Text
Л. М. Эйдельс
•Wi
к.
.-у, 4’
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ
Л.М.Эйдельс
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
От пещерного рисунка до кинопанорамы
Книга для внеклассного чтения учащихся 8 —10 классов
Издание 2-е, исправленное и дополненное
ББК 22.151.3 ЭЗО
Рекомендовано Главным управлением школ МП СССР
Эйдельс Л. М.
ЭЗО Занимательные проекции: От пещерного рисунка до кинопанорамы. Книга для внеклассного чтения учащихся 8—10 кл.— 2-е изд., испр. и доп.— М.: Просвещение,
1982,—207 с„ ил.
В книге в популярной форме изложены элементарные основы науки о построении точных изображений — начертательной геометрии — и некоторые фрагменты из ее истории.
На занимательных примерах, взятых из окружающей жизни, рассмотрены законы построения чертежей, разверток, географических карт, теней, зеркальных отражений и панорамных кинофильмов.
Книга окажет учащимся существенную помощь в овладении графическими навыками.
„ 4306021300—796 о
Э ----------- — 225—82 ББК 22.151.3
103(03)—82 515
© Издательство «Просвещение», 1982 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение.., ........................................... ..... 5
Вести из мглы веков
Сокровище испанской пещеры........................... . 9
Урок Гайаваты............................................11
Могила Архимеда..........................................13
Языком линий ............................................ И
Увидеть — узнать ........................................16
Изображение строится................................... 17
Законы изображений Прокрустово ложе......................................... 19
Чертежи в старой России..................................20
<Ясное зрелище машин»....................................22
Рождение новой науки.....................................25
Где расположена лампочка................................,26
О чем говорит чертеж.....................................29
Что мы видим ............................................33
Модели-загадки ..........................................38
Коробка спичек ..........................................40
Рисунок становится чертежом Два слова по-гречески......................................43
Первый в России..........................................44
Наука и жизнь..........................................,46
Метод находит оправдание................................ , 48
Задачи на рисунке........................................53
От следствия к причине...................................55
Джинн выпущен из сосуда..................................61
Если лучи параллельны . ,................................64
Домик у дороги...........................................68
Утраченные свойства ................................... 78
От выкройки до карты
Семь раз отмерь — один раз отрежь.................... , 85
Задачи на развертке......................................86
Для техники и географии................................ 88
Лицо Земли Неудачное путешествие....................................... 91
Градусная сетка............................................. 92
Проекция Меркатора...........................................93
Как проецируется карта.......................................95
В погоне за точностью........................................99
Спираль у полюса......................................... . ЮГ
Кратчайшие пути..........................'...................Ю1
Траектория спутника Земли....................................Ю7
Тень — это проекция Следы световых лучей........................................ ПО
При центральном освещении...................................120
Как отражает зеркало По законам симметрии....................................... 125
С какой точки зрения ...................................... 127
На берегу реки..............................................129
Секрет анаморфоза...........................................132
Грамматика живописи Пойманная точка............................................... . 141
Болонский секрет . .........................................142
В поисках истины ......................................... 143
Перспектива с двумя фигурами................................145
На картинной плоскости......................................148
С помощью точки схода ......................................155
Метод архитекторов........................................ 158
На экране кино Световой хаос................................................163
Перспектива обманывает .....................................167
Экран растет в ширину ......................................169
Чудеса панорамы.............................................174
Эффект присутствия........................................ 178
Зона сслепоты»..............................................180
Экран-кольцо................................................183
По кривой траектории ...................................... 188
Узоры земного рельефа Рассеченный холм.............................................191
Как найти горизонтали.......................................195
Ответы и решения ...... .........................................199
Рекомендуемая литература . ... ............. 207
ВВЕДЕНИЕ
Что общего между чертежом и географической картой, зеркальным отражением и тенью, картиной художника и кадром кинофильма?
Ответы на такие вопросы дать нелегко. Но это не загадки-шутки. Прочитав книгу, читатель получит представление о том, что связывает эти примеры.
Здесь рассказывается о природе различных изображений и раскрываются геометрические основы их правильного построения. Такой основой является метод проекций.
Но разве мы встречаемся с проекциями только на листах чертежей? Нет, это не так. Знакомясь с книгой, вы убедитесь, что законам проекций подчинено множество изображений, с различными формами которых мы сталкиваемся на каждом шагу, хотя порой и не замечаем этого.
Здесь нет практических советов о том, как научиться рисовать, выполнять сложные чертежи, фотографировать. Ответы на эти вопросы нужно искать в других книгах.
Нам хотелось доходчиво и наглядно изложить основы интересной, хотя порой и трудной науки, которую называют начертательной геометрией. С элементами этой науки учащиеся средней школы встречаются в курсе черчения. Значительно полнее и глубже изучают 'ее студенты технических учебных заведений. И те и другие нередко склонны преувеличивать трудности, связанные с изучением этого предмета, и не всегда правильно представляют себе его значение в практической деятельности человека.
Задача, стоящая перед нами, нелегка. Рассказать о принципах, положенных в основу теории изображений, так, чтобы это было интересно, занимательно и доступно, очень трудно. Но чем труднее задача, тем интереснее ее решать.
Каждая научная отрасль в какой-то степени напоминает в своем развитии течение реки. Чем дальше от истоков, тем
полноводнее становится течение, тем шире разливается река, неся свои воды к морю. Истоки большинства наук, изучаемых в средней школе, затерялись в седой древности. И число наук, и содержание каждой из них росли постепенно, с ходом веков. Своим развитием, накоплением положительных знаний они обязаны пытливому уму человека, который всегда стремился познать великие тайны природы, чтобы заставить их служить себе. Недаром природу называют первым учителем человека. Но природа — строгий и своеобразный учитель. Она только ставит задачи, не давая ответов и не указывая путей к решению. Поэтому каждый шаг на пути, познания окружающего мира давался и дается людям нелегко, требуя огромных усилий, упорного труда, долгого времени. И чем глубже и полнее становились наши знания о природе, тем больше новых, требующих разрешения вопросов вставало перед человеком.
— Но причем тут метод проекций? — спросит читатель. — Какие тайны природы понадобилось раскрыть человеку, чтобы научиться чертить или рисовать? Разве сама природа создает какие-либо изображения, основанные на методе проекций, в секрет которых можно было бы проникнуть? Разве мастерство художника не является результатом его личного труда и таланта, а создание фотографии завоеванием оптики и химии?
Попробуйте спросить себя: когда и для чего человек начал прибегать к помощи изображений? Отыскивая ответ, нам придется заглянуть в глубь веков, в доисторическую эпоху, сойти с проторенной тропы достоверных фактов и ступить на зыбкую почву предположений и догадок.
Вероятно, первым учителем рисования для человека была его собственная тень. Свет и тень — эти неразлучные спутники — натолкнули наших предков на мысль о том, что теневой силуэт может передать характерные признаки предмета и в какой-то степени заменить, обозначить собой оригинал. Великий ученый и художник эпохи Возрождения Леонардо да Винчи сказал по этому поводу вполне определенно: «Первая картина состояла из одной-единственной линии, которая окружала тень человека, отброшенную солнцем на стену».
Но может быть, такая мысль возникла тогда, когда человек задумался, рассматривая свое отражение в зеркале ручья или реки? Вряд ли удастся разрешить- до конца эту загадку.
Прошли тысячелетия. Новые поколения, получая готовый опыт предшествующих, умножали свои силы в борьбе с суровой природой. Развивался человеческий разум, появлялись новые потребности. Совершенствовалось мастерство художников древности.
Возникла потребность обобщить накопленный опыт, привести его в систему. Первые попытки установить основные законы построения изображений были сделаны в странах Древне-
в
го Востока, в Египте, в Греции. Но только гениальные мастера эпохи Возрождения смогли разработать теорию изображений — учение о перспективе. Знание законов перспективы им нужно было для того, чтобы правильно изображать окружающее на картинах. Стремясь найти правила построения перспективы, художники того времени придумали немало остроумных приборов и приспособлений, с помощью которых каждая точка изображаемого предмета связывалась невидимым лучом с определенной точкой картины. Они создали и камеру-обскуру, в которой изображение получалось без помощи человеческой руки, красок и кисти, в чудесной гармонии естественных цветов. Эти картины создавались в камере-обскуре лучами света.
Такие приспособления, облегчая труд художника, все же связывали его, сужали его возможности. Еще не было точного знания, были лишь поиски его. Секреты теории изображений раскрылись тогда, когда на помощь оптике пришла геометрия. Соединив свои усилия, обе науки помогли познать законы, по которым должно строиться изображение, создающее на плоскости наиболее полную иллюзию действительности.
Физика и геометрия стояли у колыбели новой науки. Ныне эта наука, начертательная геометрия, является важной отраслью знания. Метод проекций, составляющий ее основу, не «придуман». Он появился в результате познания законов распространения световых лучей, этих неуловимых художников, рисующих самые замечательные картины.
Нам хотелось, чтобы читатель почувствовал вкус к этой области знания, научился улавливать глубокую связь между явлениями, вызванными к жизни лучами света. Тогда станет понятным, что, помимо технических чертежей, законы проекций проявляют себя во множестве явлений окружающей действительности, явлений, рожденных лучами света и воспринимаемых зрением, будь то зеркальное отражение или кадр демонстрируемого кинофильма.
И если наша книга, раскрывающая только первые страницы науки о построении изображений, вызовет интерес читателя, мы не будем считать напрасным затраченный на нее труд.
Книгу не следует читать наспех. Важно, чтобы читатель попутно решал имеющиеся в тексте задачи, содержание которых взято из окружающей жизни. Значительная часть задач, как правило, не слишком трудна для того, кто знаком с курсом черчения за VII и VIII классы средней школы. Но в книге излагаются методы и способы построений, не изучаемые в школе. В тексте дается объяснение этих методов, их теоретическое обоснование. Все это поможет читателю справиться с встретившимися трудностями.
Не следует падать духом, если не удастся решить каждую задачу. В таком случае нужно ознакомиться с указанием к ре
шению или ответом, затем выполнить построение самостоятельно, чтобы уяснить смысл использованного приема. Читая текст дальше, если это необходимо, вернитесь к наиболее трудным местам. Когда-то известный французский математик Лагранж сказал своим ученикам:
— Читайте, понимание придет потом.
Звездочка, поставленная после номера задачи, указывает на то, что в конце книги дается ответ или указывается способ решения. Ряд задач, помещенных в книге, был ранее опубликован автором в научно-популярных журналах. Некоторые задачи заимствованы из литературы по начертательной геометрии, но переработаны. Использование чертежей-рисунков подсказано автору некоторыми иллюстрациями, приведенными в книгах известного русского ученого, специалиста в данной области, профессора Н. А. Рынина.
Науку создают люди, передавая как эстафету свои труды следующим за ними поколениям. Поэтому мы сочли необходимым включить в содержание нашей книги отдельные исторические фрагменты и биографические сведения о тех людях, которые так или иначе имели непосредственное отношение к развитию теории изображений.
СОКРОВИЩЕ ИСПАНСКОЙ ПЕЩЕРЫ
Немногим более ста лет назад в одной из пещер, расположенных в испанской провинции Сантандер, в нескольких десятках километров от побережья Бискайского залива, был найден замечательный клад. Нет, это были не сундуки, набитые золотыми монетами и драгоценностями. Эта пещера была неизвестна ни горным грабителям, ни контрабандистам. Не знали о ней и морские пираты давних времен. И найденный в пещере клад нельзя было вынести.
Пещеру открыл на холме Альтамира охотник, разыскивая свою собаку. Затем он показал ее жившему неподалеку адвокату Марцеллино Саутуола, археологу-любителю. Марцелли-но заинтересовался пещерой и несколько лет вел здесь раскопки. В один из дней 1879 года, через 11 лет после открытия пещеры, Саутуола пришел сюда вместе с дочуркой Марией. И пока отец с маленькой лопаткой в руках что-то раскапывал, опустившись на колени, девочка, взяв горящую свечу, углубилась в подземную галерею, уходящую куда-то вперед.
А Марцеллино продолжал свою работу. Тонкие струйки земной пыли текли между его пальцами. Нет, ничего нет, ни обломка кости, ни грубо обработанного камня. И вдруг детский крик донесся до него из глубины пещеры. Схватив фонарь, он бросился туда.
— Торос! Торос! — кричала испуганная Мария — Быки! Быки!
Какие быки? Саутуола бережно отстранил дочь и прошел вперед. Он внимательно осмотрел галерею, а затем перевел взгляд вверх, на свод. Что такое? Весь свод пещеры был украшен цветными рисунками зубров, кабанов, диких лошадей. Не все контуры животных, нанесенные охристой глиной и углем, сохранились полностью; земляные краски местами осыпались. Рисунки говорили о тоц, что-здесь уже был человек. Но когда это было? Почему он нарисовал бизонов, которые
Рис. 1. Изображение бизона, обнаруженное в пещере Альтамира
уже давным-давно не водятся в Испании? Позы и повадки животных были переданы на рисунках так правдиво, так искусно, словно художник наблюдал их воочию. Так неужели этот художник жил тогда, тысячи лет назад, когда изображенные им животные служили живой натурой его рисунков? Саутуола невольно почувствовал холодную дрожь волнения...
Вскоре по его просьбе знакомый художник тщательно скопировал рисунки. Затем вышла в свет брошюра Саутуолы «Краткие заметки о некоторых доисторических объектах в провинции Сантандер». Через год он выступил в Лиссабоне на Международном конгрессе археологов. Он рассказал, что найденные им рисунки сделаны нашим далеким предком, жившим примерно 20 тысяч лет назад, в эпоху древнего каменного века — палеолита. По-видимому, это самая древняя картинная галерея на Земле...
Если б Саутуола мог предвидеть, какую бурю вызовет его сообщение! Сначала оно вызвало насмешки. Палеолит? Какая глупость! Кто поверит, что первобытный дикарь мог заниматься живописью? Ученые не только отвергли заявление Марцел-лино. Они обвинили его в мошенничестве, в сознательной попытке выдать рисунки современника за искусство нашего предка. Один из видных французских археологов Эмиль Картальяк самым решительным образом отверг соображения Саутуолы.
Однако вскоре в нескольких пещерах Франции были открыты подобные же рисунки. Видимо, находка Саутуолы побудила археологов не только смотреть себе под ноги, но и обследовать стены и своды пещер. В неровном, колеблющемся свете факелов и фонарей они рассмотрели многочисленные рисунки, повергшие их в изумление. Это были замечательные фрески, выполненные естественными красками, приготовленными самой природой. Бизоны, мамонты, пещерные медведи, олени, изображенные в естественных позах, лежа или на бегу, животный мир далекого прошлого, объекты охоты древних обитателей пещер,— было от чего прийти в изумление.
Некоторые рисунки животных были перечеркнуты косыми линиями. Напрашивалась догадка — это дротики, копья первобытных охотников. Иногда на земляном полу пещер обнаруживались окаменевшие отпечатки босых ног. В расположении следов был заметен какой-то порядок. Что это могло означать? Возникала новая догадка. Настенные рисунки, как и статуэтки диких животных, также найденные в некоторых пещерах,
были не просто украшением. Возле них охотники, видимо, исполняли обрядовый танец, танец-заклинание, призывающий удачную охоту. Значит, рисунки пещерных художников были атрибутами первобытной магии, свидетелями древнейших суеверий.
Все это нельзя было расценить иначе, как подтверждение мнения Саутуолы. И через 14 лет после смерти археолога-любителя во Франции появилась печатная работа под названием «Пещерные рисунки грота Альтамира. Покаяние скептика». Автором ее был профессор археологии Эмиль Картальяк. В этой работе он приносил самые искренние извинения дочери Саутуолы — Марии — за грубую ошибку, которую в свое время допустил в оценке сокровищ Альтамиры. Он выражал глубокое сожаление...
И настенные рисунки, и грубые гравюры, выцарапанные примитивным резцом, и статуэтки животных оказались чудесными вестями из далекого прошлого. Они заставили ученых по-новому взглянуть на наших предков. Если одни рисунки служили узкой практической цели* расценивались как залог удачной охоты, то другие, быть может, появились в результате потребности нашего предка испытать свое умение изобразить окружающее, удивить своих соплеменников. В этом тесном единстве, казалось бы, совершенно различных побуждений рождались зачатки будущего изобразительного искусства.
Прошло сто лет со времени замечательного открытия Саутуолы. Но и доныне экспедиции археологов, историков, находки отдельных любителей приносят новые и новые подтверждения того, о чем впервые поведала миру пещера Альтамира. Рисунки наших предков во множестве обнаружены и на территории нашей Родины. Таковы изображения, найденные в известной Каповой пещере на Южном Урале, многочисленные наскальные рисунки, обнаруженные в Карелии на берегах Балтийского моря и Онежского озера, в среднем течении Лены, в Забайкалье, в нижнем течении Амура. Недавно печать сообщала об открытии нескольких тысяч рисунков в цвете в одной из пещер Южной Бурятии, а в 1977 году археологическая экспедиция Сибирского отделения Академии наук* СССР в районе реки Белый Июс (Хакасия) обнаружила подобные изображения на скальных обрывах. Здесь найдены и рисунки людей, исполняющих ритуальный танец. На их плечи наброшены шкуры животных, на лица надеты звериные маски.
УРОК ГАЙАВАТЫ
В будущем рисунку пришлось сыграть еще и другую роль, значение которой может быть названо исключительным. Из рисунка родилась письменность. Это был очень долгий и сложный процесс, описанию которого посвящено немало ученых
Рис. 2. Образец китайской письменности. Вверху — более древнее начертание слова, внизу — современное. Здесь же показано образование сложного слова
трудов. Ясно одно: первое письмо было картинным, рисунчатым. С помощью примитивных, упрощенных рисунков люди научились передавать друг другу известия, делать памятки для себя. С течением времени от таких рисунков они перешли к еще более упрощенным изображениям, а от них — к условным значкам, которые постепенно превратились в буквы или целые слова письменной речи.
Процесс этот протекал не везде одинаково. Системы письма в разных странах различны по своему характеру. Известен, например, греческий алфавит, созданный очень давно, где Слова составляются из букв, обозначающих звуки человеческой речи. Но до наших дней сохранились и китайские иероглифы, где сложный значок изо
бражает целое слово, понятие (рис. 2).
Чуть не до наших дней дожило и старинное письмо в рисунках. В эпосе американских индейцев есть легенда о создании такого письма. Ее использовал в своей известной поэме «Песня о Гайавате» американский поэт прошлого столетня Генри Лонгфелло.
Вот как Гайавата, вождь племени ирокезов, учил своих соплеменников искусству письма:
Всех цветов он вынул краски И на гладкой на бересте Много сделал тайных знаков... Все они изображали Наши мысли, наши речи...
Белый круг был знаком жизни. Черный круг был знаком смерти...
Для земли нарисовал он Красной линией прямую, Для небес — дугу над нею. Для восхода — точку слева. Для заката—точку справа, А для полдня — на вершине. Все пространство под дугою Белый день обозначало, Звезды в центре — время ночи, А волнистые полоски — Дождь, туман и непогоду.
Так, в уроке, преподанном Гайаватой, отразился в действительности долгий и сложный процесс создания картинного письма.
Рис. 3. Картинное письмо нндей-
. На рисунке 3 мы видим образец картинного повествования индейцев. Здесь запечатлен лаконичный рассказ о походе индейского вождя на пяти пирогах через Великое озеро. Весла, поднятые кверху, сообщают о количестве участников похода (52 человека), Рис- 3- Картинное письмо виден-три изображения солнца под небесными дугами — о его продолжительности (три дня). Об удаче похода свидетельствует символ благополучной высадки на землю — рисунок черепахи.
Длинный путь пролег между картинным письмом и современным чертежом. Но они не чужды друг другу. Оба вида изображений служат одной цели: передать сообщение от человека к человеку/ Картинное письмо, как и современный чертеж, являлось средством информации, играло определенную служебную роль в общении людей.
Но этим далеко не ограничивается значение графического изображения в жизни людей. Неоценима роль чертежа и рисунка в развитии естественных наук. В процессе творчества, научного поиска всевозможные изображения всегда были верным помощником человека.
МОГИЛА АРХИМЕДА
Это было давно, в 212 году до нашего летосчисления.
Воины римской армии, предводительствуемые полководцем Марцеллом, после длительной осады овладели греческим городом Сиракузы на острове Сицилия. Солдаты, закованные в металл, вооруженные мечами и копьями, ворвались на улицы города. Во время последовавшего избиения и грабежа погиб один из величайших ученых древности — Архимед.
Историки рассказывают, что он был убит римским солдатом в то время, когда сидел погруженный в размышления над чертежом, начерченным на земле. Ученому было 75 лет.
О жизни Архимеда известно очень мало. Его родной город в течение двух лет упорно сопротивлялся осаде вражеской армии. Душой обороны был Архимед, горячо любивший свой город. Жители Сиракуз, вооруженные мощными оборонительными машинами Архимеда, долго отражали атаки римского войска и флота. Они обстреливали наступающих тяжелыми камнями с помощью специальных метательных машин, сконструированных ученым. Они топили корабли захватчиков исполинскими рычагами, которые придумал Архимед.
Плутарх рассказывает, что Архимед однажды выразил пожелание, чтобы на его могильном камне был высечен чертеж,
которым ученый особенно гордился. Это был чертеж цилиндра, описанного вокруг шара. С помощью такого чертежа Архимед доказал теорему о площади поверхности и объеме шара.
Прошли годы. Почти стерлось в памяти жителей Сиракуз имя их гениального земляка. Затеряна была могила ученого.
Полтораста лет спустя римское правительство назначило известного политического деятеля и оратора Цицерона квестором (правительственным чиновником) в Сицилию. Цицерон решил отыскать забытую могилу. Задача была нелегкой. Жители города отвечали, что следов могилы не сохранилось. Но Цицерон продолжал искать, и ему посчастливилось. За чертой города, на пустыре, поросшем бурьяном, он обнаружил заброшенное кладбище. Бродя среди полуразрушенных надгробий, Цицерон заметил небольшую каменную колонну. Он приблизился к ней и склонился над камнем. На поверхности колонны он увидел полустертые строки двустишия и чуть заметные линии чертежа. То был чертеж шара и цилиндра. Здесь была могила Архимеда...
...Земля погребает в своих недрах свидетелей далекого прошлого, сохраняя их от ветров, дождей, солнца. И этому ее свойству очень многим обязано человечество, не теряющее интереса к своей истории.
Более двух тысяч лет прошло со дня находки Цицерона. И совсем недавно она была повторена. Как сообщала мировая печать, в 1965 году сицилийский археолог Чанчо, руководствуясь записками Цицерона., проводил раскопки близ городских ворот современных Сиракуз. Ученому удалось вновь разыскать могилу Архимеда. Надгробие, выполненное в стиле III века до нашей эры, хорошо сохранилось, несмотря на то что здесь, как обнаружил Чанчо, в свое время приложили руки и любители раскопок иного рода, охотники за драгоценностями, захороненными в могилах.
ЯЗЫКОМ ЛИНИЙ
Геометрия возникла в глубокой древности. Родиной ее считают Египет. Египтяне задолго до нашей эры разработали приемы деления земельных участков в прибрежной полосе Нила. Это приходилось делать часто, так как Нил ежегодно разливался в период дождей, обогащая почву плодородным илом. Вероятнб, сначала египтяне делили земельные участки, не пользуясь предварительно составленным планом размежевания. Трудности этой задачи были бесспорны. Можно предполагать, что вскоре появилась мысль начертить план местности, подлежащей делению. Естественно, возникла потребность сохранить подобие фигур — формы участка земли и его изображения. Появился масштаб — один из важнейших признаков современного чертежа.
Изображения участков, представлявших собой различные по форме фигуры, не могли не привлечь внимание людей, склонных к отвлеченному мышлению. Эти люди стали классифицировать характерные по своим очертаниям фигуры: треугольники, прямоугольники, трапеции и т. д. Возникал особый мир геометрических фигур, прояснялись загадочные связи между линиями, углами, площадями. Практики пользовались ими, облегчая задачу деления участков. ^Теоретики же углублялись в изучение своих чертежей, шаг за шагом пробираясь по извилистой тропинке познания.
Прожив ряд веков, новая наука вступила в период зрелости. Разработанные геометрами методы графических построений, основанные на изучении свойств фигур, стали широко использоваться в различных отраслях знаний, в труде человека. Астрономы и картографы, механики и гидротехники, авиаконструкторы и создатели космических ракет, геодезисты и разметчики — всем им нужна геометрия,} незаменимый помощник в созидательном труде. Уже давно* геометрия стала родоначальницей обширной семьи геометрических наук, обслуживающих разные области знания. (Дним из ответвлений этой науки является теория проекционных изображений, законы которой легли в основу построения современных технических чертежей.
^Трудно представить себе те неисчислимые трудности, которые возникли бы перед работниками промышленности и техники, если бы они вдруг лишились возможности пользоваться чертежами. Каким способом мог бы передать архитектор свой замысел строителям, конструктор — рабочим, изготовляющим задуманную им машину?
Если бы, скажем, архитектор решил устно разъяснить свой замысел, ему пришлось бы не отходить от строителей ни на шаг до самого конца постройки. Задумай он сделать это в письменной форме, понадобилось бы исписать немало бумаги, но и этот труд остался бы бесполезным. Не только рабочие, но и сам автор не смогли бы разобраться в нем в поисках ответа на какой-нибудь конкретный вопрос. Заменить чертеж нечем. Предельно лаконичным и ясным языком линий выражают в нем свои замыслы работники техники. Читая чертеж, рабочий осуществляет то, что изображено на нем. Иной раз лист чертежа содержит больше сведений, чем целая книга, и, что особенно важно, он удобен для обозрения. Вы видите одновременно и общее решение и его детали.
Виды инженерно-технической графики довольно разнообразны. Но, кроме них, различные виды графических изображений обслуживают многие области теории и практики различных наук. Это — графики, выражающие в наиболее удобной, наглядной форме зависимости между изменяющимися величинами. Это диаграммы, куда более наглядные, чем скучные столбцы цифр. Красочные фигуры диаграмм как бы оживают, вы-
разительно и доходчиво раскрывая динамику изменения чисел. Эти виды изображений не основаны на методе проекций. Но вместе с техническими чертежами они входят в единую семью графических изображений.
...На одной из площадей Москвы стоит памятник великому русскому ученому-биологу К. А. Тимирязеву. Немногие замечают, что на пьедестале памятника высечено несколько линий. Это чертеж, ставший символом. Это линии графика, построенного ученым в процессе изучения жизни растений, наглядное изображение открытой закономерности.
...Революционер-народник Николай Кибальчич, приговоренный царским судом к смертной казни, в тюремной камере набрасывает эскиз придуманного им реактивного летательного аппарата. Листок был найден в архивах охранки только после Октябрьской революции. В нескольких линиях запечатлена великая идея, осуществление которой было достигнуто впервые а мире нашей страной.
УВИДЕТЬ - УЗНАТЬ
Из всех человеческих чувств зрение наиболее тесно связывает человека с окружающим миром. «Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать»,— говорит пословица. Вот почему усилия ученых всегда направлены на то, чтобы сделать исследуемое явление видимым.
Биолог помещает под объектив микросксща срез ткани, каплю жидкости и тотчас зарисовывает или фотографирует увиденное. Астрономы наводят тяжелые стволы телескопов на созвездия, чтобы разгадать тайны вселенной.
С каждым днем сужается в своих границах мир невидимых явлений. Взор человека проникает все глубже в область неведомого. Ныне мы видим движение молекул и стенки, желудка в живом организме, раковины, скрытые в толще стальной поковки, и чудесный мир океанских глубин.
Перед глазами человека, вооруженного мощной оптикой, широко раздвинулись видимые границы вселенной и мира бесконечно малых величин. Мы научились видеть в облаках, во тьме и, более того, видеть то, что по своей природе не видимо.
Барограф чертит кривую изменения атмосферного давления в течение суток, недели, месяца. И эта кривая нагляднее и экономнее, чем громоздкие колонки цифр. Она всегда готова дать ответ тому, кто обращается к ней за справкой. Аппарат чертит кривую сам, без помощи человека, освободившего свои руки и разум для более важных целей.
А как можно увидеть звук, электрический ток, биение сердца? Ведь эти явления по природе своей невидимы. Но их можно заставить запечатлеть на бумаге свои следы. Звук довольно давно переведен на язык световых лучей. Вы можете его уви-
|«
деть на зубчатой каемке звуковой кинопленки. Это звук, нарисованный лучом света, это фотография разговора, музыки, песни. Переменный электрический ток зеленым зайчиком чертит на экране осциллографа кривую своих колебаний. В больнице с помощью специального аппарата получают график — кардиограмму, зубцы которой подробно рассказывают врачу о характере дефектов сердечной деятельности больного.
Все это различные примеры графических изображений, служащих человеку. В этой большой семье есть место и тому техническому чертежу, о котором мы говорили вначале.
Теперь сузим круг наших наблюдений, отобрав только те виды изображений, в образовании которых принимали участие проецирующие лучи, в том числе и лучи света. Поэтому не удивляйтесь, если в этот круг попадут и такие примеры, которые на первый взгляд не имеют ничего общего с чертежом.
ИЗОБРАЖЕНИЕ СТРОИТСЯ
Что мы называем проекцией?
Проекция — это изображение предмета, построенное по особым правилам на какой-либо поверхности. В школьном курсе черчения мы строим проекции на плоскости (на бумаге, классной доске), применяя этот метод для выполнения чертежей технических деталей или геометрических тел.
Мы бываем в кинотеатре. Увлеченные потоком событий, которые рисует нам оживший экран, мы меньше всего склонны задумываться над тем, что наблюдаем особую разновидность проекций, изображения которой не начерчены, а сфотографированы на пленку. А экран? Это громадных размеров плоскость проекций.
Но экран панорамного кино уже не плоскость, а криволинейная поверхность. Примеры проектирования на неплоскую поверхность можно видеть не только в кино: это художественные росписи на куполах некоторых зданий, храмов, на сводах подземных вокзалов метрополитена.
Выполняя проекционный чертеж, мы пользуемся набором специальных инструментов. Каждая линия чертежа появляется в результате ряда продуманных действий исполнителя. Совсем иначе выглядит с внешней стороны получение фотоснимка. Изображение на негативе запечатлевается за долю секунды. О каком процессе-построения изображения можно здесь говорить? Тем не менее изображение, возникающее на кинопленке, также подчиняется законам проекций, хотя для получения' его не пришлось откладывать никаких размеров и подсчитывать масштаб. Эту работу взяли на себя лучи света и Линзы фотокамеры.
Проекции могут быть построены разными способами, исходить из различных условий распространения проецирующих
Оцвз№4104 Пргрлр 17
ь О J и (I ()
лучей, но в главном и наиболее общем признаке их мы не найдем расхождений.
В чем заключается этот главный признак?
Сущность процесса проецирования состоит в том, что каждая точка изображаемого предмета (оригинала) переносится прямолинейными лучами в соответствующую точку изображения. Это и есть главное. Вопрос же о том, совершают ли этот перенос световые лучи или воображаемые проектирующие линии, строится ли изображение постепенно или возникает мгновенно, появляется ли оно на чертеже, экране или в зеркале, является уже второстепенным, хотя и очень существенным.
Пока мы рассматриваем готовые изображения, будь то чертеж, полотно художника, географическая карта или кадр кинофильма, у нас, казалось бы, не возникает потребности в знании тех законов, которым они подчиняются. Но едва только мы своими руками попытаемся воспроизвести увиденное или захотим получить от готового изображения ответ на интересующий нас вопрос, как сразу становится ясным, что поверхностного наблюдения недостаточно. Читатель знает, что по чертежу можно выяснить нужные размеры изображенного предмета, даже если они не указаны в цифрах и надписях. В этом поможет масштаб, указанный на чертеже. Но немногие знают, что даже по фотоснимку улицы можно установить ее ширину, высоту зданий, размеры других предметов, изображенных на нем. Получение таких ответов от фотоснимка — дело более сложное, но тем не менее вполне осуществимое. Но разве к фотоснимку приходится обращаться с вопросами, которые обычно относятся к чертежу? Да, и гораздо чаще, чем это можно предположить. Уже давно стало возможным получать точные карты местности с подробными данными о ее рельефе на основе серии фотоснимков, сделанных с самолета.
Давно служит фотоаппарат астрономии. С помощью снимков звездного неба вычисляют расстояния между светилами, определяют характер их орбит.
Конечно, к картине художника и к техническому чертежу предъявляются различные требования. Никто не станет определять размеры здания по картине, выполненной художником, а в техническом чертеже искать тех впечатлений, которые мы получаем, рассматривая произведение изобразительного искусства.
И все же, как уже было сказано, оба вида изображений имеют в своей основе определенный вид проекций, отвечают тем правилам и законам, которые рассматриваются в курсе начертательной геометрии. Знание основных законов теории изображений нужно не только работникам техники, кинооператорам, картографам. Основами ее должен владеть каждый образованный человек.
О чем же говорит эта теория?
Мы с вами, читатель, живем в трехмерном мире. Предметы, окружающие нас, имеют длину, ширину, высоту. Пользуясь тремя измерениями, мы всегда можем точно определить положение любой точки в пространстве.
Между тем фотография, рисунок, карта и технический чертеж имеют в своем распоряжении лишь два измерения, плоскость того бумажного листа, на котором они выполнены. Желая построить плоский узор или начертить плоскую геометрическую фигуру, мы не входим в противоречие со свойствами этих двухмерных фигур.
При этом каждая фигура будет иметь на чертеже вполне определенный и единственно возможный вид, наглядно и точно передающий ее важнейшие признаки: величину углов, длину сторон, форму ограничивающих ее линий. Разница может быть лишь в масштабе изображения или в расположении изображения относительно границ листа. Но изображение всегда подобно своему оригиналу, углы соответственно равны. Два изображения одной и той же фигуры, выполненные в одинаковом масштабе, геометрически будут тождественны. При наложении они совпадут.
Значительно сложнее обстоит дело с изображением пространственных форм, имеющих три измерения. Как «втиснуть» трехмерное пространство в двухмерную плоскость, на которой всегда не будет хватать одного измерения?
Оговоримся сразу: эта операция не остается безнаказанной. Она вызывает за собой столь важные и далеко идущие последствия, изучение которых в сущности и составляет предмет целой науки — начертательной геометрии.
ПРОКРУСТОВО ЛОЖЕ
У одного древнегреческого историка имеется рассказ о разбойнике Прокрусте, жившем некогда в Аттике. Горе было путнику, который попадал в его руки. Прокруст укладывал его на
свое ложе, и если жертва оказывалась короче, то он вытягивал ей ноги, если длиннее—обрубал.
Слова «прокрустово ложе» стали крылатым выражением. Мы вспоминаем о нем тогда, когда говорим о каких-либо рамках, в которые нельзя уложить явления живой и многообразной действительности. Между тем эти рамки мы не всегда вольны расширить и нередко, принося в жертву второстепенные признаки того или иного явления, сберегаем наиболее важное и ценное для нас.
Плоское изображение в известной мере является тоже прокрустовым ложем для пространственных форм. Искажения, возникающие на чертеже или в рисунке, являются расплатой за удобство, которое мы получаем при пользовании плоским изображением. Надо только правильно понимать смысл слова «искажение». Тогда у нас не вызовет недоумения замечание о том, что чем нагляднее передает рисунок изображенный на нем пейзаж или предмет, тем больше будет в нем искажений.
И если мы говорим, что начертательная геометрия учит нас правильно изображать предметы, то это одновременно означает правильно передавать возникающие при этом искажения формы и размеров изображаемых предметов.
В чем выражаются эти искажения?
Мы знаем из практики, что один и тот же предмет может быть нарисован с различных точек зрения. Полученные при этом изображения не совпадут, если их наложить одно на другое. Одни и те же элементы предмета (ребро, грань и т. п.) на разных рисунках будут иметь различные размеры, различные взаимные отношения. Какому же изображению верить? Как узнать, на каком рисунке тот или иной элемент изобразился без искажений?
Ответить на эти вопросы науке об изображениях удалось не сразу. До тех пор пока практических потребностей в чертежах не было, пока они выполнялись на глазок, без соблюдения масштаба, можно было не предъявлять к ним этих требований. На первых этапах развития производства, когда оно носило примитивный и кустарный характер, роль чертежа была, конечно, очень ограниченной. Чаще всего он заменялся изделием, .игравшим роль образца.
ЧЕРТЕЖИ В СТАРОЙ РОССИИ
Замечательным образцом русского зодчества является московский Покровский собор (храм Василия Блаженного) на Красной площади, построенный в царствование Ивана Грозного. Как общая композиция храма, так и изумительная соразмерность его частей, сливающихся в гармоничном сочетании, не могла, конечно, решаться крепостными мастерами на ходу, в процессе самого строительства. Не может быть никакого со-
Рис. 4. Оружейный двор в Тобольске по «Чертежной книге Сибири» Семена Ремезова (1701 г.)
мнения в том, что самому сооружению предшествовало создание каких-то набросков, эскизов, рисунков. Но именно таких изображений, которые мы бы назвали проектными, не сохранилось.
Тщетно перебирают ученые архивные документы прошлых веков в поисках утраченного. Графические материалы, которые можно было бы отнести к техническим чертежам, ранее XVII века не встречаются. Правда, в древнерусских летописных книгах встречаются миниатюры, нередко цветные, по которым можно судить об уровне развития производства, ремесла, технологических методах. При Иване Грозном было предпринято составление описания русских городов с приложением чертежей, которые представляли собой в сущности рисунки «с птичьего полета». Например, в описи царского архива за 1574 год читаем:
«Ящик 57. А в нем чертежи Лукам Великим и Псковским пригородкам с литовским городом с Полотцком...»
«Ящик 144. А в нем чертежи и списки украинских городов...»
Во второй половине XVI века в Московском государстве возводилось много пограничных крепостей. Строительством ведали Каменный, Пушечный и Разрядный приказы. В летопи
сях и других документах встречаются указания о строительстве городов и крепостей по чертежам и упоминает специальность «чертельщика» или «чертещика».
На рисунке 4 приводится изображение оружейного двора в Тобольске. Оно взято из «Чертежной книги Сибири», выполненной Семеном Ремезовым в 1701 году. На некоторых чертежах, относящихся к XVII веку, встречается использование нескольких изображений одного объекта, совмещенных на одном виде, «прорезей» (разрезов), масштаба и других условностей, характерных для современного чертежа.
Большим стимулом к развитию графической культуры в России явилась деятельность Петра I.
«ЯСНОЕ ЗРЕЛИЩЕ МАШИН»
Неистребимая любовь к технике владела многими людьми в старой Руси. Русские умельцы строили самокатные тележки, прыгали с колоколен, привязав себя к самодельному воздушному шару, прокладывали придуманные ими рельсовые пути, делали замысловатые игрушки-автоматы. Как правило, это были мастера «на все руки». Они сами задумывали свои конструкции и собственными руками мастерски выполняли задуманное. И если с развитием промышленного производства произошло естественное разделение труда, при котором люди, придумывавшие машины, отделились от тех, кто их делает, то в этом разделении решающую роль сыграл чертеж. Он явился посредником между двумя группами работников, был одним из необходимых условий, подготовивших возможность перехода
к массовому производству.
Но всегда с чувством глубокого уважения мы будем вспо
А. К- Нартов
минать о замечательных умельцах прошлого, энтузиастах нарождавшейся русской техники. Одним из них был и Андрей Константинович Нартов.
С 1709 года он работал в Москве, в Сухаревой башне, где помещалась основанная Петром I «Школа математических и навигацких наук». Нартов носил звание «механика токарных и резных дел мастера».
Через несколько лет мы видим Нартова уже в Петербурге. В «царской токарне» он занят разработкой новых моделей токарных станков. Здесь он создает свой знаменитый станок с
самоходным суппортом, который обеспечивал невиданную по тем временам точность токарной обработки и облегчал труд рабочего, вынужденного раньше держать резец в руках.
Полный интересных замыслов, горячо любивший свою профессию, Нартов нередко ночами сидел за чертежами при свете свечи. Иногда сюда заходил Петр в потертом суконном кафтане, шерстяных чулках и стоптанных башмаках. Тогда две головы одновременно склонялись над сеткой прочерченных линий.
Сам Петр любил чертить и чертил прекрасно. Его чертежи корабельных корпусов, сохранившиеся до наших дней, отличались большим совершенством. Вернувшись из Голландии, где он работал на кораблестроительных верфях, Петр привез диплом, где значилось: «Корабельную архитектуру и черчение планов изучил основательно и уразумел эти предметы в такой степени, сколько мы сами их разумеем».
В 1719 году Петр послал Нартова за границу, снабдив его чертежами новых задуманных машин.
В письме, присланном из Лондона, Нартов писал царю: «Здесь таких токарных мастеров, которые превзошли российских мастеров, не нашел, и чертежи махинам (машинам.— Л. Э.), которые ваше царское величество приказал здесь сделать, я мастерам казал, а оные сделать по ним не могут».
Из Лондона Нартов выслал в Россию чертежи устройства монетных штампов, а также машины, «что нарезывает легким способом зубцы у колес железных». Там же по заданию Петра Нартов искал и скупал «механические книги», т. е. книги по механике и машиностроению. Через год царский механик был уже в Париже, где преподнес от имени царя в подарок Парижской Академии наук русский токарно-копировальный станок, каких не было во Франции. Этот станок доныне хранится во Французском национальном хранилище искусств и ремесел.
Петр хорошо понимал, что без чертежей немыслимо осуществить задуманную им грандиозную перестройку обширного хозяйства страны, осуществлять контроль над строительством городов и развитием промышленности. Не один указ царя содержит категорические требования по этому вопросу и предупреждает о серьезном наказании его нарушителей. Так, в одном из указов 1723 года Петр требовал, чтобы «которые всякого звания обыватели имеют на Васильевском острову на площади дворы, дабы на свой кошт (на свой счет.— Л. Э.) строили гостиные лавки по данному от архитектора Трезина чертежу». Трезин был итальянский архитектор Трезини, приглашенный Петром для работы в России.
При восстановлении сгоревших от пожара деревень Петр обязывал крестьян пользоваться образцовыми чертежами усадебных планировок.
Более чем на тридцать лет пережил Нартов Петра. И нелегок был для Нартова последний период его жизни. Вместе
с Ломоносовым он принял активное участие в борьбе с противниками русской науки, засевшими в Академии наук.
Уже на склоне лет задумал он осуществить давний свой замысел: оставить русскому народу первый отечественный труд по машиностроению. Книга, написанная Нартовым, называлась «Театрум махинарум, или Ясное зрелище машин». В этот труд Нартов вложил все свои знания, многолетний опыт. Над атласом чертежей, приложенным к книге, работали помощники Нартова— П. Ермолаев, А. Зеленов, С. Пустошкин. На восьмидесяти чертежах мы видим не только станки для обработки дерева и металла, но и рисунки резцов и художественных изделий: кубков, ваз, украшений, изготовлявшихся на этих станках. Некоторые изображения даны в ортогональной проекции, большинство в перспективе, причем одна сторона станка обычно изображается фронтально. Так как перспективные искажения, принятые художниками, были крайне невелики, чертежи приближаются к тому виду изображений, которые мы называем косоугольной фронтальной диметрией.
Книге, которую автор предназначал «для объявления в народ», не суждено было увидеть свет. Около двухсот лет она пролежала в архивах, пока не была найдена советскими исто
риками.
Среди многих имен, которые сохранила история отечественной техники, мы встречаем замечательных механиков-изобретателей И. П. Кулибина и И. И. Ползунова, отца и сына Е. А. и М. Е. Черепановых, построивших первую русскую железную дорогу с паровой тягой, «водяного мастера» Козьму Фролова и изобретателя первой прядильной машины Родиона Глинкова. Они выражали в чертежах свои технические замыслы. Еще до появления науки о методах правильного изображения предметов для нужд техники они практически пользовались тем удоб
И. П. Кулибин
ством, которое создается сочетанием нескольких видов предмета на одном чертеже.
Мы встречаем чертежи того времени, свободные от перспективных искажений, что характерно для параллельных проекций. Большим своеобразием отличались чертежи И. П. Кулибина. Чертежи деталей своих часов «яичной фигуры», хранящихся ныне в Ленинградском Эрмитаже, он выполнял на плотной бумаге игральных карт особым инструментом в виде иглы с чуть притупленным острием. Линии чертежа были не Нидны в обыч
ном, рассеянном свете. И Кулибин изобрел особую лампу, дающую направленный пучок света, который рельефно выделял линии чертежа. Только некоторые свои работы Кулибин обводил чернилами.
Высоким качеством отличались чертежи создателя первой паровой машины И. П. Ползунова. А ведь в то время не существовало теории, которая пришла бы на помощь конструкторам машин и сооружений, не было системы правил и требований к чертежу, обеспечивающих наибольшую точность и ясность в передаче формы и размеров предмета. Наконец, даже чертежные инструменты приходилось придумывать и изготовлять самому. Тем не менее в повседневной практике все более ясными становились основные принципы построения изображений для нужд техники.
Кому-то нужно было привести накопленный опыт в порядок, систематизировать правила, найденные практикой, дать им научное обоснование. Эту задачу выполнил французский ученый, время жизни которого совпало с одним из наиболее бурных периодов истории его родины.
РОЖДЕНИЕ НОВОЙ НАУКИ
Август и сентябрь 1793 года были самыми тяжелыми месяцами для молодой Французской республики. Австро-прусские войска топтали землю Франции, поднимала голову внутренняя контрреволюция. В эти дни в Комитете общественного спасения— чрезвычайного органа, созданного революцией для организации сопротивления врагам, можно было видеть невысокого
человека с лицом крестьянина, к мнению которого вниматель-
но прислушивались окружающие. Это был Гаспар Монж.
Внук крестьянина и сын торговца «вразнос», он родился в 1746 году в провинции. В четырнадцатилетием возрасте он сделал своими руками пожарный насос. Спустя два года заснял план родного города и искусно вычертил его. В том же году он получил приглашение преподавать физику в одной из школ Лиона. Затем он юношей поступает в специальную военную школу в Мезьере, готовившую инженерных поручиков для армии.
Окончив школу, Монж проявляет большие способности в расчетах военно-инженерных сооружений. В 22-лет-нем возрасте он получает звание профессора математики, а через 12 лет
Гаспар Монж
избирается членом Парижской Академии наук. Монж принял участие в работе по введению метрической системы мер и весов. Восторженно встретил ученый падение Бастилии, символизировавшей ненавистный народу монархический режим.
Во вновь открытой Нормальной школе Монж начал преподавание курса новой науки — начертательной геометрии.
Приступая к разработке своих идей, вначале Монж поставил перед собой цель создать метод графического решения задач стереометрии на чертежах. Но вскоре стало понятно, что возможности нового метода далеко выходят за первоначально задуманные границы. В течение 20 лет правительство не разрешало Монжу опубликовывать свой труд, так как опасалось, что, попав в руки врагов, он будет использован ими против Франции. Лекции Монжа были напечатаны в журнале только в 1795 году. А через три года вышел в свет первый в мире курс начертательной геометрии. Мы находим в нем строки, где автор дает оценку значения разработанного им метода:
«Народному образованию,—- писал Монж,— будет дано полезное направление, если наши молодые специалисты привыкнут применять начертательную геометрию к графическим построениям, необходимым во многих областях, и пользоваться ею для построения и определения элементов машин, при помощи которых человек, используя силы природы, оставляет за собой только работу разума».
«Эта наука,— продолжал Монж,— имеет две главных цели. Первая — точное представление на чертеже, имеющем только два измерения, объектов трехмерных, которые могут быть точно заданы. С этой точки зрения это язык, необходимый инженеру, создающему какой-либо проект, а также всем тем, кто должен руководить его осуществлением, и, наконец, мастерам, которые должны сами изготовлять различные части. Вторая цель начертательной геометрии — выводить из точного описания тел все то, что неизбежно следует из их формы и взаимного расположения. В этом смысле — это средство искать истину; она дает бесконечные примеры перехода от известного к неизвестному».
ГДЕ РАСПОЛОЖЕНА ЛАМПОЧКА
Каким же образом новая наука создавала точное представление на чертеже, имеющем только два измерения, объектов трехмерных, которые могут быть точно заданы?
Покажем это на несложном примере. Предположим, нужно указать в комнате точку, где должна находиться электрическая лампочка. Положение ее относительно двух стен и высота над полом будут определяться тремя измерениями, которые можно указать на трех взаимно перпендикулярных координатных осях.
НИВГ
м
Но как изобразить эти оси на чертеже без искажений? Достаточно ли иметь для этой цели только план комнаты, т. е. горизонтальную проекцию? Очевидно, нет, так как на плане можно изобразить лишь линии двух стен, т. е. оси длины и ширины. Для того же чтобы показать и третье измерение — высоту подвеса лампочки над полом,— план окажется непригодным. Ведь все вертикальные размеры на нем отсутствуют, они как бы сплющены в одну плоскость.
Для того чтобы показать высоту, нужно дополнить чертеж еще одним изображением, на котором будет присутствовать ось высоты. Таким изображением может служить фронтальная или профильная проекция. В данном случае использована фронтальная проекция, вместо которой фактически изображен фронтальный разрез комнаты, на котором высота подвеса лампочки может быть выражена отрезком определенной длины в принятом масштабе (рис. 5).
Итак, понадобилось два изображения, которые в начертательной геометрии носят названия фронтальной (в данном случае— разрез) и горизонтальной (в данном случае — план) проекций. Справа добавлена и третья проекция — профильная, наличие которой облегчает решение специальных задач, осуществляемых с помощью чертежа.
Определенный, раз навсегда установленный порядок взаимного расположения проекций наряду с системой правил о способах их выполнения является основой метода изображений, применяемого для построения чертежей.
Чем же определяется порядок расположения проекций и что такое проекционный чертеж?
Представим, что точка (или любой предмет) проецируется на три взаимно перпендикулярные плоскости; V — фронтальную, Н — горизонтальную и W — профильную. Линии, по которым эти плоскости взаимно пересекаются, называются осями проекций и соответственно обозначаются латинскими буквами х, у и z. Эти оси в сущности являются изображениями пространственных осей координат, о которых мы говорили ранее. На рисунке 5 три плоскости проекций изображаются стенами комнаты.
Процесс проецирования точки состоит в том, что мы мысленно проводим от нее три перпендикуляра к каждой из трех плоскостей (эти перпендикуляры называют проецирующими линиями или лучами). Точки, в которых лучи пересекаются с плоскостями, называются проекциями находящейся в пространстве точки оригинала. Вслед за этим мы можем мысленно развернуть все три изображения на одну плоскость и получить чертеж: проекции самой точки вместе с изображениями координатных осей. На таком чертеже, состоящем из трех изображений, всегда можно определить нужное измерение предмета, расстояние любой его точки от осей без искажения, в принятом масштабе. Неискаженные измерения ширины мы найдем на фронтальной и горизонтальной проекциях, длины (глубины)— на горизонтальной и профильной, высоты — на фронтальной и профильной. Такой чертеж, состоящий из двух или трех проекций одного и того же предмета, условимся называть комплексным. В теории рассматриваются и более сложные случаи проектирования на большее число плоскостей проекций. Поскольку проецирующие лучи, как бы переносящие точки предмета с оригинала на плоскость проекций, составляют с ней прямой угол, такой способ получения изображения называют прямоугольным проецированием.
Строя проекции единственной точки, мы воспользуемся, естественно, одиночным лучом. Когда же строится проекция фигуры или предмета, мы мысленно представляем себе целый пучок параллельных проецирующих лучей. Этот пучок лучей и нарисует на плоскости изображение всего предмета, подобно тому как это происходит при демонстрации диапозитива с помощью проекционного фонаря на экран.
Но пучок света, падающий на экран из объектива фонаря, расходится веером, и потому размеры изображения на экране всегда больше, чем на диапозитиве (оригинале). В расходящемся пучке лучей каждый из них не параллелен другому и все лучи пересекаются в одном центре (внутри фонаря). Очевидно, такие лучи уже не падают на экран под одинаковыми углами. Поэтому, чтобы выдержать поставленные ранее условия, нужно предположить, что наш фонарь дает пучок параллельных лучей. В этом случае все лучи можно направить под одним и тем же углом к плоскости проекций. Если этот угол
будет прямым, проекции называются прямоугольными; если острым — косоугольными. И в том и в другом слу- Г' Т1 чае проекции называются па- I | и раллельными (рис. 6). (
Кстати сказать, такое яв- '---------
ление может иметь место в действительности. С помощью особого рефлектора (параболической формы) можно по
лучить пучок параллельных световых лучей. Такие рефлекторы устанавливаются, например, в прожекторах.
Солнечные лучи практически можно считать параллельными, так как Солнце находится на огромном расстоянии от Земли. Поэтому с помощью солнечных лучей нетрудно получить тень предмета на бумаге, совпадающую с контурами прямоугольной проекции. Для этого лист бумаги (плоскость проекций) нужно расположить под прямым углом к направлению солнечных лучей, а сам предмет установить перед бумажным экраном.
Таким образом, метод проецирования находит себе аналогию в действительности. Теневое изображение предмета дает результат, в общем совпадающий с тем, что мы получаем графически.
Воображаемые проецирующие лучи, которые мы представ
ляем мысленно, имеют важные преимущества перед реальными световыми лучами. Мы наделили их свойством проникать через толщу проектируемого непрозрачного предмета. Поэтому на технических чертежах наносят не только линии внешнего контура, которые рисует в виде силуэта обычная тень, но и линии, видимые внутри этого контура. Более того, на чертеже изображают и линии скрытые от глаз наблюдателя, если он смотрит на предмет с той стороны, откуда падают проецирующие лучи. Очертания скрытого, невидимого контура предмета (внутренние полости, отверстия, контуры задней грани и т. д.)
показывают на чертеже штриховыми линиями или с помощью разрезов, сечений и других условностей, применяемых в маши-
ностроительном черчении.
Проецирующие линии на чертеж не наносятся. Здесь изображается только конечный результат построения — проекция пред-
мета.
О ЧЕМ ГОВОРИТ ЧЕРТЕЖ
Искусство понимать язык чертежа, извлекать из него определенные данные о форме и размерах предмета, о взаимном расположении его частей знакомо учащимся средней школы. Двух
м
проекций обычно достаточно, чтобы получить ответы на все эти вопросы.
Однако этот минимум не всегда оказывается достаточным для того, чтобы представить себе с полной ясностью форму предмета или отдельной его части. В таком случае приходится прибегать к третьей проекции. Значительное количество задач начертательной геометрии решается на основе построений, использующих три проекции.
Начертательная геометрия, как наука, имеет свои особенности. Она близка к геометрии, на материал которой постоянно опирается. Вместе с тем собственно теоретический материал ее сравнительно невелик по объему. Он состоит из нескольких исходных положений, раскрывающих существо метода проекций, основы данной науки. А дальше? Дальше следует изложение различных приемов решений типичных задач, рассматриваются различные построения, с помощью которых решаются задачи, дается их теоретическое обоснование.
Поэтому начертательную геометрию нельзя заучивать, как формулировку закона или описание. Главное в ней — метод, которым она вооружает нас для решения практических задач.
Может показаться, что самый основной прием этой науки — сопоставление нескольких изображений одного и того же предмета — является по сути своей искусственным, что вне сферы технического чертежа он не находит применения. Разве в жизни мы видим предмет одновременно в двух изображениях, которые мы обычно встречаем только на чертеже?
Над этим небесполезно поразмыслить. Видимо, не случайно то, что мы имеем два органа зрения — два глаза. Рассматривая предмет двумя глазами, мы не получаем в каждом из них совершенно одинаковых изображений. Именно благодаря некоторому различию между двумя изображениями мы получаем объемное впечатление от рассматриваемых предметов, можем довольно точно оценить их взаимное расположение и удаленность. Попробуйте попасть ниткой в ушко иглы, закрыв один глаз. Вас постигнет неудача.
Имея изображение предмета на чертеже, мы лишены возможности обойти этот предмет, взглянуть на него «со стороны». Поэтому комплексный чертеж, как бы предвидя наши затруднения, дает нам сразу необходимые две, три, а иногда и более проекций.
Таким образом, искусственность использования нескольких проекций является в сущности кажущейся. Построение нескольких проекций одного предмета имеет4 под собой достаточно убедительные основания. Но важно уметь воспользоваться теми данными, какими они располагают.
Хороший музыкальный инструмент обладает богатыми возможностями. Но чтобы использовать их, нужно прежде всего научиться играть на нем. Не так-то просто услышать «музыку»
чертежа, если вы не овладели искусством извлекать ее, не научились читать чертеж. Нужна тренировка, постоянное упражнение, и тогда с каждым разом вы будете все увереннее опе-I ‘ рировать теми данными, которые предоставляет в ваше распоряжение чертеж.
Овладев этими возможностями даже в ограниченном объеме, вы убедитесь, что чертеж дает неизмеримо больше данных об изображенном на нем предмете, чем самое внимательное изучение оригинала в натуре. Нужно оговориться, что эти данные не касаются цвета, материала, веса и других физических качеств предмета. Речь идет о передаче его геометрических признаков: формы, размеров, взаимного расположения частей и т. ~д.
Чтобы умело владеть всеми возможностями, скрытыми в ; в- чертеже, полезно решать задачи. Некоторое количество задач включено в нашу книгу. Читая ее с карандашом в руках и листом бумаги, решая встречающиеся задачи, настойчиво добиваясь самостоятельного решения, читатель получит больше пользы и, мы уверены, будет вознагражден чувством глубокого удовлетворения, которое является наградой за всякий самостоятельно выполненный полезный труд. Обращаться к ответу рекоменду-I г ется только тогда, когда задача показалась очень трудной. Но, прочитав ответ, все же полезно проделать все построение.
В отличие от задач, имеющихся в учебниках и задачниках по начертательной геометрии, мы использовали для их составления более разнообразную тематику. Такие задачи не только более занимательны. Они помогают нагляднее представить расположение элементов чертежа, данных в «вещественной» форме. В них линия может изобразиться веревкой, плоскость — щитом, дверью и т. д.
Такое «овеществление» геометрических элементов мы до-; пустили уже с самого начала, не сопроводив его оговоркой, которую и следует теперь сделать. Так, например, реальное объемное тело — электрическую лампочку — ввиду ее сравнительно небольших размеров мы условно приняли за точку.
Наше знакомство со способом проецирования мы начали, таким образом, с точки, заранее примирившись с иронической улыбкой читателя, которому прекрасно известно, что точка обычно ставится в конце. Но мы опирались на пример, данный I Гаспаром Монжем в его курсе. Первое определение, приведенное в его книге, гласило: «Проекцией точки на плоскость является основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость». Из этого положения, как могучее дерево из ничтожного семени, выросла стройная система новой науки.
Первая группа приведенных ниже задач рассчитана на знание читателем основных правил, вытекающих из проекционного соответствия изображений комплексного чертежа. Никаких специальных построений, излагаемых в курсе начертательной геометрии, здесь не встретится. Эти задачи рассчитаны на семи-
классника, приступившего к изучению черчения. При решении их можно рекомендовать воспользоваться прозрачной бумагой (калькой), на которую скопировать заданные элементы рисунка, не воспроизводя ненужные подробности.
Рис. 7
Рис. 8
1*. Ученик по ошибке разорвал чертеж, на котором изображены три проекции модели (рис. 7). Попробуйте восстановить взаимное расположение проекций и нарисовать модель.
2*. Из кубиков, на гранях которых написаны буквы, сложена фигура, напоминающая пирамиду (рис. 8). Начертите три проекции пирамиды, сдвиньте их вплотную, не меняя взаимного расположения и не поворачивая их. Прочтите на проекциях лозунг.
3*. Видят ли они друг друга (рис. 9)?
4*. Не мешает ли копна сена колхозницам видеть друг друга (рис. 10)?
Ниже дано несколько задач на определение взаимного расположения элементов в пространстве. Как они решаются?
Рис. 10
что мы видим
На рисунке 11 даны проекции отрезков двух прямых АВ и CD, расположенных под произвольными углами относительно плоскостей проекций. Такие отрезки называются отрезками общего положения. Нужно определить взаимное расположение их в пространстве. Это значит узнать, пересекаются ли они между собой, а если не пересекаются, то каково их взаимное расположение?
Рассмотрим чертеж. В обоих примерах соответствующие проекции отрезков взаимно пересекаются. Значит ли это, что отрезки сами пересекаются? Отнюдь нет. Но как это определить?
На рисунке 11, а точки тит' пересечения проекций находятся на общей вертикали. Это позволяет утверждать, что точка М является
Рис. 11
вполне реальной точкой простран-
ства, в которой отрезки АВ и CD пересекаются в действитель-
ности.
Иначе обстоит дело на рисунке 11, б. Зде.сь точки k и т' не находятся на общей вертикали (и это дало нам основание обозначить их разными буквами). Точка т' пересечения фронтальных проекций отрезков не имеет себе пары на горизонтальной проекции. Такой же пары не имеет точка k на фронтальной проекции. Какой вывод можно сделать из этого? Отрезки АВ и CD не пересекаются, а скрещиваются. В точках, обозначенных буквами т' и k, спроецировались по две различные точки обоих отрезков, расположенные на одном проецирующем луче. Собственно, об этом нам сигнализирует и сам чертеж, так как линия связи, проведенная от каждой из этих точек на другую проекцию, встречает там две точки, не сливающиеся в одну, а разобщенные между собой, причем расстояние между ними в обоих случаях Передается без искажения. На фронтальной проекции можно узнать, насколько точка одного отрезка выше другой, принадлежащей второму отрезку.
Чертеж поможет также определить, какому из двух отрезков принадлежит точка, расположенная ближе к наблюдателю. Проведем из точки т' вертикальную линию связи вниз. На горизонтальной проекции эта линия сначала пересечет проекцию отрезка cd, а затем ab. А это означает, что дальше от фронталь-
3 Заказ № 4104
33
ной плоскости проекций и, следовательно, ближе к наблюдателю находится точка, принадлежащая отрезку АВ.
А как расположены две точки, общей проекцией которых является точка k на виде сверху? Сделав аналогичное построение, можно убедиться, что на вертикали, которая проецируется в точку k, отрезок CD расположен над отрезком АВ.
Две проекции взаимно «помогают» друг другу. Опираясь на
них, вы получили полное представление о действительном расположении двух отрезков в пространстве. Так, на простейшем примере проявились возможности, которыми располагает сопоставление разных проекций одного предмета. Это — один из примеров перехода от известного к неизвестному, которыми изобилует наука об изображениях, как об этом говорил Гаспар Монж. Заменим абстрактные геометрические элементы более реальными объектами и попы-
Рис. 12
Рис- 13 5*. Достройте изображения двух ка-
7*. Какая из двух веревок протянута над другой (рис. 14)?
8*. Даны проекции четырех вазочек, каждая из которых представляет тело вращения (рис. 15). Зачеркните лишние линии, учитывая взаимное расположение вазочек.
В приведенных задачах мы встретились с проекциями отрезков общего положения, т. е. таких, которые расположены под произвольным углом по отношению к плоскостям проекций. Такие отрезки изображаются на чертеже с искажением по длине. Они короче своих оригиналов.
В прямоугольных проекциях отрезок и его изображение равны
друг другу только в том случае, когда отрезок расположен параллельно плоскости проекций. Поставив лист бумаги перпендикулярно солнечным лучам и располагая карандаш перед листом различными способами, можно видеть, как меняется длина его тени.
Искажение размеров предмета вызывает определенные и, к сожалению, неизбежные неудобства в пользовании чертежом. Но трудности эти преодолимы. Чертеж, вызывая искажения, вооружает нас и умением определять их степень, устанавливать истинную длину интересующих нас отрезков, действительную форму и величину фигур. Так как всевозможные искажения в той или иной степени свойственны каждому плоскому изображению объемных предметов, то такая задача является одной из основных в курсе начертательной геометрии.
На рисунке 16 изображен отрезок прямой АВ. Рассматривая чертеж, нетрудно убедиться, что отрезок расположен наклонно к плоскостям проекций, а потому изображается на них с искажением (сокращением) своей длины. Определим его истинную длину.
Рис. 16. Определение истинной длины отрезка методом прямоугольного треугольника
На наглядном изображении видно, что отрезок АВ является гипотенузой прямоугольного треугольника АВК- Катет ЛК проведен из точки А параллельно проекции ab. Катет ВК —это разность между длинами проецирующих линий ВЬ и Аа, т. е. ВК=ВЬ— Aa—b'bx — а'ах. Очевидно, если нам удастся по чертежу получить истинные размеры этих катетов, то построение прямоугольного треугольника, а вместе с тем и определение истинной длины гипотенузы АВ уже не составит большого
труда.
Но каждый из двух катетов параллелен одной из плоскостей проекций: ВК— плоскости V, АК— плоскости Н. Значит, проекции этих катетов на соответствующих плоскостях изображаются без искажения. Этим и нужно воспользоваться. Возьмем отрезок ab на виде сверху (он, очевидно, равен АК.) и в точке b восставим к нему перпендикуляр, на котором отложим длину ВК. Вместо ВК возьмем равный ему отрезок b'k' с фронтальной проекции. Построение проведем непосредственно на горизонтальной проекции. Соединив концы обоих отрезков, получим гипотенузу ab', равную по длине отрезку-оригиналу АВ. Задача решена.
В начертательной геометрии применяются и другие способы для определения истинных размеров отрезка. Одним из наиболее простых является метод вращения отрезка (или фигуры), для того чтобы привести их в положение, когда они станут параллельными одной из плоскостей проекций. Как сказано
выше, в этом случае длина проекции оригинала будет равна его
истинной длине (в масштабе чертежа).
На рисунке 17 заданы проекции отрезка общего положения АВ. Не меняя высоту его расположения над горизонтальной плоскостью проекций, попробуем повернуть его вокруг точки А в такое положение, при котором он окажется параллель-
Рис. 17. Определение истинной длины отрезка методом вращения
ным фронтальной плоскости проекций. Раскроем циркуль на величину, равную длине горизонтальной проекции ab и поставим его ножку в точку а. Прочертим дугу bb] до точки &i, в которой она пересечет горизонтальную линию, проведенную из точки а. Отрезок ab} является горизонтальной проекцией АВ после его поворота. Построим его фронтальную проекцию после поворота. Для этого достаточно из точки bi провести вверх вертикальную линию связи btb'} до пересечения ее с горизонтальной линией, проведенной из точки Ь'. Соединив Ь'} с а', получим истинную длину отрезка АВ с точностью до масштаба. Чтобы
разобраться в правильности такого построения, полезно установить карандаш в качестве отрезка АВ в положение, соответствующее рисунку 17, и проследить, как во время поворота перемещается его правый конец и как это перемещение будет отражаться на его проекциях.
Решая помещенные ниже две задачи, в которых требуется определить истинную длину отрезка, советуем читателю выполнить построение обоими способами (способом прямоугольного треугольника и методом вращения). Сравнив оба решения, вы убедитесь, что они дают одинаковый результат, одну и ту же истинную длину. Такая проверка — лучшая гарантия от ошибки.
9*. Определите истинную длину веревки, которой связаны альпинисты (рис. 18). Попробуйте решить задачу, ие строя вид сверху.
10*. Какая из рыбок раньше достигнет крючка, если они одновременно устремятся к нему по прямой с одинаковой скоростью (рис. 19)?
Рис. 18
Рис. 20
В приведенных чертежах-рисунках недостаточная наглядность комплексного чертежа была почти неощутимой. Между тем в практике пользования техническими чертежами эта особенность проявляется в значительно большей степени. Изображаемая деталь обычно ставится в такое положение, при котором одно из трех ее измерений исчезает, сливаясь в точку, и не может быть выражено на одной из проекций. Так как при этом предмет изображается с одной стороны, на каждой его проекции переданы лишь два его измерения, что вызывает заметную потерю наглядности. Вот пример, подтверждающий сказанное:
11. Назовите предметы, изображенные на рисунке 20.
Узнать эти хорошо знакомые вам предметы будет, конечно, не так трудно. Однако назвать такие изображения наглядными, конечно, нельзя. Но ведь именно в таком положении изображаются детали на технических чертежах, являющиеся для нас, в отличие от предметов, показанных на рисунке 20, совсем незнакомыми.
МОДЕЛИ-ЗАГАДКИ
Недостаток наглядности, присущий проекциям комплексного чертежа, требует от нас определенного навыка, умения «прочитать» чертеж, т. е. по данным проекциям представить себе форму детали. Иначе говоря, приходится привлечь на помощь свои пространственные представления, чтобы преодолеть недостаточную наглядность чертежа. В практике работы с чертежами это умение, степень развития пространственных представлений играет большую роль. Чтение чертежа дается не сразу, овладение этим умением вырабатывается в результате тренировки и опыта. Вот почему упражнениям такого рода отводится немало времени в процессе обучения.
Естественно предположить, что чем проще проекции предмета, тем легче понять форму изображаемого ими предмета, тем более простым становится процесс чтения чертежа. К сожалению, это предположение далеко не всегда находит свое подтверждение на практике. Нередко недостаток наглядности,
присущий комплексному чертежу, приобретает особенно «коварный» характер. Проекции предмета могут выглядеть очень просто, состоять из нескольких линий каждая. Тем не менее выяснение действительной формы изображенного предмета оказывается отнюдь не простым делом. Такова, например, группа заданий на чтение чертежа, приведенная ниже.
12*. Даны по две проекции нескольких моделей (рис. 21,а — ж). Постройте в каждом случае третью проекцию и выполните рисунок модели. Для некоторых заданий приведенные в ответе решения не являются единственно возможными.
Как видно из приведенных примеров, • сравнительная простота проекций, казалось бы, должна ослабить роль недостаточной наглядности их. Но этого не происходит. Поиск решения затягивается, а для тех, кто не встречался с заданиями подобного рода, может оказаться безуспешным. Читатель, вероятно, согласится, что по трудности эти задачи превосходят уже решенные ранее, несмотря на кажущуюся простоту чертежа-задания. К тому же для отыскания ответа в некоторых случаях требуется знакомство с чертежами, изображающими сечения и взаимные пересечения простых геометрических тел.
Отмеченная в условии к задаче другая особенность приведенных заданий заключается в том, что их решения могут быть неоднозначными. Это означает, что не одна-единственная модель может изображаться приведенными проекциями, а две-три, иногда и более.
Отыскивая решение в процессе чтения чертежа, мы анализируем содержащиеся в нем данные: проекции ребер, вершин,
граней, контуров сечений и т. д. За каждой линией чертежа нужно найти и четко представить себе количество и расположение передаваемых ею элементов, постепенно создавая в своем сознании четкую картину взаимного пространственного расположения их. Приходится с помощью кропотливого сопоставления проекций выяснять, где и как изображен каждый из таких элементов, а потом делать вывод о его форме и расположении по отношению к другим элементам. К тому же один отрезок на чертеже часто является проекцией нескольких ребер или поверхностей предмета, слившихся вместе на изображении.
Все это, особенно в более сложных случаях, требует от читающего чертеж значительного умственного напряжения. Иногда учащиеся прибегают к выполнению беглых эскизов, фиксируя на бумаге форму предмета, которая, как им кажется, отвечает условию задачи. Рассматривая эскиз, они пытаются мысленно поворачивать изображенную модель и представлять себе, отвечает ли она заданным проекциям. Испытываемые ими затруднения и характер поисков решения вполне объяснимы. Они вызваны спецификой решения пространственных геометрических задач по чертежу, на котором объект, располагающий тремя измерениями, изображен как плоская фигура, имеющая лишь два измерения. Элементы, расположенные вдоль третьего измерения, отсутствующего на отдельно взятой проекции, исчезают или, как принято говорить, вырождаются.
И-хотя нельзя дать исчерпывающей рекомендации или общего способа решения подобных задач, как, например, формулы для решения уравнений в алгебре, все же можно отметить большое значение опыта, приобретаемого в процессе постоянной тренировки в чтении и выполнении чертежей, что самым положительным образом сказывается на развитии пространственных представлений.
КОРОБКА СПИЧЕК
Естественно возникает вопрос, нельзя ли преодолеть недостаточную наглядность комплексного чертежа? Ведь модели на рисунке 21 можно было изобразить по-другому, и тогда основная трудность была бы снята. Ответы к задаче 12 как раз и представляют рисунки такого типа, в которых понимание формы облегчено и не вызывает трудностей.
В чем особенность таких рисунков? Предмет на них изображен в таком повороте, когда мы одновременно видим три его стороны в их естественном взаимном расположении. Три стороны предмета дает нам и комплексный чертеж, но беда в том, что они разобщены на его проекциях и сочетать их в своем воображении нелегко. Почему же не применить именно более наглядные рисунки для технических чертежей в качестве основного способа изображения?
2
На рисунке 22 параллелепипед (спичечная коробка) изображен в соответствии с требованиями комплексного чертежа. Достоинства и недостатки изображения видны отчетливо: чертеж несложен для построения и снятия с него размеров, но лишен наглядности.
Повернем коробку под каким-то углом к плоскостям проекций и построим ее изображение снова. Нельзя не признать, что изображение значительно выиграло в наглядности (рис. 23). Но как это отразилось на передаче геометрических признаков коробки? Появились скрытые ранее искажения: сократилась длина ребер, прямоугольные грани коробки стали параллелограммами, прямые углы — острыми и тупыми. Но это еще не все. Значительно усложнился процесс построения чертежа. Давая чертеж в законченном виде, мы не привели объяснений к его построению, потому что они слишком трудны для читателя и потребовали бы от него знания довольно сложных приемов. Этого уже достаточно, чтобы предпочесть первый, более простой способ построения. Наглядность требует слишком больших жертв!
И все же стоит еще подумать. Построение усложнилось потому, что мы изменили положение проецируемого тела, нетро-. гая осей проекций. Поэтому пришлось определять искажения каждого элемента коробки, ибо эти элементы стали наклонными к плоскостям проекций.
Но ведь можно поступить иначе. Повернем коробку вместе с координатными осями ОХ и OY, которые будут неотрывно следовать за ней. В новом положении спроецируем систему осей вместе с коробкой на одну плоскость проекций, которую мысленно совместим со страницей нашей книги. Проецирующие
лучи падают под прямым углом на плоскость чертежа. На рисунке 24 дано наглядное изображение, показывающее способ проецирования, на рисунке 25 — его конечный результат. Изображение по наглядности не уступает тому, что мы видели на рисунке 23; сохранились примерно те же искажения. Но главная задача — облегчение построения — решена. Достаточно и одной проекции вместо трех, так как на ней изобразились все три координатные оси и все три измерения предмета. И поскольку оси координат были повернуты вместе с предметом, искажения длины самих осей и параллельных им ребер коробки оказались одинаковыми. Но какова величина этих искажений?
Отношение длины проекции отрезка на чертеже к его истинной длине называют коэффициентом (или показателем) искажения. Если мы знаем его величину, то, строя чертеж, обязаны принять ее во внимание и откладывать оси координат и параллельные им элементы предмета с поправкой на этот коэффициент, умножая истинный размер элемента на его величину. Но чему же равен этот показатель на нашем рисунке? Определить его не так-то просто.
Не правда ли, положение усложняется с каждым шагом? Но мы говорили выше о цене расплаты за удобство пользованием плоским чертежом, изображающим объемные предметы. За наглядность придется расплачиваться, как за дополнительное удобство.
ДВА СЛОВА ПО-ГРЕЧЕСКИ
Изображение, показанное на рисунке 25, называется аксонометрическим. В данном случае перед нами одна из разновидностей аксонометрии, знакомая по средней школе изометрическая проекция. Слово «аксонометрия» составлено из двух греческих слов: «аксос» — ось и «метрео» — измеряю. Оно означает, таким образом, «измерение по осям».
Аксонометрические изображения наглядны. Йо этим еще не исчерпываются их достоинства. Еще более нагляден перспективный рисунок, а тем более фотография. Зная показатели искажения по каждой из трех аксонометрических осей, изображающих оси координат, можно установить истинные размеры любого элемента предмета по чертежу. На перспективном рисунке или фотографии это было бы во много раз труднее.
Создание метода аксонометрических проекций заполнило существенный пробел, отделяющий чрезвычайно условный по форме комплексный чертеж от перспективных изображений, обладающих большой наглядностью, но неудобных для определения размеров.
Аксонометрические изображения и комплексный чертеж составляют ныне два основных раздела начертательной геометрии, которыми должен свободно владеть инженер. Другая, не столь заметная на первый взгляд ценность их заключается в том, что они математически точно вскрывают геометрическую основу рисунка, как бы обнажают его линейный скелет. Притом это делается в облегченной форме, так как здесь отсутствуют те особые искажения, которые свойственны перспективному рисунку. Поэтому аксонометрию можно считать первой школой правильного построения рисунка какого-либо предмета. Правда, выполняя такой чертеж-рисунок, мы на одном изображении одновременно показываем все три измерения предмета и это усложняет процесс построения, анализ геометрической структуры предмета. Но в этом одновременно заключена и особая образовательная ценность таких построений.
Гаспар Монж в своем труде не коснулся этой проблемы. Эту долю труда взяли на себя другие ученые, развившие плодотворные идеи, заложенные в работе Монжа.
С того момента, когда определяются контуры новой научной дисциплины, более или менее четко обозначается круг вопросов, которыми она будет заниматься, начинается дальнейшее развитие и разработка ее идей. Это чрезвычайно сложный и интересный процесс. Каждый из ученых, работающих в данной области, вносит свою долю в развитие новой науки, обогащая eez как в целом, так и в тех разделах, которые почему-либо его особенно заинтересовали. В результате огромного непрекра-щающегося коллективного труда новая наука разветвляется на отрасли, которые обслуживают многие области практики.
В разработку идей Монжа включились математики и инженеры, педагоги и художники. И через сто лет был накоплен внушительный материал, разноо'бразный по содержанию и назначению. Ныне методы начертательной геометрии нашли применение и в тех науках, которые, казалось бы, довольно далеки от нее: в кристаллографии и химии, в оптйке и металлографии, в ряде других дисциплин, не говоря уже о технике, для нужд которой эта наука в сущности и была разработана.
Кто начал пропаганду идей Монжа в России? Как и когда вошли в содержание новой науки методы аксонометрических изображений?
ПЕРВЫЙ В РОССИИ
В 1817 году в Санкт-Петербургской морской типографии была отпечатана книжечка небольшого формата под названием «Беседа с музами». Автором ее был молодой поэт Яков Севастьянов. Хотя в ту пору уже были известны чеканные и мужественные стихи Александра Пушкина, певцы любовной грусти и томительных вздохов еще продолжали воспевать в своих элегиях прелесть пастушеской жизни и коварные козни ветреной Дорисы. Не избежал этой завезенной из-за границы моды и Яков Севастьянов. Однако в оправдание юноши можно сослаться на собственное мнение его о своих стихах. В стихотворении «К друзьям» он писал:
Верно, звуков не боитесь Песни жалкой и простой, Лютни тон моей нескладный<..
Да он и не был поэтом. Капризная муза поэзии была лишь кратковременным увлечением его юности, какой-то данью моде. Севастьянова влекло к себе другое поприще. Он глубоко заинтересовался новой наукой — начертательной геометрией,которую впервые в России, в недавно открывшемся Институте инженеров путей сообщения, читал француз К. Потье, сам прослушавший курс лекций у Монжа.
Севастьянов начал с того, что перевел на русский язык учебник, написанный Потье. Так начиналась эстафета идей новой науки. Роль первого ее пропагандиста в нашей стране выпала на долю Я. А. Севастьянова. Он взял на себя этот труд, вполне сознавая важность стоявшей перед ним задачи.
«Я имел в виду ввести в мое отечество одну из полезных отраслей человеческих познаний»,— писал Севастьянов в предисловии к одному из своих учебников. В 1830 году была напечатана его интересная и оригинальная работа «Приложение начертательной геометрии к рисованию». Время сентиментальных стихов для автора миновало безвозвратно. Но нет-нет, да и прозвучат в строгих формулировках учебника отголоски былого увлечения языком поэзии. Достойна внимания художественная зоркость автора, его наблюдения над явлениями природы, замечания о воздушной дымке, об окраске облаков, освещенных заходящим солнцем.
В деятельности Я- А. Севастьянова проявились черты, характерные для развития русской науки вообще, стремление найти пути приложения теории к практике. В своих книгах Яков Александрович начал плодотворную разработку вопросов практического приложения метода начертательной геометрии к составлению картографических проекций, к гномонике (сооружению солнечных часов), к изобразительному искусству. Уже при жизни Я. А. Севастьянова начертательная геометрия была по достоинству оценена в России и вошла в учебные планы многих гражданских и военных учебных заведений.
«Когда же просвещенные теорией сей науки,— писал Я. А. Севастьянов,— строители, художники и управляющие ремесленными мастерскими языком оной будут передавать нам наблюдения по части их занятий, тогда отечественная словесность начертательной геометрии весьма обогатится».
Так оно и произошло. В разработку новой науки включились многие ученые нашей страны, обогатив ее многими плодотворными идеями, широко используемыми ныне в различных отраслях знания. Назовем несколько имен русских ученых, много сделавших для развития новой науки: профессор Института путей сообщения А. X. Редер, академик И. И. Сомов, профессор Петербургского технологического института Н. И. Макаров, известный строитель железных дорог и выдающийся ученый, профессор В. И. Курдюмов и многие другие.
Разработка метода аксонометрических проекций заняла большое место в трудах наших ученых. Первая книга об изометрической проекции в России появилась в 1861 году. Автором ее был А. X. Редер. Свой вклад в развитие учебной литературы по этому разделу внесли В. И. Курдюмов и Н. И. Макаров. Курс начертательной геометрии, изданный В. И. Курдюмовым, был капитальным научным трудом, насчитывавшим более 1100 страниц: В. И. Курдюмову принадлежит введение важного в
аксонометрии термина «вторичные проекции», с которым мы встретимся впоследствии, и разработка вопросов приложения аксонометрии к решению геометрических задач и построению теней.
В числе учеников В. И. Курдюмова был ставший известным впоследствии ученый, профессор Н. А. Рынин, много сделавший для популяризации этой науки.
НАУКА И ЖИЗНЬ
Первое десятилетие нашего века в России было отмечено огромным интересом к воздухоплаванию и авиации. В Петербурге был создан Всероссийский аэроклуб. Одним из основателей его явился Н. А. Рынин. Поставив своей целью получить звание пилота воздушного шара, он, начиная с 1910 года, совершает ряд полетов. Воздушные потоки относят аэростаты в разные концы страны. Корзины с отважными аэронавтами приземляются то возле Вильнюса, то среди финских озер, то на берегах Волги. Но этого мало. Молодого ученого привлекает аэроплан (так называли тогда самолет), делающий свои первые полеты. Без тени страха поднимается он на «летающую этажерку», французскую машину «Фарман», приобретенную аэроклубом. Он садится за пилотом на узкую скамеечку, весь открытый игре воздушных потоков, и на этой ненадежной деревянной птице взвивается вверх.
Затем новые впечатления: полет на змейковом аэростате и подъем на воздушных змеях, теперь забытый вид воздушного
спорта.
Несмотря на математически отвлеченный, казалось бы, ха-
Н. А. Рыниным научной специальности, он
рактер избранной
Н. А. Рынин
во всех отношениях был далек от излюбленного литературой образа кабинетного ученого. Его неудержимо привлекало все новое, все то, где в борьбе за покорение законов природы проявлял себя возмужавший человеческий гений. Широко образованный инженер, прекрасно владевший математикой, он был свидетелем и участником технической перестройки, которую начали передовые люди еще в годы царизма.
Окончив в 1896 году Симбирскую гимназию, он поступает в Институт путей сообщения в Петербурге. Через два года едет на практику во Францию, где на одном из заводов Лилля работает в качестве слесаря и по
мощника машиниста на железной дороге. Затем его командируют на Парижскую всемирную выставку для осмотра инженерных сооружений. Он едет на строительство знаменитого в те годы Симплонского туннеля длиной почти 20 км, который должен был соединить железной дорогой Швейцарию и Италию, прорезав недра Симплонского перевала в Альпах. В 1904 году пароход «Лукания» везет молодого инженера в Соединенные Штаты Америки. 1913 год застает Рынина снова во Франции. Он знакомится с лабораторией Эйфеля, строителя известной башни в Париже. Через год поднимается на первом русском многомоторном самолете «Илья Муромец», а накануне первой мировой войны летит на «цеппелине» в Германию. Он участвует в постройке первой аэродинамической лаборатории, где работает с «отцом русской авиации», выдающимся деятелем науки Н. Е. Жуковским. Его научный труд «Теория авиации» получил одобрение Жуковского.
После революции, в 1923 году, Н. А. Рынина приглашают в качестве консуЛь'танта в бюро по освоению стратосферы. В то же время ученый с кипучей энергией отдается изучению проблемы межпланетных сообщений, изучает и собирает обширный материал по этому вопросу и публикует фундаментальное исследование в девяти книгах под общим названием «Межпланетные сообщения». Основоположник теории ракетного движения, гениальный ученый К. Э. Циолковский по просьбе Н. А. Рынина присылает ему свою автобиографию, и книга о глухом калужском учителе, пронесшем через всю свою жизнь дерзновенную мечту о покорении космоса, занимает свое место в серии книг, выпущенных Н. А. Рыниным. Книга вышла в 1931 году под названием «Русский изобретатель и ученый К. Э. Циолковский».
Широта научно-технических интересов Н. А. Рынина отразилась и в книгах, написанных им по своему предмету. Непрестанное внимание уделял он популяризации любимой науки и расширению круга ее практических приложений в самых разнообразных областях. Он использует методы начертательной геометрии для решения задач механики и расчета освещенности помещений, работает над применением ее в авиации, аэрофотосъемке, кинематографии и военном деле.
В 1922 году Н. А. Рынин напечатал отдельной книгой курс, носивший название «Аксонометрия». Развивая идеи своего учителя В. И. Курдюмова, Николай Алексеевич поставил своей целью широко популяризировать методы аксонометрических изображений и разработать общие приемы решения задач в данной области независимо от характера проектирования: прямоугольного или косоугольного. В книге приведены интересные примеры использования метода аксонометрии для решения задач из области механики. Автор включил также в ее содержание исторический обзор развития данного метода изображений.
Большой вклад в развитие и совершенствование методов начертательной геометрии внесли советские ученые. Не имея возможности дать даже краткий обзор проделанного в данной области, отметим разработанную сравнительно в недавние годы теорию построения полных изображений для нужд геометрии, тесно смыкающуюся с общей теорией аксонометрических проекций. Методы выполнения чертежей в стереометрии, используемые в средней школе, дают возможность осуществлять решение задач на построение с исчерпывающей точностью и наглядностью. Произвольные, чисто иллюстративные чертежи, которые сравнительно недавно еще встречались в учебниках по геометрии, ныне заменены правильно построенными изображениями. Разработка общей теории параллельных проекций па полных изображениях была проведена крупным советским специалистом, профессором Н. Ф. Четверухиным.
МЕТОД НАХОДИТ ОПРАВДАНИЕ
На примере изометрической проекции спичечной коробки (рис. 25) мы познакомились с несомненными достоинствами этого метода изображений. Вспомним его особенности. На чертеже строят три оси OX, OY и OZ, которые пересекаются в одной точке и образуют между собой равные углы, по 120° каждый. Затем в определенном порядке откладывают размеры каждого из трех измерений предмета параллельно соответствующим осям, определяют положение вершин и граней, строят точное и наглядное изображение. При этом учащийся обычно не задумывается над тем, по каким причинам полученное изображение может считаться точным. Почему например, оси нужно строить под углом 120°? Почему в косоугольной диметрическон проекции сокращают размеры вдоль оси OY вдвое, а в изометрической проекции этого дедать не нужно?
Что вообще является мерилом правильности изображения?
Мы вновь возвращаемся к вопросу о происхождении метода проекций. Вспомните, как теоретически обосновывается способ получения изометрической проекции. Предмет вместе с сопровождающими его осями координат мысленно поворачивают и ставят в определенное положение перед плоскостью аксонометрических проекций. Затем с помощью воображаемых проецирующих лучей предмет вместе с осями проецируют на плоскость. Для чего учитель, пользуясь моделью куба, сначала поворачивает ее на 45° вокруг вертикальной оси, а затем наклоняет вперед так, чтобы внутренняя диагональ куба стала пер-пендикулйрной классной доске. Последовательность поворотов показана на рисунке 26. .Зачем они нужны, эти повороты? Только для того, чтобы ребра, сходящиеся в одной вершине, расположились под одинаковым углом к плоскости проекций. Зачем? Потому что тогда все три его ребра, а следовательно, и
аксонометрические осп, которым они параллельны, будут искажаться в одинаковой степени. В этом случае величина этого одинакового сокращения составляет 0,82 ребра оригинала или первоначальной длины отрезков осей координат.
Но мы-то с вами прекрасно знаем, что, желая получить изометрическую проекцию детали, мы вовсе никуда ее не поворачиваем, а строим три оси-и откладываем параллельно им соответствующие размеры элементов детали. Так зачем же нужна вся эта «процедура» с поворотами модели? Она имеет такое же значение, как доказательство теоремы в геометрии. Предварительные повороты воспроизводят то положение модели, при котором только и возможно получение одинаковых показателей искажения по всем трем осям. Ведь это заведомо удобно для упрощения вычислений, наконец, один показатель легче запомнить, чем три, если бы они были различны по каждой из осей. А это обязательно произошло бы, если бы оси координат были под разными углами наклонены к плоскости проекций. Значит, ясно, что здесь с самого начала была поставлена определенная цель — найти такое положение осей, при котором показатели искажения для всех трех были бы одинаковы.
Теперь, запомнив это предварительное условие, осознав его целесообразность, попробуем определить порядок построения изображения в изометрической проекции и величину показателей искажения. Возьмем и мы проволочную модель куба и три ребра, сходящиеся в одной из его вершин, примем за оси коор-
4 Заказ № 4104 49
Рис. 27
динат х, у и г. Проведем плоскость проекций так, чтобы она отсекала три этих ребра от остальной части куба (рис. 27). Три ребра вместе с частью плоскости образуют треугольную правильную пирамиду с вершиной в точке О. Пирамида правильная потому, что каждое из трех одинаковых по длине ребер наклонено под одинаковым углом к плоскости проекций, в которой и лежит основание пирамиды. А это нам и нужно,
Из точки О опустим пер
пендикуляр на основание пирамиды, чтобы найти на нем проекцию вершины О. Он придет в точку О| основания. Соеди
нив эту точку с тремя вершинами основания, найдем три проекции осей координат OX, OY и OZ, т.е. аксонометрические оси. Эти оси являются биссектрисами трех углов треугольника
основания пирамиды.
Затем из вершины О пирамиды опустим перпендикуляр ОК на одну сторону ее основания. Он явится высотой одной из боковых граней пирамиды XOY. В прямоугольном треугольнике ОКХ угол при вершине X равен 45°, как острый угол равнобедренного прямоугольного треугольника. Отсюда КХ=ОХХ Xcos 45°= ихУ2 .
Рассмотрим другой прямоугольный треугольник — О\КХ, который является проекцией половины боковой грани пирамиды, т. е. рассмотренного нами треугольника ОКХ на основание пирамиды. Он также будет иметь прямой угол при вершине К и угол в 60° при вершине Oh так как он равен половине угла YOtX, равного 120°. Значит, угол при вершине X этого треугольника будет равен 30°. Поэтому:
7<X=01X.cos300=01J. .
Таким образом мы дважды нашли выражение отрезка КХ, который являлся общей стороной двух треугольников — ОКХ и О\КХ. Но шам нужен не он, а приведенное выше отношение
т. е. отношение проекции отрезка ОХ к его истинной величине. Приравняем значение КХ из обоих выражений.’
nv V2 п Y V3 0}Х }2 1,414 оо
ОХ — = О[Х• —.откуда ш —-----^0,82.
2 2 J ОХ уз 1,732
Так мы получили известную нам величину Показателя искажения одной из осей координат (оси ОХ). Но совершенно очевидно, что подобные результаты мы получим и для двух других осей — OY и OZ, так как отрезки эти равны по длине и одинаково наклонены к основанию пирамиды — плоскости проекций.
Отметим одну важную особенность. Опуская перпендикуляр ОО[ на плоскость проекций, нужно учесть, что он совпадает с внутренней диагональю куба-модели. Тот факт, что эта диагональ куба образует прямой угол с плоскостью, отсекающей три ребра, сходящиеся в одной вершине, доказывается в школьном учебнике геометрии для IX класса.
Что же касается вычисленного нами показателя искажения 0,82, то теоретически он, несомненно, важен. Нона практике нет нужды каждый раз пересчитывать исходные размеры модели или детали, умножая их на один и тот же показатель. Что, если этого умножения не делать, а откладывать истинную величину элементов предмета? Изображение получится тем же по форме, но только в 1:0,82=1,22 раза крупнее оригинала. При этом сохраняются полностью пропорции предмета, и некоторое увеличение размеров изображения не отражается на его наглядности. Зато получается определенная экономия труда при построении, а также при снятии размеров с изометрической
проекции.
Второй вид аксонометрии, изучаемый в средней школе, носит название косоугольной фронтальной диметрической проекции, которую мы для некоторого упрощения будем называть косоугольной диметрической или даже просто косоугольной (рис. 28).
Косоугольная диметрическая проекция имеет свои особен-
ности. Величина углов между аксонометрическими осями здесь неодинакова: оси ОХ и OZ образуют между собой прямой угол, а каждая из них составляет угол в 135° с осью 0Y. Показатели
искажения по осям ОХ и OZ равны кладывать размер^ предмета, параллельные этим осям, без изменения. Но размер, параллельный оси OY, сокращается вдвое, т. е. показатель искажен, здесь равен 0,5.
Достоинством данного вида аксонометрической проекции является то, что грань предмета, параллельная осям ОХ и OZ, или, что то же самое, плоскости проекций, строится без искажений размеров и углов. Это особенно удобно для построения изображения предметов, содержащих кривые линии (например, цилиндр с круговым основа
единице, что позволяет рт-
нием). Расположив основание цилиндра параллельно плоскости проекций, мы вычерчиваем его в виде окружности. Зато в проекциях фигур, расположенных не параллельно фронтальной плоскости, от искажений избавиться уже нельзя. Прямые углы становятся либо острыми, либо тупыми, окружность изображается наклонным эллипсом. А это делает изображение недостаточно наглядным и трудным для построения.
Иногда не все учащиеся правильно воспринимают особенности искажений, возникающих при любом виде проецирования трехмерного предмета на плоскость. Например, порой приходится слышать мнение о том, что комплексный чертеж нашел преимущественное распространение в техническом черчении потому, что он не содержит искажений размеров предмета. Такое мнение неправильно. Уже отмечалось, что изображение предмета, содержащего три измерения пространства, полученное на плоскости, неизбежно будет содержать искажения. Говорят, что грани куба на комплексном чертеже остались квадратами — значит, этот чертеж не содержит искажений. Так ли это? Конечно, нет. Да, без искажений изобразились в сущности только две грани куба — передняя и задняя, сливающаяся с ней. Зато остальные четыре грани куба как бы исчезли, а вернее, спрое-цировались в отрезки прямых, ограничивающие построенный квадрат. И это происходит на всех трех проекциях куба.
Конечно, эти недочеты не могут скрыть достоинств комплексного чертежа, обеспечивших ему преимущественное применение для нужд техники. Но и не отдавать себе отчет в сказанном выше тоже нельзя. Основное достоинство комплексного чертежа состоит в том, что при его построении сочетаются два преимущества перед аксонометрией: первое — без искажения строятся на каждой проекции два измерения из трех; второе — на каждой проекции отсутствует одно из трех измерений предмета, что существенно упрощает его построение.
Что же касается характера искажений, возникающих при изображении предметов, то их можно разделить на искажения длин отрезков (линейные искажения) и величин углов (угловые искажения). Такая классификация искажений на две группы применяется в картографических проекциях, где используется множество принципиально различных методов проецирования, каждый из которых отличается особенностями присущих ему искажений. Но и в тех методах проецирования, с которыми мы знакомимся в школе, как мы видели, искажения носят различный характер. Величина показателей искажения для каждой из аксонометрических проекций не случайна, а может быть вычислена, как это мы сделали для изометрической проекции.
ЗАДАЧИ НА РИСУНКЕ
На рисунке 29 изображена в -изометрической проекции часть комнаты. На полу стоит складная лестница стремянка. Если, как это мы будем делать и далее, принять за направление аксонометрических осей линии пересечения стен между собой и полом, то определить, например, размеры окна будет нетрудно, поскольку чертеж будет сопровождаться масштабом. Труднее будет узнать длину каждой из двух лестниц стремянки, которые, конечно, одинаковы, хотя на чертеже это выглядит не так. Причина различий в длине между лестница-
Рис. 29
ми заключается в том, что они не параллельны друг другу и ни одной из трех осей проекций.
Очевидно, прямое измерение длины лестниц по чертежу бессмысленно. Однако найти решение нетрудно. Для этого нужно восстановить истинные размеры равнобедренного треугольника, который составлен обеими лестницами и расстоянием между
пола.
ними на уровне
13*. Определить, во сколько раз длина брусьев стремянки превышает высоту окна, изображенного на рисунке 29.
Рис. 30
А следующая задача другого рода. Здесь не нужно ничего строить, измерять. Нужно хорошо представлять предмет по его изображению.
Рис. 31
Рис. 33
14*. На рисунке 30 даны изображения пар плиток. В какой паре плитки можно сложить так, чтобы выступы одной вошли во впадины другой?
В следующих задачах от читателя потребуется умение использовать основные свойства аксонометрических изображений. Заметьте, что собственно аксонометрические оси на рисунках отсутствуют. Однако там можно найти линии, которые заменяют эти оси, являясь одновременно контурами реальных предметов, присутствующих на рисунке.
15*. В косоугольной диметрическон проекции изображен куб и одна из его диагоналей (рис. 28). Определите угол, который образует эта диагональ с основанием куба, т. е. с диагональю основания, которая показана на рисунке штриховой линией.
16*. Определите длину стрелы крана в масштабе чертежа (рис. 31). Чертеж построен в изометрической проекции.
17. Какой угол образует с горизонтальной плоскостью центральный стержень (излучатель) радиолокационной антенны (рис. 32)? Чертеж построен в изометрической проекции.
18*. В косоугольной диметрическон проекции изображен угол комнаты (рис. 33). На полу лежит щит прямоугольной формы. Постройте изображение щита в положении, когда он, повернутый вокруг стороны АВ, коснется стороной CD левой стены. Затем постройте второй вариант положения шита: из исходного положения поверните щит вокруг стороны ВС до касания стороны AD с задней, фронтально расположенной стеной.
Обратите внимание на одну из задач, приведенных выше. Это задача об определении величины угла, образованного диагональю куба с его основанием. Над ней стоит подумать. С помощью несложного рисунка, построенного простыми
приемами, мы определили объективно существующую геометрическую закономерность. Для этого не понадобилась модель куба, которая, кстати сказать, оказалась бы менее удобной для измерений. Задача была решена средствами, которыми располагает аксонометрическое изображение, несмотря на то что интересующая нас величина угла на нем была изображена заведомо с искажением. Полученное решение имеет универсальный характер: величина угла относится не только к данному конкретному кубу, который изображен на рисунке, но и ко всем кубам вообще. Кстати, полученный ответ имеет для нас и специальное значение. Вспомните, что именно на этот угол нужно наклонить предмет после поворота, для того чтобы изобразить его в изометрической проекции.
ОТ СЛЕДСТВИЯ К ПРИЧИНЕ
Познакомившись с теоретическим обоснованием изометрической проекции, попробуем теперь найти условия, при которых образуется косоугольная диметрическая проекция. Будет ли направление проецирующих лучей в этом случае составлять прямой угол с плоскостью аксонометрической проекции? Очевидно, нет. Получить изображение куба на рисунке 28 при прямоугольном проецировании невозможно. С его помощью можно получить лишь изображение фронтальной грани куба в виде квадрата без искажений. Но боковые грани куба, видимые на рисунке 28, при этом не будут видны.
Принципиальное отличие рассматриваемой косоугольной проекции от изометрической и заключается в том, что она получена с помощью проецирующих лучей, которые падают под острым углом на плоскость проекций, тогда как изометрическая проекция — результат прямоугольного проецирования.
Должен ли упомянутый острый угол иметь вполне определенную величину, чтобы полученное изображение соответствовало приведенным выше параметрам (угол между осями, величина коэффициентов искажения)? Может ли этот угол быть призвольно взятым, лишь бы он не был прямым?
Поищем ответ на поставленные выше вопросы.
На рисунке 34 а даны развернутые плоскости проекций комплексного чертежа. Здесь сохранены контуры границ между плоскостями проекций и оси проекций. Если судить по горизонтальной и профильной проекциям, своей задней гранью куб касается фронтальной плоскости V. Однако его изображение на этой плоскости не соответствует тому, что должно получиться в результате прямоугольного (ортогонального) проецирования. Это изображение построено в косоугольной диметрическон проекции.
В чем дело? Мы разрешили себе некоторую вольность. В отличие от двух остальных изображение на плоскости V построе-
2
но с помощью наклонно падающих проецирующих лучей. Такое смешение разных способов проецирования в одном чертеже вообще недопустимо, но в данном случае мы применили его в исследовательских целях, временно превратив чертеж в своеобразную лабораторию. Наша цель — определить, как расположены наклонные проецирующие лучи по отношению к плоскостям проекций, для того чтобы они могли образовать на плоскости косоугольную диметрнческую проекцию. Практические способы построения таких проекций были усвоены в VII классе. Вы приняли их как готовые рецепты, которыми пользовались на практике, не рассматривая характеристику проецирующих лучей, причастных к образованию начерченных вами изображений. Теперь мы можем рассмотреть этот вопрос глубже, найти обоснование применявшимся способам построения. Для этого по готовому чертежу понадобится восстановить (реконструировать) путь лучей, переносивших каждую точку предмета (оригинала) в определенную точку проекции.
Условимся, что фронтальная плоскость V, на которой обычно строится главный вид чертежа, будет одновременно использоваться нами как аксонометрическая плоскость проекций, а две другие плоскости (Н и IV) сохраним в качестве подсобного аппарата для задуманного исследования. Задняя грань куба,
А
Рис. 34 б линий связи а'ег и b'fr. В
. как видно из рисунка 34, а, совмещена с плоскостью V и находится в проекционном соответствии с горизонтальной и профильной проекциями ее. Остальные элементы куба (передняя, боковая и верхняя грани) дочерчены без опоры на другие проекции, а просто известными нам приемами построения.
Как же можно связать это изображение с двумя остальными проекциями? Как должны идти линии связи, переносящие проекции отдельных точек с одного вида на другой? Отнесем эти вопросы непосредственно к изображению передней грани куба a'b'e'f', которая явно нарушает проекционные связи чертежа, применяемые при прямоугольном проецировании.
Сначала построим отрезки
точках ех и fx линия связи должна получить излом, так как остальная ее часть служит как бы проекцией луча, переносящего вершину Е куба в точку, изображающую ее на чертеже.
5 6 7
Линия еех и является этой проекцией. Аналогично строну линию М на виде сверху и обе наклонные линии связи на профильной проекции. Поскольку проекции проецирующего луча построены, его положение в пространстве зафиксировано, а следовательно, можно замерить его параметры.
Теперь определим угол, который образуют проекции луча fxf с плоскостью V, или, что то же самое, с осями ОХ и OZ. Рассмотрим прямоугольный треугольник ffxhx. Ему принадлежит искомый угол, находящийся при вершине fx. Определим величину угла а.
Примем длину ребра куба за единицу. Из чертежа видно, что катет fxhx рассматриваемого треугольника равен отрезку b'k на плоскости V. Но этот отрезок в свою очередь является катетом равнобедренного прямоугольного треугольника b'd'k, так как гипотенуза его по правилам данной проекции образует углы в 45° с катетами. При этом длина гипотенузы b'd' по по-’ строению будет равна 0,5. Отсюда b'k=b'd' cos 45°. Подставляя
числовые значения, получим «0,353. Значит, отре-
зок fxhx, равный b'k, также равен 0,353. А так как катет тре
угольника fhx по условию равен единице, то тангенс искомого
угла составит=2,83. По таблице определим угол а. Он ра-0,353
вен 70°32', или, приблизительно, 70,5°.
Зная теперь точное расположение проецирующих лучей в пространстве, мы можем с их помощью строить наглядное изображение.
На рисунке 35 показано построение косоугольной диметри-
Z
Y
Рис. 35
ческой проекции технической детали (угольник с ребром), в котором решающую роль будет играть определенная нами величина угла а. Даны две прямоугольные проекции угольника: горизонтальная и профильная. Плоскость V примем за плоскость аксонометрических проекций, и на ней будем строить изображение в косоугольной проекции. Из всех вершин обеих проекций проведем под углом 70,5° наклонные линии связи к осям проекций ОХ и OZ. Затем тщательно, не допуская ошибок,
проведем продолжения линии связи параллельно соответствующим осям проекций и найдем точки пересечения линий, идущих от одноименных вершин предмета. Соединив эти точки, найдем, что полученное изображение полностью соответствует требованиям косоугольной диметрической проекции: ребра, идущие в глубину, образуют угол 45° с осью ОХ и сократились по длине вдвое. Между тем, строя чертеж таким способом, мы не откладывали угла в 45°, не сокращали вдвое длину ребер. Все это как бы получилось само собой, автоматически, в результате использования наклона проецирующих лучей, образующих данный вид аксонометрической проекции.
Конечно, на практике мы не будем применять такое построение, отличающееся излишней сложностью, но важно то, что мы па этом примере теоретически обосновали форму полученной проекции, убедились в том, что при данном направлении проецирующих лучей глубинные ребра должны строиться под углом в 45° к горизонтальному направлению и по длине сокращаться вдвое.
Выше мы определили величину угла, под которым расположены проекции проецирующих лучей по отношению к плоскости V, игравшей роль плоскости аксонометрических проекций. Проекции лучей были изображены на обычных плоскостях комплексного иертежа— горизонтальной и профильной (Н и №). Найденный угол позволил воспроизвести косоугольную диметри-ческую проекцию предмета, заданного двумя прямоугольными проекциями, и тем самым обосновал правильность полученного результата.
Однако, в практике построений такого рода названные плоскости прямоугольных проекций не нужны, а, следовательно, нет нужды прибегать и к проекциям лучей, которые понадобились только для того, чтобы нагляднее представить их положение в пространстве. Но мы не знаем, под каким углом падают на плоскость проекций сами проецирующие лучи, а не их проекции. Этот угол вовсе че будет равен 70,5°. На рисунке 34, б дано наглядное изображение образования косоугольной диметрической проекции куба, которое поможет нам разобраться в различии интересующих нас углов. Из пучка параллельных проецирующих лучей на рисунке показаны условно только два луча: луч £fi, переносящий вершину куба F в точку f\ изображения, и луч Е1\, который строит проекцию вершины Е. Буквой а обозначен угол, величина которого равна 70,5°, а интересую
щий нас угол обозначен через р. Он является острым углом прямоугольного треугольника GEli. Катет EG по условию равен единице, катет Gl\ равен 0,5. Следовательно, тангенс угла р равен 2:1=2, чему по таблице соответствует величина угла р = 63°26'.
Какую роль играет именно этот угол в получении косоугольной диметрической проекции? Он определяет сокращение
вдвое длины ребер, идущих в глубину от наблюдателя, т. е. параллельных оси OY. На рисунке 34 а эту обязанность взяли на себя проекции этих лучей и выполнили ее правильно. А то обстоятельство, что проецирующие лучи образуют одинаковые углы с осями координат ОХ и OZ, обеспечило образование угла в 45° этих ребер с теми же осями.
* Теперь представим себе, что проецирующий луч Eli, выходящий из вершины Е (рис. 34,6), концом стал описывать окружность, показанную штриховой линией. Луч образует в пространстве коническую поверхность, сохраняя неизменным угол ее с плоскостью V, равный 63°26'. Как будет при этом меняться изображение куба, если представить себе, что все проецирующие лучи пучка следуют за движением луча Eli? Вообще таких проекций может быть получено бесчисленное множество. На рисунке 34, в показано только восемь вариантов из этого множества, полученных при поворотах пучка параллельных лучей через каждые 45°. В центре рисунка условным квадратом показан куб-оригинал, стрелки показывают общий наклон пучка проецирующих лучей, падающих сверху и проецирующих куб на плоскость, расположенную под ним и совпадающую с плоскостью книжной страницы. На всех восьми изображениях куба его вертикальные ребра сократились по длине вдвое, а фронтальные (в данном случае параллельные книжной странице) грани куба не претерпели искажений. Сокращение вдвое вертикальных ребер является следствием величины угла 0 = 63°26'. Но только четыре изображения отвечают требованиям нужной нам проекции. Они расположены по углам рисунка. Остальные четыре принципиально возможны, но не обладают нужной наглядностью, так как ось глубины (OY) является продолжением либо оси ОХ, либо оси OZ.
Теперь сама «механика» образования изображения куба в косоугольной диметрнческой проекции должна стать ясной, как и роль углов 0 и а. О роли угла р, равного 63°26', было сказано выше (он берет на себя функцию сокращения длины глубинных ребер вдвое), тогда как угол а фиксирует ориентацию проецирующих лучей в пространстве относительно осей ОХ и OZ, и только в четырех случаях из бесчисленного множества вариантов (/, 3, 5, 7) он становится одинаковым для горизонтальной и профильной проекций лучей и образует угол 45° проекции глубинных ребер на самом изображении, который и характерен для рассматриваемой нами аксонометрической проекции.
Итак, идя от следствия к причине, от готового изображения к выяснению расположения образующих его проецирующих лучей, мы определили точно это расположение и возможные его варианты, что при желании можно проделать и по отношению к любой другой косоугольной проекции, если мы хотим обосновать условия ее образования. Для этого необходимо лишь выяснить коэффициенты искажения по каждой из трех осей коор
динат и углы, под которыми располагаются их проекции (т. е. аксонометрические оси) по отношению друг к другу на изображении.
В школьном курсе черчения учащихся знакомят лишь с одной разновидностью косоугольных проекций. Государственный стандарт ЕСКД (Единая система конструкторской документации) рекомендует и некоторые другие разновидности косоугольных проекций: фронтальную и горизонтальную изометрические проекции. Выше уже говорилось, что вообще может существовать бесчисленное множество как косоугольных, так и прямоугольных аксонометрических проекций. При этом косоугольные проекции допускают большую свободу выбора направления осей проекций и показателей искажения по каждой из них. Поэтому при изображении фигур в курсе стереометрии учителя математики обычно пользуются произвольными параллельными косоугольными проекциями. Они не строят при этом аксонометрических осей, так как не откладывают длины элементов геометрических тел, в чем нет необходимости при решении позиционных задач, но соблюдают основные свойства параллельных проекций вообще, т. е. таких, какие образуются параллельно падающими проецирующими лучами. Эти свойства являются общими и для технического чертежа, для аксонометрических проекций и для наглядных изображений, которые строит учитель геометрии на классной доске.
ДЖИНН ВЫПУЩЕН ИЗ СОСУДА
На многих чертежах, приведенных выше и в том числе на рисунках 34 а, б, в, вы не раз могли убедиться в том, что отдельные элементы предмета изображаются с искажениями длин и углов, которые они образуют с другими элементами. Важно выяснить, с чем связана величина этих искажений и относится ли она ко всем элементам предмета. Она связана с определен-
ными свойствами проекции, которые зависят от нескольких причин: от угла, под которым падают проецирующие лучи на плоскость проекций, и от расположения самого оригинала (проецируемого предмета) по отношению к той же плоскости.
Сначала рассмотрим несколько примеров. На рисунке 36 показаны две проекции куба, образованные наклонно падающими проецирующими лучами, параллельными гори
Рис. 36
зонтальной плоскости проекций. На рисунке 36, а куб расположен фронтально, т. е. его передняя грань параллельна фронтальной плоскости проекций. В этом случае грань изображается без искажений. На виде сверху видно, что передняя и задняя грани куба параллельны горизонтальной оси ОХ и плоскости проекций, параллельны между собой и проецирующие лучи, а значит, и линии связи, показанные на этом виде. Из геометрии мы знаем, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными прямыми любого направления, равны между собой. Поэтому, как бы мы ни меняли угол падения проецирующих лучей на плоскость проекций, передняя грань куба будет изображаться все время квадратом, не испытывая никаких искажений. Как мы знаем, это справедливо и для прямоугольных проекций. Значит, когда плоская фигура расположена параллельно плоскости проекций, она становится совершенно неуязвимой для искажений. Запомним это.
На рисунке 36,б куб повернут передней гранью навстречу падающим лучам, перпендикулярно их направлению. Рассматривая проекцию, трудно поверить, что куб может изобразиться подобным образом. Но ошибки здесь нет, в данном конкретном случае куб изобразится именно так. При желании можно получить такую тень куба, расположив его нужным образом по отношению к солнечным лучам. Заметим, что на изображении сохранили свою истинную длину вертикальные ребра куба, расположенные параллельно плоскости проекций. Зато удлинились горизонтальные ребра, которые расположены под углом к ней и не параллельны ей. Рассматривая этот рисунок, нетрудно понять, что с уменьшением этого угла при неподвижном положении оригинала (куба) удлинение горизонтальных ребер куба будет непрерывно возрастать.
А если оставить неизменным угол падения проецирующих лучей, но поворачивать оригинал? Тогда степень линейного искажения будет меняться в зависимости от того, как расположена фигура (грань куба) по отношению к этим лучам. Мысленно поворачивая куб вокруг вертикальной оси, мы убедимся, что наибольшее искажение по ширине передняя грань его будет претерпевать именно в том положении, -которое показано на рисунке 36, б, когда она перпендикулярна фиксированному расположению проецирующих лучей.
Поворачивая куб из положения, показанного на этом рисунке, мы убедимся, что ширина той же грани начнет сокращаться, и наконец вся грань спроецируется в вертикальный отрезок, когда расположится параллельно проецирующим лучам. Тогда рассматриваемая грань изобразится с наибольшим искажением в сторону уменьшения.
Оба изображения куба, показанные на рисунке 36, не отличаются наглядностью, но зато достаточно наглядны выводы, которые можно сделать, рассматривая их. Анализ примеров
подтверждает, что характер искажений, возникающих на проекции, связан как с расположением предмета по отношению к плоскости проекций, так и с углом к ней, который образуют проецирующие лучи. При одновременном сочетании обоих факторов можно получить бесконечно большое количество проекций одного и того же предмета. Для нужд техники это бесконечное разнообразие не пригодно. Поэтому стандарт утвердил для употребления несколько видов аксонометрических проекций, располагающих определенными достоинствами, наглядностью и простотой построения.
В самих названиях аксонометрических проекций отражены их особенности. Определения «прямоугольная» и «косоугольная» характеризуют угол падения лучей. Проекция, у которой показатели линейных искажений по всем трем осям одинаковы, носит название изометрической. Если эти показатели одинаковы только для двух осей, проекция называется диметрической; если разные для каждой из трех осей — три метрической.
В любом варианте прямоугольных проекций изображение отрезка не может стать длиннее оригинала, т. е. показатель искажения не может быть больше единицы, и равен единице, когда отрезок параллелен плоскости проекций. В косоугольных же проекциях для любого произвольного расположения отрезка всегда можно выбрать направление лучей, при котором показатель искажения будет равен единице. Более того, при косоугольном проецировании можно получать такие изображения, в которых одни элементы предмета будут изображаться укороченными, а другие, наоборот, удлиненными. Степень удлинения проекции по сравнению с оригиналом в них может быть как угодно велика. Этими двумя последними особенностями не обладают прямоугольные проекции.
Наконец, можно отметить, что всевозможные варианты прямоугольных и косоугольных проекций одного и того же предмета образуют различные изображения, хотя эти различия иной раз могут быть почти незаметными на глаз. Полностью одинаковых изображений во всех видах проецирования получить нельзя, хотя иногда они могут быть очень «похожи» друг на друга. Рассматривая готовые изображения, не всегда просто определить, каким проецированием они получены: прямоугольным или косоугольным. Если на изображении имеется неискаженная грань предмета, решение этого вопроса упрощается.
Замечания, относящиеся к характеристике видов проекций, могут вызвать сомнения читателя. Зач^м усложнять дело, допуская существование бесконечно большого разнообразия проекций с различными параметрами для каждого из них? Ведь в таком изобилии нетрудно запутаться. Не поступили ли мы неосторожно, подобно герою восточной сказки, доверчиво выпустившему на горе себе злого духа — джинна, сидевшего в за-
печатанном сосуде? Можно ли говорить о системе, о какой-то твердой' опоре в условиях кажущегося произвола? В действительности все это вовсе не так страшно, как кажется на первый взгляд. Бесчисленное разнообразие проекций — бесспорный факт, установленный из анализа изображений, полученных при различных углах падения проецирующих лучей и при любом возможном расположении предмета по отношению к плоскости проекций. Это обстоятельство как бы продиктовано самой природой, дающей бесконечное разнообразие форм теней, которые можно получить от одного и того же предмета. Теории пришлось принять этот факт, как данный, разобраться в закономерностях, сопровождающих образование каждого изображения, привести этот материал в систему и найти то общее, что лежит в его основе.
Что касается потребностей практики, то выше было показано, что из бесчисленного множества возможных вариантов всегда можно выбрать тот, который в силу его особых свойств окажется наиболее удобным. Как мы увидим ниже, эта особенность весьма ярко проявляется при выборе различных картографических проекций.
Таким образом оснований для тревоги, для боязни запутаться, конечно, нет. Ведь когда мы решаем задачи по математике, оперируя различными числами, нас не смущает то обстоятельство, что вообще-то натуральный ряд чисел бесконечен. Не так ли?
Выше было высказано замечание о том, что при косоугольном проецировании всегда можно выбрать направление проецирующих лучей, при котором изображение наперед заданного расположения отрезка будет равно по длине оригиналу. В этом стоит разобраться самостоятельно.
1 । *9*. Отрезок расположен под углом а к плоскости
1 проекций. Под каким углом к плоскости должны быть направлены проецирующие лучи, чтобы длина проекции отрезка была равна его натуральной длине? Определите соотношение величин обоих углов.
ЕСЛИ ЛУЧИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ
Несмотря на безграничное множество видов проекций, не-этря на их, казалось бы, неуловимое разнообразие, всем им, вместе взятым, будут свойственны некоторые общие черты. Эти свойства определяются решающим условием — параллельностью проецирующих лучей. Стоит только допустить, что лучн лишаются этого свойства и начнут хаотически пронизывать пространство во всех направлениях, как получение проекции станет вообще неосуществимым делом.
Рис. 37
Но если лучи в пучке параллельны, то во всех случаях при получении проекции с их помощью сохраняются общие и неизменные свойства. Вот эти свойства:
I. Проекция точки есть точка.
2. Проекция прямой есть прямая (в частном случае, точка).
3. Если точка принадлежит прямой, то проекция точки будет принадлежать проекции прямой.
4. Отношение частей, на которые точка делит отрезок, сохраняется и на проекции отрезка (за исключением частного случая, когда отрезок проецируется в точку).
'5. Проекции параллельных прямых параллельны. Соотношение длин двух параллельных отрезков сохраняется и на их проекции (за исключением упомянутого выше частного случая).
Эти несколько положений, значение которых не сразу может быть оценено, определяют очень многое. Нарушение любого из них лишает чертеж достоверности, правильности, ведет 'к полному произволу в изображении.
Нужно оговориться, что понятие достоверности и правильности может быть истолковано различно. Нетрудно убедиться в этом, рассмотрев проекции куба на рисунке 37. Первые две проекции нам знакомы: это изометрическая и косоугольная диметрическая проекции. Следующие две вызовут у читателя сомнение (в и г на том же рисунке). Действительно, очертания куба здесь сильно искажены и не соответствуют тому впечатлению,'которое у нас возникает при рассматривании куба с различных точек зрения. Скорее можно принять эти чертежи за изображение параллелепипедов, причем в одном случае грани не образуют между собой прямых углов. Нет, это не куб, скажет читатель. И будет
нег^ав. Это изображение может быть проекцией куба. Хотите проверить? Возьмите проволочный куб и в солнечный день попытайтесь получить его тени на стене или листе бумаги. Пс нескольких попыток вам удастся получить и подобные уроди* вые тени куба. Но ведь метод проекций основан на свойствах параллельного пучка лучей и опирается на аналогию с распространением лучей света. Не можем же мы утверждать, что лучи света нарисовали тень куба неправильно!
Посмотрим, сохраняется ли в изображениях, вызывающих наше сомнение, какая-либо общая закономерность, вносящая
5 Заказ № 4104
65
в них хотя бы относительный порядок. Нетрудно убедиться, что общие законы параллельных проекций, сформулированные выше, здесь не нарушены. Даже в самых уродливых тенях параллельные ребра куба остались параллельными и искажались в одинаковой степени. Равные и взаимно параллельные отрезки оставались и в своих проекциях равными и взаимно параллельными. Что касается непривычных искажений углов (а в этом и заключен главный источник наших сомнений), то в приведенных пяти правилах это обстоятельство как раз и не оговаривалось. В общем случае параллельные проекции всегда связаны с искажением величины углов.
Заметьте, однако, что изображения на рисунке 37, в и г не могут быть получены прямоугольным проецированием, где, как мы знаем, показатель искажения не может быть более единицы. Это косоугольные проекции куба.
Что касается рисунка 37, д, то можно утверждать, что подобное изображение куба никаким проецированием получить не удастся. Здесь могут быть два исключающих друг друга вывода: если это изображение куба, то оно неправильно; если изображение правильно, то оригинал не является кубом. В последнем случае можно утверждать, что его грани не плоские.
Наконец, последнее изображение (рис. 37, е), если оно имеет оригиналом куб, не может быть построено с помощью параллельного проецирования. Однако делать вывод о том, что оно неправильно, нельзя. Изображение получено по методу центральной проекции, с помощью пучка лучей, выходящих из одной точки как из центра. Это изображение куба в перспективе. Такую проекцию можно получить и на опыте в виде тени, если воспользоваться точечным источником света (лампочка с волоском небольшого размера). О перспективе — одной из разновидностей центральных проекций — рассказывается в предпоследней главе настоящей книги.
Подведем итоги сказанному и сделаем некоторые выводы. Параллельные проекции позволяют получить бесконечно большое число изображений одного и того же предмета. Каждое из этих изображений будет отличаться от другого величиной углов между аксонометрическими осями и показателями искажений по каждой из них.
Однако в каждом случае, зная угол падения проецирующих лучей на плоскость проекций и расположение координатных осей относительно той же плоскости, всегда можно подсчитать степень искажения единиц длины по каждой из осей и восстановить по проекции истинные размеры предмета. Значение этого факта очень велико. Он вооружает нас методом исследования, который может выражаться не только в чисто графической форме, хотя и будет опираться на общие законы проекций.
Так, например, зная расстояние Солнца и Луны от Земли, их размеры и расположение в определенный момент, можно вычислить величину тени, падающей от Луны во время солнечного затмения, и нанести ее на карту.
Технический чертеж должен давать рабочему все необходимые данные в готовом виде, без необходимости определять их измерением. Конструктор, строя чертеж, кроме комплексного изображения, нередко приводит и аксонометрию. Однако из бесконечного множества видов проекций в технике используются в основном лишь несколько: прямоугольная изометрия и диметрия, косоугольные — фронтальная диметрическая, фронтальная изометрическая, горизонтальная изометрическая. Эти проекции включены в ГОСТ. В архитектурных чертежах применяется линейная перспектива.
Ясно, что.во всех этих случаях не полностью используются чисто теоретические возможности самого метода проекций, свобода выбора расположения осей и показателей искажения. Но при изучении стереометрии в старших классах возможности метода проекций используются шире, потому что к геометрическим чертежам не предъявляются требования соблюдения метрических характеристик объектов. Это позволяет учителю пользоваться- произвольными параллельными проекциями, не прибегая к координатным осям и не интересуясь показателями искажения. Специальные и чрезвычайно разнообразные методы проецирования применяются в картографии, о чем читатель узнает при чтении одной из следующих глав книги.
Произвольные параллельные проекции носят такое название потому, что, не связывая исполнителя строго определенным направлением осей и зависящими от этого направления показателями искажения, они предоставляют ему большую свободу в изображении конкретных объектов, не требуют применения масштаба и построения чертежа по размерам. Такие проекции ^применяются в стереометрии для решения задач позиционных, т. е. таких, в которых требуется построить форму сечения тела, линию взаимного пересечения поверхностей, определить принадлежность точки к данной плоскости и т. п.
Решая подобные задачи, не требуется выяснять истинную длшну отрезков, величину углов и т. д. Вот почему для решения таких задач в курсе стереометрии пользуются произвольными параллельными проекциями. Но не следует думать, что такие чертежи характерны полным произволом в построении изображений. Являясь параллельными проекциями, они строятся с учетом основных свойств, перечисленных выше.
Во многих задачах требуется определить размеры элементов изображенного предмета, величину углов, т. е. выяснить измеряемые величины. Такие задачи, в отличие от чисто позиционных, называют метрическими. Для решения подобных задач графическими средствами, т. е. путем построения, требуется
5*
G7
иметь метрически определенный чертеж, позволяющий восстановить истинные размеры каждого изображенного на нем элемента. Наиболее удобными для этой цели являются комплексный чертеж, широко применяемый в техническом черчении, и аксонометрические изображения, использующие систему координатных осей. Однако можно решать метрические задачи и на чертежах, выполненных в параллельных проекциях, но не являющихся аксонометрическими. Используемые для этой цели методы и приемы будут освещены в конце данной главы.
Остается уточнить важное обстоятельство: при каких условиях наглядное изображение предмета, не являющееся аксонометрическим, позволяет находить переходы «от известного к неизвестному», по выражению Монжа. Не преграждает ли путь к решению задач тот кажущийся произвол, который мы наблюдали на некоторых примерах рисунков 36 и 37? Нет, это не так. Сохранение перечисленных выше свойств параллельного проецирования вооружает нас .большими возможностями, чем это может показаться на первый взгляд. Не следует только предъявлять к чертежу чрезмерных требований, каждый раз правильно оценивать свойства того или иного метода изображения, уметь извлекать из него скрытые данные. Однако сделать такое предупреждение легче, нежели разъяснить заключающийся в нем смысл. Поэтому рассмотрим конкретный пример.
ДОМИК У ДОРОГИ
На рисунке 38 изображен участок местности в перспективе: домик, дорога, столбы телефонной линии, деревья, птицы. Здесь ощущается глубина пространства, которой так не хватает проекциям комплексного чертежа; передано взаимное расположение предметов. Какими средствами это достигнуто? Домик расположен вдоль дороги, рядом с которой тянется линия столбов, исчезающая вдали. Столбы укорачиваются по мере удаления их
Рис. 38
от наблюдателя, сокращается с удалением и расстояние между соседними столбами. И хотя мы это наблюдаем, сознание наше не протестует против таких искажений. Изображение вполне соответствует тому, что мы могли бы видеть в натуре.
Взгляните на деревья, растущие за домиком. Попробуйте задать себе вопрос: какое из них выше, какое ближе к нам? Выше то, которое ка-
жется более высоким? Но, может быть, это дерево просто расположено ближе к нам? Ваша уверенность будет серьезно поколеблена.
Дело в том, что на последний вопрос определенного ответа дать нельзя. Для этого нет необходимых данных.
В воздухе, распластав крылья, парят две птицы. Опять-таки нельзя сказать, какая из них находится на большей высоте, какая ближе к наблюдателю. Между тем подобные сомнения у нас не возникали, когда мы рассматривали домик, дорогу, деревья на первом плане, столбы. В чем тут дело?
Причина проста. И домик, и дерево перед ним, и забор, и столбы изображены так, что мы видим точки их опоры на земле,. Это вносит определенность в рисунок, позволяет судить о взаимном расположении предметов.
В том, что это действительно так, легко убедиться, если прикрыть нижнюю часть рисунка листом бумаги, срезав и часть домика. Условия заметно изменились. Теперь трудно точно утверждать, как именно расположены деревья перед домиком. Нельзя знать точно, расположен ли домик слева или справа от дороги. Ведь вертикальные линии домика можно продолжить вниз (это показано на рисунке штриховой линией), и тогда окажется, что домик непропорционально высок, но стоит справа от дороги. Заметьте, ни крыша, ни стены домика не дают ответ на вопрос о его расположении.
Ясно, что только поверхность земли, которую мы приняли за плоскость,— это база, основание, на котором покоится весь рисунок. Этой базы мы не видим у деревьев, растущих за домиком, у птиц, парящих в воздухе. Без этой опоры на землю, на основную плоскость, положение каждого предмета лишается определенности. Предмет как бы повисает в воздухе.
Вам приходилось видеть фотографии самолета в воздухе на фоне местности? Л^ожно ли определить по такой фотографии, ^над какой точкой местности находится самолет? Это невыполнимая задача, если не располагать некоторыми дополнительными данными.
Но ведь множество рисунков и картин не имеют таких оснований в виде поверхности земли и тем не менее обладают большой наглядностью и выразительностью. У автора такой картины имелись другие средства, для того чтобы показать взаимное расположение предметов. Изображение одного предмета перекрывает другое — это уясняет их взаимное расположение. Если такого перекрытия нет, то наш жизненный опыт, практическое знание особенностей перспективы позволяют достаточно правильно оценивать удаленность предметов от наблюдателя.
Но эти средства перестают быть надежным помощником, когда от изображения требуется исчерпывающая точность. В этом случае понадобятся опорные точки, освоения каждого изображенного элемента или предмета. Подобные точки и ли-
нии пересечения предметов с основной (опорной или предметной) плоскостью, заданной на изображении, называют основаниями или вторичными проекциями. Последнее название нетрудно понять, если учесть, что весь рисунок в целом представляет собой проекцию, а заданные на нем основания являются проекцией проекции, т. е. проекциями вторичными.
Очевидно, только при наличии подобных вторичных проекций можно получить данные позиционного, характера об изображенных на рисунке предметах. Правило это не имеет исключений и вместе с тем подтверждает те единственно возможные условия, которые вносят в изображение полную определенность. Эти условия, как мы знаем, заключаются в необходимости иметь не менее двух проекций одного предмета или геометрического элемента. Это требование оказывается действительным не только для комплексного чертежа, но и для аксонометрического изображения, любого рисунка, фотографии и т. п., если их требуется трактовать, как источник точных сведений о расположении и форме изображенных предметов.
На рисунке 39, а дана аксонометрия двух параллелепипедов. Требуется определить их взаимное расположение. Для этого можно перерисовать рисунок, удалив линии, ставшие невиди-
Рис. 39 мыми из-за того, что одно тело частично заслоняет другое. Предложите рассмотреть рисунок вашему товарищу, не показывая ему вариантов б и в на том же рисунке. Скорее всего, на основании интуитивно возникших представлений, ваш товарищ придет к одному из двух решений, показанных на вариантах б и в. Не исключена возможность, что он найдет оба возможных варианта и укажет на их равноправность. Это ответ хороший. Ученик, умеющий строить взаимные пересечения тел, может порадовать вас еще более глубоким ответом, который изображен на варианте г. Такой ответ говорит о том, что ваш товарищ неплохо усвоил основы начертательной геометрии. Ответ можно было бы считать отличным, если бы не одно «но». Решив задачу так, ученик, очевидно, ис
ходил из предположения, что параллелепипеды опираются на одну плоскость. Если бы это следовало из самого чертежа, из содержащихся в нем графических данных, тогда такой ответ можно было бы считать безупречным. Но этих данных на чертеже нет: основная плоскость на нем не изображена. И потому такой ответ безоснователен.
Получая задание, мы обязаны взвесить наличие всех усло-
вий, нужных для решения, и опираться только на те, которые действительно присутствуют на чертеже. Никаких догадок и домыслов, никаких произвольных дополнений задания отсутствующими в нем условиями делать нельзя. Догадку, смекалку, умение решать задачи нужно применять тогда, когда мы верно учтем содержащиеся в задаче данные. Правило это так важно, что его следует принять к руководству при изучении любой науки.
На деле задача, данная на рисунке 39, а, является неопределенной, а потому может иметь бесчисленное множество решений, поскольку задание не сопровождается какими-либо дополнительными данными. Контуры тех же параллелепипедов даны и в варианте д. Однако здесь условия уточнены. Более низкий параллелепипед опирается на основную плоскость, более высокий несколько приподнят над нею, находится как бы в воздухе. Его расстояние от основной плоскости задано вторичными проекциями ребер и вертикальными отрезками координатной оси высоты. Несомненно, мы здесь также имеем взаимное пересечение параллелепипедов, однако линия пересечения будет несколько отличаться от того, что дано на рисунке 39, г.
Такие изображения, заданные проекцией предмета, сопровождающиеся вторичными проекциями (или основаниями) каждого из его элементов, в начертательной геометрии называются полными. К ним следует отнести задание на рисунке 39, д. Чертеж на рисунке 39, а не является полным, и потому позиционных задач решать на нем нельзя. Отсутствие аксонометрических осей или хотя бы текстового указания на вид проекции не позволяет отнести изображение двух параллелепипедов к аксонометрии. Значит, данных для решения какой-либо метрической задачи здесь тоже нет. Этот дефект сохраняется даже и тогда, когда изображение задано в более определенном виде, как это имеет место на рисунке 39,6 или в. Отсутствие вторичных протекций параллелепипедов не вносит ничего определенного в их взаимное положение. Можно с равной степенью вероятности утверждать, что один параллелепипед находится за другим на расстоянии 3 метра, 300 метров,х3 километра и т. д. Произвольные параллельные проекции, бтносящиеся к неполным, не содержат никаких сведений, способных внести определенность в поставленный вопрос.
*> MrlWWV.IIh » 20*. Постройте пересечение двух параллелепипедов,
' ' заданных на рисунке 39, д, и обведите утолщенными
линиями видимые контуры тел.
В следующих ниже позиционных задачах нужно найти точки пересечения двух линий или линии с плоскостью, а также определить взаимное расположение и относительную видимость от-
дельных предметов. Во всех случаях объекты, изображенные на рисунках, полностью заданы, т. е. располагают вторичными проекциями.
Решим задачу: «Из резервуара к колхозному коровнику по трубам подается вода. Определить на стене точку, в которой нужно сделать отверстие для ввода трубы без изгибания последней». Рисунки к задаче даны в двух вариантах: в ви-
Рис. 41 *
де перспективного рисунка и двумя проекциями комплексного чертежа (рис. 40 и 41).
Здесь приведен пример на отыскание точки пересечения прямой с плоскостью, когда элементы изображения даны в «овеществленном» виде. Плоскость стены коровника перпендикулярна к горизонтальной поверхности земли, и потому ее можно назвать плоскостью частного положения. В то же время крыша коровника расположена наклонно к воображаемым трем плоскостям проекций, и потому является плоскостью общего положения. Заметим, что задачи, в которых имеется плоскость частного положения
(параллельная или перпендикулярная к одной из плоскостей проекций), решаются проще.
Например, в данной задаче, для того чтобы найти точку пересечения наклонной прямой (трубы) с плоскостью частного положения (стеной коровника), эту линию мысленно заключа-
ют в какую-то плоскость тоже частного положения и строят линию ее пересечения с первой плоскостью. Искомая точка будет лежать на полученной линии пересечения обеих плоскостей и будет принадлежать им обеим. Представьте себе, что вы заключили трубу во вспомогательную вертикальную плоскость. Изображать ее на чертеже нет надобности. Нетрудно понять, что по земле линия пересечения с этой плоскостью пойдет через основания столбиков, на которых лежит труба. Дойдя до стены коровника, эта линия поднимется вертикально вверх от точки с. В точке С ось самой трубы пересечет эту линию. Именно здесь продолжение трубы коровника встретится со стеной. Точка С — искомая, здесь и потребуется просверлить стену.
Несколько сложнее решалась бы аналогичная задача, если требовалось бы найти точку пересечения прямой с плоскостью
общего положения (например, е крышей коровника). В дальнейшем нам встретится и такая задача. Вообще при решении подобных задач нужно прежде всего хорошо представить себе расположение введенной вами вспомогательной плоскости. Если это достигнуто, то само построение не будет отличаться сложностью и приведет к решению.
Запомним еще нужный' термин. В начертательной геометрии точку пересечения прямой с плоскостью проекций принято называть следом прямой. По аналогии линию пересечения какой-либо плоскости частного или общего положения с плоскостью проекций так же называют следом плоскости. На рисунке 40 линию пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью земли можно назвать следом плоскости, так как поверхность земли играет роль горизонтальной плоскости проекций (Н). Но линию Сс, по которой та же плоскость пересекает стену коровника, следом нельзя назвать, так как стена коровника не является плоскостью проекций и сама относится к плоскости частного положения.
Приведенные ниже задачи на построение точек или линий пересечения сравнительно не сложны. Но для неподготовленного читателя их решение может оказаться не всегда легким. Его не должно смущать то обстоятельство, что в задачах встречаются примеры, заданные то в виде комплексного чертежа, то в аксонометрической или произвольной параллельной проекции, то в форме перспективного рисунка. Чем это объясняется?
Рассматривая приемы решения таких задач, нетрудно убедиться в том, что во всех случаях принципы решения остаются неизменными, независимо от формы заданного изображения. Важно лишь, чтобы каждый элемент изображения, участвующий в решении, был задан дважды — либо двумя проекциями комплексного чертежа, либо проекцией и ее основанием на наглядном изображении (аксонометрии или перспективе).
Полагаем, что решение той же задачи с коровником на комплексном чертеже не вызовет трудностей у читателя (рис. 41). В таких случаях в решении участвуют обе заданные проекции. Если решение на наглядном изображении покажется более трудным, чем на комплексном чертеже, можно порекомендовать читателю построить эскизно проекции по рисунку, решить на них задачу, но затем повторить решение на рисунке.
21*. Найдите точку пересечения трубы со стеной коровника (рис. 41).
22. Покажите линию (риску), которую прочертит чертилка рейсмуса на вертикальной стенке детали, если подставка рейсмуса будет перемещаться по гладкой опорной плите (разметочной). Изображение дано в произвольной параллельной проекции (рис. 42).
23*. Коснулась ли стены строящегося здания балка, один конец которой опирается на поверхность земли, а другой поднят подъемным краном (рис. 43)? Поверхность земли внутри и вне здания расположена в одной плоскости. Изображение дано в произвольной параллельной проекции.
24*. Пуля, попав в центр мишени, пробила ее. Покажите на бетонной стенке точку, в которую ударилась пуля, считая ее полет прямолинейным (рис. 44). Изображение дано в перспективе.
25*. Два самолета сельскохозяйственной авиации поднялись в воздух из точек А и В (рис. 45) На рисунке показано положение самолетов над местностью с помощью их оснований — точек а и Ь. Определите, какой самолет пролетел над другим в точке скрещения их трасс. Изображение дано в перспективе.
26*. Рабочий поднимает и приставляет к стене металлические трубы разборных лесов (рис. 46). При этом один конец трубы не смещается. Изобразите на виде спереди трубу АВ после того, как она будет установлена. Попытайтесь решить задачу, не прибегая к построению третьей проекции.
Рис. 45
К приведенным выше задачам по сходству примыкают задачи, связанные с выяснением принадлежности точки, линии, фигуры к плоскости, заданной своими следами. Например, требуется определить, лежит ли треугольник АВС в плоскости Р (рис. 47). Сначала определим положение одной стороны треугольника, хотя бы ВС. Эта сторона задана проекцией ВС и основаниями ее концов, точками b и с, что вполне определяет ее положение. Соединим точки b и с, затем продлим полученный отрезок в обе стороны до встречи: в одном направлении с аксонометрической осью в точке k, в другом — со следом плоскости в точке М. От точки k проведем вверх вертикаль до пересечения ее со следом плоскости в точке К. Если продлить также в обе стороны проекцию ВС, мы увидим, что прямая пересечет следы плоскости в тех же точках К и М. Это доказывает, что прямая ВС лежит в плоскости Р.
""Если бы продолжение отрезка ВС пересеклось с продолжением его вторичной проекции вне следов плоскости, это свидетельствовало бы о том, что данная сторона треугольника, а значит, и сам треугольник не принадлежит плоскости. Итак, ВС принадлежит плоскости. Остается проверить положение еще одной стороны или хотя бы вершины А. Попробуем выяснить, лежит ли вершина А треугольника в плоскости Р.
Выше было показано, как определить принадлежность прямой плоскости. А как определяют принадлежность точки плоскости? В таких случаях привлекают на помощь вспомогатель-
иую прямую, проведенную через эту точку, и новая задача сводится к уже знакомой. Обратите внимание на принципиальную общность приема, применяемого в обоих случаях: для отыскания точки пересечения прямой с плоскостью применялась вспомогательная плоскость, для выяснения принадлежности точки плоскости применяется вспомогательная прямая.
Чтобы определить положение вершины А треугольника, можно воспользоваться любой из двух сторон — АВ или АС, которые проходят через нее. Приемы построения рассмотрим на примере отдельно взятой точки D на том же рисунке 47. Сначала проведем вторичную проекцию вспомогательной прямой через основание точки d. Это нужно сделать так, чтобы линия пересекла горизонтальный след плоскости и одну из аксонометрических осей. Эта линия на рисунке 47 обозначена как ef. Затем из точки е проведем вверх вертикальную линию до пересечения с фронтальным следом плоскости Р. Если прямая, проведенная через точку D, лежит в плоскости, то, значит, ей принадлежит и сама точка. Соединив точку f с D и продолжив прямую, убедимся, что ее продолжение не попадает в точку Е, а проходит выше ее — в точку G. Следовательно, прямая, а значит, и точка D не лежат в плоскости Р, расположены выше ее. Полагаем, что читатель сумеет определить в масштабе чертежа, насколько именно высоко расположена точка над плоскостью Р.
В следующих задачах читателю предоставляется возможность применить изложенные выше сведения и... свою смекалку. Ведь не так просто перейти от абстрактных геометрических образов к изображениям реальных предметов. Но, думается, и не так это трудно.
27. Проверьте, принадлежит ли вершина треугольника А плоскости (рис. 47).
28*. Незадачливый юный футболист запустил мяч на крышу дома (рис. 48). Требуется выяснить, коснулся ли уже мяч крыши или е!це находится в воздухе. Если верно второе предположение, определите, на какой высоте в масштабе чертежа находится мяч над крышей (по вертикали).
29*. Вертикальные буровые скважины встречают плоский наклонный пласт угля в точках At, Bt и Ct. Поскольку эти точки залегают на какой-то глубине под поверхностью земли, принятой за плоскость, линии AAlt BBt и СС( показаны штриховыми. Определите точку, в которой вертикальная скважина, пробуренная из точки D, встретит пласт угля. Чертеж дан в перспективе (рис. 49).
30*. Человек поднимает крышку люка, укрепленную на петлях (рис. 50). Будет ли открытая крышка опираться одновременно на углы обоих кирпичей, а если на один, то на какой именно? Чертеж дан в произвольной параллельной проекции.
Рис. 49
Рис. 50
31*. Пионер, написав лозунг, прислонил щит в углу комнаты (рис. 51). Щит касается правой стены в точке В. Касается ли левой стены точка щита Л? Поверхность щита предполагается плоской (без перекоса). Чертеж дан в прямоугольной аксонометрической проекции.
.е. Приведенные выше задачи относились к числу позиционных. Для решения их не нужно было определять истинную величину фигур, отрезков, углов. Требовалось найти точки пересечения элементов или определить их взаимную принадлежность.
Очень заманчиво было бы знать приемы, с помощью которых можно решать метрические задачи, если чертеж не состоит из нескольких ортогональных проекций, не является аксонометрическим, а представляет собой «картинку», т. е. произвольную параллельную проекцию, где нет изображения ни осей координат, ни их «заменителей». Оказывается, в<< можности в этом направлении не закрыты.
УТРАЧЕННЫЕ СВОЙСТВА
жен с искажением? Другое
Начнем опять с примера.
На столике квадратной формы лежит лист бумаги. .Определите, являются ли прямыми углы этого листа.
Данная ситуация изображена на рисунке 52. На первых порах задача может показаться неразрешимой. Как узнать величину угла, если его нет смысла измерять транспортиром, так как заведомо известно, что он изобра-дело, если бы стороны листа были параллельны краям крышки стола. Но этого нет. Что же делать?
Нужно вспомнить известные из геометрии свойства квадрата и выяснить, не могут ли они помочь. Оказывается, могут. Из геометрии известно, что диагонали квадрата равны друг другу, пересекаются под прямым углом, а в точке пересечения взаимно делятся пополам. Построим на чертеже эти диагонали. С помощью треугольника и линейки можно установить, что края листа бумаги оказались параллельными соответственным диагоналям квадрата. Поскольку углы между диагоналями прямые,^прямыми являются и стороны бумажного листа.
мы сумели над одним
Как видим, задача решилась просто, поскольку использовать знания из геометрии. Подумаем еще вопросом:
. 32*. Является ли лист бумаги на столе прямоугольником или квадратом (рис. 52)?
Давая ответ на этот вопрос, мы можем опереться на известное уже нам дополнительно наложенное на чертеж условие: крышка стола в действительности представляет собой квадрат. На рисунке нет аксонометрических осей и данных о показателях искажения. Задача же носит метрический характер.
Наложив на чертеж дополнительное условие, мы обогатили наши знания об изображенном объекте настолько, что смогли решить метрическую задачу на чертеже, не являющемся аксонометрическим, но построенном с соблюдением свойств параллельной проекции. Значит, можно обойтись и без громоздкого аппарата, состоящего из осей и показателей искажения, и решать задачи метрического содержания? Да, можно. И так как условия, обогащающие наши знания об изображенном объекте,
мы всегда можем дополнительно сообщить, такие изображения будем называть условными метрически определенными.
Но, быть может, условия на чертеж можно накладывать какие хочешь? Нет, нельзя, например, на проекцию, имеющую вид неправильного четырехугольника, наложить условие о том, что он представляет собой изображение прямоугольника. Нельзя потому, что такое условие противоречит свойствам параллельных проекций, изложенным ранее в разделе «Если лучи параллельны». Ведь в прямоугольнике противоположные стороны параллельны. Между тем в неправильном четырехугольнике длины сторон неравны, параллельность противоположных сторон отсутствует. Значит, условия должны накладываться так, чтобы они соответствовали свойствам изображенной фигуры, чтобы они не противоречили друг другу и правилам параллельного проецирования. Крышку стола можно было считать в натуре квадратной, потому что противоположные стороны фигуры на чертеже были параллельными. Но с тем же правом мы могли бы объявить начерченную фигуру проекцией прямоугольника, ромба, параллелограмма, но не трапеции или многоугольника. И в каждом случае наши выводы о форме листа бумаги, лежащего на столе, были бы разными, а может быть, эти выводы вообще были бы невозможны.
33*. Можно ли дать ответы на оба вопроса, по-? ! ставленные к рисунку 52, если считать, что крышка
стола в действительности имеет форму ромба?
Если не сможете ответить на вопросы самостоятельно, посмотрите ответы. А теперь обобщим вопрос о том, какие геометрические свойства конкретных фигур отсеиваются при параллельном проецировании, а какие сохраняются.
Квадрат, ромб, прямоугольник, параллелограмм после параллельного проецирования Лхраняют параллельность противоположных сторон, свойство диагоналей делиться пополам в точке пересечения. Все они утрачивают истинную величину углов, а квадрат и ромб теряют, кроме того, равенство всех четырех сторон. Не сохраняются также прямые углы и между диагоналями обеих фигур, равенство диагоналей квадрата. Значит, в мире параллельных проекций различать четыре вида названных выше фигур нельзя. Эти фигуры потеряли свои индивидуальные черты, по которым мы раньше их узнавали.
А как ведет себя правильный шестиугольник? Он показан на рисунке 53, а. Конечно, на проекции (рис. 53,6) он теряет равенство всех шести сторон и углов между цими. Но сохраняется свойство параллельности его противоположных сторон, диагонали в точке пересечения взаимно делятся пополам. По-прежнему диагональ BE делит пополам диагонали АС и FD.
Рис. 53
Итак, переходя в мир проекций, знакомые нам фигуры утрачивают некоторые индивидуальные черты, сохраняя общие родовые признаки. Растеряв часть своих свойств, они этой ценой сохраняют свойства более общие, объединяющие эти фигуры в одну группу. С точки зрения элементарной геометрии трапеция, наравне с квадратом, ромбом, прямоугольником и параллелограммом, входит в одну семью четырехугольников. В мире проекций трапеция уже выпадает из этой семьи на основании другого признака: две стороны ее не параллель-, ны друг другу. Поэтому объявить крышку столика на рисунке 52 трапецией мы не имеем прав^ а прямоугольником, параллелограммом, ромбом и квадратом — можем.
В мире проекций теряют смысл такие термины, как прямоугольный, остроугольный, тупоугольный треугольники,
равнобедренный и равносторонний треугольники, правильный
многоугольник и ряд других.
Особую роль играют свойства окружности, которая изображается обычно эллипсом на наглядных изображениях.
Познакомимся с примерами той- помощи, которую может оказать применение свойств окружности, изображенной на чертеже в виде эллипса (рис. 54,а). Пусть на том же чертеже требуется построить квадрат произвольной величины, две сто-
роны которого должны быть параллельны передней кромке (об
Рис. 54
резу) основной плоскости. Это, очевидно, будут стороны АВ и CD. Но как построить стороны АС и ВО? Проведем через центр эллипса произвольный диаметр К.Р- Через его конец К проведем хорду КМ, параллельную обрезу плоскости. Соединим точку М с Р. Полученный угол КМР не прямой, но он изображает в действительности прямой угол с искажением, естественным для данного вида произвольной параллельной проекции. Если мы проведем теперь стороны АС и BD параллельно стороне МР, то это будет означать, что они в действительности образуют прямой угол со сторонами АВ и CD. Можно построить в эллипсе другие диаметры. Но каждый раз, проводя из одного конца такого диаметра хорду параллельно АВ, мы будем получать вторую сторону вписанного и опирающегося на диаметр угла, расположенную точно параллельно хорде РМ. Так эллипс сохраняет «в секрете» одно из важных свойств окружности, проекцией которой он является.
Можем ли мы утверждать, что построенная фигура есть точная проекция квадрата? Пока еще нет. Правда, мы знаем, что углы в ней являются проекциями прямых углов, но этого мало. Нужно, чтобы стороны фигуры были проекциями равных отрезков. Эллипс поможет справиться и с этим затруднением. Построим параллельно хордам КМ и МР два диаметра эллипса— EF и QH. Это будут проекции диаметров окружности, образующих на оригинале прямые углы между собой и, естественно, равные по длине. Поэтому если соответственные стороны фигуры' будут относиться как параллельные им диаметры
, , ЕР АВ
эллипса, т. е. будет соблюдаться отношение: --= —, мож-
QH АС
но будет утверждать, что все четыре стороны фигуры квадрата в натуре равны. Задача решена.
Подобный способ решения применим, если на чертеже задан центр эллипса. Если же его нет, точку центра можно найти несложным путем. Можно построить и проекции двух взаимно перпендикулярных в натуре диаметров, которые на эллипсе носят название сопряженных. Это означает, что, хотя на чертеже угол между диаметрами не прямой, он изображает прямой угол, имеющийся на оригинале. Проведем в эллипсе под произвольным углом хорду АВ (рис. 54,6). Проведем вторую хорду CD параллельно АВ. Найдем середины обеих хорд и соединим их, продолжив отрезок в обе стороны до пересечения с контуром эллипса в точках К и М. Разделим теперь КМ пополам и через его середину (точку О) проведем отрезок LN параллельно хордам АВ и CD. Точка О будет центром эллипса, отрезки КМ и LN— сопряженные диаметры, являющиеся проекциями двух взаимно перпендикулярных диаметров проецируемой окружности. -
Используем свойства проекции окружности для решения задач.
в Заказ № 4104
Si
Рис. 57
< г '
3'4*. Какая из трех книг, лежащих на круглом столике, изображена неправильно (рис. 55)? Изображение выполнено в произвольной параллельной проекции. Вторая часть задания: выясните, каково отношение высоты и ширины переплета правильно выполненной книги.
35*. Перед дверью лежит круглый коврик (рис. 56). Определите, пройдет ли над ковриком край открываемой двери. Вторая часть задачи: начертите дверь в том положении, когда она открыта и образует прямой угол со стеной. Дана изометрическая проекция.
36*. В косоугольной диметрической проекции изображена в. масштабе чертежная доска, истинные размеры котррой 750ХЮ00 мм. На доске лежит рейсшина, полная длина которой равна одному метру. Размеры головки 50X250 мм. Требуется проверить правильность изображения прямых углов между линейкой и головкой (рис. 57).
Первые две задачи из трех не должны вызвать затруднений. Нов чертеже к задаче 36 отсутствует изображение эллипса, на которое можно было бы опереться. Зная отношение сторон чертежной доски, мы могли бы дополнить высоту изображающего ее параллелограмма, с тем чтобы он стал проекцией квадрата. В квадрат можно вписать окружность. Следователь-
но, эллипс, вписанный в дополненный параллелограмм, мог бы послужить масштабом для откладывания размеров в любых направлениях и построения прямых углов. Строить эллипс можно было бы по двум сопряженным диаметрам, равным соответ-
ственно по длине и расположенным параллельно сторонам параллелограмма. Но построение эллипса таким способом также
требует значительного труда и знания приемов, которые нами не описаны.
Нельзя ли обойтись для решения стоящей перед нами задачи без эллипса? Так как изображение чертежной доски и рейсшины является плоским, построенным в двух измерениях, то можно устранить специфические искажения, присущие косоугольной проекции, и восстановить оригинал без искажений прямых углов и сокращения вдвое размеров, параллельных оси OY. Однако
Рис. 58
контуры рейсшины (линейки и головки) придется строить, определяя координаты ее характерных точек по рисунку 57, что также не вызывает особого энтузиазма.
Вспомним наш опыт сопоставления аксонометрического изображения с ортогональным чертежом при построении угольника с ребром, а ранее — при определении расположения проецирующих лучей, с помощью которых была образована косоугольная проекция куба.
На рисунке 58 показана косоугольная диметрическая проекция прямоугольника OXEY. В его плоскости задан произвольно расположенный отрезок АВ. Пользуясь стороной прямоугольника ОХ, изображенной без искажения, построим на ней прямоугольник — оригинал OXEtYi, отложив от точек X и О вертикальные отрезки ХЕ{ и ОУЬ длина которых вдвое больше соответственных сторон ХЕ и OY. Мы получили примыкающие друг к другу по общей стороне ОХ прямоугольник OXE^i и его косоугольную проекцию OXEY. Обе фигуры не чужды друг другу. Они как бы связаны невидимыми нитями родства. И, действительно, в одном из разделов высшей геометрии связь между подобными изображениями одной и той же плоской фигуры называется перспективно-аффинным или родственным соответствием, причем осью родства явится сторона ОХ. Так как в процессе проецирования точке Е будет соответствовать точка Е\, то линия ЕЕХ называется направлением проецирования, причем безразлично, проецируется ли точка Е в Е\ либо наоборот. Но ясно, что это направление сохранится при проецировании любой другой точки прямоугольника, а также изображения, выполненного в его плоскости.
Не вникая в теорию родственного соответствия, воспользуемся на практике его свойствами. Продолжим в обе стороны изображение отрезка АВ до пересечения со сторонами EY и ОХ в точках а и Ь. Точка b принадлежит обоим изображениям
прямоугольника, а точку а понадобится перенести по направлению проецирования на сторону EXY\— в точку Др Прямая atb является оригиналом прямой ab, а перенеся также по направлению проецирования на нее точки А и В, получим лишенную искажений натуральную длину отрезка А\В\ и истинную величину угла yi. образованного отрезком с осью ОХ.
Предположпм, мы хотим через произвольно взятую на отрезке АВ точку К провести перпендикуляр к нему. С помощью родственного соответствия эта задача решается сравнительно просто. Точку К перепроецируем уже известным способом в точку Kt, построим проходящий через эту точку перпендикуляр Ci£>i. Точки Ci и £)] перепроецируем в обратном направлении в точки С и D, затем соединим их. В отсеке OXEY построен перпендикуляр CD с соблюдением характерных для косоугольной проекции линейных и угловых искажений.
Для подобных построений не обязательно пользоваться сторонами фигуры. На том же чертеже показано, как точка К перепроецируется в точку Kt построением вспомогательного треугольника, состоящего из сторон, соответственно параллельных осям OY и ОУ! и направлению проецирования.
Некоторым неудобством рисунка является то, что параллелограмм частично закрывает верхнюю часть фигуры OXE\Y}. Но можно располагать обе фигуры и несколько иначе, так, как это показано на рисунке в ответе к задаче 36.
Как видим, применяемые построения не отличаются повышенной сложностью* обладают необходимой наглядностью, но пригодны для решения метрических задач на плоских фигурах, так как в них применяется принцип родственного соответствия двух плоских полей. Получить таким способом новую проекцию трехмерного пространственного предмета нельзя. Для этой цели может оказаться более пригодным способ, использованный при построении косоугольной диметрической проекции угольника с ребром по двум ортогональным проекциям.
Из сказанного можно сделать вывод о том, что знание геометрических свойств фигур играет огромную роль при решении позиционных и метрических задач средствами начертательной геометрии. Чертежи, в которых упущено или нарушено одно из таких свойств фигуры, не будут правильными, и решать задачи на основе таких чертежей нельзя, так как они могут повлечь за собой ошибки. Бывает так, что на рисунке изображена дверь, которую нельзя «открыть», так как этому препятствует неправильно изображённый предмет обстановки. Еще чаще не согласуются между собой прямые углы, различно расположенные на одной плоскости или в пространстве.
В нашей книге речь идет о правильно построенных изображениях. Умение делать что-либо правильно — очень ценное качество любого работника. Но умению нужно учиться. Оно не падает готовым с неба наподобие библейской манны.
СЕМЬ РАЗ ОТМЕРЬ - ОДИН РАЗ ОТРЕЖЬ
Вероятнее всего эта пословица родилась в среде представителей портновского искусства. Иносказательный смысл ее хранит в себе простую житейскую мудрость: перед тем как сделать что-нибудь, хорошенько подумай.
Для портного тех времен, когда возникла эта пословица, она таила в себе конкретный и поучительный смысл. Не так-то просто давалось искусство правильного раскроя материала для одежды. Здесь было над чем призадуматься. Напутаешь — испортишь кусок ценного материала. И много раз прикладывал портной мерную тесьму к куску сукна и прочерчивал на нем мелком замысловатые кривые линии.
Закройщик современной швейной фабрики — это инженер одежды. Он располагает стандартами выкроек разных фасонов, громадными лекалами, механическими ножницами, которые легко прорезают сложенную во много слоев ткань.
Однако умение делать выкройки является не только достоянием швейников. Наша промышленность изготовляет множество изделий из листовых материалов, в том числе из металла, там, где он играет лишь роль оболочки. Различные баки, бункера, цистерны, кузова автомашин, фюзеляжи самолетов, не ^говоря уже о таких мелочах, как ведра или бидоны,— все это сделано из металлических выкроек. Конечно, во всех таких случаях ремесленные приемы изготовления выкроек уже непригодны. Вот почему построению разверток уделено значительное место в курсах черчения. Там сообщаются методы получения разверток, даются указания к точному их построению, без «семикратной» примерки.
Чтобы правильно построить развертку геометрического тела, изображенного на чертеже (например, цилиндра), мы пользуемся средствами, которые предоставляет в наше распоряжение начертательная геометрия. Очень часто приходится определять истинную величину отрезков или форму фигуры именно
для построения развертки. Значительного пространственного воображения требует процесс мысленного развертывания поверхности сложного геометрического тела или модели и совмещения ее с плоскостью. Понимание закономерностей, связанных с построением развертки, облегчает эту задачу.
В наших примерах мы не будем касаться самой техники построения разверток и определения истинных размеров входящих в нее элементов.
ЗАДАЧИ НА РАЗВЕРТКЕ
Попробуем использовать пространственное воображение для решения задач, связанных со свойствами разверток. Даже в развертке сравнительно простого тела такого, как куб, порой бывает над чем задуматься.
□ t 37*. Из картона <клсен игральный кубик, на гра-
! НЯх которого нанесены очки. Сумма очков на противо-
положных гранях всегда равна семи. На рисунке 59 дан один вариант развертки кубика с изображением очков на его гранях. Нанесите очки на пустые грани двух вариантов развертки, с тем чтобы сохранился их порядок и наклон очков 2 и 3.
С построением разверток связана целая группа интересных задач, относящихся к отысканию кратчайших путей на поверх-
ности тел. К числу классических задач этого рода относится задача с пауком и мухой. Какой путь должен избрать паук, находящийся близ вершины А, чтобы настичь муху, севшую на куб около вершины Е (рис. 60,а)?
Читатель, не имея достаточного опыта, вероятно, попытает-
Рис. 59
ся изобразить возможный путь паука по линии: паук — точка К — точка Е — муха. Это решение может иметь свои основания, ведь первый отрезок — кратчайший до грани BCEG, второй — до вершины Е, близ которой и находится муха. Тем не менее такое решение неверно. Правильно решить задачу можно, лишь развернув поверхность тела на плоскость и соединив на полученной развертке изображения паука и мухи прямой линией. Проделав такую работу, мы получим путь паука в виде линии ARE (рис. 60,6). Но из того же рисунка видно, что паук мог бы пройти через грани развертки еще
Рис. 60
более коротким путем. Но и этот путь не будет кратчайшим. Развернув отдельно две грани ABCD и CEFD (рис. 60,в), мы можем с помощью измерения отрезков убедиться, что в этом варианте путь паука будет действительно кратчайшим (через точку ,Л1).
Правда, в действительности паук не преследует муху, а ожидает ее в паутине, но для нашей задачи такой вариант не столь интересен.
В технике широкое распространение имеют развертки тел криволинейного очертания (цилиндров, конусов и др.). Подойдем к разверткам таких тел, отправляясь от знакомой нам задачи с пауком и мухой.
38*. На рисунке 61 паук и муха перенесены с куба на цилиндр. Как называется линия, по которой должен двигаться паук, если он намерен кратчайшим путем настигнуть свою жертву?
39 . На рисунке 62 изображена одна муха. По какой кривой она должна двигаться, чтобы возможно скорее обойти конус и вернуться к исходной точке?
Рис. 62
Для решения задачи 39 необходимо построить развертку конуса. Кратчайший путь мухи изобразится в виде двух перпендикуляров, опущенных из точки, занятой мухой, на линию разреза боковой поверхности конуса. Если развертка сделана так, что муха находится на линии разреза, перпендикуляр проводится к оси симметрии развертки. В обоих случаях, склеив из развертки конус, вы убедитесь, что• начерченный маршрут образует какую-то пространственную' петлю. Однако таков будет путь мухи, если угол развертки конуса при вершине менее 180э. Как он будет выглядеть, если угол этот станет равным 180° и более?
Из школьного курса известно, что разверткой цилиндрической винтовой линии является прямая. Это легко обнаруживается, если навернуть на модель цилиндра бумажный лря-моугольный треугольник. Винтовая линия имеет широкое применение в технике, являясь основой для образования различных резьб и других винтовых поверхностей.
t Металлический стержень с резьбой катится по
’’ЧВиЗЙЖ1 листу бумаги (рис.'63). Направление его качения показано стрелкой. Изобразите правильно наклон линий, которые стержень прочертит на бумаге, если он был предварительно смазан краской.
ДЛЯ ТЕХНИКИ И ГЕОГРАФИИ
Мы уже говорили о том, что для изготовления многих изделий промышленности приходится предварительно делать развертку из листового материала. Эта задача сравнительно проста, если изделие из такого материала будет иметь форму цилиндров или конуса. Значительно сложнее обстоит дело с развертыванием поверхностей других геометрических тел криволинейного очертания, в частности шара, точную развертку по-
Рис. 64
Рис. 63
верхности которого построить нельзя. На практике пользуются приближенными развертками таких тел. Из рисунка 64 видно, что развертки оболочки мячей имеют порой довольно причудливую форму.
Но можно получить развертку шара и другим способом, например из полос, срезанных по линиям меридианов шара (рис. 65).
Оказывается, проблема в такой постановке перестает быть забавной, а приобретает важное значение для тех, кому приходится совершать дальние путешествия, плыть на кораблях, лететь на самолете и т. д. Теперь эта проблема примыкает к циклу географических наук: геодезии, картографии, к их практическим приложениям и составляет обширный раздел знаний о мире, й котором мы живем.
Чертеж земли Московской; наше царство Из края в край. Вот видишь: тут Москва, Тут Новеород, тут Астрахань. Вот море. Вот пермские дремучие леса, А вот Сибирь...
А. С. Пушкин.
Помните ли вы эту сцену из замечательной пушкинской трагедии? Сын, занятый вычерчиванием карты Русского государства, беседует с отцом — царем Борисом Годуновым. Верный исторической правде, Пушкин и здесь не нарушил ее. Известно, что в 1614 году в Амстердаме печаталась карта по оригиналу, выполненному царевичем Федором. Гравировал ее на меди для печати крупный нидерландский картограф. Впоследствии карта переиздавалась с дополнениями и исправлениями.
Географическая карта — один из ценнейших документов человеческой культуры. История ее создания — глубоко интересное и поучительное повествование о том, как люди постепенно освобождались от примитивных и наивных взглядов на окружающий мир, как расширялся горизонт их наблюдений и представлений, как постепенно осваивали они Землю, свое жилище.
Долог и труден был этот путь. Каждая извилина на карте мира, каждый штрих и точка — результат огромного, многолетнего труда, совершенного тысячами землепроходцев, отважных путешественников и исследователей. Огромные жертвы приносило человечество за каждую драгоценную’ крупицу знания, добытого в борьбе с невежеством и силами реакции. На этом пути пролиты реки крови, он усыпан зловещим пеплом костров «святейшей» инквизиции.
Так рождалась географическая карта — самый ценный, самый дорогой чертеж в мире. Рассмотрите ее внимательно. Контуры материков и океанов на всю жизнь врезаются в нашу память. И когда мы говорим «Европа», «Африка», «Америка», в нашем сознании тотчас же всплывают знакомые очертания каждой части света.
Первые линии этих контуров, зачастую неверные и приблизительные, проложили самые беспокойные сыны человечества — мореходы. Им карта была нужнее всего.
Если вы ходите по Земле, любой поворот дороги, холм, лесок, селение служат вам приметными вехами пути. Если вы сбились с дороги, встреча с другим человеком поможет найти верное направление. Не то в море. Простор его не имеет приметных знаков. Поэтому, ища опоры для себя в дальнем пути, люди обращали свои взоры к небу. И там они находили эти знаки — солнце, луну, звезды. И, сверяясь с расположением их, люди направляли через волны бег своих утлых деревянных суденышек. Они боялись уплывать далеко от родных берегов, не зная, что ожидает их в неведомой туманной дали, скрытой за чертой горизонта. И потому в течение долгих веков по просторам морей пролегали одни и те же изведанные пути, не уходившие далеко от берегов.
Затем к людям пришел замечательный помощник — магнитная стрелка, компас. Люди сумели использовать для своих целей такое загадочное явление, такое странное свойство Земли, как ее магнитное поле. Они нанесли на земной глобус точки полюсов, дпутали его сеткой меридианов и параллелей.
НЕУДАЧНОЕ ПУТЕШЕСТВИЕ
Кто из нас не мечтал о кругосветном путешествии? Тем более, что с каждым годом благодаря развитию транспортной техники эта задача становится все более простой. Да и что тут сложного? Особенно если «под руками» скоростной самолет. Сел за штурманский столик, раскрыл карту, отметил положение компасной стрелки — и вперед! Только не сбиваться с направления, только точно выдержать взятый по компасу курс. И, облетев кругом земного шара, мы без хлопот опустимся на том же аэродроме, с которого стартовали.
/Но так ли это, читатель? А вдруг все пойдет иначе, чем мы предполагали? И курс был выдержан по компасу, и стрелка работала исправно, везде точно показывая направление на север и юг, а маршрут не удался. Не вышло кругосветного путешествия, опоясавшего кольцом планету, а получилась какая-то диковинная спираль, занесшая нас в далекие края Арктики. И вот уже самолет кружится возле полюса, кругом бесконечные льды, горючее на исходе, а по компасу все в порядке. Как же быть? Что случилось?
Оказывается, компас у неподготовленного путешественника может оказаться бесполезным и подведет его, если не учесть некоторых важных обстоятельств. Поэтому сначала придется разобраться в том, что такое карта.
ГРАДУСНАЯ СЕТКА
Если сказать, что карта является разверткой поверхности земного шара на плоскость, с учетом масштаба, то это будет верно лишь отчасти. Карта получается путем проецирования воображаемой градусной сетки на плоскость или вспомогательную поверхность другого вида, которую впоследствии тоже развернули на плоскость. А после того как сетка станет плоской, на нее уже сравнительно нетрудно нанести очертания воды и суши, рек и дорог, отметить горные пики, города и другие важные точки по снятым с натуры географическим координатам.
Предположим, что нам удалось отклеить веретенообразные полоски бумаги, которыми обклеен глобус. Эти полоски, эти кусочки карты расположим рядом (рис. 65). Пользоваться такой лоскутной картой, конечно, нельзя. Но можно представить себе, что вдруг полоски эти приобрели свойства гибкой пленки. Тогда, растягивая их вверху и внизу, нам удастся свести воедино их края и преобразовать зубчатую фигуру в прямоугольник (рис. 66). Так можно получить карту. Но при этом возникнут большие искажения. В верхней и нижней частях карты растянутся в ширину континенты и океаны. Точки полюсов заменятся линией, равной по длине экватору. Масштаб для разных частей карты уже не будет единым. И все же с этим приходится мириться. Искажения неизбежны, потому что шаровая поверхность не может быть точно развернута на плоскость.
На такой карте сохранит свою истинную длину экватор и меридианы (разумеется, с учетом масштаба). Зато промежутки между меридианами на любой широте станут одинаковыми, чего нет на самом деле. Значит, для измерения расстояний, от-'
Рис. 66. Карта мира в квадратной проекции
ложенных по параллелям, придется высчитывать масштаб отдельно для каждой из них. По мере приближения к полюсу он станет резко возрастать, а на самом полюсе им бессмысленно пользоваться, ибо точка, обозначающая полюс, «растянулась» на всю ширину карты. Увеличилась примерно в полтора раза вся площадь земной поверхности.
Нет, скажет читатель, такой карте нельзя верц^ь.
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
Однако карты мира нередко очень похожи на ту, что мы рассмотрели. Такова, например, карта, выполненная в проекции Меркатора (рис. 67). Ее можно увидеть и в школе. Не путайте ее только с картой полушарий. На ней обычно срезаются приполярные области наверху и внизу примерно на широте 80°, где искажения достигают наибольшей степени. Остальная часть карты используется. Для знакомства с приполярными областями пользуются другими картами.
В чем особенности карты в проекции Меркатора? Это одна из многих картографических проекций, которые рассматриваются специальной наукой — картографией, изучающей способы изображения земной поверхности на плоскости. Зародилась эта наука довольно^давно. Значительных успехов достигла она в XVI веке, когда жил и трудился крупный нидерландский уче-
пый-математик и картограф Герард Меркатор (1512—1594). Незадолго до его рождения свершилось знаменитое плавание отважного генуэзца Христофора Колумба, открывшего Америку, а португалец Васко да Гама, обогнув южную оконечность Африканского континента, достиг морским путем Индии. Меркатор был еще мальчиком, когда погиб знаменитый мореплаватель Фернандо Магеллан, совершивший первое кругосветное путешествие и отыскавший проход из Атлантического океана в Тихий через пролив, которому было присвоено его имя.
Родился Меркатор в небольшом городке Рупельмонд близ Антверпена, во Фландрии, одной из провинций Нидерландов. В молодости учился в университете Лувена, старейшем высшем учебном заведении Европы. Затем увлекся географией, астрономией и математикой, открыл мастерскую, где начал изготовлять глобусы, астрономические и мореходные инструменты, чертить и гравировать географические карты.
В те годы в Нидерландах, находившихся под властью испанского короля, свирепствовала «святейшая» инквизиция, судебно-политическое учреждение католической церкви для борьбы с отступниками от официальной религии, которых называли еретиками. В 1544 году по обвинению в симпатиях к протестантам был брошен в тюрьму и Меркатор. Вскоре же двое арестованных вместе с ним были сожжены, одному отрубили голову, двух похоронили заживо. Только заступничество одного кардинала, высоко ценившего талант узника, спасло ученого. Выпущенный на свободу, но опасавшийся возобновления преследований Меркатор переехал в Германию и стал преподавателем космографии в гимназии. Здесь он задумал свои важнейшие планы.
Меркатору первому удалось вычислить точные координаты магнитных полюсов Земли. Он разработал способ триангуляции, имеющий первостепенное значение при выполнении геодезических работ, необходимых для точных измерений на поверхности Земли и правильного изображения ее на картах. Он произвел съемку и составил карту Фландрии. Его обширный труд по географии Земли, содержащий наиболее точные для того времени карты, был полностью издан после смерти автора. Он включал в себя атлас, состоящий из 107 карт, издание которого в 1595 году было завершено' сыном Меркатора. Вышедший в свет атлас был тут же запрещен римским папой. Но это не смогло помешать его распространению. Часть труда Меркатора появилась в 1637 году и на русском языке под названием «Книга, глаголемая космография, сиречь всего света описание».
Неизмеримо расширился горизонт знаний человека в ту эпоху. Отважные мореходы вдоль и поперек бороздили просторы океанов, открывая новые земли. Каждый год приносил что-либо новое, уточнял очертания суши то здесь, то там. На пу
стых участках карты появлялись контуры вновь открытых земель. Картографы работали без устали.
Герард Меркатор разработал несколько способов построения градусной сетки для географических карт. Из них наиболее известна проекция, носящая его имя и дожившая до наших дней. Сравним ее с картой, полученной растяжением полосок обклейки глобуса. В этой карте искажения контуров материков особенно заметны, потому что при сохранении единого масштаба вдоль меридианов масштаб параллелей нарастал, достигая огромных величин вблизи полюса. Поэтому верхние и нижние пояса карты изображали материки сильно растянутыми по ширине. Это искажало их действительный вид.
Меркатор решил пропорционально растяжению параллелей между меридианами увеличивать и отрезки самих меридианов. В этом случае, хотя и придется поступиться сохранением единого масштаба вдоль меридианов, все же удастся сохранить подобие фигур материков и океанов, их действительные, неискаженные очертания. А в подобных фигурах углы остаются соответственно одинаковыми. Это обстоятельство, как мы увидим дальше, особенно ценно для мореплавателей.
Итак, Меркатор дополнительно растянул отрезки меридианов в определенной последовательности: чем ближе к полюсу, тем большее растяжение испытывает очередной отрезок меридиана. Но наибольшее растяжение испытывали отрезки параллелей, растягиваемые из кусков обклейки глобуса для получения карты, показанной на рисунке 66. Поэтому, исходя из своего намерения, так же был вынужден поступать и Меркатор. Однако, если бы он довел свою работу до полюсов, создалось бы крайне сложное положение. У полюса меридианы стали бы бесконечно длинными, и весь смысл проделанного был бы потерян. С бесконечно большими величинами можно справиться в математических выкладках, но пользоваться картой таких габаритов, конечно, нельзя.
Поэтому Меркатор срезал карту сверху и снизу, отбросив приполярные области. Кстати сказать, очертания их тогда были ‘известны крайне неточно и неполно, а спроса на карты этих территорий, естественно, почти не было.
КАК ПРОЕЦИРУЕТСЯ КАРТА
Получение градусной сетки на карте можно объяснить, пользуясь методом проекций. Вообразите, что земной шар обернут цилиндрической поверхностью, соприкасающейся с ним по линии экватора (рис. 68). Световая точка находится на оси шара и посылает веером вокруг себя плоский пучок лучей (плоскость пучка параллельна экватору). При этом точка перемещается вдоль земной оси, как бы соединяющей полюсы, проецируя по очереди только те параллели, которые находятся на одном уров-
Рис. 68. Получение цилиндрической проекции
не с ней. Вот какую сложную обстановку проецирования мы можем уже вообразить! Плоский расходящийся пучок лучей, проецирование поверхности тела изнутри на цилиндрическую поверхность, находящуюся вне этого тела! Это ли не доказательство могущества метода проекций?
Движущаяся световая точка перенесла с шара сетку на поверхность цилиндра. Снимем этот экран, замкнутый в кольцо, разрежем его по одному из меридианов и развернем (рис. 69). Получится карта, похожая на ту, что была получена растяжением обклейки глобуса. Параллели так же растянуты по мере приближения к полюсам, создавая
уродливые очертания материков, тогда как средний пояс карты не производит такого впечатления. Внимательно сверьте обе карты на рисунках 66 и 69 и дайте ответ.
41*. Есть лк и в чем заключается различие между картами, изображенными на рисунках 66 и 69?
Заметьте, что на карте, полученной на цилиндрической поверхности, высота развертки равна диаметру шара, ширина — окружности экватора. Построение графической сетки графическим способом очень просто. Сначала строим прямоугольник по данным: высота его в 3,14 раза меньше ширины (почему?), масштаб любой. Слева строим полуокружность, представляющую собой прямоугольную проекцию половины земного шара в том же масштабе. Диаметр полуокружности будет равен вы-
Рис. 69. Карта мира в проекции Ламберта.
соте прямоугольника. Разделим ее на любое количество равных частей. В данном случае она разделена на 12 частей и, следовательно, каждый промежуток между параллелями соответствует 15°. Проведем вправо горизонтальные лучи, которые дадут на развертке ряд параллелей. Основание прямоугольника, равное длине полной окружности, придется разделить ужеч на 24 части. Через каждую точку деления проведем вертикальные проекции меридианов. Промежутки между меридианами, очевидно, будут составлять также 15° разницы в долготе. Проекция градусной сетки построена. Остается перенести с глобуса, пользуясь сеткой, очертания материков и водных поверхностей.
Как видим, в построении этой карты пришлось объединить знания в области прямоугольного проецирования и выполнения развертки цилиндрической поверхности. Как и в проекции Меркатора, меридианы изображены здесь рядом вертикальных параллельных отрезков прямых, параллели — горизонтальными отрезками, расположенными под прямыми углами к меридианам.
В каждой точке земной поверхности направление меридиана действительно перпендикулярно направлению параллели, так что эта особенность является несомненным достоинством такой карты.
В ней есть еще одно, скрытое на первый взгляд достоинство. Она не искажает величину площадей изображенных на ней фигур, несмотря на то что искажает их форму. Если измерить по такой карте площадь любого материка и, учитывая масштаб изображения, выразить ее в единицах площади, скажем в квад
ратных километрах, то окажется, что полученный результат совпадет с истинной площадью материка. Проекция, полученная таким образом и изображенная на рисунке 69, носит название равновеликой цилиндрической проекции Ламберта, по имени ученого, предложившего ее в XVIII веке.
На первый взгляд сохранение этого свойства в такой непривычной для нашего глаза карте кажется маловероятным. Тем
те менее, призвав на помощь элементарную геометрию, можно убедиться в справедливости та-
кого утверждения.
В курсе геометрии (стереометрия) приводится вывод формулы для подсчета площади поверхности шарового сегмента и шарового пояса. Рисунок 70 поясняет, что под шаровым поясом следует понимать часть шара, заключенную между двумя параллельными сечениями тела. На изображении земного шара нанесены параллели через 30° широ-
Рис. 70. Поверхность шарового пояса
97
7 Заказ № 4104
ты каждая. В упомянутой теореме довольно несложным путем доказывается, что площадь поверхности любого из таких поясов, ограниченных сечениями по параллелям (как и площадь шарового сегмента, имеющего на чертеже высоту Н^, может быть вычислена по формуле 2nRH, где Н — высота шарового пояса или сегмента, a R — радиус большого круга шара, т. е. самого шара. Из формулы видно, что площадь пояса не зависит ни от длины отрезка меридиана, ни от разности в широте между границами пояса, которые на карте Ламберта подверглись столь сильным искажениям. Площадь зависит только от высоты пояса и диаметра шара. Но эти элементы как раз и не подвергаются искажейию на карте Ламберта, разумеется с учетом масштаба.
Значит, и такая карта оказывается полезной в нужных случаях.
Кроме цилиндрических проекций Меркатора и Ламберта, существует еще немало других цилиндрических проекций. В числе их займет место и карта, изображенная на рисунке 66. Она называется квадратной проекцией по форме клеток градусной сетки.
Эта карта была впервые предложена в XV веке португальским принцем доном Энрико, носившим прозвище Генриха Мореплавателя. Дон Энрико руководил несколькими морскими экспедициями, целью которых являлось открытие морского пути в Индию вокруг Африканского материка. Разрешить эту задачу лишь через несколько десятилетий посчастливилось его знаменитому соотечественнику Васко да Гаме.
Любопытно отметить, что три рассмотренные цилиндрические проекции — квадратная, меркаторская и равновеликая, несмотря на значительное внешнее сходство между ними, с точки зрения картографа имеют существенные различия и присущие каждой особые свойства.
Квадратная проекция имеет одинаковый масштаб на всем Протяжении вдоль меридианов, меркаторская сохраняет правильные углы на земной поверхности, равновеликая — одинаковый масштаб площадей. Достоинства каждой из этих проекций отсутствуют на двух других.
В цилиндрических проекциях на одной карте изображается вся поверхность земного шара. Как же получаются знакомые нам карты полушарий, состоящие из двух кругов?
Их можно получить, проецируя шар на плоскость, и, естественно, надобность в последующем развертывании полученного изображения сетки отпадает. На рисунке 71 показано образование так называемых азимутальных проекций, при которых градусная сетка, нанесенная на шар, проецируется на плоскость, касательную к шару в одной из его точек. Азимутальные проекции имеют разновидности, связанные с различным выбором точки касания плоскости к шару.
Если плоскость проекций касается земного шара в одном из полюсов, такую проекцию называют полярной или нормальной; если в некоторой точке экватора — экваториальной или поперечной. Но можно выбрать для касания любую точку шара, не находящуюся ни на полюсе, ни на экваторе (этот выбор определяется желанием получить в наименее искаженном виде какой-либо участок земной поверхности). Полученная проекция будет называться косой или горизонтной.
В отличие от параллельных проек-
ций, рассматриваемых В курсе черче- Рис. 71. Получение азиму-ния, в картографии чаще всего ис- тальной ^экваториальной пользуется принцип центрального про- проекции
ецирования, когда воображаемые про-
ецирующие лучи исходят из одной точки, положение которой обусловлено. Эти лучи образуют расходящийся пучок, имеющий форму конуса с центром проекций в его вершине.
Характер проекции градусной сетки при одном и том же
положении плоскости (например, азимутальной экваториальной, показанной на рис. 71) меняется в зависимости от того, в каком месте располагается центр проекций, т. е. та вообра-
жаемая лампочка, которая проецирует сетку меридианов и параллелей. Этот центр может находиться на бесконечно большом расстоянии, и тогда лучи его можно считать параллельными (ортографическая проекция), на некотором конечном расстоянии (внешняя проекция), на поверхности земного шара (стереографическая проекция) и, наконец, в центре шара (центральная проекция).
Этим далеко не исчерпывается перечень всевозможных спо-собов * есть и
построения картографических проекций, среди которых чисто математические, когда сетка строится на основе
расчетов и должна удовлетворять наперед заданным условиям искажений.
В ПОГОНЕ ЗА ТОЧНОСТЬЮ
Возникает вопрос: к чему такое многообразие, в котором легко запутаться? Почему нельзя выбрать один способ, дающий самую совершенную карту? Причина все та же — искажу ния, возникающие при всех способах изображения шара на плб-скости. Характер этих искажений многообразен. Они могут быть линейные, и тогда разные участки одной и той же линии имеют разные масштабы (так, в частности, получается на про
екции Меркатора); угловые, когда углы между линиями на карте не соответствуют действительным углам между теми же линиями на поверхности Земли; площадные, когда отсутствует единый масштаб для площадей на различных участках карты (этот недостаток отсутствует, например, на проекции Ламберта). Между тем картами пользуются тысячи людей разных специальностей. Одному важно сохранение линейного масштаба, другому — правильная передача величины углов. Каждому понадобится карта в определенной проекции, наиболее удобной для него.
Применяя различные картографические проекции, можно создавать карты свободные или почти свободные от искажений одного рода, но сохраняющие искажения другого рода. Знакомясь с различными видами карт, можно только поражаться широте возможностей и гибкости средств, которыми обладает картография. Картографы могут предложить специалистам множество проекций, причем каждая будет удовлетворять наперед заданным условиям, за исключением одного: карты, совершенно свободной от искажений, не существует. Хотите избавиться от одних искажений, миритесь с другими.
У читателя может возникнуть мысль о том, что методы картографических проекций недостаточно совершенны, поскольку они не в состоянии избавиться полностью от искажений. Между тем дело не в слабости средств картографов, а опять-таки в принципиальной невозможности развернуть поверхность шара на плоскость без искажений, в невыполнимости этой задачи при любом уровне науки.
Теперь, познакомившись с особенностями карты, мы можем проанализировать, неудачу, постигшую нас при кругосветном путешествии. Очевидно, при движении вдоль линии градусной сетки (параллелей и меридианов) у нас не возникло бы таких осложнений. Облетим ли мы, читатель, земной шар по экватр-ру или по любой из параллелей, направим ли самолет вдоль какого-либо меридиана, пролетев над обоими полюсами,— для этого пригодится карта в любой проекции. В первом случае, при прямом полете с востока на запад (или наоборот), стрелка компаса будет все время располагаться перпендикулярно к линии маршрута; во втором (по меридианальному направлению) — вдоль маршрута. Упрощая условия, мы отвлекаемся от того факта, что географический и магнитный полюсы Земли не совпадают. Нужно лишь учесть одно: если мы до' Северного полюса летели в северном направлении, то, миновав его, будем двигаться уже в южном.
Но такие избранные направления в практике сравнительно редки. Чаще всего курс мореплавателей или трасса самолета имеет промежуточное направление, располагаясь под каким-то углом к меридианам и параллелям. Тут-то положение и осложняется.
СПИРАЛЬ У ПОЛЮСА
Рис. 72
Дело в том, что в действительности линии меридианов не параллельны друг другу, как это выглядит на карте Меркатора, а сходятся в точках полюсов. Предположим, что вы решили совершить путешествие, придерживаясь азимута 315° (напомним, что азимутом называется угол, образуемый меридианом и направлением маршрута, отсчитываемый по часовой стрелке).
Рисунок 72 показывает, к чему привело ваше намерение, если бы все время вы передвигались так, чтобы стрелка компаса составляла бы угол а = 45° с направлением маршрута. Пересекая все меридианы под одним и тем же углом, самолет постепенно искривлял бы свой путь и приблизился к полюсу, ибо меридианы ведь сходятся! Ваш маршрут превратился бы в спираль, витки которой становятся все теснее у полюса. Теоретически полет мог бы продолжаться бесконечно, так как угол, образованный меридианами с линией маршрута, сохраняется. Для того чтобы попасть на полюс, нужно взять прямой курс по меридиану, что будет противоречить условию о сохранении постоянного азимута. Вот к какому неожиданному финалу привела попытка совершить кругосветное путешествие с помощью компаса!
Такое же осложнение возникает и тогда, когда мы хотим совершить переезд из одной точки в другую, если только обе точки не лежат на одном меридиане или на экваторе. На том же рисунке показан в виде прямой путь от точки А к В. Вы видите, что на всем протяжении маршрута угол, образуемый его направлением с меридианами, непрерывно изменяется. Очевидно, нужно напряженно следить за картой, все время снимая с нее величину углов и внося соответствующие поправки в курс. Задача очень сложная.
Но, может быть, можно заранее соединить оба пункта не прямой, а кривой линией, нанесенной с таким расчетом, чтобы углы, образованные этой линией с меридианами, оставались бы одинаковыми? Как это облегчило бы наше путешествие! Но будет ли в таком случае наш путь кратчайшим?
КРАТЧАЙШИЕ ПУТИ
Отыскивая в предыдущей главе кратчайший путь паука к мухе, мы не рассмотрели эту проблему применительно к поверхности шара. А именно этот вариант имеет теперь самое
непосредственное отношение к поставленному нами вопросу. И только теперь мы можем приступить к его разрешению.
Тут есть над чем призадуматься. Справедливо предполагать, что кратчайший путь между двумя точками на одном и том же меридиане есть дуга этого меридиана. То же самое можно сказать и об экваторе. Но кратчайший путь вдоль параллели уже не совпадает с ее дугой. Так, например, желая совершить перелет из Магадана (Дальний Восток) в Ленинград, которые расположены примерно возле одной параллели (около 60° северной широты), можно идти на запад постоянным курсом, который на карте Меркатора будет выглядеть горизонтальной прямой. Но путь этот вовсе не будет кратчайшим. Легче всего это проверить, натянув нитку на глобусе между указанными пунктами. Кратчайший путь изобразится кривой линией, обращенной выпуклостью к северу, а середина маршрута достигнет примерно 74° северной широты, хотя старт и финиш лежат на широте 60° (см. рис. 67).
Теоретически, чтобы получить на шаре линию кратчайшего расстояния, нужно мысленно рассечь шар плоскостью, проходящей через три точки: пункт отправления, центр шара и пункт прибытия. Такая плоскость всегда делит шар на две равные части, а линия сечения шара будет в этом случае дугой большого круга, ибо радиус ее всегда равен радиусу самого шара, т. е. сечение будет образовывать наибольший круг из всех возможных при других секущих плоскостях.
Может показаться, что выяснением этого обстоятельства снимаются все трудности прокладки маршрута. Нет, трудности только сейчас по-настоящему и начинаются. Возможность передвигаться по кратчайшему расстоянию, конечно, всегда заманчива. Но беда в том, что путешествие по дуге большого круга, очень сложное и хлопотливое дело. Нанесенный на карту маршрут образует все время изменяющиеся углы с меридианами. Штурман должен непрерывно делать расчеты, и все время экипаж самолета будет вносить поправки в свой курс. Это очень сложно.
И, если поразмыслить, то нетрудно согласиться с доводами в пользу другого варианта: пусть не по кратчайшей линии, но зато по постоянному курсу, под неизменным, заранее вычисленным углом к положению магнитной стрелки. Есть ли такая карта, на которой линия постоянного курса изобразится в виде прямой? Да, это знакомая нам карта Меркатора. Она окажется наиболее пригодной для нашей цели, так как правильно передаст углы на земной поверхности. Соединив пункт отбытия и пункт прибытия по такой карте прямой линией и точно измерив угол ее с линией меридиана, можно стартовать в избранном направлении. Придерживаясь постоянного курса, вы прибудете к месту назначения, но, конечно, с перерасходом горючего, ибо путь ваш не был кратчайшим. Ну, а если б, миновав пункт
прибытия, вы решили продолжить маршрут по тому же курсу? Вы приблизились бы к одному из полюсов: Северному или Южному. Ведь любая наклонная линия на карте Меркатора заканчивается в приполярных областях.
Линия постоянного курса, нанесенная на карту, называется локсодромией (или локсодромой), что значит «кособегу-щая». Линия же кратчайшего расстояния между двумя пунктами, совпадающая с дугой большого круга,— ортодромией (или ортодромой), что значит «прямобегущая». Нить, натянутая между двумя точками на глобусе, всегда ложится по дуге большого круга. Как мы видели, на карте Меркатора ортодрома изображается кривой линией, обращенной выпуклостью к северу в северном полушарии и к югу в южном. Локсодрома на той же карте изображается в виде прямой.
Итак, кратчайшая линия между двумя точками изображается кривой, прямая же не является кратчайшей. Это звучит как парадокс для нас, вынесших из учебника элементарной геометрии совершенно иные представления. Но школьная геометрия (планиметрия) изучает свойства фигур, расположенных на плоскости. Мы же имеем дело с шаровой (сферической) поверхностью.
> Рис, 73. Карта части земной поверхности в центральной горизонтной проекции
Естественно, возникает вопрос: нет ли такой карты, на которой все станет на свое место и ортодрома изобразится в виде прямой? Конечно, и такая карта есть у картографов. Это упомянутая нами азимутальная центральная проекция. Если центр проекций (наша воображаемая лампочка) находится в центре шара, то любое сечение его, проходящее через центр, будет проецироваться на плоскость в виде прямой. Можно представить себе, что проецирующие лучи, исходящие от центра шара и проходящие через дугу большого круга, образуют плоский пучок, который, встречая любую другую плоскость (плоскость проекций), пересечет ее по прямой. Понять это нетрудно, если учесть, что большой круг и его центр лежат в одной плоскости, а центр шара является общим центром всех возможных больших кругов, проведенных на его поверхности в любых направлениях. В этом неоспоримое достоинство карты, построенной в центральной проекции.
Именно по ортодромической трассе совершили в 1939 году свой памятный перелет Москва — Нью-Йорк Герой Советского Союза летчик В. Коккинаки и штурман М. Гордиенко, трасса которого показана на рисунке 73.
Попробуйте теперь ответить на следующие вопросы:
\ ? I 42*. Как будет выглядеть трасса полета В. Кокки-
наки в меркаторской проекции? В какую сторону она будет выгнута? Для наглядности представьте, что вы <ч• иЕСТ»•; «ДИ5 начинаете растягивать карту на рисунке 73, с тем что-- бы ее параллели выпрямились, а меридианы стали па-
" раллельными прямыми. При этом линия трассы долж-
v на проходить через те же координатные точки карты.
б 43. Постройте локсодрому маршрута Коккинаки на
карте Меркатора и не забудьте, что это не кратчайший путь. Фактически самолет двигался по другому, кратчайшему маршруту. Перенесите сюда же действительный маршрут (ортодрому) с рисунка 73.
44*. Почему в центральной проекции меридианы и экватор изображаются прямыми линиями?
•45*. На рисунке 74 показано получение центральной азимутальной проекции. Пучок лучей, исходящих из центра, рисует на плоскости изображение случайно взятой параллели. Какую геометрическую поверхность образует пучок лучей, проходящих через данную параллель? Форму какой кривой будет иметь проекция этой параллели на плоскости?
Ортографические проекции, в которых точка зрения (или центр проекций) располагается на бесконечно большом расстоянии, соответствуют обычной прямоугольной проекции, изучаемой в курсе черчения в школе. Это означает, что плоскость проекций расположена касательно к земному шару и перпендикулярно к параллельным проецирующим лучам. Теперь мыубе-
дились, что такой способ проецирования в картографии является отнюдь не единственным, нто способы проецирования шара очень разнообразны, а получаемые при этом проекции могут обладать различными свойствами, из которых всегда можно подобрать наиболее приемлемые.
Теперь можно коснуться вопроса и о наиболее удобной карте для целей мореплавания или дальних воздушных полетов.
Для морской навигационной карты решающим преимуществом является возможность быстро и правильно снять или нанести на нее курс, которым идет или должно идти судно. Таким условиям лучше всего удовлетворяет карта Меркатора, сохраняющая углы на земной поверхности без искажения, между тем как карты в центральной проекции сильно искажают углы. Но меркаторская карта
Рис. 74. Проецирование параллели в центральной экваториальной проекции
чрезвычайно неудобна для на-
несения кратчайшего маршрута, который изобразится на ней
кривой. А кривую понадобится перенести по координатам с глобуса. Это неудобно. Но, оказывается, есть выход, если взять
одновременно две карты: одну меркаторскую, а другую в центральной проекции. Сначала наносят кратчайший путь по ортодроме на карту в центральной проекции, где он будет изображаться в виде прямой. Затем переносят его по координатам на карту Меркатора, где ортодрома становится кривой. Как мы уже понимаем, двигаться с компасом по кривой, все время меняя углы по компасу, крайне неудобно. Поэтому поступают так: ортодромическую кривую разбивают на несколько частей, соединяя их между собой отрезками прямых. Получается ломаная линия с несколькими перегибами, более короткая, чем локсодромический маршрут, но и несколько более длинная, чем ортодромический. Пользуясь картой Меркатора, моряки меняют курс лишь несколько раз, в заранее намеченных точках (рис. 75). Таким образом на деле оказывается наиболее удобным компромиссное решение проблемы.
Рис. 75
При сравнительно коротких маршрутах (например, для советского флота, плавающего в Балтийском, Черном, Белом и Охотском морях, где разница в длине ортодромических и локсодромических маршрутов сравнительно невелика) практически руководствуются картой в проекции Меркатора.
Все сказанное выше относится к мелкомасштабным картам, охватывающим значительные участки земной поверхности, в том числе и к мировым картам. Карты, изображающие сравнительно
небольшие участки в крупном масштабе, отличаются тем, что на них влияние сферичности земной поверхности становится менее ощутимым. Участок, изображенный на них, можно без большой ошибки считать плоским. И это решительно облегчает пользование такими картами, так как кратчайший путь можно наносить на них по прямой и непосредственно на них измерять углы. Такими свойствами в наибольшей степени обладают крупномасштабные карты, карты топографические, среди которых встречаются и масштабы 1 : 25 000, где каждый километр на такой карте занимает 4 сантиметра.
Применение карт очень разнообразно и, разумеется, не ограничивается только целями передвижения по Земле. Карты различных назначений (географические, морские, экономические, исторические, геологические, климатические, этнографические и многие другие) служат работникам различных профессий. Изучение прошлого и настоящего нашей Родины, ознакомление с зарубежными странами постоянно опирается на карту.
Упомянутые выше топографические карты обладают специ-, альными достоинствами, не связанными с возможностями дальних путешествий. Они изображают весьма ограниченные участки земной поверхности, передавая их со всеми возможными подробностями (рельеф местности, почвенно-грунтовой и растительный покров, рекп, озера и другие водоемы, населенные пункты, дорожная сеть, промышленные и сельскохозяйственные объекты). Вполне понятно, что для передвижения войск и оценки характера местности с точки зрения тактики они оказываются наиболее пригодными. Но неоценимо и их мирное назначение. Они служат при прокладке новых дорог, возведении различных сооружений, позволяя заблаговременно определить необходимый объем земляных работ, помогают решать множество других задач на местности. При этом на них практически неощутимы искажения, проявляющиеся в мелкомасштабных картах. Поэтому считается, что масштаб топографической карты для всех ее участков остается постоянным. Поскольку на топографических картах наносятся горизонтали, характеризующие рельеф
местности, а отдельные вершины гор и высот имеют числовые пометки об их высоте, проекционной основой для построения таких карт можно считать метод проекций с числовыми отметками, являющийся одним из разделов начертательной геометрии.
ТРАЕКТОРИЯ СПУТНИКА ЗЕМЛИ
В октябре 1977 года вся наша страна отмечала двадцатилетие со дня запуска первого в мире искусственного спутника Земли. Это событие стало началом космической эры в истории человечества, ярким проявлением могучего расцвета науки и техники нашей социалистической Родины.
Люди старших поколений помнят волнующие дни стартов первых советских спутников. В газетах приводились схемы движения спутников — траектории орбиты на фоне карты мира. Рядом печатались непривычные для читателей «расписания» этих необычайных маршрутов с перечнем городов и стран планеты и указанием точного времени, когда спутник будет пролетать над ними. И вечерами толпы людей на улицах ждали очередного появления в ночном небе яркой звездочки, величественно проплывающей среди знакомых светил и быстро скрывающейся за горизонтом.
На рисунке 76 воспроизводится схема орбиты первого советского спутдика Земли. Далеко не всем читателям газет того времени было понятно, почему его траектория изображается не
Рис. 76. Схема движения первого спутника Землп
Рис. 77 а
«странную» форму с «поворотами», тогда как спутник двигался в одном направлении вокруг Земли.
Воспроизведение формы траектории полета спутника на карте мира средствами начертательной геометрии является сравнительно несложной задачей, решение которой будет несомненно полезным для читателя.
Как известно, плоскость орбиты спутника была наклонена к плоскости экватора на 65°. Мы очень немного уклонимся от истины, если будем считать форму орбиты окружностью, а движение спутника по ней равномерным. Проекция этой орбиты на поверхность Земли — большой круг, центр которого совпадает с центром Земли. На ортогональной проекции земного шара (рис. 77 а, сверху) чертеж выполнен с точки зрения наблю
дателя, находящегося в плоскости орбиты на бесконечно большом расстоянии от нее. Это значит, что проекция будет образована параллельными проецирующими лучами, а кольцо орбиты будет видно в профиль, т. е. как диаметр круга, наклоненный к проекции экватора на 65°. На виде сверху проекция орбиты изобразится эллипсом. Наблюдатель, находившийся в любой точке этой линии на Земле, видел спутник пролетающим через зенит, т. е. прямо над головой. Выше и левее вида спереди приведена вспомогательная полуокружность, дуга которой разделена на равные промежутки. Это сделано для того, чтобы узнать, как
расположатся проекции равных участке орбиты на виде шара спереди.
•Так как плоскость орбиты спутника не участвует во вращении Земли (суточном) и неподвижна относительно звезд, начнем построение, условно считая земной шар неподвижным. Для того чтобы нанести проекцию орбиты на мировую карту, пользуясь ее градусной сеткой, нужно располагать данными о широте и долготе каждой ее точки. Определить эти данные нам помогут прямоугольные проекции шара, показанные на рисунке 77 а.
Рис. 77 в
Сначала разделим проекцию орбиты на наперед намеченное конечное число точек. Пусть их будет двенадцать. На вспомогательной полуокружности, изображающей развернутое полукольцо орбиты, разместятся семь точек из двенадцати, остальные точки мыслятся на отброшенной части кольца. Перенесем эти семь точек на вид шара спереди, где получим проекции точек Г—7'. Точки 8'—12', расположенные на обратной стороне шара, показывать не будем, так как они попарно сливаются с проекциями точек Г—Т. На виде сверху видимыми будут проекции точек 4—10, невидимыми — 3—11, которые показаны на проекции траектории, изображенной штриховой линией.
Чтобы не загромождать чертеж, на виде спереди не даны проекции меридианов, а на виде сверху — параллелей, кроме тех, которые необходимы для построения. Нумерация двенадцати точек и их расположение на проекциях обусловлены тем, чтобы на проекции полукольца были изображены первые семь точек ее. Таким образом точка 4' на виде спереди расположилась на экваторе. Разумеется, нумерация точек условна и не влияет на характер самой проекции орбиты. Исходя из места, занятого проекцией точки 4', ее широту и долготу можно считать нулевой. Несколько сложнее определить географические координаты остальных точек. Попробуем сделать это для точки 5.
Чтобы определить ее широту и долготу, проведем через нее на виде спереди проекцию параллели, которой она принадлежит. Показанная половина проекции этой параллели обозначена как R.5, исходя из того, что данный отрезок является радиусом, которым можно описать окружность проекции данной параллели на виде сверху. Для определения широты точки 5 соединим правый конец проекции этой параллели с центром окружности. Как можно точнее измерим транспортиром полученный центральный угол, который образует радиус, проведенный в любую точку этой параллели, с плоскостью экватора. Это и будет широтой точки 5 (а также симметричной ей точки 9). Как показано на чертеже, этот угол оказался равным примерно 27°.
Чтобы определить долготу той же точки, проведем на виде сверху четверть дуги радиусом R5 и снесем на нее с помощью линии связи проекцию точки с вида спереди. Получим ее проекцию — точку 5. Соединим точку 5 с центром окружности на виде сверху и измерим угол, образованный этим радиусом и радиусом, проведенным к точке 4, находящейся условно на нулевом меридиане. Этот угол, примерно равный 13°30', и есть величина восточной долготы точки 5. Таким же способом определены координаты точки 6. Ее широта и долгота нанесены на чертеж на обеих проекциях. Долгота точки 7 (высшая точка орбиты) равна 90°, широта равна наклону орбиты — 65°.
Все остальные точки повторяют в другом порядке уже най-110
денные координаты и на карте мира расположатся симметрично, что избавляет нас от необходимости определять широту и долготу для каждой.
Подготовим проекцию градусной сетки для переноса точек орбиты на карту мира. Она построена в цилиндрической стереографической проекции Голла. Такую проекцию можно получить, если представить, что боковая поверхность цилиндра не обернута вокруг земного шара по линии экватора, а пересекает его по одной из пар параллелей (в данном случае по параллелям с широтой в 45°). На эту поверхность мысленная световая точка (центр проекций), обегающая земной шар по экватору, последовательно проецирует параллели и меридианы, которые будут изображаться прямыми линиями (рис. 77, б). Построение градусной сетки в этой проекции несложно и показано слева на рисунке 77, в.
Слева от градусной сетки приведена проекция земного шара, на которой отмечены точки с широтой в 45°. Через точки проведена секущая, по которой поверхность цилиндра рассекает земной шар. На проекцию шара нанесены через 30° параллели, проекции которых на цилиндре продолжены вправо, образуя сетку параллелей. Эта сетка есть цилиндрическая поверхность, разрезанная по нулевому меридиану и развернутая в плоскость. Длина ее равна диаметру цилиндрической поверхности, умноженному на л = 3,14. Сетка меридианов получена делением этой длины на 12 частей.
Нанесение точек по их координатам на градусную сетку начнем с точки 4, место которой определится слева, в точке с нулевой широтой и долготой. По найденным координатам построим на сетке положение точек 5, б и 7. Точки 8, 9, 10 строятся справа симметрично относительно меридиана, проходящего через точку 7. Вся левая половина составлена из двух четвертей, каждая из которых строится симметрично относительно линии нулевой широты. Точки соединены штриховой линией.
Теперь следует внести поправку на вращение Земли. Первый советский спутник совершил полный оборот вокруг планеты за 1 час 36,2 минуты, т. е. примерно за 1,6 часа. За это время Земля, вращаясь с запада на восток, поворачивалась примерно на п. 96,2
24 градуса. Эта величина определяется из пропорции ------=
х
360° ’
где члены левого отношения представляют собой пери
од обращения спутника (96,2 минуты) и суточного вращения Земли (1440 минут). Разница в 24 градуса накапливается за время одного оборота спутника, когда, совершив полный обо-
рот вокруг планеты, он попадает не в начальную точку витка, а на 24 градуса западнее. За время движения от одной точки деления орбиты до другой (одна двенадцатая часть орбиты) это смещение к западу будет составлять 24: 12 = 2 градуса.
Вся траектория, показанная на градусной сетке, прочерчена штриховой линией. Нам предстоит внести поправки в положение точек, учитывающие вращение Земли, смещая последовательно каждую точку на два градуса западнее в нарастающем порядке. Новую точку 4 на правой стороне схемы нанесем на 24 градуса западнее, сохраняя ту же ее широту. Точку 3 сместим уже только на 22 градуса, точку 2 — на 20 градусов. Точка 10 окажется смещенной влево на 12 градусов, точка 5 — на два градуса, а точка 4 с левой стороны схемы останется на месте. Траекторию, обозначенную смещенными точками, обведем сплошной линией. Характерная форма проекции орбиты выявлена достаточно наглядно.
Время обращения спутника и суточного вращения Земли являются -приблизительно кратными числами. Разделив время, протекшее за сутки (24 часа), в течение которых Земля сделала один оборот, на период одного оборота спутника (1,6 часа), мы получим 24:1,6=15. Это означает, что, сделав за сутки 15 витков вокруг Земли, спутник начнет 16-й виток по траектории первого. Проекции этих 15 витков и нанесены на общей схеме движения спутника на рисунке 76.
Итак, обращение к методу проекций позволило найти объяснение формы графической схемы движения спутника и густоты располагавшихся на ней кривых. Становится понятным и то, что сеть кривых оставляла свободными северный и южный приполярные пояса, так как спутник не перемещался в плоскости какого-либо меридиана (тогда он пролетал бы через полюсы), а двигался под углом в 65° к плоскости экватора. Естественно, он не мог появляться над территориями, расположенными севернее 65° северной широты и южнее 65° южной широты. Рассматривая схему на рисунке 76, где на фоне карты мира штриховыми линиями показаны Северный и Южный полярные круги, расположенные на широтах 66,5° (северной и южной), мы можем видеть, что траектория спутника в своих наиболее удаленных от экватора точках отстоит от широты обоих кругов примерно на полтора градуса.
Примерно такой же характер Имела бы схема движения современных орбитальных станций, вращающихся вокруг Земли.
Ой, тени, тени черные, Кого вы не нагоните? Кого не перегоните? Вас только, тени черные. Нельзя поймать — обнять!
Н. А. Некрасов.
Кто из нас в детстве не занимался забавными тенями на стене— в виде собак, гусей, зайцев — от сложенных особым образом пальцев.
Войдем снова в этот мир теней.
Люди в разные времена по-разному оценивали тень. В древности она являлась неразрешимой загадкой, привлекающей к себе внимание, тревожащей человека. Тема теней проникла в сказки и легенды, стала областью странных суеверий и предзнаменований.
Потом люди поняли, что тень тесно связана со светом, с солнцем. Постепенно научились они использовать это загадочное явление в своих целях. В глубокую древность уходит йробретение первых солнечных часов, в которых тень служила стрелкой. Затем с помощью тени люди научились измерять высоту недоступных предметов и получать от тени ответы на еще более сложные вопросы.
Сохранился рассказ о том, как ученый Фалес по приказанию египетского фараона Амазиса измерил высоту пирамиды Хеопса. Фалес выполнил эту работу в солнечный день. Начал он с того, что очертил вокруг себя окружность, радиус которой был равен его росту. Затем Фалес стал в центр окружности. Когда конец его тени приблизился к черте окружности, т. е. длина его тени стала равной его росту, ученый быстрыми шагами направился к той точке на земле, куда падала тень вершины пирамиды. На эту точку Фалес положил камень.
— Когда длина моей тени,— рассуждал ученый,— стала равной моему росту, то и длина тени пирамиды стала равной ее высоте. Значит, надо измерить тень пирамиды на земле и добавить ту часть, которая скрыта под ее основанием.
Так Фалес и поступил. Добавив к длине лежащей на земле тени половину ширины квадратного основания пирамиды, он получил полную высоту (рис. 78).
Первое измерение длины земной окружности было произведено за три века до нашей эры греческим ученым Эратосфеном с помощью особого прибора — скафиса, на котором по тени, отбрасываемой штифтом, можно было определить угол возвышения солнца. По теням лунных гор удалось определить их высоту.
Некоторые тени вызывают особый интерес человечества. Одна из них, простираясь по Земле, занимает около 300 километров в ширину. Это тень луны, возникающая во время солнечного затмения, закономерности которого точно изучены -наукой. На рисунке 79 схематично показан конус лунной тени. В том месте, где этот конус, пересекаясь с земной поверхностью, образует темное пятно, диск солнца скрыт от наблюдателей полностью. Это участок, откуда можно наблюдать полное солнечное затмение.
Мы обычно привлекаем примеры с тенью, когда хотим объяснить получение проекций предмета. Это не случайно. Как мы знаем, в основе получения проекций и образования тени лежат одни и те же реальные предпосылки — прямолинейное распространение лучей.
Интересно разобраться в геометрических законах образования формы тени. Рассматривая рисунок или картину, мы в большинстве случаев догадываемся о том, где находится источник света, с какой стороны он расположен, хотя и затрудняемся определить его место точно.
Нужно различать два вида теней — падающую и собственную. На рисунке 80 изображен цилиндр, тень от которого падает на плоскость опоры, образуя силуэт, имеющий определенные искажения по сравнению с цилиндром. Это тень падающая. В то же время часть поверхности самого цилиндра, обращенная в сторону, противоположную от источника света, затемнена. Это собственная тень цилиндра. Картина распространения света и тени в реальных условиях бывает усложненной в силу ряда причин, в частности из-за присутствия отраженного света, от соотношения размеров источника света и самого предмета, от количества источников света и т. д. Появляются дополнительные тени и полутени, точные контуры теряют свою четкость и расплываются.
Художники и фотографы постоянно встречаются с явлениями светотени. С помощью их художники умеют придавать особую выразительность своим работам, фотографы — снимкам. Но и в жизни каждого человека тень играет немалую роль. Когда часть земной поверхности окутывается пеленой собственной тени, люди, живущие здесь, ложатся спать. Они называют это время ночью. Тот же, кто находится на границе между светом и тенью, наблюдает рассвет или вечерние сумерки. Когда зрительный зал напряженно следит за событиями, развертывающимися в увлекательном кинофильме, все забывают, что происходящее перед ними на экране не что йное, как игра теней.
Из двух теней — собственной и падающей — для построения изображений важнее вторая.
Сначала познакомимся с тенью, образованной параллельными световыми лучами — солнечной тенью. При этом мы пренебрегаем тем, что солнце в действительности имеет огромные размеры и лучи его, строго говоря, не являются параллельными. Но в природе и не может существовать источника строго параллельных лучей. Зато его можно представить теоретически.
Рис. 80. Собственная и па-
дающая тень цилиндра
СЛЕДЫ СВЕТОВЫХ ЛУЧЕЙ
На рисунке 81 показано построение тени точки, заданной проекциями а', а. Рядом дано наглядное изображение. Совершенно очевидно, что для решения такой задачи должно быть задано направление световых лучей. Это и сделано на рисунке. На комплексном чертеже направление луча вполне определено двумя его проекциями (аналогично с построением на рисунке 34). На наглядном изображении пришлось задавать изображение самого луча вместе с его вторичной проекцией. Это позволяет построить и фронтальную проекцию луча.
Построение тени сводится к определению следа светового луча на плоскости проекций при условии, что этот луч будет параллелен заданному направлению освещения. На наглядном изображении из точки а проведена линия, параллельная основанию проекции светового луча г до встречи с осью в точке ах. В то же время от самой точки А проведена линия параллельно /?. Пересечение линии ААТ с вертикалью ахАт покажет положение точки. Лт — тень точки А на плоскости V.
Рядом на двух проекциях комплексного чертежа повторено то же построение. Проведя проецирующие линии, мы пользуемся образцом для выбора их направления — проекциями светового луча, заданными на чертеже (г и г'). Можно видеть, что правила построения теней имеют самое непосредственное отношение к тем законам, руководствуясь которыми мы выполняем проекционные чертежи. При этом на комплексном чертеже мы с помощью прямоугольного проецирования изображаем процесс проецирования косоугольного, т. е. делаем нечто похожее на то, что было показано на рисунке 34. Теперь тот рисунок можно трактовать и иначе, как пример построения тени куба.
Итак, чтобы задача была определенной, надо располагать заданным направлением светового луча (для параллельного
освещения) и объектом, отбрасывающим тень на плоскость или другой предмет, стоящий за ним. При этом объект, как и другие элементы изображения, должен быть задан по крайней мере двумя проекциями на комплексном чертеже или проекцией и ее основанием на наглядном изображении.
На рисунке 82 дана только одна проекция двух столбов с тенями, которые они отбрасывают на стоя-
Рис. 82
щий позади забор. Как видно на
рисунке, столбы имеют одинаковую высоту. Освещение предполагается параллельным (солнечным). Несмотря на то что второй проекции нет, мы можем судить о взаимном расположении столбов. Столб В находится ближе столба А к забору. Однако, для того 4тобы внести в изображение метриче-
скую определенность, надо иметь еще какие-то данные, проясняющие масштаб оси глубины рисунка. Предположим, что столб А находится от забора на расстоянии, равном его высоте. Теперь, взяв высоту столба А за единицу масштаба, мы можем точно определить все размеры, относящиеся к столбам, забору, расстояниями между ними.
46. Определите высоту столба В, его расстояние от столба А и от забора (рис. 82).
Задача, несмотря на отсутствие второй проекции, приобрела полную метрическую определенность. Недостающую проекцию заменило дополнительно нало
женное условие и тень столба А.
На рисунке 83 видно, в ка- • ких сложных сочетаниях и изломах встречаются формы теней, падающих на различно расположенные поверхности (стены здания, тротуар, мостовая), В этом рисунке тени построены не произвольно, а с достаточной точностью, хотя условия усложнены. Источником света является уличный фонарь, освещение уже не параллельное, а центральное.
Изломы теней на стыках
двух и более поверхностей могут быть точно построены, если задано точное расположение поверхностей предмета, отбрасывающего тень, и источника света (или проекции светового луча при* параллельном освещении). Простейший случай — построение тени шеста на заборе и на земле — показан на рисунке 84. Здесь использован прием последовательного введения в построения объектов, на которые падает тень. Этот прием будет применяться и в более сложных случаях.
Сначала построена тень шеста на земле в том виде, как если бы забора не было вовсе. Затем «поставим» забор на место. Теперь часть лежащей на земле тени будет «перехвачена» забором. Для этого нужно определить точку, в которой световой луч будет перехвачен забором. Задача сводится к отысканию этой точки, т. е. следа луча, падающего от точки А на вертикальной плоскости забора. Рассмотрев внимательно рисунок, можно заметить, что плоскость забора пересечена теневой фигурой— треугольником АВС. Этот треугольник прямоугольный, одним катетом его является шест АВ, другим — тень ВС, а гипотенузой — прямая, связывающая верхний конец А с концом тени на земле, т. е. световой луч, идущий от верхнего конца столба (рис. 84, б). С того момента, как на рисунке появится забор на предназначенном для него месте, на нем возникнет вертикальная тень шеста, параллельная самому шесту (так как шест и забор взаимно параллельны). Вертикаль, прочерченная из точки D вверх, в точке пересечет световой луч. Эта вертикаль DD[ и будет той частью тени, которую перехватил забор и как бы принял на себя. Ясно, что точка D\ (верхний конец тени шеста на заборе) не может лежать выше или ниже точки, в которой луч АС пересекает плоскость забора. Решение может быть только однозначным.
Итак, линия DD{ изображает тень шеста на заборе. Сюда «поднялась» та часть тени DC, которая ранее лежала на земле. Место, занимаемое ею раньше, теперь занято целиком новой тенью, тенью самого забора, границы которой также построены на чертеже. Читатель сможет разобраться с построением тени на рисунке 84, в, когда забор взят более низким и верхний ко-
Рис. 85
нец тени остается на земле. Теперь вся тень шеста будет уже составлена из трех частей.
Построение тени геометрического тела, а следовательно, и любого предмета будет немногим сложнее случая с тенью отрезка, роль которого условно играл тонкий шест на рисунке 84. На рисунке 85, а показано построение тени пирамиды SABCD на земле. Поскольку пирамида является многогранником, т. е. ограничена плоскими гранями и ребрами, пересекающимися в вершинах, необходимо сначала строить тени каждой вершины, а затем, соединив их, получить полную тень, падающую от предмета. Вершины основания пирамиды А, В, С и D лежат непосредственно на земле, т. е. на плоскости, играющей роль основания. Тени этих вершин совпадают с самими вершинами и, строго говоря, будут невидимыми. Однако положение этих точек должно быть восстановлено на чертеже, иначе невозможна построить тень всего тела. Тень вершины пирамиды 3 строится известным нам способом и определяется в точке 3|, полученной от пересечения светового луча с тенью высоты пирамиды, проведенной параллельно основанию светового луча. Полученная тень пирамиды состоит из двух частей: часть ее лежит под самой пирамидой и невидима для наблюдателя, а вторая часть SiBDC будет видима не полностью, так как частично заслоняется телом.
Тень пирамиды в усложненном варианте на рисунке 85,6 частично падает на вертикальную стенку. Строится она так же, как и в случае с шестом. Сначала строится тень, падающая на горизонтальную плоскость. Затем вводится вертикальная плоскость и отмечаются те изменения, которые возникнут в форме тени в связи с этим обстоятельством. Поступая так же, как в предыдущем случае, мы построим тень вершины пирамиды на вертикальной стенке в точке S?. Теперь остается соединить точки b и d, полученные на нижней кромке вертикальной плоскости, с вершиной тени S2. Вся часть предвари
тельно построенной тени, располагающаяся за вертикальной стенкой, должна быть удалена. На чертеже она оставлена штриховым контуром для объяснения способа построения.
Если тень предмета падает на другой, расположенный за ним предмет, построение, не меняясь в своем принципе, несколько усложняется. Целесообразно вести его также по этапам: сначала построить полную тень с вершиной Si, лежащую на горизонтальной плоскости (рис. 85,в). Затем чертеж дополняется построением тени на вертикальной грани предмета, лежащего за пирамидой, в соответствии с предыдущим построением. Первый излом тени получен. Но верхняя, часть ее, оканчи-' вающаяся вершиной S2, расположена уже выше передней грани предмета (параллелепипеда). Эта часть должна снова претерпеть излом и лечь горизонтально на верхнюю грань. От точки К, где тень оси пирамиды пересекает ребро АВ, проводим линию, параллельную SSi, Пересечение этой линии с проекцией светового луча, идущего из вершины, даст новую тень вершины S3. Это позволит построить границы тени на горизонтальной грани параллелепипеда.
Окончательная форма тени состоит из участков, заштрихованных на чертеже.
ПРИ ЦЕНТРАЛЬНОМ ОСВЕЩЕНИИ
На рисунке 86 изображены модели геометрических тел, расположенные на столе. Условия освещения здесь иные. Источником света является лампочка, посылающая не параллельные, а расходящиеся из общего центра лучи. При таком централь-
Рис. 87
ном освещении на чертеже задается проекция точки, являющейся источником освещения, и ее основание (вторичная проекция па наглядном изображении). Форма тени, которую предстоит построить, зависит от расположения тенеобразующего предмета по отношению к источнику света.
Важнейшие особенности образования тени при центральном освещении достаточно ясно видны из рисунка 83, где изображена в перспективе улица при вечернем освещении. Тени прохожих располагаются веерообразно, продолжения их пересекутся на мостовой в той точке, где находится вторичная проекция световой точки фонаря. Построение всей тени по точкам было бы слишком кропотливой работой. Художник наметил лишь концЦ тени по высоте прохожих, расположение самой тени по отношению к вторичной проекции световой точки, а остальное, дорисовал, пользуясь глазомером.
Рассмотрим построение тени при центральном освещении на примере с палаткой (рис. 87). Для решения нужно прежде всего построить тень вершины палатки-пирамиды, которая задана ее вторичной проекцией S]. Световую точку С соединим с вершиной S, а основание световой точки С\ — с основанием вершины Si (таков постоянный порядок построения теней). Пересечение продолженных прямых даст точку S2, т. е. тень вершины палатки на основной плоскости, на земле. Палатка на рисунке изображена так, что мы видим два ребра ее основания. Однако показывать штриховой линией невидимое третье ребро основания нет надобности. Но при четырехугольной палатке это понадобилось бы сделать.
Теперь для построения тени фигуры остается соединить точку S2 с точками А и В. Полный контур тени построен, но часть ее заслоняется изображением палатки. Ее можно увидеть, только зайдя за палатку, но на рисунке это недостижимо.
Тень, построенная на рисунке, придает ему выразительность, подчеркивает объемность изображенных на нем предметов. Чертежи, выполненные в аксонометрии или перспективе, с которой мы познакомимся ниже, очень выигрывают от присутствия теней. Реже и в основном для учебных целей строятся тени на комплексных чертежах. Ниже приводится несколько задач на построение теней при центральном и параллельном освещений. На некоторых рисунках источник света или направление световых лучей заданы косвенным путем, с помощью теней, отброшенных изображенными на рисунках предметами. Это не меняет сути построения.
Решая задачи 47—51, читатель несомненно должен учитывать характер расположения световых лучей в пучке, которое в свою очередь зависит от того, на каком расстоянии находится источник освещения от объекта, тень которого нужно построить. Из предыдущего ясно, что здесь могут иметь место два случая: а) источник находится на конечном расстоянии и б) источник света удален на бесконечно большое расстояние.
В первом случае имеет место центральное освещение и световые лучи образуют конический пучок. Во втором случае лучи параллельны.
48*. Постройте тенв, падающую от шеста на стену, к которой он прислонен (рис. 88). Направление световых лучей задано слева двумя проекциями.
49*. Определите по теням от солнца, касаются ли друг друга вешки, воткнутые в землю (рис. 89). Наличие теней дает возможность решить вторую часть задачи — определить взаимное расположение вешек и дочертить их изображение.
50*. Даны* два столба с их тенями на земле (рис. 90). Найдите положение источника света (лампочки), изобразив его точкой с основанием. Постройте тень третьего столба.
51*. На столе лежит книга, на которую падает свет из-под конического абажура (рис. 91). Постройте тень от абажура на книге и на столе (на виде сверху).
Рис. 91
Свет мой, зеркальце, скажи. Да всю правду доложи...
А. С. Пушкин.
Предметы, окружающие нас постоянйо, не вызывают, как правило, нашего любопытства. А между тем в них нередко скрыто много интересного и поучительного, мимо чего мы равнодушно проходим. К таким любопытным вещам относится и самбе обыкновенное зеркало.
Законы отражения света были открыты еще тогда, когда люди имели очень смутное представление о природе света и крайне своеобразно ее истолковывали. В ту пору еще не было известно изготовление и употребление линз и вогнутых зеркал. Не мудрено, что люди того времени не могли объяснить природу зрения, причину возникновения изображения в глазах человека.
Эпикур и Лукреций полагали, что от предметов во все стороны летят некие тончайшие слепки или пленки, которые, попадая в глаза, создают изображения. Несмотря на ошибочность такого взгляда, ученые древности правильно раскрыли законы отражения светового луча: углы падения и отражения светового луча равны и лежат в одной плоскости с перпендикуляром к отражающей поверхности, восстановленным в точке пересечения луча с нею.
Зная эти законы и владея правилами построения проекций, нетрудно научиться правильно изображать на рисунке видимые в зеркале предметы или их отражения в поверхности воды. Вот на столе лежит зеркало (рис. 92). Над столом в точке Л подвешена лампочка. Попробуем выяснить, каковы границы пространства, в пределах которого наблюдатель будет видеть в зеркале отражение лампочки. От точки Л проведем два луча в крайние точки зеркала А и В. Восставим перпендикуляры (нормали) в точках пересечения этих лучей с зеркалом к его поверхности. Построим соответственно углы отражения, равные углам падения cti = a2 и = 02. Теперь пространство ограничено
крайними отраженными лучами. В его пределах наблюдатель будет видеть отражение лампочки.
Продолжим влево поверхность зеркала, опустим из точки Л на нее перпендикуляр. Получим отрезок ЛК. Отложим на его продолжении КЛХ=ЛК. Проведя из точки Л\ прямые к точкам А и В, Где падающий луч отражается от зеркальной поверхности, мы убедимся, что линии Л\А и Л\В являются продолжением отраженных лучей. Наблюдатель будет видеть отражение в точке Л]. Изображение лампочки будет перевернутым и симметричным по отношению к оригиналу (лампочке над столом).
, ПО ЗАКОНАМ СИММЕТРИИ
Закономерности отражения светового луча, использованные нами в построении предыдущей схемы, позволяют упростить его, обойтись без откладывания углов. Делается это так.
При заданных отражающей поверхностью (зеркало) точке зрения и объекте отражения (точке Л на рис. 92) можно строить отражение на основе законов пространственной симметрии относительно плоскости. Соединив точку Л\ с точкой зрения, мы видим, что полученный отрезок пересекает отражающую поверхность в точке А. Именно сюда и нужно направить луч зрения (смотреть в эту точку), чтобы увидеть отражение лампочки. При этом мнимое изображение лампочки будет видеться
Рис. 93 наблюдателю не на поверхности зеркала, а под нею, в глубине, где и находится ее отражение
Построим отражение человеческой фигуры. На рисунке 93, а перед зеркалом стоит женщина. От точки b (основание) построен перпендикуляр к плоскости зеркала и на продолжении его отложен равный ему отрезок Оа. Так получено основание отражения, равного по размерам оригиналу, но повернутого «лицом» к нему. Детали отражения художник выполнил, не прибегая к точному построению, но, вообще говоря, каждая такая деталь (например, поднятая рука) могла быть построена слол-не точно, если бы она была задана вместе со своим основанием. Естественно, что художник учитывает особенности отражения; его правая рука будет отражением левой и т. д.
Обратите внимание на то, что отраженная фигура лишь частично помещается в рамке зеркала. При окончательной отделке рисунка художник должен будет оставить на рисунке только эту часть. Ну, а если женщина несколько отошла от зеркала, двигаясь в направлении ОЬ? Очевидно, она может достигнуть такой точки, когда ее отражение в зеркале уже не будет видно на рисунке. Оно также постепенно будет уходить в глубину, только в обратном направлении (по направлению Оа). Это значит, что чем дальше будет отодвигаться вправо оригинал на нашем рисунке, тем левее будет перемещаться его отражение, так как отрезок Оа всегда должен быть равен ОЬ по законам зеркальной симметрии.
Возникает вопрос: будет ли сама женщина, отодвигаясь по направлению ОЬ. видеть себя в зеркале? Очевидно, да, если она при этом не будет смещаться относительно оси зеркала, отходить в сторону. Художник, зарисовывающий ее, уже не будет видеть отражения женщины в зеркале, но она сама будет
себя видеть. Таковы на первый взгляд незначительные, но принципиально существенные выводы, которые мы можем сделать, рассматривая этот незамысловатый рисунок.
С КАКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ?
И тут невольно появляется еще вопрос: относительно кого строилось отражение: читателя книги,, художника, самого объекта отражения, изображенного на рисунке?
Конечно, всякое изображение выполняется с точки зрения его автора, будь то художник или специальный прибор такой, как фотокамера. На данном рисунке (косоугольная диметриче-ская проекция) наблюдатель предполагается на бесконечном удалении от плоскости рисунка. Но, позвольте, скажет читатель, он же ничего не увидит с такого расстояния! Правда, строя реалистический перспективный рисунок, художник поместил бы содержание рисунка на линию горизонта, с которой оно бы и слилось. Но наше замечание о позиции художника является условностью, которая оправдывает основной принцип применяемого нами метода проецирования с помощью параллельных лучей. Если б художник находился на конечном расстоянии от своих персонажей, эти лучи уже не могли быть параллельными, и мы имели бы дело с разновидностью центральной проекции.
Итак, независимо от занимаемой художником позиции рисунок строится с его точки зрения. С той же точки зрения строится и наблюдаемое им зеркальное отражение. Поэтому отражение не всегда будет видно на рисунке, хотя персонаж, изображенный на нем, будет стоять против зеркала. Что же касается самого персонажа, т. е. женщины, показанной на рисунке, то форма отражения, которую она видит, будет существенно отличаться от того, что дано на нем. Женщина увидит себя во фронтальном положении, как говорят в обиходе, в анфас. Да и границы отражения будут для нее другими. Из того, что мы видим в зеркале фигуру женщины частично, вовсе не следует, Что она сама видит себя только чуть ниже пояса. Между тем мы, исходя из подобных наблюдений и желая видеть свое отражение в полный рост, приобретаем зеркало такой же высоты. Но, если выбор обусловлен только такими соображениями, то он ошибочен. Почему?
Обратите внимание на' то, что обе линии, проведенные от глаз школьницы к крайним верхней и нижней точкам ее отражения (рис. 93,6), встречают поверхность зеркального стекла. Это значит, что школьница увидит в зеркале себя в полный рост, хотя высота его вдвое меньше ее роста.
Вы знаете свой рост? В зеркале высотой вдвое меньше-Звы можете обозреть себя от головы до пят. И не думайте, что для этого нужно вплотную подойти к зеркалу. Если оно расположено строго вертикально, от него можно отойти на значи-
Рис. 94
тельное расстояние и получить тот же результат. Чем это объясняется? Ведь чем дальше мы отходим от зеркала, тем уже становится круг предметов обстановки комнаты, видимых в зеркале. Это легко проверить на опыте. Почему же не сужаются видимые у границы вашего отражения?
Удаляясь от зеркала, мы видим отраженный . им участок под уменьшающимся углом зрения. Когда вы отходите от зеркала, угол зрения, под которым вы его видите, тоже уменьшается, но и само зер-
кало «видит» вас под уменьшающимся углом зрения, а види-
мые вами границы вашего отражения остаются неизменными. Получается примерно то же самое, что происходит, когда вы удаляетесь от висящего на стене портрета. Портрет будет посте-
пенно уменьшаться по мере вашего удаления по законам перспективы, но вместе с ним уменьшаться будет и рама, так что границы самого портрета будут сохраняться постоянными.
На рисунке 94 изображен куб, помещенный в произвольном повороте в пространственный угол, образованный плоскостями проекций. Куб опирается на плоскость Н. Вообразим, что плоскости заменены зеркалами, и построим отражения куба в них. Начнем построение с фронтального зеркала V.
Сначала строим отражение основания куба ABCD в зеркале, проводя из каждой вершины основания отрезки, перпендикулярные оси X (т. е. параллельные оси У), и продолжим их за ось, отложив равные им отрезки, т. е. А2К=АК; В2М—ВМ и т. д. Соединив эти точки последовательно, получим отражение основания куба (A2B2C2D2) в зеркале. Из вершин основания проведем вверх вертикали (параллельно оси Z) и на каждой отложим высоту куба (длину вертикальных ребер). Соединим также вершины вертикальных ребер — E2H2G2F2, и полное отражение куба построено. Остается лишь дочертить штриховыми линиями невидимые ребра, что и сделано.
Еще проще строится отражение в горизонтальной плоскости Н, так как куб непосредственно опирается на нее. От вершин основания надо лишь продлить вниз вертикальные ребра АЕ, BF, HD и CG; отложить на этих продолжениях высоту ребер
и соответственно соединить полученные отражения вершин, а также показать штриховыми линиями невидимые ребра. В данном случае часть отражения куба будет скрыта самим его изображением.
ЗАДАЧА
52. Постройте самостоятельно зеркальное отражение куба в плоскости W (рис. 94).
НА БЕРЕГУ РЕКИ
Мы любуемся пейзажами художников, удачными снимками, сделанными на берегу реки, озера, пруда. Склонившиеся над водой ветви красиво отражаются от ее поверхности, придавая рисунку законченность. Река и зеркало. Эти понятия соседствуют в литературе по традиции, начиная с народных сказок. Помните девушку, которой добрая волшебница подарила гребешок и зеркало, чтобы помочь ей спастись от преследования? Бросишь гребешок — лес вырастет, бросишь зеркальце — разольется речка.
Взгляните на снимок подмосковного пейзажа (рис. 95). Он изображает мост в Барвихе. Четко отражается от зеркальной поверхности воды сводчатый мостик, придавая особую прелесть фотографии. Поверхность воды играет роль зеркала, и отражение мостика воспроизводит действительность с геометрической точностью. Это можно проверить с помощью линейки. Плоскостью симметрии является поверхность воды. Следы этой плоскости мы видим в линиях, по которым вода касается опор мостика. От этих контурных линий в любых точках высота отлаженного элемента мостика равна высоте самого элемента. Именно так мы и строили отражение куба в горизонтальной
плоскости.
Но иногда предмет, расположенный на берегу водоема, не касается воды, отодвинут бт ее кромки на некоторое ’расстояние и стоит на берегу в точке, уровень которой несколько выше
поверхности воды. Эти условия требуется учитывать при построении отражения объекта. Если предмет удален от кромки воды, ее поверхность с помощью построения как бы продолжается до того места, где находится основание предмета. отражение хкоторого мы хотим построить. Это позволяет нам определить высоту предмета над уровнем воды. Затем отражение строится обычными методами, и на рисунке сохраняется лишь та его часть, которая расположена на поверхности воды.
Рис. 95. Мост в Барвихе (Подмосковье)
Рис. 96
Рис. 97
Это значит, что соблюдается тот же принцип, который мы рассмотрели на рисунке 93 (отражение женщины в зеркале), где границы отражения зависели от расстояния между объектом и зеркалом.
Симметрию зеркальных отражений, т. е. пространственную симметрию относительно плоскости, не следует путать с обычной осевой симметрией на плоскости, с которой мы знакомились в курсе планиметрии и которой, например, пользуются при построении орнаментов. Если бы мы имели дело с симметрией такого рода, то, например, отражение ведра на рисунке 96 следовало бы считать правильным. Оно построено по законам осевой симметрии, и очертания его нижней половины в перевернутом виде точно повторяют верхнюю половину. В этом случае осью должен являться диаметр ведра, проведенный на уровне воды, а отражение будет повторять все элементы оригинала. Мы увидим на нем часть внутренней поверхности ведра, отражение дужки с деревянной ручкой будет полностью симметрично дужке самого ведра. Между тем все построение неправильно. Причина ошибки заключается именно в том, что мы недостаточно четко понимаем различие между двумя видами симметрии— плоской и пространственной, тем более что мы наблюдаем это явление не в натуре, а на изображении. „
На рисунке дано правильное построение кадки, стоящей справа, и ее отражения. Каждая видимая вертикальная линия повторяется на отражении и откладывается вниз на ту же величину от линии, которая изображает контур касания предмета с поверхностью воды. Эта линия представляет собой эллипс, к тому же видимый не полностью, и в этом заключается основное различие между изображениями ведра и кадки. Там мы строили изображение симметрично по отношению к прямой,
здесь — по отношению к эллиптической кривой — проекции окружности. На отражении кадки уже нельзя увидеть часть ее внутренней поверхности, которую мы неправильно изобразили на рисунке ведра. Эта поверхность скрыта за передней стенкой кадки. Характерно, что отражение обручей обращено выпуклостью в ту же сторону, что и на оригинале. При осевой симметрии мы получили бы обратное явление. Правильно построено и отражение бочки, стоящей на берегу. Оно строится так же, как и отражение куба в горизонтальной плоскости на рисунке 94. Заметьте, однако, что сама бочка и ее отражение на рисунке не касаются друг друга, а отделены на расстояние, равное возвышению точки берега над водой в месте, где стоит бочка. Значит, эта высота должна быть заранее задана или выражена на рисунке, так чтобы ее можно было определить построением. Часть контура отражения, оставленную на рисунке штриховыми линиями, по завершении работы нужно убрать.
На рисунке 97 в параллельной проекции дано изображение юноши, готовящегося к прыжку в воду плавательного бассейна. Отражение вертикальной стенки бассейна в воде выполнено уже известным способом. Построим отражение столбика, опирающегося на возвышенный борт бассейна. От основания столбика А проведем к краю стенки бассейна линию параллельно левой стенке его. Получим точку К, от которой проводим вниз вертикаль до встречи с поверхностью воды в точке М. Продолжив вниз отрезок КМ на равную ему длину MKi, получим точку Ki, которая будет являться отражением точки К в воде. Ч^рез точку К\ проведем прямую, параллельную кромке стенки бассейна,— отрезок KiAt, равный АК. Точка А\ не будет видна наблюдателю, ибо расположена как бы под бортом бассейна, на невидимой стороне отражения его, но она соответствует отражению основания столбика; от нее надо откладывать вниз высоту столбика. Отложив от точки А\ эту высоту, дорисуем отражение столбика. Однако на рисунке понадобится оставить только ту часть его отражения, которая выступает вниз за отражением кромки стенки борта. Ее мы и оставляем на рисунке.
53. Постройте отражение тумбочки, # на которой стоит юноша, в воде бассейна (рис. 97)/Попытайтесь построить и отражение юноши.
54*. На рисунке 98, изображающем охотника, стреляющего в утку, художник допустил ошибку. Для читателя, знающего законы отражения, найти ее будет нетрудно. Если птица и ее отражение в воде выпр^не-ны правильно, то как нужно было изобразить фигуру охотника?
Рис. 98 w Рис. 99
55*. Художник, писавший пейзаж на берегу южного моря, забыл показать отражение солнца в воде. Можно ли дополнить его картину, построив это отражение (рис. 99)?
СЕКРЕТ АНАМОРФОЗА
Вероятно, нашим читателям знакома «комната смеха». Это целое царство кривых зеркал. Цилиндрические — выпуклые, вогнутые, волнистые, как поверхность стиральной доски,— зеркала стоят во фронт. И, пока вы движетесь вдоль этого фронта, ваша фигура претерпевает самые удивительные превращения. Она то чудовищно устремляется вверх, катастрофически сужаясь в ширину, то превращается в приземистого коренастого человечка с брюшком и нелепо укороченными кривыми ногами. И, откровенно говоря, надо обладать большой выдержкой, чтобы не улыбнуться. За несколько минут вы просмотрите целую серию «дружеских шаржей» на самого себя.
Комические эффекты, вызываемые кривыми зеркалами, могут послужить и предметом глубокого раздумья. Но давайте
Рис. 100. Анаморфоз в цилиндри ческом зеркале
сперва познакомимся с ними поближе. Вот один из простых случаев, где показано отражение рисунка клоуна в цилиндрическом зеркале (рис. 100). В данном случае на отражении клоун выглядит нормально, зато его оригинал-рисунок на бумаге — явно содержит заметные искажения. Это что-то новое. В комнате смеха мы наблюдали, как люди нормального телосложения отражались в комически нелепом виде. Здесь же уродливый
рисунок дает вполне нормальное, неискаженное отражение. Так вот, анаморфозами и называются искаженные изображения, которые с помощью кривых зеркал можно преобразовать в нормальные, понятные.
Профессор математики Каспар Шотт в 1657 году издал трактат по оптике, где, между прочим, привел ряд любопытных рисунков — анаморфозов — и показал, что с помощью кривых зеркал можно получить отражение их в виде правильных фигур. Это было очень забавно, но не более. Особенно занимательными по своим свойствам в трактате профессора оказались анаморфозы для конических зеркал. На листе бумаги было изображено непонятное сочетание линий. Но достаточно было поставить в центр рисунка коническое зеркало и посмотреть в него сверху, как можно было увидеть красивую бабочку в натуральных цветах (рис. 101). Как же получался такой эффект?
Оказывается, знание элементарных законов оптики и начертательной геометрии поможет без особого труда раскрыть сек-
Рис. 101. Анаморфоз бабочки в коническом зеркале
рет занимательных анаморфозов. Попытаемся исследовать некоторые свойства отражений в коническом зеркале.
Нарисуйте окружность радиусом, превышающим радиус основания конического зеркала. Поставьте конус в центр нарисованной окружности. В отражении мы увидим такую же окружность, но меньшего радиуса. Теперь пририсуем к окружности извне отрезки прямых, расположив их как продолжения радиусов (рис. 102), посмотрим снова в зеркало. Что та
кое? «Усики», пририсованные нами к окружности извне, на отражении оказались направленными внутрь, к центру окружности! Изображение вывернулось, словно перчатка!
Еще более неожиданным окажется превращение обыкновенного квадрата (рис. 103). Его отражение преобразовалось в довольно изящную четырехлепестковую розетку. После нескольких подобных опытов мы придем к выводу, что коническое зеркало имеет определенные свойства: оно искажает все прямые линии, кроме тех, что являются продолжением его радиусов основания, и все кривые линии, за исключением окружностей, центр которых совпадает с центром его основания. Но даже и в этих, казалось бы, «благополучных» случаях коническое зеркало постоянно выворачивает пространство так, что поверхность самого круга на отражении лежит вне его, в чем легко убедиться, если закрасить круг внутри и поставить в его центр, на окрашенную поверхность зеркала. На отражении окажется, что конус стоит на белой бумаге, а окрашенная поверхность, покинув тесные границы круга, расположилась вне его пределов.
Раскрыть секрет анаморфозов будет проще, если начать с анализа отражения какой-то отдельно взятой точки. Рассмотрим рисунок 103, на котором дан анаморфоз квадрата вместе с двумя проекциями конического зеркала. Рисунок квадрата-оригинала мы видим на горизонтальной проекции. Зададимся целью построить отражение одной его точки А. Наметим точку зрения S', поместив ее на продолжении оси конуса на некоторой небольшой высоте (20—30 см над вершиной конуса). Как отразится точка А в коническом зеркале?
Вспомним, что коническая поверхность, как и цилиндрическая, обладает одним важным свойством: она может быть развернута на плоскость. К поверхности таких развертывающихся тел всегда можно приложить линейку, совместив ее с образующей. Поэтому не следует бояться того, что мы не знакомы с законами отражений от кривых поверхностей. В коническом
S'-точка зрения
'180-2а\р2Я Уа^.
зеркале отражение возникает от элементов, из которых образована его поверхность,— от образующих, каждая из которых является отрезком прямой.
Точка а контура квадрата будет видна нам в ее отражении а{ только от одной такой образующей, а именно — профильной. И хотя другие образующие также отражают ее, но их отражения не попадут нам в глаз. Это значительно упрощает дело. На рисунке показано, что для получения отражения проекции точки а в профильной образующей можно пользоваться известными нам приемами. Считая образующую плоским зеркалом, опустим на ее продолжение перпендикуляр из точки а', Продолжим его на расстояние a\k, равное a'k. Соединив точку S' с точкой а(—лучом зрения,— мы увидим, что отражение точ
ки а, принадлежащей квадрату, находится в точке at на некоторой глубине, которая показана на рисунке.
Отражение точки А строилось в плоскости, параллельной фронтальной плоскости проекций. Поэтому углы падения и отражения, стороны которых были параллельны этой плоскости, не искажались. Если мы захотели бы построить отражение другой точки квадрата, например его вершины В, все усложнилось бы. Пришлось бы путем поворота совмещать проекцию b с фронтальной плоскостью (точка Ь\), строить ее отражение, а затем новым поворотом возвращать ее в прежнее положение.
Но решение этой задачи можно облегчить. Воспользуемся для этого узкой бумажной полоской и нанесем на нее шкалу отражений. Шкалу можно построить так. В левой стороне зеркала на том же рисунке 103 радиус его основания разделен на 10 равных делений, от 1 до 10. Если бы мы уже известным нам способом построили лучи зрения, проходящие через каждое деление так, как проходил справа луч 5'аьто мы увидели бы на образующей OSi конической воронки отражения точек 0—10\ на рисунке-оригинале. Воображаемая коническая воронка, показанная штриховыми линиями, содержит на своей поверхности все отражения точек, лежащих в зоне, охватываемой коническим зеркалом. Наклон ее образующей получился, когда мы строили справа отражение точки А, используя принцип симметрии. Анализируя построение, можно видеть, что угол поверхности воронки составляет с горизонталью 180° — 2 а.
Мы шли здесь обратным путем. Наметив равномерно расположение отражений, мы отыскали на плоскости, служащей опорой коническому зеркалу, оригиналы точек, которые соответствуют нанесенным отражениям. Заметьте, что, располагая отражения через равные промежутки, мы обнаружили, что им соответствуют неравномерно расположенные точки-оригиналы О—10х. Теперь приложим бумажную полоску к линии Sx—10\ и перенесем на нее обе шкалы: отражений и оригиналов, разделенных точкой 0, от которой в обе стороны идет нарастающая нумерация: правая — равномерная, левая — неравномерная. Эта полоска облегчит нам построение анаморфоза.
Разумеется, нужно научиться сначала строить анаморфозы, которые потом с помощью конического зеркала будут превращаться в нормальные рисунки. Практически нужно поступать так. На чистом листе бумаги посередине ставите коническое зеркало, обводите карандашом его основание и убираете его. В образовавшийся кружок диаметром, равным основанию, зарисовываете любой реалистический рисунок, например бабочку, показанную на рисунке 101. Затем накладываете на рисунок бумажную полоску со шкалой, так чтобы отметка 0 лежала на прочерченной окружности, а точка 10-Ц шкалы отражений совпала с центром ее. Затем смотрите, какие линии рисунка
пересекает правая часть полоски и против какой цифры шкалы они расположены. Далее находите ту же цифру левой шкалы (шкалы анаморфоза) и ставите против этого деления (или промежутка между делениями) ,точку на листе бумаги. Постепенно поворачивая полоску бумаги и следя за тем, чтобы ее точка 10-Ц всегда совпадала с центром 3, а точка О лежала на окружности основания зеркала, вы покроете лист множеством точек и, соединив их по порядку линиями, получите вывернутый -оригинал — анаморфоз исходного рисунка.
Предупреждаем о необходимости внимательно «следить» за каждой построенной точкой, последовательно соединяя ее в соответствии с оригиналом с другими точками. Точки анаморфоза располагаются так -неожиданно и образуют столь сложный искаженный рисунок, что при невнимательности здесь легко запутаться. Такое же внимание необходимо, при раскраске рисунка анаморфоза, не забывая, что цветные участки оригинала на анаморфозе так же оказываются вывернутыми.
На рисунке 103 показана взаимосвязь одноименных точек оригинала и анаморфоза, причем в обратном порядке: оригинал-квадрат начерчен на листе бумаги, в центр квадрата поставлено зеркало и анаморфоз возникает в зеркальном отражении в виде, розетки. С помощью бумажной полоски можно получить тот же результат, перенося точки внешней части шкалы внутрь кружка основания конического зеркала. Здесь точка 4 на стороне квадрата дает нам точку 4 внутри кружка. Обойдя бумажной полоской полный круг,-мы увидим, что точки внутри кружка образуют четырехлепестковую розетку. Если же мы нарисуем в кружке бабочку так, как показано на рисунке 101, и с помощью полоски построим ее анаморфоз, а затем бабочку в кружке сотрем или заклеим, то вряд ли кто-нибудь догадается, что анаморфоз изображает изящную бабочку. Но предложите товарищу поставить в кружок коническое зеркало и посмотреть в него сверху, как он увидит разгадку анаморфоза. Мы снова убедились, что оптические преобразования обладают свойствами обратимости.
Для описанных занятий нужно иметь коническое зеркало. Лучше всего иметь стеклянный конус (например, от лабораторной стеклянной воронки) и отдать его в зеркальную мастерскую, с тем чтобы его снаружи покрыли, амальгамой. Если зеркальную амальгаму нанести с внутренней стороны, то отображение будет двоиться, так как рисунок будет отражаться и от наружной поверхности стекла, и от зеркального слоя. Более просто, хотя и не столь качественно, можно получить зеркальный конус другим способом. Вырезать и склеить конус из картона, а затем также вырезать и склеить или сшить облагающий его чехол из чистой рентгеновской пленки или целлофана, заранее закрасив его с изнанки тушью или другой черной краской. Зачерненная таким способом пленка будет давать отра
жение более низкого качества, но все же подтвердит все сказанное и показанное выше.
Проблема кривых зеркал не только забавна, но и поучительна. С одной стороны, она связана с приемами построений, относящихся к геометрической оптике, которая в свою очередь пользуется методами начертательной геометрии. С другой стороны, она имеет тесную связь с рядом отраслей науки и техники, Кривые зеркала, являвшиеся вначале предметом забавы, уже давно служат во многих приборах и аппаратах. Они отражают свет в рефлекторах проекционных аппаратов и прожекторах, в карманных фонариках и астрономических приборах. Они концентрируют солнечное тепло в гелиоустановках, вы увидите их на лбу врача-окулиста, исследующего глазное дно больного, и в кабине шофера автобуса, который с его помощью, не оборачиваясь, может наблюдать за посадкой пассажиров.
Совсем недавно секрет анаморфоза получил своеобразное преломление в технике широкоэкранного кинематографа, где с помощью специальной анаморфотной приставки можно на обычной пленке стандартного формата снимать широкоэкранный фильм. Об этом будет сказано ниже.
Поистине, перефразируя известное изречение, можно сказать, что от серьезного до смешного — один шаг. Только не всегда этот шаг бывает легким.
В заключение предлагается читателю ответить на вопросы.
56*. Поверхность, в которой располагаются мнимые точки отражений в коническом зеркале, не всегда представляет собой перевернутую коническую воронку. Укажите, при какой величине угла в вершине конического зеркала форма этой поверхности меняется и как именно? Проанализируйте рисунок 103.
57*. Чему равна сумма плоских углов вершины конического зеркала и вершины отражающей воронки, построенной с соблюдением описанных выше правил?
• Живопись — мать перспективы.
Леонардо да Винчи.
Не без некоторых сомнений подходим мы к изложению содержания этой главы. Перспектива! Над сокровенными ее законами размышляли выдающиеся художники многих поколений, ей отдали годы труда математики прошлого. Не раз откладывали в сторону свою волшебную кисть великие живописцы, столкнувшись с очередной загадкой перспективы, и обращались к изучению весьма далеких, казалось бы, от изобразительного искусства проблем геометрии световых лучей.
Удастся ли автору выбрать ясные и наглядные примеры, раскрыть наиболее доступными средствами загадку многих столетий хотя бы в самых общих чертах? Тема слишком интересна, слишком важна, чтобы попросту обойти ее в книге, посвященной методам проекций.
Можно ли остановить отважного альпиниста, преодолевшего опасные кручи и обрывы, перед тем как ему предстоит достигнуть сияющей вершины? Нет, у читателя, который преодолел большую часть этой книги, быть может, не раз спотыкался на ее «ухабах», хватит сил добраться до вершины...
В учебниках по. начертательной геометрии раздел перспективы излагается обычно в заключительной части, как бы завершая всю сумму знаний о построении проекционных изображений решением наиболее сложной задачи. Между тем учение о перспективе родилось раньше теории комплексного чертежа и аксонометрии. Произошло это потому, что потребность в знании законов перспективы ощущали художники прошлого, которые стремились правильно передавать окружающее на своих полотнах, передавать так, как его видит человеческий тлаз. В те годы некому было предъявить спрос на теорию упрощенных изображений, которыми мы пользуемся в технических чертежах. Еще не было промышленности, не было техники, которая испытывала бы потребность в таких изображениях.
Рис. 104. Древнеегипетское изображение перевозки колоссальной стйтуи номарха
Пещерные рисунки первобытных людей в этом смысле были ближе к проекциям ортогонального чертежа. Предмет (животное) изображался в наиболее удобном положении, когда перспективные сокращения не проявляются. Несколько иной характер имели изображения, к которым прибегали многие народы Древнего Востока. В учебнике древней истории мы видим, например, рисунки египтян, найденные на гончарных изделиях, на каменных плитах, фасадах зданий, на предметах домашнего обихода, на папирусах (рис. 104).
Как поступал художник тех времен? Желая изобразить уходящие в глубину ряды людей, он помещал их один над другим. Фигуры людей расположены фронтально, но головы повернуты неизменно в профиль. Эта особенность становится традиционной для древнеегипетских рисунков. Заметьте, что фигуры, расположенные выше (а значит, и дальше) изображаются художником, как правило, без уменьшения их размеров. Даже самые наглядные особенности перспективы, несомненно подмеченные художником, не пер'еносились им на изображение. Видя глазами эти явления, художник как бы отказывался постичь их разумом, согласовать их с законами здравого смысла.
Но взгляните на рисунок ребенка. И для него характерны некоторые черты, присущие рисункам древних. И ребенок предпочитает изображать все фигуры в одном повороте, помещать их одну над другой, если хочет выразите их взаимное расположение в пространстве. Он не в силах справиться с многоплановостью рисунка и остальное дополняет своим воображением. И тот и другой — рисунки человеческого детсУва.
Основы учения о перспективе были созданы в эпоху Возрождения. Люди, посвятившие себя художественному творчеству, величайшие мастера кисти с удивлением обнаружили, что в их труде есть область, где искусство тесно смыкается с точной наукой — геометрией. Поиски секретов перспективы превратились в волнующую эпопею, в напряженный, непрекращаю-щийся труд. К каким только средствам не прибегали художники! Они придумывали всякие механические приспособления, чтобы уловить законы изображения пространства. Одни пользовались для этой цели шнурком, натягивая его от фиксированной точки зрения к отдельным точкам изображаемого предмета.
Другие рисовали натуру через сетку, разделенную на квадраты, подобно тому как это мы делаем сейчас, желая увеличить рисунок. Третьи придумали для той же цели специальный оптический аппарат — камеру-обскуру (что в переводе означает «темная комната»), о которой речь еще будет впереди.
ПОЙМАННАЯ ТОЧКА
Чрезвычайно любопытен способ рисования с помощью натянутого шнурка. Рисунок 105 взят из трактата о живописи, принадлежащего известному немецкому художнику Альбрехту Дюреру (1471—1528). Как видно из рисунка, художник вместе с помощником изображает в перспективе музыкальный инструмент—лютню, напоминающую современную мандолину. Обратите внимание на громоздкий аппарат, применяемый для этой цели. Справа на стене — крючок, через который пропущен шнурок с привязанной к его концу гирькой. На столе перед инструментом на определенном расстоянии прочно укрепляется деревянная рамка с откидной дверцей. На дверце прикреплен лисз1 бумаги, на котором будет выполняться рисунок. Рисунок строится по точкам, и в этом смысле рабочий процесс ближе к выполнению чертежа. Как же находятся точки предмета и как они переносятся на бумагу?
Рис. 105. Гравюра А. Дюрера, изображающая построение перспективы лютни с помощью шнурка
Оказывается, не так-то просто. Посередине одного из боковых и одного из горизонтальных брусков рамки прочно закрепляются две нити. Дверца с бумагой откидывается, через рамку пропускается шнурок, и помощник касается концом натянутого шнурка той точки предмета, которую необходимо перенести на рисунок. Но как зафиксировать положение шнурка после того, как он будет убран и дверца прикрыта? На помощь приходит смекалка. Пока шнурок натянут, художник, взяв свободные концы нитей, скрещивает их таким образом, чтобы, находясь в плоскости рамки, они коснулись шнурка. Нити натягиваются, и свободные их концы приклеиваются кусочками воска в нужном месте на двух брусках рамки. Теперь шнурок можно убрать. Скрещение нитей в пустом пространстве рамки сохраняет положение «пойманной» точки предмета. Остается перенести ее на изображение. Это уже несложно. Дверца прикрывается, входя в рамку. Скрещение нитей теперь касается бумаги. Карандашом можно отметить на бумаге найденную точку.
Работа продолжается тем же способом. Приклеенные воском концы нитей освобождаются, вновь отводится в сторону двер-. ца, протягивается шнурок, и его конец касается другой точки предмета. Так, точка за точкой, на бумаге возникает точечный контур изображаемого предмета. Каркас точек связывается линиями, художник накладывает тени, если нужно применяет краски. Перспектива лютни выполнена.
Конечно, этот долгий, кропотливый способ получения изображения не являлся основным в работе художников. Цель его в сущности учебная. Таким способом можно было глубже изучить геометрические закономерности образования перспективного изображения. Ведь далеко еще не все было ясно в теоретических вопросах построения перспективы даже наиболее пытливым мастерам. Секрет, тайна, загадка — такими словами называют художники той эпохи законы перспективы. Ради раскрытия их они не жалеют ни сил, ни времени. •
БОЛОНСКИЙ СЕКРЕТ
Вьющиеся пряди волос спускаются на плечи мужчины. Пристальный взгляд зорких, наблюдательных глаз. Пышные усы и небольшая бородка «эспаньолка». Чуть продолговатый нос. Взгляд художника устремлен вперед, как бы стремясь запечатлеть то, что находится впереди. Таким изобразил себя Альбрехт Дюрер. Высокообразованный, блестяще владеющий своим мастерством, человек огромной работоспособности, он «более, чем кто-либо, достоин занять место подле Леонардо да Винчи»,— как пишет один из его биографов. В многочисленных сочинениях-трактатах Дюрера, в его письмах раскрывается многогранный мир культурного человека той эпохи, влюбленного в свою профессию, ищущего, неутомимого. Он хорошо владеет искус-
ОН
ПО-
СО-
ПО
Альбрехт Дюрер (автопортрет)
СТНОМ перспективы, но еще не все для него ясно. И продолжает пытливые иски.
В 1505 году Дюрер вершает путешествие
Италии. Надолго останавливается он в Венеции. Не только неповторимый облик города каналов и гондольеров, города прекраснейших архитектурных творений и полотен великих мастеров привлекает художника к себе. И не только влечет его к себе венецианская школа художников, школа мастера Джованни Беллини, к которой принадлежат уже прославленные Джорджоне и Тициан. Есть и еще одна сокровенная цель его поездки в Италию. О ней' он
сообщает своему другу в письме: «Затем я поеду в Болонью ради секретов искусства перспективы, которым хочет обучить ♦ меня один человек». Болонья, известная своим университетом, где собрался весь цвет науки того времени, хранит высшие секреты правильного построения живописных полотен. И Дюрер не может остановиться на своем пути, он хочет знать все. Недаром на его гравюрах можно видеть поразительную настойчивость и упорство, с которыми он каждый раз приступает к решению очередной задачи перспективы. Один за другим появляются сюжеты, связанные с техникой ее построения, один из которых и приведен на рисунке 105. Он пишет теоретические исследования, от начала до конца пронизанные расчетами для построения пейзажей, улиц городов, пропорций человеческого тела. В его работах математика постоянно соседствует с искусством. Он постоянно «поверяет алгеброй гармонию», точно пушкинский Сальери.
В ПОИСКАХ ИСТИНЫ
Разносторонний ученый и гениальный художник прошлого, Леонардо да Винчи (1452—1519) написал обширный трактат, где законы перспективы формулировались на геометрической основе. «Перспектива,— пишет Леонардо,— тончайшее исследование и изобретение, основанное на изучении математики,
силою линий заставляющее казаться отдаленным то, что близко, и большим то, что невелико».
«Перспектива есть руль живописца»,— замечает он в другом месте.
«Она приносит такую же пользу живописцу, как компас мореплавателю»,— говорит впоследствии немецкий художник Гагедорн.
Не каждому доступны ее тонкости. Некоторые полагают, что знание математики не обязательно для художника. Его область—искусство красок, умение сочетать тональность, достигать эффектов колорита.
Но секреты перспективы уже привлекают внимание математиков. Значительную роль в построении ее теории сыграли работы французского математика и архитектора Жерара Де-зарга (1593—1662): «Курс перспективы», «Общий способ практического построения перспективы». Можно привести обширный перечень имен ученых-математиков (геометров), вложивших свой вклад в развитие учения о перспективе.
Русские ученые, специалисты по начертательной геометрии посвящают этой теме труды. Это Н. И. Макаров (1875), В. И. Курдюмов (1892), Н. А. Рынин (1909). Выдающийся ученый и строитель В. И. Курдюмов называл начертательную геометрию грамматикой черчения. Используя его сравнение, можно сказать, что учение о перспективе явилось грамматикой живописи, без которой ее могучий язык не мог бы стать таким доступным и понятным.
В своей фундаментальной работе «Перспектива» (1918) Н. А. Рынин рассматривает множество областей человеческой деятельности, где правильное понимание перспективы необходимо. Его книга не только целая энциклопедия, свод знаний в данной области, но и самобытное исследование, ставящее и разрешающее интересные задачи, определяемые практикой художника, архитектора, инженера.
Теория построения перспективных изображений располагает большим разнообразием практических приемов, зачастую довольно сложных. Но это разнообразие составляет единую и стройную систему решения задач, возникающих не только в области изобразительного искусства и архитектуры, но и в ряде других областей человеческого знания.
Если в параллельных проекциях точка зрения мыслится удаленной в бесконечность, а проецирующие лучи параллельными, то в перспективных построениях точка зрения находится на конечном расстоянии, а проецирующие лучи сходятся в ней, как в центре проекций. Поэтому такие изображения называют еще и центральными. Одним из видов центральной проекции являются изображения, возникающие в наших глазах. Естественно, что в соответствии с законами зрения строится и картина художника, желающего изобразить натуру так, как ее ви
дел бы в действительности человек. В дальнейшем читатель убедится, что так называемая линейная перспектива, являющаяся темой настоящей главы, не полностью тождественна зрительной перспективе окружающего пространства, возникающей в человеческих глазах, а также в фотографиях.
ПЕРСПЕКТИВА С ДВУМЯ ФИГУРАМИ
Рассмотрим на рисунке 106 пример образования перспектив-, ного изображения. Рисунок улицы вместе с человеческими фигурами выполнен^ знакомой нам параллельной проекции. Размеры фигур и зданий на рисунке не зависят от их удаления, параллельные линии остаются параллельными. Посмотрим теперь на ту же улицу глазами мальчика, изображенного на рисунке. Он видит перед собой линию домов, тротуар, фигуры ученика и ученицы, идущих ему навстречу. 4<ак построить изображение с точки зрения мальчика? Поставим перед ним воображаемую вертикальную плоскость, прозрачный экран, и попытаемся Изобразить все то, что на нем получится.
Лучи зрения, проведенные от глаз мальчика к верхней и нижней точкам фигуры ученицы, пронизывают экран насквозь. Очевидно, если мы построим точки, в которых эти лучи пересекают экран, мы тем самым получим высоту фигуры девочки так, как ее должен увидеть мальчик. Такая плоскость, такой воображаемый экран, на котором строится перспективное изобра-£ жение, носит название картинной плоскости или, короче, кар-
тины. А отыскание точки пересечения прямой с плоскостью — знакомая нам задача, легко разрешаемая с помощью правил начертательной геометрии. Это не что иное, как построение следа прямой. Подобную задачу мы решали еще на рисунках 40 и 41 (построение отверстия для трубы в стене коровника). Если мы соединим прямой линией основания изображений мальчика и девочки, т. е. проведем по тротуару прямую через точки их опоры на земле, на основании картины получим точку, над которой будет строиться изображение девочки. Из этой точки проведем вверх вертикаль и пересечем ее двумя лучами зрения, идущими от глаз мальчика: одним, проведенным к верхней точке фигуры девочки, другим —к нижней. Полученные две точки, ограничивающие высоту фигуры ученицы, позволяют остальные подробности нарисовать на глаз, соблюдая пропорциональное уменьшение всех деталей.
Таким же способом построено на картине изображение ученика, идущего позади девочки. Несмотря на то что рост его несколько превышает рост девочки, изображение его по размерам получится на картине меньшим, так как он находится на большем расстоянии от картины. Но это мы знаем из опыта: чем дальше предмет от наблюдателя, тем меньше угол зрения, под которым мы его видим. Итак, первый и важный шаг нами сделан. Мы уловили основное свойство перспективы — влияние расстояния объекта от картинной плоскости на величину его изображения,— определили его построением.
Слева изображена отдельно вынесенная картинная плоскость, стоявшая перед мальчиком. Расположенная фронтально, она теперь лишена угловых искажений, которые были видны на ее предыдущем изображении. Фигуры девочки и мальчика, идущих навстречу наблюдателю, перенесены на картину по их размерам. Здесь же мы видим линии тротуара, цоколей и окон домов, расположенных справа, которые сходятся в одной точке на линии горизонта. Почему это происходит? Это не менее важное свойство перспективы нам еще предстоит проверить построением.
Пока ознакомимся с некоторыми основными терминами. Линия горизонта, показанная на картине, находится на высоте, равной возвышению точки зрения, т. е. высоте, на которой находятся глаза мальчика-наблюдателя над уровнем земли, тротуара, на котором он стоит. Такую опорную плоскость называют предметной. Точка, лежащая на линии горизонта, в которой пересеклись все параллельные линии, расположенные под прямым углом к картине, называется главной точкой схода. Все эти элементы перспективного изображения нам еще предстоит получить построением. Линия горизонта, которую мы на открытом месте можем наблюдать, вероятно, не раз привлекала ваше внимание. Именно здесь, как нам кажется, «небо сходится с землею». Между прочим, такое представление
о линии горизонта является очень старым и когда-то воспринималось в буквальном смысле этих слов. Отражение таких взглядов мы найдем, например, в известной сказке П. П. Ершова «Конек-горбунок», где рассказывается о том, как конек въехал в тот край,
Где (я слышал стороною)
Небо сходится с землею, Где крестьянки лен прядут, Прялки на небо кладут.
В главной точке, определяющей положение линии горизонта, сходятся параллельные линии, расположенные под прямым углом к картине. Но параллельные линии пересекаются между собой лишь в бесконечности. Напрашивается вывод, что мы получили изображение бесконечно удаленной от нас точки. Между тем эта точка изображена на конечном по своим размерам листе бумаги и положение ее можно легко определить с помощью линейки. Здесь нет противоречия. Ведь в перспективе мы имеем дело не с реальными элементами окружающего, а с их изображениями. Удивляться тому, что параллельные линии пересеклись в пределах рисунка, следует не больше, чем тому, что исполинское солнце мы видим размером в пятикопеечную монету.
Как и всякий другой метод изображения, перспектива является условной системой, тогда как законы геометрии (в частности, то, что параллельные линии пересекаются в бесконечно удаленной точке) относятся к числу объективно существующих закономерностей. Систем проекций может существовать множество, каждая с присущими ей особенностями. В главе о картографических проекциях мы встретились с фактами, когда кривая линия изображала кратчайший путь между двумя точками, а прямая— более длинный. А эти факты едва ли менее удивительны, чем рассматриваемая точка пересечения параллельных линий. -г
Обозначим еще несколько важных элементов перспективного изображения. Положение глаз наблюдателя называют точкой зрения или центром проекций. Основание точки зрения, т. е. точку пересечения перпендикуляра, опущенного из нее на предметную плоскость, называют точкой стояния. Таким образом, высота линии горизонта над основанием картины равна высоте точки зрения, т. е. длине перпендикуляра, опущенного из точки зрения на точку стояния.
Очевидно, линия горизонта на картине может подниматься или опускаться, если соответственно изменилась высота точки зрения (центра проекций). Мы находим этому аналогию в действительности (горизонт как бы отодвигается по мере подъема точки зрения). Однако эта аналогия относительна. Понятия линии горизонта на равнинной поверхности (или в море) на перс
пективном изображении и в действительности не полностью тождественны. Положение линии горизонта в действительности, в описанных условиях, определяется шарообразностью Земли. Мы можем наблюдать в море находящийся вдали корабль, корпус которого срезан частично линией горизонта. В построении перспективы ничего подобного получиться не может. Предметная плоскость простирается вдаль без искривления, и границей ее является линия горизонта, предполагаемая удаленной на бесконечно большое расстояние от основания картины.
Познакомимся теперь с правилами построения перспективы. Объектом изображения выберем простейший геометрический элемент — точку.
НА КАРТИННОЙ ПЛОСКОСТИ
Пусть за картинной плоскостью, в пространстве, расположена точка А], а с другой стороны плоскости — наблюдатель (рис. 107,а). Луч зрения, проведенный от наблюдателя к точке А], пересечет картину в точке А, которую мы назовем перспективой заданной точки А].
Определяет ли заданная точка Ai положение своей перспективы на картине? Иначе говоря, при данных условиях могла ли другая точка картины, кроме А, являться перспективой заданной точки Ai?
Да, определяет. Какая-либо другая точка не может являться на той же картине перспективой заданной точки At. Выяс-
Рис. 107
пим возможность обратной зависимости. Определяет ли полученная перспектива в виде точки А положение оригинала в пространстве, т. е. точки Д1? Ответ придется дать отрицательный. Все точки, например, от Л] до Д5, расположенные на линии луча зрения за картинной плоскостью (да и перед ней), дадут одну общую перспективу в виде точки А. Значит, взаимно однозначного соответствия между оригиналом и его перспективой здесь нет. Но с подобным явлением мы уже встречались ранее, например на рисунке 38, когда убедились, что отсутствие оснований у отдельных элементов (птиц, деревьев) лишает их расположение определенности.
Значит, и при построении перспективы каждая точка должна быть задана вместе со своим основанием, причем перспектива его на картине вместе с перспективой самого оригинала вполне определит положение заданной точки. Будем руководствоваться этим положением и в данном случае.
На рисунке 107,6 точка At задана вместе со своим основанием аН- Поэтому из точки зрения проведем лучи зрения и к точке Ль и- к точке ан. Соединим также основание луча зрения, т. е. точку стояния SH, с основанием заданной точки ан. Известным нам способом построим точки пересечения лучей с картиной, т. е. следы этих лучей. Соединим полученные перспективы трех точек на картине одной вертикальной прямой. Отрезок ее Аак можно рассматривать как проецирующую линию, связывающую изображение точки в перспективе с ее осно-ванием. Вместе с тем можно считать его перспективным изображением заданного вертикального отрезка AtaH. Таким образом, мы одновременно решили двойную задачу: построили перспективу точки с ее основанием и перспективу вертикального отрезка, опирающегося на предметную плоскость. Заметим пока, что изображение этого отрезка получилось меньше его натуральной величины, данной на наглядном изображении.
Чтобы проследить взаимозависимость между расположением точки и характером ее проекции (или теми же, данными по отношению к заданному вертикальному отрезку), уточним относящиеся сюда данные. Пусть положение точки At определяется координатами, фактически показанными на наглядном изображении. При этом соответственно картинную и предметную плоскости временно по совместительству будем считать соответственно фронтальной и горизонтальной плоскостями проекций (И и Н). Тогда ортогональные проекции заданной точги А[ соответственно будут: фронтальная — в точке а.у, горизонтальная— в точке ан- Для основания такими проекциями будут точки ах и ан.
Дополним чертеж другими деталями. Ортогонально спроецируем точку зрения и ее основание на фронтальную плоскость. Получим проекции в точках Р и Ро. Соединим точки Р и Ро с S и SH.
Очевидно, высота отрезка avax будет равна высоте заданной точки Ai, т. е. AiaH- Вглядитесь внимательнее в рисунок, и вы убедитесь, что изображенный на фронтальной плоскости треугольник ауйхР является ортогональной проекцией треугольника, образованного лучами зрения SA] и SaH- При этом треугольник, пересекая фронтальную плоскость по линии Аак, по той же линии пересекает и свою проекцию. Это выглядит несколько необычно: фигура пересекает свою собственную проекцию. Но что здесь невозможного? Ведь все зависит от взаимного расположения самого проецируемого предмета и плоскости проекций.
Для чего же понадобилось нам дополнительное построение с прямоугольными проекциями заданных точек? А для того, чтобы научиться выполнять перспективу точки или вертикального отрезка непосредственно на картинной плоскости по заданным координатам без громоздкого построения проецирующего аппарата с его наглядным изображением. Именно для этой цели мы и совместили построение перспективы оригинала на картине с заданием на ней же его прямоугольных проекций.
Вынесем теперь отдельно картинную плоскость с рисунка 107,6 на рисунок 107, в. Линия х—х изображает основание картины. Перенесем на этот рисунок точку стояния Sh, которая расположится вне картины, ниже ее основания. На картину нанесем линию горизонта h—h на высоте точки зрения, т. е. так, чтобы возвышение линии горизонта над основанием картины х—х было фавно SSh. Из точки Sh проведем вертикаль до пересечения с линией горизонта, где получим главную точку схода Р.
В точке a.v на картине сохраним фронтальную проекцию заданной точки Ai. Однако ее горизонтальная проекция осталась на предметной плоскости ан. Как быть? Вернемся к рисунку 107,6. Представим себе, что картинная плоскость, вращаясь вокруг своего основания х—х от наблюдателя, совместилась с предметной плоскостью и точка ан как бы отпечаталась на ней. Эта точка показана на картине (рис. 107, в) и расположена она над точкой aV- Пусть нас не смущает необычность взаимного расположения ортогональных проекций точки At на картине: горизонтальная проекция оказалась над фронтальной (ан выше ау). Произошло это потому, что плоскости проекций V и Н по очереди совмещались с картиной, но не располагались одна под другой в известном порядке, а также потому, что расстояние от горизонтальной проекции ан до основания картины (х—х) оказалось больше высоты фронтальной проекции av над тем же основанием. Если б эти расстояния были другими, обе проекции могли бы расположиться более привычным образом.
Таким образом в процессе построения перспективы картинная плоскость дважды была использована «по совместитель
ству» как фронтальная и горизонтальная плоскости прямоугольных проекций. Теперь мы уже используем ее по прямому назначению: для построения перспективы точки А вместе с ее основанием.
На отдельно изображенной картине соединим точку стояния с горизонтальной проекцией точки Л]—точкой ан. В пересечении этой линии с основанием картины получим точку ао; положение ее определяет вертикаль, на которой расположится перспектива заданной точки Д1 и ее основания.
Взглянув на наглядное изображение, мы увидим, что главную точку схода следует соединить с точками ау и ах. Сделаем это на картине. Часть вертикали, заключенная между линиями Pav и Рах, с ее концами А и ак и будет перспективой заданной точки At и ее основания ан-
Следовательно, построение перспективы точки на картине можно вести без обращения к помощи наглядного изображения. Строим прямоугольник картины с избранной по желанию или по условию линией горизонта и основанием точки зрения вне картины Sh- Известным способом наносим на картину обе ортогональные проекции заданной точки Ai—ау и ан, которые показывают, на каком расстоянии от картины находится точка и каково ее возвышение над предметной плоскостью. Далее последовательно строим главную точку схода на одной вертикали с точкой стояния в ее пересечении с линией горизонта. Соединяем точку стояния с горизонтальной проекцией точки, и там, । где эта линия пересекает основание картины, отмечаем точку а0. Проводим из точки а0 вертикаль вверх и две прямые Рау и Рах, между которыми и расположится перспектива заданной точки с ее основанием.
Как видим, построение перспективы точки оказалось не очень простым. В этом одна из причин, почему аксонометрическим проекциям отдано преимущество при построениях наглядных изображений в технике. Некоторый ущерб наглядности таких изображений целиком искупается упрощением построений.
Решим еще одну задачу, имеющую большую важность в построении перспектив. Построим перспективу прямых, расположенных под прямым углом к картине и, следовательно, параллельных между собой. Для упрощения задачи расположим прямые в предметной плоскости. Фронтальные проекции этих прямых будут лежать на оси X (и тем самым на основании картины). Построение выполнено на наглядном изображении (рис. 108,а). Сначала построена перспектива прямой Л|В1. Для этого к крайним точкам ее проведены лучи зрения S.4i и SBt. Те же точки соединены двумя прямыми с основанием точки зрения— точкой стояния Sj, Пересечение прямых SA, и SBi, лежащих в предметной плоскости, с основанием картины даст точки До и Во- Вертикальные прямые, проведенные в картинной
плоскости из этих точек, пересекут лучи зрения в точках А и В, которые и являются перспективами крайних точек отрезка И|йь а сама прямая АВ — перспективой прямой А\ВХ. Аналогичное построение выполнено для отрезка
Рис. 108
Сделаем такое же построение на картине, совмещенной с предметной плоскостью (рис. 108,6). Перенесем по размерам все исходные данные на поле нового чертежа: точку стояния, главную точку и линию горизонта, положение прямых а\Ь\ и C\dx, лежащих в предметной плоскости. Построим на основании картины точки ахЬх и cxdx, заменяющие фронтальные проекции концов обоих отрезков и лежащие на оси X, потому что сами отрезки лежат в предметной плоскости.-Построим проекции лучей зрения, проведенных к точкам а{ и Ь\ (сначала строим перспективу первой прямой). В пересечении с основанием картины они дадут точки а0 и 60- Далее соединяем главную точку картины V с точками ах и Ьх (это одна и та же точка) и пересекаем эту линию двумя перпендикулярами к основанию картины, восстановленными в точках а0 и Ьо. Соединив- полученные точки пересечения, получим и перспективу прямой Л)В1 — прямую АВ. Задача решена. Справа сделано такое же построение для прямой CXDX.
Уберем теперь предметную плоскость, загроможденную построениями. Окончательный вид чертежа на картинной плоскости изображен рядом (рис. 108,в).
Таким образом, прямые, перпендикулярные к картине и лежащие в предметной плоскости, изобразились перспективами, которые наклонены к линии горизонта и на которой сходятся их продолжения в главной точке схода, представляющей собой прямоугольную проекцию точки зрения на ту же плоскость. Результат построения совпадает с тем, что мы наблюдаем в 0 действительности. Идущие в глубину от наблюдателя параллельные прямые (например, рельсы железной дороги) кажутся сходящимися на линии горизонта. Любые отрезки прямых, перпендикулярные к картинной плоскости (в том числе и не лежащие в предметной плоскости), дают перспективы, продолжения которых также будут сходиться в главной точке. Иллюстрацией этого положения могут явиться линии телефонных проводов на рисунке 38 (в том числе и линия, соединяющая основания столбов), а также линии цоколей домов и тротуара на рисунке 106.
Отрезки прямых, расположенные параллельно картинной плоскости, но под произвольными углами к предметной, не претерпевают таких измене'ний. Сохраняется их взаимная параллельность, их действйтельные углы между собой и имеет место лишь масштабное сокращение длин отрезков по мере удаления их в глубину от наблюдателя.
Группы же параллельных отрезков общего положения (наклонных к предметной и картинной плоскостям) имеют общие точки схода (свои для каждой группы). Эти точки будут располагаться уже в любом месте картины, выше или ниже линии горизонта, но только не на ней. Каждый раз их можно находить построением, подобным тому, какое мы уже выполняли.
Первое знакомство с перспективными построениями показывает их относительную сложность по сравнению с изображениями, выполненными в параллельной проекции. Тем не менее, как мы уже убедились, наиболее общие законы проекций в равной мере относятся и к перспективе. Методы отыскания следов, точек пересечений и взаимных пересечений тел, определение взаимного расположения элементов изображения, иначе говоря, способы решения задач позиционного характера в принципе остаются неизменными. Каждый элемент перспективного изображения является заданным тогда, когда он имеет основание (вторичную проекцию); как известно, это условие мы ранее относили только к параллельным проекциям.
Конечно, того, что было сообщено выше, недостаточно для полного овладения методом построения перспективных изображений различной степени сложности. Говоря в начале данной главы об альпинисте, которому предстоит покорить вершину, мы отдавали себе отчет в том, что многие горы имеют по нескольку вершин, среди которых есть более и менее трудные. То, о чем говорилось и будет еще сказано в данной главе, можно отнести к вершинам, годным для первоначальной тренировки скалолазов. Более трудной цели мы, естественно, не могли ставить перед читателями. Приводя ниже задачи, мы даем их на выполненном перспективном изображении, полагая, что читатель, усвоив изложенное, сумеет справиться с ними.
58*. Плоскости симметрии двух домиков проходят через середины двух стен, в которых расположены двери- (рис. 109). Как расположены эти плоскости относительно друг друга — параллельно, перпендикулярно или наклонно? Для того чтобы дать ответ, необходимо проделать небольшое построение.
59*. Мотоциклисты спешат к финишу (рис. ПО)'. Кто из них находится ближе к финишу? На сколько корпусов мотоцикла опередил он своего соперника?
Рис. 109
Рис. ПО
60*. На рисунке 111, данном в перспективе, изображена лежащая на земле лестница. Требуется установить, одинакова ли длина ее продольных брусьев, промежутки между ступеньками. Перед тем как приступить к решению, прочитайте следующий небольшой раздел.
С ПОМОЩЬЮ ТОЧКИ СХОДА
Для того чтобы дать исчерпывающе точный ответ на задачу 60 и справиться с предстоящими, рассмотрим еще одно построение, часто встречающееся в практике построения перспективы, к тому же не слишком трудное.
Пусть нам дан отрезок АВ, лежащий в предметной плоскости, но расположенный под произвольным углом к картине. Требуется разделить его на несколько равных частей. На картине дана линия горизонта (рис. 112). Возьмем на линии горизонта произвольную точку Е. Соединим ее с концами отрезка Л и В, продолжим эти линии до пересечения с основанием картины соответственно в точках Ах и Вх. Что можно сказать о прямых ЕАХ и ЕВХ?
Так как они имеют общую точку схода, то из предыдущего ясно, что эти прямые взаимно параллельны. Если бы они сходились в главной точке схода, мы имели бы право утверждать, что прямые, кроме того, расположены под прямым углом к картинной плоскости. Но так как главная точка не задана (задача может быть решена и без нее), то второе утверждение не может иметь места. Прямая АХВХ, пересекающая обе параллельные, лежит в плоскостях, предметной и картинной, одновременно и, таким образом, принадлежит к основанию картины. В таком положении прямая изображается без искажений, как и прямая, принадлежащая картине, но расположенная под произвольным углом к предметной плоскости. Следовательно, такие отрезки можно делить на равные части, учитывая, что эти части будут одинаковыми и на чертеже. Поэтому сначала разделим на три
равные части отрезок АХВХ и полученные точки деления /0 и 20, как и точки 0 и <?0, соединим с нанесенной точкой схода Е.
Нетрудно понять, что прямые АХЕ, 10Е, 20Е, ВХЕ параллельны между собой, так как имеют общую точку схода на (Пинии горизонта. Из геометрии известно, что группа параллельных прямых, пересекая произвольно расположенный отрезок, делит его на части, пропорциональные расстояниям между этими прямыми. Но перечисленные выше параллельные прямые по построению расположены на равных промежутках. Следовательно, точки пересечения этих прямых с отрезком АВ разделят его на три равные части. И пусть вас не смущает, что на чертеже отрезки, на которые разделен отрезок АВ, не равны друг другу.
Мы живем теперь в мире перспективы, где не всегда следует верить собственным глазам и надо чаще привлекать на помощь логику. Ведь нам казалось вполне естественным, что промежутки между столбами на рисунке 38 уменьшались по мере приближения к линии горизонта, несмотря на то что в действительности они одинаковы. Природа подобных явлений понятна и характерна для центральных проекций.
Более простой вариант построения показан на том же рисунке. Здесь видно, что вовсе не было необходимости продолжать прямые ЕА и ЕВ до пересечения с основанием картины. Левую прямую доведем до точки А, из которой вправо проведем прямую АС, параллельную основанию картины до ее пересечения с продолжением луча ЕВ. Отрезок АС, как параллельный картине, сохраняет пропорциональность своих частей с оригиналом, хотя и претерпевает масштабные сокращения по мере удаления в глубину. Это можно формулировать иначе: перспективные сокращения частей таких отрезков одинаковы в отличие от отрезков, расположенных под углом к картине. Следовательно, отрезок АС можно делить на три равные части и через точки деления провести лучи, направленные к точке схода. Отрезок АВ окажется разделенным в соответствии с заданием. Если вы это проделаете на чертеже, то убедитесь, что результаты деления, осуществленного двумя способами, совпадают. Более того, подобных вариантов деления отрезкй Л в на равные части можно осуществить сколько угодно, так как вспомогательную прямую можно располагать в любом месте чертежа, лишь бы она оставалась параллельной картинной и предметной плоскостям.
Естественно, что и точку схода Е можно брать на любом участке линии горизонта. Сделайте это, и вы убедитесь, что результаты построения во всех случаях будут одинаковы. Этот практический прием приводится нами без доказательства. Но он логично вытекает из всего, что было сказано о построении простейших случаев перспективы точек и прямых. Важно отметить, что совпадение результатов решения задачи в различных вари-156
антах свидетельствует о том, что в построениях на плоскости каким-то образом отражаются соответствующие построения с пространственно расположенными элементами. Да, такие закономерности существуют, отражая пространственные явления в двух измерениях плоскости. Они составляют целую группу проективных свойств геометрических фигур, проявляющихся в построениях, подобных тем, что мы сейчас осуществляли. Свойства эти изучаются в одном из разделов высшей геометрии, геометрии проективной.
Рассмотренная задача с делением отрезка, изображенного в перспективе, на равные части подводит нас к возможности решения метрических задач на перспективном изображении, к применению для этой цели единиц масштаба. Еще вчера нам казалось невозможным определение расстояний на местности, изображенной на фотоснимке. Сегодня вы видите, что пути к решению подобных задач проясняются. В заключение решите
несколько задач метрического характера. Построения, необходимые для отыскания решения, сравнительно несложны. Но это не значит, что они не потребуют от читателя знания изложенного выше теоретического материала и некоторой сообразительности.
Рис. ИЗ
61*. Сколько шагов сделает прохожий, пока не поравняется с фонарным столбом (рис. 113)? Длина его шага показана двумя выносными линиями. Линия горизонта на рисунке отсутствует, а она нам понадобится. Построить ее нетрудно.
62*. Комната на рисунке 114 имеет две двери. Одинакова ли высота обеих дверей?
63*. Перечертите предыдущий рисунок, внеся в него изменения: левую дверь изобразите открытой, расположенной под прямым углом к стене. Воспользуйтесь данными, полученными из предыдущей задачи.
64*. Где находится центр проекции на рисунке Дюрера (рис. 105^? В какой части рисунка лютни должна находиться линия горизонта, если бы художник считал нужным ее нанести?
МЕТОД АРХИТЕКТОРОВ
На стене архитектурной мастерской, под стеклом, в скромной раме можно увидеть красочное изображение здания. На фоне голубого неба, испещренного барашками облаков, высится здание будущего театра, который украсит лучшую площадь города. На массивных ступенях подъезда видны фигуры зрителей, торопящихся к началу спектакля. А рядом с ними, поблескивая лаком, на фоне разросшегося декоративного сквера стоят разноцветные автомобили.
Перед нами перспективное изображение, выполненное архитектором, обязательное приложение к техническим чертежам проекта. Такие изображения выполняют всегда, когда составляется проект здания, сооружения, машин, бытовых приборов, к которым, кроме функциональных, предъявляются еще и эстетические требования.
Каким способом пользуются архитекторы, выполняя перспективные чертежи будущих зданий, кварталов, площадей? В последнем разделе главы мы намерены познакомить читателя с этим интересным способом. Среди многочисленных способов построения перспективы этот метод, называемый «методом архитекторов», пользуется наибольшим распространением. Построение перспективы по этому методу основывается на использовании ортогональных проекций здания, обычно — фасада и плана. Метод этот позволяет свободно выбрать точку зрения, ее положение и высоту, расстояние от изображаемого объекта,— словом, оставляет за исполнителем широкое право выбора наиболее правильной позиции для наблюдения, дающей самый ^эффектный вид здания или сооружения.
На сравнительно несложном примере — построении перспективы нескольких звеньев ограды с кирпичными столбами, соединенными металлическими трубами,— познакомимся с основными приемами, составляющими сущность «метода архитекторов».
На рисунке 115, а дан комплексный чертеж части ограды в двух проекциях (виды спереди и сверху). Ограда состоит из четырех столбов, имеющих форму призм с квадратным основанием, верхушки которых увенчаны пирамидами. Между столбами вставлены горизонтальные звенья, состоящие из трех труб каждое.
Прежде всего наметим положение картинной плоскости на виде сверху. Для упрощения построений плоскость проведем так, чтобы она проходила через одно ребро углового столба. Обозначим проекцию картины через Ki- Положение наблюдателя отметим точкой S, соблюдая следующее простое требование: точка зрения должна быть выбрана так, чтобы изображаемая часть ограды была видна под сравнительно небольшим углом зрения. Это значит, что лучи зрения, направленные в
Рис. 115. Построение перспективы части ограды по методу архитектора
крайнюю правую и крайнюю левую точки ограды, должны составить между собой угол, примерно равный нормальному углу зрения человека. Для данного конкретного примера желательно выбрать точку зрения так, чтобы с нее хорошо просматривались столбы и промежутки между ними, чтобы ни один столб не заслонялся другим. Наконец, наблюдатель должен находиться против центральной части будущего изображения ограды, а не где-то сбоку. Тогда при проецировании центра изображения лучи его зрения будут направлены к картине под углом, близким к прямому.
Высота точки зрения (высота горизонта.) на виде спереди может быть назначена с учетом реальных условий. Если мы хотим приблизиться к действительным условиям наблюдения, то возьмем ее не у самой земли и не на высоте, превышающей высоту столбов. Лучше всего взять ее на уровне, проходящем чуть выше середцны столбов. Так и сделаем' отмечая точку S' на виде спереди.
Построение удобно разделить на два этапа: сначала построим перспективу плана расположения столбов ограды, а затем уже «установим» на места и сами столбы. Начнем поэтому построение с вида сверху, с плана. Из точки S проведем серию лучей зрения ко всем важным точкам ограды. Это будут видимые из точки S вершины квадратов (проекции боковых ребер столбов), которые обозначены по порядку цифрами 1, 2, 3 и т.д. Соответствующие точки пересечения лучей зрения с картиной также обозначим этими цифрами. Ребро углового столба, расположенное в плоскости картины (а потому изображаемое без искажения высоты, по размеру, взятому с вида спереди комплексного чертежа), обозначим цифрой 5.
Метод архитекторов опирается на свойства точек схода, наличие которых облегчает построение. Обычно точки схода выбираются в двух .местах горизонта, где сходятся две основные группы параллельных линий изображаемого здания, расположенные под прямым углом друг к другу. В нашем случае это будут линии, соединяющие проекции внешних граней столбов правой и левой стены, которые также образуют между собой прямой угол. Поэтому из точки S проведем два крайних луча, которые параллельны этим линиям и которые дадут нам на горизонтальной проекции картины точки схода f, и f2.
Возьмем теперь бумажную полоску и приложим ее к картине на виде сверху. Точно так же, как это мы делали при построении анаморфоза в коническом зеркале, отметим на ее кромке все точки картины, включая и точки схода вместе с их буквенными и цифровыми обозначениями.
Построение перспективы лучше выполнять на отдельном листе бумаги (рис. 115,6). Проведем нижнюю линию рамки — основание картины и линию горизонта на высоте точки зрения S', взятой с вида спереди. Приложим к основанию картины
бумажную полоску и перенесем на него все отмеченные точки с их обозначениями. Точки схода /у и f2 вертикальными линиями перенесем вверх на линию горизонта (h,—h) и обозначим соответственно через и F2. Подготовка закончена. Сначала приступим к построению перспективы плана столбов. Угловая точка плана, обозначенная через 50, окажет здесь существенную помощь. Соединим ее с точками схода Fi и F2. На линиях 50Fi и 50F2 будут лежать внешние стороны квадратов — оснований столбов. Необходимо только правильно разметить длины этих сторон и промежутков между ними в перспективе. В этом помогут точки 10,20,30 и т. д., перенесенные с оснований картины, зафиксированные на бумажной полоске. От каждой такой точки проводим вверх вертикальные линии до пересечения с одной из двух линий 50F{ или 50F2. При этом линии от точек 30, 7# и 1О0 продолжим несколько выше, так как они принадлежат другим линиям, также направленным в точки схода. Соответственно точки пересечения обозначим: Ц, 2{ и т. д.
Построим контуры оснований столбов в плане. Через точки Л. 4{ дополнительно проведем прямые, сходящиеся в точке схода F2, а через точки S1( 9i, 11\ и 12{ — в точке схода F|. Взаимное пересечение этих прямых определит и положение таких точек, как <?ь 7\ и 10lt и также четвертую вершину каждого квадрата, не имеющую цифровых обозначений. Перспектива плана столбов построена.
Проведите на каждом изображении квадрата основания столба в плане по две взаимно пересекающиеся диагонали. Попробуйте продолжить в глубину картины диагонали, выходящие из вершин 2(, 50, Si и 11\. Если вы чертили аккуратно, то сможете убедиться, что продолжения диагоналей пересеклись в одной общей точке, лежащей на линии горизонта между точками схода F[ и F2. Обозначим эту точку через Е3. Тб, что мы сейчас сделали, не более как попутный эксперимент, имеющий целью проконтролировать точность наших построений. Но одновременно он демонстрирует нам одну из закономерйбстей, свойственных перспективным изображениям.
Теперь построим перспективы самих столбов (рис. 115,в). Прежде всего заметим, что, поскольку ребра столбов параллельны картине и вертикальны, их параллельность и направление сохраняются и на изображении.
Из точек /ь 2i, 4i, 5о, 6i и т. д. проведем вверх тонкие прямые— вертикали будущих ребер столбов. Поскольку переднее ребро углового столба расположено непосредственно на картине (оно соответствует точке 50), мы сразу можем отметить на перспективе его высоту, взяв ее с фронтальной проекции (рис. 115,а). Верхний конец этого ребра соединим с точками схода Fi и F2. Ясно, что на прямой, проведенной к точке схода Fh расположатся верхние концы ребер 1, 2, 4, а на прямой, идущей к F2,— ребер 6, 8, 9, 11 и 12. На чертеже показана
только прямая, идущая к точке F2. Отрезки, соединяющие верхние концы каждой пары ребер, принадлежащей одному и тому же столбу, обведены яркой линией. Но как определить высоту ребер 3, 7, 107 Верхняя точка ребра 3 будет лежать на прямой, соединяющей вершину ребра 2 с точкой F2; точно так же вершины ребер 7 и 10 расположатся на прямой 4F2 (на чертеже они не показаны). Это построение позволит нам получить контуры столбов, однако без пирамидальных верхушек.
Вершины пирамид лежат на вертикалях, проведенных из точек пересечения диагоналей оснований столбов на рисунке 115,6 (как видите, наш эксперимент был не напрасным). Сначала построим полную высоту углового столба, включая верхушку. Соединим точку F\ с точкой пересечения диагоналей его основания и продолжим ее вперед, «на себя», до пересечения с основанием картины, что даст нам точку а0. От нее и отложим вверх полную высоту столба, взятую с вида спереди с рисунка 115, а, т. е. построим отрезок Аа^. Соединив точку А с Fit получим высоту столба вместе с его верхушкой. Она определится, как точка пересечения линии AF} с вертикалью, проведенной из точки пересечения диагоналей основания. Таким же путем можно получить верхушку левого столба; .соединив вершину углового столба с F2, получим и верхушки двух правых столбов. Достроим боковые ребра пирамид.
На рисунке 115, в изображены трубы, заложенные между столбами, без показа построения. Оно аналогично предыдущему. Строить надо сначала линии осей труб и их пересечение с боковыми гранями столбов. Для того чтобы разметить положение осей труб, удобно пользоваться высотой углового столба, однако первоначальную разметку надо провести на отрезке а0А, а затем перенести ее на ось самого столба. Остальное построение несложно. Нужно учесть, что контуры труб будут пересекаться с гранями столбов по окружностям, которые на перспективном изображении заменяются эллипсами небольшой величины. Эти эллипсы нужно дорисовать от руки.
Полученная перспектива ограды содержит естественные для данного вида проекций искажения и производит наглядное впечатление. Но это изображение неудобно, для того чтобы определять по нему в масштабе истинные размеры элементов ограды. Поэтому такое изображение должно сопровождаться комплексным чертежом с указанием масштаба, как это принято в архитектурных проектах.
Выполнение картины или рисунка с натуры, вычерчивание чертежа — длительная работа, требующая большого внимания, а, если речь идет о произведении изобразительного искусства,—• таланта, одаренности.
Не удивительно, что уже давно возникла мысль о «механизации» этого процесса. Всевозможные виды изображений занимают столь значительное место в жизни, что вполне естественно прийти к мысли о создании специальных аппаратов, которые могли бы выполнять эту работу быстро и точно.
Каждый предмет, как известно, отражает световые лучи, благодаря чему и становится видимым. Если мы поставим перед предметом лист чистой бумаги, то световые лучи, казалось ,бы, должны воспроизвести на нем очертания предмета даже при отсутствии прямого солнечного или искусственного освещения. Между тем этого не происходит. В чем тут дело? Причина в том, что каждая точка предмета отражает лучи света во множество направлений.
СВЕТОВОЙ ХАОС
Кончик карандаша, лежащего на столе, мы можем увидеть из различных мест комнаты, пока что-нибудь его не заслонит от нашего взгляда. Одной из причин этого является тот факт, что сама точка предмета отражает не один, а множество лучей рассеянного света, падающих на нее с различных направлений. А что такое рассеянный свет? В »ущности, это множество где-то и как-то отраженных и преломленных лучей солнечного света. Перед тем, как попасть в окно вашей комнаты, прямые лучи солнца многократно отразились от облаков, пылинок, плавающих в воздухе, от земли, деревьев, от стен соседних зда--ний. Эти отраженные лучи в беспорядке ворвались в проем вашего окна и снова, много раз отразившись от каждого из
Рис. 116. Ход световых лучей в камере-обскуре
находящихся в комнате предметов, создали тот невообразимый хаос, который мы называем дневным светом.
Вы ничего не могли увидеть на листе бумаги потому, что он был освещен бесчисленным множеством всевозможных отраженных лучей, пронизывающих пространство во всех направлениях. На каждую точку бумаги попали лучи, идущие от бесконечно большого числа то
чек самого предмета и других предметов, окружающих его. Нужно убрать все ненужные лучи, оставив только те, которые нарисуют на бумаге нужное нам изображение. Задача эта кажется совершенно невыполнимой.
Можно ли создать аппарат, который произвел бы подобное упорядочение лучей и позволил бы нам создать изображение без помощи наших рук? Да, ответит читатель, такой аппарат есть. Это—- фотокамера.
У нынешней фотокамеры был свой предшественник, исключительно простой по устройству. Им пользовались в свое время художники. Речь идет о камере-обскуре, простом ящичке в стенке которого проделано небольшое отверстие. Схема ее приведена на рисунке 116. Она вполне обеспечивала решение основной задачи — упорядочение отраженных световых лучей. На схеме видно, что луч, отраженный от точки А, мог пройти только одним путем в строго определенную точку к задней внутренней стенке камеры, не смешиваясь с другими. Лучи, отраженные от других частей предмета, в эту точку попасть уже не могли. Любой другой луч, например от точки В, также попадал на предназначенное для него место на задней стенке. Все лучи
встречались в отверстии стенки, а дальше расходились своими путями, соблюдая прямолинейность своего пути, до тех пор, пока, встретив экран, не образовывали на нем уменьшенное и перевернутое изображение предмета.
Несомненно, мы имеем здесь дело с одной из разновидностей центральной проекции с той лишь разницей, что центр проекций расположен не по одну сторону от оригинала и картинной плоскости, а между ними. Изображение возникало чисто оптическим путем, без использования графических методов, соз-
данных человеком, хотя никаких специальных оптических приспособлений в камере не было. Таков был предок современного фотоаппарата. Если бы в то время были известны химические свойства светового луча и способы создания светочувствительных составов, задача получения фотоснимка могла быть решена уже тогда, не ожидая XIX века.
Чем же отличается фотокамера от камеры-обскуры? Прин
ципиально они устроены одинаково, с той лишь разницей, что вместо маленького отверстия имеется большое, вмещающее систему оптических линз; добавились сложные механические устройства затвора, открывающего и закрывающего это отверстие, всевозможные дополнения, диафрагмы, видоискатели, приспособления для фокусировки, продвижения пленки и т. д. Суть осталась та же. Сверкающий никелем и лаком блестящий «потомок» камеры-обскуры продолжает оставаться ящичком с отверстием в передней стенке.
Сложные линзы, упорядочивающие ход световых лучей, делают то же, что оказалось под силу просто маленькому, булавочному отверстию. Для чего же они нужны? Дело в том, что сквозь крохотное отверстие камеры-обскуры проникало слишком мало лучей. От каждой точки предмета в камеру проникал как бы единственный луч (надо учесть, что термин «световой луч» рассматривается в современной физике как геометрическое понятие). Общее изображение получалось недостаточно ярким. Между тем, как было уже сказано, каждая точка предмета рассеивает вокруг себя множество отраженных ею лучей. Нельзя ли собрать если не все, то хотя бы возможно большее количество этих лучей и направить их в соответствующую точку экрана (фотопластинки или пленки)?
Именно эту задачу и выполняет оптическая линза. Выньте линзу-объектив из аппарата, и через оставшееся отверстие внутрь ящичка снова хлынет хаос световых лучей, который не создаст изображения. Линза обладает чудесным свойством упорядочивать эти лучи на основе законов преломления света. На рисунке 117 показано, что значительный пучок отраженных лучей, исходящих от каждой точки фотографируемого предмета, линза собирает вместе и направляет в строго определенную точку задней стенки фотокамеры. Таким свойством обладает
Рис. 117. Получение изображения с помощью двояковыпуклой линзы
обычное двояковыпуклое стекло. Резко увеличив количество световых лучей, образующих изображение, удалось значительно усилить его яркость. А это имеет первостепенное значение в процессе фотосъемки. Когда мы говорим о светосиле объектива, речь в сущности идет о «количестве» световых лучей, образующих каждую точку изображения на негативе.
Обходя все подробности, связанные с устройством современных, весьмй совершенных фотокамер, мы можем установить одно: изображение создается в них не воображаемыми проецирующими лучами, а реальными отраженными и преломленными лучами света. В создании изображения участвуют'законы оптики и химии, но характер его подчиняется общим законам проекций, в данном случае центральной, проекции. Этим же законам подчиняется и изображение, возникающее в наших глазах, где роль линзы-объектива играет хрусталик.
Обычный фотоснимок является наиболее совершенным по точности изображением. Но прежние фотографии были лишены движения и естественных цветов натуры. Как мы знаем, ныне преодолены и эти недостатки. Изобретение кинематографа обогатило фотографию движением, химия — способностью передавать цвет. Из синтеза ряда научно-технических достижений возникло телевидение, еще более расширившее могущество человека. Сказка сделалась явью.
Как воспроизводит окружающее объектив фото- или кинокамеры? Кинофильм, который мы смотрим на обычном экране, строго говоря, соответствует тому, что мы увидели бы в натуре, рассматривая ее одним глазом. Он не воспроизводит глубину пространства, которую мы ощущаем, смотря двумя глазами.
И хотя мы смотрим фильм также двумя глазами, этот недостаток сохраняется. В каждом из двух глаз, которыми мы располагаем, возникает, строго говоря, не полностью одинаковое изображение. Два глаза — это два центра проекций, дающие два различные изображения. В нашем сознании оба изображения сливаются в одно, обладающее свойством объемности, стереоскопичности.
Этим свойством сознания воспользовались изобретатели стереоскопических рисунков и фотографий уже давно. Для получения эффекта объемности поставленные рядом две фотографии или рисунка, обладавшие некоторыми различиями, необходимо было рассматривать через специальные очки, причем каждый глаз видел только предназначенное для него изображение. Этот же принцип был использован и в стереоскопическом кинематографе (стереокино) с помощью различных технических средств: в одном случае применялся специальный экран сложной конструкции, на котором совмещались оба изображения, как бы накладываясь друг на друга, но не сливаясь. Такой кинофильм смотрели без очков, но достаточно было несколько отклонить голову от нужного положения, и эффект
неожиданно исчезал. На смену ему пришло стереокино, в котором использовалось явление поляризации света. Этот фильм следовало смотреть через специальные очки, снабженные двумя различно поляризованными прозрачными пленками. Они разделяли изображения кинофильма, проецируемые двумя кинопроекторами через два различно поляризованных светофильтра, и посылали в каждый глаз только предназначенный для него кадр.
Замечательные изобретения послевоенных лет: оптический квантовый генератор — лазер — и созданный на основе его особый способ получения объемных изображений — голограмм — сулят в ожидаемом будущем появление нового вида объемного кино. Но эта тема выходит за рамки нашей книги.
Поиски наиболее выразительных средств для кино, создающих эффект полной реальности происходящего на экране, за последние десятилетия были осуществлены созданием широкоэкранного, широкоформатного и панорамного кино. Результаты этих изобретений, история поисков в этом направлении, преодоление возникавших трудностей на основе применения новой техники — все это, с нашей точки зрения, которую можно назвать условно проекционной, представляет большой интерес. Разработка новых разновидностей кинематографа представляет собой в сущности волнующие эпизоды борьбы с непреклонными законами проекций, 'направленные на то, чтобы подчинить их заранее намеченной цели, поставить их на службу достижению наибольшего зрительного эффекта от демонстрации фильма.
Но сначала рассмотрим те преимущества, которыми располагает обычный, «одноглазый» кинематограф, лишенный свойства стереоскопичности, поговорим о том, как он эксплуатировал этот свой органический недостаток для своей же пользы.
ПЕРСПЕКТИВА ОБМАНЫВАЕТ
У известного американского писателя прошлого века Эдгара Аллана По есть рассказ под названием «Сфинкс». Герой этого рассказа, находясь у приятеля на даче и смотря из окна на отдаленный холм за рекой, вдруг увидел необычайное чудовище, спускающееся с его вершины, и, охваченный ужасом, потерял сознание. Разгадка оказалась простой. По паутинке за стеклом окна спускалась бабочка, относящаяся к роду «сфинкс», на груди которой имеется узор, напоминающий человеческий череп.
Герой рассказа увидел бабочку на фоне далекого холма и успел до падения в обморок оценить ее кажущиеся гигантскими размеры. Он пал жертвой неосознанных им законов перспективы, согласно которым размеры предмета (точнее, угол зрения, под которым виден предмет) увеличиваются по мере приближения его к наблюдателю.
Могло ли описанное случиться в действительности? У человека с нормальным бинокулярным зрением (зрение двумя глазами) такое явление не должно наблюдаться, так как именно наличие двух глаз создает стереоскопический эффект. Герой рассказа должен был видеть, что бабочка, рассматриваемая на фоне холма, сама находится в непосредственной близости от наблюдателя. Писатель умалчивает о недостатках зрения своего героя. Быть может, он видел лишь одним глазом? Впрочем, бывают ситуации, когда и бинокулярное зрение способно вдруг, «отказать» и повлечь за собой подобную же ошибку. Сознание может неправильно истолковать увиденное, например, под влиянием соответствующего настроения. Писатель не подчеркивает того обстоятельства, что герой рассказа уехал на дачу из Нью-Йорка, спасаясь от вспыхнувшей там ужасной эпидемии холеры. Значит, сознание его было угнетено обстоятельствами и способствовало возникновению неправильного представления.
Но ведь обычный кинематограф обладает одним «глазом», объективом съемочной камеры. В этих условиях естественно возникает возможность воспользоваться эффектами, порождаемыми свойствами центральной проекции — перспективы. И эти свойства кино начало использовать с первых лет своего существования. В те годы съемка производилась как в натуре, так и в павильонах (так она ведется и сейчас). При павильонных съемках широко использовались декорации в натуральных масштабах, при натурных съемках некоторые элементы оформления также сооружались в натуральную величину. Это стоило дорого. Перспектива пришла на помощь создателям кинофильмов. Был разработан принцип так называемого перспективного совмещения, позволивший при минимальных затратах осуществить эффект, напоминающий то, о чем писал Эдгар По.
Вот один пример. Для съемки фильма «Золотой ключик» необходимо было заснять сцену высадки пассажиров сказоч-
0) < 6)
Рис. 118. Применение перспективного совмещения при киносъемке
лан и Людмила», выполненный с помощью перспективного совмещения исполнителей
ного воздушного корабля на площади. Постройка макета корабля в натуральную величину обошлась бы слишком дорого и заняла много времен ни. Был построен лишь небольшой макет корабля, который и устанавливался (подвешивался) перед кинокамерой на небольшом расстоянии (рис. 118,а). Снятый на фоне площади, но расположенный на переднем плане, он производил впечатление большого корабля. Но как показать высадку пассажиров? Для этого в макете было прорезано «окно», а на площади за макетом
был сооружен в натуральную величину лишь кусок борта с трапом, по которому спускались люди. Кинокамера через «окно» снимала спуск людей, которые фактически находились на соответствующем удалении от макета и, совмещаясь сним на снимке, казались спускающимися с большого воздушного корабля. Разумеется, при этом необходима была высокая точность совмещения натуры с макетом. Подготовка макетов и размещение их на фоне натуры на съемочной площадке предварительно точно рассчитываются.
Еще более необычайный эффект позволяет создать перс- . пективное совмещение живых исполнителей. Этот прием также использовался в «Золотом ключике», где его героев и кукольных персонажей изображали обычные актеры. По этому же принципу была снята сцена встречи Руслана с Головой в фильме «Руслан и Людмила» (рис. 119). Актв$>, игравший Голову, находился вблизи камеры, а исполнитель роли Руслана на коне— на нужном удалении. В результате Голова, показанная крупным планом, оказывалась в кадре в несколько раз больше фигуры Руслана с конем, расположенной дальше от объектива кинокамеры. Конечно, если бы Руслан, разговаривая с Головой, смотрел на него, он должен был повернуться лицом к камере, и тогда неестественность такой позы бросалась бы в глаза. И Руслан во время разговора должен был, стоя в профиль, смотреть вперед. А в фильме получилась естественная сцена разговора двух героев.
ЭКРАН РАСТЕТ В ШИРИНУ
Еще на заре развития кинематографа было замечено, что эффект кинозрелища страдает от ограниченных размеров экрана, которые определялись в свою очередь размерами кадра, получавшегося на кинопленке. Уже в те годы некоторые
режиссеры пробовали применить новые технические способы киносъемки, с тем чтобы увеличить размеры экрана в ширину, увеличить угол зрения, под которым зритель видит его, и, вовлекая зрителя в происходящее на экране, как бы заставить его почувствовать, что он находится в самом центре разыгрывающихся событий. Впоследствии это получило название «эффекта участия» или «эффекта присутствия», ради достижения которого предпринимались эти попытки.
Но то, что вследствие несовершенства техники не удалось осуществить в те годы, было с тем или иным успехом осуществлено значительно позднее. В послевоенные годы советские кинозрители получили возможность видеть фильмы широкоэкранного кино. Зритель видит происходящее уже не через сравнительно узкое окно экрана старого типа, а вынужден даже поворачивать голову, чтобы увидеть детали действия, происходящего на широко раскинувшемся экране. Вместо отношения сторон кадра как 1 : 1,37, которым располагал обычный кинематограф, на широком экране это отношение достигло уже величины 1 :2,55. При этом экран стал криволинейным, приближаясь к цилиндрической поверхности, позволявшей охватить значительно больший угол зрения. Небезынтересно отметить, что для съемки такого фильма не пришлось вносить радикальных изменений в сложившуюся технику киносъемок. Оказалось возможным использовать даже обычную кинопленку шириной 35 мм. С помощью особого, оптического прибора — анаморфотной приставки — изображение сужается до размеров обычного кадра, хотя зафиксированный на нем вид превышает по углу зрения обычный в отношении 2,55 : 1,37. Читатель, знакомый уже с термином «анаморфоз», поймет сущность достигнутого эффекта, пример которого показан на рисунке 120. Надо только учесть, что он получается не с помощью особых зеркал, а применением специальной линзы. При демонстрации фильма установленная на кинопроекторе подобная же приставка развертывает кадр по ширине, доводя его
Рис. 120. Суженное и развернутое с помощью анаморфотной приставки изображение кадра широкоэкранного фильма
до требуемых размеров. Оптические «чудеса» обладают свойством обратимости.
Увеличение экрана в ширину вызвало определенные последствия. Возникли особые трудности в создании оптических объективов с большой шириной охвата пространства (широкоугольных). Появились и специфические перспективные искажения субъективного происхождения, связанные с восприятием широкого кадра зрителем, занимающим боковые места.
Мы говорили выше об искажениях, присущих перспективному изображению. Но правильно ли утверждать, что перспектива искажает? Ответить на вопрос не так просто. Дело в том, что само понятие «искажение» нуждается в уточнении. Существуют объективные искажения, присущие каждому виду проекций. Однако это вовсе не означает, что зритель, воспринимая изображение, ощущает эти искажения. Они для него чаще всего не существуют. Рассматривая грамотно сделанный фотоснимок, он не увидит чисто перспективных 'искажений, ибо объектив фотокамеры «видит» окружающее точно так же, как человеческий глаз. Со сложностями, которые привнесли в снимок законы перспективы, человек столкнется только тогда, когда попытается определить размеры изображенных на нем предметов и расстояния между ними.
Но существуют и субъективные искажения, которые чаще всего зависят от расположения точки зрения, с которой рассматривается изображение. Художники столкнулись с этой проблемой давно. Она возникла при попытке раскрыть законы построения изображений на больших полотнах. Крупное полотно, выполненное по правилам линейной перспективы, рассматриваемое зрителем с близкого расстояния, производило не то впечатление, какое можно было ожидать. Фигуры и предметы, расположенные по бокам картины, воспринимались со значительным искажением пропорций точно так же, как это происходит на неудобных боковых местах в кинотеатре.
Это привело к необходимости соблюдать одно важное правило: картина должна рассматриваться с той точки зрения, в которой находились глаза художника, выполнявшего ее. Зритель, находящийся вне этой точки, в зависимости от степени удаления его от картины, будет воспринимать изображение в искаженном виде, причем этот дефект увеличивается особенно при рассматривании картин больших габаритов. На основе этого положения были разработаны правила рассматривания картин, фотографий, определены лучшие места в зрительных залах кинотеатров.
Угол зрения, под которым следует рассматривать картину, не должен превышать, как правило, нормального угла зрения человека (примерно 30—35°). Но это еще не все. В природе линейной перспективы заложена еще одна особенность, влекущая за собой при известных условиях появление субъективно
воспринимаемых искажений. Эта особенность связана с тем, что изображение, полученное по законам линейной перспективы, не полностью тождественно тому, что мы видим своими глазами. Линейная перспектива проецирует окружающее на картинную плоскость, и это порождает явления, расходящиеся с тем, что мы наблюдаем в действительности. Пока мы рассматриваем изображение под'углом зрения, близким к нормальному, эти особенности перспективы как бы завуалированы. Иное дело, когда изображение охватывает сильно увеличенный угол зрения. Тогда неизбежно возникают субъективные искажения, связанные с положением зрителя относительно картины или экрана кинотеатра.
Вернемся к рисунку 115, где мы строили перспективу части ограды. Для этой цели был использован один из имеющихся на чертеже вариант расположения картинной плоскости К(. Но возможно и иное расположение картины, в частности, положение К2, где картина расположена параллельно передней линии столбов ограды, причем изображение на ней воспроизводится и в той части, где лучи зрения, идущие от наблюдателя, падают на картину под острыми углами, все более уклоняющимися от прямого. . Сравнивая положение картины Ki с Кг, мы отчетливо видим эти различия в углах, образуемых лучами зрения с плоскостью обеих картин. Как же это обстоятельство сказывается на полученном изображении?
Изображение, полученное в этих условиях, усугубленное к тому же повышенным углом зрения, выглядит неестественно, уродливо (рис. 121). Это относится к правой части перспективы, где отклонение лучей зрения от прямого было наибольшим. Боковые грани столбов чрезмерно растянуты, пропорции их искажены. Сечение столбов кажется прямоугольным, а не квадратным. Равная высота столбов, несмотря на удаление их от наблюдателя, уместная при параллельном проецировании, здесь воспринимается как серьезный дефект.
И сколько бы мы ни продолжали картину вправо, сколько бы столбов на ней ни изобразили, эти искажения будут нарастать и раньше всего перестанут просматриваться промежутки
между столбами. Из плана на рисунке 115, а видно, что крайний правый столб ограды расположен дальше от наблюдателя, чем крайний левый. Между тем на картине К2 правый столб оказался выше левого. Эти противоречивые явления воспринимаются зрителем, рассматривающим картину с произвольной точки зрения, например нам с вами, читатель, рассматривающими рисунок в книге. И только один наблюдатель не увидит этих чудовищных искажений, только он сочтет рисунок совершенно естественным и правдивым и не разделит наших с вами сомнений. Это наблюдатель Нъ позиция которого отмечена на рисунке 115, а, с точки зрения которого и была построена воспроизведенная здесь картина. Только для него каждая точка картины сольется с реальной пространственной точкой, с точкой-оригиналом настоящей ограды, стоящей перед ним. Представьте себе, что картинная плоскость К2 прозрачна и на ней обведены с позиции наблюдателя Hi просвечивающие контуры ограды. Естественно, что точки изображения будут сливаться в глазах наблюдателя с реальными точками ограды, и искаженного восприятия здесь возникнуть не может. Если бы рисунок 121 можно было сильно увеличить и рассматривать его с позиций, соответствующих расположению наблюдателя Hi (определенных с учетом масштаба), вы также не увидели бы никаких искажений.
В жизни, рассматривая картину больших размеров, мы не можем заниматься отыскиванием этой таинственной точки. Рассматривая, же картину со случайной точки зрения, мы увидим искажения, которые исчезнут только с нашим переходом на новое место в поисках лучшей позиции для рассматривания этой картины. И художники, работавшие над картинами больших размеров, охватывающими большой угол зрения, давно искали способ преодолеть этот недостаток. Чаще всего они искусно отступали от строгих правил перспективы, при выполнении одного и того же полотна применяли несколько точек зрения. Такой прием, в частности, применил Рафаэль ST картине «Афинская школа», Пабло Веронезе в картине «Брак в Кане Галилейской» и многие другие художники. Делалось это, однако, с большим искусством, так что неискушенный зритель не замечал отступлений от правил. И только строгий геометрический анализ картины позволял обнаружить те группы элементов картины, которые были изображены с различных точек зрения и которые, строго говоря, не согласовывались друг с другом. Одним словом, если такая картина бкла бы написана с натуры, то, сравнивая картину с натурой/зритель бы несомненно заметил отклонения, допущенные и тщательно замаскированные художником.
Подобные приемы широко применялись и при создании различных фресок во дворцах, зданиях общественного назначения, храмах. Рассматривая значительное по протяженности изобра
жение, зритель передвигался вдоль него и с каждым шагом видел его в другом ракурсе, с другой точки зрения. Нетрудно представить себе, какие чудовищные искажения возникли бы перед ним, если бы вся фреска была написана с одной точки зрения, из одного центра проекций. Эти особенности и переданы в более элементарной форме на рисунке 121. Поэтому художники и вынуждены были прибегать к нарушению строгих правил соблюдения единого центра проекций, который^теперь уже не был твердо зафиксированной точкой, а как бы передвигался вместе с самим художником вдоль всего протяжения длинного полотна или фрески.
Но широкоэкранный фильм располагает все же только одним центром проекций, ибо снимается одним объективом. И поэтому зритель, рассматривающий экран сбоку или на слишком близком расстоянии, воспринимает искажения субъективно. И тогда пришла мысль о возможности создания кинофильма, снятого из нескольких центров проекций. Это намерение позволило еще более успешно достигнуть «эффекта присутствия», но вместе с тем обнаружило такие явления, которые (опять-таки с проекционной точки зрения) представляют определенный интерес.
ЧУДЕСА ПАНОРАМЫ
А что если заменить экран с загнутыми на зрителя краями, на экран цилиндрической формы, охватывающий возможно больший угол зрения? Преимущества такого экрана бесспорны. На рисунке 115,а показана и цилиндрическая картинная поверхность (Аз)- Рассматривая ее расположение, можно убедиться, что лучи зрения, проведенные от наблюдателя, находящегося в центре, падают на поверхность экрана под прямыми углами. Следовательно, изображение будет восприниматься без заметных искажений.
К цилиндрической картине и прибегали художники, создавая живописные панорамы. Известные Севастопольская панорама и панорама Бородинской битвы, находящаяся в Москве, представляют собой кольцеобразно замкнутые полотна цилиндрической формы. Зритель рассматривает панораму с круглой площадки, мешающей ему приближаться на очень короткое расстояние к полотну. Панорамы охватывают весь видимый горизонт, и обычно изображение делается с определенной точки стояния. Это производит большое впечатление на зрителей. Естественности восприятия способствует и передний предметный план, находящийся перед полотном. Он превращен в декорацию. Это как бы реальный участок земли, на котором развертывается сражение. Вы видите предметы боевой обстановки: разбитую пушку, бревенчатый накат землянки, предметы солдатского снаряжения и пр.
Рис. 122. Построение перспективы прямых линий на цилиндрической картинной поверхности
Несмотря на динамичность содержания картины, изображение, конечно, неподвижно. Представьте себе, что вдруг пано-рама% ожила, небо осветилось вспышками пушечных залпов, полки двинулись в атаку...
Именно это и происходит в панорамном кинематографе.
Он, конечно, заимствовал форму своего экрана от полотен живописных панорам, которые позволяют избежать специфических искажений, свойственных плоским картинам, и не так чувствительно «отзываются» на перемену зрителем точки зрения. Ведь только при цилиндрической форме экрана можно достигнуть того положения, когда предметы, равноудаленные
Рис. 124. Площадь Свердлова в Москв
от наблюдателя в горизонтальном направлении, подчиняются одному и тому же закону сокращения размеров. А ведь нарушение этого закона в линейной перспективе было одной из причин искажений, видимых на рисунке 121.
Очевидно, перспектива на цилиндрической картине будет иметь свои особенности, отличающие ее от перспективы на плоскости. Да, это так. Посмотрите на рисунок 122, где на элементарном примере показано получение изображения такого рода.
Перед наблюдателем проходит линия железной дороги и цепочка столбов телеграфа. Картина задана как половина цилиндрической поверхности. Справа показано развернутое в | плоскость полотно после выполнения на нем изображения. Прямые рельсы изобразились на нем кривыми линиями. В линейной перспективе мы показали бы их прямыми, пересекающимися в точке схода. Здесь же имеются две точки схода: справа и слева, как раз на-концах развернутого полукольца. Соответственно этой закономерности изобразились и линия верхушек телеграфных столбов, проволока на столбах. Прямой осталась лишь линия горизонта. Горизонтальные прямые, расположенные ниже горизонта, выгнулись- и обращены выпуклостью вниз, выше горизонта — выпуклостью вверх.
Как это получается?
Показать причину указанного явления средствами начертательной геометрии несложно, как в этом можно убедиться. На рисунке 123 в двух проекциях изображена боковая поверхность половины цилиндра, что примерно соответствует форме экрана панорамного кинотеатра. Вместо профильной проекции дана' развертка полуцилиндра.
Пусть линия ab на виде сверху изображает железную дорогу, точка С в центре Цилиндрической поверхности — положение съемочной камеры или художника. Высота точки зрения отмечена точкой с' на виде спереди.
сфотографированная панорамной фотокамерой
На виде сверху построим проекцию луча зрения, направленного на точку Ё железной дороги. То же самое сделаем на виде спереди. Спроецируем точку пересечения луча зрения с цилиндрической поверхностью на горизонтальной проекции вверх до пересечения с фронтальной проекцией того же луча. Мы получим точку ер Ясно, что в том же месте изобразится и проекция другой симметричной точки h\.
Возьмем другой луч СК, направленный перпендикулярно к линии железной дороги. На виде сверху точка пересечения проекции этого луча с цилиндрической поверхностью изобразится точкой К\. Расположение точек на фронтальной проекции становится ясным. Чем более удалена от центра проекций (кинокамеры) лежащая на земле точка, тем выше будет располагаться она на картине. Удаленная в бесконечность, она достигнет линии горизонта, что и произошло с точкой F.
Если по правилам проекционного соответствия мы перенесем найденные точки на развернутую поверхность полуцилиндра, то получим характерную кривую, знакомую из курса черчения. Это развертка края цилиндра, срезанного наклонной плоскостью. Такую плоскость образовывали лучи зрения кинокамеры, проведенные ко всем точкам железной дороги. Они образовали на свернутом полуцилиндре половину эллипса, которая после развертывания стала участком синусоиды. Лучи, проведенные к крайним (дальним) точкам железной дороги, стали точками схода, а лучи зрения, образующие их, стали параллельны линиям натуры. Если бы мы повторили такце построение для линий, расположенных выше горизонта, то полученная кривая была бы обращена выпуклостью вверх, как это мы видим на рисунке 122 (линия верхушек столбов и проводов).
Конечно, зритель, который смотрит панорамный фильм в кинотеатре, этих явлений не увидит, так как перед ним находится цилиндрический экран, а не его развертка. Но если бы удалось зафиксировать изображение на'экране, а затем развернуть его,
мы увидели бы превращение линии, казавшейся ранее прямой, в кривую, показанную на рисунке 123. Нечто подобное можно проделать и в более скромных масштабах.
На рисунке 124 изображена площадь Свердлова в Москве, сфотографированная, специальной панорамной фотокамерой, имеющей большой угол охвата окружающего пространства по ширине. Здесь ясно выразились особенности, отличающие панорамные изображения. Прямая линия улицы выгнулась дугой. Автобус, расположенный слева, движется на фотографа, автомобиль справа развернут под углом к нему же. Между тем обе машины движутся по одной прямой.
Если этот снимок увеличить и свернуть полукольцом, а затем рассматривать его из центра полученного полукольца, все будет восприниматься по-иному. Улица выпрямится, и машины будут мчаться мимо, по одному направлению. Искажения возникли потому, что мы развернули цилиндрическую картину на плоскость.
Но художник, желающий написать панорамную картину, готовит ее на плоском полотне. И ему приходится учитывать необходимость соответствующего искривления прямых в натуре линий, с тем чтобы потом его картина воспринималась естественно.
Остается заметить, что выше мы допустили условность, принимая полотно железной дороги за одиночную прямую линию. В принципе положение не изменится, если вместо одиночной линии на' картинную поверхность будет спроецирована группа параллельных линий (рельсы, края шпал, бровки насыпи и т. п.).
Но не лучше ли сменить отвлеченные рассуждения живым примером?
ЭФФЕКТ ПРИСУТСТВИЯ
Первый в СССР панорамный кинотеатр «Мир» открылся в Москве в 1958 году. Он открылся демонстрацией фильма «Широка страна моя», само название которого соответствовало характеру кинозрелища.
Фильм начинался кадрами стремительной поездки на легковом автомобиле. В первое мгновение казалось, что стены зала внезапно раздвинулись, вынеся нас на широкий простор подмосковного шоссе. Ощущение естественности сразу поглощало зрителя, его захватывала стихия .быстрого движения, иллюзия личного участия в поездке, эффект присутствия.
Созданию иллюзии способствовало и звуковое стереоскопическое сопровождение. В разных точках зала размещалось 120 репродукторов. И когда сбоку проносился товарный состав, зритель слышал, как перемещался стук колес, минуя его и затихая где-то сзади. Фильм давал возможность испытать
ощущения, связанные с поездкой на электропоезде, катере, с подъемом в кабине строительного крана и, наконец, в полете на самолете над горной грядой. И когда самолет нырял в долину между горами и вновь взмывал над вершиной, зритель, сидящий в покойном кресле кинотеатра, внезапно начинал ощущать легкие признаки настоящей «воздушной» болезни.
Фильм «Широка страна моя» снимался одновременно на трех пленках с помощью трех объединенных в агрегат кинокамер, .разделивших на три части широкий пояс горизонта. Демонстрация фильма также велась из трех точек тремя синхронно работающими кинопроекторами. Вогнутый экран разделен был между проекторами так, что на каждый его участок проецировалось изображение от одного из проекторов (рис. 125).
Для создания такого зрелища пришлось преодолеть немало трудностей. Была разработана новая оптика, фокусирующая изображение не на плоскость, как это имеет место в фотокамере или в камере обычного khhq, а на цилиндрическую поверхность. Объективы объединенных в один агрегат трех киносъемочных
Рис. 125. Демонстрация панорамного фильма тремя проекторами
Слепые зон ы
Рис. 126 t
Блок трех камер
Перекрытие углов зрения соседних объективов (*2°^
возможных стыков,
камер располагались под углом в 48° друг к другу (рис. 126). При этом каждый объектив охватывал угол зрения в 50°, и общий угол зрения агрегата приближался к 150°. В действительности он оказывался несколько меньшим, так как на двух стыках трех участков изображения несколько накладывались друг на друга, иначе в этих местах мог бы возникнуть просвет, что нарушило бы цельность изображения. Но при всем желании скрыть от зрителей места стыков, сделать это так и не удалось.
Художник-мастер, повелевающий кистью, без труда может писать картину, нарушая правило единого центра проекций. Кисть скрадывает места разделенные ими участки изображения
плавно переходят друг в друга. Обнаружить участки, написанные из разных центров, можно только в результате тщательного геометрического анализа картины.
Решение этой проблемы средствами оптической техники оказалось значительно труднее, несмотря на множество усилий, направленных на эту цель. Прежде всего оказалось, что места стыков, эти узкие вертикальные полосы, разделяющие изображение на три части, освещались одновременно двумя проекторами и поэтому выглядели более светлыми по сравнению с остальными частями изображения на экране. Были разработаны специальные «гребенки», быстро вибрирующие на участках стыков и несколько затемняющие их. Обнаружилось неприятное явление взаимного смещения по вертикали каждой из трех частей кадра, возникающее от мельчайших колебаний быстро работающих проекторов, от микронных отклонений перфорационных отверстий самой кинопленки, которая продвигается лентопротяжным механизмом толчками. Такие микронные отклонения, многократно увеличенные при демонстрации фильма на огромный экран, уже воспринимались зрителем.
Но это была еще далеко не вся плата за попытку покорить коварные свойства центральной проекции.
ЗОНА «СЛЕПОТЫ»
Описанные дефекты, возникавшие в процессе демонстрации панорамного фильма, еще не являлись органическими пороками самого принципа совмещения в одном изображении кадров, заснятых с разных точек зрения, центров проекций. Так или иначе эти дефекты можно было устранить средствами техники.
Но новому зрелищу был присущ и еще один, уже чисто органический недостаток, на преодоление которого затрачивалось также немало усилий и который поэтому оставался в общем незаметным для зрителя. В действительности преодолеть этот недостаток оказалось невозможным, но его удалось лишь максимально замаскировать. В чем же он заключался?
Рассматривая схему взаимного размещения полей зрения трех объективов на рисунке 126, можно заметить заштрихованные участки, расположенные на определенных расстояниях от камер. Это зоны «слепоты» панорамной камеры, которые мы на экране не замечаем, как не видим «слепого пятна» в собственных глазах, хотя оно существует. Между тем предмет, находящийся в этой зоне и, казалось бы, охватываемый общим полем зрения агрегата, не будет зафиксирован на пленке и не появится на экране. Если в процессе съемки человек или автомобиль в движении вошли в эту зону, они неожиданно исчезнут с экрана. На рисунке ясно видно, что заштрихованные зоны в действительности остаются вне поля зрения каждой из трех камер съемочного агрегата.
Естественно, что при съемке фильма режиссеры и операторы были вынуждены учитывать это обстоятельство и не располагать в этих зонах исполнителей и элементы декораций. Рисунок 127 воспроизводит кадр, который может получиться, если оператор не учтет возможные последствия присутствия объекта в слепой зоне. Мы видим, что на стыке в лв^юй части
изображения срезана часть здания. Оно находилось за поверхностью фокусировки, показанной в виде полукруга на рисунке 126. Исчезнувшая его часть принадлежит к «слепой» зоне.
В правой части того же рисунка 126 показана в упрощенной форме иллюстрация другого, не менее «коварного» свойства строенной кинокамеры. Изображенный здесь пионер находился довольно близко от камеры, настой съемочной площадке, которая на рисунке 126 отмечена буквой Д (двойной кадр)
Рис. 127
и имеет форму треугольника. Предмет, находящийся на этом участке, будет заснят одновременно двумя объективами и затем дважды спроецирован на один и тот же участок экрана. При этом его изображения не будут точно налагаться друг на друга. Здесь в зону двойной экспозиции попала левая рука пионера и оба изображения ее на экране не совместились.
Причина этих явлений заключается в том, что три объектива расположены на некотором расстоянии друг от друга, а не совмещены в одну точку, что выполнить технически невозможно. Поэтому углы зрения каждого объектива сначала перекрывают границы соседнего сектора, а затем расходятся с ним. Двойное изображение предмета не может совершенно совпадать в одно потому, что оба объектива рассматривали ту же руку пионера не с одной, а с двух разных точек зрения (центров проекций), хотя и незначительно, но все же разделенных друг с другом.
Анализируя характер проекций, мы в данном случае отметим необычное явление: наличие трех точек зрения и картинной поверхности, составленной из трех частей. Наконец, у панорамной камеры есть еще одно «опасное» место. На рисунке 126 оно представлено неправильным четырехугольником с буквой Т. Предмет, находящийся в этой зоне, будет снят тремя объективами, и на экране мы увидим его трижды: слева, в центре и справа. Правда, зона Т, как и зона Д, находится в непосредственной бли-
зости от камеры, перед поверхностью фокусировки, и полученные таким образом изображения будут находиться не в фокусе.
Иная особенность строенной камеры панорамного кино обнаруживается при съемке камерой, имеющей наклон вперед. Если сфотографировать низ здания наклоненной вперед кинокамерой, То окажется, что горизонтальные линии здания на крайних кадрах будут изломаны и составят заметный угол с горизонтальными линиями цент-
ЗАДАЧА
рального кадра. Это естественное следствие, вытекающее из особенностей перспективы с наклонной картинной плоскостью._ На рисунке 128 показан возможный результат съемки с наклоном камеры. Даны два варианта «излома» горизонтальных линий. В связи с такими явлениями кинооператоры панорамного кино производили съемку фронтально протяженных объектов только при строго горизонтальном расположении камер.
65*. Какое изображение — верхнее или нижнее — получится при съемке наклоненной вперед камерой (рис. 128)? Ответ можно дать без построения, на основе знания элементарных свойств перспективы.
Но у панорамного кино есть свои сильные приемы воздействия, производящие большое впечатление на зрителей. Это — съемка во время движения, а также съемка движущихся объектов. Если удачные кадры «плоского» кино достигают высокого эффекта, то неизмеримо глубже действует на зрителя тот же эффект панорамного кино. Это свойство принято называть «железнодорожным эффектом». Рассматривая из окна вагона проносящийся перед вами пейзаж, вы особенно ясно ощущаете глубину пространства. Различная угловая скорость деталей пейзажа, находящихся на разном расстоянии от полотна, усиливает стереоскопичность видимого. Этот эффект заметно проявлял себя в панорамных фильмах.
Итак, картинная плоскость перестала быть плоскостью. Цилиндрическая картина — экран — рассматривается сотнями зрителей, расположенных в разных местах зала. Такого испытания не могла бы выдержать плоская картина, даже если бы охватывала угол, меньший чем 150°. Дем не менее и в зале кинопанорамы есть зона лучших мест. Это места, расположенные в центре зала, под пересекающимися снопами света, которые посылаются тремя кинопроекторами, откуда проводилась съемка.
ЭКРАН-КОЛЬЦО
В 1959 году в Москве открылся кинотеатр «Круговая пано-' рама». Здесь идея охвата зрителя экраном получила свое логическое развитие. Экран имеет форму кольца и разделен по окружности на 11 секций-экранов. Высота каждого отдельно взятого экрана превышает его ширину, но вместе они образуют замкнутое кольцо с узкими промежутками между секциями. Во время сеанса работают одновременно 11 кинопроекторов, заряженных синхронно движущимися одиннадцатью кинолентами. Зрители стоят на круглой площадке, расположенной внутри кольцевого экрана (рис. 129 а).
Рис. 129 а. Демонстрация кинофильма в круговой кинопанораме по методу, разработанному в СССР г
Когда вы смотрите фильм в круговой кинопанораме, вам кажется, что вы находитесь в большом круглом вагоне с огромными стеклами и совершаете стремительную поездку. Почти все сцены в круглопанорамном кино тоже сняты во время движения. «Эффект присутствия» достигает максимальной выразительности. Правда, здесь уже невозможно даже пытаться охватить весь экран взглядом. Угол зрения составляет 360°, т. е. в 10—12 раз больше нормального. И не раз во время демонстрации фильма вы будете оборачиваться и смотреть назад, чтобы еще раз взглянуть на уходящий вид или пейзаж.
Специалисты говорят, что большое значение в эффекте панорамного кино имеет периферическое зрение, т. е. способность воспринимать изображение «уголками глаз», на краях зоны нормального угла зрения и за ней. Это способствует возникновению своеобразного стереоскопического восприятия набегающего пространства.
Мы же обратим внимание на другое. В круговой кинопанораме сохраняются все искажения, объективно присущие перспективному изображению, но почти целиком отсутствуют субъективные, связанные с расположением зрителя относительно картины. Это объясняется тем, что при круглом экране каждый участок его воспринимается в оптимальных условиях. Лучи зрения расположены к его поверхностй под углом, близким к прямому, отсутствует возможность образования острого угла
(между ними и экраном. А как мы видели, именно это обстоятельство сопутствовало всем искажениям, видным на рисунке 121.
Но и в круговой кинопанораме центральные места остаются лучшими из возможных, хотя характер восприятия фильма из других точек зрения остается в общем нормальным. Таким образом, цилиндрическая форма экрана й целом оправдала себя полностью, позволила достигнуть полного устранения субъективных искажений восприятия протяженного по ширине изображения. Впрочем, эту особенность, как было отмечено, давно заметили художники, создававшие живописные панорамы (Севастопольскую, Бородинскую и др.) и использовавшие для этой цели цилиндрический экран, огороженную круглую площадку для зрителей, мешавшую им приближаться к полотну во избежание возникновения субъективных искажений, и не оборудовавшие площадку стульями для сидения.
При разработке системы советской круговой панорамы также пришлось преодолеть немало трудностей, с тем чтобы не повторить недостатки аналогичных систем, созданных за рубежом, в том числе «циркорамы», созданной по проекту Уолта Диснея.
•Как видно из рисунка 129 б, съемочный агрегат состоит из расположенных по кругу 11 камер, обращенных объективами наружу. Камеры разделяют видимое пространство на 11 секторов, причем угол зрения каждого объектива равен 32°. Одиннадцать камер «рассматривают» окружающее из одиннадцати центров проекций. Перекрытие полей зрения соседними камерами здесь также неизбежно, как и в строенной камере. Здесь будут и «слепые зоны» и зоны двойной экспозиции, находясь в которых объект не будет заснят или же будет снят одновременно двумя камерами. Рассматривая рисунок 129 в, показывающий схему съемочного агрегата круговой кинопанорамы, мы видим два участка заштрихованных зон. Сравнивая эту схему с рисунком 126, можно видеть, что здесь оси камер расходятся веерообразно, тогда как в строенной камере они пересекались.
66*. Укажите на схеме (рис. 129 в), какие секторы, заштрихованные на схеме круговой кинопанорамы, относятся к «слепым» зонам, а какие — к зонам двойной экспозиции?
Как были ликвидированы в круговой кинопанораме «неприятности», связанные с наличием опасных зон? Кольцевое полотно экрана сделано не сплошным. Одиннадцать экранов отделены друг от друга неширокой черной полосой — рамкой, которая и поглощает возникающие на стыках изобрази-
тельные дефекты. Отсюда и ощущение, что рассматриваешь окружающее как бы через широкие окна круглого вагона.
Есть и еще одна любопытная особенность круговой кинопанорамы. Оператору нельзя стоять за камерой «сзади», как это имеет место при обычной съемке. Один-два объектива камеры обязательно смотрят назад, и стоящий в поле их зрения оператор, несомненно, попадет в кадр. Таким образом, режиссер-постановщик и вся съемочная группа должны находиться либо над камерами, либо под ними. Один из вариантов такого рас-
положения показан на рисунке 129 6, где камеры установлены на крыше автомобиля.
Немало труда пришлось затратить и на разработку способа демонстрации снятого фильма в кинотеатре. Рисунок 130 показывает один из возможных способов демонстрации фильма «на просвет», когда проекторы располагаются вне кольца экрана. Как видно из рисунка, такой способ приводит к увеличению размеров здания кинотеатра, причем полезная часть
Рис. 129 в
его (зрительный зал) составляет сравнительно небольшую долю площади. Другой способ был применен в «циркораме» Диснея (рис. 130,6). Здесь применена гак называемая демонстрация «сквозь диаметр». Проекторы придвинуты вплотную к внешней поверхности экрана и посылают свои лучи через круглый зрительный зал на противоположную секцию экрана. Отверстия для объективов кинопроекторов прорезаются между стыками соседних участков экрана, которые представляют собой вертикальные черные полосы, хорошо видные зрителю. В этом случае экран не может быть сплошным. Большим недостатком «циркорамы» является вытекающая из этого способа необходимость использовать только нечетное количество экранных секций, а следовательно, съемочных камер и проекторов. Это вызывается тем, что против каждого отверстия для объектива (т. е. промежутки между экранами) на противоположной стороне должна находиться середина экрана. Ведь кинопроектор устанавливается против оси противоположного участка экрана. Наконец, зрителям мешает светящийся зрачок кинопроектора, попадающий в поле их зрения.
В системе советской круговой кинопанорамы, разработанной группой специалистов под руководством профессора Е. М. Голдовского, удалось избежать этих недостатков. Успех был достигнут в основном за счет того, что кинопроекторы были подняты над экранами. Это не связывало положение проекторов с промежутками между экранами и таким образом отпало требование о нечетном количестве камер и экранов. При этом зритель уже не видит светящихся объективов проекторов. Способ позволял снизить общее количество съемочных камер и проекторов до 3—4 широкоэкранных камер вместо 11. Решение оставить 11 камер было вызвано лишь возможностями обмена фильмами с зарубежными фирмами. Из предыдущего ясно, что группы сквозных параллельных линий будут иметь в этой системе также две точки схода, причем для каждой груп
пы линий эти точки будут располагать-ся на противоположных концах диаметра (рис. 131).
Кинотеатр «Круговая кинопанорама» работает в Москве на Выставке достижений на-Ь родного хозяйства. Что касается панорамного кино с тремя съемочными камерами, дело обстоит иначе. Объективные трудности, описан-ные выше, так и не были преодолены силами мировой кинотехники. Обойти строгие законы центральной проекции не удалось, и прибли-Рис 131 жение к решению проблемы «эффекта присутствия» было достигнуто иными техническими средствами. Была создана новая кинопленка, имеющая вдвое большую ширину: 70 мм вместо 35. Тем самым отпала необходимость в искусственном сужении кадра с помощью анаморфотной приставки.
Фильм, полученный на такой пленке, называется широкоформатным. Он снимается одной камерой новой конструкции и имеет один центр проекций.
Как показал опыт, принципы панорамного кинематографа не только вступили в некоторое противоречие с законами перспективы; они во многом оказались не соответствующими эстетическим требованиям художественного кинематографа, который далеко не всегда ощущает потребность в «эффекте присутствия» и в огромных масштабах зрелища. Вероятно, в этом одна из основных причин общего охлаждения к поискам новых средств выразительности кино на тех путях, которые были рассмотрены выше.
Будущее покажет, в каком направлении будут продолжены поиски.
Безмерно длинен путь, который прошло человечество со времени появления первых пещерных и наскальных рисунков до наших дней, отмеченных исключительным развитием всевозможных средств для создания и передачи изображений на любые расстояния.
ПО КРИВОЙ ТРАЕКТОРИИ
Остается добавить, что во всех случаях, когда мы строили или получали иным способом проекционные изображения, в качестве исходного положения как непреложная истина принималось условие о прямолинейном распространении световых лучей.
Все частные приемы и методы основывались на этой аксиоме. И это вполне понятно, так как методы параллельного
и центрального проецирования исходили из явлений, наблюдаемых в природе и порождаемых прямолинейными световыми лучами.
Но можно представить себе, что вдруг световой луч изменил своему обыкновению и стал распространяться по кривым траекториям. Уже сейчас осуществлены способы непосредственного наблюдения состояния внутренних органов человека с применением специальных оптических средств, когда изображение перемещается по криволинейным световодам без преобразования его в другую форму информации.
Своеобразную форму приобретают подобные явления в природе.
Искривление световых лучей наблюдается иногда в виде миража, когда световые лучи, проходя через неравномерно нагретые слои воздуха, многократно преломляются и отражаются, меняя свое первоначальное направление. И тогда путешественники в пустыне могут вдруг увидеть перед собой манящий оазис, который в действительности находится далеко за линией горизонта.
С таким явлением столкнулись солдаты наполеоновской армии во время похода в Египет в начале прошлого века. Участвовавший в походе ученый впервые дал правильное научное объяснение происхождению миража. Этим ученым был творец начертательной геометрии Гаспар Монж.
Наконец, могут существовать и другие причины искривле-. ния световых лучей. Создатель теории относительности, известный ученый А. Эйнштейн, указал, что лучи света искривляются под влиянием силы тяготения, сид, гравитации. Впоследствии эта гипотеза была подтверждена экспериментальной проверкой при наблюдении небесных светил. Оказалось, что в тех случаях, когда лучи далеких звезд проходят в сравнительной близости от Солнца, мы видим звезды не совсем в тех точках, где они находятся в действительности. Это — влияние гравитационного поля, создаваемого Солнцем и искривляющего лучи света.
Теоретически можно предположить такой сильный источник гравитационного поля, который образует вокруг себя сферическое пространство, замыкающее в себе световые лучи. Это вызовет сложные явления, внесет коренные изменения в законы образования изображений. При этом аппарат, наделенный таким могущественным полем и замыкающий все отраженные световые лучи «на себя», становится невидимым для окружающих.
Именно такой случай с большим мастерством описан в фантастическом романе польского писателя Станислава Лема «Астронавты», к которому мы отсылаем читателей, заинтересовавшихся этой проблемой.
За последние годы астрономы столкнулись с некоторыми явлениями в мире звезд, которые могут быть объяснены только наличием во Вселенной объектов, обладающих могучими полями тяготения, но не обнаруживаемых никакими оптическими или радиоприборами. Возникла гипотеза, что причиной наблюдаемых аномалий являются некоторые остывающие звезды, обладающие большой массой (в несколько раз превышающей массу Солнца). Вещество в таких звездах катастрофически сжимается, достигая огромной плотности и порождая колоссальные поля тяготения (гравитации), которые гасят все виды излучений, в том числе и световое. Эти звезды-невидимки получили название «черных дыр». И только внешние поля тяготения позволяют обнаружить подобные загадочные объекты. Но это задача огромной трудности.
Непознанные загадки Вселенной превышают самые смелые озарения писателей-фантастов.
Между тем перед глазами ехавших расстилалась уже широкая бесконечная равнина, перехваченная цепью холмов. Теснясь и выглядывая друг из-за друга, эти холмы сливаются в возвышенность, которая тянется вправо от дороги до самого горизонта и исчезает в лиловой дали; едешь-едешь и никак не разберешь, где она начинается и где кончается...
А. П. Чехов. «Степь»
РАССЕЧЕННЫЙ ХОЛМ
Равнина, холмы, возвышенность — привычные приметы южно-русской степи былых времен. Под пером замечательного мастера слова возникает полная поэзии, яркая, пластичная картина родной природы. Есть и другие картины, рисующие прелесть природных пейзажей нашей родины. Они принадлежат кисти наших знаменитых художников, имена которых известны каждому школьнику.
Есть и еще картины, на которых изображены степь с ее холмами, перелески, овраги, речные долины и даже отдельно стоящие деревья. Но имена авторов этих «картин» не пользуются широкой известностью. Их творения не выставляются в музеях. Но каждый из таких людей исходил не одну сотню километров по нашей земле. И не только по степным просторам. Не палитру с кистями, не холсты в подрамниках берут эти люди с собой в путь. За их плечами — деревянные футляры с точными оптическими инструментами, бумага, калька, карандаши. Называются эти люди топографами, а их «картины»— топографическими картами, с которыми вы, мой читатель, знакомились на уроках географии в школе.
В трудные годы войны, читая известия с фронтов, мы узнавали о боях за высоты, отмеченные какими-то числами, например, 293,7 или 165,4 и т. п. И все понимали, что эти числа означают высоту холмов, выраженную в метрах, измеренную от уровня моря. Данные об этих высотах командиры брали с топографической карты.
Конечно, не только для военных целей служат топографи- ческие карты. Ими пользуются изыскатели и строители, картографы и геологи, люди многих профессий. Если нужно построить плотину, провести железную дорогу или автомобильное
шоссе, прорыть канал, проложить трассу газопровода, распланировать новый город — прежде всего берут такую карту, чтобы получить полное представление о характере местности, где предстоит выполнить работу. И особое внимание людей, рассматривающих карту, привлечет замысловатый узор коричневых кривых, покрывающих ее поверхность. Вы уже знаете, что такие линии называются горизонталям и.
Изучая черчение в школе, читая эту книгу, вы твердо усвоили, что технический чертеж, как правило, состоит из нескольких проекций, позволяющих полностью передать форму и размеры изображенных на нем предметов. Любая карта, в том числе топографическая, тоже чертеж, состоящий, однако, только из одной проекции — вида сверху. Но на одной проекции можно графически передать лишь два измерения из трех. Как же показать на ней высоту объектов местности, тех же холмов?
Ответ на этот вопрос можно получить, познакомившись с особенностями топографических карт. Эти карты относятся к особому разделу начертательной геометрии, который именуется «Проекции с числовыми отметками». Не во все пособия по начертательной геометрии включается данный раздел. Не нужен он, например, машиностроителям. Зато его изучают будущие строители, гидротехники и люди других профессий.
На проекциях с числовыми отметками можно решать та
кие же задачи, которые рассматриваются в других основных разделах начертательной геометрии, строить сечения и взаим-
ные пересечения тел, решать позиционные и метрические задачи и т. п. Касаясь этого интересного раздела в нашей книге, мы намеренно резко сузили - нашу цель, ограничив ее рассмотрением лишь одного фрагмента. Чтобы не нарушать логику рассмотренных ранее тем, мы вынесли эту главу в самый конец книги в виде приложения. К этому обязывает специфика излагаемого материала.
На рисунке 132 а изображены два смежных холма, в какой-то степени напоминающих нам те, которые описал Чехов. Их нужно изо
бразить на топографической карте, которая передает вид местности сверху. Как это сделать? Представим себе, что через равные промежутки, допустим, через один метр, оба холма рассекаются параллельными горизонтальными плоскостями и полученные сечения в соответствующем порядке изображаются на бумаге. Так как холмы по направлению от подошвы к вершине сужаются, то замкнутые криволинейные фигуры сечений будут располагаться не пересекая друг друга. Мы получим изображение холмов, показанное на виде сверху рисунка 132 а. Подобные изображения вы встретите на топографической карте. Они дают довольно точное представление о форме холмов и вообще о рельефе той местности, которая на ней изображается. На рисунке секущие плоскости не показаны, но воспроизведены линии сечений на поверхности холмов. Эти линии называются горизонталями, потому что, обходя холм по этим воображаемым линиям, вы будете передвигаться только по горизонтальному направлению, не поднимаясь и не опускаясь.
Следующий мысленный эксперимент позволит яснее представить получение таких замкнутых линий. Предположим, что уменьшенную в десять раз модель этих холмов мы поместили в аквариум. Нальем в аквариум воды высотой точно один дециметр. Зарисуем очертания линии, по которой вода касается модели, и полученную кривую обозначим цифрой 1. Дольем воды до высоты два дециметра и снова зачертим новый контур, который поместится внутри нулеврхю и первого. В конечном счете мы получим то же самое, что изображено на виде сверху на рисунке 132 а.
Заметьте, что горизонтали, полученные от сечений холмов воображаемыми плоскостями, показывают на нашем рисунке целое число метров (на модели — дециметров). То же самое правило соблюдается и в настоящих топографических картах. Исключение делается лишь для высот, вершины которых не лежат, как правило, на горизонталях и потому имеют дробную часть. Расстояние между параллельными секущими плоскостями, образующими узор коричневых горизонталей, называемое высотой сечения, связано с масштабом карты. Так, На крупномасштабной военной топографической карте (масштаб 1:25 000) высота сечений равна 5 метрам, в масштабе 1 : 50 000 — десяти метрам, в масштабе 1:100 000 — двадцати метрам. Эти данные справедливы для местностей равнинных, с небольшими холмами и преобладающими участками с углами наклона не более 6°. Для высокогорных местностей высота сечений берется более крупной.
Человек, имеющий опыт в чтении топографических карт, легко представляет себе по горизонталям характер рельефа изображенной территории. Там, где горизонтали заметно сближаются между собой, уклон местности становится круче, где
они частично сливаются в одну линию — крутой обрыв, может быть, даже пропасть. Зато, если линии горизонталей расходятся, образуя большие промежутки, то там местность приобретает более спокойный характер, небольшие уклоны становятся на глаз почти незаметными.
Именно эти данные и являются особо ценным качеством топографической карты. Для того, кто должен проложить железнодорожное полотно будущей магистрали, горизонтали топографической карты приобретают особое значение. С их помощью проектировщик не только выберет на карте наиболее экономически выгодную трассу будущего пути, но даже сумеет подсчитать объем подлежащих выполнению земляных работ. Иначе говоря, ему будет ясно, где именно и на какую высоту понадобится сделать железнодорожные насыпи, а где сделать выемки и на какую глубину. А от этого в первую очередь зависит стоимость прокладки будущей железной дороги. И множество подобных услуг окажут горизонтали топографической карты строителям разных профессий. Значит, не напрасно трудились топографы, собирая необходимые данные для топографической карты, не напрасно таскали за плечами тяжелые инструменты, целыми днями выполняя множество измерений, не напрасно зябли холодными ночами в палатках, а днем мучились от полчищ ненасытных комаров.
Множество других практически важных задач помогает решать топографическая карта и ее горизонтали. Так, например, с ее помощью можно построить профильный разрез местности по любому направлению. Такой профиль, в частности, позволяет получить точное представление о том, что можно увидеть, находясь в определенной точке местности, изображенной на карте. Построенный профиль даст прямой ответ: видна ли из точки наблюдения развилка дороги или же ее заслоняет находящаяся между наблюдателем и развилкой небольшая возвышенность.
Топографические карты являются крупномасштабными. На каждой из них изображается сравнительно небольшой участок местности. Для таких ограниченных участков влияние сферичности Земли не имеет заметного значения и их считают плоскими. А это значит, что практически для таких карт не существует линейных или угловых искажений, которые доставляют столько неудобств при пользовании мелкомасштабными географическими картами. По топографическим картам можно прокладывать маршрут предстоящего перехода самым кратчайшим путем, учитывая только природные трудности, также показанные на карте. Та же карта покажет вам место, где находится мост через реку, которая лежит на вашем пути, грунтовые дороги и шоссе, которыми вы сможете воспользоваться.
КАК НАЙТИ ГОРИЗОНТАЛИ
Но далеко не каждый представляет себе, каким образом появляются на карте горизонтали. Ведь их нет на местности, откуда их можно было бы перенести на карту. Не найдете вы на местности и точек, высота которых может быть представлена целыми числами, которыми отмечены горизонтали карты: 20, 30 или 40 метров. На уроках географии, объясняя смысл горизонталей, вам не говорили о том, каким способом их можно получить. А это особая и довольно-сложная тема, не включенная в школьную программу по географии. И в данной главе-фрагменте мы хотим чуть приоткрыть завесу, которая закрывает от нас любопытное таинство рождения горизонталей, этих важных примет любой топографической карты.
Нет возможности хотя бы вкратце остановиться на описании сложных работ по съемке местности для переноса ее важнейших признаков на будущую карту. Ведь для того чтобы нанести на карту взаимное расположение объектов местности, русла рек, форму других водоемов, дорог и шоссе, лесов и полей, деревень, поселков, городов, нужно провести многие тысячи измерений с помощью специальных инструментов.
План местности появляется в результате длительной и кропотливой работы, инструментальной угломерной съемки (или аэрофотосъемки). В процессе съемки на карту наносятся со всей тщательностью многие объекты местности: башни, памятники, мельницы, водокачки, зйдоды, радиостанции, мосты, трубопроводы и т. д., для чего служат специальные условные знаки. Топографы, которым поручено нанести на карту горизонтали, должны иметь на руках уже готовый план местности с необходимыми ориентирами для того, чтобы можно было «привязать» любую точку местности к другим объектам, уже нанесенным на карту, к самим координатам карты. Как же это делается?
Топографы последовательно определяют высоты целого ряда предварительно размеченных на местности точек, расположение которых точно наносится на план. В каждой точке — пикете вровень с поверхностью земли забивается колышек, а рядом с ним сторожок, т. е. второй колышек, выступающий над землей и заметный издали. На сторожке ставится порядковый номер пикета. Пикеты обычно ставят с интервалами 100 метров по линии будущей дороги или на определенной площади в какой-то системе. Расстояния между ними промеряют стальной лентой и наносят на план в масштабе.
Топограф устанавливает свой инструмент — нивелир на треножнике между первой парой пикетов. Помощники ставят на колышки пикетов рейки нулевой точкой вниз, соблюдая их вертикальное положение.
Нивелир, визирная ось которого должна быть строго гори-
Рис. 132 в. Слева — нивелир НВ-1, справа — часть шкалы рейки, видимая в окуляр нивелира
зонтальна и проверена по уровню, наводится подобно фотокамере на шкалу рейки № 1, а затем рейки № 2. Видимые против горизонтального волоска прибора отсчеты по рейкам вносятся в ведомость (рис. 132 6, в).
Разность обоих показаний называется превышением и равна h=a—b — или, как говорят, взгляду назад минус взгляду вперед. Превышение будет иметь знак «плюс», если местность идет с повышением, и знак «минус» — если она понижается. Затем нивелир переносится на стоянку между пикетами № 2 и № 3, только теперь пикет № 2 будет уже «взглядом назад».
Но колонка чисел превышений, полученная в результате съемки, недостаточна. Нужны абсолютные отметки высот пикетов, которые отсчитываются от уровня моря. Поэтому хотя
значения таких абсолютных
бы один пикет должен быть «привязан» к точке, абсолютная высота которой известна. Такая точка — это государственный репер, постоянный металлический знак, накрепко заделанный- в цоколь здания или во врытое в землю бетонное основание, установленное где-то на открытом месте. Десятки тысяч таких реперов разбросаны по стране. И если хоть одна точка съемки привязана к государственной сети, то, зная превышения всех точек, можно подсчитать их абсолютные высотные отметки, выраженные в метрах. Ь
отметок будут не целыми числами метров, а будут иметь дробные доли. Между тем, как уже было сказано, горизонтали соответствуют высотам, выраженным определенными числами целых метров. Нанесение на план точек, принадлежащих будущим горизонталям, выполняется не в поле, а позже, в процессе камеральной обработки снятых с натуры данных.
На рисунке 132 г показано, как по условным отметкам двух точек — 27,8 и 28,7 — отыскивается целочисленная точка, принадлежащая будущей горизонтали с отметкой 28,0. Разность отметок точек, т. е. превышение, составляет 28,7—27,8 = 0,9. Обе точки на плане соединяются прямой линией, которая делится на равные части соответственно величине превышения, т. е. в данном случае на девять частей.
Нетрудно понять, что деление, соответствующее целочисленной точке с отметкой 28,0, будет расположено на втором делении от точки 27,8 или, что то же самое, на седьмом делении от точки 28,7. Кропотливую работу деления отрезка на части можно несколько облегчить, применяя показанную на том же рисунке палетку из прозрачной кальки, разграфленную предварительно на ряд делений. Каждое деление палетки должно быть меньше наименьших делений, получающихся на плане. Тогда, накладывая палетку на любую пару соседних точек, совмещают ее деления с соответствующими по количеству десятых долей точками и накалывают на плане точку, лежащую на нулевом делении палетки. Это и будет целочисленная точка 28,0, через которую потом пройдет горизонталь 28. В нашем примере горизонтали проводятся через один метр.
Часто при нивелирной съемке сравнительно небольших участков под застройку или для проведения мелиоративных работ территорию предварительно с помощью теодолита и мер-
необходимый «взгляд назад», без превышения новой группы пикетов вершить знакомство с нанесением лезной задачи.
ной ленты разбивают на квадраты. Пикеты ставятся в вершинах квадратов, а количество стоянок нивелира может быть очень небольшим, если с выбранных позиций можно снимать сразу несколько пикетов. Важно только с каждой новой стоянки повторно снять показания одного-двух пикетов, снятые еще на предыдущей стоянке. Это и будет которого нельзя определить
Рисунок 132д позволит за-горизоиталей решением по-
67*. На рисунке 132 д показан участок местности, рельеф которого заснят путем разбивки на квадраты. Нанесите целочисленные условные отметки между парами соседних точек и обведите их плавными линиями горизонталей, имеющих высотные отметки 1, 2 и 3.
133.
134. На сдвинутых проекциях можно прочитать: «—Учи-читать чертежи!».
135.
136.
137.
1. См. рис.
2. См. рис. тесь чертить и
3. См. рис.
4. См. рис.
5. См. рис.
6. Удочка левого мальчика расположена выше.
7. Веревка АВ протянута над веревкой CD.
8. См. рис. 138.
Рис. 136
Рис. 137
Рис. 138
9. См. рис. 139. Показаны фронтальная и профильная проекции отрезка, расположенного примерно так, как веревка альпинистов. Ниже показано определение истинной длины отрезка по двум данным проекциям методом прямоугольного треугольника. Длины катетов треугольника берутся на соответствующих проекциях. Гипотенуза АВ будет выражать истинную длину отрезка.натянутой веревки.
10. Задача решается по аналогии с предыдущей. На каждой проекции нужно соединить голову рыбки с изображением крючка и обозначить оба отрезка буквами. Определив истинную длину каждого из двух отрезков, сравните их между собой. Рыбка А схватит наживку раньше.
12. См. рис. 140.
13. Длина стремянки определяется путем построения равнобедренного треугольника, размеры которого берутся с чертежа, с тех элементов, которые расположены параллельно изометрическим осям: с основания треугольника и его высоты. Длина каждой лестницы равна полуторной высоте окна.
14. Можно сложить плитки айв.
15. Угол равен примерно 35°.
16. См. рис. 141. Сверху на наглядном изображении воспроизведена проекция отрезка АВ, соответствующего длине стрелы крана в изометрической проекции. Задача решается мысленным поворотом фигуры АВ вокруг оси ab до совмещения ее с горизонтальной плоскостью, в которой находится фигура aaxbxb. Полученная сложная фигура вычерчивается вторично по размерам, взятым с наглядного изображения, но с восстановлением
Рис. 143 Рис. 144 Рис. 145 Рис. 146
истинной величины искаженных прямых углов. Отрезок АВ на нижнем чертеже будет соответствовать истинной длине стрелы крана в масштабе
Рис. 148
чертежа.
18. Первая часть задачи решается вращением отрезка AD вокруг центра А до совмещения точки D с плоскостью левой стены (рис. 142). Построение второго варианта вращением щита в плоскости, параллельной оси ОУ, нецелесообразно, так как траектория изобразится наклонным эллипсом. Но можно применить вращение щита в другой плоскости, восстановив истинные размеры ребра CD и расстояния СЕ, которые по правилам диметрической проекции сокращены вдвое. От произвольно взятой на оси OY точки Ei откладывается параллельно оси ОХ удвоенный отрезок СЕ. равный CjjEi и удвоенная длина ребра CD, т. е. Ci£>i. Вращая отрезок CiO, вокруг точки Ci, получим точку О2, в которой щит коснется стены после поворота. Точку D? переносим параллельно осям в положение Л3О3 (рис. 142,6). ,
19. См. рис. 143. При наклонная падении проецирующих лучей треугольник АВа будет равнобедренным, а его основание Аа параллельно направлению лучей Если угол отрезка с плоскостью равен а, то угол р, под которым падают на а плоскость лучи, будет равен 90°— .
20. См. рис. 144.
21. См. рис. 145.
23. См. рис. 146. Балка не касается стены.
24. См. рис. 147.
25. См. рис. 148. Трасса самолета, вылетевшего из пункта А, расположена выше.
26. Сначала вращением горизонтальной проекции вокруг точки b совмещаем конец трубы А с линией стены. Переносим точку а, на фронтальную проекцию. Затем радиусом at'b' из точки Ь' очерчиваем дугу до точки а2. См. рис. 149.
28. Мяч не коснулся крыши (рис. 150). Высота его над крышей равна вертикальному отрезку от проекции мяча до точки пересечения с фронтальной проекцией вспомогательной линии.
Рис. 149
29. См. рис. 151.
30. См. рис. 152. Линия, соединяющая углы кирпичей, и ее вторичная проекция на плоскости пола пересекаются на продолжении следа плоскости крышки люка. Следовательно, при открытой крышке эта линия будет лежать в ее плоскости и крышка будет опираться на оба кирпича одновременно.
31. См. рис. 153. Точки К и М получены продолжением линии основания щита. С помощью точек В и М находим точку L и, соединив ее с точкой К, получим следы плоскости щита на стенах. Точка А не касается стены.
32. Так как смежные стороны листа относятся друг к другу как длины диагоналей столика, которые между собой равны, можно утверждать, что
листок имеет форму квадрата.
Рис. 155
Рис. 456
33. Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, можно утверждать, что лист имеет прямоугольную форму. Но так как диагонали ромба не равны по длине, а стороны листа имеют такое же соотношение по длине, листок не будет квадратным. Это — прямоугольник.
34. Неправильно изображена верхняя книга (рис. 154). Проведем произвольный диаметр АВ. Из одного его конца проводим хорду параллельно одной кромке переплета книги и достраиваем вторую хорду, которая вместе с первой образует изображение прямого угла, вписанного в окружность и опирающегося на диаметр. Можно убедиться, что в нйжней и средней книгах кромки переплета параллельны сторонам вписанных углов соответственно. Для верхней книги это условие нарушено.
35. Край двери пройдет над ковриком. Эллипс, изображающий траекторию вершины нижнего угла двери при ее открывании, строится по правилам изометрии на ^основе исходной окружности, диаметр которой равен удвоенной ширине двери. См. рис. 155.
36. См. рис. 156. К оси ОХ пристраивается в избранном масштабе прямоугольник, представляющий модель чертежной доски с отношением сторон 3:4 (750 : 1000 мм). Точки пересечения осевой линии рейсшины с кромками доски (f и g) переносятся по направлению проецирования (точка g переходит сама в себя). Обе точки соединяем и штрихпунктирной линией f,g прочерчиваем положение оси рейсшины на оригинале (прямоугольнике E,EYD). Из точки Е опускаем на эту осевую линию перпендикуляр ЕС, и полученную точку С, переносим по направлению проецирования в точку Сх. Отрезок’СД: будет показывать направление перпендикуляра к изображению АВ рейсшины на наглядном изображении. Головка рейсшины параллельна отрезку СХЕ. Следовательно, она соответствует изображению перпендикуляра к АВ Родственное соответствие обоих изображений доски и рейсшины обусловливает взаимозависимость линейных размеров двух изображений объекта. Например, длины головок рейсшины на обоих изображениях относятся как параллельные им отрезки ЕСХ и ЕС,. Точно так же Лилина
АВ рейсшины подчиняется отношению -— = А,В, 1g ..
— -— . Масштабные отношения между па-hg
рами соответственно родственных отрезков меняются с изменением углов, под которыми располагаются отрезки по отношению к осям проекций, но параллельные отрезки одного направления сохраняют постоянное отношение масштабов. Это позволяет правильно строить наглядное избражение плоского оригинала, передавая с нужной точностью линейные и угловые искажения, свойственные данному виду аксонометрической проекции. Следует учесть, что при взаимном расположении обоих родственных полей на рис. 156 наклон линейных элементов получается обратным, хотя масштаб и величина углов сохраняются.
37. См. рис. 157.
38. По винтовой линии.
39. При угле а развертки, достигающей 180°, мухе целесообразно двигаться к вершине конуса, повернуться на ней на 360° («обойти» конус кругом) и вернуться
тем же путем в исходную точку. В этом случае ее путь будет кратчайшим.
41. Основание обеих карт будет равно выпрямленной окружности земного шара по экватору в соответствующем масштабе. Но высота карты в квадратной проекции равна выпрямленной полуокружности меридиана, тогда как в проекции Ламберта она равна диаметру шара. В квадратной проекции на всем протяжении меридианов сохраняется постоянный масштаб; в проекции Ламберта он изменяется по мере приближения к полюсам.
42. На карте Меркатора трасса будет криволинейной, обращенной выпуклостью к северу, так как расположена в северном полушарии.
44, 45. См. рис. 158. Пучок проецирующих лучей, выходящих из центра шара, строящих изображение данной параллели, образует коническую поверхность (воронку). Плоскость проекций пересекает эту лучевую воронку по гиперболе. Гиперболами изображаются
все параллели, кроме экватора, а меридианы — прямыми линиями, так как центр проекций лежит в плоскости любого меридиана.
48. См. рис. 159. Сначала строится полная тень шеста на земле — АВ{. Для этого строим точку D — основание верхнего конца шеста В. От точки D тень идет по земле параллельно проекции светового луча s. Из вершины В проводим SB, параллельно S. Полная тень шерта изобразилась бы на земле прямой ABt. Но, встречая основание стены, тень изламывается и от места излома вторая половина ее идет вверх по стене к точке В.
49. См. рис. 160. Отрезки, соединяющие верхние концы вешек с концами их теней, параллель-
А
Рис. 159
ны, так как освещены лучами солнца. Отрезок, проведенный из точки пересечения теней вешек параллельно этому направлению, вначале пересечет вешку А. Следовательно, вешки не касаются друг друга, и на рисунке изображение вешки В будет перекрывать А.
50. См. рис. 161.
51. См. рис. 162.
54. Поскольку угол падения светового луча равен углу отражения, на рисунке можйо определить точку поверхности озера, над которой находится утка. Она делит пополам вертикальную линию, соединяющую изображение утки с ес отражением. Так как эта точка расположится ниже лодки (т. е. ближе к наблюдателю). охотник должен быть повернут лицом к наблюдателю, а не спиной, как это показано на рисунке 98.
55. Солнце находится на таком удале'нии, что вторичной проекцией его будет точка на линии горизонта. От центра изображения солнца проведем вертикально вниз прямую до пересечения с линией горизонта. От точки пересечения продолжим прямую и отложим на ней отрезок, равный по длине первому. В конце его находится отражение солнца в воде (если поверхность воды абсолютно спокойна).
56. При величине угла в вершине конуса, равной 45°, отражающая поверхность станет цилиндрической, при угле более 45° — снова конической,- по обращенной «раструбом» вниз.
57. Сумма плоских углов равна 2а.
58. См. рис. 163. Оси домиков взаимно перпендикулярны, так как продолжения линий стен пересекаются в общих точках схода, а смежные стены в домах образуют прямые углы.
59. См. рис. 164. Один мотоциклист опережает другого примерно на Полтора корпуса мотоцикла.
60. См. рис. 165. Лестница сделана правильно.
61. См. рис. 166. Линия горизонта строится на высоте главной точки, полученной в пересечении линий цоколей зданий, тротуаров, окон. На линии горизонта выбрана произвольная точка А, от которой проведены две прямые к концам рисок, показывающих длину шага прохожего. Продолжив эти прямые «на себя» до пересечения с основанием картины, получим натуральную единицу масштаба, равную шагу человека. Откладывая ее последовательно влево, можно определить, что пешехода от фонаря отделяют семь шагов.
Рис. 167
62, 63. См. рис. 167. Высота дверей одинакова, так как продолжения верхних и нижних кромок дверей пересекаются на одном уровне, на линии горизонта. Ширина левой двери в открытом положении может быть определена, исходя из того, что полотна обеих дверей станут параллельными. Проведя из точки схода F, прямые к левым верхней и нижней вершинам левой двери, определим положение ее кромок в открытом положении. Точки Ki и Lt, определяющие ее ширину в открытом положении, можно найти уже известным построением, перенося ширину правой двери с помощью точки Fi на основание картины и откладывая от левой стены отрезок cd, равный ab. Можно перенести на основание картины и ширину левой двери, так как ширина обеих дверей одинакова по построению. Если двери неодинаковы по ширине, нужно переносить на основание картины ширину той двери, которую и нужно изобразить в открытом положении. Как видно из решения, полотно левой двери изображается в перспективе с сильным сокращением ширины.
64. Центр проекции совпадает с крючком, за который зацеплен шнурок с гирькой Линия горизонта высока и находится у верхнего края картины.
65. Линия тротуара наклонится в сторону, обратную наклону камеры. Правилен нижний рисунок.
66. Сравнивая схемы на рис. 126 и 129 в, можно видеть, что «слепые» зоны и зоны двойной экспозиции расположены в обратном порядке. При съемке круговой кинопанорамы «слепые» зоны расположены внутри окружности, зоны двойной экспозиции — снаружи.
67. См. рис 168.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Андреев Н. В. Основы топографии и картографии. Пособие для учащихся по факультативному курсу. М., Просвещение, 1972.
Воротников И. А. Занимательное черчение. М., Просвещение, 1977.
Голдовский Е. М. От немого кино к панорам,ному. М., Искусство, 1959.
Горбачев Б. К. Техника комбинированных съемок. М., Искусство, 1961.
Кузин А. А. Краткий очерк развития чертежа в России. М., Учпедгиз, 1956.
Островский А. И. Начертательная геометрия в популярном изложении. М., Изд-во физ.-мат. лит., 1963.
Перельман Я. И. Занимательная астрономия. М., Гостехиздат, 1966.
Пугачев А. С. Задачи-головоломки по черчению. М., Судостроение, 1971.
Салишев К А. Картография. М., Высшая школа, 1971.
Шейнин А. Я. Повесть о карте. М., Мысль, 1967.
Штейнгауз • Г. Математический калейдоскоп. М., Наука, 1981.
Штернфельд А. А. Искусственные спутники. М., Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1958.
I
Леднид Маркович ЭИДЕЛЬС
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
Редактор Т. В. Автономова Художник М. К. Шевцов Художественный редактор Е. Н. Карасик Технический редактор М. М. Широкова
Корректор Г. Л. Нестерова
ИБ № 6101
Сдано в набор 10.05.82. Подписано к печати 27.09.82. Формат 60Х90'/и- Бумага типограф. № 3. Гарн. литер. Печать высокая. Усл псч. л. 13. Усл. кр-отт. 13,19. Уч,-изд. л. 13.56. Тираж 100 000 экз. Заказ № 4104. Цена 55 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Типография имени Смирнова Смоленского облуправления издательств, полиграфии и книжной торговли, г. Смоленск, пр. им. Ю. Гагарина, 2.