Text
                    ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
ОТДЕЛ VI
ВЫСШАЯ АЛГЕБРА
1."Коиплексные числа • • . . 7
2. Разложение полинома на множители, связь между коэффициен-
коэффициентами и корнями 10
3. Полиномы с вещественными коэффициентами. Теорема Ролля . 12
4. Рациональные дроби. Разложение на простейшие 15
б. Определители. Системы линейных ураачечхй 17
6. Матрицы. Характеристическое уравнение. Квадратичные формы 22
7. Инварианты 25
8. Симметрические функции 27
9. Преобразование и 'алгебраическое решение уравнения .... 29
10. Огделезхе н вычисление корней 34
ОТДЕЛ VII
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
1. Задачи вводного характера 36
2. Основные формулы в приёмы интегрирования 38
3. Интегрирование рациональных дробей 41
4. Интегрирование иррациональных функций 45
5. Интегрирование трансцендентных функций 53
6. Вычисление площадей (квадратура кривых) . . . .' 58
7. Вычисление длив дуг кривых 59
8. Вычисление объбмев * 61
9. Вычисление поверхностей 62
ОТДЕЛ VIII
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ЛИНИЯМ И ПОВЕРХНОСТЯМ
1. Введение 63
2. Вычисление площадей 65
3. Вычисление объёмов. • • . 67
4. Вычисление поверхностей ' 69
5. Криволинейные интегралы . • ¦> 71
6. Некоторые приложения двойных интегралов в механике н сопро-
сопротивлении материалов 74
7. Интегралы по поверхности, моменты няерцян в пестры инерция
говерхвостек • 77
1* 3


§ 8. Вычисление об°ь?мэв 79 § 9. Моменты инерции н статические мсуенты об/ьёнов 82 § 10. Интегрглы теории поя и теори i потенциала 85 § 11. Миогокригйыс интегралы 93 ОТДЕЛ IX ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Составление дифференциальных уравнений по данным их инте- интегралам 96 § 2. Нахожцение функций по их полному дифференциалу 97 § 3. Иитегрнров:п;<е полных дифференциалов 99 § 4. Уравнения с отделяющимися переменными 100 § 5. Уравнения однородные и приводящиеся к ним 102 § б. Уравнения л"нелкые и приводящиеся к ним 103 $ 7. Уравнения Риккатн • . . . . 105 § 8. Ураэнеаия Якоби 106 § 9. Интегрирующий множитель 107 5 10. Уразнення Эйлера 109 § 11. Уравнения, не решенные 'Относительно у' Ш § 12. Особеаиые решения уравнений 113 § 13. Задачи на траектории. 113 § 14. Разные вадзчн . • 115 § 15. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 117 § 16. Л;шгЯ:(ые уравнения с постоянными коэффициентами и уравне- уравнения, приводящиеся * ним 120 § 17. Линейные уравнения. Разные задачи 126 § 13. Систеаы дифференциальных уравнений 123 ОТДЕЛ X УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ § 1. Линейные уравнения первого порядка 136 § 2. Системы ливейиых ураваеннй 141 § 3. Интегрирование уравнений в дифференциалах 142 | 4. Нелинейные уравнения в частных производных 143 § 5. Системы нелинейных уравнений ... • •.... 146 ОТДЕЛ XI ОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § I. Определенный интеграл, как предел суммы 147 § 2. Теоремы о среднем значении. Несобственные интегралы ... 149 § 3. ТВичнсденне определённых интегралов интегрированием и под- подстановками . 154 § 4. Нахождение интегралов с помощью формул приведения ... 159 § 5. Интегрирование с помощью рядов 161 § 6. Дифференцирование к интегрирование под знаком интеграла . 167 в 7. Эйлеровы интегралы 174 § 8. Разяые задачи 17? Ответы 184
Переработка, проведённая в этой издании, представляет шаг в намеченном направлении. В ряде мест даны пояснения общего характера, иногда даются решения отдельных примеров. Значитель- Значительно изменено расположение материала. У многих задач текст изме- изменён так, чтобы облегчить решающему нахождение отправной точки. Формулировка задач и многих ответов сделана более компактной. Вставлено довольно много новых задач и ещё больше задач исклю- исключено — общее число задач уменьшилось приблизительно на 200. Мне хотелось сделать книгу более доступной, не уменьшая богатства содержания. Опыт покажет, удачны ли проведённые мною изменения, и я буду очень благодарен за всякие указания и поже- пожелания от пользующихся книгой. Снвск, 1944 Р. Кузьмин
ОТДЕЛ VI ВЫСШАЯ АЛГЕБРА § I. Комплексные числа Представить в тригонометрической форме числа: 1. 1 —|— /. 4. 1— cos3-f-/sina- 2. 1-j-fylf' Б. 1-fsina —/соза. 3. J/T--'- 6. 1-f itgct. о_ Вычислить следующие выражения, где да = cos -^' 7. (аш-^Ьш*) (aufl-\-bu>). 8. (а + Ь -f с) (а + Ьш -f c«2) (a -f &!°9 + с»). 9. (й+ &<u-fcoj2 Вычислить квадратные корни из чисел: 10.>Т 11. YZ-f-AL 12. / — 7-{-24/. Решить квадратные уравнен;:;!: 13. аг9 + E — 2i) х-\-о A—0=0. 14. аг9 + A —¦ 21) х — 21 = 0. Найти все значения следующих корней: 1Б. УГ 16. У — 1+i. 17.|/ — 64. 18. |/б47 Найти корни уравнений: • 20- (* + 0-+(*-0—о. Выразить через cos <p и sin о следующие функции: 21. cos 3<p. 22. sin 3?. 23. cos 4?. 24. sin 5?. Выразить через тригонометрические функции кратных углов сле- следующие функции: 26* costf. 26. tin* <f. 27.со»*?. 28. sin4?. 29. cos5?. 30. sin*?. 7
Доказать равенства: о, ¦ C 1).;.(Я 1.2-3...* С« 1.2-3...* 32. 2а" cosSn <р = 2 cos 2 я? = 2С\п cos Bл — 2) <р -f- + 2C^~12 + n 33. ctg 4- ^^-Kj = Л Ctg ЯЛ. 34. sin*sinfji:-j--jj-JsinU(:-{--^).. .sin (х-\-'^-к)=ь\п пх. Вычислить суммы: 35. 1 4" 2 cos х -\- 2 cos 2 х -{-•••+ 2 cos ял:. 36. 8in^4-8tn3^-f-sin5^-^ -j-8inBrt—I)*- 37. cos 9 + a cos 3<р -|- • • • 4"а" cos ^2я -j- 1) ?• 38. 1 + 2а cos <р 4" 2а2 cos 2? 4" • • • 2a"cos я<р. Найти величины: 39. 1п(—е). 40. 1я(—2). 41. InI. 42. 1пA4- 43. \п(х-\-1у). 44. е'К 45. Л 46. 2<. 47# (/г) ' 48# tgT" 49. sin (л4-/У). 50. cos Гд:4"(У)- 51. arctg xi. 52. При каком условии точка г = л -\- 1у лежит вн)гтри круга радиуса R с центром в точке с=>а-\-Ы} 53. В круг с радиусом R и с центром в точке c = e4~W впи- вписан правильный л-угольник, одна из вершни которого — в точке z0 =» а 4* (р 4- R) i. Где остальные вершины? 54. Две вершины правильного треугольника — в точках го=»1 и zx — 2-\-i. Найтн третью вершину. 55. Две смежные вершины правильного л-угольннка — ¦ точках г0 и гх. Найти следующую вершину. 56. Вершины многоугольника — в точках гк — 1-\-г-\-гг-\- 4~ • • • -Н**, 1г1<1> Выяснить, находится ли точка г = 0 внутри многоугольника. 57. Три последовательные вершины параллелограмма—в точках zi> гз> гу Найти положение четвёртой вершины. 58. Концы отрезка — в точках гх и г^ Найти середину. 59. Массы /я1} щ,,,.,тп — в точках гх, z%,...,zn. Найти поло жение центра тяжести.
60. Точки zlt гя,...,гп — вершины выпуклого я-угольника. Най- Найти геометрическое место точек где 61. Последовательные вершины ломаной лежат в точках Доказать, что ломаная не может замкнуться ни при каком зна- значении k. 62. Доказать, что уравнение -«i*""'1+••• + «» = О, не может иметь корней, больших по модулю единицы. 63. Доказать, что равенства Х^ -f- Х^угя -J-Х8г8 = 0, Xt -\- Xj -j- X8 =» = 0, где Xv Xa, Х8 вещественны, эквивалентны условию, чтобы точки ги г2, г3 лежали на одной прямой. 64. Доказать тождество: и указать его геометрический смысл. 65. Доказать равносильность равенств I**—*il*H*t—*oP + l*i —*оР и Ч — го = Х1(г1 — г0), где X вещественно. Доказать равенства: 66. 2\ 67. \х+у\ + \х— у\ — \х + Ух* — х* | + |х —ух«_у*\. Определить вид кривых, заданных следующими уравнениями, в которых t—вещественный параметр: 68. г = г0 4- /«"', «o^-^o+Co* 69. г =zo-\-r*t{.. 70. г = г04- ае"-\-Ье~". 71. г = а<?е1(. 72. z => ее"*, вив — комплексные постоянные. 73. Проследить, как изменяется аргумент величины х(х—I), когда х описывает замкнутую кривую, заключающую внутри точки 0 и 1, в направлении, обратном направлению движения часовой стрелки. 74. Изучить изменение аргумента величин Yx< Vх — * '* Vх (х—1)» когда х описывает прежний контур. 9
75. Как изменится функция и =¦ {г — a)" (z — by при веществен- вещественных вир, если г опишет замкнутый контур, обходящий против часовой стрелки точки а и Ь? 76. Тот же вопрос для функции и = (г—л)*1п(г—а) и кон- контура, обходящего точку а против часовой стрелки. § 2. Разложение полинома на множители, связь между коэффициентами и корнями 77. Определить аи Ь так, чтобы х*-\-Зхъ-\-ах-{-Ь делилось без остатка на х* — 2ах-{-2. 78. Показать^ чтв при целых т, п и р полином дглится на jc2-J-jc-}-1. 79. Доказать, что (лг+.у)" — х"—уп при п = 6т-\-1 дечнтся на х*-{-ху-~у*, а при п = 6т-\-5 делится на (xa-f xy-\-y*J. 80. Уравнение Зх* — 5д:а -J- Зд:2 -j- ** — 2 = 0 имеет корень 1 -J-'. Найти остальные корни. 81. Доказать, что дсоЯной корень уравнения о (х)* -J- 6 (д;)а = 0 удовлетворяет уравнению <р'(.*)г + <!''(Л:.>а —°i еслн полиномы <?{х) и $(х) взаимно простые. 82. Доказать, что при том же условии четырёхкратный корень уравнения <f(x)*-{-ty(xy=*0 удовлетворяет уравнению «р'"(д:)*-}- Г 83. Доказать, что поличом /(х) тогда и только тогда остаётся положительным при всех вещественных х, когда Г\& — К + «1* -h *%** Н + «п*п\\ где а0) вц ..., ап, — некоторые комплексные чи<:ла. 84. Показать, что при т« же условиях полином f(x) можно представить в виде Р* (х) + АР (х) Q (x) -\-BQ*{x), где Р(х) и <3(д:), А и В — вещественные, а уравнение t*-\-At-±-В => 0 имеет мнимые корни. Доказать тождества: я—I 86. а:2» — 1 = (х* — 1) Л(х* — 2х cos— 4, l). 86. л2,1+1_1==(А._ 87. 88. 10
90- Л-fl 1Л 92- cos2T4nrcos2T4rf-co-svrun = 5 2* или^-^^-.при нечётном или чётном л соответственно. 93-sin4-«8in4V"sink:V-- = -2"- 94. sin^sin|... sin^lL^.^. 95. sin — sin —... sin ("~1)i; = ~. Л Л Л 4't — i Разложить на множители полиномы: 96. (х-И)п + (х—1)». 97. л: 98. **•+* -j-СЙ+1х*»-» (х3— 1) -f- С*„+1 х2»-8 (л-3 — 1)а+ -f х(л:3—1)». 99. Вычислить произведение где xv хя,..., хп — корни полинома xn-\-axxn-l-\-... -\-ап; av ..., ап вещественные. 100. Корни полинома /(#) = аохп -4- а^"-1 -f-... -f- а„ связаны соотношениями xa-\-xn-t = m, s— 1, 2, ..., л. Доказать тождество: /(*)-( —1 )"/(« — *)• 101. Корни г.олинома f(x) степени 2л связаны соотношением ¦*» + •*»+»— 2»:, 5=1,2, ..., л. Докзззть, что один из корней/(л:) равен т, а остальные попарно связаны формулами у, +.Уп+»-1 = 2да, s=l, 2, ..., л — I. 102. Уравнение aQxn-\-axxn-1 -\- ,..-\-а„ = 0, где аоапфО, имеет Де -+— 1 член. Показать, что оно не может иметь корней крат- кратности выше, чем k. 103. Делится ли на(*— 1)* многочлен х2п—rtV»+J -\-2(п?— 1)хп— 104. Найти зависимость между коэффициентами полинома 3^я^^ 0 если между его корнями имеется зави- зависимость: xlx2-\-x?xi = 2xlxu. 106. Найти зависимость между р, q яг, при которой корни уравле- вия хь-\-рх*-\-дх-^г— 0 составляют геометрическую првгресси». И
106. При каких А и [а корни уравнения х*-\-2х3—2\х2-\-\х-\- j 0 образуют арифметическую прогрессию н какую именно? 107. При каких р, q, а @<а<4) уравнение xl-J-рх* -f- q = 0 имеет тройной корень? 108. Остатки от деления полинома на х—а, х — Ъ, х — с равны А, В, С. Найти остаток от деления на (х — а)(х — Ь)(х — с). 109. Корни полинома х^-^х3— 2 равны 1, а и р. Найти полином <р(л:) второй степени, для которого <рA) = 1, <р(а) = р, (р({3)з=а, и доказать, что <р(э(;с))— х делится на хъ-\-х2— 2. 110. Найти полином /(х) седьмой степени, такой, чтобы /(х)-\-1 делилось на (д; — 1)*, а /(х) — 1 делилось на (дс —J— 1)*. 111. Найти полином /(х) степени 2я— 1, такой, чтобы /(х) -\-1 делилось на (х — 1)я, г fix) — 1 на (х-\-\)п. 112. Найти полином степени л, который при делении на х — av х — eg, ..., х — ап даёт остатки Av А,, ...,Ап. т 'ИЗ. Доказать справедливость тождества Эйлера V-^tj == 0, где <?(х) = (х — хг)(х—х^).. .(х — х„), числа xv x2, ...,хт различны, а <»(х) — любой полином, степени не выше, чем т — 2. 114. Многочлены и(х) и v(x) взаимно простые, F(u ,v) — одно- однородная функция, не имеющая кратных линейных множителей. Пока* вать, что общие корни уравнений F(u(x), v(x))**Q, и(х)v'(x) — и\х)v {х) = 0 являются кратными корнями уравнения F(u(x),v(x)) = 0, и обратно. 115. При тех же условиях показать, что корень кратности р, уравнения F(и(х), v(х)) = 0 есть корень кратности р— 1 для урав- уравнения F (u'(x), v'(x)) = 0. 116. F(x)=/(x)o(xyc, где /'(*) и <р (д:) — взаимно простые полиномы без кратных корней. Положив F(x) = P{x)Q(x), F'(x) = ш=*Р(хI1(,х), где Q(x) и R(x) взаимно простые, доказать, что ®(х) есть общий наибольший делитель полиномов Q(x) и R(x) — kQ'(x). (Остроградский.) § 3. Полиной с вещественными коэффициентами. Теорема Ролля 117. При каких X все корни полинома х* — Зх-\-Х вещественны? 118. Многочлены <?(х) = (х — а{) (х - а2).. .(л: — ап), <? (л:) = (х -bj (х-Ья)... (х -Ьл ) имеют корни вещественные и перемежающиеся: Доказать, что при Х>0 корни полинома <f(x)-{-kty(x) вещественны ¦ перемежаются, с корнями полиномов <f(x) м ^(д;). 12
119. При тех же условиях и ji>X>0 доказать, что корни уравнений <р (х) -j- Щ (х) ш 0, у (д;) -j- pty (x) = 0 вещественные, про- простые и взаимно перемежающиеся. 120. Доказать, что при тех же условиях корни уравнения <р(х)-\-Ц(х) = 0 возрастают вместе с X. 121. При каких значениях р и q уравнение х*-\-рх-\-q =» 0 имеет три вещественных корня? 122. Доказать, что уравнение л^»= 1 -i-axm+n, где тип нечет- нечетные, <х>0, имеет при (от-J-n)m+nat»<«"•/:»» два положительных корня. 123. Доказать, что при вещественности корней уравнения Xs—3/?дг-г0 = О, />>0, каждый из них по модулю меньше, чем iVp. Если же корни х2 и хя мнимые, го |*il>2]/rp. 124*. Доказать, что уравнение Xх* -f- а^х'ч -f-.., -j- an = 0, где Xj>X2> ... >Xn_i >0, fljO.,.. ,ап ф 0, не может иметь более, чем я положительных корней. 125*. Доказать, что полином.кп -\-ах .v»>-j-«a«nt-f-.. .-f-afm^1as"'n—l -f- 4~em, где я>Я1>гаа> ... >«„-! — целые числа, а^.. .атф0, не может иметь бэлее, чем 2от вещественных корней. 126. Доказать, что все корни уравнения -р^ — = 0 — поло- положительные правильные дроби. 127*. Все корни полинома л^"-}-^.**-1-}-... -J- ап веществен- вещественные, 5—целое. Доказать, что и все корни полинома (w+I^^qX""!" -\-п*а1хп~1-{-...-\~ал тоже вещественны. 128*. Доказать, что все корни полинома (от-f- 1)я>~1дг|В-т-'итл:т~1+ 4-<Я(<^~1)"'х'"-а+-.. + 1°»0 лежат в интервале (—1,0). 129*. Все корни полинома ОоЖя+ а^" -)-••• "Ь ап веществен- вещественные. Доказать, что корни уравнения a3xk-j-C)tas+1xk~1 \С1ка\ -f-... -f-a,+Jk«=а0, s-f-ft<;«, тоже вещественные. 130*. При тон же условии доказать неравенства: )'< (^) D *+8 ft+i*+i)< A*%«) B ft+iia 131*. Корни полинома / (х) = flo^" -{- а^"-1 4- ... + а„ веще- вещественны и различны. Доказать, что у полином а я/ (дг) ffyc)-— (я—1) Д (хJ все корни мнимые. ' 132*. Все корни полинома /(х) вещественные. Доказать, что корни полинома f(x)-\-lf(x) тоже вещественные, если X веще- вещественно. 133*. При том же условии дано, что полином f(x)-\-m имеет k мнимых корней. Доказать, что уравнение /(х)?—f{.x)f" (х)—Щ/"(х) — О имеет не менее, чем k вещественных корней. Доказать теоремы: 134*. Если все корни полинома /(х) вещественные, то при Х>0 и все кории полинома */.(*) + */(*) тоже вещественные. (Лагерр.) * См. указашке ¦ «Ответах». 13
135*. Если у полинома f{x)=*a-\-alx-\-a.ixi-\- ... -\-апхп Есе корни вещественные, а у полинома <p(v) они ^0, то и у полинома F(x)**> 2e»?(v)-** все корни вещественные. (Лагерр.) 138*. Если у полинома f{x) = а -\-а^х-\-а%х*-\- ... -1гапхп Есе корни вещественны, то вещественны и все корни полинома F(x)=a =» 2a,<j) (v)j:', где функция <|i(v) выражается произведением ЛТТП -|- — Je \ числа а, положительны, А вещественны. (Лагерр.) 137*. Если корни полинома /(х) = 2 а-,хц и точка х = 0 лежат внутри некоторого выпуклого контура, то внутри того же контура лежат и корни полинома F(x) = 2в»+ (v) ' ^() ^ + -Vf числа «v>0, Л<0. 138*. Корни полиномов /' (x), f"(x\ ...,/(»-" (л:), где / (x) — поли- полином степени л, лежат внутри любого выпуклого контура, внутри которого лежат корни /(*)• 139*. Если функция Ф (л:) = /(*) + of' (,x, -\- atf" (x) -| + _|_дп^(») (х), где /(х)—полином степени п, имеет корни веществен- вещественные, то и полином f(x)—тожа. 140*. Если корни полинома f{x) — p ix) -\-lQ(x), где полиномы Р(х) и Q(x) имеют вещественные коэффициенты, лежат по одну сторону вещественной оси, то корни уравнений Р(х) = 0 и Q(jc) = O вещественны и перемежающиеся. (Зрмит.) 141. Применяя теорему Ролля к функции хтея, доказать, что уравнение имеет все корни вещеегненные. Доказать вещественность корней уравнений: П = 1| 2, 3,... 143*. A+*')"+* '"^f* =0- 4-^-0. * См. указание в «Ответах». 14
146*. Доказать, что кории полинома Эрмнта-Чебышёва е**-п'!~*~ в«щественны и лежат в интервале (—)/2« -j~ I, }f2n~\-1). Сколько вещественных корней имеют уравнения: 147. l + *+g + f+...+5-0. 149*. В разложении по степеням к |%\ ^ * ^ * — 2?п^)коэф- 2?п^)коэффициент <pn(jf) при кп есть полином степени n-j- 1. Доказать, что все корни <?„(*) ле:кат в интервале (— 1, 1). (Эрмит.) 1Б0. Найти верхнюю границу для числа положительных и отри- отрицательных и нижнюю границу для чиста мнимых корней уравнения хю^_7лг—2 = 0. 151 *. В уравнении aQxn -f- аххп~1 -f ... -j- а„ = 0 при некотором k имеется равенство: а| = ал-1а*т-1- Показать, что среди корней имеются мнимые. 152*. В таком же уравнении чгтыре последовательных коэффи- коэффициента образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что урав- уравнение имеет мнимые корни. (Эрмит.) 153*. Доказать, что уравнение /(/»)*» +/(« — 1) хп-1 + ... +/@) = 0, где /(у) — полином степени не выше, чем л — 2, имеет мнимые корни. 154*. Доказать, что при вещественных а и Ь уравнение имеет не больше одного вещественного корня. § 4. Рациональные дроби. Разложение на простейшие Разложить следующие дроби на простейшие: 4 155. fV*"*, 159. 1ои« (л;_!)(*_2)(ЛГ--3)* 1ои« (л:-1K * 168. у-—,чо/"-|—гг • *82. * См. указание к «Ответах». 15.
169. 171. 172. ^~3 173. Определить коэффициенты в разложении функции / (х) — а»хп + алх'1-1 + ... 4-е» ^ = -7—= г-? г -.— ". по убывающим степеням *, если корни (х—хх) {х — хг) ... (х — хп) знаменателя простые. 174. Найти сумму ряда 2 и«хп, где 175. Если хх по абсолютной величине больше остальных корней уравнения f (^х) =хп-{-а1хп^1-\-.. ,-{-ап = 0, то x = tim Ъ±} f где ип — коэффициент при хп в разложении дроби если ^> (д:^ ф 0. Числа ип могут находиться последовательно из равен- равенства: И,+п "Г al«irn-l-T "•+«»»«, = 0. 176*. Разложение в ряд рациональной дроби имеет вид ?-р = и0 -(- ихх -|- Иа*2 -f- wsj:3 -j- ..., где числа нп имеют значения О и rtl. Доказать, что 4>(^) = 1—хт, ^(j:) = a1j:'»-1-|-aaxm-a-f- -\-...-\~ат, где числа а, могут иметь лишь значение 0 и rtl. (Лагерр.) 177*. Доказать равенство: 1 , 1 I , 1 »-1 где х, — корни уравнения хп=1, отличные от единицы. 178*. Все корни уравнения /(х) = 0 степени п — вещественные. Доказать что в промежутке (— X"~^~1-j"*y Хч+1~х'> -\-x^j, где x,-v хп дг,+! — три последовательных корня f(x), нет корней /' (х). 179*. Все корни полинома fix) степени я—вещественные, как и число т. Доказать, что модуль мнимой части каждого из корней уравнения /(of) •{-Imf (x) = 0 меньше, чем \пт\. * См. укаэшм* в «Ответах». 16
§ б. Определители. Системы линейных уравнений Вычислить определители: 180. 182. 1S4. IS 6. 188. 190. 192. 193. Найти величину определителя Вандермонда 1 1 1 ... 1 Л< "О Лц • • • Д», А — 1 2 2 2—1 2 2 2—1 3—6 2 2 3 6 — 6 —2 3 3 12 3 4—124 1—111 4—125 1 1 1 1 1-f-fl 1 1 1 1 + & 1+а 1 1 11+6 1 1 1 1 + « 1 1 1 E +сK а2 ft» (c + a)a ca ca а 1 0 0 — 1 ft 10 0—1 с 1 0 0 - -1 1 1 1 1+d а" ft» (а + ft) • 181. 183. 185. — 5 1 - 4 1 1 4 10 — S 11 — 2 2 —14 0 4 2 -1 2 1 1 2 0 1 1 1 4 9 16 9 16 25 9 16 25 36 16 25 36 49 187. 189. 9 . 191. 1 — с ft - X У * x-Vy 1 1 х у х* у* • е 1 -а У 10 10 5 — ft а 1 *+У ¦+У х X 1 г -г» У * 4 .П - 1 „Л - 1 П — 1 П - 1 ts . . . Хп хГ предполагая сначала, что числа хи собой. 2 8шь 4Ш. Оборот мдм, т. И. , хп различны между ]7
194. Вычислить определители Д„ и 4^+ц получающиеся из опре ц делителя Вандермоида заменой в последней строчке показателя п — 1 на л или на n-j- 1. 195. Вычислить величины Дх и Да определителей, получающихся из определителя Вандермонда Д дифференцировшием и заменой xt на х2 или хх и х% на дг3: 1 xl xl 1 1 Jf» (я—и*: о о о _п — I » -1 -1 я — 1 О 1 п (я— 1) х" ( 196. Доказать равенство: (?) - — i)..;-'«r'... хп.-'\ 5") -п Я_1ДЯ_1; ••• U—и 2!31...(л-1)! где ( ) = —i m Д — определитель Вандермонда. Вычислить определители: 197. 198. 200. cos (a — V) cos(^ — c) cos(c — a) cos (a -f- b) cos (b -f- c) cos (c -J- a) sin (a -f &) ski F -f- c) sin (c -f- a) sin a cos a sin 2a sin & cos 6 sin 2^ sin с cos с sin 2c 199. sin a sin b sin с sin 3a sin Zb sin 3c sin 5a sin 5b sin 5c sin3a sin2acosa sin a cos2 a cos3 a sin8? sin»pcosp sin?cos8? cos*,3 sin8if sinaf cos t sin f cosaf cos3t; sin3 8 sin8 8 cos 8 sin о cos2 3 cos38 18
Доказать равенства: 201. ?>„ = anDn_x -\- ?>„_,; Dn = «I — 1 0 0 0 1 «2 — 1 0 0 0 1 «3 0 0 ... о ... 0 ... 0 an. 0 0 0 _x-l ¦ 1 a, 202. ax X I ... X X a., X ... X XXX я„ где в (А) = (a, — X) («, — X) ... (a,,—X). 203*. я, a., a3 a.2 a3 at ... a. (я - 1) (я - г) а2 где а (а) == ax -|- а.2а -!-...-{- «л*'*; а — корень уравнения а" = 1. 1 2 3 ... л 204. 2 3 4 ... 1 = (-1/ n (n -1) п 1 2 ... л —1 205*. Доказать неравенство: Л, 2 а где о,| + | в,| + .. + l1 + | + | Ьь\ + •.. +1КI, » >Ji l + l%1 + + ! ni I 206. Доказать, что предыдущий определитель положителен, если, при тех же условиях, его элементы вещественны. 207. Доказать, что определитель, у которого элементы а.,,и и а,^ симметричные относительно главной диагонали, — комплексные'сопря- комплексные'сопряжённые, имеет вещественное значение. 208. Элементы определителя порядка п связаны равенствами л„ = 0, 0,^ = /^,, v > а, где а^ — вещественное число. Найти зна- значения п, при которых определители имеют вещественное значение при любом выборе а^. См. указание в «Ответах». 19
209. При каких л тот же определитель равен чисто мнимому числу ? 210. Показать, что при нечётных я тот же определитель равен ЛA±гО. гДе А — вещественное. 211. Доказать равенство: = 0, »>2. 212. Найти величину определителя а р Т «i Pi \ Ц Pa fa элементы которого — косинусы углов новых осей со старыми; коор- координатные системы предполагаются прямоугольными. 213. Показать, что определитель *i Л г\ хг уя г9 Н УЬ ** элементы которого суть проекции трёх векторов на оси, не меняется при преобразовании прямоугольных координат. Решить системы уравнений: 214. 2* — г=1, 216. х-\- >-j- *== а< г = 2а, г= 0. 216. Г 218. 1 а х -\- 2у -f- 2г -j- лс-{- .y-j- *~f" J: —4^ + 2г ! x — Ъу — г— \x-7y-\- г — у— г— / = / = t = = о! 0. — i, -8, — 1 217. 5х-\- =1, —0. 219. Из системы уравнений х -\-у -\- 2г = 0, 2х—у\ хЛ-у-\-г — *1 2дс—2у~{-г=а найти и как функцию от f. Решить системы: 220. *i-}- х^-\- 20
«*>+...+ 221. "~ Ь2...(л —1) л (л 4-1)...Bл —1) е 1-2.3...л J *a-b*s+-" -f*n-i+ *» = !. х, +ха+...+хп-1-Ьхп = 2, *i + *a +---+*».1 + *»1В3, x\ ~y~ ^2 \~ x$ ~T~ .". i~ xn—i — ^. 222. Показать, что в том случае, когда определитель Д, соста- составленный из л2 элементов ар, равен нулю, имеет место пропорцио- пропорциональность ¦rlt=*T>f'— •' • е= X*' Где ^ы — алгебраическое допол- дополнение элемента аы. 223. Решить систему уравнений: а„ -f- а,2*а ~Ь • • • + <*шхп = X, ^у= 1, 2, ... , л), предполагая, что таблица, составленная из коэффи- коэффициентов этих уравнений, — ортогональная. Найдя решение, показать, что А^ = «,,i • Д, где А^— алгебраическое дополнение элемента e,f. 224*. аи <hP «за п «рз ••• "рр а все определители порядка р-}-1 матрицы аи а1Я ... ан (т> р, я > р), ам агл •¦ содержащие Д как минор, равны нулю. Доказать, что ранг матрицы равен р. 225. При каком условии три точки (*„ ух), (*„ .у»). (*». Л) лежат на одной прямой? 226. При каком условии три прямых пересекаются в одной точке? * См. ухазажхе в «Ответах». 21
227. Пр:1 каком условии четыре точчи Mt {х^у^г,), М2(х2,у.2, г.2), 'Ws(x3 „vg, г3), Af4(A-4, yo г4) лежат в одной плоскости? 228. При каком условии п точек /И, (*„ ^„ г,\ v = 1, 2, ... , п, лежат в одной плоскости и при каком лежат на одной прямой? 229. Пги каких условиях » плоскостей А^х-}- В^у -\- Счг -}- /), = О, v=l, 2, ...,«, пересекаются в одной точке или по одной прямой? § 6. Матрицы. Характеристическое уравнение. Квадратичные формы 230. Величина X равна наибольшему положительному корню характеристического ураннения матрицы \\atk\} с положительными элементами. Каковы знаки решений системы \х., = a^ixl-^-a^x^-^- -!•..". + а.,пхп, v = 1, 2, ... , л? 231. Найти вид элементов прямоугольной матрицы ап ... а lm ап1 ... ап ранг которой равен единице. 232. Показать, что матрица ранга г может быть представлена в виде суммы г матриц ранга 1. Какое следствие для билинейных форм вытекает отсюда? 233. Если .4j и Sj — транспонированные матрицы А и В, то {АВI = BXAV Доказать. 234. Найти правила действий для гнперкомплексных чисел вида q=*ae-\- bi-\-c)-\-dk, где е, I, j и k обозначают следующие мат- матрицы: 235. Найти вид матрицы, перестановочной с любой матрицей. 236. В каком случае матрица А линейного преобразования уч = == anxt -{-ava*2-f- • • • -\-^пхп удовлетворяет условию ААХ — Е, где Е—единичная матрица, а Лх— транспонированная матрица Л? 237. Найти вещественные корни уравнения ап — х а12 ... а1п а21 ^32 — •* • • • а9п «nl при условии, что 22 = 0 апа ... апп j — a v и все в вещественные.
238. Доказать, что характеристическое уравнение ортогональной матрицы возвратное, т. е. его корни связаны попарно зависимостями Хг"СП-ч~ ЯП 239. квадратичная форма 2 2 *(«*>•*»-¦ определённая, а число X заключается между наибольшим и наименьшим корнями уравнения = 0. Доказать, что квадратичная форма 2 2 (^i+^v) x^x' — не- неопределённая. Здесь х,^ и х.,— независимые переменные. 240*. Доказать, что корни характеристического уравнения мат- матрицы с элементами а^., имеют вещественную часть, заключающуюся между наибольшим и наименьшим корнями характеристического уравнения симметрической матрицы с элементами Ь^, где 2^, = = а -j-л . При этом все а^ вещественные. 241. Найти границы величины вещественной части корня харак- характеристического уравнении кососиммегрической матрицы с вещест- вещественными элементами. 242. Доказать, что корень s характеристического уравнения мат- матрицы с элементами а1/я меньше по модулю, чем наибольший поло- положительный корень з матрицы с элементами | а^ч |. 243. Доказать, чго наибольший из положительных корней харак- характеристического уравнения матрицы с положительными элементами больше по модулю, чем любой другой корень того же уравнения. 244*. Доказать, что наибольший корень характеристического уравнения матрицы с положительными элементами а^, больше по модулю, чем любой корень характеристического уравнения матрицы с элементами Ь^ = У аг,ачг 245. Показать, что корни характеристического уравнения мат- матрицы с положительными элементами а^ меньше наибольшего по модулю корня характеристического уравнения матрицы с элементами Ьр„ где 2b ^ = а^ -f- a,^. 246. Элементы матрицы ((^)) определяются последовательно по формулам: Ь^1^=-Ь^аь-\-Ь^аъ-\- ... -^Ь^^) ц = 1, 2,..., п—1, где bn, btn, ... ,*щ и яа., — данные числа. Найти величину произведения определив.-ей Dr*t ^ll< X Ijj. • • • &\п ^21 **ЯЗ ~~ ¦* * * * ^2» Ьп\ * См. указание в «Ответах».
247. Найти элементарные делители матрицы 1-Х 1 1 1 2-Х 1 .1 1 2 — 248. То же для матрицы '5 — X 30 —48 3 14 —X —24 15 25 —X; 24Э. Исследовать эквивалентность матриц '1-Х 1 0 \ /4-Х 1 0 1-Х 0 , — 6 —1- 0 2-Х/ \ 2 1 259. Показать, что матрица ((а^)), будучи подставлена вместо X в характеристическое уравнение той же матрицы #JJ X пу а т — х -О, ему удовлетворяет. 251. Составить элементарные делители матрицы /X 1 0 0 0 0X00 О 0 0X0 О 0 0 0 X—1 О \0 О О О X — 1/ приведя ев к каноническому виду путём элементарных преобразо- преобразований. 252. M(bu bt, ...,6J — двойная точка квадратичной формы я' я 2 Zi обращающейся в нуль в точке N(cv ca, ...,cn). Найти значение формы в точках прямой MN. Представить в виде суммы квадратов следующие квадратичные формы: 253. 254. 255. 3x*-\-iy* + Zz* + 3liP — 2ху + 2хг + \Qxv — -f 24
n n 256. Кпадратичная форма 2 2 л »jc ¦*:, посредством линейного преобразования х^ = effilyl -j- c^j/j, -}-...-{- c.,.n.yn, jj. = 1, 2, ... , n, n n преобразована в квадратичную форму 2 2 КчУиУг Найти линей- ное преобразование, переводящее форму, союзную первой, в форму, союзную второй. ЯП П П 257. Формы 2 2 а*1х±хч> 2 2 b х х^ положительны. Дока- |lB»li-.l ^ ^ ,1=1, = 1 *" ^ я п зать, что и форма 2 2 а^.-Р^-<хпУч положительна. p.=.i 1—1 ^ S 3 258. Билинейная форма 2 2 а«.г*^» определяет корреляцию точек ЯСУ!» j/a, j/8) и прямых A1xl-\~Aclx.i-r-Aixi = O так, что, подставляя в форму однородные координаты yv у2, уя точки Р, по- получаем уравнение соответствующей прямой в однородных коорди- координатах *,, *а, х3. a) Какому условию должны удовлетворять коэффициенты били- билинейной формы, чтобы каждой прямой отвечала только одна точка? b) Какому условию должны удовлетзорять коэффициенты формы, чтобы прямые, соответствующие точкам данной прямой, проходили через точку, ей соответствующую? 4 4 259. Те же вопросы для формы 2 2 а^хиУч> точки P(yv j>a, ,1 = 1 v — I Л» Л) и плоскости Axxt -\- Д3л-3+ Aj.r3-f Д4л:4 = 0. § 7. Инварианты 2S0. Проверить, что ab\-\-2baibl-^- сл\ есть инвариант квадра- квадратичной формы ах*-\-2Ьху-\-су'1 и линейной формы а^-^-Ьу. 261. Доказать, чго (ас — Ь1) х.-г (ad —be)ху-\-(Ь<1 — е'г)у^ гсть ковариант кубичной формы ах3 -{- ЪЬх^у -j- 3c.vya -j- dy3. 262. Найти линейный ковариант квадратичной формы F (х, у, г)=э. ах* и двух линейных форм: ахх -j- ^.y -j- ^z и а9х -{- Ь^у -\- саг и выяс- выяснить геометрический смысл полученного результата. 263. Бинарная квадратичная форма /(х, у) и линейная форма '(¦*» У) имеют линейным ковзриантом их якобиан /(*, j;). Дока- Доказать, что якобиан 1(х,у) и 1(х,у) есть инвариант/(jc, j;) и 1(х,у). 234. Показать, что якобиан бинарной формы /(*, j;) и е9 гессиана Н(х, у) есть коваряант формы /(х, у). (Гессианом функ- функции называется функциональный определитель е? частных произ- производных.) 29
265. Доказать, что определитель а Ь с bed с d e есть инвариант формы /(.v, у) = ах1 -|- 4Ьх3у -\- 6сх*у3-|~ idxy* -f- 266. Доказать, что определитель и дги д дх* дх d'v d^v d"*v dP дхдуду* У — ху хг есть когармант двух бинарных форм и и v. 267. Доказать, что определитель i д*и д3и » дх- ду дх ду2 д*и (flu >уШ 1-5 дх*ду дх ду у2 — ху есть ковариант бинарной формы u=f(x, у). 268. Гессиан бинарной формы четвёртой степени делится на куб линейной формы. Доказать, что он является произведением четвёр- четвёртой степени этой линейной формы на некоторую постоянную. 269. Найти бинарные формы /(*, у) степени р, у которых гес- гессиан равен нулю. 270. Доказать, что равенство нулю гессиана формы f{xv jc8, ..., л:,,) есть необходимое условие того, чтобы форму можно было выразить через меньшее число переменных. 271. Доказать, что если квадратичная форма с числом перемен- переменных, ббльшим, чем 2, разлагается на два линейных множителя, то любой её инвариант обращается в, нуль. Доказать теоремы: 272. Если бинарная форма степени п имеет делителем k-ю сте- степень линейного полинома, где 2&>п, то eS инварианты равны нулю. 273. Бинарная форма чётной степени не может иметь коварианта нечётной степени. 274. Бинарная форма нечётной степени не может иметь инвари- инварианта нечётной степени. 275*. Показать, что подстановкой вида X—px-\-qy, Y=pxx-\- ~тЯ\У бинарную кубичную форму/(jc, у) можно привести к виду 276. Привести форму jc3-\-6*2.y-f- 12xy2 + dya к виду X*-{-AY\ • См. указание в «Ответах*.
277. Доказать, что форма ахк-\- ibx*y-\- 6c.v9.y2 4~ "*dxy3-\- су1 преобразуется в себя с точностью до множителя подстановкой х = (Т8 — а?) X— [а? (Т + 8) —fS (а -f- ?)] К, где а, C, f, 8— корни соответствующего уравнения 4-й степени. 278. Доказать, что бинарную биквадратную форму f(x,y) = = ах*-\- 4Ьх3у-\- 6сх-у*-\- Ыху*-\-еук можно привести к ииду/= = Dix\—ё&\У\— ёгУЬУг линейным преобразованием Х=—у, У = = х— dy с последующим линейным унимодулярным преобразова- преобразованием. Здесь d — корень уравнения /(х, 1) = 0, gQ = ae — lbd-\- _j-Зс3 = /, g3 = асе — 2bcd — a3*—b*e — c* = J. 279. Доказать, что от замены в ковариаите формы f(x, y) = = аохп -f па^'^у -{- п i~2 a2JC"~2>'a-b • • • ~Г апУ'1 коэффициен- коэффициентов п0, av ..., ап линейными формами аох-\-а{у, д1дс-}-д2_у, ..., anx-f-an+iy получается ковариант формы .'-э(л:, у) = aox'l+J -(- § 8. Симметрические функции 280. Пользуясь основной теоремой о симметричных функциях, доказать, что целая рациональная симметрическая функция степени т от корней уравнения хп -j-pi*'l" + /Ven"~8+ • ¦ • -гРп = ° рацио- рационально выражается через plt ра> ••¦» Рт- 281. Пользуясь результатом предыдущей задачи, доказать, что суммы степеней корней уравнений Slt Sn, ..., Sm у. уравнений дс" + /vv»-i + р9л;»-з 4-... + д, = 0 и х~" + АДс^ /ует"а + ~Ь • • • ~Ь Рт = 0 одни и те же. 282. Опираясь на результат двух предыдущих задач, доказать, что при т4?.п для сумм степеней корней уравнения справедлива формула: Sm + Р A-i + • • • + Pm-iSi + трт = 0. 283. Умножая на подходящую степень х левую часть уравне- уравнения хп-\-рххп~1 + р^"~а-Ь • • • 4" Рп = 0> подставляя вместо х зна- значения корней уравнения xv хй, ..., хп и складывая, получить равенство для сумм степеней корней уравнении при гп>п: 5OT-f" Н~ PlSm-l + Ро5да_3 + • • • + Pn^m-n = 0- Найти значения указанных симметрических функцмЯ корней дан- данных уравнений: 284. х6 — 3*3 — 5*4-1=0; 2*J- 285. х*+Зх*—х — 7 = 0', 2*!|. 286. ** 4" flJcS + **а +' « 4- rf = 0; ^^. v < Р- 287. *8_^_1:_o; ^^(jc,—V- 27
288. лг< — 5л:9 — 2х -f 1 = 0; Ук(.х1 — дг2)9 (х3 ~ л:4)». ?89. JC + *"'1+•••+*+1 = 0; ^ Jf Ж 2SO. х5 — 4хя •+- *а + Здг + 1 = 0; J 291. *» + (<? + &) x»-»-Ha«-}-e*-|-*»).*»-«-f ... -f(a»4 -f- an"J& -f ... -f- bn) = 0; найти Sm при /я < п. 292. 1-2 .... я 293. Доказать формулы Вариига, дающие выражения для Sm, суммы т-х степеней корней уравнений хп-\- рххп~1 -\- .,. -f- р„ = О, через коэффициенты урапнения. Эти формулы ыожно написать в та- таком виде: т т h n 2 В каждой из сумм в правой части индексы ц, v, A, ... положи- положительны, а их сумма равна т. Для кубичного уравнения хъ -j- в** + Ьх -\- с = 0 вычислить сле- следующие симметрические функции: f + ^ 295. Площадь треугольника со сторонами xlt xv ж8. Представить в виде целой функции от х следующие дробные функции корня данного уравнения (уничтожение иррациональности в знаменателе): 296. 297. Узнать, имеют ли общий корень полиномы ?(-)с) и 300. « 301. 302. 28
803. При каких X и р уравнения х8 — 6*3-f-U—3 = 0, л8 — **»-{-р.*+ 2=0 имеют два общих корня? Решить системы уравнений: 304. 5д;9 —5у«—Здг-}-9.у = 0, 5дг« -4- 5у» — 15х* — 1Ъху —у* = 0. 80S. 3х* 4- 9*"у + 9*у3 -f 3/ + 2*а — 4*у + 2/ = 5, 4лг3-}- 12Ar2j/-f- 12ду*+ 4/ —дг' + 2ху — / = 3. Исключить х из систем уравнений: 306. *»+ СУ— l)*a-f-C.y — 10)jc-J- 12 = 0, х* +- Су—8) у? -f-(y +16) дг—з = о. 307. дг3 + отдг2 —4 = 0, д:3 -f w* + 2 = 0. 308. х8 -j- 4яиса— Здг-1- 12=0, 2х»+ (/»+ 2) дгЗ — 5*+ 1 = 0. 309. Найти дискриминант хп-\- а = 0. 310. То же для уравнения uqX* •{- ахх3 -{- а^х -f- «в =ва °- 311. В выражение дискриминанта D (oq, alt .... ап) входит член iWao~'a2- Найти м- 312. Доказать, что Д(д0, av ..., an) есть неприводимая фун> кция от ад, а,, .... ап. 313.* Доказать теорему: если все корни уравнения с целыми коэффициентами д^*-}-р,д:п~1-{-...-(-/?„ = 0 цо модулю равны еди- единице, то они равны корням из единицы. (Кронекер.) § 9. Преобразование и алгебраическое решение уравнений 314. Корни уравнения jc* -f- px -f- q = 0 вещественны цри усло- условии 4/?8-4-27^а<0. Когда корни уравнения ^-j-a^-j-^jc-j-csssO вещественны? 816. Решить уравнение х*-{- 4х3-\- 11х7-\-14д:+ 2 раО подстанов- подстановкой дг1=^-|-о цри подходящем выборе о. Следующие уравнения привести к уравнениям с целыми коэффи- коэффициентами и коэффициентом цри старшем члене, равном единице, применяя подстановку вида у = ах. 316. 5х* — 9дг8-Ы5*2—12*+18 = 0. 317. 900х< — 750лг>4-375д;2 —13 = 0. 318. Доказать, что уравнение Оодс*»-}" a\Xin~*-\-... -4-але=0 имеет мнимые корни, если уравнение Оодс2™ — ахх2п~^-\-.,. -f- 4(—1)"аяав0 имеет вещественные. * См. указание ¦ «Ответах». 29
319. Найти уравнение, корян которого равны квадратам корней уравнения х& -j- дг3 -j-лл -j- 2* 4~ 3 == 0, н доказать, что у данного уравнения есть мнимые корнн. 320. У уравнения дс3 — 2дга — 2*4 = 0 Однн нз корней равен квадрату другого. Решить уравнение. Решить уравнения: 321. х4 — 6тх? + 2Dт* + п)х* — бтпх-\-п* *= 0. 322. 4(*J — л-flK — 27*а(* — 1J = 0. 323. Прн каком условии два из корней уравнения дс3 -j- px -f- -f-<7 = 0 отличаются только знаком? Доказать теоремы: 324. Возвратное уравнение ахЭп-4-а1лс''1~1 -f- ... -f-a,Je-f- a =0 подстановкой _у = (—-¦— J приводится к решению уравнения степени п и квадратного уравнения. 325*. Возвратное уравнение с веществе шымн коэффициентами хчп л. а1хи-\-... -j- anxn -{- ... -f ajjc -j- 1 = 0, у которого j «Л !<2, имеет по крайней мере одну пару мнимых корней. 326. Уравнение jc2"^1 -^-alxin~1 -f- .. . +я„+1 == 0 с Ееществен- ными коэффициентами имеет при. | anfl |-^ 2 корень в промежутке (-2,+2). 327. Уравнение с вещественными коэффициентами лс8'*^1-,- 4" aj-jc** -{-•••• + a,ix — да имеет корень в промежутке (— 2/, 2/), где Я9л+1 = |/я|. (Чебышев.) Преобразовать следующ-ie уравнения указанной подстановкой (преобразование Чирнгауза): 328. xz — х1—-4jc-t4 = 0; у = х--\- х— 1. 329. 2.V3—5Ar2-f-JC-f2 = 0; ^ = 2x2-f 3,v — 1. 330. jc1 —6.v2+ 15* —14 = 0; 2y = л:2—5* -j- 8. 331. *<-f2x3—13*а—14*4-48 = 0; _y = *2-f *— 7. Найтн уравнения для у, корнн которых выражаются через корнн данных уравнений указанным образом: 332. jc3-fajca + *jc-|-c = 0; Л = * 1 +-V2. ^8 = -vi + -v3. 333. Jt'3 4- 2*—1 = 0; у{ = xtx.2, y2 = jc1at3, ;'s = jc2jcs. 334. я._*-3«0; J>f Д> + ;^Х1 н т. д. 336. 336. * См. указание в «Ответах»,
337. лж"» -f Зя,ж« -f Заалг -f «з = °; Л = (*i — *s) (*i — -Vj). Решить уравнения: 338. хг~ Zax* -f (Заа — Ь2) х — л3 + «V3 = 0. 339. .Vs — 3( а — Ь) х1 -\- (За2 — Gab — L-) х — а" -\-?,а*Ь-\- -f 5а^2 —3i3 = 0. 340. л:3 —(а4-1J^ + Bа3 + а9 + 2а—1)JC —a* + l=0. 341. .v3 — 5*2-f 3.v-f6 = 0. 342. л:4— 12a.v» + D5а2— i2) л:2— 2а B9а5 — 5iB).v -L 20 343. .v«— 4(а + 1)^+E^+14а + 4)а:2— Bа3— 14а»— 24! + 82 344. 2дг* -г 7хъ f- \0х* + 11х + 6 = 0. Полное кубичное уравнение линейной подстановкой у = л: — тг- приводится к уравнеш.'ю Последнее проще всего решается подстановкой л=и+р, вводящей два новых неизвестных. После неб данное уравиеяие переходит в такое: и3 + р8 + (За» + р) (a f v) + g = 0. Чтобы удовлетворить этому уравнению, достаточно подожихь и3Л- xfl =я — q, •iuv+p =0. Отсюда находятся а н », а потом и дг. Окончательно полу- получается формула Кзрдаяа: -*+/Т+1Г+1/ -f Для кубичных радикалов следует брать лишь такие значения, чтобы их произведение было равно — 4"- (Способ Гудде.) с Подобно этому, поляое уравнение четвёртой степени подстановкой у = х—j приводится к уравнению л* + ах- + Ь.п 4- с = 0. Одни из наиболее простых способов его решения принадлежит Феррарп. Уравнение переписываем в таком виде: -- 4Ьх — 4е. Прибавляя одинаковые слагаемые к обеям частям, получаем: 4а* + 4 (а 4- X) хг + (а 4- X)' = 4Хл« — 4ft.r — 4с + (a f XM или + л*-— 4е. (*) 31
Величину >. можно подобрать так, чтобы полином в правой части имел ранные корни. Для (того должно быть >.» + 2вл' + (д* — 4с) X — 6» = 0. Если X.— один из корней этой кубической резольвенты, то уравнение (*) переписывается в таком виде: и сводится к двум квадратным уравнениям: Решить по формуле Кардана и способу Феррарн уравнения: 345. *3 — 6* — 9 = 0. 350. **-j-3*8-J-2;c + 3=0. 346. *3 + 6лг — 7 = 0. 351. **-f2.\:94*-f8e=0- 347. xs-f3* — 2 = 0. 352. л* — xi + Zxi — 5*-|-2 = 0. 348. jc -f-Зх — 4 = 0. 353. л:*— 17лг* —2O.v— 6 = 0. 349. х> — 7х — 6 = 0. Класс чисел такой, что результат любых рациональных действий над числами этого класса даёт число из того же класса, называется полем, числовым корпусом или,областью рациональности. Совокупность всех раци- рациональных чисел даёт простейший пример числового поля. Уравнение хп + +Pixn~l+ ... +fln, коэффициенты которого принадлежатяекоторому полю, называется неприводимым в этом поле, если его левая часть не разлагается на множители с коэффициентами в том же поле. 354. Доказать теорему:_ если полином с целыми коэффициентами разлагается на множители с рациональными коэффициентами: -f- v^ + • • • + •.)(?*"+Pi*"'1 + • • • 4- рг)э то он разлагается на множители с целыми коэффициентами: | 1хг~1+ ... + Ьг). (Гаусс.) 355. Доказать теорему: если полином х3^Ах?-\-Вх-\-С с це- целыми коэффициентами не имеет целых корней, то он непрнводнм, т. е. уравнение Xs -\~ Ах -\- Вх -f- С = 0 непрнводимо в области рациональных чисел. Для исследования неприводимости полинома степени л с целыми коэф- коэффициентами надо разделить его на полином ахт-\-а^х"*-1 •{•... + ви. где 2/п<п. Приравняв коэффициенты при степенях х в найденном остатке, получим уравнение для. в, аь ..., ат. Если эти уравнения в целых числах (в чём возможно убедиться конечным числом действий), то данный полином не имеет рациональных делителей степени т. Для того, чтобы полииом степени л с целыми коэффициентами был неприводнм, необходимо и доста- достаточно, чтобы он нмед делителей степени т с целыми коэффициентами при всех от, меньших ндн равных -^. 32
Выяснить вопрос о неприводимости уравнений: 356. хг-\-х +1=0. 359. л:5-}-7л:-|-7 = 0. 357. х* + *2+1 =0. 360. 358. х* + х +1 = 0. 361. 362. Доказать теорему Эйзенштейна: если у полинома хп-\- +PiX"~l +Рэ*71~а + • • • + Рп коэффициенты pv рл, ..., рп делятся на простое чи/:ло р, а коэффициент рп не делится на р'-, то поли- полином неприводим в поле рациональных чисел. 363. Доказать неприводимость уравнения хр~1 -\-хР~2+ ... + -\-х-\-\ = Ъ при р простом. 364. В каких числовых полях' уравнение лс4 +-1 = 0 приво- приводимое? 365*. Доказать теорему: если кубическое уравнение хъ + ах1 + + ?дс + с = О с коэффициентами из какого-нибудь поля имеет ко- корень xl=p-\-Y Я» гДе Р и Я — числа того же поля, a Y~q не из- извлекается в этом поле, то оно имеет и корень хй— —а — 2р, рацио- рациональный в том же поле. 366*. Кубичное уравнение с рациональными коэффициентами не имеет рациональных корней. Доказать, что в таком случае оно не имеет корней, выражающихся в квадратных радикалах. В частности, например, Y 2 не может быть выражен конечный числом квадрат- квадратных радикалов. 367*. Уравнение четвертой степени с рациональными коэффици- коэффициентами имеет хотя бы два корня, выражающиеся через квадратные радикалы, в той и только в той случае, если его резольвента имеет рациональный корень. 368. Какова группа Галуа для уравнения дс5 — 2 = 0 в поле рациональных чисел и в поле /?(«), где ш — кубический корень из единицы? 369. Найти группу Галуа уравнения *4+1 = 0 в поле рацио- рациональных чисел. 370- Коэффициенты а, а1г ..., о,, — целые, а уравнение ахп + + a1jc"~1 +...+ dn = 0 неприводимо в области рациональных чисел. При каких 'условиях квадрат модуля его корня есть число рацио- рациональное? 371. Уравнение с целыми коэффициентами ахп-\-а^хп~% +asx"-8+ + ... + <*„ = 0 неприводиио в поле рациональных чисел, а веще- вещественная часть одного из его корней рациональна. Доказать, что а3 == аь = ... = ап_1 = 0 и что я = 2т. 372* Объём сегмента шара равен четверти объёма шара. Дока- Доказать, что его высоту нельзя построить циркулей по данному ради- радиусу шара. * См. указание в «Ответахэ. 3 Зав. Ш6. Оборот задач, I. П. 33
Л73. Доказан^ что функция !), пррлстпвллемэя л„ ... л,„ уп ... уи, xnl Z\\ Упр О неприводимая при /;<я и остаётся такой и в том случае, = -V и У?» — *V § 10. Отделение и вычисление корней Найти рациональные корни уравнений: 374. 6л' —Их" —л2 —4 = 0. 375. 4л* — 11 .v2 4- 9л — 2 = 0. 376. 2л3 4-12л-2 4-1 Зл 4-15 = 0. 377. 2л* — 4л;3 4- Зл2 — 5л — 2 = 0. 378. 6л-5 4- 11 л*—л5 4- 5л — 6 = 0. 379. л3 — 5л« 4- 2л3 — 5л-2 4- 21 л 4- 270 = 0. 380. xG 4- Зл5 4- 4л* + Зл3 — 1.5л3 — 1 бл -f 20 == 0. 381. 2л« -j-л:6 — 9л* — 6л8 — 5л2 — 7л- -\- 6 = 0. Найти кра гные корни уравнеяий: 382. л3 —12л; 4-16 = 0. 3S4. 383. хг-\-х''- — 8л —12 = 0. 3S5. 386. хъ — л* — 4л- — Зл — 2 = 0. — 3х* —4x4-4 = — 6л9 — 8л-|-24 = 0. 387. л5 -;~ 2л* — 8л3 — 16л2 -}- 16л + 32 = 0. 3881 л8 + 6л5 -j- Зл* 4- 12л» -f Зл2 4- 6л -j- 1 = 0. 389. (л-j-iy — л;?-j-7л-j-6 = 0. 390. л9 —л-54-2л*—л;3-{-2л;9—л4-1 = 0. S91. .Vя-}-2л — 2л2 —1 = 0. Отделить вещественные корни уравнений: 392. Xs — 12л4- 5 = 0. 394. л;* —2лЗ —5л;94-2л;4-2'= 0. 393. л3 — 27л — 17 = 0. 395. л* — 2л;3 — 5л;3 -f Зл 4-1 = 0. 398. л8—2л* —5л34-19л5 —17л4-1==0. 397. л6 -)- Зл;* — 9л8 — 7л;» -f 39л — 21 = 0. 398. Отделить по способу Фурье корни уравнений: 399. л3 —12л;— 4 = 0. 402. х* — х*4г4х*-{-х—4 = 0. 400. л3—24л;4-И=0. 403. л*4~6л3 — 2л;а4~ 1 = 0. 401. л* — 4л3 — Зл-}-23 = 0. н
404. xl — 1 Ол» -{ Qx -f 1 — 0. 405. x* -f 3a* -f. 2a3 — Злг» — 2л — 2 = 0. 406. * + *\* *{ Отделить по способу Штурма корни уравнений: 407. хг + 2лг —7 = 0. 411. .v4+ 12.V3 — 55л:9 4-96 = 0. 408. л:3—2U-j-7=rO. 412. л5 -}- 5л:3— 7л: -f- 2 = 0. 409. ** — 6л;3+х2— 1=0. 413. х6-f 7л:3— 5x-fll=0. 410. л:* + л:3 —4x2—4.v-f I ^ 0. 414. Составить ряд функций Штурма для уравнений а) х?-\-px-{-q = 0 и Ь) лг!-|-/^-f? = 0. 415. Методом Штурма найти условие зещественностн корней уравнения х5 — 5рх* -f- Ьргх -\- 2q = 0. 416. Сколько вещественных корнс-i! имеет предыдущее уравне- уравнение, если рБ<92? 417. Числа а, вещественны, ?, положительны. При этом п (л- — а, — ?,/) = ?(*) + ^ С-^)- гдг ? ''-v) и 'j1 (*) — полиномы с вещественными коэффициентами. Доказать, что корни уравнения Я?(¦*) ~т~ fl1 С*) Ч~ 0 вещественны при любых сещественных р 'л q. 418. Отделить корни уразнения относительно А.: 419. Определить число вещественных корней уравнения -f i.2 n ~ ' воспользовавшись теоремой Штурма и равенством Вычислить с точностью до 10~5 корни следующих уравнений: 420. л-3 —5л:-J-1 = 0. 424. х» — Зх-+ 8.V+ Ю = 0. 421. л:3 —9л:9 + 20лг—11 = 0. 425. x«-f 2л:2 — блг-f 2=0. 422. л^+3хг— 4л:— 1=0. 426. л:в+ 5*4- 1 =0. 423. л:34-6х94- 6л:— 7 = 0. Найти с точностью до 10~3 корни следующих уравнений: 427. л:* 4- 2*3 4- 6л:9 — 1 = 0. 430. х = е~*. 428. Юл- = 10 -j- sin л:. 431. 10 1n.v = .v3—3. 429. Юх = е-Я. 432. Шар с радиусом 1 .и имеет удельный вес 0,75. На какую высоту он выступает из воды, плавая в ней?
ОТДЕЛ VII ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ § 1. Задачи вводного характера 433. Доказать, что площадь, ограниченная дугой синусоиды у = sin х и осью Ох между точками (О,0) и (ж, 0), равна двум квад- квадратным единицам. 434. Доказать, что площадь криволинейной трапеции, ограничен- ограниченной снизу осью Ох между точками (N, 0) и BЛ/, 0), с боков вер- вертикалями, а сверху гиперболой _у=—, равна In 2. 435. Доказать, что площадь всей лемнискаты Бернулли г2 = = a2 cos 2-? равна а2. 436. Доказать, что площадь сегмента между параболой у = ах^ 2 и прямой y = h равна произведению-»- основания на высоту. (Архи- (Архимед.) 437. Доказать, что объем параболоида вращения, имеющего с лаиным цилиндром общие основание и высоту, равна половине объема цилиндра. (Архимед.) 43S. Из сосуда, имеющего форму цилиндра с радиусом а и высотой А, выливается жидкость. Доказать, что в тот момент, когда обнажилась половина дна, объем оставшейся жидкости равен -~- а9А. (Архимед.) 439. Доказать, что объем кувшина, получающегося при враще- нии синусоиды y~r-\-b$iu —r- вокруг оси Ох при 0<х<А, равен 440. Стержень, длиной / вращается вокруг своего конца, совер- совершая п оборотов в секунду. Определить величину натяжения в точке прикрепления, если вес единицы длины стержня равен а, а центро- центробежная сила для массы т, движущейся, по окружности радиуса г с угловой скоростью ш, равна гю2. 441. Под действием нагрузки / проволока длиной / с попереч- поперечным сечением s и модулем Юнга Е получает удлинение А/, равное g-. Определить удлинение такой проволоки, висящей вертикально, под действием своей тяжести. Удельный вес вещества проволоки равен 8. 36
442. От нагрузки в 1 кг проволока растягивается на 1 см. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть её на 4 см? 443. Найти величину давления воды на вертикальную стенку треугольной формы. Высота треугольника А, основание а— на'по- на'поверхности жидкости. 444. Тот же вопрос для стенки в форме полукруга, диаметр которого, длиной 2а, — на поверхности воды. 445. Какую работу надо затратить, чтобы насыпать кучу песка конической формы с радиусом 1,2 м и высотой 1 м, если удельный вес песка 2? 446. Найти положение центра тяжести однородного конуса. 447. Найти центр тяжести полушара с радиусом R. 448. Цилиндр с радиусом 15 си и высотой 60 см наполнен воз- воздухом под давлением 1 кг на кв. см. Какую работу надо совершить при изотермическом сжатии газа до объёма в два раза меньшего? 449. Точка движется по оси Ох, начиная от точки A, 0), так, что скорость её равна абсциссе. Где она будет через 10 секунд от начала движения? 450. Электрические заряды отталкивают друг друга с силой ^^ , где ех и еа — величины зарядов, а г—расстояние в см. Опре- Определить работу, необходимую, чтобы приблизить заряд fs=l к за- заряду tx из бесконечности на расстояние, равное единице. 451. Земля притягивает тело массы т с силой f=mg — , где R — радиус земли, а г—расстояние тела до центра земли (> Определить величину работы, нужной, чтобы удалить тело в беско- бесконечность с поверхности земли. 452. По закону Джоуля количество тепла, выделяемого током, равно cPt, где с = 0,24 мал. кал., t—число секунд, i — постоян- постоянная сила тока. Найти выделяемое тепло, если сила тока выражается формулой: / = a cos bt. 453. По закону Торичелли скорость вытекающей жидкости равна yh, где А— глубина отверстия под уровнем жидкости. Опреде- Определить время вытекания жидкости из цилиндра с высотой h и попе- поперечным сечением s сквозь отверстие в дне с площадью а. 454. Тот же вопрос для конической воронки с вершиной внизу; s — площадь основания, h — высота воронки. 455. Диск, толщиной h и радиусом г, состоит из вещества с удельным весом 8 и совершает п оборотов в секунду. Какую работу надо совершить, чтобы затормозить его? 456. На картах проекции Меркатора масштаб изображения в от- отдельных частях, её увеличивается от экватора к полюсу так, что расстояние между двумя меридианами остаётся постоянным. Расстоя- Расстояние между меридианами, проведёнными через 10°, равно а. Найти расстояние между экватором и параллелью <р°. 37
§ 2. Основные формулы и приёмы интегрирования При нахождении неопределённы! интегралов важную роль играет та- таблица основных формул. Ее уд Зно помнить в таком виде: *-!. П. J-jg-^-W I-C. 3. f e«* dx - — е°з -f c. 3. I e«* ax — — «"•* -f o. r dx: 1 * J « 13. f *L7^larcig4- cos a.v d.x = — sin (Г.г + С e ii f dx 1 . Ji M. -в- 5- = ts—¦ In Sin ax dx -x — ± cos ax + C. J x*—a* 2a f>. I ch ax dx = — cos ax 4- С . x d x ^ r „ a 15 Щ Jl J у a zi: x sbaxdx cbax+C l0- 5-Шх- - Tih ax + а - In I* + У*чГв\+ С. Следующие четыре равенства дают основные правила интегрирования: I. Г (и + v + w) dx =» Г и dx + Го rfj; + \w dx. II. Геи d.r « с Г» d.r. HI. \udv — uv— jt/rf«. iv. ff(X) dx=J/(? (,o) y mdf. x=т (о- Применяя формулы 1 и 2 и правила I и II, найти интегралы: 457. ^хЧх. 462. A6S. jV^dx. «S-j AS9.fxVxdx. 464. f-i* . ' J У xb/5f rfx. 465. /(*»-f 6x — 5) dx. 3R
467. Глэ(л-9—1),/л-. 472. Г^..--Ц*— . 468. 46U. flL^L±A dx, m 47i).f*i + 2At-xl3dx. 47S. (_±L-J+±dx. 471. Следующие ннтсгрллы находятся непосредственно применением формул 3—17, а также замены неременных по формуле ах -\-b = t. 477. fe~* dx. 478. fe-**,Ix. 479. js\n'2xdx. 480. fcosCjc — b)dx. 481. Гс113л-(/лг. 482. jshBx-~ 5)dx. Применяй интегрирование по частям, выражаемое равенством Ш, найти следующие интегралы: №7. fx*lnxdx. 603. 49S. [xcosx dx. 604. Г ха sin xdx. A99. jxchxdx. 605. Jxln^» — l)dx. 600. fx sin xdx. 60<L Г|пл</д;. 601. J x axctg д: rfx. 607. jx In9 x rfx. 602. J(x*-j- x) In(x+1)Af. 39
Следующие интегралы находятся простыми подстановками: 508. : — 2ix. 618. 510. f— dx. KM f dX 5,2. f-CT* *e. 513. J sin8* cos* Ac. 514. Г cos8 x sin xdx. 515. fe*xdx. ¦ С xdx 517. sln?x-t-3 * 523. Г/К*"'* J cos1 с 524. 625< J 527. J dx dx cos-c С помощью одной из тригонометрических подстановок лг ¦= a sin cp, x = asln*'f найти интегралы: 528. 529. dx dx 530. f . f* . J У* (я — х) 532. Применить интегрирование по часам к интегралу Г—г—~ > а», и объяснить полученный результат. Определенные интегралы могут вычисляться с помощью неопределённых ятегралов по теореме Барроу-Ньютоиа, т. #. по формуле v ff(x)dx~F(b)-F(a), хе F(x) — функция, производная от которой в интервале (а,Ь) равна f(x). акая же формула применима и для интегралов с бесконечными пределами. ри этом, если, например, ft = со, то Hm ff(x)dx, Hm F(x).
Найти величины следующих определённых интегралов: 533. 540. 634. dx о V* 1 ; m>n. 541. J-^* 535. о — 1 1 •«• 544. Доказать равенство: 537. 7f. — 2 к "Г 638. J tg дс rfx. 639. о о 545. Доказать равенство: r dx I 2 при -г- При § 3. Интегрирование рациональных дробей 547. f fr^fay бб1' /¦ _,„ Г xdx 648-J!^=1? 4.C + 8 rfx. бб2< 553. Доказать равенства (при &2) J 41
654. Найти интеграл )~ л~-1~?\~-> « пользуясь тождеством лг« —З.г-г-2 х — 1 * х-2' ББ5. Найти интеграл f-y \t,'. r-rf.v, пользуясь тождеством 2дг + 3 А . В 21— 5л-+ 0 в л — 2 ' .* —3 * п котором коэфинненты Л и В легко находятся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях х после освобождения от знаменателя. НаПт» величины следующих интегралов: __„ Г 2л'+ 4 . 568. J .Trziq^n"- ' J i* (* - 1)' ._. f x* — дг-j-2 ^ 561- J Г<_5л-Ч-4 Л- Г л-?^ 563- J ^^Ъх^ШГ^ 5*<- J T4v~ 568 Г л'""~ Ь °" J лТ_ l • 569- I^Ti • 57°- J -1^гГ _ f dx б71' J б72# J a* + 2.v —3" В следующих интегралах для разложения знаменателя на множн- ?ли удобно прибавить и вычесть слагаемое од;1, где а — соответ- гвенно- подобранный коэффициент. TT б75 J Г dx 57_ г ' J х* +-1 * J 676. Если знамеыатела разлагаются ва простые множители первой стелена, при разложении дроби на простейшие удобна формула: fli, а»,..., в„ — корвн аодшоыа 4' (^ Вели среди корией есть пара кии-
плексит соиряжёввых, то в cjmmc, стоящей в правой части, два соответ- соответствующих слагаемых можно заменить одной величиной: L'K(ff) *'(«)¦> L f (a) f (a) I Л'5—"(д -f- e) .v — qa Здесь 0 = 9—^( —число комплексное сопряжённое с e=«-j-f:. Найти интегралы: 577' J л- (л- - 1) (.с- 2)О~-ЗУ ' 57 J" J "XSTfl • 67^J л(л-2~1)(л-'-4)- Следующие интегралы сволятся к интегралам предьпу:.чих типов после выделения целой части в подннтегральной дроби. гЧП Гх*йх г л* .Гх |IW. | —Ц-~,—А . ООО. I —в .-. - .-¦¦.——, : , J v' -|- 3 J л* — От5 |- 11 л-—о 68!. f^. 588. Ultl±Ux. J .C' + .V-f-l J Л« — Л--\-Х— I ш. Пользуясь тождеством: 4в(вдт*4- *л; -f «) —Bвд: 4- J)» = 4ас — Ь я инте- грируя по частям интеграл J ' ^ , ' ' ¦|), можво доказать формулу при- приведения: 2л—3 где Г J Jai* Следующие интегралы найти с помощью формулы приведения; J Г^ 693. Доказать равенство: ах 1 х (^i^_ej)n 2«—2 a*(-*?-f a*)"-1 2/1-3 —2)Bл —4)
594. Доказать равенство: г B Г Bд* 4- fr).-1 + bx + c)n— (я—1)(< • 2a (m— 1) Г Bах + Ь)т~* . Л я —1— J (ax*+ bx4-c)n~l Найти интегралы: xSdx 59S- J 1 _6)«- 698. J (л,_3-K . В следующих интегралах подинтегральная функция имеет вид xw(axn-\-b)~P. В них полезна подстановка: x* = t, где о — наиболь- наибольший сбщай делитель чисел ш -f- 1 и я. 599./^. 604. 600. I ,:% ,:„. 605. 606. dx 602. ,?5*iyi • 607. J *(*» + Iji' 6O3.J__?L_. 608. /¦*•** x*— 1 * В следующих задачах интеграл находится после того, как знаме- знаменатель разлагается на множители. 609' f* + 2* + ?' + ? + 2<to- 610. J__|?H_j4_i__<fjC- 61Ь J х*_'д»4-4д:?4-Зх4-5 **' Найти алгебраическую часть в интегралах: rfjCt 616< / Ряд дальнейших задач решается разными специальными приёмами, позволяющими избежать разложения дроби ha простейшие. 44
Дробно-линейиая подстановка вида ~~S = t позволяет удобно найти интегралы: 617. Г., „?* _2)В. m.jj^. 620. Подстановки видов х-]— = hhjc = « позволяют с лег- костью найти следующие интегралы, содержащие возвратные поли- полиномы и множитель х*— 1 или х*-\-1: -1 dx Г 5 625. Найти интеграл Г—г-;—, , , , воспользовавшись тожде- J х* -f л1 -f-1 х* -f л1 -f ствзии: 1 (*8 + l) 626. Найти интегцал Г-,-ф-; dx, вычтя и прибавив в числителе величину X4. 627. Найти интеграл А= Г . ^ ^, введя вспомогательный инте- интеграл S= Г-f ^ и заметив, что интегралы А-\-В и Л — S бе- берутся с лёгкостью после подстановок х—•-?• = « и х-\— = v. 628. Найти величину интеграла А = Г ¦ е -.-, введя в рассмот- рассмотрение интеграл В == -. Д . 629. Найти интегралы С=$?цг\ и D § 4. Интегрирование иррациональных функций 630. Найти интеграл Г у j~^ dx, переведя иррациональность в знаменатель. Г dx 631. Найти интеграл I >. _Гт?' • о' » переведя иррациональ- J У X I f X ? ность в числитель. Если в подинтегральной функции содержится корень какой-нибудь степени из дробно-линейной функции"х¦jE, то от этой иррацио- 45
нальности можно избавиться подстановкой:~г| ** tn, где и — со- ответственно выбранный показатель. С помощью этого приёма нахо- находятся следующие интегралы: J У2^1-ТШ=Т' 632* 633. J (irr5^T- 636- / Т^ТТ 3. J (irr Следующие четыре интеграла, хотя и иного типа, но тоже нахо- находятся подстановкой вида: —=4-/". X— О 638< JКх-ъчхЩ' 639' J^-dm^+I)* 64L J ?f= Близкими приёмами находятся и следующие три интеграла: J Следующие интегралы имеют вид Г х*1 (ах* -f Ь)р dx, где т.пир — ра- циояальяыа числа. Они сводятся к интегралам от рациональных функций «трех случаях: L Если р — целое, хотя бы и отрицательное. Подстановка: х = <^, где N—общий знаменатель дробей тип. II. Если-^-i целое. Подстановка: ах* + Ь — Iй, где М — знамева- п тель числа р. Замечание 1. Если ни одно нз TpSx чисел р,^?_ н ——- + р не является целый числом, то по теореме Чебышева интегралы данного вида не могут быть выражены конечной комбинацией элемевтарных функций. Замечание 2. Если ———, хо:« н не-целое число, есть дроЗь, со- сократимая на я, то полезна подстановка Xя = L Вычислшь интегралы: dx Г"' 647 J /dx
650. J e«. j -TyfT*- 655- 652. f x Vl + x-dx. 656. dx x*Vx^l ' dx Следующие два интеграла решаются приёмом, подобным приме- применяемому в третьем случае интегралов предыдущего типа: Г J dx 1) |/?3+1 Во многих случаях при нахождении интегралов от дифференциальных бяномов, т. е. интегралов вша ат,р == Г х™ (ахп + Ь)р dx, бывает полезно сначала свести интеграл к другому, у которого величины т или р имеют более удобные значения. Это можно сделать с помощью формул приведе- приведения. Главнейшие из них имеют такой вид: а (т + пр + 1) ат.р = л«-»+1 (ах» + Ь)Р ^ — 6 (т — п 4- \)ит-п,р1 (ах» + Ь)Р -f Ьпритр^. С помощью формул приведения найти интегралы: J (Гг 663. 662. Г В большом количестве дальнейших задач даиы интегралы, содержащие корень квадратный из квадратного полинома. Все они могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трёх подстановок Эйлера: У ах* + Ьх + с — х УТ+1; Уах* + Ьх + с =fi + tx, У а л* + Ьх + с = ( (х ~ х& где Xi—корень полинома ах* + Ьх + с. Однако в большинстве случаев подстановки Эйлера приводят к боле» длинным вычислениям, чем прямые методы. Для их применения следует озна- ознакомиться с тремя основными типами изучаемых интегралов. 1. Ивтегражы вида Г—?===^====ь- , где/(х)—полином. Простсй- J уах' + Ьх + с юяе из них те, гда f(x)— 1. Они берутся выделениями квадрата линейного двучлена. Так, из тождеств 47
подстановкой х—п * получаем: ( ) С; «= arcsin 2t~3 H- Таким же путём находятся интегралы-. 665> / ~у^ТЩт~' 667> J 666'J y2iqfer"* 668'J Доказать равенства: '•/ a >0. 670> f 670> f d^ = » arcsin -Jg*-+±- + С; «<0. J Ya**+bx + c Y Yb'Ac^ JMx -t-N — dx легко сводятся к предыду- у а*2 + 6.»: + с /2ах-\-Ь ¦г , , . = dx*=2 Yax*+bx + c + С. Так, у ах'-j-ft*-(-с например, для интеграла Г—. * .. — dx, деля 3* + 5 иа произвол- Г J иую подкоренного члена 2х-\-\, находим в частном -=-, а в остатке у : о .у 3-r-f5»=— Bjc+ 1) + y^ следовательно, J Ул' + х + 1 2 J Улс'Н-Jf+l 2 J 48
Найти интегралы: dx. dx. 676. ; jT / „\ J где /(х) — поливом степени п. Два метода особенно удобны: /х" dx - лйгкп доказывается фор- у ах* -{¦ Ьх -\~ с мула приведения: [ — 2) »п_8 = 2xn~1 У ax* -p Ьх -f- с' позволяющая сводить нахождение.яп с большими значениями л к отысканию величия ип с меньшими значениями л. В. В большинстве случаев не менее удобен метод неопределённых коэф- коэффициентов. При этом пишем предположительное тождество: Беря производную от обеих частей равевства, получаем:—=== ===== У ах1 -f Ьх -f с [(я -1) i4i*»-« + (я - / 1 " " 2Уох* + Ьх + с ' УШТЬх + с Освобождаясь от знаменателя, получим в обеих частях равенства поли- иомы степени я. Приравнивая коэффициенты при однва;-:овых степенях х, получим ураввеиня, из которых коэффициенты Аь At, .•. ,Ап находятся одна за другим. 679. "/Г' . dx. 682. Замечание. Относящиеся к предыдущему типу интегралы вида * dx удобнее всего вычислять с помощью другого инте- интеграла Г У ах* + Ьх -f e dx, находя оба эти интеграла одновременно. Так, 4 8шь 4Ш. ООвршшс мдап, х. U. 49
ипример, при нахождении интегралов Г—— ^ н jyа»— jc* rf* имеем: ) С другой стороны, интеграл Г Ya* — -*1 dx можно интегрировать по ча- частям, полагая У*л*—х1 « я, dx « dv. Таким образом, получается равенство Уа> — x*dx**x\a,i — х*+ ,/ \ ~Т^' j у & —•* Складывая (•) и (*•) и деля на 2, получаем: f У*' — х* dx = ^x Va*_^ + ^arcsln-^' Из тех же равенств получим и другой интеграл: Г ¦ J хЧх х arcsin —• /(•«) rf* уа-—х% 2 « Предыдущие задачи содержали интегралы вида | J где f(x) — полином. Чтобы иметь возможность интегрировать саиый общи! интеграл вида J / (х.у) dx, где f(x,y) — рациональная функция от х и у, а у «= У*?ЧР"*Т+Т, важно уметь находить интегралы ещё двух видов, которые мы обозначим цифрами II н III. II. Интегралы вида Г т, ¦ - , где /-, (х) — поливой J (x — a)" Yax* + bx + e степени т, меньшей, чем п. Эти интегралы сводятся к интегралам преды- предыдущего класса подстановкой х — аг=.—, Если степени полинома /„(х) но / (х) меньше, чем я, то у дроби ,х_'п следует выделить целую часть. С помощью »тнх методов найти интегралы: 633. Г — J л у л 1 688, b7t J (*-l) dx' *** 686 " J (x-iy\x*-i ' 690* J (л-i)' Ш. Третий и наиболее сложный тип представляют интегралы /з г (Mx + N)dx . , . , , ,ч" '.,.,. .„,,. . , .==?=-1 где корни трехчлена x*+px + q мин- J (** +рл: + ?)п Улл» +Ьх + е 60
кые. Если р = Ь = О, то , xdx интеграл находится подстановкой ах* + с=*и\ а второй подстановкой a + cx-***v\ В общем случае интеграл /сводится к «тому простейшему .«/ + ?_, J подстановкой х = « ¦ i • При fT0lf получаете» rxe /„(/) —иохиивм степени я, а коэффициенты В я Bt имеют такие зна- значения: Полагая В=*0, В, — 0. получим уравнения, дающие для « и р вещественные значения при вещественных р, q, а, Ь, е, если хотя бы один из п.лиаомов Xs + px+q, ax*+bx-^-e имеет мнимые корни. При таком выборе чисел « и р интеграл / распадается иа сумму интегралов двух видов: e*idt J (Afl+QYA^ + Ci J { которые интегрируются соответственно подстановками Aifl + Ci — •* « Ai Найти величины интегралов: 1 Г d* 692 Г J (х*~x+l) Yx* + x+l ' ' J (ж* Самый общий интеграл вида J /(.«, Yaxi + bx + c), где /(^^ — ра циональная функция от х я у, сводится к интегралам трех предыдущих ви- видов. Для этого достаточно, уничтожая иррациональность в знаменателе, пре- преобразовать функцию f(x,y) к виду «р (х) + ф {х)у, где <r(Jf) и ф(-<) —раиио- яальные функции от х. При втом ф (х)у — ¦¦"у ^ ¦ «• ¦'— " * Таким образом, дехо сводится х нахождению интеграла от рациональной функция »(д;) н от функции <•¦,""! =» рД« •(«) — рациональная дробь. В последнем интеграле рациональную драбь ш(х) можно преобразовать выделением целой части а разложением на простейшие дроби. Посде этого. получатся интегралы трех рассмотренных тнлоа. В простх случаях часть этих преобразований ошадаат. А. И
x*dx 704. С dx 70s. J -цгу, 699. I 1/ 4^-fe ™6. J._-^|L 700. { ^===r. 707. f7- -Jf^ J (x* — x)] 701. I * T r *.T ' rfx. 708. Г JrdJC 2x+4 $¦ •J(\n ' "•* р»лл I »X f ** 709. f J jc-y-^-^+l J(x»+x- 703. f ^ + *+lL if». 710. f J (x1 +1)Ух=4-1 J (x2— Подстановкой Абеля иногда называют подстановку ¦ ¦ =а, у еде1 -\-Ьх + с удобную при нахождении ннтеграла от функции (вдсг -J- ij: -f- с) 2 где п — целое число. Найти интегралы: 7Ц Г dx 713 Г J Уфе—хг/ ' ' J 712 Г **. 714 Г J (*+*+1)г Y^+x+l' ' J Интегралы Г/(дс,_y)dr, где f(x,y) — рациональная функция, i jia = У Ах* + ifce» + Cs2 + ?>jc + Е, называемые эллиптическими, водбще говоря яе интегрируются в конечном виде, есхи нет особых соотношений между коэффициеятами функции f(x,y) или полинома Ах* + Вх* + Сх* + Dx + Я. В следующих примерах, имеющих дехо с возвратными полиномами, одна из подстановок x-j- — =и иди .г •= в позволяет сравнительно просто по- получить интеграл. Г I J 71К 715. 716 f?l±l_i?^- 718 J1 1 У*+1 ' ' +1 * Теорема Абеля. Пусть .у — алгебраическая функция от х степени в, т. е, jr удовлетворяет уравнению^(jc, jr)« 0, где ср (х,у)— полином отно« ентедьно л » у стецеци « относительно >. Если интеграл Г /(х, у)^л от
функции f(x, у), рациональной относительно х,у, может быть выражен через алгебраические функции, то должно выполняться равенство: Гf(x,y)dx = = Po(*)+PiWy+ hPn-iWy*'1' где рй(х), Pl(x) ^n-iW — рациональные функции от х. т/ Следствие. Если у= т/ <?(*), где ч(х) — полином степени я, и *-'+ ... + ! если интеграл J - * " * dx выражается алгебраической функцией, то он должен равняться fMy"*-1, где fix) — полином степени Х-я. Найти алгебраические интегралы от следующих функций: Г Sx* + 2** + 8-rl4-6^+1w -jo. Г 719. I 1- ¦* —— их. 11\. I 720. J § 5. Интегрирование трансцендентных функций Интегралы, содержащие функции In?, arctg7,arcsln4, где ?—некоторая алгебраическая функция от х, нередко интегрируют по частям, полагая ц = 1п<;>, н = arctg ^f>, «=arcsin^. Этим способом находятся следующие интегралы*. 730. Г . * 1п . х dx. J у 1 — jc« У 1-х* 731. faictgxdx. 732. fx*atctgxdx. 733. jAr'arctgjcrfA:. 734. J arcsin xdx. 735' /xarcsinxdx- dx. 7з'в. J J AГ;;^ Интегралы, содержащие произведение полинома иа одну из функций ео", cos ax, sinbx, лучше всего берутся по формуле многократного интег- интегрирования по частям, которой можно придать такой вид: + (_ lLi+i J я(я»+1) Если а — полином степени m, то последний член обращается в нуль. 63
Доказать равенства, в готорых f{x) — полином степени т: 738. 739. <<ПДДГ ДДГ-Г/(л;) **[ j . 1 [ С. Найти интегралы: 741. fx*e—dx. 742. fx*cosxdx. 743. J^si 744. Jjc* sin jc Лс. 745. f (x*—2xa±5)e*dx. 746. J (*« + Ъх + 5) cos 2* dx. 747. fx*e*»dx. 748. j* (*8 — *» + *) sin x dx. Следующие интегралы, содержащие показательные функции, нахо- находятся интегрированием по частям, а также и простыми подстанов- подстановками: 749. f J ёх 753. J 7S4- / f *-* dx. 7S2. 756. Следующие интегралы удобнее всего находить, пользуясь тем, что формулы интегрирования для функция, содержащих е"*, остаются в силе и для комплексных значений о. Отделив вещественную н мнимую части, получим равенства с вещественными интегралами. Этим путем находятся интегралы: 757. J* «•" cos Ьх dx. 758. j С sin Ьх dx, 75,9. J* x* sin * е* dx. 760. J *9 cos * е dx. 64
Ряд дальнейших интегралом относится к типу Г /(cos*, slnx)dx, где f(u, v) — рациональная функция. Зяесь полезно иметь в «иду три правил»: a) если /(со»*, sin*) умножается на—1 от перемены знака перед одной из величин cos* или sin*, то полезно другую из них обозначить через t, b) если /(cos*, sin*) не меняется от перемены знака одновременно неред cos* н sin*, то полезно положить tg*==/ или ctgx = t; c) подстановка tg — = t но исех случаях обращает интеграл рассматри- рассматриваемого типа и интеграл от рациональной дроби. К сожалению, эта подста- подстановка приводит к более длинным вычислениям чем предыдущие, если они применимы. Найти интегралы: 761. j*sln8jcrfjc. 768. Jdgxdx. 762. J sin8 ж cos4* Ac. 769. j—^;- 763. fjj?rzdx- 77°- / sin7*cos8*Ac. 773# J si 774./ sin*cos»x' Для интегралов i/mn"« Г sin"**cos".rrf* существуют формулы при- приведения, позволяющие сводить интеграл к другим, у которых ввачкн т и л ближе х нулю. Эти формулы сиодятся к четырём основным: (т + л) 1/,»^=* — sin»-* х cos'i+i * + (m — 1) f/m _1)Я (m + я) УМ)Я - iln»+*x cos»-** + (л- (ж-1 (л- Обозначая через </m интеграл UOn н через Vm — интеграл Um0, полу- получаем отсюда ещв две* формулы приведения для интегрален: ?/„ == Г cos" x rfJC и Vm/ m Km = — iln"»-1 Jf cos * -f (m — 1) , — sin * c.os»-* * + (я — 1) Un-» Пользуясь формулами ирнведеиия, йаятн интегралы; 77S. / sin* х со»1* dx. 776. / sin* x cos*x dx. 717. f eln%xcQ8*xdx. 778- / s\nlxcos*xdx. 779. f slifixdx.
<* 781 В ряде случаев бывает удобно преобразовать произведения и степени синусов н косинусов в суммы или разности. При этом можно пользоваться формулами: cos a cos ft = -i [cos (а — Ь) + cos (a + 6)]; cos» a = 1+^os2a ; •In a sin ft = -j [cos (e — ft) — cos (a + ft)J; sin* a = ¦1~с2°з2а ; sin a cos ft = -g- [sin (e — 6) + sin (я -j- 6) J; sin a cos e =¦ у sin 2a. Иногда ещё удобнее применять формулы Эйлера: gxiA.e-xi exi^e-x{ cos x = '-2~—, sin x = 2^ • Найти интегралы: 783. Г cos.tr cosZxdx. 788. J sin -|-cos ^ dx. 784. f cos .v sin Ъх dx. 789. Jsin2jccos23JC</jc. 785. Jcos3jccos4.rir. 790. Jsin4^^. 786. f cosjccos3jccos5jc^c 791. (cosixdx. 787. Г sin jc sin 2д: sin Ъх dx. 792. J sin* x cos4 x dx. В дальнейшем приводится ряд интегралов от тригонометрических функций, решающихЬя разными приёмами. 793. Найти интеграл J 3,^~^^ dx, сравнив числитель с про- производной от знаменателя. 794. Найти интеграл J 5co^+2sin^ dx' пРеЛставив числитель в виде Аи-\-Ви', где a = 5cosjc-j-2sinx 795. Найти интеграл Г л^соз х ' пРиведя знаменатель к ло- логарифмическому виду. 796. Применить такой же приём к интегралу Г —-.—-?т . 797. Найти интеграл J ]/l -f- sin x dx, пользуясь тем, что 1 = = cos8 \ -fsln'-f . Подстановкой tgx = t найти интегралы: 798. frr ^ 799 [ ft
800. h dx "tgi" ' 801. jtg*xdx. «"•fife- воз. J-^%^ 804. / ** a*sln*x + 63cos2jc' 805. JD '4',t Найти интегралы: s\n2xdx 812. f-T-| J sin* й,о Г ?2 J sin4 .V x -|- cos* л; cos 2x dx dx. 815. J 816. J •» /та- 820. /cos2* Ac. COS* Л Л. rfx. Ac. 803. f ! 807- япс 808' 3in' -x ,dx. 810. f — J О 81 '* J sina* —cos^* • cos2x) cos x ax dx. cos3x 821. 822. 823. f coll J /sin 2. 824. 825. dx. J /cos 2* J /sin 2* Замечание. Здесь полезна подстановка -j — x — t. dx 826. J a+ бсовдг при о2 > 6я и при а2 < Следующие интегралы содержат гиперболические функции. В этих примерах их удобно выразить через показательные функции. 1х. 830. 8^ № 8М jch^-sh»* 829. dx. 831. (ch x -f sh x) "J/chj; — sh* dx. В дальнейших примерах удобнее ие переходить на показатель- показательные, функции. 47
R44 Г dX ЯЧ7 Г odd. I г;—; Г5—Г5Г • Od/. I Шш J l-ibx' 838. j 835# Jl»h«V 839- f § 6. Вычисление площадей (квадратура кривых) 840. Доказать, что площэдь S криволинейной трапеции, ограни- ограниченной осью Ох, прямыми ж = а, х*=>Ь и кубической параболой у в- Ах* -j- Bx1 -j- Cx -f- D, можно выразить формулой где у0, Ух н >'j — ординаты при х«=а, ^ 841. Доказать, что площадь S сегмента параболы можно выра- 2 зить формулой S*=>-?lk, rat I — длина хорды сегмента, а А — вы- высота сегмента. 842. Найти площадь фигуры, ограничиваемой параболами .У — **» у*=*х. 843. КгЯти площадь, ограниченную одной дугой циклоиды х — с=» а (/ — sin ^), у*=а(\ — cos t) и осью Ох. 844. Найти площадь кардиоиды г =-д A-}-cos о). 845. Найти площадь между Оу и кривой .у«-±:Т/ —-j—. JL JL JL 846. Найти площадь астроиды л:3 -\-у* ¦¦«*, приведя ев урав- уравнение к параметрическому виду. 847. Найти площадь кривой jc*-|-^4 = х*-\-у*, перейдя к поляр- полярным координатам. Тем же приСмом найти площади кривых: 848. Петли листа Декарта x*-\-)p=*Z(ixy. 849. Лемнискаты (**-}--y*J-=2aajcy. 850. Подгры эллипса (х"-{- ,уа)*=-а9д:9+ Ь>у*. 851. Найти площадь, ограниченную осью Ох и трактрисой При этом удобно ввести параметр ?, положив j> = asin<p. 852. Найти площадь общей части виутрн круга х*-^-у9 =^ ipx я параболы у**-2рх.
853. Найти площаяь между кривыми у1 = 1рх и 27ру* = 8 (дг—р)8. 854. Найти площадь между параболой и какою-либо из еб нор- нормалей. Найти площади кривых, заданных в полярных координатах: 855. г = а costp. 856. r = acos2<p. 857. r = ecos3». 858. г «a a cos 4<э. 859. гW ig? при 0< ? 860. Эллипса г==^.. Д , *<1, 0<®<<р0. 861. Гиперболы г — ¦ Д^ ¦, «>1, 0<»<?0; <cosea>—1. 862. Равнобочной гиперболы rJcos2<? = ca при — 863. Кривой г«-о]/1-}-<»9, <р = « — arcige, 0<*<«0- 864. Кривой г = "уу=;, ? = • — arctge, 0<•<•„. 865. Доказать, что площадь S криволинейной трапеции, ограни- ограниченной осью Ох, прямыми х—а, х = Ь и параболой __у =»^.Jc8-f- •\-Bx*-±-Cx-]-D, можно вычислять по формуле Ух, У* Л —значения у при д: = —f--- -т~^=, ж iJ —а 1 666. Доказать, что такую же площадь для параболы 5-го порядка у в- Ах* + Я** + ?** ~Н ?>дс3 4* ^ "h ^ "ожно вычислить по формуле ^ и yt— значения ^ при д:— § 7. Вычнсяеяне длив дуг кривых Найтя длины дуг следующих кривых: 867. .у=»уТпри 0<*<1. 868. ушшЫх при YT<x< 869. ^-=»1—1асозх при §70. ^ •=¦ я In cos ~ при 99
871. y = ach-j при 0<л:<лг0. ~ при 0<х<х0. 873. y = 2aln yj^ ** — Цгах при У а— ух 874. x = aln а+У<*—уъ _ уда_ Х2 при 875. уь=рх* при 0<у<у0. 876. (Га—ж) .у2 —.г3 при 0<д:<д:0, где л:0<2л. _2_ _2_ _3 877. *3+.у3 =а3 при 873. л: = а cos5/, >' = asin5/ при 0<д:<а. 879. x—a(t — sin/), y — a(l — cost) при 0<*<2-а. 880. г = аA -f-coso). 881. Одного витка спирали Архимеда г-=ао, 0<?<2-. 882. Логарифмической спирали г = аетч, 0<г<а. 883. Доказать, что длина одной дуги эпицихлоиды x = a[(n-\-\)cost — cos(n-\-l)i],y = a[(n-}-l)sint — sin(n равна 8а—?—. 884. Доказать, что длина одной дуги гипоциклоиды х = а [(я — l).cos * -j- cos (я — 1) t], у =» а[(я — l)sin / — sin (л—1) /J равна 8а —-— . Найти длины дуг следующих кривых в пространстве: 885. x = acost, y = aslnt, z = bt при 0</</0. 886. * = e'cos/, y = efsint, г==е* при — со</<0. 887. x = at, у=УЪаЫ\ г = ЗЫ3 при 888. жа = 3у, 2ху = 9г при 0<д:<д:о. 889. .y = aarcsin-j, z = -j\aj^- при 0<д:<а:0. 890. jf»=»2ex — x\ t = — ala(l — ~y, 0<x<x0, 891. 4ах=(у + г)\ 4д:а + 3/ - 3*а; 0<д:<д:0. 892. (у — гJ = ЗаСу4-^); 9*a + 8ya = 8*a; 0<.г<лг0. 893. д:2 +У = аг, у = х \g~ . 894. х3 +.у»_ + «" = «a. /*2+У ch arctg ^ = a. 895. Парабола 4ау = д:2 катится по оси Од?. Доказать, что е5 фокус описывает цепную линию y=ach-^. 60
896. Доказать, что кардиоиду можно катить по циклоиде так, что ей точка возврата будет описывать прямую линию. § 8. Вычисление объёмов Найти объём тел, полученных при вращении следующих линий: 897. Гиперболы ху = а9 вокруг оси Ох при а<х<со. 898. Синусоиды _у = sin д: около оси Ох при 0<jc<ic. 899. Циссоиды Bя — х)у*—хг около Ох при 0<л:<6<2а. 900. Лемнискаты (jc9 ¦[-у*O = a2 (jc9 — .у2) около Ох. 901. Кардиоиды г=аA -f-cos») около полярной оси. 902. Циклоиды x = a(t — sin /), у = а{\—cost) около Ох, при 0<х<2~а. 903. Параболы у* = 2рх около Ох при 0<jc<a. 904. Эллипса -^--{--^5-= 1 вокруг оси Ох. 905. Гиперболы -^—-^ = 1 вокруг Ох при a<jc<m. 906. Той же гиперболы вокруг Оу при 0<_у<й. 907. Циклоиды x = a(t — sin/), y = a(l — cos/) около прямой X = О~.. При решении следующих задач полезно применять формулу для вычи- вычисления объемов где S(x) — площадь сечеиия тела, перпендикулярного оси Ох и удалённого от начала на х. Вместо оси Ох можно взять любую другую ось. 908. Найти объём тела, ограниченного поверхностями г3-\-_у9=1; jc! -J-2e=al, рассмотрев горизонтальные сечения. 909. Найти объём тела, ограниченного поверхностями х*-\-у*=ах, х — г = 0, х-|-г = 0, рассмотрев сечения, перпендикулярные Ох. Найти объёмы тел, ограниченные поверхностями: 910. х9 + 4^==8г( д;_}_4уг=], г = 0. 9П. у- = 2р{а — х), x — z — 0, х- 2г = 0. 912. г2 = а — л — у, х = 0, >» = 0, г=0. 913. гЯ = Пз-4 ла-|-.)/3=ах. 914. г = 0, Ьу = х(а — г), Ьу= — х(а—г), х = Ь. 915. уа + г2==а2сЬ9^-, —6<х<*. 916. В прямой круговой цилиндр (стакан) рздиуса г налита вода. Ось наклонена под углом а к горизонту. Часть дна, покрытая водой, — сегмент с центральным углом 2<р. Найти объём воды. 61
917. Прямой круговой конус рассечён на две части плоскостью, проходящей через центр оснопания и параллельной образующей. Найти объём частей конуса, учитывай, что сечения конуса плоско- плоскостями, параллельными образующей, суть параболические сегменты. 918. Четверть прямого кругового цилин7ра рассечена наклонной плоскостью, проходящей через радиус верхнего основания и конец радиуса нижнего основания, перпендикулярного, к первому радиусу. Через ось цилиндра проведена плоскость под углом <р к упомянутому радиусу верхнего основания. Найти объемы частей четверти цилин- цилиндра. 919. Найти объём, ограниченный поверхностью коноида а*Ру*=- г**Ь*х*(а*— г2) и плоскостью х = 1. § 9. Вычисление поверхностей Найти поверхности, полученные вращением указанных кривых вокруг данных осей: 920. ^ = sinjc вокруг Ох при 0<jc<ic. 921. y = tgx вокруг Ох при l 922. у*-\-х- — 2ау вокруг Ох при — a<jc<a. 923. x's-\-<y~ b)9=>r') b>r; вокруг Ох при —/•<*<;-. 924. у* — 2рх вокруг Ох при 0 < х < а. 926. _y* = p.va вокруг Ох при 0<.у<а. 926. -^r+^ir — 1» a>b> вокруг Ох. (Удлинённый эллипсоид.) 927. ¦3r~f"^r=sl *• a>b'> около Оу. (Сплюснутый эллипсоид.) 928. 4; ¦frI=1 около °У при ~ 929. -^ — "Ir^ около Ох при a<jc</n. 930. x=sa{t — sin/)» ,y==»e(I—cosf) (циклоида) вокруг О* при 931. x=*a{t — sin/), y—a{\—cos/) окаю прямой при 0<f<K. 932. ^ = acos8/, ,y=asin3/ около Ox. . дг-=д1д д"*т" У*'"^ уа*—у2 (трактриса) около Ох. 934. Кардиоиды r«=afl -j-cos<?) около полярной оси.
ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ЛИНИЯМ И ПОВЕРХНОСТЯМ § 1. Введение 935. Определить в интеграле ///(¦*».У) dxdy пределы ннтегри- 8 ромиия, где 5 — круг х%-f-у* = а7, если выполнять интегрирование сначала по ж, а потом по у. 936. Тот же вопрос для площади S, ограниченной прямыми jf = 0, у = 0, х-\-у = а. 937. В интеграле ff/(ж, у) dxdy площадь S ограничена пря- s мыми х=*у, у=**0, х-\-у=2. Определи-ь пределы интегрирования, если внутреннее интегрирование совершается по х, а также, если оно совершается по у. 938. Определить в интеграле f j fix,у) dxdy пределы интегри- s рования, если S—параллелограмм со сторонами у = 0, у — а, у = х, у=*х — 2л. Рассмотреть оба возможных порядка интегрирования. 939. Тот же вопрос для площади S, ограниченной прямыми у=* h, ay-\-hx,%ay*=A.ah — fix; o>0, A>0. Переменить порядок интегрирования в следующих интегралах: 940# / (U(*'У) dy) **' 943. J dx f f(x, у) dy. • • • а»-а» It ta f f(x,y)dy. V5S5 944. J J f{x, y)dydx. y • 942. jdy j f(x,y)dx. • - Ввести вместо хну новые першмеиные и определить пределы интегрирования по новый переменным для следующих интегралов: 945. J Г/(*, y)dxdy, если x=>ucosv, y = smv, а площадь 5 63
определена неравенствами: х>0, _у>0, .**-f-у*<а*. 946. Тот же вопрос, но площадь S — часть кольца, определён- определённая неравенствами: а?<х*-\-у*<.Ь2, #>0, у*>0. а $х 947. J Jf(x, у)dxdy, если и=х-\-у, uv = у. О их а Ь 948. Г dx jf(x, y)dy, если и=у -\-ах, uv — y. о о 949. \ \ f(x,->y)dxdy, если x = rcoss<p, у =rsin3'f, а площадь s 5 ограничена астроидой я8 -{-.у3 =as. 950. В интеграле \\f{x, у) dxdy площадь S ограничена пря« s мыми у = ах, у = $х, х = а. Таким образом, область интегрирова- интегрирования— треугольник. Подходящей заменой переменных обратить область интегрирования в прямоугольник. 951. В интеграле Г Г/(х, у) dxdy область интегрирования — s четверть круга: х2-\-уа=а2, д:>0, .у>0. Заменой переменных превратить ей в прямоугольник. 952. В том же интеграле обратить область интегрирования в рав- равнобедренный прямоугольный треугольник. Вычислить двойные интегралы от данных функций по данной области: 953. Г Г (x-\-y)dxdy. Границы области S: х=0, у — О, 964. Г Г (х2-{-у**) dx Яу. Границы области 5:^ = 0, х = у, #=1. s 955. Г Г (х-\-у) dxdy. Границы области S: х — у, х=у*. a 956. jjx'dxdy. I*I + |JM<1 957. Г {\х—у)dxdy. Границы области S: ^ = 0, х=у, 8 958. J* j* xy dx dy. Границы области S:y* = 2x, х—2. в
959. Доказать равенства: jj x*dxdy = ffy*dxdy~± JJ* (*>+/) dxdy, s a a где S — область, определённая неравенствами: *>0, v>0, 960. Вычислить Г Г (д:а -f- у9) dx dy, введя полярные координаты: в x = rcos^f ,y = rsin<p. Область S — та же, что и в предыдущей задаче. § 2. Вычисление площадей Пользуясь очевидной формулой S ^* Jjdxdy, вычислить пло- s щади, ограниченные следующими кривыми: 961. у — х\ х=у*. 962. у — 2х — х*, у =» *а. 963. 2у=*х*, х>=гу. 964. 4^ = д:а —4д;, д;— у — 3 = 0. С помощью этой же формулы и перехода к полярным коорди- координатам вычислить площади, ограниченные кривыми: 965. Лемнискатой (*а-{-у»)а = 2а9 (д:а — у>) н окружностью >4У 2 966. Кардиоидой (#а+.у2 — ад;)а = аа(д:2-{-У) и окружностью Вводя полярные координаты, вычислить площади следующих кривых: 967. (д:а-{-^а)а=в2а9д;-у (лемниската). 968. (*a-{-.ya)a = aa;ea-{-*V (подэра эллипса). 969. (дг9 + ^8 = а2(д:* + У). 970. (*а -j- У)а = «ала — ЬV- 971. хг-\-уг — аху (лист Декарта) — площадь петли. 972. (*a-f-.ya)a==a(*8-{-.ys). 973. xi+yi=*2a*xy. 974. Пусть ю(д:, ^), <р(#, >*), ф(*, ^) — однородные функции степеней п, л —2, л —2, одновременно обобщающиеся в нуль лишь при х = 0 и _у = 0 и положительные при других.значениях х к у. Обозначим через S{a, b) площадь кривой Доказать, чт 5 Яш. «*• СОофята мдач, т. П. 6S
975. В частности, если <в(х, у) =¦ (*9 + .уа)а, <? (х, у) — ty (х, у) =у9, то S(a, b) = S ( 5, а). Получить отсюда, что 5 (а, Ь) В дальнейших задачах полезно применять обобщённые полярные координаты, полагая v ^ ar cos" <p» J> = 6r sin' cp, где a, ft и о — соот- соответственно выбранные постоянные. При этом якобиан J удобно вычи- вычислять по формуле J = JlJ%, где Jx — якобиан подстановки jr = a;, у = Ьч[, равный ab, а Уа — якобиан подстановки z=rcos°<?, -»|==*= /- sin"?, равный величине osJ~19siI~1 Найти площади, ограниченные кривыми: 979. Г~ 4" jA. = -^г(площадь петли). 984. (]/Л-7"+ у -у) = ^~ (площадь петли). В следующих задачах границы площади заданы уравнениями та- такого вида:<р(х,у, а) = 0, з»(х,у, b)=0,ty(х,у, а) = 0, <ji(*,^/, Р) = = 0. В них удобно выразить х и у через новые переменные а и г> из уравнений: <р (х,з', и) = 0, 41 (•*»У*v) — 0- Найдя якобиан J, можем вычислить 5 по формуле: ь р S Найти площади, ограниченные кривыми: 985. х-\-у = а% x-\-y—b, y~ax, y =
988. xy = a9, xy = bu, y = m, y = n. 989. у'1 = mx, y* = nx, x = ay, x = $y. 990. #y = a2, xy = b2, x = <xy, x = ?y; #>0, y>0. 991. y* = ax, у = bx, x% — my, a2 = n>». 992. ду = а9, лгу = &2, у* = тх, у'1 = пх. 993. y = a2 — 2a*. _у» = &з_2^, у = ccs-t;0 8in4 ' cos^t fin*», Замечание. Кривые, ограничивающие область, — софокусиые эллип- эллипсы и гиперболы, пересекающиеся под прямым углом. Здесь полезно ввести эллиптические координаты а. и к, положив х «и с ch a cos i/, .у =s с sh a sin о. 995. Найти площадь, ограниченную эллипсом (ах + by + сJ + (ах* + &^у + <ч)г = Л2; 996> Найти площадь, ограниченную линией I лж 4- Ьу 4- § 3. Вычисление объёмов Найти оЬъёмы, ограниченные следующими поверхностями: 997. х-ту-\-г = Ъ; * = 0; г = 0; д:+2^<4. 998. х—у-\-г=*6, х-\-у = 2, х = у, у = 0, г = 0. 999. х-{-у-\-г=*6, х=у, у=*0, * = 3, г = 0. 1000. г=а + ^. г=— х— а, 'х*-\-у* —а*. 1001. г2 = ду, д: = а, j: = 0, ^ = !>, у = 0. 1002. х-{-у-\-г = а, Ъх-\-у — а, Зх-\-2у = 2а, у — 0, г==0. 1003. + »"" г7* ^+gl, jr=-Xl ^ 0 1005. д;9га4-а2У = с2д:2, 0<д:<а. 1006. У-|-г2 = д:, д:=^; г>0. 1007. г=~х- 1008. 1009. 1010. л 10П. 1012. *а+У =»«**, *¦+У=««; г>0. G7
1013. x 1014. cz***xy, х*~-\-у1 = ах, г = 0; у>0. 1015. z — x't-T-y-, z = x-x-y. 1016. Доказать, что объём, ограниченный плоскостью х = тх-\- -{-пу-{-р и параболоидом г = ла+.у2, равен половине площади круга х- + j/3 = mx + пу + р, умноженной на разность величин х2+.уа и тх-\-пу-\-р, вз.чтую в центре эгого круга. 1017. Доказать, что обьёа сегмента, отсекаемого плоскостью от эллиптического параболоида, равен площади основания сегмента, умноженной на половину высоты сегмента. В следующих задачах, кг к и в некоторых из предыдущих, по- полезно вводить полярные координаты. Найти объёмы, ограниченные поверхностями: 1018. х** -\-у~ = сг, xiJry* = Л2 (jf« -f ^2). * = 0 1019. г*=2ху, (х'2-\-у-J = 2а2ху, г = 0; х>0, у>0. 1020. дг3+У--т-^ = а. xd-\-yi = ai(x*— у*). 1021. xi-\-y'i-Jrz3=:a2; x2-}-^a> j a.r |. (Задача Вивиани.) 1022. г = х2-\-у\ г* = ху\ х>0, у>0. 1023. г(х-\-у) = ах-\-ду, г = 0; \ <х*-{-у*-<4, х>0, у>0, а>0, *>0. 1024. Доказать, что объём тела, ограниченного поверхностями: г = 0, х2 -\-у* = с2, г ['? (х) -{- ? (>')] — а? (Л) 4" *? О)» г*е ? (¦*) — любая положительная интегрируемая функция, а>0 и 6>0, равен 1 1025. Доказать, что объём, ограниченный поверхностями г = 0 и e^se2", равен к. 1026. Линейной ваменой перемгиных найти величину объема, заключённого между поверхностями г = 0 и г = Ав~<3г2) Где a>0, *a—4ас<0. При решении дальнейших задач полезно вводить обобщённые полярные координаты по формулам: x = ar cos» <р, y — br sin» «p, У = aior cos» cp sin»9. Найти объёмы, ограниченные поверхностями: 1028. сг = ху, -^ + 4г 10». (? 83
с ' a l с -J = i; *>o, y>o, z>o. -? = 1; x>0' 1037. z = xVx-ryVJ> x+y — l; *>0, _y>0, 1038. га = л;_у, x-f-_y=l; г>0. 1039. сг^ху, (f+ f)+ = -g- ;x>0, y >0, г>0 , г>0. ) г>0. Следующие задачи по способу решения близки к задачам 985— 994 этого же отдела. Найти объёмы, ограниченные поверхностями: 1044. г=уе °*, ху = а2, ху = 2сР, у=*т, _у = п, г = 0. 1046. сг = ху, уч = тх, yi = nx, х = а.у, х = $у, г = 0. 1046. г*=*ху, ху = сР, ху=4а?, х = 2у, * = 3у, г = 0. 1047. сг = ху, у* = 2х, у2 = 3х, х* = у, д;2=2у, г = 0. 1048. г9 = дгу, ху=\, ху = 4, у*=,х, у* = Ъх, г — 0. 1049. г=х2у, у*=а? — 2ах, у* = /»2-(-2тх, у = 0, г = 0. § 4. Вычисление поверхностей Величина поверхности, заданной уравнением; F(x,y, г) = 0, выражается интегралом Я dy, s где площадь S есть проекция искомой части поверхности на плоскость хОу.
Если поверхность задана параметрическими уравнениями х = у (и, v), у =» = <)<(«, р). г = ш(«, р), а элемеиг длины дуги ds кривой, лежащей на по* верхносш, выражается формулой * + IF du dv -\- G dv\ где дх\» , / ду \\ дх дх , ду ду , дг дг ^^~ди~ейГ + 'д1Гд:Г + 'Ж1кГ то величина поверхности представляется интегралом распространённым на области значений и и v, соответствующих точкам изучаемой части повер>ности. Найти величина поверхностей, указанных в следующих задачах, 1050. га=2ху при г>0, 0<х<а, 0<у<Ь. 1051. х* = 2рг при ах>у>3х, 0<х<а. 1052. Части поверхности г' — 2рх, вырезанной поверхностями У = 2qx, х — а. 1053. Части цилиндра -jj-j- ts^ ^» заключённой внутри цилиндра g+^-I;a>». , 1054. Части шара x'i-\-yi-\-z1 = a'it заключённой внутри цилиндра 1055. Части шара х*-{-у^-{-г* = а3, расположенной вне цилин- цилиндров я2-}-У1 = — ах.^(Задача Вивиани.) 1056. Части цилиндров я2 -f- уа = ±: ах, расположенной внутри шара х*-\-у*-\-г* = а?. 1057. Части конуса у* -f- г9 = д:3, расположенной внутри цилиндра 1058. Части того же конуса, вырезанной поверхностью х*=ау. 1059. Части поверхности *=arctg —, проекция которой на плос- плоскость хОу даёт первый виток спирали Архимеда г=яо. 1060. Поверхности 2cz==yi — х*-{-2ху ctg а при условиях ] а 1061. д:2+У = 2аг внутри цилиндра (JC2 + /J ==aV2—У2) 1062. аг = ху внутри цилиндра (ха +_уаJ = 2а2д;_у. 1063. х*-\-у*-\-г* = а4 внутри цилиндра (д:а -р/2J9 = а9(д;3—_уа). 1064. я2-f-У = г2 внутри цилиндра (д:а ~\-у!1У = 2ху при г>0. 1065. (A:coso-{-^sino)a-}-ea = aa при #>0, ,у>0, г>0. 1066. (дг+^)а + *==1 при д;>0, ^>0, г>6. 1087. (х+у)*4- 2га=.2аа при 7»
1068. (x»-+y*)z = x-\-y при l<*a+J^<4, x>0, y>0. 1069. x^-\-^~i = 2z внутри цилиндра -^-b^^l. 1070.— — j = 2z внутри цилиндра —t-J- ^ = 1 при г>0. 1071-S+^e2* сн*три цилиндра g+^)J = g_jJ. 1072. *--{-.у2-{-*а = аа при 0<Jf, 0<y, x-f-.y<a, г>0. Ю73. *9 = 2ху при 0<дг, 0<у, 0<г, j/~-f 1074. sin г = sh x shy при 1<дг<2. 1075. Найти части геликоида x — rccsy, _y=.r sin», z = ky для 0<г<о, 0<o<2ir. 1076. Найти величину поверхности (х* ~-у2-\-г1K = а-(х*—у*). 1077. Найти величину телесного угла, пот которым виден из на- начала координат прямоугольник 0 <_у < Ь, 0 < г < с, х — а > 0. Иными словами, найги часть поверхности шлра х- -f-у*-4-г2 = 1, на кото- которую лучами яз начала проектируются точки данного прямоугольника. § 5. КрпзолияеГшые интегралы Если дано уравнение линии либо в виде одного уравнения f(x,y) = 0, либо параметрически: х = ?(/), >> = <}/(*), то коопдин .ты переменной точки Mix, у) этой i piiBift можно выразить ^ерез одну независимую переменную. В первом случае можно, например, выразить у через х из уравнении кри- кривой, а во втором случае х и у уже выражены через переменную /. Криво- Криволинейный интеграл по линии АВ обозначается через Г P(x,y)dx-{- ли + Q(x,y)dy. Для его вычисления координаты переменной точки М(х,у) линии АВ, равно как я дифференциалы этих координат, выражают через одну переменную. Тогда криволинейный иит. грал обращается в обыкновен- обыкновенный определённый иигегрлл. Так, если на линии АВ имеем равенства jcaf'(/), У^^^У то dx<=<t'(t)dt, dy — '/\f)dt. Еслн при этом при пере- переходе из А в В параметр t меняется от а до Ь, то имеем равенство: & J Р(х, у) dx + Q{x, y)dy - J [P (i, ф) ч' + Q (?, i) J/J rf/. ЯЛ a В правой части имеем обыкновенный определённый интеграл, который вы- вычисляется обычными приёмами. Другой тип криволинейных интегралов обозначается через Г f(x,y) ds, АВ где * — дуга кривой АВ, считаемая в определённом направления от не- некоторой начальной точки. Он вычисляется подобно прежнему. Пря »том 4s = ± Ydx* + dy* = =t y<t'- (t) + y-(t) dt. Знак плюс иля мяиус бервтея в зависимости от того, совпадает ли направление от А к В с направлением отсчёта дуг на кривой, или нет. В некоторых вопросах встречаются интегралы, которые тоже часто обозначают через Г f(x,y)ds, хотя точнее было бы их обозначать через П
Г /(*i У) I &s !• При вычислении этих интегралов следует считать, что is = лп = + Ydx* + dy1«= + W! (/) + </2 (О I ЛI- Интегралы яого типа иы бу- будем называть криволинейными интегралами 2-го рода. Основные свойства криволинейны! интегралов выражаются равенствами J Pdx + Qdy + J Pdx+Qdy=* f Pdx + Qdy, IB ВС AC J /(.V, у) ds + J /(ЛГ, J/) d* = J /(*, y) ds. AB BO AC При изменении направления пути интегрирования на обрзтное, величина интеграла умножается па минус единицу: J Pdx+Qdy=- J Pdx+QJy; J f(x,y)ds~- [ f(x,y)ds. AB LA АЯ БЛ Для интегралов 2-го рода величина интеграла не меняется от перестановки пределов: f f(x,y)\ds\ = f f(x,y)\ds\. A3 BA Криволинейные интегралы имеют простой геометрический и физический смысл. Величина Г P(x,y)dy, где путь интегрирования АВ расположен на АВ кривой f(x,y) = O, означает проекцию па плоскость хОг части цилинзри- ческой поверхности, восставленной перпендикулярно к плоскости хОу из точек кривой /(х,у) = 0 над дугой её АВ, Эта часть ограничена плоскостью хОу и поверхностью г = Р(х,у). Таким же образом интегри 2-го рода Г t{x,y)ds, где под ds разумеется \ds\, означает величину цилиидри- АВ ческой поверхности над дугой АВ от плоскости хОу до поверхности г = = /(х,у). Наконец, интеграл Г Pdx + Qdy означает также работу енл АВ поля, при движения точки по линии АВ, если силы, действующие на дви- движущуюся точку, когда она приходит в точку (х,у), имеют проекциями на оси Ох и Оу величины Р(х, у) « Q (х, у). Найти величины криволинейных интегралор: 1078. J xdy—ydx по параболе у = jc3 между точками /1@,0) A3 и SB, 4). 1079. Найти интеграл j" {x-\-y)dx-\-{x—y)dy, если путь инте- АВ грирования — парабола у = х* между точками (—1,1), A-, 1). 1080. Найти интеграл Г x*ds, где путь интегрирования—верхняя АВ половина окружности х* -\-уа = а8 между точками А (а, 0) и В (—а, 0), П
1081. Найти величину интеграла Г xdy, взятого на правой голу- лв окружности х*-\-у2*=а* между точками Л@, — а) и В@, а). 1082. Найти величину интеграла Г (д:3 -j- _y9) rfje -{- (дга—y"-)dy, J.BCA взятого по контуру треугольника с вершинами в точках А @, 0) 0) С@1) Формул* Грина Г Pdx-\- Qdy<=a Г Г (—1 j-\dxdy пресбрмует С S криволинейный интеграл, взятый по замкнутому контуру С в положительном направлении обхода, т. в. против часовой стрелки, в интеграл по площади 5, ограниченной втим контуром. Из неё следует, что интеграл Г Pdx+Qdy, лз взятый иежду точками А и В по дзум разяым путям АтВ и АпВ, имеет одну и ту же величину, если в области, заключенной между этими путями, для функций Р и Q выполняется равенство: ^ =-г-. 1083. Из формулы Грина подучить равенство: S=» у Г xdy—ydx, а где С—контур, охватывающий площадь S в положительном напра- направлении. 1084. Вычислить с помощью последней формулы площадь эллипса х = a cos/, .y = ?sln/. 1085. Вычислить с помощью той же формулы площадь сектора гиперболы x = acht, y = bsht, ограниченного oclio Ox, дугой ги- гиперболы до точки М (#0, y0) и прямой ОМ. 1086. Вычислить площадь сектора астроиды х = а cos3 t,y = a sin31, ограниченного прямыми ОМХ и ОМ^ из начала координат и дугой МХМ^ астроиды. 1087. Найти площадь гипоциклоиды с тремя остриями: х = а B cos t + cos 2t), y = a{2 sin t—sin 2t). 1088. Найти величину криволинейного интеграла Г х ^^f~~ о X с взятого по замкнутому контуру С в положительном направлении. 1089. Кривые Х(х, _у) = 0и У(х,у) = 0 имеют несколько простых точек пересечения. Вычислить величину интеграла к- J — ,~ у%— , о взятого в положительном направлении по замкнутому контуру С. .Криволинейные интегралы для пространственных кривых вычисляются подобно интегралам по плоским кривым. Если х = f (/), У = Ф О»г a e С) — параметрическое представление кривой между точками А к В, соответствую- соответствующими значениям t = a, t**b, то имеется равенство: Р (*, .у, ж) dx + Q (х, у, г) dy + R {х, yt ж) dz - IB
I) J я (?. Оно сводит нахождение криволинейного интеграла к вычислению определён- определённого интеграла. Одним из приложений криволинейных интегралов является нахождение центр» тяжести (хс,ус,гв) кривой. Для этого служат формулы: Мхе — J ху- f!s, Муе = |* у,>- ds, Aize = J zpds, Л1 =» |* p ds. АЧ ЛЗ Л.В Л0 Здесь ц—•плотность кривой в т чке (х, у, г), могущая меняться от точки к точке. Послсши* шгегрил прс 1ставлнет массу кривой. 1090. Найти центр тяжести однородной дуги окружности радиуса а при центральном угле 2?. 1(№1. Найги координаты центра тяжести всей дуги однородной кардиоиды z~a (l-f-cosa). 1092. Найти коорлинаты центра тяжести полной дуги однород- однородной циклоиды х = a (t — bin t),y = а A — cos /) для 0 < t < 2ic. 1093. НаЯти координаты центра тяжести дуги винтовой линии х = a cqs t, у = a sin t, г = lit для 0 < / < т. 1094. Найти координаты центра тяжести однородной дуги кри- кривой A:==e~*cos/, у = «-*sin/, у = «-* для 0<f<co. § 6. Некоторые приложения двойных интегралов в механике и сопротивлении материалов Координаты центра тяжести пластинки находятся по формулам: Мх° = /J х*йхйУ' мУе=* j $ ypfoty, M*= J J 8 8 S Здесь р*=р(х,у) — плотность пластинки в точке (х, у). Интеграл, обозна- обозначенный через .VI. означает массу пластинки, а величины Мхе н Муа предста- представляют статические моменты пластинки относительно осей Оу и Ох. Найтл координаты центра тижести однородных пластинок, ограни- ограниченных следующими ли ями: 1095. дг = 1096. у% 1097. х3+у3=3 ; х>0,у>0. 1098. x9-f^9 = fla; дг>0, у>0. 1099. х* + у* = а*; |.y|<j:tge. 11С0. ra = aa cos 2<p (права» петля). 1101. r = a(l-f cose). 1102. •х8-|-.у3 = За.гу (петля). 1103. x — a(t — sin/), y = a{l— cost); 0</<2-. 74
1104. xi-\-yi = xny (прзвая петля). 1105. Yx + Vy=Va, х=*О, у = О. ИОв. (? + ?)*==?? (правая петля). П07. .иказать, что центр тяжести однородной треугольной пла- пластинки находится в точке пересечения медиан. 1108. Доказать, что статический момечт однородной площади относительно какоЯ-нибудь прямой равен Sh, где 5—величина пло- площади, a h — рассто-ние центр! тяжести до прямой, ПОЗ. Доказать, что объём прямого цилиндра (или призмы), сре- срезанного плоскостью, не обизательнл параллельно;! основанию, равен плохади основания, умноженной на высоту под центром тяжести основания. 1110. Доказать, что объСм тел», полученного при вращении пло- шади S вокруг оси, не пересекающей 5 и лежащей в той же плос- плоскости, равен плошади 5, умк жениой на дли.:у окружности, описан- описанной центром тяжести площади 5. (Теорема Шиауса, называемая часто теорекой Гюльдеиа.) Моментом няерцнн плошади 5 относительно какой-нибудь оси, лежащей ¦ той же плоскости, называется интеграл /= j Г Vdxdy, где о — расстоя- ние переменней точки (х, у) до оси, а интеграл язят по всей площади S. В частности, .-.оменты икерцнн относительно осей Ох и Оу равны инте- интегралам Г Г у* dx dy н Г Г у* dx dy. Полярным моментом площади 5 от- а з ноентельно некоторой точки называется интеграл Г Г r*dxdy, где г — рас- s стояние точки (х,у) до данной точки. В частности, полярный момент от- относительно начала равен Г Г (х2-\-y*)dx dy. Центробежным моментом 5 иногда называют интеграл I Г ху dx dy. s В теории изгиба балок имеет большое значение момент ияерцнн попе- поперечного сечення относительно оси, переходящей через центр тяжести сече- сечения перпендикулярно действующим на балку силам. Балка предполагается однородной. Из условия равновесия балки, подпертой на концах, следует уравнение: EJK^xFt- J (х-5)/(«)</?, о где Е—модуль Юнга, J—момент ннерцнн, К—кривизна балки в точке, удаленной от левого"конца на х, Ft — реакция левой опоры, /(?) — нагрузка на балку в точке на расстоянии ? от левого конца, ото уравнение показы- показывает, что J характеризует жёсткость балкн. 1111. Доказать, что момент инерции площади S относительна какой-нибудь оси равен ScP-\-J9, где d — расстояние от оси до 75
центра тяжести плошзди 5, a Jg равен моменту инерции относи- относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр тяжести. 1112. Доказать, что момент инерции J относительно прямой х sin а —- у cos а = 0, проходящей через центр тижести (С,0), выра- выражается формулой J = Jxcos-a—27;rvcosa sin a-|-7vslii2a, где Jx, Jy и Jxy — моменты инерции относительно осей Ох и Оу и центро- центробежный момент. 1113. Доказать, что при повороте осей на 90° центробежный момент меняет знак на обратный, следовательно, существуют по крайней мере две взаимно перпендикулярные оси, прохолящие через центр тяжести, относительно которых центробежный момент равен нулю. 1114. На каждой из осей, проходящих через центр тяжести пло- площади S, отложен отрезок, равный ¦, где J—момент инерции относительно этой оси. Доказать, что концы этих отрезков лежат на эллипсе; этот эллипс называется эллипсом инерции площади 5. 1115. Доказать, что моменты инерции прямоугольника со сторо- сторонами а и b относительно oceit, проведённых через центр и парал- аЫ аЧ лельных этим сторонам, равны -у^и-утр. 1116. Доказать, что эллипс инерции для прямоугольника со сто- j_ а , Ь ронами * = ±у, y = zt:~2 имеет уравнение: 1117. У равнобедренного треугольника основание равно а, а вы- высота h. При каком соотношении между а и Ь эллипс инерции тре- треугольника обращается в кру^ 1118. Найти моменты инерции сектора с радиусом а и с цен- центральным углом 2? относительно оси симметрии и относительно перпендикуляра к ней, проходящего через центр тяжести. 1119. Найти момент инерции сегмента с радиусом а и централь- центральным углом 2? относительно оси симметрии. 1120. Может ли эллипс инерции для сектора обратиться в круг? 1121. Найти моменты инерции эллипса -»-{-¦« == отлосительно осей и иайти уравнение эллипса инерции. 1122. Кольцо между концентрическими кругами с радиусами 13 и 12 имеют ту же площадь, что и круг с радиусом 5. Во сколько раз момент инерции кольца больше, чем у круга, если оба момента берутся отиосительно диаметра? 1123. Найти момент инерции относительно оси Ох площади параллелограмма со сторонами atx-\-Ь^у = ztzhu a^x-\-biy = -±zhi. 1124. Найти центральный момент для той же площади. U25. Найти момент инерции площади кривой х*-{-у* = х1-\-у3 отиосительно осей Ох и Оу и сравнить его величину с моментом инерции квадрата | х -\- у \ -J- | х —у \ = 2. 7в
Жёсткость пря кручении стержня с поперечным сечением 5 измеряете» величиной С = 2f* Г Г ф (х, у) dx, dy, где р — модуль сдвига вещества s стержня, а $(х,у)— функция напряжений. ф(дг, у) равна нулю на контуре поперечного сечения, а внутри его удовлетворяет уравнению g-j-f-^-i = —2. 1126. Найти жёсткость С для круглого сечения, когда 2^ = а9 — — *' — у\ 1127. Найти С для эллиптического сечения, когда (a3 -J- &2) ty ==» = а3.Ьа—i>8.va — а8/-, где а и ft — полуоси эллипса. 1128. Тот же вопрос для разносторо::него треугольника со сто- сторонами x-3zyYb=*h, л: = 0. В этом случае Щ = jc (А — х — .у УЗ) (А — д:+у Уг). 1129. Уровень жидкости—ось Олг, а ось Оу направлена вниз. Доказать, что давление жидкости на вертикальную площадку S равно t \ \ ydxdx, где f — удельный ве: жидкости. Доказать, что точка приложения равнодействующей сил давления лежит на глубине А, гдэ A f [ ydxdy= [ [ y*dx dy. § 7. Интегралы по поверхности, моменты инерции и центры инерции поверхностей Интегралом во поверхности называется интеграл вида Pdydz -j- Q dz dx -f- R dx dy. При его вычислении переменные х, у и г выражают через две независимые переменные, пользуясь уравнением поверхности f{x, у, г) = 0 или ее пара- параметрическими уравнениями x = y(u,v), _у = ф (к, w), ; к <• (a, v). Другая, более отчвтлиаая, запись интегралов по поверхности имеет вид: ft (P cot а-}-Q coi р +/? cos tV» где <ц 5, ^ — углы нормали с осями координат. Если направление нормали изменить на обратное, то интеграл изменяет аыак на обратный. Примером интеграла по поверхности является момент инерции части поверхности шара хг-\-у}-\-z* ~* а1 относительно оси Oz, т. е. интеграл «1 «зятый по даяной части поверхности шара. При его вычи- слеяин можно выразить 4а по формуле Г Г дх) Коу) \дх) , . v dxdy- дх 77
Так как в данном случае f(x, у, г) = х* -\-уг + г* — а\ то айх йУ 2z После этого получается равенство: dx dy ¦ где интегрм в правой части взят по четверти круга: х* -f-.y5 «=» я* при д:>0, .у>0. В. данном случае удобнее другой путь, в котором координаты точех шаре выражают через полярные углы <р и 0 по формулам: х = a sin в cos -f, у « a sin в sin f, z = a cos 8, При этом do =' a1 sin в d? d% х* -\-y* =« a- sin в и, окончательно, имеем: я я з 7 Я О** -ЬУ5) ^ =• в* Г( sin* б rftp rf6 =я а* Г rf^p Г sit&bdQ=x -5-. J .; J J о « (i) 00 Нахождение центра тяжести частей поверхностей, имеющих массу, вы» полняется с помощью интегралов по поверхности по формулам: Sxe = f [ х ds, Sy0 = J J yds, Szo=* j J zds; S = Г Г ds. 8 s s s Здесь S — данная часть поверхности. ИЗО. Найти координаты центра тяжести однородной части обо- оболочки шара х%-j-.у2-j-г2 = а* при *>0, _y>0, г>0. 1131. Найти координаты центра тяжёстл поверхности сегмента того же шара при Л<г<а.* 1132. Найти координаты центра тяжести поверхности геликоида х = иcosv, y = usiav, г = hv при 0<и<а, 0<«<ж. 1133. Найти координаты центра тяжести части однородной по- поверхности Зг = 2(хУ~х-\-уУУ)* ограниченной плоскостями * = 0, у +у На Чти моменты инерции следующих частей однородных поверх* ностей. 1134. Поверхности конуса Аг (ла -}-У9) — я2*9 при 0<г<А от- относительно оси Ог, 1135. Поверхности шара х% -j- J*a -f- г- = а3 относительно диаметра. 1136. Поверхности параболоида х* -\-у* = 2л» относительно Ог при 0<г<а. 1137. Поверхности шарового сегмента х%-\-уг-\-г*=а* при Л<г<а относительно Ог. 1138. Вычислить двойной интеграл J J—, взятый по поверхности йллипсоида р-|-р-|-^==>1, где р—расстояние центра эллипсоида до плоскости, касательной к элементу ds поверхности влднпсонда. 78
1139. Вычислить интеграл \ \ -^, взятый по поверхности шара х*-{-^3-{-г3 = са, если р—расстояние элемента поверхности до точки @, о, с), расположенной вне шара. 1140. Показать, что интеграл та= Г \cos^n)ds= Г7 s з "Я* dS' взятый по поверхности S, равен телесному углу, под которым поверх- поверхность 5 видна из начала координат. Здесь т—радиус-вектор из начала координат к элементу поверхности ds, n — нормаль к поверх- поверхности, образующая с вектором г, идущим из начала, острый угол. Величина -^ равна dn § 8. Вычисление объёмоз В следующих задачах требуется найти объём тела, ограниченного дап- ной поверхностью. Основным методом их решения является введение соот- соответствующих нсвых переменных, упрощающих интегрирование. Так, напри- например, если нужно найти объём, ограниченный поверхностями где a<CP, то следует ввести полярные или сферические координаты по фор- формулам: X ¦» г tin 8 cos?, у = г sin 8 sin ?, z=*r со» 9. При этом якобиан удобно вычисляется по формуле: 7 = 7175, где^ — яко- бнац преобразования jc = pcos?, >¦ = р sin ^, z = z, равный р, а Л — якобиан преобразования p = /-sin9, ^=лсозв, ? = у, равный л Таким образ»м, В прежних переменных область изменения характеризовалась неравен- неравенствами: xi-T-yi-\-z'1<2tiz, ^itg»a<je5-j-^1<^slg!!3. Для новых переменных 9тн неравенства после упрощения переходят в такие: r<^2a cos 8, cos* б tg* a< < sin58<cos2 6 tg5j3. Так как z>0, то и соз9>0. Поэтому окончательно имеем неравенства: /•<2acos8, tga<tg8<tgp. Таким образом, прн любых данных гиб переменное у может иметь любые значения от 0 до 2в, переменное г может при данном б изменяться от 0 до 2а cos б, а угол б может изменяться от а до р. В силу этого имеем для вели- величины объёма v равенства: р 2a cos 9 2* V=J(Jdxdydz= ( ( (jdrd<tdb= Г»1п6<*бГ /•*<*/(*<*? = я (V) « О U -Jcos«9sinerf6=i —сов*в 4 »-^ «a» (cos* в — cos* P), 79
В следующих задачах решение удобно получается введением полярных координат. Найти объёмы, ограниченные поверхностями: 1141. (xs+>» + г"-)* = а*х. 1142. (х*-[~уа + г*)* = ахуг. 1143. (л* -Kv9 + *9)а = «г (л:9 +>>»). 1144. 1145. 1146. (л» -\-у* 4- г*? == 1147. (x*+y2 -f 2*;s — 1148. (дта-|->'2-|--*;3=» 1149. (jca-i-y»-f- г*/ » (а'л:9 1150. 1151. 1152. 11БЗ. (дга -|-^аK + г8 = а3дт;-г. 1154. а* 1155. (х -\-у +z) =д.2+у. В следующих задачах удобно вводить обобщенные полярные коорди- координаты но формулам: x—ar sin • cos 4, у *ebr sin в sin <?, z =» «/• cot 9, l=*abcrl sin 9, Найти объемы, ограниченные поверхностями: 1156. Г^+^4- I159- S
В дальнейших задачах объём находится путём введения обобщенных полярных координат по формулам: х = artin* 8 cos* у, у =» Ьг sin' в sin" <?, г = crcos* в. Якобиан в этом случае лучше всего вычислять по формуле в /j— якобианы подстановок: х =в я*», _у =» Ь}», г = сС*; i =» р sin в соэ <?• 1 "= р sin 0 sin ?, С = р cos в; • =*/•", в = в, ff. Таким образом: 1 --> /= вбс в» 5»-1 ч'-1 С»-1 • р1 sin в ~ г ' == ¦I abc з* г2 sin-3-i в cos'-1 f sin'-1 <?. 11еб- G+у+тТ=!-?' П67- G + Т + 7)! = 7 + Т —J: 1169. (? + |.J + il=?+|; x>0, 7>0, г>0. *_i_Z_l^i -и- : :_. ---n,;>0, г>0. a z 1174. уГ? + уГ2+уГ?.==1; х>0,у>0, 1175. у^+у^-Ь}^^1' ^>0, ^>0, г>0. С помощью замены переменных найти объемы тел, ограниченных поверхностями: 1176. х *х, у = в вас 4ЫБ. Овоцхижк «адм. «. П. 81
II77.ar\r-; hy-\ ¦f csz = ±l hs. 1178. (e1 . 1179. (в1 1180. § 9. Моменты инерции и статические моменты объёмов Статнческихи моментами тела, занимающего объём V, относительно плоскостей, перпендикулярных к осям Ох, Оу и Ог, называются инте- интегралы Мх Г Г \ prdx dy dz, My = f J j \xy dx dy dz, Мг = Г I Г pz dx dy dz, где {л — плотность тела в данной точке (х, у, г). С их помощью находятся координаты цешра тяжести {хс, уа, гс) по формулам: Мхс = Мх, Му0 = Му, Мгс =*Мг;М=* Г Г 1% dx dy dz. Моментами инерции тела относительно тех же плоскостей называются ин- интегралы: !х = J Г J pjfi dx dy dz, Iy= Г С J ^y» dx dy dz,rz=f[f v-z*- dx dy dz. Моментом инерции относительно начала называют интеграл + г") dx dy dz. Наконец, моментам относительно некоторой оси L называется интеграл /l= J f j jiT-dx dy dz, 7 где / — расстояние переменной точки тела (ж, у, г) до оси L. В дальнейших задачах тело будет предполагаться однородным, а |л = 1. Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных следующими поверхностями. 1181. х -\- у -j- г = a, x = 0t y = 0, z = 0. 1182. z1 = ху, х = а, у = Ь, z = 0. 1183. abz = c(a—х){Ь — д:), д: = 0, .у = 0, г = 0. 1184. Аа(лга4-^а>) = а3га; 0<г<А. 1185. л:а-Куа-}-г*=а2; дг>0,^>0, г>0. 1186. Сегмента шара х*-\-^8 + г2 = аа, А<г<а. 1187. 1188. 82
1189. (дг*-\-у* + г9)* = ахуг\ х>0, у>0, г>0. 11 SO. ( "91. ?+? + $-1. ? + ? 1193. уЛ| 1194. (?-) Из моментов инерции тел особо важное значение имеет момент инерции относительно оси. В следующих примерах требуется найти моменты инерции тел, ограниченных поверхностями, относительно оси Ог. Тела считаются однородными и р.= 1. 1195. х вя 0, х =ш а, у = 0, _у = Ь, z — Q, z=*c. 1196. 1197. 1198. 1199. (*9 1200.-? 1201. J 1208. Найти моменты инерции тора х = (a -J- г cos 6) cos <?, _у = = (a-j-rcos 9) sincp, 2 =¦ г sin 8 относительно его оси вращения. 1204. Найти моменты инерции того же тора относительно его акваториального диаметра. В следующих задачах плотность тел не предполагается повсюду одинаковой. 1205. Доказать равенство У, = Л-f/t3 -f-Л где Ж — маеса тела, /i—момент инерции относительна данной оси, J—момент относи- относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр тяжести, h ¦— расстояние между осями. 1206. Объём тела V, центр тяжести его — в начале координат. Доказать, что момент тела J, относительно оси х ¦ = —2-~ =—-— выражается формулой: У, — A cos1«-f- В cos* р -J" С cos1 f—2Z) cos « cos p — 2? co$ « cos f -»• — 2fco$ p cos y, 6* S3
где коэффициенты разлы соответствующим моментам инерции и цен- центробежным моментам: 1207. На каждой прямой з, проходящей через цеатр тяжести тела, отложен отрезок, длиной -. Доказать, что концы этих от- Y Л резкое лежат на эллипсоиде Ах* -\- By* -J- Сгэ — 2Dxy — 2Еху — VFyz=*l; этот эллипсоид назыззется эллипсоидом инерции данного тела. 1208. ОлрелеллтБ высоту h и рад:;ус основания а однородного цилиндра так, чтобы эллипсоид инерции для -*того цилиндра обра- обратился в шар. 1209. Тот же вопрос для однородного конуса. 12Ш. Определить высоту А прямоугольного параллелепипеда, в оснозанич которого кип;;зат со стороной а, так, чтооы эллипсоид инерции для однородной массы, заполняющей этот параллелепипед, обратился в шар. 1211. Доказать, что из sc-.i однородных эллипсоидов лишь у шара эллипсоид инерции есть тар. 1212. Доказать, что для однородных тел, симметричных отно- относительно плоскости yQz, величина J = 0. 1213. Доказать, что у однородных правильных многогранников эллипсоид инерции есть шар. 1214. Доказать, что однородный вллипсоид может быть подобен своему эллипсоиду инерцк;! .-ышь в том случае, когда эллипсоид есть шар. 1215. Тело вращается вокруг осн L с угловой скоростью в». До- Доказать, что его кинетическая энергия равна у JL. 1216. Тело вращается вокруг оси Ог с угловой скоростью в». Возникающие при этом центробежные силы параллельны плоскости хОу. Доказать, что условия нх равновесия выражаются равен- равенствами: / f / рху dv=S' f / pxz d<°=IS S dv где di> — элемент объема, а р—плотность этого элемента. Первые два из этих риенстж показывают, что ось вращения дол- должна проходить через центр тяжести тела, а остальные тр« показы- показывают, что она должна совпадать с одной нз осей эллипсоида инер- инерции тела. М
§ 10. Интегралы теории поля и теории потенциала Если и (¦»?, у, г) — функция точки, то поверхность а (х, у, г) = с вазы- вается погерхностыо уровня. Вектор, проекции которого на оси Ох, Оу _ да да да и Ог равны величинам д-, ^-, -г—, называется градиентом и и обозначается grad а. Он направлен по нор и а ли к поверхности уровня, проходящей через данвую точку. Его направление есть направление наискорейшего возраста- возрастания функции а(х, у, г), aero величина даёт скорость этого возрастания. Скорость изменения функции по направлению /, составляющему с осями углы а, р и ft равна производвой от функции поэтому направлению —,где ди да , да . , ду ,. да Л = -§? c0Se + 7p COSP+ ? COST- Иными словами, — grade • cos (я, /), где я— вормаль к поверхвости, направлснвзя в сторону возрастания а. Если в каждой точке пространства дан вектор и с проекциями ихч ui, и. на оси, равными данным функциям то;ки, то говорят, что имеется поле „ ди~ , да- , да, векторов. Скалярвая величина —2--\---Я-\--—2. вазыпается дивергенцией поля и обозначается dfvo. Вектор с проекциями на оси Ох, Оу я Ог, рав- да, ди„ дая ди. duv ди~. выми ведичивам -^—^, -~—д~х ' i "фГ1 вазызается ротором или вихрем поля векторов и и обозначается rot и. Вводя символический вектор иабла Гамильтона V с проекциями —, ч—, •?-, можно записать (Hvo и rot и в виде скаляртюго и векторного произведений: dfvu=r. (V о), rot и ¦¦ [VoJ. Если дана поаерхмость в, а ;/„ — проекция вектора на вориаль к ней, идущую в определенную сторону этой поверхности, то штиком век- юра сквозь поверхность называют интеграл по поверхности Г \anda или, в вехториой форме, J Г (an) ds. Если вектор а представляет скорость асидко- • сти в установившемся движении, то поток вектора а сквозь поверхность даёт количество жидкости, протекающеЯ сквозь поверхность за единицу времени. Другим важным понятием в теория поля язляется циркуля- циркуляция вектора и по данвой линии L. Оиа представляется криволинейным интегралом Г (о dr), где г — радчус-вектор из начала координат. Выражая циркуляцию через проекции вектора п, можем написать j : j(arfr)= \ 1217. grad (*» 4- У* + «•) = 2г. 1218. grad \ ,=— -л» Ухг -f- у2 -г- г2 г 1219. divgrad д:э-|-У4-*2; = 6. 1220. div Д- = 0. 1221. Если иа = — J"^y2, Яу —^^ , «,-»0, то циркуля- ция и по замкнутой кривоA р:вна нулю, если кривая не обходит ось Ог. Она равна 2 тел, если криьая п раз обходит ось Ог так, 85
что el проекция на плоскость хОу обходит начало координат про- против «асозой стрелки я раз. 1222. Доказать, что у вектора предыдущей задачи rotu = 0 во всех точках, кроме оси Ог. 1223. Среда совершает вращение, как твердое тело, вокруг оси Ог с углозой скоростью «. Вектор скорости v имеет проекции на оси vx = — юу, vv = a>x, vt = Q. Найти rotv. 1224. Найтн циркуляцию предыдущего вектора по окружности лса—{—_уэ = <*a в положительном направлении. 1225. Найти циркуляцию того же вектора по окружности (х—2)*-f- Особую важность в теории поля имеют две формулы: L Формула Гаусса-0строградского: Я5 0 7 7 +fr + Зг) dv - //[(Ясвв(*,;а) + <?cot(y, п) + *cos (ж, Здес; V—объём,*—поверхность, ограничивающая его, an — единичный веккф, направленный по виешией нормали, Р, Q, R — проекции а^, uv иж вектора поля п на осн Ох, Оу, Ог. В векторной форме та же форыум инеет сжатый вид: j [J divndv= С С (и п) di= JJ Таким образом, интеграл от дивергеиции вектора по объёму равен потоку вектора сквозь поверхность этого объёма. II. Формула Сток с а. Если Р, О, R — функции точки, имеющие частные производные в области, ъ которой расположена поверхность в, a L — контур, ограничивающий ату поверхность, то \ р dx + Q dy + R dz где а, р, х—косинусы углов нормали с осями. В векторной форме эту формулу иожно записать короче. Если Р, Q, Я —проекции вектора п на оси, то формула Стекса принимает внд: Г (n dt) = Г f(rot п п) <fo = \ \ rot» о Л, La ¦ т. е. циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку вихря век- вектора сквозь паверхность, ограниченную контуром. Направление обхода кон- контура L при интегрировании и направление нормали п в формуле Стокса дол- должны быть выбраны согласованно. Для этого следует вообразить наблюда- наблюдателя, стоящего головой по направлению нормали к поверхности я, распо- расположенной вблизи от участка контура L. Движение точки по- контуру L в направлении интегрирования должно казаться ему направленным в ту же сторону, кан к движение от ОСИ Ох к оси Оу для наблюдателя, стоя- стоящего головой по оси Ог, 86
1226. Доказать равенство J Г cos (п, лг)Л = 0, где S — замкну- s тая поверхность, п — внешняя нормаль к ней. 1227. Найти величину интеграла ff (x cos at-\-у cos $-\-z cos •{) ds, s где а, р, 1 — углы внешней нормали, к поверхности S, а интеграл берётся по всей поверхности S некоторого тела. 1228. Найти интеграл Я (Xs cos а -j-.y3 cos р -[" •** cos f) ds, 8 взятый по поверхности шара д:2 -\-у"* -j- -' = а1. Здесь a, J3 f—углы внешней нормали с осямя. 1229. Найти интеграл { 1(гп—У) cos а + (•*" —^")cos ,3 -\-{уп—jC*j cos f] ds, 8 взятый по верхней половике поверхности шара дга-|-_у2-)-га = а3; в, j3, f — углы внешней к шару нормали. 1230. Применяя формулу Гаусса к вектору ugndv, получить формулу Грина: dv . Здесь «— объём, о—его поверхность, -^, равная ¦?¦ cos a -f- у cos -f- -Л cos?» — производная по внутренней нормали, и . d'-v , д-v 1231. Исходя из предыдущего результата, доказать вторую фор- формулу Грина: ' 1232. Функция и, у которой gjj + g?5+3p = °» называется гар- гармонической. Доказать, что для гармонических функций справедлива формула: 87
1233. Доказать формулу, подобную формуле Гаусса: Здесь о — площадь, a S—линия, ограничивающая е5; а и $—углы внешней нормали с осями. 1234. Доказать формулу, подобную формуле Грина: т. , ди dv . ди dv \ , Г dv , « 8 Здесь о—площадь, 5—её контур, я — внутренняя нормаль, дх2 ' ду1 1235. Доказать равенство: 1236. Доказать, что для гармонических функций от двух пере- переменных справедливо равенство: s 1237. Доказать для тех же функция формулу: ди . 1238. Доказать, что для гармонических функций от тр?х пере- переменных //?*-•¦ 1239. С помощью второй формулы Грина, примененной к области между поверхностью а и шаром радиуса р -> 0 с центром в "точка М (I, i\, С\ доказать для гармонической функции от трёх перемен- переменных равенство: i Г С cos (г, п) . . I Г Г ди di " 4* J J r* ' 4« J J on r ' ш ¦ где г—расстояние точки М до переменной точки поверхности, п — вектор по внешней нормали. 1240. Доказать, что 08 v п' da = 4я или 0,
смотря по тому, лежит ли точка, из которой проводятся радиусы- векторы г до точек посерхиости, внутри поверхности или вне ей. Поверхность предполагается односвязиой, замкнутой и без особых точек. 1241. Доказать, что для гармонических функций от двух перемен- переменных справедлива формула: где производные взяты по внутренней нормали, а точка М—внутра контура 5. 1242. Доказать рззенстзо где 9 — угол, поз которым линия A3 вил за из точки (?, т)), r=>Y(x — 5J -}- Су — Щ)\ я — нормаль к линии A3. 1243. Доказать, что для гармонических функций от трёх пере- переменных справедлива формула = ~$ fade, где о — поверхность шара с центром в точке <х,у,г). (Гаусс.) 1244. Доказать для гармонических функций от двух переменных формулу S где 5 — окружность с центром в точке {х,у). 1245. Доказать, что для функции и(х,у, г), гармонической внутри шара объёма т, имеет место формула где ае — значение и в центре шара; а для функции и(х,у), гармони- гармонической внутри круга площади о, доказать формулу где ае — значение и в центре круга. 1246. Пользуясь разложением в ряд Тэйлора, доказать равенство 89
где Ли = —* + т-* i Аи = А (Д«0 = -s-i 4- 2 -*.¦.. 4- -5-7 и т. я., а интегрирование взято по окружности радиуса г с центром в точке (х, у). 1247. Доказать равенство: где ¦ интегрирование взято по поверхности шара радиуса г, с центром в точке (x,y,z). 1248. Доказать формулу Максвелла: Здесь а — поверхность объёма <и, в котором функция v непрерывна со вторыми производными. 1249. Доказать равенство Римана: J j[uF (v) — vG (и)] da = Здесь 5—контур площади о, _. . d"v dv i dv 4 ' dj;e(y ax dy * da где Af== — из—\-bwo\ N=—v-x auv. 1250. Если проекции скорости жидкости в момент t в точке (x,y,z) равны функциям u(x,y,z,t), v(x,y,z,t) и u^x,y,z,t), то количество жидкости, протекающей сквозь поверхность а за время от tt до tit равнв интегралу «t Kit Г (u cos a -j- x>cos?i -j- w cos f) da, h • где «, p, f—углы нормали к поверхности о с осями. Вывести 90
отсюда, что для несжимаемой жидкости должно выполняться усло- условие: ди | dv | dw Л * 1251. Изучить изменение функции Р(х), где Р (х) = ц f\y—x\dy, а при изменении х в промежутке (—со,-}- со). 1252. Найти вторую производную от ь где функция р(у) непрерывна. 1253. Пользуясь интегралом Пуассона Г In (а9—2я cos »+ I) d<f, а равный 0 при — 1 < «< 1 и 2я1п \а), если |«!>1, найти логарифми- логарифмический потенциал однородного круга, т. е. интеграл jtl fin г Л, * где г—расстояние между точкой М и точкой на площади круга о, радиус которого R. 1254. Логарифмическим потенциалом однородного отрезка (—1,1) называется интеграл Р»-ц \lardl, где г—расстояние между 1 — 1 точками (х,у) и E,0). Найти уравнение кривой, на которой Р(х,у)= ЯAв) (,) 1256. Найти логарифмический потенциал круга х* -\-у7 =» «*, если плотность \>- в точке (х,у) есть данная функция радиуса-вектора из начала: ц=/(г), где /¦= У х*-\-у*. Логарифмическим потенциалом площади о в точке (х,у) называется интеграл Р {х,у) 1256. Найти в точке М(х,у,г) ньютонов потенциал однородной оболочки шара х*-\~ у*-\-гР — сР с поверхностной плотностью р, равной некоторой постоянной, т. е. найти интеграл \ \Р~Г> где * о — поверхность шара, а г—расстояние переменной точки E, ц, С) на этой поверхности до данной точки М. 1257. Найти в точке М (х,у, г) ньютонов потенциал однородного шара, т. е. интеграл где р — постоянная плотность, E,ц, С) — точка внутри шара, 01
-f t)a + С* = л9, л =» V(x- — ?)9 + (У—>»lH + (*—О3 — расстояние от точки (\, i\, С) до точки (х,у,г). 1258. Тот же вопрос для шара, у которого плотность [* равна данной функции /(р), гдг р2 = ^-j-tf-j-C2. 1259. В точке @, 0,г) найти ньютонов потенциал верхней поло- половины шара xi-\-y"i-\-z" = а2 при постоянной плотности [*. 1260. Найти ньютонов потенциал однородного сферического слоя между двумя концентрическими сферами радиусов а и Ь, где а<?. 1261. Найти в точке М(х,у) ньютонов потенциал неоднородного . о отрезка (—а, а), т. е. интеграл Г ц E) —-======г, если р(')—. 1262. Найти ньютонов потенциал однородной круговой пластинки y2 = a'i в точке @, 0, г). 1263. Доказать, что при rt -*¦ со имеет место равенство: Здесь ;f = ха-f-.у3 + *9. а л — расстояние точки (х,у,г) до пере- переменной точки (I tj.C) объёма а>. 1264. Доказать тождество: f f fv ^Цг^==у]" Jcos(r, n)da, где ш ¦ 0 — поверхность обьЗма в, п — внешняя нормаль о, г—вектор от точки (х,у, г) к точке E,71,0 г—его длина. 1265. При тех же условиях доказать тождество: Ш&4ц<& Г f COS (Г, П) . 1266. Написать аналогичные тождества для площади, о и её кон- контура S. 1267. Доказать равенство: Г со> ** ds = 0, если точка (*,у) вне 8 области, ограниченной контуром S, и = 2т., если контур 5 совершает один полный обход* вокруг точки (х,у). 1268. Пользуясь формулой Грина, показать, что производные от потенциала Р (х, у,г)= Г f* f -t—~, где л2 = (х — 5)9 + (у—^) а4" ш -\-(г—СJ, точка (х,у,г) — вне объёма в, а ;л имеет частные про- производные, выражаются равенствами: 5— = f f Г-зг ~" — ( IP cos С*»п) "Г о* J J J os r JJ1 г и другими аналогичными для j-и-т-. Проверить, что формулы остаются в силе и в том случае, если точка (х,у, г) лежит внутри о». 92
1269. Проекции на оси Ox, Oy, Oz силы, с которой точка с массой т притягивается по закону Ньютона телсм с плотностью ц, выражаются формулами: *-/*¦?¦ •» >-№*• — гJ»/— посто- постоянная закона тяготения. Пользуясь этим, выч.юл :ть силу притяжения шаром радиуса а с плотностью ji to'wc'! яа его поверхности. 1270. Зная из огытов, что постолниья тягления / раяка 6,57 • 10-8с.«3сеж-гг-3, с«итг.я Землю шарсм с с.фужпостью 40 000л;л и учитывая, что Земля пр^.гяпгваег ка.су i ' гс силою 981 дины, ыаЗ:и срелн:о:о п/ютнссть земного ш:ра. 1271. Вычислить силу при!яжения, ика^ыгагиого однородным цилиндром на точку с единичной azzco'.,, находящуюся на оси цилиндра лг3-f-у = в9, 0<*<Л, в точке @, 0, г). 1272. По закону Био-Савара каждый элемент ds тока силой / создаёт в точке М(х,у, г) м-гнитнее поле, напряжение которого можно выразить векторным произведением ^"[dsr], где г—век- г—вектор, идущий от ds к М. Доказать, что напряжение поля Н, созда- создаваемое замкнутым током, идущим по контуру S, выражается век- векторным интагралом Н=»—kl у */' ; здесь к — коэффициент про- 5 порциональности. 1273. Пользуясь предыдущим результатом и формулой Стокса, доказать равенство Н=> — klgxad W, где W—телесный угол, под которым из точки М видна площадь о с контуром 5, равный инте- интегралу JJ § 11. Многократные интегралы В простейших случаях многократные интегралы вычисляются иепосрвл* ственно интегрированием по формуле: Здесь пределн явтегрировиш определяются из условий, которыми задается область •. Пределы кнтегрнровання на какому-нибудь переменному могут 83
эоксегь вт наружных переменных. Пределы последнего интегрирования, т. с числа хх' и Хх" делжпы быть постоянными. В белее сложных случаях приходится прибегать к замене переменных. Если при »т»м формулы замеаы перемен«.чх имеют вид (Ь&) Ы* ? 6)( 56) 1? 1 (IЬn) » Ыь *. Я)» то формула для преобразования интеграла имеет вид: Здесь /—якобпая, величина которого предполагается сохраняющей знак; оиласть »i — область изменения переменных Jj, ?j,..-i?,p соответствующая области а» изменения переменных ,fltд2,...,д:„. Найти 'следующие интегралы: 1274. \ \ ... \dx1dxi...dxn, где все *s>0 и д^ -f- дга -j- ... -\- 1275. J Г... \xldxl dx2...dxn при хй>0 и jcx -f- jea -J- •. • -f~ *»<! 1276. {x 11 1 1277. J J • • • /(¦*' + ** + • • • + ¦*«) dx\ dxa... dxn. 0 0 0 1 1 1 1278. ff... JWa + x^g-f • • • + xn_sJ dx^ dx*.. .dxn. oo о .+|ш„|<в ff J oo о 1279. Доказать равенство где 1280. При прежних обозначениях очевидны равенства: -~а Пользуясь ими, доказать, что я2 а» В Ч1стности, и1 = 2а, «, = *а», ataa-jica8, «4«-уа*,... 94
1281. Если ип = f$--J х'1~ххл~1... x'n-'dxi dx2... dxn, то легко доказать, что ип(а) = а+'ч+""+*я17„, где va = un{\). Пользуясь этим и равенством f f ... J в,+х.+ ...+г„< доказать, что Доказать 1282. 1283. X 0<хж. равенства: a>t х. 0 dxx \x% dx 0 ~..о<хп г(]1)гы..,г( О t.'jxnf^ • в 1284. Привести к простому интегралу кратный интеграл - • • • -h xn) dxx dxv взятый по области, определяемый неравенствами ()<•*!, 0<д;2,..., 0<д;я, х^ xt + . ,.-{-л:Л<а. Указание: Один из путей — замена переменных по формулам 1285. Точки M(x,y,t) и Мх <%, i\,O независимо друг от друга пробегают весь объём тела с плотностью р==р^,<у, г). Потенциалом тела на себя называется интеграл С Г С С С С(*-У-z) Р (» Ч. 1 *х dy dz dZ d-ц Л J J JJ J J y(x—O' + O'—n/--t-(* —C)« * Найти величину потенциала на себя однородного шара х*-\-у*-\- -J- г2 = а*. Его величина измеряет работу, производимую при пере- передвижении из бесконечности в одно тело частиц тела, притягиваю- притягивающихся по закону Ньютона. Указание. Два пути быстро приводят к цели: 1) Воспользоваться тем, что интеграл по переменным х, у, z дабт потенциал шара во внутрен- внутренней точке E, 1), С), найденный в одной нз прежних задач. 2) Учесть работу dA, совершаемую, если массы, приходящие из бесконечности, увеличивают радиус шара с г на г + dr, и проинтегрировать полученное по г *т 0 до ш. 95
ОТДЕЛ IX ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Составление» дифференциальных уравнений по данным их интегралам Уравнение /(*, у, в)««О, где в —параметр, постоянный в каждом уравнения, но изменяющийся от уравнения к уравнению, изображает обычно семейство ливня. Взяв производную от этого уравнения, получаем:. JL.j-.J-у' = 0. Еслн исключить в из двух уравнений, то получится уравне- уравнение вида: у (х, у, у") — 0. Оно отражает некоторое свойство, общее различали хривыи данного семейства, и называется дифференциальным уравнением семейства кривых f(x,y, в)=0. Само исходное уразненме f(x,y, a) = 0 называется общим интегралом дифференциального уравнения <?(х, у. У) = 0. Если дано уравнение f(x, у, аь «„..., «^=-0, содержащее л параметров аъ at,..., On, то оно изображает семейство линий с я параметрами. Диф- Дифференцируя его я раз и исключая аи аь ..., ^ из »тих я уравнений н данного уравнения/(х, у, а1( а„ .... ап) =0, получим уравнение, не содер- содержащее параметров в], аг, ..., ап. Оно имеет внд: 4>(-^,,У>У',у"> ¦ --%У' = 0 к называется дифференциальным уравнением данного семейства линий е я нараметрамв. Само исходное уравнение f(x,y,аъаь ... ,в„) = 0 называется •бшш интегралом дифференциального уравнения ф (х, у, у,..., у <п)) >= 0. Найти дифференциальные уравнения следующих семейств линий я отметить, таи, где это просто, свойства линий, выражаемые этими уравнениями. 1286. у = ах. 1290. у = ах -j- <A 1287. ха -j-^a — аа. 1291. (х« -f^»)» = аа (ха—^*). 1288. ха -т-.Уа = ал. 1292. (х — аJ -j-y* = 1. 1289. у=* ах*. ? 1293. у = ае". 1294.Семействософокусныхкривых2-гопорядка-, ^-f-b{ f 1, где X—параметр. 1295. Семейства циклоид х =» a (t—sin /), у ва а A — cos г), где а—параметр. 1298. Семейство циклоид: x-\-C = a(t—sin/), ^ = a(l—cos/), где С—параметр. 1297. Семейства трактрис: где С—параметр. 86
Нг.Пти дифференциальные уравнении следующих семейств линий с несколькими параметр г ми и отметить там, где это просто, свойство, выраженное этими урашгниями. 1298. у = ах-\-Ь. 1301. (х — aM-f (у—Ь)9 = Л 1299. у = ах* + Ьх + с. 1302. у = A sin (x -j- <*)• 1300. (х — aJ-f С — *J = Ь 1303. > = «»(^д: = 5:. 1304. Доказать, что дифференциальное уравнение всех парабол имеет вид |(/'Р] =0 или б/7—3/'/v = 0. 1305. Доказать, что дифференциальное уравнение кривых 2-го порядка имеет вид [if) Ч 0. Найти системы дифференциальных уравнений, котррым удовле- удовлетворяют координаты (х, у, г) точек следующих семейств линий: 1308. у —ах, г = Ьх. 1307. x»-fy + ^ = aS» х+у + г=*Ь. 1308. у —a cos х, z = asinx- 1309. x = acos/, y=*asint, z = bt. 1310. Найти дифференциальные уравнения нормалей к конусу 1311. Тот же вопрос для параболоида хй-\-у9=*г. § 2. Нахождение функций по их полному дифференциалу Выражение Р(х, J)dx + Q{x, y)dy является полным диффе некоторой функции и{х,у) в ipii н только в том случае, если В этом случае величина а (х, у) легко может выть получена вычислением криволинейного интеграла у» Г P{x.y)dx+Q{x,y)dy. Такого же рода результаты существуют и для функций от большего «ел» переменных. Так, например, выражение Pdx + Qdy+Rdz является полным дифференциалом функция и{х, у, х) в том и только в том случае, если dR^dQ дР^дП j^se?f Прн «ток Pdx + Qdy+Rdz. t Янь 4MB» Сборка идо т. и.
В этих формулах выбор постоянных х0 у0. г0 и формы пути, по которому мдбт интегрирование, произвольны. Помому, в частности, для двух пере- переменных можно писать: и{х. У) = J Р(*' У) *х+ J Q(лго, у) dy. Аналогичная формула для трёх переменных имеет вид: и (х, у, z) = (Р(х, у, z) dx + \Q (Jfo, у, z) dy + Г* (дг0. .у* «) Л'- X, У, С Найти функции по полным их дифференциалам: 1312. dz = С*9 —у*)dx — 2ху dy. 1313. dz-- 2x(l—ey)dx . evdy 1315. Ar=*-—7 :! ' Wl7. „._*?5 1318. du =s (д;1 — ,ya? fl?x + Гу1—хг dy -j- (г?—xy) dz. Если сила, действующая в поле, есть grad и, т. е. если сё проекции иа оси /at, fv, ft равны соответственным частным производным: /я = ~, fy=x~^t А *=-т-, то 8 называется потенциалом сил. 1319. Найти потенциал сил Р, -если /я =я 2х, Д =/г == 2у -}- 2г. 1320. Найтн потенциал сил Р, если fa —_1_>Гдег — рахиус- вектор из начала в точку (х, у, г). 1321. Проекции силы на оси даны формулами: t _ x+y + 3z . __ '*— (x+y+zj>> 'v ах (x+y+zj>> 'v (x+y+z** f' Определить постояннее a, b, c, a, J3, ^ так, чтобы сила имела потен- потенциал и, и найти его. 1322. Определить постоянные а и Ь так, чтобы выражение (ах"- + 7ху +у*) dx — (jc» + 2*У + ЗЯ <*У было полчым дифференциалом некоторой функции и(х, у), и иайтй эту функцию. 98
1323. Доказать, что выражение Пдхп$Г dx ^TfT аУ есть полная дифференциал некоторой функции а, и найти эту функцию, учитывая, что^^-^—^- = 0* 1324. Дифференциал длины дуги на некоторой поверхности выра- выражается формулой ds* = А (х, y)dx*-\-В >, y)dy4. Введя новые пере- переменные по формулам: и = Р(х, у), v — Q(x, у), где Р и Q—некото- Q—некоторые функции, формуле для rfs9 можно придать вид: dsi = du*-\-dv\ если функции Я н Q удовлегворяют условиям: Доказать, что д.-.я возможности подбора таких Р и Q функции А (х,у) и В(х, у) должны удовлетворять условию дх~ ) , \ув~дх дх * 5у = °- § 3. Интегрирование полных дифференциалов Если дифференциальное уравнение имеет вид P(x,y)dx + Q(x,y) dy = O, где dQ_dP Fx~dy> то левая часть его есть дифференциал некоторой функции и (х, у). Уравсе- иие можно переписать в таком виде: du — О. Его общий интеграл и*=с. Проинтегрировать следующие уравнения: 1325. {x+y)dx + (x— y)dy = 0. 1326. (Зх9 -f 6*У*) dx + {6хУ + 4у*, dy ** 0. 1327. (х9—ЬхуЬ dx + (y*— Ъх^у) dy — 0. „or ***+У*9 .xdy-ydx В следующих задачах требуется, найдя общий интеграл, выбрать в нём постоянное С так, чтобы получилась кривая, проходящая через даииую точку Af A, 1). 1331. (+)i( yjy * «9
§ 4. Уравнения с отделяющимися переменными Если в уравнении Pdx-\-Qdy=0 функции Р и Q распадаются на два множителя, каждый из которых содержит не более, чем одну нэ переменных х иди у, т. е. если Р«¦ + (.*)/''(у), <?=/(y)?C*)t то уравнение принимает вид: b{x)F(y)dx+f(y)<t(x)dy = O, Если F(y) и <f(x) отличны от нуля, ю отсюда следует, чго ЗД^-(-|Я &У "=0. Общий интеграл этого урав- уравнения имеет вид: Замечание. Равенства F{y)m0 и <у(ж) = 0 представляют особые иигегралы данного уравнения, если по смыслу вопроса соответствующая переменная нмеет право обратиться в постоянную. Проинтегрировать уравнения: 1332. A + /) dx+xydy=* 0. 1333. деуA + х»)У = 1 1334. В следующих задачах, найдя общий интеграл, выделить кривую, проходящую через заданную точку М(х0, у^. 1835. ng— пй-=-°; ^С1» ».); 1336. у sin x=^ In ^; Ж@, 1); Af (у , 1337. (l + g*)jy'=«e«; ЖA, 1). 1388. х/1— У Лс+> VI—л* flfy = O; Ж @, 1). 1339. 2YJdx = dy; Ж@, 1). 1840. ylnydx + xdy<=0; М{\, 1>. 1841. (а»-j-У) ^*'+ 2* /« — *9 4У5 ^f(e. 0)- Иногда переменные непосредственно не отделяются, но после введения новых переменных могут быть отделены. В ближайших задачах такое отделение достигается подстановкой ах-\-Ьу-\-с = ша, где a, b и с соответственно подобраны. Проинтегрировать следующие уравнения: 1342. / = 0е— jO'-H- 134S. у'* = ах + by-+*с. 1343. У — sin(х--у). 1346. 1344. y-re*-J-*y-f<?. 1347. В следующих примерах полезна подстакоика 1348. ^ 1349. *1(/+Л —а(луг— 1). 1360. 100
В дальнейших двух примерах полезно несколько более сложное введение двух новых переменных, по формулам: ху—и, — = р. 1351. y(l+xy)dx + (l — xy)xdy*=*O. У 1352. Подстановка вида je*j0r=sa при соответственно выбранных о и 8 позволяет решить следующие уравнения: 1353. (*9—у*)у' — ху = 0. 1354. y 1355. Найти общий интеграл уравнения з О—*) Vi + *а 4у «• A +у») применив подстановку: .у — tg г>. Следующие задачи приводят к уравнениям с отделяющимися пере- переменными при соответственном их выборе. . 1356. Найти кривые, у которых длина подкасательиой —постоги- ная, равная "а. (Лейбниц, 1684.) 1357. Найти кривые, у которых поднормаль повсюду равиа р. 1368. Найти кривые, у которых отрезок касательной, заключен- заключенный между осями, делится пополам точкой касания. 1359. Найти кривые, у которых такой же отрезок делится точ- точкой касания в отношении от:я. I860. Пользуясь полярными координатами, найти кривые, пере- пересекающие все радиусы кривизны под углом а, где tga = a. 13Й1. Найти кривые, у которых угол ? от полярной оси до радиуса-вектора в точку касания равен углу р от продолжения радиуса-вектора до кгсательной. 1362. Такой же вопрос, но ц=»2<р. 1363. Свет с яркостью /0 падает на поглощающую свет среду. Считая, что поглощение слоем &х приближенно пропорционально Ах и яркости /, доказать, что на глубине х яркость выражается равенством:/«/„е-**, где А—'коэффициент пропорциональности. 1364. Лучи от источника света поглощаются окружающей сре- средой. Считая, что поглощение света между шарами с радиусами г н r-J-Дг и с центром в источнике света, с точностью до малых выс- высшего порядка, равно kf • 4кг3Дг, доказать,- что яркость на расстоя- расстоянии г от источника света равна f?-s-% где /ое-*—яркость света при ги»1, а А—коэффициент пропорциональности. 1365. Сосуд содержит М куб. см раствора. В него каждую секунду непрерывно поступает q куб. ем воды, которая тут же размешивается. Из сосуда вытекает в секунду q куб. см раствора. Доказать, что количество растворение го вещества т выражается 101
формулой: nisamjB г , где т0—начальное количество вещества, a t—время в секундах от начала. 1366. Канат намотан на столб радиуса г. Сила, прижимающая его элемент Ls к столбу, эквивалентна величине —As, где Г—натя- жеиие каната в данной точке. Благодаря трению элемент может скользить лишь в том случае, если движущая его сила больше, чем */, где k — коэффициент трения, а/—сила, прижимающая элемент к столбу. Получить отсюда дифференциальное уравнение: dT=* кТ - — ей: yds и его общий интеграл: 7=» Тое г, где Т—натяжение, при котором начинается скольжение, Го—натяжение в начальной •точке. § б. Уравнения однородные и приводящиеся к ник Однородные уравнения приводятся к каждому из видов: у=/Кп или Р (х, y)dx+Q (х, у) dy = 0, где Р и Q — однородные функции олина- козогб измерения. Они приводятся к уравнениям с отделяющимися пере- переменными любой из подстановок: y = tx или x=*ty. Решить следую дне уравнения, выделив интегральную кривую проходящую через данную точку М(Xq, yQ), там, где она дана: 1367. (x-\-y)dx — (x— 1368. (у9—Зл«) dx + 2xy dy — 0; М @, 1). 13.39. (х* + 2ху— y*Jdx+(y*-lr2xy—x*)dy = 0; Af(l, — 1), 1370. х dy —y dx*=y dy. 1371. y*dx + (x*—xy)dy=*0. 1372. (x* + xy+y*)dx=z\*dy. 1373. C«9 + 6xy + by*) dx+B*8+Zxy) dy=*0. 1374. ^ 1376./«=f+ J-; M(—1, 0). 1379. xy'^yla*-. Иногда неоднородные уравнения переходят в однородные после подстаноски х = и\ y=*v*, где X и р—соответственно выбранные, псстояиные. Так решаются следующие уравнения: 1380. (у«—bx*)dy+xydx*=*0. 18Ы. 1382. 1383. {х">— 102.
Уравнения у'«/^_^±g+?_J „ри abt - а{Ъ ф 0 приводятся к одно- однородным подстановкой х**Ь + а, у=**У + 3, где (о, р) — точка пересечения прямых лг + 6у + « = 0, *,* -f-Av + «1 = Р. Если же аЬх — д^ = о, то под- подстановка ax + by-j-e=aa позволяет отделить переменные. Решить уравнения: 1384. (x+y-\-l)dx+B 1385. (x-\-y-~2)dx + (х— 1386. Bх— ^-}-1) -'jc-J-СЯу—х — l)dfy = O. 1387. (х—2^4-5)rfx-fBJC—^+ 4)<у = 0. 1388. Доказать, что интегральные кривые уравнения — логарифмические спирали. 1389. Доказать теорему: если Pdx-\-Q dy = Q— однородное уравнение, а выражение Pdx-\-Qdy — полный дифференциал, то общий интеграл данного уравнения имеет вид: Px-^-Qy = C. 13Э0. Найти кривые, у которых треугольник между Оу, каса- касательной и радиусом-вектором из начала в точку касания — равно- равнобедренный. 1391. Найти кривую, у которой площадь криволинейной трапеции между точками оси Ох: (а, 0) и (х, 0) и точками кривой: А (а, /(а)) и В(х, у) была бы пропорциональна дуге A3. % 6. Уравнения линейные я приводящиеся к вин Линейные уравнении 1-го порядка имеют вид: у -f-Ру + Q =• 0. Один из способов нх решения состоит в том, что уравнение умножают на множитель и, выбранный так, чтобы величина Ри равнялась а'. Тогда угавиегие принимает внд: ау' + <*У ¦=—"Q илн (ay)'» —aQ, и интегри- интегрируется без труда. Таким интегрирующим множителем в является Для следующих уравнений найти общий интеграл, а в случаях, где указано, найти частный интеграл, который обращается в у0 при х = х0. 1392. ху' + 2у = Зх; х0 — 0, у0 — 0. 1393. ху' + 5у = х*. 1394. У+а^ = в«*. 1393. A + х*) У—2ху *- A + х*)К 1396.'У -(- 2лу = 2xe-«*. 1397. У sin х — .у =¦ 1 — cos х. 1398. У-j-ycosx =smx cosx; хфе>0,.^ф»1. 1399. A— х*)уГ-{-ху=\; ^«=1 при дсш.0. 1400. У 4-*¦>«»**, ^ « I при х шт 2. 103
Следующие уравнения оказываются линейными, если принять у за независимое переменное, г х— за функцию: 1401. (у*~-6х)/ + 2у = 0. 1402. (X — 2ху —У*)/ 4s У = 0. Уравнения у + Ру + Qyn «¦ 0 называются уравневнямв Бернуллн. Они сводятся к линейному делением на .у» с последующей подстановкой jA-» » в. Найти общий интеграл уравнений: 1403. *У -f-у = у9 In дг. 1407. у»-1 (а/ +у) = х. 1404. У -f 2ху = гд:3/. 1408. dy-\-(xy—xf) dx = 0. 1406. A— *3)/—*y = ajey9. 1409. 1406. 3^а/ —ay8 == x+1. 1410. Следующие уравнения сзодятся к линейным простыми заменами переменных: 1411. (jti+/4-0<y + J|y*CssB0' 1412. (*9-кУ9-Й* — 2;') dx + 2 (^— 1) flfy = 0. 1413. / — 1=»еа>+8*. 1415. 1414. хУ + 1=еУ. 1416. Дальнейшие задачи сводятся к линейным уравнениям, а также другим уравнениям, уже рассмотренным раньше. 1 1417. Решить функциональное уравнение Г <?(aje) d<x = ny (x). о 1418. 1419. 1420. 1421. 1422. J xy 0 m fa m о Найти кривую, у . Найти у. at 1 J xydx. Найти 0 Vx-\-y. Найти у = 2,+/. которой средняя V. '• ордината, т. е. вели а 1 Г чина — J jxfjt, пропорциональна последней ординате. о 1423.' НаЛти кривую, у которой абсцисса центра тяжести пло- площади, заключённой между прямыми х = 0, у = 0, x — i и самой кривой, равна-j-?. 104
1424. Если R — сопротивление, L — коэффициент самоиндукции, а V—напряжение, то сила тока /удовлетворяет уравнению: Lrn-\- ^V. Найти силу тока через /секунд после включения, если V постоянно, а при t = 0 сила тока была /0. 1426. Тот же вопрос при V =» Vo sin 2^nt и при /0 1426. Точка с массой т движется в среде, сопротивление кото* рой пропорционально скорости. Если т—скорость, то ~—уско- ~—ускорение. Из законов механики следует уравнение т~=—mgk—av, где к — единичный вектор по оси Ог (вертикальной), а — коэффи- коэффициент пропорциональности. Найти формулу для т и для пройден*, ного пути s. § 7. Уравнение Риккатн Так называются уравнения, имеющие вяд у1 + Ру -f Qy* + R = 0. Если удаётся найтн чгстяое решение у%, то подстановкой у ашyt-\- и такое урав- уравнение врвводнтся к уравнению Бернулли. Найти общий интеграл следующих уравнений, имеющих частный интеграл вида —. 1427. *'/ = я8/ + ху + 1. 1429. 4/ +У+ 4^"9~ °- 1428. У -}-У -» 2*-а. 1430. х«У + (jcy — 2)а «• 0. Уравненне, взучавшеесн самим Риккати, имеет вид: у + Ау* •» Вхт, где Л В в /и —постоянные. После подстановки у я* — в х"+8»( оно переходите такое: /и'+ аи + ри*™т'« Последнее прн E = 0 обращается в линейное, а прн т >¦ 0 — в уравненне Бернулли. Прн а « — —- уравненве можно переписать в таком виде:—У"? (-J-—J +?™т («У ) » после I чего оно легко интегрируется. Если жетр^Она^——, то уравнение можно преобразовать двумя путями: L Подстановкой в » , где в ¦= —i-5-, оно преобразуется к виду: П. Подстановкой и = в + —, где в =ш ——, оно преобразуется к виду: Прв otev-f -j, где v—целое число, ряд подстановок указанных типов врнводнт к полному решению. Поэтому уравнение Рнпатя ¦ точном 109
смысле, т. е. уравнение у + Ау* = Вхт, интегрируется в конечном виде ври «» 2д4-1*' где я~любое Целое число, не исключая и отрицательных. Решить уравнения: 1431. ху' + 3у+у* = х*. 1433../ +У = аг-*. 1432. *У — 5у— /»=-**. 1436. /+/ = - х-*. i 8 1433. Зл/ — 9у — / == *Т. 1437. у' — у* = *~1. 1434.5у+^2 = *~6. 1438./—У=-х *•. § 8. Уравнение Якоби Уравнение Якобн имеет гид: (Ах -f- By + С) Ас + (^i* + ЯьУ + Ct) rfy + (Л~с + iS-y + С,) (.«г rfy-^ dx) «0. Одяя нз наиболее простых для запоминания путей его решения состоит в следующем. Подстановкой х = -г-, у «* 4- данное уравнение переводится в такое: —Ji(Crfn — Tidq + s,?di- $<«) + s,E<fc| — tjrf;) =.0. (*) где Уравнение (*) можно записать в виде равенства нулю определителя: <*: <*>] dl 5 Ч С =0. Чтобы удовлетворить ему, можно положить где <—новая вспомогательная переменная. Полученнан система линейных уравнений решается сравнительно простыня методами, которым посвящен один из дальнейших параграфов. Решение этих уравнений даёт три равен- ства с 5, 1), С и /. Присоединив х ним'сщё формулы * = -*-, .у = 4-, полу- получаем пять уравнений. Исключая из них 6, ц, С и /, найдем общий ингегр л данного уравневня. В простейшем н нередком случае решенне уравнений (**) дается равен- равенствами: Отсюда следует: (о5 + Ьп + eQV-N, («i? + М + *»Ch-4W! + »rt + 'ЛЧтЧ - С где С—-новая постоянная. Так как левая часть есть однородная функция нулевой степени, то выражения в скобках можно разделить иа С, после чего получается общий интеграл уравнения Якоби в таком виде: (ах 106
Можно решать уравнения Якобя н без перехода х системе уравнений. Одни из способов состоит в тон, что находят линейный интеграл уравае-' ния, имеющие вяд ах+^у + f=sO, я вводят новы: переменные, полагая: Л" « +}У -1-Т * Уравнение, получающееся для Xi и }\, приводятся х о.шороднэиу. Решить диффзренциальные уравнения: 1439. (х + Sy)dx-{-%dy + a(x -\-y) (xdy—ydx) = 0. 1440. (x—y+l)d* + {x-y—\)dy\.(x + y— 1) (a- dy —y dx) я о. 1441. (y — x — l)(dx-\-dy)+(x+y±l).(x(fy— ydx)=0. 1442. (x +3^ + 2) dx — (x-y-2)dy + (x+y-{-2) (xdy 1443. (Ux+I3y ±6)dx-\-Dx-i-5y-\-3)dy — Gx+-5y) (xdy—ydx) — 0. 1444. (Jx — Sy + 5)dx + Gx—Sy)dy + 5(x + y) (x dy —y dx) =» 0, 1446. (—x+ \)dx + A ~^)rfy + (JC_^)(xrfy —^rftr) = 0. 1446. Найти кривую, у которой отрезок касательной мгжау точкой касания и осью О* виден из точки @,1) под углом 45Э. § 9. Интегрирующий множитель Если- выражение Pdx + Qdy не есть полный дифференциал некоторой функции, то его можно сделать полным дифференциалом, помножив на некоторый множитель М. Последний должен удовлетворять уравнению в частных производных PJZ — Q§? ""^(^ ""Зу)* ^слн после У"- ження на М выражение Pdx+Qdy обращается в полный дифференциал функции я, то f(a)M, где f (и)—любая дифференцируемая ф/нкция, тоже будет интегрирующим множителем для Pdx + Qdy. Таким образом, суще- существует бесчисленное множество интегрирующих множителей. Тем не менее найтн хотя бы один из ннх, вообще говоря, трудно. Исключение составляет случай, когда множитель имеет внд Af = /(a), где в —данная функция. пди пди дР dQ В втом случае отношение величин p^u~"Q-g^ и 7 — J* должн<> быть функцией одного и. а уравиенне в частных производных для множи- множителя М обращается в обыкновенное линейное уравнение первого порядка н может быть полностью решено. Как только множитель М для выражения Pdx + Qdy найден, уравнение Pdx+Qdy = 0 можно заменить уравнением MPdx + MQdyaQ. Так как в левой части стоит полный дифференциал, то последнее уравнение может быть проинтегрировано. Найти интегралы следующих уравнений, имеющих множитель одного из видов М—/(х) или Mfi 1447. (ж»4-^)Лс— *4У = 0. 1448. (x*+y*)(xdy— ydx) = ( 107
1450. {2xy*— 1451. A — 1462. 1453. (xcosy—.y sin,y) rfy 4" C*sin.y+.У cosy) Ле a o. Интегрировать следующие уравнения с множителем одного яз видов М св/(х-\-у) или М =/\ху): 1464. (дг2+дг^ + 2*У— у*—f)dx-\- B>-fZxy* -f л? -ж8) «/у = 0. 1456. B*»/ — у) dx+B*V—*) dy = 0. 1456. xfdx + (xsj> — x) dy *• 0. 1467. Решить следующие уравнения С помощью множителей ОДНОГО из видов: М =/(*9—у9) или М =/(*"+/). 1468. (*' +У +1) *¦* — 2лсу <У — О- 1459. (y + x*)dy+(x—xy)dx*-0. 1460. Иногда интегрирующий множитель удавтся находить постепенно, пред- ставнз велачнну Pdx-\-Qdy в виде сунны пар слагаемых такого же вида: Найдя нножнтель Mi для первой сунмы в первой части, получаем: Mt(Pdx+Q dy) - (MM dx + MtQi dy) + (AfxP, dx + MiQi dy)+... Если при этон MiPidx+MiQidy оказалось равным du, где и—-известная функция, те стараются выбрать Afj = T(«) так, чтобы в равенстве MiMt (Pdx + Q dy) - ? (о) du + (iHiAf»Р, *« + MiMtQt dy) -f-... второе слагаемое в правой части стало полным дифференциалом. Первое слагаемое при этон остается полным днфферевциалон. Продолжая дальше подобный oopasov, ны достигнем тог», что вся правая часть станет полным дифференциалом. Так, например, в уравнении х dx-ry dy+x {x,dy—y dx) =0 первые два слагаемых равны -sdn, где it=*s+.y1« Поэтому, умножая на 9 (и), пишем уравнение: Правая часть будет полным дифференциалом» если v(b)jk* будет функцией дроби v = ?. Это будет при <f(u)=s ——.- Это уравнение принимает тогда дг у в* вид: ¦. ^4--л===г *8'0 и без тРУда интегрируется. Найти интегралы уравнений: 1461. (x?+y*+y)dx—xdy*=0. 1462. х dy+y dx +y* (x dy —ydx) = 0. 1С8
1463. у (х* + /) dx -\-х (х dy — у dx) = 0. 1464. у* (х 4- a) Ле+х (** -1 *у) dy = 0. 1465. 2*<у+^Ле+*У(*<у4-.уЛе) = 0. 1466. xdy—2ydx\- ху4 B* dy -{-ydx) = 0. 1467. Доказать, что для однородного уравнения Mdx-fcMdy—0 величина ¦„ ¦ ^ есть интегрирующий множитель. гях-t-riy 1468. Доказать теорему: если уравнение Mdx-\-Ndy = 0 одно- однородное, a Mdx-\-Ndy есть полный дифференциал, то общий инте- интеграл уравнения можно написать в таком ниде: Mx-\-Ny = C. § 10. Уравнения Эйлера Если уравнение Pdx + Qdy нмеет два интегрирующих множителя Aft и М, отношевне которых отлично от постоянной, то равенство тг'-С даёт общий интеграл уравнения. Если общий интеграл можно представить в двух видах: и{х,у) ш C,v(x,y) =¦ С%, где С н Ci—произвольные постоян- постоянные, то с ¦»?(")• Так уравнение —+-=-•=() по умножеияя на ху пере- переходит в у dx -{• х dy«« 0 и, значит, имеет два множителя 1 я ху. Поэтому его общий янгеграл есть xyj» С. С другой стороны, его общий интеграл есть также In x + In у » Ct. Поэтому 1пх + 1пу=*ч(ху). При у «а 1 получаем: In х ¦¦ • (*). Отсюда получаем основное равенство теории логарифмов: 1пх+\пу**1п{ху). Несколько сложней получаются нодобнме результаты для уравнения dx , dy n р+Т+З^+Т- которое нмеет один интегрирующий множитель М « 1. Чтобы найти другой, обозначим левую часть черев • и умножим еС на (*5 + 1)(>*+ 1), После чего получим (x*-fl) O^+l)»— y'dx + x*dy + d{x+ у). С другой сто- ровы, замечаем, что (x+y)d(xy)mmy*dx + x*dy + xyd(x+y). Поэтому Деля на A — xyf, получаем: («' +1) (У14-1) A - ху) d (х +у) - (х Ч-у) d A -ху) л х+у (\-xyy il-xy? ~ a \~ху' Данное уравнение ««О 5квивадентно такому: d f_^v =0- Его общий интеграл-j^^j-о» С. С другой стороны, ясно, что общий интеграл урав- уравнення • есть arctgх + axctgy «¦ Cv Поэтому arclgx + uctgy»<f (?-_? ). При у •* 0 находки: arctg x » f (*). Следовательно» arctg х + arctgj» ш atctg y~ Найти алгебраическую форму интегралов следующих четырех уравнений: dx , dy _ • а + 2Ьу+еу* и* 1C9
1473. Доказать, что общий интеграл уравнения может быть представлен в форме уУ\—х* +хУТ^У^ С (I + А9.У9\ 1474. Доказать, что частный интеграл того же уравнения, удов- удовлетворяющий условию у = 1 при -V = 0, выражается уравнением: 1475. На дуге лемнискаты г* = a-cos 2 о рассматриваются точки , г) и Afi(?i, rt) такие, что дуги ОМ и АМХ равны, где о(^-, о\ Л @, а). Доказать, что cos9Cos<Pi = -t=. 1476. Уравнение -I—====- = 0 имеет общий интеграл arcsinx-|-arcsin_y = С Установить, что оно имеет также алгебраи- алгебраический интеграл ^__-_ _____ ху 1 —у*+уу 1 _ х» = С,. 1477. Полагая * = sin <?, ^ «_ sin ф, У—*8 = cos <р, 1^1—^8 =» s=cos<J>, с помощью предыдущего, результата доказать теорему ело» жения для синусов: Sin cp COS <}l -j- Sin <}» COS ? = Sin (cp -J- ф)# 1478. При изучении уравнения dx . d ¦+ положить /(I— *0A— доказать равенства — */? 00, — *у" -> 2к*ху (дс8 -— ^9). 1479ь Доказать, что общий интеграл уравнения предыдущей задачи можно написать в таком виде: 110
1480. Определив функцию x = sna расенством я» f d и введя функции У\ — ла = сп и, У\—&2.c2 = dna, докязать ра- равенство: sn и сп о dn v 4- sn о сп a dn а ^ = sn 1481. Доказать, что общий интеграл уравнения + -. ¦ —I, ¦ ...I.—!——-!!¦¦¦.,,!..— ,_. ; V X I 1 — X I —¦ АЛ" 1 "l/ ¦¦ /1 .Л /1 1 ..\ можно представить в таком виде: —уК1 — Ху) = С A — Хху). 1482. Доказать, что общий интеграл уравнения у cos ф можно написать в таком виде: "j/coTf — § 11. Уравнения, не решЕииые относительно у' Одни нз способов решения таких уравнений состоит в tov, что данное уравнение сначала разрешают относительно у'. Такнм способом можно ре- решить уравнения 1483—1491. Решить уравнения: 1483. .у/-Ку'а = л-2 +ху. 1484. х/ = ]Л-f /9. 1485. *V9+Зху/ -f 2/ = 0. 1486. ху'a-f 2jy' — * = 0. 1487. xs-f-У• = л9. 1488. (.г/ — .у)* = 2ху A +^). 1489. х*у'2 _ 2*у/ -f J'2 = *9,.2—**. 1490. (л-у—y)(fy' — 2_y)-f-Jca = 0 (здесь можно положить у=* = их н потом х == е'). 1491. х*у'л- — Злг>1у' + 2У = 0. Найти интегралы следующих двух уравнений, опираясь на то, что в них величина у' постоянна: 1492. У8 — ЗУ +1 — 0. 1493. у' — в»' sin /. Еслн уравнение амеет однннзвндов, /(*,У) = 0 нлн/(у,У) »0, то не- нередко бывает удобно принять/ за параметр илн за какую-нибудь функцию параметра. Еслн «сложить у' = р, а нз уравнения /(*,/; аз 0 получается Ш
x = f(p), то dx=*<t' (p)dp. Поэтому dy *= p dx=pf'(p) dp. Отсюда в из предыдущего получаются параметрически; выражения хну черев р: х - ч (Р), У + С *¦ J PV'{p) dp. Подобно этому решается н уравнение типа /Су,У) = 0. Решить уравнения: 1494. х A +/») = 1. 1499..У /IT75 =У- j. 1600. y=/la/. 1495. хA + У2» 3 = а. 1501. /» — 2х/ — 1=0. 1496. «-«/-(.*/9. "И. х»' = ^Ч ау 1503. jt'-f-^'Sseojey'. (В по- 1497. я ==-тг===?. следних двух задачах следует или у +1У У выразить через вспомогательный НОВ. у =/2 + 2/». параметр.) Для интегрирования уравнения/Ч-су.уО^О бывает полезно разрешить его относительно jf. Если при этом получится у = ? (у') х + + {У), то урав- неине интегрируется. Здесь приходится разбирать два случая: 1) jr= / jf + ф (/) (уравнение Клеро). Его общий интеграл имеет внд у = Сх+ + (Q- Кроне того, уравнение может иметь ещв особый интеграл, который подучается исключением р из уравнений у=рх+Ь(р) и х + (/) 2» jf»<р (у') дг + ф 00. где ? СУ) ФУ' (уравнение Лагранжа). Если* положить у'етр н принять х за функцию, то уравненне обра- обращается в линейное: Кроме того, уравнение может иметь особые интегралы вндау =¦ f{Qx 4* Ф (О> где С— корень уравнения С»? (С). Решить уравнения: 1504. .у «¦ *У +/2. 1510. у'*—3/=у—х. 1505. ,у«*У+У— уа. 1511. 2уСУ + 2) = *У9. 1506. jf = *У — а]/1 +уз 1512. .у = *у'а +У9. 1507. у*- 2хуу'г{- A + *V2 -1. ш 3. .у «= 1508. ж — j +jpj. 1514. у -ш 1509. (*У +^J=УУ. 1515. у/ 1516. Найти кривую, у которой касательная образует на осях отрезки, сумма которых равна 2а. 1517. Найти кривую, у которой длина отрезка касательной между осями равна о. 1518. Найти кривые, у которых произведение расстояния каса- касательных до двух данных точек постоянное. 1519. Найти кривую, касательная к которой образует с осями треугольник площади 2а3. 112
1520. Найти интегральную кривую уравнения уа+2*у-[-2у = О, которая пересекает ось Оу под углом 45°. 1521. Найти интегральную кривую уравнении 2уу' — х (у'*-\-1) -f- + У4 — ЗУа, проходящую через точку @,— 1), касаясь в ней граиой у-^-1 =0. 1522. Найти кривую, у которой площадь трапеции, образованной осями координат, касательной и ординатой в точке касания, равна а*. Выделить кривую, проходящую через точку (а, а). § 12. Особенные решения уравнений Если интеграл уравнения имеет вид, f(x,y,Q = 0, то особенное реше- решение может получаться исключением Сиз уравнений/ {х,у, О»0вг|, «О. Может случиться, однако, что эти уравнения несовместны нлн не дают вещественного решения. Может случиться также, что уравнение, полученное указанным способом, не даёт особенного решения. Бслн само уравнение имеет вид f(x,y,y') » О, то особенное решенне может получаться также исключе- исключением/ из уравнений/ (х,у,у1) = 0, « *= 0. Найти особенные решения уравнений: 1523. У—ху'+у'+у'*. 1524. (ху' — у)* = х*Bу—хУ). 1525. (ху' +у)* + 3*s (ху — 2у) = 0. 1526. 2хуA -\-у'*) — (ху'+У? = 0. 1527. л:^'а— 2 (*у — 2)у + у*'ш* 0. 1528. О' — ху') {ау1 — Ъ)=* аЬу\ 1529. У8— у/ + е* = 0. 1531. у*—уУу+уУу 1530. у *= ху' -Ь1/1—У2- 1S32. *У2У2 —/У + о8* — 0. § 13. Задачи иа траектории Ортогональной траекторией семейства /(х,у,а)*=0. называется линяя* пересекающая кривые семейства под пряиым углом. Чтобы подучать диффе- дифференциальное уравнение данного семейства, надо исключить а из уравнений: / (х,У, а) в 0, jj + Ту / ¦" °-Чтобы получить днфференцнальвое уравнение траекторий, юдо исключить а нз уравнений: Ортогональные траектории встречаются в ряде вопросов физики. Найти ортогональные траектории следующих семейств линий: 1533. Парабол у —ах?. 1534. Кривых у=*ах* .при данном в. ' X* V* 1535. Эллипсов *^r+4f ss^ при данных аи*. 8 в», i.u СОдажа мдм, т. П. Ш
1538. Эллипсов ~ + р- — 1 ПРИ Данном а. 1S37. Кривых 1638. Софокусных эллипсов Указание. Одни из способов решения уравнения задачи — подста- подстановка х* в ?, .у* = Ц- 1Е89. Кругов Os— JL)8-J->aes** при данном Л. 1640. Парабол О'—A)8 = 2/>jf, скользящих без вращения вер- шикой по оси Оу. 1641. Парабол (у— т))9-{-2/> (*--?), где т|*-{-2/*=*0, скользя- скользящих без вращения по другой параболе. 1642. Циссоид Bа — х)у9 = х\ 1643. Лемнискат (лс*-{•->> 2)9 = a9 (js9—у9). (Здесь лучше всего ввести полярные координаты.) 1644. Строфоид x(sfi-$-y*)=ta"(x'i—y*). 1645. Парабол, у которых О* — ось симметрии, Оу —директриса. 1546. Кругов, касающихся двух прямых у=>±ах при данном а. 1547. Кардиоид г = а A -}- cos <?. 1548. Кривых г* (« — <?) = а9?. 1649. /-a==lntg» + C. 1650. г2» — 2a»/-'lcosrt?-j~e?n=::sc2" ПРИ Дакных а я п. 1551. Найти эвольвенту параболы, т. е. ортогональную траекто- траекторию касательных к ней. 1552. Найти эвольвенту цепной линии_у — д ch — . 1553. Найти эвольвенту эвольвенты круга х = 2.1 (cost+/sin0. ,y=2a(sia/ — /cos*). 1554. Найти кривые, перемежающие кардиоиды г — a (I-\-cos <f) при любых а под углом а. 1555. То же для кривых г2 cos 2«р = а2. 1556. То же для окружностей г = асоа<э. 1557. Найти семейство кривых г —а/(у) таких, чтобы каждая из кривых при повороте ев на некоторый угол J3 пересекала все осталрпые кривые семейства под углом о, где «— некоторая функ- функция от р. 1558. Найти кривые, пересекающие под углом 45° касательные к кругу х%-\-у*=ва*. 1559. На поверхности z*a=2ay найти линии, касательные к кото* рым составляют с Ог данный угол у. 1560. Тот же вопрос для поверхности х2-\-у7 = 2аг. 1561. Найти кривые, пересекающие все параллели поверхности1 вращения х*-{-у* = а*сп* — под углом 45е. 1562. Тот же вопрос для конуса х* -\-у*яаг*. 1563. Найти кривые, пересекающие все образующие цилиндра у в у (лг) под углом а. 114
1564. Тот же вопрос для конуса у = *•? {—)¦ 1585. Найти локсодромию, т. е. кривую, пересекающую под углом « все меридианы сферы лс*-{-\Уя-[- г3 =»а*. (Здесь лучше всего для точек поверхности шара ввести параметрическое выражение через широту и долготу.) 1566. Под каким углом пересекает меридианы локсодромия, идущая из Шербурга в Нью-Йорк? Их широты 48°30' и 41°, а дол- долготы от Парижа 7° и 71° к вападу. 1567. Найти линию, пересекающую под углом «меридианы пара- параболоида вращения. 1568. Тот же вопрос для тора jc=(/-|-acos<p) cos9, у = (/-{-acos<?)sta8, «=sasfn6. 1569. Найги поверхность вращения около Ог, такую, чтобы проекции на хОу линий на поверхности, пересекающих меридианы под углом а, имели вид парабол с фокусом в начале координат. § 14. Разные зада-ш Найти интегралы уравнений: 1570. (х+у) A — ху) dx -f (лг -f Чу) dy » 0. 1571. f 1572. 1573. 1xdx-\- (х3 -4-.у9 -f 2y) dy =» 0. 1574. (x—y — 4)dx = (x-t-y — 2)dy. 1575. 2jf/-r-y2—1=0. 1576. 1577. 1578. 1579. xy'—y=y9. 1580! (Здг» -f 6;ey -f .у) </дг -f (Здг9 -f * — 1) dy = 0. 1581. ^(^—1)/—^ = U—l)a. 1582. (y 2 -f Леу—^) У — /. 1588. 4y = (^ -f .y'K- 1583. (y-f-;ey')« = *'/. 1689. 4>4-jc«4-y*.' 1584. x/ = Ь + /l 4-^'s- !690- 2^ =» 2^э + 4jfy'-f 4/*. 1585. У3—4;eyy' -f 8^3 == 0. 1591. Jfa (y — Jfy') == ,yy'«. 1586. УA -f^'9; = а(лг +УУ'). 1592. Jf A -f^'8) (^—xy')» 1587.. 2^ =» ^J -j- xy' +/*. 1593. У ¦= m Ы x -f In (xy' —y). 1594. Какую форму надо придать зеркалу, поверхность кото- которого—поверхность вращения, чтобы оно все лучи, параллельные оси, отражало в начало координат? 8» US
1595. Найти кривые, у которых длина нормали равна рассто- расстоянию касательной до начала координат. 1596. Найти такую кривую, чтобы расстояния начала координат до касательной и до нормали в переменной точке кривой находились в постоянном отношении. 1597. Найти кривую, у которой произведение отрезков, образо- образованных касательной и нормалью на оси Ох, равно а*. 1698. Найти кривую, у которой отношение расстояний нормали до двух данных точек есть величина постоянная. 159J. Найти кривую, у которой поднормаль в любсй точке равна радиусу-вектору из начала координат в эту точку. 1600. Точка движется по оси Ох и тгщит точку М, соединён- ную с ней стержнем длины а. Найти путь точки М (трактриса пряхой). 1801. Тот же вопрос, но движущаяся точка описывает окруж- окружность х9 -\~уг — в2; начальное положение точки М—на полярной оси. 1602. Найги кривую, двигаясь по которой, без трения, тяжелая точка совершила бы равномерное движение по горизонтали. 1603. Найти кривую, скользя по которой тяжелая точка в раз- разные промежутки времени снижалась бы на равные расстояния. 1604. Доказать, что функциональное уравнение /Bх) = 2/(х) имеет решение f(x)*=ax, единственное среди функций) имеющих производную при jc = O. 1805. Найти кривые, у которых длина дуги s пропорциональна квадрату абсциссы. 1606. Найти кривые, у которых *=/(у), где /(у)—данная функция. 1607. Найги кривую, у которой s*sa8ay. 1608. То же для s9=*y»—a9. 1609. То же для у = аеа. 1610. Найти асимптотические линии коноидов *«?(—)• Сопри» касающаяся плоскость у асимптотических линий совпадает с касатель- касательной плоскостью к поверхности. 1611. Найти линии кривизны гиперболического параболоида аг = ху. Линии кривизны поверхности удовлетворяют уравнению: Q+p^dx + pqdy pqdx+(l+4*\dy rdx + sdy edx + tdy • где дг dz &z Vz . Фг P Ч r * ' 1612. Найти линии кривизны эллипсоида —r"f*"^r4~~T = b (Монж.) Ш
§ IS. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Следующие уравнения решаются непосредственным интегриро» ван ем соответствующе!) производной от у. Решить уравнения: 1613. y = Jf-r-sinjc. 1614. У"sin** = sin2*. 1615- уХУ = х. Общий интеграл уравнения У") ==/(х) можно представить фор« ыулой: 1616. Найм общий интеграл уравнения У v=/(.v), rae/(.v)==.t О<ж<1 и/(лг) = О при jc>1. 1617. КаЛти интеграл уравнения /v =/(*), где f(x) — \x\ при |х|<1 и/(«) = 0 при |х|>1, такой, чтобы при дг = О величины у, у', У, У обращались соответственно в 0, 0, 0, 1. Следующиз уравнения сводятся к уравнению низшего порядка простыми подстановками: у' = и, или у* — ц и т. д. • я 1618. A+*2)/Ч-/а-И=0- 1624. /' 1619. х/ =/1п-^. 1623. у'у'"— ЗУ* = 0. 1620. У9 —у. «626- 1+У8-Ь*УУ = а 1621. а/" = у". 1627. У A -f у'9) — ау". 1622. у -f у» ^0. 1628. У = у». 1623. iy' +У3 = 4.<у. 1619. У" A -|- У") — З'У" == 0. Ураввеияя .вида /(у, У, У) = 0 могут быть свеле-ы к уравнению первого порядке заменой переменных: у' =р, откуда йу = рйл, dp=y"dx U30. j^" = I. 1636. 2У« 1631. у" = а&., 163/. У A 1632. ЗУ = jTT. 1633. уу 1633. 2Bа -у)у" == 1 +У9- lfc39 2 1634. + У2 У В следующих задачах требуется выбрать значения произктных постоянных в общем интеграле так, чтобы получился частила ин- тегри, удовлетворяющий указанным условиям. 1641. Из общего интеграла уравнения ji>y-|-y9=l выделить интегральную кривую, проходящую через точку* @, 1), касачсь в ней прямой х-\-у— 1. 117
1642. В интегралг уравнения уу'у" — У8 +>"9 Еыделить инте- интегральную кривую, проходящую через точку (.0, 0), касаясь в ней прямо» х-\-у = 0. 1643. Найти интеграл уравнения у*уп-\-1 = 0, удовлетворяющий начальным данным у = 1, У = 0 при х— 1. 1644. Выделить интегральную кривую уравнения /я-{-2уу" = 0, касающуюся пряной у = х в точке A, 1). 1646. Найти интегральную кривую уравнения 2уу"—3/?=4#у9, касающуюся прямой J» = l в точке @, 1). 1646. Найти интеграл уравнения уУ-{-п?у2— *У9 = 0» удовле- удовлетворяющий начальным данным у=>а, / = 0 при х = 0. При этом «3>0, А Следующие уравнения легка интегрируются подстановками у—ху'=ви, yy'=stt и ydzx = u. 16 47. уУ -f у '9 = — -y—-. 1649. x*y -j- (лгу' — .у)8 = 0. 1648. у9—2x/'-{-x* = yi. 1650. х3У = (,У—xy')*. Из уравнений, допускающих понижение порядка, следует отметить уравнения f(x, у. у', у")**0, однородные относительно у, у, у". У них можно положить у =*иу, У ~(и' + иг)у, после чего порядок понижается (dv dry \ у ко1Ооых левая часть не мевяетея при одновременном изменении x,dx,(Px в одно и то же число раз, бывает полезно вводить новую независимую переменную, полагая х«Л Такими приёмами решаются нижеследующие уравнения. Решить уравнения: 1651. х*уУ—2*V9+Jfy. 16Б2. х*у/' = (у—xy'f. 1653. л8 (уУ —у'*) + хуу' = 1654. хуу"-{-ху'а—уу' == 0. 1665. Найти интеграл уравнения Л«у _ (Л8+2ху)у' + Ь » = О, взедя новую функцию подстановкой у=ах2и. Привести к квадратурам уравнения: 16С6. /(л*У» х/, у) —0, где /—однородная функция своих аргументов. (Бурле.) 1657. хьу"^F[j~)f(xy' — у). Здесь удобно положить х = е*, 1658. у^О+у^/^ЗУ^у^а+у). Здесь следует вве- ввести полярные координаты.
IC59. Проинтегрировать уравнение конических сечений: 40/" з _ щууп ц_ g^v e о. Полное решение уравнений в частных производных представляет за- задачу более трудную, чем нахождение общего интеграла обыкновенных дифференциальных решений. Эта задача облегчается, если разыскивается инте- интеграл уравнения в частных производных, представляющий функцию не от х и у в отдельности, а от дайной функции их. Следующие четыре задачи дают примеры этого. 1660. Найти функцию а =/(я9-\-уг), удовлетворяющую уравне- нию Лапласа: ^ + ^3 = °- 1661. Найти общий вид функций «—/(х'-Ку*-]-*9), удовле» творяющих уравнению Лапласа от трёх переменных: gjj-f* ji + д-и _ 1662. Найти общий вид функций и =/(jc8-{-iys), удовлетворяю- щих бигармоническому уравнению Максвелла: д*а , „ д*и + 2 Замечание. Уравнение Лапласа имеет исключительное значение в ряде отделов математической физики. Уравнение Максвелла имеет боль- большее значение в теории упругости. 1663. Поверхности, у которых средняя кривизна равна нулю, называются минимальными. Координаты их точек удовлетворяют уравнению: где дг дг 8>г У поверхностей вращения вокруг оси Ог должно быть ¦г=/(л;2-|-1уа). Найти минимальные поверхности вращения. (Монж.) 1664. Найти плоские кривые, у которых радиус кривизны', про- пропорционален нормали. Рассмотреть случаи, когда коэффициент про- пропорциональности 1* равен числам ±1 и ±2. 1665. Найти плоские кривые, у которых радиус кривизны про- пропорционален кубу нормали. 1666. Найти кривые, у которых радиус кривизны пропорцио- пропорционален радиусу-вектору из начала координат и точку кривой. 1667. У каких кривых, кроме окружностей, радиус кривизны равен радиусу-вектору из начала координат? 1668. Определить форму равновесия нерастяжимой нити, на ко- которую действует нагрузка так, что на каждую единицу горизонталь- горизонтальной проекции нагрузка одинакова (цепи цепных мостов). 1669. Найти форму равновесия однородной нерастяжимой нити под действием ев веса (цепная ляйия).
НаПти кривые, у которых радиус кривизны R есть данная функ- функция /(а) угла а, образуемого касательной с осью Ох: 1670. /(а) = а. 1674. /(а) = аа. 1871. f(a)sitfla = a. 1676. /(et) = asina. 1672-/(a)cos2о == а. 1676. /(а) = a sin /ма. 1673. /(а) = aem«. 1677. /(а)A — е9с<'?'а)*=р; 0<е< 1. Найти кривые) у которых длина дуги s есть данная функция угла а, образуемого касательной в конце дуги с осью Ох: 1678. s — aa. 1681. 2s = a*2. 1679. s = atga. 1682. s = acosa. 1680. s — aemt. 1683. s = acosvia. В. следующих задачах найтн кривые, у которых радиус кривизны R есть данная функция длины дуги s. 1684. sa — a (/? — a). 1686. Л2 — ба == а9. 1685. # == ms. 1687. ?2 = 2as. Найти кривые, у которых существует указанное соотношение между соответствующими радиусами кривизны самой кривой /? и её эволюты /?[. 1688. 1689. ^ 1691. Найти кривую, дуга которой, считаемая от некоторой на- начальной точки, равна расстоянию касательной в кснце дуги до на- начала координат. § 16. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения, приводящиеся к нии Линейные уравнения с постоянными коэффициентами бывают двух видов— однородные: н неоднородные*.- Общий интеграл линейного однородного уравнения с постоянными коэффи- коэффициентами находится с помощью характеристического уравнения: Если где a + Р + • • • + *¦ "¦ л> т> е- если *i есть корень кратности a, s, — корень кратности ?ит. д., то общий интеграл можно написать в таком виде: % (X) +,.. + в'^Рх (лг),. гдеЯ«(х), л (ж), .... Р\(х) — полиномы, .степеней а-1. р —1, ..., X — с неопределенными коэффициентами. 120
В частности, гели в = ?=...=1 = 1, т. е. если все корпи характер^ стического уравнения простые, то имеем просто: В большинстве приложений коэффнси:нты уравнений рь Рг> •••, Рп—¦*• щеетвенные. В таком случае корни характеристического уравнения, если они шпкые, являются попарно сопряженными. В силу этого общему инте- интегралу линейного однородного уравнения можно дать другой вид. Если s1 — a1-±-$ll — корень краткости vj, Sjaaj + pj/—корень кратности ^и т. д., то общий интеграл можно напнезть* в такой форме: у — e*i* [cos fox />, (х) + sin \x Qt (x)] + sin p»r <& {x)\ + Здесь PiCc) и Qi {x) — полиномы степени vt с неопределёнными коэффч ииеитами, Рг (х) и Qi (х) — полиномы степени v, с неопределёнными коэф- фнцнентамн и т. д. Написать общие интегралы линейных уравнений с постоянными коэффициентами: 1692. у"—у — 0, 1703. /v + 4^^0. 1693. у" — 5/ + 6^ = 0. 1704. f — 6у" -f 11/—6^ = 0. 1694. У+ 3/4-2^ = °- 1705. /" — 5у + 17у'—13у=О. 1695. у" + 2/ 4-у = 0. 1706. Уv — 5/ 4- 4У = 0. 1696. /— 4/ 4- 4.У = 0- 1707. у™ 4 &У44^ = 0. 1697. У 4 2/ 4 5у — 0. 1703. .у'" —'б/ 12/—8у = 0. 1698. У 4 4/ + 13у = 0. 1709. /v 4 If 4 ЗУ 4 2/ 4-у *= О. 1699. yr4/+-v = °- 1710. ^1УН-4У4-6у"+4/4!у—0. 1700. У 4У*=°- 17П. У14— У 4У—/ + 12^ = 0. 1701. У — 8^ = 0. 1712. ^vlr 4 ЗУ14 ЗУ 4^IV = 0. 1702. Уv — Для неоднородных динеЯных уравнений с постоянными коэффициентами У+ЛУ1-1) +л1У(п-*} + -"+Л|У =/(•*)ианСолее простой способ,хота н не всегда применяемый, основан на теореме: еслиyi есть частный интеграя неоднородного уравнения, то общий интеграл равен yi + и, где и—общий интеграл вспомогательного однородного уравнения: и (") +Piu (»-i) 4 • ..+ -\-рпи еш 0. При этом интеграл ул во многих случаях удается найти способом неопределённых коэффициентов. В применении к уравнению у 4У — 2у «= ¦= же?" 4 sln х + *•• Этот способ проводится следующим образом. Пред- Предположительно пишем: л « (At 4В) в"»4 СЛп х4С «вх 4 ?**4 Лс+О. Здесь правая часть написана по типу правой части, данного уравнения, только множитель х перед е**> заменяется общим двухчленом первой сте- степени, слагаемое ж* заменяется общчм квадратным трехчленом, а наличие т
в правой части уравнения функций s!n x заставляет ввести в состаэ ук за- заодно с синусом и косинус. Дальнейшее вычисление имеет вид: -2 1 1 Ух « 2 (Ах+В) ets+Ae*-* -\-Ccosx — D sin x+ 2Ex -f F, yi" »я 4 (Ах -f- В) е1* + 4Ае**— Cslnx — Dcosx + 2E — ЗС- Z))sin* + (С—3D) cos *— Е* + B? 2Я + BЯ +/^20) Чтобы ^»1 было интегралом данного уравнения, надо выбрать неопределён- неопределённые пока коэффициенты в ух так, чгооы правая часть в получившемся ра- равенстве совпала с правой частью уравнения. Приравнивая коэффициенты при однотипных слагаемых, получаем: 4Л = 1. 4Я + 5Л = 0, -ЗС— />=*1. С—3?>=0, -2? = 1, 2? — 2Fr=0 Отсюда следует, что Таким образок. Общий интеграл а вспомогательного однородного уравнения а" + о'—2о в О имеет вид и = Ci*35 + С»*-*8. После этого нз равенства у-г^+и получаем: Изложенный способ применим в тех случаях, когда/(х) в.правой части дяиного уравнения состоит нз сумм н произведений функций вида «"*, sinbx, cosbx и Xй, где л —целое и положительное. Следует иметь в виду одно осложнение, которое иногда возникает в при- применении этого способа. Его сущность вядиа на следующем уравнении: уН —yVt —1 0 По правилу, y«=yi + u, где oV —«IV—у-}-в«=. ЧтоЕы найтн общий интеграл этого вспомогательного однородного уравнения, надо решить ха- характеристическое уравнение:**—i*—s+1 ¦= 0 или(*— II (**-}-1)(з +1)=0. Поэтому и ш е* (Ci + Ctx) -f- Ce cosx + С4 sin x + Сье-*. (•) Здесь слагаемое, содержащее #*, появилось в силу наличия кория s = 1 двойной кратности, а слагаемые cos* и %\пх — из-за корня s = l первой кратности. При нахоисдеияи у, вообще говоря, было бы естественно напн- сать л- (Ах* + Вх + е) t» + (Dx + E) ata x+(Fx + g) cos х + Цё*>. <**) В данном случае слагаемые, содержащие множитель е", имеются и в общем интеграле в, где их появление связано с<налнчием корня «а 1 двойной крат- кратности. Поэтому слагаемое (А\* + Вх + с) е* в формуле для у\ надо умно- умножить на х*. Таким же образом слагаемые, содержащие sin x я cos x, имеются н-в правой частя (*) из-за наличия корня з*к1 первой кратности в харак- характеристическом уравнении. Поэтому в правой части (**) слагаемые, содер- 122
жащие sinx н cosx, надо умножить на х. Таким образом, вместо (¦*) еле» дует писать: ухш(Ах* + Вх* + Сх*)е* + фх* + Ex)stnх + (Fx* + Ox) cosх + Н»*». Применяя прежний способ, найдём величины коэффициентов А, В, С, D. Е, F, ОяН: Найти общие интегралы следующих неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами: 1713. У-faV ==»«*. 1714. у—у = хе*+е**. 171 б. у" — 3/ -\-2у => ««» (х* + х). 1716./" — 4/ =» дге»* + sin * + **• 1717. У -f- 2/ 4- J> ¦¦ «-* cos x + хе-*. 1718. у4-2 + 1719. У—7 1720. У— 2y'-\-y=*sinx-\-e-*-\-e*. 1721. У -f-^== 2 sin x sin 2 х. 1722. У—а%у=*4>* при &^а и & = а. 1723. У+a9j> = slnftj: при д^гаи^==а- 1724. у™ -f- 2/" -f 5У + 8/ -f- 4у — cos ж + 40Л В более сложных случаях изложенный способ бывает неприменим, так как угадать вид частного интеграла У\ трудно вш совсем невозможно. Тогда приходится прибегать к боле* сложному, но и более сильному спо- способу Лагранжа вариации произвольных постоянных. В применении к урав< нению третьего порядка он состоит в следующем. Ищут общий интеграл вспомогательного однород- однородного уравнения: Пусть он имеет вид: у = C,yi + С*У* + С*У* Здесь определитель Л Л' Л" Л Л' Л" Л Л' Л" называемый определителем Вронского, отличен от нуля. Ищем неизвестный интеграл данного уравнения у в таком виде: y^uyi + vyi+wy» где и, v и да — неизвестные функции. Их находим нз уравнений «0, -0, Решая эти уравнения относительно и'» v' и да7, находим: «г* ¦¦ <р (дг), xf ш ф (х), »' = <•> (х). Тогда- для ^ получаем равенство: J • (x)dx. Способ этот приложим х линейным уравненмм любого порядка, даже н с переменными коэффициентами', если удаётся найти общий интеграл вспомо- вспомогательного однородного уравнения. 123
Следующие уравнения решаются способом Лагранжа. Решить уравнения: 1725. y"+y = igx. К уравнениям с постоянными коэффициентами сводятся уравнения Эйлера хпу{п) +plx»-1yi»-1) + \-р„у Для этого достаточно ввести новое независимое переменное по формуле х — е*. Ещ8 проще решать однородные уравнения Эйлера с помощью харак- характеристического уравнения. Ищем решение уравнения, полагая у =* Xе. Подставляя в уравнение н сокращая на х9, для показателя в получаем уравнение: После этого общий интеграл у находится Ь виде суммы слагаемых, соот- соответствующих корням уравнения для в. Каждому вещественному корню а кратнсстн v соответствует] слагаемое х*РчAпх), где Р,—полином степени х-1 с неопределенными коэффициентами. Каждой паре мннмых сопряжён- сопряжённых корней « = а :?{!/, имеющих кратность р, соответствует слагаемое х* [ Qp. (In x) cos р !п х -f Rp (In x) sta p In x), где Qj, и Ru.—полиномы степени ja—1 с неопределенными коэффициентами. Замечали е. Более общее уравнение Эйлера: (ах + Ь)»у(») +Pl (ах + 6)»-i>(«-« + ... +ptly =f(x) сводится к только что рассмотренному простейшему случаю подстановкой ах + Ь о. /. Интегрировать уравнения: 1730. х-у" -\-ху'-\-у = 0. 1734. хгут-\-Чх"-у'—ху'+у = 0. 1731. хУ 4- ху —у — 0. 1735. х*у" j-ху'-}-у = х. 1732. *У = 2/. 1736. jcV — ху' -\-у — 2х. 1733. Xs/" +*/ —> == 0. 1737. x%f —2ху' -\- Чу = 2х»—*. 1738. х8^ — *9^"+2ху' — 2у =¦ *8 + 3*. 1739. C* -f Iff + 7 C* + 2)/ = — 63* + 18. 1740. х*у" — 4ху' -f 6У =• 2а* + ~ • 1741. *yv-|-6*JJ'w + 5*9/--*>'+J' = *3. 1742. (х + l)8^" + 3 (х -f-1)«>' + (jc +1)у =* 6In (* +1). 1743. x^f—x^yt — 3x/ -f 11 In x => 0. 1744. (* +. 1)»/ -f (x +1 ).y' -h? =* jC + 2 sin In A + *> В следующих- задачах требуется найти частный интеграл урав- уравнения, удовлетворяющий дополнительный условиям: 12»
1745. Найги интегральную кривую уравнения у" — k9j>== 0, -к» сающуюся прямой у—yo=ia(x—.v0) в точке (х0, yt). 1746. То-же для уравнения у"-]-к*у =* 0. 1747. Найти интеграл уравнения /'-f-2Лу-f-Лад> == О, удовле- удовлетворяющий начальным данным у = а, у' = Ь при х = 0. 1748. То же для уравнения у"-\-п?у = h sin рх. 1749. Найти интеграл уравнения у—У—у' -\- у = B4jc-^-4)'e* -f- -\- Ъх такой, чтобы у =» 1, У = — 1, У = 0 при х =з 0. 1760. Найти интеграт уравнения у41—2ут-{-2у'—2у' -\-у = = •*•-{-4cos#, удовлетворяющий условиям у=у' = 0 при # = 0 и при *==«. 1751. Найти непрерывную при 0<*<2 функцию от х, удов- удовлетворяющую при ;е<1 уравнению У—у = 0, а при дс>1 уравне- уравнению У — 4\у = 0 и такую, чтобы у = 0 и/ = 1 при х = 0. 1752. Тело падает с высоты к под действием силы тяжести/, = — — '"Й и силы трения, пропорциональной скорости: /2 = — Аи. Начальная скорость равна нулю. Найти формулу для высоты у через t секунд от начала движения. 1753. Тело скользит по плоскости с углом наклона а под дей- действием тяжести. Трение выражается формулой /=—1р, где р — да- давление на плоскость. Найти формулу для пройденного пути. . 1754. Тело массы т подвешено на пружине и находится в рав- равновесии. Затем пружина вытянута на длину h силой kh и тело отпущено. Определить дальнейшее движение тела, считая, что со- сопротивление среды пропорционально скорости /=—по. 1755. По закону Ньютона при движении тела на оси Ox m-~=f, где /— сила, действующая на тело. Найти движение тела, на кото- которое действуют одновременно две силы: I) сила упругости /ь про- пропорциональная отклонению- от положения равновесия: /j = —а9*; 2) сила трения /а, пропорциональная скорости:/,==—k~. 1756. При тех же обозначениях найти движение тела с мас- массой т, на которое действуют две силы:/х = — а2х и /9 = ?sin at. Рассмотреть случаи пфа и я«в. При / =»0 неличины х и ~ равны 0.. 1757. Тело скользит по горизонтальной плоскости под действием толчка, давшего начальную скорость %. На тело действует сила треиия, равная — km. Найти расстояние, какое тело способно пройти. 1758. На тело с массой 1 действуют две силы: flz=*--k\x и /3 = —/&9sign:t', равная /fe9 и иаправленная обратно скорости. На- Начальная скорость Xе и» 0, а начальное расстояние от начала х0 = л/. Найти движение тела. 1759. Струна длиной / расположена по оси Ох между точками (О, 0) и (/, 0) и колеблется в плоскости хОу. Отклонение у в точке х « в момент ^ удовлетворяет уравнению:^ ее в8^. Найти те 125
виды колебания, при которых у = и(х)sinbt, где Ь характеризует частоту колебаний. Концы струны закреплены: у = 0 при х = 0 и х = 1 при любом /. 1760. При установившемся распределении тепла в однородном теле температура а удовлетворяет уравнению Лапласа s-^ -f- 5-5 -f- 4-g^=0. Внутренность цилиндрической трубки с однородными стенками наполнена жидкостью с температурой tlti снаружи — жид- жидкостью с температурой /а. Найти распределение температуры в стенках. 1761. Тот же вопрос для слоя между концентрическими шарами с радиусами гх и га. 1762. Балка расположена по оси Ох от точки @, 0) до точки (/, 0). Еб прогиб в точке х равен у и удовлетворяет уравнению yl4 = af(x\ где f(x) нагрузка, а — коэффициент, зависящий от вещества балки и формы поперечного сечения. Найти форму балки при /(*)«= 1, если балка заделана на концах (у=у'-=0 при х = 0 и х—1). 1763. Стержень между теми же точками Еращгется вокруг оси Ох. Его отклонение у от оси Ох, если оно возможно, удовле- удовлетворяет уравнению у14 — а*у = 0, где а зависит от скорости и свойств стержня. .При х = 0 и .*==/ величины у и у" равлы нулю. При узких а отклонение возможно? 1764. Упругая пластинка расположена в плоскости хОу и изо- изогнута силами, действующими иа краях. Отклонение и в точке (х, у) от плоскости хОу удовлетворяет дифференциальному уравнению Определить а для круглой пластинки: х*-\-у* ^ а?, если наклон пластинки по краям всюду одинаковый (Iga =s т) и можно считать, что « = <р(гХ где г»^*9-}-^9. 1765. Тот же вопрос для пластинки в форме кольца: § 17. Линейные уравнения. Разные задачи Вся ух есть частное решенй*е однородного уравнения yW +/>jy(n~I) +*"+РпУЬ т0 подстановка у*=>yta приводит к уравнению, порядок Которого легко понижается, если половить vf « v. Пользуясь этим, можно найти интегралы следующих уравнений: Решить уравнения: 1766. 1767. Bjc — 1768. ж? Aп д:—1)У — лгУ-}->» = 0; 1769; */—A + х)у'+у=*0; л 1770. 126
1771. У s!n* x = 4 у sin Злг; yt = sin4 x. 1772. *A — дг)9У = 2 .у; (.1 — дг),v, = *. 1773. A + х*)У + ху' — п*у -= 0; л = (дг-f >^Aa+1)». 1774. B*4-1)У-4-Dх — 2\y'— 8y = 0; ^ = е** при соответ- соответствующем выборе от. Если .-1. не лиге уравнение с рациональными коэффнцнентгми>нмеет част* ным ргшенкем полином, то оа легко может быть наЯдеш Так, еслк уравне- уравнение A—дг!)У — ху' + 9_у=»0 имеет решение в виде полинома >== А** + 4-Bxn-i-\-... + М, то после подстановки полинома в левую часть этого уравнения коэффициенты при степенях х после приведение, подобных членоз должны равняться нулю. Для коэффициента при высшей степени х получаем равенство:—An (я — 1)—An-\-9A=*Q hih Л (я*—9)«0. Так как А Ф0 н л:?—3, то л = 3. Поэтому, если jf в данном уравнении" может Сыть полином, то только полином третьей степени. Полагая у = Ахг + -f Bx* -\-Cx -\-Dh подставляя в даинсе уравнение, приравниваем нулю коэф- коэффициенты при степенях х. Отсюда получаются уравиеияя: 2J=»0, 4С=—ЗА D = 0. Поэтому ^ = ЛDдг!—Здг) есть решение данного урав- уравнения. Интегрировать следующие уравнения, имеющие частное решение, равное полиному: 1775. ху'-г-{х + 8)У + 3у = 0. 1776. (*а— 1)/' = бу. 1777. У— 1778. При каком значении р уравнение 0 имеет частное решение в виде полинома третьей степени? 1779. Показать, что уравнение лс/—(x-\-p-\-q)y!-$-ру = о, где р и 9 — положительные и целые, имеет одно частное решение в виде полинома, а другое—в виде &°Р(х), где Р(х)—тоже полином. 1780. Показать, что уравнение Лежандра(**—I)/7—«(я-f-1)^=0, где а—целое и положительное, имеет частные решения в виде: у1 па Р (X) И уй =* Р (X) In j?-| + Q (*)» ГДе ^ (¦«) И Q (*) ПОЛИНОМЫ. В следующих пяти уравнениях общий интеграл — рациональная функция. Это позволяет найти его. При этом важно иметь в виду, что знаменатель такого интеграла может состоять лишь из линейцых множителей, являющихся делителями полинома а(х), если данное уравнение имеет вид а (х)У-{-Ь(х)у'-\- с (х)у=*0, где а(х), Ь(х) и с{х) — полиномы. Интегрировать уравнения! 1781. (*» — У 1782, (*8— 1788. (*9 — 1784. х*Bх -Ь 1) ( 1785. A + х*).у + 6*/-f 6у «10.
В следующих за «чах решение достигается тек, что вв:дят новое независимое переменное, полагая x = <f(t) и выбирая функцию if @ так, чтобы в преобразованном уравнении обратился в нуль коэффициент лрн ¦—. 1786. 1787. 1788. A + *УУ + 2х A + х*)/ +у =* 0. 1789. A— х*)У— Xy'-f л*у = 0. 1790. у" ch*2*-f-/ ch 4jc -J- /»»>> = 0. 1791. У Sin*cos* Следующие четыре уравнения решаются специальными приёмами, связанными с конструкцией этих уравнений. 1792. Решить уравнение У = Р (х*У—2x/-)~2y)-]-Q(x) под- подстановкой х*у"—2ху' -\-2у=*и. Здесь Р и Q — данные функции от х. 1793. Интегрировать уравнение ху" — 4у'—ху==0, применив к нему четыре раза дифференцирование и используя полученные равенства. 1794. Найти общий интеграл уравнения Стокса je*(l—х)яу"-\- O, где р — постоянная, отыскав частное решение вида у = х» (l-.trI». 1795. Найти решение уравнения Стокса уакое, что jf я-.у' =» 0 при х в 0. § 18. Системы дифференциальных уравнений Систему уравнений, содержащих высшие производные, введением но- новых переменных можно заменить системой, содержащее производные только первого порядка. Исключением неизвестных ее можно привести к виду: Обратно, систему вида (*) с помощью дифференцирования н исключения переменных можно свести к одному или нескольким уравнениям с одной неизвестной функцией каждое. Системе (*} можно придать также такой вид; v d*t у <txn у, It ь ?" *•*•" ~dt *" Один из способов решения систем приведенных видов состоит в поду чении интегрируемых комбинаций из данных уравнений. Если удается подучить уравнение, содержащее только две переменных Х\ и хт, то оио интегрируется, как таковое. После «того, получается одни из интегралов уравнения: <p(*j. *m) = C Иногда удается умножением иа подходящие множители и сложением подучить равенство вида: Aidx1 + At0x1+ ...+ «f-i4nrfxn —0, где левая часть представляет полный дифференднал некото- •рой функции и(хъхь ...,Хц)~Тогда имеем равенство и(*ь хг,...,х^щ=С, дающее одни из интеграле* системы. Когда получено я — 1 интегралов си- 128
стены с л переменными, то решение закончено, если »тн интегралы неза- независимы. Каждый найденный интеграл исключением переменных позволяет свести систему к системе с меньшим числом переменных. _ , dx dy zdz Пример 1. --Jl---.. Здесь первое уравнение -~"а"-~, представляет интегрируемую ком- У бнпацню н дабт интеграл у = Сх. Подставляя это в равенство — = -— > находнш Cxdx = z dz, Cx*- =* z* + d Равенства y**Cx,Cx*s* *• 4- Ct дают полное решение системы. _ „ dx dy dz . . . Пример 2. т— = д- = -j-, где Д1( А,, Д, — ииноры определителя $Л dft dfx SI df, Ту соответствующие элементам третьей строки. Взодя переменное t, переписываем систему в таком виде: dx.dy.dz . Отсюда- получаем: Это сразу дабт два интеграла системы: Л {х, у, z) - Сь /, (х, у, z) Пример 3. Решить систему: C* xdx+ydy+zdzm>a Y + y + y+y + i +у Учитывая последнее равенство, пишем x = zcoz<f, у= г sin if. После втого первое уравнение переписывается в таком виде: +2dz*-z в интегрируется без труда. Системы, данные в следующих задачах, решаются просто, так как из уравнений этих систем легко получаются интегрируемые комбинации. .798. Й- -S_|_ _й. «,. 180Э. (г— 1801. dx = q а» тл. ¦• u> 129
1802. zdy^{z— \)dx, z—y х—г у — х 1804-т ,-._¦ 1806. *-,-A-ES. 1807. Л rfv '* У1Х+У) В следующих двух задачах использовать замечание: если а1-\-Ьг =* с\ то можно положить а — с cos <?, Ь = с sin <f. 1809. х dy —у dx=*sds, dx* -j- dy* =» </sa. 1810. Систему, можно сводить к уравнением высшего порядка, применяя исключение переменных н дифференцирование. Так в системе где /—независимое переменное, из первого уравнения имеем:*=.*/—х—у—t. Подставляя это в два других уравнения, получаем: У rax1 +2х — 2у, y = xa — Zx—Zy — t — \. Вычитая, приходим к равенству: Xя — х" — 5х—у—/—1 =0. Отсюда _у = л" — х1 — Ьх — t — 1. Подставляя это в равенство у' = х' + 2х — 2у, имеем: х™ -|- х« — Ъх" —12* - 2t + 3. Интегрируя это линейное уравнение; находим: л: - ^ После этого у я z находятся без всякого интегрирования нз равенств ywtxf—х1 — 5дг—/ — 1, z = x" — х—у—t. Ту же систему можно- решить н иным, более сккметрнчным, пут 5м. Умиожая н складывая уравнения (*), получаем: ~ (а + 3* + 2с) х+ (а - * + 2с)у + (а + * - с) z + (а + b) t. (**) Коэффициенты а, Ъ н е определим из равенств: что возможно, если равен нулю определитель 1-Х 3 2 1 —i^X 2 1 1 —1-Х 130
Посхе этого уравнение (**) переписывается так: {ах + by -f сг)' = X {ах + by -f- сг, + (а + b) L Отсюда следует равенство: Уравнение D—Q дает значения X: Xj = 3, Xa = X3™ —2. При Х = 3 имеем Л А ? •тт-а^-ав—-.Можен положить в в 14, 6 = 6, с == 5. При X = —2 можем положить а=1,*™ —1, с = 0. Из .уравнения (***) получаем два иатеграла системы: 14* + бу + Ьг - С, И»—у- /- —. Определив отсюда х я jr и подставив в уравнения системы, получим для г линейное ) равнение первого порядка. Решить системы уравнений, выделив, где 91 о указано, решение, удовлетворяющее начальный данным. 1^ = 0, ~— у + г = О; у = г=*1 при х=*0. = Q,~2 + 2x + 5y=:0; х=у = 1 при * = х,& = г + х-у, *± = х+у-\-г', х = = О при / = 0. ^j; + *. -g ~г+х,? = х+у; х 1, у = при / = 0. 1816. 1818. |т-=»^—*. %=*г—2х,?=*2х- 1819. 1820. §=-ЗС— ¦*— dx i dv ¦ dz 1621. -jf^-x+y + z, ^L-x—y + г, _ 1822. -0е- 1323. ^ = 1824. -^= _ 9* 131
Ifi25. jc'-f 5.t — 2j> = e«, / — x 1826. y = Zz—y, z'^ 1827. ^'s=2«4-4>-f cos/, 1828. /+y+^-?aj», 1829. У — > -{ -z = За;9, У -f 4/ -j- 2* = 2 -f 8.v. 1831. У-f «'Д* = cos я/, у -f- л9* » sin /it. 1832. *У4-.гг = ;са, «'-!-* = *.. 1833. У + г=1, ^V-j^^^x^ln^. 1834. *jc"-|-2jc'-Mjc=:0, /у' -f 2^ — tx' = 0. 1835. tx' = t— 2x, ty=*t( 1838. Решить систему Лиувилля: 9л" + 8 [х — 3 cos / (х cos / +у sin /)J =. 0, 9У 4- 8 О — 3 sin / (jc cos «+j; sin /)] == 0, введя переменные и = xcost-\-ysint, v = xsint—j>cos/. 1837. Доказать, что интегрирование системы Гессе: *' = Х-\-хТ, y'=* где X, Y, Z и Т—линейные формы от переменных х, у я г, под- подстановками х = —•, у = — , гж=— сводится к интегрированию систе- системы линейных однородных уравнения. Интегрировать с помощью приёма Гессе системы: 1838. ?= 1839. § •by)- Прн решгнии линейных уравнений с постоянными коэффициентами полезно применять сиыволическнй метод. Прн этом вводят символический множитель D, заменяющий действие дифференцирования, н пишут, например, (?>'-}- 3D •{• 2) и вместо и" -f- Зи' 4- 2а. Для такт символических множителей применимы правила обыкновенной алгебры. Прн этом, например, тождество: (D + I)(D+2)=.D2 + 3D+2 эквивалентно равенству (я' +2в)'+ (н' + 2) *+3' + 2 Если даны два уравнения: . ал* + рУ + Т* + <НУ" + к/ + W = f @. где / — независимое переменное, то нх можно переписать в таком виде: (в/Г- + bD -Ь с) х + (a,D • -f Ьф + Cj) у - 0, 132
Чтобы удовлетворить первому уравнению, достатсчно положить: х » (ejD1 + hD + Ci)a, у = — (aD1 -+¦ bD = с) и. где к — неизвестная функция. После этого второе уравнение переходи. в таксе: Раскрыв скобки я заменив степени D соответствующими производными, получим линейное уравнение с постоянными коэффициентами для и. Решив его, величины х и у найдём по формулам: х =з щи" + Ь^ -J- <V«. .У =» — (ла* -f ta' + а;). Тако.! же метод применял н для большого числа уравнении. Так, в уравнениях: f Ш)* + + (©)> + • (?>)* = 0, ум ** о. )* - / @. где q (D), ф fD),..., «s (D) — полиномы относительно D, А:о;кем удовлегзор ть первым двум уравнениям, положив: Подставляя-это в третье уравнение, получим: Раскрыв скобки и заменив степени D соответстпую'днмя проязволными, получим линейное уравнение для к с постоянными коэффициепта^.н. Решив его, из равенств (*> найдбм xjhj. Решить системы зфавнеяий: 1840. je' 1841. х"— 1842. *w — Xя— x'+ x—y" + 3y' — 2y+ г' — г = 0, Sx"—6x' -j- 3* — У + 4/—Зу + W — 2г > О, х"__2д:'4- ^ + У— J'-h z>— * —0. 1843. 5л/г + 5*+ЗУ+ 3> + 8^+ &г=0, У 4- 4* + Зу + \Чу + 3г"+ 12г=ь 0, л* — 1х—2у" — Пу— 9г = 0. Движение материальной точки с массой т под действием силы, проекции которой па оси X, Г, 7, по законам механики совершается по уравнениям: где х,у, х—координаты движущейся точки. 1844. Найти траекторию движущейся точки, если сила, действую- действующая на нее, направлена по перпендикуляру к оси Ог и пропорцио- пропорциональна расстоянию точки до неё. ДО
1845. Если проекции силы на ось равны произведению от неко- некоторой функции и по соответствующим координатам: Х=-?-, К=« = «-, Z = -?-t то справедливо равенство ^-== о-}-С, где о — скорость точки, равная J/V'-f-y8-f- zr'i. Доказать. 1846. Если движущая сила или ее продолжение проходят через о:ь Ог, то радиус-вектор ив начала координат в проекцию движу- движущейся точки на хОу в равные времена описывает равные площади. Доказать. 1847. Точка движется под действием притяжения по закоиу Нью- Ньютона к началу координат. Ев начальное положение и начальная скорость — в плоскости хОу. Доказать, что и дальнейшее движение будет в плоскости хОу. 1848. Точка притягивается к началу координат с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния: /¦= $-, где т — масса точки, k — коэффициент пропорциональности. Показать, что и траек- траектория— кривая 2-го порядка. 1849. Солнце с массой М и планета с массой т притягиваются друг к другу с силой f^—k-—, где k — постоянная, а г — рас- расстояние от Солнца до планеты. Доказать, что движение и Солнца, и планеты совершается вокруг их общего центра тяжести, а траекто- траектории— кривые 2-го порядка с фокусом в центре тяжести. 1850. Определить движение тела,, падающего с высоты к в среде, сопротивление которой пропорционально о", где v — ско- скорость тела. Начальная скорость v0 наклонена к горизонту под углом «0. 1851. Если V—потенциал электрического поля, а Н — магнит- магнитная сила поля, то уравнение движения наэлектризованной частицы в векторной форме такоео: Найти движение частицы, считая grad V и Н постоянными. 1852. Та же задача, но V = const, H*=grad-?, r = У х*-?у*+г*. 1853. Тело вращается по инерции. Координатные оси совпадают с главными осями инерции тела, а равнодействующая сила проходит через неподвижный центр инерции. При таких условиях уравнения дзижеиия тела имеют вид: Здесь А, В, С—моменты инерции относительно осей, а р, q, г— 134
проекции угловой скорости на оси. Доказать существование инте* гралов: и, пользуясь ими, доказать, что мгновенная ось вращения — = — = — описывает в теле конус Д(ЛА — t)x*-\-B(Bk — /)^3-j-C(<?A — /)*9 = 0. Замечание. Полное решение задачи о вращении тела сводится к эллиптическим функциям.
ОТДЕЛ X УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Первый параграф отдела служит естественным дополнением к интегриро- интегрированию систем обыкновенных уравнений н сравнительно обширен. Б задачах § 2 я § 5 встречаются системы незамкнутые. Поэтому в этих задачах следует начинать с поверки замкнутости системы и с попытки преобразовать систему в замкнутую. Нахождение решения, удовлетворяющего условиям Кошн, не всегда требует решения методом Коши — знание полного интеграла системы приводит к нахождению репкиия при соответствующем использованил метода характеристик. В задачах § 4 во многих случаях наиболее скорый результат дабт второй метод Якоби, а в случае лвух переменных —кетоа Лагранжа- Шарпн. В некоторых задачах § 4 и § 5, каковы, например, задачи 352, 153 и 157, полный интеграл легко может быть угадан; это надо иметь в виду. § 1. Линейные уравнения первого порядка Задачи этого параграфа основапы на теореме: Общий интеграл уравнения Xi ik+Xt kк получается из.уравнення: где Х\, Хь..., Xn+t— данные функпии переменных хь *„•.•. *„ н *, F—произвольная дифференцируемая функция, а равенства . хг хп, г) =»Ci,..., ап(xlt хь..., х„, г) = Сп дают полную систему независимых интегралов системы обыкновенных диф- дифференциальных уравнений: dz Xn: Найти общий интеграл уравнений: 18S4. ^0 1856- 1858. 136
1860. У J|- 1861- х jf 1863. ( 1864. xri| 1865. x^ 1867. 1863. ^ 1869. (л:8 1870. (х2 1871. 1872. 1873. 1874. 1876. 1876. |^- - 2уЧ = О. 1880. ,^ 1881. Г,-д:) 137
|887.*? + .Ухг-2ЧУУ«*-«-. 1888. (y-ftx)-^ —(*-в*)-^*-^-ву. 1889. Если в (л, .у. ? =0 — уразнение поверхности, то -(* $ —уравнение касательной плоскости. Найти уравнение в частных производных- для конических поверхностей, образующие которых проходят через начало координат. 1890. Найти уравнение в частных производных дли цилиндри- цилиндрических поверхностей, образующие которых параллельны вектору Р(/, т, л). 1891. Проинтегрировать уравнение конических поверхностей х —- -\-у-^- -\-z -gj- sa 0. С помощью полученного результата найти уравнение конической поверхности, направляющая которой имеет уравнение х*-\-у* = ах, z = \. 1892. Проинтегрировать уравнение цилиндрических поверхностей и в полученном общем интеграле определить вид произвольной функции так, чтобы поверхность проходила через окружность x*+y*,= a\ jr.il. 1893. Однородные функции измерения л по определению обладают свойством (в случке трёх переменных):/ {txt ty, tz~) = tnf(xt у, zL По теореме Эйлера для них имеет место равенство: х—?--\-у-?--\- -\-z-J~ = nf. Доказать обратную теорему: из этого уравнения в частных производных вытекает функциональное свойство одно* родных функций. 1894. Найти поверхность, проходящую через кривую ху—а*, z*=*h и удовлетворяющую уравнению: I3S
1С95. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению , дг к проходящую через кризу10 х=*а, 2ауг = а4 -\- 2. 1896. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению ?-^-=:хг и проходящую через кривую х = а, у* -f- 1597. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению г-^ — г-Д=.у— х и проходящую через кривую *=sl, г=_у'. 1893. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению 2хг -4- -f -f 2^r ^ =ra—Xх—у4 и проходящую через окружность х-\-у -{- -f z = 0%=+^-{- г*5 = а\ 1899. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению к проходящую через окружность г = к, 1900. Найти общег уравнение поверхностей, пересекающих под прямым углом конусы ху = аг*. 1904. Найти уравнение поверхностей, ортогональных к поверхно- поверхностям хуг =» а. 1902. Найти поверхность, проходящую через прямую y = x,z=*»h и ортогональную к поверхностям Шаров х9-\-у1-\-г9=аах. 1903. Найти поверхность, проходящую через окружность z = h, *а+.У9вв* и ортогональную к гИ.^ербозическим параболоидам xy = az. 1904. Найти поверхность, проходящую через кривую у=*х, г *= х' и удовлетворяющую уравнению х ~ у jL — g, 1905. Найти асимптотические линии предыдущей поверхности, з"ая что асимптотические линий"поверхности f(x, у;"г)=з0опЬедёляются уравнением: ?? dx*-f- 2^ dx dy + ¦ 0 dy* - 0. 1906. Найти решение уравнения г (*-j- г) ^-—у (у -\- г) jp- =я О, обращающееся в г =» KJ при х = \, ^ 1907. Проинтегрировать уравнение х» ^-=yn^.JrZn ПрИ це. лом п. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению и прохо- проходящую черев прямую г =*\,х=*у уЩ\ Рассмотреть случаи « = 0, ±1 139
1908. Найти линии кривизны предыдущгй поверхности при п = —1. Линии кривизны поверхности z=f(x,y) определяются уравнением (l+p*)dx+pqdy ^pqjx+(lj. q'-)dy rdx-\-sdy sdx + tdy ' где p, q, г,Ъ, t, — соответственно частные производные г'х, г', z"xx, 1909. Найти поверхности, удовлетворяющие уравнению и доказать, что они получаются движением кругов. 1910. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению x-J- -f- 4- у — = ¦ f ' х ^—- и проходящую через эллипс х = 2г, \у = ла- Доказять, что это — линейчатая поверхность, и найти ортогональные траектории её образующих. 1911. Найти решение уравнения 2x2^ -\- 2yz ~ = гч — х — _уа, заключающее гиперболу х = а, г*—у2 = а*. 1912. Проинтегрировать уравнение: 2 Chх^ -}sh * р- - z sh * — °- 1913. Найти поверхности, удовлетворяющие предыдущему урав- уравнению и проходящие через линии: 1) прямую х=у = г; 2) пара- параболу. х = 0, зР*=2т(у — а); 3) цепную линию z ==0, _y = achx. 1914. Найти решение уравнения х-?-\-у -^±=2г, проходящее через кривую г=у='1хь, найти ортогональные траектории проек- проекций на хОу его асимптотических линий (см. задачу № 1905). 1915. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению и заключающую эллипс х — 0, у9 -\- 4z* «¦ Аач. 1916. Для предыдущей поверхности найти линии стока, т. е. ортогональные траектории линий уровня или сечений поверхности ПЛОСКОСТЯМИ Z «а С 1917. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению ху9—--^. -j-^ay * —:г(**-т->»7), зная, что одно из семейств её асимптоти- асимптотических линий состоит из характеристических линий. 1918. Найти ортогональные поверхности для семейства поверх- поверхностей предыдущей задачи. НО
1919. Н"йти поверхность, проходящую через окружность г— О, х2-{-у2—у и удовлетворяющую уравнению 1920. Найти линии кривизны предыдущей поверхности (см. ва- дачу IS08). 1921. Среди функций, удовлетворяющих уравнению x^--\-y-f-=0, найти такую, которая удовлетворяет и уравнению (?-\ -f(-T-) =¦ а2 ~~ -# + р " 1922. Найти поверхности, у которых касательная плоскость в любой точке М пересекает ось Ог в точке, равноудалённой от начала координат и от точки М. 1923. Найти поверхности, у которых касательная плоскость в точке с координатой г пересекает Ог в точке с координатой т. 1924. Найти решение системы. да , да - до ёи п в котором а = г2 при х = у = 0. § 2. Системы линейных уравнений Интегрировать системы уравнений, указанные в следующих за- дг дачах, где для краткости положено -g— =» р. 1925. px -j- xtx9Pi «= 0, fy -{- xixaP* =* 0i 2p, + (*i9 + fa9) Pi ¦= 0. - ^4^4 = 0, ! — xiPa —'¦ xiPie 0. Из числа полученных в этой задаче решений выбрать то, в котором Г = *4 При Ж, и д;2 == Х3 = 0. 1928. Pi~—Pi — 2>p%—Р&*—Хз — г- 1929. 1рх = (л;8 -j- г) (рй — 1), 2р3 = (х3 — ж) (pt +1). 1930. 1931. Pi— 141
1933 ( ' I Pi (*8 + *i*2) + Л',» V) P8(*i + **»^ = 0. 1934 (Л1ДГз"~*1)+л(*а — *¦> +P4(*i— *i) =0. 1936 I Pii+Paipa ^B 0. 1937 ( Л "^" Л ~ JC2JCsPs ~ *1** 1838. \X *в Pss + РЛ = 0. l?39. 1941. Найти поверхность, у которо.1 всякая точка касания есть центр тяжести треугольника, отсекаемого на касательной плоскости плоскостями координат. 1942. Найти полный интеграл системы: Pi + (*4 + *1*9 + *!*¦) Рв + (*> + *8 — 3jCl) Pi = 0, />„ 4- ( jc,*,* 4 + х%—Х1хл) рь + {хгхк—д:2> рк = 0. 1943. Проинтегрировать систему: Pi + Р* + *iP4 + (•«» — 1) Pt, — °. Ра + 2р8—Jc8p4 -г *iP6 = °. заменив ей системой в. полньц .дифференциалах. 1944. Тот же вопрос для системы: § 3. Интегрирование уравнений в дифференциалах Проинтегрировать уравнения: 1S4S. x1(x%—l)(xi— l)(*3-l)rf*8=0. 1846. 2jcsjc9 dx1 -f- 2jc,jc8 dx% - - jc,jc9 i«a == 0. 142
1948. dxk — 2x1xadx1 + 2xaxi4xOj 4- (x^ -f- xf) dx9 (сравнить с задачей 1925). ,949. dxa= x»r«-^ dx, - ** + ** dx,, 1951. 1953. (г-j-sjnj^) г sin у cos x dx-±-(z-\- sin л)г sin x cosy dy-\- -j- (.jsin x -f- sin -_y) sin л sin _y rfz = 0. 1954. Bхга-|-л:а+.у<г)Ае — г(га+л;)<у4- -f- (г*у — 2гх* — xy)dz = 0. Указание. Соответствующим выбором новых переыенвых ыожно при- привести левую часть к виду udv — vdu. 1955. Проверить, что равенства ^ТШ^*"*^ Сесть интеграл уравнения 3 Bу — 3*) (8yz —x*)dx-\-l2x (ла -f 4г») d[y — 2*(9ia +1 &y*)dz == О, и получить его, исходя из уравнения. 1956. Проинтегрировать уравнение* у (уг -f- a2) dx -f- х (xz -+¦ aa)rfy — ху (х -\-у) dz = О. 1957. Найги условие, при котором dz = (Ага + Bz + С) rfx -f- (Ai*9 + ^r + С,) dy есть полный дифференциал; Л, В, С — функции от х и ^ Свести к уравнению Риккати нахождение г в случае выполнения этих условий. Указание. Положить г == г\-\ , где z — некоторое решение 1958. Определить функции z так, чтобы zdx-j-z*dy было пол- полным дифференциалом и чтобы z при у=>0 обращалось в ]/дГ § 4. Нелинейные уравнения' в частных .производных 1959. Найти полный интеграл уравнения 1960. Найти поверхность, проходящую через кривую д:1==0)г A-j-jc,)9 и уцовлетворякнцую уравнению р,а—раа=2г. Ш
1961. То же для кривой х1*=0, г = хч и уравнения р*-\- 1-962. Найти полный интеграл уравнения 2xlpl-\-p^-\-xai = 0. 1963. Найтн поверхность, проходящую через параболу хх = 0, 2г=ах9* и удовлетворяющую уравнению 2г = гр^ -f 2ра*, — ра9. 1964. Найти полный интеграл уравнения (Pi — *i)a — (Pa—*aV=l. 1965. Найти полный интеграл уравнения РЛ8 ==» Pa14~ Ps1- 1056. Найти нозерхность, проходящую через параболу хх = О, 2* = ;csa и удовлетворяющую уравнению Pi8 — 2р1Ра + 2р,* = 4г. 1967. То же для кривой хха-{-•?'«= 1, 4^3 -{- 4.vaa = 1 и урав- уравнения [г — рхх — /Vfa)»+pa — 0. Интегрироеать уравнения: 1968. г 1969. 1970. PiP2 = 1971. 1972. la 1973. Для уравненяя РхРг=>Аг найти полный интеграл и поверх- поверхность, проходящую через кривую х1 =* 0, г = ха. Най;и полные интегралы следующих уравнений. 1974. Pia+?alat=a>(l/*a-T-.ya)> введя полярные координаты. 1975. лг„а (Jfi/'1+JfaPa) Pi™*+i?i (метод Лагранжа-Шарпи). 1976. z8 4~ (*1/'1 + *aPi) г* + aPiPi "¦ * (тот же метод). 1977. 2г/?аа = piPa(р„а-j-2а) + b (тот же метод). 1978. ? % 1979. Jfa/>, — 1980. 1981. /(z)Pi-»— Pa- 1982. Pt3 +pa* + **iPi +¦ «aPe == 2*a (*i +*a) (подстановка ) 1983. q = v>(z—px,'y, p) (метод Лагранжа-Шарпн). 1984. Pt* + Pa2 + 2ххха — 2/?!*! + 2р^а- 1985. p^ +pa2 +1 = 2Д*! -f гр^а- 1986. 2 (p^ +PiXt + pjcj + Xi* -}- x,* = 0. 1987. *./>,« 4- двд* == 2j»tpa- 1988. г* (p^ 4-ра«) = xxa 4- xf. 1989. p, 144
1990. p,s — -vas/>2 = лг^ — .va«. 1991. р, = 0vra -j- г)а. 1992. Pt (paa + 1) 4- (a —'*) P2 = 0. 1993. p,« + pa« == *»• 1094. zW ¦ |- ^Vaa = & + 1. 1996. pxa (xx—*„) — ft + 0 1998. *! (PiJfi + р.^2)8 -{- 2ft — 0. 1997. (рл -f para)a—г (ft*, + Доз) -f p^ -f- pa» = 0. Указание. Применить преобразование Лежаядра (си. отд. III — пре- преобразование переменных). 1998. (ft + Ра)а+(*i — -аL — ЪРи — 0. 1999. Применить метод Я:соби-Гамильтона к задаче движения Тяжёлой точки, притягиваемой к центру силой, зависящей лишь от расстояния от центра. 2000. Проинтегрировать уравнение )>(•*—) =>z. 2001. Через параболу х = 0, z2 = 2ayY 2 провести поверх- поверхность, удовлетворяющую уравнению 2002. Найти общий интеграл и особенное решение уравнения /l-rр~-\-д2 = а (ыетод Коши). Найти полный интеграл уравнений: 2Э03. ft2xa — 2ptx^ — 2р2лг1а 4-xas -f- 2xt* = 0. 2004. 2дга (ра — х{р—хх (pt — jcа) (р,—xj -\- xf — 0. Замечание. В двух последних задачах уравнения упрощаются введением новой неизвестной. 2005. p7xl — 2p1xa—plpze=*Q. 2006. 2007. pjflj + 4 (ft*! + PaJf, 4- г) = 0. 2008. 2009. z — /(plf pa,..., ря). 2010. Ps*s- 2011. *!* — fta 4- *apa (p,4- *1Яа) 4~ *^1 Указание. Превратив'уравнение в не содержащее явно неизвестной функции, можно заменить его системой четырех уравнений в инволюции. 2012. х3 (jfaft 4- *!Ра) = Ps (Pi — Ра>- 2013. Найти поверхность, проходящую через прямую х-\-у=1, z зи 1 и у которой проекция координаты « на нормаль к поверх- поверхности в конце этой координаты равна 1. 2014. Из переменной точки поверхности проводятся нормаль и касательная плоскость, которые пересекают х"Оу в точке N к по прямой D. Найти поверхности, у которых расстояние точек N до прямой D равно данной функции /(г). Показать, что подстановкой Ю But. «Mb COcvmni млм, t. О. 145
вида f (г) =» Z уравнение, определяющее поверхность, можно при- привести к виду р2 + ?а= 1. 2016. Найти поверхность, проходящую через прямую х-{-у*=>1, г = 0 и' у которой расстояние между следом нормали в точке М на плоскости хОу и проекцией точки М на хОу равно п. 2016. Доказать, что характеристические линии поверхности, удовлетворяющей уравнению р9 + ^а = г и(х, у), ортогональны к сечениям поверхности г = const. 2017. Шары касаются плоскости хОг в различных точках оси Ог. Их поверхности удовлетворяют определённому уравнению в частных производных. Найти поверхность, удовлетворяющую этому уравне- уравнению и проходящую через круг л=яО, у*-f-г3 я» 2у. § 5. Системы нелинейных уравнений 2018. Пусть М—переменная точка поверхности, AJt — ее про-к- ция на хОу, а Л/а — проекция Mt на плоскость, касательную в М. Найти поверхность, проходящую через параболу х = 0, 24 — 8а9 и у которой М% лежит в плоскости z =¦ а. НаЛти полный интеграл систем: 2019. Pi — Рз^г, ра—р& = г. 2020. *!/>! -f *a/>3 =• !i *аРа + *8/>s = Ь 2021. Интегрировать системы: 2022. 2023. 202 4. г -т- р!^ — 0, ха (ptxt — р^а — г) = ххрк (a -f- ^xa). PiPi (*t + **) + ft "Г Р» — Ра + ft. 202 I - (Рз — А) *« + (Р, —Р*) ** = 0. 2026. xi(pi — 2*,)» — plf jc^ap,-}-2*, = р, + Ра*а". 2027. "» Найти полный интеграл следующих систем: 2029. 20Е0. 4p1pe-f-A —1=а0» Pi*i -г Ра "а + Pj9jc8 + 2%— г—х i*a == 0. 2031. Pipg = xaxi. p2pt = xtxt.
ОТДЕЛ XI ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § I. Определённый интеграл, как предел суммы Конечный интервал (а, Ь) разбит на п частичных п-\-\ числами: а - хй < хх < jf, <...<Jfn_1 < хп = Ь. Длины этих интервалов обозначим Дх, = .г,—х,_1. Если даиа функция/(.г \ определённая для каждого х в интервале (а, 6), ограниченная в этом интер- интервале, то можно составить сумму произведений любых значений этой фуцкцни л в частичных интервалах на длины этих интервалов. Эту сумму 2 /(*»)Лх* б>* дем называть суммой Римана. Здесь ?, — какое-нибудь число в интервале {x,_i, .*.,], т. е. х,-!*^?., -<дг,. Если число частичных интервалов л-*оотак, что тахДд:,->0, то для всех непрерывных функций f(x) и обширного класса разрывных функций сумма Римана стре.ится к пределу, называемому опреде- определённым интегралом: ( ( J f(x)dx~ Иш max A*. ->¦ 0 Разность О(Д-»\) между точной высшей границей М,н точ! oil низшей грани- границей яг, фуькцни в интервале Ддг, называется колебанием функции в интер- интервале Ltr Функции, для которых определённый интервал в указанном смысле существует, называются интегрируемыми в смысле Рнмана, или просто инте- интегрируемыми в данном интервале. Необходимое и достаточное условие того, что/(л) интегрируема в дан- данном интервале, состоят в равенстве: - ^р П Кг О те П — Л t\ v \ ли Ьлу-Ю А "»"» — "» где w» e w 1и-ЬА Если вместо чисел /(;•,) в сумме Рлмаиа взять числа М, ели mv, то полу- получатся верхние суммы 2 Л^Дх# или внжнне суммы 2 тЛхг> Если прн этом составлять новые разбиения интервала (а, Ь) на частичные путём разделения црсжннх частичных интервалов, то верхние суммы приближаются к своему пределу, ие возрастая, а нижние — не убывая. Непрерывная функция F(x), у которой F (х) =/(х) во всех точках не- непрерывности /(.г),-может быть названа неопределённым интегралом or f{x). По теореме Барроу-Ньютсна существует равенство: ь 5 Найти с помощью определённых интегралов пределы следующих сумм: lOf H7
2084 . Urn^ -?-[ sin ^ + sin *?- + ... + sin if^ 2038. Найти lim l 2039. Найти величину интеграла Г e*dx, рассматривая его как пре- о дел суммы. 2040. Найти при Ь > а > 0 величину интеграла Г xndx, рассматри- а вая его как предел суммы ^х^Ахч, где вначения х, идут в геометри- геометрической прогрессии. (Ферма.) 2041. Исхода из разложения дроби на простейшие: "дР*-—Т~ =S5 X —XiT *~ Х — х7 "* * * * •* ^ ^ _. ' * Г™1 > получить равенство: 2к /j^i5 И йЬ при о 2042. Исходя из формулы я-1 получить величину интеграла Пуассона: Г In (I — 2xcos9 + Jf1)^? = 0npH|.xJ < 1 и г In (д:^ при о 2043. Из разложения дроби на простевшие: ш
получить равенство: *1 < 1 и 2" п"" I*! > »• 2044. Функция [и] равна целой части переменного и, т. е. такому целому числу т, что ш < и < я» -(-1. В таком случае [2и] — [2и] = О, если и — «<•=•, и == 1, если у < в — т < 1. Доказать, что для функ- функции fix) =— I — — 2 — I в интервале @,1) справедливо неравенство: 2 О„Дд% < 31/maxA.v, »—i и, следовательно, функция /(х) — интегрируема в счыс.те Ри-мна. 2045. Функция / (лг) определена равенствами: / (х) = 0, если х иррационально, / (дг) = —, если * = — , где р и q — взаимно простые целые числа. Доказать, что для интервала @, 1) справедливо нера- я ______ венет во: 2 ОА*» < 2 Vram. Дд:,. Таким образом, / (х) интегрируема в интервале @, 1), хотя она имеет разрыв в каждой точке с рацио- рациональней абсциссой. 2046. Функция / (х) определена равенствами / (х) =- 0 при.* ирра- иррациональном и / (х) =— 1 при х рациональном. Доказать, что она ке- интегрируеыа в любом интервале. § 2. Теоремы о средней значении. Несобственные интегралы Первая теорема о среднем. Ecih f(x) непрерывна в интер- интервале (а, Ь), а ? (дг) знакопостоянна в тон же интервале, то ь ь f f(x)<t(x)dx = f(c)f <t(x)dx, а а где «—некоторое среднее между а и Ь. В приложениях зачастую бывает ещё удобней теорема: если справедливы неравенства: ь ь ь ТС*Х/€*Х*С*). то J <t(x)dx< f f(x)dx< J a a « При этой знак равенства исключается, если в некоторой части интервала разность / (х) — f (х) или соответственно fy(x) —/ (х) остаётся бо иьше неко- некоторого положительного числа Л. Вторая теорема о среднем. Если f(x) и уU;—интегрируемы* функции, из которых f (x) ыонотокиа, то
» J где S — некоторое среднее между ей*. Если ? (а) > <р(*)>0, то можно написать: » е с /• а а Доказать следующие форыулы: 1 о ZOO •<J5??<w«- 2M«--T</S3"¦ <т о о oo 20- 2050. 0 < / e-*dx < A_. 2051. 0 < J - 2 10 2052. ^y < J j + xi0 dx < "Ш+asT* + xi0 2053. 1< и и 00 2055. О < J" е" rf-t < -^; п > 1. 1 1 2256. 1 _ i < С в-'" dx < 1; п > 1. о 00 2057. 1 — i< J e-*dx< 1+ I. о 2058. Пользуясь тождеством 1 1 л 100 1001100 + доказать равенство: J ййН=0,01 —0,0001 в; о < в < 1. о 150
2059. Пользуясь тождеством х3 _ I _ *-Н X доказать равенство: гоо 100 Доказать равенства: я» 2060. J 100 2081. 2062. J sinzjfldx = -—^; 101< Г. 1 п 209 100 zoo f «'пк* л.. _ 0,0'5 f 49 100 Интегралы, имеющие один из видов: аа t со f nx)dx, f f{x)dx, J f{x)dx, оо определяются соответственно предельными переходами: п ь ь Г f{x)dx~Um f f(x)dx, (f(x)de = \1m (f(x)dx, л л «—се — m oe я Г/(дгLс-Иш (f(x)dx. •> т. n-?co J m, n -?¦ да При этом предполагается, что соответствующий предел существует. В про- противном случав интегралы, стоящие в левых частях написанных равенств, смысла не имеют и называются несходящиыися или расходящимися. Необхо- 00 димое и достаточное условие сходимости интеграла I f{x)dx состоит в юм, ff(x)dx что при любом заданном положительном неравенство ff(x)dx < t ВЫ- полияется, как только числа лх и п> больше иекоторого по — "о (*)• Аязлогич- аые критерии имеются и для интегралов двух других видав. 151
Если функция f(x) в интервале (а, Ь) обращается в бесконечность, то ь Г f(x) dx, как предел суммы Римана, тоже не имеет смысла. Смысл может а быть придан такому интегралу дополнительным предельным переходом. Так, если /(х) обращается а оо при х = с, то по определению: ь с—-ц ь f f(x)dx=*\\m f f(x)dx + lim f f(x)dx, a a e+« предполагая, что эти пределы существуют. В противном случае интеграл в левой части не сходится. Необходимое и достаточное условие сходимости состоит в том, что каждый нз интегралов f/C*) dx я Гf(x) dx по абсолют- абсолютной величине должен быть меньше произвольао задаваемого положительного постоянного *, если положительные числа уц, ч» *i, Ц остаются меньше соот- соответствующей малой величины Л = Л (t). В обоих рассмотренных случаях два вида сходимости особен!:а важны. Интеграл от фуикции f(x) называется абсолютно сходящимся, если интеграл оо от | f(x) I сходится. Интеграл Г f(x, у) dx называется равномерно сходящимся а оо относительно у, если абсолютное значение интеграла Г f(x,y)dx становится п меньше чем с при л>яо(е), где величина ло(е) одна н та же длязеех рас- рассматриваемых значений параметра у. Исследовать сходимость следующих интегралов: 09 2070. J" x'^-xi dx- э СП 2071. J xV4\nxndx. о 1 2072. J x>»(i— x2):tdx. о + CO 2073. J е-"-'х'Ых. о 2 2074. [ dx ln.t " о оо dx
2076. f^l*-dx. 2078. <x> oo 2077. f x*e- *» ,/x. 2079. f sin (jc + -[)~. о о Ч '** 00 2080. Доказать, что при а>-0 интегралы Г f(x)e~axdx и. 6 OS ОО f/(jc)e-a:rtijc равномерно сходятся, если интеграл f f(x)dx сходится, о о ОО 00 2081. Доказать, что lim Г/(jc) <р (jc, a) dx = Г/(jc) dx, если «(х, а) ••*» о ' о удовлетворяет условиям: 1) ф (jc, a)-»l при а-*0 равномерно относительно х ч любом конеч- конечном интервале 0 < х < N; 2) при всех а, достаточно близких х нулю, <? (.v, a) монотонна относительно х и по абсолютной величине не превосходит некоторой постоянней. ее 2082. Интеграл \f(x)rfx — абсолютно, сходящийся. Доказать, что о со Г /(jc) sin nx dx -*¦ 0 при п -*¦ со. о 2083. Доказать, что 1 i lim Гп'дг»-1 A —jc) rfjc Ф Г lim я^»'1 A — jc) rfje. »-*co 2084. Доказать, что lim Cf(x,y)dx—C lim /(jc,^y)dx, если /(jc, j/j -*/(jc, y0) равномерно относительно jc. CO 00 2085. Доказать, что Hm (f(x,y)dx=f lim f{x,y)dx, если /ixy У)-*¦/(.x> Уо) Равномерно относительно jc в любом конечном 00 интервале @, л) и притом |/(jc, y)\<F(x), гр.е( F(x) dx — схоая- о ШНЙС1. 153
09 2086. Доказать, что если интеграл ) f(x)dx абсолю.по сходится, 6 то се о» Hm J / (л:) | sin пх | dx = -| f /(*) dx. «¦»<» Q СО 2087. Доказать, что Hm о Г <?-«'/(*)dt= Hmf(t), предполагая, что интеграл в левой части и предел в правой части имеют смысл. со /я ^ ОД? | | л «• VvB dx, равный In — при Ь > а > 0, преобразуется так: Г е-а* — е-Ьх _ f e-axdx " е - Ьх dx J x a*—) - J ~ • 0 0 0 В правой части первый интеграл преобрязуется подстановкой ах = t, а второй — подстановкой bx = t. После этого получается: в 0 Где причина полученного абсурда? § 3. Вычисление определённых интегралов интегрированием я подстановками Формуаа замены переменных имеет вид: ь 9 При этом подразумевается, что при изменевни t от а до {* переменная лг t= <f @ монотонно изменяется от л до fr. Удачное применение подставовок во многих случаях позволяет значительно упростить нахождение определен- определенных интегралов с помощью неопределенных. Приводим несколько харак- характерных примеров: I. Л •» (* " nxdx, где л—целое. Полагая дс — в — и, имеем: iln(n — в) ¦ 154 f ЯпB»Я-2ЯИ) Г^яя J iln(ii —в) J «1ви
Огсюда: 2А — 0, Л = 0. 1 II. В = J '"/Vy ^- ПРИ о 4 Т /<• 1п(созф -J-*'n?) tf?— I lncosftf?. о о Полагая в последнем интеграле <р = -т $• находим: с 4 О Г In cos ч d? = — Г In fcos *i cos ~-\- sin '{-sin yJ d О i V 7 ев Г In j (COS <J» -}- S'n '}) —J= о L V2. к к 7 7 In (cos 9 f sin <g) d\ — ~- I d о о к *1п2 = J In (cost + sin т) *f —1^. 0 1 Подставляя в равенство для В, получаем: Г ¦. ¦ ' t -dx —%шь •• х Ш. С= Г cos* <f <ty. Полагав <у =» -^—«J», имеем: о ¦ * ъ г г С = — I cosl[-=- — <И'ФВ: |-*1п*Ф^Фв I sin*«rfT- ./ \ * / J J к_ 0 0 а Поэтому ¦ ¦ ¦ ?. г Т 7 » С=- -j J cos*т^? + -я- Jsin'f rfT"»-^ J (cos»f 4-*'п*т)^=-=-Jrf| =» г* • о • • оо IV. D =» Г 4 "^ »L<?tt г*е а >- —-2, Полагая х •¦ — и переии«ио- вывая потом / ca x, получаем: 155
D = - | ^ = * + ? + 1 Беря полусумму этих равенств, находим: со а °-^J*?± Применяя подстановку д: = /, окончательно подучаем: _. А+В ? dt А !- В к 2 J #_}_<,-}-2 ув+Т 2 — 00 Такям же образом, но после предварительной подстановки х^а'у Ь, получаем равенство: Г л* + в , « аУь+в. в + Следующие интегралы находятся сравнительао легко, простыми подста- подстановками и приемами, подобными предыдущим. Доказать равенства: 1 2091. Г . . , = , * ,;«>!¦ J (а—х) у 1 —*а Уа —1 2093. J у ??± х^а: = -J (& — а) (а + ЗЬ). а 2094. Г *^-2--5 J" Лв* 2095. Г—-р 2 / Jf - -гтте-: 1 * 1<а- J а + dcosx J a + bt<Ax ya*—b* о 156
2096. Г dx -1 * ГпП, Г sin х dx л ii^i 2 ii^. ?097. -7===р=========г==2 при |а <1, ==— при а >1. J у 1 + 2e cos j: -f- " I" I 2098- J 1+2асо.х + а«  ¦"" H<1> =255 при 7 ¦"" H<1> 0 1 1 «пал Г Лх 1 . 1 -f- Yab . . . <?UV)J. I — ¦ ¦ ==*—=.111 —!— ,— i в Kl| _{ /A-2ал- + а2)A—2*x + **) Yab 1—/e» со _ г а 2103. I е-*яcos bxdx = t , ,а , а>0. 2101. J «"°* sin Ал;d* = ~-р , а>0: о 2102. / rfJf 4 e»*« J Vtgx I /2 Г t Пользуясь формулами Эйлера доказать равенства: 210S. fsin*»xdx = ?;!j^; n — целое >0. 2106. J sina"xcos8^л;dx»^Г^^^у' Л и я—целы* >0. о 157
2 2Ю7. j ашл { к ПрИ * 2108. j cos:ix cos nxdx^ — . о ¦t 2109. " [О, если т- 110. Г cos™ x cos nx dx = { _ 0 { 2»»-lи<» ' О, если т—я нечетное, 211 ¦ если т — я четное; -,* ml В следующих задачах следует применять формулу многократного инте- интегрирования по частям, которую можно написать в таком виде: Г по(») dx = no(»-i) — и'о(»»-*) 4- и"о(»-«) +...+(— 1)" иW«(»-»-4 + ^- (_ IJ'.fl f и(ч+1) О(П-,-1) dx. 2112. Доказать равенства: 09 | </* аа О, —1 0 где/(.v) — произвольный полином степени л — 1, а полиномы Ле- жандра Р*(х), Лагерра Lnix) и Эрмита-Чебышева Нп(х) опреде- определяются равенствами: р (xcH ()=^m 2113. HafliH при целом п>0 величин)'' интеграла Эйлера: о» Г(я)= f xn-le-*tix. о 2114. Найти при целых />>0 и ?>0 величину интеграла Эйлера В (р, q) = J xP-1 A — Х)«-» ^.
§ 4. Нахождение интегралов с помощью формул приведения Для интегралов, зависящих от целого положительного параметра, иногда удаётся найти формулу приведения, выражающую его через интеграл того же видз„но с меньший значением параметра. Если интеграл при нулевом зна- значении параметра удается иайти, то и данный интеграл может быть найден so Так, например, для гамма-функции Эйлера Г(л)» Г x^-1e~xdx, л > 0, инте- о грируя по частям, находим: СО 09 Г(п) = I #-*л« I + ~ J *-••*• dx = I Г (п + 1). о о Отсюда Г (л + 1) = л Г (л). Применяя эту формулу несколько раз, получаем' равенство-• Найти величины интегралов; — 2116. f Ig^xdx. 2119. о 1 2Н6. /A— *V^. 2120. Jsi — — 4 2 о 2117. | ,ЛГ^. 2121. 2122. С помощью известного равенства Г e-**Jx =¦ -^ VK величину интеграла f e-**x** dx. 2123. Для полиномов Лежандра, Лагерра и Эрмита-Чебышева, упомянутых в задаче 2112, доказать равенства: 1 о» f Р„ (х) dx == „ . ; Г e-*l% (x) dx = (л!)8; —1 • \dx = 2nnlVK". 159
Найти интегралы: 2124. f хл (\п х)п dx. о 2125. Г xne-*sinxdx. оо 2126. Г Jf"e-X cos x dx. 2128. f JZ&LzM. dx. J COS X Замечание. В двух последних задачах полезно сложить два инте- интеграла, у которых т отличается на одну иди две единицы. В двух следую- следующих полезно вычесть два интеграла, у которых т отличается на две еди- единицы, и применить дважды интегрирование по частям. 2129. J e-^sin^xdx, a>0. оо 2130. f e-vsitib+ixdx, а>0. 2131. J e-m*cos**+iXdx. -dx, a>0. * CO 2133. Доказать равенство 1 о проверив его при я = 0ня = 1 и установив, что при возраста- возрастании на две единицы обе части равенства изменяются на одинако- одинаковую величину. 160
¦ т 2134. Найти интеграл ?/т = jln cos x • cos 2mx dx, установив . о линейное соотношение между ?/„ и ?/M_t. § S. Интегрирование с помощью радов Не всякий ряд можно интегрировать почленно. Иными словами, равенство [ (•*) + н» W + И1 (•*¦) + •••] dx =¦ » » ь «!(jf)rfX+ J Bj(*)rf-"f+ Ги»(х)<*Х+»«« « • а не всегда верно. Так, например, если положить и 1 (*)-= cosх, "i(x) = Bsinx—l)cosx, в, (х) = Csin*x — 2sinx)cosx,... и, вообще, и„ (х) «= [л slnn~lx — (л — 1) sin"-* х] cosx, то S = at(x)-f иг(х) 4-"»W+••• равна нулю при любом х, как в атом убедиться, изучая Sn. Поэтому в данном случае имеем: 'и ш я Т С другой стороны, непосредственное вычисление показывает, что ¦ * 1 Т Г ах{х) dx = Г cosx dx *ш 1, • • при л>1 имеем: г а Г an (x) dx = Г [я »1д»-»х—(я — I)sltt»-«xj со» * dx w 1 — 11. a о о Поэтому ¦ ¦ J иг(х) dx-\- J OjOb) rf*-f Jee(*)rfJC-J-... —1-f 0 + 0... —1. • 0 Of Таким образом, в данном случае равенство, приведенное в начале пара- параграфа, неверно. Существует теорема, гарантирующая законность интегрирования почленно: если в интервале (а,Ь) ряд % (х) + и» (х) + в* {*) + • • • сходится равномерно, то его можно интегрировать почленно. Отсюда, в частности, следует, что рях, расположенный по степеням какой-нибудь неремекной, можно интвгрн- Н 8и. «Л. Своряжя Mga.1, i. Д. 161
ровать почленно, еслв при изменении х в интервале интегрирования ука- указанная переменная остается внутри области сходимости степенного ряда. Обй метод для выяснения законности интегрирования почленно со- состоит в тем, что сумму ряда 8(х) представляют в виде S(x) =¦ Sn(x) + Rn (¦*)• гхе Sn{x) — сумма*л первых членов ряда. Необходимое и достаточное уело- вне законности интегрирования, в пределах от л до Ь состоит в том, что Г Rn{x)dx-*Q при л-юо. Это условие пригодно а в случае бесконечных а пределов интегрирования. Следующие задачи решаются с помощью разложения в ряд по степеням не» которого переменного подиитегральной функции или одного из её миожителеЯ. Вычислить величины интегралов с точностью до Ю-5: 1 Ов 2135. J ar*dx. t 2136. $-Ц~<1х. 2140. f In 00 2137. Г /Х , . 2141. a 2142. Выразить рядом, расположенным по степеням эксцентриси* тета, длину контура эллипса х в a cost, y*=*b$lut. 2143. Скорость тяжелой точки, соскользнувшей по какой-нибудь кривой с высоты h аа высоту^, равна У 2d(h—у). Поэтому вре- время одного размаха маятника, длиной /, совершающего колебания с утлом отклонения а, выражается формулой: Отсюда, после подстановки sin % = sin -? sin ф, получается: Разлагая по степеням о и интегрируя почленно, получим формулу: 162
Следующие задач» основаны ва знзшш.трёх рядов Эйлера:' " 1 ** ^ 1 n» \^(—!)"-»_*» в Zc="W S 1 ** i+) л» Найти величины интегралов: I 2144. Г!^^. 2143. о о 2,45. f lnVEr-- 2149. f4^- о о 1 со „,.. г 1п A 4- х") . ni ~п Г хdx 2146. j—У~^—Ых. 2loO. ~——д. о о 2147. fln{l~x)dx. 2151. f (In lgx)*dx — 2f ln*lgxdx. • 0 0 2152. Доказать, что t 1 , I 1 , 1 i t /arctgjf j —— ax о 2153. Доказать равенство, справедливое при любом ек в я=в SO 2154. Пользуясь формулой Je^* ла» </а: =» ^^^""^У^» ДО- о казать равенство: Ов 00 , , J* #-«¦ cos 2ax dx = 2!^L ^ L=L>!n a9.i = X_iL e-a« m (Лаплас). 2155. Пользуясь тождеством 1 1 х . х* i!Zlf j& доказать формулу / О 11* 163
весьма удобную для вычисления интегралов в левой части, если а положительно и велико. 2156. Формула Тэйлора с остаточным членом Лагранжа для функ- функции A -j- *)""* пригодна прн любом *> — 1. Пользуясь этим, дока- вать равенство: се /e-*dx а с_а Г 1 т д(д-Н) 2157. Доказать равенство: В ряде вопросов имеют большое значение тригонометрические ряды, имеющие вид ее 2 («п cos nx Имеет место теорема: если сумма тригонометрического ряда есть функция у {х), интегрируемая в смысле Рииана, то равенство: ? С*) — 2 («n cos их + Jn sin /w) (*) можно интегрировать почленно, хотя бы ряд в правой частя н не был равно- мерво сходящимся. Достойно внимания н другое обстоятельство. Умножая равевство (*) на другое раяеистяо того же типа: ("»cos тх + P»»s1n тх можем формально написать: ? (х) 4» (х) = 2 2 (e» cos "* + ft»sln "*) (<х"»cos "^ + 9ш sln 00 Двойкой ряд в правой части не обязав быть сходящимся. Тем не менее •то формальное равенство в целом ннтерзале @,2п) межио интегрировать почлепо. Прн «том получится верное равенство: н » е (прн интегрировании двоваой суммы члены, где т ф п, дают нудь). 184
В частности, при | (*)=«? {x) имеем формулу: J ? (х) dx - 2*а0* + «2 (а„« О /1=1 Следующие задачя осяоааиы на разложении а ряды трёх функций: 2д cosx + e*)= —-2 Га cosx4-tjcos2*4-ry 1-е* 1 4-2 Va»cos/i*. В этих разложениях предполагается, что |а|<1. Найти величины следующих интегралов: cos mxdx ..Q f tlnxtinmx f cos mxdx ..Q f tl - J l—2acos* + e* ' '"Oa# J I— о о б ' о 2160. J tl"^,^«te, |a|< 1. (Положить a«= т о «ж х dx, 2163. J ln(l— о ¦ 2164. fsfn/ucln(l — о m • H 2165. f ln(l —2«cosx4-aajcosmx<fx. 2166. Jlnslnxd^e. 2167. fxlnslnxrfx. 2168. J cos2mx 1 n sinx rfx. о о 2169. о взаимно простые целые числа. (•"__ 'ln'/,f* »«. ж- 2171. (inUlnxdx, J (i— 2acos* +a»)(l — 2»со»*+•») J
В следующих ipex задачах полезно применить дза интеграла Лапласе J 2172> J A о 7 о со 2174. f 1 n A — 2д ccr, x -f a9) ~-^. Кроме разложений степо.чяых и тригонометрических, в н^готорых слу- случаях применяются ргзло:к-е:г1ч з ряды рациональных десбей. 1!з формуд такого роаа отметим следующие: sin" л: L".x + л-2)' —OK Л-.1 1 1 1x 2x 2x sin x e Г *j — :.» ' .v- -:.« л-« — g 1 .я ,Зя 5я ,_г» + т9Тз 4 * i ; —1 Л 2 ' jU X''-\ tx , 2x 1x tttx "* x x- Я—1 С помощью угаззн::ы! фог-.мул доказываются следуюсше рааеяства: _ 0 fsin их du _ \ 1,1 о о О «о 2178. e 168
§ 6. Дифференцирование в интегрирование под знаком интеграла Формула дифференцирования по параметру имеет вид: Оиа справедлива, если -~- непрерывна относительно jr. Она остается в силе для несобственных интегралов, если они равномерно сходятся для значений ч, близких к данному. Формула интегрирования под знаком интеграла имеет вид: * г 9 1 "г * f[f f{x,y)dx]dy=.f[f/(X,y)dy]dx. л « «а Иными слогами: еелн имеем равенство » -to J Fix) dx - J [ J f(xt y) <fe] dy. a ¦ Эта формула равносильна с переменой порядка интегрирования в двоя- вой интеграле. Она остается в силе и для несобственных интегралов, если они абсолютно сходящиеся, а также > том случае, если внутренний интег- интеграл равномерно сходящийся, а наружный существует. Третья операция, близкая к предыдущий; состоит в предельном пере- переходе под знаком интеграла: w w Hm Г/ (лг, .y)rfjs «=• JUm f(x,y) dx. Для еб закоиаости достаточно, чтобы f(x,y) стремилась к пределу равно мерно относительно х. Интеграл может быть н несобственный, если он сходится равномерно для значений у, близких к у* *./(х,у)—>/(*.^в) равномерно относительно х во всяком конечной интервале. Приводим несколько классических интегралов в аздг примеров. Имеем pasei т СхР-Чх Г xf-Чх , Г xP-idJC J T+T*"J 1-f-Jf
В нервом из них величину у-~ вамеяяем рядом 1— 1^ 21. Имтегрируя почленно, полу- получаем: Законность почленного яятегрироваяня здесь можно доказать, хотя ряди я яе сходятся равномерно. П. J ' ~х * ' dx, 0<а<Ь. о Исходны нз равенства: J в-ау <?* _ I. jr>0. Интегрируя по .у в инте- рвале от а до Ъ, получаем: со Ь » О "в Отсюда следует равенство: J _ о Интегрирование под знаком интеграла законно, так как при e<y<S интеграл Г«-** rf-c сходится равномерно. Ш. о со Исходим яз равенства J *-«»«» рдг rf^ = ¦ t * которое получается, пря «>0 непосредственным ннтеррярованнем. Интегрируя по р от 0 до в, 161
Интеграл Г «-¦* cos %x dx при данном а> 0 сходится равномерно для любых а вещественных р. Поэтому интегрирование под знаком интеграла законно. В равенстве (*) при а>0 будем приближать а к иухю. Интеграл в левой части сходится ври «>0 равномерно. Поэтому предел внтеграла равен инте- интегралу от пределп я из (*) иочучается при о-+ 0, о>0: GO sin a* При а <0 таким же при5мг,м получили бы — -д-, а ври д = 0 и интеграл равен нулю. Применяя обозначение Кронекера, мо.кем ваписать: sin ax j. « , T ш _ sjgn д. f sin а J~ Здесь sign а «¦ -f 1, есла а>0, *» — I, если в<0 и =0, если д=»0. IV. Интеграл Лапласа I Sosax лх и I * 8*п ax dx. J 14-х* J 14-х* со Пусть а > 0 н положим: ,у = Г^21?? ^дг. Дифференцируя по паранет- о ео ру а, имеем: У ш* — Г Jr8"°g* <fjc. Дальнейшее днффереицировзиие непо- средгтвезно невозможно, так как получится не сходящийся интеграл. Скла- дывая с полученным равенством новое равенство: — «= j s}" ax dx, полу- о» таем:У4"~жз (~K"T~Tttx' ДиФФеРепЦиРовать теперь можно. Это давт оо равенство: у" =» f-рт—^ rfjr илн У" "'У- ОТСК)Да следует, htoj/ : C«(H-Cle-*, где Си С^ — некоторые постоянные. Так как \у\<С\ \1Хг, или J"; я jf ¦¦ Ci*~e. При а -»• 0 получаем: -j- ¦ Отсюда следуют равенства: J пЗ<»т
V. Иятеграл Эйлера Г e-&dx. Исходны из очевидных неравенств: я я J J е-*-У dx dy<f J *-**-.)• dx dy< j J «-*«- ydxdy; Si —я —я S» здесь Sj"—площадь круга *' + у* = 2л", a 5j — площадь круга х* +у* «¦ л*. Интегралы, взятые по St и S* легко вычисляются взедеиием полярных координат я оказываются равными «A—«-"") н к (I —г —2л»). Обасии-»-* при л-*оо. С другой стороны, имеем: я я я я J J #-*•->• dx dy = j e-# dx J *-У rfj; == ^ J e- — я —я —я —я —п Из уравнения со сказанным следуют равенства: е~х- ах гш ~г и VL Интеграл Лапласа \е -*• cos2ax dx. Обозначая его через у и дифференцируя по а, пол/чаем: оэ • х dx. Иятеграл > правой части интегрируем по частям, полагая — 2e-**xdx- ¦¦ dv, sin 2адг = и. После этого получаем: ОО —2я j Интегрируя полученное дифференциальяое уравяеняе, находим: уш*С»-<*. Так как при а = 0 интеграл Лапласа обращается в иптеграл ЭЛлера, равный —g—, то С = -^-. Поэтому: ОО / «-•«• cos 2a.r dx = -L VIL Интегралы Фрекеля Г sin x* dx я Г cos хг dx подстановкоя х » УТ 9 О со со переходят в такие: тг Г ^т= <М*уг Г-^7= rf/. С другой стороны, заменяв jc 17t
на Y!:* " «нтегряле Эйлера, находим: -^ = Г е -* dx -т "^ Г*—* da 2 j 2 { YH 00 1 1 Г *—"' rfIf Поэтому ——г аз -— J ——=—. После этого можем написать: J 2j^, ayrj Переменяя порядок интегрирования, получаем: Г si. ^ ^ Х— 7 * Г г-- sin / * = -L. Г *2 О ' О ' о ! « гут /г к т' Для опргэдапия законности перестановки порядка янтегрярозааия ио,:,я<з рассмотрегь при а>0 равенство: da 2J /* 2y«J J fl О 0 0 7l-J е-(«+»< sin tdt* L= Г r_ ifJ 21ЛГ J /и[ Здесь легко доказывается законность перехода к пределу яри я-*-0, что при- приводит к предыдущему результату. Таким же образом получается я другой интеграл Фреяеля. Окончательно получаем: ее оо . /— J* slnx*dx** С cosx*dx = ~y j. VIII. Разрывной множитель Дирихле,т. е.интеграл— Г os a dx. Можем написать: ? — 7 sin х сомах jy в 1_ J sin A + д) х dx + 1_ ?3to(l —а)г>^ • о о так иак оба последних интеграла имеют смысл — они уже вычислени. Поэтом/ Если — 1 <в<1, то интеграл Дирихле pax динице. При в, лежащем вив интервала ( — 1, 1), он равен нулю, а при а = ± 1 ои равен у 171
Дальнейшие задачи «того параграфа решаются дифференцированием или интегрированием по параметру я при случае опираются иа результаты рас- рассмотренных примеров. 2179. Исходя яз равенства J «-«•</*== — , где а > О, найти пря л о оо целой и положительна клячяну интеграла Г е~ая хп-1 dx. о о» /dx * 'Х-«4-д* """га'найти величину ин- о f dx теграла J (^-х-в*)»"' 2181. Исходя из равенства J е-**" Лкг = —у -^, а > 0, найти 09 интеграл J г-"*-'*' ^ прн & > о > 0. ао 2182. Исходя из равенства Г —^^- dx =¦ |- sign а, найги ве- о /COS ДЛ-—СО8А5 л* Найтя величины интегралов; 2183. / "- + *'-" + ^'ТЖ + ^^^; A + B + C+D-0, «>0, ?>0, if>0, 8>O. ? у- . —««• 2184. / 0 O 2185. Jg-"fj«-P*slnwjcrf.c. a>0> 0 2186. Je *"'Лс; a>0. (Лаплас) о 2187. J ( « ""' — «""*0 Лс. 2188. J e-«» sin* bx^; a>0 ^ в о oe 00 2189. f e-J» tin *&*§¦; «>0. 2190. J *«-**" $ln • * 178
2191. Г x*le~*'cos2$xdx. о 2192. i a>0, '<l. 2196. 2196. 2197. Т 2198. J In (cos2*-j- mP sin* л) Лс. о О ¦ 2201. J-5I?f о 2203. о J # Jin(i+aV)in(i + Доказать равенства: 2207. т 2208. f О S «-«"sin ш моо. 2202. A* ' at. 173
oo <e ее 2210. J-^jsr- d* — J-^J" J sIn' Px dx J Im"% « *"Л = « 0 0 oe Bл)! Г J x + m ==Jl + t2 ' a X Найти величину интегралов: 2216. Jiig?^. 2217. -. 2220. § 7. Эйлеровы интегралы Желая найтк функцию, удовлатворяющую фувхцновальному уравпевип Г (р -j-1) «"У I100» Эйлер угадал, что такой функцией является предел беско- бесконечного произведения: Отсюда r(W*«lim ff1— —) л* i^ прнр>1 и, выполняя предвльвый О переход под знаком интеграла: 174
Если я— целое положительное, то Г (я) = (л-1)!= Ь2... («-1* Г (и +1)= Liil^iZli) уТ. Одио нз основных сзойстз гамма-функции Т(х) выражается равенством: другое, найденное Гауссом, а в частном случае, при л =» 2, Лежавдрои, — фор- формулой: Через гамма-фуикцка внражается другой интеграл Эйлера цня В О7, 9;. По определению, при /?>0 и ?>0 mieeic 1 Вfp, 9) = J хр-Щ —х)Ч~Хих. о Существует формула: •<>¦*-?№• Заменой переменных к бэта-фуикиии сводятся интегралы вида Найти величину следующих интегралов: 1 1 2221. f xfT^JPdx. 2225. J о со я Г 2230. J tg8»-1* ix; 0 < n < 1. 2231. J sin»* Ac. я я Г Г 175
я г 2232. Г slnw-'xcos"-1***:. 22 ;0. Г f?1** dx'> «9<1* 0 со / t « 2234. f^^fldx; 0<a<l. 2241. • 9 2242- • 0 2238. Г **р ^ **"* dx. 2243. Г In Г(х) dx. о ' о со д+1 2237. J ^ух~?- ', т> 0, л > 0. 2244. J In Г (х) dx. 2238. C-g±-.dx; 0<*<2. О со 2239. J y^r dx\ —1< а < 1. Доказать, равенства: СО 00 2245. Г е"*1 dx \ хЧ~* dx = о • 2247. \хр- » в» 2248. J хР- 00 2249. Г —
2250. Найти площадь, ограниченную кривой хп-\-уп = ап, при х>0, у>0. 2251. Найти объбч, ограниченный поверхностью хп -\-у -\- *п =¦ в", при х>0, у>0, г>0. § 8. Разные задачи 2252. Если /=¦(*) = arctg-i-, то f(x) = — r-^-j. Справедливо ли ь равенство: f — -^ ^=»arctg-r-—arclg— ? а t 2253. Если F И = —Ц-, то Г(^)=. ^1-у- «/(лг). 1 + ^*" д5 (l +**")* Справедливо ли раоенаво: ъ а Доказать равенсгаа: а> оа 2254. Km Ге-Л/*=»1. 2255. Нш Г -,t^,—». 2256. 2257. Кш « f /(*+»/ если интгграл абсолютно сводящийся, а/(х + 0) и /(* — 0) — правый и левый пределы Д5) при \-*х. 226S. J /(а^)-/(^) ^v=/@) fni, а>0, *>0, если при Д>0 о интеграл J -~dx имеет смысл» о» 2259. lim on f/^cosajcrfxeO, если f(x) — ч5тная функция, а * оо Ч у которой интеграл от модуля /*">(*) в интервале (- - оо, оо) имеет смысл при любом п. 12 8а*. 4MB. Сбодехев мда» т. П. ' 177
а* \/(х) sin ax dx = 0, если f(x)~ нечетная функция, а интеграл от абсолютного значения /М (.v), взятый от — оо до -J- оо, имеет смысл при любом л. 2261. Доказать, что / (лг) = О при а <лг <*, если / (х) непре- рывна и при любом целом д^-0 интеграл Г f{x)xn>dx=^0. а' 2262. Доказать, что / (х) = 0 при 0 .< лг <[2ж, если она непре- непрерывна, и при любом целом положительном п интегралы 3* 2« Г f(x) соз пх dx и Г /»(лг) sin ax dx равны нулю, о о 2263. Доказать, чю для/(лг)=»е f* sin Vх при всех целых оо л > 0 справедливо равенство: Г /(лг) хп dx= 0. о 2264. Доказать, что для функции /(.г) == ~~cotx при любом целом л справедливы равенства: оа as Г/(лг)со5ллг^лг = 0, Г/(лг) sin лаг Л; «= 0. — оо —оо 2265. Доказать равенство: где О (Л) означает величину, отношение которой к я остаётся огра- ограниченным по абсолютному значению. 2266.. Доказать, что по абсолютному значению интеграл /24 (а) y^e^dx не превосходит величины -т ¦¦ , если а<*, a ?(*) — убывающая функция. Доказать неравенства: оо 2267. Г / (х) sin алтЛ*т>0, если / (лг)—убывающая функция; о 09 2268. f /(л) cos av </лт>0, если/(лг)^—убывающая, а/*| 178.
2269. Доказать, что при h — 0 сп; асе.;лисэ ракенстьо: it — s > со t» если /(дс) — непрерывная функция, для кстогой Г [/ (tj\ e hi dt — а» имеет смысл при достаточно -малых \h\. 2270. Доказать теорему Лапласа: если / (дг) в интервале (о, Ь) имеет конечную производную, а «р (л)>0 и дсст:ггает наибольшего значения прид; = с, где а<.с<Ь, то при л-»-оо справедливо равен- равенство: / ! \ „ 1 r,e OVTr^j по абсолютной величине ие больше, ч:м тг=, умножен- умноженное га некоторую постоянную. Если с со: падает с одтм из чисел а или А, то в правой части надо поставить доба о шиЛ множлте/.ь, равный у Доказать равенства: 1 2271. J (I—a-V dx= J о 2272. о 2274. о Дока:ать неравенства: » ъ ь 2275. (J ? (х) <!> (х) </*)' < J т3 (*) <** / <}* W rf* К0Щ11, Шв 12» Ш
2276. J P{x)dx J" о f Pi*) dx где /?(*)>• О, а кривая у = <?(х) выпукла вниз. 2277. Получить аналогичное неравенство для случая, когда кривая _у = »(х) выпукла вверх. 2278. Доказать, что функция от t, равная величине * 2 4 ] нг убывает с возрастанием /, если /(х) имеет положительную ниж- нижнюю границу. 2279. Моментом функции /(х) в интервале (а, Ь) называются интегралы Доказать, что если 0<а<& и /(х)>0 при jf>0, то ряд^тг имеет конечный или бесконечный радиус сходимости, смотря по тому, конечен или бесконечен интервал {а, &). 2280. Рлзбивая интервал (—оо,оо) на части: (—во, х — А), (х—h, x), (x, x-\-h), (* + Л,оо), где А—произвольно выбранное число, доказать равенство: 1J/(«)""»»-** <fa-/(x): При этом для простоты предполагается, что / (х) всюду непрерывна, / (х) всюду существует и в каждом данном интервале .ограничена, а Г / (и) da абсолютно сходится. 2281. При тех же условиях относительно / (х) докавать фор- формулу Фурье: 00 00 / {x)sa-~ J da J f(y) cos и (v—x) dv. — CO —00 2282. Показать, что интеграл Фурье (см. предыдущую задачу) остаётся в силе и в том случае, когда /(*) в отдельных точках имеет конечные разрывы, при сохранении в остальных точках преж- 180
них условий. При этом в точках разрыва значение интеграла равно 5"[/(*+°)+/(¦* — 0I» "« /(*-j-О) и /(*_())—пределы сп;ава и слева величины/E) при 5—> л:. 2283. Доказать, что для функций <f(x), удовлетворяющих усло- условиям предыдущей задачи, справедлива теорема: если «К*) = :р= $9A)еш<И, то <?(*) = JU J ф@*"<а*Л. —оо ' —оо 2284. Доказать для функций у (я) и <{i (лг), введённых в предыду- предыдущей задаче, равенство: 2285. Запись ср(х) — ^2-|- -— -f- -™-f ... читается: функции <f(x) соответствует асимптотический ряд, стоящий в правой части; эта запись означает, что при х—>со Доказать, что если /(/) шт во+в^ + e2f* + . • . 228в. Доказать, что при я —»со J Yl—x Уп~ пУ п г п»УИ если — ¦y=+fliVr< + 2287. Пользуясь равенствами: оо о» —та. оо оо —та /sin ц <fa Г е da С со» и da Г пе dn U О U ' U "* доказать формулу: COS И т 18'
rv.e 0 и 9, — некоторый продолжительные правильные дроби. Налти величины следующих интегралов: 22S3. /Tj^TF. 2301. f^^dx; a>0. о Ьмиг о о J// v Л чГп /ix s'n^ х (.V*—лг+1)- J х* о о 2291. J СС8Д* Jсм**</*; a>O,ft>0. о 2292. J«aax*a**dx. 2304. J'^'fdx. о о 22S3. о 2294. f ifagJg-tfrinx^. а^0 230s> fjlaj:—л о 5 •** 2295. Jaxcosxx-*[naxdxi e>0. о 2296. $l-™axdx. 8306. / Д% fe if^ 2308. 2289. J -^~- dx. 2309. о о oo в о 2800. /^?^?^;fl>3>0. 2810. / 182
2311. Доказать, что f s'°^- cos^-'д: dx = ~ при р> 0. (Лиувилль.) 0 2312. Доказать тождество Рамануджанэ: ч/— Г e-xtdx л/~? fe-^dx 0 • о 2313. Доказать, что при л->-оо абсолютная величина интеграла п о 2314. Доказать равенство: ix, a>0, предполагая, что оба интеграла имеют смысл. 2315. Пользуясь интегралами Френеля и предыдущим результатом, доказать равенство: f cos (х* -\- -^у) dx ш у у (cos 2a—sin 2ff). 2316. С помощью подстановки-r^—=-g- -rj- доказать равенства: 2e V»-i^^eVr?i+i(* —а)
РТВЕТЫ. h yT (cos -J- +1 sin -J.). 2.2 (cos -|- + ? s!n -J-). 8. 3 (соз '-? -j- +«sin i?). 4. 2 sin -f (cos Z=?- + f sin i=lL). 8. 2 cos (-?- - -l.)X [/tln«V 7. a»- _ cj + 0*. 8. a* + fc* + <*—3tibc. 9. Ba — 6 — c) B6 — a — c) Bc — a — i). 10. ar—=•• H- =tB + 0- «2« ^C + 4/). 13. Xj,^ — 2 + 1, xs = -3+l. 14. xi - 2/. *, =» -1. «3. - f, ¦<±^Г • 16. }/2 (cos ? + / sin ?); ? = 45°, 165°, 285°. 17.2 (cos <? + i sin tp); ? = 30°,90°, ISO0,210°,270°, ЗЗЭ9.18.2 (cos 9 + *. CO0, 120°, 180я. 240°, 300е. 19. xk =» ii~—\ A = 0, n 1 n — \. 20. xk = ctg •^Z2Z~~ *» * = °' * л —1. 21. cos3 у — 3 cos <f sin 3 9. 22. 3 cos* 9 sin 9 — sin* ?. 23. cos* 9 — 6 cos1 f sin* f 4- sin14. 24. 5 sin f cos4 ? — 10 sin3 <f cos8 9 -j- sin»9. 25. — C cos f 4- cosЗ9). 26. -I-Csin9 — sin»?). 27.-~C 4-4cos2?4-cos49). 23. •—• C — 1 1* — 4 cos 2<f 4- cos 4<f). 29. -rg- A0 cos ? 4- * cos3? 4- cos 5^). 80. -г* A0 sin <y — -5sin39 4-sinS9).J 33. ^ -x=-L- . 88. *™* A — a) cos9 — a"+l cos Bя 4-3)? + a^+'cosBя 4-1) у 87. —— ; 1 — Уд cos 9 -j- a2 40. in2 4-Bл 4-1) "i- 41. (in 4- l)-y- • 42. (8л + 1)-J-. 48. In 4-1 arctg -^- 4- 2nni. 44. — 1. 43. #- <4я +») т . 48. *- 47. в *. 48. /th -у-. 49. 81пхсЬ^4-'с<>8^*Ь^. 30. . 31. •5J-ln|^7 + '|)t-.s2' (*-в)» + (У —*)»<Л 33.
7Ы w + W + IRe n ; k-\. 2 .... n —I. 54. l + VTeM. 35. — zo)en . 56. Вне многоугольника. 57. «4 = «i —«j+«3. S8 вз. Щ*1 + Щ*г+..-+т«*п eOa Пдощадь, ограниченна» миогоуголь- Щ + Щ+ '••-гЩп никои. 64. Сумма квадратов диагоналей параллелограма равна сунне квад- квадратов его сторон. 68. Прямая. 69. Окружность. 70. Эллипс. 71. Спираль Архимеда. 72. Логарифмкческая спираль. 73. Увеличивается на4*. 74. Пер- вые два возрастают иа к, последний — на 2s. 75. Умножится на eui <«+?). 76. и обратится в а*-***-\-2г.Цг — я)««г*Ч 77. я = 0, *=»2 или 2аУ «= п-1 = ±l;ft = 3. SO. 1-/, 4" (—1=S= VT3). 96- 2 Ц я-1 я—1 S7. 2*»-' П(х1^ ) 99. /@/(- 0 = («» 103. He делится. 104. o — _22, (* = 40. *i=*=— 5, 109. 5?(х)«=4дг«-г-3*—2. «0./(x)= —1+-|- (x—1)* | ^-(x4-1)8 ]. HI./W - -1 +(-1)» — в{)..-(х — вп). 117. —<Х<2. 121. vi-r/'i^v« 'гч\1Шч> «Vi™/7» 124. Положить х «¦ «* и применить теорему Ролля; придем к уравнению без а„. Разделить на «*»-i* н ещ5 раз применить теорему Ролля и т. д. 125. Следствие предыдущей. 127. Положить х = е* я применить пять pai теорему Ролля. 123. Следствие предыдущей. 129. Корнн уравнения a^Jf -\-a1xm-1-\-...-\-апхм~п = 0 вещественны при любом я. Новое уравне- уравнение получаем, дифференцируя левую часть m — s—k раз. Заменяем х на — и умисжаем на л*+*. Умножаем на х*-*-* н дифференцируем я —* раз. Опять заменяем л- на — н освобождаем от знаменателя дс»+*. Делим на (/л—s)\ (m — k)\ а умножаем на kl Перейдя к пределу поя -и», получаем нужное уравнение. Вещественность всех корней уравнения со- сохраняется. 130. Следствие предыдущей. 131. Уравнение можно переписать '(х)~\* rj-^- = 0. Разлагая ка простей- . таком виде: п (п \ щественныхдгн^противоречитнеравенству Коши BЯ***)*< 2 a*S **• US
132. График функции fix) имеет п вертикальных асимптот, если корни f(x) различны. Можно также применить теорему Ролля к функции е~/(х). 133. Следует из того, что уравнение имеет корень между двумя корнями f Ос), между которыми /(х)-\-тфО. 134. Применить теорему Ролля к хх/(х). 133. 136. Следствие 134 и того, что корни /(ах) вещественны, если корни /(л) вещественны и а вещественно. 137. Основано яа соот- соответственном обобщении 134. Последнее получается из рассмотрения суы- j. У 138. Следствие предыдущего и того, что начало X МЯЛ X " X fg любую точку. 139. Теорема Ролля и функция мы можно х — перенести е а Ф(х). 140. Изучить arg/(jc) при движении по отрезку вещественной оси между точками —N и + N я по вамыхающей полуокружности. 142. Следствие 129 и бинома Ньютона. 143.144. Теорема Ролля. 143. В ка- каждом из интервалов (ew я,+1) есть корень. 143а. В одной из интервалов нет корпя, но уравнение имеет степень л—2. 146. Вещественность сле- следует из теоремы Ролля для е-**. Чтобы показать отсутствие корней у Рп(х) при | х | > y2n-f-l, рассмотреть у «¦ е * Рп (х) и, заметив, что у -f- Bя -\- при I х _ __ + 1 — х'*)у = 0. У(со)=>у(оо)«аО. применить тесрему Ролля.* 147. При нечётном п один корень, при чётном п ни одного, так как при чётном п хп и при У ¦» 0,у > 0, у ияят1ГЫ г= —т->0. 148. При вечЗтиом п одни корень, при чётном ии одного, так как при чётном п равенство У =* 0 невозможно. 149. Воспользоваться равенством: A—**) <f'n (•*) =¦ "9n+iW. из которого следует, что число вещественных корней <fn+t(*)>числа корней fn(x) плюс ганиица. 150. Числох«>0 не больше единицы, число лг*<0—тоже. Число мнимых корней не меньше восьми. 151. Следствие 130.132. Еслн/(лт) = = 0 — данное уравнение, то (jf*—2дс4-1)*/(*)в0 имеет мнимые кории. 153. Умножить на (х — 1)»-*. 134. Умножить на (х — а)(х—Ь). г. 158. ——г""~ ~~z—о "Ь" 1E6
169. 172. 1 2/1+1 л jc + 2 cos 1 ,v 1 + * ^ 1 * + 2cos^. 'ОТ2пТТЯ+1- • 170. t jc* + x Vr54- 2 ' x< — | ' G3 ^ + 2cos^ — 2* 4- 4 _, ииенты ряда должны быть связаны соотношением: ffou3 + eias+i+ ••• + + аЛвя+т = 0, .а0ф0. Беря последовательные числа среди коэффишин- тов н0. ии "»•••! можем получить не более чем 3я* различных последова- последовательностей, так как щ=*± 1 "или 0. Поэтому среди таких групп, по т чи- чисел uz найдутся одинаковые. Если числа щ, u;+i. •••. Щ+т совпадают с чис- г+p-i лам; Up, Up*ii+p+,K, |^ 2 \ -р* где "^ понтом. 177. Искомая сунна равна ?~/fj' где 1~ Е й /(.«) = *'*-1 + .*n-2-f ... + 1. 17~. Если jf— корень производной в интер- п вале {*t-i, Xi+l\ то У] = 0. 179. Следует из равенства г илш У v J v «—. 180. 27. 181. 3375. 182. 343. 183. —7. 184. —5. 185. 0. 136. ab. 187. 1 + tfl + V* + e». 188. abcd+ bed + aed +- ¦1-aM + ak 189. — 2(jc>+^»). 190. 2abc(a +b + c)*. 191. (jc— —z)(z—x): 192. aftcrf-fe^ + e^ + crf+l. 193. ft (*,—V» 194. to- x, + ... + xn) П (*, -f 195. — b)sin (ft—c)sin(c— a). 198. — 4sin Ц + b) + tin(b + e) + sin(c + a)f. 199. _64*Рт(Р*- i p i 6 i 200 i ( P) i (j + ) + ( + ) + ( + )f Рт(Р) (т)(тР); a ¦ sin ft, p = sin 6, y = sin с 200. siu (a — P) tin (js — т) tin (т — S) sin (a — —T) sin (a—t) sin (P — J). 202. Полезно положить at ¦¦ X A + oj, a, «¦ X A + -f- в;),..., an ¦» X A4-an). 203. Помножая строки на степени он склады- складывая, легко установить делимость на f (o^ <f (а,),..., f (s,). 203. Рассмо- Рассмотреть систему соответствующих линейных уравнений. Если Л a о, то одчо из них окажется невозможным. 208. .Умножить ice элементы, не стоящие на главной диагонали, на 0, где 191<1, и заставить в-*0. 203. п в 4т (т»» «¦1,2,...). 209* я=лт — 2 («=» 1, 2,...). 212. Д«1, если новые оси можно непрерывным движением совместить со старыми; Д «* 1, если ори- ориентировка новых осей отличается от ориентировки старых. 214. х в 1, 0 »в»1. 215. Xtma, угш\, ггж — \. 218. Ж*» — t, Jf=iO, JT»»O. »l,jr=»-l, {«-I, f«l. 218. д;=»1+2»+2т, .У-1+», z- —t, /ocl-f-^S^. a**—t. 220.*i¦=*!•¦... «дгпп 1.221.;ctn W7
я—- + Ь x,«»I—* при v>I. 224. Рассмотреть соответствующую систему линейных уравнений. 225. 227. рицы t — -ft Л— Л** — 1 1 1 xt X\ Xt Л Л Л 0. 226. ct\ b\ С\ я» ** с* Яз Ь еg 0. E 0. 228» Если ранг прямоугольной мат- 1 1 Л Л *1 равен 3> то в плоскости, если ранг 2, то иа прямой. 229. Такое же условие, как в предыдущей задаче, для ранга матрицы из коэффициентов плоскостей. 230. Знак у всех дг, в одном решении одина- одинаковый. '. 31. а^ж/^лг,; |* = If 2, ... , л; ч = 1, 2 т. 232. Билинейная форма ранга г может быть представлена как сумма г произведений пар линейных форм. 234. (ае + Ы -\- с] + dk) m (ate + ty + cj + djt) = ) + (b±b) t+lj j+{d±d$k ( + Ы + j + dk)( + '.ft) = вд^ — ftfti — Ctfj — ddy 4- fltc + fti^ — odj) J + (яв"х + o.\d + ftci + b\c) ft." 235. Диагональная матри- матрица, т. е. матрица, у которой все элементы не на главной диагонали равны нулю. 236. А—ортогональная матрица. 237. При чётном л корни мнимые, при п нечбтном х = 0. 238. Следует из того, что у ортогональной под- подстановки обратная матрица получается транспонированием. 240. Рассмо- Рассмотреть систему уравнений: положив s = a-\-iv, z,»x, + iy.,. 241. Она заключена между наибольшими и наименьшими из элементов главной диагонали. 244. Воспользоваться неравенством Коши: B у ev^jejv ?< 2 <V> 2 Х-1, ?,-(Х— 1)(Х — 4). 246. ~ "* "" '/; 7" • «47. AW-U !••• *ПП 248. 1, Х-И. (Х + 1)(Х+4). 249. У первой ?1 — ?^ —1, Я3"=^ —?)(^ — — II, у второй ?! = ?.=» 1,?а« (X—1)(Х* — 5Х—2>. 251. Е\. = ?j в ?а = 1, ?tc=X(X — 1), ?"Ь»Х*(Х—1). 252. 0. 253. (*+V-|-2«)*—(jc— J'J — 4«». 254. Два положительных и один отрицательный знак перед квадратами. 255. Три квадрата, взятых с плюсом, один с минусом. 258* х^ а С[1Лу1 -j- + СияУ* "Ь С^лУг» где ^|»—алгебраическое дополнение элемента с», в со- соответствующем определителе. 258. а) Дискриминант формы ^-0. Ь) Би- Билинейная форма — симметрическая. 262. (btcx — cj>{y ¦*— + (ctat — дв лр — *i"i) 55—h(«^i*J—eA)sj"« Приравнивая нулю, получаем поляру точки пересечения прямых а\Х -?-Ь]у-\-с1г = 0 и* агх + b^y + e^z =» 0 (однород- (однородные координаты) относительно конического сечеиня F (х,у. г) = 0. 269. f(x,y)**(ax-\r by)P. 275. px+qx и PiX + q^y должны быть дели- делителями гессиана формы /(х, v). 278. / = (х-)-2v)*4- (d-— 8) Vе. 2S4. ?8. 285. 59. 288. аЧ — 2ft3 — яс -f- 4rf. 287.-9. 288'. 74. 289.-1. 290.-12. 188
-t—a. 294. 29G. -б. 297. - . 293. ^ . 298* = 4л»—x—2. 301» Общих корней нет. 302. То же. 303. Х=Ю; i*«=»—5. 304. Точки @.0)-двойная, B,-1), A, 2), A,68; 2,52). 305. Точки (Lfi), (ОД). П 3 + iV3 ^ / 4 У* V -3-й /Г . 306. 15 15.y—93 0. 307. m* — 9m* + 54 = 0. 308. 28m3 + 713m* — 100m — 0. 15 15.y-93 2ly 4- 1C2 309. (-1) в »<» -1) 311. М = (— 1) а я». 313. Рассмотреть уравнения 4Л + + ... 4-Рп^ •= 0,.корни которых равны корням данного в степени v. Чис- Числа р* ограничены и целые. Среди уравнений должны быть одинаковые. 314.. 44»+27с* — я2*» — 1&?&е<0. 315. Подстановка х=*у — 1; корни Т /Т— 300v 4-2250 9 4 2*45 У .у 4 ^ — 2^ — 9 = 0. 820. Корни 2i± У* 322 2 2 дс 1 ±<уТ1 ±//зТ316. v 9v + 75v 300v 42250 0; S*y. 317. У — 25.у» 4- 375^» —11700 = 0! Юх=*у. 319. J>4- 2>*4-5j*4-3y' - X 321. Корня т± У"я» —я, — я. 322. jcx = хг = 2, 8 к , 5 325. Левую часть можно разбить иа множители: <е (дг) = (х — *!) (х — Xt)... (х — *„) = jc» 4- 4--«>+y--При этом получается равенство: b? 4- V + • ¦» anbn. Если — 2<в„<2, то при вещественных 6, равенство невозыож- ¦о. Поэтому среди *„ а значит и среди дс„ должны бытыганмые. 328.J* — — 7^4-11^ — 5 = 0. 329. v»—18у«4-69У —52«=0. 330. у* —1—0. 331. '(jf— 1 J(>-f-1J = 0. 832. y*+2ay* + (ax+b)v + ab—е-0. 333. у* — 2ух - 1 = 0. 334. 25^з 4- 37j/* + 18jR- 3 = 0. 335. СУ +/>)*«- 0. 336. 245>*i-288)/»—153у4-145-0. 337. а*у*-\-9аЦааъ—а^у* — — 27(r.'a3 — 3.7a1a. + 2a')y—4(aat — alxlpa*0. 838. я + b, a — b, a. ЗЗЭ. д + ft^e — b, a — 3ft.__84O. я —1, л+l, e'4-1. .341. jci=»2, 2jt, = «=3 4- /21, 2-sr3 = 3— /21. 342. 4a, бе, я —6, «4-6. 343. в,2я,я + 2,2. 344. *i= —1.>,— — 2,4jcj,4 = —l±f/23; 345. xt~3, 2*J,S=» —3d: d:i/3T 348. ¦*!-!, 2д:2= — l^j/27: 347. *1-^I+/5' + 4.^1—/2"а-а4-р, хъ=жи<о+у<я\ A-g=»a««4-t»»; d>»L 848. xx =- «V24- YJ~ + fr2— /Г=1, 2x,,g= — l:ti/i? 848. *i/3"=- в —1 852. Jf /Г—1W и т. д. Корни—1, 3,—2. 850. /. «I. 4-v\ 189
^+у ^V 853. _2±/5Г 2 =fc /17. 856. Непрн- всдимое. 357> Приводимое.* 358, 859, 360, 3GI., Неприводимое. SS4. В поле /? (/Г), в пол» /? (^^)- 8S5. Если *i=,p+ У7. »о мсжно доказать, wo ¦**=*/>— VtfTТогда-xs = —а—2р. S66, ЗБ7. След- Следствие предыдущего. 868. В поле рациональных чисел симметрическая, в /?(«) —знакопеременная. 369. 0 = { 1, A2) C4), A3) B4) A4), B3) }. п /"а~* п J—<Г 370.. я — чётнсе, у -2— рациональное, подстановкой у = ху — уравнение приводится к возвратному. 374. *i = 2, Зх. = —2. 375. 2*1=» = 2дг,= 1, *,« 1, *4« — 2. 376. х,- — 5. 377. *i= 2. 878. 2*х = = —3, Злг4я»2. 379. —2,5,3. 380. Jr1 = jc,= l, x3 = ^=— 2. 381. лгх «= —2, 2ла <ш 1. 382. •*,»*, = 2. 383. *i = х, = —2.384. лгх = ах;»], дг, =.х4=я —2. 385. jr<Kj(,B2. 386. Левая часть делится на (*'+*+1I- 387. х1 = х,=.лг5=—2, x4 = V=2. 388. х1"=дс, = /, лгж «- дг4 = — L 889. xx«=Xj="—2. 390. Делитель (х1 — х + \)\ 3S1. ххалг«.<вЛ л-| = лг1=—/. 392. Корки в интервалах (— 4, — 3), 10,1), C,4). 393. Корни в интервалах (-5,—4),(—1,0), E. 6). 394. (—2,-1), (-1. 0), @. 1), C, 4). 39S. (-2, -1), (-1. 0), @, 1). C, 4). 398. (-3, - 2), @, 1), A, 2). 397. ( — 5, -4), (—3. -2), @,1). 398.1)/>>0,-один [ещественный корень х-ц знак которого'обратеи знаку q; 2) /»<0, — одна гдп три вещественны! корня, смотря по зпзку Bл)й1/7»»+Ч-Bя + l)Jn+1flr**. ?99. (—4, -3). ( — 1.0), C,4). 400.]—6,—5), @,1), D.5). 401. B, 3). C. 4). 402. ( — 1. 0), @. 1). 403. (—7, —6), (—1, 0). 404. @. 1), C. 4), D )() (. ) ( . ), (. ) (, ), (, ) (. ), (. ), (-4"' °)'(-1- г)' t-4--*)' 40S- О- Ъ- 4Ов- С0'1)- *О7. A. 2). 40». ( — 5.-4). @. 1). D, 5). 409. ( — 1,0). E. 6). 410. ( — 2.1.5), (-1.5,0),@,1).A. 2). 41|.(~3,-2).(-2.-1).@,1), A,3). 412.(-2,-1), @. 0,5), @,5,1). 418. ( — 2.-1). 414. а) х» + px+q, 2x + p, pt — 4q; b)*+ + Z*+ 2Z (i*+ 27*) 415 416 К ) ( ) ) + p+q, + p, p q; b)+p + g,Zx*+p, —2px—Zq, — (ip*+ 27g*). 415, 416. Корня ве- вещественны при />*>?'. При />*<?' уравнение имеет лишь один веще- ствеивый юрень. 418* Корни в интервалах ( — в1,—ft?), ( — ft1,—с2), ( — с*, со). 419. Если а вне интервала (— л, 0), уравнение имеет одни веще- вещественный корень при л нечбтвом и нн одного при л чётном. Если л в ин- интервале (—л, 0)~и к—целая часть —а, то при чётном п два веществен- корня, а при я нечётном—один, если и к нечётное, и три — если k 410 233007 020164 212842 421 0833982217» вьХ р р д, к , р чёрное. 410. *! = —2.33007, лг,«= 0,20164, *, = 2,12842. 421. 0,83398,2,217», 5,94883. 4S2. —3,94883, — 0,21729,1,16602.423. —4.14510,-2^2398,0,66908. 414. —0,86677. 425. 0,38687, 1,24025. 426. —0,19994. 427. —0.365, 0,331. А19. 1.088. 4L9. 0,091. 480. 0,507. 482. 652,7мм. 440. 2*?ri>Г*. 441. ~ . 44*. .0,08 кгм. 448. ~. 444. '/< "8- **&• 240 к кг-м. 446. На одной четверти высоты, считая от основания. 447. На расстоянии-g-/? от цент- центра. 448. 135«1п2жг.*. 449. * = «">. 430. -^- + ^. .ln2W ). 458. ±.-/Ц. 4»4. ~}/Ц. 455.. Л/МЛ 456. -^ Шtg (-J- + -f ) ' Wl T + C> *88" T X 459. -|- x» VT+ С 460. -jg- x{/^ + С 461. 2 /J+ C. 462. -| V^ ^ ^ ^ + C.488.-g^+C. 464. —-^r + C. 465. 100
486. -f— x»+^ + C. 467. -^ ^-+C. 468. ^ |- 4Б9. ,*L _3x + 41nx + C. 47С. •—- + x»_ х + 31пх 471. -|-х*Ух" 1- xУ7+ 2 УТ+ С. 472. -J- **yF+-j- * С. 473. 1п(х-2) + С. 474. -J- 1п ( + §) +С 473 478. ^ + ^з- + -у- 477. — в-* + <^ *73. 1- *-»»+С. 479. i- cos 2x + С. 480. -i-sinCx — 5) +С. 481. -|-sh3jc + C. 482. ~ ch Bjc— 5) +С. tg3x+C. 484. tg-~ . + С 492. - УТ 496. ta(x + 498. xslnx + cosx + C. 499. xshx —chx + C 300. —xcosx+sinx + C 3CI. ^i-i- arctg x — —f+с 302. 2A>+3x'in(x+1)-4- pr+-y—* ~ln (лг+ 503. — (x*+2x + 2)« 505. -l-(x4—l)ln(x« —1)—il 507. -j-(ln'x- 509. J + С. 310. tn? x + G 311. In ln x + С 512. -i «ctg* x + C. y2x—1 ' 513. ~-sin*x+C. 314. --g-c*os»* + C 513. -j-*art.516. — 1 + C. 317. — -L-. + C. 318. -|- (x3 + l)/iqrT+ С 319. 3^1151 +С. 520. lnarcsinx + C. 821. —2Vcosx + 2 + C. 522. ln(sin'x + 3)+C. 32Z.±tgxytgx + C. 82*. + С 525. -tL- arclg -^ + С 328. In tg -у + С 327. Intg (— -f ) I JO. 2arcrin ]/-^- + ( Jy ) 191
5»2. .Я ; л + m>0. 5»4. -5—. 5*3. -?-. S3S. —5=. 537. — In 2. л -j- /я m—я 4 2 V3 —5=. 2 V3 338. In 2 539. a. 340. -^-. 541. -=—. 542. He имеет смысла. 543. Тоже. В ответах в дальнейшем для краткости произвольная постоянная но ставится, а подразумевается всюду в конце: + С 546. 4-M4* + 7).547. __!_,. 548.i- Щ2х-1) -щ^щ. 849. -~uctg^~> 550. S5I. -|- 1п (**+* + 1) - -4=r arctg ^У . E52. -|- In (9л1 + 2* + 5) -f arctg ??^. 554.-1п(лг-1)+21п(.*:-2).553. - i -3). 556. -J- In J=-| j-arctg*. 537. -i-In (*-1)- — -i- In (*' + x +1) + -±— arctg tl+i. 553. -3 la (*-!)- i. « уз уз Lln(x*+1) — arctgjc. 829. ln(x— 1) — !плг + —. SSO.-г-^-г, fn(.v BC1- -T 5S2. .-^-1п(лг- 1) - 883. -i- 1п(лг-1)-2 ln(*- ~InU—3). 564. -^ ^rarctg "yT • 56S> - з^+4"+4-ln x» 1 x I . 570. lo 1 «•«" ;г 574. —-==• arctg - 2/3 х 577. In* —31п(дс—l) + 31n(x—2) —1п(д: —3). 578. In(jci —4) -41пС**-1) + 61п*. Д79. _JL 192
*«0 Si " '-. 582.^- — 1 x» ' Ю* T + 3X +1" (^~1)+ 8 In (x - 2). wrwifT l(—1)—-y-ln(x —2)+-^-ln(x—3). 386. e83' ;— arctg Ц^\ 387. ? + * +-ln <*-1) —~ In (*4-»>- «ctg x. 4 2*4-1 _„,, x i_ 5x i bx , 5 . x " g ~W 24ТГ+IS? + iffliT + loiTarctg 7 592. JL 3 3 x'-3* + 3^yr e /3 595. '¦ — — U -I— агс!в —т=-. 596. — 4 (x* + 3F 8 x' + 3~ 8 /3 6 V ( + + • bx* 5x ,YS. x— Yb . . .__ 1 x» Sx* — ¦ — — 4- * In : i/ = лг" — 5. S97» — — ——¦ — ——— i 24»» . 16» 32 X-J-/5" 6 ч 24^ ут1пх-^г 599<fl_j_ j__^ i ^ 16 x+/3 2 2 32x»_+4 M 2 LJLL ^^ 601. 4-«ctgj5*. 602. 1L_?JL+1L ^^д,. 603. 604. -^ t*P + 2) —2ln(*» + 2) -jq^- SOS. -|-!п(л»-8)-^. In*. e09< xTT+T lnLxTT+-V* yf • 61°" Warctg 7Г + ——: arctg^ii . 811. 1п(л« — л» + 4дс» + Здс + 5) + аг^(дг—1 4arctg(x—2). 613. -урогГ)- 1 f f + 3 M. ¦ Зл» + 2 3 > rfx j л (л»+1)вл el*" 2х(л*+1) 2 J х*+1щ 8IS. — 9л* + -;¦ 13 8*jl «Л. Сбора» »»А»ч, т. IL 193
¦r — 1 -Г7> t -f-~- —+ — +15tn/-6f+ ill; *=.?—L t» 1С- t 2 J л: +1 621. —==. arctg T== . 622. /3 /3 . 620. -Д- — In- 623. -1-arctg /3 2л:+1 1 2x—\ r ~ 7^7v= arctS "y^- ИЛИ 2/Г -с2 —1 626. 1 ln л'Ч-л + 1 4 " л* — лг+1 arctg x -J arctg Л 3 Б27. —^=ln-=—2- 4/2 x* — -1 arctg x* ¦+- — In ¦ 2 4 л' —лг+1 1 л» i i - n—r= arctg ?=•. 628» — arcli 2/2 6 x\-2 2 629. D + C ¦. ¦ 1 — arctg - — — — arctg '' -1 2 /Г L У 2 — /2 дгK'2 — /2" У 2 4- /2 *У 2+ y'2 J — xV2+ /2 4- 1 2/2-/2 ^г ?31. -|-(*- др_1 бзэ. arcsinjc+ у 1—л*. ¦-1. 633. A,.3!^. 634. m-LnJEZ.. 9 УЗ-v—I .v . иЯ »Л и? ив ц5 1 . 635. б _ + -з-+-^+-н-+-н-+- 63B. -1 ^-A 637. -J- /5 §- +3 20 .__ arctg: . 644. 40 — 2/2 191
647. П. 649. -|-(.*4~* 10 ITT. 650. -?_ >. 651. + 652. f-^ -yr= arctg /3 -3. S5!. 1 ' 5 :*. 653. 1 arctg v— 1 2 — — arctg v; О , «« г 1 , г! + 2г+1 I , 2г —1 t-*. 655. In —— ¦ = arctg —-=- ; ------ 12 г'-z+l 2/3 /3 = *.-» - 1. 65S. - в17. - i- Ш Й-пЙ^ - б * иг+2и + 1 t 1 -^ arctg t^_i ; „3 = 3jc-3 + 4. 658. .L Jn l_i + -i. arctg в; + 661. — ^ 81 I 6 oS-20+1 /3 665. In (* + A . 668. —~ arcsln _L л: LV 667. arcsin 671. —5 /5 — 4-c — лгз . 672. Зз+ -j- —!.675. — yi +^- 674. * ^ 678. - —T^X xy — 2 -f -o- arcsin Bx — 3). О *Y-x*+x+4 + — arcsin -—=¦. 679. In );is*л* +*2ic + 2. 681. — -i-B*8-j-3) yT^JP + -|- arcsinx. 13» 195
682. -^- e84. _ --1-1п( 1) * 2~ In (л: + *);*»- x* + 2. 683. — «resin -—¦ . l :-1)=1. 687. — (л:— -, с... i85. -fez^fl . 686 1- (и + 8) y~+1F; 1+«) —-L- In 689. — + !п(лг + 1 +*) % In2*" jc—1 у 7 дг— 1 690. L_j__J_ 1ПBи+1+* yT); (x— 1)V 2 ^2 -Тгarctg . 693. 2Ш In 693. arctg «*-!. 668. B-*) ,„ 8. ) . 4yT -n 2уТ4 uctg и»«4л»— 2*+ 4. 697. у (x—b)(a — x) 8Э8. V+x) уТГ ft —в .' 899. (а — — 2) у 1 —и»— arcsln а-, в» «- jc. 708. -i- дг» 701. 104. "lno;o = jc+ У .**— Т. l. 703. L . 703. 708. я 196
707. -L In 8 + * + 4в TL m C*+8) УТ+и1 in 7— 2 L In -T—L* m _ in 2 * 2/6 * — I 4 +.4. 708. ' I. ^ + 5+«yr L 2/7 *-l 2/3 . 709. 4 ^ 4,^ ( )У 3/Г x + 2 3 /3 л:-1 710. 1и(л:-1+и) Larcsjn_l31j—L_in J3dtf • 2 дг—1 /2 л:+1 ' ,l==JC._2x-l. 711. y^"^ • 712. J-^a- 71». -я-» l 1. 714. и L 1. 718. In 719. (л:* + x + 1) ?х* + Зх + \. 720. 721. Jt*^je* + 4* + l. 722. х\пх-х. 723. ^ + -L In л:- -^ In в- —г, и — ^л-т-«. 724. xln (I -4-x*J — 2x + 2«rcfeJC. 725. ^ - 4«* -4-i.x -J- 1) ln(* — 1), 1 ,,* — 1 _oe . в Ina v- 2* — 1- . _ r -| In ——. 726. In — — г УЗ arctg =-; t? =a ?(x + l)* 8 * + l x x /3 =,x* —x +1. 727. -__J|=L-. —arcsln -~. 728. ^!n(/l"=rF-|- + /T+7) + -j-(arcsln *-*). 729. x In (jc + /Г+Т5; - /Г+I» . 730- /l — ** In — }--r- /l —л* -j—s-arcfln jc-|-' + j\n 1+У^-*> .731. jcarctgjc—*_in(jc« + l). 732. ~ ardg^r- —f[f-T+4-4"<'1+1)]- ™- f-*—f[f- —- 4--4 JC + arctg * I. 734. x arcsln *+ /1 — л1. 5 ' 3 J 735. у arcsln -c —-i arcsln x + ^x YT^l*. lib. — "c^n*_ 741. — (-с* + 4ж» + 12л* -!-2Lc + 27)«-*. 742. лг»sin jc + 5xl cos jc — 2 + 120-esinx —120cos*. 748. — ^ cosBjc-{-3) +^- sinBx + 3) + + ~cosB-c + 3) — |-s!nBjc+-3). 744. — jr*eos jr+4^»sin-c + 12jr»cesjr- _24jrsinjr—24cosx 745. (-c«—2дс* + 5) -^ —(Здг*—Or)^ + F-c — 4)X
747. _*_. A25л-' — 75a* + 30л: — 6) e**. 748. — (л* -,*» + д:) cos д: -f + (Зд* — 2x + 1) Sin x + (Or — 2) cos x—6 sin *. 74Э. In (*~ + <?-*). . — 2 In V T + /l + «-<") .751. — In f*-» + -| + r-*^. 752. - .*.(*«+ 2**+2}*-*». 733. - I (дг* 750 + 2) ,-^. 754. *!-. 755. _?l+?±I ,-.. 756. 1 -j- ДГ JC 737. "g ; u (« cos bx — b sin ft*). 738. , я (в sin bx — b cos йдг). 759. «*[( — y + jc)cos-c+ (t") S'n *]' 7B0" *" [Cj~" 1)cos;c + -|- ^ _ Л sin jcl. 761. — cos л- + -j cos' л-. 762. — -g- cos» д: + i cps7 r. 783' - Ь |I | 768. In tg (-j + y) ' 7B7> ~"ln cos x- 7SS> ln sin *• 7B9> fS x + 5" ii7 u9 3a11 u19 1 it 770. _?. + i._*L + «i-;i,eCMx. 771. --l-2!nK+i-; 772. — -i-ctg»^. 773. \nl + ?;t=tgx. 774. — * ~t о »« sin'jccosjc sin* д: cos r sin л-cos л- , 1 /=ctg2*. 775 g ____T._ 777. — ^- + — а*ь _j_ _^_ а^з + __ a* _(_ ^_ x. a=sinx, b = ccsx. 778. ^^ + ___ e5ft 5e'J 5eft . 5 . . _e_ P- ТаЧ 778. --Г?-?+Гб^=«1п^. ft = cos*. 730. g 35ab 35 . _e. аЧ 2Г—*! • ¦«**«•* 78U '^ e=sin-c> * = cosjc. 7S2. ts'^T — y— ysinajc—3sin«;c+ -isin2-c+isin4-v. 784. —lCos2.<:- -fC&tAx 785. stojrH-ysfn7JC. 786. j sin * + -f2sin3x + % tin7x + г. 787. — i-cos^-icos-U+^cos&r. 788. _jL?cos^-c — — ycos^jf. 789. у ^2дг—sin2jc+ i sin4jr— -i sin6* + -^sin8*). 198
730. -g- (зх — 2sin2x+ -1 sin4jrV 791. i. (a* + 2sin 2-е + -^ sin4*). 792. |2з(з* — sin 4-v-f -i-s!n8jcV 793. — In (sin x + cos л:). 794. x — -lnEcos, + 2sin,). 793. ^ In tg (!• + !). 796. ; a=3 yir+t? Cos?, ft s=etg?. 797. 2 sin |- —2 cos у cos y+ siny>0.. 788. ^tg.r. 799. -|-lg2-c V^. 800. A- X 602. у лг + -i- In (sin * + cos л:). 8ЭЗ. ^ x + ^ In D cos x + 3 sn *). 504. i-,retgl!|i. 803. - -L _ 505. i- tg. + ^lntg,. 507. -j-.arcg2-^. 803. - 839. 1 arctg f^"* tgA: ) при e=>m'; Д=. X X In i±J^ES!??. e><M 8!0. /rTZT - in (/ + //i^lj; / - tg *. e — У «* — a- tg * 8№. -iiiaC—cosec^). SI7. j In tg 2^ -f j In tg дг. 818. щ[81пи+ !п(и —3) —9lnCa —!)]r a = tg!^. 819. ---|clg'x+ctgx 820. ctgJC— XIn( VTcosjc + Vcos2x).825.arccosf "j/Tsin("|~*)] • ea6' 'y^TZu» (/"HI f) h . 827. (,- 828. —i «-to — ^L^ arctg (е-** yT). 829. -^1п(*а«'+ У<?*-°+1) + i- arcsln г-'-». 830. J~±-L + -l 199
834. sh* +~ •о x'n --(th'x + cb'x). вз5ш 4-fhjc+ i 888. lnch-с —-i-tt»*x 842. I. 843. г«А 848. -|л». 849. A 839. 1 B sh бог + 3 sh 4* + б sh 2* + 12*). . 845. |-. 846. -JwA «47. «/2 ... 851. ^ 852. SttiS ^i. - .¦ . ¦, где » — угол между осью я нормалью. .!f. 859. f (f-I 862. ^ in »g (-J+?) ¦ 863. -i a»»». 864. ^ (ardg » - j-p-^. 867. | JnB+ + Y Yb. 363. l+l|n-|: 869. lntg^.870. alntg (-— + «73. 2aln 876. 2a(U— 877. у. «78. 885. to lnB+УТ)}.. 879.8a. 880.8a. l+4»;* +lnBs+ У1 + 4t=*;J. /+ in 887.x0 + re 888.jc0 + ^л:0*. 889. *0 + * 890. eln "'^f4" "^1? . 891. г0 У7. 892. г„уТ. 893. ¦ У2а— У х0 о ^. 834. a yT arccos -|-. 897. вв*. 898. у. 899. 8л»1пЛ~: -l]. 90.. ± 902. 5it!fl«. 903. к^а». 804. -iice6\ "y^ 903. —¦ (m — e)* (mj- 2a). 90S. \ (yJ]. 907. -16). 90S. |. 9Q9.
911. ^ УШр. 912. $? /Г. 913. Ц«» VeS. SI4. ~. 913. ^ , ? _!» лик 916. ~-cJg« jstafB + cos*f)— 3f cosy]. 917. Если г я А —радиус и вы- сота конуса, а дуга, отсекаемая пхоскосшо от основаяия, имеет певтральный угод 2?, то объем одвой из частей конуса ((р)яI—-j2щ + sinу — sin2» — -—5 Жп3-f I;' v{~2 ) — —({-{*"}"$)' *"• ОД яз »ерхи«х частей: »!»¦ ¦я -^4- A — cos у), одн» из нижних: р, = -С- Cf + coi у — 1). 919. -j- аЫ: 920. 2т:1п(У2'+1) +2« Т^ 921. »(У7- УТ) + yln^ ^+; * у в + 1 У2 — 1 922. 4кЭЛ 923. 4к**л 524. ~ [Bа - 926" tfl. 828. * "' ав+J- • —- 930. ^-*<Л 931. 4nBK—j\a\ 932. у ice*. 933. 2*а'. 934. 4*л*Х X^2i:-¦—-). 935. J*rfy J /(jf. y)dx. 936. f dy j f(x,y)dx. ' 0 0 0 • 1 1-p 1 « I 1-p 937. J dy j f(x,y)d* = f dx ff(x,y)dy+ f dx f f(x.y)dy. 0 V 0 0 10 a v+2a 'e i la a 93S. [ dy .[ f (x, y)dx= Г dx f /(jc, ^) 4y + Г rfjc f /(jc, y) dy -f j j j j j j » g 0 • at 3a a » T»»-»» 1 1 + Г dx Г /(ж. JO «(У. 939. J rfy jf(x, y) dx. 940. J dx J f(x.y) dx. %a x — 2a к ay 0 v ^5~ о YF=* 341. JJ f{x,y)dxdy. 942. JJ /(*, y)dydr
t 1-х • г * аУ&-у x, у) dy dx, 0 0 0 Y&^lay a • a a — Va" — y** a 2a 2a 2a 944. о _=_ ~2a" JJ +JJ +JJ /(*. y)*crfy. 945. J 0 j^_ 0 a+ya,Sg» a ^ 0* X j /(«cost», asinv) и da. 946. I rf» j /fa cos л и о a ^_p a 6 g« l+J 1-е "oj-fT l —о 947. J dv J f{u — uv, av)nda. 948. ^ f f +| 1 V О 2* X j" J /((«—«) I. uv\udadv. 949.3 J- J /(rccs»<p, __»_ о oo X /" cos1 ()> sina 9 rffp rfr. 950. Положить у -= a», -с = v. 951. Перейти у ооляр- 8 1 ным координатам. 952. Положить х*=жи, yi = v. 953. —. 954. -=-. о о 953. ^-. 9STS. 1. 957. у. 958. 0. 960. -—. 961. ^. 962. 1. 963. у. 964. у. '965. (я— 1)<Л 966. 3а*У* . 967. в*. 968. j(a'- + bj). 969. |-вв*. 970. аЬ + (а' — *') arctg j. 971. ¦—.' $Л .7S. -. 986. \(Ya— YF)(Ym3—Yn?). 987. ~-в*. 988. (в«—4»)|а—. О 04 Л 989. -g-(m» — л»)(а»-р»). 990. ^^"^ In у. 991. j (в — *) (/я — л). 992. ^7<'1|1Т' YH Y 994.
•In ОД]. 995. •¦ J-h"' ... 9SG. 2/f* -.-997. 1G. 993. Д? 999. -^-. 1000. 2ra=. 1001. — du/e5. 1932. ~. 1093. 1004. ~. I00S. -^?l. 1006. — 1007. -^r. 1008. jc. 1009. 2«. 1010. p2*. 1011. reS(p —a). 1012. -ia» УТ. 1018.— ita». 1014. -~. ia» УТ. 1018.— ita». 1014. -~. 1015. -^ . 1318. ^-^-1.. Ю19. -—.. 1020. 10». ifl. 1028. ^. .023. «-(. + !,. 4026. Т + Т)- l028' T- 4 I03S. ^f. 1036. iaJe. 1037. J. 1033. J. 1039. gL^.1043. (j— -¦i^eJc. 1041. -|eJe. 1042. ~abc. 1043. i-eSe. 1944. -^^-X X{m~n)a\ I04S. f^=li ^bf4. 1046. у*!п|. 1-Э47. il 1048. ^In3. 1049. em(e + OT)Ce" —5вот-ЬЗт5). 1030. V 9 '• 3 1051. 1^±\*+Py -p»b 1032. i. #033. 4c U + -T~==— arccos— 1. 1034. 8e«arcsin-. I0S5. 8aI I0S6. 8a2. 1057. 2яа". 1058. ^=. 1059. -i- 4n--t-l. 1063. °n ^ [(c- sin;a + a8) * — c»sin»a]. IOGI.^-B0- -3::). 1062. -^рB0-Зк). Ю63. 2vuz*—8a'>(Y2— J). * 1064. 2 loes- sm^- l06e- if- [ + V7ln (/3"+ УТ)—5|]. '063. j*a&(/8-1). 1070. i(ys"-l)X j. 1071. 1B0—3r)aJ. 1072. -^p (/2~-l). 1078. ?±*/2o7: icf 1074. icln(« + «-t). /^+ 1076. «V. 1077, arcsin . b° 1078. —, @79. 2.
1030. -*-. 1031. ??- 1032. 4-- ">8*. *ab. 1083. i-e&ln{^2 i ¦ 2 о л «_i ,!п4/ . 1087. 9e». (-9--Xi)l 1088. 2wi. где я — «сю обходов контура вокруг начала координат; 1089. Интеграл равен сумме ^ sign/, взятой по всех точках пересечения кривых; /= • ' ™ 1090. Его расстояние от цевтра окружности равно ai—t. 10Э1. —а. . 1 о ГО32. 1«а, ^ а). 1093. U -^ , а "-, ~-\. 1094. 1). I09S. (Ц., ±). 1093. (^-'. |/27^). Ю97. хе=ув 1093. х,=^е = ^., 1099. хе = ~а^~. 1100. ^ га ^Х-, *\ 1101.* Jte = |-e. 1102. хе=уе = -^~. 1103. Гкв, |eV II04. (^J^. -~Л. 1103. [-=-, -s-J. II06. 1жг, -гт). 1117. У равностороннего 4 / \ 5 О / \ Оч 04 / » . треугольника. 1113. -д- B^ — sin 2?);-^-f 2f +sin 2* g--'" Y-l. a* 1 „..__ 1119. =-B?—sin 2t) — -s-a« cost sin» t. 0. При t==* (круг) и нри о О 1121. ?~p. ^ад'бдг' + яаб^1»! 1122. В — pax "- (f y. ИЗВ. И +.^>5я»Л Р— поверхность. 1137: |- «а (в— 00 « о 1138. х в*с (+ +) "Зв . , 1.я .1; пф2. 1141. ??. 1142.^.1143.^. 1144. ~. (с+а)п-7} г 3 360 60 ^ 4 П49. ^^. 1146. ^ie«. 1147. -. 1148. —. 1149. — 4^1 315 6 8 9 .«в. i(f)* |« ?||52 "" 204
60 UT*JV*|T*1/ ¦ ¦,.« 2 . * ...- * "**« ¦••••. e*i*f4 .... 4« eieT ,.__ e**'c* 1.55. .g-iAi*. 1.56. g" -T-- 1'57. ogRjjs- 8. эт"*!"' "*•• "g^T' 1160. 2к*й — а*)аЬс. ..SI. -(l — #"M^. 2. -?- 5it a?tfir% abet H63. -il-lll. U64. -^-.1163. 9УТ A* 60/» 'Kdbc f л I b \ f cfi b \ к / л \^ 116Э* 4" \k* ft)\1P^' 1?)' 4 "*C \Tj 1.71. 4S- 2- #¦• im" ^ и4л 4" "^ %A ОЛ OO Э1 49a» 8M, *1 . N78. ¦—-.. 1179. •'«> (o, e.^). uo5. (^..^4). "зв. (e, o.ix . 1190. (O, O.|J). 1191. @, Q,*±$Eey U92.@.0, St UN. «97. Sg*. И9в. 4). ..... . .202. 1203. -^Cl Do« +3r«). .204. -^^- De« + 5r»), .209. а 1210. A-a/2. UM. A «a. №23.@,0,2»). 1224. 2*aV .225. 1227.37, где Г—объбм тела. .228. у ice*. 1229.0. 1291. 2Р-(в 4-F — xj« нрн а<х<Ъ, 2Р«х|(в —х)»—F —х)|» прях<в и прндг>*. 1258. Р"г=2ц(л:} при в<дг<*; /»» = а при *<в и прн дг>*. 1253. Р = еелн a>R; а^ОМ — расстояние М до центра Р = «»-а») прн «<Я. 1254. где Max (Inr,Inp) = Inp, если y>r, н «»ta h вся p<r» yjc'+y". 7); /¦- У*¦+>¦ +Л MS6. Zr прн 205
a >a, P = 2r.a— 3- w» при /-<e. 1258. P = 4* f fi (p) Min (-^, . I2S9. p»g[(« + *) _z8-l [ -в8 + 4а?"-2г8]; *<"• l2S0* Впесло«Я» —, где Af—масса сдоя; внутри слоя Р = 2* (#8—p'Jjji, где # и р —внеш- —внешний и внутренний радиусы слоя. 126!. Р = — [У"и — 2х— у и 4-2л:] . 1262. a Vh + 2jc —а—Jf S. l?70. 5,55. 1271. при 2>A, /= 2s(» [ /ЯГр?— /аг + fA - г;5 - 2z + h\ при 1274.4-. 1275. --U. 1276.-^51. 1277.^. 1278. ¦ л1 ^л — lj! nl 3 8 0 I286- у — xy'. Касательная и радиус-вектор совпадают. 1287. jc+j/y' = O. Касательная и радиус-вектор перпендикулярны. 1288. л8—yi -j- 2хуУ а 0. ^1 1289. .гу' = 3>. 1290. j'=ху> +уХ 1291.21^^1 = 2рЖ. 1292.. л ту л—у + у*= 1. Длина нормали равна единице. 1293. у' =у\ау\ 1294. ху3A — -У) +У (У1 -¦*'> + J'/t— *•) = 0- «295. .у [(У*— 1) arctgy -у1] = ху' 1296. у (У*-И) =2а. 1297. У A +.У'*) =¦ агУ*. Длина касательной по- постоянна. 1298» У' = 0. Кривизна равна нулю. 1299. У" = 0. 1300. У'-: * Т/,2 ; =0. Кривизна постоянна. 1302. у"-\-у = 0. 1303. у" — 2/+.у = О. 1306. > = дт/. г = л*'. 1307. дг </х + у йу + 2 йг = 0, их + dy -f dz = 0. 1303. у +2 = 0, *'_.у .0. 1309..^ = —у, ¦$=*.% = *' 'Зф- х/ =у, ISII. ху'=у,\+У* = (г — xz'+l)zi. 1312. 2 = j — дгу'+ С. 1313.2 = 206
j~~ ¦ 1325. л* — у"- + 2к$> = С. 1326. v.» +¦ 3*У + .У* = С. 1327. ж*— = С. 1328. /дг»+^г + ? = С. 1329.дг» + у + 2 arctg ? = С. X 1330. y = x. 1331. x+ye» - 1 Л-е. 1382. **A +/) = С. 1333. A -"I. y = tg Cx. "' " - ¦ -- - . 1336. y = Utg Y=?Cln^. 1337. j^—1=2 . 1338. /PF-rVK??!. >-!• '339. y=*Q-, x«a. 1342. j' = jc — J+?' l3*3' ¦fC=dg(yT~ — -)• 134*. Xg( + (^) C49. луA — С*»-1) = в — С*»-1, если аф\; {ху — 1) In (Слг) = 1, если а т. 1. 1353. 2*»j'« = Зв'х* + С. 1351. д: = Суе*». 1332. 1353. -с* = О'2 — у*. 1354. Л1У» sin In (C.v) = 1. 1355. tg ^-~ + x 1356. y=Ce~. 1357. у = 2p (* + Q. 1358. xy = C. 1359. 1360. r = C* ° . 1361. r = Csin?. 1362. r*= С sin 2?. 1367. arctg ^ (С W+v*). 1363. j'3 =.^ — х». 1869. х +у = 0. 1370. ic> 1371- jr-*b(Cji 1372. y^xigCx* 1373. 3*« » = С. 1374. уу 1376. у - х YC-^2lnx. IS77. 2Су = Ох* +1. 1373. j/^| + In у - С. 1379. у-**!+». I3B0. ^ О1383« 38 ^Н О у5. 1334. х + 2у+3 In 1385. х*—у* + 2ху — 4х + 8у=*С. 1386. дг* — + 1387 T с. 1391. Цепная линия у == mch Х<я<'. 1392. у =* х. 1393. * — х\ 139*. У — Се~ая ^а а=-т. 1395. .у = д: A + *'.) + С A + **}. 1396. 1397. _у = (* +Qtg-|. 1393. rrji. 1400. jr=»L 1401. у" — 2х~Су\ 1402. лг =уЦ1 + Се«). 1404. З-С^л^ + гжву'+У1. 1405.. 1 = ) — 1. 1407. & Св а + пх— а. 1408. у"- (Се*1 +1) *= 1. 1409. х - С*-»— .у* + 2у —2. _*! 1410. лг-1 = 2-У + С* а. 1411. у* + 2х'У-+ф = С. 1412. д:«+^- 207
—2y — Ce-*. .I4J3. Зе-5» •-&-** —2*». 1414. tv(i +Cjc) = 1. 1419. лЫу=х + Се-*. 141S. tg ?=,О?-*~* +1. MM. я—1 я»—о» _1_ = Сх п . 1418. у = 1— B + в-)« * . 1419. лг^Св"**. 1420. Зу — дсУ* — З/лг. 1421. у*= 1—г*. 1422. у=. Сх™. 1423.^ = Сх\ 1424. r^^ + (ro — —jer. 1429. / = A [R s!n 2пл/ - 2* =Vu, 1426." v-v^ «• 1427. , —i l428- '-З^ЙГ* l423' —1). I4S0. (**Н-Сг)^=»4л»+С 1431. у - -3 + r^y + -Д СЬв / = *8, о =» л: cth (x + ф, * символ ~~ -j- SI -f.... означает непр&- рывную дробь 21- . 1432. > = 5 в==4: 1433< У). 1485. /7cth(C—У7). 1436. t»= VTctg(C+/7).' 1437. Ay = a; *?¦»/-»; и = —l+-i;; мае. 1440. x+jr —1-C(r—j^. 1441. «~. 4 -CC«-U. +^41/С(жЧУ|+1). 1448. Cy-lP + ^O''*""*^- i447. ж*- —y^kx. 1448. fte«y — 2y» — 6ae«-3*» = C«». 1449. -r'y-4-2jc =.Cy. 1490. л^у —* +>8 + у M\y ==¦ Cy. 1491. xy* — 2**y — 2 = Cx, 1492. х* + + > Oa' 1433. xsiviy+ysosy — &ny—Ce-*. 1454. лу+* + V 1498. лу- —lnjf» С I49T. **y* + 2 In — - C. 1498. *»—/>-1 - Cr. 14991 дг'+ —1)». 1460. i»»——.1481. J»-*tg(jp+Q. 1462. у - Q. 1463. jr!-hy*~qyV». 1464. Сж 308
1455. 1 =.t/In(Cxy). I4SS. хул: — 1п^-. I4S7. 1b + с (х-\-у) = = С(сху — а). 1473. а +Ь(х+у)+сху ='С(х—у). НИ. •ХЧх—у)* — — 2С[2сху + Ь (х+у)+ 2л] + &* —4яе = 0. 1472. х У а + Ьх + сх- + + УYa + by+cy* = (.г — у)ус + Ь(х+у) + С(х + у)-. 1433. '(-с3 + С— — ЯУ) (> + х — 1 + Се-*) = 0. 1434. у + С = In (л: + у'л» -1). 1433. л»у2 — — Сс> (х + 1) + С"- = 0. 1436. х'- ix*- — 3v=)= — ICy f v» — ?.r") — C* = <\ 1487. 15> + C=6a5—lCJt3; «5=1—-c. 1483. (-c — CJ'+СУ — O- = C!. i i 1489. j/«jrch(.r + C). 14ЭЗ. -r = C* a ,v 1491. (>-Сд:)(> —C^) = (). 1492. > = вдг + а где а=> —Зя + 1=0. 1493. у = ax + C; e=e«sine. 14Э4. у + C= V-c — x5 + arc3in УТ. I49S. лГ* + (.у + C)~ = a 3. I43S. x = ap 4- 6/»?. Py = С + Зя/>! + 46;». 1497 *±{ С? \ 1498 + С 2 + З = + 2З Об + (.у + ) p 4 /. y + / + ; 1497. Х*±{у — С? = а\ 1498. x + С = 2// + Зр-, > = p= + 2рЗ. Особенное решение у = 0. I49S. -с -}- С1 = ccs tp -f- In tg -2-, у = sin ?. Особенное ре- > = 0. IS09. у = (у'С + 2х — 1)^ ^P^^. ISQL 2у + С = х"- i [* у .«а +1 + in о* + yFTT)]. isa~- * = »«, у + с= | »«¦"(» in о 1534. у = Сж + С-\ 4у- — х\ IS3S. . у = Cv + С— СГ-, 4v = (.с-Ир. 1596, у - Сх — а у 1 + Сг; ^ + /> = а\ 150 7- у = Сл'^г У1 — С5. лгз _j,: = 1. 1533. x = Cv + Cb 4.t = — у\ 1509. v (С — .t) = С5; у = ix. 1320. 2(.* + C) = Sla-h6A у — х^рг—Zp; у = х. 1311. О' = (?—'-Г: j/=0;> = —4.с. 1512. >' = (С + Yx -г D*". > = 0. 1513. тг=2A — 0 + С* A+0 + <!- 1514. ЗЛ* = .С + 2р>, 3<у«2С+Л 15!3. ^дг = 1- 1518. (v — х — laf = Sax. I5I7. х1 + +> =а^. 1518.' Элл:гасы и гиперболы. 1399. ху = а\ 1320. Yf = 1 —р уР) 6у = —р*- у р. |3?|. 27у = 9дг + 3 — 2 (З.г + 1) уЗдг+1-28. 1522. 3e.ry»-c8 + 2e3. 13ЙЗ. 4> + (х +1)* = 0. 1524. 4 1525. 4у + х*ш* 0. 1526. у = х. 1327. дг> = 1. 1523. j/~ ±. у? = 1. 1529. у = ±?<?~. 153Э. >* — -с5 = 1. I53S. 16у = Jt*. 1332. >^ ±. 2ах = 0. 1533. х* + 2у- «= С2. 1534. ^-4-о>" = С. 1535. 6" In .у = «Мп (C.v). 1536.-c-+>4 = 2e'ln(C-c). 1337. j/2-' = -c2-*-f-C, если z^l; у — ах, еслив = 2. 1538. Софскусныегиперболы. 1539. х + С= efcos^ + lnlg v = asin/. 1549. 9р (> + СK = 8х^. 1541. у- = Се р—2 1542. (-с2+>-)9=С(у!+-2-с"). 15*3. (-с2+>-)- = Cxy. I544. (.f- С* З*) 1545. (*J— у-)з = (С--с2 — Здг> J. I54S. дг / /4±*ein9 у /N±sia9 i: sin 0 cos 0 (tg-s-j ¦ • y = ±Cslntltg jj ; tg9=e. 1547./-= 2* = CA—ccs<f). 1548. r = Ce ' 3n. I3J9. 2>5— 1 =>CBx"-+ \\ 1330. r-n = a~n cos л<р + b-n sin л?. 1551. jc= — С sin? — у sin у х ]4 Зав. 4145. Сборник задач, т. II. 209
x +1) У = C cos * ~-f *M+ "J cos »ln *8 ("f + f j- IS32. xch a(tcM — sh/); >ch/ = Csl) < + a. 1533. дг = 2a(cos < + /sin / ) ( j — sh/); >ch/ = Csl) < + a. 1533. дг = 2a(cos < + /sin /) — Qt, y = 2a(s\xit + tcose)—(aP + C)s\nt. 1554. /-=C[1 + —2a)], IS55. /-!cosB?4-«) = C. 1556. r=Ccos(? —i). 1557. /- = gcos"' <?~<Г°- «553. д: = O? (sin 9 + cos ?) — a yTsin ?. = C*7 (sin <f — cos у) + а У cos <f. 1559. 4jc= C±am*(l—sin/), 4_y = m cos -j; /n = tgT- 15 — /), где 2zcos*/ = Xch<cos(C:±0. > = 1563. jr- in Ух*+у* + * = ctg о B = t-\-ri'< 0=1+'/». 565. 9+C=mlntgf-^-+yJ; в mp—широта и долгота, от == tg о. I56S. ояа83°. I5S7. Если уравнение параболоида: y = /-sin-f, 2а'2 = /-2, то ? + С=— y>» + aJ—от!п(а + 1); /я = tg о. 1568. Если а — радиус поперечного сечения кольца, — расстояние центра этого сечения до сен вращения, то в полярных координатах: г \l + a cos I У ~а- ctg о (? — <pu)J > = /* — a», z» = a* — (/ r)\ 1369. Циклоида, получаемая качением круга по прямой, парал- яельиой оси вращения. 1570. ху+у* = 1+Се*. «571'. дг + в'п(д:+^)— 1572. х* = С(у + Ух*+у-). 1573. (дг5 +у = х — С. 15 х— у) = С. 1575. (д: + С)> = х — С. 1576. = уУ?+21пу. 1377. у=Сх + С°", iy+x* = Q. 1573. 4*:'v = (д: 1579. (С-д:)^ = д:. 1580. ^« + 3^^ + ^-^ = ^. 1581. ( + —1). 'S82. д:=>»A + сД). I5S3. х (С—>) = С*; д:=*4у. 1584. 2> = д:< — «. 2д;=/!п (I+и) —Mn/ + Cft в= У"Ц-?^_2у = I. 1589. > = (Сг — С8)*; 27> = 4*». I53S. (jf+Q'+У = (aQ«, j'/l -a2 = or. -JL 1587. д: = О *cos<?, 4v= Ce~J B +sin 2?). 1588. x = G--?cos«, 4/= Oe-Ъ (I + sin 2<f). 1589. x = Op*?, 4> = Ce'-t A + 2? + <?«); 2> = A 1590. 2> = C* + 2Cx — x"-\ y = — x\ 1591. y* + Cx* = С4; подстановка V2 = u ^ = S. 1582. /V" V u S ' JLf _JL1 L_ 1593. y = xt — x-"e\ x = em\c+(m+l)e w J w+l. 1594. Попереч- Поперечное сечение -парабола у* =2Сх + &. 1595. #+?¦ = &>. х*-Х*=С; дг* у1 у = х I5S6. В полярных координатах: г= Се*?. 1597. ^ + g,_^= 1. 1598» Окружность с центром иа прямой, соединяющей точки. 1599. и *— . ^Г2и + х(У5-1)-\У^ -хи^-СЬи-х\у5--1)] ' IS0°- 210
+ a\n-—— ^-. 1601. r=2ecosio, <p-f-C=tgu> —•. 1602. Парабол*. 1603. 4(y — e)» = 9a»(jc+C)J. 1805. */ = a(fl— 1), 4^ = — a(/* — 1) + /. 1606. x + C=> J y/=(y) —l <y. 1607. Циклоида. 1608. Цеп- Цепа+ у'"*- ная линия. 1603. л:-С = у a^—yv—aVa. а+ у'"*-^. 1610.2 2^ jcy — а* (Аг—1) = 0, az=»jcy. 1612. Проек- Проекции на плоскость хОу. (А + 5Q (Cjf—y*) = С (Лаг — 55'), где Аа* = в»— с*, д*' = 6*—с2. 1613. .у = ?г4-Л*+Я — sin*. I6I4. 1616. ^ = Min(jc, 1) при jc>0. 1617. т *=-g- Г |/| (Jf — О8 Л; m = jc пои |лг1<Г1, «sisginjc при |дг|>1. и f+i . 1618. у "О + Ci1)In(x+Cji-C^x + Ct. 1619. ^ = (Схх — Су)е ' 1820. 12y = (jc— CiK + Q- 1621. ^ —d<f° +С.с + ^з. 1622. ^«(jc-Ь + C)In (jc -fc- C) + Q.c + C,. IS23. j' =¦ Ci* (* — Ci) + Cj. 1824. (л — Ci)J+ +0' — Ci)*=l. IS25. jc = CtK* + C& + Сз. 1626. xmesln-y + CcosTv _yaiCi-;flco3<f+ Casln <f—C» in 'gf^-f j\ '827. jc—Cx — в In sin У-~?. s 1628. 3y = (Cj —<2x) * +Ctx+ Cs. IG29. л> + у* + Сх + Су = С, - a 1630. Зх= 2 (УУ -2Ci)V У/ + Ci + Cj- 1631. x,n У Ci1 + ft?» + Ci 1633. y = 2a—C1sin*-t, 2x- Cj + Ci B/ — sin2/). 1634. (x— Q, 1635. 2Cjy* - 2Ci4 + СЛ" + (C^ — 1) *-=*. 1636. 1638, y = Cxec*. 163$. 2(C,.y--l) 3 «ЗСхХ+С,. 1640. + Ci) = Cj 1641. y±\ 16421^ \+ = 2x. 1644. 2y yy=3x — 1. 1643. ycoslx=l. 1646. y—t i X [cos (nxyi — k)\ i-« 4 1648. (^ — Ci*» — С^-^ + л) (У — Ci«sx — Cjsta jc — x.)=0. 1649.^ - arcsln ¦?=¦). 1850. ^ « x In t f^^" • «631. у (С, + *») = С**. 14* 211
Sl с x у =*ClXex. 1653. 21nCiJ'=.~+-^r'. 1654. у = С, 1655. ^«.r5 [l+Citg'(CilnC4x)l. 1660. и = C «862. B- y 1663. z =» Cln (г+ У/-54-20 + Q ,-r- = x* + y\ 1664. Цепная линия круг, парабола, циклоида. 1665. Су* = С*(л:'+ CiK + m.' ISES./*=СХ X(ccs«. —от), у + ^1 = »4-^/ со,^*—w • 1867ш — 2/4- tg-r" 1668. Парабола. 1669. Цепная линия: у + С = в ch (дг + 1670. (х — d)«4-(.y — CtT- = a\ 1671. О'—C)S = C, —лD) 1872. Цепная линия. 1673. Логарифмическая спираль.- 1674. Развёртка круга. 1675. Циклоида.. 1876. Эпициклоида. 1677. Эллипс. 1678. Круг. 1679. Цепная линия. 1680. «Логарифмическая спираль. 1681. Развёртка круга. 1682. Циклоида. 1583. Эпициклоида. 1884. Цепная линия. 1685. Логарифмическая спираль. 1636. Циклоида. 1687*' Развёртка круга. 1888. Циклоида. 1689. Развёртка развёртки круга. 1690. Эпициклоида. 1 . * (г а> —s— arcig ~— 9 1691. гУ\— tin ш cos<o = Ce Vi Уз , <t — Сг — «> Н 4= X уз 2'^1 . 1692. y = Ce*+Cie-*>. 1693. у =* Се'-*'+ 1694. у сш Се~х + Cifi~v. 1695. ув=е-х (Сх + Сг). 1696. у = е' 1697. .у = <?-* (/4 cos 2* 4-в s'n 2дг). 1698. у = <?-«* (/1 соз 3* 4- ^ «'п' Зд:>. SB , ^^^ 1699. ^ = <? * (a ccs "* ^-4-Д«1п -^-^-\l7O3.^=^cosA+Bs!n.r. ^ С + ~* (Acosx YT+ В sfn x Y$~). 1702. -v + C.cos2jc +• CsSin 2дс. 1703. ^ = <?* (Cicosx+ Сг) + +Ci) 1704. у = C1(?* + Сгег* + Cs.^. 1705. j' = С i) 1706 C* + C* 4 C*» 4 C XCQccsx+CtSinx). 1704. у = C1(?* + Сгег* + Cs.^. 1705. j' = Сг^» -j- + e*» (C, c«s 3x + Cs sin ix). 1706. J' = Cje* + C^-* 4. Cge*» 4- Cg -*». 1707. ^ = Cj cos jc 4- Cj sin дг 4- Cs sin 2x + C* cos 2x. 1703. ^ =eto {С + Сгх + + C-x*). 1709. у - e 2 (Л 4- Вл) cos^-ii- 4- e 2 (C 4- ?*) sin 1710. ^ = е-»И4-Вх4-С«'4-?)^). 1711. y = e % (а со*-2-П x ?*~Л X sin x 1?*Л + е-<»(Сс<пх УТ+ Oslnx /J). + С,.*» 4- е-* (Ct 4- <V + CgJf*). 1713. j' = Ct cos ex 4- С„ sin or 4- ^ + 2) + C^> 4- С,**».1716.^ . ^ *'» + -1 cos x - 'g-f -*- + d + 4- Cs*-*«. 1717. у « - «- * sin x 4- ^ «-* + е-37 (*i 4- Cja). ' I7IS. 1719. ^=57 212
. 1720. у =¦—¦-f ¦^•"•Ч- -j 1721. .у = Y-fsinx4--|- cos3jf4-i*cosjr4-Bsinx 1722. * 1З . у = Ae«x + Be-a* + *- e<*« (b = a). 1723. .y = Л cos ax 4- В sin еж ? ~f- (* ^ 0), .у = Л cos a* 4- В sin ax — 2-v.-a). 1724. y = f 1725. _y = -cosjflntg^j-j-^ 4- A cos x + B sin x. 1726. у =з 1 4-xe~B — {ex-\-e~x)In (I — e~x)-\-С\?х4-Cte~B. 1727. _y=» = jr sin jf 4-cos-tin cos -r 4- A cos x 4- В sin дг. 1728. .у = Л cos Jf 4- В sin * — . 1 — ycos2x. 1729. у = ^s* (^4 ^. gx) -\— 1730- у —A cos In x 4- 5 sfn In x. ¦ ' x 1731. ^ = i4jf 4- Bx-K П32.у = Л 4 В ln.tr 4- С«з. 1733. j> = jf (Л 4- Bin лг + 4-Cln2jr). 1134. ^ = jc(i44-Blnx) i-Cx-1. 1733. 2y = *4- Лсо51п^4- 4-5sinlnjf. 1736. j> = jf(i4-f-'SIn jf4-ln*Jf). 1737. у =sx\nx4-дг*4- 4- Cx 4- Ct.** 1738. j» = x {A 4- Я In jf) 4- Cx- — j —-| x In' л\ 1739. .у =s C*4-2j 3 4-51n(?jf4-2). 1740. y = Axi+Bx» + ax + I74J. ^ = /ljf4-5A—14-Cjfln*4-?)jf-1lnjf4--i-f!!. 1742. у 4-lL-In8(jf4-l)]. 1743. j' = jr-J -i/*-f 4-1 4/(/»4-0 cos In/ 4- В sin In f; 1744. 1745. 2fty = (a 4- ftj-0) e* (jf-^.) 4- (*Уи — а) в"* <""-*">. I74S. ftj' = ky0 X Xcosk(x —xo> +a sink (x—xo).Htt. у = e-b*l(b +ah) х + й].П4В. у *: 1750. 1751. v = -^(e35 — e~x) приО<.«<1; при1<х<2. 1752.^=.Л— ^ — f A—e-*0- 1733. j;=r — & .A—е-**); й = ^E1по—/cosa).* 1754.'Расстояние х тела от по- положения равновесия через t секунд выражается формулой: x — Ae-t* cos(pt+a), где ¦^--(^) х а* 1795. Положив — = 2q, — =*q, имеем три случая: 1) д т * т kh. 2) q<=p* 213
3)q=*p* x = e-Pi(A + Bt). 1756. x *= A sin (qt + a) + -,_nt «Ш n/; q" = — ; пфа; jc«i4sln (qt + a) *с0*я< . n = q. 1737. *_ m ¦ & ' kfi — h~ + °c/i о = jc' s» — W + oa. Движение прекращается при v = 0, т. е. при t=x-?. При этом х=^~. 1758. Движение совершается по разпым формулам в различные промежутки времени:1)приО</<-г:х = /(л —1)Х Xcoskt+f;2)npHj<t<j: л:=/(п-3) cos*/-/; 3) при 5<'<^ : jc=/(n — 5)cos?/+/;... 1759. j» = i4s:n—sin W, где 6/= аил. I76O> «(Inr, — )пг|)=(/г — /j) In г4-^iIn г,—/jlnrj, где г, н г(—ра- г(—радиусы внутренней и внешней цилиндрической поверхности, г — расстояние точки в веществе стеики до оси трубки. 1761* и ( J = (/г — у + ^г 7¦ I7B2. У**?^** {l — x)\ I7B3. sin я/= 0, а/ 1764. « = -^-^ + «0. 1765. jcy = .4cosjc + fisln jc. 1767. j» 1763. у=*А\пх+Вх. 1769. ^ Asinx + Bsin-x. 1771. y=A$Wx+B sln' x cos*.jc+y cos'jcV 1772. у (l—x)= Ax+В (l—x* + 2xlnx). 1773. y = A(x+ Yx*+iy»~+B(x— У*г+1)п. 1774. X Djcs +1). I77S. у = Ae* (x*—8x + 20) + В (jc» + 9.t* + 36jc + 60). 1776. ^ = Л(;с« —;с)Ч-д!б;сг —4—3(jc»-jc) In —j] ..1777.^ =» jcj X XBjcs-1) +C2 Г Bjc—1) Je^ «/jc —jce« 1. 1778. 1779. > = A + CjBjc— 3). 1780. (л: — l)y = A+Bx* — 1). 1784. (x+l)y = Ax» + Bx*{x + l). 1785. A (jc' — I) + Bx. 1786. .у = Схе2^® + Cf~2 ^^. 1787- у = A cos — + tin —. 1788. у Vl+jc* = A + Дх 1789. J^ = Cj cos n? + C2 sin я?; 1790. j» = C!cosm<f + Ct$ln my, tg2f=e<!ir. 1791. \y p = lncosjc. 1793. у = Ae* (jc*—3* + 3)-f fie-*(jc« + 1794. При 4p<l:.y=/jc(l— x) [Aa> + Bu—]\ A —jc)a«jc, „j _ 1 _ 4р. при 4P> 1 :> = Yx(l— x) [A cos x Inu + B sin x In и]; x* = p — 1. 0 При 4A = 1:> . Ух {1-х) [А + ВЫ и). 1795. у -1 [л (лс) Q 214
X — Уъ W )Ул (О <# . we Л (-v) я л (.г) — независимые интегралы однород- о ного уравнения, а 4 равно значению yi(x) j'/W-J'sW/W ПРИ -« = 0, I73G. у = ^д:, г = С,.г. 179 7. .у = С, v, г = С% (х + .у)." 1798. г* р* — qi = Q*. />у — qx = С3. 1799. 1п г — arclg -^ = Ci, г = С2г, г!= 1800. (г—j>)» + x = C, г=— у"- = Сх. 1301. г = С,^, (.*» + у*)у 1802. (у — х) г = С,(у — х)ег{2/~х) =С,. 1803. +>•» + г* = Cj. 1304. у = d.r, г -f У** ~гУ* + г* = С,. 1335. -с— J/ = С; — /С* — У -Ь 1} = Clt y—lri (г-/) = С* 13ЭВ. л:' +j^ + г» = Cjj', г ^у 1807. л» + ;> = С, (х+у) {х + у +z) = Ci. 1808. z = x—y,y(y — 2xf = = (•«— J^J.1309. x = ssItl3.-\-~- cos o, j; = — jcos=i+^ sin + * = 0. 1310. 6(-r + Ct) = —oSsln?, 6 (.y f Cj) = - a3 cos ?, а^^= ISU. y = e-*° (A — B + Bx), z=ze-**( — A—Bx); A=*-\,B = —2. 1812. x = e-6< (Л cos / + В sin /), у = e-« [(Л + Я) cos f ¦- (Л — В) sin t]\ A = 1, Л = 0.1313. jc = Ae-t + Be* + Ce~». у = Ae~* + 5г« — Се-», г = , 3A = BB = 2C=l. 1814. д: = - e~K у = e-«, г = 0. 1315. y=*Au-\-Bv, 7г(УЪВ — 2А) и — (УИА-\-2В)ф, и = е а X Xcos- + (Л — В) cos/ + (Л + В) sin (. 2г = Се* + (Л + 5) cos t — (А—В) sin /. 1817. х = Лг* •+¦ &ъВе*1* 4" otiCe"J,y = Ле* 4" fie'i* 4" Се^, г ¦¦ ~ Я± 4" 1 sss О* Ct|' 4" ^2 4" 1 === 0> в? 1?Ь Otf, I3I8. -V : i — (В — СУЕ)и — (C-\-B)yb)v, 2; Ч и = cos/"/of o= sln/VS1.' 1в19. д:»»^* (Л ccs /яг1 4- + В sin mt)+ е-т* (С cos mt+Dsin mt), у = (<>"* (Л sin wi— Я cos,? 0 4-е-* X ). 1320. г = Л cos/4" 5 sin/, -*4y — Зг > '182!. х-\-у -\-z = Аег, х— j if — 2 = Се-?'. 1822. *4-.У4-г = '4** + Я'2~*. *— >= С cos//2 4- fCsIn/VX j»—z = f cos / УТ+F sin/ У27 1823. ^ = — ?3 — 2 (Л 4- 1324. 2л: = 1825. л: = 2Л*-« + 5^-« + -^- г< + -^- ^<, у = Лг~ « — Вг~» + i + ^-в«. 1826 а* — 4 • /. 1828. 8j; = ^ + (8 — 2Л + ЗЯ — 1Вх)е-*,8г = (З.е + С)*»+ в-». 1829. J/ = - х* + хеЪ> + de-зх, z == 2л* + 2* — Се»» + . 1830. j' = С + Ох"- — х + F5 + А — 1) !п УТ+ Я\пгх, у + х= 215
=Л + С In х. 1831. х = Ae"-t + Ве-«* + д Л^Л. sin nt, у = - Ae^'t + ¦ fa-nit 4 ^^—rr cosnt. 1832.^=^—iCr\.->—оС5л~-,г=<:1.гт+ C2*'; л (л- -f-1) ^ 2j=1— lr5~ 2t=H-l'X IS33. y = Ax —В — хЦ31п*-х —2 In x], \8x"z = 18.^ _ 2Ax* + В + 2x» [3 lnU + In jc- 1]. 1334. tx = Л cos * -f 5 sin /, /> = С + (A/ + 25) cos t + Ef — 2A)sin f. 1*835. лг + у = С*', 3-r^ = <* 4- c,. C2S..C— «cos/ + »si:i c, j/ = f/sin / —»cos/, где a = {At + Z?,ccs —|—+ 3 + (Ct + D) sin -1 vA, » = — (C/ Vo""+ Л УГ+ 3.4) cos-^p- -)- (Л/ ]/" -f +B УГ— ЗС) siniX2.. 1838. ис = С^ + De-t,uy = С«*-Л*-«,«z = + C^ + Dff~* — и = А + Bt + Се* + De-t. I3S9. иС= - АеК иу = (А + + С) е1 + De-f, z = у; —и = В-±-Се* + De~t. 1340. .с = е*{iAt + 45 -j- + ЗЛ) + 2t + 1,у = - е* фА/+ 5В + 4Л)— 2/ — 2.1S41. * = (?2 _ д + 2; ц> ^ = — @2 — Z) + 6) и; и = /. 4- В: + Се* + Dt-t + fl—t- -f 6/ — 2.1342. х — = Aet-\-Btet + Ct?e*, у = De> + Etf* + Cf*sf, г - /V — QC+Efe* — &гё<), 1843. x = Л sin (/ + з) 4- С sin B/ + •,')• .V == В з:п (?-f S) ~ Csin B^ + т), Зг= =Л sin (f-г я) — 35 sin (/+;)— 3Csin ht f 7). 1844. Винтовая линия С = = acos^, j> = а sin/, z—bt. 1850. Есл:1 v — скорость точки, а — её угол du v*« с Ох, то проекции ускорения на оси:—•= — ^sma — kgv", ^ = ^cos -x, где R = т-—рвдиус кривизны. Взяв о за незавнсимое переменное, ищем v. uCt Затем находим t Из формул ds = cos я ds, dy — sin a ds, ds = v clt находим а-и v. Окончательный ответ можно написать в таком виде: v~n = « a a da, , If vdi I f j^ «о «о «о a — _ 1 Г tf'iv a do.. 1851. x = J- -4- +• Л sin (ш/ + я),_у = — - — ^ 4. 4- Л cos (<o/ 4- a), z = тр r'2 + ct> mP — — с -Ц- ,mw = — cZ = —e -^- ; a, b, с — проекции касательной скорости на оси, Л и а выбраны так, что х=у = О при / = 0.1852. Траектория—геодезическая линия на конусе У^ТУН^>= =А« 4- ВУ + Сг- :SS*- z = sin У + F (SI'n x — sin у). 1835. 4 x>'z — — .1* — 3'). 1856. 2* = 2jc 4- /=Y==0 . 1858. >r/<2-«2=j>4-.^(z). 1859. z= a^4-.v/? ^ . I860. 4-ах =^/=1(jcj;). 1861. z = esin f ху4-/=• Г^-j j. 1862. z = yF(x* —y*). 1863. z [y- xF(y } = j'^O') 4- xy. 1864. 4*6.*= 5*.*/¦ + ^ (=7) •l863' z+ 216
-f- у .*•» + / + ** ~xa+lF(x')' 1866.г + л* — у*=*хрС?\ . 1867. 1863. z ( A\ 1&70.z = eyF\ye2v' ). 1871. z = rF (!nr+ <?); jctg<?=.y, r^ 1872. г.+ «In a = «/=-(jc + v), « = JC+.y+z. 1873. (x+ у -f 2z) (л: + у + г)" F[( )( + + 1)\. 1874 + i /=-( ') I87S + * .+ ( + ) +.y+ (+ у f ) ( + + ) = F[(.x— У)(х + у+ 1z)\. 1874. .у + zx-i = /=-(jc + гу-'). I87S. .у + ze~* = = /=• (x + г*-»). 1876. .у + z + a = jc» /=• [jc (у — z), x (y — «)]. 1877. 12a => — x, z~x). IS73. и = -^ In jc + x X X /"(^ . •?) • «879. « = jfl In.« + je«f^ , i) . 1880. « = У [2j;z + ал: X (г — и) f^5j = 0. 1832. z* = *y+ ?(?). IS83. г = 4- у (у + ал:); mtgo = ap. 1884. i2u y (+y) + + t (y — to, г — «). I88S. г" = sin у ч (у —a sin x). 138Б. 4г = («-f J') •*" . 1887. г = asln 1888. jE+j»a + ,i-T(«4.*jf+e). 1889. x ~ + J' |j +^ |j =0. 1890./-Д- + «т^-+ л -Д- = 0. 1891. « = jc«?Y-^j — уравнение поверх- поверхности; azx = jc2+J'2— уравнение конуса, проходящего через данную кривую. 1892. nx — lz=f (л v — mz); (пх — lz -{-1J + (яу — тг -+- т)г = л'г 1894 г+ 24Л* 1899.2^^—;с«= 2. 1896.«5 = jc?— у. 1897 г +j' —1)*. 1898. (jcj + агг» — A^v») = а:Лл»г. 190 — у!). 1902. г(л-2 + у + г8) ( + y) f . 19О4.г=л5> 1903. I) х =? С, z = х*у; 2) ху=*С, f ( ); ( {) + (+ ) 1894. гг+л-у = а24-Л*. 1899.2^^—;с«= 2. 1896.«5 = jc?— у. 1897. гг = + ^ J + +j ) + / + )*=:2л 4tW- «899 ('+у») (г» A^») :Л» 1900 *+ ?( 1901. г« — jc*=<?(jc2— у!). 1902. г(л-2 + у + г8)= h(z"- + '2y'). IS03. «899. —lJ + U+j' —1)*. 1898. (jcj + /: + «*)*=:2л»С*+>* + '+у») (агг» — A^v») = а:Лл»г. 1900. г*+ 2** =<?(*»— у1). B !) 1902 B + у + 8) h(" + '2') IS03 f z=Cx. 1906. z* = xy. 1907. n= 1— azfc-J: 1,г«=1 — 2 2^+р /j-= 1 нет поверхности. При л = — 1: z» = 1 — jc1 + 2_у'. 1908. Меридианы и параллели. 1909. х(х* + у* + «*) = 2а(дг —2аJ. 1910. а^л2 = (г — х)X X (•**"(*.)'*)• Траектории получаются при пересечении с поверхностями B*+У)**2.' 1911. *(.*•*+.у*+г-') =2a(*' + .y!)- I9I2. Ь «Х X 9(*г<#). 191-3.' 1)У ch — = z4-chх; 2) 2ту = z*+2amcbx; 3) у =¦ = /(—Jch Д",где/(О) = о; данная цепная линия—характеристика. 1914. z«= = 2л»у; траектории: х1 + C ± 2 УЗ) j;1 = С. 1915. {х —z)« + О + ¦fc У(аг — z2)J = а*. 1916. Уравнение линий стока: 4es(;c«/Jc+J')i! = = (</лс*4-^2)(**+У)" решается с помощью полярных координат. 1917. z = = а^(д«—^2). 1918. л«+У+4г1 = т(л«+У —6л;2/)- •»•>¦ (-<г + / + + z*y*=yi—z\ 1920. Для одной системы линий кривизны: г=Су; »ля другой: cjc=»jc*+J'j.+ «j- 1921. z = e-j- а?> -«tg<p ==y. 1922. jc* +/ + — */^y I92S. у = ху (zx*-*). 1924. Нет решений. 1925. г = 2*1—д:^—х?х?. 1926. z =» ш fo*, — д:^,, д:^ + х^хД 1927. z = С. евдеии? нет, 1929. <b[^(z — jcJ, ^i(*^^5)] = 0. 1930. z = 217
х^). 1931. z = С. 1932.2 A 2\ *i*— хъ + —J. 1933. z = «в (Jf:jr3 — хг). 1934. г =ш «в 1933. x&Xi 4- xtx^-= jc3jc4o> (г). I93S. 1987.*-* ?f^ \xa 1939. г =ч 1 + <f (*,*-*•). 1340. г = у Ге*"» (z — *8), x1 — xi + 2z — ^J. 1941. ДГуг=С. 1942. г =». eB^-f. jc^ — 2x8+ 2*,*,) 4. 6. 1943. г ->9 (jca4- 4 s .r8, Jft« — jc,— 2jc4). 1944. -r,jc, = V"jf»o> B). 1945. jct 4-xt + x3 + 4-1 n (xt — 1) (jc2 -- 1) (jc3 — !) = C. 1946. JfiW = Cx3. 1947. jcj In (x,*3) X X sin -^i- = C. 1948. jc4 — (jfi' 4- jr.') x, = C. 1949. jc4^ — хгкъ = С». •*5 x.jf! 4- дгвд:4 я= Cs. 1950. xx 4- r5 4- xb J- jc4 = Ci, r,.f. 4- jc3r4 = Cs. I9SI. *i 4- -J-X, = JC (Jf!— Ж,), ДГ14-ДГ1 = Сг^1— JC.,). IS52. 2 = C14) J953. (Csin^sinj'—Iji = sinjc4-slnj'. IS34. u=yz — j 3/z — jc» = C.(^ 4" **)• 1956. (jc 4. j;) z «= C^y — a'. 1957. ^i — ^- =» «=2(^15 — ^5!) и т. д. 1953. ze*jT+V*+.У8- '959. jc^jZ а=а^? 4-а2дгй; I860. VF= I 4. jrs 4. jci ]/ |-. 1961. JCi==t>y 2a — 1— V2w — 1, л-, = а4»=1, z — av\ IS62. 2г = — X arcsJn ^ 4- С IS63. 2г = .«-j 4. jc,!. 1964. 1z + 4 1965. л-,г = —№ —c*4.6.c1^j4-fJclJf,4-Ajr,. I9?6. 22 = дг^, 2z = (jc, 4- 2xj)». 1967. 4jcj* B* — Zx{-) — A — 4jc!)*. 1968. Полный иите- грйл: • г = a*!4-6jc,4- aB. 1969. Полиуй интеграл: Зг = За(jcj — дг«L- + 2(a»4-Jfi4-JCiL-C. 1970. г» = jc^ A +х&, 1971. Полный интеграл: 4г = .«=д:1!Dл«|1г,4-а'!дг1*4-*)- 1972. Полный интеграл:,ajct4-fai4-l"^JC.УдН"*3 — s=l. 1973. Полный интеграл: e-«i4- *-fj+ У^аЬг = 1; г =;jcsDjci 4"')• ^4- Г f«W-~-"|.rfr4- X J ^ Г* J 1974. « = actg^4- Г f«W-~-|.rfr4-*- 1975. г = а6 + -^- » особенное решение: гхг — \. 1976. « (jci 4- ix2 + c) 4- "* = 0! особенное 1 I решение: jcy« = a. 1977. 2(z+mK—2(г — тJ =3 У^б(.rs4-Cx1 1978. г = eb-iaV^ —2УТ^~&у7ъ 1979. 2г 1980. « = Cjc!-o —jc, ""Ч 1981. = a""* (jci,+ ajc,) 4- b. I9S2.. 4 Inz 4- jc* + y* = J У 9a* 4» a rfa 4- 4- f У 9os — adv+b; u = x+y, v = x—y. 1983. rf« = a A\r4-ш(г — ajc, )/ ( " ) b () b ( j/, a)«/y; ? (г — ajc, v," a) = b, <f(u,v,a) = b — интеграл уравнения ю(и, v, a) dv = «/a. 1984. 2 dz = 2jct «/j^ 4- 2jc8 dxt 4- (a 4 a) dxt + (a — ) /; a* = (jc,—jr2)'—a*. 1985. <fc = У ) 1986. 6? = 3(a4..1)jC!4-3(a —1) jc, —6jc!jc2 —[1—tfS4-2r, —2jti1* 4-6. 218
1987. x i. i , = aOTj;14-(l — a)'"jc,4-6. 199*. Полный интеграл: act4-Ьхй4-/a? + 6'X Xyi"+"F"-. i. tags. dz * (•*'i — ¦*?) 1996. гдг»2 = 2адг* 4- a'jcis4- bxf. 1997. г VTt^+l = Ь V(a.ifi 4- лу*4-«': + L 1993a г =s= 6jc! у с — (л^ — дг»)« 4- bxt 4- с In jc, — a. 1999. Задача сводится г к интегрированию уравнения Г-^J +(-7-) =2Л —2 Г <f(r)dr. 2000* 4уг = + ?0')]s- 2001. гэ=2адг 4-2ауУ 2. 2032. as=.2*4- (jccosc4- t sin c—ciji1; особенное решение: г = а. 2003. г —= xiXi+cx1i+cix«:+ ft». 2004. г — xixt-{- axfxt + CL~1xi -\- Ь. 2035* *•—« У а 4- JCt» 4- У Ь — 2aJ, 2006. г —¦ ai^i 4- а»дГ; 4- 4eies. 2007. 3 к a — У а2 — а*г а == «= [Ka — Уа24-абг] ; a = a.t! 4- 6дгг. 20Э8. 2г —> ff*!5 4- Ьх{- 4- а-'б-1 X 2009. [— — ¦: ajM,..., апш). 2010. 4F4^У1L 6 1пл:24 42Тдг0- .lie b 2 = ^4-^вJfl — Jfs*— 2ajf,4-a^s2 + «- 2013. х+у+ \~2 In + уг!_1)_=1. ?014. <»'(г) [/"(г) + У/ ГгK — 4г*] = 2г. 2015. У2"д(дг+- 4-jr) 4- i2 = У2"а. 2017. .у (jc« 4- J»* + «*) = 2 (jc? +y*). 2018. 4ог = 4а» + +^ + (JC + 2a)*. 2019. 1пг=-6—(a —l)jf! —(л-1)х2—ахз- 2020. г = = A — а) 1п*!+(!— аIпхг + а1пх, + Ь. 2021. «»в (х1*4-*1! + *з*) + *. 2022. гв = л-. Уд2 + *i* + ^1 Уа2 + *»* + с. 2023. г = х^-\- ахххг 4-' 4-2а*дг1*4-6- 2024. jc1jc2x3«=a1jc1jc4-=-^l4-a. 20,25* г = а (дГ14- дгв) 4- +• 6 (дг_ 4- ^*) + a*Jf»AT4 4- с. " 2026.* г 2027. Лж, 4" "Л* + а<? + Ь<*Хъх*г -> е*г. 2028. г = а (ж,г 4- Jf** + 4* Ь1 т е)- 2029. 2 = xv 2030. zs = jc^,. 2031. az 4-a*«.*44-a6. 2032. 2. ¦ 2033. 16. 2034. !~cosait. 2035. In2, 2036. -j. 2037. -|-. 2038. 4*-1." 2064. Абсолютно сходится. 2065. Рас- Расходится. 2066. To же. 2067. Сходится при л > 1. 2068. Абсолютно схо- сходится при я>— 1. 2069. То же при »> —1. -2070. Расходится. 319
2071. Сходится при | ^ <Ь абсолютно сходится при m V1 <0. 22If" т> — *> л>—I. 2073. я>0, л> —1. ?074. Расходится. ?975. То же. 1078. Абсолютно сходится. ?077. Сходится абсолютно при л>1, иначе расходится. 2078. Абсолютно сходится при любом п. 2079.Сходится. 2080.Интегралы Г- «/лги Г-—«/* — расходящиеся. J X J X о о t~ INI t~ IM 1 1 ?113. (л-1)! (ЛС —/ + . 2124. (-ly.-j-^--.. 2125. „^«ta-fi ..1+1 . 2!S6. л! 2 a cosTC(n4+1). 2!27. r-l^-ix2)A= ¦»=i —; (-n«-1X.H1+1 = ^. +1-1 + 1 + (~ 0 Ь2-3...2я 2.31. 2ch ^ (wi+|8H^ V: ml 2136. 0,94608. J2I37. 0,20003. 2138. 0,2. 2I3S. 0,20281. 2140/1,00421. 2144. —--. 2145.-^-. 2146. -|j. 2147.--^-. 2148.-*-. 2М9. ^". 00 ?150. ^ «W- 221^Тц»-5- 2I58"S- 2159. fa-!. ч=0 2* 2l60-^ferA 1^)M- '"*• ffc (I-?=Z)m-
?162. — 1пA + й). 21«3. О при |а|<Ц к1п(в") при я'>1. 2184. 0. ?163. —^- при е!<1. ~ при аЗ>1. 2166. —-jln 2> 2167. —-^1п2. 2168. —-г-» 2169. Если - =—несократимая 2 4/л от I* r дробь, то « }****• 2l70'2(i-a6J при 0<а<1 н 0 < * < 1. 2171. f(^2 + g). 2172. j-i-^ >=?=; в.<1 ^ а*<1. 2G4. nln(l-^). 2179. ^^-. 2180. -g^ X Х2'.4.бГ.'.?~2)- 2I8U /"(VF-Ve). 2182. |(а-*) при: 2183. A In f- B. In -я-+ С In —. 2184. In a p Y 2185. arctg-^ — arctg-^-. 2186. |^Г!1а. 2187. V%{b—a). 2188. -j- tafl -f- —yj- 2189. fiarctg j In И -(—^-j. 2139. труХ X^<?~"^. 2191. (— 1)";ДЛ а",е*п' - 2192. n f4—VaV 2193. ^-X Xtn(a + *). 2194. n(yi —a3—l). ?199. у arctg^ -In A -fs?). 2196. itlti 1+ ^1~a- 2197. — (arcsin 3;i 2198. «In —ti. 2199. narcsiaa. 2E00. ~ — (arCC°S aJ. 2201. ¦? О ч Л A -| ln^^-?. 2?0J. j [(,'-- P) In (, + p)- )( + )—ataa 2206. --| (a +•*); a>0, 6>0. 2216." j. 2BI7. -^-. 2218. -|. 2219. —In3. 22?0. In2. 2221. -Щ=. 2222.-^. 2228. -Д^Х 4 9/3 1^3 /3 1.4 Cn-2) „^^ 2325.-^. 22?6. = 36 Зл 4/2 3-6... Зл nsin— л 2227. -i* . 2228.' Я ii—»2. 2229. fi) * f2 9-^3 2 Гсл) U/ n 221
(т)г(?) A-А»)»Г(п) 2234< 2235. g ' Ш1Й, 2236. k^JL. 2*37. l+dn' 2242. —. 22*3. In /2л. 2244. a In a — a + ln/2?, 2vcos -~ 2245. ~ —Щ-. 2251. ^ ~Tj(- 22S2. Справедливо, если аи» \~n) \n) одинакового знака, несправедливо, если а н Ь — разных знаков. 2253. Спрз- ведливо при я6>0, несправедливо при а&<0. 2?77. Неравенстзо, противо- противоположное неравенству задачи 2276. 2288. —-=.. 2289. ~^~- 2290. — • 4/2 6/3 2 ¦ 2291. In А. 2292. -i а 2 А. 2292. -iln|^± а 2 \ а — 2293. 4 In —. 2294. —a In a. 2295. a In а — а. 2?98. ? а. 2297. v 7" *~"- 2298. -=--—^ * ч 4 а 2299. -Jl а I8. 2300.-^. 230t. jB-a). 2302. J при а>2, -И_ ^.i!|! при а<2. 2303. То же. 2304. 4- 2305. 4- 2306. 2ch~2T *—1 ¦./¦"• «... Ind 2307. ^Г У* 2308'^ "^^- 230Э- ^в-°' 23|°-
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ „ГОСТЕХИЗДАТ" Москва, Орликов пер., 3 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА ИНЖЕНЕРА ВЫШЛИ В СВЕТ: М. А. Лаврентьев, Конформные отображения и их при- приложения в технике, 159 стр., цена 6 р. С. Г. Михлин, Приложения интегральных уравнений к некоторым проблемам механики, математиче- математической физики н техники, 334 стр., цена 10 р. ПЕЧАТАЮТСЯ: А. Ф. Тимофеев, Приёмы интегрнроваиня фуикц.нЙ. Вопросы современной начертательной геометрии. Сборник статей под редакцией Н. Ф, Четверухииа. 223