ = 3, а у, = 3+2.

56
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
венству(2") справа (вероятно, деля
остаток на дин-фа)1). Как найти
q, в правиле, по существу, не
говорится. Найденную цифру 3
заносим в строку фан в разряде
десятков. Новый цзе-суань, т. е. 100,
умножаем на число десятков
корня, т. е. на 3, что дает новое со-дэ
300. Это произведение 300
прибавляем к дин-фа, т. е. 4000, что
дает новый дин-фа 4300. Остаток
15 225 делим на дин-фа 4300, что
дает в частном уже найденную
вторую цифру корня (тем самым
мы проверяем эту цифру) и новый
остаток 2325. К новому дин-фа
прибавляем новое со-дэ, т. е. 300.
Сумму 4300 и 300, так называемый
цзун дин-фа или «дополненный
фиксированный делитель», т. е.
4600, сдвигаем на разряд вправо.
Цзе-суань вновь сдвигаем на два
разряда вправо.
далее).
Определение единиц корня
Теперь налицо схема для
определения единиц корня г:
Если записать (2') в виде
(100г/1+4000)2/1 = 15 225
и подставить уг = 3 + z, то
получим:
[100 (3 + z) +4000] х
X(3+z) = 15225,
т. е.
(300 +4000+100z)x
x(3 + z) = 15 225
или
(4300+1002) • (3+2) = 15225
В левой части свободный
член есть 12 900,
коэффициент при 2 есть 4300 + 300.
Получаем уравнение
46002 +10022 = 2325. (3)
Остаток 2325 слева
находится опять делением, а не
вычитанием. В правиле
указано, как составить
коэффициенты уравнений (3)
и (3'), приводимого далее.
Полагаем в (3) 102 =
= z1 — r. Это дает (3') (см.
23
23 25
460
1
остаток
цзун дин-фа
цзе-суань
4602! + 2~ = 2325,
2i = r = 5,
^ = 200 + 30 + 5 = 235-
Подбор дает г = 5 (быть может,
очередная цифра корня
подбирается также делением остатка на цзун
дин-фа).
х) Об использовании «делителей» для подбора цифр корня в
индийской математике см. далее, стр. 129.
(3')

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО И КУБИЧЕСКОГО КОРНЕЙ 57
Приведем для сравнения текст правила:
«Установи площадь [квадрата] в качестве делимого. Возьми
одну счетную палочку и шагай через одну [колонку]. Обсуди
со-дэ. Первую [выбранную цифру корня] умножь на цзе-суань,
это—делитель. Раздели [на него]. После деления удвой
делитель, это — фиксированный делитель. Возврати его [на одно
деление], [получишь] урезанный [фиксированный] делитель.
Внизу возврати установленную счетную палочку на шаг.
[Продолжай.], как и ранее. Одну выбранную [цифру] умножь на
это. Со-дэ прибавь к [урезанному] фиксированному делителю.
И дели. Со-дэ прибавь к фиксированному делителю, укороти
возвратом, получишь [урезанный] фиксированный
дополненный делитель. Далее, как раньше» [42, стр. 468 — 469].
В терминологии «Математики» отражена связь между
операциями деления и извлечения корня. Подкоренное число
называется ши — делимым, одно из вспомогательных чисел
на каждом шагу фа (или дин-фа, или цзун дин-фа) —
делителем, и на эти фа всякий раз делят очередные остатки. Такая
связь была обусловлена, вероятно, тем, что извлечение
квадратного корня требуется в геометрической задаче,
непосредственно примыкающей к другой, в которой решение находят
делением. В книге IV сперва идут задачи на определение
стороны прямоугольника по данным площади и другой стороне,
а за ними — задачи на определение стороны данного квадрата-
В обоих случаях площадь рассматривается как делимое;
правило извлечения корня начинается словами: «установи [на
доске] площадь в качестве делимого». По-видимому,
извлечение квадратного корня рассматривалось как случай деления,
в котором частное равно делителю. Известно, что в
европейской средневековой литературе извлечение квадратного и
кубического корней считали разновидностью деления. Еще-
Р. Декарт рассматривал как вид деления извлечение корня
с любым натуральным показателем.
Особый интерес представляет образование
вспомогательных уравнений при подстановке вида х=р-\-у. В основе всей
операции извлечения корня лежит правило
(a+b)2 = a2 + 2ab+b2,
но оно как раз не используется непосредственно при этой
подстановке.
Разберем переход от уравнения
100у\ + 4000^ = 15 225 (2')
к уравнению
100z2 + 4600z = 2325. (3)

58
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
Подставляя y1=S+z в (2') и раскрывая скобки в
100.(3 + 2)2 + 4000- (3 + z) = 15 225,
мы получили бы коэффициент при z в виде 100-3.2+4000=
=4600, а свободный член слева в виде 100-32+4000-3=12 900.
Вычисления в «Математике» ведутся иначе. Сначала образуется
«делитель» — новый дин-фа 3-100+4000=4300. Этот
«делитель» 4300 используется для определения свободного члена
уравнения (3) как остатка от деления 15 225 на 4300; деление
служит заодно для проверки годности второй цифры корня.
Кроме того, «делитель» 4300 в сумме с 3-100 дает коэффициент
при z, который получается теперь с помощью одного
сложения, а не как 4000+100-3-2. Такой способ образования
уравнения (3) мог возникнуть, если (2') записать сперва в виде
(«%! + 4000)г/х =15 225,
где #i=3+z, и далее вычислять, как показано в правом
столбце стр. 56. Заметим для дальнейшего, что ход вычислений
можно передать следующей схемой, отличающейся только
расположением записи:
100 4000 15 225
+ 100-3- 4300-3
4300 2 325
+ 100-3
_4600
100
Только что указанные особенности, упрощающие вычисления
и весьма естественные при счете на доске, проявляются и при
извлечении кубического корня.
Заметим предварительно, что уравнение
ay3 + by2 + cy = d (4)
ори подстановке y==p-\-z переходит в
az* + фар + Ъ) z2 + (За/?2 + 2Ър + с) z = d - (ар* + bp2 + ср). (5)
Коэффициенты (5) можно вычислить, разлагая (p + z)2 и (р +- z)*
и затем приводя подобные члены. Но их можно вычислять
и в такой последовательности:
[(ay+b)y + c]y = {[a(p + z) + b](p + z) + c}{p + z)

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО И КУБИЧЕСКОГО КОРНЕЙ 59
или, что то же, по схеме
а Ь с d
+ ар + Ьр + ар2 —ср + Ьр2 + ар'3
b + ap с+Ьр + ар2 d — (cp+ Ьр2 + ар3)
+ ар + Ьр + 2ар2
Ь + 2ар с + 2Ьр + Зар2
+ ар
Ь + Зар
Эта схема, называемая в настоящее время схемой Горнера,
требует всякий раз умножения только на р, все прочее
сводится к сложениям; мы встретились с ней фактически в
случае преобразования квадратного уравнения.
Извлечение кубического корня в «Математике» во многом
сходно со схемой Горнера.
Вычислим кубический корень из точного целого куба
1860867 (задача 19), т. е. решим двучленное уравнение
я3 = 1860867. (6)
Для простоты все выкладки проведем сокращенно и в наших
обозначениях.
Полагаем х = 100#г Из
1000000^ = 1860867 (6')
пробами находим, что
хг=1 + у (0<г/<1).
Уравнение (6') преобразуется в уравнение
1000 000г/3 + 3 000 ОООг/2 + 3 000 ОООг/ = 860 867 (7)
(китайские математики находят этот «остаток» путем деления
на «фа»). Полагаем Юу = у1; тогда
1000т/* + 30 000г/2х + 300 000г/х = 860 867. (Т)
Пробами находим целую часть ух:
Vl = 2 + z (0<*<1).
Рассмотрим теперь переход к следующему вспомогательному
•уравнению относительно z, используя буквенные уравнения (4)
и (5). Вначале находится в указанном записью порядке
значение
арр+Ьр + с = 1000- 2.2 + 30000-2 + 300000 = 364 000.

60 ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
Посредством деления свободного члена (7), т. е. 860867т
на это число получается в остатке свободный член искомого
уравнения, т. е.
d - (ар3 + Ьр2 + ср) = 132 867.
Затем вычисляется
арр. 2 + &р = 4000-2 + 60 000 = 68 000,
и образуется коэффициент при первой степени z
(арр + Ьр + с) + (арр -2 + Ьр) = Зар2 + 2рЪ + с = 432 000.
Наконец,
ар = 2000, ар • 3 = 6000, ар - 3 + b = 36 000;
последнее есть коэффициент при z2. Итак, получается:
lOOOz3 + 36 000z2 + 432 000z = 132 867, (8)
а с помощью подстановки I0z=zx уравнение
z\ + 360z\ + 43 200^ = 132 867, (8')
откуда zx=3 и ?=123.
Впоследствии китайские математики преобразовали
алгоритм извлечения корней второй и третьей степени в общий
метод вычисления корней алгебраических уравнений с
числовыми коэффициентами.
Описание извлечения квадратного и кубического корней
в «Математике» —- наиболее раннее, известное нам в истории.
В греческой литературе извлечение квадратного корня,
основанное на разложении квадрата суммы, впервые встречается
в комментариях Теона Александрийского к астрономическому
ТРУДУ Птолемея. Правила для квадратного и кубического
корней мы находим затем у индийца Ариабхатты около 500 г.,
далее у других ученых Индии и в арабской литературе.
Правило извлечения квадратного корня встречается во второй
четверти XII в. в Европе, а для кубического корня — у
Леонардо Пизанского.
В примерах на извлечение корней в книге IV «Математики»
встречаются большие числа. В задаче 24 требуется определить
диаметр шара с объемом 1 644 866 437 500 чи по правилу
d=y —g— (см. стр. 75); здесь rf=14 300 чи.
Для квадратных корней из дробей с неквадратным
знаменателем рекомендуется правило
/а УаЪ

ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К КВАДРАТНЫМ УРАВНЕНИЯМ 61
для кубических корней — соответственно правило
з/~~а _ Yob2
г !Г~ ъ '
Правило извлечения квадратного корня из целого числа
заканчивается в книге IV указанием, что если действие не
выполняется до конца, то «можно продолжать, как ранее».
Не исключено, что здесь имеется в виду вычисление дробной
части корня в десятичных дробях. Правда, такое понимание
текста не подтверждается какими-либо примерами, но в
принципе продолжение действий за целую часть корня не
представляло трудности, нужно было только вводить новые столбцы
счетной доски1).
Заметим еще, что китайские математики знали
приближенные правила извлечения квадратного корня из неквадратных
чисел. Например, Лю Хуэй применял приближения и
неравенства
a + W+i<V°?+~r<a + k>
где а2 — наибольший целый квадрат, содержащийся в а2+г.
Задачи, приводящие к квадратным уравнениям. Решение
квадратных уравнений не выделено в «Математике» в
самостоятельный отдел. Несколько соответствующих задач содержится
среди других, линейных, в книге IX, посвященной
приложениям теоремы Пифагора. Для решения задач на уравнения
второй степени используются два различных метода.
Один из этих методов равносилен нашему правилу решения
трехчленного квадратного уравнения. С ним мы встречаемся
в задаче 11 на определение сторон прямоугольника по данным
разности х—у=1=618 и диагонали ]/ x2-{-y2=d=10.
Промежуточные преобразования в тексте не указаны. Неизвестные сразу
вычисляются по правилам
»-/тГ*-Чт)']-т-м.
Если исключить из данных условий х и вычислить у как
положительный корень уравнения
2y2 + 2ly + l2 = d2
2) Приведенные в кавычках слова не являются единственно
возможным переводом неясного оригинального текста. См. [42, стр. 540] и [44,
стр. 356, 364].

62
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
по нашим обычным формулам, то схема определения у
окажется отличной от рецепта «Математики». В трактате Ян Хуэяя
«Подробное объяснение математических правил в девяти
книгах и их новая классификация» («Сян цзе цзю чжан суань ф*
цзуань лей»), изданном в 1261 г., ход решения пояснен
следующим образом. Исключением х задача приводится к полному
квадратному уравнению, записанному в виде
По вычитании из обеих частей равенства 2( -^ Л 2 и делении
остатка пополам
откуда
и
Следует иметь в виду, что комментарий Ян Хуэя отделен
от «Математики» более чем тысячелетием. Не исключено, что
п эпоху Хань задача сразу приводилась не к полному
квадратному уравнению, а к двучленному, требующему простого
извлечения квадратного корня. Решение могло быть получено
введением вспомогательного неизвестного z, среднего между
х и у; насколько х больше z, настолько у меньше z, и так как
разность х—у есть Z, то
. l 1
x = z + -j, y = z-T.
Отсюда
-Щ>-ЧтЛ
и т. д. Такое предположение достаточно правдоподобно.
Применяемые здесь преобразования были вполне доступны
составителям «Математики». В самом деле, линейные преобразования
фактически использовались при извлечении корней.
Образование средней арифметической также встречается в трактате:

ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К КВАДРАТНЫМ УРАВНЕНИЯМ 63
в книге I есть задачи на уравнивание нескольких дробей —
составление их среднего арифметического. Сведение систем
х ±у = а, \
xy = b J
к двучленному уравнению посредством линейных
подстановок применялось, по-видимому, еще в Вавилоне. Заметим, что
в клинописных текстах есть задачи, отличающиеся от
рассмотренных только числовыми данными; однако ход вычислений
там другой.
Как бы то ни было, формула решения полного квадратного
уравнения, известная вавилонянам и грекам, в китайской
науке эпохи Хань не засвидетельствована. Вместе с тем
несомненно, что к решению таких уравнений авторы «Математики»
применяли другой метод, а именно, вышеописанный алгоритм
извлечения квадратного корня из числа. На каждом этапе
этой операции, т.е. решения двучленного квадратного
уравнения, после отыскания первой цифры нужно подбирать числа,
удовлетворяющие трехчленным квадратным неравенствам или
уравнениям вида
x2 + px<Cq.
Когда встретились задачи, непосредственно выражаемые
полным квадратным уравнением, ученые Китая, естественно,
должны были обратить внимание на их связь с проблемой,
постоянно возникающей при извлечении корней. Решение в радикалах,
т. е. сведение трехчленного уравнения к двучленному, в этих
условиях не имело практического значения и могло представить
только чисто теоретический интерес; с вычислительной точки
зрения решение в радикалах целесообразно лишь при наличии
обширных таблиц квадратных корней.
Первые трехчленные квадратные уравнения, к которым
применили алгоритм извлечения квадратного корня, были как
раз уравнения вида
x2 + px=q;
они всегда имеют единственный положительный корень. Вот
задача 20 книги IX, приводящая к такому уравнению:
посередине каждой из сторон города квадратной формы имеются
ворота. В 20 бу к северу от северных ворот стоит столб. Если от
южных ворот отойти на 14 бу к югу и повернуть на 1775 бу
к западу, то столб становится видным. Какова длина стороны
квадрата?
Вывод соответствующего квадратного уравнения1) и ход его
решения не приведены (рис. 4). Текст правила, однако, вполне
г) Его легко получить, например, на основании подобия
треугольников ЛВС и DEC.

64
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
ясен. В нем указано, как составить коэффициенты, и его
терминология свидетельствует о применении в решении алгоритма
извлечения корня. Правило гласит: «количество бу, пройденное
от северных ворот, умножь на удвоенное количество бу
[пройденное] на запад, это — делимое [ши]. Сложи с количеством
бу, пройденным от южных ворот, это — дополненный делитель
[цзун-фа]. Извлеки квадратный корень, это и будет сторона
города» [42, стр. 511]. Итак,
рекомендуется составить ши —
делимое 2-20-1775 и цзун-фа
20+14. Тем самым вычислитель
оказывается перед той стадией
Рис.
извлечения квадратного корня,
на которой требуется подобрать
решение (#=250) уравнения
я2 + (20 + 14)а; = 2.20.1775.
Именно таким методом
решали квадратные уравнения и
позднее. Ян Хуэй довольно подробно разъяснил и геометрически
иллюстрировал метод на примере уравнения, рассмотренного
Лю И (около 1080 г.):
х2 +12я = 864.
Мы не знаем, когда появились в математике Китая задачи,
приводящие к квадратным уравнениям других видов. Согласно
Ян Хуэю, Лю И решал уравнения с численными
коэффициентами вида
— я2 + ах = Ъ и х2 — ах = Ь.
Возможно, что уравнения последнего вида решал еще в V в.
Цзу Чун-чжи.
Такая каноническая форма, в которой участвуют
отрицательные коэффициенты, несомненно, была связана с желанием
пользоваться во всех трех случаях единой схемой решения.
Аналогичные явления встречаются в алгебре индийцев (см.
далее); в других странах древности и средних веков
квадратные уравнения приводили к каноническим формам с
положительными коэффициентами и поэтому получались три несколько
разнящиеся правила решения.
Геометрия; применение прямоугольного треугольника.
Наиболее ранние данные о геометрических познаниях китайцев
относятся к XIII—XII вв. до н. э. Это — обнаруженные при
археологических раскопках орнаменты на различных
предметах обихода, в частности, изображения 5-, 7-, 8- и 9-угольни-

ГЕОМЕТРИЯ; ПРИМЕНЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА 65
ков. Впрочем, в дальнейшем развитии мы не встречаем
специального изучения правильных многоугольников и многогранников,
сыгравших столь важную роль в геометрии древних греков.
Соотношение между сторонами прямоугольного
треугольника рано обратило на себя внимание китайских математиков.
Согласно написанному ранее «Математики» астрономическому
сочинению «Математический трактат о чжоу-би» [«Чжоу-би1)
суань цзин»] так называемая теорема Пифагора для сторон 3, 4, 5
была известна Шан Гао примерно за 1100 лет до н. э.2).
В общем случае теорема, согласно тому же источнику, была
известна Чэнь-цзы, который жил примерно в VI в. до н. э. [45].
Теорема, как уже говорилось, получила широкое применение
в IX книге «Математики». Одну такую задачу мы уже
рассмотрели. Вот еще несколько заслуживающих внимания задач.
В центре бассейна со стороной (2а=) 1 чжан=10 чи растет
камыш, выступающий над водой на {h=) 1 чи. Оттянутый
камыш достигает берега. Какова глубина воды (х)? Правилу
соответствуют формула и ответ:
fl2 — Г
х = •
2h
¦ = 12 чи.
Решение задачи № 6 могло быть сразу получено из теоремы
Пифагора:
(х + к)2-х2=*а2.
Лю Хуэй в своем комментарии поясняет тождество
{х + К)2 - х2 = 2xh + h2
фигурой гномона, характерной для геометрической алгебры
греков. Особый интерес данной задачи в том, что она позднее
встречается у индийца Бхаскары (XII в.), с отличием в
данных: й = 2, а = 2 (см. стр. 111).
Если переломить вертикальный ствол бамбука в 10 чи
высоты и верхушку пригнуть, то она коснется земли в 3 чи
от основания. На какой высоте сломан бамбук? Ответ:
10-|г
Эта задача (№ 13) с другими данными имеется в Индии у Брах-
магупты в первой половине VII в. и у Бхаскары в XII в.
*) Чжоу-би — шест для измерения солнечной тени.
2) Судя по более поздним летописям, этот случай был известен еще
за 2200 лет до н. э.

66
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
В задаче 14 используется правило составления
рациональных и целых сторон прямоугольных треугольников,
основанное на тождестве
v2
(W+^-CW
Речь идет здесь об определении путей, пройденных двумя
ходоками, по условию: оба выходят из одного места со
скоростями 7 и 3, первый идет на юг и проходит 10, после чего
направляется наискосок так, что встречается со вторым, идущим все время
на восток. В тексте правила предложено составить числа
!!+!!, т--^*, т.е. I^i2, и 7-3;
пути, пройденные наискосок и на восток, вычисляются
соответственно так:
[10Л!±5!]:(7._2+1>
14
2
72+32\ „п 1
[ 10.(7-3) (>-^Р) = 10-2 .
Решение можно представить себе следующим образом.
Обозначим восточный и южный катеты х, у и гипотенузу z; тогда из
y+z
следует, что
3 о а2—Р2 а2 + Р2
= т и x:y:z = a$: —^ :—^~
1-1
а — 7 *
Приняв р = 3, а=7 и зная, что у =10, находим х и г\
а2 + Р2
s-JtSL-io! г J—^-=14-1
2 2
Целые тройки чисел, удовлетворяющие неопределенному
уравнению
х2 + у2 = z2,
умели составлять еще греки, а до них— вавилоняне. Правило
х:у^ = 2а$:(а2-?>2):(а2 + $2),
выражающее все возможные тройки взаимно простых
пифагорейских чисел через два взаимно простых и разночетных
параметра а и Р, было известно вавилонянам и грекам. Это правило

ГЕОМЕТРИЯ; ПРИМЕНЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА 67
непосредственно вытекает из предложения 6 книги II «Начал»
Евклида, хотя в явном виде там не высказано. В IX в. это же
правило излагал индиец Магавира, в начале XIII в. Леонардо
Пизанский, а в конце XVI в. Ф. Виет.
В задаче 4 требуется из круглого бревна данного диаметра
выпилить прямоугольный брус данной толщины. В решении
используется теорема Пифагора, причем неявно
предполагается, что вписанный угол, опирающийся на диаметр,— прямой.
Это же свойство несколько по-иному высказано в «Трактате
о чжоу-би», где объясняется, что вершины прямоугольных
треугольников, построенных на диаметре круга, лежат на
окружности [38].
Следует упомянуть еще задачу 5 на определение длины дуги
семи витков винтовой линии: имеется дерево в 2 чжана длиной,
обхват его 3 чи. У его подножия растет пуэрария. Семью
витками она поднимается вокруг дерева до его вершины. Какова
длина пуэрарии? Ответ: 2 чжана 9 чи, т. е. |/202+(7-3)2, был,
конечно, получен развертыванием цилиндра на плоскость.
О приемах решения задач в книге IX не сообщается. В
задачах 15 и 16 на вычисление стороны квадрата и радиуса круга,
вписанных в данный прямоугольный треугольник, могло быть
использовано разложение площади на части, а в первом случае
и подобие. Подобие лежит в основе серии задач на определение
стороны квадратного города и трех последних задач книги IX,
в которых находятся расстояния до недоступного предмета,
высота горы и глубина колодца. Эти задачи очень элементарны,
и останавливаться на них мы не будем.
Задачи на теорему Пифагора и на подобие прямоугольных
треугольников получили впоследствии в Китае значительное
распространение. Еще в XVIII в. Ли Юй систематизировал
в 25 группах задачи на отыскание каких-либо элементов
прямоугольного треугольника или их комбинаций по тем или иным
данным соотношениям. Метод решения Ли Юя, как и у далеких
его предшественников,— алгебраический.
В истории практической геометрии видное место занимает
непосредственно примыкающее к последним задачам
«Математики в девяти книгах» дополнение к комментарию Лю Хуэя,
позднее выделенное в особый «Математический трактат о
морском острове» («Хай тао суань цзин»). В VIIb. этот трактат был
включен в собрание «Десяти образцовых трактатов по
математике» [46].
Трактат о морском острове посвящен определению
расстояний до недоступных предметов и их размеров. Первая из задач,
в которой идет речь об измерении с моря высоты острова, дала
название всему сочинению. В трактате содержится решение
девяти задач. Помимо высоты острова (1) здесь определяются:

68
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
2) высота дерева на холме, 3) высота удаленного города,
окруженного стеной, 4) глубина оврага, 5) высота башни в поле,
наблюдаемой с холма, 6) ширина устья реки, 7) глубина
прозрачного пруда, 8) ширина реки, наблюдаемой с холма, 9) высота
города, видимого с горы. Несомненно, что все правила были
найдены из соображений подобия. Вот вторая задача Лю Хуэя:
«На холме растет сосна неизвестной высоты. Внизу, на равнине,
поставлены два шеста, каждый высотой в 20 чи (а), на одной
прямой с деревом и на расстоянии друг от друга в 50 чжанов (Ь).
Рис. 5.
Верхушка дерева и конец первого шеста образуют прямую с
точкой на земле, расположенной в 7 чжанах 4 чи позади шеста (с),
и в этой точке основание дерева отмеряет 2,8 чи (е) от верха
шеста. Верхушка дерева образует опять-таки прямую линию
с концом заднего шеста и точкой на земле в 8 чжанах 5 чи
позади шеста (d). Требуется узнать высоту сосны (х) и
расстояние от переднего шеста до холма (у)» [46, стр. 254]. Правило Лю
Хуэя соответствует формулам (рис. 5)
Впоследствии такие задачи были предметом занятий многих
европейских математиков и вошли в руководства по
практической геометрии, военному делу и т. д. начала нового времени§
Измерение плоских фигур. В книге I «Математики»
сообщаются правила измерения площадей прямоугольника,
треугольника, трапеции, круга, его сектора и сегмента и кругового
кольца.
Если обозначить диаметр круга d (особого термина для
радиуса древние китайцы, как и древние греки, не имели),
длину окружности с, то четыре правила книги I для вычисления
площади круга S выразятся формулами
п с d cd dd о ее
Значение я здесь берется равным 3. Это — значение, которым

ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОСКИХ ФИГУР
69
много ранее пользовались в древнем Вавилоне, которое
фигурирует в Библии, а в китайской литературе ранее встречается
в «Математическом трактате об измерительном шесте» как для
площади круга, так и для длины окружности. Заметим, что
и в Вавилоне применялась формула, выражающая площадь
круга через длину окружности.
Площадь сектора определяется по длине его дуги s (правило
ч ds
вычисления которой по другим данным не приводится) как -г.
Площадь кругового кольца выражается изящной формулой
Сг-\-с2 dx — d2
2*2'
Наконец, площадь сегмента, отсекаемого хордой длины
и имеющего высоту /г, вычисляется по правилу
Формула эта — приближенная. В пределах полукруга она дает
приближения по недостатку, тем худшие, чем меньше высота
сегмента. Если принять 1=1, то относительная погрешность
этой формулы б, т. е. отношение б = —^— , где а и а' (истинное
значение площади) взяты с точностью до 10~4, изменяется
следующим образом:
h
\ 0,01
0,10
0,30
1 0,50
о
0,0050
0,0550
0,1950
0,3750
G'
0,0067
0,0672
0,2137
0,3927
б
25,0%
18,2%
8,8%
4,5%
При /г —> 0 отношение — —>0,75 и б-—>25%. В случае /г=г,
т. е. полукруга, китайская формула площади сегмента дает
прия=3 точное значение, но и при таком значении я
приближения для сегментов с малым h весьма грубы и хуже, чем само
приближениезх, имеющее погрешность около5%. Для полукруга
т. е. площади трапеции, одна сторона которой —- диаметр
круга, другая — отрезок параллельной диаметру
касательной, по длине равный радиусу. Быть может, этот результат был
прямо распространен на сегменты, меньшие полукруга, с
заменой d и г на I и /г. Само правило для полукруга могли

70 ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
получить с помощью вписанного правильного шестиугольника.
Половина площади такого шестиугольника меньше полукруга;
быть может, для уточнения вместо площади ACDB взяли
площадь AC'D'B, где C'D' = CD
есть касательная в верхней точке
окружности (рис. 6).
Древнекитайское правило
вычисления площади сегмента
совпадает с правилом, которым
пользовались предшественники
repose на Александрийского. В «Мет-
р 6 рике», написанной в I в., Герон
сообщает, что «древние» измеряли
площадь сегмента довольно
неточно, принимая ее равной—i_./г, а это верно (при я=3)
только для полукруга. Он приводит также лучшую формулу:
-« + *)т+в(т)'
22
дающую площадь полукруга при я = у, но предупреждает,
что и этим выражением следует пользоваться, только если
основание сегмента не превосходит утроенной высоты. Только
что приведенная формула имеется также в древнееврейском
«Учении об измерении» (см. стр. 207). Правило а = ~*1
встречается позднее у индийского ученого Магавиры.
Совпадение приема вычисления площади сегмента в Китае
и в Александрии наводит на мысль о том, что здесь имелся
какой-то более ранний общий источник.
Для дуги сегмента s Шэнь Ко в 1086 г. предложил пра-
вило s = l + 2 — [40, стр. 39]. Быть может, здесь у Шэнь Ко
описка и диаметр поставлен вместо хорды. В таком случае
правило было бы равносильно замене полудуги на
соответствующую хорду 1/(2) +^2> чт0 Дает Для ДУГИ приближе-
/г2
ние 1 + 2 у- (ср. стр. 61).
Вычисление я. Значение я=3 при измерении круга нередко
применялось в обиходе землемеров и в учебниках математики
многие столетия после «Математики». Вероятно, это значение
было получено сначала отдельно для длины окружности и для
площади круга, без осознания связи между обеими величинами.
Быть может, совпадение значений я в обоих случаях явилось

ВЫЧИСЛЕНИЕ л
сперва результатом эмпирических или полуэмпирических изме-
3
рении; например, круг принимали равновеликим -г- описанного
квадрата, а окружность — равной периметру правильного
вписанного шестиугольника. Составителям «Математики в
девяти книгах» зависимость между длиной окружности и площадью
круга была уже известна. Но они же при вычислении объема
шара пользовались правилом, соответствующим другому зна-
27
чению я = -5-(стр. 75), очевидно, не связывая еще квадратуру
о
круга с кубатурой шара.
В I—III веках китайские астрономы и математики,
возможно, под влиянием идей, проникавших из Греции через Индию,
провели ряд исследований, посвященных более точному
вычислению я. Астроном и философ Чжан Хен (78—139) на основании
не известных нам соображений заключил, что квадрат длины
окружности относится к квадрату периметра описанного около
нее квадрата, как 5 : 8, что соответствует я = ]/"10, т. е. 3,162...
Это изящное приближение, имеющее погрешность менее 1 %,
употреблялось затем в Китае неоднократно, например Цинь
Цзю-шао в 1247 г. и много позднее. Приближение я=|/Т0
встречается и в других странах: в VII в. у Брахмагупты, в IX в.
у Мухаммада ал-Хорезми.
Ученый полководец Ван Фань (ум. 267) получил несколько
142
лучшее приближение я = -т^-, т. е. 3,155... Как он нашел этот
результат, мы не знаем. Зато мы осведомлены о вычислении
Лю Хуэя. В комментарии к первой книге «Математики» Лю
Хуэй применил способ, впервые предложенный Архимедом
и основанный на приближении площади круга
последовательностью площадей вписанных правильных &-2п-угольников.
Сперва вычисляются стороны таких многоугольников, начиная
с шестиугольника, а затем их площади, причем последние
вычисляются приближенно: стороны умножаются на радиус.
Все сводится, таким образом, к применению теоремы Пифагора
и извлечению квадратных корней. Точность результата Лю
Хуэй оценивал, основываясь на том, что площадь круга меньше
площади фигуры, составленной из правильного вписанного
многоугольника и описанных вокруг остаточных сегментов
круга прямоугольников, построенных на сторонах
многоугольника. Именно, он использовал неравенства
S2n<S<Sn + 2(S2n-Sn),
где S — площадь круга, a Sn и S2n — площади правильных
многоугольников с числом сторон п и 2п. Эти оценки отличны

72
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
от оценок в «Измерении круга» Архимеда, который опирался
на вычисление периметров описанного и вписанного 96-уголъ-
ников.
Установив, что при d=100 единицам
так что
Лю Хуэй принял в качестве приближения целую часть
результата 314, соответствующую я=3,14. Продолжив вычисление до
3072-угольника, он нашел более точное приближение, в
десятичных дробях равное 3,14159.
Лю Хуэй указывает, что процесс приближения площади
круга площадями вписанных многоугольников можно
продолжать и далее. Он писал:
«Чем мельче делить, тем меньше будет недостаток. Если
делить все дальше и дальше до тех пор, пока деление не станет
невозможным, то будет совпадение с окружностью и недостатка
не будет» [47]. Эти слова можно понять в том смысле, что круг
для Лю Хуэя совпадает со вписанным многоугольником в
пределе, при неограниченном возрастании числа сторон. Возможно
также, что Лю Хуэй высказал здесь атомистическое
представление, что круг совпадает с многоугольником с достаточно
большим числом сторон. Аналогично подходил Лю Хуэй
и к вычислению объема пирамиды.
С еще большей точностью значение я было вычислено
выдающимся астрономом, математиком и инженером Цзу Чун-чжи
(430—501), который в не дошедшем до нас сочинении показал,
что
3,1415926<я< 3,1415927.
Цзу Чун-чжи принадлежит еще оригинальное представление л
355
в виде тт«, верное в шести знаках после десятичной запятой,
22
которое он называл «точным»; известное ему приближение ~ он
именовал «неточным».
Точность вычисления я, достигнутая в Китае в V в., была
превзойдена лишь тысячу лет спустя Джемшидом Гиясэддином
ал-Каши, определившим я с 16 верными десятичными знаками
после запятой. Приближение тто вновь нашел голландец
В. Ото в конце XVI в. Как известно, это значение является
одной из подходящих дробей, возникающих при разложении я

ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМОВ
73
в непрерывную дробь. Наличие его у математиков Китая не
означает, однако, что они применяли непрерывные дроби; эта
дробь могла быть получена и другим путем. Например, сам
осе 99
В. Ото получил туя, исходя из приближений Архимеда -=¦
377
и Птолемея -^к и почленно вычитая числители и знаменатели:
377—22 355
120—7 "" 113 '
Измерение объемов. Математики древнего Китая
значительно продвинулись вперед в измерении объемов фигур,
встречавшихся в строительстве. Мы не находим у них интереса к
правильным многогранникам, как в Греции, зато они измерили
объемы многих других фигур, оставшихся вне поля зрения
вавилонян, египтян и греков.
Основные сведения об измерении объемов изложены в книге V
«Математики» (ср. стр. 36). Здесь рассматриваются прямой
параллелепипед с квадратным основанием, прямые призмы с
трапецоидальным и треугольным основаниями, пирамиды с
квадратным и прямоугольным основаниями. Дело не
ограничивается, однако, такими простейшими случаями, и мы
находим в книге V точные правила измерения значительно более
сложных фигур, которые, как это видно из комментария Лю
Хуэя, умели разбивать на параллелепипеды, призмы и
пирамиды. Так, объем усеченной пирамиды с прямоугольным
основанием Лю Хуэй выводит, разбивая ее на прямой
параллелепипед, четыре прилегающие к его боковым сторонам
попарно равные призмы и четыре равные пирамиды по углам.
Приведем текст одной из более сложных задач (№ 17).
«Имеется сянь-чу. Нижняя ширина 6 чи, верхняя ширина
I чжан [=10 чи], глубина 3 чи, верхняя ширина 8 чи, глубины
яет, длина 7 чи. Спрашивается, каков объем». Правило, как
всегда, лаконично: «Сложи [все] три ширины, умножь на
глубину, еще умножь на длину, разделив на 6, возьми 1 раз» [42,
стр. 475].
Тело, о котором идет речь, представлено на рис. 7, где я=6,
6=10, с=8, Z=7, /г=3. По-видимому, сянь-чу разбивали на
прямую призму с треугольным основанием (катеты Z, К) и
высотой а и две равновеликие пирамиды с высотой /г, в основании
которых лежит трапеция со сторонами —^—, ^— и высотой L
Правило
(а+Ь + с)1
~~ 6

74
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
требовало еще некоторых преобразований при сложении
объемов призмы -у hla и пирамид 2 у ( —^—|- ^y~ ) I \~о •
Впоследствии объем такого тела вновь определил в конце XVIII в.
А. Лежандр в 20 предложении книги VI «Начал геометрии».
Объем тела чу-мэн (рис. 8) дается правилом
V=^(2l1 + li)ah,
которое можно получить, выделив в теле плоскостями,
перпендикулярными к верхнему ребру в его концах, прямую призму
Рис. 7.
Рис. 8.
с треугольным основанием и две равновеликие пирамиды с
прямоугольными основаниями. Здесь тоже требуются алгебраические
преобразования.
Объем тела чу-тун, сходного с усеченной четырехгранной
пирамидой, грани которого не сходятся, как у пирамиды,
в одной точке (рис. 9), определяется правилом
Т/ — (2а1+дг) fri + (2g2 + gi)&2 h
v — 6 и,
где ай, Ьг — стороны нижнего основания, а2, 62 — стороны
верхнего основания и h — высота тела. Вывод правила имеется
у математика VII в. Ван Сяо-туна; тело можно разбить на
призмы и пирамиды, как показано на рис. 9. Тогда
и т. д.
Задачи на измерение объемов в Китае отчасти сходны с теми,
которые рассматривали вавилоняне. В клинописных текстах
также есть задачи на вычисление количества рабочих, нужного
для выполнения строительных и земляных работ, и на вычисле-

ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМОВ
75
ние объемов построек. Объем осадного вала (рис. 10) вавилоняне
выражали приближенным правилом
у~ 1 Г*+Ь , a' + b'^h+h'
K==2V 2 f 2 J 2 1л
Мы слишком мало знаем эту сторону математики Вавилона,
чтобы продолжить такие сопоставления.
Из круглых тел в «Математике» определяются объемы:
цилиндра
конуса
и усеченного конуса
V = P^
~~ 12 3
12 3 '
Эти формулы верны при я = 3. Правило для объема шара
в явном виде не приведено, но имеется в книге об извлечении
Рис. 9.
Рис. 10.
корней. Диаметр шара, как говорилось, выражается через
данный объем формулой
так что
9
у=?*.
Поскольку в действительности коэффициент должен быть -^- ,
27
то здесь значение л = т и отличается от принятого для круга,
о
цилиндра и конуса. Возможно, что шар принимали по объему
равным цилиндру с основанием в виде большого круга -г d2

76
ГЛ I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
с высотой -у d:
V =
16
•«4*4*
Позднее в комментарии Лю Хуэя, который, как мы видели,
успешно занимался приближенной квадратурой круга, для
объема шара указаны неравенства [38]
которым соответствуют границы я:
3<я<з|.
Геометрия и алгебра. Мы видели, что в области геометрии
возникали многие алгебраические задачи. Геометрические
фигуры использовались для пояснения и вывода
алгебраических соотношений, а последние, в
свою очередь, для изучения фигур. Примеры
такого рода встречаются на протяжении всей
истории математики Китая.
В этой связи примечательно, что первое
доказательство теоремы Пифагора в Китае
не было чисто синтетическим и соединяло
несложные построения и алгебраические
преобразования. Доказательство содержится
в комментарии к «Трактату о чжоу-би» Чжав
Цзюнь-циня (II или Ш в.). Оно основано на разбиении квадрата
(рис. 11), построенного на сумме катетов прямоугольного
треугольника, на восемь треугольников, конгруэнтных с
исходным, и внутренний квадрат со стороной, равной разности
катетов, что дает:
Рис. 11.
г.2 _
(а+Ь?
.4§ = а« + Ь«
или же (что словесно выражает Чжан):
с2 = 4у + (а-6)2 = а2+62.
Сходный чертеж дает без пояснений, кроме указания «смотри!»,
индийский математик XII в. Бхаскара (см. стр. 115).
В «Трактате о чжоу-би» приведен такой же, как здесь,
рисунок для случая а = 3, 6 — 4, с = 5, причем большой квадрат
разделен на 49 маленьких; здесь используется равенство
25 = 49-4-6.
Что касается геометрического изображения алгебраических
соотношений, то примеры встречаются уже у Лю Хуэя и близ-

КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
77
кого к нему по времени Чжан Цзюнь-циня, которые знали
планиметрические иллюстрации тождеств вроде
2ab + (b-a)2 = a2 + b2, a2- b2 = (a- b)2 + 2b {а- Ь)
или
а2-68 = (а-6)(а+Ь).
Позднее мы покажем, что геометрические средства были
с большим остроумием использованы для вывода сумм
некоторых числовых рядов. Сейчас подчеркнем, что задачи геометрии
оказали в Китае большое влияние на прогресс алгебры, приведя
к уравнениям третьей степени.
Прежде чем вновь обратиться к алгебре, добавим еще, что
в XIII в. под влиянием укрепления научных связей со
странами Средней Азии у некоторых китайских математиков
значительно возрастает интерес к теоретической стороне математики
вообще и в частности к геометрии. Так, Ян Хуэй в 1275 г.
подверг критике Ли Чунь-фена и Лю И за то, что они применяли
методы, не разрабатывая их теоретических начал. В старину,
говорил Ян Хуэй, ученые меняли название своих методов от
задачи к задаче, а это скрывало их подлинные основания. Сам
Ян Хуэй приводит выводы многих приемов и предложений,
например правила решения полного квадратного уравнения (об
этом упоминалось выше) или теоремы о равенстве
прямоугольников, дополнительных к прямоугольникам, лежащим вдоль
диагонали любого прямоугольника. Последняя теорема
отличается от 43-го предложения книги 1 «Начал» лишь тем, что в
последних речь идет о параллелограммах.
Есть основания думать, что именно в 70-е годы XIII в.
китайские астрономы изучали «Начала» Евклида. Однако
геометрия в средневековом Китае не развилась в
самостоятельную дедуктивную науку и занятия Евклидом, если они имели
место, не оставили заметного следа [40, стр. 104—105].
Первые шесть книг «Начал» были переведены на китайский
язык много позднее, в 1607 г.
Кубические уравнения. Задачи, приводящие к числовым
кубическим уравнениям, встречаются уже в Вавилоне, причем
для их решения применялись пробы и таблицы. Не ясно,
однако, выделяли ли вавилонские математики кубические уравнения
как таковые.
В греческой литературе, как мы знаем, числовые кубические
уравнения почти не рассматривались. Исключениями являлись
приближенные извлечения кубического корня у Герона и
отдельные примеры многочленных уравнений с небольшим целым
корнем, образец которых дошел до нас в «Арифметике»

78
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАВ
Диофанта. В примере Диофанта
хг-3х2 + 3х-1 = х2 + 2х + 3
корень, равный 4, легко было обнаружить, приведя уравнение
к виду
т3 + х = Ах2 + 4
и сократив на х2-\-1.
После этого числовые кубические уравнения в явном виде
появляются в Китае. Возможно, что их рассматривал уже Цзу
Чун-чжи. С несомненностью задачи на кубические уравнения,
отличные от двучленных, встречаются у астронома и
математика первой половины VII в. Ван Сяо-туна, автора
«Продолжения старинной математики» («Ци гу суань шу», около 625 г.).
В одной из задач требуется найти стороны прямоугольного
треугольника по произведению катетов
ху = Р = Ж±
и разности между гипотенузой и одним из катетов
Ван Сяо-тун словесно выражает правило составления уравнения
у3 | Q у2 _ Р2
^2 2Q
и лаконически добавляет:
«Выполните действие нахождения корня согласно
извлечению корня. Результат даст первую сторону. Прибавив к этому
избыток, получим гипотенузу. Разделите произведение на
первую сторону, частное есть вторая сторона» [34, стр. 54].
Приводимые в ответе значения сторон #=14^, у=49-=-, ']/х2-\-у2~
I
=51-7- суть точные решения задачи. Метод решения не изложен*
но нет сомнения в том, что он представляет собой развитие
древнекитайского приема извлечения кубических корней.
Непосредственно этот метод дает целую часть корня;
дробная часть могла быть найдена в десятичных дробях. Возможно
также, что с помощью линейной подстановки уравнение было
сначала преобразовано в уравнение с целым корнем: такие
подстановки применялись китайскими алгебраистами в XIII в.
(см. стр. 82). Конечно, числовые данные подобраны в задаче
заранее. Заслуживает внимания самый подбор рациональных
решений задачи: стороны прямоугольного треугольника
пропорциональны числам 287, 984, 1025, т. е. 7, 24, 25. Мы
сказали выше, что ученые Китая знали общее правило
составления целых и рациональных прямоугольных треугольников.

АЛГЕБРА В XIII ВЕКЕ; МЕТОД ТЯНЬ-ЮАНЬ 79
В других задачах на прямоугольные треугольники или на
вычисление элементов усеченной пирамиды с квадратным
основанием Ван Сяо-тун образует числовые уравнения более
общего вида
х3-}-ах2-\- Ьх = с.
Например, требуется определить стороны прямоугольного тре-
л
угольника по произведению катета и гипотенузы (Р=) 1337^
и разности гипотенузы и другого катета (D=) 1т^. Если
обозначить катеты х, т/, то исключение у дает:
{x + D)*(2Dx + D2) = P2
или
(-+4о)2С2го-+1ш)а=(1337АУ-
Ван Сяо-тун совершенно правильно приводит значение1) х=
2 13
=92-=-; тогда гипотенуза есть 93-тг, a y=iAj^. Здесь стороны
пропорциональны числам 143, 924, 935.
О дальнейшем развитии алгебры в Китае вплоть до эпохи
ее наивысшего подъема — до XIII в.— почти ничего не
известно.
Алгебра в XIII веке; метод тянь-юань. На протяжении
немногих десятилетий XIII в. в Китае выступили четыре
выдающихся алгебраиста — Цинь Цзю-шао, Ли Е, Ян Хуэй и Чжу
Ши-цзе, основные труды которых сохранились. Несомненно,
что эти ученые имели многих предшественников, о которых
они иногда упоминают. Так, Ян Хуэй ссылается на работы
математика XI в. Лю И (см. стр. 64) и на более близкого по
времени Цзя Сяня, который около 1100 г. написал сочинение
«Объяснение таблиц цепного метода извлечения корней» («Ли
чжен ши со»). Ян Хуэй говорит, что Цзя Сянь занимался
извлечением корней четвертой степени и знал таблицу чисел, которые
мы называем биномиальными коэффициентами. Чжу Ши-цзе
упоминает не известных нам Юань Хао-веня и Лю Ю-се.
Хотя Цинь, Ли, Ян Хуэй и Чжу жили одновременно или
очень близко по времени друг с другом, мы не можем
утверждать, что их работы находились во взаимной связи; во всяком
случае ни один из этих авторов не ссылается на другого. Это
х) Дж. Лориа, допустив просмотр в выкладках, пришел к ошибочному
заключению, что ответ Ван Сяо-туна неверен и задача невозможна [28,
стр. 156—157].

80
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
вполне объяснимо в случае Цинь Цзю-шао и Ли Е,
работавших в середине XIII в. Первый являлся крупным чиновником
в южнокитайском государстве Сун, находившемся в состоянии
вражды с монголами, завладевшими Северным Китаем, где
проживал другой, также занимавший видные посты в своей
стране. В сочинениях всех четырех математиков имеются
отличия в терминологии и записях. Вместе с тем, по
содержанию эти сочинения во многих отношениях дополняют
друг друга.
«Девять книг по математике» («Шу шу цзю чжан») Цинь
Цзю-шао, появившаяся в 1247 г., содержит вначале теоретико-
числовой отдел, а в основной алгебраической части — весьма
полное изложение так называемого метода Горнера для
уравнений высших степеней и задачи. Ли Е (1178—1265) в «Морском
зеркале измерений круга» («Цзе юань хай цзинь», 1248) и
«Новых шагах в вычислениях» («И гу янь дуань», 1259) особенно
подробно учит приведению геометрических и иных задач к
алгебраическим уравнениям [47а]. Заметим, во избежание
неясности, что название первой книги Ли связано не с вычислением я,
но с различными задачами о кругах, вписанных в треугольники,
и т. п. Изданное в 1261 г. «Подробное объяснение
математических правил в «Девяти книгах» и их новая классификация» («Сян
цзе цзю чжан суань фа цзуань лей») и другие позднейшие труды
южанина Ян Хуэя тематически во многом примыкали к
древнейшей «Математике в девяти книгах»; специальное внимание
уделяется здесь суммированию конечных рядов. Наконец,
странствующий учитель Чжу Ши-цзе в своем «Введении в
математические исследования» («Суань сяо чжи мен», 1299) дал
общее введение в алгебру и, в частности, изложил правила
знаков при сложении и умножении, а в «Яшмовом зеркале четырех
элементов» («Сы юань юй цзянь», 1303), описав метод Горнера
и приемы составления уравнений, разработал систему записи
уравнений высших степеней с четырьмя неизвестными и решил
ряд приводящихся к ним задач [476]. Известны имена
некоторых предшественников Чжу Ши-цзе в решении таких систем
с двумя и тремя неизвестными и даже названия их трудов, но
последние пока не обнаружены [38].
Причины расцвета алгебры в XIII в., на который пришлись
тяжелые войны с монголами, изучены недостаточно. В
середине 30-х годов монголы захватили Северный Китай, а к 1280 г.
и Южный. Стране в целом это принесло огромные бедствия. Но
уровень отдельных математических исследований мог временно
даже повыситься, частью благодаря усилению контакта с
учеными среднеазиатских стран, также попавших под власть
монголов, частью в связи с покровительством, которое оказывали
монгольские правители астрономам и математикам.

АЛГЕБРА В XIII ВЕКЕ; МЕТОД ТЯНЬ-ЮАНЬ 81
Основным достижением алгебры явилось распространение
описанного нами ранее приема решения двучленных уравнений
второй и третьей степени на произвольные алгебраические
уравнения с числовыми коэффициентами, т. е. дальнейшая разработка
метода Горнера. Цифры искомого корня находятся поочередно
с помощью проб, как целые части корней исходного и
вспомогательных уравнений. Линейная подстановка
х = ку, /с = 107П,
позволяет всякий раз добиться того, что целая часть
определяемого корня не превосходит 9. Другая линейная
подстановка
y = p + z,
где р — найденная целая часть корня очередного
вспомогательного уравнения, дает переход к следующему уравнению.
Коэффициенты последнего вычисляются по схеме, примеры
которой были приведены ранее, т. е. по так называемой схеме
Горнера.
Подробное описание этого метода дает Цинь Цзю-шао, решая
уравнение четвертой степени
- х* + 736 200я2 - 40 642 560 000 = 0
с заранее подобранным корнем #=840. Любопытно отсутствие
интереса к решению в радикалах, которое применимо к данному
уравнению, квадратному относительно х2. Прием этот
использовали и для уравнений выше четвертой степени.
Был ли Цинь Цзю-шао первым, распространившим способ
Горнера на произвольные уравнения с положительными
корнями, — неизвестно. К уравнению
ж4 =1336 336,
где ?=34, примерно на полтора века ранее его применил Цзя
Сянь. Циню, во всяком случае, принадлежит заслуга
систематического и полного изложения метода.
Схема вычисления коэффициентов в общем случае могла
быть получена по-разному. Либо она была непосредственно
распространена с уравнения xs=a на остальные уравнения,
либо возникла в результате конкретного преобразования
коэффициентов отдельных числовых уравнений высших степеней
при линейной подстановке х=р-\-у, причем порядок
вычислений соответствовал представлению левой части преобразуемого
уравнения в форме
{[(ах + Ъ) х + с] х + d] х
и т. п.

82
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
Изложенный метод получил у Ли Е название метода
небесного элемента, «тянь-юань шу»; небесным элементом, «тянь-
юань», Ли называл неизвестную величину, а «шу» означает
метод.
Подстановка х=ку, сперва применявшаяся для
преобразования корней вспомогательных уравнений к числу, меньшему 10,
использовалась также для приведения коэффициента старшего
члена к 1 и отыскания дробных рациональных корней. Вот один
из примеров Чжу Ши-цзе [36, стр. 142]. Решая уравнение
576ж4 - 264(Ь3 + 1729я2 + 3960я -1695 252 = 0
и найдя целую часть корня 8, Чжу делает подстановку х=у+8,
что дает:
576т/4 + 15 792?/3 + 159 553г/2 + 704 Шу - 545 300 = 0.
Затем он полагает j/ = ~=g и получает:
z4 + 15 792z3 + 91 902 528z2 + 233 700 360192z -
-104208 452812800 = 0,
384 2 2
а отсюда, определив z=384, находит, что г/ = —= —- и х=8-^ .
Впоследствии подстановка х=ку была вновь введена Ф. Виетом.
Записывая уравнения в современных обозначениях, мы не
слишком далеко отходим от символики китайских алгебраистов
XIII в. Для степеней неизвестного и свободного члена
использовались специальные иероглифы. Знак равенства
отсутствовал, но этот недостаток компенсировала сама форма записи.
Цинь Цзю-шао писал коэффициенты восходящих степеней
неизвестного, начиная со свободного члена, по порядку сверху
вниз, столбиком. Раньше свободный член был положительным
и ему приравнивалась совокупность прочих членов. Теперь он
объединяется с остальными членами и берется отрицательным;
подразумевается, что алгебраическая сумма членов уравнения
равна нулю. Такое видоизменение обеспечивало единство
операций в схеме Горнера: прежде все коэффициенты
вспомогательных уравнений получались с помощью сложения, а
свободный член — вычитанием; теперь и он находится, как остальные
коэффициенты.
Отсутствующие в уравнении степени помечались кружком,
т. е. знаком нуля. Справа от коэффициента при первой степени
ставится иероглиф неизвестного, определяющий степени
прочих членов; иногда писали знак свободного члена или же
иероглифы всех степеней. В наших обозначениях эта запись для
уравнения
- я4 + 736 200я2 - 40 642 560 000 = 0

АЛГЕБРА В XIII ВЕКЕ; МЕТОД ТЯНЬ-ЮАНЬ 83
имела бы вид
-40 642 560 000
Ох
736 200
0
-1.
Отрицательные коэффициенты у Цинь Цзю-шао напечатаны
черным цветом, положительные — красным; Ли Е с этой целью
244800= —
х+160=г.
= 1111 = ЮО А
I ±о
2+680х+96000'
т=о
W±OOOi^
х+2+4х
Рис. 12. Алгебраические выражения (по книге
Ли Яня).
применял перечеркивание цифровых знаков. Ли Е
первоначально свободный член ставил внизу, но во второй своей книге
он поступает, как Цинь. Мы приведем несколько примеров
китайской записи, из которых видно, между прочим, чти,
располагая коэффициенты по обе стороны от свободного члена,
китайские алгебраисты могли изображать отрицательные
степени неизвестного. В этих примерах иероглиф тай ^Jh озна-

84
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
чает свободный член (иногда писали тай ши, т. е. число —
делимое), иероглиф юань ^С (т- е- небо) — неизвестную.
Принятая в Китае каноническая форма записи уравнений
аналогична введенной в XVII в. Т. Гарриотом и Р. Декартом
записи всех членов уравнения с одной стороны от знака
равенства, по другую сторону которого стоит нуль. Сходство
усиливается тем, что Декарт и некоторые его преемники отмечали
отсутствие членов в уравнении звездочками. До начала XVII в.
европейские математики, следуя греко-арабской традиции,
писали члены уравнений с положительными коэффициентами
по обе стороны от знака равенства. В Китае запись уравнений
типа f(x)=0 лежала в основе единообразного применения схемы
Горнера; Декарт подчеркивал, что эта запись является основой
единообразной формулировки ряда теорем о свойствах
уравнений, например его правила знаков и т. д.
Метод тянь-юань представляет собой одно из крупнейших
открытий математиков древнего Китая. Полтора века спустя
мы находим этот способ в применении к извлечению корней
любой степени у Джемшида ал-Каши. В Европе аналогичный
прием был предложен в работе 1600 г. Ф. Виетом, который не
дал, однако, удобной схемы вычисления вспомогательных
коэффициентов. В начале XIX в. метод тянь-юань был заново
открыт почти одновременно П. Руффини (1804, 1813) иУ. Горне-
ром (1819) и чаще всего называется теперь по имени последнего.
Общие теоретические вопросы теории уравнений высших
степеней китайские математики оставили в стороне. Метод
тянь-юань вполне удовлетворял запросы науки Китая в
средние века. В практически-вычислительном отношении он имеет
преимущества перед решением уравнений в радикалах,
возможным к тому же лишь, для частных классов алгебраических
уравнений. Но с методом тянь-юань, с другой стороны, не были
связаны фундаментальные проблемы, которые поставили в
порядок дня исследования итальянских математиков, открывших
решение в радикалах уравнений 3-й и 4-й степени, и с
изучением которых было связано развитие алгебры нового времени.
Заметим еще, что китайские алгебраисты до XIV в.
ограничивались отысканием одного положительного корня уравнения,
одного решения задачи. На возможность более одного решения
уравнений второй и высших степеней позднее указал У Цзин
в «Полной классификации математических методов сочинения
в девяти книгах» («Цзю чжан суань фа би лэй дацюань», 1450).
Было бы интересно подробнее исследовать это сочинение [38].
Нелинейные системы уравнений. Решение нелинейных
систем с четырьмя неизвестными явилось одним из основных пред-

НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
85
метов «Яшмового зеркала четырех элементов» Чжу Ши-цзе.
Четыре элемента — это неизвестные, которыми служат
стороны прямоугольного треугольника и еще какая-либо
связанная с ними величина. Чжу называет их элементами неЬа —
тянь, земли — ди, человека — жень и, наконец, вещи — у;
мы будем их по порядку обозначать х, у, z, w. Запись таких
%7Ci
К
= 3, Й7С;
iv
=2/, Атс*
&
= 2,
:Я + У + 3 + *0-
г а ядов**; j
xz + y2+zz+w2+2zy
+ 2xz + 2xw + 2yz
Ч- 2yw + 2zw.
Рис. 13.
уравнений отражала расположение коэффициентов на счетной
доске. Коэффициенты пишутся в прямоугольной таблице, в
центре которой стоит свободный член или, если его нет,
иероглиф тай (см. его на стр. 83). Коэффициенты степеней х
пишутся книзу от центра, степеней у — влево, степеней z —
вправо и степеней w — вверх. Произведения ху, yw, wz, xz
располагаются в пересечении соответственных рядов;
произведения xw и zy, для которых нет таких мест,— наискось от
центра. На рис. 13 показаны записи выражений x-\-y-\-z + w
и х2 + у2 + z2 + w2 + 2ху + 2xz + 2xw + 2yz + 2yw + 2zw.
Уравнение
2z/3 _ 8^/2 __ xy2 + 28y + 6xy - я2 - 2я = 0
Ли E писал, как показано на рис. 14.

86 гл I- МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
Задачи решаются с помощью последовательного
исключения неизвестных. Промежуточные уравнения изображаются
сразу на нескольких счетных досках частями таблиц вроде
II
о
о
[о
л
\
о
о
=пг
т
о
о
к
X
N
о|
Рис. 14. Рис. 15.
приведенных. Рассмотрим записанную в нашей символике
задачу Чжу Ши-цзе, в которой основной искомой является
величина и=2х-\-2у\
x-2y + z = 0,
2х — х2 + 4г/ — ху2 + 4z + xz = О,
x2 + y2-z2 = 0,
2х + 2у-и = 0.
Здесь #=3, г/=4, z==5 и гг=14. Второе уравнение выражает такое
условие задачи:
Как видно, Чжу Ши-цзе не соблюдал принципа однородности
членов уравнения, складывая линейные и двумерные величины
и т. п.
Заканчивая обзор развития алгебры в Китае, следует
подчеркнуть некоторые особенности довольно большой группы
геометрических задач. Для упражнения в решении уравнений
высших степеней китайские алгебраисты нередко сводили зада-
ЧУ к уравнению там, где можно без того обойтись, или к более
сложному уравнению, чем необходимо. Например [28, стр. 158],
площадь х четырехугольника, составленного из двух
приложенных друг к другу равнобедренных треугольников с общим
основанием, причем стороны известны (рис. 15), Цинь Цзю-шао
определяет как корень уравнения
-х* + 2(А + В)х2-(А-В)2 = 0,

НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
87
где
Между тем, зная А и В, можно сразу получить:
x = Va+Vb.
Весьма сложные предварительные преобразования
требуются в следующей задаче Чжу Ши-цзе. Даны площадь
прямоугольного треугольника 30 и сумма катетов 17. Требуется
найти сумму меньшего катета и гипотенузы. Мы бы решили
систему
я?/ = 60, ж + у = 17
и, зная х=5, г/=12, вычислили }/гх2+у2=13 и искомую сумму
5+13=18. Чжу принимает в качестве основной неизвестной
сумму катета и гипотенузы v=x-\-]fx2-\-y2 и говорит, что
окончательное уравнение есть
- 3600 - 3706а - 7Ь2 + 34а3 - у4 = 0.
Здесь корень 18 — искомый. Другой положительный корень 25,
на который Чжу не обращает внимания, дает сумму
гипотенузы и другого катета (прочие корни — 1, —8 отрицательны).
После этого Чжу отдельно решает задачу, где ищется сумма
большого катета и гипотенузы, и снова приходит к тому же
уравнению. Удивительно, что он не отмечает наличия у
данного уравнения двух положительных корней.
Требуется немалая сноровка в алгебраических
преобразованиях, чтобы прийти к написанному уравнению четвертой
степени1).
г #2 у2
1) Например, если из v = x-\-y я2+г/2 выразить х = —^-^- , то
у2 ,.2 v2 г/2
1^+2,=17; V^=60
ИЛИ
г/2—2г?г/+(34г;—г;2) = 0, (а)
2,3 „.^^ 12027 = 0, (Ь)
нз (а)
г/ = г; — "j/"2v2—34v.
Подставляя у в (Ь), сокращая на г?, уединяя радикал и возводя в
квадрат, получим:
y4—34г?3+71г>2+3706г;+3600 = 0.

88
ГЛ, I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
В сочинениях XIII в. имеются и уравнения выше
четвертой степени. Так, обобщая одну приведенную ранее задачу
«Математики в девяти книгах» о городе квадратной формы
(стр. 64) на круг и принимая я=3, Цинь Цзю-шао выражает
неизвестную, как корень уравнения десятой степени:
х10 + 15я8 + 72я6 - 864я4 - 11664я2 - 34 992 = О,
которое, правда, можно тотчас свести к уравнению 5-й степени.
В задаче требуется определить диаметр круга, если (говоря по-
современному) касательная, проведенная из данной точки С
прямой, касающейся окружности в нижнем конце А некоторого
диаметра АВ, пересекает продолжение диаметра АВ в данной
точке/). У Циня АС=9, BD = S;
корень уравнения х выражает
радиус круга, который оказывает-
Q
ся равным -к-. Как пришел Цинь
к своему уравнению — не ясно.
Во всяком случае, задачу легко
выразить (рис. 16) на основании
подобия треугольников OED иПАС
q уравнением четвертой степени
Рис. 16. 4я4 + Мхъ + 9х2 - 486я - 729 = 0.
Из равенства площадей ADAC=AOED+2AOAC можно [28,
стр. 159] получить еще более простое кубическое уравнение
2яЗ + Зя2 = 243.
У Ли Е встречается уравнение шестой степени, у Чжу
Ши-цзе — четырнадцатой степени.
Решение уравнений высоких степеней не находило
практических приложений. Но было бы неверно думать, что развитие
алгебры протекало вне связи с запросами других наук. Как
мы увидим далее, многочлены второй и третьей степеней
получили важные применения в эмпирических формулах китайской
астрономии.
Биномиальные коэффициенты. В «Яшмовом зеркале
четырех элементов» Чжу Ши-цзе приводится треугольная таблица
чисел, являющихся биномиальными коэффициентами вплоть до
восьмой степени (ср. рис. 17). Сам Чжу не претендует на новизну
этой таблицы. Мы уже говорили, что, согласно Ян Хуэю, ею
располагал (в несколько меньшем объеме, до тг=6) Цзя Сянь
около 1200 г. Название труда Цзя Сяня (см. стр. 79) как будто
говорит о том, что таблица использовалась при извлечении
корней.

БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
89
4п
I7-H1
gee
ю©е
ie©ee
Треугольник биномиальных коэффициентов был известен
еще ранее. Индийские математики знали его уже во II в. до
н. э.; но здесь он использовался в комбинаторных задачах,
и нет оснований говорить о знакомстве индийцев в те времена
с разложением степени двучлена. Для показателя, равного 4,
правило бинома знал _^_ , _
иранский математик ал-
Караджи около 1000 г.
Весьма вероятно, что
теорема о биноме для любого
натурального показателя
была известна Омару
Хайяму, жившему в XI —
XII вв.
Вопрос о месте и
времени открытия теоремы о
биноме для любого
натурального показателя
остается пока открытым. После
Чжу Ши-цзе таблица
коэффициентов до
показателя, равного 9,
встречается у Джемшида ал-Каши,
а в Европе у П. Апиана
в 1527 г. и М. Штифеля
в 1544 г. Широкую
известность таблица
биномиальных коэффициентов
получила по «Трактату об
арифметическом
треугольнике» Б. Паскаля,
изданному в 1665 г.; Ньютон
в это же время
распространил формулу бинома на
любые действительные
показатели, опираясь па открытое им мультипликативное
правило образования коэффициентов.
Не исключено, что биномиальпые числа применялись
математиками Китая в задачах комбинаторного анализа. Ученый
XI в. Шэнь Ко сообщает, что буддистский священник и
астроном И Синь, светское имя которого было Чжан Гэ-суй (683—
727), произвел расчет возможных расположений в игре,
напоминающей шахматы, для различного числа рядов и фигур. Для
пяти рядов и двадцати пяти фигур И Синь нашел число
комбинаций равным 827 288 699 443. Для семи рядов, согласно
Шэнь Ко, соответствующие числа уже не имеют наименований,
*
.го
№
и Ф й
ш
7Ь
та
Рис.
(из
17. Биномиальные коэффициенты
энциклопедии Юн-лэ да дянь
1403—1424 гг.).

90
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
а для 361 ряда число будет порядка примерно 10208. К
сожалению, мы не знаем точных условий и способа решения задачи
И Синя, который не был ни первым, ни единственным ученым,
занимавшимся комбинаторными задачами. Все труды И Синя
утеряны. Возможно, что биномиальные коэффициенты впервые
ввели в Китае буддистские ученые.
Задачи теории чисел. Небольшая группа неопределенных
линейных задач имелась, как мы видели, уже в древней
«Математике в девяти книгах». В этих задачах искомое целое решение
было единственным. Впоследствии ученые Китая рассмотрели
ряд других, более общих линейных задач так называемого
диофантова анализа.
Не позднее чем к началу III в. восходит «задача о птицах».
Согласно Чжань Луану, написавшему в VI в. комментарии
к одному утраченному труду Сю Е, жившего около 200 г.,
в этом труде содержалось решение задачи: сколько можно
купить на 100 монет петухов, кур и цыплят, если всего птиц
100 и если петух стоит 5 монет, курица — 4, а 4 цыпленка —
одну. Чжань Луан приводит решение: 15 петухов, 1 курицу,
84 цыпленка, которое является единственным. В другой задаче
с условием
4с + Зу+|-=100
Чжань Луан также приводит одно решение: ж=8, t/=14, z=78,
хотя имеется и второе: я=16, у—3, 2=81.
В «Математическом трактате» («Суань цзин») Чжан Цю-
цзяня, жившего, вероятно, во второй половине VI в., уже
учитывается возможность нескольких целых решений задачи
о птицах. Задача Чжана, выражаемая им словесно, такова:
5x + 3y + ±z = l00. J
Чжан дает три ответа:
4 петуха, 18 кур и 78 цыплят,
8 петухов, 11 кур и 81 цыпленок,
12 петухов, 4 курицы и 84 цыпленка,
замечая, что число петухов возрастает всякий раз на 4, число
кур уменьшается на 7, а число цыплят возрастает на 3. Легко
проверить, что приведенные решения являются единственными
целыми положительными; кроме них, есть одно неотрицательное
х=0, г/=25, z=75, естественно пропущенное китайским
математиком. Решение системы можно выразить в параметрическом

ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
91
виде:
х = 4г, г/= 25 — It, z = 75 + 3*,
где t принимает целые значения 0<?<3.
Задача о птицах получила большое распространение как
в Китае (Ли Чунь-фен, в XI в. Се Чже-вей и др.), так и в
других странах. Числовые примеры ее имеются у индийца Бхаска-
ры (XII в.), египтянина Абу Камила (X в)., посвятившего ее
вариантам специальный трактат (см. стр. 222), и многих
других ученых стран Ближнего и Среднего Востока. Подробный
разбор задачи дал Джемшид ал-Каши, причем любопытно, что
правые части уравнений у него также равны 100. В Европе
сходная задача с той же правой частью впервые встречается
в сборнике задач, приписываемых Алькуину (VIII в.). Под
различными названиями эти задачи фигурировали затем
в европейской средневековой литературе по арифметике.
Другая, более сложная теоретико-числовая задача
появляется в «Математическом трактате» («Суань цзин»),
написанном Сунь-цзы в III или IV в. Это — задача на решение системы
уравнений первой степени с различными модулями. Требуется
найти число, которое при делении на числа 3, 5 и 7 дает
соответственно остатки 2, 3 и 2. Правило Сунь-цзы гласит:
«При делении на 3 остаток есть 2, поэтому возьмите 140.
При делении на 5 остаток есть 3, поэтому возьмите 63. При
делении на 7 остаток есть 2, поэтому возьмите 30. Сложив их
вместе, получим 233. Из этого вычтите 210, и мы получим
ответ», т. е. 23. «Вообще,— говорит Сунь-цзы,—если остаток от
деления на 3 есть 1, возьмите 70; и если остаток от деления на
5 есть 1, возьмите 21; и если остаток от деления на 7 есть 1,
возьмите 15. Если сумма этих чисел больше 106, вычитайте по
105, прежде чем получить ответ» [34, стр. 32].
Можно полагать, что подобные задачи возникли в связи
с календарно-астрономическими расчетами. Во всяком случае,
именно в этих расчетах находили они применение. Решение
целого ряда таких задач излагал уже упоминавшийся
астроном И Синь, автор особой системы календаря. Цинь Цзю-шао,
который в первой книге своего труда (1247) дал подробное
решение задачи Сунь-цзы, говорит, что метод разработали
составители календарей и астрономы, и приводит такую задачу.
Согласно старым календарям зимнее солнцестояние повторяет-
1 499
ся каждые 365 -г дней, лунный месяц имеет 29 ^ дней, а цикл
ки ша-тсу содержит 60 дней. Через сколько лет, или месяцев,
или дней эти три периода возвращаются к некоторому
исходному положению?

92 ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
Приведем решение задачи Сунь-цзы согласно Цинь Цзю-шао,
пользуясь обозначениями современной теории сравнений.
Ищется решение линейной системы сравнений с попарно
взаимно простыми модулями:
х = rx (mod gx),
х == r2(mod q2),
# = r3(mod q3)
(в задаче Сунь-цзы
r1 = 2, r2 = 3, r3 = 2, ga = 3, q2 = 5, g3 = 7).
Прежде всего находятся вспомогательные числа Nv N2, Nz,
удовлетворяющие уравнениям
N1q2qs == 1 (mod дх), т. е. 35N± = 1 (mod 3),
^2?1?8 = l(modg2), т. е. 21iVa == 1 (mod 5),
^s?i?2 = 4 (mod ?s)i T- e- ^Ng = 1 (mod 7).
Последние уравнения заменяются на более простые, если в
качестве коэффициентов взять остатки от деления данных
коэффициентов на модули
2NX= l(mod3),
N2 = 1 (mod 5),
Л"з= l(mod7).
Легко подобрать
iV1 = 2, /V2=l, 7V3=1,
тогда
Л~1<72?з = 70, N2qiq2 = 21, iV3g1?2 = 15.
Наконец, искомое
я = {N1q2q3r1 + N2qiqBr2 + N3qiq2rs) (mod ад^з),
т. e.
x = (140 + 63 + 30) mod 105,
или
x = 233 - 105*.
где t — любое целое. Наименьшее положительное значение 23
получается при t=2.
Уже И Синь распространил метод Сунь-цзы на случай, когда
модули не являются попарно взаимно простыми (в этом случае
задача не всегда имеет решение). Мы не будем
останавливаться на соответствующих изменениях метода, излагаемых

СУММИРОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ РЯДОВ
93
Цинь Цзю-шао. Укажем только, что в одном из примеров
Циня
х ==32 (mod 83),
х = 70 (mod 110),
х = 32 (mod 135).
Нелегких выкладок требуют и примеры И Синя [40, стр. 120].
Подобно задаче о птицах, задача Сунь-цзы имеет богатую
дальнейшую историю. С теми же числовыми данными и в
других вариантах она приводится в 1202 г. в «Книге абака»
Леонардо Пизанского, а примерно на 100 лет позднее — в одной
византийской рукописи. В XV в. эта задача с различными числовыми
данными фигурирует в немецких рукописных арифметиках,
а в XVII в.— в русских арифметических рукописях [48].
Наконец, древнекитайский метод был вновь разработан Л.
Эйлером (опубл. 1740) и со всей полнотой К. Гауссом в § 32—36
его знаменитых «Арифметических исследований» 1801 г. Эйлер
и Гаусс не знали, что этой задачей занимались в Китае на
полторы тысячи лет ранее.
Упомянем еще, что математики Китая с давних пор, еще
до н. э., занимались составлением так называемых магических
квадратов, т. е. таким распределением п2 последовательных
натуральных чисел 1, 2, 3, ..., п2 в квадратной сетке, при
котором сумхмы чисел в каждом из столбцов и строк одинаковы
и, значит, равны -к- (п2-\-1). Магические квадраты нередко
использовались для мистических спекуляций. Вместе с тем это был
один из видов математических развлечений. Несколько
продвинул разработку приемов построения магических квадратов
Ян Хуэй в 1275 г., работу которого продолжили многие
математики Китая и Японии. Простейшие магические квадраты
были, по-видимому, известны Теону Смирнскому около 130 г.,
ими занимались Арабские и византийские ученые.
Суммирование конечных рядов. Задачи на арифметические
и геометрические прогрессии имеются в древней «Математике
в девяти книгах» и, несомненно, были известны еще ранее.
Некоторые задачи, связанные в «Математике в девяти книгах»
с применением арифметических прогрессий, довольно сложны.
Мы приведем два примера.
В задаче 19 книги VI требуется определить члены
арифметической прогрессии а1? a%—av-\-d, ..., а^=ах-\-Ы по условиям.
39
а7+а8+а9=4, ^+^+^3+^4=3. Ход решения, дающего а1=^ ,

94 ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
j 7
:, отчасти сходен с
10
ёр,, отчасти сходен с приемом решения древневавилонской
о
задачи, в которой даны ^ я* = 100, я3=6 и ищется d=у [42,
fe=i
стр. 554—557].
Школьник нашего времени, скорее всего, составил бы
уравнения
3at + 21d = 4,
4ах -f 6eZ = 3
и, исключая а1? нашел с?= IjZ/l и затем аг Китайские
ученые использовали в данной задаче средние
арифметические сумм членов. Прежде всего, образуется «нижний
коэффициент», как 4:3; это число прямо объявляется равным а^
В самом деле,
g7 + fl8 + g9 п 4
3 -а8--з"-
Затем вычисляется «верхний коэффициент» 3 : 4
+ fl3+g4_ 3
4 ""4
al + g2+fl3+g4_ 3 /* _g2+g3^
Наконец, разность -—-у- делится на разность 9 — ( y^"2 ) *
что и дает d = 7/66. По-видимому, вторая разность получена
была из таких соображений. Член am = a1 + (m—l)d
отличается от ak = a1-\-(k — l)d на й, взятое (т - 1) — (/с — 1) раз,
и поэтому а8 отличается от -^ +- -«г на °^ взятое
Специальных терминов для прогрессий и связанных с ними
величин в «Математике» нет. В данной задаче речь шла о
бамбуке из девяти колен, объем каждого из которых отличается от
соседних на одну и ту же величину.
В условии задачи 19 книги VII рысак и кляча выходят из
одного пункта, причем рысак пробегает в первый день 193 ли,
а в каждый следующий на 13 ли больше, кляча же пробегает
в первый день 97 ли и в каждый следующий на у ли меньше.
Пройдя 3000 ли, рысак возвращается и на обратном пути
встречается с клячей. Спрашивается, через сколько дней они
встретятся и сколько пройдет каждый? Задача решается по
способу ложных положений. За п целых дней рысак и кляча
пробегают вместе 290 п—6 -г-(п2—п) ли; общий пробег их дол-

СУММИРОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ РЯДОВ
95
жен составить 6000 ли. При тг=15 будет недостаток в 6000 —
-5662 1 = 337 -i ли, при тг=16 будет избыток в 6140—6000=
= 140 ли. Допуская, что на протяжении каждого дня скорости
не меняются, получаем:
15.140+16.337-1- 135 .
х == , = 15 тщ дней.
140+337 у
Никаких указаний на применение формулы суммирования
арифметической прогрессии в «Математике» не имеется.
Правило суммирования прогрессии засвидетельствовано пока лишь
у Чжан Цю-цзяня (V в.); в одной задаче на отыскание разности
прогрессии он использует соотношение
2——2а
п— 1 '
где d — разность, S — сумма, а — первый член, п — число
членов. Чжан Цю-цзянь употребляет также правило 5 =
Задачи на геометрические прогрессии в «Математике в
девяти книгах» элементарны, знаменатель в прогрессиях только 2,
и общая формула суммирования не встречается. Любопытно,
что в некоторых задачах на арифметические или геометрические
прогрессии речь идет о выработке ткачих с растущей или
падающей производительностью труда. Числовые данные не
имеют практического значения, но сами задачи (как и
упоминавшиеся ранее задачи о покупке шелковых ниток и другие)
свидетельствуют о большой роли, которую играло в хозяйстве
страны текстильное производство.
Со значительно более продвинутыми знаниями в
суммировании арифметических рядов мы встречаемся в XI в. у
государственного деятеля, инженера, астронома и математика Шэнь Ко
(1030—1094). В книге 18 его «Рассуждений Мэн-си»1) («Мэн-си
би тань», 1086) вычисляется количество предметов, образующих
тг-слойную ступенчатую усеченную пирамиду, причем слои
имеют вид прямоугольников, обе стороны которых
последовательно увеличиваются сверху вниз на единицу. Если в верхнем
слое предметов ab, то нужно найти сумму ряда
S = ab + (a + l){b + l)+...+[a + (n-l)][b + (n-l)]. (1)
г) Мэн-си—одно из имен Шэнь Ко.

96.
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
(2)
Шэнь Ко без обоснования приводит правило
S=-j[a(2b + B) ±А(2В + Ь)+(В-Ь)],
где
4 = а + /г-1, В=Ь + п-1.
Несомненно, что в основе здесь лежали правила
суммирования арифметической прогрессии и ряда квадратов натуральных
чисел. Группируя члены в (1), имеем:
5 = ла6 + [1 + 2+...+(л-1)](а-гЬ) +
+ [12 + 22+...+(л-1)2],
и если известно, что
l + 2+...+(i.-l) = ^,
1« + 2«+...+(и-1)«-("-1)"(2,,-1),
ТО
5 = ?[6аЬ + 3(л-1)(а+6) + (и-1)(2и--1)];
6
отсюда, поскольку /г = 4-а + 1 и и = J8 — 6 + 1, можно полу-
чить (2). Требуемые алгебраические преобразования не
представляли труда для китайских математиков того времени.
-3-
Рис. 18.
Суммы для 2 к и 2 ^2 могли быть получены с помощью
fe=i fe=i
геометрических соображений. В книге Ян Хуэя «Быстрые
способы измерения полей» («Тянь му би лей чен юй цзе фа»,
1275 г.) равенство 3+5+7+9= -^ (3+9) иллюстрируется
подсчетом площади ступенчатого параллелограмма,
образованного из одинаковых слоев (рис. 18). Впрочем, сумма
арифметической прогрессии легко получается чисто арифметически,
и здесь мы имеем дело, быть может, с геометрическим
пояснением уже известного факта. Но весьма вероятно, что

СУММИРОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ РЯДОВ 97
ряд квадратов был суммирован с помощью геометрических
средств.
п
Формула суммирования 2 /с2 в «Подробном объяснении
fe=i
математических правил» (1261) Ян Хуэя имеет (для п=5) вид,
несколько отличный от употребительного ныне
l» + 2*+...+n« = i-n(n+l)(n + 4-). (3)
О том, как она получается, Ян Хуэй не сообщает, но его
формулировка правила (3) дает основания для весьма
правдоподобной реконструкции. Представим себе ряд
1 + 22 + 32 + 42 + 52
в виде ступенчатой пирамиды, слои которой составлены из 1, 4,
9, 16, 25 кубиков, расположенных как указано на рис. 19.
Рис. 19.
Если приложить друг к другу три такие пирамиды, как
указано на рис. 20, то они образуют пятислойный параллелепипед
с основанием в (5+1) 5 кубиков, на верхней грани которого
выступает еще неполный слой в 1+2+3+4+5 кубиков (рис. 19).
Разрезав выступ горизонтально пополам, его можно
разместить на верхней грани параллелепипеда в виде слоя высотой
в -у. Объем получающегося параллелепипеда есть, очевидно,
5 (5+1) ( 5 +у} , откуда следует (3).
Собственный текст Ян Хуэя гласит:
«К нижней стороне прибавим 1, умножим на нижнюю
сторону, и еще прибавим -=- — это высота, и умножим на нижний

98
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
квадрат [здесь, видимо, имелась в виду площадь основания
параллелепипеда.—А. Ю.]. Этот объем разделим на 3 части и
возьмем одну» [49]1).
В том же сочинении 1261 г. Ян Хуэй дает правило
суммирования ряда
1 + 3 + 6+...+4-и(гс+1) =^п(п + 1) (72 + 2). (4)
Это — ряд чисел, которые мы, вслед за древними греками,
называем треугольными. Приведенное правило Ян Хуэй сооб-
Рис. 20.
щает непосредственно вслед за вычислением объема
трехгранной пирамиды, причем суммирование (4) он трактует как
1) Эта реконструкция, предложенная недавно Сюй Чунь-фаном [49],
совпадает, по существу, с реконструкцией древневавилонского правила
п
s "-G+H2I*.
k=l
fc=l
данной в 1937 г. С. Я. Лурье [48б, стр. 193—194]. В нашей статье [50]
приведена другая геометрическая реконструкция вывода суммы ряда
квадратов, предложенная Сюй Чунь-фаном ранее [51]; она менее
правдоподобна.

СУММИРОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ РЯДОВ
99
определение объема многослойного «трехгранного тела».
Реконструкция аналогична предыдущей1).
Большое число правил суммирования приведено без
доказательства в сочинениях Чжу Ши-цзе [36, стр. 130—134].
К ним относятся, например, ряды, возникающие при
перемножении натуральных, треугольных и квадратных чисел с членами
возрастающей или убывающей арифметической прогрессии:
1. а + 2 (а + d) + ... + п [а + (п - 1) d] =
_ п (п+1) [2<&г+(3а—2d)]
"" 6
1. [а + (и— 1) d] + 2 [а + (п- 2)d] + ... + па =
_n(n+l)[dn+(Sa—d)]
" 6
l.a+3(a + d)+...+Zt?^[a + (n-l)d] =
_п(п+1) (п+2) [Sdn+ (4а— 3d)]
"" 24
l.[a + (w-l)rf] + 3[o + (n-2)d] + ...+^^a= I
_ тг (я+1) (п+2) [dn + (4ta—rf)]
"" 24
l2.a+22.(a + d)+...+w2[a+(/2^1)d]=-
= ^n(n + i-)(/i + l)a + i(7ia-l)7i(3n + 2)d> |
12.[а + (^-1)й] + 22[а + (п-2)й]+...+?г2а= *
1
=44
П + -7Г )(/г + 1)й + ^(тг2-1)/г2й. ;
12'
(5)
(6)
(7)
x) Из суммы ряда треугольных чисел легко получить сумму квадратов,
почленно складывая
1+3+.. • +4-(Л~1) n=i ("-1)» ("+1)-
Геометрически этому соответствует соединение двух соответствующих
ступенчатых пирамид в одну, изображенную на рис. 19.

100
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
ДРУГУ10 ГРУППУ рядов образуют различные фигурные числа:
п(п+1)(п+2)
треугольные, пирамидальные вида —-——-Р—!—- и иные:
п
v *(*+!) (*+2) л(п+1)(»+2)(д+3) ._.
А а = 24 ' (Ь)
^ к(к+1)(к+2)(к+3) п(п+1)(п+2)(п+3)(п+4)
^ 24 *"" 120 Уу>
? к(к+1)(2к+1) в(д + 1)(п+1)(л + 2) ,.
Д A»(fc+l)(2fc+l)
и(я+1)(п+2)
60
[n(4»+4)+(4» + -i)] (И)
и т. д.
Вычисление сумм (5) тесно связано с суммированием ряда
квадратов, сумм (6) —с суммированием ряда кубов (которое
также засвидетельствовано в китайской математике XIII в.)
и с (8), а сумм (7) —с рядом кубов. Мы не знаем, однако,
какие суммы были получены первыми.
Суммированием арифметических рядов успешно занимался
также Цинь Цзю-шао в своем сочинении 1247 г.
Насколько оригинальны приведенные результаты —
неизвестно. Правило суммирования ряда натуральных квадратов
знали вавилоняне; аналогичную формулу для случая арифмети-
71 П
ческой прогрессии вывел Архимед. Суммы 2 ^2 и 2 ^3 знал
Ариабхатта. Древние греки и тот же Ариабхатта умели сум-
п
мировать ряд 2) *(fc^~1} . В IX в. Магавира просуммировал
ряды квадратов и кубов членов арифметической прогрессии,
а индиец Нарайана в XIV в. применял формулы вроде
(8) и их обобщения на арифметические прогрессии. Ряд
Шэнь Ко вне Китая, по-видимому, не встречается.
Интерполирование. Задачи астрономии, которые возбуждали
интерес к диофантову анализу, вызвали к жизни и разработку
интерполирования. При этом китайские математики сделали
шаг вперед по сравнению со своими предшественниками,
перейдя к квадратичному и затем кубическому
интерполированию. Ранее того применялось только линейное интер-

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
101
полирование,— например, Птолемеем при составлении
таблиц хорд.
Непосредственной целью интерполяционных приемов в
Китае был подбор эмпирической формулы, выражающей неравно-
мерное видимое угловое движение Солнца вдоль эклиптики
в функции времени. Вычисление коэффициентов формулы
производилось с помощью простых или разделенных разностей,
причем доходили до разностей, постоянных в пределах
наблюдений1).
Насколько известно, первыми в этом направлении были
календарные работы астронома и математика Лю Чжо (544—
610), относящиеся примерно к 600 г. Лю Чжо брал
равноотстоящие значения аргумента и применял для
интерполирования квадратичный трехчлен, используя разности первого
и второго порядка. Интерполяционную формулу Лю Чжо
употребил в 664 г. в новых календарных расчетах Ли Чунь-фен
(605—673); ею пользовались и позднее при работе над
календарем, в 1024 г. Интерполирование с помощью квадратичного
трехчлена долгое время удовлетворяло астрономов, но в XIII в.,
когда точность наблюдений возросла, добавили еще член третьей
степени. Формулу кубического интерполирования предложил
инженер, математик и придворный астроном Хублай-хана,
двоюродного брата владевшего Ираном Хулагу-хана, Го Шоу-
цзинь (1231—1316), привлеченный в 1276 г. к разработке нового
календаря. В основу вычислений были положены наблюдения,
произведенные на обсерватории в Пекине, оснащенной лучшим
в то время инструментарием. Календарь Го Шоу-цзиня был
введен в 1281 г. и оставался в ходу до 1367 г. Сочинения самого
Го не сохранились, но его календарные расчеты изложены
в других дошедших до нас трудах.
Современные интерполяционные параболические
формулы, в которых функция f(x) с 7г+1 заданным значением
f(x0), /(^i), ... , f(xn) заменяется целым алгебраическим
многочленом п-ж степени, совпадающим в точках х0, хг, ... , хп с /(я),
восходят к английским математикам Дж. Грегори, И. Ньютону
и Дж. Стирлингу.
Формулы Лю Чжо и Го Шоу-цзиня представляют собой
частные случаи при тг=2 и, соответственно, 7г=3 широко
употребительной теперь формулы, опубликованной Ньютоном в
1711 г. и Стирлингом в 1730 г. Запишем, применяя нашу
символику, значения аргумента данной функции и ее разностей
в виде таблицы, где каждая разность получается как
г) Выражая далее правила китайских ученых современными
формулами, мы следуем изложению в основном доступном нам
источнике [52].

102 ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
алгебраическая разность соседних нижнего и верхнего чисел
в столбце слева:
Аргумент
х0—2h
Xq—Ь
хо
Щ+h
x0+2h
Функция
/(*о-2Л)
/(*„- h)
/ы
/(*о+ h)
f(x0+2h)
Разности
1-го порядка
Л з
2
Д 1
2
2
Дз
2
Разности
2-го порядка
д<!{
Д(о2)
д<2>
Разности
3-го порядка
(3)
Л 1
2
(3)
А1 !
2
Тогда формула Ньютона — Стирлинга имеет вид
j(x0 + hx) =
-/Ы + х^у^ + ^А'" + а:(а:26-1) "22 2 + -.-
Словесные правила китайских математиков вполне
соответствуют этой формуле с надлежащим числом членов. Для
наименования различных входящих сюда величин китайские
математики применяли особые термины.
И Синь в своих календарных расчетах распространил
интерполирование на случай неравноотстоящих аргументов.
Так называемые разделенные разности, входящие в
квадратичную формулу И Синя, можно определить таблицей
Аргумент
хг
х2
Функция
/(*о)
/К)
Разделенные разности 1-го
порядка
/ (*0, Xl)
Разделенные разности 2-го
порядка
f(x0, х1у х2)

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
103
Разделенные разности удобно представить в виде
Нх0, я1) = IM + I^iL, f{Xl, X2) = -f^- + lS^L,
Я?0— *^1 *^1 — *^0 *^1 *^2 *^2 *^1
f(x х х) = /(*о) ' /(Ж1) I /(Ж2)
Формула И Синя такова:
f {х) = f (х0) + (х — xQ) f (xQ, x1) + {x-xQ){x-x1)f{x^ хг, х2);
в общем виде она была дана в 1687 г. Ньютоном.
Разработка интерполяционных формул была связана с
особенностями развития астрономии в Китае, в некотором смысле
сходного с ее развитием в древнем Вавилоне. В Греции, затем
в Индии и странах Ближнего и Среднего Востока астрономы
применяли геометрически-кинематические модели, что привело
к созданию соответствующего аппарата тригонометрии. В
Вавилоне, как и в Китае, вычисление эфемерид опиралось на
числовую интерполяцию результатов наблюдений, без обращения
к моделированию движений небесных светил.
В XI веке квадратичное интерполирование
тригонометрических таблиц рекомендовал ал-Бируни, а в XII в. его фактически
применял в тех же целях Бхаскара. Не известно, имелась ли
связь между этими исследованиями ученых Китая, Индии
и стран ислама.
Блестящее развитие астрономии и географии во второй
половине XIII в. и начале XIV в. сочеталось с разработкой
в Китае сферической тригонометрии. Первые сведения о
таблицах синусов появились в Китае еще в VII в., но,
по-видимому, тригонометрия долгое время не находила здесь сторонников.
Только Го Шоу-цзинь в довольно широком масштабе занялся
рассмотрением задач сферической тригонометрии [53]. Хотя
его приемы не лишены своеобразия, однако вряд ли он прошел
мимо богатств, накопленных в этой области в странах Средней
Азии. Это тем менее вероятно, что в 1267 г. в Пекин прибыл
из Ирана сотрудник Марагинской обсерватории Чжа-Ма-Лу-
Тин (Джамалэддин), доставивший ряд новых
астрономических приборов. Однако работы Го Шоу-цзиня по сферической
тригонометрии уже не получили в средневековом Китае
продолжения: этот ученый замыкает длинный ряд выдающихся
математиков и астрономов средневекового Китая.
После многих столетий регулярного, хотя и медленного
подъема в Китае с середины XIV столетия начинается
длительный научный застой. Строгая бюрократическая регламентация
всей хозяйственной и культурной жизни, задержка после ряда
блестящих открытий технического прогресса, окостенение

104
ГЛ. I. МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
социально-экономических форм— все это сковывало дальнейшее
развитие научного творчества в области естествознания и
математики. С конца XVI в. в Китай начинают проникать открытия
европейских ученых в тригонометрии и алгебре, здесь
переводят Евклида, затем знакомятся с логарифмами, с бесконечными
рядами и пр. Однако еще долгое время контакт с новой
европейской наукой оставался поверхностным. Только в наш век,
и особенно после создания Китайской Народной Республики,
для математики Китая наступило время нового яркого расцвета.
Историческая роль математики древнего, Китая, Подводя
итоги, мы видим, что вплоть до XIV в. математика в Китае
развивалась преимущественно как совокупность
вычислительных алгоритмов, предназначенных для решения на счетной
доске некоторых классов задач арифметики, алгебры и
геометрии. Наиболее замечательными такими алгоритмами явились
метод фан-чэн решения линейных уравнений и метод тянь-юань
решения числовых уравнений произвольной степени. Мы видели,
далее, что математики Китая не были просто «эмпириками»,
что они в широком объеме применяли различные алгебраические
и геометрические преобразования, располагали
доказательствами некоторых геометрических теорем и арифметических
тождеств, знали ряд свойств важнейших фигур и пр. Введя
отрицательные числа, они подошли к их простейшему истолкованию.
Мы показали, наконец, что они не ограничивались задачами,
которые непосредственно ставила жизненная практика, но,
отправляясь от таких вопросов, разрабатывали более
отвлеченные отделы математики, в то время еще не получавшие
применения вне ее самой. Вместе с тем ученые Китая были далеки от
идеала математики, созданного греческими классиками, от
дедуктивного построения на основе немногих посылок целых
дисциплин, от развития самой теории математического
доказательства.
Математика Китая — одна из компонент вычислительной
математики средневекового Востока. В точной мере оценить
влияние, оказанное китайцами на прогресс математики в
других странах, в настоящее время нельзя: взаимосвязи между
Китаем и его соседями изучены еще далеко не полностью, так
как в старинных трудах, как правило, отсутствуют ссылки на
источники. Тем не менее, наличные материалы в своей
совокупности показывают, что на протяжении столетий имел место
взаимный обмен открытиями математики Китая, Индии и стран
ислама.
Выше говорилось о распространении в 1-м тысячелетии
в Китае буддизма, о непосредственном участии в VII в. в
работах Астрономического бюро индийских специалистов и появле-

ИСТОРИЧЕСКАЯ РОЛЬ МАТЕМАТИКИ ДРЕВНЕГО КИТАЯ Ю5
нии переводов санскритских сочинений. В XIII—XIV вв.
в китайском Астрономическом бюро работали ученые Ирана
и Средней Азии. С другой стороны, в Марагинской
обсерватории Насирэддина ат-Туси в XIII в. имелись китайские
астрономы; в сочинениях самого ат-Туси излагается китайское
летоисчисление. Хорошо известен был китайский календарь и
в Самаркандской обсерватории Улугбека (XV в.). Личный
контакт между астрономами различных стран неизбежно
сопровождался обменом математическими знаниями.
О связях математики Китая с математикой других стран
говорит и последовательность многих открытий. Вряд ли
случайно, что отрицательные числа, правила извлечения
квадратного и кубического корней, задачи о бамбуке, сходное с
китайским доказательство теоремы Пифагора встречаются в
математике Индии на несколько столетий позднее, чем в
математике Китая. Вряд ли, далее, простым совпадением было
применение в Средней Азии правила двух ложных положений или
метода Горнера для извлечения корней с любым показателем
и десятичных дробей после того, как все это было разработано
в Китае. Сказанное относится и к приведенным выше задачам
неопределенного анализа.
Особенно тесными были в средние века связи Китая с Кореей
и Японией. Еще в 554 г. в Японию проник китайский
календарь, а с начала VIII в. в японских школах была введена
китайская система преподавания математики. Мы уже упоминали,
что позднее, в XVII в., японский ученый Секи Кова,
отправляясь от китайских работ по алгебре, пришел к созданию метода
решения систем линейных уравнений, по существу
совпадающего с методом определителей. Переводы китайских книг легли
также в основу математического образования в Корее.
Далеко не все достижения математиков Китая стали
своевременно известны за его пределами. Но в целом математические
исследования ученых Китая вливались в общий поток
вычислительной математики средневекового Востока. Дальнейшие ис-
торико-математические исследования, несомненно, значительно
уточнят и расширят наши знания в этом вопросе.

ГЛАВА II
МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
Общие сведения. Археологические исследования показывают,
что в середине 3-го тысячелетия до н. э. в долине Инда
существовало рабовладельческое государство с высокоразвитой
культурой. Близ холмов Мохенджо-Даро находился большой,
хорошо распланированный город; другие города были построены
по такому же плану. На предметах обихода и печатях найдены
пиктографические надписи, пока почти не разобранные.
Математические памятники не обнаружены. Косвенно, по остаткам
общественных зданий, системы оросительных каналов и
водостоков, расписной керамике, скульптуре, по изготовленной из
раковины линейке с десятичным делением можно заключить,
что одним из элементов этой культуры был некоторый запас
математических знаний. Примерно в середине 2-го тысячелетия
Мохенджо-Даро опустело. В эту эпоху в Индию хлынули новые
арийские племена, частью истребившие, частью подчинившие
прежнее население. Языком новых поселенцев был санскрит.
В начале 1-го тысячелетия главным занятием индийцев
было земледелие, нуждавшееся в искусственном орошении
полей. Появляются относительно большие государства,
лишенные, однако, прочного экономического единства, раздираемые
внешними войнами и внутренними противоречиями и, в итоге,
недолговечные. Внутри государств велась борьба за господство
между членами правящих сословий — варн: воинов —
кшатриев и служителей культа — брахманов. Случались восстания
сословий вайшья — свободных членов сельских общин,
торговцев и шудров — неполноправных общинников, ремесленников,
слуг. Варны делились на касты — джати, объединявшие людей
одинаковой профессии, нередко наследственной. Ниже шудров
были рабы. Недовольство эксплуатируемых слоев населения
получило выражение в новой религии — буддизме, которая
появилась около V в. до н. э. и привлекла большое число

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
107
приверженцев, а со временем распространилась и в других
странах. Примерно к VII—V вв. до н. э. восходят первые
письменные свидетельства о математике в Индии.
Около IX в. дон. э., быть может ранее, были установлены
связи с Ассирией и Вавилоном. В конце VI в. до н. э.
персидский царь Дарий Гистасп завоевал часть Пенджаба и
организовал новую сатрапию, восточной границей которой служил Инд.
Через 200 лет, в 327—325 гг. до н. э., Александр Македонский
проник еще далее персов. Походы Александра и создание после
его смерти монархии Селевкидов, в которую вошли Сирия,
Месопотамия, Иран, части Средней Азии и Индии, привели
к значительному усилению контакта с культурой
средиземноморских стран.
Почти одновременно с монархией Селевкидов в бассейне
Инда и долине Ганга появляется новая могучая империя
Маурьев, основанная в результате подъема национального
движения Чандрагуптой (322—298). Селевк I Никатор
вступил в борьбу с Чандрагуптой, но, получив отпор, установил
с ним дружеские отношения. Власти внука Чандрагупты —
Ашоки (273—232) была покорна вся Северная Индия и
значительная часть Южной Индии. После нескольких десятков лет
расцвета пришел, однако, быстрый распад державы Маурьев.
В середине III в. до н. э. от государства Селевкидов отделилось
Греко-Бактрийское государство, расположившееся на
территориях части Средней Азии, Афганистана, Кашмира и в долине
Инда. Оно просуществовало немногим более ста лет, но
оставило заметный след в развитии культуры Индии.
В I веке до н. э. обширные земли Средней Азии и
Северозападной Индии были покорены скифами— сака. Новое
государство Кушанов получило название по имени одного
скифского племени. Кушаны торговали связи с Римской империей
и Китаем. В 99 г. посольство царя Канишки (78—123) посетило
Рим. В это время, по-видимому, буддизм проникает в Китай.
Высокого уровня индийская культура достигла в IV—V вв.
в царстве Гупт, которое возникло в Северной и Центральной
Индии и которое описал китайский путешественник Фа Сянь,
объездивший страну вплоть до Цейлона в 399—414 гг. На эту
эпоху приходятся многие важные достижения науки. Тогда
были составлены астрономо-математические труды «Сиддханты».
На рубеже V и VI вв. работали Ариабхатта, родившийся близ
крупнейшего города страны Паталипутры (Патны), и Вараха-
Михира, родом из окрестностей другого важного культурного
центра Удджайна, в Средней Индии. Несколько позднее, в
первой половине VII в., в Удджайне работал Брахмагупта. К этому
времени относится завершение в Индии десятичной
позиционной системы нумерации.

108
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
VI—VII века были отмечены становлением феодализмав
своеобразных, характерных для Индии, формах. Дальнейшее
развитие получило кастовое деление, закрепленное в религиозных
догмах и обычаях. На низшей ступени находились
многочисленные группы «неприкасаемых»— париев. Тяжелое положение
низших каст содействовало распространению ислама, который
стал официальной религией в соседних странах Средней Азии.
Связи со странами ислама имели важное значение для
дальнейшего прогресса науки. В VII—VIII вв. индийские труды
по астрономии и математике становятся известными в арабском
халифате. Тогда же индийские ученые успешно работали в
Китае,— об этом говорилось ранее.
Слабые государства Индии не могли противостоять натиску
новых завоевателей. В VI в. на части ее территории возникла
ненадолго держава гуннов. В первой половине VII в.
недолговечное государство Канаудж в долине Ганга вело тяжелую
войну с Китаем. В VIII в. нижняя долина Инда оказывается под
властью арабских военачальников. С XI в. начинаются набеги
султанов лежавшего у северо-западных границ Индии
государства Газны. В 1206 г. создается Делийский султанат, за сто
лет овладевший почти всей Индией, кроме южных ее районов.
Но с середины .XIV в. происходит распад султаната, которому
в 1398 г. нанес непоправимый удар поход Тимура.
В таких сложных условиях продолжалось развитие
математики, неизменно тесно связанной с астрономией. Крупными
учеными были Магавира в южноиндийском городе Майсоре
(IX в.), Сриддхара (XI в.), Бхаскара (XII в.), Нарайана (XIV в.).
На протяжении XIV—XV вв. научные исследования
успешно велись в государствах юга, в частности Виджаянагаре,
описание которого оставил русский путешественник Афанасий
Никитин, побывавший здесь в 1469-1472 гг. Около 150Ъ г.,
в конце рассматриваемого нами времени, на юге Индии работал
выдающийся математик Нил аканта.
Важнейшие математические сочинения. Математика издавна
пользовалась в Индии большим уважением. По сказаниям,
Гаутама, т. е. Будда, восьми лет начал обучение с письма и
затем арифметики, как важнейших наук. Настоящий панегирик
математике возносил в IX в. Магавира:
«Вычисление полезно во всех трудах, связанных со
светскими, ведическими или иными подобными религиозными
делами. Наука вычисления высоко почитается в науке любви,
в науке о богатстве, в музыке и драме, в кулинарном
искусстве, в медицине, в архитектуре, в просодии, поэтике и поэзии,
в логике и грамматике и в других вещах... Она используется
в связи с движениями Солнца и других светил, с затмениями

ВАЖНЕЙШИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОЧИНЕНИЯ 109
и соединениями планет и в связи с направлением, положением
и временем и с ходом Луны. Количество, диаметры и периметры
островов, океанов и гор, обширные размеры поселений и
зданий обитателей мира, пространств между мирами, мира света,
мира богов и жителей ада и другие всевозможные измерения —
все это делается с помощью математики» [54, стр. 5].
Эта тирада несколько напоминает «похвалы арифметике»
в предисловиях к арифметическим сочинениям европейских
авторов позднего средневековья.
Наиболее ранние сведения о математике в Индии относятся
к эпохе составления священных религиозно-философских книг
«Знаний» — «Веда» («веда» значит на санскрите знание; ср.
русское «ведать»). Здесь ценным источником служат «Правила
веревки» («Сульва-сутра»), содержащие геометрические
построения и результаты некоторых вычислений. «Правила веревки»
дошли в трех редакциях: древнейшей — Баудхайаны и более
поздних — Апастамбы и Катиайаны [58]. Ученые расходятся
в определении времени составления «Правил веревки». Одни
полагают, что эти книги были написаны между XV и XII вв. до
н. э., другие — что между VIII в. до н. э. и III в. н. э.
Большинство склоняется к промежутку VII—V вв. до н. э.
Если не считать «Правил веревки», то важнейшие известные
нам математические сочинения индийцев были написаны между
V и XVI вв. По большей части это — математические отделы
книг по астрономии. Они написаны на санскрите, который
был языком индийской религии и науки, как арабский язык
в мусульманских странах и латынь в средневековой Западной
Европе.
Изложение в индийских работах по математике очень сжато
и часто не содержит доказательств. Лаконичность правил иногда
предельная, как в китайской литературе, и понять их без
дополнительных пояснений непосвященный читатель не мог.
Отчасти это было связано с тем, что ряд книг написан в стихах:
правила, сформулированные в коротких строфах, заучивали
наизусть. Преподавание в большинстве случаев, как и всюду
в средние века, носило догматический характер и более
опиралось на память, чем обращалось к разуму.
Основными источниками, из которых мы черпаем наши
знания об индийской математике, являются:
1. Анонимный труд по астрономии IV или V в. «Сурья
сиддханта» — «Наука Солнца» — не в смысле науки о Солнце,
а науки, сообщенной некоему демону Солнцем [59]. Помимо
«Науки Солнца», известны еще четыре аналогичных сочинения—
сиддханты. Одна из этих сиддхант называлась «Наукой Пули-
сы» («Пулисы сиддханта»). Сочинение это утеряно, и о его
содержании мы знаем из «Пяти сиддхант» («Панча сиддхантика»)

110
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
Вараха-Михиры, который около 505 г. изложил и
комментировал все пять сиддхант [60]. Судя по сообщению ал-Бируни,
тщательно изучившему в первой половине XI в. индийскую
научную литературу, Пулиса был астролог Паулос из
Александрии, живший в IV в. В сиддхантах нашло отражение
знакомство их составителей как с эллинистической астрономией,
так и с приемами вавилонских астрономов эпохи Селевкидов.
2. Трактат в стихах по астрономии и математике
«Ариабхаттиам», составленный в 499 г. двадцатичетырехлетним Ариабхат-
той. В 33 строфах второй части «Ариабхаттиам» приводятся
правила решения отдельных задач арифметики, геометрии,
тригонометрии, явившиеся предметом дальнейшего
комментирования и развития вплоть до XVI в. Наряду с очень тонкими
приемами, например решением в целых числах
неопределенного уравнения
ах + by = с,
здесь сообщаются и весьма простые, например тройное правило.
Наряду с хорошим приближением для вычисления длины окруж-
62 832
ности и площади круга, в котором я = = 3,1416, имеется
весьма грубое выражение для объема шара, который
принимается равным произведению площади большого круга на ее квад-
16
ратный корень, что соответствует я = -ц ^ 1,78.
3. «Усовершенствованная наука Брахмы» («Брахма-спхута-
сиддханта»), составленная около 628 г. Брахмагуптой (род.
в 598 г.) [62]. Это сочинение, написанное также в стихах, отчасти
примыкает к «Ариабхаттиам», но значительно богаче по
содержанию. Математике отведены две из 20 книг. 12-я книга
посвящена арифметике, 18-я — алгебре. Впрочем, такое деление не
вполне точно. В 12-й книге наряду с описанием арифметических
действий и правил решения задач сообщаются способы
вычисления размеров и свойства некоторых плоских фигур, в частности
вписанных в круг четырехугольников. В 18-й книге
рассмотрены как определенные, так и неопределенные уравнения первых
двух степеней.
4. «Краткий курс арифметики» («Ганита-сара-санграха»)
Магавиры (около 850) [63]. Магавира значит «великий человек»
(ср. латинское magnus virus).
5. Анонимная рукопись по арифметике и алгебре,
обнаруженная в 1881 г. в земле близ селения Бахшали в
северо-западной Индии. Точное время ее написания неизвестно.
Большинство специалистов относит ее к VI—VIII вв. [64].
6. «Курс арифметики» («Ганита-сара») Сриддхары,
жившего в первой половине XI в. Эта книга называется еще «Триса-
тика», так как первоначально состояла из 300 строф [65].

ВАЖНЕЙШИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОЧИНЕНИЯ 111
7. «Венец науки» («Сиддханта-сиромани») Бхаскары второго
(род. 1114 — ум. позднее 1178) [62]. Этот труд, написанный
около 1150 г., с исторической точки зрения и по своим
достоинствам действительно является венцом индийской математики.
Он написан в значительной части прозой. В нем четыре части.
Первая, «Лилавати»,— в главном арифметического
содержания; слово Лилавати, т. е. красавица, относится то ли к дочери
ученого, то ли к самой математике. Вторая часть, «Биджага-
нита» (вычисление корней), представляет собой алгебру,
а остальные — астрономические.
Труд Бхаскары и преемственно очень тесно связан с
предшествующими сочинениями. Бхаскара ссылается, в частности,
на Брахмагупту и Сриддхару. Практические задачи и
отвлеченные проблемы в «Венце науки» перемежаются. Мы кратко
передадим содержание математических отделов этого сочинения.
«Лилавати» разделена на 13 отделов. В отделе I приведены
метрологические таблицы. В следующем описаны действия над
целыми и дробями, включая извлечение квадратных и
кубических корней. В отделе III дается решение арифметических задач
с помощью способа обращения, правила одного ложного
положения и других приемов. В отделе IV мы находим задачи на
бассейны, вероятно, заимствованные у греков или китайцев,
а также на смеси; в V — суммирование некоторых
арифметических рядов. Вопросы планиметрии сосредоточены в отделе VI;
здесь, помимо измерения плоских фигур, имеются задачи о
переломленном бамбуке и камыше, встречавшиеся в китайских
сочинениях (стр. 65), и другие задачи на вычисление сторон
прямоугольных треугольников, сводящиеся к линейным
уравнениям. Отделы VII—XI также посвящены геометрии, главным
образом измерению объемов. Задачи так называемого диофан-
това анализа, бегло намеченные в отделе XII, подробнее
рассмотрены в алгебре. Наконец, в последнем отделе разобран ряд
задач комбинаторики.
«Биджаганита», состоящая из восьми отделов, представляет
собой учение об алгебраических уравнениях первой и второй
степеней, изложенное, как и у Брахмагупты, с помощью
довольно развитой символики. В отделе I формулируются правила
действий над положительными и отрицательными числами, во
II и III — правила решения в целых числах неопределенных
уравнений первой и второй степени. Затем следует решение
задач на линейные уравнения с одним и несколькими
неизвестными (отдел IV) и на квадратные уравнения (отдел V); здесь же
разобраны некоторые геометрические вопросы и даются два
доказательства теоремы Пифагора. В отделе VI собраны
различные определенные и неопределенные задачи на линейные
уравнения с несколькими неизвестными. В отделах VII—VIII

112
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
дополнительно рассматриваются неопределенные уравнения
второй степени.
«Венец науки» Бхаскары приобрел в Индии большую
известность. Его внук Кангадева основал в начале XIII в.
специальную школу для изучения этой книги, а ее толкованием более
четырех столетий занимались многие математики; ряд
комментариев, например, Ганеши (1545) или Кришны (около 1600)
представляет большой исторический интерес.
Мы назвали здесь только наиболее выдающиеся труды и их
авторов. В дальнейшем нам встретятся и другие имена:
ученика Ариабхатты — Бхаскары первого, неопубликованная
рукопись по математике которого относится к 522 г., Ариабхатты
второго, жившего в середине X в., Нарайаны, от которого
неполностью дошла рукопись «Биджаганиты», написанная
в середине XIV в., и др.
Математика в книгах «Правила веревки». Значительную
часть книг о «Правилах веревки» занимают правила постройки
алтарей, при которой применяли шнуры и бамбуковые шесты.
Математические элементы «Правил веревки» носят разрозненный
характер, но и они свидетельствуют о значительных познаниях
индийских математиков в эпоху составления этих книг [66,
67, 68].
Постройка жертвенников была подчинена ряду строгих
предписаний. Алтари ориентировались по странам света. В
основании их лежали точно установленные фигуры, например
равнобокие трапеции с данными соотношениями сторон. Между
основаниями алтарей соблюдались соотношения двух видов:
либо основания были подобны, например квадратные, а
площади их относились, как целые числа 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6, либо
основания алтарей были различной многоугольной формы, но
равновелики по площади.
Соответствующие геометрические задачи — это построение
прямого угла, квадрата, целочисленных прямоугольных
треугольников, образование из последних трапеций,
преобразование квадрата площади а в квадрат площади па, преобразование
прямоугольника в равновеликий квадрат и т. п. Видное место
занимает при этом теорема Пифагора.
Составители «Правил веревки» применяли пять
прямоугольных треугольников с целыми сторонами:
3
5
8
7
12
4
12
15
24
35
5
13
17
25
37

МАТЕМАТИКА В КНИГАХ «ПРАВИЛА ВЕРЕВКИ» ИЗ
J2
\ I /20
\ i /
ч1/
/|\
I
\25
и им подобные. Из таких треугольников составлялись равно-
бокие трапеции, как видно из рис. 21. Веревки, разделенные
на соответственные части, могли служить
для проведения прямого угла.
Для деления отрезка пополам из
концов его проводили дуги окруззшостей
радиуса, равного данному отрезку, и
точки пересечения окружностей
соединяли прямой — перпендикуляром к
отрезку в его середине. Это построение
употреблялось при построении квадрата
по данной стороне 2а. Сначала
описывается окружность радиуса а и проводится
диаметр WE (рис. 22). Возводится
перпендикуляр к диаметру в центре,
пересекающий окружность в точках S, N.
Наконец, из точек ?, Е, N, W
описываются окружности радиуса а,
пересекающиеся в точках А, В, С, D —
вершинах искомого квадрата.
С помощью теоремы Пифагора производится удвоение,
утроение и т. п. данного квадрата. Удвоение квадрата требует
лишь построения квадрата
по его диагонали (рис. 23)
пл. AEFC = 2пл. ABCD.
Для дальнейшего
достаточно уметь построить
\20
15
Рис. 21. Равпобокая
трапеция,
составленная из
прямоугольных треугольников с
целочисленными
сторонами.
АЬ
ТГч"
-Л?
\
\
\
\
в \
/
\F
Рис. 22.
Рис. 23.
квадрат, равновеликий сумме площадей двух неравных
квадратов а2+62. Правило Апастамбы гласит: «Соединение двух
квадратов различной меры: отсекают стороною меньшего на
большем полосу. Косо [проложенная] через эту полосу веревка

114
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
соединяет оба [квадрата]» [67, стр. 194]. Смысл правила ясен
из рис. 24, где
АВ2 = а2 + Ь2.
В «Правилах веревки» сообщается также, как найти
сторону квадрата, равного разности двух данных квадратов Ь2—а2.
Для этого из точки А (рис. 24) отсекают радиусом, равным сто-
Л л
N
л
а
и
а
/>
i
G
F
W
л в
Рис. 24.
Л 8 I
Рис. 25.
роне большого квадрата, на его нижнем основании отрезок CD
CD2 = b2-a2.
Теорема Пифагора применяется также для преобразования
данного прямоугольника в квадрат. В прямоугольнике с
данными сторонами АВ=а, AD=b (рис. 25) выделяется квадрат
ABFE=a2; остаток EFCD делится
прямой HG пополам, к BF прилагается
прямоугольник BIKF, равный EFGH.
Тем самым прямоугольник ABCD
преобразован в гномон AIKFGHA,
который равен разности двух данных
квадратов AILH и FKLG, и все
сведено к предыдущему построению.
Алгебраически
Рис. 26.
0"-(!
= аЪ.
1 J \ 2'У
Заметим, что это построение отлично от применяемого
Евклидом. В предложении 14 книги II «Начал» Евклид строит на
отрезке АВ, равном сумме сторон прямоугольника АС и СЕ,
полукруг и далее (рис. 26) опирается на предложение 5 той
же книги, согласно которому
АС-СВ + ОС2 = ОВ2,

МАТЕМАТИКА В КНИГАХ «ПРАВИЛА ВЕРЕВКИ» 115
так что CD2=OD2—OC2=AC.CB=ACCE. Впрочем, в
доказательстве самого предложения 5 используется гномон.
Если в построении квадрата, равного сумме двух неравных
квадратов, провести вспомогательные отрезки, как указано на
рис. 27, то получается фигура, наглядно выражающая теорему
Пифагора. Квадрат на гипотенузе
составляется из площадей S, III, IV и s,
сумма квадратов на катетах из
площадей S, /, //, s, причем треугольники
/, 77, III, IV равны. Это дало
основание предположить, что индийские
математики пришли к теореме
Пифагора, отправляясь от такого построения
[67]. Быть может, именно так было
получено в Индии первое
доказательство общей теоремы, обнаруженной
сначала в частных случаях целых сторон.
Но возможно, что в архитектуре были
применены математические средства,
найденные ранее или полученные от других народов. Отметим
заодно сходство задачи удвоения квадрата с греческой
проблемой удвоения куба, которая, согласно легенде, также
возникла в связи с построением алтарей. Имеем ли мы здесь
дело с совпадением или со взаимной
связью?
Позднее, у Бхаскары второго
приводится доказательство теоремы Пифагора,
основанное ,на ином разбиении площади
квадрата гипотенузы и ранее известное в Китае
(см. стр. 76). Индийский ученый не дает
к чертежу (рис. 28) пояснений,
ограничиваясь одним словом: «смотри!». У Бхаскары
есть и другое доказательство теоремы
Пифагора, основанное на разделении прямоугольного треугольника
высотой на два ему подобных и применении пропорций; это
доказательство вновь предложили Леонардо Пизанский (1220 г.)
и в XVII в. Дж. Валлис. По существу оно имелось еще у
Евклида [33а, VI, предл. 8 и 31J.
Составление прямоугольных треугольников с целыми
сторонами занимало индийских ученых и позднее. Брахмагупта
и Магавира дали соответствующие общие правила, раньше
употреблявшиеся в Китае (ср. стр. 66) и Греции. Заслуживает
внимания, что в Индии эта проблема была тесно связана с
архитектурными построениями.
Интересно данное в «Правилах веревки» рациональное
приближение для диагонали квадрата данной стороны, т. е.
Рис. 28.

116
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
1 , 1
для ]/2. Это число представлено дробью 1+ т ^-з~4-34 -
Здесь обращают на себя внимание, во-первых, применение долей
единицы и стремление к повторению немногих цифр, а во-
вторых, большая по тем временам точность приближения:
в десятичных дробях 1,4142157 вместо 1,4142136. Индийский
текст не содержит указаний, как было получено это
своеобразное выражение. Скорее всего, тут был применен
итерационный процесс, известный много ранее в Вавилоне. Если
3
в качестве первого приближения (с избытком) взять аг = -к-,
то соответствующим ему приближением (с недостатком) будет
Ьг = 2 : у = -о- • Второе приближение
2^3 17 __, 1 1
и ему соответствует:
3-4 ^ 3 ^3-4
h 9 • 17 _ 24
°2-Z-12-17'
Третьим приближением ]/2 будет:
а2+Ъ2 289+288 2-289 1
ао = -
2-3-4-17 ~~ 2-3-4-17 2-3-4-17
= 1-
1
^3-4 3-4-34'
Примерно за 18 столетий до н. э. вавилонские математики
нашли для ]/2 значение в шестидесятеричных дробях, равное
1; 24, 51, 10, от которого индийское отличается только в шестом
десятичном знаке после запятой. Вавилонское приближение
также получается на втором шагу вычислений, если исходить
17
из известного в Вавилоне приближения j^ = 1; 25. Все это
наводит на мысль о связях индийских и вавилонских ученых в
период составления «Правил веревки». Существуют другие,
более сложные геометрические реконструкции указанного
приближения с помощью гномона.
Для перехода от алтарей с квадратным основанием к
круговым и обратно в «Правилах веревки» сообщается несколько
приемов циркулятуры квадрата и квадратуры круга.
Построение круга, равновеликого данному квадрату, таково
(рис.29): из центра квадрата О перпендикулярно к стороне АВ
проводится отрезок ОР, равный половине диагонали, и на HP
откладывается HK = -~HP. Искомый радиус принимается

МАТЕМАТИКА В КНИГАХ «ПРАВИЛА ВЕРЕВКИ» 117
равным ОК. Другими словами, искомый диаметр d выражается
через сторону квадрата s иррациональностью
1/2 —Г
i-o+i^)
Такого арифметического выражения в «Правилах», впрочем,
нет. Соответствующее значение
rt = 18(3-2j/2)** 3,088.
Одно из правил квадратуры круга очень просто: предлагается
взять s = ( 1 — Tzjd—T^d. При этом
* = § = 3A~3'004-
Возможно, что данное построение
было получено следующим образом.
Разделим окружность на 12 равных
частей; такая задача вряд ли
представляла трудность для авторов
«Правил». Построим квадрат,
стороны которого проходят через
восемь точек деления, сходно с
квадратом на рис. 29 и примем его
приближенно равновеликим кругу
VI
2
$ = •
¦d. Если за первое
Сторона
приближение
Рис.
квадрата будет
для ]/3 принять
-о* (с недостатком), то соответствующее ему приближение с
избытком есть 3:у =
причем 5 = rga.
а следующее приближение
1+1
26
15'
Для вычисления половины стороны квадрата
с помощью теоремы Пифагора требуется лишь знать, что
сторона вписанного шестиугольника равна радиусу и что радиус,
перпендикулярный к хорде, делит ее пополам.
Быть может, именно отсюда получено было построение
круга, равновеликого данному квадрату, хотя в тексте
«Правил» оно предшествует квадратуре круга. В самом деле, из
У* л ___ ,. о/з s . п 1 Уъ
s =
2 d следует '* = 2-3
2 , равенство ~у==^~~ в «Правилах»
применяется. В таком случае при ]/3 ъ -^-радиус г «^ — . ~ =
__ s 1 S
9 2
-о 4
С другой стороны, при ]/2 ъ -^ отрезок HP

118
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
(рис. 29), т. е. (|/2—1)у, есть у у и, значит, для цирку-
1
лятуры квадрата его сторону следует увеличить на -^ HP.
о
В другом правиле квадратуры круга
S= L1"""8"+8^9"" 8^^" 6^8 J J d'
Для я, как и в циркулятуре квадрата, здесь получается 3,088.
Мы не будем останавливаться на различных предположениях
о том, как было найдено последнее выражение, которое, как
и выражение для ]/ 2, свидетельствует о стремлении
индийских ученых соблюсти некую гармонию в образующих его
долях единицы. Ограничимся замечанием, что исходным
пунктом реконструкций [67] является обращение равенства d =
= f 1 + —ц—) s, соответствующего циркулятуре квадрата,
в s = — а.
2+V2
Таким образом, авторы «Правил» использовали,
по-видимому, взаимную связь задач квадратуры круга и циркулятуры
квадрата. Однако, насколько известно, они были далеки от
более глубокого исследования свойств круга. Числовые оценки
точности построений, приведенные нами для современного
читателя, лежали вне поля зрения тогдашних индийских ученых.
Не видно, чтобы они знали —или по крайней мере
использовали—зависимость между площадью круга и длиной
окружности. Между прочим, длина окружности принимается
в «Правилах» равной 3d.
Создание десятичной позиционной нумерации. Величайшим
научным и общекультурным достижением народов Индии
явилась позиционная система нумерации, к которой подходили
уже в Вавилоне, Китае и других странах, но которая нигде
ранее не получила завершения. Процесс создания этой системы
был долгим и известен далеко не во всех стадиях [29, 69, 70].
Счет целых чисел в Индии с древнейших времен носил
десятичный характер, с тем исключением, что в отдельные времена
и отдельных местах сохранялись следы счета, в котором
узловым числом служила четверка. Санскритским названиям чисел
первого десятка, десяти и ста родственны числительные во
многих европейских языках, среди них и русском (см. таблицу).
Числа, составленные из единиц нескольких разрядов,
именовались на основе аддитивного принципа; изредка использовался
и субтрактивный, например, 19 можно было назвать и нава-даса,
т. е. девять-десять, и экауна-вимсати, т. е. без одного двадцать.

СОЗДАНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ПОЗИЦИОННОЙ НУМЕРАЦИИ 119
Санскрит
эка
дви, две
трайа
чатвара
панча
шаш
сапта
ашта
нава
даса
сатам
Греческий
эйс
дюо
трейс
тёттарес
пёнте
гекс
гепта
окто
эннёа
дека
гекатон
Латинский
унус
ДУО
трес
кваттуор
квйнкве
секс
сёптем
окто
нбвем
дёцем
цёнтум
Русский
один
два
три
четыре
пять
шесть
сехмь
восемь
девять
десять
сто
Для наименования высших десятичных разрядов имелось
большое количество числительных. Так, в «Лалитавистара»,
произведении буддистской литературы III в. до н. э., говорится,
что Будда — Гаутама, отвечая на вопрос, может ли он считать
далее коти = 10 0Э0 000, назвал подряд еще 23 числа,
увеличивающихся в стократном отношении до числа таллакшана
107+2-23 = Ю53 включительно. Впрочем, добавлял Будда, все
эти числа образуют лишь первый счет, а их имеется девять;
последним в девятом счете было бы число 107+9,46 =10421.
До возникновения позиционной системы в Индии появлялись
(иногда, быть может, извне) и исчезали различные системы счета
и цифр. Разнообразие цифр в разных местностях сохранялось
и позднее и сильно затрудняет исследование преемственных
12 3 4 5 6 8W
I II III X IX ИХ XX 1
3 т т а» я pi
20 50 60 70 /00 200
Рис. 30. Индийские цифры кхарошти.
связей. С IV в. до н. э. до III в. н. э. в районе нынешнего
восточного Афганистана и северного Пенджаба были в ходу так
называемые цифры кхарошти (рис. 30), появившиеся здесь в связи
с распространением сирийско-арамейского письма. Это была,
по преимуществу, десятичная непозиционная система с
особыми знаками для 1, 4, 10, 20г) и 100. Единицы записывали по
х) Знак 20 ecTbj очевидно, сочетание двух знаков 10,

120
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
аддитивному принципу с помощью знаков 1 и 4, десятки с
помощью знаков 10 и 20, а сотни — мультипликативно, т. е.
ставили знак сотни (самостоятельно не употреблявшийся)
и рядом цифрами отмечали число сотен. Знаки первых трех
чисел во многих системах совпадают с китайскими (четверка
в форме креста также иногда встречалась в Китае). Числа
писались справа налево.
Более высокую ступень представляла собой десятичная
нумерация брахми, издавна широко распространенная в
значительной части Индии. На многих надписях времен царя Ашоки
числа представлены в этой нумерации. Без существенных
изменений начертания цифры брахми применялись более 1000 лет.
\7 2 345О70О\
ОС G> Д* X J Ч ? <Е> 0
70 20 30 W 50 60 70 80 90
Гт 7 > 1 г ?]
l /ОО 200 500 WOO WOO 70000 \
Рис. 31. Индийские цифры брахми.
На Цейлоне, куда они попали вместе с буддизмом, эти цифры
были в ходу до конца XIX в. Особые знаки в нумерации
брахми имеются для единиц и десятков, ста и тысячи. Сотни и числа,
кратные тысяче, изображались на основе мультипликативного
принципа (рис. 31). Письмо брахми шло слева направо.
Индивидуальные знаки для всех первых девяти натуральных
чисел существовали, вообще, во многих индийских системах
цифр, по крайней мере со II в. до н. э. Наличие специальных
символов для чисел от 1 до 9 — характерная и важная черта
индийской арифметики, ставшая предпосылкой десятичной
позиционной нумерации.
Мультипликативный и позиционный принципй действовали
также в своеобразной системе наименования чисел,
применявшейся в трудах по астрономии и математике. Единица
обозначалась при этом каким-либо словом, означающим предметы,
которые бывают в единственном числе, например «Луна»,
«Земля», «Брахма»; два — каким-либо из слов «близнецы»,
«глаза», «руки»; пять — словами «чувства» или «стрелы» (5 стрел
бога любви Камадевы) и т. д. Число 867 называется и пишется
при этом следующим образом: гири-раса-вазу, т. е. горы (7) —
запахи (6) — боги (8), причем запись идет от низших разрядов
к высшим. Одно и то же число, можно, таким образом,
выразить по-разному. Такое представление чисел употреблялось

СОЗДАНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ПОЗИЦИОННОЙ НУМЕРАЦИИ 121
в написанных стихах «Сиддхантах». Быть может, оно служило
для облегчения заучивания наизусть астрономических таблиц.
Примечательно, что отсутствие разряда характеризовали
словом «дыра». Так, число 1021 выражали саши — пакса — кха —
эка, т. е. Луна (1)— крылья (2) — дыра (0) — один (1).
Другой прием имеется у Ариабхатты, обозначавшего числа
слогами. Не вдаваясь в подробности, укажем, что этот прием
был вовсе лишен позиционного характера, ибо каждому
числу кЛ0п, &=1, 2, ..., 9, присваивался особый слог. Богатый
санскритский алфавит позволял называть, таким образом,
достаточно большие числа. Например, га = 3, ги=3000, гу = 30 000,
ге = 3.1010, гау= 3-1016ит. п. НоБхаскарапервый, ученикАри-
абхатты, сообщил слоговому обозначению чисел (имеющему, как
мы увидим, аналогии в индийской алгебре; см. стр. 134)
позиционность. Он ввел слог для обозначения пустого разряда, а
главное, один и тот же слог мог служить в данном числе для
обозначения 3, 30, 300 и т. п. Примерно тогда же, в первой половине
VI в., был изменен порядок следования разрядов и стали
начинать со старших.
Так с разных сторон в Индии приближались к
позиционной десятичной нумерации.
Появление новой позиционной системы можно представить
себе следующим образом. Принцип поместного значения
включает три момента: 1) мультипликативную запись количеств
разрядов в данном числе, 2) опускание знаков единиц разрядов.
С этим мы встречались уже в науках Вавилона и Китая. Но
вполне развитая позиционная система требует также 3) знака
нуля, выражающего отсутствие в данном числе каких-либо
разрядов. В вавилонской математике нуль появился около
середины 1-го тысячелетия до н. э. и применялся не
систематически. Это можно объяснить сравнительной редкостью шести-
десятеричных чисел с отсутствующими разрядами. Для чисел,
меньших ста, таким будет одно число шестьдесят, для чисел
до тысячи — 16. При десятичном счете в пределах сотни
их 9, а в пределах тысячи — 180.
Предпосылкой позиционной системы служит также наличие
индивидуальных знаков для небольшого количества малых
чисел. В этом смысле алфавитные системы с их особыми
цифрами для 20, 30, ..., 200, 300, ..., скорее, препятствовали
переходу к позиционной системе.
Широкое применение мультипликативного, а частью
позиционного принципа в устных и письменных системах
нумерации, наличие цифр для первых девяти чисел, развитый
десятичный характер нумерации — все это создавало в Индии
благоприятные условия для полной позиционной системы с
десятичным основанием.

122
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
Возможно, что в этом же направлении повлияло знакомство,
хотя бы через посредство древних греческих сочинений по
астрономии, с шестидесятеричной вавилонской нумерацией. В VII
столетии десятичная система, основанная на поместном значении
девяти цифр и знаке нуля, была налицо1).
Позиционные записи чисел, именно календарных годичных
дат (без знака нуля), встречаются в Индии по крайней мере
с VI в. Так, например, в одной записи цифрами брахми 3, 4, 6
записан 346 г., соответствующий по нашему счету 595 г.
Некоторые такие записи могли быть позднее подделаны, но весьма
сомнительно, что это относилось к большинству.
Во всяком случае, уже в середине VII в. сведения об
индийской нумерации распространяются на запад. Первое
свидетельство о ней мы встречаем у сирийского ученого Севера Себохта
(662), жившего в монастыре Кенешре в верхнем течении
Евфрата. Полемизируя с людьми, пренебрежительно относящимися к
науке других народов, Себохт указывает на «тонкие открытия
[индийцев.— А. 10А в астрономической науке, открытия более
остроумные, чем у греков и вавилонян» и «их счисление,
которое выше всяких слов», именно то, «которое производится при
помощи девяти знаков» [71, стр. 225]. Правда, здесь говорится
о девяти знаках. Быть может, Себохт знал приемы вычислений
с девятью цифрами, в которых отсутствующим разрядам
соответствовали пустые места; возможно также, что точку или
кружок, изображавшие нуль, он не считал числовым знаком.
В надписях 683 и 686 гг., сделанных в Камбодже и Индонезии,
явно употребляется знак нуля в виде точки, а также маленького
кружка [72]2). Об употреблении в Индии нуля в виде точки
писал около 725 г. работавший в Китае Гаутама Сидхарта (см.
стр. 25). Любопытное свидетельство имеется в одном
комментарии в Вараха-Михире, и судя по нему, термин нуль, сунья,
употреблялся в устном счете еще в V в. Именно, согласно этому
комментарию, в «Науке Пулисы» одно большое число,
заканчивающееся 7800, произносится — в обратном порядке —
следующим образом: «нуль, нуль, восемь, семь....» [54, I, стр. 59].
В самой Индии древнейшая известная запись с нулем (в
стенной надписи из Гвалиора, рис. 32) относится к 876 г.; в ней
встречаются числа 270, а также 933 и 187.
*) Существует мнение, что нуль должен быть известен Ариабхатте,
так как он необходим в описанном им правиле извлечения квадратного
и кубического корней. Но при извлечении корней на абаке можно
обходиться без нуля, который заменяет пустые столбцы. Примером служит
математика Китая.
2) В этих надписях изображены цифрами 605 и 608 гг. по так
называемой эре сака, которую обычно считают от 78 г. По мнению некоторых
ученых, отсчет следует вести от 128 г.; тогда 683 и 686 гг. следует
заменить на 733 и 736 гг.

СОЗДАНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ПОЗИЦИОННОЙ НУМЕРАЦИИ 123
Изображение нуля в виде кружка вытеснило точку и вошло
во всеобщий обиход. Санскритский термин, которым называли
нуль индийцы, сунья— «пустое», был переведен арабами ас-
сыфр, откуда происходит наше слово цифра.
Неясно, впрочем, был ли нуль заново изобретен в Индии.
Возможно, что его заимствовали из сочинений греческих
астрономов, которые сами следовали в этом за вавилонянами [71а,
стр. 77—78]. «Сурья сиддханта» носит явные следы знакомства
ее составителей с греческой астрономией. Греческими являются
Рис. 32. Стенная надпись в Гвалиоре. В первой строке видно под
точкой число 933 (год, соответствующий 876 г. н. э.), в четвертой — на
пересечении стрелок число 270, в пятой — число 187, указанное
двоеточиями. Ср. цифры на рис. 33.
здесь даже некоторые термины, вроде кендра (расстояние от
центра, xsvtqov) или липта (минута, X&Kxiv). К тому же,
индийский знак нуля похож на греческий о. Упомянутое
несколько ранее изменение порядка записи десятичных
разрядов также могло быть сделано под влиянием греков, которые
переходили от высших разрядов к низшим1). Но даже если
индийцы использовали греко-вавилонский нуль, за ними
остается огромная заслуга сочетания собственных и инородных
элементов в единую десятичную позиционную нумерацию.
А ведь только эта нумерация позволила производить
письменные вычисления столь просто, что они смогли конкурировать
с применением абака.
Обозначения цифр в Индии существенно изменялись от
места к месту и во времени. Наиболее употребительная из их
многочисленных форм—это письмо деванагари, сохранившееся
до наших дней. Весьма вероятно, что оно возникло в
результате постепенного видоизменения цифр брахми (рис. 33).
J) Недавно было выдвинуто предположение о возникновении нуля
на стыке культур Индии и Китая [40, стр. И—12]; основания к этому
дают раннее появление знака нуля в Камбодже и Индонезии и десятично-
позиционный характер китайского счета цифрами-палочками.

124
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
В конце VIII в. индийская нумерация становится известной
в Багдаде. Арабские ученые быстро оценили достоинства новой
браями
а
б
Лерезюдте
в
формы
г
д
Девсшагари
— = =
1 Э ^
1 \ 3
Ш * (г)
Ч ЯР'
а- я-*'
q-
8
Y (о ? S Р о I
Ч § Л *7 ->
<* ? 7 ^
Ь A S 9
5 > <? Q
5
V С 9 С <f о |
Рис. 33. Эволюция цифр брахми в Индии.
системы. Вопрос о ее дальнейшем распространении мы
рассмотрим далее.
Арифметические действия. В индийских курсах арифметики
рассматриваются восемь действий над целыми и дробями:
сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в
квадрат, извлечение квадратного корня, возведение в куб и
извлечение кубического корня. Некоторые действия определяются.
Например, Ариабхатта второй определял сложение как
объединение нескольких чисел в одно, а вычитание как отнимание
числа от некоторого целого. Такие же определения встречаются
много позднее в европейских учебниках. Бхаскара первый со
ссылкой на безыменных более ранних учителей говорит, что
умножение и деление сводятся соответственно к сложению
и вычитанию.
Изучение старинных текстов в сопоставлении с формами
счета, сохраняющимися кое-где в Индии до настоящего
времени, показало, что в более ранние времена все сколько-нибудь
сложные вычисления производились на абаке с помощью
ракушек-каури [73]. О широком распространении в древней Индии
счетной доски говорит, между прочим, санскритское название
арифметики: патиганита, от слов пати — доска и ганита —
исчисление, математика. Письменные цифры, как и в древнем
Китае, долгое время использовались не для вычислений, а для
записи в тексте чисел, хронологических дат и пр. Вычислитель
имел в сумке несколько сотен продолговатых ракушек «анка
раси» для выкладывания в колонках абака чисел 1—9 и около
дюжины круглых ракушек — эквивалентов нуля, «сунья раси».
Возможно, что применение круглых ракушек является делом
более позднего времени, когда уже и в письменности появился
знак нуля, о котором речь шла выше. Каури выкладывались
на абаке справа налево группами по три; таким образом, напри-

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ, ДЕЙСТВИЯ
125
мер, число 52 077 изображалось, как показано на рис. 34 (мы
заменяем изображения продолговатых ракушек косыми
черточками, а изображения круглых ракушек — кружками).
Словами это читалось: семь-семь-пустое-два-пять. Такой способ
счета до последнего времени применяли ортодоксальные
буддисты — пандиты.
Для выполнения действий на абаке для каждого числа,
меньшего 10, следовало запомнить его дополнение до 10, «прати
раси». Если при сложении прибавляемое число, которое
держали в уме, было меньше десятичного дополнения
соответствующего числа первого
слагаемого, выложенного на абаке, то
просто прибавлялось должное
количество ракушек. Если
прибавляемое число равнялось
дополнению, то в ближайшем
разряде слева у первого
слагаемого добавлялась продолговатая
ракушка, а ракушки данного разряда убирались и на пустое
место клалась круглая ракушка. Наконец, если прибавляемое
число было больше дополнения, то в разряде слева
прибавлялась продолговатая ракушка, а от ракушек данного разряда
отнималось десятичное дополнение второго слагаемого.
Аналогично производили вычитание. Умножение сводили к
повторному сложению, а деление — к повторному вычитанию.
Позднее действия стали производить письменно, на
счетной доске, покрытой пылью или песком, чертя на ней цифры
с помощью заостренной палочки. Небольшие по сравнению
с цифрами размеры доски влекли за собой стирание
промежуточных результатов, ненужных в дальнейших выкладках.
Складывали, вычитали и умножали как в порядке возрастания
разрядов, справа налево, так и слева направо; последний прием
требует иногда внесения большого числа поправок в
предварительно найденные цифры результата. Некоторые индийские
авторы, тем не менее, считали его более удобным, например,
при вычитании1).
Для умножения заучивали наизусть обширные таблицы.
Имелось много различных по форме приемов умножения. В
одном из них множитель, записанный поразрядно над множимым,
после умножения на него очередной цифры множимого каждый
раз перемещался на один разряд, а использованная цифра
множимого отбрасывалась. Произведение постепенно записывалось
в строке множимого. Например, чтобы умножить 135 на 12,
х) В начале XIX в. К. Ф. Гаусс, а в наше время А. Н. Крылов
указывали на преимущество действия слева направо при сложении.
/// // о /// /у/
// /// ///
/ /
Рис. 34.

126
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
сперва писали:
12
135.
Перемножив 5-12 и стерев 5, имеем:
12
1360,
а сдвинув множитель,
12
1360.
Помножив 3 на 2 и добавив 6 к 6, мы должны стереть внизу 6
и заменить на 2, а единицу держать в уме или записать в
стороне. Эту единицу следует прибавить к произведению 3 на 1
и сумму 4 написать внизу вместо
6 2 0 1420.
Далее: 1-2 дает 2, что
прибавляется к 4 внизу; 4 стирается и
пишется 6. Наконец, 1-1 дает 1; стирать нижнюю единицу не
приходится. В заключение стирается множитель и на доске
остается произведение 1620.
Индийцы применяли и более удобные приемы умножения.
Например, расчертив счетную доску на сетку прямоугольников,
каждый из которых разделен еще параллельными диагоналями,
по сторонам сетки записывали сомножители, а промежуточные
произведения записывали в треугольниках и складывали, как
показано на рис. 35. В другом способе перемножали и сразу
складывали в уме те цифры сомножителей, которые дают
одинаковые разряды произведения; при этом множители поразрядно
подписывали друг под другом, а цифры результата поправляли,
если надо, в уме. Таким образом, произведение
(ао + а1А0 + а2А0*+...)(Ъо+Ь1Л0 + Ь2Л0*+...)
получали как
aQbt) + (а0Ьг + aibQ) • 10 + {a0b2 + ахЪг + a2b0). 102 + ...
Этот способ рекомендовал впоследствии на Востоке Джемшид
ал-Каши, а на Западе — Ж. Б. Фурье.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ
127
Иногда для упрощения выкладок множители представляли
удобным образом в виде сумм или разностей вроде
135-12 = 135 (12 + 8) —135-8
или
135 • 12 = 135 (12 - 2) + 132.2.
Индийские приемы арифметических действий стали затем
достоянием арабской и европейской учебной литературы.
Предпосылкой действий в позиционной системе являются
действия с нулем. Свойства нуля как числа индийские
математики формулировали весьма полно. Сриддхара и Ариабхатта
второй словесно приводят правила:
а + 0 = 0,
0 + а = 0,
а — а = 0,
а.0 = 0.а = 0,
0:а = 0.
Деление числа, отличного от нуля, на нуль считали сначала
невозможным, но позднее пришли к мысли, что деление на
нуль дает бесконечность. Бхаскара второй писал, что такая
величина, как ~ , где а = 0, не изменяется, сколько бы к ней ни
прибавить или от нее ни отнять. У комментатора трудов Бхас-
кары, Кришны, жившего около 1600 г., имеются тонкие
соображения об умножении и делении на нуль. Чем меньше становится
множимое, говорит он, тем меньше произведение, и если первое
уменьшается в крайней степени, то и второе, а так как
максимальное уменьшение величины есть сведение ее к нулю, то
а-0=0. Аналогично обосновывается равенство 0-а=0 и
соответственным образом бесконечность частного от деления на
нуль. В вопросе о делении нуля на нуль индийские математики
ясности не достигли.
Возведение в квадрат и в куб осуществлялось по правилам
квадрата и куба бинома, повторно применявшимся в случае
многочлена.
Учение о дробях было развито в Индии весьма подробно.
Дроби писались в форме, сходной с современной: числитель
ставили над знаменателем, только без разделительной черты1).
В случае смешанного числа целую часть писали над числителем
дробной части; при действиях над целыми и дробями целое
х) Такая запись имеется и в одном греческом папирусе I в. н. э.

128
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
изображали как дробь с знаменателем 1. Обыкновенные дроби
с числителем, отличным от единицы, встречаются, начиная
с «Правил веревки» Апастамбы, но там же применяются доли
единицы и доли таких долей. Для последних имелось особое
значение. Так,
1111
12 3 5
есть произведение 1 • у • у • у • Возможно, что доли долей
появились на сравнительно ранней стадии развития арифметики,
когда практически применявшийся запас дробей — мер вида
был весьма еще невелик, но уже возникла нужда в учете
частей таких мер, например половины одной трети и т. п. Доли
долей встречаются затем в арабской и европейской
средневековой литературе.
Извлечение корней. Корень индийцы называли мула, что
значит корень дерева или растения, а также основание, начало,
происхождение и т. д., или пада — низ, основание, сторона
и пр. Наш термин корень, латинское radix, есть перевод
арабского джизр, означавшего корень и основание квадрата и в свою
очередь бывшего переводом санскритского мула.
Первое описание процесса извлечения квадратного и
кубического корней встречается в Индии у Ариабхатты.
Соответствующие правила, выраженные в стихах, могут служить
образцом крайней лаконичности, о которой мы упоминали ранее.
Немногим подробнее формулировка других авторов. Приведем
правило извлечения квадратного корня у Сриддхары:
«Вычтя квадрат из нечетного места, раздели ближайшее
место на удвоенный корень, помещенный отдельно, и, вычтя
квадрат частного, запиши его внизу в строку; удвой полученное
выше и, поместив это внизу, раздели на него ближайшее четное
место. Раздвои удвоенное количество» [54, I, стр. 172].
Поясним сказанное, выделяя отдельные этапы вычисления,
подобно тому как это делалось на счетной доске. Требуется
извлечь квадратный корень из 54 756.
Записываем число, отмечая нечетные места вертикальными,
а четные горизонтальными черточками
i - i - i
5 4 7 5 6

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ
129
Подбираем наибольший квадрат, меньший 5, т. е. 4, и, записав
его «внизу в строку», вычитаем из 5:
i - i - i
14 7 5 6
4
Делим 14 на 4, частное будет 3 и остаток 2. Стираем 14 и
заменяем остатком 2:
I - I
2 7 5 6
4
Вычитаем из 27 квадрат частного 9 и разность 18 ставим вместо
27, а удвоенное частное 6 записываем вслед за 4 в стороне
- I
18 5 6
46
Делим 185 на 46, частное будет 4 и остаток 1. Стираем 185
и заменяем остатком 1:
I
1 б
46
Вычитаем из 16 квадрат частного и, так как в остатке
получается нуль, стираем 16. Удвоенное частное 8 записываем вслед
за 46:
468
Наконец, раздвоив последнее число, находим корень 234.
Эта процедура несколько отличается от приема извлечения
корня, применявшегося в Китае. Оба эти приема основаны на
разложении квадрата двучлена, но ни в только что описанном
правиле, ни в индийском приеме извлечения кубического корня
нет моментов, характерных для схемы Горнера.
Индийцы познакомились с приемом извлечения корней у
китайцев, но они внесли в него заметные изменения. Если они
знали способ извлечения квадратного корня, применявшийся
в Александрии, то они добавили к нему прием для кубического
корня. Быть может также, что во всех трех странах ученые
действовали независимо друг от друга.
Для индийского алгоритма извлечения квадратных корней
характерно постоянное пользование удвоенной частью корня
и деление результата пополам. Именно в таком виде алгоритм
встречается затем у арабов.
При извлечении квадратных корней из дробей с
неквадратным знаменателем дробь -т- приводили к виду р i а для
увеличения точности числитель умножали еще на четную степень 10.

130
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
Проверка девятью. Исчезновение со счетной доски всех
использованных чисел делало невозможным пересмотр
промежуточных выкладок. Быть может, именно с этим была связана
большая популярность так называемой проверки действий
девятью, неясный намек на применение которой имеется и в
греческой литературе III в. Для проверки умножения, деления,
возведения в степень и извлечения корня индийские ученые
рекомендуют не обратные операции, а проверку, основанную
на том, что остатки от деления на 9 любого целого числа и
суммы значений его цифр одинаковы.
Первое описание правила в применении к умножению,
делению с остатком, а также извлечению квадратного и кубического
корней (причем и для нецелых квадратов и кубов) встречается
в X в. у Ариабхатты второго. Если мы назовем пробой остаток
от деления на 9 суммы цифр данного числа, то, скажем, при
умножении двух чисел проба произведения должна быть равна
пробе произведения проб множителей. Сходные предложения
имеют место для других названных операций. С помощью
сравнений правило можно выразить следующим образом. Пусть
N = n-jbtfiz + R
и проба N есть р, пробы п^ п2, п3 суть рг, р2, р3, проба R есть г
и, наконец, проба ?>1р2.Рз+г есть Q- Тогда p—Q.
В самом деле, из сравнений по модулю 9
"l«2n3 + R
Щ-
пг
щ-
R
PiPiPz + r-
= р.
ЭЛ.
= Л.
=Рз>
= г,
= Q
следует
р == п^щ + R= ргр2р3 + г = Q,
и так как пробы ри§ менее 9, то они равны. Отсюда вытекают
соответствующие правила для умножения (R=0) и извлечения
корней (7^=ra2, щ=1 или пг=п2=п3). Равенство проб является
только необходимым, но не достаточным условием
правильности операции. Это обстоятельство не замечали или не отмечали
очень долго, наверное, потому, что практически просмотры,
из-за которых правило может подвести вычислителя,
маловероятны.
В XIV веке Нарайана распространил правило проверки
девятью на другие модули.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ; ТРОЙНОЕ ПРАВИЛО 131
Проверка девятью употреблялась арабскими математиками,
познакомившимися с ней по индийским источникам, а затем
попала в Европу. Леонардо Пизанский доказал необходимость
условия для произведения двух чисел; он ввел термин probe —
пробные числа. Недостаточность правила специально
подчеркнули Н. Шюке (1484) и Л. Пачоли (1494).
Арифметические задачи; тройное правило, В индийских
сочинениях мы находим большое число разнообразных
арифметических задач, выраженных у некоторых авторов в изящной
поэтической форме. Это — задачи на простое и сложное
тройные правила, правило товарищества, правило смешения,
простые и сложные проценты, прогрессии и др. Часть таких задач
имела непосредственное практическое значение, другие
служили для упражнения или развлечения. Брахмагупта писал, что
как Солнце затмевает своим блеском звезды, так ученый может
затмить славу других в общественном собрании, предлагая и,
тем более, решая математические задачи. Одни задачи решаются
арифметически, другие требуют применения алгебры.
Рассмотрим сначала некоторые арифметические приемы.
Видное место занимало правило одного ложного положения;
мы впервые находим его в первой половине IX в. у Магавиры,
решающего с его помощью большое число алгебраических и
геометрических задач. Оно описано также у Бхаскары второго,
который называл его правилом предположения, иста-карма.
Оно удобно для решения задач, приводящихся к линейному
уравнению
ах = с,
так как не требует такого приведения. Если коэффициент
неизвестного представлял собой сумму нескольких дробей, то в
качестве неизвестного обычно принималось число, кратное их
знаменателям,— это значительно облегчало вычисления. Пусть
mi . т2 . тг
— Х + — Х+...+ — Х = С.
п-l п2 пг
и принятое значение хх, кратное всем щ, дает при подстановке
с,. Тогда
с
X z== Хл •
Обоснование правила требует только знания свойств
пропорции.
Вот одна из задач «Лилавати» на правило ложного
положения: «Из пучка чистых лотосов третья, пятая и шестая части
поднесены соответственно богам Шиве, Вишну и Сурье, а

132
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
четверть предложена Бхавани. Оставшиеся шесть даны
почтенному наставнику. Быстро назови мне число лотосов». Бхаскара
принимает за искомое число 60, общее наименьшее кратное
3, 4, 5, 6, и, увидев, что в остатке получается 3, находит
решение 60-4 = 120.
о
В Бахшалийской рукописи правило одного ложного
положения применяется не только к уравнению вида ах = с, но и к
задачам, приводящимся к уравнению
ах-\- 6 = с.
Здесь, конечно, уже не имеет места простая
пропорциональность, как в первом случае ( при ах1 = сг — == — ), и решение
получается по правилу
х=:хг+ ~~ * , где aXi + Ь — сг
В известных нам сочинениях индийских математиков не
встречается правило двух ложных положений, но математики
стран ислама, широко его применявшие, считали его индийским.
Для отыскания числа, ряд операций над которым приводит
к данному числу, индийцы пользовались способом обращения.
Он описан уже у Ариабхатты первого и состоит в том, что над
данным числом производят в обратной последовательности
обратные операции.
Тройное правило состоит в отыскании числа х, образующего
с тремя данными числами а, Ъ, с пропорцию
а с
Т~~~х'
или, как говорили математики в старину, отвечающего на
вопрос: а производит 6, что произведет с? Тройное правило
заняло в индийской арифметике центральное место, так как
позволяло автоматически решать большой круг встречающихся в
общежитии задач. Бхаскара говорил, что оно составляет сущность
арифметики, противопоставляя последней алгебру как науку,
требующую рассуждений и остроумия.
Называлось правило трайрашика, что означает примерно
«трехместное». У Ариабхатты первого рецепт гласит: в тройном
правиле «результат» (6), будучи умноженным на «требуемое»
(с), делится на «данное» (а). Частное есть результат для
требуемого (х). Брахмагупта добавлял, что первый и последний члены,
т. е. данное и требуемое, должны быть однородными. Три
данных числа во всех сочинениях носят указанные названия и при
решений располагаются в строку:
данное — результат — требуемое.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ; ТРОЙНОЕ ПРАВИЛО 133
Например, в задаче Сриддхары, в условии которой сказано,
1 1
что 1-т- меры сандалового дерева стоит 10у, и спрашивается,
сколько стоят 9 -г- мер, числа располагаются так:
^ 21 37 .
4 2 4'
21-4-37
ответ с о / пеРеводится еш.е в некоторые денежные меры.
Брахмагупта и позднейшие авторы добавили обратное
тройное правило и правила 5, 7, 9 и 11 величин, называемые «панта-
рашика», «саптарашика», «наварашика» и «экадашарашика»,
дословно: «5-местное», «7-местное», «9-местное» и «11-местное».
Обратное тройное правило служит при решении задач, в которых
искомая величина не прямо, а обратно пропорциональна
«требуемому», вроде популярной в средние века задачи: а человек
выполняет работу за Ъ дней; за сколько дней ту же работу
выполняет с человек? Здесь
а х
В правиле пяти величин искомое число х, удовлетворяющее
пропорциям
х d у b
у е ' а с '
сразу находится, как — . Иллюстрируем сказанное задачей
из «Лилавати»: процент со 100 за 1 месяц есть 5; каковы
проценты с 16 за 12 месяцев? Обозначив через у проценты со 100
за 12 месяцев и через х — проценты с 16 за 12 месяцев, имеем:
_у_12 ?__16
5 ~~ 1 ' у ~~ 100 '
Бхаскара дает ответ, располагая в соответствии с пятерным
правилом числа 16, 12, 5 и 100, 1 в два столбца и деля
произведение чисел в более длинном на произведение в более коротком.
Изложение правил носило формальный характер.
Например, Сриддхара писал, что в таких задачах средний член
умножается на первый и делится на последний. Но, конечно,
индийские ученые понимали их общую основу и взаимосвязи.
Бхаскара первый, комментируя труд Ариабхатты первого, говорит:
«Здесь акариа1) Ариабхатта описал только тройное правило.
Как же получаются хорошо известные правила пяти величин
и т. д.? Я скажу следующее: акариа описал только основы
пропорции. Все прочие правила, как пяти и т. д. величин,
вытекают из этого основного правила пропорции. Как? Правила пяти
1) Акариа значит ученый.

134
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
и т. д. состоят из комбинаций тройного правила... В пятерном
правиле имеются два тройных, в семерном — три тройных и
т. д.» [54, I, стр. 211].
Задачи, в которых ищется величина, образующая с тремя
данными геометрическую пропорцию, не были новыми. Их
всюду решали и ранее. Индийцы выделили эту группу задач
особо и создали хотя и громоздкую, но стройную систему
механических приемов, со своей терминологией, расположением
данных чисел при записи и порядком выкладок.
Из Индии тройное правило распространилось на Запад,
в страны ислама и, далее, в Европу. Здесь оно также стало
главным приемом арифметических решений задач, причем
формальный характер обучения и применения сохранялся веками.
Из школьного преподавания в Европе тройные правила были
постепенно исключены в XIX в.
Алгебраическая символика. В области алгебры индийцы
ограничились почти исключительно числовыми уравнениями
первых двух степеней. Мы не находим здесь столь высокого
развития числовых методов, как в Китае, зато значительные успехи
были достигнуты в разработке символики, в обобщении правил
решения квадратных уравнений, в оперировании иррациональ-
ностями, в применении отрицательных чисел.
Символика индийцев охватила большой круг
алгебраических понятий и операций. Многие символы представляли собой
сокращения соответствующих терминов.
У Брахмагупты неизвестная величина называется йават-
тават, количество (буквально: столько — сколько); другие
неизвестные назывались словами, обозначающими различные
цвета; сокращения этих слов служили символами нескольких
(до шести) неизвестных. Индийские знаки неизвестных «йа»,
«ка», «ни», «пи», «ло»: щ. щ^ zff xft,c^t* Для отличения
свободного члена перед соответствующим числом ставился знак
«ру», от рупа (монета рупия). Приведем эти термины — символы
в русской транскрипции.
Термин
рупа
йават-тават
калака (черный)
нилака (голубой)
питака (желтый)
панду (белый)
лохита (красный)
СИМВОЛ
«ру»
«иа»
«ка»
«ни»
«пи»
«па»
«ло»
Значение
свободный член
(первая) неизвестная
вторая неизвестная
третья неизвестная ;
четвертая неизвестная
пятая неизвестная
шестая неизвестная

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА
135
Степени образуются сочетаниями варга (квадрат), гхана
(тело, куб) и слова гхата. В отличие от Диофанта, запись
которого соответствовала сложению показателей (например, дюна-
мокюбос, квадратокуб, есть пятая степень), в индийской
символике рядоположение показателей означало их умножение, т. е.
варга-гхана есть шестая, а не пятая степень. Термин гхата
применяли для слоясения показателей; так, пятая степень
называется варга-гхана-гхата. Итак,
Термин
варга
гхана
варга-варга
варга-гхана-гхата
варга-гхана
варга-варга-гхана-гхата
варга-варга-вар га
гхана-гхана
Символ
«ва»
«гха»
«ва-ва»
«ва-гха-гхата»
«ва-гха»
«ва-ва-гха-гхата»
«ва-ва-ва»
«гха-гха»
Значение
2-я
3-я
4-я
5-я
6-я
7-я
8-я
9-я
степень
степень
степень 1
степень
степень
степень
степень
степень
Знак степени ставили после знака неизвестной.
У Брахмагунты есть, далее, знак квадратичной
иррациональности «к», карани, что в более ранние времена, например в
«Правилах веревки», означало квадратный корень; со времен
Ариабхатты первого (может быть, и ранее) квадратный корень
называли варга-мула, кубический — гхана-мула.
При вычитании над коэффициентом вычитаемого ставилась
точка; запись рядом соответствовала сложению. Знак
равенства у Брахмагунты отсутствует; обе части уравнений пишутся
друг под другом.
Приведенные обозначения позволяли символически
записывать довольно сложные алгебраические выражения.
Приведем примеры из «Усовершенствованного учения Брахмы» того
же автора.
Чтобы освободить дробь
3 + 1/150+ Т/75+У54
/18+/3
от иррациональности в знаменателе, Брахмагупта умножает
числитель дроби «ру» 3 «к» 450 «к» 75 «к» 54 и знаменатель дроби
«к» 18 «к» 3 на «к» 18 «к» 3, т. е. на "J/18—у 3, и получает:
«ру» 75 «к» 675, деленное на «ру» 15.
т. е.
75+У675
15 '
и, наконец, «ру>: 5 «к» 3, т. е. 5+]/3.

136
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
Отсутствующие члены неполных уравнений заменялись
нулями (как позднее у китайских алгебраистов), а перед
решением уравнения сводились к канонической форме с уединенным
свободным членом. Получив в одной задаче уравнение
Юя-8 = я2 + 1,
Брахмагупта записывает его в виде
«йа ва» 0 «йа» 10 «ру» 8
«йа ва» 1 «йа» 0 «ру» 1
и преобразует его к канонической форме
«ру» 9
«йа ва» 1 «йа» 10
т. е.
-9 = я2-10я.
Вот еще пример линейного уравнения с тремя неизвестными:
«йа» 197 «ка» 1644 «ни» 1 «ру» 0
«йа» 0 «ка» 0 «ни» 0 «ру» 6302,
т. е.
197я-1644г/ -z = 6302.
Алгебраические обозначения Брахмагупты применялись
и другими, например Бхаскарой вторым.
Своеобразна символика в Бахшалийской рукописи. В ней
неизвестная называется сунья, т. е. пустое, как и нуль, быть
может, потому, что место неизвестной мыслится, пока она не
определена, незаполненным; знаком неизвестного служит точка.
Имеются знак равенства «пха», начальный слог
соответствующего слова пхалам, знак сложения «йу» от йута и деления
«бха» от бхага, «часть». Знаком вычитания служит крест вроде
нашего +, который ставится после вычитаемого; знак деления
<--> также ставится вслед за делителем. Для умножения
множители ставятся рядом. Группы чисел обрамляются чертами и
имеется некоторое предвосхищение действий со скобками. Таким
образом,
5 7
«пха» 12 означает: -т- + -г- = 12,
«пха» 20 означает: -q---j-=20.
Для обозначения несложных неизвестных в рукописи
употребляются сокращения порядковых числительных: пра (прата-
ма—первый), дви (двития—второй), тр (трития—третий) и т. д.
5 7
1 1
«иу»
5 32
8 1

ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 137
Индийские ученые сделали большой шаг вперед в создании
символической алгебры, хотя их обозначения были громоздки,
а сами знаки, т. е. санскритские буквы, имели сложное
начертание. Преемники индийских алгебраистов — ученые арабских
стран и Средней Азии не только не пошли далее, а в течение
столетий пользовались исключительно словесной записью
алгебраических выражений.
Линейные и квадратные уравнения. У Ариабхатты первого
есть задачи на линейное уравнение с одним неизвестным ах +
+ Ъ = с. Хотя прием решения не указан, скорее всего, это
решение было алгебраическим, как несколько позднее у Брах-
магупты. В одной задаче Ариабхатта дает правило вычисления
стоимости вещи, если известно, что капиталы двух человек,
состоящие каждый из данного числа вещей одинаковой
стоимости и данной наличной суммы, равны между собой (ах + Ъ —
= ахх + Ь±).
Интересна другая задача Ариабхатты, обошедшая затем
мировую алгебраическую литературу под названием «задачи
о курьерах». Заимствована она из астрономии, которой
посвящена в основных частях «Ариабхаттиам». Требуется определить
время встречи двух светил по данным скоростям и расстоянию
между ними. Ариабхатта говорит, что при движении светил
навстречу следует разделить расстояние на сумму скоростей,
а при движении в одну сторону — на разность, добавляя, что
частные дают время встречи в прошедшем или в будущем. Если
обозначить расстояние а, скорости г\, v2, то при движении
в одну сторону
и при vx < v2 встреча светил имела место в прошлом.
Индийский текст не дает возможности решить вопрос, знал ли
Ариабхатта отрицательные числа и их истолкование. Можно только
сказать, что веком позднее Брахмагупта свободно оперировал
с отрицательными числами. Однако мы не встречаем в трудах
Брахмагупты и его преемников отрицательных решений
линейных уравнений.
Наряду с линейными уравнениями с одним неизвестным
у позднейших авторов есть задачи, приводящиеся к системам
уравнений с несколькими неизвестными. Единообразного
алгоритма решения таких систем индийские математики, в отличие
от китайских, не создали. Эти задачи служили скорее для
изощрения остроумия, которое Бхаскара второй считал
характерной чертой алгебры. Примером может служить решение Бха-
скарой задачи: если А получит от В 100 рупий, он станет вдвое

138
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
богаче последнего, а если А даст В 10 рупий, последний станет
вшестеро богаче первого. Вместо составления системы
з+ЮО = 2 (у-100), \
у + 10 = 6(ж-10), J
Бхаскара принимает, что А имеет 2х—100, тогда В по первому
условию имеет х + 100. Это сразу приводит к уравнению с одним
неизвестным
х +110 = 6 (2а?-110),
откуда х = 70 и т. д. Такое введение вспомогательной
неизвестной напоминает приемы Диофанта.
Первые задачи на полные квадратные уравнения приведены
в «Ариабхаттиам». В одной из них требуется найти число
членов п арифметической прогрессии по данным сумме 5, первому
члену а и разности d. Соответствующее квадратное уравнение
dn2 + (2a — d)n=*2S
не упоминается, но словесный ответ равносилен представлению
его положительного корня в радикалах. В другой задаче на
сложные проценты условие таково: капитал р (р = 100), от"
данный в рост, приносит за месяц неизвестную величину (х)-
Этот прирост отдается затем в рост на t (t = 6) месяцев.
Первоначальный прирост вместе с указанным своим приростом
составляет q (q = 16). Найти размер процента.
Здесь уравнение было бы
tx2 + pz = qp.
Решение высказано в следующих словах: умножь сумму
прироста капитала и прироста этого прироста (т. е. q) на время и на
капитал, прибавь к этому квадрат половины капитала, извлеки
отсюда квадратный корень, затем вычти половину капитала
и раздели остаток на время. Итак,
х==1 \±1 * =10.
Аналогичные задачи на проценты имеются у Брахмагупты,
Магавирыи других авторов. Интересно заметить, что в «Началах
алгебры» А. Клеро (1746), который стремился к естественности
изложения и его связи с нуждами практики, первая задача на
квадратные уравнения также на сложные проценты.
Более подробно учение о квадратных уравнениях изложено
у Брахмагупты. Существенный прогресс в его трактовке вопроса

ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 139
состоит в том, что формулируется общее правило решения
квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме
ах2-\- bx = c, а > О,
в которой коэффициент Ъ и свободный член с могут быть и
отрицательными. Только М. Штифель в 1544 г. вновь сформулировал
общее правило решения уравнения
х2 = Ъх + с
при различных комбинациях знаков коэффициентов. Словесное
правило Брахмагупты соответствует формуле
х = ь .
а
Получается оно с помощью дополнения до квадрата, которое
Брахмагупта называл «удалением среднего члена». Несколько
отлично правило Сриддхары, который сначала умножает члены
уравнения на 4а, что позволяет представить корень в виде,
свободном от дробей в числителе,
_ т/4ас+ Ь2 — Ъ
Как мы сказали, общий прием решения квадратных
уравнений, имеющих положительный корень, основывался на
применении отрицательных чисел. Пример такого уравнения
-9 = я2-10я
из труда Брахмагупты приведен выше (стр. 136). Брахмагупта
сообщает правила сложения и вычитания положительных
и отрицательных чисел.
Положительные числа называются дхана или сва, что
значит «имущество», отрицательные — рина или кшайа, «долг».
Сами правила таковы: сумма двух имуществ есть имущество,
двух долгов — долг, имущества и долга — их разность, а если
они равны — нуль. Сумма нуля и долга есть долг, имущества
и нуля — имущество, двух нулей — нуль. Переходя к
вычитанию, Брахмагупта продолжает: здесь Меньшее вычитается
из большего, имущество — из имущества, долг — из долга,
причем, если вычитается большее из меньшего, значение
избытка меняется. Долг, вычтенный из нуля, становится
имуществом, имущество —долгом. Долг без нуля остается долгом,
имущество — имуществом. Чтобы вычесть из долга имущество
или долг из имущества, нужно составить их сумму. Говоря о
«большем» и «меньшем» в случае отрицательных чисел,
Брахмагупта подразумевает их абсолютные величины; современное

140
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
понимание порядковых соотношений между отрицательными
числами было установлено в Европе уже в новое время.
Как видно, правила Брахмагупты по существу те же, что
в древнекитайской «Математике в девяти книгах» (стр. 51);
индийский математик добавляет, впрочем, правила
+ а + (-а) = 0,
0 + 0 = 0,
± а —0= ±а.
Правила умножения и деления отрицательных чисел впервые
встречаются у Бхаскары второго, но, вероятно, он имел
предшественников. Произведение двух имуществ или двух долгов
дает имущество, произведение имущества на долг — долг;
то же имеет место при делении. Но Бхаскара идет еще далее,
распространяя правило на извлечение квадратного корня
из положительных чисел. Он говорит, что имущество имеет два
корня: один есть имущество, а другой — долг. Здесь вводится
двузначность квадратного корня из положительного числа,
Бхаскара останавливается перед введением мнимых чисел.
Корень из долга, заявляет он, не существует, ибо долг не есть
квадрат.
Первым понятием об отрицательных числах индийцы могли
быть обязаны китайской математике1), но, как мы видим, в Индии
учение об отрицательных числах получило в алгебре
значительное развитие и новые применения.
Бхаскаре была известна двузначность корней квадратных
уравнений. Впрочем, вряд ли он был первым индийским
математиком, владевшим этим фактом, который был известен
в Багдаде Мухаммеду ал-Хорезми в первой половине IX в. Не
исключено, что арабы и индийцы опирались здесь на более
древнюю общую традицию.
Если математики Индии пришли к обоим названным
открытиям самостоятельно, то их историческую последовательность
можно объяснить по-разному.
Возьмем уравнение Бхаскары
я* —64г= -768
и дополним его левую часть до квадрата:
я2_64я + 322 = 25б.
Левая часть есть квадрат как х — 32, так и 32—х, и потому
(считая сначала, что "(/256 имеет одно значение 16) можно испро-
х) Напомним о совпадении некоторых геометрико-алгебраических
задач Брахмагупты и Бхаскары с задачами китайских ученых (стр. 65).

ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 141
бовать два значения: х = 32 + 16 = 48 и х = 32 — 16 = 16.
Оба числа суть решения уравнения, оба они могут быть
получены из коэффициентов уравнения по одному правилу, если
формально допустить двузначность квадратного корня из 256.
С другой стороны, можно представить себе, что сначала была
обнаружена двузначность квадратного корня в связи с
установлением правила умножения отрицательных чисел и
это открытие было использовано при решении квадратных
уравнений.
Приведенное только что уравнение появляется у Бхаскары
в задаче: стая обезьян забавляется; восьмая часть всего числа
их в квадрате резвится в лесу, остальные двенадцать кричат
на вершине холма. Скажи мне, сколько всех обезьян? Бхаскара
принимает здесь оба решения, подчеркивая, что в уравнении
(я-32)2 = 256
32 больше ]/256, поэтому квадратный корень можно брать
и положительным и отрицательным. Бхаскара знал и
отрицательные решения уравнений, но отбрасывал их, говоря, что их
не принято учитывать.
Бхаскара отвергает в некоторых случаях и один из
положительных корней, если он не согласуется с тем или иным
условием вопроса. Так, определяя число обезьян в стае, одна пятая
которой без трех в квадрате прячется в пещере, а видно одну
обезьяну, взобравшуюся на дерево, т. е. решая уравнение
s = f-g--3Y + l или я2-55ж= -250
с корнями 50 и 5, Бхаскара откидывает второй корень, так как
число у • 5 — 3 отрицательно. Один позднейший комментатор
заметил, что этот корень можно было бы принять, изменив
формулировку задачи («одна пятая часть стаи, вычтенная из трех»);
однако тогда придется отказаться от корня 50.
Некоторые задачи выражаются уравнениями, квадратными
относительно вспомогательного переменного. Например, у
Бхаскары второго есть уравнение
1 + 41/^+10 = *,
а у Магавиры
( х *!_^_±з/ fLV-20
V 12-30 У 20-16V 12-30 J ~~^U'
которое он решает, рассматривая сначала как неизвестную
Х 12-30 '

142 ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
В решении уравнений высших степеней индийские
математики не получили результатов общего значения. У Бхаскары
второго имеются примеры заранее подобранных уравнений
третьей и четвертой степеней, целые корни которых находятся
с помощью несложных преобразований. В уравнении
:гЗ__б;г2 + 12;г = 35
до полного куба в левой части недостает —8, так что
(#-2)3 = 27.
Чтобы решить уравнение
я4__2я2- 400я = 9999,
Бхаскара добавляет к обеим частям по 4#2 + 400# + 1, откуда
(х2 + 1)2 = (2я+100)2
и т. д.
Заслуживают упоминания действия с иррациональными
числами и выражениями. С помощью правил
ynw-/^=i-+]^
—/а2— ь
У~а + ь + гуаъ = уа+уь,
заимствованных, быть может, у греков, Бхаскара второй
производит преобразования квадратичных числовых иррациональ-
ностей. Выше было показано, как он освобождается от
простейших квадратичных иррациональностей в знаменателях дробей.
Он упрощает таким образом довольно сложные выражения,
как, например,
1/9+Г5-4+1/450+/75 = -|/2 + КЗ + -К5;
5+]/3
можно полагать, что в подобных случаях исходными были
преобразования над правой частью. Иные преобразования,
например
]/5 + ]/24 =]/2 + ]/3,
могли использоваться для более удобного приближенного
извлечения корней.
Для приближенного извлечения квадратных корней в Бах-
шалийской рукописи применяется итерационный алгоритм,
известный еще древним вавилонянам, а затем Герону: для
~\ГА = l/a2 + г, где а2 — наибольший целый квадрат в А,

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
143
образуются приближения г)
ал = а.
а2 = а + ^'
а<> = а-
г \2а )
2а
2
0+?)'
которые являются средними арифметическими
ах = ач 6i = ~a~'
'~2-' °*- а2
g2+&2 h — А
аз — —о— » °з — "Г~
Этот прием впоследствии применяли ал-Хассар в конце XII в.,
Леонардо Пизанский и др.
Свободное оперирование числовыми радикалами
содействовало развитию понятия об иррациональном числе,
равноправном с целыми и рациональными числами. Вместе с тем,
теоретические рассуждения об арифметической природе иррациональ-
ностей в сочинениях индийцев отсутствуют, так же как
систематическое исследование свойств и взаимозависимостей
квадратичных иррациональностей.
Неопределенные уравнения. Первый толчок решению
неопределенных уравнений в Индии, как и в Китае, сообщили ка-
лендарно-астрономические задачи, в которых нужно было
определять периоды повторения одинаковых относительных
положений небесных светил (Солнца, Луны, планет) с различными
временами обращения, и другие с ними связанные проблемы.
Дело приводится здесь к отысканию целых чисел, дающих при
делении на данные числа данные остатки, т. е.удовлетворяющих
х) Третье приближение а3 при малом— незначительно отличается
суммы трех членов разложения корня в степенной ряд
г 1 г2
так как
2а ) 1
G
<•+?)
-+?

144
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
неопределенным линейным уравнениям и их системам. Мы
встретились ранее с одним таким вопросом у Сунь Цзы; аналогичная
задача с другими числовыми данными (делители 2, 3, 5, а остатки
1, 2, 3) имеется у Бхаскары второго, который рассматривал
и задачи непосредственно календарного содержания.
Связи между математиками Индии и Китая в решении задач
неопределенного анализа весьма вероятны. Тем и другим
принадлежит важная заслуга постановки проблемы решения
неопределенных уравнений в целых числах. Выдающиеся
исследования Диофанта, по-видимому, также оказали влияние на
индийцев. По имени александрийского арифметика
соответствующий отдел теории чисел именуют теперь диофантовым анализом,
хотя сам Диофант требовал только рациональности решений.
В неопределенном анализе индийцы достигли больших
успехов и создали оригинальные методы. Мы подробнее рассмотрим
их способ решения общего линейного уравнения с двумя
неизвестными [74].
Правило решения в целых числах неопределенного
уравнения сформулировано уже у Ариабхатты первого, но более
подробно изложено у Брахмагупты и Бхаскары второго. Это —
так называемый метод «рассеивания» или «размельчения».
Уравнение берется в форме
ах-\-Ь = су. (1)
Прежде всего Бхаскара излагает алгоритм отыскания общего
наибольшего делителя двух чисел; далее предполагается, что
уравнение сокращено на (а, с), т. е. на общий наибольший
делитель коэффициентов неизвестных. Несомненно, Бхаскаре было
известно, что уравнение неразрешимо в целых числах, если
свободный член не делится на (а, с). Способ решения, по существу,
не отличается от того, который излагается в нынешних
руководствах с помощью непрерывных дробей. Мы коротко
изложим этот способ в наших обозначениях.
Пусть а > с и частное — выражается непрерывной дробью
а -а А
с -?oi
ЯхЛ
1
1
02 + ..
1
1 ..
Чп
Обозначим, как обычно, такую дробь сокращенно:
[0о» Я и 02» •• •» ?n-l, 9п].
Подходящей дробью -7г~ называется [g0, ql4 . ..,7&]. Предпо-

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ 145
р
следняя подходящая дробь ~± есть [g0, д1? ..., g,w], а по-
Vn-l
следняя -77^ совпадает с — . Тогда всевозможные решения
уравнения (1) при (а, с) = 1 выражаются равенствами
* = (-l)n&<?n_i + <?n*.
(2)
.y = (-l)nWV-i + i>«*,
где * может принимать любые целые значения.
Существенно напомнить, что все элементы д& непрерывной
дроби получаются при отыскании наибольшего общего
делителя (а, с) по алгоритму Евклида как частные при
соответствующих делениях
Сп—2 — Сп—iQn— i "г ^п?
Сп—1 = Cn(Jni
причем сп и есть (а, с); если сп=1, то (а, с) = 1.
Рассмотрим два примера, решенных Бхаскарой.
1. Уравнение
100з + 90 = 63?/ (п - четное).
Разложение -^ в непрерывную дробь или отыскание
наибольшего общего делителя (100,63) дает:
|i = ^=[l, 1,1,2,2, 1,3].
В данном случае п = 6 и
?~[l,l,l,2,2,l]-g.
Поэтому, согласно (2),
х = 90 • 17 + 63* = 1530 + 63*, у = 90.27 +100* = 2430 + 100*.
При *= — 24 получаются наименьшие целые положительные
решения
я «18, у = 30.

146
ГЛ. 1Г. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
Вычисления Бхаскары в несколько сокращенной записи таковы:
1. 90+ 0 = 90,
2- 90+ 90 = 270,
2- 270+ 90 = 630,
1- 630 + 270 = 900,
1- 900 + 630 = 1530,
1-1530 + 900 = 2430.
После этого Бхаскара получает так, как указано выше,
наименьшие положительные целые решения а; = 28, у = 30.
2. Уравнение
60.г+ 16 = 13г/ (п — нечетное).
Здесь
60
= ^=[4,1,1,1,1,2]
§ = [4,1,1,1,1]=!
так что
При*
У Бхаскары
x=z -16.5 + 13*= —80 + 13*,
г/ = -16-23 + 60*= -368 + 60*.
7 получаются наименьшие целые положительные решения
з=11, у = 52.
1.16 + 0 =16,
1-16+16 = 32,
1-32 + 16 = 48,
1-48 + 32 = 80,
4-80 + 48 = 368.
Вычитая из 13 число 80, Бхаскара получает х =—67,
а у= —308 находит, как 60 — 368. Затем он прибавляет 6-13
к —67 и 6-60 к—308, получая надменыпие решения ж =11,
У = 52.
Вряд, лд мржно сомневаться, что метод рассеивания был
создан в результате того, что уравнения типа (1) решали по
способу, который еще недавно излагался в школьных
учебниках алгебры и равносилен описанному приему. При с < а из

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
147
уравнения (1) выражается
У =
q0x-
с-^х-^-Ъ
после чего определение целого х, при котором целым будет
также
приводится к решению аналогичного уравнения с
коэффициентом с1? меньшим с. Процесс продолжается до тех пор, пока
предпоследнее вспомогательное неизвестное не выразится через
последнее в целых коэффициентах.
Из задач со многими неизвестными мы упомянем одну задачу
о птицах, которую можно записать двумя уравнениями с
четырьмя неизвестными:
x+y+z+u= 100,
Н+5-
¦ + 7.4 + 9-
100.
г- О
Рис. 36.
Пример этот, по словам Бхаскары второго, взят у древних
авторов.
Изящен прием решения
уравнения второй степени
ху=ах + Ьу + с, (3)
которое преобразуется к виду
(x-b)(y-a) = c + ab. (3')
Если число с-\- ah разбивается
на целые множители, то целые
решения данного уравнения
получаются попарным
приравниванием множителей левой и правой частей. Алгебраическое
преобразование поясняется геометрическим, причем используется
фигура гномона, которая была известна еще авторам «Правил
веревки». Разность прямоугольника ху и гномона ax + by — ab
(рис. 36) представляется прямоугольником (х —Ь)(у— а);
с другой стороны, по условию она равна ab + c; отсюда
следует (3'). Это — любопытный пример использования в теории
чисел геометрических представлений.
Выдающимся достижением индийских математиков в теории
чисел явилось решение в целых числах уравнения
у2 = ах2 -\- b
(4)

148
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
и его важного частного случая
у* = ах2+1; (5)
здесь а — целое неквадратное число.
Впервые такие уравнения встречаются в греческой
математике. Это, прежде всего, уравнение
г/2 = 2я2±1,
к которому пришли в поисках рациональных приближений
к [/2; известно, что регулярный процесс получения все
больших и больших целых его решений описал во II в. Теон Смирн-
ский. Вообще, уравнение (5) имеет большое значение в
вопросе о возможно точном рациональном приближении У а. Это,
далее, уравнение
2/2 = 2.3.7.11.29.353я2+1,
возникающее в одной проблеме Архимеда. В сохранившемся
изложении задачи само уравнение отсутствует; наименьшее
решение его выражается громадными числами, и трудно думать,
что Архимед довел решение до числового ответа.
Уравнения (4) и (5) были рассмотрены Брахмагуптой
и Бхаскарой вторым.
Для решения уравнения (5) Бхаскара на примерах
излагает метод, который в настоящее время называют циклическим.
Прежде всего, подбираются числа хг, yt и соответствующее
им Ъг, связанные равенством
axl + b± = yl (6)
причем добиваются того, чтобы Ьг было возможно малым (
можно испробовать в качестве хх, уг члены приближений У а ^ -¦ \
хг и Ъх здесь взаимно простые, ибо при наличии у них общего
множителя его квадрат был бы множителем всех членов и
равенство (6) можно было бы, сократив, заменить более простым.
Далее, составляется линейное уравнение
^ =^2> т- е- ^1Z + y1=b1X2,
которое можно решить по способу «рассеивания», и берутся
такие целые z, х2, чтобы z2 — а было возможно малым. Как
нетрудно проверить, число —т— — Ьг — целое, а выражение
ах\-{-Ъ% оказывается целым квадратным числом у\, так что
получается новое равенство
ах\+Ъг = у\. (7)

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
149
Продолжая процесс, можно последовательно получить решения
цепочки уравнений того же вида, в конце которой будет
требуемое равенство
ax%+l = yl
со свободным членом 1.
Уравнение (5) при неквадратном а имеет бесчисленное
множество целых решений; индийские ученые ограничивались
нахождением какого-нибудь одного.
Брахмагупта и Бхаскара не доказывали ни того, что число у2
есть целое, ни того, что метод приводит в итоге к
уравнению с Ъ = 1. Неполнота решения не уменьшает восхищения
перед искусством творцов циклического метода.
Уравнение (5) явилось позднее предметом исследований
Ферма, Эйлера, Лагранжа. Полное и строгое его решение, как
и уравнения (4), дал в 1769 г. Лагранж, метод которого близок
к индийскому. Вследствие одного недоразумения в XVIII в.
за уравнением (5) закрепилось имя английского математика
Дж. Пелля, хотя никаких заслуг здесь он не имел. Решение
общего неопределенного уравнения второй степени с двумя
неизвестными приводится к уравнению Пелля, которое играет
роль в теории квадратичных форм, теории алгебраических чисел
и т. д. На других индийских способах решения в целых или
рациональных числах уравнения Пелля мы останавливаться
не будем. Заметим еще, что Брахмагупта и Бхаскара
рассматривали с помощью специальных приемов и некоторые другие
неопределенные уравнения второй степени.
Индийские математики, например Нарайана и Ганеша,
занимались, подобно грекам и китайцам, магическими квадратами.
Числовые ряды. Отдельные примеры арифметических и
геометрических прогрессий имеются в «Знаниях». Начиная с
Ариабхатты первого суммирование арифметических рядов
постоянно интересовало индийских математиков. Была
выработана специальная терминология и вычислены суммы многих
рядов [75].
Ариабхатта был хорошо знаком с различными свойствами
арифметической прогрессии. Он знал формулы для центральных
членов, общего члена, суммы; одна из его задач на
арифметические прогрессии, как упоминалось, приводит к квадратному
уравнению. У Ариабхатты приведены также правила
суммирования рядов треугольных чисел, натуральных квадратов и
кубов, у Магавиры — геометрической прогрессии. Все это было
достоянием еще вавилонян или греков. Магавира обобщил
результаты, известные Ариабхатте, просуммировав ряд
квадратов членов арифметической прогрессии (что сделал еще

150 ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
Архимед), ряд кубов и ряд обобщенных треугольных чисел,
т. е. сумм арифметической прогрессии. Если первый член
прогрессии есть av разность d, то согласно Магавире
г=п т=г
2(2^)=l[{i^?^+4+^}(n-1)+ai(ai+1)]-
Г=1 777=1 *~
В середине XIV в. Нарайана произвел еще более общие
суммирования. Обозначим суммы:
1 + 2 + 3+.. .+n = S?;
Sf+ Sf+ ...+i%2) = ^3) .
и т. д. Нарайана приводит выражение для
ест) _ п(п + 1)(п+2) ... (п+т)
п ~" 1-2-3 ... (т+1)
Аналогичные результаты были примерно в это же время
известны в Китае (стр. 99—100). Нарайана обобщает все это и на
случай арифметической прогрессии с данными первым членом а1
и разностью d\ в этом случае сумма
-crm _ п т~М С(7П) I JQm м
Свои правила Нарайана приложил к задаче, в которой
требуется подсчитать стадо коров и телок, происходящее от одной
коровы за 20 лет, по условию, что корова в начале каждого
года рождает одну телку, а телки дают такое же потомство,
достигнув трех лет. Подсчет Нарайаны следующий:
1) корова за 20 лет дает 20 телок первого поколения;
2) первая телка первого поколения дает 17 телок второго
поколения, вторая — 16 и т. д. Всего во втором поколении
будет:
П + 16+... +i = ^V;
3) первая телка из 17 второго поколения дает 14 телок
третьего поколения, вторая — 13 и т. д. Всего телки этой группы
дадут потомство
14+13+...+1 = ^.
Первая телка из 16 второго поколения дает 13 телок
третьего поколения, вторая — 12 и т. д. Всего телки этой группы
дадут потомство
13 + 12+...+1 = 55'.

ГЕОМЕТРИЯ 151
Все телки второго поколения дадут в третьем поколении
Рассуждая аналогично далее, Нарайана выражает
численность всего стада через 20 лет суммой
1 + 20 + лй>+л?>+ ... +s? = i + 20+ Ц^+ 14^25;316 +...
¦ ¦. + llttll'i =1 + 204-153 + 560 + 1001 + 792 +
+ 210 + 8-2745.
Можно решить задачу несколько иначе. В начале 1-го года
стадо состояло из 2 животных, в начале 2-го года — из 3, затем
из 4 и 6. Начиная с 4-го года численность стада в начале fe-ro
года можно выразить рекуррентным соотношением
и с его помощью последовательно вычислить S2Q =^= 2745. Именно
так решил аналогичную задачу о кроликах Леонардо Пизан-
ский. Сходные задачи имеются в юридическом сборнике
«Русская Правда», в списках второй половины XV в.
В конце XIV в. индийские математики владели бесконечной
убывающей геометрической прогрессией. Столетие спустя мы
довольно неожиданно находим в индийской литература
разложение арктангенса в степенной ряд (см. стр. 160).
Соединения. В Индии издавна известны были также
сочетания из п элементов по т, т. е. числа С™. Согласно одному автору
X в., Галайуде, с этими числами были знакомы еще во TI в.
до н. э., причем знали, что
ca+ck+...+(%=&.
Бхаскара второй излагает приемы вычисления перестановок
разных или частью одинаковых элементов, а также сочетаний.
Соединения использовались и, может быть, возникли в
индийской поэтике в связи с подсчетом возможных комбинаций из
долгих и кратких слогов в га-сложной стопе. Неясно, однако,
было ли известно разложение степени двучлена, кроме квадрата
и куба.
Геометрия. Сведения по геометрии индийских математиков
значительно уступают их знаниям по арифметике, алгебре
и теории чисел. Эти сведения охватывают узкий круг задач
вычислительной геометрии. В некоторых случаях
обнаруживается сходство с работами александрийских геометров; это

152
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
относится, например, к геометрическим элементам сочинении
Брахмагупты и трудам Герона.
Характерно для Брахмагупты использование наряду с
точными правилами приближений, которые он рекомендует
практикам. Так, он сообщает приближенное правило вычисления
площади четырехугольника по его сторонам -г (а + с) (b + d),
где а ж с, b и d — попарно противоположны. Так, далее, для
объема усеченной пирамиды с квадратными основаниями
(стороны аг и а2) он приводит для практиков выражение
ч
01 + 02 V
2 ;
затем еще одно приближенное выражение х)
, al + aj
п 2 '
а точное получает в виде комбинации двух предыдущих:
Брахмагупта дает также два правила измерения круга:
грубое, соответствующее я = 3, и более точное, в котором тс ="[/10;
последнее до того применялось в Китае. Выше мы отмечали, что
Ариабхатта первый принимал отношение длины окружности
62 832
к диаметру равным 2Q — значению, которое, вероятно,
нашел Аполлоний в его «Окитокионе». Бхаскара второй реко_
22
мендовал два значения для практиков: jt = -=- и более точ-
3927 л *
ное зх = J25Q' совпадающее со значением Ариабхатты.
Комментируя этот результат, Ганеша писал, что он был
получен посредством вычисления сторон правильных вписанных
6-, 12-, 24-, 48-, 96-, 192- и, наконец, 384-угольника.
Для вычисления площади треугольника, помимо обычного
приема, Брахмагупта приводит так называемую формулу
Герона. Эту формулу Брахмагупта без доказательства
распространяет на циклические (вписанные в круг)
четырехугольники, для которых площадь
S = V(p-a)(p-b)(p-c)(p-d),
*) Применявшееся еще в древнем Вавилоне.

ГЕОМЕТРИЯ
153
где р — полупериметр, а Ь, с, d — стороны; впрочем, Брахма-
гупта не оговаривает явно, что имеет в виду циклические
четырехугольники. К известной теореме Птолемея примыкает
другое предложение Брахмагупты: для диагоналей х, у
циклического четырехугольника
2 (ad-\-bc){ac-\-bd)
у
ab-\-cd
(ab-\-cd) (ac-\-bd)
ad-\-bc
Брахмагупту особо интересовали циклические
четырехугольники со взаимно перпендикулярными диагоналями и
равнобедренные трапеции.
Брахмагупта также дает правило составления рациональных
прямоугольных треугольников по сторонам
Двумя веками позже у Магавиры мы находим аналогичный
способ получения целых троек
«пифагоровых» чисел
р2—ч2 Р2+я2
Такие треугольники использовали
для построения циклических
четырехугольников (рис. 37).
Мы находим еще у
Брахмагупты вычисление отрезков, на
которые делится сторона
треугольника высотой, по данным трем
сторонам; эта задача имелась у Герона.
В решении задач, требовавших, подобно этой, применения
алгебры, индийские математики проявляли большую
изобретательность. Вот одна из задач Бхаскары: определить катеты
х, у и гипотенузу z по периметру и площади. Если положить
52^
Х\^ W
^Ч
20
36
\25
15 /
39
Рис. 37.
ху = р,
x + y + z = q,
(1)
(2)
то выкладки таковы:
Отсюда
(x+y + z)(x + y-z) = 2p.
2р
(3)

154
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
и из (2) и (3)
Из тех же уравнений
Далее определяется
z =
д2-2р
х + у:
q*+2p
(х-у)* = (х + у)*-4ху = (?32Р.у-4р
(4)
(5)
и затем из (4) и (5) можно определить катеты х, у.
В другой задаче даны xyz = р, х + у + z = q. Бхаскара
решает ее, также определяя сначала z. Тематически такие
задачи напоминают китайские задачи на
прямоугольные треугольники.
Доказательства геометрических
предложений в индийских книгах редки,
а когда встречаются —- очень кратки.
рис. 38. Часто все сводится к чертежу и
указанию «смотри!»; иногда к чертежу
добавляются беглые указания. Напомним доказательства
теоремы Пифагора (см. стр. 115) и, следуя Ганеше, приведем
обоснование теоремы о площади треугольника. Вывод состоит
из чертежа (рис. 38), на котором высота прямоугольника взята
равной половине высоты треугольника и к которому
добавлено: «смотри!». Аналогично объясняет Ганеша теорему о том,
что площадь круга равна площади прямоугольника, стороны
которого суть
полуокружность и полудиаметр
(рис. 39). Как видно из
этого предложения,
индийские математики
оперировали
инфинитезимальными
представлениями атомистического
характера. Это
подтверждается толкованием
данных Бхаскарой вторым
правил вычисления объема и поверхности шара.
Комментатор в связи с ними замечает, что шар можно
рассматривать как совокупность иглоподобных пирамид, вершины
которых сходятся в центре, а основания расположены на
поверхности. Действительно, отсюда легко получается соотношение
между объемом и поверхностью шара. Ниже мы познакомимся
с более глубокими инфинитезимальными исследованиями
индийцев.

НАЧАЛА ТРИГОНОМЕТРИИ
155
Лаконичность выводов в индийских сочинениях по
математике или наличие в последних чертежей с одной лишь припиской
«смотри!» не следует рассматривать как проявление особого
подхода к проблеме доказательства или особого хода мышления.
В свое время А. Шопенгауер принципиально противопоставлял
наглядную убедительность простых фигур (например, для
теоремы Пифагора в случае равнобедренного треугольника)
трюкам и хитросплетениям Евклида, принуждающим читателя
согласиться с истинностью предложения, но скрывающим от
него внутренние взаимосвязи [76, I, стр. 72 и след.]. Как
раз евклидово доказательство теоремы Пифагора
Шопенгауер называл мышеловкой. Однако пресловутая лаконичность
древних индийских трудов относится, помимо доказательств,
к правилам.
Книги, вообще, писались кратко, афористически, часто
в стихах, чтобы их легче было запомнить наизусть. При
обучении давались более подробные объяснения, а чертеж с
подписью «смотри!» снабжался устным комментарием. К тому же
сохранились и письменные индийские комментарии к
недостаточно ясным из-за чрезмерной сжатости сочинениям более
ранних ученых,
Начала тригонометрии. Исключительно важны были для
развития математики работы индийских ученых по
тригонометрии, хотя продвинулись они в этой области еще
недалеко.
В связи с расцветом астрономии в эллинистических
странах (позднее провинциях Рима) были достигнуты серьезные
успехи в разработке как графических средств решения ее задач,
так и исчисления хорд. В «Аналемме» Птолемея были
изложены графические приемы построений для изготовления солнечных
часов, т. е. для установления местоположения Солнца в
зависимости от времени, приемы, в равной мере пригодные для
определения времени суток. В основе построений лежало
ортогональное проектирование шара на три взаимно перпендикулярные
плоскости меридиана, горизонта и вертикального круга. Искомые
дуги строились при этом по полухордам известных дуг. С
другой стороны, в «Алмагесте» Птолемея содержится относительно
развитая тригонометрия хорд. Индийцы опирались на труды
эллинистических астрономов, но внесли и много нового. По-
видимому, на развитие астрономии в Индии оказали влияние
более ранние методы, вошедшие в «Аналемму», которые были
преобразованы здесь в систему расчетных правил. Главной
явилась замена хорд синусами. Сама по себе такая замена как
будто не столь существенна, ибо хорда дуги ср равна удвоенному
синусу дуги 2ф, т. е. отличается от синуса лишь постоянным

156
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
множителем. Но в действительности переход от хорды к
полухорде имел далеко идущее значение, ибо позволил естественно
ввести различные функции, связанные со сторонами и углами
прямоугольного треугольника. В Индии было положено начало
тригонометрии как учению о тригонометрических величинах,
хотя парадоксальным образом было отведено мало внимания
как раз решению треугольников.
Синус, косинус, а также синус-верзус, т. е. разность между
радиусом и косинусом, встречаются уже в сиддхантах и в «Ариаб-
хаттиам». Линия синуса именовалась ардхаджива (или ардхад-
жийа): ардха значит половина, а джива — тетива лука и хорда.
Позднее синус стали сокращенно называть джива. В арабской
литературе индийский термин был переделан в джиба, а так как
в арабском письме сохраняются лишь согласные и долгие
гласные, то лишенное обиходного смысла слово джиба было
заменено настоящим арабским словом джайб, т. е. пазуха, вырез
платья, выпуклость и т. п. Такое словоупотребление имеется
уже в первой половине IX в. у ал-Хорезми и ал-Хабаша;
впрочем, ал-Баттани пользовался словом ватар — хорда. Около
1145 г. Роберт Честерский при переводе с арабского на латынь
употребил слово sinus, имеющее те же основные значения, что
джайб. Несколько ранее, около 1120 г., Платон из Тиволи
переводил ватар как chorda.
Косинус индийцы называли котиджива, т. е. синус остатка
(дополнения до 90°), или, сокращенно, коти, что было
соответственно передано на арабский как джайб ал-тамам или ватар
ал-тамам. В XII в. мы встречаем соответственно в латинских
переводах Гергарда из Кремоны sinus residui и у Платона из
Тиволи chorda residui. В XV в. Пейрбах и Региомонтан стали
пользоваться оборотом sinus complementi, т. е. синус
дополнения. Возникшее отсюда путем перестановки и сокращения
со. sinus встречается, насколько известно, впервые у
английского астронома Э. Гунтера (1581—1626) в 1620 г.
Словом уткрамаджива индийцы называли обращенный
синус, лат. sinus-versus, который мы находим также в XII в.
у Гергарда из Кремоны. Этот же переводчик называл синус,
для отличения от синуса-верзуса, sinus rectus, т. е. прямой
синус, а радиус круга — sinus totus, полный синус. Последний
термин удерживался в европейских сочинениях по
тригонометрии до времен Эйлера, когда постепенно перешли к записи
формул при г = 1.
Первые зависимости между тригонометрическими
величинами явились прямым выражением теоремы Пифагора. Помимо
простейшего соотношения
sin2 а + cos2a = 1,

НАЧАЛА ТРИГОНОМЕТРИИ
157
важную роль играло правило для синуса половинной дуги
. о , . 9 / г» • а "V .а ./"1 — cos а
sin2 а + sm vers2 а = ( 2 sin у ) или sm у = 1/ —т> •
Индийцы высказывали эти предложения словесно и при
радиусе, отличном от единицы. Известны они были еще составителям
сиддхант, а в явной формулировке встречаются у Вараха-Ми-
хиры. Бхаскара в XII в. употреблял правило синуса суммы
и разности.
Индийцы рассматривали тригонометрические величины
только в пределах первой четверти круга.
Применение тригонометрии в астрономии невозможно без
таблиц. Первая таблица синусов и синусов-верзусов имеется
уже в «Сурья сиддханте» и в «Ариабхаттиам». В последней
приведены 24 значения обеих функций, начиная с 3°45' = 225'
с интервалом в 225'. Если прообразом служила какая-либо
греческая таблица хорд, то во всяком случае не птолемеева.
В «Алмагесте» аргумент нарастает на 30', что соответствует
таблице синусов с интервалом в 15', и значения табулированы
точнее. Мы приведем начало и конец древнеиндийской таблицы.
Столбец первых разностей А1 в «Сурья сиддханте» отсутствует,
но есть у Ариабхатты. Вторые разности А2 и значения синусов,
верные до сотых долей минуты, добавлены для дальнейших
пояснений.
Дуга
в град, н мин.
3° 45'
7 30
11 15
15 00
78 45
82 30
86 15
90 00
в мин.
225
450
675
900
4 725
4 950
5 175
5 400
Синус индийцев
в мин.
225
449
671
890
3 372
3 409
3431
3 438
А1
224
222
219
37
22
7
Д2
—2
—3
—4
-14
—15
-15
Синус-
-верзус
7
29
66
117
2 767
2 989
3 213
3438
Значение
синуса в
минутах
224,84
448,72
670,67
889,76
3 371,70
3 408,24
3 430,39
3437,75
Таблица синусов в большей своей части верна до последнего
знака, в 10 случаях из 24 ошибка в последнем знаке равна 1,
если придерживаться наших правил округления.
Характерной особенностью таблицы является мера
тригонометрических величин. Как и в эллинистической науке,
окружность делилась на 360°, а градус на 60'. Но александрийские
астрономы делили диаметр на 120, т. е. радиус на 60 частей,
и выражали хорды в этих частях и их шестидесятеричных долях,

158
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
авторЬг же сиддхан^ и Ариабхатта выражали радиус и
тригонометрические величины в частях окружности. Ученым,
воспитанным в традициях классической греческой математики,
измерение прямых отрезков в долях окружности было бы совершенно
чуждым. Как видно из таблицы, индийцы принимали радиус
равным 3438 минутам. Несомненно, это число есть округленное
значение числа 3437,7..., получающегося для радиуса из
2яг = 3600' при я = 3,1416; такое значение я
засвидетельствовано в «Ариабхаттиам».
Способ вычисления таблицы, в известной индийской
литературе не описанный, был, вероятно, таков. Прежде всего нашли
синус 30°, равный в качестве полустороны правильного вписан-
т/"з
ного шестиугольника 1719', синус 60° = -^ . 3438' = 2978'
(ошибка в последнем знаке вызвана, очевидно, недостаточно
г- У 2
точным приближением ]/3) и синус 45° = -^--3438' = 2431'.
Применение правила синуса половинной дуги, т. е. извлечение
квадратного корня, дало затем синусы 22°30\ 11°15', 15°,
7°30', 3°45'; затем можно было найти синусы дополнений этих
дуг и половин дополнений и т. д. Остановились на дуге 225\
вероятно, потому, что значение синуса 225' совпадает в
границах точности выкладок со значением самой дуги. Синусы
меньших дуг естественно было также принять равными
соответствующим дугам: для малых дуг такое приближенное равенство
вполне наглядно. Столбец первых разностей позволял найти
значения функций, отсутствующие в таблице, посредством линейной
интерполяции.
В «Сурья сиддханте» дано еще правило, позволяющее
восстановить всю таблицу, отправляясь от синуса 225', так что
индийский астроном всегда имел таблицу синусов как бы в уме.
Именно, если обозначить индийский синус Sin, то
Sin (п + 1) а = Sin па + A^_i — -§^р >
где
An—1 = Sin 72а — Sin (п — 1) а и а = Sin а = 225'.
Следует полагать, что правило было обнаружено при анализе
таблицы значений синуса и первых разностей. Почти бросается
в глаза, что вторые разности возрастают вместе с синусами,
причем частное -^ весьма близко к значениям второй раз-
йости Д2П_Г
Вараха-Михира, подобно александрийцам, составил таблицу
синусов при диаметре 120. Бхаскара в XII в. возвращается

НАЧАЛА ТРИГОНОМЕТРИИ
159
к радиусу 3438. У Бхаскары мы находим другой прием
составления таблицы с интервалом в 1°, начиная с синуса 1°,
принятого за 60'. Прием этот основан на правиле синуса суммы или
разности, которое при произвольном радиусе г можно записать
в виде
о. , , q ч Sin a Cos В 4- Cos а Sin 6
Sin (а ± Р) = ^f * ;
здесь Sin и Cos обозначают соответственно синус и косинус для
круга радиуса г. При г = 3438 и Sin 1° = 60 Бхаскара находит
Sinl° 10 Cos 1° , i_
г ~ 573 ' "г 6569
(последнее значение дает пять верных десятичных знаков)
и, наконец,
0. / . ло\ с- Sin а , 10 Cos а
Sm(a±l) = Smo gggg-± —етз- *
Таблицы Бхаскары значительно точнее, чем у Ариабхатты.
Тригонометрия изложена в четвертой части «Венца науки»
Бхаскары. В «Лилавати» для вычисления хорды I по длине
окружности С, дуге s и диаметру d приводится правило
, 4,ds(C — s)
5-C*-s(C-s)
которое, как говорит сам Бхаскара, недостаточно для более
С
точных вычислений. Если 5 = —, то правило можно записать
в виде
/ =
4(ra—l)rf
1 „2 __„ + 1
При п = 3 и 4 оно дает для I значения, верные до сотых, при
п — 6 — точное значение, при п = 180 для синуса 1°
получается значение 61, худшее, чем принятое в тригонометрии
Бхаскары. Как получено было это правило — неясно.
При решении астрономических задач индийские ученые
пошли по пути создания расчетных правил, соответствующих
графическим построениям в духе «Аналеммы». Для нахождения
по тем или иным данным высоты Солнца, продолжительности
дня и ночи и т. п. в правилах сиддхант и других сочинений
регулярно перечисляется последовательность арифметических
действий над синусами, синусами-верзусами и радиусом. Тем
самым рещение прямоугольных треугольников производилось,
так сказать, обходным образом. Система правил решения

160
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
треугольников, начатки которой содержались в «Алмагесте»,
здесь не появилась.
В индийских правилах неявно содержатся некоторые
теоремы сферической тригонометрии. Например, с помощью
несложных преобразований мы можем выделить из рецептов «Сурья
сиддханты» теорему синусов прямоугольного треугольника
и даже общую теорему косинусов. Но сами индийцы не
высказывали таких предложений, как общеприменимые зависимости
между элементами треугольников. Они еще оставались
вкрапленными в указания о решении изолированных задач, причем
в форме, весьма отличной от позднейшей.
Для измерения высот и расстояний в Индии разработали
несколько правил, основанных на измерении тени
вертикального шеста-гномона и на подобии треугольников. Учению о «тени
гномона» посвящена XI глава «Лилавати». Разделенный на
12 равных частей гномон и его проекция (тень) фигурируют
и в тригонометрических задачах, входя в числители и
знаменатели некоторых дробных выражений. Все это предвосхищало
введение тангенса и котангенса, которое выпало на долю ученых
Арабского халифата, живших в первой половине IX в.
Но хотя индийцы и не ввели новых тригонометрических
функций явно, последним и притом необыкновенно ярким
взлетом математики в Индии на рубеже рассматриваемого времени
явилось открытие бесконечных степенных рядов тангенса
и арктангенса.
Вычисление л; и ряд арктангенса. Целью разложения дуги
окружности по степеням тангенса или котангенса было более
точное вычисление я. Толчок к развитию новых идей в
математике опять-таки был связан с вычислительными вопросами
астрономии.
Наиболее ранним достоверным источником здесь является
санскритский «Научный сборник» («Тантрасанграха»)
южноиндийского ученого Нил аканты, известного также своим
ценным комментарием к «Ариабхаттиам». Судя по астрономическим
данным в «Научном сборнике», он был написан в 1501—1502 гг.
[77-81].
Подобно некоторым другим ученым Востока (ср. стр. 305),
Нилаканта был убежден в иррациональности отношения длины
окружности к диаметру. В его комментарии к «Ариабхаттиам»
говорится:
«Если диаметр, измеренный с помощью некоторой единицы
меры, соизмерим с этой единицей, то окружность не может быть
точно измерена с помощью этой же единицы; а если по
отношению к некоторой единице окружность измерима, то при
помощи этой единицы не может быть измерен диаметр» [77, стр. 81 ].

ВЫЧИСЛЕНИЕ я И РЯД АРКТАНГЕНСА
161
Для более точного вычисления я, которое авторы VI—XII BBt
знали в лучшем случае до десятитысячных, четверть окружности
в «Научном сборнике» представляется в виде различных
бесконечных числовых рядов, получающихся из общего степенного
ряда арктангенса. Доказательств в написанном стихами труде
Нилаканты нет. Общее правило разложения гласит:
«Возьми дугу окружности, такую, что ее синус меньше
косинуса. Умножь синус дуги на радиус и раздели на косинус.
Это даст первое количество. Умножь это количество на квадрат
синуса и раздели на квадрат косинуса, получишь второе
количество. Повторяй это, умножая на квадрат синуса и деля на
квадрат косинуса. Полученные количества раздели по порядку
на нечетные целые числа 1,3, 5, . . . Если полученные
количества ты станешь попеременно вычитать из первого и
прибавлять к нему, то в конечном счете получишь дугу окружности»
[77, стр. 77].
Приведенному правилу соответствует формула
_ rSin ф г Sin3 ф г Sin* <р ,,
^""Совф 3Cos8q> "*" Соз*ф ••', ^ '
причем с ограничением Sin9<Cosq) (было бы точнее сказать
Зтф<Созф). Очевидно, Нилаканта учитывал сходимость (1)
при 0 < ф < -т- и его расходимость при — < ф < -^ . В последнем
случае рекомендуется ряд, дающий дугу, дополнительную
к четверти окружности:
,*_ rSJn(-f—p) г81а'(-5-.Ф)
'^2 V Со-(-*-Ф) ЗСозз(^_Ф) +
5 Cos»
Ст-0
(2)
В наших обозначениях при г=1 ряды (1) и (2)
соответственно будут:
^-Ф = ^ф—^—ь-^—••• (2)
Для вычисления я в «Научном сборнике» приводится ряд,
С л
возникающий из (1) при ф = 45°. Замечательно, что ^ или -^

162 ГЛ. П. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
выражаются не просто частной суммой Sn, а в виде суммы Sn
и поправки Km выраженной к тому же в трех разных видах.
Именно,
Я-1 14-1 1 ("1)П"1 1 К 1Ъ\
где
кп =^qrr^ < (4)
уса) (-1)"(я«+1)
п "" тг(4/г2 + 5) * /
Легко заметить, что [-К"™' | > \К™ | > \К™ |- Эти поправки даже
для небольших п заметно улучшают приближения. Так, если
ограничиться точностью до тысячных, — = 0,785, S3 = 0,825,
a S3 + i?31} = 0,775, так что погрешность при пользовании
поправкой уменьшилась вчетверо.
Помимо медленно сходящегося ряда (3), в «Научном
сборнике» приведены другие, дающие при одинаковом числе
членов значительно более точные приближения. Простейшим
является ряд
4 ~~ 22—1 42—1 ^ ' * * l {2nf—1 ^ '' e W
с поправочным членом в двух формах:
j^-' ( ч jc" ( Ч /а\
Лп~~2(2и+1)2 ' Лп~~ 2[(2п—1)2+2] ' W
Первые два члена (5) дают для -т- значение 0,767, а с
поправкой ./Ц — значение 0,787, погрешность чего составляет
около 0,002.
Еще удобнее для расчетов ряды
4 З3—3 55—5^77 —7 '•* V';
4 4Vl5+4-l 36+4-3 + 55+4-5 •••J- (8)
Значение я в «Научном сборнике» выражено дробью
104348/33215. Соответствующая десятичная дробь 3,1415926539,
которую мы оборвали на 11 цифре, имеет верные 10 цифр. Это

ВЫЧИСЛЕНИЕ л И РЯД АРКТАНГЕНСА
163
был замечательный успех вычислительной математики, хотя еще
в начале XV в. Джемшид ал-Каши, следуя другим путем,
получил более точное приближение (см. стр. 305).
Не менее замечательны, чем результаты, приведенные в
«Научном сборнике», были методы, с помощью которых эти
результаты были найдены. Нилаканта формулирует только правила,
но мы осведомлены (правда, не полностью) и о способе их
вывода. Такой вывод содержится в анонимном «Разъяснении
математики» («Юкти Бхаша»), прозаическом труде, написанном
в первой половине XVII в. на живом поныне языке малайялам.
Нет оснований предполагать, что Нилаканта и его неизвестные
предшественники или современники, занимавшиеся рядами,
применяли иные методы, чем
описанные в «Разъяснении математики». Мы
воспроизведем эти методы в
современных обозначениях и терминах, не
изменяя сути дела.
Подробнее мы остановимся на
выводе общего ряда арктангенса (1). Как
мы сейчас увидим, главную роль при
этом играют: 1) применение инфините-
зимального треугольника для вывода
выражения, равносильного
дифференциалу арктангенса, 2) разложение
этого выражения, имеющего форму дроби, в бесконечный
степенной ряд и 3) почленное интегрирование, основанное на
предельном равенстве, равносильном интегрированию функции хп
при натуральном п.
1. Пусть ВС — малая дуга круга радиуса 1, BD и BXD%
перпендикулярны к ОС (рис. 40). Из подобия треугольников.
BD___J__ ^i__l_ рп BlCl
В^- ОВх ' ВгСг ~~ ОСг ' OBvOCx '
Заменяя BD на дугу ВС, а также ОСх на ОВъ имеем:
су-» В1С1
Db~ 1+АВ\ '
или, полагая X АОВ = <р,
*—&&¦¦ (9)
2. Отрезок тангенса ? = tgcp делится на п равных частей,
и к каждой применяется равенство (9). Последующее
суммирование и предельный переход, выраженный, конечно, отнюдь
не в духе нашего времени, дают для дуги ф промежуточное

164
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
равенство
n-i _?_
9 = arctg^ lim ^ * 2 . (10)
Деление под знаком суммы производится с помощью
повторного употребления тождества
которое
при
Ь<с
Ъ
с
Ь , с—
с ~ Х Ъ
порождает ряд
, с — Ъ (с
ъ т
6 6
— V'
—б)2
б2
(И)
Если в (11) взять 6=1, с=1 + Г-^Л , то
'¦»i«'-1»iSt[,-(t),+
fe=0
+ ...+(-l)-1(^-)2"l-2+...]. (12)
3. Для вычисления правой части (12) производихся сперва
вычисление
Конечные суммы степеней натуральных чисел были известны
при р=1, 2, 3. Общее предложение (13) получили, вероятно,
с помощью наведения. Наконец, в силу (13) правая часть (12)
иереходит в ряд арктангенса (1).
Менее осведомлены мы о способах преобразования
бесконечного ряда
2L-. l-l + i— I (~1)П~Х 1 m
в лучше сходящиеся и о том, как были получены поправки
к его частным суммам.
Согласно «Разъяснению математики» ряд (5) нашли,
заключая попарно в скобки члены ряда (3'), начиная с первого или
со второго, и затем производя почленное вычитание двух
возникших рядов. В самом деле, в первом случае
8 22—1 ^ б2—1 ^ "' •'

ВЫЧИСЛЕНИЕ я И РЯД АРКТАНГЕНСА
165
а во втором
8 - 42 —1 ' 82—1
Отсюда легко вычитанием получить (5).
Существует достаточно простая и правдоподобная
реконструкция [81] вывода поправок (4) и вместе с тем рядов (7) и (8).
Она проведена средствами, вполне доступными для индийских
математиков XV в. Если принять в качестве —г- значение
то?; , соответствующее я = 3^ , известному Ариабхатте и Бхас-
я
каре, то вычисление разностей между -г- и начальными
частными суммами (3') уже в первом приближении дает поправки
К^.А если разложить разности в непрерывные дроби, то во втором
приближении получаются несколько меньшие поправки i?<2>.
В самом деле,
С rt ЮЗ 1 дг(1) 1 i^(2) J_
01~~Л~"4ЯП— 4 ' ill — -f > Л1 -5 '
я
4
.?
103
~480"~
19
44
1
1
1 + *-5
1
ГС О _19_ 1 If (1) J_ J7-(2) __ ^_
4 °2"~160~ , 1 » л2-8, Л2-17,
О ___ Я J;<^ 1 3^(1) J^ 2^(2) _?_
°3 4 "~160~ 0 , 1 ' Лз *~12 ' 3 ~37 '
12-
•-4
гс о __ 69 1 ?-(1) Jl^ 7у-(2) _4_
4 °4~~1120~ , 1 ' Л4~~16' 4 ""65"
16-
4+^
Мб
Этого было бы вполне достаточно для предварительного
заключения, что
я с
с хорошим приближением выражается
дробями вида т- или , * 1 . Дальнейшая числовая проверка
могла убедить в правильности заключения. Как видно,
реконструкция предполагает, помимо пользования непрерывными
дробями или им равносильным аппаратом, только тщательный
анализ числовых соотношений в поисках кроющихся в них
закономерностей. Это качество было издавна присуще
индийским ученым.

166
ГЛ. II. МАТЕМАТИКА В ИНДИИ
Числитель и знаменатель промежуточной поправки К™
могли быть получены как суммы числителей и знаменателей
Кп} и Кп\ если для К™ их (т. е. числитель и знаменатель)
предварительно умножить на п. Все это несложно, хотя и не
напрашивается само собой. Наконец, возможный путь вывода
рядов (7) и (8) был таков. Если обозначить
J-Уп — аЭпТ-Д-п i Лп — 7~ »
4я
причем iV*i1} = 1 —-^ = 4- , то lim iSn = lim N^- Так как
п ->¦ оо п ->оо
то iv^i-i - n? = 2„(2;+1;(2„+2) = (2.+1)з--(2.+1) • Послед°ва-
2л+1 '
Последов
тельно выражая 7V2, 7V3, ..., Nn1 ..., мы получим ряд (7).
Совершенно аналогично можно ввести NT = Sn + К%\ К™ = 7~г\\ >
и тогда
Д^) _ ДГС2) (-1Г1,4 _ (-ГЧ
Vn+1 iVn ~" (2л+1)(4л2+1)[4(/г+1)2+1]"~ (2/г + 1)5+4(2тг+1) '
а отсюда следует ряд (8). Преобразования, записанные нами
алгебраически в общем виде, могли быть сделаны
арифметически для нескольких первых членов.
Изложенные открытия достойно увенчивают развитие
математики в средневековой Индии. Здесь индийские ученые
предвосхитили целый ряд результатов, открытых в Европе в XVII
и даже XVIII в. Ряд арктангенса (1) был вновь найден Дж.
Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем, по имени которого до сих пор
называют ряд (3'), в 1673 г. Представление арктангенса в виде
(10) использовал в 1739 Л. Эйлер при разложениия в некоторый
полусходящийся ряд, давший ему 12 правильных десятичных
знаков [21, III, стр. 672 и след.]. В наших учебниках
математического анализа ряд арктангенса нередко выводят по способу,
сходному с индийским: в равенстве
arctg t = \
dx
1 + я2
0
подынтегральную функцию раскладывают в степенной ряд
и почленно интегрируют последний.
Разложения в бесконечные ряды путем неограниченного
деления вроде (11) были систематически введены в середине
60-х годов XVII в. Н. Меркатором и И. Ньютоном. Пределы

ВЫЧИСЛЕНИЕ я И РЯД АРКТАНГЕНСА
167
(13) или равносильные им теоремы были обнаружены для
произвольного натурального р в 30-е годы XVII в. П. Ферма,
Б. Кавальери, Ж. Робервалем и др., причем вначале путем
неполной индукции. Проблемой улучшения сходимости
бесконечных рядов стали интенсивно заниматься в XVIII в.
Хр. Гольдбах и другие, а особенно Л. Эйлер.
Так, отправляясь от приближенного вычисления я,
которое до того производили средствами элементарной математики,
индийцы разработали целый комплекс приемов, содержавших
ростки дифференциального и интегрального исчисления и
учения о рядах. Но эти ростки не расцвели в самой Индии.
Созданные применительно к одной частной задаче, они не могли найти
здесь других, более широких и стимулирующих дальнейшие
изыскания приложений, как это произошло несколько позднее
в Европе, где исчисление бесконечно малых развивалось в
непрестанном взаимодействии с общей и небесной механикой,
начатками теоретической физики и пр.
Идеи «Научного сборника» Нилаканты остались в свое
время неизвестными за пределами Индии. Но другие
основоположные открытия индийских ученых — десятичная
позиционная система, начала тригонометрии, ряд приемов алгебры
и теории чисел — уже с конца VIII в. начали распространяться
в арабских странах и оказали мощное влияние на последующее
развитие науки Востока и Запада 1).
г) После того как книга была сдана в печать, мы познакомились с
работой [81а], из которой видно, что как в «Научном сборнике», так и в
«Технике вычислений» («Каранападдхати»), написанной в XV или XVI в.,
словесно формулируются правила разложения в степенные ряды синуса
и косинуса (s — дуга, соответствующая углу ф)
г8Шф = *-^ + -^- ... , ™03Ф = '-|[7 + 11йГ+ ••• ¦
а также приближенные формулы для синуса и арксинуса:
s3 . , (rsincp)3
ГБШф^ s—-^-2, 7' ф ^ г sm ф-| 6 2 .
Вывод ряда для синуса имеется в «Разъяснении математики». Не имея
возможности воспроизвести этот вывод, заметим лишь, что в нем, в
частности, используется характеристический треугольник в том же духе, как
у Б. Паскаля (1658). Позднее ряды для синуса, косинуса и арксинуса были
выведены П. Ньютоном около 1666 г. (опубл. 1711 г.).

^S4^
ГЛАВА III
МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Общие сведения. В VII веке мир был поражен
необыкновенно быстрым возвышением Арабской империи. На рубеже
VI и VII столетий Аравия переживала тяжелый хозяйственный
и политический кризис. В 622 г. из Мекки в Ятриб, будущую
Медину, бежал от своих политических и религиозных врагов
основатель новой религии Мухаммед — Магомет. Эта форма
единобожия, прозванная исламом *), возникла на основе
верований, складывавшихся в низах общества в противовес
многобожию правящих слоев Аравии. В Медине Мухаммед образовал
союз аравийских племен, принявших ислам. Сам Мухаммед был
признан пророком Аллаха. 622 год — год его бегства (хиджры)
из Мекки — стал начальным в календаре мусульман,
приверженцев ислама. В 630 г. Мухаммед возвратился победителем
в Мекку, два года спустя он умер. Преемники «пророка» —
халифы 2) начали серию завоевательных походов в богатые
страны Востока и Запада под лозунгом священной войны с
неверными во имя распространения ислама. К. Маркс в одном
письме к Ф. Энгельсу заметил, что «история Востока
принимает вид истории религий» [6, стр. 73].
Менее чем за сто лет арабы овладели колоссальной
территорией. К 637 г. в их руках были уже Сирия и Иран, к 642 г.—
Египет. Византийские гарнизоны Сирии и Египта не смогли
оказать сильного сопротивления, а жестоко угнетаемые
ремесленники и крестьяне здесь, как и в других странах, даже
поддерживали арабов в надежде на улучшение жизненных условий.
В 711 г. арабы вместе с берберами переправились через узкий
пролив из Африки в Европу; в 712 г. арабские войска захватили
Хорезм и часть Пенджаба. В середине VIII в. халифам были под-
г) Ислам означает покорность (Аллаху).
2) Халиф значит заместитель, преемник (пророка).

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
169
властны Пиренейский полуостров, кроме узкой полосы Астурии,
все средиземноморские страны Африки, Ближний Восток,
большие районы Малой Азии, Кавказа и Средней Азии, часть долины
Инда по обе стороны. Но неудержимый порыв уже ослабел.
Прочными оказались западные границы Китая. В 717—718 гг.
византийцы отразили последнюю попытку арабского флота
взять Константинополь с моря. На полях Франции арабским
войскам нанес поражение в 732 г. при Пуатье Карл Мартелл.
Как бы в компенсацию арабы в середине IX в. почти на два
столетия укрепились в Сицилии.
При династии Омайядов, с 635 г. столица халифата
находилась в Сирии, в Дамаске. В 762 г. второй халиф новой династии
Аббасидов ал-Мансур перенес ее в основанный им тогда же
в Ираке Багдад.
Политические события в халифате разворачивались на фоне
распада рабовладельческой формации и становления
феодальной. Большое внимание правители Багдада уделяли земледелию
и, следовательно, ирригации. Росла городская культура,
возводились великолепные архитектурные сооружения,
совершенствовалось ремесло, велась обширная торговля. Вместе
с тем в несколько отличных от западноевропейских формах
происходила раздача земель феодалам, усиливавшая центробежные
тенденции. Устои режима подтачивали происходившие время
от времени восстания крестьян и рабов. Все это позднее
содействовало распаду халифата.
Арабы, особенно вначале, проявляли известную терпимость
к вере и обычаям покоренных народов. Но исповедание ислама
давало решительные преимущества. Постепенно, под
совместным влиянием поощрения и принуждения, большинство
населения халифата переходит в ислам. Это облегчалось
эклектическим характером мусульманства, включившего элементы
многобожия, иудейства и христианства. Арабский язык —
официальный язык государства и церкви — становится народным во
многих странах и общим языком интеллигенции.
В завоеванных государствах арабы застали культуру более
высокую, чем их собственная, и вскоре освоили сложный
комплекс издавна накапливавшихся здесь духовных концепций.
Вместе с сирийцами, персами, евреями и т. д. арабы начали
созидание новой и весьма своеобразной культуры. Сохранилось
предание, что второй халиф Омар (634—644) велел уничтожить
множество захваченных в Иране книг, сказав: «Если в них
содержится нечто ведущее к истине, то мы имеем от Аллаха то,
что еще лучше ведет к ней, а если в них содержится ложное,
то они не нужны». Быть может, эти слова выражали настроения
первых завоевателей, но такой крайний фанатизм был чужд
целому ряду позднейших мусульманских государей. Сильные

170 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
в философии ислама рационалистические и материалистические
течения содействовали овладению идейным наследием древнего
мира и процветанию естественных наук.
В некоторых случаях походы арабов сопровождались
жестокими расправами с населением и уничтожением его культурного
достояния. Так было с древним высокоразвитым Хорезмийским
государством. Ал-Бируни, родом хорезмиец, рассказывал в XI в.
о завоевании его родины арабами:
«И уничтожил Кутейба людей, которые хорошо знали хорез-
мийскую письменность, ведали их предания и обучали [наукам],
существовавшим у хорезмийцев, и подверг их всяким терзаниям,
и стали [эти предания] столь скрытыми, что нельзя уже
узнать в точности, что [было с хорезмийцами даже] после
возникновения ислама» [82, стр. 46]. В результате мы до сих пор
ничего не знаем о состоянии наук в древнем Хорезме, а между
тем многие крупные ученые стран ислама были родом из
Хорезма.
Важное значение в передаче научных знаний играла в те
времена торговля. Коммерческие связи халифата были
огромны: арабы торговали с Индией и Китаем, Византией и Россией,
с прибрежными районами всего Средиземного моря. Арабские
торговцы и путешественники поднимались далеко вверх по
Волге, достигали Центральной Африки и, вдоль ее западных
берегов, Мадагаскара. Посольства халифов появлялись при дворах
Карла Великого и китайских императоров.
Первым большим научным центром халифата был Багдад.
Почва для нового расцвета науки в центральных областях
государства была уже отчасти подготовлена. В Сирии и Иране еще
раньше работали большие школы; в V и VI вв. сюда прибывали
в поисках убежища гонимые Византией ученые —язычники или
христиане-сектанты; имелись сирийские переводы многих
греческих научных трудов. В конце VIII и начале IX вв. в Багдаде
было собрано много ученых и переводчиков из разных мест.
Ряд халифов, начиная с ал-Мансура (754—775) и Гарун ал-
Рашида (786—809), содействовал развитию естественных наук
и математики. При Гаруне была открыта большая библиотека,
которая пополнялась рукописями даже из Византии. В городе
имелись десятки других библиотек и множество людей было
занято перепиской научных сочинений. Ал-Мамун (813—833)
объединил ученых в своего рода академии, названной Бейт
ал-хикма, Домом мудрости. При Доме мудрости имелась хорошо
оборудованная обсерватория. Были предприняты обширные
работы по астрономии и географии, новые измерения длины
градуса меридиана и наклона эклиптики. Следует добавить, что
повышенный интерес к астрономии у правителей связан был
также с астрологическими суевериями.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
171
Толчок занятиям астрономией в Багдаде сообщило
ознакомление со знаниями индийцев. В своем биографическом словаре
видный чиновник и меценат XIII в. Абу-л-Хасан ал-Кифти
(1172-1248) писал:
«В 156 году хиджры [т. е. 773 г.] из Индии в Багдад прибыл
человек, весьма осведомленный в учениях своей родины. Этот
человек владел приемом Синдхинд, относящимся? к движениям
светил и вычислениям с помощью синусов, следующих через
четверть градуса. Он знал также различные способы
определять затмения и восход созвездий зодиака. Он составил краткое
изложение одного соответствующего сочинения, приписываемого
индийскому государю по имени Фигар. В этом сочинении кардад-
жа были вычислены через минуты. Халиф приказал перевести
индийский трактат на арабский язык, чтобы мусульмане могли
приобрести точное знание звезд. Перевод был поручен
Мухаммеду, сыну Ибрагима ал-Фазари, который первый из
мусульман отдался углубленному изучению астрономии. Позднее
этот перевод астрономы назвали Большим Синдхинд ом» [83,
стр. 392]. Слово Синдхинд — это сиддханта, кардаджа — это,
вероятно, индийское ардхаджийа (см. стр. 156), а Фигар, быть
может, есть искаженное имя индийского государя Виагр'аили
Виагр'амука, при котором написал свой труд Брахмагупта.
Какая из сиддхант была переведена при ал-Мансуре
—неизвестно. Сообщение ал-Кифти очень близко к более раннему
рассказу астронома Мухаммеда ибн Хамида, относящемуся
примерно к 900 г. [18, I, стр. 44—45]. Однако, если приезд
индийского ученого и позволил впервые ознакомиться в Багдаде
с астрономией сиддхант, то почва для занятий астрономией
и интерес к ней здесь существовали ранее. Известны имена
трех астрономов, работавших при ал-Мансуре. Это — упомдну-
тые ал-Кифти Абу Исхак Ибрагим ал-Фазари (ум. ок. 777),
первый конструктор арабских астролябий, его сын Мухаммед
(ум. ок. 800) и, наконец, автор работ по сферике и некоторых
таблиц Якуб ибн Тарик (ум. ок. 796).
Багдадская математическая школа активно работала два
столетия. На первых порах очень большое место занимало
изучение и издание по-арабски древних авторов. Примерно за
100—150 лет на арабский язык с греческого или с сирийских
переводов были переведены основные произведения Евклида,
Архимеда, Аполлония, Менелая, Феодосия, Герона, Птолемея,
Диофанта и других авторов. Некоторые сочинения, как «Начала»
Евклида, переводились по нескольку раз. В переводах
и комментировании участвовали крупные ученые, которые дали
новую жизнь этой литературе. Сочинения греческих авторов,
уже несколько столетий лежавшие втуне, опять оказываются
настольными руководствами. Важную роль в формировании

172 РЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
математики в странах ислама сыграли также знания,
полученные из Индии, и традиции Хорезма, Персии, Месопотамии.
Позднее приобрели значение связи с Китаем, хотя прямых
переводов с китайского на арабский, насколько известно, не было.
Для прогресса математики на Ближнем и Среднем Востоке,
помимо задач строительства, землемерия, торговли,
государственного казначейства, принимавших иногда очень
своеобразный характер (запутанные задачи на раздел наследства,
сложные построения и расчеты в архитектуре), основное значение
имела астрономия. Как в Индии и Китае, математики стран
ислама по большей части являлись и астрономами. Здесь вновь
важную роль приобретают проблемы лунного календаря.
Высокого уровня достигло научное приборостроение. Многие
математики сами занимались улучшением известных и
конструированием новых астрономических инструментов. Были
усовершенствованы водяные часы. Астрономические наблюдения в
оборудованных по последнему слову техники обсерваториях
превзошли по качеству александрийские, а это повысило
требования к точности вычислений, которые нередко вели с большим
запасом щестидесятеричных знаков. Прогрессу астрономии и
описательной географии содействовали путешествия в дальние
страны и долгие морские плавания. Специальные
математические знания нужны были в геометрической оптике, при
изучении свойств зеркал различной формы. Так, в центре интересов
багдадской школы с самого начала встали вопросы
коммерческой арифметики, измерения фигур, приближенных вычислений
и построений, тригонометрии, числовой алгебры.
В развитии математики в странах ислама можно выделить
три незаметно переходящих один в другой этапа.
Первоначально, естественно, преобладало усвоение культурного наследия
как греческого, так и восточного, причем некоторое время
греческие элементы, казалось, брали верх. На самом деле наряду
с созданием огромной переводной литературы и комментариев
к ней уже в IX в. складывается своеобразная математическая
культура, особенности которой мы только что отметили. Уже
тогда знания и методы древних греков широко применялись
к решению проблем вычислительной математики. Эта тенденция
все усиливается на протяжении X—XI вв. с ростом
астрономических расчетов и приближенных методов алгебры и
тригонометрии и, наконец, со всей яркостью проявляется в XIII—
XV веках. Здесь, по всей видимости, имело значение
укрепление контактов с наукой Китая.
Вместе с тем, как мы уже подчеркивали, глубокое и долгое
изучение Евклида, Архимеда, Птолемея имело для
математики на Ближнем и Среднем Востоке исключительное значение
и обусловило ее специфическое отличие от близких по общему

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
173
направлению интересов китайской и индийской научных
школ.
Освоение классического наследия позволило математикам
стран ислама значительно поднять уровень разработки
вычислительно-алгоритмических проблем, привлечь к их решению
и обобщению более мощные средства, чем те, которые были в
распоряжении индийцев и китайцев. Там, где последние
ограничивались созданием изолированного расчетного правила, ученые
стран ислама нередко строили целые теории. Так, на основе
античной теории конических сечений они создали развитое
геометрическое учение об уравнениях третьей степени. В самом
комментировании греков они выдвигали новые идеи, например
заменили теорию отношений Евдокса—Евклида другой,
содержавшей более широкое понятие о действительном числе и
отвечавшей новым запросам науки и ее приложений.
Влияние греческой математики отразилось не только на
методах исследований, но и на стиле арабских сочинений, в
которых уделяется серьезное внимание доказательным
рассуждениям, систематическому расположению материала и полноте
его изложения. В тех случаях, когда авторы не дают вывода
правил, их формулировки отличаются обстоятельностью и
ясностью. Во многих книгах, вместе с тем, мы встречаем
характерное для восточной математики обилие примеров и задач,
нередко конкретного практического содержания.
Ряд выдающихся деятелей багдадской школы открывает
первый классик математики стран ислама Мухаммед ал-Хорез-
ми, работавший при ал-Мамуне. Опуская имена многих, мы
назовем в IX в. Сабита ибн Корру, в IX—X вв. Абу-л-Вафу,
ал-Кухи и ал-Караджи. Багдад был главным, но не
единственным научным центром халифата. Исследования велись в
Дамаске и других городах. Ал-Баттани работал на рубеже IX—
X вв. в обсерватории в ар-Ракке на Евфрате, ал-Ходжанди —
в обсерватории города Рея, неподалеку от нынешнего Тегерана.
Подобно другим феодальным государствам средних веков
Арабский халифат не был прочным политическим образованием.
В конце VIII в. отделились дальние испанские и африканские
провинции, затем другие части Северной Африки. К исходу
IX в. стал независимым Египет с рядом прилегающих областей,
а несколько ранее отошли целые районы Ирана, Таджикистана
и Кавказа. Создавались и исчезали большие государства. В
пестрой смене царств и династий большую роль играли феодальные
и национально-племенные распри. Выдвигаются тюркские
племена и их вожди. На части нынешних Ирана, Таджикистана
и Афганистана образовалось фактически независимое, хотя
вначале формально подвластное Аббасидам, государство Сама-
нидов (875—999) со столицей в Бухаре. Один из саманидских

174 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
военачальников, опираясь на тюркские войска, поднял мятеж
и положил начало государству Газневидов, в которое входили
Афганистан и Пенджаб (962—1186); названием своим это
государство обязано столице — афганскому городу Газне, ставшему
крупным культурным и научным центром. Знатный
туркменский род сельджуков основал обширную империю (1038—1157)
в южной части Средней Азии, в Иране, Ираке, части Малой
Азии и Закавказья. В 1055 г. сельджуки взяли Багдад и
низвергли Аббасидов. При сельджуках возвысились города Рей^ Мерв,
Исфахан. В первой четверти XIII в. нахлынули монголы под
водительством Чингиз-хана, разрушая хозяйство и истребляя
население. Закрепившись в Средней Азии и Иране, монголы
пошли далее и в 1258 г. взяли Багдад. Однако Монгольскую
империю также раздирали внутренние противоречия и она
то распадалась, то — при более сильных правителях, вроде
Тимура (1370—1405),— объединялась вновь. Для закрепления
власти монголы поощряли восстановление хозяйства
разоренных местностей, особенно в Средней Азии. Отстраивались
заново в еще большем блеске полуразрушенные города, расчищались
и проводились каналы, прокладывались дороги, вновь
расцветали ремесла и торговля.
Положение ученых часто бывало тяжелым. Как и все
население, они легко могли стать жертвой завоевателей. Но, кроме
того, они должны были остерегаться конфликтов с официальной
религией, а главное, часто находились в прямой материальной
зависимости от государей и вельмож. Доверием невежественных
и суеверных правителей нередко пользовались в качестве
врачей и астрологов ловкие проходимцы, яростные враги
подлинных ученых. Знаменитый поэт, астроном и математик Омар
Хайям, молодость которого прошла в годы борьбы за власть
сельджуков, писал:
«Мы были свидетелями гибели ученых, от которых осталась
малочисленная, но многострадальная кучка людей. Суровости
судьбы в эти времена препятствуют им отдаться
совершенствованию и углублению своей науки. Большая часть из тех, что
в настоящее время имеет вид ученых, одевает истину ложью,
не выходя в науке за пределы подделки и лицемерия, и
используют то количество знания, которым они обладают, только для
низменных плотских целей. И если они встречают человека,
отличающегося тем, что он ищет истину и любит правду,
старается отвергнуть ложь и лицемерие и отказаться от хвастовства
и обмана, они делают его предметом своего презрения и
насмешек» [132, стр. 16].
Однако все эти обстоятельства не могли в течение долгого
времени остановить научный прогресс. В больших городах,
особенно столичных, возникали новые школы и библиотеки, воз-

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
175
двигались обсерватории. Более просвещенные правители,
чтобы сообщить больший блеск своему царствованию, устраивали
подобие академий, как позднее европейские монархи XVII—
XVIII вв. Все это обеспечивало преемственность знаний, хотя
и не в такой степени, как это стало возможным после
изобретения книгопечатания и более массового издания научных трудов.
В разное время крупными научными центрами были
Бухара, Хорезм, Газна, Рей и другие города. В Газне, в частности,
долгое время работал ал-Бируни. Хайям в конце XI в.
руководил обсерваторией в Исфахане. После разрушения Багдада
монгольский хан Хулагу поставил крупного астронома и
математика Насирэддина ат-Туси во главе специально сооруженной
обсерватории в Мараге, несколько южнее Тавриза. Особое
покровительство ученым оказывал самаркандский правитель
Улугбек (1394—1449), который сам занимался астрономией.
В самаркандской обсерватории Улугбека работала большая
группа ученых: Джемшид Гиясэддин ал-Каши, Кази-заде
ар-Руми, ал-Кушчи и др.
В Каире около 900 г. работал алгебраист Абу Камил. Там
же 200 лет, начиная с конца X в., функционировала египетская
академия Дар ал-хикма, т. е. Обитель мудрости, которую
прославили в X—XI вв. астроном ибн Юнис и математик, а заодно
и физик ибн ал-Хайсам.
Исследования по математике велись также на
Пиренейском полуострове и в северо-западной Африке. Вскоре после
завоевания арабами и берберами (позднее тех и других стали
называть здесь маврами) эти провинции халифата приобрели
фактическую независимость (756). В 929 г. кордовский эмир
Абдуррахман III (912—961) объявил себя халифом и
формально закрепил отделение от Багдада. В Кордовском государстве
расцвела оригинальная мавритано-испанская культура,
включившая испано-римские, восточно-арабские, берберские и
еврейские элементы. Для математики здесь решающее значение
имело распространение достижений багдадской школы,
начиная с трудов Мухаммеда ал-Хорезми. Однако из-за
политического разобщения научный контакт с Востоком
постепенно ослабевал и многие результаты до Испании не доходили.
Так, о замечательных работах Хайяма здесь знали .только
понаслышке. Мавританские математики, например Габир ибн
Афла, работавший в XII в. в Севилье, или марокканец ибн
ал-Банна, живший в XIII—XIV вв., сделали немало
самостоятельных открытий, в частности по тригонометрии. Однако
математика здесь никогда не достигала такого расцвета, как
в восточных мусульманских странах.
Процесс феодализации привел в начале XI в. к распадению
Кордовского халифата на множество мелких княжеств. В это

176 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
время усиливается реконкиста — отвоевание испанцами и
португальцами захваченных маврами земель. В 1085 г.
испанцы заняли Толедо. Приход новых берберских племен
задержал реконкисту, но уже в 1236 г. была взята Кордова, а
вскоре во владении мавров остался только Южный Гренадский
эмират. В 1492 г. пал и он, а незадолго перед этим переселился
в Тунис последний крупный мавританский математик ал-Кала-
сади. XV столетие явилось также последним веком прогресса
математики в восточных странах ислама.
Деятельность ученых в мавританских государствах или
на отвоеванных испанцами землях имела большое значение
для распространения научных знаний в Европе. Именно
отсюда научное наследие Востока и Греции (в арабских
переводах) стало проникать в другие европейские страны. В XII—
XIII вв. в Испании, особенно в Толедо, работало много
переводчиков и компиляторов, которым наука обязана латинскими
текстами или обработками многих важнейших арабских и
переведенных на арабский язык греческих сочинений. Деятельность
этих людей была столь же важна для нового подъема
математики в Европе, как работа багдадских переводчиков для науки
стран ислама.
Мы говорим здесь то об арабской математике, то о
математике в странах ислама. Оба термина имеют недостатки.
Математические открытия в мусульманских странах были
результатом творческого сотрудничества ученых многих народов, более
всего персов, хорезмийцев, арабов, таджиков, греков,
сирийцев, мавров, евреев и др. То обстоятельство, что основная
литература написана на арабском языке, конечно, столь же мало
характеризует ее математическое содержание, как и то, что
авторы в большинстве были мусульмане. Вполне подходящего
краткого названия для того комплекса математических
исследований, о котором мы сейчас говорим, не существует, и мы будем
далее пользоваться обоими общеупотребительными терминами,
более краткими, чем «математика в странах Ближнего и
Среднего Востока».
Несколько слов о литературе вопроса. В библиотеках и
музеях многих стран хранится огромное число математических
и астрономических рукописей на арабском и персидском языках
и латинских переводов с арабского. Многие из них уже изданы
или, по крайней мере, подробно описаны. Мы располагаем
переводами на европейские языки основных трактатов ал-Хо-
резми, Абу-л-Вафы, Абу Камила, ал-Караджи, ал-Бируни,
ат-Туси и других ученых. Но издание арабской математической
литературы и в настоящее время весьма далеко от завершения,
причем остаются неизвестными или малоизвестными весьма
важные труды. Это убедительно показали исследования последнего

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ПОЗИЦИОННОЙ НУМЕРАЦИИ 177
времени, когда были впервые изучены такие шедевры, как
комментарии Хайяма к «Началам» Евклида или сочинение об
измерении круга ал-Каши. Предлагаемая далее картина развития
арабской математики в близком будущем, несомненно, окажется
недостаточно полной, и, надо думать, не только в частностях.
Но дальнейшие дополнения смогут только повысить оценку
достижений математиков Ближнего и Среднего Востока и Средней
Азии [84-94].
Распространение десятичной позиционной нумерации.
Познакомимся, прежде всего, с трудами Абу Абдаллы Мухаммеда
ибн Муса ал-Хорезми ал-Маджуси (около 780 — около 850).
О жизни его мы знаем немногое. Нисба г) ал-Хорезми
показывает, что он был родом из Хорезма, а слово Маджуси указывает,
что среди его предков были маги — зороастрийские жрецы:
в Хорезме господствовал зороастризм. Ал-Хорезми стоял в
центре плеяды математиков и астрономов, работавших при ал-Ма-
муне в Доме мудрости. Сохранились, частью в переработанном
виде, пять сочинений ал-Хорезми: по арифметике, алгебре,
астрономии, географии и календарю. Возможно, что ему
принадлежат также утерянные трактаты о солнечных часах
и астролябии [95].
Труды ал-Хорезми, особенно арифметический и
алгебраический трактаты, оказали огромное влияние на последующее
развитие математики. Они стали отправным пунктом
многочисленных исследований; их комментировали; их части вошли
в другие книги; по ним учились десятки поколений. Автор
собрал в своих трудах основное, что требовалось и ученым и
деловым людям, особенно учитывая нужды повседневной практики
(ср. стр. 14).
В арифметическом труде ал-Хорезми дано первое на
арабском языке изложение десятичной позиционной нумерации
и основанных на ней действий.
Сочинение ал-Хорезми по арифметике дошло до нас только
в латинском переводе [96]. Перевод восходит к середине XII в.,
но единственная до сих пор известная рукопись относится
к середине XIV столетия. К тому же она представляет собой не
точный перевод, а изложение исходного — арабского или
латинского — текста, что с несомненностью следует из
содержащихся в ней вставок, пропусков и неточностей. Рукопись
хранится в библиотеке Кембриджского университета. Она
начинается (рис. 41) словами Dixit A Igor itmi, т. е. «Алгоритми
сказал...», и обрывается в середине примера на умножении дробей.
К счастью, изучение арифметического трактата ал-Хорезми
г) Нисба — часть имени, указывающая на место рождения.

178 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
облегчается наличием еще двух близких к нему латинских
сочинений. Это, во-первых, компилятивная «Книга Алгоризма
0 практике арифметики» («Liber Algorismi depratica arismetri-
ce»), составленная, по всей вероятности, Иоанном Севильским
или Толеданским, обращенным в христианство испанским
евреем, работавшим примерно в 1135—1153 гг. в г. Толедо
[96]. Начальные отделы «Книги Алгоризма» очень сходны по
содержанию с кембриджской рукописью. Другое сочинение —
«Книга введения Алхоризма в астрономическое искусство,
составленная магистром A.» («Liber ysagogarum Alchorismi in
artem astronomicam a magistro A. Gompositum», см. стр. 342),
известная в двух списках, из которых один датирован 1143 г.,
а другой немногим более поздний. Полагают, что «магистром
А.» был англичанин Аделард из Бата, также принадлежавший
к толеданской школе. Возможно, что тот же Аделард Батский
перевел арифметический трактат ал-Хорезми [97—98].
Хотя кембриджская рукопись не озаглавлена, но
сопоставление некоторых содержащихся в ней выражений со списком
трудов ал-Хорезми у одного арабского автора IX в. позволяет
думать, что название трактата было «Книга о сложении и
вычитании по исчислению индийцев» («Китаб ал-джам ва-т-тафрик
би-хисаб ал-хинд»). В названии, как видно, были указаны
только две основные операции арифметики, к которым сводятся
прочие. В начале ал-Хорезми говорит, что собирается изложить
способ исчисления индийцев с помощью девяти цифр-«букв»,
который позволяет легко и коротко выразить любое число и
производить арифметические действия. Цифры в рукописи не
выписаны, вместо них стоит пропуск, и вообще в ней лишь
изредка встречаются индийские цифры для 1, 2, 3, 5 и кружок для
нуля; примеры записи индийскими цифрами чисел, выраженных
общепринятыми тогда в Европе римскими цифрами или же
словами, переписчик почти нигде не успел вписать, оставив для
них пустые места.
Подробно объяснив способ записи чисел в позиционной
десятичной системе с помощью индийских знаков и, особенно,
употребления «маленького круга наподобие буквы о»,
ал-Хорезми учит произносить большие числа, причем пользуется
только названиями единиц, десятков, сотен и тысяч. Число
1 180 703 051 492 863 (в рукописи не обозначенное) читается
так: тысяча тысяч тысяч тысяч тысяч пять раз и сто тысяч
тысяч тысяч тысяч четыре раза и восемьдесят тысяч тысяч
тысяч тысяч четыре раза и затем семьсот тысяч тысяч тысяч три
раза и три тысячи тысяч тысяч три раза и пятьдесят одна тысяча
тысяч два раза и четыреста тысяч и девяносто две тысячи и
восемьсот шестьдесят три. Подобные неуклюжие наименования
сохранялись в арабской и европейской литературе очень долго.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ПОЗИЦИОННОЙ НУМЕРАЦИИ 179
Рис. 41. Первая страница латинского текста арифметического
трактата ал-Хорезми (кембриджская рукопись XIV в.).

180 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Далее следует тщательное описание арифметических
действий по индийским образцам, причем ал-Хорезми советует
начинать действия со старших разрядов,— так легче и
полезнее. Настоятельно рекомендуется не забывать выписывать нули,
чтобы не обмануться в результате. Для умножения нужно
выучить таблицу до 9 на 9; особо упоминаются мультипликативные
свойства нуля. Детально разобран случай вычитания, когда
приходится заимствовать из старших разрядов. Вообще,
несмотря на краткость текста, все правила поясняются на
примерах достаточно отчетливо. Это обстоятельство прошло мимо
внимания многих историков математики, упрекающих ал-Хорезми
за неполноту объяснений и обход трудностей.
Вычисления производили, согласно тексту трактата, на
посыпанной пылью или песком доске с помощью заостренной
палочки, как это делали и в Индии х). Вместе с тем, в рукописи
говорится, что можно вычислять и на чем-либо другом; но
действия на бумаге или пергаменте были тогда мало приняты из-за
их редкости и дороговизны. При пользовании бумагой стирание
использованных цифр заменили записью всех промежуточных
выкладок, включая сдвиг множителя и т. п. С такой практикой
мы встречаемся, например, в европейских рукописях XII в.,
авторы которых следовали арабским образцам. Применяли
также зачеркивание промежуточных использованных цифр; в этом
случае запись становилась очень громоздкой и плохо
обозримой. Мы приведем сравнительно простой пример умножения
324-753 из книги «Достаточное об индийском исчислении»
(«Ал-мукни фи-л хисаб ал-Хинд» [100]) Абу-л-Хасана Али
ибн Ахмада ан-Насави, уроженца Насы, города близ
нынешнего Ашхабада (ум. ок. 1030):
43
209
2977
2J5962 произведет 243972
324
753
753
753
Определения сложения и вычитания целых чисел в
кембриджской рукописи отсутствуют, но есть у Иоанна Севильского 2).
*) При действиях с небольшими числами в деловых кругах
пользовались счетом на пальцах. Применялся ли абак с камешками или какими-
нибудь жетонами — неизвестно (ср. [99] и [98]).
2) «Складывать (agregare) значит собирать (colligere) какие-либо два
или более чисел в одно»; «Вычитать (diminuere) значит отнимать какое-

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ПОЗИЦИОННОЙ НУМЕРАЦИИ 181
Об умножении сказано, что в нем одно из чисел умножается
(duplicetur) по числу единиц в другом (в алгебре ал-Хорезми
определяет умножение как повторное сложение); о делении, что
оно подобно умножению, но обратно ему, так что при делении
вычитают, тогда как при умножении складывают. У Иоанна
Севильского говорится, что делить (dividere) — значит
разделить большее число на части (partire) по количеству меньшего,
т. е. столько раз вычесть меньшее из большего, сколько можно *).
Умножение проверяется с помощью девяти.
Ал-Хорезми особо выделяет действия раздвоения и удвоения.
Удвоение и деление пополам играли, как мы знаем, видную
роль в египетской математике, где с их помощью умножали и
делили на другие числа. Откуда заимствовал эти две
рудиментарные операции ал-Хорезми — неясно; возможно, что он включил
их в силу давней традиции2). Историки математики нередко
порицают ал-Хорезми за введение этих излишних и частных
действий, которые от него перешли почти во всю средневековую
арабскую и европейскую литературу. Но скорее всего
ал-Хорезми сохранил и выделил удвоение и раздвоение как особые
действия только с целью облегчить учащемуся запоминание
процедуры извлечения квадратного корня. Во всяком случае,
он знал, что удвоение есть частный случай умножения, а
раздвоение — деления. В кембриджской рукописи об этом,
правда, не говорится, зато в «Книге Алгоризма» Иоанна Севильского
прямо сказано, что раздвоение есть вид деления, удвоение —
вид умножения и что они «необходимы при нахождении корня,
который находится с помощью удвоения и раздвоения. По этой
причине они здесь приведены самостоятельно» [96, стр. 38].
С делением пополам приходится, как известно, иметь дело и при
решении полных квадратных уравнений, и в своей алгебре
ал-Хорезми характеризует эти уравнения, в отличие от
двучленных, как такие, в которых «корни раздваиваются».
Изложив действия над целыми, ал-Хорезми переходит
к дробям. Мы к ним обратимся несколько позже, а сейчас
заметим, что в самом начале отдела, посвященного дробям,
ал-Хорезми обещает показать в дальнейшем, как извлекать корни.
В кембриджской рукописи описания этого действия нет.
либо число от большего» [96а, стр. 30 и 32]. Аналогичные определения,
восходящие к древнегреческой логистике [96а, стр. 378 и 382], встречаются
в арабских и европейских руководствах по арифметике на протяжении
всех средних веков.
х) Такое же определение деления целых чисел имеется в руководстве
по практической арифметике Абу-л-Вафы (ср. стр. 185), а затем у ан-Насавп
и многих позднейших авторов.
2) По некоторым сведениям, восточные торговцы при устном счете
издавна пользовались удвоением и раздвоением для более сложных
умножений и делений [101, стр. 104].

182 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Из «Книги Алгоризма» видно, что ал-Хорезми при извлечении
квадратных корней поступал также, как индийцы (ср. стр. 128).
Иоанн Севильский излагает также «нахождение корней при
помощи нулей», т. е. приближенное извлечение корня из
неквадратного числа N по формуле
при этом дробная часть результата переводится в шестидесяте-
ричные дроби. Проверка квадратного корня из целого квадрата
производится с помощью девяти.
Форма цифр, применявшихся самим ал-Хорезми, неизвестна,
и судить о ней по нескольким цифровым знакам, имеющимся
в кембриджской рукописи, было бы неправомерно. Возможно,
что он пользовался для чисел 1—9 буквами алфавита, как
поступали иногда позднее, например ал-Бируни. Возможно также,
что ал-Хорезми уже применял так называемые восточноараб-
ские цифры (рис. 42). Вообще, история наших цифр до сих пор
представляет много неясностей. Немногие точно известные
факты сводятся к следующему.
12 3 4 5 6?890
восточноаробские цифры
Заладноарадские цифры
/
/
Г
\±.
/»
Т
АС4
И
о
я>
ч
0
V
;
л
э
9
J>
в
Рис. 42 (вторая строка—по египетской рукописи X в.).
Некоторое время после завоевания Египта, Сирии и
Месопотамии арабы пользовались греческой алфавитной нумерацией.
В начале IX в. появилась собственная арабская алфавитная
нумерация с отдельными знаками для единиц, десятков, сотен
и тысячи. Но уже в первой половине того же столетия начинает
распространяться позиционная запись чисел с помощью так
называемых восточноарабских цифр и знака нуля. Скорее
всего восточноарабские цифры явились некоторой модификацией
цифр брахми. Примерно в то же время на Пиренейском
полуострове появляются западноарабские цифры «губар», частью
сходные с восточными — нам придется о них говорить далее,
в IV главе (стр. 340). Восточноарабские цифры сохранились в
ряде стран: Египте, Сирии, Турции, Иране и т. д.
Западноарабские применяются ныне в Марокко. От конца IX в. сохранились
документы с новыми цифрами, древнейший относится к 873—
874 гг. В нем мы находим соответствующую дату мусульманского
летоисчисления 260 с нулем в виде точки [33, I, стр. 41].

ДРОБИ
183
Процесс внедрения десятичной позиционной нумерации в
•странах ислама был длительным, в средние века она не смогла
окончательно вытеснить другие формы счета. Широкие круги
населения продолжали пользоваться чисто словесной нумерацией.
Об этом свидетельствует, например, «Книга о том, что нужно
-знать писцам, дельцам и другим в науке арифметики» («Китаб
фи ма яхтадж илайхи ал-куттаб мин 'илм ал-хисаб») Абу-л-
Вафы, написанная между 961—976 гг. Первые два отдела
книги посвящены действиям с целыми и дробями, третий —
измерению плоских фигур, тел и расстояний, остальные четыре, пока
не изученные (ср. [143]),—разнообразным вопросам
практической арифметики: коммерческим сделкам, налогообложению,
системам мер, обмену различных сортов зерна, обмену денег,
раздаче пайков и жалованья войскам, расчетам при
строительстве зданий и плотин и т. п. В этом сочинении, обращенном
специально к практикам, нет изложения десятичной позиционной
системы и все числа выражены словами. Сказанное относится
и к другому известному сочинению по арифметике,
составленному на рубеже X и XI вв. ал-Караджи,— «Достаточной книге
о науке арифметики» (см. стр. 217), которая примыкала к
трактату Абу-л-Вафы, и многим позднейшим учебникам вплоть до
XVI в. Такое изложение арифметики более отвечало
привычкам широких кругов деловых людей и долгое время успешно
конкурировало с новой нумерацией, пропагандистами которой
•выступали ал-Хорезми, ан-Насави и др. (см. [179—180]). Даже
в трудах по алгебре числа нередко называли словами; так,
в частности, обстоит дело в дошедшем до нас тексте алгебры
самого ал-Хорезми. Во многих сочинениях словесная запись
чисел переплеталась с применением индийско-арабских цифр.
В научном обиходе, особенно в астрономических вычислениях,
числа представляли в шестидесятеричной системе, пользуясь
либо алфавитной, либо новой нумерацией. В Европе
современная нумерация появилась позднее, чем в арабских странах,
но укрепилась быстрее.
Дроби. Как мы сказали, часть трактата ал-Хорезми по
арифметике имеет предметом дроби,— по-латыни fractiones, что
представляет собой перевод арабского каср, от касара — ломать.
Отсюда идут различные названия дроби на европейских
языках: французское nombre rompu, старорусское ломаное число,
английское fraction и немецкое Bruch. Латинский текст
арифметики ал-Хорезми выражает одну характерную особенность
арабского языка, в котором особые числительные имелись для
1 1
долей единицы только до т~ включительно. Это, именно, -к =
= нисф, у = сулс, — =руб', у = хумс, -^- = судс, у= суб',

184 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
-- = сумн, -Q- = туе', tq = *ушр. Корни этих слов (не считая
половины) — общие с корнями соответствующих целых
числительных, например 3 = саласа, а 5 = хамса. Прочие
доли единицы назывались по-арабски не отдельными
словами, как у нас, вроде тринадцатая, а «одна часть из
тринадцати частей» или «одна часть из тринадцати». Соответственно
отличалось наименование дробей вида —; арабская речь знала
«три пятых», но не «три семнадцатых», вместо чего говорили
«три части из семнадцати» или «три части из семнадцати частей».
Поэтому доли единицы до т~ включительно назывались
«выговариваемыми», а прочие — «невыговариваемыми».
Ал-Хорезми описывает прежде всего шестидесятеричные
дроби, которые приписывает индийцам, как и Иоанн Севильский.
На первом месте стоит умножение. Предварительно
сообщаются правила определения разряда произведения при
перемножении отдельных шестидесятеричных разрядов. При умножении
дробей или смешанных чисел рекомендуется перевести каждый
множитель в единицы его низшего разряда, после чего дело
сводится к умножению целых и переводу произведения в
шестидесятеричные дроби. Ал-Хорезми замечает, что есть другой,
более короткий способ; вероятно, он имел в виду умножение
шестидесятеричных дробей, подобное нашему умножению
десятичных, которое знали вавилонские и позднегреческие ученые.
Для деления делимое и делитель выражаются в единицах
низшего в них разряда; если при этом в делимом таких единиц
меньше, его переводят в следующий низший разряд. Далее описаны
сложение, вычитание, удвоение и раздвоение
шестидесятеричных дробей; у Иоанна Севильского также — извлечение
квадратного корня. Следует заметить, что в отделе о дробях
кембриджская рукопись содержит много погрешностей.
Обыкновенным дробям посвящена последняя страница
кембриджской рукописи, обрывающаяся, как говорилось, в сере-
1 3
дине примера с умножением 3 -^ на 8 jr. Этот пример есть и у
Иоанна Севильского, в сочинении которого отдел о дробях
занимает около 15 печатных страниц. Решая пример, Иоанн
добавляет: «Это и есть также то, что говорит об умножении и
делении дробей Алхоризм, хотя и по-другому» [196, стр. 68].
Поясняя действия с обыкновенными дробями, ал-Хорезми
и Иоанн Севильский подчеркивают аналогию с шестидесяте-
ричными дробями, уподобляя исходные доли единицы минутам,
а их произведение — секундам. При умножении они следуют
схеме, изображенной далее и ясной из того, что левая дробь

ДРОБИ
185
111
8y-j-r-> записанная по индийскому образцу столбиком, после
- 358 о 1 1
приведения к общему знаменателю есть -^-, а правая 6 -~-ц-
93
есть к= ; частное здесь
33294
1080
= 30
894 .
1080 *
1 8
1
2
1
4
1
5
! 40
358
110801
33 294
3
1
3
1
9
27
93
.30. 1
.894.
.1080.
Этот пример свидетельствует, что математики арабских
стран во времена ал-Хорезми, и несомненно ранее, имели дело
с представлением обыкновенных дробей как сумм долей
единицы, которое было издавна распространено на территориях
Египта и Вавилона, попавших под власть арабов.
При делении оба числа приводятся к общему знаменателю,
так что дело сводится к делению целых числителей; Иоанн
специально замечает, что приведение к общему знаменателю
(которое производится путем простого перемножения всех знамена--
телей) важно для деления, сложения и вычитания. Для
извлечения корня из дроби с неквадратным знаменателем исполь-
ш/"а Vab z М
зуется правило I/ у = -т—, а в случае дроби вида -пщ=г он
умножает числитель и знаменатель на 60.
Весьма детально изложено учение о дробях в упоминавшейся
«Книге о том, что нужно знать писцам, дельцам и другим
в науке арифметики» Абу-л-Вафы, в которой был обобщен
и развит далее опыт арабских счетных работников и
вычислителей. Будучи предназначена для практиков, книга Абу-л-Вафы
не содержит доказательств, а только определения, правила
и примеры. Рукопись пока не опубликована, но интересующие
нас главы этой рукописи описаны [102].
Прежде всего, Абу-л-Вафа указывает, что отношение есть
мера одного из двух чисел по сравнению с другим, причем
имеются три вида отношений: меньшего к большему, большего
к меньшему и отношение равных. За подробностями он
отсылает к другому своему сочинению, пока не обнаруженному.
Дроби возникают из отношений меньших чисел к большим.

186 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Такая трактовка дробей восходит к грекам. В «Началах»
Евклида, на которые Абу-л-Вафа не раз ссылается, нет сходного
определения отношения или дроби, но предложение 4 книги VII
гласит, что всякое меньшее число (по отношению) к
большему числу является его частью или частями, т. е., по-нашему,
— или — большего числа. Быть может, в упомянутом не дошед-
ть ть
шем до нас сочинении Абу-л-Вафа как-то строил учение
о дробях и действиях над ними с помощью отношений. В
книге для писцов этого построения нет, но понятие и термин
«отношение» используются повсеместно.
Рациональное отношение какой-либо пары чисел может
быть выражено разными способами. Ал-Каши, который
определял дробь как «количество, отнесенное к целому,
принятому за единицу» [126, стр. 45], писал:
«Каждое отношение числителя дроби и ее знаменателя в
числах выражается бесконечно, но наилучшее из них для
применения — это наименьшие из двух целых чисел и с тем же
отношением, все остальные выражения хуже» [126, стр. 46].
Абу-л-Вафа учит действиям с обыкновенными дробями и их
сокращению, но в центре его внимания стоит прием
«отнесения числа к числу», принятый в деловых кругах, именно
выражение отношений через доли единицы. Этому вопросу
посвящен весь первый отдел книги для писцов.
Абу-л-Вафа выделяет три группы дробей, которые все
вместе мы назовем основными, а именно:
1 1
1) главные дроби — доли единицы -у до -tr включительно;
2) составные дроби вида —, m < п < 10, среди которых
особое место занимает -~-;
3) соединенные дроби — произведения главных дробей,
11 1 , ,ч
вида (не включая главные!).
" m ть р х '
Основные дроби, а также все дроби, представимые в виде
сумм и произведений основных дробей, Абу-л-Вафа именует
«выразимыми», или «выговариваемыми», остальные же —
«невыразимыми», или «невыговариваемыми», глухими, асам,— тем
же термином, как мы увидим, называли иррациональные числа.
Выразимые дроби — те, знаменатели которых имеют
множителями числа 2, 3, 5, 7; невыразимые имеют в знаменателе
простые множители, большие 7. Терминология, очевидно, связана
с указанной выше особенностью арабского языка.
В коммерческих, финансовых и тому подобных вычислениях
жители стран Ближнего и Среднего Востока широко
пользовались долями единицы, а остальные дроби представляли в виде

ДРОБИ
187
сумм и произведений последних. Абу-л-Вафа подробно
формулирует многочисленные правила для такого представления,
точного у выразимых дробей и приближенного у невыразимых.
По существу, все состоит в разложении дробей на шестидесяте-
ричные, которые в свою очередь представлены через основные.
Прежде всего, требуется уметь разложить на главные и
соединенные дроби два типа отношений, со знаменателем 60 и с
целым или дробным, а также смешанным числителем.
Соответствующим правилам предпосылаются четыре таблицы,
содержащие выражения наиболее употребительных дробей в шестиде-
сятеричных, или, как говорит сам Абу-л-Вафа, «разбиения из
шестидесяти» — числители при знаменателе 60. В таблице I
даны разбиения из шестидесяти для главных дробей:
1
2
30
1
3
20
1
4
15
1
5
12
1 1
6 7
ю sA
1 1
8 9
7 i R2
7Т6"з-
1
10
6
Таблица II содержит разбиения из шестидесяти различных
составных дробей, начиная с -^ и кончая ^; заодно для них
кроме -о- ) приводятся «более красивые выражения» в виде
сумм главных и соединенных дробей, например,
4 ~ 2 + 4 ' 5-~3 + 3'l0'"'' 10"" 2 + 3 + 3*10 *
В таблице III собраны разбиения из шестидесяти некоторых
1111
важнейших сумм пар дробей, вроде у + у » Т + 1Г и т# п' до
1 1
-г + tq . Наконец, в таблице IV приведены разбиения для
* « 1111
некоторых парных соединенных дробей, например у—, т'Т
и т. д. до |.1.
Все эти таблицы используются затем для разложения
других дробей.
I. Отношения вида ^ , целое п < 60.
Разложения осуществляются на основании правил:
а) для n = 10ft+ 5, где к = 2, 3, 4, 5, в числителе
выделяется 15, т. е. используется преобразование
п __п—15 , 1
60"~"~бб г"Т ;

188 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
б) для п= 10А + 2 и п = 10& + 7, где & = 1, 2, 3, 4, 5,
в числителе выделяется 12, т. е. используется преобразование
п п—12 1 .
60 — 60 +5 '
в) для /г = 6, 7, 8, 9, л = 10А+1, тг = 10/с + З, м=10/с + 6,
дг = 10/с + 8 в числителе выделяется 6, т. е.
п __п—6 . J_ .
60~""60~+10 ;
г) для /г = 10/с + 4и/г= 10/с + 9 в числителе выделяется 4, т. е.
п п—4 , 1
60 — 60 ^ 15 '
Например,
60"*60 + 60""60 + 60 + 60"" 2 + 4 + 3 #10 ¦
48 4
И даже к* выражается не составной дробью -=-,ав виде
48._42 , ^_30 12 _6___J_ , ± , J_
60~'~60~,~60"~60~Гб0 + 60~ 2 ~+~ 5 +10 в
Дело в том, что и составные дроби Г кроме -~- J предпочитали
выражать через главные и соединенные, хотя ими широко
пользовались в промежуточных выкладках.
П. Отношения вида ^~? , где п < 60 и а имеет вид —
р 1
или — —г- , !</><?<&< Ю, если есть сумма таких дробей.
Здесь Абу-л-Вафа дает большое число правил для
различных а. Не вдаваясь в подробности, заметим лишь, что
разложение для ^t^ , вообще говоря, не получается просто как
сумма разложений для -^ и -тгтг , а производится с помощью
вспомогательных расчленений числителя на слагаемые, приводящих
к совсем иному результату. Алгоритм разложения оказывается
неоднозначным; предпочтение отдается выражению или
выражениям, состоящим из меньшего числа главных дробей.
III. Другие отношения.
В остальных случаях разложение производится путем
умножения на 60 и последующего отнесения к 60. В примерах
Абу-л-Вафы используется преобразование
— = (—J:60 = "ir ' »<60, а<1,
и дело либо прямо сводится к случаям I и II, либо, если

ДРОБИ
189
требуется, прием можно итерировать, вновь умножая и деля
на 60. При t = 2mi3m25m37m4 этот прием приводит к точному
разложению. При наличии других несократимых простых множителей
в знаменателе процесс разложения, который становится
бесконечным, обрывается фактически на первом или втором шаге.
Например,
10+i°
3 180 а~ ^17
¦: 60 = ¦
6 ' 8
17 17 " 60
Здесь Абу-л-Вафа производит округление числителя до 11,
1
замечая, что 10 > -к- • 17:
3_ 11 L-L JL -L
17^60"" 6 + 6 "10 '
Для большей точности процесс можно продолжить:
ю+ 1°
^ = -^ = (lO + f:60):60 = (lO + | + ^:6o):60.
Отбрасывая в скобке последнее слагаемое, так как 5<у17,
Абу-л-Вафа имеет:
?~(10 + |):60-(10 + ! + 4>60-
Чб+4+4>60=го+44+
Этот прием явился открытием ученых, быть может самого
Абу-л-Вафы. Писцы, говорит он, в таких случаях прибавляют
к числителю и знаменателю невыразимой дроби какое-либо
число, чтобы получить в результате выразимую дробь; в
данном случае
1 3+1 _ 4 __ 2
17** 17+1 ""18""" 9 *
Приближение тем хуже, чем больше прибавляемое число,
а подбор достаточно малых дробных слагаемых затруднителен.
Поэтому Абу-л-Вафа советует применять вышеизложенный
способ. В самом деле, погрешности трех приближений таковы:
первого приближения Абу-л-Вафы около 4%, второго около
0,05%, а числа 2/9 около 26%. Сам Абу-л-Вафа приводит
абсолютную погрешность второго приближения ^"g'To'Ti
и еще третье приближение с абсолютной погрешностью
Т"9"10*Тб'10'17 ' чт0 соответствУет 0,001%.

190 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Во втором отделе книги описаны действия над целыми,
обыкновенными дробями и дробями, выраженными через основные.
Мы упоминали выше об определении деления целых чисел.
Заслуживает внимания, что операции удвоения и раздвоения
отсутствуют. Еще более примечательно, что для приведения дробей
к общему знаменателю со всей отчетливостью рекомендуется
составлять общее наименьшее кратное всех знаменателей.
Действия с дробями по способам писцов и вычислителей
вообще, по сути, носили шестидесятеричный характер. Это
ясно из следующих примеров на сложение и умножение:
4,2,3 J--60+1-60+^-60 _106 _л t 2 ,
5 + 3 + 10"" 60 _ 60 ~*~ 3 * 10 '
Г1, iVi, 1л (i-60+f60X4+l)_24_i,i
Вопрос о происхождении описанных процедур в настоящее
время приходится оставить открытым. Несомненно их большое
и давнее распространение на территориях арабских стран;
несомненны отчетливые следы древневавилонского счета;
вероятны связи с применением долей единицы в Египте, древнем
Вавилоне и в эллинистических государствах. При всем том,
процедуры, описанные Абу-л-Вафой, столь своеобразны как
в отношении исходного набора основных дробей, так и в приемах
преобразований, что мы вполне вправе предположить здесь
наличие прочных собственных народных традиций, сообщивших
математикам толчок для дальнейших усовершенствований.
В этой связи могло иметь значение и то обстоятельство, что
среди различных валютных систем в разных районах арабского
Востока особенно распространено было соотношение 1 динар=
= 6 дангам1) = 60 ашаирам.
Представление обыкновенных дробей суммами и
произведениями долей единицы встречается позднее у многих других
авторов арифметических руководств: на Востоке у ал-Караджи,
на Западе у Абу Закарии Мухаммеда ал-Хассара [103] и
ал-Каласади и т. д.
Разновидностью счета долями единицы явился также весьма
распространенный в деловых кругах и у населения Средней
Азии и Ирана счет на данги, тасуджи и ашаиры, подробное
описание которого имеется, например, у ал-Каши. Данги, тасуджи
и ашаиры — средневековые меры веса и денег, образующие
г) Общий корень со словом данг имеет русское слово деньга, первона-
1
чально имевшее значение денежной единицы ^- копейки.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ТРАКТАТ АЛ-ХОРЕЗМИ 191
111
соответственно у, ^ и ш основной единицы (динара, дирхема
и др.), для записей применялись цифры «сияка»,
возникшие из скорописного начертания арабских числительных. Более
мелкими элементарными дробями служили данги ашаиров,
1111
тасуджи ашаиров и ашаиры ашаиров, т. е. дроби-^- • т^, тп: • тъ *
о УЬ 24 9о
1 1
96 ' 96 И Т- Д'
Ал-Каши учит, прежде всего, переводу обыкновенных дробей
в данги, тасуджи, ашаиры и обратно. В первом случае выкладки
аналогичны только что приведенным, с тем отличием, что вместо
множителя 60 выступают по порядку 6, 4 и 6. Например,
5 30:7 4,8-7 4,1,4:7 , л 4
= 4 д. 1т. -тг аш.
7 6 6 ¦ 24 6 » 24 ¦ 96 м# 7
Для умножения и деления дробей, представленных в этой
системе, пользовались таблицами, содержащими произведения
кратных отдельных элементарных дробей друг на друга. Так,
чтобы умножить 5 д. 3 т. 3 аш. на 4 д. 1 т. 2 аш., находили прямо
по таблице все девять промежуточных произведений,
подписывали их поразрядно и, складывая, получали результат:
4 д. 1 т. 1 аш. 1 д. аш. 2 т. аш. 2 аш. аш. Деление производили
соответственно.
Алгебраический трактат ал-Хорезми. Алгебра ал-Хорезми
дошла до нас в гораздо более сохранном виде, чем арифметика.
В библиотеке Оксфордского университета имеется арабская
рукопись алгебры, законченная в 1342 г. [104]. Кроме того,
существует несколько латинских рукописей, восходящих к
переводу англичанина Роберта из Честера, сделанному в Сеговии
в 1145 г., и переводу итальянца Герардо из Кремоны (1114—
1187), выполненному в Толедо [105, 1?)6]. Арабский текст
носит заглавие «Краткая книга об исчислении алгебры и алму-
кабалы» («Ал-китаб ал-мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-мука-
бала») и состоит из: 1) собственно алгебраического отдела,
за которым следует маленькая глава о коммерческих
сделках,— именно о простом тройном правиле по индийскому
образцу, 2) небольшой геометрической главы об измерениях
с некоторыми приложениями алгебры и 3) обширной книги
о завещаниях. В латинских переводах второй и третий отделы
отсутствуют. Во всех текстах есть незначительные отличия.
Никаких символов ал-Хорезми не употребляет, его изложение
чисто словесное и весьма пространное.
Мы упоминали уже, что основной целью ал-Хорезми при
составлении трактата по алгебре было написание руководства

192 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
к решению общежитейских задач. Этим объясняется большое
место, отведенное им, в частности, задачам о завещаниях и
наследствах, занимающим несколько более половины книги.
Мусульманское наследственное право было (да кое-где и ныне)
подчинено строгому и сложному регламенту,
устанавливающему возможные доли наследников в зависимости от степени
родства (жена, муж, дочь, сын, родители и т. п.) и
ограничивающему права завещателя. Поэтому перед юристами
возникали довольно запутанные вопросы, которые в руководствах
еще усложнялись для упражнения. Задачами о завещаниях
много занимались до ал-Хорезми — еще в древнем Вавилоне —
и после него [107].
Алгебра ал-Хорезми — это наука о решении числовых
квадратных и линейных уравнений. В арифметике, говорит он,
люди имеют дело с простыми числами. В алгебре
рассматриваются числа трех родов: это просто число или дирхем
(дирхем — от греческого драхма — денежная единица), джизр
(корень) или шай (вещь) и мал (имущество, денежная сумма
и т. п., также квадрат). Мал, говорит ал-Хорезми,— это
произведение джизр на самого себя, а джизр — величина, которую
бывает нужно умножить на самое себя.
О происхождении алгебраических терминов ал-Хорезми
имеются различные предположения. В отделе о завещаниях
и наследствах «мал» значит имущество и служит неизвестным
в линейных задачах. Видимо, позднее мал стал обозначать
квадрат в отличие от корня, джизр. Слово шай естественно
могло быть взято для обозначения искомой величины, искомой
вещи. Джизр, наверное, есть перевод санскритского мула,
корень; возможна связь между словом дирхем и
санскритским рупа, тоже обозначающим монету. Во всяком случае,
математический смысл терминов ясен, и мы можем
называть здесь джизр и шай неизвестной или корнем, мал —
квадратом.
Прежде всего ал-Хорезми дает классификацию
рассматриваемых им шести типов линейных и квадратных уравнений
и способы их решения. Затем он поясняет на примерах, как
приводятся другие уравнения к шести нормальным формам.
Здесь и выступают две основные операции, стоящие в названии
сочинения,— ал-джабр и ал-мукабала.
В нормальной форме все члены уравнений должны
фигурировать в качестве слагаемых, а не вычитаемых. Поэтому шесть
типов (их шесть, так как случаи, в которых заведомо нет
положительных решений, не учитываются) таковы:
1) квадраты равны корням ах2=Ьх,
2) квадраты равны числу ах2=с,
3) корни равны числу ах=с,

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ТРАКТАТ АЛ-ХОРЕЗМИ 193
4) квадраты и корни равны числу ах2-\-Ьх=с,
5) квадраты и числа равны корням ах2-{~с=Ьх1
6) корни и числа равны квадратам Ьх-\~с=ах2.
Всякое другое уравнешш должно быть для решения приведено
к одной из этих форм. При лаличии вычитаемых членов от них
освобождаются с помощью ал-джабр, т. е. восполнения, для
чего к обеим частям уравнения прибавляются члены, равные
вычитаемым. Далее, все подобные члены сводятся в один
с помощью ал-мукабала, т. е. противопоставления. Помимо того,
старший коэффициент квадратного уравнения должен быть
приведен к единице, так как правила решения
уравнений 4)—6) сформулированы для этого случая.
Например, в задаче, условие которой можно записать
в виде
я»+(10-:с) 2= 58
или
2я2+100-20я = 58,
ал-Хорезми последовательно делает преобразования
2я2+100 = 58+20* (ал-джабр),
делит на 2, приводит подобные члены
#2+21 = 10* (ал-мукабала)
и тем самым получает уравнение пятого типа.
Название преобразования ал-джабр, стоявшее в заглавии
трактата первым, было вскоре распространено на всю науку
об уравнениях. Уже Хайям писал о «решениях алгебры» и об
«алгебраистах». Западные арабы, через посредство которых
сочинение ал-Хорезми стало известным в Европе, произносили
букву «джим» как г и соответственно не ал-джабр, а ал-габр.
В Европе слово алгебра, в смысле названия этой науки,
появляется в XIV в.
В решении первых трех типов заслуживают внимания два
обстоятельства. Во-первых, уравнение ах2=Ьх ал-Хорезми
трактует как линейное, не учитывая нулевого решения, в
конкретных задачах неинтересного. Так поступали до XVII в.
Во-вторых,— и это весьма примечательно,— в качестве искомой
неизвестной выступает не только корень уравнения, но и его
квадрат. Так, определив из уравнения х2=5х корень #=5,
ал-Хорезми добавляет, что квадрат есть 25. И в случае линей-
ного уравнения уж = 10 он наряду с корнем 20 приводит
значение era квадрата 400; более того, в первом примере такого
рода дается сразу, что корень равен 3, и добавляется, что его
квадрат есть 9.

194
ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Решение полных квадратных уравнений требует особого
разбора. Сперва автор сообщает словесные правила выражения
их корней в радикалах, а затем дает геометрические
доказательства. Доказательства проводятся на числовых примерах,
но имеют вполне общий характер.
Решение уравнения
я2+1(к = 39,
которое, как и другие примеры ал-Хорезми, обошло чуть ли
не все арабские и европейские средневековые книги по алгебре,
обосновывается с помощью двух различных построений,
которые оба соответствуют дополнению до квадрата. В одном из них
строится искомый квадрат х2 и на его сторонах четыре прямо-
угольника с высотой -^ и в углах
фигуры (рис. 43) добавляются четыре
„ 10 п
квадрата со стороной -^-.
Получающийся при этом больший
квадрат равен по площади 39+4 ( -^ J =
10
= 64, а сторона его, т. е. z+2-j,
равна 8, так что х=3. В случае
уравнения
Рис. 43. x2 + px = q
геометрические преобразования соответствуют алгебраическим:
(ч-ЧУч-К*)'-
, + 2.i-jA+4(i)\
откуда и следует правило ал-Хорезми
Другое геометрическое доказательство ясно из рис. 44; здесь
и т. д. Обозначения на обоих рисунках — наши.
Отрицательный корень уравнения здесь и в других случаях
не учитывается.
X2
22 JO
f*,

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ТРАКТАТ АЛ-ХОРЕЗМИ 195
5з?
25
я*
5х
Оставляя в стороне шестой тип, представленный уравнением
х2 = Зх + 4
(в этом случае уравнение имеет один, и только один,
положительный корень), рассмотрим уравнение
х2+ q = px.
Ал-Хорезми знает, что в этом случае могут быть либо два
(положительных) корня, либо один (двойной), либо ни одного (оба —
мнимые). Правило формулируется для
уравнения
я2 + 21 = 1СЬ
в следующих выражениях:
«Раздвои корни, это будет пять, и
умножь это на равное себе, будет двадцать
пять, и вычти из этого двадцать один,
которые прибавлены к квадрату, остается
четыре, извлеки из этого корень — будет два,
и вычти это из половины корней, т. е.
пяти, останется три; это и будет корень квадрата, который ты
ищешь, а квадрат есть девять. А если хочешь, прибавь это
к половине корней, будет семь, и это — корень квадрата,
который ты ищешь, а квадрат есть сорок девять. Если тебе
встретится задача, приводящая к этой главе, проверь ее
правильность с помощью сложения, если же не так, несомненно
[решение] получится с помощью вычитания. Только в этой главе
из трех глав, в которых нужно раздваивать корни, пользуются
и сложением, и вычитанием. Знай также, что когда в этой главе
ты раздваиваешь корни и умножаешь на равное себе, если
произведение меньше дирхемов, прибавленных к квадрату,
задача невозможна, а если оно равно дирхемам, корень
квадрата равен половине корней без прибавления и отнимания»
[104, стр. 11—12]. Последний случай # = -7г специально
отмечается здесь впервые в известной до сих пор литературе.
Геометрическое доказательство правила разбивается на два
случая, соответственно корням
Рис. 44.
х
-*-/(*/-.

196 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Сначала подробно рассмотрен на дайном числовом примере
первый случай. Прямоугольник GCDE со сторонами GC=p
и CD=x (рис. 45) образован из квадрата ABCD=x2 и
приложенного к нему прямоугольника GBAE=(p—x)x=q.
Предполагая х < -у (этого ал-Хорезми не оговаривает), в F, середине
отрезка GC, восставляется перпендикуляр FH, который про
должается на НК = АН = -^— х. Достраиваются квадраты
GFKM = (j^y *JHKL=(JL — Zy. По построению
прямоугольники EJLM и FBAH с соответственно равными сторонами
равны между собой. Поэтому квадрат JHKL, равный разности
М
L /Г
J V
л
F В
Рис. 45.
Л
С
Е
М
а
д
J
L
/У
в F
Рис. 46.
С
квадрата GFKM и суммы прямоугольников GFHE и EJLM,
равен данной разности величин GFKM и GBAE, т. е.
(*-ОЧ*)"-«-
Отсюда сторона JH = АН = у (-?-) — q, а искомая
сторона AD=HD—HA, т. е.
Второй случай в оксфордской арабской рукописи не
разобран, сказано лишь, что больший корень получится, если
прибавить к DH линию JH. Возможно, что ал-Хорезми было
известно построение и для второго случая. В некоторых
латинских текстах его алгебры [106, стр. 84—87] имеются
соответствующие чертежи (ср. рис. 46, где в предположении, что
х >у, F— середина GC = р — находится внутри отрезка ВС = х,
АВ=ВС и квадрат BFHJ со стороной BF=x—^- равен

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ТРАКТАТ АЛ^ХОРЕЗМИ 197
разности квадрата GFKM = (~ у и суммы прямоугольников
GBLM и JHKL, в свою очередь равной GBAE = #, так что
BF = I/ ( у ) — g и я = CK+FB; мы для удобства несколько
видоизменили чертеж).
Изложив решение канонических типов уравнений, ал-Хо-
резми поясняет на примерах основные правила действий над
алгебраическими выражениями: умножение одночленов и
двучленов, вроде ( 10 + у j ( -^—Ьх \ приведение подобных
членов в суммах и разностях, введение множителей в квадратичные
радикалы или вынесение их из-под радикалов, перемножение
таких радикалов. Примеры—несложные, вроде 2|/ж = [/ 4#,
У5 • ]/l0 = ]/50 и т. п. Действия сложения и вычитания он
иллюстрирует на отрезках, требуя при этом соблюдения
однородности. Выражение
(ЮО + х2 - 20я) + (50 + Юз - 2я2),
которое высказано, конечно, словесно, нельзя, по ал-Хорезми,
представить на чертеже, так как здесь три различных рода;
но его, добавляет он, легко объяснить словами.
В этих главах книги, представляющих собой как бы начала
алгебраического исчисления, есть указание на существование
числовых квадратичных иррациональностей, которые
ал-Хорезми называет джизр асам, т. е. немой или глухой корень.
Скорее всего, это перевод греческого алогос, понимаемого
в смысле невыговариваемого, невыразимого словами, а не
в смысле не имеющего отношения1). Герардо Кремонский
перевел асам латинским surdus, которое сохранилось вплоть
до XVIII в. наряду со словом irrationalis, встречающимся еще
в древности.
Впрочем, иррациональные количества ал-Хорезми применял
в очень ограниченном объеме, все примеры на уравнения у него
с рациональными коэффициентами и нередко с целыми
решениями. Исключениями являются лишь несколько уравнений вида
х2 = q и одно полное квадратное уравнение
10я=(10-я)2, т. е. я2+100 = 30*,
иррациональное решение которого х = 15 — 5 ]/5 не приведено.
За этими главами, представляющими собой как бы начатки
алгебраического исчисления в словесном изложении, следует
шесть числовых задач на уравнения всех шести типов. В четырех
случаях речь идет о делении числа 10 на две части по тому или
х) Напомним, что Абу-л-Вафа называл «невыговариваемые» дроби
также асам (см. стр. 186).

198 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
иному условию, три первые таковы:
4я(10 — я) = #2, т. е. 5#2 = 40#,
2.1я»=10я, т. е. ^я2 = 100,
12=1 = 4, т. е. 5я=10.
а?
Заметим, что во второй задаче ал-Хорезми пользуется долями
25 9
единицы и, чтобы разделить 100 на =, представляет ^ как
1 4 1
-е- + т""к"« В пятой задаче требуется разделить 10 на две
О 0 0
части, сумма квадратов которых равна 58, что приводит к уже
встречавшемуся на стр. 193 уравнению
х2 + 21 = Юз.
В следующей главе о различных задачах решаются системы
с тем же первым условием, т. е. х-{-у=10, вторые же таковы:
Я2/=21,
х2 - у2 = 40,
я2 + у2 + {х - у) = 54,
У , * о1
и т. п.; только ал-Хорезми не вводит явно вторую неизвестную,
а действует с частями х и 10—х, т. е. с «вещью» и «десятью без
вещи». Впрочем, такие примеры не единственные. Среди
многих других более интересна по условию задача, в которой
* ~ 111
требуется найти число людей х, если —г = -?-.
Полные квадратные уравнения применяются затем в
геометрическом отделе алгебры ал-Хорезми, где встречаются
в промежуточной стадии решения, так как после приведения
дело сводится к уравнениям первой степени. Гораздо больше
в книге задач на линейные уравнения: они заполняют отдел
о наследствах и завещаниях.
Мы рассмотрим одну из таких задач и увидим, что решение
ал-Хорезми, несмотря на отсутствие какой-либо символики,
имеет алгебраический характер, хотя, по той же причине,
многословно и растянуто.
Некто, умирая, завещал четырем сыновьям по равной доле
своего имущества, а одному человеку — столько, сколько
составляет доля каждого из сыновей, и четверть того, что
остается от трети состояния за вычетом этой доли, и один
дирхем d. Обозначив имущество я, долю сына х и завещанное

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ТРАКТАТ АЛ-ХОРЕЗМИ 199
человеку г/, мы выразили бы задачу уравнениями
z = y + Ax% y = # + -4-(y-z) + d
2 1
и, приводя, получили бы зависимость z = 5 jrx+ljjd.
То же, по существу, делает ал-Хорезми. Правило решения,
1
говорит он, такое: надо взять -^ имущества и вычесть из него
1 1
одну долю, затем отнять -г того, что осталось от -^ имущест-
* 3 1
ва без одной доли, и дирхем, так что останется -г от -^ иму-
л 3
щества или -^ имущества без -г- доли и без дирхема (иными
«словами, в современных обозначениях, yz- х — -т ( Т ~~ ^ ) ~~
13 2
— d — -r;z — -rx--d). Это прибавляется к у имущества; тогда
11 из 12 частей имущества без -г доли и без дирхема равны
4 долям (иными словами, -j z + -х —4;r"~^==T2z'~~"T х — d =
= 4а; \ Далее производится восполнение тремя четвертями
одной доли и дирхемом, после чего 11 из 12 частей имущества
3 113
равны 4 -г долям и 1 дирхему (иными словами, то z = 4 -т- ^H-d)-
12
Мы бы теперь умножили на тт ; ал-Хорезми к каждому члену
прибавляет 1 из 11 его частей и получает, что имущество равно
с; 2 „ л 1
о тт частям одной доли и 1 ту дирхема.
В данной и нескольких родственных задачах дирхем играет
роль параметра. В сущности, здесь мы имеем дело с серией задач
на неопределенные уравнения, нередко однородные {d заранее
берется равным нулю). В ряде случаев ал-Хорезми показывает
¦еще, как при целом d получить целочисленные значения z ж х.
В других задачах условие выражается уравнением с одним
неизвестным, причем если оно не является имуществом в
собственном смысле слова, то называется вещью.
Неизвестно, принадлежат ли ал-Хорезми самостоятельные
алгебраические результаты. В начале трактата он пишет, что
одни ученые имеют первенство в открытиях, другие разъясняют
трудные места у своих предшественников и облегчают их

200 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
понимание, третьи приводят в порядок уже наличные знания,
исправляя неточности и совершенствуя идеи своих товарищей,
«без прибавления к ним и без гордости в душе». Себе лично
ал-Хорезми новые открытия не припирывал.
Нерешенной до сих пор является проблема об источниках
алгебры ал-Хорезми. В арифметике он явно следовал в
основном индийским образцам (даже шестидесятеричный счет, как
мы видели, он приписывал индийцам), но алгебра его
представляет ряд особенностей. В индийской алгебре не встречаются
геометрические обоснования правил решения квадратных
уравнений или действий над алгебраическими величинами,
занимающие видное место у ал-Хорезми. В отличие от индийских
математиков багдадский ученый не применяет отрицательных
чисел и символики. Кроме того, правило решения полного
квадратного уравнения индийцы формулировали сразу для
произвольного коэффициента при старшем члене и уже Брахмагупта
не различал типов 4)—6). С греческой алгеброй ал-Хорезми
как будто сближает геометрическое построение корней
квадратных уравнений [33, III, стр. 72 и след.], но в целом его
трактовка существенно отличается от геометрической алгебры
«Начал» Евклида. Подлинное сходство можно увидеть только
между вторым построением ал-Хорезми для уравнения
четвертого типа и предложением 2 книги II «Начал», геометрически
представляющим формулу (a-{-b)2=a2-\-2ab-\-b2. Но уже
первое построение ал-Хорезми того же уравнения не имеет
известного нам прототипа в греческой математике. Чертеж ал-Хорезми
для первого случая уравнения пятого типа напоминает
построение предложения 5 книги II, но в самих выводах имеются
значительные различия. Помимо того, предложение 5 не дает
второго корня уравнения «с помощью сложения», как и
соответственное предложение 28 книги VI «Начал». Построение
ал-Хорезми для шестого типа уравнений вообще не имеет
апалога у Евклида. Наконец, совершенно иной весь стиль
рассуждений и изложения у обоих авторов. Если античная
геометрическая алгебра оказала влияние на ал-Хорезми, то в
сильно преобразованной и приспособленной к нуждам числовой
алгебры форме, исторически нигде пока не
засвидетельствованной. Общим с Дпофантом у ал-Хорезми является приведение
квадратного уравнения к трем каноническим формам (с тем
отличием, однако, что Диофант не приводит коэффициент при
квадрате неизвестного к единице). Во многом другом они
расходятся, например, задачи, приводящиеся к системам
х + у=а, ху=Ь
или

ПРАВИЛА ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ
201
у Диофанта решаются с помощью введения вспомогательной
неизвестной x~Ty—z. Впрочем, прямое влияние Диофанта
маловероятно, ибо, насколько известно, первые арабские переводы
Диофанта были сделаны в Багдаде христианским ученым из
Баалбека (Гелиополиса) в Сирии Костой ибн Лукой ал-Ба'ла-
бакки (ум. в 912 г. в Армении) и затем Абу-л-Вафой [108,
стр. 261-264; 109, 110].
Скорее всего, ал-Хорезми были хорошо известны традиции,
сложившиеся на Ближнем и Среднем Востоке и включавшие
переплавленные элементы как вавилонской, так и
греко-римской науки. Существует предположение, что само слово ал-
джабр восходит через посредство сирийцев и арамейцев к
ассирийскому габру-джабру-махару и, далее, к термину махару-
габру, служившему в Вавилоне для выражения равенства двух
вещей [109, стр. 275].
Тройное правило. Мы упоминали, что в алгебре ал-Хорезми
приводится и разъясняется простое тройное правило. Это правило
было в ходу и у других математиков. Специальное сочинение
посвятил тройным правилам ал-Бируни, включив в него
обобщения, сделанные индийцами (см. стр. 132—133). В
трактате «Об индийских рашиках» («Фи рашикат ал-Хинд»)1) он
рассматривает прямое и обратное правило, правила пяти, семи
и более величин. В Индии, говорит ал-Бируни, он встречал
задачи не более чем с одиннадцатью величинами, но их может быть
любое нечетное число. Сущность правил и схема выкладок
подробно поясняются на практических примерах, исходные
данные которых заносятся в два столбца. Особенно удачным
было рассмотрение нескольких задач на пятерное правило
с одинаковыми числовыми данными, но с величинами,
находящимися в различных отношениях прямой или обратной
пропорциональности. В приводимых задачах находится до 17
величин. Все примеры ал-Бируни — целочисленные, но тройные
правила обоснованы с помощью общей теории составных
отношений; при этом он ссылается на Евклида и его комментаторов.
Доказательства ал-Бируни носят поэтому общий характер.
Здесь мы встречаемся с уже отмеченным весьма характерным
стремлением математиков стран ислама обосновывать правила,
употребляемые в практической математике, с помощью
древнегреческих теорий.
Правила ложных положений. Возможно, что во времена.
ал-Хорезми в Багдаде уже было известно и правило двух
*) Мы знакомы с ним по неопубликованному переводу Б. А. Розен-
фельда.

202 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
ложных положений. Изложение последнего имеется в
переведенной с арабского языка латинской рукописи «Книга об
увеличении и уменьшении», где правило приписано индийцам1) [111,
112]. Автор книги неизвестен; некоторые историки полагают, что
им был уроженец Египта Абу Камил Шуджа ибн Аслам (ок. 900);
другие считают, что книгу написал испанский еврей Абраам
бен Меир ибн Эзра (род. ок. 1090, ум. 1167). Правило
применяется здесь к задачам, выражающимся многочисленными
линейными уравнениями с одним неизвестным или линейными
системами с двумя неизвестными.
Мы приведем для образца целую серию задач, в которых
требуется определить количество денег у двух человек по двум
симметричным условиям: если один передаст другому ту или
иную сумму, то их наличности окажутся в данном отношении.
Задачи можно выразить уравнениями
х + а = т(у — а).
х—Ъ = п{у+Ь).
Такие задачи встречаются еще в греческой литературе
(популярное двустишие о нагруженных различными тяжестями осле
и муле), в Византии, в том числе у Николая Артавазда, в Индии
у Бхаскары второго, у преемников ал-Хорезми, например
ал-Караджи, в Европе у Алькуина и Леонардо Пизанского
и т. д.
Специальное сочинение о правиле двух ложных положений,
или, как его называли в арабской литературе, правиле ал-ха-
тайн (двух ошибок), написал Коста ибн Лука ал-Ба'лабакки.
«Трактат Косты ибн Луки о доказательстве действий при
исчислении двух ошибок» («Макала ли-Коста ибн Лука фи-л-бурхан
ала асмал хисаб ал-хатайн») [113] начинается с замечания,
что с помощью этого способа можно решать все задачи науки
счисления, в которые не входят корни, т. е. линейные задачи.
Основное содержание трактата составляет доказательство
правила. Автор дает два вывода: чисто арифметический, не вполне
ясный, быть может, по вине переписчика, и другой, опираю-
г) Полный заголовок рукописи таков: «Книга об увеличении и
уменьшении, именуемая счисление отгадывания, которую собрал и составил
Абраам на основании того, что установили индийские мудрецы в
соответствии с книгой, называемой индийской» («Liber augmenti et diminutionis
vocatus numeratio divinationis, ex eo quod sapientes Indi posuerunt, quem
Abraham compilavit et secundum librum qui Indorum dictus est compo-
suit»).—Нельзя не заметить сходства терминологии с китайскими
«избыток» и «недостаток».
Не проникло ли это правило в арабскую литературу какими-то путями
из Китая, минуя Индию, где оно в известных до сих пор математических
сочинениях не упоминается?

ПРАВИЛА ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ
203
щийся на средства геометрической алгебры древних. Это еще
один из множества примеров использования греческих теорий
для обоснования алгоритмов вычислительной математики.
Доказательство проводится для задачи, выраженной
уравнением вида
V /»i ' «л /
или, короче, уравнением
ах = Ъ
{у самого Косты ибн Луки фигурирует вначале задача y + -f- =
=10, но рассуждения носят совершенно общий характер).
Отдельно рассмотрены три
случая: r п Ф
1) когда оба ложных
положения меньше
неизвестного;
2) когда они больше и
3) когда неизвестное
заключено между ними.
Доказательства во всех # д d е
трех случаях очень сходны, рис 47
поэтому мы рассмотрим
только третий.
Значение искомого неизвестного ad и ложные положения
ag, ае представлены отрезками горизонтальной прямой, причем
ag<ad<ae (рис. 47), а свободный член уравнения —
перпендикуляром do. Проведем ао и восставим перпендикуляры gt, eq
до пересечения с ао и ее продолжением aq. В силу
пропорциональности
gt eq do
ag ae ad
перпендикуляры gt, eq представляют собой значения левой
части уравнения при x=ag, х=ае. Так как ложное положение
ag дано, то даны gt и первая ошибка ts; аналогично даны eq
и вторая ошибка fq=sn. Поэтому данными являются площадь
прямоуг. fc=ts-ae=l ош.х2 лож. пол. и прямоуг. rs=fqx
xag=2 ош.х1 лож. пол., а также их сумма, прямоуг. /с+
-{-прямоуг. Г5. Но согласно одной из теорем о гномоне (см.
стр. 77) прямоуг. по = прямоуг. fk, и потому прямоуг. /с+пря-
моуг. Г5 = прямоуг. гк, который также оказывается данным.
Наконец, прямоуг. rk=ad(ts+sn) и, следовательно,
, 1 ош.х2 лож. пол.+2отп.х1 лож. пол.
ad=z 10Ш.+2 0Ш. #

204 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Если обозначить ag=xv b—ax1=dv ае=х2, ax2—b=d2, то
х__ X1d2 + X2d1
^2 + ^1
Правило двух ложных положений широко применялось
в странах Ближнего и Среднего Востока и в мавританских
государствах. Подробное описание его имеется, например,
в «Кратком изложении арифметических действий» («Талхис
фи а'мал ал-хисаб») [114J уроженца Маракеша Абу-л-Аббаса
Ахмеда ибн Мухаммеда ибн ал-Банны ал-Марракушв
(ок. 1256—ок. 1321). Имя «ибн ал-Банна» означает «сын
строителя». Здесь правило двух ложных положений выступает под
названием «правила чаш весов»,
схематически представленных на
рис. 48. Число b располагается
в верхнем углублении, a xv
х2— между параллельными
прямыми справа и слева, — по
выражению ибн ал-Банны кладутся на чаши весов. Ошибки dv
d2 пишутся над или под чашами для xv х2 в зависимости от
того, являются ли эти ошибки (как сказали бы мы)
положительными или отрицательными. Вероятно, ибн ал-Банна знал
геометрическое доказательство правила, хотя и не приводит его:
правило, говорит он, основывается на геометрии. Правило чаш
весов ибн ал-Банна формулирует не на числовом примере, но
сразу в общих выражениях. Эта характерная особенность
«Краткого изложения», присущая и другим содержащимся в
нем правилам, затрудняла его изучение, и в течение двух
столетий к нему был написан ряд комментариев.
В арабской математической литературе иногда встречается
и правило одного ложного положения.
Геометрия в трудах ал-Хорезми. В геометрическом отделе
алгебры ал-Хорезми собраны правила измерения фигур и
показаны простейшие применения алгебры в задачах на
треугольники. Некоторые правила снабжены определениями и
доказательствами или, по крайней мере, краткими пояснениями.
Из плоских фигур ал-Хорезми рассматривает треугольники,
четырехугольники и круг. Он различает три вида
треугольников: прямоугольные, остроугольные и тупоугольные; для
их распознавания он приводит соответствующие равенства или
неравенства между квадратом большей стороны и суммой
квадратов двух других сторон. Все это имелось в книгах I—II
«Начал» Евклида, которые перевел в первый раз еще при Гарун
ар-Рашиде и вторично при ал-Мамуне ал-Хаджжадж
ибн Юсуф ибн Матар, а также в сочинениях Герона. Теорему
х

ГЕОМЕТРИЯ В ТРУДАХ АЛ-ХОРЕЗМИ
205
Пифагора ал-Хорезми доказывает в частном случае
равнобедренного треугольника; его доказательство, понятное из рис. 49,
-совпадает с известным и в Греции и в Индии (стр. 113).
Четырехугольников — пять видов: квадраты, прямоугольники,
ромбы, «имеющие форму глаза»,
параллелограммы—«ромбовидные» и, наконец, четырехугольники
с «полностью неравными» сторонами
и углами. Площадь ромба вычисляется по
диагоналям или по диагонали и одной из
сторон: произвольный четырехугольник
делится диагональю на треугольники
•(очевидно, предполагаются известными
чугороны и диагональ). Совершенно сходная
классификация видов четырехугольников
имеется в I книге «Начал»; Герон к
этому добавляет определение трапеции.
Некоторые задачи ал-Хорезми совпадают с героновыми
вплоть до числовых данных. Таковы задачи об определении
площади равностороннего треугольника со стороной 10 (ответ:
43 с небольшим), о вписании квадрата в равнобедренный
треугольник с основанием 12 и стороной 10 и об определении
площади остроугольного треугольника со
сторонами 13, 14, 15.
Некоторое отличие в формулировке
второй задачи состоит в том, что у
Герона заданы основание 12 и
высота 8. Другое, более значительное
отличие имеется в решении. Герон сразу вы-
и 8-12
ражаетх) сторону квадрата как g 12 ,
между тем ал-Хорезми, вычислив
высоту, находит искомую сторону из
уравнения между площадью треугольника
и суммой четырех частей, на которые
•ее разбивает вписанный квадрат. Есть различие в решении
третьей задачи. Ал-Хорезми принимает (рис. 50) за неизвестную
величину часть стороны ВС, отсекаемую на ней высотой и
прилегающую к стороне АС. Дважды выражая высоту по теореме
Пифагора, он получает уравнение
132 - х2 =152-(14-
х)2
или
28я = 140,
1) Очевидно, используя подобие треугольников.

206 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
откуда х=5, высота равна 12 и площадь 84. Герон же сразу
применяет предложение 13 книги II «Начал» о квадрате
стороны в остроугольном треугольнике
АВ2 = АС2 + ВС2 + 2СВ • CD,
что дает СО—х=5г). Примеры на площади тупоугольного
треугольника у ал-Хорезми и Герона различны.
Для отношения длины окружности к диаметру ал-Хорезми
о 1 т/тл 62832
предлагает три значения: 3 -=-, у 10 и 2QQQQ, о котором
говорится, что его применяют астрономы. Два последних получены
были, вероятно, от индийцев. Все эти значения, прибавляет*
ал-Хорезми, примерно равны. Площадь круга, говорится
далее, равна половине диаметра, умноженной на половину
окружности, и это поясняется замечанием, что площадь любого
правильного многоугольника равна произведению
полупериметра на полудиаметр вписанного круга. Для площади круга S
дается также выражение через диаметр
S = d2-±d2-jSd2;
ал-Хорезми указывает, что оно согласно с первым правилом,
т. е., говоря по-нашему, и здесь я=3у. Такое выражение для
S есть и у Герона, только вместо характерного для арабской
11 1
арифметики у • -=- стоит jj '
Ал-Хорезми приводит еще правило вычисления площади,
сегмента сг круга по дуге s, хорде а и высоте сегмента /г.
Вначале определяется диаметр
тогда для сегмента, меньшего, чем полукруг,
d
s Г d , "\ а
т-{т-к)т>
а для большего, чем полукруг,
d s . f 7 d \ a
Употребляемые здесь ал-Хорезми термины, скорее всего,
индийского происхождения. Дугу он называет, подобно индийцам,
луком, «каус», а высоту сегмента — стрелой, «сахм».
Правила вычисления объемов даны для прямой призмы,
цилиндра, пирамиды, конуса и усеченной пирамиды с данными.
L) Заметим, что эта задача имеется у Магавиры и Бхаскары второ го.

ГЕОМЕТРИЯ В ТРУДАХ АЛ-ХОРЕЗМИ
207
квадратными основаниями и высотой. Последний объем
рассматривается как разность объемов двух полных пирамид,
сначала находятся их высоты. О шаре не говорится.
В геометрической главе алгебры ал-Хорезми нашло
отражение его знакомство с литературой, примыкавшей к сочинениям
Герона (если не с самими этими сочинениями), а также с
индийской геометрией.
Близок по содержанию к геометрии ал-Хорезми
древнееврейский трактат «Учение об измерении» («Мишнат ха-миддот»),
который относят ко времени между серединой II в. н. э. и IX в.
и который, вероятно, ближе к первому сроку. В некоторых
отношениях «Мишнат ха-миддот» теснее примыкает к Герону.
Так, для я: приводится только значение 3 -=-; задача о
вычислении площади треугольника по сторонам решается по формуле
Герона; дается героново приближение для площади сегмента
(см. стр. 70). Существует предположение, что ал-Хорезми знал
«Учение об измерении» в сирийском или персидском перевода
[115]. Не исключено, что ал-Хорезми владел еврейским языком.
Недавно был обнаружен и опубликован трактат ал-Хорезми
«Определение еврейского календаря» («Истихрадж тарих ал-
яхуд»), содержащий некоторые цитаты из библии и
свидетельствующий о знакомстве автора с еврейской религией [116].
Скорее всего, ал-Хорезми и неизвестный еврейский автор
имели в своем распоряжении общие или сходные источники.
Несмотря на небольшой объем, геометрическая глава алгебры
ал-Хорезми содержала очень важный для практиков материал,
изложенный доступно и достаточно корректно. Землемеры того
времени располагали крайне скудными познаниями и нередко
применяли грубо неверные правила. Абу-л-Вафа в
геометрическом отделе книги для писцов говорит, что тогдашние
землемеры принимали площадь треугольника, многоугольника и
круга равной квадрату четверти периметра (для круга это дает
л^4), а площадь любого четырехугольника вычисляли, как
произведение полусумм противоположных сторон. Геометрия
ал-Хорезми, подобно его арифметике и алгебре, оказала
большое воздействие на последующие руководства.
Ал-Хорезми написал еще труд по астрономии, составленный
на основании староперсидских, индийских и греческих
источников и содержащий первые арабские таблицы синусов, а также
таблицы тангенсов [117]. Однако неясно, принадлежит ли
таблица тангенсов самому ал-Хорезми, сочинение которого дошло
в обработке кордовского астронома Абу ал-Касима Масламы
ибн Ахмеда ал-Маджрити из Мадрида (ум. ок.. 1007), точнее,
в латинском переводе этой обработки, сделанном Аделардом
из Бата в XII в.

208 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Трактаты по алгебре Абу Камила и ал-Караджи. Вскоре
после ал-Хорезми значительно продвинулся в области алгебры
и ее приложений уроженец Египта Абу Камил Шуджа ибн
Аслам ибн Мухаммед ал-Хасиб ал-Мисри (последние два слова
означают: египетский вычислитель), живший около 850—930 гг.
Широко образованный тунисский историк Абу Заид Абдаррах-
ман ибн Мухаммед ибн Халдун (1332—1406) называет Абу
Камила первым ученым, писавшим по алгебре после ал-Хорезми.
Сохранилось несколько математических сочинений Абу Камила.
Сейчас мы займемся его алгебраическим трактатом, известным
не по арабскому тексту, а по латинскому и древнееврейскому
переводам,— последний был сделан ок. 1460 г. Мордухаем Финци
из Мантуи, быть может, с испанского перевода [118, 119]1).
В переводе Финци трактат озаглавлен «Вычисление площадей»,
быть может, в связи с другим трудом Абу Камила, о котором
мы скажем далее; подлинное название трактата было, вероятно,
«Книга об алгебре и ал-мукабале» («Китаб ал-джабр ва-л-мука-
¦бала»). Эта книга долгое время пользовалась очень большой
известностью и по крайней мере трижды комментировалась,—
комментарии пока не обнаружены.
Алгебра Абу Камила, как и у ал-Хорезми, ограничена
квадратными уравнениями. Египетский математик исключил из
своего трактата геометрический отдел и собрание задач на
наследства, но в остальном структура сочинения очень близка
к алгебре его багдадского предшественника: сначала дается
решение канонических типов, далее следуют начала
алгебраического исчисления и, наконец, примеры и задачи. У обоих
правила решения квадратных уравнений обосновываются —
хотя по-разному — геометрически; у обоих изложение
словесное. Впрочем, в переводе Финци иногда применяются
индийско-арабские цифры, а иногда вместо них первые девять букв
еврейского алфавита и знак, похожий на наш нуль. Вместе
с тем мы находим у Абу Камила много нового как в теории,
так и в примерах и приложениях.
В самом начале книги Абу Камил со ссылкой на ал-Хорезми
выделяет три рода величин — простые числа, корни и
квадраты, к которым в других местах добавляет и высшие степени
неизвестной — куб (ка'б) квадрато-квадрат (мал мал), квад-
рато-квадрато-вещь (мал мал шай), кубо-куб и, пропуская
седьмую степень, квадрато-квадрато-квадрато-квадрат. Как
видно, Абу Камил применяет аддитивное образование
показателей степени, подобно Диофанту, с тем отличием, что у
последнего пятая степень именовалась квадрато-кубом. Дальше
2) Мы благодарны проф. К. Фогелю, который прислал нам фотокопию
книги [119], являющейся библиографической редкостью.

ТРАКТАТЫ ПО АЛГЕБРЕ АВУ КАМИЛА И АЛ-КАРАДЗКИ 209
F
ал-Хорезми идет Абу Камил в употреблении нескольких, а не
одной лишь, неизвестных, для которых имеет специальные
наименования: для первой неизвестной — корень или вещь
(шай), для второй — динар, для третьей — фале (мелкая
монета), для четвертой—хатам (печать, конец). Используются
они в некоторых задачах при замене неизвестных.
В учении о квадратных уравнениях правила
иллюстрируются на числовых примерах, принадлежащих ал-Хорезми;
впрочем, Абу Камил специально оговаривает,
что эти примеры взяты произвольно. Но в
доказательстве правил Абу Камил отклоняется
от ал-Хорезми, непосредственно основываясь
на предложениях книги II «Начал»,
равносильных выделению в квадратичном двучлене
полного квадрата разности или суммы. Как ?\ р ,/У
известно, эти предложения, именно 5 и 6,
вместе с 28 и 29 предложениями книги VI
«Начал» служили в греческой математике
геометрическим эквивалентом решения
квадратных уравнений в радикалах.
Мы рассмотрим данное Абу Камилом д В /
решение уравнения рис 51.
х2 + q = рх
(как и ал-Хорезми, он предполагает старший коэффициент
равным 1). Абу Камил дает обоснование правил для обоих
положительных корней,— у Евклида построения
соответствовали лишь корню
Л
t
/г
с
-¦i-VUT^
Новым является также исследование случая одного (двойного,
по нашей терминологии) корня.
Предполагая^ у J > q, Абу Камил разбирает сначала случай,
в котором искомый квадрат менее данного числа, т. е. я2<д и,
значит, х2 < С ^ ) • Геометрически представляя искомый
квадрат x2—ABCD, он прилагает к нему прямоугольник DCEF=q,
причем DF>DA (рис. 51). Тогда пр. ABEF=px, AF=p и, если
G есть середина AF, то отрезок AF оказывается разделенным
точкой G на равные, а точкой D на неравные части, так что —
здесь Абу Камил прямо ссылается на книгу II «Начал»
Евклида, имея в виду предл. 5, —
DF.DA + GD2 = AG2.

210
ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Поскольку DF'DA = g, AG = -^ и, согласно предположению,
GD=&—х, будет
¦-'t-VW^-
Абу Камил дополнительно доказывает, следуя Евклиду,
равенство гномона CKGAILC и прямоугольника DCEF.
G В F
D
/У
/Г
7 Л ?
Рис. 52.
Рис. 53.
Предполагая, далее, х2 > ( у j > g, Абу Камил (см. рис. 52,
гдеАВСП^х2, пр. ABFE=q, пр. CDEF=px; G есть середина
CF=p) использует равенство
BF-BC + BG2 = GC2.
Поскольку BF*BC=q, a BG—x—у, будет
*-?+
V{ff-
Наконец, принимая ( -f-) =?и прилагая к ABCD =х2
прямоугольник ABFE=q (рис. 53), Абу Камил на основании тех
же теорем Евклида доказывает от противного, что точка G,
середина CF, не может лежать ни выше, ни ниже точки В, так
что они совпадают и
Мы говорили, что в ранней арабской алгебре квадрат корня
уравнения выступал на равных правах с самим корнем, как
искомая неизвестная. Это особенно отчетливо проявляется
у Абу Камила, который приводит отдельные правила для
непосредственного вычисления в радикалах х2. В наших

ТРАКТАТЫ ПО АЛГЕБРЕ АБУ КАМИЛА И АЛ-КАРАДЖИ 211
символах эти правила для 4—6 нормальных форм таковы:
tf
Рис. 54.
Каждое правило обосновывается с помощью
геометрической алгебры, с тем, однако, отличием, что у Абу Камила отрезки
и площади без различия
могут выражать как числа, так и Н J С ?
первую и вторую степени
неизвестной. Такое отступление
от классического требования
однородности в геометрических
выводах примечательно, хотя F
математики стран Ближнего и
Среднего Востока не пошли
далее по пути создания исчисления отрезков, как поступил много
позднее Декарт. Например, в случае уравнения
x2 + px = q,
где р=10, ?=39, Абу Камил представляет х2 отрезком АВ,
который затем продолжает на ВС=\0х, так что их суммз
АВ+ВС=АС выражает уже число 39 (рис. 54). О квадрате
CBDE говорится, что он во 100 раз более отрезка А В, умножен*-
ного на одну из его единиц, так как отрезок ВС равен 10
корням из отрезка АВ и т. п. В буквенных обозначениях ВС = рх,
CBDE = р2х2, далее, FA = GB берется равным р2.
Последующие рассуждения, которые мы тут же переводим на язык
алгебры, таковы:
пр. ACHF = AF.AC = p2q,
значит,
т. е.
пр. ABGF = p2x2 = vb. СВОЕ,
пр. GHED = EH.CE = p2q,
р2х2 + р2-рх = (р2 + рх)-рх = p2q.
Если / есть середина С#, то (по 6-му предл. VI книги «Начал»)
EH.CE+JC2 = JE2,

212 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
откуда
Наконец, поскольку AC+CJ = q + — , то АВ или
что и требовалось доказать.
Примерам и задачам Абу Камил, подобно ал-Хорезми,
предпосылает ряд правил алгебраических преобразований, но в
значительно большем объеме. Наряду с умножением алгебраических
одночленов и двучленов, умножением и делением квадратных
корней Абу Камил вводит многие другие элементы
алгебраического исчисления; некоторые из них разбросаны, далее, среди
задач. Он считает нужным сформулировать даже такие простые
правила, как
(а \ j а а2 а Ъ л
(последнее имелось и у ал-Хорезми), и особо выделяет правило
а_ , Ь __ а*+Ъ2
Ъ^ а~~ аЪ '
Подробно разобраны случаи, когда сумма или разность двух
квадратных корней из рациональных чисел У~а ± У Ъ
рациональна либо является квадратным корнем из рационального
числа, что бывает, если рационален Y~ab или, что то же,|/ ~ .
При этом Абу Камил применяет правила
числовыми примерами служат:
]/18 ± ]/8 = ]/l8 4-8±2j/~T44, т. е. J/50 или ]/2
и
УТб ±1/2 = "j/lO + 2 ±2/20.
В изложении алгебраического исчисления мы наблюдаем
у Абу Камила две стороны процесса развития алгебры:
повышение теоретического уровня и, несмотря на использование
геометрических приемов доказательств, тенденцию к арифметиза-

ТРАКТАТЫ ПО АЛГЕБРЕ АБУ КАМИЛА И АЛ-КАРАДЖИ 213
ции. Абу Камил регулярно обращает внимание читателя на
общезначимость алгебраических тождеств, которые он поясняет
сначала числовыми примерами, но тут же словесно формулирует
вполне общим образом. В ряде случаев он обосновывает эти
тождества с помощью теории отношений, в частности теоремы
о равенстве произведений крайних и средних членов пропорции.
Здесь имеет место интересный отход от классических традиций.
Абу Камил не проводит различия между общей теорией
отношений Евдокса и теорией отношений соизмеримых величин,
он говорит о пропорциях, не уточняя, соизмеримы или
несоизмеримы их члены. Но совершенно очевидно, и это говорится
прямо, что членами отношений являются числа, которые могут
быть как рациональными, так и иррациональными. Мы
возвратимся к этому важному обстоятельству в последующем.
Сейчас заметим только, что в примерах Абу Камила на теорию
уравнений квадратичные иррациональности постоянно
выступают как числа, как объекты чисто арифметической природы.
Тут они фигурируют и в качестве корней уравнений и в качестве
коэффициентов; последнего у ал-Хорезми вовсе не было, а
первое встречалось крайне редко.
Собрание примеров в сочинении Абу Камила чрезвычайно
богато. Две группы задач примыкают к алгебре ал-Хорезми. Это
серии задач на деление числа 10 на две части, связанные
дополнительными условиями, и на определение числа людей х по
условию —==-ха*+с' ^° и в этих сериях задачи довольно
быстро усложняются и предъявляют большие требования к
технике выкладок с квадратичными иррациональностями.
Другие задачи по сравнению с ал-Хорезми —новые.
Мы рассмотрим несколько примеров, свидетельствующих
о свободном и широком применении квадратичных
иррациональных чисел.
Требуется разделить 10 на два слагаемых я, 10 — х по условию
* +i°Z^ = i/-5.
10 — х ^ х г
Соответствующее квадратное уравнение
(2 + уь) х2 + 100 = (20 + 1/500) х
после умножения на ]/5 — 2 приводится к уравнению
х2 + ]/"500бб - 200 = 10я
с корнем
х = 5-]/225-1/50Ж) .
Этим автор не ограничивается и находит другое, более простое

214 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
выражение для корня, принимая за новую неизвестную, за
10—а: ъ 10—х
вещь . Если = г/, то
X X
Непосредственно из линейного уравнения
х - У х 4 2
неизвестная х получается с иррациональным знаменателем.
Поэтому Абу Камил возводит в квадрат обе части уравнения
10-4-уТр
и находит # = "[/125 — 5 из квадратного уравнения
х2 + 10я=100.
Еще более сложные иррациональности появляются в другой
задаче, которая непосредственно выражается уравнением
(/?+з)(|/!+2Н°-
Первоначальный ход решения как будто показывает, что Абу
Камила мало беспокоит вопрос о наиболее простом решении.
Вместо того, чтобы представить уравнение в виде
х + (2 ]/3 + 3 1/2) Ух = 14 УЪ
и, применив выведенную им самим формулу для квадрата корня,
сразу получить
z=15 + 20"j/6-]/"l449-i-600l/6,
Абу Камил сначала производит преобразования
6+ [/^- + 1/3^ + 1/2^ = 20,
(l4 - j/^)8 = 196 + ¦? - j/130 -| ж» = 5ж +1/247*,
5ж + 1/24^+|/130|-ж2=196 + ^ ,
ж2 +1176 = ЗОж +1/8647 + 1/4704Ж5

ТРАКТАТЫ ПО АЛГЕБРЕ АБУ КАМИЛА И АЛ-КАРАДЖИ 215
и отсюда находит весьма громоздкое выражение
х = 15 + /1176 + ]/216-
_]/~441 + |/1058400 + |/1016 064+ J/194 400.
Но вслед за тем Абу Камил находит и более простое
приведенное нами выражение для корня. Он замечает, что в
предпоследнем уравнении
1/24+ j/l30 -| = l/l54 |+ 2 |/24.130|-= |/266 -|,
так что
х2 +1176 = 30 х + У9600 я2 .
Отсюда Абу Камил получает указанное нами вначале
значение х с тем отличием, что вместо 20 У~6 и 600 j/б у него
фигурируют [/2400 и (/2160000.
Оставляя в стороне некоторые любопытные примеры, в
которых применяется разложение дробей в суммы основных
дробей, обратимся к задаче, в которой собственно алгебраические
приемы комбинируются с правилом ложного положения.
Требуется разделить 10 на три слагаемых по условиям
x + y + z=10, J
xz = y\ (x<y<z);
x2 + y2 = z2 J
у Абу Камила говорится о меньшей, средней и большей частях *).
Сначала берется a?i = l, тогда из второго и третьего
условий для уг получается биквадратное уравнение
1 + У\ = У{
и
Поэтому
г) Здесь и в аналогичных случаях Абу Камил не пользуется для
выражения уравнений новыми предложенными им названиями
нескольких неизвестных (как он поступает в сочинении по теории чисел);
в алгебре эти названия используются иногда лишь при замене
переменных

216 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
И
*:l-10:(lf(- j/I| + j/fb /Ц).
Чтобы представить х в более удобной форме, Абу Камил
производит -— выражая все только словами! — преобразования,
которые переводят последнее линейное уравнение в квадратное
100 + Ъх2 + Yb& = 30 х + ]/50(Ь~2,
з Х"! 1 Г" з ~\/~~ь
и, умножая на -г— 1/ т ""l" Т '~8~= —т— » из нормальной формы
ж2 + 75-]/3125==10ж
получает:
х = 5-1/" /3125^50.
Точно так же вычислив z, Абу Камил находит г/= 10 — х — у.
В дополнение он вычисляет еще у, исходя из ложного
положения уг = 2.
В ходе решения Абу Камил решал здесь биквадратное
уравнение. И в других задачах также встречаются уравнения,
квадратные относительно некоторой степени неизвестной,
например в задаче, которую можно записать уравнениями
x2 + y2 = z2, |
xz=y2, (x<y<z)
ху = 10 ]
и которую автор приводит к уравнению
я8+• Ю(Ь4 = 10 000
с решением
х ={/Vl2500 -50.
Несколько сложнее задачи, приводящиеся к
последовательному решению двух квадратных уравнений, вроде
4]/я-3 |/я=я-3]/я+4;
здесь Абу Камил принимает х—3]/# равным квадрату
вспомогательной неизвестной и т. д.
В трактате Абу Камила нет геометрических приложений.
Алгебраические методы он применил в особой «Книге об
измерении» [120]. Это сочинение, также дошедшее до нас (не
полностью) в латинском и древнееврейском переводах, посвящено
правильным пятиугольникам и десятиугольникам. Речь идет

ТРАКТАТЫ ПО АЛГЕБРЕ АБУ КАМИЛА И АЛ-КАРАДЖИ 217
здесь не о построении их и не о классификации типов
соответствующих иррациональностей, как в «Началах», но о численном
выражении их элементов друг через друга и через диаметры
описанного и вписанного кругов. Так, сторона вписанного
пятиугольника при диаметре 10 выражается корнем
квадратного уравнения
X2 Г4
5 " ° + 625 '
так что
Абу Камил вычисляет также значения стороны вписанного
десятиугольника, затем описанных фигур, потом выражает
диаметр через стороны и еще находит соотношения между
площадями и сторонами. Отметим особо задачу, в которой
нарушается классическое требование однородности: требуется найти
высоту равностороннего треугольника по данной сумме 10
площади и высоты. Дело сводится к уравнению
х2 +VW2 = ]/300
с решением
Оба эти сочинения Абу Камила оказали сильное влияние
на последующее развитие алгебры.
К трудам ал-Хорезми, Абу-л-Вафы и Абу Камила тесно
примыкают две книги багдадского ученого Абу Б акра
Мухаммеда ибн ал-Хасана ал-Караджи (ум. между 1019 и 1029),
уроженца г. Караджа, лежавшего примерно на полпути между
Тегераном и Казвином. Ал-Караджи нередко называют также
ал-Кархи: буква «дж», если под ней пропущена точка,
произносится как «х».
Мы упоминали ранее о «Достаточной книге о науке
арифметики» («Китаб ал-кафи фи-л-хисаб») ал-Караджи [121].
Это сочинение, подобно руководству по практической
арифметике Абу-л-Вафы, предназначалось, как писал сам автор, для
писцов и вычислителей. Оно состоит из 70 небольших глав.
Первые 43 посвящены арифметике, 44—53 — геометрии. Здесь
ал-Караджи во многом следует за Абу-л-Вафой. Главы 54—70—
алгебраические.
В арифметической части ал-Караджи, как и Абу-л-Вафа,
не пользуется цифрами, при изложении действий не выделяет
удвоения и раздвоения. Большое место отведено разложению

218 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
обыкновенных дробей в суммы основных; разъясняется
приведение обыкновенных дробей к общему наименьшему
знаменателю. Нововведением в арабской литературе являлась,
по-видимому, проверка не только 9, но и 11. Тройные правила,
известные в Багдаде по крайней мере со времени ал-Хорезми,
основывались на довольно подробно описанном учении об
отношениях,— в Газне об этом же подробно писал тогда ал-Бируни.
О геометрических главах «Достаточной книги» нам придется
говорить позднее. Пока отметим две задачи на применение
теоремы Пифагора, встречавшиеся ранее в Китае и Индии. В одной
требуется определить длину растущего среди озера тростника,
выступающего из него на 5 локтей, если порыв ветра пригибает
верхушку тростника в 10 локтях от места начального выхода его
из воды. Здесь ал-Караджи непосредственно применяет
правило вычисления диаметра круга по данным стреле и хорде
какого-либо сегмента, которые мы видели у ал-Хорезми (стр. 206).
Условие другой задачи таково: на противоположных берегах
реки шириной в 50 локтей растут друг против друга две пальмы
высотой в 20 и 30 локтей. На вершинах пальм сидят две птицы,
видящие на поверхности рыбу. Опи одновременно устремляются
к ней и одновременно достигают ее на прямой, соединяющей
основания пальм. Требуется определить место встречи и длины
пути обеих птиц. Задача приводится к уравнению первой
степени.
Основным содержанием алгебраических отделов
«Достаточной книги» является решение 6 нормальных типов уравнений.
Доказательства здесь отсутствуют. В методическом смысле
изложение ал-Караджи отличается высокими достоинствами.
Элементы алгебраического исчисления у ал-Хорезми и Абу
Камила включались в текст вслед за решением нормальных
типов и еще пополнялись у последнего по мере надобности.
Ал-Караджи весь такой материал предпосылает решению
уравнений и задач. Он систематически учит основным действиям
над одночленами и многочленами, а также иррационально-
стями, приводит важнейшие тождества и сумму арифметической
прогрессии и только в предпоследней главе сообщает правила
решения уравнений 6 типов, для квадратных — на примерах
ал-Хорезми. Семидесятая глава представляет собой собрание
задач. Все это служит как бы введением в обширный трактат
ал-Караджи по алгебре, написанный около 1010 г. и именуемый
«Ал-Фахри», так как он был посвящен багдадскому визиру
Фахр ал-Мулку [121а].
«Ал-Фахри» состоит из предисловия и двух частей, из
которых первая содержит теоретический материал и примеры и
разделена на 15 глав. В свое сочинение ал-Караджи включил все
главное из алгебры Абу Камила, но в ряде пунктов добавил

ТРАКТАТЫ ПО АЛГЕБРЕ АБУ КАМИЛА И АЛ-КАРАДЖИ 219
новые вещи как в теории, так и в задачах, в частности,
используя «Арифметику» Диофанта.
В предисловии к «Ал-Фахри» сформулирована цель науки
исчисления как отыскание неизвестных величин с помощью
известных, лучшим средством к чему служат правила алгебры,
обладающие общностью и силой. Далее разъясняется
образование различных степеней неизвестной, причем автор следует
за Диофантом, называя пятую степень квадрато-кубом. Дойдя
до кубо-кубо-куба, ал-Караджи указывает, что ряд степеней
можно продолжать без конца и что степени образуют цепь
пропорций, которую мы можем записать в виде
1» л» «^ /у» • /у»2 __ /у»2 • /у»3 ___ /у»3 « /у«4 __
• iA/ «Л/ • %Лу %AJ • «Л/ Jj • «Л/ • • •
К ряду степеней, как у Диофанта, прибавляется ряд «доль»,
т. е. обратных степеней неизвестной, связанных пропорциями
i_._L = J_._L_ JL.JL —
X X2 X2 * X3 ~~ X3 ' X* * * '
Доля числа определяется как то, что при умножении на число
дает единицу.
Значительно богаче и систематичнее, чем у Абу Камила,
аппарат различных правил, «нужных при алгебраических
вычислениях», и предложений, «служащих для решения
затруднений». Помимо разложений квадрата суммы и разности, куба
суммы, тождеств вроде
1 Га2 — Ь2 , / 7ЧП 1 Г^2 — Ь2 t ь\1 а
различных выражений, имеющих вид полного квадрата, и т. п.,
ал-Караджи производит суммирование некоторых
арифметических рядов. Кроме арифметических прогрессий, мы здесь
находим правила
ft—n ft=n
2*'-(2*Х4*+т)
1 1
и
1 1
Доказательство для суммы квадратов, по словам ал-Караджи
ему не удалось, а для суммы кубов он приводит простое и
изящное геометрико-алгебраическое доказательство. Пусть сторона
квадрата (рис. 55) ABCD есть 1-+2+.,.+и(у ал-Караджи тг=10).

220 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Выделим в квадрате гномон BB'C'D'DCB, причем ВВг = п~
Площадь гномона равна
2п(1 + 2+...+п)-п2 = 2п^^--п2 = п\
Выделим в квадрате AB'C'D' гномон B'B"C"D"D'C'B'',
? причем В'В"=п—1. Площадь
гномона равна (п— I)3. Продолжая этот
процесс, мы дойдем до квадрата со
стороной 1, а площадь исходного*
квадрата окажется составленной из-
площадей всех гномонов и 12=13,
так что
13-Ь23+...+гс3 = (1 + 2+...+гс)2.
В" В' В
Рис. 55. Помимо того, ал-Караджи
приводит суммы еще нескольких рядов,
непосредственно связанных с предыдущими; например,
k=n— 1 k=n
2 ft(*+i)-(2*Xfn-i)'
\ 1
/t=n— 2 k=n— 1 k—n—1 k=n—l k—n—\
? ft(ft + l)(ft + 2) = 2 ft»- 2 *=( 2 *)*- ^ ft,
1 1111
последнее суммирование связано с тождеством
(Л-1)Л(А+ 1) = А:3 —/с.
В учении о квадратных уравнениях ал-Караджи тесно
примыкает к Абу Камилу и, например, дает те же самые выводы
правил вычисления х и для х2. Но и тут в «Ал-Фахри» есть
новое. Так, наряду с геометрическим выводом формулы корня
(см. стр. 209) предлагается чисто арифметическое дополнение
до полного квадрата, без ссылок на подходящие предложения
книги II «Начал». Поскольку в примерах, взятых у Диофанта,
коэффициент при старшем члене часто отличен от единицы,
ал-Караджи приводит соответствующие правила, не требующие*
предварительного приведения к нормальным формам ал-Хорез-
ми; эти правила снабжены геометрическими доказательствами.
Особенно заслуживает внимания, что ал-Караджи начал
систематически рассматривать трехчленные уравнения, квадратные
относительно какой-либо степени неизвестной, а также
уравнения, приводящиеся к ним путем деления на степень
неизвестной, т. е. уравнения вида
ах2П + Ъхп = с, ах2П + с = bxn, Ьхп + с = ах2П
Л'
Л"
Л'

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
221
и
ах2П+т = Ьхп+т + схп.
Он дает правила вычисления хп и приводит примеры
уравнений четвертой, шестой и, в последнем случае, седьмой степени.
Нулевое решение, конечно, не учитывается.
В конце первой части ал-Караджи учит некоторым
преобразованиям, позволяющим избавляться в знаменателе от
квадратичных иррациональностей. Например, ищется число, в
произведении с (3+|/5) дающее 1; задача быстро сводится
к решению квадратного уравнения (ср. стр. 216).
Следующие затем пять отделов второй части «Ал-Фахри»
составляют большой сборник задач по алгебре и теории чисел —
их свыше 250. Мы вскоре обратимся к теоретико-числовым
задачам этого сборника. Сейчас же мы должны сделать еще одно
замечание.
Исходя из того, что ал-Караджи не пользовался в обеих
своих книгах цифрами, а также из того, что он многое
почерпнул из «Арифметики» Диофанта, некоторые историки науки
заключали о враждебном в целом отношении ал-Караджи
{и Абу-л-Вафы) к индийской науке и даже о борьбе в то время
двух школ — проиндийской и прогреческой, связанной с
разногласиями религиозных сект [21,1, стр. 763—765; 12, стр. 200].
При этом, правда, не отрицается некоторое влияние индийской
науки и на адептов греческой математики. Вряд ли эта гипотеза
имеет прочное основание. У Абу-л-Вафы и ал-Караджи можно
найти в большом количестве элементы как индийского, так
и греческого происхождения и в не меньшем количестве
элементы давней традиции или ставшие в то время традиционным
достоянием науки стран ислама. Было бы затруднительно
объективно определить удельный вес всех таких элементов.
Главное в том, что нет оснований судить о существовании и
борьбе целых научных «школ» по изложению нумерации.
Напомним, что применение индийских цифр было крайне
незначительным в алгебре такого убежденного ее
пропагандиста, как ал-Хорезми. И если словесное представление чисел
сохранялось столетиями во многих руководствах, то для этого
достаточным основанием были традиционные навыки и запросы
людей, для которых писались такие руководства,
изменявшиеся в средние века очень медленно. Конечно, в творчестве
отдельных ученых отражались их личные вкусы, наличие
соответствующей греческой и индийской литературы и
возможность ее изучения и т. п. Но это уже другое дело.
Вопросы теории чисел. Специальное сочинение по решению
в целых числах систем неопределенных линейных уравнений

222 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
написал Абу Камил. Это —«Книга редкостей в арифметике»
(«Китаб тараиф фи-л хисаб»), известная по арабскому списку,
сделанному между 1211—1218 гг. Мас'удом ал-Джулфари, родом
из селения Джулфар близ Мерва. Как и алгебра Абу Камила,
это сочинение переводилось на древнееврейский, испанский и,
вероятно, на латынь [122].
В кратком предисловии Абу Камил говорит, что целые
решения таких задач иногда бывают единственными, иногда
решений несколько, а некоторые задачи в целых числах не
решаются. Затем он приводит примеры на все три случая,
постепенно их усложняя и подробно излагая ход решения.
Все задачи формулируются как задачи о птицах. Метод
решения отличен от индийского. Прежде всего Абу Камил
решает систему
x + y + z=100, )
5^ + ^ + z=100. |
Он исключает z и выражает у через х:
100-я-у= ЮО-53-g,
а отсюда выводит, что #=19, у=80, z=l. Далее он аналогична
находит шесть решений системы
z + 2/ + z = 100, }
|+| + 2z = 100, }
а затем 98 и соответственно 304 решения двух систем
уравнений, состоящих каждая из двух уравнений с четырьмя
неизвестными.
В задаче 5
x + y + z = 100, )
Зх + | + |=Ю0, |
и получается, что
х = 25 + ^у.
Так как наименьшее целое х возможно при у = 160, что больше
100, общего числа птиц, то Абу Камил заключает, что задача
решения не имеет.

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
223
Венцом сочинения является задача 6:
x + y + z + u + v = lOO, }
2^ + f + 4 + | + ^ = 100. ]
Здесь
* = i + f Z + Ttt'
причем
x + y + z+u = -^ y + Yz + lu< 10°-
Абу Камил строит две серии целых решений. Прежде всего
для у берутся значения 1, 3, 5 и т. д., для z=3, 6, 9 и т. д.,
для м=2, 6, 10 и т. д. и рассматриваются комбинации,
удовлетворяющие условиям г/<59, z<54, м<50. Это дает 1443
решения. Далее берутся для у значения 2, 4, 6 и т. д., для 2=3, 6, 9
и т. д., для и—4, 8, 12 и т. д.; теперь г/<58, z<51, u<52. Это
дает еще 1233 решения, а всего решений оказывается 2676!
Задачи теории чисел в «Ал-Фахри» ал-Караджи в
значительной части заимствованы из «Арифметики» Диофанта, а
некоторые — традиционно восточные. Мы особо укажем задачу
на решение неопределенной линейной системы с пятью
неизвестными:
#+ 3-(2/ + 2 + w) = s,
y + -?{z + u + x) = s,
z + -s(u + x + y) = s,
u + -Q-(x + y + z) = s.
Она встречалась у Диофанта и затем появляется у Леонардо
Пизанского (с несколько измененными коэффициентами).
Решение таких задач мы рассмотрим в четвертой главе.
Возможцо, что ал-Караджи первый выделил задачу об
определении квадратного числа, сумма или разность которого
с данным числом есть квадрат. Автор решает два примера:
х2 + 5 = у2 и х2 — 10 = у2.
В первом случае он полагает у=х-\-1 и во втором у=х—1,
что дает решения # = 2 и соответственно # = -«-. Обе задачи
представляют собой частные виды неопределенного уравнения
у2 = ах2 + Ьх-\-с,

224 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
рассмотренного уже Диофантом и самим ал-Караджи в конце
первого отдела «Ал-Фахри». При квадратном а ал-Караджи
вберет y=]/ra x-\-d, где d — какое-нибудь данное число, а при
квадратном с полагает у~шх-\-\гс, где берется какое-нибудь т.
Диофантовы подстановки ал-Караджи применяет также к
некоторым новым видам уравнений, вроде системы
у2 = х3 + ах2, z2 = х3 + Ьх2.
Если положить
у == щх, z = пх,
то
х — т2 — а — п2 — b
и дело сводится к определению двух квадратов 7тг2, п2, с
данной разностью Ь—а, т. е. к предыдущей задаче.
В усложненном виде та же задача встречается в труде
о построении прямоугольных рациональных треугольников Абу
Джафара Мухаммеда ибы ал-Хусейна (первая половина XI в.
[123]). Задача ставится и решается геометрически: речь идет
о построении рациональных квадратов, которые при
увеличении и уменьшении на одну и ту же данную величину
преобразуются в рациональные квадраты. Построение ал-Хусейна
можно выразить следующим образом: если рациональные
числа х, г/, z связаны равенством
то
z2 ± 2ху = (х± у)2.
Это было известно еще Диофанту. Взяв в качестве х, у, z
соответственно а2—б2, 2а6, а2+62— эти тройки целых
пифагорейских чисел были ибн ал-Хусейну известны,— мы получаем
тождества
(fl2 + ?2)2 ± iab (aS _ J2) = (а2 __ b2 ± 2аЪ)2,
которые позволяют путем подбора а, Ь строить целые и
рациональные решения неопределенных систем вида
u2 + k = v2, |
м2 — k = w2. j
Впоследствии остроумный общий метод решения таких систем
предложил Леонардо Пизанский.

РАЗВИТИЕ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ; ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ 225
Упомянем еще задачу ибн ал-Хайсама об отыскании числа,
делящегося на 7 и при делении на 2, 3, 4, 5, 6 дающего в остатке 1.
И эта задача вновь появляется у Леонардо Пизанского. Еще
ранее такие задачи мы находим у Магавиры.
Теоретико-числовые исследования математиков стран ислама
были мало оригинальны, и мы не будем входить в разбор
отдельных работ по магическим квадратам, линейным неопределенным
системам (вроде уже указанной ранее задачи «о птицах») и пр.
Отметим только два исследования.
Одно из них представляет собой попытку доказательства
невозможности решения в рациональных числах уравнения
X3 + у3 = 23,
т. е. первого частного случая знаменитой теоремы Ферма. По
сведениям ибн ал-Хусейна, это доказал астроном и математик из
Ходжента (ныне Ленинабад) Абу Мухаммед Хамид ибн ал-Хидр
ал-Ходжанди (ум. около 1000). Доказательство ал-Ходжанди
не сохранилось; ибн ал-Хусейн сообщает, что оно было
недостаточным.
Другое заслуживающее упоминания открытие сделал
работавший в Багдаде выходец из звездопоклонников-сабейцев Абу-л-
Хасан Сабит ибн Корра ибн Марван ас-Саби ал-Харрани
(ок. 830—901), уроженец месопотамского города Харрана —
религиозного центра сабейцев [124]. Сабит ибн Корра показал,
что при простых ?=3.2П—1, g=3.2n-1—1, г=9.221г~1—1 числа
M=2rb-p-qn N=2n<г являются дружественными, т. е. каждое
из них равно сумме делителей другого, как, например, 220
и 284. Этот вид чисел появляется в неопифагорейской
литературе, но способ их составления ранее был неизвестен. Пара 220,
284, соответствующая п—2, долгое время служила
единственным примером дружественных чисел; новые пары (17 296
и 18 416 при и=4, 9 363 584 и 9 437 056 при л=7) нашли
П. Ферма и Р. Декарт. Л. Эйлер, посвятивший дружественным
числам специальное сочинение (1749), дал таблицу 61 пары
этих чисел. Общий закон образования дружественных чисел
не найден до сих пор.
Обратимся теперь к дальнейшей истории отдельных
математических наук и проблем.
Развитие позиционной системы; десятичные дроби.
Позиционная система счета получила дальнейшее распространение,
прежде всего, в шестидесятеричном счислении, которое
применяли астрономы. Это была полная позиционная шестидесятерич-
ная система целых и дробей, более совершенная, чем созданные
в древности. Она была известна, вероятно, уже Абу-л-Вафе,
но первое описание ее мы находим, в сочинении «О началах

226 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
исчисления индийцев» («Фи у су л хисаб ал-Хинд»),
составленном Кушиаром ибн Лаббаном ал-Джили (ок. 971—1024),
уроженцем Гиляна (по-арабски — Джилян), который лежит
к югу от Каспийского моря [125].
Каждое из чисел от 1 до 59 изображается в этой системе
(рис. 56) с помощью индивидуального знака — алфавитным
/ / 2 4
? J С U ^
J/
L
4!
I'
«f/
22
К~У9
42
\~к
22
// 72 7J 74 75 72 77 72 73 22
* j$ i * z> $ ; ?is j
// 22 22 24 22 22 27 22 22 22
"' "" 22 24 JJ 26' 27 22 22 42
^ у* ?*> QO yo <o У* /у
42 44 42 42 47 42 42 277
"* * * / / 6 к?
22 24 22 22 27 22 22
Рис. 56. Цифры джумал.
обозначением данного числа. Так как при этом числа от 1 до 59
обозначаются одной или двумя буквами, сумма числовых
значений которых равна данному числу, эти цифры называют
«джумал», что есть множественное число от слова «джумла»,
т. е. сумма. При этом буквы-десятки пишутся справа от букв-
единиц. Для нуля применяется особый знак §, который, быть
может, произошел от обозначения нуля учеными Александрии
при записи шестидесятеричных дробей в виде буквы о (от слова
oxxAw — удейн — «ничто») с черточкой наверху; смешение с
числовым значением о, т. е. 70, было при этом исключено, ибо
в шестидесятеричной записи дроби оно не встречается.
Остальные целые и дроби, в случае необходимости
приближенно, записываются в форме
ап60п + а^бО*"1 +...+а0 + а^бО"1 + .. • + а^бО"""1,

РАЗВИТИЕ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ; ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ 227
где все ak могут иметь значения от 0 до 59. Дробные разряды
именовались по греческому образцу минутами, секундами,
терциями и т. д., разряд единиц — градусами, а высшие шести-
десятеричные разряды «первыми поднятыми», «вторыми
поднятыми» и т. д. Более подробно, чем у Кушиара ибн Лаббана, счет
и действия в позиционной шестидесятеричной системе описаны
в «Ключе арифметики» ал-Каши [126, 125].
Джемшид ибн Мае'уд ал-Каши или ал-Кашани, по
прозванию Гиясэддин, что значит «помощь веры», происходил из
иранского города Кашана, расположенного между Тегераном
и Исфаганом. Он родился в третьей или в начале последней
четверти XIV в. В 20-х годах XV в. он переселился по
приглашению Улугбека в Самарканд, где возглавил ряд астрономических
работ и где умер в 1429 г. или несколько позднее. Ему
принадлежит много сочинений по астрономии,и три замечательных
математических трактата, из которых «Ключ арифметики»
(«Мифтах ал-хисаб») был закончен 2 марта 1427 г. [126а]. К
двум другим трактатам мы еще возвратимся.
«Ключ арифметики» представляет собой мастерское
руководство по элементарной математике, в котором автор учел
интересы очень широкого круга читателей. По богатству
материала, ясности и стройности его изложения книга является
почти единственной во всей средневековой литературе. Конечно,
большая часть сведений не нова и здесь можно найти задачи,
встречавшиеся на много веков ранее. Название книги, которое
встречалось и у более ранних сочинений, означает, что
арифметика рассматривается как ключ к решению всяких задач,
приводящих к вычислению, или, по словам самого автора,
арифметика—наука о нахождении числовых неизвестных с помощью
соответствующих им известных. Так определял науку
исчисления еще ал-Караджи. Сочинение разделено на пять книг:
1) об арифметике целых, 2) об арифметике дробей, 3) об
исчислении астрономов, 4) об измерении и 5) о нахождении
неизвестных с помощью алгебры, правила двух ложных положений
и пр. Благодаря его высоким достоинствам «Ключ арифметики»
переписывали в течение сотен лет; литографированное издание
этой книги было выпушено в Тегеране еше в 1889 г.
Позиционная шестидесятеричная система изложена в третьей
книге «Ключа»— о способе исчисления астрономов. Для
изображения числа пишутся подряд все его цифры и указываются
либо все разряды, либо один низший разряд, например:
1 33 26 45 37 секунд означает 1.602+33.60+26+45.60"1+
+37-60"2 и читается: 1 дважды поднятых 33 поднятых 26
градусов 45 минут 37 секунд. Умножение и деление основаны на
применении двух таблиц. Первая — таблица умножения до
59-59, которая должна быть под руками вычислителя, ибо

228 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
запомнить входящие в ее состав 59-30 = 1770 произведений
нелегко. Вторая таблица служит для определения разряда
произведения или частного двух шестидесятеричных разрядов.
Ал-Каши формулирует соответствующие правила в общем виде,
для любых целых показателей, которые называет «номерами
разрядов». Для этого он ставит в соответствие градусам, т. е.
единицам шестидесятеричной системы, в качестве номера
разряда нуль, т. е., по существу, полагает а°=1, а без
отрицательных чисел обходится, различая стороны, по которым
располагаются разряды целых и дробей относительно градусов, или,
как он еще говорит, «восходящие» и «нисходящие цепи».
Наши правила
и • и = а И и . CL = d
ал-Каши формулирует так:
«Сумма номеров двух разрядов простых сомножителей,
если они по одну сторону от единиц, или разность между ними,
если они по разные, есть число разряда произведения со
стороны суммы или со стороны превосходства, а разность номеров
двух разрядов простых делимого и делителя, если они по одну
сторону от единицы, и сумма их, если они по разные, есть
номер разряда частного от деления в восходящей цепи, если
разряд делимого находится над разрядом делителя, и в
нисходящей цепи, если не так» Г126, стр. 93].
Как и его предшественники, ал-Каши умел приводить к
общему показателю произведения радикалов и словесно
формулировал предложения вроде
уъ.уъ=ту~^ шуъ*=mV^w\
Разработка действий над показателями степеней велась
тогда и в Европе. В конце XIV в. Н. Орем ввел в терминах
античной теории отношений дробные показатели, Н. Шюке
в 1484 г.— нулевой и отрицательные показатели, М. Штифель,
введший само слово «показатель» (exponens), смог в 1544 г.
коротко сказать: при умножении показатели складываются,
при делении — вычитаются.
Умножение и деление шестидесятеричных целых и дробных
чисел производится у ал-Каши совершенно так же, как в нашей
десятичной системе. Ранние арабские математики, подобно
ал-Хорезми, сначала переводили шестидесятеричные дроби
в целые десятичные числа единиц низших разрядов,
производили действия в десятичной системе и затем совершали обратный
переход к шестидесятеричной системе. Для проверки
результата у ал-Каши применяется деление на 59=60—1, играющее
здесь ту же роль, что и проверка девятью (т. е. 9=10—1)
в десятичной системе.

РАЗВИТИЕ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ; ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ 229
В изложении шестидесятеричной позиционной арифметики
ал-Каши в основном следовал за многими более ранними
учеными. Принципиально важный шаг вперед он сделал,
распространив десятичный счет целых на дроби.
В первой главе второй книги «Ключа», посвященной
дробям, ал-Каши упоминает, что ввел, по аналогии с шестиде-
сятеричными дробями, дроби, составленные из
последовательных степеней одной десятой, и называет эти степени десятыми,
десятичными секундами, десятичными терциями и т. д., а сами
дроби — десятичными дробями1). Целью его было создать
систему дробей, в которой, как и в шестидесятеричной системе,
все действия производят как с целыми, но основанную на
общеупотребительном десятичном основании и потому доступную
тем, кто не знает «исчисления астрономов». В четвертой книге
об измерении фигур многие результаты переводятся в
десятичные дроби. Действия над десятичными дробями описаны
в третьей книге. Ал-Каши, собственно, достаточно было бы
сделать замечание, что эти действия производятся по уже
известным правилам «исчисления астрономов», но он еще раз особо
формулирует правило для показателей при умножении и
делении; именно это правило мы привели на стр. 228. Большое
внимание уделено переводу шестидесятеричных дробей в
десятичные и обратно; в помощь вычислителю приведены
компактные таблицы для выражения десятичных чисел вида akAOn,
где 10"10<10п<1010, а/г=1,...,9, через шестидесятеричные.
Когда шестидесятеричное число не выражается конечной
десятичной дробью (десятичная дробь выражается
шестидесятеричной точно), ал-Каши округляет приближение вполне
по-современному,— так, впрочем, поступал еще Абу-л-Вафа.
Например, найдя, что 8'29"44"' (дробная часть числа я)
равно 0,141592, причем в остатке есть еще 35'33"20"', т. е.
больше половины единицы последнего десятичного разряда,
он округляет десятичную дробь, увеличивая последнюю цифру
на 1. Сам ход вычислений таков. Если
8 29 44 _ х у z
60"1" 602 "*" 603 "* 10"1" Ю2 "Г 103 ^ * ' ''
то, умножая на 10, имеем:
"*" 60 "*" 602 "^ 603 ~~ "*" 10 "г 102
и, следовательно, х—i. Так же поступаем с равенством
24 . 57 20 _ у z
60 "^ 602 "*" 608 ~" 10 "*" 102 "*" * • "
*) Десятичные дроби применяются и в более раннем сочинении
ал-Каши об измерении окружности, с которым мы еще встретимся.

230 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
и т. д. При этом возникает таблица, во втором столбце которой
(справа) стоят цифры десятичной дроби, а в первом (под
чертами) — преобразуемые шестидесятеричные дроби (рис. 57).
Рис. 57. Перевод шестидесятеричной дроби 8'29"44'" в
десятичную 0,141592. Из «Ключа арифметики» ал-Каши (лейденская
рукопись 1554 г.).
Зиметим, что ал-Каши не отмечает бросающейся в глаза
периодичности полученной им дроби 0,141(592).
Для изображения десятичных дробей, которые пишутся
в одну строку с целой частью числа, ал-Каши применял разные
способы: отделял целую часть вертикальной чертой или писал
ее другим цветом, надписывал над цифрами название разрядов,

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ И БИНОМ НЬЮТОНА 231
а чаще всего называл только низший разряд, определяющий
остальные.
Единицы
1
4
1
5
9
2
Минуты
24
9
35
55
15
35
Секунды
57
33
33
33
33
33
Терции
20
20
20
20
20
20
Попытки введения десятичных дробей делались и ранее.
Применение их встречалось, как мы знаем, в Китае. Возможно,
что до ал-Каши дошли какие-либо сведения об этом. Сам он,
однако, считал введение десятичных дробей собственной
заслугой. Во всяком случае, выделение и регулярное применение
десятичных дробей и описание операций над ними является
достижением ал-Каши. Краткий набросок системы десятичных
«прим», «секунд», «терций» и т. д., встречающийся в рукописи
еврейского математика Иммануила Бонфиса, жившего в Тара-
сконе в. XIV в., совершенно незначителен по сравнению с
учением о десятичных дробях ал-Каши (см. стр. 354),
Извлечение корней и бином Ньютона. После ал-Хорезмп
арабские математики внесли ряд упрощений в порядок первых
четырех арифметических действий, заимствовали у индийцев
или сами предложили новые способы расположения выкладок.
На этом мы останавливаться не будем. Гораздо большее
значение имело совершенствование приемов извлечения
корней [127].
Извлечение кубического корня по способу, совпадающему
с древнекитайским, т. е. по способу Руффини — Горнера,
описал впервые ан-Насави. Абу-л-Вафа написал сочинение
об извлечении корней третьей, четвертой и седьмой степеней *),
ал-Бируни — об извлечении корня третьей и высших степеней.
Эти сочинения не обнаружены. Утрачен и трактат Хайяма
«Трудности арифметики» («Мушкилат ал-хисаб»), в котором был
г) Сочинение это называется «Книга об определении ребра куба, ква-
драто-квадрата и того, что состоит из них» («Йитаб истихрадзк зил ал-ка'б
ва мал ал-мал ва ма ютрикаб минхума»). В понимании предмета этой
книги мы придерживаемся мнения П. Люкея [127]. Ф. Вепке считал, что в ней
рассмотрено было, кроме извлечения корней 3-й и 4-й степени, решение
уравнения
х* + ах3 = Ъ.

232 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
изложен способ определения целых корней с любым натуральным
показателем из целых чисел. В своей алгебре Хайям говорит,
что дал числовое доказательство индийского приема
извлечения квадратного и кубического корней, основанного на
формуле квадрата и, соответственно, куба двучлена, и
распространил этот прием на любые целые показатели. Можно думать, что
Хайяму был известен «бином Ньютона» для целых показателей
[132, стр. 22, и 119].
Единственное известное нам в арабской литературе описание
общего способа извлечения корней из целых чисел содержится
в «Ключе арифметики» ал-Каши. В главе «Об определении
основания степени» первой книги этого сочинения он дает подробное
изложение правила и также подробно иллюстрирует его на
примере, [/ 44240899506197, сводя все выкладки в очень удобно
расположенную таблицу. В дальнейшем приводятся примеры
извлечения корней из шестидесятеричных чисел, без перевода в
десятичные, среди них YШ^^ЩWiЩ^W^WЩщШгШ''.
Метод ал-Каши для определения целой части корня — это
метод Руффини — Горнера и автор не претендует на его
открытие. Возможно, что ал-Каши или его предшественники
получили этот способ от китайцев.
В «Ключе арифметики» содержится также единственное
известное нам от того времени изложение правила возведения
двучлена в любую натуральную степень, которое автор опять-
таки не считает своим открытием. Однако это правидо ал-Каши
использует не для отыскания целой части корня, а для
приближенного вычисления дробной части иррационального корня
из целого числа.
Биномиальные коэффициенты ал-Каши называет элементами
показателей степени, не относя этот термин лишь к
коэффициентам первого и последнего членов разложения, равным
единице. Квадрат имеет один элемент показателя степени, куб —
два, а для каждого следующего показателя число их
увеличивается на единицу. Ал-Каши дает аддитивное правило
последовательного вычисления коэффициентов, соответствующее нашей
формуле Сп =Cn-i +Cn-i, и приводит их таблицу (рис. 58}
до 9-й степени включительно:
9
36
84
126
126
84
36
9
8
28
56
70
56
28
8
7
21
35
35
21
7
6
15 5
20 10 4
15 10 6 3
6 5 4 3 2

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ И БИНОМ НЬЮТОНА 233
Рис. 58. Таблица биномиальных коэффициентов. Из «Ключа
арифметики» ал-Каши (лейденская рукопись 1554 г.).

234 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Правило бинома ал-Каши формулирует для 5-й степени,
но поскольку известен способ продолжения «треугольника
Паскаля», оно носит общий характер. Форма правила несколько
отличается от привычной нам; ал-Каши выражает разность
(а + Ь)п - ап = С^-Ч + С2пап-Ч* +...+Ьп.
Отдельно дается правило для разности
(а+ 1)"-ап = Ckan'1 + aan'2+ ... + 1;
это делается потому, что (а + 1)п — ап является знаменателем
дробной части корня. Корень Уап + г , где а —целое и
г < (а + 1)п — ап, ал-Каши приближенно выражает в виде
Для квадратного корня, в частности, получается приближение
Вывода своей формулы ал-Каши не приводит. Поправка
к целой части могла быть получена с помощью линейного
интерполирования. Пусть y=Yx\ если ж1 = ап, то у1 = а1 если
х2 = (а+1)п, то г/2 = а + 1. В таком случае, для х = ап + г
У—У1 ^. х—х1
-3L , т. е. y = Van + r ~ а+ (а+*п_аП
2/2—2/1 *2~
Возможно также, что поправка найдена была с помощью
формулы бинома. Если
то
Yaa + r = a + Q (Q<1),
Г
г
Заметим, что для нахождения этой дробной поправки нет
необходимости вычислять ее заново: числитель и все
слагаемые знаменателя получаются попутно при отыскании целой
части корня. В рассмотренном ал-Капш примере (рис. 59)
21
У **Ш*УУ ЬОб W7 ~ 536 414237,4Q28i •

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ И БИНОМ НЬЮТОЛА 235
Рис. 59. Извлечение корня пятой степепи из числа
44240899506197. Из «Ключа арифметики» ал-Каши
(лейденская рукопись 1554 г.).

236 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Частные случаи общей формулы приближенного извлечения
корня были известны в странах ислама задолго до ал-Каши.
Ан-Насави, например, применял правила
2а+1 ' у и, -г, -»,-г 3а2 + За+1 '
Иногда, как уже говорилось (ср. стр. 143), приближение
улучшали с помощью итерационного процесса, восходящего еще к
вавилонянам. Так, западноарабский ученый конца XII в*
Абу Закария (или Абу Бакр) Мухаммед ибн Абдалла ал-Хас-
cap применял приближение
Va2 + r = a+^
1 К2а )
2а
(•+?)'
В Европе извлечение корней, основанное на разложении
бинома, было описано для показателей до 8-й степени П. Апианом
в 1527 г. и в более общей форме М. Штифелем в 1544 г.,
который дал таблицу биномиальных коэффициентов до 17-й
степени.
Для более точного вычисления иррационального корня
ал-Каши рекомендует домножать подкоренное число на
соответственную степень десяти:
Уд? V102kN
Viy — ioft •
При извлечении корня из дроби в случае иррациональности
корня знаменателя используется правило
V N JS
Характерны для постоянного внимания ал-Каши к возможно
большей точности приближений примеры извлечения корней
из смешанных чисел. Квадратный корень из 7-тг вычисляется
сначала как
v
4+4~2зт!-
Результат будет лучше, если представить предварительно число
в виде дроби:
V4-
/258 /256+2 п67
6 6 "" 6 99
В самом деле, погрешность первого значения около 0,04, а
второго около 0,004.

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИЙ 237
С большой точностью автор вычисляет ребра правильных
многогранников. Числа ]/2, УЪ, —r=z даются до квинт, т. е.
У 3
до 60"5, что соответствует 1,5- 10~9. Мы находим здесь также
приближения
"-^=1/^10(5-1/5)^ lo10,32"3"'13""55","
и
|.(]/15-]/з) ъ 0°21'24"33'"34""17'"".
Иррациональные числа и теория отношений. В технике
и точности вычислений ал-Каши превосходил своих
предшественников, но он лишь продолжал многовековую линию развития.
Тригонометрические и геометрические расчеты, особенно
составление все более точных астрономических таблиц, постоянно
приводили математиков стран ислама к действиям с
иррациональными числами. Геометрические приложения алгебры и ее
быстрое развитие также вели к тому, что иррациональности и,
прежде всего, квадратные корни из неквадратных целых и
дробных чисел все в большем объеме становились необходимым
предметом изысканий. Если у ал-Хорезми иррациональности
редки и совершенно элементарны, то уже Абу Камил регулярно
я. весьма искусно оперирует со значительно более сложными
квадратичными иррациональностями; то же относится и к
ал-Караджи.
В этих условиях, естественно, происходит арифметизация
античного учения о квадратичных иррациональностях, а именно,
книги X «Начал» Евклида, отдельные теоремы которой
непосредственно использовались для преобразования и упрощения
радикалов, входящих в выражения корней числовых
квадратных уравнений.
«Начала» служили в странах ислама важнейшим учебным
руководством и отправным пунктом исследований. С конца
VIII в. до середины XV в. можно назвать около пятидесяти
математиков, занимавшихся их переводами, переделкой и
комментированием.
Существенную роль в привлечении внимания к
комментированию «Начал» сыграл крупнейший философ того времени,
Абу Наср Мухаммед ибн Мухаммед ал-Фараби (870?—950
дли 951). Уроженец одного местечка близ г. Фараба, при
впадении реки Арысь в Сыр-Дарью, ал-Фараби происходил из
среднеазиатской тюркской военной аристократии; работал он
в Багдаде и Алеппо. Воззрения ал-Фараби представляют собой
сочетание некоторых мусульманских идей с платонизмом и

238 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
особенно с аристотелизмом, который он успешно
пропагандировал на Востоке. Интерес философа к «Началам» объясняется
тем местом, которое в них занимает анализ основных понятий
геометрии и арифметики, понятий, играющих важную роль
в трудах Аристотеля. Составленные ал-Фараби «Комментарии
к трудностям во введениях к первой и пятой книгам Евклида»
(«Шарх ал-мустаглак мин мусадара ал-макала ал-ула ва-л-
хамиса мин Уклидас») дошли до нас в древнееврейском
переводе. По поводу определений точки, линии, поверхности ал-
Фараби писал:
«Обучейие надлежит начинать с ощущаемого тела, затем
перейти к рассмотрению тела, отвлеченного от связанных с ним
ощущений, затем к поверхности, затем к линии и затем к точке»
[128, стр. 96]. Здесь ал-Фараби примыкает к Аристотелю,
учившему, что математические понятия создаются путем отвлечения
от свойств реальных предметов. Математическое значение
комментариев ал-Фараби, впрочем, невелико, и здесь важнее их
стимулирующая роль, чем конкретное содержание. Ал-Фараби,
как и другие философы, привлекал внимание математиков
к трудам Аристотеля, что вскоре приобрело серьезное значение
и для специальных математических исследований, например
для творчества Хайяма.
Особенно пристальный интерес вызывали у математиков
узловые проблемы «Начал»: учение о параллельных, теория
отношений и теория квадратичных иррациональностей. Уже
при ал-Мамуне были составлены комментарии к книге V,
принадлежащие ал-Аббасу ибн Сайду ал-Джаухари и
руководителю астрономической обсерватории Абу-т-Таджибу Санаду
ибн Али. Сабит ибн Корра, давший новый перевод «Начал»,
написал к ним пояснения, в частности к книге V, и специальный
комментарий к теории параллельных. Работавшему в Багдаде
уроженцу иранского города Махана Абу Абдалле Мухаммеду
ибн Исе ал-Махани (ум. ок. 880) принадлежат комментарии
к книгам I, V, X, XIII. Вслед за ал-Махани толкованием «Начал»
занимались багдадский математик и астроном Абу-л-Аббас
ал-Фадл ибн Хатим ан-Найризи, известный также под
латинизированным именем Анариция (ум. ок. 922), Мухаммед ибн
Абд ал-Баки ал-Багдади (ум. ок. 1100) и др.
Теория квадратичных (и биквадратичных)
иррациональностей строится в книге X «Начал» на основе их представления
геометрическими образами — отрезками и прямоугольниками.
В ней дается классификация и выводятся свойства величин,
которые можно рассматривать как иррациональные корни
общих квадратных и биквадратных уравнений; классификация
эта служит в книге ХТП для определения и построения ребер
правильных многогранников. В книге X выводятся, среди

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИЙ 239
прочего, столь важные преобразования, как
Va±Vb=Va + b±2Vab , (1)
1^Г^=|/^^±/^^. (3)
Арабские комментаторы раскрывают арифметическое
содержание таких преобразований и иллюстрируют их числовыми
примерами. Аналогично поступал Бхаскара, но в гораздо менее
широком масштабе. Вот некоторые примеры ал-Багдади [129]:
уТб ± Y8 = Vl8 ±]/320 ,
]/б ±1/20 = ]/5 ±1,
4|/12± |^3 = ]/"|/27±1/24 = ]/Г51± |/2592
(последнее легко получить, представив левую часть в виде
ГЗ(/2±1/1) = КЗ • 1/1/9±]/8,
У ал-Караджи встречаются и преобразования несложных
кубических радикалов: j/54- (/2= |У 16, ^54+ \/~2= [f 128".
Таким образом, в науке Ближнего и Среднего Востока
стирается самое различие между геометрическими
несоизмеримыми величинами и числовыми иррациональностями.
Иррациональные числа становятся полноправным предметом
арифметики и алгебры. Выражение такой точки зрения можно найти
у ал-Бируни, на которого некоторое влияние оказали и
сочинения индийцев. В тригонометрической книге своего «Канона
Мас'уда» ал-Бируни говорит: «Окружность круга к его
диаметру составляет отношение, это отношение числа окружности
к числу диаметра, но это отношение иррационально» [166,
стр. 303]. Если многие математики, вслед за греками и
александрийцами, называли произведение двух отрезков
«прямоугольной поверхностью», построенной на этих отрезках, то
ал-Бируни в этом случае систематически говорит о
«произведении линий» [126].
Математики стран ислама не ограничились, как индийцы,
фактическим употреблением иррациональных чисел, а подошли
к ним, как к. объекту теоретического исследования. Для этого

240 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
они использовали античную теорию отношений, подвергли
ее разбору и критике, а затем развили собственную теорию
и расширили объем понятия о числе до множества
действительных положительных чисел.
Критический анализ теории отношений Евдокса — Евклида
был дан уже ал-Махани, за которым последовали многие
выдающиеся ученые [130]. Никто не отрицал при этом правильности
классического определения одинаковости двух отношений.
Но большинство математиков полагало, что это определение
не раскрывает существа пропорции, мы бы сказали, не выражает
измерительной функции отношения. В то время как в
определении пропорциональности соизмеримых величин основную
роль играл процесс измерения одной величины другой —
алгоритм Евклида, в общем определении книги V «Начал»
непосредственно сравниваются некоторые равнократные члены
пропорции1). Математики стран ислама стремились в самом определении
равенства отношений выдвинуть на первый план процесс
измерения и вместе с тем установить тесную связь между
несоизмеримыми отношениями и отношениями соизмеримыми,
служащими для аппроксимации первых. Постепенно классическое
определение пропорции заменяется новым, по существу,
возрождающим доевдоксово так называемое антифайретическое
определение, покоящееся на алгоритме Евклида и
равносильное определению равенства двух отношений через равенство
соответственных неполных частных их разложений в
непрерывные дроби2). Такое определение имеется и у ал-Махани, у
которого оно выступает, однако, не как исходное, а как свойство
пропорции, определяемой по Евклиду. За ал-Махани
последовал целый ряд авторов: ан-Найризи, ибн ал-Хайсам и др.
Специальное внимание было уделено, начиная с Сабита ибн
Корры, учению о составных отношениях, на которых
базируются важные отделы геометрии, тригонометрии и
арифметики (тройные правила). Развернутую теорию отношений мы
находим в «Комментариях к трудностям во введениях книги
Евклида» («Рисала фи шарх ма ашкал мин мусадарат китаб
Уклидас»), написанных в 1077 г. Омаром Хайямом [131, 132].
Первая книга «Комментариев» посвящена теории
параллельных, и мы рассмотрим ее позднее. Две следующие книги
отведены теории отношений.
г) По этому определению, пары величин А, В ж С, D находятся в
одинаковом отношении, если для любых натуральных чисел т, п при
выполнении одного из условий пА — тВ выполняется соответствующее
условие пС-^mD [33а, I, стр. 142].
2) Об антифайретической теории древних греков см. [133, I].

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИЙ 241
Определение пропорциональности в книге V «Начал» Хайям
также считает правильным, но не «истинным», т. е. не
выясняющим истинной сути дела, поскольку подлинный смысл
отношения заключается в процессе измерения одной величины с
помощью другой.
Для числового отношения Хайям принимает евклидово
определение [см. 33а, II, стр. 10], но в случае несоизмеримых
величин он определяет пропорцию по-иному (предыдущие члены
отношений предполагаются меньшими, чем последующие), на основе
алгоритма Евклида: «отложим на второй все кратные первой
так, чтобы остаток стал меньше первой, и отложим на четвертой
все кратные третьей так, чтобы остаток стал меньше третьей,
и пусть кратность первой во второй равна кратности третьей
в четвертой. Далее, отложим на первой все кратные остатка
второй так, чтобы остаток стал меньше остатка второй, и точно
так же отложим на третьей все кратные остатка четвертой так,
чтобы остаток стал меньше остатка четвертой, и пусть кратность
остатка второй равна кратности остатка четвертой. Так же
отложим на остатке второй все кратные остатка первой и на остатке
четвертой все кратные остатка третьей и пусть их кратности
одинаковы. Точно так же будем последовательно откладывать
кратные остатков одни на других так, как мы объяснили, и пусть
число остатков первой и второй равно числу соответственных
остатков третьей и четвертой и так до бесконечности. В этом
случае отношение первой ко второй необходимо одинаково
с отношением третьей к четвертой. Вот истинная
пропорциональность в геометрическом роде» [132, стр. 88—89]. Другими
словами, пусть отношение ^ раскладывается в непрерывную
дробь с неполными частными q±, д2, ..., qn1 ..., а -^—в дробь
с неполными частными q'v q'21 ..., qm ... По определению эти
отношения одинаковы, если qn=qn для всех п.
Хайям заменяет и евклидово определение большего отно-
А С
шения [33а, I, стр. 143]. Согласно Хайяму-^ > ^- в том случае,
если при выполнении равенства qhr^q^ при к<т qm < q'm для
нечетного т и qm > qm для четного т. Примечательно, что
в последнее определение Хайям включает случай, когда какая-
либо одна пара величин соизмерима (т. е. на некотором шагу
остатка нет) и тем самым дает критерий сравнения
иррационального и рационального чисел1).
Определение равенства отношений Хайяма не отличается
от данного некоторыми его предшественниками. Определение
г) Мы можем в нашей модернизированной формулировке определения
Хайяма положить в этом случае соответствующее дт или q'm равным +оо.

242 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
неравенства принадлежит, по-видимому, Хайяму. Центральное
место занимает у него установление эквивалентности обеих
теорий — своей и Евдокса — Евклида. В целой серии теорем
Хайям показывает, что отношения, одинаковые или неравные
в смысле Евклида, одинаковы или соответственно неравны в его
смысле, и обратно. Доказательства основаны на теореме о
существовании четвертой пропорциональной к трем данным
величинам А, В, С.
Только что названная теорема отсутствует в книге V «Начал»,
хотя Евклид неявно пользуется ею при выводе некоторых
предложений. В предложении 12 книги VI Евклид с помощью теории
параллельных доказывает теорему в частном случае отрезков,
но в книге XII опять пользуется ею неявно для криволинейных
площадей. Хайям подчеркивает важность предложения и
пытается вывести его из принципа непрерывности. В
европейской литературе это предложение впервые встречается в форме
аксиомы в комментированном латинском переводе «Начал»
Дж. Кампано из Новары (середина XIII в.), который опирался
на латинский перевод с арабского Аделарда Батского и другие
арабские тексты [11, стр. 336].
Принцип непрерывности Хайяма, как он сам указывает,
заимствован у Аристотеля и состоит в утверждении, что
величины можно делить до бесконечности, т. е. что они не состоят
из неделимых. Доказательство теоремы о четвертой
пропорциональной к данным А, В, С таково. Можно найти с помощью
удвоения столь большую величину N, что -^ < —, и с помощью
С А
деления пополам столь малую величину М, что Ч7> it- Так
как величины делимы безгранично, то между М и N должна
п С
существовать промежуточная величина и такая, что jr равно
-ГГ-. Конечно, утверждение, что непрерывная величина,
переев С
ходя от меньшего значения -= к большему тт, обязательно
принимает каждое промежуточное значение, нельзя безупречно
вывести из принципа непрерывности Хайяма. Непрерывным
в смысле определения Хайяма на отрезке (0,1) оказалось бы
множество рациональных точек; его непрерывность мы
называем «всюду-плотностью». Но большой заслугой Хайяма
является сама идея привлечь свойства непрерывных величин
к обоснованию теоремы о четвертой пропорциональной *).
г) Свойство непрерывных величин принимать все промежуточные
значения между двумя данными было известно грекам, иногда ими
высказывалось (например, тем же Аристотелем) и применялось. Но его не пытались
доказать и в математических работах не формулировали [133, I—IT].

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИЙ 243
Доказав равносильность обеих теорий, Хайям мог
пользоваться свойствами пропорций, доказанными в книге V
«Начально в античной теории отношений имелся существенный пробел*
Во многих текстах «Начал» (книга VI) есть определение (пятое),
гласящее, что «отношение составляется из отношений, когда
количества этих отношнеий, перемноженные между собой,
образуют нечто» [33а, I, стр. 174] *). Это определение,
безусловно, является позднейшей вставкой, так как не
разъясняется, что значит «количество отношения», и нигде более
Евклид не говорит об умножении таких количеств. Тем не
менее составление отношений в «Началах» действительно
применяется, например, в 23 предложении книги VI, гласящем,
что площади подобных параллелограммов находятся в
составном отношении их сторон. Здесь Евклид попутно формулирует
положение, что отношение -^ составляется из отношений
' М
К L „АС,,
j- и -^, а для составления отношении —, — без общего
члена прибегает к теореме о четвертом пропорциональном
отрезке [11, стр. 402—406; 96а, стр. 449—453].
Составление, т. е., по-нашему, умножение, отношений было
необходимо в тригонометрических вычислениях, в частности
в теореме Менелая о полном четырехстороннике (см. ниже,
стр. 292). Поэтому позднейшие издатели «Начал»,— быть
может, Теон Александрийский (ок. 370 г.)—включили чуждое
духу «Начал» определение в книгу VI: «количество»
отношения, т. е., собственно, его числовое значение, явилось в
позднегреческой математике прообразом понятия о
действительном числе.
Хайям подчеркивает важность учения о составлении
отношений в геометрии и астрономии и дает его обоснование,
С помощью предыдущих предложений он доказывает два
свойства составных отношений.
1. Для трех однородных величин А, В, С отношение -^
- А В
составлено из отношении -^ и -~.
t> о
2„ Для четырех однородных величин .4, В, C,D отношение
А „ А В С тэ
- составлено из отношении -, - , -^. Все это легко
распространяется, добавляет Хайям, на большее число величин.
г) В книге V определяются двойное, тройное и прочие кратные отно-
шения, образованные из пропорциональных величин. Если—=—, то
В С
А А
отношение -^ есть двойное отношение — (мы скажем квадрат) и т. п.

244 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Рассуждения Хайяма при выводе этих предложений
представляют особый интерес. Сам вывод не безупречен, но в нем
была выражена новая концепция числа.
Вслед за древними, Хайям под числом в собственном смысле
слова понимает собрание неделимых единиц. Вместе с тем он
ставит вопрос о связи понятий отношения и числа. Этот вопрос,
по словам Хайяма,— философский и геометры не
рассматривают, «может ли отношение величин быть по существу числом
или оно только сопровождается числом, или отношение связано
с числом не по своей природе, а с помощью чего-нибудь
внешнего, или отношение связано с числом по своей природе и не
нуждается ни в чем внешнем» [132, стр. 102]. Оставляя в
стороне «философскую» сторону дела, Хайям считает необходимым
в математике введение делимой единицы и новой категории
чисел, которые соответствуют любым отношениям величин.
В доказательстве первого свойства составных отношений он
выбирает некоторую единицу и полагает ее отношение к
вспомогательной величине G равным отношению А к В. На эту
величину G, говорит он, мы «будем смотреть не как на линию,
поверхность, тело или время, но будем смотреть на нее как
на величину, отвлеченную разумом от всего этого и
принадлежащую к числам, но не к числам абсолютным и настоящим,
так как отношение А к В часто может не быть числовым, т. е.
нельзя найти двух чисел, отношение которых было бы равно
этому отношению» [132, стр. 105]. Так, поясняет Хайям,
поступают вычислители и землемеры, говорящие о половине или
другой доле единицы, которую предполагают делимой, или
о корне из пяти, десяти и т. д. Выбранная единица также
является делимой, и «величина G, являющаяся произвольной
величиной, рассматривается как число в указанном нами
смысле» [132, стр. 106].
Так Хайям противопоставляет свою концепцию числа
античной и, в частности, аристотелевской. Любые отношения
выражаются теперь числами, либо числами в собственном смысле,
либо «несобственными элементами» числовой области —
иррациональными числами. Составление отношений сводится теперь
к умножению чисел, и отношения в полной мере обретают
функцию измерения любых величин.
Изложенная концепция не была в арабской науке
единственной. Современник Хайяма Абу Абдалла Мухаммед ибн
Юсуф ал-Джайяни, живший в Севилье в конце XI в., отстаивал
евклидову теорию [130].
Но воззрения критиков античной теории более отвечали
потребностям вычислительной математики. Примерно через
полтораста лет — промежуточные звенья пока почти
неизвестны (ср. стр. 258)—взгляды Хайяма получают развитие в «Изло-

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИЙ 245
жении Евклида» и тригонометрическом «Трактате о полном
четырехстороннике» Насирэддина ат-Туси. В своем курсе
тригонометрии Насирэддин еще подробнее излагает теорию
составных отношений, доказывая, например, переместительное
свойство при умножении. Каждое отношение, согласно На-
сирэддину, имеет свое «количество».
Составление отношений заменяется в теоремах умножением
их количеств. С еще большей определенностью проводится
та мысль, что каждое отношение «может быть названо числом,
измеряемым единицей, так же как предшествующий член
отношения измеряется последующим членом» [169, стр. 22].
В результате все отношения тригонометрических линий
становятся числами, приближенно выразимыми с помощью
рациональных дробей.
Китайцы и индийцы ввели отрицательные числа,
математики стран Ближнего и Среднего Востока пришли к понятию
действительного числа, обнимающего как рациональные, так
и иррациональные положительные числа. Это выдающееся
теоретическое достижение, выросшее на основе
вычислительной практики, получило известность в Европе на рубеже
XVI и XVII вв. благодаря изданию в Риме одной из
редакций «Изложения Евклида» Насирэддина ат-Туси (см. стр. 277).
В XVII в. Григорий из Санкт-Винцента строит теорию
количественных «знаменователей отношений», соответствующих
«количествам отношений» его предшественников. А. Такэ
критикует и «исправляет» Евклида с позиций, близких Хайяму.
Р. Декарт связывает античную общую теорию отношений
с арифметикой, и, наконец, И. Ньютон определяет число не как
собрание единиц, а как отвлеченное отношение какой-нибудь
величины к другой величине того же рода, принятой за
единицу.
Конечно, развитие понятия о числе в Европе опиралось,
прежде всего, на бурный расцвет вычислительной математики
и шло собственными путями. Еще в конце XVI в. С. Стевин
решительно выступил в пользу признания иррациональных
чисел как таковых; он возражал против обычая называть их
иррациональными или невыразимыми, ибо в действительности
они только несоизмеримы. Было бы интересно выяснить,
имелись ли прямые связи теории отношений в XVII в. с идеями
арабской математической литературы.
В расширении понятия числа до действительного огромное
значение имело включение отрицательных чисел. Математики
стран Ближнего и Среднего Востока не восприняли этот вид
чисел от индийцев, и лишь недавно был обнаружен один случай
употребления отрицательных чисел [134] в книге Абу-л-Вафы
для писцов. Абу-л-Вафа формулирует правило сокращенного

246 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
умножения двух двузначных чисел с одинаковым числом
десятков
(10а+6) (10а + с) =
= [10а+й-{10 (а+1)-(10а + с)}]. 10 (а+1) +
+ [10(а+1)-(10а+6)].[10(а+1)-(10а + с)]
и тут же распространяет его на умножение однозначных чисел.
В примере а=0, Ь=3 и с=5 он говорит:
«...если хотим умножить три на пять, вычтем избыток десяти
над одним из этих чисел из другого, получится долг два. Возьмем
каждую единицу за десять, а затем умножим избыток десяти
над пятью на избыток десяти над тремя, получится тридцать
пять. Когда вычтем из них долг, т. е. двадцать, получится
в остатке пятнадцать, и это — результат умножения пяти
на три» [134, стр. 596] х).
Здесь, как и в других известных нам случаях, введение
отрицательных чисел было связано со стремлением обеспечить
общеприменимость некоторого правила вычислений,
установленного сначала для более узкого класса задач. Другие
примеры употребления отрицательных чисел в арабской
литературе не известны. В этой связи следует заметить, что в одной
латинской рукописи, представляющей собой перевод или
обработку арабского руководства, близкого к алгебре ал-Хо-
резми, встречается обозначение вычитаемых величин с
помощью точки под ними [21, I, стр. 803—804]. И такое
обозначение и вычитание Абу-л-Вафой большего числа из
меньшего могли быть результатом изучения индийской литературы.
Геометрические задачи и кубические уравнения. Перейдем
к алгебре. В сочинениях ал-Хорезми, Абу Камила и ал-Карад-
жи учение об уравнениях не выходило за границы линейных
и квадратных уравнений, а самое большее — уравнений,
квадратных относительно какой-либо степени неизвестной
величины. Но еще в IX в. багдадские математики, а за ними и другие
начали серию работ по кубическим уравнениям, которые
привели к выдающимся открытиям. Толчок этим работам
сообщило изучение задачи Архимеда о рассечении шара плоскостью
таким образом, чтобы объемы образующихся сегментов
находились в данном отношении (предложение 4 книги II «О шаре
и цилиндре»). Комментатор Архимеда византиец Евтокий
(около 500 г.) приводит принадлежащее, по-видимому, самому
Архимеду геометрическое решение этой задачи с помощью параболы
х) Словом долг буквально переведено арабское «дайн».

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 247
и смещенной равносторонней гиперболы. По сообщению того
же Евтокия, Дионисодор, бывший, вероятно, современником
Аполлония, решил задачу Архимеда с помощью смещенной
параболы, симметричной оси абсцисс, и гиперболы,
асимптотами которой служат координатные оси, а Диокл, живший
во II в. до н. э., дал построение несколько обобщенной
вспомогательной задачи Архимеда о делении отрезка с помощью
эллипса и гиперболы; задача Диокла выражается уже не
трехчленным, а полным кубическим уравнением [135, стр. 287—291].
Задачи об удвоении куба и делении шара — единственные,
которые греки по-своему привели к уравнениям третьей
степени; у Архимеда, собственно, речь идет о пропорции
(а — х): b = с2: х2, высказанной словесно. Такое приведение не
было сделано даже для проблемы трисекции угла, решавшейся
с помощью вставок или кривых, отличных от конических
сечений. Греки создали геометрический метод построения корней
кубических уравнений, но не применили его к сколько-нибудь
обширному кругу вопросов, а тем более к разработке общей
теории таких уравнений. Это было сделано в странах ислама.
Задачей Архимеда занялся впервые, по-видимому, ал-Маха-
ни, который, по одному свидетельству, попытался ее решить
с помощью алгебры, выразив «равенством куба и числа
квадратам». Однако ал-Махани построение уравнения не удалось.
Более успешные исследования начаты были несколько позднее,
причем они быстро распространились на большой круг
геометрических и даже физических задач, приводящихся к
кубическим уравнениям с общими или числовыми коэффициентами.
Хорасанец Абу Джафар ал-Хазин (ум. между 961 и 971),
автор комментария к книге X «Начал» Евклида и других
сочинений по математике и астрономии, дал построение задачи
Архимеда с помощью конических сечений.
Почти одновременно задачу Архимеда решил с помощью
параболы и гиперболы Абу Али ал-Хасан ибн ал-Хайсам,
уроженец Басры в Ираке, работавший в Каире (род. ок. 965, ум. ок.
1039). Ибн ал-Хайсам, именовавшийся в Западной Европе
Альгазеном, был математиком, астрономом, физиком и врачом.
Его «Книга оптики» («Китаб ал-маназир»), содержащая
крупные открытия по физиологии зрения и в учении об отражении
и преломлении, оказала в латинских переводах большое
влияние на развитие оптики в Европе средних веков. В этом труде,
в частности, рассмотрен вопрос об определении места
отражения светящейся точки от круглого цилиндрического зеркала
по данным положениям точки и глаза. Вопрос сводится к задаче:
по данным в плоскости кругу и двум внешним точкам
определить такую точку окружности, чтобы прямые, соединяющие ее
с данными точками, составляли одинаковые углы с проходя-

248 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
щим через нее радиусом. Эту задачу можно выразить
уравнением четвертой степени; ибн ал-Хайсам решил ее с помощью
окружности и гиперболы. «Задачей Альгазена» занимались
в XVII в. Хр. Гюйгенс, И. Барроу и др. [136J. Ибн Хайсам дал
также изящное механическое решение задачи Архимеда; мы
на нем останавливаться не будем, так как оно лежит в стороне
от общего направления.
Новую задачу поставил и решил работавший в конце X в.
в Багдаде Абу-с-Сахл Вайджан ибн Рустам ал-Кухи из Куха
в Табаристане (к югу от Каспийского моря). Требуется
построить сегмент шара, по объему равный данному сегменту и по
поверхности — другому сегменту. Если мы обозначим
искомые радиус шара и высоту сегмента х и у, а данные объем и
поверхность а и 6, то из условий
-д- у2 (Зх — у) = а, 2пху = Ъ
после замены -г — а\ jr=6' получаются уравнения
24а' ~~ 4а'
X2.
(2)
Ал-Кухи дал одновременное построение корней обоих
уравнений с помощью параболы
г/2=0&--2а03а'
и гиперболы
6'
ХУ = ~2
и в строго античном духе исследовал условия возможности
задачи. Ал-Кухи дал также полный разбор задач Архимеда.
К уравнениям третьей степени приводились все новые
задачи. Так были выражены в форме корней кубических
уравнений стороны некоторых правильных многоугольников,
что представляло интерес как для геометрических измерений,
так и при составлении таблиц хорд или синусов. Ал-Биру-
ни свел определение стороны правильного девятиугольника
к кубическому уравнению с помощью двух чрезвычайно
остроумных построений. В одном из них он с помощью подходящего
выбора единицы измерения приходит к уравнению
я3 = 1 + 3ж.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 249
Другое построение ал-Бируни, которое дано было также его
современником Абу-л-Джудом Мухаммедом ибн Лейсом,
можно коротко передать следующим образом. Допустим, что
в окружности единичного радиуса центральный угол АНВ
составляет 20° (рис. 60).
Хорда АВ = х есть в
таком случае сторона
правильного
вписанного 18-угольника.
Впишем (что можно
сделать) между сторонами
угла АН, НВ ломаную
ACDG, звенья которой
равны АВ=х, и на АН Рис. 60.
опустим перпендикуляр
GT, а на ВН — перпендикуляр АН. Из подобия
треугольников ВАС и АНВ имеем:
ВС _ АВ
АВ ~~ АН
т. е. ВС = х2,
а из подобия треугольников ARH и GTH —
HR_HT_ г. *»\ ,1-*,
АН - GH ' Т' е* \ Т)ш ~2~'
или
я3+1 = 3а;.
После вычисления х, т. е. стороны 18-угольника, сторона 9-уголь~
ника находится с помощью извлечения квадратного корня.
Сабит ибн Корра познакомил арабских ученых с
сочинением Архимеда о правильном семиугольнике (греческий текст его
до сих пор неизвестен), где сторона строится посредством
вставки, которую можно реализовать с помодью конических
сечений. Подобное построение произвел уже ал-Кухи; впрочем,
сведения этой задачи к уравнению в арабской литературе-
мы не встречаем1). Абу-л-Джуд дал построение уравнения
х3+13^х + 5 = 10х\
(3>
которое не удалось ал-Кухи. Уравнение (3) выражает
арифметическую задачу вроде тех, какие встречались у ал-Хорезмв
и Абу Камила: требуется разделить число 10 на две части так,
*) Соответствующее уравнение при подходящем выборе единицы
измерения имеет вид
х* + 1 = х2 + 2х.

250 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
чтобы сумма их квадратов и частного от деления большей на
меньшую равнялась 72. Целый корень этого уравнения, рав-
яый 2, очевиден, но другое положительное решение 4+^У 74
обнаружить в те времена вряд ли смогли бы, так как не знали
способа понижения степени уравнения при известном корне.
Наконец, было получено уравнение трисекции угла, о котором
нам придется говорить далее [137, стр. 96 и след.].
Обилие и важность задач, сведенных к кубическим
уравнениям различных видов, поставили вопрос о создании более
общей теории, с одной стороны, и методов численного решения,
с другой. По-видимому, одну из первых попыток разработать
с помощью античных геометрических методов общее учение
о кубических уравнениях предпринял Абу-л-Джуд, но
сочинение его, о котором упоминает Омар Хайям, не сохранилось.
Зато до нас дошел алгебраический трактат Хайяма,
принадлежащий к числу высших достижений арабской науки.
Геометрическая теория кубических уравнений Омара
Хайяма. Абу-л-Фатх Омар ибн Ибрагим ал-Хайям родился в
хорасанском городе Нишапуре в 1048 г. Политические
неурядицы эпохи заставили его много скитаться. От каких-то не
известных нам врагов он спасся бегством в Самарканд; он работал
также в Мерве, Исфагани, Рее и других городах Средней Азии и
Ирана. Около 1074 г. Хайям написал книгу «О доказательствах
задач алгебры и алмукабалы» («Рисала фи-л барахин ала масаил
ал-джабр ва-л мукабала») [132], а в 1077 г.— уже знакомые
нам комментарии к «Началам». Мы указали выше, что Хайям
написал трактат об извлечении корней, пока не обнаруженный.
В 1074 г. Хайям был приглашен ко двору сельджукского
султана Джалалэддина Маликшаха, где пользовался
покровительством как его, так и прогрессивного визиря Низам
ал-Мулка и был поставлен во главе новой обсерватории в
Исфагани. Здесь были составлены уточненные астрономические
таблицы и подготовлена реформа календаря, которая, однако,
не осуществилась из-за убийства Низам ал-Мулка и смерти
Маликшаха (1092 г.). После этих событий была закрыта и
обсерватория. Оценки календаря Хайяма в позднейшей
арабской литературе расходятся, но все они свидетельствуют о его
высокой точности: ошибка в 1 день набегает за 3770 или 5000 лет.
Современники высоко ценили Хайяма как ученого, но еще
большую славу ему принесли знаменитые «Рубайят» —
четверостишия, в которых он воспевал любовь и вольность, скорбел
о бренности всего сущего и несовершенстве жизни на земле,
высмеивал официальную религию. «Рубайят» Хайяма —
классическое произведение персидско-таджикской поэзии, которое

ТЕОРИЯ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ОМАРА ХАЙЯМА 251
в переводах на европейские языки приобрело в XIX и XX вв.
огромную известность во всем мире. Вольномыслие Хайяма
навлекло на него после смерти его покровителей
преследования, и он принужден был в старости совершить паломничество
в Мекку. Скончался Хайям в родном городе в 1123 г. [138, 139].
Алгебра и арифметика определялись ранее как наука об
отыскании неизвестных по их отношениям к известным вели-
Рис. 61. Обелиск на могиле Омара Хайяма в Нишапуре (воздвигнут
в 1934 г.).
-чинам. Четкого разграничения арифметики и алгебры не
проводили. В своем трактате по алгебре Хайям рассматривает
только решение алгебраических уравнений и разъясняет,
в чем состоит эта наука. «Алгебраические решения, пишет он,
производятся с помощью уравнения, т. е., как это хорошо
известно, приравнения одних степеней другим» [132, стр. 18].
Другими словами, алгебра есть наука о решении уравнений
между целыми многочленами. Искомыми неизвестными могут
быть абсолютные, т. е. целые, числа и непрерывные величины,
к которым автор, вслед за Аристотелем, относит линию,
поверхность, тело и время. Последнее не принято считать предме-

252 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
том алгебраических задач, но это все же допустимо. В
соответствии с различием целых и непрерывных неизвестных алгебра;
нуждается как в численном решении уравнений, так и в их
геометрическом построении. Когда уравнения содержат числа,
вещи или стороны и квадраты, числовое решение следует
из геометрического, которое можно обосновать с помощью
«Начал» и «Данных» Евклида. Но для уравнений, содержащих
еще кубы и не приводящихся к квадратным (путем сокращения,
как мы бы сказали, на первую степень неизвестного), решение
возможно только с помощью конических сечений, причем
в этом случае следует опираться на две первые книги труда
Аполлония. Насколько известно — это первое указание, что
уравнения третьей степени не решаются, вообще говоря,
с помощью циркуля (и линейки). В 1637 г. с подобным
утверждением вновь выступил Р. Декарт, а еще 200 лет спустя его
доказал П. Ванцель (1837).
Хайям ставит задачу численного решения кубического
уравнения наподобие квадратных, но признает, что все усилия
в этом направлении были тщетны:
«Доказательство этих видов в том случае, когда предмет
задачи есть абсолютное число, невозможно ни для нас, ни для
кого из тех, кто владеет этим искусством. Может быть, кто-
нибудь из тех, кто придет после нас, узнает это...»1) [132,
стр. 19]. Решение в радикалах кубических уравнений нашли
в XVI в. итальянские математики Ш. дель Ферро и Н. Тарталья.
Главное содержание алгебры Хайяма составляет
классификация уравнений, геометрическое построение корней и
определение числа и границ положительных решений. Уравнения
рассматриваются в общем виде, т. е. с произвольными
положительными коэффициентами, но выражены словесно. В основу
классификации положены степень уравнения и число членов,
имеющихся в обеих частях уравнения. Всего получается 25
канонических видов, из которых шесть были рассмотрены еще
ал-Хорезми, пять приводятся к ним делением на неизвестное-
и 14 строятся с помощью конических сечений. Эти 14 видов
разделяются на: 1) один двучленный, 2) шесть трехчленных,
3) семь четырехчленных, которые в свою очередь разбиты
на два класса — в одном из них трехчлены равны одночлену,
а в другом двучлены — двучленам. В классификацию вошли
только уравнения, которые могут иметь положительные
решения.
Решение квадратных уравнений не содержит чего-либа
нового, и мы сразу перейдем к кубическим уравнениям. Вслед
*) Для числового уравнения х3 = а Хайям знает, конечно, точное
решение в случае целого куба, но это решение основано, как говорит онг
ла подборе, а не на «законе искусства» [132, стр. 22].

ТЕОРИЯ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ОМАРА ХАЙЯМА 253
за древними, Хайям строго соблюдает принцип однородности.
Он, например, предупреждает, что, говоря о равенстве числа
и поверхности, понимает под числом прямоугольник, одна из
сторон которого есть единица, а другая взята соответственным
образом. Точно так же под телесным числом он понимает прямой
параллелепипед, в основании которого лежит квадрат со
стороной единица и высота которого относится к этой стороне, как
данное число к единице. Каждое уравнение перед построением
приводится к однородной
форме, например уравнение
х3 + ах = Ъ
к
форме
х3 + р2х =
• p2q.
(1)
Такое приведение основано на
специальных
элементарно-геометрических теоремах.
Прежде всего Хайям дает
построение с помощью двух
парабол корня двучленного
кубического уравнения. Затем
решается уравнение (1) или
х2 + у2
(!') с
= qx
/D а
Рис. 62.
помощью окружности
<и параболы
г2
х* = ру
(см. рис. 62, на котором положительное направление оси
абсцисс — влево, а оси ординат — вниз)1). Абсцисса точки
пересечения этих кривых, отличная от начала, удовлетворяет
данному уравнению. Хайям доказывает это с помощью словесно
выраженных пропорций. Он говорит, что по свойству парабо-
р X
~~~У
х у
лы - = -, а по свойству круга
У
q — х
тогда
р2 (q — x) = х3
х) Хайям чертит только те части кривых, которые нужны для
построения положительного корня.

254 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Прибавляя с обеих сторон по р2х, Хайям получает:
х*-\-р2х~ p2q.
У этого вида, заключает Хайям, нет многообразия случаев
и невозможных задач, т. е. уравнение (1) всегда имеет
единственный положительный корень. Это ясно из построения.
Построение корней следующего вида уравнения
х3 + а = Ъх (2)
(для простоты мы далее не соблюдаем в записях однородности)
представляет особый интерес. Это уравнение Хайям решает
с помощью параболы
х2 = \гЪу
и левой ветви равносторонней гиперболы
x2-j-x = y.
Здесь, говорит Хайям, имеется многообразие случаев и среди
задач имеются невозможные. В самом деле, кривые могут
не пересечься (правая ветвь, проходящая через вершину
параболы и пересекающаяся с ней еще в одной точке, не
принимается во внимание: соответствующий корень отрицателен),
и тогда задача невозможна (уравнение имеет отрицательный
и два мнимых корня). Но кривые могут также касаться в одной
точке или пересекаться в двух точках. В первом случае
уравнение (2) имеет одно решение х), а во втором — два. Таким
образом, Хайям устанавливает возможность существования двух
корней уравнения третьей степени; далее встречается еще
несколько таких случаев.
Мы рассмотрим еще анализ уравнения
xz + a = cx2, (3)
встречающегося в задаче Архимеда. Построение корней
производится с помощью параболы
г/2 ;= уга (с — х)
и гиперболы
ху = j/a2.
Согласно Хайяму, уравнение может иметь два или один
положительный корень, соответственно пересечению или касанию
верхних ветвей параболы и гиперболы, но может и не иметь
решений, когда эти ветви не встречаются (см. рис. 63,
х) Понятие о двойном корне появилось только в XVII в.

ТЕОРИЯ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ОМАРА ХАЙЯМА 255
где АС = с, Н—у^а, ВС = Н и АВ = с—Уа). При этом
Хайям устанавливает некоторые пределы корней. Прежде
всего он показывает, что при |/а>с решения нет, так как
тогда при х=р'а будет сх2^а, при x<?\fa будет сх2 < а
и при х > j/а будет хъ > сх2, что противоречит данному
уравнению. Далее он разбирает случаи |/а=
*< 2
сравнивая орди-
з/
наты параболы и гиперболы (BD) при х = с — \/ а. 1) Если
|/а = —, то обе ординаты кривых равны \f а и, как легко
видеть, имеет место еще одно пересечение, так что получаются
два решения. 2) Если j/a>-j, то # = с— j/a<J/a и орди-
3/"~2~ _
ната гиперболы за- больше ординаты параболы f/a- Справа
с—у а
от 5D кривые могут не встретиться, но могут и пересечься
или иметь касание; задача, соответственно, невозможна или же
имеет одно либо два решения, меньших с — р"а. 3) Наконец, если
\fa < -у, то точка D гиперболы лежит внутри параболы и
имеются два пересечения, т. е. решения.
Довольно подробный анализ Хайяма не является все же
исчерпывающим. Еще Архимед и затем ал-Кухи установили,
что граница положительных корней определяется условием
4с3
а<-ту=-, между тем как Хайям показывает лишь, что два
я — с3 ч — г*
с3 68с ^ ^
корня имеются при а < -g- = 27 , при а> могут быть
либо два корня, либо один, либо ни одного и при а > с3 корень
не существует.

256 ГЛ. Ш. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Разбирая уравнение Архимеда, Хайям замечает, что
Абу-л-Джуд допустил здесь ошибку, полагая, что при Ya == ~о
имеет место касание, а при f/"a > -к- кривые не встречаются.
Эту ошибку Хайям опровергает на примере числового уравнения
я3 + 144=1(Ь2.
В данном случае ^а== j//"l44 > 5 ==4-. Вместе с тем кривые
уя= ^144(10-3)
и
встречаются при #=6 (корень 2+21/7 не указан). Впрочем,
в другом примере, примыкающем к предыдущему, просчет
допускает сам Хайям. Он хочет привести случай, когда при
\f а несколько большем, чем -|-, кривые не пересекаются, и
рассматривает уравнение
я3 + 413 = 80я2.
При абсциссах хг = Уа =41 и х2 = У а + -г- (с — У а) =41 +
+ -Т--39 ординаты параболы оказываются соответственно
меньшими ординат гиперболы, и Хайям делает вывод, что кривые
не пересекаются. В действительности кривые имеют между
этими двумя точками два пересечения; это следует хотя бы из
11
того, что при промежуточном значении x3 = jryAl ордината
гиперболы меньше ординаты параболы. Хайяму следовало
взять свободный член побольше, скажем, 433.
Эти два примера весьма показательны: они
свидетельствуют о том, что общая геометрическая теория отделения корней
применялась к уравнениям с числовыми коэффициентами.
В дополнении к трактату, где разобраны оба примера, Хайям
говорит, что стремился, соблюдая полноту анализа, быть
кратким и потому не добавил числовые примеры на каждый
вид и его случаи. Он «ограничился изложением общих правил,
доверяя уму учащегося, так как тот, кто хорошо представляет
этот трактат, не будет остановлен частными примерами и
относящимся к ним подбором» [132, стр. 63].
Среди пробелов у Хайяма наиболее досадным является
неполный разбор уравнения
Xs + Ъх = сх2 + а, (4)

ТЕОРИЯ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ОМАРА ХАЙЯМА
257
для построения которого служит окружность
и гипербола
*' у ъ
Хайям правильно указывает, что уравнение всегда имеет
корень— абсциссу точки К (рис. 64, где J?C=c, ЯО = уХ
L ?_Д a L D
F
-^ к\ \
\м
1 Е
)о 1
В
Рис. 64.
S = АВ = г) и что при j->c этот корень единственный1). Однако
он не заметил, что при-г- < с могут существовать еще два
положительных корня. Так Хайям прошел мимо открытия трех
корней кубического уравнения, которые обнаружил лишь
Дж. Кардано в середине XVI в. Впрочем, заметить возможность
еще двух точек пересечения между А и К на чертеже Хайяма
нелегко.
Разобрав 25 видов уравнений, Хайям рассматривает
уравнения, содержащие обратные степени неизвестной и
приводящиеся к предыдущим. По поводу уравнения
он говорит, что построение его, сводящееся к определению
четырех средних пропорциональных между 1 и а, было дано
ибн ал-Хайсамом, но оно слишком сложно, чтобы приводить
а
х) Абсцисса точки А, т. е. х=~т-> уравнению (4) не удовлетворяет:
уравнения кривых при исключении у дают вспомогательное уравнение
я
четвертой степени с лишним корнем -т-.

258 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
его в данной книге. В связи с уравнением
ж2 + 2я = 2 + 2.1,
т. е. уравнением четвертой степени, Хайям замечает, что
способ его решения неизвестен.
Математики стран ислама и после Хайяма занимались
геометрической теорией уравнений высших степеней. В одной
анонимной рукописи содержится построение задачи,
приводящейся к уравнению четвертой степени, причем сказано,
что в течение некоторого времени геометры и алгебраисты
предлагали друг другу эту задачу,
не находя решения. Требуется
построить трапецию ABCD, у которой
AB=AD= ВС=10 и площадь равна
90. Если представить себе задач>
решенной (рис. 65) и опустить
перпендикуляр АК на продолжение CD,
а за неизвестную принять DK=z, то
z4 + 2000z = 20z3+1900.
9
Проведем BE = jq АВ
перпендикулярно к АВ и через Е гиперболу
(10— я) у = 90
(ось абсцисс В А, ось ординат BE), а из центра В окружность
ж2 + ?/2 = 102.
Абсцисса точки пересечения С обеих кривых есть корень
уравнения, и дальнейшее построение очевидно [132, стр. 138—139].
Из «Ключа арифметики» ал-Каши мы узнаем, что сочинение
о 19 видах уравнений, помимо общеизвестных шести (т. е.
о видах, ранее разобранных Хайямом), написал Шарафэддин
ал-Мас'уди, математик, работавший в XII—XIII вв. в Тусе
и бывший одним из учителей Насирэддина ат-Туси. Вряд ли
можно сомневаться, что ал-Мас'уДи» как и его ученик, был
знаком с трудами Хайяма. Сам ал-Каши занимался
уравнениями четвертой степени и утверждает, что дал решение 70 их
видов (в действительности их 65), которых не касались ни его
предшественники, ни современники. Ал-Каши выражает
намерение посвятить этому вопросу отдельную книгу; успел ли
он написать ее — неизвестно [126, стр. 192].
В мавританских странах геометрическая теория уравнений
распространения не получила, во всяком случае западные
арабы ею не занимались, хотя о ней кое-что знали. Ибн Халдун
писал в XIV в.:

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА АЛ-КАЛАСАДИ 259
«До нас дошло, что некоторые великие ученые Востока
распространили число уравнений за эти шесть видов, доведя их
более чем до двадцати, и нашли для них надежные решения
с помощью геометрических доказательств. Аллах превозносит
тех, кого ему благоугодно...» [139, стр. 148].
В XVII веке геометрическое построение корней уравнений
высших степеней привлекло большое внимание европейских
математиков. Р. Декарт положил в основу своей
универсальной математики построение действительных корней
произвольных алгебраических уравнений с помощью соответственно
подобранных алгебраических кривых. В частности, он дал
единое построение уравнений третьей и четвертой степеней
с помощью параболы и окружности. С применением
геометрических построений в алгебре было тесно связано у Декарта
развитие аналитической геометрии, например разработка
классификации алгебраических кривых. Построением уравнений
занимались почти все крупные математики XVII и даже
XVIII в., включая И. Ньютона, посвятившего ему целый отдел
своей книги по алгебре. Впрочем, из общего геометрического
метода решения задач, каким служило построение корней
у Декарта, уже у Ньютона оно становится лишь одним из
способов приближенного определения 2-х или 3-х первых цифр
корней. В XVII и следующих веках получил развитие и
поставленный еще Архимедом и затем в арабской алгебре вопрос
о границах корней уравнений.
Алгебраическая символика ал-Каласади. Почти во всех
дошедших до нас трудах математиков стран ислама совершенно
отсутствует алгебраическая символика. Это в полной мере
относится ко всем восточным ученым от ал-Хорезми до ал-Каши.
Но на арабском Западе мы встречаем яркое и
неожиданное исключение в арифметико-алгебраическом трактате уже
упоминавшегося ранее Абу-л-Хасана Али ибн Мухаммеда
ал-Каласади, работавшего в Гренаде перед гибелью
последнего мавританского эмирата на юге Испании и умершего
изгнанником в Африке в 1486 г. Название труда ал-Каласади дошло
в нескольких вариантах, один из которых называется «Снятие
покрывала с науки губар» («Кашф ал-махджуб мин 'илм ал-
губар») [140]. Впрочем, термин губар выступает здесь как
синоним письменной арифметики, а не как обозначение цифр
(см. стр. 182). Мы не будем подробно останавливаться на
богатом содержании этого сочинения, в 1-й книге которого
изложена арифметика целых, во 2-й книге — действия с дробями,
в том числе с долями единиц, долями долей и т. п., в 3-й —
извлечение корней и в 4-й — решение уравнений. У
ал-Каласади нет существенно новых результатов; исторический инте-

260 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
рес представляет только весьма развитая символика.
Квадратный корень обозначается первой буквой слова джизр (корень)
и ставится над числом; тот же знак (быть может, как первая
буква слова джа'ала, неизвестная) служит для обозначения
неизвестной в пропорциях тройного правила, причем члены
пропорции отделяются троеточиями формы . •. В уравнениях
Квадратные корни из чисел
I
г.
a,
Квадратные уравнения
.rM.IO*=56... <?*) Ги 4 **==8 *+ 20•• *>°J/ l;
1 л^ ^ \ ^>
Пропорции ^.
7:12 = 84: a? ^ л X«* л |«» л 1} ]*
11; 20 = 66 : x ^ л 66 ••• &>o •*• | i . /
Рис. 66. Некоторые записи по ал-Каласади.
первая степень неизвестной, квадрат и куб обозначаются
соответственно первыми буквами слов шай, мал и ка'б, причем
знаки пишутся над коэффициентами.
Есть у ал-Каласади знак равенства, быть может, последняя
буква слова «'адала», равенство. Мы приводим некоторые
записи по ал-Каласади (рис. 66).
Символика ал-Каласади столь развита, что невероятно
считать ее всецело созданием этого ученого. Однако мы почти
ничего не знаем о его предшественниках в разработке алгебраи-

ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРИИ. АБУ-Л-ВАФА
261
ческих обозначений. По-видимому, к ним принадлежал в XIII в.
ибн ал-Банна, который, по сообщению ибн Халдуна, в одном
сочинении (нам неизвестном) применял при доказательствах
алгебраические обозначения, служащие одновременно и для
«отвлеченного рассуждения» и для «наглядного представления»
[21, I, стр. 805].
В Европе развитие алгебраической символики началось
примерно тогда же, в конце XV столетия.
Вопросы геометрии. Абу-л-Вафа. Вслед за появлением
первых арабских переводов евклидовых «Начал» и
геометрической главы алгебры ал-Хорезми началось быстрое усвоение
геометрического наследия Запада и Востока и вместе с ним
самостоятельная работа в этой области.
Вскоре после ал-Хорезми в Багдаде активную деятельность
развили братья бану Муса, т. е. сыновья Мусы ибн Шакира,
одного из приближенных халифа ал-Мамуна: Абу Джафар
Мухаммед ибн Муса (ум. в 872), ал-Хасан и Ахмед. Они
занимались математикой, астрономией, музыкальными
инструментами, механикой. Они воздвигли собственную обсерваторию,
собирали рукописи, поощряли переводы на арабский язык
греческих авторов. Из одной поездки в греческие районы
старший брат привез с собой в Багдад Сабита ибн Корру. Выделить
личный вклад в науку каждого брата невозможно. Известно
только, что механикой больше интересовался Ахмед. Под
именем всех троих до нас дошла в латинском переводе Герардо
из Кремоны «Книга трех братьев по геометрии» («Liber trium
tratrnm de geometria») [140a, 141]. В этом сочинении обращает
на себя внимание так называемая формула Герона, вывод
которой несколько отличен от доказательства самого автора
«Метрики». Братья занимались трисекцией угла и
определением двух средних пропорциональных с помощью
механических средств. Они знали, как вычертить эллипс с помощью
закрепленной в фокусах нити.
Непосредственно к геометрической части алгебры
ал-Хорезми примыкает практическая геометрия в книге для писцов
Абу-л-Вафы, о которой мы говорили уже по другому
поводу (стр. 185). Абу-л-Вафа Мухаммед ибн Мухаммед ал-Бузд-
жани (940—997/8) родился в Хорасане, в г. Бузджане,
расположенном между Гератом и Ыишапуром. Двадцати лет от
роду он переселился в Ирак и быстро выдвинулся в Багдаде
как крупнейший математик и астроном. Ему принадлежит
большое число оригинальных трудов, а также крупных
комментаторских работ (к Евклиду, Диофанту, Птолемею), многие
из которых до сих пор не обнаружены. Особенно значительны
его заслуги в геометрии и тригонометрии.

262 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Абу-л-Вафа включил в геометрический отдел книги для
писцов, помимо материала ал-Хорезми, много дополнительных
сведений, впрочем, без тех намеков на доказательства, какие
счел полезными его предшественник. Здесь приведены только
что упоминавшаяся формула Герона, правила вычисления
площади шаровой поверхности через площадь большого круга
и объема шара через диаметр и окружность ( d2 • -|- jh через
площадь поверхности ( "о-'^'у )• Число я везде принято
равным ~. Для вычисления площади кругового сегмента по
дуге или хорде сообщены значения хорд в круге диаметра 14
для дуг в 99 180° (й=1, 2, ..., 22); хорды выражены в
шестидесятых — шаирах и их частях. Абу-л-Вафа формулирует также
правила пересчета на круг произвольного радиуса и линейного
интерполирования.
Наряду с таблицей хорд, в связи с которой упоминается
Птолемей, Абу-л-Вафа приводит как индийское следующее
приближенное правило, выражающее диаметр d круга через
число сторон и сторону ап правильного вписанного тг-уголь-
ника:
d2-.
2 Г(п-1)д о] 2 _ аЪ(п*-п+6)
Нетрудно видеть, что правило дает точное значение диаметра
для лг=3, 4 и 6. Для п—Ъ погрешность составляет около 0,1%,
при 7г=10 — около 1,0%, при ?г=20 — около 2%, а при п—>оо
она стремится к —^—, что несколько менее 5%.
Происхождение этого приближенного правила неизвестно.
В заключение Абу-л-Вафа описывает приемы измерения
расстояний до недоступных предметов и их высоты с помощью
градуированной по краям прямоугольной доски с
вращающимся визиром.
Мы знаем, что геометрии отведен ряд глав
арифметического руководства ал-Караджи. Содержание их столь близко
к книге для писцов, что здесь можно было бы пройти мимо.
Нельзя не упомянуть все же о странном правиле для объема
шара
(22 Л
Jt = yj. Если здесь не виноват переписчик, то получается,
что ал-Караджи принимал шар равновеликим прямому
параллелепипеду с высотой, равной диаметру, и с квадратным
основанием, сторона которого есть четверть большого круга. Это

ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРИИ. АБУ-Л-ВАФА
263
напоминает те грубые приемы квадратуры, которые, по словам
Абу-л-Вафы, применяли тогдашние землемеры (ср. стр. 265).
Правило ал-Караджи поразит нас менее, если учесть, что
в энциклопедическом руководстве квалифицированного
иранского математика Бехаэддина, жившего на пять веков позднее
[177], объем шара
-н[0-й)-?0-п)]КЙО'-
т. е., при я = у, v = f-r- J . Иными словами, Бехаэддин
принимает шар равновеликим кубу, сторона которого есть четверть
большого круга. Значение я, фактически соответствующее
правилу Бехаэддина, около 2,9, несколько лучше, чем
соответствующее правилу ал-Караджи и равное примерно 3,7.
Абу-л-Вафе принадлежит еще специальное сочинение по
практической геометрии: «Книга о том, что необходимо
ремесленнику из геометрических построений» («Китаб фи ма яхтадж
илайхи ас-сана'мин а'мал ал-хандасийя»). Сохранилось
изложение этого труда на арабском языке, сделанное одним
учеником [142], и в персидском переводе [143] близкого времени.
Оба текста дополняют друг друга.
Книга состоит из введения и 12 глав, содержащих
множество разнообразных построений, важных в землемерии,
архитектуре, технике и геодезии. Особенно интересно, что около
полутора десятков задач решено с помощью односторонней
линейки и циркуля постоянного раствора. Иногда это
требование высказывается в условии задачи, иногда фактически
выполняется в конструкции. Практическое значение подобных
построений обусловлено тем, что на местности бывает неудобно
проводить окружности различных радиусов. Первые
построения с циркулем постоянного раствора восходят, быть может,
к индийским «Правилам веревки» и встречались у греков, но
Абу-л-Вафе принадлежит заслуга систематического решения
на этом пути целой группы основных задач и явного выделения
самого принципа. Заслуга его не умаляется тем, что ради
простоты раствор циркуля в иных задачах принят равным
некоторому данному в них отрезку, а не произволен. В дальнейшем
исследования в том же направлении вновь начались, опять-
таки в силу нужд практики, в Италии в XVI в., где ими
занимались Леонардо да Винчи, Дж. Бенедетти, Н. Тарталья,
Дж. Кардано, а еще позднее они были с блеском продолжены
© конце XVIII в. Л. Маскерони, в XIX в. Я. Штейнером и др.

264 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Во введении Абу-л-Вафа, пользуясь линейкой и циркулем
постоянного раствора, строит перпендикуляр к середине
данного отрезка и в его конце. В главе 1, содержащей начальные
построения, теми же средствами отрезок делится на любое
число равных частей, а угол — пополам. В главе 2,
посвященной правильным многоугольникам, на данном отрезке
строятся 3-, 4-, 5-, 6-, 8- и 10-угольники, а в главе 3 — правильные
3-, 4-, 5-, 6- и 8-угольники, вписанные в данный круг.
В тех же главах даны построения параллельных прямых,
касательной к окружности, правильного семиугольника (за его
сторону приближенно взята половина стороны вписанного
в тот же круг правильного
треугольника), механическая
трисекция угла, механическое удвоение
куба и пр. В главе 1 указаны два
построения зеркала, сжигающего
с помощью солнечных лучей
предмет, находящийся на данном
расстоянии. В одном из них шаблон,
т. е. парабола, строится по точкам
с помощью круга, радиус которого
вдвое больше данного (фокусного)
расстояния. На перпендикулярах
к диаметру круга откладываются
отрезки, равные хордам,
соединяющим один из концов диаметра с точками пересечения этих
перпендикуляров и окружности; концы отрезков лежат на искомой
параболе. Во втором построении используется семейство
кругов, центры которых лежат на одном луче и которые проходят
через его начало. Оба построения встречаются здесь,
по-видимому, впервые.
В главе 6 рассмотрены задачи на вписанные друг в друга или
описанные правильные многоугольники. Вот для примера
один из пяти способов вписать равносторонний треугольник
в данный квадрат. Из центра квадрата Е через вершину D
проводится окружность (рис. 67), из D тем же радиусом —
дуга, пересекающая окружность в точках F, G. Точки
пересечения Я, К прямых BF и BG со сторонами CD и AD суть
вершины искомого треугольника ВЕК.
Главы 8—10 посвящены делению на части прямолинейных
фигур и круга, например четырехугольника на две равные
части с помощью прямой, проходящей через какую-либо его
1
вершину, или отсечению от параллелограмма его — части
с помощью прямой, проходящей через данную внешнюю
точку. Таким задачам посвятил особое сочинение еще Евклид.

ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРИИ. АБУ-Л-ВАФА
265
Наконец, в главе 11 решен ряд задач на преобразование
в квадрат суммы нескольких квадратов и на разложение
квадрата в сумму нескольких других. В этом, писал Абу-л-Вафа,
нуждаются многие практики, однако «все способы,
употребляемые рабочими, не основаны на каком-либо принципе, не
заслуживают доверия и весьма неточны» [142, стр. 345]. Абу-л-
Вафа намерен был установить общие принципы решения таких
задач. Сперва даны простейшие построения квадрата из п2
или п2-\-т2 известных квадратов. В последнем случае
фактически используется равенство п2-\-т2=2пт-\-(п—т)2:
искомый квадрат получается, если
расположить вокруг квадрата (п—га)2
4пт г\
прямоугольника -к-. ото
построение, несложное для реального
выполнения, совпадает с построением
теоремы Пифагора в Китае и Индии
(ср. рис. 28 на стр. 115) и,
скорее всего, из Индии же было
получено. Далее решаются такие же
задачи на разложение квадрата.
После этого ставится вопрос о G
построении квадрата из любого чис- р fig
ла данных квадратов. Общего
анализа Абу-л-Вафа не производит, а
разбирает случай утроения квадрата. Это можно сделать,
построив гипотенузу прямоугольного треугольника с
катетами, равными стороне и диагонали данного квадрата.
Такое решение, говорит Абу-л-Вафа, достаточно для геометра,
но не подходит на практике. Очевидно, речь идет о том, что
требуется фактически разделить данные квадраты на куски,
из которых будет сложен новый квадрат. Вот построение
Абу-л-Вафы (рис. 68). Разрезав два данных квадрата по
диагоналям, приложим получившиеся четыре треугольника к
оставшемуся квадрату, как показано на рис. 68, а затем
соединим вершины E,F,G,H. Фигура EFGH есть квадрат, равный
утроенному ABCD, ибо узкие треугольники, выступающие за
EFGH и входящие в него, конгруэнтны.
Далее Абу-л-Вафа преобразует в один квадрат два
квадрата с произвольными неравными сторонами. Для этого
меньший ABCD накладывается на больший AEFG (рис. 69). Тогда
их сумма составится из площадей равных между собой
прямоугольников ABHG и AEKD и квадрата CKFH. Расположив
известным нам образом четыре треугольника, на которые
делятся диагоналями прямоугольники, вокруг квадрата CKFHr
мы получим квадрат, равный сумме двух данных. Наконец,

266 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
1 с
Абу-л-Вафа решает задачу о разбиении данного квадрата на
два, один из которых имеет заданную сторону.
Построение Абу-л-Вафой квадрата, равного сумме двух
данных, содержит, по существу, доказательство теоремы
Пифагора, основанное на принципе равносоставленности, который
здесь выступает с полной отчетливостью. Такое же
доказательство, с несколько отличным от рис. 28 и более наглядным для
обнаружения равносоставленности чертежом, дал еще в IX в.
Сабит ибн Корра; нам оно известно благодаря ан-Найризи [146].
Относительно случая любого числа к равных квадратов
Абу-л-Вафа замечает, что в нем можно прибегнуть к теоре-
г и F ме ПиФагоРа> однако вновь добавляет,
что для практики это неудобно.
Действительно, разбиение на конгруэнт-
?/\ ^ |,f ные КуСКИ ПрИ пользовании теоремой
Пифагора сравнительно сложно, хотя
практически не сложнее, чем
построение для трех равных квадратов.
Обойтись же полностью без теоремы
Пифагора нельзя. Можно было бы лишь
& ? поставить вопрос о наиболее удобном
Рис. 69. разбиении данного числа на слагаемые
с тем, чтобы применить теорему
Пифагора наименьшее число раз. С помощью теоремы Ферма о
представимости любого числа суммой не более четырех
квадратов было показано, что при любом к теорему Пифагора
требуется применить не более одного раза [143].
В главе 12 Абу-л-Вафа излагает способы разбиения
поверхности шара на правильные сферические многоугольники.
Конечно, вершины последних являются вершинами
соответственных многогранников, но об этом Абу-л-Вафа не
упоминает. Изящные и простые построения этой главы дают пять
правильных и два из 13 открытых Архимедом по л у правильных
многогранников, именно 14-гранник, состоящий из восьми
треугольников и шести квадратов, и 32-гранник с 20
треугольными и 12 пятиугольными гранями. Построения еще трех
полуправильных тел не вполне точны. В данном случае
источники Абу-л-Вафы малоизвестны. Помимо «Начал», он почти
несомненно знал труд Паппа, но ряд построений багдадского
геометра в предыдущей литературе не встречается и, быть
может, принадлежит ему самому. Много позднее
полуправильными многогранниками, о которых знали только по краткому
описанию их классификации у Паппа, снова занялись С. Стевин
и И. Кеплер.
Мы видели, что в арифметико-алгебраических сочинениях
арабских авторов часто имелись геометрические отделы. О про-

УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
267
грессе, достигнутом в измерении фигур к концу
рассматриваемого периода, можно судить по «Ключу арифметики» ал-Каши.
Четвертая книга этого труда «Об измерении» гораздо богаче
соответствующих частей книг ал-Хорезми или ал-Караджи,
а численные значения для несоизмеримых отрезков
выражены, как уже говорилось, с высокой точностью. Некоторые
задачи ал-Каши решает чисто алгебраически, в других
применяет отдельные тригонометрические формулы. Для
правильных тг-угольников при rc=5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 16 он дает
п 1ЯП°
таблицы отношения площади к квадрату стороны, т. е. -т-^ё ,
в шестидесятеричных дробях с точностью до 60"5 и в десятичных
<5 точностью до 10~6. Таблица значений fcrt (fe=l, 2, ..., 60)
дается в шестидесятеричных дробях до терций и в десятичных
(к=1, 2, ..., 10) до 10 6. Наряду с объемами обычных круглых
тел рассмотрены объемы наклонных цилиндра и конуса и полых
тел, вроде «конического избытка» (усеченный конус с полостью-
конусом, основание которого есть меньшее основание
усеченного конуса и вершина — центр большего основания),
ромбического избытка (соединение конуса и усеченного конуса
с конической полостью, основание которой есть меньшее
основание усеченного конуса, а вершина — вершина полного
конуса), полых цилиндров и пр. В особой таблице сведены
числовые характеристики пяти правильных тел и тех же двух полу-
аравильных многогранников, которые построил Абу-л-Вафа.
В заключение ал-Каши приводит сложные расчеты и
построения стрельчатых арок, сводов, куполов и так называемых
сталактитов1), характерных для арабской архитектуры [144].
Учение о параллельных. Выдающееся значение имели
исследования, посвященные V постулату Евклида о параллельных,
который пытались доказать еще греки2). Исследования эти
продолжались более четырех столетий.
Разработка учения о параллельных, как и теории
отношений, началась в странах ислама вскоре же после перевода
«Начал» на арабский язык. Первое известное нам исследование
по теории параллельных принадлежит упоминавшемуся ранее
современнику и сотруднику ал-Хорезми, астроному и матема-
*) Сталактиты представляют собой многоярусную систему
нависающих друг над другом многогранных призм с плоскими или кривыми
гранями, служащих украшением карнизов, балконов, портальных ниш и пр.
2) Согласно V постулату, если прямая образует с двумя другими
прямыми, лежащими в одной плоскости, внутренние односторонние
углы, в сумме меньшие 2dy то эти две прямые при достаточном
продолжении пересекаются с той стороной, где сумма меньше 2d [33а,
I, стр. 15].

268 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
тику ал-Аббасу ибн Сайду ал-Джаухари, уроженцу г. Фараба
(ныне Отрар, Казахской ССР). Соответствующий отдел труда
ал-Джаухари «Усовершенствование книги „Начала"» («Ислах
ли китаб ал-Усул») мы знаем по изложению Насирэддина
ат-Туси [144а]. Ал-Джаухари предложил доказательство V
постулата, основанное на следующем неявном допущении: если при
пересечении двух прямых какой-либо третьей накрестлежащие
углы равны, то же имеет место при пересечении тех же двух
прямых любой другой прямой. В ходе доказательства
ал-Джаухари выводит теоремы о том, что средняя линия треугольника
равна половине его основания, и о том, что через любую точку
внутри любого данного угла можно провести прямую,
пересекающую обе его стороны (откуда и следует V постулат).
Последняя теорема особенно примечательна: на скрытом
допущении этого предложения основано известное «доказательство»
V постулата, предложенное в 1800 г. французским геометром
А. М. Лежандром.
Около 900 г. видное место уделил учению о параллельных
в своих комментариях к «Началам» ан-Найризи [1446]. Абу-л-
Аббас ал-Фадл ибн Хатим ан-Найризи (ум. ок. 922) из Найри-
за близ Шираза работал в Багдаде при халифе Му'тадиде
(892—903). Он занимался астрономией и математикой, написал
сочинения о сферической астролябии и об определении
направления киблы, комментировал Птолемея и Евклида.
Комментарии к книгам I—VI «Начал» сохранились в арабской рукописи
[145], а к книгам 1-Х—в латинском переводе Герардо из
Кремоны [146].
Комментируя теорию параллельных, ан-Найризи
ссылается на греческого философа первой половины VI в. Симпликия.
Возможно, что из Симпликия же он узнал учение о
параллельных современника Симпликия Аганиса, которое изложено
довольно подробно.
Центральным в учении Аганиса является определение
параллельных прямых как таких, которые, находясь в одной
плоскости, при любом продолжении в обе стороны остаются
равноотстоящими. Под расстоянием от одной прямой (в ее
точке) до другой Аганис понимает, как сказано у ан-Найризи,
кратчайшую соединяющую их линию.
Определение Аганиса содержало утверждение,
равносильное V постулату Евклида. Новым оно не было. От Прокла мы
знаем, что сходным же образом определял параллельные Поси-
доний в I в. до н. э. Для Посидония параллельные прямые —
это такие, которые, находясь в одной плоскости, не
сближаются и не удаляются одна от другой, так что все
перпендикуляры, проведенные из точек одной прямой к другой, равны
между собой [147, 148].

УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
269
Затем ан-Найризи выводит ряд теорем Аганиса: расстояние
между параллельными определяется перпендикулярным к ним
обеим отрезком; две прямые, перпендикулярные к третьей,
параллельны; прямая, секущая две параллельные, образует
внутренние односторонние углы, равные вместе двум прямым.
Последнее предложение есть предложение 29 книги I «Начал»
и первое, доказываемое Евклидом с помощью V постулата.
В ходе его доказательства, основанного у Аганиса на
допущении эквидистантных прямых, устанавливается попутно
существование прямоугольника. Несколько дальше доказывается
в качестве предложения 35 сам V постулат, причем строится
точка пересечения соответствующих прямых. В построении
используется допущение, что, раздваивая достаточное число
раз отрезок, больший из двух данных, можно получить
отрезок, меньший меньшего отрезка. Это предложение
равносильно так называемой аксиоме Евдокса — Архимеда.
Идеи, изложенные в комментарии ан-Найризи, вскоре
были развиты далее. Особенное значение имело само
определение параллельности Посидония — Аганиса, прежде всего,
для ибн ал-Хайсама.
Анализу классического труда Евклида ибн ал-Хайсам
посвятил два сочинения — «Книгу комментариев к введениям книги
Евклида „Начала"» («Китаб шарх мусадарат китаб Уклидис
фи-л-Усул»), где рассмотрены определения, аксиомы и
постулаты, и более поздний трактат «О разрешении сомнений в книге
Евклида „Начала"» («Фи халл шукук китаб Уклидис фи-л-
Усул»), в котором комментируются предложения. Теория
параллельных изложена в первом сочинении [149, 150].
Ибн ал-Хайсам считает нужным прежде всего обосновать
самое понятие о параллельных, как прямых, лежащих в одной
плоскости и при бесконечном продолжении не пересекающихся
ни с одной стороны, ибо мы не в состоянии представить
бесконечное продолжение. Необходимо показать поэтому
возможность образования как бесконечной прямой вообще, так и
специально прямых параллельных. Первое достигается
путем построения отрезка, сколь угодно кратного данному, т. е.
фактического применения так называемой аксиомы Евдокса —
Архимеду, которая, впрочем, прямо не упоминается. Для
второго ибн ал-Хайсам вводит новое определение
параллельных прямых, в неявном виде содержащее предложение,
включающее V постулат и опирающееся на применение в геометрии
непрерывного движения. Он рассматривает линию, описываемую
на плоскости свободным концом перпендикулярного к данной
прямой отрезка постоянной длины, основание которого
движется вдоль этой прямой. Такое движение он называет простым.
Неопределенные, хотя и пространные рассуждения относительно

270 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
«равенства и подобия» движений всех точек движущегося
перпендикуляра приводят автора к выводу о конгруэнтности
траекторий, описываемых ими за одно и то же время, а также
о том, что описываемая концом перпендикуляра линия есть
прямая, эквидистантная относительно данной прямой. Тем
самым для ибн ал-Хайсама доказано существование
параллельных прямых и выяснен способ их образования. В
действительности утверждение ибн ал-Хайсама, как мы сказали, включает
уже V постулат Евклида1).
Далее ибн ал-Хайсам переходит к доказательству V
постулата. Доказательство существенно опирается на только что
указанное определение парал-
с п ^ лельных и содержит ряд
интересных в историческом
отношении моментов. Ибн ал-Хайсам
уже становится на путь, по
которому пошел затем ряд прямых
и косвенных его преемников,
вплоть до геометров XVIII в.
D в 7 Он рассматривает четырехуголь-
Рис 70 ник ABCD (рис. 70), в котором
углы А ж В при основании
прямые и CD есть перпендикуляр,
опущенный на BD из какой-либо точки С стороны АС, т. е.
тот самый трипрямоугольник, который впоследствии положил
в основание своих работ по теории параллельных И. Г. Ламберт.
Требуется показать, что четвертый угол С также прямой, для
чего доказывается, что сторона CD, примыкающая к четвертому
углу, равна противоположной стороне АВ. При доказательстве
ибн ал-Хайсам выдвигает идею, использованную в различных
вариантах позднейшими геометрами,— он проводит
доказательство от противного, приводя к нелепости допущения, чта
CD>AB или CD<AB.
Вначале допускается, что CD>AB. Сторона С А
продолжается на отрезок АЕ, ей равный, на продолжение DB
опускается перпендикуляр EF, и проводятся ВС и BE. Без труда
доказывается, что EF—CD, так что согласно допущенному
EF>AB. Представим себе теперь, что EF движется вдоль
FBD, оставаясь к ней перпендикулярной, до совпадения с CD.
Когда точка F совпадет с В, отрезок EF наложится на В А
и в силу сделанного допущения займет положение BE, где
ВН>ВА. Тем самым мы пришли к противоречию: согласна
2) На неевклидовой плоскости Лобачевского, а также на
неевклидовой плоскости Римана линия, эквидистантная прямой, является кривой^
линией.

УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
271
способу ее образования линия СНЕ есть прямая, но прямой
является и линия САЕ, а две прямые не могут ограничивать
Рис. 71. Доказательство теоремы о трипрямоугольнике в трак-
тате ибн ал-Хайсама (казанская рукопись).
поверхность. Таким образом, допущение, что CD>AB,
нелепо. Аналогично доказывается, что нелепо и допущение CD < АВ г).
г) Неравенство CD > АВ выполняется на неевклидовой плоскости
Лобачевского, а неравенство CD < АВ — на неевклидовой плоскости
Римана.

272 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Заметим, что четырехугольник CDFE — знаменитый
четырехугольник Хайяма — Саккери, о котором нам придется
вскоре говорить.
Доказав равенство сторон АВ и CD, ибн ал-Хайсам легко
устанавливает, что четвертый угол С трипрямоугольника —
прямой, т. е. существование прямоугольников, а затем и самый
V постулат. Здесь он различает три случая: 1) когда один из
внутренних односторонних углов прямой, 2) когда один из них
острый и 3) когда один из них тупой. Мы не будем разбирать
эти рассуждения, не имеющие принципиального значения.
Отметим лишь, что, доказывая пересечение перпендикуляра
и наклонной, ибн ал-Хайсам формулирует, как очевидное,
предложение, в 1882 г. выделенное в качестве важной
планиметрической аксиомы М. Пашем. Это одна из аксиом порядка
(по терминологии Д. Гильберта): прямая, не проходящая
через вершины треугольника и пересекающая одну из его
сторон, пересекает также одну из двух других его сторон.
Этим же предложением пользуется позже и Насирэддин
ат-Туси.
В заключение ибн ал-Хайсам заявляет, что доказанный им
V постулат надлежит, исключив из числа постулатов, поместить
в качестве теоремы перед предложением 29 книги I «Начал»,
а к оставшимся четырем постулатам добавить предложение:
две прямые не ограничивают поверхности1).
Одним из главных результатов ибн ал-Хайсама было
отчетливое выявление взаимной связи между постулатом о
параллельных и суммой углов четырехугольника. У Евклида эта связь
выступала еще односторонне: из постулата о параллельных
следовало, что эта сумма равна четырем прямым. Нужно заметить,
что ибн ал-Хайсам выделил еще одно предложение, сыгравшее
большую роль в развитии учения о параллельных. Это —
утверждение, что две пересекающиеся прямые не могут быть
параллельны одной прямой. Во втором комментарии к
«Началам» он указывает, что такое предложение «сводится к
утверждению, доказанному Евклидом», но «более наглядно для
чувства» [144а, стр. 526], и далее пользуется им при выводе
предложения 29 книги I «Начал».
Дальнейшее развитие теория параллельных получила у
Омара Хайяма [132]. В своих «Комментариях к трудностям
во введениях книги Евклида» Хайям в принципе не
соглашается с ибн ал-Хайсамом. Следуя за Аристотелем и Евклидом,
г) Это предложение, которым Евклид явно пользуется как очевидным
при доказательстве теоремы о равенстве двух треугольников по двум
сторонам и углу между ними, в некоторых позднейших изданиях «Начал»
фигурирует в виде IX аксиомы. Большинство историков математики не
считают IX аксиому принадлежащей Евклиду.

УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
273
Хайям возражает против употребления в геометрии движения.
Ибн ал-Хайсам, вводя свое определение, ссылается на самого
Евклида, определяющего сферу как результат вращения
полукруга около диаметра. Но , говорит Хайям, автор «Начал»
в этом проявил непоследовательность. В стереометрических
книгах вообще много небрежностей, которые, быть может,
Евклид допускал потому, что читатель, дойдя до этих книг,
приобрел уже некоторый опыт. Ведь не определяет Евклид
окружность как результат вращения в плоскости отрезка,
закрепленного в одном конце. Хайям предлагает заменить
постулат о параллельных другим принципом, который, по его
словам, предложил еще Аристотель1): две сходящиеся (т. е.
сближающиеся) прямые пересекаются, и невозможно, чтобы
две сходящиеся прямые линии расходились в направлении
схождения. Вся первая книга «Комментариев» посвящена
выводу из этого принципа евклидова постулата о параллельных.
В учении о параллельных самого Хайяма есть ряд слабых
пунктов, длинноты и отдельные небрежности. Уже
выдвигаемый им «принцип» состоит из двух утверждений, каждое из
которых равносильно V постулату Евклида, так что любое из
них можно было бы опустить. Мы не будем входить в критику
рассуждений Хайяма, а выделим те моменты, которые
представляют историческую ценность.
Прежде всего Хайям формулирует аксиому Архимеда и
приведенную только что аксиому о сходящихся линиях. Из
этой аксиомы, как показывают рассуждения Хайяма, вытекает,
что два перпендикуляра к одной прямой эквидистантны. Далее
он выводит восемь предложений, которыми следует заменить
предложение 29 книги I «Начал»2). Здесь исследуется
«четырехугольник Саккери», составленный из жданного отрезка АВ,
двух равных перпендикуляров АС и BD в его концах и
отрезка CD.
В предложении 1 доказано, что верхние углы этого
четырехугольника равны между собой, в предложении 2 — что
перпендикуляр ED к середине нижнего основания
перпендикулярен к верхнему основанию и делит его пополам. Центральным
является предложение 3 Хайяма. В нем рассматриваются
три допущения, а именно: 1) верхние углы четырехугольника
острые, 2) верхние углы тупые, 3) верхние углы прямые;
первые две гипотезы отвергаются путем приведения к
противоречию с новым постулатом о параллельных. Для доказательства
х) В известных нам сочинениях Аристотеля формулировки этого
принципа не имеется.
2) Прямая, пересекающая две параллельные прямые, образует равные
накрестлежащие углы, внешний угол равен противолежащему
внутреннему, сумма внутренних односторонних равна двум прямым.

274 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
перпендикуляр EG в середине нижнего основания АВ
продолжается на GK—EG, к ЕК проводится перпендикуляр FH
до пересечения с продолжениями сторон А С и BD; в
четырехугольнике CDFH стороны СН и DF равны. Далее, чертеж
(рис. 72) перегибается по прямой CD. При этом HF в случае
гипотезы острого угла переходит в отрезок SN, больший ниж-
него основания, а в случае гипотезы тупого угла — в отрезок
LM, меньший нижнего основания. Затем весь чертеж
перегибается по прямой АВ. Тогда оказывается, что при гипотезе
острого угла два перпендикуляра к отрезку АВ по обе стороны
от него расходятся, а при гипотезе тупого угла — сходятся.
Между тем, как доказано, два
перпендикуляра к одной прямой
эквидистантны и,
следовательно, возможна только гипотеза
прямого угла. Последующие
теоремы используются для
доказательства 7-го предложения,
которое совпадает с предложением
29 книги I «Начал», и 8-го, в
котором доказан V постулат Евклида.
Заметим, что некоторые
особенности изложения Хайяма
свидетельствуют о его хорошем знакомстве с комментариями
ан-Найризи. Хайям упоминает последние и говорит также
о некоторых других попытках доказать V постулат, но
разбирает только воззрения, изложенные в «Разрешении
сомнений» ибн ал-Хайсама.
Следующий шаг вперед в развитии учения о параллельных
был сделан Насирэддином ат-Туси. Мы знаем три сочинения
ат-Туси, в которых разбирается этот вопрос. Первым из них
был «Трактат, исцеляющий сомнение по поводу параллельных
линий» («Ар-рисала аш-шафиййа'ан аш-шакк фи-л-хутут ал-
мутавазиййа» [144а]), написанный ранее 1251 г., другими —
две редакции «Изложения Евклида» [151, 152, 153, 153а],
т. е. два издания «Начал» с собственными добавлениями и
изменениями ат-Туси.
В трактате ат-Туси подробно, иногда текстуально, хотя
и с некоторыми существенными пропусками, излагает теории
параллельных ал-Джаухари, ибн ал-Хайсама (в соответствии
с его сочинением «О разрешении сомнений в книге Евклида
„Начала"») и Хайяма. Каждая теория подвергается
критическому разбору, а в заключение ат-Туси предлагает собственное
построение теории параллельных, в значительной мере
опираясь на Хайяма и отчасти на ал-Джаухари. Впоследствии это
построение в улучшенном виде было включено в первую редак-

УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
275
цию «Изложения Евклида», опубликованную только в 1888 гг
в Тегеране. Новым здесь явилось то обстоятельство, что в
трактате ат-Туси пытался доказать V постулат без какой-либо
дополнительной предпосылки, между тем как в
действительности он неявно использовал то утверждение, которым открыто
заменил постулат в первой редакции «Изложения Евклида».
Этот собственный постулат Насирэддина гласит: если две
лежащие в одной плоскости прямые в
одном направлении
расходятся, они не могут в этом
направлении сходиться, если только не
пересекаются1).
Насирэддин также вставляет
после 28-го предложения
«Начал» целую серию теорем. Он Рис. 73.
рассматривает тот же
четырехугольник, и его предложение 3 совпадает с 3-м
предложением Хайяма. Но опровержение гипотез тупого и острого
угла произведено по-другому.
В случае гипотезы тупого угла (рис. 73) в вершине одного
из них А восставляется к АС перпендикуляр АЕ. Так как
угол В прямой, то в треугольнике ABE гипотенуза АЕ
больше катета АВ. Затем в Е восставляется к BD перпендикуляр EG,
который, как гипотенуза треугольника AEG, больше АЕ.
Продолжая тот же процесс, Насирэддин показывает, что
основания четырехугольника АС и BD расходятся в направлении
от АВ к CD. Аналогично выясняется, что прямые С А и DB
расходятся в направлении от CD к АВ. Тем самым гипотеза
тупого угла приводится к противоречию с принятым
постулатом. Сходно опровергается гипотеза острого угла,— в этом
случае основания должны сходиться в двух
противоположных направлениях.
Установив, что в рассматриваемом четырехугольнике все
углы прямые, Насирэддин в предложении 5, так же как Хайям,
выводит предложение 29 книги I «Начал». Далее следуют два
варианта доказательства V постулата. В первом варианте
доказывается, что перпендикуляр и наклонная к одной прямой
пересекаются (предложение 6), и затем V постулат
(предложение 7), а во втором — что из точки внутри угла можно провести
прямую, пересекающую обе его стороны (предложение 7),
и V постулат (предложение 8).
Во второй редакции «Изложения Евклида» Насирэддин
пошел по несколько другому пути. Он принимает вместо
постулата первой редакции две предпосылки.
г) В XVIII в. такой постулат вместо евклидова предложил Р. Симсои.

276 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Рис. 74.
1) Если АВ и CD суть две прямые линии (рис. 74),
расположенные таким образом, что перпендикуляры EF, GH, KL,
опущенные из точек прямой АВ на CD, всегда образуют с
прямой АВ неравные смежные углы, которые все время остаются
острыми со стороны В и тупыми со стороны А, то прямые АВ
и CD до тех пор, пока они не пересекаются, постоянно
сближаются со стороны острых углов и расходятся со стороны тупых
углов, т. е. перпендикуляры уменьшаются в сторону точек В
и D и возрастают в сторону точек А и С.
2) Обратно, если проведенные таким образом
перпендикуляры становятся короче в направлении к точкам В и D и
длиннее в направлении к А и С, так что прямые АВ и CD постоянно
„д сближаются в сторону В и D и
расходятся в противоположную сторону,
то каждый перпендикуляр образует
с прямой АВ два угла, один из
которых острый, а другой—тупой; при
этом все острые углы обращены в
сторону точек В и D, а тупые — в
противоположную сторону.
С помощью этих предпосылок
Насирэддин пытается доказать, что
в том же четырехугольнике все углы прямые, т. е.
предложение 3 первой редакции «Изложения Евклида».
Доказательство опять-таки ведется от противного,, однако в нем
Насирэддин незаметно для себя использует предложение,
равносильное V постулату. Дело в том, что принятых посылок,
которые можно доказать средствами абсолютной геометрии,
т. е. независимо от V постулата, недостаточно для вывода
предложения 3. Мы не будем останавливаться на этом пробеле
в рассуждениях Насирэддина, который позднее отчетливо
выявил Саккери. Отметим другое важное обстоятельство.
Проведя вывод предложения 3, Насирэддин особо доказывает
еще, что сумма углов в треугольнике равна двум прямым,
сначала для прямоугольного треугольника, разбивая
четырехугольник с четырьмя прямыми углами диагональю, и далее
для любого треугольника, разбивая его высотой на два
прямоугольных. Наконец, он доказывает предложение 29 книги I
«Начал», причем, как ранее ибн ал-Хайсам, формулирует
попутно «аксиому Паша».
Идеи Хайяма и Насирэддина ат-Туси занимают видное
место в развитии ученпя о параллельных и предыстории
неевклидовой геометрии. Конечно, они оба были далеки от мысли
о возможности геометрической системы, отличной от
евклидовой, и только стремились доказать постулат о параллельных
на основании предложений, которые считали более очевидными.

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ; НОВЫЕ КУБАТУРЫ ИБН АЛ-ХАЙСАМА 277
Но попутно был сделан ряд выдающихся открытий. Об одном
из них, именно об установлении двусторонней зависимости
между постулатом и величиной суммы углов четырехугольника
и, следовательно, треугольника, уже говорилось. Другим
важным моментом являлась попытка опровержения гипотез острого
и тупого углов путем приведения к противоречию. Более того,
когда Хайям получал, что при гипотезах острого и тупого
углов верхнее основание его четырехугольника длиннее и
соответственно короче нижнего, то он фактически имел дело
с простейшими предложениями неевклидовых геометрий, хотя
и был далек от мысли о самой их возможности. Подчеркнем
еще явное применение «аксиомы Паша», хотя и не в качестве
особой аксиомы.
Работа Хайяма оставалась долгое время неизвестной,—
она была напечатана впервые на арабском языке в Тегеране
в 1936 г. Но вторая редакция «Изложения Евклида»,
принадлежащая Насирэддину ат-Туси, вышла на арабском языке
в Риме в 1594 г. и в латинском переводе (неполном) там же
в 1657 г. [154, 155]. С этим доказательством Насирэддина были
знакомы Дж. Валлис, изложивший его в сочинении о V
постулате Евклида, и затем Дж. Саккери, положивший его в основу
своей остроумной попытки «очистить от всех пятен» Евклида
опровержением с помощью приведения к нелепости гипотез
острого и тупого угла в четырехугольнике, рассмотренном
Насирэддином. В литературе по истории неевклидовой
геометрии этот четырехугольник до сих пор принято называть по
имени Саккери.
Конические сечения; новые кубатуры ибн ал-Хайсама.
Учение о конических сечениях получило в странах ислама
широкое применение для построения корней алгебраических
уравнений третьей и отчасти четвертой степени. Интерес к этой
области геометрии был связан и с работами по оптике. Физики
знали свойства параболических зеркал, и, например, в
фундаментальном оптическом труде ибн ал-Хайсама важное место
занимают соответствующие геометрические построения [156].
Мы упоминали выше об отдельных интересных построениях
эллипса у братьев бану Муса, параболы у Абу-л-Вафы.
Однако, насколько можно судить по изученной литературе,
существенных дополнений в античную теорию конических сечений
на Ближнем и Среднем Востоке не внесли. Здесь главной
заслугой математиков стран ислама было сохранение и передача
античных открытий. Через арабскую литературу проникли
в Европу первые сведения о конических сечениях, а
значительная часть основоположного труда Аполлония, его 4—7 книги,
вообще сохранилась только в арабском переводе Сабита ибн

278 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Корры, отредактированном в конце X в. иранцем Абу-л-Фатхом
Махмудом ибн Мухаммедом ибн Касимом Фадлом ал-Исфагани.
Интерес ученых X—XI вв. вызвала квадратура конических
сечений и вычисление объемов их тел вращения. Сабит ибн
Корра вновь произвел квадратуру параболического сегмента
и кубатуру параболоида вращения, а его внук Абу Исхак
Ибрагим ибн Синан ибн Сабит ибн Корра (908—946) предложил
еще один оригинальный прием только что упомянутой
квадратуры. Далее Архимеда пошел ал-Кухи. Как известно, Архимед
определил объем сегмента тела вращения параболы вокруг
главного диаметра — оси симметрии. Ал-Кухи вычислил
объем, возникающий при вращении части параболы,
ограниченной произвольным диаметром и отрезком ординаты, вокруг
этого диаметра [157, 158, 159].
Еще более важный в истории исчисления бесконечно малых
результат принадлежит ибн ал-Хайсаму,вычислившему объем
тела вращения сегмента параболы вокруг произвольной
ограничивающей ее ординаты. В специальном «Трактате об
измерении параболического тела» («Фи масахат ал-муджассам ал-му-
кафи» [160]), известном по списку примерно XVI в., ибн ал-Хай-
сам рассказывает, что стимул к этому исследованию дали работы
Сабита ибн Корры и ал-Кухи. Он формулирует решенные ими
задачи, причем метод первого объявляет неудовлетворительным.
Был ли знаком ибн ал-Хайсам (и вообще математики стран
ислама) с сочинением Архимеда «О коноидах и сфероидах» —
неизвестно; это сочинение вовсе не упоминается в арабской
математической литературе *). Решение ибн ал-Хайсамом задачи
об объеме сегмента тела вращения параболы вокруг оси
отличается от данного Архимедом, хотя оба выдержаны в строгих
формах метода исчерпывания. Отличается от архимедова и
вывод ибн ал-Хайсама суммы ряда натуральных квадратов.
Мы не будем излагать доказательства египетского
математика и только перечислим основные леммы и теоремы.
Прежде всего выводятся суммы первых четырех степеней
натуральных чисел, причем сумму четвертых степеней, появляющуюся
здесь впервые, ибн ал-Хайсам представляет в виде
2*-(т+т)«(»+т)[(»+»)—т]-
*) Неизвестно также, существовали ли арабские переводы сочинений
Архимеда о квадратуре параболы, о спиралях, а также его послания о
методе (сочинения о сфере и цилиндре и об измерении круга, по-видимому,
были арабским авторам известны). Это не означает, конечно, что
математики стран ислама не были знакомы с интеграционными приемами и
результатами Архимеда через посредство других источников. Ср. [160а].

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ; НОВЫЕ КУБАТУРЫ ИБН АЛ-ХАЙСАМА 279
Позднее эта сумма в несколько иной записи вновь, но уже без
доказательства, встречается в «Ключе арифметики» ал-Каши.
Далее, для оценки приближений, необходимых при (неявном)
предельном переходе и доказательстве его единственности,
ибн ал-Хайсам выводит неравенства
п-1
Ь=1
и неравенство
п-1
2 (тг2-/с2)2>^тг.п4
fe=0
Главные результаты таковы:
1) объем тела вращения площади abg вокруг произвольного
диаметра ag (bg — сопряженная ордината) равен половине
цилиндра с высотой, равной отрезку диаметра ag = kl, и с радиусом
основания, равным перпендикуляру к диаметру Ък (рис. 75);
Рис. 75.
2) объем тела вращения сегмента параболы abg йокруг
ординаты ag равен те цилиндра с высотой, равной ординате ag = kly
и с радиусом основания, равным перпендикуляру к ординате
Ък (рис. 76).
Эта последняя теорема включала вычисление, равносильное
а
вычислению определенного интеграла \ t* dt. Если в случае
о
bg\_ag принять ag за ось ординат, bg — за ось абсцисс,
положить dg = bg = r и ag = h, то объем V тела вращения
сегмента abg параболы у2 = р (х + г) выразится интегралом

280 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
Так как при х = 0 и y = h /?==—, то, как и нашел ибн
ал-Хайсам,
15
Только что приведенный результат ибн ал-Хайсама не был
известен древним грекам. Он был вновь найден европейскими
математиками в первой половине XVII в. вместе с более
общим правилом интегрирования степенной функции для любого
натурального показателя.
Рис. 76.
Значительные успехи были достигнуты в приближенной
квадратуре круга; нам будет удобнее рассмотреть их в связи
с различными тригонометрическими вычислениями.
Заметим попутно, что в философской литературе на
арабском языке нашло отражение и античное атомистическое учение-
о пространстве и времени, отвергавшееся Аристотелем и —
в математическом плане — Евдоксом и его последователями.
Эту точку зрения развивали Абу-л-Хасан Али ибн Исмаил ал-
Аш'ари (873 или 874—935 или 936), араб из Басры, работавший
в Багдаде, и ученик одного из его учеников Абу Б акр Ахмед
ибн Али ибн ал-Талиб ал-Бакилани (ум. 1013), также
родившийся в Басре и живший в Багдаде. Ал-Аш'ари явился
основателем мусульманской схоластики — «калама» и философской
школы «мутакаллимов». Из учения о разрывном характере
времени и движения мутакаллимы необоснованно делали инде-
терминистский вывод, что во всякий очередной момент атом
времени Аллах создает весь мир заново и, таким образом, в мире
невозможны никакие причинные связи. Собственно
математического развития это учение в странах ислама не получило.
Известно, что уже в наше время делаются попытки построения
квантовой физики на основе атомистической концепции
пространства и времени.

РАЗВИТИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ
281
Развитие тригонометрии. Важное место в математике стран
ислама занимала тригонометрия. Она служила звеном, непо-
средственно соединявшим математику с ведущей естественной
наукой того времени — астрономией, с календарем и гномони-
кой, наукой о солнечных часах, широко
распространенных в мусульманских городах, где небо редко и недолго
бывает покрыто облаками. Проблемы тригонометрии
стимулировали развитие других отделов математики, особенно
различных методов приближенных ?
вычислений.
Решение сферических
треугольников было нужно и для
отправления религиозных обрядов. Свои
молитвы мусульмане читают,
обратись лицом к родине пророка
Мухаммеда—Мекке. Направление,
в котором находится Мекка,
указывается в специальной нише —
кибле каждой мечети, и наряду
с часовыми линиями оно
отмечалось на всех общественных
солнечных часах. Если обозначить Рис. 77.
(рис. 77, где окружность
изображает нулевой меридиан) широту и долготу данного пункта А и
Мекки М соответственно ф1? ф2 и %v Х2, то в сферическом
треугольнике AMP, третьей вершиной которого является Северный
полюс, даны две стороны: ЛР=90°— фх, MP=90°— ф2, и угол
между ними Я2— Xv а требуется найти угол MAP. Решение
треугольника дает заодно сторону AM, т. е. расстояние
между пунктами А и М в градусах или, при известном радиусе
Земли, в линейной мере. Рассмотренная задача является вместе
с тем одной из основных задач математической географии.
Работы по тригонометрии, как и по математике вообще,
арабские ученые начали с ознакомления с трудами своих
предшественников. Уже говорилось, что около 773 г. в Багдаде
стала известна одна из индийских «сиддхант», переведенная
на арабский язык астрономом Абу Абдаллой Мухаммедом ибн
Ибрагимом ал-Фазари. В IX в. были сделаны переводы «Ал-
магеста» Птолемея, первые из которых дали Сахл ат-Тараби и
ал-Хаджжадж, и «Сферики» Менелая1), а также комментарии к
ним. Три названных сочинения образовали фундамент, на
котором арабские математики стали успешно строить далее.
Александрийские астрономы ввели только одну тригонометрическую
величину — хорду дуги. Теорема Птолемея, равносильная
L) «Сферика» Менелая сохранилась только в арабских текстах.

282 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
теореме о синусе суммы, вместе с теоремой о хорде полудуги
лежала в основе греческой таблицы хорд; теорема Менелая
о полном четырехстороннике служила для решения некоторых
случаев сферического треугольника. Индийцы заменили хорды
синусами, добавили линии косинуса и синуса-верзуса и
составили небольшую таблицу синусов. Математики стран ислама,
введя новые тригонометрические величины, открыв многие их
•свойства и найдя решение всех случаев плоских и сферических
треугольников, постепенно разработали тригонометрию как
•самостоятельную науку. Само название «тригонометрия», т. е.
буквально измерение треугольников, появилось в печати
в 1595 г. у Б. Питиска.
"Как уже говорилось ранее, одно из первых сочинений
по тригонометрии, составленных в Багдаде, принадлежало
•ал-Хорезми (стр. 207). Упоминая о нем, мы писали, что
содержащиеся в этом сочинении таблицы тангенсов могли быть
позднейшей вставкой. С уверенностью можно
сказать, однако, что тангенс и котангенс
были уже известны современнику ал-Хорезми
и его товарищу по Дому мудрости Ахмеду
ибн Абдалле ал-Марвази из Мерва, которого
часто называли ал-Хабаш ал-Хасиб, т. е.
вычислитель (ум. между 864 и 874 в возрасте
около 100 лет) [161, 162].
Тангенс, котангенс (и косеканс)1)
появились вначале не в качестве линий, связанных
с кругом, а в гномонике, при сравнении
сторон прямоугольного треугольника. Если зафиксировать
высоту вертикального шеста-гномона Л, то отношение
длины отбрасываемой им тени t к h меняется в зависимости от
высоты Солнца а (рис. 78). Приняв Л=60'=1, ал-Хабаш
составил таблицу значений тени t для а=1°, 2°, 3°, ... с точностью
до секунд. Эта таблица, т. е. таблица котангенсов
t = h ctg а = ctg а,
позволяла определять высоту Солнца по длине тени, и обратно.
Для горизонтального гномона (рис. 79), перпендикулярного
к вертикальной стене, ал-Хабага также составил таблицу
«обращенных теней», т. е. тангенсов
T = utga = tga.
Хотя впоследствии вместо тангенсов и котангенсов иногда
и пользовались отношениями синусов и косинусов, но многие
математики охотно приняли нововведение, значительно упро-
х) По-латыни tangens означает касающийся, a secans—секущий.

РАЗВИТИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ
283
тцавшее при наличии соответствующих таблиц
тригонометрические вычисления. Уже у самого ал-Хабаша применение
тангенса и котангенса выходит за пределы гномоники. Так, он выражает
зависимость между прямым восхождением Солнца а,
склонением б и наклоном эклиптики 8 правилом
sina = tg6 ctge.
Не исключено, что ал-Хабаш находился под влиянием
индийских сочинений о вычислении с помощью теней, одно
из которых было упомянуто выше
(стр. 160), но введение и
табулирование тангенса и котангенса, а
также их применение в астрономии
было, несомненно, делом новым и
принадлежит уже истории
тригонометрии. Сами названия тени зилл и
обращенной тени зилл мак'ус, по-
видимому, являются переводами с
санскрита. На латынь они были
переведены буквально, например, в
латинском переводе таблиц ал-Хорезми, выполненном Аделар-
дом Батским, говорится об umbra recta (прямая тень) и
umbra versa (обратная тень). Термин тангенс, т. е.
касающийся, был предложен в 1583 г. Т. Финком, термин котангенс
(и косинус) в 1620 г. Э. Гунтером.
В той же связи ал-Хабаш применяет в случае
вертикального гномона и понятие о косекансе, «диаметре тени» для данной
высоты Солнца, как о гипотенузе. Для косеканса ал-Хабаш
составил таблицу через 1 градус. Теоретический интерес
функций косеканса или секанса незначителен, но применение
их до изобретения логарифмов имело практическую ценность,
заменяя, при наличии соответствующих таблиц, деление
умножением. Более широкое применение эти линии нашли в
европейской литературе XVI—XVII вв.; слово секанс ввел Т. Финк.
Долгое время после ал-Хорезми и ал-Хабаша в
астрономических вычислениях наряду с синусами применялись хорды.
Математики нередко пользовались в одном и том же сочинении
теми и другими, а иные предпочитали оперировать только
с хордами. Со временем тригонометрические линии получают
все большее распространение. Довольно развитое учение
о них мы находим у выдающегося астронома и математика Абу
Абдаллы Мухаммеда ибн Джабира ибн Синана ал-Баттани
{род. до 858, ум. 929), который родился в Харране или близ него
и, так же как Сабит ибн Корра, происходил из
звездопоклонников — сабейцев. Ал-Баттани работал в ар-Ракке. В своем
астрономическом сочинении «Усовершенствование Алмагестау

284 ГЛ. III. МАТЕМАТИКА В СТРАНАХ ИСЛАМА
«Ислах ал-Маджисти») [163] ал-Баттани систематически
применяет тригонометрические линии, причем синус и синус-
верзус рассматривает от 0 до 180°. Так как косинус толкуется
как синус дополнения до 90° и отрицательные числа не
применяются, то во второй четверти синус-верзус определяется
не разностью, а суммой г + г sin (а—90°). Из соотношений
между тригонометрическими линиями ал-Баттани приводит
следующие (по существу их знал еще ал-Хабаш):
ctg а __ cos а tg а _ sin а sin а __ г
г sin а ' г cos а ' г cosec а '
cos а г
sec а
г sec а = У г2 + г2 tg2 а ,
т/"Т~,—э 4. a sin а tga
г cosec а = у г2 + r2ctg2a , = —?—
sec а
Еще более систематически изложены начала тригонометрии
в астрономическом трактате Абу-л-Вафы «Совершенная книга»
(«Китаб ал-камил») [164]. В предисловии к нему Абу-л-Вафа
писал:
«В этой книге мы пошли по пути, которым не шел ни один
из наших предшественников; мы избегали известных методов,
если овладение ими явилось затруднительным для изучающих,
как, например, метода четырехсторонника и правила шести
величин. Мы присоединили также некоторые предложения,
не упоминаемые греками... Мы с величайшей тщательностью
вычислили таблицы» [18, I, стр. 55]. К работам по сферической
тригонометрии и вычислению таблиц мы обратимся далее.
Сейчас же заметим, что Абу-л-Вафа все тригонометрические
линии определяет единообразно в круге; так, например, тангенс
вводится не через прямоугольный треугольник, а как отрезок
касательной к окружности. Он добавляет соотношение
tga _ г
г ctg a
и некоторые правила формулирует, принимая радиус за
единицу. Теорему о синусе суммы и разности он выражает с
помощью одних синусов (см. стр. 296). Ин