/
Author: Федотов М.В. Хайлов Е.Н.
Tags: математика подготовка к экзаменам задачи по математике вступительные экзамены экзамены
Year: 2000
Text
МВ. Федотов, ЕНХайлов Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ ЗАДАЧИ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ 3-е изд, перераб. И доп. - М.: факультет ВМиК МГУ, 2000 - 132 с. Настоящее пособие составлено для подготовительных курсов факультета вычислительной математики И кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова. Может быть полезно абитуриентам при подготовке К поступлению как на факультет ВМиК, так И на другие факультеты 1\/П`У, где есть устный экзамен по математике. Содержание Часть 1. Задачи по алгебре § 1 Действительные числа 7 п. 1.1. Целые числа. Делимость 7 п. 1.2. Рациональные и иррациональные числа 12 п. 1.3. Сравнение чисел 15 §2. Квадратный трехчлен и его свойства. Теорема Виета 18 §3. Тригонометрические задачи 23 §4. Логарифмические и показательные задачи 26 §5. Решение уравнений и неравенств 27 п. 5.1. Рациональные уравнения и неравенства 29 п. 5.2. Иррациональные уравнения и неравенства 34 п. 5.3. Тригонометрические уравнения и неравенства 37 п. 5.4. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства 49 п. 5.5. Решение уравнений и неравенств в целых числах 45 §6. Решение систем уравнений и неравенств 50 §7. Доказательства неравенств и тождеств 57 §8. Задачи на арифметические и геометрические прогрессии 62 §9. Функции и их графики 63 §10. Изображение множества точек на плоскости 72 § 1 1. Многочлены 75 §12. Задачи последних лет 75 п. 12.1. Факультет ВМиК 1\/П`У (1997 - 1999 гг.) 76 п. 12. 2. Геологический факультет МГУ (1997 - 1999 гг.) 78 п. 12.3. Механико-математический факультет МГУ (1998- 1999гг.) 80 Ответы 1 1 1 Часть П. Задачи по геометрии §1. Задачи, связанные с треугольниками 82 §2. Задачи, связанные с четырехугольниками 90 §3. Задачи, связанные с окружностью 94 §4. Площади фигур 99 §5. Задачи на построение 105 Ответы 127
Настоящее пособие составлено для подготовительныш курсов фа- культета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова. Может быть полезно абитуриентам. при nod- готовке к поступлению как на факультет ВМиК‚ так и на другие факультеты МГУ, где есть устный экзамен по математике. §1. §2. §3. §4. §5. §6. §7. §8. §9. Содержание. Часть 1 Задачи по алгебре Действительные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 п.1.1. Целые числа. Делимость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7 п.1.2. Рациональные и иррациональные числа. . . . . . . . . . . ..12 11.1.3. Сравнение чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15 Квадратный трехчлен и его свойства. Теорема Виета. .. . . . 18 Тригонометрические задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23 Логарифмические и показательные задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Решение уравнений и неравенств. ‚у . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27 11.5.1. Рациональные уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . . 29 11.5.2. Иррациональные уравнения и неравенства. . . . . . . . ..34 11.5.3. Тригонометрические уравнения и неравенства. .. . . . 37 п.5.4. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42 11.5.5. Решение уравнений и неравенств в целых числах. . .45 Решение систем уравнений и неравенств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Доказательства неравенств и тождеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..57 Задачи на арифметические и геометрические прогрессии. . 62 Функции и их графики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..63
§10. Изображение множества точек на плоскости. . . . . . . . . . . . .. 72 §11. Многочлены. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..75 §12. Задачи последних лет. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..75 п.12.1. Факультет ВМиК МГУ (1997 - 1999 гг.) . . . . . . . . . ..76 п.12.2. Геологический факультет МГУ (1997 — 1999 гг.) .. 78 п.12.3. Механико-математический факультет МГУ (1998-1999гг.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „80 Ответы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 ЧЕСТЬ П Задачи по геометрии §1. Задачи, связанные с треугольниками. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..82 §2. Задачи, связанные с четырехугольниками. . . . . . . . . . . . . . . . „90 §3. Задачи, связанные с окружностью. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 §4. Площади фигур. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99 §5. Задачи на построение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..105 ОТВЕТЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Часть 1 Задачи по алгебре При составлении предлагаемыш ниже задач была использована сле- дующая литература: 1 В.В.Рождественский‚ Е.В.Панкратьев, И.И.Мельников, В.В.Вавилов. Математический тренинг. М., 1997. 2 Г.В.Дорофеев‚ М:К.Потапов, Н.Х.Розов. Пособие по математи- ке для поступающиш в вузы. М., 1976. 3 В.М.Говоров, П.Т.Дыбов‚ Н.В.Миронин, С.Ф.Смирнова. Сборник конкурсньш‘ задач по математике. М., 1986. 4 В.В.Ткачук. Математика - абитуриенту. М., 1995. 5 А.Б.Будак‚ Б.М.Щедрин. Элементарная математика. Руковод- ство для поступающиш в вузы. М., 1997. б Варианты вступительныш экзаменов no математике в МГУ (1994 г.).- М., Мешанико-математический факультет МГУ, 1994. 7 Варианты вступительныш экзаменов no математике в МГУ (1995 2.). M., Мешанико-математический факультет МГУ, 1995. 8 Варианты вступительныш экзаменов no математике в МГУ (1996 P�h� М., Мешанико-математический факультет МГУ, 1996. 9 Варианты вступительньш: экзаменов no математике в МГУ (1997 2.). М., Мешанико-математический факультет МГУ, 1997. 10 О. С.Игудисман. Математика на устном экэамене. М., 1995. 11 В.Г.Чирский‚ Е.Т.Шавгулидэе. Уравнения элементарной мате- матики. М., 1992. 12 М.К.Потапов, С.Н.Оле1:ник, Ю.В.Нестеренко. Конкурсные эада- nu no математике. М., 1992. 13 Варианты вступительньш: экзаменов no математике в МГУ (1998 2.). M., Мешанико-математический факультет МГУ, 1998.
I4 Варианты вступительныа: экзаменов по математике в МГУ (1999 г. М.‚ Машинка-математический факультет МГУ, 1999. 15 Варианты вступительныш экзаменов no математике в МГУ (1997- 1998 гг.). М.‚ факультет ВМиК МГУ, 1999. 16 Варианты вступительныш экзаменов по математике в МГУ (1999 2.). М.‚ факультет ВМиК МГУ, 1999.
§1. Действительные числа. 7 §1. Действительные числа. п.1.1. Целые числа. Делимость. ДЛЯ успешного решения задач О ЧИСЛЭДС ИЗ ЭТОГО пункта необходимо знать следующие факты. Bo-nepabxx, любое НЗТУРЗЛЬНОЕ ЧИСЛО m может бЫТЬ СДИНСТВЕННЫМ образом представлено В виде ПРОИЗВСДСНИЯ степеней ПРОСТЫХ ЧИССЛ _ "1 _ "2 _ _ П: m—P1 P2 ���� PI» где п; - натуральные числа, а р, - различные простые числа. Во-вторых, при делении натурального числа р на натуральное число q возможны q различных остатков 0,1, 2, . . ., (q — 1). Полезно также помнить, что происходит с квадратами чисел. Например, при делении числа п на 3 возможны остатки 0, 1, 2, а при делении n2 на 3 возможны остатки 0 и 1. В-третьих, признаки делимости натуральных чисел, записанные как признаки величины остатков от деления на заданные числа: о число при делении на 3 и на 9 дает такой остаток, какой дает сумма его цифр. Поэтому, если сумма цифр делится на 3 или на 9, то и само число делится на 3 или на 9; о число при делении на 5 и на 10 дает такой же остаток, как и последняя его цифра; о число при делении на 4, 25, 50 и на 100 дает такой же остаток, как и число, записанное последними двумя цифрами. Наконец, при изучении делимости чисел достаточно работать не с са- мими числами, а с остатками от деления этих чисел. Следует помнить, что все арифметические действия с остатками, кроме деления, повторя- ют действия с числами. А именно, при сложении чисел складываются остатки, при возведении в степень в эту степень возводятся остатки и т.д. Перечислим теперь наиболее характерные типы задач этого пункта. О Требуется УСТЗНОВИТЬ, ЧТО какое-то выражение, зависящее ОТ на- ТУРЗЛЬНОГО ЧИСЛЭ. П, ДСПИТСЯ ИЛИ не ДСЛИТСЯ ПРИ всех Tl на 38.- ДЗННОС Ha.Typ3.J'II:H08 ЧИСЛО ИЛИ На, aaancxmee ОТ Tl выражение. Ре- ШСНИВ осуществляется ЛИБО применением МВТОДЭ. математической
8 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА‘. индукции, описанного в параграфе 7, либо разложением исходно- го выражения на сумму слагаемых, которые по разным причинам будут делиться или не делиться на заданное число или выраже- ние при всех n. При этом часто используется следующий факт: произведение /c последовательных натуральных чисел делится на k. о Задачи, связанные с исследованием сократимости или несократи- мости дробей, зависящих от целого п. При их решении предпола- гается сократимость дроби на натуральное q, q 79 1. После чего, этот факт переписывается в виде двух равенств для числителя и знаменателя. Затем исключается исходная переменная п, получа- ется равенство для q. Анализируя последнее, находят возможные значения q. Отсюда делают выводы, диктуемые условием задачи. о Задачи, связанные с поиском целого числа п, при котором задан- а п) Wt) задачи сначала выделяют целую часть таким образом, чтобы a(n) d ___ : C-(n) _+_ __._ И") И"), где а(п), b(n), c(n)— выражения от п, а d — целое число. После чего отыскивают п, при которых b(n) является делителем числа d. Эти значения п и требуются. является также целым числом. При решении этой ная дробь о Задачи, связанные с натуральными числами, состоящими из оди- наковых цифр. При их решении полезно следующее преобразова- ние таких чисел: п цифр г-4‘-—\ mm m_m'11 1__т_ 99...9 __ _10"—1 `y+� _ �k�� _ —————9 _m ————~9 . n Цифр п Цифр Другие задачи на целые и натуральные числа приведены в пункте 5 параграфа 5. 1.[1] Найти НОД (а, Ь) : а) а : 144, b : 120; б) а = 372,1) =156; в) а, 333, b : 243; г) а = 1О0001‚Ь= 9999; . д) a=2332,b=2233; e) a 25-252,b=43~352. О
§1. Действительные числа. 9 2.[1] Найти наименьшее общее кратное (НОК (а, b)) : a)a=48,b=36; 6)a=35,b:25; B)a=23-32,b=22-33. 3. [1] Доказать, что HO)I(n1,n2) -HOK(n1, TL2) : Tl1'Tl2. 4.[1] Пусть НОД (а, с) : 1 и а-Ь делится на с. Доказать, что b делится на с. 5. [4] Цифры трехзначного числа переписаны в обратном порядке. До- казать, что разность между исходным и полученным числом де- лится на 9. 6.[1] Доказать, что признак делимости на 11: ”Число n кратно 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр с чередующимися знаками кратна 11”. 7.[1] Доказать, что число 11 . . .1 делится на 81. \_‚_/ 81 8.[10] При каких п число М : 1313. . . 13 делится на 63? ъ._.`‚.___/ 2n цифр 9.[10] При каких п число М : 1717.. .17 делится на 33? »._.§,._._/ 2n цифр 10.[1] Остатки от деления на 3 чисел т и п равны 1 и 2 соответствен- но. Каковы остатки от деления на 3: а) суммы т + п; б) произведения т - n? [1 Ha какую цифру оканчивается число 21995? 11, 12.[2 Найти последнюю цифру числа 31975. 13 31995 на 5; 1 1 ] Найти остаток от деления: ) ) 21995 на 7. 019273 14.[10] Какой остаток при делении на 7 дает число 33"? 15.[10] Найдите остаток от деления на 7 числа 222555 — 555222. 16.[4] Делится ли на 7 число 19911917 +19171991? \
Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 10 17.[10] Докажите, что 4343 — 1717 делится на 10. 18.[1 Доказать, что число 115 — п делится на 30. '19.[1 Доказать, что n2 + 1 не делится на 3 ни при каких целых п. [ 20. 1] Сумма k2 + т“) + n2 делится на 4. Доказать, что числа k, m, n — четные. 21.[1] Сумма т2 + n2 делится на 3. Доказать, что она делится на 9. 22.[2] Доказать, что при любом натуральном п число п?’ + 2n делится на 3. 23.[4] Доказать, что 1:3 + 5k делится на 3 для любого k Е Z. 24.[10] Доказать, что n3 + 6712 — 4n + 3 делится на 3 при любом нату- ральном п. 25.[4] Числа р и q - простые, р, q > 3. Доказать, что р2 — q2 делится на 24. 26.[4] Найти все натуральные п, при которых число п - 2" + 1 делится на 3. 27.[5] Доказать, что сумма кубов трех последовательных чисел делит- ся на 9. 28.[1] Определить р, если р‚р + l0,p + 14 - простые числа. 29.[3] Пусть р и q - два последовательных простых числа. Может ли их сумма быть простым числом? 30.[1] Доказать, что если число п не является степенью двойки, то число k" + l" - составное (п, k,l - натуральные числа). 231995 + ���� 31. 1 Доказать, что - составное число. 1 3 1] При каких натуральных п число п‘ + 4 простое? 1 1 3 1 Доказать, что число n4 -+5 64 составное при любом п E N. 2. 3. 34. [ [ [ 1 Доказать что следующие дроби несократимы ни при каком п : 2 ’ 2 2 — 1 — 1 а, д„_, б) 1.2; п + 1 n2 + 1
§1. Действительные числа. 11 35.[1] При каких 12 сократимы дроби n2+2n+4 n3—n2—3n а) ———-—:—; 6) ——-:——-—'.7 п’ + п + 3 122 — 12 + 3 36. [3] Докажите, что дробь fig несократима. n Е Z. 37.[4] Найти все числа, на которые может быть сократима дробь pө� : S при целых значениях 1. 38.[10] При’ каких натуральных п дробь 2 1 несократима? д _ 39.[10] Найти все целые 12, при которых дробь п сократима. 2612 + 4 ЯВЛЯСТСЯ целым ЧИСЛОМ? 3 2 40.[10] При каких n E Z выражение П + 41.[4] Доказать, что если две положительные несократимые дроби в сумме равны 1, то их знаменатели равны. 42. [5] Доказать, что для всех натуральных п выражение (123 +3712 +2n) делится на 6. т 1122 1123 43.[10] Доказать, что если т - целое число, то число 3- + Т + Т также является целым. . 1 Доказать, что число 123 —- 712 делится на 6. . 1 Доказать, что число n(n + 1)(n + 2)(n + 3) делится на 24. 44[ 1 45[ 1 46.[1] При каких n число 124 + 2123 ~ 122 — 212 не делится на 120? 47.[1] Доказать, что 129 — 6127 + 9125 — 4123 делится на 8640. 48 [ 0 . 1 ] При каких целых q существует целое решение уравнения 1:3 + 2111: + 1 : 0? 49.[1] Доказать, что число п“ + 2123 + 2122 + 212 + 1 ни при каком нату- ральном 12 не является точным квадратом. 5О.[1] Доказать, что число 12(п + 1)(п + 2)('n. + 3) + 1 является точным квадратом при любом натуральном п.
12 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 51.[2] Доказать, что удвоенная сумма квадратов двух натуральных чисел есть также сумма квадратов двух натуральных чисел. 52. [3] Покажите, что всякое нечетное число можно представить в виде разности квадратов двух целых чисел. 53.[4] Известно, что а, Ь,с - целые числа, и а + b : c. Доказать, что а“ + I24 + с“ есть удвоенный квадрат целого числа. 54.[l] Показать, что число, состоящее из п (n > 1) одинаковых цифр, нс является точным квадратом. 55.[l0] Является ли полным квадратом число М : `11 . . .1 — 22.. .2’? TI’ Tr’ 211 Цифр п Цифр Г делится на 7. 57.[1] Доказать, ‘ITO a) из + 3122 — п — 3 делится на 48 при нечетном п; б) 7" + 12n + 17 делится на 18; в) 5" — 3" + 2n делится на 4. 58.[l] Пусть а - действительное число, причем а + 1/a — целое. Дока- зать, что при любом натуральном п число а," + 1/a" также целое. п.1.2. Рациональные и иррациональные числа. При решении 3a11a‘I данного ПУНКТЭ. СЛСДУСТ ПОМНИТЬ определения РЕЪЦИОНЕЛЬНОГО И иррационального ЧИССП. Именно, рациональным ЧИС- „ P P ЛОМ называется деиствительное число, представимое в виде —, где — - несократимая дробь, р - целое число, q - натуральное число. Собственно, иррациональным числом называется действительное число, непредста- вимое в виде —. Необходимо напомнить, что ‘любое рациональное число представля- ется также B виде бесконечной периодической десятичной дроби, а любое иррациональное число - в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. o6.[5] Доказать, что для всех натуральных п выражение (82"‘1 — 1)‘
§1. Действительные числа. 13 Кроме ТОГО, сумма, разность, ПРОИЗВЕДЕНИЕ И частное рациональных ЧИСЕЛ ЕСТЬ всегда рациональное ЧИСЛО. ПОДОбНОЕ НЕЛЬЗЯ сказать Об Hp- рациональных числах. ПрИ обосновании факта, ЧТО какое-то ЧИСЛО ЯВЛЯЕТСЯ иррациональ- ным, часто ИСПОЛЬЗУЕТСЯ СЛЕДУЮЩИЙ прием. Предполагается ПРОТИВ- НОЕ, ТО ЕСТЬ, ЧТО ИССЛЕДУЕМОЕ ЧИСЛО ЯВЛЯЕТСЯ рациональным. Получает СЯ НЕКОТОРОЕ выражение. ПОСЛЕ ЧЕГО, ПУТЕМ НЕСЛОЖНЫХ алгебраических преобразований это выражение приводится к противоречивому виду. Особо следует рассмотреть ситуацию, когда изучается тригонометри- ческое выражение. Подобным образом предполагается противное, после чего, используя различные тригонометрические формулы, выражение ОТНОСИТЕЛЬНО ИСХОДНОГОГ угла ПрИВОДИТСЯ K выражению ОТНОСИТЕЛЬНО в’ 4’ 3‘ ность последнего, получается требуемое противоречие. ИЗВЕСТНЫХ УГЛОВ Учитывая рациональность ИЛИ иррациональ- l.[2] а) Может ли сумма двух рациональных чисел быть иррацио- нальной? б) Может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональной? 2.[l] Может ли иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным? 3.[l] Доказать, что между любыми двумя различными действитель- ными числами есть как рациональные, так и иррациональные. 4.[1] При каких натуральных а и b число loga b рационально, а при каких иррационально? 5.[10] Могут ли числа ll, 12, 13 быть членами, не обязательно по- следовательными, одной геометрической прогрессии? 6.[l] Доказать иррациональность чисел: а) х/241; 5)f—x/1?; В) 6/§+x/5; r) {F4/5. 7.[l0] Доказать, что числа \/5 + \5/3 и у? + 6/3 иррациональные. 8.[8] Является ли рациональным число: а) tg5°; 6) sin 25°; B) \/::\/4+\/1_§+\/3+\/4—x/E? 9.[4] Доказать, что cos 10° иррационально.
14 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 10.[4] Доказать, что sin 10° иррационально. 11.[10] Доказать, что cos 1° и sin 1° есть иррациональные числа. 12.[5] Определить первый знак после запятой у числа sin 80°. l3.[5] Определить первые 4 знака после запятой у числа P��� 14.[5 Указать хотя бы одно рациональное число а такое, что | sin81° — а! < 0, 01. 15.[5] Указать хотя бы одно рациональное число а такое, что 7:1_07-17*“ (Лука l6.[2] Вычислить без помощи таблиц: а) 1051/„(81/5); 5) внаём; в) 0001152; Г) 3‘°s%“+2%»o£..,4. l7.[l] Проверить равенство \5/ 45 + 29x/— — \a/ 45 —— 29х/— = 2\/i. 18.[4] Известно, что �� � 3 + \/§ +\3/10 + 6\/— — \/- - ЦЕЛОЕ ЧИСЛО. Найти ЭТО ЧИСЛО. а) < 0,1; б) < 1. l9.[l] Пусть р и q - рациональные числа, причем 92 = 16р2 + 12р9. Доказать, что р : 9 = 0. 20.[10] Один из корней уравнения 1:2 +p:B +q 2 0 равен 1+ 1�� Найти р и q, если известно, что они рациональные. 21.[10] Доказать, что уравнение 1:3 + $211 + уз = 0 не имеет ненулевых рациональных решений. 22.[10] Существуют ли такие иррациональные числа р и 9, что оба корня уравнения :22 + рт + q = 0 различны и а) рациональные; б) иррациональные? 2З.[11] Решить в рациональных числах уравнение: 2’ == 3“. 24.[l1] Решить в рациональных числах уравнение: (:1: + yx/§)2 + (z + t\/if = 5 + �3��
§1. Действительные числа. 15 11.1 .3. Сравнение чисел. В задачах этого пункта требуется уметь сравнивать различные чи- словые выражения. Возможно использование следующих приемов. о В случае сравнения однотипных числовых выражений следует ал- гебраическими преобразованиями (возведение в соответствующую степень, выравнивание оснований логарифмов с последующим их отбрасыванием и т.д.) привести исходную задачу к сравнению двух целых чисел. о Используя особенности сравниваемых числовых выражений следу- ет ввести некоторую вспомогательную функцию f и заменить исходную задачу сравнения на сравнение значений функции f при заданных значениях аргумента. Последняя задача решается исследованием функции f на возрастание и убывание. о При сравнении разнотипных числовых выражений а. и b подбира- ют такое число с, которое сравнимо и с а и с b. Например, для обоснования неравенства а > b находят число c такое, что а > c и c > b. Тогда уже делается вывод о соотношении между числами а и b. o Для сравнения числовых выражений могут быть использованы следующие известные неравенства: а) 1}“ 2 \/‘~73! ПРИ д у 2 0; б) (1+1:)"21+п1: при :с>—1 и n€N; B) sin:::<:n<tg:n при 0<гв<7т/2. [1] Доказать, что а)\/Ё+\/Ё<\/Й; б)Ё/Ё+\74Ё<2Ё/Ё- 1. 2.Щ Что больше: а)т+1илит; б)\7ё+3илит? 3.[10] Доказать, что 1/1993 + «/1994 > «/1992 + \/1995. 4.[10] Сравнить числа: ж/’7+ т и х/Ё + �\�� ‚ 11 5.[1o] Сравнить числа: у/ЗЗ + 17x/.3 и у/ 9 + 4x/5 + -1-666.
16 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 615] Какое из чисел больше: \/2со$2 + 4со$1 + —— 2 со$1 или ё? 7110] Сравнить числа: x‘/6-0 И 2 + �R�� 8110] Сравнить числа: 10g310 + 4lg3 и 4. 9. [4 Определить знак числа $111 2 -со$ 3 -sin 5. 0 [ 1 ] Положительно или отрицательно число: ) $111 100; б) cos 100/19; в) $111 355 7r : 3‚1415926... - все Цифры верные)? 11110] Раположить в порядке возрастания числа: $11110°,со$275°, tg190" и ctgl00°. 1211] Найти наименьшее натуральное k, для которого выполнены не- равенства sink < sin(k +1) < sin(k + 2) < sin(k + 3). 1311] Что больше: а) со$1 или со$(3/2); 6) sin3 или sin 3°; в) $111 cos 1° или со$ sin Г’; г) $111со$ 1 или со$ $1111? 1412] Что больше: а) со$3 или 0; б) sinl или sin 1°; в) tgl или arctgl? 1 5 1514] Что больше Ё или агсгд; + агсгдё? 1615] Расположить в порядке возрастания числа: 2 _ 71 71 5; $111 7; tgg. 1714] Какой знак имеет число 1g(arctg2)? 18110] Сравнить числа: tg55° И 1.4. 19110] Сравнить числа: $11131° и tg30°. 2012] Сравнить числа: l01°59'3 и 71°54 2. 2115] Сравнить числа 3400 и 4300. 2215] Сравнить числа: 3500 и 440°.
§1. Действительные числа. 17 2300 3200_ 23. [10] Сравнить числа: 1 1/6 1 1/5 * 24.[10]Сравнить числа: �n�� и ��w� . И 25.[1] Что больше: �c�� или т? 2614] Что больше 2`/5 или ЗЛ? 27.11] Выяснить, что больше: а) {73 или x5/5; 6) ’\°/30 или "33/50; в) 340 или 430; I r)3344 или 4433; Д) 10‘/H или 11‘/T5; e) (10”1)10_2 или (9’1)9Ч? 2811] Что больше: а) (1,1)1° или 2; б) т 2 или 1, 01? 29. 10] Сравнить числа: т 2 и 1.006. 30. 10] Сравнить числа: 1052 1т +1о5„ 2 и 2. 31. 10] Сравнить Числа: 19901991 и 19911990. а) 10525 и \/5; 6) 10523 и х/Ё; в) 105214 и т; г) 1052 240 и �-�� 3 [5] Имеет ли смысл выражение 1о5д(\/2 — 1053 5)? 3. 34.12 Что больше: а) 1052 3 или 1053 2; б) 1054 7 или 1051/3 2; в) 1052 5 или 1053 5? 35.[10] Сравнить числа: 10511 119 и 10515 227. 36.11] Что больше: а) 1053 4 или 1052 3; б) 105.1 5 или 1051/21/3? 37.11] Сравнить логарифмы: а) 1052 3 и 1053 5; б) 1052 5 и 1055 32; в) 1052 3 и 1055 28; г) 1052 3 и 1055 8. 38.[5] Имеет ли смысл выражение: а 1052 3 — 1055 11; б) arcsin \/32sin -1 Ё’ 11
18 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 39.[10] Сравнить числа: 1033 7 и 1037 27. 40.[10] Сравнить числа: 1031891323 и 10363 147. 4l.[4] Что больше: log” 12 или 1031213? 42.[5] Расположить в порядке возрастания числа: 6 1 ‘/5 1 31108910? Е; 1811; 5) �kE� ё й; \/0» 1- 43.[4] Сравнить два числа: и 1. 21о335-1о337-...-1о3379 §2. Квадратный трехчлен и его свойства. Теорема Виета. Квадратным трехчленом называется выражение у = amz + bx + с, а 79 0, а графиком этой функции является парабола, ветви кото- рой направлены вверх при а > 0, вниз при а < 0. Из тождества 2 2 Ь 122 — 4ас y:a.:c +b:c+c=a :c+~— ~—j——— 2a 4a следует, что график квадратного трехчлена получается из графика функ- ции у = (11: путем параллельного переноса, при котором вершина па- раболы смещается в точку b b2 -— 4ас 170=‘5;1‘› 1/0:‘ 4a Если дискриминант D : b2 — 4ас > 0, то график функции пересекает ось Х в двух точках. Это означает, что соответствующее квадратное уравнение (1:22 + b1: + с = 0 имеет два действительных корня: —Ь — х/В -—Ь — х/В ш = -—————— гс = ————-—. 1 2a I ’ 2 2a B случае, когда D = 0, график функции касается оси Х, а квадратное уравнение 0,22 + bx + c = 0 имеет ровно один корень то. Наконец, если D < 0, то график функции лежит выше оси Х при а > 0 ИЛИ НИЖе ОСИ X
§2. Квадратный трехчлен и его свойства. Теорема Виста. 19 при а < 0. Значит, корней у соответствующего квадратного уравнения нет, и функция знакопостоянна (ее знак совпадает со знаком а). При решении ряда задач будет полезно помнить теорему Виета. Теорема 1. Пусть 21, 22 - корни квадратного уравнения 1122 +b:2 +c : 0, a ф 0. Тогда D 2 0 и справедливы соотношения: -'B1+$2=——; -'l71'-'l‘«2=-- a а Значит, применяя формулы сокращенного умножения, можно получить полезные выражения для различных комбинаций корней: 2% + 2% : (21 + 22)2 — 22122 : Ё; —— 2%; 2% + 2% : (21 + 22) ((21 + 22)2 — 32122) :: —g (3-2 — 3%); 2 :2‘{+:2§: ((:21+:2g)2—2:21:22)2—2(:21:22)2: (%—— ���� —2:—:. При решении многих задач с параметрами важно знать утверждение о расположении корней квадратного трехчлена. Теорема 2. Для того, чтобы оба корня 21, 22 квадратного трехчлена были меньше некоторого числа М, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: при а>0: D>0; :2g<M; y(M)>0; при а<0: D>0; :2o<M; y(M)<0. Теорема 3. Для того, чтобы некоторое число М лежало между кор- нями квадратного трехчлена, необходимо и достаточно выполнение сле- дующих условий: при а>0: у(М) <0; при а<0: y(M)>0. Теорема 4. Для того, чтобы оба корня 21, 22 квадратного трехчлена были больше некоторого числа М, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: при а>0: D>0; :20>M; y(M)>0; npn'a<0: D>0; mo>M; y(M)<0. 1.[1] Найти необходимое и достаточное условие на параметры р и q для того, чтобы уравнение :22 +р2 +q = 0 имело ровно один корень.
20 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 2.[l0] Составить уравнение с целыми коэффициентами, одним из кор- ней которого является число \/_ — ��� 3.[3] Докажите, что корни квадратных уравнений 1222 + bx + с : 0 и cxz + bx + a : 0 взаимно обратны. 4.[10] При каких значениях q уравнение x2 —-px +q : 0 имеет решение при любом р? 5.[1] Найти все такие b, что при любом а уравнение x2 + ax + b : 0 имеет два действительных корня. 6.[1] Ha. координатной плоскости Oab найти множество точек (а, Ь), для которых уравнения x2 + ax + b : 0 и аш2 + x + b : 0 имеют равное число корней. 7.[1] Доказать, что при любых допустимых значениях а, р, q уравнение 1 1 1 + : — имеет вещественные корни. x — p x — q a 8.[3] Найти наименьшее значение, принимаемое 2, если z : x2+2xy+ 3y2+21:+6y+4. 9.[l] Известно, что для квадратного трехчлена у : axz +bx +c имеют место неравенства у(-—2) > 1, у(2) < —1. Определить знак коэффи- циента b. l0.[3] Известно, что для у = а1г2 + bx + с имеет место у(—1) > —4, у(1) < 0, у(3) > 5. Определите знак коффициента а. 11. ] e [1 ПУСТЬ 4а + 2b + C > 0 и уравнение а1г2 + bx + c : 0 не имеет д йствительных корней. Каков знак с? 12.[1] Как выглядит график функции у = аш2 + bx + с, если a+b+c> 0,ac> 0‚0< Ь<2\/ас? 13.[1] Ha. плоскости (р, q) изобразить множество точек таких, что урав- нение x2 + px + q : 0 имеет одним из корней фиксированное число а. , . 2 l4.[l] Найти коэффициенты квадратного трехчлена x + px + q, ес- ли известно, что р и q — Целые числа и 1 + х/Ё - корень данного трехчлена.
§2. Квадратный трехчлен и его свойства. Теорема Виета. 21 15.[1] Коэффициенты р и q квадратного трехчлена $2 +р$ +q нечетны. Доказать, что он не может иметь целых корней. l6.[3] Докажите, что если значение квадратного трехчлена 0.22 — b2 +c является целым числом при $1 = 0, 22 = 1 и $3 : 2, то при любом целом $ значение данного трехчлена является целым числом. l7.[l0] Докажите, что если значение квадратного трехчлена a.22+b2+c является целым числом при всех целых $‚ то а, b,c есть целые числа. l8.[1] При каких значениях а один из корней уравнения 222+(3a.—1)2+(a2—4a+4) 2: 0 вдвое больше другого? 19.[4] При каких значениях k корни уравнения 22 — (2k + l)2 + k2 : 0 относятся как 1:4? 20.[10] При каких значениях а корни уравнения 22 — 62 + a : 0 удов- летворяют условию $Ё = 22? 2l.[l] Дано уравнение 22 + p2 + q = 0. Составить квадратное уравне- Hue, корнями которого являются сумма квадратов и сумма кубов корней данного уравнения. 22.[1] Составить квадратное уравнение, корни которого равны кубам корней уравнения (122 + b2 + c = 0. 23.[1] Пусть $1 и 22 - корни уравнения 322 — 52 — 4 = 0. Найти: а) $Ё$2 + 212;; 6) 2:322 + 2123. 24.[1] РЕШИТЬ уравнение $2 + р$ + 35 = 0 при условии, что сумма квадратов корней равна 74. 2 25.[5] Пусть 21,22 - корни квадратного уравнения $ +р$ —- q : 0. Найти $3 + $3 не вычисляя этих ко ней. 1 23 2 26.[5] ПУСТЬ :21, 22 — корни квадратного уравнения $ + р$ -— q : 0. Найти гс? + $3, не вычисляя этих корней. 27.[10] При каких а сумма корней уравнения: 22 — 2:12 + (2/a — 1) : О равна сумме квадратов корней?
Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА’. 28.[10] Пусть :21 и :22 - корни уравнения :22 -}‘— р2 + q = 0. Найти г: + Ё, :1::i”+ 2%, :2‘1‘+ 2%. 2+у=а‚ $4 + yq : b4. Найти my. 29.[4] Известно, что { 30.[1] Для квадратного трехчлена у = (1:22 + Ь2 + c известно, что оба корня больше единицы и что а, + b + c > О. Определить знак коэф- фициентов. 31.[1] Известно, что корни :21 и 22 уравнения (1:22 + b:2 + c : О удовле- творяют неравенству 21 < -1 < :22. Доказать, что a2 + ac < ab. 32.[l] При каких а уравнение 4:22 — 2:2 +a : 0 имеет два корня, причем $1 < 1, $2 > �D\� 33.[10] При каких значениях а один из корней уравнения (a2 + a + 1):22 + (2a — 3):2 + (a — 5): 0 больше 1, а другой меньше 1? 34.[l0] При каких значениях а оба корня уравнения (2 — a):22 ~ 3a:2 + 2a = 0 больше 1/2? 35.[l0] Найти все значения а, при которых оба корня уравнения (а. +1):22 — 3a:2 + 4a = 0 больше 1. 36.[1] На координатной плоскости Oab найти множество точек (а, Ь), для которых уравнение :22 + a.:2 + b = 0 : а) не имеет корней; б) имеет два положительных корня; в) имеет два корня на отрезке [—l; 1]; r) имеет два корня, причем 21 < —1,:22 > 1. 37.[10] Найти все значения т, при которых неравенство m:22 — 4:2 + (3m + 1) > 0 выполняется для всех 2 > 0. 38.[l0] При каком положительном значении р уравнения: 3:22 — 4р2 + 9 = 0 и :22 — 2р2 + 5 = 0 имеют общий корень? 39.[1] При каком целом р уравнения 3:22 — 4:2 + р — 2 : 0 и :22 — 2р2 + 5 = 0 имеют общий корень? 40.[10] При каких а уравнения: :22 + a:2 + 8 = 0 и :22 + 2 + а = 0 имеют общий корень?
§3. Тригонометрические задачи. 23 §3. Тригонометрические задачи. При решении задач этого параграфа важно помнить следующие фор- мулы тригонометрических преобразований: cos ш 1 . 2 2 _ _ $1П$ _ sm ac+cosz_1, tgz_ , ctz_ _ :——, cosz smz tgz sin 2x : 2 sin av-cos ш, cos 2x : cosz z—sin2 ш = 2 cosz av~1 = 1-2 sinz ас, .2 1—cos2:z 2 1+cos2z s1n av=—j——, cos z:———:, 2 2 sin(:c:i:y) = sinz-cosyztcosz-siny, cos(z:§:y) = coszc-cosyipsinx-siny, t zit y tg($ i P�j� : 7 1: tgw ' tgy . 2t 1—t 2 2t s1n 2:: :\ ё, со$2ш : ——~g—2—x, tg2:z : ё, 1+tg2 1+tg:n 1—tg:z 1+tg2:B= 1 ‚ 1+ctg2:z:: , C0S2.’B sinzz . . . :1: . - smzztslny : 2s1n Ц-соз ш ч: у, cos2+cosy = 2cos ш +y -s1n x y, 2 2 2 2 . . — . . 1 cos:c——cosy = -2 sln 3:1}-sln ш 2 , s1n ш-вшу = §(cos(:z—y)—cos(:t+y)), (sin(av+y)+sin(z—y)). l\7I|—I 1 . cos av-cosy = §(cos(:n+y)+cos(:z—y)), s1n av-cosy = Полезно также знать формулы приведения. Кроме того, необходимо помнить свойства и вид графиков тригоно- метрических функций у = sin ас, у = cos ш, у = tgz, у = ctgz. Важно знать свойства и вид графиков обратных тригонометричес- ких функций у : arcsin ас, у = агссовш, у = arctgz, у = arcctgz, a также следующие формулы обратных тригонометрических преобразо- вании: arcsin av + arccos ш : 1г/2, |z| 5 1, arctgz + arcctgz : 1r/2, cos(arccos ас) = ас, sin(arcsin аз) = av, ]z| 5 1, tg(arctga:) = аз, ctg(arcctgz) = аз, cos(arcsin аз) = \/1 — 2:2, sin(a.rccos ас) = \/1- 3:7, ш g 1, tg(a.rcsin аз) = 7557, Ix] < 1, tg(arccos аз) = дЕЕ, |:c| g 1, а: 75 0. 1'
24 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. Для получения в конкретных задачах подобных формул следует ком- бинировать необходимые формулы из первой и второй групп. Также особо следует выделить свойства и графики функций у : arcsin(sin 1:), у = a.rccos(cos 2:), у : arctg(tgx), у = arcctg(ctg:c), которые легко выводятся из свойств тригонометрических функций: у = sin аз, у : cosz, у = tgz, у : ctga: и им обратных у : arcsin ш, у : агссов :13, у = arctgzc, у : arcctgzc. 1 ЦЦ Вычислить: sin (arccos ��M� . 2.[1] Вычислить: sin(arctg3). 3.[1} Вычислить: sin(2arctg6). 4.[1] Вычислить: cos (2a.rctg(—5)) . 1 5.[1] Вычислить: cos (arcsin �%;� + a.rctg(—2)) . . 5 1 6.[5] Вычислить: cos arcsm Е + arccos -5 . _ 1 7.[l] Вычислить: sm <arcc0s �>� — arctg2) . 1 . 1 1 8.[2} Вычислить: а) tg (arccos ��]� ; б) s1n (arctgg — агссоз pjO� . 57г _ 57г 9.[1] Вычислить: а) агссоз сов? ; б) arccos s1n—4— . . . 87r 10.[3} Вычислить: arcsm s1n 7 . 87г ll.[3] Вычислить: агссоз cos -7- . I 81r 12.[3] Вычислить: arctg tg7 .
§3. Тригонометрические задачи. 25 13.[1] Вычислить: arccos (cos 10) . 14.[4] Найти: a.rccos(cos 13). 100 15.[1] Определить знак числа cos п. 19 16.[3] Выяснить, какое число больше: sin 1980° или cos 1980°? 17.[3} ВЫЯСНИТЬ, какое число больше: sin 2 или cos 3? 7 1 18. [4] Что больше E или arcsin 5 + агссоз Е? 1 19.[1} Доказать, что агсгзё < p"G� 20.[1} Вычислить: cos 20° - cos 40° -cos 80°. 21.[1] Доказать, что . . 27г . 47г . 67г . 87г s1na+s1n a-kg +s1n а-Ъ? +s1n a+—5— +s1n 01+? =0. 1 22.[1] Доказать, что cos ё + cos Ё: : `�@� 57г 1 23.[1] Доказать равенство: cos g - cos Д: - cos — :: ��B� 7 7 21r 41r 67r 1 24.[1] Показать равенство: cos — + cos — + cos —— : ——. 7 7 7 2 25.Ш Дано tga: + ctgzc = 3. Найти tg3a: + ctg3a:. 26.[1} Найти наибольшее значение cos z+cos y, если :c+y : 1; ш, у > 0. 2 27.[2] Найти tga, если sin 2a + cos 2a : ��<� 28.[2} При каких значениях а и В справедливо равенство sin a + sinfi : sin(a + ��;� 29.[4] Известно, что агсгвл- 1 = E, где п - натуральное число. х/Ё +1 п Найти п.
26 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 30.[l] Доказать, что 2arctg% + arctg2l3 : � � 3l.[1] Доказать, что \/0 + tgi1—r2- : 2. 7r _\/0+\/2' 32.[1] Доказать, что cos - 12 _ 4 2 . o __ 2 о 33.[1] Доказать. что é————-———CO§ 49 COS О = х/Ё. sin 20° 2 . 34.[1} Доказать, что sin(7r + a) -sin ���� + а) -sin �?�� + а) : Sm43a. sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° _ sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° — 36.[1} Доказать, что если 0 5 ш g 1, то zcsinzc + cosz _>_ 1. 35.[1} Доказать равенство 37.[5] При всех значениях а 96 12-, (k : О; :Ь1;:Ь2; . . доказать не- равенство: 3(tg2a + ctgza) — 8(tga + еще) + 10 2 0. k 38. [5] При всех значениях В ф 1%, (k : 0: 3&1; :t2; . . @O�� доказать нера- венство: .2 3(l—i~cqos 2fi) _ . +5>0‘ sln‘ Zfi sm 25 ’ . . 1 . 109 39.[9] Зная. что sina > 0 и s1n За > Z, доказать, что sxna > ���� §4. Логарифмические и показательные задачи. При решении задач этого параграфа следует помнить формулы для степеней и логарифмов: а _ Ьд : aa+[3 aloga b : b a Ё: : a°‘"° logo b + logo c = logo bc (a°)° :: a"‘° log“ b — logo c = logo g а“ - b°‘ : (ab)°‘ logo b‘ : c - та, b an a G _ lo ‘ г: (г) 1°8а’>— �y��
§5. Решение уравнений И неравенств. 27 Также необходимо знать свойства и вид графиков логарифмической и показательной функций. 111] При каких значениях ш определено выражение: (..,((1ogaz:)l°g“’)...)log°I? 213] Упростите выражение 15 $53” ~ lg tg6° - lg tg9" - ...-1gtg87", 311] Упростить Zgfilzf. 411] Вычислить без таблиц число 4V log‘ 5 — 5 V1035 4. 5.[1] Доказать, что при целом k > 1 n : — logk logk k ?:‘ (n корней). 611] Найти log”; u, если log, u : а, logy u = Ь, log, u : c. 711] Дано 152 : а. Найти 15(1/80). 811] Дано 1052 20 : а. Найти 1055 4. 915] Известно, что 1053 18 = а, 1055 15 = Ь. Вычислить 1052 10. 1011] Дано 152 = а. Найти: а) 1054 20; б) 105125 50; в) 1о52ь5к(2'"-5"). 1111] Найти все натуральные п, для которых 1052 п < V 15 <1о52(п +1). §5. Решение уравнений и неравенств. П и сшении авнений и не авенств соб анных в этом па аг а- 9 фе, помимо стандартных методов, например замены переменной, могут использоваться и следующие приемы. о Область определения уравнения или неравенства разбивается на подобласти, на каждой из которых анализ исходной задачи проще, чем на всей области определения в целом.
28 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. о Может быть использовано графическое решение уравнения или не- равенства, заключающееся в том, что исходная задача трактует‘- ся как задача поиска либо точек пересечения графиков некоторых вспомогательных функций, либо областей, где график одной функ- ции лежит выше графика другой. При этом широко используются свойства введенных вспомогательных функций, описанные в пара- графе 9. При решении уравнения f ( 1:) : 0 полезно бывает домножить его на некоторую вспомогательную функцию у(а:) для того, чтобы новое уравнение у(ш) Ў�� : О стало проще исходного. При этом следует помнить, что если у(ш) знакопостоянна, то уравнение у(ш)-Дш) : 0 равносильно исходному. Если же в некоторых точках функция 9(ш) обращается в нуль, то уравнение у(а:) - Дш) = 0 наряду с корнями уравнения �W� : 0 обладает еще и корнями уравнения 9(ш) : 0. Поэтому, после решения уравнения 9(а:) - Дав) = 0 следует среди его корней отобрать те, для которых f = 0. Для решения некоторых уравнений полезно воспользоваться свой- ством монотонной функции. Суть этого приема состоит в том, что если надо решить уравнение Дш) = 9(а:) и при этом Дав) является возрастающей функцией, а у(ш) - убывющей функцией, то при на- личии решения а: = то оно единственное. При этом корень то легко подбирается, например, из вида графиков. Кроме того, в качестве одной из функций может выступать и функция у : const. Наконец, описанный подход применяется и при решении неравенств. Для решения некоторых уравнений привлекаются оценки левой и правой части. Пусть имеется уравнение : g(a:) и оно стан- дартными приемами не решается. Тогда может оказаться, что Дав) S cl, а у(:с) 2 C2. При этом, если cl = C2, то исходное уравне- ние может иметь решение - корень уравнения f (av) = cl, который должен быть и корнем уравнения g(z) : с1. Если же ст < C2, то у исходного уравнения корней нет. Таким образом, решение исход- ной задачи сводится {доказательству некоторых неравенств. Этот процесс может основываться либо на свойствах ограниченности входящих в уравнение функций, либо на применении Известных
§5. Решение уравнений и неравенств. 29 неравенств: Чд Z «Е, 30,112 0 и равенство достигается при а: = у; Ix + ��/� 2 2, а: gé О и равенство достигается при ��9� : 1; Ш Z Ш I501 2 -т; sin:c<:n<tgq:, zE(0;§); |sinz] S av. ЗЗМСТИМ, ЧТО ЭТОТ прием ПРИМЕНЯЕТСЯ И при решении неравенств. 0 ОТДЕЛЬНО ВЫДСЛИМ однородные уравнения: до (1‘(Ф))"+а1 (1'(Ф))"_1*9(Ф)+- - -+ап—х1’(т)'(у(т))п_1+ап (9($))" = 0. где f(:c) и у(а:) - произвольные выражения от ш, а a0,a1,...a,, - заданные целые числа. Сначала рассматривается система { ПФ) =3. и отыскиваются ее решения, являющиеся решениями исходного уравнения. Затем уравнение делится на (у(а:))" и выполняется за- f (т) 9(:v) aoz" + alz + . . . + a,,_1z + an : О, методы решения которого описаны в пункте 1 этого параграфа. Отыскиваются корни этого уравнения, затем возвращаются к исходной переменной. мена переменной z : . Получается рациональное уравнение п—1 п.5.1. Рациональные уравнения и неравенства. Большинство собранных в этом пункте задач связаны с нахождением корней уравнения вида y(z) : 110.13" +a1z"“1 + . . . + a,,_1a: + an = 0, где п E N, щ; gé 0 и ад, a1, . . .a,, - целые числа. Выражение в левой части равенства называется многочленом. Само уравнение называется рациональным. Поскольку при п = 1 получается линейное уравнение 111 aoz + a1 : 0, имеющее решение то = ————, а при п : 2 - квадратное ao
30 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА.’ уравнение вот’ + alas + (1.2 = 0, подробно описанное в параграфе 2; под- робно следует остановиться на случае п Z 3 И напомнить следующее. Во-первых, у многочлена нечетной степени один корень существует всегда. Во-вторых, прежде чем заняться непосредственным отыскани- ем корней многочлена, следует изучить вопрос их наличия. Для этого достаточно подбором найти два значения 1:1, 1:2, 3:1 < 1:2, для которых y($1)~1/(HI2) < 0- Теперь кратко изложим процедуры нахождения корней исходного многочлена. о Для поиска целого корня то следует выписать все делители числа an, a затем по очереди проверить их, подставив в многочлен. Если для какого-то делителя подстановка обратилась в нуль, то корень то найден. Необходимо поделить исходный многочлен на (а: — то), получить многочлен степени на единицу меньше и продолжить поиск других корней. Если же ни один делитель ад не обратил подстановку в нуль, то данный многочлен целых корней не имеет. о Для поиска рационального корня хо следует выписать все "делите- ли чисел ао и ад, а затем сформировать всевозможные дроби вида Р —, где р - делитель ад, q - делитель ао, и дробь а - несократи- мая. После чего по очереди проверить их, подставив в многочлен. . P Если для какои-то дроби — подстановка обратилась в нуль, то ко- Ч P . - рень то = — наиден. Необходимо поделить исходный многочлен на (цап-р) и далее искать корни многочлена степени на единицу мень- - P шеи. Если же ни одна дробь — не обратила подстановку в нуль, то Ч данный многочлен рациональных корней не имеет. Следует помнить, что в случае ао : 1 все рациональные корни многочлена являются исключительно целыми числами; а в случае an : 1 все рациональные корни многочлена имеют вид то : Ё, где q - делитель ао. о Наконец, для поиска иррационального корня шо следует восполь- зоваться методом неопределенных коэффициентов, который про- демонстрируем для п f 4. Будем искать разложение исходного многочлена в виде: a0:c4+a1z3+a2x2 +a3$+a4 = (50262 + 5111+ 52) ' (C012 + 61$ + C2),
§5. Решение уравнений И неравенств. 31 где bo,b1,b2 и c0,c1,c2 - неизвестные, а а0‚а1,а2,а3‚а4 - за- данные целые числа. Раскрывая скобки в правой части тождества и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 1:, нахо- дим систему равенств: boco = Go, boo; + blco : (11, 5002 + 5161 + bzco = 112, 5162 + 5261 = 113, bgcg Z (14. B системе следует рассмотреть первое и последнее уравнения как уравнения в целых числах. Перебрать всевозможные пары (Ьо, со) и (b2,c2), дающие в произведении ао и щ соответственно. При этих значениях решить в целых числах оставшиеся уравне- ния системы. Если в результате таких рассуждений не нашлись целые числа Ьо, b1, b2 и со, c1,c2, то необходимо искать иррацио- нальные корни исходного многочлена каким-либо другим спосо- бом. Здесь имеет смысл попытаться разложить его на множители либо путем добавления и вычитания некоторого слагаемого, с по- следующим применением формул сокращенного умножения, либо путем почленного деления на какое-то определенное выражение, либо путем упрощения с помощью замены переменных. Paunonanbnme уравнения решаются также И ПрИ ПОМОЩИ замены пе- ременных. ОПИШЕМ некоторые ИЗ НИХ. о (ш + a)4 + (а: + fi)4 : с, где a,fl,c — заданные числа. Пусть а + - d = ��]� Замена переменнои имеет вид у : ac + d. Уравнение приобретает симметричный вид (у + d)4 + (y — d)4 : с или, после преобразований, 2y4 +12d2y2 + (2d4 — с) = 0. Последнее уравнение является биквадратным и легко решается. o(:1: —a) - (ш-В) - (:c—'y) - (:c—6) : A, где a,,8,'y,6,A - заданные числа, удовлетворяющие соотношениям а < В < ‘у < 6 и В — a+fl+7+5 4 y Z $13 — d И также СВОДИТ ИХОДНОС уравнение X биквадратному. а = 6 — ‘у. Пусть d = . Замена переменной имеет вид о ((1:22 +b1:z+c) - (azz +b2:c+c) : Azz, где а, (п, b2, c, A - заданные числа, удовлетворяющие неравенству bl ф bg. Уравнение
32 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. __ С ДЕЛИТСЯ на $132, ПОСЛЕ ЧЕГО замена ПЕрЕМЕННОИ у Z (1:13 + —’ ПРИВОДИТ его к квадратному уравнению вида (у + bl) - (y + b2) : А. (ш - а) - (ас —В) - (ш — 7) - (ш — б) = Аш2, где a,fl,'y,6,A - задан- ные числа, удовлетворяющие равенству afl : '76 # 0. Уравнение приводится к виду ($2 — (а —+-‚Н):с+аН) - (132 — (7 +6);c +76) : Анд, после чего решается приемом из пункта 3. ‘1(C$2+P1$+(1)2+b(C$2+P2$+'I)2 : Axzy где ‘1»b»C»P1yP2y‘ZyA - заданные числа, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ НЕРЗВЕНСТВУ pl f pg. Уравне- НИЕ делится на 132, ПОСЛЕ ЧЕГО замена ПЕрЕМЕННОЙ у Z 6113+ — l'IpPIBO- $1! дит его к квадратному уравнению вида а(у +p1)2 + b(y + p2)2 : A. Возвратное уравнение вида 111:4 + b:c3 + C132 + ba: + a = 0, гдеа, Ь, с - заданные числа, решается следующим образом. Уравнение делит- ся на 1:2, после чего преобразуется к виду 2 1 1 1 а. а: +? +b z+; +c=0.'3aMeHanepeMeHHmxy:a:+;c учетом 1:2 + x—2 = у2 -— 2 приводит исходное уравнение к квадрат- ному уравнению вида ayz + by + (с — 211) = О. Подобные рассужде- ния могут быть проделаны для любого рационального уравнения четной степени с указанным выше свойством коэффициентов. Воз- вратное уравнение нечетной степени вида 111:3 +ba:2 + bar: +a : 0 пу- тем преобразований приводится к виду (ш+1)(аш2+(Ь-—а)ш+а) : О. Значит, один корень а: : —1‚ а оставшееся уравнение является возвратным степени на единицу меньшей, и потому решается опи- санным выше способом. Аналогичное проделывается с любым воз- вратным уравнением нечетной степени. К рациональным уравнениям ОТНОСЯТ также И УРЗВНЕНИЯ, содержа- ЩИЕ раЦИОНаЛЬНЫЕ Bmpaxennx С МОДУЛСМ. ПОЭТОМУ ПРИ РЕШЕНИИ таких ЗЗДЗЧ важно ПОМНИТЬ, ЧТО '_ ш, при а: Z 0, ‚а: _ —:с, при а: < 0. а также |шТ2 0 и I~ av] = 0>�� 1.[1] РСЩИТЬ уравнение: �=�� — 1{ — 2{ — 1{ = 1.
§5. Решение уравнений и неравенств. 33 2.[1] РСШИТЬ уравнение: [$3 — $ + 1| : :3. 3.[1] Решить неравенство: [$3 — $ + 1| < $ + 1. 4.[4] РЕШИТЬ уравнение: [$13 + [$ — 1|3 = 9. . 1 5 [7 Сколько корней имеет уравнение 1 3 3—2]m—-1]:2( -5)? $ — — — $ + — 6.[7] Сколько корней имеет уравнение ‘$2 — 2}$] + Ц = 3}2 — ш) —- 1? 4 4 7.[10] Сколько корней имеет уравнение: 1 + $ — $2 = P<�� 2$ $2+1' 4 9.[1] Решить неравенство: -7 _>_ — — :32. $ $ 8.[1] Решить неравенство: $3 > 10.[10] При всех значениях а решить уравнение: am‘ — $3+а2$ —a : 0. 11.[10] При всех значениях а решить уравнение: $4 — 2а$2 + $ + а? : 0. 12.[1] РСШИТЬ уравнение $4 — 3$2($ + 1) + 2($ +1)Z : О. 1 Z 2 13.[1] Решить неравенство: (x + `��� > $2 : 1. 2 _ 14.[1] Решить неравенство: $2 +1 + :32 — 5$ + 6 < 0. $2 15.[10] Решить уравнение: $2 + т : 1 81$2 16.[10] Решить уравнение: $2 + W 2 40. 1 1 17.[10] РЕШИТЬ уравнение: 7 (m + ��� — 2 ($2 + 0[�� : 9. 18.[1] Решить уравнение (:1: + 3)‘ + ($ + 5)“ = 4.
34 ‚ Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 9 43 7 19.[4] Решить уравнение: $3 — fizz + 3:1: + 5 = О. 20. [4] Решить уравнение: mu —— $9 + $4 —- а: + 1 : 0, 21.[10] Рехпить неравенство: $12 — $9 + $6 — $3 + 1 Z О. 1 "H" >0 22. 1 Р: : Z ————:— . [ ] (ШИТЬ неравенство $ + $2 + ш + 1 23.[1] Решить уравнение 6$4 — 13$3 +1232 — 13:1: + 6 : О. 24.[1] РЕШИТЬ уравнение $4 — 52:3 + 6x2 — 5$ + 1 = О. 25.[1] РЕШИТЬ уравнение 2134 + 3$3 + 2$2 + 32: + 2 : 0. 26.[1] Решить уравнение ($2 —16)(::: —— 3)2 + 9x2 : О. 27.[1] Решить уравнение $4 — 4$3 — 10$2 + 37$ — 14 = О. а 1 28.[1] Решить уравнение: ~—— — : 1. $ $ — 1 1 — 1 29.[1l)] При всех а решить неравенство: i + ш > ш + . 2a 6 8a 3(J.[10} Для всех и, решить неравенство: an: > —. $ 31.[2] При каких значениях а неравенство а$2 — �W�� S О справедливо для всех $ g О? п.5.2. Иррациональные уравнения и неравенства. При решении иррациональных уравнений и неравенств следует, преж- де всего, помнить об области определения корня, присутствующего в уравнении или неравенстве. Именно, для 2\"/1‘($) имеем 1'($) Z О. Кроме того, следует не забывать и о следующих фактах: 371%) Z 0, ЖРИ) = !1‘(т)1‚
§5. Решение уравнений и неравенств. 35 _ (шит) п жиге. т) "‘”)‘{ -\9Г‹ш›1’2‹э=› „Е: x(z)<o. A также, что избавление от корня осуществляется возведением обеих частей уравнения или неравенства в эту степень. При этом в случае корня четной степени обе части уравнения или неравенства должны быть неотрицательны. Полезно также помнить и о том, что решение уравнения вида \/1'(ш) = 9(ш) сводится к решению равносильной системы: { f(2=) ;g.2($), Аналогичный подход применяется и в уравнении \/}(ш) : \/9(ш). Рав- посильная система имеет вид: т) (ж). f(w)= ш, {копьё “”“{а‹ш>2Ё‚ VII В зависимости от того, какое неравенство легче решить. Следует не забывать и о замене переменной в иррациональном урав- нении или неравенстве, которая упрощает исходную задачу. . ешить авнение: :3 —:——— : ——. 1 ш P + ш 35 YP 1:2 _ 1 12 1 — х/ 1 — 8 2 2.[1] РЕШИТЬ неравенство: т; < 1. а: З.[1] Решить неравенство: \/E + \/ :32 + 3:3 > 3. 4.[1] Решить неравенство: 9 — 9/:3 < :3 — на: — 9/:3. 1 1 5.[4] Решить уравнение: :2: + E = 5. — 2\/ 1 6. [4] Решить неравенство: > 0. :32 — 5:3 + 6 7_[4] Решить уравнение: V :37 + 1 + 1 — $5 : 8. Найти все :3 > О, для которых \/ :32 + 2 + $2 — 3 = 5 + \/?— ж.
‘Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 9.[4] Решить уравнение: \/1: + 3 — 4x/571+ 1; + 8 — fix/x—:_1 : 1, 10.[10] РЕШИТЬ уравнение: {AT + Д? : 3. ’ 11.[10] Решить уравнение: д + х/ЁЁ : $2 — 6$ + 7. 12.[10] РСШИТЬ уравнение: `��� = $2 — 7 при $ > 0. 13.[10] РЕШИТЬ уравнение: \°/1:-—§ + ДЕ = 3. 14.[10] Решить уравнение: \°/$ — 1+ \/$ + 2 : 3. 12 15.[10] Решить неравенство: 25 — $2 f —. $ 17.[0] Решить уравнение: (1: + $ : а. 18.[1] Решить уравнение: $2 -— и : \/(I3 + a. 19.[1} РСШИТЬ уравнение: $2 + 2а$ + а = \/ $ + 112. 2Щ1] Решить уравнение: $2 — 2 = ]$ — а]. 21.[1] При каких а уравнение \/$ — 1 = $ + а имеет решение? 22.[1] Найти Все значения u.‘ при которых уравнение V $2 — 1 : 2ш — а имеет единственное решение. 23.[1] Решить неравенство: т Z $. 24.[1] РЕШИТЬ неравенство: Д: 2 am. 25.[1] Решить неравенство: 1 —— $2 < $ + а. 26.[1] Решить неравенство: $ — $(а —- $) > 1. 27.[10] Для всех значений а решить уравнение: \/1Ё—- \/$ — 1 : a. G n.5.3. Тригонометрические уравнения и неравенства.
§5. Решение уравнений и неравенств. 37 При решении уравнений и неравенств этого пункта следует пом- нить свойства и графики тригонометрических функций у = sin 1:, у : созш, у = tgx, y : ctgx; свойства и графики обратных тригоно- метрических функций у = arcsin 1:, у : агссоз 1:, у : arCtg:1:, y : arcctgx. Важно также знать тригонометрические формулы, которые при- ведены в параграфе З. Необходимо рассмотреть следующие приемы решения тригономет- рических уравнений. о а(1:) 51:11:+Ь(1:)со51: : с(1:), где а(1:)‚ b(:3), с(ш)-выражения от переменной :3 и с(1:) 2 О. Вводим вспомогательный угол ‹‚о(1:) так, чтобы: , со5‹‚о(ш) : —Щ#——. sin ‹‚о(1:) 2 a2($) + bl“) Получается уравнение вида а2(1:) + b2(1:)sin(z: + : ���� Тогда, если �G�� > \/a2(z:) + b2(1: , то уравнение не имеет реше- ний. B случае 2 \/а2(1:) + b2 ж) возникает система: ( |SiI1($ + <P(1'))|=1» Шт) + WI) = lc($)|» которая В КОНКРЕТНЫХ задачах ЛЕГКО РСШЗСТСЯ. о sink :3+cos"‘ 1: = 1, где k и т- заданные натуральные числа. Нетрудно понять, что решение достаточно искать среди тех ж, для которых sin 1: 2 0 и со5 1: 2 О. В этом случае используются неравен- ства sink :3 2 sin’ :3 при k > l И со5” 1: 2 со5” 1: при т > п, в которых равенство достигается при sin 1: = О, sin :3 : 1, cos 1: : О, созш = 1 и основное тригонометрическое тождество 51:12 1: + со52ш : 1.После чего sin 1: и со5"'1: сравниваютсяс 51:121с и со52 1:. Возникают неравенства вида либо 1 = sink 1:+со5”‘ 1: g sinz 1: + C032 13 = 1 либо 1 : sink 1: + со5” 1: 2 51:12 1: + со52 1: : 1. Ра- венство возможно при уже указанных значениях 51:11: и со5 1:, которые проверяются в исходном уравнении. добавляются случаи sin :1: : -1 или созш = —1, когда одна из степеней или обе чет- ные. B противном случае уравнение решений не имеет. 1 1,[10] Решить уравнение: со5 :3 - cos 2:3 - cos 41: - со5 81: : ����
38 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. д 2. [1] Решить уравнение: 3.[1] РСШИТЬ уравнение: 4.[1] Решить уравнение: 5.[0] Решить уравнение: 6.[1] РЕШИТЬ уравнение: 7.[1] РЕШИТЬ уравнение: 8.[1] РЕШИТЬ уравнение: 9.[1] Решить уравнение: 10.Щ Решить уравнение: 11.[1] Решить уравнение: 12.[2} Решить уравнение: 13. [3] Решить уравнение: l4.[3] Сколько корней уравнения соз2 1: + sin(cos 3:3) = О. sin(3 sin 7r:3) = О, 5. x/5 2 4sin:3 -sin51: : 1. x/5 cosx (tg:L_)sin1: : (Ctg:L_)cosz I з111(со51:) = 1 sinm' 8sin:3: | sin 1:|°‘52‘ : 1. 3 3 ш. 4з1пш—со5" ж: 4со5ш—51п' . . . 1 . sin 1: - 511121: - s1n3:3 : E sm 41:. tg2a: + : ctga: + sin 1: sin 51: ' tg21: cos Зш + sin 3m + \/§sin 51: = 0. sin 3m + cos 41 — 4511171: : cos 101: + sin 171:. \/3+1. ы/Ё 2 SlX1IE—‘—4—‘—1:0 лежит в отрезке [—7г; 7r]? 15.[10] Имеет ли решение уравнение: cos(sin 71:) 16 17 18. 19 Решить уравнение 20 [1 Н и -[4] Н -[1 21 1 Решить уравнение: . 1 Решить уравнение: . 1 Решить уравнение: 1 Решить уравнение: . 1 Решить уравнение: — 7 U\|=i sin(sin ж) : sin(cos �?�� sin(cos ж) : cos(sin �-�� cos(sin ж) : соз(соз �i}� sin(sin :3) : cos(cos �� coscos 1: : 51112 :3. tg(— cos ж) — sin(7r + cos @���
§5. Решение уравнений и неравенств. 39 22.[10] Решить уравнение: sin(7r cos ж) = соз(7г sin ��� 23.[1] Решить уравнение: 24.[1] Решить уравнение: 25.[1] Решить уравнение: 26.[1] 7. 1 2 [1 Решить уравнение: 28.[1] Решить уравнение: 29.[1] Решить уравнение: 30.[3] Решить уравнение: 31.[0] Решить уравнение: 32.[1 Решить уравнение: 33 [1 Решить уравнение: 34 [1 РЕШИТЬ уравнение: 1 35. 1 36 [5 Решить уравнение: 37 38. 39.[1] Решить уравнение: 4О.[1] Решить уравнение: 41.[1] Решить уравнение: 42.[1] Решить уравнение: Решить уравнение: ] I ] ] Решить уравнение: 1 PZ�� Решить уравнение: ] [1 Решить уравнение: sin 2, 51: + cos 2:3 = 2. cosy: + cos 7r:3 : 2. sinx + sin 7:3 : 2. cosz :3 + cosz \/Ea: : 2. cos‘ 2m + sin4 :3 = 2. cos �� � + cos :3 : 2. 5cos2m—3sin31:=5. cos 31: + sin (21: — ���� : —-2. cos 6:3 + sin Ё; = 2. 5 sin41: + cos а: = 1. з1п5ш+соз3ш :1. 51п11ш+соз5ш : —1. sins,-+\/<_:<—)s—E: 1. sin3:3 — cos7z = 1. sin5:3+cos”x = —1. sin’; :3 - сове :3 = 0,4. 5 s1n1°:3-coss ж : —. б _ 1 51:15 а: - сове а: : ——. 31 в 10 ‚ 7 sin :3-cos xzg. sin |:3| = |sin1:|.
Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 43.[1] Решить уравнение: fsinxl : fcoszf. 44.[3] Решить уравнение tg|1:| : [шт]. 45. {О} РЕШИТЬ уравнение: 46.[1] Решить уравнение: 47.[1] РСШИТЬ уравнение: 48.[1] Решить уравнение: 49.[1] РЕШИТЬ уравнение: 50.[1] Решить уравнение: 5l.[1] РеШИТЬ уравнение: 52.[3] Решить уравнение: 53.[5] Решить уравнение: 54.[5] Решить уравнение: 451пш _ 3)2 + |s1na:I = 0. г 2соз Ё : 2‘ + 2". созш : $2 +1. cos2z:0,5<m+ 1+a:2). 2sin2r + 2cos’z : 1‘5(tg$ + свеж) \/1+51пш+\/1+со5ш: \/4+2\/Ё. 1: arcs а : Zarct + in 2x g 1 + 1:2 П. 21тс0зш: |1:|— |:c—7r[. x2+3$+2:0. \/$2—5$+4:1. sin2(7m:) + c0s2(71'x) — . . 3 55.[10] Решить уравнение: s1n 9ш - s1n а: + cos ш = ё 56.[10] Решить уравнение: 53,11 7ш - cos 2x + sin 2m : ��N� 57.[10] РСШИТЬ уравнение: sins а: + соз5 а: 2 2 — 51:12 ж. 58.[1] Решить неравенство: 1/COSIE + x/sinz > 1. 59.[2] РеШИТЬ неравенство 60.Ш Решить неравенство: 6l.[1] Решить неравенство: 1 |sin:I:| + |cos:c| 2 1. сова: - cos 21: Z nK>|*"‘ 3sinm 2+cos:1: ё S
§5. Решение уравнений и неравенств. 41 2 62.Щ Решить неравенство: |tg31:]+ |ctg31:[ g 2 — (ш — ��� . 63.[1] Решить неравенство: tg3m + ctg3x + tg4:c + <:tg4m 2 0. _ 1 _ 1 . 1 _ 64.[1] Решить неравенство: s1n а: + — sin Зш + — s1115m + И sin 7:5 Z 0. 2 4 65.[1] Решить неравенство: 251” + 2”” > 21")? _ 3 66.110] Решить неравенство: x2+(x+1)-s111W—6$— 2 Ёж при а: E [-2; 2]. 67.[10] Решить неравенство: со5(1: + 3tgx) + (tgz: — tg21:)2 5 ——1. 1 1- 68.[l0] Решить неравенство: ш g sin 7r (ш Ё Э -sin7r ( 3 ж) при 1: E П); 1]. 1 69.[1] Решить неравенство: cos(sin ж) > 0�� 70.[1 Решить неравенство: COS(COSI13) > О. 71. 1 Решить неравенство: со5(созш) > 0, 5. \I 1 1 2. 1] Решить неравенство: со5(з1пЩ) > siu(cos 73 [1] 1 1 РЕШИТЬ неравенство: arcsin(sina:) < агссоз(соз 74 [1 Решить неравенство: arcsin а: < агссов ж. 75.[1 Решить неравенство: arctga: 2 arcctgx. 2 76.[1] При каких а уравнение 1 + sin аж : созш имеет единственное решение? 77.[1] Найти все значения целочисленного параметра а, при которых разрешимо уравнение: sinm — sin аж : 2. 78.[1] Найти все значения целочисленного параметра а, при которых разрешимо уравнение: sin а: — sin ax : -2. 79.[1] Найти все значения целочисленного параметра а, при которых разрешимо уравнение: |з1пш + sin a1:| : 2.
42 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 80.[1] Найти все значения целочисленного параметра а, при которых разрешимо уравнение: [sinz — sin ax] : 2. 8l.[10] При каких значениях а уравнение 1 + sing ax сова: имеет единственное решение? п.5.4. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. При решении уравнений и неравенств этого пункта следует помнить свойства и графики логарифмической и показательной функций, а также формулы, связанные с погарифмами и степенями, которые приведены в параграфе 4. 1.[1] Решить уравнение: 31°52 I = x1°52 3. 2.[1] РСШИТЬ уравнение: 515’ = 50 —— $155. 3.[1] РЕШИТЬ уравнение: 3’ - 8=+2 = 6. 4.[1] РЕШИТЬ уравнение: 5’ -8:1 : 500. 5.[1] Решить уравнение: ml" : 1:2. гл :: vm‘. 21°ga(I— 1) = 51°s2(I- 1)_ 6.[1] Решить уравнение: 7. [1] РЕШИТЬ уравнение: 8.[1] Решить уравнение: 9.[1] Решить уравнение: 10.[1] Решить уравнение: 11.[1] Решить уравнение: 12.[1] Решить уравнение 13. [2] Решить уравнение . C И 21053 +22'=—a1 = 31°52 4?2=—a1 _ 2со52 .1: + 251п2 1' = 3. 1og3 8’"1 - logz 27 : а: + 7. logcosx 2 ' logcosza: 3 : 1°82 @��� :(\/9+2\/§)z+ (logsim cos :c)2 : 1. (y/9—2\/if = 18.
ё 5. Решение уравнений и неравенств. 43 14.[3] Решить уравнение: |:c — 1|l52’"l5’2 : |:c — 1|3. 15.[5] Решить уравнение: 1g(arcsin 1:) = 0. 16 ] .[5 Решить уравнение: а) Ig(arccos 1:) = 0; 6) arccos(7rlog3 tg1:) = 0. 1] Решить уравнение: 1+ 31/2 : 21. 1] Решить уравнение: 2’ = 3 — 1:. 1] РЕШИТЬ уравнение: an - 2’ : 8. 1 1 Решить уравнение: б’ —— 3’ : 3. 1 21.[1] Решить уравнение: In1: + П : 2 - sin(1: + 7r/4). n 22.[1] Решить уравнение: 1о3ш„(2 cos 1: — 1) = 2. 23.[1] Решить уравнение: 5’ + 12’ : 13’. 5 24.[10] РСШИТЬ уравнение: 9’ + 4’ : 56’. 25.[1] Решить уравнение: ( 2 — ��6� + (V 2 + @�7� = 2’. 26.[10] Решить уравнение: ( 4 — \/1-5 + (V4 + �]$� : (2\/§)I- 27.[3] Решить уравнение: 3’ + 1 —— |3’ — 1| : 2log5 |6 — p32� 28.[3] Решить уравнение: 13(2’ + 1: — 41) : :с(1 —— lg 5). 29. [3] Сколко корней имеет уравнение Зш |2 — P�0� = 1? 30.[ ] 3 Сколко корней имеет уравнение 1:2 — 21: — Iogz |1 — ж] = 3? 31.[10] Решить уравнение: 21"" = 1:2 + 1+ $2 +1. 32.[10] Решить уравнение: (2 + 1:)’ = 1. 33.[10] Решить уравнение: 2log1+1 4 2 1: + 3.
44 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 34.[1] Решить неравенство: (1:2 — 41: + 3)’2"6’+4 5 1. 35.[1] Решить неравенство: ($2 + 31: — 4)’2’1 2 1. 36.[1] Решить неравенство: 5l°g= 8_=:~£:_: > 25. 37.[3] Решите неравенство |1: — 2]l°g‘(1+2)_l°g?1 < 1. 38.[10] РСШИТЬ неравенство: ($2 — 41: + 3)12'5I+4 g 1. 1; 12-51-6 39.[10] РЕШИТЬ неравенство: ‚1032 З- < 1. 40.[10] РЕШИТЬ неравенство: (1: — 2)’2_6I+8 > 1. 41.[1] РЕШИТЬ неравенство: 1:’ > 2’. 42.[1] Решить неравенство: Iog(I2_1)ctg1: f 0. 43.[1] Решить неравенство: Iogm”(\/§sin1: — 1) f 1. 44.[1] Решить неравенство: Iogl cos“ ��^� < 0. 45.[2] РСШИТЬ неравенство Iogsinx cos 11 < 0. 46.[5] РЕШИТЬ неравенство: log3(Iog1/5 av) _<_ 0. 47.[5] Решить неравенство: logl/4(Iog cc) 2 0. $2+1: av+4 48.[10] Решить неравенство: 1033/101036 < 0. I 49.[10] Решить неравенство: 32’/3 ~sin 1: > \/é при Щ E [Д . 50.[10] Решить неравенство: 2"”_2' log2(41: — 1:2 к 2) _>_ 1. 51.[10] Решить неравенство: cos2(1: + 1) Ig(9 — 21: — 1:2) 2 1. 52.[1] Найти число решений уравнения log“ 1: : а’ в зависимости от а. 53.[1] При каких значениях а уравнение lg arc : 2 Ig(1: + 1) имеет един- ственное решение?
§5. Решение уравнений и неравенств. 45 54.[1] Решить неравенство: 1032 1: + log, 2 + 2 cosa 5 0. 55. [3] При каких а уравнение 31: lg 1: = 1 + alga: имеет: а) одно решение; б) два решения? 5б.[3] Решите неравенство: 1о3„(1 — 1:2) Z 1. 57.[10] При всех значениях а решить уравнение: ‚Нов, аа: ~1og,, an = -\/§- 58.[10] При всех а решить неравенство: 1 > 1. loga an 59.[1] Доказать, что уравнение (1/16)’ : 1031/1621: имеет ровно три решения. 60.[3] Решите систему неравенств 1031/2 cos 1: < 1031/2 tg1:, 0 g гс f 7r. 61.[3] Сколько корней имеет уравнение 1о35„/2 ш = сов 1:? 62.[6] Доказать, что уравнение 2”; - 3" : 5 не имеет решений. п.5.5. Решение уравнений и неравенств в целых числах. В данном пункте собраны уравнения вида f (гс, у, z) = 0, решения ко- торых являются целыми числами. Приведем некоторые основные прие- мы и методы их решения. О РЗЗЛОЖСНИВ на МНОЖИТСЛИ. Пусть каким-либо образом, например, с помощью разложения на множители или формул сокращенного умножения, удалось полу- чить представление исходного уравнения в виде 1°1(1г‚у‚г) ' f2(17ay»Z) = <1,
Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. где d — некоторое целое число. После этого следует перебрать все- возможные пары целых чисел (d1,d2) такие, что d1 ~ dz : d и для каждой такой пары решить систему уравнений {f1(177l/all : dla f2(1:1yazl г‘ d2- Предполагается, что каждое уравнение системы проще исходного уравнения. Рассмотрим наиболее типичные преобразования к требуемому ви- ДУ- 1. Пусть f = (a1:)2 — (by)2 — d. Тогда формула разности квадра- тов приводит к искомому равенству (arc + by) - (arc — by) : d. 2. ПУСТЬ f : a:c2+b1:y+cy2 —d и квадратный трехчлен 11112 +bt+c раскладывается на множители с целыми коэффициентами. Это означает, что соответствующий дискриминант является полным квадратом. Тогда легко выписать требуемое пред- ставление ((1111 + �Z�� ' (0.211 + �A� Z P��� B этих рассуждениях а, b, с, d - целые числа. Иногда для решения или доказательства отсутствия решения у исходного уравнения f (муж) = 0 прибегают к следующему его представлению: . : k . . . + b, где k и Ь - натуральные числа и b < k. Данное соотношение рас- сматривается как деление выражения левой части, обычно зави- сящее лишь от одной переменной, на k c остатком b. После чего проверяют возможность такого факта. Для этого переменную ле- вой части выражения заставляют пробегать все целые значения в зависимости от деления на k, т.е. kl, kl +1,..., kl + (k — 1). Из анализа такой проверки и делается окончательный вывод для исходного уравнения. Рассматривается уравнение a1:2 + bray + cyz : d, B котором дис- криминант квадратного трехчлена atz + bt + c не является полным квадратом. Оно переписывается в виде a1:2 + bray + (C112 — d) = 0. Далее, соответствующий дискриминант представляется как D :
§5. Решение уравнений и неравенств. 47 (b2 — 4c)y2 + 4d = t2, t > 0. Здесь t - новая целая переменная. Решается последнее вспомогательное уравнение относительно у и t. Если оно имеет целые решения (yo, to), то отвечающее им целое значение 1:0 определяется из равенства —b it 110: чуда О. о Рассматривается уравнение f1(17, у, г) + f2(y, z) + f3(z) : d, где Д, f2, у‘; - заданные неотрицательные выражения, d - натуральное число. Из уравнения легко получить неравенство: 0 S f3(z) = d- f1(17,y,Z) — f2(y,z) S d, откуда определяются возможные значения z. Возьмем одно из них го. При таком 20 имеем уравнение f1(17:yaZ0) + f2(y, го) = d ‘ f3(Zo)- ДЛЯ него аналогичным образом получается неравенство: 0 S [Луз Z0) 5 d — 13(30): откуда для данного 20 находятся возможные значения у. Возьмем одно из них yo. При таких (yo, го) имеем уравнение f1($,y0aZ0) = <1 — f2(?Jo,Zo) — f3(/Z0), откуда находятся целые значения 1:0, отвечающие (y0,zg), либо делается заключение об отсутствии при данных (yo, Z0) решений. Перебирая возможные пары (yo, го), находится ответ задачи. О При РЕШЕНИИ ИСХОДНОГО уравнения В ЦЕЛЫХ числах ВОЗМОЖНО ИС- ПОЛЬЗОВЗНИС ИЗВЕСТНЫХ НСРЗВЕНСТВ, Hanpnmep: т’ + yz 2 2171/, 1 11+; 22, 1:950, ”'2”’2\/F, 17,920-
Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. о При решении исходного уравнения в целых числах возможно ис- пользование свойств входящих в уравнение функций. 1.[1] Имеют ли решения в целых числах уравнения: а) 21:+3y:6; 6) 41:+18y-:7; В) 71:—11y:17? 2.[4] РВШИТЬ в целых числах уравнение 19ж3 — 84у2 : 1984, 3.[10] Решить уравнение: 12 : 3y2 + 2 B Целых числах. 4.111] РЕШИТЬ в целых числах уравнение: 11:13 + 7y : 3. ш 5 11 Доказать, что уравнение: 1:2 —— 2y2 + 82 = 3 не имеет решений в целых числах. 6.[11] Решить в целых числах уравнение: 31: + 5y г. 8. 7. [5] Найти все пары натуральных чисел р и q, для которых 4р2 = 42 — 9. 8. 11 Решить в целых числах уравнение: any : av + y. 9. 11 Решить в целых числах уравнение: my + 1 : 1: + y. 10. 11 Решить в целых числах уравнение: 1512 -— 111:y + 2y2 : 7. . 12 Решить в целых числах уравнение: $2 — Зшу + 2112 : 3. 1 1 1 1 1 1 11.[11] Решить в целых числах уравнение: 121:2 — 171:y + 6y2 : 3. 1 1 13.[11] Решить в целых числах уравнение: 2123 + my — 7 : 0. 1 1 15.[4] Решить в целых числах уравнение 3 - 2’ + 1 : у2. 16.[11] Решить в натуральных числах уравнение: 32’ — 2“ : 1. 17.[11] РеШИТЬ в натуральных числах уравнения: а) 2I—3y=1; 6) 31—2y:1. 18.[10] РСШИТЬ в натуральных числах уравнение: 2:cy = 1:2 + 2y. 19.[11] Решить в целых числах уравнение: :с(:с + 1) = у2.
§5. Решение уравнений и неравенств. 49 20. [4] Решить в целых числах уравнение 21:2 + my —— yz — 71 — 4y : 1. 21.[11] Решить в целых числах уравнение: 1:2 : у2 + 2у + 13. I 1 I 1 22.[11] РеШИТЬ в целых числах уравнение: 1: — 5 + у — E : �\M� 23.[11] Решить в целых числах уравнение: 61:2 + 5y2 : 74. 24.[11] Решить в целых числах уравнение: 191:2 + 28y2 : 729. 25.[11] РСШИТЬ в Целых числах уравнение: \/E + Д = 3. 26.[12] Решить в целых числах уравнение: 3(:с - 3)? + ау? + 222 + 3y2z2 = 33. 27.[12] Решить в целых числах уравнение: 21:2 + yz + 722 + 21:21,/2 — 422 + 33 = 0. 10 Решить в натуральных числах уравнение: 1:2 + 4у : ушг + 2211. 1 10] Решить в натуральных числах уравнение: 3шу+92 = 9z1;2+zy2. 1 32. 33. 11 Решить в натуральных числах уравнение: 1: + y + z : туг. 34. 1] Решить в целых числах уравнения: а) 2‘+1:y2; .6) 3”:1+1:2;B) 2v=3I—1; r)1:3—9]_:: д) y2—1:2 =21; е) 1:2+7 =у3; Ж) 6132-}—5y2 :74;3) yz =1:3 + 35.[10] Доказать, что следующие уравнения а) 1:2 — yz = 1982; б) 1:2 = 3y2 +17; B)y2:51:+6; r)2'—1=y2. 17>1 не имеют решений в целых числах. 36.[4] Решить в целых числах уравнение Э 1:+ 1:+ 1:+--- :y. \:.....T,.___.___4 1992 уз: 1.
00 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 37.[4] Решить в целых числах уравнение 1:2 + yz + 22 : 2myz. 38. Найти все целые числа 1: и у, которые удовлетворяют условиям: —1<:с—у<2, 2<2у+ш<‘5. 39.[1] Доказать, что следующие уравнения не имеют решения в целых числах: а) 1:2 — 9у2 = 23; 6) 91: : yz — 2. §6. Решение систем уравнений и неравенств. В этом параграфе собраны системы уравнений и неравенств. Помимо стандартных приемов их решения, таких, как замена переменных, сло- жение и вычитание уравнений, умножение и деление уравнений, могут быть использованы и необычные приемы, описанные в параграфе 5, как то: построение графиков, метод оценок, свойство монотонной функции. Следует привести еще ряд систем и методов их решения. { 111:2 +b1:y+cy2 = 0, f(-ray) : �D�� Первое уравнение однородное, поэтому проверяется, f(0,0) = 0 или нет. Если да, то (0;0) - решение системы. Далее, в первом _‚ ll! уравнении ВЫПОЛНЯСТСЯ деление на yz И замена IICPCMCHI-[OM Z I —. у Если у уравнения 1122 + bz + c = 0 есть корни, то система сводится __ О к однои или двум системам вида 1' _ : Z y Оа {(171 у) = 01 Где Z0 - корень СООТВеТСТВУЮЩСГО квадратноГо Уравнения. В ПРО- ТИВНОМ случае Система. решений не “MEET. (11122 + (711331 + cl:/2 = d1, (12122 + bzfcy + C292 = dz,
§6. Решение систем уравнений и неравенств. 51 где d1, dz 75 0. Умножается первое уравнение на dz, a второе на d1 И вычитается из одного другое. Получается система 110172 + 5017?; + C092 = 07 01172 + 5113?; + €1,742 = дм решение которой описано в пункте 1. { Р(1:‚ у) Шт, у) где функции Р и Q обладают следующим свойством: P(an, y) : P(y, av) и Q(1:, у) = Q(y,1:) Для решения исходной системы при- меняется замена переменных 12 + у Z и, (By Z 1). После ее ВЫПОЛ- нения ИСХОДНЗЯ система СИЛЬНО упрощается. 0‚ 0‚ {aav2+bavy+cy2+dav+ey+f:0, f(w,y)=0- Для решения такой системы рассмотрим первое уравнение как квадратное по ж. Тогда выписывается соответствующий дискри- минант, зависящий от у. Возможны следующие два варианта. Во- первых, D(y) g 0. Тогда из уравнения 0o!� = 0 находятся зна- чения yo. Отвечающие им величины 1:0 определяются из формул корней квадратного уравнения при равном нулю дискриминанте. Найденные пары (1:0,y0) затем подставляются во второе уравне- ние. Во-вторых, D(y) является полным квадратом некоторого вы- ражения от у. Исходная система расщепляется на две, в которых присутствует второе уравнение f (av, у) = 0 и формулы корней со- ответствующего квадартного уравнения, то есть зависимости ш через у. Последние легко решаются. 1.[1] Решить систему: 1:+у:1, 1:"+y3=1. 2. [1] Решить систему: 1:+у=1, (1:—2)4+y4:1.
52 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. д 3. [1] РСШИТЬ систему: :c+y+z:6, :cy+yz+z:c=12, 1:yz:8. 4.[1] РСШИТЬ систему: 1:2+y2+z2=:cy+yz+zaL-, 2:c+3y—6z—1==0. 5.[1] РЕШИТЬ систему: $2 + 3:cy : 54, my + 4у2 = 115. 6.[1] Решить систему: 7.[1] Решить систему: 8. [1] РСШИТЬ систему: avy+yz=8, yz+z:c:9, с z1:+1:y:5. 9.[1] РСШИТЬ систему: 1 1‘ 2y 1:2 + 4y — 10. [4] Сколько решений имеет система уравнений 1:2+у=5‚ :c+y2=3?
§6. Решение систем уравнений и неравенств. 53 11.[4] Решить систему { 23 — ���� : 13 |1:[ + 2y : 4. 12.[1О] Решить систему уравнений: 10(=v“ + у“) = -17(т3у + туз)» 1:2 + у2 = 5. 13.[1О] Решить систему уравнений: 1:2 + 2y2 : 17, 1:2 —- 21:y = -3. 14.[10] Решить систему уравнений: 1:+y+1:y:7, 1:2+1:y+y2=13. 15.[10] Решить систему уравнений: 1:2 +3:vy+y2 =11, 1:2 +21:y— 2y2 = 6. 16.[10] Решить систему уравнений: 2|т—у|+у=2‚ |т—у!—2у=б- 17.[10] Решить систему уравнений: { 18.[1()] Решить систему уравнений: $2—у2+3у=0› 1:2+3:1:у+2у2+2:1:+4у=0. юпчнъю Н + + <=IuuI< II 7 Nico OJ
Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 19.[2] РеШИТЬ систему уравнений: 1+1:34’ 14Ё’‚ь_23„_ь_ Л Л“ т‘ 20.[2] Решить систему уравнений { x/E+\/-1./~+<1‘:1, \/:1:+1+`/д=1. 21.[3] Решите систему уравнений (3112 + y)I_-'1 : , “д 324 : 181:2 +12шу + 2y2. 22.[4] Решить систему уравнений { x/5(y- 1)+x/§(-'6-1)=x/5-“By. yx/:z:—1+1:\/y—l::cy. 23.[l] При каких а и b система 1:+3y:8, a.'1:+by:4 имеет более одного решения? 24.[Ц При каких а и b система a1:—y:b, a:z+3y=1o имеет единственное решение? 25.[1] Найти все а, для которых система 21:+y:a:1:, 51:~2y=ay ИМееТ единственное реШеНИС.
.§ б. Решение систем уравненийи неравенств. 55 26. 1 Найти значения п и кото LIX система: Pa P P :1:—2y=a, a1:+3y=p HMCCT решение ДЛЯ ЛЮбОГО П). 27. [1] Решить систему: у = (гс +1)? у +1: a:z:. 28.[1] Решить систему: (и: + у = (12, а: + ау : 1. 29.[1] При каких а система: �C�� 1:2+1:y+y2:a имеет решение? 30.[1] При каких b система: -“£2 = 142, :12 — b)2 + yz : 2 имеет решение? 31.[1] При каких а система: { $2 142, (:1: — (1)2 + yz : 3 имеет ровно три решения? 32.[1] При каких а система: ш2+у2:2’ 1:+y+z=a имеет единственное решение?
56 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 33. [1] Решить систему: Ч м: Ч Ч 0 Q + 9-1,,‘ {—”+ = + m—y+:ny: -_� 34.[l] Решить систему: (:1; + а)’ : :1: + a. (а: ——a)2 :: 12-12. 35.[2] Исследовать систему уравнений 2:1: — ау = 5, Зу — 6:1: : -15. 36.[3] Сколько решений имеет система уравнений { 1Ш|+!у|=1› ш2+у2 =a2? 37.[3] При каких значениях а система уравнений =»—y=~1+wy), 2+:1:+g, -:cy:0 имеет только одно решение? 38.[10] Найти, при каких k система уравнений: 3:1:+(/с—-1)у:1с+1, (1с+1):1:+у=3 имеет хотя бы одно решение. 39.[10] Найти все 0;, при которых имеет решение система уравнений: ш2+у2:1‚ 1,-2+:1:y+y2:a.
§7. Доказательства неравенств и тождеств. 57 2 . 40.[l] Решить уравнение: $542 — 2Ь52ш + 2 = — arcsln y. 1Г 41.[1] РОШИТЬ уравнение: 2sin а: = у + �y� 42.[1] РОШИТЬ уравнение: :32 + 41: cos(:1:y) + 4 = 0. 43.[3] Решите систему уравнений ш+у+г=0, 2:L'y—z2:4. 44.[4] Найти все решения системы ш5+у5:1’ ш6+у6:1. 45.[l0] Решить систему уравнений: :1:+у:2, :cy—z2: 46.[10} PCHIHTB неравенство: созш — у2 — у/у — :32 — 1 2 0. 47.[l0] Решить неравенство: 1гу — 2 - arcsin(:B2 + y) 2 21г. 48.[10] Решить неравенство: (3 — со$2 :1: — 2 sin r) - (lgz у+ 2 lg y+4) g 3. т: . 49.[l0] РСШИТЬ неравенство: 1 — $5? + агссо5(:в + |51п у|) g 0. 1 50.[10] PGIJIHTB неравенство: у ц: \/ 1 — у — IE2 2 0. _ lcoszcl — §7. ДОКВЗВТСЛЬСТВВ НОРВВОНСТВ И ТОЖДОСТВ. При ДОКЗЗЗТСЛЬСТВС неравенств ИЗ ЭТОГО параграфа ПОЛСЗНО ПОМНИТЬ следующие ОСНОВНЫС HCPELBCHCTBELZ
58 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. la + ��� 2 2, а ф 0; равенство справедливо при Ia] : 1. Ё“ 2 ,/:3y для 1:, y 2 0; равенство справедливо при :3 : y. Отсюда следует, что :32 + yz 2 2шу. [т] + |у| 2 |ш + �\�� для произвольных :3, y: равенство достигается, когда :3 - y 2 0. о (1 + p\�� 2 1+ пас, :3 > -1 И п Е N. Это неравенство Бернулли. Кроме того, при доказательствах неравенств и тождеств применяет- ся и метод математической индукции, который заключается в следую- щем. Пусть есть некое утверждение, зависящее от п, п Е N. Проверя- ется его справедливость при п : 1. Предполагается истинность этого утверждения при п : k И на основании этой информации доказывает- ся выполнение утверждения при п = k + 1. Тогда данное утверждение справедливо при всех п, п Е N. Наконец, ряд задач на доказательство неравенств и тождеств реша- ется путем введения некоторой вспомогательной функции f После чего исходная задача переформулируется уже либо как задача изучения функции f( на возрастание или убывание, либо как задача исследова- ния функции f на наибольшее или наименьшее значения. 1.[1] Доказать равенство (а: х/Б: \/(a+ \/(12 _ b)/2) :1: ша - \/(12 - b)/2. 2.[2] Доказать, что 12 + 22 + . . . + n2 : n(n+1)(2n + 1)/6. 3.[3] Докажите, что для любого натурального п 1 1 1 1 1 1-- 1-- 1-— 1——, :"+. 4 9 16 „ п- 2п 4.[3] Докажите, что для любого натурального п 1 1 1 1 п Ii“2+'2f§+iz+“‘+"‘”“n.(n+1)=n+1- 5.[3] Доказать тождество 1 1 1 sin4ozcos2a : -1- -— —cos2a — —cos4a+ -—cos6a. 16 32 16 32 6.[3] Доказать тождество 2(51п6а + созб а) — 3(51п4 а + со54 а) + 1: 0.
§7. Доказательства неравенств и тождеств. 59 7.[1] Докаэать‚что при любом натуральном п выполняется неравен- ство:п" >1-3-5-7-...-(2n—1). 8.[1] ,HOKa.3a.Tb,‘{’I‘O при любом натуральном п выполняется неравен- 1 1 c'rBo:l+—+...+—> . Л л Л 9.Ш Цоказатычто при любом натуральном п выполняется неравен- ство:1-2-3-...-п< �:�� 2 1 1 1 99 1 . 4 : — —— —-— + 0[ ]I[oxa3aT1. неравенство 22 + 32 + + 1002 < 100 1 1 3 5 99 1 1. » :— —-—-—-...-— —. 1 [4} Доказать неравенство 15 < 2 4 6 100 < 10 12.[l] Цоказать‚что для положительных значений переменных выпол- 1 няется неравенство: ш + у + — Z 3. ш 13.[l] I[0xa.3a.'rL.,q'ro Для положительных значений переменных выпол- 1 няется неравенство: $2 + у2 + — Z 2\/5. ту 14.[1] I[0xa3a.'rb,q'r0 Для положительных значений переменных выпол- `/б + x/E + \/E < a + b + с 3 _ 3 ' НЯСТСЯ H6pa.B€I-ICTBOZ 15.[l] Цоказать‚что для положительных значений переменных выпол- няется неравенство: (р + 2)(q + 2)(p + q) 2 16pq. 16.[l] Цоказатычто для положительных значений переменных выпол- няется неравенство: <1+ Е) <1 + у) (1 + Е) > 8. у z Ш ”' 17.[l] Доказать, что для любых а ф 0, b ф 0 выполняется неравенство: 2 1 2 b2 1 2 а + 5 - < + 5 > 15. a b 18.[l] Доказать‚что для положительных значений переменных выпол- Щ + G2 + (13 3 няется неравенство: ‚’/а1а2а3 g
60 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 19.[1] Докаэать,что для положительных значений переменных выпол- ‘II П Tn Tn няется неравенство: П ���� 2 "“/ -1-2%; (n > m). 20.[l] Доказать неравенство :12“ - уд _<_ am: + Ну при условии, что oz+fi: 1,a> 0,fi > 0,:1:> 0,3/>0. 2l.[1] Пусть а, b _>_ 0. a+b = 1. Доказать, что а" +b" g 2(a"+l+b"+1). 22.[1] ПУСТЬ а + b : 2. Доказать, что а4 + Ь4 2 2. 23.Ш Доказать, что если I1: — a] + ly — Ь] < с, то 17811 — ад! < (M + lb] + |Cl)C~ 24.[1] Доказать, что, если 4:12 + b2 : , то ab g vii-I)-‘ 1 25.[l] Доказать, что если а + b + c = 1, то (12 + b2 + cz 2 p~�� 26.[5] Доказать, что для любых трех положительных действительных 1 1 чисел а, Ь, с выполняется неравенство (а+Ь+с)- Е + — + Pc�� 2 9 b И указать, В Ka.KOM случае ВЫПОЛНЯСТСЯ равенство. 27. [5] Доказать, что для любых четырех положительных действитель- ных чисел а, Ь, с, d выполняется неравенство 1 1 1 1 (‹1+Ь+С+С1)'(—+—+—+—)21б а Ь с d И yxa3a'rb, B каком случае ВЫПОЛНЯСТСЯ равенство. 28.[10] Доказать неравенство: \/a2 + b2+\/cz + dz 2 \/(а + с)2 + (Ь + с1)2 для произвольных чисел а, Ь, с, d. › 29.[l0] Доказать, что: (а + Ь) - (Ь + с) - (с + а.) 2 8abc при а 2 О, Ь 2 0, с 2 0. 1 1 1 9 30.[10] Доказать, что: Е+ - > b+Z_fiHPHa>0a b>0, C>0. сом-ь 3l.[10] Доказать, что если а + Ь 2 1, то а‘ + Ь4 2
§7. Доказательства неравенств и тождеств. 61 32.[10] Доказать, что: (ab + bc + ca)2 2 3abc(a + b + c). 33.[10] Доказать, что если my + yz + 2:1: : 1, то :1: + y + z 21. 34.[10] Доказать, что если а2 + 122 = 1 и с2 + dz = 1, то [ac — bd| g 1. . 10] Доказать, что если 2:2 + у: g 2, то |:1: + yl 5 2. 35[ 36.[10] Доказать, что при а 2 0, b 2 0, с 2 0 a+b+c2x/c1—b+\/bE+\/(Tc. 37.[10] Доказать, что ‹14 + 124 + с4 2 abc(a + b + c). $3 38.[l] Доказать, что :1: — F < sin:1: < :1: при 0 < :1: < 39.[1] Доказать, что :1: < tg:1: при 0 < :1: < `}<� 40.[1] Пусть 0 f :1:,y,z 5 1г. Доказать, что _ :1:+y+z sin1:+siny+sinz 5111 3 2 3 . 41.[1] Пусть 0 Ё 1:,y,z g �{<� Доказать, что 1512;}! _<_ p�,� 7Г . . 42.[1] Доказать, что если 0 < :1: < Е, то cos cos :1: > 51115111 1:. 2 _ 1r 43. [5] Доказать справедливость неравенства а1с5111 :1: - arccos :1: g Ё и указать при каких значениях 1: выполняется равенство. 1 . 44.110] Доказать, что: sin a В 2 §(sina + 51115) при05а51г, 056511. 1 . 45.110] Доказать, что: Z g 51116 :1: + со56 :1: 5 1. 2 46.[10] Доказать, что при ш > 0 cos:1: > 1 — �4� 47.[1] Доказать неравенство: 158 - 1512 < 1. 1 1 1 + — + —-—— log, 1r 1055 1r logw 1r 48.[10] Доказать, что: > 4.
62 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 3 49.[10] Доказать, что 105% 1: + 21og3 1: -1og3 — g 1. 1: 50.[l] Цоказать‚что для любого значения переменной 1: выполняется неравенство: 1:12 —- 1:9 + 1:6 — $3 +1 > 0. 51.[l] Цоказать,что для любого значения переменной 1: выполняется неравенство: 2’ > ш. 52.[1] Что больше при а > 1 и при 1: > 0: (1+ 1:)“ или 1 + от? 53.[l] Сравнить 21-1 + 2”_1 и V2’+9. §8. Задачи на арифметические и геометрические прогрессии. При решении задач этого параграфа следует помнить определения арифметической {an} и геометрической {bu} прогрессий, формулы об- Щего члена и сумм п последовательных членов этих прогрессий: щ, :а1+ё(п—1), b,.:b1-q"'1, 5” = $41, 5” = шага’ _ 2a1+djn—1!_ _ Ь1- q"—1 S 2 п, 5,, _ q_1 , п _ d 96 0 - разность прогрессии q ф 1 - знаменатель прогрессии. Кроме того, полезно знать условие, при котором три числа ад, Ь, c образуют в указанном порядке три последовательных члена арифме- тической прогрессии: 2b : a + с, соответственно, для геометрической прогрессии: b2 : a - c. Последующее решение задач можно проводить, применяя рассуждения предыдущих параграфов. 1.[1] B арифметической прогрессии Sm == Sn (m ф п). Найти Sm+n. 2.[1] B арифметической прогрессии для любых т и п имеет место т2 Sm равенство — : —. Sn n2 am 2m — 1 Доказать, что — : —~——. an 2n — 1 3.[1] Пусть а,Ь,с - различные простые числа, каждое из которых больше 3. Доказать, что они не могут быть последовательными членами арифметической прогрессии.
§9. Функции и их графики. 63 4.[3] Числа (12, b2, c2 образуют арифмЁтическую прогрессию. До- кажите, что числа Ь ‚ ___‚ также образуют ариф- с с + а а + b метическую прогрессию. 5.[4] Второй член арифметической прогрессии равен 4, а десятый - -4. Найти число членов этой прогрессии, сумма которых равна 12. 6.[1] Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия, у ко- торой первые десять членов - целые числа, а остальные - не целые? 7.[1] Пусть a,b,c - попарно взаимно простые числа, причем а gé 1. Доказать, что они не могут быть членами одной геометрической прогрессии. 8.[1] Могут ли различные числа ау, am и ад быть одноименными чле- нами как арифметической, так и геометрической прогрессий? §9. Функции и их графики. В данном параграфе собраны задачи, связанные с исследованием раз- личных" свойств функций, а также с построением графиков функций. Следует напомнить некоторые основные понятия. Функцией называется отображение числового множества Х на чи- словое множество Y, при котором каждому значению ш из множества Х, называемого областью определения, ставится в соответствие единствен- ное значение у из множества Y, называемого множеством значений. Для обозначения функции используется у = �?,� Функция у = f называется четной, если для всех ш Е X ВЫПОЛНЯ- ется соотношение (-—‚1с) E X и равенство p?�� : ��+� ФункЦИЯ у = f(:r:) называется нечетной, если для всех ш Е X имеет место соотношение (-53) E X И равенство �_'� :: —f(—:r;). Функция у = f называется периодической, если существует такое число Т > 0. ЧТО для всех п: Е X выполняются соотношения (а: + T) Е Х, (ас —Т) E X и равенства f(:c —— Т) = f(:c) = Дав +Т). При этом число Т называется периодом функции. Функция у = f называется возрастающей на множества D C X, если для произвольных 1:1, 2:2 Е D, :31 < $2 выполняется неравенст- во f(1:1) <‘f(‘”§)-
64 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. Функция у : f называется убывающей на множества D C X, если для произвольных 1:1, 1:2 Е D, 1:1 < 1:2 выполняется неравенство /($1)> f($2)- Точка 1:0 Е X называется точкой максимума функции у :: f (пс), если существует числоб > 0, такое, что (1:o-6; 1:o+£) C X И для всех 1: Е (220 — Е; mo + г) выполняется неравенство f(:c) 5 f(1:o). Точка $0 E X называется точкой минимума функции у = f (ac), если существует число б > 0, такое, что (mo — Е; 1:0 + е) С X И для всех ш Е (mg —— б; mo + б) выполняется неравенство f(1;) 2 f(1:0). Далее, функцию можно изобразить геометрически с помощью графи- ка. Графическое изображение функции дает наглядное представление об ее основных особенностях. График функции у = f — ЭТО множество точек плоскости с коор- динатами (ac, y), у которых 1: Е Х - допустимые значения аргумента, а у : �7�� Е Y - соответствующие им знчения функции. Тогда уже нетрудно понять, что график четной функции симмет- ричен относительно оси у, а график нечетной функции центральносим- метричен относительно начала координат. Кроме того, важно помнить, как выглядят перечисленные выше свой- ства и графики для основных элементарных функций: у=1с:с+Ь, у=а', a>0, agél, y:a1:2+b1:+1;, a;£0, y:1;", nEZ, yzlogaa; a>0, a;£1, y:sin1:, y:tg1;, у = cos1:, у : ctgzc, у : arcsin 1:, у : arctgm, у = агссоз 1:, у : arcctgx. Наконец, при построении графиков полезно будет знать основные прие- мы преобразования графиков функции. о График функции у = f(:c zt а), а > О получается из графика функции у = f(:c) сдвигом вдоль оси пс на а единиц влево для f(1: + a) И на а единиц вправо для f(1; — a). о График функции у : f(lc1:) получается из графика функции у = f деформацией исходного графика у г. f(2) вдоль оси ш : сжа- тием в ���� раз при > 1 или растяжением в —- раз при [kl < 1. Щ При этом, если k < 0, то предварительно необходимо симметрично
§9. Функции и их графики. 65 отобразить график у = f относительно оси у, а затем осущест- вить необходимую деформацию этого графика. Отсюда следует, что если у = f(:z:) - периодическая функция с периодом Т, то функция у = f(kz:) - периодическая функция с периодом Т1 = � Ь о График функции у : f(k$ + b) : f (1: [$+ � строится как комбинация первых двух пунктов. Именно, f ( 2;) сначала деформи- руется в In раз, а затем переносится на E В нужную сторону. о График функции у : f(:I:) i а, а > 0 получается из графика функции у : 0��� сдвигом его вдоль оси у на а единиц вверх для f(:r;) + a И на а. единиц вниз для f(:r:) — a. о График функции у : kf(a:) получается из графика функции у : �k�� деформацией исходного графика у : f(:r:) вдоль оси у : растя- жением враз при |kI > 1 или сжатием в |—k—| раз при ���� < 1. При этом, если k = —1, то происходит просто симметричное отражение графика у : f(:r:) относительно оси 1:, а при k < 0 и In 7% -1 про- исходит отражение сначала относительно оси ш с последующим необходимым деформированием этого графика. о График функции у : ���� получается из графика функции у = f(:c) следующим образом: часть графика, лежащая над осью 1:, остается без изменения, а часть графика, находящаяся под осью ac, отражается симметрично относительно оси ас. Таким образом, ниже оси ш графика нет. о Пусть функция у = @P�� является обратной для функции у = �N�� Это означает, что а: = f(g(:c)) для всех an E X или у : f(g(y)) для всех у E Y. Тогда важно помнить, что графики этих функций симметричны относительно прямой у = ш. о Пусть заданы функции у = g(z) И z : ��� Тогда функция у : F = g(f называется сложной функцией. Для построения ее графика следует исследовать свойства и построить графики вспо- могательных функции у = g(z) И z : f(:I:), после чего, используя их, осуществить построение графика у = F
66 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. Следует напомнить и особые приемы построения графиков. о Метод сложения графиков, который заключается в следующем. Чтобы построить график у = 1101:) + 1201:), сначала нужно постро- ить вспомогательные графики функций у = 1101:), у : 1201:), а затем складывать соответствующие значения у для этих функций в каждой точке 1:. При этом следует помнить, что число точек, в которых необходимо провести сложение графиков, выбирается та- ким образом, чтобы получить достаточно полное представление о графике функции у = 1101:) + 1201:), используя необходимые зако- номерности поведения функций у = 11 и у : 1201:). о Метод умножения графиков, который заключается в следующем. Чтобы построить график у = 1101:) - 1201:), сначала необходимо построить вспомогательные графики функций у = 110с), у = 1201), а затем перемножить соответствующие значения у для этих функций в каждой точке 51:. о Метод деления графиков, который заключается в следующем. Что- 7100) Шт) вспомогательные графики функций у : 1101:), у : 1201:), а за- тем поделить соответствующие значения у для этих функций в каждой точке т. При этом нужно соблюдать следующие правила. Во-первых, через точки 51:, где 1201:) = 0, проходят вертикальные асимптоты - прямые, к которым график приближается, но не пе- ресекает их. Поэтому в окрестностях таких точек функция стре- мится к 25:00, в зависимости от знаков у : 1101:) и у = 1201:). Во- f1($) f2($) бы построить график у = , сначала необходимо построить вторых, там, где у = 1201:) стремится к 25:00, функция у = стремится к нулю. Наконец, отметим ряд важных свойств возрастающих и убываю- щих функций. Во-первых, сумма возрастающих и убывающих функций есть снова возрастающая или убывающая функция. Во-вторых, сложная функция из возрастающих или убывающих функций есть снова возрас- тающая или убывающая функция. В-третьих, произведение неотрица- тельных возрастающих или убывающих функций снова есть возрастаю- щая или убывающая функция. В-четвертых, если положительная функ- ция y = f(:c) возрастает, то функция у = убывает, и наоборот.
§9. Функции и их графики. 67 Все перечисленные выше факты позволяют не только эффективно строить графики функций, но и на их основе делать выводы о свойствах этих функций. Следует заметить лишь, что обоснование непериодичности функции у : f ( ac) происходит от противного. Записываются равенства из опреде- ления периодичности, а затем, исходя из особенностей рассматриваемой функции, подбираются значения ш таким образом, чтобы добиться про- тиворечия. 1.[1] Найти область определения функции: + arcsin —. у = агссоз �Y�� сов vrlga: ш 2.[1] Найти область определения функции: у = logs-m,(cos э: + sin ���� 3.[1] Найти область определения функции: у 2 lg cos mt: + \/ 9 — $2. 4.[1] Найти область определения функции: 2 агссоз ш у : arcsin{arcsin 1:) + агссоз 2 7r —— 5.[5] Найти область определения функции: у : \/1о53(51п 21:). 6.[5] Найти область определения функции: у = \/1о57(со$ 21:). 1:2 + 1 7. 1 О н ж зн ий и : : -—-———. [ ] пределить м о ество ачен функц и у ш2+ш+1 8.[1] Определить множество значений функции: у : V а: — 1:2. 9.[1] Определить множество значений функции: у : \/5+ 1 — 1:. 10.[1] Определить множество значений функции: у : \/1:2 — 1 — ac. _ sins: 11.[1] Определить множество значений функции: : _———. s1n п: + 1 _ 1 12.[1] Определить множество значений функции: у : arccos —. э: 13.[1] Определить множество значений функции: у : 1og2(:r: — 1:2). 14.[1] Определить множество значений функции: у = 24/12.
Задачи устного эхвамена. АЛГЕБРА. :z:—1 z+1' 15.[1] Исследовать на. четность функцию: у = 1052 16.[5] Является ли функция f(:z:) -_— (2 + \/§)1/I — (2 — \/§)1/’ четной, нечетной или ни той, ни другой? 17.[5] Является ли функция f(:z:) :: (2 + д)”: + (х/Ё- 2)”: четной, нечетной или ни той, ни другой? 18.[1] Найти наименьший положительный период функции: у : созп: + 2cos3:r:. 19.[1] Найти наименьший положительный период функции: у: sing: +cos:r:+sin:r;cos:r:. 20.[1] Найти наименьший положительный период функции: у = sin 22: + sing 31:. 21.[1] Доказать, что функция у = sin 2’ не является периодической. 22.[1] Доказать, что функция у = cos ш + cos т: не является периоди- ческой. 23.[1] Доказать, что функция у = sin:z:sin x/5:1; не является периоди- ческой. 24.[1] Исследовать на периодичность функцию: у : sin(7r + cos ��M� 25.[1] Исследовать на. периодичность функцию: у = sin(7r:z: + cos ��>� 26.[1] Исследовать на. периодичность функцию: у : $1п1о52 p�)� 27.[2] Является ли периодической функция: у = cos(:r;x/5)? 28.[10] Доказать периодичность функции у : п: — �_>� и построить ее график. Здесь [а] - есть целая часть числа а. 29.[10] Доказать непериодичность функции у = sin 1:3. 30.[10] Найти наименьший положительный период функций: а) у = sin 22: + cos Зап; б) у = sine 1: + cos“ 1:; в) у =tg1r:z:; г) 'y=tg%; д) y=s1n7’;-
§9. Функции и их графики. 69 31.[10] Доказать непериодичность функций: . 1 а)у=соз\/Ё; 6)y=tgz:2; B)y=SlIl;. 32.[2] Выяснить, есть ли наибольшее или наименьшее значение у функ- ций: 2 а) у = (tga: + съезду; б) у = $11; в) у = sin(sin 1:); г) у = 2|‘““". 33.[4] Найти наибольшее значение функции: у = 3 51п2 ш + 2 со$2 1:. 34.[4] Найти наименьшее значение выражения: Ix — у! + х/(т — 3)” +(z/+1)”. 35.[4] Найти максимальное значение выражения: Щх/1б — у’ + |у1\/4-Ш’- 36.[4] Найти наименьшее значение функции: у = la: — ll + la: — 3‘. Построить график функции: 2 -4 37.[1] y = :_1 | —2 38.[1] у: |:'+ ‘ц. +3 39.[1] у: %:'l—4. 40.[3] y = I222 — 31: + |:r; —1||. — 1 41.[3} y: '—:_—1'(z’+3). 2 |—1 42.[3] y: LB_ 3 .
70 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 44.[1] y = \/ 1:2 — 21: + 3. 45.[1] у = \/ 21' — 1:2. . 1 :' . 46[] drctgxz -1 _ [sinus] 47.[3] у _ Sing; . cos �� � + д) 4 . : ——-———2——. 8 [з] у sin а: 49.[1] у = 2*“ 50.[1] у = log, 2 51.[1] у = 1/‘S’ 52.[3] у : 2(lI|+T)/I 53.[3] у = 2'1-*1 54.[3] у = 2|‘°w| 55-1313! I |1°81/4($/4)|- 56.[3] у : log, p��� 57.[3] у : 15 ���� — 15ш2. 58.[3] у = 1052011: — 1:2). Z 11082591 logzaf 2:r:—1 :v+1 59.[3] у 60-131 у =10g1/2 а) у = |10g1/4($2 - 4)l; б) = (1/2)‘/’; 51-[2] B)y:sin2:r:—\/§cos2:r;; r)y:\/sin2:z:+1—2sin:r:;- д) у : 1Og[sinr| �z � 62.[3] у = 15 $51: + 15 ctgm.
§9. Функции и их графики. 71 4’ — 1, если ш < 0, 63'[3] y :{ V41: — 1:2, если ш Z 0. 1—\/1——1:2, если mg 1, 1+1og1/21:, если ш > 1. 64.[3] у = { sin ш 1 ——————+, B) у . \/1—sin2 �T� а) у = |$ — д; б) у = т’ + 7lwl + 10; В) у = 3‘°5¢3““2); 65-[5]a)y=|I+1l-l$—3i; б)у= 66'[5] г) у: M11; 11)y:1—\/W; e) y=3cos2:c. 67.[10] Построить графики функций: а) у:[1:2+51:—6|; 6)y::I:2+5[$]—6; B)y=—3sin2):r;|; г) у:1Ё51п$Ё д у: 9:1; е) y:1O_g|sin:t[1/2; ж) у = 1:.+ sin 1:; 3) у :1о55д„ cos 1:; и) у = Ё;Ц; к) у : 25"”; л) у : ;,—_—t1;zfi; M) у = arcsin(sin:r;); H) у : агссо5(со$ 1:); ) _ Ё, если ш 5 О, О у ц 1о51/2(1: +1), если ш > 0. 68.[5] Определить, в какой четверти координатной плоскости нахо- - 3 3 дится точка пересечения графиков функции: у : 51: — 5 и у : 1052 31 — 1055 8. 69.[5] Определить, в какой четверти координатной плоскости нахо- дится точка пересечения графиков функций: . 3 а) y::r:s1n226°—log23 И y::r:cos137°—§; 57r 9:3 6 : ' -——— 51/7 =—— 21/3. ) у 125111 12 + И у 10 + 70.[6] Для каждого а > 0 найти наибольшее значение величины |1: —2а| при условии 2|:c| + [ac —— 3a| g 9a. 71.[6] Для каждого а > 0 найти наименьшее значение величины 1:2 - |1: — а} + ш — а на отрезке [—3; 3].
72 Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 72.[6] Для каждого а > 0 найти уравнения всех прямых, проходящих через начало координат и имеющих ровно две общие точки с гра- фиком функции у = :1: - Ia; + 2a| + (12. §10. Изображение множества точек на плоскости. Для решения задач этого параграфа следует путем алгебраических преобразований привести исходную задачу к одной или нескольким сис- темам равенств и неравенств вида: В конкретных задачах какие-то группы равенств или неравенств мо- гут и отсутствовать. Знаки нестрогих неравенств могут быть заменены на строгие. После этого в системе координат (т, у) необходимо изобра- зить множество [a;b] И на нем графики всех функций у : f,-(w),y : g,-(13) И у : h,-(:3). ОНИ разбивают координатную плоскость (т, у) на подобласти, на каждой из которых строятся соответствующие множес- тва точек или графики, удовлетворяющие системе. В случае наличия нескольких подобных систем в конце найденные множества точек объ- СДИНЯЮТСЯ. Изобразить на ПЛОСКОСТИ MHO)I(eCTB8 ТОЧСК, КООРДИНЗТЫ КОТО- РЫХ УДОВЛСТВОРЯЮТ УСЛОВИЯМ: 1-[lllr —y| + |ш+у| = 1. 2-[1}||wl—1l=||y!—1I-
§I0. Изображение множества точек на плоскости. 73 3[1}% > 1 4[1]zy+1> 0 эш ш = p��� 6.[1] $2 + у’ = 1:. 7-[1] l(r—2)(r-4)|+lyJ =1- 8.[1 1:2 - |у — acl = 23,-. 9.[1 Iy—1I:Iz:2—I3:1:—2H. 10-[1 Ку! = Hr’ — 4| - ll- 11 1 ] 1 1] 1:2 + y? = 1223,12 +1. 1] 2:2 — 2|:1:[ + yz — 2|у| < а. ] -[ 12.[ 13.[1y1:2—(y2+1)-:I:+y>0. 14.[1] 112- (3,/+%)z+1>0. 15-[3] (Iv — [I02 + (у — |yl)2 S 4- y _<_ 21‘, 16.[5] 2y ~ ac 2 О, my S 2. 17.[5}a) |y—1|+|x+3|=2; б) |z—4|+ly+2|:3. 1s.[1] ,/I + у > 1:. 05ш51‚ 19'[5]{1~—:1:§y§v1—:1:2. 20.[1] у = |у — sin:1:|. 21.[1] |у| = |y—sin 22.[1] sina: > sin y.
74 3a.z1anm устно1*о экзамена. АЛГЕБРА. 23.[1] [sin у| = $111:1:. 24.[1] cos ���� + $111|у| : 0. 25.[1] sinac : cos(ac + y). 26.[1] tgactgy : 1. 27.[1] швам + sin y) : 0. 28.[1] arcsin ac : arccos y. 29.[3] c0s(ac + у) = с0$(:1: — у). 30.[3] sin 216 = sin 2y. 31.[1]:1:” > 1. 32.[l] log, y < 0. 33.[1] logI+y(2:1: + 3y) > 1. 34-111 lyt =1og1/zllw + 2l—1|- 35-[3]10g(|z1—0,5)(-T2 + 3/2) S10g(|z[—0.5)4- 36.[6]1og(,_y)(m + у) 2 1. 37.11] 111111(:в. у) : 1. 38.[1] |у| > max <:c,:c2, . а) I2/I = sin И; б) lyl = Рт’ + 5w - 6}; 39_[10] B) 1/y ��� _ т) :1 Г) lyl = 2/—1g|wI; д) { 0 f :1: 5 1. 1 40.[2] a) logy :1: < О; б) у > $111 vspa.ce5mm §1 1 . Многочлены.
§ 1 1. Многочлены. 75 многочленом называется выражение вида - 1 аош" + a1:1:" + ...+ a,,-1:1: +0.“, где п E N, 0.0 ф 0 и ад, (11,...а„ - Целые числа. Поскольку при п. = 1 имеем многочлен аош+а1, свойства которого хорошо известны, а при п : 2 имеем квадартный многочлен, свойства которого описаны в параграфе 2, то считаем далее п 2 3. Большинство задач данного параграфа так или иначе связаны с исследованием корней многочлена. Этот вопрос подробно излагается в пункте 1 параграфа 5. 1.[1] Пусть а и В - корни многочлена P(:1:) : :1:3+pac+q. Найти третий корень, если известно, что а + В + ozfi : 0. 2.[1] Найти уравнение с целыми коэффициентами, имеющее корень т=\/Ё+\/Ё. 3.[ Разложить на множители многочлен: (:1: + 1)(ac + 3)(ac + 5)(ac + P��� Найти сумму коэффициентов многочлена, получающегося после раскрьхтия скобок и приведения подобных членов в выражении (1 — Зш + 3ac2)743 - (1 + 3:1: — 3:1:2)744. 9.[3] Докажите, что у многочлена P(ac) : (юз + b:1:2 + c:1: + d не могут быть все корни Целыми, если Р(0) и Р(—1) нечетные. §12. Задачи последних лет. В этом параграфе приведены задачи, которые предлагались на уст- ном экзамене по математике в последние годы на трех факультетах МГУ им, М.В.П0моносова., на которых есть устный экзамен по математике. п.12.1. Факультет ВМиК МГУ (1997 - 1999 гг.)
76 (Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 1.[15] Доказать, что n2+3n+5 не делится на 121 ни при каком целом п. 2.[15] Доказать, что уравнение 1:2 —5у2 : 3 не имеет решений в целых числах. 3.[15] Найти все пары натуральных чисел (1:, y), при которых ш2—:1:у—2:1:+3у= 10. 4.[15] Найти все целые значения а, при которых 1:2 —— (а. + 5)ac + 5a +1 можно разложить в произведение (1:+ Ь) (1: +c) двух сомножителей c целыми Ь и с . 5.[15] Сравнить числа 1820 И 6313. 6.[15] Сравнить числа cos 5 и ��� 9 I 1 7.[15] Сравнить числа 3/1053 3 + ‘/loga 5 + ё и -2- V 14 . 8.[15] Доказать, что при а Z 1 имеет место неравенство $Е<уи+ —vu——1. 9.[15] РСШИТЬ неравенство log: (1: + y) + log: (1:y) 5 1052 (1: + y) — 1. 10.[15] Решить уравнение агсзйп(:1:3+:с2—2)+ 6:1:—:1:2—5=О. 11.[15] Решить уравнение шах (21:; 3 ~ 1:) : min (5 + 2:13; 61:). 12.[15] Решить систему уравнений $3+у3:1’ $4+y4:1 13.[15] При каких значениях а система ш4+у4:а’ cos(1:——y)+1:y=1 имеет единственное решение �i��
§12. Задачи последних лет. 77 14.[15] Действительные :1:, y, a таковы, что 1:+у=а—1‚ 1:-у=а2—7а+14 При каких а сумма 1:2 + у2 принимает наибольшее значение ? 15.[15] Найти наибольшее значение функции у = sins :1: + cos”:1: . 16.[15] Найти при :1: < 0 наибольшее значение функции 1r y = 4:1: + E ~— cos(4:1:2). 17.[15] Найти минимальное и максимальное значение функции у:а-сов21:+2Ь-$1п1:-соз1:+с-$1п21:. 18.[15] Существует ли линейная функция у = f (:1:), удовлетворяющая для всех 1: соотношению 2 f(:1: + 2) + f(4 — :1:) = 21: + 5 ? 19.[15] Существует ли квадратичная функция у = f (:1:), удовлетворя- ющая для всех 1: соотношению � � + 1) + f(2 -— 1:): (1: +1)2 ? 20.[15] Вычислить: a.1'ctg(3 + 2ж/2) — агсгвё . 21.[15] Вычислить: a.1'csin(cos arcsin 1:) + a.rccos(sin arccos @�o� 22.[15] Изобразить множество всех точек на плоскости, координаты которых (1:‚у) удовлетворяют неравенству 2у2 S logz :1: - (3Iy[ - 2 l0g4 re). 23.[15] Построить множество всех точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству ]з1п1:| + Isin у| < 2. 24. [15] Построить на плоскости ОаЬ геометрическое место точек (а, Ь), при которых уравнение a:1:2 + 2(b — 1):1: — a — 6 = О имеет: а) два решения разных знаков; б) два положительных решения; в) два отрицательных решения. 3 25.[16] Доказать, что число п — п. + 3 составное для любого натураль- ного n > 1. 26.[16] Целое число кратно 7 И при делении на 4 дает в остатке 3. Найти остаток от деления этого числа на 28.
78 Задачи устноно экзамена. АЛГЕБРА. 27.[16] Доказать, что если а+ Ь+с делится нацело на 6‘, то и 0.3 + b3 +с3 делится нацело на 6 ( а, Ь, с — целые числа.) 28.[16] РСШИТЬ в целых числах уравнение 9’ = 4у + 1. 29.[16] Сравнить числа а и Ь, если известно, что 5(а — 1) = (12 + b. 30.[16] Имеет ли смысл выражение ,/logz 3 — 10g5 11 ? -[ 31 16] Изобразить на плоскости геометрическое место точек, удовле- творяющих равенству [у — :1:l + [у — $21 = 2. 32.[16] Построить график функции y(ac) : a.rcsin(| sin 33.[16] Решить уравнение sin :1: - sin Зав : 2 со$2 ас — со$ 2:1:. 1 34.[16] Решить уравнение P� � + у; : sin :1: + cos :1:. 35.[16] При каких а уравнение sin ш + c0s:1: + sin :1: - Cos :1: : a имеет решения? 36.[16] Найти наибольшее и наименьшее значение функции ���� = arcsin :1: -arccos а: + 1. 37.[16] Решить неравенство 1og2(\/5+ 1) -1og3(:1: + 2) S 1. n.12.2. Геологический факультет МГУ (1997 — 1999 rr.) 1 15 Решить уравнение Ь3(:1:2) : —ctg30°. 2 15 Решить уравнение ctg5:1: : ctg:1:. [ 1 [ 1 3.[15] Решить уравнение ctg2:1: = tg4. 4.[15] Решить уравнение 1+ 7 + 13 + . . . + :1: : 280. 5-[ 1 15 Решить неравенство 1о31__3,э(2:с2) > 1. 6.[15] Решить неравенство 74’ < 7”’. 7. [15] Решить неравенство ($2 + 2:1: + 2)’ Z 1.
§I2. Задачи последних лет. 79 1 8.[15] Вычислить tg(a.rcsin(—§)). _ 1 9.[15] Вычислить s2n(2a.1'ctg§). 10.[15] Вычислить c0s(2a.1'ctg(—4)). 11.[15] Построить график функции у = sin [ш + 1т|. 12.[15] Построить график функции у = |соз 2(£B + 1r/2)]. 13.[15] Построить график функции у : (:1:2)1°5\/52. 14.[15] Построить график функции у : $2 + ���� — 6. 15.[15] Изобразить множество всех точек плоскости, координаты ко- торых удовлетворяют уравнению у = |у| cos :1:. 16.[15] Изобразить множество всех точек плоскости, координаты ко- торых удовлетворяют уравнению у = |у — sin � �� / cos а: 17.[16] Решить уравнение сова: = logtgz —m . 18.[16] Решить уравнение sin(:1: — 1) = sinzz: —— sin 1. 19.[16] Решить уравнение ctg �C�� : ctg 1:. 20.[16] Для всех значений а решить уравнение \/:1:2—:1:—\/Ё+\/Г:Ё:а. 1 “ 1 Л 21.[16] Решить неравенство (—) 5 pz�� . 1 ’ 1 д 22.[16]Решить неравенство �z�� Z �ݶ� . 23.[16] Решить неравенство 1:3 Z 35+1°5\/53. 24.[16] Решить неравенство а: I 25.[16] Построить график функции у = Isin .'z:| ctg:1:.
Задачи устного экзамена. АЛГЕБРА. 26.[16] Построить график функции у = (sin [ml + cos |:z:|)2 . 27.[16] Построить график функции у = 1:‘ l°5= 2'. 28.[16] Найти сумму цифр в десятичной записи числа N :10’999 т 1999 . п.12.3. Механико-математический факультет МГУ (1998 — 1999 rr.) 1.[13] СКОЛЬКО различных целочисленных пар (аду) удовлетворяют уравнению 2:2 = 43,12 + 20025 ? 2.[13] Доказать, что для любого простого числа, р > 5 число p4 — 50122 + 49 делится нацело на 2880. 3.[13] При каких значениях а график функции у(:с) = (1:+а)(|:с+ l—a|+[.'z:—3|)—2I+4a имеет центр симметрии ? 4.[13] Найти количество трехзначных чисел, делящихся на 5 или 7 (возможно, одновременно), но не делящихся на 3. 1 3 _ _ 5.[13] Для каждого значения а E —-—; ё наити количество корнеи х/ё а уравнения 0��� — ё = log, —. Здесь j�� означает дробную часть числа гс. 3 6.[14] Найти все значения параметра а, при которых неравенство |a:1:+2y—5I+a|:1:+2ay—2|S 3a задает на координатной плоскости параллелограмм с внутреннос- тью. 7.[14] Изобразить на координатной плоскости все точки (p,q), для каждой из которых уравнение 1:2 — pa: +q : 0 имеет на промежутке [——1; 1) ровно одно решение. 19 3 8.[14] Вычислить a.1-ctg8 + амеб + arctg Е�� .
§I2. 3a1ra.nm последних лет. 81 Часть П ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ При составлении предлагаемыа: ниже задач была использована сле- дующая литература: 1 В.В.Рождественский, Е.В.Панкратов‚ И.И.Мельников‚ В.В.Вавилов Математический тренинг. М.‚ 1997. 2 Г.В.Дорофеев‚ М.К.Потапов, Н.Х.Розов. Пособие no математи- ке для поступающиш в вузы. М.‚ 1970. 3 В.М.Говоров‚ П.Т.Дыбов, Н.В.Миронин‚ С.Ф.Смирнова. Сборник конкурсныш задач no математике. М.‚ 1980. 4 В‚В.Ткачук. Математика - абитуриенту. М.. 1995. 5 А.Б.Будак, Б.М.Щедрин. Элементарная математика. Руковод- ство для поступающиа: в вузы. М.‚ 1997. б О. С.Игудисман. Математика на устном экзамене. М.‚ 1995. 7 Е.В.Якушева, А.В.Попов, А.Г.Якушев‚ 2000 задач и упражнений по математике. М.‚ 1998. 8 О.Ю.Черкасов. Планиметрия на вступительном экзамене. М.. 1996. 9 Варианты вступительныа: экзаменов по математике в МГУ (1995 2.). M., 1995. 10 Варианты вступительным экзаменов по математике в МГУ (1996 2.). М.‚ 1996‘. 11 Варианты вступительным экзаменов по математике в МГУ (шум). М.‚ 1997.
82 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ. §1. Задачи, связанные с треугольниками. При решении задач, связанных с треугольниками, необходимо знать следующие формулы и теоремы. 7 Условие существования треугольника: если даны три отрезка с длинами а, Ь. с, то для того, чтобы существовал треугольник со сторона- ми а. Ь, с. необходимо и достаточно выполнение следующих требований: а+Ь>с.а+с>Ь,Ь+с> а. Здесь и ниже а, Ь, с - стороны треугольника, (дБ, 7 - соответствую- щис противоположные им углы. Монотонно-возрастающая зависимость сторон от углов: если да- ны стороны треугольника а, Ь, с, то для того, чтобы они удовлетворяли неравенствам а 2 Ь 2 с. необходимо и достаточно выполнение нера- венств а Z Б 2 7. Теорема о сумме углов треугольника: для углов треугольника а, В. 7 справедливо равенство а + ‚В + 7 = 1r. Теорема о биссектрисаш: все биссектрисы треугольника пересека- Ются в одной точке. Эта точка есть центр вписанной окружности. Теорема о медианаш: все медианы треугольника пересекаются в од- ной точке и делятся ею в соотношении 2:1, считая от вершины. Теорема о высоташ: все высоты треугольника пересекаются в одной точке, Теорема о срединныр перпендикуляраш: все срединные перпендику- ляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка есть центр описанной окружности. Теорема косинусов: для сторон и углов треугольника имеет место равенство: а2 : Ь2 +с2 — Zbc-cosa. Теорема синусов: для сторон и углов треугольника имеют „место ра- венства: а Ь с . . . = ZR, sm oz sm Б s1n 7 где R - радиус описанной вокруг треугольника окружности. Теорема о биссектрисе: биссектриса угла. а треугольника делит противолежащую сторону а на прилежащие K сторонам b И С отрезки щ, И ас, которые пропорциональны Ь И С : (lb b ac с
§1. Задачи, связанные с треугольниками. 83 Приведем теперь формулы для биссектрисы la, медианы ma и высо- ты ha, проведенные к стороне а. Именно: 1а= lZ=bc—a;,-ac, mazi 2b2+2c2—a2, hazéfsina. b+c 2 а. 7 Здесь 0.(,,(1c - отрезки из теоремы о биссектрисе. Следует также напомнить признаки подобия треугольников. Именно, два треугольника подобны по двум углам, по двум сторонам и углу меж— ду ними, по трем сторонам. Особенно важен тот факт, что в подобных треугольниках отношение длин соответствующих сторон, биссектрис, медиан, высот равно k - коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно k2. Наконец, сформулируем следующее часто используемое утвержде- ние. Теорема Фалеса: если на одной стороне угла отложены равные меж- ду собой отрезки и через них проведены параллельные прямые до пе- ресечения с другой стороной угла, то на этой стороне отложатся также равные между собой отрезки. 1.[1] Пусть а.,8,*у - углы треугольника. Доказать, что: sina - sin,B - 3 sin'y 5 �К� . 2.[1] Пусть A.B, C - углы остроугольного треугольника. Доказать. что: (2052 А + cosz B + cosz д + 2созЙсозЁ cos д = 1. 3.[1] Пусть а, Ь, с - длины сторон треугольника. Доказать, что: 2 ((12112 + bzcz + czaz) > a4 + b4 + C4. 4.[2] Доказать, что сумма медиан треугольника больше 3/4Р, но меньше Р, где Р - периметр треугольника. 5.[4] Дан треугольник ABC. Доказать, что cos X-r cos Ё + (:os б f l\J)OJ 6.[6] Доказать, что для любого треугольника справедливы неравен- ства: а) ma+m;,+m¢ >р; ) h,,<\/P(P—<1); ) (p—a)-(p—b)-(p—c)£§abc' ) p—.‘—.,+fi+ 1 (%+s O1 О: "1 р-с
84 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ. 7. [6] Какого вида треугольник со сторонами 2, 3, 4? 8.[6] Какого вида треугольник, у которого: а) высоты 3, 4 и 5; б) медианы 3, 4 и 5? 9.[7] Есть ли тупой угол у треугольника, стороны которого равны 10, 14 и 17? 10.[7] ЕСТЬ ли тупой угол у треугольника, стороны которого равны 7, 9 и 12? 1l.[6] Существует ли треугольник с углами 1 arctg2. arcsin �a�� , агссоэ (-53%)? 12.[1] B прямоугольном треугольнике длины сторон - натуральные взаимно простые числа. Доказать, что длина гипотенузы - нечет- ное число, а длины катетов имеют разную четность. 13.[1] Пусть длины сторон прямоугольного треугольника - натураль- ные числа. Доказать, что: а) длина одного из катетов кратна трем; б) длина одной из сторон кратна пяти. 14.[3] Найдите острый угол между медианами равнобедренного пря- моугольного треугольника‚ проведенными из вершин его острых углов. 15.[4] B треугольнике ABC угол А - прямой. Из вершины А проведены медиана АМ. высота АН и биссектриса AL. Доказать, что AL - биссектриса в треугольнике АМН. 16. [4] Сумма катетов в прямоугольном треугольнике равна 8. Может ли его гипотенуза равняться 5? 17.[5] Показать, что все прямоугольные треугольники, стороны кото- рых образуют арифметическую прогрессию, подобны ”египетско- My" треугольнику (длины его сторон равны З, 4, 5). 18.[5] Доказать, что в прямоугольном треугольнике длины всех его сторон не могут быть нечетными числами. 19.[7] Определите углы прямоугольного треугольника, гипотенуза ко- торого вдвое больше одного из катетов.
§1. Задачи, связанные с треугольниками. 85 20.[7] Стороны прямоугольного тругольника выражаются целыми чис- лами, не превосходящими 10, и составляют арифметическую про- грессию. Найдите сумму длин сторон этого треугольника. 21.[7] В прямоугольном треугольнике отношение произведения длин биссектрис внутренних острых углов к квадрату длины гипоте- нузы равно 1 / 2. Найти острые углы треугольника. 22.[7] Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипоте- нузе, делит его на два треугольника C периметрами pl И pg. Найти стороны треугольника. 23.[6] Доказать, что если медиана и высота, проведенные из одной вершины треугольника, делят его угол на три равные части, то треугольник - прямоугольный. 24.[2] Доказать, что если в треугольнике две высоты равны, то он равнобедренный. 25.[2] Доказать, что если в треугольнике справедлива зависимость а : cos A = b с cosB, то он равнобедренный. 26.[4] Медиана треугольника совпадает с его биссектрисой. Доказать, что этот треугольник равнобедренный. 27. [4] Две биссектрисы у треугольника равны. Доказать, что он рав- нобедренный. 28.[4] Пусть равнобедренный треугольник ABC имеет углы В и C равные 80°. На отрезке AC взята точка D, a Ha отрезке АВ - точка Е так, что D/B70 = 60° и E/C‘\B : 50°. Найти угол EDB. 29.[6] Доказать, что в равнобедренном треугольнике сумма расстоя- ний от любой точки основания до боковых сторон равна боковой высоте. 30.[6] Доказать, что если у треугольника равны две биссектрисы или две медианы, или две высоты, то он равнобедренный. 31.[3] Докажите, что отношение суммы квадратов длин медиан три- угольника к сумме квадратов ДЛИН eI‘0 Сторон равно 3/4. 32. [3] Докажите, что площадь ‘ГРВУГОЛЬНИКЭ Меньше единицы, ВСЛИ длины всех биссектрис меньше единицы.
86 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ. 33.[3] Определите длины сторон треугольника, если они выражаются целыми числами, образуют арифметическую прогрессию, а пери- метр треугольника равен 15. 34. [4] B треугольнике стороны составляют геометрическую прогрес- сию. Доказать, что его высоты тоже составляют геометрическую прогрессию. 35.[5] B треугольнике ABC известны длины сторон ВС : а,АС : b И величина угла между ними ACB = 7. Вывести формулу длины биссектрисы угла АСВ этого треугольника. 36.[5] Стороны треугольника образуют возрастающую геометричес- кую прогрессию. Что больше, знаменатель q этой прогрессии или ЧИСЛО 2? 37. [6] B треугольнике дано: a.,,B, 7. Найти все элементы треугольника. 38.[6] B треугольнике дано: b, c, a. Найти все элементы треугольника. 39. [6] B треугольнике дано: а, b, с. Найти все элементы треугольника. 40.[6] B треугольнике одна сторона равна 5,3, а другая - 0,7. Найти третью сторону, если известно, что она является целым числом. 41.[7] Зная угол а при вершине треугольника, определите острый угол между биссектрисами двух других углов треугольника. 42.[7] Зная угльх а и д при основании треугольника, определите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из угла, противо- лежащего основанию. 43.[7] Зная острые углы а и д прямоугольного треугольника, опреде- лите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. 44. [7] Докажите, что в неравнобедренном прямоугольном треугольни- ке биссектриса прямого угла делит пополам угол между Высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. 45.[7] Дан треугольник со сторонами 5, 12 и 13. Найдите угол, лежа. Щий против его наибольшей стороны.
§1. Задачи, связанные с треугольниками. 87 46. [7] В треугольнике ABC медианы AD И ВЕ пересекаются под пря- мым углом. Известно, что АС : 3,ВС = 4. Найти сторону АВ этого треугольника. 47. [7] В треугольнике ABC ИЗ вершин к противоположным сторонам проведены отрезки AM,BN И СР(М - точка на отрезке BC,N - Ha АС и Р - на АВ) так, что ВТМ : ЁВТС, CBN : §C/B\A, A/C\P : %A/C\B. Найти длины сторон ВС и СА, если АВ : 1, а получившийся в пересечении отрезков AN, BN, И СР треугольник правильный. 48.[7] Внутри треугольника АВС взята точка Р, являющаяся началом лучей, пересекающих стороны АВ и ВС в точках Q И R. Известно, что: 102371 = 1400, 10750 = 1300, Я = 600, д = 800. Найти 6171:. 49. [7] B треугольнике АВС на основании АС взяты точки Р и Q так, что АР < AQ. Прямые ВР и BQ делят медиану АМ на три рав- ньхе части. Известно, что длина PQ = 3. Найти АС. 50.[7] B треугольнике АВС высота, опущенная из вершины угла А на сторону ВС, равна стороне BC. Угол А равен а. Найдите углы В и С, считая, что B 2 �E�� Исследуйте, при каких значениях угла а задача имеет решение. 51.[7] B треугольнике АВС длина стороны ВС равна среднему ариф- метическому длин сторон АВ и АС. Угол А равен а. Найдите углы В и С, считая, что B 2 �O�� Исследуйте, при каких значениях угла а задача имеет решение. 52.[7] B треугольнике АВС из вершины угла А на сторону ВС опуще- на медиана, квадрат длины которой равен площади треугольника АВС. Угол А равен а. Найдите углы A1 И A2, Ha которые меди- ана делит угол А, считая, что А: 2 � �� Исследуйте, при каких значениях угла а задача имеет решение. 53.[7] B треугольнике АВС из вершины угла А на сторону BC ony- щена медиана, длина которой равна половине среднего арифмети- ческого длин сторон АВ и АС. Угол А равен а. Найдите угльх A1 И A2, Ha которые медиана делит угол А, считая, что A1 2 A2. Исследуйте, при каких значениях угла а задача имеет решение.
88 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ. 54. [7] В треугольнике ABC сторона БС служит основанием полукру- га, площадь которого равна площади треугольника ABC. Угол А равен а. Найдите углы Б и C, считая, что Б Z 0m�� Исследуйте, при каких значениях угла а задача имеет решение. 55. [7] Внутри треугольника ABC взята точка D. Прямые AD, BD и CD пересекают стороны треугольника в точках Е, F и G соответ- ственно. Найти соотношение CF : FA, если известно, что AG BE GB Z р И Ёб 56.[7] Стороны треугольника равны 5, 7 И 4. Наибольшая сторона по- добного треугольника равна 21. Найдите остальные стороны тре- угольника. :q_ 57. [7] Треугольник ABC не имеет тупых углов. На стороне АС этого треугольника взята точка D Tax, что AD : Ё - АС. Найти угол БАС, если известно, что прямая BD разбивает треугольник АБС на два подобных треугольника. 58.[7] B треугольнике АБС дано: АС : 2x/§, AB : x/?,BC : 1. Вне треугольника взята точка K так, что отрезок КС пересекает от- резок АБ в точке, отличной от B, И треугольник с вершинами К, A и С подобен исходному. Найти угол AK C, если известно, что угол КАС - тупой. 59.[7] B треугольнике АБС даны углы В и С. Биссектриса внутрен- него угла БАС пересекает сторонуБС в точке D, a окружность, описанную около треугольника АБС, в точке Е. Найти соотноше- ние АЕ : DE. 60.[7] B треугольнике АБС биссектриса ВЕ и медиана AD перпен- дикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найти стороны треугольника АБС. 61.[6] B треугольнике АБС отрезок CD есть медиана. На стороне DC взята точка E Tax, что BE : EC : 1 2 2. Точка 0 является точкой пересечения АЕ и CD. Известно, что АСС = 120°, АЕ = 5, 0C = 4. Найти сторону АБ. 62. [6] B треугольнике АБС сторона АБ = 3. Из вершины С проведена высота CD. Известно, что CD : \/§ И AD = BC. Найти сторону АС.
§1- Задачи, связанные с треугольниками. 89 63. [6] Доказать, что если в треугольнике из одной вершины проведе- ны медиана, биссектриса и высота, то биссектриса лежит между медианой и высотой. 64. [6] Стороны треугольника удовлетворяют соотношениям а,‘ + bk : с". При каких k это остроугольный треугольник? 65.[6] Доказать, что треугольники с равными периметрами и соответ- ственно равными углами равны. 66.[6] B остроугольном треугольнике ABC проведены две высоты CD И АЕ'. Найти длину высоты АЕ, если известно, что AD : BC = 4, AB : 6. 67.[6] B прямоугольном треугольнике ABC известны катеты а. и b. Найти длину биссектрисы прямого угла. 68. [6] B треугольнике ABC даны стороны b И с. Угол а вдвое больше угла Н. Найти сторону а. 69. [6] Доказать, что в любом треугольнике большей стороне соответ- ствует меньшая биссектриса. 70. [6] Из всех треугольников, имеющих данный угол, заключенный между сторонами, сумма которых постоянна, найти тот, который имеет наименьший периметр. 71.[6] доказать, что сумма расстояний от любой точки, взятой внут- ри (или на стороне) треугольника, до трех его сторон заключена между наибольшей и наименьшей его высотами. Найти точку в треугольнике, сумма расстояний от которой до сторон наиболь- шая. 72.[6] Доказать, что если в треугольнике соединить основания всех высот, то в полученном треугольнике высоты будут биссектри- сами, и образующиеся при этом треугольники, примыкающие к вершинам исходного, подобны ему. 73.[6] B треугольнике ABC через точку пересечения биссектрис про- ведена прямая, параллельная стороне BC и пересекающая сто- роны АВ и AC соответственно в точках B1 И C1. Доказать, что B1C1 : BB1 + CC1.
90 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ. к 74.[6] Среди всех треугольников с данным основанием а и данным углом а найти треугольник с наибольшей площадью S. 75. [5] B треугольнике известны длины двух его сторон 6 и 3. Полусум- ма длин высот, опущенных на эти стороны. равна длине третьей высоты. Найти длину его третьей стороны, §2. Задачи, связанные с четырехугольниками. При решении задач, связанных с четырехугольниками, полезны бу- дут следующие утверждения и формулы. Для параллелограмма: о во всяком параллелограмме противоположные стороны равны, про- тивоположные углы равны и сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна л; о если в четырехугольнике или противоположные стороны равны между собой, или две противоположные стороны равны и парал- лельны. то такой четырехугольник является параллелограммом; о для того, чтобы произвольный четырехугольник был параллело- граммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали точкой пересечения делились пополам; 2 2 2 о имеет место равенство: di + dz : 2(a + b ), где a,b - стороны параллелограмма, d1, dz - его диагонали. Для трапеции: О средняя ЛИНИЯ трапеции ПРОХОДИТ через СВРЕДИНЫ ее бОКОВЫХ СТО- рон. параллельна основаниям и длина ее равна §(a. + b), где а, b - основания трапеции; о в произвольной трапеции сумма углов, прилежащих к боковой сто- роне, равна п. Для ромба: о диагонали ромба являются биссектрисами соответствующих углов и перпендикулярны друг другу.
§2. Задачи, связанные с четырехугольниками. 91 Для прямоугольника: о диагонали прямоугольника равны между собой. Для квадрата: о диагонали квадрата равны между собой и перпендикулярны друг другу. Наконец, напомним, что сумма углов в произвольном четырехугольнике равна 2тг. 1.[3] Доказать, что если соединить середины сторон выпуклого четы- рехугольника, то получится Параллелограмм. Когда этот парал- лелограмм будет ромбом? квадратом? 2. [3] Найдите углы ромба, в котором диагональ равна стороне. 3.[З] Имеется квадрат и равновеликий ему круг. Что больше, длина окружности или периметр квадрата? 4.[7] Доказать, что из всех прямоугольников с данной диагональю наибольшую площадь имеет квадрат. 5.[7] B ромбе ABCD угол при вершине А равен 7r/3. Точка N делит сторону АВ в отношении AN : BN : 2 : 1. Определить тангенс угла DNC. 6.[6] Доказать, что если в четырехугольнике соединить середины сто- рон, то получится параллелограмм с периметром, равным d1 + dz. 7. [6] Доказать, что если каждая из диагоналей выпуклого четырех- угольника делит его на равновеликие треугольники, то этот че- тырехугольник - параллелограмм. 8.[4] Доказать, что если в трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от боковых сторон, то трапеция равнобочная. 9.[5] B трапеции АВСЕ AB||C'E,AB := 6, CE : 4. Прямая, парал- лельная основаниям и проходящая через точку пересечения диа- гоналей, пересекает боковые стороны трапеции в точках М и K COOTBBTCTBBHHO. Найти длину отрезка МК.
92 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ. 10.[5] B трапеции ABCD с острыми углами при основании AD про- ведена диагональ AC, которая разбивает его на два подобных тре- угольника. Длина основания AD равна а, а длина основания BC равна b. Вычислить длину диагонали AC. 11.[7] B трапеции с основаниями 3 и 4 диагональ имеет длину б и является биссектрисой одного из углов. Может ли эта трапеция быть равнобедренной? 12.[7] B равнобедренной трапеции диагональ имеет длину 8 и является биссектрисой одного из углов. Может ли одно из оснований этой трапеции быть меньше 4, а другое равно 5? 13. По основаниям а, b трапеции определить отношение, в котором ее диагонали делят друг друга. 14.[7] B равнобочной трапеции ABCD основания AD : 12, BC = 6, BbI(I0’I‘a. равна 4. Диагональ AC делит угол BAD трапеции на две части. Какая из них больше? 15.[7] Доказать, что прямая, соединяющая точку пересечения диагона- лей и точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции, делит основания пополам. 16.[7] B равнобочной трапеции ABC D боковая сторона равна 10, боль- шее основание 24, а высота 8. Определить, что пересекает биссек- триса острого угла трапеции: меньшее основание или его продол- жение? 17. [7] Периметр равнобедренной трапеции вдвое больше длины впи- санной окружности. Найти угол при основании трапеции. 18.[6] Основания трапеции равны а. и b. Найти длину отрезка, соеди- няющего середины диагоналей. 19.[6] Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями а. и b проведена прямая, параллельная основаниям. Найти ее отрезок, заключенный между боковыми сторонами. 20.[6] Доказать, что если отрезок, соединяющий середины двух про- тивоположных сторон выпуклого четырехугольника, равен полу- сумме двух других сторон, то этот четырехугольник - трапеция.
§2. Задачи, связанные с четырехугольниками. 93 21.[б] Доказать, что биссектрисы углов, прилежащих к ОДНОЙ из не- параллельных сторон трапеции, пересекаются под прямым углом в точке, лежащей на средней линии трапеции. 22.[6] Доказать, что трапеция равнобочная, если: а) диагонали трапе- Ции равны; б) точка пересечения диагоналей трапеции находится на равном расстоянии от боковых сторон. 23. [6] Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований тра- пеции, у которой сумма углов при основании равна 90", равен По‘ луразности оснований. 24. [5] В выпуклом четырехугольнике ABCD c диагоналями AC и B D на стороны CD и АВ опущены соответственно высоты AE И DF- Известно, что АЕ 2 BD,DF 2 AC, AD : 2 - АВ. НаЙТИ Меры углов четырехугольника АВСВ. 25.[5] B выпуклом четырехугольнике K LM N с диагоналями LN И KM на стороны MN и KL опущены соответственно ВЫСОТЫ KP и NQ. Известно, что KP 2 LN,NQ 2 KM,KL : 3,KN = 5- Найти K M. 26. [7] Два противолежащих угла четырехугольника - прямЫе- длина диагонали, проходящей через два другие угла, равна d. yKa>KPIT€a B каких пределах может изменяться площадь четырехугольника- 27.[7] По углам четырехугольника определите углы: а) между биссектрисами двух соседних углов; б) между биссектрисами двух противоположных углов; в) между биссектрисами двух углов, образуемых парами проти- воположных сторон, продолженных до пересечения (если таковое существует). 28.[7] Какой четырехугольник с диагоналями d1 и dz имеет Макси- мальную площадь? 29. [7] В выпуклом четырехугольнике АВС D длина отрезка, соединя- ющего середины диагоналей, равна длине отрезка, соедиНЯЮЩеШ середины сторон AD и BC. Найти величину угла, образованного продолжением сторон АВ и C D. 30.[7] B выпуклом четырехугольнике ABC D длина отрезка, Соединя- ющего середины сторон AB И CD равна 1. Если стороны ВС и
94 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ. AD продолжить до их пересечения, то угол, образованный этими прямыми, будет равен 90". Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей. 31.[6] Внутри выпуклого четырехугольника найти точку, сумма рас- стояний от которой до вершин четырехугольника минимальна. §3. Задачи, связанные с окружностью. При решении задач, связанных с окружностями, необходимо знать следующие факты и утверждения. Центральный угол равен по величине мере дуги окружности, на ко- торую он опирается. Вписанный угол равен по величине половине меры дуги окружности, на которую он опирается. Угол, составленный секущими к окружности, равен полуразности мер дуг, на которые он опирается. Угол, составленный пересекающимися лордами, равен полусумме мер дуг, на которые он опирается. Угол, составленный касательной и шордой, измеряется половиной меры дуги, стягиваемой этой хордой. Приведем некоторые полезные следствия приведенных выше утвержде- ний: о вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны; о вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду (или на равные хорды), равны; о вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым; о если вписанный угол, является прямым, то он опирается на диа- метр окружности. Необходимо упомянуть и еще ряд важных утверждений: О ПрОИЗВВДСНИЯ ДЛИН 0'I‘p€3KOB ДВУХ пересекающихся ХОрД равны;
§3. Задачи, связанные с окружностью. 95 отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности; квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины отрезка секущей на длину ее внешней части; произведение длины отрезка секущей на длину ее внешней части есть величина постоянная для всех секущих, проведенных из одной точки. Наконец, приведем еще несколько фактов, касающихся взаимного распо- ложения окружности и треугольника, окружности и четырехугольника: 1. 2. произвольный треугольник можно вписать в окружность, центром которой является точка пересечения срединных перпендикуляров к сторонам треугольника; ' B произвольный треугольник можно вписать окружность, центром которой является точка пересечения биссектрис треугольника; для того, чтобы четырехугольник можно было вписать в окруж- ность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов были равны 7r; для того, чтобы в четырехугольник можно было вписать окруж- ность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин противопо- ложных сторон были равны; в ромб можно вписать окружность, центром которой является точ- ка пересечения диагоналей; для того, чтобы вокруг трапеции можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы эта трапеция была равнобочной. [3] Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма длин ка- тетов равна сумме длин диаметров вписанной и описанной окруж- ностей. 4 Точка касания ок жности вписанной в п ямо гольный т е- 7 угольник, разбивает один из его катетов на отрезки длины т и п, причем т < п. Найти длину другого катета.
96 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ. 3.[5] Радиусы описанной около прямоугольного треугольника и впи- санного в этот прямоугольный треугольник окружностей соответ- ственно равны R и т. Найти периметр этого треугольника. 4.[7] B прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки длиной 9 и 16. Найти радиус вписанной в треугольник окружности. 5.[5] B равнобедренном треугольнике с величиной угла при вершине 120° длина боковой стороны равна 2. Найти радиус вписанной в него окружности. 6.[6] Найти расстояние между центрами окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, и окружности, описанной около не- го, если основание треугольника а, боковая сторона b. 7.[3] Найдите углы треугольника, в котором Центры вписанной и опи- санной окружностей симметричны относительно одной из сторон треугольника. 8.[7] B треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и ВЕ, пере- секающиеся в точке О. Известно, что отрезок ОЕ имеет длину 1, а Вершина C лежит на окружности, проходящей через точки Е, D, О. Найти стороны и углы треугольника EDO. 9.[7] B треугольник со сторонами АВ = 8,ВС = 6,АС :: 4 вписана окружность. Найти длину отрезка DE, где D и Е - точки касания этой окружности со сторонами АВ и АС соответственно. 10.[7] Через вершины вписанного в окружность треугольника прове- дены касательные к этой окружности. Определить углы треуголь- ника, образованного этими касательными, через углы вписанного треугольника. ll.[6] Около треугольника ABC описана окружность. Медиана АМ проведена до пересечения в точке D c окружностью, и АВ = 1, BD : 1. Найти длину BC. 12. [б] Может ли у треугольника со сторонами меньше 1 радиус опи- санной окружности быть больше 100? 13.[6] Доказать, что, если из вершины А треугольника ABC проведе- на биссектриса, а из середины ВС восстановлен перпендикуляр,
§3. Задачи, связанные с окружностью. 97 то их точка пересечения лежит на окружности, описанной вокруг треугольника ABC. 14.[7] Окружность проходит Через вершины В, C И D трапеции ABCD и касается стороны АВ в точке В. Найти длину диагонали BD, если длины оснований трапеции равны а и b. 15.[3] B круг вписаны две трапеции с соответственно параллельными сторонами, Докажите, что диагонали этих трапеций равны. 16.[3] Вычислите площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна h, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом а. 17.[7] Выпуклый четырехугольник ABCD, диагонали которого вза- имно перпендикулярны, вписан в окружность. Перпендикуляры‚ опущенные на сторону AD из вершин В и С, пересекают диагона- ли АС и BD в точках Е и F соответственно. Отрезок BC равен 1. Найти EF. 18.[5] B выпуклом четырехугольнике MNPQ с диагоналями МР и NQ на стороны PQ и MN опущены соответственно высоты МК и QL. Известно, что МК Z NQ, QL 2 МР, MQ = 4. Найти радиус окружности, описанной около четырехугольника M N PQ. 19.[7] По углам между противоположными сторонами вписанного че- тырехугольника определить углы этого четырехугольника. 20.[6] Доказать, что во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея). 21.[6] Даны углы а и В между противоположными сторонами впи— санного в окружность выпуклого четырехугольника. Определить углы этого четырехугольника. 22.[6] Окружность высекает на всех сторонах четырехугольника рав- ные хорды. Доказать, что в этот четырехугольник можно вписать окружность. 23.[2] Даны две окружности одного и того же радиуса R. причем рас- стояние между их центрами также равно R. B лунку, полученную при пересечении этих окружностей, вписан квадрат. Найти его сторону.
98 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ. 24.[7] B какой параллелограмм можно вписать окружность? 25.[6] B ромб вписан круг. Каждая сторона ромба в точке касания делится на отрезки, длина которых а и b. Найти площадь круга. 26.[7] Найти величину угла между касательными, проведенными к окружности из точки, кратчайшее расстояние от которой до окруж- ности равно радиусу этой окружности. 27. [7] Доказать, что расстояние от точки окружности до хорды кру- га есть среднее пропорциональное между расстояниями от концов хорды до касательной к окружности в этой точке. 28.[7] Окружность пересекает одну из сторон угла на расстояниях а и b от вершины и касается другой стороны. Определить расстояние от точки касания до вершины. 29. [7] Доказать, что касательные к двум пересекающимся окружнос- тям, проведенные из всякой точки продолжения их общей хорды, равны между собой. 30.[6] Найти радиус окружности, касающейся двух окружностей ра- диусов т и R и их общей касательной. 31.[6] K двум непересекающимся окружностям проведены две внешние касательные и внутренняя. Точки М и N - точки касания внеш- ней касательной с окружностями, а Р и Q — точки пересечения внутренней касательной с внешними. Доказать, что MN : PQ. 32.[6] Через пересечения двух окружностей Р1 и P2 проводятся про- извольные прямые, пересекающие окружности. Через точки пере- сечения этих прямых с окружностями проводятся прямые l1 и lg. Доказать, что l1f[l2. 33.[6] K двум окружностям с центрами 01 и 02, касающимся извне в точке А, проведена общая касательная BC (B и C’ - точки касания). Доказать, что угол ВАС - прямой. 34.[6] B окружности проведены равные пересекаюЩНеся хорды. До- казать, что соответствующие части этих хорд, на которые они делятся точкой пересечения, равны.
§4. Площади фигур. 99 §4. Площади фигур. При решении задач, связанных с площадями, необходимо знать сле- дующие формулы и факты. Различные формулы площади треугольника: 1 1 . b S:§a-ha, S:§a-b-suvy, Szp-‘r, S:a—€ ЗДЕСЬ и ниже а, Ь, с - стороны треугольника, oz,fi,'y - соответствующие противоположные им углы, ha, hb, hc - ВЫСОТЫ, проведенные к сторонам, р - полупериметр треугольника, т - радиус вписанной в треугольник окружности, R — радиус описанной около треугольника окружности. Из первой формулы вытекают равенства: согласно которым стороны треугольника обратно пропорциональны вы- сотам. Кроме того, отметим также, что отношение площадей подобных тре- угольников равно /c2, где lc - коэффициент подобия. Формула площади произвольного четырехугольника: _1 S 2 d1 - dz - $1п‹р, где d1, dz - длины диагоналей четырехугольника, а <p - угол между ними. Формулы площади параллелограмма: 5:а-Ь„, S:a-6-sin'y, где а, b - стороны параллелограмма, 7 - угол, образованный сторонами а, Ь, ha — высота, проведенная к стороне а. Формула площади трапеции: s=§<a+b>-h, где а, Ь - длины оснований трапеции, а h - ee высота.
100 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ. 1.[2] Определить стороны прямоугольного треугольника, зная его пе- риметр Р и площадь S. 2.[7] Высота и биссектриса прямоугольного треугольника, опущен- ные из вершины прямого угла, равны соответственно 3 и 4. Найти площадь треугольника. 3.[7] B прямоугольном треугольнике ABC угол А равен а, сторона АБ равна а. Из вершины прямого угла Б опущена высота BE. B треугольнике БЕА проведена медиана ED. Найти площадь тре- угольника AED. 4.[7] B прямоугольном треугольнике ABC угол B прямой, А : а, АБ : с. На продолжении гипотенузы AC (в сторону точки С) взята точка D Tax, что AD : т. Найти площадь треугольника BCD. 5.[6] Доказать, что из всех треугольников с данным основанием и данным углом при вершине равнобедренный треугольник имеет: ���� наибольшую площадь; б) наибольший периметр. 6.[3] Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его пло- щадь пополам. В каком отношении она делит его боковые стороны? 7. [3] Существует ли треугольник, все высоты которого меньше 1, а площадь больше или равна 10? 8.[4] Дан треугольник АБС. Из двух вершин проведены медианы длиной 4 и 6. Известно, ЧТО площадь треугольника равна 16. Най- ти угол между вышеупомянутыми медианами. 9.[4] Про треугольники ABC и А1Б1С1 известно, что: АБ > А1Б1‚ AC > A1C1. BC > B1C1. Верно ли, что площадь треугольника АБС непременно больше площади треугольника А1Б1С1? 10.[5] B треугольнике АБС проведены биссектриса СЕ и медиана BD, которые пересекаются в точке О. Длина стороны БС в два раза больше длины стороны АС. Найти отношение длины отрезка БО к длине отрезка OD и отношение площади треугольника DOC к площади треугольника ВОС. 11.[5] B остроугольном треугольнике длины двух его сторон соответ- ственно равны 4 и б, а его площадь равна бх/Ё. Найти длину треть- ей стороны.
§4. Площади фигур. 101 12. [5] B треугольнике ABC заданы длины двух его сторон а и b. Дока- 2 2 а + b зать, что для его площади S справедливо неравенство S _<_ ———:. B Ka.KOM случае это неравенство обращается в равенство? 13.[6] Дан треугольник ABC. Через точку Р проведены прямые, na- раллельные сторонам. Известны площади треугольников - 51, 52, $3. Найти площадь S треугольника ABC. 14.[7] B TyIIOyI‘0.TIbHOM треугольнике наибольшая сторона равна 4, а наименьшая - 2. Может ли площадь треугольника быть больше. чем 2\/§? 15.[7] B треугольнике ABC на стороне АБ взята точка K так, что AK : BK : 1 : 2, а на стороне BC взята точка L так, что CL : BL : 2 : 1. Пусть Q - ТОЧКЭ. пересечения прямых AL и CK. Найти площадь треугольника АБС, если дано, что площадь треугольника BQC равна 1. 16.[7] Найти площадь треугольника АБС, если AC : 3,BC = 4, а медианы AK и BL взаимно перпендикулярны. l7.[7] B остроугольном треугольнике ABC дано: ВТС = а‚В/С`А = у, проведенная из вершины В медиана равна т. Найти площадь треугольника ABC. 18.[7] B остроугольном треугольнике АБС проведена биссектриса уг- ла Б, равная т, ВАС = а, ВСА = у. Найти площадь треугольника ABC. 19.[7] B OCTpOyI‘O.IIbHOM треугольнике АБС дано: БАС : oz, AC : Ь, проведенная из вершины Б медиана равна т. Найти площадь треугольника АБС. 20.[6] Может ли уменьшиться площадь треугольника при увеличении длин всех его сторон? 21.[б] Существует ли треугольник, у которого: а) все высоты меньше 1, а площадь больше 100; б) две высоты больше 100, а площадь меньше 1? 22.[б] Найти отношение площади треугольника ABC к площади ДРУ- гого треугольника, образованного из медиан треугольника ABC.
102 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ. 23.[9] B треугольнике ABC известно, что: АВ :: б,ВС = 9, АС = 10. Биссектриса угла В пересекает сторону AC B точке М. На отрезке ВМ взята точка О так, что ВО : ОМ = 3 : 1. Площадь какого из треугольников: АВО, ВСО или АСО является наименьшей? 24.[9] B треугольнике ABC известно, что: АВ : 10‚ВС = 12, AC : 8. Ha отрезке АВ взята точка K Tax, что АК : KB = 2 : 3, а на стороне BC — ТОЧКЭ. М так, что BM : MC = 2 : 1. На отрезке КМ взята точка О так, что КО : ОМ : 4 : 5. Площадь какого из треугольников: АВО, ВСО или АСО является наименьшей? 25.[3] Квадрат со стороной а повернут вокруг центра на 45°. Найдите площадь общей части ”старого” и ”нового” квадратов. 26.[5] Периметр ромба равен 20, a сумма длин его диагоналей равна 14. Найти площадь ромба. 27.[5] Дан параллелограмм ABCD. Ha стороне BC выбрана точка Е так, что ВЕ : EC = 3 : 1, a На стороне AD - ТОЧКЭ. F Tax, что AF : FD : 4 : 1. Ha сколько процентов площадь треугольника АВЕ больше площади треугольника FCD? Ha сколько процен- тов площадь треугольника FCD меньше площади треугольника ABE? 28.[5] Определить величины углов ромба, если его площадь равна 8, a площадь вписанного в него круга равна 7г. 29.[5] Дан параллелограмм АВСВ. На его сторонах BC, AD, AB, CD, соответственно выбраны точки E,H,F,G Tax, что ВЕ : EC : 4:5,AH:HD=8:3,AF:FB:1:3,CG:GD:2:7.Ha сколько процентов площадь треугольника BFE больше площади треугольника GDH? Ha сколько процентов площадь треугольника GDH меньше площади треугольника BFE? 30.[7] B параллелограмме даны острый угол а и расстояния т и р от точки пересечения диагоналей до неравных сторон. Определите диагонали и площадь параллелограмма. 31.[7] Дан параллелограмм ABCD со сторонами АВ : 2 и ВС = 3. Найти площадь этого параллелограмма, если известно, что диа- гональ АС перпендиклярна отрезку BE, соединяющему вершину В C серединой отрезка AD.
§4. Площади фигур. 103 32.[4] Известно, что ABC D — трапеция с основаниями AD И BC. Пусть О - точка пересечения диагоналей АС и ВВ. Известно, что пло- Щадь треугольника АВО равна 2, а площадь треугольника AOD равна 3. Найти площадь трапеции. 33. [4] Найти высоту равнобочной трапеции, если ее площадь равна S, а острый угол между диагоналями равен 20:. 34. [7] B равнобочной трапеци ABCD задана длина а диагонали АС, CAD : oz. Найти площадь трапеции. 35.[7] B трапеции длины диагоналей равны 2x/6—1n 3\/H, а длины оснований 10 и 15. Найти площадь трапеции. Можно ли в эту трапецию вписать окружность? Можно ли вокруг этой трапеции описать окружность? 36.[6] B трапеции проведены диагонали и площади треугольников, примыкающих к основаниям, равны $1 и $2. Найти площадь тра- пеции. 37. [11] Точка E лежит на диагонали АС трапеции ABCD с основания- ми BC и AD. Найти отношение BC z AD, если $ААВБ : SAADE = 1 : 2. 38. [4] Все стороны выпуклого четырехугольника меньше 7. Доказать, что его площадь строго меньше 50. 39. [5] B выпуклом четырехугольнике ABC D известно, что: АВ = а, BC : b, CD : c, DA = d. Доказать, что для его площади $ имеет 1 место неравенство 5' 5 §(ab+cd). B каких случаях это неравенство обращается в равенство? 40. [6] Пусть а, b,c,d - последовательные стороны произвольного вы- пуклого четырехугольника. Доказать, что его площадь $ 5 E (ac+ bd). 41. [6] B четырехугольнике проведены диагонали. Известны площади трех треугольников $1, $2, $3, образованных этими диагоналя- ми. Найти площадь четвертого треугольника.
104 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ. 42.[11] В выпуклом четырехугольнике АБ CD диагонали пересекаются в точке E. Расстояние от точки Б до прямой AD втрое больше, чем расстояние от точки С до прямой AD; Найти отношение площадей треугольников ABE И CDE, если АЕ : ЕС = 3 : 2. 43.[3] Найдите радиус сектора, если его площадь равна 144, а дуга содержит 4/9 радиана. 44.[3] Периметр кругового сектора равен l. Найдите величину цен- трального угла сектора, при котором его площадь будет наиболь- Шей. 45.[7] B треугольник со сторонами АБ = 4, BC : 2, AC : 3 вписана окружность. Найти площадь треугольника AMN, где М и N - точки касания этой окружности со сторонами АБ и AC соответ- ственно. 46.[7] На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диа- метре построена окружность. Она пересекает сторону АС в точке Р, а сторону АБ - в точке Q. Найти отношение площади треуголь- ника APQ к площади треугольника ABC, если B/A\C : а. 47.[7] На стороне AB треугольника ABC как на диаметре построе- на окружность, пересекающая стороны АС и БС в точках D и E соответственно. Прямая DE делит площадь треугольника АБС пополам и образует с прямой АБ угол 15°. Найти меры углов тре- угольника АБС. 48.[7] B остроугольном треугольнике АБС проведены высоты CH и АН1. Известно, что АС = 2, площадь круга, описанного около треугольника НБН1‚ равна 7т/3. Найти угол между высотой СН и стороной BC. 49.[7] Хорда АБ стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде АБ. При этом AD : 2, BD : 1, DC : Найти площадь треугольника АБС. 50.[6] Периметр треугольника АБС равен 2р. В него вписана окруж- ность. K окружности проведены касательные, отсекающие от тре- угольника АБС треугольники $1, $2 и $3. Найти сумму перимет- ров трех треугольников $1, S2 и S3.
§5. Задачи на построение. 105 §5. Задачи на построение. При решении задач на построение из этого параграфа следует пом- нить следующее. Обычно построение геометрических фигур проводит- ся с помощью циркуля и линейки. линейкой можно проводить только прямые (соединять две заданные точки). Циркулем можно откладывать длины отрезков в виде дуги (взять раствор циркуля, равный длине дан- ного отрезка). Общая схема решения задач на построение такова. о Анализ - считаем, что искомая фигура построена, рисуем ее, смот- рим и пытаемся придумать, как бы можно было ее построить. о Построение ~ после успешного проведения анализа указываем по- следовательность действий, дающих искомую фигуру. о Доказательство - иногда оно необходимо для обоснования того, что построено то, что требовалось. Хотя, как правило, из построения все бывает ясно. о Исследование - возможно, что по исходным данным или при неко- тором их сочетании существуют две или несколько фигур. Общая схема решения задач на построение выглядит громоздко, од- нако на практике достаточно провести анализ и построение. 1.[7] Дан отрезок длины 0��� С помощью циркуля и линейки постро- ить отрезок длины 1. 2.[7] Дан отрезок длины 7. С помощью циркуля и линейки построить отрезок длинь1 \/i 3.[3] Даны отрезки а, b. Построить отрезок а: : х/аЬ. 4.[6] Даны отрезки а, b, c, d. Построить отрезок а: : 4 abcd. 1995 5.[6] Даны отрезки а, b. Построить отрезок св : $553. 3 b3 6.[6] Дань! отрезки а, b. Построить отрезок а: = LL. а’ + b2 7. [6] Даны отрезок а. Построить отрезок :1: = а - y/H (n E N).
106 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ. 8.[6] Даны отрезок а. Построить отрезок 1: = а- ���� 9.[6] Даны отрезки а, Ь, с. Построить отрезок а: : V a.’ + b2 + C2. 10.[10] Даны два отрезка: длины 1 и длины а. С помощью циркуля и линейки построить отрезки длины: 2 а —— 9 4 а ———: 6 \/a3 — 4a’ + 3a. ) a3 + a — 2 ) 11. [3] Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной на гипотенузу. 12.[6] Внутри угла даны точки А и В. Построить равнобедренный треугольник, основание которого лежит на стороне угла, а боковые стороны проходят через точки А и В. 13. [6] Построить равносторонний треугольник, вершины которого ле- жат на. трех данных параллельных прямых. 14.[2] Построить треугольник по стороне, высоте, опущенной на эту сторону, и медиане другой стороны. 15.[2] Построить треугольник по периметру Р и двум углам а и ‚В. 6. 1 [3] Построить треугольник по двум сторонам и медиане, выходящей из общей вершины данных сторон. l7.[5] Построить треугольник по заданным отрезкам медианы, бис- сектрисы и высоты, проведенных из одной вершины. l8.[5] Построить треугольник по заданной стороне, противолезкащему ей углу и проведенной к ней высоте. 19.[5] Построить треугольник по двум углам и биссектрисе третьего угла. 20.[5] Построить треугольник по заданной стороне, противолежащему ей углу и проведенной к ней медиане. 21. [5] Построить треугольник по двум углам и: а) высоте, проведенной из третьего угла; б) медиане, проведенной из третьего угла. 22. [6] Построить треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из этих сторон.
§5. Задачи на построение. 107 23.[6] Построить треугольник по трем его медианам. 24.[6] Построить треугольник по следующим данным: а’) as ‚На �K�� ���� av bi Q; B) а» hbv mb; г) as ha: та? д) ha: ‚ИЛ ha; е) Ola ha: la? ж) P7 av ha; з) I87 71 та: и) а: аз г; к а, т, R; л) а, ha, b2 — c2; M) а, а, b : c; H а, ma, b : с. ) ) 25.[6] Построить треугольник по а) а, ‚В а+/ъ„; б) а, b:a, c—-ha; в) а, В, г. 26.[6] Построить треугольник ABC, если известна биссектриса BD И отрезки AD И DC, на которые она делит противоположную сто- рону. 27.[9] C помощью циркуля и линейки по трем данным отрезкам а, h, и т построить треугольник ABC со стороной BC : а, высотой ВН = h и медианой ВМ : т. 28.[9] C помощью циркуля и линейки по трем данным отрезкам а, h. и т построить треугольник ABC co стороной ВС : а, высотой ВН = h и медианой АМ = т. 29.[2] Построить окружность, касающуюся данной прямой l и прохо- дящую через две фиксированные точки А и В. 30.[3] Дана окружность C и точка А, лежащая вне круга, ограничен- ного окружностью С. Построить прямые, проходящие через точку А, касательные к окружности C. 31.[4] При помощи циркуля и линейки построить окружность, касаю- щуюся сторон данного угла и проходящую через заданную внутри него точку. 32.[4] Даны три точки. Построить окружности, попарно касающиеся в этих точках. 33.[4] При помощи циркуля и линейки построить окружность, прохо- дящую через две данные точки и отсекающую от данной окруж- ности хорду данной длины. 34.[6] Даны прямая и окружность. Построить окружность, касающу- юся данной окружности и прямой в данной точке.
108 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ. 35.[6] Дан угол в 19", построить угол в 1°. 36.[6] Провести общую внешнюю касательную к двум данным окруж- ностям (т.е. даны их центры и радиусы). 37.[б] Провести через точку В пересечения двух окружностей и пря- мую, высекающую из окружностей равные хорды. 38. [4] Найти геометрическое место центров равносторонних треуголь- ников, описанных около данного произвольного треугольника. 39.[6] По данной дуге окружности ”бегает” точка М. Хорда АВ - фиксирована. Какие кривые при этом пробегают в треугольнике AM B : точка пересечения биссектрис треугольника; б) точка пересече- ния высот; в) точка пересечения медиан треугольника? 40.[6] По окружности ”бегает” дуга данной длины CD, хорда АБ - задана, CD < AB. Найти геометрическое место точек пересечения прямых АС и ВВ. 41.[6] По сторонам прямого угла скользит отрезок заданной длинаы а. Какую кривую при этом описывает середина этого отрезка? 42.[6] По сторонам прямого угла скользит прямоугольный треуголь- ник. Найти геометрическое место вершин прямого угла этого тре- угольника. 43.[6] На сторонах угла даны два отрезка АВ и CD и точка М внутри угла. Найти геометрическое место точек N таких, что SAABN + SACND = SAABM + SACMD- 44.[6] Через точку А внутри окружности проводятся всевозможные хорды. Найти геометрическое место середин этих хорд. 45.[6] Дана прямая l и две точки А и В по одну сторону от нее. Найти на прямой l точку Х такую, что сумма расстояний АХ и ВХ минимальна. 46.[6] Внутри угла дана точка А. Найти такое положение точек Х и Y на сторонах угла, чтобы периметр треугольника AX Y был минимальным.
§5. Задачи на построение. 109 47. [6] B треугольнике найти точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна. 48.[6] Найти внутри угла точку, из которой данный отрезок АБ виден под наибольшим углом. 49.[6] Прямая l пересекает отрезок АБ в точке C. Найти на l такую точку М, чтобы АМС = БМС. 50. [6] Дана прямая l и две точки А и Б по одну сторону от нее. Найти на! такую точку Х, чтобы АХ составлял с l угол, вдвое больший, чем с BX. 51.[10] Дан угол в 45° с вершиной О и треугольник АБС, в котором АБ = 6, AC = 3. Вершины А и Б треугольника скользят по сто- ронам угла так, что токи О и C находятся относительно прямой АБ : /\ а) по разные стороны, причем АСБ = 135°; б) по одну сторону, причем АСБ : 45°. Какое множество точек пробегает при этом вершина С? 52.[11] На плоскости дан угол в 60° c вершиной А. Рассматриваются такие треугольники ABC, что вершины Б, C лежат на. сторонах угла и 4 5 БС g 9. Указать геометрическое место центров окруж- ностей, описанных около треугольников ABC. 53. [4] Даны три точки А,Б и C, не лежащие на одной прямой. Про- вести с помощью циркуля и линейки прямую, пересекающую от- резок AC B точке X, а отрезок BC - В точке Y таким образом, что АХ = X Y : YB. 54.[4] Дан треугольник ABC со сторонами АБ = 5, БС = б, АС : 7. Построить с помощью циркуля и линейки точку A1 на стороне BC, точку B1 на стороне АС и точку C1 на стороне АБ так, чтобы треугольник A1B1C1 был равносторонним. 55.[4] ‚Пан равносторонний треугольник АБС со стороной 1. Через вершину А с помощью циркуля и линейки провести такую прямую, что сумма расстояний от точек Б и С до этой прямой равна �|A� 56.[6] Через вершину выпуклого четырехугольника провести прямую, которая делит его площадь пополам.
110 Задачи устного экзамена. ГЕОМЕТРИЯ. 57.[6] B данный треугольник вписать прямоугольник с наименьшей диагональю (одна сторона прямоугольника лежит на основании треугольника). 58.[6] Через точку А внутри угла провести прямую так, чтобы отре- зок, заключенный между сторонами, делился точкой А пополам. 59.[6] Даны три параллельные прямые 11,12, и 13. Построить квадрат, три вершины которого лежат на этих прямых. 60. [6] Через точку А внутри угла провести прямую, отсекающую от угла треугольник минимального периметра. 61. [б] Построить квадрат по четырем точкам, лежащим на его сторо- нах (на каждой стороне лежит одна точка).
Ответы к §1. Действительные числа. 111 Ответы к §1. Действительные 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 26. 28. 29. 32. 35. 37. 38. ЧИСЛЕ. п.1.1. Целые числа. Делимость. . а) 24; б) 12; в) 9; г) 11; д) 22 - 32; е) 25 - 52. . а) 144; б) 175; в) 23 - 33. . п : 9k, k E Z. . n = 33k,k E Z. а) О; б) 2. 8. 1. а) 2; 6)1 2. 5. Нет, не делится. n=6k+1,n=6k+2,kEZ. р: 3. Да, если одно из них - число 2. п: 1. а) n:3k+2,kEZ; 6)n:3k,n=3k+1,kEZ. На 13. n=3k; n:3k+2, kEZ. 39 40 46 48 55 .n=5k+1, kEZ. .-4; 0; 2; 6. .n=5k+2, k:0,1.2.... .—1;0. ‚Да. п.1 .2. Рациональные и иррациональные числа. 1. 2. 4. 5. 8. 12. 13. 14. 15. 16. 18. 20. 22. 23 24. а) Не может; б) может. ‚Па. Рационально, если b = от”, иначе - иррационально. Нет. а) нет; б) нет; в) нет. 9. Все знаки - девятки. а. = О, 99, например. а)а‚:83,7; 6)a=2. a)—9; 6):/S; 3);; r)41% +41%. 1. = -2, q = -2. a) нет; б) да. . (0;0). (д. п.1.3. Сравнение чисел.
112 Задачи устного экзамена. 2. a) второе число; б) второе чис- 20. Первое число больше. ”°’ 21. 3“°° > 430°. 4. fi+ ‘/10 < x/§+ «19. 22 350., < 440., 5. \°/38 +171/5 < \/9 + 4‘/5 + 23. 230° < 32°“. 11 1/6 1/5 1000. 24. ��I� > `fT� . _ ,/ _ 6 12 COS 2 + 4cos 1 + 3 2 cos 1 > 25‘ Первое Число‘ 2‘ 26. 2*/5 < з”. 7‘ з‘ 60 > 2 + `VB� 27. а) первое число; б) первое; в) 8_ 1Og310+ 41g3 > 4_ 1I)epBoe; r) первое; д) первое; е первое. 9. sin 2 - cos 3 - sin 5 > 0. 28‘ а) Первое; б) Второе. 10. a) отрицательно; 6) положи- 20., тельно; в) отрицательно. 29’ л < 1`006` 11. ctg100° < cos275° < sin 10° < 3°'1°g2 " +1°g" 2 > 2‘ tg190°. 31. 19901991 > 19911990. 12. Is: : 5. 32. а) первое число больше; б) второе число больше; 13- а) Первое ЧИСЛО? б) первое? в) второе число больше; В) Второе? г) 3T°P°e- г) второе число больше. 14- д C05 3 < О; б) S1111 > Sill 10; 33. Выражение смысла не имеет. в) tgl > arctgl. 34. а) 1052 3 > 1og3 2; 1 5 6) log 7 > log 2' 15. Ё t — t —. 4 1/3 * 4 <‘“°g4+‘“°g3 B) log25>1og35. 2 35. 1 119 1 22 . 16. Sin: < \[:<tgg_ og11 < 0515 7 7 7 36. a) второе; б) второе. 17` 1g(arCtg2) > 0’ 37. a) первое число больше; 18_ tg55o > 1_4_ 6) первое число больше; в) второе Число больше; 19. sin 31° < tg30°. I‘) первое число больше.
Ответы к §2. Квадратный трехчлен и его свойства. Теорема Виета.113 38. 39. 40. 41. 42. а.) имеет; б) не имеет. log3 7 > log-, 27. loglsg 1323 > log53147. log” 12 > log” 13. б а) lgll < logg 10 < -5; log34-log36-...-log380 21og35-10g37-...-log379 > 1. Ответы к §2. Квадратный трехчлен и его свойства. Теорема Виета. 1.p2—4q_-:0. 11. 13. 14. 18. Фосфиды: .a;4—16:1:2+4:0. .(—oc;0]. b<0. .zHanM:1npn a::0,y=—1. .b<0. 10. a > 0. с > О. Прямая q : —ap — 0.2. р: —2»q : _1' а = 7/6. 1 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 32. 33. 34. 35. 37. 38. 39. 40. k : 2,/c: —%. -27; 8. $2 —(p2-2q-p3+3pq)1'- (pg - 2q)(p" — 3194) = 0- a.31:2 + (b3 — 3a.bc) -:1: + C3 = 0. а) -1220/81; 6) ~196/27. щ :5,а:2:7или ш; : —5,:1:2 = -7. —p(p2+3q) при р2+4ч 2 0- (p2+2q)2~2q2 при p2+4q 2 0- 1/2; 1. р2—2‹1 ; 31%: —p3; If’ - 41224 + 242- 4 д; :1:y=a2:i: а: . а.>0‚Ь<0‚с>0. а.<—2. (-2-\/Г;-2+\/П). а е (16/17; 2). (-16/7; -1). (1;+oo). 3.
114 Ответы к §3. Тригонометрические задачи. 2\/5 3 . .31. . V/T6. 3.12/37 4.-12/13 2„/54-2 зх/5 ' _12+5v§ 26 ' 2x/§+2 зх/5 ' 10. —— 11. 12. 13. 47г -10. 14. 13 — 47г. 15. Знак "минус”. 16. sin 1980”. Задачи устного экзамена. 17. sin 2. 18 п <arcsi 1 2 .4 n§+arccos3. 20.1/8. 27 2.——. 511 2в.„/5. 3 И 1 .——-— ли———-. х/74-2 м/74-2 28. а : 21rn,;6 = 27rk, a+fi=27rm; m,n,kEZ. 27 29. 12. Ответы к §4. Логарифмические и показательные задачи. 1.EcIm0<a<1,To0<z<1; ec.rma>1,'roa:>1. 2. 0. 3. 5. 4. О. abc 6.—————% ab+bc+ac 1175 0,0750; 0npna:b:c=0. при а #0, 7. —1~3a.. 2 (1-2.
Ответы к §5. Решение уравнений и неравенств. 110 1 9. 1 —?——————. 11. Н ' ——; + (a — 2)(b - 1) ет решен” “р”: < 4 1 a.+1_6 2—a. “”=‘§“P““="2;* (м) 2a ‚ )3_3а Ш:—1:{:\/1+_4а. _в та. + п — па. 2 ’ нам-ш‘ „р„_%<„<3; ll. n = 14. 3 1 $:—'2—, $:§I'IpPIU.:Z; Ш _ -121: x/1+ 40. _ ТЖ ‚ Ответы к §5. Решение 1: : L '40-3 при а, > �9y� уравнений и неравенств. 2 4 1 12. 1:2`/5;1:Ь\/3. n.5.1. Рациональные уравнения и неравенства. 13- ('00? +00)- 4. Н '. 1‘ _3;_1;1;3;5‘ 1 ет решении 2 — 1 :1: 2 2 — 1 2 Г „м 15. [__.„Г[„__ . ‚ 2 . Г 16. 1:i: 19. 3. (О; � x� 17. 1/2; 2. 4. —1;2. 5Д 18.—4;Ь\/—3+\/Й. . ва. 7 1 6. Два. 19‘ Е’ —§' 7. Два" 20. Нет решений. з. (~1-0) u (1-+00). 21‘ (‘°°‘+°°)' 22. (—oo;+oo). 9. (нос; О) U (О; +00). 3 2 10.a:=0npna=0; 23' 1 а е г=;‚т=- arIpHa¢0~ 24.2i:\/5.
116 Задачи устного экзамена. 25. -1. `�,� 1: : �J5� 26.—1j:\/7. 9.532310. 27 5i‘/17_—1:{:\/29 10-2- 2 2 11. з. 28. Если а E [0:2), ТО решений /- нст. 12. 1+ 29. иначе 1: : а :Ь \/0.2 — 20.. 2 2ЭТ>З—4ЦПИЦЕ(О`Ё)' 13.3. " 9_4„ р ’4’ 14.2. 1I<3—4a1IpY!U.E(—OO;0)U 15 [3-4] 9 9-40. ' ’ —: ; — 2 V 2 — 4 (4 +00) 9 16.Приа50 ш=_1 +2“ а‘; z—mo6oenpna:E. a__2i,/a2_4a приа 2 4 ш = ———é——-——~—; 1 1 ' . 30. z E (-7-; О) U (т; +00) Иначе решении нет а ‚——— при и > О; 17_ Если а Z О, то д; : Щ, Щ E (-00; О) при а’ < О; иначе решений нет. 2 нет решений при а = 0. 18. При а < —1/4 решений нет; 31.ag0. Hp“_1/43030 11.5.2. Иррациональные Ш : 13: \/1+ 4“; уравнения и неравенства. 2 1+ x/1+ 4 1. 5/3:5/4. “p“0<“<”: 2 а‘ __ 1+ \/1+ 4а 1 1 npna21ar:..——j—————nnn 2. -——;0 U 0;— . 2 2\/5 3 —1-\/4(1—3 гс : ——-———:. 3. (1;эс). 2 19. Указание: свести задачу к пре- 4. [3; 00). дыдущей_ 6 >6 20.Hpna2\/§z=———————2+a; _ 1;{:\/9-40. 7. Нет решений. пр“ а S ‘л ш : т‘?
Ответы к §5. Решение уравнений и неравенств. 117 иначе Ш Z 2 1- Мёд 2 21. а 3 —3/4. 22. а. E (—оо; —2]U{\/§}U[2; +00). 23. Если а < 0. то ш : О; ecIm03a<1,To:c30; если а 2 1, то ш- любое. 24. Если а 2 1, то ш 3 -1; если а E [0;1], то а; 3 —1 или >н2 Ш’\/1—а2 если а 3 -1, ТО а: 21; если а. E (—1;0), ТО а: 21 или \/1—и‚2' 1:3- 25. Если а < —1. то решений нет; если а > х/ё, то p�h� 3 1; ecnnae [—1;1] v2—a.2—a ТОШ E �Ub� , иначе :1: E -1: 4 (—а+\/2—а.2 J илишЕ ——т—-——;1 . 26. Если а, 3 1. то решений нет, иначе 4 3:30.. 2 2 +1 27. а: : (а 2“ ) при 0<a.<1; ~l + \/9+ 4a ее или —а—\/2—а.2 а+2+\/а.2+4а‚—4 < нет решений при а 3 О и а. 2 1. п.5.3. Тригонометрические уравнения и неравенства. n7E15k+l5: m;é17l+8. 1 7r —— n__ I г. 3. 1) Warcsm 18 +71} U {(—1)"%arcsin%-kn}, n EZ. 4. {факсов ё + 27rk:}./c E Z. 7r 7r/c 7r . — — — k-k . 5:i:12+2,:i:6+7r, EZ 6. g-4-7rlc, arcctg(—\/§i2)+7rk: ICEZ. 7.{g+7rk}.k:EZ. k 8.{g+:r§-},k€Z. 71' 9.{Z+7r/c},/CEZ. 7rk 7r 7rk 10.{—2——}U{§+T},lcEZ. 7r 7rk 7r 27rk ”~ 5+? U г“? ~ kEZ.
118 Задачи устного экзамена. k 12. ;t:3%r+7rlc,k:EZ. 31-"+47'k- т ЛИНЗ) 32. {27rk}U{g+7rk},keZ. 13. T§—T~. ’l’L,kEZ. 7r И 4_ 33. {27rk}U{§+27rk},kEZ. 15. Нет. 34. {7r + 27rk} u ъ; + 27rk}, _16.{g+7rk}, kez. "63- 7r 17. Нет решений. 35’ {zwk} U �Il� + 27rk} ’ k E Z" 7r 7r 7r 18.{Z+§k}.keZ. 36.x:Z§+27m, :1:_7r+27rn, 19. Решений нет. п E ‘W 7r 37.1::—~+27m, 2 . — k . 2 0{2+7r}’kEZ z:7r+27rn, nEZ. 21. `�f� + wk} , к е Z. 33. Нет решений. ‚г п _ 1 39. Нет решений. 22. —Z + (-1) arcsm X7: + 7m, 2 40. Нет решений. п E Z; -37-:tarccos -—1—+27r/c,k E Z. 41- Нет решений‘ 4 2/5 42. ��c� E [27rk, 7r + 27rk], 23.7rn, n:4k+1,kEZ. k:0,1‘2_H_ 24°‘ 43.{§+g/3}, keZ. 25. Нет решений. 26.0. 44. <:Г%Ёд;—7г1с] U 27. Нет решений. [Wig 7'(2k2+ 1)) ;k E Z. 28.0. 45. 7rk,k E Z; 5. 29. {7rk},k: E Z. (sk +1) 46.0. 7T . 30. {Тиши}. 47.0.
Ответы к §5. Решение уравнений И неравенств. 48. 49. 50. 51. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62 63. 0. Нет решений. {:+27rk}, keZ. 4 [1;+°°)- 27r_ 7г_ 27r(3n:F1)_ 7“ ); n,keN 3 а: : —1, а: : ——2 а: :1 J: = 4. Нет решений. Нет решений. %+27%, kez. 7r (27%; 5 + 27%) ,k E Z. (~00; +00). [— arccos ф + 27%; arccos ф + 27%] U [arccos lffé + 27rk; 27" + 27rlc] U [955 + 27%; 27г — arccos 1—“f§ + 27rk] , k: E Z. (—00;+00). . {7r/4}. (ЗА; г“: +1)),k e Z. 119 64. [27%; 7г + 27%], /с E Z. 65. а: - любое. 66. [—2;—1]U[1;2]. 67. 7r+ 27%, lc E Z. 68. [0; 1/2]. 69. а: - любое. 70. а: ~ любое. 71. :1: - любое. 72. а: - любое. 73. ���� + 27%; 27r(k_+ 1)) ‚к E z. 74. [а Е] . 2 75. [1;+оо). 76. При иррациональном а. 77.a.:4k—1,kEZ. 78.a:4lc—1,l<:EZ. 79.a:4k+1,kEZ. 80.0.-.:4k—1,kEZ. 81. При иррациональных. п.5.4. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. 1. (О; +00). 2. 100.
120 Задачи устного экзамена. 3. 1, —2‚ ~—1og3 4. 25. 2. 4. 3, — logs 2. 26. 2. 5. О, 1. 27.1;11. 6. 1, 4. 28. 41. 7. 2. 29. 4. 8. 2 —1032 3. 30. 4. k . . 9.{%—},kEZ. 31° 32. -1; О. 10. 2. 33. 1. 11. Н т ре ений. е Ш 34. [2—\/Ё; 3—\/5]ы[2+х/Ё; 3+\/5]. 12. -2, 2. к 35. (-00; -4) U [1;+oo). 13. Z + 21rk, k: E Z. 36- (2, 6). 14. 1/10: 2; 1000. 37_ (1;2) U (3;+oo)_ 15- Sin1- 33.[ —\/2;1]U[2+\/2;4]. 16- а) C0531/K 39. (0;3/2)U{6}. 6) arctg3 + 7m, n:0;j:1;:{:2;.... 40- (2;3)U(4;+oo). 17. 2. 41- (2;+oo)~ 18.1. 42. [§+7r1c;%'.+7rk) \ �*� 19. 2. k E Z- 7r 7r 20.1. 43. Ь + 27rl<:; 5 + тыс) ,l<: e Z. 21. Нет решений. 7r 44. }$]>11»11:;£—/c, kEZ. 22. Нет решений. 2 23_ 2_ 45. (27rn; 2 + 27гп) , п E Z. 24. ;{:1og3/2 2. 46. 1/5§:z:< 1.
Ответы к §5. Решение уравнений и неравенств. 47.1<zg7. 48. (-4; -3) U (8; +00). 49. -3 . [д з] 50. 2. 51. -1. 52. Одно решение при О < а < 1; нет решений при а > 1 и а 5 О. 53.а‚<0илиа:4. 54. Если cosa = -1, TO а: = 2; если cosa : 1, то 1: : 1/2; иначе 0 < а: < 1. 55. а.) при всех а Е (—оо; О]; 6) при всех а Е (О; +00). 56. (-1; —\/1 — a)U(\/1- a; 1) при а. Е (О; 1); НЕТ РЕШЕНИЙ при ОСТЭЛЬНЫХ 0.. G951; 1 u7.a::—2—npna.>0, a нет решений при остальных а. 58. а: Е (1;a) при а > 1; а: Е (а; 1) при а. Е (0; 1). «5-1 2 . n.5.5. Решение уравнений и неравенств в целых числах. 60. (О; arcsin 61. Три. 1. а.) да; б) нет; в) да. 121 2. Нет решений. 3. Нет решений. lcEZ. эд- .(6+ 7k;—9+11k), .(1+5k,1+3k), ВЕЗ. .p:2,q=5. ( ) 5) ( 3;—5), (т), (—7;—9). ;2)» (-5;-3)» (-1;-3): (1:2)- ( О ( 15. ( - ( 16. ( 17. a.) (2; 1), 18. (2;2). 19. (от), (—1;0). б) (1;1)» (2;3)- 20. Нет решений. `�G� �D#� (4;'3)з (`4Ё1)7 (`4;‘3)‘ 22. (1;2), (2;1). �:� �H;� ('3;2)7 (3;‘2); ('3;'2)' 24. Нет решений.
Задачи устного экзамена. 3. (2;2;2). 4. (-1;—1;-1). 5. (3;5), (-3;-5), (36; -23/2), (-36; 23/2). 7. (—3;—2), (-2; -3), (3;2), (2;3). 8. (1;2;3), (—1;—2;-3). 9. (1/2;1/2),(-1;-1/4). 10. 4 решения. 11. (2; 1). 35- (9;0)» (0;9), (1:4), (4;1)~ 35- (6;1;0)»(6;-1;0),(0;1;0), (0;-1;0)- 27. (1;0;1), (-1;0;1), (1;0;5), (-1;0;5). 28- (1;5;0)» (1;—5;0)a (-1;5;0), (-1;-5;0). 29. (1;4;3), (1;4;_3), (-1;4;3), (-1;4;-3). 30. (2; 1; 1), (1; 1; 2). 31. (2;2;1), (1;2;2), (2;1;2). 32. (1;1;3), (1;3;1). 33- (1;2;3): (1;3;2)» (2;1;3)a (2;3;1), ( 10/)1 5 7 1 . 2 )) v - cal 5 30.» х) ход (м 1_9 Bx \|./ 1n ..$ \I.l \I/ (к 0 1 а _ ), „ы „д ( з, �O� ) ‚32 пи Iv хм Их Q. 1_9 1 _ а а 2 у з _ „щ U U _ Ы Ш ;5 _ ‚а 4: a а 1 2 (Р В О (.\ Q Ю /\ 3. 4 5. 6. 7 oo 9. 1 1 1 1 1 1 1 342 2 e 2 y5)u L.» T (I—|\0 _ С 71 /|\ и 1)). .‚ С 732 7 \I/ . u а е )4 а“ 37 „Ш . /‘\ 7/l\\IN е :0 .1): Ш 0,341 Ю2 е (5 .513 110% \../ Р .$\1 .l.\ 1 6/K (.7/K V) .7 ‘L 7 ч; ) ч; хгпхп/х/хппохп/Ш/О ) тих „З 352a01..2a31..a 0 a K 1/ mww.,a\m,u,U(( 0 0 U ы х) э 3 ).Um,H\0a,x...w Ю Ю U ш 6 7. & B 3 3 3 T 122 уравнений и неравенств. 20. (О; О). 1. (0;1), (1;0). 21. (—1/4; —9/14)‚ (5/4;—3/4). 2. (ДО), (2; -1). 22. (2; 2). r
Ответы к §6. Решение систем уравнений и неравенств. 23. а: 1/2, b:3/2. 24. a¢ -4/3, b— любое. 25.a¢:{:1. 26.p=9/4. 27. Еслиа22+х/Ёилиа52— x/5, a—2iva2—4a—4 "ro:c=:————-—2——~—%n y=a:v—1; при оста‚льнь1х а решений НеТ. 28. Если а : 1, то (t; 1 —- г), t€ R; если а = —1, то решений нет; если а 79 3:1, то (11235111 __ a ���� a+1 11+]. ’ 29. Ia! g 3/2. 30. [bl g 2. la|==\/§- a = —1/2. 31. 32. 2ас_ 2ас 2 _ 2 c—a’c+a ’ c—a’c+a ’ 2a 2с 2с (га. . 1—ac’1+ac ’ ac-—1’ac+1 ' 34. а; 2 la]. 33. 2 36. Нет, если la] < Т или la! > 1; четыре, если [а] = Т или 123 lal = 1; 2 восемь, если T < [Щ < 1. 37. а = 4:1, a = ы/х/Б. 38. k ф -2. 39. [1/2;3/2]. 40. ( +gk,1),k€Z. 41 N13 “>13 .( +2nk,1),kezmm (—g + 27¢, -1) ,k e z. 42. (—2,7rk), k E Z или (2‚%+7г1с) ,k e z. 43. Решений нет. 44. ( 45. (1;1;0). 46. ( 47. (
124 Ответы к §7. Доказательства неравенств и тождеств. 26. Данное неравенство обраща- ется в равенство только в слу- чае a = b : с. 27.a:b:c::d. 43. 3.. х/Ё 52. Первое число больше. 53. Если а; = у, то числа равны, иначе первое число больше. Ответы к §8. Задачи на арифметические и геометрические прогрессии. 1. О. 5. п:3,4,5‚б,7,8. б. Да, например, и; : 29,9 : 3/2. 8. Нет. Ответы к §9. Функции и их графики. 1.11: 210%, :1: :101+2", k20,n>0, k,nEZ. 2. (27r'n., +27r'n.) U <:2r-+27rn;3T7r+27rn),nEZ. Сад S” O0-\IC> 12 13 14 15. 16. 17. 18. 19. 20. 24. 25. 26. 27. 30. Задачи устного экзамена. ‚а: E {—2;0;2}. ‚а: =sin1. 1r :z:=—+1rn, n€Z. 4 ‚а: : 7гп, п е z. .[2/3; 2]. ‚ю; 1/2]. -[1;fl]- —1;0)U[1;+o0)- -o0;1/3]- [ ( [вникает .(—оо;—2]. . (О; 1). Нечетная функция. Нечетная функция. Четная функция. 27r. 27r. 7Г. Непериодическая. Непериодическая. Является. 7" 2 a.) 21r; 6) E; в) 1; г) 7r; д) 21r\/7_r. Периодическая с периодом 27г.
Ответы к §12. Задачи последних лет. 125 32. a)ym;,, : 4, ушах : +00; Ответы к §12. Задачи 6)ym;,, : О, ушах = 1; последних лет. 3):‘/min : д Sin 19 ушах = Sin 1; F)!/min : 1: ушах : ��E� 33 3 п.12.1. Факультет ВМиК ` ' МГУ 34. щ/ё. (1997 - 1999 гг.) 35. 8. 3. (2,10); (10,10). 36.2. 4.11 : 3; 7. 68. в ш четверти. 5. 1820 > 63"’. 69- а) В IV ЧЕТВЕРТИ; б. Первое число меньше. б) в 1 четверти. 7. Первое число больше. 70. 4a. _ 9.(2+\/§;2—\/3): 71. m1n(—1;—2a). ( __ Л; 2+ @�S� 72.y:0;y=—;:c; y:4a:c. 10-1. 3 11. `hV� Ответы к §11. Многочлены. 12 (До), (Од) _ 13. = 1. afi. a 14. = 5 2.:c4—~10:c2+1:0. а 15.1 3. (:c+2)-(:c+6)-(:c+4+\/6)- (q;+4—\/6)_ 4.(:L2——x/§:v+1)-(:L2+x/§:c+1). a+c a—c 2 ‚ 17- 3/min д: 2 "' 2 + b" 5. (:r2 — 21+ 1)({L‘2+I.C-I-1). 6. (a2—2ab+2b2)-(a2+2ab+2b2). ушах = 5'-¥;~C+ C‘ ; с) + b3. 8. 1. 1 18. у = 2:1) — L
126 Задачи устного экзамена. 7гп 19. Не существует. 2. а; : T, n е Z,n ф 4k, 20. E. U‘ E Z)‘ 7r 21.1. 3.:c:Z(2n+1)—2,nEZ. 2 4. а: = 55. 23. Искомое множество - плоскость 1 1 с выколотыми точками 5_ д, E (__, О) U (0 p�!� 7r 7r = (:c.y):<§+7rn,~2-+7rm), Л \/5 1L,mE Z. 5_ д; E (-2, 0) U (2, +oo)_ 26. 7. 7. а: E {-1} U [0, +00). 9* — 1 28. к; ,k:0.1,2,.... Л 8- -"'41. 29. а > b. 3 9. —. 30. Имеет. 5 u 15 33. Решении нет. 10. —fi. 7r 34' Z + 27rk’ k E Z‘ 15. Множество образовано пря- мой у = О и 35_ а E [_1: 1 + ���� полупрямыми ��� = 27rn, n E 2 Z; y > 0} 2 n{:c:7r+27rn,nEZ;y< 36.1ninf(1:) : 1- W3, Щ‘ Шах Дж) Z 1 + 0��� 16. I1:/II)1::I):::TBo состоит из полу- _ {:с:7гп‚пЕ2;у20} 37‘ Ш E Ю‘ 1]‘ И частей синусоиды п.12.2. Геологический факультет МГУ (1997 - 1999 1. гг.) :I;:::1:1/—§+7rk, k:1,2,... 17. 18. 19. 1 . . 5511123, у 5 s1n {y 2 —-—§7r~+27rn, пе Z. 27r'n.,n€Z;1+27rk,kEZ. (1+\/1+7rn)2, 'n.=0,1,2,...
Ответы. 127 20. При а = 1 а; = 0; Ответы к §1. Задачи, при а = -1 а; = 1; связанные с треугольниками. при других значениях а ре- шений нет. 7. Треугольник тупоугольный. 21. 0. 8. а) треугольник тупоугольный; 22‘ а’ E [03 4]‘ 6) треугольник тупоугольный. 23. [3'%; 1) u[9; +55). 9. Нет. 24. (о; 5%] U(1; 5]. 1°‘ Em" 11. C . 28. 17964. ymecTByeT 14. a.rccos(4/5). 16. He может. n.12.3. Механико-математический факультет МГУ (1998 - 1999 19. 30°, 60° И 90°. 20.12 или 24. гг.) А 1 1 21. А = Е — ——- , 1. 30. 4 з; arccos <4 + �'�� 2 ^ 7r 1 1 ——. В = — — ——- . 3 3 4:}:а.гссоз(4+`/ё> 4. 188. 22- 2P1P2 " P2; 2P1P2 - P1: 5. 2. pl + P2 — ‘/Zplpg. 6. a E (0; 1) U (1; +00). 23_ 30°_ 8‘ Ё: 33. 3,5,7; 4,5,6; 5,5,5. 2 _ Zub cos 5% 35. 1.. а + b 36. 2 > q. 40. 41. мы Р‘ | юл:
128 Задачи устного экзамена. 42_ ]a;'6l_ 53.§:%;{:a.rccos (2cos%); п „ 43.|а—Ш. г5а<т 45.90”. 54_д=7';°‘+ 46. ��� arccos P{�� sinoz ~— cos o:)_ 2 _ о _ 2 ’ 47.AC=V_-§s11148, ,),:7"2O‘__ BC Z _‘/2__3_ Sin 720’ агссоз �q�� sin a — cos oz)‘ 2 7 2 Sin48o_ x/§(\/5——1)+\/10+2x/5 0<ag2a.rctg;r-. _ .._.———_——.—...__..8 ‚ 1 _ о 10 + 2‘/5 55. _ 511172 : ���� pq ,,\ 56. 15 и 12. 48. QPR : 230°. A 57. BAC = 30°. 49. AC : 10. ‚х а 58. AKC : 30°. /\ 7r —- 503: ‘Г 23-6 2B+C arccos(2sina — cosa)_ 59- C05 2 -зес 2 . 2 7 д _ vr - a _ 60. \/13,2\/E, 3\/5-). Й 2 arc(:os(2si11a -— cos a) _ 51- 2‘/f. ,, 2 62. «/f. — < a < 2a.rcsin——. 4’ ‘ \/5 64.k<0,k>2. 51, Ё : W ‘ a +arccos (2 sin Ё); бб- ЗЛ- ^ 7r — а а ‘1 —— __ ‘ _ - . 2. C _ arccos (25111 2) , 67 а + b\/— U < oz 5 7r/3. 68. а : \/b2 + bc. их а arccos(sin a + cos а) 52° A1-3 : 5 _""—‘"§——“5 70. Равнобедренный треугольник. 7r '2' Ё 0‘ < 7" 74. Равнобедренный треугольник.
Ответы. 129 75. 4. 1. 10. 11. 12. 13. 14. 16. 17. 18. 19. 24. Ответы к §2. Задачи, связанные с четырехугольниками. Ромб, когда диагонали исход- ного четырехугольника пер- пендикулярны. Квадрат, ког- да они вдобавок равны. 7r 27r . 3, 3 . . Периметр квадрата. 9/5 11 ' . MK : 4, 8. AC = x/E5. Нет. Нет. Диагонали трапеции делят друг друга в отношении оснований. 1570 > ОТВ. Меньшее основание. о: = a.rcsin(2/7r). a — b 2 . Zab ' a + b. X: 13: 60°,§: д=12о°. 25. KM:4. dz p��� (о, д. 27. а) Угол между биссектриса- ми двух соседних углов равен полусумме этих углов; б) Угол между биссектриса- МИ ДВУХ ПРОТИВОПОПОЖНЫХ уГ- лов равен полуразности двух других углов; в) Пары вертикальных углов, заключенных между биссек- трисами углов, образуемых про- должениями противоположных сторон, равны полусуммам про- тивоположных углов четырех- угольника. 28. Четырехугольник, у которо- го диагонали перпендикуляр- ны друг другу. 29. 90°. 30. 1. 31. Точка пересечения диагона- лей. Ответы к §3. Задачи, связанные с окружностью. 2 2; т". n—m 3. p = 2(т+ 212). 4.5.
130 Задачи устного экзамена. 5'Т=2‘/3“3° Ё=%(2+и)=90°+%д—%7; б blb — а] где А, В, C’, D— углы четырех- ` 4д2 _ „г“ угольника; о о о а, ‚Н, 7- углы между диагона- 7‘ 36 тзб а 108 - лями и между противополож- 8. 1, 1,\/§;30°,30°, 120°. “Ы” °"°"°“‘°"“" cc, y,z,u— — стягиваемые сто- 9 3 /-10 ронами четырехугольника ду- - `��� ги. 1о‚щ:2.(900_}1`)„ 21.2:f=g+a_B,§=7r—AA, y:2-(90°—B), А 7r oz+B»~ ^ C = —— —— ,D = —— AC. z:2-(90°~C), 2 2 7' где А,В, C - УГЛЫ исходного `/_ треугольника, а. ш, у, z— иско- 23_ 7 _ 1 _ R_ мые углы. 2 11 Л 24. Необходимо и достаточно, что- ' ` бы этот параллелограмм был 12. Может. P°M6°M- 14. BD = x/E5. 25- Mb- 16. h.2ctg(o:/2). 26- 60°- 17. 1. 28. x/E5. 18. R = 2 30_ _fl.__§_ 19.:z;=o:+fi,y—o:—fi, ���� 90——fi—§7. 1 1 (y+z) = 9o°—§/a+§7, (:1;+z): Н R3lt—‘l\>|r-—= ъ-л 1 1“ -1 -, 9( +2/+27 1. Ответы к §4. Площади фигур. 1 а = —(r А: \/т2 — 4q), 2 1 b: §(r={I\/1'2 —4q), rneq=2S, т: -P—22-‘f,3§- _ P’—4s C— :--2}, . ё
Ответы. 131 2. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. $°9°.“.°‘ 72. аз sin 20: 8 c-tgo:-(rcoso:~—c) 2 (\/§~ 1) : 1. Да. 90°. Нет. ВО : OD = 4, БАСОВ I SABOC = 1 14- 2Л. Равенство выполняется в слу- чае, когда стороны, длины ко- торых заданы, являются ка- тетами равнобедренного пря- моугольного треугольника. 5=(\/Е+\/5Ё+ 5'3)2 Нет. 7/4. SAABC : \/11. т51:12 0:51:17 51:1(о: + 7) 451:12 о: 51:12 7 + sin2(o: —— 7) 1 т а — 7 2 (ctgo: + ctgy) . b 51112а+2Ь sin av т? — 122 51:12 . Может. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 31. 32. 33. 34. 36 37 а.) существует; б) не существует. 4/3. ААСО. ААВО. ил - 1)а2. 24. Больше на 275%, меньше на. 73%%. 30°, 150°. 4 Больше на ————%‚ 400 меньше на -П—%. 2\/т2 +122 j: 2mpcosa_ д 31:10: ’ 4mp sinof x/R. 1 83. \/Stgoz. a2 _ ——- 51:12о:. 2 . 150. Можно. Нельзя. PT+� .1:2.
132 Задачи устного экзамена. 39. §:13=90°. 41. 42. 6. 43. 18x/2. 44. 2 рад. 25 — 15. 64 45. 46. со52 а. 47. 45", 60°, 75°. 48. 30°. 3 2 49. SAABC : ���� 50. 2p. ИП Ne 00510 OT 01.12.99 Подписано в печать 25.12.2000 Формат 60><881/16 Печать офсетная Бумага газетная Печ. л. 8,25 Тираж 1000 экз. Заказ 7689 ООО “МАКС Пресс” 107066, г. Москва, Елоховский пр. д. 3, стр. 2 Тел. 939-38-90, 939-38-91, 928-10-42. Тет/факс 939-38-91 Отпечатано в Производственно-издательском комбинате ВИНИТИ, 140010, г. Люберцы, Московской обл.‚ Октябрьский пр-т, 403. Ten. 554-21-86