С. Э. ФРИШ и А. В. ТИМОРЕВА
КУРС
ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
ТОМ II
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ЯВЛЕНИЯ
ИЗДАНИЕ ДЕВЯТОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ
И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего специального
образования РСФСР в~ качестве учебника
для государственных университетов
ш
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МО СКВА 1862

s
If
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Глава XIV. Основные электростатические явления
/§ 120. Введение 7
§ 121. Электрические заряды 9
§ 122. Проводники и изоляторы 12
§ 123. Электростатическое поле. Закон Кулона 14
\ § 124. Напряженность электростатического поля 18
§ 125. Линии напряженности 23
§ 126. Поток напряженности. Теорема Остроградского — Гаусса . . 24
§ 127. Более строгий вывод теоремы Остроградского — Гаусса . . 28
§ 128. Применения теоремы Остроградского — Гаусса 30
§ 129. Работа сил электростатического поля. Потенциал 37
§ 130. Поверхности уровня потенциала 42
§ 131. Связь между напряженностью электростатического поля и
потенциалом 45
§ 132. Связь между напряженностью, потенциалом и плотностью
объемных зарядов 47
§ 133. Проводники в электростатическом поле ' 49
§ 134. Напряженность поля вблизи поверхности проводника .... 53
§ 135. Диполь во внешнем электрическом поле 55
§ 136. Электроемкость проводников 58
(% 137. Энергия системы зарядов 61
{§ 138. Энергия электростатического поля . .' 66
Глава XV. Электростатические явления в диэлектриках
§ 139. Диэлектрики. Диэлектрическая постоянная 70
§ 140. Энергия конденсатора при наличии диэлектрика. Энергия поля
в диэлектрике . ... 73
§ 141. Поляризация диэлектриков. Вектор поляризации 74
§ 142. Напряженность поля в диэлектрике 78
§ 143. Силы, действующие на заряженные тела при наличии диэлек-
диэлектриков 81
§ 144. Вектор электростатической индукции 87
§ 145. Определение векторов Е и D по силам, действующим
на заряд 93
§ 146. Дипольные диэлектрики. Определение дипольных моментов
молекул 96
§ 147. Диэлектрические свойства кристаллов. Пьезоэлектричество . . 100
§ 148. Конденсаторы 102
§ 149. Различные типы конденсаторов 104
1»

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 150. Измерение разностей потенциалов . 107
§ 151. Измерение очень малых зарядов. Заряд электрона ]J 1
§ 152. Природа электростатического поля 115
ЧАСТЬ ПЯТАЯ
постоянный ток
Глава XVI. Основные законы постоянного тока
§ 153. Постоянный ток. Закон Ома 119
§ 154. Сопротивление проводников 121
§ 155. Вектор плотности тока 125
§ 156. Сохранение зарядов. Замкнутость стационарных токов .... 128
§ 157. Закон Ленца — Джоуля 131
§ 158. Измерение силы тока и разности потенциалов 135
§ 159. Сопротивления и их измерение L139
§ 160. Свободные электроны в проводниках. Классические предста-
представления 141
§ 161. Законы Ома и Ленца — Джоуля с точки зрения классической
электронной теории 144
§ 162. Связь между электропроводностью и теплопроводностью ме-
металлов 149
§ 163. Квантовая теория электропроводности металлов 151
§ 164. Замкнутая цепь постоянного тока 155
§ 165. Энергия, выделяемая в цепи постоянного тока ." 161
§ 166. Закон Ома для неоднородной цепи. Закон Кирхгофа 163
§ 167. Применение уравнений Кирхгофа к решению отдельных задач 167
§ 168. Контактная разность потенциалов 174
§ 169. Гальванические элементы 181
§ 170. Термоэлектрические явления 184
§ 171. Полупроводники 188
§ 172. Испускание электронов накаленными проводниками 193
§ 173. Теория термоэлектронной эмиссии 200
Глава XVII. Токи в электролитах и газах
§ 174. Электролитическая проводимость 204
§ 175. Законы Фарадея 207
§ 176. Электролитическая диссоциация 210
§ 177. Энергия ионов в растворе 212
§ 178. Теория электролитической проводимости . 215
§ 179. Поляризация электродов 219
§ 180. Технические применения электролиза 222
§ 181. Электролитическая проводимость твердых тел 225
§ 182. Электрический ток в газах 227
§ 183. Теория несамостоятельной проводимости газов 280
§ 184. Экспериментальное определение коэффициентов молизации
и подвижности газовых ионов 235
§ 185. Прохождение электронного тока через вакуум 242
§ 186. Вывод формулы Богуславского — Ленгмюра; флуктуации силы
тока 245
§ 187. Длина свободного пути электронов в газе 249
§ 188. Столкновения электронов с атомами и молекулами 253
§ 189. Подвижность электронов в газе при низком давлении .... 257
§ 190. Самостоятельная проводимость газов . . 261

ОГЛАВЛЕНИЕ О
ЧАСТЬ ШЕСТАЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Глава XVIII. Магнитное поле токов
§ 191УМагнитное поле и его характеристика 267
§ 192. Графическое изображение напряженности магнитно! о поля 271
§ 193. Способ определения магнитного поля токов 275
§ 194. Магнитное поле кругового тока и соленоида 279
§ 195. Единицы измерения напряженности магнитного поля. Абсо-
Абсолютная электромагнитная система единиц . . \У. 282
§ 196. Силы, действующие на ток в магнитном поле. Международ-
Международная система электрических единиц 287
§ 197. Замкнутый контур с током в магнитном ноле х . . . 293
§ 198. Циркуляция вектора магнитной напряженности . . .1:'. . . . 300
§ 199. Применение выражения для циркуляции вектора магнитной
напряженности 302
j § 200. Магнетики 305'
I § 201. Магнитные моменты молекул, атомов и электронов 309
i § 2Q2. Вектор намагничения 313
\ §B03)Ферромагнетизм .'/ ¦ • • • 318
i § 20"С Природа ферромагнетизма, .ir. . 324
\ § 205. Постоянлые магниты 327
1 § 206. Линии вектора магнитной индукции. Циркуляция вектора маг-
магнитной индукции и вектора магнитной напряженности. Гра-
Граничные условия 332
§ 207. Аналогия между электростатическим и магнитным полями 338
§ 2QS. Определение лекторов Н и В по силам, действующим на
рамку с током 342
§ 209. Различие между соленоидом и магнитом 345
/ § 210. Работа перемещения контура с током в магнитном поле . . 346
| § 211. Законы магнитной цепи 351
; § 212. Уравнения Кирхгофа для магнитной цепи 357
§ 213. Измерительные приборы 359
Глава XIX. Отклонение заряженных частиц в электрическом
и магнитном полях
§ 214. Сила, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле 365
§ 215. Магнитное поле движущегося заряда. 370
§ 216. Экспериментальное изучение магнитного поля движущихся
зарядов 372
§ 217. Эффект Холла 379
§ 218. Определение удельного заряда электронов 382
§ 219. Определение удельного заряда положительных ионов .... 388
§ 220. Техническое применение электронного пучка 393
Глава XX. Электромагнитная индукция
§ 221. Явление электромагнитной индукции 400
§ 222. Определение электродвижущей силы индукции 403
§ 223. Количество электричества, перемещенного индукционным
током. Единицы магнитных величин в международной
системе 407
§ 224. Определение электродвижущей силы индукции в частных
случаях 411
§ 225. Явление самоиндукции . . ./ 415

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 226. Экстратоки размыкания и замыкания 419
§ 227. Взаимная индукция . . . / 422
§ 228. Энергия магнитного поля токов 423
§ 229. Работа перемагничения 427
§ 230. Коэффициент самоиндукции кабеля , 429
§ 231. Токи Фуко. Поверхностный эффект . .]/ 430
§ 232. Переменный ток VT 432
§ 233. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока 437
§ 234. Цепь переменного тока, содержащая самоиндукцию и ем-
емкость ' 439
§ 235. Динамомашины и электромоторы 446
§ 236. Трансформаторы 448
§ 237. Выпрямление и измерение переменных токов 451
§ 238. Трехфазный ток 453
Глава XXI. Электромагнитные колебания и волны
§ 239. Колебательный разряд конденсатора 457
§ 240. Вынужденные электрические колебания . 461
§ 241. Возбуждение незатухающих колебаний с помощью катодной
лампы 465
§ 242. Ток смещения 468
§ 243. Электромагнитное поле 471
§ 244. Уравнения Максвелла 476
§ 245. Уравнения Максвелла — Лоренца 481
§ 246. Электромагнитные волны 482
§ 247. Скорость распространения электромагнитных волн 489
§ 248. Вектор Умова — Пойнтинга 492
§ 249. Радиотехника. Современные способы возбуждения и регист-
регистрации электромагнитных волн <•« 494
Приложение. Системы единиц электрических и магнитных ве-
величин 500
Алфавитный указатель 509

ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
ГЛАВА XIV
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
§ 120. Введение. В VII в. до н. э. греческий философ Фалес Ми-
Милетский описал замеченную ткачихами способность янтаря, потертого
о шерстяную материю, притягивать к себе некоторые легкие предметы.
Это открытие было расширено лишь две с лишним тысячи лет спустя,
в 1600 г., английским врачом Джильбертом, который нашел, что ана-
аналогичное свойство приобретают стекло и целый ряд других веществ,
если, их потереть о шелк. Тела, приведенные в такое состояние, были
названы наэлектризованными, или, дословно, „наянтаренными", так как-
по-гречески „электрон" означает янтарь.
В течение почти двух столетий — до конца XVIII в. — изучение
электризации тел развивалось медленно и шло в основном изолиро-
изолированно от изучения других явлений природы. Ограничивались, главным
образом, приведением тел в наэлектризованное состояние путем тре-
трения и изучением сил взаимодействия между ними. Этот раздел учения
об электричестве впоследствии получил название электростатики.
В 1789) г. Гальвани открыл физиологическое действие тока. Заце-
Зацепив медным крючком поясничные нервы свежепрепарированной лягушки
и повесив ее на железные перила балкона, он заметил, что каждый раз,
когда перила приходили в соприкосновение с мускулами лягушки, му-
мускулы сокращались. Хотя в то время было уже известно, что сокраще-
сокращение мускулов происходит при разряде через них наэлектризованных тел,
тем не менее долгое время не было установлено единство электриче-
электрических явлений и принято было различать „электричество гальваническое"
и электричество, получаемое трением. Лишь в начале XIX в. появился
ряд крупных открытий, обнаруживших чрезвычайное разнообразие элек-
электрических явлений: были изучены условия возникновения электриче-
электрического тока, установлено тепловое и магнитное действие тока, выяс-
выяснена роль диэлектриков и т. д. Вторая половина XIX в. ознаменовалась
дальнейшим бурным развитием учения об электричестве. В результате
работ Фарадея и Максвелла было установлено единство электромаг-
электромагнитных явлений, открыты электромагнитные волны и создана электро-
электромагнитная теория света.

8 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [гл. XIV
Принципиальное значение развития учения об электричестве исклю-
исключительно велико: с одной стороны, оно сделало ясной невозможность
сведения электрических явлений к механическим, с другой — указало
глубокую взаимную связь электрических явлений со всеми остальными
физическими процессами. Тем самым учение об электричестве способ-
способствовало переходу от материализма механистического к материализму
диалектическому. Наконец, не менее важными оказались и практи-
практические применения электрических явлений.
В развитии учения об электричестве выдающуюся роль сыграли
русские ученые. В середине XVIII в. М. В. Ломоносов, изучавший
совместно с Г. В. Рихманом грозовые явления, пришел к выводу, что
электризация воздуха возникает в результате трения между восходя-
восходящими потоками. Ломоносов же в 1753 г. высказал передовую по своему
времени мысль, что электричество есть очень быстрое вращательное
движение частичек эфира. В том же 1753 г. Петербургская Академия
наук объявила всемирный конкурс на тему „О природе электрической
силы". Премирована была в 1755 г. работа Л. Эйлера, в которой вза-
взаимодействие наэлектризованных тел объяснялось натяжениями в эфире.
Петербургский академик Эпинус выел пользовавшуюся в свое время
широкой известностью теорию одной „электрической жидкости" и
¦впервые развил математическую теорию электрических и магнитных
явлений. В 1803 г. академик В. В. Петров открыл электрическую дугу
и указал на возможность ее практического применения. Он же один из
первых изучал электролитическое разложение жидкостей при прохожде-
прохождении через них тока. В тридцатых и сороковых годах XIX в. Э. X. Ленц,
действительный член Петербургской Академии наук и профессор Петер-
Петербургского университета, открыл важнейшие законы, устанавливающие
направление индуцированного тока и тепловые действия тока. Во вто-
второй половине XIX в. А. Г. Столетов дал метод изучения магнитных
свойств железа и открыл . фотоЗ'лектрическое явление. В 1895 г.
А. С. Попов изобрел радиотелеграф, а несколькими годами позже
П. Н. Лебедев получил миллиметровые электромагнитные волны. В на-
начале же нынешнего столетия профессор Московского университета
А. А.Эйхенвальд экспериментально доказал, что движущиеся заряды по-
подобно току, вызывают магнитное поле. Крупнейших успехов в различных
областях учения об электричестве достигли наши советские ученые.
Большую роль сыграли русские изобретатели в развитии электро-
электротехники. Б. С. Якоби первый сконструировал электромотор и применил
его для приведения в движение лодки и вагона; он же открыл прак-
практическое применение электролиза (гальванопластику). П. Н. Яблочков
изобрел,, первую практически пригодную для освещения электрическую
дугу, а А. Н. Лодыгин — электрическую лампочку накаливания.
П. Н. Яблочков и И. Ф. Усагин впервые ввели в практику электри-
электрический трансформатор, а М. О. Доливо-Добровольский— трехфазный
ток. Н. Г. Славянов и Н. Н. Бенардос изобрели электросварку.

§ 121] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ 9
«
Большое место, занимаемое современной электротехникой в про-
промышленности, определило и ту большую роль, которую электро-
электротехника играет в нашей стране. Это значение электротехники было
подчеркнуто в знаменитых словах В. И. Ленина: „Коммунизм — это
есть Советская власть плюс электрификация всей страны". Создав-
Создавшиеся после Великой Октябрьской социалистической революции
исключительно благоприятные условия для развития науки и тех-
техники привели к невиданно быстрым темпам электрификации нашей
страны и к новым крупнейшим успехам в области учения об элек-
электричестве и практических приложений электрических явлений. Народ-
Народнохозяйственный план предусматривает дальнейшее широкое строи-
строительство электростанций различных типов (гидростанций, тепловых
и атомных электростанций) и использование электроэнергии во всех
отраслях нашего хозяйства.
§ 121. Электрические заряды. В соответствии с историческим
ходом развития учения об электричестве мы начнем изложение с ха-
характеристики состояния электризации и с законов взаимодействия
наэлектризованных тел. Как мы указывали, этот раздел учения
об электричестве носит название электростатики. Опыты, произведен-
произведенные еще в самом начале XVIII в., показали, что электризация бывает
двух и только двух родов: электризация, по качеству совпадающая
с электризацией стекла, потертого о кожу (называется положитель-
положительной), и электризация, совпадающая по качеству с электризацией кожи,
потертой стеклом (называется отрицательной). Тела, наэлектризо-
наэлектризованные одинаково (например положительно), отталкиваются друг от
друга; тела, наэлектризованные разноименно,
притягиваются. При соприкосновении тел электри-
электризация может передаваться от одних тел дру-
другим.
Тело, находящееся в состоянии электризации,
обладает, как говорят, зарядом, служащим мерой
наэлектризованности тела. Определение понятия
заряда будет дано ниже.
В природе существуют тела, по которым со- Рис [ Взаимодей-
стояние электризации свободно передается, на- ствие наэлектризо-
зываемые проводниками, и тела, не передающие ванных шариков,
состояние электризации, — изоляторы.
Степень наэлектризованности можно определить по силам взаимо-
взаимодействия между наэлектризованными телами. Для качественного
определения наэлектризованности можно, например, использовать два
легких шарика, привязанных к длинным нитям (рис. 1); при однЬ-
именной электризации шариков между ними возникнут силы оттал-
отталкивания, в результате чего шарики разойдутся, и тем больше, чем
сильнее они наэлектризованы. На практике употребляют специальные
приборы — электроскопы, один из которых представлен на рис. 2.

10
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. XIV
Рис. 2. Электро-
Электроскоп с листоч-
. нами.
Электроскоп, изображенный на рис. 2, устроен следующим образом:
к металлической проволоке D приделаны снизу два тонких листочка
из алюминия Е\ и Z?2; проволока с листочками помещена при помощи
эбонитовой пробки В внутрь металлической ко-
коробки1 со стеклянными окошками для наблюдения
за листочками. Если проволоке D сообщить элек-
электрический заряд, путем прикосновения к ней на-
наэлектризованным телом, то алюминиевые листочки
наэлектризуются и, оттолкнувшись друг от друга,
разойдутся. По их расхождению можно судить
о степени сообщенной им электризации.
Для более точного количественного определе-
определения степени электризации электроскоп должен
быть снабжен шкалой. Такой прибор, названный
„электрическим указателем" или электрометром,
был впервые осуществлен Г. В. Рихманом в 1745 г.,
наблюдавшим совместно с М. В. Ломоносовым элек-
электризацию, возникающую при грозовых разрядах.
Схематическое изображение „электрического указателя" Г. В. Рих-
мана дано на рис. 3, на котором через g обозначена металлическая
линейка, висящая вертикально. К линейке одним концом прикреплена
шелковая нить /. При электризации нить отталкивается от линейки,
и степень ее отклонения может быть опре-
определена с помощью делений, нанесенных на
деревянный квадрат ab.
Современный электрометр, построенный
по схеме Рихмана, изображен на рис. 4. При
сообщении электризации стержню D алюми-
алюминиевый листочек Е отталкивается от непо-
неподвижного стержня D; величина отклонения, а
зависящая от степени электризации, опреде-
определяется по шкале.
Весьма важным явлением, помогающим
понять процесс электризации тел, является
следующее: если тело, наэлектризованное,
например, положительно, начать электризо-
электризовать отрицательно, то состояние его элек-
электризации сперва уменьшится, затем " пол-
полностью пропадет, и только после этого тело начнет электризоваться
отрицательно. Отсюда следует, что заряды различных знаков ком-
компенсируют друг друга. Этот факт привел к гипотезе, что и в неза-
незаряженных телах всегда имеются заряды, но только противоположных
знаков и в таких количествах, что их действия полностью компенси-
Рис. 3. Электрический
указатель Г. В. Рихмана.
1 Роль этой коробки будет указана ниже (стр. 52).

§ 121]
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ
11
Ш///////////////////Ш//////Ж
метр.
руют друг друга. Тело, содержащее избыток положительных зарядов,
заряжено положительно. Тело, содержащее избыток отрицательных
зарядов, заряжено отрицательно. При электризации тел трением
электризуются оба тела, притом всегда одно из них положительно,
а другое — отрицательно. Отсюда мы приходим к выводу, что
заряды не создаются и не пропадают, они
могут быть лишь переданы от одного тела
другому или перемещены внутри данного тела.
Это положение, известное под названием закона
сохранения электрических зарядов, является
основным в области учения об электричестне и под-
подтверждается многочисленными фактами, одним из
которых является открытая Эпинусом электриза-
электризация наведением, или, как говорят, путем индукции.
Явление электризации наведением заключается
в следующем: если подносить к изолированному
проводнику В заряженной тело А (рис. 5а), то на Рис 4 Электро-
Электропроводнике В появляются заряды, притом на той
его части, которая ближе к телу Л, — обратного
знака, а на более удаленной — того же знака, чтб и заряд тела А.
При удалении заряженного тела А заряды на проводнике В пропа-
пропадают. Однако, если до удаления заряженного тела А разделить про-
проводник В на две части (рис. 56), то заряды на них сохраняются
и после удаления заряженного тела А. Эти опыты непосредственно
объясняются, если предположить,
что в проводнике В все время
имеются заряды обоих знаков —поло-
—положительные и отрицательные, причем
эти заряды (или по крайней мере за-
заряды одного знака) могут свободно
перемещаться в проводнике. Тогда
при поднесении к проводнику В
положительно заряженного тела А
отрицательные заряды, существую-
существующие в проводнике В, будут притя-
1 ' ' ' гиваться, а положительные — оттал-
Рис. 5. Электризация наведением. киваться, и, таким образом, на кон-
концах проводника В возникнет элек-
электризация разных знаков. При удалении заряженного тела А на заряды
в проводнике В перестают действовать внешние силы, заряды „переме-
„перемешиваются", и весь проводник В во всех его частях снова становится
нейтральным. Если же проводник В был разделен на две части, пока
заряженное тело А было еще около него, то после удаления заряжен-
заряженного тела А заряды в проводнике В не могут „перемешаться", и обе
разъединенные части проводника В останутся наэлектризованными.
в
а)
в
6, <"Г

12 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XIV
Легко проверить, приведя эти две разъединенные половинки тела В
в соприкосновение, что сохранившиеся в них заряды одинаковы по
неличине, так как после соприкосновения половинок тело В стано-
становится нейтральным.
Наличие в нейтральном веществе зарядов двух знаков и их сохра-
сохранение можно считать твердо установленным.
Первая теория электрических явлений, возникшая в середине XVIII в.,
допускала существование особой электрической жидкости. Затем по-
появилась теория, допускавшая существование двух электрических
жидкостей — положительной и отрицательной. Академик Петербургской
Академии наук Эпинус развил теорию одной электрической жидкости
которую он считал положительной. По теории Эпинуса, избыток этой
жидкости в телах приводит их в состояние положительной элек-
электризации, ее недостаток — к отрицательной. В конце прошлого столе-
столетия было установлено, что существует элементарный электрический
заряд; атомы или молекулы могут приобретать лишь заряды, кратные
от этого элементарного заряда. Далее было установлено, что это
является следствием существования элементарных частиц, несущих
вполне определенный отрицательный заряд е; эти частицы получили
название электронов. Как будет показано ниже, электрон характе-
характеризуется не только определенным зарядом е, но и определенной
массой т, а также рядом других физических величин (вращатель-
(вращательным моментом, магнитным моментом). Этот сложный характер при-
природы электрона является одним из замечательных примеров под-
подтверждений диалектического материализма, считающего, что объек-
объективно существующий мир неисчерпаемо разнообразен. В. И. Ленин
писал: „Электрон так же- неисчерпаем, как и атом...".1
Масса электрона составляет примерно массы самого легкого
из атомов — атома водорода.
Согласно современным представлениям (см. т. III), электроны
входят как составная часть во все атомы; центральная часть атомов,
так называемое атомное ядро, обладает положительным зарядом;
почти вся масса атома сосредоточена в его ядре. В настоящее время
известно существование также положительных электронов (называе-
(называемых позитронами), однако они наблюдаются лишь при некоторых
специальных условиях, и пока мы не будем их рассматривать.
§ 122. Проводники и изоляторы. Как сказано выше, опыты
показывают, что все тела разделяются на два класса: 1) на тела,
передающие электризацию; — они называются проводниками, и 2) на
тела, не передающие электризации; эти тела называются непровод-
непроводниками (а также изоляторами или диэлектриками). Проводники
разделяются на проводники первого и второго рода. Перенесение
1 В. И. Л е н и н, т. 18, Госполитиздат, 1961 г., стр. 277.

§ 122] проводники и изоляторы 13
зарядов в проводниках первого рода не связано ни с каким измене-
изменением их химической природы и ни с каким заметным переносом вещества;
перенесение зарядов в проводниках второго рода связано с химиче-
химическими изменениями, ведущими к выделению составляющих их веществ
в местах их соприкосновения с другими проводниками. К проводникам
первого рода относятся все металлы; проводниками второго рода
являются расплавленные соли, растворы солей, кислот и щелочей.
Изоляторами являются кристаллы солей, масла, воздух, стекло, фарфор,
эбонит, каучук, янтарь и ряд других веществ.
В настоящее время выделяют еще полупроводники. Это тела,
обладающие хотя и очень малой, но все же заметной электропровод-
электропроводностью и рядом других свойств, позволяющих объединить их в осо-
особую группу. В настоящее время установлена определенная точка
зрения на природу проводников и диэлектриков.
В металлах (проводниках первого рода) часть электронов может
свободно передвигаться между отдельными атомами. В незаряженном
металле заряды свободно передвигающихся электронов компенсируются
положительными зарядами, связанными с остовом кристаллической
решетки металла. Электризация проводника сводится к изменению числа
входящих в него электронов: при отрицательной электризации провод-
проводнику добавляются извне лишние электроны, при положительной элек-
электризации от него отнимается часть электронов, в результате чего начинает
сказываться не полностью компенсированный положительный заряд
атомных ядер.
При электризации через наведение (индукцию) электроны переме-
перемещаются под влиянием сил притяжения или отталкивания со стороны
внешнего заряда к одному концу проводника; на этом конце полу-
получается избыток электронов, что обусловливает появление отрицательной
электризации; на противоположном конце проводника, из-за недостат-
недостатка электронов, появляется некомпенсированный положительный заряд.
Все электроны во всех металлах одинаковы, поэтому их переме-
перемещение не связано с изменением химического состава проводника пер-
первого рода. Масса же электронов настолько мала, что при практически
достижимых электризациях нельзя заметить изменения массы провод-
проводника из-за изменения числа находящихся в нем электронов.1
В проводниках второго рода нет свободных электронов, зато
в них существуют атомы или молекулы, у которых есть недостаток
или избыток электронов. Такие заряженные атомы или молекулы
носят название ионов. Перенесение зарядов в проводниках второго
рода обусловлено перемещением ионов, чем и объясняются происхо-
происходящие при этом в проводниках второго рода химические изменения.
Диэлектрики — непроводники электричества — построены из мо-
молекул, в которых имеются в равных количествах положительные и
1 См. расчет на стр. 113.

14 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ." XIV
отрицательные заряды, или из ионов, которые не могут свободно
передвигаться внутри диэлектрика. Под действием электрических
сил заряды в диэлектрике лишь немного смещаются или изменяют
свою ориентировку. Например, моделью диэлектрика может служить
вещество, в котором попарно соединенные разноименные заряды
(полярные молекулы) беспорядочно повернуты (рис. 6а) так что
диэлектрик как в целом, так и в отдельных его частях нейтрален.
Если к диэлектрику поднести заряженное тело, то заряды в нем не
переместятся, но лишь одинаково ориентируются (рис. Q6), в резуль-
результате чего на конце диэлектрика, обращенном к подносимому телу,
выступят заряды обратного знака, а на противоположном конце —
заряды того же знака. Такое состоя-
(ЪЪ&е be%<f^?>e$\ ние диэлектрика называется поляри-
^ lee^JJjfy^e^e^e^1) зацией. Оно отлично от электризации,
<7«— „„— .с*, -* которая возникает на проводниках при
явлении индукции.
[? .D Если поляризованный диэлектрик
_i /Scj^^l^e^^J^^iN разделить на части, например по ли-
' w^et3*^5!^1^*3"^ ниям ^ и ^ (РИС- ^' т0 кажДая из
Г* ** 1——'* частей в целом будет нейтральна, лишь
на поверхности окажутся заряды того
Рис. 6. Поляризация диэлек- или иного знака.
тРика- При очень больших электрических
силах молекулы диэлектрика могут
быть разрушены; тогда диэлектрик становится проводником. Это
явление называется пробоем диэлектрика.
§ 123. Электростатическое поле. Закон Кулона. Основным зако-
законом электростатики является закон взаимодействия зарядов. Взаимо-
Взаимодействие зарядов первоначально истолковывалось на основании фор-
формальной аналогии с законом всемирного тяготения. При этом предполага-
предполагалось, что и электрические силы и силы всемирного тяготения представляют
собой „действия на расстоянии" без какой-либо роли промежуточного
пространства. В действительности же заряды вызывают в окружаю-
окружающем пространстве какие-то физические изменения (так же как и
тяготеющие массы), которые прежде всего проявляются в том, что на
всякий другой заряд, помещенный на некотором расстоянии от рас-
рассматриваемых зарядов, действуют силы. Не входя пока в рассмотре-
рассмотрение природы этих изменений, мы будем говорить, что в случае
покоящихся зарядов в окружающем их пространстве возникает элек-
электростатическое поле.
Взаимодействие, например, двух зарядов заключается в следующем:
каждый из зарядов создает в окружающем пространстве поле, и это
поле действует на другой заряд с определенной силой.
Электростатическое поле представляет собою особый вид
материи; оно передает действие одних наэлектризованных тел на

§ 123]
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. ЗАКОН КУЛОНА
15
другие. Свойства поля изучаются на основании тех закономерностей,
которым подчиняются силы, действующие со стороны поля на заряды.
Так как взаимодействие заряженных тел зависит от их формы и
размеров, то для установления закона взаимодействия рассматривают
так называемые точечные заряды. Под точечными зарядами подра-
подразумеваются такие заряженные тела, размеры которых малы по
сравнению с расстоянием между ними. Очевидно, что всякое заря-
заряженное тело можно рассматривать как совокупность точечных зарядов.
Закон взаимодействия двух точечных зарядов был экспериментально
установлен Кулоном в 1785 г. Закон Кулона содержит в себе вместе
с тем определение величины заряда.
Все свои измерения Кулон производил в воздухе, но, строго говоря,
рассматриваемое в этом параграфе выражение для закона Кулона от-
относится к пустоте, т. е. к пространству, в котором нет в
заметном количестве атомов, молекул или иных частиц.
Закон взаимодействия точечных зарядов Кулон
установил на основании измерений, произведенных
с помощью крутильных весов (рис. 7). Устройство
этих весов таково: внутри большого стеклянного
сосуда на тонкой проволоке подвешено стеклянное
коромысло, несущее на одном конце металлический
шарик т, а на другом — противовес. Второй метал-
металлический шарик п установлен неподвижно на стек-
стеклянной ножке. Обоим шарикам можно извне сооб-
сообщать электрические заряды, которые они удерживают
некоторое время, так как шарики изолированы друг
от друга и от окружающих тел. Расстояние между
шариками тип можно менять, поворачивая головку
весов, к которой прикреплена нить, удерживающая коромысло с ша-
шариком т. При сообщении шарикам тип зарядов они начнут притя-
притягиваться или отталкиваться (в зависимости от знаков зарядов), в ре-
результате чего коромысло с шариком т повернется на некоторый угол.
Поворачивая головку весов, можно привести шарик т в прежнее поло-
положение; при этом момент кручения нити будет равен моменту элек-
электрической силы, приложенной к шарику т. Если нить предварительно
проградуирована, то по углу поворота головки можно непосредственно
определить момент силы, а зная длину коромысла,— и силу взаимо-
взаимодействия между шариками.
Ход рассуждений, приводящих к закону Кулона, следующий.
Прежде всего наблюдения показывают, что силы взаимодействия между
зарядами направлены по прямой, соединяющей заряды. При одноимен-
одноименных зарядах эти силы, как было указано в § 121, являются силами
отталкивания, при разноименных зарядах — силами притяжения. Меняя
расстояние г между шариками т и п, которым сообщены некоторые
неизменные заряды (рис. 8а), можно убедиться из опыта, что силы
Рис.7. Крутиль-
Крутильные весы Ку-
Кулона.

16 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XIV
взаимодействия меняются обратно пропорционально квадрату рас-
расстояния г.
Для сравнения величины двух зарядов qx и q% измерим силы _/j и
/2 взаимодействия этих зарядов с некоторым определенным третьим
зарядом qa, если их последовательно помещать на одинаковом расстоя-
расстоянии г0 от этого третьего заряда q0 (рис. 86 и 8в). Для этого после-
последовательно сообщаем шарику т заряды qx и дг, а заряд шарика п
держим неизменным и равным q0. Опыт показывает, что отношение
т п сил fi/fi не зависит ни от величины qu
а1 ?,• Шдг третьего заряда, ни от расстояния г0, на ко-
т г п тором заряди qx и q% помещались от этого
1' ?,• mq0 третьего заряда. Следовательно, значение
т r n отношения сил/i//a определяется лишь самими
Ф чг9 %q0 зарядами qy и д.2. Отсюда естественно принять
Рис. 8. К обоснованию за- отношение зарядов q^jq^ равным отношению
кона Кулона. сил /i//a. Таким образом, мы получаем метод
измерения отношения двух зарядов q^jq-i.
Абсолютные значения зарядов могут быть получены лишь после
установления единицы измерения зарядов, что будет сделано не-
немного ниже.
Имея метод сравнения зарядоЕ:, мы можем теперь различные за-
заряды <7i. <7а. <7.ч> ••• помещать попарно на одинаковом расстоянии г
друг от друга. Тогда опыт показывает, что сила взаимодействия /
между парой зарядов пропорциональна произведению их величин qi-qk.
Таким образом, окончательно формулируем закон Кулона: сила
взаимодействия f между двумя точечными зарядами пропорцио-
пропорциональна произведению величин зарядов qy и q^ и обратно пропор-
пропорциональна квадрату расстояния г между ними:
/=**?-, 0)
где к — коэффициент пропорциональности.
Если приписать положительным зарядам знак плюс (-(-),. а отри-
отрицательным знак минус (—), то отрицательные значения силы соот-
соответствуют силам притяжения, а положи- +
тельные значения — силам отталкивания. • »• —
¦ Ч Q
Закон Кулона A) может быть записан в век- г
торном виде. Проведем от точечного заряда qt рис 9 Направление ра-
(рис. 9) к точечному заряду q.z радиус-вектор г ' диуса-вектора.
Сила f, действующая на заряд ^2, численно равна,
по A), величине k s2 и направлена в ту же сторону, что и радиус-вектор
Г, — при одинаковом знаке обоих зарядов qt и q,, (к этому случаю относитсн
рис. 9), и в сторону, противоположную радиусу-вектору г — при различных
знаках зарядов qt и qs. Поэтому мы получим силу f по величине и направ-
направлению, умножив величину k -2Ш- на единичный вектор г/г, имеющий направ-

§ 123]
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. ЗАКОН КУЛОНА
17
«О
ление радиуса-вектора г. Таким образом, в векторном виде закон Кулона
запишется:
г
' г '
= *:
Aа)
Для установления CGtS-единицы заряда положим в законе Кулона A)
коэффициент пропорциональности k равным единице:
Отсюда,, получим: в CGS-системе за единицу заряда принят такой
точечный заряд, который взаимодействует с равным ему зарядом,
помещенным на расстоянии 1 см, с силой в 1 дину. Эта еди-
единица называется абсолютной электростатической единицей заряда.
В учении об электричестве единицы, устанавливаемые на основа-
основании Сй^-системы и законов электростатики, носят название абсолюп -
ных электростатических единиц и обозначаются символом CQSt'.
Ввиду малости электростатической единицы в современной между-
международной системе единиц (см. т. I) за единицу заряда принимается
заряд в с/10 раз больший Сб^-единицы заряда, где с — так назы-
называемая электродинамическая постоянная (см. § 196). Эта единица
называется кулон. Так как элек-
электродинамическая постоянная с с
большой степенью точности равна
3 ¦ 1010 см/сек, то имеем:
1 кулон = 3-109 СОЗЕ-единиц за-
заряда.
Размерность заряда в CQSE-си-
стеме получим на основании фор-
формулы A):
откуда
Т\
Рис. 10. Силы, действующие на
наэлектризованные шары.
Приведем пример определения сил взаимодействия между заряженными
телами.
Пример. Два малых шарика, находящихся в nqfl(L(^ibi тяжести (каж-
(каждый массой по 0,1 г) подвешены к нитям / длиной Bw25 cSt (рис. 10). После
того как шарикам были сообщены одинаковые заряйбг; они разошлись на рас-
расстояние г = 5 см. Определить сообщенные им з/рйды Л "&)§5?-системе и
в кулонах.
Решение. Сила отталкивания между шариками
где q — заряд, сообщенный каждому из шаойкйв. Рав+ювееие-я*е/гупаЛ тогда,
когда сила F, являющаяся равнодействуюие?'?йл11.!атг-алкмвййй>»'?щи\.силы
тяжести P=mg, направлена вдоль нити, we-рие.—10- имеем1:-
/ = Р ¦ tg а = mg ¦ tg а;

18 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XIV
при малом угле а можно положить tg о приближенно равным sin а, но
г
= y> откуда /=
Приравнивая это значение / выражению д3/г2, получаем:
<72 _ mgr
что дает нам искомый ответ
/~гГ~1 по 1 с"
'=15,6 CGSE.
Ш1 =5 l/^?^
21 У 2 - 2Ъ
Переводя этот заряд в кулоны, найдем:
? = -^5 к =5,2-10-'к.
Из этого расчета видно, что кулон представляет собой большую единицу, и
заряды, наблюдаемые при обычной электризации тел, выражаются весьма
малой долей кулона.
§ 124. Напряженность электростатического поля. Как мы ука-
указывали в § 123, каждый заряд вызывает в окружающем пространстве
электростатическое поле. Изучение свойств поля можно произвести,
помещая в него точечные заряды и наблюдая действующие на них
силы. При этом будем полагать, что помещаемые заряды столь малы,
что они не изменяют ни величины, ни расположения тех заря-
зарядов, которые вызывают поле. Из закона Кулона следует, что на
положительный заряд q, помещенный в некоторую точку поля, дей-
действует сила f, пропорциональная неличине заряда q. Величина и на-
направление этой силы определяются величиной и расположением всех
зарядов, образующих поле. Отношение силы f, действующей на заряд,
к его величине q, как это опять-таки следует из закона Кулона, не
зависит от величины заряда q и характеризует данную точку поля.
Таким образом, отношение \\q, найденное для всех точек поля, даст
физическую характеристику определенных объективных свойств поля.
Это отношение определяет физическую величину, называемую напря-
напряженностью электростатического поля, которую мы обозначим Е:
Е = |. A)
Если в этой формуле положить q== -j- 1, то Е по величине и направ-
направлению совпадает с силой f. Таким образом, напряженноеть электро-
электростатического поля в некоторой точке является физической величи-
величиной, численно равной силе, действующей на единицу положительного
заряда, помещенного в эту точку, и имеющей направление этой
силы. Из этого определения следует, что напряженность есть вели-
величина векторная.

§ 124] НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 19
За единицу напряженности мы примем напряженность такой точки
поля, в которой на единичный заряд действует сила, равная единице.
Отсюда в CGSE-скстеме единица напряженности — это напряженность
в такой точке поля, в которой на заряд в одну электростатическую
единицу действует сила в одну дину. Размерность напряженности
в этой системе определится по формуле A):
В качестве примеров вычислим напряженность электростатического
поля в некоторых важных частных случаях.
1. "Напряженность поля точечного заряда. Возьмем
точечный заряд q и определим напряженность поля в произвольной
точке А, отстоящей от заряда на расстоянии г.
По закону Кулона сила /, действующая на положительный заряд qu,
помещенный на расстоянии г от заряда q, равна:
Отсюда напряженность в точке А будет:
Выражение C) определяет величину напряженности в точке А. На-
Направление напряженности совпадает с направлением силы f. Следова-
Следовательно, вектор Е направлен по линии, соединяющей заряд q с точ-
точкой А, в сторону от заряда q, если q положительно, и в сторону
заряда q, если q отрицательно (рис. 11).
В векторном виде напряженность Е запи- а> +Ч% •""' ^*
шется:
Р — 1 L А
г2 "г1 (За) б) -q% E-* •
где г —радиус-вектор, проведенный от того Рис. 11. Направление напря-
места, где расположен точечный заряд д, к жеНности электростатиче-
тому месту, в котором вычисляется напряжен- ского поля Е.
иость поля Е.
Если напряженность создается несколькими точечными зарядами
qx, qit..., qn, то результирующая напряженность в некоторой
точке выражается геометрической суммой напряженноетей, соз-
создаваемых отдельными зарядами. Это следует из того факта, что
сила f, действующая на заряд qw помещенный в данную точку, равна
геометрической сумме сил flf f2 тя, создаваемых каждым заря-
зарядом в отдельности:

20 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [гл. XIV
из этого равенства находим, что напряженность, измеряемая отноше-
отношением силы f к заряду qa, будет:
Члены, стоящие справа, представляют напряженности Ej, Е2,..., Е„,
создаваемые зарядами qb д% qn. Следовательно,
Е = Е, + Е2 + ... + Еп. D)
2. Напряженность поля диполя. Диполем называется сово-
совокупность двух равных зарядов противоположного знака, находящихся
друг от друга на расстоянии /, малом по сравнению с их ратстоя-
г нием от точек, в которых
г— л! определяется напряженность
щ к Щг •—»—Е поля. Линию, проходящую
* v ft * через заряды, назовем осью
^ г* диполя. Определим напря-
Рис. 12. К определению напряженности ноля женность электростатиче-
на оси диполя. ского поля на оси диполя,
на которой выберем произ-
произвольную точку А (рис. 12). Расстояние точки А от зарядов -\-q
и — q обозначим соответственно г+ и г_. Расстояние точки А до
средней точки диполя обозначим через г; тогда:
г+=г 2~, Г- = Г^~Т"
Напряженность Е равна геометрической сумме напряженностей Е+
и Е_, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. В данном слу-
случае, так как Е+ и Е_ направлены вдоль оси диполя, геометрическая
сумма сводится к сумме алгебраической:
или
r\ ¦ rl rl- rl
Далее имеем:
и так как по условию г^>/, то приближенно
и выражение для Е принимает вид:

§ 124] НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Произведение заряда q на расстояние межд󦦦 зарядами
называется моментом диполя. Введя в формулу для Е момент
диполя р, получаем окончательно:
с = -^. (о)
Напряженность поля Е в точке А направлена вправо от оси диполя.
Рассмотрим напряженность в точке В, лежащей на перпендику-
перпендикуляре ОВ к оси диполя, восстановленном из середины диполя (рис. 13).
Напряженность в точке В есть геометрическая сумма напряженностей,
создаваемых зарядами -)- q и — q. Так как расстояния г+ и г_ точки В
от обоих зарядов равны, то численно:
L*, i —— С, ——— ^~ »
Направления векторов напряженностей Е+ и Е_
указаны на рис. 13.
Результирующий вектор напряженности Е =
= Е+-|-Е_, как видно из рис. 13, по вели-
величине равен:
= Е+ cos а -)-?¦_ cos а = —~ cos а
г+
или
r+
Рис. 13. К определе-
определению напряженности
Обозначим расстояние точки В от середины поля диполя в точке Д.
диполя через г, тогда, так как 1<^г, то при-
приближенно г+ = г, и последняя формула может быть переписана в виде
Е— SL
Вводя, наконец, момент диполя p=ql, получим:
F)
Сравнивая формулы E) и F), видим, что в обоих случаях напряжен-
напряженность поля диполя пропорциональна моменту диполя р и обратно
пропорциональна кубу расстояния г от диполя.
Рассмотренные выше примеры показывают, что результирующую
напряженность можно рассчитывать как геометрическую сумму напря-
напряженностей, создаваемых точечными зарядами, образующими электри-
электрическую систему. Однако в большинстве случаев расчет с помощью
представления системы, как совокупности точечных зарядов,

22 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XIV
является чрезвычайно громоздким или вообще невыполнимым; поэтому
определение напряженности во многих задачах производится с помощью
некоторых вспомогательных приемов, о которых речь будет ниже.
Исходя из формулы E) для напряженности поля диполя, легко найти силу
взаимодействия двух жестких диполей, расположенных вдоль одной прямой
на расстоянии г, большом тто сравнению с их собственными размерами.
При этом под жестким диполем подразумевается такой диполь, расстоя-
расстояние / между зарядами которого не изменяется под влиянием внешних сил; оба
заряда такого диполя „жестко"
•t h связаны друг с другом.
> • > ' о Рассмотрим сперва случай,
~Я/ [_ +Ч) у-?а е'?2 когда оба диполя направлены друг
v по отношению к другу разно-
разноименными концами (рис. 14). Пусть
Рис. 14. К определению силы взаимо- расстояние г отсчитано от сере-
действия двух диполей. дины первого диполя до ближай-
ближайшего заряда — qt второго диполя.
Напряженность поля ?,, создаваемого первым диполем в том месте, где на-
находится заряд — qit по формуле E) равна
где Pi = qth — момент первого диполя. Благодаря наличию этой напряжен-
напряженности, на заряд — qa второго диполя действует сила
На заряд-f-ija того же диполя действует сила
Суммарная сила, действующая на второй диполь как на целое, равна:
Так как по условию / <^ г, то приближенно:
^еП — 3^, откуда" / = —^
г
или, так как Uqs =p2, где р2 — момент второго диполя,
Знак минус означает, что результирующая сила является силой притя-
притяжения.
В случае, когда оба диполя направлены друг, по отношению к другу
одноименными концами, как легко видеть, сила взаимодействия между ними
та же, но положительна, т. е. является силой отталкивания.
Формула G) показывает, что сила взаимодействия между диполями про-
пропорциональна произведению их моментов и обратно пропорциональна четвер-
четвертой степени расстояния между ними. Расчеты произведены нами для случая

§ 125]
ЛИНИИ НАПРЯЖЕННОСТИ
23
Рис. 15. Линия напря-
напряженности.
диполей, расположенных вдоль одной прямой. Можно показать, что и при
иных расположениях диполей сила взаимодействия между ними обратно про-
пропорциональна четвертой степени расстояния.
§ 126. Линии напряженности. Как было выяснено в предыдущем
параграфе, каждой точке электростатического поля может быть сопо-
сопоставлен вектор напряженности Е.
Введем теперь понятие о линии напряженности, называемой также
силовой линией. Под линией напряженности будем подразумевать
такую лилию, в каждой точке которой вектор
напряженности направлен по касательной
(рис. 15). Линии напряженности приписываем
направление, совпадающее с направлением век-
вектора напряженности в каждой точке линии.
Таким образом, линия напряженности опре-
определяет в каждой точке, через которую она про-
проходит, направление напряженности поля Е, а
следовательно, и направление силы f, действую-
действующей на положительный заряд -\- q, помещенный
в эту точку поля. Так как направление силы f определяет лишь
вектор ускорения, приобретаемого телом, на котором сосредоточен
заряд q, а не направление его перемещения, то, следовательно, заря-
заряженное тело под действием сил поля, вообще говоря, движется не
по линии напряженности. Положительно заряженное тело, на кото-
которое не действуют никакие силы, кроме электрических, будет дви-
двигаться по линии напряженности
только в том случае, когда этл
линия прямая и когда начальная
скорость тела направлена по ли-
линии напряженности.
Рассмотрим примеры линий на-
напряженности.
1. Линии напряженно-
напряженности точечного заряда.
Легко видеть, что линии напря-
напряженности точечного заряда — это
прямые линии, выходящие из за-
заряда, если он положительный, и
входящие в заряд, если он отрицательный (рис. 16 а и б). Таким об-
образом, положительный заряд можно рассматривать как место начала
линий напряженности, а отрицательный заряд — как место окончания
линий напряженности. Касательные к линиям напряженности в обоих
этих случаях совпадают с самими линиями и направлены в каждой
точке в том же направлении, что и напряженность.
2. Линии напряженности двух точечных зарядон.
На рис. 17 а представлены линии напряженности двух точечных
Рис. 16. Линии напряженности точеч-
точечного заряда: а — положительного,
6 — отрицательного.

>4
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. XIV
равных и одноименных зарядов, на рис. 17 б — двух точечных раз-
разноименных зарядов, численно равных друг другу, т. е., другими сло-
словами, линии напряженности диполя.
3. Линии напряженности однородного поля. Одно-
Однородным полем называется такое поле, во всех точках которого напряжен-
напряженности геометрически равны, т. е. одинаковы' по величине и напраиле-
Рис. 17. Линии напряженности двух точечных зарядов:
а— одноименных, б — разноименных.
нию. Очевидно, что линиями напряженности однородного поля являются
прямые, параллельные вектору напряженности.
Ход линий напряженности можно экспериментально обнаружить,
воспользовавшись тем, что удлиненные кусочки диэлектрика, поляри-
поляризуясь, располагаются вдоль линий напряженности. Для демонстрации
употребляют мелкие игольчатые кристаллы гипса, насыпая их на сте-
стеклянную пластинку с наклеенными на нее
кусками станиоля, которым сообщаются
заряды. На рис. 18 представлено распо-
ложение кристалликов гипса вблизи двух
станиолевых кружков, заряженных разно-
разноименно.
Так как напряженность поля в каждой
данной точке пространства имеет лишь
одно направление, то линии напряженно-
напряженности никогда не могут пересекаться. Линии
напряженности начинаются на положитель-
положительных зарядах и кончаются на отрицательных.
§ 126. Поток напряженности. Тео-
Теорема Остроградского — Гаусса. Из пре-
предыдущего следует, что линию напряжен-
напряженности можно провести через любую точку пространства, так что
число линий, проводимых в пространстве, ничем не ограничено.
Линия напряженности, характеризуя направление напряженности,
сама по себе не характеризует величины напряженности. Однако
можно ввести условие, связывающее величину напряженности с числом
ттшт
Рис. 18. Расположение кри-
кристалликов гипса вблизи ста-
станиолевых кружков, заряжен-
заряженных разноименно.

§ 126] ПОТОК НАПРЯЖЕННОСТИ. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО — ГАУССА 25
проводимых линий напряженности. Там, где напряженность больше,
будем проводить линии гуще, а там, где она меньше, — менее густо.1
Произвольное поле можно мысленно разбить на малые области,
в которых напряженность меняется столь мало, что поле можно счи-
считать в пределах этой области однородным. Проведем мысленно в
такой области площадку Д50 (рис. 1.9), перпенди-
перпендикулярную к линиям напряженности.
Условимся через эту площадку проводить та-
такое число AN линий напряженности, чтобы число
линий, приходящихся на единицу тюперхности пло-
площадки Д?о, равнялось значению напряженности в
области площадки, т. е. потребуем, чтобы выпол-
выполнялось соотношение:
ДЛГ_
AS •
A)
ASg
,-, Рис. 19. Площадка
При выполнении этого условия построения ли- д^ перпендику-
ний величина напряженности действительно ока- лярная к линиям
зывается связанной с густотой линий напряжен- напряженности,
ности. В тех местах поля, где напряженность
меньше, линии напряженности проходят менее густо, а там, где напря-
напряженность больше, линии идут гуще.
Общее число линий напряженности, пронизывающих некоторую
поверхность, назовем потоком напряженности через эту поверх-
поверхность и обозначим буквой N. Число линий
AN, пронизывающих элементарную пло-
площадку Д^о, образует элементарный поток
через эту площадку.
Рассмотрим, какое число AN линий на-
напряженности пронизывает малую площадку AS
(рис. 20), направление нормали п к которой
образует угол а. с направлением линий на-
напряженности. Пусть ASa — проекция AS на
плоскость, перпендикулярную к направлению
Рис. 20. Площадка AS,
расположенная наклонно „
по отношению к линиям линий напряженности. Очевидно, что те и
напряженности. только те линии, которые пронизывают
площадку AS, пройдут и через площадку
AS0; следовательно, из соотношения A) имеем:
AN = AS0 ¦ Е = AS • cos a • Е.
Но величина Е cos а представляет собой проекцию вектора напряжен-
напряженности на направление нормали п к поверхности AS:
Ecos <x =
следовательно,
B)

26
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. XIV
Это соотношение определяет элементарный поток напряженности,
пронизывающий произвольно ориентированный элемент поверхности AS.
Следовательно, элементарный поток напряженности через произвольно
расположенный элемент поверхности равен произведению нормальной
к элементу составляющей напряженности Е на площадь элемента.
Если площадка AS параллельна линиям напряженности, то поток
через нее равен нулю, так как в этом случае а = тс/2 и ?'„ = 0.
Знак потока зависит от того, какой угол образуют линии вектора
напряженности с тем направлением нормали, которое принято за по-
положительное.
На рис. 20 поток положителен; если бы мы выбрали за положи-
положительное направление нормали п направление, противоположное ука-
указанному на рис. 20, то знак потока изменился бы на отрицательный.
Поток напряженности через конечную поверхность 5 определяется
как алгебраическая сумма элементарных потоков:
я Д5. C)
Суммирование производится по всем элементам поверхности, на
которые мы разбиваем нашу поверхность 5.
Элементы поверхности AS надо брать бесконечно малыми. Обозначая
поэтому элемент поверхности через dS, получим для элементарного потока
напряженности dN выражение:
dN = EHdS.
Поток напряженности TV через поверхность S
выразится суммой бесконечно большого числа та-
таких бесконечно малых элементарных потоков, т. е.
интегралом
'=\EndS,
(За)
где значок S означает, что интеграл распростра-
распространен на всю рассматриваемую поверхность S.
Рис. 21. К выводу
теоремы Остроградско-
Остроградского — Гаусса.
Выясним, какое число линий напряжен-
напряженности следует проводить из точечного за-
заряда д, напряженность поля которого ме-
меняется обратно пропорционально квадрату расстояния (§ 124). Так как
точечный заряд q создает поле, обладающее сферической симметрией,
то линии напряженности, как было указано в § 125, представляют собой
симметрично расположенные радиальные линии (рис. 21). Общее число
их обозначим через N. Проведем мысленно сферическую поверхность
произвольного радиуса г с центром в заряде q. Согласно принятому
условию, число линий напряженности, пересекающих единицу поверх-
поверхности, к ним перпендикулярной, равно значению напряженности в
точках поверхности. Проведенная сферическая поверхность перпен-
перпендикулярна к радиальным линиям напряженности. Общее число их

§ 126] ПОТОК НАПРЯЖЕННОСТИ. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО ГАУССА 27
по предположению равно N, следовательно, через единицу поверхности
их будет проходить j—j. Эта величина должна по условию A) численно
равняться напряженности на расстоянии г от п
заряда, т. е.
N _д
4itr2 r2 '
откуда
N=l«q. D)
Рис. 22. Положитель-
Положительное направление нор-
нормалей к замкнутой
поверхности.
Таким образом, надо из каждого точечного
заряда q проводить \щ симметрично распо-
расположенных линий напряженности.
Путем обобщения этого положения ныво- "
дится так называемая теорема Остроград-
Остроградского — Гаусса, дающая общую связь между
потоком напряженности через замкнутую по-
поверхность и величиной зарядов, находящихся
внутри этой поверхности. Эта теорема облег-
облегчает для многих частных случаев определение
вектора напряженности, создаваемого зарядами, находящимися на телах
конечных или даже бесконечно больших размеров.
Теорема Остроградского — Гаусса может быть сформулирована
следующим образом: поток напряженности через любую замкну-
замкнутую поверхность, охватывающую заряды, равен произведению 4тс
на алгебраическую сумму охватываемых зарядов.
Чтобы доказать это положение, условимся для замкнутой поверх-
поверхности считать положительным направление нормали к элементу поверх-
поверхности, выходящее из объема, ограничивае-
ограничиваемого поверхностью (рис. 22). Тогда линии на-
напряженности, выходящие из объема, огра-
ограниченного данной поверхностью, создадут
положительный поток; линии же, входящие
в объем, создадут отрицательный поток.
• Приняв это условие относительно знака
нормали, покажем прежде всего справедли-
справедливость теоремы Остро градского — Гаусса для
одного точечного зар*яа. Окружим точеч-
точечный заряд q, который будем считать положи-
положительным, произвольной замкнутой поверхно-
поверхностью <9 (рис. 23). По доказанному, из заряда
надо провести Anq линий напряженности.
Каждая из этих линий пересечет поверхность 5" либо один раз, как
линии А и В, либо любое другое, нечетное число раз, как, напри-
например, линия С, которая пересекает поверхность три раза. Но линия С
дважды выходит из поверхности 5 и один раз в нее входит; по
Рис. 23. Пересечение ли-
линиями напряженности
произвольной замкнутой
поверхности.

28 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XIV
условию относительно знака потока в местах выхода она создает
положительный поток, а в местах входа—-отрицательный; таким
образом, для расчета потока напряженности через замкнутую
поверхность 5 линия напряженности С должна учитываться только
один раз. Так же будет обстоять дело и с любой другой линией
напряженности. В результате мы получим, что общее число ли-
линий напряженности, пронизывающих замкнутую поверхность лю-
бий формы, охватывающую точечный заряд q, равно числу линий,
исходящих из точечного заряда q, т. е. равно \щ. По определению,
это полное число линий напряженности N дает поток напряженности
череа замкнутую поверхность 5.
Таким образом, справедливость теоремы Остроградского — Гаусса
для одного точечного заряда доказана.
Для общего случая, когда внутри замкнутой поверхности нахо-
находится любое число k зарядов qb qit ..., qk, рассмотрим поток
напряженности, создаваемый одним из них, который мы обозначим qt.
По сказанному, поток, создаваемый этим зарядом, 1^1 = \щ1\ при
этом знак потока совпадает со знаком заряда.
Полный поток N, создаваемый всеми зарядами, равен алгебраи-
алгебраической сумме потоков, создаваемых отдельными зарядами, т. е.
Этот результат и выражает собой теорему Остроградского—¦
Гаусса, сформулированную выше.
Из теоремы Остроградского — Гаусса получается ряд важных
следствий.
Во-первых, из теоремы мы снова получаем, что линии напряжен-
напряженности могут начинаться только в местах положительных зарядов,
а кончаться только в местах отрицательных зарядов.
Во-вторых, если мы возьмем замкнутую поверхность, охватываю-
охватывающую заряды, алгебраическая сумма которых равна нулю, то полный
поток напряженности через поверхность равен нулю; это означает,
что число линий, выходящих из объема, .ограниченного данной по-
поверхностью, равно числу линий, входящих в объем.
В-третьих, если замкнутая поверхность проведена в поле так, что
внутри нее нет зарядов, то линии напряженности будут ее пронизы-
пронизывать, не начинаясь и не кончаясь внутри нее. Следовательно, число
входящих линий равно числу выходящих, и полный поток напряжен-
напряженности через поверхность также равен нулю.
§ 127. Более строгий вывод теоремы Остроградского — Гаусса.
Ввиду важности рассматриваемых в § 126 вопросов, приведем вывод теоремы
Остроградского — Гаусса непосредственно из закона Кулона и не основанный
на применении понятия о линиях напряженности. Как и в предыдущем, разо-
разобьем поле на столь малые области, чтобы в пределах этих областей его можно
было считать однородным.

§ 127] БОЛЕЕ СТРОГИЙ ВЫВОД ТЕОРЕМЫ ОСТРОГРАДСКОГО — ГАУССА
29
Если взять в такой области бесконечно малую площадку dS (рис. 24), то
в ее пределах напряженность Е можно считать постоянной по величине и на-
направлению. Выберем положительное направление нормали к площадке, обозна-
обозначив его через п. Элементарный поток напряженности dN через площадку dS
определится соотношением:
dN=EndS,
где Е„ означает проекцию вектора Е на направление нормали п. Определим
теперь элементарный поток, создаваемый через площадку dS точечный за-
зарядом д, находящимся в такой точке, из которой элемент dS виден под телес-
телесным углом dm (рис. 24). По закону Кулона
напряженность Е направлена по радиусу-
вектору г, проведенному из точки, где рас-
расположен заряд. Поэтому угол а между нор-
нормалью п и напряженностью Е равен углу
между элементами поверхности dS и dSo,
где dSo— проекция dS на направление, пер-
перпендикулярное к радиусу-вектору г. Отсюда
следует, что:
dN = EndS = E cos a dS = EdS0.
Так как в силу закона Кулона
Е-3-
то выражение для dN можно переписать
в виде:
Величина
dS0
есть, по определению, те-
теРис. 24. К более точному вы-
выводу теоремы Остроград-
Остроградского — Гаусса.
лесный угол du>, под которым элемент dS виден из места заряда. Отсюда
окончательно получим:
dN= qda, A)
т. е. элементарный поток напряженности dN, создаваемый точечным зарядом
через элемент поверхности dS, равен произведению величины заряда д на
величину телесного угла dm, под которым элемент поверхности dS виден из
точки, где помещен заряд.
Полный поток N через замкнутую поверхность представляет собой сумму
элементарных потоков через элементы поверхности. Однако ввиду того, что
элементарные потоки бесконечно малы, суммирование должно быть заменено
интегрированием:
N =
Воспользовавшись формулой A)
жение в виде:
для dN, перепишем последнее выра-
Ч'
B)
Условимся, как и прежде, считать положительным направление нормали,
выходящей из объема, ограниченного данной поверхностью; телесный угол
будем считать положительным, когда из точки, где расположен заряд, видна
внутренняя сторона поверхности.
Если заряд расположен внутри поверхности, то интеграл в формуле B)
должен быть распространен на весь телесный угол, под которым видна

30
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. XIV
замкнутая поверхность из точки, расположенной внутри этой поверхности.
Как известно, он равен 4я, откуда:
N
= q Wm =
Ащ.
Если заряд находится вне замкнутой поверхности (рис. 25), то каждый
элементарный телесный угол da входит под интеграл и со знаком плюс (для
элемента поверхности dSu внутренняя сторона которого видна из точки за-
ряда)*и со знаком минус (для элемента dS2, внешняя сторона которого
видна из точки заряда); следовательно, в этом случае в результате интегри-
интегрирования по углам мы получим нуль, откуда
следует, что и N = 0.
Результат этих интегрирований и даст
теорему Остроградского — Гаусса: поток
напряженности через замкнутую поверх-
поверхность равен произведению 4п на заряд,
находящийся внутри поверхности.
Рис. 25. К определению потока
от заряда, находящегося вне
замкнутой поверхности.
§ 128. Применения теоремы Ос-
Остроградского— Гаусса. Так как вся-
всякий заряд можно представить как сумму
бесконечно большого числа бесконечно
малых зарядов, которые можно считать
точечными,то теорема Остроградского —
Гаусса справедлива по отношению к
зарядам любой формы и размера. На этом
основана плодотворность ее применения.
Прежде чем рассмотреть применения теоремы Остроградского —
Гаусса, введем понятие об объемной и поверхностной плотностях зарядов.
Во многих задачах заряды оказываются распределенными в неко-
некотором объеме; в таких задачах существенно ввести в рассмотрение
объемную плотность распределения зарядов. Пусть в некотором объеме
Д V имеется заряд Д<?. Тогда под средней объемной плотностью заряда
будем подразумевать физическую величину, определяемую отношением
^='i- A)
Плотность р в данной точке определим как предел, к которому
стремится это отношение при стягивании объемаW к нулю:
р = пред. (Л\
д'/-^о\ДКУ Aа)
В некоторых случаях заряды располагаются по поверхности тел,
причем толщина слоя зарядов настолько мала, что ею можно пре-
пренебречь. В таких случаях мы вводим понятие о поверхностной
плотности зарядов. Пусть на некоторую поверхность AS приходится
заряд Дд1, тогда средняя поверхностная плотность заряда о" опреде-
определится отношением:
B)

§ 128]
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ОСТРОГРАДСКОГО ГАУССА
31
. Поверхностная плотность о в данной точке будет равна пределу, к ко-
которому стремится это отношение при стягивании поверхности AS к нулю:
Bа)
в
Рис. 26. Линии напряжен-
напряженности поля бесконечной
плоскости.
о = пред. | _-.,
as¦ — о \ASJ •
Определим теперь с помощью теоремы Остроградского — Гаусса
напряженность поля для ряда случаев.
1. Напряженность поля равномерно заряженной
бесконечной плоскости. Рассмотрим электростатическое поле,
создаваемое бесконечной плоскостью, заря-
заряженной с плотностью -j- а, постоянной во
всех точках плоскости. По соображениям
симметрии можно считать, что линии напря-
напряженности перпендикулярны к плоскости и
направлены от нее. Чтобы в этом убедиться,
будем рассуждать от противного; предполо-
предположим, что линии напряженности направлены
под некоторым углом к перпендикуляру
к плоскости. Если бы линии напряженности
были направлены так, как это изображено на
рис. 26 пунктиром, то это означало бы, что
от верхней полуплоскости положительный за-
заряд отталкивается сильней, чем от нижней,
что находится в противоречии с нашим предположением о бесконеч-
бесконечности плоскости и о постоянстве поверхностной плотности заряда Hd
ней. Таким же рассуждением можно показать, что линии напряжен-
напряженности не могут иметь никакого другого
направления, кроме нормального к по-
поверхности. Рассмотрим точку А, лежащую
справа от плоскости. Напряженность в
этой точке направлена вправо; это сле-
следует из того, что она равна силе, дей-
действующей на единичный положительный
заряд, который отталкивается от поло-
положительно заряженной плоскости. Если мы
возьмем точку В, расположенную симме-
симметрично с точкой А влево от плоскости, то
повторением приведенных рассуждений
убедимся, что в ней напряженность Е на-
направлена в противоположную сторону по
сравнению с направлением напряженности
в точке А. Следовательно, линии напряженности будут прямыми, выхо-
выходящими из плоскости и перпендикулярными к ней.
Определим величину напряженности в точке А, применяя теорему
Остроградского — Гаусса. В качестве замкнутой поверхности выберем
Рис. 27, К подсчету напря-
напряженности поля бесконечной
плоскости.

32
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. XIV
цилиндрическую поверхность (рис. 27), построенную следующим
образом: берем произвольный участок 5 заряженной плоскости за
среднее сечение цилиндра; боковую поверхность цилиндра проводим
параллельно линиям напряженности. Оба основания цилиндра ^ и S%
проводим соответственно через точки А и В, параллельно плоскости.
Тогда по соображениям симметрии можно считать, что напряжен-
напряженности постоянны во всех точках каждого из оснований S, и ?2,
по численному значению равны друг другу и равны искомой напряжен-
напряженности Е в точке А. Рассчитаем поток напряженности через рассматри-
рассматриваемую цилиндрическую поверхность. Поток через боковую поверхность
равен нулю, так как линии напряженности параллельны боковой по-
поверхности. Следовательно, полный поток N складывается из потоков
/V] и А/^ через основания цилиндра Si и 5g. Оба эти потока положи-
положительны. Так как поверхности Si и 5а перпендикулярны к линиям
напряженности, то потоки через них получаются умножением величины
напряженности на площадь основания. Таким образом имеем:
N = Ni + N2 = ESi + ESv = E • 2S.
По теореме Остроградского — Гаусса полный поток должен равняться
произведению Ак на заряд, заключенный внутри поверхности; этот
заряд равен aS. Следовательно,
откуда искомая напряженность ?' получается равной
C)
Значение Е не зависит от расстояния точки А от плоскости.
То же относится и к точке В. Таким образом, мы получаем справа
и слева от плоскости однородные поля. Если плоскость заряжена
отрицательно, то направление напря-
напряженности противоположно разобран-
разобранному: линии будут входить в пло-
плоскость. Полученный результат верен
только для бесконечной плоскости, так
как только в таком случае могут быть
использованы приведенные соображе-
соображения симметрии; однако приближенно он
справедлив для пространства, приле-
прилегающего к средней части конечной
плоскости, вдали от ее краев.
Рис.28. Линии напряженности 2- Поле ДВУХ бесконечных
поля двух параллельных пло- параллельных плоскостей, за-
скостей. ряженных разноименными зарядами с
плотностями -\-а и — о.
Решение можно получить непосредственно геометрическим сложе-
сложением полей двух плоскостей, заряженных разноименно. Из рис. 28

§ 128J
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ОСТРОГРЛДСКОГО ГАУССА
33
видно, что напряженности полей обеих плоскостей между плоско-
плоскостями направлены в одну сторону, следовательно, их геометрическая
сумма является их арифметической суммой. Напряженность поля
каждой плоскости, согласно предыдущему, равна 2тса, следовательно,
полная напряженность между плоскостями:
Е= 2тса -f 2-о = 4и:а.
D)
Напряженности, создаваемые обеими плоскостями правее правой
и левее левой плоскостей, направлены в противоположные стороны.
Следовательно, их геометрическая сумма равна разности их числен-
численных значений; так как численное значение напряженности, создавае-
создаваемой каждой плоскостью, равно 2иа, то результирующая напряжен-
напряженность для точек вне плоскостей равна нулю:
Е=0. Dа)
3. Напряженность поля, создаваемого равномерно
заряженной сферической поверхностью. Предположим,
что сферическая поверхность радиуса R
заряжена положительным электриче-
электричеством и что поверхностная плотность
заряда -j- а постоянна во всех точках
поверхности. Общий заряд сфериче-
сферической поверхности обозначим через q.
Задачу разобьем на две части: а) опре-
определение напряженности электростати-
электростатического поля вне сферической поверх-
поверхности, б) определение напряженности
внутри сферической поверхности.
Возьмем точку А, отстоящую от
центра заряженной сферической по-
поверхности на расстоянии r^> R (рис. 29).
Проведем через нее мысленно
сферическую поверхность 5 радиуса г
с центром в центре заряженной сферы.
По соображениям симметрии ясно, что напряженность будет численно
одинакова во всех точках этой поверхности. Также по соображе-
соображениям симметрии ясно, что в каждой точке вектор напряженности
должен быть направлен по продолжению радиуса.
Применим теорему Остроградского — Гаусса к этой сферической
поверхности 5 радиуса г. Так как эта поверхность перпендикулярна
к линиям напряженности, то полный поток через нее получим, умно-
умножив напряженность Е на величину поверхности, откуда полный ноток
равен ?-4w2.
По теореме Остроградского — Гаусса имеем:
Е ¦
Рис. 29. К определению напря-
напряженности ноля заряженной
сферы.
2 С. Фриш и А. Тиморсва

34 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [гл. XIV
откуда
E=jr при r>tf, E)
т. е. напряженность, создаваемая равномерно заряженной сфери-
сферической поверхностью, вне ее такая же, как если бы весь заряд
находился в ее центре.
ПереИдем к точкам, лежащим внутри сферической поверхности.
Возьмем точку В (рис. 29), отстоящую от центра сферы на расстоя-
расстоянии г'<^R, и проведем через эту точку сферическую поверхность
S' с центром в центре заряженной сферы. Очевидно, что напряжен-
напряженность во всех точках этой поверхности будет численно одинакова.
Так же, как и выше, по соображениям симметрии ясно, что напря-
напряженность (если она отлична от нуля) может иметь только радиальное
направление и, следовательно, перпендикулярна к сферической по-
поверхности S'.
Применяя теорему Остроградского — Гаусса к сферической по-
поверхности S', получим
?.4-/*= О,
так как внутри поверхности S' заряд равен пулю; отсюда:
Е = 0 при /</?. F)
Следовательно, напряженность электростатического поля во всех
точках внутри равномерно заряженной сферической поверхности
равна нулю.
Можно показать (ср. § 132), что формулы E) и F) остаются
справедливыми и для заряженного проводящего шара с зарядом q.
4. Напряженность пол я создаваемого равномерно
заряженной сферой. Возьмем сферу радиуса jR, общий поло-
положительный заряд q которой распределен по объему сферы с посто-
постоянной плотностью
Напряженность поля в произвольной точке А (рис. 29), находящейся
вне заряженной сферы и отстоящей от центра сферы на расстоянии
г^>7?, очевидно, дается тем же выражением, что и напряженность
от заряженной сферической поверхности:
и направлена так же по продолжению радиуса, так как соображения
симметрии и расчет будут здесь те же. Таким образом, равномерно
заряженная сфера в точках вне ее создает такую напряжен-
напряженность, как если бы весь ее заряд был сосредоточен в центре.

§ 128J ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ОСТРОГРАДСКОГО ГАУССА
35
Определим напряженность в точке В, лежащей внутри заряжен-
заряженной сферы и отстоящей от центра сферы на расстоянии г'<^/?.
В этом случае условия симметрии те же, что и выше, откуда сле-
следует, что напряженность численно одинакова на всех точках сфери-
сферической поверхности радиуса г' с центром в центре заряженной сферы,
причем в каждой точке напряженность имеет радиальное направление.
Заряд q', находящийся внутри поверхности радиуса f, равен:
или, так как р =
то
Применяя теорему Остроградского — Гаусса к сферической по-
поверхности радиуса г, получаем:
откуда
F— -Л_ —-?_ г'
** 4nr'3 R* г-
Из формулы G) видно, что напряженность внутри равномерно
заряженной сферы возрастает пропорционально расстоянию от
Рис. 30. Напряженность поля: а — поверхностно заряженной
сферы, 6 — объемно заряженной сферы.
центра сферы. Это обстоятельство обусловлено тем фактом, что на-
напряженность, как сказано, создается лишь той частью общего заряда,
которая отстоит от центра не дальше, чем та точка, в которой вычис-
вычисляется напряженность. Заряды, находящиеся вне мысленно проведен-
проведенной сферы радиуса /, по теореме Остроградского — Гаусса, дают на
поверхности этой сферы напряженность поля, равную нулю.
На рис. 30а приведен график напряженности для случая поверх-
поверхностно заряженной сферы и на рис. 30<? — для случая объемно заря-
заряженной сферы.
5. Напряженность поля, создаваемого равномерно
заряженной бесконечной цилиндрической поверх-
поверхностью. Возьмем цилиндрическую поверхность радиуса R,

36
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. XIV
заряженную с постоянной поверхностной плотностью -[-а. Определим
напряженность в точке А, отстоящей на расстоянии r~^> R от оси
цилиндра (рис. 31). Симметрия задачи сразу позволяет заключить,
что напряженность в точке А должна быть направлена по продол-
продолжению радиуса-вектора г. Теорему Остроградского—Гаусса будем
применять к проведенной через точку А цилиндрической поверх-
поверхности, ось которой совпадает с осью заряженного цилиндра, а верх-
верхнее и нижнее основания перпендикулярны к оси
и отстоят друг от друга на расстоянии /. Пол-
Полный поток через эту поверхность выразится
только потоком через боковую поверхность,
так как напряженность параллельна основа-
основаниям, и поток через них равен нулю. Так как
линии напряженности перпендикулярны к боко-
боковой поверхности цилиндра, то мы получим пол-
полный поток N, умножая значение напряженно-
напряженности Е на величину боковой поверхности 1кг 1:
N—2r:rL-E. (8)
В силу теоремы Остроградского — Гаусса,
поток N ч кленно равен произведению 4тс на
заряд, заключенный внутри поверхности, через
которую рассчитывается поток; этот заряд q рааен заряду, прихо-
приходящемуся на длину / цилиндра:
Рис. 31. К определе-
определению напряженности
ноля заряженного ци-
цилиндра.
следовательно, по теореме Гаусса:
сравнивая это выражение для N с выражением (8), получим:
E=^. (9)
Так как 2-aR численно равно площади боковой поверхности ци-
цилиндра, отнесенной к единице длины цилиндра, то т] = 2тс/^а пред-
представляет собой заряд, отнесенный к единице длины цилиндра. Отсюда
формуле (9) может быть также придан вид:
? = —• (9а)
Напряженность поля убывает обратно пропорционально рас-
расстоянию от оси цилиндра. Аналогичным приемом легко показать,
что напряженность поля внутри равномерно заряженной цилин-
цилиндрической поверхности равна нулю.
Рассмотренные примеры показывают, что применение теоремы
Остроградского — Гаусса дает всзможность рассчитать электростати-

§ 129] РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ПОТЕНЦИАЛ
37
ческое поле в тех случаях, когда оно симметрично, и по соображениям
симметрии можно наперед указать направление линий напряженности.
§ 129. Работа сил электростатического поля. Потенциал. При
перемещении зарядов в электростатическом поле силы, приложенные
к зарядам, совершают работу. Как будет показано ниже, силы элек-
электростатического поля обладают тем свойством, что работа, совер-
совершаемая ими при перемещении заряда, зависит не от того, по какому
пути заряд перемещается, а зависит только от величины заряда и от
его начального и конечного положений. Это
свойство поля позволяет охарактеризовать
любую точку поля с помощью особой функ-
функции, называемой потенциалом точки поля.
Работа перемещения заряда от точки к точке
выражается через разность значений потен-
потенциалов этих двух точек.
Рассмотрим сперва работу электрических
сил в поле точечных зарядов.
Возьмем положительный заряд <7о. кото-
который перемещается в поле заряда q из точки а
в весьма близкую точку Ъ (рис. 32). Заряд q
пусть расположен неподвижно в некоторой
точке О. Бесконечно малое перемещение Us
заряда qa между точками а и b можно счи-
считать прямолинейным и на этом перемещении
пренебречь изменением силы /, действующей на заряд q0, и считать
ее постоянной по величине и направлению. Согласно определению
понятия работы, элементарная работа dA- силы / на перемещении ds
равна:
dA = fds- cos a,
где а — угол между направлением силы f (совпадающим с направле-
направлением напряженности Е) и направлением смещения ds. Опустим из
точки b перпендикуляр на продолжение прямой Оа, тогда видно, что
ds ¦ cos oi= Ос—Оа, но Ос, при бесконечно малом смещении ds мо-
может быть положено равным Ob, откуда ds -cos a = Ob—Oa = dr,
где dr—изменение расстояния между зарядами q и q9 при переме-
перемещении заряда <7о из точки а в точку Ь. Отсюда получаем для эле-
элементарной работы dA выражение:
Рис. 32. К определению
работы перемещения за-
заряда #о на пути ds.
dA = fdr.
A)
Сила / представляет собою кулонову силу взаимодействия заря-
зарядов <7о и Ц\ ввиду малости смещения ds ее можно, как мы отметили,
считать постоянной на всем перемещении ds и, следовательно, равной
f qqo
J — r, ,

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
[гл. xiv
где г = 0а. Подставляя это значение /в выражение работы A) найдем:
dA = Цпс1г. B)
Пусть теперь заряд qa перемещается из точки А, находящейся
на расстоянии Г\ от заряда q, в точку В, находящуюся на расстоя-
расстоянии rs от него (рис. 33), и при этом пусть точки Л и В не близки
друг к другу. Для того чтобы опреде-
определить работу на всем конечном переме-
перемещении А В, разобьем его на бесконечно
малые перемещения ds. На каждом из
таких перемещений элементарная работа
dA выразится формулой B), а полная ра-
работа А на всем пути АВ выразится сум-
суммой всех таких элементарных работ, т. е.
интегралом, взятым в пределах от Ту до гу.
Рис. 33. К определению ра-
работы перемещения заряда qa
на пути АВ.
C)
Вынося произведение qqu, как постоянное, из-под знака интеграла
получим
Это выражение для работы А мы можем записать в виде:
D)
откуда имеем, что работа сил поля при перемещении заряда qn
в поле точечного заряда q выражается произведением величины
перемещаемого заряда на разность значений qjr в начальной, и
конечной точках перемещения.
Введем функцию V, определяемую равенством
v=-;!-+с, E)
где С— произвольная постоянная. Функция V будет иметь для точки А
значение:
V. _ 11
.=-;,+с
а для точки В—значение:
Разность У, — У2 окажется равной ^- — У-, так как аддитивные по-
Г у Га

§ 129] РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ПОТЕНЦИАЛ 39
стоянные С сократятся. Функция V, определяемая равенством E),
называется потенциалом точечного заряда q. Вводя значение потен-
потенциала в формулу D), получим:
A = qu(Vl—Vi), (б)
где V\ и V<i — значения функции V и точках А и В. Таким образом,
работа сил поля при перемещении заряда численно равна произ-
произведению его величины на разность потенциалов в начальной и
конечной точках пути и, следовательно, не зависит от формы пути, а
только от положения его начальной и конечной точек. Если путь замкнут,
то начальная и конечная точки пути совпадают, откуда Vj = Va и, по F),
А = 0, т. е. при перемещении заряда j
по замкнутому пути работа элек-
электрических сил равна нулю.
Рассмотрим теперь работу электри-
электрических сил при перемещении заряда в по- д •
ле системы точечных зарядов. Возьмем
систему точечных зарядов qb q.h..., qn Л *13
(рис. 34) и предположим, что заряд qa не- '2
ремещается в поле этой системы из неко- '¦ Перемещение за-
„ , ~ .-> . ряда п„ в поле системы заря-
торой точки/ в точку 2. Сила т, действую- дов „| „ „
щая на заряд qn, представляет собой рав-
равнодействующую сил ft) f8,..., \п, с которыми действует на заряд аа каждый
из зарядов qu qb...,qn в отдельности. Так как работа равнодей-
равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил,
то работа перемещения заряда qti в поле системы точечных зарядов qu
q,b...,qn равна Л, ~|- А^-\- ... -j- Ап, где Аи А.,,...,Ап — работы пе-
перемещения, совершаемые силами /ь /ь...,/„ в отдельности. Работу At
силы/, можно, по F), представить и виде: At = qt]{\'\{] — V^1'), где
уО) и yU)—потенциалы, создаваемые зарядом qx соответственно в
точках / и 2. Также, обозначив через V[2) н |/|,2'потенциалы, создаваемые
зарядом </2 соответственно в точках / и 2, получим ^2 = 2* 2'
и т. д. Полная работа А равна:
Ч2) )Н- • • • + <7о
Это выражение, очевидно, можно переписать в виде:
а =
Обозначим алгебраическую сумму всех потенциалов в данной точке
буквой V, тогда:
yd) p
откуда работа окажется рапной:
Л = <70(^- V,), ' (8)

40 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XIV
т. е. работа А может быть численно представлена как произведение
из величины qu на разность значений функции V в точках / и 2,
соответствующих началу и концу пути. Следовательно, функция V
представляет собой потенциал, создаваемый всеми зарядами qb
qit..., <7,П) в данной точке. По G), потенциал V системы точеч-
точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов И1',
УB',.. .,V<"', создаваемых отдельными зарядами.
Любую заряженную систему можно разделить па бесконечно боль-
большое число бесконечно малых зарудов, которые для точек, находя-
находящихся вне заряженной системы, можно считать точечными. Таким об-
образом, можно, согласно предыдущему, говорить о потенциале, соз-
создаваемом любой заряженной системой вне ее. Понятие потенциала
можно обобщить и для точек самой заряженной системы, если эта
система заряжена с конечной поверхностной или объемной плотностью.
Это обобщение понятия потенциала дается в общей теории электри-
электрического поля.
Остановимся еще на физическом смысле потенциала. Из фор-
формулы (8) следует, что разность потенциалов в двух точках электро-
электростатического поля численно равна отношению работы, совершаемой
силами поля при перемещении заряда из одной точки в другую,
к величине перемещающегося заряда:
A^Vi-Vt. (9)
Если мы положим qa = -{-\, то увидим, что разность потенциалов
в двух точках измеряется работой, совершаемой силами поля
при перемещении положительного единичного заряда из первой
точки во вторую.
Из соотношения (9) определим единицу измерения разности потен-
потенциалов. В Сбб^-системе за единицу разности потенциалов примем
разность потенциалов между двумя точками, при перемещении между
которыми единичного заряда совершается работа в один эрг. Эта
единица называется электростатической единицей разности потен-
потенциалов. В международной системе единиц за единицу разности по-
потенциалов принимают разность потенциалов между двумя точками,
при перемещении между которыми заряда в один кулон совершается
работа в один джоуль. Эта единица разности потенциалов называет-
называется вольт. Так как приближенно 1 к = 3 • 109 COSE, то с той же
степенью точности:
1 вольт = тщ электростатической единицы разности потенциалов.
Размерность разности потенциалов в Сбб^-системе получается
из соотношения (9):

§ 129) РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ПОТЕНЦИАЛ 4 1
Заметим, что соотношение (9) связывает работу перемещения за-
зарядов лишь с разностью потенциалов. Этим н определяется, что мы
в соответствии с формулой E) можем за потенциал точечного заряда
взять бесконечное число функций, отличающихся друг от друга на
аддитивные постоянные С; разность потенциалов при различном вы-
выборе С не изменится.
Таким образом, выбор постоянной С может быть сделан произвольно.
Простейший случай мы получим, положив С=0; тогда потенциал
точечного заряда q в точке, отстоящей от него на расстоянии г, ранен
V=f. Ea)
Потенциал, по определению, есть величина скалярная. При выборе
аддитивной постоянной С=0 потенциал точечного заряда приобре-
приобретает следующий физический смысл: потенциал данной точка поля
численно равен работе, которую совершат силы поля при пере-
перемещении единичного положительного заряда из данной точки
в бесконечно удаленную, потенциал которой равен нулю. Дей-
Действительно, работа перемещения единичного заряда из данной точки
поля в бесконечно удаленную от заряда будет:
, &_ ±_ q _ J7
°~ q,~~ r oJ " г ¦
В случае, когда мы имеем дело со сложными системами зарядов,
будем выбирать, по возможности, значение произвольной постоянной,
«ходящей в выражения потенциала таким образом, чтобы потенциал
бесконечно удаленных от системы точек равнялся нулю.1 Тогда потен-
потенциал данной точки поля будет численно равен работе Ло, совершае-
совершаемой силами, действующими со стороны поля на заряд, при переме-
перемещении единичного заряда из данной точки в бесконечность. В прак-
практических случаях, в которых нас обычно интересует разность потен-
потенциалов, часто удобно условно считать за нуль
потенциал земной поверхности.
Рассмотрим теперь общий случай перемещения
заряда <70 в любом электростатическом поле, харак-
характеризуемом напряженностью Е. На бесконечно малом
перемещении совершится работа:
dA =¦/ cos ol ds. ""' ds
Замечая, что f = 90E, перепишем это выражение рис 35 К определе-
для элементарной работы dA в виде: нию" ' элементарной
dA = q0B cos a ds. работы dA.
Но Е cos а представляет собой проекцию Е>ектора -напряженности Е на
направление касательной к пути в данной точке (рис. 35). Обозначая эту
проекцию через Es, получим:
dA = q0Es ds.
1 Такой выбор произвольной постоянной всегда может быть осуществлен,
если заряженная система имеет конечные размеры.

42 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XIV
Работу А, совершаемую на конечном участке пути, получим, интегрируя
выражение для dA:
в
А —
\ qaEs ds,
А
где интеграл взят в пределах от начальной точки пути А до конечной
точки пути В. По сказанному, эта работа должна численно равняться про-
произведению величины заряда qa па разность потенциалов в точках А и В,
откуда:
в
Вынося заряд д„, как величину постоянную, из-под знака интеграла и
сокращая на q0, получим:
В
Для замкнутого пути VA = Vв и, следовательно,
С ?,</«= 0, A0)
S
где интегрирование распространено на весь замкнутый контур.
Контурный интеграл J Es ds есть предел суммы ?Es&s no всем элемен-
элементам As замкнутого контура, взятого при условии, что элементы As стремятся
к нулю и что число элементов неограниченно возрастает. Такой интеграл
называется циркуляцией вектора электростатической напряженности. Фор-
Формула A0) является математическим выражением того, что в электростатическом
иоле работа электрических сил на замкнутом пути равна нулю. Циркуляция
вектора электростатической напряженности равна нулю. Так как поле, в котором
работа сил по замкнутому пути равна нулю, называется потенциальным, то
можно сказать, что выражение A0) указывает на потенциальный характер
электростатического ноля.
§ 130. Поверхности уровня потенциала. Потенциал электростати-
электростатического поля представляет собой функцию, меняющуюся от точки
к точке. Однако но всяком реальном случае можно выделить сово-
совокупность точек, потенциалы которых одинаковы.
Геометрическое место точек постоянного потенциала назовем по-
поверхностью уровня потенциала или эквипотенциальной поверх-
поверхностью.
Очевидно, что работа перемещения заряда по поверхности уровня
потенциала равна нулю.
В качестве иллюстрации рассмотрим поверхность уровня потен-
потенциала точечного заряда. Потенциал точечного заряда, как было пока-
показано, равен

§ 130]
ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ ПОТЕНЦИАЛА
43
I I
—1—г
где г — расстояние точки, в которой вычисляется потенциал, от за-
заряда q. Следовательно, поверхностью уровня потенциала будет поверх-
поверхность постоянного значении г, т. е.
сфера с центром в точечном заряде
(рис. 36).
Расположение поверхностей уровня
потенциала часто бывает возможно оп-
определить из соображений симметрии, не
пользуясь аналитическим выражением по-
потенциала, на том основании, что работа пе-
перемещения заряда по поверхности уров-
уровня равна нулю. Например, для определе-
определения поверхностей уровня потенциала,
создаваемого равномерно заряженной
сферой, заметим, что поле, создавае-
создаваемое сферой, обладает сферической сим-
симметрией, вследствие чего работа, со-
совершаемая силами поля при перемеще-
Рис. 36. Поверхности уровня
потенциала (пунктирные линии)
и линии напряженности (сплош-
(сплошные линии) точечного заряда.
нии единичного положительного заряда по поверхности сферы любого
радиуса равна нулю. Отсюда заключаем, что поверхности уровня
потенциала будут и в этом случае сферами, концентрическими с за-
заряженной сферой. Тот же результат получится и для заряженного
проводящего шара. В обоих случаях потенциал
вне шара и па его поверхности определяется
формулой A).
Если точечный заряд, или заряд сферы, по-
положителен, то силы, действующие со стороны
поля на заряд, совершают положительную ра-
работу при удалении единичного положительного
заряда от источника поля. Следовательно, в
этом случае численные значения потенциалов
поверхностей уровня убывают с увеличением
радиуса. Если точечный заряд, или заряд
сферы, отрицателен, то при удалении поло-
положительного заряда от источника силы поля со-
совершают отрицательную работу. В этом слу-
случае значения потенциалов поверхностей уровня
будут отрицательны, и по мере увеличения их
радиуса потенциалы будут возрастать (убывая
по абсолютному значению).
Возьмем равномерно заряженную бесконечную плоскость;поле, созда-
создаваемое такой плоскостью, однородно, а линии напряженности нормальны
к плоскости. Отсюда следует, что работа перемещения заряда из неко-
некоторой точки В, (рис. 37) п любую другую точку Z?2, находящуюся на таком
же расстоянии от заряженной плоскости, что и точка By, равна нулю.
1
1
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1!
Рис. 37. Поверхности
уровня потенциала
бесконечной заряжен-
заряженной плоскости.

44 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
Следовательно, потенциалы таких точек одинаковы:
[гл. xiv
таким образом, поверхности уровня потенциала являются плоскостями,
параллельными заряженной плоскости. Если плоскость заряжена поло-
положительно, то значение потенциала убывает по мере удаления от за-
заряженной плоскости. Очевидно, что поверхности уровня расположены
симметрично по обе стороны от заряженной плоскости.
Во всех рассмотренных нами частных случаях вектор напряжен-
напряженности перпендикулярен к поверхности уровня потенциала. Покажем,
что это справедливо и в общем
случае. Возьмем для этого по-
поверхность уровня потенциала и
рассмотрим работу перемещения
заряда по поверхности уровня на
малом участке пути As. При этом,
по определению, работа электри-
электрической силы t = qE на данном
пути будет:
ДА =/As cos a = qE As cos а,
где а—угол между направле-
направлениями силы f и перемещения As.
С другой стороны, эта работа
равна нулю, поскольку равна нулю
эквипотенциальной поверхности.
Рис. 38. Поверхности уровня потен-
потенциала (пунктирные линии) и линии
напряженности (сплошные линии) двух
точечных одноименных зарядов.
разность потенциалов двух точы
Следовательно, мы получаем:
qE As cos a = 0.
Ввиду того, что ни заряд q, ни напряженность Е, ни перемещение As
не равны нулю, должен равняться пулю
косинус угла а. между направлением
силы f и перемещением As, откуда по-
получаем, что сила f перпендикулярна к As.
Направление силы f = ^E или совпа-
совпадает с направлением напряженности
(при <7^>0) или противоположно ему
(при <7<\0). Следовательно, равенство
cos <х = 0 означает, что напранление на-
напряженности перпендикулярно к по-
нерхности уровня потенциала.
Таким образом, линии напряжен-
напряженности представляют собой семейство
линий, нормальных (ортогональных)
к семейству поверхностей уровня потенциала (эквипотенциаль-
(эквипотенциальных поверхностей). На рис. 38 изображены линии напряженности и
Рис. 39. Поверхности уровня
потенциала (пунктирные линии)
и линии напряженности (сплош-
(сплошные линии) двух разноименно
заряженных дисков.

§ 131]
СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННОСТЬЮ И ПОТЕНЦИАЛОМ
45
эквипотенциальные поверхности для случая двух точечных одноимен-
одноименных зарядов, равных по численному значению, а на рис. 39 — для
двух разноименно заряженных дисков с одинаковым численным зна-
значением плотностей зарядов.
§131. Связь между напряженностью электростатического поля
и потенциалом. Установим теперь соотношение между потенциалом
и напряженностью. Существование такой связи следует из того факта,
что работа электрических сил, выражаемых через напряженность,
вместе с тем выражается и через разность потен-
потенциалов точек поля.
Возьмем произвольное электростатическое поле
и проведем в нем две близкие поверхности уровня
потенциала. Потенциал одной поверхности пусть
будет V, потенциал другой V —|— ДV; положим
Д]/^> 0 (рис. 40). В некоторой точке В поверх-
поверхности уровня потенциала V проведем нормаль п
к поверхности уровня в сторону возрастания по-
потенциала. Точку пересечения нормали п с поверх-
поверхностью уровня V —f- ДV обозначим через В'. Рас-
Расстояние между точками В и В' пусть будет
равно Дя. Напряженность Е перпендикулярна к
поверхности уровня потенциала, т. е. она направлена
вдоль нормали п, причем ввиду близости точек В и Б'
друг к другу можно на всем расстоянии между ними положить на-
напряженность поля Е приблизительно постоянной. Тогда работа пере-
перемещения некоторого заряда q из точки В в точку В' представится
в виде:
А = qEAn.
С другой стороны, эта же работа А может быть выражена через
разность потенциалов точек В и В':
V+AV
Рис. 40. Нормаль п
к двум близким
уровням потен-
потенциала.
Сравнивая оба выражения для работы А, найдем:
?-Дя = — ДУ,
что дает для Е следующее выражение:
Л Г/
Е= —
Дя
A)
Знак минус указывает, что напряженность Е направлена в сто-
сторону, противоположную направлению нормали п. Действительно, нор-
нормаль п мы провели в сторону возрастания потенциала, напряженность
же Е по определению направлена в ту сторону, в которую действует
сила на положительный заряд, т. е. в сторону убывания потенциала.
Если в формуле A) положить Дл=1, то получим: напряженность

46
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТЧТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. XIV
поля численно равна изменению потенциала на единицу длины,
отсчитанной в направлении, перпендикулярном к поверхности
уровня потенциала, и направлена в сторону убывания потенциала.
Величина ДУ'/Дя, указывающая быстроту изменения потенциала
при перемещении и направлении, перпендикулярном к поверхностям
уровня потенциала в сторону его увеличения, называется
градиентом потенциала. Пользуясь понятием о гра-
градиенте, выражение A) можно сформулировать так: на-
напряженность поля численно равна градиенту потен-
потенциала.
Рассмотрим следующий пример.
Определим напряженность электростатического поля
между двумя параллельными плоскостями, имеющими по-
постоянные потенциалы.
Возьмем две бесконечные параллельные плоскости,
потенциалы которых обозначим V, и 1Л,. Расстояние между
плоскостями равно d (рис. 41). По соображениям симме-
симметрии заключаем, что поверхности уровня потенциала пред-
представляют собой плоскости, параллельные данным.
Напряженность электростатического поля одна и та
же во всех точках между заряженными плоскостями и
направлена перпендикулярно к ним. Численное значение
напряженности получим, найдя изменение потенциала на единицу
длины в направлении, перпендикулярном к поверхности уровня:
? = ^. B)
Напряженность направлена в сторону убывания потенциала. Таким
образом, напряженность поля между двумя плоскостями, имеющими
определенные потенциалы, пропорциональна разности их потенциалов
и обратно пропорциональна расстоянию между ними.
В случае неоднородного поля мы должны считать алгебраическую вели-
величину напряженности Е в данной точке ноля равной пределу, к которому стре-
стремится отношение — AVjAn при бесконечном убывании An:
? = — пред. (?-],
Дя—0 '.Лп I
Рис. 41.
Две заря-
заряженные
плоскости.
или, пользуясь обозначениями дифференциального исчисления,
dV
dn'
1: =
Bа)
Воспользуемся вводимым в векторном исчислении понятием о градиенте.
Пусть скаляр С задан как функции координат х, у, г. Под grad С подразу-
подразумевается такой вектор А, составляющие которого Ах, Ау, Аг, вдоль осей
прямоугольной координатной системы определяются соотношениями:
дС , ОС , дС /оч
А* = Тх' АУ = 1ч' А* = Ъ- C)

§ 132]
СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННОСТЬЮ И ЗАРЯДАМИ
47
Этот вектор, как оказывается, направлен в каждой данной точке по нормали
к поверхности уровня скаляра С в сторону возрастания С Его длина равна
dCldn. С помощью понятия о градиенте равенство Bа) может быть записано
в виде:
Е --**.
х ~~ дх '
ду
D)
Е = —gradK. Da)
Таким образом, получаем, что вектор напряженности Е равен взятому
с обратным знаком градиенту от потенциала V.
Пример1. Определим напряженность поля на оси диполя на расстоя-
расстоянии г, большом по сравнению с собственными размерами диполя.
Эта задача была нами непосредственно решена в § 124. Пользуясь соот-
соотношением Bа) между напряженностью поля и потенциалом, мы решим ее
теперь проще. Потенциал в точке А (рис. 12) равен сумме потенциалов,
создаваемых зарядами -\- q и — q:
V= i—3- = qr^l±.= qJ-
г, г_ ч r+r_ ч r+r_ •
При расстояниях г+ и г_, много больших /, приближенно г+ ¦ r_ = rs,
откуда
V = 9L = L
г* г"
где р — момент диполя.
Направление нормали п к эквипотенциальной поверхности в точке А
совпадает с г, следовательно, по Bа):
dr
-
г3'
что совпадает с формулой E) § 124.
§ 132. Связь между напряженностью,
потенциалом и плотностью объемных за-
зарядов. Между напряженностью электро-
электростатического поля и плотностью распреде-
распределения зарядов имеется дифференциальное
соотношение, справедливое в каждой точке
поля. Это соотношение может быть найдено
путем более детального анализа теоремы
Остроградского — Гаусса.
Предположим, что в рассматриваемой
области заряд распределен с объемной плот-
плотностью р, вообще говоря, непостоянной. Вы-
Выделим элементарный кубик с гранями dx, dy,
dz, параллельными координатным осям
(рис. 42). Объем кубика равен dx dy dz. Ввиду малости кубика плотность
зарядов р можно считать во всех точках внутри кубика постоянной; тогда
заряд q, находящийся внутри кубика, равен р dx dy dz. Напряженность поля
в центре кубика (отмечен звездочкой на рис. 42) обозначим через Е, а ее
составляющие—через Ех, Еу, Е?.
Тогда значение составляющей Ех на грани 1 будет:
дЕх 1 .
Et = Ех ,—- • -7Г dx
xi x dx 2 '
Рис. 42. К выводу выражения
связывающего напряженность
поля с плотностью объемных
зарядов.

48 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XIV
так как грань / имеет координату х, на — dx меньшую, чем центр кубика.
Так же для составляющей Ех на грани 2 получим:
_ ,, , дЕ„ 1 ,
Точно так же для составляющих Еу и Е2 на четырех остальных гранях
кубика получим:
Е Е? 4^ E Edkd'
Применим к нашему кубику теорему Остроградского — Гаусса. Для
этого сосчитаем поток напряженности через грани кубика. Напомним, что
поток напряженности dN через площадку dS равен произведению нормаль-
нормальной к площадке составляющей напряженности Е на величину площадки dS.
Нормаль к грани / направлена в сторону отрицательной оси ОХ, поэтому
нормальная составляющая напряженности Е к грани 1 равна — Ех . Площадь
грани 1 равна dy dz, откуда поток напряженности через грань 1 равен:
Ар 1
dN, = - EXi dydz = - Lx dy dz + °-^- y dx dy dz.
Нормаль к грани 2 направлена в сторону положительной оси ОХ, а по-
потому поток напряженности через пес равен:
dN.; = + ЕХл dy dz = Ел dydz + ^r ¦ \ dx dy dZm
Сумма потоков через грани 1 я 2 б*гдет:
dN, -\-dN2=d-^ dx dy dz.
Точно так же получим, что сумма потоков напряженности через грани 3
и 4 равна:
<Щ + dNt = --¦»- dx dy dz,
а через грани 5 и 6:
dh\ + dN(t = ^ dx dy dz.
Полный поток через все шесть граней кубика окажется, таким образом,
равным:
dN = dNL 4- dN., 4- dN, + dN, + dN,. + dNe =
(dEx , dEv , дЕЛ . . , .,,
== -^ — -r- -\- -T~\dxdy dz. A)
\dx ] dy ' dz j *
По теореме Остроградского — Гаусса, dN=4nq, где q — заряд, заклю-
заключенный внутри кубика; но заряд этот равен р dx dy dz, откуда, воспользо-
воспользовавшись для dN его выражением A|, получим:

§ 133] ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ 49
Формула B) даст искомую связь между плотностью объемных зарядов р
и производными вектора напряженности Е. Как известно из векторного ана-
анализа, сумма производных от составляющих вектора по соответствующим
координатам носит название дивергенции вектора и обозначается:
.. „ дЕ, , dl:v . дЕ,
civ E = -,— 4- -,-^ 4- —~ .
дх ' ду dz
Применяя обозначение div E, перепишем формулу B) в виде:
div Е =: 4лр.
Воспользуемся формулами D) на стр. 47, дающими связь между соста-
составляющими напряженности Е и производными потенциала по координатам:
F _ dV dV , dV
tx = ~d~x' ^^'""dy' z = ~dz'
Дифференцируя эти выражения вторично по координлтам, получим:
дх ~ дх"' ду ду'-" dz ~ dz- '
откуда следует:
дх ~dy^ dz \дх" ду* dz1)'
Подставляя это значение суммы —=-"-:-\—^--I—,— в B), найдем:
дх ду dz K "
Эта фомула дает связь между плотностью объемных зарядов р и вторыми
производными от потенциала по координатам. Сумму вторых производных
от некоторой функции F (х, у, 2 ) но переменным х, у, z принято обозначать
символом AF (х, у, г), где Д носит название оператора Лапласа. Вводи это
обозначение в формулу C), получим:
bV — — 4лр. (За)
Полученное уравнение является основным дифференциальным уравнением
для электростатического потенциала.
§ 133. Проводники в электростатическом поле. Как было ука-
указано в § 122, проводник представляет собой тело, содержащее свобод-
свободные электроны, заряды которых компенсированы положительными заря-
зарядами, связанными с кристаллической решеткой проводника. Свободные
электроны в проводнике способны под действием электрических сил
определенного направления приобретать составляющую скорости в на-
направлении сил и, следовательно, создавать перемещение зарядов —
электрический ток. Если мы ограничиваемся электростатическими зада-
задачами, то должны выяснить условия равновесия зарядов. Необходимым
условием равновесия зарядов внутри проводника является равенство
нулю напряженности электростатического поля. Если бы напряженность
поля не была равна нулю, то это создало бы электрические силы,

50 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XIV
вызывающие направленное перемещение электронов. Таким образом,
условием электростатического характера задачи будет
Е=0, A)
причем это условие должно быть выполнено для всех точек внутри
проводника.
Условие A) приводит к тому, что в заряженном проводнике не-
некомпенсированные заряды могут располагаться только на поверхности
проводника. Для доказательства этого применим теорему Остроград-
Остроградского—Гаусса к произвольной поперхности, ограничивающей некото-
некоторый объем внутри проводника. Во всех точках этой поверхности
напряженность электростатического поля, по A), равна нулю, так как
поверхность проведена внутри проводника. Следовательно, поток
напряженности через поверхность равен нулю, вследствие чего равен
нулю и общий заряд, находящийся внутри рассматриваемой поверх-
поверхности. Так как поверхность произвольна, то результат применим
к любому участку внутри проводника. Итак, в любом участке, нахо-
находящемся внутри проводника, помещенного в электростатическом поле,
заряд равен нулю. Заряды на заряженном проводнике располагаются
лишь на поверхности проводника.
Отсутствие зарядов на внутренних частях проводника является
следствием теоремы Остроградского — Гаусса, которая, в свою оче-
очередь, устанавливается как следствие того, что силы взаимодействия
между точечными зарядами по закону Кулона обратно пропорцио-
пропорциональны квадрату расстояния между ними. Если бы в выражении
закона Кулона
показатель степени при г равнялся не 2, а какому-либо другому
числу и, то и на внутренних частых проводника должны были бы
распределиться заряды. Таким образом, отсутствие зарядов на внут-
внутренних частях проводника служит косвенным подтверждением пра-
правильности закона Кулона. Непосредственные измерения Кулона с по-
помощью крутильных весов (§ 123) не отличались большой точностью.
Провести их более тщательно весьма трудно, так как затруднительно
создать условия, которые в достаточной мере строго отвечали бы
требованию, чтобы заряды были точечными. Отсутствие же зарядов
на внутренних частях проводника может быть установлено гораздо
более точно. Такого рода проверка была произведена Кевендишем,
который в 1773 г., за 12 лет до Кулона, установил закон обратной
пропорциональности электрических сил квадрату расстояния. Однако
работы Кевендиша оставались неизвестными вплоть до 1879 г., когда
Максвелл опубликовал их.
Максвелл повторил опыты Кевендиша в несколько измененном
виде и более точно.

§ 133]
ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
61
Он помещал два проводящих шара один в другой, причем между
ними устанавливался с помощью проволоки контакт. При сообщении
внешнему шару заряда внутренний шар оставался незаряженным, что
Максвелл мог установить с большой точностью. Отсюда он нашел,
что показатель степени и в законе Кулона не может отличаться от 2
более чем на 1/20 000.
Как мы увидим дальше, заряды отсутствуют не только внутри
проводника, но и на внутренних поверхностях, ограничивающих по-
полость внутри проводника, В общей теория электростатических явле-
явлений показывается, что и напряженность поля Е внутри полости заря-
заряженного проводника равна нулю. При этом предполагается, что внутри
самой полости нет других заряженных тел.
Рис. 43. Опыт с цилиндром Фарадоя.
Свойство зарядов располагаться па внешней поверхности провод-
проводника может быть продемонстрировано весьма наглядным образом. Возь-
Возьмем два электроскопа А и В, па один из которых навинчен почти
замкнутый полый цилиндр С (рис. 43), имеющий лишь в верхнем
основании небольшое отверстие d. Такой цилиндр носит название ци-
цилиндра Фарадея. Сообщим электроскопу В определенный заряд, что
обнаружится по расхождению его листков. Возьмем маленький шарик е,
прикрепленный к нити из изолирующего материала. Прикасаясь шари-
шариком е к внешней части фарадеева цилиндра С, мы зарядим шарик,
а затем, пронеся его, например, по пути, указанному пунктиром на
рис, 43а, приведем в соприкосновение с электроскопом А. Этим мы
передадим электроскопу А некоторый заряд. Повторяя такой перенос
несколько раз, можно получить заметное расхождение листков элек-
электроскопа А. Если же мы первоначально приведем шарик е в сопри-
соприкосновение с внутренней частью фарадеева цилиндра С (рис. 436),
то не сообщим этим шарику никакого заряда и не сможем затем
зарядить электроскоп А.
Описанный опыт можно обратить. Представим себе некоторое
тело А (рис. 44), поддерживаемое с помощью какого-либо источника

52
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. XIV
электризации при постоянном потенциале V. Зарядим шарик е, при-
приведя его в соприкосновение с телом А, а затем поднесем к электро-
электроскопу В и приведем в соприкосновение с внутренней частью фарадеева
цилиндра С. Так как шарик составит при этом одну из внутренних
частей сложного тела, образованного им совместно с цилиндром Фара-
Фарадея, то на шарике не должно остаться заряда. Другими словами,
шарик целиком передаст свой заряд электроскопу В. Мы можем
повторять такой перенос сколько угодно раз, и всегда шарик будет
нацело отдавать свой заряд электро-
электроскопу, так как условие отсутствия за-
рядоп на внутренних частях провод-
проводника не зависит от величины его заряда
и его потенциала. Таким образом, пе-
перенося шарик е достаточное число раз,
мы можем зарядить электроскоп В до
потенциала более высокого, чем потен-
потенциал V тела А, от которого берем за-
заряди. В принципе, повторяя перенос
неограниченное число раз, мы можем
повышать потенциал электроскопа В
до бесконечности. 1 Практически повы-
повышение потенциала ограничивается утеч-
утечкой зарядов, возрастающей по мере по-
повышения потенциала. Схема описанного опыта с цилиндром Фарадея
использована в современном высоковольтном генераторе, позволяю-
позволяющем достигать разностей потенциалов в несколько миллионов вольт
(см. т. III).
Отсутствие поля внутри полости в проводнике позволяет создать
электростатическую защиту. Проводник, окружающий со всех
сторон данную полость, экранирует ее от электростатических полей,
созданных внешними зарядами. Практически сплошной проводник
может быть заменен достаточно густой металлической сеткой. С целью
создать электростатическую защиту листки электроскопа помещают
внутрь металлической коробки (см. сказанное на стр. 10). Коробку
соединяют с землей, тогда она прлнимает потенциал Земли, и внеш-
внешние поля не могут изменить ни поля, ни потенциала внутри коробки.
Заряжаемые листочки электроскопа должны быть изолированы от
коробки. Если же их соединить с коробкой проводником, то будет
невозможно сообщить им заряд, и они не разойдутся, какими бы
источниками электризации мы ни располагали вне ящика электроскопа.
Рис. 44. Опыт
Фарадея.
цилиндром
1 В § 137 мы увидим, что энергия заряженного тела возрастает с возра-
возрастанием его потенциала V. Отсюда может показаться, что указанный опыт
с цилиндром Фарадея противоречит закону сохранения энергии. Однако это
не так: на поднесение заряженного шарика е к заряженному цилиндру Фара-
Фарадея надо затратить работу и тем большую, чем больше заряд цилиндра.

§ 134J НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ ПРОВОДНИКА
53
§ 134. Напряженность поля вблизи поверхности проводника.
В силу того, что напряженность поля внутри проводника равна нулю,
проводник представляет собой область постоянного потенциала.
Действительно, численное значение напряженности равно изменению
потенциала на единицу длины, нормальной к поверхности уровня.
Отсюда из равенства нулю поля во всех точках проводника полу-
получаем, что изменение потенциала равно нулю для всех точек провод-
проводника; следовательно, само значение потенциала постоянно; таким
образом, все точки проводника как внутри него, так и на его
поверхности, находятся при одном и том же потенциале. Отсюда
непосредственно следует, что поверхность проводника представляет
собой поверхность уровня потенциала. Так как напряженность электро-
электростатического поля в каждой данной
точке нормальна к поверхности
уровня потенциала в этой точке,
то напряженность электроста-
электростатического поля вне проводника
вблизи его поверхности нормаль-
на к поверхности проводника.
Существует определенная
связь между напряженностью
электростатического поля вблизи
поверхности проводника и поверх-
поверхностной плотностью зарядов на поверхности проводника. Установим эту
связь, пользуясь теоремой Остроградского — Гаусса. Возьмем малый
участок AS на поверхности заряженного проводника А (рис. 45). Пред-
Предположим, что поверхностную плотность заряда на этом участке можно
считать постоянной и равной а. Тогда заряд q, приходящийся на
этот участок, будет равен:
q = a -AS. A)
Проведем мысленно малую замкнутую цилиндрическую поверх-
поверхность S, образующие которой нормальны к поверхности проводника,
а основания AS' и AS" параллельны ДА По теореме Остроград-
Остроградского— Гаусса, число линий напряженности, пронизывающих замкну-
замкнутую поверхность 5, равно 4nq. Так как внутри проводника, где
проходит основание AS", напряженность поля Е=--0, а боковая по-
поверхность параллельна Е, то все Ащ линии напряженности проходят
через основание AS'. Обозначив напряженность поля в пределах этою
основания AS' через Е, получим:
Рис. 4о. К определению напряжен-
ности поля Е в'близи поверхности за-
ряженного проводника.
откуда, пользуясь соотношением A) и замечая, что AS' = AS, найдем:
B)

54
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
|ГЛ. XIV
Рис. 46. Расположение экви-
эквипотенциальных поверхностей
Из равенства B) видно, что напряженность электростатического поля
у поверхности проводника прямо пропорциональна поверхностной плот-
плотности заряда.
В тех случаях, когда поверхность проводника имеет выступи,
поверхности уровня потенциала, проходящие вблизи проводника,
оказываются сближенными у выступов.
В этих областях напряженность поля
будет больше, так как в них измене-
изменение потенциала на единицу длины бу-
будет значительнее. Таким образом, у вы-
выступов напряженность электрического
поля больше и, следовательно, больше
и поверхностная плотность зарядов на
самих выступах проводника. На рис. 46
представлено заряженное проводящее
тело, имеющее выступ и впадину; на-
напряженность поля в окружающем про-
пространстве максимальна вблизи выступа
и минимальна во впадине. Эквипотен-
(пунктирные линии) и линий на- циальные поверхности, изображенные
иряженности (сплошные линии) на рис. 46 пунктирными линиями, про-
у тела с выступом и впадиной. ходят наиболее густо в местах, где
поле сильнее. В соответствии с этим
плотность зарядов на поверхности тела имеет наибольшее значение
у выступа и наименьшее — во впадине.
Во внутренних полостях напр*женность поля равна нулю и в со-
соответствии с этим равна нулю и плотность зарядов на внутренних
поверхностях проводников.
Особенно велико поле вблизи очень острых
выступов. С этим обстоятельством приходится
считаться при заряжении проводников до вы-
высоких потенциалов: при наличии острых углов
или выступов около них может произойти про-
пробой окружающего диэлектрика (в частном слу-
случае воздуха) и начаться разряд — так называе-
называемое коронированне; поэтому всем металличе-
металлическим частям приборов, заряжаемых до высоких 110СТЬ Г10Ля, образуе-
иотенциалов, придают закругленные формы и мого элементом по-
поделают их поверхности гладкими.
Каждый из участков поверхности заряженного
проводника находится в электростатическом поле,
образуемом остальной частью заряженной поверхности проводника.
Поэтому на каждый участок hS (рис. 47) заряженного проводника
действует сила
A/ = oAJv?i, C)
Рис. 47. Напряжен-
верхности заряжен-
заряженного проводника.

§ 135J ДИПОЛЬ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 55
где ?¦] — напряженность поля, создаваемого остальной частью поверх-
поверхности проводника.
Для того чтобы определить Elt рассмотрим поле, которое создает
элемент AS в точках, очень близких к своей поверхности. Это поле
нормально к поверхности элемента Д61 и симметрично по обе его
стороны.
Напряженность этого поля по обе стороны от элемента AS изо-
изображена на рис. 47 стрелками ?д(, и Е'А^.
Полная напряженность Е, создаваемая всей поверхностью заря-
заряженного тела вблизи AS, снаружи тела, очевидно, равна сумме
напряженности Ej и Ед5:
Е — Е 4- Е
Так как векторы Е и Ед(. перпендикулярны к поверхности эле-
элемента AS, то, следовательно, перпендикулярен к AS и вектор Е(, и
последнее равенство можно переписать в виде алгебраической
суммы
F=E,-\-F
По равенству B) ?—4тса, откуда получаем:
' E,-\-Eis=4™. D)
Точно так же получим, что поле у поверхности элемента AS
внутри тела равно сумме ?, -\--?д$ = EV— ?д$. Так как внутри
тела суммарная напряженность равна нулю, то:
?¦, —?as=0. E)
Из равенств D) и E) найдем:
?'] = .?;д5= 2ito,
после чего равенство C) дает для искомой силы, действующей на
элемент поверхности заряженного тела:
Д/= 1-кс"- ¦ AS,
или, в силу равенства B):
Так как заряды одного знака отталкиваются, то сила Д/, незави-
независимо от знака заряда проводника, направлена наружу по отношению
к проводнику.
§ 135. Диполь во внешнем электрическом поле. Рассмотрим
диполь во внешнем однородном электрическом поле Е. Пусть диполь
образован двумя зарядами -\- q и — q, расположенными на неизмен-
неизменном расстоянии / друг от друга. Электрический момент такого ди-
диполя, по сказанному в § 124, p = ql. Пусть направление

56 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [гл. XIV
диполя составляет с направлением напряженности Е угол а (рис. 48).
На положительный заряд диполя действует сила fx^qE, направлен-
направленная по полю, а на отрицательный мряд — сила/2 = —qE, направлен-
направленная против поля. Эти силы образуют пару с моментом УЙ = // sina =
^qlEsin a. Принимая во внимание, что ql=p, получим: на диполь
в однородном внешнем электрическом поле действует пара сил
с моментом
vW = /»?'sina. (I)
Под влиянием этой пары диполь стремится повернуть вдоль
линий напряженности поля.
Момент диполя р можно рассматривать как величину векторную.
Для этого проведем 1 в виде вектора, направленного от отрицатель-
отрицательного заряда — q к положительному заряду
^i -\- q. Определим вектор р равенством:
Е р = q\. B)
Тогда имеем: в однородном внешнем элек-
С - _q "—•" трическом поле диполь стремится повернуться
„ .„ „ так, чтобы вектор его электрического момента р
Рис. 48. Диполь во к F _ „ "
внешнем однородном совпал по направлению с вектором Е. Этому
поле. положению соответствует угол а = 0 и, по A),
равенство нулю действующего на диполь момента
сил. Очевидно, момент действующих сил УИ = О и при a = тс. Однако
это последнее положение неустойчиво: при малом отклонении диполя
возникает момент, отклоняющий его еще больше от этого положения.
Если первоначально диполь составлял с линиями напряженности
угол а, отличный от нуля, то, очевидно, приближаясь к положению
равновесия, он будет обладать некоторой скоростью вращения и по
инерции перейдет через положение равновесия. В результате дей-
действия момента сил М диполь начнет совершать колебания около
положения равновесия. Если на диполь, кроме момента сил М, дей-
действуют силы трения, то колебания будут затухающими, и диполь
в конечном счете расположится вдоль линий напряженности. При
очень больших силах трения его движение может быть апериодиче-
апериодическим, т. е. диполь асимптотически приблизится к положению равно-
равновесия, уменьшая постепенно скорость до нуля.
В § i!5 т. I мы видели, что момент сил М можно рассматривать, как
величину векторную, направление которой связано с направлением сил,
образующих пару, по правилу буразчика. На рис. 48 вектор М направлен
перпендикулярно к плоскости рисунка, за плоскость рисунка. По величине
и направлению он определяется векторным произведением р и Е:
М = р X Е. Aа)
Рассмотрим теперь диполь во внешнем неоднородном электриче-
электрическом поле. В этом случае линии напряженности должны представлять

§ 135] ДИПОЛЬ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 57
собой линии, сходящиеся или расходящиеся. Однако положим, что
в пределах размеров диполя неоднородность поля столь незначительна,
что силы /, и /2, действующие на заряды -\- q и — q, можно счи-
считать направленными в противоположные стороны (по и против оси Z)
и что напряженность поля меняется быстрее всего в направлении оси Z.
Эти силы равны:
/, = + ??„/, = — ??,.
где ?, и f<j — значения напряженное гей поля в местах, где располо-
расположены заряды -\-q и —с/. Сумма этих сил равна:
/=/|+/« = ?(?i-?»). C)
Отложим координату z параллельно силам, как показано па рис. 49.
Тогда
где (AElAz)— градиент напряженности поля. Замечая, что Z=/cosa,
получим:
?, — ?,= (!?)/ COS a.
Подставляя это значение ?\ — ?2 в C), найдем:
или
/=/»^-AjjCOSa. D)
Таким образом, в неоднородном внешнем электрическом поле на
диполь, кроме момента сил, действует сила, тем большая, чем
больше градиент поля, т. е. чем силь-
нее неоднородность поля. По равен-
равенству D) при a <^ -у сила / направлена
в ту сторону, где напряженность поля по
численному значению больше. При дан-
данных р и (AE/Az) сила / достигает макси-
максимального значения при <х = 0, т. е. когда Рис. 49. Диполь во внешнем
диполь расположен вдоль линий напря- неоднородном поле.
женности поля. Окончательно имеем: во
внешнем поле диполь стремится повернуться так, чтобы он располо-
расположился вдоль линий напряженности своим положительным концом в сто-
сторону линий напряженности Е; кроме того, на диполь действует еще
сила, пропорциональная моменту диполя р и градиенту напряженно-
напряженности поля (AE(Az). Эта сила перемещает диполь в сторону, где на-
напряженность поля больше.
Существование сил, перемещающих диполь в область большей
напряженности поля, объясняет притяжение наэлектризованной

58 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [гл. XIV
стеклянной или эбонитовой палочкой легких предметов, не приходивших
первоначально в соприкосновение с палочкой. Под влиянием электро-
электростатического поля палочки на предмете возникают индуцированные
заряды, и он превращается в диполь. Благодаря неоднородности поля
палочки на этот диполь действует сила, перемещающая его в область,
где поле по численному значению больше, т. е. к самой палочке,
независимо от знака ее заряда.
§ 136. Электроемкость проводников. Перейдем к рассмотрению
весьма важного свойства проводников, называемого их электроем-
электроемкостью или просто емкостью. Опыт показывает, что разные про-
проводники, будучи заряжены одинаковым количеством электричества,
принимают разные потенциалы; это указывает, что они отличаются
друг от друга физическим свойством, которое характеризуется вели-
величиной, называемой емкостью.
Емкость проводника зависит от расположения окружающих тел,
потому сперва определим понятие емкости уединенного проводника,
т. е. такого проводника, вблизи которого нет никаких других тел,
которые могли бы' повлиять на распределение на нем зарядов. По-
Потенциал уединенного проводника V пропорционален величине заряда Q,
так как при увеличении заряда в определенное число раз увеличи-
увеличивается в такое же число раз напряженность поля, а следовательно,
и работа перемещения заряда от троводпика в бесконечность:
Q:=CV. A)
Коэффициент пропорциональности С зависит от формы и величины
проводника и называется его емкостью. Из равенства A) имеем:
С = %. .B)
Это соотношение указывает, что емкость уединенного провод-
проводника есть физическая величина, численно равная количеству элек-
электричества, которое надо сообщить ранее не заряженному про-
проводнику, чтобы потенциал его принял значение, равное единице
(при V = 1 имеем C — Q). При этом мы считаем, что неопределен-
неопределенная постоянная в выражении потепциала выбрана так, что потенциалы
бесконечно удаленных от проводника точек равны нулю.
Размерность емкости определится из соотношения B):
m —l°l —^'^iг—— /
т. е. она оказывается размерностью длины. За единицу емкости
примем емкость такого уединенного проводника, потенциал которого
меняется на единицу при сообщении ему единичного заряда. В CGSE-
системе это будет емкость такого проводника, сообщение которому
одной СС5?-единицы заряда меняет его потенциал на одну CGSE-
единицу потенциала; легко видеть, что это будет емкость проводя-

§ 136J ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ ПРОВОДНИКОВ 59
щего шара радиусом в 1 см. Действительно, потенциал проводящего
шара равен (см. § 130)
R'
где R — радиус шара; сравнивая это выражение с формулой B), получим:
C = R,
т. е. емкость шара численно равна его радиусу. Поэтому в CGSE-
системе за единицу емкости принимается емкость уединенного
шара радиусом в 1 см. Условно единицу емкости в CGSE-системе
называют сантиметром.
В международной системе единиц за единицу емкости принято
брать емкость такого проводника, увеличение на котором заряда на
один кулон ведет к повышению его потенциала на один вольт. Такая
единица называется фарадой. Связь между CGSf-единицей емкости
и фарадой следующая:
1 . 1 кулон 3 • 109 CGSE-tx заряда
1 фа р а да = ,— — —. — с^
1 вольт 1 _,„О1, —
-пкгг- СО6с-ед. потенциала
CGSE-ел. емкости.
Очевидно, фарада есть чрезвычайно большая единица емкости.
В самом деле, это есть емкость уединенного шара радиусом 9- 1011 см,
т. е. радиусом в 9 миллионов километров (в 1400 раз большим ра-
радиуса земного шара). Практически поэтому наряду с единицей емкости
фарадой употребляют меньшую, называемую микрофарадой, равную
одной миллионной доле фарады. Емкостью в одну микрофараду обладает
уединенный шар радиусом 9 км, т. е. тоже еще очень большой шар.
Емкость проводника зависит от окружающих данный провод-
проводник тел. Действительно, под емкостью проводника мы подразумеваем
физическую величину, измеряемую отношением заряда проводника
к его потенциалу, потенциал же проводника зависит не только от
заряда на нем самом, но и от зарядов всех тел, окружающих его.
Если даже окружающие данный проводник тела и не были предвари-
предварительно заряжены, то при заряжении рассматриваемого проводника они
зарядятся через слияние и, таким образом, изменят потенциал на дан-
данном проводнике. В этом случае понятие емкости естественно обобщить,
введя следующее определение, пригодное и в динамических задачах:
емкость определяется по отношению приращения заряда проводника
к приращению его потенциала при стремлении этих приращений к нулю,
т. е. как производная заряда проводника по его потенциалу. Однако
можно осуществить систему проводников с емкостью, практически не
зависящей от окружающих тел; для этого система должна быть

60 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XIV
защищена от влияния прочих те п. Примером таких систем являются
конденсаторы.
Так называемый плоский конденсатор состоит из двух парал-
параллельных пластин А и В (рис. 50), расположенных друг от друга на
расстоянии d, малом по сравнение с их собственными размерами.
Будем считать, что между пластинами —¦ пустота (практически это
может быть воздух).
Пусть пластина В соединена с землей. Если другой пластине А
сообщить заряд -j-Q, то благодаря электростатической индукции на
пластине В возникает заряд — Q (равный
ему заряд-\-Q отводится к земле и роли не
играет). Пластина В, соединенная с землей,
принимает потенциал Земли, который мы
enzz
-а 2 обозначим через V.2. Тогда пластина А при-
примет некоторый потенциал Vb значение кото-
¦//>/////)/////////, рого определится лишь величиной заряда Q
емля и потенциалом 1/2 пластины В. Другие неза-
Рис. 50. Плоский конден- ряженные тела не будут влиять на потен-
сатор. циал V\ и> следовательно, на емкость конден-
конденсатора С, так как поле зарядов -j- Q и — Q
сосредоточено лишь между пластинами А и В и поэтому не может
вызывать на других внешних телах индуцированные заряды.
Под емкостью С конденсатора подразумевается величина, измеряе-
измеряемая отношением заряда на одной из пластин (положительной) к раз-
разности потенциалов между пластинами:
где считаем Vi^> Vb
Выразим емкость плоского конденсатора через величины, характе-
характеризующие его размеры. Так как размеры пластин велики по сравне-
сравнению с расстоянием между ними, то напряженность поля между пла-
пластинами такая же, как и в случае двух бесконечных плоскостей,
несущих равные по численному значению заряды противоположных
знаков. Тогда, по сказанному в § 128, имеем, что напряженность поля
между пластинами Е равна:
где а — поверхностная плотность зарядов. Обозначим площадь одной
с Q
пластины через о, тогда о= -— и
откуда:

§ 137] ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ (И
Напряженность поля Е выразим через разность потенциалов V, — У,г
(см. § 131):
p
с~ d
Подставляя это значение Е в формулу D), найдем:
Воспользовавшись этим равенством и формулой C), для емкости
плоского конденсатора С получим:
Из формулы E) видно, что емкость плоского конденсатора про-
пропорциональна площади пластины 5 и обратно пропорциональна рас-
расстоянию между пластинами d. Чем ближе расположены пластины друг
к другу, тем больше емкость образуемого ими конденсатора. Впослед-
Впоследствии (см. § 139) мы увидим, как меняется емкость конденсатора,
если пространство между пластинами заполнить какой-либо непрово-
непроводящей (диэлектрической) средой.
§ 137. Энергия системы зарядов. При образовании любой си-
системы заряженных тел совершается работа, так как заряды взаимодей-
взаимодействуют друг с другом по закону Кулона и для размещения их в за-
заданных местах надо совершить работу. Эта работа должна быть
совершена какими-либо внешними силами за счет каких-либо внешних
источников энергии, например за счет энергии химических процессов
и гальванпческом элементе, с помощью которого тела заряжаются,
и т. д. По закону сохранения энергии работа внешних сил, приложенных
к системе, определяет изменение ее энергии. Таким образом, система
заряженных тел будет обладать некоторой энергией. Если затем тела
разряжаются или перемещаются, то их электрическая энергия, частично
или полностью, перейдет обратно в другие виды энергии.
В качестве примера подсчитаем электрическую энергию системы,
состоящей из двух точечных зарядов qx и qb находящихся в точках Bt
и Bi на расстоянии г друг от друга. Для этого достаточно подсчи-
подсчитать работу, которую затрачивают внешние силы на перенесение за-
зарядов qx и д.г из бесконечно удаленных областей, где силы взаимо-
взаимодействия между ними равны нулю, в данные точки Вх и В%, при этом
мы не учитываем работу образования самих зарядов q{ и q.lt считая,
что заряды нам даны.
Работа переноса зарядов qx и q% из бесконечно удаленных обла-
областей не зависит от порядка переноса зарядов. Перенесем сперва за-
заряд <7] из бесконечности в точку В\. Работа перемещения заряда qu
при условии, что заряд q<, еще остается в бесконечности, равна нулю,
так как равны нулю силы взаимодействия зарядов. После помещения
заряда gi в точку By перенесем заряд дг в точку В2. На это

62 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XIV
затратится работа, равная произведению величины заряда q^ на разность
потенциалов между точкой Д2 и бесконечно удаленной точкой. Потен-
Потенциал бесконечно удаленной точки равен нулю, потенциал в точке Z?a
создается зарядом qx и, как было показано в § 129, равен q^/r. Таким
образом, работа А, затрачиваемая на помещение зарядов q1 и §¦„ на
расстоянии г друг от друга, pai.ua
A--=4-f.
Эта работа является мерой энергии взаимодействия W системы двух
точечных зарядов:
Обозначая через V7, потенциал, создаваемый зарядом q^ в точке Вь и
через V2 — потенциал, создаваемый зарядом q± в точке ??а, имеем:
Выражение энергии W перепишем в виде:
W=9f^9±.qt+^4L.qit A)
откуда получаем
± ^ (la)
Если заряды одноименны, энергия имеет положительный знак, если
заряды разноименны, знак энергии — отрицательный.
Выражение энергии Aа) легко обобщить на систему, состоящую
из п зарядов, расположенных на определенных расстояниях друг от
друга; эта энергия выразится через сумму работ, необходимых для
переноса каждого из зарядов qi из бесконечности в то место, где он
должен быть расположен. При этом получается выражение:
где Vj означает потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме i-ro,
в месте, где находится i-й заряд.
Энергия системы зарядов носит характер потенциальной энергии. Отсюда
вытекает важное следствие. Как известно, устойчивому состоянию системы
соответствует минимум потенциальной энергии. Выражение же энергии си-
системы зарядов ни при каком их взаимном расположении не достигает мини-
минимума. В самом деле, энергия каждой пары зарядов qi и q^ выражается
членом [см. формулу A)] вида-=-——. где г,*. — расстояние между этими
1 rik
зарядами. Для одноименных зарядов это выражение положительно и непре-
непрерывно убывает по мере возрастания расстояния между зарядами г^. Э го

§ 137]
ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ
63
соответствует тому факту, что два одноименных заряда непрерывно отталки-
отталкивают друг друга, пока не разлетятся на бесконечно большие расстояния.
1
п 1 QiQk
Для разноименных зарядов выражение ^- —— отрицательно и, следовательно,
непрерывно убывает по мере сближения двух зарядов: два разноименных
заряда притягиваются друг к другу, пока не сольются и частично или пол-
полностью не нейтрализуют друг друга. Можно строго показать, что этот вывод
о неустойчивости конфигурации, образованной каждой парой зарядов, спра-
справедлив и для системы зарядов при любом их начальном распределении,
а также и для случая электрической системы с зарядами, характеризуемыми
объемной плотностью.
Устойчивая статическая конфигурация электрических зарядов не-
невозможна.
Отсюда вытекает, что атомы и молекулы, представляющие собой сложные
электрические системы, не могут представлять собой статических систем.
Может показаться, что устойчивость достижима при непрерывном движении
частиц, так же как устойчивость солнечной системы достигается за счет
дниження планет вокруг Солнца. Однако с точки зрения электродинамики
система неустойчива и в этом случае, так как заряженная частица, движущаяся
с ускорением, непрерывно теряет энергию путем излучения. С классической
точки зрения невозможно построение устойчивой модели атомов или молекул,
состоящих из отдельных заряженных частиц. Устойчивое состояние атомов
или молекул находит объяснение лишь в квантовой механике.
Подсчитаем, далее, электростатическую энергию уединенного за-
заряженного проводника. Предполагаем, что проводник, первоначально
не заряженный, заряжается определенным количеством электричества Q,
и при этом его потенциал принимает значение V.
На заряжение пронодника тратится работа, которая будет мерой
энергии заряженного проводника; эта работа может быть получена
обратно при разряде проводника. Подсчи-
Подсчитаем работу заряжения.
Между зарядом проводника и его потен- V
циалом имеется соотношение:
Q = CV, C)
где С — емкость проводника.
При заряжении проводника возрастает
его заряд Q, а вместе с зарядом —и его Рис. 51. Зависимость по-
полотен ци ал V, причем они все время связаны тенциала V от заряда Q.
соотношением C). Графически зависимость
потенциала V от заряда Q изобразится прямой, проходящей через
начало координат (рис. 51).
Предположим, что на проводнике уже имеется некоторый заряд Q,
и подсчитаем работу dA, которую надо затратить, чтобы из беско-
бесконечности принести на проводник еще бесконечно малый заряд dQ.
Вниду малости заряда dQ, мы можем считать, что при его сообщении
проводнику, потенциал проводника заметно не меняется. Поэтому
работа dA будет равна произведению из заряда dQ на разность
потенциалов между проводником и бесконечно удаленной областью,

64 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [гл. XIV
где потенциал по условию равен нулю. Таким образом, dA=VdQ.
Полная работа переноса всех зарядов при заряжении тела от потен-
потенциала 0 до потенциала V выразится суммой всех элементарных работ
dA, т. е. интегралом, взятым в пределах от 0 до V:
v
А =-- [ VdQ.
(Г '
Из C) имеем: dQ — CdV, откуда следует:
у
А= J CVdV.
о
Емкость тела С есть величина постоянная, поэтому ее можно вынести
из-под знака интеграла, после чего получим:
v
Эта работа определяет энергию W заряженного тела; таким
образом, для энергии заряженного проводника получаем:
Выразив емкость С через заряд Q и потенциал V по C), полу-
получим другое выражение для энергии:
W=4QV, Da)
и, наконец, выразив потенциал через заряд и емкость, получим третью
формулу для энергии заряженного проводника:
W = ±.%-. D6)
Полученные формулы для энергии легко обобщить и на случай
заряженного конденсатора. Процесс заряжения пластин можно пред-
представить происходящим следующим образом: первоначально нейтраль-
нейтральные пластины постепенно заряжаются переносом бесконечно малых
количеств -j- dQ электричества с одной пластины на другую; этот
перенос увеличивает положительный заряд одной пластины на dQ и
уменьшает положительный заряд, или, что то же самое, увеличивает
отрицательный заряд другой на такую же величину. Таким образом,
в процессе заряжения мы всегда имеем на обеих пластинах равные и
противоположные по знаку количества электричества. Перенос коли-
количества электричества dQ с одной пластины на другую требует затраты
работы. Р.сли потенциал одной пластины равен Vh а другой 1'2, то
эта работа равна:
dA={vl—V9)dQ.

§ 137] ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ - 65
Таким образом, мы получаем такое же выражение для элементар-
элементарной работы dA, как и при заряжении уединенного тела, только
вместо потенциала V стоит разность потенциалов V\ — V2- Отсюда
и полная энергия заряженного конденсатора выразится формулой Dа),
если в ней заменить V на V\ — V^.
W = i-Q(V,— V2). E)
Пользуясь соотношением между зарядом Q и емкостью конден-
конденсатора Q = С (Vi — V2), придадим этой формуле еще другой вид:
W=\c{Vx—Vi)\ Eа)
а также
W = l -9\ E6)
Все три формулы дают энергию заряженного конденсатора, выра-
выраженную как функция двух из трех величин: разности потенциалов
на обкладках Vt — У2, заряда на обкладках Q и емкости С.
Приведем численный пример. Определим энергию конденсатора ем-
емкостью в 1 мкф, заряженного до разности потенциалов в 3000 в.
Пример решим, пользуясь двумя различными системами единиц: a) CGSE-
системой и б) практической системой.
а) В CGSE-системе емкость С = \ мкф = 9- W см, Vi — V2 = 3000 e =
ОПАЛ
= TST CGSE-единиц потенциала, т. е. Vt — V3 == 10 CGSE. Отсюда по
oUU
формуле Eа):
W = 4- С (Vt — V2J= 4" ' 9 ' 1Q5 • 1Q2 эРг = 4>5 дж-
б) В практической системе единиц С = 1 мкф = 10~в ф, Vt — 1/2 = ЗООО в,
откуда:
W = -|г • 10"в C • 103J дж = 4'5 дж-
Определим энергию диполя во внешнем однородном электростатическом
поле напряженности Е (рис. 52). Пусть ось диполя / составляет с направле-
направлением напряженности поля Е угол а. Силы, дей- х
ствующие на положительный и отрицательный за- *q^ ^f
ряды диполя, соответственно равны -\-qE и — qE. /~ ' ж
Они образуют, как показано в § 135, пару с мо- г А. Е
ментом -J-—J я
M — qEl sin а =рЕ sin a, f——щ-ц
где p=ql — момент диполя.
Когда ось диполя параллельна напряженности Рис. 52. Диполь во внеш-
поля, а = 0 и момент сил jW = 0; когда ось ди- нем электрическом поле,
поля перпендикулярна к напряженности поля
(а = я/2), момент сил достигает максимального значения М=рЕ. Будем счи-
считать энергию диполя в этом последнем положении равной нулю.
3 С. Фриш и А. Тиморева
I
плотность энергии. Отсюда видно, что выражение E) для плотности
3»

66 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XIV
При повороте диполя на бесконечно малый угол da электрические силы
совершают работу:
dA = M da = pE sin a • da;
на такую же величину уменьшится энергия диполя W. Запас энергии, ко-
которым диполь будет обладать, когда его ось составит с Е угол а, равен
работе сил при его поворачивании из положения, перпендикулярного век-
вектору Е (а = тс/2), в положение, определяемое данным значением а:
а а
 = 1 pE sin a ¦ da —pE \ si
Выполняя интегрирование:
sin a di = — cos a,
получим
W = —pE cos а,
что и дает искомое выражение для энергии диполя. Знак минус получается
в результате того, что мы положили энергию диполя, расположенного пер-
перпендикулярно к напряженности поля Е, равной нулю. Тогда при углах а < —
она будет еще меньше, т. е. примет отрицательные значения. Положению
а = 0 соответствует минимум электрической энергии. Вместе с тем это
положение (при нем момент сил М == 0) есть положение равновесия.
Таким образом, положению ранновесия соответствует минимум элек-
электрической энергии. Так как в механике положению равновесия соответствует
минимум потенциальной энергии, то, следовательно, энергия электрически
заряженных тел, находящихся в электростатическом поле, как мы уже ука-
указывали, аналогична потенциальной энергии в механике.
§ 138. Энергия электростатического поля. Формулы, получен-
полученные в § 136, позволяют выразить энергию плоского конденсатора
через величины, характеризующие электростатическое поле между -его
обкладками. Для этого воспользуемся связью между зарядом Q пла-
пластин плоского конденсатора и напряженностью поля Е между пла-
пластинами (стр. 60):
г, 4nQ . .
?=-§-. 0)
где S—площадь пластины. Кроме того, разность потенциалов на
обкладках связана с напряженностью поля Е и расстоянием d между
пластинами конденсатора соотношением:
Подставляя значения Q и Vi— Ц из формул A) и B) в выра-
выражение энергии конденсатора [формула E) § 137J, получим:
W=±E*Sd. C)
Формула C) выражает энергию конденсатора через напряженность
поля Е. Таким образом, оказывается, что энергию конденсатора можно

§ 138] ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 67
выразить двояко: либо через заряд и потенциалы пластин, либо через
напряженность электростатического -поля, созданного зарядами. По-
Последнее обстоятельство позволяет считать, что электростатическое поле
обладает энергией и что, следовательно, можно говорить об энергии
электростатического поля. Эта точка зрения подтверждается еще
тем, что по формуле C) энергия пропорциональна произведению Sd,
представляющему собою объем пространства между пластинами кон-
конденсатора. Так как поле пластин отлично от нуля лишь в простран-
пространстве между ними, то произведение Sd дает одновременно и объем
пространства, в котором, в данном случае, сосредоточено поле. Таким
образом, энергия W оказывается пропорциональной объему простран-
пространства, занятого полем.
Рассматривая энергию электростатического поля конденсатора,
можно ввести понятие об объемной плотности энергии, подразумевая
под ней величину
W ...
W D)
т. е. величину, численно равную энергии, приходящейся на единицу
объема поля. Подставляя в D) вместо W его значение по C), получим:
w=±-nE>. E)
Понятие'о плотности энергии введено нами для случая однородного
поля конденсатора. Легко обобщить его на случай любого электростати-
электростатического поля. Если поле неоднородно, то условимся под средней плот-
плотностью энергии w, приходящейся на объем ДУ неоднородного поля,
подразумевать величину, измеряющуюся отношением энергии W
приходящейся на- объем ДУ, к величине этого объема:
Плотностью энергии в данной точке поля назовем предел, к ко-
которому стремится это отношение при неограниченном уменьшении
объема AV вблизи данной точки:
/4№\
а» = пред. -П7 •
В очень малом объеме всякое поле можно считать приближенно
однородным и характеризуемым определенным значением вектора на-
напряженности Е. Следовательно, плотность энергии неоднородного
поля в данной точке равна
» = **-
где Е — напряженность в той точке поля, для которой вычисляется
плотность энергии. Отсюда видно, что выражение E) для плотности
3»

68 ОСНОВНЫЕ' ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ [гл. XIV
энергии справедливо для любого поля. Плотность энергии неоднород-
неоднородного поля меняется от точки к точке.
Для вычисления энергии, приходящейся на конечный объем V
электростатического поля, следует разбить этот объем на элементар-
элементарные объемы ДУ, определить энергию, приходящуюся на каждый из
них, AW=w-kV, и просуммировать по всему объему:
W=%wbV. F)
Здесь w — значение плотности энергии, соответствующей каждому
данному элементарному объему LV.
Представление о распределении энергии поля с объемной плот-
плотностью w подтвердилось дальнейшим развитием учения об электри-
электрических и магнитных явлениях, показавшим, что энергия может пере-
передаваться через „пустое" пространство в виде энергии электромагнитных
волн с конечной скоростью с==3- 1010 см/сек. Этот вывод имеет
большое значение для понимания природы поля. Энергия есть одна
из характеристик состояния материи и, следовательно, понятие об
энергии не может быть оторвано от понятия о материи. Это подтвер-
подтверждает указанный в § 124 вывод, что само электростатическое поле
является особым видом материи (подробнее см. § 152).
Более точно выражение энергии, приходящейся на конечный объем
неоднородного поля, получим, рассматривая бесконечно малые элементы
объема dV. Тогда энергия dW, приходящаяся на такой бесконечно малый
объем, выразится формулой:
dWEidV
Энергия W поля, заключенного и конечном объеме V, выразится суммой
энергий всех бесконечно малых участков поля, т. е. интегралом
W = -L{^dV, Fa)
где интеграл распространен на весь объем V поля.
Определим, пользуясь выражением Fа), полную энергию электростати-
электростатического поля равномерно заряженной сферы радиуса R. Пусть заряд сферы
равен Q, и сфера находится в пустоте.
Подсчитаем энергию dW, приходящуюся на бесконечно тонкий шаровой
слой, концентрический с заряженной сферой; пусть радиус этого шарового
слоя г и его толщина dr. Ввиду малой толщины слоя напряженность поля Е
во всех точках внутри слоя можно считать постоянной и равной
Объем слоя dV = 4лг2 dr, откуда энергия поля, заключенного внутри слоя:

§ 138] ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 69
Энергию всего поля получим, проинтегрировав dW по г от значения
г = R (соответствует точкам вблизи поверхности заряженной сферы) до г = оо:
Выполняя интегрирование, получим:
ос
I
^ = —, откуда найдем W = ^,.
Так как емкость уединенной сферы равна ее радиусу (С = R), то послед-
последнее выражение можно переписать в виде
что совпадает с выражением D6) § 137 для энергии заряженного тела.
Таким образом, исходя из выражения плотности энергии электрического
поля, мы пришли к первоначальному выражению энергии заряженного тела
через заряд и емкость.

ГЛАВА XV
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
§ 139. Диэлектрики. Диэлектрическая постоянная. В середине
прошлого столетия Фарадей, экспериментируя со сферическим кон-
конденсатором, заметил, что если пространство между обкладками кон-
конденсатора заполнить серой (вместо воздуха), то электроемкость
конденсатора возрастет в несколько раз. Впоследствии было уста-
установлено, что это явление носит общий характер и что емкость
любого конденсатора зависит от того, какое непроводящее веще-
вещество {диэлектрик) заполняет пространство между его обкладками.
Обозначим через Со емкость конденсатора в том случае, когда между
его обкладками пустота. Тогда при наличии диэлектрика между
обкладками конденсатора его емкость будет:
С = иСа. A)
Величина е, называемая диэлектрической постоянной, показывает,
во сколько раз возрастает емкость конденсатора, если вместо пу-
пустоты между его обкладками будет находиться данный диэлектрик.
Значение диэлектрической постоянной зависит от природы ди-
диэлектрика и от условий, при которых он находится (температура,
давление и т. д.). Опыт показывает, что для всех веществ е^>1.
В соответствии с формулой A) диэлектрическая постоянная е есть
величина безразмерная; для пустоты е=1.' В табл. I приведены
Таблица I
Диэлектрическая постоянная s
Вещество
Воздух (при
1 атм) . . .
Сера
Воск
е Вещество
1,0006
4
7,8
Парафин . . .
Слюда
Стекло ....
Фарфор ....
е
2,1
6-7
5,5 — 7
5,7 - 6,3
Вещество
Эбонит ....
Керосин ....
Вода
е
2,5
2,0
81
1 Ниже будет указано, что можно ввести такую систему измерения элект
трических величин, при которой диэлектрическая постоянная е становится вели-
величиной размерной и ее численное значение для пустоты — отличным от единицы.

§ 139] ДИЭЛЕКТРИКИ. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ 71
значения диэлектрической постоянной для ряда веществ (при обычных
температурах). Как видно, 'значения диэлектрических постоянных
колеблются от величин, весьма мало отличающихся от единицы
(газы при атмосферном давлении), до нескольких десятков. Осо-
Особенно большую диэлектрическую постоянную имеет вода (е = 81).
Рассмотрим, что происходит при ¦. введении однородного диэлек-
диэлектрика между пластинами плоского конденсатора.
Предположим сперва, что обкладки конденсатора отключены от
окружающих тел так, что заряды на них остаются неизменными:
Q= aS.
При этих условиях увеличение емкости конденсатора при заполне-
заполнении его диэлектриком происходит за счет уменьшения разности
потенциалов между его обкладками. Действительно, из -соотношения
видно, что увеличение емкости в е раз должно произойти вслед-
вследствие уменьшения в в раз разности потенциалов Vt — V2 его обкла-
обкладок. Уменьшение же разности потенциалов происходит из-за ослаб-
ослабления напряженности электростатического поля между обкладками,
так как в силу соотношения B) § 131:
E=v1-v1
Отсюда видно, что напряженность поля Е между обкладками запол-
заполненного диэлектриком конденсатора окажется в е раз меньше
напряженности Еа поля такого же пустого конденсатора:
Разберем причины ослабления f
поля. В диэлектрике, внесенном в
электрическое поле между обклад-
ками конденсатора, возникает поля- '
р
ризация (см. § 122), сопровождаю- рис. 53. Диэлектрик в конденсаторе. ¦
щаяся перераспределением зарядов
.в молекулах диэлектрика или поворотами дипольных молекул. В слу-
случае однородного диэлектрика эта поляризация не сопровождается
образованием объемных зарядов в толще диэлектрика, так как моле-
молекулы в целом нейтральны и заряды соседних молекул друг друга
компенсируют (см. рис. 53). На границе диэлектрика, однако, ком-
компенсации зарядов не происходит. При этом на поверхности, обра-
обращенной к отрицательной пластине, возникают некомпенсированные
положительные заряды, а на поверхности, обращенной к положительной
пластине, — отрицательные заряды. Эти заряды носят название

72 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [ГЛ. XV
связанных зарядов, и их можно считать распределенными на поверхно-
поверхности диэлектрика с постоянной поверхностной плотностью -\- а' и — о'.
(См. подробнее § 141.)
В результате в диэлектрике создается дополнительное электри-
электрическое поле, образованное поляризацией диэлектрика, направлен-
направленное в сторону, противоположную направлению поля, создаваемого
обкладками конденсатора.
Предположим, что поле между обкладками при отсутствии в нем
диэлектрика имеет напряженность Ео. Величина Ео связана с плот-
плотностью а зарядов на обкладках, которые мы назовем свободными,
соотношением:
Напряженность поля Е, создаваемого поляризацией диэлектрика,
связана с плотностью связанных нарядов аналогичным соотношением:
Полное поле между обкладками конденсатора, заполненного ди-
диэлектриком, будет характеризоЕ;аться напряженностью Е, равной
геометрической сумме напряженностей поля обкладок и поля поля-
поляризованного диэлектрика:
Е = Е0 + Е'. - ¦-
Учитывая то, что направление Ео и Е' противоположно, найдем
численное значение результирующей напряженности:
?¦ = ?¦„ — Е! = 4я (а — о').
Таким образом, видно, что поляризация диэлектрика ослабляет лэле.
Используя соотношение
найдем связь между плотностью связанных зарядов и напряженностью
поля в диэлектрике:
4тс
4ic 4n 4тс v '
Величина х = —-.— называется коэффициентом поляризации. Оче-
Очевидно, что коэффициент поляризации зависит от рода диэлектрика.
Из последнего равенства видно, что плотность зарядов, возникаю-
возникающих на границе диэлектрика в результате его поляризации, про-
пропорциональна напряженности действующего в диэлектрике поля
(подробнее см. § 142).
Заметим, что в данном случае поляризованный диэлектрик соз-
создает ослабляющее поле только внутри самого диэлектрика, так как
связанные заряды -\- а' и — о' оказываются распределенными по двум

§ 140] ЭНЕРГИЯ КОНДЕНСАТОРА ПРИ НАЛИЧИИ ДИЭЛЕКТРИКА 73
параллельным плоскостям; такие же заряды, как мы знаем, вне области,
ограниченной этими плоскостями, Создают напряженность, равную
нулю (см. § 128). Следовательно, если между диэлектриком и пла-
пластинами существуют зазоры, напряженность электрического поля
в них будет та же, что и до внесения диэлектрика.
Рассмотрим теперь влияние диэлектрика в том случае, когда
диэлектрик вносится в конденсатор, на обкладках которого поддер-
поддерживается постоянная разность потенциалов (путем подключения об-
обкладок к источнику постоянной разности потенциалов). В этом слу-
случае напряженность поля между обкладками остается той же, что
и до внесения слоя (по основному соотношению между напряжен-
напряженностью и потенциалом). Поскольку поляризация диэлектрика ослаб-
ослабляет поле, постольку ясно, что сохранение напряженности неиз-
неизменной возможно лишь при условии увеличения свободного заряда
на обкладках конденсатора за счет зарядов подключенного источника.
По соотношению B) видно, что увеличение емкости в е раз
означает, что при этих условиях свободный заряд на обкладках
возрастает в е раз.
§ 140. Энергия конденсатора при наличии диэлектрика. Энер-
Энергия поля в диэлектрике. Посмотрим, что происходит с энергией
конденсатора при введении между его пластинами диэлектрика.
В § 137 мы видели, что энергия конденсатора W определяется
соотношением ¦
W=-~Q(Vi — Vy, A)
где Q — заряд пластины конденсатора. Так как это выражение для W
получено лишь на основании подсчета работы переноса зарядов между
пластинами с данными разностями потенциалов, то оно остается
в силе и при наличии между пластинами конденсатора диэлек-
диэлектрика. Формула A) позволяет сравнить энергию W пустого кон-
конденсатора с энергией Wt такого же конденсатора, заполненного
диэлектриком. Здесь, однако, надо уточнить условия, при которых
идет сравнение.
Если заряди на обкладках пустого конденсатора и конденса-
конденсатора с диэлектриком одинаковы, то различие в энергии обусловлено
различием разностей потенциалов на обкладках обоих конденсаторов.
Как было разобрано в § 139, в этом случае разность потенциалов
на обкладках заполненного диэлектриком конденсатора в е раз
меньше разности потенциалов на обкладках пустого конденсатора,
поэтому при этих условиях мы получаем
\Х^ 1_
W ~ ? '
т. е. энергия конденсатора уменьшается при заполнении его
диэлектриком в s раз.

74 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [ГЛ. XV
Наоборот, если у пустого и заполненного диэлектриком кон-
конденсатора на обкладках .поддерживаются одинаковые разности по-
потенциалов, то энергии будут пропорциональны свободным зарядам Q
на обкладках.
В этом случае, как мы видели, заряд обкладок заполненного
диэлектриком . конденсатора в е раз больше, чем заряд обкладок
пустого конденсатора, и мы получаем
т. е. энергия конденсатора возрастает при заполнении его диэлек-
диэлектриком. Увеличение энергии происходит за счет источника, под-
поддерживающего неизменную разность потенциалов на обкладках.
Из выражения для энергии конденсатора
легко найти плотность энергии электростатического поля внутри
диэлектрика аналогично тому, как в § 138 было получено выраже-
выражение для плотности энергии электростатического поля в пустоте.
Для этого рассмотрим плоский конденсатор, заполненный диэлек-
диэлектриком, поле в котором можно считать однородным. Подставляя
в формулу для энергии A) заряд Q и разность потенциалов
Vi — Vit выраженные через напряженность поля,
Q = о5= ~ и V! — Vt = Ed,
найдем
W=~tEiSd.
Деля последнее выражение на объем диэлектрика в конденсаторе Sd,
получим для плотности энергии в диэлектрике выражение:
W= — B)
Обобщение на неоднородный диэлектрик и неоднородное поле
можно провести, разбив диэлектрик на .области Д V, столь малые,
чтобы в пределах таких областей неоднородностями можно было
пренебречь. Тогда, повторяя рассуждения § 138, для энергии поля
в неоднородном случае получим
§ 141. Поляризация диэлектриков. Вектор поляризации. Рас-
Рассмотрим более подробно процесс поляризации диэлектриков.
Диэлектрик состоит из молекул, в состав которых входят заряжен-
заряженные частицы — отрицательные электроны и положительные ядра. Поло-

§ 141] ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ. ВЕКТОР ПОЛЯРИЗАЦИИ 75
жительные и отрицательные заряды внутри каждой молекулы компенси-
компенсируют друг друга, так что молекула в целом нейтральна. Однако центры
тяжести положительных и отрицательных зарядов в молекуле могут
быть сдвинуты друг относительно друга, что ведет к наличию у моле-
молекулы дипольного момента р. Рассмотрим сперва случай, когда молекула
имеет постоянный момент р, не меняющийся под влиянием внешнего
поля. Такая молекула называется жесткой, дипольной. молекулой.
При отсутствии внешнего поля, благодаря беспорядочному тепло-
тепловому движению, моменты молекул ориентированы по-разному. Если мы
выделим объем Д Vдиэлектрика, содержащий достаточно большое число
молекул, то векторная сумма моментов всех молекул ^Р. находящихся
в этом объеме, будет равна нулю. При наличии внешнего электри-
электрического поля диполи частично повернутся по полю, сумма моментов J]P
станет отличной от нуля и тем более отличной, чем сильнее поле.
Диэлектрик с ориентированными в той или иной степени дипольными
моментами окажется поляризованным.
За меру поляризации диэлектрика примем вектор Р, равный сум-
суммарному моменту молекул 2Р> отнесенному к единице объема:
Объем h.V, в пределах которого берется сумма моментов отдельных
молекул 2Р> должен содержать достаточное количество молекул, но
вместе с тем быть настолько малым, чтобы внутри него все макро-
макроскопические величины — плотность, температура, напряженность элек-
электростатического поля ? и т. д. — могли считаться постоянными. Век-
Вектор Р носит название вектора поляризации.
Степень ориентации молекул естественно положить пропорциональ-
пропорциональной напряженности поля Е в пределах диэлектрика. Тогда и вектор
поляризации Р окажется пропорциональным напряженности поля Е:
Р = *Е. B)
Ниже мы покажем, что коэффициент к совпадает с коэффициен-
коэффициентом поляризации, введенным нами в § 139.
Если первоначально молекула не обладает дипольным моментом
(неполярная молекула), то под влиянием внешнего электрического поля
заряды в ней смещаются, и у нее появляется дипольный момент р.
И в этом случае сумму моментов можно считать пропорциональной
напряженности поля. В случае нежесткой полярной молекулы ^Р будет
возрастать по двум причинам: благодаря увеличению моментов моле-
молекул р и благодаря их ориентации. Но и в этом случае суммарный
момент 2р возрастает пропорционально Е. Таким образом, соотноше-
соотношение B) справедливо для молекул любого типа.
Если однородный диэлектрик находится в электрическом поле, то
любой элемент его объема ДУ, содержащий достаточно большое

76 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [гл. XV
число молекул, остается нейтральным. Не так обстоит дело, как
мы видели, в тонком слое у поверхности диэлектрика. Благодаря
повороту молекул у той границы, где входят линии напряженности,
получится избыток отрицательных концов молекул, а у той границы,
где линии напряженности выходят, — избыток положительных концов
молекул (см. стр. 71).
В результате на поверхности поляризованного диэлектрика возни-
возникают заряды с некоторой поверхностной плотностью а'.
В случае неоднородности диэлектрика возникают и объемные
заряды р' внутри самого диэлектрика. Рассмотрим, например, не-
неоднородный диэлектрик, распо-
расположенный в электрическом
поле. Пусть концентрация ча-
частиц диэлектрика возрастает
слева направо (рис. 54) и пусть
в ту же сторону направлена
напряженность поля. Выделим
мысленно в этом диэлектрике
слой, ограниченный поверхно-
поверхностями аа' и ЬЬ'. У поверхности
слоя аа' число частиц в еди-
нице объема, по предположе-
предположению, меньше, чем у поверхно-
поверхности ЬЬ'. Следовательно, поверх-
поверхность аа' перережет меньше
молекул, чем поверхность ЬЬ'.
а, -v< Так как каждая молекула пред-
Рис. 54. Появление объемных зарядов при «авляет собой диполь, повер-
поляризации неоднородного диэлектрика, нутый по полю, то через по-
поверхность аа' проникнет внутрь
слоя из левой части диэлектрика меньше положительных концов
молекул, чем их выйдет через поверхность ЬЬ' из слоя. Таким обра-
образом, внутри слоя aa'bb' получится недостаток положительных зарядов,
и он окажется отрицательно згряженным.
Под влиянием переориентации молекул, вызванной внешним элек-
электрическим полем, меняются механические свойства диэлектрика. По-
Поэтому при поляризации диэлектрика в нем возникают упругие
натяжения и происходит изменение его объема и формы. Эти явле-
явления называются электрострикцией. Кроме того, добавочные меха-
механические натяжения возникают на поверхностях диэлектриков.
Поверхностные и объемные заряды, возникающие при поляризации
диэлектрика, носят название связанных. Все прочие заряды (не обу-
обусловленные явлением поляризации) носят название свободных.
Между вектором поляризации и поверхностной плотностью заря-
зарядов, выступающих на границе диэлектрика, существует простая

§ 141]
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ. ВЕКТОР ПОЛЯРИЗАЦИИ
77
связь. Мы установим ее на простом частном случае. Внесем беско-
бесконечно большую плоскопараллельную пластину из однородного ди-
диэлектрика в однородном поле. При этом поле Е внутри диэлектрика,
а вместе с тем и вектор поляризации Р [формула B)] будут посто-
постоянными. Выделим мысленно из этой пластины цилиндрический объем AV
так, чтобы его образующие были параллельны напряженности поля Е
в пластине (см. рис. 55, где п — нор.
маль к поверхности "пластины). При по-
поляризации диэлектрика на поверхно-
поверхностях пластины появятся заряды с по-
поверхностными плотностями -\-а' и — о'.
Так как в рассматриваемом случае
(одноводный диэлектрик, предвари-
предварительно не заряженный) внутри объема
AV заряды не возникают, то с макро-
макроскопической точки зрения электриче-
электрический момент объема AV обязан своим
происхождением лишь наличию поверх-
поверхностных зарядов на основаниях ци-
цилиндра 5. Заряды эти соответственно
равны + a'S и — a'S. а расстояние ме- Рис 55. К определению значе-
жду ними равно длине цилиндра L От- ния вектора поляризации Р.
сюда электрический момент цилиндра
равен a'SL. Но, с другой стороны, момент всего цилиндра равен
численному значению суммы векторов моментов всех находящихся
внутри цилиндра молекул, откуда:
Численное значение вектора поляризации Р в пределах цилиндра
получим, поделив суммарный момент | ^Р I на объем AV:
Объем цилиндра
р_ 1ДР| _ «'SL
&.V=SL cos а,
где <х— угол м.ежду образующей цилиндра L и направлением нор-
нормали к основанию цилиндра 5. Подставляя это значение AV в выра-
выражение для Р, получим:
" откуда а' = Р- cos a.
COS a
Направление образующей цилиндра L совпадает по построению
с направлением напряженности поля Е, а с этим последним совпадает
направление вектора поляризации Р, откуда:
PC0Sa=;Pn,

78 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [ГЛ. XV
где Рп — проекция вектора поляризации на нормаль к поверхности,
на которой выступают заряды. Следовательно,
о'=Р„, ' C)
т. е. плотность поверхностных связанных зарядов а' численно
равна нормальной составляющей вектора поляризации.
Этот вывод позволяет нам прийти к важному следствию. По фор-
формуле B), вектор поляризации Р пропорционален напряженности поля Е,
отсюда, по C), получаем, что плотность поверхностных зарядов о'
пропорциональна нормальной составляющей напряженности поля ?„:
о' = хЕя. D)
Этот результат совпадает с полученным нами для более частного слу-
случая соотношением C) § 139. Таким образом, мы видим, что коэф-
коэффициент х в формуле B) действительно совпадает с введенным в § 139
коэффициентом поляризации.
Что касается объемных связанны!: зарядов, то, как сказано, они появ-
появляются при наличии неоднородностей диэлектрика, а также в тех местах, где
есть свободные заряды. Можно показать, что объемная плотность связанных
зарядов р' определяется дивергенцией вектора поляризации Р, взятой с об-
обратным знаком:
р' = — divP. E)
Формулы C) и E) позволяют в каждом частном случае найти поверх-
поверхностные и объемные заряды, возникающие при поляризации диэлектрика.
§ 142. Напряженность поля в диэлектрике. Рассматривая электро-
электростатические явления в пустоте, мы всегда полагали, что заряды обу-
обусловлены избытком или недостатком электронов в каждом элементе
объема заряженного тела, содержащем достаточно большое число
молекул.
Заряды такого рода мы назвали свободными. В предыдущем пара-
параграфе мы видели, что при поляризации диэлектрика возможно появле-
появление других зарядов, вызванных либо поворотом постоянных дипольных
моментов молекул, либо появлением индуцированных моментов у мо-
молекул, причем каждая молекула остается нейтральной. Эти заряды мы
назвали связанными. Связанные заряды появляются только при наличии
в диэлектрике электрического поля.1 Таким образом, первичным
источником поля всегда являются свободные заряды.
Однако при наличии в поле куска диэлектрика на первичное
поле, вызванное свободными зарядами, налагается еще добавочное
поле связанных зарядов. Это добавочное поле отлично от нуля как
в самом диэлектрике, так, вообще говоря, и вне его. Для того чтобы
найти результирующую напряженность поля Е, надо сложить напря-
1 На возможность сохранения связанных зарядов после прекращения
действия поля будет указано ниже.

§ 142] НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ В ДИЭЛЕКТРИКЕ 79
женность поля свободных зарядов Ео с напряженностью поля связанных
зарядов Е': -
\ A)
Определим, в соответствии с равенством A), напряженность поля
в диэлектрике для простых частных случаев, когда возникающие свя-
связанные заряды могут быть легко найдены. При этом будем считать,
что свободные заряды остаются неизменными.
1. Однородный диэлектрик, окружающий заряжен-
заряженный проводящий шар. Предположим, что заряженный про-
проводящий шар радиуса R погружен в однородный диэлектрик, про-
простирающийся до бесконечности. Заряд шара пусть равен Q. Как мы
видели (§ 128, п. 3), проводящий заряженный шар вызывает во внешней
части пространства такое поле, как если
бы весь его заряд Q был сосредоточен
в его центре.
Следовательно, напряженность поля ?0
в точке А, отстоящей на расстоянии г от
центра шара, равна
~ Рис. 56. Влияние диэлек-
Внутри шара напряженность поля трика на поле заряженного
равна нулю. Под влиянием поля диэлек- шара.
трик поляризуется, и на его поверхности,
примыкающей к поверхности шара, возникают связанные заряды Q'
обратного знака относительно Q. Поверхностная плотность этих
зарядов:
где Е „ — напряженность поля внутри диэлектрика у поверхности
шара (рис. 56). Так как поверхность шара равна 4ici?', то
Этот заряд расположен по поверхности сферы, концентрической
с самим заряженным шаром, поэтому он вызовет в точке А добавочное
поле:
г2 га
Отсюда напряженность поля в точке А равна
Так как напряженность поля заряженного проводящего шара и равно-
равномерно заряженной шаровой поверхности в однородном диэлектрике

80 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [ГЛ. XV
будет убывать обратно пропорционально квадрату расстояния от
центра шара, то:
??=-?, откуда Ея=р.
Подставив это значение Е# в B), получим
=Дг—4™Е или Е=
2
Дг—4™Е или Е= ., .A , ¦
г2 A-4- 4лх) гJ *
откуда, принимая во внимание, что l-|-4ini = e, найдем
независимо от радиуса заряженного шара R. Таким образом, и в этом
случае напряженность поля Е в диэлектрике в е раз меньше напря-
напряженности поля Еа, вызванной свободными зарядами.
2. Выше нами был разобран случай плоского диэлектрического
слоя между обкладками конденсатора (см. § 137). Там было пока-
показано, что и в этом случае диэлектрик вызывает ослабление напря-
напряженности в s раз при условии неизменности свободных зарядов:
Оба рассмотренных случая характерны тем, что однородный ди-
диэлектрик заполняет все пространство, где поле отлично от нуля. При
этом напряженность поля уменьшается в е раз. Этот результат, как
оказывается, носит общий характер: напряженность поля в одно-
однородном диэлектрике, создаваемая рассматриваемыми свободными
зарядами при условии, что однородный диэлектрик целиком за-
заполняет все пространство, где поле отлично от нуля, в е раз
меньше напряженности поля тех же зарядов в пустоте. В этом
случае, так как Е = —Ео, все трл вектора Е, Ео, Е', входящие в фор-
формулу A), параллельны, причем на основании соотношения е= 1 -\- 4их
и формулы B) § 141:
Е' = Е — Е„= — 4иР. D)
Предыдущие результаты несправедливы для неоднородных ди-
диэлектриков, а также в том случае, когда диэлектрик (хотя бы
и однородный) не целиком заполняет пространство, занятое полем1
1 Из этого правила имеются исключения, вызванные высокой степенью
симметрии. Так, для одного равномерно заряженного однородного диэлектри-
диэлектрического шара, погруженного в другой однородный безграничный диэлектрик,
напряженность поля вне заряженного шара уменьшается в е раз (внутри
него она не изменяется). Точно так же и в случае плоского (или сферического)
конденсатора, заполненного параллельными (соответственно, концентрически-
концентрическими) слоями различных однородных диэлектриков, напряженность поля в каж-
каждом слое будет Ek=—?0.

§ 143] СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЗАРЯЖЕННЫЕ ТЕЛА 81
(например, отдельные куски однородного диэлектрика, внесенные в
поле). Чтобы определить напряженность поля в этих случаях, нужно
в каждом данном случае учесть появление всех связанных зарядов,
подсчитать их поле и сложить с полем свободных зарядов. Рассмот-
Рассмотрим, например, точечный заряд-}-? (рис 57), около которого поме-
помещен удлиненный кусок диэлектрика D. Под влиянием поля заряда-]-?
на концах диэлектрика Sj и ^2 возникнут связанные заряды—q' и
-\-q'. Весь кусок диэлектрика превратится в диполь с определенным
моментом р. Как мы видели (§ 125), диполь вызывает поле, линии
напряженности которого выходят из его положительного конца и
входят в его отрицательный конец. Рассмотрим три точки А\, Аг и А3,
лежащие на одной прямой с зарядом -|~ q. Тогда напряженность
поля ?*, вызванная связанными зарядами диэлектрика, направлена в
точках Л2 и Аа в ту же ^___^^^^
сторону, что и напряжен- X О X Stfq' 7P\s2 X
ность поля ?0> а в точке А1 +д Лг ' ^-* ц
Ах — в обратную. Резуль- - "
тирующая напряженность рис. 57. Кусок диэлектрика^ вблизи точечного
поля Е = Ей-\-Е? в точ- заряда-)-^,
ке А\ меньше напряжен-
напряженности поля заряда-]-?, а в точках Аг и А3 — больше. Если взять
точку, не лежащую на упомянутой прямой, то в ней векторы Ео
и Е' не параллельны.
Таким образом, этот пример показывает, что в общем случае
между напряженностью поля Ео свободных зарядов и напряженностью
поля Е' связанных зарядов нет простого соотношения.
§ 143. Силы, действующие на заряженные тела при наличии
диэлектриков. Силы, действующие между заряженными телами, погру-
погруженными в диэлектрик, нельзя определить, рассматривая только взаимо-
взаимодействия между свободными и связанными зарядами. Для того чтобы
это показать, рассмотрим две параллельные, разноименно заряженные
пластины, погруженные в однородный диэлектрик, например в какую-
либо диэлектрическую жидкость. Если пластины находятся на рас-
расстоянии, малом по сравнению с их собственными размерами, то
создаваемое ими поле заключено лишь в пространстве между пласти-
пластинами. Поэтому поляризована будет лишь та часть диэлектрика, которая
находится между пластинами. В результате поляризации этой части
диэлектрика на поверхностях диэлектрика, примыкающих к пластинам,
возникнут связанные поверхностные заряды с плотностями ± а'. Эти
заряды эквивалентны двум параллельным заряженным- поверхностям
и, следовательно, изменят поле только внутри слоя диэлектрика,
находящегося между пластинами, и не окажут никакого действия
на пластины. Таким образом, мы приходим к выводу, что в данном
случае поляризация диэлектрика не может изменить сил взаимодействия
между пластинами (при условии, что заряды на пластинах остаются
/о— ~fQ — —f--
Сравнивая это выражение с A), видим, что при заполнении про-
пространства однородным диэлектриком сила взаимодействия между пла-
пластинами убывает в е раз, в соответствии с результатами опытов.
Энергетический расчет автоматически учитывает все виды взаимо-
взаимодействий и потому дает правильный результат, в то время как рас-

82
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
[ГЛ. XV
неизменными); силы взаимодействия должны остаться такими же,
какими они были в пустоте. В действительности дело обстоит не так:
опыт показывает, что если параллельные заряженные пластины, рас-
расположенные на расстоянии, малом по сравнению с их собственными
размерами, погрузить в диэлектрическую жидкость, то при неиз-
неизменности зарядов силы между ними уменьшатся в е раз, где е — диэлек-
диэлектрическая постоянная взятой жидкости. То же будет иметь место при
заполнении пространства каким-либо диэлектрическим газом. С твердым
диэлектриком такой опыт, очевидно, практически осуществить трудно.
Указанное изменение сил взаимодействия между пластинами, кото-
которое не удается объяснить возникновением связанных зарядов, является
следствием механических напряжений, появляющихся в поляризован-
поляризованном диэлектрике.
Если пластины заряжены зарядами противоположных знаков
(между пластинами действуют силы притяжения), то жидкий или газо-
газообразный диэлектрик втяги-
втягивается в пространство между
пластинами и создает дополни-
дополнительную механическую силу,
раздвигающую пластины, в ре-
результате чего силы притяжения
между ними частично компен-
компенсируются, следовательно, ста-
становятся меньше, чем они были
в пустоте. Наличие добавоч-
добавочного давления в диэлектриче-
диэлектрической среде между пластинами
может быть проверено прямым
опытом. Две горизонтальные
однородный жидкий диэлек-
Рис. 58. К расчету добавочного давления.
пластины А и В погружаются в
трик (рис. 58, на котором область, занятая диэлектриком, заштри-
заштрихована). К верхней пластине А примазана вертикальная трубка С
с манометром М. Через верхний, конец трубки С вдувается воздух
так, чтобы между пластинами А и В образовался пузырь е; после
этого кран b закрывается. Если теперь пластины А и В зарядить
разноименно, то уровень в правом колене манометра М повысится
за счет увеличения давления в воздушном пузыре е. Последнее
произошло в результате затягивания диэлектрической жидкости в про-
пространство между пластинами. Если пластины А и В зарядить одно-
одноименно, то давление в пузыре е уменьшится, так как жидкость теперь
будет выталкиваться из пространства между пластинами наружу.
Такое перемещение диэлектрической жидкости легко объяснить, если
принять, что она состоит из дипольных молекул. Диполь, как было
указано в § 135, в неоднородном поле испытывает силу, перемещаю-
перемещающую его в область, где напряженность поля больше.

§ 143] СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЗАРЯЖЕННЫЕ ТЕЛА 83
Изменение сил взаимодействия между заряженными пластинами
при их погружении в диэлектрик в е раз подтверждается энергети-
энергетическим расчетом. В § 140 мы указали, что энергия плоского конден-
конденсатора, при наличии диэлектрика, равна
где 5 — площадь пластины конденсатора, d — расстояние между пла-
пластинами, Е— напряженность поля между пластинами. (Эта формула,
строго говоря, приближенна и тем точнее, чем меньше расстояние d
в сравнении с размером пластин.) Так как между зарядом Q, сосре-
сосредоточенным на одной из пластин, и напряженностью поля Е- имеет
место соотношение
то выражение для энергии может быть переписано в виде
Пусть под влиянием сил взаимного притяжения правая пластина
(рис. 59) перемещается по направлению к левой на малый отрезок Ad.
Считая силу /, действующую на правую пластину, по-
стоянной, получим, что при этом совершится работа
Эта работа совершится за счет изменения энергии
конденсатора, которое произойдет в результате умень-
шения расстояния между пластинами на Д^:
—-г
Приравнивая работу изменению энергии, получим А**
m Рис.59. К ра-
(U счету сил,
ей действую-
_, , щих на пла-
В пустоте сила /0, действующая на правую пла- Стины кон-
стину, равна произведению напряженности поля, созда- денсатора.
ваемого только левой пластиной (что равно половине
полной напряженности между пластинами), на заряд правой пластины:
/о= -о- Q = с •
Сравнивая это выражение с A), видим, что при заполнении про-
пространства однородным диэлектриком сила взаимодействия между пла-
пластинами убывает в е раз, в соответствии с результатами опытов.
Энергетический расчет автоматически учитывает все виды взаимо-
взаимодействий и потому дает правильный результат, в то время как рас-

84 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [ГЛ. XV
смотрение взаимодействий только между свободными и связанными
зарядами не полностью учитывало роль диэлектрика, так как не
принимало во внимание изменение его механических свойств (давления
и плотности), происходящее под влиянием электрического поля.
Полученный нами результат можно обобщить. Из формулы B)
§ 140 для плотности энергии поля (справедливой для всех изотропных
тел) вытекает (путем расчетов, аналогичных только что проведенному
расчету для плоского конденсатора), что при погружении заряжен-
заряженных тел в однородный диэлектрик, целиком заполняющий все
пространство, где поле отлично от нуля, силы взаимодействия
между телами убывают в е раз.
Отсюда следует, что два точечных заряда qx и qb помещенных
на расстоянии г друг от друга, внутри однородного безграничного
диэлектрика взаимодействуют с силой:
f=-^i. B)
Эта формула выражает собою закон Кулона для случая зарядов,
погруженных в однородный диэлектрик: сила взаимодействия между
точечными зарядами, помещенными в однородный безграничный
диэлектрик, в е раз меньше силы взаимодействия между теми
же зарядами, помещенными на том же расстоянии друг от
друга в пустоте. Если диэлектрик не однороден или не безграничен,
то формула B) будет неверна. Приближенно она справедлива, если
граница однородного диэлектрика достаточно удалена от погружен-
погруженных в него зарядов.
В общем же случае неоднородных и конечных диэлектриков их
влияние на силы взаимодействия между зарядами не может быть
учтено никакими простыми соотношениями, как это видно из при-
примера, рассмотренного на стр. 81. Неоднородность диэлектрика может
быть, очевидно, вызвана и тем, что заряженное тело, на которое
определяется действие силы, помещено внутрь полости в диэлектрике,
самом по себе однородном и безграничном. При наличии полости
исключается действие сил со стороны подвергнутого натяжениям ди-
диэлектрика и играют роль лишь связанные заряды. В этом случае
силы, действующие на заряженное тело, зависят от формы полости,
в которую помещено тело (см. § 145).
Следует заметить, что между формулой B) и законом Кулона для точечных
зарядов в пустоте имеется принципиальное различие. Обе формулы имеют
аналогичный смысл только тогда, когда под точечными зарядами подразуме-
подразумеваются заряды, сосредоточенные на макроскопических телах, размеры кото-
которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Но закон Кулона для
зарядов в пустоте можно истолковать и иначе, а именно, в дифференциальном
виде, сштая, что он выражает силу взаимодействия df между двумя вообра-
воображаемыми элементарными зарядами dq-t и dq^, на которые можно мысленно
разбить всякие конечные заряды qi и q^. Тогда сила взаимодействия между
конечными зарядами qt и qk выразится суммой сил df, распространенной на

§ 143] СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЗАРЯЖЕННЫЕ ТЕЛА 85
все возможные пары зарядов dqt и dq^. В таком дифференциальном виде
формула B) не применима: при наличии диэлектриков силы, действующие на
данную пару зарядов dqt и dq^, обусловлены еще, как мы видели, рядом
других причин.
Резюмируя содержание последних параграфов, мы имеем: в одно-
однородном диэлектрике, целиком заполняющем все пространство, где
поле отлично от нуля, напряженность поля Е в е раз меньше напря-
напряженности того поля Ео, которое данные свободные заряды вызывали бы
при отсутствии диэлектрика, Также силы взаимодействия между заря-
заряженными телами убывают в е раз при их погружении в однородный
диэлектрик, целиком заполняющий все пространство, где поле отлично
от нуля. Следовательно, в этом случае, как ив пустоте, сила f,
действующая на заряд q, определяется равенством i = qE.
Однако это равенство несправедливо при наличии произвольного
диэлектрика. Дело в том, что заряд q, погруженный в диэлектрик,
обычно сосредоточен на каком-либо другом теле (например, провод-
проводнике) и на него действует поле, отличное от поля, которое имеется
внутри диэлектрика вблизи тела. Мы видели это на примере взаимо-
взаимодействия двух заряженных параллельных пластин, где поле в месте
расположения зарядов иное, чем в диэлектрике у поверхности пластин.
Вместе с тем, на том же примере мы видели, что если определить
силу по напряженности поля в том месте, где расположены заряды,
то мы не получим правильного значения силы. Это происходит от
того, что мы не учитываем добавочных механических сил, действую-
действующих на тело со стороны диэлектрика. Такие силы возникают в резуль-
результате натяжений, образующихся в диэлектрике в местах неоднород-
ностей поля, а также в местах неоднородностей самого диэлектрика
(в том числе и на границе между заряженным телом и диэлектриком).
Лишь в тех частных случаях, когда и напряженность поля в ди-
диэлектрике и сила, действующая на заряд, в одинаковое число раз
(в е. раз) меньше тех же величин при отсутствии диэлектрика (т. е.
в случае однородного диэлектрика, целиком заполняющего все про-
пространство, где поле отлично от нуля), формула f == qE' верна и позво-
позволяет по силе f определить напряженность поля Е в диэлектрике.
Вообще же из сказанного следует, что невозможно определить
напряженность поля в диэлектрике Е по силе, действующей на
заряд, если он сосредоточен на каком-либо теле. Обратно: напря-
напряженность поля в диэлектрике Е не определяет, вообще говоря, сил,
действующих на заряженные тела.
Подробнее о физическом смысле вектора Е будет сказано в § 145.
В ряде задач электростатики расчет действующих сил может
быть выполнен с помощью следующих соображений. Предположим,
что в изолированной системе заряженных тел энергия электростати-
электростатического поля является функцией ряда параметров, характеризующих
расположение тел в системе. Этими параметрами могут, например,

86 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [гл. XV
быть просто координаты точек системы тел или расстояния между
телами или углы, определяющие положение стержней, нитей и т. д.
Назовем такие параметры обобденными координатами и обозначим
их букнами хх, хъ ..., хп.
Таким образом, для энергии системы W имеем зависимость:
W=W(xlt xt хп).
При изменении одного из параметров xt на величину Ajc,- электро-
электростатическими силами будет совершена работа, которая пропорцио-
пропорциональна Длг,- и, следовательно, может быть представлена в виде:
Величину fv входящую в это выражение, назовем обобщенной силой.
Работа совершается за счет убыли энергии электростатического
поля, связанной с изменением параметра х{. Таким образом, имеем:
откуда для обобщенной силы получим выражение:
А XV/
Отношение -г— дает, при стремлении Ддг; к нулю, частную производ-
производную энергии по обобщенной координате xt (остальные параметры
остаются постоянными), т. е. мы получаем:
Энергия системы является не только функцией обобщенных коор-
координат, но также и функцией электрических характеристик тел, на-
например зарядов, находящихся на телах, или потенциалов тел. В изо-
изолированной системе заряды, расположенные на отдельных телах,
остаются неизменными, в то время как потенциалы тел, входящих
в систему, меняются. Следовательно, в выражении C) энергия должна
быть представлена как функция зарядов тел.
Если по условию задачи потенциалы тел предполагаются постоян-
постоянными, то заряды тел не могут быть постоянными и система тел не может
быть изолированной — у системы должен иметься контакт с внешними
телами, не входящими в состав системы. В этом случае можно пока-
показать, что обобщенная сила также может быть представлена в виде
частной производной энергии но обобщенной координате, однако
в этом случае энергия должна быть выражена как функция обобщен-
обобщенных координат и потенциалов тел, что приводит, как можно пока-
показать, к тому, что производная, выражающая обобщенную силу, должна
быть взята со знаком плюс:
f — J^L

§ 144] ВЕКТОР ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 87
Иллюстрируем приведенные соображения примером. Пусть тре-
требуется рассчитать силу, действующую на обкладки плоского конден-
конденсатора. Энергия системы в данном случае равна:
Эта энергия может быть выражена или как функция зарядов
обкладок или как функция разности потенциалов между обкладками:
• "=¦*•{*?)'*¦ <4)
Обобщенной координатой в данном случае будет расстояние между
обкладками d. Обобщенная сила, очевидно, будет просто сила, действую-
действующая на обкладку, так как при изменении расстояния d на величину М
совершается работа fAd силами, действующими на обкладки.
Подсчитаем силу по выражениям D) и E). В случае D) имеем:
,_ dW_ 27CO2 Q
J—~~5d~ ? ¦
Знак минус соответствует тому, что при увеличении расстояния
совершается отрицательная работа, т. е. тому, что на обкладку дей-
действует сила притяжения со стороны второй обкладки.
В случае E) имеем
, dW 1 / Vt — V,
J = 7m= — T^e rfS
\ a*
т. е. мы получили выражение, совпадающее с предыдущим [формула A)].
§ 144. Вектор электростатической индукции. Имея дело с элек-
электростатическим полем в пустоте, мы вводили в рассмотрение линии
напряженности. Линии напряженности в пустоте обладают тем свой-
свойством, что они тянутся непрерывно от одних зарядов до других или
уходят в бесконечность. Не так обстоит дело в диэлектриках, если
учитывать одни только свободные заряды. Например, на границах
раздела диэлектриков возникнут связанные поверхностные заряды, и
часть линий напряженности будет на них кончаться или с них начи-
начинаться. Таким образом, линии напряженности не' пройдут непрерывно
границу раздела диэлектриков. В соответствии с этим в неоднород-
неоднородных диэлектриках перестает иметь смысл и теорема Остроградского —
Гаусса в том виде, как она была дана в § 126.
Можно, однако, ввести для характеристики поля внутри диэлектрика
такой новый вектор D, линии которого пойдут непрерывно в диэлек-
диэлектриках (как однородных, так и неоднородных), а также через границы
их раздела. Этот вектор называется вектором электростатической
индукции; он связан с вектором напряженности Е соотношением:
D = eE, A)

8$
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
[гл. XV
где е — значение диэлектрической постоянной в той точке диэлек-
диэлектрика, где определяется значение вектора D.
Выражение для вектора D можно дать и в другом виде. По ска-
сказанному в § 139, e=l-j-4itx, откуда
D = A + 4mt) Е = Е + 4гсхЕ,
но хЕ:=Р, где Р — вектор поляризации (см. § 141). Отсюда получаем
D = E + 4irP, (la)
т. е. вектор индукции выражается через сумму вектора напряжен-
напряженности поля Е и вектора поляризации Р, умноженного на 4тс.
Из соотношения A) следует, что вектор индукции D направлен
в каждой данной точке так же, как и вектор напряженности Е,1 но
по численному значению он в е раз
больше напряженности. Для пустоты
Еекторы Е и D совпадают.
Линии вектора индукции будем
строить тем же способом, каким мы
строили в пустоте линии вектора на-
напряженности. Линией вектора ин-
индукции назовем линию, направление
касательной в каждой точке кото-
которой совпадает с направлением век-
вектора индукции. Направление самой
линии считаем совпадающим в ка-
ждой точке с направлением вектора
ННдУкции в этой точке. Количество
проводимых линий индукции подчи-
подчиним требованию, чтобы отношение числа линий ДЛ/, пересекаю-
пересекающих малую площадку Д50, перпендикулярную к линиям индукции,
к площади Д50 численно равнялось значению вектора индукции
в области площадки:
Рис. 60 Площадка AS, располо-
женная наклонно к линиям элек-
тростатической индукции D.
Если мы введем
(рис. 60), то
произвольно ориентированную площадку
= DbSt = DbS cos a ==Dn&.S,
C)
где Dn — проекция вектора индукции на нормаль к площадке Д5.
Величина AN может быть названа потоком вектора индукции через
площадку Д& В случае площадки конечных размеров, ее следует
разбить на малые элементы Д5, сосчитать поток через каждый эле-
1 Для кристаллов направление вектора D может отличаться от направле-
направления вектора Е.

§ 144] ВЕКТОР ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 89
мент, и тогда общий поток вектора индукции выразится суммой таких
элементарных потоков:
""" }n^S. D)
Для того чтобы доказать, что линии вектора индукции непре-
непрерывны, рассмотрим два однородных плоских слоя диэлектриков
с диэлектрическими постоянными &1 и е2 (рис. 61). Пусть напряжен-
напряженность поля Ej свободных зарядов составляет некоторый угол с гра-
границей раздела диэлектриков. На границах раздела возникнут связан-
связанные поверхностные заряды: на
первом диэлектрике — с плотно-
плотностями зарядов -|- <з[ и —а'к, а на
втором — с плотностями -\- о'„ и
-'-"О,. Заряды -(-о! и —а[ вызо-
вызовут в первом диэлектрике напря-
напряженность поля
направленную нормально к грани- Рис 61 к выводу пограничных усло-
цам диэлектрика в сторону, про- вий для вектора напряженности Е.
1 ивоположную нормальной состав-
составляющей Ейп. Вне этого диэлектрика заряды -\-а[ и —<з[ напряжен-
напряженности поля не создадут.
Также заряды +"• и —°а создадут во втором диэлектрике на-
напряженность поля
нормальную к границам этого диэлектрика. Эти добавочные напря-
напряженности E'j и Е^, вызванные связанными зарядами, изменят лишь
нормальные составляющие первоначальной, напряженности Ео и не
изменят ее составляющие, касательные к границе раздела. Так как
сумма обеих напряженностей Ео и Е' по определению дает напря-
напряженность поля в диэлектриках (§ 142), то для нормальной соста-
составляющей напряженности поля в первом диэлектрике получаем
(б).
а для тангенциальной составляющей
E\t = E*. F)
Также для составляющих напряженности поля во втором диэлек-
диэлектрике находим
Ein = ЕПп — 4гса4, Eа)
?« = ?«. Fа>

90
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [ГЛ. XV
Из равенств F) и Fа) получаем
G)
т. е. что тангенциальная составляющая напряженности поля непре-
непрерывна при переходе через границу диэлектриков.
Для поверхностных плотностей связанных зарядов oj и <z'i имеем:
о\ = %1Е1п и oj = xs?'jb, где X] и х2 — коэффициенты поляризации
первого и второго диэлектриков. После этого равенства E) и Eа)
принимают вид:
A + 4«х,) Ein = ?„„, A + 4т™2) Ein = fOn.
Замечая, что l-j-4nx1 = e1 и -1 -[- 4тсхя = еа, из этих двух равенств
получим:
Таким образом, нормальная составляющая напряженности поля
терпит разрыв при переходе через границу раздела диэлектриков.
Равенства G) и (8) представляют собой
пограничные условия для вектора Е. Из
_. D
них, в силу соотношения Е =—, полу-
получим пограничные условия для вектора
Р электростатической индукции D:
Hi,
Нормальная составляющая Dn век-
вектора индукции непрерывна при переходе
через границу ^раздела диэлектриков,
а тангенциальная составляющая тер-
терпит разрыв непрерывности.
Пусть в первом диэлектрике вектор
индукции Di составляет с нормалью к гра-
границе раздела угол аь а во втором диэлектрике вектор D4 составляет
угол <xs. Разложив D! на составляющие Dlt и Din и D2 — на состав-
составляющие Dit и Din (рис. 62), получим:
Рис. 62. Преломление линий
индукции на границе двух
диэлектриков.
0TK^atf^ = ;
Di
Из последнего равенства, в силу пограничных условий (9), получаем:
^i. A0)
tg a3 e2
Это соотношение выражает закон преломления линий индукции на
границе двух диэлектриков.

§ 144] ВЕКТОР ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 91
Пограничные условия (9) для вектора индукции D как раз соот-
соответствуют непрерывности линий индукции, пересекающих границу
раздела двух диэлектриков. Пусть линии вектора индукции пересе-
пересекают, преломляясь, границу раздела двух диэлектриков (рис. 63).
Число линий индукции AN,, попадающих в первом диэлектрике на,
площадку &S на границе раздела, по опреде-
определению равно
Ro втором диэлектрике из той же пло-
площадки Д5 исходит поток индукции:
Но так как по условиям (9) Din = D2n, то
М2.
Рис. 63. Непрерыв-
Таким образом, линии индукции проходят через ность линий индукции
площадку непрерывно. ПРИ прохождении че-
zr J v F рез границу двух ди-
В случае неоднородного диэлектрика, его электриков.
можно мысленно разбить на столь тонкие слои,
чтобы каждый из них можно было считать однородным. Тогда линии
индукции будут непрерывно переходить из слоя в слой, а следова-
следовательно, вообще, будут идти непрерывно внутри диэлектрика.
Для однородного диэлектрика, сплошь заполняющего пространство,
где поле отлично от нуля, вектор индукции D совпадает с напряжен-
напряженностью поля свободных зарядов Ео. Это следует из того обстоятельства,
р
что в таком диэлектрике Е=:— (см. § 142), откуда E0 = eE = D.
Для поля в диэлектрике теорема Остроградского — Гаусса прини-
принимает видоизмененную форму. Возьмем поляризованный диэлектрик и
подсчитаем поток4 напряженности через произвольную замкнутую по-
поверхность S, взятую внутри диэлектрика. Полный заряд Q внутри
поверхности состоит из двух частей: свободного заряда Qo, внесен-
внесенного в диэлектрик извне, и связанного заряда Q', образованного поля-
поляризацией диэлектрика. Имеем
где я означает внешнюю нормаль в точках поверхности 5.
Подсчитаем заряд Q'. Очевидно, что молекулы, которые лежат
целиком внутри поверхности 5, не создадут внутри этой поверхности
некомпенсированного заряда. Некомпенсированный заряд создадут
лишь молекулы, которые пересечены поверхностью 5. Те молекулы,
у которых за пределы поверхности ? вышли положительные заряды,
дадут внутри поверхности 5 отрицательный заряд, те же, у которых
за пределы поверхности вышел отрицательный заряд, создадут внутри
поверхности 5 положительный заряд. Возьмем элемент поверхности Д5

92
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
[ГЛ. XV
и подсчитаем, сколько молекул пересечет этот элемент. Предположим,
что вблизи элемента AS дипольиые моменты молекул одинаковы по
величине и по направлению и раЕ>ны p = q\, где / — расстояние между
положительным и отрицательным зарядами молекулы. Предположим,
что оси диполей (направленные по I) образуют угол Ь с внешней
нормалью и к элементу AS. Очевидно, что элемент AS пересечет те
молекулы, центры С которых отстоят от элемента AS не дальше,
чем на расстояние -~- по направлению / по обе стороны поверхности
(см. рис. 64, / — длина диполя). Таким об-
образом, элемент AS пересечет те молекулы,
центры диполей которых лежат в объеме
косого цилиндра с основанием Д5 и с дли-
длиной образующей, равной /. Полагая, что
число центров диполей в единице объема
равно па, получим для числа пересеченных
элементом AS молекул выражение:
n0ASl cos (n, 1).
Рис. 64. К подсчету свя-
связанного заряда.
Каждая пересеченная молекула образует
внутри поверхности S отрицательный за-
заряд q, если направление 1 образует острый
угол с направлением п (Г направлено от по-
положительного к отрицательному заряду). Та-
Таким образом, пересеченные элементом AS молекулы создадут внутри
поверхности S Некомпенсированный отрицательный заряд, равный
— qnolAS cos (п, 1)
(если элемент AS имеет внешнюю нормаль, образующую тупой
угол с направлением 1, приведенное выше выражение даст положи-
положительный заряд). Вместе с тем <?1яо = Р есть вектор поляризации
среды (момент единицы объема), следовательно, избыточный заряд,
созданный молекулами, пересеченными элементом AS, может быть
представлен в виде:
— Pcos(n, P)AS = — PaAS.
Здесь Ра означает проекцию вектора поляризации на внешнюю нор-
нормаль п к элементу AS.
Полный заряд внутри всей поверхности 5 получим, просуммиро-
просуммировав заряды по всем элементам AS:
Подставляя в A1) выражение Q', найдем
или

§ 145] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ Е И D 93
Вместе с тем сумма Е-|-4яР есть вектор электростатической
индукции D, откуда следует окончательно
Этот результат представляет собой теорему Остроградского — Гаусса
для диэлектрика: поток вектора электростатической индукции через
произвольную замкнутую поверхность равен произведению 4it на
свободный заряд, заключенный внутри поверхности.
В § 130 было показано, что имеется следующая связь между напря-
напряженностью электростатического поля Е и плотностью объемных зарядов р:
^4-^4-^=4^0 A2)
дх ' ду ' dz r v '
или
div E =4яр. A2а)
В случае диэлектрика р есть объемная плотность как свободных, так и
связанных зарядов. При наличии диэлектриков объемная плотность свобод-
свободных зарядов р0 определит дивергенцию вектора D. Действительно, по фор-
формуле Aа),
D = Е + 4пР,
где Р — вектор поляризации. Отсюда получаем:
div D = div E + 4л div P. A3)
По сказанному в § 141, div Р=—р', где р' — объемная плотность свя-
связанных зарядов. Подставляя в A3) это значение div P и значение div E по
A2а), получим
div D = 4л (р — р'),
но р — р' = р„, где р„ — объемная плотность свободных зарядов, откуда на-
находим
div D = 47iPo. • A4)
Таким образом, дивергенция вектора D определяется плотностью лишь сво-
свободных зарядов.
Выражение A2а) для вектора Е было нами получено как следствие теоремы
Остроградского — Гаусса. Обратно, можно показать, что вектор, удовлетво-
удовлетворяющий соотношению A2а), удовлетворяет теореме Остроградского — Гаусса.
Также из равенства A4) вытекает, что в любом диэлектрике вектор D удо-
удовлетворяет теореме Остроградского — Гаусса, причем должны быть учтены
только свободные заряды.
§ 145. Определение векторов Е и D по силам, действующим на
заряд. В пустоте мы определяли напряженность поля Е по силе, дей-
действующей на единичный положительный заряд (§ 124). Если на заряд
q, помещенный в данную точку поля, действует сила f, то напряжен-
напряженность поля Е в этой точке определяется соотношением:
Е = {. О)
При этом существенно оговорить два момента: 1) „пробный" за-
заряд q должен быть точечным, т. е. должен быть сосредоточен на
теле столь малых размеров, чтобы напряженность поля в его

94 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [ГЛ. XV
пределах была постоянной; 2) внесение заряда q не должно вызывать
никакого изменения ни в величине, ни в расположении зарядов, вы-
вызывающих поле. Обоим этим условиям практически можно достаточно
хорошо удовлетворить, взяв заряд q весьма малым и сосредоточив его
на теле, размеры которого малы по сравнению с расстоянием до лю-
любого из зарядов, вызывающих поле.
Напряженность поля в диэлектрике Е мы определили (§ 142), как
сумму напряженности Ео, вызванной свободными зарядами, и напря-
напряженности Е', вызванной связанными зарядами:
Как мы указывали в § 143, силы, действующие на заряженные
тела, помещенные в диэлектрик, вообще говоря, не определяются
равенством f=gE, где q — заряд, сосредоточенный на рассматривае-
рассматриваемом теле. Это обусловлено тем, что на границе между телом и
диэлектриком возникают добавочные поверхностные связанные за-
заряды, величина которых зависит от величины заряда q и размеров и
формы тела, на котором он сосредоточен. Кроме того, в самом ди-
диэлектрике и на его границе с телом возникают механические натяже-
натяжения, также вызывающие силы. Добавочные связанные заряды не про-
пропадают и при малых размерах тела, поэтому, вообще говоря, нельзя
р определить напряженность поля
Е в диэлектрике на основании
+ равенства A), пользуясь „проб-
а> т4-4—» *п Н—:— ным" зарядом q.
От механических сил, вы-
вызванных натяжениями в диэлек-
диэлектрике, можно избавиться, если
сделать в диэлектрике по-
д. +о-1 ^ _ . J-Q-. лость и поместить „пробный"
* ' * I I •«! I ' заряд внутрь этой полости так-
AS v
4
E
ASN
-CJ'
AS
чтобы он не соприкасался с ее
стенками. Однако в этом слу-
Рис. 65. Полость в диэлектрике: а) в виде пристающая на
узкого длинного цилиндра, б) в виде ши- чае сила> Действующая на
рокого короткого цилиндра. „пробный" заряд q, зависит
от формы и размеров поло-
полости и, следовательно, вообще говоря, не определится одной только
напряженностью поля Е внутри диэлектрика.
Рассмотрим безграничный однородный диэлектрик, внутри которого
сделаем полость в виде узкого длинного цилиндра, образующие ко-
которого параллельны линиям напряженности Е (рис. 65а). Внесем в
среднюю часть этой полости настолько малый „пробный" заряд q,
сосредоточенный на теле малых размеров, чтобы можно было прене-
пренебречь теми связанными зарядами, которые заряд q вызовет на поверх-
поверхности полости, и рассматривать действие ца него лишь поля Е и свя-

§ 145] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ Е И D 95
занных зарядов ± а', которые это поле вызывает на границах полости.
При этих условиях сила, действующая на „пробный" заряд q, равна
f=?E + f, B)
где f— сила, вызванная связанными зарядами ± о'. Так как образую-
образующие цилиндра параллельны вектору Е, то связанные заряды появятся
лишь на основаниях цилиндра KS; величина этих зарядов равна
Qi = ±a' AS. Если цилиндр узок и длинен, то заряды Qt малы
(малы поверхности Д S), и они отстоят далеко от „пробного" заряда q.
Поэтому сила V мала по сравнению с qE и ею можно пренебречь;
тогда равенство B) дает:
Следовательно, сила, действующая на малый пробный заряд,
помещенный в среднюю часть полости в виде узкого длинного
цилиндра, образующие которого параллельны линиям напряжен-
напряженности, определяется напряженностью поля Е в диэлектрике.
Рассмотрим теперь полость другой формы, а именно: в виде ко-
короткого широкого цилиндра, основания которого Д5 перпендикулярны
к линиям напряженности Е (рис. 656). Теперь нельзя пренебречь дей-
действием связанных зарядов Q,- = ± а'Д S.
Считая основания цилиндра за две бесконечно большие параллель-
параллельные друг другу плоскости, получим, что связанные заряды Qt вызывают
между ними поле, численное значение напряженности которого равно
Эта напряженность обусловливает силу, равную
после чего равенство B) дает
f = q (E + 4тсхЕ) или f = q (E + 4icP),
где Р — вектор поляризации. Но по равенству Aа) § 144
где D — вектор электростатической индукции. Таким образом,
f = ?D, C)
т. е. сила, действующая на малый пробный заряд, помещенный
в среднюю часть полости в виде короткого широкого цилиндра,
основания которого перпендикулярны к линиям напряженности,
определяется значением вектора электростатической индукции D
в диэлектрике.
Из сказанного еще раз видно, что сила, действующая на „проб-
„пробный" заряд, внесенный внутрь полости, зависит от размеров и формы
полости. В частности, полости можно придать такие формы, что сила,

96 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [ГЛ. XV
действующая на „пробный" заряд, внесенный в полость, будет опре-
определяться либо напряженностью поля в диэлектрике Е, либо индукцией D.
Вместе с тем можно выяснить физический смысл вектора Е и дру-
другим способом. Для этого в качестве „пробного" заряда выберем не
заряд, сосредоточенный на макроскопическом (хотя бы и очень
малом) теле, а какую-либо элементарную заряженную частицу, например
электрон. Отдельный электрон всегда находится в пустоте, даже
если он расположен среди молекул твердого вещества. Значение
силы f, действующей на этот электрон, поделенное на величину
его заряда е, определит напряженность поля в той точке, где
электрон расположен. Это значение напряженности обозначим через
Е„икро, где индекс „микро" означает, что напряженность поля
определена с помощью микроскопической частицы. Значение на-
напряженности поля Емикро получится разное — в зависимости от того,
помещен ли электрон вблизи того или иного заряда, входящего в со-
состав молекул. Но если мы будем последовательно помещать элек-
электрон в различные, произвольно выбранные точки физически малого
объема и найдем среднее значение Емикро, то оно определится лишь
совокупностью всех зарядов, свободных и связанных, т. е. как раз
даст напряженность поля Е в пределах данного объема в диэлектрике.
Существенно подчеркнуть, что, определяя Емикро, мы помещали
электрон в произвольно выбранные точки по отношению к молекулам
диэлектрика. Если же выделять внутри диэлектрика определенные
молекулы, то средняя напряженность поля Е1( действующая в преде-
пределах объема, где расположена одна молекула, будет отлична от
Емикро и, следовательно, от напряженности поля Е. Это вызвано тем
что в этом случае речь идет о среднем значении напряженности
поля, определенного для тех точек, где расположены центры
молекул, в предположении, что сама молекула каждый раз удалена.
Таким образом, точки, для которых теперь берется среднее значение,
выбраны не произвольно, по отношению к ним остальные молекулы
поляризованного диэлектрика расположены не беспорядочно, и они
дают свое добавочное поле.
Соответственные расчеты показывают, что в среднем напряженность
поля Еь действующая на молекулу, находящуюся внутри изотроп-
изотропного диэлектрика, равна
где Р — вектор поляризации диэлектрика.
§ 146. Дипольные диэлектрики. Определение дипольных мо-
моментов молекул. До сих пор мы считали, что результат поляриза-
поляризации диэлектрика получается один и тот же, независимо от того,
имели ли молекулы первоначально дипольный момент или этот момент
возник у них лишь под влиянием внешнего поля. Однако существуют

§ 146] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИПОЛЬНЫХ МОМЕНТОВ МОЛЕКУЛ 97
явления, которые позволяют установить различие между диэлектри-
диэлектриками из дипольных и недипольных молекул и вычислить собственные
дипольные моменты полярных молекул.
До сих пор мы считали, что значение вектора поляризации Р
определяется равенством
Р=/Е,
где Е — напряженность поля в диэлектрике и х — коэффициент поля-
поляризации диэлектрика. Предположим теперь, что Р может быть пред-
представлено в виде:
Р = ая0Е„ A)
где я„ — число молекул в единице объема, Е, — среднее значение
напряженности, действующей на молекулы, и а — коэффициент поля-
поляризации молекулы.
Подставляя в A) вместо Ei его значение по формуле D) § 145, найдем:
откуда
() B)
Однако, воспользовавшись соотношением Р = хЕ и замечая, что
1 —|— 4тех = е, где е — диэлектрическая постоянная, мы можем, с дру-
другой стороны, написать:
Подставляя это выражение для Р в формулу B), получим:
откуда после простых алгебраических преобразований находим:
е —1 J_ 4п
7+2 " Та~3~а>
Число молекул в единице объема я0 равно N—, где ja — молекуляр-
молекулярный вес вещества диэлектрика, S — его плотность и N—число Аво-
гадро; отсюда получим:
е — 1 ц 4л . , ,„.
Так как коэффициент поляриаации молекул а есть для каждого
данного сорта молекул величина постоянная, то, следовательно, и ве-
е-1 (X
• с_ для каждого данного диэлектрика есть величина по-
поличина
стоянная, не зависящая от изменений его плотности, вызванных
4 С. Фриш и А. Тиморева

98 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [ГЛ. XV
какими-либо внешними причинами, например давлением, изменением тем-
температуры и т. д. Величина .¦ • -Ц- называется молекулярной, (или
молярной) поляризацией. Независимость молекулярной поляризации от
плотности Ь может быть экспериментально проверена на газах, плот-
плотность которых легко меняется под влиянием внешнего давления.
Выражение C) для молекулярной поляризации справедливо для
недипольных диэлектриков. В дипольных диэлектриках молекулы, как
мы указали, обладают собственным дипольным моментом р0. Под
влиянием внешнего электрического поля они стремятся расположиться
своими диполями вдоль поля. Нэ этому ориентирующему действию
мешает беспорядочное тепловое движение. Чем выше температура Т,
тем больше средняя энергия теплового движения молекул и тем, сле-
следовательно, слабее ориентирующее действие внешнего электрического
поля. Это ведет к тому, что вектор поляризации диэлектрика Р ока-
оказывается зависящим от температуры. Соответственные вычисления
дают, что
где k — постоянная Больцмана.
Если диполи молекул, кроме того, увеличиваются под влиянием поля
Е (т. е. коэффициент поляризации а молекул не равен нулю), то числен-
численное значение вектора поляризации диэлектрика Р оказывается равным
откуда для молекулярной поляризации вместо выражения C) полу-
получается:
Таким образом, для дипольных диэлектриков молекулярная поля-
поляризация содержит член, зависящий от абсолютной температуры ди-
диэлектрика Т. Эта зависимость хорошо оправдывается для газов. Опре-
Определяя экспериментально ход молекулярной поляризации с температу-
температурой Г, можно определить дипольный момент pQ для различных полярных
молекул. Дипольные моменты полярных молекул оказываются вели-
величинами порядка от 1-Ю8 до 6 • 10~18 CGSfi-единиц. Такие моменты
соответствуют дипольному моменту двух точечных зарядов, равных
зарядам электрона, разведенных на расстояние порядка 10~8 см.
У атомов инертных газов и некоторых двуатомных молекул (на-
(например, Н2, Nj) дипольные моменты равны нулю. Определение диполь-
дипольных моментов молекул играет большую роль при изучении их строения
(особенно в органической химии). Определенные классы веществ имеют
близкие значения х, характерные для данного рода химического

§ Нб]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИПОЛЬНЫХ МОМЕНТОВ МОЛЕКУЛ
99
Таблица II
Электрические дипольные моменты
Вещество
Хлористый водород НС1
Вода Ы2О
Простые эфиры
Кислоты органические .
р 0. Ю18 CGSE
1,03
1,85
1,5
1,7
1,2
1,4
соединения. Значения дипольных моментов некоторых веществ приве-
приведены в табл. II.
В жидких и твердых диэлектриках следует учитывать взаимодей-
взаимодействие между молекулами. Это ведет к тому, что на поворот молекул
под влиянием внешнего элек-
электрического поля требуется
некоторое, хотя и малое, но
заметное время. Если диэлек-
диэлектрик ввести в переменное
электрическое поле, быстро
меняющееся по величине и
направлению, то молекулы не
успевают поворачиваться за
полем, и роль второго члена
в формуле D) убывает.
Наконец, мы отметим сле-
следующее обстоятельство: во
всех разобранных случаях существование не зависящей от напряжен-
напряженности диэлектрической постоянной е является следствием пропорцио-
пропорциональности вектора поляризации Р напряженности поля Е.
Существуют, однако, такие тела, для которых „диэлектрическая
постоянная" е не есть величина постоянная, но зависит от напряжен-
напряженности поля Е. Такого рода диэлектрики обладают рядом своеобразных
свойств, сближающих их с магнитными свойствами ферромагнитных тел.
Эти свойства были впервые обнаружены у сегнетовой соли (двой-
(двойная натрокалиевая соль винной кислоты) советскими физиками Б. В. Кур-
Курчатовым и П. П. Кобеко и по названию соли называются сегнето-
электрическими свойствами. Поведение сегнетовой соли весьма раз-
различно в зависимости от того, выше или ниже ее температура опреде-
определенной температуры в,равной 25° С (аналог „точки Кюри" для фер-
ферромагнитных тел; § 203). При Г^>0
соблюдается пропорциональность
между напряженностью поля и век-
вектором поляризации; Р = *Е; при этом
коэффициент к обнаруживает зависи-
зависимость от температуры Т по закону:
*-(Т—в) = const. При Г<^в нару-
t3°C шается пропорциональность вектора Р
напряженности поля Е. При измене-
t-26'C
Рис. 66. Зависимость поляризации р п «
сегнетовой соли от меняющейся со нии ь вект0Р v „запаздывает , т. е.
временем напряженности поля. принимает значения, соответствую-
соответствующие более ранним по времени значе-
значениям Е. Зто явление носит название гистерезиса (аналогично магнитным
гистерезисным явлениям в ферромагнитных телах; § 203). При перио-
периодическом изменении напряженности поля Е по величине и направлению

100 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [гл. XV
кривая зависимости Рот Е приобретает при Г<^в петлеобразную форму
(рис. 66). Б. М. Вул обнаружил такие же свойства у некоторых со-
солей титана, причем для них е достигает нескольких тысяч.
§ 147. Диэлектрические свойства кристаллов. Пьезоэлектри-
Пьезоэлектричество. До сих пор мы рассматривали диэлектрики, состоящие из
отдельных молекул, заряды в которых могут смещаться или подвер-
подвергаться ориентирующему действию под влиянием внешнего электриче-
электрического поля. Такое представление оправдывается для газообразных,
жидких и аморфных твердых тел. Иной характер носит поляризация
ионных кристаллов. Как было указано в т. I, ионные кристаллы
представляют собой пространственные решетки с правильным чередо-
чередованием ионов различных знаков. Например, кристалл каменной соли
представляет собой пространственную решетку из чередующихся по-
положительных ионов натрия и отрицательных ионов хлора. В таком
кристалле нельзя выделить отдельные молекулы. В соответствии с этим
поляризация кристалла сводится к смещению всех положительных
ионов по полю и отрицательных ионов против поля.
Поляризуемость кристаллов может быть различной в зависимости
от направления вектора электростатической напряженности Е по от-
отношению к направлениям кристаллографических осей. В этом случае
направление вектора поляризации Р не совпадает с направлением
вектора Е и, следовательно, связь между векторами Р и Е нельзя
выразить простым соотношением B) § 141. Вместо одной величины х
приходится в общем случае вводить девять величин v.ik, с помощью
которых выражается линейная связь между составляющими векторов
Р и Е вдоль координатных осей:
"х — ^хх^х ~\~ ""-ху^у ~Т~ ^xz^-z'
Ну == Y.yXCx —[— YyyCy -j— %yzcz,
' z === ^zx^x ~\~ ^zy^y ~T~ жгг^г~
В соответствии с этим и вектор электростатической индукции D не
параллелен вектору Е, и вместо диэлектрической постоянной е в об-
общем случае также приходится е;водить девять величин eik.
Пространственно правильное распределение частиц в кристалличе-
кристаллической решетке ведет к существованию особого эффекта, носящего на-
название пьезоэлектрического эффекта; этот эффект заключается
в том, что на гранях некоторых кристаллов при их механических
деформациях (например, при сжатии или растяжении) возникают элек-
электрические заряды.
Пьезоэлектрический эффект обнаруживают кварц, турмалин, сегне-
това соль, сахар, цинковая обманка и ряд других кристаллов. Наи-
Наиболее изучен пьезоэлектрический эффект у кварца. При сжимающей
силе в 1 кГ на противоположных гранях кристалла кварца возникает
разность потенциалов порядка сотых долей вольта. В кристаллах
сегнетовой соли эффект сильнее.

§ 147] ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ. ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВО 101
Кроме описанного прямого пьезоэлектрического эффекта, суще-
существует обратный пьезоэлектрический эффект, сводящийся к измене-
изменениям размеров кристалла, т. е. к его удлинению или укорочению при
электризации (электрострикция). Изменение размеров кристалла при
электрострикции мало: оно составляет величину порядка 1СГ7 см
при приложенных разностях потенциалов в сотни вольт.
Прямой и обратный пьезоэлектрические эффекты находят в настоя-
настоящее время широкое применение в технике. В т. I нами было указано
на применение пьезокварцев для получения и наблюдения ультразву-
ультразвуков. В радиотехнике пьезокварцы употребляются для стабилизации
электрических колебаний. Пьезокварцы используются также в раз-
различных измерительных приборах и для изготовления эталонов времени.
Для получения льезоэлектрического эффекта из кристалла кварца выре-
вырезается прямоугольный параллелепипед (рис. 67), у которого одна система
ребер параллельна так называемой оптической оси L2, другая — одной из
двойных осей L2 (электрических осей). При действии на вырезанный таким
образом пьезокварц сжимающей силы /, па-
параллельной оси L2, на гранях, нормальных к I2,
появляются равные и противоположные по знаку
заряды -\-q и —q. Количество электричества q
пропорционально сжимающей силе / и не за-
зависит от размеров пластинки кварца:
ч и = */;
этот эффект носит название продольного пьезо-
пьезоэлектрического эффекта. Величина k носит
название пьезоэлектрической постоянной
кварца; она равна приблизительно 6,5 • Ю"8,
если q выражено в CGSf-единицах заряда, а
/— в динах.
Если действующая сила / параллельна
оптической оси L3, то возникновение зарядов
не наблюдается.
Если сила / действует в направлении п, перпендикулярном к плоскости,
содержащей оси U и L3, то возникает так называемый поперечный пьезо-
пьезоэлектрический эффект. Заряды образуются также па гранях, нормальных
к L3, но знак зарядов — обратный тому, который наблюдается при продольной
эффекте. Количество возникающего при этом на каждой из граней электри-
электричества q]_ равно:
Рис. 67. Параллелепипед
кварца.
где k имеет прежнее значение, а — толщина пластинки в направлении дей-
действия силы /, * — ее толщина в направлении электрической оси V.
При изменении знака силы меняется и знак зарядов q: на грани, на ко-
которой при сжатии появляется положительный заряд, при растягивании появ-
появляется отрицательный, и наоборот.
Для наблюдения обратного пьезоэлектрического эффекта к граням пьезо-
пьезокварца приклеиваются металлические обкладки, которым сообщаются элек-
электрические заряды; при этом в зависимости от направления поля кристалличе-
кристаллическая пластинка сжимается или расширяется.

102 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [ГЛ. XV
§ 148. Конденсаторы. В § 136 мы рассмотрели плоский конден-
конденсатор в пустоте и вывели, что его емкость С равна
с — Я j5_ л\
где S — площадь одной из пластин конденсатора, a d—расстояние
между пластинами. При наличии между пластинами конденсатора ди-
диэлектрика с диэлектрической постоянной е, по сказанному в § 139,
его емкость С возрастает в е раз и, следовательно, станет равной
Таким образом, емкость плоского конденсатора прямо пропорцио-
пропорциональна площади пластины S, диэлектрической постоянной е и обратно
пропорциональна расстоянию между
V/ V1 У1 Vy пластинами d.
Теперь рассмотрим соединения кон-
-a +q
_д денсаторов. Соединение конденсаторов
возможно последовательное и парал-
параллельное.
Случай последовательного соеди-
"'  нения двух конденсаторов с емко-
Рис. 68. Последовательное со- стями С\ и С2 представлен на рис. 68.
единение конденсаторов. При заряжении пластины / зарядом
-\-Q на пластинах 2 и 3, представ-
представляющих собой один проводник, вследствие индукции возникнут соот-
соответственно заряды —Q и -|-Q; на пластине 4 заряд будет —Q.
Потенциал пластины / обозначим Vu потенциал пластины 4 обо-
зчачим 1\ общий потенциал пластин 2 и 3 обозначим V. Для
каждой пары пластин можем написать соотношения:
1 1
где С! и Сч — емкости соединенных конденсаторов. Складывая по-
почленно эти равенства, получаем:
с другой стороны, можно написать:
Vi-Vs=-i-Q,
где С обозначает результирующую емкость сложного конденсатора.
Из сравнения двух последних формул имеем:
1-JL + 1 . C)
или

148]
КОНДЕНСАТОРЫ
103
Таким образом, при последовательном соединении конденсаторов полу-
получается конденсатор, обратная величина емкости которого равна сумме
обратных величин соединяемых емкостей.
При параллельном соединении конденсато-
конденсаторов с емкостями С, и С2 (рис. 69) потенциалы
соединенных пластин будут одинаковы. Заряды
на обкладках разных конденсаторов будут раз-
разные; обозначим их Qv и (J. Применим к каждому
конденсатору формулу, связывающую заряд на
обкладках с разностью потенциалов и емкостью:
Ql = Cl(Vl— V,\ Q, = С,(V, — V2).
Складывая эти равенства почленно, имеем:
щ
3
2
-в/
-02
*
С другой стороны, можно написать:
Рис. 69. Параллельное
соединение конденса-
конденсаторов.
где С—емкость системы из обоих конденсаторов. Сравнивая два по-
последних равенства, получаем:
С — С, -1- С С41
т. е. емкость
Рис. 70. Плоский
конденсатор из ли-
листков фольги, пере-
переложенных листками
парафинированной
бумаги.
двух соединенных параллельно конденсаторов равна
сумме их емкостей.
Очевидно, что полученные результаты можно
обобщить на любое число соединенных вместе
конденсаторов.
Возможность соединять конденсаторы в си-
системы находит широкое применение. Весьма часто
употребляются плоские конденсаторы, сделанные
из листков фольги, переложенной листками пара-
парафинированной бумаги или слюды. Листки фольги
соединяются через один между собою (рис. 70),
так что все нечетные листки, соединенные вместе,
представляют собой одну обкладку конденсатора,
а все четные составляют другую обкладку. Та-
Такие конденсаторы могут обладать емкостью в сотня
и больше микрофарад и выдерживать несколько
сот вольт, имея совсем небольшие размеры.
Приведем численный пример. Требуется построить
плоский конденсатор емкостью в 1 мкф, употребляя в
качестве диэлектрика парафинированную бумагу толщиной 0,05 мм с диэлек-
диэлектрической постоянной е = 1,8. Определить его размеры.
Из формулы B) имеем, что емкость плоского конденсатора

104 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [ГЛ. XV
откуда площадь его пластины S должна быть:
подставляя сюда С = 1 ¦ 10"$ = 9 ¦ 105 см, d = 0,005 см, е = 1,8, получим
5=31000 см2. Так как каждый листок фольги (кроме крайних) заряжается
с обеих сторон, то общая площадь листков должна быть приблизительно
31 000 еж3. Если отдельные листки сделать
размером 10 X 10 см3, то полное число ли-
листков будет 310; при толщине фольги в
0,001 см объем конденсатора будет прибли-
приблизительно 2 X Ю X Ю см', т. е. весь кон-
конденсатор уместится в совсем небольшую
плоскую коробку.
§ 149. Различные типы конденсато-
конденсаторов. 1. Плоский конденсатор со
слоями различных диэлектри-
к о в. Предположим, что область между
обкладками плоского конденсатора запол-
заполнена днумя слоями диэлектрика с диэлектрическими постоянными tt и е2;
толщины слоев пусть будут соответственно dl и d% (рис. 71).
В атом случае емкость С определится, как и в предыдущем случае,
соотношением
О
Рис. 71. Плоский конденсатор
со слоями различных диэлек-
диэлектриков.
О)
Однако, так как мы имеем случай границы двух диэлектриков, то напря-
напряженность поля будет меняться при переходе от одного диэлектрика к другому.
Обозначим через Ео напряженность поля, которая создалась бы между заря-
заряженными обкладками в пустоте; тогда
В диэлектриках напряженности Ei и Е% соответственно будут (см. сноску на
стр. 80):
4лз ?¦„ „ 4тп Е„
Заряд на одной из обкладок:
B)
Разность потенциалов на обкладках может быть вычислена через на-
напряженность поля. Обозначим чере:1 V потенциал границы двух диэлектри-
диэлектриков, тогда
I/, у V — Ко
откуда
- И, = E>
(•Ч)
Подставляя выражения B) и C) в A), получаем для емкости конденсатора:
г- 0 — E«s

§ 149] РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ КОНДЕНСАТОРОВ 105
откуда
Легко видеть, что емкость не зависит от порядка расположения слоев. Эта
формула переходит в формулу емкости для конденсатора с одним диэлектри-
диэлектриком, если в ней положить rf2 = 0.
Рассмотрим еще несколько типов конденсаторов.
2. Сферический конденсатор. Сферический конденсатор со-
состоит из двух сферических обкладок, концентрических одна с другой, ра-
радиусы которых обозначим через /?t и /?2. Пространство между обкладками
заполнено диэлектриком с диэлектрической постоянной е; заряды обкладок,
равномерно распределенные по их поверхности, обозначим -f- Q и — Q, а по-
потенциалы обкладок — соответственно Vx и V%.
Как было доказано (см. § 127), напряженность поля, создаваемого рав-
равномерно заряженной сферической поверхностью, внутри нее равна нулю,
а вне ее совпадает с напряженностью точечного заряда, помещенного в центре
сферы и равного по величине заряду самой поверхности. Отсюда напряжен-
напряженность поля между обкладками конденсатора создается только зарядами на
внутренней обкладке и равна
Е-9-
?Г2'
где г — расстояние, отсчитанное от центра сферической обкладки.
Направление г совпадает с направлением нормали п к поверхностям
уровня потенциала; отсюда по формуле Bа) § 131:
Е== — ——, откуда dV = -^-аг.
Полное изменение потенциала при переходе от одной обкладки на дру-
другую получим, интегрируя это выражение в пределах от Rk до R%:
(I
Отсюда искомая емкость сферического конденсатора равна
с== <?__ =__^f
"/?' ~ "R*
или
Пользуясь этой формулой, легко подсчитать, что, например, сферический
конденсатор в виде двух концентрических сфер с ft = 2 ж и /?3 — Ri = 1 мм
и со средой между сферами с диэлектрической постоянной е= 2,5 будет
иметь емкость около 1 мкф. Этот результат интересно сравнить с данными,
приведенными в § 136, по которым уединенный шар радиусом 9 км имеет
также емкость в 1 мкф.
3. Цилиндрический конденсатор. Цилиндрический конденсатор
представляет собой два коаксиальных полых цилиндра радиусов Ri и /?3
и общей длины / (рис. 72). Пространство между цилиндрами заполнено
средой с диэлектрической постоянной е. Пусть на обкладках имеются заряды
-f Q и — Q ; потенциалы обкладок обозначим соответственно V\. и V%.

106
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯЕЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [ГЛ. XV
Напряженность поля между обкладками создается только зарядом на
внутреннем цилиндре и в точке на расстоянии г от оси цилиндра равна:
где t] — заряд, приходящийся на единицу длины цилиндра. Изменение потен-
потенциала на участке dr связано с напряженностью соотно-
соотношением:
Разность потенциалов между обкладками Ка —
получим, интегрируя это выражение в пределах от
до R»:
L.
Ri
Рис. 72. Цилиндри-
Цилиндрический конденса-
конденсатор.
Следовательно, емкость цилиндрического конденсатора:
Q е/
г>
V, — И2
F)
21п
3l
Ri
Таким образом, емкость цилиндрического конденсатора пропорциональна длине
конденсатора, пропорциональна, как всегда, диэлектрической постоянной среды,
заполняющей конденсатор; она зависит, далее, только от отношения радиусов,
цилиндров, возрастая с уменьшением этого отношения.
4. Конденсатор переменной емкости.
В радиотехнике часто употребляется конденсатор перемен-
переменной емкости, устройство которого представлено на рис. 73.
Пластины в виде полуколец (рис. 74а) через одну соеди-
соединены друг с другом. Половина пластин укреплена непо-
неподвижно, половина может поворачиваться с помощью ручки
вокруг вертикальной оси. При повороте подвижные пла-
пластины более или менее значительно входят в проме-
промежутки между неподвижными пластинами и образуют, та-
таким образом, ряд параллельно соединенных между собою
конденсаторов.
Конденсаторы, образованные пластинами, приближенно
можно считать плоскими, а потому емкость С отдельного
такого конденсатора положить равной
?<j Рис. 73. Конден-
С = сатор перемен-
47td ной емкости,
где е —диэлектрическая постоянная среды, находящейся
между пластинами; d — расстояние между пластинами;
S — площадь той части пластин, которые находятся друг иод другом. Если
пластины повернуть друг относительно друга на угол а, то S представит
собой площадь заштрихованной части на рис. 746. Обозначая внешний радиус
пластин через ги а внутренний — через г2, имеем:
с /-» -»\ а (ri ril a
где угол а выражен в радианах.

§ 150]
ИЗМЕРЕНИЕ РАЗНОСТЕЙ ПОТЕНЦИАЛОВ
107
Отсюда емкость одного конденсатора будет:
/-ч
(Л — Г\) а
Если в конденсаторе в целом имеется п промежутков между пластинами,
то он представляет собой параллельное соединение п конденсаторов с ем-
емкостью С каждый.
Следовательно, емкость всего кон-
конденсатора С равна:
где о выражено в радианах. Формула не-
непригодна при малых а.
Если угол а выражать в градусах, то
на основании соотношения
а (радианов) =
2л
а (градусов),
можно переписать выражение G) в виде:
-, _ ел (Г\ — ri) a
1440 -d
(8)
Рис. 74. Пластины конденсатора
переменной емкости.
Обычно между пластинами такого конденсатора находится воздух, тогда е
практически равно единице.
Подсчитаем численный пример. Определить максимальную емкость,
которую дает конденсатор указанного устройства при следующих данных:
внутренний радиус пластин г2 = \ см, внешний радиус п = 3 см, расстояние
между пластинами d=l мм, число пластин п = 40. Между пластинами —
воздух.
Решение. Максимальная емкость получится при а = 180°, поэтому по
формуле (8) имеем:
. 40 • (За — Is)- 180
S~i
- см = 400 см = 4,5 • 10 мкф.
1440-0,1
§ 150. Измерение разностей потенциалов. В § 121, приводя
устройство электроскопа, мы указывали, что степень расхождения его
листков является мерилом зарядов, находящихся на листках. Однако
одновременно электроскоп измеряет и разность потенциалов между
листками и оправой электроскопа. При заряжении листков на оправе
возникают индуцированные заряды; если при этом оправа соединена
с землей, то на оправе остаются лишь заряды, знак которых про-
противоположен знаку зарядов, находящихся на листках. Листки элек-
электроскопа и оправа представляют собой две обкладки конденсатора;
разность потенциалов между этими обкладками тем больше, чем
больше заряд Q, сосредоточенный на листках. Таким образом,
степень расхождения листков электроскопа измеряет разность по-
потенциалов между листками и оправой. Если электроскоп снабжен
шкалой, проградуированной в вольтах, то он-носит название электро-
электростатического вольтметра.
Градуирование электростатического вольтметра может быть выпол-
выполнено с помощью абсолютного электрометра. В принципе измерение

108 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [ГЛ. XV
с помощью абсолютного электрометра сводится к измерению силы
притяжения между двумя пластинами плоского конденсатора, которая
может быть выражена через разность потенциалов. Для того чтобы
иметь возможность пользоваться формулами, выведенными для
плоского конденсатора с бесконечными пла-
пластинами, применяется конденсатор с охран-
охранным кольцом. Представим себе конден-
конденсатор, состоящий из двух параллельно рас-
расположенных горизонтальных дисков; в верх-
Рис 75 Конденсатор нем Диске небольшая часть А отделена
с охранным кольцом. узким зазором от остальной части, носящей
название охранного кольца (рис. 75); тогда
поле под этой частью А однородно, так как отступления поля от
однородного имеют место лишь на краях пластин.
Поэтому емкость этой средней части будет выражаться той же
формулой, что и емкость плоского конденсатора:
где 5 — площадь пластины A, a d — расстояние между пластинами.
Сила, действующая на пластину А, равна произведению из напряжен-
напряженности поля, создаваемого нижней гластиной, на заряд Q пластины А.
Нижняя пластина создает внутри конденсатора напряженность поля,
вдвое меньшую, чем полная напряженность поля Е внутри конденса-
конденсатора; следовательно, сила, действующая на пластину А, равна:
Замечая, что E=^=~ и Q = С(Vx — Ц), где Ц—^ —раз-
—разность потенциалов между пластинами, получим:
,__ ay, - v,y-
J Id
подставляя сюда значение емкости С по A), найдем:
т. е. сила взаимодействия / выражается через разность потенциалов
Если между пластинами находится воздух, то е— 1 и из B) имеем:
Зная расстояние между пластинами d и площадь пластин 5 и измерив
силу /, мы, таким образом, определим в абсолютной мере разность
потенциалов \\ — V^.

§ 150]
ИЗМЕРЕНИЕ РАЗНОСТЕЙ ПОТЕНЦИАЛОВ
109
Сила / может быть определена путем „взвешивания", если одну
из чашек весов заменить пластиной, притягиваемой к другой заря-
заряженной пластине. Этот принцип определения электрических величин
„взвешиванием" был разработан английским физиком Томсоном. На
рис. 76 приведена, основанная на том же принципе, схема градуи-
градуировки электростатического вольтметра D. В обыкновенных весах одна
из чашек удалена и заменена средней частью конденсатора А. Если
верхнюю пластинку этого конденсатора вместе с охранным кольцом
и весь корпус весов соеди-
соединить с землей, а нижнюю
пластину конденсатора В,
изолированную от земли,
зарядить до некоторого по-
потенциала V, то средняя
часть верхней пластинки бу-
будет притягиваться к нижней;
для сохранения равновесия
весов на другую чашку
нужно положить груз Р, ко-
который и измерит силу /.
Отсюда по выведенной фор-
формуле определим потенциал V
(потенциал Земли 1/2 = 0).
Листки градуируемого вольт-
вольтметра D соединены с пла-
пластинкой В, а его оправа
заземлена; таким образом,
потенциал V измерит потен-
потенциал листков градуируе-
градуируемого вольтметра.
Некоторое затруднение
представляет то обстоятель-
обстоятельство, что весы, уравновешенные с одной стороны гирьками, ас другой—
электрическими силами притяжения пластинок, не находятся в устойчи-
устойчивом равновесии. Незначительный перевес грузов ведет к увеличению
расстояния d между пластинками, в результате чего сила притяжения
уменьшается, и равновесие нарушается еще более. Наоборот, если
гирек недостаточно, то пластинки конденсатора сближаются, и сила
притяжения между ними еще более возрастает. Чтобы избавиться от
этого неудобства, помещают у коромысла две задержки М и N. Сила
притяжения определяется по нагрузке, ведущей к отрыву коромысла
от одной из задержек.
Описанные электрометры с листками обладают малой чувствитель-
чувствительностью. Обоим листкам сообщаются заряды Q одинаковой величины
и одного и того же знака; сила отталкивания пропорциональна
Рис. 76. Схема градуировки электростатиче-
электростатического вольтметра с помощью абсолютного
электрометра.

по
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [гл. XV
произведению зарядов листков,т. е. пропорциональна квадрату заряда Q2.
При малом заряде Q величина Q!, а следовательно, и сила отталки-
отталкивания будет очень мала. Но если тот же заряд Q поместить в элек-
электрическое поле Е, то сила, действующая на заряд, будет пропорцио-
пропорциональна QE и, сладовательно, может быть сделана
достаточно большой и при малом Q, если только
взять достаточно большим Е.
В простейшем виде этот принцип использован
в электроскопе, изображенном на рис. 77. Лег-
у кий металлический листок be висит между двумя
—t пластинами, которым сообщается разность потен-
потенциалов Vj — \7;;. При заряжении листка be, он
отклоняется. Кроме более высокой чувствитель-
_ __ „ ности, по сравнению с обычным электроскопом,
Ряс. 77. Электро- а.
скоп с заряжен- этот прибор имеет еще то преимущество, что он
ными пластинками, позволяет по направлению отклонения определить
знак заряда, сообщенного листку be.
Этот же принцип использован ь современном лабораторном элек-
электрометре, известном под названием струнного электрометра.
Весьма тонкая платиновая проволочка (толщиной порядка 2 —3 мк)
натянута вертикально между металлическими призмами (ножами)
(рис. 78). Призмы изолированы и мэгут быть заряжены до некоторой
разности потенциалов Vx — Vq. Платиновая проволочка соединяется
с исследуемым источником электричества. При заряде проволочка
изгибается в сторону той или другой призмы, в за-
зависимости от знака заряда. Этот изгиб может быть
измерен либо путем наблюдения в микроскоп, либо
путем фотографирования. Струнные электрометры
достигают чувствительности в 0,01 в и имеют весьма
важное свойство, заключающееся в том, что нить,
благодаря малой массе, быстро устанавливается в рав-
равновесии. Это позволяет регистрировать и измерять
быстро меняющиеся во времени заряды.
Наконец, отметим еще один электрометр, по-
построенный для измерения очень малых разностей
потенциалов, называемый квадрантным электроме-
электрометром. Металлический ящик (см. рис. 79, где пока-
показана внутренность этого ящика и плане и в раз-
разрезе) цилиндрической формы разрезан по радиусам
на четыре изолированных друг от друга квадранта. Внутри этого
ящика на тонкой нити подвешена 8-образная стрелка. Если поставить
ось стрелки по направлению одного из разрезов, разделяющих квад-
квадранты, и зарядить ее до некоторого потенциала Vn, соединив все квад-
квадранты с землею, то стрелка останется в силу симметрии, в равновесии.
Так как достичь точной симметрии в квадрантах трудно, то один из
Рис. 78. Струн-
Струнный электро-
электрометр.

§ 151]
ИЗМЕРЕНИЕ ОЧЕНЬ МАЛЫХ ЗАРЯДОВ. ЗАРЯД ЭЛЕКТРОНА
111
них делают подвижным и, зарядив стрелку, передвигают квадрант до
тех пор, пока равновесие не будет достигнуто. После этого двум
противоположным квадрантам сообщают потенциал Vt, а двум дру-
другим — потенциал 1/2) в результате чего стрелка поворачивается. Как
показывает теория прибора, пово-
поворот стрелки в широких пределах
пропорционален разности потенциа-
потенциалов V7! — VV Таким образом, по
повороту стрелки измеряется дан-
данная разность потенциалов. Пово-
Поворот стрелки измеряется оптиче-
оптическим путем с помощью зеркальца
S, прикрепленного к нити, на ко-
которой подвешена стрелка.
Квадрантный электрометр обла-
обладает высокой чувствительностью:
им можно измерять разности по-
потенциалов в 1 в с точностью до 0,001 в. Недостатком квадрантного
электрометра является большой период колебаний стрелки.
§ 151. Измерение очень малых зарядов. Заряд электрона. Су-
Существует простой метод измерения очень малых зарядов, сосредото-
сосредоточенных на микроскопических капельках. Идея этого метода заклю-
yt чается в следующем. Пусть ми-
- А
Рис. 79. Квадрантный электрометр.
А
Рис. 80. Определение заряда методом ка-
капельки, взвешанной между пластинами
конденсатора.
кроскопическая капелька, несу-
несущая положительный заряд -\-q,
находится между горизонталь-
горизонтально расположенными пласти-
пластинами плоского конденсатора
(рис. 80).
Если верхняя пластина за-
заряжена отрицательно, а нижняя
положительно, то на капельку действует направленная вверх элек-
электрическая сила
f=Eq,
где Е — напряженность поля между пластинами конденсатора. Эта сила
действует в направлении, противоположном силе тяжести капельки р.
При равенстве этих сил по абсолютному значению
Eq = p. A)
В этом случае капелька повиснет неподвижно между пластинами
конденсатора.
Выражая напряженность поля Е через разность потенциалов пла-
пластин Vi— У^ и расстояние d между ними, имеем:

112 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [ГЛ. XV
Отсюда, по A), заряд q, несомый к.щелькой, будет равен:
Зная вес капельки р, расстояние между пластинами d и ту разность
потенциалов Vt — V2, которую надо приложить, чтобы капелька
повисла, найдем по формуле B) значение заряда q.
Вес капельки в воздухе р можно найти, зная плотность р веще-
вещества, из которого она состоит, и ее радиус г:
P=|iC(P-p')r3g. C)
где g—ускорение силы тяжести и р' — плотность среды, в которой
находится капелька (воздуха).
Радиус капельки г определится по скорости падения ее, под влия-
влиянием силы тяжести, при отсутствии электрического поля. Скорость v
такого падения, как было изложено в § 42 т. I, выражается фор-
формулой Стокса:
где р' — плотность и т] — вязкость среды, в которой происходит
падение (в данном случае воздуха). Зная р, р' и т\ и измерив скорость
падения капельки v, найдем, по D), ее радиус г.
Этот метод позволяет измерять весьма малые заряды. В самом
деле, пусть радиус микроскопической капельки г= 10~к см и плотность
ее р = 1 г/см3 (плотностью воздуха р' пренебрегаем); тогда ее масса
/и—— т:рг3^4 • 10~12 г. Положим расстояние между пластинами
d=2,5 см и разность потенциалов V,— V7a = 3000 в, что составляет
10 CGSf-единиц потенциала. Тогда, по B):
q=A ¦ 10~1а • 981 -^CGSlz, откуда qg^ Ю'9 CGSE.
Таким образом может быть измерен заряд порядка 10~9 COSE.
Милликэн использовал этот метод для точного измерения заряда
электрона. В пространство между пластинами конденсатора вдувались
микроскопические масляные капельки, которые при этом заряжались
из-за трения о воздух. Капельки освещались сбоку с помощью источ-
источника света и наблюдались в микроскоп А (рис. 80). Подбирая раз-
разность потенциалов Vi — V2 между пластинами, можно было добиться
того, что некоторые капельки повисали неподвижно.
Затем воздух, заключенный между пластинами конденсатора, осве-
освещался рентгеновыми лучами. Рентгеновы лучи ионизировали воздух,
т. е. образовывали в нем заряженные молекулы и свободные электроны.
Тогда отдельная капелька, захватывая ион или электрон, внезапно
меняла свой заряд; изменение заряда сказывалось на нарушении равно-

§ 151] ИЗМЕРЕНИЕ ОЧЕНЬ МАЛЫХ ЗАРЯДОВ. ЗАРЯД ЭЛЕКТРОНА 113
весия капельки. Таким образом, можно было не только измерять заряд,
который капелька уже имела, но и менять заряд капельки во время
опыта.
Измерения Милликэна показали, что заряди капелек q во всех
случаях являлись кратными от некоторого наименьшего заряда е:
q = пе,
где п — целое число. Эти измерения непосредственно доказали
прерывность электрического заряда и позволили измерить вели-
величину элементарного заряда е. Этот элементарный заряд представляет
собой заряд элементарной электрической частицы—электрона.
По измерениям последнего времени, произведенным по методу Мил-
Милликэна, а также по некоторым другим методам, заряд электрона равен
е = 4,802 • 100 CGSE = 1,60 Ы О9 к.
Опыты над свободными электронами показали, что их заряд отри-
отрицателен и что они обладают массой покоя, равной
то= 9,107 -10-'i8 г.
При обычных опытах над электризацией тел нам представляется,
что заряды тел могут меняться непрерывно, так как заряд отдельного
электрона очень мал. Пылинки же, наблюдаемые в этих опытах,
настолько малы, что несомые ими заряды равны зарядам всего не-
нескольких электронов; скачкообразное, прерывное изменение зарядов
становится при этом непосредственно наблюдаемым.
Интересно отметить, что электрические силы относительно очень
велики: достаточно на капельке наличия всего нескольких лишних
электронов, чтобы электрическая сила могла уравновесить силу
тяжести, хотя микроскопическая капелька состоит из очень большого
числа атомов.
Для того чтобы конкретнее представить себе заряд и массу элек-
электрона, произведем следующий подсчет: медный сплошной шарик
радиусом г=\ см заряжается отрицательно до потенциала 3000 в;
определим число электронов, которые для этого нужно ему сообщить.
Заряд шарика
4^=10 CGSE.
Так как заряд одного электрона е — 4,803 • 10~10 CGSE, то
искомое число электронов я равно:
п — 10 ~ 2 1 • 1010-
И~~ 4,8.10-'° = ' '
таким образом, шарику должно быть сообщено 2,1-Ю10 лишних
электронов. Это число, само по себе очень большое, все же очень

114 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [ГЛ. XV
мало по сравнению с числом атомов, входящих в состав шарика.
Действительно, масса шарика
т = 4- ърг3 = 4- • 3,14 ¦ 8,9 • I3 гс^37 г,
о о
т. е. составляет приблизительно '/-2 моля меди; следовательно, число
6,02- 10аз „ , -з, ,.
атомов меди в шарике равно ——~ = 3- 10". Отсюда видно, что
число добавленных электронов составляет приблизительно ¦. , .„и
долю от числа атомов.
Интересно, наконец, отметить, что масса всех электронов, сообщенных
шарику, весьма мала; эта масса Mj = л/яо = 2,1 • 1010 -9,1 • 1СГ28 г^
с^. 1,9 ¦ 107 г, т. е. она в сотни тысяч раз меньше массы микро-
микроскопической пылинки. Отсюда видно, что практически достижимые
электризации тел не связаны со сколько-нибудь заметным измене-
изменением их масс, хотя электроны и обладают массой.
Электроны обладают отрицательным зарядом. В настоящее время,
как мы указывали, открыты также положительные электроны — так
называемые позитроны. Их заряд, по-видимому, в точности равен по
абсолютному значению заряду электрона, но имеет положительный
знак; их масса также, по-видимому, точно равна массе электрона.
Однако позитроны проявляются лишь при процессах, связанных
с превращением атомных ядер или фотонов, и в свободном виде су-
существуют весьма кратковременно (см. т. III). Поэтому во всех рассу-
рассуждениях, касающихся электрических свойств тел, возникновения
электрического тока и т. д., приходится говорить лишь об элек-
электронах.
При выполнении опытов с капелькой, взвешенной между пластинами
конденсатора, трудно добиться полного равновесия электрической силы qE
и силы тяжести капельки р. Однако этого и не требуется.
Пусть при отсутствии электрической силы, под влиянием одной только
силы тяжести, капелька падает в воздухе равномерно со скоростью v0; по
закону Стокса эта скорость пропорциональна силе тяжести/?. Будем считать
направление вниз положительным. При наличии электрического поля, тяну-
тянущего капельку вверх, на капельку действует сила, равная разности силы
тяжести и электрической силы:/? — иЕ\ под влиянием этой силы капелька
движется равномерно со скоростью V\\ так как эта скорость пропорциональна
силе р — qE, то
Уд _ Р
о, ~ p — qE'
откуда заряд капельки
q = -?-- К — Vi). E)
Подставляя сюда значение веса капельки р по C), получим:
'=4 -fcS^ <—»¦>¦

§ 152] ПРИРОДА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Радиус капельки найдем из формулы Стокса D):
115
Подставляя это выражение г в выражение для q, получим:
q=b *{h)/a' b(F7y.|/2' {^^—. (б)
Скорости падения капельки v{ и v0 измеряются с помощью микроскопа,
снабженного шкалой, и секундомера; все остальные величины, входящие
в формулу F), также доступны непо-
непосредственному измерению. Таким об- Таблица III
разом определяется q.
Измерения, как указано, показали,
что заряд капельки пропорционален
элементарному заряду е. Приведем
табл. 111, взятую из работы Милли-
кэна; в этой таблице в первом столбце
выписаны наблюденные значения за-
зарядов капельки, а во втором — вели-
Наблюденные
заряды
капельки
X 10'°
19,66
24,60
29,62
34,47
39,38
44,42
Величины
кратные 4,917
4,917 х 4=19,66
4,917 X 5 = 24,59
4,917 х 6 = 29,50
4,917 X 7 = 34,42
4,917 X 8 = 39,34
4,917 X 9 = 44,25
чины, кратные от заряда, равного
4,917 СО5?-единиц заряда.
Таблица с несомненностью пока-
показывает, что капелька несет заряды,
лишь кратные от некоторого элемен-
элементарного заряда. По данным этой таб-
таблицы, величина такого элементар-
элементарного заряда, должна быть принятой
4,917-Ю0 CQSE. Однако затем
Милликэн показал, что необходимо для столь малых капелек, какими он
пользовался, ввести поправку к закону Стокса. В результате длительных
измерений он получил в 1916 г. значение для заряда электрона е = 4,774 х
X Ю-10 COSE.
Впоследствии были внесены поправки в значение вязкости воздуха ¦<],
которым пользовался Милликэн, и тогда было получено значение для заряда
электрона е = 4,803- Ю0 COSE, приведенное в тексте.
§ 152. Природа электростатического поля. Содержание преды-
предыдущих параграфов убеждает нас, что и пространстве, окружающем
заряженное тело, происходят какие-то изменения, которые сказы-
сказываются прежде всего в том, что на всякое другое заряженное тело,
помещенное в это пространство, действуют силы. Мы охарактеризо-
охарактеризовали это свойство, проявляющееся в действии сил на заряды, с по-
помощью вектора напряженности Е, а нею упомянутую область дей-
действия зарядов назвали электростатическим полем. Каждая точка
поля характеризуется определенным значением вектора Е. Для более
удобной графической характеристики совокупности значений Е мы
внели в рассмотрение линии напряженности. Наконец, для характери-
характеристики работы, совершаемой при перемещении в электростатическом
поле зарядов, был введем потенциал V, имеющий также в каждой
точке поля определенное значение и, вообще говоря, меняющийся от
точки к точке.

116 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [ГЛ. XV
Как мы указывали в § 123, описание свойств электростатического
поля вначале носило формальный характер и строилось по аналогии
с математической теорией поля тяготения. При этом предпола-
предполагалось, что электрические силы и силы всемирного тяготения пере-
передаются мгновенно, что они представляют собой некое „действие
на расстоянии", без какой-либо роли промежуточного пространства.
Такая точка зрения носила идеалистический характер и оспари-
оспаривалась еще в XVIII в. рядом ученых, в том числе М. В. Ломоносовым,
полагавшим, что электрические силы обусловлены вращением частичек
эфира — среды, заполняющей все пространство.
В первой половине XIX в. идеи о роли электрического поля
были особенно широко использованы М. Фарадеем A791 —1867).
Дальнейшее развитие учения об электрических явлениях подтвердило
правильность идеи о существовании электрического поля и заставило
полностью отказаться от гипотезы „действия на расстоянии". Между
взаимодействующими зарядами существует электрическое поле, объ-
объективные свойства которого определяются такими величинами, как
напряженность поля Е и потенциал V.
Однако необходимо отметить, что физики, развивавшие теорию
электрического поля, исходили из общепринятых в то время механи-
механистических воззрений: они пытались объяснить электростатические
явления, построив их механическую модель. Линиям напряженности
приписывали механический смысл, рассматривая их как механические
напряжения в некоторой упруго;* среде. Линии напряженности на-
наглядно рассматривались как натянутые упругие нити, тянущиеся от
одних зарядов к другим. Натяжение нитей объясняло взаимное при-
притяжение разноименно заряженных тел; давление, нормальное к нитям,
обусловливало взаимное отталкивание нитей и могло объяснить
отталкивание тел, заряженных одноименно. Эта теория требовала при-
признания существования универсальной упругой среды, пронизывающей
все известные нам вещества и заполняющей все пустое простран-
пространство,— мирового эфира. Распространение волнового процесса в том
же эфире должно было объяснить световые явления.
Эта гипотеза механического эфира оказалась, однако, несостоя-
несостоятельной перед лицом новых открытий конца прошлого столетия.
Многочисленные факты выявили особую природу электрических про-
процессов, не сводимую к явлениям чисто механическим. Такого рода
отказ от возможности дать механическое объяснение электрическим
процессам ни в коей мере не представляет собою отказ от материа-
материалистического объяснения. В. И. Ленин, критикуя физиков-идеалистов
начала нынешнего столетия, которые видели в замене механических
теорий электромагнитными отказ от материализма, писал: «...как
ни необычно ограничение механических законов движения одной
только областью явлений природы и подчинение их более глубоким
законам электромагнитных явлений и т. д. — все это только лишнее

§ 152] ПРИРОДА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 117
подтверждение диалектического материализма»1 и дальше: «Это,
конечно, сплошной вздор, будто материализм утверждал „меньшую"
реальность сознания или обязательно „механическую", а не электро-
электромагнитную, не какую-нибудь еще неизмеримо более сложную картину
мира, как движущейся материи».'1
К числу фактов, подтверждающих реальность электростатического
поля, относятся следующие. Как мы видели (§ 138), электростатиче-
электростатическое поле характеризуется определенным значением энергии, распре-
распределенной с некоторой объемной плотностью. Впоследствии было
открыто, что поле распространяется с конечной скоростью. Опыты
Фарадея над электромагнитной индукцией (§ 221) указали на тесную
связь между электрическими и магнитными явлениями. В 60-х годах
прошлого столетия Макснелл развил общую теорию электромагнит-
электромагнитных явлений и показал, что электростатическое поле является част-
частным случаем более общего по своей природе электромагнитного
поля. Эта теория охватила весьма широкий круг электрических и
магнитных явлений; она привела к открытию электромагнитных волн
и выяснила электромагнитную природу света. Таким образом воз-
возникла единая теория электрических, магнитных и оптических явле-
явлений, базирующаяся на представлении об электромагнитном поле.
Теория Максвелла, казалось, подтверждала теорию мирового эфира.
По теории Максвелла, развитой затем Лоренцом, атомы, из которых
состоят твердые, жидкие и газообразные тела, погружены в эфир.
Каждый атом представляет собою сложную электрическую систему:
он состоит из положительного ядра и электронов. Таким образом,
считалось, что существуют лишь эфир и электрические заряды —
положительные (ядра атомов) и отрицательные (электроны). „Пустое"
пространство заполнено только эфиром. В части пространства, где
расположено какое-либо тело, в эфир вкраплены заряды, входящие
в состав атомов этого тела. Эти заряды вызывают изменения в эфире,
которые мы воспринимаем как электромагнитное поле.
В теории Лоренца эфир рассматривался как неподвижная мате-
материальная среда, со свойствами, отличными от свойств известных
механических упругих тел. Свойства эфира выражались уравнениями,
данными Максвеллом, вытекающими из обобщения многочисленных
опытных фактов, относящихся к области электромагнитных явлений.
Теория Максвелла — Лоренца содержала в себе нечто новое по отно-
отношению к механике, она давала не механическое объяснение природы
электромагнитного поля. Механический эфир старых теорий света
уступил место электромагнитному эфиру.
Однако эфир рассматривался как сплошная среда, которая, как
и любая механическая сплошная среда, может служить системой
1 В. И. Ленин, Материализм и эмпириокритицизм, Госполитиздат, 1948,
стр. 244.
2 Там же, стр. 263.

118 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ [гл. XV
отсчета (ср. сказанное в т. I, § 4). Можно было говорить
о движении тел, например о движении земного шара относи-
относительно эфира. Опыты Майкельсона (см. т. Ill), а также опыты
Трутоиа и Нобля и целый ряд других опытов (см. § 216), с по-
помощью которых делались попытки определить движение Земли отно-
относительно эфира, привели к отрицательным результатам. Теория отно-
относительности обобщила эти опытные результаты, показав, что абсо-
абсолютное движение относительно эфира вообще не существует. Это
нарушило последнюю аналогию между эфиром и сплошными механи-
механическими средами. В связи с этим, поскольку с понятием об эфире
исторически твердо связывалось понятие о среде, относительно
которой можно определить движение, современная теоретическая
физика перестала пользоваться представлением о „среде-эфире"
вообще. Мы говорим теперь об электромагнитном поле как об
особом виде материи. Электромагнитное поле не только обладает
свойствами, отличными от свойств известных нам механических сред,
но и характеризуется той своеобразной особенностью, что оно не
может служить системой отсчета.

ЧАСТЬ ПЯТАЯ
ПОСТОЯННЫЙ ТОК
ГЛАВА XVI
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
§ 153. Постоянный ток. Закон Ома. Перемещение заряженных
частиц образует электрический ток. Носители зарядов при этом
могут быть различными. В некоторых случаях это будут заряженные
атомы или молекулы (ионы), как, например, при электролитической
проводимости или в положительных лучах, возникающих в разрежен-
разреженных газах. В других случаях ток обусловлен движением электронов
(ток в металлах или катодных лучах). Однако во всех случаях нали-
наличие тока сопровождается некоторыми общими явлениями, например
возникновением магнитного поля.
Не следует думать, что явление электрического тока исчерпы-
исчерпывается простым механическим движением заряженных частиц. Во-пер-
Во-первых, электрическое и магнитное поля, связанные с движущимися
заряженными частицами, обладают, как было сказано в § 152, особой
немеханической природой. Во-вторых, и само движение элементар-
элементарных частиц подчиняется иным законам, чем механическое движение
макроскопических тел (§ 163). Однако в ряде вопросов, связанных
с током, оказывается возможным пользоваться представлением о меха-
механических перемещениях зарядов, и расчеты, полученные на основе та-
таких представлений, дают в ряде случаев хорошо согласующиеся с опы-
опытом результаты. В других случаях такие (классические) представле-
представления оказываются непригодными и явления приходится анализировать
на основе более сложных (квантовомеханических) представлений.
Электрический ток характеризуется величиной, называемой силой
тока. Сила тока I, протекающего через данную площадку, пред-
представляет собой физическую величину, измеряемую количеством
электричества, переносимым через эту площадку за единицу
времени. Если за время At через площадку перенесено количество
электричества AQ, то сила тока / равна
В том случае, когда / для данной площадки не меняется со
временем, мы говорим о постоянном токе.

120 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
За единицу силы тока в CGSE-системе берется такая сила тока,
при которой через данную площадку за 1 сек переносится одна
Сбб^-единица количества электричества. Ввиду малости этой еди-
единицы в международной системе за единицу силы тока принимается
сила тока, при которой через данную площадку за 1 сек пере-
переносится один кулон количества электричества; эта единица силы
тока называется ампером.
Определение ампера, как одной из четырех основных единиц меж-
международной системы единиц, будет дано в § 196.
Связь между ампером и электростатической единицей силы тока
определяется условием:
1 кулон 3 ¦ 109 CGSE-ел. кол. эл-ва
1 ампер = —г1 ^ ; ^
г \сек 1 сек
^ёЗ-109 CQSE-ея. силы тока.
Размерность силы тока / получим из соотношения A):
[/] = j^i=:Z.V2Af1/2-r2. B)
Рассмотрим сперва явление тока в проводниках первого рода —
металлах. Ток в проводниках возникает только в тех случаях, если
в них имеются области, находящиеся при разных потенциалах. Воз-
Возникающий при этом ток идет до тех пор, пока потенциалы частей
проводника не выравняются. Если поддерживать разность потенци-
потенциалов на концах участка проводника постоянной, то в этом участке
будет идти постоянный ток.
Сила тока /, текущего по участку однородного проводника,
удовлетворяет, как показывает опыт, закону Ома:
/ = ^. . C)
Здесь Vi—V2 — разность потенциалов па концах участка провод-
проводника, а /? — величина, характеризующая данный участок проводника
и называемая его сопротивлением. Таким образом, закон Ома по-
показывает, что сила тока прямо пропорциональна разности потен-
потенциалов на концах участка проводника и обратно пропорциональна
сопротивлению этого участка проводника.
Закон Ома был установлен в 1826 г. на основании произведен-
произведенных Омом измерений. Так как Ом заметил, что сила тока, даваемая
гальваническим элементом, меняется со временем (см. явление по-
поляризации электродов; § 179), то он пользовался в качестве источ-
источника электродвижущей силы термопарой (см. § 172). Окружив один
спай термопары льдом, а другой держа в кипящей воде, он смог
получить вполне постоянный источник разности потенциалов. Силу
тока Ом измерял по действию тока на магнитную стрелку. Годом
позже Ом опубликовал статью, в который он выводил свой закон

§ 154J СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРОВОДНИКОВ 121
теоретически, сопоставляя электрический ток с потоком жидкости
в трубе. Следует, однако, заметить, что такое сопоставление за-
законно лишь для случая ламинарного течения жидкости (см. т. I) и
перестает быть верным для турбулентного течения.
Впоследствии закон Ома проверялся многими авторами и было
установлено, что он выполняется весьма точно. Отступления от закона
Ома, достигающие 1°/0, были обнаружены лишь при очень больших
плотностях тока — порядка нескольких миллионов ампер на 1 см2.
Как и в опытах самого Ома, так и в других исследованиях, сила тока
измерялась по магнитному действию тока. Строго говоря, требуется предва-
предварительно доказать, что магнитное действие пропорционально силе тока, опре-
определяемой по равенству A) через количество электричества ДО, протекающее
в единицу времени. В соответствии с определением A), силу тока можно
измерить в абсолютной мере, заставляя разряжаться конденсатор определен-
определенной емкости, предварительно заряженный до определенной разности потен-
потенциалов. Разность потенциалов может быть измерена, а емкость конденса-
конденсатора, имеющего простую геометрическую форму, вычислена. Однако прак-
практически такие измерения трудно выполнимы, так как при разряде конденсатора
нельзя получить постоянный ток.
Поэтому в настоящее время сила тока определяется, как в работах
Ома, по магнитному действию токов, а именно по силе взаимодействия
между двумя бесконечно длинными параллельными проводами, по которым
течет ток определенной силы (см. § 196).
§ 154. Сопротивление проводников. Сопротивление участка про-
проводника зависит от материала проводника, от его размеров и формы.
Для участка проводника постоянного поперечного сечения 5 и
длины / сопротивление оказывается равным
Я = р4- 0)
где р — величина, зависящая лишь от материала проводника; она
называется удельным сопротивлением материала. Таким образом,
сопротивление участка проводника прямо пропорционально его
длине I и обратно пропорционально площади его сечения S.
Из формулы A) имеем
откуда видно, что удельное сопротивление р численно равно сопро-
сопротивлению проводника, имеющего единицу длины и площадь попереч-
поперечного сечения, равную единице площади.
В CGSE-системе за единицу сопротивления принимается сопро-
сопротивление проводника, в котором при разности потенциалов на
концах в одну CGSf'-единицу течет одна CGSE-единица силы тока.
Так как эта единица нелика для практических случаев, то в каче-
качестве практической единицы сопротивления выбрано сопротивление
проводника, в котором возникает ток в один ампер при разности
потенциалов в один вольт. Эта единица называется омом.

122 основные законы постоянного тока [гл. xvi
Связь между омом и CGSf-единицей сопротивления получим с по-
помощью соотношения, вытекающего из закона Ома:
—CGSE-ejx. потенциала
1 вольт ^ 300 ^
1 ампер ==3-10а CGSE-ец. силы тока ~
с^———т GGSE-ед,. сопротивления.
Миллион омов называется мегаомом.
Размерность сопротивления получим на основании равенства:
-
[/?] = у,-!= TL
Удельное сопротивление р в практической системе принято из-
измерять в единицах, устанавливаемых на основании формулы Aа),
причем сопротивление /? выражают в омах, площадь поперечного
сечения 5 — в квадратных сантиметрах, а длину / — в сантиметрах;
получающаяся единица удельного сопротивления называется омо-сан-
тиметром (сокращенно ом ¦ см).
Таким образом, за единицу удельного сопротивления принимается
удельное сопротивление такого материала, изготовленный из которого
куб с длиной ребра в \ см имеет сопротивление в 1 ом, при усло-
условии, что ток идет от одной грани этого куба к противоположной.
При технических расчетах сопротивления проводов, пользуясь
формулой Aа), часто измеряют площадь поперечного сечения S
в квадратных миллиметрах, а длину провода /—в метрах. В соот-
соответствии с этим за единицу удельного сопротивления принимается
удельное сопротивление такого материала, изготовленный из которого
провод длиной в 1 м и с площадью поперечного сечения в 1 мм1
имеет сопротивление в 1 ом.
Между этой технической единицей удельного сопротивления и
ом ¦ см имеет место соотношение:
1 , 0,01 см2 ,п »
1 техн. ед. удельного сопротивления = 1 ом—1-^—=10"* ом-см.
Кроме удельного сопротивления р, часто вводят в рассмотрение
обратную величину:
называемую удельной проводимостью или электропроводностью
(см. табл. IV).
Удельное сопротивление р зависит от температуры проводника.
Почти для всех металлов при обычных температурах удельное сопро-
сопротивление меняется с температурой линейно:

§ 154]
СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРОВОДНИКОВ
123
где t — температура в шкале Цельсия, р() — удельное сопротивление
при 0° С, а—постоянный коэффициент.
Таблица IV
Удельное сопротивление и электропроводность
некоторых проводников при 0°С
Проводник
Алюминий
Графит
Железо чистое . .
Медь чистая . . .
Ртуть
р. 10»,
ом ¦ см
2,53
59,2
8,69
1,55
94,3
а-1(Г4,
олг1 ¦ слг1
39,5
2,55
11,48
64,5
1,06
Для многих металлов а по численному значению близко к 0,00367,
т. е. к т^г i так что соотношение B) может быть переписано в виде:
273
р = ар0 Т,
Bа)
2,5
где Т—температура в абсолютной шкале. Однако это соотношение
носит приближенный характер и не оправдывается ни при высоких,
ни при очень низких температурах.
При высоких температурах коэффи- ft-ffi ом-см
циент а возрастает.
Кроме того, сопротивление возра-
возрастает при плавлении металлов. При
низких температурах а убывает. На
рис. 81 дана зависимость р от 7 для Си,
Fe, Pt и Pb.
При очень низких температурах,
порядка 1—7° К, сопротивление неко-
некоторых металлов и сплавов резко падает,
становясь исчезаюше малым (см.
рис. 82). Это явление, впервые от-
открытое голландским физиком Каммер-
лшг-Оннесом в 1911 г., называется
сверхпроводимостью. Практически со-
сопротивление при сверхпроводимости
равно нулю. В настоящее время сверх-
сверхпроводимость установлена у большого
числа элементов (Al, Ti, Zn, Tc, Cd, Sn,
Hg, Tl, Pb, Bi, U и др.), у многих спла-
сплавов и у ряда химических соединений. Для сплавов сверхпроводи-
сверхпроводимость может наблюдаться и в том случае, когда один из компонентов
/
0,1
*
/
у
/
/
/
f
/
.4 —
/
Pt
/*
си
—-
/
/
/
'/
60 100 150 200 250300 350Т°К
Рис. 81. Зависимость удельного
сопротивления металлов от аб-
абсолютной температуры.

124 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
в чистом виде не обнаруживает сверхпроводимости. Среди химиче-
химических соединений сверхпроводимость возможна и тогда, когда ни
один из компонентов этого соединения сам по себе сверхпроводи-
сверхпроводимостью не обладает. Критическая температура Тк, при которой веше-
ство переходит в сверхпроводящее состояние, в большинстве случаен,
как сказано, лежит в интервале 1—7° К- Однако встречаются и более
низкие и более высокие значения Тк. Из исследованных до сих пор
чистых элементов наиболее низкое значение 7"к = 0,35°К имеет гаф-
гафний (Ш) и наиболее высокое Гк—11,7°К —технеций (Тс); соедине-
соединение Nb3Sn, имеет ГК = 18°К. Для разных изотопов одного и того
же элемента критическая температура Тк несколько различна. При
повышении давления критическая температура Тк меняется, однако,
незначительно (приблизительно на 10"в град/атм), причем у одних
веществ наблюдается повышение Тк с увеличением давления, а у дру-
других — понижение.
При переходе вещества в сверхпроводящее состояние одновременно
меняется и ряд его других свойетъ —• скачкообразно изменяется теп-
теплоемкость и (при наличии магнитного поля) происходит выделение
или поглощение тепла. Особенно своеобразны магнитные свойства
сверхпроводников. Вещество в сверхпроводящем состоянии представ-
представляет собой „идеальный" диамагпетик, внутри которого магнитная
индукция В = 0. Коэффициент намагничения (§ 202) сверхпроводника
х = . Равенство магнитной индукции нулю в сверхпроводящем
теле может быть объяснено появлением в его поверхностном слое
токов, магнитное поле которых компенсирует внешнее магнитное поле.
В очень тонком поверхностном слое сверхпроводящего тела (порядка
10~" см) В ф 0. Внешнее сильное магнитное поле разрушает состоя-
состояние сверхпроводимости. Такое разрушение сверхпроводящего состоя-
состояния происходит также за счет магнитного поля, вызванного электри-
электрическим током, текущим в самом сверхпроводящем теле.
Явление перехода из сверхпротодящего состояния в обычное и
обратно было подробно изучено кгк с теоретической, так и с экспе-
экспериментальной точки зрения рядом советских физиков (Л. Д. Ландау,
А. И. Шальников и др.). А. И. Шальников обнаружил, что в веществе
при переходе из сверхпроводящего в обычное состояние образуются
отдельные сверхпроводящие слои, чередующиеся с обычными слоями,
имеющими конечную проводимость.
Несмотря на многочисленные теоретические исследования, до
самого последнего времени полной теории сверхпроводимости соз-
создать не удавалось. Лишь в 1956 г. американским физиком Купером
было показано, что решающую роль при переходе в сверхпроводя-
сверхпроводящее состояние играет процесс образования пар электронов с парал-
параллельно расположенными спиновыми моментами (см. § 202). После
этого удалось в основном объяснить сверхпроводимость и сопутст-

§ 155]
ESEKTOP ПЛОТНОСТИ ТОКА
125
вующие ей явления. При сверхпроводимости электроны внутри вещества
обладают как бы сверхтекучестью. В наиболее полном виде теория
сверхпроводимости развита на указанной основе советским ученым
Н. Н. Боголюбовым и его сотрудниками.
Наряду с металлами, являющимися очень хорошими проводниками
(а порядка 104—\№ омл-см~1), существуют тела с гораздо меньшей
проводимостью (а порядка 10—10~10 ом'1 • см~1), например селен,
закись меди (Си2О), многие минералы, неметаллические элементы чет-
четвертой, пятой и шестой групп таблицы 7
Менделеева, неорганические соединения Р
с кислородом и серой, некоторые спла-
сплавы металлов, некоторые органические
красители и др. Эти тела носят назва^
ние полупроводников (см. § 171).
Особые явления обнаруживаются
в месте соприкосновения некоторых
полупроводников с металлами: обра-
г
/
РЪ
/
/
6 8 ЮГ'К
зуется запирающий слой, способный Рис- 82- Падение удельного со-
•' противления до нуля при пе-
пропускать ток лишь в одном направ- р?ходе в сверхпроводящее со-
солении. Так, в случае закиси меди элек- стояние.
трический ток при той же разности
потенциалов в несколько тысяч раз больше, когда он идет от металла
к закиси меди, чем в обратном направлении (см. § 237).
§ 155. Вектор плотности тока. Сила тока / = -^-представляет со-
собою величину скалярную: она определяется лишь величиной заряда,
перенесенного через данную площадку в единицу времени, независимо
от того, в каком направлении и под каким углом к площадке дви-
движутся частицы, несущие заряды. Очевидно,такая характеристика элек-
электрического тока будет неполной; во многих случаях требуется рас-
рассмотрение направления, в котором движутся заряженные частицы.
Для учета направления переноса зарядов вводится в рассмотрение
вектор плотности тока.
Ток может быть обусловлен движением как положительно, так и
отрицательно заряженных частиц. Опыт показывает, что движения
в противоположных направлениях частиц, противоположных по знаку,
создают во всех отношениях эквивалентные токи. Поэтому можно
ограничиться рассмотрением движения частиц какого-либо одного
знака, например положительных. Тогда движение отрицательных ча-
частиц можно условно заменить движением положительных частиц
в противоположном направлении.
Рассмотрим первоначально однородный поток положительно за-
заряженных частиц, т. е. такой поток, в котором все частицы дви-
движутся в одном направлении с одинаковыми скоростями, причем рас-
распределены эти частицы в пространстве с постоянной плотностью.

126 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
Выделим мысленно внутри проводника, где движутся эти заряды,
площадку Д50, перпендикулярную к направлению движения зарядов.
Будем подразумевать под вектором плотности тока i вектор, со-
совпадающий по направлению с направлением движения положительных
зарядов и численно равный
где AQ — заряд, перенесенный через площадку Д6*0 за время At.
Таким образом, вектор плотности тока численно равен заряду,
перенесенному в единицу времени через единичную площадку,
расположенную нормально к направлению движения зарядов. На-
Направлен вектор плотности тока по скорости движения положи-
положительных зарядов.
Если площадка Д5 ориентирована произвольно, то надо взять ее
проекцию на плоскость, перпендикулярную к направлению движения
зарядов, тогда:
.¦_ *9 B\
1 М- AS COS a.' ^ '
где а — угол между направлением движения положительных зарядов
и нормалью к площадке AS.
В случае неравномерного потока заряженных частиц берем столь
малую площадку AS и столь малый промежуток времени Д^, чтобы
в их пределах поток мог считаться равномерным. Тогда численное
значение вектора плотности тока к данном месте проводника и в дан-
данный момент времени определяется соотношением:
AQ ,п ч
l = пред. -т-г-гь • Bа)
Д5-.0 4i! ' Д5 COS a v '
bt—Q
Обозначая через Д/ малый ток, протекающий через малую пло-
площадку Д5, имеем:
Д/ = пред. -f- ,
после чего из равенства Bа) получаем;
Д/
i cos а == пред. -т~=г ¦
AS -~ О Лй
Величина i cos а представляет собой проекцию вектора плотности
тока i на нормаль к площадке AS (рис. 83), откуда:
до, C)

§ 156] СОХРАНЕНИЕ ЗАРЯДОВ. ЗАМКНУТОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ТОКОВ 127
т. е. нормальная составляющая вектора плотности тока численно
равна силе тока, протекающего через единичную площадку.
Понятие о плотности тока позволяет дать иную формулировку
закона Ома, чем приведенная на стр. 120. Как сказано выше, мы
условно считаем, что ток создается движением
положительных зарядов (на самом деле ток в
проводнике создается движением электронов).
Свободные заряды движутся в проводнике
в направлении сил электрического поля. Следо-
Следовательно, вектор плотности тока i направлен ДЯ^
в сторону падения потенциала, т. е. туда, куда
направлен вектор напряженности Е.
Возьмем цилиндрический проводник, по ко- ., оо .,
л г гт Рис. 83. К определе-
торому течет ток Д/. Пусть заряды в этом нию нормальн?й со_
проводнике движутся перпендикулярно К его ставляющей плотно-
нормальным сечениям A.S (рис. 84). Рассмотрим сти тока «„.
два сечения этого проводника, отстоящих
друг от друга на расстоянии Д/. Пусть рязность потенциалов между
этими сечениями равна Vt—Vi = — ДУ. Сопротивление этого уча-
участка проводника равно R=— • -r~ , где о— удельная проводимость
!/ ,;_ материала, из которого сделан про-
проводник. Применяя к рассматриваемому
участку проводника закон Ома, полу-
получим:
откуда
I j
i j
\ J
—\
Рис. 84. К выводу выражения
для плотности тока.
ДК
но Д//Д5 равно плотности тока i, а величина — ДV/Д/, дающая паде-
падение потенциала на единицу длины, равна напряженности поля Е
внутри проводника. После этого равенство D) примет вид:
i —of.
Мы уже указывали, что вектор плотности тока i направлен так
же, как вектор напряженности Е, поэтому последнее равенство можно
записать в векторном виде;
i = аЕ. E)
Это соотношение представляет собой закон Ома для плотности
тока. Оно показывает, что плотность тока 1 пропорциональна на-
напряженности электрического поля Е и направлена в сторону напря-
напряженности. В проводнике, по которому течет ток, напряженность
поля отлична от нуля. Обратно, если внутри проводника Е = 0, то

128 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
в проводнике отсутствуют токи: при Е = 0 мы имеем дело с явле-
явлением электростатическим.
§ 1Б6. Сохранение зарядов. Замкнутость стационарных токов.
В предыдущем параграфе мы получили выражение, связывающее
силу тока А/, протекающего через малую площадку AS [формула C)
§ 155], с плотностью тока:
Отсюда получаем, что сила тока А/, протекающего через малую
площадку AS, может быть представлена в виде:
А/=«'ЯД5. A)
В случае тока, протекающего через конечную площадь S, разобьем
эту площадь на элементарные площадки AS. Тогда сила тока /,
протекающего через всю площадь S, выразится
суммой токов Д7:
/=2«яД5. B)
Таким образом, сила тока представляет собой
поток вектора плотности тока.
Определим силу тока /, протекающего через
мысленно выделенную в проводнике замкнутую
поверхность, ограничивающую некоторый объем.
Будем считать положительными нормали, внешние _ ос и
J , У ог\ т- Рис- 85- Внешние
по отношению к этому объему (рис. 85). Тогда нормали к Замкну-
значения углов а могут быть как меньше, так и той поверхности S.
больше те/2, и элементарные силы токов А/, по A),
могут принимать как положительные, так и отрицательные значе-
значения. Положительное значение элементарного тока Д7 означает, что
через данную площадку AS выносятся положительные заряды
из объема, ограниченного поверхностью S. Отрицательное значение
элементарного тока А/ означает, что через данную площадку AS
вносятся положительные заряды внутрь того же объема. Количество
внесенных зарядов будет равно количеству вынесенных из данного
объема, если сумма всех элементарных токов через поверхность S,
ограничивающую данный объем, равна нулю. Если полная сила тока 7
через замкнутую поверхность S отлична от нуля, то это значит, что
количества внесенных и вынесенных зарядов не равны друг другу,
т. е. общая величина зарядов, заключенных внутри объема S, меняется.
Положительное значение тока означает убыль зарядов, а отрицатель-
отрицательное— возрастание зарядов внутри объема. Если обозначим через — AQ
убыль зарядов за время ht внутри объема, ограниченного поверх-
поверхностью S, то получим
^ — AQ. C).

§ 156] СОХРАНЕНИЕ ЗАРЯДОВ. ЗАМКНУТОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ТОКОВ 129
Это соотношение показывает, что изменение общего заряда AQ
внутри замкнутого объема происходит за счет внесения зарядов извне
или вынесения их наружу. Таким образом, соотношение C) имеет
смысл закона сохранения зарядов.
Из соотношения C) для тока /, текущего через замкнутую по-
поверхность, получаем
/=2i,AS = —?. (За)
Введем в рассмотрение линии тока. Под линией тока подразу-
подразумевается линия, касательная к каждой точке которой совпадает с на-
направлением вектора плотности тока в этой точке.
Выражение j^inhS представляет собой поток линий тока через
замкнутую поверхность 5. Равенство (За) показывает, что полный
поток линий тока через замкнутую поверхность может быть отличен
от нуля, только если меняется заряд внутри объема, ограниченного
данной поверхностью. Если полный заряд внутри данной поверх-
поверхности неизменен, то линии тока лишь пересекают поверхность. Кон-
Кончаться линии тока могут лишь там, где происходит накопление или
убыль зарядов. При постоянстве зарядов в некоторой области
линии тока в ней непрерывны и либо замкнуты, либо уходят
в бесконечность. Пространство, ограниченное линией тока, назовем
трубкой тока. По самому определению понятия трубки тока ясно,
что сила тока через любое сечение трубки одна и та же.
Понятие о линиях тока, как видно из сказанного, позволяет
интерпретировать равенство (За) аналогично теореме Остроград-
Остроградского— Гаусса в электростатике (см. § 126). В электростатике по
теореме Остроградского — Гаусса поток линий напряженности через
замкнутую поверхность равен сумме зарядов (умноженных на 4ir),
находящихся внутри поверхности. По равенству (За) поток линий
тока через замкнутую поверхность равен скорости убыли зарядов
внутри поверхности.
Примером незамкнутых линий тока являются линии тока, возни-
возникающие при разрядке конденсатора. Разряжающиеся обкладки кон-
конденсатора являются местами концов линий тока, так как их заряд
во время разряда конденсатора изменяется. Процесс разрядки кон-
конденсатора нестационарен: сила тока меняется со временем, спадая
в конечном счете до нуля. Так как всякие заряды будут в конечном
счете исчерпаны, то ток с незамкнутыми линиями тока не может
поддерживаться неопределенно долгое время. Стационарному, т. е.
постоянному, неограниченно долго текущему току всегда соот-
соответствуют замкнутые линии тока. Так, в случае постоянного
тока, поддерживаемого с помощью гальванического элемента, линии
тока замыкаются через внутреннюю часть цепи, образуя замкнутые
кривые.
5 С. Фриш и А. Тиморева

130 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
Пользуясь обозначениями дифференциального исчисления, мы перепишем
равенство A):
dl~indS. (la)
Заменяя, далее, в равенстве B) сумму интегралом, распространенным
на данную поверхность S, получим
/= J indS. Ba)
Наконец, заменяя в равенстве (За) At бесконечно малым интервалом
времени dt, получим;
/ = —g. C6)
Подставляя сюда вместо / его значение по Bа), запишем закон сохране-
сохранения электрических зарядов в следующем виде:
f tdS--'
D)
Закон сохранения зарядов мы можем записать еще в другом виде. Для
этого поделим правую и левую части равенства D) на объем V, охватываемый
замкнутой поверхностью S:
v)W = -Tt[-v)- E)
Уменьшая до нуля объем V, получим, что QIV даст плотность р зарядов
в данном месте. Таким образом, в первой части равенства E) будет стоять
— dp/dt. Слева мы получим выражение
пред- .?_——.
v—o V
Как известно из векторного исчисления, этот предел равен дивергенции
вектора i:
div 1 = Пред. t—^—.
v ¦-. о V
Следовательно, равенство E) примет вид:
divi==—^-, F)
что представляет собой закон сохранения электрических зарядов, записанный
в дифференциальной форме. Если р постоянно во времени, то -j. = 0 и F)
принимает вид:
div i = 0. Fa)

§ 157] ЗАКОН ЛЕНЦА — ДЖОУЛЯ 131
§ 157. Закон Ленца — Джоуля. Опыты показывают, что прохо-
прохождение электрического тока по проводнику сопровождается выде-
выделением в проводнике тепла. Это выделение тепла связано с перено-
переносом зарядов и, следовательно, с работой электрических сил,
которая идет на этот перенос.
Возьмем сечение проводника, через которое протекает заряд Q
за время /: Q = It. Этот заряд, перемещаясь по проводнику, за время
t проходит некоторую разность потенциалов Vi—V2, причем элек-
электрические силы совершают работу, равную:
A = lt(Vl-V2). A)
Работа сил поля не вызывает увеличения тока и, следовательно,
идет на нагревание проводника. Пользуясь законом Ома, выраже-
выражение для работы перепишем в виде:
A=-PRT, (la)
где R— сопротивление участка с разностью потенциалов Vj — V.2.
Подсчитаем численное значение выделяющегося в проводнике
тепла. Предположим, что сила тока / выражена в амперах, время
t — в секундах, разность потенциалов Vi—V2 — в вольтах; ирл
этом легко видеть, что формула A) дает работу в джоулях. В са-
самом деле, при прохождении тока в 1 а в течение 1 сек перено-
переносится количество электричества, равное кулону, т. е. 3 • 109 CGSE-ew-
ниц; если это количество электричества переносится между
точками с разностью потенциалов в 1 в, равной щ CGSE-еди-
ницы потенциала, то совершается работа:
^40 = 3 • 109 • g^jз/>г = 107 эрг=\ дж.
Вспоминая, что джоуль эквивалентен 0,24 кал, для количества
тепла в калориях, выделяющегося за t секунд в проводнике, на
концах которого разность потенциалов равна V\ — У2 вольт и по ко-
которому течет ток силой в / ампер, получаем выражение:
Q = 0,24rt (Vi — V8). B)
Это выражение с помощью закона Ома может быть также пере-
переписано в следующих видах:
Q = 0.24Л Rt, Ba)
B = 0,24-^-=^*.- B6)
При этом здесь сопротивление R должно быть выражено в омах.

132
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКЛ
[гл. xvi
Соотношение Bа) было экспериментально установлено одновре-
одновременно профессором Петербургского университета Э. X. Ленцом и
Джоулем. Оно носит название закона Ленца — Джоуля. По этому
закону, количество тепла Q, выделяемое в участке проводника
при прохождении тока, пропорционально времени прохождения
тока t, сопротивлению участка R и квад-
квадрату силы тока I*.
На рис. 86 представлен прибор, кото-
которым пользовался Ленц. Стеклянный сосуд А,
наполненный спиртом, служил калориметром.
Ток пропускался по спирали Н с известным
сопротивлением. Нагревание спирта за опре-
определенное время t измерялось термометром С.
Заметим, что коэффициент 0,24 в законе
Ленца — Джоуля вводится при специальном
выборе единиц: количество тепла измеряется
в калориях, сила тока в амперах, сопротив-
сопротивление в омах. Если мы будем выражать выде-
выделенное количество тепла в джоулях, силу тока
Рис. 86. Прибор Ленца -в амперах, время в секундах, а сопротивле-
для измерения количе- ние в омах, то численный коэффициент 0,24
ства тепла, выделяемого заменится в формулах B), Bа) и B6) единицей,
при прохождении тока и мы получим для закона Ленца — Джоуля:
по проводу. J }
Q = pRt. C)
Преобразуем закон Ленца — Джоуля к другому виду, воспользо-
воспользовавшись представлениями о плотности тока / и плотности тепловой
мощности w. Под плотностью тепловой мощности w подразумевается
величина, измеряемая количеством тепла, выделяемым в единицу вре-
времени в единице объема проводника. Возьмем цилиндрический про-
проводник длиной Д/ поперечного сечения S; тогда
„._ Q .
s • д/ • t •
подставляя сюда вместо Q его значение по C), получим:
PR
W :=:
At J_ Д?
S ¦ At'
I
или, так как л; = р-=- = —-^- и -^ = i, то
w -=¦ — i .
з

§ 157] ЗАКОН ЛЕНЦА — ДЖОУЛЯ 133
Если ввести сюда вместо плотности тока / ее выражение через
проводимость и напряженность электрического поля по формуле E)
§ 155, по которой i = аЕ, то получим:
w=aE\ D)
т. е. плотность тепловой мощности пропорциональна квадрату напря-
напряженности электрического поля и проводимости проводника.
Чем меньше удельное сопротивление проводника, тем меньшее коли-
количество тепла (при том же токе) в нем выделяется. При состоянии сверх-
сверхпроводимости, когда удельное сопротивление становится неизмеримо
малым, в проводнике при прохождении тока не выделяется сколько-ни-
сколько-нибудь заметного количества тепла. Так как при этом энергия тока никуда
не тратится, то раз возбужденный в замкнутом сверхпроводнике то ;
поддерживается в нем неопределенно долго без затраты энергии извне.
Выделение тепла в проводниках играет большую роль в технике.
Действие заводских электрических печей и всевозможных нагреватель-
нагревательных приборов основано на явлении Ленца — Джоуля. Нагревание
проводников током используется также для накала нитей в электри-
электрических лампочках. Первые попытки получить свет за счет нагревания
проводников током принадлежат еще самому Ленцу. Однако только
в 1874 г. русский инженер А. Н. Лодыгин впервые сконструировал
лампы, достаточно совершенные с технической точки зрения, чтобы
их можно было использовать для целей освещения. В 1875 г. лам-
лампами А. Н. Лодыгина освещались места работ при строительстве
Литейного моста через Неву в Петербурге; это — первое практическое
использование электрических ламп накаливания.
В ряде же технических задач выделение тепла в проводниках
приносит вред. К числу таких вредных потерь энергии на выделе-
выделение тепла относятся потери в проводах,
передающих электроэнергию от места ее j/ Я/ yi fig и
получения к потребителю. 2
Разберем несколько примеров па расчет
сопротивлений и количества тепла, выделяе- Рис. 87. Последовательное
мого в проводниках. соединение проводников.
Пример 1. Определим полное сопротив-
сопротивление двух последовательно соединенных про-
проводников (рие. 87), сопротивления которых в отдельности равны Ri и ./?.,,
и вычислим отношение теплот QijQn, выделяющихся при этом в каждом из
проводников.
Решение. Сила тока / при последовательном соединении проводников
будет в обоих проводниках одна и та же. Применим закон Ома к каждому
проводнику в отдельности:
/Я, = Vl- V, 1R% =V-Vt.'
Складывая эти равенства, получим:

134
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
[гл. xvi
откуда
Vt-
R
где R—
E)
представляет собой полное сопротивление обоих проводников. Таким образом
полное сопротивление при последовательном соединении проводников равно
сумме отдельных сопротивлений.
Количества тепла Qt и Q2, выделяющиеся в каждом из проводников,
равны:
а = 0,241'Rtt, Q2 = 0,2-lFRst, откуда -^= §-,
т. е. количества тепла, выделяющиеся в проводниках при последовательном
соединении, относятся как сопротивления соединенных проводников. В том
проводнике, который обладает боль-
большим сопротивлением, при последова-
последовательном соединении выделяется боль-
больше тепла.
Пример 2. Определим сопро-
сопротивление параллельно соединенных
проводников /?j и R? и вычислим
отношение теллот QiiQ2, выделяю-
выделяющихся в каждом из этих проводников
(рис. 88).
Разность потенциалов на концах
параллельно соединенных проводни-
проводниРис. 88. Параллельное соединение про-
водников.
ков одинакова. Применим закон Ома
к каждому из проводников в отдельности, обозначив в них силы тока че-
через Л и 12:
h R2
т. е. силы токов в параллельно соединенных проводниках обратно пропор-
пропорциональны сопротивлениям проводников. Полная сила тока, идущего в обоих
проводниках, равна:
где R обозначает результирующее сопротивление обоих проводников. Отсюда
* = й + й' F)
т. е. при параллельном соединении проводников обратная величина резуль-
результирующего сопротивления равна сумме обратных величин сопротивлений со-
соединенных проводников.
Для подсчета количества выделяющегося тепла следует воспользоваться
формулой B6) для закона Ленца — Джоуля, так как разности потенциалов
на концах обоих проводников одинаковы:
QL = 0,24
откуда
R] '

§ 158]
ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ ТОКА И РАЗНОСТИ ПОТЕНЦИАЛОВ
135
т. е. при параллельном соединении проводников количества выделившегося
в проводниках тепла обратно пропорциональны сопротивлениям проводни-
проводников: в проводнике с меньшим сопротивлением выделяется больше тепла.
Покажем, что полное количество тепла, являющееся суммой количеств
тепла, выделившихся в обоих проводниках, может быть рассчитано по фор-
формуле B6), если в нее подставить результирующее сопротивление, определен-
определенное по формуле F); действительно:
Q = Ql + Q, = 0,24 M
¦Ri
¦0,24
t =
= 0,24A^—
откуда по F):
§ 158. Измерение силы тока и разности потенциалов. Сила
тока / может быть определена по количеству перенесенного заря-
заряда AQ и времени Дг1, в; течение которого этот заряд переносился
по данному проводнику, так как по формуле A) § 153 мы имеем
соотношение:
ДО
Однако практически такое измерение затруднительно. Поэтому
силу тока измеряют с помощью специальных приборов, построенные
на других принципах. В дальнейшем (см. § 213) мы опишем весьма
распространенный тип электромагнитных приборов, сейчас же рас-
рассмотрим прибор,основан-
прибор,основанный на тепловом действии
тока.
Схема „теплового" из-
измерительного прибора
представлена на рис. 89.
Измеряемый ток под-
подводится к зажимам А к В
и пропускается через тон-
тонкую проволочку ab. В ре-
результате выделяющегося
в этой проволочке, по за-
закону Ленца — Джоуля,
тепла проволочка аЪ на-
нагревается и благодаря этому удлиняется. От середины проволочки ab
отходит нить cd, соединенная со второй нитью fe, охватывающей
блок Q и натягиваемой пружиной Т. На оси блока Q насажена
стрелка 5. При удлинении проволочки аЬ стрелка 5 поворачивается
(рис. 896"). Чем больше сила проходящего по проволочке ab тока,
тем сильнее она удлиняется и тем больше отклоняется стрелка 5.
Рис. 89. Схема теплового измерительного при-
прибора.

136 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
Таким образом, проградуировав соответственно шкалу, можно изме-
измерять силу тока /, протекающего через прибор.
Однако непосредственное включение указанного прибора в цепь
для измерения протекающего в ней тока невозможно, так как про-
проволочку аЪ приходится брать весьма тонкой, при этом сопротивление
ее оказывается значительным. Поэтому включение такого прибора
в цепь поведет, как правило, к значительному изменению общего
сопротивления цепи, а следовательно, и к изменению силы тока. Изме-
Измеренная сила тока не будет равняться той, которая протекала по цепи
до включения в нее измерительного прибора. Кроме того, прибор не
годится для измерения значительных сил токов, так как в этих слу-
случаях проволока ab перегорит. Поэтому па-
параллельно измерительному прибору присоеди-
присоединяют проводник, сопротивление которого
подбирают так, чтобы ток, проходящий через
прибор, составлял определенную долю не-
разветвленного тока в цепи.
Предположим, что необходимо измерить
силу тока /, протекающего по проводнику СС.
Рис. 90. Включение Тогда измерительный прибор G присоеди-
шунта S. няется последовательно к проводнику СС.
Параллельно зажимам АВ измерительного
прибора присоединяется известное сопротивление S, называемое шун-
шунтом (рис. 90). Пусть сопротивление самого прибора будет Rg, а со-
сопротивление шунта Rs. Обозначим силу тока, проходящего через
прибор, Ig, а проходящего через шунт, Is. Тогда, во-первых, сумма
сил токов Ig и Is должна равняться силе тока /, протекающего по
проводнику СС; во-вторых, силы токов Ig и Is должны быть обратно
пропорциональны сопротивлениям Rg и Rs (см. стр. 134), т. е.
'g-t ',—Л [$ — Rg •
Из двух этих равенств имеем:
Ig=I7i7Tfi~g' A)
Из формулы A) получаем, что чем меньше сопротивление
шунта Rs, тем меньшая доля от общего тока / будет протекать
через измерительный прибор. Для того чтобы силы тока Ig в при-
приборе G составляла 1/л долю от силы тока /, надо положить, как
следует из равенства A):
/? — _5г_ о\
*«—я-Г W
Например, беря шунт с сопротивлением в lft сопротивления
самого измерительного прибора, получим, что через измерительный

§ 158] ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ ТОКА И РАЗНОСТИ ПОТЕНЦИАЛОВ 137
прибор пойдет 'До доля от тока в цепи. Снабдив тепловой измери-
измерительный прибор шунтом и проградуиропав его в амперах, получают
так называемый амперметр, т. е. прибор для измерения силы тока
в амперах. Благодаря малому сопротивлению шунта общее сопро-
сопротивление амперметра мало, в результате чего включение амперметра
в цепь заметно не меняет в ней силы тока. Шкала амперметра обычно
градуируется так, что она дает в амперах силу полного тока /,
протекающего через амперметр (т. е. силу суммы токов, протекаю-
протекающих через шунт и собственно измерительный прибор). По большей
части шунт вделывается внутрь коробки прибора. Иногда амперметры
снабжаются набором шунтов, пользуясь которыми можно менять чув-
чувствительность прибора.
Тот же тепловой измерительный прибор может быть использован
для измерения разности потенциалов. Предположим, что нам необхо-
необходимо измерить разность потенциалов на концах проводника СС, по
которому течет ток /. Для этого присоединим измерительный прибор О
параллельно к проводнику СС (рис. 91).
Ток lg, который потечет через измери-
измерительный прибор G, будет равен:
где Vi — V% — разность потенциалов па
концах проводника СС, a ??, — сопро-
сопротивление измерительного прибора G. "Н; , г'
Отсюда: *""
.. .. . Рис. 91. Включение последо-
"i *i'^'g"g- вательно с измерительным
Так как сопротивление измерительного Т^^Г^иоТ*
прибора Rg есть величина заданная, то е потенциалов.
сила тока Ig непосредственно определяет
разность потенциалов \\ — Vs. Однако, для того чтобы включение
измерительного прибора заметно не изменило разности потенциалов
Vi — Vit его собственное сопротивление должно быть велико по
сравнению с сопротивлением проводника СС. Так как сопротивление
самой проволочки ab для этого недостаточно, то к ней последова-
последовательно присоединяют большое сопротивление R'g (рис. 91). Обычно это
сопротивление вделывается внутрь коробки прибора, а шкала при-
прибора градуируется в вольтах. В таком виде прибор называется вольт-
вольтметром.
Резюмируя, мы можем сказать: один и тот же тепловой измери-
измерительный прибор может быть использован и как амперметр и как
вольтметр; в первом случае параллельно нагреваемой проволочке
присоединяется шунт, во втором случае — последовательно к нагре-
нагреваемой проволочке присоединяется большое сопротивление. Ампер-
Амперметр включается последовательно с тем участком цепи, в котором

138 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
измеряется сила тока; вольтметр присоединяется параллельно тому
участку цепи, на концах которого измеряется разность потенциалов.
Пример 1. Сопротивление нагреваемой проволочки аЪ в тепловом
измерительном приборе Rg=\ ом. Шкала прибора имеет 50 делений, одно
деление соответствует 0,01 а. Требуется подобрать такой шунт, чтобы прибор
мог употребляться в качестве амперметра для измерения сил токов до 15 а.
Решение. Вся шкала измерительного прибора по условию соответ-
соответствует 0,5 а. Следовательно, шунт должен уменьшить силу тока, проходящего
через проволочку ab, в следующее число раз:
г — — — — —30
Отсюда по формуле B) находим искомое сопротивление шунта:
Rs=-^Y=~OM = QfiZA.b ом.
Общее сопротивление RA амперметра определяется соотношением
(см. стр. 134):
_J_ _ J__ , 1_
откуда
Ra =
=
Rg + RS ,
Предположим, что этим амперметром измеряется ток, текущий по про-
проводу с сопротивлением в 40 ом под влиянием разности потенциалов в 110 в.
Легко убедиться, что в этом случае включение в цепь амперметра заметно
не изменит в ней силу тока. В самом деле, по закону Ома, сила тока в цепи
равна:
При включении в цепь амперметра общее сопротивление возрастет
на 0,0334 ом, т. е. станет равным Ri = 40,0334 ом, а следовательно, сила
тока окажется равной:
. Vi — Vz ПО ^974Я
R^~~~ 40,0334°= >а*
Эту силу тока и укажет амперметр; как видно, практически она мало отли-
отличается от первоначальной силы тока в 2,75 а.
Пример 2. Нагревательный измерительный прибор с данными, приве-
приведенными в примере 1, желательно использовать как вольтметр, вся шкала
которого соответствовала бы 500 в. Какое добавочное сопротивление R' для
этого надо присоединить последовательно к нагреваемой проволочке ab~>
Решение. По условию вся шкала измерительного прибора соответ-
соответствует 0,5 а. Чтобы при этом на зажимах прибора разность потенциалов
равнялась 500 в, полное сопротивление прибора Ra -\- R' должно равняться:
е g [ 0,5
Так как ^ = 1 ом, то искомое добавочное сопротивление ./?' = 999 ом.
Предположим, что этим прибором измеряется разность потенциалов на
концах проводника СС (см. рис. 91), сопротивление /? = 4 ом, по которому

§ 159]
СОПРОТИВЛЕНИЯ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ
139
течет ток / = 50д. Легко убедиться, что в этом случае подключение вольт-
вольтметра заметно не изменит разности потенциалов на концах проводника СС.
В самом деле, по закону Ома разность потенциалов VL — К2 на концах про-
проводника СС равна:
Vi — К2 = IR = 4 • 50 = 200 в.
При включении параллельно проводнику СС вольтметра с сопротивле-
сопротивлением в 1000 ом общее сопротивление разветвленной цепи между концами
проводника СС' станет равным^
Рис. 92. Реостат с движком.
Это уменьшение сопротивления должно повести к некоторому возрастанию
силы тока, однако для оценки максимальной возможной погрешности, вноси-
вносимой включением вольтметра, мы можем считать, что сила тока осталась
по-прежнему равной 50 а. Тогда разность по-
потенциалов на концах проводника СС будет:
V\ — V's = / • Л = 50 • 3,984 в = 199,2 в.
Эту разность потенциалов и укажет вольт-
вольтметр. Как видно, она отличается от первона-
первоначальной весьма мало.
§ 159. Сопротивления и их измере-
измерение. Для изменения сопротивления цепи
употребляются приборы, носящие назва-
название реостатов.
В лабораторной практике для небольших токов употребляются
реостаты с движком (рис. 92). Такой реостат состоит из проволоки,
намотанной на фарфоровый цилиндр. Передвигая движок, можно
менять число витков проволоки, введенных в цепь, а тем самым ме-
менять и величину вводимого сопротивления. В качестве материала для
проволоки избираются сплавы
(константан, манганин, нихром
и др.), обладающие достаточно
высоким удельным сопротивле-
сопротивлением и малым температурным
коэффициентом, т. е. малой за-
р-Ю]ом-СМ
а висимостью сопротивления от
100 300 500 700 7 К температуры. На рис. 93 пред-
Рис. 93. Зависимость удельного сопро- ставлена зависимость р от Т
тивления р манганина от абсолютной для манганина. Слабая зависи-
температуры. мость сопротивления от темпе-
температуры нужна для того, чтобы
по мере разогревания реостата под влиянием проходящего тока, его
сопротивление заметно не менялось. Такого рода реостаты весьма
удобны, но их конструкция не обеспечивает достаточно хорошей теп-
теплоотдачи, что ведет к сильному нагреванию и к невозможности поль-
пользоваться ими в случае сильных токов. ^

140
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
[гл. xvi
Для больших токов употребляются реостаты из толстых проволок,
свитых в спирали, или из лент, натягиваемых на раму (рис. 94).
Скользящий контакт позволяет вводить в цепь то или иное число
отдельных звеньев реостата.
Сопротивление данного проводника может быть легко измерено
с помощью амперметра и вольтметра. Последовательно с измеряемым
проводником MN (рис. 95) включается амперметр
А, а параллельно к проводнику — вольтметр V.
Обозначим искомое сопротивление проводника MN
через Rx, а собственное сопротивление вольт-
вольтметра — через R,,. Пусть амперметр показывает силу
тока /, а вольтметр — разность потенциалов V, — V2.
Ток, измеряемый амперметром, в точке М раз-
разветвляется: часть его /Л. идет через проводник MN,
а часть Ig-—через вольтметр V. Если пренебречь
сопротивлением проводов, с помощью которых при-
присоединен вольтметр, то
Рис. 94. Реостат
со скользящим
контактом.
откуда ток /д., идущий по проводнику MN, оказывается равным:
/ —/ / — / v'~v>
Если сопротивление вольтметра Rg много больше измеряемого сопро-
сопротивления Rx, то ток /g, текущий через вольтметр, мал по сравнению
с током /, и тогда приближенно:
1Х = 1, 1о
откуда по закону Ома: /
М
т. е. Rx непосредственно опре- рис. 95. Включение амперметра Ли вольт-
деляется по измерениям вольт- метра 1/для измерения сопротивления Rx.
метра и амперметра. Этот ме-
метод, как видно, обязательно требует выбора такого вольтметра,
сопротивление которого Rg велико по сравнению с измеряемым сопро-
сопротивлением Rx. Для более точных измерений пользуются иными мето-
методами, сводящимися к сравнению измеряемого сопротивления со стан-
стандартными. Один из таких методов описан ниже (см. § 167).
Стандартные сопротивления изготовляются обычно в виде так
называемых магазинов сопротивлений; внешний вид магазина сопро-
сопротивлений представлен на рис. 96. Магазин состоит из ряда катушек.
На каждую катушку намотан кусок провода с точно известным со-
сопротивлением;, концы провода припаиваются к толстым медным пла-

§ 160]
СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ В ПРОВОДНИКАХ
141
стинам (рис. 97), расположенным на изолирующей крышке ящика
магазина. Между пластинами оставляется просвет, который можно
замкнуть медным коническим штепселем. Когда штепсель не вставлен,
ток проходит через катушку, в противном случае сопротивление
данной части магазина де-
делается практически равным
нулю. Набор катушек с раз-
различным сопротивлением со-
составляется подобно набору
разновесок так, чтобы ком-
комбинацией введенных кату-
катушек можно было осуще-
Рис. 96. Магазин со-
сопротивлений.
Рис. 97. Деталь
устройства ма-
магазина сопро-
сопротивлений.
ствить различные сопротив-
сопротивления в данном промежутке
через каждые, например,
0,1 ома или через каждый ом.
§ 160. Свободные электроны в проводниках. Классические
представления. Как мы уже указывали, прохождение тока в метал-
металлах не сопровождается какими-либо изменениями химического со-
состава проводника. Отсюда следует, что электропроводность металла
не связана с перемещением атомов металла, а определяется дви-
движением электронов. Чтобы объяснить электронный характер прово-
проводимости металлов, приходится допустить, что атомы в металле, по
крайней мере частично, диссоциированы на электроны и положи-
положительные ионы, в результате чего в металле имеется большое число
свободных электронов. Эти электроны могут свободно переме-
перемещаться в кристаллической решетке, образованной ионами металла
(см. т. I, § 87). Свободные электроны в металле совершают бес-
беспорядочное тепловое движение. Если же имеется внешнее элек-
электрическое поле, то электроны увлекаются полем в определенном
направлении,и их перемещение образует электрический ток в металле.
Гипотеза о возможности свободного перемещения электронов
в металле подтверждается рассмотрением энергии связи между элек-
электронами и положительными ионами, расположенными по узлам кри-
кристаллической решетки металла. Рассмотрим сперва два соседних поло-
положительных иона А\ и А\ , расположенных на некотором неизменном
расстоянии друг от друга. Каждый из ионон будем считать за точечный
заряд. Потенциальная энергия, соответствующая взаимодействию каж-
каждого из ионов с электроном, Ер равна (ср. со сказанным в т. I, § 61):
Е С
где С — константа, а г — расстояние электрона от иона. Значение
потенциальной энергии Ер, соответствующей каждому из ионов, пред-
представлено пунктирными кривыми на |рис. 98. Ход суммарной

142
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
[гл. xvi
потенциальной энергии, вызванной наличием обоих ионов А\ и А\, изо-
изображен в области между ионами сплошной кривой.
При правильном расположении ионов At в решетке кристалла пол-
полная потенциальная энергия, вызванная наличием всех ионов, имеет вид,
изображенный на рис. 99. В про-
~\ ~~~~^ _,'"' „ странстве между ионами кривая по-
\ ^Х" /'' тенциальной энергии проходит пло-
плоско и только вблизи ионов дает
узкие и глубокие потенциальные
ямы. Таким образом, область этих
ям мала по сравнению с областью,
где кривая потенциальной энергии
проходит плоско; поэтому можно
считать, что потенциальная энергия
внутри металла имеет постоянное: значение Ера. Потенциальная энер-
энергия вне металла имеет некоторое значение Ер№ большее чем Ера.
Следовательно, потенциальная энергия внутри металла меньше чем
вне, т. е. электрон внутри металла находится в потенциальной яме.
Рис. 98. Потенциальные кривые
вблизи положительных зарядов.
Рис. 99. Потенциальные кривые в кристалле.
Если положить Ер0 = О, то E[ICi будет <^ 0. Пусть электрон имеет
некоторое значение полной энергии Е, удовлетворяющее неравен-
неравенству Z;p0 ^> Е ^> Ера. Такой электрон может свободно двигаться
внутри металла, но не может из пего вылететь, так как для его
удаления из металла надо совершить работу А — Ер0— Е^>0.
То, что ток в металле обусловлен перемещением свободных элек-
электронов, можно подтвердить непосредственными опытами.
Идея, лежащая в основе этих опытов, такова. Представим себе
проводник, который движется с некоторой скоростью. Электроны,
входящие в состав проводника, в своем беспорядочном движении не-
непрерывно сталкиваются с остовом решетки металла, вследствие чего
они все приобретают составляющую скорости в направлении скорости
движения проводника и, следовательно, движутся вместе с ним. Если
проводник внезапно затормозить, то электроны, двигаясь внутри кри-
кристаллической решетки металла, а течение некоторого времени сохра-
сохранят по инерции скорость в направлении первоначального движения
проводника. В результате произойдет смещение электронов внутри
проводника, в проводнике возникнет ток /, и некоторое количество
электричества Q окажется перенесенным вдоль проводника. Это

§ 160] СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ В ПРОВОДНИКАХ 143
количество электричества Q может быть подсчитано следующим образом.
Пусть начальная скорость проводника v0. Затем он затормаживается,
т. е. ему сообщается ускорение — w. При этом свободные электроны
в проводнике в первый момент сохранят скорость v0, т. е. они при-
приобретут относительно проводника ускорение -\- w. Это движение
электронов относительно проводника будет таково, как если бы су-
существовала напряженность поля Е, в результате которой на каждый
электрон действует сила /^ еЕ, сообщающая ему ускорение w.
Таким образом, величина этой силы должна быть равной f=mw,
где т — масса электрона, а следовательно, величина напряженности
поля Е должна быть:
E=^ = ^w. A)
ее v '
Если длина проводника /, то наличие напряженности Е равносильно
тому, как если бы на концах проводника имелась разность потен-
потенциалов V7!—V% = Ei, подставив сюда вместо Е его значение по A),
получим:
V! — Vi = — да.
Ток /, обусловленный смещением электронов относительно остова
кристаллической решетки проводника, эквивалентен току, возникаю-
возникающему в этом проводнике под влиянием разности потенциалов на его
концах Vi — VVi если сопротивление проводника R, то сила этого
тока / будет равна:
V Vi_ m w ,
— е R1" (Z)
R ~ e R
Пусть t — время, потребное для полного затормаживания провод-
проводника, тогда среднее ускорение ffi»=:-°- , и выражение B) принимает
вид:
~f~Rt'
откуда для полного количества электричества Q, протекшего через
проводник при его затормаживании, получим:
— — ~е~ ' ~R ' *¦ '
Затормозив быстро двигавшийся проводник, можно по знаку возни-
возникающей разности потенциалов определить знак зарядов, образующих
ток, а измерив полное количество электричества, протекшее по про-
проводнику, можно по формуле C) определить отношение величины заряда
электрона е к его массе т, для которого получаем:
m—QR' ™

144 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
Возникновение в ускоряемом проводнике электрического тока было
впервые наблюдено русскими физиками Л. И. Мандельштамом и
Н. Д. Папалекси в 1913—1914 гг. Они принодили катушку с намо-
намотанным на ней длинным проводом в быстрые крутильные колебания
вокруг ее оси симметрии. К копнам провода присоединялся телефон,
в котором слышался звук за счет токов, возникавших в катушке.
Из формулы C) видно, что количество прошедшего электричества
пропорционально длине проводника и его первоначальной скорости vu.
Чтобы получить измеримые количества электричества Q, надо брать
возможно большие скорости и возможно большую длину проводника.
Количественные опыты произвели в 1916 г. Стюарт и Толмен, кото-
которые быстро затормаживали катушку с намотанным на нее длинным
проводом. Катушка замыкалась па баллистический гальванометр
(см. § 230), который измерял заряд Q. Эти опыты показали, что ток
в проводниках создают отрицательные заряды; для отношения е/т
л с . ля CGSF.-ел- заряда ,-л /
получилось значение 4,8 • 10 ¦ . Это значение е/т
близко к значению, получаемому для электронов другими методами
(см. § 218).
В настоящее время для отновления заряда электрона к его массе
принимается значение:
е —5 273 ¦ 10п со5?-ед. заряда
т ' г
Зная е/т и значение заряда электрона е [из опытов Милликэна
(§ 151) е=4,803- Ю-10 CGSE], найдем массу электрона:
т = 9,109 • Ю-98 г,
1
что составляет -р^зг от массы атома водорода.
Как мы указывали в § 31 т. I, масса электрона, как и вообще
всякая масса, зависит от скорости, возрастая до бесконечности при
стремлении скорости v движения этой массы к скорости света с. При-
Приведенные здесь значения массы электрона т и отношения е/т отно-
относятся к „покоящейся" массе, т. е. к тому значению массы, которое
она имеет при скоростях v, ничтожно малых по сравнению со ско-
скоростью света с.
§ 161. Законы Ома и Ленца—Джоуля с точки зрения класси-
классической электронной теории. Представление о свободных электронах
в металлах впервые было развито Лоренцом; оно легло в основу класси-
классической теории электропроводности металлов. Лоренц считал, что сво-
свободные электроны в металле находятся в состоянии непрерывного бес-
беспорядочного движения, и в этом смысле совокупность электронов
в металле представляет собой „электронный газ". Электроны испыты-
испытывают столкновения с остовом кристаллической решетки и, следова-
следовательно, характеризуются средней длиной свободного пробега, которую

§ 161] ЗАКОНЫ ОМА И ЛЕНЦА — ДЖОУЛЯ 145
мы обозначим через X. Число свободных электронов па в единице
объема металла можно считать порядка числа атомов в единице объема,
которое равно —3, где N — число Авогадро, \х—молекулярный вес
металла, 8 — его плотность. Отсюда:
~ S Л/
Исходя из принципов статистики, Лоренц считал, что средняя
кинетическая энергия движения электронов равна средней кинетической
энергии поступательного движения атомов, которая, как известно,
3
равна -~-кТ, где k — постоянная Больцмана, Т—температура в абсо-
абсолютной шкале. Отсюда, обозначая среднюю квадратичную скорость
беспорядочного движения электрона через и, а его массу — через т,
получим:
_ = _АГ B)
или
-. f'Ak T п .
и= У ~пГ' Bа)
Как показано в предыдущем параграфе, масса электрона примерно
в 1840 раз меньше массы атома водорода, поэтому средняя скорость
беспорядочного теплового движения электронов много больше средней
скорости теплового движения атомов. Масса атома может быть пред-
представлена в виде: Л4 = .4УИН) где А — атомный вес этого атома, а 7ИН —
масса атома водорода;J отсюда скорость теплового движения этого
атома (средняя квадратичная скорость):
а следовательно,
и _ / А-Му
Средние квадратичные скорости газовых молекул (атомов) при
комнатных температурах представляют собой величины порядка не-
нескольких сот метров в секунду, т. е. порядка 10а см/сек, следова-
следовательно, скорости теплового движения электронов при комнатных тем-
температурах представляют собой величины порядка 107 см/сек.
Беспорядочное тепловое движение электронов не дает переноса
электрического заряда в каком-либо одном направлении и, следова-
1 В соответствии с химическим определением атомных весов вместо Мн
следует брать J/le массы атома кислорода, однако такая замена практически
не скажется на проводимом расчете.

146 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
тельно, не ведет к возникновению электрического тока. Если же внутри
металла с помощью какого-либо внешнего источника создано элек-
электрическое поле определенного направления, то под влиянием этого
поля электроны приобретают добавочную скорость v направленного
движения. Это направленное движение электронов ведет к переносу
заряда и, следовательно, к возникновению электрического тока. Легко
показать, что весьма небольшой скорости такого переносного движения
достаточно, чтобы объяснить возникновение токов даже весьма значи-
значительной плотности.
Обозначим среднюю скорость направленного движения электронов
через v. Тогда число электронов, проходящих в единицу времени
через единицу поверхности, перпендикулярной к направлению ско-
скорости, равно nav. Так как каждый электрон несет заряд е, то плот-
плотность тока i, равная заряду, перенесенному в единицу времени через
единицу поверхности, будет:
I = entiv. C)
Чтобы определить порядок величины скорости направленного дви-
движения v, возьмем следующие конкретные данные: пусть по проводнику
.. „,, а „ , пП CGSE-ел. силы тока
идет ток, плотность которого i = 100 —г, = 3 ¦ 10 5 .
^ см см-
Скорость направленного движения г электронов связана с плотностью
тока, по C), соотношением:
Заряд электрона е = 4,8- 10~10 CGSE, число свободных электронов и0
в единице объема металла, по A), равно —5. Для обычных металли-
металлических проводников молекулярный нес есть величина порядка несколь-
нескольких десятков, например для меди {j. = 64 г/моль, плотность метал-
металлов 8 большею частью не превышает 10. Отсюда для v получаем
величину порядка
— 1(л ^^ 3-1011-60 см s-^, n „_з м
V ~Nbe — 6• 1 О^ТкмДТкро сек~ Тёк'
Таким образом, мы видим, что скорость переносного движения
электронов v в металле, по которому течет ток, весьма мала и при
комнатных температурах много меньше скорости их теплового беспо-
беспорядочного движения и.
Свяжем теперь плотность тока i с напряженностью Е электриче-
электрического поля, создающего переносное движение электронов.
При наличии электрического поля напряженности Е на каждый
электрон действует сила /= еЕ, направленная в сторону, противо-
противоположную Е, так как заряд электрона отрицателен. Под влиянием

§ 161] ЗАКОНЫ ОМА И ЛЕНЦА—ДЖОУЛЯ 147
этой силы каждый электрон во время своего свободного пробега при-
приобретает ускорение
w = — = ~:. D)
Если напряженность поля постоянна, то ускорение электрона тоже
постоянно, и он движется равноускоренно. Однако уравнение дви-
движения D) имеет место только между двумя столкновениями элек-
электрона. В момент столкновения на электрон действует сила удара,
обычно значительно большая, чем сила f=eE, благодаря чему нару-
нарушается направленность его движения. Таким образом, непосредственно
после столкновения в среднем для большого числа электронов ско-
скорость направленного движения равна нулю. К концу свободного про-
пробега электрон приобретает скорость направленного движения vu равную
произведению ускорения w на время т между двумя соударениями:
v, = wz = -"- т. E)
Среднее для всех электронов время пробега т получим, поделив
среднюю длину свободного пробега X на среднюю скорость электроном.
Так как при обычных плотностях тока и обычных температурах ско-
скорость, переносного движения очень мала по сравнению со скоростью
беспорядочного теплового движения электронов и, то мы можем пер-
первой пренебречь и положить
_ Т
и
Подставляя это значение т в выражение E), получим, что в сред-
среднем к концу свободного пробега электроны будут иметь скорость
направленного движения
еЕ X ,„.
я1 = — • -- . F)
Среднее же за время свободного пробега значение скорости
направленного движения v будет равно половине скорости к концу
пробега vt (так как движение между столкновениями считаем равно-
равноускоренным):
-__J_ _±eE # Г
Zi l, т it
Итак, под действием электрического поля на беспорядочное движение
электронов накладывается движение направленное, средняя скорость
которого пропорциональна напряженности Е электрического поля.
Наличие этой средней скорости переносного движения и ведет
к появлению тока в металле.

148 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
Плотность этого тока получим, подставив найденное выражение
для v в формулу C):
/ 1 .е1^.Е. G)
^ т ¦ и
Очевидно, для данного проводница при данной температуре мно-
е3яД
житель —^ постоянен, поэтому последнее выражение представляет
m • и
собой не что иное, как закон Ома для плотности тока i = aE
(см. § 15Й) — плотность тока пропорциональна напряженности электри-
электрического поля.
Таким образом, закон Ома непосредственно вытекает из приведен-
приведенной электронной теории проводимости металлов.
Сравнивая формулу G) с выражением для закона Ома 1 = ъЕ, мы
видим, что величина
4 ()
представляет собой удельную проводимость металла. Отсюда следует,
что удельная проводимость металла тем больше, чем больше число
свободных электронов в единице объема металла и чем больше сред-
средняя длина их свободного пробега X.
Разберем закон Ленца — Джоуля сточки зрения электронной теории
металла. Двигаясь под действием внешнего электрического поля, элек-
электроны приобретают на протяжении свободного пути >. кинетическую
энергию, связанную с направленной скростью v, которую они при
столкновении передают остову решетки металла. Под влиянием при-
приложенного поля эта кинетическая энергия электронов возникает вновь
после каждого столкновения и вновь передается металлу. Таким об-
образом, металл нагревается за счет работы сил электрического поля.
Подсчитаем, какое количество тепла выделяется в единицу времени
в единице объема проводника.
К концу свободного пробега, как было показано [формула(б)],
электрон приобретает скорость, равную:
еВ 1_
1 in и
Следовательно, кинетическая энергия, которую он передаст при
столкновении, будет:
ти-
В единицу времени каждый электрон в среднем столкнется z раз.
Число столкновений г, как было показано в § 53 т. I, связано со

§ 162] ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ 149
средней длиной свободного пробега X и со скоростью теплового дви-
движения и соотношением:
- и
Полное количество энергии, переданной в единицу времени еди-
единице объема проводника, получим, умножив энергию Еk на число
столкновений ^> испытываемых одним электроном в единицу времени,
и на число электронов в единице объема я0:
" u 2 mu
Множитель — — по формуле (8) равен удельной проводимости
металла а, откуда
что совпадает с законом Ленца — Джоуля в том виде, как он при-
приведен в § 157 [формула D)].
Таким образом, представление о свободных электронах в металлах
объясняет законы Ома и Ленца — Джоуля. Однако дальнейшее раз-
развитие теории, как мы увидим в следующих параграфах, встречает
существенные трудности, которые можно преодолеть лишь с помощью
квантовой механики.
§ 162. Связь между электропроводностью и теплопроводностью
металлов. Важным следствием результатов, полученных в предыдущем
параграфе, является так называемый закон Видемана — Франца. Этот
закон связывает явление электропроводности с явлением теплопровод-
теплопроводности. Металлы — хорошие проводники тепла, диэлектрики — плохие,
поэтому естественно предположить, что теплопроводность металлов
обусловлена свободными электронами. Сделав это предположение,
можно для коэффициента теплопроводности металлов принять выра-
выражение, полученное для теплопроводности газов, так как механизм
переноса тепла электронами и молекулами в основном один и тот же.
Поэтому для коэффициента теплопроводности х металла непосред-
непосредственно воспользуемся формулой F), выведенной в § 56 т. I, полагая
в ней число степеней свободы i=3:
Здесь k — постоянная Больцмана, я0 — число электронов в единице
объема, X—их средняя длина свободного пути в кристаллической
решетке металла, и — средняя скорость теплового движения.

150 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
Беря отношение коэффициента теплопроводности х к коэффициенту
электропроводности а, выражаемому формулой (8) § 161, получаем:
¦* It'll'2 ,
a i?'J
Величина /ии2/2 представляет собой среднюю кинетическую энер-
энергию теплового движения электронои; если эту энергию считать равной
средней кинетической энергии молекул (атомов) при той же темпе-
температуре, т. е. равной величине -к-kT, то отношение х/а принимает вид
*_ - 3*1 т
'а V' ''
здесь k и е — величины постоянные (постоянная Больцмана и заряд
электрона), откуда получаем: отношение коэффициента теплопро-
теплопроводности х к коэффициенту электропроводности а пропорцио-
пропорционально абсолютной температуре металла Г и не зависит от сорта
металла.
Эта закономерность была установлена экспериментально Виде-
маном и Францем. Если коэффициент теплопроводности х измерять
в кал/град ¦ см ¦ сек, а коэффициент электропроводности а —¦
вом'} ¦ см~1, то множитель при 7 по экспериментальным данным для раз-
различных металлов равен 4,6—5,6 • 10""а. Выведенное здесь теоретическое
значение множителя 3&2/е'! в тех же единицах равно 5,3 • 10~9. Однако,
если уточнить формулы для х и о, пользуясь выражением для макс-
веллова распределения скоростей, то численное согласие с опытом
ухудшается, что указывает на случайный характер совпадения и необ-
необходимость дальнейшего развития теории. Как мы уже отмечали, пред-
представление о свободных электронах в металле хотя в общем виде и
объясняет явление электропроводности и ряд других связанных с ним
явлений, все же дает во многих случаях существенные расхождения
между теорией и опытом. Выражение коэффициента электропровод-
1 ппе4. ,
ности а:=—?—= содержит две постоянные: п.. — число свободных
2 па
электронов в единице объема металла и X — среднюю длину свобод-
свободного пробега электрона, которые непосредственно не поддаются опыт-
опытному измерению. Теория Лоренца предполагает, что п0 по порядку
совпадает с числом атомов в единице объема, а X равно расстоянию
между ионами в кристаллической решетке проводника. Эти предпо-
предположения естественны и не противоречат опытным значениям коэффи-
коэффициента электропроводности. Выражение для о, однако, не дает
правильной температурной зависимости, так как единственный член
в выражении для а, который, несомненно, зависит от температуры, —
это скорость и теплового движения электронов. Последняя же, согласно
кинетической теории, пропорциональна квадратному корню из абсо-

§ 163] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ 151
лготной температуры Т. Однако опыт (см. § 154) показывает, что
удельное сопротивление р прямо пропорционально абсолютной темпе-
температуре, а следовательно, электропроводность с обратно пропорцио-
пропорциональна первой степени температуры; отсюда для соответствия с опытом
надо допустить, что произведение ло1 меняется обратно пропорцио-
пропорционально корню квадратному из абсолютной температуры; это допущение
трудно обосновать.
Другое несогласие между теоретическими представлениями и опыт-
опытными данными еще более резко. Предположение о большом числе
свободных электронов, движущихся в проводнике и обладающих энер-
энергией, приводит к заключению, что теплоемкость проводника должна
быть значительно больше теплоемкости непроводящих твердых тел.
Сделав предположение, что число электронов — порядка числа атомов,
мы получим на граммолекулу вещества дополнительную внутреннюю
энергию, а именно — энергию беспорядочно движущихся электронов,
3 3
равную —kNT= -x-RT, где R — газовая постоянная.
Это приведет к тому, что молярная теплоемкость возрастет на
величину -fj-^=3 кал/град ¦ моль. Однако опыт показывает, что
проводники удовлетворяют закону Дюлонга и Пти (см. § 93 т. I) не
хуже, чем непроводящие твердые тела, т. е. их молярная теплоемкость
равна приблизительно 6 кал/град ¦ моль, а не 9 кал/град • моль,
как того требует наше рассуждение.
Следовательно, электроны, участвующие в процессе электропро-
электропроводности и теплопроводности, не влияют в силу каких-то причин на
теплоемкость проводника. Это обстоятельство необъяснимо с точки
зрения теории Лоренца и может быть объяснено лишь с помощью
квантовой механики.
§ 163. Квантовая теория электропроводности металлов. Как
мы указывали в предыдущем параграфе, теория электропроводности
может быть правильно развита лишь с помощью квантовой механики.
Основное отличие квантовой механики от классической заключается
в следующем: с точки зрения квантовой механики система частиц,
вообще говоря, может находиться лишь в ряде определенных, отличных:
друг от друга (прерывных, „дискретных") энергетических состояний,
в то время как с точки зрения классической теории система можег
находиться в состояниях с любыми значениями энергии в пределах
некоторого интервала энергий. С квантовой точки зрения переход
системы из одного возможного состояния в другое происходит скачко-
скачкообразно с изменением энергии на конечную величину \Е. Этот вывод
подтверждается многочисленными фактами, относящимися к области
атомной и молекулярной физики (см. т. 111).
Иллюстрируем сказанное конкретным примером. Пусть один
электрон находится в кулоновом поле точечного положительного заряда,

152
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
[гл. xvi
расположенного неподвижно в начале координат. Тогда потенциальная
энергия электрона Ер равна:
Е С
где С—положительная константа, а г — расстояние электрона от начала
координат (рис. 100). В этом случае по квантовой теории (см. т. III)
полная энергия электрона в области
отрицательных энергий (Е<^0) может
принимать лишь одно из значений
Е= — &, О)
где В — константа, а п принимает зна-
значения целых чисел: л=1, 2, 3,...
Энергии, соответствующие формуле A),
изображены на рис. 100 горизонталь-
горизонтальными чертами („уровнями").
Указанный вывод о прерывности
Рис. 100. Энергетические уров- значений энергии оправдывается для
ни электрона в кулоновом ноле. атомных систем. В частности, возмож-
возможные значения энергии атома водорода
и сходных с ним ионов (один элечтрон в кулоновом поле атомного
ядра) даются формулой A). Также и в кристаллах электроны могут
находиться лишь на определенных энергетических уровнях.
Как было указано в § 160, часть электронов в металле перестает
быть связанной с определенными атомами и движется свободно внутри
потенциальной ямы. Однако с точки зрения квантовой механики это
движение, как сказано, отличается от рассматриваемого в класси-
классической теории тем, что энергия электронов может принимать лишь
прерывный ряд значений. Эти зна-
значения энергии электронов в кри-
кристалле могут быть представлены
набором уровней, число которых
для кристалла обычных размеров
чрезвычайно велико, так что сосед-
соседние уровни расположены весьма
близко друг к другу (рис. 101).
Для понимания электропровод-
электропроводности существенно еще и другое
отличие от классической теории, к которому приводит квантовая
механика. Это отличие касается закона распределения электронов
по энергетическим уровням. С классической точки зрения электроны
распределяются по энергетическим уровням по закону Больцмана,
которому соответствует на рис. 102 кривая /. В квантовой механике
i-po
-к
— Е,
¦рл
Рис. 101. Уровни энергии электро-
электронов в кристалле.

§ 163]
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ
153
распределение иное, что обусловлено подчинением электронов так
называемому принципу Паули. По этому принципу на одном энерге-
энергетическом уровне (при условии, что он „не вырожден") не может нахо-
находиться более двух электронов. Оба эти электрона должны различаться
направлением своих собственных магнитных моментов (см. т. III).
Из принципа Паули сразу вытекает различие классического и
квантового распределений электронов по энергетическим уровням
при температуре абсолютного нуля (Г=0). Действительно, с клас-
классической точки зрения при Т== 0 энергия всех электронов должна
равняться нулю. По принципу же Паули и при Т— 0 число элек-
электронов на одном уровне не может превышать двух. Если общее
число свободных электронов в кристалле равно и, то при Г—0 они
займут я/2 наиболее низких
энергетических уровней. За- тг
кон распределения электро-
электронов по уровням представится
в этом случае ломаной ли-
линией 2 на рис. 102. Пусть
Е{ означает энергию по-
последнего из заполненных
электронами уровней (рис.
101). Кривая 2 выражает тот
факт, что при Г=0 все
Рис. 102. Распределение электронов по
энергетическим уровням.
I — по Больцману при Т ^ 0; 2 — по Ферми при Г = 0;
3 — по Ферми при TfO
уровни с энергиями E^Et
заполнены электронами оди-
одинаково (на каждом уровне по два электрона); уровни с энергиями
E^>Et пусты. При ТфО распределение электронов по уровням
определяется так называемым законом Ферми, которому соответствует
кривая 3 на рис. 102. При очень высоких температурах кривая
Ферми приближается к кривой, соответствующей классическому за-
закону Больцмана.
Следует иметь в виду, что для металлов энергия Et имеет относи-
относительно большое значение и соответствует средним энергиям тепловых
движений атомов при температурах в десятки тысяч градусов.
Указанные выводы из квантовой механики позволяют в основном
объяснить явление электропроводности. При отсутствии внешнего
электрического поля электроны распределены симметрично по отно-
отношению к направлениям скоростей, что соответствует, как и в клас-
классической теории, их беспорядочному движению и, следовательно,
отсутствию в кристалле направленного электрического тока.
Рассмотрим случай не слишком высокой температуры, когда не
все уровни заполнены электронами. Тогда даже слабое внешнее поле
может переводить электроны на более высокие свободные уровни,
так как уровни расположены очень близко друг к другу. Другими
словами, под влиянием внешнего поля энергия электронов может

154 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
меняться, т. е. электроны могут приобретать добавочную скорость.
Под влиянием внешнего поля возникает перемещение электронов
в направлении действующей на них силы — в кристалле пойдет ток.
Этот случай относится к кристаллам металлов с их высокой электро-
электропроводностью. Для объяснения конечного значения электропроводно-
электропроводности а необходимо в соответствии с квантовой механикой учесть вол-
волновой характер движения свободных электронов (см. т. III). Электронные
волны рассеиваются от неоднородкостей, всегда существующих в кри-
кристаллической решетке. Рассеяние же волн соответствует конечной
длине свободного пути электронов в кристалле. В случае идеальной
решетки неоднородности, рассеивающие волны связаны лишь с тепло-
тепловым движением (колебаниями) решетки, что ведет к пропорциональ-
пропорциональности электропроводности <з величине 1/7", где Т—абсолютная тем-
температура кристалла. Как мы указывали (§ 154), такая зависимость а
от Т действительно наблюдается, но она не могла быть объяснена
с классической точки зрения. При наличии примесей в кристаллической
решетке имеются неоднородности, не зависящие от температуры,
поэтому связь электропроводности а с температурой принимает вид:
<з = а-~г-\-Ь, где а и b — константы. Такая зависимость а от Т
наблюдается при низких температурах, если к какому-либо чистому
металлу прибавить малую примесь другого металла.
Мысль о том, что сопротивление металлов обусловлено рассеянием
электронных волн на неоднородностях решетки, вызванных тепловым
движением, была впервые высказана советским физиком Я. И. Френ-
Френкелем в его работе по теории металлов.
Квантовая теория устраняет и другую трудность классической тео-
теории, а именно, отсутствие влияния свободных электронов на теплоем-
теплоемкость металлов (§ 162). При повышении температуры часть электроном
переходит на более высокие энергетические уровни. Однако, если средняя
3
энергия теплового движения Е = -ykT, приходящаяся на три степени
свободы, мала по сравнению с Et, то кривая распределения электронов
по уровням в соответствии с формулой Ферми мало отличается от
кривой распределения при Г=0 (кривые3 и 2 рис. 102 мало отличны
друг от друга). Отсюда следует, что общая энергия электронов
слабо зависит от температуры (при не очень высоких температурах),
откуда, в свою очередь, вытекает, что наличие свободных электронов
в металле практически не влияет на его теплоемкость.
Для того чтобы более точно показать, что свободные электроны практи-
практически не влияют на теплоемкость металлов, надо воспользоваться количе-
количественным законом распределения электронов по скоростям.
На рис. 102 приведены графики распределения электронов по уровням.
Если же мы поставим вопрос об относительном числе электронов dnjn, пол-
полная энергия которых заключена в интервале энергий Е, E-\-dE, то получим
график другого вида, так как уровни расположены не одинаково густо при

§ 164]
ЗАМКНУТАЯ ЦЕПЬ ПОСТОЯННОГО ТОКА
155
разных значениях энергии и, следовательно, на одинаковый интервал dE
придется разное число уровней, в зависимости от того, в какой области
энергий взят интервал dE. По закону распределения Ферми:
dn__
B)
l+e
kT
где -f — константа, * а Е-1% в соответствии со сказанным выше, — наибольшая
энергия электронов при Т=0. Тогда, вместо графиков 2 и 3 рис. 102, мы
получим графики, изображенные на рис. 103, где кривая 2 снова относится
к случаю Г = 0, а кривая 3—к случаю T^tQ,
Средняя энергия электронов в кристалле при некоторой температуре Т
равна
Edn,
где интегрирование должно быть распространено на все возможные значения
энергии Е. Воспользовавшись распреде-
распределением B), получим
?=7
Е3/*
Е- Е
-dE.
l + e
kT
Интегрирование дает
приближенный результат:
следующий
Рис. 103. Распределение электро-
электронов по энергиям.
2 — при Г = 0; 3 —
Так как молярная теплоемкость при
постоянном объеме С v определяется
производной от энергии (приходящейся на один моль) по температуре, то
Cv~"dT- 2
Т
C)
где N—число Авогадро.
По классической теории молярная теплоемкость электронного газа рав-
равняется Cy = — iVft. По сказанному, для металлов Et соответствует средней
энергии теплового движения частиц при температуре в десятки тысяч граду-
градусов. Следовательно, величина Et в сотни раз превышает ftjf, относящееся
к средним температурам. Таким образом, множитель] -=—\ ~ 0,01 и фор-
\ i 1
мула C) дают при средних температурах теплоемкость электронного газа,
ничтожно малую по сравнению с той, которую дает классическая теория.
§ 164. Замкнутая цепь постоянного тока. Поддержание постоян-
постоянного тока в проводнике требует поддержания постоянной разности
потенциалов на его концах. Источники этой постоянной разности
зависит от объема кристалла.

156
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
[гл. xvi
Рис. 104. Элемент
Даниэля.
Рис. 105. Элемент
Лекланше.
потенциалов могут быть различными. Примером таких источников
могут служить гальванические элементы.
Гальванический элемент состоит из двух, большею частью метал-
металлических пластинок, называемых электродами, погруженных в опре-
определенные растворы (электро-
(электролиты). Например, элемент
Даниэля (рис. 104) состоит
из цинковой пластинки, погру-
погруженной в раствор цинкового
купороса, и медной пластин-
пластинки, погруженной в раствор
медного купороса. Растворы
разделены пористой перегород-
перегородкой А. На пластинках разом-
разомкнутого элемента Даниэля воз-
возникает разность потенциалов в
1,1 в. Элемент Лекланше
(рис. 105), дающий па электродах разность потенциалов около 1,5 в,
состоит из цинковой пластинки в растворе нашатыря и угольной
пластинки, окруженной слоем перекиси марганца.
Не входя пока в рассмотрениг причин, создающих разность по-
потенциалов на зажимах гальванического элемента, рассмотрим, что
произойдет, если такой источник постоянной разности о
потенциалов включить в замкнутую цепь.
Предположим, что сопротивление цепи, замыкающей
элемент (рис. 106), равно R; назовем его внешним
сопротивлением. Элемент, в свою очередь, обладает
сопротивлением /?0, которое назовем внутренним со-
сопротивлением. Внешнее сопротивление имеет на кон-
концах потенциалы Vj и V2, которые представляют собой
потенциалы электродов при условии, что они соединены
внешним проводником данного сопротивления. Предпо-
Предположим, что потенциал V, больше потенциала VV, тогда
ток во внешней цепи идет от электрода с потенциа-
потенциалом Vi к электроду с потенциалом V8. Во внешней
цепи мы имеем падение потенциала.
Применяя закон Ома к участку цепи, образован-
образованному внешним сопротивлением /?, получим, что падение
потенциала во внешней цепи \\—V2 равно
У,— V^ = 1R. A)
Стационарный ток представляющий собой течение зарядов, должен
быть замкнут (см. § 156), следовательно, во внутренней части цепи
он должен течь в другом направлении, чем во внешней. Если во
внешней части он течет от электрода А к электроду В (рис. 106),
I// I/;
—
/
у
/
у:
у
у
у
у
/
у
у
у
/
/
у
у
у
у
В
Рис. 106.
Цепь галь-
гальванического
элемента и
внешнего со-
сопротивления.

§ 164]
ЗАМКНУТАЯ ЦЕПЬ ПОСТОЯННОГО ТОКА
157
то во внутренней он течет от электрода В к электроду А. Это воз-
возможно только при наличии скачков потенциалов на границах электро-
электродов с электролитом. Причины, могущие создать такие скачки, мы
рассмотрим в дальнейшем. Сейчас предположим, что на границе элек-
электрода В и электролита возникает подъем (скачок) потенциала до
величины V'r Потенциал электролита на границе с электродом А
обозначим через V[. Для удобства графического представления паде-
падений и скачков потенциалов во всей замкнутой цепи будем отклады-
откладывать потенциалы V вдоль образующих ци-
цилиндрической поверхности. На рис. 107
точки А и В соответствуют положению
электродов: часть АЬВ — внешней части
цепи и часть ВсА —внутренней части цепи.
Внутри электролита ток идет от по-
потенциала У, до потенциала V[. Падение
потенциала во внутренней части цепи по
закону Ома равно
к — v;=//?o. B)
где Ro — сопротивление внутренней ча-
Рис. 107. Изображение па-
падений и скачков потенциала
в замкнутой цепи из гальва-
гальванического элемента и внеш-
внешнего сопротивления.
сти цепи. Обойдем мысленно замкнутую
цепь по направлению АЬВсА и вернемся
к исходному электроду А с потенциалом VV, сумма падений потен-
потенциалов при обходе контура должна равняться сумме их подъемов.
Обозначим скачки потенциалов через е;
Условимся ^считать скачки положительными, если они повышают
потенциал в направлении обхода цепи, и отрицательными, если они
понижают потенциал. Условие, что сумма падений потенциала при
обходе контура равняется сумме подъемов, запишется:
Алгебраическая сумма скачков потенциала, получающихся при обходе
цепи,
называется электродвижущей силой, включенной в цепь; в данном
случае сумма скачков выражает э. д. с. элемента. Введя э. д. с. ё,
мы можем переписать равенство C) в виде:
Ч» = $. (За)

158 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
Это равенство представляет собой закон Ома для замкнутой цепи.
Перепишем его в следующем видг:
откуда следует, что сила тока / в замкнутой цепи прямо пропор-
пропорциональна э.д. с. Ш и обратно пропорциональна полному сопроти-
сопротивлению цепи R-\-Ra.
Заметив, что //?=Vi — Vit получим из равенства (За):
V,—Va = g —/Яо, E)
т. е. разность потенциалов Vx — V% на зажимах элемента равна
его э. д. с. минус падение потенциала во внутренней части цепи.
Чем больше падение потенциала во внутренней части цепи, тем силь-
сильнее отличается разность потенциалов на зажимах элемента от его э. д. с.
Для разомкнутого элемента 1 = 0 и, следовательно, равно нулю
и падение потенциала во внутренней части цепи; в этом случае из E)
имеем: Ш=УХ—\/ъ т. е. э.д.с. Ш равна разности потенциалов
на зажимах разомкнутого элемента.
Разность потенциалов на зажимах элемента, замкнутого внешним
сопротивлением, всегда меньше его э. д. с.
Разность потенциалов на зажимах элемента равна его э. д. с. Ш и
в том случае, когда ток /, идущий через элемент, компенсирован
каким-либо внешним источником 'разности потенциалов (см. опреде-
определение э.д.с. методом компенсации; § 167).
В § 156 мы показали, что и случае стационарного тока линии
тока замкнуты. Отсюда следует, что заряды, перемещение которых
образует ток, движутся по замкнутым кривым. Таким образом, в цепи
гальванического элемента заряды, условно считаемые положитель-
положительными, движутся не только в областях падений потенциалов, т. е. во
внешнем участке цепи АЬВ (рис. 107) и во внутреннем участке
цепи ВсА, но и в областях скачков потенциалов. В этих последних
участках они движутся в направлениях возрастания потенциалов,
т. е. против направления действия электростатических сил. Очевидно,
это движение происходит под влиянием не электростатических сил,
а сил какого-то иного происхождения. Эти силы носят название сто-
сторонних сил. В случае гальванического элемента сторонние силы воз-
возникают за счет химических процессов, протекающих в результате
растворения материала электродов в электролитах.
Обобщим понятие об электродвижущей силе для случая, когда
сторонние силы действуют в любом месте цепи. Закон Ома для плот-
плотности тока имеет вид:
i = oE.
Это выражение было нами установлено в предположении, что на
заряды, создающие ток, действуют электрические силы. В общем

§ 164] ЗАМКНУТАЯ ЦЕПЬ ПОСТОЯННОГО ТОКА 159
случае на заряды могут действовать как электрические силы, так
и силы иного происхождения, которые мы называли сторонними.
Обозначим сторонние силы, действующие на заряд, через fn.
Тогда в выражении D) § 161 ускорение заряда w следует пред-
представить в виде:
т т т
Обозначим fo/e через Ео и назовем напряженностью сторонних
сил. Тогда ускорение заряда w будет определяться суммой напря-
напряженности электрического поля Е и напряженности сторонних сил Ео:
W :
т
Повторяя далее рассуждения § 161, мы придем к выражению
закона Ома, которое теперь примет вид:
i = a(E + E0). F)
В этом выражении видна роль сторонних сил при движении
зарядов. Очевидно, что в тех местах, где сторонние силы отсут-
отсутствуют, Е0 = 0, и мы получим закон Ома в прежней форме.
Рассмотрим трубку тока, т. е. пространство,*ограниченное линиями
тока (трубкой тока может быть и весь рассматриваемый проводник).
Сила тока через сечение трубки A.S постоянна и может быть пред-
представлена в виде:
Предположим, что сечение AS перпендикулярно к линиям тока,
тогда нормаль к этому сечению п совпадает по направлению с на-
направлением 1 линии тока, и мы получим:
1 = a (Et -f EQl) AS
или
/
' "Т~ E<sl = —?g •
Умножая обе части этого равенства на элемент длины трубки
тока Д/ и суммируя по всем элементам замкнутой трубки тока,
получим:
Так как сила тока / через любое сечение трубки постоянна, то ее
можно вынести за знак суммы и тогда будем иметь:

160 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
Величина^-т-^ представляет собой полное сопротивление трубки,
которое мы обозначим через R-\-Rq, подразумевая под Ro сопро-
сопротивление той части, в которой действуют сторонние силы (внутрен-
(внутреннее сопротивление), а под R—сопротивление той части, где сто-
сторонние силы не действуют (внешнее сопротивление). Далее видим,
что сумма Jjf^A/ для замкнутого контура равна нулю, так как
это выражение дает работу электростатических сил при обходе
единичного заряда по замкнутом}' контуру трубки (потенциальность
электростатических сил).
Выражение ?Е01Ы для замкнутого контура называется цирку-
циркуляцией вектора напряженности сторонних сил. Оно представляет
сумму произведений проекций вектора напряженности сторонних
сил на направление элементов контура Еы на длину этих элемен-
элементов Д/, взятую по всем элементам замкнутого контура. Обозначим
эту сумму через Ш:
Ш М, G)
тогда равенство F) примет форму:
откуда видно, что Ш представляет собой э. д. с, действующую в кон-
контуре. Таким образом, мы получили закон Ома для замкнутой цепи,
в котором э. д. с. представлена как циркуляция вектора напря-
напряженности сторонних сил.
Сторонние силы могут действовать в любом месте цепи. Легко
видеть, что в случае, когда сторонние силы создают лишь скачки
потенциала в отдельных местах цепи, циркуляция дает алгебраи-
алгебраическую сумму скачков потенциала для замкнутого контура тока.
Следовательно, приведенное выше определение э. д. с. как суммы
скачков потенциала является частным случаем соотношения G).
В случае постоянного тока от гальванического элемента или бата-
батареи элементов сторонние силы действуют в областях, где проис-
происходят химические процессы (внутренние части цепи).
Беря в выражении G) элементы контура бесконечно малыми, заменим
сумму интегралом, распространенным по всему замкнутому контуру, тогда
выражение для э. д. с. Щ примет вид:
= (L
Интеграл, стоящий справа, представляет собой циркуляцию вектора напря-
напряженности сторонних сил.
Пример. Внутреннее сопротивление элемента ^?0 в k раз меньше
внешнего сопротивления R, которым замкнут элемент с э. д. с. Щ. Найти:
во сколько раз разность потенциалов на зажимах элемента Vi — V^ отли-
отличается от э. д. с. if элемента?

¦§ 165J ЭНЕРГИЯ, ВЫДЕЛЯЕМАЯ В ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА 161
Решение. Подставляя значение силы тока / из D) в выражение E),
получим для разности потенциалов Vt — V-2 на зажимах элемента:
или
Так как по условию 4? ==4-, то последняя формула принимает вид:
,т. е. разность потенциалов на зажимах элемента Vt — V2 в раз
1+|
меньше э. д. с.
; Если внешнее, сопротивление R становится велико по сравнению с вну-
внутренним сопротивлением J?o, то отношение-г- становится малым по сравне-
сравнению с единицей, и разность потенциалов l/j —Ks приближается к значению
э. д. с.
Наоборот, если 7? мало по сравнению с A'oi то -г- становится большим,
и разность потенциалов Vx — Hs принимает значение, много меньшее Ш.
§ 1651 Энергия, выделяемая в цепи постоянного тока. Рассмот-
Рассмотрим энергетические соотношения в замкнутой цепи постоянного тока.
На рис. 106 была представлена замкнутая цепь постоянного тока,
питаемая элементом э. д. с. Ш и с внутренним сопротивлением А?в;
внешнее сопротивление цепи обозначим через R. Полная мощность,
выделяемая в цепи, будет слагаться из мощностей, выделяемых во
внешней и внутренней частях цепи:
или, так как по формуле (За) § 164 I(R-\- /?0) = $, то
W = I-%. A)
Таким образом, полная мощность, выделяемая в цепи, выра-
выражается произведением из силы тока на э. д. с. элемента. Эта
мощность выделяется за счет каких-либо сторонних источников энер-
энергии; такими источниками энергии могут быть, например, химические
реакции, происходящие в элементе.
Следовательно, в цепи постоянного тока сторонние силы раз-
развивают положительную мощность -\-ffi.
Разберем, далее, как зависит мощность, выделяемая в цепи, от внеш-
внешнего сопротивления R, на которое замкнут элемент. Предположим,
что элемент данной э.д. с. Ш и данного внутреннего сопротивления /?в
6 С. Фриш к Л. Тиыорева

[62 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
замыкается внешним сопротивлением R; определим зависимость от R
следующих' величин: полной Мощности W, выделяемой в цепи, мощ-
мощности Wa, выделяемой во внешней части цепи, и к. п. д. \ который
численно равен отношению мощности, выделяющейся во внешней части
цепи, ко всей мощности.
Сила тока / в цени выражается по закону Ома соотношением:
/=—i-.
Наибольшей величины она достигает при R = 0; при этом ток
называется током короткого замыкания, его сила равна:
/ =¦?.
При увеличении внешнего сопротивления сила тока падает, стремясь
асимптотически к нулю при бесконечном увеличении внешнего сопро-
сопротивления (см. рис. 108).
Полная мощность, выделяющаяся
в цепи, будет:
Наибольшего значения она достигает
при токе короткого замыкания (# = 0):
""л
Рис. 108. Зависимость силы тока ™, SS1
от внешнего сопротивления. "'max—j^-
При увеличении R мощность спадает, стремясь асимптотически
к нулю при неограниченном увеличении R.
Мощность, выделяющаяся во внешней части цепи, равна:
При токе короткого замыкания R = Q, откуда мощность, выде-
выделяемая во внешней части цепи, при этом равна нулю. Наибольшего
значения Wa достигает при R = R(ll т. е. когда внешнее сопротивле-
сопротивление равно внутреннему. При этом
т. е. равна четверти мощности при коротком замыкании.
Чтобы убедиться в том, что максимум мощности Wa получается при
R=Rt>, возьмем производную от Wa по внешнему сопротивлению:
откуда:

§ 166] ЗАКОН ОМА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОЙ ЦЕПИ. ЗАКОН КИРХГОФА 163
По условию максимума требуется равенство нулю первой производной:,
-j^ — ^i откуда R = Ra.
Можно убедиться, что при этом условии мы получаем максимум, а не
минимум для Wa, определив знак второй производной
При бесконечном увеличении внешнего сопротивления мощность,
выделяемая во внешней цепи, стремится к нулю.
Коэффициент полезного действия определим отношением мощно-
мощности Wa, выделяемой во внешней части цепи, ко всей мощности W:
Wa R
W
При R = 0 имеем т) = 0; с увеличением R к. п. д. i\ возрастает,
стремясь к значению т)=;1 при неограниченном увеличении R, однако
при этом мощность, выделяю-
выделяющаяся во внешней цепи, стре-
стремится к нулю, поэтому усло-
условие максимума к. п. д. с прак-
практической точки зрения не инте-
интересно.
На рис. 109 кривая / дает
зависимость мощности Wa, вы-
выделяемой во внешней части
—If
цепи, от сопротивления внеш-
внешней части цепи R; кривая 2'
дает зависимость, от R полной
мощности W; наконец, кривая Рис. 109. Зависимость от сопротивления
р
внешней части цепи R мощности Wa
выделяемой во внешней части цепи A);
полной мощности w B); коэффициента
полезного действия -ц C).
3 дает ход к. п. д. -п от того
же внешнего сопротивления R.
Как видно, т\ возрастает с воз-
растанием R.
Наиболее же интересная, с практической точки зрения, мощность Wa,
выделяемая во внешней части цепи, сперва возрастает, а затем, достиг-
достигнув при R = Ra максимума, начинает спадать.
При R = ROt когда Wa имеет максимум, ц = -к-.
§ 166. Закон Ома для неоднородной цепи. Закон Кирхгофа.
Закон Ома в том виде, как он приведен в § 153, справедлив для
однородной цепи, т. е. такой, в которой нет никаких э. д. с и скач-
скачков потенциалов. Однако мы уже отмечали, что возникновение постоян-
постоянного тока в цепи возможно лишь при наличии э. д. с; в гальвани-
гальванических элементах э.д. с. возникают в результате скачков потен-
потенциалов на границе электродов и тех растворов, в которые они
погружены (§ 164). В дальнейшем мы увидим (§ 168), что скачки
6*

164 - основныезаконы постоянного тока • [гл. xvi
потенциалов возникают и в месте контакта Двух различных металлов,
а также в случае температурных неоднородностей. Таким образом,
в общем случае следует рассматрииать цепь, в которой имеются скачки
потенциалов е,, еа, е3, ... При заданном направлении обхода цепи
Скачки могут быть разных знаков. Алгебраическая сумма скачков
потенциалов el~\~ei — е3 -f-... в данном участке цепи образует дей-
действующую в этом участке э. д. с. Ш.'
Рассмотрим для простоты неоднородную цепь, состоящую из по-
последовательно соединенных различных проводников А, В, С (рис. 110).
. A i В 2 С
Рис. ПО. Скачки потенциалов в местах контактов в неодно-
неоднородной цепи.
Контакты между проводниками обозначим цифрами / и 2. Потенциал
левого края цепи обозначим через V,, правого края — через ' Vj.
Потенциал проводника А в месте первого контакта обозначим через
V'a', потенциал проводника В в том же контакте обозначим через VM';
также потенциалы проводников В и С в местах второго контакта
обозначим соответственно через V'b' и Vc'. Сопротивления проводни-
проводников А, В, С пусть соответственно равны Ra,.R-b.h Rc- Так как про-
проводники .соединены последовательно, то через них протекает один и
тот же ток 7. К каждому из проводников в отдельности мы можем
применить закон Ома:
IRA = \\ — П\
IRc = V8' — Vs.
Складывая эти три равенства почленно, найдем:
HRa+Rb+Rc)^ V. + (W - ni)) + (Vca) - Vb8')- Ц, A)
Но разности V'b' — V'a" и V^' — V'd' представляют собой скачки
потенциалов е, и е2 на границах проводников / и 2. Сумма скачков
потенциалов б! и е<, дает э. д. с. Ш, действующую на данном участке
цепи; следовательно:
(VW - VT) + (Vba) - v%>) = s, + ?з = Ш.
Также сумма сопротивлений Ra, Rb .и Rc представляет собой
полное сопротивление данного участка цепи R:
- RA+RBJrRc=R-
1 В неоднородной цепи возможно не только наличие скачков потенциала,
но, вообще говоря, и непрерывное нарастание потенциала, например в элек-
электролите с меняющейся от места к месту концентрацией ионов.

§ 166] ЗАКОН ОМА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОЙ ЦЕПИ. ЗАКОН КИРХГОФА 165
Отсюда равенство A) может быть переписано в виде:
IR=Vi— Vi+8i
или
Соотношение B) выражает закон Ома в применении к неоднород-
неоднородной цепи: сила тока численно равна сумме разности потенциалов
на концах цепи уЛ—У% и действующей в цепи э. д. с. Ш, делен-
деленной на полное сопротивление цепи R. При этом положительной
считается такая э. д. с, которая вызывает увеличение потенциала
в направлении "тока, ¦
Если э. д. с, действующая на данном участке цепи, равна нулю,
т. е. ? = 0, то формула B) переходит в обычный закон Ома:
Для замкнутой цепи Vx = Vt, и полное сопротивление складывается
из сопротивления внешней части цепи R и внутренней части цепи R9,
откуда
R» ' .
что совпадает с формулой D), приведенной в § 164.
Обобщенный закон Ома, выражаемый формулой B), позволяет рас-
рассчитать любую сложную цепь. Однако непосредственный расчет раз-
разветвленных цепей представляется сложным. Эта сложность в значи-
значительной степени устраняется, если пользоваться двумя системами
уравнений, данными Кирхгофом.
Разветвленная цепь характеризуется силой токов, идущих по ее
участкам, сопротивлениями участков и э. д. с, включенными в эти
участки. Эти величины связаны между собою,
и по одним из них могут быть найдены дру-
другие. Например, по заданным сопротивлениям и
э. д. с. можно найти направления и силы токов,
текущих в каждом из участков цепи. :
Рассмотрим уравнения Кирхгофа в отдель-
отдельности. рис
Первая система уравнений Кирх- зованный тремя про-
г о ф а. Назовем в разветвленной цепи узлом водниками А, В, С.
(рис. 111) всякую точку, в которой сходится
не меньше трех проводников. Первая система уравнений Кирхгофа
относится к узлам. Так как мы рассматриваем случай постоянных
токов, то в любой точке цепи, в том числе и в любом узле, имею-
имеющийся заряд должен оставаться постоянным. Следовательно, сколько
приносится зарядов, столько должно и уноситься (см. § 156). Если

166
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
[ГЛ. XVI
мы условимся токи, подходящие к узлу, считать положительными,
а токи, исходящие из узла, — отрицательными, то можем сказать:
алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю.
Аналитически это запишется в виде:
2 '*=
C)
ft—I
где я обозначает число токов, сходящихся в данном узле; такое урав-
уравнение имеет место для каждого узла цепи.
Совокупность уравнений C), написанных для разных узлов данной
цепи, представляет собой первую систему уравнений Кирхгофа.
Вторая система уравнений Кирхгофа относится к про-
произвольным замкнутым контурам, которые можно выделить в данной
разветвленной цепи. Рассмотрим произвольный
замкнутый контур АВСА (рис. 112), состоя-
состоящий из неоднородных участков А В, ВС и
СА. Условимся, обходя контур в опреде-
определенном направлении, например по часовой
стрелке, считать положительными те токи,
направление которых совпадает с направле-
направлением обхода, и отрицательными—те, направ-
направление которых противоположно направлению
обхода. Также положительными будем счи-
считать те э. д. с, которые повышают потенциал
в направлении обхода, и отрицательными —
те, которые понижают потенциал в направ-
направлении обхода. К каждому неоднородному участку контура А В, ВС
и СА применим закон Ома в том виде, как он дается формулой B).
Обозначим сопротивления участков А В, ВС и С А соответственно
через /?t, /?2, R3, силы текущих по ним токов — через Ilt /a, 13 и
встречающиеся в них э. д. с, — через tSu %й и Шъ. Потенциалы точек
А, В, С обозначим через 1/]( Vt и V3.
Тогда по закону Ома, написанному для каждого из участков А В,
ВС и СА в отдельности, получим:
/,/?,= V.—
Складывая эти три равенства почленно, найдем:
Рис. 112. Замкнутый кон-
контур АВСА.
Как видно, в результате потенциалы Vj, Vs и V3 точек А, В, С
выпали. Так как такое рассуждение может быть применено к любому

§ 167] ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 167
замкнутому контуру, то в общем виде для всякого Замкнутого
контура можно написать:
\В
здесь т означает число участков в замкнутом контуре, a k — номер,
характеризующий участок. Таким образом: в любом замкнутом
контуре, Произвольно выбранном в разветвленной цепи проводни-
проводников, сумма произведений сил токов на сопротивления соответ-
соответствующих участков цепи равна сумме э. д. с, встречающихся
в этом контуре. Совокупность уравнений D), написанных для раз-
различный замкнутых контуров, выделенных в данной разветвленной
цепи, образует вторую систему ураинений ,
Кирхгофа. Уравнения Кирхгофа C) и D), со-
составленные для узлов и контуров, позволяют
рассчитывать сети разветвленных токов. Урав-
Уравнений C) и D) надо составить столько, чтобы
число их равнялось числу искомых величин, при
этом необходимо следить, чтобы одни уравне-
уравнения не являлись следствием других. Если в
сети имеется г узлов, то в первой системе
уравнений Кирхгофа можно составить незави-
независимые уравнения лишь для г— 1 узлов. Урав-
Уравнение для последнего узла будет следствием
предыдущих. Если в сети можно выделить не-
несколько замкнутых контуров, например, замкну-
замкнутые контуры ABCA,ACDA и ABCDA (рис. 113),
то независимые уравнения второй системы уравнений Кирхгофа можно
составить только для тех контуров, которые не получаются в резуль-
результате наложения уже рассмотренных.
Например, для сложной цепи, изображенной на рис. 113, можно
составить уравнения для контуров АВСА и ACDA: они будут неза-
независимыми. Уравнение для контура ABCDA окажется при этом след-
следствием двух предыдущих. Можно составить независимые уравнения
для двух других контуров, например АВСА и ABCDA; тогда урав-
уравнение для контура ACDA окажется следствием двух первых.
При составлении второй системы уравнений Кирхгофа необходимо
аккуратно пользоваться указанными выше правилами знаков для токов
и э. д. с.
§ 167. Применение уравнений Кирхгофа к решению отдельных
задач. 1. Параллельное соединение проводников. Ис-
Используем сперва систему уравнений Кирхгофа для решения простой
задачи о двух параллельно соединенных проводниках. Пусть два
проводника с сопротивлениями Rt и #4 соединены параллельно.
Рис. 113. Замкнутые
контуры: АВСА,
ACDA и ABCDA.

168 основные Законы постоянного тока [гл. xvi
Общая сила тока, текущего по проводникам, равна / и направлена,
как указано на рис. 114. По заданным Rb ^, и / требуется найти
силы токов /t и /а в каждом из проводников.
Неизвестных величин в данной задаче две — это силы токов 1Л
и /4. Следовательно, необходимо составить два уравнения. Первое
уравнение составим для одного из узлов, например для узла Л.
Будем считать ток / подходящим к узлу, тогда токи It и /8 следует
считать выходящими из узла и приписать им отрицательные знаки.
. Таким образом, первое уравнение Кирх-
* В гофа, написанное- для узла Л, примет
я, у— /-/,-/, = 0,
откуда следует:
h~ 1=1^1,: A)
Рис. 114. Параллельное соеди-
соединение двух проводников В и D. Второе уравнение Кирхгофа напи-
напишем для замкнутого контура A BCD А.
Обходя этот контур по часовой стрелке, т. е. в направлении от
узла Л через проводник В к узлу С и дальше через проводник D
обратно к узлу Л, мы должны считать ток 1\ положительным и ток
/4 — отрицательным. Так как в указанном контуре э. д. с. отсутствуют,
то второе уравнение Кирхгофа напишется в виде;
/,/?, — /,#, = О,
откуда
Решая уравнения A) и B) совместно относительно 1Х и /2, найдем:
что и дает нам искомое решение. Из соотношения B) получаем также:
h_R1
т. е. известный закон, что силы токов в двух параллельно соединен-
соединенных проводниках обратно пропорциональны их сопротивлениям.
2. Мостик Уитстона. Мостик Уитстона представляет собой
схему, употребляемую для сравнения некоторого неизвестного сопро-
сопротивления Rx с известным сопротивлением R& Схема мостика Уитстона
заключается в следующем: цепь, идущая от гальванического элемента Е
(рис. 115), начиная от узла Л разветвляется. Одну ее часть образуют
два сопротивления Rx и /?0, соединенных последовательно. Вторую
часть обычно составляет натянутый однородный провод АС. К точке В,

§167] ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
169
где соединяются сопротивления Rx и /?„ между собой, прикреплен
один зажим измерительного прибора (гальванометра) О; его второй
зажим прикреплен к Скользящему контакту D. Этот контакт может
передвигаться вдоль провода АС и таким образом менять отноше-
отношение сопротивлений Rt и /?9 участков провода AD и DC. Ниже мы
покажем, что в участке цепи BQD будет отсутствовать ток при вы-
выполнении соотношения
/?о Ri'
которое может быть переписано в виде:
Rje = jf Re- (За)
Для однородного провода сопротивления отдельных его участков
относятся, как их длины. Таким образом, если мы обозначим длину
участка провода AD через /tl а уча- В
стка DC—-через /а, то получим: ^ivi
после чего равенство (За) примет
вид:
Это соотношение и служит для
сравнения измеряемого сопротив-
сопротивления Rx с известным сопротивле- Рис. 115. Схема мостика Уитстона.
нием /?0. Для этого подвижный кон-
контакт О передвигают так, чтобы через гальванометр О перестал течь
ток, что непосредственно определяют по отсутствию отклонения
его стрелки. Отношение длин l\jlt находят с помощью отсчетной ли-
линейки, расположенной вдоль провода АС.
Воспользуемся уравнениями Кирхгофа для вывода соотношения C).
Предположим сперва, что нам даны все четыре сопротивления Rx,
Ro, Ri и Rb а также внутреннее сопротивление Re гальванического
элемента Е, его э. д. с. Ш и, сопротивление R3 участка цепи BQD,
содержащего гальванометр О. Сопротивлением проводов, подводящих
ток от элемента к узлам нашей схемы Л и С, пренебрежем. Силу тока,
идущего от элемента, обозначим через /, а силы токов в участках
цепи АВ, AD, ВС, DC и BQD — соответственно через /„ /а, /3, /4 и /„.
Узлов в нашей системе четыре: А, В, С, D. По сказанному
в § 166, для трех из них составим уравнения Кирхгофа. В качестве
этих трех выберем узлы А, В и D. Токи, подходящие к узлу, мы
условились считать положительными; а выходящие из него—отри-
него—отрицательными. Однако в сложной схеме мы можем заранее не знать,

170 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
как именно направлены токи. В таком случае мы можем приписать
направление токам произвольно. В результате решения уравнений
Кирхгофа мы получим некоторые значения Ik в виде положительных
величин — это те токи, которым мы приписали правильные направле-
направления, другие значения 1к мы получим в виде отрицательных величин;
для этих токов действительные направления обратны приписанным.
В нашем случае припишем токам направления, обозначенные на рис. 115
стрелками. Тогда получаем первую систему уравнений Кирхгофа
в следующем виде:
для узла Л: /—Л — /а ^= 0, ^
для узла В: /, —/8 —/„ = 0, \ D)
для узла D: /в -\- /а — /4 = 0. J
Вторую систему уравнений Кирхгофа построим, выделив в нашей
схеме замкнутые контуры ABDA, BCDB и АСЕА. Обходя каждый
из этих контуров по часовой стрелке, получим:
для контура ABDA: hRx-\- l^Ra — /a/?i = 0,
для контура BCDB: J3R0 — /4/?s — ItR3 = 0,
для контура АСЕА: I^Rt -)- h^
E)
Таким образом, мы получаем шесть уравнений, которые по задан-
заданной э.д. с. Ш и заданным сопротивлениям Rx, RQ, Rit Rit /?3 и RE
позволяют найти силы всех шести токов /, 1и /а, /а, /4 и /в. Однако
мы ограничимся более простой задачей, ведущей к соотношению C).
А именно, выясним условие, при котором ток /в, текущий через
гальванометр О, равен нулю. При /в = 0 второе и третье уравнения
системы D) дают: •
A —/a, /« = /i, F)
а первое и второе уравнения системы E):
hR,=URu hRt = liR* G)
Из равенств F) и G) получаем:
что и требовалось показать.
Точность сравнения сопротивлений Rx и 7?0 будет больше, когда
отношение ^ = j- не сильно отличается от единицы. Поэтому при
измерении с помощью мостика Уитстона неизвестного сопротивления Rx
желательно, чтобы сопротивление стандартного сопротивления Ro
не сильно отличалось от Rx. Для этого в качестве стандартного
сопротивления, образующего ветнь ВС мостика Уитстона, обычно берут

§ 167] ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 171
магазин сопротивлений (см. § 159); вынимая то или иное число штепсе-
штепселей у магазина, добиваются, чтобы Ro оказалось близким к Rx.
3. Соединение элементов в батарею. Рассмотрим сперва
два случая: последовательное соединение элементов в батарею и парал-
параллельное соединение элементов в батарею. Для простоты будем считать,
что все соединяемые элементы имеют а
& - п-злементоо
одинаковые э.д. с. в и одинаковые ,, * v
внутренние сопротивления Ro.
Пусть батарею образует я после-
последовательно соединенных элементов
(рис. 116); батарея замкнута на внеш- ;/|
нее сопротивление R. Требуется опре- *
делить силу тока в цепи. Сопротивле-
Сопротивлением проводов, соединяющих элементы Я
друг с другом, пренебрежем. Рис 116 Последовательное со-
Напишем для всего замкнутого единение элементов в батарею,
контура, образующего нашу цепь,
второе уравнение Кирхгофа; оно, очевидно, в этом случае будет
иметь вид:
откуда
^] i_ А ¦_ +| ¦ ^ J ¦
|' \\ \ Г |
ко 'Ло 'Лл '"о
Г1ШТЛТГи\ГШЛЛХ1-Л-Г1г
I-
Если сравнить это выражение с' выражением
дающим силу тока в замкнутой цепи с одним элементом с э. д. с. %
и внутренним сопротивлением Ru, то мы увидим, что при последова-
последовательном соединении п одинаковых элементов в батарею . э. д. с.
возрастает в п раз и в п раз возрастает внутреннее сопротив-
сопротивление. Отсюда становится очевидным, что последовательное соеди-
соединение элементов выгодно в том случае, когда внешнее сопротивление R
очень велико по сравнению с внутренним сопротивлением Ro. В самом
деле, если R настолько велико, что R J> nRa, то в знаменателе
формулы (8) можно пренебречь nR9 по сравнению с R и тогда при-
приближенно имеем:
'=4
т. е. в результате последовательного соединения я элементов ток
в цепи становится почти в п раз больше, чем при одном элементе.
Если же внешнее сопротивление R мало по сравнению с общим
внутренним сопротивлением батареи я/?0, то в формуле (8) можно

172 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
пренебречь R по сравнению с nRt и тогда приближенно получаем:
+1
т. е. такой же ток, как и при одном элементе.
Рассмотрим теперь параллельное соединение в батарею т одина-
одинаковых 'элементов с э. д. с. Ш и внутренним сопротивлением Rv у каж-
каждого (рис. 117). Пусть батарея
замкнута на внешнее ¦ сопро-
сопротивление R; сопротивлением
соединительных проводов пре-
fj __ &"Т1по бЛТ~"о ""'"& ZTRq небрегаем. Так как в узле А
цепь разветвляется на m оди-
одинаковых участков, то первое
уравнение Кирхгофа даст, что
сила тока в каждом из них
будет в m раз меньше, чем
сила тока / во всей цепи;
другими словами, через ка-
каждый из элементов в отдельности протекает ток ljm. После этого
составим второе уравнение Кирхгофа для одного из замкнутых уча-
участков цепи, например для контура ACC'BDFGA; тогда получим:
Рис. 117. Параллельное Соединение эле-
элементов в батарею.
откуда
(9)
Формула (9) показывает, что при параллельном соединении т оди-
одинаковых элементов в батарею э. д. с. не меняется, а внутрен-
внутреннее сопротивление уменьшается в т раз.
Легко видеть, что параллельное соединение элементов в батарею
выгодно при малом внешнем сопротивлении: в самом деле, если R
настолько мало, что им можно пренебречь по сравнению с Ru/m, то
формула (9) приближенно дает:
/=/я—»
т. е. возрастание тока в т раз по сравнению с током, даваемым
в той же цепи одним элементом. При большом внешнем сопротивле-
сопротивлении /?^> —, и формула (9) показывает, что параллельное соедине-
соединение элементов в батарею не ведет к увеличению силы тока.
Пользуясь уравнениями Кирхгофа, так же легко показать, что если
составить п последовательно соединенных групп, каждая из которых

§ .167] ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
173
состоит из т параллельно соединенных одинаковых элементов,
то сила тока / будет равна:
, пЩ
НЛПП JLTLTUlJUTq с
4. Компенсационный метод определения электро-
электродвижущей силы элемента. Определение э. д. с. элемента
производится обычно путем сравнения
с э. д. с. так называемого „нормального"
элемента, э. д. с. которого хорошо из-
известна. Это сравнение производится с по-
помощью компенсационной схемы, представ-
представленной на рис. 118. Батарея Еи э. д. с. Ш±
Которой больше э. д. с. Шй нормального
элемента ¦?„ и э. д. с. Шх измеряемого
элемента fj., замыкается на внешнее со-
противление АС. Нормальный элемент ?0
присоединяется с помощью ключа / к
цепи АС так, что его ' положительный
полюс соединен с той точкой А сопротив- /
ления ЛС, где потенциал выше, а отри-
цательный — с контактом В, могущим
скользить вдоль сопротивления АС. Галь- '
ванометр О измеряет силу тока, прохо- Рис. 118. Схема компенса-
дящего через нормальный элемент f0. ционного метода определе-
Измеряемый элемент Ех первоначально
предполагаем отключенным от схемы с
помощью ключа 2.
Пусть по участкам цепи АВ, BCEtA и ADEfJFB соответственно
текут токи /, /t и /s. Тогда, применяя первое уравнение Кирхгофа к
узлу А, получим:
/,-/, = /.
Обозначим сопротивление участка цепи ADE0FB через /?0, а сопро-
сопротивление участка цепи АВ — через Ffi, тогда, составляя второе урав-
уравнение Кирхгофа для замкнутого контура ADE^FBA, получим:
1,
ния электродвижущей силы
элемента.
или, так как-/==/]—/а, то
Rdh-h) = -K (Ю)
Перемещая контакт В, можно добиться равенства нулю силы тока /а,
что непосредственно устанавливается по отсутствию отклонения стрел-
стрелки гальванометра Q. Тогда соотношение A0) принимает вид:

174
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
[гл. xyi
Таким образом, когда падение потенциала ItRt на участке цепи АВ
равно э. д. с. нормального элемента Шй, его э. д. с. компенсирова-
компенсирована, — ток через нормальный элемент равен нулю. Написав при этом
второе уравнение Кирхгофа для контура ABCEtA, получим, что сила
тока /t определяется только значением э. д. с. Шх и сопротивлением
R3 всего контура:
После того как был компенсиронан нормальный элемент, его отклю-
отключают с помощью ключа 1 и вместо него в схему включают ключом 2
измеряемый элемент Ех. Передвигая скользящий контакт В, снова
добиваются равенства нулю тока, идущего через гальванометр G. При
этом наложение контакта В будет иное, чем при нормальном эле-
элементе, и сопротивление участка цепи АВ будет иметь некоторое дру-
другое значение /?2. Однако, очевидно, снова должно быть выполнено
условие, аналогичное условию A1):
/!*« = **• A2)
3; тогда из A1) и A2) получаем отно-
отноСила тока Дснова равна
шение э.д.с:
ИЛИ
и отношение
Таким образом, зная э. д. с. нормального элемента &
сопротивлений R^/Rt, находим измеряемую э. д. с. Шх.
Как видно, метод не требует знания самих сопротивлений Rt и
R а лишь их отношения R^/Ru это отношение может быть опре-
определено по положениям скользящего
контакта В.
В качестве нормального элемента обычно
употребляется ртутно-кадмиёвый элемент,
э.д.с. которого весьма мало меняется со вре-
временем (мала поляризация электродов; см.
§ 179).Этот элемент(рис. 119)состоит из ртут-
ртутного электрода (положительный полюс) и
амальгамы кадмия (отрицательный полюс).
Между ними помещается сернокислая ртуть
(Hg2SO4) с кристаллами CdSO4 и раствор
сернокислого кадмия (CdSO4). Электродви-
Электродвижущая сила нормального 'элемента при
температуре в 20" С равна Шо&ч = 1,0183 в;
с изменением температуры она меняется весьма мало: э.д.с. Oo,i при t° С
выражается следующей эмпирической формулой:
Чы = &,,20 — 4,075 • Ю-6 {f — 20°) — 9,444- 1<Г7 (t° — 20°J + 9,8- Ю"» (t° — 20°)».
§ 168. Контактная разность потенциалов. Для понимания при-
причин, создающих э. д. с, рассмотрим прежде всего условия, имеющие
Асбест
Синд
Рис. 119. Нормальный элемент.

168J
КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ
175
Рис. 120. Последовательный
ряд металлов.
место на границе двух металлов и на границе металл — вакуум.
В 1797 г. Вольта открыл, что при соприкосновении двух различных
металлов между ними возникает разность потенциалов. Вольта уста-
установил ряд металлов, в котором каждый предыдущий металл при со-
соприкосновении с одним из последующих электризуется положительно.
Ряд этот следующий: Al, Zn, Sn, Cd, Pb,
Sb, Bi, Hg, Fe, Cu, Ag, Au, Pt, Pd.
Далее Вольта установил, что если не-
несколько различных металлов А, В, С, D
(рис. 120) присоединить друг к другу по-
последовательно, то на концах проводни-
проводников этого ряда возникает разность потен-
потенциалов, зависящая только от природы
крайних проводников А и D и не зависящая от того, какие провод-
проводники В к С находятся Между ними., Указанная разность потенциа-
потенциалов, возникающая при соприкосновении разнородных металлов,
называется контактной разностью потенциалов. Контактная раз-
разность потенциалов колеблется для различных пар металлов от не-
нескольких десятых вольта до* целых вольт; она сильно зависит от
чистоты металлов, в особенности от чис-
чистоты их поверхности от оклюдированных
газов.
Существование контактной разности
потенциалов наиболее просто можно об-
обнаружить с помощью следующего опыта.
На стержень электроскопа навинчивают
пластинку С из испытуемого металла
(рис. 121 а). Пластинка С сверху покры-
покрыта тонким слоем изолирующего материа-
материала. На пластинку С накладывают вто-
вторую пластинку В из второго испытуемого
металла, снабженную изолирующей руч-
ручкой А. Обе пластинки соединяют прово-
проволокой D. Тогда, по сказанному выше,
между пластинками С к В установится
разность потенциалов, соответствующая
природе тех металлов, из которых они
сделаны, ^независимо от того, из какого металла сделана проволока D.
В результате этого плоский конденсатор, который представляет собой
обе пластинки С и В, зарядится. Отведем верхнюю пластинку В к
земле и уберем проволоку D. Нижняя пласпшка С окажется заряженной
до потенциала, равного контактной разности потенциалов между ис-
испытуемыми металлами. Однако ввиду недостаточной чувствительности
обыкновенного электроскопа с листочками, мы ее еще не обнаружим.
Для того чтобы обнаружить наличие разности потенциалов между
Рис. 121. Обнаружение кон-
контактной разности потенциа-
потенциалов, г

176
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
[гл. xvi
пластинками С а В, поднимем пластинку В за ручку А (рис. 121 6),
тогда расстояние между пластинками увеличится, а следовательно,
емкость образованного ими конденсатора упадет (§ 148). Так как за-
заряды, находящиеся на пластинках, при этом останутся неизменными,
то разность потенциалов между пластинками возрастет во столько же
раз, во сколько уменьшилась емкость. При достаточном раздв'ижении
пластинок потенциал пластинки В повысится настолько, что листоч-
листочки электроскопа разойдутся. Если электроскоп градуирован в
вольтах и заранее измерена его емкость (емкость без пластинки и
емкость после наложения верхней пластинки, соединенной с землей),
то можно вычислить искомую контактную разность потенциалов.
Однако этот способ недостаточно точен, и
ниже мы опишем другие способы измере-
измерения контактной разности потенциалов.
Рассмотрим подробнее возникновение
контактной разности потенциалов. Возь-
Возьмем незамкнутую цепь из двух металлов А
и В (рис. 122) и проследим изменение по-
потенциала при обходе контура последова-
последовательно через точки /, 2, 3, 4, 5, 6. Ме-
Между точками /i и 2 имеется разность по-
потенциалов вследствие того, что элек-
Рис. 122. К объяснению кон- ТРОНЫ в металле находятся в потенциаль-
тактной разности потенциа- ной яме. Точки 2 и 3 находятся при
лов. одном потенциале, как относящиеся к
одному и тому же металлу. В месте кон-
контакта металлов Ли В возникнет разность потенциалов, что даст
изменение потенциала при переходе от точки 3 (металл А) к точке 4
(металл В). Точки 4 и 5 находятся при одном потенциале. Между
точками 5 vi 6 (металл В и вакуум) снова будет скачок потенциала,
так как электроны в металле В находятся в потенциальной яме.
Таким образом, можно рассматривать две разные величины: раз-
разность потенциалов в месте соприкосновения двух металлов (так
называемую внутреннюю контактную разность потенциалов) и . раз-
разность потенциалов между точками 7 и б у поверхности обоих метал-
металлов в вакууме. Эта последняя называется внешней контактной раз-
разностью потенциалов и она-то обычно и измеряется, поэтому ее час-
часто называют просто контактной разностью потенциалов Vав- Благо-
Благодаря разности потенциалов между точками 1 и 6 в зазоре между
концами металлов А к В возникает электрическое поле, а на сво-
свободных поверхностях металлов А и В — электрические заряды.
Как указано в § 163, электроны в металле находятся в потенциаль-
потенциальной яме, внутри которой имеются энергетические уровни. При тем-
температуре абсолютного нуля л/2 нижних уровней заполнены электро-
электронами .(я.— число электронов), остальные пусты. При Тф Q часть элек-

§ 168J КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ 177
тронов находится на более высоких уровнях. Однако при не очень
высоких температурах число таких электронов относительно невелико,
и мы поэтому будем считать, для простоты, что только я/2 нижних уров-
уровней заполнены. Эти уровни изображены на рис. 123, где Ер0 — энер-
энергия электрона вне металла, а ?",- — энергия последнего из занятых
уровней. Величина А = Ер(> — Et пред-
представляет собой работу выхода электрона
из металла в вакуум. Работу выхода
принято выражать произведением из за-
заряда электрона е на разность потенциа-
лов V, подобранную так чтобы произ- рис ш Неполное заполнение
ведение е V равнялось работе выхода А: энергетических уровней в кри-
eV=A. сталле.
Так как заряд электрона есть величина постоянная, то работа выхо-
¦¦¦¦¦¦¦ ¦¦¦¦¦• ' ¦ А
да однозначно определяется разностью потенциалов V=—.. Однако
работу выхода обычно измеряют не в единицах потенциала, а в осо-
особых единицах работы, называемых электрон-вольт (сокращенно эв).
Эта эдиница работы равна работе, совершаемой при перемещении за-
заряда, равного заряду одного электрона <?, между точками с разностью
потенциалов в 1 вольт. Так как е = 4,803 • 1(Г19, то
О-1в , „„, ' ,о
—эрг= 1,601 • 10~14 эрг.
Исходя из этого представления об энергии электрона в металле, про-
проследим, каковы будут энергии электронов в случае двух сопри-
соприкасающихся металлов. На рис. 124
изображены графически энергии
электронов в двух соприкасаю-
соприкасающихся металлах, причем точки /,
2, 3, 4, 5, 6 соответствуют точкам
на рис. 122, отмеченным теми же
цифрами. Величина Ега представ-
Рис. 124. Потенциальная яма двух ляет собои энергию электрона,
соприкасающихся металлов. находящегося в металле А на по-
последнем из занятых уровней,а Ё{д—
энергию электрона, находящегося на последнем из занятых уровней
в металле В. Если эти энергии не равны друг другу, то в месте кон-
контакта металлов возникнет скачок потенциала, соответствующий пе-
переходу от точки 3 к точке 4. Этот скачок потенциалов представляет
собой внутренную контактную разность потенциалов V%b-
Разность потенциалов между точками 2 и / обусловлена тем,
что для перевода электрона из металла (точка 2) в вакуум (точка /)
надо совершить работу А а- Работа выхода Аа определит потенциал

178 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
Va—— > которым будет обладать электрон, вырванный из металла
А и находящийся в вакууме около его поверхности (точка 1). Точ-
Точно также потенциал электрона вблизи металла В в точке 6 будет ра-
Ав
вен Vn = —1 где Ав— работа выхода электрона из металла В в
вакуум. Таким образом, в зазоре между металлами возникнет разность
потенциалов V'ab (разность потенциалов между точками / и 6),
равная:
Vb~ Va=Ar~Aa ¦ , . A)
Величина V'ab представляет собой внешнюю контактную разность по-
потенциалов двух соприкасающихся металлов. Как сказано, она вызва-
вызвана разностью работ выхода из обоих металлов.
Полная контактная разность потенциалов Vab между точками 1
и 2 складывается из внешней и внутренней контактных разностей
потенциалов:
Vab=Vab-\- V'ab. B)
Внутренняя контактная разность потенциалов Удв = ?';я— Е{а (см.
рис. 124). Полная теория внутренней контактной разности потенциа-
потенциалов может быть дана лишь на основе квантовой механики. С точки
зрения классической электронной теории возникновение внутренней
контактной разности потенциалов можно объяснить тем, что в действи-
действительности число свободных электронов и0, приходящихся на единицу
объема, различно в металлах А и В. Обозначим число электронов
в единице объема в металле А через п„а, а в металле В — через иод.
Если допустить, что я„д <^ иоа, то через поверхность соприкосновения
обоих металлов будет диффундировать меньше электронов в металл
В, чем обратно из металла В в металл А. В результате, между ме-
металлами А и В возникнет разность потенциалов Vab- Соответственные
теоретические выкладки (см. мелкий шрифт) показывают, что
kТ. "од
ln W
где k — постоянная Больцмана, е — заряд электрона, Т—абсолютная
температура металлов. Однако числа электронов п„д и яов для
всех действительных пар металлов мало отличаются друг от
друга. Поэтому разность потенциалов V"ab обычно мала по сравне-
сравнению с разностью потенциалов V'ab, и практически контактная раз-
разность потенциалов Vab близка к V'ab, т. е. выражается приближенно
через работы выхода равенством A).
Разность потенциалов на концах ряда последовательно соединен-
соединенных металлов зависит лишь от природы крайних металлов и не за^

§ 168]
КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ
179
висит от природы промежуточных металлов. Рассмотрим для этого
ряд последовательно соединенных металлов А, В, С. Разность потен-
потенциалов на концах такой разомкнутой цепи равна сумме контактных
разностей потенциалов отдельных пар:
Vac = VAB + VBC = (VB — VA) + (Vc — VB) =VC— VA.
Как видно, Vac определяется лишь значениями Va и Vc, т. е. Vac рав-
равно той контактной разности потенциалов, которая возникла бы при
непосредственном соприкосновении металлов А а С без промежуточного
металла В. Таким же образом мы придем к выводу, что при обра-
образовании замкнутой цепи из последовательно
соединенных различных металлов (рис. 125)
сумма контактных разностей потенциалов
этих металлов не создаст в цепи резуль-
результирующей э. д. с. В самом деле, э. д., с. Ш
представляет собой алгебраическую сумму всех
скачков потенциалов, встречаемых при обходе
_ замкнутой цепи. Отсюда при обходе замкнутой
цепи, например из трех различных металлов
А, В, С, получим
Ш = Vab + Vbc + VCa = (VB — VA
-\-(Vc—Vb)-\-(Va-Vc)=0.
Рис. 125. Замкнутая
цепь из трех металлов.
Этот результат справедлив, если все контакты цепи находятся при
одинаковой температуре.
К тому же результату можно прийти из общих термодинамических
соображений. Металлы представляют собой так называемые проводники
первого рода, т. е. такие проводники, в которых не происходит никаких
химических изменений при прохождении через них электрического
тока. Поэтому, если бы в замкнутой цепи из проводников первого рода
возникла отличная от нуля э. д. с, то вызванный ею постоянный
электрический ток не повел бы к каким-либо изменениям в самих
проводниках. Вместе с тем этот ток развивал бы определенную
мощность, которая могла бы браться лишь за счет тепла, переда-
передаваемого окружающими телами. Но такой процесс представлял бы
собой перпетуум мобиле второго рода, осуществление которого невоз-
невозможно. ' . ¦ ¦
Окончательно мы приходим к выводу, что существование одной
лишь контактной разности потенциалов не может повести к возникно-
возникновению э. д. с. Электродвижущая сила может возникнуть в замкнутой
цепи (при одинаковой температуре всех частей цепи), лишь если эта
цепь содержит наряду с проводниками первого рода и проводники
второго рода, т. е. такие, в которых при прохождении тока про-
происходят химические процессы.

180
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
[ГЛ. XVI
В
dS\
Приведем рассмотрение второй части контактной разности потенциалов,
связанной с различием числа свободных электронов в разных металлах, поль-
пользуясь приемами классической электронной теории. Такое рассмотрение этого
вопроса допустимо вследствие того, что энергетические уровни электронов в
металле расположены близко друг к другу и не целиком заполнены.
Предположим, что резкой границы между металлами нет, но имеется пере-
переходный слой, в котором число электронов, приходящихся на единицу объема,
непрерывно меняется от значения пйА до значения поВ. Выделим в переход-
переходном слое цилиндр с образующими, перпендикулярными к границе раздела
обоих соприкасающихся металлов, и с основаниями, параллельными этой
границе (рис. 126). Пусть длина цилиндра равна dx, а площадь оснований dS.
По гипотезе Лоренца (ср. сказанное в § 161), свободные электроны в металле
образуют электронный газ, удовлетворяю-
удовлетворяющий основным представлениям кинетиче-
кинетической теории газов.
Пусть в области, где лежит основание
Цилиндра 1, число электронов в единице
объема равно п0 + dn0, а в области, где
лежит основание цилиндра 2, оно равно До.
Тогда давление электронного газа на. осно-
основание 2 равно
"аа "ал 2
Рис. 126. К подсчету давления _ °
электронного газа. где w — средняя кинетическая энергия
электронов при данной температуре.
Как мы видели (§ 163), классическая и квантовая теории дают разные
значения для средней энергии w электронов при данной температуре, причем
классическое значение ведет к неверной теплоемкости металлов. Тем не менее
мы воспользуемся здесь классическим значением 3/2 kT как более простым,
что возможно, так как мы будем ограничиваться выяснением лишь основных
черт процесса. _
Таким образом, подставляя «/ = 3/2 kT в выражение для давления элек-
электронного газа р на основание цилиндра 2 получим
р = nok Т.
Так же получим, что на основание цилиндра 1 электронный газ оказывает
давление
Отсюда разность давлений, испытываемых цилиндром, равна
dp = kT dna. D)
Вследствие этой разности давлений электроны начнут, перемещаться от
основания 1 в сторону основания 2 (если считать dn» положительным). Это
перемещение электронов поведет к переносу зарядов, а следовательно,
к возникновению разности потенциалов dV между основаниями 2 к 1, пре-
препятствующей дальнейшему перемещению электронов. Динамическое равно-
равновесие наступит, когда тормозящая сила электрического поля станет равной
силе, обусловленной разностью давлений dp.
Число электронов в рассматриваемом цилиндрическом объеме равно
отсюда сила, действующая со стороны поля на все эти электроны,

§ 169] ГАЛЬВАНИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ 181
где Е— напряженность лоля, е — заряд электрона. По формуле Bа) § 131,
напряженность поля Е по численному значению равна
|?| = g1 откуда \dF\=--eno^dxdS,
а следовательно, условие динамического равновесия, которое сводится к тре-
требованию, чтобы \dF\ = dpdS, приводит к равенству; "
enodV — dp, ,
или, если воспользоваться формулой D),
Последнее равенство может быть переписано в виде:
е па
Для получения полной разности потенциалов V"AB это соотношение надо
проинтегрировать от слоя, лежащего в области металла В, где число элек-
электронов в единице объема равно поВ, до слоя в области металла А, где число
электронов в единице объема равно п^А. Таким образом, получаем
что совпадает с формулой C) § 168.
Как мы указывали, разность потенциалов V"АВ мала. Это обусловлено
тем, что число свободных электронов, приходящихся на единицу объема,
мало отличается для различных металлов друг от друга; во всяком случае,
пйА
можно полагать, что n<)Aln(tg не превышает 3. Это; дает ln-^-r^l и, следо-
вательно, при Т = 300° К имеем
v Ав = -- —
- — 4,8-100
Приведенное классическое рассмотрение второй части контактной раз-
разности потенциалов в значительной мере имеет иллюстративное значение и
в строгой теории должно быть заменено кваитовомеханическим, однако фи-
физическая сторона процесса в классическом рассмотрений очень ясно выра-
выражена, хотя количественно результаты даются этим рассмотрением не точно.
§ 169. Гальванические элементы. Наряду с проводниками пер-
первого рода (металлы, уголь), в которых не происходит никаких хими-
химических изменений при прохождении через: них' электрического тока,
существуют так называемые проводники второго рода, в которых
происходят химические изменения при прохождении через них тока.
К проводникам второго рода относятся растворы солей, кислот и
щелочей. В металлах, как мы видели, электрический ток сводится
к перемещению свободных электронов. В проводниках второго рода
носителями зарядов являются ионы. Молекулы солей при растворении

182
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
[гл. xvi
®
солей распадаются на ионы, т. е. на части, заряженные противопо-
противоположными знаками. Например, при растворении в воде поваренной
соли молекулы NaCl распадаются на положительные ионы Na+ и
отрицательные ионы С1~. Передвижение этих ионов, под влиянием
внешнего электрического поля, образует ток в проводнике второго
рода. Процесс распадения молекул в растворе на ионы, носящий
название электролитической диссоциации, а также механизм прохо-
прохождения тока через проводники второго рода мы рассмотрим подробно
в параграфах, посвященных электролизу. Сейчас же разберем роль
проводников второго рода в возникновении э. д. с.
Как мы видели, при образовании замкнутой цепи из различных
проводников первого рода в ней не возникает э. д. с. Если же со-
составить замкнутую цепь из проводников первого и
второго рода, то в ней возникает отличная от нуля
э. д. с. ё. Такого рода комбинация проводников
первого и второго рода образует гальванический
элемент.
На границе между металлом (проводником пер-
первого рода) и раствором (проводником второго рода)
образуется скачок потенциала, непрерывное восста-
восстановление которого происходит за счет работы хи-
химических сил.
Рассмотрим, например, цинковую пластинку, опу-
в раствор сер- щенную в водный раствор серной кислоты (рис. 127).
ной кислоты. Цинк начнет растворяться; однако атомы цинка бу-
будут переходить при этом в раствор не в виде ней-
нейтральных атомов, а в виде положительных ионов Zn+. В результате
раствор окажется заряженным положительно, а цинк — отрицательно.
На границе между цинком и раствором HaSO4 образуется двойной
электрический слой. В области двойного электрического слоя по-
появится электрическое поле, и ионы цинка начнут частично посту-
поступать обратно в цинк. В результате установится динамическое рав-
равновесие.
При вполне определенной разности потенциалов между раствором
и металлом (в случае чистого цинка около +0,51 в) электрические
силы уравновесят химические, и дальнейшее растворение цинка пре-
прекратится.
Но если в раствор HjSC^ поместить вторую металлическую пла-
пластинку из какого-либо другого металла и соединить ее с первой
проволокой, то возникнет ток, так как около , второй пластинки
будет происходить аналогичный процесс поступления ионов в раствор,
но вторая пластинка примет, вообще говоря, другой потенциал,
чем первая (рис. 128).
Работа химических сил будет непрерывно восстанавливать скачки
потенциалов около обоих металлов. Наличие этих неравных друг
Рис. 127. Пере-
Переход ионов цинка

§ 169]
ГАЛЬВАНИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
183
другу скачков потенциалов, непрерывно поддерживаемых за счет
работы химических сил, обусловит э. д>с. гальванического эле-
элемента.
Возможен подбор и такой пары металл — раствор, когда из рас-
раствора положительные ионы поступают в металл; в этом случае
металл заряжается положительно; а раствор отри-
отрицательно.
Разберем с указанной точки зрения действие элемента
Даниэля. Элемент Даниэля, схематически представленный
на рис. 104, состоит, как мы уже указывали, из цинко-
цинковой пластинки, погруженной в раствор цинкового купо-
купороса (ZnSO4), и медной пластинки, погруженной в раствор
медваго купороса (CuSO4); растворы разделены пористой
перегородкой А. Цинковая пластинка заряжается отрица-
отрицательно в результате выделения положительных ионов Zn+
в раствор; на границе цинка и раствора возникает скачок
потенциала +0,51 в. Медная пластинка заряжается полог
жительно за счет поступающих в нее положительных
ионов Си+ из раствора, в котором молекулы CuSO4 диссо-
диссоциируют на отрицательные ионы SOj и положительные
ионы Gu+; на границе раствора с медью возникает скачок
потенциала +0,60 в.
Наконец, при обходе всего замкнутого контура надо
принять во внимание контактную разность потенциалов ме-
между медью и цинком (она равна + 0,006 в) и разность по-
потенциалов в месте соприкосновения обоих растворов. Эта последняя разность
потенциалов зависит от концентрации растворов и выражается тысячными
долями вольта.
Таким образом, э. д. с. элемента Даниэля в основном сложится из двух
скачков потенциалов, возникающих на границах соприкосновения металлических
пластинок с соответственными растворами. Так как эти скачки потенциалов
равны +0,5 и +0,6 в, то э. д. с. элемента Даниэля $=1,1 в. Эта э. д. с.
может быть рассчитана по теплотам химических реакций, протекающих в
элементе.
Термохимические измерения дают, что процесс превращения цинка в цин-
цинковый купорос ZnSO4 (что в конечном счете происходит в элементе) сопро-
сопровождается выделением энергии в количестве 1,06-106 кал/моль.
Выделение меди из медного купороса протекает с поглощением
0,56-10» кал!моль.
Таким образом, на каждый моль прореагировавшего в элементе вещества
выделяется энергия
?/= A,06 — 0,56) 106 кал/моль = 5,0-104 кал/моль ^ 2.10" эрг/моль.
Эта энергия идет на поддержание работы тока A = Qjg, где Щ — э. д. с. эле-
элемента, a Q — количество перенесенного электричества. Отсюда
Рис. 128. Галь-
Гальванический эле-
элемент из пласти-
пластинок цинка и
меди, погружен-
погруженных в раствор
серной кислоты.
A)
Количество перенесенного электричества Q легко подсчитать. Каждый
положительный ион цинка в растворе, как мы увидим в дальнейшем, несет
двойной положительный заряд, т. е. заряд, численно равный удвоенному за-
заряду электрона +2е. Отсюда следует, что при растворении одного моля
цинка-от электрода к раствору переносится количество электричества Q = 2eN,

184 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
где N—число Авогадро. Тогда по A) получим
e~Q~'2eN'
Подставляя вместо U, е и N их численные значения, найдем
2-Ю12
% = 2 .4,8 • 10-'» ¦ 6 • 10" CGSE — 3'5-10 CGS^
или, переводя полученное численное значение из CGSf-единиц в вольты
Ш = 3,5- Ю-3-300 в =1,05 в,
что близко к указанной выше э. д. с. элемента Даниэля.
В большинстве других элементов химические процессы носят более
сложный характер, и расчет э. д. с. не может быть произведен так просто.
§ 170.. Термоэлектрические явления. В § 168 мы показали, что
в замкнутой цепи, составленной из проводников первого рода, не
возникает э. д. с. Однако так обстоит дело, пока температура кон-
контактов между различными проводниками одинакова. При разной тем-
температуре контактов в цепи возникает отличная от нуля э.д. с.
(термоэлектродвижущая сила). Если составить замкнутую цепь из
двух металлов и один из спаев нагревать, оставляя другой холодным,
то в цепи потечет ток.
Этот эффект получил название термоэлектрического явления.
Возникновение термоэлектродвижущей силы легко объясняется
на основании сказанного в § 168. Мы видели, что контактная разность
потенциалов обусловлена двумя причинами: раз-
различием в работах выхода и различием в числе
свободных электронов, приходящихся на-единицу
объема, в разных металлах. Если принять во вни-
внимание обе эти причины, то, по формулам B) и
C) § 168, контактная разность потенциалов V ав
между металлами А и В будет равна
н
Рис. 129. ft замкну- V ав== Vb— Va + ^ln ^-. A)
той цепи из двух ов
металлов возникает Предположим теперь, что в замкнутой цепи,
ратура ^контактов составленной из двух металлов А и В (рис. 129),
7\ и Г» различна, контакт / поддерживается при температуре Tt,
а контакт 2 — при температуре 7"s. Работы вы-
выхода Va и Vb и числа свободных электронов иод и щв будем счи-
считать не зависящими от температуры. Полная э. д. с. Ш равна сумме
всех скачков потенциалов, которые мы встретим, обходя замкнутую
цепь в определенном направлении (например, в направлении, ука-
указанном стрелкой на рис. 129). Тогда, по A):
— VAB -f VBa = Va — VA -j- -— In — -f- VA — Vb -\- — In —,

§ 170]
откуда
ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
"<>л
185
B)
Формула B) показывает, что при разных температурах спаев по-
появляется хермоэлектродвижущая сила %, прямо пропорциональная
разности температур спаев Tt — 7V Формула B) не учитывает воз-
возможную зависимость концентрации электронов лод и щв от тем-
температуры.
Величина термоэлектродвижущей силы составляет по теории не-
несколько- стотысячных долей вольта на градус. Например, в случае
цепи, составленной из константана и железа, при разности температур
спаев в 1°С возникает э. д. с. 5,2 • 10""' а. Эта э. д. с. растет, с доста-
достаточно хорошей точностью, прямо пропорционально разности темпе-
температур спаев. Однако наблюдаются и такие случаи, когда зависимость
термоэлектродвижущей силы «^
i
L _d
Рис. 130. Схема измерения температуры
с помощью термопары.
от разности температур носит
более сложный характер. На-
Например, пара цинк — серебро
в интервале разности темпе-
температур от 0° до 100° С дает
-(-0,5 мкв/град, а в интервале
разности температур от 300 до
400° С дает -j- 4,6 мкв/град.
Возможно даже изменение знака
э. д. с; в паре вольфрам — мо-
молибден при малых разностях
температур ток идет через горячий спай от молибдена к вольфраму,
а при больших разностях температур — от вольфрама к молибдену.
Такой характер зависимости термоэлектродвижущей силы от разности
температур отчасти объясняется тем, что с температурой меняется
отношение числа свободных электронов в единице объема. Однако
полная теория термоэлектрических явлений может быть дана лишь на
основе квантовой механики.
Термоэлектрические явления в настоящее время широко исполь-
используются как для измерения высоких температур, так и для обнаружения
весьма слабых . нагреваний. Для измерения высоких температур упо-
употребляются так называемые термопары, или. термоэлементы, пред-
представляющие собой две проволоки из определенных металлов с из-
известной и заранее хорошо промеренной термоэлектродвижущей силой.
В месте контактов проволоки спаиваются или свариваются. Один
контакт (Ь на рис. 130) помещается в среду с определенной темпе-
температурой Гв, например в сосуд с тающим льдом, другой (а на рис. 130) —
в область, где измеряется температура Т. Возникающая в цепи э. д. с.
измеряется с помощью вольтметра V. По измеренной э. д. с.

186
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
[гл. xvi
Таблица V
Термоэлектродвнжущие силы
при температуре холодного спаи О" С
1 'о
в ч:
1
100
200
300
500
800
1000
1500
1700
Термоэлектродвижущая сила
Pt — Pt +
+ Юо/О Rh
0,00
0,64
1,42
2,29
4,17
7,31
9,56
15,45
17,81
(в мв)
констан-
константан —
железо
0,00
5,2
10,5
15,8
26,6
43,4
—
—
—
констан-
константан —
медь
0,00
4,3
9,3
14,9
—
—
—
—
определяется разность температур Т— Го. Поскольку температура 70
заранее известна, эта разность непосредственно даст нам Т. Для термо-
термопары, составленной из данных металлов, вольтметр V может быть
градуирован прямо в градусах. Для измерения не слишком высоких
температур применяются тер-
термопары константан — медь и
константан — железо; для
измерения высоких темпера-
температур в заводских и лабора-
лабораторных печах (до 1700° С)
употребляется термопары,
в которых один провод бе-
берется из чистой платины, а
другой — из сплава платины
и 10% родия.
В табл. V мы приводим
термоэлектродвижущие си-
силы, возникающие в указан-
указанных трех термопарах при
различных разностях темпе-
температур контактов.
Термоэлектрический аф-
аффект может быть использован
также для обнаружения весьма малых нагреваний, например нагреваний,
вызываемых поглощением светового потока. Эффект может быть усилен
путем применения ряда термопар, соединенных последовательно, причем,
например, все четные спаи нагреваются, а нечетные — охлаждаются.
Такого рода система термопар называется термостолбиком. Термо-
Термостолбик, изображенный на рис. 131, состоит из
ряда очень тонких полосок константановой и ман-
манганиновой жести (толщиной порядка 0,005 мм).
Средние зачерненные спаи подвергаются действию
излучения, боковые располагаются на массивной
медной оправе, благодаря чему их температура
остается постоянной. В таком термостолбике э. д. с.
в один микровольт отвечает мощности поглощае-
поглощаемого излучения в 20 эрг)сек. Дальнейшего повы-
повышения чувствительности и большего постоянства
показаний можно достигнуть,употребляя вакуумные
термоэлементы. Обычно вакуумный термоэлемент представляет собой
одну термопару из очень тонких полосок константана и манганина,
закрепленных между массивными медными стержнями А и В (рис. 132).
Вся система помещена в сосуд, из которого откачан воздух. Помеще-
Помещение термопары в вакуум уменьшает потери тепла, чтб ведет при том
же поглощенном световом потоке к более сильному нагреванию спая;
Рис. 131. Термо-
Термостолбик.

§ .170]
ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
187
благодаря этому чувствительность термопары повышается до 100 раз.
В лучших образцах вакуумных термопар э. д. с. в один микровольт
отвечает мощности излучения в 0,5 эрг/сек.
Большое число соединенных вместе термопар может образовать
батарею, способную давать разность потенциалов в несколько вольт
и токи силой в несколько ампер. Однако к. п. д. такой термобатареи
невелик. Термобатарея, давая за счет поглощаемого тепла электри-
электрический ток, должна удовлетворять второму началу термодинамики.
Следовательно, ее к. п. д. tf не может
превышать к. п. д. ц идеальной тепловой
машины:
Т-То
Рис. 132. Вакуумный термо-
где Т—температура горячего спая, а элемент.
7о — температура холодного спая.
Таким образом, чтобы действие термобатареи было выгодно, надо
сильно нагревать одни спаи, оставляя другие холодными. Но при
этом становятся неизбежными большие вредные потери, и практически
достижимое значение к. п. д. ij оказывается значительно ниже теоре-
теоретического.
В известном смысле обратным термоэлектрическому оказывается явление
Пельтье. Оно заключается в том, что при прохождении тока через спай двух
различных металлов в спае выделяется
или поглощается количество тепла, до-
добавочное по отношению к обычному
ленц-джоулеву теплу. Если при опреде-
определенном направлении тока в спае выде-
выделяется тепло, то при обратном направ-
направлении тока в том же спае тепло погло-
поглощается. Для наблюдения этого явления
можно использовать следующую схему:
в два калориметра погружаются спаи 1
и 2 трех последовательно соединенных
проводников — проводника А, провод-
проводника В и снова проводника А (рис. 133). При пропускании электрического
тока в направлении, указанном стрелкой, в спае 1 ток идет от металла А
к металлу Я, а в спае 2—от металла В к металлу А. При этом, если в спае /
выделяется тепло, в спае 2 оно поглощается. Если в оба калориметра I и II
погружены одинаковые отрезки цепи, то выделяемые в них ленц-джоулевы
теплоты Q одинаковы, теплоты же Пельтье q имеют разные знаки.
Таким образом, в калориметре / выделяется за некоторое время коли-
количество тепла
Рис. 133. Схема опыта для наблю-
наблюдения явления Пельтье.
а в калориметре // за то же время выделяется
Отсюда
i-Q* = 2q или q =

188 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
т. е. калориметрические измерения позволяют непосредственно найти тепло q.
Тепло q пропорционально силе тока, проходящего через спай, и времени его
прохождения.
Качественно явление Пельтье объясняется наличием контактной разности
потенциалов. Если электрическое поле, создаваемое в спае контактной раз-
разностью потенциалов, ускоряет электроны, то в спае выделяется добавочное
количество тепла, если поле задерживает электроны, то тепло поглощается.
Существует еще одно термоэлектрическое явление, предсказанное теоре-
теоретически Томсоном и заключающееся в том, что в однородном проводнике,
при наличии в нем разности температур, должна возникать э. д. с. В резуль^
тате этой э. д. с. наблюдается эффект, аналогичный явлению Пельтье: при
пропускании тока через такой неравномерно нагретый проводник в нем вы-
выделяются или поглощаются добавочные количества теплоты,' кроме обычного
ленц-джоулева тепла. В том участке, где направление электронного тока
¦ '¦ *. ¦¦ совпадает с направлением теплового
• —~*~' ^ потока, выделяется добавочное крличе-
/^рй^^ -)+ ство тепла. В том же участке, где на-
--fS—_4te :> 2 .=. ? правления электронного тока и тепло-
? правления электронного тока
Т— зого потока противоположны,
? jj ~f\ >2 щается тепло.
-•— Явление Томсона может быть на-
Рис. 134. Метод обнаружения яв- блюдено следующим образом: два одина-
ления Томсона. новых стержня АВ и CD соединены
проволокой, как указано на рис. 134.
Концы А и С поддерживаются при более высокой температуре 7\, а концы
В и D — при более низкой температуре Т». Если стержни включить в цепь
батареи Е, как показано на рис. 134, то электронный ток, направление кото-
которого отмечено стрелками, потечет в стержне АВ в направлении спадания
температуры, а в стержне CD — в направлении возрастания температуры.
До включения тока симметрично расположенные точки а и Ь на обоих стержнях
имеют одинаковую температуру. После включения тока, в результате явления
Томсона, точка а станет горячее точки Ь, так как в стержне АВ электронный
ток совпадает по направлению с тепловым потоком, а в стержне CD ему
противоположен.
Следует отметить, что все приведенные объяснения термоэлектрических
явлений, в основе которых лежиг представление о „газе" из электронов,
принимающих участие в тепловом движении, носят лишь качественный
характер. С количественной стороны результаты теории плохо сходятся
с опытными данными. Причина этих расхождений лежит в непригодности
классических представлений для описания поведения электронов в металлах.
Правильное представление может быть дано лишь на основе квантовой
механики (см. § 163). .
§ 171. Полупроводники. Рассмотренные явления относятся к ме-
металлам-проводникам, электропроводность которых обусловлена нали-
наличием свободных электронов. В настоящее время в физике стали играть
большую роль полупроводники. Как было сказано выше (см. § 154),
полупроводники отличаются от металлов малой электропроводностью,
которая в отличие от электропроводности проводников увеличивается
с температурой по закону.
ь
а -- айе г ,
где Т—абсолютная температура, а Ь—постоянная, различная для
разных полупроводников.

§ 171J полупроводники :¦¦¦¦¦• 189
Как правило, электропроводность полупроводников чрезвычайно
быстро возрастает с увеличением температуры, а их удельное сопро-
сопротивление р соответственно падает. Так, чистый кремний (Si), пред-
представляющий собой типичный полупроводник, при 20° С имеет
р = 6 • 10* ом ' см, а при 700° С его удельное сопротивление
р^ОД. ом - см, т. е. в несколько сот тысяч раз меньше.
При очень низких температурах полупроводники становятся изо-
изоляторами.
Увеличение проводимости с повышением температуры объясняется
тем, что тепловое движение создает в полупроводниках носителей
тока. Увеличение электропроводности полупроводников может быть
также вызвано освещением или другим воздействием, связанным
с передачей энергии. Особое значение полупроводников вызвано рядом
их свойств. Оказывается, что в цепи, составленной из двух различных
полупроводников, можно получить термоэлектродвижущую силу, зна-
значительно более высокую, чем в термоэлементе из двух проводников.
Обозначая температуры обоих контактов через 7\ и Г2, соответственно,
получаем в цепи из двух полупроводников э. д. с, которая оказывается
пропорциональной разности температур контактов:
причем величина а достигает значений порядка 1,5 • 10~3 в/град, тогда
как в металлах эта величина имеет порядок 10~5 в/град.
Особые условия создаются в месте контакта двух полупроводни-
полупроводников или полупроводника и металла. Сопротивление в месте контакта
может сильно зависеть от направления тока: при одном направлении
тока оно мало, при другом — велико. Это обстоятельство используется
в так называемых твердых выпрямителях (см. § 237).
Под действием освещения, как сказано, электропроводность полу-
полупроводников также возрастает. Это используется для измерения вели-
величины светового потока (см. т. III).
Свойства полупроводников могут быть объяснены только на основе
квантовой теории твердых тел. В § 163 было сказано, что в метал-
металлических проводниках электроны распределены по многочисленным
энергетическим уровням, расположенным очень близко друг от друга.
Каждый энергетический уровень заполняется двумя электронами.
В проводнике электроны заполняют нижние уровни, верхние уровни
остаются свободными. Это означает, что под влиянием внешнего элек-
электрического поля электроны могут переходить на более высокие сво-
свободные уровни, т. е. менять свою энергию, в том числе и свою
кинетическую энергию. Другими словами, электроны под влиянием
внешнего поля могут менять скорость. Поскольку энергетические
уровни расположены очень близко друг от друга, изменение энергии прак-
практически происходит непрерывно, чем и объясняется, что классическая

190 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
электронная теория могла правильно описать значительное число
фактов, относящихся к электропроводности металлов.
Более подробная теория кристаллических твердых тел показывает,
что в кристаллах образуются группы или, как принято говорить,
зоны дозволенных энергетических уровней, разделенные достаточно
широкими областями „запрещенных" энергетических состояний.
Л—-
a) S)
Рис. 135. Зоны дозволенных состояний электронов в кристалле:
а — диэлектрик, б — полупроводник, в — полупроводник с „дырками".
Различное относительное расположение зон дозволенных энерге-
энергетических состояний объясняет различие в свойствах диэлектриков,
проводников и полупроводников. Пусть в кристалле имеются две
разделенные достаточно широким промежутком зоны, причем число
подуровней в нижней зоне как раз равно половине числа свободных
электронов. Тогда вся нижняя зона заполнена электронами, на верх-
верхней же зоне электроны отсутствуют. Этот случай изображен на
рис. 135а, где электроны отмечены точками со стрелками. Внешнее
электрическое поле (если оно не очень сильно) не сможет перевести
электроны из нижней зоны в верхнюю, так как зоны разделены
широким промежутком. Поэтому внешнее поле не может вообще
изменить состояния движения электронов, т. е. сообщить им добавоч-
добавочные скорости. В кристалле под влиянием внешнего поля не возникает
электрический ток — такой кристалл является диэлектриком (изоля-

§ 171} полупроводники' 191
тором). В случае же, если не вся нижняя зона заполнена электронами,
то даже слабое внешнее поле может перевести электроны на бли-
ближайшие свободные энергетические уровни, т. е. привести их в дви-
движение. Такой кристалл (металл) будет проводником.
Из сказанного видно, что квантовая и классическая теория совсем
по-разному объясняют различие между диэлектриками и металлами.
С классической точки зрения в диэлектрике все электроны прочно
удерживаются около своих атомов, в металлах же имеются свободные
электроны, переносное движение которых под влиянием внешнего поля
образует электрический ток. С квантовой точки зрения и в диэлек-
диэлектрике и в металле существуют „свободные", т. е. не связанные
с определенными атомами, электроны V Диэлектрики и металлы раз-
различаются заполненностью и относительным расположением зон дозво-
дозволенных энергетических состояний электронов.
Зонная теория не только устраняет те трудности, которые встре-
встречала классическая теория при попытках объяснить электропроводность
металлов, но и объясняет свойства полупроводников. Полупроводник
характеризуется тем, что у него, как и у диэлектрика, нижняя зона
вся занята электронами (рис. 1350), но расстояние d' между зонами
невелико. При достаточно высокой температуре часть электронов из
нижней зоны переходит в верхнюю зону (освободившиеся в нижней
зоне места — „дырки"—отмечены кружками — см. рис. 135в). Так
как в верхней зоне остается еще много незанятых мест, то электроны
могут менять состояние своего движения, т. е. приобретать скорость
под влиянием внешнего поля и, следовательно, создавать электропро-
водность. Поэтому верхняя зона энергетических состояний в полупро-
полупроводнике называется зоной проводимости. Число электронов п', пере-
перешедших в зону проводимости, равно
ь_
п' = ае 2кТ,
где а и Ь — постоянные. В соответствии с этим зависимость электро-
электропроводности от температуры имеет вид:
*_
Электропроводность полупроводников обладает еще одной особен-
особенностью. Переход электронов с нижней заполненной зоны на верхнюю
создает в нижней зоне свободные места—„дырки". Это позволяет
1 Однако существует различие между „свободными" электронами в кри-
кристалле и действительно свободными электронами, на которые не действуют
никакие силы. Теория показывает, что это различие сводится к тому, что
электрон в кристалле обладает как бы другой массой, отличной от массы
действительно свободного электрона. Она носит название „эффективной"
массы.

192 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
электронам нижней зоны также принимать участие в процессе элек-
электропроводности. В результате перемещения электронов под влиянием
внешнего поля „дырка" сместится в направлении, обратном направле-
направлению движения электронов. Перемещение такой „дырки", очевидно,
эквивалентно перемещению положительного заряда.
Указанная схема энергетических зон относится к очень чистым
веществам. При наличии примесей могут возникнуть добавочные энер-
энергетические уровни, носящие локальный характер. Электроны, находя-
находящиеся на этих уровнях, в электропроводности участия не принимают,
но захват или отдача электронов с этих уровней в другие зоны ведет
к появлению либо добавочных электронов проводимости, либо „дырок".
Примесь, ведущая к возникновению электронов проводимости, носит на-
название донорной (например, мышьяк в кремнии), а примесь, ведущая к воз-
возникновению „дырок",—акцел/гао/)ной(например,бор в кремнии).Носители
заряда, присутствующие в данном полупроводнике в большинстве, назы-
называются основными, а присутствующие в меньшем числе — неосновными.
Если основными носителями заряда являются электроны, то полупровод-
полупроводник называется- электронным, а если основными носителями заряда являют-
являются „дырки", то— „дырочным". При сравнимом числе электронов и „ды-
„дырок" электропроводность полупроводника называется смешанной.
Вопрос о том, является ли механизм электропроводности полу-
полупроводника электронным или „дырочным" может быть решен по знаку
эффекта Холла (см. § 217).
Следует иметь в виду, что и в том случае, когда электропровод-
электропроводность полупроводника вызвана перемещением гдырок", в действи-
действительности движутся электроны. Дело заключается в том, что когда
электроны почти полностью заполняют зону, их движение в одном
направлении эквивалентно перемещению пустого места — „дырки"
в обратном направлении. Тем не менее, результат движения электро-
электронов в [зоне, где много свободных мест, и в зоне, почти полностью
занятой, в ряде случаев оказывается различным, например, в этих
двух случаях, как сказано, различен знак эффекта Холла. Поэтому
имеет смысл различать электронную и „дырочную" проводимость
полупроводников. Наличие этих двух типов проводимости объясняет
возникновение „запорного слоя" на границе двух полупроводников,
что в;едет к выпрямляющему действию в месте контакта двух полу-
полупроводников или полупроводника и металла.
Потенциальная энергия обоих носителей заряда (электронов и
„дырок") различна в соприкасающихся полупроводниках, ;в резуль-
результате чего на их границе возникает скачок потенциала (см. ..рис. .136).
Электроны и „дырки" диффундируют через границу обоих полупро-
полупроводников (ср. со сказанным в § 168 о диффузии электронов через
границу двух соприкасающихся металлов). ;
При отсутствий внешнего поля (рис. 136а) число зарядов, пере-
перенесенных в обоих направлениях, одинаково и суммарный ток равен

§ 172] ИСПУСКАНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ НАКАЛЁННЫМИ ПРОВОДНИКАМИ 193
нулю. При наличии внешнего поля энергия электронов в обоих полу-
полупроводниках изменяется. Если увеличение потенциала происходит от
и-полупроводника к ^-полупроводнику, то энергия электронов в «-полу-
«-полупроводнике увеличится, а в /(-полупроводнике уменьшится. В резуль-
результате, величина скачка потенциала на границе обоих полупроводникои
уменьшится (рис. 1366) и электроны смогут легко переходить из
одного полупроводника в другой, через контакт потечет ток, сила
которого будет быстро возрастать с увеличением разности потенциа-
потенциалов. Наоборот, если увеличение потенциала происходит от ^-полупро-
^-полупроводника к и-полупроводнику, то екачок потенциала на границе обоих
/7
Р
П
Р
п
р
Рис. 136. Изменение потенциальной энергии на границе электронного
(«) и дырочного (р) полупроводников при наличии внешнего поля.
полупроводников возрастет (рис. 136в) — возникнет „запорный слой*.
Теперь электроны, если только разность потенциалов не очень велика,
не могут пройти через контакт — сила тока, проходящего от одного
полупроводника к другому, очень мала.
Очевидно, для неосновных носителей зарядов условия перехода
через границу полупроводников будут обратными, по сравнению
с основными. Однако в виду малого числа неосновных носителей,
создаваемый ими ток очень мал и не играет заметной роли в про-
прохождении общего тока через контакт.
Аналогичный „запирающий слой" может возникнуть и на границе
полупроводник — металл.
Экспериментальное изучение свойств полупроводников было в ши-
широком масштабе проведено в Советском Союзе А. Ф. Иоффе и его
сотрудниками. Объяснение выпрямляющего действия на границе двух
полупроводников одновременно и независимо дано Б. И. Давыдовым
и Шоттки и Моттом.
§ 172. Испускание электронов накаленными проводниками.
В предыдущих параграфах было показано, что вырывание электро-
7 С. Фриш и А. Тиморева

194 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
нов из металла наружу связано с совершением определенной ра-
работы выхода A = eVA- При комнатных температурах лишь ничтожная
часть электронов внутри металла имеет достаточный запас кинети-
кинетической энергии, чтобы, совершив работу выхода А, вырваться из
металла наружу. По мере повышения температуры число быстрых
электронов возрастает и благодаря этому должно возрастать и число
электронов, вырывающихся из металла. Этот процесс вполне анало-
аналогичен процессу испарения молекул из нагреваемой жидкости. При
достаточно высокой температуре наступает заметное испускание
электронов металлом. Это явление носит название термоэлектрон-
термоэлектронной эмиссии.
Разберем это явление с точки зрения классической электронной
теории. Пусть работа выхода электрона из данного металла равна
eV'а- Тогда металл могут покинуть лишь те электроны, кинетическая
энергия которых -~ mv* не меньше работы выхода е VA, т. е. не
меньше величины mvl/2, удовлетворяющей условию:
mv% eV 0)
Для оценки энергии mv%/2 сравним ее со средней энергией теп-
теплового движения атомов (или молекул), которая по классической
теории равна -jkT, где k — постоянная Больцмана. Приравнивая
эту энергию работе выхода eVA, найдем ту температуру Th, при
которой средняя энергия частиц равна работе выхода
{kTk = eVA, откуда Тк= -^. B)
Для различных металлов работа выхода колеблется в пределах
2
от 1 до 4,5 эв. Если мы примем VA = 2 в, т. е. щ CGSE-ея,
потенциала, то получим
9 Л Я 1П-10 9
т. е. энергия электронов, необходимая для того, чтобы они могли
вылететь из металла, должна быть относительно очень велика и
соответствовать средним энергиям теплового движения атомов при
температурах порядка десятка тысяч градусов. На самом деле элек-
электроны начинают вылетать в заметном количестве при температурах
порядка 1000—3000° К, т. е. при гораздо более низких температурах.
Это объясняется тем, что электроны имеют определенное рас-
распределение по энергиям. Благодаря этому часть электронов обладает
энергиями, значительно бблыиими средней. За счет этих электронов
и начинается эмиссия.

§ 172] ИСПУСКАНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ НАКАЛЕННЫМИ ПРОВОДНИКАМИ 195
Если испущенные раскаленным металлом электроны ускорить
внешним электрическим полем, то они образуют ток. Такой элек-
электронный ток может быть получен в вакууме, где столкновения с мо-
молекулами или атомами не мешают движению электронов. По силе
электронного тока можно сделать заключение и о числе электронов,
испускаемых раскаленным металлом.
Явление термоэлектронной эмиссии удобно изучать с помощью
катодной лампы,, представляющей собой трубку, из которой выка-
выкачан воздух, с двумя впаянными в нее электродами: электродом К—
в виде проволоки (рис. 137) и электродом А—в виде диска или
пластинки. Электрод К, носящий название
катода, соединен с отрицательным полю-
сом батареи В, электрод А, называемый
анодом, соединен с положительным полю-
полюсом той же батареи. Катод К можно на-
нагревать с помощью добавочной батареи
В. Электростатическое поле, образующееся
между катодом К и анодом А, ускоряет
электроны, вырывающиеся из катода К
при его нагревании: в результате поток Рис 137< наблюдение термо-
термоэлектронов, пролетающих через вакуум электронной эмиссии с по-
между К и А, замыкает цепь KAQBK. мощью катодной лампы.
Сила возникающего в цепи тока изме-
измеряется прибором О. Вольтметр V позволяет измерять разность потен-
потенциалов между катодом К и анодом А.
Опыт показывает, что сила тока, проходящего через лампу (так
называемого анодного тока), зависит -от температуры катода и от
разности потенциалов Vt — Va между катодом и анодом. При по-
постоянной температуре катода сила анодного тока 1а возрастает
с увеличением разности потенциалов Vy — V2 между электродами.
Однако зависимость между силой тока 1а и разностью потенциалов
Vj — V2 не выражается законом, аналогичным закону Ома, по кото-
которому / пропорционально разности, потенциалов; эта зависимость носит
более сложный характер, графически представленный на рис. 138.
Сперва сила тока возрастает с разностью потенциалов V\—V2 мед-
медленно, затем быстрее, а затем опять медленнее; начиная же с некото-
некоторого определенного значения V\—V^=VH, дальнейшее возрастание
силы тока вообще прекращается — ток достигает насыщения.
Качественно такой характер зависимости анодного тока 1а от
разности потенциалов Vi — V2 объясняется следующим образом. При
Vj — V2 = О сила анодного тока, при достаточно большом расстоя-
расстоянии между электродами, тоже равна нулю.1 Это происходит от того,
1 При близких электродах незначительный ток будет идти и при
-К8=0.

198
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
[гл. xvi
что вылетевшие из катода электроны образуют вблизи него
электронное облако, создающее поле, тормозящее вновь вылетающие
электроны; в результате дальнейшая эмиссия электронов прекра-
прекращается: сколько электронов вылетает из металла, столько же в него
возвращается под действием обратного поля электронного" облака.
При создании между электродами поля, ускоряющего электроны,
электронное облако рассасывается, и между катодом и анодом
появляется ток. Сила этого тока /д возрастает с разностью потен-
потенциалов Vx — VV Теоретический расчет (см. § 186) показывает, что
сила тока /д пропорциональна (V, — V2)'1/2;
Формула C) носит название фюрмулы Богуславского^Ленгмюра.
Здесь а — коэффициент, зависящий от формы и расположения элек-
;. тродов. Таким образом, сила тока /д воз-
возрастает быстрее, чем прямо пропорцио-
пропорционально разности потенциалов V, — V9.
Однако при дальнейшем увеличении раз-
разности потенциалов Vx— К9 возрастание
силы тока начнет задерживаться, так
как общее число электронов, испускае-
испускаемых катодом К при данной температуре,
ограничено. Когда разность потенциалов
Vi — V=i достигает значения VH, достаточ-
достаточного, чтобы отсасывать от катода все те
электроны, которые из него испускаются,
дальнейшее возрастание тока прекра-
прекращается вовсе. При этом достигается ток
насыщения /н, которому соответствует горизонтальная часть графика
на рис. 138.
На основании сказанного можно считать, что сила тока насыще-
насыщения /и численно равна заряду всех электронов, испускаемых в еди-
единицу времени данным катодом при данной температуре.
Следовательно, если мы обозначим через п число электронов,
испускаемых катодом в единицу времени, то
О
Рис. 138. Зависимость анод-
анодного тока /д от разности
потенциалов Vt — 1Л> между
катодом и анодом.
где е — заряд электрона. Отсюда
п -— -й-.
D)
Опыты показывают, что сила тока насыщения возрастает чрезвы-
чрезвычайно быстро с увеличением температуры катода. Характер зависи-

§ 172] ИСПУСКАНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ НАКАЛЕННЫМИ ПРОВОДНИКАМИ 197
мости силы тока насыщения от температуры испускающего металла
графически представлен на рис. 139.
По формуле D) ток насыщения /н измеряет число электронов,
вылетающих из раскаленного металла. Если вместо полного тока /н
ввести плотность тока iH, т. е. величину, представляющую собой ток
с единицы поверхности эмиттирующего ме- j
талла, то гн будет измерять число электронов А<[
и, испускаемых единицей поверхности дан-
данного металла при данной температуре Т.
Квантовая теория позволяет вычислить
значения плотности тока насыщения ta. Эти
расчеты (см. мелкий шрифт) дают:
"¦
E)
Рис. 139. Зависимость
тока насыщения 1„ от
температуры Г катода.
где Т—абсолютная температура металла,
еУл — работа выхода, k — постоянная Больц-
мана, В — определенная константа, вообще говоря, разная для раз-
разных металлов.
Формула E) указывает на чрезвычайно быстрое возрастание
плотности тока насыщения iH с температурой; в основном закон
т , этого возрастания определяется
экспоненциальным множителем
Эмиссионная постоянная В и работа е\'А
выхода А е k?. Теоретическое значе-
значение постоянной В для вполне
чистой поверхности металла
равно 120 а/см* -град2. На са-
самом деле В варьирует для раз-
различных металлов в широких
пределах, причем значение В
сильно зависит ,от состояния
поверхности металла и в осо-
особенности от степени ее чистоты.
То же имеет место, как мы уже
указывали, и для работы вы-
выхода eVд. Тонкий слой адсор-
адсорбированных Cs, Ba, Th, окислов
бария и т. д. способен весьма
сильно снизить работу выхода.
Этим обстоятельством пользуются, чтобы получить значительные элек-
электронные токи при сравнительно невысоких температурах катода.
В табл. VI приведены значения постоянной В и работы выхода
eVji для различных чистых металлов, а также для вольфрама, по-
покрытого тонкой пленкой определенного другого вещества.
Эмиттирующая
поверхность
Pt
W
Mo
Th
W + Cs
W+Ba
W + Th
Окись бария . .
о
32
60
55
70
3,2
1,5
3,0
1,18
эв
5,3
4,5
4,2
3,4
1,36
1,56
2,63
1,84

198 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
Так как работа выхода еУл входит в формуле E) в показатель
степени, а величина В является множителем, то для достижения боль-
больших токов насыщения основную роль играет работа выхода el/д.
Поэтому покрытие поверхности вольфрама Cs, Ва и т. д., как ука-
указано, чрезвычайно выгодно, несмотря на малые значения эмиссионной
постоянной В.
Для того чтобы более конкретно представить себе роль отдельных фак-
факторов в формуле E), приведем следующие численные примеры.
Для чистой поверхности вольфрама по данным табл. VI работа выхода
eVA = 4,5 эв и эмиссионная постоянная В = 60 а/см*-град*. Отсюда плот-
плотность тока насыщения iH при температуре Г=1000°К будет
4,8- 10-ю. 4Д5
/в = 60 • 10003 • е~ 1.38-Ю-16.Ю0Э.ЗО0 а/ем, ^ , 3.10-« а/см\
Та же поверхность вольфрама при Г ==3000° К Даст
4,8.10-10-4,5
iH = 60 • 30002 • е~ 1.38-lo-ie.зооо.зоо
н
Как видно, повышение температуры Т от 1000 до 3000° К ведет к возра-
возрастанию тока насыщения почти в 101в раз.
Для поверхности вольфрама, покрытой цезием, имеем еКл = 1,36 эв
и В = 3,2 а/см2 ¦ град3, откуда для этого случая при 1000°К получается
плотность тока насыщения
_ 4,8.10-10-1,36
/н = 3,2-1000*. е 1.38.Ю-16.Ю00.3СЮ в/вл,,^0>4в а/см*.
Таким образом, покрытие поверхности вольфрама цезием позволяет полу-
получать при температуре накала Т= 1000° К токи насыщения примерное 3- 10м раз
больше, чем с чистого вольфрама при той же
температуре.
Измерение тока насыщения /н позволяет
найти работу выхода еУл- В самом деле,
логарифмируя формулу E), получим
eVA
н ' kT
Сумму первых двух членов In В -f- 2 In T
можно считать приблизительно постоян?
ной, так как при изменении температуры
Рис. 140, Линейная зависи- значен"е ' меняется гораздо медленнее,
мость логарифма тока наш- чем V7"- Поэтому приближенно имеем
щения от \/Т. ' eV, 1
huH = const Y'Y' F)
Если по оси ординат мы отложим lniH, а по оси абсцисс \\Т
(рис. 140), то, согласно формуле F), зависимость lniH от 1/7" выра-
выразится прямой. Такой характер зависимости ?н от Г хорошо подтвер-
подтверждается опытом. Тангенс угла наклона а прямой к оси абсцисс опре-

§ 172] ИСПУСКАНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ НАКАЛЕННЫМИ ПРОВОДНИКАМИ 199
делится, по F), коэффициентом при 1/7", т. е. мы будем иметь соот-
соотношение:
eV.
* 7>
Получив по экспериментальным данным зависимость 1пгн от \\Т,
мы можем найти угол наклона а и, по G), значение работы выхода.
Значения работы выхода е]/л, приведенные в табл. VI, найдены таким
способом.
Явление термоэлектронной эмиссии играет в современной электро-
и радио-технике исключительно большую роль. На нем основано
устройство так называемых кенотронов, усилительных ламп и т. д.
Испускание заряженных частиц раскаленными поверхностями наблю-
наблюдается не только у металлов, но и у других твердых тел. Электрон-
Электронные полупроводники эмигрируют главным образом электроны. Ион-
Ионные кристаллы эмиттируют положительные или отрицательные ионы,
а в некоторых случаях одновременно ионы обоих знаков. Соли CdJ4,
ZnJ2, CaF2, T1J, CuJ2 и многие другие испускают при температурах
600—700° К лишь положительные ионы. Щелочногалогенные соли
(NaCl, KC1 и др.) испускают при температурах 700—800° К только по-
положительные ионы, а при температурах выше 900—1000° К — отрица-
отрицательные ионы.
Положительные ионы дают также некоторые металлы при их
нагреве в парах щелочных металлов.
Кроме термической эмиссии электронов, возможна еще эмиссия под влия-
влиянием внешнего электрического поля, а также под влиянием ударов электро-
электронами или ионами; последняя носит название вторичной электронной эмиссии.
Подсчет величины внешнего электрического поля, достаточного для выры-
вырывания электронов из металлов, требует точного знания структуры поверхно-
поверхностного слоя. Микроскопические шероховатости могут значительно изменить
величину сил, действующих на электрон у поверхности. По приближенным
подсчетам, для вырывания электронов при комнатной температуре требуется
создание у поверхности градиена поля порядка 108 в/см. Для создания таких
больших полей у поверхности проводника можно воспользоваться характе-
характером поля в цилиндрическом конденсаторе. По сказанному в § 149, напря-
напряженность поля в пространстве между цилиндрами, образующими конденсатор,
равна
где Q — заряд,'/ — длина цилиндров, е — диэлектрическая постоянная среды
между цилиндрами, г — расстояние от оси внутреннего цилиндра. Емкость
такого конденсатора:
с_ ±_
где fa и У?1 — радиусы соответственно внешнего и внутреннего цилиндров.
Воспользовавшись соотношением С = -т-. ту—% гДе Vi — ^з — разность
V\ — V*

200 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА [ГЛ. XVI
потенциалов между цилиндрами, получим
Подставив это значение Q/1 в выражение для Е, получим
rlnJF
Отсюда видно, что напряженность поля у поверхности внутреннего цилиндра,
где г = ^i, равна
При очень малом Л?1 величина Е может быть сделана весьма большой-.
При проведении опытов в качестве внутреннего цилиндра берется очень
тонкая нить, диаметром в несколько микрон, тогда при сравнительно неболь-
небольших разностях потенциалов Vt—V2 можно достичь у поверхности нити
напряженности поля до 108 в/см. Опыты необходимо ставить в вакууме и
тщательно обезгаживать поверхности, так как иначе между нитью и внешним
цилиндром возникает разряд. Существенно также состояние поверхностей,
которые должны быть очень гладкими. Несмотря на возможные побочные
явления, удалось, принимая все необходимые предосторожности, эксперимен-
экспериментально обнаружить существование вырывания электронов внешним полем и
показать, что оно начинается при напряженности поля у поверхности порядка
107 — 108 в/см.
Вторичная электронная эмиссия наблюдается при бомбардировке
поверхности различных веществ электронами или ионами. В случае бомбар-
бомбардировки электронами испускаемые поверхностью электроны отчасти состоят
из отраженных первичных электронов, а отчасти — из вторичных электронов,
вырванных из тела. Общее число электронов, испущенных поверхностью,
может превышать число электронов, падающих на нее. Например, для алю-
алюминия, при энергии падающих электронов в-350 эв, число электронов, испу-
испущенных поверхностью, в 1,75 раза больше числа падающих. Особенно велика
вторичная эмиссия электронов со сложных поверхностей, например со слоя
цезия, нанесенного на серебро и покрытого тонкой пленкой окисла. Для таких
пленок число вторичных электронов может в десятки раз превышать число
первичных.
В настоящее время вторичная электронная эмиссия находит применение
для усиления токов внутри электровакуумных приборов (фотоумножители или
трубки Кубецкого).
§ 173. Теория термоэлектронной эмиссии. Испускание электронов из
накаленных металлов происходит за счет теплового движения электронов.
Для того' чтобы электрон смог вылететь из металла, необходимо не только,
чтобы его скорость была достаточно велика, но чтобы она имела и соответ-
соответственное направление. Поэтому рассмотрим число электронов, имеющих опре-
определенное значение составляющей скорости, перпендикулярной к поверхности
металла, через которую электроны вылетают. Если мы проведем прямоуголь-
прямоугольную систему координат XYZ, направив ось ОЛ'перпендикулярно к поверх-
поверхности металла, то нам нужно будет рассмотреть группу электронов dn0Xt
составляющая скорости vx которых лежит в данном интервале vx, vx -f- dvXt
а две другие составляющие имеют произвольные значения от —оо до -f- oo'

§ 173] ТЕОРИЙ ТЕРМОЭЛЕКТРОННОЙ ЭМИССИИ 201
Распределение электронов по энергиям в металле, как было указано
в § 163, подчиняется закону Ферми. Из этого закона следует, что число
электронов dn0, скорости которых имеют составляющие vx, vy, vz, лежащие
в интервалах vx, vx -\- dvx, vy, Vy -\- dziy, vz, vz ~\- dvz, равно
dn» = a Ъ V dv*dvvdvz, A)
l+e kT
где a — константа, Ei = \Epa — E-t\, Ei— максимальная энергия электроноз
при Г=0, Ера — потенциальная энергия и Е^—кинетическая энергия,
равная lUm(v*-\-vy + vl).
Для того чтобы получить число dnOx электронов в единице объема, со-
составляющая скорости которых вдоль оси ОХ лежит в интервале vx, vx-\-dvx,
а две другие составляющие имеют произвольные значения, проинтегрируем
правую часть формулы A) по vy и vz в пределах от —оо до -}-оо:
+О0+СО
\ y-dvvdv2. B)
Так как при тех температурах, при которых наблюдается эмиссия,
для электронов, способных вылететь из металла, выполнено неравенство
, то величина е kT много больше единицы и приближенно
после чего выражение B) можно переписать в виде
e'i mvx .{-co mv* -|_co mv\
dnOx = a.e~*T -е~Ш dvx f e'^^dvy- \ е~Ш dvz.
—CO —CO
Как известно, определенный интегггл
+СО
i e~xudx= У к,
—00
откуда получаем
Теперь подсчитаем число электронов, вылетающих с единицы поверх-
поверхности металла в единицу времени. Рассмотрим группу электронов dn^x с

202
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
[гл. xvi
составляющей vx, лежащей в данном интервале vx, vx -\- dvx. В единицу
времени с единицы поверхности успевают вылететь все те электроны этой
группы, которые находятся в столблке с поперечным сечением в единицу
площади и с длиной, численно равной скорости vx (рис. 141, ср. способ рас-
рассуждения в § 161). Число этих электронов dnx равно
1
У\ i
Рис. 141. К подсчету
числа электронов, вы-
вылетающих с единицы
поверхности в едини-
единицу времени.
Общее число электронов я, вылетающих в единицу
времени с единицы площади поверхности металла,
получим, проинтегрировав dnx в пределах от vxa
до -|-оо, где vxa — минимальная составляющая ско-
скорости vx, достаточная, чтобы электрон смог вылететь
из металла. Таким образом,
"Г
и= \ vxdnOx. D)
Величину vxa определим из следующих соображе-
соображений. Потенциальная энергия внутри металла по-
постоянна и повсюду равна Ера (рис. 101 и 123I. Сле-
Следовательно, для того, чтобы электрон смог вылететь из' металла, составля-
составляющая его скорости vx должна быть не меньше, чем величина vxa, удовлет-
удовлетворяющая равенству:
откуда
vXa=y -
2 \Е,
ра
т
Подставляя это значение ч
найдем
т
в D) и воспользовавшись равенством C),
\
тъх
Выполняя интегрирование, получим
ш2
\Epa\-
Плотность тока насыщения /н получим, умножив число вылетающих электро-
электронов п на заряд электрона е:
. 2тсй
/н = ае J— Ve
I Eva I~¦
1 Следует иметь в виду, что на рис. 101 и 123 горизонтальные линии,
изображающие уровни энергии, относятся к полной энергии.

§ 173] ТЕОРИЯ ТЕРМОЭЛЕКТРОННОЙ ЭМИССИИ 203
Заметив, наконец, что \Ера\—E'; = eVa, где eVa — работа выхода, пере-
перепишем последнюю формулу в виде:
ЪТ
1н = ВТ2е
где В — постоянная. Таким образом, использовав закон распределения Ферми,
мы пришли к выражению для тока насыщения, которое было дано в § 172
и которое подтверждается экспериментально.
Теоретическое значение постоянной а равно -ту-, где тп — масса элек-
электрона, a h — так называемая постоянная Планка, равная 6,624 • 10~-7 эрг-сек.
Это приводит к следующему значению В:
— 4tzrnek2 * пп , о -,„
В = —-г-г—=120 а/см2 -град2.
Эксперименты дают для ряда чистых металлов В ~ 60 а/см2 • град2, т. е.
величину вдвое меньшую. Это может быть объяснено тем, что не все элек-
электроны, для которых vx~^vxa, вылетают из металла, но часть из них отра-
отражается от поверхности металла.

ГЛАВА XVII
ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ
§ 174. Электролитическая проводимость. Ббльшая часть чистых
жидкостей плохо проводит электричество. Так, совершенно чистая
вода, керосин, минеральные масла и т. д. являются очень плохими
проводниками. Однако растворы солей, кислот и щелочей в воде и
некоторых других жидкостях хорошо проводят ток. Например, стоит
в дестиллированную воду добавить немного поваренной соли (NaCl)
или капнуть в нее несколько капель серной кислоты (HjSOJ, чтобы
она стала хорошим проводником.
В различных^частях нашего курса нам уже приходилось отмечать,
что прохождение электрического тока через растворы солей и кислот
сопровождается выделением составных частей этих веществ на элек-
электродах. Такого рода проводники, разлагающиеся при прохождении
тока, носят, как мы указывали, название проводников второго рода,
или электролитов, а их проводимость — электролитической про-
проводимости. Электролитическая проводимость обусловлена наличием
в растворе ионов, т. е. заряженных атомов или молекул. Движение
ионов под влиянием внешнего электрического поля образует
в электролите ток, в то время как в проводниках второго рода
(металлах) ток вызывается движением свободных электронов.
Совершенно чистая вода, как мы только что указали, очень слабо
проводит ток. Это означает, что она состоит в основном из нейтраль-
нейтральных молекул и что в ней нет достаточных количеств свободных
электронов или каких-либо других свободных заряженных частичек,
которые, двигаясь под влиянием внешнего электрического поля, созда-
создавали бы ток. При растворении в воде ряда веществ, например саха-
сахара, глицерина и т. д., получающийся раствор также не проводит тока.
Эти растворы, как было указано в § 85, т. I, обнаруживают осмоти-
осмотическое давление, величина которого хорошо определяется по фор-
формуле Вант-Гоффа. Молекулы этих веществ при растворении не
претерпевают никаких изменений, — они остаются нейтральными и не
диссоциируют. Растворы же солей и кислот обнаруживают осмотическое
давление, ббльшее, чем то, которое вычисляется по обычной формуле
Вант-Гоффа. Мы видели, что аномально большое значение осмотиче-
осмотического давления непосредственно объясняется, если допустить, что

§ 174]
ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
205
часть молекул растворенного вещества диссоциирует, т. е. рас-
распадается на части. Тот факт, что раствор одновременно оказывается
проводящим, убеждает нас, что те части, на которые диссоцииро-
диссоциировала молекула, оказываются заряженными, т. е. представляют собой
ионы. Диссоциация молекул особенно велика в водных растворах, что
объясняется большой диэлектрической постоянной воды (s = 81).
Пусть, например, в сосуд С (рис. 142) налит водный раствор мед-
медного купороса C11SO4 и в него опущены два электрода: К—-уголь-
К—-угольный и А — медный. К электродам присоеди-
присоединены полюсы батареи В, причем угольный
электрод К соединен с отрицательным полюсом
батареи, а медный электрод А — с положи-
положительным. Тогда электроды окажутся заряжен-
заряженными, и между ними в растворе образуется
электрическое поле. Под влиянием этого поля
ионы, на которые диссоциировали в растворе
молекулы медного купороса, начнут дви-
двигаться, — через раствор пойдет ток. Положи-
Положительно заряженные ионы будут двигаться к ка-
катоду К и, отдав ему свой заряд, выделятся на
нем в виде нейтрализованных частиц. Отрица-
Отрицательные ионы начнут двигаться к аноду А и
выделятся на нем.
Рис. 142. Движение
ионов Си++ и SO4
при электролитиче-
электролитической проводимости
Пропуская некоторое время ток через рас- раствора медного ку-
твор медного купороса, легко заметить, как пороса,
на темной поверхности угольного катода осе-
оседает красноватый слой металлической меди. Это убеждает нас в том,
что медь присутствовала в растворе в виде положительных ионов.
Остальная часть диссоциировавшей молекулы CuSO4, т. е. группа SO4)
должна образовывать отрицательные ионы. Таким образом, мы при-
приходим к следствию, что молекулы медного купороса диссоциируют
при растворении на положительные ионы меди и отрицательные ионы
SOi, что мы запишем следующим образом:
CuSOi ->¦ Cu++ -f- SO4-.
Двойные знаки -|—[-и означают, что в данном случае ионы
являются двухзарядными, т. е. возникают соответственно в результате
потери двух электронов или захвата двух лишних электронов.
Положительные ионы меди Си++ движутся к катоду и там выделяются
в качестве атомов меди. Отрицательные ионы SO~ движутся к аноду.
Если этот анод медный, как мы это нарочно выбрали в рассматриваемом
примере, то ионы SO^, нейтрализовавшись у анода, вступают с ним
в химическую реакцию и образуют вновь молекулы медного купороса:
SO7T + Си = CuSO4 4- 2е,
где е означает электрон, переходящий на анод.

206 ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ [ГЛ. XVII
Эти образовавшиеся молекулы медного купороса снова перехо-
переходят в раствор. В результате количество медного купороса в растворе
остается неизменным; на катоде выделяется медь, а медь с анода,
вступая в химическую реакцию с ионом SO^", переходит в раствор.
Этот пример характерен: он показывает, что, с одной стороны,
проводимость электролита обусловлена движением тех ионов, на
которые диссоциировали молекулы растворенного вещества, а с дру-
другой, — что на электродах не обязательно выделяются составные
части растворенного вещества. Конечный результат электролиза
зависит от тех химических реакций, которые происходят в местах
выделения ионов. Эти реакции называются вторичными реакциями
и без их учета нельзя правильно разобрать процесс электролити-
электролитической диссоциации. Очевидно, что характер вторичных реакций
определяется не только природой раствора, но и материалом, из ко-
которого сделаны электроды.
Результаты электролиза одного и того же раствора могут быть
различны в зависимости от выбора электродов. Рассмотрим, напри-
например, электролиз водного раствора серной кислоты H2SO4. Молекулы
серной кислоты диссоциируют на положительные ионы водорода Н+
и отрицательные ионы SO~, причем при диссоциации каждой из моле-
молекул HaSO4 возникают два иона водорода и один ион SOj", заряд
которого по численному значению вдвое больше заряда каждого из
ионов водорода в отдельности; мы: запишем это в виде: -
H2SO4-*2H+-f-SOr.
Предположим сперва, что в раствор серной кислоты опущены
свинцовые электроды. Тогда на том из них, который служит като-
катодом, выделится газообразный водород. На аноде же начнет выде-
выделяться ион SO", который вступит в химическую реакцию с мате-
материалом катода и образует сульфат свинца:
Количество серной кислоты в растворе начнет убывать, мы полу-
получим в результате электролиза разложение серной кислоты.
Но проведем электролиз того же самого раствора серной кислоты,
взяв платиновые электроды. В этом случае на катоде по-прежнему
будет выделяться газообразный водород. Ион же SO~, выделяю-
выделяющийся у анода, не вступит в химическую реакцию с платиной, а
вступит в реакцию с водой, причем реакция будет протекать в виде:
SO"+ HaO = HaSO4-fO + 2e,
т. е. вновь образуется серная кислота, а у анода выделяется газо-
газообразный кислород. В конечном счете мы получим: количество серной
кислоты в растворе останется неизменным; у электродов выде-
выделятся газообразные водород и кислород, причем на каждый атом
кислорода, выделившийся у анода, у катода выделяются два атома

§ 175] ЗАКОНЫ ФАРАДЕЯ 207
водорода, т. е. оказывается разложенной одна молекула воды. Таким
образом, в результате вторичных реакций, сопровождающих электро-
электролиз серной кислоты, разлагается вода, а сама серная кислота ока-
оказывается восстановленной.
Анализ этих и других случаев электролиза показывает, что металлы
и водород всегда образуют положительные ионы, или катионы,
как их называют. Остальные части молекул (радикалы, галогены
и т. д.) образуют отрицательные ионы (анионы).
В действительности процесс диссоциации носит более сложный характер,
чем это изложено в основном тексте, так как ионы взаимодействуют с моле-
молекулами воды. Например, в случае водного раствора положительный ион водо-
водорода Н+ не остается в свободном виде (свободный протон), а соединяется
с молекулой воды, образуя молекулярный положительный ион НаО+ (ион
гидроксония). Также положительные ионы металлов подвергаются гидрати-
рованию (соединению с молекулами воды), например при растворении мед-
медных солей образуются группы Си (Н2ОL^+ и т. д.
Сам процесс диссоциации в водных растворах следует рассматривать как
результат взаимодействия диссоциирующей молекулы с молекулой воды.
Например, при диссоциации серной кислоты в результате взаимодействия
молекулы серной кислоты H2SO4 с молекулой воды Н2О возникают ионы
Н.О+ и HSOr-
H2SO4 + Н2О — НаО+ +
Далее, молекулярный ион HSO^, реагируя с водой, ведет к образованию
двухзарядного иона SOp:
HSO7 + Н2О — Н3О+ + SOr-
При обычных условиях равновесия в растворе присутствуют как ионы
SO;—, так и ионы HSOj, причем вторых будет значительно больше, чем пер-
первых. Тем не менее окончательный результат электролиза и вторичных реак-
реакций будет тот же, что приведен в основном тексте.
§ 175. Законы Фарадея. Законы электролитической проводимости
были экспериментально установлены Фарадеем в 1836 г. Этих законов два.
Первый закон Фарадея относится к связи между количеством
выделившегося на электроде вещества, силой тока и временем про-
прохождения тока через электролит. Этот закон имеет следующий про-
простой смысл: масса выделившегося на электроде вещества М пропор-
пропорциональна силе тока / и времени его прохождения t:
M = klt; . A)
здесь k — коэффициент пропорциональности, зависящий только от
рода выделившегося вещества и состава электролита.
Произведение силы тока / на время t представляет собой коли-
количество электричества Q, прошедшее через электролит:
откуда первому закону Фарадея можно придать вид:
M — kQ, (la)

208 ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ [ГЛ. XV11
т. е. масса выделившегося вещества М пропорциональна прошед-
прошедшему через электролит, количеству электричества Q. Коэффи-
Коэффициент k называется электрохимическим эквивалентом выделяемого
вещества.
Так как при Q = 1 численно имеем
М --= k,
то, следовательно, электрохимический эквивалент численно равен
массе вещества, выделившегося при прохождении через электролит
единицы количества электричества.
Второй закон Фарадея определяет величину электрохимического
эквивалента k.
Раньше чем формулировать второй закон Фарадея, напомним
некоторые химические характеристики вещества. Химическим экви-
эквивалентом элемента называется безразмерная величина, численно рав-
равная массе данного элемента, выраженной в граммах, которая замещает
в химических соединениях 1,0078 г водорода.
Валентностью элемента называется число атомов водорода, кото-
которое замещается в химическом соединении одним атомом данного
элемента. Обозначив через А атомный вес элемента, через п — его
валентность, получим, что химический эквивалент равен А\п. Если
мы возьмем А/п граммов элемента, то такое количество этого эле-
элемента составляет грамм-эквивалент.
Второй закон Фарадея состоит в том, что электрохимические
эквиваленты элементов k пропорциональны их химическим экви-
эквивалентам:
* = с?, B)
где С—коэффициент пропорциональности, одинаковый для всех
элементов. Обычно вместо коэффициента С вводят величину, ему
обратную:
1 —С
тогда второй закон Фарадея принимает вид:
*=44- Bа)
Величина F называется числом Фарадея. Подставляя значение
электрохимического эквивалента k из Bа) в выражение для первого
закона Фарадея A), получим формулу, объединяющую оба закона
Фарадея:
M=]F-^Q. C)

§ 176] ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКАЯ ДИССОЦИАЦИЯ 209
Отсюда следует, что если выделяется один грамм-эквивалент
вещества, т. е. масса М, численно равная А/п, то Q должно численно
равняться F.
Таким образом, число Фарадея F численно равно количеству
электричества Q, при прохождении которого через электролит
на электроде выделяется один грамм-эквивалент вещества:
Измерения электрохимических эквивалентов дают для числа Фара-
Фарадея F следующее значение:
грамм-эквивалент
Особое значение законы Фарадея сыграли в установлении элек-
электронной теории. Из формулы C) следует, что для выделения одного
грамм-эквивалента любого вещества требуется прохождение через
электролит вполне определенного количества электричества, а именно:
количества электричества, численно равного числу Фарадея F. Коли-
Количество атомов N' в грамм-эквиваленте зависит от валентности эле-
элемента п и, очевидно, равно •
где N — число Авогадро. Таким образом, выделение каждого атома
связано с прохождением через электролит количества электричества
По ионнрй теории проводимости электролитов прохождение тока
через электролит сводится к передвижению ионов, отсюда из фор-
формулы D) вытекает, что ион каждого элемента несет заряд q,
пропорциональный валентности элемента п.
Наименьший заряд иона е соответствует заряду одновалентного
иона (и=1), откуда
Так как валентность элемента выражается целым числом п, то
заряд q, переносимый любым ионом,
<7 = пе,
оказывается целим кратным от наименьшего заряда е. Таким
образом, закон Фарадея в совокупности с атомной теорией вещества
приводит к представлению об атомном строении электричества. Этот
вывод был сделан одновременно и независимо друг от друга Гельм-
гольцем и Стонеем в 1881 г. Каждый атом вещества может терять
или присоединять к себе заряд, кратный элементарному заряду е.
Очевидно, этот элементарный заряд е представляет собой 'заряд
электрона. Положительный ион образуется, если атом (или молекула)

210 ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ [ГЛ. XVII
теряет один или несколько электронов. Отрицательный ион обра-
образуется, если атом (или молекула) присоединяет к себе один или
несколько лишних электронов. «
Так, при электролитической диссоциации водород и щелочные
металлы (литий, натрий, калий и т. д.) образуют одновалентные
положительные ионы, т. е. они являются атомами, потерявшими по
одному электрону. Цинк и медь при диссоциации сульфатов этих
элементов (Z11SO4 и CuSO4) образуют двувалентные положитель-
положительные ионы, т. е. они представляют собой атомы, у которых не хва-
хватает двух электронов.
Галогены Cl, Br, J образуют одновалентные отрицательные ионы —
их атомы захватывают по одному лишнему электрону.
Один и тот же элемент может проявлять себя с разной велент-
ностью. В соответствии с этим возникают и ионы с разными заря-
зарядами. Например, положительный ион железа, возникающий при дис-
диссоциации солей двувалентного железа, представляет собой атом
железа, потерявший два электрона, а возникающий при диссоциации
трехвалентных солей железа — атом, потерявший три электрона.
Соотношение E) позволяет определить заряд электрона по числу
Фарадея F и числу Авогадро N. Полагая число Авогадро N=6,023 X
X Ю23 моль~1, получим
к=1,60Ы0-19 к = 4,803- Ю-10CQSE,
что представляет собой ныне принимаемое значение заряда электрона.
Однако экспериментальные методы определения числа Авогадро N
менее точны, чем методы непосредственного измерения заряда элек-
электрона, поэтому равенство E) обычно используется для определения
числа Авогадро N по числу Фарадея F и заряду электрона е.
§ 176. Электролитическая диссоциация. Электролитическая про-
проводимость, как мы указывали в § 174, обусловлена наличием в рас-
растворе ионов, которые возникают в результате диссоциации молекул
растворяемого вещества. Молекулы диссоциируют в растворе под
влиянием взаимодействия с молекулами растворителя. Степень дис-
диссоциации зависит от природы молекул как растворенного вещества,
так и растворителя. Имеется параллелизм между диэлектрической
постоянной вещества и его способностью вызывать диссоциацию,
если оно употребляется в качестве растворителя: чем больше диэлек-
диэлектрическая постоянная растворителя, тем большую степень диссоци-
диссоциации он вызывает.
Для количественной характеристики степени диссоциации вводится
в рассмотрение коэффициент диссоциации а. Предположим, что в еди-
единице объема раствора имеется я0 молекул растворенного вещества,
из которых
'

§ 176] ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКАЯ ДИССОЦИАЦИЯ 211
диссоциированы на ионы, а
К = Щ — <ш0 = A — а) щ
не диссоциированы. Коэффициент диссоциации а. указывает степень
диссоциации молекул в растворе; очевидно, что если
а=1,
то все молекулы диссоциированы, а если
а=0,
то диссоциация отсутствует.
При данной степени диссоциации раствора мы имеем дело с рав-
равновесием между процессом ионизации молекул и процессом воссо-
воссоединения ионов в нейтральные молекулы (молизацией). Число моле-
молекул, диссоциирующих за некоторый промежуток времени, пропорци-
пропорционально числу наличных молекул. Следовательно, число новых пар
ионов, возникающих в единице объема в единицу времени, можно по-
положить равным
ДЯ; = р.A—а)я„, A)
где р — коэффициент пропорциональности. Число ионов, воссоединя-
воссоединяющихся в молекулы, пропорционально как числу положительных ионов,
так и числу отрицательных ионов, так как для образования молекулы
нужны ионы обоих знаков. Так как число ионов каждого знака
в единице объема равно ая0, то, следовательно, число пар ионов,
воссоединяющихся в единице объема в единицу времени, можно
считать равным
А<=Т-ало-аЛо = ТаХ> B)
где f — коэффициент пропорциональности. Условие равновесия между
процессом ионизации и процессом молизации, очевидно, сводится
к тому, чтобы число вновь образующихся пар ионов равнялось числу
воссоединяющихся пар ионов, т. е. чтобы
Ап'а = Д<,
откуда, по A) и B)
РA—a)/io = Ta4f;
из последнего равенства находим
Эта формула связывает коэффициент диссоциации а с числом
растворенных молекул в единице объема я0.
Отношение коэффициентов -j/р не зависит от я0, а зависит лишь от
природы раствора и тех условий (температуры), при которых он нахо-
находится.

212 ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ [ГЛ. XVII
Формула C) позволяет сделать некоторые заключения о степени
диссоциации молекул в растворе. Предположим сперва, что раствор
очень слабый, т. е. что число молекул растворенного вещества в единице
объема близко к нулю: па^ 0, тогда получаем
т. е. в слабых растворах а близко к единице, что означает, что
практически все молекулы диссоциированы.
Если мы предположим, наоборот, что степень диссоциации мала,
то в равенстве C) можно пренебречь в числителе коэффициентом а
по сравнению с единицей, тогда получим
^Г ' (За)
г 'Г
в этом случае степень диссоциации обратно пропорциональна корню
квадратному из числа молекул растворенного вещества в единице
объема, или, другими словами, обратно пропорциональна корню квад-
квадратному из концентрации раствора.
Значение коэффициента диссоциации может быть определено через
электропроводность раствора (см. § 178); а. принимает весьма раз-
различные значения, меньшие единицы, в зависимости от природы и
концентрации раствора. Например, для КО при концентрации в
0,0001 моль/л получается а = 0,993, а при концентрации 1 моль/л
получается а = 0,757. Чистая вода также диссоциирована, но в очень
слабой степени. Она диссоциирует на положительные ионы Н+ и
отрицательные ионы гидроксила ОН". Положительные ионы Н+, со-
соединяясь с водой, ведут к образованию ионов Н3О+, так что весь
процесс диссоциации воды носит следующий характер:
Н2О + H2O:S: H3O+ -f- ОН".
Для очень чистой воды а приблизительно равно 1,7 • 10~9. Этому
соответствует концентрация ионов Н+, приблизительно равная 10
молей-на 1 л. Легко подсчитать, что при этом на 1 см'Л воды п'ри-
ходится приблизительно 6 • 1012 ионов Н+ и столько же отрицатель-
отрицательных ионов гидрсксила ОН".
В электрохимии играет большую роль определение концентрации ионов
Н+ в различных растворах. Эта концентрация, выраженная в молях на 1 л,
обозначается [Н+]. Десятичный логарифм от [Н+], взятый с обратным знаком,
обозначается символом рН:
Для воды [Н+]=10~7 и, следовательно, рН = —lglO~7 = 7. Среды, для
которых рН < 7, называются кислыми, а для которых рН > 7 — щелочными.
§ 177. Энергия ионов в растворе. Рассматривая явление контактной
разности потенциалов, мы видели, что электроны внутри металла обладают
потенциальной энергией, меньшей чем свободный электрон вне металла. Для
вырывания электрона из металла надо затратить определенную работу. Точно
так же ион внутри растворителя обладает определенной потенциальной

§ 177] ЭНЕРГИЯ ИОНОВ В РАСТВОРЕ 213
энергией. Вопрос об энергии иона в растворе мы рассмотрим сперва с макро-
макроскопической точки зрения. Предположим, что мы имеем заряженный шар радиу-
радиуса г, несущий заряд q и находящийся в пустоте. Его энергия (см. § 138) равна
Е -q*
Тот же шар, помещенный в сплошной диэлектрик с диэлектрической
постоянной е, обладает энергией
F=-?- A)
Если ион в растворе рассматривать как шарик с зарядом д, помещенный
в диэлектрическую среду, то его потенциальная энергия выразится формулой
A). Для того чтобы перенести этот ион из раствора в пустоту, надо затратить
работу, равную разности потенциальных энергий:
Полагая радиус иона величиной порядка 2 ¦ 10~8 см, найдем, что работа А
представляет собой величину порядка 3 эв.
Для более точного определения энергии иона в растворе надо детальнее
рассмотреть взаимодействие иона с окружающими молекулами.
Вода, наиболее часто встречающаяся в качестве растворителя, состоит
из полярных трехатомных молекул. Возьмем первоначально уединенный ион
и станем к нему симметрично приближать шесть ней-
нейтральных молекул воды (рис. 143). Под влиянием элек-
электрического поля иона полярные молекулы воды будут
притягиваться к иону независимо от знака заряда иона,
так как они всегда повернутся в сторону к иону тем
концом, который несет противоположный заряд. Взаим-
Взаимная потенциальная энергия иона и молекул воды убы-
убывает по мере приближения молекул к иону, она изобра-
изобразится ниспадающей частью кривой аЪ на рис. 144. При
достаточно малом значении расстояния г между поляр- рис 143 Молекулы
ными молекулами и ионом сила притяжения перейдет в " окружающие
силу отталкивания, и потенциальная энергия начнетЬоз- ' Jy
растать (часть кривой cd на рис. 144). Определенному рас-
расстоянию между ионом и молекулами соответствует мини-
минимум потенциальной энергии и устойчивое расположение молекул вокруг иона.
Вместо того чтобы приближать к иону шесть молекул, мы можем приближать
к нему шесть групп молекул, достаточных для образования вокруг нею
оболочки в две-три молекулы толщиной. Кривая потенциальной энергии ока-
окажется в этом случае такой же, как на рис. 144, но с еще более глубоким
минимумом. Дальнейшее прибавление молекул мало изменит потенциальную
кривую, так как напряженность поля вокруг иона быстро убывает с рассто-
расстоянием. Добавив достаточно молекул, мы получим ион в капле жидкости. Таким
образом, изменение энергии иона при его внесении в растворитель предста-
представится глубиной минимума потенциальной кривой типа изображенной на
рис. 144. Потенциальная энергия иона в растворителе может быть снова
представлена формулой A), только значение е будет несколько отлично от
значения диэлектрической постоянной растворителя, определенной обычным
макроскопическим путем.
При очень слабом растворе нет надобности учитывать взаимодействие ионов
между собой, как мы и делали. Каждый ион взаимодействует лишь с сосед-
соседними молекулами растворителя, образуя вместе с ними комплекс, называемый
сольватом, который движется в чистом растворителе.

214
ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ
[гл.
XVII
Для не очень слабых растворов надо принять во внимание взаимодействие
ионов. Предположим, что все ионы несут одинаковые по численному значе-
значению заряды. Рассмотрим определенный ион. Потенциальная энергия его взаи-
взаимодействия с другим ионом, находящимся от него на расстоянии г/, равна ^2,/ег/.
Она положительна, если оба иона одноименны, и отрицательна, если они раз-
ноименны. Потенциальная энергия взаимодействия данного иона со всеми
окружающими ионами будет равна qt Л -Si-. Заряды qt разных знаков, поэтому
отдельные члены этой суммы также разных знаков, и значение всей суммы
невелико. Оно было бы равно нулю, если бы вблизи данного иона имелось одина-
одинаковое число положительных и отрицательных
ионов и они находились бы в среднем на оди-
одинаковых расстояниях. В этом случае потен-
потенциальная энергия иона оказалась бы такой
же, как если бы по соседству с ним не
было других ионов. Однако в действитель-
действительности дело обстоит иначе. Совершая тепло-
тепловое движение, каждый ион сталкивается
с окружающими нейтральными молекулами
растворителя и иногда сближается с дру-
другими ионами. Отталкивание одноименных
ионов препятствует их сближению, а взаим-
взаимное притяжение разноименных ионов спо-
способствует их сближению. В результате
вблизи положительного иона чаще оказы-
оказываются отрицательные ионы, а вблизи отри-
отрицательного—- положительные. Каждый ион
окружен как бы облаком из ионов проти-
противоположного знака.
В решетках ионных кристаллов (напри-
(например, кристалла каменной соли) каждый
положительный ион окружен шестью отрицательными, а каждый отрица-
отрицательный— шестью положительными. Таким образом, распределение ионов
в растворе является промежуточным между произвольным распределением
нейтральных молекул в жидкости и упорядоченным распределением ионов
в кристаллической решетке. Отсюда вытекает, что совокупность ионов в рас-
растворе обладает некоторым запасом 'энергии, подобной энергии ионной кри-
кристаллической решетки. Следовательно, работа удаления иона из раствора, где
присутствуют другие ионы, несколько больше, чем из чистого растворителя.
Однако величина этой добавочной работы невелика по сравнению с работой,
выражаемой формулой B).
Силы взаимодействия иона с окружающей средой носят не только электро-
электростатический характер. Это обстоятельство заставляет с осторожностью отно-
относиться к способам определения скачков потенциалов между двумя различными
веществами, например между двумя металлами или металлом и электролитом.
Если мы, например, определим (по работе переноса) скачок потенциала между
металлом и электролитом, один раз перенося из металла в электролит электрон,
а другой раз — ион, то можем получить различные значения. Определение
разности электростатических потенциалов двух точек через работу переноса
единичного заряда из одной из этих точек в другую справедливо лишь в слу-
случае переноса идеального точечного электрического заряда, который не может
взаимодействовать с окружающим веществом никакими другими силами, кроме
электростатических. При переносе же какого-либо реального заряда (элект-
(электрона, иона), кроме электростатических сил взаимодействия, возникают другие
более или Менее значительные силы, зависящие от рода переносимых частиц
и рода граничащих веществ, например „обменные силы", рассматриваемые
Рис. 144.
циальной
Зависимость потен-
энергии Ер от рас-
расстояния г.

§ 178] ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКОЙ ПРОВОДИМОСТИ 215
в квантовой механике. Тогда определение разности потенциалов- через работу
переноса такой реальной заряженной частицы возможно лишь в случае, если
обе точки, для которых определяется разность потенциалов, лежат в одной
среде. Если же точки лежат в разных средах, то работа может получиться
различная — в зависимости от того, какая именно частица переносится.
§ 178. Теория электролитической проводимости. При отсут-
отсутствии внешнего электрического поля ионы в электролите совершают
тепловое движение, следовательно результирующий ток равен нулю.
При наличии поля положительные ионы приобретают добавочную ско-
скорость и+ в направлении электрического поля, а отрицательные ионы —
добавочную скорость и_ в противоположном направлении. На беспо-
беспорядочное тепловое движение накладывается переносное движение
ионов, и в растворе возникает перенос зарядов в определенном
направлении, т. е. возникает электрический ток.
При рассмотрении электропроводности металлов (§ 161) мы учи-
учитывали действие поля на электрон на длине его свободного пути.
Далее, мы считали, что при соударении с ионами, образующими остов
кристаллической решетки металла, электрон теряет приобретенную
под влиянием внешнего поля добавочную скорость. Движение же ионов
в электролите мы будем рассматривать макроскопически; мы будем счи-
считать, что на ион в электролите действуют две силы — электрическая сила
qE, где q — заряд иона, и ? — напряженность электрического поля, и сила
сопротивления среды. Такая точка зрения оправдывается тем, что ионы
крупнее электронов и густо окружены молекулами растворителя. В боль-
большинстве случаев ион облеплен нейтральными молекулами, так что под
влиянием поля Е движется целый комплекс, носящий название сольвата.
При тех скоростях, которыми обладают ионы, можно считать, что
сила трения пропорциональна скорости и, очевидно, направлена в сто-
сторону, противоположную скорости иона. Таким образом, силу трения,
действующую на положительный ион, можно считать равной—k+u+,
где к+ — коэффициент трения. Обозначая массу положительного иона
через т+, а его ускорение — через w+, получим уравнение для на-
направленного движения положительного иона в виде:
m+w+ = qE — k_i.u+. A)
Это уравнение показывает, что при малых скоростях большую
роль играет электрическая сила qE, под действием которой скорость
иона н+ возрастает; однако по мере возрастания скорости и+ сила
трения k+u+ тоже возрастет и в некоторый момент достигнет такой
величины, что правая часть уравнения A) обратится в нуль:
qE — k+u+ = Q;
тогда обратится в нуль и ускорение w+, следовательно скорость
примет постоянное значение, равное

216 ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ [ГЛ. XVII
Отсюда мы ' получаем, что скорость установившегося направленного
движения иона и+ пропорциональна напряженности электрического
поля Е.
Аналогичное соотношение получим для скорости и_ отрицатель-
отрицательного иона
здесь k__ — коэффициент трения отрицательного иона.
.Ток в электролите будет создаваться движением ионов обоего
знака; число ионов каждого знака в единице объема электролита
равно ап0; следовательно, плотность тока, выражаемая суммой плот-
плотностей тока, создаваемых движением положительных ионов по полю
и отрицательных ионов против поля, будет равна
I = 1+ -{- L = qo.nau+ -f- qanau_ = qanu (и+ -f- и_), C)
где q — заряд, несомый каждым из ионов.
Назовем эквивалентной концентрацией, ц величину, равную
числу грамм-эквивалентов растворенного вещества, приходящемуся на
единицу объема раствора. Тогда г) = ^, где л0 — число молекул
растворенного вещества в единице объема, a N' — число молекул
в грамм-эквиваленте. Помножив и поделив произведение qna на Л/',
получим qnu = qN' • -Л,. Но, по сказанному, ^, = 7], a qN' = F, где
F— число Фарадея. Отсюда
qn0 == тг)/7.
Подставив это значение qnu в C), получим
или, подставляя сюда вместо скоростей ионов и+ и и_ их выражения
по B) и Bа):
Отношения q/k+ и q/k_, численно равные скорости ионов при
напряженности поля ?=1, называются подвижное тями ионов. Обо-
Обозначим их через и\ и и°_. Тогда равенство D) перепишется:
i = Fip.(u!>++ul)E. D а)
Величина Fщ (и°+ -\- и"_) для данного раствора постоянна. Так как
по закону Ома плотность тока i = aE, то равенство Dа) выражает
закон Ома для случая электролитической проводимости. Коэффициент
электропроводности а для электролита оказывается равным
+*?). E)

§ 178] ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКОЙ ПРОВОДИМОСТИ 217
Соотношение E) показывает, что электропроводность электролита
пропорциональна коэффициенту диссоциации а и сумме подвижностей
ионов (и\ -\- и"_)-
Коэффициент диссоциации а зависит от концентрации раствора,
поэтому зависимость а от % выражаемая формулой E), носит слож-
сложный характер. Для чистого растворителя электропроводность-а = О,
так как равна нулю концентрация ч\. Затем, с увеличением .щ, элек-
электропроводность возрастает и достигает некоторого максимума. Для
конце нтрир ованных растворов а снова спадает, так как уменьшается
степень диссоциации а. На рис. 145 приведена зависимость а от кон-
концентрации раствора серной кислоты в воде.
Величина <з/т\ называется эквивалент-
эквивалентной электропроводностью. Обозначим ее
через Л, тогда по E):
. F)
Число Фарадея F есть величина по-
постоянная, сумма подвижностей ионов ' гг 1~
и* -\- иа_ для данного электролита есть ° ™'° '
тоже величина постоянная, поэтому, по F), 2 u
Рис. 145. Зависимость элек-
А = Cot, (ба) тропроводности о от кон-
концентрации раствора серной
где С—величина постоянная. Таким об- кислоты в воде,
разом, эквивалентная электропроводность
пропорциональна коэффициенту диссоциации а. Для очень слабого рас-
раствора а=1, и тогда Л = С, т. е. для очень слабого раствора эквива-
эквивалентная электропроводность перестает зависеть от концентрации.
Обозначим это постоянное значение эквивалентной электропроводно-
электропроводности через A^, тогда из формулы Fа) получим
л
отсюда коэффициент диссоциации а может быть определен по отно-
отношению эквивалентных электропроводностей при данной концентрации
и при весьма слабой концентрации.
Значение А^, непосредственно связано с суммой подвижностей
ионов. В самом деле, из F) имеем
Отсюда, определив эквивалентную электропроводность при очень
слабой концентрации, можно найти сумму подвижностей ионов.
Для определения самих подвижностей ионов достаточно знать еще
отношение и°+/и\ Это отношение может быть найдено на основании
следующего подсчета. Число ионов каждого знака в единице объема па
мы считали одинаковым для всех частей электролита. Однако благодаря

218 ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ [ГЛ. XVII
различной подвижности ионов число их будет меняться со временем
по-разному вблизи катода и вблизи анода.
Пусть раствор настолько слабый, что диссоциация полная (а=1),
и, следовательно, число пар ионов в единице объема п'о равно числу
молекул растворенного вещества п0, приходящихся на единицу объема.
Тогда первоначально у катода было я0 положительных ионов в еди-
единице объема (и столько же отрицательных). При прохождении тока
положительные ионы начнут прибывать к катоду, а "отрицательные —
от него уходить. Все вновь прибывающие к катоду положительные ионы
на нем выделятся, и потому их нет надобности учитывать. Что касается
отрицательных ионов, то за время t из каждой единицы объема, приле-
прилегающего к катоду, уйдет n0u_t ионов. В результате этого столько же
положительных ионов останется непарными и выделится на катоде.
Таким образом, за время t число пар ионов вблизи катода умень-
уменьшится на nuu_t пар и станет равным
л<*Р = л0 ¦— nou_t = /г0 A — uj).
Следовательно, за время t число пар ионов у катода изменилось
в отношении
«о
Совершенно так же получим, что за время t число пар ионов
у анода изменится в отношении
— = 1 — uj. Ga)
Так как по нашему предположению диссоциация полная, то число
пар ионов в единице объема равно числу растворенных в единице объема
молекул, а последнее пропорционально эквивалентной концентрации т\.
Отсюда, по G):
^±- = \—UJ, (8)
где ijW — значение эквивалентной концентрации вблизи катода через
время t после начала электролиза, а % — начальное значение экви-
эквивалентной концентрации. Также из Gа) следует:
^- = 1 — u+t, (8a)
где if-A) — значение эквивалентной концентрации вблизи анода через
время t после начала электролиза.
Из соотношений (8) и (8а) получаем

§ 179]
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОДОВ
219
так как подвижности ионов и\.-а и2_ пропорциональны их скоростям, то
Таблица VII
Подвижности ионов
(в см'-'/сек ¦ в)
Ионы
Н
К
Na
ОН
С1
NOa
0,003263
0,000669
0,000450
0,001802
0,000677
0,000639
Из равенства (9) видно, что, исследуя степень понижения концентра-
концентрации растворов у электродов в результате электролиза, можно найти
отношение подвижностей ионов. Поль-
Пользуясь формулами E) и (9), можно
определить и сами подвижности ионов.
Значения подвижностей и\ и и!, для
некоторых ионов приведены в табл. VII.
Из данных табл. VII видно, что при
практически достижимых напряженно-
стях полей (Е порядка нескольких
вольт на 1 см) скорости ионов весьма
малы и не превышают нескольких ты-
тысячных сантиметра в секунду.
В концентрированных растворах
подвижность ионов меньше, чем в раз-
разбавленных. В концентрированных растворах нельзя пренебрегать полем
остальных ионов по сравнению с внешним полем.
Движение ионов может быть непосредственно продемонстрировано
путем применения ионов, дающих окрашенные растворы. В LJ-образ-
LJ-образную трубку с двумя платиновыми электродами К
и А (рис. 146) наливают два различных раствора
одинаковой плотности: вниз — раствор марганцево-
кислого калия (КМпО4), обладающий интенсивной
фиолетовой окраской, и сверху — бесцветный раствор
азотнокислого калия (KNO3). При пропускании через
трубку тока граница окрашенного раствора иона
МпО4 заметно передвигается к аноду.
§ 179. Поляризация электродов. Предположим,
что в какой-либо электролит погружены два одина-
одинаковых металлических электрода, например две пла-
платиновые пластинки — в водный раствор медного
купороса. Такая комбинация, как мы указывали, не
дает э. д. с, отличной от нуля; отличная от нуля
э. д. с. получается лишь при погружении в электро-
электролит двух различных проводников первого рода.
Но пропустим через наш раствор медного купо-
купороса с платиновыми электродами ток, присоединив
электроды к какому-либо внешнему источнику э. д. с, например к гальва-
гальваническому элементу. Тогда на платиновом электроде, служащем като-
катодом, выделится медь, а у анода выделится ион SO^~; этот ион вступит
Рис. 146. Метод
наблюдения по-
подвижности
ионов.

220
ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ
[гл. xvii
в химическую реакцию с водой, что поведет к образованию
серной кислоты (H2SO4) и выделению у электрода кислорода.
В результате симметрия электродов нарушится: один из них ока-
окажется покрытым слоем меди, а другой—пленкой кислорода. Теперь
погруженные в раствор электроды не будут одинаковы и образуют
гальванический элемент, со своей э. д.с. Ш', так называемый поляри-
поляризационный элемент.
Если его отключить от внешнего источника э. д. с. и замкнуть
каким-либо сопротивлением, то он даст ток, который будет идти
до тех пор, пока в результате происходящих в нем в обратном
порядке химических реакций симметрия электродов не восстановится
(элемент не разрядится).
Аналогичное, нарушение первоначальной симметрии, существующей
при одинаковом материале электродов, будет иметь место всякий
раз при электролизе растворов. Происходящее при этом изменение
электродов носит название поляризации электродов, а возникающая
э. д. с. — поляризационной э. д. с. В действительности поляризация
не всегда проходит указанным обратимым образом: после разрядки
элемента первоначальное состояние может быть не вполне восстано-
восстановленным.
Существование поляризационной э. д. с. ведет к ряду важных
выводов.
Во-первых, мы можем разобрать вопрос о том, в каком виде
применим закон Ома к электролитам.
При прохождении тока через проводник первого рода сила тока /,
разность потенциалов Vt — V2 на концах проводника и его сопроти-
сопротивление R связаны между собой по
1 1 закону Ома соотношением
0)
о.)
4*2
е'
Рис 147. Зависимость силы тока /
от разности потенциалов: а — для
проводника первого рода, б — для
проводника второго рода (элек-
(электролита).
вого вещества) лишь в первый
нию IR; через некоторое время
для поддержания прежней силы
разность потенциалов
откуда графически зависимость силы
тока от разности потенциалов выра-
выразится прямой, проходящей через на-
начало координат (рис. 147а).
При прохождении тока через
электролит разность потенциалов
Vi — V2 на электродах (которые мы
полагаем сделанными из одинако-
момент окажется равной произведе-
в результате поляризации электродов,
тока /, необходимо будет приложить
а = /#¦-}-?'. . B)
и_

§ 179] ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОДОВ 221
В соответствии с этим зависимость силы тока / от разности
потенциалов V\ — l/4 выразится соотношением:
т. е. графически она выразится прямой, но не проходящей через начало
координат, как в случае обычного закона Ома A), а прямой, пересекаю-
пересекающей ось абсцисс в точке а с координатой, равной Ш' (рис. \\16).
Работа, совершаемая "током, проходящим через электролит за
время t, в силу равенства B), окажется равной
A=l(Vl—V<i)t = IiRt-\-%'lt, D)
но PRt представляет собой тепло Q, выделяющееся в электролите,
откуда
A = Q + $'It E)
т. е., кроме работы, идущей на выделение тепла Q, при электро-
электролизе совершается еще добавочная работа А'=Ш'И.
Электрический ток не производит разложения электролита. Раство-
Растворяемое вещество диссоциирует на ионы в процессе растворения. При
прохождении тока происходит только выделение ионов на электродах.
Однако еще в § 164 мы видели, что между проводником, погружен-
погруженным в электролит, и электролитом возникает разность потенциалов,
в результате чего на ионы вблизи электрода действуют электрические
силы. Чтобы выделиться на электроде, ионы должны преодолеть неко-
некоторый потенциальный барьер. На преодоление этого потенциального
барьера и идет работа А—Ш'Н. Работа, идущая на выделение ленц-
джоулева тепла Q = PRt, может быть сделана сколь угодно малой,
для этого только надо сделать малым сопротивление R, чего можно
достичь, взяв большие электроды и расположив их близко друг
от друга. Но работы А' избежать нельзя: ее значение определяется
составом электролит? и веществом электродов. Величина Ш' равняется
поляризационной э. д. с. только в тех случаях, когда поляризация
электродов происходит обратимо. Однако в большинстве случаев
она больше. Для того чтобы начался процесс выделения данных
ионов на электроде, требуется „перенапряжение". Это перенапряже-
перенапряжение может достигать нескольких десятых вольта. Так, в случае обра-
обратимой поляризации электродов для начала электролиза водного
раствора серной кислоты, требовалась бы разность потенциалов
на электродах в 1,22 в; на самом деле при чистых платиновых электро-
электродах электролиз (ведущий в данном случае к разложению воды)
начинается лишь при 1,64 в.
Разность потенциалов на электродах, при которой начинается
выделение данных ионов, называется потенциалом выделения. Раз-
Различие потенциалов выделения для разных ионов позволяет выделять

222 ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ [ГЛ. XVII
из раствора, содержащего несколько различных ионов одного знака
(например, ионов Си+ и Zn+), ионы одного сорта. Это обстоятельство
играет большую роль в техническом применении электролиза для по-
получения чистых металлов.
Второе следствие из существования поляризации электродов, ко-
которое мы рассмотрим в этом параграфе, — это падение э. д. с. галь-
гальванических элементов после начала их работы. Через гальванический
элемент при замыкании его внешним сопротивлением идет ток и про-
происходит разложение электролита, в результате чего электроды поля-
поляризуются и возникает поляризационная э. д. с, уменьшающая пер--
воначальную э. д. с. элемента Ш. Кроме того, изменения, происходящие
в элементе, повышают его внутреннее сопротивление. Например, в
случае выделения на одном из электродов пузырьков водорода,
внутреннее сопротивление элемента сильно возрастает.
Для избежания вредного действия поляризационной э. д. с, галь-
гальванический элемент должен представлять собой такую комбинацию
проводников первого и второго рода, чтобы поляризация электродов
в конечном счете отсутствовала. В элементе Даниэля это дости-
достигается тем, что медная и цинковая пластинки помещены в различные
растворы, разделенные пористой перегородкой (рис. 104). В резуль-
результате этого при действии элемента имеет место лишь растворение
цинковой пластинки и осаждение меди — на медной, что не ведет
ни к какому изменению вещества самих пластинок. Однако неизбежная
диффузия растворов через пористую перегородку ограничивает время су-
существования элемента Даниэля и делает его практически мало выгодным.
В элементе Лекланше водород, выделяющийся вблизи катода,
вступает в химическую реакцию с перекисью марганца, благодаря
чему избегается поляризация угольного электрода.
Относительно сложное устройство нормального элемента (§ 167)
объясняется тем, что при такой комбинации электродов и электролитов
практически полностью отсутствует поляризация. Электродвижущая
сила нормального элемента не меняется со временем при его действии.
§ 180. Технические применения электролиза. 1. Аккумуля-
Аккумуляторы. Как мы видели в § 179, два одинаковых металлических элек-
электрода, погруженных в электролит, после прохождения через них
тока поляризуются и образуют гальванический элемент, который сам
может некоторое время служить источником тока. Таким образом,
создавая систему из двух одинаковых проводников первого рода
и проводника второго рода (электролита), мы получим аккумулятор,
т. е. прибор, способный накоплять электрическую энергию.
Однако, чтобы аккумулятор оказался практически ценным, он дол-
должен удовлетворять двум условиям: а) поляризация электродов дол-
должна быть устойчива, б) процессы, происходящие в аккумуляторе,
должны быть обратимы. Первое условие необходимо, чтобы
аккумулятор не разряжался сам собою, когда от него не берется

§ 180]
ТЕХНИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЛЕКТРОЛИЗА
223
ток; второе — чтобы в нем не происходили изменения, делающие его
непригодным для дальнейшей работы.
Первый технический аккумулятор представлял собой две свинцо-
свинцовые пластинки, погруженные в водный раствор серной кислоты
(H2SOi). Свинцовые пластинки, вступая в химическую реакцию с сер-
серной кислотой, покрываются с поверхности слоем сернокислого свинца
PbSO4 (сульфата свинца). При пропускании через аккумулятор тока
от внешнего источника (зарядка аккумулятора) отрицательные
ионы SO4 ~ перемещаются к аноду и превращают сульфат в перекись
свинца по формуле:
PbSQi -{- SOJ " -f- 2Н2О = PbO2 + 2HaSOi -f 2s.
Положительные водородные ионы перемещаются к катоду и вос-
восстанавливают сульфат в металлический свинец по формуле:
PbSO4 + 2Н+ + 2е = Pb + H2SOi.
Таким образом, создается резкая несимметрия электродов: один
из них свинцовый, другой — из перекиси свинца. Аккумулятор „заря-
„заряжен", он представляет собой гальванический эле-
элемент, способный служить источником тока.
Давая ток во внешнюю цепь, аккумулятор раз-
разряжается, процессы протекают в нем в обратном
порядке. В конце разряжения обе пластинки оказы-
оказываются покрытыми одинаковыми слоями сульфата
свинца, и э. д. с. аккумулятора спадает до нуля.
Описанный аккумулятор невыгоден тем, что
происходящие в нем химические процессы захваты-
захватывают лишь поверхность пластинок, а потому коли-
количество накопленной в нем энергии незначительно.
Аккумулятор разряжается скоро. Для увеличения
емкости аккумулятора, т. е. количества накапли-
накапливаемой им энергии, применяются различные способы.
В современных свинцовых аккумуляторах (рис. 148) Рис. 148. Свин-
положительный электрод состоит из ребристой свинцо-
свинцовой пластины, поверхность которой разрыхляется
(формуется) многократной предварительной зарядкой
и разряжением. Отрицательный электрод имеет вид свинцовой
сетки, ячейки которой заполнены пастой из окиси свинца. При
зарядке окись свинца переходит в свинец. Электродвижущая сила
такого аккумулятора при зарядке сперва поднимается до 2,1 в,
затем долгое время остается постоянной и в конце зарядки быстро
поднимается до 2,7 в. После этого химические реакции на электродах
прекращаются, на них начинают бурно выделяться пузырьки газа:
аккумулятор, как говорят, „закипает". На этом зарядку аккумулятора
прекращают. При разрядке процессы идут в обратном порядке:
цовый аккуму-
аккумулятор.

224 ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ [ГЛ. XVII
сначала э. д. с. быстро падает с 2,7 до 2,1 в, а затем долго остается
постоянной. К концу разрядки э. д. с. начинает снова падать. Обычно
ее не доводят ниже 1,85 в, так как при более сильном разряжении
начинает идти необратимый процесс образования сернокислого свинца,
в результате которого аккумулятор портится.
Емкостью аккумулятора называется то количество электри-
электричества, которое он отдает при разряжении, протекающем в проме-
промежутке убывания его э. д. с. от 2,7 до 1,85 в. Эта емкость измеряется
обыкновенно в ампер-часах A ампер-час = 3600 кулонам).
Коэффициентом полезного действия аккумулятора называется
отношение энергии, отдаваемой им при разряжении, к энергии, затра-
затрачиваемой при его зарядке. Коэффициент полезного ' действия совре-
современных свинцовых аккумуляторов достигает 80%.
В зависимости от технических требований, аккумуляторы соеди-
соединяются в батареи тех или других размеров. Большие батареи аккумуля-
аккумуляторов имеют емкости в сотни и тыс'ячи ампер-часов и дают э. д. с. в сотни
вольт. Техническое использование аккумулятора весьма разнообразно.
В настоящее время, наряду со свинцовыми аккумуляторами, упо-
употребляются щелочные железо-никелевые аккумуляторы. Катодом
в них служат пластины из губчатого железа. Анод состоит из гид-
гидрата окиси никеля [Ni (OHK]. Электролитом является раствор щелочи
(КОН). Железо-никелевые аккумуляторы имеют э. д. с. $=1,45 в;
их к.п.д. меньше, чем у свинцовых аккумуляторов, и не превышает
60%, но они легче свинцовых аккумуляторов, проще в эксплуата-
эксплуатации и способны кратковременно выдерживать сильные токи (свинцо-
(свинцовые аккумуляторы при очень сильных токах разрядки портятся).
2. Электрометаллургия. Электролизом пользуются для раз-
различных целей в металлургии. Наиболее распространено электролити-
электролитическое получение алюминия и чистой меди.
Медь, получающаяся при плавке из руд, содержит обычно серни-
сернистые соединения CuS и Cu2S. Из такой меди изготовляются аноды;
электролитом служит раствор серной кислоты. На катоде при этом
ныделяегся вполне чистая медь (так называемая ^электролитическая
медь").
Алюминий, употребляемый в современной технике, целиком полу^
чается электролизом его расплавленных солей. Электролитом служит
расплавленная двойная соль фтористых алюминия и натрия вместе
с глиноземом.1 В качестве электродов употребляются угольные пла-
пластины. Соль поддерживается в расплавленном состоянии за счет
тепла, выделяющегося при прохождении тока. Заводы, выпускающие
алюминий, располагаются вблизи гидроэлектрических станций, являю-
являющихся дешевыми источниками электрической энергии. Через ванны,
1 Первичным сырьем для получения алюминия в большинстве случаев
служит боксит—минерал, содержащий 50—6О°/о глинозема (A1SO3).

§ 181] ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 225
в которых производится электролиз солей алюминия, пропускают ток
в десятки тысяч ампер.
Электролитическим же путем добываются магний, натрий и дру-
другие щелочные металлы.
3. Гальванопластика. Академик Петербургской академии
наук Б. С. Якоби г.первые в 1837 г. использовал электролиз для
получения рельефных тонкослойных предметов из меди; процесс,
изобретенный Якоби, получил название гальванопластики. Перво-
Первоначально изготовляется модель данного предмета из воска или какого-
либо другого пластического материала и покрывается, для сообще-
сообщения ей проводимости, слоем графита. Эта модель служит катодом
при электролизе медного купороса, анодом служит медная пластинка.
Тогда на модели осаждается пленка меди, толщина которой зависит
от длительности электролиза. Получившаяся пленка затем может
быть отделена от модели.
Электролиз употребляется также для нанесения на предмет из
одного материала слоя какого-либо другого материала (металла).
Так, широко применяется никелирование электролитическим путем.
Большое значение гальванопластика имеет в технике изготовления
клише для иллюстрации книг и других печатных изданий.
4. Получение тонких изолирующих поверхностей.
При пропускании тока между алюминиевыми и свинцовыми электро-
электродами через раствор борной щелочи ток проходит в том случае, если
алюминий служит катодом. Если же алюминий сделать анодом, то
он покрывается весьма тонкой изолирующей пленкой окислов, и сила
проходящего тока падает до нуля. Пленка выдерживает разность
потенциалов до 40 в.
Возможность получить такую изолирующую пленку практически
используется в двух направлениях: во-первых, для выпрямления
переменного тока (см. § 237) и, во-вторых, для получения конден-
конденсаторов большой емкости. В последнем случае между тонкими
листами алюминия прокладывается бумага, пропитанная электролитом.
При пропускании тока один из алюминиевых листов покрывается изо-
изолирующей пленкой и таким образом этот лист совместно с электро-
электролитом образует конденсатор. Ввиду весьма малой толщины изолиру-
изолирующей пленки емкость конденсатора оказывается очень большой.
Практически указанные электролитические конденсаторы при не-
небольших размерах могут иметь емкость до 10~2 ф.
§ 181. Электролитическая проводимость твердых тел. Молекулы
солей диссоциируют на ионы не только при растворении солей, но
и при их расплавлении. Как мы видели в предыдущем параграфе,
электролиз расплавленных солей алюминия, магния, натрия и других
металлов в больших масштабах используется в промышленности.
Электролитическая проводимость таких расплавленных солей, по су-
существу, ничем не отличается от проводимости растворов. Однако
8 С. Фриш и А. Тиморова

226 ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ [ГЛ. XVII
электролитическую проводимость обнаруживают также и твердые соли.
Характерным примером в этом отношении может служить каменная соль.
Как известно, кристаллы каменной соли представляют собой
образец ионной кристаллической решетки (см. т. I, § 87). Положи-
Положительные ионы натрия и отрицательные ионы хлора расположены по
узлам кубической решетки. При обычных температурах каменная соль
является хорошим изолятором. Но при высоких температурах, начи-
начиная с 600° С, она, оставаясь еще вполне твердой (температура плавле-
плавления каменной соли 780° С), обнаруживает заметную проводимость.
Нанеся на противоположные грани кристалла каменной соли метал-
металлические проводящие пластинки, приложив к ним разность потенци-
потенциалов и разогрев кристалл в печке, можно наблюдать прохождение
через кристалл тока. Аналогичную проводимость обнаруживают кри-
кристаллы галогено-серебряных солей, хлористого свинца и др.
П. И. Лукирским, С. А. Щукаревым и О. Н. Трапезниковой
было показано, что при прохождении тока через твердые кристаллы
каменной соли имеет место закон Фарадея, что является прямым
доказательством электролитического характера проводимости.
Электролитическая проводимость твердого кристалла обычно ведет
к его разрушению. Так, при электролизе нагретой каменной соли
у катода выделяется натрий в виде заметных на глаз фиолетовых
нитей (так называемых дендритов), проникающих в толщу кристалла.
Электропроводность кристаллов быстро возрастает с температу-
температурой. При больших разностях потенциалов происходит пробой, веду-
ведущий к сильному возрастанию тока. Пробой может возникнуть непо-
непосредственно за счет влияния на кристалл сильного электрического
поля (порядка 106 в /см), а также за счет местного разогрева кри-
кристалла; в последнем случае он носит название теплового пробоя.
Теория теплового пробоя была дана советскими учеными Н. Н. Семе-
Семеновым и В. А. Фоком.
Механизм продвижения ионов сквозь кристаллическую решетку
под влиянием внешнего электрического поля до сих пор не вполне
выяснен. Простейшая гипотеза заключается в том, что при высокой
температуре амплитуда колебаний ионов около их положений равно-
равновесия настолько значительна, что под влиянием электрической силы,
вызванной внешним полем, отдельные ионы иногда обмениваются
местами со своими соседями. Однако, с другой стороны, следует
иметь в виду, что всякий реальный кристалл значительно отличается
от идеальной непрерывной решетки. Внутри кристалла имеются много-
многочисленные микроскопические трещинки и другие изъяны решетки, и
они могут играть существенную роль в проводимости кристалла.
Более определенен электролитический характер проводимости
таких твердых тел, как стекло, которое не обладает кристаллической
структурой и скорее может быть сравнено с жидкостью, обладающей
очень большой вязкостью, чем с действительно твердым телом.

§ 182] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ГАЗАХ 227
Обыкновенное стекло при комнатной температуре очень плохо проводит
ток, но при нагревании оно становится сравнительно хорошим провод-
проводником, причем эта проводимость носит электролитический характер.
Электролитический характер проводимости разогретого стекла
может быть легко продемонстрирован. Электрическую лампочку с
вольфрамовой нитью накала (рис. 149) погружают нижней частью
в железную чашку с расплавленной натронной селитрой (NaNO3) при
температуре около 300° С. При этой температуре стекло остается еще
вполне твердым и не продавливается под влиянием атмосферного
давления. Железную чашку соединяют с положительным полюсом,
а вольфрамовую нить лампочки — с отрицательным; от отдельного
источника тока нить раскаляется. При этих
условиях нить служит источником электро-
электронов. Ускоряемые электрическим полем, эти
электроны образуют электронный ток между
нитью и стеклом лампочки. Далее имеет
место электролитическая проводимость разо-
разогретого стекла, и, наконец, ток замыкается,
проходя через расплавленную селитру и же-
железную чашку. В стекле по направлению
к катоду движутся ионы натрия; через не-
некоторое время лампочка покрывается с вну-
внутренней стороны блестящим зеркалом метал-
металлического натрия. Рис ,49. Способ наблю-
Наблюдения над электролитической про- дения электролитической
водимостью кристаллов позволяют определить проводимости стекла,
подвижность ионов. Оказалось, что при элек-
электролизе твердых галогенных солей серебра (AgCl, AgBr, AgJ) дви-
движется лишь положительный ион серебра, ионы же галогенов остаются
неподвижными. Аналогичное явление имеет место при электролизе
каменной соли (NaCl), где при не очень высоких температурах дви-
движется лишь ион Na+; при более высоких температурах начинает
двигаться и ион С1~. При электролизе хлористого свинца (РЬС12)
перемещаются только ионы хлора, ионы же металла в кристал-
кристаллической решетке остаются неподвижными. В § 154 мы указы-
указывали, что некоторые твердые соединения, например Си2О (полу-
(полупроводники), обнаруживают электронную проводимость. Теперь мы
видим, что твердые соли (NaCl, AgCl и т. д.) обнаруживают ион-
ионную проводимость. Но есть и такие вещества, как CuJ, AgaS,
которые обладают смешанной проводимостью; электрический ток
обусловливается в них передвижением как ионов, так и электронов.
§ 182. Электрический ток в газах. Газы при давлениях, близ-
близких к атмосферному и ббльших, представляют собой хорошие изо-
изоляторы. Это означает, что их молекулы нейтральны и что в них нет
свободных электронов или каких-либо других носителей зарядов.
8*

228
ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ
[гл. xvir
Однако, если в массе газа создать каким-либо способом ионы (ионизи-
(ионизировать газ), он становится проводящим.
Ионизацию газа можно вызвать термически, диссоциируя его
молекулы в пламени, освещая его рентгеновскими или ультрафиоле-
ультрафиолетовыми лучами или лучами радиоактивных веществ. Проводимость
такого рода носит название несамостоятельной проводимости газа.
Наряду с этим в газах (особенно разрежен-
разреженных) возможно поддержание проводимости
за счет ионов, образующихся в результате
удара частиц, ускоренных тем самым элек-
электрическим полем, которое обусловливает на-
наличие тока. Такая проводимость носит на-
название самостоятельной.
Несамостоятельная проводимость газа мо-
может быть продемонстрирована весьма просто.
Между металлическими пластинами А и К
(рис. 150) с помощью батареи В создается
электрическое поле напряженности Е. Ввиду
хороших изолирующих свойств воздуха и
цепи ABQKA ток при этом не возникает,
и стрелка гальванометра G не отклоняется.
Если же между пластинами расположить пламя горелки С, то бла-
благодаря образующимся в пламени ионам воздух между пластинами А
и К становится проводящим, и гальванометр О обнаруживает в цепи ток.
Можно показать, что возникающие в пламени ионы имеют неко-
некоторое (не слишком малое) время существования. Для этого расположим
электроды А \л К горизонтально и поместим горелку С на некотором
Рис. 150. Проводимость
воздуха вблизи пламени.
Рис. 151. Увлечение ионов потоком воздуха.
расстоянии от них (рис. 151). Образующиеся при этом в пламени
ионы не попадают в пространство между электродами, и воздух
между ними остается непроводящим. Но если с помощью небольшого
вентилятора D продуть воздух через пламя и направить его в про-
пространство между электродами, то между ними возникает ток. Это
показывает, что, по крайней мере, часть ионов сохраняет свой заряд
в течение времени, пока они переносятся струей воздуха от горелки

182]
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ГЛЗЛХ
229
к электродам. По расстоянию между горелкой и электродами и по
скорости струи воздуха можно определить, что продолжительность
жизни ионов измеряется десятыми долями секунды.
Токи, возникающие при несамостоятельном разряде, обычно очень
слабы, порядка 10~6—10~12 а. Измерение таких слабых токов про-
производится по большей части косвенным методом с помощью струн-
струнного или квадрантного электрометра. При этом употребляются два
метода. Один из них носит название метода натеканпя. Схема
ьтого метода показана на рис. 152. Между пластинами А и К
иоздух ионизируется каким-либо способом, и между ними возникает
ток. В — батарея, создающая между
пластинами поле, ускоряющее ионы; С
и D — ножи струнного электрометра;
G — его нить, отклонение которой из-
измеряет сообщаемый ей потенциал;
В' — батарея, создающая разность по-
потенциалов между ножами электрометра.
Если переключатель а занимает поло-
положение, изображенное на рис. 152 пунк-
пунктиром, то нить электрометра окажется
соединенной с землей Z, и ее потен-
потенциал будет равен нулю: она останется
в неотклоненном состоянии. При от-
отключении переключателем а нити от
земли (положение переключателя изо-
изображено сплошной линией на рис. 152) на нить будет натекать заряд
с пластины К, и она начнет отклоняться. Пусть через время t, от-
отсчитываемое секундомером, потенциал нити оказался равным V; тогда
сообщенный ей заряд Q равен
Рис. 152. Измерение малых то-
токов методом натекания.
где С—емкость всей системы, образованной электрометром, пласти-
пластинами А и К и подводящими проводами. Средняя сила тока I, про-
протекшего в течение времени t между пластинами А и К, равна
1 — 9. — СХ
t t •
Зная С и измерив V и t, найдем, таким образом, силу тока /.
Например, если емкость С=50 см О^ 5,5 • 10~п ф и нить электро-
электрометра зарядилась до 0,05 в за 27,5 сек, то
: = liT'" a.
27,5
Как видно, указанный способ позволяет измерять очень слабые
токи, но недостаток его заключается в том, что он дает лишь сред-
среднюю силу тока за время наблюдения L

230
ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ
[ГЛ. XVII
Второй метод называется методом постоянного отклонения.
Он сводится к измерению с помощью электрометра разности потен-
потенциалов на концах очень большого сопротивления R (рис. 153), кото-
которым замыкаются пластины А и К (остальные обозначения те же, что
на рис. 152). По измеренной разности потенциалов V\—V9 и сопро-
тивлению R сила тока вычисляется по
закону Ома:
Например, при сопротивлении R =
= 100 мом =\№ ом и разности по-
потенциалов Vj — К2=:0,01 а, сила тока
окажется равной
7=^=10-»
а.
Рис. 153. Измерение малых
токов методом постоянного
отклонения.
Ввиду малой инерции нити этот ме-
метод позволяет Практически измерять
силу тока для данного момента вре-
времени. Недостаток метода заключается
в трудности осуществления точного измерения очень большого со-
сопротивления.
Несамостоятельная проводимость в газах при давлениях, близких
к атмосферному и больших, есть ионная проводимость.
Если в результате процесса ионизации из молекул газа выры-
вырываются электроны, то эти последние в большинстве случаев немед-
немедленно притягиваются к молекулам и, таким образом, не остаются
свободными, а образуют молекулярные отрицательные ионы.
Но при низких давлениях электроны остаются свободными, и
тогда проводимость газа носит электронный характер.
§ 183. Теория несамостоятельной проводимости газов. Теория
несамостоятельной проводимости газов аналогична теории проводи-
проводимости Н'лектролитов (§ 178).
Пусть ионизатор создает в единицу времени в единице объема
газа Дя0 ионов каждого знака. Обратный процесс — молизация (или,
как иногда говорят, рекомбинация) ионов пропорциональна как
числу положительных, так и числу отрицательных ионов в единице
объема.
Предположим, что в данный момент в единице объема газа
имеется па положительных ионов и столько же отрицательных, тогда
число ионов, молизирующихся в единице объема в единицу времени,
будет:
где у — коэффициент молизации.

§ 183] ТЕОРИЯ НЕСАМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПРОВОДИМОСТИ ГАЗОВ 231
Условие равновесия заключается в равенстве числа вновь возни-
возникающих ионов Д«о числу пропадающих ионов Ап'о; оно запишется в виде
Д«о = Т«о3- 0)
Отсюда для числа ионов (одного знака) я0, находящихся при
данных условиях в единице объема газа, получим
Предположим, что ионизированный газ находится между двумя
плоскими параллельными электродами, между которыми создается
электрическое поле напряженности Е. Тогда ионы начнут под влия-
влиянием этого поля двигаться и создадут ток. Ионы, достигшие элек-
электродов, отдадут им свой заряд. Таким образом, исчезновение ионов
будет теперь происходить не только за счет молизации внутри объема
самого газа, но и за счет нейтрализации ионов у электродов. Ионы
будут достигать электродов еще и за счет диффузии, но в дальней-
дальнейшем мы пренебрежем этим эффектом.
Пусть сила тока между электродами равна /, тогда за время t
окажется перенесенным заряд Q = It, и, следовательно, число ионов
одного знака, достигших электрода и отдавших ему свой заряд за
время t, будет It/q, а за единицу времени 1/q, где q — заряд одного
иона. Пусть S — площадь каждой из пластин, образующих электроды,
I — расстояние между ними. Тогда объем газа, заключенный между
пластинами, равен SI, и, следовательно, в результате прохождения тока
из единицы объема газа в единицу времени уходит число ионов, равное
Замечая, что IjS равно плотности тока г, перепишем последнее
равенство:
Дло ==—,.
При наличии тока условие равновесия выразится не равенством A),
а требованием, чтобы число вновь возникающих ионов Дя0 равнялось
полному числу пропадающих ионов Дл^ -\- Дяо, откуда
Рассмотрим два предельных случая. Во-первых, предположим, что
плотность тока ? настолько мала, что
т. е. что числом ионов, уносимых вследствие наличия тока,
можно пренебречь по сравнению с числом ионов, пропадающих

232 токи в электролитах и газах [гл. xvh
в результате молизации. Тогда мы снова возвращаемся к равенству
A) и к вытекающему из него равенству B); число ионов пA в единице
объема газа постоянно. Пусть скорость положительных ионов раина
н+ и отрицательных и_. Тогда мы получим, что к катоду в еди-
единицу времени подойдет яон+5 положительных ионов. Одновременно
от катода отойдет nuti_S отрицательных ионов, в результате чего
около катода останутся непарными еще nau_S положительных ионов.
Благодаря этому общее число положительных ионов, выделившихся
в единицу времени на катоде, окажется равным я0 (н+-{-н_) S; столько
же отрицательных ионов выделится в единицу времени на аноде.
Следовательно, для плотности тока i получим:
Рассуждая совершенно аналогично тому, как мы рассуждали при
рассмотрении движения ионов в электролите (§ 178), можем поло-
положить скорость уравновешенного движения ионов пропорциональной
напряженности поля Е:
величины и\ и и° являются подвижностями газовых ионов и чи-
численно равны скоростям ионов при напряженности, равной единице.
Подстаиляя в E) вместо скоростей ионов и+ и н_ их выражения че-
через подвижности, получим
l = qno(ul + ut)E. F)
Так как величины q, u°+ и и"_ постоянны при данных условиях
опыта, а л0 для очень малой плотности тока мы тоже считаем по-
постоянным, то и вся величина з = qnn (ii"+ -f- и°_) постоянна, и, следо-
следовательно, равенство F) выражает собою закон Ома:
1 = <зЕ,
здесь а—проводимость газа. Отметим еще раз, что закон Ома для
несамостоятельной проводимости газа справедлив лить при очень
малой плотности тока I; критерий того, какую плотность тока I
можно считать достаточно малой, дается неравенством D). Ниже мы
дадим этому неравенству другую формулировку.
Рассмотрим теперь второй предельный случай, когда плотность
тока i настолько велика, что вся убыль ионов фактически опреде-
определяется их нейтрализацией па электродах, а убылью в результате
молизации можем пренебречь, т. е. когда
Тогда равенство C) принимает вид:

§ 183] ТЕОРИЯ НЕСАМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПРОВОДИМОСТИ ГАЗОВ 233
Обозначив плотность тока, удовлетворяющую равенству G), че-
через ia, получим
Из равенства (8) вытекает, что плотность тока /„ не зависит от
напряженности поля Е, а следовательно, и от разности потенциалов
Vy — Ка между электродами. Плотность тока /н является максимально
возможной при данных условиях (данных Дя0, q и /) и называется
плотностью тока насыщения. Из равенства (8) следует вывод, ко-
который может показаться несколько неожиданным, а именно, что плот-
плотность тока насыщения /„ тем больше, чем больше /, т. е. чем дальше
друг от друга расставлены электроды. Но этот вывод справедлив
мри условии, что ионизация производится во всем пространстве между
электродами и, следовательно, на тем большем участке, чем больше
расстояние между электродами /. Таким образом, при большом /
общее число возникающих ионов ста-
становится больше, что и обусловливает
иозрастаиие тока насыщения ia.
Для случаев, промежуточных по
отношению к рассмотренным предель-
предельным случаям, сила тока / возрастает
с разностью потенциалов медленнее,
чем того требует закон Ома. Резюми-
Резюмируя, мы можем сказать: при несамо-
несамостоятельном газовом разряде при силе Уг^г
тока I, много меньшей силы тока ., ¦ , _
, Рис. 154. Зависимость силы
насыщения /н, имеет место закон тока , от разности потенциалов
Ома: сила тока I возрастает пропор- Vt — I/, для случая несамостон-
ционально разности потенциалов тельной проводимости.
I/, — Vq, между электродами; при
больших разностях потенциалов Vy — V.2 закон Ома не выпол-
выполняется— ток достигает насыщения. Общий характер зависимости
силы тока / от разности потенциалов V, — 1Л2, приложенной к элек-
электродам, графически представлен на рис. 154 кривой abc. При очень боль-
больших разностях потенциалов К,— 1/2 наступает „пробой", и сила тока
резко возрастает (пунктирная часть кривой cd). Существование тока
насыщения при несамостоятельной проводимости газов было установ-
установлено А. Г. Столетовым, который наблюдал разряд через газ при
низком давлении, возникающий за счет электронов, испускаемых
катодом при его освещении ультрафиолетовыми лучами.
Рассмотрим еще вопрос о распределении падении потенциала между
плоскими параллельными электродами при наличии между ними ионизиро-
ионизированного газа. , ,
Мри отсутствии ионизации, по сказанному в § 128, напряженность ноля Е
во всех точках между электродами постоянна, и потенциал V падает при
перемещении от положительного электрода к отрицательному равномерно.

234
ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ
[гл. xvii
Проведя ось ОЛ"перпендикулярно к электродам и расположив начало коорди-
координат в плоскости положительного электрода, получим, что распределение потен-
потенциала Vu пространстве между электродами изобразится прямой ViVa (рис. 155).
При наличии равномерной ионизации во всем пространстве между электро-
электродами, когда в каждой единице объема присутствует одинаковое число по-
положительных и отрицательных ионов, газ в любом объеме, большом по
сравнению с молекулярными размерами, нейтрален и макроскэпическое рас-
распределение потенциала остается прямолинейным. Не
так будет обстоять дело при наличии тока. Тогда
вблизи анода получится избыток отрицательных
ионов, а вблизи катода — избыток положительных
ионов. У электродов возникнут объемные заряды р,
распределение которых изобразится кривой / на
рис. 156. Наличие объемных зарядов изменит напря-
__? женность поля Е: она не будет постоянна во всем
пространстве между электродами.
По сказанному в § 132, напряженность поля Е
связана с плотностью зарядов р соотношением:
дх ду дг '
Рис 155 Распределе которое для данного случая, где Е зависит только
ние'потенциала V ме- от к°°РДИнаты *, принимает вид:
жду электродами при
отсутствии иониза-
О
ции.
— = 4пр.
dx v
В пространстве, удаленном от электродов (об-
(область аЬ на рис. 156), где р = 0, по (9), производная
от Е по координате равна нулю, т. е. сама напряженность Е постоянна.
Вблизи электродов, где р отлично от нуля, отлична от нуля и производная
dEjdx, откуда следует, что напряженность Е ме-
меняется с координатой х. Так как вблизи анода р "
отрицательно, то здесь, по равенству (9), отри- |/
цательна и dE/dx, т. е. Е убывает по мере уда- '
ления or анода. Вблизи катода р положительно,
и здесь Е возрастает. Окончательно мы имеем
распределение напряженности Е в пространстве
между электродами, изображаемое кривой // на
рис. 156.
Наконец, рассмотрим распределение потен- "
циала V. Потенциал V связан с напряженностью
dV
поля соотношением (см. § 131) ? = —-=-, от-
откуда, так как в рассматриваемом случае нормаль
п совпадает с осью ОХ,
а
Рис. 1Е6. Распределение
Отсюда получаем: в области ab, где отсут- между электродами:
ствуют объемные заряды и Е постоянно, по- /—объемных зарядов р,
стоянна и производная dVjdx, т. е. имеет место // — напряженности по-
равномерное падение потенциала. Вблизи элек- ля Е, 111 — потенциала,
тродов, где Е больше, чем вдали от них, паде-
падение потенциала происходит быстрее. Общий ход потенциала в простран-
пространстве между электродами изображен кривой /// рис. 156.

§ 184] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ 235
§ 184. Экспериментальное определение коэффициентов моли-
зации и подвижности газовых ионов. Коэффициент молизации -у
и подвижность ионов ы° могут быть определены экспериментально
несколькими способами.
Рассмотрим наиболее прямые из них.
Коэффициенты молизации -j- для разных газов были впервые изме-
измерены по определению числа ионов » струе газа на различных рас-
расстояниях от области, где происходит ионизация.
По прекращении действия ионизатора, число ионов и0 в единице
объема начнет убывать со временем вследствие их молизации. Обо-
Обозначим через п число ионов в единице объема в данный момент вре-
времени t. Тогда, если через — dn мы обозначим число ионов, пропа-
пропадающих вследствие молизации за малый промежуток времени dt, то
, dn
число ионов, пропадающих в единицу времени, будет ¦— -т-; по
определению коэффициента молизации оно должно равняться -уя"*,
где -у — коэффициент молизации:
dn а ,, dn ....
« или ^^ М
Будем отсчитывать время t от момента прекращения действия
ионизатора. Тогда, чтобы получить в явном виде зависимость числа
ионов п от времени t, надо проинтегрировать выражение A) в пре-
пределах от ? = 0 до некоторого определенного момента t:
i
0 0
где и0— число ионов в единице объема в момент прекращения дей-
действия ионизатора, an — через время t. Выполняя интегрирование,
получим:
it=-—-, B)
откуда находим
C)
Выражение C) дает закон спадания числа ионов п со временем
после прекращения действия ионизатора.
Экспериментальные измерения по определению числа ионов в струе
газа на различных расстояниях от области, где происходит ионизация,
базируются на соотношении B). В некотором ограниченном объеме
производится ионизация. Через этот объем продувается стуя газа.
На расстоянии d от места ионизации располагается электрод, кото-
который соединяется с одним из полюсов батареи, другой полюс которой
заземлен. Тогда, благодаря электрическому полю, возникающему около

236
ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ
[ГЛ. XVII
электрода, на него попадают ионы одного закона. При достаточно
сильном поле число ионов, попадающих в единицу времени на элек-
электрод, равно их числу в объеме газа, протекающем мимо электрода
и единицу времени, т. е. равно nSv, где 6"—площадь электрода,
a v — скорость струи. В результате электроду будет сообщен заряд
Q = nSvq, где q — заряд одного иона.
Измерения произподятся для двух разных расстояний <1Х и «?4;
пусть при расстоянии dt измерен заряд
а при расстоянии
По формуле B)
заряд
= n^Svq.
11, 1 1 ,
Hi П„ ' * П-л П0 ' 1'
где tx и t% — те промежутки времени, которые потребны струе газа,
чтобы продвинуться от области ионизации соответственно до мест
первого и второго положений электрода.
Отсюда имеем
1 1 ., . . , . d2 — d,
" II to ''If) IHJ La t] -— - " "—' "—~ .
где v — скорость струи. Следовательно,
1 1
Н:
¦ = !¦
Hi ' V
Подставляя сюда вместо п,2 и П\ их выражения через Qj и Q2, няйдем
Таблица VIII (__ _'_
Коэффициент молизации
(cmz ¦ сект1) при 1 атм
и температуре 18° С
откуда получаем
Газ
Воздух
Кислород
Водород
Окись углерода СО .
7- 10«
1,67
1,61
1,44
0,87
Измерив Qb Q-i и v и зная 5, q
и df—db найдем по формуле D)
коэффициент молизации -[.
Коэффициент молизации f опре-
Ап'„
деляется
соотношением f=—„!
где Ап'о — число ионов, пропадаю-
пропадающих в единице объема в единицу времени, а я0 — число ионов в
единице объема. Следовательно, f имеет размерность L3T~l и может
быть измерен в смъ • сек\ Значения f для различных газов приве-
приведены в табл. VI П. . .

§ 184] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ 237
От давления •у зависит слабо, заметно уменьшаясь лишь при
очень малых давлениях. С увеличением температуры ^ уменьшается.
Для ознакомления с порядком величин, с которыми приходится иметь дело
при несамостоятельной проводимости газов и их ионизации, приведем несколько
численных примеров.
Пример 1. Между плоскими электродами, площадью S = 100 см3 каж-
каждый, находящимися на расстоянии / = 5 см друг от друга, наблюдается, при
ионизации с помощью рентгеновых лучей, ток насыщения /„=10"' а.
Определить число пар ионов Лн„, образуемых рентгеновыми лучами в 1 см%
за 1 сек, и наибольшее возможное число пар ионов п0 в 1 см3. Возникающие
ионы считать одновалентными.
Р е ш е и и е. Плотность тока насыщения <„ равна
('„ = -?¦ = -г,т.г а, см- = 10 * а/см2.
Заряд q одного (одновалентного) иона разен 1,6- 10~19 к, откуда по форму-
формуле (8) § 183:
I 10"
А"о = ^/= 1,6-10—Т5-с*"'"**"' = l'25' W"CM ~*-сек~1-
Наибольшее возможное число пар ионов п0 в 1 см* найдем по формуле B)
§ 183:
Полагая, в соответствии с табл. VIII, для воздуха -|=1/>7-10 ° см3-секл,
имеем
/1/25-10°
пптш* см~"
- 2^2,7 • 107 см \
Так как при атмосферном давлении в 1 см3 заключается 2,7 • 101а моле-
молекул газа, то, следовательно, в данном примере рентгеновы лучи способны
ионизировать 10-' часть всех молекул. Эта ионизация очень мала по сравне-
сравнению со степенью ионизации в электролитах, где в слабых растворах диссо-
диссоциируют на ионы почти все молекулы растворенного вещества.
Пример 2. В атмосферном воздухе у поверхности Земли, из-за радио-
радиоактивности почвы и космического излучения, в среднем образуется 5 нар
ионов в 1 см3 за 1 сек. Определить ток насыщения, который получается
в результате этой естественной ионизации воздуха между плоскими электро-
электродами "площадью S= 100 ел2 каждый, расположенными на расстоянии / = 5 ем
друг от друга.
Решение. По формуле (8) § 18,3:
получим
/„ = 5- 1,6- 10-'э ¦ 5 - 10Ja = 4- 10 10 а.
Таким образом, атмосферный воздух обладает, хотя и очень малой, но
все же заметной естественной несамостоятельной проводимостью.
Пример 3. Определить, через сколько времени в воздухе, ионизиро-
ионизированном рентгеновыми лучами, после прекращения действия лучей число пар
ионов вследствие молизации уменьшится вдвое.
Первоначальное число ионов принять равным п0 = 10° слг3.

238 ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ [ГЛ. XVII
Решение. Полагая в формуле C)
число ионов п=^^упо, получим уравнение, определяющее тот промежуток
времени t = т, за который число ионов вследствие молизации убывает вдвое:
1 "о 1
— и0 = у-г , откуда т= .
Подставляя сюда л„=10е см~л и f=l,67- 10"e см*-сек~1, получим
Таким образом, через 0,6 сек в газе останется половина от первоначального
числа ионов.
Пример 4. По условиям, приведенным в примере 1, определить эффек-
эффективный диаметр ионов.
Решение. Напомним, что эффективным диаметром называется диаметр
частиц, определяющий длину их свободного пути или число столкновений,
испытываемых ими друг с другом в единицу времени. При этом число столк-
столкновений иодсчитывается так, как если бы сталкивающиеся частицы были твер-
твердыми шариками.
При условиях примера 1 в 1 см3 газа в 1 сек возникает Ап0 = 1,25 • 10°
пар ионов. При равновесии столько же пар ионов должно в 1 см% за 1 сек
пропадать вследствие молизации. Предположим, что ионы нейтрализуются
при взаимном столкновении.
По сказанному .в § 53 т. I, молекула испытывает в среднем в единицу
времени число столкновений, равное
7= У2 ¦ т.-Л'щ,
где а — эффективный диаметр молекулы, v—средняя скорость теплового дви-
движения молекул, и0 — число молекул в единице объема. Применяя эту фор-
формулу к определению числа столкновений ионов друг с другом, мы под п0 дол-
должны подразумевать число пар ионов в единице объема. Общее число столк-
столкновений, испытываемых всеми ионами, заключенными в единице объема, будет:
По сделанному предположению, что число Z должно равняться числу
молизирующихся пар ионов Дл„:
hn'a = \> 2 из- • vnl,
откуда
У2
E)
Скорость теплового движения ионов равна скорости теплового движения моле-
молекул, т. е. для воздуха при комнатной температуре v ^5 ¦ 104 см/сек. Под-
Подставляя это значение »в E) и полагая, в соответствии с данными примера 1,
Дяд = 1,25 • 10° cm~z • сек'1 и яо = 2,7-1О7 слг3, получим:
-V
1 25 • 109
' rv см ?Ё 2,8 • 10"° см.
1,41-3,14. 5 ¦ 101-B.7

§ 184]
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ
239
[Электрометр
W
j
\
Рис. 157. Схема простей-
простейшего способа определе-
определения подвижности ионов.
Эффективные диаметры нейтральных молекул представляют собою вели-
величины порядка 2,5 • 10~8 см; таким образом, эффективные диаметры ионов ока-
оказываются приблизительно в 100 раз большими. Это легко объяснить: обладая
зарядами различного знака, ионы притягиваются друг к другу электростати-
электростатическими силами, что ведет к увеличению числа столкновений между ними,
а следовательно, и к возрастанию их эффективных диаметров.
Рассмотрим простейший способ определения подвижности ионов
путем задерживания ионов струей газа. Пусть А\ и Л2 (рис. 157)
представляют собой две сетки, помещенные
в газ. Газ в пространстве между сетками А\
и А% подвергается ионизации каким-либо
внешним ионизатором. Если сетка А\ заря-
заряжена отрицательно, а сетка Л2— положи-
положительно, то отрицательные ионы движутся по
направлению к сетке Л2 со скоростью
и_ = и°_Е, где гг0.-—подвижность ионов, Е—
напряженность поля между сетками. Заряд,
приносимый ионами на сетку Л2, обнаружи-
обнаруживается с помощью электрометра. Если те-
теперь начать продувать газ через сетку Л2
по направлению к сетке А\ со скоростью v
(указано на рис. 157 стрелками), то ско-
скорость движения ионов по направлению к
сетке Л2 станет и°_Е— v. По мере увеличения скорости продувания
газа v, эта скорость будет становиться все меньше и меньше. Когда
т_Е— v окажется равным нулю, отрицательные ионы перестанут по-
попадать на сетку Л.2, и электрометр перестанет заряжаться. Таким об-
образом, может быть установлен мо-
момент, когда окажется выполненным
соотношение utE:=v. Отсюда по v
и Е определяется подвижность отри-
отрицательных ионов и\
Изменив знаки зарядов сеток А^
и Л2, можно совершенно таким же
образом определить подвижность
положительных ионов и%.
Результаты измерений подвиж-
ностей различных ионов при давле-
давлении газа в одну атмосферу приве-
приведены в табл. IX.
Подвижность ионов в широких
пределах обратно пропорциональ-
пропорциональна давлению р. Подвижность положительных ионов не зависит
заметно от напряженности поля Е; подвижность отрицательных ионов
также не зависит от Е при не слишком больших Е, при больших Е
Таблица IX
Подвижность ионов
(в см2/сек ¦ в)
при р = 1 атм
и температуре 18° С
Газ
Водород . .
Кислород. .
Азот
СО
Хлор ....
и%
5,91
1,29
1,27
1,10
0,65
8,26
1,79
1,84
1,14
0,51
иЧ
и\
1,4
1,4
1,4
1,0
0,8

240
ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИГАХ И ГАЗАХ
[гл. xvii
она возрастает с дальнейшим увеличением Е. Таким образом, для
не слишком больших Е оправдывается сделанное в § 183 предполо-
предположение о пропорциональности скорости ионов напряженности поля.
Следует отметить, что подвижности ионов,' особенно отрицатель-
отрицательных, сильно зависят от загрязнений газа. Ничтожная примесь, напри-
например, кислорода изменяет подвижность отрицательных ионов в десятки
и даже сотни раз. Так, для гелия при давлении в 1 атм, содержа-
содержащего следы кислорода, н_°(_:=5,09 с.и'1/сек-в и и1 = 6,3\ см'1/сек ¦ в.
В совершенно чистом гелии подвижность положительных ионов
и\ остается почти та же, в то время как подвижность отрицательных
ионов н". достигает огромной величины 500 см1/сек-в. Это объяс-
объясняется тем, что в гелии при ионизации возникают свободные элек-
электроны, подвижность которых очень велика. При наличии хотя бы
малых следов кислорода электроны присоединяются к нейтральным
Пространство, молекулам кислорода и образуют от-
где ионизируется
газ
А,
рицательные молекулярные ионы с их
относительно малой подвижностью.
Другой метод определения подвижности
ионов заключается в следующем. Раз иони-
ионизируется у поверхности плоского элек-
электрода А, (рис. 158). Между электродом Ai
и параллельным ему электродом А-> накла-
накладывается периодически меняющееся со вре-
временем поле напряженности ?=?0 sin -J-, t,
где t — время, Т — период, Ео — постоян-
постоянная величина. Электрод Л2 соединен с элек-
электрометром В. Рассмотрим ионы того знака,
подвижность которых больше, например
отрицательные. В каждый данный момент
они имеют скорость и_ = и^Е. Так как напря-
напряженность поля Е меняется со временем, то
меняется и скорость и_. Пусть за первые полпериода, т. е. за время от * = 0
Т
до t — -=-, поле Е ускоряет отрицательные ионы по направлению к электроду А2,
тогда за следующие полпериода оно будет их двигать обратно к электроду Аи
Т
За время от t = 0 до t==^ ионы пройдут путь:
Т/2
Рис. 158. Схема метода опре-
определения подвижности ионов.
s = V иЧЕ0 sin ~t dt = - иЧЕо.
,) J 71
О
Если s меньше расстояния d между электродами, то ионы, образованные
вблизи электрода А,, не достигнут электрода А«, и соединенный с ним электро-
электрометр В не обнаружит отклонения. Меняя период Т, можно достичь условия
s = d, при котором заряды достигнут электрода А2, что обнаружится по откло-
отклонению электрометра. Тогда
откуда по известным Т, d и Ец находится искомая подвижность иЧ.

§ 184] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ 241
При еще большем увеличении периода Т, электрода Л2 начнут достигать
(за вторые полперпода) и положительные иони, по нашему предположению
более медленные. При этом отклонение электрометра уменьшится. Таким обра-
образом, может быть найдена подвижность и ионов другого знака.
Приведем численный пример, указывающий роль подвижности ионов.
Пример. Определить проводимость а ноздуха, ионизированного рентге-
рентгеновыми лучами так, что в 1 cms воздуха находитси в условиях равновесия
л„=107 нар ионов. Заряд ионов считать однократным.
Решение. По формуле F) § 18,4 имеем
a = qna (и« + 11").
Выражая заряд иона q в кулонах, иа — в см 3 и и\ и «?_ — в см-{сек ¦ в, по-
получим о в ом~' см~1. Считая воздух в основном состоящим из азота, получим
для суммы подвижностей ионов и\ + и'1, по данным табл. IX:
и\ + tit = 1,27 + 1,84 = 3,11 см.2/сек ¦ в.
Отсюда, пользуясь значениями ио=1О7 см~3 и q=],6- 10~10 к, найдем
о=1,6- 10-'» • 107-3,11 олг1 -см-1 ?Ё5- \0-1-ом~' -см'1.
Интересно сравнить этот результат с проводимостью металлов. Для меди
по данным табл. IV на стр. 123, а = 6,4- ]0г'ом ' емг1, откуда видно, что про-
проводимость ионизированного воздуха при условиях данного примера приблизи-
приблизительно в 10" раз меньше проводимости меди.
Проводимость электролитов зависит от их состава и концентрации. Для
примера подсчитаем проводимость электролит,], получаемого при растворении
2,92 г поваренной соли NaCl в 1 л воды.
В § 85 т. I было определено по осмотическому давлению, что при этих
условиях 0,44 всех растворенных молекул NaCl диссоциированы на ионы. Это
означает, что число пар ионов составляет 0,44 от числа растворенных моле-
молекул. Так как молекулярный вес NaCl равен 58, то число растворенных молекул
в единице объема равно
9 Q9 • 6 • 1023
"'= 58-1000 »«-^3.10»«rV
отсюда число пар ионов п'а в единице объема
я,; = 0,44-3- 1010 ur1^ 1,3- 10"> см.
Проводимость о электролита определим по формуле E) § 178:
а = /¦> (ц«. + «о) = n'oq (ч% + иЧ).
Сумма подвижностей ионов Na+ и СГ в электролите, по табл. VII на
стр. 219, равна
и» + иЧ = 0,000450 + 0,000677 ^ 1,1 • 10 см^сек ¦ в,
откуда
о=1,3- 1010- 1,6- 10-"-1,1 ¦ Ю-3 ом'1 ¦ см~1 9^ 2,3 • 10'3 ом-1 -см-1.
Таким образом, проводимость указанного электролита приблизительно в 10е
раз больше проводимости воздуха, ионизированного, как указано в нашем при-
примере. Эта относительно большая проводимость электролита объясняется
большим количеством ионов в единице объема: и 1 см3 электролита ионов при-
приблизительно в 1012 раз больше, чем в 1 см3 воздуха, ионизированного рент-
рентгеновыми лучами; подвижность же ионов в электролите в тысячи раз мень-
меньше подвижности газовых ионов.

242 ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ [ГЛ. XVII
§ 185- Прохождение электронного тока через вакуум. Как пре-
предельный случай несамостоятельной проводимости может рассматри-
рассматриваться электронный ток через вакуум, т. е. через пространство, где
давление остаточного газа так мало, что длина среднего свободного
пути электронов больше расстояния между электродами. В § 170 мы
видели, что электронный ток через вакуум может быть осуществлен
с помощью такого источника электронов, каким является раскален-
раскаленная поЕ1ерхность металла.
Получаемый при этом чисто электронный ток между горячим като-
катодом и анодом не подчиняется закону Ома. Как было указано (стр. 188),
для токов 1 — малых по сравнению с током насыщения /„, — имеет
место формула Богуславского — Ленгмюра (вывод см. в § 186);
I=oL(V1~ViY^ A)
по которой сила тока / растет пропорционально разности потенциа-
потенциалов в степени 3/2. Причина такой зависимости /от Vy — Va заключается
в образовании между электродами электронного облака. При больших
разностях потенциалов ток дости-
гает насыщения, определяемого
числом электронов п, испускае-
испускаемых катодом в единицу времени.
Пользуясь раскаленным като-
ДОМ) можно получить поток прямо-
Рис. 159. Получение катодного луча. линейно летящих электронов. Рас-
Расположив близко от катода /Санод А
с небольшим отверстием Ъ (рис. 159), мы получим в пространстве С
пучок электронов, так называемый электронный, или катодный,
луч. Этот электронный луч легко обнаружить по яркому свечению
(люминесценции), которое он вызывает, ударяясь о ряд твердых тел,
например урановое стекло, виллемит, сернистый цинк и т. д.
Катодные лучи были впервые наблюдены еще в середине XIX в.,
но лишь в начале нынешнего столетия было с несомненностью уста-
установлено, что они представляют собой поток элементарных отрица-
отрицательных частиц—электронов.
При движении электрона без столкновений под влиянием электри-
электрического поля на него действует сила /== еЕ, где е —¦ заряд элект-
электрона, а Е — напряженность поля. В этом случае вся работа поля А =
= e(V\—• Vy, где V\—V2 — разность потенциалов начальной и конеч-
конечной точек пути электрона, идет на увеличение его кинетической
энергии Eh. Если начальная скорость электрона равнялась нулю, то
Ek = ^- = e(Vl-Vi). B)
Как мы уже говорили в § 168, энергию электрона принято изме-
измерять в особых единицах энергии, называемых „электрон-вольтами"

§ 185] ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКЛ ЧЕРЕЗ ВАКУУМ
243
(сокращенно эв). Один электрон-вольт равен кинетической энергии,
приобретаемой электроном при прохождении пути, разность потен-
потенциалов на концах которого равна 1 в.
Как было указано,
1 эв =1,601-10-" эрг.
Для многих расчетов бывает удобно пользоваться единицей, в N
раз большей, где N—число Авогадро; эта единица представляет со-
собой энергию, отнесенную к одному молю вещества, и может быть
названа эв/моль. Очевидно,
1 эв/моль— 1,601 -Ю-12. 6,023 -10м эрг/моль =
= 9,643 -10й эрг/моль = 23 055 кал/моль.
Из равенства B) легко определить скорость v, приобретаемую
электроном при прохождении пути, разность потенциалов на концах
которого равна Vj —¦ Va (начальная скорость полагается равной нулю):
¦j/Vj—Vj. C)
Подставляя сюда вместо заряда е и массы т электрона их числен-
численные значения, получим
v (см/сек) = 5,930 • 107 • |/( Vx — Ц>) (в). (За)
Таким образом, скорость электрона прямо пропорциональна корню
квадратному из разности потенциалов на концах пройденного им
пути. При прохождении пути
с разностью потенциалов на Таблицах
концах в 1 в, электрон приобре- Скорости электрона v, прошедшего
тает скорость 5,93-107 см /сек. ПУТЬ с разностью потенциалов
Формула C) справедлива, на концах Vl~V*
пока скорость электрона мала
по сравнению ео скоростью
света. При приближении ско-
скорости электрона к скорости
света с необходимо учитывать
возрастание массы электрона
в соответствии с теорией отно-
относительности (см. § 218, также
§ 31 т. 1). В табл. X приве-
приведены скорости электрона, про-
прошедшего путь с разностью потенциалов на концах Vt — Vj, с учетом
зависимости массы от скорости по принципу относительности. В третьем
столбце даны отношения [3 скорости электрона v к скорости света с.
Как видно из данных табл. X, при V,— Уа = 100 в действитель-
действительная скорость электрона практически совпадает с той, которую дает
102
10»
105
5- 10я
10»
см
V,
сек
5,93- 10s
1,88- 10»
5,85 • 10»
1,64- 10'°
2,59 • 10'°
2,82- 1010
V
с
0,0198
0,0626
0,195
0,548
0,863
0,9411

244 ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ [ГЛ. XV11
формула (За), при разности же потенциалов 1/(—1/2=106 в дей-
действительная скорость электрона равна 2,82-1010 см/сек, в то время
как формула (За), не учитывающая поправки на теорию относитель-
относительности, дала бы для v значение 5,93-1010 см /сек, т. е. больше ско-
скорости света с, что невозможно.
Описанные опыты с электронным пучком приводят нас к представ-
представлению об электронах как о частицах с определенными зарядами и мас-
массой, движущихся по определенным траекториям. Однако в § 31 т. I,
говоря о границах применимости классической механики, мы отметили,
что к элементарным частицам (отдельным электронам, протонам и т. д.)
неприложимы те представления, которые годятся для обычных „частиц"
классической механики. Элементарная частица не есть „частица" в обыч-
обычном смысле слова, и для нее неприменимо понятие о траектории. Эле-
Элементарные частицы подчиняются так называемому соотношению неопре-
неопределенности, по которому каждая из них не может быть одновременно
охарактеризована сколь угодно точно определенными координатами
и вектором скорости, но лишь с некоторыми допусками; так, коорди-
координата х и составляющая скорости vK могут быть одновременно опре-
определены лишь с такими допусками Ах и Avx, что
Дх-Д^^Д, D)
где т — масса частицы, а /г = 6,624 • 10"эт эрг-сек есть постоянная,
носящая название постоянной Планка.
Впоследствии мы увидим (см. т. Ш), что именно более тщательные
опыты с электронными пучками приводят к соотношению D), и тогда
более подробно выясним его физический смысл. Сейчас же лишь отме-
отметим, что некоторыми буржуазными физиками делаются неправильные
идеалистические выводы о том, что из соотношения между Ах и Avx
якобы вытекает предел познаваемости элементарных частиц, необходи-
необходимость отказаться от возможности пространственно-временного описаш.я
их поведения. В действительности же это соотношение указывает
лишь предел применимости к элементарным частицам предста-
представлений классической, механики. Тем самым оказывается возможным
выяснить, в каких случаях можно приближенно пользоваться пред-
представлением об электронах, как о „частицах" классической механики.
Легко видеть, что во всех разобранных нами случаях предста-
представление об электронном „пучке" согласуется с соотношением D).
Для этого мы должны вспомнить пример, приведенный в § 31
т. I. Если ширина пучка Ах с~ Ю~'г см (а с большей точностью мы
в описанных опытах и не фиксируем пучок), то по соотношению D)
. h 6,6-10--' , _ 1П, ,
Avx^^ г— = -тг-п*=7г-{гГГ см сек = 7 • 1 (J- смIсек.
Но при ускоряющем потенциале всего в 1 в (фактически в труб-
трубках для получения электронных пучков ускоряющие потенциалы

§ 186]
ВЫРОД ФОРМУЛЫ ЕОГУСЛЛЕСКОГО — ЛЕНГМЮРЛ
245
Vk'O
О
гораздо больше) скорость электрона по формуле (За) равна v~
^5,9-10' см/сек и, следовательно, значение Дг»^, требуемое соотно-
соотношением D), составляет приблизительно 0,001% от самой скорости,
т. е. остается далеко за пределами возможной точности экспери-
эксперимента. Отсюда следует, что в описанных опытах, так же как и во
нсех других опытах, которые мы будем рассматривать в этом томе,
электрон можно представить себе в виде обычной „частицы".
§ 186. Вывод формулы Богуславского — Лемгмюра; флуктуации
силы тока. Предположим для простоты, что мы имеем два бесконечно боль-
больших плоских электрода, расположенных параллельно
друг другу (рис. 160). Расстояние между электродами
обозначим через d, левый электрод будем считать като-
катодом и потенциал его положим равным нулю: 1/^=0.
Потенциал правого электрода (анода) обозначим через
Vд. Катод являетей источником электронов.
Ускоряемые нолем электроны движутся от одного
электрода к другому и образуют ток.
Проведем ось ОХ перпендикулярно к электродам.
В силу симметрии расположения электродов, значение
объемной плотности зарядов р, создаваемой электрон-
электронным облаком, будет зависеть лишь от координаты х;
эквипотенциальные поверхности пройдут параллельно
электродам, и векторы напряженности поля Е будут
повсюду направлены по оси ОХ.
Плотность тока i численно равна заряду, переноси-
переносимому в единицу времени через единичную площадку.
При стационарном режиме плотность тока i постоянна во времени и оди-
одинакова для всех значений координаты х.
Связь между объемной плотностью зарядов р и потенциалом V дается
формулой C) § 132:
В рассматриваемом случае потенциал V меняется лишь в направлении,
перпендикулярном к плоскостям электродов, т. е. лишь вдоль оси ОХ; по-
поэтому отлична от нуля только производная от V по координате х, и равен-
равенство A) принимает вид:
а
Рис. 160. К выводу
формулы Богуслав-
Богуславского — Ленгмюга.
дх*
B)
При термоэмиссии электроны вылетают из катода с тепловыми скоро-
скоростями, которые малы по сравнению со скоростями, приобретаемыми электро-
электронами под влиянием обычных внешних электрических полей. Поэтому будем
приближенно считать начальные скорости электронов равными нулю. Тогда
электроны, достигшие точки между электродами, характеризуемой потенциа-
потенциалом V, будут иметь скорость v, определяемую формулой:
mV
C)
Плотность тока i определится через плотность объемного заряда р и
скорость движения электронов с помощью равенства
i = — po. ¦ D)

246 ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ [ГЛ. XVII
Здесь справа поставлен знак минус, так как направление вектора i сопо-
сопоставляется с направлением движения положительных зарядов.
Из формул B), C) и D) находим
., dV .
Умножая правую и левую части этого равенства на -,— ах, получим
ах
Интегрируя равенство E) в пределах от 0 до л: напишем
J dx' dx у 2е j dx w
о о
По условию при х = 0 и V=0; также нам надо положить при А' = 0
и -т- = 0.
dx
Это последнее условие вытекает из того соображения, что вблизи катода
образуется электронное облако, в которое электроны от катода поступают
только за счет диффузии. Следовательно, у катода напряженность поля
? = 0, откуда и вытекает требование:
При этих условиях в результате интегрирования равенства F) получаем
( -=- 1 = 16м 1/ ?-¦ К1/а или ,, == 4 VtU • 1/ '?- ¦ dx.
\dx) У 2е уи У 2е
Проинтегрируем это равенство в пределах изменения х, от 0 до d:
dV ,^r^ АГт
С dv
Пределами интегрирования левой части равенства мы взяли 0 и VA, так
как V=0 при х = 0 и V=VA при x = d; интегрирование даст:
Решая это равенство относительно плотности тока г, получим:
е
т
Чтобы перейти от плотности тока I к общей силе тока /, надо умножить I
на площадь поверхности S, эмиттирующей электроны:

§ 186] ВЫВОД ФОРМУЛЫ БОГУСЛАВСКОГО — ЛЕНГМЮРА 247
Замечая, кроме того, что при наших обозначениях VA совпадает с разностью
потенциалов Vt, — V-2 между электродами, получим из G)
Полагая множитель
9* V т d*'
где величина а будет постоянной для данных размеров и расположения элек-
электродов, найдем
I=a(V1 — 1Д)'/2>
что совпадает с формулой C), приведенной на стр. 196.
При очень слабом электронном токе, когда среднее число электронов п,
достигающих анода в единицу времени, невелико, должны сказываться флук-
флуктуации силы тока I. Эти флуктуации силы тока вполне аналогичны упомя-
упомянутым в т. I флуктуациям давления газа его плотности и т. д.; они непосред-
непосредственно обусловлены прерывной „автоматической" природой электрических
зарядов, т. е. существованием электронов.
Разобьем время наблюдения на равные малые промежутки Lt, тогда hAt
есть среднее число электронов, достигающих анода за время At; за отдельные
же промежутки]времени Д^, Дг2, ..., Atkt .. ., в силу беспорядочности вылета
из катода, числа электронов nAt , достигающих анода, будут несколько
h _
отличны от этого среднего значения nAt;
ft
В соответствии с этим силы токов /А = ид/. • —— (где е — заряд электрона),
k At к
наблюдаемые как среднее значение силы тока за данный промежуток вре-
ме1.и Atk, будут несколько различны:
/а = 7д, + 82/
h = ht +й*7
Здесь 4^^Яд;-т1 — среднее значение силы тока, взятого за все промежутки
времени.
Соответственный статистический расчет показывает, что среднее квадра-
квадратичное отклонение силы тока ЪкР равно
lAt-e

248 токи в элр;ктролитАХ и газах [гл. xvn
Это отклонение становится тем меньше, чем за больший промежуток вре-
времени М мы производим наблюдение: этот результат очевиден, так как для
больших промежутков времени лучше сглаживаются неравномерности в си-
силе токг, вызванные случайными изменениями числа электронов, вылетающих
из катода. Во-вторых, отклонение ЬиТ- зависит от величины заряда электро-
электрона е. Это следствие теории также понятно: если бы, например, заряд элект-
электрона е был больше топ величины, которой он равен в действительности, то
при той же силе тока число вылетающих- электронов было бы меньше, и,
следовательно, случайные отклонения от среднего значения силы токи стали
бы заметнее.
Указанное „дрожание" силы тока носит название „дробового" эффекта и
указывает на сходство пучка электронов с потоком дробинок.
Флуктуационные колебания можно разложить на гармонические составля-
составляющие. В виду их беспорядочности, их можно разложить лишь на бесчислен-
бесчисленное множество гармонических составляющих всевозможных частот м, т. е.
разложить в сплошной спектр (см. т. I). Если наблюдать флуктуационные
колебания с помощью микрофона, то они вызовут в нем шум; отсюда воз-
возникло название флуктуационных колебаний тока — электрические шумы.
У дробового эффекта, вплоть до периода порядка времени пролета элект-
электронов через катодную трубку (~ 10~s сек), амплитуда гармонических состав-
составляющих для всех частот одинакова. Если катодную лампу (см. рис. 137) рас-
рассматривать, как цепь, с сопротивлением R и температурой Т, то среднее
квадратичное значение амилитуды флуктуационной разности потенциалов,
возникающих на электродах лампы, равно:
где k —постоянная Больцмана и dv— ширина выделенного интервала частот.
Среднее квадратичное значение амплитуды флуктуационных колебаний анод-
анодного тока в лампе о/^ равно
Щ = 4кТ^. (Ю)
При работе лампы в условиях отсутствия объемных зарядов, последнюю
формулу можно представить в виде
8/»=2*/оД*. A0а)
Указанные колебания вызваны тем, что из-за беспорядочности теплового
движения число электронов, вылетающих с горячего катода, подвержено
непрерывным флуктуациям. Амплитуда их зависит от температуры и может
быть снижена лишь за счет ее понижения. Флуктуационные колебания силы
тока определяют точность электрических измерений. Величина измеряемого
тока должна быть больше величины его флуктуации.
Наряду с указанными флуктуационными колебаниями в катодной лампе
могут происходить изменения тока эмиссии за счет изменения активности
отдельных участков поверхности катода. Такие изменения, ведущие к более
медленным колебаниям силы анодного тока (м =: 10^3 сек~') открыты Джон-
Джонсоном и носят название „мерцаний".
Выделяя с помощью резонансного контура одну из гармонических состав-
составляющих флуктуационных колебаний силы тока, можно измерить среднее
квадратичное значение ее амплитуды. Сравнение измеренного значения 5/J
с вычисленным по формуле A0а) позволяет определить заряд электрона е.
Измерения, произведенные таким способом, дали для е значение, совпадающее
в пределах точности наблюдений (-v. I °/o) со значением заряда электрона,
найденным другими способами.

§ 187J длина свободного пути электронов в газе 249
Флуктуационные колебания силы тока возникают не только в электрон-
электронных лампах, где ток обусловлен переносом свободных электронов, но и в
любых проводниках тока (металлах, полупроводниках, электролитах).
§ 187. Длина свободного пути электронов в газе. Двигаясь
в газовой среде, электрон испытывает с атомами и молекулами стол-
столкновения. Средняя длина его свободного пути может быть опреде-
определена совершенно тем же методом рассуждений, что и длина сво-
свободного пути молекул.
В § 53 т. 1 мы получили, что средняя длина свободного пути
молекул
У 2 7cjJn0
где я0 — число молекул в единице объема, а — эффективный диаметр
молекул; точнее говоря, о представляет собой сумму эффективных
радиусов гиг' сталкивающихся молекул: az=r-\-r'. Напомним, нако-
наконец, что ]/2 в знаменателе появляется в результате учета того,
что движутся все молекулы — и „ударяющие" и „ударяемые". Желая
определить среднюю длину свободного пути к электрона, мы должны
учесть два обстоятельства: во-первых, размеры электрона много
меньше размеров молекул или атомов, так что в выражении для эф-
эффективного диаметра a = r-\-rf радиусом электрона г' можно прене-
пренебречь по сравнению с радиусом молекулы г, во-вторых, скорость
электрона благодаря его малой массе гораздо больше скорости моле-
молекул, поэтому нет надобности сохранять в формуле A) в знамена-
знаменателе У 2.
В результате для средней длины свободного пути электронов
получаем
где г — эффективный радиус молекул того газа, в котором движутся
электроны.
Средняя длина свободного пути электронов Хе, как и средняя
длина свободного пути молекул X, обратно пропорциональна давле-
давлению газа р.
Так как в формуле A) для молекул данного газа (т. е. когда
г = г') эффективный диаметр о = 2г, то из сравнения формул A) и
B) имеем
т. е; средняя длина свободного пути электронов приблизительно
в .5,6 раза больше средней длины свободного пути молекул газа
при том же давлении.

250
ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ
[гл- XVII
Численные значения средних длин свободного пути электронов
для различных газов и при различных давлениях даны в табл. XI.
Таблица XI
Средняя длина свободного пути электронов Хе
(в см) при 0° С
Газ
Не
Ne
Ar
н3
No
О2
Давление
1 MM Hg
7,4-10
6,6-10-2
4,4-Ю-3
7,5-10-2
3,6- Ю-2
4,1-10-2
10 мм Hg
7,4
6,6
4,4
7,6
3,6
4,1
Ю-4 мм Hg
740
660
440
750
360
410
Как видно из данных табл. XI, при давлении в 10 4 мм Hg, легко
достижимом с помощью современных вакуумных насосов, средние длины
свободного пути электронов достигают нескольких метров. Этим объ-
объясняется, что хорошо ограниченные не размытые электронные пучки
могут быть без труда получены в сосудах линейным размером в не-
несколько десятков сантиметров.
Экспериментально средняя длина свободного пути электронов
может быть определена методом, идея которого в принципе совпа-
совпадает с идеей опыта по
I V/Vi определению средней дли-
длины свободного пути газо-
газовых молекул с помощью
молекулярного пучка (см.
т. I, § 54). Схема этого
метода изображена на
рис. 161: К— горячий
катод, служащий источни-
источником электронов; В — анод
с отверстием а. Все части
прибора находятся в со-
сосуде с пониженным давле-
давлением. Анод В расположен
от катода К на расстоя-
расстоянии, меньшем средней длины свободного пути электронов. Между анодом
и катодом прикладывается ускоряющая электроны разность потенциа-
потенциалов Vi — V<i, благодаря чему электронам задается определенная скорость.
Пройдя через отверстие а, электроны образуют пучок, движущийся
llili >
Рис. 161. Схема метода определения средней
длины свободного пути электронов.

§ 187] ДЛИНА СВОБОДНОГО ПУТИ ЭЛЕКТР0НОВ В ГАЗЕ 251
внутри металлического цилиндра С, находящегося при том же потен-
потенциале, что и анод В. Цилиндр С заканчивается сеткой В'. Таким образом,
внутри цилиндра С отсутствует поле, и электроны движутся с постоян-
постоянной скоростью. Пролетая через сетку В', они попадают на электрод А
и отдают ему свой заряд. Длина цилиндра С больше средней длины
свободного пути электронов, электрод же А расположен от сетки В'
снова на расстоянии, много меньшем 1е.
Некоторые электроны пучка испытывают внутри цилиндра С столк-
столкновения с молекулами газа, в результате чего они отклоняются в сто-
сторону и попадают на внутреннюю часть цилиндра С или подлетают
к сетке В' косо. Между электродом А и сеткой В' прикладывается
задерживающая электроны разность потенциалов Vt — Vb равная
ускоряющей разности потенциалов Vl ¦— V<j, приложенной между като-
катодом К и анодом А. Тогда только те электроны, которые движутся
перпендикулярно к сетке В', т. е. которые не испытали столкновений,
достигнут электрода А и образуют ток /, измеряемый гальванометром G.
Элекл-род А и сетка В' делаются подвижными, чтобы можно было
менять их расстояние / от анода В.
По формуле, приведенной в т. I, § 54, число частиц в пучке п,
прошедших путь / без столкновений, равно
где я0 — первоначальное число частиц в пучке, а X— их средняя
длина свободного пути.
Эта же формула применима к электронному пучку: она дает
число п электронов, достигающих в единицу времени электрода А.
Так как сила тока / пропорциональна числу электронов п, то
Произведем отсчет силы тока / для двух различных значений / при
одном и том же давлении газа и одной и той же силе начального
тока /0, тогда
72 = /ое~'2/\ откуда -± = e~(li~l-)/le.
Из последней формулы получаем для средней длины свободного
пути электрона Хе:
Так как расстояния 1Л и /2 и силы тока It и 72 доступны непосред-
непосредственному измерению, то таким образом определяется Хе.
Экспериментальные данные подтверждают теоретическое значе-
значение длины свободного пути электронов. Однако надо отметить, что
средняя длина свободного пути электронов зависит от скорости

252
ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ
[гл. xvii
электронов; в большинстве газов для медленных электронов она
меньше определяемой из кинетической теории газов по средней длине
свободного пути молекул. При больших скоростях она приближается
к значению, определяемому по кинетиче-
кинетической теории газов.
Мы уже не раз указывали, что представле-
представление о взаимодействии газовых молекул, как
об упругом столкновении шариков при их не-
непосредственном соприкосновении, является
слишком примитивным.
Молекулы представляют собой сложные
системы заряженных частиц, взаимодействую-
взаимодействующих друг с другом не только при непосред-
непосредственном соприкосновении, но и на расстоя-
нии. Еще в большей мере это относится к слу-
случаю столкновений электронов с молекулами
50
О I Z 3
5 6
Рис. 162. Зависимость от
скорости электронов эффек- или атомами. Электрон начинает взаимодей-
тивного сечения S молекул ствовать с молекулой или атомом на расстоя-
Н2 и N2, находящихся в ниях, много больших, чем действительные раз-
2,
1 см3 при 0° С и при давле-
давлении 1 MM Hg.
меры атома или молекулы, и силы взаимодей-
взаимодействия возрастают по мере уменьшения рас-
расстояния между ними. Отсюда ясно, что эффек-
эффективный диаметр молекулы должен зависеть от скорости пролетающего элек-
электрона; и, определяемый по столкновениям с электроном, может оказаться
отличным от эффективного диаметра, определяемого по столкновениям моле-
молекул друг с другом.
В теории столкновений электронов с молекулами часто рассматривают
полное сечение всех молекул, заключенных в 1 см'6 при 0° С и давлении 1 мм Hg.
Это полное сечение S равно
S = TirX,
где г — радиус молекулы, а п„ — число моле-
молекул в 1 см3 при 0° С и давлении в 1 мм Hg.
Определяя г по длине свободного пути
электронов Хе, получим, например, для водо-
80 -
V
5:
20-
0
-
\
Не
fi
е р
рода (Hj) при ускоряющем потенциале в 25 в
сечение S = 20 см'2/смъ. По сказанному, S за-
зависит от скорости электронов.
На рис. 162 приведены экспериментально
полученные значения S для Н2 и для N2.
По оси абсцисс отложены корни квадратные
из ускоряющих потенциалов, т. е. величины,
пропорциональные скоростям электронов v.
Справа нанесены значения S, вычисленные на
основании кинетической теории газов по длине
свободного пути молекул. Как видно, для во-
водорода при малых скоростях электронов эффек-
эффективные сечения молекул более чем вдвое пре-
превышают вычисленные по кинетической теории
газов; при больших скоростях сечения, вычисленные как по длине свобод-
свободного пути электронов, так и по данным кинетической теории газов, прак-
практически совпадают.
¦ Для инертных газов Не, Ne, Ar, Kr, Xe было обнаружено, что эффектив-
эффективные сечения атомов этих газо;в для медленных электронов очень малы,-затем
Рис. 163. Зависимость <т
скорости электронов эффек-
эффективного сечения S атомон
Не и Ne, находящихся в
1 см3 при 0° С и при давле-
давлении 1 мм Hg.

§ 188] СТОЛКНОВЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ И МОЛЕКУЛАМИ 253
они возрастают, достигают максимума при ускоряющих потенциалах поряд-
порядка нескольких вольт, а затем спадают. Для очень медленных электронов
(Vi—Vi ^ 1 в) эффективные сечения значительно меньше определенных по
кинетической теории газов. Атомы оказываются как бы „прозрачными" для
электронов: электроны проникают сквозь них не отклоняясь. Этот эффект, от-
открытый Рамзауером, может быть объяснен лишь на основании квантовой ме-
механики.
На рис. 163 приведены эффективные сечения S атомов Не и Ne в зави-
зависимости от скорости сталкивающихся электронов. Справа снова нанесены
эффективные сечения, определенные по кинетической теории газов.
§ 188. Столкновения электронов с атомами и молекулами.
При небольших скоростях удары электронов с атомами и молекулами
носят упругий характер. Ввиду того, что масса электрона т гораздо
меньше массы атома или молекулы М, электрон при упругом ударе
почти не изменяет своей скорости по величине: она меняется лишь
по направлению. Электрон упруго „отскакивает" от атома или моле-
молекулы. В соответствии с этим и количество энергии, переданной элек-
электроном при упругом столкновении молекуле, составляет лишь весьма
небольшую долю первоначальной кинетической энергии.
Так как скорость электрона v много больше скорости молекул,
то последние мы можем считать неподвижными. Тогда, применяя
к центральному удару электрона формулы, выведенные в § 28 т. I
для упругого столкновения шаров, получим, что после соударения
молекула приобретает скорость
, 2mv
V = —
где v — скорость электрона до удара.
Пренебрегая в знаменателе массой электрона т по сравнению
с массой атома или молекулы М, приближенно будем иметь
, 'Imv
Кинетическая энергия, приобретенная атомом или молекулой, равна
. _, Mv'* Am inv2
Afcfe — ~2~ — Ж  '
Такое же количество кинетической энергии потеряет электрон. Заме-
Замети3
¦чая, что —у
Ek, получим
ти3
¦чая, что —у есть первоначальная кинетическая энергия электрона
При нецентральном ударе потеря энергии будет меньше; в сред-
среднем мы можем считать, что при упругом столкновении с атомом

254 ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ [ГЛ. XVII
или молекулой электрон теряет энергию
ЬЁн = *Е» 0)
где
*=м- <1а>
Величина к представляет собой малую дробь. Так, для случая упругих
столкновений электронов с атомами неона / = 5,45-10~8, а для
столкновений с атомами аргона у. = 2,76 • 10~8.
Таким образом, при упругом столкновении с атомом или молеку-
молекулой электрон в среднем теряет несколько стотысячных долей от
своей первоначальной энергии.
При увеличении скорости электрона начинают происходить неуп-
неупругие столкновения\ при которых электрон может отдать нацело
свою кинетическую энергию атому или молекуле, с которой он стал-
сталкивается. Переданная энергия идет либо на возбуждение атома
(молекулы), либо на его ионизацию, т. е. на вырывание из него
одного или нескольких электронов. В том случае, если энергия
идет на возбуждение атома, она переходит затем либо в энергию
излучения, либо в тепло.
В настоящей главе мы будем рассматривать лишь те неупругие
столкновения, которые ведут к ионизации; при этом мы будем счи-
считать, что имеет место однократная ионизация, т. е. что атом или
молекула под влиянием неупругого столкновения с электроном теряют
лишь один из своих электронов и, следовательно, превращаются
в одновалентный положительный ион.
Обозначим энергию, необходимую для ионизации, через Ej. Тогда,
чтобы электрон смог ионизировать атом, его кинетическая энергия
должна быть не меньше Ej. Так как кинетическая энергия электрона:
где V] — 1/2 — ускоряющая электрон разность потенциалов, то наи-
наименьшая необходимая для ионизации разность потенциалов уско-
ускоряющего электрон поля определится соотношением:
e(Vi-Vi)J=-^ = EJ. B)
Разность потенциалов (Vi—¦ V4)y называется ионизационным по-
потенциалом данного атома или молекулы.
Энергию ионизации Ej обычно выражают в электрон-вольтах (эв).
Существуют многочисленные экспериментальные методы опреде-
определения ионизационных потенциалов. Некоторую трудность в опреде-
определении этих потенциалов представляет необходимость отличить их от
тех разностей потенциалов, которые ведут к возбуждению атома или

§ 188] СТОЛКНОВЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ И МОЛЕКУЛАМИ 255
молекулы. Мы рассмотрим лишь простейший метод, заключающийся
в следующем. В катодной трубке (рис. 137) между раскаленным като-
катодом К и анодом А получается электронный ток. В трубке имеется
в небольшом количестве газ, так что длина свободного пути элек-
электронов несколько меньше расстояния / между
катодом и анодом.
Пока электроны испытывают с молеку-
молекулами газа лишь упругие столкновения, ток
является чисто электронным, и его сила /
определяется формулой Богуславского—Ленг-
мюра (см. § 186):
Поэтому, если мы отложим по оси абсцисс рис 164 Излом „а гра.
(Vt— \Л2УЧ то графическая зависимость фик'е> ДаЮщем зависи-
силы тока / от (Vt—V^fl3 изобразится пря- мость силы тока / от
мой Оа на рис. 164. Однако как только (VL — F2K/2, вызванный
скорости электронов станут достаточными, ионизацией.
чтобы ионизировать газ в трубке, в объеме
трубки возникнут добавочные электроны и положительные ионы,
и сила тока / резко возрастет (ветвь аЪ кривой на рис. 164).
Разность потенциалов, при которой зависимость силы тока / от
(Vi — V2K/2 дает резкий излом, предста-
представляет собой ионизационный потенциал.
В табл. XII приведены ионизацион-
ионизационные потенциалы некоторых атомов и
молекул.
Если скорость электрона больше
потребной для ионизации, то он отдает
при столкновении лишь столько энер-
энергии, сколько необходимо для ионизации,
сам же продолжает после столкновения
двигаться с остающейся кинетической
энергией. Не всякое столкновение ведет
к ионизации. Для больших скоростей
вероятность ионизации становится мень-
меньше, электрон „успевает" пролететь мимо
атома, не ионизировав его. На рис. 165
приведена кривая, дающая число поло-
положительных ионов ртути (Hg+), образуе-
образуемых электронами разных скоростей на
длине пути в 1 см при давлении паров ртути 1 мм Hg. Как видно,
вероятность ионизации достигает максимума при ускоряющем поле
с разностью потенциалов 50 в (потенциал ионизации ртути равен
10,4 а); при больших ускоряющих потенциалах вероятность иониза-
Таблица XII
Ионизационные
потенциалы (в в)
Атомы
или молекулы
Водород, Н . . . .
Гелии, Не
Неон, Ne
Аргон, Аг
Ртуть, Hg
Натрий, Na ....
Калий, К
Цезий, Cs
Водород моле-
молекул., Н2
Азот моле-
молекул., N2
<yi-rVt)j
13,54
24,47
21,47
15,69
10,38
5,12
4,32
3,87
15,4
15,8

256
ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ
[ГЛ. XVII
S
24
20
IB
12
S
и
с
Рис. 165. Зависимость числа
образуемых ионов ртути (Hg+)
от скорости электронов.
ции убывает. Из рис. 165 видно, что в максимуме кривой электрон
образует около 20 ионов Hg+ на 1 см пути. Так как при указан-
указанных условиях он испытывает на пути в 1 см около 57 столкновений, то,
20
следовательно, лишь v= столкновений (т. е. 35% от общего числа столк-
столкновений) ведут к ионизации. При всех
других скоростях процент столкнове-
столкновений, ведущих к ионизации, будет ниже.
До сих пор мы говорили лишь об
ионизации электронным ударом. Однако
возможна и ионизация при столкновении
с ионами. Но в настоящее время уста-
установлено, что ионы вызывают заметную
ионизацию лишь при очень больших
энергиях, так что во всех интересую-
интересующих нас случаях газовой проводимости
ионизация ионами играет лишь второ-
второстепенную роль.
Кроме схемы, описанной на стр. 255, для определения ионизационных по-
потенциалов используются различные другие схемы. Франк и Герц впервые
произвели в 1913 г. определение ионизационных потенциалов с помощью
следующей установки (рис. 166). Помещенная в
замкнутый сосуд накаливаемая платиновая нить „ ВС
АА' служила источником электронов. Электрометр
Е позволял обнаружить заряды, попадающие на
электрод СС. Между накаливаемой нитью и элек-
электродом СС располагалась сетка ВВ'. Электрод СС
и сетка ВВ' изготовлялись также из платины,
чтобы избежать возникновения контактных разно-
разностей потенциалов. Все пространство внутри сосуда
заполнялось исследуемым газом или паром при
низком давлении. Между нитью АА' и сеткой ВВ'
приложена разность потенциалов VA — Vв, уско-
ускоряющая электроны. "Между сеткой ВВ' и электро-
электродом СС приложена разность потенциалов Vв —
— Vq, задерживающая электроны. Если по числен-
численному значению VB — Vc больше VА — Vв, то элек-
электроны, пролетев через сетку, будут отброшены
назад и не достигнут электрода СС. Но если ско-
скорость электронов, приобретаемая под влиянием раз-
разности потенциалов VA — Vв, достаточна, чтобы
электроны при столкновениях с атомами между ВВ' и СС могли их ионизиро-
ионизировать, то возникнут положительные ионы. Эти ионы будут ускорены под влия-
влиянием разности потенциалов VB—Vc и, достигнув электрода СС, сообщат ему
положительный заряд, который будет отмечен электрометром Е. Таким обра-
образом может быть установлена та разность потенциалов VА — Vв, при которой
впервые появится положительный заряд на электроде СС. Эта разность потен-
потенциалов и определит ионизационный потенциал исследуемых атомов.
Метод Франка и Герца обладает одним существенным недостатком: поло-
положительный заряд на электроде СС может возникнуть не только в случае
НЙ>-
~,
Рис. 166. Схема метода
Франка и Герца опреде-
определения ионизационных по-
потенциалов.

§ 189] ПОДВИЖНОСТЬ ЭЛЕКТРОНОВ В ГАЗЕ ПРИ НИЗКОМ ДАВЛЕНИИ 257
D С
е
В' ВС
Рис. 167. Схема метода
определения иониза-
ионизационных потенциалов.
ионизации атомов электронами, но и при их возбуждении. Как мы увидим впо-
впоследствии (см. т. III), возбужденный атом, переходя в свое нормальное состоя-
состояние, излучает свет. Если это излучение относится к ультрафиолетовой области
спектра, то, падая на электрод СО, оно может вырвать из него электроны
(такое вырывание электронов под влиянием света носит название фотоэффекта;
см. т. 111). В результате потери отрицательных электронов сам электрод СС
зарядится положительно, что будет отмечено электрометром Е.
Для того чтобы иметь возможность отделить возбуждение атомов элек-
электронным ударом от их ионизации, был использован следующий метод. Между
накаливаемой нитью А А' и электродом СС располо-
расположили две сетки: ВВ' и DD' (рис. 167). Между нитью
и сеткой ВВ' снова прилагалась разность потенциа-
потенциалов VA — VB, ускоряющая электроны, а между сет-
сетками ВВ' и DD' — разность потенциалов^ — VD,за-
VD,задерживающая электроны. Наконец, между сеткой DD'
и электродом СС создавалось слабое поле, направле-
направление которого можно менять произвольно. Если элек-
электроны, вылетевшие из накаленной нити, производят
ионизацию в пространстве между сетками ВВ' и DD',
то возникшие положительные ионы достигнут элек-
электрода СС и сообщат ему положительный заряд, неза-
независимо от направления добавочного слабого поля
между сеткой DD' и электродом СС. В самом деле,
если это поле направлено так же, как поле между
сетками ВВ' и DD', то оно только еще более ускорит
ионы по направлению к электроду СС; если оно
имеет обратное направление, то, ввиду того что раз-
разность потенциалов между DD' и СС берется по численному значению
меньше VB — V D, оно не будет достаточно, чтобы задержать ионы.
Рассмотрим теперь случай, когда электроны, сталкиваясь с атомами в прост-
пространстве между сетками ВВ' и DD', вызывают лишь их возбуждение. Возбуж-
Возбужденные атомы испускают свет, который вырывает электроны с сеток ВВ' и DD'
и электрода СС. Если направление добавочного поля между сеткой DD'
и электродом СС такое же, как и между сетками ВВ' и DD' (при этом на-
направлении поля положительные ионы ускоряются по направлению к СС), то
электроны будут отброшены от электрода СС, и он приобретет положитель-
положительный заряд. Если же направление этого добавочного поля взять обратное, то
фотоэлектроны, вырванные из СС, упадут на него обратно, также на него
попадут электроны с сетки DD', и он приобретет отрицательный заряд. Таким
образам, меняя направление добавочного поля, можно различить случай иони-
ионизации от случая возбуждения атомов.
Эксперименты с парами ртути дали возможность установить наличие
трех разностей потенциалов, при которых происходили неупругие столкно-
столкновения: 4,9; 6,7 и 10,4 в. Эти потенциалы получили название критических.
Первые два из них ведут к возбуждению атомов ртути, последний — к иони-
ионизации.
§ 189. Подвижность электронов в газе при низком давлении. Рас-
Рассматривая подвижность ионов в электролитах, а также в газах при не слиш-
слишком малых давлениях, мы допускали существование силы трения, пропор-
пропорциональной скорости ионов. Это было возможно благодаря малой длине
свободного пути ионов. В случае движения электронов в газе требуется
более детальное рассмотрение.
Для простоты ограничимся рассмотрением лишь упругих столкновений
электронов с атомами газа. В этом случае, как следует из формулы A) § 188,
численное значение скорости электрона в результате столкновения почти не
9 С. Фриш и А. Тиморева

258
ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ
[ГЛ. XVII
меняется, направление же скорости мэжет измениться любым образом: элек-
электрон может и отклониться в сторону и отскочить назад. Если напряженность
поля равна Е, то в промежутках между столкновениями электрон испыты-
испытывает постоянное ускорение:
w = - A)
и, следовательно, движется по отрезку параболы. Весь его путь среди ато-
атомов газа при наличии электрического поля имеет вид, изображенный на рис 168.
Рассмотрим более подробно путь электрона между двумя последователь-
последовательными столкновениями. Направление вектора напряженности Е указанострелкой
на рис. 169. Пусть скорость электрона v сра-
сразу после столкновения с атомом А состав-
составляет с Е угол у. Будем считать, что добавоч- /--
ная скорость, приобретаемая электроном под /|
влиянием напряженности поля Е во время / I.
движения между двумя столкновениями, /
мала по сравнению со скоростью v. Тогда
Рис. 168. Муть электрона
среди атомов газа.
Рис. 169. К определе-
определению пути электрона
между двумя столкно-
столкновениями.
путь электрона, изображаемый дугой АВ, не сильно отличается от той длины
свободного пути Х = А8, которую он прошел бы, двигаясь между атомами
Л и В при отсутствии электрического поля. Угол между АВ и направлением
вектора напряженности Е обозначим через у'.
За время между двумя столкновениями т электрическая сила совершит
работу
dA = еЕ \ cos у'.
В среднем для многих столкновений эта работа будет равна:
dA = eE\ cos <
B)
mv'
При ударе электрод теряет, по формуле A) § 188, энергию*-^—
Равновесие будет достигнуто, когда средняя работа dA, совершаемая
электрической силой между двумя столкновениями, станет равной средней
потере энергии электрона при ударе
-г-. mv3
подставляя вместо dA его значение по B), получим условие стационарности
движения:
еЕ\ cos <f' = ¦*. -^—, C)

§ 189] подвижность электронов в газе при низком давлении 259
Из рис. 169 имеем
AC AD + DC
COS? =-АЪ = jg— ,
но AD = v\ cos <р, a DC=wW^, где w — ускорение, определяемое равен-
равенством A). Следовательно,
со8?' =
VI COS if + г, We VX COS <p -\- -к Xa
AB
откуда среднее значение cos<f определите!)
, 1 eE -3
t; x cos cp + -2- — ia
COS (f' =
Но мы считаем, что любое направление движения электрона после столкно-
столкновения равновероятно, он может отскочить от атома под любым углом у, тогда
cos <е = 0 и
• - 1 Iе- 72
2 тХ
Среднее время между двумя столкновениями х равно
- X
откуда D)
; 1 еЕ I
COS о' = -^ =5-,
Здесь v- означает квадрат средней скорости, в то время как в формуле C)
стоит средняя квадратичная скорость. Однако принимая во внимание при-
приближенный характер наших вычислений, мы не будем делать различия между
этими двумя средними. Тогда, подставляя-значение cos<p' в C) и решая полу-
полученное уравнение относительно Ь, найдем
E)
Таким образом, средняя скорость беспорядочного движения электрона
между атомами газа пропорциональЕ1а У Е-
Найдем теперь скорость о перемещения электрона в направлении поля.
Из рис. 169 имеем
АС , 1
и = — = v cos у -\- -у wx.
Среднее значение этой скорости будет
и = 0 ¦ cos <р ~Ь 9' w"'-
Замечая, что по-прежнему costp=^0, и подставляя вместо да и t их значе-
значения по A) и D),_найдем
и = ,-г ¦ — • Е.
2 mv

260 ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ [гл. XVII
Наконец, подставляя сюда вместо v его выражение по E), получим
Отсюда видно, что скорость перемещения электрона в направлении поля я
пропорциональна У^Е . Определяя подвижность электрона как величину, pea-
peart
ную uo^-jt, найдем
-¦уж; G)
таким образом, подвижность электрона в газе зависит от напряженности
поля, будучи обратно пропорциональна \ГЕ. В соответствии с этим для
электронной проводимости газов не имеет места закон Ома. На самом деле
закон Ома не выполняется еще и по ряду других причин.
Мы рассматривали лишь упругие столкновения, поэтому полученные фор-
формулы применимы лишь для небольших напряженностей Е. Для инертных газов
(Ne, Ar и т. д.) при ?=1 в/см значения v и и, вычисленные но формулам
E) и F), хороню согласуются со значениями этих величин, вычисленными
другими способами. Для давления р = 1 мм Hg и ?=1 в/см получим
а = ] ,25 ¦ 10я см I сек, п = 4,63 • 105 см/се к.
Скорость v беспорядочного движения электрона между атомами, которую
он приобретает под влиянием электрического поля напряженности ?= \в/см,
велика по сравнению с тепловой скоростью его движения в газах в отсут-
отсутствии электрического поля при обычных температурах.
В отсутствии электрического поля средняя энергия теплового движения
электронов та же, что и средняя энергия теплового движения молекул:
~~Т~ 2kT>
где k—постоянная Больцмана и Т—абсолютная температура.
Отсюда
ГШУ
m '
При Т = 300° К получим
/ .1,38- 10 1в ¦ 300 , ^„_. ,п„
У va =¦ I/ 9 ]0-,,7 см/сек ?Ё 3,74 ¦ 10« см/сек,
т. е. приблизительно в 30 раз меньше приведенного значения V.
Средняя скорость перемещения электрона в направлении вдоль поля н
много меньше его полной ^средней скорости V. Благодаря этому и общая
длина пути /, проходимого электроном, велика по сравнению со смещением IE
электрона в направлении поля; очевидно,
/7 = ~а •
Воспользовавшись формулами E) и F), перепишем это выражение в виде:
/ 2

§ 190]
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ГАЗОВ
261
для неона — = 271, а для аргона -— = 381; таким образом, общий путь,
проходимый электроном, в сотни раз больше его перемещения вдоль поля.
§ 190. Самостоятельная проводимость газов. В § 188 мы
видели, что при достаточных скоростях электронов, когда они при
столкновениях вызывают ионизацию, сила тока в газе сильно возра-
возрастает, так как возрастает число заряженных частиц, перенос которых
образует ток. Рассмотрим теперь этот процесс по-
подробнее.
Для простоты предположим, что ток возникает между
двумя плоскими параллельными электродами К и,.А,
причем катод ТС является источником электронов (рис. 170).
Пусть из катода в единицу времени вылетает па элек-
электронов. Выделим параллельно электродам, на расстоянии
х от катода, слой толщиной dx. Число электронов, до-
долетающих до этого слоя, обозначим через п.
Тогда внутри слоя, в результате ионизации при
ударе электронов, образуется новых электронов
dn = an dx,
где а — коэффициент ионизации. Переписывая это ра-
равенство в виде
rfn _
я
Рис. 170.
К подсчету
силы тока
между пло-
плоскими элек-
электродами при
самостоя-
самостоятельной про-"
водимости.
получаем, интегрируя левую и правую части,
In п = ах -\- С. A)
Постоянную С определяем из условия, что при д: = 0, т. е. у са-
самого катода, п = па, откуда
In «о = С.
Воспользовавшись этим значением С, получим из A):
In — = ах,
или
п = nt)eax. B)
При выводе этой формулы мы пренебрегали рекомбинацией. Если
расстояние между электродами равно d,ro анода достигнет nd электронов
nd^nifi'Ld. Ba)
При отсутствии ионизации в объеме газа анода достигало бы
в лучшем случае «0 электронов, и, следовательно, сила тока насы-
насыщения /н равнялась бы
la = ntq, C)
где q — заряд электрона.

262 токи в электролитах и газах [гл. xvn
При наличии ионизации анода достигает па электронов, и сила
тока по Bа) равна
riaeld.q. D)
Сравнивая равенство D) с C), получаем
/ = Vd. Da)
Таким образом, ток возрастает в ead раз.
Если, например, положить d = 5 см и допустить, что электрон,
испущенный катодом, образует на пути и 1 см в среднем два новых
2 1
электрона, то а = 2 см'1 и
2,2- 104/н,
т. е. сила тока возросла в десятки тысяч раз. Этот расчет показы-
показывает, что при наличии ионизации электронным ударом проводимость
оказывается в основном обусловленной не теми электронами, кото-
которые поступают в область разряда извне, а теми, которые возникают
в ней самой. Для поддержания тока достаточно, чтобы в разряд
извне поступало сравнительно небольшое число электронов или дру-
других заряженных частиц. Источником этих первичных электронов
обычно является отрицательный электрод (катод), с которого элек-
электроны вырываются либо под влиянием ударяющихся о него положи-
положительных ионов, поступающих из области разряда, либо в результате
сильного разогрева всего электрода или, наконец, под влиянием излу-
излучения (фотоэффект). Во всех этих случаях электрод испускает элек-
электроны под влиянием процессов, происходящих в самом разряде, и, та-
таким образом, разряд поддерживается самостоятельно, — мы имеем
случай самостоятельной про-
n^j ////////у//,/////,,//,//,/,,////,,/,/,,л Л 1ь водимости газа.
Щ \ШЖ»Ш%ЩГ Рассмотрим несколько
^~t <$~1 |jy типичных случаев самостоя-
|| 1 §| !„ тельной проводимости газов.
*§|||1 I* 1.Тлеющий разряд.
^|а|^| 3» Разряд этого типа наблю-
¦§Д |§ 1^ §°5 дается в газах при низких да-
|Р | | § влениях (порядка 1 мм Hg);
Рис. 171. Тлеющий разряд. его легко наблюдать в длин-
длинной стеклянной трубке с рас-
расположенными у ее концов электродами (рис. 171), если к электродам
приложить разность потенциалов порядка нескольких сот вольт.
Под влиянием проходящего через трубку тока газ светится, при этом
различают следующие характерные области свечения: а) область слабого
свечения вблизи самого катода — так называемое первое темное про-
пространство; б) область свечения, называемого отрицательным свечением;
в) вторую область слабого свечения — второе (фарадеево) темное

§ 190]
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ГАЗОВ
263
пространство; г) область интенсивного положительного свечения.
Положительное свечение может охватывать значительную часть трубки.
Падение потенциала происходит вдоль трубки неравномерно. Наи-
Наибольшая величина падения приходится на первое темное пространст-
пространство — это так называемое катодное падение
потенциала (рис. 172); затем почти вдоль
исей трубки идет весьма незначительное
падение потенциала (порядка 1 — 2 в/см),
и лишь у анода наблюдается новый ска-
скачок — анодное падение потенциала.
Величина катодного падения потен-
потенциала и основном определяется материа-
материалом катода и природой газа.
При малых силах тока отрицательное
свечение обволакивает лишь часть поверх-
поверхности катода. При этом величина катодного
падения не зависит ни от силы тока, ни от
давления газа (в некотором интервале из- Рис. 172. Падение потенциала
менения давления); эта величина катод- вдоль разрядной трубки,
ного падения носит название нормального.
Значения нормального катодного падения потенциала для различ-
различных материалов катода и различных газов приведены в табл. ХШ.
При увеличении силы тока (путем уменьшения внешнего сопро-
сопротивления) увеличивается пропорционально и площадь катода, по-
покрытая свечением, так что плотность тока у поверхности катода
остается постоянной. После
Таблица ХШ
Нормальное катодное падение
потенциала (в в)
того как весь катод покрыт
свечением, дальнейшее воз-
возрастание тока связано с уве-
увеличением катодного падения
потенциала, а следовательно,
и разности потенциалов ме-
между электродами. Таким об-
образом, к тлеющему разряду
совершенно не применим
закон Ома.
При сильных токах, когда
наблюдается разогрев като-
катода, возможна даже так назы-
называемая падающая характеристика: разность потенциалов на электродах
падает с увеличением силы тока, проходящего сквозь трубку.
Для начала разряда (зажигания трубки) требуется разность потен-
потенциалов несколько ббльшая, чем катодная.
Схематически процессы, происходящие в трубке, могут быть
представлены следующим образом. При прикладывании к элек-
Материал
катода
Na
Си
А1
Fe
Ni
Газ
N2
178
208
174
VI5
197
н2
185
214
171
1Q8
211
Не
80
177
141
15Я
158
Ne
75
220
1?0
150
140
Аг
131
100
131
131
447
?45
384
275

264 . ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ [ГЛ. XVII
тродам достаточной разности -потенциалов в трубке возникает
поле, ускоряющее всегда присутствующие в газе, хотя бы в очень
малом количестве, ионы и свободные электроны. Электроны на своем
пути ионизируют атомы газа и создают новые ионы, что ведет в
соответствии с теорией к резкому возрастанию тока. В дальнейшем
существенную роль играет катодное падение потенциала. Оно сосре-
сосредоточено на пространстве порядка длины свободного пути электронов.
Электроны здесь приобретают скорость, достаточную, чтобы удары
стали носить неупругий характер. В этой же области положительные
ионы ускоряются в направлении к катоду и, ударяясь о него, выби-
выбивают с его поверхности новые электроны, наличие которых еще больше
повышает проводимость газа.
В области положительного свечения концентрация электронов и
положительных ионов одинакова. Но в силу большей подвижности
электронов проводимость газа обусловлена почти исключительно
электронами. Степень ионизации в области положительного свечения
может быть очень высока; так, например, при разряде в парах ртути
при давлении в 0,05 мм Hg число электронов в единице объема
может достигнуть 1013 см'3. Так как при этих условиях число ато-
атомов в единице объема равно приблизительно 2-101" см~3, то, следо-
следовательно, около 1/200 части всех атомов ртути ионизировано.
Газ в состоянии высокой степени ионизации при равенстве числа элек-
электронов и положительных ионов в единице объема представляет собой ква-
квазинейтральную среду, так называемую плазму. В плазме электроны совер-
совершают в основном беспорядочное движение, лишь сравнительно медленно
продвигаясь в сторону анода (ср. расчеты на стр. 257).
Измерения, произведенные с помощью особого метода, получившего на-
название метода зонда, показали, что скорости этого беспорядочного движения
электронов имеют максвеллово распределение. При этом средние кинетиче-
кинетические энергии относительно очень велики и колеблются, в зависимости от
природы газа и условий разряда, приблизительно от 2 до 10 эв. Воспользо-
Воспользовавшись равенством
мы можем определить температуру 7", соответствующую данной средней
онов. Для —— = 1 эв
те» _ 2-1,6-10-"
энергии движения электронов. Для —— = 1 эв получаем
_
зк ТзЛЖТо^
Следовательно, средним энергиям электронов в 2—10 эв соответствуют
температуры от 15 000 до 70 000°К. Температура же самого газа, в котором
происходит разряд, при этом будет гораздо ниже и может не превышать
нескольких сот градусов. Таким образом, плазма представляет собой как бы
смесь двух газов — атомного и электронного, — каждый из которых в отдель-
отдельности находится в равновесном состоянии и характеризуется своей собствен-
собственной температурой; обмен же энергиями между обоими газами, несмотря на
то, что они взаимно проникают друг друга, так слаб, что их температуры
не выраиниваются и остаются сильно различными.

§ 190] САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ГАЗОВ 265
2. Электрическая дуга. Особый интерес представляет слу-
случай самостоятельной проводимости сквозь газ при давлении, близком
к атмосферному, или давлениях, больших атмосферного. Этот тип
разряда был впервые наблюден В. В. Петровым, профессором Меди-
Медико-хирургической академии в Петербурге, в 1803 г. получил название
электрической дуги. Несколькими годами позже ее изучал также
Дэви, который назвал ее вольтовой дугой в честь Вольта, одного
из первых исследователей электрических явлений.
Электрическая дуга возникает при контакте и последующем разве-
разведении двух электродов, чаще всего угольных. Дуга между уголь-
угольными электродами горит при разности потенциалов 30 — 40 в; сила
тока может достигать многих десятков ампер. Оба электрода сильно
раскаляются (до 3000°С, а при повышенных давлениях—даже до
6000°С); при атмосферном давлении силь-
сильнее разогревается положительный элек-
электрод, на котором образуется углубление,
носящее название кратера. Однако необ-
необходимым для горения дуги является лишь
наличие раскаленного пятна на катоде, ко-
который служит источником электронов.
Анод может оставаться холодным. Роль
раскаленного катода как источника элек-
электронов, поддерживающих разряд, была
впервые выяснена в 1905 г. В. Ф. Митке-
вичем. ' Рис. 173. Падарэщая вольт-
Дуговой разряд обладает падающей амперная характеристика ду-
волыпамперной характеристикой: с уве- гового разряда,
личением силы тока (за счет уменьшения #
внешнего сопротивления) уменьшается разность потенциалов между
электродами (рис. 173).
Электрическая дуга была впервые применена для уличного осве-
освещения П. Н. Яблочковым; в настоящее время она употребляется как
источник света главным образом для прожекторов и проекцион-
проекционных аппаратов (кино). Дуга между металлическими электродами
употребляется для местного разогрева металла (электросварка, вве-
введенная впервые в практику инженером Н. Г. Славяновым и Н. Н. Бе-
нардосом).
В настоящее время для целей освещения и в лабораторной прак-
практике используются также электрические дуги, горящие в газах или
парах при низком давлении. Источником первичных электронов в них
также являются раскаленные катоды, которые разогреваются либо
за счет процессов, происходящих в самом разряде, либо за счет внеш-
внешнего источника тока („горячие катоды").
3. Искра. Искровой разряд наблюдается между холодными элек-
электродами при большой разности потенциалов. Разряд носит сложный

266
ТОКИ В ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ
[ГЛ. XVII
Искровые промежутки (в милли-
миллиметрах) для воздуха при атмо-
атмосферном давлении
колебательный характер. При увеличении силы тока, в случае разо-
разогрева электродов, искра переходит в дугу.
Начало искрового разряда можно рассматривать как электрический
пробой газа, как лавинообразное возрастание числа ионов в газе, в
результате чего он делается прово-
1 а б л и ц а XIV ДЯщИм. Разность потенциалов, веду-
ведущая к пробою, зависит от материала
электродов, природы и давления газа,
а также от размеров и формы элек-
электродов и расстояния между ними.
Для остроконечных электродов про-
пробивная разность потенциалов меньше.
В случае больших плоских элек-
электродов для данного материала элек-
электродов и данного газа пробивной
потенциал зависит лишь от произ-
произведения pd, где р — давление газа,
a d — расстояние между электро-
электродами. Так, пробивной потенциал при
атмосферном давлении и расстоянии
между электродами в 5 см тот же,
что при давлении в 0,5 атм и рас-
расстоянии между электродами 10 см.
Расстояние между электродами, при котором при данной разности
потенциалов возникает пробой, называется искровым промежутком.
В табл. XIV приведены искровые промежутки для ряда частных
случаев.
4. Коронный разряд. Особый вид самостоятельного разряда
представляет собой так называемый коронный разряд, возникающий
при сравнительно больших давлениях (атмосферном), когда поле
в разрядном промежутке очень неравномерно, за счет малого ради-
радиуса кривизны поверхности одного или обоих электродов. Ионизация
и свечение газа происходят в узком слое около электродов; в осталь-
остальной части газа проводимость обусловлена движением ионов обоих
знаков. Коронный разряд является существенной помехой при пере-
передаче по проводам тека высокого напряжения.
Разность
потенциа-
потенциалов (в в)
20 000. . .
40 000. . .
100 000. . .
200 000. . .
300 000. . .
Расстояние между
электродами в виде
острий
15,5
45,5
220
410
600
шаров диа-
диаметром 5 см.
5,8
13
45
262
530
плоскостей
6,1
13,7
36,7
75,3
114

ЧАСТЬ ШЕСТАЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
ГЛАВА XVIII
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
f f
l>
§ 191. Магнитное поле и его характеристика. Подобно тому,
как в пространстве, окружающем электрические заряды, возникает
электростатическое поле с определенными физическими свойствами,
так и в пространстве, окружающем токи, возникает особого вида
поле, называемое магнитным полем. Наличие элек-
электростатического поля обнаруживается по действию сил
на внесенные в него заряженные тела. Магнитное поле
проявляется по силам, действующим на внесенные в него
проводники, по которым течет ток.. Так, два парал-
параллельных провода, по которым текут токи одного на-
направления, взаимно притягиваются (рис. 174). Этот факт
мы истолковываем следующим образом: каждый из токов
создает в окружающем пространстве магнитное поле,
и это поле воздействует на другой ток. Характер воз-
воздействия магнитного поля на ток различен в зависимости
от формы проводника, по которому течет ток, от распо-
расположения проводника и ог направления в нем тока.
Поэтому для характеристики магнитного поля надо рас-
рассматривать его действие на некоторый вполне опреде-
определенный ток. При этом мы будем пока считать, что про-
проводники, по которым текут токи, находятся в пустоте.
В электростатике мы пользовались для изучения
свойств электростатического поля точечным зарядом,
т. е. зарядом, сосредоточенным на теле, размеры кото-
которого малы по сравнению с расстояниями до зарядов,
поле (см. § 124). Для изучения свойств магнитного поля воспользуемся
его действием на замкнутый плоский контур с током. Такой кон-
контур мы будем называть рамкой. Размеры этого контура должны
быть малыми по сравнению с расстоянием до тех проводников,
по которым текут токи, образующие магнитное поле. Практи-
Практически для поддержания в рамке постоянного тока к ней надо
Рис. 174. Вза-
Взаимное притя-
притяжение двух
параллель-
параллельных прово-
проводов, по ко-
которым текут
токи одного
направления.
вызывающих

268
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[ГЛ. XVIII
Рис. 175.
Рамка с то-
током.
подводить ток по каким-либо проводам. Магнитное поле будет действо-
действовать и на эти провода; чтобы избегнуть этого действия, подводящие
провода можно расположить вплотную друг к другу, тогда
суммарное действие магнитного поля на них окажется рав-
равным нулю (благодаря указанной ниже зависимости на-
направления магнитных сил от направления тока). Такую
рамку, подвешенную к тонкой нити, способной обнару-
обнаруживать деформацию кручения (рис. 175), мы и будем
использовать для исследования свойств магнитного поля.
Опыт показывает, что такая малая рамка, помещенная
около проводов, по которым текут токи, поворачивается
определенным образом. Магнитное поле оказывает
на рамку ориентирующее действие.
Возьмем, например, прямой и длин-
длинный провод (рис. 176), по которому течет
ток /. Рамка С, помещенная вблизи
такого провода, повернется так, что она
расположится в плоскости А А'В В', проходящей
через провод.
При этом ориентация рамки будет зависеть и от
направления тока в ней: при перемене направления
тока в рамке рамка поворачивается на 1800.1
Ориентирующее действие поля на рамку можно
прежде всего использовать для характеристики на-
направленности магнитного поля. Для этого прове-
проведем нормаль к плоскости рамки. За положительное
направление нормали примем такое, чтобы ток
в рамке, при рассматривании с конца нормали,
казался идущим против часовой стрелки.
Другими словами, будем считать за положительное
направление нормали направление поступательного
движения буравчика, рукоятка которого вращается
и направлении тока, текущего по рамке (рис. 177).
В результате действия магнитного поля на рамку
с гоком, рамка окажется в каждом данном случае опре-
определенным образом ориентирована,2 так что ее нормаль будет направлена
в определенную сторону. Очевидно, что факт такой определенной ориен-
ориентации рамки в магнитном поле указывает на направленность самого
1 Ниже мы увидим, что на рамку в магнитном поле действует пара сил,
исчезающая при определенной ориентации рамки. Поэтому, вообще говоря,
рамка будет совершать колебания около своего положения равновесия в
магнитном поле. Однако при наличии сил трения эти колебания быстро за-
затухнут. . ¦ ¦ ¦ .
2 Кроме этой ориентации рамки, возможна ориентация, при которой
нормаль направлена противоположно; однако положение рамки, соответст-
соответствующее 51той второй ориентации, неустойчиво.
Рис. 176. Сво-
Свободно повора-
поворачивающаяся
рамка распола-
располагается в пло-
плоскости ЛА'ВВ',
проходящей че-
через провод.

§ 191]
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКА
269
магнитного поля. За направление магнитного поля в месте располо-
расположения рамки примем то направление, вдоль которого расположит-
расположится положительная нормаль к рамке. Таким образом, по ориентации
рамки можно однозначно определить направление магнитного поля.
Далее мы можем воспользоваться той же рамкой и для количе-
количественной характеристики магнитного поля.
Тот факт, что рамка испытывает ориентирующее действие поля,
указывает, что на рамку в магнитном поле действует пара сил.х
Величина этой пары сил может быть измерена
по закручиванию нити, к которой подвешена
рамка. Опыт показывает, что величина момента М
этой пары зависит как от силы и расположения
токов, образующих магнитное поле, так и
от свойств самой рамки: ее размеров, ориен-
ориентации и силы тока в ней.
Остановимся прежде всего на свойствах са-
самой рамки. Для этого будем поддерживать не-
неизмененным расположение и силы токов, обра-
образующих магнитное поле. Возьмем определенную
рамку с определенной в ней силой тока. При
ориентации нормали рамки по полю момент дей-
действующей на нее пары сил равен нулю. Момент
пары сил достигает наибольшего значения,
когда нормаль рамки ориентирована перпен-
перпендикулярно к направлению поля. Поэтому условимся во всех случаях,
когда мы хотим использовать рамку для количественной характери-
характеристики магнитного поля, располагать ее так, чтобы нормаль к ней была
перпендикулярна к направлению поля. Далее легко убедиться из опы-
опыта, что момент пары сил М пропорционален силе тока / в рамке.
Наконец, опыт показывает, что для различных плоских рамок момент
М пропорционален площади S рамки, независимо от ее формы (рамка
можег быть прямоугольной, круглой, эллиптической и т. д.):
Ж — IS. A)
Величина, пропорциональная произведению силы тока в рамке /
на ее площадь S, носит название магнитного момента рамки рт:
Pm~lS. B)
В данной точке магнитного тюля на все рамки с одним и тем же
магнитным моментом рт действуют одинаковые пары сил М.
Если же рамку с данным магнитным моментом располагать в раз-
различных точках магнитного поля, то, вообще говоря, мы обнаружим,
что на нее будут действовать различные моменты сил М. Например,
1 В неоднородном поле на рамку действует еще сила (см. § 197), ко-
которую мы, однако, пока не будем рассматривать.
Рис. 177. Направление
положительной нор-
нормали к рамке с током.

270 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIII
чем ближе мы расположим рамку к проводу, по которому течет ток,
вызывающий поле, тем больше окажется момент действующих на нее
сил. Этот факт можно использовать для количественной характери-
характеристики магнитного поля, а именно считать, что момент сил М, дей-
действующих на рамку с данным магнитным моментом рт, тем больше,
чем больше напряженность поля Н в месте расположения рамки:
М~ Н.
Объединяя этот вывод с соотношением A), получим: момент пары
сил, действующих на рамку с током в магнитном поле, пропорцио-
пропорционален магнитному моменту рамки рт и напряженности магнитного
поля // в том месте, где рамка расположена:
Мг^РтН. C)
Этим соотношением мы будем пользоваться для измерения с по-
помощью рамки напряженности магнитного поля Н. Из C) и B) имеем
и М М ...
Для того, чтобы в последнем выражении перейти от знака про-
пропорциональности к знаку равенства, надо ввести коэффициент про-
пропорциональности k\ тогда получим
H=k-^. Da)
Численное значение коэффициента пропорциональности k зависит от
выбора единиц измерения И, М, I и S. Выбрав определенное числен-
численное значение k, мы можем на основании равенства Dа), измерить на-
напряженность магнитного поля Н по моменту сил М, действующих
на рамку с известным магнитным моментом рт. Об единицах, в которых
измеряется напряженность магнитного поля Н, будет сказано в § 195.
Так как магнитное поле характеризуется и направлением и чи-
численным значением напряженности, то, следовательно, напряженность
магнитного поля Н является величиной векторной. Тогда, резюмируя
сказанное, имеем: направление вектора магнитной напряженности Н
в каждой данной точке магнитного поля определяется направлением
положительной нормали к рамке с током, принимающей положение
устойчивого равновесия в магнитном поле. Величина напряженности
определяется по равенству Dа) моментом пары сил, действующих на
рамку при условии, что нормаль рамки расположена перпендикулярно
к направлению вектора Н.
Мы можем теперь уточнить и вопрос о размерах рамки. Очевидно,
в случае неоднородного поля момент сил, действующих на рамку,
измеряет среднее значение напряженности поля в пределах рамки.
Для того, чтобы измерить напряженность поля в данной точке, раз-
размеры рамки должны быть настолько малыми, чтобы в преде-
пределах рамки поле могло считаться однородным.

§ 192] ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 271
Рис. 178.
магнитной
женности.
Линия
наиря-
§ 192. Графическое изображение напряженности магнитного
поля. Аналогично тому, как в электростатике мы рассматривали
графический метод характеристики электростатического поля с по-
помощью линий напряженности, так и для характеристики магнитного
поля мы введем в рассмотрение линии магнитной
напряженности. За линию магнитной напряжен-
напряженности примем такую линию, касательная к ко-
которой в каждой точке совпадает с направле-
направлением вектора напряженности Н в этой точ-
точке (рис. 178). Условимся приписывать линиям на-
напряженности направление, совпадающее на каждом
данном участке с направлением вектора напря-
напряженности Н.
Пользуясь рамкой с током, мы можем способом,
описанным в предыдущем параграфе, определить
вид линий магнитной напряженности для различных частных случаев.
В случае прямого длинного тока, как мы уже видели, рамка рас-
располагается в плоскости, проходящей через направление тока. Следо-
Следовательно, нормаль к рамке ориентируется перпендикулярно к радиу-
радиусу-вектору, соединяющему про-
иод, по которому течет ток,
с местом, где располагается
рамка. Отсюда вытекает, что
в случае длинного тока линии
напряженности имеют вид
окружностей, лежащих в пло-
плоскостях, перпендикулярных к
току, и с центрами в том месте,
где проходит ток. Направление
линий напряженности магнит-
магнитного поля прямого тока указано
на рис. 179 а и б; оно опре-
определяется правилом буравчика:
если поступательное движе-
движение буравчика сопоставить с
направлением тока, то направление вращения его рукоятки даст
направление магнитных линий напряженности.
С помощью рамки можно исследовать магнитные поля токов любой
формы. Возьмем, например, круговой ток; в этом случае магнитные
линии напряженности в плоскости, перпендикулярной плоскости кон-
контура тока, представляют собой кривые, изображенные на рис. 180.
Эти линии являются также или замкнутыми кривыми, или кривыми,
имеющими тенденцию замкнуться при их продолжении.
Система одинаковых круговых токов с общей прямолинейной
осью называется соленоидом.
а) а)
Рис. 179. Направление линии напряжен-
напряженности магнитного поля прямого тока.

272
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[гл. xvni
Рис. 180. Направление линий напряжен-
напряженности магнитного поля кругового тока.
Соленоид обычно представляет собой намотанный на цилиндри-
цилиндрическую поверхность проводник, по которому идет ток. Исследуя
. магнитное поле соленоида, мы
получим картину, изображенную
на рис. 181. В средней части
ВЕ1утренней полости соленоида
магнитные линии представляют
собой систему параллельных
оси соленоида прямых; по мере
приближения к концам соленои-
соленоида прямые превращаются в рас-
расходящиеся из концов соленоида
кривые, замыкающиеся во внеш-
внешней части пространства или
имеющие тенденцию замкнуться
при их продолжении. Магнитные
линии напряженности соленоида
во внешней части напоминают
электрические линии напряжен-
напряженности диполя (см. рис. Мб).
Однако направление магнитных
линий напряженности внутри
соленоида переходит непрерыв-
непрерывно в направление линий напря-
напряженности вне соленоида, тогда
как электрические линии напря-
напряженности диполя меняют свое
направление у зарядов диполя.
Во внешней относительно соле-
соленоида части пространства маг-
магнитное поле значительно лишь вблизи концов соленоида, при удалении
от концов оно быстро ослабевает; у средней части соленоида, вне его,
магнитное поле очень мало. Чем длиннее соленоид,
тем резче выражены указанные особенности поля.
Во внутренней части соленоида поле можно счи-
считать однородным; заметное отступление от одно-
однородности получается лишь вблизи концов соленоида.
Система одинаковых круговых токов, центры
которых расположены по окружности, образует
тороид (рис. 182).
Магнитное поле тороида сосредоточено лишь
в его внутренней части, во внешней части про-
пространства на рамку с током силы не действуют.
Если длина тороида велика по сравнению с его поперечным сече-
сечением, то поле внутри него можно тоже считать однородным.
Рис. 181. Направление линий напряжен-
напряженности магнитного поля соленоида.
Рис. 182. Тороил.

§ 192] ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 273
Рис ]83 Ооиента.
ция" соленоида во
внешнем магнит-
ном поле.
Опыт показывает, что соленоид ориентируется в магнитном поле
также, как рамка с током. При этом, если смотреть на соленоид
против линий напряженности магнитного поля, то наблюдатель видит
ток в соленоиде идущим против часовой стрелки (рис. 183). Момент
сил М, действующих на соленоид, состоящий из я витков, очевидно,
в я раз больше, чем момент, действующий на один виток. Таким
образом, по аналогии с формулой Dа) § 191, можно написать, что
если ось соленоида перпендикулярна к линиям маг-
магнитной напряженности, то на него действует пара
сил с моментом
M = ^nlS-H. A)
Магнитным моментом соленоида называется
величина рс, в и раз ббльшая магнитного момента
отдельного витка:
pe~nIS, B)
где / — сила тока, текущего по соленоиду, и
S — площадь его поперечного сечения.
Рассмотрение линий напряженности магнитного
поля токов показывает,что они представляют собой
замкнутые линии. Линии магнитной напряжен-
ности всегда охватывают в виде замкнутых
кривых электрический ток. Замкнутость магнитных линий напряжен-
напряженности является характерным их отличием от линий напряженности
электростатического поля. Этот факт указывает, что между электро-
электростатическим и магнитным полями нет глубоких аналогий. Природа
этих полей различна.
Электростатическое поле, линии напряженности которого начи-
начинаются на одних зарядах и кончаются на других или уходят в беско-
бесконечность, является потенциальным полем. Каждой точке такого
поля может быть однозначно приписано определенное значение
потенциала. Магнитное поле характеризуется замкнутостью его линий
напряженности. Такое поле носит название соленоидального. Как
мы увидим в дальнейшем (см. § 198), точкам магнитного поля нельзя
приписать значений однозначного потенциала так, как это делается
для электростатического поля.
Линии напряженности Н, указывая направление напряженности
в каждой точке поля, не дают, без добавочных определений, вели-
величину напряженности. Если же мы условимся, подобно тому, как это
было сделано в электростатике, сопоставлять густоту проводимых
линий напряженности с численным значением напряженности, то кар-
картина линий напряженности будет характеризовать магнитное поле
и с количественной стороны. Всякое поле можно в достаточно малэм уча-
участке считать однородным; возьмем в таком участке элемент поверхности

274
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[ГЛ. XVIII
ASa, нормальный к линиям напряженности данного участка.
Условимся проводить через площадку ASQ такое число ДА/ линий
напряженности, чтобы отношение этого числа к величине поверх-
поверхности Д5'о равнялось значению напряженности в данном участке поля:
Число линий напряженности, проходящих через любую пло-
площадку AS, равно числу линий напряженности, пересекающих нор-
нормальную к линиям проекцию AS0 пло-
площадки AS (рис. 184). Отсюда число
линий напряженности ДЛ/, пересекаю-
пересекающих площадку AS, равно
ДN = ЯД5 cos a, C)
Рис. 184. Линии напряженности,
проходящие через косо распо-
расположенную площадку AS.
где а — угол между направлением ли-
линий напряженности и нормалью к пло-
площадке AS. Так как И cos а = Нп, где
Нп обозначает проекцию вектора на-
напряженности Н на нормаль к эле-
элементу поверхности AS, то равенство C) можно переписать:
AN=HnAS. (За)
Выражение (За) определяет элементарный поток напряженности ДЛ/
через элемент поверхности AS. Очевидно, что поток ДЛ/ имеет знак,
зависящий от знака Нп. Знак же Нп определяется выбором направле-
направления нормали. Если элемент AS принадлежит замкнутой поверхности,
то принято за положительное направление нормали брать направление
нормали, внешней по отношению к
объему, ограниченному данной поверх-
поверхностью (ср. стр. 27).
Полный поток N через конечную
поверхность определится как алгебраи-
алгебраическая сумма элементарных потоков
через все элементы AS, образующие
данную поверхность S:
_ г, Рис. 185. Поток линий напря-
Если поверхность 5 замкнута, то женности через замкнутую по-
число линий магнитной напряженности, верхность.
входящих в поверхность, равно числу
выходящих из нее, так как линии магнитной напряженности всегда
представляют собой замкнутые кривые. При этом входящие линии,
образуя тупой угол с направлением внешней нормали (рис. 185),
создают отрицательный поток. Выходящие же линии, образуя с внеш-

§ 193] СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ТОКОВ 275
ней нормалью острый угол, создают положительный поток. Таким об-
образом, оба эти потока взаимно компенсируются, и мы приходим к вы-
выводу: полный поток магнитной напряженности через любую
замкнутую поверхность равен нулю.
В этом снова сказывается существенное различие между магнит-
магнитным и электростатическим полями; полный поток линий электрической
напряженности Е может быть отличен от нуля, как это следует из
теоремы Остроградского — Гаусса (§ 126).
Пользуясь обозначениями интегрального исчисления, заменим в выраже-
выражении D) сумму интегралом и тогда получим для потока магнитной напряжен-
напряженности N через поверхность S:
N— f HndS, Da)
k
где интеграл распространен на всю поверхность S..
Поток магнитной напряженности через замкнутую поверхность, как сказано,
равен нулю. Таким образом, если интеграл Dа) распространить на замкнутую
поверхность, то
E)
Пусть V есть объем, ограничиваемый рассматриваемой поверхностью, тогда
(ср. со сказанным в § 156, на стр. 130) при стягивании замкнутой поверх-
поверхности в точку:
пред. (— [ Hnds) = div H.
Так как 1 HndS все время остается равным нулю, то отсюда получаем
divH = 0.
Таким образом, в пустоте, в любой точке пространства, дивергенция век-
вектора напряженности магнитного поля Н равна нулю.
В электростатике, как было показано в § 132,
div E = 47tp,
где р — плотность объемных зарядов в рассматриваемой точке. Только в тех
местах, где плотность объемных электрических зарядов р = 0, дивергенция
вектора напряженности электростатического поля Е равна нулю.
Во всех же тех местах, где плотность объемных электрических заря-
зарядов р не равна нулю, отлична от нуля и дивергенция вектора Е. Так как, по
сказанному, дивергенция вектора Н в пустоте всегда равна нулю, то отсюда
вытекает, что в области магнитных явлений не существует аналога электри-
электрическим зарядам.
§ 193. Способ определения магнитного поля токов. Как мы
указывали, напряженность поля Н в какой-либо точке пространства
зависит от формы проводов, по которым текут токи, от сил токов
и от расположения рассматриваемой точки по отношению к этим
проводам. Экспериментально направление и величина напряженности

276
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[ГЛ. XVIII
'I
'I
поля Н могут быть определены по моменту сил М, действующих на
рамку с заданным магнитным моментом рт.
В качестве простейшего примера мы можем выбрать прямой и очень
длинный провод и определять напряженность поля Н на некотором
расстоянии г от него.
Прежде всего определим экспериментально, с помощью рамки,
как зависит напряженность поля Н от силы тока /, текущего по
проводу, и от расстояния от провода г. Магнитное поле, вызванное
током, текущим по прямому и длинному проводу, неоднородно, но
если размеры рамки малы по сравнению
с расстоянием г, то поле в пределах рамки
можно считать однородным. Как было ука-
указано на стр. 268, рамка поворачивается
вблизи прямого длинного провода, по кото-
рому течет ток, так, что ее нормаль распо-
располагается перпендикулярно к прямой г, про-
проведенной от ближайшего участка провода
к рамке. Если ток / (рис. 186а) течет по
проводу сверху вниз, то нормаль к рамке N
расположится перпендикулярно к плоскости
чертежа, положительным концом в напра-
влении на читателя. Чтобы удержать нор-
нормаль к рамке вдоль направления г
(рис. 1866"), к рамке надо приложить мо-
момент сил М, который, по сказанному, будет пропорционален напряжен-
напряженности поля Н. Измеряя момент сил М, при постоянном магнитном мо-
моменте рамки рт, прежде всего легко убедиться, что он пропорциона-
пропорционален силе тока / в проводе А В. Отсюда следует, что напряженность
магнитного поля Н пропорциональна силе тока /, вызывающего это поле.
в
6)
Рис. 186. Определение
пряженности поля с
мощью рамки.
по-
Во-вторых, помещая рамку на различных расстояниях от провода
г, можно обнаружить, что момент М обратно пропорционален рас-
расстоянию г от провода, откуда следует, что и напряженность поля Н
обратно пропорциональна г: *
н 1
п ^^ —.
Обратная пропорциональность напряженности магнитного поля пря-
прямого длинного тока расстоянию от проводника была выяснена Био
и Саваром в 1820 г. Однако эта зависимость имеет место лишь
в частном случае прямого длинного провода. В каждом случае зави-
зависимость напряженности поля от общего расположения проводов, по
которым текут токи, будет особая. Единственным общим обстоя-
обстоятельством является пропорциональность напряженности магнитного
поля Н в данной точке силе тока /, вызывающего поле.

§ 193] СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ТОКОВ 277
Напряженность магнитного поля Н, вызванного током, текущим
по проводу, определяется действием всех отдельных участков этого
провода. Отдельные участки вызывают элементарные напряженности ДН,
и наблюдаемая напряженность Н есть их векторная сумма. Это, есте-
естественно, привело к попытке установить закон, связывающий элементар-
элементарный участок тока с напряженностью магнитного поля, которое этим
участком обусловливается. На опыте мы не можем осуществить отдель-
отдельного участка тока, так что нельзя непосредственно измерить поле, соз-
создаваемое элементом тока. Можно измерить только суммарную напряжен-
напряженность магнитного поля, создаваемую всеми элементами тока в данной
точке пространства. Однако Лапласу удалось ц
найти путем обобщения опытных данных такой \\
элементарный закон, который, будучи применен \чч
к участкам контура произвольной формы, позво-
позволяет во всех случаях вычислить значение резуль-
результирующей напряженности поля, совпадающее
с измеренным на опыте. Этот закон принято
называть законом Био — Савара — Лапласа.
Его содержание следующее: элемент кон-
контура Д/, по которому течет ток силой /, создает
в произвольно выбранной точке А (рис. 187) --х
магнитное поле напряженности ДЯ, равной Рис. 187. Элемент то-
,д, ¦ ка Д/создает в точке А
AH=k A) напряженность маг-
г нитного поля АН, пер-
где г — расстояние от элемента тока Д/ до точ- пендикулярную к пло-
. Y „ скости, содержащей Д/
ки А, а —угол, который радиус-вектор г, про- и радиус-вектор г.
веденный к точке А, составляет с элементом Д/,
и Ы — коэффициент пропорциональности. Вектор ДН перпендикулярен
к плоскости, содержащей элемент А1 и радиус-вектор г; направление
ДН определяется правилом буравчика: направление вращения головки
буравчика дает направление ДН, если поступательное движение бу-
буравчика соответствует направлению тока / в элементе контура Д/.
По сказанному, формула Био — Савара — Лапласа A) дает не всю
напряженность магнитного поля Н, создаваемого данным током
в точке А, а лишь ту его часть, которая создается элементом
контура Д/. Полная напряженность Н представляет собой вектор-
векторную сумму всех ДН, создаваемых всеми элементами, на которые
мы мысленно разбиваем контур тока. Совпадение результатов,
вычисленных на основании формулы A) для различных контуров
тока, с опытом служит подтверждением ее правильности.
Для того чтобы определить ДН и по величине и по направлению, фор-
формулу A) можно записать в векторном виде:
где [Д1 х г] — векторное произведение векторов Д1 и г.

278
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[ГЛ. XVIII
в
Элементу длины провода Д1 приписывается направление, совпадающее
с направлением тока. Радиус-вектор г проводится от элемента провода Д1
к точке А, в которой вычисляется поле. Полная напряженность поля Н
в точке А определится геометрической суммой всех
элементарных нолей ДН:
н = Ц ДН.
Из элементарного закона A) вытекает, что
напряженность магнитного поля Н тока, текущего
по прямому длинному проводу, пропорциональ-
пропорциональна 1/г. Действительно, определим напряженность
поля И в точке А, отстоящей на расстоянии га
от прямого очень длинного провода (рис. 188),
как сумму элементарных напряженностей, выз-
вызванных отдельными элементами провода. По фор-
формуле Био — Савара — Лапласа A), элемент кон-
контура тока Д/ создает в точке А напряженность поля
Рис. 183. К под-
счету напряженно- . ,
сти магнитного по- где г — расстояние элемента Д/ от точки А; на-
ля прямого тока, правлено ДЯ перпендикулярно к плоскости рисунка
и, еслиАток течет сверху вниз, то — на читателя.
Таким образом, напряженности Д// от всех элементов Д/ будут
направлены одинаково, и суммарная напряженность Н выразится алгеб-
алгебраической суммой:
j,V^ ,,/Д/ sin а.
Из рис. 188 имеем, что
Д/ =
г • Да
откуда -j = —г—,
но г sin a = г0 и, следовательно,
Д/
Да
после чего выражение для И принимает вид:
,,/ sin a ¦ Да
н= > к
Го
B)
Полагая элементы Д/, на которые мы мысленно разбиваем провод,
бесконечно малыми, получим, что и угол Да бесконечно мал и что, следо-
следовательно, сумма в выражении B) должна быть заменена интегралом:
Н= \ к
,,/ sin a da.
Интегрировать надо по всем значениям я, начиная от а = 0, что
соответствует самым верхним элементам dl, до a = ir, что соответ-

§ 194] МАГНИТНОЕ ПОЛЕ КРУГОВОГО ТОКА И СОЛЕНОИДА 279
ствует самым нижним элементам dl. Следовательно, пределами интег-
интегрирования будут 0 и тт. Замечая, кроме того, что / и г0, как вели-
величины постоянные, можно вынести из-под знака интеграла, получим
t-f У ' \ cjri П tin Ь Г ГЛ« nl* Ь' С\\
' 0 J '0 Го
0
Таким образом, из закона Био — Савара — Лапласа действительно
вытекает, что напряженность магнитного поля Н, вызываемого током,
текущим по бесконечно длинному прямому проводу, пропорциональна //г0,
где Го — расстояние от провода до точки, в которой измеряется поле.
§ 194. Магнитное поле кругового тока и соленоида. Приведем
ряд примеров на применение формулы Био-—Савара — Лапласа.
1. Напряженность магнитного поля в центре кру-
кругового тока. Пусть по контуру в виде круга радиуса R по часо-
часовой стрелке течет ток силой / (рис. 189). Любой элемент кругового
контура Д/ находится на одном и том же рас-
расстоянии r = R от центра. Кроме того, для лю-
любого элемента Д/ радиус-вектор R перпендику-
перпендикулярен к Д1, откуда угол а = у и> следова-
следовательно, sin а= 1. Отсюда, по формуле A) § 193,
напряженность магнитного поля АН, создавае-
создаваемого в центре круга элементом Д/, будет
_jir[^1 Рис. 189. К подсчету
R2 ' напряженности поля
в центре кругового
Направление ДН определится правилом бурав- тока.
чика: ДН направлено перпендикулярно к пло-
плоскости круга и при направлении тока но часовой стрелке — за пло-
плоскость рисунка. Таким образом, все элементы Д/ кругового контура тока
вызывают в центре одинаково направленные ДН, и суммарная напряжен-
напряженность поля Н в этом случае выразится алгебраической суммой ДН:
Сила тока /, радиус FZ и коэффициент пропорциональности k', как
величины постоянные, могут быть вынесены за знак суммы, откуда
но У]^ представляет собой сумму всех элементов, на которые разбит
круговой контур радиуса R, т. е. VA/ равна длине окружности ра-
радиуса R, откуда ^AI=2t:R и

280
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[ГЛ. XVIII
Связь между направлениями Ни/ дана на рис. 190.
2. Напряженность магнитного поля на оси круго-
кругового тока. Осью кругового тока назовем перпендикуляр, восстав-
восставленный из центра окружности кон-
контура. Определим напряженность в
точке А, отстоящей на расстоянии d
от плоскости контура (рис. 191); ра-
радиус кругового контура обозначим
R, а расстояние элементов Д/ от
точки А — через г. Рассмотрим на-
напряженности ДН, и ДН2, создавае-
создаваемые двумя элементами контура Д^
и Д/.2) находящимися на противопо-
противоположных концах диаметра. Так как угол а между г и Д/ равен те/2
(как угол между образующей конуса и элементом окружности его
основания), то по формуле A) § 193
имеем соответственно:
и I Mi
Рис. 190. Направление напряжен-
напряженности магнитного поля Н в центре
кругового тока.
ДН,
1
Выбрав длину элементов Д/4 и Д/2
одинаковой и равной Д/ и замечая,
что ri==r2, получим
= AH, = k''-ji, B)
'ДН,
Рис. J91. К подсчету напряжен-
напряженности магнитного поля на оси
кругового тока.
где r=:rj = r2. Таким образом, числен-
численно Д/Д и Д//2 равны друг другу; на-
направлены же они по-разному: АНг — пер-
перпендикулярно к Г) и к элементу Д/|,
ДЯа— перпендикулярно к г2 и к эле-
элементу Д4; направления ДН, и ДН2 определяются правилом буравчика
(см. рис. 191). Геометрическая сумма ДН векторов AHj и ДН2 будет
направлена по оси кругового тока и численно равна сумме их проекций
на ось О A
Замечая из рис. 191, что sinp = ~, и подставляя вместо Д/fi и Д//а
их значения по B), получим
Разбивая весь круговой контур тока на указанные пары элементов Д/,
получим, что результирующая напряженность магнитного поля Н направ-
направлена по оси и численно равна алгебраической сумме величин Д/У:

§ 194] МАГНИТНОЕ ПОЛЕ КРУГОВОГО ТОКА И СОЛЕНОИДА 281
Сумма всех элементов 2 2 ^ равна длине кругового контура тока
?, поэтому „
Из рис. 191 имеем г2 = R? -\- d*, откуда
Направлено Н по оси так, что, глядя вдоль направления Н, мы
увидим ток идущим по часовой стрелке.
Для центра кругового тока rf = 0, и формула C) дает:
т. е. переходит в формулу A), как и следовало ожидать.
Для расстояний d, больших по сравнению с радиусом кругового
тока R, величиной /? в знаменателе формулы C) можно пренебречь,
и тогда приближенно
M
т. е. Н меняется обратно пропорционально кубу расстояния d.
3. Напряженность магнитного поля на оси соле-
соленоида. Соленоид, как мы указывали, состоит из провода, намотан-
намотанного на цилиндрическую поверхность. Если витки соленоида распо-
расположены вплотную друг к другу, то соленоид эквивалентен системе
круговых токов одинаковых радиусов, имеющих общую ось. Отсюда
напряженность магнитного поля на оси соленоида может быть полу-
получена суммированием напряженностей от
отдельных круговых токов.
Соответственный расчет (см. мелкий
шрифт) дает:
tf=A'4im/, D)
где п — число витков на единицу длины
Соленоида и / — сила тока.
Рис. 192. К подсчету напряжен-
напряженности магнитного ноля внутри
соленоида.
Если выделить малый участок dl длины
соленоида, то на него придется я dl витков;
обозначая силу тока в каждом витке че-
через /, можно участок dl соленоида рассматривать как круговой ток силы In dl.
Напряженность магнитного поля в некоторой точке А на оси соленоида, соз-
создаваемая этим участком, по формуле C) равна
И, E)
где ./ — расстояние по оси от участка dl до точки А. Вводя в рассмотрение
угол Э между осью соленоида и радиусом-вектором, проведенным из рас-
рассматриваемой точки к участку dl (рис. 192), получим
/ = /?c.tgF, откуда

282 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIII
кроме того,
Л2
sin* p '
подставляя значения \dl\ и R2 -f- Is в E) [в формуле E) dl — величина поло-
положительная], имеем
dH — k'2-кп!- sin p dp.
Так как напряженность в точке А от всех элементов направлена по оси
токов, то для получения результирующего значения Н в точке А надо про-
проинтегрировать полученное выражение по всем значениям р. Если обозначить
через р, и р2 значения углов для концов соленоида, то в результате интег-
интегрирования получим
Р2
H = k*nl \ sin p dp = А'2тси/(cos ?! — cos р2). F)
Р.
Этот результат зависит от положения точки А и длины соленоида. Для бес-
бесконечно длинного соленоида имеем рх = 0 и р2 = я, откуда
A = k'4nnf,
что совпадает с формулой D).
Для всякого конечного соленоида напряженность поля будет меньше,
чем для бесконечно длинного; для конечного соленоида наибольшим, значе-
значение напряженности будет в точке, равноудаленной от концов соленоида. Для
точки, находящейся у конца соленоида, напряженность получится по фор-
формуле F); если в ней положить один из углов, например р2 = -у, тогда
H = k'2nnl cos Pi.
Если соленоид очень длинный, то Pj ?^ 0 и
т. с. у конца длинного' соленоида поле вдвое меньше, чем внутри. Направ-
Направлена напряженность поля по оси согласно правилу буравчика, так что, глядя
вдоль направления напряженности, мы видим токи витков идущими по часо-
часовой стрелке.
§ 195. Единицы измерения напряженности магнитного поля.
Абсолютная электромагнитная система единиц. Выбор единиц,
напряженности магнитного поля может быть сделан, если в законе
Био — Савара— Лапласа, A) § 193, положить коэффициент k' рав-
равным какому-нибудь определенному числу. В CGSf-системе коэффи-
коэффициент k' полагают равным единице при условии, что сила тока /
измерен^ в СбЖ-системе, А/ и т — в сантиметрах; этим определяется
единица напряженности в CGSf-системе.
Тогда формула Био — Савара-—Лапласа принимает вид:
A//=^L*L1. A)
Так: как магнитное поле АИ, вызываемое отдельным элементом Д/
провода, по которому течет ток, экспериментально обнаружить нельзя,

§ 195] ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 283
то для определения единицы напряженности магнитного поля Н надо
рассматривать поле, вызванное в определенном месте единичным то-
током, текущим по проводу определенных формы и размеров. В ка-
качестве такого провода мы можем выбрать прямой и очень длинный
провод. По формуле C) § 193 напряженность магнитного поля Н
на расстоянии г от такого провода равна
Если, как мы условились, коэффициент k' положить равным единице,
то
Н=Л. B)
Измеряя силу тока в СО5?-единицах иг — в сантиметрах, уста-
установим на основании равенства B) ОбЖ-единицу напряженности маг-
магнитного поля. Тогда получим: на расстоянии 2 см от очень длин-
длинного прямого провода, по которому течет ток в 1 CGSE-единицу
силы тока, напряженность магнитного поля Н равна 1 CGSE-
единице напряженности магнитного поля.
Также при А'=1 по формулам A) и D) § 194 получим, что
напряженность поля в центре кругового тока радиуса R равна
Н=Ц, C)
а в средней части длинного и тонкого соленоида равна
Н=4ш1, D)
где я— число витков провода на единицу длины соленоида. Из фор-
формулы C) получаем: при протекании тока в 1 CGSE-единицу силы,
тока по круговому проводу радиусом R=l см в центре провода
возникает напряженность поля Н, равная 2тс CQSE-единицам
напряженности магнитного поля.
Также из формулы D) имеем: при протекании по длинному и тон-
тонкому соленоиду силы тока в 1 Сб^-единицу в средней части соле-
соленоида возникает напряженность магнитного поля Н, равная 4тш
СОЖ-единицам напряженности магнитного поля. Размерность напря-
напряженности магнитного*^ поля в Сб^-системе легко установить по
любой из формул B), C) или D):
Указанная СОЖ-единица напряженности магнитного поля Н упо-
употребляется сравнительно редко. В физике напряженность магнитного
поля обычно измеряют в так называемой электромагнитной системе
(см. ниже).

284 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIII
По сказанному в § 191, напряженность магнитного поля можно
измерять по моменту сил М, действующих на рамку с током. По
формуле Dа) § 191: , м
Н= kjg, E)
где /—сила тока в рамке и б1—площадь рамки. Этой формулой
можно было бы воспользоваться для установления единицы измерения
напряженности магнитного поля Н, приписав коэффициенту k опре-
определенное численное значение и пользуясь определенными единицами
измерения М, I к S. Например, можно было бы положить k=\
и измерить все остальные величины в CGSf-системе, т. е. М —
в дин-см, S—в см% и / — в COSZf-единицах силы тока.
При измерении же напряженности магнитного поля И в CQSE-ew-
ницах мы должны приписать коэффициенту k в формуле E) опреде-
определенную размерность и определенное численное значение. В самом
деле, по формуле E) момент сил М, действующих на рамку, равен
M=jHIS. F)
В этой формуле в СОб^-системе для всех четырех входящих сюда
физических величин М, Н, I и S уже выбраны единицы измерения;
таким образом, коэффициенту k уже не может быть приписано про-
произвольное значение. Коэффициент k представляет собою, следова-
следовательно, константу, обладающую определенной размерностью и опре-
определенным численным значением. Чтобы это показать, предположим,
например, что рамка внесена внутрь соленоида в его среднюю часть,
где магнитное поле однородно и где его напряженность //=41гя/'(силу
тока в соленоиде мы обозначаем через /' в отличие от силы тока в рам-
рамке /). Если нормаль к рамке при этом перпендикулярна к оси соленоида,
то на рамку действует момент сил М, определяемый формулой F).
Подставляя в эту формулу вместо Н его значение 4яя/', получим
^& G)
Отсюда для размерности коэффициента k находим
Для размерностей М и S имеем следующие выражения: [Л1] =
= ML'1T~'i и [,!?| = /Л Размерность силы тока в СбЖ-системе равна
[/] = Ail/aLi/2 У~*. Величина п представляет собою число витков на
единицу длины соленоида, поэтому [и] = I. Пользуясь всеми этими
размерностями, получим из соотношения (8):
Из последнего выражения видно, что размерность коэффициента
k совпадает с размерностью квадрата скорости: [v*] = L1 Т'г. По

§ 195] ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 285
соображениям, которые становятся ясными при рассмотрении магнит-
магнитного поля движущихся зарядов (§ 215), принято вместо k вводить
другую константу с, равную ]/? и называемую электродинамиче-
электродинамической постоянной. Размерность электродинамической постоянной
совпадает с размерностью скорости.
Численное значение электродинамической постоянной с можно
определить по формуле G), измерив в СОЖ-единицах момент
сил М, действующих на рамку, пометенную внутрь соленоида.
Такие измерения дают
с = 1/А=2,998 • 101(| см/сек.
В этом предположении формула G) примет вид:
Ж = 1-4ял/'У5. Gа)
Как мы увидим впоследствии, электродинамическая постоянная с,
выраженная в CGS-единицах, совпадает по численному значению со
скоростью распространения электромагнитных волн в пустоте, выра-
выраженной в см/сек (в частном случае-—со скоростью световых волн).
Можно, однако, построить другую систему единиц электромаг-
электромагнитных величин, взяв, например, за основную формулу, определяю-
определяющую систему, формулу G) для момента пары сил, действующей на
рамку с током в поле соленоида, и положив в этой формуле коэф-
коэффициент k равным единице. Поскольку единицы момента сил и пло-
площади в Ш^-системе уже введены, постольку положить й=1 можно
лишь введя новую единицу для измерения силы тока. Эта новая
единица силы тока называется электромагнитной единицей. Она
кладется в основу так называемой электромагнитной системы еди-
единиц — CGSM-системы.
Рассмотрим соотношение между этой новой единицей силы тока
и СС^-единицей силы тока. Из формулы G) получаем очевидное
равенство:
4«/ I = 4^л 1CGSM 1'cosm •
Здесь индексы CGSE и CGSM указывают, в какой системе единиц
измерены силы токов. Подставляя значение й = са, получим
^ с, (9)
1CGSM
т. е. сила тока, измеренная в CGSM-единицах, выражается числом
в с раз меньшим, чем та же сила тока, измеренная в CGSf-едини-
цах. Следовательно, сама CGSM-единица силы тока в с раз больше
CGvSf-единицы силы тока:
COSM-ед. силы тока .__ g 005> inio^o 1Пю
CGSZf-ед. силы -тока ~ с ~ 2'998 • Ю = <* ¦ 10 .

286 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIII
Значение электродинамической постоянной с = 2,998'1010 см/сек
определено экспериментально и, следовательно, хотя и с малой, но
с некоторой погрешностью (приблизительно 0,002 %). Отсюда выте-
вытекает, что численное соотношение между CGSE- и CGSM-единицами
силы тока не может быть дано с абсолютной точностью, а лишь
с некоторым приближением. Поскольку число 2,998 очень близко
к 3, то в большинстве случаев можно считать: 1 CQSM-ед,. силы
тока = 3 • 1010 CGSE-ец,. силы тока (см. § 153).
Размерность электромагнитной единицы силы тока можно полу-
получить из соотношения (9) и размерности электродинамической посто-
постоянной с:
Таким образом,' размерность силы тока в CQSM- и
разная. Напомним, что одна и та же физическая величина может
иметь разные размерности в разных системах (см. т. I, § 30).
Введя электромагнитную единицу силы тока, мы тем самым должны
внести и новую (электромагнитную) единицу количества электричества.
Так как Q = It, а время t в обеих системах измеряется в секундах,
то СО5Л1-единица количества электричества но столько же раз больше
CGSZf-единицы количества электричества, во сколько раз СОбТИ-единица
силы тока больше CGSE-euwmu. силы тока. Таким образом:
COSM-ея. кол-ва зл-ва Q t nle
СОос-сд. кол-ва эл-ва
Размерность СОбМ-едипицы количества электричества установим
из соотношения [Q] = [•/]• [^]i откуда
Наконец, введем CGS/И-единицу напряженности магнитного поля Н.
Для этого воспользуемся соотношением C) § 193:
в котором силу тока / будем измерять в CGSM-единицах, а расстоя-
расстояние г—по-прежнему в сантиметрах. Установленная таким образом
единица напряженности магнитного поля Н носит название эрстед
(сокращенно э) в честь Эрстеда, наблюдавшего в 1820 г. магнитное
действие тока.
Из соотношения A0) следует, что на расстоянии в 2 см от
бесконечно длинного прямого провода, по которому течет ток
в 1 CGSM-единицу силы тока, возбуждается магнитное поле
напряженностью в 1 эрстед. 'Также мы получим на основании фор-
формулы D), что в средней части длинного тонкого соленоида, имею-

§ 196]
СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ТОК В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
287
щего п витков на 1 см, по которому течет ток в 1 CGSVkf-единицу
силы тока, напряженность магнитного поля равна 4тгя эрстедам.
Ниже мы будем часто измерять напряженность магнитного поля в
эрстедах. Эрстед в с раз больше CGSE-единицы магнитной напря-
напряженности.
В законе Био — Савара — Лапласа
/Д/ sin п.
коэффициент пропорциональности k' в CGSM-системе, так же как
и в CGSf-системе, равен единице. Это происходи! от того, что
в CGSM-системе единица силы тока / и единица напряженности маг-
магнитного поля Н в одно и то же число раз (в с раз) больше единиц
этих же величин в CGSf-системе.
Размерность напряженности Н в ССШ-системе установим из
соотношения A0):
н
Об единицах силы тока и магнитной напряженности в междуна-
международной системе единиц сказано в § 196.
§ 196. Силы, действующие на ток в магнитном поле. Между-
Международная система электрических единиц. Опыты по отклонению
рамки с током в магнитном
поле показывают, что на
всякую рамку с током, поме-
помещенную в магнитное поле,
действует пара сил. Есте-
Естественно предположить, что
эта пара создается силами, '
действующими на каждый
элемент контура тока, нахо- -H'1'l1 —
дящегося в магнитном поле. Рис i93. Обнаружение силы Д/, действую-
Наблюдать наличие силы, щей на проводник с током во внешнем
приложенной к отдельному магнитном поле Н.
участку контура тока, воз-
возможно с помощью следующей установки: по двум параллельным ме-
металлическим шинам могут катиться два ролика, соединенных прямым
стержнем ab длину которого обозначим через Д/ (рис. 193). Концы
шин присоединены к полюсам батареи, так что они совместно с ба-
батареей и стержнем ab образуют замкнутый контур с током.
Пусть по стержню ab течет ток силой / в направлении, указан-
указанном стрелкой на рис. 193. Возбудим однородное магнитное поле
напряженности Н, направленное перпендикулярно к плоскости,

288
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[гл. xvin
содержащей шины. Тогда на стержень аЪ начнет действовать сила, под
влиянием которой он покатится. Эту силу Д/ легко измерить, урав-
уравновесив ее с помощью пружины или каким-либо другим механическим
способом. Опыт показывает, что сила Д/ перпенди-
перпендикулярна к плоскости, содержащей // и /.
Ампер установил, что величина силы Д/ про-
пропорциональна силе тока /, напряженности магнит-
магнитного поля И и длине участка проводника Д/.
Кроме того, величина силы Д/ зависит от напра-
направления Н. Если Н перпендикулярно к направлению
тока /, то при прочих одинаковых условиях сила
Д/ имеет наибольшее значение. Если Н параллельно
направлению тока /, то Д/=0. Это заставляет
Р • 194 д предположить, что сила Д/ обусловливается лишь
ствие магнит- составляющей напряженности магнитного поля Н,
ного поля на перпендикулярной к направлению силы тока /. Так
ток определяет- как составляющая (см. рис. 194) равна //sin а, то
окончательно получаем для закона Ампера выра-
выражение:
A/V-Z/Zsina- Д/. A)
ся нормальной
составляющей
напряженности
поля Н.
Чтобы перейти к знаку равенства, надо ввести коэффициент пропор-
пропорциональности.
Как следует из опыта и как подтверждает расчет, приводимый
ниже, коэффициент пропорциональности равен 1/с2, если / и // изме-
измерены в электростатических единицах, а Д/— в динах.
Поэтому мы напишем:
Д/=~г /Я sin a-Д/.
Aа)
Н
Как мы указали, сила М направлена перпендикулярно
к плоскости, содержащей направления / и Н. Если
напряженность магнитного поля Н перпендикулярна
к направлению тока /, то сила Д/направлена, как пока-
показано на рис. 195.
В общем случае для определения направления силы
ЬЛ существует несколько правил.
Во-первых, может быть использовано правило бу-
буравчика, которое в этом случае применяется следую-
следующим образом: будем вращать головку буравчика от
направления силы тока / к направлению вектора Н (рис. 196); при
этом вращение надо совершать в направлении того угла между
/ и Н, который меньше тс. Тогда поступательное движение буравчика
дает направление силы &L
Рис. 195. На-
Направление
силы Д/, дей-
действующей на
ток в маг-
магнитном поле.

§ 196J СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ТОК В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
289
Второе правило, которое мы дадим,—это так называемое правило
левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы перпен-
перпендикулярная к Д/ составляющая напряженности магнитного поля Н
входила i в ладонь (рис. 197),
а'четыре вытянутых пальца были
направлены вдоль тока /, то от-
отставленный большой палец даст
направление силы Дт.
Наприблемие
силы
Рис. 196. Определение
силы Д/ с помощью пра-
правила буравчика.
Рис. 197. Правило левой
руки.
Сила Af, действующая на элемент провода, может быть выражена и по
величине и по направлению, если воспользоваться векторным произведением
где элементу провода А1 приписывается направление, совпадающее с напра-
направлением тока. •
Исходя из формулы Ампера, прежде всего покажем, что момент
сил М, действующих на плоскую прямоугольную рамку, нормаль к
которой перпендикулярна к напра-
направлению поля Н, равен ^ ——
1 """ B)
В
н
Пусть нормаль к рамке ABDC
(рис. 198) перпендикулярна к плос-
плоскости чертежа, а линии магнитной
напряженности лежат в плоскости
чертежа. Предположим для просто-
простоты, что стороны рамки АС и BD Рис. 198. Силы, действующие на
параллельны линиям магнитной на-
напряженности, а следовательно, сто-
стороны А В и CD — перпендикулярны
к ним. Магнитное поле считаем в пределах рамки однородным.
Рамка обтекается током / в направлении, указанном стрелками на
рис. 198. По правилу левой руки находим, что на сторону рамки АВ
10 С. Фриш и А. Тиморева
рамку с током, расположенную
параллельно линиям магнитной
напряженности.

290
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[ГЛ. XVIII
действует сила fIf перпендикулярная к плоскости чертежа и на-
направленная вперед. По численному значению эта сила по фор-
формуле Aа) равна
^ C)
где li — длина стороны рамки АВ.
Равная ей, но направленная за плоскость чертежа, сила f4 действует
на сторону рамки CD.
Эти силы образуют пару с моментом
где /4 — длина стороны рамки BD.
Подставляя сюда вместо силы /j ее значение по C) и замечая,
что произведение Д/а равно площади рамки S, получим
С
Эта формула совпадает с формулой B) при k = c\ Но в § 195
была введена именно такая связь между коэффициентами k и с.
Таким образом, приведенный расчет не только
дает правильное выражение для момента сил,
действующих на рамку с током в магнитном
поле, но и указывает, что в законе Ампера
при измерении / и Н в CGSZJ-системе должен
стоять коэффициент \/с\
Исходя из формулы Ампера, найдем выра-
выражение для силы взаимодействия двух бесконечно
длинных прямых, параллельных друг другу про-
проводов, по которым текут токи. Пусть расстоя-
расстояние между проводами равно d и силы токов
равны /] - и 1г.
Рассмотрим, с какой силой действует маг-
магнитное поле тока /j на участок длиной / вто-
Рис. 199. Взаимодей- Рого тока-
ствие двух прямоли- Для этого заметим, что линии вектора на-
нейных бесконечных пряженности магнитного поля тока 1Х предста-
токов. вляют собой концентрические окружности, и
если ток /j течет вверх, то напряженность Н4
в точках втцрого-проводника направлена по правилу буравчика ва
чертеж (рис. 199); численно она равна
ni d .
D)
Для определения направления силы f4, действующей на участок /
второго тока, воспользуемся правилом левой руки. Расположим левую

§ 196] СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ТОК В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
291
руку так, чтобы вектор напряженности Н( был направлен в ладонь, а
четыре вытянутых пальца направим по току /4; тогда отставленный
большой палец даст направление силы f2, действующей на участок /
тока /2. Если ток /а течет вверх, то эта сила, как видно, будет напра-
направлена налево, т. е. участок / тока /2 притягивается к току Д. Так как Ht
перпендикулярно к /, то величина силы притяжения/а, по Aа), равна
1
или, подставив сюда вместо
его значение по D),
1 21J, .
E)
Точно такое же рассуждение покажет, что напряженность На>
создаваемая током /2 в пределах участка длиной / первого тока, нап-
направлена на читателя, т. е. участок / тока /t притягивается к току /9.
Величина силы притяжения будет
¦ft ~c* ' a "c5 ~~d~ '
т. е. равная величине силы /а, выражаемой формулой E).
Таким образом, мы получаем, что два параллельных тока, текущих
в одинаковом направлении, притягиваются друг к другу. На участок
длиной / каждого из токов, по E), действует
сила, прямо пропорциональная произведению из
сил токов и обратно пропорциональная расстоя-
расстоянию между ними. Если в формуле E) Д и /s выра-
выражены в CGSf-единицах силы тока, а / и
d — в сантиметрах, то сила / будет выражена
в динах.
Совершенно аналогичное рассмотрение по-
показывает, что два параллельных тока противо-
противоположных направлений отталкиваются с силой,
численное значение которой определится также
формулой E).
т r_' v ' ствие двух прямоли-
Если токи текут по двум прямым проводам, J
направления которых пересекаются под некото-
некоторым углом а, то между токами возникают силы,
стремящиеся повернуть проводники так, чтобы
они встали параллельно друг другу и чтобы токи текли в них
в одну сторону (рис. 200).
Во всех приведенных в этом параграфе формулах предполагается,
что электрические и магнитные величины измерены в электростати-
электростатической системе единиц. Если напряженность магнитного поля и си-
силу тока измерять' в электромагнитной системе единиц, то коэффици-
коэффициент Ijc1 в формулах Aа), A6), B), C) и E) пропадает.
10*
Рис. 200. Взаимодей-
нейных токов, теку-
текущих под углом а друг
к другу.

292 магнитное поле токов [гл. xvm
Например, формула для закона Ампера в CGSAf-системе прини-
принимает вид:
4/=/#slna. Д/, F)
сила взаимодействия параллельных токов будет выражаться формулой:
/1=/2 = ^. Eа)
В современной международной системе единиц (см. т.I) основная
электрическая единица — единица силы тока ампер — устанавливается
на основании формулы Eа). Эта единица определяется следующим
образом: ампер есть сила тока, который) протекай по двум
параллельным бесконечно длинным проводам, расположенным на
расстоянии 1 м друг от друга в пустоте, вызывает между ними
силу взаимодействия, равную 2 • 10~7 ньютонов на каждый метр
длины. Таким образом, при измерении всех величин, входящих в фор-
формулу Eа) в международной системе единиц, она примет вид:
t , ч 2 ¦ 10-'/, (а), 1г(а) ¦ 1(м)
f (ньютонов) = й(м) — •
Так как 1 ньютон'= 10* дин, то получаем следующее соотношение
между ампером и Сй^УИ-единицами силы тока:
1 а = 0,1 CGSM-ед. силы тока.
Отсюда видно, что по определению ампер точно равен одной де-
десятой CGSM-единиц силы тока.
Соотношение между ампером и CGSf-единицей силы тока получим
на том основании, что по соотношению (9) § 195:
lCGSAI-ед. силы тока = с • CGSf-ед. силы тока.
Так как с = 2,998- 1010 см/сек, то:
1 a = 2,998 ¦ \09CQSM-ea. силы тока ОёЗ • 109СО5?-ед. силы тока.
Все остальные электрические и магнитные единицы в междуна-
международной системе единиц устанавливаются через ампер. Так, за единицу
количества электричества принимается кулон, равный количеству
электричества, переносимому за 1 сек через поперечное сечение про-
провода, по которому течет ток силой в 1 а (см. § 153). Очевидно,
между кулоном и CGSM- и CGSfi-единицами количества электриче-
электричества имеют место следующие соотношения:
1 кулон = 0,1 CGSM-en. кол-ва эл-ва,
1 кулон = 2,998 • 109 CQSE-ед,. кол-ва эл-ва ^
Se3 • 109СО5?'-ед. кол-ва эл-ва.
За единицу напряженности магнитного поля в международной си-
системе единиц принимается напряженность магнитного поля на расстоя-

§ 197J ЗАМКНУТЫЙ КОНТУР С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 293
нии '=- я от бесконечно длинного прямого провода, по которому те-
чег ток в 1 а. Эта единица называется „ампер на метр" (сокращен-
(сокращенно а/м). Легко видеть, что 1 а/м = 4к • 10~а э.
Далее во всех случаях, кроме специально оговоренных, мы будем
измерять магнитные величины в СвАИ-единицах.
§ 197. Замкнутый контур с током в магнитном поле. В § 196
мы вывели, исходя из закона Ампера, выражение для момента сил,
действующих в магнитном поле на плоскую прямоугольную рамку.
Рассмотрим теперь случай действия магнитного поля на плоские
контуры с током произвольной формы. При этом провод, образую-
образующий контур, будем считать настолько жестким, что под влиянием
магнитных сил, приложенных ко всем его элементам, он ведет себя
как твердое тело.
1. Замкнутый контур с током в однородном маг-
магнитном поле. Предположим сперва, что плоский контур произ-
произвольной формы, по которому течет ток силы /,
помещен в однородное магнитное поле напря-
напряженности Н, направленное перпендикулярно
плоскости контура (рис. 201). Возьмем произ-
произвольный элемент Д/ контура и определим дей-
действующую на него силу Д/. Так как Н пер-
перпендикулярно Д/, то в Св^ТИ-системе по фор-
формуле F) § 196:
д/=/#д/.
Рис. 201. Сила, дейст-
Направление силы Д/ определим по правилу вующая на элемент Д/
левой руки: если поле направлено перпендику- 27ож1иотТ7ерп!и^
лярно к плоскости рисунка вперед и ток в кон- ДИкулярно напря-
туре течет по часовой стрелке, то сила будет женности магнитного
направлена к центру контура (рис. 201). Так как поля,
ввиду однородности поля силы, приложенные
ко всем элементам контура, численно равны, то контур окажется
в состоянии равномерного сжатия. Если изменить направление магнит-
магнитного поля или направление силы тока на обратное, то направление
сил Д/изменится также на обратное — контур окажется в состоянии
равномерного растяжения. При одновременном изменении направлений
тока и магнитного поля силы не изменят своего направления.
Теперь расположим контур так, чтобы магнитные линии были па-
параллельны плоскости контура (рис. 202). Определим, какие силы ДД
и Д/4 действуют на элементы Д/j и Д/2 контура, заключенные между
двумя параллельными линиями напряженности. По правилу левой
руки при выбранных на рисунке направлениях тока и напряженности
магнитного поля на элемент Д/г действует сила, перпендикулярная
к-плоскости --контура и направленная на читателя; на элемент Д/2
большее значение при а^^-н-, т. е. когда плоскость контура парал-
параллельна линиям напряженности; он равен нулю при а = 0, т. е. при
условии, что плоскость контура перпендикулярна напряженности.
1 В CGSЯ-системе принято считатьрт = —/S, тогда формула Aа) со-
сохраняет неизменным'свой вид в обеих системах {CGSM и CGSE).

294
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[ГЛ. XVIII
действует сила, перпендикулярная к плоскости контура, направленная
от читателя. Величина силы ДД равна
ДД = IAli sin а Я;
замечая, что Alt sin <х равно расстоянию ДА между прямыми, ограни-
ограничивающими элементы А1Х и Д/2, перепишем выражение для силы ДД:
Afl==IHAh.
Так же получим, что Д/а = /ЯДА, откуда следует, что силы ДД и Д/а
численно равны друг другу. Таким образом, на элементы А1Х и Д/а
действует пара сил, момент AM кото-
которой равен AM = Afx = IHAhx, где
х — среднее расстояние между эле-
элементами А1У и Д/2. Произведение Ahx
дает площадь AS заштрихованного на
рис. 202 участка, откуда выражение
для момента AM можно написать в
виде:
AM = IHAS.
Весь контур может быть разбит на
с током, расположенный парал- паРы элементов, аналогичных элемен-
лельно напряженности магнит- там Д/х и Д/2. Вследствие этого ко
ного поля. всему контуру будет приложена пара
сил, момент которой равен сумме мо-
моментов пар сил, приложенных к элементам. Этот момент, очевидно,
равен
откуда
= 1HS,
0)
где S — площадь, охватываемая всем контуром.
Обращая внимание на направление пары сил, мы видим, что пло-
плоскость контура под действием пары стремится стать перпендикулярно
линиям магнитной напряженности, при этом контур стремится устано-
установиться так, чтобы, глядя в направлении магнитного поля', мы видели
ток в контуре идущим по часовой стрелке. Этот результат можно
формулировать иначе: контур с током стремится установиться в магнит-
магнитном поле так, чтобы направление напряженности магнитного поля,
создаваемого током в контуре на его оси, было параллельно напря-
напряженности внешнего магнитного поля.
В § 191 мы назвали величину рт, пропорциональную произведе-
произведению IS, магнитным моментом рамки. В СбАИ-системе считают,

§ 197] ЗАМКНУТЫЙ КОНТУР С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 295
что /S = />m,1 тогда равенство A) принимает вид:
М = Н.Рт. Aа)
Магнитный момент контура рт представляет собой величину
векторную. За направление рш принимается направление, совпадаю-
совпадающее с направлением положительной нормали к контуру с юком
(см. рис. 177).
Рассмотрим теперь более общий случай, когда плоскость контура
образует произвольный угол с направлением магнитного поля. Усло-
Условимся, как и раньше, положение контура
характеризовать положением нормали N
к плоскости контура; направление же нор-
нормали определим по-прежнему правилом
буравчика: нормаль направлена в сторону
поступательного движения буравчика, по-
получающегося при вращении его рукоятки
по направлению тока в контуре. По ска-
сказанному, направление нормали к контуру
совпадает с направлением вектора магнит-
магнитного момента контура рт.
Пусть нормаль образует угол- а с на- РиС- m разложе„Ие напря-
правлением магнитного поля (рис. 203). женности поля Н на две со-
Разложим вектор магнитной напряжен- ставляющие Hj_ и Н ц.
ности Н на две взаимно перпендикуляр-
перпендикулярные составляющие, одна из которых Hj_ перпендикулярна плоскости
контура, другая Н у лежит в плоскости контура, тогда
Н± = Н cos а, Н\\ = Н sin а.
По сказанному выше, вращательный момент создает только та часть
напряженности, которая параллельна плоскости контура; нормальная
составляющая вызывает 'только растяжение или сжатие контура. Сле-
Следовательно, момент М получим, если в формулу A) подставим вместо
напряженности магнитного поля Н ее составляющую //ц, откуда
M = IHS sin a. B)
Из формулы B) видно, что вращательный момент М имеет наи-
наибольшее значение при а = -^-, т. е. когда плоскость контура парал-
параллельна линиям напряженности; он равен нулю при а = 0, т. е. при
условии, что плоскость контура перпендикулярна напряженности.
1 В CGSЕ-системе принято считатьpm = -$IS, тогда формула Aа) со-
сохраняет неизменным'свой вид в обеих системах (CGSM и CGSE).

296
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[ГЛ. XVIII
Вводя вместо IS магнитный момент рт, перепишем формулу B):
= Hpms\na.
Bа)
Если взять совокупность контуров в виде соленоида, то для момента
действующей на него пары получим это же выражение, в котором
магнитный момент соленоида надо положить равным pm = NIS, где
N — число витков соленоида.
Воспользовавшись понятием о векторе М момента пары сил (§ 35,
т. I), равенство Bа) можно записать в векторном виде:
М=[рт.Н].
2. Замкнутый контур с током в неоднородном маг-
магнитном поле. Рассмотрим для простоты контур в виде круговой
рамки в неоднородном магнитном поле, линии напряженности кото-
которого расходятся радиально.
Н
На
рис. 204- представлено сечение этой
рамки плоскостью рисунка. Пусть
магнитный момент рамки рт совпа-
совпадает по направлению с направлением
напряженности поля Н в центре рам-
рамки. Условимся положительными счи-
считать направления слева направо. Рас-
Рассмотрим силу Д/, действующую со
стороны магнитного поля на элемент
рамки Д/. Выберем элемент рамки Д/
вблизи точки а; он перпендикулярен
к плоскости чертежа. Разложим на-
напряженность магнитного поля Н на две
составляющие: Hj^ — перпендикуляр-
перпендикулярную к плоскости рамки и Ну — параллельную плоскости рамки. Со-
Составляющая //_[_ вызовет силу Д/4, направленную от центра рамки.
Совокупность таких сил, приложенных ко всем элементам рамки,
будет лишь деформировать рамку, но не сообщит ей никакого вра-
вращательного или поступательного движения. Поэтому эти силы в даль-
дальнейшем нас не будут интересовать.
Составляющая поля И\\, по правилу левой руки, поведет к возник-
возникновению силы Д/1( направленной перпендикулярно к плоскости рамки.
Эта сила равна
/, C)
Р*
Рис. 204. Контур с током в неодно-
неоднородном магнитном поле.
где 7 — сила тока, текущего по рамке. Знак минус означает, что
сила направлена налево. Обозначим через р угол, который составляет
вблизи точки а напряженность магнитного поля Н с нормалью к пло-
плоскости рамки. Тогда Н\\ = Hsm$. Считая угол C малым, приближенно
положим //(= Н§. Подставив это выражение //ц в C), получим

§ 197] i ЗАМКНУТЫЙ КОНТУР С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 297
Такие же силы Д/( будут приложены ко всем остальным элемен-
элементам рамки. Так как они все направлены одинаково, то результирую-
результирующая сила /, действующая на всю рамку, выразится алгебраической
суммой Д/j:
^Д/. D)
Сумма всех элементов длины рамки, очевидно, равна длине кон-
контура всей рамки, т. е.
2
где г — радиус рамки.
Подставляя это значение %А1 в D), получим для силы /, дейст- |
вующей на рамку, выражение: \
/= — 2яг///р. E)
Таким образом, в неоднородном магнитном поле на рамку дейст-
действует сила, стремящаяся ее переместить.
Преобразуем выражение E), исключив из него угол р. Для этого
рассмотрим число линий напряженности N, пересекающих плоскость
рамки (рис. 205). Напряженность маг-
магнитного поля И в месте, где нахо-
находится рамка, связана с N приближен-
ным соотношением
N
я=~. F)
где S=Kr* есть площадь рамки, и Рис. 205. К подсчету силы, дей-
значение cos P в выражении потока ствующей на контур с током в
взято приближенно равным единице, неоднородном магнитном поле.
Все эти линии напряженности пересекут
площадь S', отстоящую на Ах вправо от рамки. Напряженность
поля Н' в точках, отстоящих на отрезок Ддг правее рамки, равна
а изменение напряженности поля АН на отрезке Ах
. Если Ах малб, то S' значительно отличается от S, и тогда при-
приближенно
Продолжим мысленно линии напряженности налево до места их
пересечения в точке О. Пусть точка О отстоит от рамки на отрезок х.

298 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIII
Тогда, считая угол р малым, имеем г = хф, откуда
Подставив эти значения S и S' в G), найдем
или, замечая, что, по F), -f. =
г
и х = -5-\
Р
=-2ЯТР, откуда р = _т_(_
Подставляя это значение р в E),. получим для силы /, действую-
действующей на рамку:
Произведение пг*1=81 представляет собой магнитный момент
рамки рт, откуда
(?) <»
Величина LHjkx характеризует неоднородность магнитного поля —
она показывает, как быстро меняется напряженность поля Н от точки
к точке: эта величина представляет градиент напряженности магнит-
магнитного поля. Таким образом, по (8), сила /, действующая на рамку,
пропорциональна магнитному моменту рамки рт и градиенту напря-
напряженности магнитного поля (Д///Ддг). Для однородного поля (-—-) = О,
и на рамку не действует никакая суммарная сила.
В рассматриваемом случае (магнитный момент рт направлен по
полю) сила / будет перемещать рамку туда, где поле сильнее. Если
бы магнитный момент рт был направлен про-
против напряженности магнитного поля Н, то
|П\\\\\\^\\\Л //Л рамка перемещалась бы в сторону, где поле
|НдДдИд) /( Ц слабее. Однако это последнее положение
> ' У V V LJ=J \Jj рамки неустойчиво.
Рис. 206. Взаимодействие в общем случае произвольно ориёнтиро-
рамки с током и соле- ванной рамки в неоднородном магнитном
ноида. поле на рамку действует и сила / и вра-
вращающая пара с моментом М\ поэтому рамка,
способная свободно поворачиваться и перемещаться в неоднородном
магнитном поле, повернется так, чтобы ее магнитный момент рт
расположился вдоль линии напряженности, а затем втянется в область,
где поле сильнее. Это обстоятельство может быть легко продемонстри-
продемонстрировано. Вблизи конца длинного, неподвижно укрепленного соленоида А
(рис. 206) расположим рамку В, подвешенную на двух длинных и тонких

§ 197] ЗАМКНУТЫЙ КОНТУР С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 299
проводах. Как бы рамка ни была первоначально ориентирована, она
всегда сперва повернется так, чтобы ток в ней протекал в том же
направлении, что и в соленоиде, а затем притянется к соленоиду.
Выведенную нами формулу (8) легко обобщить на случай, когда
момент рамки рт составляет угол а с направлением градиента напря-
напряженности поля Н, тогда
f=pm(—\cosa. (8а)
Таким образом, рамка с током ведет себя во внешнем магнитном
поле аналогично тому, как электрический диполь ведет себя во
внешнем электрическом поле: в однородном поле она испытывает
лишь вращающий момент, в неоднородном, кроме того, — силу, про-
пропорциональную градиенту поля.
Пример. Внутри соленоида, имеющего 10 витков на 1 см, по которо-
которому течет ток в 10 а, установлена рамка из 5 витков провода, охватывающе-
охватывающего площадь S= 10 еж2. С помощью пружи-
пружины а (рис. 207) рамка удерживается, при
отсутствии в ней тока, параллельно оси со-
соленоида. На какой угол <f к оси соленоида
она повернется при пропускании через нее
тока в 1 а, если для закручивания пружи-
пружины на угол f требуется пара сил M = kf,
где k=[ Г см/рад?
Решение. Напряженность магнит-
магнитного поля Н внутри соленоида, по фор-
формуле D) § 195:
Н = 4п/п, (9) рис_ 207. Рамка с током внутри
где я — число витков в соленоиде на еди- соленоида,
ницу длины и /—сила тока в нем.
Рассматривая рамку как наложение контуров, получим, по формуле B),
что действующий на нее момент сил равен
М = tiihSiH sin о,
где П( — число витков в рамке, h—сила тока в ней, Si — ее площадь. Под-
Подставляя сюда вместо Н его значение по (9), получим
М = AnnnJIiSi sin a.
Этот момент должен уравновешиваться крутящим моментом пружины kf,
откуда
AnnnJliSi sin a = kf.
Замечая, что а=9 9 и обозначая AnnnJIiS через Ь, получим
. . COS a k
Ь cos<p = fcfi, откуда—1 = -г.
Полагая приближенно cos<f>^l— у, получим относительно у квадратное
уравнение:
2^-2 = 0,

300 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XV111
откуда
Выражая/ и А в СC57И-единицах и ft в дин ¦ см/рад, получим
ft _ к _ 980 ^
b~4nnn1fflSl ~4 • 3,14 • 10 • 5 ¦ 1 ..0,1 -10 —
откуда
<j> = —1,56 ±2,11.
Из двух решений следует взять то, которое дает O^Cf^^-, откуда
if = 0,55 рад, или if = 31°.
§ 198. Циркуляция вектора магнитной напряженности. Магнит-
Магнитное поле может быть охарактеризовано некоторым общим соотно-
соотношением, имеющим большое прикладное значение при расчете маг-
магнитных полей.
Напомним, что в § 129 нами было рассмотрено выражение цир-
циркуляции вектора электрической напряженности, а при разборе вопроса
об электродвижущей силе мы вводили циркуляцию сторонних сил.
Аналогично с теми рассмотрениями мы введем выражение для
циркуляции вектора магнитной напряженности Н.
Возьмем произвольный замкнутый контур L. Обозначим через Ht
проекцию вектора Н на направление элемента Д/ контура. Составим
сумму выражений HtM для всех элементов замкнутого контура:
и назовем эту сумму циркуляцией вектора Н по контуру L
Можно показать, что в силу закона Био — Савара — Лапласа
циркуляция вектора Н по произвольному замкнутому контуру равна
произведению 4тс на полную силу тока,
пронизывающего контур, по которому
берется циркуляция:
2i//,A/=4«/. A)
Знак циркуляции определяется направле-
направлением обхода контура: если направление
Рис. 208. Направление об- обхОда СВЯЗано С направлением обходи-
хода тока при положитель- мого тока правилом буравчика, то цирку-
ной циркуляции. ляция берется со знаком плюс, и, наоборот,
циркуляция берется со знаком минус, если
направление обхода контура при подсчете циркуляции противоположно
тому, которое считается положительным по правилу буравчика. На рис.
208 указано направление обхода, дающее положительную циркуляцию.
Мы приведем доказательство соотношения A) только для поля
тока, текущего по бесконечно длинному прямому проводу.

§ 198] ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ НАПРЯЖЕННОСТИ
801
Возьмем произвольный контур L (рис. 209), охватывающий беско-
бесконечно длинный прямой провод, по которому течет ток силы /. Пока-
Покажем сперва, что циркуляция по контуру L равна
циркуляции по контуру Lu являющемуся проекцией
контура L на плоскость, перпендикулярную току.
Действительно, элемент Д1 можно представить
как геометрическую сумму элемента ДД лежащего
в плоскости, перпендикулярной току, и элемента
Д21, параллельного току:
Д1 = Дг1 -(- Да1.
Напряженность магнитного поля прямого тока в
каждой точке контура равна
2/ Рис- 20Э- к расчету
Я= — циркуляции векто-
r pa магнитной на-
и лежит в плоскости, перпендикулярной току, пряженности Н.
будучи перпендикулярной к г, где г — расстояние
точки А до тока. По теореме о проекции равнодействующей имеем:
ЯгД/= ЯД1/ cos (Я, Дх/) -j- ЯД/ cos (Я, Д/).
Второй член этой суммы равен нулю, так как Н перпендикулярно к
Д21. Таким образом, получаем
Я,Д/= ЯДХ/ cos (Я, Ai/) = Я„ Д/,.
Но Д^ есть проекция элемента Д1 контура L на плоскость, перпен-
перпендикулярную току, т. е. Д1| есть элемент контура Llt представляю-
представляющего проекцию контура L на плоскость, пер-
перпендикулярную току. Отсюда получаем:
Л1'
н
Рис. 210. К
циркуляции
замкнутому контуру,
охватывающему ток.
расчету
Н по
(по контуру L) (по контуру Li)
Следовательно, без ограничения общности, мож-
можно при доказательстве соотношения A) пола-
полагать, что контур расположен в плоскости, пер-
перпендикулярной току.
На рис. 210 изображен контур в плоскости,
перпендикулярной току. Из рисунка видно:
HtLl=HLl cos (Я, М) = jM cos a.
рассматриваемой
положить
Но Д/ cos а есть проекция Д/ на перпен-
перпендикуляр к г, где г есть расстояние от
точки до тока. Ввиду малости Д/ можно
Д/ cos a. = гД<р.

302 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVU1
Для циркуляции получим
Таким образом, мы получаем результат: циркуляция по произволь-
произвольному контуру вектора магнитной напряженности равна произведе-
произведению 4тг на силу тока, охватываемого контуром.
Если ток не охватывается контуром (рис. 211),
то, как легко видеть, контур мо^но разбить
на парные элементы A/t и Д/2, для которых
элементы циркуляции равны по величине и
г4 2 противоположны по знаку:
2/
Рис. 211. К расчету 2/
циркуляции Н по Ht Д/j = — гД<р = 2/ Д<р.
замкнутому контуру,
не охватывающему
ток. Таким образом, все члены суммы в выражении
циркуляции попарно компенсируются, и мы
получаем результат: циркуляция вектора Н по контуру, не охваты-
охватывающему ток, равна нулю:
Полученные результаты можно обобщить на поле произвольного
тока, однако такое обобщение требует применения более сложных
математических расчетов.
В терминах векторного анализа теорема о циркуляции напряженности
магнитного поля принимает следующую форму:
ф Hi dl = 4я/,
где интеграл берется по контуру, охватывающему ток /.
§ 199. Применение выражения для циркуляции вектора маг-
магнитной напряженности. Полученный в предыдущем параграфе резуль-
результат представляет интерес по тем следствиям, которые из него выте-
вытекают. Так, во многих частных случаях он позволяет сравнительно
просто найти напряженность магнитного тюля. Перейдем к рассмотре-
рассмотрению некоторых примеров.
1. Напряженность магнитного поля на оси тороида.
Рассмотрим систему одинаковых круговых токов, одинаково направ-
направленных, нанизанных на общую торическую поверхность (рис. 182).
Обозначим силу тока в витках через /, длину оси тороида — через /,
общее число витков — через N. Предположим, что длина / велика
по сравнению с радиусами окружностей токов. Соображения симметрии

§ 199] ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА МАГН. НАПРЯЖЕННОСТИ 303
позволяют заключить, что напряженность магнитного поля Н на оси
тороида постоянна и направлена по оси в такую сторону, глядя
вдоль которой мы видим токи тороида идущими по часовой стрелке.
Для расчета численного значения напряженности Н составим цир-
циркуляцию вектора Н по контуру, представляющему среднюю линию
тороида:
(Н1 = Н). A)
Здесь под / следует понимать полный ток, охватываемый контуром.
Очевидно, что этот ток равен сумме токов, протекающих по всем
виткам тороида:
подставляя в A), получим
откуда, сокращая на /, находим значение Н:
<8 = 4кп&, B)
где и означает число витков на единицу длины тороида.
Таким образом, напряженность магнитного поля Н на оси то-
тороида пропорциональна числу витков на единицу длины тороида и
силе тока <?? в витке. Если радиус оси тороида бесконечно большой,
то его можно считать эквивалентным бесконечно длинному соле-
соленоиду. Следовательно, формула B) выражает вместе с тем напря-
напряженность магнитного поля на оси бесконечно длинного соленоида
(§ 194).
2. Магнитное поле, создаваемое током, текущим
по бесконечному прямолинейному цилиндрическому
проводнику. Предположим, что по цилиндрическому проводнику,
радиуса R течет ток силы /, равномерно распределенный по сечению
проводника. Определим напряжённость магнитного поля Н, созда-
создаваемого током в точке, отстоящей на расстоянии г от оси. Пред-
Предположим сперва, что точка А, в которой требуется вычислить напря-
напряженность, находится вне проводника, т. е. r^>R. Соображения сим-
симметрии позволяют заключить, что напряженность Н для всех точек,
отстоящих на одинаковом расстоянии г от оси, будет одинакова. Так
как цилиндрический ток можно представить как результат сложения
элементарных прямолинейных токов, то вектор напряженности Н дол-
должен лежать в плоскости, перпендикулярной к оси проводника, и направ-
направлен перпендикулярно г.
Составим циркуляцию вектора Н по окружности с центром
на оси цилиндра, проходящей через точку, в которой ищется

304
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[ГЛ. XVIII
напряженность (см. рис. 212). Так как напряженность Н, будучи
перпендикулярной г, параллельна элементам окружности, то выра^
жение циркуляции принимает вид:
21Н1Ы=Н-2т.г=4п1 (Н, = Н). C)
Здесь, как и выше, / означает полный ток, охватываемый кон-
контуром, по которому взята циркуляция. Для точки, лежащей вне
тока, под / в формуле C) надо подра-
подразумевать силу тока во всем цилин-
цилиндрическом проводнике. Учитывая это,
получаем
откуда для И находим выражение:
Таким образом, напряженность, созда-
создаваемая цилиндрическим током во внеш-
внешних точках, совпадает с напряженностью
магнитного поля прямого тока равной
силы, текущего по оси рассматривае-
рассматриваемого цилиндра.
Для точки, лежащей внутри ци-
цилиндра, контур, по которому берется
циркуляция, .охватывает лишь часть
тока. Обозначая, -как и выше, через г
расстояние рассматриваемой точки до оси, мы увидим, что ток,
охватываемый контуром в этом случае, равен
Рис. 212. К определению на-
напряженности магнитного поля
тока, текущего по цилиндри-
цилиндрическому проводнику.
Подставляя это выражение в формулу C), найдем •
2/г
Отсюда видно, что напряженность магнитного поля возрастает по
мере удаления от оси тока; на оси цилиндра магнитное поле равно
нулю.
На рис. 213 представлена зависимость напряженности магнитного
поля от расстояния до оси цилиндра.
Легко показать, что если ток идет лишь в узком слое у поверх-
поверхности проводника, то магнитное поле вне проводника такое же,
как если бы ток той же силы шел равномерно по всему сечению
оощее число виткив — через ;v. ирсднилижим, чги длима i велика
по сравнению с радиусами окружностей токов. Соображения симметрии

§ 200]
МАГНЕТИКИ
305
проводника. Но внутри проводника в этом случае напряженность
магнитного поля равна нулю. Действительно, циркуляция вектора Н
внутри полости проводящего цилиндра, как и в предыдущем рас-
рассмотрении, равна
Однако в этом случае контур циркуляции не охватывает тока, так
что правая часть равенства равна нулю. Отсюда непосредственно
для внутренних точек получим
Н=0.
Зависимость Я от г в случае тока, текущего по поверхности
цилиндрического проводника, изображена на рис. 213&
а)
б)
Рис. 213. Зависимость напряженности магнитного поля
Н от расстояния до оси цилиндра: а — для тока, теку-
текущего равномерно по сечению проводника; б — для тока,
текущего по поверхности проводника.
§ 200. Магнетики. До сих пор мы рассматривали магнитное поле
в пустоте, т. е. в пространстве, в котором нет в заметных коли-
количествах атомов, электронов или других элементарных частиц ве-
вещества. Рассмотрим теперь влияние на магнитное поле веществ,
причем вещество, способное влиять на магнитное поле, назовем
магнетиком.
Вспомним прежде всего, что мы говорили о влиянии диэлектри-
диэлектриков на электростатическое поле. Под влиянием электростатического
поля диэлектрик приходит в особое состояние, которое мы назы-
называли поляризацией. В результате поляризации на границах диэлектрика
и в областях, где он неоднороден, возникают электрические заряды
(«связанные» заряды) с соответствующими поверхностями и объем-
объемными плотностями а' и р\ Эти заряды создают свое электростати-
электростатическое поле, которое складывается с первоначальным электростати-
электростатическим полем (полем «свободных» зарядов).
Если напряженность первоначального электростатического поля
равна Ео, а поля, возникшего в результате поляризации диэлектрика,

306 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIII
равна Е', то суммарная напряженность поля Е равна их векторной
сумме:
Точно так же и всякий магнетик, находящийся в магнитном поле
токов, текущих по проводам, приходит в особое состояние, — как
говорят, он намагничивается. В состоянии намагничения магнетик
дает добавочную напряженность магнитного поля Н', которая скла-
складывается с напряженнос1$ю Но магнитного поля, вызванного теку-
текущими по проводам токами. Векторную сумму обеих этих напряжен-
ностей Но-|-Н' по аналогии с теми названиями, которые введены
для обозначения электрического поля в диэлектриках, следовало бы
назвать напряженностью магнитного поля в магнетике. Однако, по
причинам исторического характера, вектор
В = Н0 + Н' A)
получил название вектора магнитной индукции. Таким образом,
вектор магнитной индукции В представляет собой напряжен-
напряженность полного магнитного поля, создаваемого как макроскопи-
макроскопическими (внешними по отношению к среде), так и микроскопи-
микроскопическими (созданными молекулами среды) токами.
Опыт показывает, что в однородных магнетиках, целиком заполня-
заполняющих пространство, где поле отлично от нуля, добавочная напряжен-
напряженность магнитного поля Н' может быть направлена как в ту же сторону,
что и напряженность первоначального поля Но, так и в обратную.
Вещества, для которых Н' направлено в ту же сторону, что и Но,
называются парамагнетиками, вещества, для которых Н' направлено
обратно Но, называются диамагнетиками. Напомним, что в одно-
однородных диэлектриках, целиком заполняющих все пространство, где
поле отлично от нуля, напряженность добавочного поля Е' направлена
всегда в сторону, обратную напряженности поля свободных зарядов.
Для всех диамагнитных тел и большинства парамагнитных напря-
напряженность поля Н' весьма мала по сравнению с Но. Существует, однако,
группа тел, для которых Н' может быгь велико по сравнению с Но.
Кроме того, такие тела отличаются еще рядом других особенностей;
они выделяются в особую группу ферромагнитных тел (к их числу
принадлежит железо). Их свойства мы разберем ниже, пока же ограни-
ограничимся рассмотрением обычных парамагнитных и диамагнитных тел.
По гипотезе, впервые высказанной Ампером, в молекулах пара-
парамагнитных веществ имеются круговые токи; эти токи принято назы-
называть молекулярными токами. При отсутствии внешнего магнитного
поля оси этих токов расположены беспорядочно, и создаваемое ими
магнитное поде в среднем равно нулю. Под влиянием внешнего магнит-
магнитного поля эти круговые токи ориентируются, создаваемое ими магнитное
поле в среднем дает отличную от нуля напряженность Н', которая

§ 200] магнетики . 307
прибавляется к первоначальной напряженности магнитного поля Но.
Таким образом, объясняется увеличение суммарной напряженности маг-
магнитного поля в парамагнитном веществе. Намагничение парамагнетика
сводится к определенной ориентации его молекулярных токов.
В настоящее время можно утверждать, что магнитные свойства
магнетиков обусловлены не только молекулярными токами, но и
магнитными свойствами элементарных частиц, входящих в состав
атомов (электронов и ядер). Как будет разъяснено ниже, элементар-
элементарные частицы обладают магнитным моментом, не зависящим от состоя-
состояния их движения. Этот магнитный момент может быть обнаружен
по действию магнитного поля на частицы (ср. § 199), однако модель-
модельного представления, объясняющего наличие магнитного момента эле-
элементарных частиц каким-либо движением зарядов, нет. Надо иметь
в виду, что и ряд других свойств элементарных частиц не имеет объясне-
объяснений, основанных на представлениях классической механики (см. т. III).
Основные свойства магнетиков можно качественно пояснить, осно-
основываясь на амперовом представлении о молекулярных токах.
В молекулах диамагнитных веществ отсутствуют постоянные кру-
круговые токи (или в каждой молекуле имеется несколько круговых
токов, магнитные моменты которых компенсируют друг друга). Кру-
Круговые токи в них возникают (индуцируются) лишь при возбуждении
внешним магнитным полем. В гл. XVIII мы увидим, что направление
этих индуцированных токов таково, что создаваемое ими магнитное
псле направлено против внешнего магнитного поля. Этим объясняется
уменьшение суммарной напряженности магнитного поля в диамагнит-
диамагнитной среде.
Индуцированные токи обратных направлений возникают и в моле-
молекулах, в которых первоначально уже существовали круговые токи. Од-
Однако, если эти первоначальные токи достаточно сильны, то индуцирован-
индуцированный ток лишь несколько ослабляет их. Таким образом, диамагнитный
эффект всегда существует, но в парамагнетиках его превышает
эффект, обусловленный ориентацией первоначальных токов. С электрон-
электронной точки зрения появление в молекулах индукционных токов обрат-
обратного направления объясняется возникновением во внешнем магнит-
магнитном поле так называемой ларморовской прецессии (см. § 214).
В электростатике (§ 143) мы указывали на трудности, возникаю-
возникающие' при попытках определить напряженность поля в диэлектрике
Е = Е0-4-Е' по силе, действующей на макроскопическое заряженное
тело. Мы видели, что кроме сил, обусловленных напряженностью поля
в месте расположения заряда (эта напряженность не совпадает с Е),
на заряженное-тело, погруженное в диэлектрик, действуют еще силы,
вызванные механическими воздействиями со стороны поляризованного
диэлектрика.
Совершенно аналогичные трудности возникают и при попытках
определить вектор магнитной индукции В = Н0^)-Н' в магнетике.

308 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIII
Под влиянием магнитного поля в магнетике возникают механические
изменения (магнитострикция; см. § 203), в результате которых на
провод с током, помещенный в магнетик, действуют добавочные меха-
механические силы. Однако в-случае, когда провода, по которым текут
токи, погружены в однородный безграничный магнетик, силы маг-
магнитного взаимодействия между ними таковы, как если бы они опре-
определялись лишь действием суммарного магнитного поля Но -\~ Н'.
По формуле Ампера на элемент тока длиной Д/ в пустоте со стороны
внешнего магнитного поля напряженности Н действует сила Д/, равная
Af=I-Hsmo.-Al, B)
где / — сила тока и а — угол между направлением напряженности
магнитного поля и направлением движения положительных зарядов
в проводе.
При наличии однородного безграничного магнетика, по сказанному,
мы получим силу Д/, заменив в формуле B) напряженность магнит-
магнитного поля Н магнитной индукцией В:
Д/= IB sin a • Д/. Bа)
Таким образом, при наличии безграничного магнетика мы считаем,
чю действие магнитного поля на ток определяется вектором
магнитной индукции В.
Так как, по сказанному, магнитная индукция В есть сумма на-
пряженностей Но -\- Н', то ее следовало бы измерять в тех же едини-
единицах, что и Но, т. е. в CGSM-системе в эрстедах. Однако принято еди-
единице магнитной индукции в CGSyW-системе давать особое название —
гаусс. Фактически гаусс совпадает с эрстедом.
В § 195 было отмечено, что формула B) справедлива в CQSM-
системе, т. е. если сила тока / измерена в COSAI-единицах силы
тока, И — в эрстедах, Д/ — в сантиметрах и Д/—в динах. Формула
Bа) также справедлива в CGSyH-системе, т.е. при измерении / в CQSM-
единицах силы тока и В — в гауссах.
Формула Bа) позволяет в принципе определить значение вектора
магнитной индукции В в каждой данной точке поля по силе Д/, дей-
действующей на элемент провода. Очевидно, что такой провод должен
быть достаточно тонок, чтобы поле в его пределах могло считаться
однородным, и его внесение не должно изменить ни величину, ни
конфигурацию токов, вызывающих поле, а также не должно вызвать
добавочного намагничения магнетика. Все эти требования, особенно
в случае твердого магнетика, практически невыполнимы. Например,
чтобы определить действие магнитных сил на рамку с током в твер-
твердом магнетике, необходимо в магнетике сделать полость.
Как и в случае электростатики, действие на рамку будет зави-
зависеть от формы этой полости. Более подробно о возможности опре-
определить вектор В мы скажем в § 207.

§ 201] МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ МОЛЕКУЛ, АТОМОВ И ЭЛЕКТРОНОВ 309
§201. Магнитные моменты молекул, атомов и электронов.
Гипотеза Ампера о существовании молекулярных токов соответ-
соответствует современным представлениям о строении атомов и молекул.
Мы уже неоднократно отмечали, что атом представляет собой слож-
сложную электрическую систему и что электроны входят в него как со-
составные части. По модели, предложенной Резерфордом, атом состоит
из тяжелого положительно заряженного ядра и электронов, которые
вращаются вокруг него по определенным орбитам. Электрон, вращаю-
вращающийся по замкнутой орбите, во всем подобен току, идущему по
замкнутому контуру. Он создает магнитное поле, и внешнее магнит-
магнитное поле оказывает на него ориентирующее действие.
Рассмотрим для простоты электрон, вращающийся внутри атома
по круговой орбите радиуса г. Его механический момент количества
движения Р равен
A)
где т — масса электронов и v — его скорость. Вместе с тем, будучи
подобен току, он обладает и магнитным моментом рт. Определим
этот магнитный момент. Если мы мысленно сделаем сечение орбиты,
то при каждом обороте электрона через это сечение будет перенесен
заряд е, равный заряду электрона. За единицу времени окажется пе-
перенесенным заряд пе, где п — число оборотов электрона по орбите
в единицу времени.
Так как сила тока / численно равна заряду, переносимому в еди-
единицу времени, то вращающийся по орбите электрон эквивалентентоку
силой
1 = пе.
Число оборотов п = -2—, откуда
, v
2w
По вышесказанному магнитный момент рт контура с током силой /
равен IS, где S — площадь контура.
Отсюда магнитный момент электрона, вращающегося по круговой
орбите р адиуса г, равен
,pm = IS=-^pe-wi = -^vre. B)
Сравнивая выражения A) и B), получим
т. е. магнитный и: механический моменты рт и Р электрона, движу-
движущегося по замкнутой орбите, непосредственно связаны между собой.
Формула C) записана в электромагнитной системе единиц. Если в ней

310
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[гл. xvin
пользоваться смешанной системой, а именно, измерять магнитный мо-
момент рт в С05М-единицах, а отношение заряда электрона к массе
е/т — в CGSf-единицах, как это обычно делается, то надо ввести
справа коэффициент — = -=—j^jj- сек/см, тогда
Рт 2с т
(За)
Если в атоме или молекуле имеется несколько электронов, дви-
движущихся по разным орбитам, то механические моменты Р; отдельных
электронов векторно складываются в результирующий момент Р; так
же магнитные моменты pmi отдельных электронов складываются век-
векторно в результирующий магнитный момент Рт всего атома или молекулы.
Существование внутри парамагнитного вещества молекулярных
токов, связанных с определенными магнитными и механическими мо-
моментами, было экспериментально доказано в 1915 г. Эйнштейном и
Де-Гаазом, При намагничивании стержня из парамагнитного вещества
путем внесения его во внешнее магнитное поле магнит-
магнитные моменты молекул поворачиваются по полю, что
ведет также к изменению направления их механических
моментов Р. Но так как полный механический момент
количества движения остается неизменным, то стержень
в целом должен получить момент количества движения
обратного направления, т. е. прийти во вращение. Это
явление вполне аналогично чисто механическому явле-
явлению, описанному в т. I: человек, стоящий на подвижной
скамеечке, поворачивает ось вращающегося колеса,
которое он держит в руках, при этом он сам приходит
во вращение.
В опыте Эйнштейна и Де-Гааза железный стержень
подвешивался на тонкой нити по оси вертикального со-
соленоида (рис. 214). При изменении направления тока
в соленоиде стержень перемагничивался и получал при
этом вращательный импульс. Его поворот наблюдался с помощью
светового луча, отражаемого от зеркальца а, прикрепленного к нити.
Для увеличения угла отклонения использовался принцип резонанса:
ток в соленоиде менял направление с периодом, равным периоду соб-
собственных колебаний стержня, подвешенного к нити.
Направление поворота стержня соответствовало отрицательному
знаку заряда электрона. Пользуясь формулой C) и измеряя отноше-
отношение между магнитным и механическим моментами, можно определить
отношение заряда электрона к массе.
Результаты измерений дали, однако, значение для е//и, отличное
от значения, полученного другими способами. Причины расхождения
будут указаны в конце настоящего параграфа.
Рис. 214.
Схема опыта
Эйнштейна
и Де-Гааза.

§ 201] МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ МОЛЕКУЛ, АТОМОВ И ЭЛЕКТРОНОВ 311
Существует также эффект, обратный только что описанному.
При вращении стержня из парамагнетика оси всех его молекуляр-
молекулярных токов должны стремиться встать параллельно оси вращения
стержня. Этот эффект вполне аналогичен гироскопическому эффекту,
наблюдаемому в механике: если волчок расположен на подставке,
которая сама вращается, то его ось стремится встать параллельно
оси подставки. В результате, при вращении 'стержень должен нама-
намагнититься. Действительно, удается обнаружить намагничивание желез-
железного стержня при его быстром вращении. Таким образом, качест-
качественно и это явление подтверждается; что касается количественной
стороны, то и эти опыты дают для отношения е/т, как и опыты
Энштейна и Де-Гааза, значение, отличное от полученного другими
методами.
Существование внутри парамагнитного вещества молекулярных
токов, связанных с магнитными и механическими моментами, было
также доказано несколько иным опытом, выполненным в 1917 г.
А. Ф. Иоффе и П. Л. Капицей. Они воспользовались тем фактом,
что так называемое остаточное намагничение постоянных магнитов
пропадает при нагревании (§ 204). Намагниченный никелевый стержень
подвешивался к тонкой нити. При нагревании возникало беспорядоч-
беспорядочное распределение магнитных моментов мо-
молекул по направлениям, их суммарный ме-
механический момент становился равным нулю.
При этом, в силу закона сохранения момен-
момента количества движения, стержень приходил
во вращение.
Непосредственное измерение магнитных
моментов атомов и молекул было осуще-
осуществлено Штерном и Герлахом. Идея опытов
Штерна и Герлаха основывается на том, что
на частицу с магнитным моментом в неодно-
неоднородном внешнем магнитном поле действует смещающая сила (см. § 197).
Получаемый в высоком вакууме атомный луч аа' (рис. 215) пролетал
между полюсами ММ' электромагнита, которым придавалась такая
форма, что магнитное поле было резко неоднородно в направлении,
перпендикулярном к направлению атомного луча. Попадая на пла-
пластинку Ь, луч оставлял на ней след в виде узкой полоски. Сила,
действующая на атом с магнитным моментом рт (см. стр. 299), равна
cos a.
где (Д///Д.Д;)— градиент поля. Таким образом, величина силы Д/
зависит от магнитного момента атома рт, степени неоднородности
магнитного поля и от угла а, который направление момента рт соста-
составляет с направлением градиента поля. Казалось бы, что из-за
Рис. 215. Схема опыта
Штерна и Герлаха.

312 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIII
теплового движения магнитные моменты атомов должны иметь всевоз-
всевозможные направления, благодаря чему разные атомы должны испытать раз-
различное отклонение, и атомный пучок, пройдя через неоднородное магнит-
магнитное поле, должен размыться (см. рис. 216а). На самом деле опыты
Штерна и Герлаха привели к иному результату, атомный лук рас-
расщеплялся на несколько резких пучков. В случае
Без паля I | серебра, а также натрия, калия и других щелоч-
щелочных металлов, он расщеплялся на два симметрич-
Сполеы Ш I I ных пучка (см. рис. 216^); атомы ванадия обнару-
/м \ \ жили расщепление пучка на четыре отдельных
а) б) пучка, атомы марганца — на шесть, железа — на
Рис 216 а — ожи- ¦ Девять. Пучки из атомов ртути, магния и некото-
даемое расшире- рых других атомов не расщепляются вовсе, — это
ние атомного луча показывает, что атомы этих элементов лишены
в магнитном поле, магнитных моментов.
б — наблюдаемое „
расщепление атом- Расщепление атомного луча на отдельные рез-
резного луча серебра кие пучки указывает, что магнитные моменты ато-
в магнитном поле, мов во внешнем магнитном поле ориентированы
не как угодно, а лишь под определенными углами
к направлению магнитного поля. Например, атомы натрия могут рас-
располагаться двумя способами: их магнитный момент направлен либо
по полю, либо против поля; атомы ванадия ориентируются четырьмя
способами относительно поля и т. д. Этот факт находит свое объяс-
объяснение в квантовой механике (см. т. III).
Измерения отклонений показывают, что проекции магнитных момен-
моментов всех атомов являются рациональными дробями от вполне опреде-
определенного магнитного момента,/v
Рт — ~ Рь,
где q и г — целые числа; магнитный момент р0 называется магнето-
магнетоном Бора; он равен
/>о = 0,9272 • 1 0~м эрг {гаусс. 1
1 Измерение магнитных моментов в единицах эрг/гаусс вытекает из сле-
следующего: момент сил УИ, действующий на контур с током, равен М =ртВ sin a,
где/»т — магнитный момент тока, а В — магнитная индукция поля. Отсюда:
_ М
Рт ~~ В sin а •
Так как М измеряется в дан ¦ см, а В — в гауссах, то единица измерения рт
дин -см ,
запишется —, но дан-см совпадает с эргом, откуда единица измере-
ZCLjJCC
ния рт получает обозначение эрг/гаусс.

§ 202]
ВЕКТОР НАМАГНИЧЕНИЯ
313
Таблица XV
Максимальные проекции
магнитных моментов атомов
(в долях магнетона Бора)
Максимальные значения проекций магнитных моментов некоторых
атомов приведены в табл. XV. ,
Анализ этих опытов, как и характер строения атомных спектров
(см. т. III), убеждает, что каждый электрон сам по себе обладает
определенным магнитным моментом.
Отсюда, естественно, в рамках клас-
классической электродинамики возникла
гипотеза, что электрон находится в
состоянии непрерывного вращения
вокруг оси, проходящей через его
центр; этому вращению соответствует
наличие у электрона постоянного
механического момента количества
движения Ре (называемого спином,
от английского слова spin, что зна-
значит веретено) и связанного с ним
постоянного магнитного момента рт,
равного одному магнетону Бора.
Однако такая наглядная гипотеза
оказалась слишком упрощенной и
была заменена общими представле-
представлениями квантовой механики о свой-
свойствах электрона. При этом для со-
согласования результатов теории с опытом пришлось предположить, что
между магнитным и механическим моментами электрона имеет место
следующее соотношение:
Атом
Водород
Натрий
Ванадий
Хром .
Железо
Индий
Ртт&х
I
1
3/5
6
6
1/3
Г)
= т е'
D)
т. е. что отношение рт/Ре для собственных моментов электрона вдвое
больше, чем отношение орбитальных магнитного и механического мо-
моментов электрона, связь между которыми определяется равенством C).
Полный магнитный момент атома (или молекулы) складывается как
из магнитных моментов, возникающих в результате движения электро-
электронов по замкнутым орбитам, так и из собственных магнитных момен-
моментов электронов рт. При этом внутри атома по законам квантовой
механики магнитные моменты отдельных электронных орбит и самих
электронов ориентируются друг относительно друга лишь под опре-
определенными углами. Связь между результирующими магнитным и меха-
механическим моментами оказывается более сложной, чем даваемая фор-
формулой C), что и объясняет кажущееся противоречие результатов
опытов Эйнштейна и Де-Гааза с теорией.
§ 202. Вектор намагничения. Степень намагничения среды при-
принято характеризовать вектором, называемым вектором намагничения
и равным магнитному-моменту единицы объема среды. Обозначим-через

314 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIII
; геометрическую сумму магнитных моментов молекул, находящихся
в объеме AV магнетика. Тогда вектор намагничения Р однородно
намагниченного магнетика определится равенством:
4^ О)
Если магнетик намагничен не однородно, то вектор намагничения Р
имеет различные значения в разных объемах; в этом случае под на-
намагничением в данной точке подразумеваем предел, к которому стре-
стремится выражение A) при неограниченном уменьшении объема AV:l
Р = пред. (%). B)
Как мы видели, напряженность магнитного поля внутри куска
магнетика складывается из напряженности поля Но заданных внешних
токов (намагничивающего поля) и из напряженности Н', создаваемой
молекулами намагниченного вещества. Результирующую напряженность
В = Н0 + Н' C)
мы назвали магнитной индукцией.
В случае однородного магнетика, целиком заполняющего простран-
пространство, где поле отлично от нуля, напряженность Н' поля, создавае-
создаваемого молекулами, легко связать с вектором на-
намагничения Р. Мы установим эту связь, пользуясь
простым частным случаем. Пусть внугренность
бесконечно длинного соленоида заполнена ци-
цилиндром из однородного магнетика. При про-
прохождении по соленоиду тока магнетик одно-
однородно намагнитится. Будем считать, что намагни-
намагничение его обусловлено наличием упорядоченных
молекулярных токов. Плоскости этих молеку-
молекулярных токов перпендикулярны к вектору на-
Рис. 217 Сложение магничения, направленному параллельно оси ци-
молекулярных токов в линдра (рис. 217). Рассматривая молекулярные
намагниченной среде, токи в сечении цилиндра, мы видим, что в толще
цилиндра вблизи каждой точки сечения прохо-
проходят два противоположно направленных тока. Они создают магнитные
поля противоположных направлений, которые друг друга компенсируют.
Некомпенсированными остаются лишь поля, создаваемые токами, теку-
текущими по боковой поверхности цилиндра. Эти токи подобны току в соле-
1 Здесь, как и в других аналогичных физических задачах, неограничен-
неограниченное уменьшение объема ДV надо понимать условно: объем Д1/ при переходе
к пределу берется настолько малым, чтобы данное физическое свойство (напри-
(например, намагничение) оставалось в его пределах постоянным, но при этом объем
должен оставаться ббльшим по сравнению с объемом отдельной молекулы.

§ 202] ВЕКТОР НАМАГНИЧЕНИЯ 315
ноиде, а потому они создают внутри цилиндра магнитное поле, напря-
напряженность которого Н' можно вычислить, пользуясь формулой D) § 195.
Обозначая буквой /0 ток, приходящийся на единицу длины цилиндра,
получим, что /0 играет роль произведения силы тока на число
витков на единицу длины я, откуда
/7' = 4Ц,. D)
Легко установить связь между /0 и вектором намагничения.
Вектор намагничения численно равен магнитному моменту единицы
объема. Обозначая площадь сечения цилиндра через S, имеем, что
объем участка цилиндра длиной / равен SI. Следовательно, мы
получим вектор намагничения Р, если разделим магнитный момент
участка цилиндра, равный /0S/, на объем S/, т. е.
Таким образом, вектор намагничения Р численно равен силе моле-
молекулярного тока, приходящегося на единицу длины. Направление
вектора намагничения Р совпадает с направлением напряженности Н'.
Отсюда, сравнивая формулы D) и E), получаем
Н' = 4иР. F)
Подставляя это значение Н' в выражение C) для магнитной индук-
индукции В, получим
«Р. G)
Для неферромагнитных тел вектор намагничения Р можно считать
пропорциональным напряженности поля Но заданных внешних
токов (намагничивающего поля):
Р = хН0. (8)
Величина х, характеризующая данный магнетик, называется коэф-
коэффициентом намагничения, или магнитной восприимчивостью.
Для парамагнетиков вектор намагничения Р направлен в ту же
сторону, что и Но (для них В^>Н„) и, следовательно, х имеет поло-
положительное значение. Для диамагнетиков Р и Но направлены в про-
противоположные стороны (для них В<^Н0) и х отрицательно.
Подставляя значение Р через Но, по (8), в формулу G), получим
В = A+4«х)Н(И (9)'
Постоянный множитель 1 -\- 4тсх принято обозначать «дной буквой ц:
~~~~ [х A0)
и называть магнитной проницаемостью среды. Для парамагнитных
сред fi^>l, для диамагнитных сред ^<О> для пустоты р, = 1.

316 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIU
Подставляя в формулу (9) вместо 1-|~4ях магнитную проницае-
проницаемость (л, получим
В = [Ш0. (9а)
Формулы F), G), (8), (9) и (9а) справедливы лишь для случая
однородного магнетика, целиком заполняющего все пространство, где
магнитное поле отлично от нуля. Для произвольного магнетика общую
формулу для поля Н' дать нельзя. В каждом конкретном случае Н'
подсчитывается на основании учета всех молекулярных токов.
Рассмотрим случай произвольного магнетика (т. е. неоднородного
магнетика или отдельных кусков однородных магнетиков). В каждой
данной точке такой среды коэффициент намагничения х, а вместе с
тем и магнитная проницаемость (j. [формула A0)], имеют свое значе-
значение. Не останавливаясь пока на способе измерения вектора В, будем
считать, что он нам известен.
Введем вектор Н, определяемый в данной точке равенством
Н = 1в, A1)
где (л — магнитная проницаемость среды в этой точке. Вектор Н назовем
вектором напряженности магнитного поля в данном магнетике.
Если магнетик однороден и целиком заполняет все пространство,
где поле отлично от нуля, то, наряду с определением вектора Н по
формуле A1), имеет место и формула (9а).
Из сравнения этих формул вытекает, что в однородном магне-
магнетике, целиком заполняющем пространство, где поле отлично от
нуля, напряженность магнитного поля Н совпадает с напряжен-
напряженностью Но, создаваемой заданными (намагничивающими) токами.
Для произвольного магнетика вектор напряженности магнит-
магнитного поля Н может и не совпадать с вектором Но (см. § 203).
Для произвольного неферромагнитного тела вектор намагничения Р
можно считать пропорциональным напряженности Н магнитного
поля:1
Р = хН, A2)
где х—коэффициент намагничения в рассматриваемой точке.
1 Было бы логичнее (по аналогии с электростатикой) полагать вектор
намагничения Р пропорциональным вектору результирующей напряженности
магнитного поля, т. е. вектору индукции В. Однако в силу исторических при-
причин, принято пользоваться равенством A2).
Фактически между этими двумя точками зрения нет принципиальной раз-
разницы, так как векторы Н и В, по A1), пропорциональны друг другу. Указан-
Указанное историческое отступление от вида соответствующих формул в электро-
электростатике ведет лишь к тому, что аналогичными оказываются не t и [а [как
было бы, если бы вместо 'A1) писалось: Н = |лВ], а е и —; не хе и хот [как
было бы, если бы вместо A2) писалось: Р = хВ], а хе и xm/[j. (см. § 207).

§ 202] ВЕКТОР НАМАГНИЧЕНИЯ 317
Из формул A0), A1) и A2) следует, что
В = ^Н = Н-|-4*:Р. A3)
В частном случае однородного магнетика, целиком заполняющего все
пространство, где поле отлично от нуля, Н = Н0, и формулы A1), A2),
A3) переходят соответственно в (9а), (8) и G).
По сказанному в § 200, вектор^В определяет силы взаимодействия
между токами при наличии магнетиков; это позволяет в принципе
определить магнитную проницаемость по изменению силы взаимодей-
взаимодействия между токами. Однако практически этот способ неприменим,
так как jj. от единицы отличается весьма незначительно, так что
указанное изменение силы взаимодействия между токами очень мало.
Поэтому [1. определяется косвенно по магнитному моменту куска ма-
магнетика определенной формы.
Маленький шарик из исследуемого вещества вносится в сильное
и неоднородное магнитное поле с известными значениями напряжен-
напряженности поля /Уо и его градиента ^Нй/\х. Под влиянием поля он на-
намагничивается. Если Рт — его магнитный момент, то, так же как для
контура с током (см. § 197, п. 2), он будет испытывать действие
силы
пропорциональной градиенту поля.
Магнитный момент шарика Рт может быть связан с вектором
намагничения Р. Приближенно, в пределах шарика, намагничивающее
поле Но можно считать постоянным. Тогда (как можно показать для
шарика и эллипсоида) будет постоянным и вектор намагничения Р,
равный магнитному моменту единицы объема. Следовательно,
где г — радиус шарика. Для парамагнитного шарика магнитный момент
Рт направлен по полю, для диамагнитного — против. Поэтому пара-
парамагнитный шарик будет втягиваться в область, где поле сильнее,
а диамагнитный — выталкиваться в область, где поле слабее.
Подставив формулу A5) в A4) и выразив вектор намагничения Р
через напряженность магнитного поля Н в шарике [формула A2)],
получим
Соответствующий расчет показывает, что для шарика

318
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[ГЛ. XVIII
Так как для всех диа- и парамагнитных тел fx очень мало отличается
от единицы, то с большой степенью точности //=//„ и вместо фор-
формулы A6) можно написать:
**).. <17>
Формула A7) позволяет определить х по величине силы, действую-
действующей на шарик.
Вместо шарика для определения коэффициента намагничения *
и магнитной проницаемости ц употребляется также вытянутый эллип-
эллипсоид вращения. Магнитный момент эллипсоида также может быть
рассчитан теоретически. Такой эллипсоид в однородном внешнем маг-
магнитном поле испытывает момент сил М, поворачивающий его вдоль
линии напряженности поля.
Значения магнитной проницаемости для ряда пара- и диамагнит-
диамагнитных веществ приведены в табл. XVI.
Таблица XVI
Значения магнитной проницаемости
(газы (Взяты при атмосферном давлении)
Парамагнитные вещества
вещество
Азот
Кислород....
Алюминий . . .
Платина ....
(|А — 1)-10в
0,013
1,9
23
360
Диамагнитные вещества
вещество
Водород ....
Медь
Каменная соль
Висмут
A-^.Ю»
0,063
8,8
12,6
176
§ 203. Ферромагнетизм. Как было указано в § 200, некоторые
из парамагнитных веществ обладают свойством давать весьма боль-
большое добавочное поле Н', следовательно, они характеризуются боль-
большой магнитной проницаемостью (j,; такие вещества называются ферро-
ферромагнитными. К числу ферромагнитных веществ относятся железо,
никель, кобальт, гадолиний и их сплавы (например, Fe — Ni, также
Fe —Ni — А1 и т. д.) и некоторые сплавы неферромагнитных веществ,
например сплав из 61,5% Си, 23,5 % Мп и 15% А1, сплав марган-
марганца — висмута, хрома — теллура и т. д.
Особенностью ферромагнитных веществ является не только боль-
большое значение [а, но и следующее: 1) ферромагнитные вещества
сохраняют намагничение и после того, как намагничивающее поле
прекратило свое действие, и 2) магнитная проницаемость jj. (также
коэффициент намагничения х) для них не является величиной посто-
постоянной, но зависит от напряженности намагничивающего поля Но.

§ 203] ФЕРРОМАГНЕТИЗМ 319
Кристаллические ферромагнетики, например монокристаллы железа,
обнаруживают анизотропию магнитных свойств: в одних направлениях
кристалл намагничивается легче, в других — труднее. То же вещество,
имеющее мелкокристаллическую структуру, в «магнитном отношении
изотропно.
Зависимость намагничения железа от напряженности внешнего поля
была впервые подробно исследована профессором Московского уни-
университета А. I*. Столетовым, опубликовавшим в 1872 г. работу .Иссле-
.Исследование функции намагничения мягкого железа". Эксперименталь-
Экспериментальный метод Столетова был основан на явлении индукции (см. § 221).
Здесь мы рассмотрим иной способ измерения
вектора магнитной индукции в ферромагнети-
ферромагнетиках, которые являются твердыми телами. Пред-
Предположим, что мы имеем соленоид в виде то-
роида, внутрь которого внесен. сердечник из
исследуемого ферромагнетика.
Полное магнитное поле внутри сердечника
определяется вектором индукции' В, который
представляет собой сумму напряженности Н„
магнитного поля, создаваемого током соленоида,
и напряженности И' поля, создаваемого молеку- р 918 ~Н
лярными токами: н"сть магнитного*™-
В = Нп4-Н' ля ни в Щели равна
в < ' магнитной индукции В
Если мы сделаем узкую поперечную щель в в Ферромагнетике,
сердечнике соленоида (рис. 218), то в этой
щели, поскольку она заполнена средой, для которой |х=1 (практи-
(практически воздухом, парамагнетизмом которого мы пренебрегаем), вектор
индукции тождественен с вектором напряженности магнитного поля.
Будем характеризовав величины, относящиеся к щелн, индексами
,щ", тогда для щели имеем:
ВЩ = НЩ. A)
Вектор индукции В внутри сердечника параллелен оси тороида; если
щель внутри тороида очень узка, то, как мы увидим в дальнейшем
(см. § 207), она заметно не меняет индукции; следовательно, индук-
индукция в области щели такая же, как внутри сердечника:
откуда в силу соотношения A)
Нщ = В = Но -\- Н',
т. е. напряженность Нщ внутри щели равна индукции внутри сердеч-
сердечника, другими словами, она равна сумме напряженностей Но -\- Н',
создаваемых током в соленоиде и молекулярными токами сердечника.

320 _ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIII
Таким образом, сердечник благодаря намагничению увеличивает
напряженность поля в щели. Измеряя напряженность Нщ в щели (на-
(например, по действию на контур с током), мы тем самым измерим зна-
значение индукции В в сердечнике.
Для ферромагнитных веществ мы будем так же, как для веществ
пара- и диамагнитных, считать, что связь между вектором индук-
индукции В и напряженностью поли Н дается выражением A1) § 202:
B = [iH, B)
где [х — магнитная проницаемость ферромагнетика.
Таким образом, магнитную проницаемость [х мы определим отно-
отношением
V-=Bjj. Bа)
Воспользоиашиись связью между [«. и коэффициентом намагниче-
намагничения х, выражаемой формулой A0) § 202
PL — 1
получим для величины вектора намагничения Р
Р=*Н:='±=^-. C)
Так как сердечник эаиолпяет практически псе пространство, занятое
нолем (щель в сердечнике очень узка), то напряженность магнитного
поля Н в сердечнике, помещенном в торонд, ранна напряженности Яо
в гороиде без сердечника (см. § 202). Поэтому, как и для случаи
соленоида, она раина
где п — число ниткой на единицу длины тороида. Вычислив, таким
обрааом, значения И для различных сил тока I и найди соответствую-
соответствующие им значения В по измерению напряженности магнитного поля Нщ
в щели [формула A)], можно определить [i и Р для данного ферро-
ферромагнетика для разных напряженностеИ Н магнитного поля в ферро-
ферромагнетике, или, что то же самое, для разных нанряженностей намаг-
ничииаюшего поля Hq,
Результаты измерения этих величин могут быть выражены графи-
графически. Остановимся сперна на занпсимости намагничения от напряжен-
напряженности ноля //(рис. 219). Мы видим, что намагничение Р сперна кру-
круто возрастает с увеличением Н, а затем возрастание уменьшается, "и,
наконец, начиная с некоторого значения Н, дальнейшее увеличение
напряженности Н не дает увеличения Р, что соответствует горизон-
горизонтальному участку графика. Эга нпление, открытое А. Г. Столетовым,
носит название мигнитыоги насыщения. Такой характер зависимости

§ 203J
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
321
Р от Н можно объяснить тем, что первоначально под действием воз-
возрастающего намагничивающего поля увеличивается степень ориентации
молекулярных магнитных моментов по полю, однако нарастание эффек-
эффекта, обусловленного ориентацией, начинает замедляться по мере того,
Рис. 219. Зависимость для фер-
ферромагнетика вектора намагни-
намагничения Р 01 напряженности
поля Н.
Рис. 220. Зависимость для фер-
ферромагнетика магнитной ин-
индукции В от напряженности
поля Н.
как все меньше и меньше остается неориентированных моментов;
наконец, когда все молекулярные моменты ориентированы по полю,
дальнейшее увеличение Р прекращается, наступает явление насыщения.
Зависимость магнитной индукции В от намагничивающего поля
//„=// выражается сходным графиком, не имеющим, однако, гори-
горизонтальной части (рис. 220), так как В=Н-\- И'. При насыщении Н'
остается постоянным, и В растет
линейно с Н. 'к\
Зависимость магнитной прони- mcI
цаемос-ти (i (или коэффициента на-
намагничения х) от Н характери- ;
зуется тем, что р. (или х) сперва -
сильно возрастает с увеличением
напряженности намагничивающего "
поля, а затем, достигнув максиму-
максимума, начинает падать. При больших
значениях намагничивающего поля
Н значение \х стремится к еди-
единице, ах — к нулю. На рис. 221
приведена кривая Столетова для коэффициента намагничения х же-
железа как функции напряженности поля Н. Стремление [х к единице
имеет место при столь больших напряженностях намагничивающего
поля Н, при которых в выражении
Н
Рис. 221. Зависимость для ферромаг-
ферромагнетика коэффициента намагничения ж
от напряженности поля И.
можно пренебречь напряженностью молекулярного поля Н' по сравне-
сравнению с //. .
11 С. Фриш н А. Тиморева

322
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[ГЛ. XVIII
Рис. 222. Петля гистерезиса.
Весьма важной особенностью ферромагнетиков является так на-
называемый гистерезис. Явление гистерезиса заключается в том, что
намагничение Р (а следовательно, -и магнитная индукция В) зависит
не только от значения напряженности намагничивающего поля Н в дан-
данный момент, но и от того, какова
напряженность была раньше. На рис.
222 приведен график зависимости Р
от И. Ветвь кривой Оа дает возра-
возрастание намагничения Р при увеличе-
увеличении поля Н при условии, что намаг-
намагничение производится первый раз.
Точка а соответствует насыщению
(намагничение достигает максималь-
максимального значения Р,).
Если после того как насыщение
достигнуто, начать уменьшать напря-
напряженность поля Н, то намагничение Р
будет спадать не по кривой аО, а по новой кривой ab\ тем же самым
значениям Н, проходимым в обратном порядке, соответствуют ббльшие
значения Р. При //=0 намагничение не пропадает, сохраняется оста-
остаточное намагничение Р#,'выражаемое отрезком Ob. Чтобы вызвать
дальнейшее уменьшение Р, надо изменить направление намагничиваю-
намагничивающего поля Н на обратное.
При некотором определенном
//= Нс намагничение Р пропа-
пропадает. Значение Нс, выражаемое
отрезком Ос, называется коэр-
коэрцитивной силой. При еще боль-
большем возрастании обратного по
направлению поля Н возникает
намагничение обратного знака.
Здесь может быть также до-
достигнуто насыщение а'. Если
затем заставить магнитное по-
поле Н возрастать, то зависи-
зависимость Р от Н изобразится сим-
симметричной кривой а'Ь' с'а —
петля гистерезиса, как говорят,
будет замкнута.
В результате явления гистерезиса одному и тому же значению
намагничивающего поля Н могут соответствовать несколько значений
намагничения А Например, Н=0 соответствуют: 1) отсутствие намаг-
намагничения (точка О); 2) намагничение, выражаемое отрезком Ob (имеет
место после намагничения сердечника); 3) намагничение, выражаемое
отрезком Ob' (имеет место после перемагничения сердечника).
В
В
Н
Н
а)
Рис. 223.
„мягкого"
Петля гистерезиса для: а —
материала, б—„жесткого"
. материала.

203J
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
323
Различные ферромагнитные вещества дают разнообразные кривые
гистерезиса. Для технических применений требуется различный тип
гистерезиса. Принято различать „мягкие" магнитные материалы,
характеризуемые малой коэрцитивной силой, и „жесткие", характери-
характеризуемые большой коэрцитивной силой. К числу первых принадлежат
мягкое железо, кремневая сталь, сплавы железа с никелем (особенно
сплав „пермаллой", содержащий 78% Ni); такого рода материалы
употребляются, например, для изготовления сердечников трансформа-
трансформаторов. К числу „жестких" магнитных веществ относятся углеродистые
и специальные стали (например, сплав „магнико", содержащий Fe, A1,
tu, Ni и Со). „Жесткие" материалы употребляются для изготовления
постоянных магнитов. На рис. 223 приведены типичные кривые гисте-
гистерезиса для „мягкого" (а) и „жесткого" (б) материала.
В табл. XVII даны численные значения максимальной магнитной про-
проницаемости fimax максимального намагничения Р[ и коэрцитивной силы Нс
для нескольких типичных мягких магнитных материалов. При этом для
максимального намагничивания приведены значения Р/, умноженные на
4it, так как по формуле G) § 202 магнитная индукция В (величина,
непосредственно измеряемая) связана с Р соотношением: В = Но -f- 4тсР.
В табл. XVIII даны численные значения 4тсР/, где/"/—максималь-
где/"/—максимальное намагничение, значения 4яЯЛ, где Рц— остаточное намагничение,
и коэрцитивной силы Нс для некоторых типичных жестких магнитных
материалов.
Таблица XVII
Свойства типичных „мягких" магнитных материалов
Вещество
Кремнистое железо . . .
Пермаллой
Супермаллой
f^max
5 000
10 000
100 000
900 000
4яР7
в гауссах
21500
20 000
16 000
8 000
Не
в эрстедах
1,0
0,2
0,05
0,004
Таблица XVIII
Свойства типичных „жестких" магнитных материалов
Вещество
Углеродистая сталь. . .
Вольфрамовая сталь . . .
Кобальтовая сталь ....
„Магнико"
AuPR
в гауссах
10 000
10 500
9 000
12 500
4жР,
в гауссах
20 000
16 500
16 300
14 000
Нс
в эрстедах
42
65
250
575
11'

324 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVII!
Процесс намагничения ферромагнитных тел сопровождается изме-
изменением их линейных размеров и объема. Это явление носит назва-
название матиюострикции. Величина и знак эффекта зависят от напря-
напряженности магнитного поля и от угла, который направление поля сос-
составляет с кристаллической осью (в случае монокристаллических тел).
Удлинение незначительно и составляет, вообще говоря, стотысячные
доли от первоначальной длины.
§ 204. Природа ферромагнетизма. Ферромагнетизм специфически
связан с твердой фазой вещества. Свободные атомы ферромагнитных
элементов не обладают какими-либо особыми магнитными свойствами.
Из табл. XV видно, что магнитные моменты атомов железа и хрома
одинаковы, вместе с тем железо — типичнейшее ферромагнитное веще-
вещество, а хром — обыкновенный парамагнетик. Существуют ферромаг-
ферромагнитные сплавы из неферромагнитных веществ.
Парамагнетики во всех достижимых магнитных полях находятся
в состоянии, далеком от насыщения. Это показывает, что даже в наи-
наиболее сильных полях ориентация молекул неполная. Ферромагнетики,
напротив, сравнительно легко достигают состояния насыщения.
Для всякого ферромагнетика существует такая температура Т= 9,
при которой его ферромагнитные свойства пропадают. Эта темпера-
температура в называется температурой или точкой Кюри'(по фамилии фран-
французского физика П. Кюри, открывшего существование такой точки).
При температурах, лежащих выше точки Кюри, ферромагнетик ведет
себя как обычное парамагнитное тело. Коэффициент намагничения х
обычных парамагнетиков меняется с температурой по закону:
С
где С — постоянная для данного вещества {постоянная Кюри), а для
ферромагнетиков при температурах выше точки Кюри:
С
•" ~~ Т — О '
Для чистых железа и никеля точки Кюри соответственно лежат
при 768 и 365° С; эти температуры значительно ниже температуры
плавления указанных веществ (для железа температура плавления
1530° С). В точке Кюри наблюдается не только пропадание намагни-
намагничения тел, но и аномалия в ряде других их свойств, например ано-
аномалия в ходе теплоемкости, электропроводности и т. д.; пропадает
магнитострикция. Простейшая теория ферромагнетизма, указывающая
на существование точки Кюри, была разработана Вейссом.
Первая попытка объяснить ферромагнитные свойства тел была
сделана в 1892 г. русским физиком Б. Л. Розингом, который
допустил существование внутри ферромагнетиков добавочных „моле-
„молекулярных магнитных полей". Эти добавочные поля создаются само-

§ 204]
ПРИРОДА ФЕРРОМАГНЕТИЗМА
3:25
Рис. 224. Области намагничения.
произвольно намагниченными малыми областями ферромагнетика. При
отсутствии внешнего поля векторы намагничения отдельных таких об-
областей ориентированы случайным образом и в сумме компенсируют
друг друга. При наличии внешнего поля векторы поворачиваются так,
что усиливают друг друга и дают добавочное поле4 Эта гипотеза
была впоследствии A907 г.) развита
Вейссом; по современным воззрениям
в ферромагнетиках имеются неболь-
небольшие области (домены), самопроиз-
самопроизвольно („спонтанно") намагниченные
до насыщения. При отсутствии внеш-
внешнего магнитного поля эти „области
самопроизвольного намагничения"
ориентированы беспорядочно, в ре-
результате чего тело в среднем не на-
намагничено. Внешнее поле ориенти-
ориентирует не отдельные молекулы, а „области самопроизвольного намагни-
намагничения", и, таким образом, может вызвать сильное намагничение ферро-
ферромагнетика вплоть до насыщения. Н. С. Акулов и М. В. Дехтяр
с помощью магнитного порошка, наносимого на шлифованную поверх-
поверхность, получили фигуры, выявляющие границы областей самопроиз-
самопроизвольного намагничения у размагниченного ферро-
ферромагнетика (рис. 224).
Существование областей самопроизвольного
намагничения доказывается также скачкообраз-
скачкообразным ходом кривых намагничения в слабых по-
полях. При медленном возрастании внешнего поля
намагничение ферромагнетика в области крутого
подъема кривой намагничения возрастает скачко-
скачкообразно (рис. 225). Это происходит благодаря
внезапному изменению ориентации намагничения
отдельных областей. В. К. Аркадьев разработал
простой акустический метод определения скачко-
скачкообразного изменения намагничения.
С точки зрения существования областей само-
самопроизвольного намагничения явление гистерезиса
можно в общих чертах объяснить своего рода
„трением", мешающим изменению ориентации
отдельных областей. При прекращении действия
намагничивающего поля благодаря этому тре-
трению сохраняется некоторая ориентация областей самопроизвольного
намагничения. Вполне беспорядочной ориентации областей самопро-
самопроизвольного намагничения мешает „коэрцитивная сила". Чтобы ее
преодолеть, надо приложить магнитное поле обратного направления и
таким образом размагнитить вещество.
Н
Рис. 225. Скачкообраз-
Скачкообразное нарастание намаг-
намагничения ферромагне-
ферромагнетика.
На рис. 2*27 представлено сечение круглого прямого магнита. Рассуждая
так же, как на стр. 314, мы можем считать, что в толще магнита
круговые молекулярные токи компенсируют друг друга, но на его
поверхности остается некомпенсированный результирующий ток (моле-
(молекулярный ток). Этот ток обтекает магнит с поверхности и такил1
образом обусловливает сходство прямого магнита с соленоидом.
Линии магнитной напряженности поля прямого и длинного постоян-
постоянного магнита вполне сходны с линиями напряженности вне соленоида

326 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIII
Эта точка зрения подтверждается тем, чго сотрясения способст-
способствуют размагничению. Остаточное намагничение пропадает также, как
было сказано, при нагревании (в точке Кюри).
Существование „трения", мешающего изменению ориентации
намагниченных областей, ведет к зависимости магнитных свойств ферро-
ферромагнетиков в переменном магнитном поле от частоты. Эга зависимость
была подробно изучена В. К. Аркадьевым и группой его сотрудников
вплоть до частот, соответствующих коротким электромагнитным
волнам. Для частот в 1010 гц и выше \х перестает зависеть от ча-
частоты и становится' равным единице.-
Природа ферромагнетизма была в основном выяснена в связи с
развитием атомной физики. В 1927 г. Я. Т. Дорфман в результате
опытов по отклонению"'весьма быстрых электронов (р-частиц) в
ферромагнитных телах показал, что силы, вызывающие самопроизволь-
самопроизвольное намагничение, не могут быть силами магнитного взаимодействия,
вызванного движением электронов внутри атомов. В 1928 г.
Я. И. Френкель впервые отметил, что самопроизвольное намагничение
может быть обусловлено так называемыми „обменными силами", рас-
рассматриваемыми в квантовой механике. При известных условиях эти
силы стремятся установить собственные магнитные моменты электро-
электронов параллельно друг другу, что и ведет к возникновению областей
самопроизвольного намагничения. Эта идея была подробно разрабо-
разработана Гейзенбергом.
Таким образом, выяснилось, что ферромагнитные явления могут
быть поняты лишь на основе квантовой механики с учетом собствен-
собственных магнитных моментов электронов.
Ферромагнитные свойства оказываются тесно связанными с кри-
кристаллической структурой вещества. Кривые намагничения (петли ги-
гистерезиса) реальных материалов за» исят от их мелкокристаллической
структуры и меняются под влиянием внешних воздействий (например,
термической обработки, растяжения и т. д.). Само явление гисте-
гистерезиса обладает сложной природой . и частично связано со смеще-
смещением границ между отдельными областями самопроизвольного намаг-
намагничения.
Большую роль в современной технике играют магнитные вещества,
получившие название ферритов. Это химические соединения типа:
МеО • Fe.2O3, где Me — один (или два) из металлов: Mn, Co, Ni, Си,
Mg, Zn, Cd, например CuO • Fe2O3 или NiOZnO • Fe2O3 и т. д. Фер-
Ферриты — мягкие ферромагнетики. Вместе с тем, по своим электри-
электрическим свойствам они полупроводники, обладающие высоким оми-
омическим сопротивлением — порядка 109—108 ом • см. Последнее об-
обстоятельство важно при использовании ферритов в электротехнике,
так как в них не возникает вредных вихревых токов (токов Фуко —
см. § 231). Из ферритов изготовляют сердечники трансформаторов,
стержни индукционных катушек и т. д.

§ 205J
ПОСТОЯННЫЕ МАГНИТЫ
327
Рис. 226. Зависимость коэф-
коэффициента ¦ намагничения *
от температуры для анти-
антиферромагнетиков.
Особой разновидностью магнетиков являются так называемые
антиферромагнетики. Антиферромагнетики, находящиеся при темпера-
температуре Т, превышающей некоторую определенную для данного ферро-
ферромагнетика температуру в, являются обычными парамагнетиками, их
коэффициент намагничения х возрастает с уменьшением температуры Т;
ниже этой температуры * падает с умень-
уменьшением температуры и стремится к нулю
при Г—» 0 (рис. 226). Температура 6 ле-
лежит в области низких температур (порядка
20 — 30° К и ниже). Примером антиферро-
антиферромагнетиков могут служить соли CoClj,
CrCla, Сга0а и др.
Теоретическое истолкование свойств
антиферромагнетиков может быть полу-
получено только на основе квантово-механи-
ческих положений.
§ 205. Постоянные магниты. Возможность иметь в ферромагнит-
ферромагнитных веществах остаточное намагничение ' позволяет осуществить
постоянные магниты, т. е. такие тела, которые без поддержания
в них электрического тока за счет каких-либо внешних источников
возбуждают в окружающем пространстве магнитное поле.
Изготовляются постоянные магниты из ферромагнетиков с боль-
большим остаточным намагничением и большой коэрцитивной силой
(„жесткие" стали).
Остаточное намагничение ферромагнитных тел обусловлено со-
сохраняющейся ориентацией области спонтанного намагничения. Суще-
Существование самих областей спонтанного намагниче-
намагничения, как мы указали в предыдущем параграфе,
объяснимо при учете собственных магнитных мо-
моментов электронов. Однако для качественного
описания свойств остаточного магнетизма можно
рассматривать лишь движение электронов и воз-
возникающие в разультате этого движения молекуляр-
молекулярные токи. Тогда мы будем считать, что остаточное
намагничение вызвано сохраняющейся ориентацией
молекулярных токов, в результате чего суммарный
молекулярный ток в среднем отличен от нуля й Создает магнитное поле.
На рис. 227 представлено сечение круглого прямого магнита. Рассуждая
так же, как на стр. 314, мы можем считать, что в толще магнита
круговые молекулярные токи компенсируют друг друга, но на его
поверхности остается некомпенсированный результирующий ток (моле-
(молекулярный ток). Этот ток обтекает магнит с поверхности и таким
образом обусловливает сходство прямого магнита с соленоидом.
Линии магнитной напряженности поля прямого и длинного постоян-
постоянного магнита вполне сходны с линиями напряженности вне соленоида
Рис. 227. Амперовы
токи в постоянном
магните.

328
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[гл. xviii
(рис. 228). Разница между магнитом и соленоидом заключается лишь
в том, что в случае соленоида мы можем проследить ход линий
напряженности и внутри самого соленоида и убедиться, что каждая
линия образует замкнутую кривую. В случае постоянного магнита
мы не можем непосредственно уста-
установить ход линий напряженности
внутри тела магнита. Линии напря-
напряженности нам кажутся выходящими
из одного конца магнита, называе-
называемого северным, и входящими в его
другой конец (южный). Частным слу-
случаем прямого магнита является маг-
магнит в виде стрелки {магнитная
стрелка).
Прямой магнит испытывает со
стороны однородного магнитного
поля ориентирующее действие, кото-
которое стремится повернуть магнит так, чтобы он расположился вдоль
линий магнитной напряженности Н. Когда магнит расположится вдоль
линий напряженности, то момент действующих на него сил УИ = О —
магнит находится в равновесии; момент сил М достигает максималь-
максимального значения, когда магнит перпенди-
перпендикулярен к линиям напряженности.
Отсюда естественно предположить,
что момент М определяется лишь со-
составляющей напряженности поля Н,
перпендикулярной к оси магнита:
Рис. 228. Линии напряженности
постоянного прямого магнита.
где р — величина, зависящая лишь от
свойств самого магнита. Из рис. 229
имеем: Н± = Н sin <х, где а — угол
между осью магнита и направлением Рис. 229. Составляющая напря-
поля; отсюда Н
= рН sin a.
A)
р
женности поля Н, перпендику-
перпендикулярная оси магнита.
Сравнивая это выражение с выражением момента М, действующего
на соленоид (см. § 192), видим их полное сходство. Величина р на-
называется магнитным моментом магнита.
Таким образом, резюмируя, мы можем сказать, что момент пары
сил, действующих со стороны внешнего магнитного поля на контур
с током, соленоид или магнитную стрелку, выражается одной и той
же формулой A). Контур с током, соленоид и магнитная стрелка
с одинаковыми магнитными моментами р испытывают одинаковое
ориентирующее действие в данном магнитном поле. В случае контура

§ 205]
ПОСТОЯННЫЕ МАГНИТЫ
329
с током его магнитный момент определяется силой протекающего по
нему тока / и площадью 51; магнитный момент р магнита зависит от
его индивидуальных свойств^—от его размеров и „степени намагни-
намагничения".
Силы, действующие на магнит, расположенный во внешнем' маг-
магнитном поле, приложены ко всем его элементам. Если магнитную
стрелку разломать пополам, то каждая ее половина будет испытывать
во внешнем магнитном поле ориентирующее действие.' Однако для
рассмотрения ряда задач удобно лока-
локализовать эти силы. Такая локализация
возможна на основании следующих рас-
рассуждений. Мы знаем, что момент пары
сил равен произведению величины одной
из сил /, образующих пару, на плечо
пары /, причем все пары с одним и
тем же моментом М, т. е. для которых
равны произведения //, эквивалентны
по своему действию. Поэтому силы,
приложенные ко всем элементам магни-
магнита, по своему суммарному моменту впол-
вполне эквивалентны двум равным по вели-
величине силам /, приложенным к его
концам, одна из которых направлена по полю, другая — против поля
(рис. 230), если только эти силы подобраны так, ччтобы их момент
был равен моменту сил, фактически действующих на магнит.
Таким образом, формально мы [можем считать, что со стороны
магнитного поля на магнит действуют две силы /, приложенные к его
концам. Из рис. 230 видно, что плечо пары сил / равно / sin а, где
/ — длина магнита, откуда их момент M=fls\na; приравнивая этот
момент к моменту сил, действующих по формуле A) на магнит со
стороны магнитного поля, получим:
Рис. 230. К определению мо-
момента сил, действующего на
магнит.
откуда
//sin a = />//sin a,
B)
Далее, мы можем провести некоторую аналогию между магнитным
моментом р магнита и моментом электрического диполя pq. Эта ана-
аналогия обусловлена тем, что прямой и длинный магнит создает в точке,
достаточно удаленной от него, так же как и диполь, напряженность
поля, пропорциональную его магнитному моменту и обратно пропор-
пропорциональную кубу расстояния от него. Тем не менее эта аналогия
имеет лишь внешний и формальный характер. Все же в ряде случаев
она используется, так как упрощает вычисления. В § 124 мы видели,
что момент электрического диполя равен произведению заряда q
Рис. 232. Дей-
Действие сил в не-
неоднородном
магнитном-поле
на магнитную
стрелку.
fs=mH, /ы=тН-\-т\-^х.
Пусть //v^>/s> тогда на стрелку действует пара сил
с моментом M=f$l- sin <х = рН sin а, где p — tnl —
магнитный момент стрелки, и направленная вдоль поля
сила:
Из рис. 232 видно, что jc = /cos<x, откуда
(
Д/=/й/(-г-) cos a или Д/=
cos a.
^
АН
. I сиз а. или а/ =: и \ -—
Ах) J r \Ах
Таким образом, в неоднородном магнитном поле на стрелку действует
сила, пропорциональная ее магнитному моменту р, градиенту поля
(Д///Ддг) и зависящая от косинуса угла а.

330 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ ^ [ГЛ. XVIII
одного из двух тел, образующих диполь, на расстояние между
телами:
Pq = Я*-
Формально мы можем положить и момент магнита р равным произ-
произведению его длины / на воображаемый магнитный заряд т (или,
как обычно говорят, магнитную массу), хотя реально магнитных
зарядов не существует, т. е. положить
p = ml. ¦ C)
Места расположения таких воображаемых магнитных масс принято
называть полюсами. Расположены полюсы, в соответствии с равен-
равенством C), у концов магнита. В силу равенства C) магнитная масса,
расположенная у полюса, равна
. т=Р1 = Рь D)
где р0 — магнитный момент, отнесенный к единице длины магнита.
Из соотношений B) и C) получаем:
fl=mHl, откуда /= тН, E)
т. е. на воображаемый магнитный полюс магнита действует сила,
численно равная произведению величины магнитной массы т,
расположенной у полюса, на напряженность внешнего магнитного
поля Н. Конец прямого магнита, поворачивающийся в сторону вектора
напряженности Н, называется „северным", а поворачивающийся в про-
противоположную сторону— „южным". Если считать магнитную массу т,
расположенную у „северного полюса" магнита, положительной и
расположенную у „южного полюса" —отрицательной, то равенство E)
можно написать в векторном виде:
f = mtt. ' Eа)
Введение в рассмотрение сил /, действующих на магнитные массы
т, весьма упрощает разбор многих вопросов, например вопросов
об ориентации и притяжении магнитных стрелок. Этим объясняется,
почему понятие о магнитных массах до некоторой степени сохра-
сохраняется в учении о магнетизме, хотя в действительности магнитных масс
не существует. В однородном магнитном поле силы / стремятся уста-
установить стрелку по полю. Если стрелка установлена так, что ось ее
совпадает с направлением магнитных линий, то момент пары, дейст-
действующей на стрелку, равен нулю, — стрелка находится в положении
равновесия. Однако это равновесие является устойчивым, только если
направление от южного полюса к северному совпадает с направлением
магнитных линий; действительно, в этом случае при выходе стрелки
из положения равновесия силы возникающей при этом пары стремятся

§ 205]
ПОСТОЯННЫЕ МАГНИТЫ
331
возвратить стрелку в исходное положение (рис. 231а). Наоборот,
если стрелка расположена параллельно полю так, что направление от
южного полюса к северному про- н
тивоположно направлению поля,
то при иыходе ее из этого поло-
положения возникают силы, способ-
способствующие ее дальнейшему откло-
отклонению (рис. 231 б1).
В однородном магнитном поле,
как мы видим, на магнитную стрел-
стрелку (а также соленоид или контур
с током) действует лишь пара сил.
Магнитная стрелка стремится толь-
только повернуться, расположившись
осью по полю. Но если магнитное
поле неоднородно,, то на стрелку,
кроме пары, будет еще действовать
сила, которая сообщит ей поступа-
поступательное движение, аналогично тому, как на рамку с током в неоднородном
поле действует сила. Пусть магнитная стрелка расположена под углом а
к направлению -напряженности внешнего магнитного
поля (рис. 232). Предположим для простоты, что напря-
напряженность поля меняется в направлении, совпадающем
с направлением самого поля. Пусть напряженность
поля в месте, где находится южный конец стрелки, рав-
равна Н; тогда напряженность в месте, где находится
северный конец стрелки, равна Н' = Н-\- \-г~\х, где
'Д/А
величина (-т—1 есть градиент поля. Силы, действую-
действующие на полюсы стрелки, соответственно будут равны.
Рис. 231. Пары сил, действующие на
магнитную стрелку во внешнем маг-
магнитном поле.
Рис. 232. Дей-
Действие сил в не-
неоднородном
магнитном-поле
на магнитную
стрелку.
Пусть /yv^>/s, тогда на стрелку действует пара сил
с моментом М = /$/ • sin a —pfi sin а, где p = ml—
магнитный момент стрелки, и направленная вдоль поля
сила:
Из рис. 232 видно, что x = lcosa., откуда
cosa или Л/=
cos a.
F)
Таким образом, в неоднородном магнитном поле на стрелку действует
сила, пропорциональная ее магнитному моменту р, градиенту поля
/Д и зависящая от косинуса угла а.

332 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIII
Существенно отметить, что все результаты данного параграфа,
полученные до сих пор, применимы не только для постоянного маг-
магнита, помещенного в пустоту, но и для магнита, помещенного
в магнетик. При этом во всех формулах под Н нужно подразу-
подразумевать напряженноеть магнитного поля в магнетике в том месте,
где расположен магнит. Объяснение этому будет дано в § 209.
Сила, действующая на магнит или соленоид, помещенный в неод-
неоднородное поле, объясняет взаимное притяжение или отталкивание
магнитов, а также соленоида. В однородном магнитном поле магнит
(или соленоид) испытывает лишь ориентирующее действие. Если же
расположить два магнита (или соленоида) вблизи друг от друга,-то
каждый из них будет находиться в неоднородном поле другого и, сле-
следовательно, на него, кроме пары сил, будет еще действовать сила
притяжения или отталкивания, в зависимости от того, в какую сто-
сторону возрастает поле.
Таким же образом объясняется притяжение магнитом (или соле-
соленоидом) кусков железа. Эти куски прежде всего намагничиваются
в поле, а затем приобретают поступательное движение, обусловленное
неоднородностью магнитного поля вблизи магнита (или соленоида).
§ 206. Линии вектора магнитной индукции. Циркуляция вектора
магнитной индукции и вектора магнитной напряженности. Гра-
Граничные условия. Аналогично тому, как в пустоте мы вводили в рас-
рассмотрение линии напряженности магнитного поля, введем в общем
случае линии магнитной индукции. Под линией магнитной индукции
подразумевается такая линия, касательная к каждой точке которой
совпадает с направлением вектора индукции В в данной точке. На-
Направление линии в каждой данной точке совпадает с направлением
вектора В выданной точке.
Через единицу поверхности, нормальной к вектору индукции, про-
проводим число линий индукции, равное численному значению магнит-
магнитной индукции в пределах данной поверхности. Полное число ли-
линий индукции через нормальную к ним элементарную площадку AS0
определит элементарный поток ДФ магнитной индукции через эту
площадку:
ЬФ = ВА8Л. A)
В случае произвольно ориентированной элементарной площадки AS
поток индукции ДФ через нее определится равенством:
Дф = B&S cos a = BnAS, B)
где а — угол между направлением вектора индукции В и нормалью п
к площадке Д5, а Вп — составляющая В, нормальная к Д5.
Элементарный поток индукции ДФ через площадку AS, как пока-
показывает соотношение B), может быть как положительной, так и отри-
отрицательной величиной, в зависимости от того, острый или тупой угол а

§ 206J ЛИНИИ ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ 333
образуют линии индукции В с выбранным направлением нормали п.
Полный поток индукции Ф, пронизывающий конечную поверхность,
выражается алгебраической суммой элементарных потоков через все
элементы поверхности, т. е.
Если поверхность замкнута, то положительным направлением нормали
к поверхности будем считать направление внешней нормали, выхо-
выходящей из объема; следовательно, линии, выходящие из объема, огра-
ограниченного данной поверхностью, дадут положительный поток, линии,
входящие в объем, — отрицательный.
Опыт показывает, что линии магнитной индукции всегда замк-
замкнуты; следовательно, для любой замкнутой поверхности полное число
входящих и выходящих линий индукции равно нулю, отсюда полный
поток магнитной индукции для любой замкнутой поверхности равен
нулю:
Ф = 0. ¦ D)
Эта теорема аналогична теореме Остроградского — Гаусса в электро-
электростатике в случае отсутствия внутри объема зарядов (см. § 126) и
соответствует тому факту, что никаких реальных магнитных зарядов
не существует.
В § 192 мы показали, что в пустоте в магнитном поле всегда выполняется
условие: divH = 0. При наличии магнетиков поток вектора индукции В через
замкнутую поверхность равен нулю:
BndS=0,
откуда следует, что в общем случае (при наличии магнетиков) магнитное
поле всегда удовлетворяет условию:
divB = 0. Da)
Единицы, в которых измеряется поток индукции, зависят от выбо-
выбора единиц индукции и площади. Если пользоваться CGSM-сжтемоЯ,
т. е. индукцию измерять в гауссах, а площадь — в квадратных сан-
сантиметрах, то поток получается в единицах, называемых максвеллами;
таким образом, CGSM-единица потока индукции равна потоку через
1 см* поверхности, расположенной нормально к линиям индукции в
равномерном магнитном поле с индукцией в 1 гс.
Рассмотрим циркуляцию вектора В. В § 198 было показано, что
циркуляция вектора магнитной напряженности по произвольному зам-
замкнутому контуру равна Лк1, где/ — сила тока, охватываемого конту-
контуром. В магнетике полная напряженность магнитного поля, создаваемая
как макроскопическими, так и микроскопическими токами, выражаегся
вектором В. Следовательно, циркуляция вектора В по контуру равна

334
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
¦(гл. xviii
4ic (/ -|- /J, . где / и /в означают силы токов макроскопических и мо-
молекулярных, охватываемых контуром:
E)
Подсчитаем молекулярный ток /м. Очевидно, что некомпенсирован-
некомпенсированный ток, протекающий внутри контура, будет создан теми молеку-
молекулами, молекулярные токи которых пересечены линией контура. Рас-
Рассмотрим, какой некомпенсированный ток создается теми молекуляр-
молекулярными токами, которые пересечены элементом Д/ контура. Представим
себе, что молекулярные токи
являются круговыми токами
силы I и с площадью, обтекае-
обтекаемой контуром, равной 5. Та-
Такому молекулярному току со-
соответствует магнитный мо-
момент рт, численно равный iS;
направление момента рт обра-
образует угол а с элементом кон-
и, Ы
г™.
Рис. ,233. К подсчету числа молекуляр- тУРа ДЛ(рис. 233)- Очевидно,
ных токов. Д/ пересечет только те молеку-
молекулярные токи, центры которых
попадают внутрь цилиндра с основанием 5 и образующей Д/. Если
й0 — число молекул в единице объема, то внутрь такого цилиндра
попадет n0SAlcosa. центров молекулярных токов. Эти молекулярные
токи образуют некомпенсированный ток, охватываемый контуром об-
обхода на его участке Д/. Сила некомпенсированного тока на участ-
участке Д/ равна:
i«05A/cos a. F)
Силу молекулярного тока /м, охватываемого всем контуром обхода,
получим, просуммировав выражение F) по всей длине контура:
' cos а Д/. G)
1М =
Но, по сказанному, IS — это величина момента молекулярного тока рт;
следовательно, in^S представит собой момент единицы объема, т. е.
вектор намагничения Рт. Таким образом, по G):
где (Pm); —проекция вектора намагничения на элемент Д/. Подстав-
Подставляя полученное значение /м в выражение E) для циркуляции векто-
вектора В, получим:

§ 206J
ЛИНИИ ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
335
Перенесем в левую часть равенства члены, содержащие проекции
вектора поляризации, тогда имеем:
Как было сказано выше, В — 4тсРт представляет собой ректор
напряженности:
Следовательно, мы получаем выражение для циркуляции вектора
магнитной напряженности:
Таким образом, циркуляция вектора магнитной напряженности
и при наличии магнетика равна произведению 4тс на силу макро-
скопшеского тока, охватываемого контуром; величина молекулярного
тока в выражение циркуляции вектора магнитной напряженности
не входит.
Рассмотрим поведение линий индукции на границе двух веществ
с разными магнитными проницаемостями. Предположим, что мы имеем
границу веществ, магнитные проницаемости которых обозначим че-
через [1] и (j,2. Если мы возьмем малый участок Д5 границы раздела,
то его можно считать плоским, а поле
вблизи него — с каждой стороны одно-
однородным. Значение вектора индукции в
веществе с магнитной проницаемостью (л.х
обозначим через Bj, а в веществе с маг-
магнитной проницаемостью [ц-1- через В4.
Вблизи точек границы можно вектор
магнитной индукции В разложить на две
составляющие, из которых одна Вга будет
перпендикулярна к границе раздела,
а другая В^ — параллельна границе.
Тогда:
Bt=в1п + ви, в3
Установим сперва связь между нор- ш*и через площадки ASi и ASa.
мальными составляющими векторов
магнитной индукции с двух сторон границы. Для этого рассмот-
рассмотрим поток магнитной индукции через замкнутую поверхность в
виде ломаного цилиндра (рис. 234), основания' которого ASj и Д5а
равны и параллельны участку AS границы, а образующие парал-
параллельны линиям индукции в тех веществах, в которых расположена
данная часть цилиндра. Полный поток через поверхность этого ци-
цилиндра, как через всякую замкнутую поверхность, равен, по D), нулю.

336 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIII
Этот поток слагается из двух частей — потока АФг через основа-
основание ASi и потока ДФ2 через основание Д52, так как поток через
боковую поверхность равен нулю, вследствие ее параллельности ли-
линиям индукции. Следовательно, имеем:
Дф, -|_ Дф2 = о. (8)
При направлении линий индукции, выбранном на рис. 234, поток ДФ3
положителен, поток ДФ| — отрицателен. Направим нормаль п к гра-
границе раздела от первого вещества ко второму, тогда для основа-
основания kS-2 это направление будет внешней нормалью, для основания ASi
оно будет противоположно направлению внешней нормали, откуда
для потоков ДФ] и ДФ2 через основания Д^ и Д5а получим выра-
выражения:
Знак минус в первом равенстве получается вследствие того, что В1п
¦представляет собой проекцию В на направление, противоположное
направлению внешней нормали к элементу поверхности Д^. Под-
Подставляя значения ДФ! и ДФ2 в выражение (8) и замечая, что
Д^1 = Д^а, имеем:
откуда
В1п = В.ь, (9)
Таким образом, нормальная составляющая' вектора магнитной
индукции не меняется при переходе из одного вещества в другое.
Для выяснения соотношения между касательными составляющими
векторов Bi и В2 обратимся к выражению циркуляции вектора Н.
В качестве контура, по которому берется
циркуляция, выберем замкнутый контур abed
(рис. 235), стороны ad и be которого парал-
параллельны границе раздела веществ, а стороны
а ab и dc бесконечно малы. Поскольку на гра-
Рис. 235. Коптур обхода нице веществ предполагается отсутствие то-
у границы двух магне- ков, постольку циркуляция Н по этому
тиков- контуру равна нулю. С другой стороны,
эта циркуляция может быть выражена через
векторы Н в обеих средах. Будем обходить контур abcda по часовой
стрелке и выберем за положительное направление касательной к гра-
границе раздела слева направо (рис. 235). Так как участки ab и dc
предполагаются бесконечно малыми, то вся циркуляция выражается
через члены, относящиеся к участкам be и da. Обозначая через Hi
и Н2 напряженности в обоих веществах соответственно, получаем:
НиЬс — Hyda = 0.

§ 206J
линии вектора Магнитной индукции
337
Знак минус во втором члене получается вследствие того, что
в нижней среде выбранное направление обхода противоположно поло-
положительному направлению касательной. Сокращая на bc^da, имеем:
HU = HV, A0)
т. е. касательная составляющая вектора напряженности не
меняется при переходе через границу раздела двух веществ. Пере-
Переходя к вектору магнитной индук-
индукции, в силу соотношения B = fiH,
получим:
!*1 - (х2
Здесь Вц и Bit означают проекции
векторов Bj и В2 на касательную
к границе раздела. Подставляя эти
значения Ни и Н<ц в (9), получим:
„ , Рис. 236. Преломление линий маг-
Таким образом, касательные со- нитной ин?укции в на гра1Шце
ставляющие вектора магнитной двух магнетиков.
индукции В с двух сторон гра-
границы веществ относятся, как магнитные проницаемости р
этих веществ.
Соотношения (9) и A1) определяют изменение вектора магнитной
индукции В при переходе через границу. Легко видеть, что в том
случае, когда граница не перпендикулярна[К линиям индукции, линии
индукции претерпевают преломление. Разлагая векторы Bt и В4 на
составляющие, параллельные границе и перпендикулярные к границе
(рис. 236), мы получим:
В1Я
откуда, пользуясь соотношениями (9) и A1), найдем:
tg
A2)
т. е. тангенсы угла наклона векторов индукции к. нормали в двух
веществах относятся, как магнитные проницаемости веществ. При
переходе из вещества с меньшим значением магнитной проницаемости ц
в вещество с большим значением магнитной проницаемости линии
индукции отклоняются от перпендикуляра и сгущаются, т. е. число

338
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[ГЛ. XVIII
их, приходящееся на единицу нормальной к ним поверхности, стано-
становится большим. Если поверхность раздела перпендикулярна к линиям
индукции в одном веществе, то линии индукции переходят в другое
вещество без преломления, при этом в силу того, что Ви = 0
и Ви = 0, векторы индукции будут равны своим
~ нормальным составляющим:
В\ = Bin, В% = Bin,
и из условия (9) мы получим:
т. е. вектор индукции в этом случае не меняется
при переходе через границу двух веществ. Этим
соотношением мы уже пользовались в § 203.
На законе преломления линий индукции осно-
вана так называемая магнитная защита. Магнит-
- Г
Рис. 237. Располо-
жение линий маг- ная защита обусловлена тем, что, благодаря пре-
нитной индукции в ломлению линий индукции, внутри полости, нахо-
теле с полостью, дящейся в веществе с большим значением магнитной
проницаемости, магнитное поле оказывается близ-
близким к нулю. На рис. 237 приведен пример расположения линий ин-
индукции в случае тела с большой магнитной проницаемостью (*, имею-
имеющего полость. Редкое расположение линий индукции внутри полости
указывает на слабость магнитного поля внутри полости. Практически
для магнитной защиты употребляются массивные железные футляры.
§ 207. Аналогия между электростатическим и магнитным
полями. Исторически учение о магнетизме возникло первоначально
как учение о постоянных магнитах. По преданию, пастухи Малой
Азии близ древнего города Магнезия заметили, что находимые там
куски железняка притягиваются друг к другу. От названия города
Магнезия возникло слово магнит. Куски магнитного железняка (Fe3O4)
обладают заметным остаточным намагничением и, таким образом, пред-
представляют собой естественные постоянные магниты.
В конце XVIII столетия Кулон, установив закон взаимодействия ме-
между точечными электрическими зарядами, пытался установить аналогич-
аналогичный закон для взаимодействия магнитов. Он действительно обнаружил,
что если взять два тонких и длинных магнита, то сила взаимо-
действия между их полюсами при условии, что рассто>
полюсами мало по сравнению с длиной магнитов и великс
ние между
по сравне-
сравнению с их поперечным сечением, обратно пропорциональна квадрату
расстояния между ними. Кулон ввел понятие о „количестве магне-
магнетизма", благодаря "чему все дальнейшее ученее о магнитном поле
строилось по аналогии с учением о поле электростатическом. Эта
аналогия нашла выражение в сходстве названий величин, характе-
характеризующих электростатическое и магнитное поля: мы говорим о на-

§ 207] АНАЛОГИЯ {ЩЕЖДУ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИМ И МАГНИТНЫМ ПОЛЯМИ 339
пряженности электростатического поля Е и электростатической
индукции D, о напряженности магнитного поля Н и' магнитной
индукции В. Однако эти аналогии оказались далеко не всегда пра-
правильными и соответствующими природе электростатических и магнит-
магнитных полей. .
Мы видели, что между электростатическими и магнитными явле-
явлениями имеется глубокое различие. Существуют электрические заряды;
линии напряженности электростатического поля начинаются на одних
зарядах и оканчиваются на других или уходят в бесконечность.
Магнитное же поле возникает около электрических токов, линии
магнитной напряженности охватывают ток в виде замкнутых кривых
или уходят в бесконечность; никаких магнитных зарядов реально не
существует. Аналогия может быть проведена лишь между магнитным
полем соленоида или прямого постоянного магнита (в области про-
пространства, внешней по отношению к соленоиду или магниту) и полем
электричевкого диполя.
Закон обратной пропорциональности сил квадрату расстояния
между взаимодействующими телами (закон Кулона) соответствует
полю, характеризуемому равномерным ра-
радиальным'распределением линий напряженно- L / ¦/
сти. Электрически заряженные тела на рас-
расстояниях, больших по сравнению с их разме-
размерами, дают именно такое распределение
линий напряженности (см. рис. 16); в соот-
соответствии с этим силы взаимодействия между
заряженными телами весьма точно выражают-
выражаются законом Кулона, если только их размеры Ри!г 238- Линии магнит-
J ' г г ной напряженности вбли-
малы по сравнению с расстоянием между Зи конца прямого и длин-
ними. Никакой же комбинацией токов или по- ного магнита,
стоянных магнитов нельзя осуществить маг-
магнитное поле с равномерным радиальным распределением линий маг-
магнитной напряженности. Вблизи полюса длинного и тонкого магнита
лишь в ограниченной области (обведенной пунктирной линией на
рис. 238) линии напряженности расходятся радиально. В соответ-
соответствии с этим, как мы только что указали, закон Кулона для взаимо-
взаимодействия магнитных полюсов имеет весьма ограниченный смысл.
В учении об электростатическом поле мы подразумевали под
напряженностью электростатического поля в пустоте Е величину,
определяющую силу, действующую на заряд q:
1=9Е. A)
В присутствии диэлектрика под влиянием его поляризации обра-
образуется добавочное поле Е', откуда:
B)

340 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIII
где Ео — напряженность поля, создаваемого данными („свободными")
зарядами. Под электростатической индукцией D мы подразумевали
вектор, связанный с вектором напряженности поля Е в данной точке
соотношением
D = eE. ' ' C)
Состояние поляризованного диэлектрика мы определяли вектором
поляризации:
Р, = *еЕ.' D)
Коэффициент поляризации v.e связан с диэлектрической постоян-
постоянной s соотношением е = 1 -f- 4icxg; на основании этого соотношения
из формул C) и D) получаем:
D = E + 4icP,,. E)
В случае однородного диэлектрика, сплошь заполняющего про-
пространство, занятое полем, напряженность добавочного поля для всех
диэлектриков направлена против Ео и удовлетворяет равенству
(см. § 142)
Е' = — 4гсРе. F)
В этом случае из сравнения формул B) и E) получаем: D = E0,
т. е. вектор электростатической индукции D в однородном диэлек-
диэлектрике, сплошь заполняющем пространство, занятое полем, совпадает
с напряженностью поля Ео свободных зарядов в пустоте. В общем
случае такое совпадение не имеет места (исключая особо симме-
симметричные случаи; см. сноску на стр. 80).
В области магнитных явлений, как мы видели (см. сказанное
в § 196), сила, действующая на элемент тока в пустоте, равна
Д/= /уд/ sin a, (la)
где Нй — напряженность магнитного поля в пустоте. При наличии
магнетика полная напряженность (называемая магнитной индукцией В)
складывается из напряженности Но магнитного поля, образованного
токами, текущими по проводам, и добавочной напряженности Н',
создаваемой намагниченным магнетиком:
В = Н0 + Н'. Bа)
Под напряженностью магнитного поля Н в магнетике под-
подразумевается вектор, связанный с вектором магнитной индукции В
в данной точке соотношением:
Н = -В. (За)
1 Для различения соответственных электрических и магнитных величин
мы будем употреблять индексы е и т.

§ 207] АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИМ И МАГНИТНЫМ ПОЛЯМИ 341
Состояние магнетика характеризуется вектором намагничения:^
Р» = *»Н = ^В. ¦ Dа)
Коэффициент намагничения хт связан с магнитной проницаемостью ji
соотношением: fx = 1 -|- 4miOT. На основании этого соотношения
из формул (За) и Dа) получается:
Eа)
В случае однородного магнетика, сплошь заполняющего про-
пространство, занятое полем, напряженность добавочного поля Н' может
быть направлена как против направления Но (диамагнитные тела),
так и по направлению' Но (парамагнитные тела). В обоих случаях
имеет место равенство (см. § 202):
Н' = 4*Рт. Fа)
В этом случае из сравнения формул Bа) и Eа) получаем, чго
Н = Н0. Однако надо иметь в виду, что такое совпадение напря-
напряженности H=l/jxB магнитного поля в магнетике с напряжен-
напряженностью Но магнитного поля, вызываемого в пустоте токами,
текущими по проводам, имеет место лишь для однородного маг-
магнетика, сплошь заполняющего пространство, занятое полем.
В общем случае неоднородного магнетика такое совпадение не
имеет места. Действительно, легко убедиться, что напряженность
магнитного поля Н в неоднородном магнетике не совпадает с напря-
напряженностью магнитного поля Но, вызванной токами, текущими по про-
проводам, и находимой с помощью закона Био^—Савара — Лапласа.
В § 206 мы видели, что на границе двух магнетиков нормальная
составляющая вектора магнитной индукции В удовлетворяет условию
[см. формулу F)]:
Воспользовавшись связью между В и Н, выражаемой формулой (За),
получим:
т. е. мы находим, что на границе раздела двух магнетиков нор-
нормальная составляющая магнитной напряженности Нп терпит
разрыв; этим Н отлично от напряженности Но, линии которой про-
проходят повсюду непрерывно. Также в неоднородном магнетике, свойства
которого меняются непрерывно от точки к точке, происходит изме-
изменение Н, вызванное неоднородностью магнетика.
Из сравнения формул B) и B а) вытекает, что (вопреки названию)
магнитная индукция В аналогична напряженности электроста-
электростатического поля Е. Разница заключается в том, что добавочное

342 ' МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIII
магнитное поле Н' может быть направлено как обратно по отношению
к Но (диамагнитные тела), так и в ту же сторону, что Но (парамаг-
(парамагнитные'тела), отсюда магнитная индукция В может быть как меньше,
так и больше Но.
Напряженность магнитного поля в магнетике Н аналогична
электростатической индукции D, как это следует из сравнения
формул C), E) и (За), Eа). Из сравнения тех же формул следует,
что величина, обратная магнитной проницаемости, 1/р, аналогична
диэлектрической постоянной е. Сравнение формул D) и Dа) показы-
иает, что *т/и аналогично *,,. Мы видели также, что вектор электро-
электростатической индукции D совпадает с вектором напряженности элек-
электростатического поля свободных зарядов Ео только в случае одно-
однородного диэлектрика, сплошь заполняющего пространство, занятое
полем; в общем случае вектор D отличался от Ео; следовательно,
и в этом отношении вектор D аналогичен Н.
Диэлектрики подобны диамагнитным веществам. Диэлектрическая
постоянная е для подавляющего большинства веществ не зависит от Е,
в соответствии с этим большинство тел в электростатике не обна-
обнаруживает гистерезиса и остаточной электростатической поляризации.
Исключение составляет сегнетова соль и некоторые соли титана
(см. § 146), которые обнаруживают гистерезис и остаточную электри-
электризацию и в этом отношении аналогичны ферромагнитным веществам.
§ 208. Определение векторов Н и В по силам, действующим
на рамку с током. В § 200 мы указали на трудности определения
вектора Ъ по силам, действующим на провода, погруженные в маг-
магнетик. В твердом магнетике надо сделать полость; помещая внутрь
нее рамку с током, можно определить напряженность магнитного
поля в полости. Величина этой напряженности при прочих равных
условиях зависит от размеров и формы полости.
Покажем, что можно выбрать такие форму и размеры полости,
что значение измеренной в ней напряженности будет совпадать со
значениями либо Н, либо В для точек внутри магнетика. Внутри
полости части магнетика, внешние по отношению к этой полости,
создадут добавочную напряженность поля Н", в результате чего
действие на рамку определится напряженностью поля внутри по-
полости Нпол, равной
Н„0Л = В + Н". A)
Значение. Н" будет зависеть от размеров и формы полости.
Выделим внутри магнетика полость в виде узкого длинного ци-
цилиндра, ось которого-параллельна вектору В. Будем считать, что
намагничение магнетика вызвано одинаковой ориентацией молекуляр-
молекулярных токов. Тогда на границе полости (рис. 239а) возникает неком-
некомпенсированный ток /'; если элементарные токи направлены по часовой
стрелке, то ток /.' направлен против часовой стрелки. Очевидно, этот

§ 208]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ Н И В
343
ток /' равен по величине и противоположен по направлению току /
(рис. 239 6), возникающему в результате сложения элементарных токов
на поверхности куска магнетика, совпадающего по размерам и фор-
форме с размерами и формой полости. На стр. 315 было показано, что
такой ток / создает внутри обте-
обтекаемого им куска магнетика на-
напряженность поля:
где Рт — численное значение век-
вектора намагничения. (Строго говоря,
эта формула справедлива лишь
для бесконечно длинного цилиндра.
Для цилиндра конечной длины она
выполняется в средней его части
тем точнее, чем меньше радиус,
цилиндра по сравнению с его дли- •
ной.) Так как ток /' направлен противоположно току /, то, следова-
следовательно, он создает внутри полости напряженность
Н"= — #'= — 4яЯт.
Отсюда, по A), напряженность поля внутри полости указанной
формы равна:
Рис. 239. Сложение молекулярных
токов на поверхности полости.
или, по Eа) § 207,
Следовательно, мы получаем, что напряженность поля в средней части
полости в виде узкого длинного цилиндра, ось которого параллельна
вектору В, совпадает с напряженностью Н внутри магнетика, опре-
определяемой равенством (За) § 207.
Если внутрь такой полости поместить рамку, то момент действую-
действующих на нее сил позволит измерить Н.
Если полость сделать в виде короткого широкого цилиндра,
основания которого перпендикулярны к направлению вектора В, to
в средней части такой полости ток /' создаст лишь исчезающе слабое
поле: Н" = 0; следовательно, внутри такой .полости:.
Дол = В.
Таким образом, в средней части полости в виде короткого широ-
широкого цилиндра, ось которого параллельна вектору В, напряженность
поля совпадает со значением вектора индукции В в магнетике.
В § 145 мы видели, что напряженность электростатического поля
в средней части полости, сделанной в диэлектрике в виде узкого
длинного цилиндра, образующие которого параллельны линиям на-
напряженности, совпадает с напряженностью поля Е в диэлектрике.

344 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIII
Если же полость в диэлектрике имеет вид короткого цилиндра,
основания которого перпендикулярны к линиям напряженности, то
напряженность поля в средней части такой полости совпадает со
значением вектора электростатической индукции D в диэлектрике.
Отсюда может показаться, что вопреки отмеченной нами аналогии
следует считать вектор Н аналогичным Е и вектор В — аналогич-
аналогичным D. Однако это не так. В случае диэлектрика напряженность
поля внутри узкого длинного цилиндра совпадает с Е, так как доба-
добавочные поверхностные заряды а', появляющиеся на поверхностях по-
полости, не играют для точек внутри полости заметной роли.
В случае же магнетика добавочные токи У, возникающие на по-
поверхности полости, не играют заметной роли для полости в виде
короткого широкого цилиндра. При этом напряженность поля в по^
лости совпадает с В. Таким образом, снова получается, что Е и В
аналогичны друг другу. Также получается, что в силу диэлектрика за-
заметную роль играют добавочные поверхностные заряды для полости
в виде короткого и ¦ широкого цилиндра, а в случае магнетика —
заметную роль играют добавочные токи для полости в виде узкого
и длинного цилиндра. Отсюда, в соответствии со сказанным выше,
получаем, что вектор D следует сопоставлять вектору Н.
Наконец, укажем, что смысл вектора магнитной индукции В
может быть выяснен и иным способом, а именно путем перехода
к рассмотрению микроскопической структуры вещества.
Вместо того, чтобы пытаться определить вектор В по действию
на какой-либо макроскопический провод, по которому течет ток, мы
можем определить вектор В по силе, действующей на элементарный
ток, вызванный движением какой-либо элементарной заряженной
частицы. Например, мы можем рассматривать электрон, движущийся
в определенном атоме по круговой орбите. Такой движущийся элек-
электрон эквивалентен круговому току, и он испытывает действие внеш-
внешнего магнитного поля. Напряженность поля, определенная с помощью
такого элементарного тока, сложится из напряженности Но, вызванной
токами, текущими по макроскопическим проводам, и из напряжен-
напряженности магнитного поля, вызванного соседними молекулами. Обозначим
напряженность этого суммарного поля через Нмикро. Значение Н„икро
получится различное, в зависимости от того, на каком расстоянии от
той или другой молекулы мы расположим наш элементарный ток.
Но в среднем для многих случайно выбранных точек получится зна-
значение Ниикро, которое определится лишь значениями Но и того
среднего добавочного поля Н', которое существует внутри магнетика
в результате упорядочения в ориентации его частиц. Таким образом,
Нмикро = Но -\- Н',
т. е. значение Нмикро совпадает со значением вектора магнитной ин-
индукции В.

§ 209] РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ СОЛЕНОИДОМ И МАГНИТОМ 345
§ 209. Различие между соленоидом и магнитом. Указанные
в предыдущем параграфе различия в физическом смысле векторов Н
и В наиболее отчетливо проявляются в случае взаимодействия соле-
соленоидов и магнитов.
При помещении соленоида в какой-либо магнетик, эгот магнетик
заполняет все пространство как вне соленоида, так и внутри
него. Провода, образующие соленоид, погружены в магнетик. Если
магнетик однороден и безграничен, го на каждый элемент провода
со стороны внешнего магнитного поля, по формуле Bа) ^ 200, дей-
действует сила
Д/= IB sin a ¦ Д/;
момент сил, действующих на соленоид в целом, определяется значе-
значением магнитной индукции В = рН, где ц — магнитная проницаемость
среды. Заполнение пространства однородным безграничным магнетиком,
при неизменности токов, вызывающих магнитное поле, ведет *к уве-
увеличению момента сил, действующих на соленоид, в (i раз.
Иначе обстоит дело с магнитом. Магнит представляет собою
твердое тело, и часть пространства, занятая самим магнитом, не может
быть одновременно занята другим магнетиком. Иными словами, магнит
всегда оказывается помещенным в полость внутри магнетика, и
роль этой полости необходимо учитывать.
На магнит будет действовать то поле, которое возникает внутри
полости. Пусть прямой длинный магнит расположен в магнитном
поле, созданном некоторыми токами, вдоль его линий напряженности.
Тогда полость имеет вид узкого длинного цилиндра, ось которого
параллельна линиям напряженности. Как мы видели в § 208, внутри
такой полости напряженность поля равна Н. В результате на прямой
длинный магнит действует со стороны магнитного поля тока
сила, определяемая напряженностью поля Н. Следовательно, на-
наличие магнетика не меняет силы, действующей на магнит. В § 205
было показано, что сила, действующая на магнитный полюс т, равна
/=тН;
теперь мы видим, что эта формула справедлива как в пустоте, так
и при наличии магнетика при условии, что мы рассматриваем прямой
длинный магнит.
В пустоте прямой длинный магнит и соленоид вполне эквива-
эквивалентны друг другу, ес.ли только равны их магнитные моменты. Но при
наличии магнетика сказывается разница между магнитом и соленои-
соленоидом. В самом деле, если мы имеет два соленоида и сила взаимодей-
взаимодействия между ними в пустоте равна /, то при заполнении простран-
пространства магнетиком с магнитной проницаемостью ц сила взаимодействия
между ними становится равной ji/. Если же мы рассматриваем взаимо-
взаимодействие соленоида и прямого длинного магнита, то сила взаимодействия

346 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIII
между ними останется прежней при заполнении пространства ма-
магнетиком. Таким образом, замена одного соленоида магнитом умень-
уменьшила силу в [i, раз. Если мы заменим оба соленоида магнитами, то
необходимо будет учесть наличие в магнетике двух полостей. Оказы-
Оказывается, что сила взаимодействия между двумя прямыми длинными
магнитами благодаря этому уменьшится еще в ц раз. Таким образом,
если два прямых длинных магнита в пустоте взаимодействуют
с силой /, то при заполнении пространста магнетиком с маг-
магнитной проницаемостью р сила взаимодействия между ними
становится равной —/.
Резюмируя все сказанное выше, получаем:
1) сила взаимодействия между токами прямо пропорциональна j*;
2) сила взаимодействия .между прямым длинным магнитом и током
не зависит от ji;
3) сила взаимодействия между двумя прямыми длинными магни-
магнитами обратно пропорциональна ц,.
Указанная зависимость сил взаимодействия для постоянных маг-
магнитов от jj. справедлива только для прямых длинных магнитов. Для
магнитов произвольной формы никаких простых зависимостей сил от
магнитной проницаемости \i магнетика, в который погружен магнит,
указать, нельзя, так как роль магнетика, как сказано, зависит от
формы той полости, которую образует в нем магнит.
§ 210. Работа перемещения контура с током в магнитном
поле. В § 200 было показано, что на элемент тока, находящийся
в магнитном поле, действует сила Д/= .fi/A/sin &, направление кото-
которой определяется правилом левой руки.
I
- 1 Отсюда следует, что перемещение участ-
~ + ка с током в магнитном поле связано
-==- с работой, совершаемой этой силой.
J~ Найдем выражение для этой работы.
Предположим, что мы имеем контур
Рис 240. Контур с током с по- с подвижным прямолинейным участком
движным прямолинейным участ- длиной / (рис. 240). Предположим, что
ком /. этот контур находится в однородном
магнитном поле, направленном перпен-
перпендикулярно к плоскости чертежа — за чертеж. Вектор индукции В, сле-
следовательно, постоянен и направлен перпендикулярно к участку /.
Применяя правило левой руки, мы видим, что на подвижный участок
контура / действует сила /, направленная направо. Так как sin a=l,
то величина этой силы равна
/= 1В1.
Под действием этой силы участок будет двигаться направо. Силу
тока / будем считать все время постоянной, тогда при перемещении

§ 210J РАБОТА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ КОНТУРА С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 347
участка из положения 1 в положение 2, расстояние между которыми
равно Ах, сила / совершит работу:
Произведение /Дд: равно площади AS", перекрытой участком / при
его движении, откуда
AA==IBAS. A)
Вводя в A) поток магнитной индукции
ДФ = ?.Д?, B)
получим выражение для работы:
ДА=/-ДФ. • C)
Это же выражение справедливо и в том случае, если отрезок / пере-
перемещается не параллельно силе /. В этом случае
Д А =/Дд: cos p = IB l Ах cos p.
Но /Дд: cos p снова представляет собой площадь, перекрытую уча-
участком /, откуда
Таким образом: механическая работа перемещения участка с
током в магнитном поле равна произведению силы тока в уча-
участке на величину пересеченного
потока магнитной индукции.
Полученный результат легко
обобщить на случай произвольного
поля и произвольной взаимной ориен-
ориентации участка контура и поля.
Возьмем малый участок dl кон-
контура с током и разобьем перемеще-
перемещение этого участка на малые смеще-
смещения dx; будем считать участки dl и
dx столь малыми, что в их пределах
вектор индукции постоянен. Пусть
вектор В образует произвольный
угол а с направлением dl (рис. 241).
Сила df, действующая на участок dl,
равна
df= IB sin a-dl.
df)
Рис. 241. К подсчету работы переме-
перемещения участка с током dl в магнит-
магнитном поле.
Направление силы df, которая пер-
перпендикулярна к В и к dl, опреде-.
ляется правилом левой руки. При перемещении отрезка dl на величину dx
отрезок перекрывает некоторую плоскую поверхность площади dS. На этом
перемещении сила совершает работу:
dA = dfy ¦ cosp ¦ dx,
где dfi означает проекцию силы df на поверхность перемещения, a fi — угол
между af/i и dx. Так как сила, действующая на элемент тока в магнитном

348
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[ГЛ. XVIII
поле, всегда перпендикулярна вектору магнитной индукции, то очевидно, что
проекция силы dfu лежащая в плоскости перемещения, создается перпенди-
перпендикулярной к плоскости перемещения составляющей вектора индукции, откуда
получаем:
где fij^ — проекция вектора индукции на перпендикуляр к поверхности пере-
перемещения. Отсюда
d A = IBj cos p • dl dx.
Но cos ft dl dx = dS, откуда
dA = IB^dS.
Произведение площади пересеченной поверхности dS на проекцию вектора
магнитной индукции на перпендикуляр к этой поверхности В, представляет
собой пересеченный элементом dl поток магнитной индукции d<t>, откуда
I//
что совпадает по смыслу с формулой C).
Полученный результат можно применить для подсчета работы
перемещения замкнутого контура с током в магнитном поле, при
условии, что сила тока за все время перемещения контура поддер-
поддерживается постоянной. Для этого,
очевидно, надо мысленно раз-
разбить контур на отдельные
участки и просуммировать ра-
работы сил, приложенных к этим
участкам. На рис. 242 пред-
представлен контур с током, кото-
который перемещается из положе-
положения / в положение 2. Переме-
Перемещение контура пусть происхо-
Рис. 242. К подсчету работы перемеще- дит ¦" в пакости чертежа,
ния замкнутого контура с током в маг- а магнитное поле направлено
нитном поле. перпендикулярно к плоскости
чертежа — за чертеж; ток в
контуре идет по часовой стрелке. В таком случае силы, прило-
приложенные к каждому элементу ДД половины контура abc, образуют
тупой угол с направлением перемещения и, следовательно, совершают
отрицательную работу. Полная работа сил, приложенных к уча-
участку abc, получится, если мы просуммируем работы для отдельных
элементов. Работа перемещения каждого элемента равна произведению
силы тока на пересеченный при его движении поток индукции,
следовательно, сумма работ выразится произведением силы тока
/ на пересеченный участком abc поток индукции при перемещении
участка в положение а'Ъ'с':

§210] РАБОТА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ КОНТУРА С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ &49
Из рис. '242 видно, что Ф,~ представляет собой поток магнитной
индукции через площадь фигуры abcc'b'a'. Работа перемещения уча-
участка adc в положение a'd'c' будет положительна, так как, согласно
правилу левой руки, на элементы Д/2 этого участка действуют силы,
образующие острый угол с направлением перемещения. Численное
значение этой работы равно произведению силы тока / на пересечен-
пересеченный участком adc поток магнитной индукции; этот поток Фь оче-
очевидно, равен потоку через площадь фигуры adcc'd'a'.
Таким образом, получаем:
Результирующая работа А перемещения контура равна сумме рас-
рассмотренных работ:
A = Al + Ai = ЦФ^-Фй D)
Легко видеть, что разность Ф2 — Ф1 равна изменению потока
магнитной индукции через площадь, ограниченную контуром
с током. Действительно: поток через поверхность adcc'b'a' входит
как составная часть и в поток Ф1 и в поток Ф^, и, следовательно,
разность Фа -— 0i не содержит потока через эту поверхность.
Остается разность потоков через поверхности a'b'c'd' и abed.. Окон-
Окончательно имеем: механическая работа, совершаемая при перемеще-
перемещении Замкнутого контура, сила тока в котором постоянна, из
одного положения в другое, равна произведению силы тока в кон-
контуре на разность потоков магнитной индукции через площадь,
ограниченную контуром в начальном т конечном положениях
контура. Следовательно, если поток магнитной индукции через пло-
площадь, ограниченную контуром, не меняется, то работа перемещения
равна нулю. Если, например, контур с током перемещается в однород-
однородном магнитном поле поступательно, то при этом поток индукции через
площадь контура не меняется, и результирующая работа равна нулю.
При выводе формул C) и D) мы предполагали, что сила тока /
за все время перемещения остается .постоянной. Впоследствии мы уви-
увидим (гл. XX), что явление электромагнитной индукции при извест-
известных условиях может менять силу тока в контуре во время его
перемещения. Поэтому, если в этих случаях специально не предпри-
предпринять мер по поддержанию тока / в контуре постоянным (например,
с помощью дополнительных батарей и реостатов, подключаемых в нуж-
нужные моменты времени), то формулы C) и D) будут верны лишь для
бесконечно малого перемещения контура, за время которого
силу тока I можно считать постоянной. Тогда работа конечного
перемещения может быть определена путем интегрирования.
Выражение D) дает не только величину, но и знак совершенной
работы. Для этого нужно установить, какой поток индукции считать
положительным. Будем считать, что положительный поток создает те

350
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[ГЛ. XVIII
линии магнитной индукции, которые образуют острый угол с направ-
направлением положительной нормали к поверхности контура; положитель-
положительное же направление нормали N связано правилом буравчика с на-
направлением тока в контуре (рие. 243). Тогда,
если поток индукции через площадь контура
возрастает, то силы, действующие на элементы
контура, совершают результирующую положи-
положительную работу; если поток через площадь,
ограниченную контуром, убывает, результирую-
результирующая работа сил, приложенных к контуру, отри-
отрицательна.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Работа поворота рамки в одно-
однородном магнитном поле. Рассмотрим
плоскую рамку с площадью S, по которой
течет постоянный ток /. Проведем нормаль N
к плоскости рамки, сопоставив ее положительное направление с на-
направлением тока в рамке по правилу буравчика.
Пусть нормаль N составляет угол а с направлением линий ин-
индукции В магнитного поля, тогда поток индукции Ф через площадь
рамки (рис. 243) равен:
0=zBS cos a.
При поворачивании рамки совершится работа [см. формулу DI:
*-лг
Рис. 243. К подсчету
потока магнитной ин-
индукции через площадь
рамки.
А = IBS (cos aa — cos а,),
E)
где <Xi и а2 — значения углов, которые составляла нормаль с направ-
направлением линий индукции соответственно до и после поворота. Замечал,
что IS=pm есть магнитный момент
рамки, можно переписать выражение E):
А =ртВ (cos <х2 — cos a]). F)
2. Работа вращения диска
со скользящими контактами.
Пусть металлический диск поставлен
нормально к силовым линиям магнит-
магнитного поля. Диск может вращаться вокруг
оси О (рис. 244), проходящей через его
центр параллельно силовым линиям.
Ток подводится к диску с помощью
скользящих контактов а и ft и про-
проходит по нему радиально.' Если магнитное поле направлено за
чертеж и ток идет по радиусу диска сверху вниз, то на ток со сто-
Рис. 244. Вращающийся диск
со скользящими контактами.
1 В действительности ток не будет течь только вдоль одного радиуса, но
такое предположение может быть сделано для упрощения расчета.

§211] ЗАКОНЫ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ 351
роны поля действует сила, направленная направо, и диск придет во вра-
вращение. В этом случае поток индукции через контур тока ЕЬаЕ остается
постоянным, тем не менее работа совершается. Это происходит от-
оттого, что здесь ток течет не по определенным проводам, а по раз-
различным радиусам непрерывно вращающегося диска. При повороте
диска на бесконечно малый угол Дер можно считать, что радиус,
вдоль которого течет ток, повернется на угол Ду и зачертит площадь
где R—радиус диска. Поток индукции через эту площадь будет
ДФ = 5Д5. При непрерывном вращении диска все новые и новые
радиусы будут подходить к контактам, и общая покрытая ими пло-
площадь выразится суммой
для одного оборота диска ?Д<р = 2тс, откуда 5=тс/?2 и изме-
изменение потока индукции Ф2-—Фг = BS^=^RiB. По формуле D)
совершенная при- этом работа окажется равной:
А = I (Ф2 — Ф,) = tzRVB.
Этот пример показывает, что формулой D) надо пользоваться
с осторожностью в случае, когда ток течет по сплошным подвижным,
проводникам при наличии скользящих контактов.
§ 211. Законы-магнитной цепи. Совокупность магнетиков, по
которым проходит поток магнитной индукции, называют магнитной
цепью. Если поток переходит из среды в среду целиком, то говорят
о последовательном соединении потоков магнитной индукции одной
и другой среды; если поток разветвляется на отдельные части, кото-
которые затем опять сливаются, то говорят о параллельном соединении
разветвленных частей потока.
Примером неразветвленной магнитной цепи может служить поток
индукции Ф через витки тороида. Рассмотрим тороид, число витков
которого обозначим через N, длину оси — через /, поперечное сече-
сечение— через 5. Предположим, что витки намотаны на сердечник, маг-
магнитная проницаемость материала которого равна (i. Пусть в обмотке
течет ток силы /. Напишем выражение для потока Ф, пронизываю-
пронизывающего поперечное сечение тороида. Считая поле однородным и на-
направленным параллельно оси тороида, имеем:
По формуле A) § 199, напряженность магнитного поля Н внутри
тороида равна 4тся/, где и — число витков, приходящихся на единицу
длины тороида, откуда

352 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ [ГЛ. XVIII
ДГ : . . . '
Замечая, что я = у, получим:
1
что, очевидно, может быть переписано в виде:
<"
Эта формула имеет формальное сходство с формулой Ома для нераз-
ветвленной цепи тока.
Действительно, если назвать выражение 4тсМ, стоящее в числи-
числителе формулы A), магнитодвижущей силой Шт а выражение //jxS,
стоящее в знаменателе, — магнитным сопротивлением гт, т. е.
положить
¦$т = 4кМ: B)
r- = iS- C)
то формула A) примет вид:
Ф = ^. Aа)
t
Из формулы Aа) следует: поток магнитной индукции численно
равен отношению магнитодвижущей силы Шт к магнитному
сопротивлению гт цепи. Заметим, что магнитное сопротивление про-
пропорционально длине цепи, обратно пропорционально поперечному
сечению и магнитной проницаемости цепи. Магнитодвижущая сила
пропорциональна произведению N1, которое представляет собой полную
силу охватываемого магнитной цепью тока.
Если в формуле A) выражать силу тока / в абсолютных электро-
электромагнитных единицах, / и S — соответственно — в сантиметрах и ква-
квадратных сантиметрах, то поток индукции Ф получается в максвеллах.
Если в формуле A) силу тока измерять в амперах, а поток Ф, по-
прежнему, в максвеллах, то в нее надо ввести численный коэффициент,
равный 0,1; тогда:
(а)
где / и S, как и раньше, выражены в сантиметрах и квадратных
сантиметрах. Об единицах для магнитодвижущей силы &т и маг-
магнитного потока Ф в международной системе единиц будет сказано
ниже (§ 223).
Введение таких величин, как магнитодвижущая сила и магнитное
сопротивление, оправдывается тем, что формальные аналогии между
электрической и магнитной цепью идут дальше. Для того чтобы пока-
показать это, рассмотрим последовательно соединенные участки магнит?

§211]
ЗАКОНЫ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ-
353
ной цепи. Примером последовательного соединения потоков" может
служить рассмотренный тороид, если мы предположим, что в сердеч-
сердечнике длиной /t с магнитной проницаемостью ^ имеется воздушный
зазор длиной /0 с магнитной проницаемостью [i0
(рис. 245). Этот зазор, как мы сейчас увидим,
существенно меняет величину потока.
Для того чтобы найти поток в этом случае,
воспользуемся выражением циркуляции вектора
Н по контуру, который представляет среднюю
линию . тороида. Полный ток, который охва-
охватывается этим контуром, равен IN (ток во всех
витках тороида), таким образом, получим
. . Рис. 245. Магнитный
Так как направление напряженности магнит- поток через зазор /0.
ного поля внутри тороида совпадает с направ-
направлением его средней линии, то, обозначая через Н и Но напряженно-
напряженности в сердечнике и в зазоре соответственно, получим
или, вводя вместо напряженностей И и Но магнитные индукции
4t:N/ = -/i-)—?/0. D)
Введем в это соотношение поток Ф, который одинаков как в сер-
сердечнике, так и в зазоре.
Пусть 5 — поперечное сечение витков тороида, "a So — попереч-
поперечное сечение той части зазора, по которой проходит поток (полагаем,
что сечение потока в зазоре постоянно), тогда
........ S=~S' 5o==s7'
после чего формула D) принимает вид:
E)
Но 4тсМ представляет собой магнитодвижущую силу Шт, a \y
и IJSO\>.O могут быть соответственно обозначены как магнитное сопро-
сопротивление сердечника гт и зазора rmo, откуда
или Ф —
гт~\~гто
Обозначая через Rm сумму сопротивлений rm -\- rm0, получим:
Ф = |^. Eа)
12 С. Фриш а А. Тиморева

354
МАГНИТНОЕ ПОЛЯ ТОКОВ
[гл. xvnt
Поток Ф снова выражается отношением магнитодвижущей силы $т
к магнитному сопротивлению Rm, причем магнитное сопротивление
цепи Rm равно сумме магнитных сопротивлений ее последова-
последовательно соединенных участков.
Разберем теперь случай параллельного разветвления магнитной
цепи. Схема такого разветвления изображена на рис. '246.
На средней части цепи имеется обмотка, обусловливающая возник-
возникновение магнитодвижущей силы #m = 4iWV/. Поток индукции в сред-
средней части цепи Ф разветвляется на пото-
потоки ф, и Ф, в двух других частях цепи,
следовательно,
Ф = 0i + Ф9.
Для каждой из параллельно соединенных
частей имеем соотношения:
Вт
гтг'
Рис. 246. Параллельное раз-
разветвление магнитной цепи.
где rmt и rmi — магнитные сопротивления
участков, по которым проходят потоки,
а Шт — общая магнитодвижущая сила. Так как Ф = Фх-\-Фъ, то
откуда заключаем, что полное сопротивление Rm параллельно соеди-
соединенных участков определяется из соотношения:
— = — + — , F)
Km 'mi 'ma
аналогичного соотношению для сопротивления параллельно соединен-
соединенных проводников. •
На указанных законах магнитной цепи основано устройство элек-
электромагнитов, т. е. приборов, позволяющих получать интенсивные
магнитные поля. В электромагнитах магнитное ноле возбуждается
током, текущим по соленоиду; для усиления поля в соленоиды вво-
вводятся железные сердечники. Чтобы выяснить роль железного сердеч-
сердечника, разберем следующий случай. Пусть имеется тороид, длина кото-
которого по оси равна /, площадь поперечного 'сечения S и общее число
витков N. Тогда при протекании тока силой / внутри тороида воз-
возбуждается поле напряженности
tf=4uf/. G)
Введем теперь внутрь тороида железный сердечник так, чтобы он
заполнял почти весь тороид; пусть незанятой железом остается лишь

§ 21.1]
ЗАКОНЫ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ
355
узкая щель (рис. 245). Определим напряженность поля Ht внутри
щели. Для этого найдем сперва поток индукции внутри тороида по
формуле E):
^Щ; (8)
здесь /4 — длина железного сердечника, р. -¦— его магнитная проницае-
проницаемость, /0 — ширина щели, So — площадь сечения потока в щели (маг-
(магнитную проницаемость воздуха внутри щели [г0 считаем равной 1).
Если щель настолько узка, что /0<^ —, то в знаменателе формулы (8)
членом =^- можно пренебречь по сравнению с ^-, и тогда
Ф:
Индукция в сердечнике В—о- будет равна
При узкой щели линии индукции проходят по нормали к границе,
отделяющей сердечник от щели, поэтому индукция Во внутри щели
равна индукции В в сердеч-
сердечнике (см. § 206).
В области щели, где маг-
магнитная проницаемость (xfl = l,
напряженность магнитного поля
//„¦ = Во; отсюда, полагая при-
приближенно li = /, получим:
Сравнивая это выражение
с G), видим, что в достаточно
узкой щели напряженность поля
оказывается в ц раз больше на-
наРис. 247. Электромагнит.
пряженности, которая получалась в тороиде при отсутствии сердечника.
Такого рода тороид с сердечником представляет собой кольцевой
электромагнит. Обычно лабораторным электромагнитам придают не-
несколько иной вид, однако для того, чтобы употребление железного
сердечника было эффективно, магнитная цепь должна быть почти
замкнута и воздушный зазор невелик. На рис. 247 представлен один
из употребительных типов лабораторных электромагнитов. Для
12*

356
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[гл. xvur
/ 1
/I
/ t>-~'
правильной оценки роли сердечника в электромагнитах следует помнить,
что для железа, из которого всегда делается сердечник, магнитная
проницаемость fi зависит от напряженности поля, а потому роль
сердечника при разных напряженностях полей разная. При узкой щели
в магнитной цепи электромагнита напряженность магнитного поля Л/,
в ней численно равна индукции В в сердечнике. Зависимость же В
от напряженности поля И в сердечнике носит характер, изображен-
изображенный на рис. 220. Напряженность поля Н в сердечнике пропорцио-
пропорциональна силе тока / в обмотке электромагнита. Отсюда зависимость В,
а следовательно, и напряженности поля //„
в щели от тока / в обмотке выразится
кривой, сходной с кривой рис. 220. Для не-
некоторого определенного электромагнита
с сердечником из определенного сорта же-
железа эта зависимость Но от / дана на
рис. 248. На том же рисунке изображена
прямая, дающая возрастание Н с силой
тока /. Если бы в электромагните не было
_ „.„ о сердечника, то создаваемое им магнитное
Рис. 248. Зависимость на- * , ..,.
пряженности магнитного по- поле имел0 бы напряженность Н. Как видно,
ля Wo между полюсами элек- вначале Но возрастает с силой тока гораздо
тромагнита от силы тока / быстрее, чем Н; это имеет место пока не
в обмотке. достигнуто насыщение и магнитная прони-
проницаемость железа р. велика. После достиг
жения насыщения дальнейшее возрастание //0 носит линейный харак-
характер, напряженность поля Н9 остается все время больше Н на одну
и ту же величину, определяемую отрезком аЪ.
Разберем следующий конкретный ^прим ер. Пусть длина железного
сердечника тороида (рис. 245), равна 4 = 60 см, ширина щели /„ = 0,1 см,
площадь поперечного сечения тороида S=I2 см*, полное число витков
уу= 1000, и пусть по виткам идет ток силой в 1 а. Магнитная проницаемость р.
сердечника зависит не только от сорта железа, но, как мы указали, и от
величины поля Н, определяемого силой тока /. Предположим, что для усло-
условий данного примера fi = 600.
Определим напряженность магнитного поля Но в щели. Поток индукции
в тороиде:
Ф =
и
/,
где 1а — сила тока, выраженная в амперах. При узкой щели индукция в щели
равна индукции в сердечнике, и So можно положить равным S. Напряжен-
Напряженность поля Но в щели-, численно равная магнитной индукции, выразится, сле-
следовательно, через поток Ф таким образом:
, Ф __ 0,4«ЛГ/„
По — "гг ; '
Л

§212] УРАВНЕНИЯ КИРХГОФА ДЛЯ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ 357
Подставляя сюда приведённые значения, найдем - .
Если бы в тороиде отсутствовал железный сердечник, то напряженность
поля оказалась бы равной
// =*= 0,4* ~1а = 0,4 • 3,14 • -^ • 1 э SE 21 э.
Таким образом, при наличии сердечника в щели напряженность поля
оказывается в 300 раз большей. При более широкой щели возрастание напря-
напряженности поля в щели будет меньше.
§ 212. Уравнение Кирхгофа для магнитной цепи. Расчеты сложной
магнитной цепи производятся с помощью уравнений, аналогичных уравне-
уравнениям Кирхгофа для электрической цепи.
На рис. 246 представлена цепь, имеющая участки, соединенные парал-
параллельно. В каждом месте, где поток разветвляется, величина подходящего
потока равна сумме потоков отходящих; если условиться считать, подходящие
потоки положительными, а отходящие отрицательными, то для каждого мес-
места разветвления („узла") будет выполнено условие, что алгебраическая сум-
сумма потоков у „узла" равна нулю:
Уравнения, выражаемые равенством A), аналогичны первым уравнениям
Кирхгофа для цепи разветвленных токов.
Если мы выделим в магнитной цепи какой-либо замкнутый контур, то,
применив к нему выражение для циркуляции вектора Н, получим:
; ^Hl = 4n^NL ¦'¦¦¦; B)
Здесь сумма распространена на все участки замкнутого контура: У]м
означает сумму произведений из чисел витков, охватываемых контуром, на
силу тока в них; N1 следует считать положительным, если обход идет в на-
направлении поля, создаваемого током /, и отрицательным в обратном случае.
Выражая напряженность поля через поток ¦.:-...-.¦
!":. ; ":.: ¦ " '¦" '¦' '¦¦нЛ, ' ¦-- '¦ ' ¦¦¦¦
где SV- поперечное сечение потока, а р. — магнитная проницаемость среды,
перепишем выражение B) в виде:
или
Это отношение аналогично второй системе уравнений Кирхгофа: сумма произ-
произведений магнитных потоков на магнитные сопротивления для замкнутой
цепи равна сумме магнитодвижущих сил, действующих в цепи.
Важно подчеркнуть, что сходство между законами магнитной цепи и элек-
электрической цепи чисто формальное, —никакой общности физических явле-
явлений в этих законах нет.
Для иллюстрации удобства применения рассмотренных соотношений раз-
разберем примеры расчетов магнитных цепей.

358 магнитное поле токов [гл. xvui
Пример 1. Дан электромагнит, сердечник которого имеет форму, изо-
изображенную на рис. 249. Определить напряженность магнитного поля в воз-
воздушном зазоре электромагнита, если число ампервитков Nla= 1800, длина
зазора /о = 2 см и магнитное сопротивление зазора в 30 раз больше магнит-
магнитного сопротивления каждого из участков
1о а, Ь, с цепи; сопротивления участков а, Ь, с
равны.
Решение. Обозначим потоки магнит-
магнитной индукции в участках а, Ь, с через Фа,
Фь, Фс, поток в воздушном зазоре обозна-
обозначим через Фа. Так как магнитная проницае-
проницаемость зазора равна единице, то искомая
напряженность магнитного поля в зазоре
равна:
Г
г
1
L
—.-с
-Фа
>п
))
))
с
ь
а))
—1 Li
Фо1
—zp
) ) \J
I ^ о
Рис. 249. Электромагнит с раз- S —поперечное сечение зазора,
ветвленной магнитной цепью. д Составимг вторую систему уравнений
Кирхгофа для замкнутого контура, проходя-
проходящего по участкам а, с и воздушному зазору, и для контура, проходящего
по участкам а и Ь:
ФаГт + ФсГт + Фо • 30rm = 0,4nNIa; E)
= 0,4яМя. F)
Магнитодвижущая сила в обоих контурах одинакова и выражена в пред-
предположении, что ток 1а Дан в амперах. Ввиду непрерывности потока магнитной
индукции имеем:
ф0 = фс, G)
так как весь поток из участка с переходит в воздушный зазор. Рассматривая
разветвление в „узле" А, получаем уравнение Кирхгофа первого рода:
фа = ф<) + фь. (8)
Используя G) и (8), перепишем уравнения E) и (б) в виде:
Фагт + 31 Ф.гт = 0,4«Л7„; Eа)
<2Фагт — Фагт = 0М^1а. Fа>
Умножая Eа) на 2 и вычитая из него почленно Fа), получим:
вЗФ,>гт=0,4кМа. (9)
Магнитное сопротивление воздушного промежутка равно /0/S, а сопротивле-
сопротивление участков по условию в 30 раз меньше, откуда:
'm~~S-30%
Подставляя это значение гт в (9), получим для потока индукции:
0,4 ¦ nNla 0,4 • nN/a
ЬоГт от 'О

213]
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ
359
откуда искомая напряженность магнитного поля Н„ в щели, по D), равна:
%Nla 0,4 • 3,14 • 1800
„ Ф« 0,4
"• == ~о~ = '
63 •»
м 2
63-зб
¦3^540 э.
Пример 2. Определить, чему будет равна напряженность поля Нл
в щели кольцевого электромагнита, разобранного в примере на стр. 355, если
ширину щели в нем увеличить до 0,2 см. Зависимость магнитной индукции В
в железе сердечника от напряженности поля Н дается кривой ОС, представ-
представленной на рис. 250.
Решение. Обозначая поток в сердечнике через Ф, поток в щели —
через Фо и магнитное сопротивление сердечника и щели — соответственно
через гт и rm0, напишем для магнитной цепи электромагнита вторую систему
уравнений Кирхгофа:
Фг
Считая по-прежнему площади сечения потоков в сердечнике и в щели
одинаковыми и равными S, имеем:
Подставляя эти значения Ф, Фо, гт и гшо в A0), получим:
Я/, + Boh = 0,4 7tA7a
или, подставляя сюда вместо Л, /0, N и 1а их значения:
Так как магнитная индукция в щели Во равна магнитной индукции В в сер-
сердечнике, то это соотношение можно переписать в виде:
60/У + 0,2fi = 1256. (П)
Это уравнение содержит два неизвестных — напряженность поля Н и индук-
индукцию В в сердечнике. Вторым уравне-
уравнением служит связь между Н и В, вы-
выражаемая кривой на рис. 250. Для со-
совместного решения этих уравнений поль-
пользуемся графическим методом, а именно —
ищем точку пересечения а прямой bd,
соответствующей уравнению A1), и кри-
кривой графика (рис. 250). Этой точке пе-
пересечения соответствует Д = 4000 гс.
Так как В = Во, а Во, в свою очередь,
численно равно напряженности поля Но
в щели, то искомая напряженность
Но = 4000 э.
При ширине же щели 0,1 см напря-
женность М> = 6280 э (стр. 357). Как Рис.250. Графический метод на-
видно, увеличение ширины щели ведет ' хождения индукции В в электро-
к значительному убыванию напряжен- магните.
ности поля.
§ 213. Измерительные приборы. Взаимодействия между провод-
проводниками, по которым текут токи, *ли проводниками с током и посто-
постоянными магнитами могут служить для измерения сил токов. На таких
в
10000
8000
6000
и 00 0
гооо
ь
/
У
/
/
"Ч
Г
d
в 12 <s го
Н

360
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[гл. xvur
взаимодействиях основано устройство, большого числа измерительных
приборов, которые могут, быть разбиты на три класса: 1) приборы,
в которых взаимодействуют постоянные магниты и провода с током
(магнитоэлектрические); 2) приборы, в которых
части из мягкого железа втягиваются в катушки
с током (электромагнитные); 3) приборы, в кото-
которых взаимодействуют две катушки с током (элек-
(электродинамические).
Простейшим прибором, относящимся к пер-
первому классу, является тангенс-гальванометр,
состоящий из нескольких витков кругового про-
проводника, в центре которого расположена магнит-
магнитная стрелка (рис. 251), стрелка может повора-
поворачиваться вокруг вертикальной оси. Стрелка
Рис.251.Тангенс-галь- должна быть настолько малой, чтобы напряжен-
ванометр. ность магнитного поля витков кругового тока
можно было считать постоянной в той области,
где находится стрелка, и равной напряженности в центре витков. Тогда
по сказанному в § 194:
2nn/
0)
где / — сила тока, протекающего по виткам, я — число витков на единицу
длины кругового проводника, Ft — их радиус. При отсутствии тока стрел-
стрелка располагается по направлению земного магнитного меридиана; если
при этом плоскость витков расположена
в плоскости меридиана, то стрелка
окажется расположенной в плоскости
витков. При включении тока магнитное
поле Н витков будет направлено пер-
перпендикулярно к плоскости витков, и
магнитная стрелка расположится по на-
направлению результирующей сил, дей-
действующих на нее со стороны магнитного
поля, и горизонтальной составляющей
земного магнитного поля. При этом,
как видно из рис. 252, угол <р, который
стрелка составит с плоскостью витков,
определится соотношением Рис- 252- к определению поло-
F жения равновесия стрелки тан-
_ Н_ генс-гальванометра.
где Нз — горизонтальная составляющая напряженности магнитного
поля Земли. Подставляя сюда вместо Н его значение по A), получим:

§213]
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ
361
откуда
1=
B)
Если в этом соотношении горизонтальная составляющая напряженно-
напряженности магнитного поля Земли Нз измерена в эрстедах, а /? — в санти-
сантиметрах, то сила тока будет измерена в электромагнит-
электромагнитных единицах силы тока. Величина /?//з/21гя постоянна
для данного прибора, расположенного в данной точке
земного шара, откуда
/ = C-tg<p, Ba)
т. е. сила тока / пропорциональна тангенсу угла откло-
отклонения (р. Постоянную гальванометра С можно либо вы-
вычислить, зная значения R и Нз, либо определить, гра-
градуируя . гальванометр путем пропускания через него
тока известной силы.
Несколько видоизмененный тип измерительного при-
прибора с подвижной системой магнитов представлен : на
рис. 253. Употребленная в нем система магнитов назы-
называется астатической. Она состоит из двух групп
магнитов, в одной из которых северные полюсы всех
магнитов направлены в одну сторону, а в другой —
в противоположную. Благодаря такому расположению
магнитов действие на них со стороны магнитного
поля Земли компенсировано. Каждая из групп магнитов
расположена внутри одной из двух катушек, по виткам которых про-
протекает измеряемый ток. Ток в катушках проходит в противополож-
противоположных направлениях, а потому действия катушек
складываются. Упругие силы нити, на которой
подвешена Система магнитов, удерживают их, при
отсутствии тока, в плоскости катушек. При про-
прохождении тока 4 через катушки система магнитов
поворачивается, и угол ее поворота позволяет из-
измерить силу тока. Путем создания весьма легкой
системы магнитив, подвешенной на тонкой квар-
кварцевой ни ги, и наблюдения их отклонения по сме-
смещению светового луча, отраженного от зеркальца,
прикрепленного к нити, можно измерять очень ма-
малые токи, порядка 10~IS a.
Ко второму типу принадлежат менее чувстви-
чувствительные, но весьма распространенные приборы,
действие которых основано на втягивании в ка-
катушку куска железа. Такой прибор был впервые
предложен и построен русским электротехником М. О. Доливо-Добро-
вольским. Схема прибора представлена на рис. 254, где А — катушка,
Рис. 253.
Схема галь-
гальванометра с
астатической
системой
. магнитов.
Рис. 254. Ампер-
Амперметр Доливо-
Добровольского.

362
МАГНИТНОЕ ИОЛЕ ТОКОВ
[ГЛ. XVIII
по которой протекает измеряемый ток; а -*- железный стерженек, подве-
подвешенный на пружине Ъ. Ток, протекающий по катушке, вызывает маг-
магнитное поле, под влиянием которого стерженек а намагничивается
и втягивается в область, где магнитное поле сильнее, т. е. внутрь
катушки. Стерженек соединен со стрел-
стрелкой, которая при втягивании стерженька
в катушку поворачивается.
По тому же принципу делаются со-
современные технические амперметры. На
рис. 255 представлен разрез технического
амперметра постоянного тока. На нем:'
1 — катушка, 2 — кусок намагниченного
железа, удерживаемый пружинкой 5.
При протекании по катушке тока, кусок
железа 2 втягивается в катушку и пово-
поворачивает стрелку. Для того чтобы кусок
железа вместе со стрелкой не совершал
периодических колебаний, применяется
из поршня 3, ходящего внутри ци-
Рис. 255. Технический ампер-
амперметр постоянного тока.
„успокоитель", состоящий
линдра 4.
К первому типу измерительных приборов относятся также галь-
гальванометры с подвижной рамкой. уВ них магнитное поле создается
постоянным магнитом подковообразной формы. Полюсные наконеч-
наконечники N к S (рис. 256) обращены друг к другу вогнутыми цилиндри-
цилиндрическими поверхностями одинаковых радиусов.
Между полюсами неподвижно укреплен же-
железный цилиндр несколько меньшего радиуса,
благодаря которому магнитная цепь оказы-
оказывается почти замкнутой, и линии индукции
сконцентрированы в цилиндрическом зазоре
между полюсами и цилиндром. В этом зазоре
расноложена легкая рамка ad, состоящая из
нескольких витков провода, по которому
протекает измеряемый ток. Тонкая пружина с
удерживает рамку в определенном положе-
положении. При пропускании через рамку тока она
поворачивается до тех пор, ' пока момент
действующих на нее электромагнитных сил
не окажется уравновешенным механическим моментом закрученной
пружины. Легкая стрелка, соединенная с рамкой, указывает угол ее
поворота. Вследствие радиальности магнитного поля в зазоре, в кото-
котором расположена рамка, угол ее поворота в широких пределах про-
пропорционален силе тока.
Гальванометры указанного типа весьма удобны благодаря постоян-
постоянству их чувствительности и малой зависимости их показаний от внеш-
Рис. 256. Схема гальвано- ¦
метра с подвижной рам-
рамкой.

§ 213]
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ
363
них полей. Лежащий в основе их устройства принцип используется
при постройке большинства лабораторных и технических измеритель-
измерительных приборов постоянного тока. Их можно употреблять в качестве
вольтметров и амперметров, включая либо последовательно с рамкой
большое постоянное сопротивление,
либо параллельно с рамкой шунт
(см. сказанное в § 158).
Более чувствительные приборы из-
изготовляются путем подвешивания под-
подвижной рамки с током к тонкой нити
(рис. 257). Угол поворота рамки опреде-
определяется по отклонению светового луча
от прикрепленного к ней зеркальца.
Такой гальванометр называется зер-
зеркальным.
К типу измерительных приборов
с подвижным проводником принадле-
принадлежит также струнный гальванометр.
Он состоит из очень тонкой проволо-
проволоки ab (рис. 258), натянутой между по-
полюсами сильного магнита. При пропу-
пропускании по проволоке тока она сме-
щается в соответствии с правилом левой
руки (§ 196). Смещение проволоки
наблюдается с помощью измеритель-
измерительного микроскопа, пропущенного сквозь
сердечник магнита. Чувствительность
струнного гальванометра может быть
доведена до 10~19 а. Вследствие малой
инерции тонкой нити, струнный гальва-
гальванометр пригоден для измерения и фо-
фотографической регистрации меняющихся
во времени токов.
Предел чувствительности всех галь-
гальванометров ограничивается флуктуация-
ми силы тока (§ 186).
Наконец, можно построить изме-
измерительный прибор третьего типа (элек-
(электродинамический), в котором отсутствуют какие бы то ни было
постоянные магниты и показания которого основаны на взаимодейст-
взаимодействии проводников с током. Простейшей -схемой такого прибора будет
рамка с током, подвешенная внутри соленоида (ср. сказанное в § 197).
Величина вращательного момента, приложенного к рамке, пропорцио-
пропорциональна как силе тока /,, протекающего по рамке, так и силе тока
У2) протекающего по соленоиду; если и по рамке и по соленоиду
Рис. 257. Зеркальный гальвано-
гальванометр.

364
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
[ГЛ. XVIII
протекает один и тот же измеряемый ток /, то величина момента,
вращающего рамку, пропорциональна /s.
Взаимодействие между двумя катушками с током используется
также для постройки ваттметров, т. е. приборов, измеряющих мощ-
мощность, поглощаемую в данном участке цепи.
Напомним, что мощность, потребляемая в дан-
данном участке цепи, пропорциональна силе тока
в ней и разности потенциалов на ее концах
V, — Vj. Ваттметр состоит из двух взаимодей-
взаимодействующих катушек, одна из которых имеет
обмотку с малым сопротивлением и включена
последовательно с участком цепи, а другая имеет
большое сопротивление и включена параллельно
с участком цепи. Тогда ток в первой катушке
равен силе тока / в цепи, а ток /' во второй катушке пропорцио-
пропорционален разности потенциалов Vx— Vs. К каждой из катушек приложен
вращательный момент, величина которого пропорциональна //', т. е.
пропорциональна I(VX—Vg) или, другими словами, пропорциональ-
пропорциональна мощности W, потребляемой в участке цепи.
На таком же принципе использования двух катушек основано
устройство счетчика, измеряющего потребленную за время t электри-
электрическую энергию.
Рис. 258. Струнный
гальванометр.

ГЛАВА XIX
ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ
§ 214. Сила, действующая на заряд, движущийся в магнит-
магнитном поле. В § 196 было указано, что по закону Ампера на участок
проводника длиной Д/, по которому течет ток силой /, со стороны'
внешнего магнитного поля напряженности Н действует сила:
/=/Д/Я«яа, A)
где а-—угол между направлениями тока и напряженности магнитного
поля. Все входящие в эту формулу величины должны быть измерены
в СО&М-системе. Направление силы / определяется правилом левой
руки (см. § 196). Но всякий ток обусловлен перемещением заряжен-
заряженных частиц — электронов или .ионов. Отсюда естественно заключить,
что сила, действующая во внешнем магнитном поле на проводник, по
которому течет ток, обусловлена
силами, действующими со стороны
магнитного поля на отдельные
движущиеся заряженные частицы.
Этот вывод может быть проверен
непосредственным наблюдением:
если трубку,в которой возникает
Рис. 259. Отклонение электронного электронный пучок,внести во внеш-
пучка в магнитном поле. F 3 '
. нее магнитное поле, вызванное,
например, постоянным магнитом
(рис. 259), то электронный пучок отклонится, что легко заметить по
смещению того светящегося пятна, которое он образует на флуоре-
флуоресцирующем экране. В пустотной трубке электроны движутся свободно,
и под влиянием сил, действующих на них со стороны магнитного поля,
искривляются лишь их траектории. Если же электроны или другие
заряженные частицы движутся внутри сплошного тела (твердого или
жидкого), то благодаря их непрерывным столкновениям с атомами
тела действующая на них сила передается этому телу. Такого рода
передача силы может быть продемонстрирована с помощью вращаю-
вращающегося диска, изображенного на рис. 244. Здесь электроны движутся
N

366 ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. XIX
внутри диска по одному из его радиусов. Магнитное поле, перпенди-
перпендикулярное к плоскости диска, отклоняет их в сторону. Благодаря
непрерывным столкновениям электронов с атомами, сила, действующая
на электроны, передается диску, и он приходит во вращение. Анало-
Аналогичный опыт можно осуществить и в случае электролитической про-
проводимости. Для этого берется кольцеобразный сосуд с металлическими
боковыми стенками и дном, сделанным из изолирующего материала.
Стенки сосуда служат электродами. Ток «проходит радиально через
электролит, находящийся между стенками. В электролите ток обуслов-
обусловлен движением ионов обоих знаков, причем ионы разных знаков
_ движутся в противоположных направлениях.
Пусть сосуд внесен в магнитное поле, направ-
направленное перпендикулярно к его дну. Это можно
осуществить, поместив сосуд, например, на конец
вертикально поставленного прямого магнита
(рис. 260). Тогда на движущиеся ионы со сто-
Рис. 260 Отклонение роны магнитного поля бУДУт действовать силы,
электролитических перпендикулярные к направлению их движе-
ионов в магнитном ния и направленные параллельно поверхности
поле. жидкости. Эти силы направлены одинаково для
ионов обоих знаков, так как ионы разных зна-
знаков движутся в противоположных направлениях. Под влиянием этих
сил ионы начнут отклоняться от своего пути и увлекут за собою
жидкость, в которой возникнет круговое течение.
Найдем теперь выражение для силы, -действующей со стороны
магнитного поля на движущийся заряд. Для этого воспользуемся вы-
выражением A) для силы, действующей на участок проводника, по ко-
которому течет ток, т. е. в котором движутся заряды. Сила тока /
численно равна заряду, перенесенному в единицу времени через попе-
поперечное сечение проводника. Если величина отдельного заряда е, а число
зарядов, перенесенных через поперечное сечение проводника в еди-
единицу времени, равно п, то 1 = еп. Очевидно, n = nuvS, где л0 — число
движущихся зарядов в единице объема, v — их скорость и 5—пло-
5—площадь поперечного сечения проводника. Следовательно, для 1 получаем:
I = envvS.
Подставляя это значение / в A), получим: >
f=enovS&lHsinoi. B)
Эта сила действует на участок проводника длиной Д/, следовательно,
она равна сумме сил, действующих на все заряды, движущиеся в рас-
рассматриваемом участке проводника; число этих зарядов равно л' =
= nuSAl. Отсюда сила, действующая на один эаряд, равна'

-Ф-J*
§ 214] СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ЗАРЯД 367
Подставляя сюда вместо силы / ее значение по B), получим:
Lf=evH sin a. C)
Эта формула, носящая название формулы Лоренца, дает искомую
силу, действующую на заряд, движущийся со скоростью v в магнит-
магнитном поле напряженности Н. При v = 0 по формуле Лоренца и Д/= О,
что соответствует тому факту, что на' покоящийся заряд (случай, имею-
имеющий место в электростатике) магнитное поле не действует. Под ско-
скоростью v в формуле Лоренца следует понимать скорость относительно
сиавемы координат, в которой измеряется сила Д/ и измерена напря-
напряженность поля Н. Направлена сила перпен- д^>
дикулярно как к скорости движения заряда
v, так и к напряженности магнитного поля
Н, т. е. сила Af направлена перпендику-
перпендикулярно к плоскости,'содержащей векторы
v, и Н. В случае движения положительного 0
заряда направление силы определяется , -¦ ~
правилом левой руки: если сложенные '
вместе пальцы направить по направлению Рис. 261. Направление силы
движения заряда, а ладонь расположить Лоренца ДГ, действующей
, * на заряд, движущийся со
так, чтобы линии напряженности магнит- скоросрть^ v в магнитном
ного поля вонзались в нее, то сила ЬА поле напряженности Н.
будет направлена в сторону отставленного
большого пальца. При движении отрицательного заряда эта сила
направлена в противоположную сторону (рис. 261).
Величина силы Лоренца зависит не только от значений скорости v
и напряженности магнитного поля Н, но и от sin а, т. е. от их отно-
относительных направлений. Сила максимальна при движении заряда в на-
направлении, перпендикулярном к направлению напряженности магнит-
магнитного поля Н, и равна нулю, если заряд движется вдоль линии напря-
напряженности поля.
В формуле C), в которую не введено никакого коэффициента
пропорциональности, все входящие в нее величины должны быть из-
измерены в CGSM-системе. Обычно пользуются смешанной системой
единиц: е измеряют в CGSf-единицах, а напряженность поля — в эр-
эрстедах, тогда в формулу C) надо ввести коэффициент пропорцио-
пропорциональности
1 "-"-'.по, . (За)
где
1 ^ 1 сек
с — 3-1010 7м'
Формулу (За) можно переписать в векторном виде, заметив, что по на-
направлению сила Ь& совпадает с направлением векторного произведения [v X Н],

368 ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. XIX
откуда: - .
Ai=i-[vxH]. C6)
Если кроме магнитного поля существует еще электрическое поле напря-
напряженности Е, то полная сила, действующая на заряд е, движущийся со ско-
скоростью v, складывается из электрической силы еЕ и силы Лоренца C6):
(Зв)
Сила Лоренца действует не только на движущийся элементарный заряд
(электрон или ион), но и на всякий макроскопический заряд, движущийся
в магнитном поле. Так, если, например, зарядить шарик и начать его дви-
двигать в магнитном поле, то появится сила, действующая на него в направле-
направлении, перпендикулярном к направлению его движения и к направлению поля,
и величина которой выразится.формулой C) или (За). Однако, как легко
видеть, при обычно достижимых зарядах, полях и скоростях эта сила будет
мала. Так, например, если шарик радиусом 1см зарядить до потенциала
3000
в 3000 в, то его заряд будет равен е = VC — -д^ • 1 CGSE = 10 CGSE. При
движении этого шарика в направлении, перпендикулярном к полю напряжен-
напряженности Н = 1000 э, со скоростью «= I05 см/сек (скорость пули!) появится сила:
л/== зло15'10" 10V 100° дин = 30^""'
т. е., как видно, весьма незначительная сила. На первый взгляд может пока-
показаться, .что этот результат находится в противоречии с тем обстоятельством,
что на провода, по которым течет ток, действуют в магнитном поле значи-
значительные силы. Но дело заключается в том, что при токах обычной силы
переносимые заряды весьма велики, достаточно вспомнить, что при силе
тока в 1 а через поперечное сечение проводника за каждую секунду пере-
переносится заряд в 1 кулон, т. е. 3 • 10е CGSE-единиц.
Рассмотрим еще действие магнитного поля на электрон, движущийся
вокруг неподвижного положительного заряда по круговой орбите радиуса г
с угловой скоростью <о. Движение электрона происходит пЪд влиянием куло-
„ , еЕ - „
новой силы /= — , где е—~заряд электрона, а Е—величина положитель-'
ного заряда. Обозначим через wn центростремительное ускорение электро-
электрона, тогда по второму закону Ньютона:
еЕ ...
т®п=-рг. D)
Предположим теперь, что имеется однородное магнитное поле Н, пер-
перпендикулярное к плоскости орбиты электрона. Тогда к кулоновой силе /
должна добавиться сила Лоренца:
Д/= -%//.
Вводя угловую скорость электрона <¦>, получим v = u>r, после черо выра-
выражение для силы Лоренца примет вид:
Д/= — ги>Н.

§ 214] ' сила, действующая На заряд, 369
Направлена сила Лоренца вдоль радиуса и, следовательно, при наличии
магнитного поля уравнение движения D) заменится уравнением:
еЕ , е
Введем, далее, координатную систему, вращающуюся с постоянной угло-
угловой скоростью Дш вокруг оси, перпендикулярной к плоскости орбиты элек-
электрона. Если мы хотим написать уравнение относительно этой вращающейся
системы, то должны к действующей силе f-\- Д/ прибавить еще центробеж-
центробежную инерционную силу тгД<о* и силу Кориолиса 2тг<лДы (см. т. I, § 24).
Таким образом, уравнение движения относительно вращающейся системы
примет вид:
еЕ е
mwa = —г -\~ -^ г<л^ + 2тгюД<й + тгД<о8.
Считая Д<й малым, пренебрежем членом mbW, тогда
еЕ
mw
еЕ е
= ——I
Если подобрать Да> так, чтобы
— г«>Н + 2тгшД<а = 0, E)
с
то уравнение движения по отношению к вращающейся системе примет вид:
еЕ
Сравнивая это выражение с D), имеем: относительно вращающейся коор-
координатной системы, для1 которой выполнено условие E), сохраняется прежний
ьид уравнения движения, а следовательно, и прежний вид траектории элек-
электрон». Отсюда получаем, что относительно неподвижной координатной.
системы электрон в магнитном поле продолжает двигаться по ttpj/гу
puduytit г, но с измененной угловой скоростью <о 4" ^<й-
Для Дш из условия E) находим:
В общем случае, когда направление магнитного поля Н составляет произ-
произвольный угол с плоскостью орбиты, электрон сохраняет первоначальный вид
траектории относительно координатной системы, вращающейся относительно
вектора Н с постоянной угловой скоростью Дш. Такого рода возмущение
орбиты носит название прецессии, а величина Ды—угловой скорости пре-
прецессии.
Полученный вывод справедлив при условии, что внешнее магнитное поле
таково, что сила Лоренца мала по сравнению с кулоновой силой /, так как
только в этом случае можно пренебречь членом тгДш2.
Благодаря отрицательному знаку заряда электрона при //>0, до фор-
формуле F) угловая скорость прецессии Дш>0. Так как, с другой стороны,
магнитный момент электрона, движущегося по круговой орбите, положителен
при ш •< 0 (см. § 201), то отсюда мы приходим к выводу: внешнее магнитное
поле ведет к уменьшению по численному значению скорости обращения
электрона по орбите, если магнитный момент этой орбиты был направлен по
полю. В результате уменьшается и первоначальный магнитный момент вра-
вращающегося электрона. Таким образом, допуская внутри атомов и молекул
существование вращающихся электронов, можно объяснить диамагнитный
эффект.

370 ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. XIX
§ 215. Магнитное поле движущегося заряда. Если внешнее
магнитное поле действует на движущийся заряд, то, в свою очередь,
движущийся заряд вызывает в окружающем пространстве магнитное
поле. Это следует из того, что электрический ток, который пред-
представляет собой не что иное, как совокупность движущихся зарядов,
вызывает в окружающем пространстве магнитное поле. Величину поля,
создаваемого движущимся зарядом, можно определить, исходя из фор-
формулы Био — Савара — Лапласа (см. § 193), по которой элемент тока дли-
длиной Д/ создает в точке, отстоящей от него на расстоянии г, магнит-
магнитное поле напряженности:
где а — угол между направлениями тока и радиуса-вектора г.
Подставляя снова вместо силы тока / ее значение через ве-
величину движущихся зарядов е, их число в единице объема пй и их
скорость v, т. е. полагая I—en^vS, получим:
где 5 — поперечное сечение проводника. Так как в рассматриваемом
элементе проводника движется n' = naSM заряженных частиц, та
можно считать, что каждая из них создает поле напряженности:
at
Atf=™sina. A)
В этой формуле под скоростью заряда v подразумевается ско-
скорость относительно системы координат, в которой измеряется Д//.
Линии напряженности ДН магнитного поля, создаваемого движу-
движущимся зарядом, перпендикулярны к плоскости, содержащей вектор
скорости частицы v и радиус-вектор г.
В случае движения положительного за-
заряда направление напряженности ДН
определяется правилом буравчика: если
поступательное вращение буравчика со-
„ „-„ „ поставить направлению скорости v, то
Рис. 262. Направление напря- v K
женности магнитного поля ДН, направление вращения его головки даст
созданного зарядом, движущим- направление ДН; в случае движения от-
ся со скоростью v. рицательного заряда, направление ДН
будет противоположное (рис. 262). Фор-
Формула A), в том виде, в каком она приведена в настоящем параграфе,
справедлива при измерении всех входящих в нее величин в одной и той
же системе единиц, причем* безразлично в COSM- или COSE-cnciQue.
Это происходит потому, что формула Био — Савара — Лапласа без
каких-либо численных коэффициентов справедлива как в CQSM-,
так и в СС^-системах. Формула же Ампера не содержит численного

§ 215]
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ДВИЖУЩЕГОСЯ 8АРЯДА
371
коэффициента лишь в CGSM-системе (см. § 195), поэтому и фор-
формула Лоренца (§ 214) справедлива лишь в CQSM-системе; в
CGЖ-системе в ней справа должен стоять множитель \/съ.
Если же пользоваться смешанной системой, измеряя заряд е
в С05Я-еДиницах, Д# — в эрстедах, v — в см/сек яг — в сантиметрах,
то необходимо ввести коэффициент \\с в правую часть формулы A):
Д#= —Jl-sin a. (la)
Формула Aа) определяет напряженность магнитного поля в точке, от-
отстоящей на расстоянии г от движущегося заряда. Однако даваемые ею зна-
значения АН будут вполне правильны лишь в случае не слишком больших рас-
расстояний г и не слишком больших скоростей «; в противных случаях надо
принять во внимание конечную скорость распространения электромагнитного
поля.
Формула Aа), как и формула Лоренца, может быть записана в векторном
виде. Как следует из рис. 262, напряженность магнитного поля АН имеет то
же направление, что и векторное произведение [v X г], ,
отсюда: а &
,_ е [vxr]
B)
При одновременном движении двух зарядов между
ними, кроме силы электрического взаимодействия, воз-
возникает ещ? сила магнитного взаимодействия, обуслов-
обусловленная тем, что каждый из зарядов вызывает в окру-
окружающем пространстве магнитное поле, а второй дви-
движется в этрм магнитном поле. Сравним величину этих
сил. Для этого рассмотрим два заряда одного знака
е и е', расположенных на расстоянии г друг от друга.
Они взаимодействуют между собою тю закону Кулона
с силой
ее>
C)
Рис. 263. К ра-
расчету взаимо-
взаимодействия движу-
движущихся зарядов.
В указанном виде закон Кулона не содержит коэф-
коэффициента Пропорциональности, отличного от единицы,
т. е. он записан в предположении, что заряды е и е' измерены в
CGSE-сисцеме.
Предположим затем, что оба заряда движутся по параллельным
прямым аЬ\ и а'Ь' (рис. 263) с одинаковыми скоростями v. Тогда заряд е
образует, Согласно формуле Aа), в месте, где расположен второй заряд,
магнитное 'поле, напряженность которого в CGffi-системе равна:
ev
г1
Направлено это
векторы v и г.
поле перпендикулярно к плоскости, содержащей

372 ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. XIX
По формуле Лоренца [(За) § 214], оно будет действовать на за-
заряд е' с силой
причем эта сила будет направлена в сторону заряда е. С такой же
по величине силой будет действовать заряд е' на заряд е. Таким
образом, два заряда, движущиеся параллельно друг другу с постоян-
постоянной скоростью, взаимодействуют, кроме кулоновой силы, еще с до-
добавочной магнитной силой.
Сравнивая величины магнитной и кулоновой сил D) и C), получим:
ir=
Так как отношение двух сил /я/Л есть величина безразмерная,
то из формулы E) особенно наглядно следует, что электродинамиче-
электродинамическая постоянная с имеет размерность скорости.
Как мы указывали (см. § 195), электродинамическая постоянная с
численно равна скорости распространения электромагнитных возму-
возмущений в пустоте. Приняв это во внимание видим, что из формул D)
и E) следует: величина силы магнитного взаимодействия зарядов опре-
определяется квадратом отношения их скорости v к скорости распро-
распространения электромагнитных возмущений с. Так как в большинстве
случаев v-^c, то и сила магнитного взаимодействия между зарядами
обычно мала по сравнению с кулоновой силой.
Наличие магнитной силы взаимодействия между зарядами, выра-
выражаемой формулой D), обусловливает притяжение двух параллельных
проводов, по которым текут токи одного направления.
§ 1216. Экспериментальное изучение магнитного поля движу-
движущихся зарядов. Исторически обнаружение на опыте магнитного поля
движущихся зарядов сыграло существенную роль, так как оно под-
подтвердило точку зрения, по которой электрический ток в проводниках
представляет собой перенос зарядов. Кроме того, результаты изуче-
изучения магнитного поля движущихся зарядов были важны по тому влия-
влиянию, которое они оказали на развитие теории электромагнитного
поля, в частности на теорию эфира.
Электрический ток, обусловленный переносом какого-либо макро-
макроскопического заряженного тела, носит название конвекционного тока.
Магнитное поле конвекционного тока было наиболее полно изу-
изучено профессором Московского университета А. А. Эйхенвальдом
в начале нынешнего столетия.
Схема опыта Эйхенвальда следующая. Круглая пластинка В, сде-
сделанная из изолирующего материала (рис. 264), оклеена по краю коль-
кольцеобразной станиблевой обкладкой а. Пластинка закреплена на
вращающейся оси О со скользящим контактом, посредством которого

§216]
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
373
обкладка а заряжается от батареи до определенного постоянного
потенциала. Обкладка а служит одной из пластин конденсатора; вто-
второй пластиной конденсатора служит неподвижная металлическая ко-
коробка АС, играющая одновременно роль электростатической защиты.
Диск В вместе с кольцом а приводился в быстрое движение.
Таким образом, электрический заряд, сосредоточенный на кольце а,
находился в движении и возбуждал в окружающем
пространстве магнитное поле. Напряженность Н этого
поля измерялась с помощью магнит-
магнитной стрелки Ь, подвешенной на длин-
длинной и тонкой нити. Поворот стрелки
измерялся по смещению светового
зайчика, отраженного от зеркальца s,
прикрепленного к той же нити. Маг-
Магнитная стрелка помещалась внутри
металлического футляра для преду-
предупреждения возможных помех со сто-
стороны электрического поля. Измерен-
Измеренная таким образом напряженность
магнитного поля оказалась в полном
соответствии с вычисленной по фор-
формуле A) § 215.
Магнитное поле, вызванное при
движении диэлектрика с поверхно-
поверхностными зарядами, появляющимися на
диэлектрике при его поляризации,
было также экспериментально иссле-
исследовано проф. А. А. Эйхенвальдом.
В одном из вариантов своего опыта
Эйхенвальд приводил во вращение
вокруг оси 00' (рис. 265) конден-
конденсатор, состоящий из двух круглых пластин Аи Ви диэлектрика D
между ними. Весь конденсатор, вместе с диэлектриком, вращался
как целое. Пусть магнитная стрелка b расположена так близко, к одной
из обкладок, что практически она измеряет магнитное поле, вызванное
движением лишь этой обкладки и ближайшей поверхности диэлектрика.
Предположим, что конденсатор заряжен до разности потенциалов
1/(— Vq. Тогда на его обкладке возникнут заряды с поверхностной
плотностью:
a=C{Vi — l/s)e, A)
где е •— диэлектрическая постоянная среды между обкладками, а С —
постоянная, зависящая лишь от размеров и геометрической формы
конденсатора. На поверхности диэлектрика, примыкающей к пластине,
возникнут поверхностные заряды" обратного знака. По сказанному
Рис, 264. Схема
опыта Эйхен-
вальда.
Рис. 265. Схема
опыта Эйхен-
вальда по опре-
определению маг-
магнитного поля
движущегося
диэлектрика.

374 ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
в § 139, плотность а' этих зарядов будет:
[ГЛ. XIX
где х — коэффициент поляризации. Так как коэффициент поляризации
х связан с диэлектрической постоянной е соотношением: е = 1 -j- 4тс;
то последнее выражение можно переписать в виде:
, 1-1
или, подставляя вместо а его значение по A):
o'=C(VI—V,)(e—1).
B)
Плотности зарядов а и а' имеют противоположные знаки, поэтому
при движении пластин и диэлектрика они вызывают магнитные поля,
противоположно направленные. Результирующее значение напряжен-
напряженности магнитного поля Н определится разностью плотностей заря-
зарядов а — а'.
По A) и B):
Как видно, это значение разности плотностей а — а' не зависит
от диэлектрической постоянной е. Таким образом, для конденсатора
данных размеров и формы при заданной разности потенциалов Vx — V9
Рис. 266. Схема опыта Иоффе по определению
магнитного поля электронного пучка.
благодаря поляризации диэлектрика, суммарный заряд, вызывающий
магнитное поле, не зависит от природы диэлектрика. И действительно,
Эйхенвальд наблюдал, что при вращении дисков А к В, заряженных
до определенной разности потенциалов V, — V3. создаваемое ими
магнитное поле не зависело от того, какой именно диэлектрик D
был расположен между ними. Этим было доказано, что и связанные
заряды поляризованного диэлектрика при своем движении вызывают
в окружающем пространстве магнитное поле.
Наконец, магнитное поле свободных движущихся электронов было
измерено акад. А. Ф. Иоффе. Горячий катод К (рис. 266) служил

§ 216] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 375
источником электронов, которые затем ускорялись в пространстве
между катодом К и анодом А. Далее, пролетев' через отверстие а,
электроны двигались равномерно, без столкновений. В конце пути
они попадали внутрь фарадеева цилиндра F и отдавали ему свой
заряд; обусловленный ими ток измерялся гальванометром G. Вблизи
средней части трубки помещалась астатическая система магнитов.
Магнитное поле, возбуждаемое потоком электронов, вызывало откло-
отклонение этих магнитов.
Пучбк электронов мог быть заменен проволокой, по которой про-
пропускался электрический ток. Чтобы получить такое же отклонение
магнитных стрелок, надо было пропускать по проволоке ток, равный
по силе току, измеряемому гальванометром О при наличии электрон-
электронного пучка. Таким образом, была доказана эквивалентность в смысле
возбуждения магнитного поля электронного пучка и обычного тока
проводимости.
Существенно отметить, что в формулах § 215 под скоростью заряда v
надо подразумевать скорость по отношению к координатной системе,
в которой измеряется сила /. В конце прошлого столетия, когда предпола-
предполагалось, что носителем электромагнитных процессов является эфир, заполня-
заполняющий лее пространство в виде сплошной среды, казалось, что магнитное поле
должно возникать при движении зарядов относительно эфира. Поэтому
можно было надеяться, что наблюдение магнитного поля зарядов позволит
обнаружить движение относительно эфира. Поскольку эфир представлялся
в виде среды, заполняющей все доступное нашим наблюдениям пространство,
постольку такое движение должно было считаться абсолютным. По механи-
механическому принципу относительности (см. т. I, § 19) обнаружить абсолютное
поступательное движение с помощью механических процессов невозможно.
В § 215 мы- рассматривали два заряда е и е\ движущихся по параллель-
параллельным траекториям с одинаковыми скоростями v. Такие заряды взаимодей-
взаимодействовали, кроме силы Кулона, еще с магнитной силой:
f ee'( v V tn
/ [) C)
В этом случае особенно ясна альтернатива — обусловлено ли возникнове-
возникновение магнитного поля: 1) относительным движением заряда по отношению
к координатной системе, в которой измеряется сила /, или 2) движением
относительно эфира. В самом деле, в первом случае магнитные силы должны
отсутствовать, если оба заряда неподвижны относительно данной координат-
координатной системы, хотя бы они вместе с ней и участвовали в общем переносном
движении. Во втором случае магнитные силы должны существовать и тогда,
когда заряды покоятся относительно координатной системы, которая сама
находится в состоянии прямолинейного и равномерного движения. Пусть
в лаборатории на земном шаре находятся неподвижные по отношению к нему
заряды. Земной шар движется, совершая суточное и годичное движение и
увлекаясь вместе со всей солнечной системой относительно других звезд.
Спрашивается: существуют ли, кроме сил Кулона, еще добавочные магнитные
силы взаимодействия между зарядами? При первом предположении такого
взаимодействия не должно быть, при втором — такая добавочная сила должна
существовать. Непосредственно обнаружить эту силу невозможно: как видно
из формулы C), она отличается от силы Кулона множителем (—-1 , где v —

376 ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ- [ГЛ.- XIX
скорость зарядов, а с — электродинамическая постоянная, равная скорости
распространения электромагнитных возмущений в пустоте или,' что то же
самое, скорости света. Ввиду того, что скорость .света очень велика.
(М-101* ем/сек),' это отношение, как мы отмечали, обычно весьма мало. Тем
не менее можно придумать такой вариант опыта, при
+с? котором наличие этих добавочных сил должно обна-
,_ ружиться. Этот опыт был предложен и осуществлен
_ ° Трутоном и Ноблем в 1904 г.
-а Рассмотрим плоский конденсатор, движущийся
Риг Ж7 Гурмя опыта с0 скоростью v, направление которой параллельно
Тпутона и Нобля^ обкладкам конденсатора (рис, 267). Если монденса-
ipyu л и поолн. ТОр заряжен, то каждая из его пластин создает в
окружающем пространстве магнитное поле. По фор-
формуле Aа) § 215 можно сосчитать, что напряженность магнитного поля Н
в пространстве между пластинами конденсатора (при условии, что поверх-
поверхностные плотности их зарядов соответственно равны+ ? и — а и магнитная
проницаемость среды между ними |а=1) равна
Кроме того, между пластинами конденсатора имеется электрическое поле
напряженности
Е = 4т.
(Считаем диэлектрическую постоянную среды между пластинами 6 = 1.),'
Вне конденсатора напряженность обоих полей равна нулю. В § 138 мы
видели, что электростатическое поле обладает энергией с объемной плот-
плотностью ?D/8it.
Отсюда получаем, что электрическая энергия всего конденсатора равна
где V — объем пространства между пластинами конденсатора.
В § 227 мы увидим, что и магнитное поле обладает энергией с объемной
плотностью //В/8я, откуда магнитная энергия конденсатора
Следовательно, полная энергия конденсатора равна:
или
Если скорость v составляет угол а с обкладками конденсатора, то сле-
следует взять лишь проекцию скорости на направление, параллельное обкладкам,
в результате чего формула D) примет вид:
] Da)
Таким образом, энергия конденсатора зависит от угла аи обладает, мини-
мумом при о = -у, т. е. когда конденсатор располагается перпендикулярно
к направлению движения. Минимуму энергии соответствует наиболее
устойчивое состояние, поэтому конденсатор будет стремиться вернуться-

216] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 377
в положение, при котором «¦= -^-. Момент ориентирующей его пары равен
взятой с обратным знаком производной от энергии по углу о:
Трутон и Нобль пытались обнаружить наличие такого момента сил сле-
следующим образом. Небольшой конденсатор подвешивался на длинной и тонкой
нити. Конденсатор заряжался до разности потенциалов в 3000 в. С помощью
светового зайчика, отраженного от зеркальца,1 соединенного с конденсатором,
они наблюдали его крутильные колебания. Отсюда'они находили положение
равновесия конденсатора. Это положение равновесия определялось упругими
свойствами1 нити и наличием момента М. Направление и скорость движения
Земли относительно эфира неизвестны. Но во всяком случае в течение суток,
из-за вращения Земли вокруг своей оси, угол а меняется и, следовательно,
должно меняться положение равновесия конденсатора. Наблюдения показали,
что никаких систематических отклонений в течение суток не обнаруживается.
Суточные отклонения не превышали по величине тех, которые могли бы быть
вызваны движением Земли относительно эфира со скоростью 12 км/сек.
В действительности скорость орбитального движения Земли вокруг Солнца
равна 30 км/сек. Опыты повторялись в различное время года, так что воз-
возможность случайной взаимной компенсации скоростей движения Земли и
движения всей солнечной системы в пространстве отпадала. Впоследствии
этот опыт не раз повторялся. В 1926 г. Томашек настолько повысил чувстви-
чувствительность метода Трутона и Нобля, что он мог бы обнаружить движение
Земли относительно эфира со скоростью 0,5 км/сек. Все. наблюдения Тома-
шека также не обнаружили наличия момента М.
Таким образом, наблюдения с несомненностью доказали, что магнитное
поле зарядов обусловлено их движением относительно системы, в которой ве-
ведется измерение. Опыты над электромагнитными явлениями не позволяют,
как и чисто механические опыты, обнаружить абсолютЯбе равномерное дви-
движение сиетемы в пространстве. Эфир не
может служить системой отсчета (ср. со
сказанным в § 152). Впоследствии мы уви-
увидим (т. III), что и наблюдения световых
явлений также не позволяют обнаружить
абсолютное равномерное движение. Все эти
факты были обобщены теорией относитель-
относительности Эйнштейна, полностью выявившей
роль относительности движения.
Содержание теории относительности
будет нами рассмотрено более подробно
в т. III. Здесь только отметим, что утверж-
утверждение о зависимости физических процессов
от относительной скорости систем отсчета
друг относительно друга ни в коей мере
не связано с порочным философским реля- Рис. 268. Две системы координат.
тивизмом, утверждающим относительность
всех наших знаний. Теория относительности вскрывает, в конечном счете,
независимость физических законов от того, относительно какой системы
отсчета они формулируются (дает метод находить инвариантный или, как
говорят, „ковариантный" вид законов по отношению к переходу от одной
системы отсчета к другой, движущейся относительно первой прямолинейно
и равномерно).

378 ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. XIX
Представим себе две системы отсчета: XYZ и X'VZ' (рис. 268). Пусть
система X'VZ' движется относительно XYZ с постоянной скоростью V. Обо-
Обозначим значения напряженностей электрического и магнитного полей, изме-
измеренные в системе XYZ, через Е и Н, а измеренные в системе Х'У'Ъ'— через
Е' и Н'. Пусть в системе X'VZ' имеются источники электрических и магнит-
магнитных полей, напряженности которых по отношению к этой координатной
системе равны Е' и Н'. Тогда в системе XVZ', по формуле Лоренца, на
заряд е, неподвижный в системе координат XYZ, действует сила:
Ё уг|Н'Х v|. E)
По Сравнению с формулой (Зв) § 214 здесь изменен порядок множителей
в векторном произведении, так как скорость заряда е относительно системы
X'Y'Z' равна —v.
Если скорость v мала по сравнению со скоростью света с, то сила Г
равна силе f, измеряемой в системе XYZ. Таким образом, в системе координат
XYZ на заряд е, неподвижный относительно этой системы, действует сила
i = E'e + ye[H'Xvl. Ea)
В электростатике напряженность электрического поля измеряется отно-
отношением силы /, действующей на заряд, к величине заряда: fie. Поэтому на-
наличие силы/, даваемой формулой Eа), эквивалентно тому, как если бы в си-
системе XYZ существовало электрическое поле напряженности:
Е = Е'+ i-|H'xv]. F)
В той же координатной системе XYZ, кроме напряженности магнитного
поля Н', существует еще добавочное магнитное поле, вызванное тем, что вся-
всякий заряд е', неподвижный в системе X'Y'Z', движется относительно системы
XYZ со скоростью v. Напряженность этого добавочного поля:
^L. ^., =J_ ^
с г8 с L r
Ho e'tjr% есть напряженность электрического поля Е1, измеряемого в сис-
системе X'Y'Z' в точке, отстоящей на расстоянии г от заряда е'.
Таким образом:
Н, = 1 [v X Е']
и, следовательно, полная напряженность магнитного поля Н в системе XYZ
равна:
. с ' '" . '
Формулы F) и G) указывают на связь между напряженностями электри-
электрического и магнитного полей, измеренными в двух системах, движущихся
одна относительно другой. Они позволяют разобрать любой случай относи-
относительного движения.
Положим, например, что в системе X'Y'Z' имеется лишь заряд «', непо-
неподвижный относительно этой системы. В этой системе в некоторой точке В,
отстоящей от заряда на расстоянии г, напряженность электрического поля
Е' = —j. Никакого магнитного поля в системе X'Y'Z' не будет (//' = 0),
Следовательно, если поместить в точку В другой заряд е, тоже неподвиж-

§ 217]
ЭФФЕКТ ХОЛЛА
379
ный относительно системы X'Y'Z', то между зарядами никакой другой силы,
кроме кулоновой, существовать не будет, хотя система X'Y'Z движется
относительно системы XYZ со скоростью v. Это соответствует условиям
опыта Трутона и Нобля и его отрицательному результату.
В системе же XYZ должно, по формуле G), наблюдаться, кроме электри-
электрического, еще магнитное поле напряженности
(8)
Это поле можно обнаружить, поместив в точку В магнитную стрелку.
Такая схема соответствует опыту Эйхенвальда: заряд, движущийся относи-
относительно системы координат, вызывает в этой системе магнитное поле.
Наконец, в точку В, вместо магнитной стрелки, можно поместить заряд е.
Если этот заряд неподвижен относительно системы XYZ, то на него, по F),
будет действовать лишь электрическое поле напряженности Е = Е'. Это со-
соответствует тому факту, что на неподвижные электрические заряды магнит-
магнитное поле не действует. Если же заряд е заставить двигаться относительно
системы XYZ со скоростью vb то, по формуле Лоренца, на этот заряд будет
действовать еще сила:
/=JL[vlXH].
(9)
Если вектор скорости Vi сделать равным вектору v, то заряд е станет
неподвижным относительно заряда е', но оба они будут двигаться относи-
относительно координатной системы XYZ по параллельным прямым с одинаковыми
скоростями. Если для простоты положить еще, что скорость v перпендику-
перпендикулярна к г, то формула (8) примет вид:
и— l e'v
"~Т г2'
а формула (9) — вид:
что совпадает с формулой C) и соответствует случаю притяжения двух па-
параллельных проводов, по которым текут токи одного направления.
Формулы преобразования полей F)
и G) справедливы только для случая,
когда скорость движения зарядов о мала
по сравнению со скоростью света с.
Теория относительности дает общие фор-
формулы перехода от одной системы от-
отсчета к другой, справедливые для лю-
любых скоростей.
§ 217. Эффект Холла. Суще-
Существование силы Лоренца, действую-
действующей на электрический заряд, движу-
движущийся в магнитном поле, позволяет
объяснить следующее явление: при
протекании тока / вдоль проводящей
пластинки, помещенной перпендику-
перпендикулярно к линиям внешнего магнит-
магнитного поля //(рис. 269), между краями А а В пластинки возникает раз-
разность потенциалов V д — Vb. Это явление носит название эффекта Холла.
Рис. 269. Возникновение разности
VЛ — Vв в магнит-
магнитном поле.

380 ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ [гл. XIX
Возникающая разность потенциалов V а — V в пропорциональна
произведению силы тока на напряженность магнитного поля /Я
и обратно пропорциональна толщине пластинки d:
уА-Ув=кЩ-, A)
где К является постоянной. .
Если ток обусловлен переносом зарядов е, то в магнитном поле И
на них действует сила Лоренца, отклоняющая их в направлении, пер-
перпендикулярном к направлению тока. В результате этого заряды нач-
начнут накопляться у края пластинки Л до тех пор,пока вызванное ими
электрическое поле не уравновесит действие магнитной силы.
По формуле Лоренца [C) § 214] сила, действующая на заряд,
в нашем случае 1а = -^ равна:
fH=evH,
где v — средняя скорость движения зарядов в направлении распро-
распространения тока. . .
1 Напряженность электрического поля, вызванного появлением раз-
разности потенциалов Va—Vв, будет:
¦. - Е==—ъ—• . ¦• .. .. ....
где b — ширина пластины. ,¦¦¦.-.
Следовательно, электрическая сила, действующая на заряд, равна:
Стационарное состояние наступит при равенстве сил: /н=/е,
откуда получим соотношение:
¦ vA — vR •_ ¦ : у ¦ ¦'¦¦¦¦¦' ¦¦¦¦>
е А b B =evH. B)
Среднюю скорость движения зарядов v в проводнике получим,
использовав соотношение между силой тока /, числом зарядов в еди-
единице объема проводника п и скоростью их движения (см. § 214):
/ = Ъ dnev, откуда v = -г-.—.
Подставляя это значение г» в B), получим:
V А V в— пе d . Ли)
Таким образом, в соответствии с эмпирической формулой A) ве-
величина Va — Vb пропорциональна произведению ///и обратно про-
пропорциональна толщине d пластины. Постоянная К оказывается равной:
К=~. D)

§ 217] эффект холла 381
Отсюда видно, что знак постоянной К должен зависеть от знака"
заряда е. Положительный знак постоянной К указывает, что потен-
потенциал точки А (рис. 269) выше потенциала точки В.
По сказанному в § 161, электропроводность металлов обуслов-
обусловлена наличием свободных электронов, причем на каждый атом ме-
металла приходится приблизительно один свободный электрон. Таким
образом, для металлов постоянная К должна быть отрицательной,
и ее численное значение должно определяться зарядом электрона е
и числом свободных электронов в единице объема металла я.
Вывод выражения D) для постоянной К неточен. На самом деле
нельзя выражать силу fH, действующую на заряд в магнитном поле,
через среднюю скорость заряда v. Если учесть, что на длине сво-
свободного пробега электрона его скорость в направлении распростране-
распространения тока равномерно возрастает, то в выражение для К войдет еще
численный множитель 2/3; тогда
* = ГЙГ <4а)
Обозначим число атомов в единице объема металла через я0 и
положим, что л = гл0; тогда z показывает, какое в среднем число
свободных электронов приходится на один атом. Число атомов в еди-
единице объема пй легко связать с числом Авогадро N. В самом деле,
масса одного атома, с одной стороны, равна Л/Л/, где А — атомный
вес, а с другой, — равна р/яв, где р — плотность. Отсюда
Р A No
— = тг или Пл= -г-,
п0 N » А
откуда
.. .... „—м.г.
Подставив это значение я в Dа), получим:
V— 2 А
3 Neoz'
но Ne = — F, где F—число Фарадея; отсюда для постоянной К
для металлов получаем: ¦
К= з7>7- W
Многие металлы действительно дают отрицательную постоянную К
ожидаемой величины. Из найденного на опыте значения постоянной К
можно найти величину z; для ряда одновалентных металлов z полу-
получается близким к единице,^—так, для натрия величина 2 = 0,65, для
серебра z= 0,75} для золота 2 = 0,9. Для металлов с более высо-
высокой валентностью z получается больше, — например для алюминия
,г = 2,0. Однако существуют такие металлы (Zn, Cd, Pb, Fe и неко-
некоторые другие), которые дают положительное значение постоянной К-

382 ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. XIX
Этот факт непонятен с точки эрения приведенной элементарной тео-
теории и может быть объяснен лишь на основе квантовой механики.
Эффект Холла наблюдается только в проводниках с электронной
проводимостью. В электролитах с их ионной проводимостью заметный
эффект отсутствует. Это объясняется тем, что тяжелые ионы имеют
гораздо меньшие скорости, чем электроны.
В полупроводниках постоянная К сильно возрастает с понижением
температуры, что соответствует быстрому снижению числа свободных
электронов в единице объема с понижением температуры. Знак эф-
эффекта Холла у полупроводников позволяет судить, носит ли прово-
проводимость полупроводника электронный или „дырочный" характер
(§ 171). Для полупроводников со „смешанной" проводимостью явле-
явление носит более сложный характер.
§ 218. Определение удельного заряда электронов. Выражение
для силы Лоренца позволяет определить отношение заряда движу-
движущейся частицы е к ее массе т. Это отношение ejtn принято назы-
называть удельным зарядом.
Представим себе пучок заряженных частиц, который движется
с постоянной, скоростью v в вакууме в плоскости, перпендикулярной
к направлению напряженности внешнего
магнитного поля-Н (рис. 270, напряжен-
напряженность поля Н перпендикулярна к плос-
плоскости рисунка). Тогда угол между на-
направлениями скорости частицы v и на-
напряженности Н равен ir/2, и, по формуле
(За) § 214, на частицу действует по-
постоянная сила:
Рис. 270. Сила Д/, действую- Д/= —evH. A)
щая на заряд, движущийся пер- с v '
пендикулярно к направлению
магнитного поля. Эта сила во все время движения направ-
направлена перпендикулярно к направлению
вектора скорости частицы v. Так как при этом на частицу по усло-
условию не действуют никакие другие силы, то ее скорость v постоянна
по величине, и, следовательно, траектория частицы представляет собой
дугу круга. Если радиус этого круга /?, то центростремительное уско-
ускорение частицы равно v^/R, и по второму закону Ньютона связь между
этим ускорением и силой Д/ выразится соотношением:
Подставляя сюда вместо силы Д/ ее значение по A), получим:

§218] ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНОВ 383
откуда для удельного заряда частицы находим:
5-Нг- B)
Радиус кривизны траектории частиц R и напряженность магнит-
магнитного поля Н могут быть непосредственно измерены. Таким образом,
для определения е/т остается знать скорость частицы v. Скорость
чаетицы v можно определить различными способами. Ее можно, на-
например, Определить по ускоряющей разности потенциалов Vt — V2.
При движении частиц в вакууме вся работа электрических сил
e(Vi— Vi) идет на увеличение их кинетической энергии mvi/2, откуда:
mv* IV V \
и, следовательно,
Подставив это значение v в B) и возводя правую и левую части
полученного равенства в квадрат, после преобразований получим:
Томсон использовал иной способ для исключения скорости v из
выражения для удельного заряда е/т. Для этого он заставлял пучок
частиц Одновременно двигаться в магнитном и поперечном к нему
электрическом полях. Схема опыта ^ -^
Томсона, примененного им для А /'д
р у р
электрона, изображена на ряс.
определения удельного заряда /^ | /i-
электрона изображена на ряс ^Hp=i '-та_!-1_ -
'J~~~~
271; К—катод, служащий источ- N—J—у' , i
никои электронов; X —диафраг- f+ ч^ I
ма, выделяющая пучок электронов. ^-- "
Между Л- и Л приложена разность Рис- т- Схема опыта Томсона для
¦ , ¦ определения удельного заряда элек-
потенциалов, сообщающая элек- * трона.
тронам скорость v, с которой они
затем и движутся в пространстве за диафрагмой. Пунктирным кругом
указана область, где возбуждается магнитное поле напряженности Н,
перпендикулярное к плоскости рисунка. Это поле получается с по-
помощью электромагнита, между полюсами которого располагается
трубка. В\ и Вг — две параллельные пластины; между ними возбу-
возбуждается электрическое поле. С—флуоресцирующий экран, на кото-
котором светящееся пятнышко определяет то место, в которое попадает
катодный луч. Пусть направление магнитного поля таково, что пучок
электронов отклоняется вниз. Тогда при наличии лишь магнитного
поля электроны будут двигаться в области. поля по дуге круга

384;
ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
[гл. xix
(пунктирная линия), и светящееся пятнышко на флуоресцирующем
экране сместится вниз. По величине этого смещения вычисляется
радиус кривизны R. Затем одновременно с магнитным полем возбуж-
возбуждается между пластинами 5, и fiQ электростатическое поле напряжен-
напряженности Е и такого направления, чтобы электрическая сила ёЕ, дейст-
действующая на электрон, была направлена противоположно магнитной
силе Д/ (в нашем случае электрическая сила должна быть направлена
вверх). Электрическое поле подбирается такой величины, чтобы пучок
электронов вовсе не испытывал отклонения, что будет иметь место
при равенстве по величине электрической и магнитной сил:
1 сЕ
еЕ = — evH, откуда v = -^.
Подставляя это значение v в B), найдем:
е _ с*Е
т~ RH3 "
Таким образом, по напряженности полей Е к Н и радиусу кри-
кривизны R определяется удельный заряд е/т. ' ' .
Существует ряд видоизменений метода Томсона (см. мелкий шрифт),
цель которых — повысить точность промеров. Как уже указывалось,
для малых скоростей электронов:
е —5 273 10" CGSE-tR- заРяДа
т ' г
Отсюда по известному значению заряда электрона е вычисляется
масса электрона т.
При больших скоростях электронов сказывается зависимость
массы от скорости в соответствии с принципом относительности,
т в результате чего отношение е/т убы-
убывает с увеличением скорости. Так как
скорости электронов могут быть сде-
сделаны весьма большими, то убывание е/т
с увеличением скорости оказывается
вполне заметным и служит эксперимен-
экспериментальным подтверждением зависимости
массы от скорости. Тщательное экспе-
экспериментальное исследование зависимости
отношения е/т для электронов от ско-
¦ ¦ ¦
P-"
/
г
—
Рис. 272. Зависимость массы
электрона от скорости.
рости находится в очень хорошем соответствии с теоретическими
выводами.
На рис. 272 точками изображены измеренные значения массы элек-
электрона для разных скоростей; сплошная кривая дает зависимость массы
от скорости в соответствии с формулой теории относительности:

§ 218] ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНОВ 385
где т. — масса при данной скорости v; т0 — масса при бесконечно
малой скорости („масса покоя") и р = —, где с—скорость света
в пустоте. Как было указано на стр. 144, „масса покоя" электрона
/но = 9,109-Ю8 г.
Когда была открыта зависимость массы от скорости, многие
буржуазные ученые пытались использовать этот факт для обоснова-
обоснования порочного утверждения о том.^что материя якобы исчезает. Ра-
Разоблачая их, Ленин писал:1 «„Материя исчезает'—это значит исче-
исчезает тот предел, до которого мы знали материю до сих пор, наше
знание идет глубже; исчезают такие свойства материи, которые каза-
казались раньше абсолютными, неизменными, первоначальными (непрони-
(непроницаемость, инерция, масса и т. п.) и которые теперь обнаруживаются
как относительные, присущие только некоторым состояниям материи.»
Рассмотрим теперь метод определения ejm путем фокусировки пучка
электронов продольным магнитным полем. Пусть электрон летит с по-
постоянной скоростью V, составляющей угол а с направлением магнитного
поля Н. Мы легко определим вид траектории электрона в этом случае, если
разложим его движение на две составляющих — одну вдоль магнитного поля
и другую — перпендикулярную к нему. Составляющая скорости вдоль магнит-
магнитного поля о ..== и. cos a, a составляющая, перпендикулярная к направлению
магнитного поля, v^ = v sin a.
Проекция пути электрона на плоскость, перпендикулярную к Н, пред-
представит собой окружность, радиус которой определится соотношением B):
Проекция движения электрона на направление, параллельное Н, окажется
равномерным движением со скоростью »ц, так как в магнитном поле нет
составляющей силы, действующей на заряд вдоль поля. Таким образом, сама
траектория электрона будет винтовой линией.
Время t, необходимое для того, чтобы электрон описал один оборот этой
винтовой линии, равно:
Подставляя сюда вместо /? его значение по D), получим:
h
т
Таким образом, время t не зависит ни от величины, ни от направления ско-
скорости электрона v, а определяется только напряженностью магнитного поля Н
и удельным зарядом электрона elm. На этом соотношении основан метод
определения elm, который заключается в следующем.
Электроны, испускаемые горячим катодом К, расположенным внутри
откачанной трубки (рис. 272), проходят через отверстие в диафрагме А.
1 В. И. Ленин, Материализм и эмпириокритицизм, Госполитиздат, 1951,
стр. 243.
13 С. Фриш и А. Тнморева

386 ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ [гл. XIX
Между катодом К и диафрагмой А прикладывается ускоряющее поле с раз-
разностью потенциалов V\ — V$. Таким образом, создается пучок электронов,
скорость которых v определяется из соотношения:
-I mv* = е (V, — V2). (б)
Затем пучок электронов проходит между пластинами конденсатора С,
между которыми возбуждается переменное электрическое поле напряжен-
напряженности Е. Под влиянием этого переменного поля электроны в различные мо-
моменты времени отклоняются на различные углы а по отношению к оси при-
прибора. Между конденсатором С и флуоресцирующим экраном В возбуждается
продольное магнитное поле с помощью соленоида, внутрь которого вста-
вставляется трубка. По сказанному, при этих условиях электроны двигаются по
винтовой линии. За время t, в течение которого электроны описывают один
оборот винтовой линии, они успевают пройти вперед отрезок;
/ = »„*¦
Подставляя сюда вместо времени t его значение E), получим;
2-KCV • COS а
т
Если угол а мал, то cos в = 1 и
г
— Я
т
Таким образом, отрезок / оказывается с достаточной степенью прибли-
приближения не зависящим от того, на какой угол а электроны были отклонены
в конденсаторе С. .
Так как за это же самое время t все электроны успевают сделать один
оборот винтовой линии, то, следовательно, они все пересекут ось прибора
Рис. 273. Схема определения удельного заряда элек-
электрона методом магнитной фокусировки (метод Буша)!
на одинаковом расстоянии I от конденсатора С, На рис. 273 представлено
несколько траекторий электронов. Видно, что все они пересекаются в одной
точке О. Эта точка, по аналогии с местом пересечения оптических лучей,
называется фокусом электронов. Положение фокуса меняется при измене-
изменении напряженности продольного магнитного поля Н. Напряженность Н мо-
может быть подобрана так, чтобы фокус пришелся как раз на флуоресцирую-
флуоресцирующий экран В, что легко установить по резкости следа пучка на экране. При
этом отрезок I равен расстоянию между конденсатором С и экраном В и,
следовательно; может быть измерен. Зная же /, легко определить удельный
заряд электрона е/т. В самом деле, из G) имеем:
е

§ 218] ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНОВ 387
Подставив сюда вместо скерости о ее значение по F), найдем:
е _ 8«»с8 (Vt — У2)
т ~ РН"
Здесь справа стоят величины, доступные непосредственному измерению.
Таким образом, определится и е/т.
Другой точный метод определения удельного заряда электрона е/т но-
носит название метода фильтра скоростей. В откачанной трубке (рис. 274)
с помощью горячего катода К и диафрагмы At получается пучок электронов.
Затем он проходит между пластинами двух конденсаторов Ci и С2. Между
конденсаторами располагается вторая диафрагма As, пропускающая лишь те
электроны, которые не были отклонены в конденсаторе Си На пластины
обоих конденсаторов подается синхронно переменная разность потенциалов,
меняющаяся со временем по синусоидальному закону с периодом Т. Тогда
J_41 _L~
Рис. 274. Схема определения удельного заряда
электрона методом фильтра скоростей.
через диафрагму могут проникнуть только те электроны, которые пролетали
между пластинами конденсатора Си когда разность потенциалов между ними
равнялась нулю. За время t, в течение которого электроны долетят до вто-
второго конденсатора, подаваемая на конденсаторы разность потенциалов успеет
измениться, и электроны отклонятся. Отклонение будет отсутствовать только
в том случае, если время t окажется кратным полупериоду Г/2. В этом слу-
случае пучок электронов даст след в центре флуоресцирующего экрана В.
Таким образом, чтобы пучок не был отклонен ни тем, ни другим кон-
конденсатором, должно быть выполнено условие:
где п — целое число.
С другой стороны, время / определяется следующим образом: пусть /
есть расстояние между конденсаторами, тогда t = —, где v — скорость элек-
электронов. Эта скорость может быть найдена по ускоряющей разности потен-
потенциалов Vt — Vt, приложенной между катодом К. и диафрагмой Аи из соот-
соотношения:
^ mv* = е (V, - V,), откуда ? = •? = ^ (?%,)•'
Воспользовавшись этим значением t" и формулой (8), получим:
¦ -1 - 2Р (9)
^~~ n'PW—Ft) * ('
Для выполнения измерения период Г уменьшается, пока впервые пучок
электронов не попадает в центр экрана В. Это соответствует я = 1, откуда,
по (9), по известным la V,. — Vs находят удельный заряд е/т.
13*

388
ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. XIX
§ 219. Определение удельного заряда положительных ионов.
Указанные методы, основанные на отклонении частиц в электрическом
и магнитном полях, в принципе пригодны для определения удельного
заряда ejtn не только электронов, но и любых ионов. Однако труд-
трудность их применения для определения удельного заряда ejm атомных
или молекулярных ионов заключается в том, что источником ионов
обычно служит не какой-либо твердый электрод, а газ, в котором про-
происходит разряд. При этом ионы возникают в разных местах, в обла-
областях с различными потенциалами, в результате чего скорости их оказы-
оказываются различными. Но при различных
скоростях ионы получат в одних и тех
же полях различные отклонения, что
делает невозможным промер. Чтобы из-
избежать влияния скорости, Томсон при-
применил метод, получивший название ме-
метода парабол. Этот метод основан на ,
применении электрического и магнит-
магнитного полей, направленных в одну и ту
Рис. 275. Схема метода парабол, же сторону. Представим себе частицу,
летящую вдоль оси OZ с начальной
скоростью г>0 (рис. 275). Пусть напряженности электрического поля Е
и магнитного поля Н направлены обе вдоль оси ОХ и действуют на
одном и том же участке пути частицы z. Co стороны электростати-
электростатического поля на частицу с зарядом е действует постоянная сила, на-
направленная вдоль оси ОХ:
/х = еВ. A)
Со стороны магнитного поля на ту же частицу действует сила
Лоренца, направленная по правилу левой руки вдоль оси OY:
B)
Таким образом, электрическое и магнитное поля будут отклонять
частицу во взаимно перпендикулярных направлениях, и она пересечет
плоскость АВ, параллельную плоскости XOY, в некоторой точке а
с координатами хну.
Пусть масса частицы равна т, тогда составляющая ее ускорения
wx, no A), равна:
Так как эта составляющая ускорения постоянна, то смещение частицы
вдоль оси ОХ носит характер равномерно-ускоренного движения, и
за время М, за которое частица пролетит вперед на отрезок z, она

§ 219] ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ИОНОВ 389
отклонится вдоль оси ОХ на величину:
1 W9 1
х = ~wx • Af= (
2 х 2 \ т
но Д^ =—, откуда:
1>о
2
Величину -y-Ez*, постоянную для данных условий опыта, обозначим
через С\, тогда:
1 \ mj v% wJ
Точно так же по B) найдем, что составляющая ускорения части-
частицы wy равна:
Так как wy тоже постоянно, то смещение частицы вдоль оси ОУ бу-
будет:
или, снова подставляя сюда вместо Д^ его значение zjvu, найдем:
Обозначая величину =- Hz*, постоянную для данных условий опыта,
через Сг, получим:
Формулы C) D) определяют координаты смещения частицы в
электрическом и магнитном полях. Как видно, при данных условиях
опыта координаты смещения определяются двумя факторами: удель-
удельным зарядом частицы е/т и ее скоростью и0. Частицам с одинако-
одинаковым удельным зарядом е/т, но различными скоростями va, соответ-
соответствуют разные точки пересечения их траекторий с плоскостью АВ.
Все эти точки пересечения расположатся вдоль определенной кривой,
уравнение которой получим, исключив из выражений C) и D) ско-
скорость г>0:
Как видно, — это уравнение параболы. Томсон помещал на пути
частиц фотографическую пластинку, на которой получались следы

390 ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. XIX
частиц в виде параболических кривых. Каждая парабола соответст-
соответствует одному и тому же отношению е/т, но различным скоростям. Раз-
Различные параболы соответствуют частицам с различными отношениями
е/т. Находя для наблюденной параболы у*=рх значение ее параметра
С-1 e V
/>=-^ — и зная Ci и C<j, можно найти отношения зарядов ионов
Ci \ т j
к их массам.
В опытах Томсона наблюдались не только однозарядные, но и
многозарядные ионы. Если эти ионы одинаковой природы (например,
О+ и О++), то их удельные заряды ех/т и е^т будут в точности
относиться, как целые числа, так как заряды е^ и е2 могут быть
только целыми кратными от заряда электрона е.
V Если же речь идет об ионах с одинаковыми зарядами, но различ-
различной природы (например, Н+ и О+), то их удельные заряды е/тх и
е/т% будут относиться, как массы данных частиц тг и тх. Таким
образом, метод парабол позволяет непосредственно сравнивать массы
атомов или молекул между собою. Наблюдая параболы, соответствую-
соответствующие неону, Томсон обнаружил наряду с интенсивной параболой, от-
отвечающей атомному весу неона 20, еще вторую, более слабую пара-
параболу, которой отвечало [несколько иное отношение е/т; измерения
показали, что это отношение соответствует атомам с атомным ве-
весом 22. Таким образом, оказывается, что существуют два сорта
атомов неона, обладающих одинаковыми зарядами, но несколько раз-
различными массами.
В настоящее время известно, что большая часть элементов пред-
представляет собой смесь двух или более изотопов, т. е. веществ, вполне
сходных по своим физическим и химическим свойствам, но обладаю-
обладающих несколько различными атомными весами.
Рис. 276. Масс-спектрограф.
Метод сравнения масс ионов по их отклонению в электрическом
и магнитном полях был усовершенствован Астоном. В методе Астона
ионы последовательно проходят через области действия электриче-
электрического и магнитного полей, вызывающих их отклонения в противо-
противоположных направлениях.
Схема прибора Астона представлена на рис. 276. Диафрагмы Si
и S2 выделяют узкий пучок ионов, который затем проходит между

§ 219] ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ИОНОВ 391
параллельными пластинами С и С". Пластинам С и С" сообщается
определенная разность потенциалов, так что между ними образуется
электрическое поле напряжённости Е. Выделим мысленно в пучке
частицы с одним и тем же удельным зарядом е/т; эти частицы обла-
обладают разными скоростями, поэтому они отклонятся на разную вели-
величину, и пучок расширится. Его краю b будут соответствовать наи-
наиболее медленные частицы, а краю а — наиболее быстрые. В области,
обведенной пунктирным кругом, частицы попадают в магнитное поле,
перпендикулярное к плоскости чертежа. Здесь они испытывают откло-
отклонение в сторону, противоположную той, в которую они отклонялись
в электрическом поле. Частицы разных скоростей снова будут откло-
отклонены по-разному: наиболее медленные частицы Ъ — сильнее всего, а
наиболее быстрые частицы а — меньше всего. Благодаря этому
траектории частиц разных скоростей пересекутся в одной точке Fx.
Точно так,же для частиц с иным удельным зарядом е/т получится
пересечение траекторий частиц разных скоростей в некоторой точке Fq.
Места пересечений траекторий частиц с другими отношениями е/т
расположатся приблизительно вдоль прямой РГР^. Таким образом,
если вдоль прямой FiF^ расположить фотографическую пластинку,
то на ней получатся резкие черточки—„изображения" щелей, каж-
каждое из которых будет соответ-
соответствовать частицам определен- т 'ов "° '"   "* т
иого удельного заряда е/т. I I I I I I
В случае ионов одинакового '—' ' *—¦—¦—М—¦ 1—
заряда положение черточек оп- Рис. 277. Масс-спектрограмма.
ределится лишь отношением их
масс т. Промеряя относительное положение таких черточек, можно
найти отношения масс т. '
Вид получаемой фотограммы (рис. 277) напоминает вид линейча-
линейчатого спектра, получаемого с помощью оптического спектрографа.
Поэтому Астон назвал свой прибор масс-спектрографом.
С помощью масс-спектрографа можно с весьма большой точностью
определять отношение масс различных изотопов.
Некоторые данные измерений масс изотопов приведены в табл. XIX.
Результаты опытов над изотопами, имеющие большое значение
для теории строения атомов, разбираются в т. III.
Из других методов определения удельного заряда ионов укажем еще
метод, основанный на фокусировке частиц определенной скорости в попе-
поперечном магнитном поле. На рис. 278 представлена схема прибора (на схеме
для простоты не указана металлическая коробка, внутри которой располага-
располагаются части прибора и из которой откачивается воздух). Накаливаемая нить D
служит анодом. На нее наносится тонкий слой соли, содержащей исследу-
исследуемый элемент; при этих условиях проволока является ' источником положи-
положительных ионов. Ионы ускоряются электрическим полем с разностью потен-
потенциалов I/, — Vs, приложенной между проволокой D и щелью Si. Ионы,
пролетевшие через щель, попадают в пространство, где на них действует

392
ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. XIX
Таблица XIX
Массы изотопов
Атом
Н . . .
Не. . .
Li
О ...
С1 . . .
Химический
атомный вес
1,00756
4,00128
6,940
16,0000 (по
определению)
35,457 ''
Массы изотопов,
отнесенные к О10
/ 1,00812
\ 2,01471
4,00391
j 6,0167
1 7,0180
( 16,0000
\ 17,0046
[ 18,0057
[ 34,9800
| 36,9775
перпендикулярное к плоскости чертежа однородное магнитное поле напря-
напряженности Н. Под влиянием этого поля они движутся по окружности ра-
радиуса г, определяемого формулой
B) § 218:
cv m
(б)
ионов, е — их заряд,
Рис. 278. Схема отклонения частиц
в поперечном магнитном поле.
где т — масса
v — скорость.
Через щель S, пролетают ионы,
скорости которых, из-за конечных раз-
размеров проволоки D, имеют несколько
различные направления. Сплошной
линией изображена траектория ионов,
летящих в пространстве между D и St
перпендикулярно к плоскости щели Si.
Эти ионы пересекут вторично плос-
плоскость, содержащую щель Si, в точке
А, отстоящей от Si на расстоянии 2г.
Ионы, летящие между D и Si под углом а к рассмотренной траектории, пе-
пересекут плоскость, содержащую щель Su в точке В. В предположении ма-
малости угла а (см. рис. 278) имеем:
АВ = ASi — BSi = 2r — SiC cos a
или, так как StC = 2r, то:
АВ = 2r A — cos «) = Ar sin2 -^.
Так как угол а мал, то приближенно получим:
АВ = га2.
При малом угле а величина га2 весьма мала по сравнению с г; следователь-
следовательно, все траектории ионов пересекут плоскость Si Л в пределах малого от-
отрезка АВ. В этом месте ставится щель S2) а за ней цилиндр Фарадея F.

§ 220]
ТЕХНИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА
393
Этот цилиндр соединяется с электрометром и таким образом регистрирует
попадающие в него ионы. Скорость ионов v определяется через разность по-
потенциалов Vi — К2 с помощью соотношения:
1
= e(Vi — Vi).
G)
Исключая из F) и G) скорость v, получим:
_ 17гЯ\а
~2\е.)
1
V,—IV
Таким образом, при данном расстоянии 2г между щелями Si и S2 и дан-
данной напряженности магнитного поля И в цилиндр Фарадея попадают ионы
с отношением т/е, обратно пропорциональным ускоряющей разности потен-
потенциалов Vt — Vi. Меняя Vi — Vi, можно регистрировать различные ионы.
На рис. 279 представлена кривая, полученная
при нанесении на анод D соли магния. По оси
абсцисс отложены величины, обратные уско-
ускоряющей разности потенциалов Vi — Va, а по
оси ординат—отклонения электрометра п.
Кривая обнаруживает четыре пика. Самый
правый из них соответствует молекулярным
ионам азота (N?) с молекулярным весом 28.
Три остальных пика соответствуют одноза-
однозарядным ионам изотопов магния с атомными
весами 24, 25 и 26. .
В последнее время методы определения
масс изотопов были еще более усовершен-
усовершенствованы. Например, используется масс-спек-
масс-спектрограф с двойной фокусировкой электрическим и магнитным полями. Раз-
Разрешающая сила этого прибора настолько высока, что можно раздельно на-
наблюдать следы ионов тяжелого изотопа водорода с атомным весом 2,01471
и молекулярного иона легкого изотопа водорода с молекулярным весом 2,01624.
§ 220. Техническое применение электронного пучка. В настоя-
настоящее время электронный пучок используется для различных техниче-
V ZS -L
Рис. 279. Кривая для изото-
изотопов магния.
Рис. 280. Катодный осциллограф.
ских целей. Прежде всего опишем устройство катодного осцилло-
осциллографа — прибора, служащего для изучения быстропеременных во вре-
времени электрических процессов. Устройство катодного осциллографа
схематически изображено на рис. 280. Внутри стеклянного сосуда,
из которого откачан воздух, имеется накаливаемый катод К, служа-
служащий источником электронов. Электроны ускоряются постоянным по-
полем. С помощью диафрагм а и b из них вырезается узкий пучок.
Этот пучок пролетает через весь сосуд и на противоположной стенке С,

394 ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. ХГХ
покрытой флуоресцирующим веществом, образует светящееся пят-
пятнышко. По дороге электронный пучок пролетает между двумя па-
парами пластин АА' и ВВ', расположенных во взаимно перпендикулярных
плоскостях. К пластинам АА' прикладывается та разность потенци-
потенциалов l/j — Vjj, зависимость которой от времени желательно изучить.
Обычно дело идет о разности потенциалов, меняющейся со временем
периодически.
Между пластинами АА' возникает поле, напряженность которого Е
меняется со временем с тем же периодом, что и разность потенциалов
Vi — Vjj. Под влиянием этого поля электронный пучок будет откло-
отклоняться, причем в результате весьма малой массы электронов практи-
практически его отклонения в точности следуют за полем. Светящееся пят-
пятнышко, образуемое электронным пучком на экране С, в результате
отклонений пучка также начнет колебаться. При достаточно боль-
¦ шой частоте, что в большинстве случаев имеет место, эти колебания
не могут наблюдаться непосредственно глазом, — светящееся пятнышко
растянется в сплошную полоску. Для того чтобы иметь возможность
наблюдать колебания, между второй парой пластин ВВ' образуют
поле ?0, меняющееся со временем известным образом. Например, между
парой пластин ВВ' можно создать поле, меняющееся со временем
по закону гармонических колебаний с^ известной циклической часто-
частотой (о0; тогда:
Если изучаемая разность потенциалов V\ — V4 тоже меняется
со временем гармонически:
У, _ 1/j = A cos (at -f- 8),
то электронный пучок будет участвовать в двух взаимно перпенди-
перпендикулярных гармонических колебательных движениях (см. т. I), и све-
светящееся пятнышко на экране С будет описывать одну из фигур Лис-
сажу. Определив вид этой фигуры и зная частоту и амплитуду, ха-
характеризующие изменение со временем Еа, можно определить и ха-
характер изменения со временем изучаемой разности потенциалов Vt — V4.
Если частоты ш и ш0 совпадают, то на флуоресцирующем экране об-
образуется эллипс, который в частных случаях может перейти в круг
или прямую, Фигуры, наблюдаемые на экране С, могут быть сфотогра-
сфотографированы, и тогда получаются так называемые осциллограммы.
В последнее время стала употребляться иная, более удобная „вре-
„временная развертка" колебаний электронного пучка, возникающих под
влиянием переменного поля, возбужденного между пластинами АА'.
Для этого между пластинами ВВ' создается поле, напряженностью Еи
которого в течение некоторого промежутка времени возрастает со вре-
временем линейно:

§ 220] ТЕХНИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА 395
Это достигается с помощью присоединения параллельно к пласти-
пластинам ВВ' конденсатора, который в течение этого времени непрерывно
заряжается. Тогда светящееся пятнышко на экране С непосредственно
вычерчивает кривую, которую мы получили бы, откладывая по оси
ординат значения Vx — Vb являющиеся некоторой функцией от вре-
времени f(t), а по оси абцисс — время t (рис. 281). Так как непрерыв-
непрерывное возрастание поля Ей вывело бы пучок за пределы экрана С, то
через некоторое время t = т значение Ео застав-
заставляют быстро спасть до нуля, после чего оно
вновь возрастает линейно со временем. Такой
внезапный спад напряженности Ей до нуля может
быть, например, достигнут тем, что к зажимам
конденсатора присоединяется разрядная трубка; Рис. 281. Осцилло-
пока разность потенциалов на пластинах кон- грамма,
денсатора меньше потенциала зажигания, сопро-
сопротивление трубки настолько велико, что наличие трубки не сказывается
на процессе заряжения конденсатора. Как только разность потенциа-
потенциалов достигнет потенциала зажигания, трубка вспыхнет, и конденсатор
разрядится через нее. Процессу разряжения конденсатора соответ-
соответствует быстрое возвращение светящегося пятнышка в исходную точку
(пунктирная прямая на рис, 281). После этого светящееся пятнышко
снова начинает вычерчивать кривую. При чисто периодическом харак-
характере изменения изучаемой разности потенциалов Vj — 1/4 со временем
можно добиться, что новая кри-
кривая сольется с первоначальной.
Современные осциллографы
позволяют изучать колебания
___ с частотами до 107 сек и дают
—"=-";::^г1>. s?5~ ~—¦в отклонения светящегося пят-
пятнышка до 1 мм на 1 в.
Осциллографы находят ши-
*В рокое применение при изучении
Рис. 282. Электростатическая электрон- переменных токов (см. § 232).
ная линза. Другое применение элек-
электронного пучка связано с его
отклонением в неоднородном электрическом или в магнитном поле.
При этом оказывается возможным фокусировать электронный пучок.
Этим устанавливается аналогия между^ отклонением электронных пуч-
пучков и преломлением световых пучков в линза*. В связи с этим явления
распространения электронных пучков в неоднородных полях получили
название электронной оптики.
Простейшим примером „электронной линзы* может служить не-
неоднородное электрическое поле, возникающее вблизи круглого отвер-
отверстия аа' в пластине ВВ' (рис. 282), равномерно отрицательно заряжен-
заряженной. Линии напряженности вблизи такого отверстия изображены

396
ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. XIX
пунктиром. Электроны, летящие вдоль оси отверстия 00', в силу сим-
симметрии поля не испытывают никакого отклонения. Всякий же электрон,
летящий в направлении, пересекающем ось 00' в некоторой точке F,
отклонится, и тем сильнее, чем ближе к краю отверстия сш! он бу-
будет пролетать.
Таким образом, за пластиной траектория электрона вновь пересе-
пересечет ось 00' в некоторой точке F'.
Если через точку F проходит пучок траекторий, заключенных
в пределах небольшого телесного угла, то все они вновь пересекутся
в одной и той же точке F, которая явится, таким образом, „изо-
„изображением" точки F. При более широких пучках не все траектории
пересекутся в точке F', т. е. будет наблюдаться явление, соответ-
соответствующее сферической аберрации в оптике.
Методы электронной оптики основаны на формальном сходстве законов,
которым подчиняется распространение электронных пучков в неоднородном
электростатическом поле и распро-
распространение световых лучей в прозрач-
прозрачных веществах с переменным коэф-
коэффициентом преломления. Поясним эту
аналогию на простом примере. Пусть
электроны движутся прямолинейно
с постоянной скоростью Vi в обла-
области пространства А (рис. 283), где
потенциал имеет постоянное значение
Vv. Затем они попадают в область
пространства С, где потенциал также
е значение
v2t
постоянен, но имеет другое значение
1/2. Здесь электроны снова движутся
прямолинейно. В пограничной области
В потенциал меняется от значения
V, до К2, в результате чего в этой
области имеется отличная от нуля
напряженность поля Е и, .следова-
.следовательно, на каждый электрон здесь дей-
действует сила, перпендикулярная к
границам раздела областей. Под вли-
влиянием этой силы изменится нормаль-
нормальная составляющая скорости электрона
vn, тангенциальная же составляющая скорости vt останется неизменной. Обоз-
Обозначив через ii и h углы, которые составляют траектории электронов ab и cd
в обеих областях с нормалями к границам их раздела, получим:
Рис. 283. Преломление электронного
пучка.
sin is=^i
sin /,=?«.
Так как
t, то следует:
sin
sin
Это соотношение сходно с оптическим законом преломления:
sin ij Л^
sin ia tli '
где щ и ns — коэффициенты преломления двух прозрачных веществ.

§ 220]
ТЕХНИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА
397
Метод электростатической фокусировки находит широкое применение
в современной технике. На рис. 284 указана фокусирующая система совре-
современного осциллографа, состоящая из ряда цилиндров и диафрагм с круглыми
Рис. 284. Фокусирующая система осциллографа.
отверстиями, В нижней части рисунка представлена аналогичная ей система
оптических линз.
На рис, 285 дана схема прибора, носящего название электронно-оптиче-
электронно-оптического преобразователя, получившего в последнее время широкое распростра-
распространение. Здесь g—объект, действительное изображение которого отбрасывается
с помощью оптической линзы L на прозрачную пластинку В. На поверхности
пластинки В нанесен очень
тонкий слой металла, служа-
служащего катодом К- Под влия-
влиянием световых лучей, испу-
испускаемых объектом g, из
этого катода вырываются
электроны (см. фотоэффект,
т. III); поток этих электронов
фокусируется с помощью
электростатических линз A
Рис. 285. Электронно-оптический преобразо-
преобразователь.
и А^ на флуоресцирующий
экран Е. Таким образом, на
экране Е вновь получается
видимое изображение объекта g. Цель такого преобразования заключается
в следующем: объект g может испускать ультрафиолетовые или инфракрасные
лучи, невидимые глазом; электронно-оптический же преобразователь позво-
позволяет получить изображение объекта в видимых лучах, испускаемых флуоре-
флуоресцирующим экраном Е. Кроме того, электронно-оптический преобразователь
может играть роль „усилителя": интенсивность излучения, даваемого объек-
объектом, может быть очень мала, излучение же флуоресцирующего экрана может
оказаться значительно более ярким за счет большой энергии электронов,
приобретаемой ими в ускоряющем электростатическом поле.

398
ОТКЛОНЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. XIX
Фокусирующее действие магнитного поля было указано при описа-
описании метода определения удельного заряда электрона (§ 218). Элек-
Электрон, попадающий в однородное магнитное поле с начальной скоростью,
составляющей острый угол а с на-
направлением поля, движется по вин-
винтовой линии. При малых углах а шаг
этой винтовой линии практически не
зависит от значения а. Благодаря
этому пучок электронов, траектории
которых лежат в пределах конуса
небольшого угла растворения, соби-
собирается в точечный фокус магнитным
полем, направленным по оси конуса.
Таким образом, магнитное поле дей-
действует аналогично простой собираю-
собирающей линзе в оптике. Фокусирующим
действием обладает также и неодно-
неоднородное магнитное поле, возникающее
вблизи катушек с наконечниками спе-
специальной формы.
Возможность фокусировать элек-
электронные пучки позволяет построить
электронные микроскопы. Пучок
электронов, испускаемых катодом,
пронизывает исследуемый объект,
различные части которого более или
менее задерживают электроны. С по-
помощью1 системы электронных линз
получается увеличенное „теневое"
изображение этого объекта. Изобра-
Изображение обнаруживается либо с по-
помощью флуоресцирующего экрана,
либо с помощью фотопластинки, ко-
которая обладает способностью чернеть
под влиянием удара быстрых элек-
электронов. На рис. 286 сопоставлены
схемы электронного микроскопа с
магнитными линзами и оптического
микроскопа с фотокамерой. Анало-
Аналогичные части обоих микроскопов от-
отмечены одинаковыми буквами: для
электронного микроскопа прописными буквами А, В, С,... и для
оптического — строчными а, Ь, с,... В электронном микроскопе А есть
источник электронов; В — магнитная конденсирующая линза, направляю-
направляющая пучок электронов на объект С; D — магнитный объектив; Е — про-
б)
Рис. 286. Схемы электронного (а)
и оптического (б) микроскопов.

§ 220]
ТЕХНИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА
399
межуточное изображение; F — проектирующая линза и О — окончатель-
окончательное изображение, попадающее на фотопластинку Н. Все части электрон-
электронного микроскопа заключены в герметически закрываемую трубу, из
которой насосом откачивается воздух до столь низкого давления,
при -котором длина свободного.пути электронов становится больше
расстояния от источника до фотопластинки. В оптическом микроскопе:
а — источник света, b — конден-
конденсор, с — объект, d — объектив,
е — промежуточное изображение,
./—-проектирующая линза, g—
окончательное изображение, h —
фотопластинка. Современные элек-
электронные микроскопы позволяют
достигать огромных увеличений
в 40 000 раз и больше; эти уве-
увеличения значительно превышают
увеличения, даваемые лучшими
оптическими микроскопами (около
2000 раз). Таким образом, элек-
электронные микроскопы позволяют
изучать объекты, недоступные
изучению с помощью обычных
оптических микроскопов. О при-
чинах, позволяющих получать с помощью электронных микроскопов
увеличения ббльшие, чем с помощью оптических, будет сказано в т. III.
На рис. 287 приведена фотография частиц распыленного ZnO,
полученная с помощью электронного микроскопа. Частицы представ-
представляют собой чрезвычайно мелкие игольчатые кристаллы. Слева на
фотографии указан масштаб, соответствующий длине в 1 мк. Ориги-
Оригинальная конструкция электронного микроскопа разработана в Совет-
Советском Союзе акад. А. А. Лебедевым и В. Н. Верцнером.
Рис. 287. Фотография частиц ZnO,
полученная с "помощью электронного
микроскопа.

ГЛАВА XX
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
§ 221. Явление электромагнитной индукции. Явление электро-
электромагнитной индукции было открыто Фарадеем в 1831 г. Это явление
заключается в следующем: во всяком замкнутом проводящем кон-
контуре при изменении потока магнитной индукции через площадь,
ограниченную этим контуром, возникает электрический ток.
Этот ток называется индукционным.
Явление электромагнитной индукции можно наблюдать на следую-
следующих опытах.
1. Возьмем соленоид А рис. B88), замкнутый через гальванометр
G, и будем приближать к одному из его концов постоянный магнит.
При этом в соленоиде возникает электрический ток, который обна-
обнаружится по отклонению стрелки гальванометра О. Этот ток прекра-
прекратится при прекращении движения маг-
магнита. Если мы начнем удалять магнит,
то в соленоиде возникает снова ток, но
в направлении, противоположном перво-
первоначальному. То же явление будет иметь
место, если магнит оставить неподвиж-
неподвижным, а перемещать соленоид. Наконец,
вместо магнита можно взять второй
соленоид, по которому течет постоян-
постоянный ток; при его перемещении в пер-
первом соленоиде возникает ток.
2. Возьмем два неподвижных соленоида
А и С (рис. 289). Соленоид А пусть снова
замкнут через гальванометр О и соленоид С включен в цепь, содер-
содержащую гальванический элемент В и ключ k. При включении с по-
помощью ключа к тока в соленоиде С — в соленоиде А возникает крат-
кратковременный ток, обнаруживаемый отбросом стрелки гальванометра G.
При дальнейшем протекании по соленоиду С постоянного тока в соле-
соленоиде А никакого тока не наблюдается. В момент выключения тока
в соленоиде С — в соленоиде А вновь возникает кратковременный
ток, но в направлении, противоположном первоначальному.
Рис. 288. Возбуждение в со-
соленоиде индукционного тока
при передвижении магнита.

§ 221]
ЯВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
401
Описанные опыты можно осуществить, взяв вместо соленоидов
контуры из одного витка провода, но явление будет слабее.
Обсудим результаты этих опытов. В первом из них характерно
то обстоятельство, что в соленоиде А идет ток, только пока магнит
приближается или удаляется от соленоида, т. е. пока меняется магнит-
магнитное поле вблизи соленоида или пока сам соленоид перемещается
в неоднородном магнитном поле магнита. Как только прекращается
движение магнита по отношению к соленоиду (или соленоида отно-
относительно магнита), магнитное поле вблизи соленоида делается посто-
постоянным, и ток в соленоиде прекращается. Во втором опыте явление
вполне аналогично, — здесь изменяющееся
магнитное поле создается возникающим или
пропадающим в соленоиде Стоком. В обоих
случаях вблизи проводящего контура ме-
меняется величина магнитного поля, а следо-
следовательно, меняется и поток магнитной
индукции через площадь, охватываемую
контуром. Что дело заключается именно
в изменении потока магнитной индукции,
вытекает из следующего: индукционный Рис.289. Возбуждение в соле-
ток возникает и в том случае, если пово-
поворачивать замкнутый проводящий кон-
контур в однородном магнитном поле.
В этом случае величина индукции магнит-
магнитного поля вблизи проводника остается постоянной/ меняется только ее
поток через площадь контура. Если замкнутый контур двигать посту-
поступательно в однородном магнитном поле, то поток индукции через
него остается постоянным, и индукционный ток не возникает. Таким
образом, оправдывается формулировка, приведенная в начале настоя-
настоящего параграфа: индукционный ток возникает в замкнутом проводящем
контуре при изменении потока индукции через площадь контура.
Следует, однако, заметить что из описанных опытов не видно,
определяется ли возникновение индукционного тока изменением по-
потока магнитной индукции В или напряженности Н. При отсутствии
магнетиков это обстоятельство не играет роли, так как магнитная
индукция В и напряженность магнитного поля И равны друг другу,
но при наличии магнетика должно сказываться различие между В и Н.
Практически трудно заполнить все пространство, в котором рас-
расположены проводящие контуры, магнетиком с достаточно большой
магнитной проницаемостью (л, так как такого рода магнетики (желе-
(железо, никель и т. д.) представляют собой твердые тела. Однако можно
осуществить опыт таким образом, что, хотя магнетик и будет запол-
заполнять лишь часть пространства, все магнитное поле окажется сосредо-
сосредоточенным только внутри магнетика. Для этого возьмем тороид А, ох-
охваченный проволочным контуром С так, как охватывают друг друга
ноиде индукционного тока
при включении или выклю-
выключении тока в соседнем со-
соленоиде.

402 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ [ГЛ. XX
два соседних звена цепи (рис. 290). Пусть по тороиду А идет ток;
создаваемое им магнитное поле сосредоточено только внутри тороидэ,
и, следовательно, весь поток этого поля пронизывает контур С.
Если мы выключим ток в тороиде А, то произойдет изменение по-
потока (он исчезнет), и в контуре возникает индукционный ток. Запол-
Заполним теперь внутреннюю часть тороида А железом. Магнитное поле
тороида будет по-прежнему сосредоточено только внутри тороида.
При этом напряженность поля Н останется прежней, так как напряжен-
напряженность магнитного поля тока не зависит от наличия магнетика (если
последний целиком заполняет пространство, где поле отлично от нуля),
но магнитная индукция В = \>.Н воз-
возрастает в р. раз. Выключая снова ток
в тороиде А (первоначальную силу
тока считаем прежней), мы обнару-
обнаружим значительное возрастание индук-
индукционного тока в контуре С. Это
доказывает, что возникновение индук-
г, „ПА г, , ционного тока обусловлено измене-
Рис. 290. Возбуждение индукцион- J
ного тока в петле, охватывающей нием потока индукции.
тороид. Выясним теперь направление ин-
индукционного тока. Профессор Петер-
Петербургского университета Э. X. Ленц в 1833 г., обобщая результаты
опытов, дал следующее правило: возникающий в замкнутом кон-
контуре ток имеет такое направление, что он создает через
площадь, ограниченную контуром, собственный поток магнитной
индукции, компенсирующий то изменение потока магнитной
индукции, которое его вызывает.
Разберем с точки зрения правила Ленца описанные опыты. В пер-
первом опыте при приближении к соленоиду северного полюса магнита
в соленоиде возникает ток, направленный против часовой стрелки,
если смотреть на соленоид со стороны подносимого магнита (рис.
288). В этом случае поток индукции, создаваемый магнитом, направ-
направлен внутрь соленоида и при приближении магнита возрастает. Маг-
Магнитное поле индукционного тока в соленоиде будет направлено из
соленоида наружу и, следовательно, будет компенсировать возраста-
возрастание поля магнита. При удалении северного полюса магнита в соле-
соленоиде возникает ток, направленный по часовой стрелке, если снова
смотреть на соленоид со стороны магнита. Поток индукции, созда-
создаваемый магнитом, по-прежнему направлен внутрь соленоида, но он
теперь убывает. Магнитное поле индукционного тока в соленоиде
на этот раз направлено внутрь соленоида, и, следовательно, компен-
компенсирует убывшие поля магнита. Таким образом, оба случая находятся
в соответствии с правилом Ленца.
Анализируя результаты этих двух случаев, можно прийти еще
к иному выводу: при приближении северного полюса магнита к соле-

§ 222] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ ИНДУКЦИИ 403
ноиду направление индукционного тока таково, что ближайший к маг-
магниту конец соленоида становится источником магнитных линий и,
следовательно, магнит и соленоид отталкиваются, т. е. между ними
возникает сила, противодействующая тому движению магнита, ко-
которое вед^т к возникновению индукционного тока. При удалении
магнита магнит и соленоид притягиваются, т. е. снова между ними
возникает сила, противодействующая движению магнита.
Убедимся теперь, что и в случае второго из рассмотренных в на-
начале этого параграфа опытов оправдывается правило Ленца. При вклю-
включении тока в соленоиде С — в соленоиде А возникает ток обрат-
обратного направления. При размыкании тока в соленоиде С — в солено-
соленоиде А возникает ток того же направления. Эти результаты как раз
соответствуют правилу Ленца: пусть в соленоиде С при замыкании
возникает ток, идущий против часовой стрелки, если смотреть на его ко-
конец 1 (рис. 289). Тогда поток магнитной индукции, создаваемый этим то-
током, входит внутрь соленоида А и при включении тока возрастает. По-
Поток магнитной индукции, создаваемый индукционным током в соленоиде
А, выходит из него и, следовательно, компенсирует возраста-
возрастание потока соленоида. Так же легко убедиться, что при размыкании
тока в соленоиде С магнитное поле индукционного тока в соленоиде
А компенсирует убывание потока соленоида С.
§ 222. Определение электродвижущей силы индукции. Возник-
Возникновение индукционного тока в замкнутом контуре обусловлено появ-
появлением в этом контуре, под влиянием изменяющегося потока магнит-
магнитной индукции, э. д. с. Величина
А\
T-'
этой э. д. с. была впервые связана
со скоростью изменения потока
магнитной индукции Фарадеем.
Это соотношение, данное Фара-
деем, вытекает из закона сохра-
сохранения энергии.
Проведем энергетический под- Рис 291. К выводу выражения элек-
счет на частном случае, восполь- тродвижущей силы индукции,
зовавшись контуром с подвижной
частью АС (рис. 291). Такой контур мы уже рассматривали при
подсчете работы передвижения контура с током в магнитном поле
(§ 210).
Пусть в контур включен гальванический элемент В с э. д. с. Ш.
Полная работа, совершаемая этой э. д. с. 'ва время Д^, равна Ш1ЬЛ,
где /—сила тока в контуре. Если контур находится вне магнитного
поля, то вся эта работа идет на выделение ленц-джоулева тепла
Сила тока при этом по закону Ома равна:

404 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ [ГЛ. XX
Предположим теперь, что контур находится в магнитном поле,
которое все время остается постоянным. Для простоты будем считать,
что это поле однородно и направлено перпендикулярно к плоскости
контура за чертеж. Тогда на подвижную часть АС действует сила /,
направленная перпендикулярно к АС направо. Под влиянием этой
силы подвижная часть контура АС придет в движение. Пусть за время
Д? она_передвинется в положение, отмеченное на чертеже пунктирной
линией А'С. По сказанному в § 210, при этом будет совершена
механическая работа:
\А = 1- ДФ,
где ДФ — поток магнитной индукции через заштрихованную часть
контура АСА'С, а / — та сила тока, которая будет иметь место
в контуре во время рассматриваемого движения. Эта; работа будет
совершена за счет работы э. д. с. элемента В. Таким образом, теперь
полная работа э. д. с. элемента Ш bd идет не только на ленц-джоулево
тепло, но и на работу перемещения участка контура АС:
Вообще говоря, сила тока / может не оставаться постоянной за
время М; поэтому следует брать столь малый промежуток времени dt,
чтобы за этот промежуток времени сила тока / не успевала заметно
измениться. Тогда
Здесь «№ — пбток индукции через заштрихованную часть кон-
контура АСА'С, который в этом случае имеет вид бесконечно узкой
полоски. Решая равенство B) относительно силы тока /, получим:
1- -щ—.
Сопоставляя это равенство с законом Ома для замкнутой цепи A),
мы видим, что теперь роль э.д. с. играет величина, слагающаяся из
двух членов: из э. д. с. Ш гальванического элемента и из вели-
величины -J-. Этот член представляет собой добавочную э.д. с. индук-
индукции, возникающую вследствие изменения потока индукции Ф через
площадь, ограниченную контуром. Обозначая ее через Ш{, имеем:
Соотношение C) носит название закона Фарадея.
Закон Фарадея для э.д.с. индукции мы получили, рассматривая
случай, когда поток индукции через контур менялся за счет измене-
изменения формы самого контура. Однако можно показать, что это соотно-

$ 222] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ ИНДУКЦИИ 405
шение справедливо независимо от того, чем вызвано изменение пото-
потока индукции через контур: изменением его формы, его поворотом,
перемещением в неоднородном поле или, наконец, изменением со вре-
временем магнитной индукции самого поля.
В равенстве C) справа стоит производная от потока индукции Ф
через контур по времени. Это значит, что по численному значению
э. д. с. индукции Ш1 пропорциональна скорости изменения потока
индукции со временем. Остается выяснить смысл знака (минус),
стоящего в правой части равенства C). Для этого выберем произволь-
произвольное направление обхода контура за положительное. Направление тока
будем считать положительным, если оно совпадает с положительным
направлением обхода контура. Также э.д.с. будем считать положи-
положительной, если она создает в цепи падение потенциала в направлении
положительного обхода. Проведем к плоскости контура нормаль,
положительное направление которой свяжем с положительным напра-
направлением обхода контура правилом, указанным на стр. 348. Положи-
Положительный поток индукции через площадь контура создадут линии
индукции, идущие параллельно нормали или составляющие с ней
острый угол.
Отрицательный поток индукции через площадь контура созда-
создадут линии индукции, направленные в сторону, обратную нормали,
или составляющие с ней тупой угол. Тогда знак минус в правой
части равенства C) указывает на то, что увеличение потока индук-
индукции (—77~1> 0) вызывает э.д.с, действующую в направлении
отрицательного обхода контура; уменьшение потока индукции
(-—тр<^ о)вызывает э.д.с, действующую в направлении положи-
тельного обхода контура. Таким образом, выражение C) дает одно-
одновременно и величину и направление э. д. с. индукции. Легко прове-
проверить, что это направление согласуется с правилом Ленца.
Остается рассмотреть вопрос об единицах, в которых измеряется
э. д. с. индукции. Если поток индукции измеряется в максвеллах, т. е.
в CGSvW-единицах, и время t — в секундах, то формула B), в которой
отсутствует какой-либо коэффициент пропорциональности, определит
CGiSTW-единицу э.д.с. Эта новая единица э.д.с. может быть обозна-
обозначена как мкс/сек и численно равна э. д. с. индукции, возникающей в
замкнутом контуре, при изменении потока магнитной индукции через
площадь этого контура на 1 мкс за 1 сек.
Связь между СО&М-единицей э. д. с. мкс/сек и CGSf-единицей
э. д. с. получим на основании следующих соображений. Величина \Ш пред-
стапляет собой мощность, и если измерять силу тока / и э. л.с.Ш — обе
в CQSE- или обе в СОбТИ-единицах, то в обоих случаях мощность
получается в эрг/сек. Таким образом, должно выполняться соотношение:

406
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
[гл. хх
где индексы COSE и CGSM соответственно указывают, в каких еди-
единицах измерены / и Ш. Отсюда:
?
JCQSE .
CQSM
COSM
7 '
COSE
(*).
Но, по сказанному в § 195, СО5М-единица силы тока в с раз больше
СОЖ-единицы силы тока, где с есть скорость света, равная почти
точно 3-Ю10 см/сек. Следовательно, из соотношения D)
Ь получаем:
Н
CQSM-ел. 3.R.c. = r
э.д.с.
Разберем закон индукции с точки зрения электронных пред-
представлений. Пусть участок аЪ проводника помещен в магнит-
магнитное поле, направленное за чертеж, напряженность которого
равна Н (рис. 292). Свободные электроны, находясь в беспо-
беспорядочном тепловом движении, в магнитном поле испытывают
действие силы Лоренца. Однако никакого тока эта сила в
среднем не дает, так как направление сил, приложенных к
разным электронам, распределена беспорядочно. Еслл теперь
участок проводника аЪ начать перемещать, например, направо
со скоростью v, то все электроны металла приобретут доба-
добавочную составляющую скорости, равную у. Следовательно,
на электроны будет действовать добавочная сила Лоренца,
одинаково направленная для всех электронов и равная:
а
Рис. 292.
Направление
силы Лорен-
Лоренца, дейст-
действующей на
заряд при
перемеще-
перемещении провод-
проводника по
внешнем
магнитном
поле Н.
Следовательно, эквивалентная напряженность электрического поля Е равна:
Если поле направлено за чертеж и участок аЬ перемещается
направо, то сила, действующая на электрон (отрицательный
заряд), будет направлена вниз. Электроны будут под действием
этой силы перемещаться вниз, следовательно возникает ток,
направленный вверх. Эквивалентная электрическая сила
f=eE, которая бы давала такое же движение электронов,
определится из соотношения
и направлена кверху.
Электродвижущая сила, возникающая в участке, измеряется разностью
потенциалов, которую бы создала эквивалентная электрическая сила на кон-
концах участка. Так как Напряженность выражается частным от деления разности
потенциалов на концах участка на длину участка, то э. д. с. будет измеряться
произведением напряженности эквивалентного электрического поля Е на
длину участка /, т. е.:
E)
Но произведение vl представляет собой площадь, перекрываемую участком
в единицу времени при его движении, а следовательно, вся правая части
равенства E) выражает пвток напряженности Я, пересекаемый участком
проводника в единицу времени. Так как при отсутствии магнетиков поток
а, ЛФ
напряженности совпадает с потоком индукции, то, следовательно, уп1 = -тт.

§ 223] КОЛИЧЕСТВО ЭЛЕКТРИЧЕСТВА, ПЕРЕМЕЩЕННОГО ТОКОМ 407
Отсюда для численного значения э. д. с. индукции получаем:
что совпадает с формулой C).
Направлена э. д. с. в сторону перемещения положительных зарядов, т. е.
в случае рис. 292 кверху. Это направление удобно находить с помощью
правила правой рука: если расположить правую руку с отставленным боль-
большим пальцем так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а
большой палец указывал направление перемещения проводника, то осталь-
остальные вытянутые пальцы укажут направление э. д. с. индукции. Для замкнутого
контура это даст направление полной э. д. с. в соответствии с правилом
Ленца.
Таким образом, возникновение индукционного тока при перемещении
проводника во внешнем магнитном поле объясняется действием силы Ло-
Лоренца на электроны проводника. Однако, как мы видели, индукционный ток
возникает и в том случае, если проводящий контур остается неподвижным,
а меняется лишь вблизи него величина магнитной индукции. На этот случай
приведенное объяснение не распространяется. Для того чтобы и в этом слу-
случае объяснить возникновение индукционного тока, следует допустить, что
в каждой точке пространства при изменении величины, магнитной индук-
индукции со временем возникает электрическая сила. Это допущение лежит
в основе теории Максвелла, которая разобрана ниже (§ 243, 244).
§ 223. Количество электричества, перемещенного индукцион-
индукционным током. Единицы магнитных величин в международной си-
системе. При возникновении в контуре индукционного тока по про-
проводнику происходит перемещение зарядов. Если Ш{ — э. д. с. индукции,
а /? — полное сопротивление рассматриваемого контура, то сила воз-
возникшего в нем тока будет:
Электродвижущая сила индукции, по сказанному в § 222, по чи-
численному значению равна:
, «о , йФ
откуда .
1_d0jdt_
Количество электричества dq, перемещенное за время dt через
поперечное сечение проводника, равно 1 dt, откуда в силу соотно-
соотношения A):
dq = ±d0, B)
где d<t> — изменение потока магнитной индукции через контур за
время dt.
Пусть в начале некоторого конечного промежутка времени поток
магнитной индукции через рассматриваемый контур равнялся Фи
а в конце промежутка времени равнялся Ф2. Тогда полное количество

408 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ [ГЛ. XX
электричества q, протекшее через поперечное сечение проводника
в результате возникновения индукционного тока, выразится соотно-
соотношением, которое мы получим, заменив в формуле B) бесконечно
малое изменение потока индукции d<P его полным изменением
Формула Bа) позволяет по изменению потока магнитной индукции
через площадь контура определить количество электричества, про-
протекшее через поперечное сечение контура, или обратно, по этому
количеству электричества q определить изменение магнитного потока
Фа — Ф| через площадь контура.
Формула Bа) используется в международной системе единиц для
установления единицы магнитного потока. За единицу магнитного по-
потока Ф принимается поток через замкнутый контур с сопротивлением
в 1 ом, при убывании которого до нуля в контуре протекает под
влиянием э. д. с. индукции количество электричества в 1 к. Эта еди-
единица потока называется вебер. Как легко подсчитать, 1 вб=\№ мкс.
Единица магнитной индукции В в международной системе единиц
устанавливается на основании соотношения;
откуда за единицу магнитной индукции принимается вб\м%. Этой еди-
единице 11-я Генеральная Конференция по мерам и весам A960 г.) при-
присвоила название тесла. Между этой единицей магнитной индукции
и гауссом имеет место соотношение:
1 тесла = 104 гс.
Легко видеть, что если в законе фарадея C) § 222 поток магнит-
магнитной индукции Ф измерять в веберах и время t — в секундах, то
электродвижущая сила индукции Шt получится в вольтах. Такцм обра-
образом, в международной системе единиц:
Если измерить э. д. с. индукции et в вольтах, а изменение потока
индукции -ТТ--—в мкс/сек, то равенство C) примет вид:
Рассмотрим численный пример: рамка, площадью 6' = 1000 еж2 и
с омическим сопротивлением У? = 0,5 ом первоначально расположена парал-
параллельно линиям индукции магнитного ноля Земли; затем рамка поворачивается
так, чти ее плоскость располагается перпендикулярно линиям магнитной

§ 223] КОЛИЧЕСТВО ЭЛЕКТРИЧЕСТВА, ПЕРЕМЕЩЕННОГО ТОКОМ 409
индукции. Какое количество электричества индуцируется в рамке, если маг-
магнитная индукция магнитного поля Земли 5 = 0,5 гс?
Решение. Изменение потока индукции через площадь рамки равно
в данном случае потоку через рамку во втором ее положении:
фг — ф1 = BS.
Подставляя сюда В в гауссах, a S — в см3, мы получим поток в CGSM-етни-
цах. Для перевода его в международную систему единиц надо помножить
это значение на 10~8:
Ф2 — Ф, = КГ8 • 0,5 • 103 вб.
Отсюда по формуле Bа) количество индуцированного электричества в куло-
кулонах будет:
Ю-8 -0,5 -10»
«= 63—«=ю-§«-
Количество электричества q, возникшее в результате кратко-
кратковременного изменения потока магнитной индукции, может быть изме-
измерено с помощью прибора, носящего название баллистического галь-
гальванометра. В принципе устройство баллистического гальванометра
совпадает с устройством обычных гальванометров. Его подвижная
система состоит из рамки, помещенной между полюсами постоянного
магнита. К рамке прикреплена стрелка; рамка удерживается в опре-
определенном положении пружинкой. При протекании по рамке индук-
индукционного тока / на нее действует момент сил:
где Н — напряженность поля магнита, и — число витков провода
рамки, б1—ее площадь. Так как величины S, n и //постоянны для
данного прибора, то:
где с — постоянная величина, носящая название динамической посто-
постоянной гальванометра.
Под влиянием импульса момента сил Mdt рамка начнет повора-
поворачиваться, и ее момент количества движения изменится на величину
Jdw, где J — момент инерции всей подвижной системы, a cfw —
изменение угловой скорости рамки. Так как изменение момента коли-
количества движения численно равно импульсу момента сил (см. т. I), то:
Если время t, в течение которого протекает ток /, мало по сравнению
с периодом собственных колебаний подвесной системы гальванометра, то
воздействие момента сил на подвесную систему носит характер толчка,
в результате которого система приобретает угловую скорость <в0. По-
Поэтому, интегрируя выражение D) в пределах от нуля до t, получим:
fd(»— \ cl dt или Мя = со,

410
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
[ГЛ. XX
где д — количество электричества, протекшее за время t. Отсюда имеем:
Под влиянием приобретенной угловой скорости ш0 подвижная
система начнет поворачиваться, причем конечный угол <р„, на который
она повернется („угол отброса"), может считаться пропорциональным
начальной скорости:
he
k
Таким образом, „угол отброса" стрелки гальванометра <р0 оказы-
оказывается пропорциональным количеству электричества, протекшему через
гальванометр. Отсюда, обратно, по углу отброса ср0 можно опреде-
определить q. Для того чтобы угол отброса был пропорционален q, пара-
параметры подвесной системы гальванометра должны быть подобраны так,
чтобы период ее собственных колебаний оказался достаточно боль-
большим. Постоянную гальванометра kc/J обычно определяют эмпирически,
градуируя его путем пропускания извест-
известных количеств электричества q, которые,
например, можно получать, разряжая кон-
конденсаторы определенной емкости.
Так как по равенству Bа) количество
электричества q, протекшее в результате
возникновения индукционного тока, про-
пропорционально изменению потока магнит-
магнитной индукции Ф, то баллистический галь-
Рис. 293. Схема флюксметра. ванометр может служить для измерения
магнитных потоков. Баллистический галь-
гальванометр, специально приспособленный для измерения потока маг-
магнитной индукции, носит название флюксметра. Схема устройства
употребительного типа флюксметра несколько отличается от схемы
только что- описанного баллистического гальванометра. На рис. 293
N и 5—полюсы постоянного магнита, А — расположенная между
ними рамка. Эта р*амка подвешена на столь длинной и мягкой
нити а, что возникающий при поворотах рамки момент кручения
исчезающе мал; рамка остается при любом положении между полю-
полюсами N и S в состоянии безразличного равновесия. Концы проводов
рамки А присоединены к другой рамке С. Эта рамка С вносится
в пространство, где желательно измерить значение потока магнитной
индукции. Если рамка С первоначально была вне магнитного поля,
то изменение потока магнитной индукции равно значению конечного
потока Ф4и4, где Ф2 — поток через площадь рамки, а и2 — число
витков в ней. В результате изменения потока магнитной индукции
через площадь рамки С в ней возникнет индукционный ток /2) кото-
который пойдет и через рамку А и вызовет ее поворачивание в магнит-

§ 224] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ ИНДУКЦИИ 411
ном поле магнита NS- Это поворачивание вызовет, в свою очередь,
изменение потока магнитной индукции через рамку и, следовательно,
появление индукционного тока /,, направление которого по правилу
Ленца будет таково, что магнитные силы начнут тормозить рамку А.
В результате рамка А остановится. Момент сил М, действующих на
рамку, равен:
где Н—напряженность магнитного поля между полюсами N к S,
я, —г- число витков в рамке A, S% — ее площадь. Так как в начале и
в конце рамка покоится, то полный импульс момента силы должен
равняться нулю:
откуда
. t t
\k*—\
= — \ Д dt или
т. е. количества электричества, перенесенные индукционными токами
li и Ilt численно равны друг другу. Но по формуле Bа):
где Д<?>1 — изменение потока магнитной индукции через рамку А,
a R — полное сопротивление всей цепи. Отсюда:
| Ф, | яя = | ДФ41 щ.
При небольших углах поворота а рамки А изменение потока ДФХ
| 1
пропорционально а, откуда и | Ф81 пропорционально а:
где величина k постоянна для данного прибора. Таким образом, по
углу поворота рамки А можно измерять поток через рамку С. Оче-
Очевидно, что отсюда можно определить и значение магнитной индукций
В в том месте магнитного поля, куда вносится рамка С; если рамку
С расположить нормально к линиям индукции поля, то Ф% = BS%.
§ 224. Определение электродвижущей силы индукции в ча-
частных случаях. Пользуясь способом определения э.д.с. в контурах,
рассмотрим ряд частных случаев.
1. Рассмвтрим возникновение индукционного тока в рамке, вра-
вращающейся в однородном магнитном поле. Предположим, что в на-
начальный момент рамка перпендикулярна к линиям индукции. Условимся
характеризовать положение рамки направлением нормали N к пло-
плоскости рамки, которую направим параллельно линиям индукции в

412 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ [ГЛ. XX
начальном положении' рамки (рис. 294а); при вращении рамки нормаль
будет менять свое направление. В начальном положении рамки поток
магнитной индукции через площадь 5, ограниченную рамкой, равен:
Пусть рамка вращается равномерно с угловой скоростью ш вокруг
оси 00'. Тогда' в том положении рамки, при котором нормаль N
о
а) 6) ¦
Рис. 294. Рамка, вращающаяся во внешнем маг-
нитном поле.
образует угол ер = ш? со своим первоначальным направлением
(рис. 2946'), поток индукции будет:
Ф = BS cos u>t = Фо cos at.
Электродвижущая сила индукции определится по соотношению C) § 222:
Шг =—— = шФ0 sin (at. A)
Мы видим, что наибольшая э.д.с. получается в тех положениях, при
которых поток равен нулю <p = B?-j- 1) у, где' k — целое число .
В этих положениях быстрота изменения потока наибольшая. В тех
положениях, в которых поток наибольший (<р = kiz), э.д.с. равна нулю.
В этих положениях рамки скорость изменения потока равна нулю.
Электродвижущая сила положительна, если ср заключено в пределах:
0<Cp<7t.
Это означает, что в первую половину оборота в рамке идет ток,
создающий магнитное поле, параллельное нормали N. Если ср заклю-
заключено в пределах:
то э.д.с. индукции отрицательна, что означает, что индукционный ток
создает магнитное поле, направленное против направления нормали N.
Следовательно, за один оборот э.д.с. меняет знак два раза.
На рис. 295 даны графики изменения потока индукции (пунктирная
линия) и Э.Д.С. (сплошная линия) в зависимости от угла поворота (р.
Получение э.дх. при вращении витка в магнитном поле лежит
в основе устройства динамомашины (см. § 235).

§ 224]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ ИНДУКЦИИ
413
2. Рассмотрим случай возникновения э.д.с. во вращающемся диске
со скользящими контактами. Пусть диск, расположенный нормально
к линиям индукции магнитного поля, может вращаться вокруг оси О,
проходящей через его центр (рис. 296). С помощью скользящих
контактов а и b образована замкнутая цепь АЬаА. Если диск при-
привести во вращение, то в этой цепи возникает непрерывный ток. На-
Направление индукционного тока определяется правилом Ленца: если
\
1Я/2 IJT 13Я/2 i2JT «5TC/2
Рис. 295. Графики изменения по-
потока индукции Ф и электродви-
электродвижущей силы индукции <§i во вра-
вращающейся рамке.
Рис. 296. Возникновение ин-
индукционного тока во вра-
вращающемся диске.
линии магнитной индукции направлены на читателя и диск вращается
по часовой стрелке, то индукционный ток будет идти по диску от
контакта Ъ к а.
Этот опыт является непосредственным обращением опыта с вра-
вращением в магнитном поле диска, по которому идет ток (см. § 210).
Как в том случае, так и здесь, поток индукции через контур тока
АЬаА остается постоянным. Из формального применения закона ин-
индукции следовало бы, что индукционный ток должен отсутствовать.
На самом деле надо принять во внимание смещение в каждый дан-
данный момент того радиуса диска, который замыкает цепь между точ-
точками а и Ъ. При повороте диска на бесконечно малый угол d<p,
радиус поворачивается на угол dy и зачерчивает площадь dS =
= -тт /?Vcp, где R — радиус диска. Поток индукции через эту площадь
будет d0 = BdS, а скорость его изменения: •».
d0_ dS 1 ,rfT
ir—Bit~BYK it-
Замечая, что dy/dt есть угловая скорость диска ш, получим:
Подставляя это значение d0/dt в выражение C) § 222, найдем для
численного значения э.д.с. индукции:

414 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ v [ГЛ. XX
Разобранная установка представляет собой схему простейшей ди-
намомашины.
Рассмотрим еще несколько численных примеров.
Пример 1. Проволочный тороид (без сердечника) имеет число витков
71 = 25 на 1 см; площадь поперечного сечения тороида S = 20 см2. Тороид
охватывает петля из одного витка провода (как на рис. 290). С помощью
реостата достигается падение силы тока / в тороиде на 20 а за 1 сек. Чему
равна э.д.с., возникающая в петле?
Р.е шение, Магнитная индукция -поля внутри тороида равна
В = 47С|Л/П,
где [1 — магнитная проницаемость среды внутри тороида. Так как поле со-
сосредоточено только внутри тороида, то поток индукции:
Ф =
а его изменение со временем:
йФ
dl
Измеряя силу тока / в CGSM-единицах, S — в см2, л — в см~1~, получим
изменение потока в мкс/сек. Значение э.д.с. Ш{ в вольтах получим по фор-
формуле [(За) § 222]:
|^| = 10-'-4^^.
Подставляя сюда —^ = 20 а/сек = 2 CGSM/сек, S = 20 см1, п = 25 слг1,
|х= 1, получим:
\SSi\ = Ю-8 • 12,56 ¦ 25-2-20 в ОЁ 1,3 • КГ1 в.
Пример 2. Рамка с площадью сечения S = 100 см2, с числом витков
п = 50, вращается в однородном магнитном поле с индукцией .6=1000 гс,
делая 50 об/сек. Ось вращения рамки перпендикулярна линиям индукции.
Определить максимальное значение э.д.с. в рамке.
Решение. По формуле A) максимальная э.д.с. в рамке из одного
оборота провода равна:
где и — угловая скорость вращения рамки. Для рамки из п витков прово-
проволоки:
Подставляя сюда В=103 гс, S = 100 см'1, <л = 2тс-50 сек'1 = 3,14 • 100 се/Г1,
получим:
Ш1 шах = 10-е. 3,14 ¦ 100 ¦ 10» • 100 • 50 в ?Ё 15,7 в.
Пример 3. Медный диск, расположенный перпендикулярно к линиям
индукции земного магнитного поля, вращается, делая 50 об/сек. Радиус диска
ft = 50 см. Определить разность потенциалов между центром и краем диска.
Магнитная индукция магнитного поля Земли В = 0,5 гс.
Решение. Между центром и краем диска возникает разность потен-
потенциалов, равная эле %„ определяемой формулой B):

§ 225] ЯВЛЕНИЕ САМОИНДУКЦИИ 415
Подставляя сюда /? = 50 см, <л = 2я • 50 сект1 = 3,14 • 10" сект1, ? = 0,5 ге,
получим:
К, — V3 = Ю-'. 1.. 50а ¦ 3,14 ¦ 10а • 0,5 в 9Ё 2 • 10 в.
§ 226. Явление самоиндукции. Явление электромагнитной ин-
индукции наблюдается во всех случаях, при которых меняется поток
индукции через площадь, ограниченную проводником. При этом со-
совершенно безразлично, чем создается изменение потока. Если в не-
некотором замкнутом контуре течет непостоянный ток, то магнитное
поле, создаваемое этим током, также непостоянно. Следовательно,
меняется поток магнитной индукции через площадь, ограниченную
контуром самого этого тока. Изменение потока магнитной индукций
поведет к возникновению в контуре э.д.с. Таким образом, изменение
тока в контуре влечет возникновение э.дх. индукции в этом же
самом контуре. Это явление носит название явления самоиндукции.
Характерным примером явления самоиндукции служат так назы-
называемые экстратоки замыкания и размыкания. Представим себе, что
мы замыкаем контур, в результате чего в нем возникает электри-
электрический ток. При этом магнитное поле тока возрастает, а следовательно,
возрастает и поток магнитной индукции через площадь, ограниченную
.контуром. Согласно правилу Ленца, возникающий индукционный ток
будет создавать поток индукции, компенсирующий увеличение перво-
первоначального магнитного потока. Следовательно, индуцируется ток, со-
создающий магнитное поле, направленное противоположно магнитному
полю первоначального тока. Отсюда заключаем, что индукционный
ток направлен противоположно замыкаемому току. Этот индуцируе-
индуцируемый ток обратного направления называется экстратоком замыкания.
Экстраток замыкания уменьшает ток, идущий в контуре.
Аналогичное явление мы наблюдаем при размыкании цепи. Если
в контуре сила тока спадает, то при этом уменьшается поток магнит-
магнитной индукции через площадь, ограниченную контуром. В контуре
индуцируется ток, создающий по правилу Ленца поток индукции, уве-
увеличивающий уменьшающийся поток, т. е. индуцируется ток в том же
направлении, в котором шел основной ток. Этот индуцируемый тон
называется экстратоком размыкания. Экстраток размыкания напра-
направлен в ту же сторону, что и основной ток.
Наличие экстратока замыкания приводит к тому, что нарастание
тока в цепи при его включении происходит медленнее, чем при отсут-
отсутствии экстратока. Если, например, включить электрическую лампочку
в контур, характеризующийся значительным явлением самоиндукции,
то лампочка разгорается медленнее, чем в случае, когда контур, в ко-
который она включена, заметного явления самоиндукции не дает.
Экстраток размыкания можно наблюдать с помощью схемы, пред-
представленной на рис1, 297. Ток от батареи В идет по цепи, разветвляю-
разветвляющейся в точке А на две части, одна из которых, ACD, характеризуется

0000001
416 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ [ГЛ. XX
свойством давать значительные токи самоиндукции. В другую ветвь,
AGD, включен гальванометр G. Пусть ток идет в участках ACD
и AGD слева направо, как это указано сплошными стрелками. Если
разомкнуть ключ k, то в участке ACD возникнет экстраток размы-
размыкания, направленный так же, как и первоначальный ток. Он целиком
т _ замкнется через участок цепи DGA, так как другая
часть цени разомкнута. Очевидно, этот ток в участке
DGA пойдет справа налево (пунктирная стрелка),
что обнаружится по отклонению стрелки гальва-
нометра в сторону, противоположную первона-
первоначальной,
I -1 i^J<l В рассмотренном опыте экстраток размыкания
11 i*""*""^ в основном возникает в участке ACD, представ-
8 ляющем собой проводник, согнутый в виде не-
Рис 297 Обнару- скольких витков; экстраток, возникающий в пря-
пряжение экстратока молинейном участке AQD, не играет заметной
размыкания. роли. Это указывает на то, что проводники раз-
различной формы обладают различной способностью
обнаруживать явление самоиндукции. Свойство контура обладать
более или менее выраженным явлением самоиндукции характеризуется
физической величиной, называемой коэффициентом самоиндукции.
Выясним смысл этой величины.
Возьмем произвольный замкнутый контур, по которому течет ток
силы /. Согласно закону Био — Савара—Лапласа, напряженность маг-
магнитного поля, а следовательно, и вектор индукции, создаваемые этим
током, пропорциональны в каждой точке силе тока. Отсюда следует,
что поток индукции Ф, пронизывающий площадь, ограниченную кон-
контуром тока, пропорционален силе тока I:
Ф = Ц. A)
Коэффициент пропорциональности L называется коэффициентом са-
самоиндукции контура. Полагая в равенстве A) силу тока / равной
единице, мы видим, что коэффициент самоиндукции численно равен
потоку магнитной индукции через площадь, ограниченную конту-
контуром, если по этому контуру идет ток, сила которого равна
единице.
Электродвижущую силу самоиндукции Ш$1 мы получим, вос-
воспользовавшись общим законом индукции, выражаемым формулой C)
§ 222, откуда:
ф йФ
ё '
здесь Ф — поток магнитной индукции через рассматриваемый контур,
создаваемый током, текущим по этому самому контуру. Подставляя
сюда вместо потока Ф его выражение через коэффициент самоин-

§ 225] ЯВЛЕНИЕ САМОИНДУКЦИИ 417
дукции L и силу тока в контуре / по A), получим, что в случае
постоянной самоиндукции:
Это соотношение позволяет дать еще одно (динамическое) определе-
определение коэффициента самоиндукции: коэффициент самоиндукции кон-
контура численно равен э.д.с, возникающей в контуре, если сила
тока в нем в единицу времени меняется на единицу.
Коэффициент самоиндукции определяется только геометрической
формой контура и средой, в которой расположен контур.
Соотношения A) или B) позволяют установить единицу измере-
измерения коэффициента самоиндукции. Обычно употребляются две различные
единицы коэффициента самоиндукции: абсолютная электромагнитная
CGSM и единица международной системы. СйАМ-единицей коэффи-
коэффициента самоиндукции принято, согласно соотношению A), считать ко-
коэффициент самоиндукции такого контура, поток индукции через ко-
который равен одному максвеллу при силе тока в нем в одну элек-
электромагнитную единицу. Единица коэффициента самоиндукции в
международной системе называется генри, она равна коэффициенту
самоиндукции такого контура, через который получается поток индук-
индукции в letf=108 мкс при силе тока в нем в 1 а.
Легко определить, во сколько раз 1 гн больше Сб^М-единицы
самоиндукции. Для этого воспользуемся соотношением A), в силу ко-
которого:
1 гнХ 1 а=Ю8 мкс. C)
1 CGSM-ел. самоиндукции X 1 COSM-en. силы тока = 1 мкс.
Замечая, что 1 CGSM-ед,. силы тока = 10 а, перепишем послед-
последнее выражение:
1 CGSM-ед,. самоиндукции X Ю а= 1 мкс. D)
Сравнивая C) и D), получим:
1 гя=109 CGSM.
¦ Пользуясь соотношением B), можем дать еще такое определение
генри: коэффициент самоиндукции равен 1 генри, если в нем воз-
возникает э.д.с. самоиндукции в 1 вольт при изменении силы тока
на 1 ампер за 1 секунду.
Пользуясь определением коэффициента самоиндукции, выведем его
выражение для соленоида.
Возьмем соленоид, общее число витков которого равно Л', сече-
сечение витка 5, длина соленоида /; пусть полость соленоида заполнена
средой с магнитной проницаемостью ц. Вычислим коэффициент само-
самоиндукции такого соленоида, считая, что соленоид настолько длинный,
14 С. Фриш и А. Тиморева

418 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ [ГЛ. XX
что к нему с достаточной степенью точности можно применить формулу
D) § 194, по которой напряженность поля И внутри соленоида равна:
Н=4*-~/, E)
где / — сила тока, текущего по соленоиду.
Обозначая индукцию в соленоиде через В, имеем, что поток ин-
индукции через поперечное сечение соленоида равен:
Поток через все N витков соленоида будет:
Подставляя сюда вместо И его значения по E), получим:
-~ SI.
Введем сюда выражение для числа витков на единицу длины соле-
N
ноида я==— и объем соленоида V—IS. Тогда:
Ф= 4«{*п* V/.
Отсюда, воспользовавшись соотношением A), найдем, что коэф-
коэффициент самоиндукции соленоида равен:
~ = 4w^nV. ч F)
Таким образом, коэффициент самоиндукции соленоида пропорцио-
пропорционален квадрату числа витков на единицу длины и пропорционален
объему соленоида. Коэффициент самоиндукции, по его определению,
не зависит от силы тока в обмотке; однако, если сердечник соле-
соленоида сделан из ферроматнитного вещества, то магнитная проницае-
проницаемость р. зависит от напряженности магнитного поля и, следовательно,
от силы тока; при этом зависимость эта может быть очень значи-
значительной (см. § 203). Это обстоятельство следует иметь в виду при рас-
расчетах коэффициентов самоиндукции соленоидов с сердечниками.
Подсчитаем, какое численное значение имеет коэффициент самоиндукции
соленоида при следующих численных данных: длина соленоида / = 50 см,
поперечное сечение S = 10 см'2, ц — 1, полное число витков N = 3000.
По формуле F) имеем:
) . 10-50?Ё2,3-10' CGSM,
j
или, переводя в генри:
L ?S 0,023 гн.
Это число будет, однако, преувеличенным но сравнению с действительным
значением коэффициента самоиндукции соленоида такой длины и с таким
числом витков, во-первых, за счет того, что здесь не была учтена конечность
соленоида, затем не учтено то обстоятельство, что витки соленоида обычно
будут образовывать слои, намотанные друг над другом, в силу чего поток
индукции не будет целиком проходить через сечение каждого витка.

§ 226] ЭКСТРАТОКИ РАЗМЫКАНИЯ И ЗАМЫКАНИЯ 419
Из сказанного видно, что экстратоки замыкания сказываются тем
сильнее, чем больше коэффициент самоиндукции рассматриваемой
цепи. Последний же велик для проводов, намотанных в виде соле-
соленоидов, особенно если середина последних заполнена ферромагнитным
веществом.
Для наблюдения экстратока размыкания мы использовали развет-
разветвленную цепь, изображенную на рис. 297. Однако существование
экстратока размыкания проявляется и в неразветвленной цепи. В такой
цепи в момент включения рубильника первоначальный ток резко
спадает, что ведет к возникновению очень большой э.д.с. размыкания.
Она может оказаться настолько большой, что произойдет пробой воз-
воздуха между полюсами выключателя, и между ними вспыхнет дуга.
Появление сильных искр или вспыхивание дуги между полюсами
выключателя, обусловленное экстратоком размыкания, может вести
к порче выключателя и потому представляет собой опасность, с кото-
которой приходится бороться в электротехнике.
§ 226. Экстратоки размыкания и замыкания. Разберем более подробно
характер экстратоков размыкания и замыкания.
Для того чтобы выяснить характер экстратока размыкания, предположим,
что в некотором контуре первоначально существовала э.д.с. Ша< которая
поддерживала в. нем силу тока /0. Затем в момент времени, для которого мы
примем t = 0, эта э.д.с. выключается, но контур остается замкнутым, при-
причем полное сопротивление его равно R. Тогда в контуре ток прекратится не
сразу, но будет продолжать еще идти некоторое время за счет э.д.с. само-
самоиндукции.
По формуле B) § 225, эта э.д.с. самоиндукции равна:
X т dI
e L
где L — коэффициент самоиндукции рассматриваемого контура. Сила тока
самоиндукции / определится законом Ома:
R ~ R ' df
Это равенство можно переписать в виде:
что представляет собой дифференциальное уравнение, определяющее зависи-
зависимость силы тока самоиндукции / от времени t. Интегрируя правую и левую
части уравнения A), получим:
1п/=— ~t + lnC, B)
где С —произвольная постоянная. Значение этой произвольной постоянной
получим из условия, что / = /0 при t = 0, откуда по B):
In fQ = In С.
14*

420
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
[гл. хх
Таким образом, выражение B) принимает вид:
C)
или
/ = foe L ' Ca)
Это соотношение показывает, что сила тока при выключении з.д.с. спадает
по показательному закону, при этом спадает тем медленнее, чем больше
коэффициент самоиндукции L и чем меньше сопротивление R. Зависимость
силы экстратока размыкания от времени гра-
графически представлена на рис. 298.
Время <„, в течение которого сила экстра-
экстратока размыкания спадает до половины своей
первоначальной величины, определится из со-
соотношения (За), если в нем положить г- = ^-,
откуда:
to
Рис. 298. Зависимость силы
экстратока размыкания от
времени.
Так как In 2 ?^0,7, то приближенно:
D)
Dа)
Так, например, время, в течение которого сила тока спадет при размыка-
размыкании до половины первоначального значения в контуре с самоиндукцией
/.=0,1 гн и R — QJ ом, будет по формуле Dа):
го?=!0,7 -^\сек = 0,1 сек.
Перейдем теперь к рассмотрению экстратока замыкания. Будем считать,
что в контур заданного сопротивления R включается сторонняя э. д. с. g0.
Тогда, благодаря явлению самоиндукции, полная э. д. с. в контуре будет:
откуда сила тока в контуре / окажется равной:
%°~di
'- R •
Замечая, что величина %JR численно равна силе тока /„, который протекал
бы по контуру при отсутствии явления самоиндукции, перепишем последнее
выражение в виде:
'°~~I==~R ' Tf
Так как /0 постоянно, то dl можно заменить через — tf (/„ —Г), тогда получим
U-1
' = — -j-dt.

§226]
ЭКСТРАТОКИ В^ЗМЫКАНИЯ И ЗАМЫКАНИЯ
421
Интегрируя обе части этого выражения, получим:
1п(/0 — /) = j-1 -\- In C\.
Произвольную постоянную In Ci определим из условия, что/ = (
откуда lnCi = ln/0, и выражение E) принимает вид:
R
I т D . у t
\п~^—.— = —j t, откуда /0 — / = /ое
или окончательно:
E)
при tf =
F)
Это выражение показывает, что при включении э.д.с. ток в цепи не
сразу достигает значения /„, но достигает его постепенно и тем медленнее,
чем больше коэффициент самоиндукции кон-
контура L и чем меньше сопротивление контура
R. Графически зависимость силы тока от време-
времени при включении э.д.с. изображена на рис. 298.
Теоретически ток должен достигнуть своего
конечного значения /0 лишь через бесконечно
большой промежуток времени. Практически
для обычных значений коэффициента самоин-
самоиндукции L ток достигает своего предельного
значения весьма быстро.
Разберем численный пример: пусть
коэффициент самоиндукции контура L = 0,1 гн
и его сопротивление R = 1 ом; определим,
какую долю от конечного значения /0 примет ток через 0,01 сек и через 1 сек
после момента включения в контур э.д.с.
По формуле F) имеем:
R
Рис. 299. Зависимость силы
тока от времени при замыка-
замыкании цепи с самоиндукцией.
откуда для ? = 0,01 сек.
для t = 1 сек:
Таким образом, через 0,01 сек сила тока в данном случае будет состав-
составлять лишь 0,1 от конечной, а через 1 сек она будет отличаться от конеч-
конечной лишь на 0,005 °/0, т. е. практически вполне совпадать с ней.
Существование экстратоков размыкания позволило обнаружить явление
сверхпроводимости (см. § 154). При сверхпроводимости /? = 0 и по форму-
формуле (За) ток после выключения э.д.с. будет продолжаться в контуре сколь
угодно долго не ослабевая. Опыты Каммерлинт-Оннеса, приведшие к откры-
открытию сверхпроводимости, производились следующим образом: соленоид, концы
которого были соединены друг с другом, помещался между полюсами элек-
электромагнита, после чего соленоид охлаждался жидким гелием до температуры,
при которой материал его провода становился сверхпроводящим. Затем маг-
магнитное поле электромагнита выключалось. При этом в соленоиде возникал
индукционный ток. При обычных условиях он прекратился бы через весьма

422
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ #НДУКЦИЯ
[ГЛ. XX
малый промежуток времени, при наличии же сверхпроводимости он продол-
продолжал идти но соленоиду в течение многих часов, не обнаруживая заметного
ослабления.
§ 22:7. Взаимная индукция. Переходим ^рассмотрению явления
взаимной индукции. Явление это было нами в основных чертах уже
разобрано при рассмотрении опытов по электромагнитной индукции.
Оно состоит в том, что при изменения силы электрического тока в
каком-нибудь контуре меняющееся магнитное поле этого тока инду-
индуцирует э. д. с. в соседних контурах. Возьмем два контура / и 2
(рис. 300). Предположим, что сила тока в первом контуре равна Д.
Поток магнитной индукции Ф, создаваемый этим током, пропор-
пропорционален Д. Обозначим через Фп ту
часть потока Ф, которая пронизывает
контур 2, тогда мы можем положить:
Ф21=Д31-Д. (О
На рис. 300 поток Фп изображается
теми линиями магнитной индукции, ко-
торые пронизывают оба контура (/ и 2).
ПРИ изменении силы тока Д в пер-
первом контуре будет меняться поток Фп,
%
Рис. 300. Поток индукции, про-
низывающий два контура.
ур у п,
и во втором контуре возникает э. д. с. индукции %ь величина которой
определяется соотношением C) § 222:
*«=it-
Если размеры и положения контуров остаются неизменными, то
коэффициент 121 в формуле A) постоянен и
откуда
B)
Коэффициент I9i называется коэффициентом взаимной индукции
контура 2 и контура 1.
Очевидно, все сказанное можно повторить для того случая, когда
меняется ток в контуре 2, а индуцируется ток в контуре /. Тогда,
обозначая силу тока во втором контуре через /2, а возникающую
э. д. с. в первом контуре через Ши получим:
©1 — — Ln-jj. t/aj
Коэффициент /.12 называется коэффиентом взаимной индукции
контура 1 и контура 2.
Как будет показано ниже, всегда
Ln = La. C)

§ 228] энергия магнитного поля токов 423
Таким образом, можно просто говорить о коэффициенте взаимной ин-
индукции двух контуров.
Пользуясь соотношением A), мы можем формулировать: коэффи-
коэффициент взаимной индукции двух контуров Ln численно равен по-
потоку магнитной индукции, создаваемому единичным током в одном
из контуров и пронизывающему второй контур. Из соотношения
B) получим второе (динамическое) определение: коэффициент
взаимной индукции 112 двух контуров численно равен э. д. с.
индукции, возникающей в одном из контуров при изменении
силы тока в другом контуре на единицу силы тока за единицу
времени.
Величина коэффициента взаимной индукции определяется
только геометрической формой и размерами контуров и их от-
относительным расположением. Лишь при наличии ферромагнитных тел
коэффициент взаимной индукции зависит от сил токов (благодаря за-
зависимости (j. от напряженности магнитного поля И).
Единицы коэффициента взаимной индукции носят те же названия,
что и коэффициента самоиндукции. Абсолютной электромагнитной еди-
единицей коэффициента взаимной индукции служит взаимная индукция
двух контуров, обладающих тем свойством, что если в одном из кон-
контуров идет ток в одну электромагнитную единицу силы тока, то он
создает поток, пронизывающий второй контур, равный одному макс-
максвеллу. Практической единицей коэффициента взаимной индукции слу-
служит генри, равный 109 абсолютных электромагнитных единиц коэффи-
коэффициента взаимной индукции. Из динамического определения коэффици-
коэффициента взаимной индукции следует, что генри равен коэффициенту
взаимной индукции таких контуров, в одном из которых возникает
э. д. с. в 1 в, если в другом ток меняется на 1 а в 1 сек.
§ 228. Энергия магнитного поля токов. При протекании по про-
проводам постоянного тока вся мощность, развиваемая источником э. д. с,
идет на выделение ленц-джоулева тепла. Не так обстоит дело при
непостоянных, возрастающих или убывающих токах. При возрастании
тока в контуре возникает, как мы видели, э. д. с. самоиндукции, на-
направленная против э. д. с, возбуждающей ток. В результате сила тока
будет меньше, причем только часть работы, совершаемой внешней
э. Д.С., пойдет на выделение ленц-джоулева тепла. Наоборот, при
падении силы тока в контуре возникает э. д. с. - самоиндукции того же
направления, что внешняя, ток оказывается сильнее, в цепи выделяется
больше ленц-джоулева тепла, чем должно было бы выделиться при
данной внешней э. д. с. Очевидно, что лишняя работа, затрачиваемая
при возрастании тока, могла пойти лишь на создание какого-то вида
энергии, которая затем, при убывании силы тока, выделилась обратно
в цепи. Так как с усилением тока усиливается и создаваемое им магнит-
магнитное поле, то, очевидно, что эта возникающая энергия является
анергией магнитного поля.

424 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ [ГЛ. XX
Для подсчета магнитной энергии рассмотрим контур с самоиндук-
самоиндукцией L, в котором сила тока возрастает от нуля до некоторого ко-
конечного значения /. При возрастании тока в контуре возникает э. д. с.
самоиндукции ^.Работа против этой э. д. с. и идет на образование
энергии магнитного поля. Если в данный момент сила тока в цепи
равна /, то мощность, развиваемая э. д. с. самоиндукции, равна Ш$, а
следовательно, работа, совершаемая за малый промежуток времени dt,
равна:
dA = lesdt.
По сказанному в § 225, э. д. с. самоиндукции Ш5 численно равна d<P/dt,
где Ф — поток индукции, пронизывающий рассматриваемый контур.
Отсюда элементарная работа dA за время dt численно равна:
dA = I~ ¦ dt = Id<P.
При постоянном коэффициенте самоиндукции йФ = Ldl, и выраже-
выражение для элементарной работы dA можно переписать в виде:
dA = ILdI. A)
Чтобы подсчитать запас магнитной энергии Wm, равной работе, со-
совершаемой при возрастании тока от значения нуль до некоторого
определенного значения /, надо просуммировать все элементарные
работы, т. е. проинтегрировать выражение A) в пределах от 0 до /;
тогда получим:
/
или, выполняя интегрирование:
Wm = YL1*- <2)
Здесь магнитная энергия выражена через параметры, характери-
характеризующие контур с током, — силу тока / и коэффициент самоиндук-
самоиндукции L. Ниже мы увидим, что ту же энергию Wm можно выразить
через параметры, характеризующие само поле, а именно — через напря-
напряженность магнитного поля Н, магнитную индукцию В и объем про-
пространства, занимаемого полем. Это позволяет локализировать магнит-
магнитную энергию в той части пространства, где имеется магнитное поле,
совершенно аналогично тому, как энергию электростатических зарядов
мы могли локализировать в пространстве, в котором имеется элек-
электростатическое поле.
Обобщим наше рассмотрение, взяв два контура, в которых текут
токи /, и /2. Энергия такой системы зависит не только от коэффици-
коэффициентов самоиндукции, но и от коэффициента взаимной индукции.

§ 228] • энергия магнитного поля тиков 425
Чтобы показать это, подсчитаем работу образования токов. Пусть
вначале оба контура разомкнуты. Затем первый контур замыкается,
и э. д. с, включенная в этот контур, совершает работу, идущую
на выделение ленц-джоулева тепла и на преодоление э. д. с. самоиндук-
самоиндукции. Эта последняя часть работы, определяющая энергию магнитного
поля тока, как было показано, равна:
где Ц — коэффициент самоиндукции первого контура. После создания
тока в первом контуре замкнем второй контур, при этом включенная
э. д. с. совершит во втором контуре работу, идущую на выделение
ленц-джоулева тепла и на преодоление э.д. с. самоиндукции второго
контура; работа, затраченная на преодоление э. д. с. самоиндукции,
по предыдущему, равна:
где Z.2 — коэффициент самоиндукции второго контура. Этим работа,
однако, не исчерпывается, так как при создании тока во втором
контуре в первом контуре возникнет э. д. с. взаимной индукции, чис-
численно равная
где Ф|2 — поток магнитной индукции, вызванный током It во втором
контуре и пронизывающий первый контур.
Для поддержания тока 1Х постоянным э. д. с, включенная в пер-
первый контур, должна совершать добавочную работу преодоления э. д. с.
взаимной индукции. Эта работа Л19 может быть подсчитана следую-
следующим образом. Элементарная работа dA\$ в течение малого проме-
промежутка времени dt равна:
или, подставляя вместо \%i\ ее значение по C):
Так как сила тока 1Х поддерживается постоянной, то полная ра-
работа преодоления э. д. с. взаимной индукции равна:
Фц
= /, J йФп =
о
где Ф19 — конечное значение потока индукции.

426 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ . [ГЛ. XX
Замечая, что Ф12 = Ьп1ь где Ln — коэффициент взаимной индук-
индукции первого и второго контуров, получим:
Энергия магнитного поля системы двух токов получится, если мы
сложим работы А\, Аг и Л^; таким образом, получаем:
Wm = А, + А, + Ам = ~ LJ1 + -1 LS + !„/,/„ D)
Очевидно, что ту же самую систему токов мы могли бы образовать
в другой последовательности: сперва создать ток во втором контуре,
затем ток в первом контуре. Повторяя рассуждения, приведенные
выше, мы в этом случае получили бы для энергии системы выражение:
Wm = ~ I,/? + у LS + LtJxh • Dа)
Так как энергия системы токов не должна зависеть от последователь-
последовательности их: образования, то выражения D) и Dа) должны быть тожде-
тождественны, откуда получаем:
соотношение, которое нами было уже приведено на стр. 422.
Формула B) дает энергию магнитного поля тока в виде функции
от силы тока / и коэффициента самоиндукции L. Но мы уже указали,
что этой формуле можно придать такой вид, что она представит энер-
энергию как функцию величин, характеризующих магнитное поле в окру-
окружающем пространстве. Проведем это преобразование на частном слу-
случае однородного магнитного поля внутри длинного соленоида.
Магнитная энергия тока, текущего по соленоиду, по формуле B)
равна:
W = — //а
" т — 2
Коэффициент самоиндукции соленоида по формуле F) § 225 равен:
где V—объем соленоида, п — число витков, приходящихся на еди-
единицу длины, и р. — магнитная проницаемость среды, заполняющей
внутреннюю часть соленоида.
Кроме того, сила тока / и напряженность магнитного поля внут-
внутри соленоида связаны соотношением:
Подставляя эти значения L и / в B), найдем:
Wm=lnpH*V E)

§ 229]
РАБОТА ПЕРЕМАГНИЧЕНИЯ
427
или, замечая, что ]хН равно магнитной индукции В, перепишем выра-
выражение E):
т 8я ' '
Так как магнитное поле можно считать сосредоточенным только
внутри соленоида, т. е. в объеме V, то плотность магнитной энергии:
G)
Таким образом, плотность магнитной энергии определяется произ-
произведением напряженности поля Н и магнитной индукции В. Если в
формуле G) обе величины измерены в СО^УИ-системе, т. е. соответ-
соответственно в эрстедах и гауссах, то wm получится в эрг/смЛ.
В случае неоднородного магнитного поля пространство можно разбить
на столь малые участки, чтобы в их пределах векторы Н и В могли считать-
считаться постоянными. Тогда формула G) дает плотность магнитной энергии в пре-
пределах такого участка. Энергия, приходя-
приходящаяся на участок объемом dV, будет:
±
Ga)
Энергия же, заключенная в конечном
объеме V, представится выражением
Рис. 301. К подсчету работы
перемагничения.
где интегрирование распространено на весь
объем V.
§ 229. Работа перемагничения.
Намагничение магнетика не является
однозначной функцией напряженности
намагничивающего поля. В § 203 нами
было рассмотрено явление гистерезиса,
которое показывает, что намагничение при данном значении Н за-
зависит от того, каким путем это значение Н было достигнуто.
Рассмотрим состояние магнетика, характеризующееся точкой а на
рис. 301, на котором дана петля гистерезиса. Предположим, что,
исходя из состояния а, мы перемагничиваем магнетик соответственно
обходу петли гистерезиса по пути abkfela и вновь приходим в состоя-
состояние а. Покажем, что такой процесс перемагничения связан с затратой
работы. Для этого воспользуемся выведенным в предыдущем параг-
параграфе соотношением, по которому элементарная работа dA, идущая
на образование энергии магнитного поля контура, при увеличении
потока индукции через контур на величину <1Ф (за счет увеличения

428 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ [ГЛ. XX
силы тока), равна: .¦¦•.,
dA = ldcp, A)
где / — сила тока в контуре.'
Предположим, что рассматриваемый магнетик служит сердечником
длинного' соленоида. Пусть соленоид имеет всего N витков и пусть
площадь поперечного сечения витков (и сердечника) равна б1. Тогда
полный поток индукции через N витков соленоида равен:
где В — индукция магнитного поля в сердечнике соленоида.
Сила тока в обмотке соленоида связана с напряженностью вызы-
вызываемого им магнитного поля Н соотношением (см. § 194):
где /¦—длина соленоида. Следовательно, по A), элементарная работа,
связанная с изменением потока индукции, равна:
Так как SI представляет собой объем магнетика, то работа dA', при-
приходящаяся на единицу объема сердечника, равна:
dA' = ~HdB,
т. е. пропорциональна приращению dB вектора индукции.
Обращаясь к рис. 300,. видим, что произведение H-dB для неко-
некоторого участка ab кривой гистерезиса выражается площадью по-
полоски abed, так как этому участку соответствует приращение вектора
индукции dB^dc. To же самое значение dB = cd соответствует и
участку fe кривой гистерезиса, однако на этом участке dB отрица-
отрицательно, так как на нем индукция уменьшается (переход от точки /
к точке е). Вектор Н на участке fe тоже отрицателен; следовательно,
произведение H-dB положительно и выражается площадью по-
полоски cdef. Таким образом, рассматриваемому значению dB при намаг-
намагничении соответствует работа, пропорциональная площади полоски
abed, а при размагничении — работа, пропорциональная площади по-
полоски cdfe. Учитывая обе работы вместе, можно сказать, что участ-
участкам кривой гистерезиса ab и ef соответствует работа, равная j- X
X площадь (abfe).
1 Заметим, что пользоваться формулой A) предыдущего параграфа в рас-
рассматриваемом случае ферромагнитных тел было бы неправильно, так как для
них коэффициент самоиндукции L не есть постоянная величина и йФЫИ

§ 230] КОЭФФИЦИЕНТ САМОИНДУКЦИИ КАБЕЛЯ 429
Полный цикл перемагиичения может быть представлен как сумма
таких участков; следовательно, полная работа перемагничения еди-
единицы объема сердечника соленоида пропорциональна сумме площадей
полосок, аналогичных полоске abfe, т. е. будет пропорциональна
площади St петли кривой гистерезиса:
Работа, затрачиваемая на перемагничение, должна или превратиться
в дополнительную энергию магнитного поля соленоида, или перей-
перейти в тепло. Так как при возвращении в исходную точку а состоя-
состояние магнитного поля не изменилось, то не могла измениться и его
энергия. Отсюда заключаем, что перемагничение при наличии гисте-
гистерезиса должно вызывать нагревание сердечника, что и наблюдается
на опыте. Для вычисления работы надо знать форму петли гистере-
гистерезиса для данного магнитного материала.
Потери энергии при перемагничении сердечников из ферромагнитных
веществ приходится учитывать в различных технических задачах. Для
определения работы при этом пользуются следующей эмпирической форму-
формулой, довольно хорошо оправдывающейся для многих магнитных материалов:
где Втлх—максимальное значение магнитной индукции, достигаемой при
данном цикле перемагничения. Коэффициент -ц зависит от свойств данного
материала; так, для трансформаторного железа
т] = 0,0008 эрг/см3 ¦ (гсI-6)
для жесткой стали
т] = 0,08 эрг/см3 -(гс)ив.
§ 230. Коэффициент самоиндукции кабеля.
В качестве примера применения выведенных в
§ 227 соотношений рассчитаем коэффициент са- .
моиндукции участка бесконечно длинного ци- Рис- 302. Кабель из двух
линдрического кабеля. Под кабелем будем под- коаксиальных цилиндров,
разумевать два коаксиальных цилиндрических
проводника, причем ток, текущий по внутреннему цилиндру, равен и проти-
противоположен току, текущему по внешнему цилиндру (рис. 302).
Обозначим радиусы внутреннего и внешнего цилиндров соответственно
через Ri и У?а. Выделим участок кабеля длины /. Магнитная энергия тока,
идущего по этому участку, может быть представлена двумя способами: во-
первых, через коэффициент самоиндукции данного участка кабеля L по фор-
формуле B) § 227:
и, во-вторых, через величины, характеризующие магнитное поле токов по
формуле (8) § 227:
B)

430 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ [ГЛ. XX
где интеграл распространен на объем, в котором отлично от нуля магнит-
магнитное поле, на протяжении длины I выделенного участка кабеля. Сравнение
этих двух выражений позволит нам определить значение коэффициента само-
самоиндукции. Вычислим сперва энергию Wm по формуле B). Для этого вспомним
(см. § 199), что напряженность магнитного поля, создаваемого током, теку-
текущим по полому цилиндрическому проводнику, внутри цилиндра равна нулю.
Следовательно, внутри цилиндра радиуса fa напряженность магнитного поля
равна нулю, и эта область выпадает из интегрирования. Напряженность между
цилиндрическими поверхностями определяется лишь током, текущим по внут-
внутреннему цилиндру, так как напряженность поля от внешнего цилиндра в этой
области также равна нулю. Напряженность магнитного поля тока, текущего
по цилиндрическому проводнику, по сказанному в § 199, вне цилиндра такая
же, как напряженность, создаваемая линейным током такой же силы, текущим
по оси цилиндра. Следовательно, в области между цилиндрами напряженность
магнитного поля Н равна:
«-Ч-
где г — расстояние от оси цилиндра. Во всех точках, лежащих вне обоих
цилиндров, напряженность поля равна нулю, так как она равна сумме двух
равных и противоположно направленных напряженностей, создаваемых двумя
противоположными токами одинаковой силы, текущими по цилиндрическим
проводникам с общей осью. Следовательно, интегрирование в формуле B)
нужно распространить лишь на участок цилиндрического слоя длиной /,
заключенного между цилиндрами.
Для расчета разобьем весь объем на бесконечно тонкие слои объема
dV—2nr ¦ dr ¦ I; в пределах такого слоя напряженность магнитного поля Н
можно считать постоянной. Энергия, относящаяся к этому слою, будет равна:
wm • dV= s- u//2 dV = u-Pl — .
Полную энергию Wm мы получим, проинтегрировав это выражение по г
в пределах от fa до R?:
Сравнивая это выражение для энергии Wm с выражением A), дающим ту
же энергию через коэффициент самоиндукции L, получим, что коэффициент
самоиндукции участка кабеля длиной / равен:
Так как магнитная проницаемость (х среды между цилиндрическими про-
проводниками всегда близка к единице, то приближенно:
§ 231. Токи Фуко. Поверхностный эффект. Индукционные токи
возникают также в сплошных проводниках, которые нельзя рассмат-
рассматривать как линейные контуры. В этом случае они называются по имени
их исследователя токами Фуко. Сплошной кусок металла, находя-
находящийся в переменном магнитном поле, представляет собой проводник

§ 231] ТОКИ ФУКО. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ЭФФЕКТ 431
малого сопротивления; вследствие чего сила индукционных токов
достигает в нем больших значений.
Так как э. д. с. индукции пропорциональна быстроте изменения
потока магнитной индукции, то величина токов Фуко тем больше, чем
быстрее меняется то магнитное поле, в которое внесен данный про-
проводник. Поэтому возникновение токов Фуко легче наблюдать, если
внести проводник в полость соленоида, по обмотке которого про-
пропускается быстро переменный ток, вызывающий также быстро меняю-
меняющееся по величине магнитное поле. В этом случае токи Фуко в мас-
массивных хорошо проводящих телах достигают такой силы, что выде-
выделяющегося тепла оказывается достаточно, чтобы раскалить тело.
Этот метод широко используется в вакуумной технике для прогрева
внутри откачиваемого прибора металлических частей для их обезгажи-
вания. Этот же способ употребляется для плавки металлов под вакуумом.
Однако во многих случаях нагревание, вызываемое токами Фуко,
является вредным. К таким случаям относится нагревание сердечников
трансформаторов (см. § 236) и вообще металлических сердечников
всякого рода обмоток, по которым идет переменный ток. Чтобы из-
избежать такого нагревания, сердечники делают слоистыми, отделяя
слои друг от друга тонкой прослойкой изоляции, расположенной
перпендикулярно к направлению токов Фуко.
Наблюдать возникновение токов Фуко можно еще с помощью
следующей установки. Маятник, состоящий из куска металла, под-
подвешенного на нити между полюсами электромагнита, выведенный из
положения равновесия при отсутствии тока в электромагните,' совер-
совершает слабо затухающие колебания. При включении тока колебания
почти мгновенно затухают, и движение маятника до его остановки
напоминает движение в вязкой среде. Это объясняется тем, что
возникшие при движении маятника в магнитном поле токи Фуко
имеют такое направление, что действую-
действующие на них со стороны магнитного поля
силы тормозят движение маятника.
Токи Фуко могут возникать и в самом
проводнике, по которому течет перемен-
переменный ток. Появление таких токов ведет к Рис. 303. Возникновение по-
особому поверхностному эффекту (на- верхностного эффекта,
зываемому также скин-эффектом от
английского слова skin, что значит кожа). Если переменный ток
идет по цилиндрическому проводнику, то в моменты увеличения то-
тока индукционные токи Фуко будут направлены как показано на рис 303.
Эти токи направлены у поверхности проводника в направлении пер-
первичного электрического тока, а у оси проводника — навстречу току.
В результате внутри проводника ток ослабнет, у поверхности уве-
увеличится. Таким образом, вледствие возникновения индукционных то-
токов Фуко, ток будет распределен неравномерно по сечению проводника.
/т Г~^\ 7"\
{< ) ¦ ¦ ^-—^ {— \

432 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ [ГЛ. XX
При быстропеременных токах плотность тока вблизи оси про-
проводника практически оказывается равной нулю, и весь ток идет по
поверхности проводника. Вследствие этого и магнитное поле
внутри проводника делается равным нулю. Это явление вызыва-
вызывает увеличение сопротивления проводника, так как по внутрен-
внутренним частям проводника ток не идет. Так как эти внутренние
части оказываются бесполезными, то в целях экономии металла про-
провода для быстропеременных токов делаются полыми. Токи Фуко
приводят также к уменьшению коэффициента самоиндукции провод-
проводника. Это можно пояснить на примере цилиндрического проводника.
Коэффициент самоиндукции L по формуле B) § 227 связан с маг-
магнитной энергией тока соотношением:
Wm = ±LI\ A)
Энергия магнитного поля Wm зависит от напряженности магнит-
магнитного поля. При скин-эффекте магнитное поле внутри проводника
делается равным нулю, а поле вне проводника остается таким же
при данной силе тока, как и при токе с постоянной плотностью по
сечению проводника, — в результате энергия поля становится меньше,
откуда по формуле A) уменьшается коэффициент самоиндукции L.
В сплошных проводниках в результате скин-эффекта получается
неравномерное выделение тепла: тепло выделяется преимущественно
у поверхности проводника. Этот эффект использован В. П. Волог-
диным для создания метода поверхностной закалки стали.
§ 232. Переменный ток. При действии в замкнутом контуре
переменной э. д. с. в нем возникает переменный ток. Сила такого
переменного тока может быть непостоянной в различных сечениях
неразветвленного проводника. Это отступление от основного требова-
требования, которому удовлетворяет постоянный ток, обусловлено конечной
скоростью'распространения электромагнитных полей. Однако отступ-
отступление окажется незначительным, если сила тока и распределение заря-
зарядов мало меняются за то время t, в течение которого электромагнитнше
возмущения пробегают расстояние, отделяющее наиболее удаленные
части рассматриваемой электрической системы. Токи, подчиняющиеся
этому условию, называются квазистационарными. В § 232 — 234
мы будем рассматривать только такие токи. Для квазистационарных
токов в каждый данный момент выполняются законы Кирхгофа.
Мы видели (см. § 224), что при вращении контура в однородном
магнитном поле поток магнитной индукции через площадь, ограни-
ограниченную контуром, меняется периодически, вследствие чего в контуре
индуцируется периодически изменяющийся ток. Рассмотрим более
подробно характер этого процесса.
Как было показано в § 224, при вращении рамки в магнитном
поле с угловой скоростью ш поток магнитной индукции Ф, прони-

§ 232] переменный ток 433
зывающий площадь, ограниченную контуром рамки, меняется со вре-
временем t по закону:
ф = фй cos at, A)
где Фо означает наибольшее значение потока через площадь контура.
Электродвижущая сила, возникающая при этом в цепи, окажется
равной: '
ё = -,- = @ф0 Sin Ш = ©0 Sin @1. B)
Это будет простейший случай переменной э. д. с, меняющейся со
временем по синусоидальному закону. Величина $0 = w<2>0 называется
амплитудой э. д. с. и представляет ее наибольшее значение.
Кроме внешней э. д. с. Ш, в контуре будет действовать э. д. с. само-
самоиндукции, так как сила тока в контуре меняется. Пусть L — коэф-
коэффициент самоиндукции рассматриваемой цепи. Электродвижущая сила
самоиндукции, как известно, равна:
Сумма э. д. с. &-\-esl должна равняться, по закону Кирхгофа,
произведению сопротивления контура на силу тока в нем /:
!R=S + tSsi. D)
Подставляя в формулу D) вместо Ш и &si их значения по B) и C),
получим:
g=?osinurf. E)
Это соотношение представляет собой дифференциальное уравнение,
определяющее силу тока / в контуре с заданной э. д. с. & = &osinwt
и заданными коэффициентом самоиндукции L и сопротивлением R.
Частное решение этого уравнения для силы тока / будем искать, пред-
предполагая, что ток является периодической функцией от времени, период
которой равен периоду э. д. с, т. е. ищем решение для / в виде:
;' / = /osin(arf —<& F)
где /0 и ср—постоянные, которые мы должны определить. Подставляя
это выражение в уравнение E) и выполняя дифференцирование, получаем:
FZIq sin (mt — ср) -(- I/Ou) cos (utf — ср) = Шй sin u>t Eа)
или
RI0 (sin wt cos cp — cos wt sin cp) -)- Z./Oa) (cos mt cos cp -[-
-j- sin mt sin cp) — §„ sin wt = 0.
Чтобы это равенство имело место в любой момент времени, необхо-
необходимо, чтобы отдельно обращались в нуль коэффициенты при sin wt

434 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ [ГЛ. XX
и при cos (at; это условие дает два следующих уравнения:
/./о» cos <p — RI0 sin cp = 0, 1
Ziou) sin 9 -\- Wo cos ср — ёо = О; j
последнее из этих уравнений перепишем в виде:
Ziou> sin (f -\- R[u cos cp = ^о- (8)
Первое из равенств G) после деления обоих его членов на RI0 cos ср
дает:
tg<P=^. (9)
Возводя первое из равенств G) и равенство (8) в квадрат и скла-
складывая их, получаем:
/;(LV+/?)=gjl
откуда
Io= r g° =-. A0)
Выражения (9) и A0) определяют неизвестные постоянные /0 и <р-
Воспользовавшись этими значениями /0 и ср, получим в силу соотно-
соотношения (б) выражение для силы тока / в рассматриваемой цепи:
/ = -г-^ =- sin (id — arc tg ^V A1)
Сравнивая эту формулу с выражением для э. д. с. индукции B),
мы видим, что и ток / и э. д. с. Ш представляются синусоидами, но
сдвинутыми по фазе на угол ср. Ток
y-^r-v y^~-^ 8 и э. д. с. не одновременно проходят
У / \\ //^ через наибольшие и наименьшие зна-
?-?- \ \ ~Т~Т~—"" ^ чеиия и не одновременно достигают
\\ / / значения нуль. На рис. 304 графиче-
^~~^><^У ски представлено изменение со вре-
временем э. д. с. Ш и силы тока / для
Рис. 304. Кривые изменения со некоторого частного значения сдвига
временем э.д. с. <д и силы тока/ , >, /пч
в случае переменного тока в цепи Фаз <Р-' Соотношение (9) показывает,
с самоиндукцией. что сдвиг фаз между э.д.с. и силой
тока при данной частоте со опреде-
определяется отношением L/R. Чем больше отношение LJR, тем больше
значение tgco, т. е. тем больше сдвиг фаз ср; наибольшее значение <р
принимает, когда при L ^? 0 сопротивление цепи можно считать равным
нулю, при этом tg ср = со, откуда:
т. е. ток отстает от э. д. с. на четверть периода.

§ 232] переменный ток 435
Формула A0), определяющая зависимость амплитуды силы тока /0
от амплитуды э. д. с. Шй, напоминает закон Ома, причем роль сопро-
сопротивления играет величина:
z=V #9+lV, A2)
называемая полным сопротивлением (или кажущимся сопротивле-
сопротивлением, или импедансом цепи). Величина Ьш называется индуктивным
сопротивлением. Обозначая индуктивное сопротивление через RM,
имеем:
/?„ = ?<«>. A3)
Амплитуда силы тока, как видно, зависит от полного сопротив-
сопротивления ' z, которое при данном омическом сопротивлении R тем больше,
чем больше коэффициент самоиндукции L и чем больше частота ш.
Для оценки роли индуктивного сопротивления определим силу тока,
проходящего через соленоид, коэффициент самоиндукции которого был нами
рассчитан в § 225. Пусть омическое сопротивление этого соленоида равно
/? = 20 ом; его коэффициент самоиндукции нами был определен равным
? = 0,023 гн. Вычислим амплитуду силы тока /0, проходящего через этот
соленоид при амплитудном значении разности потенциалов Vt — У2 на концах
соленоида в 100 в и при числе периодов в секунду: а) 50, б) 250, в) 500.
По формуле A0) амплитуда силы тока:
У,-У,
'а ——, . _ _ =г .
Циклическая частота <о для трех указанных случаев равна:
а) ш = 2яч = 2к • 50 = 314 сек'1,
б) ш = 2ям = 2я ¦ 250 = 1570 сек'1,
в) ш = 2™ = 2я- 500 = 3140 сект1.
Амплитуды силы токов равны:
а) /„= , 10° ^4,Я а,
/@,023 -314)а + 202
,. . 100 —, о,.
б) L = . .. . . — с^ 2,4 а,
/@,023 • 1570)а + 20а
100 ^1,а „.
/@,023-3140)8 + 20а
Постоянный ток, проходящий через тот же соленоид при разности потен-
потенциалов на его концах в 100 в, был бы равен:
Из сравнения полученных результатов видна роль частоты тока: при
50 периодах в 1 сек роль индуктивного сопротивления в данном случае не-
невелика, но при 500 периодах в 1 сек сила тока оказывается почти в четыре
раза слабее силы постоянного тока.

436
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
[ГЛ. XX
Формулу Eа) можно использовать для графического способа харак-
характеристики величин, определяющих переменный ток. Для этого пере-
перепишем Eа) в следующем виде:
RI0 sin (uit — ср) -\- Z./Oio sin Гш^ — ср -j- у j = ё0 sin wr.
E6)
Стоящие слева члены представляют сумму двух гармонических коле-
колебаний одного периода с разностью фаз it/2. Амплитуды этих коле-
колебаний равны RI0 и ?/0со. Для получения
результирующего значения можно графи-
графически сложить амплитуды, как это было
изложено в § 97 т. I. Для этого (рис. 305)
отложим вектор амплитуды R!u под углом
wt — ср к оси ОХ и вектор амплитуды 1/0со
под углом mt — ср —}—2~ - Геометрическая
сумма этих амплитуд дает, согласно E6),
вектор амплитуды э. д. с. Ш^. Из чертежа
видно, что угол между амплитудой ^/0 и
Рис. 305. Векторная диа- амплитудой ё0 равен ср, так как:
/./лСО /.СО ,
Проекция вектора амплитуды Ш^ на ось ОХ дает в каждый данный
момент времени значение э. д. с. Проекции векторов 7?/0 и Z.co/0 на ту
же ось дают соответственно падение потенциала в контуре вслед-
вследствие омического сопротивления R и вслед-
вследствие явления самоиндукции. Из треуголь-
треугольника ОаЪ видно, что тангенс угла ср не за-
зависит от значения /0; поэтому для графиче-
графического нахождения сдвига фаз и полного
сопротивления при известных омическом и
индуктивном сопротивлениях можно построить
прямоугольный треугольник, катеты которого
равны R и La>; гипотенуза А В такого тре-
грамма для цепи перемен-
переменного тока с самоиндукцией.
Рис. 306. Графическое
. „Л„. определение полного со-
угольника (рис. 306) равна полному сопротив- |]р?Тивления г в цепи
лению г = У /?а 4- LV, а угол ср — сдвигу переменного тока с само-
самоиндукцией по омическому
сопротивлению R и ин-
индуктивному сопротивле-
сопротивлению Z.CO.
фаз между током и э. д. с.
До сих пор мы пользовались лишь ча-
частным решением уравнения E). Полное ре-
решение уравнения E) мы получим, если к ча-
частному решению A1) прибавим общее решение соответственного
однородного уравнения

§ 233] МОЩНОСТЬ, ВЫДЕЛЯЕМАЯ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 437
Решение этого уравнения имеет вид:
1=Ае~^\
где А — постоянная, определяемая по начальным условиям. Это реше-
решение дает часть тока, которая спадает с течением времени и обычно
быстро делается равной нулю. Таким образом, интерес представляет
лишь выражение для установившегося тока, которое и дается реше-
решением A1).
§ 233. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока. Рас-
Рассмотрим мощность, выделяемую в цепи переменного тока. Мгновенное1
значение мощности мы получим, если возьмем произведение мгновен-
мгновенного значения силы тока на мгновенное значение э.д.с:
М = 1Ш = ё0 sin ud • /0 sin (cot — ср). A)
В разные моменты времени это мгновенное значение мощности
имеет различную величину, в частности оно равно нулю в те моменты,
когда равно нулю / либо Ш. Поэтому нас будет интересовать не
мгновенное значение мощности, а среднее значение мощности за
период. Чтобы подсчитать это среднее значение, преобразуем выра-
выражение A) для W следующим образом:
СО I
W= i°0/0 sin (at • sin (ud — cp) = -4^ [cos cp — cos Bo>t — cp)].
Таким образом, среднее значение W за период представляется
суммой средних значений членов ~-° cos ср и —Щ~ cos Butf— ср).
Первый член от времени не зависит; следовательно, его среднее зна-
значение равно ему самому; второй член меняется со временем вслед-
вследствие изменения cos Burf — ср)- Среднее значение cos Bnd—ср) за
период, очевидно, равно нулю, так как за период cos B<at — ср) при-
принимает так же часто положительные значения, как и равные им
отрицательные. В результате среднее за период значение мощности,
выделяющейся в цепи, будет равно:
W = ~-° cos ср. B)
Введем обозначения:
Sf ©о i А) ,п\
Величины ё3ф и /Эф называются эффективной э.д.с. и эффек-
эффективной силой тока; подставляя их в B), получим для среднего за
период значения мощности:
¦W=S^.cos<f. Bа)

438 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ [ГЛ. XX
Если сдвиг фаз между током и э. д. с. равен нулю, то средняя
мощность будет выражаться произведением эффективной силы тока
на эффективную э.д.с. Таким образом, эффективные значения силы
тока и э.д.с. играют ту же роль, что сила тока и э.д.с. в случае
постоянного тока.
Среднее значение мощности зависит от сдвига фаз. Наибольшего
значения она достигает при сдвиге фаз, равном нулю, что имеет место
при отсутствии в цепи самоиндукции. Если сдвиг фаз равен -тс/2, то
среднее значение мощности оказывается равным нулю. Это получается
вследствие того, что энергия, доставляемая источником за одну
четверть периода, возвращается обратно в источник за другую четверть
периода за счет электромагнитной энергии самоиндукции. Этот случай
осуществляется только при условии равенства нулю омического сопро-
сопротивления цепи, что практически никогда не выполняется.
Мощность, развиваемая током, выделяется в виде тепла. Поэтому
полное количество тепла, выделяемое во всей цепи за время t, равно:
Q == ^эф ' 4ф cos 9 • t. D)
Так как по формуле C) эффективные значения силы тока /эф и
э.д.с. <^3ф отличаются от максимальных значений /0 и Шй лишь по-
постоянным множителем;
/9ф = -1=/0^ 0,707/0, &ьф = -^Ш0^ 0,707 g0,
то между /5ф и $эф имеет место то же соотношение, что и между /0
и Шй [см. формулу A0) на стр. 434]: ¦
г
9*~/
Воспользовавшись этим соотношением, перепишем выражение D)
для тепла, выделяемого в цепи:
Q = /|ф 1/LV + tf2 • cos cp • t,
или
j2cos?.*. Da)
Разность фаз <р определяется [по формуле (9), стр. 434] равенством:
отсюда
cos tp =
Подставляя это значение cos <p в Dа), найдем:
E)

§ 234] ЦЕПЬ, СОДЕРЖАЩАЯ САМОИНДУКЦИЮ И ЕМКОСТЬ 439
откуда следует, что количество тепла, выделяемое в цепи пере-
переменного тока с данным омическим сопротивлением R, выра-
выражается обычной формулой Ленца — Джоуля (см. § 157), если
только под силой тока подразумевать эффективную силу
тока.
Таким тэбразом, количество выделяющегося тепла определяется
лишь эффективной силой тока /Эф и омическим сопротивлением R. Ин-
Индуктивное сопротивление L<s> непосредственной роли в процессе выде-
выделения тепла не играет. Поэтому оно иногда называется безваттным
сопротивлением. Если омическое сопротивление цепи R очень мало,
то мало и количество выделяемого в ней тепла; общее же сопроти-
сопротиГ1'
Если обкладки конденсатора присоединить к ис- /!
точнику постоянного тока, то в цепи пойдет ток лишь
влепае z=yR'i-\-1?ш* такой цепи может быть велико, если только
велика ее самоиндукция и значительная частота со того переменного
тока, который через нее проходит.
Для измерения силы переменного тока можно воспользоваться
тепловыми амперметрами (§ 158). Тепловой амперметр, градуирован-
градуированный для постоянного тока, даст для переменного тока эффективную
силу тока. Максимальное значение силы тока определится по эффек-
эффективной силе соотношением C), по которому /0 = /,ф • |/2 = 1,41/Эф.
О других способах измерения переменных токов г
см. § 237.
^/% 234. Цепь переменного тока, содержащая
самоиндукцию и емкость. Цепь переменного
тока, в отличие от цепи постоянного тока, допу-
допускает последовательное включение конденсатора. "? О
I—ЛЛГЬ-'
до тех пор, пока на обкладках конденсатора не воз- "
никнет разность потенциалов, компенсирующая Рис. 307. Цепь с
э. д. с. источника. Если же обкладки конденсатора омическим сопро-
„ тивлением /?. само-
самоприсоединить к источникам переменной э. д. с, то, индукцией L и ем-
они непрерывно будут перезаряжаться, и в цепи костью С.
все время будет идти переменный ток.
Пусть к зажимам б1 (рис. 307) приложена переменная э. д. с. Ш =
= %osin o>t. Цепь состоит из последовательно соединенных емко-
емкости С, самоиндукции L и омического сопротивления R (омическим
сопротивлением остальных проводов пренебрегаем). В части контура,
обладающей самоиндукцией L, возникнет э. д. с. самоиндукции ^si =
= —L-r-, где / — сила тока в цепи. Полная э. д. с, действующая
в контуре, окажется равной Ш — L -г-. В каждый данный момент она
должна равняться сумме падений потенциалов вдоль цепи. Эти паде-
падения сложатся из разности потенциалов на обкладках конденсатора
V= Vi — Va и падения потенциала IR вдоль части цепи с омиче-

440 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ [ГЛ. XX
ским сопротивлением R. Таким образом, получим:
откуда, подставив вместо Ш его значение &а sin <at, получим:
?^J-//?4-V.= Sesltrarf. '¦ A)
Разность потенциалов на обкладках конденсатора V связана с заря-
зарядом Q, сосредоточенным на обкладке конденсатора, соотношением:
Q = VC, B)
где С — емкость конденсатора. За время dt заряд Q увеличится на
dQ = Idt, откуда в силу соотношения B)^*
I=~d7=:Cdt>
или
d\/ \_ - „\
Дифференцируя равенство A) по времени, получим:
, d4 , „ dl . dV *. . **
ас ' ас ' at
Подставляя сюда вместо dVjdt его значение по C), найдем диффе-
дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять сила тока
в цепи с последовательно соединенными емкостью, самоиндукцией и
сопротивлением:
, d2l . _ dl . 1 .
Решение этого уравнения будем искать в виде периодической функ-
функции от времени того же периода, что и период э. д. с:
/ = /0 sin (urf — ср). E)
где /0 и ср — постоянные, которые нам надлежит определить. Состав-
Составляя первую и вторую производные от / по времени, получим:
jt = /0@ COS ((lit — ср), -^ = — /0О)а Sin (<i>t — ср).
Подставляя эти значения dljdt, dV/df* и / в уравнение D) и сокра-
сокращая правую и левую части на со, найдем:
RI0 cos ((at — ср) — ( L(a — -^) /0 sin ((at — cp) = $a COS (ot. Da)
Представляя cos (eo?—^cp) и sin(o)i — <p) через синусы и косинусы от

§ 234] ЦЕПЬ, СОДЕРЖАЩАЯ САМОИНДУКЦИЮ .И ЕМКОСТЬ 441
<at и <р, получим: ¦
/?/0 cos (at cos со -\- RL sin <at sin 9 1— [ L(t> — 77-1 L sin ш? cos
\ Cm/
-[" (jr-(B — йГг0 cos ш' 5in V ~^o cos №^ == 0- Ea)
Так как это равенство должно выполняться для любого момента вре-
времени, то множители при sin tat. и cos (at должны равняться нулю,
откуда получим Два уравнения:
f? sin 9 — (ы — gr4cos9 = 0, F)
in -.? = j. G)
Из уравнения F) получаем:
(8)
Возводя равенства F) и G) почленно в квадрат и складывая их,
найдем:
откуда
Равенства E), (8) и (9) дают нам искомое решение: в цепи течет
ток / того же периода, что и приложенная э. д. с; амплитуда этого
тока /в определяется равенством (9). Ток / сдвинут по фазе относи-
относительно э. д. с. Ш на угол 9. определяемый равенством (8).
Величина 2=1/ R1 -\-1Ы — ^—j носит характер полного сопро-
сопротивления (импеданс), она зависит от значений R, L, С и от частоты
тока со. При ш, удовлетворяющем соотношению:
полное сопротивление достигает минимума; при этой частоте ампли-
амплитуда силы тока достигает максимального значения:
6»
Все явление прохождения переменного тока через цепь с емко-
емкостью и самоиндукцией напоминает явление механического резонанса:
амплитуда силы тока зависит от частоты ш и достигает максимума

442
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
[ГЛ. XX
при некотором определенном значении шрез, называемом резонансной
частотой, значение которой, по A0), равно:
"рез"
A0а)
Резонансная кривая имеет тем более острый максимум, чем меньше
омическое сопротивление R.
По формуле (8) при резонансе разность фаз <^p.Q- .
По ш-»-0 разность фаз <р-> — тс/2, т. е. ток опережает значение
э.-д. с; при и)-*оо разность фаз <р -> + и/2"> в этом случае ток
отстает от э. д. с. На рис. 308 кри-
кривая / дает изменение силы тока
с частотой при заданной э. д. с. и
постоянных L и С; кривая 2 дает
зависимость ср от частоты.
Если конденсатор заменить
участком проводника, то в цепи
не возникнет добавочной разности
потенциалов V= -L. Следова-
тельно, замена конденсатора про-
проводником соответствует случаю
С=оо, и тогда формулы (8) и"
(9) переходят в формулы (9) и
A0) § 232, относящиеся к цепи
с самоиндукцией и сопротивле-
сопротивлением, но без конденсатора.
С изменением <о одновременно с силой тока меняется и падение
потенциала в каждом участке цепи переменного тока. В цепи, изо-
изображенной на рис. 307, омическое сопротивление R, самоиндукция L
и емкость С соединены последовательно. Обозначив разности потен-
потенциалов на концах каждого из этих участков цепи соответственно через
V/?, Vl и Vc, получим, что полное падение потенциала в цепи, совпа-
совпадающее с э. д. с, действующей в цепи, может быть представлено в виде:
Шй sin mt = Vx -J- Vl -j- Vc-
По сказанному на стр. 440:
Рис. 308. Зависимость силы тока (/)
и сдвига фаз B) от частоты.
x = lR = RI<lsm(u>i
t dl . r
: = i^ = L<ol0 cos <
— cp),
(П)
или
VL = Lu>l0 sin \wt — <p -4- ir/2). A2)
Чтобы определить разность потенциалов на обкладках конденса-
конденсатора, рассмотрим случай, когда цепь не содержит ни омического

§ 234] ЦЕПЬ, СОДЕРЖАЩАЯ САМОИНДУКЦИЮ И ЕМКОСТЬ 443
сопротивления, ни самоиндукции (R=0 и L = 0), тогда формула (9)
даёт:
Из этого соотношения видно, что конденсатор эквивалентен омиче-
омическому сопротивлению, равному 1/Сш. При этом по (8) tg <р = —оо
и, следовательно, ср= —тс/2, т. е. ток опережает значение э. д. с.
на ic/2. Отсюда получаем, что амплитудное значение разности потен-
потенциалов на обкладках конденсатора равно -tt-L; значение разности
потенциалов в каждый данный момент отстает от значения силы
тока на ic/2. Таким образом, для Vc мы можем написать:
V h si (t /2)
= -^¦/0^(^-9 +«/2). A3)
или
^ = -^
Складывая выражения A1), A2) и A3), получим:
<$й sin a>t = RI0 sin (otf — <p)-f-(?<o — тг-J /о sin ((of — <p-|-ic/2). A4)
При резонансе, когда амплитуда силы тока достигает максимума,
При этих условиях формула A4) дает:
Шй Sin tot = RIamax • Sin (Of,
т. е. полное падение потенциала в цепи совпадает с его падением
на омическом сопротивлении R. Одновременно амплитуда каждого из
падений потенциалов Vl и Vc достигает максимальных значений:
i(Bpe3
ЁО "I / L
jy I/ -q
ер I г б» i / L
G(oDe3 К ? ^
Но так как оба падения потенциалов меняются в противоположных
фазах, то в сумме они равны нулю.
Рассмотренное явление называется резонансом напряжений.
Для определения роли конденсатора в цепи переменного тока рассчитаем,
скольким омам эквивалентно сопротивление конденсатора емкостью в 1 мкф
при прохождении через него переменного тока в 50 периодов в секунду.

444
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
[гл. хх
Из сказанного выше следует, что при прохождении через конденсатор
емкости С переменного тока с циклической частотой со конденсатор эквива-
эквивалентен сопротивлению #=-^—. Переводя в данном случае емкость в фарады
и определяя циклическую частоту ш = 2^ = 314 сек~', получим:
При большей частоте переменного тока тот же конденсатор будет экви-
эквивалентен меньшему омическому сопротивлению.
Явления в цепи переменного тока с емкостью и самоиндукцией
могут быть также представлены с помощью векторной диаграммы,
как это было сделано в § 232 для цепи с самоиндукцией. Для этого
перепишем уравнение Dа) в виде:
\
/?/0 sin (wt — ср -4- ~) — /0 (/.со — ~\ sin (urf — <р) = Io sin
-\- ~\.
Так как. существенна лишь разность фаз, а не сами начальные фазы,
то это равенство можно заменить равенством:
RI0 sin (wt— ср) —|— /0 Aо) — ^v--j sin \ mt — <р -|- ~ j = Ёо sin iot. A5)
Оба члена, стоящие в левой части этого равенства, можно предста-
представить в виде взаимно перпендикулярных векторов амплитуд /?/„ и
/,, ( /.ш — -^— |, составляющих с осью ОХ
соответственно углы u>t — <р и <at — <р -j- ic/2
(рис. 309). Результирующая амплитуда
изобразится вектором Шй, длина которого
определится равенством:
откуда вытекает формула (9). Как легко
Рис. 309. Векторная диаграм- видеть, вектор Ша составляет с вектором
ма для цепи переменного / р ,
тока с самоиндукцией и 'ъК Угод ?•
емкостью. Решение уравнения D) можно получить
более просто, если воспользоваться указанным
в т. I, § 105, способом описывать гармонические процессы с помощью ком-
комплексных чисел. Заменяя в уравнении D) cos at через показательную функ-
функцию с комплексным показателем степени, получим:
Частное решение этого уравнения ищем в виде:
A6)
07)

§ 234] ЦЕПЬ, СОДЕРЖАЩАЯ САМОИНДУКЦИЮ И ЕМКОСТЬ 445
где /о и а — вещественные числа, подлежащие определению. Дифференцируя
A7), получим:
Подставляя эти значения dljdt и d^I/dt1 в A6), найдем:
— Z./0o>V (ш'+а) + iRI^e1 1ш'+" + -L he1 ш<+*> = Ша*еш. A8)
Поделив правую и левую части этого уравнения на /0<ое' "°' + a>> получим:
Заменяя е~'а через cos a — i sin а, найдем:
- Ы + J- + <# = f-° cos а —' Щ sin <*• A9)
La /о /о
Как известно, два комплексных числа равны друг другу, если равны порознь
их вещественные и мнимые части, поэтому из A9) следует:
— Z.u + ~ = f-° cos d, ^ = — f-° sin a. B0)
C<o /о /о
Деля почленно второе из этих равенств на первое, получим:
tg« = ^—г. B.1)
Возводя почленно равенства B0) в квадрат и складывая, найдем:
у.
Выражения A7), B1) и B2) и представляют собой искомое решение. Легко
видеть, что оно совпадает с найденным нами в основном тексте этого пара-
параграфа решением уравнения D). В самом деле, вещественная часть выраже-
выражения A7) дает:
/ = /о COS (mt -\-а) или / = /0 sin f u>t -\- а + ~п ) •
Полагая
получим
/ ^ /0 sin (u>t — <f),
что, в соответствии с формулой E), дает синусоидально меняющийся ток
с циклической частотой <о и амплитудой /0, которая определяется формулой
B2), совпадающей с формулой (9). Остается показать, что и для сдвига фазы <р
мы получаем обоими способами одно и то же значение. Действительно, по B1):
что совпадает с (8).

446
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
[гл. хх
Для графического изображения процессов, происходящих в цепи пере-
переменного тока, нет надобности переходить [от комплексных величин к веще-
вещественным. Для этого достаточно условиться сопоставлять комплексной вели-
величине ае*' вектор длиной а, составляющий угол а с заданной осью. Заметим,
что при этом умножение на мнимую единицу i будет соответствовать пово-
'т . '(«+т)
роту вектора на прямой угол. В самом деле: iaem = e ae'a = ae
Отсюда далее следует, что умножение на i2 = — 1 соответствует повороту
на л. Имея в виду эти замечания, перепишем равенство A8) в виде:
J-
л
или, заменяя а через —<р—=-:
*> 4- Rh
Это выражение связывает между собой три вектора, длины и направле-
направления которых соответствуют рис. 309.
§ 235. Динамомашины и электромоторы. Динамомашины (или гене-
генераторы) представляют собой машины, служащие для получения токов путем
использования явления электро-
электромагнитной индукции. Простейшей
динамомашиной переменного тока
является рамка, образованная од-
Рис. 310. Отведение тока
от вращающейся рамки
с помощью колец а и Ь.
Рис. 311. Схема генератора пере-
переменного тока с неподвижными обмот-
обмотками.
ним витком провода, вращающаяся в поле постоянного магнита. Возникновение
переменного тока в такой рамке разобрано в § 224. На рис. 310 показано, как,
пользуясь двумя кольцами и щетками а и Ъ, можно отвести от такой вращаю-
вращающейся рамки ток во внешнюю часть цепи /?. На практике пользуются, конечно,
не одной рамкой, а значительным числом витков провода, намотанных на бара-
барабан (ротор). В технике также употребляются машины с неподвижными об-
обмотками и электромагнитами вместо постоянных магнитов. Схема такой ма-
машины представлена на рис. 311. Катушки, в которых индуцируется ток, на-
намотаны на выступы Аи А2, Аг,... железного сердечника. Сердечник намаг-
намагничивается током, текущим по обмоткам Си Сз, Са,... от небольшого
постороннего источника тока В. Вращающаяся часть машины (ротор) имеет
вид кольца с зубцами D,, D2, Da,... При вращении ротора зубцы переме-
перемещаются относительно выступов Ait А2, Аь>... и таким образом то более, то

§ 235]
ДИНАМОМАШИНЫ И ЭЛЕКТРОМОТОРЫ
447
t
'vwvwm
Рис. 312. Схема коллекто-
коллектора генератора постоянного
тока.
Рис. 313. Зависимость
силы тока от времени:
а — для генератора с
коллектором из двух
полуколец, б — для
генератора со елож-
ным коллектором.
менее замыкают магнитную цепь между соседними выступами. В результате
меняется "поток магнитной индукции через катушки, намотанные на выступы
Ai, Л2, At,..., и в них индуцируется ток.
Наряду с указанными генераторами переменного тока возможно построе-
построение генераторов постоянного тока. Если концы вращающейся рамки соеди-
соединить С двумя изолированными друг от друга полу-
полукольцами (коллектором) (рис. 312), то щетки а и b
будут попеременно касаться то одного, то другого по-
полукольца, и во внеш-
внешней цепи потечет ток
все время в одном на-
направлении, лишь ме-
меняющий свою силу.
На рис. 313а графиче-
графически изображена зави-
зависимость силы такого
тока / от времени.
Употребляя вместо
одной рамки систему
обмоток, концы кото-
которых присоединены к
отдельным секциям
сложного коллектора,
можно получить по-
постоянный ток, сила
которого будет лишь
слегка пульсировать со временем (рис. 313 6). Магнитное поле во всех
сколько-нибудь значительных по размеру динамомашинах постоянного тока
создается электромагнитом, причем обычно используется так называемый
принцип самовозбуждения, сводящийся к тому, что электромагнит питается
током, возбуждаемым в самой дннамомапгине. Возможны два основных типа.
питания электромагнита: 1) последовательное и 2)
параллельное.
В машинах с последовательным возбужде-
возбуждением обмотка электромагнита включена последо-
последовательно с внешней цепью (рис. 314). Такая
машина начинает работать за счет остаточного
намагничения сердечника электромагнита, затем
возникающий в ней ток целиком проходит через
обмотку электромагнита М и ведет к усилению
магнитного поля, в котором вращается ротор.
При размыкании внешней цепи э.д. с. такой ма-
машины спадает до малого значения, обусловленного
остаточным намагничением.
В машинах с параллельным возбуждением
(шунтовые машины) обмотка электромагнита вклю-
включена параллельно с внешней цепью (рис. 315). Сила
тока в обмотке может регулироваться реостатом С. Шунтовые машины
являются наиболее распространенными. Употребляются также машины со сме-
смешанным возбуждением: они имеют две обмотки, одна из которых включена
последовательно с внешней цепью, а другая — параллельно.
Всякую динамомашину постоянного тока можно превратить в элек-
электродвигатель: для этого надо пустить в ее ротор через щетки ток от посто-
постороннего источника. Тогда под влиянием сил взаимодействия между токами,
текущими по обмоткам ротора, и магнитным нолем ротор придет во вра-
вращение.
Рис. 314. Схема динамо-
машины с последователь-
последовательным возбуждением.

448
9ЛПКТР0МЛГНИТНЛЯ ИНДУКЦИЯ
[гл. хх
Рис. 315. Схема динамо-
машины с параллельным
возбужденном.
Практически действующи!! электромотор бил впервые осуществлен
В. С. Якоби в России и применен для нрппедсния в движение лодки на Неве.
При вращении ротора электромотора в его обмотке индуцируется тон
обратного напрапленпн по отношению к направлению тока, вызывающего
вращение. Поэтому сила тока, идущего через
обмотку ротора от внешнего источника, будет
падать. Если же внешняя э. д. с. достаточна, что-
бы поддержинать при вращении электромотора
[ ток необходимой силы, тогда в начальный момент
I I при пуске электромотора ток может оказаться
| слишком большим и нызвать перегорание обмотки
1 ' ротора. Чтобы избежать этого, последовательно
с мотором включается реостат, носящий назва-
название пускового реостата. По мере того как число
оборотив электромотора возрастает, пусковой ре-
реостат выводится.
Современные динамомашпны и электромо-
электромоторы представляют собой машины с весьма высо-
высоким к. п. д., достигающим для больших машин 95°/о.
Неизбежные вредные потери на трение, ленц-
джоулеми тепло, токи Фуко и гистерезис удается
снизить до 5°/0.
§ 236. Трансформаторы. Для многих техни-
технических и лабораторных целей бывает необходимо
иметь более высокие э. д. с, чем те, которые дают дннамомашины. Особенно
важно в технике иметь высокие э. д. с. при передаче электрической энер-
энергии по длинным проводам с одного места до другого (иногда потребитель
отстоит на сохни километров от электростанции). Дело заключается в том, что
полная мощность, развиваема» в цепи, равна произведению э. д. с. на силу
тока Ш1, откуда следует, что чем выше э. д. с. $, тем меньше при той же
мощности сила тока /. Потерн же энергии в передающих проводах на ленц-
джоулево тепло Q = RI*, т. е. тем больше, чем боль-
больше сила тока. Поэтому для уменьшении вредных
потерь выгодно иметь дело с большой э. л. с. и ма-
малой силой тока.
В случае переменного тока повышение э. д. с.
(или, как говорят в технике, „напряжения") легко
осуществляется с помощью повышающих трансфор-
трансформаторов. Впервые трансформаторы были сконструи-
сконструированы и введены в практику русскими электротех-
электротехниками П. Н. Яблочковым A87G г.) и И. Ф. Усаги-
ным A882 г.). Трансформатор в простейшем виде
(рис. 316) состоит из двух обмоток, намотанных па
общпп замкнутый железный сердечник. Первичная
обмотка Ai состоит из небольшого числа витков толстого провода, вторич-
вторичная обмотка Аг — из большого числа витков более тонкого провода. Пер-
Первичный ток, проходящий через обмотку Alt создаст переменный ноток маг-
магнитной индукции Ф, который почти целиком сосредоточен лишь внутри
сердечника и, следовательно, практически полностью пронизывает витки вто-
вторичной обмотки.
При разомкнутой вторичной обмотке первичная обмотка является частью
цепи с некоторым омическим и индуктивным сопротивлением. Если считать
омическое сопротивление столь малым, что его ролью можно пренебречь, то
э. д. с. <?,, действующая в первичной обмотке, численно равна и обратна по
знаку возникающей в ней э. д. с. самоиндукции jf^:
6i: ел-
Рис:. 316.
Трансформатор.

§ 236] трансформаторы 449
В каждом витке первичной обмотки возникает э. д. с. самоиндукции, равная
йФ
иг. откуда
где Ni — число витков первичной обмотки. Отсюда для э.д. с. ?и действую-
действующей в первичной обмотке, получаем:
?i = M^7. A)
Так как тот же поток Ф пронизывает вторичную обмотку, то в каждом
йФ
ее витке возникает э. д. с. индукции -—, всего во вторичной обмотке
возникает э. д. с. gV-
где Ns — число витков во вторичной обмотке. Сравнивая выражения A) и B),
получим, что з.д. с. индукции, возникающая во вторичной обмотке, равна:
*?. = -$?.. О)
Таким образом, трансформатор повышает э. д. с. в отношении числа
витков вторичной обмотки к числу витков в первичной обмотке. Знак минус
указывает, что э. д. с. в первичной и вторичной обмотках противоположны
по фазе.
Обычно у трансформаторов, при разомкнутой вторичной обмотке, коэф-
коэффициент самоиндукции первичной обмотки велик. Это ведет к большому
значению индуктивного сопротивления первичной обмотки. Благодаря этому
при разомкнутой вторичной обмотке ток /t в первичной обмотке слаб. Зна-
Значение этого тока носит название холостого тока. При замыкании вторичной
цепи в ней индуцируется ток, создающий свое магнитное поле, компенсирую-
компенсирующее, по правилу Ленца, магнитное поле первичной обмотки. Это ведет к умень-
уменьшению индуктивного сопротивления первичной обмотки и возрастанию тока /,.
Таким образом, мощность, потребляемая в первичной цепи, зависит от мощ-
мощности, которая берется во вторичной цепи.
При действии вторичной цепи соотношение (,Ч) перестает быть верным.
Оно хорошо оправдывается, пока ток в первичной цепи не слишком сильно
отличается от холостого. Общая теория трансформатора, особенно учитываю-
учитывающая роль гистерезиса сердечника, сложна.
Вредные потери в трансформаторе идут на выделение ленц-джоулева тепла
в обмотках, на утечку линий магнитной индукции, на токи Фуко в сердечнике
и на работу перемагничения, обусловленную гистерезисом сердечника.
Дли уменьшения роли двух последних причин сердечники трансформато-
трансформаторов делают из наиболее мягких сортов железа и притом из отдельных полос
листового железа, разделенных изолирующими слоями. В больших современ-
современных трансформаторах потери удается снизить до 2°/о от общей мощности,
и, таким образом, их к. п. д. достигает 98°/о-
Считая, что для таких трансформаторов мощности, развиваемые в пер-
первичной и вторичной цепях, практически равны, получим:
'/414 С. Фриш и А. Тиморева

450
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
[гл. хх
откуда в силу соотношения C):
'¦=&'¦=
D)
Рис. 317. Индукционная катушка.
таким образом, силы токов в первичной и вторичной цепях обратно пропор-
пропорциональны числу витков в первичной и вторичной обмотках.
Всякий трансформатор, работающий как повышающий, может быть
использован и как понижающий трансформатор, для чего нужно первич-
первичный ток пускать через более тонкую
обмотку с" большим числом витков.
Тогда в другой обмотке возникает
такой ток, что сила тока будет боль-
больше, а э. д. с. меньше, чем в первой
обмотке. Обычно ток высокого „на-
„напряжения", переданный по проводам
от станции, у потребителя снова по-
понижается с помощью понижающего
трансформатора до более низкого
„напряжения".
Кроме указанных технических
применений, трансформаторы находят
широкое применение в лабораторной
технике (как повышающие, так и по-
понижающие). В зависимости от предъявляемых требований, лабораторным
трансформаторам придают весьма различную конструкцию. Для получения
высоких э. д. с, при небольших мощностях, пользуются так называемой
индукционной катушкой. Она состоит из двух цилиндрических соленоидов,
надетых на общин железный незамкнутый сердечник (рис. 317). Первичной
обмоткой является обмотка внутреннего соленоида ААи делаемая из сравни-
сравнительно небольшого числа витков толстой проволоки. Вторичной обмоткой
служит обмотка внешнего соленоида DDU делаемая из весьма большого
числа витков очень тонкой проволоки. Обычно первичную обмотку питают
от источника постоянного тока, например от батареи аккумуляторов В. Для
того чтобы первичная обмотка создавала переменное магнитное поле, ток
в ней периодически прерывают и замыкают. Замыкание и размыкание про-
производится с помощью автоматического прерывателя той или иной конструк-
конструкции. Простейшим прерывателем является молоточек, который состоит из
пружинки с железной насадкой k (рис.
317). Когда ток начинает идти но пер-
первичной обмотке, сердечник катушки
намагничивается и притягивает к себе
пружину. В результате цепь размы-
размыкается в месте контакта между пру-
пружинкой ft и штифтом а. Чтобы при
разрыве контакта не образовывалась
интенсивная искра, между ft и а вклю-
включается конденсатор С. Тогда ток от ба-
батареи В при разрыве цепи идет на
заряжение конденсатора, и искра не об-
образуется.
Ток в первичной обмотке, прерываемый молоточком или другим меха-
механическим приспособлением, не является синусоидальным переменным током.
Кривая зависимости его силы от времени изображена на рис. 318а. После
замыкания цепи он возрастает сравнительно медленно, что обусловлено
явлением самоиндукции, а при разрыве цепи спадает быстро. Так как э. д. с.
во вторичной цепи пропорциональна скорости изменения силы тока в пер-
0-
б)
0-
И И Я
Рис. 318. Кривая зависимости силы
тока от времени в индукционной
катушке: а — в первичной обмот-
обмотке, б — во вторичной обмотке.

§ 237] ВЫПРЯМЛЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ 451
вичной цепи со временем dlyjdt (см. § 226), то в моменты размыкания она
будет достигать гораздо больших значений, чем в моменты замыкания. За-
Зависимость э. д. с. во вторичной цепи от времени изображена на рис. 3186.
Отрицательное значение э. д. с. указывает, что возникающий под ее влипни-
ем во вторичной обмотке ток имеет направление, обратное по отношению
к току в первичной обмотке; положительное — что ток во вторичной об-
обмотке направлен в ту же сторону, что и в первичной обмотке.
Если вторичную обмотку замкнуть накоротко, то в ней пойдет пере-
переменный ток несимметричной формы, но количества электричества, переноси-
переносимые в обоих направлениях, будут одинаковы. Если же во вторичной цепи
оставить значительный искровой промежуток, то э. д. с, возникающая при
замыкании, может оказаться недостаточной, чтобы повести к пробою; тогда
искра возникает лишь при размыканиях первичной цепи, и во вторичной цепи
будет идти прерывистый ток, но каждый раз одного направления.
§ 237. Выпрямление и измерение переменных токов. Благодаря
удобству генерирования и передачи переменные токи получили исключительно
широкое техническое применение. Однако для потребления во многих слу-
случаях нужен постоянный ток, поэтому современная техника пользуется раз-
различными приемами выпрямления переменного тока.
Выпрямление тока может осуществляться различными способами, напри-
например, с помощью твердых полупроиодниковых выпрямителей пли электро-
электролитических выпрямителей (§ 178). Контакт между двумя полупроводниками
или полупроводником и металлом, как было сказано в § 171, обладает
очень различным сопротивлением в зависимости от направления тока.
Поэтому в одном направлении ток проходит через контакт без_ заметного
ослабления, в другом же направлении может пройти лишь очень слабый
ток. В современной технике полупроводниковые выпрямители получили
широкое распространение. В качестве примера можно указать на герма-
германиевый выпрямитель, состоящий из германиевой пластинки, к которой с
одной стороны приварен шарик из индия, а с другой —
из олова. Вблизи индиевого электрода возникает „дыроч-
„дырочная" проводимость, а дальше образуется область выпрям-
выпрямляющего р — л-перехода. Такой выпрямитель способен
пропускать ток до сотни ампер на 1 см2 контакта. В ка-
качестве другого полупроводникового выпрямителя укажем
на селеновый выпрямитель, состоящий из тонкого слоя
селена между двумя металлическими дисками.
Вместо твердых выпрямителей можно употреблять
кенотроны, которые также обладают тем свойством, что
ток может идти в них в одном направлении, а именно —
от анода к горячему катоду. Наконец, имеют большое
распространение так называемые ртутные выпрямители.
Они представляют собой разрядные трубки, в которых раз- выпиямитеяя
ряд происходит в парах ртути между поверхностью жидкой ? пеОрМ„
ртути и графитовым электродом; при этом разогревающаяся НОго тока
поверхность ртути преимущественно играет роль катода.
В результате разряд зажигается каждый раз, когда ртуть
является катодом, а графит анодом, и гаснет при обратном направлении
тока. При включении твердого или иного выпрямителя в цепь переменного
тока (рис. 319) в участке цепи аЪ пойдет ток одного направления. Однако
сила этого тока, очевидно, не будет постоянной, а будет меняться со вре-
временем.
На рис. 320а показано изменение со временем силы синусоидального
переменного тока, а на рис. 3206 — тока, пропущенного через выпрямитель.
Пользуясь трансформатором и двумя выпрямителями, можно использовать
и „вторую половину" переменного тока.

452
ЭЛЕКТРОМЛГНИТНЛ.Я ИНДУКЦИЯ
[гл. хх
На рис. 321 Ai представляет собой первичную обмотку трансформатора,
включенного в цепь переменного тока, А2— его вторичную обмотку. Два
выпрямителя 1 \\ 2 присоединены к концам вторичной обмотки. От средней
части вторичной обмотки сделан отвод Ьа. Тогда в одну половину периода
j работает часть Cib вторичной обмотки, и
ток проходит через выпрямитель 1. Во вто-
вторую половину периода работает часть об-
обмотки Cab, и ток проходит через выпря-
"' митель 2. В участке цепи ab ток идет все
А А А^
щ
Рис. 320. Изменение со
временем силы: а—пе-
а—переменного тока; б — тока,
пропущенного через вы-
1фямитель.
Рис. 321. Схема включения двух
выпрямителей во вторичную об-
обмотку трансформатора со средней
точкой.
время одного направления. На рис. 322а снова представлен синусоидальный
переменный ток, а на рис. 3226 — ток, выпрямленный ио описанной схеме.
Колебания в его силе могут быть еще сглажены с помощью самоиндукции
или емкости.
Для измерения переменных токов непригодны магнитоэлектрические
приборы с подвижной рамкой, так как направление поворота рамки меня-
меняется с изменением направления тока. Как мы
указывали в § 233, переменные токи могут
измеряться с помощью тепловых приборов.
Л Л
V/ V/
а)
ЛЛЛЛЛ
S)
Рис. 322. Изменение со
временем силы: а — не-
неременного тока; б — то-
тока, выпрямленного по
схеме рис. 321.
Рис. 323. Схема индукционного
амперметра.
Для измерения переменных токов пригодны электродинамические при-
приборы с двумя катушками и электромагнитные приборы, в которых в катушку
втягивается кусок железа. В последних приборах втягиваемый стерженек
должен изготовляться из сорта железа, обладающего возможно малым гисте-
гистерезисом.

§ 238]
ТРЕХФАЗНЫЙ ТОК
453
Кроме того, переменные токи могут измеряться с помощью так называе-
называемых индукционных (электродинамических) приборов. Принцип действия этих
приборов следующий (рис. 323): переменный ток, сила которого измеряется,
проходит по обмотке Ф электромагнита и возбуждает между его полюсами
переменное магнитное поле. Подвижная часть
прибора D представляет собою пластинку, рас-
расположенную по отношению к этому переменному
магнитному полю так, что она лишь частично
экранирует поле. В пластинке возникают индук-
индукционные токи Фуко, на которые магнитное поле
действует с силами, стремящимися выдвинуть
пластинку из пределов поля. В результате пла-
пластинка поворачивается и поворачивает соединен-
соединенную с ней стрелку. Постоянный магнит М служит
для успокоения колебаний пластинки.
Наконец, переменные токи можно измерять
и с помощью магнитоэлектрических приборов
с подвижной рамкой, если к ним добавить выпря-
выпрямители. Для этой цели обычно применяются твер-
твердые выпрямители (купроксы). На рис. 324 пред-
представлена схема включения амперметра А в цепь
переменного тока с помощью четырех купроксов
a,b,c,d, обеспечивающих прохождение тока через
амперметр А в одном направлении. Сопротивление
R и самоиндукция L играют роль шунта.
§ 238. Трехфазный ток. Наряду с рассмо-
рассмотренным нами простым синусоидальным перемен-
переменным током, в технике широко используется так
называемый трехфазный ток. Трехфазным током
называется'ток, возникающий в разветвленной сети
проводников с тремя переменными э. д. с, фазы
2
которых отличаются одна от другой на —я (или,
О
в градусной мере, на 120°). Рассмотрим сперва
три за-мкнутые несвязанные цепи AtBiCiDi,
AiBzCaDz и ЛцбаСзОз (рис. 325). Пусть э.д.с.
$i = |fo sin u,t,
9
+ —-
Рис. 324. Включение вы-
выпрямителей для измере-
измерения силы переменного
тока.
3*1
= ?o sin
, = if о sin
индуцируется соответственно в участках цепей
AiDi, AnDn и AzDi. Предположим, что в рас- " "
сматриваемых цепях отсутствуют самоиндукции Рис. 325. Схема возбуж-
и что в каждой из них включены равные омиче- дения трехфазного тока,
ские сопротивления Ri = R2 = Дз = •#•
Тогда, по сказанному в § 232, в этих цепях возникнут токи соответ-
соответственно равные:
/, = /0 sin at,
I 2
/, = /0 sin lu>t + -^г
I
/а = /0 sin
4
15 С. Фриш и А. Тнморева

454
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
[гл. хх
где общая амплитуда токов /0 = $0//?. Соединим точки Di, Di и Da трех
цепей вместе. Тогда их потенциалы станут равными; потенциалы соответст-
соответственных точек С\, С2 и Са также окажутся равными и их тоже можно со-
соединить вместе, не меняя текущих по сопротивлениям токов А, Д и /а. При
таком соединении провода DiCi, D1C2 и ?)аС8 могут быть заменены одним
проводом F, и мы получим цепь, изображенную на рис. 326. По проводу F,
I
Рис. 326. Схема соединения звездой.
очевидно, потечет ток, равный сумме токов Л + /г + /». Легко видеть, что
этот суммарный ток все время равен нулю.
Действительно:
= /о sin
/0 sin
-г- ic) = /о sin
откуда
/, + /, + /i = /c sin (<о< + 1*) + /о sin
= 2/0 sin f <of -)- — к). cos y = 0.
Тот же результат можно получить путем графического сложения трех
векторов амплитуд 10| которые образуют замкнутую ломаную в виде равно-
равностороннего треугольника.
Так как суммарная сила токов А + /»+Л все время равна нулю, то
провод F является лишним и его можно убрать. В результате оказывается,
что три переменных тока Л, /а, /а, сдвинутые друг по отношению к другу
по фазе на 120", можно передавать от места генерирования к сопротивле-
сопротивлениям #b ,#2, #а по трем проводам, вместо трех пар проводов, которые по-
потребовались бы при несвязанных цепях. Рассмотренная цепь трехфазного
тока называется цепью, соединенной по схеме звезды.
Три независимые цепи, представленные на рис. 325, можно соединить
по другой схеме, называемой схемой треугольника (рис. 327).
В этой схеме соединены вместе точки A1D3, AiDi, A3D3 и BiCs, ВцСи
ВзСг. Такая схема также позволяет заменить три пары проводов тремя
проводами без изменения токов, текущих по сопротивлениям Rlt fa, ./?3-
Равенство нулю суммы токов /i +/2 +/8 имеет место лишь при равен-
равенстве сопротивлений Ци fe, Ra. Если сопротивления не равны друг другу,
то суммарный ток h-\- h-\-1%, при условии неизменности разности фаз
между ними, окажется отличным от нуля. В действительности же, так как

§ 238]
ТРЕХФАЗНЫЙ ТОК
455
Рис. 327. Схема соединения треуголь-
треугольником.
точки Си С*, Сз (в схеме звезды) соединены, то они образуют узловую
точку, для которой по закону Кирхгофа сумма притекающих и оттекающих
токов должна равняться нулю. Таким образом, фактически и при неравен-
неравенстве сопротивлений /?lt f?2, /?3
сумма токов h -\-1г + /3 = 0. Это "/ С,
происходит за счет возникновения И^/-^ ' ' "" J Bi
добавочных разностей фаз между
точками В и Вг, Вг.
Удобство использования трех-
трехфазных токов заключается в том,
что они позволяют создать так на-
называемое вращающееся магнитное
поле.
Рассмотрим кольцевую маг-
магнитную цепь с тремя парами по-
полюсных наконечников, изображен-
изображенную на рис. 328. Каждая пара
полюсных наконечников создает
свое магнитное поле, векторы на-
напряженности которых Ии Н2 и Н3 будут направлены по соответствующим
диаметрам кольца. Пусть каждая пара наконечников имеет обмотки,
питаемые составляющими трехфазного
{У тока. Тогда, если пренебречь явлениями
i гистерезиса в материале кольца, то по-
получится, что напряженности магнитных
полей Ни Hi и На будут меняться со
временем по закону:
Hi = Но sin at,
Hs = Но sin ( at + — я J,
Н3 = Но sin
( Проведем координатные оси OXY, как
показано на рис. 328, и найдем сумму
Рис. 328. Кольцевая магнитная цепь, проекций Hlt'Ht, Hz на каждую из осей:
Нх = На Sin Uit-{- HoS\n [ait + -5- n COS — 7t -\- Ho Sin [<nt + -5- n) COS -5- It,
\ 0/0 \ 0/0
/ 2\2 / 4\4
Hv = Ho sin [tat -\- -5- я J sin -rr я + Ho sin [at -\- -5- я sin — 7t.
y \ Л j 6 \ 6 I 6
После соответственных преобразований 'найдем:
Нх = -=¦ Но sin <nt,
= -^- Но cos at.
По сказанному в т. I, эти две составляющие определяют вектор Н, вра-
вращающийся с постоянной угловой скоростью (о в направлении часовой стрелки.
Вращающееся магнитное поле действует на проводник, расположенный
в нем, с некоторой механической силой, так как в проводнике возникают
индукционные токи, на которые магнитное поле и действует. Например,
если во вращающееся магнитное поле поместить рамку с замкнутой обмот-
обмоткой на оси, перпендикулярной направлению поля, то рамка придет во вра-
15*

456 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ [ГЛ. XX
щение в направлении вращения вектора напряженности магнитного поля.
Это позволяет осуществлять электромоторы, питаемые трехфазным перемен-
переменным током. Впервые передача энергии с помощью трехфазного тока и ис-
использование электромотора с вращающимся магнитным полем были осу-
осуществлены русским инженером М. О. Доливо-Добровольским в 1891 г.
В настоящее время большинство электромоторов, используемых в технике,
построено на принципе вращающегося поля.

о
о
ГЛАВА XXI
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
§ 239. Колебательный разряд конденсатора. Представим себе
конденсатор С (рис. 329), обкладки которого замкнуты через само-
самоиндукцию L и сопротивление R. Пусть в некото-
некоторый момент обкладкам конденсатора сообщена
разность потенциалов V, после чего источник
этой разности потенциалов снова отключен. При
отсутствии самоиндукции по проводу,' соединяю- -
щему обкладки конденсатора, потек бы ток, кото-
который продолжался бы до тех пор, пока потенциалы
обкладок не выравнялись. При наличии же само- Рис. 329. Колеба-
индукции процесс пойдет иначе. В момент, когда тельный контур с
потенциалы обкладок выравняются, э. д. с. само- емкостью С, оми-
„ „ ческим сопротив-
индукции поддержит спадающий ток, и произой- лением ./? и само-
дет перезарядка обкладок. После этого снова индукцией L.
возникает ток, но уже обратного направления,
в результате перезарядка обкладок будет происходить периодиче-
периодически —¦ в цепи из емкости и самоиндукции возникнут колебания. Так
как часть энергии тока тратится
на выделение ленц-джоулевого тепла
в сопротивлении R, то колебания
понемногу затухнут. Общий харак-
характер колебаний представлен на рис.
330. Затухание тем слабее, чем мень-
меньше сопротивление R; в пределе при
Рис. 330. Затухающие колебания. сопротивлении R= 0 колебания дол-
должны превратиться в незатухающие.
Как будет показано ниже, разряд принимает колебатель^Ш ха-
характер при условии, что выполнено следующее неравенство:
Если значение коэффициента самоиндукции меньше значения, оп-
определяемого неравенством A), то э. д. с. самоиндукции оказывается

458
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XXI
недостаточной, чтобы вызвать перезарядку обкладок конденсатора:
разряд становится апериодическим.
При малом сопротивлении R период Т колебательного разряда
определяется формулой (вывод формулы см. ниже):
Т= 2-ге VLC.
B)
Таким образом, чем меньше самоиндукция и емкость, тем меньше
период, т. е. тем больше частота электрических колебаний. Обычно
период электрических колебаний очень мал. Если мы возьмем даже
сравнительно очень большие емкость и самоиндукцию, например
С=\ мкф, L=l гн, то получим (приняв 'во внимание, что
1 мкф =1(Гв ф):
-1 сек ^0,0063 сек.
Рассмотренные электрические колебания аналогичны механическим
колебаниям, например колебаниям маятника. Отклоненный маятник по
инерции проходит через положение равновесия, отклоняется в про-
противоположную сторону и продолжает совер-
совершать колебательные движения, понемногу за-
затухающие благодаря наличию сил трения.
Из этого сравнения видно, что самоиндук-
самоиндукция играет роль инерции, омическое сопро-
сопротивление—роль механического сопротивле-
сопротивления. Аналогия делается еще более глубокой,
если перейти к энергетическим соотноше-
соотношениям. При колебаниях маятника потенциаль-
потенциальная энергия отклоненного маятника перехо-
переходит в кинетическую энергию движения,
которая, в свою очередь, после прохождения
маятником положения равновесия, переходит
в потенциальную, и обратно. \/1ри заряжении
конденсатора системе сообщается запас элек-
электрической (потенциальной) энергии. На рис.
331а линии, соединяющие обкладки конден-
конденсатора, изображают наличие между обклад-
обкладками электрического поля. При разряде
конденсатора возникает электрический ток,
возбуждающий в соленоиде (самоиндукции) магнитное, поле с его
запасом энергии, аналогичной кинетической энергии движущегося
маятника. На рис. 331 tf наличие магнитного поля внутри витков
самоиндукции представлено пунктирными линиями. Дальше происхо-
происходит перезарядка конденсатора (рис. 331а)—„кинетическая" энергия
тока переходит в потенциальную энергию электрического поля кон-
конденсатора и т. д.
8}
Рис. 331. Возникновение
попеременно электриче-
электрического и магнитного по-
полей при периодическом
разряде конденсатора.

§ 239] КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ РАЗРЯД КОНДЕНСАТОРА 459
Рассмотрим более детально характер колебательного разряда кон-
конденсатора. Обозначим через Q заряд, сообщенный одной из обкладок
конденсатора. Тогда сила тока в цепи будет численно равна измене-
изменению этого заряда за единицу времени:
Обозначим через V разность потенциалов на обкладках конденсатора
в данный момент. Тогда полное падение потенциала в рассматриваемой
цепи будет JR -f- V; оно должно равняться э. д. с, действующей
в цепи. Но в цепи действует лишь э.д.с. самоиндукции — L—rr,
откуда:
+=-L%. D)
Разность потенциалов на обкладках конденсатора может быть выра-
выражена обычным способом через емкость' конденсатора и заряд его об-
обкладок: V=-pr; очевидно, что и заряд Q и разность потенциалов V
будут величинами переменными. Подставляя это выражение для V
в формулу D) и пользуясь соотношением C), получим:
1 ~ш ~^~ ^ Tt + с"== 0; E)
это соотношение представляет собой дифференциальное уравнение,
решая которое мы сможем найти зависимость Q от времени. Решение
такого уравнения было дано в т. I, при рассмотрении упругих зату-
затухающих колебаний материальной точки; воспроизводим его здесь еще
раз. Перепишем соотношение E), введя обозначения:
^- — 2$, — - = шЗ. F)
Тогда получим:
У -f <eJQ = 0. Eа)
Ищем решение уравнения Eа), введя новую переменную подста-
подстановкой:
—ze . (i)
Дифференцированием по времени получаем:
dQ dz _$t n -$t.
~di Tt e rze »
lF = It*e ~2$die

460 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ [ГЛ. XXI
подставляя эти значения Q, dQ/dt и d^Qjdfi в уравнение Eа) и со-
сокращая на общий множитель е~^', имеем:
Это уравнение, как легко проверить подстановкой, имеет для случая
шо — Р2 ^> 0 решение в виде:
z = A cos (arf — ф),
где
т = Ущ — ^\ (8)
Л и <р — постоянные, которые могут быть определены из начальных
условий. Следовательно, по G), для Q имеет место решение:
Q = A- е-*' ¦ cos (urf — ср). (9)
Это решение представляет собой затухающее колебание. Вели-
Величина А • е~^' выражает амплитуду, убывающую со временем по экс-
экспоненциальному закону; чем больше C, тем быстрее убывает ампли-
туда. Так как, по F), р == -^V, To затухание колебаний происходит
тем быстрее, чем больше омическое сопротивление R и чем меньше
самоиндукция. Период колебаний Т, по (8), равен:
Подставляя сюда вместо и>0 и р их значения по F), получим:
7~= / 2. (8а)
У LC~{2Lj
Если Омическое сопротивление цепи R очень мало, а коэффициент
самоиндукции L не мал, то мы будем иметь случай весьма медленно
затухающих колебаний, при этом в формуле (8а) в знаменателе можно
пренебречь ^ по сравнению с -^г и тогда для периода таких
медленно затухающих колебаний получим:
Т=2кУ1с, (86)
что и представляет собой формулу B), приведенную в начале настоя-
настоящего параграфа*
Сравнивая формулы (8а) и (86), видим, что наличие сопротивления
в цепи ведет к увеличению периода колебаний Т.
Если сопротивление цепи или емкость конденсатора настолько
велики, что:

§ 240J ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 461
то решение (9) не имеет места, и мы получаем апериодический раз-
разряд, при котором не возникает электрических колебаний в цепи; этот
случай нас в дальнейшем интересовать не будет.
Колебательный процесс мы разобрали, характеризуя его зарядом Q,
находящимся в каждый данный момент на обкладке конденсатора.
В соответствии с формулой (9) величина этого заряда совершает
колебания, меняя периодически знак и постепенно уменьшаясь. В конце
концов заряд пропадает в результате того, что равные и противопо-
противоположные заряды -\-Q и —Q, первоначально сообщенные обкладкам
конденсатора, компенсируют друг друга. Очевидно, кроме заряда Q,
систему можно характеризовать либо разностью потенциалов V на
обкладках конденсатора, либо силой тока /, текущего в цепи.
В силу соотношения V = -~ получим:
V=?e-f cos(urf — cp). A0)
Таким образом, разность потенциалов также совершает затухающие
колебания с тем же периодом Т. Значение для силы тока найдем по
C), откуда:
1 =
_dQ_
~ dt "
При отсутствии
= — Л (Зе ^ cos (u>t — cp) — Л сое
затухания C = 0, и тогда
/ = —¦ Аш sin (ш? — ср)..
Разность потенциалов V при этом:
V = -cos(a)^ —ср).
?' sin (wt — cp).
(И)
(Па)
A0а)
Таким образом, при отсутствии затуханий колебания силы тока и
разности потенциалов сдвинуты по фазе относительно друг друга
на я/2.
§ 240. Вынужденные электрические колебания. Рассмотренный
нами в предыдущем падаьрафе колебательный разряд конденсатора
аналогичен колебанияммаятника, который первоначально выводится
из положения равновесия, а ззтем совершает затухающие колебания
с собственным периодом колебаний. Однако маятник, как и всякая
другая механическая упругая система, может совершать также и вы-
вынужденные колебания под влиянием внешней вынуждающей периоди-
периодической силы. При этом имеет место характерное явление резонанса
(см. т. I, § 103): амплитуда вынужденных колебаний становится осо-
особенно большой при некотором определенном значении частоты выну-
вынуждающей силы. Эта частота, называемая резонансной, при слабом
затухании практически совпадает с частотой собственных колебаний
системы.

462 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ [гл. XXI
Воздействуя на колеблющуюся систему внешней силой, можно
непрерывно поддерживать колебания системы с неизменной амплиту-
амплитудой, т. е. получить незатухающие колебания. Примером может слу-
служить анкерный механизм маятниковых часов, который, периодически
подталкивая маятник, заставляет его совершать незатухающие коле-
колебания. В этих случаях работа против сил трения непрерывно совер-
совершается за счет энергии внешнего источника.
Совершенно аналогично, подводя к контуру из емкости, сопр%
тивления и самоиндукции внешнюю периодически меняющуюся э. д. с,
можно возбудить в контуре вынужденные элек-
электрические колебания. Пусть колебательный
контур из емкости С, самоиндукции L и оми-
омического сопротивления R прерван в некото-
некотором месте, и к образовавшимся свободным
концам а и b (рис. 332) подведены провода
от источника внешней э. д. с. Ш. Если мы
положим, что вынуждающая э. д. с. является
Рис. 332. Возбуждение чисто периодической, т. е. меняется со вре-
вынужденных колебаний менем по закону:
в цепи из емкости С, g = g.sino>/, ~ A)
омического сопротивле- v
ния /? и самоиндукции L. то придем к случаю, уже рассмотренному
нами в § 234. Теперь рассмотрим результаты,
полученные в § 234, с несколько иной точки зрения. В нашей цепи
[см. формулу E) § 234] будет циркулировать ток ./ той же частоты
ш, что и частота вынуждающей э. д. С; Ш:
I = /0 sin (о)? — ср). ¦' B)
Решение B) представляет собой частное решение дифференциаль-
дифференциального уравнения, которому удовлетворяет сила тока / в рассматри-
рассматриваемом случае. Полное решение содержит еще член вида Iae~^ sin u>t\
однако этот член представляет собой затухающие колебания, которые
практически скоро прекратятся, и тогда зависимость силы тока от
времени выразится полностью формулой B). При непрерывно дей-
действующей периодической вынуждающей силе A) колебания силы
тока /, по B), будут продолжаться сколь угодно долго, т. е. система
будет совершать незатухающие вынужденные колебания с частотой ш.
По формуле (9) § 234 амплитуда /„ этого тока равна:
Т Go
она достигает максимума при резонансной частоте:
шрез:

§240]
ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
463
Период собственных колебаний контура, по формуле (8а) § 239, равен:
— У ТС~
4Z.a
откуда видно, что резонанс наступает при частоте шрез несколько
большей, чем частота собственных- колебаний ш0. При бесконечно
малом омическом сопротивлении ре-
резонансная частота совпадает с часто-
частотой собственных колебаний.
При резонансной частоте ампли-
амплитуда силы тока /0 принимает значе-
значение: /отах = $о/^; она Тем бОЛЬШе,
чем меньше омическое сопротивле-
сопротивление R.
На рис. 333 приведено несколько
резонансных кривых, соответствую-
соответствующих различным значениям., омиче-
омического сопротивления R. Чем меньше
сопротивление R, тем острее макси-
максимум кривой. Таким образом, контур
с малым затуханием дает острый
резонанс. Это позволяет, в случае
¦О)
Рис. 333. Резонансные кривые си-
силы тока /.
сложного характера вынуждающей э. д. с, „настраивать" такой контур
на отдельные гармонические составляющие э. д. с.
В самом деле, пусть вынуждающая э. д. с. может быть пред-
представлена в виде суммы синусоид:
Ш = 0в1 sin ((t>j? — tpj) -j- <?02 sin (w$t — <pa) -\- e03 sin (<o3f — <p3) -{-...
Подбирая емкость С и самоиндукцию L контура так, чтобы
I
получим, что условие резонанса будет выполнено для составляющей
Шп sin (utjt — (fj); обусловленные ею вынужденные колебания контура
будут происходить с наибольшей амплитудой. Амплитуды вынужден-
вынужденных колебаний с частотами <о2, <в3> • • • будут малые, так как условия
резонанса для них не выполнены. Меняя непрерывно емкость или
самоиндукцию контура, можно заставить его последовательно „отзы-
„отзываться" на все частоты wlt ш$, ш3,... Таким образом возможно про-
произвести гармонический анализ сложного колебания.
Кроме схемы, указанной на рис. 332, для получения незатухаю-
незатухающих электрических колебаний можно воспользоваться также схемой,
изображенной на рис. 334. Здесь мы снова имеем контур из емкости С
и самоиндукции L. Омическое сопротивление R всей цепи для про-
простоты положим равным нулю. Внешняя э.д.с. e=^^Qsinu)t подведена

464
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XXI
к точкам а и b контура. Таким образом, в этом случае между
точками а и Ъ цепь разветвляется: она состоит из двух параллельно
соединенных участков. Один из этих участков содержит емкость С,
другой — самоиндукцию L. Силу тока в каждом из этих участков
снова получим с помощью формул, вы-
С веденных в § 234, соответственно по-
положив в них либо С=оо, либо 1 = 0.
/ По формуле E) § 234, в ветви аСЬ
— потечет ток
/, = /0, sin (Ы — <рО. E)
Т~ L Амплитуду /0) этого тока получим, по-
п „„. ., ложив в формуле (9) (на стр. 441)
Рис.334. Цепь из параллельно ,__п „ r7_Jn '„ '
кис. mi. цепь из параллельно _ - p_n nTKVna-
соединенных емкости С и само- . *¦ — и " ^ — "» и1К>ла.
индукции L.
F)
Начальная фаза <pt этого тока по формуле (8) § 234 определится
равенством:
откуда
ср = BА +3
По ветви aLb потечет ток:
где *=1, 2, 3,...
/,2 =/о, sin (at — cpg), G)
амплитуду которого получим по формуле (9) § 234, положив в ней
С = оо и R — 0, откуда:
у«5 — ы • К }
Начальная фаза ср2 определится равенством
tg <р2 = -(- оо, откуда ф2 = B& -J- !Д) тс-
Таким образом, разность фаз токов в ветвях аСЬ и aLb равна
9, — 9-2==тс> т- е- фазы этих токов противоположны, и в проводах,
подходящих к точкам а и Ъ, течет ток с амплитудой
Подставляя сюда вместо /м и /02 их значения по F) и (8), по-
получим:
Таким образом, ток в подводящих проводах слабее, чем токи в от-
отдельных ветвях контура. Он равен нулю при
Сш— -—= 0,

§ 241] ВОЗБУЖДЕНИЕ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ
или при условии, что частота вынуждающей э. д. с. равна:
465
Рис. 335. Трехэлектродная лам-
лампа (триод).
т. е. как раз при условии резонанса. Равенство нулю этого тока полу-
получилось потому, что мы положили омическое сопротивление контура
равным нулю, тогда для поддержания в нем колебаний не требуется
никакого подвода энергии извне. При наличии омического сопротив-
сопротивления FZ разность фаз <pt — ср3 не будет равна л; в соответствии с этим
амплитуда тока /0 и при условии резонанса окажется отличной от
нуля. Подводимая к контуру энергия пойдет на поддержание в нем не-
незатухающих колебаний. Эта энергия тем
меньше, чем меньше сопротивление R.
Так как при остром резонансе ток
в подводящих проводах значительно
слабее, чем токи, циркулирующие в са-
самом контуре, то рассмотренное явление
носит название резонанса токов.
§ 241. Возбуждение незатухаю-
незатухающих колебаний с помощью катодной
лампы. Для создания переменной э. д. с, способной поддерживать не-
незатухающие колебания в контуре, в настоящее время широко
используются катодные лампы. Как мы видели в § 172, катодная
лампа представляет собой откачанный сосуд, в который введены
,. два электрода: накаляемый катод
К и анод А. Катод К испускает
электроны, которые под влиянием
ускоряющего поля летят по на-
направлению к аноду, образуя элек-
электронный ток. Такая лампа назы-
называется двухэлектродной, или
диодом. Для генерирования неза-
незатухающих колебаний употреб-
употребляется обычно трехэлектродная
лампа, или триод. Она состоит
из катода К, анода А и введенной
между ними сетки 5(рис. 335). Элек-
Электроны, вылетевшие из катода, могут
1аН-
О
Рис. 336. Зависимость анодного тока
!а от сеточного напряжения Vs. пролетать через просветы сетки
и таким образом достигать анода.
Если при заданной разности потенциалов между катодом К и
анодом А приложить к сетке потенциал, задерживающий электроны,
вылетающие из катода, то ток, достигающий анода („анодный ток"),
ослабнет. Наоборот, если приложить потенциал, ускоряющий элек-
электроны, анодный ток усилится. Таким образом, величина анодного

466
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XXI
тока зависит от потенциала сетки. На рис. 336 представлена
зависимость силы анодного тока от „сеточного напряжения" Vs, т. е.
от разности потенциалов между катодом К и сеткой 5. При этом
анодное напряжение Va (разность потенциалов между катодом К и
анодом А) предполагается постоянным. При нулевом сеточном напря-
напряжении имеется некоторый анодный ток 1а0, обусловленный данным
анодным напряжением Va. Нужно приложить определенное задержи-
задерживающее Сеточное напряжение, чтобы анодный ток спал до нуля. При
ускоряющем сеточном напряжении анодный ток возрастает и, наконец,
достигает значения насыщения 1ап. Характеристика анодного тока
в средней части имеет линейный вид. В триоде анодный ток сильно
меняется при малых изменениях сеточного напряжения. Это объяс-
объясняется тем, что, из-за близкого распо-
расположения сетки к катоду сеточное на-
напряжение создает достаточно большую
напряженность поля вблизи катода.
Ббльшая часть линий напряженности,
начинающихся на аноде, не доходит до
катода, кончаясь на сетке. Поэтому
анодное напряжение в триоде мало
влияет на величину анодного тока. Часть
электронов, испускаемых катодом, по-
попадает на сетку и создает таким обра-
образом сеточный ток. Однако этот сеточ-
сеточный ток мал по сравнению с анодным
током при условии, что площадь про-
просветов в сетке велика по сравнению
с площадью, закрываемой проволочками, из которых сделана сетка.
Трехэлектродная лампа употребляется как для возбуждения (генери-
(генерирования) незатухающих колебаний, так и для усиления колебаний.
Схема возбуждения незатухающих колебаний с помощью трех-
трехэлектродной лампы представлена на рис. 337. .Принцип действия
эгой схемы аналогичен принципу действия механических автоколеба-
автоколебательных систем, например часового маятника, где колебания под-
поддерживаются незатухающими за счет толчков со стороны храпового
механизма. Колебания в контуре, без подвода энергии извне, затухают
вследствие постепенного излучения энергии, а также частичного пере-
перехода энергии в ленц-джоулево тепло из-за наличия омического сопро-
сопротивления в контуре. В схеме на рис. 337 энергия подводится к кон-
контуру LC с помощью трехэлектродной лампы Т от анодной батареи Ва.
Сетка лампы S соединена с катушкой Ij. Катушка индуктивно
связана с самоиндукцией L колебательного контура IS. Такая связь
носит название обратной связи, она-то и обуславливает возбужде-
возбуждение незатухающих колебаний. В самом деле изменение силы тока Г
в колебательном контуре создает э. д. с. в катушке Lu которая ведет
Рис. 337. Возбуждение незату-
незатухающих колебаний по схеме
с обратной связью.

§ 241] ВОЗБУЖДЕНИЕ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ 467
к изменению сеточного напряжения Vs. В результате- изменения се-
сеточного напряжения анодный ток, идущий через триод Т от бата-
батареи Ва, будет изменяться с частотой, равной частоте колебаний
в контуре LC. При соответствующем подборе фазы сеточного напря-
напряжения эти изменения анодного тока будут -поддерживать колебания
в колебательном контуре LC. Таким образом, колебания могут быть
сделаны незатухающими за счет энергии, подводимой от батареи Ва.
Можно показать, что при работе триода на среднем прямолинейном
участке характеристики колебания, возбуждаемые в колебательном
контуре, носят простой синусоидальный характер.
Составим уравнение колебаний схемы, изображенной на рис. 337. При
разряжении конденсатора С возникающий в цепи ток / разветвляется
в точке b на два: анодный ток 1а и ток /', текущий через катушку. Считая
токи квазистационарными (см.§ 232), получим для точки Ь по первому закону
Кирхгофа:
/ = /' + /„. A)
Обозначим через V разность потенциалов на обкладках конденсатора С
и через R—омическое сопротивление катушки L; сопротивлением соеди-
соединяющих проводов пренебрежем. По второму закону Кирхгофа, сумма падений
потенциала в контуре LC, равная RI'-{-V, должна равняться сумме э.д. с,
действующих в этом контуре. В контуре LC действует лишь э. д. с. само-
индукции — i^-, откуда:
RI' + V = -L~. B)
Разность потенциалов V на обкладках конденсатора в каждый момент
связана с зарядом Q на одной из обкладок соотношением V=~, где С —
Су
емкость конденсатора. На основании этого уравнение B) можно переписать
в виде:
Дифференцируя левую часть этого уравнения по t, получим:
Замечая, что -^ = /, и пользуясь равенством A), найдем:
L^- + R^ + ^(I' + Ia) = O. C)
Сила анодного тока 1а, как сказано, зависит от сеточного напряжения Vs.
Эта зависимость изображается кривой, приведенной на рис. 336. В области
прямолинейной части графика зависимость эта линейна. Пренебрегая 1а0, мы
можем в простейшем случае записать ее в виде: Ia = kVs, где k — постоян-
постоянная величина. Обозначая через Z.la коэффициент взаимной индукции кату-
катушек L и Z.1, получим:
vs = — Li»-jnt откуда la = kVs = kL

468 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Подставляя это значение 1а в уравнение C), получим:
[ГЛ. XXI
•7+ <?'=*¦ W
Множитель при d/'/dt представляет собой омическое сопротивление ./?,
уменьшенное на величину ?Ll2/C. Если подобрать эту величину (меняя коэф-
коэффициент Z.i2) так, чтобы
то уравнение D) примет вид:
E)
Легко проверить, что решением этого уравнения будет выражение:
/' = A cos at,
где «=Ym-
Таким образом, получим, что в контуре LC совершаются незатухающие
колебания с амплитудой А и циклической частотой ш. Получение такого
рода незатухающих колебаний возможно при работе триода на линейной
части характеристику, так как только в этом случае уравнение C) пере-
переходит в уравнение незатухающих колебаний E).
В современной радиотехнике используются различные типы лам-
ламповых генераторов, которые в основном отличаются друг от друга
способами осуществления обратной связи. Эта связь может быть
индуктивной (как на рис. 337),
емкостной или автотрансфор-
автотрансформаторной. Кроме того, генерато-
генераторы бывают с последовательным
анодным питанием, когда лампа
и колебательный контур соеди-
T'ojjo I нены последовательно с анод-
Y ^-—¦—I ной батареей, и с параллельным
-1—'"—' 1 '¦ питанием, когда лампа и контур
подключены к батарее парал-
параллельно. Наконец, схемы могут
отличаться друг от друга тем,
что в них используется одна
или две лампы. На ряс. 338
приведена схема с индуктивной обратной связью и с параллельным
анодным питанием. Конденсатор Са включен, чтобы не допускать замы-
замыкания анодной батареи через катушку L; одновременно он пропускает
высокочастотный ток в колебательный контур LC. Роль индуктивно-
индуктивности [.% заключается в том, что она не пропускает высокочастотные
колебания к анодной батарее Ва.
§ 242. Ток смещения. Рассмотрим подробнее процессы, проис-
происходящие при прохождении переменного тока по цепи, содержащей
конденсатор. В случае постоянного тока, как мы видели, линии тока
Рис. 338. Возбуждение незатухающих
колебаний по схеме с параллельным
анодным питанием.

§ 242]
ТОК СМЕЩЕНИЯ
469
всегда замкнуты (§ 156). Не так обстоит дело для переменного тока.
В диэлектрике между пластинами конденсатора заряды не могут
перемещаться, в результате чего линии тока, подходящие к пластине
конденсатора, обрываются у ее поверхности. Ток проводимости,
текущий по проводнику, соединяющему обкладки конденсатора, ока-
оказывается разомкнутым.
Пусть в некоторый момент левая обкладка плоского конденсатора
А (рис. 339) имеет положительный заряд, расположенный на ее поверх-
поверхности с плотностью -)- о, а правая — отрицательный заряд, располо-
расположенный с плотностью — а. При раз-
разряде конденсатора через проводник,
соединяющий обкладки, течет ток
от левой обкладки к правой. Числен-
Численное значение плотности этого тока i
внутри обкладки получим, взяв про-
производную по времени от плотности
заряда (см. § 155):
da
df
A)
J
1
A
4-
.«—
•*—
-Ф-
В
-c
В
—
—
Ток такой плотности оттекает от
левой обкладки А.
Рассмотрим теперь, что происхо-
происходит в пространстве между пласти-
пластинами конденсатора. Если ограни-
ограничиться переменными токами не слиш-
слишком большой частоты, то можно легко
определить изменение электриче-
электрического поля между обкладками. Действительно, в этом случае мгно-
мгновенное значение поля внутри конденсатора можно вычислить по
мгновенным значениям поверхностных плотностей зарядов. Как сле-
следует из § 144, значение вектора электрической индукции D между
обкладками конденсатора численно равно:
Рис. 339. Возникновение тока сме-
смещения между обкладками конден-
конденсатора.
Взяв производную по времени от правой и левой частей этого равен-
равенства, получим:
\_dD_ da
4тс dt dt
или, обозначив производную по времени от электрической индукции
через D-
В рассматриваемом случае вектор D направлен от обкладки В
к обкладке А. Действительно, при разрядке конденсатора поле между

470 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ [ГЛ. XXI
его пластинами убывает, откуда следует, что производная по времени
dDjdt отрицательна, т. е. вектор D направлен в сторону, противопо-
противоположную вектору D. Вектор же электрической индукции D направлен
между пластинами слева направо. Отсюда приходим к выводу: внутри
пластины А налево направлены линии вектора плотности тока прово-
проводимости i, в пространстве же между пластинами в том же направле-
направлении идут линии вектора D. По равенствам A) и B), численные зна-
значения векторов 1 и j-D равны друг другу. Таким образом, линии
плотности тока i и линии вектора Ь, деленного на 4-гг, сменяют друг
друга.
Введем обозначение:
ib = iCM. C)
Тогда оказывается: линии плотности тока проводимости 1
внутри проводящей пластины непрерывно переходят в линии
вектора iCM между пластинами. Максвелл, впервые введший в рас-
рассмотрение величину iCM, назвал ее плотностью тока смещения.
Название „ток смещения" возникло в результате потерявшего теперь
значение представления, что появление электростатических сил связано
с механическими деформациями упругой среды — эфира.
Таким образом, непрерывность линий тока формально оказывается
восстановленной, если плотности тока проводимости i в проводниках
сопоставлять в диэлектриках плотность тока смещения iCM, определя-
определяемого меняющимся по времени электрическим полем. Однако в дей-
действительности дело идет не только о формальной аналогии между
током проводимости и током смещения. Дальнейшее развитие учения
об электромагнитных явлениях показало, что ток смещения описывает
некоторые реальные свойства электромагнитного поля. Согласно гипо-
гипотезе, высказанной Максвеллом, ток смещения создает в про-
пространстве, его окружающем, магнитное поле такое же, как и
магнитное поле эквивалентного тока проводимости. Эта гипотеза
в настоящее время полностью подтверждена многочисленными опыт-
опытными проверками вытекающих из нее следствий.-
Следует при этом иметь в виду, чго ток смещения эквивалентен
току проводимости только в отношении способности образовывать
магнитное поле. Во всех других отношениях ток смещения не может
быть уподобен току проводимости; например, при прохождении тока
смещения не выделяется ленц-джоулево тепло.
Наряду с током проводимости и током смещения Максвелл ввел
в рассмотрение полный ток, плотность и которого определяется как
геометрическая сумма плотности тока проводимости и плотности тока
смещения:

§ 243J ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ * 471
Полный ток, как можно показать, является всегда замкнутым.
В нашем примере в предположении, что частота колебаний не слиш-
слишком велика, замкнутость полного тока вытекает из следующих простых
рассуждений: в проводнике, соединяющем обкладки, полный ток можно
считать равным току проводимости; между обкладками полный ток
равен току смещения; так как у поверхности обкладок, согласно
равенствам A) и B), плотности тока смещения и тока проводимости
одинаковы и одинаково направлены, то полный ток у поверхностей
не терпит изменений.
Строго говоря, ток смещения не равен нулю и внутри проводника. Его
величину можно оценить следующим образом:
, _D_tt
4тс 4я
Электрическая напряженность Е для периодического разряда есть периоди-
периодическая функция времени ? = ?о sin <at, ее производная по времени Е =
= Ейи> cos tat, откуда плотность тока смещения «см равна:
ictl = — tuiEo COS uit.
Плотность тока проводимости выражается через напряженность Е по закону
Ома:
i = aE = <sE<> sin tat,
где а—проводимость проводника.
Отношение амплитуд плотностей токов смещения и проводимости:
Для металлических проводников о — величина порядка 10" CGSE; на
основании косвенных измерений следует, что диэлектрическая постоянная
металлов есть величина не больше 10. Отсюда для ш д^ Ю7 сек отношение
— = 10~9, откуда видно, что в металлических проводниках током смещения
а
вполне можно пренебречь по сравнению с током проводимости.
§ 243. Электромагнитное поле. По приведенной в предыдущем
параграфе гипотезе Максвелла ток смещения образует, как и ток
проводимости, магнитное поле. Но ток смещения, плотность которого
возникает каждый раз, когда отлична от нуля производная от вектора
электрической индукции D по времени, т. е. когда имеется меняю-
меняющееся со временем электрическое поле. Таким образом, мы приходим

472 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ [ГЛ. XXI
к следствию: всякое меняющееся со временем электрическое поле
связано с наличием магнитного поля.
Электростатическое поле, т. е. поле неподвижных друг относительно
друга и неизменных по величине электрических зарядов, действует
только на электрические заряды; никаких магнитных действий оно
не обнаруживает. Но если заряды движутся друг относительно друга
или меняются по величине, то меняется и создаваемое ими электрическое
поле, и тогда возникают наряду с электрическими и магнитные действия.
В частном случае можно себе представить равномерно возрастаю-
возрастающее (или убывающее) электрическое поле, тогда- ток смещения был бы
постоянен и он создавал бы постоянное магнитное поле. Однако
практически переменное электрическое поле всегда имеет переменную
производную по времени, т. е. создает переменный ток смещения,
откуда следует, что и возникающее магнитное поле тоже переменно
по времени. Таким образом, вообще говоря, пространство, заполненное
переменным электрическим полем, одновременно заполнено переменным
магнитным полем.
Дальнейшие рассуждения показывают, что и переменное магнитное
поле, в свою очередь, обусловливает образование электрического поля.
Пусть переменное по времени магнитное поле характеризуется
вектором индукции В и его производной по времени dB/dt, которую
мы обозначим через В. Предположим, что в этом поле находится
неподвижный замкнутый проводящий контур. Тогда в силу перемен-
переменности вектора магнитной индукции В поток магнитной индукции Ф
через площадь, ограниченную этим контуром, будет меняться, и в кон-
контуре возникает э. д. с. индукции Шх. Величина этой э. д. с. Шг по
закону Фарадея численно равна производной потока индукции по вре-
времени d0jdt, т. е. в нашем случае (контур неподвижен) определяется
производной по времени от вектора индукции В. Возникновение э. д. с.
в проводнике указывает на возникновение в нем электрической силы,
заставляющей свободные заряды проводника двигаться в определенном
направлении. Следовательно, мы приходим к заключению, что наличие
переменного во времени магнитного поля обусловливает возникновение
в области расположения проводника электрической силы. Максвелл,
обобщая этот результат, высказал положение, что электрическое поле
возникает во всех точках пространства, в которых имеется
меняющееся со временем магнитное поле, независимо от того,
есть в них проводник или нет. Согласно представлениям Максвелла,
проводник, в котором появляется э. д. с, служит только тем объектом,
в котором электрические силы себя проявляют.
Таким образом, мы можем резюмировать: всякое меняющееся со
временем магнитное поле связано с наличием электрического поля.
Постоянное магнитное поле, т. е. поле постоянных токов, текущих
по неподвижным друг относительно друга проводникам, или поле

§ 243]
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
473
а)
в
постоянных неподвижных друг относительно друга магнитов, действует
только на токи или магниты; никаких действий на неподвижные
электрические заряды оно не оказывает. Но если магнитное поле
меняется со временем, тогда возникают наряду с магнитными еще и
электрические действия.
Практически мы всегда имеем такие переменные магнитные поля,
при которых переменен не только вектор магнитной индукции В, но
и его производная пр времени В. Но в этом случае будет возникать
и переменное электрическое поле. Отсюда, вообще говоря, простран-
пространство, заполненное переменным магнитным полем, одновременно запол-
заполнено и переменным электрическим полем.
Оба переменных поля — электрическое и магнитное — неизменно
связаны друг с другом и образуют электромагнитное поле.
Электромагнитное поле носит вихревой характер. Про поле какого-
либо вектора А говорят, что оно вихревое, если в нем существуют
две таких бесконечно близких точки,
в которых вектор А имеет противопо-
противоположные направления. Например, при
образовании в жидкости или газе вих-
вихрей около оси вихря, по двум противо-
противоположным сторонам от оси, движение
происходит в противоположных направ-
направлениях.
Рассмотрим сперва вихревой харак-
характер магнитного поля. Магнитное поле,
создаваемое током смещения, рассчи-
рассчитывается по тем же самым формулам,
по которым рассчитывается магнитное
поле тока проводимости (§ 193), лишь
с заменой в них плотности тока прово-
проводимости плотностью тока смещения. В магнитном поле токов смеще-
смещения линии магнитной напряженности имеют тот же вид, что и вблизи
аналогичных токов проводимости, т. е. они всегда замкнуты и охва-
охватывают линии тока. Пусть в некоторой точке вектор плотности тока
. смещения изображается стрелкой iCM (рис. 340). Магнитные линии на-
напряженности вблизи JCM образуют концентрические окружности тем
меньшего радиуса, чем ближе они к iCM. Если в пределе мы перейдем
к точкам, расположенным бесконечно близко к вектору iCM, то кривизна
линий магнитной напряженности будет бесконечно велика, и, следова-
следовательно, всегда можно будет найти две такие бесконечно близкие точ-
точки, в которых напряженность магнитного поля имеет прямо противо-
противоположные направления.
Электрическое поле, создаваемое переменным магнитным полем,
тоже носит вихревой характер. Пусть в некоторой точке изменение
вектора магнитной индукции со временем изображается стрелкой В
Рис. 340. Возникновение кон-
концентрических круговых линий
магнитной напряженности во-
вокруг вектора плотности тока
смещения (см (а) и электриче-
электрической напряженности вокруг
вектора В (б).

474 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ [ГЛ. XXI
(рис. 3406). Если мы окружим В проводящим контуром, плоскость
которого расположена перпендикулярно к В, то возникающая в этом
контуре э.д.с. индукции, по правилу Ленца, будет направлена, как
показано на рис. 340, пунктирными стрелками. В каждой данной точке
э.д.с. направлена перпендикулярно к нормали, опущенной из данной
точки на направление вектора В. По сказанному, возникновение э. д. с.
индукции обязано существованию электрического поля, напряжен-
напряженность Е которого в каждой точке направлена ,так же, как и э. д. с.
Следовательно, линии электрической напряженности Е образуют вокруг
вектора В концентрические окружности. Для точек, бесконечно близких
к вектору В, кривизна окружностей будет бесконечно велика, и,
следовательно, будут существовать пары таких соседних точек, в ко-
которых векторы электрической напряженности направлены прямо
противоположно. Таким образом, электрическое поле, создаваемое
переменным магнитным полем, носит вихревой характер. Его
линии напряженности всегда замкнуты. Этим оно существенно отли-
отличается от электростатического поля неподвижных зарядов, линии
напряженности которого, как мы это не раз отмечали, не замкнуты:
они начинаются на одних зарядах и кончаются на других. Таким
образом, электрическое поле может быть как потенциальным (электро-
(электростатическое поле), так и вихревым (электромагнитное поле). Магнитное
поле всегда носит вихревой характер.
В § 129 нами было показано, чт* математическим выражением потенци-
потенциального характера электростатического поля является соотношение:
•tdl = 0, A)
где интеграл распространен по замкнутому контуру.
Вихревой характер магнитного прля выражается соотношением § 198:
Udl = l*I. B)
Этому соотношению может быть придан несколько иной вид. Величина /
представляет собой ток, протекающий через площадь S, охваченную конту-
контуром, вдоль которого берется интеграл ф Hi dl. Если мы обозначим через in
составляющую плотности тока, нормальную к площади S, то,' очевидно, /
может быть представлено в виде:
/ =
S
где интеграл распространен на всю площадь S. Отсюда выражение B) при-
принимает вид:
(? Hi dl = 4* f «„ dS. , Bа)

§ 243] ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 475
По гипотезе Максвелла в общем случае в правой части соотношения Bа)
должна стоять полная плотность тока, складывающаяся как из плотности тока
проводимости i, так и из плотности тока смещения — D, откуда оконча-
4л
тельно:
(j) И, dl = f (Ыа + Dn) dS.
C)
Если интеграл ф Hi dl берется по контуру, охватывающему поверхность,
полный ток через которую не равен нулю, то интеграл, стоящий в правой
части соотношения C), не равен нулю и, следовательно,
что равносильно утверждению, что магнитное поле носит вихревой характер.
(Если в некоторой части пространства полный ток равен нулю, то в этой
части пространства магнитное поле можно охарактеризовать потенциалом.)
Покажем, что аналогичное соотношение имеет место для вихревого элек-
электрического поля. В самом деле, предположим, что в области переменного
магнитного поля расположен замкнутый проводящий контур. Тогда по закону
индукции Фарадея в этом контуре возникает э. д. с. индукции:
где Ф есть поток магнитной индукции через площадь S, ограниченную кон-
контуром. Обозначая через Вп составляющую вектора магнитной индукции,
нормальную к площади S, получим:
откуда
D)
где Вп означает производную от Вп по времени, а интегрирование распро-
распространяется на всю площадь S.
По сказанному выше э.д. с. может быть представлена как циркуляция
напряженности, т. е. э. д. с. Щ-ь равна:
%i = ф Et dl,
где интеграл распространен на весь рассматриваемый контур.
Следовательно, выражение D) принимает вид;
(?
= — f BadS. Ч E)'
¦
По гипотезе Максвелла, изложенной в основном тексте этого параграфа,
соотношение E) имеет место независимо от того, имеется ли в рассматри-
рассматриваемом переменном магнитном поле проводящий контур или нет; в

476
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XXI
последнем случае интеграл в левой части соотношения E) берется по
любому воображаемому замкнутому контуру. --_ "
Соотношение E) аналогично соотношению C) и вьгртжает вихревой
характер электрического поля возникающего в результате наличия перемен-
переменного магнитного поля. При отсутствии магнитного поля или при его постоян-
постоянстве Д„ = 0, и выражение E) переходит в A); в этом случае электрическое
ноле Е может возникать только в результате наличия неподвижных и неиз-
неизменных по величине электрических зарядов, и тогда оно потенциально.
§ 244. Уравнения Максвелла. Точный расчет электромагнитных полей
производится с помощью уравнений, предложенных Максвеллом и базирую-
базирующихся на учете указанных идей о природе электромагнитных явлений. Уравне-
Уравнения Максвелла представляют собой дифференциальные уравнения, связываю-
связывающие производные по координатам и по времени от величин, характеризую-
характеризующих электромагнитное поле. Мы рассмотрим упрощенный расчет, приводя-
приводящий к уравнениям Максвелла.
Уравнения Максвелла разбиваются на две системы. Первая система свя-
связывает пространственные производные проекций вектора магнитной напря-
напряженности с проекциями плотностей токов смещения и проводимости. Вторая
система уравнений Максвелла связывает
пространственные производные проекций
вектора электрической напряженности с
временными производными проекций век-
вектора магнитной индукции.
У 1 j Получим сперва первую систему урав-
/ & нений Максвелла. Пусть в некоторый момент
/V времени в некоторой малой области про-
пространства плотность полного тока изобра-
изображается вектором и. Эта плотность склады-
складывается из плотности тока проводимости i и
плотности тока смещения — D, откуда
4т:
Ъ
Рис. 341. К определению пер-
первой системы уравнений Мак-
Максвелла.
По гипотезе Максвелла оба тока — ток проводимости и ток смещения —
играют одинаковую роль в образовании магнитного поля. Для определения
магнитного поля, образованного этими токами, рассмотрим сначала проекцию
вектора и на ось OZ (рис. 341). Так как напряженность магнитного поля,
созданного током, всегда перпендикулярна к направлению тока (см. § 192),
то проекция плотности тока иг связана лишь с проекциями напряженности
Н И
р
магнитного поля Нх и И
у.
оу
х у
Возьмем малый прямоугольный контур abed со сторонами dx и 4У, лежа-
лежащий в плоскости ОХУ. Подсчитаем циркуляцию Н на этом контуре. На
участке ab имеем
тле Ну есть проекция напряженности магнитного поля Н, определенная для
того места, где расположен участок ab; знак минус указывает, что переме-
перемещение производится в направлении отрицательной оси ОУ.
На участке be получаем
где Нх — значение проекции Нх для того места, где расположен участок be.
В случае неоднородного магнитного поля значение напряженности И
в том месте, где расположен участок cd, иное, чем в области расположения

§ 244] уравнение максвелла 477
участка аЪ; обозначим его через И'\ тогда на участке cd получим
Очевидно, приращение проекции Ну на расстоянии между отрезками ab и cd
можно представить в виде -^--dx, откуда Н'у-= Ну-\--*у-dx и, следова-
следовательно,
Точно так же получим для da
Полная циркуляция по замкнутому контуру abed равна сумме:
) dx.
Открывая скобки и сокращая подобные члены, иолучим
Id Ну
С другой стороны, циркуляция должна численно равняться силе тока, про-
протекающего через площадку abed в направлении оси OZ, умноженной на 4л
(§ 198), т. е.
Л = 4п1г.
Считая проекцию плотности тока иг в пределах площадки abed постоянной,
имеем
Iz = uzdx dy, откуда А = 4п«г dx dy.
По равенству A) мы можем заменить иг через сумму плотностей токов про-
проводимости и смещения «г + т- D г, откуда для А найдем
Сравнивая выражения B) и C), получим
дЦу дИх .
/4
Совершенно аналогичные уравнения мы получим для двух других состав-
составляющих плотности полного тока их и и2, откуда вся первая система урав-
уравнений Максвелла имеет вид:
dHz дНу . ¦
ду dz х-г х,
ду

478 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ [ГЛ. XXI
Таким образом, первая система уравнений Максвелла определяет связь между
плотностью тока проводимости i, производной по времени от индукции элек-
электрического поля D и пространственными производными от напряженности
вызванного токами магнитного поля Н.
Система уравнений D) справедлива, если все входящие в нее величины
измерять в какой-либо одной системе единиц, например все в электромагнит-
электромагнитной системе. Если же измерять напряженность магнитного поля Н в CGSM-
единицах, a i и D — в CGSff-единицах, то справа надо ввести множитель 1/е,
соответствующий переходу от электростатических к электромагнитным едини-
единицам. Тогда уравнения Максвелла примут вид:
дНг дНу 4тг. 1 •
ду дг с х ~*~ с х'
дНх дНг
дг дх с
дНу дНх = Ак ,
дх ду с
Dа)
К первой системе уравнений Максвелла следует прибавить уравнение, связы-
связывающее вектор электрической индукции D с распределением плотности сво-
свободных электрических зарядов р. По сказанному в § 144, такое уравнение
имеет вид:
dDx , dD« , dDz .
17 + 1г/' + 'Ж = ^- E)
Заметим, что вектор электрической индукции D связан с напряженностью
электрического поля соотношением: D = eE. Магнитная проницаемость среды
(х в первую систему уравнений Максвелла не входит, так как напряженность
магнитного поля, создаваемого токами, не зависит (для однородных магнети-
магнетиков, целиком заполняющих пространство, где поле отлично от нуля) от маг-
магнитной проницаемости среды (см. сказанное в § 202).
Как известно из векторного исчисления, выражения, стоящие в левой
части уравнений Максвелла D) или Dа), являются составляющими „вихря"
вектора Н; таким образом, в векторном виде первая система уравнений
Максвелла принимает вид:
rotH = yi+-i6- D6)
К ней добавляется записанное в векторном виде выражение E):
divD = 47cp. Ea)
Вторую систему уравнений Максвелла получим, использовав обобщение
закона индукции Фарадея, данное Максвеллом. Как было показано на стр. 472,
согласно обобщению Максвелла, электрические силы возникают при измене-
изменении вектора магнитной индукции В вне зависимости от того, имеется ли
проводящий контур или нет. Циркуляция Е по замкнутому контуру числен-
численно равна изменению со временем потока магнитной индукции через площадь,
охватываемую контуром [формула E) § 243]. Подсчитаем эту циркуляцию
для малого прямоугольного контура, аналогичного тому, который мы рассмат-
рассматривали при определении первой системы уравнений Максвелла.
Пусть в некоторый момент времени в некоторой малой области простран-
пространства изменение магнитного поля характеризуется вектором В. Для опреде-
определения электрического поля, создаваемого этим изменяющимся магнитным
полем, рассмотрим сначала проекцию вектора' В на ось OZ (рис. 342).

§ 244]
УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА
479
В?
О
dx
Так как величина индуцированной э.д. с. определяется изменением со-
составляющей вектора магнитной индукции, нормальной к площади данного
контура, то проекция Вг будет связана лишь с проекциями напряженности
электрического поля Ех и Еу.
Возьмем малый прямоугольный контур abed,
лежащий в плоскости OXY, со сторонами dx и
dy. Подсчитаем циркуляцию Е по этому контуру:
Aab = -Eydy,
где Еу — проекция напряженности электриче-
электрического поля Е, определенная для того места, где
расположен участок ab; знак минус указывает,
что перемещение производится в направлении
отрицательной оси OY.
На участке be аналогично найдем
АЬс = Exdx.
Рассуждая совершенно аналогично тому, как мы
Рис. 342. К определению
второй системы уравне-
уравнений Максвелла.
рассуждали при подсчете циркуляции магнитной
напряженности при определении первой системы уравнений Максвелла, полу-
получим, на участках cd и da соответственно:
дх
dy,
ду
Отсюда полная циркуляция по всему замкнутому контуру abeda равна:
fdEv
\ дх
дЕЛ ..
^ \dxdy.
ду
F)
С другой стороны, циркуляция равна взятой со знаком минус производной
по времени от потока магнитной индукции, пронизывающего контур abeda;
_ дФ
Но так как поток Ф через контур abeda равен Bsdxdy, то
~~ dt —»*
Сравнивая выражения {б) и G), получим
дх
ду
Аналогичным образом получим уравнения, содержащие две другие состав-
составляющие производной по времени от вектора индукции
тельно вторая система уравнений Максвелла имеет вид:
дЕг dEv • )
Вх
и By.
Оконча-
дг
дЕ
(8)
ОЕу ОСХ_ ¦
Tx'~W г' \

480 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ [ГЛ. XXI
Таким образом, вторая система уравнений Максвелла устанавливает связь
между производной по времени от вектора магнитной индукции В и прост-
пространственными производными от напряженности электрического поля Е, выз-
вызванного изменением магнитного поля.
Система уравнений (8) справедлива, если все входящие в нее величины
измерять в CGSM-системе. Если же измерять напряженность электрического
поля Е в CGSjE-единицах, а магнитную индукцию В— в CGSjM-единицах,
то справа надо ввести множитель 1/с:
дЕ2 дЕу_ 1
~ду~~~Ъг с
дЕх дЕг 1
дх ду
(8а)
Ко второй системе уравнений Максвелла следует прибавить уравнение,
соответствующее тому, что линии вектора индукции всегда замкнуты. Это
уравнение, по сказанному в § 200, имеет вид:
дх ' ду ' dz
В векторном виде вторая система уравнений Максвелла (8а) и соотно-
соотношение (9) принимают вид:
rot Е = — — В, (86)
divB = 0. (9a)
Первая и вторая системы уравнений Максвелла должны решаться сов-
местко. Первая система уравнений позволяет по заданным плотностям токов i
и заданным объемным плотностям электрических зарядов р определить созда-
создаваемое ими магнитное поле; вторая система позволяет определить то вихре-
вихревое электрическое поле, которое создает меняющееся со временем магнит-
магнитное поле. При этом следует иметь в виду, что связь между векторами Н и
В определяется соотношением:
В = цН,
где (л — магнитная проницаемость среды, а связь между векторами Е и D
определяется соотношением:
D = eE,
где t — диэлектрическая постоянная.
В случае, когда среда неоднородна, на границах отдельных участков
среды должны выполняться пограничные условия, полученные нами для век-
вектора D в § 144, а для вектора В — в § 206:
здесь индексы п и t указывают на то, что берется нормальная или танген-
тангенциальная составляющая соответственного вектора.
Наконец, если среда обладает проводимостью, то плотность тока прово-
проводимости i удовлетворяет закону Ома:
.... ¦ .i=о(е.+.?!), . :. .:;.¦...'

§ 245] УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА-—ЛОРЕНЦА 481
где и — проводимость среды, а Е' — напряженность поля, вызванная сторон-
сторонними источниками.
§ 245. Уравнения Максвелла—Лоренца. В теории Максвелла свойства
вещества характеризуются с помощью трех констант: диэлектрической посто-
постоянной е, магнитной проницаемости у. и проводимости а. Магнитного аналога
проводимости вещества не существует, так как не существует никаких магнит-
магнитных зарядов. Электрические заряды задаются Плотностью их распределения.
Электромагнитное поле вызывается наличием этих зарядов и их движе-
движением. Таким образом, теория Максвелла не входит в рассмотрение атомно-
атомного строения вещества и формально описывает его влияние на электромаг-
электромагнитное поле с помощью констант е, р и i. Учет структуры вещества был
дан в электронной теории Лоренца. С точки зрения теории Лоренца про-
пространство, занятое веществом, отличается от пустого пространства тем, что
в него вкраплены отдельные положительные и отрицательные заряды. Эле-
Элементарные отрицательные заряды—это электроны, а элементарными поло-
положительными зарядами являются ядра атомов. Электроны вместе с ядрами
образуют нейтральные атомы или ионы. Атомы и ионы могут входить в
состав молекул. Электроны внутри атомов или молекул движутся по зам-
замкнутым орбитам, они способны также смещаться внутри атомов или моле-
молекул, вызывая их поляризацию. В проводниках часть электронов находится
в свободном состоянии и, перемещаясь, создает ток проводимости. Элек-
Электрическое и магнитное поля вызываются этими зарядами и их движением.
Ввиду микроскопического размера зарядов, поля заметно меняются от
точки к точке на расстояниях, сравнимых с атомными размерами. Так,
вблизи отдельного электрона или иона электрическое поле весьма велико,
а посередине между двумя соседними электронами оно может оказаться
равным нулю. Таким образом, рассматриваемые в теории Лоренца электри-
электрическое и магнитное поля носят микроскопический характер. Обозначим
напряженность этих полей через е и h в отличие от макроскопических,
усредненных величин, фигурирующих в теории Максвелла. Эти поля осу-
осуществляются в пространстве между отдельными зарядами, т. е. теория
Лоренца рассматривает, по сути дела, лишь поля в пустоте. Поэтому в тео-
теории Лоренца рассматривается лишь одна пара векторов: напряженность
электрического поля е и напряженность магнитного поля h вместо двух
пар векторов Е, В, Н и D, входящих в уравнения Максвелла.
Всякий электрический ток с точки зрения электронной теории Лоренца
есть конвекционный ток, обусловливаемый движением элементарных зарядов.
Плотность этого тока равна ?pv, где pv есть ток, вызываемый одним эле-
элементарным зарядом, а сумма распространена на все элементарные заряды
(р есть плотность одного заряда, равная нулю вне самого заряда, a v — его
вектор скорости).
Таким образом, для пустого пространства между зарядами уравнения
Максвелла принимают вид:
rot h = —
B)
C)
divh=0. D)
В этом виде уравнения носят название уравнений Максвелла — Лоренца.
Входящие в уравнения Максвелла — Лоренца векторы е и h недоступны
непосредственному измерению, так как мы не можем промерить напряжен-
напряженности полей между атомами и внутри самих атомов и молекул. Поэтому,

482 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ [ГЛ. XXI
для того чтобы перейти к измеримым величинам, необходимо усреднить ве-
величины, входящие в уравнения" A) — D). Усреднение напряженностей е и Ii,
плотности зарядов ?р и тока Spv следует проводить для объемов, ббльших
но сравнению с отдельными атомами, но настолько малых, чтобы все макро-
макроскопические величины в их пределах заметно не менялись; такое усреднение
следует проводить для промежутков времени, ббльших по сравнению с перио-
периодами внутриатомных движений, но настолько малых, чтобы макроскопиче-
макроскопические величины за эти промежутки времени не успевали заметно меняться.
Обозначим усредненные таким образом величины через е, h, ?р и ?pv.
Тогда уравнения Максвелла—Лоренца примут вид:
тг 4л VI , 1 — ...
h = TZpv+7e> ( а)
Ba)
rot"e = — — й", (За)
С
divh"=0. Da)
Эти уравнения должны совпадать с уравнениями Максвелла.
Легко видеть, что уравнения (За) и Dа) совпадают со второй системой
уравнений Максвелла [(86) и (9а) § 244], если положить
Отсюда, в соответствии со сказанным в § 145 и 208, получаем: макро-
макроскопическая напряженность электрического поля Е является усредненной
микроскопической напряженностью поля е и магнитная индукция В
является усредненной микроскопической напряженностью магнитного
поля й. Это соответствует ранее отмеченному обстоятельству: при наличии
диэлектрика напряженность электрического поля Е определяется как „внеш-
„внешними", внесенными в диэлектрическую среду зарядами, так и поляризацией
самой среды; при наличии магнетика магнитная индукция В определяется как
токами, так и „намагничением" среды. Отсюда еще раз вытекает аналогия
между напряженностью электрического поля Е и магнитной индукцией В.
Однако при указанном сопоставлении векторов ей h с Е и В может
показаться, что уравнения Aа) и Bа) не соответствуют первой системе урав-
уравнений Максвелла. Но более детальное рассмотрение показывает, что и здесь
имеет место совпадение. Для этого, во-первых, необходимо принять во внима-
внимание, что вектор ?pv учитывает не только перенос свободных зарядов, обу-
обусловливающих появление плотности тока проводимости i, но и внутриатом-
внутриатомные движения зарядов и изменение со временем поляризации атомов и
молекул. Во-вторых, макроскопическая плотность свободных зарядов р не сов-
совпадает со средней плотностью элементарных зарядов Ер, так как в нее не
входит та часть ?р, которая сводится к поляризации диэлектрика.
§ 246. Электромагнитные волны. Как мы видели, образование
переменного во времени электрического или магнитного полей вызы-вает
возникновение соответственно вихревого магнитного или вихревого
электрического поли. Если такое электромагнитное поле создается
в некоторой ограниченной области пространства, то, как показывает
опыт, оно распространяется в остальную часть пространства с конеч-
конечной скоростью. Эта скорость весьма велика и в пустоте совпадает

§ 246]
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
483
со скоростью света C-Ю10 см/сек). В тех случаях, когда создавае-
создаваемое электромагнитное поле имеет периодический характер, рас-
распространение этого поля носит волновой характер. Волновой
характер распространения электромагнитного поля вытекает из общей
теории электромагнитных явлений Максвелла, которая была дана
в 1863 г. Впервые электромагнитные волны были экспериментально
изучены Герцем в 1888 г.
Рассмотрим процесс образования электромагнитных волн сперва
на примере простейшей теоретической схемы, а затем укажем техни-
технические способы их осуществления. Предположим, что мы имеем кон-
контур, в котором поддерживаются тем или иным способом электрические
колебания. Пусть этот контур характеризуется емкостью С и коэф-
коэффициентом самоиндукции L. Если колебания в нем происходят с перио-
периодом Т, равным периоду собственных колебаний, то величина этого
периода определяется формулой B) § 239:
В результате этих колебаний в области контура создаются переменные
электрическое и магнитное поля. Например, если мы рассматриваем
пространство между обкладками конденсатора, то в нем периодически,
с периодом Т, меняются напряженность электрического поля и вели-
величина тока смещения, вследствие чего создается переменное во времени
вихревое магнитное поле. Чтобы распространение электромагнитных
волн играло заметную роль, или, как говорят, чтобы система заметно
излучала, надо создать такие условия, чтобы область, в которой
образуется ток смещения и где отличен от нуля вектор В, была,
по возможности, менее обособленной от окружающего пространства.
\ I 1 /'.''¦''""""^V: ) ! )
а) 6) в)
Рис. 343. Колебательные контуры различной степени открытости.
Если взять плоский конденсатор с малым расстоянием между обклад-
обкладками и самоиндукцию в виде соленоида (рис. 343а) с плотно располо-
расположенными витками, то практически поле будет почти полностью сосре-
сосредоточено между обкладками и внутри соленоида. Для того чтобы
излучение возросло, следует увеличить расстояние между обкладками
конденсатора и осуществить участок цепи, обладающий самоиндукцией
не в виде катушки, а в виде более открытого контура. Увеличивая

484 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ [ГЛ. XXI
расстояние между обкладками и заменяя соленоид линейным проводни-
проводником, мы будем получать контуры типов, изображенных на рис. 343йГ и в.
Очевидно, что емкость и самоиндукция при таком изменении контуров
станут значительно меньше, чем в первоначальной схеме, а следова-
следовательно, станет меньше, чем в первоначальной схеме, и период собствен-
собственных колебаний системы. Колебания в таких контурах поддерживаются
путем подвода энергии к обкладкам конденсатора от какого-либо
источника переменной э. д. с. Чтобы увеличить разность потенциалов,
до которой первоначально заряжаются обкладки, можно в проводнике,
соединяющем обкладки, сделать разрыв — так называемый искровой
промежуток. Благодаря искровому промежутку цепь оказывается
разомкнутой вплоть до того момента, пока разность потенциалов обеих
частей цепи не достигнет значе-
7~® О-т——————— ния пробивного потенциала искро-
/ / вого промежутка. Когда произой-
Рис. 344. Колебательный контур в Дет пробой, в искровом проме-
виде двух стержней, разделенных жутке возникнет искра, соединяю-
иекровым промежутком. щая обе части в один проводящий
контур, в котором и возникнут
электрические колебания. Можно обкладки конденсатора устранить
совсем и сделать колебательную систему из двух металлических
стержней, разделенных искровым промежутком (рис. 344). Такая коле-
колебательная система называется диполе^. Устранение обкладок приведет
к чрезмерному уменьшению емкости; чтобы увеличить емкость, стержни,
образующие колебательную систему, можно снабдить у границ искро-
искрового промежутка сферическими утолщениями. Именно такой колеба-
колебательный контур использовал в своих опытах Герц. На рис. 345 по-
показан колебательный контур Герца, называемы^ вибратором Герца.
Колебания в вибраторе Герца возбуж-
возбуждаются присоединением его ко вторичной
обмотке индукционной катушки.. Колеба-
Колебательный процесс при этом носит следую-
следующий характер. Когда разность потенциа-
потенциалов достигает значительной величины и
в искровом промежутке проскакивает Рис- 345' Вибратор Герца,
искра, в вибраторе устанавливаются за-
затухающие колебания, период которых определяется емкостью и са-
самоиндукцией вибратора. После многократной перезарядки обеих
половин вибратора колебания затухают, так как энергия, полученная
вибратором при его зарядке, расходуется на излучение и на ленц-
джоулево тепло. После этого индуктор вновь заряжает вибратор,
и процесс повторяется. Период заряжения вибратора от индуктора
определяется периодом работы прерывателя индуктора; этот период
значительно больше, чем период колебаний вибратора. В самом диполе
при колебании течет ток высокой частоты (в опытах Герца частота

§ 246] ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 485
порядка 108 гц), который на концах диполя отражается и меняет
направление на обратное: в диполе происходит интерференция бегущей
и отраженной волн, в результате чего в нем устанавливаются стоячие
волны. Это означает, что амплитуда тока в различных местах диполя
имеет разное значение, при этом у концов диполя сила тока имеет
узел, а в середине — пучность. Таким образом, в колеблющемся диполе
в разных сечениях проводника сила тока в один и тот же момент
времени имеет разное значение. Это — пример „не-квазистационарного"
процесса. Согласно теории Максвелла, полный ток, т. е. совокупность
тока проводимости и тока смещения, остается одним и тем же для
всех сечений диполя. Отсюда следует, что в тех местах, где ток
проводимости равен нулю, ток смещения имеет максимальное значение.
При периодическом процессе амплитуда тока смещения наибольшая
в тех местах, где имеет наибольшее зна- ..
чение амплитуда электрической напряжен- >'"' х^%
ности. """ с) 4т "~~ ~Т*
. "Таким образом, амплитуда напряжен- "х^. ___-'''
ности максимальна в точках, где амплитуда
тока проводимости равна нулю. Пучности -»^ г**~"
электрической напряженности расположены gj ^Х^ '
у концов диполя, узел — посередине. • ^,*' "^¦¦^^
Распределение амплитуды силы тока -^-г,''*¦ ~~~~
и амплитуды электрической напряженно- Рис. 346. Распределение ам-
сти вдоль диполя дано на рис. 346. плитудьг силы тока (а) и
Рассмотрим характер электромагнит- амплитуды электрической
*'¦¦-*•*' * г* напряженности (б) вдоль ди-
ного поля, возникающего в пространстве, ПОЛЯ
окружающем диполь.
Схематически диполь можно представить, как два равных и разно-
разноименных заряда -\-q и —q, расстояние / между которыми периоди-
периодически меняется. Как мы видели (§125), электрическое поле неизменного
диполя характеризуется линиями напряженности, которые начинаются
на одном заряде и кончаются на другом.
Не так, вообще говоря, обстоит дело, если заряды, образующие
диполь, движутся. Это происходит из-за того, что поле распростра-
распространяется в пространстве с конечной скоростью и, следовательно, зна-
значение напряженности Е в какой-либо точке, удаленной от диполя, в
определенный момент времени соответствует расположению зарядов
диполя не в тот же, а в более ранний момент времени.
Поясним это графически. Будем исходить из состояния, когда
заряды -f- q и — q, образующие диполь, раздвинуты на некоторое
расстояние I (рис. 347а), и рассмотрим какую-либо линию напряжен-
напряженности, например линию аЬс. По мере сближения зарядов, линия напря-
напряженности изменит форму, так как, например, в точке Ъ значение
напряженности Е соответствует не данному расположению зарядов,
а их расположению в более ранний момент времени. Линия примет
16 С. Фриш и А. Тнморева

486
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XXI
вид, изображенный на рис. 3470. Когда оба заряда совместятся, линия
напряженности будет иметь форму петли (рис. 347«). При дальнейшем
движении зарядов в поле образуется замкнутая линия напряженности
°) б) $) г)
Рис. 347. Линии напряженности около диполя в различные моменты временя.
abet/ (рис. 347г). Возникшее электрическое поле будет, таким обра-
образом, носить вихревой характер.
Образовавшиеся замкнутые линии переменного электрического поля
поведут к возникновению по гипотезе Максвелла замкнутых линий
переменного магнитного поля. Последние, в свою очередь, поведут
к возникновению замкнутых линий электрической напряженности
и т. д. Вокруг колеблющегося ди-
^ поля образуется электромагнитная
волна.
На рис. 348 представлено рас-
распределение линий электрической
напряженности около диполя Герца
в некоторый определенный мо-
момент времени.
Направление и относительную
величину напряженности электри-
электрического и магнитного полей в
волне, возникающей около ди-
диполя, можно вычислить, но можно
их определить и экспериментально.
Электрическое поле можно ис-
исследовать, помещая в разные места,
„электрический резонатор", спо-
способный реагировать на электрическую напряженность. Таким резона-
резонатором может служить прямолинейный провод с искровым промежут-
промежутком ab (рис. 349), где слева от резонатора изображен излучающий
вибратор. Если такой диполь не перпендикулярен линиям напряжен-,
ности электрического поля, то между его концами возникает раз-
разность потенциалов, в результате которой в искровом промежутке
Рис. 348. Линии напряженности около
диполя.

246]
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
487
Рис. 349. Резонатор аЬ.
проскочит искра. Эта искра и будет служить индикатором наличия
электрического поля. Искровой промежуток воспринимающего диполя
должен быть мал, так как разность потенциалов на его концах не-
невелика.
Магнитное поле можно изучать по его индукционному действию,
помещая в различные места поля контур, в котором измеряется ток.
Индукционный ток будет зависеть от
места расположения контура и его
ориентации. Индукционное действие
переменного поля будет наибольшим,
когда вектор магнитной индукции
нормален к плоскости контура, так
как в этом положении быстрее всего
меняется магнитный поток через пло-
плоскость, ограниченную контуром. Относительная величина вектора на-
напряженности в разных местах пропорциональна величине индукцион-
индукционного тока, возникающего в контуре, при условии, что контур ориен-
ориентирован нормально к напряженности магнитного поля.
Такого типа опыты позволяют установить характер электромагнит-
электромагнитного поля, окружающего диполь. Вблизи диполя поле носит сложный
характер, но на расстояниях, ббльших по сравнению с его размерами,
в области, которая носит название вол-
волновой, зоны, поле имеет сравнительно
простой вид.
Примем направление диполя за ось
сферической поверхности (рис. 350) и
проведем по отношению к этой оси на
сфере параллели и меридианы. Тогда
напряженность электрического поля Е
в любой точке направлена по касатель-
касательной к меридиану, напряженность маг-
магнитного поля Н направлена по каса-
касательной к параллели. Величина напря-
женностей магнитного и электрического
полей уменьшается от экватора к по-
полюсу: для точек, расположенных на
продолжении оси диполя, обе напряжен-
напряженности равны нулю; для точек, лежащих в экваториальной области,
напряженности имеют наибольшее значение. В соответствии с этим
и плотность потока излучаемой энергии зависит от угла Ь, который
составляет направление излучения с осью диполя. Эта зависимость
представлена в виде векторной диаграммы на рис. 351. С увеличением
расстояния до диполя (т. е. с увеличением радиуса сферы) напряжен-
напряженности убывают. Существенно заметить, что напряженность электри-
электрического поля Е в данной точке перпендикулярна к напряженности
16*
Рис. 350. Направление векто-
векторов Е и Н в волновой зоне
диполя.

488
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XXI
магнитного поля Н в той же точке, и оба вектора Е и Н перпен-
перпендикулярны к радиусу сферы, т. е. к направлению распространения
волны. Если э.д.с. Ш в диполе меняется по закону:
Ш =
sin
где ш — циклическая частота колебаний, то и напряженность поля Е
в каждой точке пространства меняется периодически с той же часто-
частотой о), но с запозданием по фазе.
Запоздание по фазе тем больше, чем
дальше от диполя расположена рас-
рассматриваемая точка. Это запоздание
вызвано тем, что электромагнитное
поле распространяется с конечной
скоростью v. Таким образом, во-
вокруг диполя возникает сферическая
электромагнитная волна. Если через
г обозначить расстояние от диполя
до данной точки, то колебания вектора Е представятся выражением:
Е„ sin » . I. r\ Е„ sin Ь . о / t r\
smw[t ) = sin 2гс -=г — -т- ,
Г \ 1 К /
Рис. 351. Распределение интенсив-
интенсивности излучения по углам.
?=¦
где Т—период, X — длина волны, a ft — полярный угол (рис. 350).
В направлении распространения электромагнитную волну можно
представить с помощью двух синусоид, лежащих во взаимно перпен-
перпендикулярных плоскостях. Одна из них изображает колебания вектора
электрической напряженности Е, а другая — вектора магнитной напря-
напряженности Н. В пустоте амплитуды колебаний обоих векторов численно
а)
"> Н
б)
Рис. 352. Электромагнитная волна.
равны друг другу (если Е измерено в электростатической, а Н — в
электромагнитной системе единиц); оба вектора колеблются в одина-
одинаковой фазе (рис. 352а). Направление распространения волны можно
определить по правилу буравчика: если рукоятку буравчика повора-
поворачивать в направлении от вектора Е к вектору Н, то направление его
поступательного движения определит направление распространения
волны (рис. 352

§ 247] СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 489
В своих опытах Герц получал электромагнитные волны длиной
около 60 см. Он наблюдал их отражение от металлических зеркал,
преломление в призме из парафина, а также явление интерференции. Все
эти опыты с несомненностью показали, что переменное электромаг-
электромагнитное поле может распространяться в виде волн с конечной скоростью.
§ 247. Скорость распространения электромагнитных волн.
Ввиду большой величины скорости электромагнитных волн, непосред-
непосредственное ее определение на опыте представляет трудное™.
Герц определял эту скорость косвенным путем, измеряя длину
электромагнитной волны X; тогда, зная период Т колебаний, опреде-
определяемый емкостью и самоиндукцией вибратора, Герц вычислял ско-
скорость v из соотношения:
<*>
Для измерения длины волны Герц пользовался стоячими электро-
электромагнитными волнами, получающимися при. интерференции встречных
волн. Получение встречных волн Герц достигал отражением бегущей
волны от металлического зеркала.
Чтобы интенсивность стоячей волны
была заметной, следует производить опыт
с электромагнитной волной, распростра- s
. няющейся вдоль определенного направле-
направления^ Такая „направленность" электромаг-
электромагнитной волны особенно просто осуще- Рис. 353. Получение стря-
ствляется с помощью схемы, показанной чих электромагнитных волн,
на рис. 353.Ц1скровой промежуток диполя
заключается между двумя параллельными проводами, соединенными на
концах, как показано на рисунке. Электромагнитное поле в основном
заключено между проводами, а в проводах возникают токи проводи-
проводимости. Участок провода ab играет роль зеркала, отражающего дошедшие
до него волны. В результате в области, ограниченной проводами, уста-
устанавливаются стоячие волны, положение узлов и пучностей которых
определяется на опыте. Помещая между проводами разрядную трубку
А на подвижных контактах, можно, передвигая её вдоль проводов, на-
наблюдать ее прерывистое свечение. Наибольшее свечение имеет место
в пучностях электрической напряженности*, свечение отсутствует там,
где находятся узлы электрической напряженности. Расстояние между
соседними узлами или между соседними пучностями дает половину
длины волны. Узлы и пучности магнитной напряженности можно обна-
обнаружить, перемещая вдоль проводов рамку, замкнутую на гальванометр,
и наблюдая индукционное действие переменного магнитного поля, как
это было указано выше. Эти наблюдения показывают, что пучности
магнитной напряженности совпадают с узлами электрической напря-
напряженности, и обратно. В месте отражения ab Наблюдаются узел

490 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ [ГЛ. XXI
электрической напряженности и пучность магнитной. Отсюда следует, что
отражение от металлической поверхности колебаний вектора электри-
электрической напряженности происходит с потерей полуволны, в то время
как отражение колебаний вектора магнитной напряженности происхо-
происходит без потери полуволны.
Определив по расстоянию между узлами длину волны X и зная
период колебаний Т, можно найти по формуле A) скорость распро-
распространения электромагнитных волн v. Период колебаний Г, как было
указано, можно вычислить по формуле B) § 239. ^ Но можно период
колебаний определить и эмпирическим путем. Для этого наблюдают
с помощью вращающегося зеркала искру, проскакивающую в искро-
искровом промежутке колебательного контура. При очень быстром враще-
вращении зеркала изображение искры получается прерывистым в, соответ-
соответствии с прерыванием и проскакиваиием искры в течение каждого
периода колебаний. Таким способом скорость распространения электро-
электромагнитных волн в пустоте была найдена равной с = 3-1010 см/сек.
Более точные современные измерения длины стоячих волн, а также
измерения скорости СЕета (свет представляет собой электромагнитные
волны весьма малой длины) дают для с значение:
с = 2,998-1010 см /сек.
Это значение весьма близко совпадает со значением электродинами-
электродинамической постоянной с, определяемой по отношению электромагнитной
и электростатической единиц сил тока. Такое совпадение не случайно:
теория Максвелла (см. мелкий шрифт) показывает, что электромагнит-
электромагнитные волны в пустоте распространяются со скоростью численно равной
электродинамической постоянной с.
Если провода, вдоль которых распространяются электромагнитные
волны, погрузить в диэлектрик, то расстояние между узлами стаячих
волн уменьшается; это указывает на уменьшение скорости распростра-
распространения волн. По теории Максвелла, в веществе скорость распростра-
распространения волн v равна:
* = т?-, B)
У w
где s и A — диэлектрическая постоянная и магнитная проницаемость
вещества.
Разбирая систему уравнений Максвелла, можно показать, что ее ре-
решение носит для определенных условий волновой характер._|Не имея воз-
возможности приводить способ решения уравнений Максвелла, :мы ограничимся
тем, что покажем, что волновое решение удовлетворяет уравнениям Макс-
Максвелла, и выведем заключения о характере волны и скорости ее распростра-
распространения.
\Будем исходить из предположения, что электромагнитное колебание рас-
— -. 2я
пространяетея в виде волны определенного периода Т= — в определенном

§ 247] СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 491
направлении, например вдоль оси ОУ (рис. 352). Для упрощения примем, что
волна плоская, т. е. что во всех точках плоскости, перпендикулярной к на-
направлению распространения колебаний, каждый из векторов Е и Н в один
и тот же момент имеет данное значение. Эти предположения позволяют на-
написать „уравнения волн" для векторов Е и Н в виде:
E = E0cosu (t — ^-), H = H0cos«>ff — ?); C)
здесь Ел и Но обозначают соответственно векторные амплитуды векторов
электрической и магнитной напряженности, v — скорость распространения
электромагнитной волны. Скорость волны v связана с периодом и длиной
волны обычным соотношением
X
Так как мы предположили, что волна плоская, то частные производные от
проекций векторов Е и Н по координатам х и г равны нулю, ибо в данный
момент величины Е и Н меняются только вдоль направления распростране-
распространения колебании, т. е. только вдоль оси OY. Таким образом, из уравнений
Максвелла выпадают все члены, содержащие частные производные по х и z.
Это нам дает системы уравнений Максвелла (стр. 477 и 479) в следующем
виде:
дНг_ t p
ду ~ с ?j
Ё!к _Л
ду. — с
Л н
с "х
D)
E)
дНх_ ь р \
- ~ду~ ~ Vtx> ] ду
Чтобы выполнялись вторые уравнения обеих систем Максвелла, необхо-
необходимо, чтобы производные по времени проекций векторов Ей Н на напра-
направление оси OY равнялись нулю.
Из выражений C) следует, что если производная по времени какой-либо
проекции векторов Е или Н равна все время нулю, то и сама эта проекция
равна нулю. Отсюда вытекает, что:
Еу = Ну = 0. F)
Это нам дает важный результат: векторы Е и Н в плоской электро-
электромагнитной волне расположены, перпендикулярно к направлению распро-
распространения колебаний, электромагнитная волна поперечна.
Предположим для определенности, что вектор Е колеблется, сохраняя
свое направление неизменным; это направление пусть совпадает с направле-
направлением OZ, Такая волна, в которой вектор сохраняет свое направление, назы-
называется плоскополяриэованной. Наше предположение заставляет заключить,
что проекция Е на направление оси ОХ равна нулю, т. е. Ех = 0, откуда:
Ег = Е. G)
Третье уравнение второй системы Максвелла E) при этих условиях дает:
Йг = 0 и, следовательно, /Уг = 0.
Тем самым выполняется и первое уравнение системы D). Таким образом,
вектор магнитной напряженности колеблется параллельно оси ОХ, откуда

492 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ [ГЛ. XXI
Отсюда мы видим, что вектор электрической нппряженности (направлен-
(направленной вдоль оси OZ) и вектор магнитной напряженности (направленной
вдоль оси ОХ) взаимно перпендикулярны.
Используем третье уравнение первой системы D) и первое уравнение
второй системы E), которые теперь примут вид:
~ ду ~~ Т ' ~ду ~~~с '
Чтобы исключить из этих уравнений одно из неизвестных, например /7,
дифференцируем первое уравнение по времени:
ду ~~~с~ ' ¦
подставляя сюда вместо Й его значение из второго уравнения, получим:
с д*Е е е д*Е efi д*Е /0.
A ду1 с оу с2 от8
Очевидно, что, исключив Е, мы получим аналогичное уравнение для Н.
Уравнение (8) есть волновое уравнение (ср. § 111, т. I). Убедимся, что ему
действительно удовлетворяет решение вида:
f-4).. ,
Для этого составляем вторые производные от ? по времени i и по коорди-
координате: ¦ : ¦ • ¦' ¦;¦¦¦¦.-¦¦ ' ¦ ¦ ;¦:¦.....
^ =¦--•?. сов «. р --J]==-
-5~г = г Е» cos <о-It — ~ = ^ Е.
ду3 v3 \ v j wa
Подставив эти значения -^- и -^-$ в F), получим:
соотношение, которому можно всегда удовлетворить^ Таким образом, реше-
решение уравнения (8) представляет собой плоскую волну частоты ш, распро-
распространяющуюся со скоростью г», которая по (9) равна:
¦ Уф
Для пустоты е= 1 и fi = 1, откуда скорость распространения электромагнит-
электромагнитных волн в пустоте численно равна величине с, которая представляет собой
отношение электромагнитной (CGSM) единицы силы тока к электростатиче-
электростатической единице (CGSE).
§ 248. Вектор Умова — Пойнтинга. Распространение электромаг-
электромагнитной волны сопровождается переносом энергии, характеризующей
электромагнитное поле. Выше было показано, что энергия электриче-
электрического и магнитного полей распределена в пространстве с плотностями
^/ и ji//2/8tc. Можно показать, что электромагнитное поле

§ 248] вектор умова—пойнтингл 493
характеризуется суммарной энергией, распределенной с плотностью w:
(Эта формула справедлива как в электростатической системе единиц,
так и в электромагнитной.) Поскольку энергия есть функция напря-
женностей поля, она передается в пространстве со скоростью v рас-
распространения поля. Распространение энергии можно описать, введя
вектор плотности потока электромагнитной энергии. В общем виде и
в применении к упругим волнам вектор плотности потока энергии был
впервые получен профессором Московского университета Н. А. Умо-
вым (см. т. 1, § 112), а для частного случая электромагнитного поля
применён ПойнтингОм.
Если численное значение вектора Умова—Пойнтинга обозначить
через S, то энергия, протекающая за время dt через единицу площадки,
расположенной перпендикулярно к направлению распространения волны,
выразится формулой:
= w-v-dt, A)
где v — скорость распространения волны.
Если векторы Е и Н взаимно перпендикулярны, как это имеет
место для электромагнитной волны в пустоте ив изотропных средах,
то численное значение вектора Умова — Пойнтинга определяется ра-
равенством:
S=^EH, B)
справедливым в смешанной (гауссовой) системе единиц.
По величине и направлению вектор Умова—Пойнтинга S -определяется
векторным произведением векторов Ей Н:
Покажем, что определенный по B) и C) вектор Умова — Пойнтинга удовлег
творяет уравнению A), т. е. действительно является вектором плотности по-
потока энергии. Предположим, как выше, что волна, распространяющаяся вдоль
оси OY, имеет электрический и магнитный векторы направленными соответ-
соответственно по осям OZ и ОХ (рис. 352). Тогда Е = Ег и Н.— Нх и вектор S
направлен по оси ОУ—в направлении распространения волны.
Из первого уравнения системы E) § 247, принимая во внимание фор-
формулу C) того же параграфа, имеем:
— Е = ^ И-
;..... V С ' :
: ¦¦•¦¦.. . . с
подставляя сюда значение v==—=, получим:

494 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ [ГЛ. ХХТ
(Заметим, что Е выражено в электростатических, а Н — в электромагнитных
единицах.) Следовательно, плотность электромагнитной энергии может быть
выражена так:
8я ¦ 4я 4я *
Возьмем произведение численного значения вектора Умова — Пойнтинга
на элемент времени dt:
431 V (Л V Efl • 4ТС
или, подставляя сюда а; по D) и заменяя с/у^ ец через о:
S dt = я> • о • dt,
что совпадает с A). Можно показать, что в общем случае мерой электро-
электромагнитной энергии, втекающей (или вытекающей) в некоторый объем за
время dt, Судет V Sn dt ds, где интеграл -берется по поверхности, ограничи-
'S "
вающей рассматриваемый объем. Таким образом, из этого рассмотрения видно,
что вектор S представляет собой вектор плотности потока электромагнитной
энергии.
§ 249. Радиотехника. Современные способы возбуждения и
регистрации электромагнитных волн. Первоначальный метод Герца
возбуждать электромагнитные волны с помощью колебаний вибратора,
изображенного на рис. 345, позволял получать волны длиной около
1 м. Опыты Герца позволили экспериментально изучить важные свой-
свойства электромагнитных волн: отражение, преломление и т. д. Эти
опыты явились прямым подтверждением электромагнитной природы
света. Впоследствии было сделано много попыток получить волны
меньшей длины. В 1906 г. П. Н. Лебедев, изготовив весьма мини-
миниатюрные вибраторы, получил электромагнитные волны длиной около
3 мм. Позднее A924 г.) М. А. Левитская получила волны длиной 0,2 мм.
Профессоры Московского университета В. К. Аркадьев и А. А. Гла-
Глаголева-Аркадьева разработали оригинальный метод генерирования
коротких электромагнитных волн с помощью искр, проскакивающих
между металлическими опилками, взвешенными в масле. Им удалось
получить волны длиной около 0,1 мм. Эти волны значительно ко-
короче наиболее длинных инфракрасных волн (см. т. III). Одновре-
Одновременно разрабатывались методы получения значительно более длинных
волн.
Опыты с электромагнитными волнами привели знаменитого рус-
русского физика А. С. Попова к открытию метода беспроволочной теле-
телеграфии. В 1895 г. А. С. Попов, использовав свойство металлических
порошков слипаться и тем самым повышать свою электропроводность
под влиянием высокочастотных электрических колебаний, сконструи-
сконструировал первый чувствительный приемник электромагнитных волн.

§ 249]
РАДИОТЕХНИКА
495
На рис. 354 изображена схема приемника А. С. Попова. Егб ос-
основной частью является так называемый когерер АВ, представляю-
представляющий собою стеклянную трубку с металлическими опилками. Когерер
включен в цепь, состоящую из гальванической батареи Р и реле CDE.
Когда электромагнитные волны достигают прибора, электропровод-
электропроводность опилок повышается, и в цепи возникает ток, под влиянием ко-
которого якорь реле D притягивается электромагнитом и замыкает кон-
контакт Е. Благодаря этому оказывается замкнутой вторая цепь^ также
питаемая батареей Р, в которую включен электрический звонок НО.
Молоточек звонка при обратном дви-
движении ударяет о трубку когерера, под
влиянием толчка сопротивление опилок
восстанавливается. Таким образом, при-
приемник автоматически перестает действо-
действовать, как только электромагнитные
волны больше не достигают его.
Годом позже, в марте 1896 г., А. С.
Попов продемонстрировал на заседании
Физико-химического общества передачу
первой в мире радиограммы.' Радио-
Радиограмма передавалась на территории
Петербургского университета из здания
Химического ииституга на расстояние
250 м в здание, где происходило за-
заседание Общесгва. Открытие А. С. Попо-
Поповым беспроволочного телеграфа привело
к величайшему перевороту в технике.
Дальнейшее развитие радиотехники было направлено на то, чтобы
заменить искровые генераторы, дающие возможность получать лишь
затухающие колебания, на генераторы незатухающих колебаний.
Последнее обстоятельство позволило перейти от передачи сигналов
к передаче речи, музыки, изображения. Поэтому в двадцатых годах
нынешнего столетия радиотехника перешла к генерированию с по-
помощью электронных ламп.
Схема такого рода генератора описана в § 241. Для целей радио-
радиопередачи колебательный контур индуктивно связывается с антенной.
В самом простейшем виде антенна представляет собой прямой верти-
вертикальный провод, заземленный с нижнего конца. Длина провода под-
подбирается так, чтобы в нем установилась стоячая волна с пучностью
силы тока на его нижнем конце и узлом силы тока на верхнем конце.
Такая антенна аналогична половине вибратора Герца и обеспечивает
излучение колебаний в виде возникающих вокруг нее электромагнит-
электромагнитных волн (рис. 355).
Обнаружение электромагнитных волн производится с помощью при-
приемной антенны и усилительной системы. Колебательный контур LC
Рис. 354. Схема приемника
А. С. Попова.

496
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XXI
\Ток
такой системы (рис. 356) индуктивно связан с антенной (на рисунке
антенна не изображена). В контуре под влиянием электромагнитной
волны возникают вынужденные колебания. Их амплитуда будет наи-
наибольшей при условии резонанса, однако все же она, вообще говоря,
слишком мала для того, чтобы можно было не-
непосредственно измерить возникающие токи.
Чтобы их измерение стало возможным, их уси-
усиливают с помощью специальной усилительной
схемы. В простейшем виде, изображенном на
рис. 356, эта схема состоит из одной трех-
\« электродной лампы. Колебательный контур ин-
1 ШЯ дуктивно связывается с сеткой лампы 5. При
возникновении электрических колебаний в кон-
контуре LC „сеточное напряжение' (см. § 241)
меняется, и, следовательно, меняется сила тока,
Рис 355 Свободные пРох°ДяЩего чеРез лампУ от батареи Я,. Условия
колебания простей- работы лампы подбирают таким образом, чтобы
шей вертикальной ан- она работала на прямолинейном участке харак-
тенны. теристики (рис. 357). Если эта прямолинейная
часть идет кверху достаточно круто, то неболь-
небольшому изменению сеточного напряжения Д1/4 соответствует значитель-
значительное изменение анодного тока Д/д. Таким образом, слабые колебания
в резонирующем контуре LC поведут к гораздо ббльшим колебаниям
силы анодного тока в цепи лампы. В рассмотренной усилительной
схеме источником энергии в цепи лампы служит батарея В\\ колеба-
С
о
о
Рис. 356. Схема усиления электромагнитных
колебаний.
Рис. 357. Характеристика
трехэлектродиой лампы.
ния контура LC, вызванные падающей электромагнитной волной, лишь
воздействуют на лампу и вызывают изменения силы тока от батареи
В\. Колебания анодного тока могут быть с помощью трансформатора
Т переданы на регистрирующую аппаратуру или на сетку второй
лампы для вторичного усиления.

§ 249]
РАДИОТЕХНИКА
497
Для передачи звуков электромагнитные колебания модулируются,
т. е. их амплитуда меняется в такт со звуковыми колебаниями. Тогда
огибающая высокочастотных электромагнитных колебаний предста-
представляет собой колебания с звуковыми частотами (рис. 358). Эти изме-
изменения амплитуды и позволяют
на приемной станции с помощью
громкоговорителя снова полу-
получить звуки.
Простейшая схема модули-
модулирования представлена на
рис. 359. Здесь изображена часть Рис 358. Огибающая высокочастотных
генерирующей схемы,соответст- колебаний,
вующей рис. 338, и справа ¦ - '
антенна А, с которой генерирующая часть связана индуктивно. В верхней
части рисунка М означает микрофон. Колебания напряжения, возни-
возникающие в микрофоне, усиливаются в трансформаторе Т и подаются
к пластинам сеточного конденсатора Cs. Высокочастотные колеба-
колебания,, возникающие в катушку Lu легко проходят через конденса-
конденсатор Cs и подаются на сетку
\л/ лампы S. Вместе с тем, из-за
большой индуктивности обмот-
обмотки трансформатора Т они не
. ответвляются в цепь микрофона.
Таким образом, генерирующая
система работает так же, как
если бы микрофон к ней не под-
подключался. Колебания, возни-
возникающие в микрофоне, имеют
звуковую частоту, т. е. гораздо
более низкую, чем частота, воз-
возбуждаемая ламповым генерато-
генератором. Поэтому конденсатор Cs
I представляет для токов от
-г "^ трансформатора Т большее со-
Рис. 359. Схема модулирования высо- противление, чем для токов от
кочастртных колебаний. генератора. В результате, на
: пластинах конденсатора Cs воз-
возникает лишь добавочная разность потенциалов, которая меняет сеточ-
сеточное напряжение Vs, чем и достигается модулирование колебаний.
Общая схема передающей и приемной радиостанций представлена
на рис. 360. На передающей станции генератор высокочастотных
колебаний Г дает гармонические незатухающие колебания опреде-
определенной частоты ш. Эти колебания модулируются с помощью модуля-
модулятора М, в соответствии со звуковыми колебаниями, поступающими
от микрофона МФ. Затем колебания усиливаются .усилительной
о
о
о
о
о
о
о
о
о

498
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XXI
ламповой системой yt и подводятся с помощью индуктивной связи
к антенне А\, которая излучает электромагнитные волны. Достигнув
антенны Л9 приемной станции, волны вызывают в ней вынужденные
колебания. Антенна Ла связана индуктивно с резонансным контуром
РК. Возникающие в резонансном контуре вынужденные колебания
усиливаются ламповой усилительной схемой Уа. Усиленные колебания
выпрямляются с помощью выпрямителя (детектора) Д; выпрямленный
ток /0, воспроизводящий по своей зависимости от времени ток в
микрофоне передающей станции, подается после низкочастотного
усилителя (не изображенного на схеме) на громкоговоритель Т.
1
м
F)МФ
Рис. 360. Схема передающей и принимающей радиостанций.
Распространение радиоволн происходит не в свободном простран-
пространстве, а вдоль земной поверхности, которая является хорошим провод-
проводником. Поэтому вокруг антенны отправляющей станции не образуется
сферических волн, аналогичных рассмотренным нами в § 246. Волны,
излучаемые антенной, испытывают направляющее действие поверхно-
поверхности Земли и, таким образом, огибают земной шар. Задача о распро-
распространении волн вдоль поверхности Земли была полностью решена
акад. В. :А. Фоком. При распространении коротких электромагнитных
волн играют также большую роль высокие слои атмосферы, где при-
присутствуют в большом числе ионы (образующиеся, главным образом,
под действием ультрафиолетового излучения Солнца). Эта часть атмо-
атмосферы носит название ионосферы. Короткие электромагнитные волны
отражаются от ионосферы, что сильно влияет на характер их рас-
распространения вдоль поверхности земного шара.
В настоящее время у нас в Советском Союзе, наряду с радио-
радиотелеграфией, радиотелефонией и телевидением, широко разрабатыва-
разрабатываются и другие применения электромагнитных волн. Существенным
успехом в развитии радиотехники явился переход к коротким элек-
электромагнитным волнам (метровым и сантиметровым), позволяющим по-
получать с помощью антенн специальной формы направленные радио-
радиосигналы.
Электромагнитные волны, встречая на своем пути различные пре-
преграды, могут частично задерживаться ими, а частично отражаться и

§249] радиотехника 499
рассеиваться от них. А. С. Попов еще в 1897 г. при опытах по
радиотелеграфированию на море обнаружил, что корабль оказывает
экранирующее действие, за ним образуется „радиотень". На явлении
отражения радиоволн от металлических тел основан способ обнаруже-
обнаружения предметов на больших расстояниях и определения их положения.
Этот способ, получивший название радиолокации, впервые в СССР
был разработан Д. Н. Рожанским и Ю. Б. Кобзаревым. Сущность
этого метода сводится к следующему: с помощью генератора и спе-
специальной системы антенн получается направленный пучок радиоволн;
после отражения от объекта» (корабль, самолет) волны достигают при-
приемного устройств» и регистрируются. Для того чтобы отправление
сигналов не мешало их приему, сигналы посылаются прерывистыми.
Каждый сигнал длится всего несколько миллионнйх далей секунды,
перерывы же между сигналами в десятки или сотни раз больше.
Прием отраженных волн производится в перерывы между сигналами.
По времени между отправкой и возвращением отраженного сигнала
определяется расстояние до наблюдаемого объекта* Устройства, поз-
позволяющие определять таким образом положение объектов с помощью
радиосигналов, получили название радаров.
Советскими учеными Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси
разработан метод весьма тонного определения расстояний с помощью
радиосигналов, основанный на определении сдвига фаз между отра-
отраженными волнами.
Область применения радиотехнических методов развивается в
настоящее время весьма быстро и в этом развитии советским ученым
принадлежит ведущее место.
На коротких волнах поддерживается связь не только со спутни-
спутниками, но и с космическими ракетами до расстояний в несколько
миллионов километров.

ПРИЛОЖЕНИЕ
СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ВЕЛИЧИН
В различных частях курса мы вводили те или другие единицы
для измерения электрических и магнитных величин. Резюмируем все
сказанное.
В физике принята CGS-система, которая устанавливается следую-
следующим образом (см. § 3 т. I). В качестве основных единиц выбираются
единицы длины — сантиметр, массы — грамм и времени — секунда;
единицы для всех остальных физических величин устанавливаются на
основании их закономерной связи с длиной, массой и временем, при-
причем в соответственных формулах коэффициенты пропорциональности
полагаются равными единице. Однако этот способ неоднозначен. Нами
уже было отмечено (т. I, § 32), что, например, единица силы может
быть установлена двумя способами: 1) на основании второго закона
Ньютона f=mw, в котором коэффициент пропорциональности поло-
положен равным единице; 2) на основании закона всемирного тяготения
/==—— , в котором также коэффициент пропорциональности пола-
полагается равным единице. В первом случае мы обязаны писать закон
всемирного тяготения в виде:
f р,
/—«
где „гравитационная постоянная" ft = 6,685 • 10~8 см3/г • секй. Во
втором случае мы обязаны писать второй закон Ньютона в виде:
/= k'mw,
где „динамическая постоянная" k'= 1,496 • 107 г • сек*/см3.
Таким образом, возможно построение двух CGS-систем измерения
механических величин: 1) „динамической" и 2) „гравитационной".
Как известно, обычно употребляется лишь динамическая система.
Аналогично в учении об электромагнитных явлениях мы строим
две CGS-системы, основываясь либо на законах электростатических
взаимодействий зарядов (СС5?-система), либо — магнитных взаимо-
взаимодействий токов (CGS/И-система).

СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ВЕЛИЧИН 601
1. Абсолютная электростатическая с и с тем a (CGSE).
В этой системе единица количества электричества q устанавливается
из закона Кулона, отнесенного к пустоте, в котором коэффициент
пропорциональности полагается равным единице:
/=^-. 0)
Сила /в формуле A) измеряется в динах, расстояние г — в санти-
сантиметрах (подробнее см. стр. 17). Для диэлектриков:
где е — диэлектрическая постоянная — представляет собой число
отвлеченное [для пустоты, по A), е=1, для прочих сред е^>1].
Исходя из CGSE-единицы количества электричества, устанавли-
устанавливают CGSf-единицы напряженности поля, разности потенциалов,
сопротивления и т. д.
Для установления в этой системе единицы для измерения напря-
напряженности магнитного поля исходим из следующего соотношения:
напряженность магнитного поля Н на расстоянии г от бесконечно
длинного прямого тока полагается равной (см. стр. 279):
Н = Цг. C)
где /—сила тока.
Измеряя / в CGSE-единицах силы тока, установим CGSf-единицу
напряженности магнитного поля.
Момент силы М, действующей в магнитном поле напряженности
Н на плоский контур площадью Si, по которому течет ток силой 1и
по сказанному в § 191, пропорционален произведению .///jSj:
M~HIiS!.
В CGS-системе М измеряется в динах X сантиметры, St — в квад-
квадратных сантиметрах; для Н и 1Х мы выбрали CGSE-единицы. Таким
образом, оказывается, что мы уже выбрали единицы измерения для
всех четырех величин М, Slt.H и /,, откуда следует, что, переходя
к равенству между М и произведением Я/iS,, мы уже не можем
положить коэффициент пропорциональности равным единице, а обя-
обязаны вводить некоторый коэффициент, который полагаем равным */с4:
"М.^+гЩ&у D)
численное значение коэффициента с может быть определено из опыта.
По измерениям величина с = 2,998 • 1010 см/сек; она носит название
электродинамической постоянной. Как мы видели, величина с по
численному значению и по размерности совпадает со скоростью
распространения электромагнитного поля в пустоте.

502 приложение
Единицу измерения для магнитной индукции В в CGSf-системе'
устанавливают, определяя момент сил М, действующий на контур
с током, соотношением:
M = BI1St. E)
Сравнивая D) и E), получаем, что для пустоты:
В = ?Н, F)
Для вещества полагаем:
В = ^Н. Fа)
Величина ^ обладает размерностью ?"а7а и ее численное значение
в с* раз меньше обычных значений магнитной проницаемости. Из фор-
формул F) и Fа) видно, что в CG^-системе векторы В и Н обладают
разной размерностью.
Выражение Fа) можно сохранить и для пустоты, написав:
В = рйН. F6)
Сравнение с формулой F) показывает, что при этом должно быть
выполнено равенство: [*•„ = —. Величину \ia иногда называют „маг-
„магнитная проницаемость пустоты', хотя такое название не имеет ни-
никакого физического смысла. Мы видели (§ 201), что магнитная про-
проницаемость веществ р. связана с их способностью намагничиваться,
которая, в свою очередь, обусловлена наличием магнитных моментов
у атомов и молекул (постоянных или индуцированных). Под „пустотой"
мы подразумевали (ср. со сказанным в § 152) часть пространства,
в котором имеется лишь электромагнитное поле, т. е. особый вид
материи, не состоящий из атомов и молекул. Электромагнитное поле
обладает определенными физическими свойствами, в том числе свой-
свойством передавать электромагнитное возмущение со скоростью, равной с.
Таким образом, электродинамическая постоянная с выражает опре-
определенные объективные свойства электромагнитного поля, а не веще-
вещества, состоящего из атомов и молекул. Поэтому величина (io=^-j- не
имеет никакой аналогии с магнитной проницаемостью р вещества.
CGffi-единицы измерения магнитных величин употребляются редко.
2. Абсолютная электромагнитная система (CQSM).
В этой системе единица силы тока / устанавливается на основании
выражения для силы взаимодействия двух прямых параллельных бес-
бесконечно длинных проводов с токами при условии, что между ними
находится пусто-ia (см. § 196):
1=Щ*1, G)
где f—счллг, действующая на участок длины / одного из токов;
г — расстояние между токами. Единица напряженности магнитного

СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ВЕЛИЧИН 503
поля Н устанавливается через CGAM-единицу силы тока на основа-
основании соотношения C). Эта единица напряженности магнитного поля
носит название эрстед.
Единица магнитной индукции В определяется соотношением
где магнитная проницаемость ц. есть величина безразмерная и указы-
указывает, во сколько раз возрастают силы взаимодействия между токами
при погружении проводов, по которым они текут, в данное веще-
вещество. CGSM-етница магнитной индукции В носи г название гаусс.
Гаусс по величине и размерности совпадает с эрстедом. С05Ж-еди-
ница потока магнитной индукции Ф, устанавливаемая с помощью
соотношения
-^ & = BnS,
носит название максвелл.
Единица количества электричества q устанавливается в CGSM-
системе через силу тока / на основании соотношения q = It. Таким
образом, единица количества электричества оказывается выбранной
независимо от электростатических взаимодействий зарядов. Поэтому
оказывается, что в законе Кулона A) все три входящие в него
физические величины f,qnr уже имеют единицы измерения. Сле-
Следовательно, в закон Кулона должен быть введен коэффициент про-
пропорциональности, обладающий определенным численным значением и
определенной размерностью. Значение этого коэффициента легко
подсчитать: в CCSVW-системе единица измерения заряда q в с раз
больше единицы в СО^-системе, единицы же измерения силы / и
расстояния г те же самые. Поэтому, чтобы значение силы /получилось то
же, что и при пользовании CGSE- системой, надо ввести в правую
часть закона Кулона множитель, равный с'г:
/=*<-$: • (8)
Для диэлектриков в СбАМ-системе закон Кулона пишется, как и
в CGSE-системе, в виде:
f=T-*&-. (8a)
При этом диэлектрическая постоянная е будет иметь размерность
L~s7~a и ее численные значения будут в с1 раз меньше численных зна-
значений е в СС^-системе. Выражение (8а) можно в СвбТИ-системе
формально сохранить и для пустоты:
fт0 •
Из сравнения этой формулы с (8) видно, что при этом должно
выполняться равенство: eo=-j. Величину е0 иногда называют

504 ПРИЛОЖЕНИЕ
.диэлектрической постоянной пустоты". Это название так же не
имеет физического смысла, как и указанное выше название „магнитной
проницаемости пустоты" для величины jjl0 = -j- в системе CGSE.
Напряженность электрического поля определяется в CGSM-cuc-
теме равенством:
E=f~, (9)
откуда для размерности напряженности Е находим: [Е] = j^j =
= Ll/*Ml/*T~*. Единица электростатической напряженности Е в
CGSM-системе в с раз меньше единицы электростатической напря-
напряженности в CGSf-системе.
Электростатическая индукция D определяется равенством:
?> = е?. A0)
Так как е в CGSM-системе величина размерная, то размерность
вектора электростатической индукции D в CGSM-системе отличается
от размерности вектора электростатической напряженности. Действи-
Действительно, |D]=[s]-[?'] = L-'/2.AI1/».
Численное значение электростатической индукции D в пустоте в
С&?Л1-системе в с4 раз меньше значения напряженности поля Е.
3. Абсолютнаягауссова система. В этой системе еди-
единицы для всех электрических величин совпадают с CGSfi-единицами,
а единицы для магнитных величин совпадают с CG-SAf-единицами.
Диэлектрическая постоянная е и магнитная проницаемость (а в этой
системе являются величинами, безразмерными, причем для пустоты
?= 1 И ¦ ft= 1.
При пользовании гауссовой системой единиц во все формулы, со-
содержащие одновременно электрические и магнитные величины, войдут
численные коэффициенты, выражаемые через электродинамическую
постоянную с, например закон Био — Савара — Лапласа примет вид:
„ 1 IM sina
п= ~
с. ¦/•*¦'
выражение для силы, действующей на элемент тока Д/ в магнитном
поле, примет вид:
A/==i/Bsina-A/.
Закон индукции Фарадея примет вид:
„ \ йФ
Уравнения Максвелла в гауссовой системе выражаются уравнениями
Dа) и (8а) § 244.

СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ВЕЛИЧИН
605
В табл. XX приведены размерности основных электрических маг-
магнитных величин в CGSE-, CGSM* и гауссовой системах, в
табл. XXI — отношения единиц в этих трех системах.
Таблица XX
Размерности основных электрических и магнитных величин
в абсолютных системах единиц
Величина
Диэлектрическая постоянная е
Электрический заряд q
Напряженность электрическо-
электрического поля Е
Индукция электрического по-
поля D
Сопротивление R
Ёмкость С
Магнитная проницаемость у.. .
Напряженность магнитного
поля И
Индукция магнитного поля В
Поток магнитной индукции Ф
Кюэффициент самоиндукции L
Системы
CGSE
безразмерна
L~1/3M1/siT~l
L *l-'t
L
L~lt
CGSM
L*^aMl^T~a
безразмерна
L
гауссова
безразмерна
L
безразмерна
L'l^M l/*J~i
I
4. Международная система единиц. Система единиц,
принятая Международной конференцией по мерам и весам в 1960 г.,
основывается на следующих четырех основных единицах: метр, кило-
килограмм, секунда, ампер (см. т. 1). В этой системе за единицу силы
принят 1 ньютон=\0г дин, за единицу работы— 1 джоуль = Ю1 эрг
и за единицу мощности — 1 ватт = 107 эрг/сек. Единица силы тока —
ампер—-устанавливается по силе взаимодействия между параллель-
параллельными бесконечно длинными проводами (см. § 196): ампер равен силе
тока, который, протекая по двум параллельным бесконечно длинным
проводам, расположенным на расстоянии 1 м друг от друга в пустоте,
вызывает между ними силу взаимодействия, равную 1-Ю7 ньютонов
на каждый метр длины. В силу этого определения 1 а = 0,1 CGSM-
-ед. силы тока. Остальные электрические единицы вводятся на осно-
основании соотношений:
1 ампер X ^ сек = 1 кулон,
1 ампер X 1 вольт = 1 ватт,
1 ампер X ! ом = 1 вольт,
1 фарада X 1 вольт = 1 кулон.

506
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица XXI
Отношения единиц в абсолютных системах
с = 2,998 • 10I0SE3- 1010
Величина
Диэлектрическая постоянная е
Электрический заряд q
Напряженность электрическо-
электрического поля Е
Индукция электрического по-
поля D. . .
Потенциал V
Сила тока /
Сопротивление Я.........
Емкость С
Магнитная проницаемость ц. .
Напряженность магнитного
поля И
Индукция магнитного поля В
Поток магнитной индукции Ф
Коэффициент самоиндукции L
1 CGSE-еан-
ница равна
CGSM -еди-
-единицам
Чс3
Чс
с
Чс
с
Чс
с*
ЧС
С
Чс
с
с
с*
1 гауссова единица равна:
CGSM-
единицам
ЧС .
Чс
с
Чс
с
Чс
с»
ЧС
1
1
1
1
1
CGSE-
единицам
1
1
1
1
1
1
1
1
ЧС
с
Чс
¦ Чс
ЧС
Магнитные единицы вводятся на основании закона индукции,
а именно: за единицу магнитного потока Ф принимается поток через
замкнутый контур с сопротивлением в 1 ом, при убывании которого
до нуля в контуре протекает под влиянием э.д.с. индукции количество
электричества в 1 к. Эта единица потока называется вебер. Как легко
подсчитать, 1 вб= 10е мкс.
Единица магнитной индукции В устанавливается на основании со-
соотношения:
Я — Ф
откуда за единицу магнитной индукции принимается индукция в той
области пространства, где однородный магнитный поток в I вб пере-
пересекает нормальную к нему площадку в 1 м*. Эта единица магнитной
индукции называется тесла. Между этой единицей магнитной индук-
индукции и гауссом имеет место соотношение:
1 тесла = 1 вб/м* = 10* гс.
В международной системе единиц используется так называемая
„рациональная" система записи формул. Она основана на таком выборе
единиц измерения, чтобы уравнения Максвелла D6) и Eа) (стр. 478)

СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ВЕЛИЧИН 507
и (86) и (9а) (стр. 480) приняли вид:
rot H = i-|-D, rot E = —В,
div D = p, div B = 0.
Связь между векторами D и Е и В и Н дается соответственно фор-
формулами:
D = eE, B = fiH.
При этом законы Кулона и Био — Савара —г- Лапласа принимают
соответственно вид: .
/A/ sin а
Для пустоты закон Кулона A1) можно переписать следующим
образом:
J
_?il_
4neors '
где е0—.диэлектрическая постоянная пустоты". Как легко подсчи-
подсчитать, .диэлектрическая постоянная пустоты" е0 в международной
системе получается величиной размерной и равной:
1
10-' '
где с — скорость распространения электромагнитных волн в пустоте,
выраженная в м/сек, т. е. с = 2,998- 108 м/сек..-
Из закона Био — Савара — Лапласа, написанного в форме A2),
вытекает, что напряженность магнитного поля Н на расстоянии г ох
прямого длинного провода равна:
На основании этого равенства устанавливается указанная на стр. 293
единица измерения напряженности магнитного поля .ампер на метр",
равная напряженности, возникающей на расстоянии г= -к— м от
прямого длинного провода, по которому течет ток в один ампер.
Из сравнения единиц для В и Н вытекает, что в практической
системе .магнитная проницаемость пустоты" р.о = 4-тс • 10~7 (безраз-
(безразмерное число).
Международная система единиц совпадает с принятой в последнее
время в СССР „практической системой", которая обозначалась как
М/С^Ла. Единицы измерения основных электрических и магнит-

508
ПРИЛОЖЕНИЕ
ных величин в международной системе приведены в табл. XXII. Раз-
Размерности величин в международной системе совпадают с размерностя-
размерностями в СС&М-системе и все электрические и магнитные единицы меж-
международной системы являются кратными от единиц ОО&И-системы.
Таблица XXII
MKSA-снстемя
Величина
Диэлектрическая постоян-
постоянная е
Электрический заряд q......
Напряженность электриче-
электрического поля Е .........
Индукция электрического по-
поля D
Потенциал V
Сила тока /
Сопротивление R'........
Емкость С
Магнитная проницаемость ц
Напряженность магнитного
поля Н
Индукция магнитного поля В
Поток магнитной индукции Ф
Коэффициент самоиндукции L
Название
кулон
вольт на
метр
кулон на
кв. метр
вольт
ампер
ом
фарада
ампер на
метр
тесла
вебер
генри
единиц
Размерность
OW
LT~\
безразмерна
L-4'rfb t-1
L
1 jMATSyi-единица
равна
CC/SM-единицам
4jcl0-7^l,26.10-e
to-1-'
4л 10-^1,26 ,
ю-1
10s
10-» .
'°' ~ 7,96-10»
4tc ¦ ¦ . . .
4itl0-'^]126.I0-a
101
108
10*

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аккумулятор 222
— железоникелевый 224
— свинцовый 223
Акулов Н. С. 325
ампер 120, 508
— международный 508
Ампера закон 288
— ток 306
ампервиток 353
амперметр 137, 362
— тепловой 137
ампер-час 224
амплитуда силы тока 435, 441
— электродвижущей силы 433
анион 207
анод 195
антенна 495
Аркадьев В. К. 325, 494
Аркадьева-Глаголева А. А. 494
астатическая, система магнитов 361
Барьер потенциальный 177
батарея 171
Био—Саварй—Лапласа закон 277
Боголюбов И. Н. 125
Богуславского—Ленгмюра формула
буравчика правило 271, 288
Валентность 208
ваттметр 364
Верцнер В. Н. 399
весы крутильные 15
Видемана—Франца закон 149
вихрь вектора магнитной напряжен-
напряженности 478
электрической напряженности
480
возбуждение колебаний 461
волн электромагнитных возбуждение
494
регистрация 494
волна плоскополяризованная 491
— электромагнитная 482
вольт 40
вольт-амперная характеристика 265
Вольта ряд 175
вольтметр 137
г-электростатический 107
By а Б. М.Щ
выпрямитель германиевый 451
— ртутный 451
— селеновый 451
— твердый 189
Гальванометр 360
— баллистический 409
— зеркальный 363
— Струнный 363
— тепловой 135
гальванопластика 225
генератор переменного тока 446
— постоянного тока 447
генри 417
Герца вибратор 484
гистерезис 99, 322
Гидратирование ионов 207
градиент напряжённости магнитного
поля 298
— потенциала электрического поля 46
Давыдов Б. И. 193
Даниэля элемент 156, 183, 222
движение электрона в магнитном по-
поле 382, 385, 368
в электрическом поле 384, 386
Дехтяр М. В. 325
диамагнитное тело 306
диаметр эффективный 238, 253
дивергенция вектора магнитной ин-
индукции 480
электрической индукции 478
напряженности 49
динамомашина 446
— с параллельным возбуждением 446
— с последовательным возбуждением
446
диполь 20, 55

510
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
диссоциация 210
— электрическая 210
диэлектрик 12, 13, 73
диэлектрик дипольный 96
диэлектрическая постоянная 70
длина свободного пути электрона
249
— средняя 250
Доливо-Добровольский М. О. 8, 456
Дорфман Я- Г. 326
дуга Петрова 265
Единиц система абсолютная гауссова
282, 507
международная 508
электромагнитная (CGSM)
282, 285, 505
электростатическая (CGSE)
283, 504
единица абсолютная v электромагнит-
электромагнитная (CGSM) индукции магнитной
306
количества электричества 286
напряженности магнитной 286
потока индукции 233
самоиндукции 417
силы тока 285
электродвижущей силы 405
электростатическая (CGSE) за-
заряда 17
индукции магнитной 505
напряженности магнитной 286,
504
напряженности электрической
19
электростатическая разности по-
потенциалов 40
силы тока 120
сопротивления 121
электроемкости 59
—практическая заряда 17
индукции магнитной 505
коэффициента взаимной индук-
индукции 422
напряженности магнитной 283,504
разности потенциалов 40
силы тока 120
сопротивления 121
электроемкости 59
емкость 58
— аккумулятора 224
— конденсатора 60
Запирающий слой 125
заряд свободный 76
— связанный 76
заряд точечный 15
— удельный иона 388
-электрона 382
— электрический 9
— электрона 111
защита магнитная 338
— электростатическая 52
зона проводимости 191
зонная теория проводимости 191
Изолятор 12
изотоп 390
импеданс 435
индукционная катушка 450
индукция взаимная 422
— магнитная 308
— электромагнитная 400
— электростатическая 87
ион 13
ионизационный потенциал 254, 255
ионизация 254
ионосфера 498
Иоффе А. Ф. 193, 311, 374
искра 265
искровой промежуток 266
Капица П. Л. 311
катион 207
катод 195
кенотрон 451
Кирхгофа закон второй 166
для магнитной цепи 357
первый 165
колебания вынужденные 461
— незатухающие 461, 465
— резонансные 461
компенсации метод 173
конденсатор 60
— переменной емкости 106
— плоский 60
— со слоями диэлектрика 104
— с охранным кольцом 108
— сферический 105
— цилиндрический 105
— электролитический 225
конденсаторов соединение параллель-
параллельное 103
последовательное 102
контактная разность потенциалов 174,
контур тока 267
в неоднородном магнитном поле
296
в однородном магнитном поле
293 i
коэффициент взаимной индукции 422

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
513
сила тока эффективная 437
силы взаимодействия между токами
267, 290
— действующие на ток в магнитном
поле 287
скин-эффект 431
скорость света 490, 504, 510
— электромагнитных волн 489, 492
— электронов 243
Славянов Н. Г. 8, 265
слой запорный 125, 193
соединение проводников параллель-
параллельное 134
последовательное 133
соленоид 271
сольват 215
сопротивление 121, 139
— внешнее 156
— внутреннее 156
— индуктивное 435
— магнитной цепи 352
— полное 435
— удельное 121
сопротивления зависимость от темпе-
температуры 122
сохранение зарядов 128
спин 313
спонтанное намагничение 325
Столетов А. Г. 320
столкновение электронов с атомами и
молекулами 253
Стюарта и Толмена опыт 144
схема звезды 154
— треугольника 454
Тангенс-гальванометр 360 Д
температура электронная 364
термобатарея 187
термопара 185
термостолбик 186
термоэлектрическое явление 184
термоэлектродвижущая сила 184
термоэлемент 186
— вакуумный 186
тесла 509
ток анодный 195
— индукционный 402
— квазистационарный 432
— конвекционный 372
— короткого замыкания 162
— молекулярный 306
— насыщения 196
— переменный 432, 437, 439, 451
— постоянный 119
— смещения 470
— трехфазный 453
ток холостой 449
— электрический в газах 227
— электронный в вакууме 195,242, 245
тока линия 129
— плотность 126
тороид 302
трансформатор 448
Трапезникова О. Н. 226
Трутона и Нобля опыт 118, 377
Удельный заряд положительных ио-
ионов 388
удельный заряд электрона 382
Уитстона мостик 168
Умова — Пойнтинга вектор 493
Усагин И. Ф. 448
Усилительная лампа 496
Фазы сдвиг 434, 438, 442, 464
фарада 59
Фарадея закон индукции 404
электролиза второй 208
-первый 207
— темное пространство 262
— цилиндр 51
— число 209
феррит 326
ферромагнетизм 318, 324
ферромагнитные тела 306
флуктуации силы тока 247
флюксметр 410
Фок В. А. 226, 498
фокус пучка электронов 397
Франка и Герца опыт 256
Френкель #. И. 326
Фуко токи 430
Химический эквивалент 208
Холла постоянная 380
— эффект 379
Цепь магнитная 351
— переменного тока 432
— постоянного тока 154
циркуляция вектора напряженности
электрической 42
магнитной 300
сторонних сил 160
Шальникоа А. И. 124
Шоттки 193
Штерна и Герлаха опыт 311
шунт 136
Щукарев С. А. 226
Эйнштейна и Де-Гааза опыт 310
Эйхенвальд А. А. 373

512
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
осциллограф катодный 393
относительности теория 377
Падение катодное 263
— потенциала нормальное 263
Папалекси Н. Д. .144, 499
парамагнитное тело 306
Пельтье явление 187
период колебательного разряда 458,460
пермаллой 323
Петров В. В. 265
плазма 264
Планка постоянная 244
плотность магнитной энергии 427
— тока 125
— электрических зарядов объемная 30
поверхностная 30
— электрической энергии 67
поверхности уровня потенциала 42
поверхностный эффект 431
пограничные условия для вектора
магнитной индукции 336, 337
напряженности 337
электростатической индук-
индукции 90
— — электростатической напря-
напряженности 89
подвижность ионов 216; 232, 235, 239
— электронов 257
позитрон 12 :
поле магнитное 267, 271
— вращающееся 455
движущихся зарядов 370, 372
постоянного магнита 327
соленоида 281'
токов 275, 282
— электромагнитное 47J
— электростатическое 115
полупроводник 13, 125
полюс магнитный 330
поляризации вектор 75
— коэффициент 72 .' . ,
поляризация диэлектрика 14, 72
,-г молярная 98
— электродов 219
Попов А. С. 495, 499
потенциал 37
— выделения 221
— ионизационный 254
— системы точечных зарядов 39
— точечного заряда 38
— электростатического поля 37, 42
потенциала градиент 46
—измерение 107
— падение 158
— связь С объемным зарядом 49
потенциала уровень 42
потенциалов разность 40
поток вектора индукции 88
магнитной индукции 333
через замкнутую поверх-
поверхность 333
— напряженности ,26, 274
примесь акцепторная 192
—донорная 192
пробой диэлектрика 14, 226
проводимость 122
— несамостоятельная 228, 230
— полупроводников 188
— самостоятельная 228, 261
— твердых тел 225
— электролитическая 204, 215, 225.
проводник 12
— второго рода 12
— первого рода 12
проводники в электростатическом по-
поле 49
проницаемость магнитная 315
пучок электронный 242, 374
пьезоэлектрическая, постоянная 101
пьезоэлектрический эффект 100 .
Работа вращения диска 350
— выхода- 177 ¦¦¦¦¦¦¦¦; .. ¦
— на замкнутом : пути 39
—перемагничения 427
— перемещения контура 346 '
— поворота рамки 350
— сил электростатического поля' 41
радар 499 . . ;
радиолокация 499
разряд апериодический 461 :
— колебательный 457 ;
— тлеющий 262 ' г ; ?
реакция вторичная 206 ; . : >
резонанс 442, 462
резонансная частота 472
рекомбинация 230
реостат 139
— пусковой 448
Рихман Г. В. 10 ¦
Розинг Б. Л. 324
Самоиндукция 415
сверхпроводимость 123, 133
связь обратная 466
сегнетова соль 99
сечение эффективное молекул 252
сила коэрцитивная 322
— Лоренца 367
— тока 119 ......

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
611
коэффициент дяссоциации 211
— молизации 211
— намагничения 316
коэффициент полезного действия
аккумулятора 224
— самоиндукции 416
кабеля 429
соленоида 417
Кубецкий 200
кулон 17
Кулона закон 16, 84
Кюри постоянная 324
Кюри точка 324
Лампа катодная 135
—трехзлежтродная 465
Ландау Л. Д. 124
Лебедев A. At 399
Лебедев П. Н. 8, 494
Левитасая М. А. 494
левой руки правило 289
Лекланше элемент 156, 222
Ленин В. И. 9, 116, 385
Лещ Э. X. 131, 403
Ленца—Джоуля закон 131
Ленца правило 403
линза электронная 395
линии магнитной индукция 332
напряженности 271,279, 337
— тока 129
— электростатической индукции 87,90
напряженности 23, 44
Ломоносов М. В. 10
Лоренца формула 367
Лукирский П. И. 226
луч катодный 342
— электронный 342
Магазин сопротивлений 140
магнетик 305
магнетон Бора 312 ¦
магнит постоянный 327
магнитная проницаемость 315
магнитной цепи законы 350
магнитодвижущая сила 352
магнитострикция 324
максвелл 506
Максвелла гипотеза 470
Максвелла—Лоренца уравнения 481
— уравнения 476
Мандельштам Л. И. 499'
масса магнитная 330
— электрона 144, 385
масс-спектрограф 391
мегаом 122
мерцание анодного тока 248
метод натекания 229
— парабол 388
— постоянного отклонения 230
микроскоп электронный 398
микрофарада 59
молекула дипольная 75
молизация 211
момент магнитный 269, 295
атома 311
магнита 330
молекулы 311
рамки 269
электрона 309
— электрический диполя 21
молекулы 96
Мотт 193
мощность переменного тока 437
—постоянного тока 161
Намагничение остаточное 322
намагничения вектор 320
напряженность поля магнитного 270
бесконечного прямого тока
279
в центре кругового тока 279
на оси кругового тока 280
на оси соленоида 281
на оси тороида 302
— тока, текущего по цилиндри-
цилиндрическому проводнику 303
электростатического 18, 45 .
бесконечной плоскости 31
вблизи проводника 54
в диэлектрике 78
двух бесконечных плоскостей
32
диполя 20
равномерно заряженной сфе-
сферы 33, 79
сферы, заряженной по по-
поверхности 33
точечного заряда 19
цилиндра 35
насыщение магиитнве 326
непроводник 12
Ома закон 120, 144, 148
для замкнутой цепи 158
для неоднородной цепи 163
оптика, электронная 395
Остроградскогв—Гаусса теорема 27
-для потока магнитной индук-
индукции 333
для потока электростатической
индукции 93
— теоремы применения 36
осциллограмма 295

514
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Эйхенвальда опыт 373
эквивалент химический 208
— электрохимический 208
эквивалентная концентрация 2,16
эквипотенциальная поверхность 42
экстраток замыкания 415, 419
— размыкания 415,419
электризация наведением 11
— трением 9
электрический шум 248
электричества количество 16
электродвижущая сила 157
индукции 403, 411
самоиндукции 416
поляризации 220
эффективная 437
электродвижущей силы амплитуда 433
электродинамическая постоянная 504
электроемкость 58
электролиз 204, 222
электролит 204
электролитическая проводимость 204,
215
электрометаллургия 224
электрометр 10
— квадрантный ПО
— струнный ПО
электромотор 446, 456
электрон 12, 114
— положительный 114
электрона заряд 114
— магнитный момент 309
— масса 113
— свободный пробег 249
— удельный заряд 384
электрон-вольт 177
электронная теория проводимости 144
электроны свободные в проводниках
141
электропроводности теория 144, 151
электропроводность 122, 148
— дырочная 192
— смешанная 192
— эквивалентная 217
— электронная 192
электроскоп 9
электростатика 7
электрострикция 76, 101
элемент гальванический 156, 181
— нормальный 174
— поляризационный 220
элементов соединение параллельное
172
последовательное 171
эмиссионная постоянная 198
эмиссия вторичная электронная 199
— термоэлектронная 200
энергии плотность 67, 427, 493
энергия в цепи постоянного тока 161
— диполя 66
— заряженного проводника 64
— ионизации 254
— ионов в электролите 212
— конденсатора 64, 73 - -
— магнитного поля 423
— системы зарядов 61
—электростатического поля 66
Эпинус 12
эрстед 506
Яблочков П. Н. 8, 265, 448
Якоби Б. С. 8, 225, 448

Фриш Сергей Эдуардович
и Тиморева Александра Васильевна
Курс общей физики, том II
Л.. Физматгиз, 1962 г.. 516 стр. с илл.
Редактор Л. И. Орлова
Техн. редактор А. А. Лукьянов
Корректор В. С. Иванова
Сдано в набор 11/1 1962 г. Подписано к печати 17/IV 1962 г.
Бумага 60X90'/i«. Физ. печ. л. 32,25. Усл. печ. л. 32,25.
Уч.-изд. л. 33,95. Тираж 100 000 экз. Т-04722.
Цена книги 1 р. 12 к. Заказ К« 1132.
Государственное издательство физико-математической
литературы. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградский Совет народного хозяйства.
Управление полиграфической промышленности.
Типографии № 1 «Печатный Двор» имени А. М. Горького.
Ленинград, Гатчинская, 26.