Text
                    С. Э. ФРИШ и А. В. ТИМОРЕВА
КУРС
ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
ТОМ I
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ИЗДАНИЕ ОДИННАДЦАТОЕ,
СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования РСФСР
а качестве учебника для государственных
университетов
ш
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1962


530.1 Ф 90
V ОГЛАВЛЕНИЕ Введение § 1. Физика; ее содержание, связь с другими науками и с тех- техникой 7 § 2. Физические законы Ю § 3, Единицы измерения 12 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ Глава I. Кинематика § 4. Общие замечания . 15 § 5. Прямолинейное равномерное движение 17 § 6. Прямолинейное неравномерное движение . . 20 . § 7. Равнопеременное прямолинейное движение. Ускорение 22 ¦ § 8. Ускорение произвольного прямолинейного движения 25 § 9. Скорость и ускорение как векторы 26 § 10. Криволинейное движение 29 § 11. Ускорение при криволинейном движении 32 §V 12. Кинематика твердого тела. Угловые скорость и ускорение . . 37 § 13. Угловая скорость как вектор 41 Глава 11. Динамика § 14. Первый закон Ньютона 44 §¦¦15. Второй закон Ньютона. Сила и масса 46 V § 16. Силы трения , 49 - §у17. Количество движения. Импульс силы 52 -¦•§ 18. Единицы силы и массы. Примеры 53 ••¦ § 19. Механический принцип относительности 53 §,/20. Третий закон Ньютона. Сохранение количества движения ... 59 § 21. Силы, действующие при криволинейном движении . , 64 § 22. Ускоренные системы. Инерционные силы . 67 ' -§/23. Зависимость силы тяжести от широты местности 71 § 24. Силы Кориолиса 73 Глава 111. Работа и энергия ^§ 25. Работа и мощность 78 V§ 26:> Кинетическая энергия механической системы 84 w§ 27:, Потенциальная энергия механической системы 89 \/ § 28,-Законы сохранения и изменения механической энергии си- системы Г 92 § 29. Графическое представление энергии 95 § 30, Формулы размерности 99 § 31. Границы применимости классической-механики . . .' 102
4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава IV. Силы тяготения § 32. Силы тяготения 110 § 33. Масса инерционная и тяготеющая. Работа силы тяжести. ... 115 Глава V. Движение твердого тела § 34УДвижение твердого тела 119 § Зб^Вращение твердого тела. Момент силы и момент инерции. . . 121 § 36. Моменты инерции некоторых тел 125 § 37}/Момент количества движения 127 § 38. Гироскопы 131 § 39.\/Кинетическая энергия вращающегося твердого тела 134 Глава VI. Движение жидкости § 40. Движение идеальной жидкости. Линии и трубки тока 139 § 41. Применение закона сохранения количества движения к теку- текущей жидкости 4 144 § 42. Движение вязкой жидкости 148 ЧАСТЬ ВТОРАЯ МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА Глава VII. Газы § 43. Атомно-молекулярная теория строения вещества . . ". . J57 § 44. Законы Бойля — Мариотта и Гей-Люссака. Определение тем- температуры 161 § 45. Уравнение состояния идеальных газов. Плотность газов .... 167 § 46. Основные представления кинетической теории газов 170 § 47. Парциальные давления в газовых смесях 176 § 48. Внутренняя энергия газа. Число степеней свободы 178 § 49. Теплоемкость газов : 180 § 50. Закон распределения скоростей Максвелла 182 § 51. Распределение частиц с высотой 194 § 52. Определение числа Авогадро . . . 195 § 53. Длина свободного пути молекул 199 § 54. Опыты с молекулярными пучками 202 § 55. Явления переноса в газах. Диффузия 205 § 56. Внутреннее трение и теплопроводность газов . . 209 § 57. Теплопроводность и внутреннее трение в газах при очень низком давлении 217 § 58. Получение и измерение низких давлений . 219 § 59. Свойства газов при очень низких давлениях 225 § 60. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса 222 § 61. Более точный учет характера поправок Ван-дер-Ваальса .... 231 § 62. Изотермы Ван-дер-Ваальса. Критическое состояние вещества. . 236, § 63. Определение критических величин. Уравнение в приведенных величинах 241 § 64. Внутренняя энергия реального газа. Эффект Джоуля—Том- сона 244 § 65. Ожижение газов 247 Глава VIII. Основы термодинамики § 66. Молекулярно-кинетическое и энергетическое описание про- процессов 252 § 67, Эквивалентность количества переданного тепла и работы . . . 253
ч ОГЛАВЛЕНИЕ . 5 § 68. Первое начало термодинамики 256 § 69. Круговые процессы (циклы) 262 V § 70. Адиабатические процессы. Уравнение адиабаты 268 § 71. Работа при адиабатическом и изотермическом изменениях объема газа 273 § 72. Второе начало термодинамики 277 § 73. Цикл Карно. Коэффициент полезного действия тепловой ма- машины 278 § 74. Технические циклы 285 § 75. Обратимые и необратимые процессы 292 § 76. Статистический смысл второго начала термодинамики .^. . . 294 § 77. Неравенство Клаузиуса. Энтропия . ^/Глава IX. Молекулярные явления в жидкостях ', § 78. Строение жидкости. Молекулярное давление 308 § 79. Поверхностное натяжение 313 § 80. Давление под изогнутой поверхностью жидкости 316 § 81. Давление под изогнутой поверхностью жидкости любой формы 319 § 82. Явления на границе жидкости и твердого тела. Капилляр- Капиллярность 321 § 83. Растекание капли по поверхности жидкости. Мономолекуляр- Мономолекулярные пленки . . . 326 § 84. Испарение жидкостей 328 § 85. Растворы. Осмотическое давление '331 § 86. Давление насыщенных паров под искривленной поверхностью и над раствором 335 \/ Глава X. Твердые тела ;;j. § 87. Кристаллические и аморфные тела 340 § 88. Энергия кристаллической решетки 344 § 89. Деформация твердых тел 348 § 90. Пределы упругости и прочности. Пластические деформации . . 355 § 91. Деформации с точки зрения кристаллической структуры твер- твердых тел 358 § 92. Тепловое движение в твердых телах. Расширение твердых тел 361 fj § 93. Теплоемкость твердых тел 363 § 94. Плавление и испарение твердых тел 367 § 95. Квазикристаллическое строение жидкостей 371 § 96. Абсорбция и адсорбция газов твердыми телами 373 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Глава XI. Гармоническое колебательное движение - // § 97. Гармоническое колебание 376 S/ § 98. Скорость и ускорение при гармоническом колебательном движении. Примеры 381 V § 99. Энергия гармонического колебательного движения 385 V § 100. Сложение колебаний, происходящих вдоль одной прямой . . . 387 •¦ § 101. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний 391 V § 102. Затухающие колебания 395 yj § ЮЗ. Вынужденные колебания 399 § 104. Представление негармонических колебательных процессов при помощи гармонических колебаний 405 X § 105. Представление колебательных процессов с помощью комплекс- комплексных чисел 411
О ОГЛАВЛЕНИЕ Глава XII. Волны V § 106. Распространение волн в упругой среде 414 V § 107. Принцип Гюйгенса 417 у § 108. Уравнение волны 419 ^ § 109. Интерференция волн 422 § НО. Стоячие волны 425 V § 111. Динамика распространения колебаний в упругой среде. . . . 429 ^ § 112. Энергия волны 432 § 113. Явление Допплера 436 § 114. Групповая скорость 438 Глава XIII. Акустические колебания § 115. Звуковые колебания и их распространение 442 § 116. Интерференция звуковых волн 445 § 117. Восприятие звуков 448 § 118. Источники звуков. Получение ультразвуков 453 § 119. Отражение и поглощение звуковых волн . 457 Алфавитный указатель 460
00 ВВЕДЕНИЕ § 1. Физика; ее содержание, связь с другими науками и с тех- техникой. Физика, наряду с другими естественными науками, изучает объективные свойства окружающего нас материального мира. По-гре- По-гречески слово cpuct? означает природу. Физика изучает наиболее общие формы движения материи (механи- (механические, тепловые, электромагнитные и т. д.) и их взаимные превра- превращения. Изучаемые физикой формы движения присутствуют во всех высших и более сложных формах движения (в химических, биологи- биологических процессах и др.) и неотделимы от них, хотя и никоим образом не исчерпывают их. Так, открытому физикой закону всемирного тяго- тяготения подчиняются все известные тела земные и небесные, незави- независимо от того, являются ли они химически простыми или сложными, живыми или мертвыми. Установленному физикой закону сохранения энергии подчиняются все процессы, независимо от того, носят ли они специфически химический, биологический и т. д. характер. Высшие, более сложные формы движения являются предметом изучения дру- других наук (химии, биологии и др.). Границы между физикой и некоторыми другими естественными науками не могут быть установлены резко. Существуют обширные пограничные области между физикой и химией, возникли даже особые науки: физическая химия и химическая физика. Области знания, где физические методы применяются для изучения более или менее част- частных вопросов, также соединяются в особые науки: так возникают, например, астрофизика, изучающая физические явления, протекающие в небесных объектах, и геофизика, изучающая физические явления, протекающие в атмосфере Земли и в земной коре. Физические откры- открытия часто давали толчок к развитию других наук. Изобретение ми- микроскопа и телескопа ускорило развитие биологии и астрономии. Открытый физиками спектральный анализ стал одним из основных методов астрофизики и т. д. Развитие физики и химии, наряду с другими естественными науками, сыграло крупную роль в развитии материалистического мировоззрения. Последовательно развитая материалистическая философия, высшей ступенью которой является диалектический материализм, широко ис- использовала для обоснования своих положений физические открытия,.
ВВЕДЕНИЕ Физика, проверяя свои теории непосредственным критерием опыта и практики, всегда шла по пути раскрытия объективных свойств мира, и этим объясняется то, что подавляющее большинство физиков фак- фактически оказывались стихийными материалистами. Однако слабость стихийного материализма, заключающаяся в его бессознательности и неумении философски осмыслить опытные данные науки, вела к тому, что часть буржуазных ученых, под влиянием реакционной идеологии господствующих классов, неоднократно пыталась использовать физи- физические открытия для обоснования идеалистических воззрений. Такие попытки встречаются особенно часто в периоды крупных открытий, когда старые положения подвергаются пересмотру, а новые еще недо- недостаточно выяснены. Так, в самом конце XIX и в первых годах XX столетий, когда возникло учение об электронах и были открыты факты, легшие в основу теории относительности, появились много- многочисленные „обоснования" идеализма, якобы базирующиеся на новых физических открытиях. Несостоятельность этих „обоснований" была с исключительной последовательностью и полнотой вскрыта Лениным в его книге „Материализм и эмпириокритицизм". По поводу выска- высказываний ряда буржуазных философов, утверждавших, что новые открытия физики повели к представлению об исчезновении материи, Ленин писал: «„Материя исчезает"—это значит исчезает тот предел, до которого мы знали материю до сих пор, наше знание идет глубже; исчезают такие свойства материи, которые казались раньше абсолют- абсолютными, неизменными, первоначальными (непроницаемость, инерция, масса и т. п.) и которые теперь обнаруживаются, как относительные, при- присущие только некоторым состояниям материи. Ибо единственное „свойство" материи, с признанием которого связан философский материализм, есть свойство быть объективной реальностью, суще- существовать вне нашего сознания».J Сказанное Лениным около сорока лет тому назад по поводу кри- кризиса физики того времени целиком применимо и к современному этапу развития физики, когда изучение внутриатомных процессов заставляет ограничить старые представления механики и электродинамики и вве- ввести новые представления квантовой механики. Критический анализ, ¦ последовательно проведенный с точки зрения диалектического мате- материализма, позволяет отделить ценное физическое содержание новых теорий от той идеалистической шелухи, в которую иногда облекают их авторы. Толчком к развитию физики, как и всех других наук, послужили практические требования людей. Механика древних египтян и греков возникла непосредственно в связи с теми запросами, которые были поставлены тогдашней строительной и военной техникой. Также под влиянием развивающейся техники и военного дела были сделаны крупные научные открытия конца XVII и начала ХУЩ^толетий, » Э. И> Ленин, Сочинения, 4-е изд., т. 14, стр. 247,
§ 1] ФИЗИКА; ЕЕ СОДЕРЖАНИЕ, СВЯЗЬ С ДРУГИМИ НАУКАМИ И С ТЕХНИКОЙ 9 Основоположник русской физики и химии М. В. Ломоносов сочетал свою научную работу с требованиями практики. Его многочисленные и разнообразные исследования по природе твердых и жидких тел, оптике, метеорологии, атмосферному электричеству были связаны с теми или другими практическими задачами. В начале XIX столетия применение паровых машин сделало необ- необходимым решение вопроса о наиболее выгодном превращении тепла в механическую работу. Этот вопрос не мог быть решен при узко- узкотехническом подходе. После того как в 1824 г. французский инже- инженер Сади Карно в общем виде рассмотрел проблему о переходе тепла в работу, можно было действительно увеличить коэффициент полез- полезного действия тепловых машин. Одновременно работа Карно послу- послужила фундаментом для возникновения общего учения о передаче и превращении энергии, получившего впоследствии название термоди- термодинамики. Таким образом, требования практики приводят к новым физическим открытиям, а эти последние служат базой для дальней- дальнейшего развития техники. Нередко весьма теоретические и отвлечен- отвлеченные на первый взгляд физические открытия со временем находят самые разнообразные и важные технические применения. Открытие в 1831 г. Фарадеем электромагнитной индукции сделало возможным широкое практическое использование электрических явлений. Открытый в 1869 г. Д. И. Менделеевым периодический закон не только сыграл исключительную роль и развитии учения об атомах и природе химических явлений, но и является руководящим при решении огромного количества практических задач химии и физики. В семидесятых годах прошлого столетия Максвелл создал общую теорию электромагнитных процессов. Исходя из этой теории, он при- пришел к выводу о возможности распространения электромагнитной энер- энергии в виде волн. В 1888 г. Герц экспериментально подтвердил правиль- правильность этого вывода Максвелла. Несколькими годами позже открытие Максвелла — Герца было использовано А. С. Поповым для осуще- осуществления радиотелеграфии. В свою очередь развитие радиотехники открыло перед физиками новые, исключительно широкие эксперимен- экспериментальные возможности в изучении свойств природы. Исследования А. Г. Столетова по „актино-электрическим" явле- явлениям A888—1889) сыграли существенную роль в выяснении природы фотоэлектрического эффекта, широко применяемого в современной технике (телевидение, автоматика и т. д.). Примеры взаимного влияния техники и физики в процессе их раз- развития весьма многочисленны, и нет надобности их все приводить. Отметим только, что в настоящее время исключительно важные про- проблемы, которые способны в корне изменить технику, как, например, непосредственное практическое использование солнечной энергии или получение энергии за счет термоядерных реакций требуют для своего решения дальнейшего глубокого изучения физических явлений.
10 ВВЕДЕНИЕ § 2. Физические законы. Физические законы устанавливаются путем обобщения опытных данных, и их правильность проверяется на соответствии выводов из них с опытом. Физические законы выра- выражают объективную внутреннюю связь между физическими явлениями и реально существующие зависимости между физическими -величинами. По большей части содержание физических законов выражается в математической форме как зависимость между численными значе- значениями а и b данных физических величин А и В. Отсюда становится ясной принципиальная важность для установления физических законов измерения физических величин. Измерить какую-либо физическую величину — зьачит определен- определенным образом сравнить ее с однородной величиной, принятой за еди- единицу. Например, измерение длины некоторого тела мы производим путем последовательного прикладывания к нему определенного другого тела, длина которого выбрана за единицу длины. Очевидно, результат измерения никогда не может быть абсолютно точен; степень его точности зависит от развития техники измерения и от той тщательности, с которой измерение произведено. Поэтому результат любого измерения может быть дан лишь в следующем виде: численное значение а данной физической величины заключено между приближенными значениями ах и at; чем меньше разность La = ax — at по отношению к а, тем точнее оказывается измеренной физическая величина А. Уже из одного этого следует, что устанавливаемые на основании опытов физические закономерности не могут быть абсо- абсолютно точными. Таким образом, физические законы, выражающие в математической форме количественные связи между физическими величинами, не являются абсолютно точными; их точность всегда соответствует уровню развития науки и техники данного времени. Рассмотрим, например, зависимость объема данной массы газа от давления при постоянной температуре. Предположим, что мы имеем 8 л газа, находящегося под давле- давлением р = — ат при некоторой постоянной температуре. Будем менять давление, придавая ему определенные значения, например: р = 1 am, 4 -5- am, 2 am и т. д., и измерим объемы газа V, соответствующие о этим давлениям (при одной и той же температуре). Тогда мы получим экспериментальные результаты, которые могут быть записаны в виде следующей таблички: Давление газа р в атмосферах .... Соответствующие объемы газа V в литрах 8 1 4 4/. 3 2 2 4" 1 8
§ 2] ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ 11 Из этой таблички легко видеть, что для данной массы газа про- произведение из давления газа р на его объем V остается постоянным: р V = const. Этот результат представляет собою известный закон Бойля — Ма- Мариотта. Однако этот закон оказался установленным в результате измерений, произведенных лишь с ограниченной степенью точности и в ограниченном интервале давлений. Можно поэтому ожидать, что закон Бойля — Мариотта не окажется верен, если мы произведем изме- измерения значительно более точно или распространим их на более высо- высокие и более низкие давления. И, действительно, более точные изме- измерения обнаруживают отступления от закона Бойля — Мариотта; эти отступления малы в тех интервалах давлений, к которым относились опыты, и велики при очень больших давлениях. Можно показать, что связь между давлением и объемом газа при постоянной температуре лучше выражается формулой, называемой формулой Ван-дер-Ваальса: + ?) (V-ft) = const, где gj и Ь — некоторые поправки. Если объем газа V велик по сравне- сравнению с поправками ^-а и />, то членами р, и Ъ можно пренебречь по сравнению с р и V, и тогда мы снова получим закон Бойля—Ма- Бойля—Мариотта: pV = const. Таким образом, формула Ван-дер-Ваальса не только лучше отображает реальные свойства газа, чем формула Бойля — Мариотта, но она вместе с тем и указывает, в каких преде- пределах формула Бойля — Мариотта является достаточно хорошим прибли- приближением и где она уже не может применяться. Подобные же рассуждения можно привести и по поводу других физических законов, в том числе и механических (см. § 4). Приближенный характер физических законов не умаляет их объек- объективного значения: физические законы, хотя и не абсолютно точно, но приближенно и относительно верно выражают объективные свойства материи, и степень их точности повышается в процессе познания окру- окружающей нас природы. Наука на каждом данном историческом этапе своего развития дает нам приближенный „снимок" с действительности, но со временем снимки эти улучшаются и полнее и лучше отражают объективные свойства мира, который в своей совокупности остается неисчерпаемым. „Признание теории снимком, приблизительной копией с объективной реальности, — в этом и состоит материализм0.1 Часто забвение приблизительного характера физических законов, приписывание им абсолютной точности и экстраполяция их на те области, для которых их применимость не проверена, может повести к грубым ошибкам. Например, установив закон, по которому при 1 В. И. Ленин. Сочинения, 4-е изд., т. 14, стр. 252.
12 ВВЕДЕНИЕ температурах, близких к комнатной, всякий газ при понижении тем- температуры на 1° С при постоянном давлении уменьшается в объеме на ~-5 объема, который он занимал при 0° С {закон Геа-Люссака), мы можем, путем незаконной экстраполяции на очень низкие темпера- температуры, прийти к выводу, что при охлаждении до температуры —273° С вещество газа должно вовсе исчезнуть. На самом деле, значительно раньше, чем будет достигнута такая температура, газ перестанет под- подчиняться закону Гей-Люссака (см. § 44). § 3. Единицы измерения. Выбор единиц измерения может быть произведен произвольно. Исторически их выбор тесно связан с сообра- соображениями практического характера: например, такие единицы измере- измерения, как старинная русская единица длины „локоть" или английский „фут" (по-английски foot — стопа), связаны с размерами человеческого тела. В XVIII столетии французскими учеными была сделана попытка установить „абсолютную" систему, связав единицы измерения с такими объектами, которые не могли бы с течением времени подвергнуться изменениям или быть утерянными. Так, за единицу длины было решено выбрать 40000Q00 долю Длины меридиана. Однако изготовление такой линейки неминуемо сопряжено с погрешностями. С аналогичными трудностями встретились попытки установить и другие „абсолютные" единицы. Поэтому, начиная с конца прошлого столетия, единицы стали определяться образцовыми (эталонными) телами. Например, единица длины метр определялась как расстояние между двумя черточками на линейке из иридиевой платины, хранящейся в Международном бюро мер и весов. Однако в настоящее время используется в извест- известном смысле „смешанная" система, где часть единиц определяется эталонными телами, а часть — с помощью определенных, воспроиз- воспроизводимых физических явлений. Так, по международной системе единиц (сокращенно обозначается MS), принятой Международной кон- конференцией в 1960 г., за единицу длины (метр) принимается длина, на которой укладывается 1 650 763,73 длин световых волн оранжевой линии изотопа криптона 86 (Кг86) в пустоте (см. т. III): 1 ж =1650 763,73 Х.(Кг86). Определенный таким образом метр очень близок к старому метру, соответствующему расстоянию между черточками на эталонной ли- линейке. Но по сравнению со старым метром он имеет то преимуще- преимущество, что не может быть утерян и испорчен; со временем он не будет меняться, как может меняться длина эталонной линейки в результате „старения" материала, из которого она сделана. Всегда можно вновь и вновь сравнить какую-либо длину с длиной световой волны оран- оранжевой линии изотопа 86 криптона. Для измерения таких длин, которые выразились бы слишком боль- большим числом метров или слишком малой долей метра, употребляются
§ 3] ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ 13 другие единицы, образованные из единицы длины — метра по деся- десятичной системе: \ км = \ 000 м; \ см = -щ- м; 1 мм = -тщ: м; 1 микрон (сокращенно мк), равный щ мм, и т. д. За единицу массы в международной системе единиц принята мас- масса тела из иридиевой платины, хранящегося в Международном бюро мер и весов и называемого килограммом (сокращенно кг). Масса килограмма близка к массе 1000 см3 чистой воды при 4°С. Единицы ббльшие и меньшие килограмма устанавливаются также по десятичной системе: 1 тонна = 1000 кг; I г = щ кг и т. д. За единицу времени принимается время, равное ol ООи yzOj У/4/ доле тропического года на 1 января 1900 г. Под тропическим годом понимается промежуток времени между двумя последовательными прохождениями Солнца (в его видимом движении по эклиптике) через точку весеннего равноденствия. Таким образом, единица времени свя- связана со временем обращения Земли вокруг Солнца. Эта единица вре- времени носит название секунды. Для всякой иной физической величины можно было бы установить свои собственные, вообще говоря, произвольно выбранные единицы измерения. Например, для единицы площади можно было бы выбрать площадь любого данного тела, без всякого отношения к уже выбранной единице длины. Однако такой способ выбора единиц был бы весьма неудобен. Поэтому, например, за единицу площади выбирают площадь квадрата с длиной стороны, равной единице длины. Аналогично по- поступают и с прочими физическими величинами, устанавливая для них единицы измерения на основании закономерных связей, которыми эти величины связаны с теми, единицы измерения для которых уже выбраны. Поясним это примером. Пусть требуется установить единицу изме- измерения для физической величины, называемой плотностью. Под плотно- плотностью d подразумевается такая физическая величина, характерная для данного однородного тела, которая прямо пропорциональна его массе т и обратно пропорциональна его объему V. Поэтому численное зна- значение плотности d равно <* = *?. (О где k — численный коэффициент, значение которого зависит от тех единиц, в которых измерены d, m и V. Имея уже наперед установленными единицы измерения массы т и объема V, мы можем выбрать единицу плотности так, чтобы равен- равенство A) выполнялось при некотором определенном значении коэффи- коэффициента k. Обычно для установления единицы вновь вводимой в рас-
14 ВВЕДЕНИЕ смотрение физической величины принято полагать А = 1. Тогда фор- формула A) примет вид: d=%, B) и для того, чтобы она численно оправдывалась, за единицу плотности мы должны выбрать плотность такого тела (независимо от того, существует оно в природе или нет), единица массы которого занимает единичный объем. Таким же образом вводятся единицы измерения и других физиче- физических величин. В международной системе единиц за основные единицы приняты шесть следующих: единица длины — 1 метр A л) единица массы — 1 килограмм A кг) единица времени — 1 секунда A сек.) единица температуры — 1 градус Кельвина A°К) (см. § 44) единица силы тока — 1 ампер A а) (см. т. II) единица силы света — 1 свеча A ев) (см. т. Ш) Единицы измерения других величин вводятся на основании физи- физических закономерностей, связывающих эти величины с основными. В механике достаточно пользоваться, в качестве основных, единицами трех физических величин — длины, массы и времени. В международ- международной системе за эти единицы, как сказано, принимаются: метр, килограмм, секунда. Сокращенно эта система может быть обозначена как УИ/СЗ-система. Однако можно строить и другие системы, иначе выбирая основ- основные единицы. Например, в физике широко используется так называе- называемая CGS-система, в которой за основные единицы принимаются: единица длины — 1 сантиметр A см) единица массы — 1 грамм A г) единица времени — 1 секунда A сек.) Очевидно, COS-система является кратной от международной си- системы (MS). Кроме того, применяется так называемая техническая система, в которой за основные единицы приняты единицы длины A м), вре- времени A сек.) и силы, причем за единицу силы принята та сила, с которой земной шар притягивает тело с массой в 1 кг на уровне моря на широте 45°. Эта единица силы называется килограмм-сила (сокращенно обозначается 1 кГ; подробнее см. § 17). Таким образом, в технической системе единиц основными единицами являются: единица длины — 1 метр A м) единица силы —1 килограмм-сила A кГ) единица времени — 1 секунда A сек.)
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ГЛАВА I КИНЕМАТИКА § 4. Общие замечания. Механика есть учение о простейшей форме движения материи, которое состоит в перемещении тел или их частей друг относительно друга. Механика, как и все остальные естественные науки, устанавливает свои положения в результате обобщения опытных данных. Опыты над перемещением тел относятся к простейшим. Человек наблюдает перемещение тел повседневно в обыденной жизни, при любых произ- производственных процессах, — отсюда следует наглядность механических представлений. Этим же объясняется и то, что из всех естественных наук механика прежде других получила широкое развитие. Основные законы механики были в значительной мере выяснены Галилеем A564—1642) и окончательно сформулированы Ньютоном A642—1727). Леонард Эйлер A707—1783), работавший в течение многих лет в Петербургской Академии наук, впервые придал законам механики аналитический вид и сыграл большую роль в ее развитии. Однако механика Галилея — Ньютона, получившая название „классической", возникла в результате наблюдения лишь над ограниченным типом движений, а именно, движений тел, сравнимых по размерам с раз- размерами человеческого тела (брошенный камень) или очень больших по сравнению с ними (движение планет) и движущихся со скоро- скоростями, не очень большими. Отсюда — приближенный характер клас- классической механики. Дальнейшее развитие науки показало, что клас- классическая механика является прекрасным приближением к действи- действительности только до тех пор, пока мы не имеем дело с движением тел, состоящих из большого числа атомов (макроскопических тел) и ско- скорости которых малы по сравнению со скоростью света. Ленин писал: „.. .механика была снимком с медленных реальных движений, а новая физика есть снимок с гигантски быстрых реальных движений".1 Законы движения макроскопических тел со скоростями, сравни- сравнимыми со скоростью света, даются теорией относительности, уста- установленной Эйнштейном. 1 В. И. Лени н. Сочинения, 4-е изд., т. 14, стр. 252.
16 КИНЕМАТИКА [ГЛ. t Законы классической механики перестают также быть справед- справедливыми, когда мы переходим к движению отдельных атомов или элементарных частиц (микроскопических тел).1 Законы движения микроскопических тел устанавливаются так называемой квантовой механикой. Ниже мы дадим границы применимости классической механики, пока же будем предполагать, что речь идет всегда о движе- движении макроскопических тел со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Привычность механических явлений и их наглядность, а также успехи в объяснении некоторых физических явлений (например звуковых) с помощью чисто механических представлений привели к тому, что в XIX столетии для многих физиков объяснить какое- либо явление — означало свести его к явлениям механическим. Эта точка зрения соответствовала философскому механическому мате- материализму. Однако все дальнейшее развитие физики, особенно раз- развитие учений о свете и об электричестве, показало, что многие явления подчиняются своим собственным законам и не могут быть сведены к простейшему типу движения — механическому. Механи- Механический материализм должен был уступить место диалектическому материализму, рассматривающему более общие типы движения мате- материи, учитывающему все разнообразие реального мира. Энгельс писал по этому поводу: „У естествоиспытателей движение всегда отождествляется с механическим движением, перемещением... Движение, в применении к материи, — это изменение вообще. Из подобного же недоразумения вытекает и яростное стремление свести все к механическому движению..., чем смазывается специфический характер прочих форм движения".52 Механическое движение может быть весьма различных видов и носить достаточно сложный характер. Поэтому механика разбивает реальные движения на более простые, а изучив их, переходит затем снова к более сложным движениям. Наиболее простым механическим движением является движение так называемой материальной точки. Под материальной точкой понимают в механике такое тело, размерами и формой которого можно пренебречь в данной задаче. Одно и то же реальное тело, в зависимости от постановки задачи, часто рассматривается либо как материальная точка, либо как тело конечных размеров. Например, рассматривая задачу, о полете артилле- артиллерийского снаряда, мы в первом приближении можем пренебречь его формой и размерами и рассматривать снаряд как материальную точку. Но если необходимо учесть влияние сопротивления воздуха на полет снаряда и роль вращения во время полета, то мы уже не вправе 1 Слово „микроскопический" здесь не означает, что частицу можно видеть в микроскоп, но что она представляет собою элементарную частицу—электрон, протон и т. д., или частицу, состоящую из небольшого числа элементарных частиц, например атом или отдельную молекулу. * Ф. Энгельс, Диалектика природы, 1950, стр. 197.
§ 5] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 17 рассматривать снаряд как материальную точку: мы должны учесть его форму, размеры и т. д. Наряду с этим, астрономы, рассматривая движение земного шара по орбите вокруг Солнца, могут считать зем- земной шар за материальную точку. Из определения механического движения как простого перемеще- перемещения явствует, что это перемещение может происходить лишь отно- относительно каких-либо других материальных тел. Поэтому для того, чтобы получить возможность характеризовать движение какого-либо тела, прежде всего следует условиться, относительно какого другого тела (или группы неподвижных друг относительно друга тел) мы будем отсчитывать перемещение данного тела. Это тело (или группа тел) образует систему отсчета. Таким образом, каждое движение должно рассматриваться относительно какой-либо определенной системы отсчета. В разных случаях система отсчета может выби- выбираться различным образом, но определенно характеризовать данное движение мы можем, только твердо выбрав систему отсчета. Напри- Например, бросив какой-либо предмет, мы можем рассматривать его дви- движение относительно комнаты; в этом случае систему отсчета обра- образуют стены, пол и другие части комнаты. Мы можем, однако, рас- рассматривать движение того же тела и относительно Солнца или какой-либо определенной звезды, только мы должны вперед точно условиться, относительно чего именно мы рассматриваем движение нашего предмета. Практически для описания движения приходится связывать с телами, образующими систему отсчета, какую-либо координатную систему, например обычную прямолинейную прямоугольную систему координат. При рассмотрении движения относительно комнаты можно, например, поместить начало координат в одном из углов комнаты, а оси на- ^ править вдоль стен; или начало координатной системы можно поме- помеху стить на Солнце, а оси провести в направлении определенных звезд.1 *w В дальнейшем мы поставим вопрос о выборе системы отсчета, пока же -^ будем подразумевать, что нам всегда дана система отсчета и твердо •»— связанная с ней координатная система, которой мы будем пользо- "" ваться для характеристики движения. Механику принято делить на две части: кинематику, рассматри- рассматривающую лишь само перемещение в зависимости от времени, и дина- динамику, учитывающую взаимодействия тел, ведущие к изменению их состояния движения. § б. Прямолинейное равномерное движение. Рассмотрим дви- движение тела, трактуемого как материальная точка, сводящееся к его равномерному перемещению вдоль некоторой прямой OD (рис. 1). В любой данный момент времени t, когда движущееся тело нахо- находится в некоторой точке А, мы можем определить его положение 1 Координатную систему можно связать также с какой-либо материальной сплошной средой. Например, можно рассматривать движение рыбы относи- относительно воды, а которой она плавает. 2 С. Э. Фриш и А. В. Тиморева
18 КИНЕМАТИКА [ГЛ. I отрезком s, отсчитанным от некоторой точки О, условно принятой за начало отсчета. Очевидно, s меняется со временем. Отрезок s совпадает с путем, фактически пройденным прямолинейно движу- движущимся телом, если в начальный момент (t — О) тело находилось в точке О. Проводя координатную систему OXYZ, можно охаракте- охарактеризовать также положение тела в каждый данный момент его коор- координатами х, у и г. При сделанном на рис. 1 выборе координатной х, и Рис. 1. Положение тела А при прямолинейном движении опреде- определяется либо отрезком s, либо его проекциями на координатные оси системы координаты тела z совпадают с проекциями пути sx, sy и s2 на координатные оси. Таким образом, положение движущейся точки можно характеризовать либо отрезком s, который будет некото- некоторой функцией от времени t: A) либо ее координатами от времени: х, у и z, которые также будут функциями Так как рассматриваемое движение происходит вдоль прямой, то оно носит название прямолинейного. Движение называется равномерным в том случае, если движущееся тело в произвольные, но равные промежутки времени проходит одинаковые отрезки (пути). Движения очевидным образом различаются друг от друга тем, что тела могут проходить за одинаковые промежутки времени раз- разные пути, или (говоря другими словами) тем, что одинаковые пути могут быть пройдены за различные промежутки времени. Эти раз- различия в движениях мы характеризуем, вводя понятие скорости. Под скоростью равномерного движения подразумевается физическая вели- величина, тем большая, чем больший путь проходит тело за данный промежуток времени, или, другими словами,;— физическая величина, тем большая, чем меньший промежуток времени необходим для прохождения данного пути. Таким образом, скорость равномерного движения v есть физическая величина, прямо пропорциональная пройденному пути и обратно пропорциональная тому промежутку времени, за который этот путь пройден. Пусть положение прямолинейно движущегося тела в некоторый момент времени tu определяется отрезком -ед—з-в момент времени
§ 5] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 19 t — отрезком s. Тогда за время t — tn тело проходит путь s — sB, и математическое выражение для скорости v может быть записано в виде: где k — коэффициент пропорциональности. В частном случае, если f, = 0 и 5,-0, то. v = k±. (За) Здесь s представляет собою путь, пройденный за время /. Скорость равномерного движения есть величина постоянная. Пользуясь соот- соотношением C), можно измерять скорость ¦», отрезок s и время t в любых единицах. Если же заранее придать коэффициенту k какое- либо определенное значение, то, как указывалось в § 3, нельзя выбирать единицы измерения для всех трех физических величин v, s и t произвольно. Произвольно могут быть выбраны лишь единицы для двух величин, а для третьей величины единицы измерения дол- должны быть выбраны так, чтобы соотношение C) численно выполня- выполнялось при данном коэффициенте k. Так, положив k = 1 и, следова- следовательно, переписав формулу C) в виде: можно лишь для двух из фигурирующих в ней величин выбирать произвольно единицы. Если мы выберем за единицу длины санти- сантиметр (см), за единицу времени секунду (сек.), то, пользуясь фор- формулой D), мы обязаны взять в качестве единицы скорости скорость такого равномерного движения, при котором за 1 сек. проходится путь в 1 см. Это есть единица скорости в CGS-системе; сокращенно она обозначается см/сек. В других системах единиц за единицу пути берут метр (м) или километр (км), а за единицу времени —¦ секунду (сек.) или час, тогда соответственно получаются единицы скорости м/сек и км/час. Из формулы D) имеем (t — U). E) Если 4 = 0 и s0 = 0, то формула E) примет вид: s = vt; Ea) здесь s — путь, пройденный телом за время t. Сравнивая Eа) с A), мы видим, что в случае равномерного движения тела его путь есть линейная функция от времени. Можно изобразить линейную зависимость пути от времени графически. Отложим по оси абсцисс время t (рис. 2), а по оси
20 КИНЕМАТИКА [ГЛ. I ординат — путь симость пути s s. Тогда, в соответствии от времени с формулой Eа), зави- t выразится прямой ОВ, проходящей через начало координат. За некоторый промежуток времени t, изображаемый на оси абсцисс отрезком Ob, тело "пройдет путь s, который изобразится отрезком Оа или равным ему отрез- отрезком ЬВ. Из рис. 2 имеем , ЬВ s .„, t Рис. 2. При равномерном дви- движении зависимость пройден- пройденного пути s от времени t изо- изображается прямой ОВ, Таким образом, на нашем графике скорость v изобразится тангенсом угла а; чем больше скорость v, тем ббльший угол а составит прямая ОВ с осью времен t. § 6. Прямолинейное неравномерное движение. При неравно- неравномерном движении за одинаковые промежутки времени тело проходит неравные пути. В этом случае можно ввести понятие о средней скорости движения. Средняя скорость неравномерного движения за данный промежуток времени t —1$ равна скорости такого равно- равномерного движения, при котором тело прошло бы тот же путь s — s0 за тот же промежуток времени t —1$, что оно проходит, двигаясь неравномерно. Таким образом, обозначая среднюю скорость движения через v, имеем Значение средней скорости v зависит от того промежутка вре- времени, за который она берется. Поэтому средняя скорость является недостаточной характеристикой неравномерного движения. Например, при движении поезда на перегоне между двумя станциями нас может интересовать не только его средняя скорость на всем перегоне, но и скорости, которые поезд имел на отдельных участках пути. Для этого мы должны, очевидно, разбить путь на отдельные участки As и измерить те промежутки времени М, в течение которых эти участки проходились, тогда *=& 0) представит собою среднюю скорость на некотором данном участке пути Д5. Мы получим тем более точную характеристику движения, чем короче выберем те промежутки времени М, для которых будем определять среднюю скорость v. В принципе промежуток времени Д^ может быть выбран настолько малым, что движение в течение этого промежутка времени можно будет практически считать равномерным.
§ б] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 21 Тогда средняя скорость v за этот малый промежуток времени даст нам достаточную характеристику движения в данный момент времени; другими словами, она представит скорость v в данной точке пути. Таким образом, скоростью неравномерного движения в данной точке пути (или в данный момент времени) является предел, к которому стремится средняя скорость при бесконечном убы- убывании промежутка времени At, за который она определяется. Математически это выражается следующим образом: ¦в = пред. /As = пред. -г- Из дифференциального исчисления известно, что пред. B) есть произ- водная от пути по Бремени; таким образом, скорость численно равна произ- производной от пути по времени: ds Bа) Сказанное может быть пояснено графическим построением. Графически зависимость пути от времени при неравномерном движении выразится кривой. Вид этой кривой различен для различных движений; для некоторого частного случая он изобразится кривой О А В, представленной на рис. 3. Средняя скорость v за проме- промежуток времени М есть: О Рис. 3. Скорость неравномерного движения определяется тангенсом угла а, образованного касательной с осью Ot. Вводя среднюю скорость v, мы заменяем хордой АВ действитель- действительную зависимость пути от времени, выражаемую за промежуток времени Д? дугой А В, т. е. неравномерное движение заменяем равномерным. Бесконечно уменьшая промежуток времени kt, по сказанному, получим скорость в данный момент времени t, причем секущая АВ в пределе станет касательной AD, хорда А В и дуга АВ сольются, т. е. нерав- неравномерное движение за бесконечно малый промежуток времени Д? будет совпадать с равномерным. Таким образом: 'As' v = пред. At -.0 = tga, где a — угол между осью Ot и касательной к данной точке А кри- кривой, изображающей зависимость пути от времени.
22 КИНЕМАТИКА [ГЛ. I Посмотрим, как изобразится при неравномерном движении прой- пройденный путь в зависимости от скорости. Построим график, отложив по оси абсцисс время t, а по оси ординат скорость -о. Кривая ABC, изображенная на рис. 4, соответ- соответствует тому частному случаю, при ко- котором скорость, имевшая в начальный момент времени значение г»0, сперва со временем уменьшалась, а затем стала возрастать. Разобьем все время движения I на очень большое число очень малых t промежутков времени Ai. По фор- формуле A) путь, пройденный за и-й Рис. 4. Путь, проходимый за из этих промежутков, равен Asn = бесконечно малый промежуток = vt/i ¦ Atn, где vt/i — средняя скорость времени Atn, изображается пло- за промежуток времени Atn. Графи- щадью заштрихованного стол- ,. нбика чески он изобразится площадью узкого прямоугольника, заштрихованного на рис. 4. Весь путь s, пройденный за все время t, равен сумме всех малых путей Asn, пройденных за отдельные промежутки вре- времени At- s = C) т. е. равен сумме площадей всех прямоугольников, на которые ока- окажется разбитой фигура ОАВС (рис. 5). В пределе при бесконечно малых промежутках времени Atn пря- прямоугольники станут бесконечно узкими, и сумма их площадей совпадет с пло- площадью фигуры ОАВС. Таким образом, весь путь s графически изобразится площадью, заключенной между кри- кривой АВ, дающей зависимость скорости от времени, и ординатами, соответ- соответствующими началу и концу отрезка времени t, за которое рассматривается путь. § 7. Равнопеременное прямоли- прямолинейное движение. Ускорение. Равно- Равнопеременным движением называется дви- движение, при котором скорость v за равные и произвольно выбранные промежутки времени At меняется на одинаковую величину Av. В том случае, когда Дг> одного знака со скоростью, т. е. когда скорость возрастает по численному значению со временем, движение называется раанрЖерно-ускоренным; в том случае, когда Av обратного знака, Рис. 5. Путь, проходимый за конечный промежуток времени t, изображается площадью фи- фигуры ОАВС.
§ 7] РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ. УСКОРЕНИЕ 23 т. е. когда скорость убывает по численному значению со временем, движение называется равномерно-замедленным. Для характеристики того, насколько быстро со временем меняется скорость, вводится физическая величина, называемая ускорением.. Ускорение w равнопеременного прямолинейного движения есть физи- физическая величина, прямо пропорциональная приращению скорости и обратно пропорциональная тому промежутку времени, за который произошло это приращение. Пусть в момент времени ^0 скорость имела значение v0, а в момент времени t — значение ¦», тогда за время t — tu скорость изменилась на v — ¦»(,. и математически ускорение w представится соотношением: ™ b k^ A) где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц, в которых измеряются скорость v и время L Ускорение равнопеременного движения есть величина постоянная. Если поло- положить коэффициент пропорциональности k=l, то ускорение Av при этом в CGS-системе за единицу ускорения должно быть при- ,, нято ускорение такого движения, при котором скорость меняется ¦5 на 1 см/сек за каждую секунду; сокращенно эта единица ускорения обозначается 1 смIсек2. В ЖЛ^-системе единиц за единицу ускорения применяется ускорение такого движения, при котором скорость меняется на 1 м/сек за каждую секунду (сокращенно 1 м/сек'х). Из формулы A) при k — \ имеем v = vt + w(t — ta). B) Таким образом, при равнопеременном движении скорость меняется со временем линейно. Если ?0^0, то по B): Ba) наконец, если начальная скорость va = 0, то v = wt. B6) Ускорение w имеет тот же знак, что и изменение скорости Av, поэтому при равномерно-ускоренном движении ускорение w поло- положительно, а при равномерно-замедленном — отрицательно. Определим путь, проходимый при равнопеременном движении. Положим для простоты начальную скорость ¦»0^0, тогда по B6) графически зависимость скорости от времени (считаем ^
24 КИНЕМАТИКА [ГЛ. I изобразится прямой ОА (рис. 6), а следовательно, по сказанному' в предыдущем параграфе, путь s, пройденный за время /, изо- изобразится площадью фигуры ОАВ; так как в данном случае эта фигура есть треугольник, то ее пло- площадь равна АВ-ОВ _v-t 2 ~~ 2 " Отсюда nyrbs, пройденный за время t: C) •=т- Подставляя сюда вместо скорости v Рис. 6. Путь, проходимый при ее значение через ускорение w и равнопеременном движении, время t no B6), получим изображается площадью тре- ,2 угольника ОАВ. s=—-. D) Если скорость в начальный момент не равнялась нулю и имела значение v0, то s = »o*-f^. Dа) Примером равнопеременного движения может служить свободное падение тел у поверхности Земли. В этом случае ускорение ¦aj = g- = 9,81 м/сек*. Падение тел в воздухе можно считать равнопеременным только в тех случаях, когда роль сопротивления воздуха мала (камень, падающий с небольшой высоты); когда же роль сопротивления ста- становится большой, падение тел в воздухе делается равномерным (см. § 16), так, например, мелкие капли воды, образующие туман, опускаются в воздухе равномерно, также равномерно опускается в воздухе парашютист с раскрытым парашютом. Рассмотрим несколько примеров равнопеременного движения. Пример 1. Камень брошен с башни высотой 20 м с нулевой начальной скоростью. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: сколько вре- времени камень падает? С какой скоростью он подлетит к Земле? Решение. Так как движение камня по условию может считаться равно- равнопеременным, то пользуемся соотношениями, выведенными в данном параграфе. ' Из формулы D) определяем время, в течение которого камень падал: t=l/^ E) Y w где s —путь, пройденный камнем, т. е. высота, с которой он падал. Пользуясь для ускорения значением w = g = 9,81 м;сек'\ найдем I 2 сек. Скорость, приобретенная к концу движения: v = wt = gt = §,%\ -2 MJceK= 19,6 м/сек.
§ 8] УСКОРЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ 25 Скорость v, приобретенную к концу пути s, можно выразить и алгебраи- алгебраически через пройденный путь s и ускорение w. Для этого подставляем в выражение v = wt вместо t его значение по E), тогда v = wt = w 1/ — , X W откуда v= Y2sw. F) Пример 2. Камень, брошенный вертикально вверх, достигает высоты 30 м. Через сколько времени он достигнет этой высоты и через сколько вре- времени он упадет обратно на Землю? Какую начальную скорость надо ему сообщить? Решение. Движение камня, брошенного вертикально вверх, будет в той своей части, где камень поднимается кверху, равномерно-замедленным, поэтому его ускорение да = — g и высота его поднятия s = vot — ~ , G) где v0 — начальная скорость камня и t—время, в течение которого он под- поднимается вверх. Начальную скорость va определим из условия, что скорость vs в наивысшей точке равна нулю, т. е. откуда vo=gt (8) и, следовательно, по G), откуда искомое время поднятия камня на высоту s равно <=/!¦ Сравнивая это время с временем, определяемым равенством E), находим, что время поднятия камня на высоту s равно времени его свободного паде- падения с той же высоты. Подставляя найденное значение t в (8), получим Wo = V2sg. Следовательно [ср. с формулой FI, и скорость, с которой камень надо бро- бросить вертикально вверх, равна скорости, какую он приобретает, свободно падая с той же высоты s. Пользуясь выведенным соотношением и численным значением, данным в примере, находим: v0 = V2sg= ]/2-30-9,81 м1 сек Q^ 24,2 м/сек; § 8. Ускорение произвольного прямолинейного движения. В об- общем случае неравномерного прямолинейного движения можно ввести понятие о среднем ускорении. Среднее ускорение w за данный промежуток времени At равно ускорению тела, движущегося равно- равнопеременно и приобретающего за тот же промежуток времени Д? то же приращение скорости Av, что и рассматриваемое тело: — До ,,,
26 КИНЕМАТИКА [ГЛ. Понятие об ускорении в данный момент вводится так же, как и понятие о скорости в данный момент. Мы уменьшаем промежуток времени At настолько, чтобы движение за этот промежуток времени можно было практически считать равнопеременным. Среднее уско- ускорение гг> за такой промежуток времени и даст нам ускорение в дан- данный момент. Таким образом, под ускорением в данный момент под- подразумеваем предел, к которому стремится среднее ускорение w при бесконечном убывании того промежутка времени Д^, за который оно берется: w — пред. (w) = пред. (-^), B) где Дг>— бесконечно малое изменение скорости за бесконечно малый промежуток времени Д^. Из дифференциального исчисления имеем (Av\ dv * = "?«; 77 =7*. Bа) т. е. ускорение численно равно производной от скорости по времени. Так как d's 0О w = - ¦¦ B6) т. е. ускорение численно равно производной от пути по времени. . Эти соотношения так же, как и в случае скорости, мы можем пояснить графически. Пусть на рис. 7 кривая ОАВ представляет зависимость скорости от времени. Среднее ускорение гг> за про- промежуток времени от t до t -\- At v ) равно где pt — угол между осью Ot и се- секущей АВ. Бесконечно уменьшая промежуток времени At, мы стремим секущую АВ к касательной АС и, таким образом, в пределе: ; = пред. — = Рис. 7. Ускорение неравномерногс движения определяется тангенсом угла р, образованного касательной с осью Ot. где р — угол между осью Ot и касательной ЛС в данной точке А к кривой, изображающей зависи- зависимость скорости от времени. § 9. Скорость и ускорение как векторы. Скорость характери- характеризуется не только численным значением, но и направлением. Для описания движения тела недостаточно указать численное значение
§ 9] СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ КАК ВЕКТОРЫ 27 Рис. 8. При сложении двух векторов А и В результирующий век- вектор С изображается диагональю паралле- параллелограмма, сторонами которого служат век- векторы А и В. его скорости, необходимо еще указать, в каком направлении оно движется. Величины, характеризуемые не только численным значением, но и направлением, называются векторами. Величины, для определения которых достаточно задать только их численное значение, называются скалярами (например, промежуток времени, масса, плотность и т. д.). Вектор может быть изображен стрелкой, длина которой в некоторых произвольных еди- единицах длины равна численному значению ве- вектора, а направление совпадает с направле- направлением вектора. Векторы принято обозначать жирными буквами, а их численные значения — теми же обычными буквами; например, буква А означает вектор, а А — его численное значе- значение. Знак минус перед вектором означает, что вектор — А направлен в сторону, противопо- противоположную вектору А, будучи одинаковой с ним длины. Опыты показывают, что физические вели- величины, являющиеся векторами, складываются иначе, чем алгебраические величины. Способ сло- сложения векторов определяется правилом параллелограмма: при сложении двух векторов А и В суммарный вектор С определяется диагональю параллелограмма, сторонами которого слу- служат векторы А и В (рис. 8). При сложении более чем двух векто- векторов можно найти суммарный вектор путем последовательного применения правила параллелограмма. Тот же результат полу- получится, если построить ломаную, соста- составляющие которой по величине и напра- направлению совпадают со слагаемыми векто- векторами А, В, С, D (рис. 9). Суммарный Рис.9. ВекторF,являющийся вектор F определится замыкающей, прове- суммой векторов А, В, С, D, денной от начала ломаной к ее концу, изображается замыкающей Разность двух векторов А и В можно ломаной линии, составляю- определить, введя вектор В' = —В, тогда щие которой — векторы А. ^ у В, С, D. А — В = А + В'. A) Построив вектор В', численно равный вектору В, но направлен- направленный в противоположную сторону, найдем вектор С, являющийся суммой векторов А и В'. В силу равенства A), вектор С представит одновременно и разность векторов А — В. Вектор можно определить либо непосредственно, задав его по величине и направлению, либо задав его проекции на координатные
28 КИНЕМАТИКА [гл. 1 оси. В случае плоской задачи и пользования прямоугольной систе- системой координат (рис. 10) вектор А определится его проекциями на оси координат Ах и Ау. Из рис. 10 имеем Ах -= A cos а; Ау = A cos C = A sin а; B) Направление вектора А определится либо углом а, который он составляет с осью ОХ, либо углом р, который он составляет с осью OY. Как видно из рис. 10: Рис. 10. Отрезки Ах и Ау яв- tga = -^; tgP = —. C) ляются проекциями вектора А &х Ау па оси ОХ и OY. Скорость прямолинейного движе- движения есть вектор, направленный вдоль той прямой, по которой движется' тело, и в ту сторону, куда оно движется. Представление о скорости как о векторе подтвер- подтверждается совпадением результатов расчета движений, произведенных на основании векторного правила сложения скоростей, с резуль- результатом наблюдений над действительными движениями. Если тело участвует одновременно в двух прямолинейных равномерных дви- движениях, происходящих со скоростями v, и v, (рис. 11), то его резуль- результирующее движение характеризуется вектором скорости v, получаемым из V! и Vj в результате их векторного сложения. Рис. 11. Результирующая скорость v определяется диагональю паралле- параллелограмма, сторонами которого слу- служат складываемые скорости Vi и v2. Рис. 12. Разложение скорости v на составляющие vx и vy. Вектор скорости v можно разложить на его составляющие вдоль любых заданных направлений, например, в плоской задаче его можно разложить на составляющие вдоль осей координатной Системы OXY (рис. 12). В этом случае формулы B) могут быть переписаны в виде: v = Vvx-^Vy. D)
§ КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 29 Рис. 13. Определение результирующей скорости. Пример. Найти по величине и направлению относительно берега ско- скорость v человека, движущегося поперек парохода со скоростью vt = 2 м/сек; пароход движется со скоростью t»a = 8 м/сек. Решение. Скорость v человека относительно берега является век- векторной суммой скоростей Vi и Va_ (рис. 13). Ее численное значение v== Yv\ + v\ = 1^4 -f- 64 м/сек = ]Л38 м/сек = 8,25 м/сек. Направление ско- скорости v определится углом а, который она составляет с на- - Y? Направление движения правлением движения паро- v( хода; из рис. 13: tg а = ^! = -|- = 0,25, откуда о = 14°03'. Ускорение, как и ско- скорость, есть вектор, так как оно характеризуется, кроме численного значе- значения, еще и направлением. В случае прямолинейного движения ускорение всегда направлено вдоль той же прямой, вдоль которой направлена скорость и вдоль которой совершается движение. При этом ускорение, как мы уже отмечали, может быть направлено либо в ту же сторону, что и скорость (уско- (ускоренное движение), либо в обратную (замедленное движение). Если ускорение направлено под некоторым углом к скорости, то ско- скорость меняется не только по вели- величине, но и по направлению. В этом случае тело движется криволинейно. § 10. Криволинейное движение. Если линия, описываемая материальной точкой при ее движении, или как го- говорят, ее траектория, представляет собою кривую линию, то движение называется криволинейным. Для того чтобы определить вектор скорости при криволинейном движении, рассмо- рассмотрим малый промежуток времени Дг; за этот промежуток времени материальная точка пройдет малую дугу As (рис. 14). Если мы будем бесконечно уменьшать промежу- промежуток времени, то и дуга As станет бесконечно уменьшаться и в пре- пределе сольется со стягивающей ее хордой As. Криволинейное дви- движение в пределе совпадает на бесконечно малом участке с прямо- прямолинейным. Поэтому скорость криволинейного движения в данной точке А численно окажется равной Рис. 14. Вектор скорости v на- направлен при криволинейном дви- движении по касательной к траек- траектории. г. = пред. и -, о Д8 ¦)¦ A)
30 КИНЕМАТИКА [гл. i а ее направление совпадет с направлением бесконечно малой хорды As, стягивающей бесконечно малую дугу As. Но так как бес- бесконечно малая хорда в пределе совпадает по направлению с каса- касательной к данной точке А, то вектор скорости v при криволиней- криволинейном движении направлен в каждый данный момент по касатель- касательной к траектории тела, проведенной в направлении движения. Если скорость v при криволинейном движении имеет постоянное численное значение, т. е. если за одинаковые и произвольно выбранные промежутки времени материальная точка проходит дуги одинаковой длины, то криволинейное движение называется равномерным. Однако надо помнить, что по направлению скорость и в этом случае непре- непрерывно меняется: в каждой точке пути она направлена по касатель- касательной, а для криволинейного пути в разных точках касательная имеет разные направления. Таким образом, при криволинейном движении вектор скорости никогда не остается постоянным: он все время меняется. В слу- случае равномерного криволинейного движения он меняется только по направлению, сохраняя постоянное численное значение; в общем слу- случае неравномерного криволинейного движения он меняется и по вели- величине и по направлению. Для рассмотрения криволиней- криволинейного движения весьма удобно опре- определять положение тела с помощью координат, например, в случае пло- плоского движения — с помощью коор- Рис. 15. Представление криволи- динат х и у (рис. 15). Также вместо самого вектора скорости v удобно рассматривать в каждый данный момент его про- проекции на координатные оси vx и vy, тогда численное значение век- вектора v в плоской задаче определится значением: нейного движения с помощью его составляющих вдоль координатных осей. v = yvl -)- vy, - B) а его направление — углом а между осью ОХ и прямой, вдоль кото- которой направлен вектор скорости. Из рис. 15 имеем, что tg а = -•«-. C) Вектору смещения тела As соответствуют проекции на координатные оси Ах и Ду. Согласно правилам дифференциального исчисления, проекциями скорости
§ Ю] КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 31 будут величины Д_у\ dy D) Здесь dxjdt и dyjdt представляют собой производные координат по вре- времени. Их можно вычислить, если координаты движущегося тела заданы в виде определенных функций от времени: x=ft (t); у =/2 (t). Рассмотрим несколько примеров криволинейного движения. Пример 1. Тяжелое тело брошено с начальной скоростью, численно равной v0 и составляющей угол а с горизонтом. Найти: 1) вид траектории, 2) высоту наибольшего подъема, 3) дальность полета. Решение. Вводя коорди- координатные оси, как показано на рис. 16, имеем следующие выра- выражения для составляющих скорости тела (сопротивлением воздуха пре- пренебрегаем): Утах\ vx = va cos а, \ vy = v0 sin a — gt, J где g—ускорение силы тяжести. Координаты х и у тела, как функ- функции времени, выразятся: х = щ cos a • t, • t — ^~. | F) '•max Рис. 16. Траектория тела, брошенного под углом а к горизонту. у = v0 sm a • Исключая из выражений для х и у время t, получим уравнение траектории: t(r ? Л* У а ' 2t^cos2a Так как а есть заданный угол и v0 — значение начальной скорости, то коэф- коэффициенты при х и х* являются постоянными величинами; обозначая их через а и Ъ, получим у = ах — Ьх2, что представляет собой уравнение параболы. Таким образом, тяжелое тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболе. В высшей точке траектории vy = 0, откуда v0 sin a — gt = 0, и время V поднятия на наибольшую высоту равно г»0 sin а Наибольшая высота поднятия g Тело упадет на горизонтальную плоскость через время 2о0 sina G) = 2t', откуда Дальность полета получим, подставляя это значение t в выражение для х: Ъ. (8) g g
32 КИНЕМАТИКА [гл. баллистическая кривая Парабола Из последней формулы имеем, что при данном v0 наибольшая дальность полета достигается при а = 45°. Все полученные формулы справедливы лишь для движения тел в пустоте. При бросании тяжелых тел в воздухе существенную роль играет сопроти- сопротивление воздуха. Из-за сопротивления воздуха скорость во время полета убывает, и траектория не является больше параболой: ее нисходящая ветвь идет круче (баллистическая кривая, см. рис. 17); дальность полета и высота подъема становятся меньше. Характер баллистической кривой сильно зависит от формы брошен- брошенного тела. Роль сопротивления воз- воздуха можно видеть из следующего примера: из формулы (8) для тела, движущегося в пустоте, при началь- начальной скорости z>0 = 550 м/сек и угле бросания 20°, дальность полета полу- получается 19,8 км. Артиллерийский снаряд, имеющий вид цилиндра с конической передней частью, весом 82 кГ, при тех же начальных условиях имеет даль- дальность полета всего 8,1 км. Пример 2. Тяжелое тело брошено с начальной скоростью, численно равной vg и составляющей угол а с горизонтом. Пренебрегая сопротивле- сопротивлением воздуха, найти по величине и но направлению скорость: 1) в высшей точке подъема, 2) в точке падения на горизонтальную плоскость. Решение. Определим сперва направление вектора скорости v в наи- наивысшей точке подъема, для которой vv = 0: 0 Рис. 17. Сравнение параболической траектории и баллистической кривой. tg = S = 0, откуда = 0. Таким образом, в наивысшей точке подъема скорость направлена гори- горизонтально. Численно она равна: Vi = Yv% + vy = Vvt cos2 a = vo COS a- Определим теперь по направлению и по величине скорость в точке падения. Воспользовавшись выражениями для vy и для времени t, через которое тело упадет, выведенными в предыдущем примере, по- получим, что в точке падения vy =— v0 sin a, откуда следует, что угол <х2, определяющий направление скорости в этой точке, будет дан соотношением: vv va sin a tg a2 = -« = = — tg a, Vx v0 COS a b Рис. 18. Скорость vs, с которой тело падает, численно равна начальной скорости v0. отсюда получаем: а2 = — а, т. е. скорость тела в точке падения составляет угол с горизонтом, численно равней углу, который составляла с горизонтом начальная скорость, но только направлена она вниз (рис. 18). Скорость в точке падения тела равна Vi = Yv2x + vy = У vl cos2 a + vl sin2 a = va, т. е. скорость в точке падения численно равна начальной скорости. § 11. Ускорение при криволинейном движении. Как было ука- указано в предыдущем параграфе, при неравномерном криволинейном движении вектор скорости меняется и по величине, и по направлению.
§ 11] УСКОРЕНИЕ ПРИ КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ 33 Изменение вектора скорости Av за некоторый промежуток времени от t до t-\-At представится векторной разностью скоростей v2 и v,, которые тело имело в моменты времени t-\-kt и t. Ускорение при этом численно будет равно 4?|^ О) где | Av | — численное значение изменения вектора скорости v; напра- направлено ускорение в ту сторону, куда направлено бесконечно малое изменение скорости Av. Таким образом, равенство A) может быть записано также в векторном виде: чг = пред. (^r). (la) Раньше чем более подробно рассмотреть ускорение при криволи- криволинейном движении, разберем понятие о кривизне кривой линии. В случае окружности кривизна определяется величиной 0 = -^, н где R — радиус рассматриваемой окружности. Если а есть централь- центральный угол, соответствующий дуге окружности s, то, как известно, между R, а и s имеет место соотношение: ~s=R«. B) Кругом кривизны пло- f/ ской линии в некоторой точ- / ке А называется предельное положение окружности, про- проходящей через точку А и две другие точки Вх и Вг чч ^,У при их бесконечном прибли- ^- " жении к точке А (на рис. 19 рис jg Нахождение радиуса кривизны кривая проведена сплошной ДуГИ д"8_ линией, а круг кривизны — пунктирной). Радиус круга кривизны дает радиус кривизны рассма- рассматриваемой кривой в точке А, а центр этого круга — центр кривизны кривой для той же точки А. Проведем в точках By и /?2 касательные B^D и ВйЕ к окруж- окружности, проходящей через точки ??,, А и В,г. Нормали к этим каса- касательным В^С и ВгС представят собой радиусы R окружности и пересекутся в ее центре С. Введем угол Да между нормалями Bfi и BiC; очевидно, он равен углу между касательными ByD и В.гЕ. По формуле B): _ г, As
34 КИНЕМАТИКА [ГЛ. I где через As обозначена дуга круга BiAB^. При As -*¦ О, по ска- сказанному, радиус окружности определяет радиус кривизны кривой д в точке А. Таким образом, для радиуса кривизны кривой имеем ; = пред. Д5-.0 Bа) Величина, обратная R, даст кри- кривизну линии в данной точке: С = -^. Из рис. 20 видно, что в точке Аи где кривая проходит более полого, радиус кривизны имеет ббльшее зна- значение /?!, а в точке Л2, где кривая загибает круче, — меньшее значение /?4. Для крицой в точке А3, где вы- Рис. 20. Радиусы кривизны кри- пуклость обращена в другую сторону, вой в разных точках. чем в точках At и Л2, центр кривизны также лежит по другую сторону кривой. Теперь рассмотрим более подробно ускорение тела, движущегося неравномерно по плоской кривой. Пусть у, есть вектор скорости и точке А кривой (рис. 21), а у3 — вектор скорости в точке В. Вектор v3 отличается от vt и по величине и по направлению. Про- Проведем из точки А отрезок АС, равный и параллельный отрез- отрезку BD, изображающему вектор скорости v2. Тогда отрезок ЕС, равный разности векторов va и V!, представит изменение скорости Ду на пути АВ. При- Приближая точку В к точке А, Рис. 21. Изменение скорости Ду при мы будем тем самым стремить криволинейном движении. к нулю и промежуток времени At, который телу необходимо затратить, чтобы пройти от точки А до точки В. При этом по формуле Aа) мы получим для ускорения в точке А выражение: ш = пред. т- At->0 \ас Отложим вдоль АС отрезок AF = vy и разобьем Ду на две соста- составляющие: A\t и Ду2. Тогда ДУ( характеризует изменение скорости по направлению, а Дуа — изменение скорости по величине. Очевидно, Ду = Ду, -\- Ду2; подставляя это значение Ду в выражение для уско- ускорения w, получим w = пред. (?) = пред. /Ду'+А^ — ^Л ' — '^ At -» 0 \al I At-, 0 U -> 0 р U -. 0
§ 11] УСКОРЕНИЕ ПРИ КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ 35 Сложение здесь повсюду векторное. Величина C) и-.о представляет собою ту часть ускорения, которая характеризует изме- изменение скорости только по направлению. Обозначим угол между АЕ и АС через Да; по построению это tCTb угол между векторами скоростей V] и v2, а следовательно, и между касательными к нашей кривой в точках А и В. При малом угле Да, как видно из рис. 21, можно написать: EF=AE -Да, но так как EF=Av1 и AE = vlt то Воспользовавшись этим выражением для At>j, получим по C) для численного значения составляющей ускорения wn: > о Величину, стоящую под знаком предела, помножим и поделим на длину дуги As = AB; кроме того, заметим, что при Д^-> 0 и As->0. Тогда находим / Да As\ /A~s\ /Да и>л = пред. lt>! — • дт-1=1»! пред. I тг I • пред.^ Но пред. (~)= Vi, a по Ba) пред. [^-)=-^-. Воспользовавшись этими выражениями, получим для wn: где vl — скорость тела в точке A, a R — радиус кривизны кривой в той же точке. В пределе при Да—»0 мы имеем, что /_ AEF-* 90° и, следовательно, вектор Avj располагается нормально к скорости v,, которая направлена по касательной к кривой в точке Л. Таким образом, wn, совпадающее по направлению с Avb оказывается рас- расположенным нормально (перпендикулярно)к скорости и направленным к центру кривизны пути в данной точке. В соответствии с этим часть полного ускорения wn носит название нормального или центро- центростремительного ускорения. Из приведенных рассуждений мы легко определим' и направление-второй части ускорения wt; в самом деле, при Да —> 0 отрезок АС стремится по направлению к Vi, откуда А\г, а следовательно, и xvt оказываются направленными вдоль той же прямой, что и скорость Vj, т. е. вдоль касательной к кривой в точке А.
36 КИНЕМАТИКА [ГЛ. Г ¦Поэтому часть ускорения w, носит название касательного или тан- тангенциального ускорения. Резюмируя, мы можем сказать: при криволинейном движении полное ускорение w может быть разбито на две составляющие: 1) тангенциальное ускорение w(, характеризующее изменение ско- скорости по величине, и 2) нормальное ускорение wn, характеризую- характеризующее изменение скорости по направлению. При этом где R — радиус кривизны траектории в данной точке и v — значение скорости тела в этой точке; направлено нормальное ускорение по нормали к кривой (к центру кривизны). Тангенциальное ускорение: где Дт) — изменение численного значения вектора скорости; направлено тангенциальное ускорение по касательной к траектории. Очевидно (рис. 22), нормальное ускорение wn и тан- тангенциальное Wj взаимно перпендикулярны, отсюда полное ускорение w численно равно w = у w'n -\- w\. G) Направление вектора полного ускорения w определится либо углом {3, который w составляет с радиусом кривизны, либо углом а, который w составляет с касательной: Рис. 22. При криволиней- w w ном движении полное ус- tg р = —, tg а = —- . (8) корение w разлагается на wn wt IT^^JoTiZt При равномерном движении по кривой тростремительное) ш„. wt = 0 и w = wn; таким образом, при равно- равномерном криволинейном движении танген- тангенциальное ускорение раино нулю, и полное ускорение, совпадая с нормальным, направлено в каждой точке траектории по нор- нормали к ней, к центру кривизны. Оно выражает в этом случае тот факт, что скорость, оставаясь постоянной по величине, все время меняет свое направление. Полученные нами формулы относятся к движению по плоской кривой, однако их легко обобщить и на случай неплоского криво- криволинейного движения. Пример. Найти нормальное и тангенциальное ускорения тяжелого тела, брошенного горизонтально с начальной скоростью vt (пренебрегая сопроти- сопротивлением воздуха).
§ 12] КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. УГЛОВЫЕ СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ 37 Решение. Полным ускорением в данном случае будет ускорение силы" тяжести g; оно направлено вертикально вниз и постоянно по величине. Отсюда (рис. 23) имеем для нормального ускорения выражение wn = gsina (9) и для тангенциального Wt = gcosa. A0) Значение угла а определим из того со- соображения, что скорость нашего тела v на- направлена так же, как W/, и что ось OY на рис. 23 направлена вертикально вниз; тогда vx = v0\ vv=gt, откуда vx - v COS a = - V ;_ §*_ Рис. 23. Ускорение горизон- горизонтально брошенного тела. vl + tf2 Подставляя эти значения для sin a и cos a в (9) и A0), найдем При ^ = 0, т. е. в начальный момент, когда ш^ = 0 и wn = w — g, нормаль- нормальное ускорение совпадает с полным. По мере падения тела нормальное уско- ускорение убывает (увеличивается радиус кривизны, траектория брошенного тела становится менее искривленной) и начинает возрастать тангенциальное уско- ускорение. При t —- оо имеем: да/—->w — g и wn—» 0. § 12. Кинематика твердого тела. Угловые скорость и ускоре- ускорение. Все реально существующие твердые тела более или менее де- деформируются под влиянием приложенных к ним сил; отдельные их части могут смещаться друг относительно друга. Для того чтобы упро- упростить рассуждение, введем понятие об абсолютно твердом теле. Под абсолютно твердым телом подразумевается такое воображаемое тело, которое вовсе не деформируется под влиянием приложенных к нему сил. В абсолютно твердом теле не- невозможны перемещения отдельных его частей друг относительно друга. Дви- Движение абсолютно твердого тела сво- сводится к поступательному движению и к вращению. Поступательное движение твердого тела — это такое движение, при кото- котором любая прямая линия, проведенная в теле и неизменно связанная с ним, Рис. 24. Поступательное движе- движение твердого тела. перемещается, оставаясь параллельной самой себе (рис. 24). При поступательном движении все точки твердого тела обладают одина- одинаковыми скоростями v и одинаковыми ускорениями w.
38 КИНЕМАТИКА ! [ГЛ. I Вращательное движение — это такое движение, при котором все точки твердого тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, являющейся осью вращения (рис. 25). В общем случае твердое тело может одновременно совершать и поступательное и вращательное движения. Наконец, и сама ось вра- вращения может менять' свое положение относительно тела; в этом случае для каждого данного момента времени го- говорят о вращении вокруг мгновенной оси. Введем понятие об угловой скорости. Для этого определим положение неко- некоторой точки В вращающегося тела (рис. 25) углом <р, который образован радиусом ОВ с некоторым начальным радиусом ОА. При вращении тела угол 9 непрерывно меняется. Угловой ско- скоростью равномерно вращающегося тела Рис. 25. Вращательное дви- называется физическая величина <л, про- жение твердого тела. порциональная углу Дер, на который по- повернется радиус ОВ, и обратно про- пропорциональная промежутку времени At, за который радиус повер- повернулся на этот угол Дер: <° = kbt, О) где k — коэффициент пропорциональности. Если положить k=\, то А<Р ==7 B) при этом, измеряя А<р ш At в определенных единицах, мы должны выбрать для измерения (о такие единицы, чтобы равенство B) выполнялось. Измеряя, как обычно, углы в радианах, а время в секундах, мы должны за единицу угловой скорости выбрать угловую скорость такого движения, при котором угол ср меняется на один радиан за одну секунду; эту единицу угловой скорости можно обозначить радиан/сек, обычно ее обозначают просто ¦— или сек'1. Значение угловой скорости ш данного вращающегося твердого тела не зависит от выбора точки В, так как угол Дер, на который поворачивается за данное время At радиус ОВ, не зависит от поло- положения точки В. Найдем связь между линейной скоростью v точки В и угловой скоростью вращения тела ш.
сти дугу As, тогда ее линейная скорость численно равна с другой стороны (см. рис. 25), Д? = -д-. откуда v = д|- • /?, или по B) v = <aR, C) где /?—расстояние точки 5 от оси вращения. Чем дальше отстоит точка В от оси вращения, тем больше, при данной угловой скоро- скорости <о, ее линейная скорость v. Различные точки вращающегося твер- твердого тела' имеют различные линейные скорости. Свяжем угловую скорость с периодом обращения тела Т. За время At=T тело совершает полный оборот, а угол <р возрастает на 2тс, т. е. Д<р = 2л, откуда по B): <•> = т . D) Наконец, введем в рассмотрение число оборотов п в единицу времени. Так как один оборот совершается за время Т, то, следо- следовательно, за единицу времени будет совершено оборотов: п=~. E) Отсюда по D) получаем еще одно выражение для угловой ско- скорости вращения тела: со = 2ии. F) Каждая точка вращающегося тела, двигаясь по окружности, имеет нормальное ускорение: где v — ее линейная скорость, a R — расстояние от оси вращения. Подставляя сюда вместо линейной скорости v ее значение через угловую скорость (о по C), найдем да„ = «*/?. ' G) Так как все точки вращающегося твердого тела обладают одной и той же угловой скоростью ш, то из формулы G) видно, что чем дальше от оси вращения отстоит рассматриваемая точка вращающе- вращающегося твердого тела, тем большее нормальное ускорение она имеет.
40 КИНЕМАТИКА [ГЛ. I Используя формулы E) и F), мы можем придать выражению G) еще следующий вид: wn — —fr (8) ИЛИ wn = ii^n^R. (8a) В случае неравномерного движения по окружности вводим по- понятие об угловой скорости ш в данный момент: СО ш = пред. -rj Д/--.0 \ЛС При этом связь между угловой скоростью <о в данный момент и ли- линейной скоростью v в данный момент сохраняется та же, что между ш и v при равномерном вращении [формула C)]. При неравномерном вращении угловая скорость ш меняется со временем. Для характеристики этого изменения вводится угловое ускорение C, представляющее собою, в случае равнопеременного вращения, физическую величину, прямо пропорциональную изменению угловой скорости Дш и обратно пропорциональную тому промежутку времени At, за который это изменение произошло. В общем случае неравномерного вращения угловое ускоре- ускорение в данный момент равно A0) Из дифференциального исчисления имеем « = §? (9а) и для углового ускорения „dad A0а) Рис. 26. Точка А, находя- находящаяся на земном шаре на широте <р, описывает окруж- окружность радиуса Ri. Пример 1. Определить угловую и линей- линейную скорости точек на поверхности земного шара, а также их нормальное ускорение. Решение. Угловая скорость: « = Т = 247Ш7бб «кг'^7,3. 10- сек- она одна и та же для всех точек земного шара. Линейная скорость точек на широте <р (рис. 26) равна v = ы/Zi — &R cos <?, где ^? — радиус земного шара. Подставляя вместо а ее численное значение 6370 637 10° ? ру р и зная, что /? = 6370 км = 6,37 • 10° м, получим v = 4,65 • 102 costp Mjсек. Нормальное ускорение wn на широте <р равно wn = <оа/?.[ = ш2/? cos у.
wn = 3,4 cos у см/сек2. Пример 2. Колесо радиуса г = 10 см вращается ускоренно так, его число оборотов возрастает на яо = — оборота за каждую секунду. Найти к концу второй секунды: 1) угловую скорость колеса, 2) линейную скорость точек на его ободе, 3) нормальное, тангенциальное и полное ускорения точек на ободе. Решение. Число оборотов п к концу второй секунды будет п = not = 4- ¦ 2 — = 1 сек-1. 2 сек. Угловая скорость ш к концу второй секунды: ы = 2тш = 2r.nat = 2 • 3,14 • 1 сек. = 6,28 сек.. Линейная скорость точек на ободе колеса к концу второй секунды: v ==ш7? = 6,28 • 10 см/сек = 62,8 см/сек — 0,628 м/сек. Нормальное ускорение точек на ободе: м>„ = <оа# = 6,282 ¦ 10 см/сек* = 394,4 см/сек*. Тангенциальное ускорение wt найдем из того соображения, что v = aR = 2ъпаМ, т. е. v возрастает равномерно со временем, следовательно, для него, как для случая равнопеременного движения, должно иметь место равенство v = wtt, где wt — искомое тангенциальное ускорение, откуда «^ = 2яяо/? = 6,28 • -j • 10 см/сек'" —31,4 см/сека. Полное ускорение w = Ywl + w\ — j/^94,42 + 31,4- см/сек2 = 396,5 см/сек*. Направление лолного, ускорения определим из рис. 22, откуда видно, что угол а, который оно составит с касательной к окружности, определится ра- равенством: wn 394,4 . АП„_ sin a = —? = —^- -~ 0,9965, w 396,5 откуда а = 85°30'. Таким образом, полное ускорение направлено подуглом 85°30' к касательной, или, что то же самое, под углом р = 4°30' к радиусу. § 13. Угловая скорость как вектор. Движение по окружности заданного радиуса R будет в том случае полностью охарактеризовано, если заданы: \)угло- \)угловая скорость (о (или линейная скорость v), 2) плоскость, в которой лежит окруж- окружность, и 3) направление вращения. Последняя характеристика необходима, так ¦ как движение по окружности, рассматриваемое с определенной стороны плоскости, может происходить либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Однако все эти три характеристики могут быть даны с помощью одного
42 КИНЕМАТИКА [гл. i вектора, если условиться проводить этот вектор перпендикулярно к плоскости и сопоставлять направлению вектора определенное направление вращения. Последнее делается по правилу буравчика: сопоставляем направление век- вектора с поступательным движением буравчика, а вращение — с направле- направлением вращения ручки буравчика (рис. 27). Тогда для характеристики вращения Рис. 27. Правило бурав- буравчика. Рис. 28. Вектор угловой скорости проводится пер- перпендикулярно к плоскости, в которой происходит вращение, и в такую сторону, что рассматри- рассматриваемое с его конца вращение представляется происходящим против часовой стрелки. вводим такой вектор <о, называемый вектором угловой скорости, что: 1) его численное значение равно численному значению угловой скорости и>, 2) про- проведен он нормально к плоскости, в которой лежит окружность, по которой происходит вращение, и 3) рассматриваемое с конца этого вектора вращение представляется происходящим против часовой стрелки (рис. 28). Изображение угловой скорости с помощью вектора оправдывается тем, что в случае, если тело принимает участие одновременно в двух вращениях, его результирующее вращение характеризуется вектором, получаемым сложением векторов угловых скоростей слагаемых вращений по правилу параллелограмма. В векторном анализе вводится понятие о так называемом векторном произведении. Под векторным произведением векторов А и В подразумевается вектор С, численное значение кото- С рого равно: С = А ¦ fisin(Z А, В), где А и В— численные значения век- векторов А и В, a (Z. А, В)— угол между ними (угол а на рис. 29). Вектор С направлен перпендикулярно к пло- плоскости, содержащей векторы А и В, и в такую сторону, чтобы при рас- рассматривании с его конца вектор А мог быть совмещен с вектором В путем вращения против часовой стрелки (в сторону меньшего угла; см. рис. 29). Другими словами: при вращении ручки буравчика в направлении от А к В (в направлении меньшего угла) поступательное движение буравчика определит направление вектора С. Векторное произведение обозначается символом: С==АХВ. Рис. 29. Векторное произведение.
§ 13] УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ КАК ВЕКТОР 43 Векторное произведение не обладает свойством коммутативности: векторы С = АхВ и С' = ВхА совпадают лишь по численному значению, но на- направлены'в противоположные стороны. Введение представления об угловой ско- скорости как о векторе позволяет удобно связать вектор линейной скорости v с вектором угло- угловой скорости ю и радиусом-вектором г, опреде- определяющим положение материальной точки отно- относительно оси вращения. Как видно из рис. 30: v = ш X г, т. е. v является векторным произведением миг. При рассмотрении угловой скорости как вектора и угловое ускорение C должно рас- рассматриваться как вектор, потому что в этом случае в равенстве Рис. 30. Связь между векто- векторами Ы, V И Г. 1 = пред. — величина Д<о представляет собою векторное изменение угловой скорости а.
ГЛАВА П ДИНАМИКА § 14. Перзый закон Ньютона. До сих пор мы рассматривали лишь перемещение тел в зависимости от времени, т.е. рассматривали задачи кинематики. Вопросов же, связанных с взаимодействием тел, которое ведет к изменению состояния движения, мы не касались вовсе. Эти вопросы относятся к области динамики. Основные поло- положения динамики были сформулированы Ньютоном в его „Матема- „Математических началах натуральной философии" A687) в виде трех за- законов движения. Первый закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом: всякое тело сохраняет состояние покоя или равномер- равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Здесь тело рассматривается как материальная точка, т. е. из рас- рассмотрения исключается вращательное движение. В § 35 мы увидим, что тело может без воздействия со стороны других тел находиться также в состоянии равномерного вращения. Из первого закона Ньютона следует, что тело может только тогда изменить состояние покоя или равномерного и прямолиней- прямолинейного движения, когда на него воздействуют другие материальные тела. Проверить первый закон Ньютона непосредственными опытами невозможно, так как в реально окружающей нас обстановке нельзя поставить тела в такие условия, когда на них вовсе не воздействуют другие тела. Однако путем обобщения ряда фактов мы убеждаемся в правильности первого закона Ньютона. Обычно наблюдаемое со- состояние покоя окружающих нас предметов обусловлено тем, что воздействия различных тел компенсируют друг друга, например, при- притяжение со стороны земного шара и реакция опоры или подвеса в случае покоящегося тяжелого тела. При движении тело тем дольше сохраняет свою скорость, чем слабее на него воздействуют другие тела: брошенный с некоторой начальной скоростью камень, сколь- скользящий по поверхности Земли, тем дольше движется, чем ровнее эта поверхность, т. е. чем меньше на него воздействие других тел.
§ Н] ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА 45 Окончательно в справедливости первого закона Ньютона нас убеждает, косвенным образом, совпадение всех вытекающих из него следствий с опытными данными. Останавливаясь более подробно на первом законе Ньютона, надо поставить вопрос: относительно какой системы отсчета (какой коор- координатной системы) устанавливается тот покой или то равномерное и прямолинейное движение, о котором идет речь в первом законе Ньютона. Сам Ньютон подразумевал, что дело здесь идет о неко- некотором абсолютном движении в абсолютном пространстве. Он писал: „Абсолютное пространство по всей своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и не- неподвижным.. .. Абсолютное движение есть перемещение тела из одного абсолютного его места в другое". Такая точка зрения метафизична и не соответствует действительности. Свойства объективно суще- ствугощего реального пространства определяются самой материей. Положение тел и их движение, как мы уже подчеркивали, могут быть определены лишь относительно других материальных тел; по отношению к различным телам одно и то же тело может двигаться по-разному. Наблюдения показывают, что первый закон Ньютона справедлив не по отношению к каждой системе отсчета. Рассмотрим несколько примеров. Положим, что системой отсчета является прямолинейно и равномерно движущийся вагон. Тогда, если отвлечься от сотрясений, первый закон Ньютона выполняется: покоящиеся относительно вагона тела не приходят в движение без воздействия на них со стороны других тел и т. д. Но стоит вагону начать заворачивать, тормозить . или ускорять ход, как появятся явные нарушения первого закона Ньютона: покоившиеся до того тела могут отклониться или упасть без видимого воздействия на них со стороны окружающих тел. Возьмем в качестве системы отсчета земной шар; в этом случае первый закон Ньютона выполняется гораздо точнее, чем в случае движущегося вагона, где даже при равномерном движении сказы- сказывается тряска, но и здесь достаточно тонкие наблюдения над неко- некоторыми процессами (качание маятников, распространение воздушных и океанских течений и т. д.) выявляют отклонения от первого за- закона Ньютона или, вернее, от следствий из него. Но если мы выберем в качестве системы отсчета гелиоцентрическую систему, начало которой помещено па Солнце, а оси направлены па опреде- определенные звезды, то в такой системе первый закон Ньютона выпол- выполняется практически вполне точно. Система отсчета, по отношению к которой выполнен первый закон Ньютона, носит название инер- инерциальной, системы. Сам первый закон Ньютона иногда называется принципом инерции. Как указано, инерциальной системой практически вполне точно является гелиоцентрическая система; инерциальной будет также и всякая система, движущаяся относительно нее равномерно и прямо-
46 динамика [гл. и линейно. Всякая же система, имеющая относительно одной из инер- циальных систем ускорение, сама не будет инерциальной. Более подробно вопрос об ускоренных системах мы рассмотрим ниже. § 15. Второй закон Ньютона. Сила и масса. Второй закон в формулировке, данной самим Ньютоном, гласит: изменение движе- движения пропорционально приложенной силе и происходит в том на- направлении, в каком действует сила. Таким образом, второй закон Ньютона вводит понятие о новой физической величине — силе. Из первого закона Ньютона, как мы видели, следует, что только воздействие одних материальных тел на другие способно изменять состояние их движения. Это воздействие одних тел на другие, ведущее к изменению состояния их движения, и характеризуется физической величиной, называемой силой. Изменение состояния дви- движения означает, что тело выходит из состояния покоя или равно- равномерного и прямолинейного движения, т. е. что меняется его ско- скорость, что тело приобретает ускорение. Отсюда следует, что физическая величина — сила характеризует то воздействие одних тел на другие, в результате которого тела приобретают ускорение. Возьмем какое-либо определенное тело и будем на него воздей- воздействовать каким-либо другим телом (или другими телами) так, чтобы оно приобретало различные ускорения w. Очевидно, чем сильнее воздействие, тем большее ускорение w приобретает тело. Отсюда естественно принять за силу, с которой другие тела воздействуют на рассматриваемое тело, физическую величину /, пропорциональную тому ускорению, которое данное тело приобретает: f=k'w, A) где k' — коэффициент пропорциональности. Равенство A) позволяет нам сравнивать между собою силы, дей- действующие на какое либо данное тело, по тем ускорениям, которые они ему сообщают. Так как ускорение имеет направление, то сила также должна быть величиной направленной. Опыты показывают, что при одновременном действии нескольких сил тело получает такое же ускорение, какое оно получает под действием одной силы, равной векторной сумме данных сил. Отсюда следует, что сила есть вектор; направлен вектор силы так же, как и вектор вызываемого им ускорения. Таким образом, равенство A) может быть записано в векторном виде: i = k'w. (la) Воздействие тел друг на друга не ограничивается только тем, что тела сообщают одно другому ускорения. Некоторые другие воздей- воздействия также характеризуются силой и могут быть, в свою очередь, исполь- использованы для уточнения понятия силы. Вообще говоря, тела, взаимо-
§ 15] ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. СИЛА И МАССА 47 действуя друг с другом, вызывают изменения формы или, как говорят, деформируют друг друга. Эти деформации могут быть использованы для сравнения сил. Предположим, что тело А (рис. 31 а), воздей- воздействуя на тело В путем непосредственного соприкосновения, сообщает ему ускорение w (толкает тело В). Если мы поместим между те- телами А и В какое-либо упругое тело, например пружину р (рис. 31 б), то, когда тело А будет толкать тело В, пружина сожмется. При этом пружина сожмется тем сильнее, чем большее ускорение тело А сообщает телу В, т. е. чем с большей силой тело А воздействует на тело В. Измеряя эту силу по вызываемому ею ускорению по равенству A), мы можем проградуировать пружину и дальше пользоваться ею для измерения сил. Пружина явится прибором для измере- измерения сил; такой прибор принято называть динамометром. Пользуясь указанным способом изме- измерения сил с помощью пружинного ди- динамометра, мы можем поставить такой опыт: воздействовать на разные тела одной и той же силой и сравнить те Рис. ЗГ. Тело А, толкая тело ускорения, которые они получают. ?- сообщает ему ускорение w. ¦L г > у j ПрИ этом пружина, помещен- Оказывается, что, вообще говоря, раз- н{я между теламИ) оказывается ные тела под влиянием одинаковых сжатой, сил приобретают различные ускорения. Таким образом, ускорения, приобретаемые различными телами, опре- определяются не только действующими на них со стороны других тел силами, но и некоторым собственным [свойством тел. Это свойство тел характеризуется особой физической величиной, называемой массой. Чем меньшее ускорение приобретает тело под влиянием данной силы, тем больше его масса. Следовательно, мы можем положить, ¦ что массы различных тел обратно пропорциональны тем ускорениям, которые эти тела приобретают под влиянием равных сил: пн Wy B) Масса тел зависит от размеров тел и от природы их вещества. ~ Масса является одной из самых основных характеристик тел. Ньютон считал, что масса есть мера количества материи в теле. Это определение, долго удерживавшееся в науке, носило неправильный метафизический характер. Также порочной была точка зрения тех физиков-идеалистов, которые приписывали массе лишь формаль- формальный характер некоторого „коэффициента", фигурирующего в уравне- уравнениях механики.
48 динамика [гл. п Диалектический материализм учит нас, что свойства материи неисчерпаемы и поэтому ни одна из физических характеристик дви- движущейся материи не может служить ее полной мерой. Говоря о ма- материи, как о философской, гносеологической категории, Ленин ука- указывал, что нельзя смешивать философское понятие о материи с теми или другими конкретными характеристиками различных видов материи; он писал:1 „Но совершенно непозволительно смешивать, как это. делают махисты, учение о том или ином строении материи с гносео- гносеологической категорией, — смешивать вопрос о новых свойствах новых видов материи (например, электронов) с старым вопросом теории познания, вопросом об источниках нашего знания, о существовании объективной истины и т. п.". Понятие о массе, как и о всякой другой физической величине, может быть установлено лишь через совокупность объективных за- закономерных взаимосвязей этой величины с другими физическими величинами. По отношению к массе одна из таких взаимосвязей дается вторым законом Ньютона, который вводит понятие об инерт- инертности тел. При этом, говоря об инертности тел, имеют в виду, что тела различаются неким объективным свойством, проявляющимся в том, что они приобретают неодинаковые ускорения при одинаковых внешних воздействиях. Это свойство, присущее всем телам, характе- характеризуется определенной физической величиной, которая и является массой. Соотношение B) позволяет количественно сравнивать массы различных тел. Измеряемая* таким образом масса может быть названа тинерцпонной массой", поскольку она измеряется на основании инер- инерционных явлений. Более полное содержание понятия массы вскрывается в резуль- результате рассмотрения широкой совокупности фактов. Одним из наиболее основных из таких фактов является установленный М. В. Ломоно- Ломоносовым закон сохранения масс: масса изолированной системы тел остается постоянной при всех происходящих в ней изменениях. В § 17 мы укажем связь между массой и физической величиной, называемой количеством движения; эта величина, носящая векторный характер, также подчиняется закону сохранения. Кроме того, масса проявляется в гравитационных явлениях (закон всемирного тяготения, § 32 и 33). Наконец, теория относительности приводит к выводу о наличии глубокой взаимосвязи массы и энергии. При скоростях, приближающихся к скорости света в пустоте, масса тел не остается постоянной, но возрастает с увеличением скорости. Постоянной остается масса системы, полностью изолированной, т. е. такой, по отношению к которой не имеет место обмен не только веществом (атомы, молекулы и т. д.), но и энергией. Сопоставляя равенства A) и B), мы приходим к выводу; уско- ускорение w, приобретаемое телом, прямо пропорционально силе \, 1 В. И. Ленин. Сочинения, 4-е изд., т. 14, стр. 116.
§ 16] СИЛЫ ТРЕНИЯ 49 действующей на тело, и обратно пропорционально массе тела т: где k — коэффициент пропорциональности. Равенство C) имеет векторный характер. Оно выражает точное содержание второго закона Ньютона. При решении многих физических задач величина и направление действующей силы оказываются известными, например, в случае сил всемирного тяготения (§ 32) или упругих сил, подчиняющихся закону Гука (§ 89). Тогда равенство C) позволяет найти ускорение и, сле- следовательно, определить характер движения. Равенство C) является основным уравнением динамики. §16. Силы трения. Наряду с силами, возникающими при дефор- деформациях тел (упругие силы), и силами тяготения существуют и другие силы, вызванные молекулярными взаимодействиями между соприка- соприкасающимися телами или отдельными частями одного и того же тела. Эти силы, проявляющиеся при относительном перемещении соприка- соприкасающихся тел или частей одного и того же тела друг относительно друга, носят название сил трения. Силы трения, возникающие при соприкосновении различных тел, называются силами внешнего трения. Эти силы не пропадают и тогда, когда оба соприкасающихся тела неподвижны одно относительно другого (трение покоя). Силы, вызванные перемещением частей одного и того же тела друг относительно друга, называются силами внутреннего трения (наиболее часто они проявляются при движении жидкостей и газов). \ Силы трения играют большук) роль в нашей повседневной прак- практике и в технике, поэтому уменье их учитывать существенно для правильного применения второго закона Ньютона во многих практи- практически важных случаях. \ Силы трения направлены тангенциально к соприкасающимся по- поверхностям тел и зависят от их отно^тельных скоростей. Последним они существенно отличаются от упругих сил и сил тяготения. Силы трения могут возникать не только между соприкасающимися твердыми телами, но и между твердым телом и жидкостью или твердым телом и газом. \ Так как при всяком реальном движении в земных условиях воз- возникают те или иные силы трения, то для определения ускорения тела необходимо учитывать, кроме действующей на него заданной силы f, еще силу трения fip, которая возникает при наличии отно- относительной скорости v. Пусть некоторое тело А движется относительно другого тела, с ним соприкасающегося, с относительной скоростью v. Опыт показы- показывает, что сила трения fip, действующая на тело А, всегда направлена в сторону, противоположную скорости v. Предположим, что на тело А, 3 С. Э. Фриш и А. В. Тиморева
50 динамика [гл. И кроме силы трения fTp, действует какая-либо другая сила f. Тогда ускорение w, приобретаемое телом А, определится суммарной силой По второму закону Ньютона: где т — масса тела, k — коэффициент пропорциональности. Для того чтобы в реальных условиях тело двигалось с постоян- постоянной скоростью v, к нему необходимо приложить силу f, уравнове- уравновешивающую силу трения fTp. Только тогда в равенстве A) результи- результирующая сила f -j- fTp равна нулю и, следовательно, равно нулю и ускорение w, т. е. тело движется равномерно. Тело движется прямолинейно и равномерно, когда внешняя сила уравновешивает возникающую в результате движения силу трения. Рассмотрим, например, пароход, движущийся прямолинейно под влиянием постоянной толкающей силы винта /, которую будем счи- считать положительной. Как только пароход сдвинется с места, воз- возникнет сила трения, зависящая от скорости парохода v. Так как сила трения направлена противоположно толкающей силе винта /, то обо- обозначим ее через —/тр. Пароход будет двигаться под влиянием резуль- результирующей силы /—/тр. В начале движения, пока скорость v мала, результирующая сила /—/тр положительна, и пароход движется ускоренно. По мере возрастания скорости v возрастает по числен- численному значению и сила трения, и ускорение становится меньше. Наконец, разность /—/тр примет значение нуль, и тогда пароход пойдет равномерно. Если толкающая сила винта по какой-либо при- причине уменьшится, то разность/—/тр может оказаться отрицательной, и тогда пароход начнет двигаться замедленно. В качестве второго примера рассмотрим падение тяжелого тела в воздухе с учетом сопротивления воздуха. Если тяжелое тело начнет падать с нулевой начальной скоростью, то на него действует лишь сила тяжести Р, и оно приобретает ускорение w, равное ускорению свободного падения g. По мере возрастания скорости падения появится сила трения о воздух, результирующая сила Р—/тр окажется меньше силы тяжести, и ускорение w станет меньше ускорения свободного падения g. При дальнейшем возрастании скорости падения сила трения, наконец, уравновесит силу тяжести Р, и тело будет падать равномерно с постоянной скоростью. Величина этой скорости рав- равномерного падения зависит от формы и размеров падающего тела. Опыт, например, показывает, что для падающего человека эта ско- скорость равна приблизительно 60 м/сек. Такой именно скорости до- достигают парашютисты при „затяжном прыжке". После раскрытия парашюта сила сопротивления воздуха резко возрастает, и скорость падения („спуска") снижается приблизительно до 5—6 м[сек.
§ 16] СИЛЫ ТРЕНИЯ 51 Сила трения, возникающая при скольжении сухих поверхностей отно- относительно друг друга, в большой степени зависит от состояния этих поверх- поверхностей (их шероховатости). Величина силы трения зависит и от нормальной составляющей Fn силы, сжимающей поверхности. При увеличении нормаль- нормальной составляющей Гя сила трения возрастает приблизительно пропорцио- пропорционально Fn: Лр = ^я- B) Коэффициент х в формуле B) называется коэффициентом трения. Зна- Значение коэффициента трения -/ зависит не только от характера соприкасаю- соприкасающихся поверхностей, но и от их относительной скорости v. Величина силы трения (при данной нормальной составляющей силы Fn) для твердых соприкасающихся поверхностей в довольно широких пределах не зависит от величины соприкасающихся поверхностей. Если, например, параллелепипед с одинаково обработанными поверхно- поверхностями, скользящий по твердой поверхности, перевернуть на другую гра.нь, имеющую другие размеры, то сила трения /тр при той же относительной скорости v останется неизменной. Трение между соприкасающимися сухими поверхностями, как было ска- сказано, не пропадает, когда относительная скорость v становится равной нулю. Чтобы тело начало скользить по какой-либо поверхности, к нему надо при- приложить внешнюю силу /, параллельную поверхности и большую некоторого определенного для данного случая значения ft. Пока" внешняя сила f<Cfu тело остается неподвижным, что означает, что между ним и поверхностью, с которой оно соприкасается, возникает сила /тр, называемая силой трения покоя, уравновешивающая внешнюю силу. Сила трения покоя может принимать любые значения, заключенные между О и /i, в зависимости от величины приложенной внешней силы. Максималь- Максимальное значение силы трения покоя численно равно той силе /(, под влиянием которой fmp тело начинает скользить. Оно удовлетво- удовлетворяет соотношению B); при этом коэффи- коэффициент х называется коэффициентом тре- трения покоя. Значение коэффициента трения ft--- покоя зависит только от природы соприка- соприкасающихся поверхностей. При соприкосно- соприкосновении сухих поверхностей дерева коэффи- коэффициент трения покоя приблизительно равен 0,6; при соприкосновении стальной поверх- .. ности со льдом коэффициент трения покоя равен приблизительно 0,03. Рис. 32. Зависимость силы тре- Когда внешняя сила / превышает мак- ния /тр от относительной ско- симальную силу трения покоя, тело начи- рости v. нает скользить, и появляется сила тре- трения при скольжении. Эта сила трения при скольжении сперва меньше силы трения покоя и с возрастанием отно- относительной скорости v вначале продолжает убывать; затем с возрастанием относительной скорости v возрастает и сила трения. Графически зависимость силы трения от относительной скорости изображена на рис. 32. При v — 0 сила трения покоя может принимать любое значение между нулем и ft (отрезок ОА по оси ординат) в зависимости от значения приложенной внеш- внешней силы. Дальнейшая зависимость силы трения от относительной скорости v представляется кривой ABC. В технике между трущимися поверхностями вводят смазку, т. е. вязкую жидкость, которая образует тонкий слой между твердыми поверхностями. Теория смазки была впервые развита русским инженером Н. П. Петровым, который показал, что при наличии смазки мы имеем дело с внутренним 3«
52 ДИНАМИКА [ГЛ. II трением. Ближайший к твердому телу слой смазывающей жидкости прилипает к нему; скольжение происходит лишь между слоями жидкости. В случае вала, расположенного соосно с подшипниками, сила трения пропорциональна вяз- вязкости смазочного вещества, числу оборотов вала в единицу времени и обратно пропорциональна ширине зазора между поверхностями вала и под- подшипника. ч* § 17. Количество движения. Импульс силы. Рассмотрим вна- вначале движение, происходящее под влиянием постоянной силы f, т. е. движение, характеризуемое постоянным значением вектора ускоре- ускорения w. Пусть за промежуток времени Д^ скорость тела меняется на величину Av = va — vlF тогда At ~~ U ' подставляя это значение ускорения w в выражение второго закона Ньютона: w = k —, т ' получим Vo — V! , f mva — mvi ,. ,,, * . -=k— ИЛИ —г-, ==k\. A) Mm At v ' Следует иметь в виду, что mva — т\1 есть векторная разность величин /wv2 и т\у Величину т\, равную произведению вектора скорости тела v на его массу, принято называть количеством дви- движения К- Количество движения K = mv B) есть величина векторная, она имеет то же направление, что и вектор скорости v. Вводя в выражение A) количество движения, получим ¦^i = *f или **=Ы, C) где ДК есть изменение вектора количества движения. Равенство C) означает: при равнопеременном движении изменение количества движения за единицу времени пропорционально приложенной силе и происходит в том же направлении, в каком действует вектор силы. Пользуясь равенством C), можно также дать следующее опре- определение силы: сила есть векторная величина, численно пропорцио- пропорциональная вызываемому ею изменению количества движения за единицу времени и направленная в ту же сторону, в которую направлено изменение количества движения. Обобщим выражение C) на случай любых неравномерных дви- движений, когда сила f меняется со временем. Тогда в равенстве C)
§18] ЕДИНИЦЫ СИЛЫ И МАССЫ. ПРИМЕРЫ 53 мы должны подразумевать под М бесконечно малое изменение вре- времени, т. е. писать: пред. ~ = ki, (За) где вектор f есть значение силы в данный момент времени. Равенство (За) так же, как и равенство C) § 15, выражает вто- второй закон Ньютона. С точки зрения приведенных рассуждений равенства C) § 15 и (За) настоящего параграфа вполне эквивалентны одно другому, так как второе из них было непосредственно выведено из первого; оба они выражают точное содержание второго закона Ньютона. Однако указанная эквивалентность имеет место при предположении, что масса тела т есть величина постоянная, не зависящая от его скорости. Это справедливо, пока скорости тел малы по сравнению со скоростью света. При движениях, происходящих со скоростями, сравнимыми со скоростью света, масса т не остается постоянной: она зависит от скорости v. Движения при таких скоростях подчиняются механике теории относительности. При этом, однако, выражение (За) сохра- сохраняет смысл; таким образом, оно является более общей формули- формулировкой второго закона Ньютона, чем равенство B) § 15. Наряду со значением силы в данный момент времени мы можем рассма- рассматривать и среднее значение^силы f за некоторый конечный проме- промежуток времени Д^, тогда вместо (За) получим -? = kt, или f Д* = А'ДК = k' (mv2 — mvi), D) где *=4\ Величина f Д^, равная произведению из среднего значения силы f на промежуток времени Д?, за который рассматривается ее действие, называется импульсом силы. Импульс силы есть величина векторная. Равенство D) утверждает, что вектор импульса силы пропорционален по величине векторному изменению количества движения, происхо- происходящему за тот промежуток времени, за который берется импульс силы, и направлен в ту же сторону, куда направлено изменение количества движения. § 18. Единицы силы и массы. Примеры. Полагая в равенстве C) § 15 коэффициент пропорциональности k=\, получим Этим соотношением можно воспользоваться для установления единиц для измерения силы / или массы т.
54 ДИНАМИКА [ГЛ. II В системе CGS за единицу массы принят грамм (см. § 3), а за единицу ускорения 1 см/сек'*; отсюда, пользуясь равенством A), мы должны в CGS-системе за единицу силы выбрать такую силу, под влиянием которой тело с массой в \ г приобретает ускорение в 1 см/сек'К Эта единица силы называется диной. Положив в формуле (см. § 17) Ш z='k' (mv.2 — /OTj) коэффициент k'=\, получим f — JL_^ L откуда следует, что дина равна такой силе, под влиянием которой количество движения тела меняется на 1 г • см/сек за одну секунду. В МKS-сжтеме за единицу силы должна быть выбрана такая сила, под1 влиянием которой тело с массой в 1 кг приобретает уско- ускорение в 1 м\сек1. Эта единица силы называется ньютон. Как легко сосчитать: 1 ньютон = 0,001 стена— 10s дин. В технической системе единиц единица силы выбирается как одна из основных единиц независимо от второго закона Ньютона. Очевидно, любая определенным образом фиксированная сила может служить единицей силы. В качестве такой силы в технической системе выбирается определенная сила тяжести. На все тела, находящиеся у поверхности Земли, действует со стороны Земли сила притяжения (сила тяжести, или вес, как ее называют). Сила тяжести различна для различных тел, и для данного тела она зависит от того, в каком месте земного шара и на какой высоте над поверхностью Земли находится это тело. Однако, если выбрать вполне определенное тело и фикси- фиксировать его положение на земной поверхности, то тем самым будет вполне определена и действующая на него сила тяжести (его вес), которая может быть выбрана за единицу. Так именно и поступают: в технической системе за единицу силы принимают ту силу, с которой притягивается к земному шару гиря, служащая эта- эталоном массы в 1 кг, расположенная на широте 45° и на уровне моря (более точно за единицу силы в технической системе прини- принимается сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение gQ = 9,80665 м/сек1). Эта единица силы называется килограмм, т. е. называется тем же самым словом, что и единица массы килограмм; для избежания пута- путаницы мы будем эти две единицы совершенно различных физических величин обозначать разными сокращениями: единицу массы в один
§ 18] ЕДИНИЦЫ СИЛЫ И МАССЫ. ПРИМЕРЫ 55 килограмм обозначим кг, а единицу силы в один килограмм обо- обозначим кГ. Сила, равная -т-^ кГ, называется Грамм и обозначается Г IUUU (в отличие от единицы массы грамма, обозначаемой г). Сила в 1000 кГ называется Тонна-сила (обозначается 7"). Так как под влиянием силы в 1 кГ тело с массой в 1 кг приобретает ускорение 981 смjсек'1 (ускорение силы тяжести), то 1 кГ=981000 дин, 1 Г= 981 дин. Так как изменения веса тел для различных точек поверхности земного шара невелики, то при решении задач по большей части можно считать, что на Земле тело с массой ъ \ кг весит 1 кГ. Для широты 45° и уровня моря это соотношение, по определению, выполняется точно. Выбрав в технической системе указанным определенным образом единицу силы и измеряя ускорение в м/сек*. мы не можем уже, пользуясь формулой A) настоящего параграфа, произвольно устана- устанавливать единицу массы. За единицу массы в технической системе должна быть выбрана масса тела, которое под влиянием силы в 1 кГ приобретает ускорение в 1 м/сек'К Эта единица массы не имеет специального названия. Так как масса в 1 кг под влиянием силы в 1 кГ, т. е. под влия- влиянием собственного веса, приобретает ускорение свободного падения, равное 9,81 м/сек1*, то, следовательно, техническая единица массы, которая под влиянием силы в 1 кГ приобретает ускорение в 1 м/сек', должна быть в 9,81 раза больше 1 кг. Таким образом: 1 техн. ед. массы ==9,81 кг. Остановимся еще несколько подробнее на соотношении между весом и массой тел. Вес некоторого тела Р есть сила, с которой это тело притягивается к земному шару, следовательно, ускорение w = g, которое тело с массой т приобретает под влиянием соб- собственного веса, по формуле C) § 15 равно р g = k — , откуда P — k'mg, B) где k' — коэффициент пропорциональности. Формула B) дает общую связь между весом тела Р и его мас- массой т, независимо от выбора единиц, в которых измеряются вес тела Р, его .масса т и ускорение силы тяжести g; численное зна- значение коэффициента пропорциональности k' зависит от выбора этих единиц. Если мы положим А'=1, тогда P=mg, Ba)
50 ДИНАМИКА [ГЛ. II но в этом случае мы уже не вправе измерять Р, mage произволь- произвольных единицах, а должны пользоваться какой-либо одной системой измерения. Например, в CGS-системе т. измеряется в граммах, g — в см/сек1, Р—в динах; в технической системе: т — в техни- технических единицах массы, g—в м\сек%, Р — в кГ. В каждой из этих систем выполняется соотношение Bа). Но если мы воспользуемся смешанной системой единиц, например будем измерять т. в кило- килограммах массы (кг), g—в м\сек1 и Р—в килограммах веса (кГ), то коэффициент пропорциональности k' уже нельзя положить равным единице; в этом случае он примет значение: 9,81 # Тогда Р(кГ) = щ • т(кг) • g (м/сек*). Положив здесь т=\ кг, g- = 9,81 slceKL, получим: Р=\ кГ, как и следовало ожидать. Ввиду важности соотношений, выиеденных в § 15 и 17, и необходимости уметь правильно пользоваться системами единиц, приведем несколько при- примеров. Пример 1. Вагон весом 16 Укатится с начальной скоростью 5 м/сек. Определить среднее значение силы, действующей на вагон для трех случаев: а) вагон останавливается под влиянием сил трения в течение 1 мин.; б) вагон затормаживается в течение 15 сек.; в) вагон останавливается, натолкнувшись на препятствие, в течение 0,5 сек. Решение. Находим среднее значение силы, действующей на вагон, из соотношения между импульсом силы и изменением количества движе- движения D) § 17: fA? = mva — mvi, откуда f= i— -. В наших случаях вагон останавливается, так что его конечная скорость v2 = 0, откуда знак минус означает, что сила, действующая на вагон, направлена в сторону, .противоположную направлению скорости вагона Vi. Пользуясь технической 16 000 ,_^ системой единиц, имеем, что масса вагона m = ~—j-.— техн. ед. массы ^ ?Ё 1632 техн. ед. массы, откуда в случае а) численная величина среднего значения силы f равна в случае б): -„ 1632-5 _ ,лл _ /=—пг—кГ = 544 кГ; 10 в случае в);
18] ЕДИНИЦЫ СИЛЫ И МАССЫ. ПРИМЕРЫ 57 -«—/V Ду Рис. 33. Упругий удир мяча о стену. Таким образом, при одном и том же изменении количества движения сила зависит от времени, в течение которого это количество движения из- изменилось: при медленной остановке из-за сил трения эта сила оказалась равной всего 139 кГ, при ударе о препятствие, когда количество движе- движения изменилось до нуля за короткий промежуток времени в 0,5 сек., сила превысила 16 Т. Пример 2. Мяч весом 200 Г ударяется о стену и отскакивает от нее без потери скорости, так что угол а, образованный траекторией мяча с нор- нормалью к стене (рис. 33 а) до удара, равен углу, образованному траекто- траекторией с нормалью после удара. Ско- Скорость мяча 5 м/сек, продолжитель- продолжительность удара о стену Дг = 0,05 сек. Определить силу удара для а = 60°. Решение. Из формулы D) § 17 имеем: f A? = m(v2 — Vj) = »i Av, C) где v2—Vi представляет собою векторную разность. Считая положительным направление нормали, внешней к стене (рис. 33 б), получим Av = v2 cos а — (— г»! cos а) = а2 cos а -\-а, cos а. По условию задачи мяч отскакивает от стены без потери скорости, т. е. г»1 = vs = v, откуда Av = 2v cos a; направлено Av по нормали к стене. Подставляя это значение Av в C), найдем, что среднее значение силы /, действующей на мяч во время удара, равно - 2mv- cos a f~ Д! ' где At— время удара. Для численных значений, приведенных в примере, имеем 2-0.2-5 — Т~ 9,81-0,0.5" Kl =lKl- Пример 3. Через неподвижный блок (рис. 34) пере- перекинута веревка, к концам которой подвешены грузы весом Pt и Р2. Предполагая, что движение происходит без тренин, опре- определить ускорение, с которым будут двигаться грузы. Г2 Решение. На каждый из грузов действует сила тяжести Рис 34 и сила натяжения веревки/н. Будем считать направление вниз Движение положительным. Тогда ГруЗОВ, ПрИ- /Я2Ш = Р2—fu, —/HiKJ = Pi—/н, КкевеоевкеХ где т' и Ш2 — массь| грузов, w — численное значение их уско- пепекинутои Рения- Вычитая почленно из первого равенства второе, получим через блок. (mL -\- m2) w = Ра—Рй но силы тяжести Р2 и Р( соответственно равны m2g и m^g, где g — уско- ускорение силы тяжести, откуда nil —nil ' ..
58 динлмикл [гл. п Такого рода блок с перекинутой через него веревкой с двумя грузами представляет собой демонстрационный прибор ^машина Атвуда"), служащий для иллюстрации второго закона Ньютона. Если оба груза взять одинаковыми, то ш2 = rnL, и по D) ускорение гру- грузов да = 0. Подтолкнув в этом случае грузы, т. е. сообщив им некоторую скорость v, легко наблюдать при малом трении в блоке, что грузы будут двигаться-равномерно. Взяв один груз немного тяжелее другого, получим, что ffls — mi много меньше, чем тг-\-ти откуда по D) ускорение грузов w будет невелико. В этом случае легко зарегистрировать пути, проходимые гру- грузами за равные промежутки времени, и убедиться, что они соответствуют случаю равномерно-ускоренного движения. ; § 19. Механический принцип относительности. В § 14 мы ви- видели, что первый закон Ньютона выполняется в инерциальной системе отсчета; то же относится и ко второму закону Ньютона. Первый закон Ньютона может, вообще, рассматриваться как частный случай второго закона; в самом деле, положив в выражении второго закона f = /и«/ силу f = 0, получим w = 0, что и означает, что тело, на которое не действуют никакие силы (т. е. не воздействуют никакие другие тела), имеет ускорение, равное нулю, т. е. пребывает в со- состоянии покоя или прямолинейного и равномерного движения. Нами также было указано, что всякая система, движущаяся пря- прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы, сама тоже является инерциальной системой. Рассмотрим движение одного и того же тела относительно двух различных инерциальных систем; очевидно, это движение будет различаться лишь на некоторую постоянную разность скоростей: ускорения одного и того же тела в различных инерциальных системах одинаковы. Отсюда по второму закону Ньютона и силы, действующие на одно и то же тело, в обеих инерциальных системах одинаковы. Если мы находимся внутри прямолинейно и равномерно движущегося вагона, то для сообщения определенного ускорения относительно вагона какому-либо телу надо приложить к нему те же силы, какие надо приложить в том случае, когда вагон покоится. Другими словами, внутри прямолинейно и равномерно движущегося вагона все механические процессы происходят точно так же, как и в неподвижном вагоне. Это означает (отвлекаясь, конечно, от тряски и от возможности взглянуть в окно), что, находясь внутри равно- равномерно и прямолинейно движущегося вагона, нельзя с помощью каких бы то ни было механических опытов определить скорость вагона и вообще установить факт его прямолинейного и равномерного движе- движения. Эта невозможность определить с помощью механических опы- опытов, проведенных внутри системы, ее прямолинейное и равномерное движение была впервые выяснена Галилеем. В 1632 г. Галилей, рассматривая явления, происходящие в закрытой каюте корабля, писал: „И вот (если только движение корабля равномерное), вы не заметите ни малейшей перемены во всех явлениях и ни по одному из них не в состоянии будете судить — движется ли корабль или стоит на месте: вы, прыгая, будете проходить по полу те же самые
§ 20] ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. СОХРАНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 59 пространства, как и при покое корабля, т. е. вы не сделаете — оттого, что корабль движется весьма быстро — ббльших прыжков к корме, чем к носу корабля, хотя в то время, когда вы находитесь в воздухе, пол, находящийся под вами, бежит в сторону, противо- противоположную прыжку, и, бросая какую-нибудь вещь приятелю, вам не нужно будет с большей силой кидать ее, если он будет около носа корабля, вы же около кормы, чем если бы вы стояли наоборот; капельки из подвешенной к потолку кружки с водою будут падать вертикально на пол, и ни одна из них не упадет по направлению к корме, хотя, покуда капля находится в воздухе, корабль уходит вперед. Мухи будут продолжать свои полеты безразлично во все стороны, и никак не случится, чтобы они (как будто уставши сле- следовать за быстрым бегом корабля) собрались к той стороне, которая ближе к корме". ' Резюмируя, мы можем сказать: никакими механическими опы- опытами, произведенными внутри системы, нельзя решить — нахо- находится ли жерциальная система в состоянии покоя или она равно- равномерно и прямолинейно движется. С механической точки зрения все инерциальные системы совершенно эквивалентны. Любую из них можно положить покоящейся, а скорости всех остальных инерциаль- ных систем определять относительно нее. Это положение носит название механического принципа отно- относительности, или принципа относительности Галилея. Теория относительности Эйнштейна обобщает этот результат, утверждая, что вообще никакими опытами, произведенными внутри системы, будь то электрические, световые и т. д., нельзя установить ^ ^ А прямолинейное и равномерное движение системы. § 20. Третий закон Ньютона. Г"*" Сохранение количества движе- 2 ния. Третий закон Ньютона дополняет содержание второго Рис. 3,5. Тело В воздействует на тело закона, он подчеркивает то об- А с силой tt; в свою очередь, тело А стоятельство, что воздействие тел, воздействует на тело В с силой U, чис- численно равной fi и направленной в про- ведущее к изменению состояния тивоположную сторону. их движения, носит характер взаимодействия; он гласит: если тело В (рис. 35) воздействует на тело А с силой f1; то тело А, в свою очередь, воздействует на тело В с силой \%, численно равной силе fj и направленной в про- противоположную сторону: f| = -f* (О Существенно подчеркнуть, что силы f, и fa, о которых идет речь в третьем законе Ньютона ^„действие" и „противодействие"), при- приложены к разным телам.
60 ДИНАМИКА [ГЛ. П Приведем несколько примеров: а) человек толкает вагонетку (рис. 36), при этом к вагонетке приложена направленная вперед сила f,; равная ей и направленная в противо- противоположную сторону сила f2 приложена к рукам человека; б) молоток уда- ударяет о гвоздь: сила f4 действует со стороны молотка на гвоздь; равная ей и направленная в противоположную сторону сила f9 приложена к мо- Рис. 36. Человек толкает вагонетку лотку; в) из колодца за веревку с силой t,; сила f2, численно рав- поднимается кверху ведро: сила f, ная силе fi и направленная в про- г j r i тивоположную сторону, приложена приложена к ведру и направлена к рукам человека. вверх; равная ей и направленная вниз сила f2 приложена к веревке.' Оба взаимодействующих тела приобретают ускорения. Если массы тел т, и ть а приобретаемые ими ускорения wi и w2, то по вто- второму закону Ньютона: nil' т%' - Д' ^ откуда по A) ~ W2 /04 т. е. взаимодействующие тела приобретают ускорения, направленные в противоположные стороны и обратно пропорциональные их массам. Из третьего закона Ньютона вытекает весьма важное следствие. В случае взаимодействия двух тел А а В изменение количества движения тела А по формуле C) § 17 равно AKA = fi-A*b C) где ft — сила, действующая на тело А со стороны тела В, а Д^ — время, в течение которого действует сила fj. При этом предполага- предполагалось, что сила ft постоянна в течение промежутка времени Д^. Из- Изменение количества движения тела В равно 1 Силу U, которая по третьему закону Ньютона приложена к тому телу В, которое приводит в движение тело А, иногда называют силой инерции. Однако очевидно, что такое разделение сил il и fa на „движущую" силу fi и „силу инерции" (г возможно лишь в том случае, если сами тела Л и fi по какому- либо иризваку могут быть разделены на „двигаемое" и „движущее", как это имеет место в случае человека, опирающегося о землю, и сдвигаемой с места вагонетки. Стоит же представить себе случай столкновения двух одинаковых шаров, чтобы стало ясно, что оба тела А и В и обе силы ft и Ь, фигурирую- фигурирующие в третьем законе Ньютона, вполне „равноправны". Поэтому и термин „сила инерции" в указанном смысле (в ньютоновом смысле) нет оснований удерживать, и мы им здесь не будем пользоваться. О другом смысле термина „сила инерции" см. § 22.
§ 20] ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. СОХРАНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 61 где fa — сила, действующая на тело В со стороны тела А, а ДЛ,— время, в течение которого действует сила f9. По третьему закону Ньютона: кроме того, время Д^, в течение которого тело В действует на тело А, очевидно, равно времени М2, в течение которого тело А действует на тело В, откуда fl\ti = — !2Д^ и, следовательно, ДКд = — ДКя. D) Это равенство, которое, мы получили для случая постоянной силы взаимодействия между телами, легко обобщить и на случай, когда сила f( меняется. Для этого время взаимодействия между телами надо разбить на столь малые промежутки Д^-, чтобы в течение каж- каждого из них силу можно было считать постоянной. Для каждого от- отдельного бесконечно малого промежутка времени Д?(- будет выполнено равенство D), а следовательно, оно будет выполнено и для всего времени взаимодействия. Таким образом, равенство D) носит общий характер. Оно означает: насколько в результате взаимодействия количество движения одного тела увеличилось, настолько коли- количество движения другого тела уменьшилось, т. е. произошла пере- передача количества движения. Формулу D) можно переписать: ДКд + ДКв = 0, E) т. е. при взаимодействии двух тел общее изменение их количества движения равно нулю, откуда следует, что их общее количество движения К = Кл-+-Кв остается постоянным. Этот результат может быть обобщен на любое число тел, образующих замкнутую систему, т. е. таких тел, которые взаимодействуют друг с другом, но не взаимодействуют ни с какими внешними по отношению к системе телами. Полагая, что система состоит из п тел, и обозначая их коли- количества движения соответственно через К), Ка> Кз, .... Кя. получим K = K1 + K, + K3 + ... + K« = const, F) т. е. полный вектор количества движения замкнутой системы, представляющий собою векторную сумму количеств движения тел, образующих замкнутую систему, остается постоянным во все время движения. Этот закон, носящий название закона сохранения количества движения, является одним из основных законов физики. Он спра- справедлив не только в случае взаимодействия макроскопических тел, но и в случае взаимодействия микроскопических частиц, т. е. отдель- отдельных атомов, атомных ядер, электронов и т. д. Для иллюстрации закона сохранения количества движения рас- рассмотрим следующий пример: человек, масса которого ть неподвижно
62 динамика [гл. ii стоит на тележке, покоящейся относительно Земли; масса тележки т.г. Их общее количество движения равно нулю. Если человек начнет бежать по тележке со скоростью vt по отношению к Земле (рис. 37), то он приобретет количество движения mxvy, при этом тележка при отсутствии сил трения также приобретет количество движения =—/»,¦»!, так как общее количество движения т{о^-\-т^ должно остаться равным нулю. Та- v> JJk ким образом, тележка приобретает \ относительно Земли скорость, рав- Рис. 37. Человек бежит по тележке да с 03Начает, что ско- со скоростью Vij тележка откаты- 3 ' вается в противоположную сторону рость v3 направлена в сторону, со скоростью va. противоположную той, в которую бежит человек. Тележка будет двигаться, пока бежит человек. Когда человек остановится на тележке, его количество движения станет снова равным нулю, тогда станет равным нулю и количество движения тележки: она остановится. Рассмотрим еще неупругое столкновение шаров. Закон сохранения количества движения позволяет определить скорость ¦», которую приобретут после неупругого центрального (скорости шаров напра- направлены по прямой, соединяющей их центры) удара два шара С мас- массами mi и тъ имевшие до столкновения скорости vt и в9. При неупругом ударе оба шара после столкновения движутся. с одинаковой скоростью v. Кроме того, так как удар центральный, то все три скорости vlt т>2 и v направлены вдоль одной прямой. Отсюда, в силу сохранения количества движения, имеем = (nil ~\~ тг) v> откуда v = Разберем теперь случай, когда на два тела А и В, кроме сил их взаимодействия fi и f2, действуют еще внешние силы Fi и F2; тогда для каждого из тел имеем: Складывая эти равенства почленно и замечая, что по третьему закону Ньютона fi-j-f2 = 0, получим Вводя полное количество движения обоих тел К = Кл-ЬКв и равнодействующую внешних сил F = Ft -(- F2, напишем ДК = Р-Д^. , G) Такое же равенство имеет место и для любого числа взаимодей- взаимодействующих тел. Таким образом, изменение полного количества дви-
§ 20J ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. СОХРАНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 63 эюения системы тел определяется импульсом равнодействующей внешних сил. Если равнодействующая внешних сил равна нулю, то равно нулю и изменение полного количества движения, и, следова- следовательно, полный вектор количества движения системы остается по- постоянным: равенство G) снова ведет к равенству F). Называя силы взаимодействия между телами, образующими систему, внутренними силами, мы можем сказать: под влиянием внутренних сил система не может изменить своего полного количества дви- движения. Под влиянием внутренних сил могут лишь прийти в движение отдельные части системы друг относительно друга. Например, паро- паровоз под влиянием лишь сил, действующих со стороны пара на пор- поршень, не может прийти в целом в. движение; он приходит в движе- движение оттого, что появляется внешняя сила в виде силы трения между колесами и рельсами. Сила, возникающая благодаря трению и при- приложенная к колесам, сдвигает паровоз. Равная ей сила, возникающая по третьему закону Ньютона и направленная в противоположную сторону, приложена к рельсам; она отталкивает рельсы в обратную сторону. Так как рельсы скреп- скреплены с земным шаром, то их смещение не играет роли. Коли- Количество движения, приобретенное паровозом, равно количеству дви- движения, переданному земному шару. Так как масса земного шара чрезвычайно велика по сравне- сравнению с массой паровоза, то ско- скорость, приобретенная земным ша- шаром, ничтожно мала. Рис. 38. Проекция Кх результирую- результирующего вектора К равна сумме проекций слагаемых векторов. Так как проекция результирую- результирующего вектора на какое-либо направле- направление (рис. 38) равна сумм.е проекций слагаемых векторов на то же направление, то из равенства G) следует, что и изменение суммы проекций количеств движения тел, образующих систему, на любое направление определяется сум- суммой проекций импульсов внешних сил на то же направление. Если за такие направления мы примем оси OX, OY и OZ прямолинейной прямоугольной координатной системы, то получим для системы из п тел: 21 »=1 yi= 23 23 д**1= j=i j Переходя к бесконечно малым промежуткам времени и соответственно к бесконечно малым изменениям составляющих количеств движения, получим: <=i i (8a) т. е. сумма производных по времени от проекций количеств движения на каждую из координатных осей равна сумме проекций внешних сил на ту же ось.
64 ДИНАМИКА [ГЛ. II Если равна нулю сумма проекций внешних сил на одну из осей, то по равенствам (8) сумма проекций количеств движений тел, образующих систему, на ту же ось остается постоянной. При равенстве нулю суммы внешних сил остается постоянной сумма проекций количеств движения тел на каждую из осей: п п п Кх= S^i = const, Kv= ^Kyi = const, K2= 2гАГгг = const. Fa) i=l i=l i=I § 21. Силы, действующие при криволинейном движении. Связь между вектором силы f и вызываемым им ускорением w, выражаемая вторым законом Ньютона: t = mw, A) является общей и справедлива для любого движения, как прямоли- прямолинейного, так и криволинейного. Однако ввиду важности различных типов криволинейного движения, рассмотрим действующие при этом силы несколько подробнее. Равенство A) показывает, что сила и ускорение в каждый данный момент имеют одинаковое направление. При криволинейном движении, как мы видели в § 11, ускорение w направлено не по каса- касательной к траектории, но составляет с нею некоторый угол и может быть разложено на две составляющие: тангенциальную wt и нормальную wn. Отсюда следует, что и сила f, действующая на тело, движущееся криволинейно, направлена в каждый данный момент под углом к направлению движения и может быть разложена на две составляю- г, „„ „ щие: тангенциальную h и нормальную f_. Рис. 39. Разложение силы „ * на тангенциальную и нор- Первая составляющая ft направлена по мальную составляющие, касательной к траектории, вторая /„ — по нормали к ней, т. е. по радиусу кривизны, по направлению к центру кривизны (рис. 39), поэтому нормальную составляющую силы fn называют также центростремительной со- составляющей силы. Из рис. 39 видно, что численное значение полной силы f равно: V B) Тангенциальная и нормальная составляющие силы ft и /„ связаны соответственно с тангенциальной и нормальной составляющими ускорения wt и wn соотношениями: C)
§ 21] СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ ПРИ КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ 65 Так как по равенству E) § 11 нормальная составляющая уско- ускорения wn=-p, где v — линейная скорость тела, a R — радиус кривизны траектории в данной точке, то /„ = «?• D) При равномерном движении по кривой (скорость постоянна по величине, тангенциальная составляющая ускорения равна нулю) тан- тангенциальная составляющая силы равна нулю, и вся сила есть сила центростремительная. Эта сила, действуя по нормали к траектории, заставляет тело непрерывно заворачивать, не изменяя его скорости по величине; если бы эта сила отсутствовала, то тело двигалось бы прямолинейно. В случае движения по окружности можно в выражении D) заме- заменить линейную скорость v угловой скоростью си или выразить ее через период обращения Т или число оборотов п. Тогда, в силу соотношений v = wR = 1-к ^- = 2i:nR (см. § 12), получим для цен- центростремительной силы: fn == inw'R = 4я2/« Yi= 4и2/яя2/?. Dа) По третьему закону Ньютона, наряду с центростремительной силой, приложенной к движущемуся по кривой телу, существует вторая сила, равная ей по величине, направленная в обратную сторону и приложенная к тому телу (к тем „связям"), которое заставляет движущееся тело заворачивать. Эта сила называется центробежной. Таким образом, центростремительная и центробеж- центробежная силы — это те две силы, существование которых обусловлено третьим законом Ньютона; приложены они к разным телам. Напри- Например, в случае вращения камня, привязанного к веревке, центростре- центростремительная сила приложена к камню, а центробежная — к веревке; в случае трамвая, идущего по закруглению, центростремительная сила приложена к трамваю, а центробежная — к рельсам; в случае Луны, обращающейся вокруг Земли, центростремительная сила при- приложена к Луне, центробежная — к Земле. О так называемой инерционной центробежной силе будет ска- сказано ниже (§ 22). Разберем несколько примеров. Для уменьшения бокового давления колес поезда на рельсы на закругле- закруглениях железнодорожное полотно делают несколько наклонным. Рассчитаем, на какой угол а надо наклонить к горизонту полотно железной дороги на за- закруглении радиуса кривизны R, чтобы нагон, идущий по закруглению со ско- скоростью v, не оказывал бокового давления на рельсы. Вагон не будет оказывать бокового давления на рельсы в том случае, когда неуравновешенная реакцией полотна составляющая ij силы тяжести Р,
66 ДИНАМИКА [ГЛ. II направленная к центру кривизны (рис. 40), явится центростремительной силой, вызывающей заворачивание вагона. Отсюда должно быть выполнено условие: где т — масса вагона. Так как вес вагона р = mg, то по E) искомый наклон пути опре- определится углом а, удовлетворяющим равен- равенству: ШЖШШШШШШШШ/Л Рис. 40. Составляющая силы тяжести \i заворачивает вагон. В формулу F), как видно, не входит масса вагона, а входят только радиус за- закругления Д и скорость v. На железнодо- железнодорожных путях наклон пути выбирается в соответствии с той средней скоростью, с какой поезда проходят закругление; тогда поезда, идущие более медленно, оказывают боковое давление на внутренний рельс, а идущие более быстро — на наружный. В качестве второго примера рассмотрим действие центробежного регу- регулятора паровой машины, схема которого представлена на рис. 41. К верх- верхнему концу Л вертикального стержня АВ прикреплены шарнирно два стержня одинаковой длины /, на концах которых находятся тяжелые шары d и Сч. Со стержнями ACi и АСз соединены шарнирно два других стержня, нижние концы которых несут муфту S. Регулятор вращается вокруг вертикальной оси АВ. При изменении скорости его вращения изменяется угол расхождения стержней ACi и Ad, что влечет за собой сдвиг муфты S; муфта S соединена с механиз- механизмом, регулирующим впуск пара в цилиндр паровой машины. Определим угол а расхождения стер- стержней АСх и АСз при заданной угловой скорости вращения регулятора <л. При отклоненном положении стержня сила тяжести шара Си равная p=mg и направленная вертикально вниз, не уравновешивается реакцией стержня; разложим силу Р на две со- составляющие: N' — вдоль направления стержня и fj — направленную горизон- горизонтально. Составляющая N' уравновесится реакцией стержня; составляющая fi явится той центростремительной силой, которая заворачивает шар. заставляя его двигаться по окружности вокруг стержня АВ. Отсюда следует, что должно быть выполнено условие: Рис. 41. Центробежный регулятор. Но из рис. 41 имеем / откуда по G) = lsina, 2 sin а / 1 lu>* \ . . или sin о = 0. g \ COS а g )
§ 22] УСКОРЕННЫЕ СИСТЕМЫ. ИНЕРЦИОННЫЕ СИЛЫ 67 Отсюда получаем два решения: и второе решение: sin а = 0, т. е. а = 0. Это пторое решение не предста- представляет интереса, так как конструкция регулятора не допускает значения а = 0; первое решение определяет искомое значение о: при возрастании а возрастает и угол а. § 22. Ускоренные системы. Инерционные силы. Как мы видели, на основании рассуждении, приведенных в § 19, никакими механи- механическими опытами, производимыми внутри некоторой системы отсчета, нельзя установить — движется ли система прямолинейно и равномерно или нет. Всякое же ускорение системы сказывается на происходящих в ней механических явлениях. Рассмотрим теперь более подробно влияние ускорения системы на происходящие в ней процессы. Для этого снова обратимся к при- примеру движущегося вагона. Пусть перво- первоначально вагон движется прямолинейно с постоянной скоростью v, в направлении, указанном стрелкой на рис. 42"" У перед- передней стенки вагона на горизонтальной полке лежит шар А с массой т. Полку будем считать абсолютно скользкой, так что между ней и шаром не возникает никаких сил трения. Рассмотрим явления, Рис. 42. Шар А отстает от происходящие внутри вагона, по отноше- ускоренно движущегося ва- нию к одной из двух следующих систем гона, отсчета: 1) по отношению к системе отсчета, связанной с полотном железной дороги, и 2) по отноше- отношению к системе отсчета, связанной с вагоном. При прямолинейном и равномерном движении в обеих системах на шар не действуют ни- никакие силы (кроме уравновешивающих друг друга силы тяжести и силы реакции опоры). Предположим теперь, что вагон приобрел постоянное ускорение w, направленное в ту же сторону, куда направлена и скорость вагона v; вагон начинает идти в_се скорее и скорее. Как проявляется в этом случае движение шара по отношению к обеим указанным системам отсчета? Выясним сперва характер движения шара по отношению к системе отсчета, связанной с полотном железной дороги. Относительно полотна шар продолжает двигаться с первоначальной скоростью V, так как никакие горизонтальные силы на него не действуют, но так как вагон начинает идти скорее, то шар отстает от вагона. Таким образом, шар, ранее покоившийся относительно полки вагона, теперь начинает скользить по ней в направлении, обратном движению вагона. Отсюда следует, что относительно системы отсчета, связанной с вагоном, шар приобрел ускорение — w.
68 ДИНАМИКА [гл. н Если допустить, что в системе отсчета, связанной с вагоном (которая не инерциальна), справедлив второй закон Ньютона, то появление в этой системе ускорения можно формально объяснить действием на шар силы Г = т(— w), где т — масса шара и — w — его ускорение относительно вагона, численно равное ускорению самого вагона. Эта фиктивная сила, которую приходится вводить в ускоренной системе отсчета, чтобы в ней выполнялся второй закон Ньютона, называется инерционной силой или силой инерции. Предположим теперь, что шар, лежащий на полке, скреплен со стенкой вагона пружиной С (рис. 43). Тогда при ускорении вагона шар будет отставать от вагона лишь до тех пор, пока пружина не растянется настолько, что появившаяся, бла- благодаря растяжению пружины, сила не ока- окажется достаточной, чтобы сообщить шару ускорение w, равное ускорению вагона. Другими словами: пружина тянет шар за вагоном с силой f; эта сила приложена к шару, направлена в сторону ускорения ва- вагона w и численно равна mw, где т — масса шара. По третьему закону Ньютона существует вторая сила ft =— f, приложен- Рис. 43. Пружина тянет ная к ПруЖИне и направленная в сторону, шар за ускоренно движу- * щимся вагоном с силой f; обратную направлению ускорения вагона. По отношению же к системе отсчета, связанной с вагоном, шар, после того как пружина растянулась, снова окажется отно- относительно вагона в состоянии покоя. Следовательно, в этой системе отсчета, согласно второму закону' Ньютона, сумма сил, приложен- приложенных к шару, должна равняться нулю. Этому требованию можно удовлетворить, если приложить к шару инерционную силу f и считать, что она уравновешивает силу f, с которой растянутая пружина тянет шар. Эта инерционная сила f = ft; таким образом, силу ft, появление которой обусловлено выполнением третьего ' закона Ньютона и которая приложена к пружине („связям") в уско- ускоренной системе отсчета, мы прилагаем к самому телу (шару А). Пользуясь ускоренной системой, связанной с вагоном, мы заме- заменяем динамическую задачу задачей статистической, задачей о равно- равновесии шара. Для этого,, как сказано, мы считаем приложенной к шару А не только действующую на него действительную силу f, но и силу flt действующую на связь. Такая замена динамической задачи статической возможна для любого случая ускоренного дви- движения. с такой же силой V шар растягивает пружину.
§ 22] УСКОРЕННЫЕ СИСТЕМЫ. ИНЕРЦИОННЫЕ СИЛЫ 69 Пусть на материальную точку с массой т. действует сила f. Уравнение движения этой материальной точки выразится вторым за- законом Ньютона: f = mw, где w — ускорение, приобретенное материальной точкой. Это урав- уравнение можно переписать: W Величина fi^ — mw по третьему закону Ньютона представляет собою силу, действующую на те тела, которые, воздействуя на рас- рассматриваемую материальную точку, сообщают ей ускорение. Прилагая же мысленно силу f' = fi к самой материальной точке и называя ее силой инерции, мы получим f + f'=o, т. е. в каждый данный момент сила инерции и сила, приложенная к материальной точке, уравновешиваются. Это положение носит назва- название начала Даламбера. Рассмотрим еще несколько примеров возник- возникновения инерционных сил. Предположим, что на полу лифта лежит груз с массой т. Если лифт поднимается кверху с ускорением w, то такое же ускорение приобретает и груз. Груз приобретает это ускорение в результате давления со стороны рис 44 Ускоренно пола, добавочного по отношению к тому давле- движущийся вверх нию, которое уравновешивает вес груза. Сила лифт ускоряет груз. этого давления i = mw. По третьему закону На груз действует ., г j j сила {. с такОй же Ньютона груз в свою очередь давит на пол с до- силой 'fi rpy3 давит бавочной силой fj = — f. Если груз лежит не на чашку весов, прямо на полу, а на чашке пружинных весоп (рис. 44), то эта сила fj давит на весы; пружина весов сожмется сильнее, и если весы при отсутствии ускорения лифта указывали вес груза Р, то теперь они укажут вес Р' = Р -j— f, где f' = ft. В случае, если лифт опускается с ускорением w, то с таким же ускорением будет двигаться вниз вместе с лифтом и груз. Часть силы тяжести, действующей на груз, будет сообщать ему ускорение. Эта часть силы равна f = /ww, откуда давление груза на весы ока- окажется равным Р' = Р — f. В обоих случаях показания весов отличны от того показания (равного Р), которое они дают при отсутствии ускорения у лифта, благодаря тому, что мы имеем дело с динамической задачей — с дви- движением груза с ускорением w. По отношению же к системе отсчета, связанной неизменно с лифтом, груз продолжает в обоих случаях покоиться и изменение показаний весов может быть истолковано как
70 динамика [гл. п изменение веса груза, вызванное тем, что к его истинному весу Р прибавилась инерционная сила f (направленная в ту же сторону, что и Р, если ускорение лифта w направлено вверх, и направленная в сторону, противоположную Р, если w направлено вниз). Совершенно аналогичным образом объясняется возникновение инерционных сил во вращающейся системе. Пусть сидящий на карусели человек держит в руках камень с массой т (рис. 45). Для того чтобы камень дви- двигался вместе с каруселью, т. е. описывал круг ра- ' диуса R (где R — рас- расстояние от оси карусели до камня), необходимо камню сообщать центро- центростремительное ускоре- ускорение wn = ш'2/?, где ш — угловая скорость враще- ., ., ., „ ния карусели. Для этого Рис. 45. Человек, сидящий на карусели, тянет 3 * ' к себе груз с силой f, чтобы заставлять его к камню должна быть заворачивать. приложена центростре- центростремительная сила /= = /иша/?. Человек должен непрерывно тянуть камень к себе, чтобы заставлять его заворачивать. Не будь силы f, камень начал бы двигаться по касательной t. По третьему закону Ньютона камень действует на руки челонека с силой f! = —f; эта сила f, прило- приложена к рукам человека и направлена от центра карусели наружу; в § 21 эта сила была названа центробежной. Однако, если рассматривать весь процесс по отношению к си- системе отсчета, вращающейся вместе с диском, то камень остается при вращении неподвижным в этой системе и необходимость при- прилагать к нему силу f может быть истолкована как результат того, что к самому камню оказалась приложенной сила f' = flt направлен- направленная от центра карусели наружу. Это есть инерционная сила, совер- совершенно аналогичная инерционным силам, рассмотренным нами в при- примерах с ускорениями вагона и лифта. Инерционную силу, действующую во вращающейся системе, иногда называют инерционной центробежной силой. Ее не следует сме- смешивать с той действительной центробежной силой, о которой шла речь в § 21. В повседневной жизни нам часто приходится встречаться с инер- инерционными силами. Например, когда трамвай начинает резко тормозить или поворачивать на большом ходу, мы оказываемся соответственно отброшенными, по отношению к трамваю, вперед или в сторону, наружную по отношению к завороту; это является следствием того, что мы сохраняем скорость, которую имели раньше, вагон же при- приобретает ускорение. По отношению же к системе отсчета, связанной
§ 23] ЗАВИСИМОСТЬ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ОТ ШИРОТЫ МЕСТНОСТИ 71 с вагоном, эти относительные смещения объясняются действием сил (инерционных сил). Эти инерционные силы приходится учитывать во всякой ускоренной системе, как добавочные по отношению к силам, действующим в инерционной системе. Особое освещение вопросу о силах инерции пытался придать Эйнштейн в общей теории относительности. С точки зрения Эйн- Эйнштейна силы инерции эквивалентны силам тяготения. Мы уже видели, что ускорение лифта ведет к тому же результату, как если бы груз становился тяжелее или легче (в зависимости от направления ускорения w), т. е. силы инерции оказываются эквивалентными силам тяжести. Таким образом, выходит, что ускорение какой-либо системы эк- эквивалентно появлению в этой системе сил тяготения. Однако, как показал В. А. Фок, такая эквивалентность несправедлива в пределах больших пространственных и временных масштабов. Инерциальная система отсчета, т. е. связанная с совокупностью неподвижных звезд, является преимущественной, и ускорение в этой системе не имеет того относительного характера, который имеет скорость. § 23. Зависимость силы тяжести от широты местности. Пользование инерционными силами весьма удобно для решения различных механических задач в ускоренной системе, в част- частности, во вращающейся системе. Та- Такого рода вращающейся системой является, между прочим, земной шар, совершающий суточное вращение. Поэтому при точном рассмотрении различных механических процессов, происходящих на поверхности Земли, следует принимать во внимание инер- инерционные силы, возникающие от су- суточного вращения. Эти силы неве- невелики, поэтому во многих случаях мы можем ими пренебрегать и прибли- приближенно считать, как было указано, Землю за инерциальную систему от- отсчета. Однако в ряде случаев суточ- суточным вращением Земли пренебрегать нельзя. Рассмотрим влияние суточного вращения Земли на силу тяжести. Пусть тяжелое тело А с массой т находится на широте <р (рис. 46). Решая задачу по отношению к координатной системе, вращающейся вместе с Землей, мы должны учесть инерционную силу /=ты*Яи A) где <й — угловая скорость вращения Земли и Л?1—расстояние от земной оси до тела. Сила i направлена перпендикулярно к земной оси. Эта сила f складывается с силой тяжести тела Ро, направленной к центру Земли. Отсюда кажущийся вес тела Р<р на широте <р равен P9 = Po + f- B) В этом равенстве справа стоит векторная сумма. Из рис. 46 имеем: Ri = R cos <р, где R—радиус Земли, откуда по A) Рис. 46~. Влияние суточного вращения Земли на силу тяжести.
72 ДИНАМИКА [гл. н Эта сила весьма мала по сравнению с силой тяжести. В самом деле, Ре = mgo, откуда если подставить вместо <д, R и g0 (истинное ускорение силы тяжести) их <¦>*# 1 численные значения, то окажется, что — = o«oi косинус же угла 9 go -toa всегда sg 1, т. е. действительно сила / много меньше силы f, f тяжести Ро. Поэтому для определения кажущегося веса Р9 по равенству B) мы воспользуемся следующим приближенным расчетом. Разложим силу f на две составляющие: fj— на- направленную вертикально вверх (для данной точки земного шара), и f2 —направленную горизонтально. Тогда приближенно можно считать, что составляющая /2 изменяет силу тяжести лишь по направлению, а составляющая /i — лишь по вели- величине. Отсюда приближенно: Р9 = Ро _/,. Но из рис. 47 имеем, что /1=/costf>, откуда Р<р—Р0 —/COS if, или по C) * Р9 — рй — mM2/?cosaep. Вынося Ро за скобку и замечая, что ра = mg0, получим рщ = р0 A — \ So D) Рис. 47. Определение веса тела Р? на широте <р. Формула D) дает зависимость кажущегося веса Р? от широты местности <j>. Величина есть постоянная, равная gtm, так что Р9 — Ро 1 — 9Яо 1 Dа) На самом деле надо еще принять во внимание, что Земля не представляет собою правильной сферы, но приплюснута у полюсов, что ведет к увеличению у полюсов силы тяжести. Правильная зависимость веса тела от широты <р имеет вид: На полюсе Р„ совпадает с Ро; на экваторе Р^ наиболее отличается от Ро. Угол а, который составляет направление кажущегося веса Р^ с земным радиусом, как видно из рис. 47, определится соотношением: Л Sin а = - Заменяя приближенно Р9 через Ро и замечая, что /2=/sin<pr получим / sin и тш2/? cos со sin <p sm а = -J т. = 1 1 1- или Sin a = COS <f SHI <f. E) Таким образом, кажущаяся сила тяжести Р9 направлена к центру Земли и на полюсе и на экваторе; наибольшее отклонение она имеет на широте <Р = 45°.
§ 24] СИЛЫ КОРИОЛИСА 73 Если тело двигается вдоль экватора с линейной скоростью v (отсчитан- (отсчитанной в инерциальной системе координат, связанной с центром земного шара), то на него будет действовать инерционная сила /,- направленная против силы тяжести и равная: ти* Эта сила окажется численно равной силе тяжести Ро при условии откуда для v получаем значение: Так как ^0 = 981 см/сек1 и /? = 6 370 км — 6,37- 10s см, то см км »= 1/981-6,37-1Оа —=7,91.10s -i^-^7,9 ' сек сек сек" Таким образом, при отсутствии силы трения со стороны воздуха, тело, брошенное горизонтально со скоростью а =7,9 км/сек, стало бы двигаться у поверхности Земли не падая, т. е. в виде спутника. Эта скорость носит название „первой космической скорости". При движении спутника над поверхностью Земли на высоте h по кру- круговой орбите, как легко подсчитать, его скорость будет меньше. При Л = 250- км получим w = 7,76 км/сек, а при Л = 2000 км—к = 6,9 км/сек. ; § 24. Силы Кориолиса. Покажем, что во вращающейся системе на тело, перемещающееся относительно этой системы, действует, кроме центробежной, еще добавочная сила. Эта сила, носящая наз- название корполисовой силы (в честь французского математика Корио- Кориолиса, 1795—1843), зависит от скорости v' тела относительно враща- вращающейся системы и от угловой скорости вращения системы ш. Рассмотрим сперва частный случай. Пусть система представляет собою диск, вращающийся с постоянной угловой скоростью <о вокруг вертикальной оси О (рис. 48) в на- направлении, указанном стрелкой. Пусть тело а перемещается равномерно из точки А вдоль радиуса ОС со скоростью •»' относительно диска. За время At тело а пройдет отрезок Al = AB = v'At. За это время At в неподвижной си- системе координат радиус ОС, благо- благодаря вращению диска, повернется на угол Д<р = wAt, и тело передвинется из А в D. В неподвижной системе координат тело а принимает одно- одновременно участие в двух движениях: в движении относительно диска со скоростью г»' и в движении вместе со вращающимся диском. Линейная скорость вращения диска различна для различных мест диска. Обозначим ее значение в точке А через vr Двигаясь лишь со скоростью вращения vn тело а Рис. 48. Движение тела вдоль радиуса вращающегося диска.
74 ДИНАМИКА [ГЛ. И описало бы дугу А А' и пришло бы в точку А'. Двигаясь одновре- одновременно со скоростью vr, и относительной скоростью v', тело а должно было бы попасть в точку В' (отрезок А'В' || АВ). На самом деле тело а переходит в точку D. Это происходит за счет того, что линейная скорость вращения vr возрастает по мере удаления точки а от центра вращения. Таким образом, относительно неподвижной системы, координат тело а, двигаясь вдоль радиуса, непрерывно меняет свою скорость: оно движется ускоренно. Величина этого ускорения w может быть определена по тому добавочному пути As = B'D, который тело а прошло за время At. Из рис. 48 имеем: или, так как А'В' = Al=v' At и Дср = шД?, то Следовательно, добавочный путь As возрастает пропорционально квадрату времени At. Но пропорциональность пути квадрату вре- времени At имеет место при движении с постоянным ускорением w (равномерно-ускоренном движении) при котором 1 Рис. 49. Напра- Направление силы Кориолиса при движении тела вдоль радиуса вращающегося диска. Сравнивая это выражение для As с A), полу- получим, что тело а испытывает ускорение w = 2zi'(o. B) Это ускорение направлено перпендикулярно к относительной скорости v', и в нашем случае — направо. Для того чтобы сообщить телу а это уско- ускорение, к нему необходимо приложить силу /, на- направленную направо и равную /= mw, где т — масса тела. Не будь силы/, тело отклонилось бы во вращаю- вращающейся вместе с диском системе координат от своего „прямолинейного" движения вдоль радиуса диска. Сила fk, равная силе /, но направленная в противоположную сторону, будет действовать по третьему закону Ньютона на те связи, которые удерживают тело а при его движении на радиусе. Совер- Совершенно аналогично, как в ранее рассмотренных случаях ускоренных систем, пользуясь координатной системой, вращающейся вместе с дис- диском, будем считать, что сила fk приложена к самому телу а. Таким образом, во вращающейся системе к телу, движущемуся вдоль радиуса со скоростью v', приложена „инерционная" сила fk = 2zi'uot, C) направленная перпендикулярно к v' (в нашем примере налево, см.рис. 49). Сила fk и носит название силы Кориолиса.
§ 24] СИЛЫ КОРИОЛИСА 75 Покажем теперь, что сила Кориолиса существует и в том случае, когда тело а движется на диске по окружности с центром на оси вра- вращения (рис. 50). При движении тела а относи- относительно диска со скоростью v' полная скорость в неподвижной системе координат равна vr-\-v', где vr — линейная скорость вращения диска в том месте, где находится тело а. Сле- Следовательно, на тело а действует центростреми- центростремительная сила где R — расстояние от оси вращения до тела. Возводя в этой формуле сумму (vr -f- v') а квад- квадрат, получим Рис. 50. Движение тела на вращающемся диске по окружности, кон- концентрической с диском. В координатной системе, связанной с диском, член mv-r IT опреде- определяет инерционную центробежную силу, вызванную вращением диска О с угловой скоростью <и; член -^— определяет центро- центробежную силу, вызванную относительным движением тела по кругу радиуса R. со скоростью v'\ член Рис. 51. Раз- Разложение от- относительной скорости на составляю- составляющую V1, вдоль радиуса и со- составляющую vi,перпенди- vi,перпендикулярную к радиусу. определяет добавочную силу, вызванную одновремен- одновременным наличием как вращения диска, так и движения тела относительно диска. Сила fk, равная силе /, но направленная в проти- противоположную сторону, даст для этого случая силу Кориолиса. Эта сила совпадает по величине с силой, возни- возникающей при движении вдоль радиуса [формула C)], и направлена также перпендикулярно к относитель- относительной скорости. Теперь рассмотрим случай, когда тело а движется с относительной скоростью v', направление которой составляет угол E с радиусом ОС (рис. 51). В этом случае скорость v' можно разложить на две составляющие: на составляющую вдоль радиуса v\ = = v'cos C и составляющую, перпендикулярную к радиусу, Составляющей v[ по формуле C) соответствует кориолпсова сила fH = 2v'u) cos §-т, составляющей v'3 — сила /Л2 = 2v'u> sin $-m;
76 ДИНАМИКА [гл. и полная сила Кориолиса Таким образом, и для произвольного направления относительной скорости v' для силы Кориолиса сохраняется выражение C). Наконец, рассмотрим самый общий случай, когда тело движется в направлении, составляющем угол а с осью вращения (рис. 52). Тогда разложим скорость v' на составляю- составляющую vj, перпендикулярную к оси вращения, и составляющую \'а, параллельную оси вра- вращения. Эта последняя составляющая не обус- обусловливает никакого изменения расстояния от оси и, следовательно, не может вести к появ- появлению добавочных ускорений и сил. Отсюда величина силы. Кориолиса определяется лишь составляющей t\ = i/'sin а. Заменяя в фор- формуле C) v' через v\ = v' sin а, получим общее выражение для силы Кориолиса fk = 2v'ш sin a • т. D) Рис. 52. Разложение отно- относительной скорости на составляющую vj, периен- дикулярную к оси, и со- составляющую V» — вдоль оси вращения. Во всех случаях сила Кориолиса направлена перпендикулярно и к переносной скорости v' и к оси вращения. Для определения направления силы ffe введем в рассмотрение вектор угловой скорости ш (см. § 13). Тогда кориолисова сила f^ направлена перпендикулярно к плоскости, содержащей векторы в> и v1 (рис. 53), и так, что если сопоставить направление поворота головки буравчика от вектора v' к вектору ы (в направлении меньшего угла), то направление силы ik опре- определится направлением поступательного движения буравчика. Если воспользоваться обозначениями вектор- векторного анализа, то \k определится через векторное произведение векторов v1 и to (см. § 13): Сила Кориолиса проявляется при движе- движениях по поверхности земного шара, обладаю- обладающего определенной угловой скоростью, бла- благодаря суточному вращению. Предположим, например, что поезд идет в северном полу- полушарии в меридиональном направлении на север (точка а на рис. 54). При этом вектор относительной скорости v' составляет острый угол а с вектором угло- угловой скорости о), и кориолисова сила ik направлена касательно к земной поверхности направо, если встать лицом по ходу движения поезда. Поезд оказывает на правый рельс большее давление, чем на левый. В южном полушарии, при движении поезда к югу (точка а' на рис, 54), v' составит с ш тупой угол, и сила Кориолиса направ- Рис. 53. Определение на- направления силы Корио- Кориолиса 1к.
§ 24] СИЛЫ КОРИОЛИСА 77 лена налево относительно хода движения. Существованием силы Ко- риолиса объясняется подмывание реками в северном полушарии пра- правого, а в южном — левого берегов (закон Бера), возникновение северо- северовосточных пассатов в северном полушарии и т. д. Другим примером влияния сил Кориолиса на движение тел у по- поверхности земного шара являются: отклонение свободно падающих тел к востоку от вертикали и отклонение плоскости качаний маятника. Разберем по- последний случай несколько подробнее. Пред- Предположим для простоты, что маятник совер- совершает колебания на северном полюсе. Тогда скорость груза маятника v' все время перпен- перпендикулярна к оси земного шара (при большой длине нити) и, следовательно, v' J_ <u, где со — по-прежнему вектор угловой скорости вра- вращения Земли. В результате на груз маятника действует сила Кориолиса, численно равная fk = Imv'uy, лежащая в горизонтальной плос- плоскости и направленная вправо по отношению к вектору v'. Под действием этой силы груз маятника при каждом размахе отклоняется вправо. В результате плоскость качаний маят- маятника будет поворачиваться относительно Зем- Земли в направлении часовой стрелки и по- повернется на угол 2и за сутки. В случае ка- качаний маятника на широте <р плоскость качаний повернется в сутки на угол 2тс sin ср. Наблюдение отклонения плоскости качаний маятника было впервые проведено Фуко в 1851 г. и послужило прямым доказательством существования суточного вращения Земли. Рис. 54. Направление сил Кориолиса, действующих на тела, движущиеся по поверхности Земли.
ГЛАВА III РАБОТА И ЭНЕРГИЯ § 25. Работа и мощность. В окружающей нас обстановке мы имеем дело с телами, взаимодействующими друг с другом теми или иными силами (упругие силы, силы тяготения, силы трения и т. д.). Поэтому перемещения тел в таких условиях осуществляются лишь под влиянием сил. Отсюда, естественно, возникает потребность дать характеристику того действия сил, которое связано с перемещением тел. В механике за такого рода характеристику принимается вели- величина, тем большая, чем больше составляющая сила вдоль направле- направления перемещения и чем на больший отрезок перемещается точка ее приложения. Эта величина называется работой. Полностью физиче- физический смысл работы может быть выяснен после того, как будет уста- установлена связь между совершаемой работой и изменением энергии. Тогда становится ясн*ым, что работа есть Jj мера изменения энергии (§ 28). ' ^ простейшем случае прямолинейного J движения и постоянной силы, направлен- ' ной вдоль перемещения, работа пропор- *"$ циональна произведению силы / на лере- ""s мещение s точки ее приложения: Рис. 55. Работу производит лишь составляющая силы fs A = kfs, A) вдоль направления переме- перемещения s. где k — коэффициент пропорциональности. В том случае, если сила, приложенная к телу, составляет угол а с направлением перемещения (рис. 55), разложим силу f на две составляющие: is — направленную вдоль перемещения, и f, — перпендикулярную к нему. По сказанному, работу совершает лишь составляющая fs, поэтому A = kfss, или, так как /s=/cosa, то А = kfs cos a. (la) Полагая коэффициент пропорциональности k = l, получим A =fs cos a. B)
§ 25] РАБОТА И МОЩНОСТЬ 79 Таким образом, в случае произвольно направленной силы, работа численно равна произведению из силы f, перемещения s ее точки приложения и косинуса угла а. между направлением силы и пере- перемещения. Работа характеризуется лишь численным значением и поэтому представляет собою величину скалярную. В векторном анализе скалярную величину С, равную произведению из численных значений векторов В и D и косинуса угла между ними, называют скалярным произведением: C = B-D cos а. Из равенства B) следует, что работа представляет собою скалярное произведение вектора силы f и вектора перемещения s. Когда угол а<^90с, то cos а ^> О, и работа положительна; в этом случае составляющая силы fs направлена в сторону перемещения. При а]>90° имеем cos а <^ 0, работа в этом случае отрицательна; при этом составляющая силы fs направлена в сторону, противопо- противоположную перемещению. Поясним сказанное примерами: 1) к телу, лежащему на шероховатой поверхности, приложена сила /, которая перемещает его по этой поверхности; сила / направлена вдоль пере- перемещения и совершает положительную работу. Одновременно к телу приложена сила трения /тр, она направлена в сторону, противопо- противоположную перемещению тела; совершаемая ею работа отрицательна; 2) подброшенное тяжелое тело летит вверх, сила тяжести напра- направлена вниз, т. е. в сторону, противоположную направлению движения; работа силы тяжести отрицательна; 3) тяжелое тело падает вниз; в этом случае сила тяжести направлена в ту же сторону, куда про- происходит перемещение тела; работа силы тяжести положительна; 4) тело под влиянием центростремительной силы равномерно дви- движется по окружности; в этом случае сила все время перпендикулярна к направлению движения (а = 90°), и работа по формуле B) равна нулю. Рассмотрим теперь случай, когда сила не постоянна и движение происходит по криволинейному пути. Возьмем столь малую дугу As, чтобы ее можно было считать совпадающей с хордой As. Пусть /j — составляющая сила f вдоль касательной к дуге As. Тогда зна- значение /j на длине пути As можно считать постоянным, и элементар- элементарная работа АЛ, совершенная на этом пути, будет равна ДЛ=Л-А*. C) Всю работу Л, совершаемую на конечном пути s, получим, раз- разбив путь s на отдельные бесконечно малые элементы As, определив элементарные работы АЛ и сложив их: Л = 2 A As. D)
80 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [гл. ш 0 Полную работу Л можно представить графически. Отложим по оси абсцисс длину пути s (рис. 56), а по оси ординат — значение составляющей силы fs. Пусть кри- кривая АВ представляет значения со- составляющих силы fs для различных точек пути для некоторого частного случая. Разобьем всю длину пути, изображаемого отрезком ОС, на элементарные отрезки As. Элемен- Элементарная работа ДЛ, совершаемая на одном из этих отрезков As, равна Рис. 56 Работа графически опре- fs^s, т. е. изображается площадью деляется площадью фигуры О ABC. густо заштрихованного столбика. Вся работа на пути s равна сумме всех элементарных работ ДЛ, т. е. графически изображается пло- площадью всей заштрихованной фигуры О ABC. Определим работу, совершаемую при одновременном действии на тело нескольких сил \и f2, f3 и т. д. (рис. 57). Элементарная работа ДЛ равно- равнодействующей равна ДЛ =/ cos a As, где f—равнодействующая сил lu h, U, a a — угол, который она составляет с направлением перемещения As. Величина /cos а есть проекция fs силы f на направление s. Но мы видели (см. § 20), что проекция резуль- результирующего вектора на некоторое направление равна сумме проекций его слагаемых на то же направле- направление, откуда fs=fl и, следовательно, AA=fsAs = т. е. работа результирующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил. Рис. 57. Работа результирующей силы t равна сумме работ слагаемых сил ftI hi '«¦ Воспользовавшись этим положением, мы можем преобразовать выраже- выражение для работы. Разложим силу f, действующую в некотором направлении, на составляющие вдоль координатных осей fx, fyi fz, тогда по доказанному: ДЛ =fxcos av As+/j,cosa2 As+ZjCOS а3 As, где oj, о2 и о8 — соответственно углы'между составляющими силы fx, fy, fz и направлением перемещения As. Но направление составляющих fx, fy, fz совпадает с направлением осей А", У, Z, откуда Ascos aL = Ax, Ascoso2 = A^», As cos a3 = Да, где Ах, Ay, Аг — проекции перемещения As на координатные оси. Отсюда z. E) Для переменной силы следует брать бесконечно малое смещение ds с составляющими dx, dy, dz, тогда z. Ea)
§25] РАБОТА И МОЩНОСТЬ 81 Вся работа на конечном перемещении s выразится суммой элементарных работ dA, т. е. криволинейным интегралом: А = ^ (fxdx +fydy -\-fzdz), F) где Bt и Bt — начальная и конечная точки пути S. Практически часто весьма важно знать не только работу, совер- совершенную силами, но и то время, за которое работа произведена. Очевидно, из двух механизмов, совершающих одну и ту же работу, ценнее тот, который совершает эту работу за меньший промежуток времени. Поэтому наряду с работой вводится в рассмотрение новая величина, называемая мощностью. Мощное тью W называется физи- физическая величина, пропорциональная работе ДА и обратно пропор- пропорциональная тому промежутку времени Д^, за который эта работа совершена: W = kA^, G) где k — коэффициент пропорциональности. Полагая k=l, получим * = ?. Gа) Если сила меняется со временем, то мощность тоже не остается постоянной; в этом случае имеет смысл говорить о мощности в дан- данный момент, подразумевая под ней тот предел, к которому стре- стремится отношение ДА/Д/ при бесконечном убывании промежутка вре- времени At: 1Г=пред. №). (8) Пользуясь обозначениями дифференциального исчисления, получим W = A^, (8a) т. е. мощность численно равна производной от работы- по времени. Так как элементарная работа ДЛ =fshs, то по (8) №=пред. (¦тт1)=Л-пред.(^), но пред. №) = где v есть значение скорости в данный момент. Отсюда W=ft-v. (9) т. е. мощность в каждый данный момент пропорциональна произае- дению проекции силы на направление движения на скорость движения. 4 С. Э. Фриш и А. В. Тнмореаа
82 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ. Ш Ввиду практической важности величин работы и мощности истори- исторически возникло большое количество единиц для их измерения. При- Приведем эти единицы. 1) Единица работы в CGS-системе. Пользуясь равенством B), в котором полагаем <х = 0, получим: за единицу работы в CQS-cu- стеме принимается работа, совершаемая силой в 1 дину на пути в 1 см, при условии, что сила действует в направлении переме- перемещения. Эта единица работы называется эрг. Наряду с этим употребляется более крупная единица работы джоуль: 1 джоуль = 107 эргов. 2) В MKS-системе за единицу работы принимается работа, совершаемая силой в 1 ньютон на пути в 1 м. Так как 1 h=10s дин и 1 .и =10* см, то эта единица работы равна 107 эргов, т. е. 1 джоулю. 3) В практической технической системе за единицу работы принимается работа, совершаемая силой в 1 кГ на пути в 1 м. Эта единица работы называется килограммометр (сокращенно кГм). Так как 1 кГ=Ш 000 дин и 1 л* = 100 см, то 1 кГм = = 981000-100 5^гов = 9,8Ы07 эргов = 9,81 джоуля; 1 джоуль = <щ кГм = 0,102 кГм. 4) Единица мощности в CGS-системе. За единицу мощности в CGS-системе принимается мощность механизма, совершающего работу в 1 эрг за 1 сек. Эта единица мощности обозначается эрг1сек. Наряду с единицей мощности эрг/сек употребляется более круп- крупная единица мощности, называемая ватт: 1 ватт = 10' эрг/сек — 1 джоуль/сек. Таким образом, мощностью в 1 вт обладает механизм, совер- совершающий работу в 1 дж за 1 сек. 100 ватт называются 1 гектоватт (сокращенно гвт), 1000 ватт называются 1 киловатт (сокращенно кет). 5) В MKS-cncitue за единицу мощности принимается мощность механизма, совершающего работу в 1 джоуль за 1 сек., т. е. 1 ватт. 6) В технической системе за единицу мощности принимается мощность механизма, совершающего работу в 1 кГм за 1 сек. Эта единица мощности сокращенно обозначается кГм/сек. Очевидно: 1 кГм/сек = 9,81 ватта, = <щкГм/сек = 0,102 кГм/сек.
§ 25] РАБОТА И МОЩНОСТЬ 83 Кроме того, исторически возникла единица мощности, называемая „лошадиной силой",1 равная 75 кГм/сек. Таким образом: 1 л. с. = 75 кГм/сек = 736 ватт = 0,736 киловатта. 7) В современной практике весьма часто употребляют еще две следующие единицы работы: а) равную работе, совершаемой механизмом с постоянной мощ- мощностью в 1,-гектоватт за время в 1 час. Эта единица работы назы- называется гектоватт-час: 1 гектоватт-час = 100 ватт -3600 сек. = 3,6-10" джоулей; б) равную работе, совершаемой механизмом с постоянной мощ- мощностью в 1 киловатт за время в 1 час. Эта единица работы назы- называется киловатт-час: 1 киловатт-час = 1000 ватт-3600 тс. = 3,6-106 джоулей. Рассмотрим несколько примеров на определение работы и мощности. Пример 1. Электропоезд весом 500 Г проходит равномерно путь в 3 км в гору с уклоном 4 м на I км пути. Коэффициент трения ч. = 0,002. Определить: а) работу, совершенную поездом; б) мощность, развиваемую электропоездом, зная, что путь э 3 км был пройден за 5 мин. Решение. Работа совершается против силы трения: где Pi — давление, оказываемое поездом на путь (рис. 58), и против составляющей силы тяжести Р2, параллельной пути. Та- Таким образом, искомая работа А равна s. A0) Из рис. 58 имеем р _ , Рис. 58. Работа совершается про- "'— г cos or, Pt = И зт а, тив силы трения и против скатывакь где Р-вес поезда и а-угол, под щей назад силы Р3. которым путь наклонен к горизонту. Подставляя эти значения Pt и Р2 в A0), получим А = Р (х cos а -\- sin a) s. A1) Величины sin а и cos а определим из условия, что подъем равен 4 м на 1 км пути, откуда = yA_ = 0,004 и cosa= |Л — sin8 a = /l—0,004s = 0,99992, т. е. приближенно единице. После этого по равенству A1) имеем А = 5 • 10» @,002 + 0,004) • 3000 кГм, 1 В среднем лошадь при длительной работе действительно даег мощность около 75 кГм/сек, однако кратковременно лошадь может развить мощность в несколько „лошадиных сил".
84 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ. Ill откуда Искомая мощность кдж. W = — = 8'83'10< ИЛИ 300 2,94-10» : 0,736 кет = 2,94- 10s кет л. с. — 399 л. с. Пример 2. Определить работу, совершаемую при сжатии пружины на 10 см, если известно, что сила пропорциональна сжатию пружины и что для сжатия пружины на 1 см необходима сила в 2 кГ. Решение. Здесь мы имеем случай работы переменной силы; сила возрастает пропорционально сжатию пружины. Обозначив сжатие через s, имеем, что сила / = *«, A2) где k—коэффициент1, определяемый степенью жест- жесткости пружины. Графически зависимость силы / от сжатия s изображается прямой ОА, проходящей через на- начало координат (рис. 59). Если пружина сжата на величину s, то s и представляет собою тот путь, на котором рассма- рассматриваемая переменная сила совершала работу. По сказанному на стр. 80, работа изобразится пло- площадью заштрихованной фигуры. Так как эта фигура есть треугольник, то ее площадь равна—^ , но OS = s и AB = ks, откуда искомая работа 0 S в Рис. 59. Работа упругих сил растянутой пружины равна площади треуголь- треугольника (DAB. ks-s A3) Численное значение k определим по A2) из условия, что/=2 кГ при s=l см; однако желая воспользоваться технической системой, переведем s в метры, тогда s == 0,01 м и k = — = Q^ry кГ1м = 200 кГ\м. Подставляя это значение k в A3), получим , 200- @,1)а „ , '„ А = ^-^ кГм — 1 кГм. § 26. Кинетическая энергия механической системы. Тело, рас- рассматриваемое как материальная точка, движущееся под действием силы, меняет свою скорость. Работа приложенной силы связана с изменением скорости тела. Эта связь выражается через физическую величину, называемую кинетической энергией материальной точки. Для определения кинетической энергии материальной точки сосчитаем, какую работу надо совершить для того, чтобы изменить скорость материальной точки с массой т. от значения vY до значе-
§ 26] КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 85 ния щ. Для этого приложим к материальной точке постоянную силу f, параллельную вектору скорости Vj, которая за некоторый промежуток времени t изменит скорость от значения vt до значе- значения Vi. За это время t материальная точка пройдет путь s, и сила f совершит работу A=fs. A) Ввиду постоянства силы движение будет равноускоренным, причем ускорение его а следовательно, сила B) Путь, пройденный материальной точкой за время t, определим через среднюю скорость v== а"Г ', откуда получаем C) Подставляя наиденные значения силы / и пути 5 по B) и C) в формулу A), найдем . „ Pa —Pi Pa + Pi v ^(Pa /i in • ^ ¦ I rrl ^ , откуда . _/яр| mv\ - Таким образом, работа силы f численно равна приращению вели- величины ?тг-, которая называется кинетической энергией. Обозначим кинетическую энергию через Ek: Тогда равенство D) можно переписать в виде: A = Ek, — Ekl = AEk. F) Из равенства D) следует, что для того, чтобы тело, движущееся со скоростью v, остановилось (zij = u, г>2 = 0), сила, приложенная к этому т^лу, должна совершить отрицательную работу, численно равную кинетической энергии тела Ek = -7—\ обратно, чтобы телу с массой in сообщить скорость v, приложенная сила должна совер- совершить положительную работу, равную ~^~.
86 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ ' [ГЛ. III Если в выражении ^— все величины выражены в CGS-системе, т. е. м — в граммах, v — в см/сек, то энергия выражается в эргах. В технической системе v выражается в м/сек, т — в технических единицах массы (равных 9,81 кг); энергия ..получается в кГм. На практике часто пользуются смешанной системой: скорость v выра- выражают в м/сек, массу т — в кг, а энергию Ek желают получить в кГм. Тогда в формулу E) должен быть введен коэффициент про- пропорциональности k, который в данном случае будет иметь численное значение g-кт, таким образом: р /,.г,л_ т (кг) [у (м/сек)}1 ¦ ck(Ki м) — 981-2 ' Соотношение D) может быть легко получено и для случая переменной силы и криволинейного движения. Пусть за произвольный малый промежуток времени A't тело проходит малый путь As (рис. 60). Тогда работа АА на этом пути равна ДЛ=/соза-Дз, G) где а — угол, которой сила f составляет с направле- направлением перемещения As. По второму закону Ньютона f = m-w, где w — ускорение, вызываемое рассматриваемой силой; напра- Рис. 60. Малый путь вление вектора w совпадает с направлением силы.!. As, проходимый при Отсюда выражение G) перепишем: криволинейномдвиже- AA = mw cos a-As. (8) Величина w cos а есть проекция вектора ускорения на малое перемещение As, которое совпадает по напра- направлению с касательной к траектории. Таким образом, w cos а есть касательная составляющая ускорения Wj, которая равна Av/At, где Av— изменение чис- численного значения v. Подставляя это значение w cos а в (8), получим Наконец, замечая, что &s = vht, найдем &.А = mv Av. (9) Чтобы получить полную работу А, совершаемую на конечном пути s, надо просуммировать выражение (9J: А = 2 ДЛ"= 2 mv Av. Вынося массу т, как величину постоянную, за знак суммы, получим А = т 2 v До. (9а) Для того 'чтобы сосчитать эту сумму, положим изменение скорости бес- бесконечно малым, тогда сумма заменится интегралом ? [ = т \ vdv,
§ 26] КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 87 взятым в пределах от скорости vu соответствующей началу пути, до ско- скорости v%, соответствующей концу пути. Выполняя интегрирование, получим m \ vdv = m\-7r\ = -^ ^, откуда A = -~- ^. Приведем несколько примеров на определение кинетической энергии. Пример 1. Поезд весом 600 Г отходит от станции и через 5 мин. после отхода имеет скорость 60 км/час, пройдя путь, 2,5 км. Какую среднюю мощность развивал паровоз, если коэффициент трения % постоянен и равен 0,005, Решение. Работа, совершенная паровозом, складывается из работы против силы трения и работы, идущей на сообщение поезду запаса кинети- кинетической энергии, откуда * A-f .s + "^ Л —Утр s п 2 • где /тр==%Р есть сила трения, т — масса поезда, v — его скорость в конце пути s. Отсюда искомая мощность W равна или \F = 0,005-6-106--^|^—^'~^Wr2^.W=5'3'W или Пример 2. Определить скорости, приобретаемые шарами после цен- центрального упругого удара; массы шаров mt и /па и их скорости до удара щ и»,. Решение. Обозначим скорости шаров после удара через v\ и v'a. Упру- Упругий характер удара означает, что сумма кинетических энергий шаров после удара должна равняться сумме их кинетических энергий до удара: 33 miaf , m^vl /in\ 2~~ + ~2~* К ' Кроме того, должен выполняться закон сохранения количества движения (см. § 20), по которому: 1 Следует иметь в виду, что равенство A0) имеет скалярный характер; оно осталось бы справедливым и при не центральном ударе, т. е. когда ско- скорости шаров Vi и Vi имеют разные направления. Равенство же A1) имеет векторный характеров том виде, как оно приведено в тексте, оно справед- справедливо лишь для центрального удара, когда все скорости г\, г»а, v\ и fj напра- направлены вдоль одной прямой.
88 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ. III Решая два уравнения A0) и A1) относительно двух неизвестных v\ и у'г, найдем: . (w2 — mi) v, f9 =: ; + ms ' mi + m2 ( 1 Z.) Пример 3. Определить потерю кинетической энергии при неупругом центральном ударе двух шаров. Массы шаров mi и т2, их скорости до столкновения vt и z/a. Решение. Кинетическая энергия шаров до столкновения: „ mi»; . mty\ После неупругого удара оба шара катятся с одинаковой скоростью о', равной (см. § 20): + Изменение кинетической энергии при ударе равно .„ р р (mi -f- /п2)у'2 !тху\ . m2vl\ Подставляя сюда »' по A3), найдем "" '3 . (И) Таким образом, при неупругом столкновении шаров происходит умень- уменьшение кинетической энергии. Это изменение энергии идет на работу, совер- совершаемую при неупругой деформации шаров во время удара. В конечном счете эта работа ведет к нагреванию шаров. Переходя от рассмотрения одной материальной точки к рассмот- рассмотрению системы материальных точек, мы применим соотношение D) к каждой точке системы: Л; = ^-^!. A5) Здесь индекс I отмечает данную материальную точку, а А-% означает работу сил, приложенных к этой точке. Кинетической энергией системы Ек называется сумма кинетиче- кинетических энергий всех материальных точек, образующих систему: 2 ту) A6) Суммируя почленно равенства A5) для всех материальных точек, получим: EM — Eki = A, A7). где A = 2j &i есть сумма работ всех сил, приложенных ко всем материальным точкам, образующим систему. Равенство A7) выра-
§ 27] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 89 жает один из основных законов механики: изменение кинетической энергии системы равно работе всех сил, приложенных к мате- материальным точкам, образующим систему. § 27. Потенциальная энергия механической системы. Предпо- Предположим, что тело, рассматриваемое как материальная точка, переме- перемещается из одного места в другое, взаимодействуя с окружающими телами. На тело, следовательно, действуют силы; в этом случае говорят, что тело перемещается в силовом поле. Характер сил, действующих на рассматриваемое тело, может быть весьма разно- разнообразным, например, эти силы могут быть силами тяготения, силами трения, электрическими силами и т. д. Рассмотрим работу, совершаемую при движении материальной точки в однородном поле силы тяжести. Такое поле силы тяжести существует вблизи поверхности Земли, где сила тяжести практи- практически не зависит от высоты над поверхностью Земли (пока высота h мала по сравнению с радиусом зем- земного шара /?). Пусть материальная точка движется по некоторой кри- кривой ВХВ9 (рис. 61). Разобьем эту кривую на элементарные отрезки, настолько малые, чтобы каждый из них можно было считать прямоли- Рис 61 Определение работы нейным. Тогда элементарная работа сил тяготения. ДЛ, совершаемая при передвижении по отрезку As, будет &А = Р&$ cos а, где Р—вес тела, а а — угол, который направление силы тяжести составляет с направлением пере- перемещения. Из рис. 61 видно, что As cos a = ДА, где ДА — изменение высоты тела при перемещении на отрезок As. Вся работа перемещения из точки В^ в точку ?а будет но 2Д^ Дает отрезок А, указывающий, насколько точка В\ лежит выше точки В& таким образом, A = Ph, A) т. е. работа силы тяжести при перемещении тела по любой кривой линии равна работе при перемещении вдоль вертикали на отрезок А, равный разности высот начальной и конечной точек пути тела. Работа в поле силы тяжести не зависит от формы и длины пути, а только от того, насколько выше лежит конечная точка пути по отношению к начальной точке. Оказывается, что в при- природе существуют и другие силы, кроме силы тяжести, обладающие тем же замечательным свойством: работа сил при перемещении мате- материальной точки зависит только от положения начальной и конечной
90 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ " [ГЛ. Ш точек пути и не зависит ни от вида пути, ни от скорости движе- движения. Такие силы носят название потенциальных сил. При движе- движении материальной точки в поле потенциальных сил можно ввести понятие о потенциальной энергии, через разность которой будет определяться работа сил. Пусть материальная точка перемещается из некоторой точки пространства (/) в другую точку пространства B) и пусть при этом действующие на нее силы совершают работу Aifi. По сказанному, для потенциальных сил эта работа характеризуется только положениями начальной и конечной точек пути, т. е. поло- положением точек (/) и B). Это означает, что можно ввести такую величину Ер, характеризующую положение материальной точки в поле потенциальных сил, что работа Ах$ будет равна разности вначений Ер1 и Epi, которые величина Е„ принимает в точках (/) и B): Epi — Epi = Al2. B) Величина Ер называется потенциальной энергией. Равенство B) определяет лишь разность потенциальных энер- энергий в двух точках; саму потенциальную энергию можно определить, если условно принять за нуль значение потенциальной энергии в какой-либо точке пространства. В качестве примера определим потенциальную энергию матери- материальной точки в поле силы тяжести. По равенству A) работа силы тяжести при перемещении тела между двумя точками простран- пространства В\ и Bq, из которых вторая лежит на отрезок h ниже первой, равна A = Ph или A = mgh, если через т обозначить массу тела, а через g—ускорение силы тяжести. Обозначим высоту точки Ву, отсчитанную от некоторой нулевой высоты, через hb а точки Вг — через А3, тогда h = hx — А2 и А = mghi — mgh2. С другой стороны, по формуле B) А = Ер1 — Epi. Если условно принять, за нуль значение потенциальной энергии ма- материальной точки на высоте А2 = 0, то из сравнения двух послед- последних равенств получаем Eph = mgh. C) Таким образом, потенциальная энергия тела с массой т, поднятого на высоту h, оказывается равной mgh. При этом потенциальная энергия тела, лежащего на поверхности Земли, условно принята равной нулю. Если тело падает с высоты ft, то сила тяжести совер- совершает положительную работу А = Ph. Потенциальная энергия при этом убывает. При поднятии тела на высоту h работа силы тяжести отрицательна. В этом случае из равенства B) получим, что ЕрХ — Epi<C.O, т. е. что потенциальная энергия возрастает.
§ 27] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 91 В качестве второго примера рассмотрим потенциальную энер- энергию сжатой пружины. В примере 2 § 25 мы видели, что работа, которую необходимо затратить для сжатия упругой пружины на ftsa величину s, равна А = -у, где k — коэффициент жесткости пру- пружины. На такую же величину возрастет потенциальная энергия пружины. Если потенциальную энергию не сжатой пружины мы по- положим равной нулю, то потенциальная энергия пружины, сжатой на величину s, окажется равной: Е -- р— 2 * Здесь потенциальная энергия пропорциональна квадрату сжатия пружины. Переходим к рассмотрению системы материальных точек. Пред- Предположим сперва, что система материальных точек изолирована, т. е. что ее точки взаимодействуют только друг с другом и не испыты- испытывают воздействия внешних по отношению к системе тел.-| Силы взаимодействия материальных точек пусть зависят от их расстояния друг от друга. Условимся называть конфигурацией системы опреде- определенное расположение материальных точек. Всякое перемещение материальных точек друг относительно друга ведет к изменению конфигурации системы. При переходе системы из какой-либо кон- конфигурации (/) в другую конфигурацию B) силы, действующие на все материальные точки системы, совершат работу, которую мы обозначим через Л^- Если все силы ноСят потенциальный харак- характер, то работа Л^ будет зависеть только от того, какова на- начальная и какова конечная конфигурация системы. В этом случае работа А\^ может быть представлена как разность потенциальных энергий системы, находящейся соответственно в конфигурациях (/) и B): Л1|2 = ?„! — ?> D) Как и выше, соотношение A) определяет лишь разность потен- потенциальных энергий; для определения самой потенциальной энергии следует принять за нуль энергию какой-либо определенной конфи- конфигурации системы. Разобранный выше пример с потенциальной энергией тела в поле силы тяжести Земли можно рассматривать и как пример на потен- потенциальную энергию системы, образованной совокупностью: Земля и рассматриваемое тяжелое тело. В случае падения тяжелого тела с высоты А, первоначальной конфигурацией будет: Земля и тело на высоте h над ее поверхностью, конечной конфигурацией: Земля и тело на ее поверхности. Работа силы тяжести выразится через раз- разность потенциальных энергий в этих двух конфигурациях:
92 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ. Ш Отметим еще раз, что соотношение D) имеет смысл только при условии, что работа сил не зависит от способа перемещения мате- материальных точек при переходе системы из одной конфигурации в другую. Это условие не всегда выполнено. Не все силы, встре- встречаемые в природе, потенциальны. Работа сил трения, например, за- зависит от длины пройденного пути. Поэтому при наличии сил тре- трения нельзя выражать работу через разность потенциальных энергий. § 28. Законы сохранения и изменения механической энергии системы. Предположим, что мы имеем изолированную систему мате- материальных точек, в которой действуют только потенциальные силы. Состояние системы будет определяться ее конфигурацией а ско- скоростями материальных точек, образующих систему. При пере- переходе системы из одного состояния в другое силы, приложенные к материальным точкам, образующим систему, совершают работу, которую мы снова обозначим через А^л, считая, что индекс 1 отно- относится к начальному состоянию системы (/), а индекс 2 — к ее конеч- конечному состоянию B). В каждом из этих состояний, различающихся скоростями материальных точек и их расположением, система будет характеризоваться соответственными значениями кинетической энер- энергии Eki и Eki и потенциальной энергии Epi и Ер2. Тогда работа Ац может быть выражена двояким способом: либо через разность кине- кинетических энергий А\,2== Eki Рк\< j (') либо через разность потенциальных энергий АУЛ = Ер1 — Ер,. . B) Из этих двух равенств имеем Е -\- Е = Е . -4- Е C) Сумма кинетической и потенциальной энергий системы называется ее полной механической энергией Е: Ek-\-Ep = E. D) Тогда равенство C) принимает вид: "?, = ?» E) т. е. мы получаем, что полная энергия изолированной системы, в которой действуют только потенциальные силы, остается по- постоянной. Это положение называется законом сохранения механи- механической энергии. Оно является одним из наиболее важных следствий основных законов механики. При переходе из одного состояния в другое могут меняться кинетическая и потенциальная энергии, взятые в отдельности, но их сумма остается постоянной. Если произошло, например, увеличение кинетической энергии на некоторую величину h.Eh, то на такую же
§28] ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ 93 величину Д?р = Д?'к должна уменьшиться потенциальная энергия. Следует, однако, помнить, что закон сохранения механической энер- энергии изолированной системы только тогда имеет место, когда силы, действующие в системе, являются силами потенциальными. При на-' личии непотенциальных сил, например сил трения, сумма кинетиче- кинетической и потенциальной энергии системы не будет оставаться по- постоянной. Обобщение закона сохранения энергии на любые системы будет дано в § 68. Рассмотрим случай падения тела, пренебрегая трением. Пусть тело массы т поднято на высоту h, тогда его потенци- потенциальная энергия Ep = mgh. При падении тела с высоты h его потенциальная энергия убы- убывает, но зато тело приобретает скорость, а следовательно, и запас кинетической энергии. В конце падения эта кинетическая энергия будет р mv% где v = yigh — та скорость, с которой тело подлетает к Земле. Подставляя это значение v в выражение для кинетической энергии, найдем т. е. к концу падения вместо потенциальной энергии возникло рав- равное ей количество кинетической энергии. Энергия перешла из одного вида в другой, но общее ее количество осталось неизменным. Для замкнутой механической системы ее полная энергия Е, рав- равная сумме кинетической энергии Ek и потенциальной энергии Ер, остается постоянной: Е = Ek -f- Ep = const. Убывание кинетической энергии ведет к увеличению потенциаль- потенциальной, и обратно. Как и в случае падающего камня, в общем случае замкнутой механической системы процессы сводятся лишь к пере- переходу энергии из кинетической в потенциальную и обратно. Предположим, что в замкнутой механической системе все тела сперва покоятся, тогда Ek = 0 и потенциальная энергия Ер = Е, т. е. представляет собой полный запас энергии. Так как кинетиче- кинетическая энергия Ek всегда положительна, то она может возникнуть лишь за счет убывания потенциальной энергии Ер. Отсюда мы по- получим: если в начальный момент потенциальная энергия Ер имеет минимальное возможное значение, и тела, образующие механиче- механическую систему, находились в покое (Ек = 0), то в последующие моменты времени они не смогут прийти в\ движение, так как
94 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [гл. ш не сможет возникнуть, без внешних воздействий, кинетическая энер- энергия Ек. Другими словами: замкнутая механическая система, по- потенциальная энергия которой имеет минимальное значение и в которой отсутствуют движения тел, находится в состоянии равновесия. Примером может служить тяжелый шар, неподвижно; лежащий на дне ямы: его потенциальная энергия Ер имеет мини- минимальное значение, и он находится в равновесии; без воздействия извне шар не может выкатиться из ямы. Рассмотрим несколько частных примеров. Пример 1. Камень весом 2 кГ, падающий с высоты 5 м, вдавливается в мягкий грунт на 5 см. Чему равна средняя сила удара? Решение. Камень, поднятый на высоту Л, имел запас потенциальной энергии Ep = Ph, где Р—вес камня. За счет этой потенциальной энергии совершилась работа вдавливания камня в грунт, откуда где/—средняя сила удара и s — глубина вдавли- вдавливания в грунт. Отсюда: 7=Р~=2 '0,05 кГ=200 кГ. Рис. 62. Баллистиче- Баллистический маятник. Пример 2. Для измерения скорости пули поль- пользуются баллистическим маятником. Это—ящик с пе- песком, подвешенный на нити. Пуля, попадая в ящик, застревает в нем, но при этом ящик оказывается отброшенным на некоторую высоту (рис. 62). Определить скорость пули v по следующим данным: масса пули ти масса ящика от2, высота подъема ящика Л. Решение. Когда пуля попадает в ящик, она начинает двигаться вместе с ящиком с общей скоростью »', определяемой из условия, что столкновение между пулей и ящиком неупругое: ttl\ -V. Кинетическая энергия ящика вместе с пулей (nti + w»a) v'a Ek= 2 ' Подставляя сюда значение »', получим с* — 2 (От! + т2) * При отклонении ящика на высоту Л вся эта кинетическая энергия перей- перейдет в потенциальную, откуда следует: отсюда получаем, что искомая скорость пули
§ 29] ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ 95 Так как обычно масса пули ntj, очень мала по сравнению с массой ящика /п2. то приближенно Рассмотрим теперь неизолированную систему и допустим, что среди внутренних сил имеются и силы трения (непотенциальные силы). При этом мы ограничимся учетом только механических явле- явлений и не будем принимать во внимание тепловые и другие немеха- немеханические явления, о которых речь будет ниже (§ 68). Разобьем силы, действующие на материальные точки, на три группы: 1) силы внутренние потенциальные, 2) силы трения (внутренние непотенци- непотенциальные) и 3) внешние, вызванные воздействием со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Тогда и в равенстве A) разо- разобьем работу на три части, соответствующие этим трем группам сил, в результате чего получим • Ею — Eki = А внутр. пот -f- А гр -+- А внеш. F) Изменение же потенциальной энергии будет связано лишь с ра- работой потенциальных сил: ?pl ?-р2== АВНуТр. пот. (') Из равенств F) и G) получаем: Ею + ЕРъ — (ffti + ЕрХ) =- Авкеш ~\- Атр. Но сумма кинетической и потенциальной энергий Ек-\-Ер есть полная механическая энергия системы Е, поэтому имеем: ?а_?1 = Лвнеш + Лтр. . (8) 1 Из равенства (8) вытекает, чт,о изменение полной механической \ энергии системы, равно сумме работ внешних сил и сил трения. Следовательно, полная механическая энергия системы представляет собой такую физическую величину, изменение которой обусловлено работой внешних сил и сил трения. Энергия неизолированной меха- механической системы возрастает, если сумма работ внешних сил и сил трения положительна, и убывает, если эта сумма отрицательна. Заметим, что работа сил трения всегда отрицательна, так как сила трения для каждой материальной точки направлена в сторону, противоположную ее скорости, т. е. против направления ее переме- перемещения. Таким образом, сила трения всегда обуславливает уменьше- уменьшение полной механической энергии системы. § 29. Графическое представление энергии. Потенциальная энер- энергия тела весом Р, поднятого над поверхностью Земли на высоту ft, равна Ep = Ph = mgh, A) где т. — масса тела.
96 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [гл. ш Представим зависимость Ер от А графически, отложив по оси абсцисс значение А и по оси ординат значение Ер; тогда, согласно формуле A), зависимость Ер от А представится прямой О А (рис. 63), проходящей через начало координат; угол, составляемый этой пря- прямой с осью абсцисс, тем больше, чем больше вес тела Р. Пусть рассматриваемый процесс представляет собой подбрасывание камня весом P=mg вертикально вверх. Если пренебречь сопроти- сопротивлением воздуха, то можно считать, что движение камня происходит без совершения внешних работ. Тогда полная энергия камня . ' р р I р (<Г\ птах О Рис. 63. Потенциальная энергия поднимаемого тела изображается прямой ОА. постоянна; графически она пред- представится прямой CD, параллельной оси абсцисс. Так как кинетическая энергия Ек ~5^ 0, то по B) макси- максимальное возможное значение потенциальной энергии будет Ер = Е (нся энергия перешла в потенциальную). Отсюда максимальная вы- высота подъема камня Атах определится абсциссой точки пересечения прямых ОА и CD. Движение камня возможно лишь для значений А, заключенных между нулем и Атах. Для некоторого определенного значения А, заключенного в этих пределах, отрезок BF изобразит потенциальную энергию камня и отрезок FQ — его кинетическую энергию. График вполне наглядно показывает, как при поднятии камня кверху (А возрастает) возрастает потенциальная энергия камня Ер и убывает кинетическая Ек; при вает), наоборот, убывает Ер и возрастает наоборот, убывает Ер все время постоянна. Максимальная высота поднятия полную энергию: Ep-\-Ek М падении камня (А убы- Ek. Сумма их значений камня Е_ mg' определится через C) Кинетическая энергия для некоторой высоты A<^Amaj[, изобра- изображаемая отрезком FG, равна Ek = E — Ep = mghma% — mgh. D) Обозначая скорость, которую камень будет иметь на высоте А, то1 через v, имеем ?¦(, = ——; получим по D): mv2 ~2~ — mgh, откуда v = — А). E)
§ 29j ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ 97 При поднятии камня эта скорость направлена вверх, при его падении — направлена вниз. Эту же скорость можно выразить и через начальную скорость камня г»0, тогда ' _ _ ¦ mvl , mv* mvl Ek = E — Ep = -^ — mgh, откуда —2~=-y-— и, следовательно, I Рис. 64. Тяжелое тело на на- наклонной плоскости. F) Тот же рис. 63 представляет и соотно- соотношения между энергиями в случае сколь- скольжения без трения тяжелого тела Р по наклонной плоскости. Однако, в случае наклонной плоскости, в качестве незави- независимой переменной мы можем выбрать не только /г, но, например, и отрезок / (рис. 64), откладываемый по основанию наклонной плоскости от ее начала. В силу соотно- соотношения /г = Alga, где а —угол, составляемый наклонной плоскостью с горизонтом, потенциальная энер- энергия, как функция /, представится: Ep = mg-tga.-l. Таким образом, графически Ер изобразится в зависимости от / также прямой, проходящей через начало координат, только ее наклон будет иной, чем на рис. 63. Этот же прием изображения энергий можно использовать и для случая скольжения- без трения тя- тяжелого тела по поверхности любого профиля. Пусть тело скользит без трения по горе, профиль склона которой представлен на рис. 65а. Тогда потенциальная энергия Ер, как функция расстояния i, откла- откладываемого вдоль основания горы, изобразится кривой ABCDF (рис. 65<J). Местам более крутого подъ- подъема горы соответствует более крутой подъем кривой на рис. 656, яме на горе соответствует „потенциальная яма" на кривой ABCDF. Пусть полная энергия тела Е изображается прямой QE. В силу со- соотношения ?р<? из рис. 656 сразу видим, что в этом случае / может иметь значения, либо заключенные между точками Hal, либо заключенные между точкой К и бесконечносхью. Это означает, что тело может при таком значении Е либо скользить по склону IN 1 1 I | { i Bf \ | б) с' с F МН 1 Рис. 65. Потенциальная энергия тела, скользящего по склону горы, изображается кривой ABCDF.
98 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ. Ш горы DF, либо двигаться внутри ямы ВС. Если оно находится в яме, то ему мешает оттуда,выбраться барьер CD. Условием равновесия тела является минимум потенциальной энергии (абсолютный или относительный). При значении полной энергии Е, изображаемой прямой, прохо- проходящей через точку L, тело может скользить по всему склону горы между точкой L и бесконечностью. Кинетическая энергия тела для каждого данного значения / определится отрезком, заключенным между прямой, изображающей полную энергию, и кривой, изобра- изображающей потенциальную энергию. В качестве последнего примера рассмотрим движение тела с массой т, прикрепленного к пружине. При перемещении тела на отрезок s пружина сжимается (s<0) или растягивается (s ;> 0), в результате чего возникает потенциальная энергия: Ер = \. 0) где к—жесткость пружины. Как функ- функция смещения s потенциальная энер- энергия Ер будет представлена параболой (рис. %6). Если полная энергия ? = = ?„ + ?* изобразится прямой FG, то потенциальная энергия для данного значения s изобразится отрезком АВ, а кинетическая энергия тела—отрез- тела—отрезком ВС. Возможные значения смеще- смещения s лежат между smaX и s min, опре- определяемыми отрезками DQ и DF; из симметрии параболы имеем, 4io'smin= =—smax. Отсюда следует, что тело совершает колебания, около положе- положения равновесия, определяемого значе- значением s = 0. Его кинетическая энергия, а следовательно, и его скорость дости- достигают максимума при прохождении по- Яожения равновесия и достигают минимума (равного нулю) при максимальных отклонениях. Кинетическая энергия для некоторого значения s равна Рис. 66. Потенциальная энергия дефор- ыированной пружины изображается параболой FOQ. полная энергия Е — ks* , откуда 2 аЬ = 2 ~~ 2 отсюда получаем выражение для скорости тела, как функция смещения s:
§ 30] ФОРМУЛЫ РАЗМЕРНОСТИ 99 § 30. Формулы размерности. Изученный нами в предыдущих параграфах материал позволяет поставить вопрос о так называемой размерности физических величин и о формулах размерности. До сих пор единицу для измерения какой-либо физической вели- величины мы устанавливали на основании закономерной связи этой ве- величины с другими, для которых единицы измерения уже известны, полагая в соответствующей формуле коэффициент пропорциональности равным единице. Таким образом, устанавливалась определенная си- система единиц, связанная с некоторым определенным выбором основ- основных величин и единиц для их измерения. Так, в CGS-системе за основные физические величины избрана длина, время и масса и за единицы их измерения, соответственно, — сантиметр, секунда и грамм. О возможном выборе других основных величин мы уже говорили в § 3. При данном выборе основных физических величин возможен различный выбор единиц их измерения, и, таким образом, возникает вопрос, как зависят производные единицы от единиц основных ве- величин. Остановимся на системах, где за основные величины выбраны длина, время и масса, и обозначим единицы их измерения соответ- соответственно через L, Т и М. Если производная единица А меняется пропорционально р-й сте- степени единицы длины L, q-й степени единицы*массы М и r-й сте- степени единицы времени Т, то говорят, что единица А имеет размер- размерность р относительно единицы длины, размерность q — относительно единицы массы и размерность г — относительно единицы времени. Такую зависимость единицы А от единиц основных величин выра- выражают символической формулой (формулой размерности): [A] = LP-Mq-Tr. A) Например, если формула размерности для некоторой определен- определенной единицы А имеет вид: что также может быть записано в виде: то это означает, что данная производная единица А меняется про- пропорционально единице массы, пропорционально квадрату единицы длины и обратно пропорционально квадрату единицы времени. На- Например, если мы единицу массы увеличим в 1000 раз, единицу длины—в 100 раз и единицу времени — в 60 раз, то рассматри- 1000-1002 ваемая производная единица А увеличится в —™—¦ раз, т. е. в 2,78-103 раза. Если производная единица вовсе не зависит от какой-либо из основных единиц, то говорят, что она нулевой размерности относи- относительно этой основной единицы.
100 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ. III Знание размерности физических величин существенно не только потому, что оно позволяет легко подсчитать, как меняется единица измерения данной физической величины при изменении единиц из- измерения основных величин, но и потому, что сравнение размерности величин позволяет контролировать правильность расчетов. Этот контроль основан прежде всего на следующем очевидном положе- положении: складывать, вычитать и связывать знаком равенства можно только величины одной размерности. В самом деле, нельзя складывать, например, массу с какой-либо длиной или утверждать, что площадь некоторой фигуры может равняться длине какого-либо отрезка и т. д.' Далее, можно указать, что в показателе степени может стоять лишь кисло, т. е. величина, лишенная размерности. Определим размерность ряда уже известных нам физических величин. о Размерность скорости: исходя из соотношения v = у-, видим, что единица скорости меняется пропорционально единице длины и обратно пропорционально единице времени, откуда [v] = L.T-\ B) Размерность ускорения: исходя из соотношения w = ~, полу- получаем [w\ = L.T~\ C) Размерность силы: исходя из соотношения f=mw и пользуясь уже найденной размерностью ускорения w, получим [f] = MLT-\ D) Размерность работы: исходя из соотношения A=fs, получим [A] = ML*T~\ E) Такую же размерность имеет и энергия. Размерность мощности: исходя из соотношения W = —, по- получим [W] = ML%'T-\ F) Однако существуют такие физические величины, единицы изме- измерения которых не зависят от единицы длины, времени и массы. Например, угол, измеряемый отношением длины дуги к длине ради- радиуса, будет нулевого измерения относительно всех трех основных единиц L, М, Т. За единицу для измерения угла выбирается цен- центральный угол, стягивающий дугу, длина которой равна радиусу; эта единица измерения угла, называемая радианом, одна и та же во всех системах. Наряду с радианом, однако, углы измеряют также и в градусах; в этом случае за единицу угла выбран центральный
§ 30] ФОРМУЛЫ РАЗМЕРНОСТИ . 101 угол, стягивающий дугу, длина которой равна ^ длины полной ок- окружности. Поэтому для однозначности можно в формулы размерно- размерности вводить еще символ единицы угла.! Обозначим этот символ буквой Ф. В формулы размерности приведенных выше величин — скорости, ускорения, силы и т. д. — он не должен входить, так как все эти величины нулевой размерности относительно угла. Но если. мы захотим написать размерность угловой скорости'ш==-^-, то в нее можно ввести символ Ф, так как единица угловой скорости зависит от того, какой единицей для измерения угла мы пользуемся; таким образом: Однако обычно принято указывать размерность лишь по отноше- отношению к единицам длины, времени и массы, тогда [*\=Т-\ G) Так же мы получим размерность углового ускорения №=т-\ (8) Из рассмотрения размерности величин иногда можно указать точный характер закономерности, если предварительно известен ее приближенный вид. Например, естественно положить,. что скорость v, лриобретаемая свободно падающим вблизи земной поверхности камнем, должна быть тем больше, чем больше высота падения h и чем больше ускорение силы тяжести g. Таким образом, полагая что v должно быть пропорциональным g и h, взятым в некоторых степенях щ и пь получим v = k-gn^hn*, где k — численный коэффициент. Размерность скорости [v] = L- Т~и, такова должна быть и размерность gn^hn*. Но {g\ = LT~x и [h] = L. Отсюда видно, что для того, чтобы размерности времени в обоих выражениях были одинаковы, должно «i = -«-. Но, при я, = у и щ должно равняться -у, так как иначе не совпадут размерности длины. Отсюда видим, что требование об одинаковости размер- размерности величин, связанных знаком равенства, будет выполнено при 1 и1=яа = у, т. е. В самом деле, из формул равномерно-ускоренного движения (§ 7) мы получаем, что ; v=Y2gh ^ 1,41 Vgh. 1 Из других физических величин нулевой размерности относительно длины, времени и массы укажем температуру.
102 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ. III § 31. Границы применимости классической механики. Как мы уже указывали в § 4, классическая механика применима лишь к мак- макроскопическим телам, т. е. телам, состоящим из большого числа атомов и движущимся со скоростями, малыми по сравнению со ско- скоростью света. Так как скорость света равна приблизительно 300 000 лм/сек-, то классическая механика применима ко всем обыч- обычным телам, движущимся с практически достижимыми скоростями. Однако весьма точные наблюдения над некоторыми небесными объектами (планета Меркурии, скорость которой при движении по орбите вокруг Солнца достигает 100 км [сек) позволяют заметить отклонения от следствий из классической механики. Эти отклоне- отклонения объясняются механикой теории относительности. Весьма резко проявляются отклонения от классической механики при наблюдении отдельных атомов, электронов и других элементарных частиц. Механика больших скоростей, т.е. скоростей, сравнимых со ско- скоростью света, дается теорией относительности. Теория относительности, как и всякая другая теория, ломающая старые представления, поставила на очередь решение ряда важных методологических вопросов. Многие буржуазные физики и философы пытались использовать теорию относительности для обоснования своих порочных ' идеалистических воззрений, в частности философ- философского релятивизма. В действительности содержание теории относи- относительности ни в коей мере не ведет к философскому ' релятивизму. Теория относительности изучает преимущественно явления, обна- обнаруживающиеся при скоростях, близких к скорости света, существую- существующие объективно и, следовательно, не зависящие от нашего произвола и в этом отношении не являющиеся „относительными". Ленин, как мы указывали в § 4, отме- тил, что новая физика (он подразумевал при этом теорию относительности) S' быстрых реальных дви- движений, в то время как старая классическая ме- механика была снимком с и "' * медленных движений. „ „., „ о Содержание теории Рис. 67. Система S, движущаяся относительно г , системы S' со скоростью щ. относительности будет более подробно рассмо- рассмотрено в т. III, здесь же мы лишь остановимся на некоторых следствиях теории относительности и используем их для определе- определения границ применимости классической механики. Начнем с рас- рассмотрения некоторых кинематических следствий теории относитель- относительности. Пусть в системе отсчета S (рис. 67) тело т движется со скоростью v относительно координатной системы OXY, неизменно дает снимок с гигантски т.
§ 31] ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 103 связанной с системой отсчета 5. Пусть имеется вторая система отсчета S'; с этой второй системой отсчета неизменно связана своя координатная система О'Х'У, оси которой О'Х' и О'У будем счи- считать параллельными осям ОХ и О У. Предположим, что система S движется относительно системы S' в направлении положительной ОСИ ОХ СО СКОРОСТЬЮ Vq. В системе S* тело т представляется движущимся со скоростью v, составляющие которой на координатные оси равны vx и vy. В системе S' скорость тела будет иной, так как система S движется относи- относительно S' со скоростью у0. Согласно классическим представлениям, составляющие скорости тела м по осям О'Х' и О'У в системе S' равны ^ = ¦»* + ¦% v'y = vy A) Эти формулы выражают собою обычное правило сложения ско- скоростей. По теории относительности правило сложения скоростей иное, а именно: B) где с — скорость света. Легко проверить, что когда скорости v№ и vx малы по сравнению со скоростью света, формулы теории отно- относительности B) переходят в классические формулы сложения ско- скоростей A). Сравним результаты, даваемые формулами A) и B), для неко- некоторых конкретных случаев. Предположим, что в кабине аэроплана, летящего над Землей со скоростью г>0 = 360 км/час =\00 м/сек, делается в направлении полета аэроплана выстрел, причем скорость пули относительно аэро- аэроплана г/л=1000 м/сек. Тогда с точки зрения классической меха- механики скорость пули относительно Земли равна v'x = vx +¦ г>о = 100 м/сек +¦ 1000 м/сек = 1100 м/сек. По теории относительности, согласно первой из формул B): 1100 , 1100 ., ..<—_ g м/сек, - еа т C-10е)я или приближенно г>;=1100A — 1,1- 10-1а) м/сек, откуда видно, что теория относительности в этом случае дает ре- результат, отличающийся от классического примерно на 10'1а-ю часть
104 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ. III суммарной скорости. Другими словами, результаты классической тео- теории и теории относительности здесь практически полностью сов- совпадают. Если же каждая из складываемых скоростей щ и vx равна поло- половине скорости света с, то суммарная скорость по теории относи- относительности равна I J.1 вместо с, как это получается по классической формуле A). Здесь различия между следствиями из обеих теорий заметны. Они еще больше, если, например, каждую из слагаемых скоростей положить равной 0,9 с. По теории относительности скорость никогда не может превы- превышать скорости света с в вакууме. По формулам B) мы получим результирующую скорость, не превышающую скорости света даже в том случае, когда каждая из складываемых скоростей сколь угодно близка к скорости света. Существенно еще отметить, что по формулам теории относитель- относительности B) в системе отсчета S' меняется не только составляющая скорости vx, направленная в сторону движения системы S, но и составляющая vy, нормальная к скорости т>0 системы S. По класси- классическим формулам vy одинаково для обеих систем. Если скорости va и vx малы по сравнению со скоростью света с, то влияние v0 на составляющую vy весьма малб. В самом деле, обозначим — =$ и¦ — = р\ тогда обе величины р и р' малы по сравнению с единицей, и формулу B) приближенно можно переписать: Ух + Уо ^ ^ х Bа) таким образом, v'x близко к сумме vx-\-v0, значение же Vy отли- отличается от vy лишь на член второго порядка малости по отношению к величинам порядка р. и р\ - Второе важное следствие теории относительности, которое мы рассмотрим, заключается в том, что в системе отсчета, относительно которой тело движется со скоростью v, масса этого тела больше, чем в системе отсчета, относительно которой тело покоится, а именно:
§31] ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 105 Таблица I Зависимость массы от скорости где т — масса тела в системе отсчета, относительно которой оно движется, /и0 — в системе отсчета, относительно которой оно покоится {покоящаяся масса), величина р = —. Изменение массы по формуле C) мало, пока скорость v мала по сравнению со скоростью света, и становится большим, когда ско- скорость v сравнима со скоростью света. При приближении скорости v к скорости с величина р~*-1, и масса т по формуле C) бесконечно возрастает. Отсюда видно, что при непрерывном ускорении тела под влиянием некоторой силы масса тела возрастает, работа, которую надо совершать, чтобы далее ускорять тело, тоже возрастает: для сообщения телу скорости, равной скорости света, надо совершить беско- бесконечно большую работу; таким образом, ско- скорость, равная скорости света, для тел с по- покоящейся массой, отличной от нуля, не достижима. Для оценки влияния скорости на массу, воспользуемся табл. I, где приведены значения т/т0 для разных р. Из табл. I видно, что вначале масса т воз- возрастает со скоростью весьма медленно и на- начинает быстро возрастать лишь при скоростях, близких к скорости света. При C = 0,01, т. е. при скорости v ^0,01 с = 3000 км/сек, масса т отличается от покоящейся массы /и„ всего на 0,005%. При скорости v, равной половине скорости света с, масса т приблизительно на 15,5% превышает покоящуюся массу тв. При скорости же v = 0,9 с масса уже более чем вдвое превышает та. Измерения массы быстро движущихся. электронов (см. т. II) вполне точно подтверждают формулу C). Согласно динамике, теории относительности, количество движения тела в г 0,005 0,010 0,10 0,50 0,80 0,90 0,95 0,98 0,99 0,995 0,9995 т Шо 1,00001 1,00005 1,00504 1,1547 1,6666 2,2941 3,2025 5,0252 7,0888 10,0125 31,6268 При этом сила, по-прежнему, определяется как физическая величина, равная изменению вектора количества движения в единицу времени. Закон сохранения количества движения выполняется в точности, если количество движения выражать формулой D). Для скоростей v, малых по сравнению со скоростью света с, величина р мала по сравнению с единицей, и формулу C) можно приближенно переписать: m — i (За)
106 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ. III Помножим и поделим выражение для кинетической энергии тела ?* = ^-у- на с2', тогда оно примет вид: Е —— откуда по (За) В динамике теории относительности показывается, что эта фор- формула E), выведенная нами как приближенная для v <^ с, на самом деле в точности справедлива для любых скоростей, сколь угодно близких к скорости света. Формулу E) можно переписать: т = /я0 -\~ ^~, Eа) т. е. масса движущегося тела т больше его покоящейся массы т0 на величину Ek/c2. Это следствие допускает весьма важную интер- интерпретацию: мы можем считать, что масса тела возросла потому, что. у него появилась кинетическая энергия, что появление кинетической энергии Ек сопровождается увеличением массы тела на величину, равную Ек/с\ Теория относительности обобщает этот вывод, утвер- утверждая, что изменение всякой энергии на величину Е связано с изме- изменением массы на величину т, численно равную т = -о- • F) с2 Обратно, при изменении массы системы на величину т возникает количество энергии Е=тск. Таким образом, каждому одному эргу энергии соответствует масса т= .„ .П10.2г^ 1,Ы0~а1 г. Как видно, эта масса весьма мала: установка мощностью в 2 000 000 кет (мощность Куйбышевской элек- электростанции) вырабатывает в 1 час примерно 7,2-1019 эргов энергии, которой по формуле F) соответствует масса 7,2-1019-1,1 • 10~91 г = = 8,0' 10~а г, т. е. около 0,080 г. Отсюда видно, что технически достижимым количествам энергии соответствуют совершенно ничтожные массы. Однако при процессах, связанных с превраще- превращением элементов, изменения массы, обусловленные изменениями энергии, вполне заметны (см. т. III). Равенство F) выражает общую взаимосвязь между энергией и массой. Содержание этого равенства подвергалось многочисленным идеалистическим извращениям: так, утверждалось, что якобы из него следует возможность „превращения" массы в энергию и обратно, или что закон сохранения имеет место лишь для суммы массы и энергии системы, а что масса, и энергия, взятые в отдельности, не сохраняются. Все эти выводы совершенно не верны и в конечном счете ведут к отрыву представления об энергии от представления о материи, т. е. к идеализму. В действительности физические вели-
§ 31] ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 107 чины масса и энергия являются одними из наиболее основных харак- характеристик тех конкретных видов движущейся материи, с которыми имеет дело физика. Для полностью изолированной системы сохра- сохраняется как ее масса, так и ее энергия. Равенство F) указывает на глубокую взаимосвязь между обеими этими величинами, оно указы- указывает, что невозможно изменение одной из них без одновременного изменения в пропорциональном количестве другой. Перейдем теперь к ограничениям представлений классической механики, обусловленным размерами тел. Как мы отмечали, для всех макроскопических тел, т. е. тел, состоящих из большого числа атомов, классическая механика приложима практически вполне точно. Однако отдельные элементарные частицы, например, отдельные электроны, проявляют свойства, отличные от тех, которые вообще могут быть приписаны „частице" в том смысле, как мы употребляем слово „частица" в механике. Говоря обычно о „частице", мы подрав зумеваем, что по отношению к частице можно ответить на два вопроса: 1) где она находится? и 2) с какой скоростью она движется? Ответы на эти два вопроса, т. е. задание координат частицы х, у, z и вектора ее скорости v для каждого данного момента времени, определяют траекторию частицы и характер ее движения по этой траектории. Опыты же, как мы это впоследствии увидим (см. т. III), убеждают нас, что пучок электронов проявляет особое свойство (диффракцию), характерное, с точки зрения обычных представлений, для распространения волн. По отношению же к волновому процессу нельзя ставить вопроса о месте, где волна находится, в том смысле, в каком он ставится по отношению к частице. В самом деле, волны охватывают все пространство, где они распространяются, например всю поверхность моря; можно только говорить, где расположены гребни или впадины волн, причем для волн на поверхности моря это будут семейства линий, а не точки, определяемые тремя координатами. Отсюда — опытный факт, указывающий, что электрон (а также всякая другая элементарная частица) не есть „частица" в обычном смысле слова, ведет к тому, что и понятия, применимые к частице, нельзя в точности прилагать к электронам. Анализ данных опытов, произведенный квантовой механикой, показывает, что одно- одновременное указание координат электрона х, у, z (ответ на вопрос, где находится электрон) и его скорости v (ответ на вопрос, с какой скоростью и в какую сторону движется электрон) может быть дано лишь с известной степенью приближения. Чем с меньшей неопреде- неопределенностью Ах определена координата электрона х, тем с большей неопределенностью Avx одновременно определена составляющая его скорости vx. Степень возможного приближения определяется кванто- квантовой механикой, а именно квантовая механика утверждает, что между «допусками" Ах и Avx существует соотношение Ax-Avx^-, G)
108 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ. III где т— масса частицы, a h — постоянная, называемая постоянной Планка и равная h = 6,624 • Ю7 эрг сек. Соотношение G), носящее с точки зрения квантовой механики общий характер, называется соотношением неопределенности. Физический смысл соотношения неопределенности будет более полно разобран в т. III. Здесь лишь отметим, что рядом буржуазных физиков из соотношения неопределенности делаются неправильные идеалистические выводы о том, что якобы невозможно объективное пространственно-временное описание свойств электронов. В действи- действительности же речь идет не о невозможности объективного описания свойств электронов, а о том, что реальные свойства объективно существующих электронов отличны от свойств материальных точек („частиц") классической механики. Электрон (а также любая другая элементарная частица) может лишь приближенно трактоваться как „частица" классической механики. Соотношение неопределенности указывает границы применимости представлений классической меха- механики. Ввиду малости постоянной Планка h неопределенность в коорди- координатах и скорости сказывается лишь на элементарных частицах. Рас- Рассмотрим сперва пылинку с массой т= Ю~п г и предположим, что мы определяем ее координаты х с неопределенностью порядка Ах= 10~6 см (т. е. 0,01 мк), тогда неопределенность в составляющей скорости Avx по соотношению G) должна быть порядка: . h 6,6 • 107 см , п . / Af~ = 1А ,. ,п . — «=* 10 " см сек, 10~12 • 10"" сек ' т. е. неопределенность в скорости h.vx совершенно ничтожна. Дру- Другими словами, координату и скорость весьма малой пылинки можно практически измерять сколь угодно точно; пылинка есть „частица" в обычном ьмысле слова. Рассмотрим теперь электрон, траекторию которого мы зафикси- зафиксировали следующим образом: электрон пролетел через малое отвер- отверстие d в диафрагме, диаметр которого 0,01 см, и затем, попав на фосфоресцирующий экран, дал на нем вспышку (быстрые электроны способны вызвать такого рода вспышки—„сцинтилляции"), положе- положение которой мы также отметили с точностью до 0,01 см. Таким образом, в этом случае для электрона Ддг=10~г см, откуда по G), зная, что масса электрона т == 9 • 108 г, получим неопределенность в скорости: a h 6,6 • Ю-27 см _ , п2 , Дя.:~'—т— = п ,л ,, 1Л й ^7-102 см сек. х тАх 9-108-10~2 сек— ' Здесь неопределенность в скорости в абсолютной мере значительна; однако если мы примем во внимание, что скорость самого электрона в такого рода опыте будет весьма значительна, а именно, порядка
§ 31] ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 109 108 см\сек, то мы увидим, что неопределенность, вытекающая из соотношения G), составляет лишь приблизительно 0,001% от самой скорости. Другими словами: в указанных условиях электрон еще вполне может рассматриваться в виде „частицы", положение и ско- скорость которой можно одновременно определять практически с боль- большой точностью. Опыты указанного типа и служили первоначально для выявления свойств электронов, поэтому первоначально об элек- электроне было составлено представление, как о „частице", к которой должны быть применимы классические представления. Рассмотрим, наконец, электрон, движущийся внутри атома. Так как размеры самого атома представляют собою величины порядка 10~8 см, то, по крайней мере, с такой точностью должно быть зафи- зафиксировано и положение электрона: Отсюда по G): h 66 • 10-" см , см сек. Так как и сама скорость электрона в атоме есть величина порядка 108 см/сек, то полученный нами результат означает, что если зафик- зафиксировано положение электрона внутри атома, то при этом его ско- скорость является неопределенной; другими словами: электрон внутри атома уже ни в коей мере не может рассматриваться как „частица". И, действительно, попытки рассматривать движение электронов внутри атомов с точки зрения классической механики приводят к явным про- противоречиям. То же относится к целому ряду других явлений, где с классической точки зрения требовалось бы определять положение электрона с „атомной точностью". Все эти явления описываются правильно квантовой механикой. h mAx 9 Ax 6,6- • 10- ^10"8 Ю-27 28 . 10-B CM. CM сек
ГЛАВА IV СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ § 32. Силы тяготения. Все тела взаимно притягиваются. Такие явления, как падение тел на Землю, движение Луны по замкнутой орбите вокруг Земли, планет — вокруг Солнца и т. д., происходят под влиянием сил всемирного тяготения. Закон, которому подчиняются силы тяготения, был впервые сформулирован Ньютоном в 1687 г. По закону всемирного тяготения Ньютона: всякие два тела при- притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной про- произведению из их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Обозначая массы тяготеющих тел через mi и mit расстояние между ними — через г, получим где k — определенная постоянная, так называемая постоянная тяго- тяготения; ее численное значение зависит от того, в каких единицах измеряются сила /, масса т и расстоя- расстояние г. Закон Ньютона в указанной форму- формулировке справедлив лишь в том случае, если размеры тел весьма малы по сравне- сравнению с расстоянием г между ними. В случае, если размеры тел сравнимы Рис. 68. Элементарные объ- с тем расстоянием, на котором тела емы тяготеющих тел. находятся друг от друга, каждое Из тел следует разбить на элементы (рис. 68); для каждой пары элементов справедлив закон тяготения Ньютона, так что сила взаимодействия i-ro элемента первого тела и А-го эле- элемента второго тела будет равна Полная сила взаимодействия выразится как векторная сумма всех элементарных сил Дт,^: i, ft 1 Так как элементы, на которые разбиваются тела, должны быть взяты бесконечно малыми, то задача на самом деле сводится к интегрированию.
§ 32] СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ 1 11 Результат такого вычисления имеет весьма разнообразный вид для тел разной формы; он особенно прост для случая тяготения одно- однородных шаров: два однородных шара взаимно тяготеют друг к другу с силой /== k w' 'а т", где mi и tn% — массы шаров, а г — расстоя- расстояние между их центрами. Это выражение, совпадающее с форму- формулой A), справедливо для любого расстояния между'шарами. В течение XVIII и XIX столетий многие физики придерживались неправильного, идеалистического взгляда на тяготение, как на некое „действие на расстоянии" без всякой роли промежуточного про- пространства. В действительности всякое тело вызывает в окружающем про- пространстве изменения, ведет к образованию поля тяготения, пред- представляющего собой особый вид материи (ср. со сказанным в т. II об электромагнитном поле). Взаимное притяжение тел вызывается их взаимодействием с полями тяготения. Из закона всемирного тяготения следует, что у поверхности Земли все тела должны падать с одинаковым ускорением. В самом деле, ускорение, приобретаемое телом с массой т: т ' где /— сила, с которой тело притягивается земным шаром. По закону тяготения Ньютона: где Мз — масса Земли и /?з — радиус земного шара, отсюда но так как масса Земли и ее радиус являются величинами постоян- постоянными, то, следовательно, мы получаем, что все тела у поверхности Земли, независимо от их массы, падают с одинаковым ускорением Mr, ё» = Ьщ- . B) Здесь речь идет о свободном падении тел при 'отсутствии сил сопротивления, в том числе сопротивления воздуха. Также не прини- принимается во внимание зависимость силы тяжести от широты местности (см. § 23). Сила, с которой какое-либо тело массы т притягивается к Земле, зави- зависит от высоты А, на которой тело находится над поверхностью Земли. По закону тяготения Ньютона тело притягивается к Земле с силой: f—Ь 7 Л3
112 силы тяготения [гл. iv где /? — расстояние от центра Земли до тела; так как /? = /?3 + Л, то f=k- 1Лз т "у Сила / представляет собою вес тела Pft на высоте Л; обозначая вес тела у самой поверхности Земли через Ро, имеем т-М3 Р. УД так как практически высота h всегда очень мала по сравнению с радиусом земного шара /?3> т0 приближенно _i о Радиус земного шара Л?3 = 6370 км, отсюда для высокой горы, высотой в 6,4 км, имеем т. е. вес тела на такой горе будет лишь на 0,2°/0 отличаться от его веса на уровне моря. Хотя зависимость сил тяготения от расстояния и может быть замечена по наблюдениям над весом тела у поверхности Земли, но, ввиду малости этой зависимости, она не пригодна для точной проверки закона обратной пропорциональности сил тяготения квадрату расстояния между телами. Ньютон установил обратную пропорциональность сил тяготения квадрату расстояния между ними, рассматривая движение Луны! Ход рассу- рассуждений Ньютона следующий: если справедлив закон тяготения в том виде, в каком его дает формула A), то сила, с которой Земля притягивает Луну, равна: Мл ¦ мз где Мя — масса Луны и R — ее расстояние от Земли. Отсюда ускорение, испытываемое Луной и направленное к Земле, равно w —J- = k~ Мл R2 Вводя сюда выражение для ga по B), получим Это ускорение представляет собою центростремительное ускорение Луны при движении ее вокруг Земли по круговой орбите. Из астрономических наблюдений известно, что расстояние от Земли до Луны в 60 раз больше радиуса Земли, откуда _!« _J>!L_^L_027 см/сек* w" - 60а ~ -3600 сек2 ~ ' СМ1 К •
§ 32] . СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ 1 13 С другой стороны, то же самое центростремительное ускорение Луны может быть вычислено кинематически: где v — линейная скорость Луны на ее орбите, Т—период ее обращения вокруг Земли, равный 27 суткам 7 часам 43 минутам, что составляет 2 360 580 сек. Пользуясь этими данными и тем, что Я = 60 • А?з = 60¦ 6370 км, получим 4кг-60 • 6370 • 10» см W W» = B 360580)* ^ Таким образом, оба способа вычисления центростремительного ускорения Луны дают вполне совпадающие результаты, что и служит подтверждением правильности формулы A). . Значение постоянной тяготения k было впервые измерено Кэвен- дишем в 1798 г. с помощью крутильных весов. Прибор, которым пользовался Кэвендиш, схематически предста- представлен на рис. 69. К горизонтальному коромыслу А на двух стержнях были прикреплены два свинцовых шара М% и Мь каждый из которых имел массу 158 кг. Под коромыслом к непо- неподвижной головке В прикреплена тонкая про- проволока С, несущая легкий стержень /, к концам которого подвешены два небольших свинцовых J^>i у ~Щ шарика Wj и mt; массы этих шариков в опытах Кэвендиша брались по 730 г. При поворачива- поворачивании коромысла А большие шары приближались рис. 69. Схема опыта к маленьким и притягивали их к себе; при- Кэвендиша. тяжение можно было заметить по повороту стержня I, несущего шарики /я, и тг. Зная упругие свойства про- проволоки С, можно было измерить силу притяжения и отсюда опре- определить значение постоянной тяготения k. Впоследствии опыты Кэвен- Кэвендиша неоднократно повторялись. В настоящее время для постоян- постоянной k принимается значение: k = 6,685-10"8 см%\г сек1; отсюда следует по формуле A), что два шарика, массой по 1 г каж- каждый, расположенные так, что расстояние между их центрами равно 1 см, притягиваются с силой 6,685 • 10~8 дин. Постоянная k не есть просто число, но обладает размерностью; размерность k определим из соотношения: mi ¦ т%' отсюда откуда следует, что в CQS-системе k измеряется в см3/г сек\ 5 С. Э. Фриш в А. В, Тыморева
114 СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ [ГЛ. IV Указанную размерность постоянной k мы получили, установив единицу силы и ее размерность с помощью второго закона Ньютона: f=mw. Однако можно поступить наоборот: положить в законе всемирного тяготения A) по- постоянную k = 1 и считать ее величиной безразмерной, но зато ввести новую постоянную к' во второй закон Ньютона, написав его в виде: f=.k'mw. C) Тогда, пользуясь CGS-системой, мы примем за единицу силы — силу, с которой шарик с массой в 1 г притягивает к себе другой шарик с массой также в 1 г, расположенный от него на расстоянии, отсчитанном между цен- центрами шариков, в 1 см. Эта единица силы равна 6,685 • 10~8 дин. Размерность силы выразится при этом следующим образом: вместо обычной размерности [f] = MLT~*. Постоянная же k' во втором законе Ньютона (ее можно назвать „динамической постоянной") будет обла- обладать размерностью: [R j — [m]:. W MLT-* ее численное значение окажется равным Таким образом, исходя из разных законов, мы можем получить различ- различные CGS-системы единиц. Размерность одних и тех же физических величин может оказаться в различных системах различной. Обычная CGS-система может быть названа „динамической", а система CGS-единиц, в которой еди- единица силы и ее размерность устанавливаются на основании закона тяготе- тяготения,— „гравитационной". В этих обеих системах размерности скорости, уско- ускорения и других кинематических величин одинаковы, но размерности силы, энергии, работы, мощности, момента сил и т. д. — разные. В механике употребительна лишь одна из систем — „динамическая", в учении же об электричестве и магнетизме, как мы увидим в т. II, употребляют две различ- различные CGS-системы — так называемые „электростатическую" и „электромаг- „электромагнитную" системы. Знание постоянной k тяготения позволяет определить массу и плотность Земли, а также массу других небесных тел. Воспользовавшись формулой B), имеем откуда, зная численные значения ускорения силы тяжести ga, радиуса Земли /?3 и постоянной тяготения k, непосредственно определяем массу зем- земного шара, для которой получается значение: М3 = 5,98 • 10" г. Среднюю плотность земного шара найдем из соотношения М3 1^ откуда получается значение d = 5,5 г/см\
§ 33] МАССА ИНЕРЦИОННАЯ И ТЯГОТЕЮЩАЯ. РАБОТА СИЛЫ ТЯЖЕСТИ 115 Масса центрального светила, вокруг которого обращается спутник, может быть определена следующим образом. Пусть Мс — масса центрального све- светила, М,—масса спутника, Rt — расстояние между ними. Сила притяжения/ создает центростремительное ускорение спутника откуда где Ti—период обращения спутника. Отсюда имеем Ме~Т"Т\ш т. е., зная радиус орбиты спутника и период его обращения, мы можем определить массу центрального светила. Так, по радиусу земной орбиты и продолжительности года находим массу Солнца Мс=1,98 • 10" г. Из формулы D) также следует: Ц ~~ 4я« • величина, стоящая справа, имеет постоянное значение для всех спутников, обращающихся вокруг данного центрального светила. Отсюда: квадраты вре- времен обращения спутников (планет) вокруг центрального светила (Солнца) относятся как кубы их расстояний от центрального светила (Солнца). Этот закон по отношению к планетам был установлен Кеплером и носит название третьего закона Кеплера. § 33. Масса инерционная и тяготеющая. Работа силы тяжести. Физическая величина масса входит в два основных и не зависящих друг от друга закона — во второй закон Ньютона: /= mw и в за- кон всемирного тяготения: / = k —-j=-. Во втором законе Ньютона масса характеризует инерционные свойства тел. В законе всемирного тяготения масса характеризует способность тел создавать поля тяготения и испытывать действие полей тяготения. Может быть поставлен вопрос: являются ли массы, фигурирую- фигурирующие в обоих законах, одной и той же физической величиной или это две разные величины, лишь как-то связанные между собой? Таким именно образом исторически возникли понятия о массе инер- инерционной, фигурирующей во втором законе Ньютона, и массе тяго- тяготеющей, фигурирующей в законе всемирного тяготения. Опыты убеждают нас, что обе массы, если только вообще имеет смысл различать их, пропорциональны друг другу. Прежде всего это вытекает из того факта, что ускорение gu сво- свободного падения одинаково для всех тел. Точное измерение уско- ускорения go при действительно свободном падении тел затрудни- затруднительно, но наблюдения над качанием маятников позволяют измерить ?0 с большой точностью. Еще самим Ньютоном было показано, что б» -
116 СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ [ГЛ. IV пропорциональность между инерционной и тяготеющей массами вы- выполняется с точностью до тллл- Бессель производил опыты над маят- 1UUU никами из самых разнообразных веществ и пришел к тому же результату с точностью до ._ „„. Впоследствии было показано, что та же пропорциональность выполняется и для радиоактивных ве- веществ. С весьма большой точностью пропорциональность между мас- массами тяготеющей и инерционной была показана Этвешем в 1894 г. с помощью крутильных весов. Идея опытов Этвеша заключается в следующем: на поверхности земного шара направление силы тя- тяжести Pf определяется как направление равнодействующей силы притяжения тела к центру Земли и инерционной центробежной силы (см. § 23). Первая сила обусловлена тяготеющей массой тела, вторая — его инерционной массой. Если обе эти массы не пропор- пропорциональны друг другу, то направление силы тяжести Р? должно быть несколько различным для разных тел. Этвеш укреплял на одном конце коромысла крутильных весов определенную платиновую массу, на другом — испытуемое тело. Прибор ориентировался так, что коромысло имело определенное направление, например, с во- востока на запад. Затем прибор поворачивался на 180°. При поворачивании, в случае если инерционная и тяготеющая массы не пропорциональны друг другу, должна бы возникнуть пара сил и коромысло должно было бы несколько повернуться. На самом деле не наблюдалось отклонений, превышающих 6 • 10~А дуговых секунды; наблюдаемые весьма малые отклонения носили случайный характер. Пропорциональность обеих масс соблюдалась с точно- точностью, достигающей одной двухсотмиллионной доли. Таким образом, из всех опытов вытекает невозможность разли- различать массы — тяготеющую и инерционную: опыты убеждают нас, что мы имеем дело лишь с различными проявлениями одной и той же физической величины — массы. Теория тяготения Эйнштейна подтвердила этот взгляд. Таким образом, в настоящее время вопрос о существовании якобы двух различных физических величин — массы инерционной и массы тяготеющей — имеет лишь исторический интерес. Как было указано в § 32, всякое тело вызывает в окружающем пространстве поле тяготения. В частности, такое поле создает зем- земной шар. Так как силы тяготения, вызванные земным шаром, назы- называются силами тяжести, то поле, окружающее Землю, может быть также названо полем силы тяжести. Вблизи поверхности Земли сила тяжести практически постоянна; в этом случае поле силы тяжести называется однородным. Как было показано в § 27, работа в поле силы тяжести не зависит от формы и длины пути, а только от того, на-
§ 33] МАССА ИНЕРЦИОННАЯ И ТЯГОТЕЮЩАЯ. РАБОТА СИЛЫ ТЯЖЕСТИ 1 17 сколько в результате движения тела изменилась высота его поднятия. Если мы из точки В пройдем в точку В' сперва по пути s\ a затем по пути &" (рис. 70), то работы А' и А", совершенные в этих двух случаях, по сказанному, должны равняться друг другу: Л'= ¦4"; при движении из точки В' в точку В по пути s" будет совершена работа А'" = — А". Отсюда, если мы совер- совершим замкнутый путь, пройдя сперва из точки В в точку В' по пути s', a затем обратно из точки В' в точку В по пути s", то в сумме будет совер- совершена работа: Авв'в = А' + А'" = А' — А" = 0. Тот же результат непосредственно получается из того соображения, что при возвращении обратно в точку В изменение потенциальной энер- энергии оказывается равным нулю. Таким образом, при движении в поле силы тяжести по замкнутому пути суммарная работа равна нулю. Вывод о том, что работа зависит лишь от положения начальной и конечной точек пути и не зависит от формы пути, спра- справедлив и для неоднородного поля сил тяготения. При рассмотрении двух тел с масса- массами ;rti и т2, притягивающихся друг к другу по закону всемирного тяготения: , . mim2 Рис. 70. Работа сил тяготения не зависит от формы путей s' и s". 8 Рис. 71. • Потенциальная энергия двух тел, притягивающихся по за- закону Ньютона, изображается гипер- гиперболой. можно показать, что их взаимная потен- потенциальная энергия равна A) Знак минус соответствует тому, что потенциальная энергия двух бесконечно удаленных одно от другого тел (г = оо) условно положена равной нулю; при этом потенциальная энергия имеет наибольшее значение, так как для раздви- жения тел надо совершать положительную работу внешними силами; при сближении тел их потенциальная энергия убывает, следовательно, она при- принимает значения, меньшие нуля, т. е. отрицательные. Графически потенциальная энергия тяготеющих тел, выражаемая форму- формулой A), представится кривой, изображенной на рис. 71. Эта кривая — ветвь гиперболы. Предположим, что взаимно тяготеют два тела 1 и 2; будем рассматри- рассматривать движение тела 2 относительно тела 1. Если полная энергия тел равна Е
1 18 СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ [ГЛ. IV (рис. 71), то это означает, что тело 2, находясь на бесконечно большом рас- расстоянии оттела 1_ двигалось со скоростью v0, определяемой равенством: откуда va=y —. Кинетическая энергия ?А0 изображается отрезком АВ. При уменьшении г (тело 2 приближается к телу 1) потенциальная энергия начинает убывать и принимает отрицательное значение; кинетическая энергия возрастает, вместе с тем возрастает и скорость тела 2. Для некоторого определенного расстоя- расстояния г, представляемого отрезком ОС, кинетическая энергия изобразится отрезком DF; этот отрезок направлен снизу вверх, что соответствует поло- положительному знаку кинетической энергии. Потенциальная энергия предста- представляется отрезком CD; этот отрезок направлен вниз, что соответствует отри- отрицательному значению потенциальной энергии. Сумма кинетической и потенциальной энергии Еь + Ер во все время движения остается равной полной энергии Е: B) p Считая тело 1 неподвижным, получим, что Eft = —т,—, где г> — ско- скорость второго тела относительно первого, когда расстояние между ними равно г. Пользуясь этим выражением для Ek из равенств (/) и B) получим: откуда 1 /IE . , 2mi V m~a "r г Г - • r Если тело 2, находясь на бесконечном расстоянии от тела 1, имело скорость г1„ = 0, то: (За) Рассмотрим случай^тяжелого тела с массой т, падающего из бесконеч- бесконечности на Землю с начальной скоростью г»0 = 0. Тогда по формуле (За) при достижении поверхности Земли оно будет иметь скорость v = где М3—масса Земли, R3—ее радиус. Подставляя сюда ft=6,685-10"' см/г-сек*, М3 = 5,98.10" г и ./?3 = 6.37-108 см> получим: о = 1/ 6,685 • 10- 2Я5Й8-'Г ~- = 11.2 • 10'-^. Г 6,37-108 сек ' сек Таким образом, тело падающее на поверхность Земли из бесконечности под влиянием притяжения Земли достигает скорости 11,2 км/сек. Наоборот, чтобы тело брошенное с поверхности Земли вертикально вверх не упало обратно на Землю — (при пренебрежении сопротивлением воздуха), а улетело в бесконечность, ему надо сообщить скорость 11,2 км/сек. Эта скорость называется второй космической скоростью.
ГЛАВА V ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА § 34. Движение твердого тела. Движение твердого тела опре- определяется приложенными к нему внешними силами. Особенно харак- характерными видами движения твердого тела являются поступательное движение и вращение (см. § 12). Можно показать, что к ним сво- сводится любое сложное движение твердого тела. При поступатель- поступательном движении все точки твердого тела двигаются с одинаковыми скоростями v и одинаковыми ускорениями w. Если мысленно раз- разбить твердое тело на элементы с массами Д/иг, то для каждого из элементов по второму закону Ньютона имеет место соотношение: Aml.w = ii + Fi. A) где fj — внутренняя" сила (т. е. происходящая от других элементов того же тела), a Ft — внешняя сила, действующая на данный эле- элемент. По третьему закону Ньютона сумма всех внутренних сил равна нулю, поэтому, суммируя выражения A) по всем элементам, получим Д1у_.?^, или M-w = F, B) где М = ^ikml — масса всего тела, a F = 2Fi — векторная сумма всех внешних сил. Вектор F называется главным вектором внеш- внешних сил. Уравнение B) позволяет определить ускорение поступательного движения твердого тела по массе тела М и главному вектору внеш- внешних сил F. Таким образом, рассмотрение поступательного движе- движения твердого тела можно заменить рассмотрением движения одной материальной точки с массой, равной массе тела, и нахо- находящейся под действием силы, равной главному вектору внешних сил. При более сложном непоступательном движении твердого тела разные его точки обладают разными скоростями \ь и ускорениями w;. Однако можно мысленно разбить тело на столь малые элементы, что в пределах каждого из них скорость и ускорение остаются постоян- постоянными. Тогда для каждого из элементов получим
120 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. V Суммируя это равенство по всем элементам тела и замечая, что снова ?fi = 0, получим SA«l-w1 = SF,=^F, C) где F— по-прежнему главный вектор внешних сил. Однако равен- равенство C) нельзя непосредственно свести к уравнению вида B), так как теперь ускорения w?- разных элементов разные. Введем некоторое ускорение we- определяемое равенством wc = ^ . D) где М— масса всего тела. Тогда, умножая левую и правую части равенства D) на М и пользуясь равенством C), получим M-wc = F. E) Можно показать (см. мелкий шрифт), что we есть ускорение некоторой точки С, координаты которой хс. Ус, *с определяются через координаты отдельных элементов тела хи yit zt соотноше- соотношениями: _Sj>|Am,. _ Ус— м , гс— Точка С называется центром масс тела (или центром инерции). Центр масс совпадает с центром приложения равнодействующей сил тяжести. Из уравнения E) следует, что центр масс тела дви- движется так, как движется материальная точка с массой, равной массе тела, под влиянием силы, равной главному вектору внешних сил. Если главный вектор внешних сил равен нулю, то центр масс тела покоится или движется равномерно и прямолинейно. Внутренние силы не могут изменить скорости центра масс. Покажем, что действительно центр масс, координаты которого даются равенствами F), движется с ускорением, определяемым равенством D). Для этого воспользуемся тем соотношением, что проекции ускорения на коорди- координатные оси выражаются вторыми производными по времени от координат той точки, ускорение которой рассматривается. Беря вторые производные от хс, ус, гс, получим, что проекции уско- ускорения центра масс на координатные оси равны: ar 2j Afflj • wxi M ~~ M ' м — м 2 A/" G)
§ 35] ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА. МОМЕНТ СИЛЫ И МОМЕНТ ИНЕРЦИИ 121 где wXi, wyi, wzi—проекции ускорения i-ro элемента на координатные оси. Так как само ускорение wc есть геометрическая сумма его составляющих вдоль осей, то из равенств G) следует, что wc совпадает с выражением, даваемым формулой D). § 35. Вращение твердого тела. Момент силы и момент инер- инерции. При рассмотрении вращения твердого тела с динамической точки зрения наряду с понятием о силах вводится понятие о мо- моментах сил и наряду с понятием о массе — понятие о моменте инерции. Для того чтобы выяснить содержание понятий — момент сил и момент инерции, рассмотрим сперва движение одной материальной точки А с массой т, удерживаемой на окружности ра- радиуса г с помощью какой-либо связи (рис. 72). Пусть на точку А действует постоянная по ве- величине сила f. Тогда точка А приобретает по- постоянное тангенциальное ускорение wt, опре- определяемое тангенциальной составляющей ft: ft=fcosa = mwt. A) Нормальная составляющая силы f совместно с реакцией связи создает нормальное уско- ускорение. Введем угловое ускорение C = -^-, тогда равенство A) заменится выражением: /cos л = тг-ф; умножим правую и левую части этого выражения на г, получим: /г cos a = тт1 • C. B) Произведение г cos а равно длине перпендикуляра, опущенного на направление силы из точки О (рис. 72). Величина M=/r cos a, C) численно равная произведению величины силы f на длину перпен- перпендикуляра, опущенного на направление силы из точки О (центра вращения), называется моментом силы относительно точки О. Величина 1 = тг\ D) численно равная произведению массы т точки А на квадрат ее расстояния от точки О (центра вращения), называется моментом инерции точки А относительно точки О. Вводя момент силы М и момент инерции /, перепишем равен- равенство B): М = 1% E) Сравнивая равенства A) и E), видим, что угловое ускорение р таким же образом связано с моментом силы М и моментом инерции
122 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА [гл. v /, каким линейное ускорение wt связано с силой ft и массой т точки А. При описании вращательного движения с помощью угло- углового ускорения р роль силы играет момент силы М, роль массы т — момент инерции /. Под влиянием сил с равными моментами точка А приобретает равные угловые ускорения р. Таким образом, различные силы f эквивалентны в смысле вызываемого ими вра- вращения, если равны их моменты. Разные мате- материальные точки получают под влиянием равных моментов сил одинаковые угловые ускорения, «ели одинаковы их моменты инерции. Таким образом, материальные точки с разными массами т эквивалентны в смысле приобре- приобретаемого ими углового ускорения, если равны их моменты инерции. Перейдем теперь к рассмотрению твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси 00' (рис. 73). Рис. 73. Разбивка вра- для характеристики способности силы вы- щающегося твердого v v тела на элементарные зывать вращение вокруг данной оси вводится части. понятие о моменте сил относительно оси. Очевидно, что сила, действующая вдоль на- направления, пересекающегося с осью, вокруг этой оси не может вызвать вращения. Также очевидно, что и сила, параллельная оси, не вызовет относительно нее вращения. Момент силы относительно оси создается только той составляющей силы, которая лежит * в плоскости, перпендикулярной к оси. Поэтому, выделяя в твердом теле малый элемент с массой Д/га,-, мы будем рассматривать только ту составляющую действующей на него силы, которая лежит в пло- плоскости, перпендикулярной к оси вращения 00'. Обозначим эту со- составляющую через Afj. Пусть сила At{ образует угол а,- с касательной к траектории массы Д/га;. Угол аг считаем острым. Тогда для этого элемента можно написать равенство B): Aftrt cos at = Д/я/fp, где р — угловое ускорение элемента. Такие же равенства мы можем написать для всех прочих элемен- элементов, а затем просуммировать их: t=2 Д«Л- р; угловое ускорение р постоянно для всех элементов, поэтому его можно вывести из-под знака суммы: 2 Д/irjCOS at = Д/и/|. F)
35] ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА. МОМЕНТ" СИЛЫ И МОМЕНТ ИНЕРЦИИ 123 Величина М = 2 ^firi cos ai представляет собою сумму моментов t сил, действующих на все элементы твердого тела, т. е. она представ- представляет собою полный момент М сап, действующих на твердое тело, относительно оси вращения ОСУ. При этом нужно произведение Д/^соза, брать со знаком плюс, если точка приложения силы Af^ обходит ось в направлении действия силы Af(l и со знаком минус — в противном случае. Величина / = 2Д«Д G) равная сумме моментов инерции отдельных элементов, на которые мы разбили тело, называется моментом инерции тела относи' тельно данной оса 00'.1 Вводя полный момент сил М и момент инерции /, перепишем равенство F): Af = /p, Fa) т. е. для твердого тела справедливо равенство, совпадающее с ра- равенством E). Угловое ускорение C, приобретаемое твердым телом: т. е. оно прямо пропорционально приложенному моменту сил М и обратно пропорционально моменту инерции /. Сравнивая соотноше- соотношение Fа) с равенством A), выражающим второй закон Ньютона, видим, что для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет место соотношение, вполне аналогичное второму закону Нью- Ньютона, только роль линейного ускорения играет угловое ускорение, роль силы — момент силы и роль массы — момент инерции. Из равенства Fа) следует, что если момент сил, действующих на тело, равен нулю, то и угловое ускорение Р = 0, т. е. тело вращается с постоянной угловой скоростью ш, если только его момент инерции / остается постоянным.9 В частном случае ш = 0, т. е. тело покоится. 1 На самом деле элементы массы должны быть взяты бесконечно малыми, тогда суммирование заменяется интегрированием, и для момента инерции тела мы получаем выражение: Вводя плотность тела р, имеем: dm=pdV, где dV—элемент объема. Отсюда /=$PrW; Ga) интегрирование должно быть распространено на весь объем тела V. 8 Момент инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, может меняться лишь в том случае, если отдельные части твердого тела связаны друг с другом не жестко. Для зтого случая формула Fа)
124 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. V а) 6) Рис. 74. Момент силы f относи- относительно точки О определяется вектором М. Как мы видели (см. § 13), угловая скорость ш и угловое ускорение Р могут рассматриваться как векторы. Момент силы / относительно точки может также рассматриваться как вектор, и равенству Fа) может быть при- придан векторный характер. Рассмотрим силу f (рис. 74 а), момент которой относительно точки О мы хотим определить. Очевидно, полную характеристику момента составляют: 1) численное значение момента, равное /г cos о; 2) плоскость, в которой лежат сила f и точка О; 3) направление, в котором дей- действует сила. Все эти три характеристики могут быть выражены с помощью одного вектора М, если мы: 1) положим численное значение вектора М равным/г cos а, 2) про- проведем его перпендикулярно к плоскости, в которой лежат сила f и точка О, и 3) на- направим его так, чтобы это направление было некоторым однозначным образом свя- связано с направлением силы. В качестве такой связи между направлениями выберем опять „правило буравчика" (ср. § 13 и рис. 28): направление вектора М определится поступательным движением буравчика, расположенного в точке О, если на- направление вращения его головки совпадает с направлением действующей силы. Тогда в случае, представленном на рис. 74а, вектор М будет направлен вверх, а в случае, представленном на рис. 746— вниз. Вектор Мявляется вектором момента силы. Вводя в рассмотрение угол Z г, f между векторами г и f, получим а= Z. г, f у, от- откуда для численного значения момента силы f найдем: Af=/- r ¦ sin(,/ r, f). Следовательно, если мы воспользуемся вве- введенным в § 13 представлением о векторном произведении, то получим, что момент силы f выражается векторным произведением: M = rxf, (За) где г есть радиус-вектор, проведенный из точки О, относительно которой берется момент, к точке приложения силы f. Рассмотрим еще момент так называемой пари сил. Парой сил назы- называются две равные и направленные в противоположные стороны силы, не действующие вдоль одной прямой (рис. 75). Будем брать момент пары относите.льно точки, лежащей в плоскости сил. Момент пары не зависит от положения тонки О, относительно которой он берется. Возьмем произ- произвольно расположенную точку О.(рис. 75). Тогда момент силы ft относительно точки О численно равен /in cos а, и направлен перпендикулярно к плоскости рисунка вперед. Момент силы U численно равен /2ra cos ог и направлен пер- перпендикулярно к плоскости рисунка за плоскость рисунка. Таким образом, моменты /tf-jcoscti и /sra cos os направлены в противоположные стороны и, следовательно, суммарный момент обеих сил, образующих пару, равен М =/2Г2 COS аа —/,ri COS о». Рис. 75. Момент пары не за- зависит от положения точки О, относительно которой он берется. не применима, так как ее вывод предполагает, что составляющие сил, напра- направленные по связям, компенсируются реакциями связей, а не вызывают пере- перемещения одних частей твердого тела относительно других, как это будет иметь место при нежестких связях.
§ 36] МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ 125 M f Силы fi и f3 численно равны друг другу; обозначим их общее значение через/, а разность racosaa—ncosai обозначим через / (/ есть расстояние между прямыми, вдоль которых действуют силы), тогда M=fl; (8) / называется плечом пари. Момент пары М численно равен произведению из числен- численного значения / одной из сил пары на плечо пары /. Направление вектора момента пары связано с направлением действия сил, обра- образующих пару, правилом буравчика (рис. 76). Вводя вектор момента сил, можно, как оказывается, переписать равенство Fа) в векторной форме: М = /.р\ (9) Рис. 76. Момент пары опреде- ляется вектором М. При М = 0, т. е. при отсутствии момента сил, действующего на твердое тело, р = 0, что означает, что вектор угловой скорости ш постоянен, т. е. твердое тело не только вращается с постоянной по численному значению угловой скоростью, но что и направление оси вращения остается постоянным. § 36. Моменты инерции некоторых тел. Рассмотрим моменты инерции некоторых тел отно- относительно определенных осей. В качестве простей- простейшего примера рассмотрим момент инерции тонко- тонкостенного полого цилиндра (кольца) (рис. 77) с массой т и радиусом R относительно его оси симметрии ОСУ. Разобьем цилиндр на элементы в виде полосок, ограниченных образующими ци- цилиндра (одна такая полоска заштрихована на рис. 77). Ввиду малой толщины стенок цилиндра можно считать, что все части такой полоски лежат на одинаковых расстояниях R от оси ОСУ. Поэтому момент инерции отдельной полоски равен Д/ = Д/га^2, где Д/га,-— масса полоски. Момент инерции всего тонкостенного полого цилиндра: Рис. 77. Определе- Определение момента инер- инерции полого ци- цилиндра. но представляет собою массу т всего цилиндра, откуда A) Относительно какой-либо другой оси момент инерции того же цилиндра будет иной. Моменты инерции некоторых других тел приводим без вы- вычислений, так как эти вычисления потребовали бы интегриро- интегрирования.
126 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. V Момент инерции сплошного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра (рис. 78): B) Рис. 79. Момент инерции полого цилиндра относительно оси 00' равен -j »"( Рис. 78. Момент инерции ци- цилиндра относительно оси 00' равен -я- т/?". Момент инерции полого толстостенного цилиндра относительно его оси (рис. 79): ± C) I где /?| и /?, — его внешний и внутренний радиусы. Момент инерции стержня О длиной I относительно оси, про- проходящей через середину стер- стержня перпендикулярно его длине б) о' (рис. 80а): 1 D) Рис. 80. Момент инерции стержня Момент инерции стержня относительно оси 00', проходящей длиной I относительно оси, про- через его середину, равен 1 тР и ходящей у конца стержня пер- 12 пендикулярно его длине (рис. 80о): относительно оси, проходящей через его конец, равен -^-mi'. I=-^ml\ E) О О Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр: I=jmR\ F) Размерность момента инерции определяется из соотношения откуда
§ 37] МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 127 Таким образом, в CGS-системе момент инерции измеряется в гсм\ в технической системе — (техн. ед. массы)-л*. В международной системе единиц (MKS) момент инерции выра- выражают в кгм*, так как в ней за единицу массы принят килограмм, а за единицу длины метр. Приведем пример на определение углового ускорения тела по заданным, моменту сил и моменту инерции. Пример. К колесу радиуса /? = 0,5 м с моментом инерции / = 20кгм* приложен постоянный момент сил М = 5 кГм. Найти: 1) угловое ускорение и 2) линейную скорость точек на ободе к концу 10-й секунды (начальную скорость считать равной нулю). Решение. Угловое ускорение колеса Будем для расчета пользоваться технической системой единиц, тогда i 20 = gg- техн. ед., откуда 5-98 Р = сек.~г = 2,45 сек."'. Угловая скорость через время t после начала движения будет *> = Р<, а линейная скорость точек на ободе » = ш/? = 2,45 • 0,5 • 10 м/сек= 12,25 м/сек. Если для какого-либо тела известен его момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести, то легко может быть найден и момент инерции относительно любой оси, параллельной первой. Этот переход от однога момента инерции к другому производится по следующей теореме: момент инерции относительно любой оси вращения равен моменту инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр тяжести, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния центра тяжести тела от оси вращения. В качестве примера определяем момент инерции шара относительно одной из его касательных. Согласно приведенной теореме: где lt—момент инерции относительно касательной, 1С — момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести, т — масса шара и а—расстояние от касательной до центра шара. Так как для шара a=R 2 и /с = -=- mR', то It = j mR* + mR1 = j mR*. § 37. Момент количества движения. Рассмотрим первоначально материальную точку с массой т. вращающуюся по окружности ра- радиуса г (рис. 72). Для такой точки имеет место соотношение: A)
128 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. V где /— сила, действующая на точку, a wt — тангенциальная соста- составляющая ее ускорения. Предположим, что сила / постоянна по ве- величине и составляет один и тот же угол а с касательной к окруж- окружности во всех точках пути. Тогда wi = Av/M, и равенство A) принимает вид: / cos а • Д^ = т Да. Умножая правую и левую части этого выражения на г, получим /г cos a • М = гт Дв. B) Величина /г cos а представляет собой момент М силы / относи- относительно центра вращения О; кроме того, ввиду постоянства массы т и радиуса г, выражение гт. Ьт можно переписать в виде Д (rmv). Тогда равенство B) примет вид: М М = Д (rmv). C) Если момент сил М непостоянен, то в выражении C) следует брать столь малый промежуток времени At, чтобы в течение этого промежутка времени момент сил М мог считаться постоянным. Для конечного промежутка времени можно ввести в рассмотрение сред- среднее значение момента сил М и тогда М At = A (rmv). (За) Величина p = rmv называется моментом количества движения материальной точки, вращающейся по окружности, а М At -— импуль- импульсом момента сил. Равенство C) утверждает, что изменение мо- момента количества движения численно равно импульсу приложен- приложенного момента сил. Оно аналогично равенству D) § 17, выражаю- выражающему связь между изменением количества движения и импульсом силы. Понятие о моменте количества движения р материальной точки мы ввели для частного случая движения материальной точки по окружности, когда скорость ее все время перпендикулярна к радиусу г. В общем случае дви- движения материальной точки под ее моментом количества движения относи- относительно некоторого центра О подразумевается величина, численно равная произведению из количества движения точки mv на длину перпендикуляра, опущенного из центра О на направление скорости точки v (вектор1 v про- проводится из того места, где в данный момент находится материальная точка). Момент количества движения является вектором, направление которого определяется правилом буравчика: вектор р перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектор скорости v и центр О, и направлен в сторону по- поступательного движения буравчика при вращении его головки от вектора г (радиус-вектор точки)'к вектору V. Таким образом, вектор момента количе- количества движения определяется векторным произведением p = rXmv и равен- равенство C) в общем случае должно быть также переписано в векторном виде: где Др — векторная разность моментов количества движения ps — pi.
§ 37] МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 129 Соотношение C) легко обобщить и на случай твердого тела, вра- вращающегося вокруг неподвижной оси. Для этого разобьем твердое тело на отдельные элементы с массами Д/я,-, подобно тому, как это мы делали в § 35. Для каждого такого элемента будет выполняться равенство: Д/i ¦ rt cos а,- At = Г; Д/лг Avt, или, так как Дг»,- = Дм • rt, то Д/i • Г; cos a-i At = Д/и,г? ¦ Дш. Суммируя эти выражения для всех отдельных элементов твер- твердого тела, получим: Д] Д/,- • rt cos at At = 2] Д/и»г| • Дш, или, так как ^jAf^iCos a.i = M— момент сил, действующих на твер- твердое тело, а Д]Д/я,г| = /—момент инерции тела, то i i Если момент сил М непостоянен, то следует брать его среднее значение за промежуток времени Д? и тогда Так как момент инерции твердого тела относительно данной оси есть величина постоянная, то последнее равенство можно переписать в виде: MAt = A(Iu>), D) где справа стоит изменение величины Ло. Величина М At называется импульсом момента сил, приложенных к твердому телу, а вели- величина /<» — моментом количества движения твердого тела, вра- вращающегося вокруг неподвижной оси. По равенству D), изменение момента количества движения твердого тела численно равно импульсу момента приложенных к нему сил. Равенство D) мы, вывели, положив момент инерции тела постоян- постоянным, но оно, как оказывается, справедливо и тогда, когда во время движения момент инерции каким-нибудь образом меняется. И в этом случае изменение момента количества движения Д (/со) определяется импульсом момента приложенных сил. Из формул C) и D) следует, что при отсутствии момента сил (Л1 = 0) момент количества движения остается постоянным. Это следствие известно под названием закона сохранения момента количества движения.
130 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА [гл. v В частном случае движения материальной точки по окружности имеем из C) при М = 0: mvr = const. E) В общем случае движения материальной точки при M=±=Q: г X mv = const. F) Для твердого тела из D) при М = 0 следует: /.<о = const. G) В случае неизменного момента инерции, при отсутствии внешних сил, угловая скорость вращающегося тела остается постоянной; этот fa результат мы уже получали непосредственно из формулы Fа) § 35. Если, при отсутствии внешних сил, ме- меняется момент инерции, то начинает меняться и угловая скорость <о, так что произведение /ш остается постоянным: если момент инерции / возрастает, то угловая скорость ш убывает, и наоборот. Сохранение момента количества движения может быть продемонстрировано с помощью человека, стоящего на скамеечке, могущей без трения вращаться вокруг вертикальной оси („скамья Жуковского"). Пусть человек, дер- держащий в расставленных руках гири (рис. 81), приведен вместе со скамеечкой во вращение с угловой скоростью ад. При этом человек имеет определенный момент количества дви- движения /ш, который, при равенстве нулю момента внешних сил, должен сохраняться. Если человек опустит руки, то его момент инерции уменьшится, в результате этого возрастет угловая ско- скорость его вращения ш. Если человек снова поднимет руки, то угловая скорость ш примет прежнее значение. Момент количества движения Р = /ю есть величина векторная, имеющая то же направление, что и вектор угловой скорости и. Отсюда и равенство D) на самом деле носит векторный характер: где ДР = /<о.2— /ох представляет собою векторную разность моментов количества движения 1(Л. В таком виде оно совершенно аналогично равенству D) § 17, выражающему для материальной точки связь между изменением вектора количества движения и вектором импульса сил. Равенство (8) применимо не только к случаю враще- вращения твердого тела около неподвижной оси, но и к случаю произ- произвольного движения твердого тела, если соответствующим образом Рис. 81. При опускании рук с гирями человек начинает вращаться скорее.
§ 38] ГИРОСКОПЫ 131 обобщить понятие момента количества движения. Равенство (8) при- применимо и к системе тел, только тогда под Р надо подразумевать вектор суммарного момента количества движения и - ^ под М — вектор суммарного импульса сил. Закон сохранения момента количества движения для системы, состоящей из двух тел, можно продемонстриро- продемонстрировать, дав в руки человеку, стоящему на скамеечке, колесо с массивным ободом (рис. 82). Если человек со скамеечкой сперва покоился, а затем, держа ось колеса вертикально, привел колесо во вращение, то сам он вместе со скамееч- скамеечкой начнет вращаться в противоположную сторону. Это произойдет оттого, что силы, которые человек приклады- прикладывает к колесу, являются внутренними, а потому общий момент количества движения, сперва равный нулю, таким и останется. Этот опыт аналогичен опыту с человекам, бегущим по тележке (§ 18), который демонстрирует сохра- сохранение количества движения системы. Из равенства (8) следует, что при отсутствии внешних сил (М = 0) момент количества движения Р сохраняется не только по величине, но и по направлению. Последнее может быть продемонстрировано снова с помощью человека, стоящего на скамеечке и держащего в руках вращающееся колесо: всякое изменение направления оси колеса (напри- (например, ее поворачивание на 90° или на 180°) при постоянстве числа оборотов колеса ведет к изменению угловой скорости вращения самого человека на скамеечке. § 38. Гироскопы. Свойство вращающегося твердого тела сохранять направление оси вращения, а также харак- характер сил, действующих со стороны оси тела на опоры при внешних воздействиях, используется для различных техни- технических целей. Применяемые в технике массивные симметричные тела, вращаю- вращающиеся с большой угловой скоростью, носят название волчков или гироскопов. Свойство гироскопа сохранять неизмен- неизменной ось вращения, при равенстве нулю мо- момента внешних сил, может быть продемон- продемонстрировано с помощью карданова подвеса. Карданов подвес (рис. 83) состоит из двух колец, внешнее из которых свободно поворачивается вокруг оси, проходящей через острия АА', а внутреннее — вокруг оси, перпендикулярной к ней, проходящей через острия ВВ. Ось СС гироскопа D опирается на внутреннее кольцо карданова подвеса, что обеспечивает ей возможность свободно поворачиваться в пространстве в любых направлениях. Если привести гиро- гироскоп в быстрое вращение, то при любом повороте подставки ось его вращения со- сохраняет неизменным свое направление. Если к вращающемуся гироскопу при- приложить пару сил, стремящуюся повер- повернуть его около оси, перпендикулярной к оси его вращения, то он ста- станет поворачиваться около третьей оси, перпендикулярной к первым двум. Пусть, например, гироскоп D вращается около оси 00' в напра- направлении, указанном стрелкой на рис. 84. Пусть к гироскопу приложена пара сил F и F, перпендикулярных к плоскости рисунка и стремящихся Рис.82. При по- поворачивании ко- колеса человек сам начинает вращаться в об- обратную сторону. Рис. 83. Гироскоп на кардано- вом подвесе.
132 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА [гл. v повернуть его около оси АА', тогда верхний конец оси гироскопа О' откло- отклонится направо, а нижний — налево (указано стрелками v' и v), т. е. ги- гироскоп повернется около оси ВВ', перпендикулярной к плоскости рисунка. Из рис. 84 видно, что в результате гиро- гироскопического эффекта гироскоп стремится расположить ось своего вращения таким обра- образом, чтобы она образовывала возможно мень- меньший угол с осью вынужденного вращения АА' и чтобы оба вращения совершались в одном и том же направлении. Парадоксальные на первый взгляд указан- указанные свойства гироскопа могут быть поняты на основании следующего рассмотрения. Пусть имеется гироскоп, вращающийся в направлении, указанном на рис. 85, и на ко- который действует пара сил F и F', направленных так же, как и силы, приложенные к гироскопу, изображенному на рис. 84. Тогда вектор угловой скорости ю направлен вниз, а момент М пары сил F и F' (силы лежат в плоскости, перпен- перпендикулярной к плоскости рисунка) направлен вдоль прямой АА' влево. По сказанному на стр. 125, между моментом пары сил М и угло- угловым ускорением р", рассматриваемыми как век- векторы, имеет место соотношение: Рис. 84. При наличии пары сил F и F', стремящихся повернуть гироскоп около оси АА р оси АА , гироскоп поворачи- поворачивается около перпендику- перпендикулярной к ней оси ВВ'. .-¦?-. где / — момент инерции тела, к которому приложена пара сил с моментом М; следовательно, ускорение р" направлено в ту же сторону, что и М. Отсюда получим, что за некоторый малый промежуток времени At изменение угловой скорости изобразится вектором Д<а, параллельным вектору М, т. е. лежащим в плоскости чертежа и направленным налево. Это же означает, что ось вра- вращения гироскопа повернется вокруг оси ВВ' по часовой стрелке. Силы, приложенные к связям, удерживаю- удерживающим ось, равны силам F и F', но направлены в противоположные стороны; они носят назва- название гироскопических сил. Например, если ко- конец О' гироскопа, вращающегося в направле- направлении, указанном стрелкой на рис. 86, отодви- отодвигается назад за плоскость чертежа, а конец О — вперед, то ось оказывает на подшипники да- давление в направлении стрелок Ft и FJ. Можно показать, что момент сил Ft и FJ выражается через векторное произведение момента коли- количества движения гироскопа /ю на вектор угло- угловой скорости поворачивания его оси »': М = /шХм'. A) Гироскопические силы проявляются при движении обычного волчка. При наклонном ~>- -л' Рис. 85. К объяснению ги- гироскопического эффекта. положении вращающегося волчка составляющая силы тяжести Ра (рис. 87) стремится наклонить ось волчка еще больше. Но благодаря гироскопиче- гироскопическому эффекту, ось 00' отклоняется в перпендикулярном направлении (ука- (указано стрелкой v) и начинает двигаться („прецессировать") так, что его ось движется по конической поверхности. В результате прецессии волчок не па-
§ 38] ГИРОСКОПЫ 133 дает. Действие гироскопических сил может быть также продемонстрировано с помощью так называемого рычажного гироскопа. Стержень В (рис. 88) может вращаться относительно стойки А как в вертикаль- вертикальном, так и в горизонтальном направлениях. На конце стержня укреплен гироскоп D. Если гироскоп уравнове- уравновешен грузом Р, то равновесие сохраняется и при вращении гироскопа. Если же груз Р тяжелее гироскопа, то он вы- вызывает не наклонение стержня В, а его поворачивание в горизонтальной плоскости. Гироскопы находят различные применения в физике и технике. В 1852 г. Фуко пытался использовать гироскоп для доказательства вращения Земли. Гироскопический эф- эффект находит широкое применение в нарезных орудиях. Винтовые нарезы в стволе орудия сообщают вылетающему снаряду быстрое вращение вокруг оси и превращают его в гироскоп с большим собственным моментом количества движения. Благодаря этому момент сил, возникающий вслед- вследствие сопротивления воздуха, не ведет к опрокидыванию снаряда, а лишь вызывает прецессию снаряда вокруг напра- направления касательной к траектории. Гироскопы используются также для регулирования движения мин (торпед). Гироскоп может быть использован и в качестве компаса. Гироскопический компас представляет собою быстро вращающийся волчок (до 30000об/мин), плавающий в сосуде со ртутью. Благодаря суточному вращению Земли, ось гироскопа стремится расположиться параллельно оси вра- вращения Земли, т. е. в плоскости меридиана. В настоящее время гироскопы используются в различных аэронавигационных приборах (например, „искусственный горизонт"). Большие гироскопы употребляются для уменьшения качки судов. Гироскопические эффекты могут также оказывать, при наличии в меха- механизмах быстро вращающихся массивных частей, вредное влияние. Например, турбина при поворачивании парохода оказывает, благодаря возникающим гироскопическим си- силам, добавочное давление на подшипники. В Рис.86. Гироско- Гироскопические силы F, и F;, при- приложенные к свя- связям, удержива- удерживающим ось вра- вращения гиро- гироскопа. Рис. 87. Прецессия волчка. Рис. 88. Рычажный гироскоп. Вектор угловой скорости разворота парохода <а' в этом случае перпенди- перпендикулярен к вектору угловой скорости самой турбины ю, откуда численное значение момента гироскопических сил М' по формуле A) равно Если расстояние между подшипниками равно /, то М' = /у, где Л — сила добавочного давления на подшипник. Отсюда „ /too'
134 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. V При большом моменте количества движения турбины A<л—велико) и быстром развороте парохода (велико ш') силы F± могут достичь значений, достаточных для разрушения подшипников. § 39. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Определим теперь работу, совершаемую моментом сил М при пово- поворачивании тела на определенный угол <р вокруг неподвижной оси 00' (рис. 89). Пусть к твердому телу приложена сила /, касатель- касательная к траектории точки приложения, момент которой относительно оси 00' равен М =fr. При поворачивании тела на угол Д<р точка приложения силы А переместится на длину дуги As, откуда работа, совершенная силой /, будет: ДЛ =/. ДЯ, но As = г Дер, где Д<р — угол поворота тела, следовательно, ДЛ =fr • Дер или, так как fr = M есть момент силы /, ДЛ=М-Д<р; A) таким образом, работа, совершаемая при пово- поворачивании тела на угол Д<р, численно равна про- произведению из момента силы на угол поворота. В случае, если момент М постоянен, работа, совершаемая при поворачивании тела на конечный угол <р. будет: Рис. 89. Работа силы, вы- вызывающей вращение. А = М • B) При переменном моменте силы М следует по формуле A) опреде- определить элементарную работу ДЛ, а полную работу Л получить сум- суммированием элементарных работ. Рассмотрим теперь тело, вращающееся с данной угловой ско- скоростью ш вокруг неподвижной оси. Кинетическая энергия его i-ro элемента будет: АШ: • О? где Д/Я; — масса этого элемента и vL — его линейная скорость. Так как vi = rita, то Am, • />" Кинетическая энергия вращения всего тела равна сумме кинети- кинетических энергий его отдельных элементов: -2 =^2 miTl
§ 39] КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 135 но по формуле G) § 35 V Апцг1 — I есть момент инерции тела (от- (относительно оси вращения), откуда Е> = %. О) Таким образом, кинетическая энергия вращения твердого тела вокруг неподвижной оси выражается формулой, совершенно аналогичной формуле, дающей кинетическую энергию материальной точки, только роль массы т играет момент инерции /, а роль линейной скорости — угловая скорость ш. Мы рассмотрели случай вращения твердого тела около неподвижной оси 00'. Разберем теперь другой частный случай движения твердого тела, когда его ось вращения проходит через центр масс и перемещается, оста- оставаясь параллельной самой себе. Пусть \t—линейная скорость элемента объема тела с массой Ami и vc—линейная скорость центра масс тела отно- относительно той же координатной системы. Введем, кроме того, скорость vi элемента объема тела относительно центра масс, тогда Кинетическая энергия элемента объема h.Eki равна Л?*<= ~~2~ — 2 или по D) Кинетическую энергию всего тела Еь получим, взяв сумму кинетических энергий всех его элементов: E) Первый из членов в правой части этого равенства представляет собою, как легко видеть, кинетическую энергию массы т, равной массе всего тела, то}* движущейся вместе с центром масс: —я--. Для второго члена на основании рассуждений, аналогичных приведенным в основном тексте, получим, что он равен кинетической энергии вращения твердого тела относительно оси вра- вращения, проходящей через центр его масс -^-. Третий член, как можно по- показать, равен нулю. Действительно, рассмотрим произведение &mpQXv'tx. За- Заметив, что по D) v'ix = vix — vCx, перепишем его в виде: F) Обозначим координаты центра масс через хс, ус, гс и координаты 1-го элемента тела — через Xi, yi, Zi. Тогда vCx = xc и vix = X{, где точки над буквами означают первую производную по времени. Воспользовавшись этим равенством, перепишем выражение F):
136 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. V Суммируя G) по всем элементам тела, получим 2 ^mivcxv'ix=*с 2 Лш'--*«—т*ъ Но по формуле F) § 34 2 Дт(Л,- = тЛс, откуда находим Такое же равенство найдем и для двух других составляющих скоростей по осям, откуда следует: >! Д/П; (Vn V', -4- Vr V'i A-Vr V'- ) = 0. Z-i t \"Cx ix ' "Cy"iy т Cz ill "• После этого равенство E) принимает вид: mv% Л»8 p. L j * — 2 2' т. е. полная кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинети- кинетической энергии массы т, равной массе всего тела, движущейся вместе с центром масс, и кинетической энергии его вращения относительно оси вращения, проходящей через центр масс. Разберем несколько примеров на определение кинетической энергии вра- вращающегося твердого тела. Пример 1. Маховое колесо, имеющее вместе с валом момент инерции 200 кгм*, вращается, делая 180 об/мин. Через 2 мин. после того, как на ко- колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось под влия- влиянием сил трения в подшипниках. Считая трение в подшипниках постоянным, определить момент сил трения. Решение. Работа сил трения в подшипниках совершается за счет кинетической энергии вращающегося махового колеса: —тр- = Mf, z где шо — начальная угловая скорость махового колеса, / — его момент инер- инерции, <р—угол, на который повернется маховое колесо до остановки, М—иско- М—искомый момент сил трения в подшипниках. Считая вращение колеса равномерно- равномерного . замедленным, получим (p = -KL t, где t — время, в течение которого маховое колесо останавливалось, отсюда Угловая скорость ио = 2тспо, где по = 18О об/мин = 3 об/сек, откуда м=Нртщ^ кГм =3'2 кГм- Пример 2. Какую часть от общей кинетической энергии составляет энергия вращения для катящихся: а) обруча, 6) сплошного цилиндра, в) шара. Решение. При качении без скольжения скорость на ободе тела равна его поступательной скорости v. Отсюда для обруча, для которого / = т^?а и г» = ш/?, получим, что кинетическая энергия его вращения при качении Бар равна „ Лл^ ту* ВР — 2 — 2 *
§ 39] КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 137 Полная кинетическая энергия Е^ складывается из энергии вращения Явр /яг»2 и кинетической энергии поступательного движения —^— , следовательно: _ till)* , г, о г, 1 г, /О, Еь = -7=—г- Еа„ = mv2, откуда свп = -=¦ Еь. (8) Для сплошного цилиндра: I = — Wi(?2, откуда ?Ер = -^- = ^|-; 3 1 »р = Т mwa' откУда ?вР = -з?'а. (9) /ш9 1 откуда Евр == — = —, ?й = ~2—h -5" шг'а == То mv3> 0ТКУда ?вр = у ?*• A°) Пример 3. С наклонной плоскости высотой h скатываются: а) обруч, б) сплошной цилиндр, в) шар. Найти поступательные скорости, которые они будут иметь, скатившись до конца плоскости. Сравнить эти скорости со скоростью, которую имело бы тело, соскальзывающее по плоскости без трения. Решение. Полная кинетическая энергия скатывающегося тела: _ пи»' , /<о8 полная Для полная энергия „ mv* шара: '-4 энергия Так как кинетическая энергия возникает за счет потенциальной энергии Ep = mgh, то ~2 \т + ~#г] v=mSh' 0ТКУда v=z т+7? или (П) Так как скорость тела, соскальзывающего без трения с наклонной плоскости высотой h, равна то видим, что для тела, скатывающегося без трения, эта скорость в 1/ 1+jTpa Раз меньше, где /—момент инерции тела, т — его масса и — его радиус. Для обруча, для которого /=mR2, имеем
133 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. V т. е. скорость, которую он приобретает, скатываясь по наклонной плоскости, в ]^2 = 1,41 раза меньше, чем для тела, соскальзывающего без трения. Для сплошного цилиндра I = -^mR1, откуда т. е. в 1/ у = 1,23 раза меньше, чем для соскальзывающего тела. 2 Для шара I = -=- тД*, откуда о т. е. в Т/ -^- = 1,18 раза меньше, чем для соскальзывающего тела.
ГЛАВА VI движение жидкости § 40. Движение идеальной жидкости. Линии и трубки тока. До сих пор мы рассматривали движение тел, сводящееся к их пере- перемещению относительно других тел или, в случае твердого тела, также к вращению вокруг определенной оси. Однако возможно движение, которое сводится к перемещению различных частей одного и того же тела друг относительно друга; при этом, если тело может рассма- рассматриваться как непрерывное и бесконечно большое, его называют сплошной средой. Сплошная среда может представлять собою упру- упругое твердое тело, в этом случае в нем могут возникать сдвиги одних частей относительно других и колебания (волны); сплошная среда может представлять собою несжимаемую жидкость, в которой могут возникать течения; наконец, сплошная среда может быть сжимаемой жидкостью или газом, в которых возможно возникновение как тече- течений, так и колебаний. Часть механики, занимающаяся изучением дви- движения жидкости, называется гидродинамикой. Рассматривая движение жидкости, в большинстве случаев можно с достаточной степенью приближения считать жидкость абсолютно несжимаемой и полагать, что перемещение в ней одних слоев отно- относительно других не связано с возникновением сил трения (отсут- (отсутствует внутреннее трение, или вязкость). Такая абсолютно несжи- несжимаемая и абсолютно невязкая жидкость на- называется идеальной. „Идеальная жидкость" служит лишь более или менее хорошим при- приближением к реальным жидкостям. Будем определять движение частиц жид- жидкости относительно некоторой определенной системы отсчета. Тогда каждой частице соот- соответствует свой вектор скорости. Вся жидкость представляет собою, как принято говорить, поле вектора скорости. В поле вектора ско- скорости мы можем провести линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением скорости частицы жидкости в этой точке (рис. 90). Такие линии называются линиями тока. Принято проводить линии тока так, чтобы густота их была больше там, где Рис. 90. Линии тока жидкости.
140 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VI больше скорость течения жидкости, и меньше — там, где жидкость течет медленнее. В случае установившегося (стационарного) тече- течения, скорость жидкости в каждой точке остается постоянной во времени. В этом случае линии тока также остаются неизменными и совпадают с траекториями отдельных частиц жидкости. Линии тока в жидкости можно сделать видимыми, пустив в нее струю краски или подмешав какие-либо заметные взвешенные частицы. На рис. 91 а, б, в представлены линии тока, получаемые при обте- с; б) в) Рис. 91. Линии тока жидкости. кании жидкостью круглого цилиндра, пластинки, поставленной пер- перпендикулярно к потоку, и тела обтекаемого рыбовидного сечения. Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. Все частицы, находящиеся в некотором сечении трубки тока, при движении продолжают двигаться внутри трубки тока и не вы- выходят из нее. Также извне никакие частицы не проникают внутрь трубки тока. Возьмем трубку тока и выберем два каких-либо нормальных ее сечения AS! и AS2 (рис. 92). За v еДиницУ времени через сечение ASi * протечет объем жидкости, равный Рис. 92. Трубка тока жидкости. ASi^i- где щ — скорость течения жид- жидкости в том месте, где произведено сечение ASt. Через сечение ASa за единицу времени протечет объем жидкости ASat>a, где v.2 — скорость течения жидкости в месте сече- сечения ASg- Для несжимаемой жидкости через сечение ASt протечет такой же объем, какой протек через сечение A5t, откуда ASi • i>! = Д52 • г»2. Так как это соотношение справедливо для любых двух сечений трубки тока, то мы можем вообще написать, что для трубки тока Д51 • v = const, т. е. что произведение скорости течения несжимаемой невязкой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоян- постоянная для данной трубки тока. Это соотношение известно под назва- названием теоремы о неразрывности струи. При стационарном течении несжимаемой невязкой жидкости по какой-либо действительной трубе объем этой трубы совпадает с труб-
§ 40] ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ. ЛИНИИ И ТРУБКИ ТОКА 141 кой тока. Отсюда, по теореме о неразрывности струи, в тех местах, где труба шире, жидкость течет медленнее, и в тех местах, где труба уже, жидкость течет быстрее. Представим себе трубку тока, сужающуюся по направлению тече- течения; поступая в более узкую часть трубки тока, жидкость начинает течь скорее, т. е. она приобретает ускорение. Следовательно, на жидкость, втекающую в более узкую часть трубки, действует со сто- стороны жидкости, еще находящейся в широкой части трубки, некото- некоторая сила. Такая сила, возникающая внутри объема жидкости, может возникнуть только за счет разности давлений в различных частях жидкости. Так как сила направлена в сторону узкой части трубки, то отсюда следует, что давление в широких местах трубки больше, чем в узких. В местах сужения трубки тока давление по- понижено. Напомним, что под давлением р подразумевается величина, чи- численно равная силе /, действующей нормально на некоторую площадку, деленной на величину этой пло- площадки AS. Выделим из текущей струи не- некоторую определенную массу Д/я жидкости, протекающую сперва че- через сечение трубки тока ASi, a затем через сечение ASa (рис. 93). Скорость жидкости в месте сечения ASj обозначим через vt и давление — через pit а скорость и давление в месте сечения ASa — соответственно через п9 и Pi- Предположим еще, что трубка тока расположена не горизонтально, но под некоторым наклоном; обозначим высоту, на которой распо- расположено сечение ASi, через hit а высоту, на которой лежит сечение AS3, — через Аа. При протекании массы жидкости Д/я совершается некоторая работа, так как на эту массу жидкости действует сила, обусловленная наличием в жидкости давления р. Пусть Et — полная энергия массы жидкости Д/я в том месте, где она протекает через сечение ASi, а Ег— полная энергия массы жидкости Д/я в том месте, где она протекает через сечение AS8. По закону сохранения энергии изменение энергии ?а—Ех равняется работе внешних сил, перемещающих массу Д/я от сечения kst к се- сечению ASa: Е, — Е1=А. A) Энергии ?", и ?, складываются из кинетических и потенциальных энергий массы жидкости Д/я: Рис. 93. Трубка тока жидкости. 4т • v\ /я • а == —s-s -4- Д/ге •
142 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VI Нетрудно убедиться в том, что работа А совпадает с работой, совершаемой при перемещении всего участка жидкости, заключен- заключенного между сечениями AS4 и Д52, в течение такого времени At, за которое через эти сечения будет перенесена масса жидкости Am. Для перенесения массы Am в месте расположения первого сечения жидкость должна сдвинуться на отрезок Al1 = viAt, а в месте рас- расположения второго сечения — на отрезок Д/4 = v^At. Силы, действую- действующие на оба конца выделенного участка жидкости, соответственно равны fi=Pi&Si и /j = — p^ASi- Первая сила положительна, так как она направлена в сторону течения жидкости; вторая отрица- отрицательна, так как она представляет собой силу, действующую на рас- рассматриваемый участок со стороны жидкости, находящейся правее сечения, и, следовательно, направленную в сторону, противоположную течению жидкости. Окончательно находим А =ЛД/, +/аД/а=p1ASivlM — p^AS^At Подставляя найденные значения Е1г Et и А в A), получим m2'"* + Am • ghi ^± — Am • gkl = p1kS1vlM —ptbSiViM, или ^i -f Д т ¦ gh, + Pi bS^M = ^i + Am ¦ ght + p^S^M B) По закону неразрывности струи объем, занимаемый массой жидко- жидкости Am, остается постоянным: Деля правую и левую части равенства B) на этот объем AV и эа- мечая, что AmjAV есть плотность жидкости р, получим % ^ C) Это уравнение было впервые выведено выдающимся физиком и математиком, петербургским академиком Даниилом Бернулли A700—1782) во время его работы в России. Оно называется уравне- уравнением Бернулли. Для трубки тока, расположенной горизонтально (fe1 = Ai), уравне- уравнение Бернулли дает: !? + л = Й. + А. (За) Из формулы (За) и теоремы о неразрывности струи видно, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужений, давление же
§ 40} ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ. ЛИНИИ И ТРУБКИ ТОКА 143 больше в широких местах. Последнее можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометрических трубок а, Ъ, с (рис. 94). Высота уровня жидкости в этих трубках измерит давление р в трубе. В соответ- соответствии с законом Бернулли, опыт пока- показывает, что в манометрической трубке Ь, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в маноме- манометрических трубках, прикрепленных к ши- широким частям трубы. Если в поток жидкости поместить неподвижную манометрическую трубку, загнутую нижним концом против потока („трубка Пито", рис. 95), то линии тока изменятся вблизи такой трубки. Скорость жидкости перед отверстием будет равна нулю. Применяя к этому случаю формулу (За) и полагая г».2 = 0, получим Рис. 94. Зависимость давле- давления от ширины трубки. Рис. 95. «Трубка Пито". воздух Манометрическая трубка с отверстием, обра- обращенным навстречу потоку, измерит давление рг, которое, как видно, больше давления pt на вели- величину ^*-. (Давление рх измерил бы манометр, движущийся вместе с потоком.) Зная plt по измерению р% можно найти скорость потока ¦»!• Величину ~?- иногда называют „динамическим давлением*. В узких частях трубки при больших скоростях течения давление р может стать отрицательным. В этом случае жидкость, протекающая по узким частям трубки, находится в состоянии всесто- всестороннего растяжения. Если давление в широкой части трубки атмосферное, то в узкой части оно меньше атмосферного. Струя будет тогда оказы- оказывать засасывающее действие. На этом засасываю- засасывающем действии суженной струи основана работа целого ряда приборов, например, пульверизатора и водоструйного насоса. Схема водоструйного насоса представлена на рис. 96. Вытекающая с большой скоростью вода из суженного конца трубки А засасывает пузырьки воздуха и увле- увлекает их с собою. При помощи уравнения Бернулли можно найти скорость истече- истечения жидкости из отверстия. Если сосуд широкий, а отверстие мало (рис. 97), то скорости жидкости в сосуде малы и весь поток можно Рис. 96. Водоструй- Водоструйный насос.
144 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VI рассматривать как одну трубку тока. Давление как в верхнем сече- сечении (у поверхности АВ), так и в нижнем сечении (у отверстия а) равно атмосферному р0. Поэтому уравнение Бернулли C) прини- принимает вид: ^ + ^-й2) = §. C6) Если мы рассмотрим случай вытекания струи при скорости г»! = О и положим hx — А4 = h (рис. 97), то получим т. е. скорость, приобретаемая струей при стекании с высоты h, равна скорости, приобретаемой телом, свободно падающим с той же высоты. § 41. Применение закона сохранения количества движения к текущей жидкости. К любому объему текущей жидкости, как и ко всякому другому движущемуся телу, применим закон сохранения количества движения (§ 20). Если количество движения объема жидкости изменяется на величину AK = /ra^v, то одновременно у другого объема жидкости или у твердого тела, с которым жидкость соприкасается, должно произойти изменение количества движения на величину ДК' = —ДК- К движению жид- жидкости применим также и закон сохранения момента количества движения (§ 37). j^ Применение этих законов позволяет ре- *%?- шать ряд вопросов, например вопрос о реак- „ ., „ ^ ции текущей жидкости на стенки сосуда. Рис. 97. Вытекание струи -^ J J из бокового отверстия. Если СТРУЯ жидкости вытекает из от- отверстия а в сосуде (рис. 97), то скорость ее возрастает и она приобретает некоторое количество движения. Если внешние силы отсутствуют, то общее количество движения системы сосуд—жидкость должно остаться неизменным. Поэтому сосуду будет передано количество движения, численно равное количеству движения, приобретенному струей. Сосуд должен прийти в движение в направлении, обратном движению жидкости в струе. Действительно, если сосуд поставить на тележку, чтобы он мог свободно перемещаться, то при вытекании струи сосуд с те- тележкой начнет двигаться в направлении, противоположном направле- направлению вытекания струи. Реакция вытекающей струи используется в качестве движущей силы в реактивных снарядах и реактивных двигателях. На законе сохранения количества движения основано также дей- действие гребных винтов. Винт парохода вызывает движение воды на- назад, причем струи отброшенной винтом воды приобретают некото- некоторое количество движения. По закону сохранения количества движе-
§ 41] ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 145 ния равное количество движения приобретает пароход. На том же принципе действует пропеллер самолета, отбрасывающий назад струю воздуха; воздух при этом с механической точки зрения может рас- рассматриваться как жидкость (сжи- (сжимаемая). Количество движения есть вели- величина векторная, поэтому изменение количества движения некоторого объема жидкости имеет место не только когда скорость жидкости меняется по численному значению, но и когда она меняется по наира- ,. л„ ,,, ' ~ г Рис. 98. Жидкость, текущая по изо- влению. гнутой трубе, действует на трубу При течении жидкости по изо- с силой реакции F1. гнутой трубе (рис. 98) с постоян- постоянной по численному значению скоростью v, количество движения любого объема жидкости непрерывно меняется за счет загибания трубок тока жидкости. За время At через некоторое сечение Si трубы переносится масса жидкости т = pSji/^, где р — плотность жидкости, а 7», — численное значение ее скорости. Количество движения этой массы жидкости равно здесь Vj — вектор скорости жидкости, протекающей через сечение 5,. У второго сечения трубы S2 количество движения той же массы жидкости равно Кз = pSaT/a • v2 At. Пусть сечение трубы постоянно: Si^S<j = .S, тогда v1 = г»а = г» и для изменения количества движения получим ДК = К2 — K1 = pSv(v, — v,)A*. A) Это изменение количества движения: должно равняться импульсу сил, действующих на жидкость со стороны стенок трубы. Обозна- Обозначая суммарную силу, действующую на жидкость, через F; имеем по A): F • Дг = ДК = pSv (v, — v,) Д*. откуда F = pS*(v, —v,). B) По третьему закону Йьютона сила F', численно равная F, но на- направленная в противоположную сторону, будет действовать со сто- стороны текущей жидкости на стенки трубы. Таким образом, жидкость, текущая по изогнутой трубе, дей- действует на трубу с силон реакции F" (рис. 98), направленной в сто- сторону, противоположную направлению изгиба трубы. 6 С. Э. Фриш и А. В. Тиморева
146 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VI Реакция текущей жидкости на стенки изогнутой трубы исполь- используется в водяных и паровых турбинах. Струя жидкости или пара, протекая по искривленным каналам колеса турбины, создает силы реакции, момент которых и вызывает вращение колеса турбины. В других конструкциях поток жидкости или пара вытекает из неподвижной трубы и попадает на лопатки колеса турбины. Лопатки отклоняют поток жидкости или пара, в результате чего поток изме- изменяет свое количество движения. Сила реакции, действующая при этом на лопатки, вызывает вращение колеса турбины. Момент сил будет наибольшим, когда поток жидкости или пара сильнее всего меняет свое количество движения. Поэтому лопаткам колеса турбины придают такую форму, чтобы поток, протекая около лопаток (без удара о них), по возможности сильно терял свою скорость. Реакция вытекающей струи используется в качестве движущей силы при реактивном движении, например, в ракетах или ракетных снарядах. В камере ракеты происходит сгорание взрывчатой смеси. Образующиеся при этом газы вытекают через специаль- специальное сопло а в задней части снаряда (рис. 99). Благодаря большой скорости вытекания, Рис. 99. Реактивный снаряд, количество движения, приобретаемое га- газами, велико. Равное количество движе- движения, направленное в противоположную сторону, приобретает ракета, что и вызывает ее движение вперед. Для сообщения скорости ракете не требуется взаимодействия с другими телами или окружающей средой. Поэтому ракета может двигаться и в безвоздушном пространстве. Пионером применения реактивного движения был выдающийся советский изобретатель К. Э. Циолковский A857—1935), давший не только основы расчета реактивного движения, но и конструкции ра- ракет для исследования высоких слоев атмосферы и космических про- пространств. Современные искусственные спутники Земли и космические ракеты выводятся на орбиту с помощью многоступенчатых ракет, так как в случае одноступенчатой ракеты была бы слишком велика масса, которой надо сообщить космическую скорость. Принцип многосту- многоступенчатой ракеты был впервые выдвинут К. Э. Циолковским. Ракета использует химическое топливо, причем каждая ступень ракеты имеет свои баки для горючего и окислителя. Рассмотрим схему движения трехступенчатой ракеты. Сперва происходит сгорание топлива в двигателе первой ступени, при этом приводится в движение вся ра- ракета, как целое. Когда топливо первой ступени оказывается исполь- использованным, она отделяется и дальнейший, полет ракеты продолжается за счет работы двигателя второй ступени. По окончании работы дви- двигателя второй ступени она отделяется в свою очередь и полет про- продолжает одна третья ступень, масса которой значительно меньше,
§ 41] ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 147 чем масса всей ракеты. Вследствие этого ускорение последней сту- ступени, при той же реактивной силе, значительно больше и она может достичь большей скорости. Наряду с указанным ракетным принципом в настоящее время используется другой принцип реактивного движения, применяемый в так называемых воздушно-реактивных двигателях. Схема пульсирую- пульсирующего воздушно-реактивного двигателя представлена на рис. 100. В головной части двигателя рас- расположен диффузор А, служащий для засасывания воздуха. Посту- Поступающий через диффузор воздух проходит через систему клапанов D и попадает в камеру сгорания В. Рис Ю0. Воздушно-реактивный дви- Топливо вбрызгивается в камеру гатель. сгорания через форсунки а и Ь; клапаны при начале сгорания закрываются. Сгорая, топливо нагревает воздух, и смесь этого воздуха и газов, образовавшихся при сгорании топлива, вырывается через сопло двигателя С с большой скоростью. Общее количество движения струй, поступающих в двигатель и вы- выходящих из него, возрастает. По закону сохранения количества дви- движения сам двигатель приобретает количество движения, направленное вперед и равное увеличению количества движения струй. В современных авиационных реактивных двигателях воздух, под- поддерживающий сгорание топлива, нагнетается специальными насосами. Насос приводится в движение турбиной, действующей за счет струи газа, вытекающего из камеры сгорания. Реактивное действие струи создает полезную тягу двигателя. Такой двигатель носит название турбореактивного. Авиационный турбореактивный двигатель отли- отличается от простого реактивного двигателя, употребляемого на ракете, тем, что в нем для сгорания топлива используется кислород атмо- атмосферного воздуха, а не окислитель, который наряду с горючим несет в своих баках ракета. Благодаря этому общая масса горючего для турбореактивного двигателя значительно меньше, чем для реактив- реактивного. Это преимущество турбореактивного двигателя делает его более пригодным для самолетов, чем простой реактивный двигатель. Однако, турбореактивный двигатель не может работать на очень больших высотах, где плотность атмосферы слишком мала. Он не пригоден для полетов, выходящих за пределы земной атмосферы. Большое практическое значение для расчета движения ракет имеют работы И. В. Мещерского A859—1935), впервые разработавшего теорию движения тел, масса которых меняется со временем в результате присоеди- присоединения или отделения от тела масс. И. В. Мещерский показал, что для тела переменной массы т, движущегося поступательно, имеет место следующее уравнение движения: d , ~ , dmt dm2 ,~ч _(fflv) = F + _L.Vl__JL.Vlf C) 6*
148 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VI где V —скорость тела, F — главный вектор внешних сил, mt—масса, при- присоединяющаяся к телу, та — масса, отделяющаяся от тела, vr и v2 — скорости этих масс. В случае если Vi и v2 равны нулю, это уравнение переходит в следующее: которое эквивалентно системе уравнений (8а) § 20. При изучении реактивного движения (когда имеются только отделяю- отделяющиеся массы) удобно уравнение C) преобразовать к виду: mw = F + — . (v — v2), где w—ускорение тела. Это последнее соотношение показывает, что тело переменной массы удовлетворяет обычному уравнению движения, если к главному вектору м 7^' внешних сил прибавить член -— • (v — Va), равный произведению относитель- относительной скорости тела и выбрасываемой массы v —v2 на производную от выбра- выбрасываемой массы по времени. § 42. Движение вязкой жидкости. Во всех реальных жидкостях при перемещении одних слоев относительно других возникают более или менее значительные силы трения. Со стороны слоя, движущегося более быстро, на слой, движущийся медленнее, действует ускбряю- щая сила. Наоборот, со стороны слоя, движущегося медленнее, на более быстрый слой действует задерживающая сила. Эти силы, носящие название сил внутреннего трения, направлены по касательной к по- поверхности слоев. Величина силы внутрен- -и, него трения / тем больше, чем больше площадка AS поверхности слоя, которую уУ- ; —X мы рассматриваем, и зависит от того, „ ,„, п насколько быстро меняется скорость те- Рис. 101. Возникновение сил v внутреннего трения. чения жидкости v при переходе от слоя к слою. Пусть два слоя (рис. 101), от- отстоящих друг от друга на расстоянии Дг, текут соответственно со скоростями г/j и в2. Положим г»! — v$ = Av. Направление, в котором отсчитывается расстояние между слоями Дг, перпендикулярно к ско- скорости течения слоев. Величина Av/Az, которая показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою, носит название градиента скорости. Сила внутреннего трения / пропорциональна градиенту скорости, так что /=¦4^. AS. A) Величина i\, зависящая от природы жидкости, называется коэф- коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости жидкости. Чем больше коэффициент вязкости, тем сильнее жид-
§ 42] ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 149 кость отличается от идеальной, тем ббльшие силы внутреннего трения в ней возникают. Размерность коэффициента вязкости, как легко видеть, равна L~XMT~X. Таким образом, в CGS-системе вязкость измеряется в см г сек'1. Эта единица вязкости называется пуазом в честь французского ученого Пуазейля. Вязкость жидкости весьма сильно зависит от температуры: она уменьшается с повышением температуры. Так, вязкость воды при 0° С равна -rjo = 0,01775 см'1 г сек'1, а при 90°С равна т]90 — = 0,00320 см'1 г сек'1. Особенно сильно зависит от температуры вязкость масел; например, вязкость касторового масла при повыше- повышении температуры от 18° до 40° С падает почти в четыре раза. Ниже приведены значения коэффициентов вязкости для некоторых жид- жидкостей: Жидкость Вода Ртуть Эфир Глицерин Т- 1,8 1,7 0,29 46 Коэффициент вязкости = 0°С • 10"- ¦ 10 Т = 1,1 1,6 0,25 15 15° С 10"° 10 10 у] в пуазах Г = 99°С 0,29 ¦ 10 1,2 ¦ 10 Течение газов может также рассматриваться как течение жид- жидкости, однако, во-первых, коэффициент вязкости у газов гораздо меньше и, во-вторых, нужно учитывать сжимаемость газов. С увеличением тем- температуры вязкость газов не падает, как у жидкостей, а несколько возрастает, как это видно из следующей таблицы: Газ Водород Водяной пар Воздух Аргон Коэффициент вязкости у в пуазах Г = 0°С 86 • 10-» 90 • 10"» 171 • 10-" 210 ¦ 10"в Г=15°С 89 • Ю-" 97 • 10-» 181 ¦ 10"» 221 • 10-° Г = 99° С 106 • 10-" 131 • 10-" 220 • 10-° П. Л. Капицей было открыто, что жидкий гелий при температуре около —271°С переходит в особое состояние „сверхтекучести", при котором вязкость его практически равна нулю. Наблюдения над движением гелия, находящегося в состоянии сверхтекучести, через тонкие капилляры и щели показали, что, во всяком случае, его вяз- вязкость меньше 10~и пуаза. Жидкий гелий, перешедший в состояние сверхтекучести, носит название „гелия II". Переход из обычного ге-
150 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VI лия („гелия I") в гелий II представляет собой так называемый фазо- фазовый переход второго рода, когда некоторые свойства (например, вязкость) меняются скачкообразно, а другие (например, упругость пара) меняются постепенно. В состояние сверхтекучести переходит лишь основной изотоп гелия Не4. Сверхтекучесть ведет к появлению других специфических явле- явлений: при наличии температурных градиентов в жидком гелии возни- возникают весьма интенсивные потоки. При температуре в 2,19° К гелий представляет собой смесь сверхтекучей и нормальной модификаций, которые могут течь навстречу друг другу. С явлением сверхтекучести связано существование так называе- называемого термомеханического эффекта, заключающегося в том, что возникающее вдоль узкой щели или капилляра падение температуры вызывает появление дополнительной разности давлений. Так, если погрузить в гелий 11 капилляр и нагревать его верхний конец, то из капилляра начнет бить фонтан. Поэтому эффект, вызванный термо- термомеханическим воздействием, называется также эффектом фонтани- фонтанирования. Гидродинамическая теория сверхтекучести наиболее подробно раз- развита советским физиком Л. Д. Ландау. В этой теории каждому эле- элементу объема жидкости сопоставляются два вектора скорости: вектор сверхтекучего и вектор нормального движения. Таким образом, пред- предполагается, что гелий при очень низких температурах представляет собой смесь двух жидкостей, могущих двигаться независимо друг от друга. Одна из этих жидкостей (сверхтекучая) не обладает трением и может проникать в тончайшие зазоры и протекать через самые узкие капилляры. Так, П. Л. Капица наблюдал весьма быстрое про- протекание сверхтекучего гелия между двумя плоско-параллельными пластинками, зазор между которыми имел толщину в 5 • 10~в см. Другая составляющая гелия представляет собой нормальную жид- жидкость, которая обладает заметной вязкостью и не может течь сквозь узкие капилляры и щели. Теорией Ландау было предсказано еще одно новое явление — рас- распространение тепловых волн. Это явление было экспериментально наблюдено и изучено В. П. Пешковым и получило название второго звука в гелии II. Рассмотренное нами течение жидкости носит название ламинар- ламинарного (по-латыни — слоистого), так как слои жидкости как бы сколь- скользят друг относительно друга. При движении жидкости по трубе с увеличением скорости течение теряет ламинарный характер и ста- становится беспорядочным. Возникают составляющие скорости, перпен- перпендикулярные к оси трубы. В каждой точке жидкости происходят беспорядочные отклонения вектора скорости от его среднего значе- значения. Такое движение носит название турбулентного. Переход от ламинарного к турбулентному движению в трубах или каналах ведет к резкому возрастанию сопротивления.
§ 42] ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 151 При обтекании вязкой жидкостью тел с увеличением скорости течение меняет свой характер и становится завихренным. Поток жидкости, отрывающийся от поверхности обте- обтекаемого тела, распадается на отдельные вихри. Вихри, образующиеся позади тела (рис. 102), уносятся потоком и постепенно затухают. Уравнение Бернулли, строго говоря, непри- неприменимо к вязким жидкостям, так как часть энергии внутри трубки тока превращается, "*"" ^ в результате работы сил трения, в тепло. Однако рис Ю2 Образование практически уравнение Бернулли неприменимо вихрей, лишь к весьма вязким жидкостям. Для такой жидкости, как вода, уравнение Бернулли практически выполняется достаточно точно. Роль трения характеризуется безразмерной величиной, называемой чис- числом Рейнольдса R: где /—линейные размеры, характерные для рассматриваемого течения жид- жидкости. В случае течения жидкости по трубе / — радиус трубы, v—средняя скорость. Отношение к]/р называется кинематическим коэффициентом вяз- вязкости. Для того чтобы пояснить роль числа Рейнольдса, рассмотрим элемент объема жидкости с длиной ребра I. Кинетическая энергия этого объема равна Ek = L" l\ Сила трения, действующая на элемент объема жидкости, пропорциональна его поверхности I2, коэффициенту вязкости т\ и градиенту скорости. Полагая, что скорость падает до нуля на расстоянии, равном по порядку величины / (в случае течения по трубе —в радиальном направлении), получим, что гра- градиент скорости равен v/l. Таким образом, сила трения Работа этой силы на пути / равна: A =ft = грр. Роль трения при течении жидкости мала, если работа А мала по сравнению с кинетической энергией объема жидкости Ek, т. е. если выполняется нера- неравенство: Но -— = R есть число Рейнольдса. Таким образом, роль сил трения при течении жидкости мала при больших числах Рейнольдса.
152 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [гл/vb При течении жидкости по трубе переход от ламинарного к турбулент- турбулентному движению происходит при значении числа Рейнольдса, называемом критическим. Для течения воды по трубе RKpKal200. Рассмотрим явления, возникающие при движении тела в жидкости. Вместо того чтобы считать тело движущимся, а жидкость неподвиж- неподвижной, можно ставить обратную задачу: рассматривать обтекание не- неподвижного тела равномерным потоком жидкости. Первоначально будем считать жидкость идеальной, т. е. лишенной вязкости. Пусть тело представляет собой бесконеч- ный круговой цилиндр, ось кото- рого перпендикулярна к невозму- щенным линиям тока (рис. 103). б ( Линии тока обходят цилиндр сим- метрично с двух сторон. В точках А и D скорость жидкости равна нулю. У точек В и С линии тока сгущаются и здесь скорость жид- Рис. 103. Обтекание неподвижного больше, чем в невозмущен- тела равномерным потоком невязкой *ичи иилошс, с j жидкости. н°м потоке. Поэтому давление в точках А и D будет больше статического давления в жидкости р, а в точках В и С — меньше. Если v есть скорость в невозмущенном потоке, то по уравнению Бернулли [формула (За), § 40] давление в точке А равно так как скорость жидкости у поверхности тела в точке А мы счи- считаем равной нулю (vA=0). Таким образом, давление в точке А больше статического давления р. Такое же увеличенное давление будет и в точке D. На первый взгляд может показаться, что в точке D давление должно быть меньше р, но это неверно. В самом деле, вблизи точки А в потоке скорость частиц жидкости умень- уменьшается, следовательно, на частицы жидкости действует сила, напра- направленная влево, а на тело, по третьему закону Ньютона, в точке А действует сила, направленная вправо. Вблизи точки D скорость частиц жидкости возрастает, следовательно, на них действует сила, направленная вправо, а на тело в точке D действует сила, направлен- направленная влево. Рассмотрим теперь давление на тело в точке В. Для его опре- определения надо знать скорость жидкости вблизи поверхности тела в этом месте. Считая, что на расстоянии, равном примерно радиусу цилиндра, поток остается невозмущенным, получим, что скорость vB=2v и тогда по уравнению Бернулли: =p-\-v-ji откуда находим рв — Р ^Г '
JOf Ш] ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 153 Давление в точке В оказывается меньше статического давления р. Такое же давление будет в точке С. Как видно, уменьшение давле- давления в точках В а С больше, чем увеличение давления в точках А и D. Благодаря симметрии сумма всех сил, действующих на тело со стороны обтекающей жидкости, будет равна нулю: ?//= О- Отсюда следует, что при движении тела в невязкой жидкости оно вовсе не должно испытывать сопротивления. При движении тела в вязкой среде возникает сопротивление. Происхождение этого сопротивления двояко. При малых скоростях и удобообтекаемой форме тела, когда не возникает вихрей, сила со- сопротивления непосредственно обусловлена вязкостью жидкости. Слой жидкости, непосредственно прилегающий к твердому телу, прилипает к его поверхности и увлекается им полностью. Следующий слой увлекается за телом с меньшей скоростью. Таким образом, между слоями возникают силы трения. В этом случае сила сопротивления по закону, установленному Стоксом, прямо пропорциональна первой степени скорости, коэф- коэффициенту вязкости и линейным размерам тела. Для шаров, движущихся в вязкой жидкости, по закону Стокса сила сопротивления: /= бщп, B) где т) — коэффициент вязкости жидкости, г — радиус шара, v — ско- скорость его движения. По формуле Стокса B) можно определить скорость установивше- установившегося падения шара в вязкой жидкости. Тяжелый шар в вязкой жид- жидкости лишь в самый первый момент начнет падать ускоренно; по мере же возрастания скорости его падения возрастает и сила тре- трения /, которая начинает уравновешивать силу тяжести Р, действую- действующую на шар. Когда такое уравновешивание сил достигнуто, шар падает равномерно с постоянной скоростью v, определяемой по фор- формуле B) условием: C) Сила Р, действующая на шар, находящийся в жидкости, по за- закону Архимеда равна Ро — Pv где Ро — действительный вес шара, а Ръ — вес жидкости в объеме шара, отсюда Р=Р0 — Рг = = (р— р') g • -=¦ тег3, где р — плотность шара, а р'-—плотность жид- о кости. Подставляя это значение Р в C), найдем Из формулы D) видно, что скорость падения шара в вязкой жид- жидкости пропорциональна квадрату его радиуса г. Чем меньше шар, тем медленнее он падает в данной жидкости. Формула Стокса при-
154 движение жидкости [гл. vi менима не только к падению шаров в жидкости, но и к падению маленьких шариков в газовой среде, которую в этом случае можно рассматривать как вязкую жидкость. Так, скорость падения в воздухе мелких капелек тумана весьма хорошо определяется формулой D). При характеристике обтекания шара вязкой жидкостью с помощью числа Рейнольдса под v подразумевается' относительная скорость потока на бесконечном удалении от шара, а под длиной / — диаметр шара. Закон Стокса выполняется при малых значениях числа Рейнольдса. Для динамического подобия обтекания жидкостью разных твердых тел необходимо равенство чисел Рейнольдса. При моделировании движения ко- кораблей, самолетов и т. д., при уменьшенных размерах модели (/2 < /i), если коэффициент вязкости жидкости в модели и в натуре одинаков, скорость потока в модели должна быть больше: «2>«i. Для того чтобы не перехо- переходить к слишком большим скоростям на моделях, следует брать жидкость с меньшим значением кинематического коэффициента вязкости. Второй механизм сил сопротивления в вязкой жидкости, о кото- котором было упомянуто, связан с образованием вихрей. Часть работы, совершаемой при движении тела в жидкости, идет на образование вихрей. Энергия вихрей, благодаря наличию внутреннего трения п жидкости, в конечном счете переходит в тепло. При малых ско- скоростях вихри не образуются, и сопротивление, испытываемое телом, относительно мало. При увеличении скорости начинают образовы- иаться вихри, и тогда сила сопротивления резко возрастает. При постройке судов и самолетов весьма существенно придать им такую обтекаемую форму, при которой вихри, по возможности, не обра- образуются. Сила сопротивления, обусловленная образованием вихрей, при не очень больших скоростях пропорциональна квадрату скорости. При скоростях, близких к скорости звука в данной среде, она про- пропорциональна кубу скорости, а при сверхзвуковых скоростях пропорцио- пропорциональна квадрату скорости. В случае обтекания невязкой жид- жидкостью несимметричного тела, сумма сил, приложенных к телу со стороны jжидкости, не будет равна нулю. Рас- смотрим для простоты тело в виде бесконечно длинного полуцилиндра Рис. 104. Обтекание невязкой /рИС 1Q4) в этом случае линии тока ГаИ^ГаНси™%Т„РлИоЧженных параллельны плоской поверхности С, к телу со стороны жидкости, и давление на нее равно р. Давление не равна нулю. в точке В, по сказанному выше, меньше: рв<^р. Поэтому возникает результи- результирующая сила F=2/;^0; эта сила перпендикулярна к линиям тока в невозмущенном потоке. Она не увлекает тело в направлении потока (для идеальной жидкости), а лишь стремится его сдвинуть в направ- направлении, неперпендикулярном к потоку.
§¦42] ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 155 При обтекании несимметричного тела вязкой жидкостью резуль- результирующая сила F, действующая на тело со стороны потока, не пер- перпендикулярна к линиям тока. В этом случае ее можно разложить на две составляющие: Fconp, направленную вдоль потока, и Fn, направленную перпендикулярно к потоку. На наличии таких сил основано Подземная сопр /7о/}ое со про/mi3- Рис. 105. Возникновение подъемной силы крыла самолета. действие крыла самолета. Сила F, определяет лобовое сопротивление, а сила Fn — его подъемную силу (рис. 105). Теорию подъемной силы крыла самолета дал впервые Н. Е. Жу- Жуковский A847—1921), основатель теоретической, технической и экспериментальной аэродинамики, „отец русской авиации", как его назвал В. И. Ленин. Рассмотрим еще вопрос о ламинарном течении вязкой жидкости по трубе. В этом случае, благодаря силам внутреннего трения, скорость течения жидкости наибольшая в центре трубы (рис. 106). У стенок она равна нулю. Рассмотрим участок трубы радиуса ?; и длиной /. Пусть жидкость течет слева направо под влиянием разности давлений pi—р2. Вырежем в жидкости мысленно цилиндри- цилиндрический слой (рис. 107) внутреннего радиуса г и толщиной dr. На этот слой с внутренней стороны действует сила внутреннего трения dv „ Рис. 106. Вязкая жидкость течет по оси трубы снаиболь- шей скоростью v. ' йг здесь S—боковая поверхность цилиндрического слоя, равная 2пг/, откуда С наружной стороны на слой действует сила /, =f-{-df, направленная в обратную сторону, чем сила/(сила/ускоряет слой, сила/! его задерживает). Их сумма равна I —fi+f=-(f+df)+f=-df. Выражая силу / по E), имеем Так как скорость жидкости в центре Рис. 107. В цилиндрическом слое трубы наибольшая, то dv/dr отрицательно радиуса г жидкость течет с оди- и сила—df положительна. Эта сила при ста- наковыми скоростями, ционарном течении должна равняться силе, действующей на слой, благодаря разности давлений р{ —р2; так как эта послед- последняя сила пропорциональна площади поперечного сечения слоя S' = 2nr dr, то (г ?_\ = — р2), откуда d dv\ 'd-гУ —ps г dr.
156 движение жидкости [гл Интегрируя это выражение, получим vp* Полагая г = 0 и замечая, что на оси трубы, где скорость v имеет максимум, dv/dr также равно нулю, получим, что произвольная постоянная С = 0. От- Отсюда получим дифференциальное уравнение, определяющее скорость течения жидкости v как функцию расстояния от оси трубы г: rfo==rdr. 2/1) Интегрируя это выражение, получим 2/1 J ¦ 4/1 ^ Постоянную С получим, положив г = 7?, тогда г< = 0, откуда i__Pi —Ра — 4/Y| после чего для v получаем Эта формула дает скорость течения жидкости в зависимости от расстоя- расстояния до оси трубы. Теперь определим объем жидкости V, вытекающий из трубы за неко- некоторое время t. Из цилиндрического слоя радиуса г и толщины dr (рис. 107) за время t вытечет жидкость объемом dV=vt ¦ 2кг dr. Подставляя сюда вместо v его значение по F), получим dV= -(;"~Ра)' «V - г3) dr. Интегрируя это выражение в пределах от 0 до R, получим объем V жидкости, вытекающей через все поперечное сечение трубы: откуда Формула G) носит название формулы Пуазейля; она указывает на весьма сильную зависимость количества протекающей жидкости от радиуса трубы (пропорционально #4). Для турбулентного движения формула Пуазейля непригодна. Пользуясь формулой Пуазейля можно по объему жидкости, протекающей через трубку заданных радиуса Л и длины /, определить вязкость -ц. При- Приборы, служащие для определения вязкости, носят название вискозимегЛров.
** ЧАСТЬ ВТОРАЯ МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА ГЛАВА VII ГАЗЫ § 43. Атомно-молекулярная теория строения вещества. Пред- Представление о строении вещества из обособленных частиц—атомов было высказано еще древними греками. Впервые широкое развитие атомная гипотеза получила в трудах М. В. Ломоносова. Ломоносов попытался построить всю физику на основе представления о том, что химически простое вещество состоит из большого числа вполне одинаковых обособленных частиц — атомов. В химически сложных веществах роль обособленных частиц играют молекулы. Опираясь на свой всеобщий закон сохранения материи и движения, Ломоносов впервые доказал справедливость представления о непрерывном тепло- тепловом движении атомов и молекул. Со времен возникновения атомной теории в химии оказалось возможным установить на основании закона простых и кратных отно- отношений относительные веса (или, вернее, массы) атомов, т. е. числа, которые показывают, во сколько раз масса данного атома больше или меньше массы какого-либо другого атома. В настоящее время имеются и физические способы (см. т. II) сравнивать массы (веса) отдельных атомов или молекул. Относительные веса атомов назы- называют их атомными весами А. За единицу атомного веса принята 1/16 веса атома кислорода. Таким образом, по определению, атом- атомный вес кислорода равен 16,0000. Атомный вес самого легкого из атомов, водорода, равен 1,0078, что означает, что атом водорода 16,0000 ч - с-„г, имеет массу в ¦ — 15,8762 раза меньшую массы атома кисло- кислорода. Также, например, атомный вес ртути, равный 200,61, указы- 200 61 вает, что масса атома ртути в ,„ ' = 12,538 раза больше массы атома кислорода и в i пА^о = 199,06 раза больше массы атома водорода.' 1 В настоящее время известно, что почти для всех элементов существует по нескольку сортов атомов, отличающихся друг от друга массой (атомным весом). Атомы данного сорта называются изотопами данного элемента (см. т. 11). Химические методы определения атомных весов дают средний атомный вес естественной смеси изотопов.
ГАЗЫ [гл Относительный вес молекулы по отношению к той же А' А равна m'^m—r. Отсюда, обратно, мы заключаем: если брать еди- единице, равной 1/16 веса атома кислорода, называется ее молеку- молекулярным весом ( Возьмем определенную массу, например т граммов водорода. Атомный вес водорода обозначим через А. В этих т граммах водо- водорода содержится определенное число атомов водорода, которое мы обозначим через п. Возьмем другой элемент с атомным весои А' в таком количестве, чтобы оно также содержало п атомов. Масса п А' атомов этого элемента, очевидно, в -г- раз больше массы п атомов водорода. Следовательно, масса этого количества данного элемента раз- личные элементы в таких количествах, чтобы их массы относились как их атомные веса, то они будут содержать по одинаковому числу атомов. Назовем граммапюмом такое количество данного элемента, масса которого, выраженная в граммах, численно равна его ап'ом- ному весу. Тогда на основании сказанного имеем: грамматом любого элемента содержит одно и то же число атомов. Это чксло, обозначаемое через N, называется числом Авогадро. Назовем граммолекулой такое количество данного вещества, масса которого, выраженная в граммах, численно равна его моле- молекулярному весу. Так как молекулярные веса определяются по отно- отношению к той же единице A/16 веса атома кислорода), что и атоиные веса, то граммолекула любого вещества содержит столько моле<ул, сколько атомов содержит грамматом. Отсюда: граммолекула любого вещества содержит одно и то же число молекул, равное числу Авогадро. Граммолекулу часто называют молем. Моль представляет собой единицу массы, имеющую особое значение для каждого данного вещества. Так, для молекулярного водорода моль представляет собой единицу массы, равную 2 г, а для молекулярного кислорода — рав- равную 32 г. В настоящее время существует большое количество споссбов, позволяющих определить число Авогадро; с некоторыми из них мы познакомимся ниже (§ 52), сейчас приведем численное значение числа Авогадро: Л/= 6,023 • 10м моль~\ Число Авогадро представляет собою число частиц в определенной массе вещества, а именно, в одном моле, поэтому оно имеет размер- размерность [N\=M~l и измеряется в единицах, получающих обозначе- обозначение или моль'1. моль Знание, числа Авогадро дает нам представление о масш микромира, т. е. мира атомов и молекул; оно позволяет VH абе нам
§ 43] АТОМНО-МОЛЁКУЛЯРНАЯ ТЕОРИЯ СТРОЕНИЯ ВЕЩЕСТВА 159 установить, насколько мелка та зернистая структура вещества, которую устанавливает атомно-молекулярная теория. Зная число Авогадро, мы можем подсчитать размеры молекул и их абсолютные массы. Возьмем 1 см3 воды; его масса 1 г, что составляет -^ моля воды; 1о следовательно, 1 см3 воды содержит .-j-^- • 10аз = 3,34 • 1022 молекул воды. Таким образом, в жидкой воде на долю одной молекулы приходится объем 3 34 ^ 1QJ2 см3 ^ 3 • 10~23 см3. Считая, что в жидкости молекулы расположены плотно друг к другу, находим, что линейные размеры молекулы воды представляют собою величину порядка г= |/3 • 10~аз си^З-ГО"8 см. Линейные размеры других атомов и молекул представляют собою также величины порядка 10~8 см. Чтобы более конкретно представить себе размеры атомов и молекул, приведем два следующих примера: 1) если все количество атомов, входящих в состав 1 смг меди, расположить в одну линию, то обра- образуется цепочка длиной почти в 14 миллиардов километров, что при- приблизительно в 90 раз превышает расстояние от Земли до Солнца; 2) электронный микроскоп позволяет наблюдать микро-кристаллы, линейные размеры которых составляют сотые микрона. Такой микро- микрокристалл содержит несколько сот тысяч атомов. Несмотря на столь малые размеры атомов, современная физика имеет методы непосредственного доказательства прерывности (как говорят, дискретности) строения вещества и методы непосредствен- непосредственного наблюдения отдельных атомов; последнее возможно лишь в тех случаях, когда атомы несут достаточно большое количество энергии, т. е. движутся с очень большими скоростями. Массу т одной молекулы (или одного атома) можно найти из соотношения: * = ?. О) где |i — молекулярный вес (для элемента — атомный вес) и N—число Авогадро. Из соотношения A) для массы атома водорода получается тн= 1,675 • 10~24 г. Отсюда же находим, что единица атомного веса, т. е. 1/16 массы атома кислорода, равна 1,662 • 10~м г. Таким образом, для абсолютной массы любого атома имеем: /и =1,662- КГ24- А г, B) где А — атомный вес данного атома. Заменив в формуле B) атомный вес А молекулярным весом ц, получим абсолютную массу данной молекулы. Ряд наблюдений убеждает нас, что во всяком веществе имеется непрерывное внутреннее движение. Это внутреннее движение пред-
160 газы . [гл. ставляет собою движение молекул, из которых состоит* данлов вещество. Это движение молекул беспорядочно, никогда не прекра- прекращается и зависит, как мы увидим дальше, лишь от температуры вещества. В наличии такого движения нас убеждает, например, следующий опыт: если в двух сосудах А и В (рис. 108) имеются различные газы, например, в одном сосуде водород, а в другом азот, то через некоторое время после того, как кран С будет открыт, в обоих сосудах окажется совершенно равномерная смесь обоих газов. Газы сами собою пол- полностью перемешаются. Такое перемешивание проис- происходит и в том случае, когда водород находится в верх- верхнем сосуде А и, следовательно, никакого стекания водорода, имеющего меньшую плотность,'или вообще перемешивания обоих газов под влиянием силы тя- тяжести быть не может. Еще более непосредственно в существовании хао- п тического движения молекул убеждает явление, от- крывании край ют крывании край крытое Броуном в 1826 г. Броун заметил, что наблю- с газы, находя- даемые в микроскоп весьма малые частицы, взвешенные щиеся в сосудах в жидкости, находятся в состоянии непрерывного бес- А и В, начинаю порядочного движения; чем меньше частица, тем ^^ интенсивнее она движется. Это движение, носящее название броуновского движения, никогда не прекращается, не зависит ни от каких внешних причин и является проявлением внутреннего дви- движения вещества. Движущиеся молекулы жидкости при столкновении с каким-либо твердым телом передают ему некоторое количество дви- движения. Если тело, находящееся в жидкости, велико, то число молекул, налетающих на него со всех сторон, также чрезвычайно велико, их удары в каждый данный момент компенсируются, и тело практи- практически остается неподвижным. Но если тело достаточно мало, тачая компенсация может оказаться неполной: случайно с одной стороны о тело ударит заметно большее число молекул, чем с другой, в ре- результате чего тело придет в движение. Именно такого рода движе- движение под влиянием беспорядочных ударов молекул и совершают броуновские частицы. Сами броуновские частицы в миллиарды раз больше по массе отдельных молекул, их скорости весьма малы по сравнению со скоростями молекул, но все же их движение таково, что оно может быть замечено в микроскоп. На рис. 109 представлены положения отдельных броуновских частиц, отмеченные при наблюдении в микроскоп через определенные промежутки времени. Такое же броуновское движение совершают и частицы, взвешенные в газе. Таким образом, вещество не только имеет зернистое строение состоит из отдельных обособленных частиц, но оно состоит из частиц, находящихся непрерывно в состоянии движения. Отсюда VII
§ 44] ЗАКОНЫ БОЙЛЯ — МАРИОТТА И ГЕЙ-ЛЮССАКА 161 теория строения вещества представляет собою молекулярно-кинети- ческую теорию. Она впервые была развита для объяснения свойств вещества в различных агрегатных состояниях М. В. Ломоносовым. В дальнейшем молекулярно- кинетическая теория при- применялась преимущественно для объяснения свойств ве- вещества в его простейшем агрегатном состоянии—га- состоянии—газообразном. Однако раньше чем перейти к изложению основ молекулярно-кинети- ческой теории, рассмотрим те эмпирические закономер- закономерности, которым подчиняются газы. § 44. Законы Бойля — Мариотта и Гей-Люссака. Определение температуры. Газы обладают тем свой- свойством, что они целиком за- W А Г [На 1/ J \ \ \ 4- '•& 'р А~ У »и ч ё * \ г* i ¦ Vr V 1 № w 1 S, If 1 \ 1 \ f \ V • / 9 с 4 • f А Г \ 1*. s -\ { и \ ¦ - Рис. 109. Местонахождения трех броуновских частиц, отмеченные через каждые 30 сек. полняют весь сосуд, в котором заключены, и оказывают давление на ограничивающие сосуд стенки. Давление р представляет собою физическую величину, численно равную силе, действующей нормально на единицу площади. Таким образом, если сила, действующая нор- нормально на площадь S, равна /„, то А. О A) В CGS-системе давление р измеряется в барах — единицах, равных давлению силы в 1 дину на перпендикулярную к силе площадку в 1 см\ В международной системе единиц за единицу давления при- принимается давление, вызываемое силой в 1 ньютон на перпендику- перпендикулярную к ней поверхность площадью в 1 м1. Эта единица обозна- обозначается «/ла; очевидно, 1 «Дм* =10 бар. Кроме того, для измерения давления употребляются еще следующие единицы: 1) техническая атмосфера, равная давлению силы в 1 кГ на 1 см\ 2) физическая атмосфера (сокращенно am), равная давлению 1,033 кГ/см?; 3) мил- миллиметр ртутного столба (сокращенно мм Hg), равный давлению, оказываемому весом ртутного столба высотой в 1 мм. Давление 760 мм Hg равно одной физической атмосфере. Для перевода этих единиц друг в друга можно пользоваться следующим соотношением: 1 фаз. ат= 1,033 техн. <ш=1033 Г/о^ = 760 мм Hg = = 1033-981 бар= 1,013 • 106 бар. Некоторое количество газа характеризуется следующими четырьмя величинами: 1) его массой т, 2) занимаемым им объемом V, 3) да-
162 ГАЗЫ [ГЛ. VII I'const влением р, 4) температурой t. Все эти величины зависят друг от друга; при изменении одной из них, вообще говоря, меняются все остальные. Формула, закономерно связывающая все эти величины, называется уравнением состояния. Прежде чем дать выражение для общего уравнения состояния газа, приведем более простые эмпирические закономерности, относя- относящиеся к случаю, когда две из указанных четырех величин поддер- поддерживаются постоянными. Для данной массы газа при постоянной температуре (т и t постоянны) давление газа меняется обратно пропорционально его объему (закон Бойля — Мариотта): pV= const (при данных т и t). B) Графически зависимость р от V для данной массы газа т при постоянной температуре t выражается равнобокой гиперболой (рис. ПО). Так как кривая, изображающая закон Бойля — Мариотта, относится к по- постоянной температуре, то она носит на- название изотермы. Закон Бойля—Мариотта является при- приближенным, как это уже отмечалось в § 2. Так, все газы при очень больших давлениях сжимаются меньше, чем это следует из закона Бойля — Мариотта. Однако большинство га- газов при температурах, близких к комнатным, и давлениях, не слишком отличающихся от атмосферного, подчиняются закону Бойля — Мариотта с достаточно большой точностью. Следующие закономерности, о которых будет идти речь, связы- связывают давление или объем газа с его температурой. Однако прежде надо установить, каким образом измеряется сама температура. Нагре- Нагревание или охлаждение тел, т. е. изменение их температуры, влияет почти на все их физические свойства: меняются линейные размеры тел, изменяются их упругие свойства, их электропроводность и т. д. Любое из этих изменений может быть использовано для измерения температуры. Исторически, как известно, установился метод изме- измерения температур по изменению объема ртути с помощью так назы- называемых ртутных термометров. Однако обычно описываемый способ градуировки ртутного термометра, который сводится к делению шкалы на равные части, наперед предполагает, что объем ртути меняется с температурой t линейно. Если мы заполним термометр другой жидкостью и совместим для него две точки с двумя какими- либо точками ртутного термометра (например, точку „О", соответ- соответствующую температуре таяния льда, и точку „100", соответствующую температуре кипения воды), а затем также разделим шкалу на равные части, то показания такого термометра для средних температур ¦V Рис. 110. Изотерма Бойля — Мариотта.
§ 44] ЗАКОНЫ БОЙЛЯ — МАРИОГГА И ГЁЙ-ЛЮССАКА 163 разойдутся (хотя и незначительно) с показаниями ртутного термометра. Таким образом, установленная шкала температур окажется зависящей от того тела („термометрического" тела), по изменению объема кото- которого мы измеряем температуру. Так как выбор самого тела (факти- (фактически ртути) случаен, то случайна и сама шкала температур. Не имея пока никакой теоретической основы для выбора термометрического тела, мы все же можем считать, что и качестве термометрического тела следует выбрать такое тело, которое в остальных своих свой- свойствах подчиняется наиболее простым закономерностям. В качестве такого тела может быть выбран газ, наиболее хорошо подчиняющийся закону Бойля — Мариотта. По соглашению Международного комитета мер и весов в 1877 г. в качестве термометрического тела был выбран водород, и было решено измерять температуру с помощью водород- водородного термометра, считая изменение температуры пропорциональ- пропорциональным изменению давления водорода, объем которого поддерживается при его нагревании или охлаждении постоянным. Таким образом, постулируется, что давление водорода меняется линейно с температурой: а<). C) где pt — давление водорода при температуре t, рй — его давление при температуре нуль и а — постоянный коэффициент. Равенство C), отнесенное к водороду, служит определением шкалы температур (так называемой эмпирической шкалы температур). Если положить температуру таяния льда равной 0°, а температуру кипения воды при атмосферном давлении 100° (шкала Цельсия), то коэффициент а имеет численное значение о_ , 6- = 0,0036613 град'1. ZIо, [о Установив способ измерения температур, мы можем поставить вопрос: как для всех газов зависят их давление и объем от температуры? Эти зависимости даются эмпирическими законами Гей- Лю с сака. 1. Давление данной массы газа при постоянном объеме меняется линейно с температурой: 2. Объем данной массы газа при постоянном давлении меняется линейно с температурой: V,= Ve(l+M). E) Коэффициент ар называется термическим коэффициентом давления, о.у-—термическим коэффициентом объемного расширения. Для всех газов соотношения D) и E) выполняются приближенно [кроме водо- водорода, для которого соотношение D) выполняется, по определению, точно], при этом для всех газов приближенно: a v=«р = а = 27з град'1. F)
164 ГАЗЫ [ГЛ. VII В табл. II даны для некоторых реальных газов эмпирические зна- значения произведения р V при постоянной температуре для различных давлений р. Газы взяты при 0°С Таблица 11 Значения произведения pV для различных р при О °С Рат 1 100 200 500 1000 pV н, 1,0000 1,0690 1,1380 1,3565 1,7200 N2 1,0000 0,9941 1,0483 1,3900 2,0685 о2 1,0000 0,9265 0,9140 1,1560 1,7355 воздух 1,0000 0,9730 1,0100 1,3400 1,9920 в количестве 1 л при давлении в 1 am. Таким образом, для каждого из газов при/>=1 am произведение р V равно еди- единице. По закону Бойля — Ма- риотта оно должно было бы сохранять это значение для любых давлений. Как видно из табл. II, в ин- интервале давлений от 1 am до -100 am отступления от закона Бойля—Мариотта невелики: произведение pV сохраняет значение, близкое к единице. Все же для водорода оно оказывается несколько больше единицы, а для N.2, О.2 и воздуха — несколько меньше единицы. Это значит, что водород сжимается несколько меньше, чем это требует закон Бойля — Мариотта, а остальные газы — несколько больше. При давлении в 1000 am все газы дают сильное отступление от закона Бойля — Мариотта, достигающее для азота двух с лишним раз: все они сжимаются меньше, чем следует ожидать по закону Бойля — Мариотта. Еще больше отступления при очень высоких давлениях. При да- давлении в 15 000 кГ/см* объем азота более чем в 16 раз превышает тот, который он должен был бы иметь по закону Бойля — Мариотта. Заметны отступления для реаль- реальных газов и от законов Гей-Люс- сака. Как видно из табл. III, значения dp и ti|/ для одного и того же газа не совпадают; для углекислоты рас- расхождение между а.р и av достигает 0,4%. Для разных газов несколько различны коэффициенты как ар, так ы av. Наконец, для данного газа значения ар и ау получаются несколько раз- разные, в зависимости от того, в каком температурном интервале они опреде- определены. Согласно формулам D) и E), имеем ' ' р-рл _ У-Уо Таблица III Значения коэффициентов ар и а,, для газов Газ На Не N2 СО2 Воздух . . . ар ¦ 10' 36613 36 601 36 744 37 262 36 750 ау ¦ 10' 36 600 36 582 36 732 37 414 36 760
§ 44] ЗАКОНЫ БОЙЛЯ — МАРИОТТА И ГЕЙ-ЛЮССАКА 165 Таблица IV Значения ар и av для воздуха при р = 1 am для разных температурных интервалов здесь р0 и Vo — давление и объем при О "С, а р и V—те же величины при температуре t. Измеряя р и V, например, для t = 50°, мы найдем средние значения ар и av для интервала температур от 0 до 50°. По закону Гей- Люссака значения ар и av не должны были бы зависеть от того, какая взята температура Л Как показывает табл. IV, относящаяся к воздуху, на самом деле и от этого требования за- закона Гей-Люссака наблюдаются небольшие отступления. Как видно, отступления очень незначительны; особенно они малы для ар. Тем не менее, газовый термометр, наполнен- наполненный воздухом вместо водорода, дал бы некоторые отступления при измерении температур. Газ, который вполне точно подчинялся бы зако- законам Бойля — Мариотта и Гей-Люссака и характеризовался бы зна- значениями ар==ау==а==-——о =5_- называется идеальным газом. Свой- Свойства „идеального газа" являются лишь более или менее хорошим приближением к свойствам реаль- реальных газов. Обозначая изменение давления газа pt — рЛ через Ар, получим из формулы D): ар ¦ 10» . . Температурные интервалы 0—50° 3675 3676 0—100° 3675 3674 0—150° 3674 3673 0—200° 3674 3672 ¦? Ар = puat, Dа) также из E) для изменения объема AV найдем AV= Vaat. Eа) Из формулы Dа) следует: да- давление идеального газа при повы- Рис. 111. в) Зависимость давления шении ег0 температуры на 1°С уве- газа р от температуры изобра- личивается (при постоянном объеме) жается прямой (изохорой); 6) изо- на 1/273 давления, которое он имел хоры, отнесенные к любому коли- ПрИ q° q Также из Eа) имеем: объем идеального газа при повышении его температуры на 1°С увеличивается (при постоянном давлении) на 1/273 объема, который он имел при 0°С. Графически зависимость давления газа от температуры при по- постоянном объеме выразится прямой, пересекающей ось ординат в точке, дающей значение /?0 (рис. 111а). Эта линия носит название изохоры, что означает, что она относится к постоянным объемам. 2 73 честву газа, все пересекают ось абсцисс в одной точке А.
166 ГАЗЫ [ГЛ. VII Для разных масс газа ра будут иметь разные значения, и изохоры изобразятся семейством прямых, пересекающих ось ординат на раз- разных высотах (рис. 1116); однако все эти прямые пересекают ось абсцисс в одной и той же точке А при значении t= = — 273° С, так как по формуле D) pt = Q при t = для любых значений ра. Точно так же зависимость объема газа от температуры при по- постоянном давлении выразится прямой, пересекающей ось ординат в точке, дающей значение Va (изоба- (изобарой). Для разных масс газа мы получим семейство прямых, пересекающих ось ординат на разных высотах и пересе- пересекающихся в одной точке А, лежащей на оси абсцисс при t = ^ — 273°С Рис. 112. Прямые, изображаю- (рис. 112). щие зависимость объема газа Из рис. llltf и 112 явствует, что V от температуры t, отнесенные выражения для зависимости давления к любому количеству газа, все , пересекают ось абсцисс в одной или объема газа от температуры упро- точке А. стятся, если перенести начало коорди- координат в точку А. В самом деле, введем новую шкалу температур (температуру в этой шкале будем обо- обозначать Т), где величина градуса та же, что и в шкале Цельсия, но где нуль располагается при — 273° С, тогда T=t-\-2730,1 G) откуда t= Т— 273°= Т— — , и по D) т. е. Так же получим, что Рт=рйо.Т. VT= (8) Введенная шкала температур носит название шкалы Кельвина (градус в этой шкале обозначается °К). Из (8) имеем, что давление газа при постоянном объеме прямо пропорционально температуре в шкале Кельвина. Также по (9) объем газа при постоянном давлении прямо пропорционален температуре в шкале Кельвина. При 7=0 по (8) и (9) соответственно получаем, что /7 = 0 и У==0; однако на самом деле объем вещества никогда не может стать равным нулю. 1 Точнее, T = t +273,13°.
§ 45] УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ. ПЛОТНОСТЬ ГАЗОВ 167 Такое нелепое следствие получилось в результате незаконного экстраполирования законов Гей-Люссака на слишком низкие темпе- температуры; всякий реальный газ превратится в жидкость и затвердеет раньше, чем будет достигнута температура t = — 273° С. Тем не менее шкала Кельвина и значение нуля температуры в этой шкале имеют определенный физический смысл, как мы это увидим в даль- дальнейшем. В связи с этим шкалу Кельвина часто называют абсолютной шкалой, а нуль в шкале Кельвина (лежащий при — 273,13° в шкале Цельсия) — абсолютным нулем температур. § 45. Уравнение состояния идеальных газов. Плотность газов. Рассмотрим определенную массу газа т, которая занимает объем Vit имеет давление pt и находится при температуре 7\. Пусть в другом состоянии та же масса газа характеризуется объемом, давлением и температурой: V9, />2, Га. Установим на основании законов Бойля — Мариотта и Гей-Люссака связь между Vlt pt, Т\ и V2, pit T$. Для этого, исходя из состояния Vj, p\, Ту, сперва нагреем газ при постоянном давлении р1 до температуры Г2. Тогда он займет объем V, причем по формуле (9) § 44: V=Vl%. О) В результате этого нагревания газ окажется в состоянии, харак- характеризуемом объемом V, давлением pt и температурой Г2, поэтому в окончательное состояние У2, /?2, 7"а его можно перевести изотер- изотермическим изменением объема, для которого по закону Бойля — Мариотта: Подставляя сюда значение V из A), получим или откуда следует, что при изменениях состояния данной массы газа pv величина -•=- остается постоянной: ^ = В. B) Уравнение B) выведено французским инженером Клапейроном A834 г.), который долгое время был профессором Петербургского института путей сообщения. Численное значение постоянной В в этом уравнении зависит от количества взятого газа и от тех единиц, в которых измеряются р, V и Т. По закону, установленному Авогадро, граммолекулы различных газов занимают при одинаковых давлениях и температурах оди- одинаковые объемы. При t = 0° С и давлении р = \ am граммолекула любого газа занимает объем 22,41 л.
168 ГАЗЫ [ГЛ. VII Отсюда, если соотношение B) относить не к произвольному коли- количеству газа, а к одному молю, то постоянная В будет иметь одно и то же значение для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается буквой R и носит название газовой постоянной. Вводя в формулу B) вместо объема V молярный объем Va (т. е. объем одного моля газа), получим C) Молярный объем Vo имеет размерность 1*/моль и измеряется в л/моль или смг\моль. Формула C) представляет собой уравнение состояния. В точности ей удовлетворяет лишь идеальный газ, для реальных газов она так же приближенна, как и законы Бойля — Мариотта и Гей-Люссака, из которых она вытекает. Поэтому она является уравнением состояния идеального газа. Уравнение C), являющееся обобщением уравнения B), было установлено Д. И. Менделеевым, который впервые доложил о нем на заседаниях Русского физико-химического общества в 1874 г. и опубликовал в 1875 г. В связи с этим мы будем называть формулу C) формулой Менделеева — Клапейрона. Численное значение R определим из условия, что при t=O°C, т. е. при Г=273°К и при р=\ am, объем моля 1/0=22,4 л)моль, откуда R=1~ = '973' Л ат1гРа<* моль = 0,082 л am/град моль. D) Значение R в CGS-системе получим, переводя давление р в бары и молярный объем Vu в см3/моль: г, 1033 -981 • 22,4 -10» 3/ д " ^== 2ТТ Р см /гРа" моль = = 8,31 • 107 эрг/град моль. DаI Наименование единицы измерения газовой постоянной эрг/град моль вытекает из того, что бар = дин/см\ откуда бар см3 = дин см = эрг. Формулу C), справедливую лишь для одного моля газа, легко обобщить и на любую массу. Для этого обозначим через ц моле- молекулярный вес газа; тогда, если нри некоторых данных давлении и температуре один моль газа занимает молярный объем V^, то m граммов газа займут при тех же давлении и температуре объем 1/=— Vo. Отсюда следует, что для m граммов газа, при данных давлении и температуре, выражение pV/T также будет в /я/[а раз больше газовой постоянной R, на так как р V/Т остается постоянным 1 Более точно R = 8,313 • 107 эрг/град моль = 0,08204 л amjzpad моль.
§ 45] УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ. ПЛОТНОСТЬ ГАЗОВ 169 при всех изменениях газа, то, следовательно, вообще для т граммов газа: tf=-?*, откуда ,V=-J/?7: (б) Формула E) представляет собою обобщение формулы Менде- Менделеева— Клапейрона, справедливое для любой массы т любого газа; при этом постоянная R одна и та же для всех газов и имеет численное значение, даваемое выражениями D) или Dа). Формула E) связывает все четыре величины т, р, V и 7, харак- характеризующие данное количество газа. Зная три из этих величин, мы имеем возможность по формуле E) вычислить четвертую. Из формулы E) непосредственно определяется плотность газа: P fe F) Таким образом, плотность газа оказывается прямо пропорциональ- пропорциональной его молекулярному весу и его давлению и обратно пропорцио- пропорциональной абсолютной температуре. Для газов часто рассматривают относительную плотность, под- подразумевая под ней отношение плотности данного газа р к плот- плотности р0 некоторого, выбранного за стандартный, газа, взятого при тех же давлении и температуре, что и рассматриваемый газ. Тогда имеем Р~ RT' ™-~"RT' откуда относительная плотность рг равна '-¦?¦-?• G) Относительную плотность принято брать по отношению к водо- водороду, для которого приближенно ji0 = 2, тогда относительная плот- плотность: ?«, = ?*• <7а) Эта формула позволяет устанавливать путем измерения относи- относительной плотности по отношению к водороду молекулярные веса газов. Рассмотрим примеры на пользование формулой Менделеева— Клапейрона и на определение плотности газов. Пример 1. Какой объем в литрах занимает 1 г азота (jj. = 28) при давлении 380 мм Hg и температуре 27° С? Решение. Из формулы E) имеем
170 ГАЗЫ |ГЛ. VII Переводим давление р из мм Hg в атмосферы:. 380 п_ р==760ат= ' * Переводим температуру в шкалу Кельвина: Г = 2! +273° = 300°, и пользуемся для газовой постоянной значением R = 0,082 л am/град моль, тогда V= l '°f2.'300 л=1,75 л. Пример 2. Чему равна плотность водорода (fi = 2) при 0° С и давле- давлении в 1 am? Решение. По формуле (б): Если все величины, входящие в правую часть этого выражения, брать в CGS-системе, ¦ т. е. ц—в г/моль, р—в барах, R — в эрг/град моль, Т—в градусах Кельвина, то р получится в г/см3. Если же пользоваться следующей смешанной системой: R брать в л am/град моль, ц — в г/моль, р—в атмосферах, Т—в градусах Кель- Кельвина, то р получится в г/л, т. е. в такой системе, где за единицу плотности принята плотность такого тела, масса 1 г которого имеет объем 1 л. Очевидно, от численного значения плотности в г1л мы перейдем к чи- численному значению плотности в г/см", поделив первое из них на 1000. Таким образом, настоящий пример можно решать двояким способом: 1) переводим давление в бары: р = 1 am = 1033 ¦ 981 бар = 1,013 ¦ 10е бар тогда имеем ' 2 • 1 013 • 10° Р — 8,31 ¦ 10' • 273"г/СМ — '9 Ш г'СМ ' 2) пользуемся указанной смешанной системой, тогда Р= 1/ 89 Ш2 / 89 105 '3 § 46. Основные представления кинетической теории газов. Плотность газов при нормальных условиях (т. е. при 0°С и давле- давлении в 1 am) примерно в 1000 раз меньше плотности жидкостей. В жидкости молекулы расположены вплотную друг к другу, отсюда следует^ что в газах молекулы находятся друг от друга на расстоя- расстояниях примерно в 3(/l000, т. е. в десятки раз больших, чем их соб- собственные размеры. Таким образом, можно считать, что газ предста- представляет собою собрание молекул, разделенных достаточно большими промежутками. Молекулы беспорядочно движутся, свободно пробегая путь между двумя последовательными столкновениями друг с другом или со стенками сосуда, в котором заключен газ. Силы взаимодей- взаимодействия между молекулами, кроме моментов соударения, настолько малы, что ими можно пренебречь. Соударения молекул друг с другом и со стенками происходят без потери энергии по законам соударения упругих шаров. Такая механическая модель газа,' как собрания
§ 46] ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 171 свободно и беспорядочно движущихся упругих молекул-шариков, яв- является слишком упрощенной, но она позволяет объяснить основные свойства газов. Впоследствии мы увидим, каким образом эта модель должна быть развита, чтобы более точно учесть свойства реальных газов. Свойства реальных газов не могут быть объяснены, если исхо- исходить только из механических представлений. Учитывая сказанное в § 31 о границах применимости классической механики, мы вообще должны поставить вопрос, насколько возможно в указанной модели газа пользоваться представлением о молекулах как о частицах, дви- движущихся по законам классической механики. В § 31 нами было приведено соотношение, по которому неопре- неопределенности в координате Ах и в составляющей скорости l\vx должны удовлетворять неравенству: Д* ¦ Дх/Л > -- . Применим это соотношение к молекуле, движущейся в газе, на- находящемся при нормальных условиях. В качестве газа возьмем азот, масса молекулы которого т = 4,7 • 10:) г. Как мы увидим дальше, молекулы при этом проходят в среднем без столкновения с другими молекулами путь порядка 10~8 см и обладают скоростью порядка 400 м/сек. Таким образом; для того, чтобы говорить о характере движения молекул, необходимо иметь возможность фиксировать их положение по крайней мере с точностью Д.г^10~6 см. При этом по соотношению неопределенности неопределенность в скорости будет: . Л 1 6,6 • 107 , ^,, 1П5 , Д"*~т * A^ = 4,7-10-»-10-g^ceK=1'4 ' 10 СМ1СеК' т. е. около 1/3°/о самой скорости. Таким образом, в пределах требуемой нами точности мы вправе рассматривать молекулу как частицу в обычном смысле слова. При очень больших давлениях, когда молекулы находятся значительно ближе друг к другу (необходимо брать для Дл: меньшее значение), или при очень низких температурах, когда мала сама скорость моле- молекул, такое рассмотрение не годится. Модель газа как собрания свободно движущихся частиц прежде всего непосредственно позволяет объяснить свойство газов распро- распространяться на весь предоставленный им объем, а также взаимно проникать друг в друга (диффундировать). Удары молекул обусла- обуславливают давление газа на стенки ограничивающего его сосуда. Объяснение давления газа на стенки, как возникающего в резуль- результате удара отдельных молекул, было впервые выдвинуто петербург- петербургским академиком Даниилом Бернулли в 1738 г. В 1744—1748 гг. М. В. Ломоносов разработал развернутую теорию атомно-молеку- лярного строения вещества, впервые доказал справедливость моле- кулярно-кинетической теории теплоты и объяснил с этой точки 1$-.
172 ГАЗЫ [ГЛ. VII зрения многие явления. В дальнейшем молекулярно-кинетическая теория газов была развита лишь во второй половине XIX столетия рядом физиков, главным образом, Клаузиусом, Больцманом и Мак- Максвеллом. Подсчитаем давление, возникающее в результате удара молекул о стенки сосуда. Представим себе сосуд в виде куба с длиной ребра А/ (рис. ИЗ), в котором беспорядочно движется п молекул, собственными размерами которых мы пре- пренебрегаем. Ввиду полной беспорядочности движения молекул, результат их удара о стенки будет таков, как если бы 1/а всех молекул двигалась прямолинейно между пе- передней и задней стенками куба, '/а моле- молекул — между верхней и нижней стенками и '/з — между правой и левой стенками куба. Рис. 113. Усреднение дви- Отдельная молекула, летящая перпендику- перпендикулярно к одной из стенок, например к пе- передней, со скоростью v, во время удара отскочит назад, в результате чего ее коли- количество движения изменится на величину т ¦ v — т (— v) = 2mv, где т — масса молекулы; это изменение количества движения определит импульс силь1, действующей со стороны стенки на молекулу во время удара: женин молекул в кубиче- кубическом сосуде. где Д/— сила удара и Ы — продолжительность удара. По третьему закону Ньютона сила, численно равная Д/, будет действовать на стенку. Отскочив от стенки, молекула полетит к противоположной стенке и, отскочив в свою очередь от нее, снова вернется к пер- первой стенке через некоторое время At. Средняя сила Д/, действующая на стенку за все время между двумя последовательными ударами молекулы, определится из того требования, что ее импульс Af-At должен численно равняться импульсу силы Д/, действующей во время удара Ы, откуда Af-At = 2mv. A) Величина At представляет собою время, которое потребно для того, чтобы молекула, отскочив от передней стенки куба, могла долететь до его задней стенки и вернуться назад, отсюда At = 2- Д/ Подставляя это значение At в A), получим
§ 46] ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 173 Это есть среднее по времени значение силы ударов одной моле- молекулы. Разные молекулы движутся с различными скоростями vv v& х>з, ..., и суммарная сила ударов молекул о переднюю стенку равна --_ти\ mr4 mv\ , rmfr J M ' М ~Т" д/ Г ¦••-Г д/ t где и' — число молекул, движущихся между передней и задней стен- стенками. Вынося /я/Д/, как величину постоянную, за скобки, деля и умножая правую часть на п\ получим - п' ¦ т v\ -\- vf -\- vl -j- . ¦. + v*n- Величина _, представляет собою среднее значение квадратов скоростей молекул, или, другими словами, квадрат средней квадратичной скорости. Отсюда Число молекул, движущихся между передней и задней стенками, может быть положено равным, как мы выяснили, 1/3 от общего числа молекул п, откуда Поделив правую и левую части этого равенства на Д/2, получим но Д/2 — площадь стенки куба, следовательно, //Д/3 — давление р на стенку, а Д/3 — объем куба, отсюда получаем, что л/Д/3 равно числу молекул щ в единице объема; окончательно равенство B) прини- принимает вид: Таким образом, давление р, оказываемое газом на стенки сосуда, определяется: числом молекул п0 в единице объема, массой моле- молекул т и средним значением квадрата их скоростей г>. Формуле C) можно придать иной вид, поделив и помножив ее правую часть на 2, тогда 2 НО mv2
174 газы [гл. vir есть средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы, откуда nw Da) т. е. давление газа может быть также выражено через среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа. Формула C) или эквивалентная ей формула Dа) носит название основной формулы кинетической теории газов. Помножим правую и левую части формулы Dа) на объем одного моля газа Vo, тогда pV nVw но «0V0— число молекул в молярном объеме Vo, т. е. число моле- молекул в одном моле газа; это число равно числу Авогадро: и0 ^о = М откуда но р]/й = 1?Т, где Т—температура газа в шкале Кельвина и ./? — га- газовая постоянная, отсюда pVt = j№ = RT. E) Формула E) непосредственно связывает среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул w с макроскопическими величинами, характеризующими газ: с его давлением, объемом и температурой. Из E) имеем *=f = l.?r, F) так как R и N представляют собой величины постоянные, то и величина k = j? G) является величиной постоянной; она носит название постоянной Больцмана. Численное значение постоянной Больцмана равно Щ^^ =1,38 . 10"" эрг/град. Подставляя в формулу F) постоянную Больцмана, получим w=^kT. Fa)
§ 46] ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 175 Формулы F) и Fа) показывают, что средняя кинетическая энер- энергия поступательного движения молекул зависит только от тем- температуры, при этом она прямо пропорциональна абсолютной температуре Т. Таким образом, абсолютная шкала температур (шкала Кельвина) приобретает непосредственный физический смысл. При абсолютном нуле температуры поступательное движение молекул, согласно фор- формуле Fа), прекращается вовсе. Однако и при абсолютном нуле со- сохраняются некоторые виды движения внутри молекул и атомов, так что внутреннее движение материи не прекращается в целом и при абсолютном нуле. В дальнейшем мы увидим, что практически абсо- абсолютный нуль достигнут быть не может. Приведенные выводы позволяют нам определить не только сред- среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул, но и ряд других величин, характеризующих молекулярно-кинетиче- скую природу газа. Из формулы F) получаем для среднего значения квадрата ско- скорости молекул: mN но т — масса одной молекулы, N—число молекул в одном моле, откуда mN есть молекулярный вес ц, после чего для средней квад- квадратичной скорости поступательного движения молекул получаем: (8) т. е. средняя квадратичная скорость поступательного движения газо- газовых молекул прямо пропорциональна корню квадратному из абсо- абсолютной температуры газа и обратно пропорциональна корню ква- квадратному из его молекулярного веса. Для числа молекул пй в единице объема из формулы Dа) по- получаем подставляя сюда значение Ш по Fа), найдем n*=w- (9) Из формулы (9) следует, что все газы содержат при одинако- одинаковых давлениях и температуре одно и то же число молекул в единице объема (этот результат также непосредственно вытекает из закона Авогадро). При нормальных условиях, т. е. при p=l am и Т= 273° К, в 1 смг любого газа заключается: «0 = 2,683 • 1013 слС* молекул; это число носит название числа Лошмита.
176 ГАЗЫ [ГЛ. VII Для того чтобы освоиться с порядком численных величин, характери- характеризующих молекулярно-кинетическую теорию газов, приведем несколько числен- численных примеров. Пример 1. Сколько молекул газа должно находиться в единице объема, чтобы при температуре 27°С давление, оказываемое на стенки сосуда, равня- равнялось одному бару? Решение. По формуле (9): "° = if = щ. id-°-зоо см~* = 2>42 ' 1О'а см"< т. е. в 1 см3 должно находиться 2,42 • 1013 молекул. Пример 2. Найти среднюю квадратичную скорость молекул азота (ц = 28) при: a) i=1000°C, б) t = O°C и в) t= —270° С. Решение. Подставляя в формулу (8) /? = 8,31 - 107 эрг/град моль, ц = 28 г/моль и Г=1273°К, получим: = "|/~ 3 ' 8'31 '™? ' 127- см/сек = 1,06 ¦ 105 см/сек = 1060 м/сек. Так же находим для двух остальных случаев: б) ]/гг>2 = 493 м/сек; в) ]/лгJ = 51 м/сек. Таким образом, при не слишком низких температурах скорости газовых молекул чрезвычайно велики. При комнатных температурах они достигают скорости ружейной пули. Пример 3. Чему равна в эргах средняя кинетическая энергия посту- поступательного движения молекул газа при: а) (=1000°С, б) t=O°C, t = — 270° С. Решение. По формуле Fа) имеем при ?=1000° С, т. е. при Г=1273°К; w = 4АГ=4 ''38 " 10~'в " 1273 э/)г = так же для других случаев находим: б) w = 5,65- 10—4 эрг и в) да = 6,21 • 10—в эрг. Таким образом, несмотря на большие скорости, сред- средние кинетические энергии отдельных молекул, даже при температурах в 1000°С, очень малы. Это происходит от весьма малой массы отдельной молекулы. § 47. Парциальные давления в газовых смесях. Согласно основ- основной формуле кинетической теории газов [формула Dа) § 46], давле- давление газа p = ^naw, A) где л0 — число молекул в единице объема и w — средняя кинети- кинетическая энергия молекул при данной температуре Т. При этом фор- формула A) не зависит от сорта молекул, так как все молекулы при данной температуре Т имеют одну и ту же среднюю кинетическую энергию ~w. Предположим, что мы.имеем дело не с однородным газом, но со смесью различных газов, причем число молекул в единице объема первого газа равно /%, второго — и02, третьего — и03 и т. д. Тогда общее число молекул в единице объема я0 равно «о = #oi -f~ "оз + иоз ~f- ¦••
§ 47] ПАРЦИАЛЬНЫЕ ДАВЛЕНИЯ В ГАЗОВЫХ СМЕСЯХ 177 и по формуле A) давление, оказываемое на стенки сосуда всей смесью газов, равно Р = \ "nw +1- naiw -f- ~ nmw + ... B) но, очевидно, представляет собой то давление, которое оказывал бы первый газ, если бы он один присутствовал в данном сосуде в том количестве, в котором он присутствует в смеси. Также 2 Pi = у представляет собою то давление, которое оказывал бы второй газ, если бы он один присутствовал в сосуде в том количестве, в кото- котором он присутствует в смеси, и т. д. Давления plt />9, р3 и т. д. называются парциальными давлениями. Из формулы B) получаем Р=Р\+Ръ+Ръ-)г -• C) Формула C) представляет так называемый закон Дальтона: в слу- случае идеальных газов сумма парциальных давлений равна давле- давлению всей газовой смеси. Из закона Дальтона вытекает следующее: если различные идеаль- идеальные газы, находящиеся при одинаковом давлении р и занимающие в отдельности объемы Vt, V2, Va..., привести в соприкосновение друг с другом путем удаления разделяющих их перегородок, то после того как произойдет полное смешение газов путем диффузии, их общее давление не изменится; другими словами: при смешении идеальных газов при постоянном давлении суммарный объем не меняется, т. е. объемы газов сла- слагаются аддитивно. Это последнее обстоятельство может быть проверено путем непо- непосредственного опыта. Измерение же парциальных давлений в смеси РиС- 114 Схема опыта для опреДеле- газов непосредственно затрудни- ния парциального давления водорода, тельно. Это измерение может быть проведено, если иметь в распоряжении перегородку, проницаемую для одного газа и непроницаемую для остальных (полупроницаемую перегородку). Например, пластинка из накаленной платины хорошо проницаема для водорода и плохо проницаема для других газов. Проникающий через полупроницаемую перегородку газ выравнивает свое парциальное давление по обе стороны перегородки. Представим себе замкнутый сосуд В из платины (рис. 114), первоначально эвакуированный, а затем раскаленный. Пусть сосуд В 7 С. Э. Фриш и А. В. Тнморева
178 газы [гл. vii окружен газовой смесью из водорода и какого-либо другого газа, химически не активного по отношению к водороду (например, аргона). Тогда водород начнет проникать внутрь раскаленного платинового сосуда В, пока его давление на стенки сосуда не выравняется с обеих сторон. Это будет иметь место тогда, когда давление водо- водорода внутри сосуда В станет равным парциальному давлению водо- водорода с наружной стороны, где находится смесь газов. Таким образом, парциальное давление водорода может быть непосредственно изме- измерено манометром С. Опыт может быть проведен в несколько ином виде. Заполним первоначально как сосуд В, так и пространство, его окружающее, каким-либо определенным газом, например аргоном, при одинаковом давлении ра. Заменим затем аргон, находящийся снаружи, смесью из аргона с водородом, причем давление смеси пусть также равно />0. парциальное же давление водорода в этой смеси пусть будет р\. Тогда, если раскалить стенки сосуда В, водород начнет проникать внутрь сосуда В, в то время как аргон не сможет проникать из него наружу. В результате получится разность давлений между га- газовой смесью вне сосуда В и внутри сосуда В. Установившееся да- давление внутри сосуда В окажется равным рй-\-р\, т- е- будет больше давления рй на величину ри Это „добавочное" давление рх измерит парциальное давление водорода в смеси. Для реальных газов и паров наблюдаются некоторые отступления от закона Дальтона, подробно исследованные в 1890 г. Б. Б. Голицыным. § 48. Внутренняя энергия газа. Число степеней свободы. Как было показано в § 46, молекулярно-кинетическая теория газов при- приводит к весьма важному следствию: молекулы газа совершают бес- беспорядочное движение, причем средняя кинетическая энергия посту- поступательного движения молекулы w при температуре Т равна где R — газовая постоянная, N—число Авогадро, k = jj — по- постоянная Больцмана. Таким образом, средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул определяется исключительно тем- температурой газа 7", поскольку остальные величины, входящие в выра- выражение A), являются постоянными. При нагревании или охлаждении газа, т. е. при сообщении ему или отнятии от него некоторого количества тепла, меняется энергия движения его молекул. Для идеального газа кинетическая энергия беспорядочного дви- движения всех его молекул определяет его внутреннюю энергию. Для реальных газов, как мы увидим ниже, необходимо принять еще во внимание взаимную потенциальную энергию молекул, так что для реальных газов внутренняя энергия представляет собою сумму кине- кинетической энергии движения молекул и их потенциальной энергии.
§ 48] ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ ГАЗА. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 179 Кинетическая энергия движения молекул, вообще говоря, не исчерпывается кинетической энергией их поступательного дви- движения: она может также складываться и из кинетических энер- энергий вращения и колебания молекул. Для того чтобы подсчитать энергию', идущую на все виды движе- движения молекул, необходимо ввести понятие о числе степеней свободы. Под числом степеней свободы тела подразумевается число не- независимых координат, которые необходимо ввести для определе- определения положения тела в пространстве. Так, например, материаль- материальная точка обладает тремя степенями свободы, так как ее положение в пространстве определяется тремя координатами, например, координатами х, у, z прямоугольной прямолинейной системы коор- координат. Положение твердого тела (рис. 115) мы опре- определим, если зададим: 1) положение его центра тя- тяжести С в пространстве, 2) направление некоторой определенной оси 00' и 3) угол поворота твердого тела вокруг этой оси по отношению к некоторому начальному положению. Для определения положе- Рис. 115. Твер- ния центра тяжести нужно ввести три координаты дое тело имеет х, у, z. Для определения направления оси 00' в шесть степеней пространстве надо задать еще две координаты, на- например, два угла Ь и <[>, которые она составляет ,- с двумя из трех координатных осей. Наконец, угол поворота тела У вокруг оси 00' определится еще одной координатой (угол <р на рис. 115). Таким образом, твердое тело обладает шестью степенями свободы. * Если отдельные части тела могут еще смещаться (колебаться) друг относительно друга, то для рассмотрения этих движений нужно ввести еще добавочные степени свободы, сверх указанных. Наоборот, если твердое тело по каким-либо причинам (например, полной сим- симметрии) не приходит во вращение относительно одной определенной оси, то оно будет обладать числом степеней свободы меньше шести, а именно — пятью. Сфера, которая не испытывает вращения, а лишь движется поступательно, может рассматриваться как материальная точка с тремя степенями свободы. Каждая молекула газа обладает определенным числом степеней свободы, три из которых соответствуют ее поступательному движе- движению в пространстве. Основной предпосылкой молекулярно-кинетической теории газов является предположение о полной беспорядочности движения моле- молекул; эта беспорядочность относится не только к поступательному движению, но и ко всем остальным видам движений молекул (вра- (вращению, колебанию). Ни один из типов движения не имеет преиму- 1*
180 ' ГАЗЫ [ГЛ. VII щества перед другим, отсюда естественно предположить, что на каждую степень свободы молекулы в среднем приходится одно и то же количество энергии w. Это положение известно под на- названием положения о равнораспределении энергии по степеням свободы. Исходя из этого положения, легко получить среднюю энер- энергию wb приходящуюся на одну степень свободы. На поступатель- поступательное движение молекулы., которому соответствуют три степени сво- свободы, приходится по A) энергия: w = -| k T, отсюда на одну степень свободы приходится средняя энергия тоо = тА7 = т^O-. . B) Предположим, что газ состоит из одинаковых молекул, каждая из которых обладает i степенями свободы; тогда на каждую молекулу (на все виды ее движений) в среднем приходится энергия Полный запас внутренней энергии газа получим, умножив это значение w на число молекул, из которых состоит газ. Если мы отнесем внутреннюю энергию к одному молю газа, то получим ее значение ?/о> умножив w на число Авогадро Л/, откуда ±RT. D) Из формулы D) мы видим, что внутренняя энергия газа выра- выражается через число степеней свободы молекул i и абсолютную тем- температуру газа Т. Таким образом, внутренняя энергия данного коли- количества идеального газа зависит только от его температуры Т и не зависит от его объема, а следовательно, и давления. В случае реаль- реальных газов, полная внутренняя энергия, которая, как мы отмечали, складывается из кинетической энергии движения молекул и их по- потенциальной энергии, зависит от объема, занимаемого газом. При этом внутренняя энергия реального газа не исчерпывается механи- механическими видами энергии (см. § 49). § 49. Теплоемкость газов. Пользуясь представлением о вну- внутренней энергии, мы можем найти выражение для теплоемкости газов. Под удельной теплоемкостью с какого-либо вещества подразу- подразумевают физическую величину, численно равную количеству тепла, которое надо сообщить единице массы этого вещества, чтобы под- поднять ее температуру на 1°. Наряду с удельной теплоемкостью мы введем в рассмотрение молярную теплоемкость С. Под молярной теплоемкостью С ка- какого-либо вещества подразумевается физическая величина, численно
§ 49] ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГАЗОВ 181 равная количеству тепла, которое надо сообщить одному молю этого вещества, чтобы поднять его температуру на 1°. Очевидно, между молярной теплоемкостью С и удельной теплоемкостью с имеет место соотношение: ' i С=М' Ч , ' (О где fj, — молекулярный вес данного вещества. « Для газов надо различать, при каких условиях они нагреваются, например, при постоянном объеме V или при постоянном давле- давлении р. Рассмотрим случай нагревания газа при постоянном объеме V. В этом случае работа внешних сил равна нулю и все сообщае- сообщаемое газу извне тепло идет целиком на увеличение его внутренней энергии U. Отсюда молярная теплоемкость газа при постоянном объеме Су численно равна изменению внутренней энергии одного моля газа Уо при повышении его температуры на 1°. Так как по формуле D) § 48 это изменение равно —уЯ7- = у/?, то для молярной теплоемкости газа при постоянном объеме имеем CV = ±R. B) Для удельной теплоемкости, воспользовавшись соотношением A), получим Из формулы B) следует, что молярная теплоемкость газа при постоянном объеме Cv определяется числом степеней свободы i его молекул и значением газовой постоянной R. В § 45 мы приводили численные значения газовой постоянной R в эрг/град моль и в л am/град моль; если воспользоваться этими значениями R, то мы и теплоемкость получим, соответственно, в тех же единицах. Однако обычно, принято выражать теплоемкость через количество тепла, передаваемого телу. Единицей же количества тепла служит калория. Калория („малая" или „граммкалория") равна тому количеству тепла, которое необходимо сообщить 1 г чистой воды, чтобы повысить ее температуру от 19,5 до 20,5°С. Так как передача тепла является формой передачи энергии, при- причем по закону сохранения энергии определенному количеству пере- переданного тепла эквивалентно определенное количество энергии,' то в калориях можно измерять не только количество тепла, но и энер- энергию, а также работу. Отсюда возникает вопрос, в каком численном 1 Подробнее см. гл. VIII „Основы термодинамики'.
182 ГАЗЫ [ГЛ. VII отношении находится калория к другим единицам энергии. Наиболее точные измерения дают: 1 кал = 4,182 дж; приближенно мы будем считать 1 кал = 4,18 дж. Пользуясь этим соотношением между калорией и джоулем, легко перевести численное значение газовой постоянной R из эрг/град моль в кал/град моль, а именно: 8 313 • 10* R = 8,313 « 107 эрг/град моль = -гтк^—т™ кал/град моль = = 1,9858 кал/град моль. Приближенно можно принять R = 2 кал/град моль. Пользуясь этим значением газовой постоянной /?, мы получим по формуле B) теплоемкость газа Су в кал/град моль. Для вычисления Су остается выяснить, какое число степеней свободы i следует приписать тем или другим молекулам. Однако раньше чем остановиться на этом вопросе, мы выведем выражение для молярной теплоемкости газа Ср при постоянном давлении. При нагревании газа при постоянном давлении р газ расширяется; сообщаемое ему извне тепло идет не только на увеличение запаса его. внутренней энергии U, Jho и на совершение работы А против внешних сил. Л Таким образом, теплоемкость Ср больше теплоемкости при постоянном объеме Су на ту работу А, которую совершает один моль газа при расширении, происхо- происходящем в результате повышения его температуры Т на 1° при постоянном давлении р: Рис. lib'. Ра- Работа, совер- Ср = Су -j- A. C) шаемая га- газом, равна/Л. Для подсчета этой работы А, представим себе, что один моль газа, находящегося при температуре Т и давлении р, заключен в цилиндр с поршнем (рис. 116). Внешняя сила, удерживающая поршень, f=pS, где S—площадь поршня. При нагревании газа при постоянном давлении р на 1° он расширится, и поршень будет поднят на высоту h; газ совершит при этом работу A=f-h=p -Sh, но Sh = AVu, где ДУ0— увеличение объема газа, откуда A=p-AV,. D) Увеличение объема газа найдем, воспользовавшись уравнением состояния идеального газа. При температуре Т и давлении р объем одного моля газа Vu равен V — - Т \ f &
§ 49] ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГАЗОВ 183 При температуре (Т-\-1)° и том же давлении р объем V'Q будет: следовательно, увеличение объема одного моля газа при повышении его температуры на 1° равно Подставив это значение ДУ0 в D), найдем работу А, совершен- совершенную одним молем газа при расширении, происходящем в результате нагревания газа на 1° при постоянном давлении р: A = R. Таким образом, искомая работа А численно равна газовой по- постоянной R. Подставив это значение А в C), найдем соотношение между молярными теплоемкостями газа при постоянном давлении С. и постоянном объеме Cv'- Cp = Cv + R. E) Отс ода, воспользовавшись формулой B), находим выражение для Ср через число степеней свободы молекул газа Cp = -^R + R==l-^R. F) Пользуясь соотношением A) между удельными и молярными теплоемкостями, находим или Из формул B) и F) или Bа) и Fа) получаем Отношение теплоемкостей при постоянном давлении и при по- постоянном объеме Ср/Су = ср/су обозначим буквой у, это отношение зависит только от числа степеней свободы молекул, из которых состоит газ. Для того чтобы приписать молекуле определенное число степеней свободы, нгдо исходить из определенной модели молекулы. До сих пор мы прииим;1ли молекулы за шары; если такую шарообразную молекулу сштагь неспособной вращаться, то ей надо приписать
184 ГАЗЫ [гл. vii число степеней свободы, равное трем, тогда, пользуясь значением /? = 1,9858 кал/град моль, получим по B), F) и G): v = i) R = 2,979 кал/град моль^З кал/град моль, i = 3 Ср = -к R = 4,965 кал/град моль ?Ё 5 кал/град моль, Как показывают' результаты измерений, приведенные в табл. V, эти значения теплоемкостей оправдываются для газов гелия и аргона; Таблица V Наблюденные значения молярных теплоемкостей газов Газ Гелий, Не Аргон, Аг Водород, Но Азот, N2 Кислород, О2 ¦ • Окись углерода, СО . . Пары воды, Н2О Метан, СН^ Хлороформ, СНС13. . . . Этиловый спирт, С2Н0О 2,98 2,98 4,87 4,96 4,99 5,01 6,65 6,51 15,2 18,9 5,00 5,07 6,87 6,84 6,90 7,01 8,65 8,51 17,2 20,9 1,67 1,65 1,41 1,41 1,40 1,40 1,31 1,30 1,13 Н эти газы одноатомны, т. е. те частицы, из которых они состоят, представляют собою отдельные атомы, а не группы атомов, соеди- соединенных в молекулы. Таким образом для одноатомных газов вычисленные по кинетической теории газов и на- )-— блюденные значения теплоемкостей хо- хорошо совпадают между собой, если число степеней свободы принять рав- равным трем. Для двуатомных газов, какими яв- являются водород, кислород, азот, окись углерода и т. д., можно принять сле- следующую модель: два атома А и В жестко соединены между собой так, что их центры находятся на неизменном расстоянии / друг от друга (рис. 117). Так как каждый из атомов не приходит во вращение, то нужно считать, что такая молекула не вращается относительно оси ОО', Рис. 117. Модель двуатомной молекулы.
§ 49] ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГАЗОВ 185 проходящей через центры обоих атомов. Поэтому двуатомной моле- молекуле надо приписать пять степеней свободы. Тогда по B), F) и G): 2 = 5 Cv = -k-R = 4,965 кал/град моль ^5 кал/град моль, Ср = - R = 6,951 кал!град моль = 7 кал/град моль, 7 = ? =1=1.40. Из табл. V видно, что эти данные хорошо совпадают с наблю- наблюдаемыми значениями теплоемкостей для водорода, азота, кислорода и окиси углерода; таким образом, молекулам этих двуатомных газов действительно приходится приписать пять степеней свободы. Считая более сложные (трехатомные а многоатомные) моле- молекулы за несимметричные твердые частицы, мы должны приписать им шесть степеней свободы. Тогда для их теплоемкостей получаем: Cv = Y R = 6 кал/град моль, о Ср = -х R ^ 8 кал/град моль. Из данных табл. V видно, что эти значения близки к экспери- экспериментальным данным для паров воды и метана; для таких же сложных молекул, как СНС1з и СаНвО, теплоемкости получаются гораздо ббльшие. Молекула в виде твердой частицы не может иметь более шести степеней свободы, поэтому для сложных молекул, имеющих мо- молярную теплоемкость Cv больше шести, необходимо, наряду с по- поступательными и вращательными степенями свободы, принимать во внимание и колебательные степени свободы. Развитая теория теплоемкостей, которая целиком основывается на классических представлениях, учитывающих лишь механические виды движения молекул, является приближенной. Из нее, например, следует, что вее двуатомные газы с молекулами с пятью степенями свободы должны иметь в точности одинаковые теплоемкости Cv при постоянном объеме. Число степеней свободы может быть только целым, и изменение числа степеней свободы на одну должно вести к изменению теплоемкости на -к- R = 0,993 кал/град моль. Из той же табл. V видно, что двуатомные газы имеют несколько раз- различные теплоемкости. Эти различия превышают ошибки наблюдений и, следовательно, являются реальными. С другой стороны, они много
186 ГАЗЫ [гл. vii меньше -к- R. Такие различия не могут быть объяснены с точки зрения приведенной теории. Из рассмотренной теории следует также, что теплоемкость газов не зависит от температуры; эксперименты же показывают, что на самом деле теплоемкости зависят от температуры: теплоемкость всех веществ при низких темпера- температурах меньше, чем при более высоких. Например, для газообраз- газообразного водорода мы имеем: гк Су 197° 4,38 90° 3,25 40° 2,98 Как видно, при низкой температуре 7"=40°К, т. е. при t = —233°С, теплоемкость водорода значительно меньше той, которую мы полу- получили из классической теории, приписывая двуатомной молекуле водо- рода пять степеней свободы; она близка к -к- R- Наоборот, при очень высоких температурах теплоемкости окажутся выше вычисленных. Только для средних температур классическая теория теплоемкости дает хорошие результаты. Это объясняется неприменимостью клас- классических представлений к отдель- отдельным атомам и молекулам. Пра- Правильная теория теплоемкости дается квантовой механикой. По классическим воззрениям энергия wa, приходящаяся на лю- ,t бую степень свободы, может ме- )р няется скачкообразно. няться непрерывно. По квантовой ™ории энергия вращения моле- кул, а также энергия их коле- колебаний могут меняться лишь скач- скачками; графически изменение энергии вращения или колебания w со временем t изобразится ступенчатой линией (рис. 118). Для энергии вращения обычных двуатомных молекул (азот, кислород) эти ступеньки представляют собой величины порддка 10~18 эрг. Средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы -^ kT при 7=300°К, равна й)=2,17-10~и эрг; таким образом, ступеньки энергии вращения молекул при комнатной температуре малы по сравнению со средней энергией, приходящейся на одну степень свободы. Благодаря этому теплоемкость может рассчитываться с классической точки зрения. При низких же температурах, когда сама энергия щ сравнима с величиной ступеньки энергии, класси- классические воззрения непригодны.
§ 49] ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГАЗОВ 187 При этом оказывается, что энергия вращения молекул перестает изменяться с температурой. В результате теплоемкость всех газов при низкой температуре стремится к значению Cv=-^R. Кроме того, при низких температурах по квантовой теории иначе, чем по классической, рассчитывается среднее значение энергии (при- (приходится принимать во внимание так называемое „вырождение" газа). Наконец, при очень низкой температуре газ замерзнет и превра- превратится в твердое тело. Теплоемкость же твердых тел, как мы увидим в дальнейшем, стремится к нулю при приближении температуры к абсолютному нулю. Что касается энергии колебаний, то ее ступеньки гораздо больше: для не очень сложных молекул они порядка 2-Ю3 эрг, т. е. при- приблизительно в 10 раз больше сред- средней энергии w0, приходящейся на ?« одну степень свободы при комнат- ?/2 ных температурах. Благодаря этому при комнатных температурах энер- энергию колебаний мы можем не рас- 5/? сматривать: она сказывается лишь при высоких температурах.1 Для ^ сложных молекул ступеньки энер- энергии колебаний бывают меньше, и тогда роль энергии колебаний мо- молекулы сказывается и при средних ?| температурах. На рис. 119 представлен ход теплоемкости двуатомного газа с температурой. При высокой темпе- температуре играют роль колебания (на них приходится две степени свободы, см. § 93) и теплоемкость Cv=V2R, при средних температурах Су = 5/2/? и при очень низких Су=3/2/?. Пунктирная часть кривой, стремящаяся к нулю, указывает ход теплоемкости после затвердевания газа. При учете зависимости теплоемкости многоатомных газов от тем- температуры при очень высоких температурах следует еще принимать во внимание диссоциацию молекул. Например, при диссоциации двуатомной молекулы возникнут два атома, каждый из которых имеет три степени свободы. При полной диссоциации двуатомный газ " низкие средние вьюокие температуры Рис. 119. Ход теплоемкости дву- двуатомного газа с температурой. 1 Квантовая теория молекул показывает, что в молекулах имеется так называемая нулевая энергия колебаний, которая не исчезает и при темпе- температуре, равной абсолютному нулю. Однако следующая за этой „нулевой" ступенька энергии колебаний лежит настолько выше, что ее приходится принимать во внимание лишь при очень высоких температурах. Таким обра- образом, хотя при низких и средних температурах колебания в молекулах и не отсутствуют вовсе, но они не зависят от температуры и, следовательно, не влияют на теплоемкость.
188 газы [гл. vii превратится в смесь двух одноатомных газов, сумма молярных тепло- емкостей которых будет равна 6/2$. Поэтому ход теплоемкости двухатомного газа при высо- высоких температурах будет в действительности отличаться от изобра- изображенного на рис. 119. § 50. Закон распределения скоростей Максвелла. В § 46 мы рассматривали лишь среднее значение квадрата скорости молекул. Однако на самом деле молекулы движутся с различными скоростями, при этом при каждой температуре Т существует наиболее вероятная скорость vB. Молекулы, скорости которых много больше или много меньше наиболее вероятной, встречаются редко. Ввиду полной беспорядочности движения молекул, нельзя ставить вопроса о числе молекул, которые обладают точно заданной скоро- скоростью v, так как таких молекул в каждый данный момент вообще может не оказаться. Но можно поставить вопрос о числе молекул, скорости которых лежат в некотором определенном интервале ско- скоростей, например, имеют значения, лежащие между некоторыми дан- данными скоростями Vi и v.2. Закон распределения скоростей был впервые выведен Максвеллом. Максвелл, пользуясь теорией вероят- вероятности, подсчитал число молекул Дга, скорости которых лежат в интер- интервале скоростей от некоторой заданной скорости в до ti-j-Ди. Закон Максвелла удобнее формулировать, введя относительную скорость где v — данная скорость, a va — наиболее вероятная для молекул данного газа при данной температуре. По закону Максвелла число молекул Ли, относительные скорости которых лежат в интервале и, и -(- Дн, где Дм должно быть взято малым по сравнению с и, равно 4 • B) Дл = 4=ле у*. где п — полное число молекул рассматриваемого газа. Наиболее вероятная скорость ¦»„ по расчетам Максвелла равна C) где jj.— молекулярный вес данного газа, Г —его абсолютная темпе- температура, R — газовая постоянная. Так как R = kN, a p = mN, где k — постоянная Больцмана, т—масса молекулы данного газа, N—число Авогадро, то формуле C) можно также придать вид: (За) m Откладывая по оси абсцисс значение относительной скорости молекул и, а по оси ординат — значение величины —т— (эта
§ 50] ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ МАКСВЕЛЛА 189 величина называется функцией распределения), получим кривую, представленную на рис. 120. Кри- Кривая имеет максимум при и=1, что соответствует значению скорости v, равной наиболее вероятной скоро- скорости vv Относительное число молекул Дя/я, скорости которых лежат в дан- данном интервале к, и ~\- Дм, равно произведению ординаты кривой на Дм, т. е. изобразится площадью столбика, заштрихованного на рис. 121. Для того чтобы составить более конкретное представление о законе- Максвелла, приведем следующие данные. Наиболее вероятная ско- скорость молекул азота (р. == 28) при 148° С равна -.Г 2 ¦ 8,31 ¦ 107 • 421 ~ V 28 = 500 м/сек. см/сек == ал П-Аи 0,8 / / / 1 / \ \ \ ч * ч 0.S ft* 0,2 0,8 1,2 1,6 2.0 и. Рис. 120, Функция распределения Максвелла. Ли. п-Ли При этом распределение моле- молекул азота по областям скоростей будет следующее: Рис. 121. Площадь заштрихован- заштрихованного столбика представляет отно- относительное число молекул, скорости которых лежат в данном интервале скоростей Аи. Область скоростей в м/сек 0<а< 100 100 < v < 300 300 < v < 500 500 < v <С 700 700 <о< 1000 1000 < v Часть (в °/«) общего числа молекул азота G'=42ГК), имеющих скорости, заключенные в указанных пределах 0,6 12 30 29 23 5,4 Как видно, 59% от общего числа молекул имеют скорости, лежащие в области между 300 м/сек и 700 м/сек, т. е. в области, на которую приходится и наиболее вероятная скорость vB = 500 м/сек. Относительное число медленных молекул (г/<^100 м/сек) и очень
190 ГАЗЫ [гл. vn быстрых малб. Однако все же число молекул, скорости которых более чем вдвое превышают наиболее вероятную (•и^ЮОО м/сек), достигает 5,4%. Наиболее вероятная скорость молекул данного газа определяется его температурой: она тем больше, чем выше темпе- температура; однако в газе и при невысоких температурах в некотором количестве присутствуют молекулы, движущиеся со значительными скоростями; наличие таких „горячих" молекул, как мы увидим в даль- дальнейшем, играет весьма существенную роль для протекания многих процессов. Кривая распределения скоростей Максвелла позволяет найти сред- среднюю арифметическую скорость, для которой, как можно показать, получается значение: 8ДГ 71A D) Таким образом, сопоставляя три рассмотренные нами скорости: . 1) наиболее вероятную 2) среднюю арифметическую ^1,60/Ж (JL Рис. 122. Сравнение наиболее вероятной vB, средней арифме- арифметической о и средней квадратич- квадратичной У v* скоростей молекул. 3) среднюю квадратичную М- ' них яв- наиболь- наибольэтими видим, что наименьшей из ляется наиболее вероятная, а шей— средняя квадратичная (рис. 122). Отношение между скоростями не зависит ни от температуры, ни от рода газа. Приведем пример пользования формулой Максвелла. Пусть требуется определить, какая часть молекул водорода (ц = 2) при Г=300°К обладает скоростями, лежащими в интервале от 1900 до 1905 м/сек. Для этого прежде всего находим значение наиболее вероятной скорости молекул водорода при Т—ЗОО'К: ШТ ЛГ\ • 8,31 • 10' • 300 I/ vB= ЛГ\ • 8, = I/ ¦ см/сек = 1,6• 105 см/сек. Отсюда значение относительяой скорости, соответствующей скорости молекул водорода «=1900 м/сек при данной температуре, будет: 1,9 • 10" ц== =- Значение Ди определим из соотношения Ди = —; так как \v = 1905 м/сек —1900 м/сек = ЬЛФсм1сек, то дв=да=0'0031-
§ 50] ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ МАКСВЕЛЛА 191 Значение имеем Аи и-Дц , соответствующее и =1,2, найдем из рис. 120, откуда An и • Аи = 0,78. Отсюда относительное число молекул, скорости которых лежат в интер- интервале скоростей от v =1900 м/сек до г» ==1905 м/сек, равно — =0,78 • 0,0031 =2,5 ¦ 10-а, т. е. 0,25% всех молекул имеют скорости, заключенные в указанном интер- интервале. Для многих конкретных задач весьма важно знать число молекул, ско- скорости которых больше некоторого заданного значения и. Число этих молекул изобразится на графике, дающем закон рас- распределения Максвелла, площадью фигуры, заштрихованной на рис. 123. Эту площадь как функцию скорости и можно вычислить путем интегрирования формулы Максвелла; результат такого расчета может быть пред- представлен в виде таблицы или графика. Обозначим через па число молекул, ско- скорости которых больше данной и; на рис. 124 представлена кривая значения njn в зависимости от а. Значение ординаты этой кривой 1,0 для ц = 0 означает, что все молекулы имеют скорости, заключен- заключенные между 0 и со; ордината 0,57 для и=1,0 означает, что 57% всех молекул имеют скорости, превышающие наиболее и (практически для и 3) дующей формулой: Рис. 123. Площадь заштрихован- заштрихованной фигуры дает относительное число молекул, скорости кото- которых больше данного значения и. вероятную, и т. д, Для ббльших . 3) величина nujn приближенно представляется сле- 0,8 0.6 ?>,* 0.2 п \ \ у \ \ ч ч •** -^-=1,128 и- е-"\ п E) О ОЛ 0,8 1,2 1,6 2,0 и Рис. 124. Ординаты кривой дают относительное число молекул, скорости которых больше данного значения и. Рассмотрим еще несколько конкретных примеров. Пример 1. Какая часть молекул газа имеет скорости, лежащие между 4«vB и 2ив? Решение. Так как здесь интервал ско- скоростей Аи велик, то нельзя непосредственно пользоваться формулой Максвелла B). Поэтому пользуемся графиком, приведенным на рис. 124. Для скорости молекул, равной '/а от наиболее вероятной, относительная скорость ы = 1/2; по графику рис. 124 этому значению и соответ- соответствует — = 0,92, что означает, что 92% всех молекул движется со скоростями, превышаю- превышающими ll%va. Также имеем, что скорости 2vB со- ответствует и = 2; этому значению «соответствует по графику — = 0,05, что означает, что 5% всех молекул имеют скорости, превышающие удвоенную наиболее вероятную скорость. Из этих данных имеем, что число молекул, L 2 92% 5% 87% у р скорости которых лежат между Lj2vB от общего числа молекул. , у, и 2va, составляет 92% — 5% = 87%
192 газы Пример 2. Какая часть молекул имеет кинетическую энергию поё пательного движения, превышающую удвоенную среднюю кинетическую энергию поступательного движения? Решение. Средней кинетической энергиещ|бладает молекула, движу- движущаяся со средней квадратичной скоростью. Поэтому скорость молекулы, кинетическая энергия которой равна удвоенной средней кинетической энергии, будет удовлетворять условию: Относительная скорость и, соответствующая этому значению V, равна . _ 2RT У v у р > а vb у откуда получаем  =/3=1,73. По графику рис. 124 значению и = 1,73 соответствует —=0,11, откуда сле- следует, что число молекул, кинетическая энергия которых превышает удвоен- удвоенную среднюю кинетическую энергию, составляет 11°/о от общего числа молекул. Формула Максвелла B) дает число молекул, скорости которых лежат в данном интервале скоростей До, независимо от направления скоростей. Однако может быть поставлен и более частный вопрос: каково число моле- молекул, скорости которых лежат в данном интервале скоростей и имеют неко- некоторые определенные направления? Для этого введем в рассмотрение вектор скорости молекул V, составляющие которого обозначим через vx, vy и v2. Число молекул, составляющие скоростей которых vx лежат в интервале vxt vx-\~bvx> составляющие vy — в интервале vy, vy^-&vv, составляющие vz—в интервале vz, vz + kvz, равно * я • е AvxAu\jAvz. F) или • п • е &vx&Vy&vz, Fа) где т (vx -\- v\ + vl) Еь= ¦— ' кинетическая энергия молекулы. Допуск, сделанный для составляющих скоростей vx, vy, vlt ограничивает как интервал, в котором лежит численное значение скорости v, так и ее направление. В самом деле, введем координатную систему, в которой по
§ 50] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТИЦ С ВЫСОТОЙ 193 осям отложим значения vx, vy, vz (рис. 125); вектор скорости v в этой системе изобразится стрелкой, начало которой лежит в начале координат. Условие, что составляющие скоростей моле- молекулы vx, Vy, v2 лежат в интервале vx, vx-\-Avx; vy, Vy + Avy; vz, vs-\-Avz, означает, что речь идет о всех тех молекулах, скорости v кото- которых изображаются на рис. 125 векторами, концы которых лежат внутри данного объема До) — AVvAvv&'0*. Если ограничить вектор скорости молекулы лишь условием, чтобы его численное значение лежало в данном интервале екоростей v, v-\-hv, то на рис. 126 эти скорости изобразятся век- векторами, имеющими всевозможные направле- направления, но длина которых такова, что они оканчи- оканчиваются внутри шарового слоя радиуса v и тол- толщины Да.1 Число молекул, скорость которых удовлетворяет такому условию, выразится фор- формулой F), где ДоЛДо<,Дг>г должно быть заме- заменено объемом указанного шарового слоя откуда по F) Дсо = 4пиа • До, п • е mv* ' 2kT G) Рис. 125. Скорости, соста- составляющие которых vx, Vy, vz ограничены данными интер- интервалами Avx, Avy, Avz, изобра- изображаются векторами, концы которых лежат в объеме Дш = Легко видеть, что формула G) переходит в формулу Максвелла B), если тносительную скорость и'=~. Обе формулы F) и G) дают распределение м"о^екул по скоростям. Они отли- отличаются лишь, способом выбора тех групп моле- молекул, об относительном числе которых идет речь. Формуле G) можно придать еще один вид, вводя вместо скоростей кинетическую энер- энергию ??. Дифференцируя равенство Ек = -^—, получим dE/i = mv dv. Заменяя дифференциалы dEhadv через малые интервалы энергии и скорости АЕк и Av, найдем До = — АЕь. mv R Подставляя это значение До в G) и замечая также, чтоо=^/ —^ , получим Рис. 126. Скорости, числен- численные значения которых огра- ограничены данным интервалом, изображаются векторами, концы которых лежат внутри шарового слоя. V» (kT) •е- "T-VE;-AEk. (8) Формула (8) указывает, какое число частиц Дя имеет кинетическую энергию, приходящуюся на данный интервал энергий. ') Для наглядности на рис. 126 представлено лишь сечение этого шаро- шарового слоя плоскостью YZ.
194 газы [гл. vii Больцман обобщил закон распределения Максвелла F) на случай, когда молекулы движутся в поле силы тяжести (в общем случае—в любом сило- силовом поле). При этом кинетическая энергия Е/г в формуле F) должна быть заменена полной энергией молекулы р, где Е и АН л До/ Рис. 127. График, соответствую- щий закону Больцмана. Е = Еь + Ер, где Ер — ее потенциаль- потенциальная энергия. Кроме того, так как по- потенциальная энергия, вообще говоря, зависит от координат, приходится го- говорить о числе молекул, для которых ограничены не только скорости опре- определенным интервалом скоростей, но и координаты которых также ограничены определенным интервалом. Окончательно, вместо закона распределения F) полу- получается: Дя = (8а) Формула (8а) выражает закон распределения Больцмана. Графически зави- зависимость Ага/иД<л от Е, где Дш = AvxAvyAv2AxAyAz, изображена на рис. 127. § 51. Распределение частиц с высотой. Формула распределения Больцмана позволяет получить закон убывания числа частиц с высотой в поле силы тяжести. Представим себе вертикальный столб газа, все части которого находятся при одинаковой температуре Т. Скорости молекул и Их распре- распределение по скоростям при этом повсюду (и внизу и вверху) одинаковы и подчиняются закону Максвелла, которым ,мы будем пользоваться в виде, даваемом формулой F) § 50. Распределение частиц по энергиям дается формулой Больцмана (8а) того же параграфа: _ Л • п ¦ е kTbvx&vy&.vzAxAyAz. A) Полная энергия ? = ?ft-|- Ер, где ?ft — кинетическая энергия и Ер—по- Ер—потенциальная; в данном случае потенциальная энергия есть энергия молекул в поле силы тяжести, т. е. Ep = mgh, где h — высота, на которой находится молекула. Отсюда A) принимает вид: An = Ek + mgh kT AvxAvyAvzAxAyAz, или, переходя к числу частиц, приходящихся на единицу объема, 8 mgA ^ Распределение молекул по скоростям на любой высоте выражается фор- формулой Максвелла F) § m C) где гад — число частиц в единице объема на высоте Л.
§ 52] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА АВОГАДРО 195 Формулы C) и B) можно согласовать, если считать, что число молекул в единице объема П/, на высоте h выражается соотношением: m.gh nh = пйе D) где па — число молекул в единице объема на высоте h~0. Эта формула п дает закон распределения числа молекул в единице объема с высотой: число молекул в единице объема ил убывает с высотой экспоненциально (рис. 128). Пользуясь формулой D), легко получить выражение для зависимости давления газа от высоты. Давление газа при данной температуре пропорционально числу частиц га в единице объема [формула D) § 46], откуда закон убывания давления р с высотой Л будет тот же, что и закон убыва- убывания числа частиц: _ mgh Ph=Po-e kT •>« Рис. 128. Закон убывания числа частиц в единице объема с высотой h. о та Замечая, что — = -^-, где [л— молеку- молекулярный век газа, a ft — газовая постоянная, перепишем последнюю формулу: V-gh Ph=Pae RT . E) Формула E) носит название барометриче- барометрической Формулы; она указывает, что давление газа убывает с высотой экспоненциально. Кроме того, из формулы E) видно, что убывание давления газа с высотой зависит от молеку- молекулярного веса: чем больше молекулярный вес газа, тем скорее убывает с высотой его давление. Формулой E) можно приближенно пользоваться для определения атмосферного давления ph на разных высотах постольку, поскольку температуру Т можно считать одинаковой на разных высотах, что на самом деле не выполняется для значительных разностей высот. § 52. Определение числа Авогадро. В газе, находящемся в поле силы тяжести, число молекул в единице объема убывает с высотой. Если число молекул в единице объема на нулевой высоте равно щ, то на высоте h оно равно ing* kT О) где m — масса молекулы, g — ускорение силы тяжести, k — постоян- постоянная Больцмана, Т — температура в шкале Кельвина [обоснование фор- формулы A) см. в § 51]. Формула A), дающая распределение числа молекул с высотой, была применена Перреном для броуновских частиц и использована для определения числа Авогадро N. Броуновские частицы (см. § 43) находятся под влиянием ударов молекул в беспорядочном движении. Исходя из общих соображений о характере беспорядочных ударов, можно показать, что средняя кинетическая энергия w одной
196 ГАЗЫ [ГЛ. VII броуновской частицы равна средней кинетической энергии молекул при данной температуре Т, т. е. _ 3 3//? W = kT=\ Таким образом, совокупность броуновских частиц в точности вос- воспроизводит модель молекулярно-кинетической структуры газа; только в этой модели „молекулы" так велики, что их можно видеть в микро- микроскоп, скорости же их движения малы из-за большой по сравнению с отдельной молекулой массы. Совокупность броуновских частиц под- подчиняется всем газовым законам, в том числе и закону A), дающему убывание числа частиц с высотой. Из формулы B) мы имеем, что число Авогадро N равно yV=|4.7\ C) откуда видно, что, зная среднюю кинетическую энергию w броуновской частицы "при данной температуре Т, можно непосредственно определить ч^слр Авогадро N. Однако попытки непосредственного определения средней кинетической энергии броуновской частицы гг> = —~ по массе броуновской частицы m и среднему значению квадрата ее ско- скорости г»9 не привели к желательным результатам. Дело в том, что из-за хаотического движения броуновской частицы невозможно путем измере- измерения под микроскопом определить среднее значение квадрата ее скорости т>4. Поэтому Перрен пошел обходным путем, путем определения сред- средней кинетической энергии w из закона распределения частиц с высотой. Броуновские частицы, взвешенные в какой-либо жидкости, не опу- опустятся все со временем на дно сосуда, но распределятся, благодаря совершаемому ими движению, с плотностью, убывающей по высоте: у самого дна частиц будет больше всего, на некоторой высоте над дном — их будет мало. Закон распределения числа броуновских ча- частиц и в зависимости от высоты h определится формулой A). Это убы- убывание числа частиц с высотой происходит чрезвычайно быстро (масса от броуновской частицы очень велика по сравнению с массой одной мо- молекулы), оно заметно при изменении высоты h на доли миллиметра. Подставляя в формулу A) вместо температуры Т ее значение через w по B), получим _ЗРй пн = щ-е 2™> D) здесь Р — вес броуновской частицы; из формулы D) видно, что по за- закону убывания числа частиц с высотой, зная их массу т, можно опре- определить среднюю кинетическую энергию Щ знание же w позволяет найти по C) число Авогадро N. Перреном была изготовлена из смолы garcinia тогеГя (гуммигут) путем многократного центрифугирования весьма однородная эмульсия,
§ 52] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА АВОГАДРО 197 состоящая из шарообразных частиц одинакового размера, порядка микрона. Взвешенные в воде, эти частицы обнаруживали при на- наблюдении в микроскоп интенсивное броуновское движение. Число частиц в жидкости убывало с высотой. Это убывание происходило очень быстро. Для наблюдения этого убывания применялся следующий метод: в предметном стекле (рис.129) делалось цилиндрическое углубление; это углубле- углубление заполнялось эмульсией и закрывалось сверху покровным стеклом. Эмульсия рассматривалась в микроскоп с малой глубиной изображения. Фоку- Фокусируя микроскоп на определенный слой эмульсии, можно было видеть броуновские частицы, находя- находящиеся в этом слое; изображение частиц, расположен Обгектив микроскопа Покровное стекло Предметнее Эндякия стекло Рис. 129. Метод на- наблюдения броунов- броуновских частиц в мик- микроскоп. ных выше и ниже, не попадало в фокус. Передвигая объектив микроскопа, его можно было фокусировать на различные слои эмульсии и таким образом замечать изменение числа частиц с высотой. На рис. 130 представлены мгновенные микро- микрофотограммы с броуновских частиц, произведенные для различных слоев жидкости: в нижнем слое частиц много, а в верхнем — мало. Непосредствен- Непосредственный подсчет числа частиц п'н, видимых в микроскоп в слоях на различных высотах h, позволяет опре- определить закон их убывания с высотой. Так как число частиц и/,, видимых в поле зрения микро- микроскопа, пропорционально их числу нд в единице объема на той же высоте, то числа п'/, должны удовлетворять формуле D). Пусть число частиц в слое, лежащем на вы- высоте hb будет n'hp по формуле D) оно равно аналогично для числа частиц пл2, находящихся в слое на высоте йа, получим 3 P ,,. . 3 P,. . t — Ч Пи =¦(*!—As) 3 2 t» , откуда — = e 2 w Рис. 130. Распреде- Распределение броуновских частиц в слоях на разной высоте. Чем выше лежит слой, тем меньше в нем частиц. Здесь п/ц и щ частиц, видимых Логарифмируя это выражение и решая его отно- относительно Щ получим о г» / г. t \ E) — 3 P(fl2—i 2 определяются путем непосредственного счета числа под микроскопом, А2 — Aj — сдвигом объектива
198 газы [гл. vn микроскопа, который необходимо сделать, чтобы перейти от наблю- наблюдения числа частиц в слое, лежащем на высоте ht, к слою, лежа- лежащему на.высоте Л3. Этот сдвиг измеряется микрометрическим винтом. Остается для определения w найти вес броуновской частицы т. Вес броуновских частиц Перрен измерял, применяя формулу Стокса (§ 42). Формула Стокса позволяет по скорости падения частицы в вязкой жидкости определять ее радиус г. Вес сферической частицы Р ^непосредственно выражается через ее радиус г и плотность р ве- вещества, из которого она состоит: где р' — плотность воды. Скорость падения отдельных частиц, наблюдаемых Перреном, опре- определить нельзя, так как они совершают броуновское движение. Однако можно поступить следующим образом: если размешать эмульсию, налитую в высокий узкий сосуд, так, чтобы частицы в ней распре- распределились по высоте равномерно, а затем оставить ее в покое, то частицы начнут оседать; верхняя часть жидкости начнет просветляться. При этом образуется хотя и несколько размытая (из-за броуновского движения), но все же заметная для невооруженного глаза граница помутнения. Скорость опускания этой границы помутнения и даст скорость падения отдельных частиц. Таким образом могут быть найдены все величины, необходимые для определения средней кинетической энергии частицы w. Зная же w, определим, как отмечено, по C) число Авогадро N. Другой метод определения числа Авогадро N, примененный Пер- Перреном, основывается на наблюдении смещения броуновских частиц. Предположим, что мы наблюдаем проекцию смещения броуновской частицы на произвольным образом проведенную ось ОХ. Пусть за время наблюдения t проекция смещения на эту ось равна лг. Если произвести измерения таких х для многих броуновских частиц, то, как показал Эйнштейн, среднее значение квадрата х удовлетворяет соотношению: где R — газовая постоянная, Т — температура в шкале Кельвина, т] — коэффициент вязкости среды, в которую погружены броуновские частицы, г—радиус броуновской частицы. Так как все величины, входящие в эту формулу, кроме N, доступны непосредственному измерению, то эта формула позволяет найти число Авогадро N. Измерения, произведенные Перреном, показали, что число Аво- Авогадро есть величина порядка 6-1023 частиц на моль. Более точных результатов методы Перрена дать не могут. В дальнейшем (см. т. II) мы приведем другие способы, которые позволяют определить число Авогадро более точно. Как уже упоминалось, в настоящее время для числа Авогадро принимается значение А/ = 6,023-10м моль'1.
§ 53] ДЛИНА СВОБОДНОГО ПУТИ МОЛЕКУЛ 199 § 53. Длина свободного пути молекул. Молекулы, находясь в газе в состоянии непрерывного и хаотического движения, сталки- сталкиваются друг с другом; между столкновениями они проходят сво- свободно некоторый путь X. Длина этого пути между двумя столкно- столкновениями различна, но, благодаря большому числу молекул и беспо- беспорядочности их движения, можно говорить о средней длине свободного пути молекул. Подсчитаем эту среднюю длину свободного пути молекул X. Рассмотрим некоторую определенную молекулу, которая движется со скоростью v; молекулу представим себе в виде ша- шарика радиуса г. После каждого столкно- столкновения молекула меняет направление ско- скорости v, однако для простоты предпо- предположим, что молекула продолжает после столкновения двигаться в том же напра- направлении, в каком она двигалась до столкно- столкновения. Кроме того, для простоты положим, что все другие молекулы, кроме рассма- рассматриваемой, неподвижны. Тогда молекула заденет на своем пути все те молекулы, центры которых лежат на расстоянии, не большем Чт (рис. 131) от прямой, вдоль которой она движется. Следовательно, за единицу времени молекула заденет все те z молекул, центры которых лежат внутри цилиндра радиуса R = 2r и длины /, численно равной скорости моле- --—7~чД.?г КУЛЫ v (Рис- 132); число же молекул z, кото- г-Г~~ А--?- Рые попадают внутрь такого цилиндра, равно Рис. 131. Молекула задевает на своем пути все те моле- молекулы, центры которых лежат на расстоянии, не большем 2г от прямой, вдоль которой она движется. где щ — число молекул в единице объема. Подставляя сюда R = 2r и подразумевая под Рис. 132. Молекула заде- v среднюю скорость движения молекул v, вает все те молекулы, получим выражение для среднего числа центры которых лежат столкновений молекул в единицу времени внутри цилиндра радиу- , 0_ са 2г. 2 = 4тсгЧ/л0. A) Так как на самом деле другие молекулы тоже движутся, то для числа столкновении z получается несколько большее значение, чем даваемое формулой A). _ Соответственные выкладки показывают, что г в \/~2 раз больше: Размеры молекул являются величинами порядка г^10~8 см; число молекул в единице объема при нормальных условиях ло^З-1О19 и скорость молекул г>^ё5-104 cmjсек, откуда мы получаем, что
200 газы . [гл. vit число столкновений, испытываемых молекулами газа в единицу времени, по порядку величины  г^4.]/2-3,14A0-8K-5-104.3-1019 секг1^ 3-109 сек. Таким образом, молекулы испытывают при нормальных условиях несколько миллиардов столкновений в секунду. Среднюю длину свободного пути молекулы X получим, поделив средний путь, проходимый ею за единицу времени, на число столкнове- столкновений в единицу времени z. Так как путь, проходимый в единицу времени, численно равен скорости Ъ, то средняя длина свободного пути молекулы X = f C) Подставляя сюда z по B), получим или, если ввести вместо радиуса молекулы ее диаметр о = 2г, то Х = —J Dа) Из формул D) и Dа) видно, что средняя длина свободного пути молекул X обратно пропорциональна числу молекул в единице объе- объема и0. Так как, при постоянной температуре, н0 прямо пропорционально давлению газа, то получаем ^1 2 Р* (*.\ ¦^—*;.—*• () где Xt и Х2 — соответственно длины свободных путей молекул, отно- относящиеся к давлениям газа р± и /?а. Из формулы E) имеем: длина среднего свободного пути молекул X обратно пропорциональна давлению газа р при постоянной температуре. Абсолютное значение средней длины свободного пути молекул зависит от их диаметра о. В дальнейшем мы увидим, что существуют методы определения численного значения X для разных газов; по этим численным значениям 1 по формуле Dа) определяются диаметры мо- молекул о.' Надо иметь в виду, что найденные таким образом диаметры не представляют собою в точности действительных размеров молекул. Прежде всего, молекулы не являются правильными шарами; во-вторых, процесс столкновения молекул не похож на самом деле на соударение упругих шаров. Молекулы представляют собою сложные системы, состоящие из атомных ядер и электронов. Силы взаимодействия между ними, которые сказываются на малых расстояниях, носят сложный (отчасти электрический) характер. Процесс столкновения сводится к тому, что на малых расстояниях молекулы отталкиваются друг от
§ 53] ДЛИНА СВОБОДНОГО ПУТИ МОЛЕКУЛ 201 друга, причем силы отталкивания возрастают по мере уменьшения расстояния между ними (подробнее см. § 61). В. результате действия этих сил скорости молекул меняют свое направление. Таким образом, диаметр молекул а, вычисленный в предположении, что молекулы являются упругими шариками, дает лишь некоторое приближенное представление о размерах молекул; величина а является, как принято говорить, эффективным диаметром молекулы. Вели- Величина кг1 называется эффективным сечением молекулы. Приближенный характер расчетов, приводящих к формуле D), сказы- сказывается в том, что средняя длина свободного пути молекул на самом деле несколько зависит от температуры, в то время как по формуле D) она но должна зависеть от температуры при нагревании при постоянном объеме. С повышением температуры средняя длина свободного пути молекул не- несколько повышается. Если среднюю длину свободного пути, вычисляемою по D), обозначить через Х^, то действительная средняя длина свободного X при температуре Г Таблица VI пути равна температуре Т Средняя длина свободных путей и эффективные диаметры молекул и атомов Газ (пар) Водород, Н2 . . . . Азот, N2 Кислород, О2 . . . Гелий, Не Аргон, Аг X • 10s см 1,123 0,599 0,647 1,798 0,666 <s • 10s см 2,3 3,1 2,9 1,9 3,6 1 °°С+Г' где С—величина, постоянная для данного газа; она носит на- название постоянной Сеэерлэнда, ее значения определяются из опытных данных. Для азота, например, С = = 102,7°, откуда формула Сё- зерлэнда дает при 7'= 300° К среднюю длину свободного пути X на 12°/о больше, чем при Т = 200° К. Приведем теперь неко- некоторые численные данные. В табл. VI даны средние длины свободных путей X при нормальных условиях (р=1 am, t = O°C) для некоторых газов и паров и вы- вычисленные по этим X эффективные диаметры о. Для воздуха при приближенных подсчетах среднюю длину сво- свободного пути X при нормальных условиях можно считать равной X = 7 -10 см. Тогда для различных давлений воздуха, согласно формуле E), получаем значения, приведенные в табл. VII. Таблица VII Длина свободного пути молекул воздуха при различных давлениях Давление в мм ртут- ртутного столба Средняя длина свобод- свободного пути 1 в см .... 760 7 • 10-" 1 5 • Ю-3 0,01 5 • 10-' ю-4 5- 10' 5- 103
202 ГАЗЫ [ГЛ. VII Из табл. VII видно, что средняя длина свободного пути X газовых молекул, составляющая при нормальных условиях примерно стоты- стотысячную долю сантиметра, в разреженном газе при давлении в 0,01 мм Hg достигает величины в 5 мм. В очень сильно разреженном газе (давление порядка 10~6 мм Hg) длина свободного пути молекул достигает огромной величины в несколько десятков метров. Эти расчеты позволяют нам выяснить, что представляет собою газ в состоянии сильного разрежения, т. е. в таком состоянии, в каком он находится в сосудах, откачанных современными хорошими насо- насосами. Так, технически не представляет труда откачать из сосуда воздух до давления р^. 10~4 мм Hg; при этом число молекул в 1 см3 будет еще приблизительно равно 4-Ю12. Средняя же длина их свободного пути, по данным табл. VII, равна Х = 50 см. Если раз- размеры самого сосуда порядка 10 см, то это означает, что каждая данная молекула несколько раз пролетит через весь сосуд и отра- отразится от его стенок раньше, чем она на своем пути случайно столк- столкнется с другой молекулой. Таким образом, насмотря на то, что в каждом 1 см3 сосуда нахо- находится еще количество мол'екул, выраженное двенадцатизначным числом, сосуд может считаться в достаточной мере „пустым": молекулы сво- свободно летают в нем от стенки к стенке. § 54. Опыты с молекулярными пучками. Возможность получать такие разрежения газа, что средняя длина свободного пути молекул достигает десятков сантиметров или А Д | даже нескольких метров, позволяет G\at\a2 \l \ поставить опыты, в достаточной Г7 Г*~~~у меРе непосредственно подтверждаю- —¦—1—1 ' ^ щие правильность основных выво- выводов молекулярно-кинетической тео- Рис. 133. Образование молекуляр- рии га3ов ного пучка. г-г ' „• 7 Представим себе сосуд, разде- разделенный рядом перегородок (рис. 133). В перегородках имеются малые круглые отверстия ait aa, располо- расположенные на одной прямой. Из всего сосуда выкачан воздух до такого давления, что средняя длина свободного пути молекул больше раз- размеров сосуда. В часть сосуда А помещен легкоплавкий металл (напри- (например, натрий), и эта часть сосуда подогревается. Тогда металл К, испаряясь, дает пары, которые заполняют часть сосуда А при доста- достаточно низком давлении. Те молекулы этого пара, которые имеют скорость, направленную по прямой, вдоль которой лежат отверстия а,, аь пролетают через эти отверстия в часть сосуда В. Благодаря весьма низкому давлению остаточного газа в сосуде, молекулы движутся в части сосуда В прямолинейно и равномерно. Вся совокупность моле- молекул пара металла, пролетевших через отверстия аь аь образует в части сосуда В прямолинейно распространяющийся пучок молекул. Отсюда описанный опыт носит название опыта с молекулярным (атомным)
§ 54] ОПЫТЫ С МОЛЕКУЛЯРНЫМИ ПУЧКАМИ 203 С3\ пучком. Достигнув стенки С, атомы металла прилипают к ней, если только она достаточно холодна. Таким образом, на стенке С оседает видимый слой металла, который и указывает на то, что моле- молекулярный пучок долетел до этой стенки. Форма осевшего на стенке С слоя воспроизводит форму отверстий аи а2; если эти отверстия круглы, то и осевшее пятнышко металла круглое. Если по пути пучка поставить какое-либо препятствие, напри- например натянуть проволочку /, то на пятне осевшего металла получится „тень" от этой проволочки. Все эти опыты непосредственно убеждают нас в прямо- прямолинейном движении молекул в пучке. Можно осуществить такое видоизменение опыта с молекулярным пучком, которое позволит оценить длину свободного пути молекул. При низком давле- давлении остаточного газа молекулярный пучок, вылетаю- вылетающий из отверстия а (рис. 134), достигает противо- противоположной стенки С; на более близких боковых пластинках Clt C2, С3, ... металл не оседает. Если в сосуд добавить газ так, чтобы длина свободного пути уменьшилась, то молекулы, летящие в пучке, испытают столкновения, не долетев до стенки С. Столкнувшись с молекулами газа, они отклонятся в сторону и осядут на соответственной боковой пластинке С и на более далеких пластинках. Чем больше давление добавляемого газа, тем меньше длина свободного пути и тем на более близкие боковые пластинки попадают молекулы из пучка. Этот опыт позволяет оценить среднюю длину свободного пути при различных давлениях, причем получаются значения, совпадающие по порядку с вычисляемыми на основе молекулярно-кинетической тео- теории газов. Если в молекулярном пучке в момент его вылета из отверстия а в еди- единицу времени пролетало п0 молекул, то на некотором расстоянии х от отвер- отверстия а их будет меньше, так как часть молекул, претерпев столкновение вышла из пучка в стороны. Теоретический расчет показывает, что на расстоянии х от начала пучка в единицу времени в нем пролетит пх молекул, определяемых формулой: Рис. 134. Опре- Определение средней длины свобод- свободного пути моле- молекул с помощью молекулярного пучка. пх = пае , где X — средняя длина свободного пути. Таким образом, число молекул в пучке убывает по экспоненциальному закону. Если положить х = 2\ то получим И2х = пое х =я0е~2 = 0,135 п0> т. е. только 13,5°/0 от всех молекул в пучке пролетит путь, вдвое превы- превышающий среднюю длину пути,
204 газы [гл. vii Наконец, отметим опыты с молекулярными пучками, позволяющие оценить скорость газовых молекул. Эти опыты были впервые произ- произведены Штерном. Идея опыта Штерна заключается в следующем: представим себе цилиндрический сосуд, по оси которого расположена проволока К . _^^^ (рис. 135). Проволока /f окружена цилиндриче- цилиндрической загородкой, в которой имеется щелевое отверстие а. Во всем сосуде получается высокий вакуум. В опытах Штерна употреблялась пла- платиновая проволока, покрытая снаружи слоем р/ серебра. При нагревании платиновой проволоки током серебро испарялось и давало мол'еку- лярный пучок, вылетающий из щели а и дости- достигающий стенки сосуда в точке Ь. Если весь Рис 135~Сх1ма опыта сосуд в целом ПРивесги во вращение вокруг Штерна для определе- оси- проходящей через проволоку К, то пучок ния скоростей молекул, начнет отставать от сосуда и даст след в сме- смещенной точке by Легко связать это смещение я между точками b и Ьх со средней скоростью ъ молекул в пучке. Пусть радиус сосуда R. Тогда среднее время t, в течение которого молекулы летят от проволоки К до стенки сосуда, равно v За это время i каждая точка на стенке сосуда пройдет путь s, равный где ш — угловая скорость вращения сосуда. Из последнего равенства имеем г s Приравнивая оба выражения для времени t друг другу, получим Так как молекулы движутся с разными скоростями, то след в точке Ь{ несколько размазан. Но измеряя смещение s до середины следа и зная радиус сосуда R и угловую ^—^ скорость его вращения ш, опре- ' ' ^ делим среднюю скорость моле- молекул v. Измерения, сделанные для серебра, оказались в хорошем со- согласии со значением скорости, вы- _ ,„. „ . ^ Рис.136. Схема опыта для опреде- численным по формулам кинетиче- ления скоростей молекул. ской теории газов. Опыт Штерна впоследствии повторялся в различных вариантах, один из которых представлен на рис. 136.
§ 55} ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ. ДИФФУЗИЯ 205 В вакууме с помощью щелей ah a2 выделяется атомный пучок висмута, испаряемого в печке А. На пути пучка вращается цилиндр В со щелью а3. Когда щель а3 располагается против щелей at и а3, в цилиндр влетают атомы. За время, пока эти атомы летят поперек цилиндра, он успевает повернуться на некоторый угол, поэтому атомы попадают не в точку Ь, расположенную против щели а3, но в точку, несколько смещенную относительно Ь. Более быстрые атомы оказы- оказываются при этом смещенными меньше, а более медленные — больше. Получается полоска осевшего металла с разной плотностью в разных местах. Измеряя плотность осевшего металла, можно найти закон распределения атомов по скоростям. Закон распределения молекул по скоростям в молекулярном пучке не- несколько отличается от закона распределения молекул по скоростям в объеме самого газа. В объеме газа молекулы распределены по скоростям по закону Максвелла [формула B) § 50]: 42иаДи. (I) Дп=4=пеиДи. у % В молекулярном же пучке больше быстрых молекул, чем в том газе, из которого он возник. Дело в том, что быстрые молекулы чаще прорываются через отверстие в диафрагме, чем медленные. Вычисления показывают, что если в газе относительное число молекул, скорости которых лежат в интер- интервале скоростей и, и -\- Ди, равно Дя/л, то в пучке относительное число моле- молекул, имеющих скорости в том же интервале, равно Дге' Ди 1/jc — _1 . и п' ~ п 2 ' где и — относительная скорость молекул. Отсюда закон распределения моле- молекул по скоростям в пучке выразится не формулой A), а формулой: Дга1 = 2я'<г"а и3 Ди. B) § 55. Явления переноса в газах. Диффузия. Беспорядочное движение молекул в газе ведет к их непрерывному перемешиванию, отсюда два разнородных соприкасающихся газа взаимно проникают — диффундируют. Перенос молекул газа из одних мест в другие обус- обуславливает также механизм явлений внутреннего трения в газах и теплопроводности. Все эти явления, связанные с движением молекул, носят название явлений переноса. Во время развития кинетической теории газов против нее дела- делалось возражение такого рода: если скорости движения молекул дей- действительно порядка нескольких сот метров в секунду, как этого требует кинетическая теория газов, тогда взаимное проникновение должно происходить весьма быстро. Если, например, в какой-либо части комнаты открыть сосуд с пахучим веществом, то запах должен бы стать сразу заметным во всей комнате, так как молекулам веще- вещества требуются лишь доли секунды, чтобы пролететь путь, равный размерам комнаты. На самом же деле известно, что диффузия га- газов при атмосферном давлении происходит медленно; в частности, медленно распространяются запахи. Ошибка в этих рассуждениях
206 ГАЗЫ [ГЛ. VII заключается в неучете того, что молекулы, благодаря малой длине свободного пути при атмосферном давлении, непрерывно сталкиваются с другими молекулами, и, таким образом, „толкутся" на одном месте. Несмотря на большую скорость, молекула за одну секунду уходит лишь на очень небольшое расстояние от того места, где она находилась, путь ее представляет весьма сложную и запутанную ломаную линию. Разберем прежде всего явление диффузии. Наблюдения показывают, что при диффузии через некоторую пло- площадку AS переносится тем ббльшая масса газа AM, чем больше размеры площадки AS, чем за ббльший промежуток времени At наблю- наблюдается диффузия и чем скорее меняется в направлении, перпендику- перпендикулярном к AS, парциальная плотность р диффундирующего газа. Про- Проведем ось ОХ нормально к площадке AS; пусть парциальная плот- плотность рассматриваемого газа в двух точках, отстоящих друг от друга на отрезок Ах, отличается на Др, тогда величина Др/Дх характеризует изменение плотности газа р на единицу длины в направлении оси ОХ; эта величина называется градиентом плотности. По сказанному, ДУН пропорционально градиенту плотности Ар/Ах, величине площадки AS и времени At: АМ = — D^^j AS At A) Величина D, зависящая от сорта газа и от условий, при которых он находится, называется коэффициентом диффузии. Знак минус означает, что масса переносится в сторону убывания плотности. Формула A) характеризует явление диффузии с макроскопической точки зрения. Рассмотрим теперь явление диффузии с точки зрения молеку- лярно-кинетической теории газов. Для простоты рассмотрим два раз- различных, взаимно проникающих газа, со столь сходными молекулами, что их массы и эффективные сечения можно считать равными друг другу. Такие молекулы будут иметь при одинаковых условиях одинаковые длины свободных путей и одинако- О вые скорости. г Подсчитаем число молекул од- Рис. 137. Перенос молекул через ного из ДВУХ газов- пролетающих площадку AS. через площадку Д5 (рис. 137), перпендикулярную оси ОХ, вдоль которой происходит изменение плотности газа р. Мысленно выделим справа и слева от площадки на расстояниях от нее, равных среднему значению длины свободного пути X, кубические объемы А а В. Тогда можно считать, что молекулы, вылетающие из любого из этих кубиков, будут без столкновений долетать до площадки AS.
§ 55] ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ 207 Пусть боковые грани кубиков А и В параллельны площадке Д5 и равны ей по величине; длину ребра кубиков обозначим через /; очевидно, /а = Д5. Обозначим число молекул рассматриваемого газа, находящихся в кубике А, через яд. Ввиду полной беспорядочности движения молекул, как было выяснено в § 46, можно считать, что */3 этих молекул движется вдоль оси ОХ, из них половина — в напра- направлении положительной оси ОХ и половина — в направлении отрица- отрицательной оси ОХ. Таким образом, из числа молекул Па, находящихся в кубике А, число молекул, равное ]/б па, летит по направлению к площадке AS. Так как площадка AS отстоит на X от кубика, то все эти молекулы долетят до площадки AS без столкновений и про- пролетят через нее. Время Ы, в течение которого эти '/б па молекул про- пролетят через площадку AS, равно тому промежутку времени, на кото- который последние из молекул, вылетающие из кубика А в направлении площадки AS, пролетят позже первых; отсюда Ы=-^, где v — средняя арифметическая скорость молекул. Таким образом, число молекул Дпд, пролетающих через площадку AS за единицу времени слева направо, равно 1 •Обозначим через п'о число молекул, приходящихся на единицу объема в том месте, где находится кубик А, тогда ил = /^/3, и выра- выражение для Апа можно написать в виде: AnA = \nA^. = \n'ovP = \n'ovAS. B) Точно так же получим, что число молекул Дяд, пролетающих через площадку AS за единицу времени справа налево, будет: An = ^n'v-AS, C) где п'1 — число молекул в единице объема в том месте, где находится кубик В. Отсюда разность между числом молекул, пролетающих через площадку AS слева направо и справа налево за некоторый произвольный промежуток времени At, равна Ап = ±Ъ(п'о — n'J)ASAt. D) Массу AM, переносимую через площадку AS за время Д? слева направо (в направлении положительной оси О.Х), получим, умножив число перенесенных молекул An на массу одной молекулы т, откуда т- Ап = \ът(п\ — n"u)ASAt E) \
208 газы [гл. vii Разность п'й — п'о равна скорости изменения числа молекул в еди- единице объема в направлении ОХ, т. е. величине Апо/Ах, умноженной на расстояние между кубиками А и В; это расстояние равно 2Х, откуда Подставив это значение п"^ — п'а в E), получим = _lu«.^ASA*, но «** = 3 Д* hx л W*ff*> д t»lk_Jt»lL-j IIV^ III/ . —— - ~Г . величина тщ равна массе рассматриваемого газа в единице объема, т. е. равна плотности р, откуда Дяо Др отсюда F) Из этой формулы, в согласии с выражением A), получаем, что переносимая масса AM прямо пропорциональна градиенту плотности Др/Ддг, площади AS и времени At. Формулы F) и A) совпадают между собою, если положить D = jvZ G) Таким образом, коэффициент диффузии D оказывается связанным со средней скоростью движения молекул v и средней длиной сво- свободного пути X. Средняя скорость движения молекул v пропорцио- пропорциональна 1/ —, а длина свободного пути X не зависит при постоян- постоянной плотности газа от его температуры. Отсюда следует, что для данного газа, при нагревании его при постоянном объеме, коэффи- коэффициент диффузии D>~~> у/ Т. Для разных газов, но состоящих из моле- молекул одинакового размера, при одинаковых давлениях и температурах D<~ ^-р=. Средняя длина свободного пути молекул X, как было по- казано в § 53, обратно пропорциональна давлению газа, поэтому и коэффициент диффузии обратно пропорционален давлению газа р: D~—. Здесь р .означает суммарное давление смеси обоих газов. В разреженных газах диффузия происходит быстрее, чем в газах при больших давлениях.
§ 56] ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ГАЗОВ 209 Пбдставляя в формулу G) вместо средней длины свободного пути X его выражение по формуле Dа) § 53, получим Таким образом, коэффициент диффузии оказывается непосред- непосредственно связанным с эффективным диаметром молекул о. В случае взаимной диффузии двух газов, молекулы которых раз- различаются размерами, под о можно подразумевать средний диаметр молекул обоих газов: а = -=- (ot -|- а2). § бб. Внутреннее трение и теплопроводность газов. В § 42 мы ввели понятие о коэффициенте внутреннего трения (вязкости) ц для жидкостей. То же определение пригодно и для газов. При течении слоев газа с различными скоростями между слоями возникают силы: более быстрый слой ускоряет соседний с ним более медленный слой и, наоборот, более медленный слой задерживает более быстрый. Возникающие при этом силы внутреннего трения / касательны к слоям газа. При обычных условиях внутреннее трение в газах гораздо меньше, чем в жидкостях, однако оно может быть обнаружено на ряде опытов. Схема одного из таких опытов представлена на рис. 138. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами А и В заполнено испытуемым газом. Цилиндр А насажен на ось О и приводится в быстрое вращение; цилиндр В подвешен на нити С, угол закручивания которой может измеряться. При вращении цилиндра А он увлекает ближайшие к нему слои газа; последние, благодаря наличию внутреннего трения, увлекают за собою следующие слои и т. д. В результате вращаю- вращающий момент оказывается приложенным к цилиндру В, который поворачивается, пока упругая сила закрученной нити С не уравно- уравновесит момент сил, приложенных к цилиндру В. Обозначим скорость течения слоев газа через и, в отличие от скорости молекул, обозначенной буквой v. Тогда, аналогично тому, как это было сделано в § 42, мы можем написать для силы внутреннего трения /: S, A) скорости, Рис. 138. Схема опыта для опре- определения вну- внутреннего трения в газах. где т] — коэффициент внутреннего трения, -^ — градиент AS — площадка, к которой приложена сила /. 8 С. Э. Фриш и А. В. Тинорева
210 ГАЗЫ [ГЛ. VII С точки зрения молекулярно-кинетической теории газов, в теку- текущем газе на скорость беспорядочного движения молекул v наложена переносная скорость и, одинаковая для всех молекул данного слоя газа (текущего с определенной скоростью) и различная для различных слоев. Молекулы, перелетая, благодаря хаотическому движению, из более быстрого слоя в более медленный, приносят с собою большую составляющую количества движения ти и тем самым ускоряют более медленный слой. Обратно: молекулы, попадающие из более медленного слоя в более быстрый, имеют слишком малую составляю