*..'. • I I * С r
А. .СУ QIC
ft
A
X

В. А. ПОДОЛЬСКИЙ,
А. М. СУХОДСКИЙ
СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
Допущено Министерством высшего а
среднего специального образования СССР
в качестве учебного повобия для средних
специальных учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1974

517
П44
УДК[516 + 517 + 519.1/2](075)
Подольский В. А. и Суходский А. М.
П44 Сборник задач по высшей математике. Учеб.
пособие для техникумов. М., «Высш. школа», 1974.
352 с. с ил.
Задачник составлен в соответствии с программой по высшей
математике для техникумов и включает аналитическую геометрию,
теорию пределов, дифференциальное и интегральное исчисление,
дифференциальные уравнения, ряды, комбинаторику и элементы теория
вероятностей.
В каждом параграфе проводится необходимый теоретический
материал. Типовые задачи сопровождаются подробными решениями.
В конце каждой главы имеются задачи смешанного типа.
Всего в «Сборнике» содержится более 2000 задач.
Предназначается для учащихся средних специальных учебных
заведений.
20203-556 517
" 001(01)—74 250-74
Рецензенты: канд. физ.-матем. наук, доц. Э. 3.
Шувалова и ст, препод. Л. М. Нахимсон.
(g) Издательство «Высшая школа» 1974

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие 6
Глава 1. Метод координат
3 1. Метод координат на прямой 7
§ 2. Метод координат на плоскости 9
§ 3. Расстояние между двумя точками И
§ 4. Деление отрезка в данном отношении 12
§ 5. Уравнение линии 16
§ 6. Параметрические уравнения линии 19
§ 7. Преобразование координат 22
Глава 2. Прямая
§ 1. Общее уравнение прямой 25
§ 2. Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с
угловым коэффициентом и начальной ординатой . . 26
§ 3. Уравнение прямой в отрезках 29
§ 4. Уравнение прямой, проходящей через точку в данном
направлении . 30
§ 5. Уравнение прямой, проходящей через две точки . . 32
§ 6. Взаимное расположение двух прямых. Условие
параллельности . 34%
§ 7. Условие перпендикулярности двух прямых .... 38
§ 8. Угол между двумя прямыми 43
§ 9. Смешанные задачи 47
Глава 3. Линии второго порядка
§ 1. Окружность 50
§ 2. Эллипс [ 54
§ 3. Гипербола * 59
§ 4. Парабола • ' 64
§ 5. Смешанные задачи • 70
Глава 4. Пределы
§ I. Определение предела функции. Бесконечно малые и
бесконечно большие функции 72
§ 2. Техника вычисления пределов 76
§ 3. Сравнение бесконечно малых. Принцип замены
эквивалентными 86
Глава 5. Непрерывность функции
§ 1. Приращение аргумента и приращение функции ... 89
§ 2. Непрерывность и точки разрыва функции . . в . 90
§ 3. Интервалы знакопостоянства функции 94
3

Глава 6. Производная и дифференциал
§ 1. Понятие производной 97
§2* Основные правила дифференцирования.
Дифференцирование основных элементарных функций . _. . . 98
§ 3. Дифференцирование сложной функции 104
§ 4. Производные высших порядков ПО
§ 5. Производная неявной функции . . . 111
§ 6. Логарифмическое дифференцирование 113
§ 7. Производная функции, заданной параметрически . . . 115
§ 8. Геометрические приложения производной 117
§ 9. Механические приложения производной . . . . . 120
§ 10. Дифференциал функции 122
Глава 7. Исследование функций методами
дифференциального исчисления
§ 1. Интервалы монотонности функции ....... 126
§ 2. Экстремум функции 128
§ 3. Наибольшее и наименьшее значения функции . . - 132
§ 4. Практические задачи на нахождение наибольших и
наименьших значений величин , 133
§ 5. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба . . 137
§6. Общая схема исследования функции и построение ее
графика 140
Глава 8. Неопределенный интеграл
§ 1. Непосредственное интегрирование . 147
§ 2. Интегрирование способом подстановки 152
§ 3. Интегрирование по частям . . . . 161
§ 4. Интегрирование функций, содержащих квадратный
трехчлен 164
§ 5. Интегрирование разных функций 167
Глава 9. Определенный интеграл
§ 1. Определенный интеграл и его непосредственное
вычисление 169
§ 2. Замена переменной и интегрирование по частям в
определенном интеграле 173
§ 3. Интегрирование разных функций 178
Глава 10. Геометрические и механические
приложения определенного интеграла
§ 1. Площадь плоской фигуры 179
§ 2. Объем тела вращения 186
§ 3. Приложения определенного интеграла к решению
физических задач 188
Глава 11. Дифференциальные уравнения
§ 1. Основные понятия 192
§ 2. Уравнения* с разделяющимися переменными . . .194
§ 3. Задачи на составление дифференциальных уравнений 196
§ 4. Однородные уравнения 201
§5. Линейные уравнения 203

Стр.
. § 6. Смешанные задачи на интегрирование дифференциальных
уравнений первого порядка 206
§ 7. Дифференциальные уравнения второго порядка вида
y" = f(x) 207
§* 8. Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами . . . 211
§ 9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами и со
специальной правой частью ' 214
Глава 12. Комплексные числа
§ 1. Алгебраическая форма комплексного числа . . . • 221
• $-2. Формулы Эйлера. Основные трансцендентные функции 227
"| 3. Тригонометрическая и показательная форма
комплексного числа 229
'■'$' 4. Смешанные задачи 239
Г л а в а 13. Ряды
| 1. Основные понятия 241
|- 2. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные
признаки сходимости рядов с положительными членами 243
§ 3. Признак сходимости Лейбница ^ 248
| 4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного
ряда 250
§ б. Степенные ряды 253
4 6. Разложение функций в степенные ряды Тейлора . . 256
| 7. Приложение рядов к приближенным вычислениям . . 260
Л 8. Ряды в комплексной области 263
| 9. Ряды Фурье 267
Глава 14. Комбинаторика
| 1. Общие правила комбинаторики . 274
§ 2. Размещения 276
§ 3. Перестановки . . 278
§ 4. Сочетания 279
§ 5. Разные задачи 281
§ 6. Бином Ньютона 282
Г л а в а 15. Элементы теории вероятностей
| 1. Классическое определение вероятности .... 285
| 2. Геометрические вероятности 288
§ 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей ... 291
§4. Формула полной вероятности и формула Байеса ... 299
$5. Схема повторных испытаний. Формула Бернулли 302
f 6. Смешанные задачи 304
Ответы .307

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий «Сборник задач» составлен в
соответствии с новой программой по курсу «Элементы высшей
математики» для учащихся средних специальных учебных
заведений, утвержденной Министерством высшего и
среднего специального образования СССР в 1972 г. В него
включены задачи по элементам аналитической геометрии на
плоскости, элементам дифференциального и интегрального
исчисления функции одной переменной, основам
дифференциальных уравнений, теории рядов и теории
вероятностей, а также по комплексным числам и комбинаторике.
В начале каждого раздела программы кратко
излагаются основные теоретические положения, после чего
приводится достаточное количество типовых задач. Часть из
них сопровождается решениями, к некоторым задачам
имеются методические указания, значительно облегчающие
решение задачи.
Всего в «Сборнике» содержится свыше 2000 задач, что
позволит преподавателю подобрать нужный материал не
только для работы на уроках и домашних заданий, но
и для самостоятельных и контрольных работ.
Авторы заранее признательны всем лицам, которые
выскажут свои замечания и пожелания, направленные на
улучшение данного «Сборника».
Авторы

ГЛАВА 1
МЕТОД КООРДИНАТ
§ 1. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПРЯМОЙ
Система координат на прямой I считается заданной, если на
этой прямой указаны:
1) положительное направление;
2) точка О — начало координат;
3) линейная единица для измерения длин.
Координатой произвольной точки М прямой / называется
число лг, равное длине отрезка ОМ, взятой со знаком «плюс*, если
направление от начала координат О к точке М совпадает с
положительным направлением на прямой, и со знаком «минус* — в про- •
тивном случае. Тот факт, что точка М имеет координату лг,
записывается следующим образом: М(х).
Рассмотрим основные задачи аналитической геометрии на
прямой.
1. Расстояние А В между точками А (хл) и В (хв)
вычисляется по формуле
'АВ = \хА-хв\. (1)
2. Координата хм точки М, делящей отрезок А В в отношении
AM
Х>0 (т.е. точка М удовлетворяет соотношению —- = Я), на
MB
ходится по формуле
*А + ХхВ
хм = 1 + А ® •
В частности, при делении отрезка пополам, т. е. при X = 1
получаем формулу для нахождения координаты середины отрезка:
*А+Хв
х = 2~ • <3)
1.1. Построить точки: А (2) В(— 1), С (-Л. D\--~\
Е (—|Л2), F (3 j/~2), принимая масштабный отрезок
равным 1 см.
1.2. Указать на координатной прямой точки,
координаты х которых удовлетворяют неравенству: 1) 2 < х < 3;
2) -4 < х < 0; 3) 2 < х < 5; 4) —8 < х < —1; 5) х < 3;
6) *>— 1; 7) х>0.

1.3. Даны точки А (—1) и В (3). Найти длину отрезка АВ.
Решение. Длина отрезка АВ находится по форму*
ле (1):
АВ= \хА-хв |=|_1-3| = 4.
1.4. Определить расстояние между точками А и В в
каждом из следующих случаев: 1) А (0), В (—1); 2) А (—2),
В (8); 3) А (3), В (-1); 4) А (-7), В (-5).
Полученные результаты проверить построением.
1.6. Найти точку В, зная, что она имеет
положительную координату и отстоит от точки А (—2) на расстоянии,
равном 5 единицам. Результат проверить построением.
1.6. Найти координату точки М, делящей отрезок,
ограниченный точками Mi (2) и М2 (8), в отношении Я = -g-.
Решение. По формуле (2) рмеем
ХМ- . 1 + х - J_ 4в
1.7. Даны точки Л14 (—3) и М2 (4). Найти точку М, де-
3 "■
лящую отрезок М{М2 в отношении: 1) X = 2; 2) А, == -^- ;
3) Х= 1; 4) Л = 0.
1.8. На отрезке АВ найти точку М9 отстоящую от
точки А (—9) на расстоянии, вдвое большем, чем от
точки В (3).
Решение. Задача сводится к делению отрезка АВ
AM 2 „
точкой М в отношении X = -^ = — = 2. По формуле
(2) имеем
__ *а + Цв _ —9 + 2-3 __
*М~~" 1 + Х ~~ 1+2 ~~ 1#
Таким образом, М (—1).
1.9. Найти точку А', симметричную точке Л(3)
относительно точки В (—1).
Решение. Точка В является серединой отрезка АА'.
По формуле (3) имеем
__ ХА + *Л'
ХВ "" 2

Подставляя в это равенство хА = 3 и хв = — 1,
найдем координату хА, точки Л':
1 "~ 2
бткуда хд, = —5.
1.10. Определить координату середины отрезка АВ в
каждом из следующих случаев: 1) А (—8), В (—3); 2) А (5),
fl (9); 3) А (-3), 5 (3).
1.11. Найти координаты точек, симметричных точке
А (—2) относительно: 1) начала координат; 2) точки В (2).
Результаты проверить построением.
1.12. Найти точку М, отстоящую от точки А (—5) на
расстоянии, втрое большем, чем от В (—2), и лежащую вне
отрезка А В.
Указание. Точка В делит отрезок AM в отношении А =
_ АВ _JL
"~ ШГ" 1 '
1.13. В точках, координаты которых 1, 2, 3, 4,
соответственно помещены массы 1, 2, 3, 4 кг. Найти координату
центра тяжести системы.
1.14. В точках А (—3) и В (7) помещены грузы весом
6 Н и 18 Н. Найти точку приложения равнодействующей.
Указание. Из механики известно, что точка приложения
равнодействующей делит отрезок АВв отношении \ = —- =— .
S 2. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
считается заданной, если на плоскости указаны:
1) две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из
которых выбрано положительное направление,—оси координат.
Первая из осей называется осью абсцисс, вторая — осью ординат.
Точка О пересечения-осей координат называется началом координат;
2) линейная единица для измерения длин.
Прямоугольными декартовыми координатами произвольной
сочки М плоскости называется упорядоченная пара чисел х и у,
где х — координата проекции точки М на ось абсцисс* а у —
координата проекции точки М на ось ординат. Тот факт, что точка М
имеет координаты хну, записывается так: М(х; у).
1.15. Построить точки А (3; 2), В (0; 5), С (—2^0),
D (—3; —7), Е (6; —2).
9

A'hi-2)
Л(Ь-2)
1.16. Построить пятиугольник ABCDE, если
координаты его вершин А (6; 0), В (5; 2), С (0; 3), D (-7; 1),
£(_4; -6).
1.17. Указать, в каких четвертях лежат точки Л (—2; 1),
В (3; -1), С (4; 5), d(-2-1;-2)-
1.18. В каких четвертях может находиться точка, если:
1) ее ордината отрицательна; 2) ее абсцисса положительна?
1.19. На оси Оу взята точка с координатой (—3).
Каковы ее координаты на плоскости?
1.20. Где
расположены точки, имею-
yl щие: 1) равные
абсциссы; 2) равные
ординаты; 3) равные
А Г(Ч\ 2) координаты?
# 1.21. Определить
^ координаты точки,
х симметричной точке
А (4; —2)
относительно оси абсцисс;
относительно оси орди-
Рис. 1 нат-
Решение.
Точка Л',
симметричная точке А
относительно оси абсцисс, лежит на перпендикуляре к оси
абсцисс (рис. 1); поэтому А' имеет такую же абсциссу, что
и Л, т. е. хА,= 4. Кроме того, А' отстоит от оси абсцисс
на том же расстоянии, что и точка Л, т. е. на расстоянии,
равном 2 единицам. Следовательно, ордината точки Л'
равна 2. Таким образом, получаем Л' (4; 2).
Рассуждая аналогично, находим точку А" (—4; —2),
симметричную точке Л относительно оси ординат.
1.22. Найти точки, симметричные точкам Л (—3; —1)
и В (0; —4) относительно оси абсцисс, оси ординат и
начала координат.
1.23. Сторона квадрата равна 5 единицам. Две его
смежные стороны лежат на осях координат. Определить
координаты вершин квадрата (рассмотреть 4 случая).
1.24. Диагонали квадрата со стороной, равной 2
единицам, лежат на осях координат. Найти координаты его
вершин.
10

1.25. Одна из вершин правильного треугольника со
стороной, равной 4 единицам, совпадает с началом
координат. Найти координаты остальных вершин, если известно,
что одна из сторон треугольника лежит на оси абсцисс
(рассмотреть 4 случая).
§ 3. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ
Расстояние А В между точками А(хА ; у А) и В(хв ; ув)
вычисляется по формуле
AB = V(xA-x£)* + (yA^yB)* . (1)
В частности, расстояние от точки А до начала координат О
определяется следующим образом:
0А = \/х2А+у2А. (2)
1.26. Определить расстояние между точками Л(—2; 7)
и В (13; —1).
Решение. Длину отрезка АВ вычислим по
формуле (1):
АВ = У(ха-*в)ш+<Уа-Ув)% =
= !/"( — 2— 13)2 + (7 + 1)2= 17.
1.27. Найти расстояние между точками А и 5, если:
1) А (3; -4), 5(6; -в); 2) А (10; 0), В (2; -6); 3) Л (-11;
-4), В (1; -9); 4) А (8; -4), В (-2; 1).
1.28. Найти расстояние от начала координат каждой
из следующих точек: 1) А (—3; —4); 2) В (—12; 0);
3) С (—10; 24); 4) D (8; —15); 5) Е ( — 6; 6 /"3).
1.29. Найти периметр треугольника, вершины которого
находятся в точках А (2; —1), В (—1; 3) и С (2; 7).
1.30. Убедиться в том, что точки Л (0; 1), В (—1; —2)
и С (2; 7) лежат на одной прямой.
Указание. Точки Л, В и С лежат на одной прямой, если
длина большего из трех отрезков, попарно соединяющих эти точки,
равна сумме длин двух остальных.
1.31. Установить, будет ли треугольник ABC
остроугольным, тупоугольным или прямоугольным в каждом
из следующих случаев: 1) А (1; 4), В (5; 8), С (3; 2);
2) А (2; 1), В (-2,5),, С (-1; 3)* 3) Л (1; -1), В (-£ 1),
С(1;2).
11

Указание. Треугольник является остроугольным, прямо*
угольным или тупоугольным в зависимости от того, будет ли Квад»
рат большей его стороны меньше, равен или больше суммы
квадратов двух других сторон.
1.32. На оси ординат найти точку, равноудаленную от
точек А (-5-; 1) и Я (3; 2).
Решение. Искомая точка М лежит на оси ординат,
поэтому ее абсцисса хм=0. Для нахождения ординаты^
этой точки воспользуемся тем фактом, что МА= MB. По
формуле (1) имеем
■ МАя=У(хм-*л)*+<Ум-Уа)ш =
= V(0 + 5)4- (Ум- I)2 =/25 + (ум- 1)* ,
MB = У(хм-Хв)2 + (Ум-Ув)г =
Отсюда получаем уравнение относительно ум:
У25+ (yM-l)* = V » + (Ум-W.
Решая его, найдем ординату уточки М:
25 + у»_ 2у + 1 = 9 + t/2- 4r/ + 4,
или
2у = -13,
откуда ум = —6,5. Итак, искомая точка М (0; —6,5).
1.33. На осях координат найти точки, отстоящие от
точки К (—6; 8) на расстоянии, равном 10.
1.34. Из точки А (—7; —3) к окружности с центром
в точке С (5; —8) и радиусом, равным 5, проведены
касательные. Найти их длины.
1.35. Найти точку D> равноудаленную от точек А (1; 2),
В (9; 2), С (2; -5).
1.36. Найти точку, равноудаленную от осей координат
и от точки С (2; 4).
в 4. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ
Координаты точки М, делящей отрезок А В в отношении к
AM
(т. е. точка М удовлетворяет условию -гг^-— к), находятся по
формулам:
12

*л
Уа
+
2
+
*в
Ув
хА + \хв
*м Г+1—*
(1)
„ _ У А + ХУВ
Ум ррт
В частности, при делении отрезка пополам, т. е. при X = 1,
получаем формулы для нахождения координат середины отрезка:
(2)
1.37. Отрезок, ограниченный точками А (1; 4) и
В (4; —14), разделен на три равные части. Найти
координаты точек деления С и D.
Решение. Точка С делит отрезок АВ в отношении
АС 1
А, = -££- = -у . Следовательно, по формулам (1) имеем
хА+Ххв 1+-Т'4 _п
ХС— 1 + Х ~~ 1 ~А
1+Т
Ус- -1 + х. ~ i_ - z-
2
Таким образом, С (2; —2).
AD
Точка D делит отрезок А В в отношении X = -рг^- =
2
= -у- = 2. Отсюда
*Л+Х*Б 1+2.4 о
Лр ~ 1+Х ~~ 1+2 ~6
Уа+1Ув 4+ 2>(-14)
Уо— '1+Х "" Г+2 ~ —б
и, следовательно, D (3; —8).
1.38. Найти координаты точки, делящей отрезок АВ,
где Л (3; 5) и В (1; —4), в отношении: 1) X = 3; 2) К = 1;
1 2
3) Я = Х;4)Х = -Г.
13

1.39. Найти координаты середины отрезка АВ, если
координаты его концов таковы: 1) А (—1; 2), В (3; —6);
2) А (4; 7), В (-2; -3); 3) А (0; -5), В (5; 0).
1.40. Найти длины медиан треугольника ABC, вершины
которого А (2; 1), В (—4; —1), С (—2; 5).
1.41. Найти координаты центра тяжести треугольника
ABC, вершины которого Л(—3; 1), В (0; —5), С (—2;4).
Указание. Центр тяжести треугольника лежит в точке
пересечения его медиан, причем эта точка делит каждую из медиан
в отношении 2 ! 1 (считая от вершины).
1.42. Доказать, что координаты центра тяжести
треугольника ABC могут быть вычислены по формулам
Y _ *а+*в+*с „ _ У а + У в + Ус
х— з ' • У— 3
1.43. Даны две вершины А (6; 2) и В (3; —2)
треугольника ABC и точка М (3; 1) пересечения его медиан.
Определить координаты вершины С.
1.44. Дан треугольник ABC: А (—1; 3), В (2; 1), С (7;
—3). Определить длину биссектрисы угла Л.
Указание. Биссектриса внутреннего угла треугольника
делит противоположную сторону на части, пропорциональные
прилежащим сторонам,
1.45. Отрезок, координаты концов которого А (—3; 7)
и В (6; —1), разделен на четыре равные части. Найти
координаты точек деления.
1.46. Даны две точки А (—4; 3) и В (2; —1). На прямой
АВ найти точку С, удаленную от А на расстояние, втрое
большее, чем от В, и расположенную по ту же сторону от
А, что и В.
Решение. Точка В делит отрезок АС в отношении
АВ 2
X = -££- = -т- По формуле (1) имеем:
_ ХА + ХхС У А + hVQ
хв — г+Т ' ув — 1 + х
Подставляя в эти соотношения координаты точек Л и В
и X =* 2, получим уравнения относительно координат
искомой точки О
14

2 _ -*+2*c _ 3 + 2Ус
3 х ~~ 3
откуда *с = 5, */с = —3. Таким образом, С (5; —3).
1.47. Один из концов отрезка АВ находится в точке А
(5; —4), а его серединой является точка С (0; —3). Найти
координаты другого конца отрезка.
1.48. Известны две вершины А (3; 0) и В (—5; 7)
треугольника ABC и координата центра тяжести М (1; 14).
Найти координаты третьей вершины С треугольника.
1.49. Даны две вершины А (—6; —5) и В (2; 4)
параллелограмма ABCD и точка М (3; 1) пересечения его
диагоналей. Найти координаты вершин С и D.
1.50. В параллелограмме ABCD известны вершины А
(1; —2), В (2; 3) и С (5; 6). Найти вершину D.
1.51. Отрезок АВ разделен точками С (0; —2) и D
(—3; 1) на три равные части. Найти координаты концов
отрезка.
1.52. На прямой, проходящей через точки А (—3; 8)
и В (1; —2), найти точку С, абсцисса которой хс= —2.
Решение. Так как хд < хс <хв, то точка С лежит
АС
внутри отрезка АВ. Найдем отношение X = -^, в
котором точка С делит отрезок АВ. Для этого воспользуемся
формулой (1):
хс — 1 + х
Подставляя в это соотношение абсциссы точек А, В и С,
получим уравнение относительно X:
* z3+x1i
~1~ 1+х •
откуда X = -у . Теперь можно найти ординату ус точки С:
_ -Ул+^в _ 8 + —»(-2) ^ п
ус - Г+Т - ' I - т'
v , 1+ —
Таким образом, С [—2; -^j.
1.53. На отрезке, соединяющем точки А (4; —2) и
В (7; 4), найти точку С, ордината которой ус=\.
1.54. Найти точки пересечения прямой, проходящей
через точки А (4; —3) и В (1; 2), с осями координат.
15

1.55. На прямой, проходящей через точки А (1; —>2)
и В (0; —8), найти точку С, имеющую равные координаты.
S 5. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
Всякое уравнение, связывающее две переменные х и у,
вообще говоря, определяет линию, т. е. геометрическое место всех
точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому
уравнению.
Имеет место и обратное утверждение. Каждой линии на
плоскости соответствует уравнение с двумя переменными х и у, а
именно, такое уравнение, которому удовлетворяют координаты любой
точки, принадлежащей этой линии, и не удовлетворяют
координаты ни одной точки, не принадлежащей ей.
Одна из основных задач аналитической геометрии состоит в
составлении уравнения линии, если известен геометрический закон
ее образования.
При этом желательно придерживаться следующего плана:
1) подходящим образом задать систему координат;
2) взять произвольную (текущую) точку М (дг; у),
принадлежащую данному геометрическому месту точек;
3) составить соотношение между текущими координатами х
и у t используя свойство, определяющее рассматриваемое
геометрическое место;
4) проверить, действительно ли полученная зависимость между
х и у есть уравнение данной линии, т. е. убедиться в том, что любая
точка, координаты которой удовлетворяют полученному
уравнению, принадлежит данной линии, а любая точка, координаты
которой этому уравнению не удовлетворяют, данной линии не
принадлежит.
1.56. Проверить, принадлежат ли линии/,, определяемой
уравнением у = 2х8— 1, следующие точки: 1) А (—1; —3);
2) В (2; 1). -
Решение. Если координаты точки М удовлетворяют
уравнению линии L, то эта точка принадлежит данной линии
L; в противном случае точка М линии L не принадлежит.
1) Подставив координаты х .=»"—1, у = —3 точки А
в уравнение у = 2х?— 1, в результате получим
тождественное равенство: —3 = 2(—I)3— 1, или —3 = —3. Это
означает, что точка А принадлежит линии L.
2) Координаты х = 2, у = 1 точки В уравнению у =
= 2Х3— 1 не удовлетворяют, ибо 1 Ф 2-28— 1.
Следовательно, точка В (2; 1) не принадлежит линии L.
1.57. Выяснить, какие из указанных точек принадлежат
линии f/ = r^F: 1) Л (2; 0); 2)в(-^\ -i)'' 3)C(-* ЭД
4) D(-3;-4); 5)£(з;—i)-
16

У\
1.68. Указать несколько точек, координаты которых
удовлетворяют одному из следующих уравнений:
1) 2х - 4г/+3 = 0; 2) у = 0;
3)jc2+r/2=4; 4)t/2= 2х+ 1.
1.59. Построить линии L4 и
L2, определяемые уравнениями:
1) у — х = 0-9 2) *-у2=0.
Решение. 1) Линия Li,
определяемая уравнением у —
— х = 0, или, что то же,
у = х, состоит из точек, у
которых абсцисса х и ордината у
равны между собой. Очевидно,
эта линия есть биссектриса
I и III координатных
углов.
2) Выразим в уравнении х — у2= 0 одну из координат
через другую: х = у2. Придавая у различные произвольные
значения, например, —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, найдем
соответствующие значения х\ 9, 4, 1, 0, 1, 4,^9. В результате
мы получаем точки (—3; 9), (—2; 4), (—1; 1), (0; 0), (1; 1),
(2; 4), (3; 9), принадлежащие линии L2. Построив эти
точки на координатной плоскости и соединив их
плавной линией, получим искомую кривую* (рис. 2).
1.60. Построить (по точкам) линии, соответствующие
уравнениям: 1) у = —х\ 2) 2х — у + 1 = 0; 3) у =
1 - 1
Рис. 2
1 +х<
;5) j/ = —; 6) */ = *з; 7) у
= V 9 — jc2 ; 4)r/ =
= х2 —1.
1.61. Найти точку пересечения линий Li и L2,
уравнения которых у2— х2= 5 и 2х — у — 1=0.
Решение. Координаты точки пересечения линий
Li и L2 должны удовлетворять каждому из уравнений,
определяющих эти линии. Следовательно, нахождение
точки пересечения сводится к совместному решению
системы уравнений
( </а-*а= 5,
I 2х — у — 1 = 0.
Из второго уравнения имеем у = 2х—1. Подставляя
* В главе 7 будет дан детальный способ построения линии,
определяемой уравнением.
17

выражение для у в первое уравнение, получим
—х2+ (2*—1)2=5.
Упростим последнее уравнение: Зх2—4х—4=0, откуда
2 7
Xt = 2, х2 = з" . Тогда r/i= 3, у2= j- • Таким
образом, линии Lt и L2 пересекаются в двух точках: (2; 3) и
[ 3~; — т)'
1.62. Найти точки пересечения следующих линий:
1) 2х — у+1=0 и 2х + у — 5 = 0; 2) х2+ У2= 25
1 fi
и х = 3; 3) г/ = ^—-р—— и х + у— 1=0; 4) # = — и
х2 + у2= 13.
1.63. Составить уравнение геометрического места точек,
равноудаленных от
двух данных точек А
и 5. Построить
полученное
геометрическое место то^ек.
Решение. 1.
За ось абсцисс
примем прямую,
соединяющую точки А и
В, с положительным
направлением от Л к
В; начало координат поместим в середине отрезка А В
(рис. 3). Тогда, принимая длину отрезка АВ за 2а,
получим А (—а; 0), В (а; 0).
2. Возьмем текущую точку М (х; у), принадлежащую
данному геометрическому месту.
3. Из определения геометрического места следует, что
MA = MB. Выражая длины отрезков МА и MB по
формуле расстояния между двумя точками, получим
Рис. 3
MA = V(x + а)2 + у2, MB = Y(x — а)2+ у2.
Тогда условие MA = MB выражается следующим
уравнением относительно текущих координат х и у:
(*)
V (х + а)2+ у* = У(х — й)2+ у*.
Упростим это уравнение. Для этого возведем обе его
части в квадрат и приведем подобные члены:
(х + а)2= (х-а)2,
18

или
х2 + 2ах + а2 = х2 — 2ах + а\
откуда
х = 0. (**)
Очевидно, что уравнения (*) и (**) равносильны.
4. Уравнение х = 0 (ось ординат) есть уравнение
искомого геометрического места точек. Действительно,
любая точка М (0; у), координаты которой удовлетворяют
этому уравнению, принадлежит искомому геометрическому
месту, поскольку .
MA = MB = V а2+ у2.
Таким образом, геометрическое место точек,
равноудаленных от двух данных точек А и 5, есть прямая,
перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину.
1.64. Составить уравнение геометрического места
точек, равноудаленных от начала координат и точки А
(-.2,-3).
1.65. Составить уравнение геометрического места точек,
равноудаленных от начала координат и точки А (1; 3).
1.66. Составить уравнение геометрического места
точек, равноудаленных от точки А (3; 0) и оси ординат.
1.67. Составить уравнение окружности е центром в
точке S (а; Ь) и радиусом г.
1.68. Найти уравнение геометрического места точек,
сумма квадратов расстояний которых от двух данкых точек
А (1; —2) и В (—1; 2) есть величина постоянная,
равная 20.
1.69. Записать уравнение геометрического места точек,
разность квадратов расстояний которых от двух данных
точек А (0; 4) и В (—1; 2) есть величина постоянная,
равная 1.
1.70. Вывести уравнение траектории точки М, если в
каждый момент движения расстояние ее от точки
А (41/3";—4) вдвое больше, чем отточки В ( |^3; — 1).
§ 6. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
Два уравнения
M-t(0.
где t — вспомогательная переменная, определяют в декартовой
системе координат некоторую линию L. При этом величины х\ у
для каждого значения / рассматриваются как координаты точки,
принадлежащей этой линии.
Ю ,

Равенства (1) называются параметрическими уравнениями
линии L,a / — переменным параметром.
Если из уравнений (1) исключить параметр /, то уравнение
той же линии L запишется в виде F(x, у) = 0.
1.71. Составить
параметрические уравнения
окружности радиуса г, центр кото-
рой находится в начале
координат.
Решение. Очевидно,
что текущие координаты х
и у точки М, лежащей на
окружности, являются
функциями угла ф между осью
Ох и радиусом ОМ (рис. 4).
Поэтому угол ф примем за
переменный параметр.
Выразим текущие координаты
х и у через параметр ф:
Рис. 4 Г х = г cos ф,
( у = г sin ф.
Эти равенства и являются параметрическими
уравнениями окружности.
Если обе части каждого из полученных уравнений
возвести в квадрат и почленно сложить (этим достигается
исключение параметра ф из уравнений), то уравнение той
же окружности запишется в виде
х*+ у*= г2.
1.72. Линия задана параметрическими уравнениями
y.= t—l.
Найти декартовы координаты точек, если соответствующие
значения параметра / равны 1; —2; 2; -^- ; 0.
1.73. Указать декартовы координаты точек линии
X = COS /,
у = 2 sin /,
если соответствующие значения параметра / таковы: U;
-J-,; — л; л; 2л.
20

1.74. На линии
( х = Р+ 2,
\ у = /2_ 4/ + з
дана точка Л (3; 0). Найти значение параметра /,
соответствующее этой точке.
Решение. Подставив в первое уравнение х = 3,
приходим к уравнению относительно /:
3 = /3+ 2, (*)
или
/3- 1 = 0.
Решая полученное уравнение, находим t = I.
Аналогично, подставляя во второе уравнение у = 0,
получаем уравнение
/2 — 4/ + 3 = 0, (**)
корни которого / = 1 и / = 3.
Значение параметра / = 1 является единственным
общим корнем уравнений (*) и (**). Следовательно, точке
А (3; 0) соответствует значение / = 1.
1.75. На линии
х= t2,
1
даны точки А (1; 1), В (1; — 1), С(— ; 3)'. Найти
значения параметра /, соответствующие этим точкам.
1.76. Линия задана параметрическими уравнениями
х = t2—5t + 6,
у = /2 _ 4/ + 3.
Выделить из нижеследующих точек те, которые
принадлежат этой линии, и указать соответствующие им значения
параметра /: 1) А (6; 3); 2) В (2; 0); 3) С (0;—1); 4) D (12; 7);
5) Е (2; 3); 6) F (6; 8); 7) К (0; 0); 8) Р (-1; 2).
1.77. Даны параметрические уравнения линии
| х = 2/,
|*/ = 3/+ 1.
Исключив параметр /, записать уравнение этой линйк в
форме F(x, у) = 0.
21

1.78. Линия задана параметрическими уравнениями
X = COS3/,
у = sin3/.
Записать уравнение линии в виде F (х, у) = 0.
1.79. Записать уравнения линии
( х = t2,
[у=t—2
в виде F(x, у) = 0.
1.80. Отрезок АВ постоянной длины скользит своими
концами по осям декартовой системы координат.
Составить параметрические
уравнения линии, которую
описывает точка М этого
отрезка, делящая его на части
МА=аи MB = Ь (рис. 5).
Указание. За параметр
t принять угол, образуемый
отрезком АВ с отрицательным
направлением оси Ох.
Рис. 5 1.81. Отрезок А В
постоянной длины 2а скользит
своими концами по осям декартовой системы координат. Из
начала координат на этот отрезок опущен перпендикуляр
ОМ. Составить параметрические уравнения
геометрического места оснований этих перпендикуляров.
Указание. За параметр t взять угол, образуемый
отрезком АВ с отрицательным направлением оси Ох.
6 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
Задача преобразования координат состоит в том, чтобы зная
координаты (дг; у) точки в одной (старой) системе координат, найти
ее координаты (дг'; у') в другой (новой) системе.
Формулы преобразования прямоугольных координат при
параллельном переносе осей координат имеют вид
х = дг'+ а,
У = У'+ Ь, (1)
или дг'= х — а,
У'= У-Ъ% (Г)
где а и Ь — координаты нового начала О' в старой системе
координат.
Формулы преобразования прямоугольных координат при
повороте осей координат на угол а без изменения начала координат
22

имеют следующий вид*:
х = л-'cos а — у' sin а,
у = / sin а + у' cos а, (2)
или х' = х cos а + у sin а,
у'= —х sin а + у cos а. (2')
При этом угол а берется положительным, если поворот осей
координат совершается в положительном направлении («против
часовой стрелки»), и отрицательным в противном случае (рис. 6).
1.82. Дана точка А (2;—1).
Найти координаты этой
точки, если: 1) сохраняя
направление осей,
перенести начало координат в
точку О' (—4; 2); 2)
повернуть оси координат в
положительном направлении на
угол 30°?
Решение. 1) Полагая
в формулах (Г) х = 2, у =
= —1, а = —4, Ь — 2,
получим
х' = 2-(_4) = 6, у
Итак, в новой системе точка А имеет координаты (6; — 3).
2) В этом случае х = 2, у = — 1, а = 30Q. По
формулам (2') имеем
Рис. 6
= —1—2 = —3.
х' = 2 cos 30° + (— 1) sin 30° =
у' = — 2 sin 30° + ( — 1) cos 30°= —
2 + 1^3
2
1.83. Найти новые координаты точек А (2;—3), В (0; 1),
С (—5; 4) в системе, полученной переносом начала
координат с сохранением направления осей в точку О' (1; —2).
1.84. Дана точка А (—4; 3). Найти новые координаты
этой точки, если сохраняя направления осей, перенести
начало координат в точку О', координаты которой: 1) (2;3),
2) (-2; 1), 3) (2; 0), 4) (-3; -1).
1.85. Относительно двух систем координат, имеющих
одно и то же направление осей, известны координаты
некоторой точки А: (5; —2) и (—3; 4). Каковы координаты
начала каждой из этих систем относительно другой?
* Отметим, что формулы (2') получаются из формул (2), если
в них поменять местами старые и новые координаты, заменяя
одновременно а на —а.
23

1.86. Две системы координат имеют одинаковые на-г
правления осей. Координаты начала второй системы отно*
сительно первой суть (3; 2). Чему равны координаты начала
первой системы относительно второй?
Г.87. Оси координат повернуты в положительном
направлении на угол 309. Известны координаты точек А
(1; j/"3) и В (0;—2) в новойсистеме. Вычислить координаты
этих же точек в старой системе.
1.88. Даны точки А (2; 0), В (0; —3), С (—2; 1).
Каковы будут новые координаты этих точек, если оси координат
повернуть на угол 45р в отрицательном направлении?
1.89. Найти координаты точки А (—1; 1) в системе,
полученной поворотом в положительном направлении
осей координат на угол а, если: 1) а = 309 ; 2) а = 459;
3) а = 60Q; 4) а = 909.
1.90. Какой вид примет уравнение параболы у = 2х2—
—Ах + 5, если, сохраняя направление осей, перенести
начало координат в точку О' (1; 3)?
Решение. Полагая в формулах (1) а = 1, 6 = 3,
получим выражения старых координат через новые:
х = х'+1, */ = */'+3.
Запишем уравнение параболы в новой системе
координат. Для этого заменим х и у в уравнении параболы их
выражениями через х' и у':
у'+3 = 2(х'+ I)2- 4(х'+1) +5.
После приведения подобных членов имеем
{/'= 2х'2.
1.91. Какой вид примет уравнение параболы у =
= х2+ 4х, если перенести начало координат в точку О'
(—2; —4), сохраняя направления осей?
1.92. Гипербола задана уравнением у = --—г . За-
писать ее уравнение в системе координат, полученной
переносом начала координат с сохранением направления
осей в точку О' (1; 2).
1.93. Какой вид примет уравнение гиперболы у =
1
= —, если оси координат повернуть в положительном
направлении на угол 459?
1.94. Какой вид примет уравнение окружности х2+
.+ У2= r2t если оси координат повернуть на произвольный
угол а?

ГЛАВА 2
ПРЯМАЯ
§ 1. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Если на плоскости произвольно взята декартова система
координат, то всякое уравнение первой степени относительно теку-
щих координат х и у
Ax+By+G=0, (1)
еде А и В одновременно не равны нулю, определяет прямую в этой
системе координат.
Верно и обратное утверждение: в декартовой системе
координат всякая прямая может быть представлена уравнением первой
степени вида (1).
Уравнение (1) называется общим уравнением прямой.
Частные случаи уравнения (1) приведены в следующей
таблице.
1
2
3
4
5
Значения
коэффициентов
С = 0
Л = 0
д = о
л=>с = о
в=*с*=о
Уравнение прямой
Ах + By = 0
С
у = by где b =э — -—
В
С
х = а, где а=> —
А
у-о
х~0
Положение прямой
Прямая проходит через
начало координат.
Прямая параллельна
оси Ох.
Прямая параллельна
оси Оу.
Прямая совпадает с
осью Ох.
. Прямая совпадает с
осью Оу.
2.1. Проверить, проходит ли прямая 2х + Ъу — 5 = О
через точки А (-2; 3),В (1; 1),С (--i- ;— 2), d(<); -J)'.
4;-4И4;о).
2.2. Проверить, проходит ли через точку А (2; —1)
каждая из следующих прямых: 1) х — 2 = 0, 2) Зх + 5у —
25

-1 =0, 3) y+ 1 =0, 4) x-4y+\ =0, Ь).х + 2у =
= 0, 6) 2x — 3 = 0.
2.3. Построить прямую Зх — 2у + 6 = 0.
Решение. Для построения прямой достаточно знать
какие-либо две ее точки, например, точки ее пересечения
с осями координат. Точку А пересечения прямой с осью
Ох можно получить, если в уравнении прямой принять
у = 0. Тогда имеем Зх + 6 = 0, т. е. х = —2. Таким
образом, А (—2; 0).
Точка В пересечения прямой с осью Оу имеет абсциссу
х = 0; следовательно, ордината у точки В находится из
уравнения —2у + 6 = 0, т. е. у = 3. Таким образом, В
(0; 3).
2.4. Построить следующие прямые: 1) 2х — Ау + 1 =
= 0, 2)* х — Зу = 0, 3) Зх + 5 = 0, 4) 2у — 3 = 0.
2.5. Написать уравнения прямых, проходящих через
дочку А (—1; 2) параллельно координатным осям.
2.6. Прямая, параллельная оси ординат, отсекает на
положительной полуоси абсцисс отрезок, равный 3
единицам. Написать уравнение этой прямой.
2.7. Одна из вершин квадрата совпадает с началом
координат, а противоположная—с точкой А (5; —5).
Написать уравнения сторон квадрата.
2.8. Одна из вершин квадрата находится в начале
координат, а точка пересечения его диагоналей — в точке
S (—1; 1). Составить уравнения сторон квадрата.
2.9. Две стороны прямоугольника лежат на
координатных осях, а одна из вершин имеет координаты (—2;—3).
Составить уравнения сторон прямоугольника.
§ 2. УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ. УРАВНЕНИЕ
ПРЯМОЙ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ И НАЧАЛЬНОЙ
ОРДИНАТОЙ
Углом наклона прямой к оси Ох называется наименьший
уголф, на который нужно повернуть в положительном направлении
ось абсцисс до ее совпадения с данной прямой. Направление любой
прямой характеризуется ее угловым коэффициентом k, который
определяется как тангенс угла наклона ф этой прямой к оси Ох, т. е.
k = tgq).
Исключение составляет только лишь прямая, перпендикулярная
оси Ох, которая не имеет углового коэффициента.
Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и
пересекающей ось Оу в точке, ордината которой равна b (начальная
ордината), записывается в виде
26

y^kx+b. (1)
Угловой коэффициент k прямой, заданной общим уравнением
Ах + By + С = 0, находится как коэффициент придгв выражении
'и А
у через х: k =. — —- .
В
Угловой коэффициент k прямой, заданной двумя точками
А(хА; уА ) и В(хв ; уБ ), вычисляется по формуле*
*лв = _^1^. (2)
2.10. Написать уравнение с угловым коэффициентом
и начальной ординатой для прямой 2х + Ъу + 7 = 0.
2.11. Найти угловой коэффициент каждой из
следующих прямых: 1) х — 4у — 7 = 0; 2) Ъу + 5 = 0; 3) 5* —
— 2*/ = 0; 4) 10* + Ъу + 12 = 0.
2.12. Найти угол наклона к оси Ох,каждой из
следующих прямых, заданных двумя точками: 1) А (2; 5) и В
(7; 6); 2) С (-3; 2) и D (-1; 5); 3) Е (1; -3) и /^ (-2; 1);
4) К (3; -4) и L (-3; 2); 5) М (2; -4) и N (-3; -4).
Указание. Воспользоваться формулой (2).
2.13. Составить уравнение прямой, которая отсекает
на отрицательной полуоси Оу отрезок, равный 2 единицам,
и образует с осью Ох угол ф = 30р.
Решение. Прямая пересекает ось Оу в точке В
(0; —2) и имеет угловой коэффициент
* = tgcp = £l.
т/*"3
Полагая в уравнении (1) k = *-j- и Ь = —2, получим
искомое уравнение
{/=-L3-^ —2,
или, в общем виде,
1/1 л: — 3*/ — 6 = 0.
2.14. Написать уравнения прямых, отсекающих на
положительной полуоси Оу отрезок, равный 3 единицам,
и образующих с осью Ох следующие углы: 1) 45°; 2) 60р;
3) 135°; 4) 150Q.
2.15. Составить уравнение прямой, проходящей через
начало координат и образующей с осью Ох углы: 1) 459;
2) 609; 3) 120°.
* Эта формула имеет смысл в случае, если хА ф хв%
27

2.16. Составить уравнение прямой, проходящей через
точки А (—1; 2) и В (0; —3).
Указание. Угловой коэффициент прямой находится по
формуле (2); начальная ордината b — —3.
2.17. Составить уравнение прямой, проходящей через
точки: 1) А (2; 3) и В (0; 1); 2) С (0; —5) и D (—2; -5);
3) Е (—3; 4) и F (0; 0).
2.18. Прямая, проходящая через точку А (—2; 3),
образует с осью Ох угол 1359. Составить уравнение этой
прямой.
Решение. Уравнение прямой будем искать в виде
у = kx + Ь. Угловой коэффициент прямой k = tg 135Q =
= —1. Искомая прямая у = —х + Ь проходит через точку
А (—2; 3), поэтому ее координаты х = —2, у = 3 должны
удовлетворять уравнению этой прямой, т. е.
3 = -(-2)+6,
откуда 6=1. Следовательно, уравнение прямой имеет
вид
У = — х + 1,
или
Х + у - 1 = 0.
2.19. По прямой 2х + Ъу —
— 15 = 0 направлен луч
света, который дойдя до оси
абсцисс, отражается от нее.
Написать уравнение отраженного
луча.
2.20. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку с
координатами (0; 2) и
образующей с осью Ох угол, вдвое
больший угла, который
составляет с той же осью прямая
/3 х -0+1=0.
Равносторонний треугольник ABC со стороной,
2 единицам, расположен так, как показано на
Составить уравнения его сторон.
2.22. Уравнение одной из сторон ромба 2х + у — 3 =
= 0. Написать уравнения остальных его сторон, если
диагонали ромба совпадают с осями координат.
Рис. 7
2.21
равной
рис. 7.
28

2.23. Составить уравнения сторон квадрата, диагонали
которого служат осями координат. Длина стороны квадрата
равна а.
2.24. Основания равнобочной трапеции равны 18 и 6
единицам, а боковые стороны составляют с основанием
угол в 30°. Написать уравнения сторон трапеции, если
осями координат являются большее основание и ось
симметрии трапеции.
в 3. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ОТРЕЗКАХ
Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида
где а и Ь — соответственно абсцисса и ордината точек пересечения
прямой с осями Ох и Оу, т. е. длины отрезков, отсекаемых прямой
на координатных осях, взятые с определенными знаками.
2.25. Общее уравнение прямой 2х — Зг/ — 6 = 0
привести к уравнению в отрезках.
Решение. Запишем данное уравнение в виде 2х —
- — Зу = 6 и разделим обе его части на свободный член:
* у
Это и есть уравнение данной прямой в отрезках.
2.26. Привести к уравнениям в отрезках следующие
уравнения прямых: I) Зх — 4у + 12 = 0; 2) —5* + 6у +
+ 30 = 0; 3) Ах + Ьу — 20 = 0; 4) Зх — 2у — 1 = 0.
Построить эти прямые.
2.27. Составить уравнение прямой, пересекающей ось
абсцисс в точке (—3; 0),а ось ординат в точке (0; 4).
2.28. Составить уравнение прямой, отсекающей на
положительной полуоси абсцисс отрезок, равный 2
единицам, а на отрицательной полуоси ординат отрезок,
равный б единицам.
_ _Л _ . х у
2.29. Привести к общему виду уравнение-у + —г = 1.
2.30. Найти углы наклона к оси Ох и начальные
ординаты следующих прямых:
29

2.31. Какая зависимость существует между а и bt
х у
если угол наклона прямой (- -т- = 1 к оси О* равен:
1)45°; 2) 135°; J3) 30Q; 4) 1509?
2.32. Диагонали ромба равны 8 и 3 единицам. Написать
уравнения сторон ромба, если большую диагональ принять
за ось Ох, а меньшую — за ось Оу.
2.33. Найти площадь треугольника, заключенного
между осями координат и прямой 2х — Ъу + 20 = 0.
2.34. Через точку А (1; 2) провести прямую,
отсекающую на положительных полуосях координат равные
отрезки.
Решение. Пусть уравнение искомой прямой имеет
х у
вид — + -у = 1. По условию а = Ь. Следовательно,
уравнение прямой принимает вид х + у = а. Так как
точка с координатами (1; 2) принадлежит этой прямой, то
х = 1, у = 2 удовлетворяют уравнению х + у = а:
1 + 2 = а, откуда а = 3.
Итак, искомое уравнение имеет вид х + у = 3, или
х + у — 3 = 0.
2.35. Составить уравнение прямой, которая проходит
через точку (2; 3) и OTceKaef от координатного угла
треугольник, площадь которого равна 12 кв. ед.
2.36. Прямая проходит через точку (—1; —9) и
отсекает на отрицательной полуоси абсцисс отрезок, втрое
меньший, чем на отрицательной полуоси ординат.
Составить уравнение этой прямой.
в 4. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ
ТОЧКУ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ
Уравнение прямой, проходящей через точку А(хА\ уА) и
имеющей угловой коэффициент k, записывается в виде
У —Уа = k(* — *а ) 0)
Пучком прямых называется совокупность прямых плоскости,
проходящих через одну и ту же точку А — центр пучка. Уравнение
(1) можно рассматривать как уравнение пучка прямых, поскольку
любая прямая пучка может быть получена из уравнения (1) при
соответствующем значении углового коэффициента k. Исключение
составляет лишь одна прямая пучка, которая параллельна оси Оу—
ее уравнение х = хА .
30

2.37. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку (—2; 5) и образующей с осью Ох угол 459.
Решение. Угловой коэффициент искомой прямой
k = tg 45°= 1. Поэтому, воспользовавшись уравнением (1),
получаем
у-Ъ= 1.U-(-2)],
ИЛИ
х _ у + 7 = 0.
2.38. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку (2; —3) и образующей с осью Ох угол 1209.
2.39. Составить уравнение прямой, которая проходит
через точку (—2; 1) и образует с осью Ох угол, вдвое
меньший, чем прямая 2^3*+ 2у — 1=0 с той же осью.
2.40. Точка С делит отрезок между точками А (4; —3)
и В (—8; 6) в отношении А = 2 : 1. Через эту точку
провести прямую, составляющую с осью Ох угол 1359.
2.41. Из точки А (—3; 5) под углом 459 к оси абсцисс
направлен луч света, который, дойдя до этой оси,
отражается от нее. Составить уравнения падающего и отраженного
лучей.
2.42. Луч света, выходящий из точки А (5; —2),
отражается от оси абсцисс, причем отраженный луч проходит
через точку В (—7; —6). Составить уравнения падающего
и отраженного лучей.
Указание. Угловые коэффициенты падающего и
отраженного от оси абсцисс лучей равны по величине и противоположны
по знаку. Можно такжевоспользоваться тем фактом, что отраженный
луч лежит на прямой, проходящей через точку, симметричную
точке А относительно оси абсцисс.
2.43. Составить уравнение пучка прямых, проходящих
через точку (—4; 3). Выбрать из этого пучка прямые,
составляющие с осью Ох углы: 1) 30Q; 2) 45°; 3) 60р; 4) 120Q;
5) 135Q. Построить эти прямые.
2.44. Из пучка прямых, проходящих через точку (—2; 5),
выбрать прямую, отсекающую на положительных
полуосях координат равные отрезки.
2.45. Составить уравнение прямой, проходящей через
точки А (3; —5) и В (—4; 3).
Решение. Угловой коэффициент искомой прямой
k= У а —Ув = -5--3 8_
ха— хв ~~ 3 — (-^4) ~~ 7 #
31

Зная угловой коэффициент k — —^- и точку А (3;—5)1
через которую эта прямая проходит, запишем ее урав|
нение: ]
0 + 5 = --f(*~3)'
или 1
8x + 7j/+ 11 =0.
Ясно, что получится то же уравнение, если вместо точки
А взять точку В.
2.46. Из пучка прямых с центром в точке (2; —5)
выбрать прямую: 1) проходящую через точку (3;—2); 2) через
точку (—3; —5); 3) через точку (2; 6); 4) отсекающую на
положительной полуоси ординат отрезок, равный 3
единицам.
в 5. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ
ДВЕ ТОЧКИ
Уравнение прямой, проходящей черев две данные точка
А (*а J У а ) и в (*в I У в )' имеет ВИД
а . (1)
ХВ -*А У В" У А
Если точки А я В определяют прямую, параллельную оси
Ох (уА = ув )или оси Оу (хА в хв ), то уравнение такой прямой
записывается соответственно в виде
у = уА или х = хА . (2)
2.47. Оставить уравнение прямой, проходящей через
точки А (—3; 5) и В (7; —2).
Решение. Воспользуемся уравнением (1);
*-(-3) у-5
7—(—3) ~—2 —5 '
или
*+3 _ у — Ь
10 — — 7 '
откуда
7х + Юу — 29 - 0.
2.48. Составить уравнение прямой, проходящей через
две точки: 1) А (4; —1) и В (—2; —9); 2) С (0; 3) и D (—4;
2); 3) Е (-3; 7) и F (-3; -5); 4) К (9; -2) и L (-3; -2).
82

■P2.49. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку А (—2; 8) и середину отрезка MN, где М (6; —5),
* М; 1).
s 2.50. Даны координаты вершин треугольника М (—1;
3), N (4; —2), Р (0; —5). Составить уравнения его сторон.
2.51. Вершины четырехугольника имеют координаты
Р (1; 0), q((2; -1) , R (5; 2), S (6;—1)гНайти точку
пересечения его диагоналей.
2.52. Вершины треугольника имеют координаты А (2; 6),
В (—6; 0), С (—3; —4). Составить уравнения его сторон
и медиан.
2.53. Даны вершины треугольника: А (—12; —2),
В (4; 10), С (—6; —10). Написать уравнение биссектрисы
угла А.
Указание. Точка К пересечения искомой биссектрисы со
Стороной ВС делит отрезок ВС в отношении к = АЁ i AG.
2.54. Найти длину биссектрисы угла А треугольника
с вершинами А (4; —2), В (7; —2), С (4; 5).
2.55. Под каким углом к оси Ох должен быть
направлен луч света, чтобы отраженный луч проходил через точки
■4( —2;У!) и В ( — 3; 2 1/3)?
2.56. Проверить, лежат ли точки А (5; 2), В (3; 1) и
Р (—1; —1) на одной прямой.
Решени е. Составим уравнение прямой, проходящей
через точки А и С:
х — хА __ У—У а
*С-'ХА ~ УС-УА '
или
*-5 __ у —2
— 6 — —з •
Подставляя в это уравнение координаты точки В (хв = 3
и У в ==')» п°лучим
.-3--5 1 — 2
т. е. «у = -у . Таким образом, координаты точки В
удовлетворяют уравнению прямой ЛС — это означает, что
?сика В лежит на прямой А С.
2^682 33

2.57. Проверить, лежат ли на одной прямой три данные
точки: 1) А (-2; -7), В (1; -1), С (4; 5); 2) D (-2; 9),
Е (2; -7), F (0; 1); 3) К (-1; -1), L (-3; -7), М (2; 7).
2.58. Найти ординату точки Р (5; у), лежащей на одной
прямой с точками М (—1; 8) и N (2; —1).
2.59. Найти точку М (х; у), лежащую на одной прямой
с точками Р (1; —7) и Q (—2; 5), если координаты искомой
точки равны между собой.
2.60. Треугольник ABC задан координатами своих
вершин: А (—3; 4), В (—9; 6) и С (5; 2). Составить уравнение
средней линии, параллельной стороне АС.
6 6. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ.
УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
Условия пересечения, параллельности или совпадения двух
прямых, заданными своими общими уравнениями
Aix+ Biy+ Ci= 0 и А2х+ В2у + С2= 0,
приведены в следующей таблице.
Взаимное
расположение прямых
Пересечение
Параллельность
Совпадение
Условие
Ах
37
Ai
лГ
Ах
А2
Bi
*w
Bi
~~в7
Bi
в2
, ci
ф£-
Ci
с2
Если известны угловые коэффициенты k\ и k* прямых, то
условие параллельности* этих прямых состоит в равенстве из угловых
коэффициентов: ki= k*.
2.61. Установить совпадают, параллельны или
пересекаются (в последнем случае найти точку пересечения)
* Здесь совпадение рассматривается как частный случай
параллельности.
34

следующие пары прямых:
1) х — у + 3 = 0, 2х — 2у — 7 = 0;
2) 2х — у + 4 = 0, 4х — 2у + 9 = 0;
3) х + Ъу - 1 = 0, 2х + 6у — 2 = 0;
4) 5* — у + 1 = 0, Юх — 3у + 2 = 0;
5) Зх + 2у — 4 = 0, 5х + 6у — 12 = 0;
6) 2х — 3t/ = 0, 6х — 9у = 0;
7) у — 5 = 0, Зу + 15 - 0; 8) 4х — 1 = 0, 8у + 2 = 0;
9) 2х + 3 = 0, 2* — 1 = 0;
10) 4х — у + 1 = 0, 2* + Ъу — 17 - 0;
11) Ъх + 3 = 0, 10х + 7*/ + 2 = 0.
2.62. Через точку пересечения прямых х — 2*/ — 4 = 0
и 2х — Ъу — 7 = 0 провести прямую, составляющую с
осью Ох угол 45Q.
2.63. Найти периметр треугольника, ограниченного
прямыми Ах — Ъу + 6 = 0, х + Зу — 36 = 0 и осью ординат.
2.64. Проверить, проходят ли через одну и ту же
точку следующие прямые:
2х + у — 5 = 0, х — 2у + 5 = О,
У
1) Зх — 2у — 3 = О,
х — Ъу — 14 = 0;
2) 2х + Ъу — 4 = О,
х + 1 = 0;
2л: — t/ + 7 = 0, Зг/ + 5 = О,
3) х = 0, 4) Зх + 6у + 8 = О,
Зх + 2 г/ — 14 = 0; 6х + Ъу + 1 = 0.
Указание. Найти точку пересечения любых двух прямых
и проверить, проходит ли через нее третья прямая.
2.65. При каком значении т прямые
тх + (1 — т)у — 3 = 0,
2х — Ъу — 5 = О,
7х + 5у — 2 = О
проходят через одну точку? Найти эту точку.
2* 35

2.66. Составить уравнение прямой, параллельной пр$|
мой 2х + Зу — 1 = 0 и отсекающей на положительно^
полуоси абсцисс отрезок, равный 4 единицам.
Решение. Искомая прямая проходит через точку;
А С4; 0), а ее угловой коэффициент равен угловому коэф*
2
фициенту данной прямой, т. е. k = ^-.
Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через данную точку
в заданном направлении, получим
</-0 = J- (х-А),
или
2х + Зу — 8 = 0.
2.67. Составить уравнение прямой, если известно, что
она проходит через точку (—1; 4) и параллельна: 1) пря-
мой*2х + Зу — 5 = 0; 2) оси абсцисс; 3) оси ординат;
4) биссектрисе II и IV координатных углов; 5) прямой
— 5^ 2 ь
2.68. Прямая проходит через точку А (4; —7) и
параллельна прямой, соединяющей точки Р (—4; 3) и Q (2; —5).
Составить ее уравнение.
2.69. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку пересечения прямых 3jc + 2у + 7 = 0 и 4х + Зу +
+ 9 = 0 и параллельной прямой у = —2х + 3.
2.70. Через точку пересечения прямых 7х — 2у — 3 =*
= 0 и Ъх + у — 7=0 провести прямую, параллельную
биссектрисе I и III координатных углов.
2.71. Даны две точки А (—1; 6) и В (9; —8). Через
середину отрезка АВ провести прямую, параллельную
прямой 2х — Зу + 5 = 0.
2.72. Координаты вершин треугольника А (—2; 3),
В (4; —2) и С (1; 5). Составить уравнения прямых,
проходящих через каждую из вершин параллельно
противолежащей стороне.
2.73. В треугольнике ABC известны вершины А (—3;—4);
В (1; —2) и С (7; —2). Составить уравнение средней
линии, параллельной стороне ЛС.
2.74. Даны вершины четырехугольника А (—4; —2),
В (—3; 1), С (4; 3), D (5; —3). Показать, что середины сторон
этого четырехугольника являются вершинами
параллелограмма.
2.75. Зная уравнения двух сторон параллелограмма
36

x — у + 1 =» 0 и 2х + Зу — 6 => 0 и одну иэ его вершин
С (7; 1), составить уравнения двух других сторон.
2.76. В параллелограмме A BCD даны вершины А (—1; 3),
В (4; 6), С (1; —5). Составить уравнения его сторон.
2.77. В параллелограмме ABCD известны уравнения
сторон 2* + */ — 1=0 (АВ), Зх — 2у — 5 = 0 (AD) и
точка К (—3; 5) пересечения диагоналей АС и BD. Найти
уравнения сторон ВС и CD.
Решение. 1. Вершину А параллелограмма найдем
как точку пересечения прямых АВ и AD:
2x + y—l=0t
Зх — 2у — 5 = 0.
Отсюда получаем А (1; —1).
2. Координаты точки С найдем исходя из того, что
К есть середина отрезка АС:
*а +*о Уа+ у а
х
к
Ук =
Подставляя в эти равенства координаты точек А и /С,
получим уравнения для нахождения координат точки С:
— 3=»—гг—; о= * •
Отсюда xQ = —7, ус= 11 и С ( — 7; 11).
3. Так как сторону ВС и AD параллельны, то их угло-
з
вые коэффициенты равны между собой: kBQ = k^ = -^-.
Аналогично kCD = kA-B = —2.
4. Уравнение стороны ВС найдем как уравнение
прямой, проходящей через данную точку С (—7; И) g ЗаДаН-
ным угловым коэффициентом k = —:
у-11=-1(ж+7),
или
3*-2у + 43 = 0.
Аналогично найдем уравнение стороны CD:
У-W 2(х + 7),
или
2х + у + 3 = 0.
37

2.78. В параллелограмме ABCD известны уравнения
сторон х —Лу +1=0 (АВ) и Зх + у — 2 = 0 (AD) и
точка М (1; —3) — середина стороны ВС. Найти
уравнения двух других сторон параллелограмма.
§ 7. УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ
Условие перпендикулярности двух прямых, угловые
коэффициенты которых соответственно равны ki и &2, состоит в выполнении
соотношения
kik2+ 1 = 0,
или
kl— — —7— ,
т. е. угловые коэффициенты этих прямых обратны по абсолютной
величине и противоположны по знаку.
2.79. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку А (—4; 3) перпендикулярно прямой 2х—Ъу — 4 = 0.
Решение. Угловой коэффициент данной прямой
2
ki = —; искомая прямая перпендикулярна данной, поэ-
«з
1 3
тому ее угловой коэффициент^ = = — .
Используя уравнение прямой, проходящей через данную точку
с заданным угловым коэффициентом, получим уравнение
искомой прямой:
У—Уа = М* — *А),
или
у-г = ~(* + *)>
откуда
Зх + 2у + 6 = 0.
2.80. Даны прямые х + у—4^=0 (1), 6х + 8у —
— 11=0 (2), 2х — Ц + 3 = 0 (3), Ах — Ъу + 7 = 0 (4),
9х + 9у + 5 = 0 (5) и jc — t/ — 2 = 0 (6). Указать,
какие из них между собой параллельны, а какие —
перпендикулярны.
2.81. Дана прямая 4% + Ъу—2=0 и точка М (—3;2).
Через точку М провести две прямые, из которых одна
параллельна, а другая перпендикулярна данной прямой.
2.82. На прямую 2х + 7у — 3 = 0 опустить
перпендикуляр из начала координат.
38

2.83. Проверить, является ли треугольник
прямоугольным, если координаты его вершин А (4; —5), В (7; 6) и
С (-7; -2).
2.84. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку М (2; 3) перпендикулярно прямой, соединяющей
точки Р (1; 7) и Q (—2; —5).
2.85. Составить уравнение перпендикуляра,
восставленного в середине отрезка, соединяющего точки М (—1; 7)
и N (3; -1).
2.86. Составить уравнение прямой, перпендикулярной
к прямой 2х + у — 4 = 0 и проходящей через середину
ее отрезка, заключенного между осями координат.
2.87. Даны координаты двух противоположных
вершин ромба М (—3; 2) и JV (7; —6). Составить уравнения
диагоналей ромба.
2.88. Треугольник ABC задан уравнениями своих
сторон: 2х + Ту - 1 = 0 (АВ)У Зх - 2у + 11 = 0 (ВС) и
*3х — Ъу + 7 = 0 (АС). Составить уравнение высоты,
опущенной из вершины В на сторону АС.
2.89. На прямой 2л; — 5f/ — 12 = 0 найти точку,
равноудаленную от точек А (—1; 3) и В (3; —5).
2.90. Даны вершины треугольника Л (—5; 6), В (28; 7),
С(15;0). Найти длину высоты, опущенной из вершины Л.
Решение. 1. Составим уравнение стороны ВС:
или
откуда
X —
*с
X
хв
~*в
— 28^
у-
Ус
У-
-_Ув
-Ув
-_7
—13 -7
7Х _ 13у - 105 = 0.
2. Так как высота AD перпендикулярна прямой ВС*
и I u и 7 и 13
Т0 kAD = Г" • Н° kBC = 17; °ТСЮДа kAD = Т *
квс
13"
3. Уравнение высоты AD получим как уравнение
прямой, проходящей через точку А (—5; 6) с заданным угло-
, 13
вым коэффициентом *ad = ~ :
if—6 — ^(х+5),
или
3d

13* + Ц + 23 - 0. 1
4. Определим координаты точки D пересечения высоты^
со стороной ВС. Для этого решим систему \|
/13х + 1у + 23 = 0, I
\7х— 13у— 105 = 0, 1
из которой находим х = 2, у = —7. Таким образом»^
D (2; -7). . - а
5. Длину высоты Л£ вычислим по формуле расстояния^
между Двумя точками: :j
^ - V(xA-xD)2+(yA-yD)2 - /49+169 = У^15Г|
2.91. Найти основание перпендикуляра, опущенного^
из точки (3; 4) на прямую 2х + Ъу + 3 = 0. |
2.92. Найти расстояние от точки (—1; 3) до прямой!
Зх — 4у + 40 = 0. • |
2.93. Найти расстояние от начала координат до прямой?
Ъх— 12*/ + 26 = 0.
2.94. Известны уравнения сторон треугольника:
х + Зу — 3 = 0, Зх + у+П=0 и х — у — 3 = 0. I
Найти длину высоты, которая опущена из вершины, лежд* ?
щей на оси абсцисс. i
2.95. Найти расстояние между параллельными прямы-i
ми 2х — Зу — 5 = 0 и 2х — Зу + 21 = 0.
Указание. Задача сводится к отысканию расстояния от
точки, взятой на одной из этих прямых, до второй прямой.
2.96. Какая из точек Л (8; 9), В (—5; —7) и С (—11; —3)
расположена ближе всего к прямой 6х + 8{/ — 15 = 0?*
2.97. К какой из двух прямых: Зх + Ъу — 8 = О!
или 5* — Зу + 15 = 0 точка М (—1; 2) находится ближе? ]
2.98. Составить уравнение прямой /, проходящей через'
точку А (2; —4) и отстоящей от начала координат „на
расстоянии, равном 2 единицам.
Решение. Пусть уравнение искомой прямой имеет
вид
У — Уа= k(x — хл),
или
у + 4 = k(x - 2),
или
kx — у — (2 + Щ = 0. (•)
Для определения углового коэффициента k этой
прямой воспользуемся тем, что она отстоит от начала коорди*
40

нат на расстоянии, равном 2 единицам. Найдем это
расстояние непосредственно. Уравнение перпендикуляра,
опущенного из "начала координат на прямую kx — у —
—(2+ Щ = 0, имеет вид у= — х, или х + ky = 0. Ре-
k
шив совместно уравнения этих двух прямых
(kx — y — (2 + Щ = 0,
получим координаты точки С их пересечения:
^ 2k (fe+2) . _ _ 2 (fe+2)
Отсюда находим расстояние от начала координат до
прямой /:
ОС=|/ xl + yl = -Z-Vk4k + 2)*+(k+2)* =
l+fea
2(fe+2)
l+fea /fea+l
С другой стороны, по условию ОС = 2. Таким образом,
получаем уравнение для нахождения углового
коэффициента k искомой прямой /:
2(* + 2) =2, или £ + 2 = Vk2+\ ,
/fea+l
з
откуда & = . Таким образом, подставляя найденное
4
3
значение& = в.уравнение (*), получаем уравнение
4
прямой:
а / а \
-Н-И2-4-т)=
или окончательно,
Зх + 4у+ 10 = 0.
В заключение отметим, что отыскивая уравнение
прямой /в виде у — уА= k(x — xA), мы предполагали тем
самым, что эта прямая не параллельна оси ординат. Но
очевидно, что прямая х = 2 (параллельная оси Оу) также
удовлетворяет условию задачи, так как она проходит через
точку А (2; —4) и отстоит от начала координат на
расстоянии, равном 2 единицам (рис. 8).
41

2.99. Написать
уравнения
прямых, проходящих
через точку А (4; 1)
и отстоящих от
точки В (—4;0)на
расстоянии,
равном 4 единицам.
2.100.
Составить уравнения
прямых,
параллельных прямой
Зх + 4у — 1 = 0(/)
и отстоящих от нее
на расстоянии,
равном 1.
Решение.
Уравнение каждой из прямых будем искать в виде
у =kx+b. Так как искомая прямая параллельна прямой
о
/, то ее угловой коэффициент k = и, следовательно,
4
ее уравнение принимает вид
Рис. 8
У = Гх + Ь>
4
ИЛИ
3* + Ау — 46 = 0. (*)
Для отыскания параметра Ь воспользуемся тем, что
расстояние от любой точки прямой /, например, от точки
А (3; —2), до прямой (*) согласно условию равно 1. Но
это расстояние может быть вычислено и непосредственно.
Запишем для этого уравнение прямой А, проведенной из
точки А перпендикулярно прямой /:
или
f/ + 2=-l-(*-3),
4х — Ъу — 18 = 0.
Решив, далее, совместно уравнения прямых Ли/
/ 4х — Ъу — 18 = 0,
\Зх + 4у — 4Ь = 0,
найдем координаты точки В их пересечения:
72+126 166—54
хв =
25
Ув =
25
42

Тогда искомое расстояние равно длине отрезка АВ:
АВ = У(хв-хАГ + (ув-уА)* =
__ |^(126—3)2-Ь(166—4)Д
~~ 25
Приравнивая это выражение единице, получим уравнение
относительно Ь\
У(\2Ь — 3)g + (166—4)2 __ -
25
ИЛИ
(126 — 3)2+ (166 —4)2= 252
и окончательно
262— Ь — 3 = 0.
з
Решения этого уравнения таковы: bt= —, 62= —1.
Подставляя полученные „значения Ь в уравнение (*), запишем
уравнения искомых прямых:
Зх + Ау — 6 = 0 и 3% + 4*/ + 4 = 0.
2.101. Составить уравнения прямых, параллельных
прямой Ъх + \2у + 6 = 0 и отстоящих от нее на
расстоянии, равном 5 единицам.
2.102. Найти точки пересечения с прямой Ъх — Зу +
+ 4 = 0 прямых, параллельных прямой Ъх + 12у — 5 = 0
и отстоящих от нее на расстоянии, равном 3 единицам.
2.103. Найти точки, равноудаленные от точек М (5; —2)
и N (3; 0) и отстоящие от прямой 4х + Зу + 5 = 0
на расстоянии, равном 2 единицам.
§ 8. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ
Под углом мерюду двумя прямыми понимается один из двух
смежных углов, образованных при их пересечении. Тангенс
угла ф между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых
соответственно равны ki и fo, вычисляется по формуле
«2—*i
Jg<P= ±
1+М:
1*2
(1)
причем знак «плюс» соответствует острому углу ср, а знак «минус»—
тупому. •
43

Заметим, что если хотя бы одна из данных прямых параллельна
оси Оу, то формула (1) не имеет смысла. В этом случае острый угой
.ф вычисляется непосредственно по формуле ф « |ф1—ф*1. где
ф1 и фа— углы наклона прямых к оси Ох. ~
2.104. Найти острый угол между прямыми
х — Зг/ + 5 = 0 и 2х + 4у — 7 = 0.
Решение. Угловые коэффициенты данных прямых
таковы: ki =
Тангенс острого угла <р
1 ь х
, Ко =
3 2
между этими прямыми найдем по формуле (1):
2 ~ 3
tg<P =
-i(-i)
= 1.
Отсюда ф = 45Q.
2.105. Вычислить острый угол между прямыми:
1)у = 3х — 5 и г/ = —2* + 3;
2) 8* — 2у — 5 = 0 и 2х — 2у + 1 = 0;
Ъ) Ъх + у + 7 = 0 и 10* + 2у — 3 = 0;
4) х +2у — 8 = 0 и Ьх — у +3 = 0.
2.106. Найти острый угол между прямой 9х+3у—7=0
и прямой, проходящей через точки А (1; —1) и В (5; 7).
2.107. Стороны треугольника заданы уравнениями
Ъх — 2у + 6 = 0 {АВ)\ 2х + у — 10 = 0 (ВС); х — Ъу +
+ 2 = 0 (ЛС). Найти углы, которые медиана ВМ образует
со сторонами АВ и ВС.
2.108. Найти внутренние углы треугольника ABC, если
координаты его вершин А (1; 2), В (2; 2), С (0; 3).
Решение. Прежде всего выясним, не является ли
один из углов треугольника ABC прямым или тупым. Для
этого вычислим длины его сторон:
АВ = У(хА-хву + {уА-увУ = /(1-2)2+(2-2)2 = 1,
АС = У% ВС = V&
Так как ВС2> ЛВ2+ЛС2, то треугольник ABC—
тупоугольный, причем его угол Л, как лежащий против
большей стороны ВС,— тупой и, следовательно, углы
В и С — острые.
Найдем* далее, угловые коэффициенты прямых АВ,
ВС и АС:
.44

У а -Ув
*АВ
*А
*В
k =
КВ0
2—2
1-2
2—3
2-^0
= 0, kAQ^
__ \_
2 *
2-3
1-0
= -1,
Теперь, воспользовавшись формулой (1), вычислим
тангенсы внутренних углов треугольника ABC:
tg4 = -
^АВ — ^
АС
X+kAB 'kAC
о- (-1)
1+0-(-1)
(перед модулем берется знак «минус», так как угол А —
тупой);
tgB =
tgC =
КАВ
КВС
l+kAB 'kBC
КАС
КВС
1 +kAC 'kBC
-(-•f)
-(-i)
-(-i)
i+(
-K-i)
(в выражениях для tg В и tg С перед модулем берется знак
«плюс», поскольку углы В и С — острые).
Отсюда А = 135s, В = arctg— , С = arctg — .
& о
2.109. Вычислить углы треугольника, заданного
координатами своих вершин: А (2; 4), В (—1; —2) и С (11; 13).
2.110. Составить уравнение прямой, проходящей
через точку М (—1; 2) и составляющей угол 45е с прямой
х — 3*/ + 2 = 0.
2.111. В равнобедренном прямоугольном
треугольнике ABC известны вершина острого угла А (2; 6) и
уравнение противолежащего катета ВС: х — 7у + 15 = 0.
Составить уравнения двух других сторон.
Решение. 1. Угловой коэффициент прямой АС,
перпендикулярной к стороне BCt kAC = ;— = — 7.
Поэтому уравнение стороны АС имеет вид
У~Уа = kAc (* ~ ха)>
квс
или
у _ 6 = -7(х - 2),
45

т. е.
или
7х + у — 20 = 0.
2. Уравнение стороны АВ будем искать в виде
У — Уа= клв (* — ха>>
Угловой коэффициент стороны А В найдем,
воспользовавшись формулой (1):
tg АВС=
КАВ "
"ВС
1+*лв •*
АВ 'КВС
(перед модулем берется знак «плюс», так как ABC = 459
—острый). Подставляя в это равенство ABC=45Q, kBC = — ,
получим уравнение относительно k^ :
1 =
kAB """
1+-
КАВ'\
откуда
КАВ
kAB ~ 7
= 1 И
l + -f *4s l+-f^
= —1.
>Решая каждое из полученных уравнений, находим
kAD =^= — и k
^АВ
АВ
Таким образом, задача имеет два
решения (рис. 9). В первом случае уравнение гипотенузы
А В имеет вид
или
а во втором
или
„_6 = -2-(*-2),
±х — Зу + 10 = 0,
</_6=-JL(*_2),
4
• Зх + 4у — 18 = 0.
46

0
\
A
X
/\ \ *
Рис. 9 Рис. 10
2.112. В равнобедренном прямоугольном
треугольнике ЛВС даны вершина острого угла Л (1; 3) и уравнение
противолежащего катета 2х— у + 4 = 0. Составить
уравнения двух других сторон треугольника.
2.113. Противоположные вершины квадрата
находятся в точках В (—2; 2) и D (0; —3). Составить
уравнения сторон квадрата.
2.114. В ромбе ABCD с острым углом 60Q точки
Л (0; —1) и С (2; 1) являются противоположными
вершинами, причем АС — меньшая диагональ (рис. 10).
Написать уравнения сторон ромба.
§ 9. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
2.115. Написать уравнение прямой, которая
проходит через точку (—4; 2) и 1) параллельна оси Ох\ 2)
параллельна оси Оу\ 3) параллельна биссектрисе II и IV
координатных углов; 4) образует угол 60Q с прямой у =
= УЪх — 2; 5) перпендикулярна прямой 4х + by —3 =0.
2.116. Показать, что точки Л (1; 2) и В (—2; 3) лежат
по разные стороны от прямой /, уравнение которой 2х —
- у + 4 = 0.
Указание. Сравнить абсциссу тонки пересечения прямых
АВ и / с абсциссами точек Л и В.
2.117. Через точку пересечения прямых Ъх — 2у + 1 =
=■ 0 и х + Ъу — 7 = 0 проведена прямая
перпендикулярно первой из данных прямых. Каково расстояние
получений прямой от начала координат?
2.118. Даны вершины треугольника: Л (—6; 2), В (10; 10),
С (0; — 10). Составить уравнения и найти длины
47

его медианы, высоты и биссектрисы, проведенных из вер-
шины Л.
2.119. Даны две вершины Л (4; 4) и В (1; 0)
треугольника ABC и точка М (1; 3) пересечения его медиан.
Составит^ уравнения сторон треугольника.
2.120. В треугольнике ЛВС, заданном своими верши1
нами А (5; —2), В (—3; —3), С (—1; —6), определить
острый угол между биссектрисой угла С и медианой,
проведенной из вершины Л.
2.121. Найти точку, симметричную точке Л (—5; 2)
относительно прямой Зх — 4у..— 7 = 0.
2.122. Луч света, выйдя из точки Л (—3; 10),
отражается от прямой 2х — Ъу + 23 = 0 и попадает в точку В
(2; 12). Найти уравнение отраженного луча.
Указание. Отраженный луч лежит на прямой, проходящей
через точку В и точку, симметричную точке Л относительно данной
прямой.
2.123. Даны вершины треугольника: Л (—1; 6),
В(—5; —2), С (1; 0). Показать, что этот
треугольник—прямоугольный. Найти центр и радиус окружности,
описанной около треугольника.
2.124. Вершинами треугольника служат точки Л (—8; 1),
В (1; —2), С (6; 3). Найти центр и радиус окружности,
описанной около треугольника.
2.125. Треугольник задАн своими вершинами Л (—2; —1),
В(1; 3), С (—2; 3). Найти центр и радиус окружности,
вписанной в треугольник.
2.126. В треугольнике ABC известны координаты
середин его сторон: Mt (—1; 5), М2 (3; .1), М3 (—5; —1).
Составить уравнения сторон и медиан треугольника.
2.127. Составить уравнение прямой, проходящей через
начало координат и точку пересечения медиан
треугольника, стороны которого заданы уравнениями х — у — 10=
= 0, 2х — Ну — 20 = 0 и 2х + 1у + 16 = 0.
2.128. Даны вершины четырехугольника: Л (—1; 0),
В (0; 5), с( 2—; 5], D (2; —1). Показать, что около этого
четырехугольника можно описать окружность. Найти центр
этой окружности.
2.129. Даны координаты вершин треугольника:
К (4;—2), L (—2; 5), М (—5; 0). Требуется: 1) составить
уравнения высот; 2) убедиться в том, что все высоты
пересекаются в одной точке.
48

2.130. Составить уравнение прямой, отстоящей от
точки Р (4; 1) на расстоянии, равном 3 единицам, и
параллельной прямой 8* + 15# — 1 = 0.
2.131. Показать, что отрезки прямых 2х— у + 4 =
= 0, х — Ъу + 5 = 0, 4х — 2у + 1 = 0 и 2х + у — 5 =
= 0 образуют трапецию. Найти внутренние углы трапеции.
2.132. Известны уравнения сторон четырехугольника
х _ 2у + 2 = 0, х — 2у — 10 = 0, х — 4у — 8 = 0 и
х — 4у + 8 = 0. Найти его площадь.
2.133. Показать, что точки М (4; 3), N (5; 0), Р (—5;—6)
и Q (—1; 0) являются вершинами трапеции. Найти острый
угол между диагоналями и высоту этой трапеции.
2.134. Известны две вершины А (5; —4) и В (7; 4)
треугольника ABC и точка Р (6; —4) пересечения его высот.
Составить уравнения сторон треугольника и найти его
площадь.
2.135. В параллелограмме известны уравнения двух
сторон 7х — 24у + 13 = 0 и Зх — 4у + 20 = 0 и точка
пересечения диагоналей (—7; 1). Определить длины высот
параллелограмма.
2.136. Даны уравнения двух сторон ромба х + 2у —
— 7 = 0 и х + 2у — 13 = 0 и уравнение его диагонали
х — у + 2 = 0. Найти координаты вершин ромба и
вычислить его площадь.
2.137. Две вершины "равностороннего треугольника
находятся в точках Л (1; 0) и В (2; ]/3). Найти третью
вершину С.
2.138. В равнобедренном прямоугольном треугольнике
даны вершина прямого угла С (—3;—1) и уравнение
гипотенузы Зх + у — 2 = 0. Составить уравнения катетов и
найти две остальные вершины.
2'. 139. Точки (—3; 1) и (—7; —5) являются
противоположными вершинами квадрата. Найти две его другие
вершины.
2.140. Составить уравнения прямых, параллельных
прямой Ъх + \2у = 0 и отстоящих от нее на расстоянии,
равном 3 единицам.
2.141. Составить уравнения биссектрис углов,
образованных прямыми 3* + 4г/ — 2 = 0 и 12* + 9у + 13 = 0.
Убедиться в том, что эти биссектрисы перпендикулярны
друг к другу.
Указание. Задача сводится к проведению биссектрисы
внутреннего угла А треугольника ABC, где А -^ точка пересечения
заданных прямых, а В и С — точки, лежащие на этих прямых.
49

ГЛАВА 3
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
в 1. ОКРУЖНОСТЬ
9>
1 s(aiti_
\ °
г \
У **
Уравнение окружности с центром в точке S(a\ Ь) и радиусом
г имеет вид
(х - а)2+ (у - Ь)*= г2. (1)
Это каноническое уравнение окружности (рис. 11).
Уравнение второй степени
относительно текущих координат
х и у является уравнением
окружности тогда и только тогда,
когда в этом уравнении
коэффициенты при квадратах координат
равны, а член с произведением
координат отсутствует. Таким
образом, это уравнение имеет
вид
Ах2+ Ау*+ Сх+ Dy + F = 0.
(2)
рис ц В этом случае говорят, что
окружность задана общим,
уравнением.
Для определения координат центра и радиуса окружности,
заданной общим уравнением, надо с помощью тождественных
преобразований уравнение (2) привести к виду (1).
3.1. Составить уравнение окружности с центром в
заданной точке S и данным радиусом г: 1) S (4; —7), г = 5;
2) S (-6; 3), г = V2; 3) S (3;_-2), г = 3; 4) S (0; -2),
г = ±1 5) S(-1;0>' r = V*-
3.2. Как расположены по отношению к окружности
(х — 2)2+ (у — 3)2= 25 следующие точки: А (—1; —1),
В (2; -3), С (-3; 5), D (4; -1), Е (2; -2); F (5; 7), *(1; 0)?
3.3 Проходит ли окружность с центром в точке S (—5; 7)
и радиусом, равным 10, через точку М (—11; 15)?
3.4. Окружность с центром в точке S (12; —5)
проходит через начало координат. Составить уравдение этой
окружности.
3.5. Известно, что концы одного из диаметров окруж-
60

ности находятся в точках Mi (2; —7) и М2 (—4; 3). Составить
уравнение окружности.
3.6. Составить уравнение окружности, диаметром
которой служит отрезок прямой 12* + Ъу + 60 = 0,
заключенный между осями координат.
3.7. Окружность касается оси Ох в начале координат
и пересекает ось Оу в точке (0; —10). Составить уравнение
окружности.
3.8. Составить уравнение окружности, имеющей центр
на оси Ох и проходящей через точки А (б; 4|/2) и
В (0;-21/5).
3.9. Окружность, проходящая через две точки А (3; —1)
и В (—4; —8), имеет радиус г = 13. Написать уравнение
окружности.
3.10. Составить уравнение окружности, касающейся
осей координат и проходящей через точку М (2; 1).
Решение. Так как окружность касается осей
координат, то она полностью лежит в одной из координатных
четвертей, а именно в I четверти, поскольку одна из ее точек
М (2; 1) находится в этой четверти. По той же причине
центр искомой окружности S (а; Ь) равноотстоит от осей
координат. Следовательно, он имеет равные положительные
координаты (а=6>0), а радиус г этой окружности равен а.
Таким образом, каноническое уравнение искомой
окружности принимает вид
(x-af + {y-af = a*.
Для нахождения а воспользуемся тем, что точка М
(2; 1) лежит на окружности:
(2-а)2+(1-а)2=а2,
или
а2— 6а + 5 = 0.
Отсюда ai= 1 и а2= 5. Это означает, что условию задачи
удовлетворяют две окружности:
(*-l)2+(f/-l)2= 1
(*-5)2+Q/-5)2=25. '
3.11. Окружность, касающаяся осей координат,
проходит через точку М (—2; —4). Написать ее уравнение.
3.12. Составить уравнение окружности, касающейся
координатных осей и лежащей в IV четверти, если ее
радиус равен "J/5.
61

3.13. Центр окружности, касающейся осей координат,
лежит на прямой 2х — у + 3 = 0. Составить уравнение
окружности.
3.14. Составить уравнение окружности, проходящей
через три данные точки: А (—1;3), В (—2; —4) и С (6; 2).
3.15. Вершины треугольника имеют координаты А
(—2; 9), В (—4; 5) и С (5; 8). Найти уравнение описанной
около треугольника окружности.
3.16. Окружность, центр которой лежит на прямой
х — у— 1 =0, проходит через точки М (4; —11) и
N (6; 3). Составить уравнение этой окружности.
3.17. Окружность, проходящая через точки М (—8;
—10) и N (—1; 7), касается оси ординат. Составить ее
уравнение.
3.18. Определить координаты центра S и радиус г
окружности, заданной общим уравнением
9х2+ 9у2+ 36* — 18у + 20 = 0.
Решение. Приведем данное уравнение к виду (1).
Для этого разделим все его члены на 9, а затем сгруппируем
отдельно члены, содержащие х и у:
(*2 + 4*) + (*/2--2*/)+-^- = 0.
Дополним выражения, стоящие в каждой из скобок, до
полного квадрата:
Х2 + 4х = (х2+ 2х- 2 + 22) — 4 = (х + 2)2— 4;
У2- 2у = (у2- 2у. 1 + I2) - 1 = (у - I)2- 1.
Теперь данное уравнение принимает вид
{х + 2)2_ 4 + (y-l)»_l+^- = 0f
или
(х+2)2 + (У-\)2-^- = 0,
откуда
(* + 2)* + (f/-l)2 = (4)2-
Сравнивая это уравнение с уравнением (1), получим
5
а = —2, 6=1 и г = -у. Таким образом, данная окруж-
5
ность имеет центр в точке S (—2; 1) и радиус г = -<р
62

3.19. Для указанных окружностей определить
координаты центра S и радиус г. 1) х2+ у2— 8х+ Щ — 29= 0;
2) х2+ у2+ 16* — 20у — 5 = 0; 3) х2+ у2+ 7у — 18 = 0;
4) 2х2+ 2у2— 12х — 7 = 0; 5) 4х2+ 4у2+ 16* — Ъ2у —
— 41 = 0; 6) 9х2+ 9у2— 72* + 18*/ — 208 = 0.
3.20. Найти точки пересечения с осями координат
каждой из окружностей: 1) х2+ у2— 4х + 4у + 3 = 0;
2) х2+ у2+ 6х + lit/ + 10 = 0; 3) 9х2+ 9у2— 9х — 4 -
= 0.
3.21. Составить уравнение окружности, проходящей
через точку А (3; —£) и концентрической с окружностью
х2+у2+6х — 4г/ — 62 = 0.
3.22. Найти расстояние между центрами окружностей
х2+ У2+ 6х — 14у — 6 = 0 и х2+ у2— 24* + 20 — 51 =0.
3.23. Найти точки пересечения прямой х — у + 1 =
= 0с окружностью х2+ у2— 4х + 16у — 5 = 0.
3.24. Составить уравнение общей хорды двух
пересекающихся окружностей х2+ у2+ \2х —Юг/ + 45 = 0 и
х2+ у2— 8х + 6у = 0.
3.25. Показать, что окружности х2+ у2+ \2х — 14г/ +
+ 49 = 0 и х2+ у2— 18х + 2у — 39 = 0 касаются
внешним образом, и написать уравнение их общей касательной
в точке касания.
Указание. Две окружности касаются друг друга внешним
образом в том и только в том случае, если длина отрезка,
соединяющего их центры, равна сумме радиусов этих окружностей.
3.26. Как расположены относительно окружности х2+
+ у2+ 8х — 4{/ — 5 •= 0 следующие прямые: 1) х — у +
+ 2 = 0; 2) Зх + 4у — 21=0; 3) х — у — 2 = 0?
3.27. Окружность задана уравнением х2+ у2— 6х +
+ 14у — 6 = 0. Составить уравнение ее диаметра,
перпендикулярного хорде х — 2{/ — 2 = 0.
3.28. Дана окружность х2+. (у — 2)2= 9. Через точку
Р (1; -J-J провести такую хорду, которая в этой точке
делилась бы пополам.
3.29. Составить уравнение окружности, которая имеет
центр в точке S (8; 6) и касается прямой Ъх — \2у — 46 =
= 0.
3.30. Написать уравнение касательной к окружности
х2+ у*= 13 в точке М (—2; —3).
53

3.31. Окружность задана уравнением (х — 2)2+
+ (У + 4)2= 25. Составить уравнение касательной в
точке М (-2; -1).
3.32. Провести касательную к окружности х2+ у2—
—4# + 6у = 0 в точке М (4; —6).
§ 2. ЭЛЛИПС
Эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний
которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами
эллипса, есть величина постоянная (2а), большая, чем расстояние
между фокусами (2с).
Рис. 12
Рис. 13
Простейшее уравнение эллипса получается, если расположить
координатную систему следующим образом: за ось Ох принять
прямую, проходящую через фокусы Fi и F*, а за ось Оу —
перпендикуляр к оси абсцисс в середине отрезка F1F2 (рис. 12). Тогда
уравнение эллипса примет вид
х2 и2
где Ь2= а2— с2.
Точки Ai и Лг, В\ и Въ пересечения эллипса с его осями
симметрии (координатными осями) называются вершинами эллипса.
Отрезки Л1Л2— 2а и В1В2— 2Ь называются осями эллипса, причем
Л1Л2— большой осью, а В1В2— малой осью, так как а > Ь. Таким
образом, параметры а и Ь, входящие в уравнение эллипса, равны
его полуосям.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния
между фокусами к его большой оси, т. е.
е =
(2)
Очевидно, что е < 1.
54

Если эллипс, определяемый уравнением вида (1), расположен
так, что его фокусы лежат на оси Оу (рис. 13), то тогда Ь > а и
уже большой осью будет отрезок £iZ?2= 26, а малой осью —
отрезок AiA2= 2a. Эксцентриситет такого эллипса, вычисляется по
формуле
е = 4; (2')
где с = у Ь2— а2
3.33. Найти оси, вершины, фокусы и эксцентриситет
эллипса
9х2+ 25у2— 225 = 0.
Решение. Приведем данное уравнение к
простейшему виду (1), для чего свободный член перенесем вправо
и разделим на него все члены уравнения. В результате
получим
25 ^ 9 — ]»
ИЛИ
х2 у2
4- -2—= 1
5* ^ За
Сравнивая полученное уравнение с уравнением (1),
находим а ='5, 6 = 3. Отсюда оси эллипса 2а = 10, 26 =
= 6, а координаты вершин таковы: А± (—5; 0), А2 (5; 0),
Bi (0; —3), В2 (0; 3). Далее, имеем с = ]/а2— Ь2 =■
= /25-9 = 4.
Следовательно, фокусы эллипса находятся в точках
Fi (—4; 0) и F2 (4; 0). Эксцентриситет эллипса вычисляем
с 4
по формуле (2): е = — = -=- .
CL О
3.34. Найти координаты вершин, оси, фокусы и
эксцентриситет эллипсов:
1) 16х2+ 25*/2= 400; 2) 4х2+ 9у2= 36;
3) 16ха+ 9у*= 144; 4) 25х2+ 9у2= 900.
3.35. Как расположены по отношению к эллипсу
-J +-j§- = 1 следующие точки: А (—3; 0), fi (0; — 5),
C(2;3),D(—1-{ уПТ),£(-2;-2) и F (з; -1)?
3.36. Составить простейшее уравнение эллипса,
фокусы которого лежат на оси Ох, есуш его полуоси равны
4 и /57
3.37. Составить простейшее уравнение эллипса, фо-
бб

кусы которого лежат на оси Ох, если известно, что он
проходит через точки ЛЫ 1; —5~| и Мг(—2;0). Найти
координаты фокусов эллипса.
3*38. Известны большая полуось эллипса а = 4 и
точка М (—2; —¥—\, лежащая на эллипсе. Составить
простейшее уравнение эллипса и найти расстояние от точки М
до фокусов эллипса.
3.39. Составить простейшее уравнение эллипса, у
которого длина малой оси равна 24, а один из фокусов имеет
координаты (—5; 0).
3.40. Расстояние между фокусами эллипса равно 30,
а большая ось, лежащая на оси Ох, равна 34. Написать
простейшее уравнение эллипса и найти его
эксцентриситет.
3.41. Написать простейшее уравнение эллипса, у
которого сумма полуосей равна 36, а расстояние между
фокусами, лежащими на оси Оу, равно 48.
3.42. Малая полуось эллипса, расположенная на оси
Оу, равна 3]/^ а эксцентриситет его е= -^ . Составить
простейшее уравнение эллипса и найти координаты eFo
фокусов.
3.43. Составить простейшее уравнение эллипса, если
известно, что один из его фокусов находится в точке
2
(6;0), а эксцентриситет е = -у- .
3.44. Определить эксцентриситет эллипса, если
известно, что его малая ось видна из фокуса под прямым
углом.
3.45. Расстояние между фокусами эллипса равно
расстоянию между вершинами большой и малой осей. Найти
эксцентриситет эллипса.
3.46. Показать, что уравнение
5х2+ 9у2— 30* + 18*/ + 9 = 0
представляет собой уравнение эллипса. Найти центр, оси,
вершины, фокусы и эксцентриситет этого эллипса.
Решение. Приведем данное уравнение к
простейшему виду. Для этого сгруппируем отдельно члены,
содержащие переменные х и у:
(5х2— 30*) + (9у2+ 18у) + 9 = 0.
56

В каждой из скобок вынесем коэффициент при квадрате
переменной, а затем выделим полный квадрат:
5ха— 30* = 51(*а— 2- Зх + 9) — 9] = 5(х — 3)а— 45;
9г/а+ 18» = 9[(r/a + 2y+l)-l]-9{y+ 1)а- 9.
Данное уравнение преобразуем теперь к виду
5(* _ 3)а+ 9(*/ + 1)а — 45 — 9 + 9 = 0,
или
откуда
5(х-3)4-9(0+ 1>а= 45,
(у + 1)а
(*-3)»
9
+
= 1.
Введем
обозначения дс' = х — 3,
у'= у + 1.
Произведенную замену
переменных будем
рассматривать как
преобразование
декартовых координат (х\ у)
в координаты (х ; у)
при параллельном
сдвиге координатных
осей, причем новое
начало координат
находится в точке
О' (3; —1) (рис. 14). В Рис. 14
этой системе
координат уравнение эллипса имеет вид
*2 у'2
Таким образом, заданное уравнение определяет эллипс
с центром в точке О' (3; —1) и полуосями а = 3 и Ь = УТ.
Кроме того, с =Уа2 — Ь2 = |/"9 —5 = 2; отсюда находим
с 2
эксцентриситет е = — = !Г *
Остается найти координаты вершин и фокусов эллилса.
В новой системе координаты вершин таковы: А{ (—3; 0),
А2 (3; 0), Bi (0; —УЪ) и В2 (0; УЪ)\ координаты фокусов
67

Ft (—2; 0) и F2 (2; 0). Так как старые координаты
выражаются через новые по формулам х = х'+ 3, у = у'— 1,
то, возвращаясь к первоначальной системе координат,
окончательно получим: ЛА (0; — 1), А2 (6; — 1),
В, (3j- УЪ- 1), В2(3; 1/5-1), Л (1; -1), F2 (5; - 1).
3.47. Найти центр, оси, вершины, фокусы и
эксцентриситет эллипсов:
1) 9х2+ 18* + 16*/2— 64*/ — 71 = 0;
2) 9*2+ Юу2+ 40y — 50 = 0.
3.48. Составить уравнение эллипса, длина большой
оси которого равна 20, а фокусы находятся в точках
Л (-1; 0) и F2 (5; 0).
3.49. Составить уравнение эллипса, фокусы которого
Fi (—4; —2) и F2 (2; —2), а эксцентриситет е = -g- .
3.50. Малой осью эллипса служит отрезок,
соединяющий точки Si (5; 1) и В2 (5; —7); расстояние между его
фокусами равно 10. Составить уравнение эллипса и найти
координаты фокусов.
3.51. На эллипсе 5х2+ 9у2= 180 найти точку,
расстояние которой от правого фокуса в два раза меньше
расстояния ее от левого фокуса.
3.52. Дан эллипс 16jc2+ 25у2= 400 и окружность,
имеющая центр в верхней вершине малой оси эллипса и
проходящая через его фокусы. Найти точки пересечения
эллипса и окружности.
3.53. В эллипс 8х2+ 10#2= 160 вписан
прямоугольник, две противоположные стороны которого проходят
через фокусы. Найти площадь этого прямоугольника.
3.54. Эллипс, эксцентриситет которого е = -^-, а
фокусы лежат на оси Ох, проходит через точку М (—4; УТЕ).
Составить простейшее уравнение эллипса и найти
расстояния от его фокусов до точки М.
3.55. Найти длину отрезка прямой 3% — 4у — 12 = 0,
заключенного внутри эллипса 9х2+ \6у2= 144.
х2 и2
3.56. Найти точки пересечения эллипса -§- + ■— = 1
с биссектрисами координатных углов.
3.57. Найти точки пересечения эллипсов
36 + 3 ~" 1 И 12 + 4 " Ь
58

3.58. Составить уравнение общей хорды эллипса -rg- +
и2
+ -^т- = 1 и окружности х2+ у2— 8у = 0.
3.59. На эллипсе 6х2+ 8у2= 120 найти точки,
отстоящие от его большой оси на расстоянии, равном 3 единицам.
3.60. Найти длину хорды, проходящей через фокус
эллипса 13jc2+ \8у2= 468 и перпендикулярной его
большой оси.
§ 3. ГИПЕРБОЛА
Гиперболой называется геометрическое место точек,
абсолютная величина разности расстояний которых от двух данных точек,
называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), меньшая,
чем расстояние между фокусами (2с).
Рис. 15
Простейшее уравнение гиперболы получается, если
расположить координатную систему следующим образом: за ось Ох
принять прямую, проходящую через фокусы F\ и F*, а за ось Оу —
перпендикуляр в середине отрезка F1F2 (рис. 15). Тогда уравнение
гиперболы примет вид
где Ь2= с2— а2.
Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с
одной из которых (осью абсцисс) она пересекается в двух точках
А\ и Аг, называемых вершинами гиперболы. Отрезок А\Аъ
называется действительной осью гиперболы, а отрезок В\Вг— мнимой
осью гиперболы.
Таким образом, параметры а и Ь, входящие в уравнение
гиперболы, равны ее полуосям.
59

Рис. 16
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение
расстояния между фокусами к ее действительной осш
е =
Очевидно, что е > 1.
Гипербола имеет две асимптоты,
Ь
у-— — *•
уравнения которых
(2)
.(3)
Если мнимая ось гиперболы направлена по оси Ох и имеет
длину 2а, а действительная ось длиной 2Ь направлена по оси Оу,
то уравнение гиперболы (рио. 16) имеет вид
--7Т- +
JL
6а
1.
Эксцентриситет такой гиперболы вычисляется по формуле
с
(4)
(2')
Ее асимптоты те же, что и у гиперболы (1).
Гиперболы (1) и (4) называются сопряженными.
Гипербола называется равносторонней, если ее действительные
и мнимые оси равны, т. е. а = Ь. Простейшее уравнение
равносторонней гиперболы имеет вид
или
дга— у2= а*.
(б)
(5')
60

3.61. Найти оси, вершины» фокусы, эксцентриситет
и уравнения асимптот гиперболы
16*2— 9у2— 144 = 0.
Решение. Перенесем свободный член вправо и
разделим на него все члены данного уравнения. В результате
получим простейшее уравнение гиперболы
х* у*
~ — Те"-1'
или
32 4а
Сравнивая это уравнение с уравнением (1), находим
а = 3, 6 = 4. Таким образом, действительная ось
гиперболы 2а = 6, а мнимая ось 26 = 8; координаты вершин
At (—3; 0) и Л2 (3; 0). Далее, с = Уа*+ 6а= ]/9 + 16 =
= 5; следовательно, фокусы гиперболы находятся в
точках Ft (—5; 0) и F2 (5; 0). Эксцентриситет гиперболы вычис-
с 5
ляем по формуле (2): е =— = -^-. Наконец, подставляя
значения а= 3 и 6=4 в формулы (3), получаем уравнения
асимптот гиперболы: f/ = y х и у = g- x.
3.62. Найти координаты вершин, оси, фокусы и
эксцентриситет следующих гипербол:
1) Ах2— Ъу2— 100 = 0; 2) 9х2— 4t/a— 144 = 0;
3) 16л:2— 9у2+ 144 = 0; 4) 9х2— 7у2+ 252 = 0.
3.63. Составить простейшее уравнение гиперболы,
действительная ось которой лежит на оси абсцисс и
проходящей через точки Mt (3; —2) и М2 (—6; 2уТ0). Найти
эксцентриситет и координаты фокусов гиперболы.
3.64. Составить простейшее уравнение гиперболы,
действительная ось которой равна 6, а расстояние между
фокусами равно 8. Написать уравнение сопряженной
гиперболы.
3.65. Сумма полуосей гиперболы равна 17, а эксцентри-
13
ситет е = -т£-. Написать простейшее уравнение гиперболы
и найти координаты ее фокусов.
3.66. Составить уравнения прямых, проходящих через
фокусы гиперболы 7х2— 5j/2= 35 и образующих с бсью
Ох угол 60е.
61

3.67. Через точку М (—5; 2) провести прямые,
параллельные асимптотам гиперболы 9л:2— 4*/2= 36.
3.68. Асимптотами гиперболы служат прямые у =
з
= ±-j- х, а один из фокусов находится в точке (—10;0).
Написать уравнение гиперболы и найти ее эксцентриситет.
3.69. Эксцентриситет гиперболы равен 1^3, а фокусы
находятся в точках (6; 0) и (—6; 0). Составить уравнение
гиперболы и написать уравнения ее асимптот. ♦
3.70. Определить острый угол между асимптотами и
эксцентриситет гиперболы х2— Зу2= 27.
3.71. Точка М (6; —2]/2) лежит на гиперболе, урав-
2
нения асимптот которой у = ± -«- *• Составить
уравнение гиперболы.
3.72. Составить уравнение гиперболы, имеющей об-
х2 и2
щие фокусы с эллипсом -gj- + -|g- = 1 при условии,
что эксцентриситет ее е = 1,2.
3.73. Известно, что гипербола проходит через фокусы
эллипса-^* + -J§5" = *» а ее Ф0КУСЫ находятся в
вершинах этого эллипса. Составить уравнение гиперболы.
3.74. Составить простейшее уравнение гиперболы с
фокусами на оси Оу, если известно отношение ее полуосей
— = — и точка М (4; —З^^б), лежащая на гиперболе.
3.75. Написать уравнения гиперболы и ее асимптот,
если вершины ее находятся в точках (0; 4) и (0; —4), а эк-
3
сцентриситет е = -s-.
3.76. Уравнения асимптот гиперболы имеют вид у =
4
= ± -jr- х, а один из ее фокусов находится в точке
(0; 5|^2). Составить уравнение гиперболы и найти ее эк
сцентриситет.
3.77. Составить уравнение равносторонней гиперболы,
проходящей через точку А (—]/ТГ; l/lT).
3.78. Составить уравнение равносторонней гиперболы,
фокусы которой находятся в фокусах гиперболы 5а:2—
— Зу2= 60.
3.79. Для равносторонней гиперболы, один из фоку
сов которой находится в точке (—7]/^; 0), написать урав
нение сопряженной гиперболы.
62

3.80. Показать, что уравнение
Ъх2— 4у2+ 30л: + 8у + 21 = 0
представляет собой уравнение гиперболы. Найти центр,
оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты этой
гиперболы.
Решение. Приведем данное уравнение к
простейшему виду (ср. с решением задачи 3.46):
5(х2+ 6х + 9) — Цу2— 2у>+ 1) — 45 + 4 + 21 = 0;
5(* + 3)2-4(*/-1)2=20,
(*+3)а (</-1)2
4 5
= 1.
Обозначим *'= х + 3, у'= у — 1. Таким образом,
мы производим преобразование параллельного переноса
осей координат в точку О' (—3; 1). В новой системе
координат данное уравнение принимает вид
5 — 1'
т. е. определяет гиперболу с центром в точке О' (—3; 1)
и полуосями а = 2 и b = Yb (рис. 17). Так как с. =
= Уа2+Ь*= У 4 + 5 = 3, то е = -£- = -|-.
Нетрудно найти координаты вершин и фокусов в новой
координатной системе: At (—2; 0), А2 (2; 0), Л (—3; 0),
F2 (3; 0). Так как х = *'— 3, у = t/'+l, то, возвращаясь
\
/
/
/
А1 )
V
6'
V
\
\\
1
0
ь
V- '
X
Рис. 17
63

к старой системе координат, получим Ai (—5; 1), А2 (—1; 1),
Л (-6; 1), F2 (0; 1).
Остается найти асимптоты гиперболы. В новой системе
координат уравнения асимптот имеют вид у' = ± —х\
т. е. у'= ± i^r- х'. Заменяя теперь х на х + 3, а у1 на
у — 1, получим уравнения асимптот в первоначальной
системе координат:
{/-1=±Х1(х + 3).
3.81. Найти центр, оси, вершины, эксцентриситет и
асимптоты следующих гипербол:
1) 16л:2— 9у2 — 64*— 54*/ — 161 = 0;
2) х2-^ угЧ- 4* - Юг/ - 25 =-0;
3) х2— Ъу2 + 6у — 15 = 0.
3.82. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой
находятся в точках Л (—5; 0) и Л (И, 0), а расстояние
между вершинами равно 12.
3.83. Даны вершины гиперболы At (—9; 2) и А2 (1; 2)
и ее эксцентриситет е = 2,6. Составить уравнение
гиперболы, найти ее фокусы и асимптоты.
3.84. Асимптоты гиперболы взаимно
перпендикулярны, а фокусами ее служат точки Л (—3; —5) и F2 (5; —5).
Написать уравнения гиперболы и ее асимптот.
х* и2
3.85. Найти точки пересечения гиперболы -^г — -^- = 1
со следующими прямыми: 1) х + 6у = 0; 2) * — Ъу = 0;
3) 5* + 21*/ + 6 = 0.
3.86. Через левый фокус гиперболы 9л:2— 16*/2= 144
проведены прямые, параллельные ее асимптотам. Найти
расстояние между точками пересечения этих прямых с
гиперболой.
3.87. Найти точки пересечения равносторонней
гиперболы х2 — у2 = 33 с окружностью х2 + у2 = 65.
3.88. Найти расстояние между точками пересечения
гипербол х2— г/2= 15 и ху = 4.
§ 4. ПАРАБОЛА
Параболой называется геометрическое место точек,
равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной
прямой, называемой дирек трисой параболы.
64

Величина р, равная расстоянию от фокуса до директрисы,
называется параметром параболы; прямая, проходящая через
фокус параболы перпендикулярно ее директрисе, называется осью,
а точка пересечения параболы с ее осью — вершиной параболы.
N
*м|
X
Рис. 18
Рис. 19
Простейшее уравнение параболы получается, если
координатная система расположена следующим образом: за одну из
координатных осей берется ось параболы, а за Другую — прямая,
перпендикулярная оси параболы и проведенная посредине между
фокусом и директрисой.
Тогда уравнение параболы примет вид:
у*= 2рх (рис. 18);
у*= -2рх (рис. 19k.
х*= 2ру (рис. 20);
jra= -2ру (рис. 21).
О)
(2)
(3)
(4)
Уравнение
у = ах*+ Ьх + с (афО) (5)
определяет параболу, ось которой перпендикулярна оси абсцисс.
Рис. 21
3—682
65

Аналогично, уравнение
х = ту2+ пу+р (тф 0) (6)
определяет параболу, ось которой перпендикулярна оси ординат.
Уравнения (б) и (6) приводятся к простейшему виду (1)—(4)
путем тождественных преобразований с последующим
параллельным* переносом координатной системы.
3.89. Определить координаты фокуса и составить
уравнение директрисы параболы у2= 4х.
Решение. Сравнивая это уравнение с уравнением
(1), находим, что 2р = 4, откуда -j- = 1. Таким образом,
точка F (1; 0) —фокус параболы, а прямая х + 1 = 0
— ее директриса. у УХ ^?
3.90. Найти координаты фокуса и написать уравнение
директрисы для каждой из парабол:
1) */2= 8х; 2) */2= —12х; 3) х2= Юг/; 4) х2 = — 16у.
3.91. Составить уравнение параболы с вершиной в
начале координат и фокусом в точке F'(0\ —8).
Решение. Фокус параболы лежит на оси ординат,
а вершина — в начале координат, поэтому уравнение
параболы^можно записать либо в виде х2= 2ру9 либо в виде
х2= —2ру. Далее, поскольку ордината фокуса
отрицательна, то уравнение параболы следует искать в виде х2=
= —2ру. Фокусное расстояние параболы OF = -&- = 8,
откуда 2р = 32 и окончательно получаем
х2= — 32*/.
3.92. Составить уравнение параболы с вершиной в
начале координат, зная координаты фокуса: 1) F (0; 4);
2) F (0; -3); 3) F(6; 0); 4) F(-2,5; 0).
3.93. Парабола симметрична относительно оси Ох,
вершина ее находится в начале координат, а расстояние
между фокусом и вершиной равно 12. Написать уравнение
параболы.
3.94. Парабола, симметричная относительно оси Оу>
имеет вершину в начале координат и проходит через
точку (6; —2). Написать уравнение параболы и определить
координаты ее фокуса.
3.95. Парабола с вершиной в начале координат и осью
симметрии Ох проходит через точку М (-^-; 4 1. Составить
уравнение параболы, найти ее фокус и директрису и
определить длину отрезка, соединяющего фокус с точкой М.
3.96. Директрисой параболы, вершина которой нахо.
66

дится в начале координат, служит прямая 2х — 3 = 0.
Составить уравнение параболы и найти ее фокус.
3.97. На параболе t/2= 36* найти точки, расстояния
которых до фокуса равны 34.
3.98. Через фокус параболы *2= —8у проведена
прямая, составляющая с осью Ох угол 135е. Написать
уравнение этой прямой и найти точку ее пересечения с
директрисой.
3.99. На параболе {/2= 36* взята точка М (*; у),
находящаяся от директрисы на расстоянии, равном 13.
Определить расстояние этой точки от вершины параболы.
3.100. Через фокус параболы у2= 48* проведена
прямая, параллельная заданной прямой у = УЪх +1. Найти
длину образовавшейся хорды.
3.101. Найти точки пересечения параболы у2= 9х с
прямыми: 1) 3* + у — 6 = 0; 2) 2х — у + 5 = 0;
3) {/ — 6 = 0.
3.102. Найти точки пересечения параболы у2= 24*
х2 и2
С ЭЛЛИПСОМ -щ- + —- = 1.
3.103. Составить уравнение и найти длину общей
хорды параболы {/2= 36* и окружности (* + 12)2+ г/2= 400.
3.104. Найти длину общей хорды двух парабол,
вершины которых находятся в начале координат, а фокусы —
в точках Л (—6; 0) и F2 (0; —6).
3.105. Показать, что уравнение
2*2— 12* + у + 13 = 0
представляет собой уравнение параболы. Найти вершину,
фокус, ось и директрису этой параболы.
Решение. Приведем данное уравнение к
простейшему виду. Для этого выразим у через * и в полученном
выражении выделим полный квадрат:
у = _ 2*2+ 12* — 13,
или
у = _2(*2-6* + 4г)>
или
у = _2[ (**_ 2*-3 + 9) - 9 + Щ,
откуда
у = —2(х — 3)2+ 5.
Следовательно,
J/-5 =-2(*-3)2,
3*
67

-4-G>-5) = (*-3)2-
Положим теперь у'= у — 5, х'= х — 3. Тем самым мы
лроизводим преобразование параллельного переноса
координатных осей без
изменения иэ£ направления в
точку О' (3; 5). В новой
8у-М=0 системе координат
уравнение параболы примет
вид
-\у' = *'*•
Отсюда 2р = -у , т. е.
-7г = -о-- Таким
образом, в новой системе
координат данная
парабола имеет фокус
F (О: 1А , осью па-
■(*-+)
рис 22 раболы является ось
О'у' (ее уравнение
х'=0), а уравнение директрисы у = -g- (рис. 22).
Возвращаясь к старой системе координат, получим:
вершина параболы О' (3; 5);
координаты фокуса F:
^=^+3 = 0 + 3 = 3,
^-У; + Б-—L + 6-f,T.e. F(3;f);
уравнение оси параболы х — 3 = 0;
уравнение директрисы у — 5 =-g-, или 8у — 41 = 0.
3.106. Найти координаты вершины и фокуса,
составить уравнения оси и директрисы для каждой из следующих
парабол:
1) у*Ч-2у + 4х-П =0;
2) 4*а+ Ах — Ъу — 19 = 0;
3) х2— 6х + Ъу — 47 = 0;
4) у2+ 8у— х + 16 = 0;
5) х2+ 10* + 6у + 25 = 0.
68

3.107. Найти расстояние между фокусом параболы
х2+ 4* — 4у + 24 = 0 и той точкой ее директрисы,
абсцисса которой равна 5.
3.108. Фокус параболы находится в точке ( ^" ; 4),
а параметр р = 3. Составить уравнение параболы, если
направление ее оси симметрии совпадает с положительным
направлением оси абсцисс.
3.109. Составить уравнение параболы, вершина
которой находится в точке (7; 2), а фокус — в
точке (7; 5).
3.110. Вершина параболы, симметричной
относительно оси Ох, находится в точке (3; 0), а на оси ординат
парабола отсекает хорду, длина которой равна 24. Составить
уравнение параболы, найти ее фокус и директрису.
3.111. Парабола, симметричная относительно оси Оу,
проходит через точку (—6; 1), а вершина ее находится в
точке (0; —5). Составить уравнение параболы, найти ее
фокус и директрису.
3.112. Составить уравнение параболы, фокус которой
находится в точке (-о- ; —1], а директрисой служит
прямая 2х — 3 = 0.
3.113. Вершина параболы находится в точке (—3; 4),
а директрисой является прямая 2у — 9 = 0. Составить
уравнение параболы.
3.114. Парабола, ось симметрии которой параллельна
оси Ох, проходит через начало координат; вершина
параболы А (—-8; —4)..Составить уравнения параболы, ее оси
и директрисы и найти координаты фокуса.
3.115. Мостовая арка имеет вид параболы, уравнение
которой у2= 96*. Найти величину пролета арки, если ее
высота равна 6 м.
3.116. Диаметр параболического зеркала равен 120 см,
а глубина его 15 см. На каком расстоянии от вершины
параболы необходимо поместить источник света, чтобы
отраженный луч был параллелен оси параболы?
3.117. Струя воды, выбрасываемая фонтаном, имеет
форму параболы, параметр которой р = 8. Определить, на
каком расстоянии от места выхода струя падает на землю,
если наибольшая вьГсота подъема равна 4 м.
3.118. Тело, брошенное под острым углом к горизонту,
69

описало дугу параболы и упало на расстоянии 32 м от
начального положения. Определить параметр
параболической траектории, если наибольшая высота, достигнутая
телом, равна 12 м.
- § 5. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
3.119. Какие кривые описываются следующими
уравнениями:
1) х2 +2у2 + 2х — 8у + 5 = 0;
2) 2х2+2у2 — Зх-4у— 10 = 0;
3) Зх2—4у— 12* = 0;
4)3х2 — 4у2— 12* = 0;
5) Зх2— 4у2 — \2х + 24 = 0;
6) у2 + 2у — Ах + 9 = 0;
7) 2х2— 2*/2+2х = 0?
3.120. Через фокус параболы {/*= —8х проведены две
прямые, одна из которых составляет с осью Ох угол 609,
а другая — 1209. Точки пересечения этих прямых с
параболой последовательно соединены между собой. Найти
площадь полученного четырехугольника.
3.121. Составить уравнение эллипса, имеющего общие
фокусы с гиперболой х2— 2(/2= 24, если эксцентриситет
3
его равен —.
5
3.122. Найти длину стороны квадрата, вписанного в
эллипс 9х2 + \6у2 =576.
3.123. Найти расстояние от центра окружности х2+
+ у2+ 6х + 2у — 5 = 0 до асимптот гиперболы 9х2—
— 16*/2= 144.
3.124. На параболе j/2= 32* взяты две точки Mt и
М2, расстояния которых до фокуса этой параболы равны
10. Составить уравнение окружности, диаметром когорой
является отрезок MtM2.
3.125. Вершина параболы лежит в конце одного из
диаметров окружности х2+ у2= 9. Составить уравнение
параболы, если общая хорда параболы и окружности лежит
на прямой у — 2 = 0.
3.126. Под какими углами видны из центра окружности
х2+ у2— 8у — 9 = 0 отрезок, соединяющий фокусы
эллипса 9jc2+ 25t/2= 225, и большая ось этого эллипса?
3.127. Равносторонняя гипербола х2 — у2 = 16 про-
70

ходит через фокусы эллипса. Составить простейшее
уравнение этого эллипса, если отношение эксцентриситетов
гиперболы и эллипса равно V%> -
3.128. Из фокуса параболы у =— опущен перпенди-
16
куляр на прямую, проходящую через центр эллипса
х*+ 2у2+ 6х — 7 = 0 и составляющую с осью Ох угол
135Q. Составить уравнение и найти длину этого
перпендикуляра.
3.129. Директриса параболы пересекает эллипс 9х2 +
+ 20у2 = 324 в точках (—4; 3) и (4; 3), а £асстояние
от этих точек до фокуса параболы равно 2 Y§ .
Составить уравнение параболы. -
3.130. Окружность с центром в начале координат
проходит через фокусы гиперболы — — = 1. Найти
площадь прямоугольника, образованного в результате
последовательного соединения точек пересечения асимптот
гиперболы с окружностью.
3.131. Вершина параболы совпадает g центром
окружности х2+у2—4х — 5 = 0, а фокус —с началом
координат. Составить уравнение параболы; найти точки ее
пересечения с окружностью; вычислить площадь
трапеции, одним из оснований которой является общая хорда
параболы и окружности, а другим — отрезок директрисы
параболы, заключенный внутри окружности.
3.132. Найти угол, под которым из фокуса параболы
х2 — Ах + 8у — 20 = 0 видна большая ось эллипса
х2+ 2у2= 16.,
3.133. Вершина параболы совпадает с одним из
фокусов гиперболы 9х2— 16у2= 144. Составить уравнение
параболы, если известно, что ее директриса проходит через
точки (— 4; — 3) и (— 4; 3).
3.134. Ось симметрии параболы параллельна оси
ординат, а уравнение директрисы у — 10 = 0. Составить
уравнение параболы, если она пересекает ось Ох в точках
(-5; 0) и (11; 0).
3.135. Вершины эллипса, большая ось которого
лежит на оси абсцисс, совпадают с вершинами
равносторонней гиперболы. Составить уравнения обеих кривых, если
известно, что точка М (6; 2), лежащая на гиперболе,
равноудалена от ближайших к ней фокусов эллипса и ?ипер-
болы.

ПРЕДЕЛЫ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ.
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ
ФУНКЦИИ
Число А называется пределом функции у = fcx) при дг,
стремящемся к а, если для любого е > 0 существует число 6 > О
такое, что при 0 < | х — а | < б выполняется неравенство
| f(x) — А | < е. Математически это записывается так:
\imf(x) = A.
х-+а
Если число А\ есть предел функции у — f(x) при дг,
стремящемся к а так, чтодг принимает только значения, меньшие а, то число А\
называется левым пределом функции [(х) в точке а. При этом пишут
lim f(x) = A1.
х-*а—О
Аналогично определяется правый предел функции у = f(x)
при дг, стремящемся к а:
lim /(*) = Л2.
В случае, если левый и правый пределы функции у = f(x)
существуют и равны, т. е. А\= Лг= Л, число А есть предел этой
функции.
Число В называется пределом функции у = [(х) при дг,
стремящемся к бесконечности, если для любого е > 0 существует
число М > 0 такое, что при | х \ > М выполняется неравенство
\1(х) -^В\ < е. Математическая запись имеет вид:
lim/(*) = £.
Функция а(х) называется бесконечно малой при дг,
стремящемся к а, если
lim aW = 0,
лг-*а
Функция а(х) называется бесконечно большой при дг, стремящем-
мя к а, если для любого N > 0 существует число б, такое, что
при 0 < | х — а | < б выполняется неравенство \f(x)\>N.
В этом случае пишут
lim/ (дс) = оо.
72

Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно
большие функции при дг-+оо.
Между бесконечно малой и бесконечно большой функциями
существует тесная связь, которая выражается следующими теоремами.
1. Функция, обратная по величине бесконечно большой,
является бесконечно малой.
2. Функция, обратная по величине бесконечно малой, отличной
от нуля, есть бесконечно большая.
Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:
1) сумма или разность двух бесконечно малых функций есть
функция бесконечно малая;
2) произведение бесконечно малой функции на функцию
ограниченную (в частности, на постоянную или бесконечно малую
функцию) есть функция бесконечно малая.
Бесконечно большие функции обладают следующими
свойствами:
, 1) сумма бесконечно большой функции и функции ограниченной
есть бесконечно большая функция того же знака;
2) сумма двух бесконечно больших функций одинакового знака
есть бесконечно большая функция того же знака;
3) произведение бесконечно большой функции на функцию,
превосходящую по абсолютному значению некоторую положительную
постоянную (в частности, на бесконечно большую функцию) есть
функция бесконечно большая.
4.1. Исходя из определения предела, доказать, что
Нт(2л:—1) = 3.
Решение. Пусть 8 — произвольное положительное
число. Требуется доказать: существует такое число б > О,
что при всех значениях х, удовлетворяющих условию
О < | л: -— 2 | <б, будет выполняться неравенство
|(2*-1)-3|<е.
Для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы
2\х — 2|<е, или |* — 2|< —.
Отсюда, взяв в качестве б число —, получим: для
любого е > О найдено такое б = —, что из неравенства
О < | х — 2 | <б следует неравенство
I (2х - 1) - 3 |< е.
Таким образом, доказано, что lim (2х — 1) = 8.
П

4.2. Доказать, что logflx (0 < а < 1) есть
положительная бесконечно большая функция при х, стремящемся
к нулю справа.
Решение. Для любого М >О неравенство logax>M
выполняется при всех х, удовлетворяющих неравенству
О < х < ам.
Поэтому, полагая б = ам, получим: для любого
положительного числа М указано такое число б, что из
неравенства 0<х<б следует неравенство
logax>M.
Следовательно, lim logflx = + оо, т. е. при 0<а< 1
logflx — положительная бесконечно большая функция при
х, стремящемся к нулю справа.
4.3. Доказать, что функция ах (а > 1) есть бесконечно
малая при х -►■ — оо и положительная бесконечно большая
при х-> + оо.
Решение. 1. Для любого в > О неравенство
| ах — 0 |< е
выполняется при всех x<\ogaz = N. Таким образом,
произвольному е > О поставлено в соответствие такое
число N = loga е, что из неравенства х < N вытекает
неравенство ах< е. Это и означает, что lima* = 0, т.е.
ах (а> 1) — бесконечно малая функция при х -> — оо.
2. Пусть М — любое положительное число. Тогда
неравенство
ах>М
выполняется при всех х> \ogaM = N. Таким образом,
для любого положительного числа М указано такое число
N = log<*M, что из неравенства х> N вытекает
неравенство ах> М.
Следовательно, lim ах = + оо, т. е. ах (а > 1) есть
положительная бесконечно большая функция при х-± + оо„
4.4. Исходя из определения предела, доказать, что:
1) lim (Зх + 2) = 8; 2) lim (5 - 2х) = 5;
3)"m-L = -l; 4) lim-^-=l;
5) lim —5— = 0.
*»„ *» + !
П

4.5. Доказать, что функция f(x) = л? при х -v 0
является бесконечно малой. При каких х значения функции
будут отличаться от нуля меньше, чем на: а) 0,01; б) 0,001;
в) 0,0001?
4.6. Доказать, что функция f(x) = при х-* 4
является положительной бесконечно большой. Каким
должно быть число б > 0, чтобы из неравенства | х — 4 | <б
следовало бы неравенство \f(x) \> Ю Найти б, если:
а) ЛГ= 100; б) N ^ 1000; в) ЛГ= 10 000.
4.7. Исходя из определения предела, доказать, что
log<i* (я>1) при х, стремящемся к нулю справа, есть
отрицательная бесконечно большая функция.
4.8. Доказать, что
lim \ogax = + оо, если а> 1;
lim iogax = — оо, если 0<а<1,
4.9. Убедиться в том, что при 0 < а < 1
lim ах = 0, lim ах = + оо.
Решение. Представим а* в виде
. (т)"
Как было показано в задаче 4.3, функция (—) есть
положительная бесконечно малая при дс-* — оо и
положительная бесконечно большая при х -*> + оо (поскольку
— > 1). Следовательно, в силу теоремы о связи между
а
бесконечно малой и бесконечно большой величинами,
функция а* является положительной бесконечно большой
при х -*• — оо и положительной бесконечно малой при
Х-+ +оо.
4.10. Используя свойства бесконечно малых и
бесконечно больших функций, вычислить:
1) lim 2х sin x\ 2) lim (x log3 х)\ 3) lim (2х -±- 3*);
75

4) lim (— 8x + log x)\ 5) lim {x2 + arctgx).
Указание. Воспользоваться результатами, полученными в
задачах 4.2, 4.3, 4.7, 4.8 и 4.9.
4.11. Доказать, что:
1) lim —— = оо, если lim f(x) = 0;
x+q f (x) x-*a
2) lim —— = 0, если lim <р (х) = оо,
4.12. Доказать, что
lim Ш= о,
*_w, <р(*)
если lim/(а:) = 0, lim <р (я) = оо.
/ (*)
Указание. Представить отношение —-— в виде произведения
/ (х) • и использовать теорему о связи между бесконечно большой
и бесконечно малой функциями.
4.13. Вычислить:
1) Цт«2&£; 2) lim £¥-;
5х
. з) lim ——; 4) lim !£—.
Xm¥+0 l0g3JC x-*+0 *
§ 2. ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ
При вычислении предела элементарной функции f.(x)
приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами
примеров.
1. Функция £(лг) определена в предельной точке х — а.
Тогда
lim f(x)~f(a). (1)
X-+CL
2. Функция 1(х) в предельной точке х = а не определена или
же вычисляется предел функции при лг-юо. Тогда вычисление
предела требует в каждом случае индивидуального подхода. В
одних случаях (наиболее простых) вопрос сводится непосредственно
к применению теорем о свойствах бесконечно больших и
бесконечно малых функций и связи между ними.
7а

Более сложными случаями нахождения предела являются
такие, когда функция Цх) в точке х = а или при дг-кх> представ-
/ 0 оо
ляет собой неопределенность типа — » — , 0- оо, оо — оо,
ОО
-—"-
1°°, 0°. ооо
Приведем основные теоремы, на которых основана вычисление
пределов.
1) Если существуют \imfxix) и lim/2(*), то:
х-+а х-+а
а) lim t/x (x) + f2 (x)] = lira ft (x) + lim f2 (*);
x-+a x-+a x+a
б) lim [/x (x) ■ U (x)\ = lim h (x) ■ lim /, (*);
x-+a x-+a x-+a
lim fx (x)
B) ^аШ-'^Ш fc/.W^0]'
x-+a
2) Если в некоторой окрестности точки х = а (кроме, быть
может, точки а) выполнено условие f.(x) = <р (х) и если предел
одной из этих функций в точке а существует, то
lim/ (х) = lim<p (x).
х-+а х-+а
3) Если существует lim ср (х) и I (х) — элементарная функ-
х-+а
ция, то
\[mf[<?(x)]=f[\\m<?(x)].
х-*а х-+а
Например,
lim W (х) = l/^Hm ср (ж) , lim logc <р (х) == log, lim cp (*).
х-*а г «-►а х-+а х-+а
4) Первый замечательный предел:
lim-^-=l. (2)
5) Второй замечательный предел:
lim [ 1 + — J = lim (1 + а) = е. (3)
jt-*eo \ X / а-*0
4.14. Найти следующие пределы:
1) нт *2 + 5*-3 2) im /_*_ 2cosjcV
' *-*-i logt-(*+1)' ' х-»о \\g\x\ )
3) lim (xlg* —2-*).
77

Y*i I Су тттт О
Решение. 1) Функция f(x) =——— опре-
log2 (х2 +1)
делена в предельной точке х = — 1. Следовательно, по
формуле (1) имеем
ИГЙ *а + б*-3 _ (— 1)а + 5 ■ (— 1) — 3 7_ J_?
Х+-Х log8 (*» + 1) log2 [(- 1)2 + 1] log2 2
2) Функция <р (jc) = —р h 2 cos x в предельной точке
х = 0 не определена. Имеем
lim (—Z h 2cosaA = lim —— + lim (2 cos jc).
x+0 \lg | ДС | / jc^O lg|JT| x*0
Так как
lim —Ц- = 0
*-*o \g\x\
(под знаком предела стоит произведение двух бесконечно
малых функций х и •), а
lgl*l
lim (2 cos x) =* 2,
в силу формулы (1), то
lim ф (х) = 0 + 2 = 2.
3) Так как lim x lg х = + «> (под знаком предела
стоит произведение двух бесконечно больших функций
х и lg х) и lim Тх = 0, то
lim [x\gx — 2-*) = + оо.
В задачах 4.15^-4.34 найти пределы.
4.15. lim Л±±-. 4.16. lim *~** + *
ж-»0,| — ДС+1 *-*2 Ха + 6
4.17. lim **~'—. 4.18. lim (2лГх — у^ + ъ),
sin I — — 2х)
4.19. lim )-2 L. 4.20. lim 23ff..
78

4.21. lim arcsin(x — 1). 4.22. lim arccosV*.
x-*0,b X-+0J5
4.23. lim arctg 5x. 4.24. lim ( h 3 arcctg x ),
x^-~\-eo x-+—co\ X }
4.25. lim [x(x— 1)]. 4.26. lim [x(x — 5) + 3].
4.27. lim (x2 — 2*+ 7). 4.28. lim (— *» — 6x+ 15).
4.29..lim x + $ . 4.30. lim (V 5* — 3 log2x).
JC—l (X + l)a *-+»
4.31. lim ~ x% + 7* , 4.32. lim (x3 — log1/4*) •
5
3/
4.33. lim 0,99 . 4.34. lim \o0tn\x\ .
4.35. Вычислить односторонние пределы:
n i?m 4 2) lim 1
Решение. 1) Пусть х < 2. Тогда при * ->■ 2 — О
функция Jt — 2, а следовательно, и (х — 2)3 есть
отрицательная бесконечно малая; поэтому функция 4
— отрицательная бесконечно большая, т. е.
4
lim = — оо.
х^2-0 (X —2)3
При *:->■ 2 + 0 функция дс — 2, а следовательно, и
(х — 2)3 — величина положительная бесконечно малая;
поэтому 4 • положительная бесконечно большая
J (jc — 2)3
функция, т. е.
4
lim -* =* + во.
х-*2-Н> (* — 2)8
2) Пусть х< 1. Тогда при *-► 1 — 0 имеем: х — 1
— отрицательная бесконечно малая величина; следователь-
но, г-*"- °° и 2 -^0. Отсюда
X-+1-Q l+2l^x"iy
79

Если х> 1, то при x-v 1—0 получим: х—1
—положительная бесконечно малая величина; следовательно,
>+оо и2 *"~-*+оо, тогда гтттггг -* О-
Таким образом,
lim гттгтг = °-
В задачах 4.36—4.44 найти односторонние пределы.
4.36. lim *±L% 4.37. lim 3"~* . 4.38. lim tg2*.
*-»l±0 X— 1 л>>5±0 (X — 5)a ic A
** -±0
4.39. lim (5,A + l). 4.40. lim lg(2""^.
*-*±0 x-*2—0 2 — *
4.41. lim log7log4x. 4.42. lim f |-2arccosx|.
4.43. lim arctg — . 4.44. lim (7x + ctg 3*).
*-*±0 X x-~ 0
4.45. Найти пределы:
1) um ^iSJL±e.. 2) lim 3^J^H;
*-2 xa — 3* + 2 ' ,-o *
3) lim J***1 ; 4) lim (x • ctg Зле); 5) lim J^^L;
6) lim (x - >r*2-3); 7) lim 1^=^.
Решение. 1) Функция /(*) = * """ *"*" в
предельной точке х = 2 не определена. Так как при х = 2
числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, то
мы имеем неопределенность типа —. Преобразуем дробь,
разделив числитель и знаменатель на выражение х — 2,
дающее неопределенность. Тогда
f (х) = *а-6' + 6 = (*-2)(*-3) ^ Jg —3
ll' *»^3* + 2 (*_2)(х^1) х—l'
ЯП

Последнее равенство справедливо при всех х Ф 2.
Таким образом,
/(*) = "7ГГ (при.*¥=2).
х з х 3
Поэтому lim/(я) = lim . Так как дробь впре-
х-+2 х->2 X — 1 X — 1
дельной точке х = 2 определена, то по формуле (1)
получим
lim/(*) = .§=i = -l.
*-*2 2—1
2) В этом случае также получаем неопределенность
q 3 l/jt _(_ 9
типа — . Преобразование функции ср (л:) = — —
и х
сводится к уничтожению иррациональности в числителе:
для этого умножим числитель и знаменатель на
выражение 3+Yx + 9 и затем сократим дробь на хфО.
Отсюда
,- 3 — Ух + 9 ,. —1
lim -—^— = lim
*-*о х х-+о з + Ух + 9
1
3 + "/О + 9 6
3) Здесь имеет место неопределенность типа —. Раз-
оо
делим числитель и знаменатель на я4 (наивысшая степень
х в данной дроби). Тогда
2л:3 Н- 1 ,. х + х4 О Л
lim = lim = г— = — = 0.
^оо 3*4 + 2*а-1 *-*«, з + — _ — 3
X2 X*
4) Здесь получается неопределенность типа 0-оо.
Представим функцию р(х) = A:-ctg Зх в виде дроби, которая в
точке х = 0 дает неопределенность типа —, после чего
преобразуем ее так, чтобы можно было воспользоваться
первым замечательным пределом:
lim {х • ctg 3*) = lim * 'cos Ъх = lim (-*— • cos Зх) =
x-+o x-+o sin3x x-+o \sin3x /
61

= lim — lim cos Ъх = lim —-— • 1 = lim
*-*o sin3* *-o x-+o sin3* x-+o sin3^
X
liml
x-*0 1
sin3* 1# sin3x
lim lim ■
x-+0 X *-*■<) X
Ho lim s n * = 3, поскольку, сделав замену переменной
Х-+0 X
Ъх = / (если х ->■ 0, то и / -* 0) получим
limi!H*£ = llm J^^Hm^.J^.),
jc-^o x t-+o _L *-*o
3
n-
м t
знт — =з. i=3.
1 *
Таким образом, \\т(х • ctg3*) = —- *
*-*o 3
5) Положим arcsin Ъх = y\ тогда Ъх = sin г/, откуда
x =* —sin y\ если x -*- 0, то у -► 0. Следовательно,
Um _агсз1п5, = ,im _rJL_ e 5 ljm _g_ = 5>
*-♦»() * J/4
-°— sin у У*0 siny
6) В этом случае имеем неопределенность типа оо — оо.
Умножив и разделив данную функцию на выражение
х + -/х2 + 3, получим
11ш (,- 1/З^Гз)= lim (»-У?=8)(«+УУТ2. =
*-*» *-« х 4- Vх2 + 3
= lim 1 « 0.
7) Функция г(х) = ( *~ ] при jc->-oo представляет
собой степень, основание которой стремится к единице, а
показатель — к бесконечности (неопределенность типа Iе0).
Преобразуем функцию г(х) таким образом, чтобы ис-
* Более простой метод решения подобных примеров дается в § 3
этой главы.
82

пользовать второй замечательный предел. Для этого из
х о
дроби исключим целую часть:
*-3 _ (*+ l)-4 = l -4
х+1 х+\ х+\
л
и сделаем замену переменной, положив = t. Tor-
Л ~х~ 1
да, если х -+■ оо, то t -> 0 и
-4—2
Шп (1=1Y* = ,im (l + -=1Г = iimC-1 + 0 '
- lim (1+0 ' -(1+0-2 = lim (1+0 /lim(l+0r»=
<-*o L J t-*o t-o
= lim (1+оЧ -1= Hm(l + o4 =e~\
В задачах 4.46 — 4.121 найти пределы.
4.47. lim *
«t.««F.
4.48.
4.50.
4.52.
4.54.
4.56.
4.58.
1111J «
x+o x2 + x
,. 3 — x
lim — .
ж-з *3-27
2л:2 — x — 3
Urn .
з 2x2 — 5* -f- 3
2**-7*-4
l — 2x2 + 5* + 3
lim-!*=£-.
*.♦* Ж3 —64
.. 3** + 2*-l
um .
l 27*3 —1
"mJr=T-
2-*a a4 — а4
*.>_2 Ж+ 2
-4jc-
4.49. lim -
*-*-i x2 —2* —3
4.51. lim 3*i + 2'-1
*—l — x2 + ж + 2
4.53. lim *»-"« + « ,
*-3 2*2 —6* —3
4.55.
4.57.
4.59.
Iim -
lim
z-*—a
lim -
*3 — 8
X2 + X^-G
z* + a*
дГ
*-o |Лс + 4 —2
■4.60. lim ^T5~3-V 4.61. limJ^zlIEL
x-3 3-х «-1 x — 1
83

4.62. lim *-Т6 + *.ч| 4.63. lim У^^~\
*+—* Vl — x—Ъ x-+2 Ух + 2 — 2
4.64. lim *+1 . \(4.65. lim *_=1Ш1.
» '—1*+^ + 2 *-*< 16 —д;2
4.66. lim £lz! 4.67. lim yF~8 .
*-l ]/* -1 *-64 4_^J-
4.68. limi^i-. 4.69. lim *=**+!.
<p-*0 1 — 49 *-*oo *.+ 5
4.70. lim "-»» + ». 4.71. lim * + g"-'-.
mo» л:3 + 3* + 7 *-a> 100л:3 + 2xa
4.72. lim *» + *-'.. 4.73. Jim *»-«" + » .
лг^оо 3*2 — 5* + 6 *-*co — 5*3 + 2*2+ *
4.74. lim ^-7,-12
*-*« 2x2 — 5a: —8
* i* .. V^ + flP-i*P_1 + • • • + <h* + <*o
4.75. lim : •
*-»« ЬрхР + Ьр_гхР-1 + ... + M + b0
4.76. lim f— —V /4.77. lim (—i- —V
4.78. lim (— —). 4.79. lim (— —).J
4.80. lim (x —V 4.81. lim (-£ A
x+w\ *a + 1/ *-+« \* + 3 /
4.82. lim (tgx — secx). 4.83. Iim(ctg2x — 2 cosec4*).
it Х-И)
*- т
4.84. lim (yT+T> — VT). 4.85. lim (x— У21^5) .
4.86. lim (V2T+1 — VT+2).
4.87. lim (l/4J£^T— л;). 4.88. lim (Vx*+\0x —x). •
4.89. lim (л: — 1/FT7T). ,4.90. lim (У№+Зх — 2х)Л
84

4.91. Jim
3*+ 1
/-±00 Э*-1
1 — COS X
4.92. lim
2.5*-3
4.93. lim
4.95. Jim
4.97. lim
x-*0
4.94» lim
*-±oo 9 • 5* + 4
cos*
3cosa
1 + sin 2x
sin x + cosx
sinx —tg*
. „ x
4 sin2 —
-tcos T~sinT
4.96. lim
1 — tgx
it Sin X— COS*
4.98. lim
1+ctg*
к sec * + cosec x
4.99. limilUZi. 4.100. Hm-SlL. 4.101. lim *2ctg5x.
x^o sin 3* ~ ~:- °"
4.102. lim
x-+o sin22x
4.104. lim
' tg lOx
2x '
cos3x
*-*o sin 8jc
4.103. lim
Xf+0 tg2 6* *
4.106. lim sin(1-"> .
*-l X* - 1
4.108. lim Л£51£51.
х-я ig2*
- < <л .. sin2 5x
4.110. lim »„
a:-o arcsin 10*
4.112. lim arc!g(" + 2)
*__2 4 — X2
4.114. limfl —V
л>*оо \ X + 1 /
4.116. lim
,. /*-f5Y
!im ■ }
-00 U + 2/
*+l.
JC-i
4.1
— lY*+s
,8. lim IJSLzl)
*_oo \2*+.l/
4.120. lim (1 +cosa:)"
*-0
sin IOtuc
*-o tg 5x
4.105. limctg2—tg2—.
ж-*о 8 4
4x
4.107. lim
*-*o arcsin 12* <
4.Ю9. m-^^L,
x-+o sin 3x
4.111. lim
x+\ arcsin (jc — 1)
4.113. limfl + ——Y
*-oo\ X— 1/
15. ton (l + ——Y
*-«,\ * +1;
4.1
1 \*r
4.И7. limf^iy.
4.119. lim (1 + sin*)* .'
4.121. lim(tgjt)tg2*.
Указание. Положить !g x =* 1 + a\ тогда если х -► —
4
a-fO.
то
85

t 3. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ.
ПРИНЦИП ЗАМЕНЫ ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ
Бесконечно малые величины а(х) и (J (х) при х -+• а
сравниваются между собой путем вычисления предела их отношения •
Л) Если
lim О,
х-+а р
то а есть бесконечно малая высшего порядка, кем р.
2) Если
а
hm — = оо,
х-+а р
то а есть бесконечно малая пившего порядка, чем$.
3) Если
lim — = с^0,
*-*а р
то а есть бесконечно малая того же порядка, что и р.
В частности, если
Hm-J—1.
*-*а р
то а и Р называются эквивалентными бесконечно малыми (a ~ р).
Например, sin дг ~ * при л* —► 0.
Вычисление некоторых пределов заметно упрощается, если
воспользоваться принципом замены эквивалентными: при
нахождении предела дроби можно бесконечно малые множители, стоящие в
числителе и знаменателе, заменять эквивалентными величинами.
4.122. Пусть jc->0. Сравнить с бесконечно малой
0(*) = х бесконечно малую а(х), если: 1) а(х) — tgjc;
2) a(*) = sin3 x; 3) а(х) = у/"х\ 4) а(х) = sin 2х + х2.
Решение. 1) Имеем
tax ,. sin jc ,. 1 -
lim -£— = lim • lim = L
X-+0 X x->Q X x-0 COS*
Следовательно, tg x ~ x.
2) Так как
Hm il2ll = Hm jilLL . limsin** = 1 . 0 = 0,
*-*0 X *-Ц) X x-*Q

то а{х) = sin3 x есть бесконечно малая высшего порядка,
чем Р(х) = х.
3) Поскольку
. \Г7 1
hm -— = lim -5 e °° i
a(#) = уТ есть бесконечно малая низшего порядка,
чем р(х) = *.
4) Имеем
lim ri,a« + ^ = lim gijLJ! + lim jl E
= Hm f ii^ • 2U lim ^ = 2 lim iH^. = 2.
Таким образом, а(х) = sin 2д: + x2 и Р(лг) = x —
бесконечно малые одного порядка.
4.123. Пусть х-*0. Сравнить с бесконечно малой
8(х) = х2 бесконечно малую у(х): 1) у(х) = tga3x; 2) у(х)=*
= я3 —,2х2+ 3* — 1; 3) у(х) = л^яЧ- sin x\ 4) v(*) -
= 2 — 2 cos х.
4.124. Какая из переменных 1 —х или >/ 1 — х пред-
ставляет собой бесконечно малую более высокого порядка
при х-* 1? '" '
4.125. Показать, что при х-+0
arcsin а: — а: и arctg х — х.
4.126. Показать, что cos 2x при х->— есть беско-
4
I нечно малая величина того же порядка малости, что и
| sin 4x.
\ 4.127. Сравнить^ порядки бесконечно малых величин
| sin х — tg х и x2Yx при х ->■ 0.
| 4.128. Радиус шара стремится к нулю. Показать, что
[ объем его представляет собой бесконечно малую более
j высокого порядка, нежели его поверхность, и того же по-
| рядка, что и объем описанного около шара цилиндра.
j * В задачах 4.129—4.132 доказать эквивалентность бес-
\ конечно малых при х -► 0.
4.129. l_cos*~ —*а. 4.130. у\ + х —1 ~ — *.-
\ 2 2
1 4.131. sinx + tgjc~2jc. 4.132. tgx —sin x~x3.
97

4.133. Найти lim l~**x л
ж-*о sin2 x
Решение. Здесь мы имеем отношение двух
бесконечно малых функций 1 —cos х и sin2 а: при Jt-VO. Для
вычисления данного предела воспользуемся принципом
замены эквивалентными.
Заменим бесконечно малые sin2* и 1 —cos x
простейшими эквивалентными им бесконечно малыми: так как
sin х — х, то
(sin*)2 — *2 и 1—cosjc = 2sin2—~2.f—Y « —.
Тогда
lim J-l£^ = lim^- = -L.
*-*0 Sin2* л:-И) X2 2
В задачах 4.134—4.145, применяя принцип замены
эквивалентными, найти следующие пределы.
4.134.
4.136.
4.138.
4.140.
4.142.
4.144.
lim
х--0
lim-
х-0
lim-
*—0
lim
lim-
x-+0
lim
a-*0
МП ЮЛ
tg 20*
arc sin —
tg2^
*3-f2*2
. «> x
sin2 —
4
x2 tg 6*
*э *
arcsin —
2
sin2 2*3
x2 arctg2 4*2
arctg 8a • sin2
"•
a
T
tg2 "Г • sin 6a
4
4.135.
4.137.
4.139.
4.141.
4.143.
. 4.145.
lim ■
lim-
x-+0
lim
x-+0
lim
lim
lim
<p-*0
51П- ОЛ
1 — cos Ьх
arctg 25*
xsinlx
arcsin -/x*~
x}/T
tg5*
2x — x*
arcsin |/JT
<Pa
arcsin9cp2- tg-r-
sin3 3<p arctg -^-
4

ГЛАВА б
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
§ 1. ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА И ПРИРАЩЕНИЕ
ФУНКЦИИ
Если xi и лг2— значения аргумента дг, a f(xi) и f(x2) —
соответствующие значения функции у = £(дг), то Ах =* хг—х\
называется приращением аргумента х на отрезке [хи х*], а величина
А# = /(^2) — f(xi) = £(*i+ Алг) — f(jri) — приращением функции на
этом отрезке.
5.1. Дана функция у = х2— 2х + 3. Вычислить
приращения аргумента и функции, соответствующие
изменению аргумента: а) от jci= 0доа:2= 1; 6)ot*i= —1дох2= 3.
Решение. Имеем
а) Ах= х2— *!= 1; Ау = (I2— 2-1 + 3) — (О2—
— 2-0 + 3) = —1;
б) Ах = хг — Xt = 3 — (— 1) = 4; Ау=(32 — 2-3 +
+ 3) - [(-I)2- 2- (-1) + 3] = 6 - 6 = 0.
5.2. Найти приращение функции у = х3,
соответствующее приращению аргумента от jci= 1 до х2= 2.
5.3. Найти приращение функции у = х2— 2х + 3,
соответствующее приращению аргумента: а) от Xi= —1 до
*2 = 0; б) от Xi = 0 до хг = —; в) от Xi = 2 до х2 = 5.
5.4. Найти приращение функции у = cos jc,
соответствующее приращению аргумента: а) от xt = — до х2 =
4
= JL ; б) от Xi= -5- ДО *2= 0; в) от *!= — ^ до а:2= 4 •
о 2 6 6
5.5. Для функции у = 9 — а:2 найти Ау, если: а) а: = 0,
Да: = 0,5; б) х = 2, Да: = —1; в) а: = —1, Да: = 0,2.
5.6. Найти приращение функции у = За: — хъ в точке
х = —2, если независимая переменная а: получает
приращение: а) Да: = 2, б) Ах = 0,5; в) Ах = —3.
5.7. Сторона квадрата равна 2 см. Найти приращение
площади квадрата, если его сторона: а) увеличивается^а
0,1 см; 2) уменьшается на 0,2 см.
89

6.8. Радиус шара равен б см. Найти приращение
поверхности и объема шара, если его радиус получает
приращение 0,3 см.
- I 2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ
Первое определение непрерывности. Функция у = [(х)
называется непрерывной в точке х = а, если бесконечно малому
приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое
приращение функции, т. е.
lim Aj/ = 0.
дж-*о
Второе определение непрерывности. Функция у = f(x)
называется непрерывной в точке х = а, если существует предел функции
в этой точке, который равен вначению функции в этой точке, т. е.
lim/(*) = /(а).
Примером непрерывной функции может служить любая
элементарная функция, которая непрерывна в каждой точке своей
области определения.
Точка х = а называется точкой разрыва функции у = /(лг),
если эта функция определена в некоторой окрестности точки х = а,
но в самой точке х = а не удовлетворяет условию непрерывности.
Точки разрыва функции делятся на два типа. К точкам
разрыва I рода относятся такие точки, в которых существуют конечные
односторонние пределы: lim / (х) (левый предел) и lim / (х)
(правый предел). К точкам разрыва II рода относятся те точки, в
которых хотя бы один ив односторонних пределов не существует
или бесконечен.
5.9. Показать, используя первое определение
непрерывности, что функция у = х2 непрерывна в любой точке
числовой прямой.
Решение. Пусть х = Хо — любая точка числовой
прямой; значение функции в этой точке у(х0) = х02.
Придадим аргументу х = х0 произвольное приращение Д*.
В результате функция получит некоторое приращение Дг/,
равное
Ау = (х0 + Ах)2 — х\= 2х0. Ах + ДА
Имеем
lim Ay = lim (2х0« Ддс + Да:2) = 0.
Ддг-*0 Ддг-*0
Следовательно, функция у = дс2, согласно первому
определению, непрерывна в любой точке х = х0 числовой
прямой.
90

В задачах 5.10—5.15, пользуясь первым определением
непрерывности, показать, что данные функции
непрерывны во всей своей области определения.
5.10. у = х2 — 2х. 5.11. (/=1— х\ 5.12. у = —!—.
5.13. */ = **.
+
5.14. y = sinx. 5.15. (/ = cos3*.
5.16. Даны функции 1) у
* + 3
и 2) t/ = .
1
1 + 2{1*
Найти точки разрыва и исследовать их характер. Построить
схематично графики функций в окрестности точек
разрыва.
Решение. 1) Функция у = —- определена при
всех значениях х,
кроме х = —3. Так как
эта функция является
элементарной, то она
непрерывна в каждой
точке своей области
определения, состоящей
из двух интервалов
Ь<х>,-3) и (-8,+оо).
Следовательно,
единственной точкой
разрыва является .точка х =
= — 3 (функция
определена в окрестности этой
точки, в самой же
точке нарушается условие
непрерывности
—функция в ней не
определена). Для исследования
характера разрыва
найдем левый и правый
пределы этой функции
при стремлении
аргумента х к точке
разрыва х = —3:
У\
Рис. 24
91

lim = + oo, lim = — oo.
л^-З+О X + 3 x-*-3-40 X + 3
Следовательно, в точке х = —3 функция у =
* + 3
имеет бесконечный разрыв (рис. 23); точка х = —3 есть
точка разрыва II рода.
2) Рассуждая аналогично, получим, что точкой
разрыва функции у = является точка х = 0.
1 + 2[/х
Найдем односторонние пределы этой функции в точке
х = 0:
lim ! = 0; lim—!—= 1.
*-*+о 1 -f 2X,X *-*—э \+2{1х
Таким образом, л^вый и правый пределы исследуемой
функции в точке разрыва х = 0 конечны (рис. 24).
Поэтому х = 0 — точка разрыва I рода.
В задачах 5.17—5.33 для каждой из заданных функций
найти точки разрыва и исследовать их характер.
5.17. # = —!—. 5.18. у = ! .5.19. у=- 2
2-х " (* + 5)2 " *а-1
Б.20. г/ = —* . 5.21. 0 = -!_. 5.22. */ = -^- .
5.23. у = lg (х - З)2. 5.24. у = —1— . 5.25. у = 5!/Ч2.
5.26. t/ = arctg—. 5.27. f/=lg|sinx|. 5.28. */=arcctg-^.
5.29. r/ =
(2 — x при х < 0,
cos х при 0 < х <
2
7С
0 при х>
2
Решение. Числовая ось, являющаяся областью
определения функции у = f(x)y разбита на три интервала
(— оо, 0], (0, —], |— , +оо J, в каждом из которых f(x)
задана соответственно элементарными функциями: ф(х) =
= 2 — xt ty(x) = cos xf r\(x) = 0 (рис. 25). Внутри каждого
из отмеченных интервалов эти функции определены и,
следовательно, непрерывны. Таким образом, остается ис-
92

следовать функцию /(х) на непрерывность только в точках
х = 0 и х = — ,в которых «стыкуются» области
определения функций, составляющих функцию у = /(х).
Вычислим односторонние пределы функции у = /(х)
в точке х = 0. Так как /(х) = 2— х при х < 0, то
lim /(х) = lim (2 — х) = 2.
Так как / (х) = cos х при 0 < х < — , то
lim /(х)
х-+0
•■ lim cos x = 1.
»♦
f
Рис. 25
Следовательно, х = 0 — точка разрыва I рода; в ней
функция у = /(х) претерпевает скачок.
Односторонние пределы функции у = /(х) в точке х =
= — такдвы:
2
lim / (х) = lim cos x = 0 \f (x) = cos х при 0 < х < —1;
х-* 0 х-*- 0 u J
2 2
lim/(x) = lim0 = 0 [/(*) = 0 при х>-1.
*-» (-0
2
2
Значение функции f(x) в точке х = — равно /(—) = 0.
Отсюда следует, что в точке х = — функция /(х)
непрерывна, так как
93

lim f(x) = lim f(x) = f(^-) = 0,
Таким образом, исследуемая функция у = f(x)
непрерывна на всей числовой оси за исключением точки х = 0,
в которой она претерпевает разрыв I рода — скачок.
5.30. у -.
5.31. у-
х2 при х< 1,
х+ 1 при х> 1.
—дс—1 при *<;—1,
0 при — 1 < х < 0,
У~х при х > 0.
5.32. j/ =
(х при х<0,
— при х>0.
— при дг<0,
5.33. y={sinx при 0<*<-|-,
0 при *>-
в 3. ИНТЕРВАЛЫ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА ФУНКЦИИ
Для нахождения интервалов внакопостоянства элементарной
функции у = f(x)t рассматриваемой на некотором интервале (а, Ь)
оси абсцисс, поступают следующим образом. На интервал (а, Ь)
наносят все те точки, в которых функция 1(х) обращается в нуль
или претерпевает разрыв. Эти точки разбивают интервал (а, Ь) на
несколько частей, в каждой из которых функция 1(х) непрерывна и
не обращается в нуль и, следовательно, сохраняет свой знак. Чтобы
определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой-
либо точке рассматриваемой части оси Ох.
5.34. Найти интервалы знакопостоянства функции
■ Ъх -f- 6
» = ■
х2 + х
94

Решение. Данная функция определена на всей
числовой оси, за исключением точек *= —1 и *=0.
Представив исследуемую функцию в виде
М(|-3)
убеждаемся, что она обращается в нуль при х = 2 и х = 3
и претерпевает бесконечные разрывы в точках х = О и
х = — 1.
Полученные точки *i= —1, дс2= 0, х3= 2, х4= 3
разбивают ось Ох на пять интервалов: (—оо, —1), (—1, 0)
(0, 2), (2, 3), (3, + оо), в каждом из которых функция
сохраняет вполне определенный знак (рис. 26).
Методом проб находим этот знак в каждом интервале.
Для этого подставляем в выражение для у какие-либо
значения из этих интервалов, например, х = —2, х = —0,5,
х = 1, х = 2,5, х = 5. Тогда:
в интервале (— оо, —1) имеем {/(—2) > 0;
> » (-1, 0) » У(_0,5)<0;
» » (0, 2) » f/(l)>0;
ъ > (2, 3) » у(2,5)<0;
» » (3, + оо) » */(5) > 0.
В задачах 5.35—5.57 найти интервалы знакопостоян-
ства следующих функций.
5.35. # = —!L-. 5.36. у=х2—4х+4. 5.37. у=х2+Зх+2.
5.38. г/= 1 — х2. 5.39. */= *2~~4
—*а + 3*
5.40. j,= <*-4>' . 6.41. у- *~1: .
5.42. у = (х*- 2х -3) /Г. 5.43. у = HEL.
4 —дс2
5.44. # = ■ £=^ . 5.45. у = Зх— 1. 5.46. у=2-2х-
(*_5)У7+Г
96

5'-25
5.47. #=- -. 5.48. y = lgx+l. 5.49. y = lg(*+l).
5.50. у = lg (5 — x). 5.51. */ = logi/з * —.2.
5.52. у = logi/7 (x + 3). 5.53. r/ = x lg *.
5.54. t/ = sinx (0<х<2тс). 5.55. j/ = cosx (—tc<x<tc).
5.56. r/ = sin 2x /— i<x<—].
5.57. y^cosfx+^j ^--l-<x<yj.
_ v2 9
5.58. Решить неравенство > 0.
Решение. Найдем интервалы знакопостоянства
функции у= /Sx-2 :
(_ оо, -3), (-3, -1), (-1, 2), (2, 3), (3, + оо).
Выделив из них те, в которых функция положительна,
получим решение данного неравенства: у > О в
интервалах (— oof—3)f (—1, 2) и (3, + оо).
В задачах 5.59—5.73 решить неравенства.
5.59. -^=^ < 0. 5.60. х2 + 2х — 3 > 0. 5.61. ** — 1 > 0.
ж + 2
5.62. ^-±^ <0. 5.63. 3*~*2 <0.
х х2 + 4х -f- 4
5.64. ^-5х + 6<0. 5.65. х2 + 3х + 2>0.
х3—1 *а — 3* + 2
5.66. ^Х (Ъ~Х) >0. 5.67. ?~5х <0. 5.68. 8* — 2*<0.
5.69. (—У — 3<0. 5.70. lg(x + 2)<0. 5.71. lgjc + 2<0.
5.72. logVi(x — 1)<0. 5.73. lg lgx >0.

ГЛАВА в
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
в 1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Производной функции у = [(х) по аргументу х называется
предел отношения ее приращения &у к приращению Ллг аргумента
х% когда приращение аргумента стремится к нулю:
t/ = lim ^9- . (1)
Алг-4.0 ах
Если этот предел конечный, то функция у = [(х) называется
дифференцируемой в точке х. Если же этот предел есть оо, то
говорят, что функция у = £(лг) имеет в точке х бесконечную производную.
6.1. Пользуясь определением производной, найти
производную функции {/= Ух + 1 . Вычислить t/'(8).
Решен и е. Найдем приращение функции у *=
= Ух + 1, соответствующее данному приращению Д*
аргумента х:
Д{/ = У(х + А*) - У(х) = Ух + Дх + 1 -|/ТТ"1.
Тогда
д* Д* ^^^
■■^тшг^- = limг^+**- +» - /*+1
Д*-*0 Ах Дх-*0 А*
= Ит ("Кх + А* + Г- ]Лс + 1 ){Ух + Ах + Г +УТ+Т) в
Д*-о ^ AjKj^x -f Ax -f l + УТ+Т)
-lim ' '
^"^ К* + Ах + 1 -f |/"jr + 1 2Vx+\
Подставляя в выражение для у' значение х = 8,
получим
1 1 1
/(8) =
2J/8+ 1 2*3 6
4—682 97

В задачах 6.2—6.10 найти производные от указанных
функций, пользуясь непосредственно определением
производной.
6.2. у = 5* + 3. 6.3. у - х2— 4. 6.4. у - х2+ Зх —2.
6.6. у--#—4х. 6.6. j/ = ]/x —2 6.7. j/=—L-.
JT — 1
6.8. j/ = sin x. 6.9. у = cos Зх. 6.10. у = tg 2x.
6.11. Дана функция /(*) = 3xa—4*+9. Найти /'(I).
6.12. Дана функция f(x) = sin 2x. Найти /'(—V
6.13. Дана функция f{x) = ctg-£. Найдя /' (x)t вычио
лить f(JL),/'<«>•
6.14. Дана функция/(*) = yGc3". Найти/'(—V /'(0).
6.15. Дана функция f(x)=p x—\. Найти /'(0), /'(!)•
О
6.16. Дана функция <р(х) = — . Показать, что
Ф'(-2) = <р'(2).
6.17. Показать, что функция j/= \х \ не имеет
производной в точке х = 0.
в 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ФУНКЦИИ
Основные правила дифференцирования у
a) <f = 0; б) (и £ о)'« и' ± о'; в) v(a»t>)' « u'o +1^5
г) (т) т ~
я2
Здесь с ■» const, а я в о - дифференцируемые функции
Таблица производных основных алементарных функций
I.1 \я")' e*kx"-*. 4. (tg*)' - —L- .
cos**
2. (sin x)' « cos *;~ 6. (ctg *)' =
sin'jr
1
3. (cos x)' ■« — sin jr. 6. (arcsin x)' =
98

7. (arccos x)' = — —z=- • «О. (a*)' =axln a,' (e*)' = e*.
1/1^** s ' '
8. (arclg^-^. "' ^^'-Т^Г'
в. (arcctg x)' = - -j^_. <ln *>' - "7 •
6.18. Найти производные следующих функций:
1) у = 2х3 - --L- + -J^r; 2) ч/ = (*» + l)sinx;
3) у= *~' ; 4) y = 2* + xlnx.
2arccos х
Решение. 1) Запишем данную функцию следующим
образом:
у=:2х*—х 2 +3х 3 .
Тргда
*,' = (2^-x""T+3x" TJ = (2x3)'-U Т) +(зх"т) _
з
= 2(х*},-[х"Г) + з(х~Т)= 2-3**- (-у) * 2 +
__5.
+ з-(—-\х 3=6*2 +—L—--^..
\ 3) zVx% V~x^
2) Имеем
у' = [(*» + 1) sin х]' = (*3 + 1)' sin х + (х3 + 1) (sin x)' =
= [(*")' + (l)']-sin х + (х3 + 1) (sin *)' = (Зха + 0) sin x +
+ (х* + 1) cos x = Зле2 sin л + (xs + 1) cos*.
3) Имеем ■—•* ^
\ 2 arccos ж 7\ 2 \ arccos ж /
__ 1 (лг-^-IXarccosjr —^ (arccos *)' (л: — 1) __
2 arccos* х
1 «arccos х — [ — —^zzr I (* — 1)
\ V\-x\j
2 arccos2 x
99

arccos x 4 z^^z.
V\ — x2 V\— x2 arccos x + x—1
2 arccos** 21Л-Ж» arccos»*
4) Имеем
г/'=(2'+жinx)'=(2*)'+(*in*)'=2*In 2+[x' In*+x(In*:)'] =
= 2-Чп2+ Ып*+х. — = 2*ln2 + \nx+ 1.
x
В задачах 6.19—6.127, используя таблицу производных
основных элементарных функций и правила
дифференцирования, найти производные указанных функций*.
6.19. у = —5х + 3. 6.20. у = 4л:2— 0,6* +7.
6.21. у=Пх3+2х2—0,95. 6.22. y=2xi—4x3—3xi + — x—l.
6.23. у = — 9л?+ 0,2л:2— 0,1л: + 5.
6.24. у = ах3+ (Ь — 2а)х2+ (За + 2Ь)х — 2а.
6.25. у = 2jT2 — х~1. 6.26. у = х-4 — Злгз — 0,7;г2 + 3.
6.27. г = 0,32ф"3 — 0,11?"1 + 0,24ф.
в.28. у = 1-±+± 5-. 6.29. у 3^-6дс+7 .
6.30. „- 6дг«-7*» + *'-5* + 3 „-**_вЛ
1- i- ' J- JL -1 _JL
6.32. y=x 2 —2x3 +3x3 . 6.33. */=4x2 —9a:2 +2x 2 + 5.
6.34. {/=6jc 3 — За: 3 + 1. 6.35. s=5/2 -2t 3 Н-ЗГ1.
6.36. j/ = — 6J/T +—. 6.37. j/=51/7+3x^7—1^.
6.38. t/ = — ^x2" + 6x2 yT - A + 2.
6.39. у = 2 yT + 9x2 уПр — ЪхуП? + \ .
6.40. f/=(3x — 2) (7л:+ 4). 6.41. y=(2x +5)(—3x2+4x+2).
* Учащимся не рекомендуется увлекаться упрощением
выражений, полученных в результате дифференцирования, так как
основная цель этой главы заключается в освоении техники
дифференцирования, а не в проверке умения производить тождественные
преобразования. \

6.42.
6.43.
6.44.
6.45.
6.46.
6.47.
6.49.
У
У
У
У
У
s
У
■■ (Ах3 — 2х* — 5*) (х2 — 7х).
■■ (9 — 2х) (2х3 — 9х2 + 1).
. (JL + а») (ут -1).
■(в#Т-^)(7*-3).
= (з*'--±)(^7+о,1*).
. (2 fa + t3) (±-УТу 6.48. у = -£-
х—\
5х — 2
. 6.50. j, = *±-3. 6.51. „-J*.
* Злг + 7 а х — 3
6.52. 0=
*±*L. 6.53. у =-L±£L.6.54. y^i^=a..
3-4* !_ух з^+2
6.55. s=
3-4*
\TF-t
6.56. у = *±3*±1
а х* — 3х
6.57.
6.59.
6.61.
6.63.
£/ =
«/=
»=•
J/ =
а -дг» + 2лг + 3 ^ 6>58> гд /у-2у
*3-2 ' """' ^ + 1
3sinx — 5л:cos*. 6.60. i/=2yTsin*— i2!±
дг
(sin* + 3cosx)yT . 6.62. i^^^LL.
' * 2* + 1
6.65. s =
6.67. г
ВГ69. {/ =
6.72. г
—5sin x
2 +J/7
/2 + 2cos f
tint
2cos у — sin <p
3sin <p + cos 9
6.64. i/ =
x — sin x
6.66. y =
1 -f- 4sin*
2 — 3cos ж
6.68. 33/7-cos*
2sin*
-j^tgjr. 6Л0. у-_»*-_. 6.71. y = 4cos* .
ь * einjr+2 v tg*-2x
.-&-•* 6.73. .-—£^L_.
Ctg ДС— 1 2^—1
101

6.74. ,-Atgx-i**-. 6.75. y=-^f + *'
cosx.
6.76. y = — 3arcsInx + 4]/7.
6.77. # = 5arccos x — x2arcsin x. 6.78. у = sin л: • arccos x.
6.79. {/ = (tg x — 1) arcsin x. 6.80. r/ = . arcsln * 2
x+1 *2
3/
6.81. у = Vxarccosx * . 6.82. у = 9^2 + 2
arcsin x arccos x
6.83. yg art*°s* , e.84. 0--22!*£_.
ж — arcsin x *3
6.85. у = — 8yTarcctgx. 6.86. у = 2ardg*~* .
3arcctg x
6.87. i/ = (x — arcctg x) (arctg x — 2x); 6.88. */= -ESELL .
sin* + 1
6.89. у = (\П? — 1) arctg x. 6.90. у = - .
arctg x + arcctg x
6.91. y = ex — 3x2. 6.92. у = 8sinx— 4*. 6.93. j/ = eMgx,
6.94. y»=-2i£.. 6.95. y=x2-3x. 6.96. j/^+^-l).
6.97. jr = -^- . 6.98. у = 5*(x8 — 10*). 6.99. f/= ^^ .
•/^~y" 1 Sill л
в.юо. r= С05? + ?2 , e.101. t/ = 6*arctgx.
6.102. s=-^-. 6.103. |/ = 4*arccosx — —.
er--l **
6.104. {/ = — 4*"~* . 6.105. t/ = 21nx——.
6.106. у^Ъу/lF — 3log9x. 6.107. {/ = x2Iog4x.
6.Ю8. (/ = -^1. 6.109. y= sin*+1, 6.110. j/==^=^.
JT lg ДГ 1ПЛГ
6.111. y = 1о*»* + 1 .6.112. y-iSfei.
102

6.113.г~у' + 1пТ . 6.114. у = -Ш-.
в.Пб 0=ln*-arctg*—~. 6.116. s=(\nt— log,($"&":
6.117. y={yrW-t-lnx){ex— 2У~х).
6.118. f/ = (cosx —2*)(4* + 3sinx). 6.119. у = e*cos*
1 + In*
в.120. у= ***-«»< . 6.121. у=*™Ь*-4
6.122. у TX + l . 6.123. у*Ц£^.
6.124. y- (V7**)» . 6.125. r—iSUSl..
arctg x ctg <p
6.126. 0 = (e*cosx — 4х)(л:2 — e*sinx).
6.127. (3' arccos x — 2arcsin x) {ex + 3х).
6.128. Показать, что если S — площадь круга а г —
dS
его радиус, то — равняется длине окружности
dt
6.129. Показать, что если V — объем шара, a R — его
dV
радиус, то -=— равняется поверхности шара
dR
6.130. Пусть V — объем кругового цилиндра, ft —
его высота, а г — радиус основания. Показать, что при
dV
постоянном г производная — равна площади основания
dh
и dV
цилиндра, а при постоянном п производная — равна бо-
d
ковой поверхности цилиндра.
6.131. Дана функция f(x) = 5х2—ЛбУх + 7. Найти
ГЦ). /'(4), Г (-i-j.
6.132. Дана функция /(ж) = i^x5" — ж Найти /'(1) —
-Я-1).
6.133. Дана функция <р(*) = Зх + — ^ + 6.
Найти корни производной <р'(*)-
' 103

6.134. Даны функции Д(*) = и /2(х) = хsin*.
Найти
М1)
f2 (l)
"6.135. Показать, что функция у — д#* удовлетворяет;
уравнению -^- - il±i>± = 0. j
6.136. Показать, что функция у=*х2\пх
удовлетворяет уравнению у'х — 2у = х2.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Пусть у = #(и) и и « а(лг) — дифференцируемые функции.
Тогда сложная функция // — у[м(х)] есть также дифференцируемая
функция, причем
dy dy du
*-*•«,. —-^-"sr-"^- (1)
Это правило распространяется на цепочку из любого конечного
числа дифференцируемых функций: проивводная сложной функции
равна произведению производных функций, ее составляющих.
6.137. Найти производные функций:
1) у = ln(jc2— Ъх + 1); 2) у = cos2 -^- .
6
Решение. 1) Положим у= In а, где и = *2— За: + 1.
Тогда по формуле (1) найдем
2) Полагая у =.и2, и = cos v, v = — %, получим
б
# 1 1 X X
r/ = yl*ua*vx = 2a-(—sinu)' — = — — cos— • sin— =
*X *U О X * / g 3 6 6
6 3
В задачах 6.138—6.320 вычислить производные от
заданных функций.
6.138. {/=sin(2*— 1). 6.139. у * {Ъх + 2)4.
6.140. t/=cos(— — Зх\. 6.141. t/=-arcsin —.
1С4

ex— 1 .
6.142. у -. arcctg 2 j/*" . 6.143. у = y'e* —
6.144. {/=lns*. 6.145. 0 = ln(3xa—2* + 5).
6.146. i/ = У x* + 4. 6.147. t/ = sin2x:.
6.148. i/ =]/ 1 + j^F . 6.149. y=cos*a. 6.150. i/^tg2"* .
6.151. y = eV"r. 6.152. у - 105"-3*. 6.153. t/=2~.
6.154. у = р x* — 6x. 6.155. 0 = —i—.
In Здг
6.156. t/=*arctg(3— *2). 6.157. {/ =» г^агсвт3 л;.
6.158. y=3eie". 6.159. у = logsK2je2 — 5л;+1 .
6.160. y=fa + log2x. 6.161. y=earccos*. e.iefc. 0=arctg5"*-
6:163. y = ln 5*~3 . 6.164. t/ = ln - .
6/-
6.165. y== sin arcctg x. 6.166. {/ = lni/cosx .
6.167. jf — /" г4-5*. 6.168. у — arctg In x.
6.169. « = —!—. 6.170. y=*V\—ex. 6.171. pa—2—.
* 1паж * * cos 5*
6.172. t/ = sin —. 6.173. i/ = — . 6.174. у =e2*.
x% Vxa — 9
6.175. у = In (arcsin x — x). 6.176. у = б**-3*'*2*.
6.177. у = arccos (л;2 — 1). 6.178. y = 7e~x\
6.179. w = l/ ^^ . 6.180. у = arcsinsinx.
P * + 2
6.181. y= ! . 6.182. у = ctgy^e3". 6.183. y= S^SJL .
In sin* x
6.184. y=> i-^-. 6.185. u= —£__. 6.186. tf=arctg-£=-.
105

6.187. y=cos-?—. 6.188. y=ln{x+yi + x*).
6.189. {/=4ga* —ctg*a. 6.190. y = cos2*+ 4/r.
6»191. y = — (<?M — *"•*). 6.192. 0=21nln*—in 2*.
6
6.193. j/ = yTctg2*. 6.194. у = е-*'1пх.
6.195. # = (* — 2)У*а + 1 . 6.196. у• (3 — Ixf (x — 1)*
6.197. у = Злг/1— ** . 6.198. t/ - 2eVT{yi — l) .
6.199. y=Zt8Xcosx. 6.200. y= "ccos^r fi 20, {/=i^
er * sin 3*
6.202. у = 12*3arctgy'JF. 6.203. у - '"cos* .
6.204. {/ = 1~sin2Ai . 6.205. у - 7-" е"5*-
* l+sin2* *
6.206. y = ln(l — l/T) + 2y4gT.
6.207. {/ = e_jr In tg x. 6.208. f/=arcsina x — У arcctg дс .
6.209. y=e-3xsmZx. 6.210. и= eiX-e"iX .
6.2П. yeJ!S!iLL.e.212. {/=-!iH..
V~\ — x* cos2*
6.213. y —cos(l—iw)V*l—e^. 6.214. y=sm8x-\n — .
О
6.215. y = V* — x2 +2arcsin-. 6.216. {/='»C0SJtVAsln7.
6.217. t/ = 3sin2*cos* + cos3x. 6.218. t/= ctag_^ .
6.219. f/ = бу^ё^"— 7*\ 6.220. у = 32jrctg In x.
6.221. y-iS!"*.. 6.222. y = i2iii.
* 2 — 3* e»-2Jf
6.223. t/ = (5*a — 3*)3 — yV-*-5 + 2 ,

8.224. у=arccos ( -) + — In (x* — 2*).
8.225. y = V7 — 4xctg3*. 8.228. In<2*-1> .,
8.227. # = — * — tog4e*. 8.228. y=cos*- -tg —
1/3-*» 3 2
6.229. # o. 2^* sin3 x. 8.230. y=V2x — xa — arccos (1— x).
8.231. 0 = 2*'-*-tg(-g-— 3*]. 8.232. ^^cosTe-"051"*.
8.233. у = In tg * — ctga x - ctg4 x.
■■ 4
.*-l
* + l
6.234. у = ]/3x — 1 Цп (3*—1)+5]. 8.235. у =* arctg
8.238. у = In (*4 — a2) +ln -*—^ .
дс + о
8.237. y=.x arcsin - +У 9—x* .
«3
v.
8.238. у - arccos i- - HZL . e>239. {, = In cos x
x x ' * lnsinx>
> ,/'
л «л/ч arcsin/jc 0 ft>l< 1—yx
6.240. j/ = . 8.241. у = arccos -—.
l~~7x l+V~x~
6.242. y=2lntgx — . 6.243. у = - sin3* (6cos3jc + 7).
sin2* 3
6.244. 0=ln (r*+*r**). 6.245. у=arctg **""*"* .
з i——
8.248. y = ln-i .
* 2*+l
8.247. у = In /*■■—2x + 2 — 4arctg (* — I).
8.248. у = /1 + xJ arctg* — In (* + ]/l+jts).
8.249. {/= arctg—-—. e.250. y=xe^. 8.251. y=ecos5x .
1 — **
6.252. 0=1/ Jin (2a: — —) . 8.253. i/= 2**'. *
107

6.254. */==ctg]A—x2 . 6.255. у = In2 in*.
6.256. у = arcsin (2ln3 x). 6.257. f/ = ^cos^.
6.258. у = sin2 (tg x). 6.259. */ = arccos sin — .
о
cos(x+— \
6.260. f/ = e2 v 4' . 6.261. */ = inlog4sinx.
6.262. у^З1"21^.
6.263. у = sin6 (yT — l). 6.264. у =2 arccosVsin x .
6.265. */= ln3(x2 —2lnx). 6.266. {/=>/ arcsin (2a: + 1) .
6.267. у = in tg (j - |j . 6.268. */ = a'rcctg (/tg*- l),
6.269. £/ = tg2 (— — ]/T\. 6.270. */ = cosln(2x —x2).
6.271. f/ = 4arctg]/^— 1 . 6.272, */ = sin4cos(7tx—3).
6.273. y=\n(l + sm2x). 6.274. */= In cos-i-.
6.275. r/ = -arcsin j/1 — 4x . 6.276. */ = e l * /,
l
arc
/5 O^O ... -COS** Sill**
6.277. у = 4arc,g 3x. 6.278. у =ecos** - esl
6.279 t/ = > in3 ( -\. 6.280. у = In sin -^±-5 .-
6.281. y = arctg— ' 6.282. r/ = V^sHTjc" e^51*"
6.283. у = - . 6.284. у = arcctg In —.
arctge4* x2
6.285. у = ! . 6.286. y = x arcsin (3lna л;).
" cos* a* '
6.287. t/= —. 6.288. «/=7^ '+* .
V 1 + cos2 x
6.289. y= arctg у i . 6.290. у = 12°°* v~ "*/.
108

6.291. f/= C0SVrjfi>+1 , 6.292. y = in ctg—+—i—.
YT^T 2 s[nx
. -s-ctg»*
6.293. у = arcsin У 1— ex . 6.294. у = sin x • e
6.295. y= 6sln,*+4sln*. 6.296. t/= 1 + lnsin2y .
sin 2*
6.297. у = e~* - ]/"sin -j-. 6.298. #=4 (у13* —tgl/liT) .
6.299. # =sin3jr-cos23*- 6.300. y = lnx-sin V In a; .
6.301. ^Sarctg/5*"—ln(e5*+l}. 6.302. i/=2/s"nrrtgje.
6.303. w=2lntg — + ! . 6.304. у = in 1+stn3x .
8 CQSiJ_ l-sin3*
8
6.305. у = — (tg 2x+ln cos2 2x).
6.306. у — yl^^T — arctg\/e* — \ .
In ctg2x—г- ctg4*
6.307. # = 5 2
1-* 1 tgl_1
6.308. и = sin2 -—- . 6.309. «= - In .
1+* 4 *
tgT+l
6.310. j/=ctga ctg*+2ctgctg;c.
6.311. у — 10* arccos j/ 1 — 5* :
v i
6.312. y^sm3x-e cos3x. 6.313. f/= arcsin22* _>a=3F .
6.314. у = 4/Т%(1 — /¥7). 6.315. t/=ln arctg— .
Vx + 2
6.316. у =1 arctg «"t*"** . 6.317. у = yi-9*2'earcsln3j: .
6 2 у
qCtgVT
6.318. y=2+tg23*+tg43.*:, 6.319. y= _ .
arcsin— w
6.320. у = Ух*— le x Г
109

• 4. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Производная второго порядка (вторая производная) от
функции у = f(jr) есть производная от ее производной:
</" = [/'(*)]'.
** Производная третьего порядка (третья производная) от функт"
ции у = Цх) есть производная от ее второй производной:
Ум = BW и т. д.
Производная п-го порядка (л-я производная) от функции #=/(*)■
есть производная от ее (л—1)-й производной:
у(п) = [/С»—О (х)у .
6.321. Найти третью производную от функции у =»•■■;
= х In 2x в точке х = 2.
Решение. Дифференцируя данную функцию,
получим
{/' = in 2х + х • -i- = Щ 2* + 1.
Дифференцируя производную у\ найдем
у" = {у')' = ±.
Отсюда третья производная
При х = 2 имеем «Г (2)= 1—= -*
В задачах 6.322—6.333 найти производные второго
порядка от указанных функций.
6.322. у = 3*4— 5*3+2*2 — х. 6.323. у = (2х + 5)3.
6.324. у = —^— . 6.325. у = cos2 x. 6.326. г/=е~*\
6.327. у=5УГ. 6.328. y=arctg3*.
6.329. # = in (ж + V\+ ж2 ). 6.330. j/=*-sin2je.
6,331. t/=lntgx. 6.332. t/=e* cos x. 6.333. t/= -(e3jf + e_3jr).
119

6.334. Дана функция /(*) — sin Зх. Найти /"(-—) ,
ПО). r(i).
6.335. Дана функция г(<р) = <р2е f . Найти /**(—1),
г*(0), г* (2-/2).
в.ЗЗв. Показать, что функция (/ = x2ln x
удовлетворяет уравнению хуп— у'= 2х.
6.337. Показать, что функция s (/) = arcsin/ удовлет-
воряет уравнению (/2 — 1) Ь t = 0.
6.338. Показать, что функция y = exsin2x
удовлетворяет уравнению у"—2у + Ъу = 0.
6.339. Дана функция /(*) = хе*. Найти /"'(— 3),
Г(-1), Г(0).
6.340. Дана функция г(<р) = cosa2<p. Найти М——\,
'(-■£)■ '"Ш
6.341. Показать, что функция у = Ьет2* — Зе*
удовлетворяет уравнению у"' — Ъу' + 2у = 0.
6.342. Для функции у = ха (а — любое
действительное число) вычислить {/(л).
6.343. Дана функция у = 2*. Вычислить г/(Л).
6.344. Найти производную /1-го порядка от функции
у = sin х.
§ б. ПРОИЗВОДНАЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
Если функция у = #(*) задана уравнением, не разрешенным
относительно у, то для нахождения производной у' надо
продифференцировать по х обе части этого уравнения, помня, что у есть
функция от дг, и затем разрешить полученное уравнение
относительно у'. Чтобы найти y*t надо уравнение продифференцировать
дважды по х и т. д.
6.345. Найти вторую производную у" от функции {/,
заданной неявно уравнением уъ — Ъу + Зх = 1.
Решение. Дифференцируя по х обе части данного
равенства и считая при этом у функцией от х9 находим
Ъу2у' - Ъу' + 3 = 0,
или
fy -/ + 1=0, (*)
Ш

откуда
Vя"
Равенство (*) снова продифференцируем по ж;
2уу • у' + yV -у" = о.
„ , „ 2ци'2 , 1
Найдем отсюда у = .v; 2 и, заменяя j/ через 1 __ 2
окончательно получим
2у
У"
(1 - 0а)8
В задачах 6.346—6.356 найти производную у' = —^>
от неявной .функции.
6.346. Зх + 7у — 15 = 0. 6.347. х2 + у2 + 2у = 0.
6.348. —. £-= 1. 6.349. х3+у3=8. 6.350. cos (*+{/)={/.
6.351. xy=ctgj/. 6.352. arctg(x+j/)=x. 6.353. х?—t?=x2y2.
6.354. In у + -|- = 0. 6.355. }Гх + V~V = V^ .
6.356. 5* + бу = 5*+у.
В задачах 6.357—6.362 найти вторую производную
у" = —— от неявной функции.
6.357 х2 + у2 = 1. 6.358. х = е*+*. 6.359. х = 1пл#.
6.360. -£- + —= 1. 6.361. y=2x + arcigy.
9 36
6.362. x3 + jr3 — 3f/ = 0.
6.363. Найти значение {/' в точке х = 1 для функции
У — {/(*)> заданной уравнением х2— 2ху2+ 1=0, если
но = -1.
Решение. Продифференцировав по х обе части
уравнения, имеем
2х — 2 (у2 + 2**/*/') = 0.
Полагая л; = 1 и у = —1, получим
112

1_1_2.Ь(-1)*/'=0,
откуда у'(\) = 0.
6.364. Найти у'(1) для функции у = у(х), заданной
уравнением 5* — sin у = Ъх + у2, если у(\) = 0.
6.365. Вычислить W-^n) для ФУ™*™ » = »(*).
заданной уравнением у arctg у—arcsin х = 0, если уМ-дг-) — 1-
6.366. Показать, что функция у = у(х), заданная
уравнением е* = ху, удовлетворяет соотношению ху'— у(х — 1).
6.367. Показать, что функция */=*/(*), заданная
уравнением sin у = х2 — у, удовлетворяет соотношению
у- — х • sec2 -й-.
. 2
в 6. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Логарифмическая производная функции &х) > 0 есть
производная от логарифма данной функции In t(x):
[In/(дОГ- Г(-
f(x)
Вычисление логарифмической производной называется
логарифмическим дифференцированием. Логарифмическое
дифференцирование применяется при вычислении производной степенно-
показательной функции, т. е. функции вида
y = lu(x))v{x) ,
а также при нахождении производной произведения нескольких
функций или производной дроби.
6.368. Вычислить производную у от функции у =
= (sin x)V7.
Решение. Найдем логарифм данной функции:
In у = Y~x\n sin x.
Дифференцируя обе части этого равенства, получим
У' 1 . , l/- cos* ,
= — In sin х +у х-
У 2 уТ sin *
откуда
In sin x
У' = У
пх г- 1
—- +K*ctgx
* J
L 2)/*
113

или
VT Г In sin x г—
у' - (sin xyT —— + V*ctg.
L 2ут
v-
6.369. Дана функция у = К Эх - \ ■ К2*+_Ц Найти {/'.
К 15*-4
Решение. Непосредственное вычисление
производной сопряжено с громоздкими выкладками, поэтому
предварительно найдем логарифм данной функции:
ln*/ = — ln(3jr— 1) + — 1п(2ж + 1) — 4-ln(15jc— 4).
Дифференцируя обе части последнего равенства,
получим
у' _ 3 2 15
у 3(3*-1) 2(2*+ 1) 5(15* — 4) '
или
У =У[ 3*-1 2*+1 15*-4 J"
Отсюда найдем
V
3*—1 . /2*+1 / 1 , __1 3 \
V V 3*—1 2*-fl 15jc — 4 J"
У 15*-4
В задачах 6.370—6.381 найти производные следующих
функций.
6.370. j/ = **+1. 6.371. y = xsin2x. 6.372. у = (у!)[*2х.
6.373. y = (cosx)Vx . 6.374. у = (sm3xf'1.
6.375. f/ = (cos2*)SIn*. 6.376. у = (arctgx/^1.
(« \ arcs In* / 3/—\cos3*
-i-J . 6.378. tf = [V x) .
6.379. у = (tg4xfnS* . 6.380. у = (*2 - 1)T.
6.381. у = (уТ^*»)*\
6.382. Дана функция у = [х + l)Vx . Вычислить у' (1).
1И

В задачах 6.383—6.389 найти производные следующих
функций.
6.383. у = (2х + З)3 (5jc — 2) (х — 1)'.
6.384. у = (2х — 5)4 (3* + I)5 (х — 2)3.
6.385. у = ^(х + 2)2(х2— \ууТ^А.
6.386. г/ (2x.+ 7)« •
(4* —7)8 У(Ьх + 2)*
6.387. r/=V V
V(6x-l)a
ex arcsin x
лса — 1
In8*
6.388. */ =
6.389. {/=
}/* — 1 • sin 2*
6.360. Вычислить у'(0) для функции t/ == у ^Z*lC\\b* *
6.391. Найти те значения х, при которых производная
(2а;— l)3 V4x«^- 1 *
функции у = ' * Пз обращается в нуль.
в 7. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
Если зависимость- функции у от независимой переменной х
задана с помощью вспомогательной переменной (параметра) /:
( х = х (О,
\у = У W.
то
г Ь . [y'x)t
xt xt
6.392. Функция задана параметрически
х = /2— 1,
у = /» + 5.
Определить первую и вторую производные от j/ по х. -
Решение. Имеем
И5

Ух~~ x\ 2t 2 '
n d / t \ d t t \ dt
^rW
_±(±Л А
_ # \ 2 / 2
~ 2< ~~ 2< ~~
3
At
В задачах 6.393—6.403 для функций, заданных
параметрически, найти указанные производные.
6.393.
6.394.
6.395.
6.396.
6.397.
6.398.
6.399.
6.400.
6.401.
* = 3'-2' Найти Л.
dx
(х = Ы — 2
\ у = t3 + t.
-П.
Найти 2И-
*/— dx
= у t.
У=е*.
9 Найти
(Д\
X==5sint> Найтит .
у= 5cos/. \dx)tsjL
■ 3
*-in (!+*■>. Найти/^ .
t/ = arcctg/. \dx )u—i-
о
x-a(eln/-fcoe/). Найти (Jy_\
y = a{cost + tsmt). \dxjt=±
x =
3t
y =
1 + '' Найти(^Ц u(JL)
3/2 \ dx Jt=o \ dx )ы
* = >2+3' Найти (-*Ц и
y = t* — 7. \dx)
I x = 3cos/,
\ y = 3sint.
d*y
dx*
Найти -&- и -£SL
116

6.402.}*-С' Найтир^Л и I-&L) .
6.403. /*=Ы' Найти (JL) и fJUL) .
§ 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Производная функции у = у(х) при данном значении
аргумента х = хо равна угловому коэффициенту касательной,
приведенной к графику этой функции в точке с абсциссой хо (рис. 27):
У'(х0) = tga. (1)
Уравнение касательной к графику функции у = у(х) в точке
Мо (хо) у о) имеет вид
У— #о= у'(хо)(х — *о). (2)
у
Ух*
0
\
X
^
'о
~~У=у(х)
/
. Рис. 27
Если у(х) имеет при х = лго бесконечную производную, то
уравнение касательной таково:
х = лго- (3)
Уравнение нормали, т. е. прямой, проходящей через точку
касания Мо(хо\ уо) перггендикулярно касательной, записывается в
виде
1
У — Уо = '
У' (*о)
(* — *о).
(4)
6.404. Составить уравнения касательной и нормали
к параболе у = 2х2— 6х + 3 в точке М0 (1; —1).
Решение. Найдем производную функции у = 2х2—
—6л; + 3 при х = 1. Имеем */'= 4л: — 6, откуда у'(\) =
= —2.
Воспользовавшись уравнением (2), получим искомое
уравнение касательной:
</-(-1) = -2(*-1),
или
2х + у — 1 = 0.
117

Уравнение нормали найдем, используя уравнение (4):
у+1=±(х-1),
или *
х — 2у — 3 = 0.
6.405. Составить уравнения касательной и нормали:
1) к гиперболе */ = —*— в точке А (2; 3);
2) к кривой у = jc3 + 4л:2— 1 в точке с абсциссой
*о= —1;
3) к параболе у = х2— 4х + 4 в точках, ординаты
которых равны единице.
6.406. Дана кривая у = у (х — I)2. Написать
уравнение касательной к этой кривой в точке с абсциссой х0=* 1.
У
Указание. При*=1 функция у = У (х—I)2 имеет
бесконечную производную и, следовательно, уравнение касательной
записывается в виде (3).
6.407. Найти угол наклона к оси Ох касательной,
проведенной к гиперболе х2 — 4(/а=1 в точке ^(2;-^--].
6.408. Составить уравнения касательных к окружности
х2+ у2— 2х + 2у — 3 = 0 в точках ее пересечения с
осью абсцисс.
6.409. Из точки А (—1; —5), не лежащей на параболе
у = х2— Ъх — 8, провести касательные к ней.
Решение. Пусть jc0, y(x0) — координаты точки
касания М0 одной из касательных к данной параболе. Тогда
уравнение касательной имеет вид (2):
У — У (*о) = У' (*о) (х — х0),
или
у-(4-Зх0-8) =(2*o-3)(*-*o). (*)
Так как касательная проходит через точку А (—1; —5),
то координаты этой точки должны удовлетворять уравне-
нению (*), т. е.
— 5 — (jc§— Зато— 8) = {2х0 — 3) (—1 — *Q).
т

Тем самым получено уравнение относительно абсциссы х0
точки касания М0, решая которое, определяем. х0= О
и Хо= —2. Подставляя полученные значения абсцисс
точек касания в уравнение (*), находим искомые уравнения
касательных:
*/-(-8) = (2-0-3) (х-0)
у - 2 = [2 • (—2)— 3] 1х - (-2)],
или
Зх + {/ + 8 = О и 7* + г/ + 12 = 0.
6.410. Составить уравнение касательной, проведенной
из точки А(0; V к кривой у = Ух2— 1.
6.411. На линии у = х?—За:2 найти точки, в каждой
из которых касательная параллельна оси абсцисс.
6.412. На синусоиде у = sin x найти точки, в каждой
из которых касательная параллельна прямой х — у + 1[ =а
= 0.
6.413. К кривой у = jc4 — 2х2 + Зх — 1 провести
касательные, параллельные прямой Зх — у + 1 = 0.
6.414. Составить уравнения касательных к
окружности х2+ у2 = 32, перпендикулярных прямой х +у+ 4=0.
6.415. Доказать, что отрезок касательной к гиперболе
у = —, заключенный между координатными осями,
деде
лится в точке касания пополам.
6.416. Составить уравнение касательной к кривой
• р = /а-1,
, j у = /2 + t _ 3
в точке М (3; —1).
Решение. Определим прежде всего значение /,
соответствующее точке М (3; —1). Это значение должно
одновременно удовлетворять уравнениям
t2— 1 = 3 и t2 + / — 3 = — 1,
т. е.
Я= 4 и /2+/ — 2 = 0.
Корни первого уравнения /i= —2 и /2= 2; корни
второго уравнения /i= —2 и /2= 1. Таким образом, то^Гке М
соответствует значение /. = —2.

Угловой коэффициент касательной к кривой в точке М
равен значению производной у'х в этой точке:
и = Л- = * + 1
*, 2/
Следовательно, уравнение искомой касательной имеет вид
у_(_1)==А(*_3),
4
ИЛИ
3* — 4у — 13 = 0.
6.417. Найти уравнения касательной и нормали к
кривой
х = 2 cos /,
*/ = 4 sin /
в точке / = —.
4
6.418. Найти точки кривой
х = 2Р — 9t2+ 12/,
у = /2 — /+ 1,
в которых касательная параллельна оси Оу.
Указание. Найти значения параметра t, при которых xt = 0.
6.419. Составить уравнения касательной и нормали
к кривой
у = /2 _ 4/ + з
в точке М (1; —1).
* 9. МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Производная у' (дг0) от функции у = у(х)% вычисленная
при значении аргумента х = хо, представляет собой скорость
изменения этой функции относительно независимой переменной х в
точке х = лго.
В частности, если зависимость между пройденным путем s
и временем t при прямолинейном движении выражается формулой
ds
s=3 s(0, то скорость движения в любой момент времени t есть—^т- ,
d2s
а ускорение (т. е. скорость изменения скорости движения) есть —- .
120

6.420. Точка движется прямолинейно по закону s =
= — t3 + 2t2 — / (s выражается в метрах, / — в секундах).
о
Найти скорость и ускорение движения через 1 с после
начала движения.
Решение. Скорость прямолинейного движения
равна производной пути по времени:
Отсюда v(l) = 4 (м/с).
Ускорение прямолинейного движения равно второй
производной пути по времени:
х ' dt2
и, следовательно, а(1) = 6 (м/с2).
6.421. Закон прямолинейного движения точки
выражается формулой $= 1 +/2 Р ($ — в метрах, / —
4
в секундах). Найти скорость и ускорение движения в
моменты времени / = О, / = 2, / = 3.
6.422. Точка движется по оси абсцисс по закону х ~
/4 а/8 4- 2/2 12/ v т^
= - (х — в метрах, / — в секундах). В
4
какой момент времени точка остановится?
6.423. Тело массой 25 кг движется прямолинейно по
закону s = In (1 + /2). Найти кинетическую энергию тела
(^—\ через 2 с после начала движения.
6.424. Скорость прямолинейно движущегося тела
прямо пропорциональна квадратному корню из пройденного
пути. Доказать, что это движение происходит под
действием постоянной силы.
6.425. Вращающееся колесо задерживается тормозом.
Угол ф, на который колесо поворачивается в течение / с,
определяется равенством ф = 1 + 2/ — 5/2. Найти
угловую скорость и угловое ускорение движения через 2 с
после включения тормоза. Определить, в какой момент
времени колесо остановится.
d<p
Указание. Угловая скорость а> = —— , угловое уско
at
d2cp
рение *--^Г-
121

6.426. Радиус основания цилиндра увеличивается со
скоростью 3 м/с, а высота его уменьшается со скоростью
2 м/с. Какова скорость изменения объема цилиндра?
Р ejui е н и е. Объем цилиндра V = пг% где г — радиус
основания, h — высота цилиндра. Продифференцируем обе
части этого равенства по времени t, учитывая, что V, г
и h зависят от /:
dt \ dt dt ]
At Ah
Так как по условию — = 3 (м/с) — = — 2 (м/с) то
JL = n(Grh— 2г2).
dt '
Полученная формула и определяет скорость изменения
объема.
6.427. Радиус круга изменяется со скоростью 5 м/с.
С какой скоростью изменяется длина его окружности?
6.428. Сторона квадрата увеличивается со скоростью
3 м/с. Какова скорость изменения площади квадрата в
момент, когда его сторона равна 4 м?
6.429. Точка движется по параболе у «= У~х. Какая из
ее координат меняется быстрее?
§ 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Дифференциалом йу функции у = у(х) называется главная
часть ее приращения пропорциональная приращению Лдг
независимой переменной х.
Дифференциал dx независимой переменной х равен ее
приращению Лдг:
dx в Ах.
Дифференциал любой дифференцируемой функции у«у(х)
равен произведению ее производной на дифференциал независимой
переменной:
dy « y'(x)dx (l)
Соотношение (1) остается в силе и в том случае, когда х есть функ
ция другого аргумента — в этом заключается инвариантность
формы дифференциала.
Если Лдг достаточно мало по абсолютной величине, то о точ
ностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем Лдг нме
ет место приближенное равенство
Л у ж dy,
или
у{х + Лх) « у (х) + /(*)• Лх. (2)
122

6.430. Найти приращение Ay и дифференциал dy
функции у = х2— х + 1 при х = 3 и А* = 0,01. Каковы
абсолютная и относительная погрешности, которые
допускаются при замене приращения функции ее
дифференциалом? - ,
Решение. Имеем
Ау = у(х + А*) - у (х) = у (3 + 0,01) - у(3) =
= [(3 + 0,01)2—(3 + 0,01) + 1] —(З2—3 + 1)= 0,0501.
Дифференциал функции найдем по формуле (1):.
dy = у' (х) • Ах = у' (3) • 0,01 = (2х - 1)^з • 0,01 -
= (2-3-1). 0,01 = 0,05.
Абсолютная погрешность
| dy — Ay | = | 0,05 — 0,0501 | = 0,0001. >
Относительная погрешность
I dy — ky
I Ay
0'0001 -0,002 = 0,2%.
0,0501
В задачах 6.431—6.437 найти дифференциалы функций
для произвольных значений аргумента и его приращения.
6.431. у = -^-. 6.432. у = ^±£. 6.433. у « arctg 2x.
6.434. {/=1п(1 + х2). 6.435. r/ = sin2x.
6.436. r/ = 5*'arccos.—. 6.437. y^^Le
х Vx
6.438. Показать, что дифференциал dy и приращение
А*/ линейной функции # = ах + Ь при любом значении
аргумента совпадают.
6.439. Найти приращение и дифференциал функции
у = УН при х = 9 и Ах = 0,2. Вычислить абсолютную
и относительную погрешности, которые получаются при
замене приращения функции ее дифференциалом.
6.440. Найти приращение и дифференциал функции
у = при х = 2 и Ах = 0,01. Вычислить абсолютную
и относительную погрешности, получающиеся при замене
приращения функции ее дифференциалом.
123

6.441. На сколько (приблизительно) увеличилось
ребро куба, если объем его изменился с 27 м3 до 27,2 м3?
Решение. Если у — ребро куба, то его объем V =
= у** Таким образом, задача сводится к отысканию
приращения Ау функции у =у V при V = 27 и AV = 27,2—
— 27 = 0,2. Приращение Ау найдем, исходя из
приближенного равенства
Ay&dy = y'dV = -^г W = —— • 0,2 = 0,007 (м).
Vv2
6.442. На сколько (приблизительно) изменится
сторона квадрата, если его площадь уменьшить с 16 м2 до 15,82 м2?
6.443. При измерении стороны квадрата допущена
ошибка в 1%. По полученному приближенному значению
вычислена площадь квадрата. Какая при этом допущена
погрешность?
Решение. Если х — точное значение стороны
квадрата, а х + dx — полученное в результате измерения ее
значение, то ошибка измерения dx = Ах = ± 0,01 х.
Ошибка AS, сделанная при измерении площади S
квадрата, в нашем случае приближенно равна
AS « dS = d(x2) = 2x-dx = 2x(± 0,01 x) =
= ±0,02x2 = ±0,02 S,
что составляет 2% площади.
6.444. В результате измерения радиуса круга
допущена ошибка в 1%. Показать, что при вычислении площади
круга по формуле S = яг2, где г — полученный в
результате измерения радиус, погрешность составляет 2% от
площади.
6.445. Вычислить приближенно /8,01.
Решение. Рассмотрим функцию у = и
положим х = 8, Д* = 0,01. Тогда, воспользовавшись
формулой (2), найдем у (8,01) =l/*8,01 :
у (8 + 0,01) «J/ (8) + у'(8)-0,01,
т. е.
124

у (8,01) « У~8 + —±— ■ 0,01 = 2 + —Ц- • 0,01 =
6 Г 3 • 4
ЗК 64
= 2 + -^- = 2,0008.
12
Таким образом, у 8,01 « 2,0008.
6.446. Доказать справедливость следующих
приближенных равенств: -
а) (1 + а)* ж 1 + Ь; б) }/ 1+а » 1 + -1;
в) In (1 + а) ж а.
Указание. Рассмотреть функции (1 + x)k,
In (1 + я) и воспользоваться формулой (2), считая дт = 0 и Ддг = а.
В задачах 6.447—6.453 найти приближенное значение
заданных выражений.
6.447. у^П . 6.448. lg 10,08. 6.449. cos32Q. 6.450. tg44°52'.
6.451. arcsin0,48. 6.452. / 26,97. 6.453. 0,963.
6.454. Выразить абсолютную погрешность функции
у = \пх через абсолютную погрешность ее аргумента.
Решение. Если при непосредственном измерении
некоторой величины х допущена достаточно малая
погрешность Дх, то при вычислении величины у по формуле
у = In х это приводит к некоторой погрешности Ау =
= 1п(х + Дх) — In х. Заменяя приращение Ау функции
у = In х ее дифференциалом dyt получим выражение для
абсолютной погрешности натурального логарифма:
Ау = \у'х\Ах=-^
т. е. абсолютная погрешность равна относительной
погрешности аргумента.
6.455. Для следующих функций получить выражения
для определения абсолютных погрешностей через
абсолютные погрешности их аргументов:
1) у = sin х (о<х<-М ; 2) у = In sin х (о < х <—\ ;
3) y = lntgx(o<x<-j\.
125

ГЛАВА 7
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЯ МЕТОДАМИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. ИНТЕРВАЛЫ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ
Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором
интервале, если в этом интервале каждому большему значению
аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Как
возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными.
Если функция не является монотонной, то область ее определения
можно разбить на конечное число интервалов монотонности
(которые иногда чередуются с интервалами лостоянства функции).
Монотонность функции у = длт) характеризуется знаком ее
первой производной 1'(х), а именно, если в некотором интервале
Г(х) > О (f!(x) < 0), то функция возрастает (убывает) в этом
интервале. Следовательно, отыскание интервалов монотонности
функции у = /(лг) сводится к нахождению интервалов знакопос-
тоянства ее первой производной £'(*)•
Отсюда получаем правило нахождения интервалов
монотонности функции:
1. Найти нули и точки разрыва f'(x).
2. Определить методом проб знак f,'(x) в интервалах, на кото*
?\ые полученные в п. 1 точки делят область определения функции
(лг); интервалы, в которых f' (х) > 0, являются интервалами
возрастания функции, а интервалы, в которых {'(лг) < 0, — интервалами
убывания функции. При этом если на двух соседних интервалах,
граничная точка которых является нулем производной £'(*)> знак
I (лг) одинакбв, то они составляют единый интервал монотонности.
7.1. Найти интервалы монотонности функции у =
3
Решение. Область определения данной функции —
взя числовая ось. Дифференцируя, находим
#'= 4*3— 4х2= 4х2(х— 1).
Точек разрыва производная у' не имеет. Нулями прадзвод-
ной у' будут корни уравнения х2(х — 1) = 0, т. е. *i=
= 0 и х2= 1-
Область определения функции —ось Ох
—разбивается полученными точками на три интервала (— оо, 0),
(0, 1), (1, + оо), в каждом из которых у сохраняет опре-
126

деленный знак. Подставляя в выражение для у' значения
х = ■— 5, х = — , х = 5 из этих интервалов, получим
соответственно знаки « —• », « — », « + » (рис. 28).
Следовательно, в интервале (— оо, 1) функция убывает, а в
интервале (1, + оо) — возрастает.
7.2, Определить интервалы монотонности функции
3/— 2
у=у х2 + -у х.
Рис. 28
Решение. Функция определена на всей числовой
оси. Дифференцируя, получим
у L.+JL—1-.' + ^
* *'— 3 3 з/—
з/— 3 3 з/—
чу* к *
Производная у' обращается в нуль при х = —1 и не
существует при х = 0. Этими двумя точками ось абсцисс
разбивается на три интервала: (— оо, —1), (—1, 0), (0, + оо).
Методом проб выясняем знак у' в каждом из полученных
интервалов:
в интервале (— оо, —1) имеем у'(—8) > 0;
» » (-1,0) > |^( g-)<°!
» » (0, +оо) » {/'(8)>0.
Таким образом, в интервалах (—оо, —1) и (0, +оо)
функция возрастает, а в интервале (—1, 0) — убывает.
7.3. Показать, что функции у = tg х и у = ctg x
монотонны во всей своей области определения.
7.4. Доказать, что функция у = х — sin x возрастает
на всей числовой оси.
В вадачах 7.5—7.16 найти интервалы монотонности
функций. -»* —" р ~~"
7.6. у - ха — 4* + 7. 7.6. |/« 1 — jcs + jc2. 7.7. у«ж8—х.
127

7.8. y = (2*+l)2/ 7.9. y= l . 7.10, y = ±
7.lf. y = *a-* + 4 ?л2в y = x[yx_2).
7.13. у = К (x2 — l)2. 7.14. t/ = In (1 + x2) + x.
7.15. y = x2\nx. 7.16. y=xe~x.
• 2. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
Точка дг = xq называется точкой максимума (минимума)
функции у = £(*). если существует такая окрестность точки хо, что для
всех х (х ф xq) этой окрестности выполняется неравенство
JW <l(Jo) U(x) > t\xo)\.
Точки максимума и минимума функции называются точками ее
экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума)
— максимумом (минимумом) или экстремумом функции.
Точками экстремума могут служить только критические
точки I рода, т. е.. точки, принадлежащие области определения
функции, в которых первая производная {'(*) обращается в нуль или
терпит разрыв.
Точками экстремума являются лишь те из критических
точек, при переходе через которые первая производная ft'(x)
меняет знак, а именно, если при переходе черев критическую точку
х в хо в положительном направлении внак f/(x) меняется с t+» на
с—» (с «—» на «+»), то точка х = хо есть точка максимума
(минимума).
Отсюда получаем правило отыскания экстремумов функции
y = f(x)\
1. Найти нули и точки разрыва /'(*)•
2. Определить методом проб знак Ц(х) в интервалах, на
которые полученные в п. 1 точки делят область определения
функции / (х).
3. Из этих точек выделить те, в которых функция 1(х)
определена и по разные стороны от каждой из которых производная f (x)
имеет разные знаки — это и есть экстремальные точки. При этом
экстремальная точка х в хо является точкой максимума, если при
движении по оси Ох в положительном направлении она отделяет
интервал, в котором производная 1'(х) > 0, от интервала, в котором
f'(*o) < 0, и точкой минимума — в противном случае.
В заключение заметим, что точки, в которых производная
обращается в нуль, иногда проще исследовать на экстремум,
выяснив 3jiaK„.BTopofi производной f (дго): точка х =» хо, в которой
? (хо) = о, ^ f/' (x) существует и отлична от нуля, является
экстремальной, а именно, точкой максимума, если F(xq) < 0,
и точкой минимума, если f"(xQ)>Q.
128

7.17. Найти экстремумы функции у = х3 у(х — 1)*.
Решение. Функция определена на всей числовой
оси. Вычислим производную:
у' = Зх2 у^(х — 1)а + х3 6 2 -
* (9*-9 + 2ж)-«а<П*-9>.
3/ v ' ЗУ"
ЗУ х-^ ЗУ х~1
Производная у обращается в нуль.при * = 0 и х =—
и не существует при х = 1. Полученные точки разбивают
числовую ось на четыре интервала, в каждом из которых
{/' сохраняет определенный знак: (—оо, 0), (0, —] (—, 1 j,
(1, + оо). Найдем знак производной у' в полученных
'интервалах:
в интервале (— оо, 0) имеем у(—1) > 0;
' » (О'-ТГ) • 4т)>0;
' • ("И ' '("£)<*
» » (1, + оо) » */'(5)>0..
9
Экстремальными являются точки Xt = точка мак-
симума и х2= 1 — точка минимума. Экстремумы функции
получим, вычислив ее значения в экстремальных точках:
/ 9 \ 729 3/~~~4—
y(_-J==-_-|/ -^- & 0,176 — максимум и у (1) =
=» О — минимум функции.
7.18. Найти экстремумы функции у = =г.
Ух*
Решение. Функция определена на всей числовой
оси за исключением точки х = 0. Дифференцируя, имеем
5—682 ' 129

{/'
3/ 2
У *- __(*-1)
з/"* зх — 2л: + 2 * + 2
У х* Ух* Ух6
Производная у' обращается в нуль только при х = —2 и
имеет единственную точку разрыва *=0. Эти точки х = —2
и х = 0 делят числовую ось на три интервала (— оо, —2),
(—2, 0), (0, + оо). Определим знак производной в
каждом из полученных интервалов:
в интервале (— оо, —2) имеем у'{—8) > 0;
» (-2, 0) » *,'(-1)<0;
» (0, + оо) » */'(8)>0.
Экстремальной точкой является только точка х = —2
(точка максимума). Точка х = 0 не является
экстремальной, так как в ней функция не определена. Итак, функция
в точке х = —2 имеет - максимум, равный у(—2) =
*__ _.l^.
3/— 2 Г
У 4
7.19. Исследовать на экстремум функцию
f{x) = 2 sin x + cos 2jc.
Решение. Так как f{x) — периодическая функция
с периодом 2я, то достаточно найти ее экстремумы на
отрезке [—я, я]. Дифференцируя, получим
/' (х) = 2 cos х — 2 sin 2x = 2 cos x — 4 sin л: cos лг =
= 2cos x(l — 2 sin jc).
Производная /' (х) существует на всем отрезке [ — я, я]
и обращается в нуль в точках Xt = — , х2 = — ,
а:3 — , Хь — .
Для исследования функции на экстремум выясним
знак второй производной
Г (х) = —2sin х — 4cos 2x
130

в каждой из полученных точек. Имеем:
/"(~т)=~2,(-1)-4,(-1)>0'
r(^)=_24-4.jgL<o,
r(f)=~2'1_4'(-1)>0'
f(^) = _2._L_4._L<0.
Отсюда следует, что
при дс=—^- у = утщ = — 3;
при *=-g- y = f/max = 1.5;
при * = -J- j/ = #mIn= 1;
При ДС= -^- */ = #шах= 1,5.
о
Итак, исследуемая функция в точках * = — +
4- 2я& и х = — + 2л& (£=0, ±1, dz2,...) имеет минимум,
равный соответственно —3 и 1, а в точках х = — + 2пк
ij jc = —^- + 2nk — максимум, равный 1,5.
6
7.20. Проверить, что функция у = х3 — 1 не имеет
экстремумов.
7.21. Показать, что функция у =* — не имеет экстре-
х2
мумов.
В задачах 7.22—7.38 исследовать на экстремум
следующие функции.
7.22. у = х2 — Ъх + 3. 7.23. у - 2*3 — 12*2 + 18* — 1.
7.24. 0= (*- 1)2(*~ 5)а. 7.25. у = (х + 2) <х - 2)з.
5» 131

7.26. у = -§*-. 7.27. у = £±1. 1.2Ъ.у= (*~1)8 .
и 1 + *2 * х х* + 2х + 2
7.29. у = * . 7.30. */ = —— .
7.31. J/ = 5 — 4)Лс2. 7.32, y^y^x2 — 4*.
7.33. */ = 3<T*2. 7.34. */ = -^- . 7.35. */ = - .
7.36. t/ = sinx + cosx. 7.37, y=—. 7.38. */=—!—.
X COS*
§ 3. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ
ФУНКЦИИ
Для отыскания наибольшего и наименьшего значений
функции, непрерывной на некотором отрезке [а, Ь], надо вычислить
значения этой функции на концах отрезка и во всех ее критических
точках, принадлежащих этому отрезку (такими точками в данном
случае являются точки, в которых первая производная функции
обращается в нуль или не существует). Наибольшее и наименьшее
из полученных значений являются соответственно наибольшим и
наименьшим значением функции на отрезке.
В случае, если исследуемая функция претерпевает разрыв в
некоторых точках отрезка [а, Ь] или же задана на бесконечном
интервале, то необходимо дополнительно рассмотреть ее поведение в
окрестности точек разрыва и при дг-► ± оо.
7.39. Найти наибольшее и наименьшее значения
следующих функций:
1) / (х) = & — За:2 + 4 на отрезке [1, 31;
2) ф(л:) = х +— на отрезке [—2, 2].
х
Решение. 1) Функция f(x) непрерывна на отрезке
[1, 3]. Находим
f (х) = Зх2 — 6х.
В данном случае критическими являются только точки,
в которых производная f'(x) равна нулю, т.е. х = 0 и
х = 2. Отрезку [1,3] принадлежит лишь одна из этих
критических точек, а именно х = 2. Вычислим значения
функции /(х) в точке х = 2 н на концах отрезка х = 1 и х = 3:
/(2) = 0, /(1) = 2, /(3) = 4.
132

Таким образом, наибольшее значение функции равно 4
и достигается на правой границе отрезка в точке х = 3;
наименьшее значение функции равно нулю и достигается
ею во внутренней точке х = 2.
2) Функция ф(х) претерпевает разрыв в точке х = О,
принадлежащей отрезку [—2, 2]. Исследуем поведение
функции в окрестности точки разрыва:
Нпкр-(*) = + оо? Нт cp(jt) = — оо.
Следовательно, вблизи точки х=0 функция у(х)
достигает сколь угодно больших по абсолютной величине как
положительных, так и отрицательных значений, и,
следовательно, не имеет ни наименьшего, ни наибольшего
значения.
В задачах 7.40—7.48 определить наибольшее и
наименьшее значения следующих функций.
7.40. у = 2х2 — 8х + 1 на отрезке [0, 3].
7.41. у = л? — 5*3 — 8 на отрезке [0, 2].
7.42. у =у 9 — х2 на отрезке [—3, 3].
7.43. у = arcsin х2 на отрезке —^—, -^— .
7.44. у = х In x на отрезке [1, е].
7.45. у= в интервале (— оо, + оо).
7.46. у = на отрезке | —, —1.
* sin* K L 2 2 J
7.47. у = arctg х — In Ух в интервале [1, + оо).
7.48. у = 2х + cos 2х на отрезке — ——, те .
§ 4. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ
НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕЛИЧИН
При решении задач на вычисление наибольших и
наименьших значений величин надо прежде всего точно определить, для
какой величины в задаче требуется найти наибольшее (или
наименьшее) значение. Эта величина и будет исследуемой функцией."4 Затем
одну из величин, от изменения которых зависит изменение функции,
133

следует взять за независимую переменную л выразить через нее
функцию. При этом желательно в качестве независимой переменной
выбрать ту величину, через которую исследуемая функция
выражается проще всего. После этого решается задача на нахождение
наибольшего (или наименьшего) значения полученной функции
в некотором промежутке изменения независимой переменной,
который обычно устанавливается из самого существа задачи. -
Заметим, что в случаях, когда решение вопроса о том,
является ли значение функции, вычисленное в полученной критической
точке, наибольшим или наименьшим, подсказывается условием
задачи, аналитическое исследование может быть опущено.
7.49. В данный шар радиуса R вписатЪ цилиндр
наибольшего объема.
Решение. Обозначим, высоту, радиус основания
и объем цилиндра соответственно через А, г и V. Тогда
объем цилиндра
V = яг2й.
Учитывая, что r2 = R2 , получим выражение для
4
объема цилиндра:
,-.(*_.£.)*-.(«-£.).
Таким образом, задача сводится к нахождению
наибольшего значения функции
в промежутке (О, 2R). Производная этой функции
у (А) = « (/?» LhA.
Приравнивая V'(h) нулю, получим единственную критичес-
о
кую точку h0 = Rf принадлежащую интервалу (О, 2R),
уТ
в которой V(h) и принимает наибольшее значение V(h0) =
Итак, наибольший объем имеет цилиндр, высота
которого h = R.
184

7.60. Электрическую лампочку можно передвигать по
вертикальной прямой ОВ (рис. 29). На каком расстоянии
от горизонтальной плоскости ее следует поместить, чтобы
в точке А этой плоскости получить наибольшую
освещенность?
Решение. Освещенность вычисляется по формуле
г2
где г = АВ> ф= ^ОАВ, c=const
(сила света источника В). За
независимую переменную, р
изменением которой менялось бы
расстояние лампочки от плоскости
стола, а следовательно, и
освещенность J, можно выбрать
любую из следующих величин:
прежде всего саму величину Л,
затем ф или г. Взяв за независимую переменную угол ф
а
и воспользовавшись тем, что г = —-— , получим довольно
COS<p
. простое выражение J через ф:
/ = -£— sin ф cos2 ф.
а2
Найдем наибольшее значение полученной функции /(ф)
в промежутке (0, — j изменения независимой
переменной ф. Дифференцируя J (ф), получим
У (ф) = —(cos3 ф — 2sin2 ф cos ф) = 2 -^-cos3 ф( tg2 ф ].
Решая уравнение /'{ф) = 0» находим, что функция /(ф)
в интервале (0, — j имеет единственную критическую
точку ф0 = arctg . Так как на концах промежутка (0, — ]
функция /(ф) равна нулю, а /(ф0) > 0, то при Ф = Фо
освещенность /(ф) будет наибольшая.
Таким образом,
ft = atgq>0 = -£=-.
Это и есть искомая величина.
135

7.51. Данное положительное число т разложить на
два слагаемых так, чтобы произведение их было
наибольшим.
7.52. Разность двух чисел равна 7. Каковы должны быть
эти числа, чтобы произведение их было наименьшим?
7.53. Из куска проволоки длиной 20 см требуется
согнуть прямоугольник наибольшей площади. Каковы
размеры этого прямоугольника?
7.54. Из всех прямоугольников, имеющих периметр
20 см, выделить тот, у которого диагональ — наименьшая.
7.55. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с.
Каковы должны быть катеты* этого треугольника, чтобы
его площадь была наибольшей?
7.56. В данный полукруг радиуса R вписать
прямоугольник с наибольшим периметром.
7.57. Показать, что из всех равнобедренных
треугольников, вписанных в данный круг радиуса г, наибольший
периметр имеет равносторонний треугольник.
7.58. Найти стороны прямоугольника наибольшей пло-
х2 и2
щади, вписанного в эллипс \- ^— = 1.
а2 Ь2
7.59. На странице книги печатный текст должен
занимать (вместе с промежутками между строками) 192 см2.
Верхнее и нижнее поля должны быть по 4 см, правое и
левое поля — по 3 см. Если принимать во внимание
только экономию бумаги, то каковы наиболее выгодные
размеры страницы?
7.60. Из круглого бревна диаметра D вырезать балку
* прямоугольного сечения так, чтобы площадь сечения была
наибольшей.
Указание. В круг диаметра D вписать прямоугольник
наибольшей Ал о щади.
7.61. Определить размеры цилиндра объемом 10 м3,
имеющего наименьшую полную поверхность.
7.62. Бак с квадратным основанием должен вмещать
27 л. Каковы должны быть его размеры, чтобы полная
поверхность была наименьшей?
7.63. Из квадратного листа жести, сторона которого
42 см, вырезают по углам одинаковые квадраты и из
оставшейся части склеивают открытую коробку. Какова
должна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы
вместимость коробки была наибольшей?
*136

7.64. В данный шар радиуса R вписать цилиндр,
имеющий наибольшую боковую поверхность.
7.65. В шар радиуса R вписать прямой круговой конус
с наибольшей боковой поверхностью.
7.66. В данный прямой круговой конус вписать цилиндр
наибольшего объема.
7.67. Из круглого бревна диаметра D требуется
вырезать ба^ку прямоугольного сечения. Каковы должны быть
ширина х и высота у этого сечения, чтобы балка оказывала
наибольшее сопротивление на изгиб?
Указание. Сопротивление балки на изгиб прямо
пропорционально произведению ширины сечения на квадрат его высоты.
7.68. Секундный расход воды при истечении ее через
отверстие в толстой стене определяется по формуле
Q = cyYh — у,
где у — диаметр отверстия, h — глубина его низшей точки,
с — некоторая постоянная. При каком у значение Q
является наибольшим?
7.69. Показать, что мощность N тока, получаемого от
гальванического элемента во внешней цепи, будет
наибольшей, если сопротивление R внешней цепи равно
внутреннему сопротивлению г самого элемента.
Указание. Мощность тока определяется по формуле
*-£+».
в 5. ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ КРИВОЙ.
ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Кривая называется выпуклой (вогнутой) в некотором
интервале, если она расположена ниже (выше) касательной, проведенной
к кривой в любой точке этого интервала. Выпуклость или
вогнутость кривой, являющейся графиком функции у = [(х),
характеризуется знаком второй производной /j"M» а именно, если в
некотором интервале f"(х) < О Ц"(х) > 0], то кривая выпукла
(вогнута) в этом интервале.
Таким образом, отыскание интервалов выпуклости и
вогнутости графика функции у = f(x) сводится к нахождению интервалов
знакопостоянства ее второй производной f"(x).
Точкой перегиба кривой называется такая ее точка, которая
отделяет участок выпуклости от участка вогнутости.
Точками перегиба графика функции у = f(x) могут служить
только точки, абсциссы которых являются критическими точками
II рода, т. е. точки, находящиеся внутри области определения функ-
137

ции у = f(x), в которых вторая производная ["(х) обращается й
нуль или терпит разрыв.
Точками перегиба графика функции у = f(x) являются лишь
только те из указанных точек, при переходе через которые вторая
производная f(x) меняет знак.
Отсюда получаем правило отыскания интервалов выпуклости
и вогну!ости и точек перегиба графика функции:
1. Найти точки, в которых вторая производная 1"(х) обращается
в нуль или терпит разрыв.
2. Определить методом проб знак ff (x) в интервалах, на
которые полученные в п. 1 точки делят область определения /(лг);
интервалы, в которых £"(*) <0, являются интервалами выпуклости,
а интервалы, в которых f"(x) > О,— интервалами вогнутости
графика функции у = f(x). При этом если на двух соседних интервалах,
граничная точка которых является нулем второй производной
Г(х), знак f/'(x) одинаков, то они составляют единый интервал
выпуклости или вогнутости.
3. Из йблучёнйых в п. 1 точек выделить те, в которых функция
/ чХ) определена и по разные стороны от каждой из которых вторая
производная f (х) имеет противоположные знаки — это и есть
абсциссы точек перегиба графика функции y = f(x).
7.70. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и
точки перегиба графика функции f(x) = Зх*>+ блс4— 20х3+
+ 60* — 5.
Решение. Функция определена на всей числовой
оси. Дифференцируя ее дважды, получим
/'(*) = 15*4 + 20*3 - 60*2+ 60,
Г(х) = 60*3+ 60а:2— 120* = 60jc(jc - 1)(* + 2).
Вторая производная существует на всей числовой оси и
.обращается в нуль при х = —2, х = 0 и х = 1. Этими
точками область определения разбивается на четыре
интервала (—«V—2), (—2, 0), (0, 1), (1, +оо), в каждом из
которых f(x) сохраняет знак. Определяя знак второй
производной в произвольно взятой точке каждого из
интервалов, получим знак ее в соответствующем интервале:
в интервале (— оо, — 2) имеем /" (—3) < 0,
» » (-2, 0) » /"(-1)> 0,
> » (о, 1) » г[т)<0>
» » (1, +оо) » /"(2)>0.
Таким образом, в интервалах (— оо, —2) и (0, 1) кривая
выпукла, а в интервалах (—2, 0) и (1, + оо) — вогнута.
138

Граничные точки *i= —2, х2= О, х3= 1 этих интервалов
являются абсциссами точек перегиба. Вычислим значения
функции у = f(x) в этих точках:
/(-2)= 19, /(0) = -5, /(1) = 43.
Ит^к, данная функция имеет трЪ точки перегиба:
(-2; 19), (0;-5), (1; 43).
7.71. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и
точки перегиба функции ф(*) = 9]/ х(х2—7х) +7* +63.
Решение. Функция определена на всей числовой
оси. Найдем первую и вторую производные:
i- L
ф'(х) = 21х3 — 84*3 +7,
з/— 1 * — 1
Ф"(*)=.28У * — 28--^= =28--^.
/* У.
Вторая производная ф"(л:) обращается в нуль при х = 1
и не существует при х = 0. Этими двумя точками ось
абсцисс разбивается на три интервала (— оо, 0), (0, 1),
(1, + оо). Определим знак ф"(х) в каждом из полученных
интервалов:
в интервале (—оо, 0) имеем ф" (—1) < 0;
» > (0,1) « ф'(-1-)<0;
» » (1, +оо) » Ф"(2)>0.
Таким образом, в интервалах (—оо, 0) и (0, 1) кривая
выпукла, а в интервале (1, +оо) — вогнута. Граничная
точка х = 1 двух последних интервалов является '
абсциссой точки перегиба. Сама точка перегиба имеет
координаты (1; 16).
7.72. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и
точки перегиба графика функции ф (х) = .
X -\~ 1
Решение. Функция у = ф(л:). определена на всей
числовой оси за исключением точки х = —1.
Дифференцируя дважды, получим:
т w (*+1)а Y ' (* + 1)8
139

Вторая производная ty"(x) всюду отлична от нуля и терпит
разрыв в точке х = —1. Эта точка разбивает ось абсцисс
на два интервала (—оо, —1) и (—1, +оо). Определим знак
ф"(#Г в этих интервалах:
в интервале (—оо, —1) имеем ty"(—2) > 0;
» » (—1, +оо) » f(0)<0.
Таким образом, в интервале (—оо, —1) кривая вогнута,
а в интервале (—1, +оо)—выпукла. Точек перегиба
рассматриваемая кривая не имеет, так как в граничной точке
х = —1 полученных интервалов функция не определена.
7.73. Показать, что кривая у = л? вогнута на всей
числовой оси.
7.74. Показать, что кривая у = cos x вогнута
на всей числовой оси.
7.75. Показать, что парабола у = ах2 + Ьх + с
выпукла при а<0 и вогнута при а > 0.
В задачах 7.76—7.88 исследовать на выпуклость,
вогнутость и точки перегиба графики следующих функций.
7.76. у = х4— 10*3 + 36*2— 31* — 37.
7.77. у = хъ — Ьх*—1х + 178. 7.78. у = -^-.
7.79. р=_£_. 7.80. у=х2 Ц 7.81. у = х yic — 8x4-4.
*2+1 X
3/
7.82. у =А—ух + 2. 7.83. у = sin* в интервале (0, 2тс).
7.84. у = In (I +jc2). 7.85. y = xlnx. 7.86. у = x+arctgx.
7.87. i/ = е-*2. 7.88. j, = е*+е~Х .
2
7.89. Выяснить вид графика функции, если известно,
что в интервале (а, Ь): 1) у > 0, #'> 0, #"> 0; 2) у > 0,
*/'<0, */"<0; 3) */<0, */'>0, */"<0; 4) у < 0, */'> 0,
У"> 0.
§ 6. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА
Общее исследование функции и построение ее графика
рекомендуется выполнять по следующей схеме.
1. Найти область определения функции.
2. В случае, если область определения функции симметрична
относительно начала координат, проверить, не является ли функ-
140

ция четной или нечетной; проверить также, не является ли она
периодической.
3. Найти интервалы знакопостоянства функции; выяснить
поведение функции на концах интервалов знакопостоянства (в
том числе и на бесконечности), построить схематично график на
концах интервалов знакопостоянства.
4. Найти интервалы монотонности функции, ее экстремумы.
5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика
функции, его точки перегиба.
6. Построить график функции, используя полученные
результаты исследования.
х2
7.90. Построить график функции у = .
Решение. 1. Область определения данной функции
состоит из двух интервалов (—со, —1) и (—1, +°°).
/
Vk
*)
У
у\
vki
Рис. 30
-/
\
')
2. Так как область определения функции не
симметрична относительно начала координат, то она не является ни
четной, ни нечетной; исследуемая функция непериодична.
3. Функция обращается в нуль при х = 0 и терпит
разрыв при л: = —1. Полученными точками область
определения функции делится на три интервала (—оо, —1),
(—1, 0), (0, +оо), в каждом из которых она сохраняет
определенный знак, а именно:
в интервале (—со, —1) имеем у(—2) < 0;
» » (-1, 0) » f/(-0,5)>0;
» » (0, +оо) » f/(l)>0.
Для выяснения поведения функции на концах
интервалов знакопостоянства вычислим следующие пределы
(рис. 30):
v2 J
lim
*-♦»;£ СО Х-\-\
= lim
*-*.-[-оо
1
+Ат
= ±оо,
141

lim-^— = +0, lim -*L.=±oo.
jc-^±0 X+l л>*-1±0 X+l
Таким образом, в точке х = —1 функция претерпевает
бесконечный разрыв.
" 4) Дифференцируя данную функцию, получим
, = 2*(х+1)—*2 _ х2+2х х (х+2)
У (Х+\)* (X+\)* (JC+1)! '
Производная у' обращается в нуль при *= — 2 и х=0 rf
терпит разрыв при х = —1. Этими точками числовая ось
делится на четыре интервала: (—сх>, —2), (—2, —1), (—1,
0), (0, +оо). Выясним знак производной у' в каждом из
этих интервалов:
в интервале (—оо, —2) имеем у'(—3) > 0;
» ъ (-2, -1) » (/'(-1,5X0;
t » (-1, Q) » (/'(-0,5X0;
ь » (0, +оо) » у'(1)>0.
Следовательно, в интервалах (—оо, —2) и (0, +оо)
функция возрастает, а в интервалах (—2,—1) и (—1, 0)
—убывает. Точки х = —2 и х = 0 являются соответственно
точками максимума и минимума. Находим значения
функции в экстремальных точках:
Ушах (~2) = ~ 4, l/mln(0)=0.
5. Дифференцируя дважды данную функцию, получим
,, __ (2х + 2)(х + I)2 -.2(* + 1) (*■ + 2x) =
у (*+1)4
^о (*+1)(*а4 2л+1-**-2*) 2 ' |_
(х+\у ' (д+1)» '
Вторая производная у" терпит разрыв при х = —1. Этой
точкой числовая ось разбивается на два интервала: (—оо,
—1) и (—1, +<»). Определим знак второй производной
в этих интервалах:
в интервале (—оо, —1) имеем у'\—2) < 0;
» > (—1, +сх>) » */"(0)>0.
Таким образом, в интервале (—оо, 0) кривая выпукла, а
в интервале (0, + оо) — вогнута. Точек перегиба нет.
6. Собирая полученные данные воедино, построим
график функции (рис. 31).
7.91. Построить график функции у = хе*.
142

Решение. 1.*0бласть определения функции — вся
числовая ось: (—оо, +оо).
2. Функция не является ни четной, ни нечетной.
Исследуемая функция непериодична.
3. Так как функция обращается в нуль только при
я=0, то она имеет два интервала знакопостоянства (—оо, 0)
и (0, +<»). В первом интервале исследуемая функция
отрицательна, во втором — положительна. Для
выяснения поведения функции на концах интервалов
знакопостоянства вычислим следующие пределы (рис. 32):
lim хех = + оо, lim кех = —0, Игл хех = ± 0.
г-^+оо х-+—се Х-*±0
4. Найдем
производную данной
функции:
{/'= е* + хе* =
= е*(1 + х).
Производная у
обращается в нуль при
jc = — 1. Точка
х = —1 делит
область определения
функции у = хех на
два интервала (-г- оо,
-1) и (-1, + оо). В
первом интервале
у1 < 0, во втором
У> 0. Следователь- •
но, исследуемая фун- .
кция в интервале
(—оо, —1) убывает,
Рис 31
(-*-*)
')
У
ah
~7\
s)
Рис. 32
143

а в интервале (—1, + оо) — возрастает. Точка х = — 1
есть точка минимума; минимум функции в этой точке
равен у(—1) = .
е
5. Находим вторую производную
/= ех (1 + х) + е* = е* (2 + х).
Она обращается в нуль при *=—2; мы получили два
интервала знакопостоянства второй производной: (—оо, —2)
и (—2, +оо). В первом интервале у"< О, во втором у"> 0.
Следовательно, график функции у = хех в интервале
(—оо, —2) выпуклый, а в интервале (—2, +оо) —
вогнутый; х = —2 — абсцисса точки перегиба. Точка перегиба
имеет координаты (—2; — j.
6. По полученным данным строим график функции
(рис. 33).
sinx
7.92. Исследовать функцию у = sin х + —— и
построить ее график.
Решение. 1. Исследуемая функция определена при
всех значениях х, исключая точки х = nk (k = 0, ±1,
± 2, ...)•
2. Функция является нечетной, так как
/(— *)=sin(—х)-
1
sin(—x)
— sin x + ■
— sin х
--(sln*+-ir)=-'w-
144

Функция периодическая с периодом 2я, поскольку
/ (х + 2тс) = sin (х + 2тс) + . / =3^4—7^- = / (х).
' sin (*+2тс) sin*
Отсюда следует, что достаточно исследовать данную
функцию'в интервале (0, я).
3. Так как в интервале (0, тс) выполняется
неравенство sin x>0, то функция положительна в каждой точке
интервала (0, я).
Исследуем поведение функции на концах интервала —
в точках х = 0 и х = я:
lim
( sin х Н ) = + оо, lim f sin х Н ] =
\ sin* / jr-^тс—о\ sin* /
= + оо.
4. Вычислим производную
у' = COS X
COS X
sin2*
= cos x 1 —
(i !—V
\ sin2 * /
COS8*
sin4*
Производная
определена в каждой точке
интервала (0, я) и
обращается в нуль
только в точке * = —
2
этого интервала. Этой
точкой интервал (0, я)
делится на два интер-
У\
вала
-яг
КМт4
В первом интервале
у'<0 и,
следовательно, функция убывает,
во втором интервале
у> О и,
следовательно, функция
возрастает. Точка х = —
2
точка минимума; минимальное значение
5. Вычислим вторую производную
К
I
я
Рис. 34
■(f)-
= 2.
У =
3 cos2 * sin3 * + 2 sin * cos4 *
sin4 *
cos2*(3sin2* + 2cos2*)
sin**
145

Из полученного выражения для второй производной
.видим, что она положительна во всем интервале (0, я), за
исключением точки -^- , в которой обращается в нуль.
Отсюда следует, что кривая вогнута в интервале (0, я).
6. По данным исследования строим график функции в
интервале (0, я). Затем, используя симметрию графика
относительно начала координат (функция нечетна),
строим кривую в интервале (—я, 0) (рис. 34).
В задачах 7.93—7.128 исследовать данные функции и
построить их графики.
7.93. у = х2 — 5х + 4. 7.94. у = х* — х*. 7.95. у =—i- .
7 96 _J_. 7.97. у = -±-. 7.98. у = —— . -
/.но. у - 1+х2 у х2_{ у х+х2
7.99. 1/ = —V 7.100. */ = —Ц. 7.101. *,= -*±1_.
X2—1 ** —1 Хг
7.102. у=±^-. 7.103. у = ^=^-. 7.104. у=х* + — .
х х2 х
7.105. у=-£±1. 7.106. у=х — УТ. 7Л07.у=-^7й—-^7.
х2—4
7.108. y=*V4x*—l . 7.109. у = У9=х*.
7.110. у=У5+х*. 7.111. у=х\Пс^4. 7.П2.у^хУ7+К
7.113. у= l/8+P.7.114. у=Ухт^х. 7.115. Ух=х*.
7.116. у=2'/*. 7.117. у = «-*. 7.118. у = е* — ж.
7.119. y=-iM_. 7.120. y = ln(x2—1). 7.121. у =—.
х \~е*
7.122. # = ас—Inдс. 7.123. у = sinх — cosх (0<дс^2я).
7.124. 0 = 2sin2* — cos2x (0<х<гс). у ^
7.125. у = 2-s™2* (o<x<JL\ 7.126. y=x-avctgx.
7.127. у= In sin x (0<лс<«).'
7.128. #=In cos x (~-Т<*<~)#
146

ГЛАВА 8
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Функция F(x) называется первообразной для функции [(х)9
если
F'(x) = t(x) [или dF(x) = t(x)dx).
Любая непрерывная функция f(x) имеет бесконечное множество
первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным
слагаемым.
Совокупность F(x) + С всех первообразных для функции
1(х) называется неопределенным интегралом от этой функции:
\f(x)dx = F(x) + С, если d [F (x)+C]=f(x)dx.
Основные свойства неопределенного интеграла
1 (]>(*) dxj=f(xy, d (j>(«) dx} = f(x)dx; §dF(x)=F(x)+C.
2. Дм*) ± /,(*)] Ax = J /x (x) Л ± ■ J /2(*) d*.
3. f4/(*)dx = Л f /(*)d*.' ^.
Хаблица простейших интегралов
С xn+1 С dx
,. j^ = _+C(n^1). 6.j_=lg,+c.
2. j —=ln|4 + C... 7. j1I_ = _ctg, + C.
3.. f a4x - -£l + с 8. L£= - f-csin^+С
J In a J VOf-x2 (— arccosx + C.
V J.in* A~-eo.* + C. fj^-'-bjn" Ij^k.C.
**) cos * d* = sin **C. 7» d* _ dafctgx+ C.
^ ' №«* ""r-^arecV+c!
Проинтегрировать функцию ft*) — значит найти».-ее
неопределенный, интеграл. Непосредственное 'интегрирование основе?*э
на прямом использовании основных свойств неопределенного
интеграла/и таблицы простейших интегралов.
147*

8.1. Найти интегралы:
л х
п COS2——
sin2 2^
Решение. 1) Разделив почленно числитель на
знаменатель, разложим подынтегральную функцию на
слагаемые, после чего проинтегрируем каждое из полученных
слагаемых:
С **-*xVT+*ix = Г LxT_5x 7+ 2X~J\ dx =
= J 3x~*dx— J 5xTdx_+ J 2x ~ dx - 3 J x~dx —
Г-1 Г--1 *^+1 Д+1
J J JL+i _L+i
з ч 6 т
— —+1 _8_ _I3_ J^
+2.-^Ц +С = ^- *3--^-ж 6+3*3+С.
--Г+1 8 13
Здесь через С обозначен результат суммирования всех
произвольных постоянных, получающихся при
интегрировании каждого слагаемого.
2) Представим-подынтегральную функцию следующим
образом:
*а = (*»+1)-1 = j 1
х*+\ • *2+1 ха+1
Тогда
Г—- dx = fdjc— f ^_ = х —arctgx + C. *
J *2+l J J *2+l '
3) Используя тригонометрическую формулу
„ х 1 + cos х
cos2 — = — ,
2 2
148

получим
^^JLdx=^l±fJLdx=s±^{l+cosx)dx=s
= -$rUdx + $cosxdx] - -L(X + &lnx) + C.
О О
4) Преобразуем подынтегральную функцию таким
образом:
1 1 _ J_ t sin2 x + cos2 x
sin2 2x 4 sin2 * • cos2 x 4 sin2 x • cos2 *
._!_( !__ + L_\.
4 \ cos2* sin2* /
Отсюда
J sin2 2* J 4 \cos2x sin2*/
4 U cos»* ^Jsin»*J 4 vs s /-r .
В задачах 8.2—8.75 найти интегралы.
8.2. (Vd*. 8.3. f-y4f*. 8.4. Г—. 8.5. Г^-.
8.6. jV — 5*2 + 3)dx. 8.7 f (—3/8 + 6*a — *)d*.
8.8. j(6x» — 5x* + 3x* + 2x + 1) dx.
8.9. j л; {x + l)(x + 2) dx. 8.10. J ы2 (и—1)(ы—2) d«.
'8.11. f(l-*»)»d*. 8.12. f-^Ц;. 8.13 jV2*dx.
8.14. ttGVZ—5v*)dv. 8.15. f-^i-. 8.16. f-i- dx .
8.17. J '-^ dx. 8.18. j^=^- dx.
8.19. J X2~^2 dx. 8.20. hi—x) (2+Vxjdx.
149

8.21. f^;-^ dx. 8.22. f xi~2x+3 dx.
8 23; Г 34/F-io/r+7,-3 8>24> r^biL dJK.
J 4/r J V*
8.25. f-^-r dx. 8.26. f—*3~1 dx.
JyT-2 г J х»+х-+1
8.27. frJ±«_ dx. 8.28. Г з 27~^Г ■ dx
J3/T+2 J 3/T+3^T+9
8.29. Г2sinxdx. 8.30. p^-d*. 8.31. f(7sinx—4cosx)dx.
8.32. ^±-^_6cQsxjdx.
8.33. (Y— cos« —бэты^-?!^ d«. 8^34. (V-1 dx.
Указание. Представить подынтегральную функцию в виде
э~—J-.8*.
8.35. f 3*e*dx. 8.36. f-^- dx. 8.37. Г 4*(4*—1) dx.
8.38. Г 81*73* dx. 8.39. Г (5' — 1) (е* + 1) dx.
8.40. |(4е* + 3 sin x) dx. 8.41. j(5cos? — 2-6*) dq>.
8.42. f-*L_ . 8.43. ff-^- + _U dx
J 2 cos2* JVsin2x cos2 ж У
8.44. (Yeas x —) dx. 8.45. fsin.3*+1 dx.
J\ cos2*/ J sin2*
8.46. f^^dx. 8.47. f-b^dx. 8.48. {l+cos2x dx.
J cos2x J sin* J 3cos*
о ал С sin 2* ., 0 -Л fcos2* .
8.49. \ dx. 8.50. I dx.
J 5 cos * J sin2 x
Указание Воспользоваться формулой cos 2x = 1—2 sin2 *.
150

8.51. Г5'"*-31"3* dx.
J cos 2*
Указание. Воспользоваться формулой
sin a — sin S = 2 sin • cos
r 2 2
Q KO С cos 3x — cos x j 0 „Л Г dx
Г cos3*-cos* ^ 8>53 fj
J sin 2* J 1—
S.54. [ w>* dx 8.55. f tg*xdx.
Jl+cos2* J
•cos 2*
Указание. Воспользоваться формулой Ig2x = — 1.
cos2*
8.56. jctg2 x dx. 8.57. j" (tg x + ctg xf dx.
8.58. Г sin2—dx.
X
Указание. Воспользоваться формулой sin2 — = 1 — cosx.
6.59. Г 3 cos2 — dx. 8.60. 1 + cos'x dx.
J 2 l-f-cos2*
8.61. f "»** dx 8M С cos2* ^^
J sin2 x- cos2 x J cosx+sinx
Jl+}HZ* dx.8M. fi/HE.
J У1-Д» • J ^ 1_*4
8.65. Г /l+*-/l^ dx 866 [l±*_dx.
8.67. fXfB>i_ d*. 8.68. [^-dx.
8.69. f.2±£ d*.
Указание. Представить числитель в виде 2 + xi = (1+*а) + 1.
-2
8.70. f '+3" dx.
Указание. Представить числитель в виде 1+Здс2=2дса+ (1-^жа).
8.71. ff-i Ц ^. 8.72. f-^3 dx
JU-i *+i/ J i-*a
151

8.73. f ™-X dx. 8.74. {±t^ldx.
J лг2(деа—1) J sin2 x
в 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ СПОСОБОМ ПОДСТАНОВКИ
Любая формула интегрирования вида
JfMdr = Fix) + С,
в частности, таблица простейших интегралов, остается в силе, если
в подынтегральном выражении и в правой части сделать замену
переменной лг = ф(0-
Сформулированное свойство неопределенного интеграла лежит
в основе интегрирования способом подстановки. Этот способ
заключается в том, что стараются сделать такую подстановку t = ф(л-),
чтобы данный интеграл свести к одному из табличных.
8.76. Найти интегралы:
sin*d*
l)cos2*d*,2)j^,3) j*j2£
4) f^zr.
J l/l-e2*
COS2 X '
5) V l—2xdx.
Решение. 1) Данный интеграл окажется
табличным, если под знаком дифференциала будет стоять
аргумент 2х подынтегральной функции cos 2x. Так как d{2x) =
= 2dx, то
Г cos 2x dx= -у \ cos 2x d(2x).
Следовательно, подстановка 2х = ? приводит
рассматриваемый интеграл к табличному:
Г cos2jcdjc = -J- Г cos2x d(2x) =-^- Г cos tdt = -ysin*+C.
Возвращаясь к старой переменной интегрирования х,
окончательно получим
i
cos 2x dx= -я- sin 2x + С.
152

2) Так как d(5 + x3) = 3x*dx, то
Zx'dx
f X*dx __ J_ Г^бТ^Г
J Ь + х* ~~ 3 J 5 + x3 '
Полагая 5 + я8— t, получим
3) Поскольку d(cos x) = —sin x dx, то
—sin xdx
(COS *)
J 1 + cos2* ~ J 1 +
cos2 x'
Отсюда, применяя подстановку / = cos x, приходим к
табличному интегралу:
jlT^ = -JTT^ =-arctg t + C= -arctg(cos*)+C.
4) Из соотношения d(e*) = e*dx получаем
n exdx __ n d(ex)
) у \_ежх J yyzr^
Воспользовавшись подстановкой / = е*, приходим к
табличному интегралу:
Г еЧх = f —^—- = arcsin/ + C== arc sin e* + С.
J У\ — (ех)2 J j/1— *2
5) Подстановка / = 1 — 2х приводит данный
интеграл к табличному:
J frT=Txdx= --i-j(l_2jc)"d(l -2х) =
5
153

В задачах 8.77—8.164 найти интегралы.
8.77. Г sin-у- dx. 8.78. Г cos 4* dx. 8.79. fW-2—2x\dx.
8.8<fc J Z~*dx. 8.81. J 4ВЛ'-1 dx. 8.82. j e™* dx.
8.83. J (8* + 5)10dx. .8.84. J (3 — 2x)* dx. [
8-85' J (B-ixf ВЖ \Vbx~-bdx.
8.87. f^(2—3xfdx. 8.88. Г ■ *** 8.89. f' ** .
8-90- j -Tzfr-8-91- J tt=s": 8-92- ji^T2d*-
Указание. Выделить в подынтегральной функции целую часть
путем деления числителя на знаменатель.
16*а •
8.100.
f ** .8.101. Г.
9х«
dx
1/16*> + 1 J У9*а — 25
8.102. j p^jr. 8.103. j 7*(7* + 3)*d*. 8.104. J 0-y
8.105. j^. 8.106.1^.8.107.1-^^.^
8-108.JTJ^Td, 8.109.1-^^^^.
154

8.1
8.
8.1
8.!
8.
8.
8.1
8.
8.
8.1
8.1
8.1
8.'
8.
8.
в.
12.
15.
17.
19.
21.
23.
26.
28.
30.
33.
36.
38.
40.
42.
44.
46.
J-^Sr- »-пз.|-^. m*J.»,fa
f ctg*dx. 8.116. Г lg^-dx. -
Г ctg/з* -i-jA dx. 8.118. f tg (-%- - 2x\ dx.
[ctg(l-*x)dx. 8.120, j"*7*^.
j, * . 8.122. f <* + £**.
fife- WUJ^. 8-.25.j4
1
d* ^
x lnx
6*/Fdx
'•1
Г 4*<fa 8,31 С &
J 3/ITF ' 'J'1"
8.127. 1 Zx'Zx,dx.
e^dx
У \—eiX
8.131. 1 .. eb*dL 8.132.
Г pW=Te**dx. 8.129. Г "^
I
8xdx
64* + 1 '
f _££_. 8.184. f
J 1Л — г2-* J
6*</л
.8.134. ,
У\ — е2Л J /36*+1
Is'
.8 135. I sin2x cos x dx.
8.137.
dx. 8.139
Г cos* j/"
sin4 x dx.
|Alg2X COS2X
J >/ cos 'i
С Уч
\ 4 cos:
I i/ ctgx j о 4Л4 I arc sin x— 1 j
\ о - a tdx.AAW. \ — dx. v
J 2S1I12X J j/l-^2
I dx а и» ( i/" arctgx ,
Л-*7== • 8.143. \ t , , dx.
J 1/l-x2 arccosx J 1-H=**
У
dx
8.145.
Г x^sinx3
JC3 rfAT.
arcctg2x(l + x2)
J 5*cb$5*dx. 8.147. J }Л—sinx cos* dx.
155

8.148. Т. tlnxdx .8.149. f cos8xdx. 8.150. Г4sin»x:djc.
J d/2cos*+l . J J
8.151. f sinxdx .8.152. fg«** .8JS3.fj^g-
8.154. f dx . 8.155. f—***-
J sin2* l/2 + ctga* J V4 —si
8Л5в* j *(9-*in»*) * 8*157, j (arctg»*+16)(l'+**)
Л АХИr I* COS dX
8.158. 4d* • . 8.159. x
J yie*+9 J *■ •
8.160. f d* . 8.161. f **/*. .
8.162. f—^. 8.163. ("-£-.
J x3 J sinx
Указание. Воспользоваться формулой sin x = 2 sin— cos —
jc 2 2
и разделить числитель и знаменатель на cos2 -о"
Г
8.164.
cos*
8.165. Найти интегралы:
1) j cos3 xdx, J|jrf <fc, jtg3xdx;
2) l sin4 x dx, j sin2 x cos4 x dx;
3) Г i25li dxf Г tg4 x dx; 4) J sin 3x cos 5x dx.
Решение. 1) Рассматриваемые интегралы,
содержащие в числителе нечетную степень синуса или косинуса,
найдем, отделив от этой степени один множитель.
Г cos3 х dx = I cos2 X'cos x dx = 1(1— sin2 x) d(sin x) «
sin8 x , п
= sin x g h C.
156

Аналогично находим
[Jl^ldx = Г sin**;sin* d»--f X-C°fX djCOSX)-
J COS4 X J COS4 * J COS4 X V /
- - j (COS"* * - O0S-«X)d(oOSX) = -j^j- - -^- + C.
Точно так же находится следующий интеграл:
—J Ц£-**»» - Дт=г- ж)*'> -
= In I cos х I + Q \ + С.
1 ' ' 2 cos2 *
2) Данные интегралы от четной степени синуса иЛи
косинуса найдем понижением степени по формулам
Л;«2 4 1 — COs2' ~~c2* 1+C0s2* «1~4~~«4 sin2*
Sin2 t = 5 » cos * = —^5 » SIn * cos * — —о— •
Используя первые две из приведенных здесь формул,
получим
Г sin* х dx = Г (sin2 x)2 dx = Г (X~~™s2xXdx = ,
= -j- Г(1 — 2cos2x + cosa2*)dx = -]- (7l — 2cos2jc +
+ L±^dx.^J^_2coe2x + 4-coe4x)dx^
= ^(A*_sin2x+ ^sin4xWc =
__ 3 sin 2* , sin 4* -,
0
Аналогично находим
Г sin2 x cos*x dx — Г (sin x cos x)2cos2* dx=U iilLf-lY x
X i-±y^dx --1-Гfsin22xdx + f sin2 2xcos2x dx 1 =
157

___ 1 Г 1 / sin4*\ , 1 sin3 2x1 r
•* -~T[~T\x ~) +~2 r"J+c =
__ 1 sin 4* , sin8 2x , y>
~ 16 X 64 i 48 + U
3) Интегралы от отношения четных степеней синуса и
косинуса найдем, используя следующие
тригонометрические формулы:
—i_= l + tg2/, ^i_= 1+ ctg2*.
cos2/ ' & ' sin2/ ' ь
Тогда
dx
С COS2* . _ f COS2* ^
J sin6* "" J sin2* " sin!
n2x sin2*
=--fctg2*(l + ctg2*) d(ctgx)=—ftctg2* + ctg'x) d(ctg *)=
ctg3* ctg5* r /
e 3 5~ + C'
Аналогично получаем
^'i'-f^-^-llk' JV« sln'x 4Ц4-
Выделив в числителе целую часть, получим
J tg*x dx = j(tg2x - 1+ ^L^yitgx) -
= ^-tgx + arctgtg* + C = JfL-tgx + x + C.
4) Используя тригонометрическую формулу
получим
sin a cos p = — Г-sin (а+р) + sin(a—P) 1,
I sin3* cosЪх dx =» -^- ((sin 8х — sin 2*)cfo
-^ cos8 jc + -j-cos2x + C.
J58

В задачах 8.166—8.185 найти интегралы. ,
8.166. J sin3xdx. 8.167. j cos?4xdx. 8.168. J coslxdx.
8.169. fsin*-|-dx. 8.170. f-^J-^- 8.171. Г ctg3^ ^л:.
8.172. J tg35jc. 8.173. Jctg4*d*. 8.174. Jsin2*cos2*dx.
8.175. j sin4* cos2* d*. 8.176. j*sin23*cos43*d*.
8.177. figi-djc. 8.178. f sin3* cos3* d*.
8.179. Г sin3* cos2* dx. 8.180. (%in2-^-cos3^-d*.
$.181. jcos5*d*. 8.182. jsin53*d*. 8.183. [ sin2*cos3*dx.
8.184. J cos7* cos 3x dx. 8.185. j sin * sin5* dx. \^
8.186. Найти интегралы:
1) $VT=?dr. 2) \^p-dx; 3) l^^dx.
Решение. Для нахождения интегралов, содержащих
радикалы вида У а2— *2, Уа2+ *2, Ух2 — а1, могут быть
применены соответственно подстановки х = asm t (иди
х = a cos /), х = atgt (или х = actg /), * = ,q
(или* = —2—).
Д cost ]
1) Воспользуемся подстановкой * = 2 sin /. Тогда d*=
= 2 cos / dt и, следовательно,
J /4^*2 dx = J У 4— 4sin2/ 2 cos / d/=4 J cos2 / d< =
= 2J"(l+cos2ty# = 2/ + sin2* + C.
159

- 2sln*coe/ = 2-JL .VT^_^VJ^t ,= arcsin_i_(
поэтому окончательно имеем
jyT=72 dx = 2arcsin ~ + llIEEL + c.
2) Применим подстановку х = 3 tgt. Отсюда dx =
~ J ~^ a* ~~ J ~Wt "5F7 ar ""
J cos Mg/-cos2* в J sin/cos2/
Введя в числитель «тригонометрическую единицу»
sin2/ + cos2/ — I и разделив почленно числитель
подынтегральной ^функции на знаменатель, получим
Г sin2/ + cos2/ я f / sin ^ 1 \ т
/ = 3 J sin, cos», *-8j (-соРТ + ТППг)*-
f d(cosO f dt 1 , , /
3J^T-+3j -ЖГ = 3'13зТ + з1п^^ + С
(последний интеграл был вычислен в задаче 8.163).
Возвратимся теперь к старой переменной х. Имеем
tg t = —, cos t
v^
+ 1
3 . x
, , _ sin < x x
В результате окончательно получаем
J х С -г -г 3+/*2+9
160

5
3) Произведем подстановку х = . . Тогда dx
5 cos / „
dt и
V sin
25--25
Ч boost Лят
sin2/
sin t
С ctgt cost С
--6j-5_r-*a.-5jctgV*-
= 5 K1-!!^-) * = »+6ctg/+C.
Вернемся теперь к старой переменной х. Имеем
5 5 лг—j
= — , t = arcsin — , ctg t = I/ -Г-Т7— 1 =
X * X * & Г Sin2*
sin/
" Г 25 * ~~ !
-25
5
поэтому
/ = f V*2 - 25 dx = 5 arcsin — + К *2 — 25 + C.
J X X
В задачах 8.187—8.195 найти интегралы.
8#189. Г /Зд(* .. 8.190. f х3 1/4 —jc2 djc. ,
8.191. f * 8.192. f /x .
J x3 Yx*—l J л;2 /а:2 + 16
8.193. f^*'-+1 dx. 8.194. f ,** n. .
J *2 J x- V jc2 — 9
8.195. Г . *° d*.
J /jc2-4 V
в З. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
С помощью формулы интегрирования по частям
\ udv = uv — \ v du (1)
(и и v — дифференцируемые функции от лг) нахождение интеграла
1 и dv сводится к отысканию более простого* интеграла г v du,
6—682 161

8.196. Найти интегралы:
1) J \Г*г In х dx; 2) j* xe**dx;
3) J (1— x)sinxdx; 4) J xarctgx dx.
Решение. 1) Положим
з ——
и = In x, da = у х2 dx,
откуда
du = — , и = I i/lc2" dx == -^- j/Ht*.
По формуле (1) получим
j lnx j/~ x2 dx = lnx--g- ]/" x6 _ \ — j/" xB- — =
= -g- }/*** lnx g- l j/x2 dx =
3 3/— 9 *,—
2) Полагая
и = x, dv = e**dx,
найдем
da = dx, о = J e^dx = -j- e2*.
Отсюда
f xe2*dx = х- 4" «** — J4" *2*dA: = -T xe2x — — «**+С.
3) Пусть
и = 1— x, -do = sin x dx.
Тогда
du = —dx, у = ] sin x dx = — cos x.
По формуле (1) получим
l (1-х) sinxdx = (l—x) (—cosx) —
— I cosxdx = (x—1) cosa —sinx+ C.
162

4) Полагая
получим
и = arctg х, do = x dx,
dx x%
dx
xa +1
Тогда по формуле (1) имеем
Jxarctgxdx = -l-.arctg* —j-^-.
1 г ♦ > f<*2 + l>-l .
= -1 x-arclgi-4- [ J Af- J j^j] -
= -y x2 arctg x—ух + -у arctg ж 4- С.
В задачах 8.197—8.215 найти интегралы.
8.197.
е
8.199.
8.201.
8.203.
8.206
8.208.
8.210.
8.213.
8.215.
6*
х sin х dx. 8.198. \ дс cos Ax dx.
(2х — 3) cos x dx. 8.200. V (1' — Ax) sin 2x dx.
x2 In x dx. 8.202. I (x — 1) In x dx.
J *
tax dx. 8.204. f —— dx. 8.205. Г —— dx
J cos»* J sir,e- ax-
sin2 3*
Y
(2x + 1) etedx. 8.207. f (2-х) e**dx.
x2e*dx. 8.209. In (1 + x2) dx.
arcsinxdx. 8.211. J arctgxdx. 8.212. J lnxdx.
ln»x dx. 8.214. f In (x + У 1+ xa) dx.
(x.+ 2) 3'dx.
163

в 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ, СОДЕРЖАЩИХ
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
^Интегрирование функций, содержащих квадратный трех-'
член* сводится к выделению полного квадрата из квадратного
трехчлена.
* 8.216. Найти интегралы:
D Г ах 2уГ dx
'Jx2_4л: + 4, 'J x2 — 2*+ 2 *
»J I=!br: «> J
dx
V 4x2 — 8* + 3
Решение. I) Квадратный трехчлен х2
есть полный квадрат двучлена х — 2. Отсюда
dx С dx С d (х — 2) I
J
4*4-4
, +С.
ж2 — 4*4-4 J (at —2)2 J (* — 2)2 ж—2
2) Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат:
= Г *** _ Г d (х — 2) _
J (x-2)« J (*-*)« _
ж2— 2х + 2 = (х2— 2л: + I) — I + 2 = (х — 1)2+ 1.
Тогда
J &-2х + 2 J
d*
С _d(x
J <*-
*-1)
I)2 4-1
(х- 1)а +1
= arctg(x — 1)4-С
3) Выделяя из квадратного трехчлена полный квадрат,
получим
8 — 2jc — л:3 = —(х2 + 2х — 8)=—[(х*+ 2*+1) - 1 —8] =
Отсюда
__[„+„_9]_.[,_(i±i.)].
--•3
dx
8 — 2х — х2
г <т
+ С--g-ln
dx
-m1
-!- In
2
14-
«+1
x+1
*4-4
7^2"
+ C
+
164

4) Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена:
4jc2 — 8*+ 3=4 (х2 — 2х+~) =
-4[(*»-2* + 1 )_l+i-]=4[(*~1)2-4-] =
= [2(*-1)]2-1,
откуда
Г dx _ Г dx =
J /4х»-в* + 3 J /[2(*-1)Р-1 =
Л [2 («-!)]
Ч|
/[2<*-1)«]-1
1
= JL in 12(л: — 1) -ЬУ 4л:2 — 8х + 31 + С.
В задачах 8.217 — 8.232 найти интегралы.
8.217. Г ——. 8.218. Г ^^_#
J *2 + 6* + f3 J *2 + 8* + 16 .
8.219. Г ^—. 8.220. Г dx ' .
J х2_Зд;-4 J х2 + 3*
8.221. Г d* 8.222. Г iizL2l=ld*.
J 3*2-f5*+3 J x2-2* + 2
Указание. Из подынтегральной функции выделить целую
часть, разделив числитель на знаменатель.
8-223' j ,2,3* + ? ^. 8.224. j gJZ^Z^.
8,225. f * 8 226 f -
dx
:3X+ 1

8.233. Найти интегралы:
1) Г /"3 dr9 2) f ' + * 2 &
' J Л-5*+ 4 ' J }Л+*-3*2.
Р е*ш е н и е. 1) Выделим в числителе производную
квадратного трехчлена х2— Ъх — 4, стоящего в
знаменателе:
*-3==т<2*-5)-т-
Следовательно,
С —- (2х — 5)— —-
dx
J *а — 5*+ 4 * = J *а — 5*+ 4
2 j ,»-5*+4.—у j„.g, + 4 -
1 f* d(*a —5ж+4) L f SE =
=^j^wt^ *J(-iM
-4-1л|*а-5* + 4|—iln |4^i|+C.
2) Выделяя в числителе производную квадратного
трехчлена 1 + х — За:2, стоящего в знаменателе, получим
1+2* = —-i- (1—6*)+ 4-.
Тогда
__lf (1 — 6л:) rf* i JL Т _
3 J 1/" l + ^ — з*2 з J /
1 + ж —3*а
- — -i- f (\+x — Зх2) 2 d (\+x — 3x*) +
Jf dx
3VlFR7
+-M ,,„ ", . , —|У1+»-з»«+
166

,4 \ 6 / , n
H =■ arcsin ^7=—- + С =
--T 1" + —^ + T7t агй,л "TT-tС
В задачах 8.234—8.248 найти интегралы.
v
8.234. f 2 dx. 8.235. f _Ji±J— dx
J *« + * —2 J xi — 2*+ 2
.8.236. f —£±i dx. 8.237. f Здс~5 dx
J *» — 5*+7 Jx2 + 4^ + 4
8.238. f '~8* dx 8.239. Г 3* + 1 ^dx.
J 2x» + x 4J *» + 3*-4 )
8.240. f 4*+1 ' dx 8.241. f —- dx. V
J *» + 5* + 8 J x» + 5* + 8
8.242. f (*~1)a .dx 8.243. Г *~' dx
J *» — 8*+17 J Y x* — 2*+3
8.244. f , *~2 *" dx 8.245. f 3*~2 dx.
J Yx2 + bx-\-7 J /12 —3*a
8.246. f , 2*~10 dx. 8.247. f *~M dx
J }Л+* — *2 J / = 3+8* — 4*a
8.248. f 2*'1'5 dx
J /4*a + 8*+9
$ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙ
В задачах 8.249—8.275 найти интегралы.
8.249. Г JHHL. 8.250. Г £- .
J Yi + * J 2x* — 8* + 15
8,251. f-37-d*. 8.252. Г x#xdx. 8.253. Г xV'dx
8.254. Г -SSL. dx 8.255. Г 6~4* dx
J cos«2* J 9 + 3* — *a
167

8.256. Г sin5xdx , 8.257. f (лс + 2)cos x dx.
8.258. Г - dx. 8.259. Г 2дг + 3 dx.
J sina6* J *a — 4л- + 5
8.260. Г sin Ьх-cosZxdx. 8.261. Г ~ dx.
8.262,
. f *L dx. 8.263. pf*L
J /* J sinV
8.264. f 2дг 5 — dx. 8.265. farccos2xdx.
J К — Зд:2 -b 8jt — 4 J
8.266 C COs4x J- •"" Г dX
f -^^- ^. 8.267. f
J sina4x J
/3x+ 1 + /ЗЛ--1
Указание. Освободиться от иррациональности gзнаменателе.
8.268. f (2*~3,Г)2 dx. 8.269. Г — .
J 6* J 2 —sin2*
Указание. Разделить числитель и знаменатель на cos2*.
8.270. farctg Ух dx. 8.271. Г sin4x.cos4xdx.
8.272. Г tge*.sec4xdx. 8.273. Г _ х + 2 dx.
8.274. Г У1-* dx.
Указание. Умножить числитель и знаменатель на ]/1 — х.
J
8.275. I £■!—— dx.

Г Л А В А 9
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
Определенным интегралом в пределах от а до b от функции
fXx), непрерывной на отрезке [а, Ь],называется приращение любой
ее первообразной F(x) при изменении аргумента х от значения
х *= а до значения х e b:
J f <*) Лг = F <*) | =F(6)-F(a). (1)
а
Простейшие свойства определенного интеграла
1) Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного
числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов
от слагаемых функций:
ъ
J M*) d* + j /2(x)dx-J /з(дг) d*.
a a a
2) Постоянный множитель можно выносить ва знак
определенного интеграла:
а
Ь
р/ (х) dx = И j / (*) d*.
3) /7ры перестановке-пределов интегрирования определенный'
интеграл меняет знак на противоположный:
ъ а
^f(x)dx = -^f (х) dx
а Ь
4) Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
а
а
ания можно, р
с
J f(X)dXr= J /(*)<**+ J / (*> <**•
169
5) Отрезок интегрирования можно .разбивать на части:
ь с ь

9.1. Вычислить -интегралы:
2 1
1) f 4x3dx; 2) f (x — 2e*ydx\
♦* о о
те
Л л COS* Лч Л 3^—
3) Г3 dr- 4) J /x in ж Л:.
J / sin2 x i
о
Решение. 1) Найдем одну из первообразных F(x)
для функции 4JC3. Так как
Ux*dx - 4~ + С = х4 + С,
то F(x) = х4. По формуле (1) получаем
2
Uj^dx = jc*f =2«-l*= 16 — 1 = 15.
2) По формуле (1) имеем
1
[(* - 2**) dx = [-£- - 2е* J " (т - 2е) - (°- 2е°) =
о •
= — _2е+2=- 2е.
2^2
3) Первообразную F(x) для функции —cos* полу-
j/lin2*
чим, вычислив неопределенный интеграл
Г "" dx= PiiEEiL = з ^ЖГ+ С.
J^ sin** Jt^IiHST
Отсюда /"(*)= 3 v^sin x и по формуле (1) имеем
1С
Т з ^
Г cos* dx = 3 V sin x Ь _,
J t^sin2 * 'о
0
~з({/ sln^—y^ltaFJ-e.
4) Для нахождения, неопределенного интеграла
J yfx In x dx применим формулу интегрирования по чад-
170

тям. Полагая и = In x, dv = \Hcdxt получим du=
х
v = I */Tdx= — ^Г4. Отсюда
ffrlnxdx - ±fa In х - \\V^^- -
4 16
i6 -i6 i6
В задачах 9.2—9.36 вычислить определенные интегралы.
3 36 I 8 ъ
9.2. jW.9.3. jVFd*.9.4. j-^_ 9.5. jifLl^ dx
\_ 1
4
1
3
Г j_ -1
VT
* 2
9.6. f-^-. 9.7. f——dx. 9.8. Г (3*2+4x—1),
9.9. (7 ! Л Же. 9.10. [(2x 9-Vx — \\dx.
on f43/7»-i2 + 9* Wr 9>12. PJ:
1—2x\nx .
dx.
1 '
it %
T 2
9.13. {cos2xdx. 9." Г dJt л'* Г rf*
.Jcostod*. 0.14.1-^-. 9.15. J-4sin2;rb4s,n4x
* JL Sin 2 °
4 3
171

ъУъ 2/з о
9.16. Г -*Х—.9.П. f dx . 9,18. [e*xdx.
J 25+** J уТб=? J
5 0 r —1
*>3 3
9.19. J2* (2*+l) dx. 9.20» Г (cos x—5*) dx.
1 0
9-2,fe-9-22- /t^f ■ 9-23- М'+т)л
1 -2 Г ^ О
9.24. J.tgxdx. 9.25. j(4ctg2;t—6 tg2x)dx.
9.26. H^dx. 9.27. f ctg2xdx. 9.28. f (r* - tg2x) dx.
6
1 2
9.29. f —- . 9.30. [^— dx.
9.31. Г d* . 9.32. f sin5jtcos7xdJt.
J l^ctg * sin2* J
те Г fe —те
6
2 2
9.33. I cos 2a: cos 7x dx. 9.34. I sinjcsin4jcdA:.
""T ~T
9.35. Г xe**dx. 9.36. f-^- dx.
1 1 r
з
172

§ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
ь
При вычислении определенного интеграла f l(x)dx спосо-
а
бом замены переменной х = ф(0 [или t = <\>(х)] мы приходим к
определенному интегралу с новой переменной интегрирования /,
причем старые пределы интегрирования дп= а и дг2= Ъ заменяются
новыми пределами t\— ф(а) и fe= ф(Ь):
& *. =Ф(&)
\f(x)dx= J /[9(0К(0Л. (1)
a *i=*(a)
Интегрирование по частям в определенном интеграле
осуществляется по следующей формуле:
J u(x)v'(x)dx = и(х) • i>(*)| — jV(*M*)d*. (2)
9.37. Вычислить интегралы:
JL - 4 VT
2 /8 -3—
о ут 2
Решение. 1) Так как
cos х dx = d(sin я),
то с помощью подстановки t = sin x рассматриваемый
интеграл приводится к табличному. Вычислим новые пределы
интегрирования: при Xi== 0 получаем tt= sin 0 = 0, при
х2 = — имеем t2= sin— = 1. Следовательно,
2 2
1
cos xdx С dt . ,
= = arctg *
1+sin2* J 1+/2
0 4
о о
2) Введем новую переменную / =. 1 + *2. Тогда
("*/1+**<1х= f -jVWiedil+x*) = f — yTrf /.
173

Вычислим пределы интегрирования по переменной /•
/1= 1 + (Vf)2 = 4 при Jd= VS и t2 - 1 + (]/Т)а=>
= 9 при x2=]/r8 . Отсюда
/Г 9
VT * 2
1 /1ЛГя *гт 19
- -f (l^S1 ~ К43) =
3 w г ' 3
3) Произведем замену переменной интегрирования по
2 х ™ л.. 2cos/
формуле х = -. Тогда dx = 1/ ха—4
Y F J ^ sin/ sin2/ к
= 1/ i_—4 = 2ctg/. Найдем новые пределы интег-
r sin2/
2
рирования: при jc4= 2 имеем sin / = — =1, откуда
. п 4 /3" . , 2-3 VT
tt = — ; при х = —- имеем stn / = = ^— ,
2 к з 4 VT 2
откуда /2 = — • Следовательно,
4 >^3~
3 3
С Ух2—4 . _ Г 2ctg/.sln2/.2cos/ ,
J *2 в J 4 sin2/ ~~
J sin/ J sin/ J \ sin / /
T T T
= Г In tg -i- + COS t V ( In tg -J- +COS-^-j =
= _lnXi-—L = -L(in3-l).
3 2 2 v '
174

В задачах 9.38—9.69 способом замены переменной
вычислить интегралы.
О 4
9.38. f fox+ 2 dx. 9.39. Г dx 9 40 f dx
J/ _ J J/4-3* j (1+2*)»
i -L
Ml.j-^-d*. 9.42. J sin (-=--»*) rf*.
2 12
J3
9.43. f _*L_. 9.44. f _^_
J 9+25*3 J /T6=3F
УГ 2 VT
б з
l
xdx
9.45. f(x»—lptfd*. 9.46. Г
о о
,в;47.|-^.9.48. j
1+9*
—1 -0.5
In 3 —0,5
9.49. f_£*_, 9.50. f _!fS_. 9.51. f-*5*L
Jl/ew-l J 1/ 1—16* .J I— **
itV7^ J.*V
2 /2
9.52. Г _iL±_ . 9.63. f _^L_.9.54. [$^dx.
J sln'x» J (1-%«)а J 5x
In /3 24
1-
-ln>T
1П CO Z4
9.55- J l^Fr-9.56.Jtg(f-4,)^
176

0,5 4 __
9.57. (V,n™ cos «* dx. 9.58. f Li±Ji£ d*.
J , J cos2*
4
/3
2 — — arc sin x
9.59. Г x?cos(——8x*\dx. 9.60. f __r— dx.
9.61
.H_ 2
2
196
l
25 *~4^
Указание. Сделать подстановку x = t2.
я — 25 99
V*A. QftQ f ** QftA Г *L
9.62. f JLfL d*. 9.63. f — . 9.64. f
J *+i J vT— l J 3 —
yT-i J 3-fJ+T
VT
125 2
9.65. J T^T • 9-66. jyT=Pdx. 9.67. JV(4-*»)» dx.
27 ^ 0 0
о 8
f d* f dx
9.68. . . 9.69. .
J х2}Лг2+9 J x У x2—16
VT 4VT
9.70. Применяя формулу интегрирования по частям,
* * 4,
вычислить интегралы: 1) J *sin*d*, 2) Г yxlnxdx.
Решение. 1) Полагая и = _*, dv = sin л: dx,
получим du = dx, v = —cos x. Тогда по формуле (2) имеем
71 ТС
\xsmxdx=x»(—cos*)Г — \ (—cosx)d*=rc+sinxr = тс.
о о
2) Пусть ы=1п *, |Л* dx=dv. Тогда dw = —— ,
у = —YJL— . По формуле (2) получаем
4
~5
J76

[fttlnxdx = ± ft? In x Г - [±-ftF^*- =
J 5 |i J 5 x
i i
= JL^_±f^Fdjc= ±ft* _ ± . lfc?f =
5 r 5Jr 5 r 5 5|i
l
= JLft? - -il (^?- 1W 4^"6+16 =
5 K 25 V / 25
4 (frrgs'+ 4)
= 25
В задачах 9.71—9.82, применяя формулу
интегрирования по частям, вычислить интегралы.
тс
5 Т
9.71. {xexdx. 9.72. f (л;— l)cosxdx.
о о
0 |Л
9.73. Г (2х + 3) Г* dx. 9.74. Г х2 In jc dx.
к
1 *» Т
9.75. J arctg x dx. 9.76. J In2 x dx. 9.77. I (2-х) sin 3x dx.
0 ' l —JL
6
0 2 .
9.78. arccos x dx. 9.79. —ri— dx.
J J sin2 x
9.80. f In (VT+x* — x)dx. 9.81. f j/Tln л dx.
и 1
1
I, \ x arctg
и
l
9.82. j x arctg л: dx.
Q
177

i 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗНЫХ ФУНКЦИИ1
В задачах 9.83—9.100 вычислить интегралы.
46 _/-
С У* — 1 Г
9.83. J—-=г dx. 9.84. \ (те—х) sin x dx.
Т -1
9.85. \ sin3 х cos4 x dx. 9.86. 1 х2 g**\ 13 .
0 —5
2 3
9.87. f f 9.88. f 22X7\* d*-
J/3+2*—*a J *a-4*+5
9.89. j-^-dJC. 9.90. j (*--=-) сое2* dx.
T 4
"Т з
9.91. ] sin 7л; cos Зж dx. 9.92. J (3— х)ех dx.
dx л С 2 + У tg л:
9.93. , 9.94. ' Г Же.
.93. \ , * 9.94. f
9.95. f dx . 9.96. fJ2£_ . 9.97. f -HEZ
J3+/T J *+з J *
3 2 In 2
9.98. Г dx . 9.99. f l^e^T dx.
О r v ln2
Указание. Применить подстановку е* -~ 1 = t2,
2
9.100. Г (1— x) sin vxdx.
-2

ГЛАВА 10
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
§ 1. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Площадь S криволинейной трапеции, ограниченной
непрерывной кривой $/=[(х), двумя прямыми х = аих = Ьн отрезком
оси абсцисс а < х < bt вычисляется по одной из следующих
формул:
ь
S = J [{x)dx, (l)
а
если £(дг)> 0 на отрезке [а, Ь]\
ь
S=—JfMrtr. (2)
а
если t(x) < 0 на отрезке [а, Ь]\
ь
S - J |ftjr)| dx, (3)
а
если /(дг) конечное число раз меняет знак на [а, Ь].
Площадь S фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми
У = h(x) и у = h(x) и двумя прямыми х = а и х =,&, где fifjr) >
> Ы(х) на отрезке [а, 6], вычисляется по формуле
ь v
•S-JUi(jr)-M*)]*r- W)
10.1. Вычислить площадь, ограниченную параболой
t/ = За:2, прямыми х = 2, х = 4 и осью абсцисс.
Решение. Воспользовавшись формулой (1), имеем:
4'
4
S = Г За:2 djc = 3 - —
= 64 — 8 = 56.
10.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
прямыми х + 2у — 8 = 0, у = I, у = 3 и осью ординат
(рис. 35).
179

Решение. Для вычисления искомой площади
воспользуемся формулой (1), учитывая, что здесь изменены
роли осей координат:
** 3 3 з
S = I f(y)dy = j (8-20 dy - [8у-у*\ = 15-7=8.
l l
10.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
ветвью гиперболы у = — , прямыми х = —3, х = —1 и
осью абсцисс.
Рис. 85
Рис. 36
Решение. На отрезке [—3, —1] функция f(x) =
= — отрицательна. Поэтому для вычисления площади
рассматриваемой фигуры воспользуемся формулой (2):
—1
= — (In 1 — In 3) = In 3.
S » — ?-Ldx= - ln|*|
—3
10.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболой у2= х и прямой х = 9 (рис. 36).
Решение. Данная фигура состоит из двух
симметричных относительно оси абсцисс криволинейных трапеций,
поэтому площадь можно вычислить по формуле (1):
9
S = 2 W~xdx=2 • —V¥ = — • 27 = 36.
J 3 Ij 3
10.5. Найти площадь фигуры, ограниченной
параболой у = —х2— 2х + 3 и прямыми х = 0, х = 2, у = 0.
180

Решение. Так как на отрезке [0, 2] функция f{x) ==
= —я2— 2х + 3 меняет знак, а именно f(x) >0 на
отрезке [0, 1] и /(л:) <^ 0 на отрезке [1, 2], то искомую площадь
следует вычислять по формуле (3): ,
2 1
S = Г | — х2 — 2х + 3 \dx = Г | — х2—2х+3 \ dx +
о о
2 1
+ f | —х2—2х + 31 dx = f (— х2—2х+3) dx—
i о »
__ Г (_х*—2х + 3)dx = Г— — — х2 + Зх Т — ф
-[-■т-^Н-т-Ы)-*-
* 10.6. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми
у = 7х, х = 3, х = 5 и осью абсцисс.
10.7. Найти площадь фигуры, заключенной между
осями координат и прямыми у = х + 3их = 2.
10.8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболой у =—х2, прямыми х = —2, х = 6и осью абсцисс.
4
10.9. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
у = ег2*, прямыми х = , л; = 1 и осью абсцисс.
10.10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
кривой х = У у, прямыми у = 1, у = 4 и осью ординат.
10.11. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
у = arcsin х, прямыми t/= — , у = — и осью ординат.
4 3
10.12. Вычислить площадь фигуры, заключенной между
кривой у = arctg я, прямыми х = -Цг- , х = У~Ъ и осью
абсцисс.
10.13. Найти площадь, ограниченную цепной линией
у= е —, прямыми х = —1, х = 1 и осью абсцисс.
10.14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
окружностью х2+ у2= 36 и прямыми х = 3 и х = 3|/^ЗТ
181

10.15. Найти площадь фигуры, заключенной между
окружностью хг+ у2= 25 и прямыми 2у—5 = 0 и 2у—
-5уТ=0.
10.16. Найти площадь фигуры, заключенной между
эллипсом 4х2+ 9t/a= 36, осью ординат и прямой 2х —
— 3/3 = 0.
10.17. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом
16jc2+ 25t/2= 400 и прямыми у = 2 и у = 2]/1Г
10.18. Найти площадь фигуры, заключенной между
^параболой у = 9—х2 и осью абсцисс.
10.19. Найти площадь фигуры, заключенной между
параболой у = х2+ 6х и осью абсцисс.
10.20. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболой у2= х + 4 и осью ординат.
10.21. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
у = е*— 1, прямой х = 2 и осью абсцисс.
10.22. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
у = ln(jc + 1), прямой у = 2 и осью ординат. Объяснить
совпадение ответов в этой и предыдущей задачах.
10.23. Найти площадь фигуры, ограниченной
кубической параболой у = 16*3, прямой у = 2 и осью ординат.
10.24. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
t/=sin х и осью абсцисс от х = —'до jc = —— .
3 2
10.25. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
у = cos jc, прямыми а: = — , х = —— и осью абсцисс,
10.26. Вычислить площадь фигуры, заключенной между
кривой у = ctg jc, прямыми jc = —, х = — и осью аб-
6 6
сцисс.
10.27. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
у = arcsin х% прямыми у = ——, у =— и осью ординат.
4 4
10.28. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
кривой у = In ;с, прямыми jc = — , jc = в и осью абсцисс.
10.29. Найти площадь фигуры, ограниченной
параболой у = —jc2+ 6jc, прямыми jc = —1, х = 3 и осью
абсцисс.
10.30. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболой у = jc2—4jc + 3, осями координат и прямой х — 4.
182

10.31. Найти площадь, заключенную между линиями
у *= Ь — х2 и у — х— 1 (рис. 37).
Решение. Решая совместно уравнения,
определяющие данные линии, получим: *i=—3 и jc2= 2.
Следовательно, площадь фигуры, ограниченной линиями у =
= 5— х2 и у = х — 1, находится по форму ле (4):
2 2
S= f [(5— jc2) — (*—l)]dx- f (6— x — x2)dx=>
10.32. Найти площадь
фигуры, заключенной
между прямыми у я 2jc,
(/ = 5jc, x = 2 и х = 6.
10.33. Найти площадь
фигуры, обр азованной
прямыми у = х + 1, у =
= 2х — 3 и осью ординат.
10.34. Вычислить
площадь фигуры, заключенной
между прямыми х — 2у+
+ 1 = 0, х + 2у - 7=
=0, х = — 1 и х = 2.
10.35. Найти площадь
части гиперболы (/=— ,
отсекаемой от нее прямой
х + у — 4 = 0.
10.36. Вычислить площадь фигуры, образованной
прямыми х = —3, у =■ 3 и ветвью гиперболы у = .
10.37. Найти площадь фигуры, образованной
параболой у = — jc2 и прямой 4jc — 2у + 5 = 0:
10.38. Найти площадь фигуры, отсекаемой от
параболы у = 3* — х2 прямой Ьх — у — 8 =* 0.
10.39. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболой у2= 16jc и прямой у = jc.
10.40. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболами (/ = х2 и */2= х.
-—1
3 J.
"12 = 20-*-.
-3 б
Рис. 37
183

10.41. Найти площадь фигуры, заключенной между
параболами у = —х2+ 8х и у = х2+ \8х— 12.
10.42. Вычислить площадь фигуры, образованной
кривыми^ = 2*, у = —х2 и прямыми х = —3, х = 3.
10.43. Найти площадь фигуры, отсекаемой от
кубической параболы у = —4гя биссектрисой II и IV
координатных углов.
10.44. Найти площадь фигуры, заключенной между
параболами у = 2*3 и у = 6х2.
10.45. Вычислить площадь фигуры, заключенной между
X2 1
кривыми t/ = и у = (рис. 38).
Рис 55
10.46. Найти площадь сегмента, отсекаемого прямой
я + у — 4 = 0 от круга, ограниченного окружностью
х2+ у2= 16. Результат проверить непосредственным
вычислением.
10.47. Найти площадь фигуры, лежащей в I четверти
и ограниченной окружностью х2+ у2= 36, прямой *]/!$—
— Ъу = 0 и осью абсцисс.
10.48. Найти площади каждой из двух фигур; на
которые прямая Ах + Ъу — 20 = 0 делит область,
ограниченную эллипсом 16x2-f- 25у2= 400.
10.49. Найти площадь части плоскости, ограниченной
дугами эллипса 4х2+ 9у2= 36 и двумя прямыми 2х +'
+ 3у + 6 = 0 и 2х+ Ъу — 6 = 0.
10.50. Найти площадь фигуры, лежащей в I четверти
и ограниченной эллипсом 9х2+ 16у2= 144, прямой
3|/^3jc — 4у = 0 и осью ординат.
184

10.51. Найти площади фигур, на которые парабола
у = х2 делит круг, уравнение граничной окружности
которого х2+ у2= 2.
10.52. Вычислить площади фигур, на которые парабола
у2= 2х делит круг, граничная окружность которого
Х*+ у2= 8
§ 2. ОБЪЕМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой у = f(x)t
осью абсцисс и двумя прямыми х = а и х = b (a < 6), вычисляется
по формуле
-ь
У = я| Шх)]Чх. (1)
а
Аналогично, объем тела вращения вокруг оси Оу криволинейной
трапеции, ограниченной непрерывной кривой *=Ф(#), осью
ординат и двумя прямыми у = с и у = d (с < d)t находится по
формуле
V = *] ЫУ)]2*у. (2)
с
10.53. Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох фигуры, ограниченной одной полуволной
синусоиды у = sin х и отрезком 0 <! х <^ я оси абсцисс.
Решение. Применяя формулу (1), имеем
V = тс I sin2 х dx = тс 1 —~~cos dx=
о о
= — л: sin 2л: = .
2 L 2 Jo 2
10.54. Вычислить объем тела, образованного вращением
вокруг оси Оу 'фигуры, ограниченной ветвью параболы х =
= Y~y и отрезком I К у К4 оси ординат.
Р е ш е н и е. По формуле (2) имеем
у-«|(у7)«4*-«.£|;-1- (16-D—£«.
10.55. Вычислить объем тела, полученного от вращения
параболы t/ = Ъх2 вокруг оси Ох в пределах от х -= 0 до
jc= 2.
185

10.56. Вычислить объем тела, полученного от вращения
вокруг оси Ох трапеции, образованной прямыми у = —х,
х = 4, # = б и осью абсцисс.
10.57. Найти объем тела, полученного от вращения
вокруг оси Оу трапеции, образованной прямыми у = Зх,
у = 2, у = 4 и осью ординат.
10.58. Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой у = cos x
и отрезком —— ^ % ^ — оси абсцисс.
10.59. Криволинейная трапеция, ограниченная
гиперболой у = — и прямыми х = 3 и х = 12, вращается вокруг
X
оси Ох. Найти объем тела вращения.
10 60. Найти объем тела, полученного от вращения
кривой у = —х2 вокруг оси Оу в пределах от у = 1
4
До у = 5.
10.61. Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Оу кубической параболы у = х8 в пределах от
у = 1 до у = 8.
10.62. Найти объем тела, полученного в результате
вращения вокруг оси Ох фигуры, которая ограничена
дугой окружности х2+ у2= 16,^ лежащей в I четверти, и-
прямыми х = 1 и х = 3.
10.63. Найти объем тела, образованного вращением
эллипса Ах2+ 9у2= 36 вокруг его малой оси.
10.64. Фигура, ограниченная дугой эллипса ^ + -^- =
= 1 (а > 6) и двумя прямыми, перпендикулярными к оси
абсцисс и проходящими через фокусы эллипса, вращается
вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.
10.65. Найти объем тела, полученного в результате
вращения вокруг * оси Ох фигуры, ограниченной ветвью
гиперболы х2— у2 = 1 и прямой х = 3.
10.66. Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами у =
= х2 и х = у2.
Решение. Решая совместно уравнения у = х2 и
х = у2, получим *i= 0 и х2= 1- Искомый объем находим
как разность объемов, полученных в результате вращения
вокруг оси Ох криволинейных трапеций, одн£ иэ которых
ограничена осью Ох, прямой х = 1 и параболой у = х29
186

а другая — осью Ох, прямой х = 1 и параболой t/=
= ]Лс. Имеем
1 1
У-* f {V^fdx — т: Ux*fdx «
о о
|_ 2 б Jo \ 2 5 / 10
10.67. Фигура, образованная в результате пересечения
параболы t/2= 4х и прямой # = х, вращается вокруг оси
Ох. Найти объем тела вращения.
10.68. Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой у2= 9х
и прямой у =— х.
ГО.69. Найти объем тела, полученного в результате
вращения вокруг оси Ох сегмента, отсекаемого прямой
х + у — 2 = 0 от круга, граничная окружность которого
х«+ {/2= 4.
10.70. Найти объем тела, полученного в результате
вращения вокруг оси Ох общей части парабол у = 2ха
и у = х3.
10.71. Фигура, ограниченная кривыми у = tg х, # =
=ctg х и прямой х= —, вращается вокруг оси Ох. Найти
6
объем тела вращения.
10.72. Найти объем тела, образованного в результате,
вращения вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми
у = 2*, у = 4* и прямой х = 1.
10.73. Фигура, лежащая в I четверти и ограниченная
ж2
дугой окружности х2+ j/2= 18, параболой у = — и осью
3
ординат, вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела
вращения.
10.74. Фигура, лежащая в I четверти и ограниченная
кривыми х2— (/а= 3, ху = 2 и прямой х = 3, вращается
вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.
10.75. Найти объем тела, полученного в результате
вращения вокруг оси Ох фигуры, ограниченной
гиперболой х2— (/2= 1, прямой у = 2 j/Ти осью абсцисс.
• Указание. Воспользоваться результатом задачи 10.65.
187

6 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
* Схема применения определенного интеграла для вычисления
некоторой величины и такова. Сначала нужно выразить некоторую
переменную часть величины и в виде функции и(х) одного из ее
параметров, который изменяется в известном из условия задачи
интервале а < х < Ь. Затем следует рассмотреть приращение
Дм величины и(х), отвечающее изменению х на малую величину
Алг, и постараться найти для Аи приближенное выражение вида
^(дг)Ад* так, чтобы оно отличалось от Дм лишь на бесконечно малую
высшего порядка, чем Ах:
Аи ж JEM А*»
т. е. найти дифференциал функции [(х):
du = t(x)dx.
При этом следует пользоваться всеми возможными допущениями,
которые в итоге сводятся к отбрасыванию бесконечно малых
величин высших порядков.лИскомая величина и определяется
интегрированием du в пределах от х = а до х = Ь\
ь
u=\l(x)dx.
а
10.76. Материальная точка под действием силы F
перемещается вдоль оси Ох. Вычислить работу,
произведенную этой силой на отрезке от х = а до х = Ь.
Решение. Работа Л, произведенная силой F в
процессе движения, находится в функциональной
зависимости от пройденного пути s: A = A(s). Если точка проходит
бесконечно малый интервал пути ds, то сила на протяжении
этого пути остается практически постоянной. Тогда работа
на участке ds выразится формулой
dA = F{s)ds.
Интегрируя, получим
ь
А = Г F(s)ds.
а
10.77. Скорость точки равна v = (З/2— 2t) м/с. Найти
путь s, пройденный точкой за время / = 4с, протекшее от
начала движения.
Решение. Найдем путь ds, пройденный точкой за
бесконечно малый промежуток времени dt. Так как в
течение этого времени скорость можно считать постоянной,
то
188

ds = v(f)dt..
Интегрируя, имеем
4 4
s = Г v(t) dt = f (3/2—20 dt =[t3-i ]4 = 64-4=60 м.
о о
10.78. Найти силу давления жидкости на вертикальную
треугольную пластинку с основанием а и высотой А,
погруженную в жидкость так, что ее вершина лежит на
поверхности.
Решение. Систему координат расположим так, как
показано на рис. 39. Рассмотрим горизонтальную беско-
1
L
1
( EJ
\ 1
L
I"*
А
а
i
ч
V
1
1
с
<:
]
1 у
1
Рис. 39
нечно малую полоску толщины dx, находящуюся на
произвольной глубине х. Принимая эту полоску за
прямоугольник, найдем ее основание EF. Из подобия треугольников
ABC и AEF получаем
а
ах
Отсюда EF=* . Тогда площадь полоски равна
h
dS=—.dx.
Так как сила Р давления жидкости на площадку S,
глубина погружения которой г, по закону Паскаля равна
189

P == pgrS (p —плотность жидкости, g — ускорение
силы тяжести), то искомая сила давления на
рассматриваемую площадку dS вычисляется по формуле
dP = Pgx.-^dx=Pg-Z?-dx.
п п
Следовательно, сила'давления Р жидкости на площадку
ABC
h
О
10.79. Скорость тела выражается формулой v =*
= ]/2*+3 м/с. Найти путь, пройденный телом за первые
три секунды после начала движения. '
10.80. Скорость тела, брошенного вертикально вверх
с начальной скоростью v0= 29,4 м/с, без учета
сопротивления воздуха, определяется формулой v = v0— gt, где
g = 9,8 м/с2— ускорение силы тяжести, / — время. На
каком расстоянии от начального положения будет
находиться тело через / = 5 с?
10.81. Автомобиль, двигающийся со скоростью 48 км/ч,
начинает тормозить и останавливается через 3 с. Найти
путь, пройденный автомобилем до полной остановки.
Указание, Скорость равнозамедленного движения
выражается формулой о = «о — at, где Ц)—начальная скорость, а —
ускорение, t — время. Ускорение движения а находится из
условия: и = 0 при t = 3 с.
10.82. G высоты 294 м вертикально вниз брошено тело
с начальной скоростью 19,6 м/с. Через сколько секунд тело
упадет на землю?
Указание. Скорость равноускоренного движения
выражается формулой v = 1>о + at, где щ — начальная скорость, а —
ускорение, t — время. Здесь а « 9,8 м/с1.
10.83. Вычислить работу, производимую при
растяжении пружины на 3 см, если известно, что сила, которая
требуется для растяжения пружины, пропорциональна
удлинению х пружины и что для удлинения пружины на
1 см требуется сила в 1 Н.
10.84. Вычислить работу, которую нужно затратить,
чтобы выкачать воду из цилиндрического котла, радиус
основания которого R, а высота Н.
190

Указание. Работа, необходимая для выкачивания из котла
бесконечно малого слоя воды, находящегося на глубине х и имею--
щего толщину dx, равна произведению объема этого слоя на
глубину его погружения: <*ЛГ"= npgR*xdx.
10.85. Найти работу, необходимую для выкачивания
воды из конической воронки, обращенной вершиной вниз,
если ее высота равна 10 м, а радиус основания 8 м.
10.86. Вычислить работу, которую необходимо
затратить, чтобы выкачать воду из котла, имеющего форму
полушара, радиус которого равен 1 м.
10.87. Вычислить работу, которую необходимо
затратить, чтобы выкачать воду из котла, имеющего форму
полуцилиндра, радиус основания которого равен /?, а
высота Н.
10.88. Вычислить силу давления воды на
прямоугольные ворота шлюза, ширина которых 25 м, а глубина 18 м,
если их верхняя грань лежит на свободной поверхности
воды.
10.89. Найти силу давления воды на вертикальный
треугольный щит с основанием а и высотой Л,
погруженный в воду так, что его основание лежит на свободной,
поверхности воды.
10.90. Вычислить силу давления на плоскость
полукруга, погруженного в воду вертикально, если его радиус
равен 3 см, а диаметр лежит на свободной поверхности
воды.
10.91. Вертикальная плотина имеет форму трапеции,
верхнее и нижнее основание которой соответственно рав-
ьНЫ 80 и 50 м, а высота — 25 м. Вычислить силу давления
на всю плотину.

Г Л А В А 11
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Уравнение, связывающее независимую переменную,
неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы различных
порядков, называется дифференциальным уравнением.
Порядком дифференциального уравнения называется порядои
старшей производной, входящей в это уравнение. Например, урав-
d2y
нение y'sin х + у tg х = 1 — первого порядка; а = х9 — вто-
' ах
рого порядка; у"' — Ъху'Л- ху = 0 — третьего порядка.
Функция # =ФС*-), удовлетворяющая дифференциальному
уравнению, называется решением этого уравнения. График решения
называется интегральной кривой уравнения.
Если функция, удовлетворяющая дифференциальному
уравнению, задана неявно, т. е. соотношением вида ф (дг, у) = 0, то
говорят об интеграле уравнения.
Решение дифференциального уравнения, содержащее столько
независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения,
называется общим решением этого уравнения. Так, для уравнения
первого порядка общее решение имеет вид
у = Ф(дг, С),
а для уравнения второго порядка — вид
у = ф (дг, Си С2).
Функции, получаемые из общего решения при различных чис-1
ловых значениях произвольных постоянных, называются частными
решениями этого уравнения.
Геометрически общее решение определяет семейство кривых,
а частное решение — некоторую кривую этого семейства.
Для нахождения частного решения дифференциального
уравнения задаются начальные условия. Для уравнения первого
порядка они имеют вид у(хо) = уо\ для уравнения второго порядка —
вид у(хо) = уо, у' (хо) = у0. По этим начальным условиям
определяются значения произвольных постоянных в общем решении
уравнения, в результате чего получаются частные решения,
удовлетворяющие заданным начальным условиям.
11.1. Проверить, что функция у = cos х является
решением уравнения у" + у = 0.
ч Решение. Имеем
(/'= —sin xt t/"= —cos x.
192

Подставляя выражения для у* и у в данрое уравнение,
получаем
у"+ у = —cos х -f cos х = О,
т. е., действительно, функция у = cos x является решением
данного дифференциального уравнения. -
1.1.2. Показать, что функция t/, определяемая
уравнением хг— у2 = 4, является интегралом
дифференциального уравнения у' = —.
у
Решение. Продифференцировав обе части равенства
по переменной х, получим
2х — 2уу'= О,
откуда у' = — .
у
11.3. Доказать, что функция j/ » является
решением дифференциального уравнения ху'+ у = J/2.
11.4. Дано уравнение
Показать, что функция $(/), # определяемая уравнением
# = 3 (1 — е~*), является интегралом данного
дифференциального уравнения.
11.5. Выяснить, являются ли решениями
дифференциального уравнения х2у" = 2у следующие функции:
1)J/W2; 2)(/=-L; 3) f/ = sin 2x; 4) у ^-.
X' X
11.6. Выяснить, являются ли решениями
дифференциального уравнения у"+ 4#' + 4t/ = О следующие
функции: 1) у = х2~ 1; 2) у = 5Г2*; 3) j/ = -Злаг2*; 4) */ =
=»Г**(* + 1).
11.7. Общее решение дифференциального уравнения
jf— Ъу = 0 имеет вид у = Се3х. Найти его частное
решение, удовлетворяющее начальным условиям у (1) = е3.
| Решение. Значение произвольной постоянной С,
Соответствующее искомому частному решению,
получается в результате подстановки в выражение общего решения
Заданных начальных условий:.
I е* = С.е\
7^682 193

откуда С = 1. Подставляя полученное значение С = 1 в
общее решение, найдем частное решение у = eZx, удов
летворяющее заданным начальным условиям.
11.8. Общее решение дифференциального уравнения
s dt^\- ctg / ds = 0 имеет вид s = С cos /. Найти
частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
•(т) —•-•
11.9. Зная общее решение у = х2+ С
дифференциального уравнения у'= 2х, найти и построить его
интегральные кривые, проходящие через точки Л(0; 0)* В(—1; 2),
С{2; 1).
11.10. Для уравнения —— «—L функция у =
d* х х
является общим решением. Из семейства интегральных
кривых этого уравнения выделить кривые, проходящие
через точки: А (—1; 1), В (2; 1), (—3; 6).
§ 2. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
имеет вид
Mi (x) Ni (у) dx + М2 (х) N2 (у) dy = 0.
Решается оно следующим образом. Поделив все члены уравнения
на Nx(y) M2(x)t получим уравнение
в котором переменные разделены. Общий интеграл уравнения
находится почленным интегрированием:
J М%(х) ^ J М,(У) У
11.11. Найти общий интеграл уравнения
cos2 у ctg х dx + sin2 x tg у dy = 0.
Рещение. Разделим переменные в данном
уравнении, поделив обе его части на выражение cos2 у sin2 x:
sin2 x cos2 у
Интегрируя обе части данного уравнения, получим
194

f J*ULdx+ f JUL4,-С
J sin2* J cos2 у *
откуда
- ctg2 x tg2f/ r_c
2 9
Воспользуемся тем, что С — произвольная постоянная и
заменим С на . Тогда
2
tg2 S/ — ctg2 д: = С.
Это и есть общий интеграл данного уравнения.
В задачах 11.12—11.24 найти общий интеграл (решение)
уравнения.
11.12. Vydx + x2dy = Q.
11.13. (1 - y)dx + (x + \)dy = 0.
11.14. cos2ydx- (x2+ \)dy = 0.
11.15. xVl -y2dx + /1 — Jcadt/ = 0.
11.16. sin и sin v du + cos и cos у da = 0.
11.17. e*dx + еУ(1 — e*)dy = 0.
11.18. (xy2 — y2)dx + (x2y + x2)dy = 0.
11.19. x(y2 + l)dx — yex*dy = 0.
11.20. 3-^dx — 4х+у dy = 0.
11.21. (xy + jc)d* — (*/ + x2y)dy = 0.
11.22. xy'- tgr/.
11.23. 2jcyy - tf« - 1.
11.24. */' = ^'4у.
11.25. Найти частный интеграл уравнения
*/' siii2x In у + у = 0,
удовлетворяющий начальным условиям y(J-) = 1.
Решение. Найдем общий интеграл данного
^уравнения. Для этого разделим переменные:
7* , 195

sin2* In у dy + у dx = 0,
или
±!Ldy = *L-.
у sin2 x
Интегрируя, получаем
J^iL = ctg* + C.
Это и есть общий интеграл данного уравнения. Используя
начальные условия */(—) = 1, подставляем в выражение
общего интеграла заданные значения переменных jc = — ,
4
у == 1 — тем самым определяем значение произвольной
•пистоянной С:
2 б 4
откуда G = —1. Итак, искомый частный интеграл
-!^ = ctg*-l.
В задачах 11.26—11.31 найти частный интеграл
(решение) уравнения, удовлетворяющий указанным
начальным условиям.
11.26. 2Vydx — Ж/ = 0; у (0) = 1.
11.27. (1 +x3)t/' = 3jt2t/; t/(0) = 2.
"•"•'-53' Нт)-°-
11.29. 2t/'yl/l -jc2-/=0; t/(0) = 0.
11.30. t/V = jc; t/(0) = — 1.
11.31. y' + ysin2x = 0; y(^-)= 1.
S 3. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИИ
При решении геометрических задач на составление
дифференциальных уравнений надо прежде всего построить чертеж, затем
обозначить искомую кривую через у = у(х) и выразить все входящие
196

в задачу величины через х, у и у\ При этом обычно используется гео-
• метрический смысл производной \у' есть угловой коэффициент
касательной к кривой у = у(х)]. Затем, используя указанную в
условии зависимость между этими величинами, получить
дифференциальное уравнение 1(х, у> у') *= 0, из которого находится искомая
функция у(х).
При решении физических задач, исходя из их условия,
составляется соотношение между дифференциалами переменных
величин. При этом делается ряд допущений, упрощающих задачу, но
не отражающихся на результатах. Например, бесконечно малые
приращения величин заменяются их дифференциалами;
предполагается, что всякий физический процесс, рассматриваемый в
течение бесконечно^ малого промежутка времени at, протекает с
постоянной скоростью, и т. д.
В некоторых случаях можно составить дифференциальное
уравнение более простым путем, используя физический смысл
производной (скорость протекания неравномерного процесса).
11.32. Найти уравнение семейства, кривых, зная, что
угловой коэффициент касательной в каждой точке любой
кривой этого семейства равен отношению ординаты этой
точки к ее абсциссе, взятому с противоположным знаком.
Решение. Обозначим кривую искомого семейства
через у =* у(х). Угловой коэффициент касательной к этой
кривой в каждой ее точке равен у'(х). С другой стороны,
согласно условию задачи, он равен. ~. Отсюда
поде
лучаем дифференциальное уравнение искомого семейства:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив
переменные, получим
dx __ dy
х у
откуда
In \х | + In | у | = In | С I
или ху = С. Таким образом, указанным свойством
обладает семейство гипербол, имеющих своими асимптотами
оси координат.
11.33. Найти кривые, у которых тангенс угла между
касательной и положительным направлением оси Ох
обратно пропорционален абсциссе точки касания.
k
Указание. Положить у = — .
197

11.34. Кривая проходит через точку 12; —). В
произвольной точке этой кривой проведена касательная, точка
пересечения которой с осью Ох имеет абсциссу, вдвое
большую, чем абсцисса точки касания. Найти кривую.
11.35. В резервуар, содержащий 10 л воды,
непрерывно поступает со скоростью 2 л/мин раствор, в каждом литре
которого содержится 0,3 кг соли. Этот раствор
перемешивается с водой, и смесь вытекает из резервуара с той же
скоростью. Сколько соли будет содержать резервуар через
5 мин?
Решение. Пусть количество соли, находящейся
в резервуаре через / мин, есть x(t) кг. Определим, на
сколько изменится количество соли ,в резервуаре за бесконечно
малый промежуток времени dt от момента t до момента
t + dt. За время dt мин в резервуар поступает 2 dt л
раствора, в котором содержится 0,3*2 dt = 0,6 dt кг соли. За
этот же промежуток времени из резервуара вытекает 2 dt л
раствора. Считая концентрацию рассола в течение этого
промежутка неизменной и равной-^-кг/л — концентрации
раствора в момент времени /, получим, что в вытекших
2 dt л раствора содержатся 2 d/--^- = 0,2* dt кг соли.
Таким образом, изменение dx количества соли в резервуаре
за время dt равно разности найденных величин, т. е.
dx = 0,6 d/ —0,2 a: d/,
или
dx = (0,6—0,2 x)dt.
Итак, нами получено дифференциальное уравнение,
связывающее х к t. Решая его, имеем
0,6 — 0,2х
откуда
—5 In | 0,6 — 0,2 х | = / — 5 In 0,2 С.
(Здесь для удобства дальнейших преобразований в
качестве произвольной постоянной выбрано выражение
— 5 In 0,2 С.) Отсюда
198

Произвольную постоянную С находим из начальных
условий. В начальный момент времени t = 0 соли в
резервуаре не было, т. е. л:(0) = 0. Следовательно, получаем
уравнение относительно С:
0 = З — С,
т. е. С = 3. Таким образом, закон изменения содержания
соли в сосуде имеет вид
x(t) = 3 — &Г0'2*
Через t = 5 мин в сосуде будет содержаться
х (5) = 3 — 3<Г°'2*5 = 3 — Зг1 « 1,9 кг соли:
11.36. Скорость распада радия пропорциональна его
имеющемуся количеству R. Найти закон распада радия,
если известно, что через 1600 лет останется половина
первоначального количества. Какой процент радия окажется
распавшимся через 100 лет?
Решение. Пусть R — количество радия в момент
времени /, а /?0— его первоначальное количество. Тогда
dR
скорость распада радия равна и является отрицатель-
dt
ной величиной, так как R с возрастанием / убывает. Сог-
dR
ласно условию задачи имеем: — = — kRt где k > 0 —
dt
коэффициент пропорциональности, подлежащий
определению. Интегрируем полученное уравнение:
-££.«_&», In/?-—to. + In С,
R
откуда
R = Се-**.
Осталось найти С и k. Для определения произвольной
постоянной С воспользуемся начальными условиями:
R = R0 в начальный момент времени t = 0; отсюда Rq=C.
Итак, закон распада радия имеет вид
R~R0er".
Для * нахождения k воспользуемся следующим условием:
# = JL R0 при t = 1600:
— к0 — Ко е •
199

откуда
-1600* = _L k = JLl-=J22- = 0,00043.
2 —1600 1600
Таким образом, окончательно получаем
При * — 100 имеем:
Я (100) = Яо е"0'043; -^^ = Г*'043 - 0,958 - 95,8%.
Следовательно, через 100 лет распадется 4,2%
первоначального запаса радия.
11.37. Тело за 10 мин охлаждается от 100 до 609.
Температура окружающего воздуха равна 20°. Считая скорость
остывания тела пропорциональной разности температур
тела и окружающего его воздуха, определить, за какое
время тело остынет до 30Q.
Указание. Пусть Т'— температура тела в момент времени
/. Тогда дифференциальный закон охлаждения тела имеет вид
dT
— = k(T~2Q).
11.38. Моторная лодка движется в спокойной воде со
скоростью 1,5 м/с. Через 4 с после выключения мотора ее
скорость уменьшилась до 1 м/с. Считая, что сопротивление
воды пропорционально скорости движения лодки, найти
ее скорость через 50 с после остановки мотора.
Указание, Пусть v — скорость лодки после выключения
мотора в момент времени /. Тогда зависимость между v и / имеет
dv
вид m • —-— = —- kvt где /и — масса лодки.
at
11.39. Поглощение светового потока тонким слоем воды
пропорционально толщине слоя и потоку, падающему на
ело поверхность. При прохождении через слой толщиной
2м поглощается — первоначального светового потока.
Определить, какой процент первоначального светового потока
дойдет до глубины 4 м.
Указание. Пусть, Q — световой поток, падающий на
поверхность на глубине Л. Тогда dQ = — kQdh.
200

I 4. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение вида
•'-'(f)' (1)
называется однородным уравнением.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяю*
щимися переменными подстановкой у = их, где и — новая
искомая функция. Дифференцируя равенство у = их, получим
dy ч
Подставив выражения у и -— в уравнение (1), имеем
ах
du
х — + и = /(«),
откуда
du dx
FT^7-~-r==0- <3>
Это уравнение о разделяющимися переменными. Найдя общее
решение (интеграл) уравнения (3), получаем общее решение
(интеграл) данного уравнения (1). заменив и на ylx..
11.40. Найти общий интеграл уравнения
(х2+ y2)dx — xydy = 0.
Решение. Разрешим уравнение относительно
производной —^-:
dx
# + у%
уГ =
*У
Поделив числитель и знаменатель правой части уравнения
на jc2, получим
, I + (У/Х)*
У У/х ' К)
т. е. у* есть функция отношения у/х. Это означает, что
данное уравнение — однородное.
Для решения этого уравнения введем новую функцию
и = у/х. Тогда у = их и у' = —— jc + и. Уравнение (*)
dx
201

преобразуется в уравнение с разделяющимися
переменными:
или
откуда
X
du
dx
X
■ + и
du
dx
dx_ _
и
1
и
udu.
Интегрируя это уравнение, получим
1пЫ = — + 1пС,
1 ' 2
откуда
, х и2
in— = —
т. е.
—
х = Се2 .
Заменяя в последнем равенстве и отношением у/ху
окончательно получим
В задачах 11.41—11.50 найти общий интеграл (решение)
уравнения.
11.41. */'= 1+-^-. 11.42. х(/' = 3(/—*.
х
11.43. (х —y)dx + xdy = 0. 11.44. уЧх — (х2 + ху) dy =* (D
11.45. (х2 - ху + у2) dx — х2 dy = 0.
11.46. у— ху' = Vx2 — у2. 11.47. xyf = y + xe?lx.
11.48. ху' — у = t/(In t/ — In x). 11.49. ху' — xcos2-^ = y.
11.50. (дс + 2г/) dx — (2x + y)dy = 0.
В задачах 11.51—11.55 найти частный интеграл
(решение) уравнения, удовлетворяющий заданным начальным
условиям.
11.51. ху'= у +*cosec— ; у{\) = — .
х 2
202

11.52. (у + 2Y~xy)dx — xdy = 0; у(ё) = е.
11.53. xdy — ydx = xsin2-^-djt; t/(l) = —.
x 6
11.54. j/a+^y = 0; j/(l) = 1.
11.55. (jc + 3y)dx — (3jc - y)dy = 0; (/(1) = 0.
11.56. Найти кривую, проходящую через точку (1; —1),
если известно, что произведение абсциссы любой точки
кривой на углорой коэффициент касательной к кривой в
этой точке равен утроенной сумме координат данной точки.
11.57. Составить уравнение кривой, проходящей через
точку (1;0), для которой отрезок на оси ординат
отсекаемой любой касательной, равен абсциссе точки касания.
11.58. Найти кривую, проходящую через точку (2; 1),
зная, что угловой . коэффициент касательной в каждой
точке равен квадрату углового коэффициента
радиуса-вектора точки касания.
11.59. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
(0; 1), если отрезок, отсекаемый касательной к этой кривой
на оси ординат, равен расстоянию точки касания до начала
координат.
§ б. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение вида
-~ + Р (*) • у = Q (х) (1)
называется линейным уравнением. __
Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с
разделяющимися переменными заменой искомой функции у произведением
двух вспомогательных функций и и о, т. е. у = uv. Тогда
dy ' du dv
и уравнение (1) принимает вид
du Г dv n 1
v^+u[lT + PMvrQ(A' (2)
Пользуясь тем, что одно из вспомогательных переменных,
например v, выбрано произвольно, подберем его так, чтобы выражение
в, квадратных скобках обратилось в нуль, т. е. в качестве v возьмем
2Q3

одно из частных решений v = v(x) уравнения с разделяющимися
переменными
dv
— + P(x)v = 0.
Подставив выражение v = v(x) в уравнение (2), получим
уравнение относительно функции и:
du
v— -QW.
Это также уравнение с разделяющимися переменными. Найдя
общее решение этого уравнения и = и(х, С), получим общее решение
уравнения (1):
у = u(xf С) v(x).
11.60. Найти общее решение уравнения
у' — У tg х = sin х.
Решение. Положим у = ио% тогда у'= u'v + uv' и
данное уравнение принимает вид
u'v + uv' — uv tg* = sinx,
или
u'v + и {v' — v tg x) = sin x. (*)
Решая уравнение и'— a tg x = 0, получим его простейшее
частное решение:
—iL в у tg jc; —2- = tg jc dx; ln|u| = — ln|cos *|,
откуда
l
t; = .
cos л:
Подставляя с; в уравнение (*), получим уравнение
иг- *= sin*
COS*
из которого находим и:
du 1 . < «
= sin x\ du = sin x cos x ax,
dx cos x
откуда
sin2 x , n
Итак, искомое общее решение
/ sin2 х . „\ i
y = uv= —— + С .
\ 2 / cos*
204

В задачах 11.61—11 «71 найти общее решение уравнения.
11.61. у' +Х=1. ц.62. у' — 3^=^.
X X
11.63. у' — 2ху = ех\ 11.64. у' + ху + х = 0.
11.65. t// + 5t/ = r4 11.66. ^(x+l) — у = 2{х + l)3.
11.67. JL. +tgjc(y—1) = 0. 11.68. xy' = 2xlnx~y.
dx
11.69. (t/+^)djc —dt/ = 0. 11.70. y'{\+x2)— Ху=уГЕ%Г,
xy __ 1
11.71. #'
l-*2
1 —л:2
В задачах 11.72—11.77 найти частное решение
уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
11.72. у + 2ру = г2'*, у(0) = 0.
11.73. -*L+4y = х2е-"; у(0) = —.
dx * % *v ' 3
11.74. л21/' + 5xt/ + 4 = 0; f//-U = 62.
11.75. у + у ctgx — cosec x = 0; у(—\ = —.
И.76. jc. A- + f/ = cosr, £/ (тг) = -L .
11.77. JSL 2-eX; t/(2l/"2)=3.
Же *2 + 1 * v r J
11.78, Найти
уравнение кривой, если
известно, что она проходит
через точку В(1; 1) и обладает
следующим свойством:
площадь треугольника,
образованного
радиусом-вектором любой точки М (х\ у)
кривой, касательной МА
в этой точке и осью
ординат, равна 1 (рис. 40). рис. 40
205

Указание. Площадь треугольника ОМА находится
следующим образом:
5д ома= —OA*MD=—(y^ ху') х.
11.79. Найти уравнение кривой, проходящей через
точку (1; —1), для которой отрезок, отсекаемый
касательной на оси ординат, равен квадрату абсциссы точки
касания.
11.80. Напряжение в цепи с индуктивностью
равномерно изменяется в течение одной минуты от 0 до 60 В.
Индуктивность L = 10 Г, а активное сопротивление R = 2 Ом.
Определить величину тока / в цепи в конце 15-й секунды,
если в начале опыта она была 12,5 А.
Указание. Необходимо воспользоваться следующей связью
между силой тока / и напряжением U в цепи, имеющей
сопротивление R и самоиндукцию L:
at
§ 6. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ НА ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА
В задачах 11.81—И.95 найти общий интеграл
(решение) уравнения.
ц.81. -Л—dx l—dy = 0. 11.82. (1+х2)у' — 2ху=0.
1 +Х3 1 + (/2
11.83. ху' + у=1+х. 11.84. (V хР+у*+у) dx — xdy =0.
11.85. [У~ху — V~y)dx — 2xdy = 0.
11.86. (1 + а;2) у' + ху — 1 = 0. 11.87. ху'= у (\п Л. + з] .
11.88. (х* + Ъху + у2) dx — x2dy = 0.
11.89. у' — \- х + УТЛ? = 0.
У 1 + х*
11.90. !/+(-!- —Ay = e~Vx.
11.91. *L= *** + У* + *У . ц.92. -2l = 4 + ln*-lny.
dx x2 у
206

1.1.93. yi = x(xy,-y)ey . 11.94. y'-j^=3lnx.
11.95. 3*-у dx = (3^+у — 3' + ЗУ — 1) dy.
В задачах 11.96—11.105 найти частный интеграл
(решение) уравнения, удовлетворяющий заданным начальным
условиям.
11.96. xYl+y2dx + yYl+x2dy = 0; #(0)» 2*1/2.
11.97. cosy lnxdx + xigydy = 0; у(е*) = —.
11.98. (l+e*)yy'=ex; y(0) = 0.
11.99. У\пх\\— y2)dx = xarcs\nydy; 1/(1) = 0.
11.100. t/binx — y^smx-ig-j; yLl-\ = -!L.
11.101. Xy'—y = xig^-\ y{\) =
11.102. excosydx + (ex — l)sinydy = 0\ y(l) = 0.
11.103. y' + lzz2Ly = U */(2) = -21n2.
11.104. у = х(у' + ¥еу)\ г/(1) = 0.
11.105. xtf = y+y'*ZI?\ У(1)=4"'
§ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
ПОРЯДКА ВИДА у" = /fo)
Уравнения вида у"= f(x)' решаются двукратным
интегрированием. Полагая у'= г, получим у"= г'; в результате приходим
к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными:
dz
*' = I (х), или —— = £(*)» или dz= [ (x) dx.
Интегрируя это уравнение, получим
\dz = $ f(x)dx, '
откуда
г = F (дг) + G
207

[здесь F(x) — первообразная от £(*)]. Заменяем в последнем урав-
dy
нении г значением —-—:
dx
du
-f = F(,) + Cl!
ИЛИ
dy = [F(x) + &]dx<
Интегрируя последнее уравнение, находим
у - J F (х) dx + Cix + Са,
откуда
д = Ф (х) + Схх + Са.
Это и есть общее решение уравнения уп=* £(дг).
11.106. Найти общее решение уравнения
у" = 1 - х\
Решение. Положим —— = z, тогда данное уравне-
dx
ние запишется в виде
— =1— х\ или dz=(l—x2)dx.
dx
В результате интегрирования найдем
Отсюда
«-«--f + c,.
или
dx 3 V
dy=(x--^- + C^dx.
Интегрируя это уравнение, получаем общее решение
х2 х* . ^ . ^
В задачах 11.107—И. 112 найти общее решение
уравнения.
11.107. */" = cos 2*. 11.108. -^- = 6ср2 + 3ф — 1. *
d<P2
И.109. ^L = r^ + 4. 11.110. — = 0.
dx* * dt*
11.111. w" = l. 11.112. -£^- = 1пх.
208 1

11.113. Найти частное решение уравнения
уп = sin x— 1,
удовлетворяющее заданным начальным условиям у(0) =
= -1, У'(0) = 1. '
Решение. Имеем —^- = г, откуда
dx
-Z- = sin* —1, dz = (sin л: — 1) dx;
dx
Z = —COS X — X + Ci.
Следовательно,
y'= —cos x — x + Ci.
Используя начальные условия у\0) = 1, получаем
1 = —cos 0 + Сь
откуда Ci= 2. Таким образом,
-^- = — cos ж— х + 2,
dx
или
dy = (—cos x — х + 2) dx.
Интегрируем это уравнение:
х2
у = —sin л; \-2х + Са.
Используя теперь начальные условия у(0) = —1,
находим Cz= —1. Итак, искомое частное решение имеет вид
X2
у = — sin х Ь 2х — 1.
■ 2
В задачах 11.114—11.117 найти частное решение
уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
U.114. -^-=е2*; у(0) = —, у'(0) = -.
11.115. </" = 4х3-2*+1; t/(l)=-lL f/'(l) = 2.
оО
209

11.118. -Jf = *--coe2r, 0(0)---к f/'(0) = -l-
ax* 4
11.117. i!i = JL; e(e) = 2e, s'(*) = 3.
11.118. Из семейства интегральных кривых уравнения
у"= 2х — Здс2 выделить кривую, проходящую через точку
(1; 0) и касающуюся в ней прямой у — х + 1 = 0.
Указание. Задача сводится к нахождению частного
решения заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющего
начальным условиям у(\) = 0, у'(\) = 1.
11.119; Ускорение прямолинейно движущейся
материальной точки в зависимости от времени выражается
формулой a(t) = 6t — 2. Найти закон движения, если в
начальный момент времени t = 0 скорость v = 1 м/с, а путь
s = 0.
Указание. Задача сводится к нахождению частного реше-
d2s
ния дифференциального уравнения ~ТТ"==6* — 2, удовлетворяю-
at2
щего начальным условиям s(0) = 0, s'(0) = 1.
11.120. Тело движется прямолинейно с ускорением
a(t)=l2t2—4 м/с2. Найти путь, пройденный телом за первые
три секунды, если при / = 0 s = 0 и с/ = 0.
11.121. В некоторый момент времени движения поезда
по горизонтальному участку пути со скоростью 25 м/с был
включен тормоз. Найти время и расстояние; пройденное
поездом после включения тормоза, если сопротивление
движению равно 0,3 веса поезда.
Указание. По второму закону Ньютона
дифференциальное уравнение движения поезда после включения тормоза имеет
вид
т—- = -0,3mg,
где s — путь, пройденный за время t\ т—масса поезда; g —
ускорение силы тяжести. Задача сводится к нахождению частного
решения этого уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:
ds
при t = 0, s= 0, —- = 25. '
210

§ 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Линейным однородным дифференциальным уравнением
второго порядка с постоянными коэффициентами называется
уравнение вида
У*+ РУ' + ЯУ - 0. (1)
Для отыскания общего решения уравнения (1) составляется
характеристическое уравнение
r*+ pr+q=0, (2)
которое получается из уравнения (1) : меной в нем производных
искомой функции соответствующими ;гепенями г, причем сама
функция заменяется единицей.
Тогда общее решение уравнения (1) строится в зависимости
от характера корней г\ и гг уравнения (2). Здесь возможны три
случая.
1-й случай. Корни п и Г2— действительные и различные.
Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид
у = С1ег'х +С2ег*х . (3)
2-й случай. Корни г\ и гч— действительные и равные:
п= гг= г. В этом случае общее решение уравнения (1) имеет вид
У = (Сг + С2х)е^. ' (4)
3-й случай. Корни п и п — комплексно сопряженные:
п=а+{И, Г2= а — р/. Тогда общее решение записывается
так:
у = e« (Cx cos $х + С2 sin $x). (5)
11.122. Найти общее решение уравнения
У - by' — 6f/ = 0.
Решение. Запишем характеристическое
уравнение; для этого заменим функцию у и ее производные у' и
у" соответствующими степенями г: г°= 1, г и г2. Тогда
получим
Г2 _ 5г — 6 = 0,
откуда /*!= —1, г2= 6. Так как корни характеристического
уравнения действительные и различные, то общее решение
данного дифференциального уравнения согласно формуле
(3) имеет вид
у = С4г* + С2е«*.
2H

11.123. Найти общее решение уравнения
у' — 4у' + 4у = 0.
Решение. Составляем характеристическое
уравнение
" г2 — 4г + 4 = О,
из которого находим r\t2 = 2. Характеристическое
уравнение имеет равные действительные корни, поэтому
согласно формуле (4) общее решение запишется следующим
образом:
у = е** (d + С2х).
11.124. Найти общее решение уравнения
у" + 9у = 0.
Решение. Этому уравнению соответствует
характеристическое уравнение
г2+ 9 = 0,
имеющее два мнимых сопряженных корня Т\%2 = ± 3/.
Используя формулу (5) при а = 0 и 0 = 3, получаем
общее решение
у = Ci cos 3jc + С2 sin 3jc.
11.125. Найти общее решение уравнения
• у" + 6у' + 2Ъу = 0.
Решение. Характеристическое уравнение
г2 + 6г + 25 = 0
имеет два комплексно сопряженных корня Г\Л = —3 ± 41.
По формуле (5) при а = —3 и 0 = 4 получаем общее
решение
у = ег3х (d cos 4x + С2 sin 4x).
В задачах 11.126—11.135 найти общее решение
уравнения.
11.126.
11.128.
11.130
11.132.
11.134.
у" — 9у = 0.
у"-8у'=0.
у"+ 6у'+ 9у= 0.
у'%+ 16у = 0.
у" + 2у' + 2у = 0.
11.127.
11.129.
11.131.
11.133.
11.135.
/ + W + 6у = 0.
2у" - Ъу' -2у=0.
у"- Юу'+ 2Ъу = 0.
у" + 4% = 0.
у" - Ау' + 13(/ = 0.
212

11.136. Найти частное решение уравнения
t/"-3(,' + 2t, = 0,
удовлетворяющее заданным начальным условиям у(0) =
- 1. /(0) = -1.
Решение. Запишем характеристическое уравнение
г2 — Зг + 2 = 0;
его корни fi= 1, гг— 2. Следовательно, общее решение
имеет вид
у = de» + С*2*.
Далее, используя начальные условия, определяем
значения постоянных С4 и С2. Для этого подставим в общее
решение заданные значения х = 0, у = 1; в результате
получим одно из уравнений, связывающее С4 и С2: J
\=d + С2. /
Второе уравнение относительно Ct и С2 получим следующим
образом. Продифференцируем общее решение:
у'= Ск?*+ 2С2е^
и подставим в найденное выражение заданные значения
—1= d + 2С2.
Из системы
/ С,+ С2= 1,
•1 С,+ 2С2= -1
находим Ct= 3, С2= —2. Следовательно, искомое частное
решение имеет вид
у = 3е* — 2е2х.
В задачах 11.137—11.141 найти частное решение
уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
11.137. ./+ 3f/'= 0; (/(0) = 1, у'(0) = 3.
11.138. у"+4у = 0; f/(^-)=l, /(-f) = -1-
11.139. у"— у'- 2у = 0; у(0) = 0, (/'(0) = 1.
11.140. уп— 6у' + 9у = 0; #(0) =2, у'(0) = 7.
11.141. у"- 2у'+ Ъу = 0; у(0) --= 1, у'(0) ±= -1.
213

§ 9. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Й СО СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
У*+ РУ'+ ЯУ = £(*)• (1)
Оно отличается от соответствующего линейного однородного
уравнения
У"+ РУ' + ЯУ = 0 (2)
наличием в правой части некоторой функции Ддг).
Для нахождения общего решения уравнения (1) сначала нужно
найти общее решение у уравнения (2) (используя правила § 8),
а затем найти какое-либо частное решение у* уравнения (1). Их
сумма есть общее решение данного неоднородного уравнения (1):
У =1.+ У*-
Приведем правило отыскания частного решения у* уравнения
(1) в следующих двух случаях:
правая часть [(х) имеет вид
f(x) = e**Pa(x). (3)
где Рп (х) — многочлен степени п;
правая часть 1(х) имеет вид
t(x) = a cos Xx + Ь sin tar. (4)
Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
I. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид
f(x) = e**Pn(x)t
причем число k не является корнем характеристического
уравнения
r2+pr+q = Q, (5)
соответствующего однородному уравнению (2). Тогда частное
решение уравнения (1) следует искать в форме
** = ***<Ш. (6)
где Qn (х) — некоторый многочлен той же степени п с
неопределенными коэффициентами.
Если же число k является корнем характеристического
уравнения (5), то частное решение уравнения (1) следует искать в форме
y* = xmekx Qn(Qt (7)
где т — кратность корня k (т. е. т = 1, если k — однократный
корень, и т = 2, если k — двукратный корень).
214

II. Пусть теперь правая часть уравнения (1) имеет вид
l(x) = a cos Кх + Ь sin кх,
причем числа ±Xi не являются корнями характеристического
уравнения (5). Тогда частное решение уравнения (1) следует
искать в форме
у* = A cos Kx + В sin kx, (8)
где А и В — неопределенные коэффициенты.
Если же комплексные числа ±Xi являются корнями
характеристического уравнения (5), то частное решение уравнения (1)
следует искать в форме
*/*= х(А cos Xx + В sin kx). (9)
11.142. Найти общее решение уравнения
у"+ 4у'+ Ъу = (8*2+ 84*) е*.
Решение. 1. Найдем общее решение у
соответствующего однородного уравнения
у'+ 4у'+ Ъу = 0.
Решая отвечающее ему характеристическое уравнение
г2+ 4г + 3 = 0, получаем корни г4= —3, г2 = —1.
Следовательно,
у = с,е'3х + С2е~*.
2. Перейдем к отысканию частного решения у* данного
уравнения Здесь правая часть f(x) = (8х2+ 84х) е* имеет
вид (3): п = 2, Р2(х) = 8х2+ 84а:, k = 1, причем А =' 1
не является корнем характеристического уравнения.
Следовательно, частное решение */* нужно искать в форме
*/* = (Ах2+ Вх + С)е*,
где Л, В и С — некоторые коэффициенты, подлежащие
определению. Для их отыскания воспользуемся тем, что
у* должно быть решением данного уравнения. Найдем
{/* и у*"'-
*/*' = (Ах2+ Вх + С)е*+ (2Ах + В)е*=
= (Ах2+ 2Ах + Вх + В + С)е\
у*" = (Ах2+ 2Ах + Вх + В + С)^+ (2Ах + 2А+В)е* =
= (Ах2+ 4Ах + Вх + 2А + 2В + С)ех\
теперь подставим выражения для */*, у*' и у*" в данное
уравнение:
215

(Ax2+ AAx + Bx + 2A +2B + Qe*+ 4(Ax*+ 2Ax +
+ Bx + В + C)e* + Z(Ax*+ Bx + C)e* =(8*a + 84*)e*.
Сокращая обе части полученного равенства на е* и группируя
члены при одинаковых степенях jc, в результате получим
Ах2+ (12Л + 8В)х + (2А + 65 + 8С) = 8*2+ 84*.
Это равенство выполняется тождественно только в том
случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях х в
обеих частях равенства равны между собой.
Итак, имеем следующую систему уравнений для of
искания коэффициентов Л, В и С:
8Л = 8,
12А +85 = 84,
2А + 65 + 8С = 0.
Решая эту систему, найдем А = 1, В = 9, С = —7.
Таким образом, получаем искомое частное решение
t/* = {x2+ 9х - 7)**.
Теперь можно записать общее решение данного уравнения
у = у + у* -« Схе-*х + С2е'х + (х2 + 9х — 7)е*.
11.143. Найти общее решение уравнения
у"+6у'+9у = 14^-4
Решение. 1. Найдем у. Характеристическое
уравнение г2+ бг + 9 = 0 имеет корни ^= г2= —3.
Следовательно,
у= (С|+ С^г3*.
2. Найдем теперь (/*. Здесь правая часть имеет вид (3):
п = о, Р0= 14, & = —3. Так как k = —3 является
двукратным корнем характеристического уравнения, то
частное решение у* следует искать в форме
*/* = Ах2ег3х,
где А — коэффициент, подлежащий определению.
Вычислим производные у*' и у*':
у*' =(—г Ах2 + 2Ах)е-3х,
у*" = (9Ах2 - 12Лх + 2А)е-*х.
216

Подставляя выражения для у*> у*' и у*" в данное
уравнение, сокращая обе его части на ег9х и приводя
подобные члены, в итоге получим 2А = 14, откуда /1=7.
Следовательно, искомое частное решение имеет вид
у*= 7х2ег**.
Итак, общее решение данного уравнения
У = у + </* = (d+ Съх)ег**+ 1x4'**.
11.144. Найти общее решение уравнения
уп— 4у'+ Ъу = 2 cos х + 6 sin х.
Решение. 1. Находим уТХарактеристическое
уравнение га— 4г + 5 = О имеет корни rit2= 2 ± i.
Следовательно,
у = e2x(Ci cosx + C2 sin x).
2. Будем теперь искать у*. Здесь правая часть f(x)
имеет вид (4): а = 2, 6 = £, А, = ±/. Числа ±/ не
являются корнями характеристического уравнения, поэтому
частное решение у* следует искать в форме
у* = Л cos х + В sin х,
где А и В — неопределенные коэффициенты. Найдем
производные у*' и у*" :
*/*' = —Л sin x + 5 cos jc,
t/*" =».—A cos x — В sin jc;
.подставляя теперь выражения для t/*, t/*' и i/*" в данное
уравнение и группируя члены при cos jc и sin x, в
результате получим
(4Л — 4В) cos х + (АА + Щ sin х =» 2 cos x + 6 sin x.
Следовательно, для нахождения А и В имеем систему
/4Л — 45 = 2,
\4Л +4В = 6.
откуда А =» 1, В =-д-. Таким образом,
#* = cos* + -^-sinx.
217

Итак, общее решение данного уравнения имеет вид
У = 1/ + У* = е2х(Сг cos х+С2 sin х) + cos х + -у- sin x
11.145. Найти общее решение уравнения
у"+ \у = 12 cos 2x.
Решение. 1. Найдем сначала у.
Характеристическое уравнение г2+ 4 = 0 имеет корни nt2= ± 2L
Следовательно,
у = Ci cos 2a: + С2 sin 2a:.
2. Переходим к нахождению у*. Здесь правая часть
f(x) имеет вид (4): а = 12, Ь = 0, Я = ±2/. Так как числа
±2* являются корнями характеристического уравнения,
то частное решение следует искать в форме
*/* = x(A cos 2x + В sin 2a:),
где А и В — неопределенные коэффициенты. Имеем
у*' = A cos 2а: + В sin 2а: + х(—2А sin 2л; + 2В cos 2а:),
*/*" = — 2А sin 2jc + 2fl cos 2л:+(—2Л sin 2л: + 2fl cos 2a:) +
. + x(—4A cos 2a: — 4B sin 2a:).
Подставив у* иу*" в данное уравнение и приведя
подобные члены, получим
4В cos 2a: — 4A sin 2л: = 12 cos 2х,
откуда
4В = 12,
-4Л =0,
т. е. А = 0, В = 3. Поэтому
у* = За: sin 2jc.
Итак, общее решение
У = У + У*= Ci cos 2x + С2 sin 2х + Зх sin 2jc.
11.146. Найти частное решение уравнения
у'+ 2у'- 8у = (12* + 20)^,
удовлетворяющее начальным условиям t/(0) = 0, у'(0) = 1.
218

P e ш е н и е. 1. Характеристическое уравнение
г2+ 2г — 8 = О имеет корни г4= —4, г2= 2.
Следовательно,
"у = Ci(r**+ С*2*.
. 2. Правая часть данного уравнения имеет вид (3):
п=1, Pi{x) = \2х + 20, k = 2. Так как & = 2 является
однократным корнем характеристического уравнения, то
частное решение у* ищем в форме
{/*= х(Ах + В)е2х= (Ах2+ Вх)е2х.
Отсюда
*/*' = (2Л*2+ 2Ял;)е2* + (2Ах+ В)е**=
= (2Л*2+ 2Ах + 2Вх + В)е2х,
у*" = (Ш2+ ЬАх + \Вх + 2В)е2х+ (Ых+2А+2В)е2х =
= (4Л*2+ 8Л* + 4Я* + 2А + Ще2х.
Подставляя y*t у*' и у*" в данное уравнение, сокращая обе
его части на е2х и приводя подобные члены, окончательно
получим
\2Ах + (2А + Щ = 12* + 20.
Решая систему
12А = 12,
2А + 6В = 20,
находим А =* 1, В = 3. Отсюда
у*= (jc2+ З*)*2*.
Итак, найдено общее решение данного уравнения
У = У + У* = С{е-** + С*2* + (х2 + Зх)^
3. Для нахождения искомого частного решения
воспользуемся заданными начальными условиями. Найдем
производную общего решения
t/ » —№&-" + 2Сге2х + (2ж2 + 8jc + 3)е2х\
подставив в выражения для общего решения и его
производной значения х = 0, у = 0, {/'= 1, получим систему
уравнений для нахождения d и С2:
0= d+ С2,
1 = —4d+ 2C2+ 3.
219

Отсюда Ci— -g-, C2= -—<p Таким образом, искомое
частное решение имеет вид
у = -^- е-« — -j- е** + (х* + 3*)еЧ
В задачах 11.147—11.1-60 найти общее решение
уравнения. .
11.147. у" — 2у' — 8у = —8х* + Ах + 7.
11.148. </* — btf + Ъу = (Зх + Ю)г*.
11.149. V —4^ + Ъу = ЮеЧ
11.150. у" + Щ = (34х + Ще~*.
11.151. у» + 2t/' + 2у = (х + 7)*-*».
11.152. у" — Ьу' = 30* — И.
11.153. у" — 3/ — 4(/ = (20* + 11)6"*.
11.154. у" + 4/ = —2*е-**.
11.155. у" + 4/ + 4</ = Зхе~**.
11.156. у" + 3/ = —72 sin3x.
11.157. у" + 2j/"' + У = 3cosx + 8 sin л:.
11.158. у" + 2Ъу = 40cos5x.
11.159. у" + 9у =r 9cos3* + 16sin3x.
11.160. у" — 8у' + 20у = 130 sin Ax.
В задачах 11.161—11.165 найти частное решение
уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
11.161. f - Ъу' + Ау=(\0х + 43)е-*; t/(0)=0, y'(0) =0.
11.162. у" — 2/ + 10(/ = 74 sin Зх; у(0) = б, у'(0)= 3.
11.163. у"' — 6/ = 18е«*; «/(0) = 1, #'(0) = —9.
11.164. f. + Ay = (6jc + 5)е-**; </(0) = 0, </'(0) = -f.
11.165. у" + у'= —8 sin х — 6 cos х; У\ЛЛ = — -f-

ГЛАВА 12
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО
ЧИСЛА
Число вида
z=x+iyt (1)
где х и у — любые действительные числа, а i — мнимая единица,
определяемая равенством i2= —1, называется комплексным
числом. Числа х и у называются соответственно действительной и
мнимой частями комплексного числа г и обозначаются
jc = Rez, у = Imz.
Запись комплексного числа
в виде (1) называется
алгебраической формой
комплексного числа.
Комплексное число г=
=x+iy может быть
изображено в декартовой
координатной плоскости хОу либо
точкой с абсциссой х и
ординатой у у либо радиусом-
вектором этой точки (рис.
41). Длина этого вектора
называется модулем
комплексного числа г и
обозначается |г| или г:
\г\ = г=У * + ?. (2)
Угол, образованный этим вектором с положительным направлением
действительной оси Ох, называется аргументом числа г и
обозначается Arg г:
tg(Argz)=-|-. (3)
Величина Arg г многозначна и определена с точностью до числа,
кратного 2я. Значение Arg г, заключенное в пределах от — я до
я, называется главным и обозначается arg г или <р:
—rc<arg* < я.
221
У \
0
1
s^^^
X
М(х;у)
У
X
Рис. 41

Два комплексных числа а= xi+ 1у\ и га= *а+ 1у\ считаются
равными, если соответственно равны их действительные и мнимые
части:
XI— Х2, 01= уг.
Два комплексных числа г = дг + iy ъг — х — (у, отличающиеся
только знаком мнимой части, называются сопряженными.
Действия над комплексными числами, заданными в
алгебраической форме, производятся по следующим правилам:
(*i + iyi) ± (*2 + *Уъ) = (*i ±'*i) + НУл ± Уг)\
(*1 + iyi)'(X* + 1Уч) = (*1*« — УМ*) + *(*102 + ^2^l)j
*i + 1У\ __ (*i + 1У\Лхч — 1Уч)
*2 + »/2 ~~ (*2 + *"02)(*« — W
Рис.
ста параллельно
(риа. 43).
самому себе,
Х\Х2 + У1У2 Хъу,—ххуъ
4 + у\ 4 + 02
Сложение (вычитание)
комплексных чисел сводится к
сложению (вычитанию) векторов,
изображающих эти числа.
Радиус-вектор суммы
комплексных чисел г\ и г*
является диагональю
параллелограмма, построенного на радиусах-
векторах слагаемых (рис. 42).
Радиус-вектор разности
комплексных чисел г\ и г%
находится следующим образом: ну
жно соединить конец радиуса-век- ■
тора вычитаемого с концом
радиуса-вектора уменьшаемого а
затем полученный вектор перене-
поместив его начало в точку О
Рис. 43
12.1. Указать точки, изображающие комплексные числа:
*!=■ 1—2/, г2= —3—4/, г8- 2/, г4= —УЭ+i, г>= 6,
гв= —8, г7= —1/2/, г8= 5 + 12/.
222

12.5. Для заданных комплексных чисел написать им
сопряженные: 1) —3 + 5/; 2) 4 — i\ 3) —6 — Ы\ 4) 8 +
+ 3/ц5) -7i; 6) Ы. ,^—
(^J12.6) Найти модуль и главное значение аргумента
комплексного числа z = 1— L
- Р е ш е н и е. По формуле (2) находим г = | 1 — / | =
= Vl2+ (—1)2= "J/2. Так как точка 1 — i лежит в IV
Четверти, то по формуле (3) получаем argz = —j- г_^
12.7. Найти модуль и главное значение аргумента
следующих комплексных чисел: 1) —2 + 2/; 2) 4 + 4"|/3/;
223

5) (4 -~7fy + (4 + 70; '~ 6) (-6 -г ->.. yo ...
12.12. Выполнить сложение:
- irt=--3 - 20 + (4 - 50 + (-8 + 60;
2) —4 + (3 - 60 + (—7 — 40 + Si;
3) (1,2 — 0,70 + (-0,3+0,270 + (-0,6— 0,320 -1,4
4) (4 — 50* + (—2 + Щу.
\ 12.13. Выполнить вычитание данных комплексных чисел
^1) (4 + 30 - (1 + 20; 2) (-3 + 50 - (2- 0
3) (5 - 0 - (-1 - 30; 4) (-2 + 60 - (2 + 90;
5) (7 - 20 - (7 + 20; 6) (-3 + 50 - (-3 + 60.

Построить для каждого случая, геометрическое
ние уменьшаемого, вычитаемого и разйости.
12.14. Выполнить действия: ^ "
1) (8 - 30 — (-2 + 50 + (10 - 40;
2) (3 + 0 + (-6 + 30-(12-70;
3) (0,6 - 0,80 - (0,4 + 1,70 + (0,9 -0,10-(1Д^0,^
4) (3 - 20* + (-4 + И)у - (-2 + 50г.
12.15. Убедиться в том, что сумма двух сопряжений
чиселдщша удвоенной действительной части одного из ник
/12.16?)Решить уравнение
^~~* (-5 + 20* — (3 - А1)у - 2 — I. ^~~>
Решение. Раскрыв скобки в левой части уравнения
и сгруппировав действительные и мнимые части, получаем
—5л: + 2x1— Ъу + Ayi = (—5х — Ъу) + /(2* + 4у).
Таким образом, имеем
(—5jc - Ъу) + 1{2х + Ау) - 2 - /.
Отсюда, используя условие равенства двух комплексных
чисел, приходим к системе уравнений
/ —Ъх — Ъу = 2, ^
I 2х + 4(/«-1, *
решая которую, находим х » —гт-, у «■* — -гг.
12.17. Решить уравнения:
1) (4х-'6у) + (Ъх + Ьу)1- Ю-(Ъх-2у-Щ1; —
2) (2 _ 70* + (8 + Ы)у = (-6 + 50* - 8;
3) (_4 - 50* + (1 + Цу - -27/ + (7 - 20f/; ^
4) 2 + 5/ •' 1 —3£ = — 7x + \2i
' х — у х + у у2 — х* •
~""" wl!?^- айти пР0ИЗВеДение чисел *i= 4 + 3/ и z2= h—Г.
' чРТйГе ние. Перемножая числа а?! и г2 по правилу
^^умножения двучленов и учитывая, что £я= —1, получим
\ (4 + 30(1 —0 = 4 + 3/ — 4/— 3*2=*
= (4 + 3) + /(3 - 4) = 7 - I.
S—682 22[Г
!2ЭТ

fF.i9. Найти частное ■ с, . .
' -P-e ш е н и е. Умножим числитель и знаменатель дан-
дроби на 5 + i — число, сопряженное знаменате-
5 — I:
ил\&±®. — (—3 + 2<)(5 + 0 _ —15+ 10t— 3f + 2ta _
*'• Ъ—i ~ (5—0(5 + 0 — 25 — t* ~
— ~~17 +7i _ _J7_ i _L •
— 25+1 ~ 26 + 26 /-
В задачах 12.20—12.25 выполнить указанные действия.
"-12:20. 1) (—3 + 50-2/; 2) (—7 — 9t')-(—30;
3) (4 - 60 •(-§-'): 4) (- г + I s0(- 8 п).
12.21. 1) (2 — 3/)(— 4_+ 70; 2) (5 — 6i)(—10 + 8Qj.
3) (/3_+ 0(Vl2 - iVS); 4)_(4 + //5X4 -//5);
5) (Vm + iVn)(V^n — iV n)\ 6) (a+W)(_a+bi).
TU.22. 1) 4; 2)-,^-; 3)^:4)^.
,2.23. l)-J^;2)l±?;3)4±|;4)i^.
— то ос n (3 + 4Q(- 1 + 3Q, g. —:\Ы
i^o. i; 6_g. , L) (2 + f)(3 — 21") >'
(4-0(1 +20 . a\ (m + m)(n + mi)
^ ' (—2 + /)(l — 3/)-' ' « — /m
12.26. Показать, что произведение двух сопряженных
чисел равно квадрату модуля одного из них.
^ 12.27. Найти модуль комплексного числа г =
= (р + qi)(q — pi).
12.28. Определить координаты точки, изображающей
комплексное число
*2б
_ 8/ — 3 , 5/ — 2 .
Z - -*+2 + 3/ + 1 + *'

12.29. Разложить на комплексные множители
следующие выражения: 1) а2+ Ь2; 2) т2+ 16га2; 3) 9р2+ 25q2;
4) 4" + "F; 5) т + га; 6) 7 + j/5; 7) 1 + tg2a.
12.30. Показать, что справедливы следующие
равенства:
Цк = \t (4Аг+1 = (> ,'4ft+2 = _! ,-4ft+3 = _/(
где k = 0, 1 2
12.31. Найти i«; i18; i37; tBB; i9s; i104; (—t)10; (—Q*.
12.32. Найти: 1) (1 + if, (1 + i)10. (1 + 0"; 2) (1—0";
(1 - /)', (1 - 0».
12.33. Найти: 1) (2 + Зг)2; 2) (5 — i)2; 3) (—3 — 4Л2;
4) (1 + 203; 5) (2 - Q»; 6) (-1 + 30».
12.34. Показать, что
; 12.35. Выполнить действия:
1ч i оч JbL±i2L- q\ (3-03 .
*J (4 + 302 ' ; 5 — 2/ • °' 2 + 4/ '
4)(3 + 203-(3-2t)3; 5)(Щ-У
12.36. Найти модуль и главное значение аргумента
комплексного числа
2 = T2inr + (1 + ')8-7t'-
12.37. Найти дежггвитёльную и мнимую части
следующих функций: 1) w = г2; 2) ш = —; 3) ш = г3—г, где
z = а: + iy.
§ 2. ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА. ОСНОВНЫЕ
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
Основные трансцендентные функции комплексного
переменного г = х + i у определяются следующими равенствами:
показательная функция
ez = ex(zosy-\-is\ny)\ (l)
тригонометрические функции
eiz __ e-iz
sin г = у * &)
\io
8*
227

cos z = s ; (3)
гиперболические функции
e* — е"г
sh* = 5 , (4)
е* + е~*
chz = —^ . (5)
Равенства (1) — (3) называются формулами Эйлера,
^J2.38) Найти: 1) Г'г; 2) е*° 2 ; 3) е™«.
Решение. По формуле (1) имеем.
„.-*-«.(-^.)+«.(-f.)-i?-^
2) «"""* - е* 1 "*H)+"'"(-r)J_ r* _
= COS(— тс) + * Sill(— тс) t= —1;
3) е4"™ = е4(соэтс +1 sin тс) = —e4.
«/ _**
12.39. Найти: 1) б2; 2) e 3; 3) *2+w; 4) ^; 5) ***.
/^Ofc) Найти sin(l — 0-
^PtTHfe н и е. По формуле (2) имеем
e*v-n — e'i{l"i) eUl — *"M
sin(l—0 = —g — = g =
= ^-Ucos 1 + *'sin 1) — Wcos(—1) + isin(—1)Y| =.
= ~r\(e — r*)cos 1 + i(e + r^sin ll =
= — i- ^- -cosl -f e 2 — sjn 1==sjn lc^ 1 — fcoslahl.
12.41. Найти: 1) sin /; 2) cos(l + 0; 3) sh 3i; 4) ch 5/;
5) ch(2 —i).
12.42. Показать, что функции e*t sh г и ch г —
периодические с периодом 2kki, где k — произвольное целое
число. ч
228 /

12.43. Показать, что функции sin z и cos г —
периодические с периодом 2&л, где k — произвольное целое число.
у 12.44. Найти действительную и мнимую части функций:
1) w = sin г; 2) w = sh z; 3) w = ze*; 4) w = — , где
г = х + iy.
12.45. Показать, что для комплексного переменного г
справедливы известные формулы тригонометрии
. « . « 1 • о l — cos22 « l + cos 2г
SlIl2Z + COS22 = l, Sin2Z = . COS2Z = —- .
2 2
12.46. Пользуясь определением функции sin z,
показать, что
sin 3z = 3 sin 2 — 4 sin3z.
- 12.47. Убедиться в том, что €4^^^- комплексное
переменное, то модуль sin z и с(Шв^ШЯШбытъ больше
единицы. Вычислить для этого, Н*^НРР* I sm * I-
12.48. Показать, что межд)^^жгонометрическими и
гиперболическими функциями комплексного переменного
существуют следующие соотношения:
sin iz = i sh z, cos iz = ch z;
sh iz = i sin z, ch iz = cos z. v
12.49. Показать, что для гиперболических функций
комплексного переменного справедливы формулы
ch'z -sh'z = I ch'z = i±^i, sh'z = c-*^i.
2 2
§ 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ
ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Тригонометрическая и показательная формы комплексного
числа г = х + iy имеют вид
г = r(cos<p + / sinq>), (l)
*=re'V (2)
где г и ф — соответственно модуль и главное значение аргумента
комплексного числа г.
Умножение, деление, возведение в целую положительную
степень и извлечение корня целой положительной степени для
комплексных чисел, заданных в тригонометрической или показа-
229

тельной форме, выполняются по следующим формулами
[ri (cos ух + i sin фг)] X
X [r2(cos<p2+ £ sin <p2] =
" = Г\Г% [COS (фх + <p2) +
+ i sin (?! + 9,)]. (3) (гге'Ъ) (r2e^HW
П (cos ух + i sin <p0
r2 (cos y2 + t sin y2)
е*(<?1+Ъ)
(3')
= [COS (ф!
r2
¥2) +
+ tsin(cp1 —cp2)], (4)
[r (cosy + J siny)]" =
= rn (cos лу + t sin y), . (5)
•j/ r (cos y+ t sin y) =
у + 2ferc
H
f COS
у + 2ferc
+ ;sin _j (6)
Рис. 46
J?t
rie T1 _ fi еИ<Рх-ъ) t (4')
r2e
«p«
(r^)«=rV^. (5')
fr^ =>T"r<
у+2Аис
(6')
(* = 0, 1,2, ..., n— 1).
Соотношение (5)
называется формулой Муавра.
Для приведения
выражений, стоящих в правых
частях указанных равенств, к
тригонометрической или
показательной форме используется
тот факт, что функции cos у,
sin у и е*9 имеют период 2kn
(k= ±1, ±2, ...).
Вектор, изображающий
произведение г1г2( частное —1
\ zi_ .
может быть получен из
вектора, изображающего число гь
поворотом против часовой
стрелки (по часовой стрелке)
на у гол у ъ, образуемый
вектором г2 с положительным
направлением действительной
оси и умножением (делением)
его длины на длину вектора
г2 (рис. 46).
г)
230

(12.50^ Представить в тригонометрической и
показательной формах комплексные числа: 1) z{= 3 -f- j/3r,
2) z2= Ы.
Решение. 1) Найдем модуль и главное значение
аргумента комплексного числа Z\. Имеем
\zt\ = | 3 + \/ъi | = /з2 + (l/З)2 = 2/3.
Так как вектор, изображающий число zit лежит в I четвер-
ти и tgq> = —- у то Ф = "б" • Отсюда, используя
формулы (1) и (2), получим тригонометрическую и
показательную формы числа Zi = 3+ }^3(:
zx = 21/3 (cos -1 + i sin -J-) = 2 ]/3 б 'т •
2) Модуль числа z2= 5f равен | z2| = | Ы | = ]Л)2 + 52 =
= 5. Вектор, изображающий число Ы, лежит на
положительной части мнимой оси; поэтому главное значение аргу-
мента ф = ~y • Отсюда
/ г2 = 5 (cos -^- + i sin ~yJ = Se 2 . %
12.51. Представить в тригонометрической и
показательной формах следующие комплексные числа: 1) 1 — i\
2) -1 + i\ 3) 1/3 + f; 4) -2 - 2f; Б)—5i; 6) 1; 7) - j/2 +
+ tl/6.
12.52. Представить в показательной и алгебраической
формах следующие комплексные числа:
»/ те те \
1) 2 (cosiu + i sin iu); 2) 3 I cos -у + i sin — I;
(те те \
cos -y + f sin -^-1;
4)8[cos(-^) + /sin(—f)];
Зте Зте
5) cos-т- + /sin — ; 6) 7 (cosO + isinO).
12.53. Записать в алгебраической и тригонометричес-
кой формах числа: 1)-^- е'х; 2)е- 2 ; 3) ве3 ;4)3е~~ 4 ;
i+ —
5) * 3 .
231

V 12.54. Используя тригонометрическую форму комплек-
снедо-лийга, выполнить указанные действия:
I) (1-0СКЗ + 0; 2) yf^j\ 3) (1-о3; 4)^*1^7.
Решение. Запишем числа Zt= I — i и z2= yli + i
в тригрнометрической форме:
г2 = V2 [cos ( - -f) + isin (--f)];
(It 1С \
cos -£- + t sin -g-1.
Используя правила действий (3) — (6) с комплексными
числами, заданными в тригонометрической форме,
получим:
1) г,гг = 2 1/2 [cos.(--J- + -J-) + «sin (—f + Тг)Ь
-2lT5[co.(-4) + <»ta(—J)]:
*> ТГ- *? [«»(—J—т) + 'sin(-f-f)]-
= £2 [cos(--^) + ism(-^)];
3) 2? = (/2)з (cos [з • (- -J-)] + i sin [з • (- -I)]} -
= 2 V5 [cos (—?) + <sin (~ T")];
4)V г1 =mi Icos % + tsin ^ 1;
3
полагая k = 0, 1, 2, найдем
^U = r"2[cos(-^) + /sin(-^)];
f4U = v^ (cos ■& +-isin tJ);
232

-pi[«.(_i)+,*.(_i)].
12.55. Выполнить умножение:
1) 3 (cos^- + isin —J-4 (cos -3- + isin -|");
2) -J- (cos 20° + i sin 20°) • 8 (cos 25° + i sin 25°);
3) 6 (cos -J- + t'sin -J-J • -j- cos (-^- 4 t'sin -1);
4) 1/3 (cos 120° + i sin 120°) • 2 [cos (— 90°) + i sin ( — 90°)];
5) 6[cos (—135°) + i sin (—135°)J-
• j/3[cos(—15°)+ i sin (— 15°)];
6) 4 (cos 150° -H sin 150°)--^-(cos 120° + i sin 120°);
7) 10(сое -^ -Hsin ^.) • i[cos (- -J-)+ isin(- 4-)];
8) 1/6 (cos92° +/sin92°)- j/"3 (cos88° + isin 88°).
12.56. Используя тригонометрическую форму
комплексного числа, выполнить умножение:
1) (4 + 40 • 3 (cos 75° + i sin 75°); 2) (2 + 2 \/"3 i) - (1 — 0;
3) 4" [cos (- -^) + i sin (- -J-)] (~ 3 + J/3 0;
4) (- 4 + 4 /30 (1 + * 1/3); 5) (- 2 - 20 (6 - 2 ]/"3 0;
*(т-т'}ИМ?)- -
333

12.57. Выполнить деление:
1) 6 (cos 70° + i sin 70°): 3 (cos 25° + i sin 25°);
2X 2(cos 120° + i sin 120°) : 4 (cos 90° + I sin 90°);
3) j/"6 (cos 160° + i sin 160°) : |/3 (cos 40° + i sin 40°);
4) 10 (cos 105° + isin 105°): 5 (cos 135° + i sin 135°);
5) 4 (cos 75° + i sin 75°) : \- [cos(—15°) + i sin( — 15е)];
6) 6 [cos ( fj + i sin ( £)] :
:3 [«*(--!) + ;sin (-!?)]•
12.58. Используя тригонометрическую форму
комплексного числа, выполнить деление:
1) 8i : (1 +1/3 0; 2) -6/: (-4 + 4t);
3) (6 — 6t) : 3(cos 15°+f sin 15°); 4) (2 j/3 + 6t): (1/3— t);
5) (-2 + 2 1/3 0 = (4-40;
6) 8 [cos (- 105°)+ isin (- 105°)]: (_O. _-L).
12.59. Используя формулу Муавра, вычислить:
1) (cos 15° + j sin \b°f; 2) [1^2 (cos 10°+'isin 10°)]*;
3) (cos -£- + i sin -^-)15; 4)[3 (cos 36° + i sin 36°)18;
5) {1/2 [cos(— 50°) -f i sin (— 50°)])12;
6)[pJ= (cos57°+tsin570)ji°;
7) (2 + 205; 8) (_l+/l^3)9;
9;(4_о,.у;10)(_1?_о1.г.
12.60. Вычислить все значения корня данной степени
из комплексного числа и построить их геометрическое
изображение:
Я
234

1) ^008 120°+ tsin 120°; 2) уЛб (cosu + isinu);
3) У cos 150° + t sin 150°; 4) ^cos 0 -f i sin 0;
5) Y 27 tcos С— 135°) +'sin (— 135°)];
6) y^32 (coe-J-'+fsin -5-); 7) /16— 16t;
8) J^6 —6У31"; 9)|^~125; lOjyTSi; 11)^ — 64;
I2)У^-^г--тг' I3)K-4+4<; I4) V-шеL
12.61. Представив числа z4= —2 + 2/3 i и z2= 1 —i
в тригонометрической форме, вычислить следующие
выражения:
з
1) ггг%; 2) —; 3) ^-; 4) г^;5)^Г1;6) |/72.
12.62. Даны числа Zi= —1 — *, z2 = V~2 — Y2i,z3 =
= 1 + j/3 /. Представив эти числа в тригонометрической
форме, найти .
12.63. Используя тригонометрическую форму
комплексного числа, выполнить следующие действия:
1)(->Л5 + V^O3 (i+O2; 2) ^—^^^—-•
3) (1-03(-2>/з + 20; 4)
(/3-0 (1-/)а *
(0+i|I)' _
^ т(4-+_у,)-
' (2/2 —2/2/)а \ 2^2 /
12.64. Выяснить, каким операциям нужно подвергнуть
вектор, изображающий комплексное число z = 1 + i, для
того чтобы найти произведения этого числа на каждое из
следующих чисел: 1) /2; 2) —3; 3) 2i\ 4) — i\ 5) 3(cos 15°+
+ i sin 15b); 6) 1 — i\ 7) 1 + i; 8) 4 + 3i\
Построить векторы, изображающие эти произведения.
12.65. Указать, каким операциям нужно подвергнуть
235

вектор, изображающий комплексное число 1 + КЗ /, для
того чтобы найти частные от деления этого числа на каждое
из следующих чисел: 1) 3; 2) /; 3) — 2/; 4) 6 (cos 30° +
+ sm 30°); 5) 2 + 2]/3 i\ 6) 1 — уЧн.
12.66. Вектор ОЛ, составляющий с положительным
те
направлением действительной оси угол -g- и имеющий
длину, равную 2, подвергнут следующим операциям:
те
1) растяжению* в 3 раза; 2) повороту на угол -я- в
положительном направлении и растяжению в — раза; 3) повороту
те
на угол -я- в положительном направлении и растяжению
те
в б раз; 4) повороту на угол —г- в положительном
направлении.
Определить произведение комплексного числа,
изображаемого вектором О А, на комплексные числа,
соответствующие указанным операциям; найти эти комплексные числа-
сомножители.
12.67. Вектор ОЛ, рассмотренный в предыдущей
задаче, подвергнут следующим операциям: 1) сжатию** в
2 раза; 2) повороту в отрицательном направлении на угол
-J- и сжатию в -у раза; 3) повороту в отрицательном
нате
правлении на угол-^- и сжатию в 3 раза; 4) повороту в от-
те
рицательном направлении на угол -у.
Определить частные от деления комплексного числа,
изображаемого вектором О А, на комплексные числа,
полученные в результате выполнения указанных операции;
найти эти комплексные числа — делимое и делитель.
12.68. Над вектором, изображающим данное число,
выполнить указанные в таблице операции и записать число,
полученное в результате этих операций. Построить
геометрическое изображение сомножителей и произведения или
делимого, делителя и частного.
* Растяжение вектора в k раз означает умножение его длины
на число k.
** Сжатие вектора в £ раз означает деление его длины на
число к.
236

№
1.
2.
3.
4.
Б.
6.
7.
8.
Данное
число
3
2i
—/
— 4
1 +i
6 — 6/
- 1 + / /"3
_ бУ "з — 6/
Растяжение
1
5
Г~2
2
♦ 1
2
Операция
Сжатие
4
1
"Г
3
6
Поворот в
пол. напр.
тс
т
Зтс
т
тс
т
тс
"Г
Поворот в
отр. напр.
тс
тс
т
Зтс
т
тс
т
Полученное
число
12.69уИспользуя показательную форму - комплексного
выполнить указанные действия:
1) (1—о (1 + Кзо; 2) -^^р;
3) (1—О4; 4) Vх + V5 l
Решение. Запишем комплексные числа 2t= 1 — /
и г2= 1 +1/3*" в показательной форме:
гг = У2е~т* , za = 2*T' .
Отсюда, используя правила действий (3') — (6') над
комплексными числами, заданными в показательной
форме, получим
1) V2 = 21/2*V 4+3' =21/2*12 ;
7« .
2)
г\
Пе(-т-т> =/J
12'
3)2{ = (V^)'
.* 4 = 4<r*';4)j/ 22 = (/2e * ;
237

полагая k = 0, 1, 2, найдем
V4~-V*?'-
13*
19«
11* .
5TC /
-fir к
12.70. Представив числа z{= 2 — 2i и z2 = —УЗ+i
в показательной форме, вычислить следующие выражения:
1) г А; 2) -J-; 3) z?; 4) f^; 5) ^.
12.71. Даны числа 2г±= 1 — 11/^3; z2 = 2уТ$—2i; z8=
=5—V^2 — *"|Л2. Представив их в показательной фор-
ме, найти —- .
zi
12.72. Используя показательную форму комплексного
числа, выполнить следующие действия:
1) (2-202 (- i + i'1/З); 2) (~-| + *j2 ;
3) (—т + Т'Г (2 ^-2°1; 4) <-V's-O1;
5) (Кз-1/3 08;б)^'^8Г;
7) ^ — 81; 8)^8"|/3 — 8* ; 9) ^ —27 + 271.
12.73. Решить уравнение z4+ z2+ 1 = 0.
Решение. Обозначим t = г2. Тогда данное
уравнение примет вид t2+ /+1=0. Найдем корни этого
уравнения t{ 2 = — -*- ± -^у- *• Отсюда получаем 22 =
= -—+ V * и z2== —Г" V L
Чтобы найти г из двух последних уравнений, представим
числа —J" + +г- * и ^ +р i в
тригонометрической форме:
238

1. . |/"3 . 2* . . . 2*
Г + 2 l = cos—+ isin -^-;
1 / 3 . / 2тЛ . . . / 2тЛ
-— -V t=cos^—-^-J+ tsm (--3-j.
Отсюда находил!
2т: # 2т:
zi,2-|/ — — + — l=cos g -fisin 2
(* = 0, 1);
2гс 2rc
/"—i—VT ~ — + 2kn ~Y + 2k*
гъл=\ —T -Vt,==C0S 2 + /Sijl 2
(£ = 0, 1).
Полагая теперь k = 0, 1, получаем корни исходного
уравнения: _
i_ , J/J . _ 1 /3.
г! "" 2 "^ 2 ^ г2 — 2 2 '*
__ 1 J/J3 . __ 1_ , У~Ъ.
Z3 — 2 — 2 *, Z4 — 2 -f- 2 I.
В задачах 12.74—12.81 решить уравнения.
12.74. г2— 16/ = 0. 12.75. г3— 27 = 0. 12.76. г3+ 81 =
= 0. 12.77. г4 + 4 = 0. 12.78. г4 + 4l/2z2 + 16 = 0.
12.79. г4 — 2|/Зг2 + 4=0. 12.80. г6 — 2г3 + 4 = 0.
12.81. г6 —2г3 + 2 = 0.
V С М^СМЕШАЫНЬ1Е ЗАДАЧИ
12.82. Найти множество точек, для которых:
1) 4 < | z - i |< 5; 2) | z + 2i \ > 7;
3) | г + 3 | = | z - 3*|;
4) | z + 2 | = | z - 4 | = \z + 2i\. .
12.83. Составить квадратное уравнение, если его корни
таковы:
1) *i= 2/, л;2= —2/; 2) *i= 1 — 4/, л;2= —2 + 5/;
3) х1 = — 3 — 7i\ х2 = 3 — 7r,
4)л:1 = -ь=Т' х2 = — 1 — 2t.
239

12.84. Выполнить действия:
1)(1+Кзо4; 2)(б —бо2(4- —^О^
3> (_! -ьо^ + тЛбО- 4> У^М'' 5) ^-8-8/;
6)^_4 + 4/зГ;7)(^±1)в;8) if^pif.
12.85. Вычислить:
(cos 64° + l sin 64°) (cos 46° + i sin 46°)
1)
2)
cos 20° + sin 20°
(cos 72° + i sin 72°) (cos 41° +-1 sin 41°)a
cos 19° + i sin 19°
cos 42° +i sin 42° ^ (cos 38° + * sin 38°)8
3) (cos51° + /sin51T; ^ [cos(-24°)-Hsin(-24°)]* •
12.86. Проверить равенства:
> 6
12.87. Найти: 1) e 6 ; 2) е-*-4'; 3) e"
12.88. Найти действительную и мнимую части функций:
1) w = (z — if; 2) o> = 7ZT; 3) o> = cosz; 4) w = chz.
12.89. Найти:
1) cos/; 2) sin (x + '): 3) ch~T1' 4) sh (2 —')•
12.90. Решить уравнения:
1) «•+ 49/ = 0; 2) г3 — 125/ = 0;
3) z4 + 256 = 0; 4) г( +]/2гЧ 1 = 0;
5) г* — 4*4- 16 = 0; 6) г» — 8/ЗгЧ- 64 = 0.
240

ГЛАВА 13
РЯДЫ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Числовым рядом называется выражение вида
ai+ fl2+ яз+ ... + ап+ ...,
где числа ai, а%% аз, ... ant называемые членами ряда, образуют
бесконечную последовательность.
Ряд называется сходящимся, если последовательность его
частичных сумм
S\ = аи
& = ai+ 02,
5з = ai+ й2 + аз,
5Я= ai+ A2+ аз+ ... +ап
при п -*оо имеет конечный предел: lim Sn = S. Этот предел назы-
П-+оо
вается суммой сходящегося ряда. Если конечный предел lim Sn не
п-+со
существует, то ряд называется расходящимся.
13.1. Написать пять первых членов
последовательности, если ее я-й член ап имеет вид:
1 1 2л+1 2+(— I)*-*
1)^ГЛ-'2)(-1)я-1^гГ'3)-^-'4) \ •
13.2. Написать пять первых членов ряда, л-й член ап
которого имеет вид:
1 1 1
(Зл—1) (Зл+ 1) •
4) (-Г)"-. ^; 5) i±i=^.
V п
13.3. Написать п-й член последовательности по данным
первым ее членам:
llll • 11 1
v "2"» ~' Т"* "8"' "" • ' • 2~ ' "З"' J"» ••••
3^ 1 XL XI К* .
0) 1у Ь2 ' 1-2.3 ' 1-2-3-4 - *
12 3 4
4 • 9 ' 16 • 25
241

13.4. Написать л-й член ряда по данным первым его
членам:
ill 123
*)} + - + - + те + - '. 2> т - т + - - -;;
3) 1+-|" + "1~ + Х + -; 4)1-1+1-1+....
В задачах 13.5—13.7 для данного ряда указать
последовательность частичных сумм. Пользуясь непосредственно
определением, показать, что ряд сходится, и найти его сумму.
у 1 111 1
,3,5# **п(п+1) =Т2" + 2^3 + з1 + "'+ Л(Л+1) +
п=\
Решение. По определению частичной суммы ряда
имеем:
Si = 0i= —.
1 1 2
52 = a1 + a2=1- + -r = -r,
2 1 3
53 = аг + а2 + a3= -3- + -^ = -j-f
3 1-4
54 = ax + a2 + a3 + a4 = -j- + 20" = —,
Таким образом, получаем следующую последовательность
частичных сумм:
12 3 4
—, -J-, —, -5",
п
общий член которой равен* , . . Ясно, что эта последова-
* Действительно, представив общий член в виде ап == — —
п
1
получим
л + 1
( 1 _МР— 1Ni-i- 1 - п
242

тельность сходится и ее предел равен единице:
п
lim Sn= lim —г-т- = 1.
П-+.00 n-*oo n "Г
Это означает, что данный ряд сходится и сумма его равна
единице.
со
S1 1 1 1
4/i«-1 = Т + 15" + "35 +
1
4ла—1 ^— •
п=1
S1 1 1« 1
-2*-= 1 +-§"+— + ... + 2Й- + ... .
Указание. Здесь я-я частичная сумма ряда Sn есть сумма
п первых членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, первый член которой ui= 1, а знаменатель q = —-.
§ 2. НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДА.
ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ
С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Ряд может сходиться только при условии, что его общий
член ап при неограниченном увеличении номера п стремится к
нулю: lim ап= О — это необходимый признак сходимости ряда.
. П-+оо
Если же lim апф 0, то ряд расходится — это достаточный
П-+со
признак расходимости ряда.
Для знакоположительных числовых рядов имеют место
следующие достаточные признаки, по которым можно установить их
сходимость или расходимость.
1. Признак сравнения. Если члены знакоположительного ряда
ai+ Д2+ ... +ап+ ..., (1)
начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих
членов ряда
bi+ bt+ ...+ bn+ ..., (2)
то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из
расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому
признаку часто используются геометрическая прогрессия
а + aq + aq2 + ... + aqn+ ... (а > 0),
которая сходится при \q\< 1 и расходится npu\q\> 1, и гар- ч
монический ряд
1 1 1
являющийся расходящимся рядом.
243

2. Признак Даламбера. Если для ряда (1)
lim в"*1 = /.
то при I < 1 ряд сходится, при / > 1 — расходится (при / = 1
вопрос о сходимости ряда остается нерешенным).
13.8. Пользуясь необходимым признаком сходимости,
показать, что ряд
12 з п
+ ....
р
1 +
е ш е н
2
и е.
+ т + -
Найдем
lim an =
ГС-* СО
т+
= lim
П-+-00
... +
п
п+ 1
«+1
= 1.
+
+
4л+ 5
Юл —1
Зя + 1
Таким образом, предел общего члена ряда при п -*■ оо
отличен от яуля, т. е. необходимый признак сходимости не
выполняется. Это означает, что данный ряд расходится.
В задачах 13.9—13.14,пользуясь необходимым
признаком сходимости, доказать расходимость следующих рядов.
1 4 Q
13.9. — + — + _ +
9 13 ^ 17
13.10. — + — + — + ... Н + ...
9 19 29 -
13.11. — + — + — + ... + "' ^ д +
7 12 17 5« + 2
13.12. 1 — 1 + 1 — 1 + ... + (— 1)«-* + ... .
02 03 ОП
.13.13. 2+—+ — + ...+ — +... .
2 3 п
,3.14. -J.+-:*+«. + ...+ -L + ....
2 2а 23 2Л
13.15. Исследовать на сходимость ряд
ill 1
5^2 + "У22" + "THF"*" ••• +"F2«7 + — *
Решение. Сравним данный ряд с рядом
1 1 ' 1 1 ш
~2 ' 2*" IP г ••• г "g/T ~r---- К )
Ряд (*) сходится, так как его члены образуют
бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаме-
244

1 т-r . 1
нателем q = -у . При этом каждый член ап = - 2„
данного ряда меньше соответствующего члена Ьп = ^-
ряда (*). Поэтому, согласно признаку сравнения, данный
ряд сходится.
13.16. Исследовать на сходимость ряд
1 -\ з /— ■ з /— ' ••• "■ з /— "г ••• •
/2 {/ 3 j/л .
Решение. Сравним данный ряд с гармоническим
рядом
11 1 ,
1 + Т + Т + -+- + -"
Каждый член ап = ъ данного ряда, начиная со второго,
У п
больше соответствующего члена Ьп = — гармонического
ряда. Так как гармонический ряд расходится, то, согласно
признаку сравнения, расходится и данный ряд.
13.17. Исследовать на сходимость ряд
1 1 1
1 + -тцг + -gr + ••• -}- -—+....
Решение. Каждый член ряда
1 1 1
"§2" + -дг + ... +-^а" + ... ()
меньше соответствующего члена ряда
11. 1
7~о "Г о~"о Т" ••• "Г
Ь2 ' 2-3 ' — ■ п(п + \) ^ '•• •
Как было показано в задаче 13.5, последний ряд сходится.
Следовательно, сходится и ряд (*). Сходимость исходного
ряда, отличающегося от ряда (*) наличием первого
члена 1, теперь очевидна*.
В задачах 13.18—13.24, пользуясь признаком сравнения,
исследовать на сходимость следующие ряды,
ill 1
13.18. -j- + -щг + ~з^г + — + -^Цгг + ... •
ill 1
13.19. -g- + 52-4-1 + БМЛ+ :• + 57ГТТ + - *
* Действительно, если сумма ряда (*) есть S, то сумма исходного
ряда есть 1 + S.
245

13.20. 1 +-I +-1 + ... +-L +
Указание. Сравнить с рядом 1 + — + — +...+ _-}-....
,3-21- Ш + Ш + ШТ + -+Ш+-'
111. 1
13.22. ^r + -gr + -QT + ... + (зл — 1)2 + — •
13.23. —J + ^J + 1 + ... + —J + ... .
13.24. -^ + -^ + ^4=" + - + зг + - •
13.25. С помощью признака Даламбера решить вопрос
о сходимости ряда
12 3 п
"3" + "3*" + "ЗГ+— +"3^ +— •
Решение. Для того чтобы воспользоваться
признаком Даламбера, надо знать (п + 1)-й член ряда. Он
получается путем подстановки в выражение общего члена ряда
п п+1
ап =-уГ вместо п числа п + 1 : ап+1 = зл+1 . Теперь
найдем предел отношения (п + 1)-го члена к п-му члену при
п -> оо:
Шп -£и±.вцт (i±l: JLU lim Л±ЛЛ.=
П-»0» ап П-^ОО \ 3Л+1 ЪП] П-VOO П-3П+1
,. rt + 1 1
= lim ^ = —.
П-+-00 3rt 3
Так как /= -т"< 1» то данный ряд сходится.
13.26. Пользуясь признаком Даламбера, исследовать
на сходимость ряд
1 12 12-3 п\
ЛоГ "^ То* ^ П)*~" + ••• + То7* "^ — *
п\
Решение. Зная ап = -^, найдем (/г + 1)-й член
ряда: ап+1 = {Qn+1 . Вычислим
246

lim Jul. = цт
П-+СО
rjn±i)L. j!Ll e
^oo L юл+1 io"J
,. (n+\)\\0n ,. л+1
= lim -——- = lim —■—= 00.
П\ 10"+1 10
Так как / = oo > 1, to ряд расходится.
13.27. На основании признака Даламбера исследовать
сходимость ряда
32 зз з4 зл
3 + -gr + "зг + it + — + ^я + — •
зл
Решение. Зная /z-й член ряда ап= —„ , запишем
3л+1
(л + 1)-й член: ап+1 = (п^_ 1)Л+1. Отсюда
lim «W -11m Г ЗЛ+1 ■ 3"1_
„-*» ап n^coL («+ 1)л+1 ' пп\
. lim 3"+1-"n - lim -J-. f-2-Г =
Л^оо 3"(rt + l)"+1 л-cort+l V/l+.l/
= 3lim Л !_y._J_ = 3.e-i.o=0*.
rt-*co \ Л + 1 / П + 1
Так как / = 0 < 1, то ряд сходится.
В задачах 13.28—13.35, пользуясь признаком
Даламбера, исследовать на сходимость следующие ряды.
13.28. 1 +— + —+ -Ji- + .... + il + ... .
1 1-2 1-2-3 л!
13.29. J- + -^ + -J— + , ■ 2/1-1 .
VI ' (/"з)2 ' (yif (}Гь)п
,3.30. ± + -**. + **- + ... + ^1 + ... .
5 52 53 5л
13.31.-10 + ^ + -^ + ...+^ + ....
2а З3 л"
,3.32. -L + 1^ + i±i + + 1-3-5-(2/» + 1)
2 2-5 2-5-8 ■" .2-5-8... (Зл + 2)
1-3-5 ... (2л + 1) (2/1 + 3)
Указание. Здесь а.
;л+1 ■
2-5-8 ... (3/i-f2) (Зл +5)
* Здесь используется второй замечательный предел:
lim (1+—] =е.
247

,3.33. 4-"+!r + *t+... +-^+--
8 64 712 8Л
я-34- 1 + F + i¥i + -+^ + -'
,з.з5. A + _*±i_ + Z±!i + ...+J^L + ... .
1 2a З3 л" "г . . .
В задачах 13.36—13.42, пользуясь известными
признаками сходимости, исследовать на сходимость следующие
ряды.
13.36. — + — + — + ... + -2— + ....
2 9 28 л3 + 1
Указание. Сравнить с рядом
,3.37. ±+--+1^+^+15>9''-(4П-"3) +
2 2-5 а 2.5-8 2-5-8... (Зл—1) ^""
13.38. 2 + А + 22.+ ... + 2LLI + ... .
11 1
13.39. sin 1 + siiT--22-+ sin -^ + ... + sin-^-+....
2-2a 2-3a 2-я2
13.40. 2 + -^r+-^r + ...+
(2!)a ^ (3!)2 ^ •" ^ (л!)а ^ — *
13 41 1! | 2! I 3! I | n\
3-2a 3?.3a 33-4a " Зп(п+\)*~*~ "■ '
n42 1' I 1-3. , 1-3-5 ■ . 1-3-5. ..(2й-1)-.
§ 3. ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ ЛЕЙБНИЦА
Знакочередующимся рядом называется ряд вида
а1-а2 + а3-... + (-1)л-Ч+-.. . (D
где а\> аа, аз ап— положительные числа.
Для знакочередующихся рядов имеет место следующий
признак сходимости.
Признак Лейбница. Ряд (1) сходится, если его члены
монотонно убывают по абсолютной величине и общий член стремится к
нулю при л-*оо.
248

Применение сходящихся рядов к приближенным вычислениям
основано на замене суммы ряда суммой нескольких первых его
членов. Допускаемая при этом погрешность очень просто оценивается
для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку
Лейбница,— эта погрешность меньше абсолютного вначения первого
из отброшенных членов ряда.
13.43. Пользуясь признаком Лейбница, исследовать
на сходимость знакочередующийся ряд
ill 1
i-^ + T-- + ...+(-ir4- + ....
Решение. Так как члены данного ряда по
абсолютной величине монотонно убывают:
ill
и общий член при п -> со стремится к нулю:
lim ап = О,
Л-*СО
то в силу признака Лейбница ряд сходится.
В задачах 13.44—13.49, пользуясь признаком
Лейбница, исследовать на сходимость следующие
знакочередующиеся ряды.
13.44. 1_4- + 4--Т^ + - +(-1)я^п + ... •
13.45. 1_^ + -^-...+(_1Г^ + ... .
1Q АН 1 2 3 4 , « , П
,3-46----5- + --^ + -+(-1Г12ТТТ+....
13.47. !!И-!И + М_...+(_1)Л -!=£- + ... .
2 3 4 v ' п
21 3! 4! п\
13.48. 1 —55- + -дг - ж + .-+(- 1 Г1 ;рг+ - •
,3-49- Vm-Vm + Vm--■ +
+ (- 1)"-1 flooJ+T +... •
13.50. Оценить ошибку, допускаемую при замене
суммы ряда
249

Ill 1
!-- + ---+...+(-1Г'-+-
суммой четырех первых его членов.
Решение Данный знакочередующийся ряд сходится
(см. задачу 13.43). Ошибка AS4, получающаяся при
замене суммы S этого ряда суммой четырех первых его членов,
меньше абсолютного значения пятого члена: AS4< 0,2.
13.51. Оценить ошибку, допускаемую при замене
суммы ряда
2 3 4
суммой трех первых его членов.
13.62. Сколько членов ряда
1 L + JL_JL+... + (__ 1)л-1 ! + ...
З2 52 72 v ' (2л — I)2
нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до
0,01?
§ 4. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ^
ЗНАКОПЕРЕМЕННОГО РЯДА
Ряд
fli + а2 И + ап Н 0)
называется знакопеременным, если среди его членов имеются как
положительные, так и отрицательные числа.
Признак сходимости знакопеременного ряда. Если ряд
|flil + l*2l+-" +KI + -, (2)
составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится,
то ряд (1) также сходится.
Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся,
если сходится ряд (2), составленный из абсолютных величин
членов данного ряда (1).
Сходящийся знакопеременный ряд называется условно
сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов,
расходится.
13.53. Исследовать на сходимость ряд
1_-1 + J L+ ... +(—lj«-i -L + ... .
2! 3! 4! ' п\
Решение. Рассмотрим ряд, составленный из
абсолютных величин членов данного ряда:
250

l+JL-f-L-f-L-H (-J-н .
21 31 41 n!
По признаку Даламбера этот ряд сходится, так как
.1= lim J2a±L = iim — = lim —1-=0<L
п~+оо an n-+oo (rt + 1) I /i-»oo Я + 1
Следовательно, первоначальный ряд является
абсолютно сходящимся.
13.54. Исследовать на сходимость ряд
sin 1 , sin 2 . sin3 . . sin я .
H ™ 1—™ 1 1 z r • • • "
12 2a 32
Решение. Рассматриваемый ряд знакопеременный,
поскольку он содержит как положительные члены (-^2—t
\ I2
/ sin 4
[ 4* '
sin 2 sin3 sin 7
2» *
sin 5
5* '
Ряд
| sin
l2
3» '
sin 6
6* '
-bt + -
7' '
• ••It
| sin 2 [
2a
) • • •
■ + -
i, юг
| sin 3j
32
k. П '
•+•■
L/ipnL
••+■
i,aig«iiDi
| sin n |
Я2
сходится, так как его члены не превосходят соответствующих
членов сходящегося ряда
JL + JL + _L + ... + _L + ....
1а 2а З2 яа
Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.
13.55. Исследовать, на сходимость ряд
1—1^г. + ^г— ••+(-1Г1-г^г+ — • (*)
у 2 /3 /я.
Решение. Ряд
1 -|—1—|—! | 1—! |—
/2 /3 /я
составленный из абсолютных величин членов данного ряда,
расходится (см. задачу 13.16). Следовательно, ряд (*) не
является абсолютно сходящимся. Остается выяснить,
сходится ли он (условно) или расходится. Рассматриваемый
ряд — знакочередующийся. Поэтому для решения вопрдса
о его сходимости можно воспользоваться признаком
Лейбница. Так как члены ряда по абсолютной величине монотон-
251

но убывают: 1 > •*— > -— > ... и общий член стре-
митсякнулю: limart = 0, то ряд (*) сходится. Итак, дан-
ный ряд сходится условно.
13.56. Исследовать на сходимость ряд
sin h sin h sin — + • •• + sm h • • • •
33 3 3
Решение. Данный знакопеременный ряд
расходится, так как для него не выполняется необходимый признак
сходимости: lim an = lim sin — — не существует.
Л-*» 00 Л-*» 00 3
В задачах 13.57—13.65 выяснить, какие ряды сходятся
абсолютно, какие условно, какие расходятся.
13.57. l_-L + -L—-L+... +(_1)я?2±1+... .
2 2а 23 у ^ 2п
13.58. -+ — —.—+- • + (—1)л + ••• • ,
4» 7* 10» ' (Зя + I)2 »
13.59. rLr + 7V-71r+- ' •■+(-l),rt г*-+-"" *
In 2 1пЗ In 4 In л
43.60.1 -15 +i±I — ..+(- l)-t 3-5-7... (2.+ 1)+ . _
1 Ь4 1-4-7 V ' Ь4-7... (Зл—2)^
13,61. -l+gi-g±13+---+(-iy2-7-i2"-(lb^+----
б 5-9 5-9.13 ' 6-9.13...(4/1+1)
13.62. -l + il_il + il + (— 1)" — 4 •
2! 31-4! ' /if
13.63. _i_l + JL + J +(—1) 2 — +••• •
3 9 27 81 ' 3Л
13.64.sin 1 — sin —(-sin sin —h • • • +
4 9 16
+ (-l)"+isin -i-+... •
Л2
<oc, соз 1 , cos2 , cos3 , , cosn . .
lo.bo. г • * • H :—г • • • •
1» 2е 3s л3
252

§ 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Степенным рядом называется ряд вида (1)
а0+ ахх + а2х2+ ... + апхп+ ... ,
где а0, аь а2, ..., ап ... —постоянные числа, называемые
коэффициентами ряда.
Областью сходимости степенного ряда называется
совокупность всех значений х, при которых данный ряд сходится.
Нахождение области сходимости состоит из двух этапов.
1. Определяется интервал сходимости степенного ряда, т. е.
интервал (—R, R) числовой оси, симметричный относительно
точки х = 0 и обладающий тем свойством, что при всех \х\ < R
ряд сходится и притом абсолютно, а при всех |*| > R — ряд
расходится. Для этого применяется признак Даламбера к ряду
KmaiiM + iMi*i2 + -^Mi*r + —.
члены которого есть абсолютные величины членов данного ряда (1).
2. Исследуется сходимость ряда (1) на концах интервала
сходимости в точках х = —R и х = R.
13.66. Исследовать сходимость ряда
_L х + -Lx2 + JLxs + ±xb+... + JLxn+ ...
2 22 23 24 2п
в точках х = 1, х = 3, х = —2.
Решение. При х = 1 данный ряд превращается в
числовой ряд
2 2а 23 2п
По признаку Даламбера этот ряд сходится, так как
./=lim ^±L = iim (£±!:^Ц = _L<i.
При х — 3 имеем ряд
_L.3 + A.32 + — .33 + .-. +-JL.3" + --. •
2 2J 23 2я.
Применяя признак Даламбера, получим
'=--^=-{И"Ш1:["Ш1=1->'-
Следовательно, в точке х = 3 данный ряд расходится.
Наконец, при х = —2 получаем следующий числовой
ряд:
_1 + 2 - 3 + 4 - ... + (_1)л п + ... ,
253

который расходится (так как не выполняется необходимый
признак сходимости ряда).
13.67. Дан ряд
— х + —х*+ Ь3'5 *» + .-• +
4 4-7 4-7-10
1-3'-5-.(2/1-1) v„ ■ .
4 . 7 • 10 ... (Зл + 1)
4
Исследовать его сходимость в точках х = —1, х = —,
о
х = 2.
13.68. Найти область сходимости степенного ряда
2 • 2 3 • 22 4 - 23 ' (п + 1) 2п
Решение. Составим ряд из абсолютных величин
членов данного ряда:
l+i£l + j£!L + i£iL + ,,.+ 1*|л + ... .
2-2 3- 22 4-23 (« + 1)2Л
Согласно признаку Даламбера полученный
знакоположительный ряд сходится (абсолютно) при тех значениях ху
Ц/Н-1 ^ 1 QnnnL „ 1*1"
для которых / = lim n+l < 1. Здесь __
К ^со ия * (л + 1)2л'
I * 1л+1 ^ >
"•* = (п + 2)2^ * 01вОДа
/ = нт ^ = lim [_М^_: _ЛГ_1 =
п-+оо ип п-+«> L (п + 2) 2л+1 (л + 1) 2"J
2 я^оо л+ 2 2
Определим, при каких значениях х этот предел / будет
меньше единицы. Для этого решим неравенство —- <
< 1, или | х |< 2, откуда — 2 < х < 2.
Таким образом, первоначальный ряд сходится
(абсолютно) в интервале (—2, 2) — это и есть интервал сходимости
данного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала
сходимости.
При х = —2 получаем числовой ряд
254

Это — гармонический ряд, который, как известно,
расходится.
При х = 2 получаем числовой знакочередующийся
ряд
l--i-+-f- ••+(-»" 7JT + -'
который по признаку Лейбница сходится (условно).
Итак, область сходимости данного ряда —2 < х ^ 2.
13.69. Найти область сходимости степенного ряда
х + 2\х2 + 3\х* + ... + п\хп +
Решение. Здесь ип = п\ \ х |л, un+i = (п + 1) I \х |л+1.
Отсюда
/=lim iW. = Hm <* + ')'1*Г1 =|x|iim(n + l),
П-ЮО Un П-+О0 fl\ \ X \П П-+СО
т. e.
/ — I,°° ПРИ * ^ ^»
1 0 при x = 0.
Таким образом, согласно признаку Даламбера ряд
сходится только в точке х = 0.
13.70. Найти область сходимости степенного ряда
1+— х+ ?-х2 + — х*+ ... + — хп+ ... .
1! 2! 3! п\
ъп зл+1
Решение. Имеем ип = — | а: |л, ип+1 = |л;|л+1,
Отсюда
i ,• M/I+1 ,. Зл+1 • л! | х |Л+1
/ = ит n+1- = lim !—i— =
л-оо иЛ л-^оо (л+ 1) !Зяи'|я
= 1*1 Нт —2— = 0<1.
Л-*оо П + 1
Следовательно, при любом конечном а: по признаку
Даламбера данный ряд абсолютно сходится. Область сходимости
рассматриваемого ряда есть вся числовая ось.
В задачах 13.71—13.81 найти области сходимости
заданных степенных рядов.
13.71. 1 + Ъх + Ь2х2 Н f 5Л*Л Н •
X
п
13.72. Х — —+- h (— I)"-1 —+ .
2 3 п
255

13.76.
13.77.
13.78.
±x
2-3
X
2
X
2
+ -L-
з-за
X2
2ayT
X2
3-7
4-33
1 **
23 1/3
л3
4. 72
13.73. x + 2x* + 3x3 H Ь /t*4 •
y2 y3 yrt
13.74. * + — + — +•■•+ i-Ч- .- • •
13.76. -£-_-£ +-£_,.. +(_l)"-i _?£_ + ... .
2! 4! 6! ' v / (2n)|
др8.| 1 Ц &+... Л
(л+1)Зл
•+(-1Г1^ + A
2nVn
•+(—l)""1 +
v ' (л+1) 7""1
у ytf- уЛ
13.79. i+JL+i+... + i. + .,..
у у2 уЗ уЛ
13.80.— + — h — 1 -\ - 1 •
43 4^2" 4*3/3" 4"»Уп
у у2 уЗ vfl
13.81. — — + — + (— l)""1 - Н
22 Зае 42еа v ; (л+1)2вл-1
§ в. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
„ ТЕЙЛОРА
Рядом Тейлора для функции £(дг) называется степенной ряд
вида
f (0) /'" (0)
/(*) = / (Р) + /' (0) jc + ^-^7"^- *■ + з! *3 + "' +
№ (0) „
+ —I х + "■' (1)
При представлении элементарной функции в виде суммы ряда
Тейлора обычно поступают следующим образом: вычисляют
последовательные производные данной функции в точке х = 0, а затем,
пользуясь формулой (1), составляют для нее ряд* Тейлора и
определяют интервал сходимости полученного ряда. В этом интервале
ряд Тейлора сходится к породившей его функции Ддг), если только
все значения /(0), f(0), ..., I (0), ... получаются непосредственной
подстановкой значения дг=0 в выражения Ддг), ff(x)t..., I {x)t ... .
Применяя рассмотренный способ, можно найти разложение
в ряд Тейлора для следующих функций:
е*-1+*+ ^+-Ц-+...+ -^- + ... (-оо<*<оо), (2)
256 W

х9 хь *ал+1
(3)
X2 X* Х^п
cos,= l--+--... + (-!)«—+ -. (-.<1<оо,,
(4)
т(т — 1) л
т (т — 1) ... (т — п + 1)
+ '—^ ±-Lxn+... <_1<*<1), (5)
= 1 + * + *а + ... + хп+ ... (— 1<*<1), (6)
1-х
= * —'
2 ' 3
In (1 + х) = *-4г + 4" + (- Ц*"1 "V +••• (-1 <*<!>■
(7)
Помимо указанного способа, можно получить разложения
функций в ряд Тейлора, исходя из известных разложений, например,
разложений (2)—(7). При этом возможно использование следующих
действий над степенными рядами внутри их интервалов сходимости:
1) два степенных ряда можно почленно складывать и умножать
(по правилу умножения многочленов);
2) степенной ряд можно почленно умножать на общий
множитель;
3) степенной ряд можно почленно интегрировать и
дифференцировать любое число раз.
Так как степенной ряд для своей суммы есть ряд Тейлора, то
полученное в результате указанных действий разложение будет
искомым.
13.82. Разложить в ряд Тейлора функцию f(x) = е?х.
Решение. Вычислим значения данной функции и
ее последовательных производных при х = 0:
/(*) = *", /(0)=1,
/'(*) = 3*з*, Г(0) = 3,
n*) = 3v, Г(0) = за,
/'"(*) = 3V, /'"(0) = 33,
/<">(*) = 3V, /(л)(0) = 3я,
Подставляя полученные значения в общее* выражение
ряда Тейлора для произвольной функции, получим
9-682
257

1! 2! 3! n\
Это и есть разложение в ряд Тейлора для функции f(x) =
=е3х. Полученный ряд сходится к породившей его функций
f(x) = &х при любом значении х (см. задачу 13.70).
Заметим, что то же самое разложение можно получить
из ряда Тейлора для функции е* заменой х на За:.
13.83. Разложить в ряд Тейлора функцию /(*) =
= In (1 — 2*).
Решение. Заменяя в разложении (7) х на —2*,
получим
In (1—2*) =
или
02 оз 9п
1п(1— 2*) = — 2х— -£-** — — *з — *"-
v ' 2 3 п
Разложение (7) справедливо в интервале — 1 <хК 1*
а искомое разложение получается в результате замены л
на —2*; следовательно, для нахождения интервала
сходимости полученного ряда нужно решить неравенство
_1<_2*<1,
откуда
2 2
13.84. Разложить в ряд Тейлора функцию f{x) = cos2*.
Решение. По известной тригонометрической
формуле имеем
cos'*
„ 1 -f cos 2х
Разложим в ряд Тейлора функцию cos 2*, заменяя в раз«
ложении (4) * на 2*:
cos2* = 1 — —-—h ^-t- + (— 1)л —-—h"* ,
2! 4! ' (2n)\
ИЛИ
02 94 02Л
cos 2*= 1— — *2 + — *4 h(— 1)"-^— *2/Ч
258 ;|

Разложение (4) справедливо при любом х, поэтому ряд
Тейлора для cos 2x сходится к породившей его функции также
на всей числовой оси.
Для того чтобы получить разложение в ряд Тейлора
функции — cos 2х, умножим все члены ряда (*) на — :
1 9 93
— cos2x= 1—£-jc2 + — x4 h
2 2! 41
Тогда
02П-1
+ (— 1)Л— х2л + ... •
(2я)!
1 . 1 о 3 2 2 . 23 л .
cos2л; = х2 Н дс4 — •• +
2 2 2 21 41
02Л-1
(2п) !
Это и есть разложение в ряд Тейлора функции f(x) = cos2*.
Очевидно, что оно справедливо при любом х.
В задачах 13.85—13.94 данные функции разложить в
ряд Тейлора. Указать интервалы сходимости полученных
рядов.
13.85. /-(х) = еЬх. 13.86. /(*) = е'х. 13.87. f(x) = sin Ъх.
13.88. / (х) = cos —. 13.89. / (х) = In /1 - -|-) •
13.90. /(х) = 1п(1+4х). 13.91. fix)-——г.
13.92. /(*) =—!—. 13.93. f(x) = уТ+*».
1 —я3
13.94. /(*) = !
/1 — д:2
В задачах 13.95—13.97, применяя дифференцирование и
интегрирование, найти разложение в ряд Тейлора для
данных функций и указать интервалы, в которых эти
разложения имеют место.
13.95. /(*) = arctg х.
Решение. Запишем выражение данной функции
в виде интеграла:
arctg х — —-—
Разложим подынтегральную функцию f(f) = - в ряд
Тейлора. Для этого в разложении (6) заменим х на —t2:
9* 259

/ (t) = * = 1 -1* + t* -1* + ... + (- 1 )n t*n +... .
1 — (—t2)
Очевидно, что этот ряд сходится в интервале (—1, 1).
Интегрируя почленно полученный ряд в пределах от 0 до я(где
| х |< 1), получаем разложение функции /(jc) = arctg x
в ряд Тейлора:
X9 Хь X* j^n+1
arctg х= х—-< h4 + ••• +(— 1)л
3 5 7 2л 4- 1
Этот ряд сходится в том же интервале (—1, 1), что и
исходный ряд.
13.96. f(x) = arcsin x.
13.97. f{x) = ln(x + Vl+*2).
В задачах 13.98—13.102 разложить в степенной ряд
X
функцию f(x) и найти f / (x) dx в виде степенного ряда.
13.98. /(*) = 2!Hi-.
X
Указание. Разложение подынтегральной функции в ряд Тей*
лора получается почленным делением на х ряда Тейлора для sin*.
13.99. f{x) = ё~х2. 13.100. fix) = /Ге*.
13.101. fix) = У 1 — jc3.. 13.102. fix) = cos x\
§ 7. ПРИЛОЖЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ
ВЫЧИСЛЕНИЯМ
13.103. Вычислить sin 18°, ограничиваясь первыми
двумя членами ряда (3), и оценить получающуюся при этом
погрешность.
Решение. Так как разложение sin x в ряд Тейлора
справедливо при любом х% то, в частности, при х =
То"
имеем
тли
sin — = ^—'-—Ь
10 10 31 5!
260

■Щолученный ряд — знакочередующийся. Ограничиваясь
Йвумя членами этого ряда, т. е. считая sin — равным их
сумме, мы тем самым допускаем ошибку, не превосходящую
первого отбрасываемого члена -—— (см. § 3). Так как
5!
ш
< 0,0001, то с точностью до 0,0001. получаем
5!
(-У
sin JL«i_i!£Le0,3091.
10 10 3'
13.104. Вычислить е2 с точностью до 0,01.
Р е ш е ни е. Пользуясь разложением (2), при х = 2
получим
92 9Э 9п
в2=1+2 + —+ — +... + —+....
2f 3f n\
Остается решить вопрос о том, сколько членов данного
ряда надо взять, чтобы получить значение е2 с требуемой
точностью*. Пусть искомое число членов равно &. Это
означает, что ошибка ASkt которую мы допускаем,
заменяя сумму ряда его k-й частичной суммой, равна сумме
членов ряда, начиная с (k + 1)-го:
2*+i 2Л+2 2^+я
* (к + 1) I • (к + 2) I T (к + 3) I
2*+i 2*+2 2*+3
+ ; ,.—-tr + ,. . . . ,. , ^ ,,—г- + • • *=
'№ + 1)1 (ft+ 1)1 (ft 4-2) - (* + 1)!(*4-2)(*+3)
= 2*+' Г . . 2 2» I
(*+ 1)1 I * + 2 <* + 2)<* + ЗГ ]'
Если в этом ряде заменить каждое из чисел k + 2,
£ + 3, ... числом & + 1, то знаменатели дробей умень-
* f ак как данный числовой ряд не является знакопеременным,
то о погрешности нельзя судить по величине первого отбрасывае-
чого члена.
261

шатся, а сами дроби, следовательно, увеличатся. Отсюда
Выражение, стоящее в квадратной скобке, есть сумма
членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
2
со знаменателем q = , и следовательно, равно
k + 1
1 1 k +1
l-<7 i 2 *-l
k + \
Таким образом,
2k+1 k + 1 2*+1
AS*<
(ft+1)! ft —1 Л!(Л—1)
Но, с другой стороны, ошибка ASft не должна превосходить
0,01: AS* •< 0,01. Решая методом подбора неравенство
2*+1 <0,01 или ^q-1) > 100,
ft!(fc—1) 2*+1
получим k> 7.
Итак, для достижения требуемой точности надо взять
8 членов ряда:
«.«1+2+^ + ^+*-+*.+ ».+ £«7,38.
2! 3! 4! 51 61 ■ 7!
13.105. Вычислить cos 20°, ограничиваясь первыми
двумя членами ряда (4), и оценить получающуюся при этом
погрешность.
13.106. Вычислить In 1,2, ограничиваясь первыми
тремя членами ряда (7), и оценить погрешность.
13.107. Вычислить >/13б, ограничиваясь первыми
тремя членами ряда (5), и оценить погрешность.
3 —
Указание. Представить ^30" в следующем виде:
^30=^27 + 3 =3 у 1 + -j -з/l +-^)3,
3 —
13.108. Вычислить \/~е с точностью до 0,01.
13.109. Вычислить sin 129 с точностью до 0,001»
13.110. Вычислить cos Iе с точностью до 0,001.
13.111. Вычислить у 80 в точностью до 0,001.
262

1
13.112. Вычислить Г smx dx с точностью до 0,01.
и
Решение. Данный определенный интеграл можно
вычислить только приближенно. Для этого разложим
подынтегральную функцию в ряд Тейлора (см. задачу 13.98):
sin* - х2 , х* ** i
х ~~ 3! "51 Т\ '
Отсюда
1
J х Д 3! ^ 51 V )
о о
II
~Х L 3! " 3 |0 51 5
1 1_ х>_
о 7! 7
+ ...=
Ю
= 1 —+ — — + ■•• «1 — = 0,94
3!3 515 717 3!3
здесь мы ограничились двумя первыми членами этого зна-
(
непеременного ряда, так как третий член меныие0,01)§
• 13.113. Вычислить f e dx с точностью до 0,001.
о
0,5 __
13.114. Вычислить Ccos^jc dx с точностью до 0,001.
о
0,2
13.115. Вычислить f V 1 + х3 dx с точностью до 0,0001.
§ 8. РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
Ряд с комплексными членами
21+ 22+ ... + 2п+ .... (1)
где гп = хп + iyn, называется сходящимся, если существует
конечный предел его частичной суммы
Sn = 2х + 22 + • • • + гп
при п -+ оо. Этот предел
5 = lim Sn
называется суммой ряда.
263

Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд
ДГ1 + ДГ2 + ... + Хп + ... , (2)
членами которого являются действительные части членов ряда
(1), и ряд
У1+У2+ ...+уя+ - . , (3)
составленный из мнимых частей членов ряда (1). При этом суммой
ряда (1) является комплексное число S = а + Ы, где а и Ь —
соответственно суммы рядов (2) и (3).
Если ряд (1) сходится, то
\'\т гп = 0.
П-+СО
Это необходимый признак сходимости ряда (1).
Если сходится ряд
Ы + Ы+ — +KI+-- .
составленный из модулей членов ряда (1), то ряд (1) также
сходится и называется абсолютно сходящимся.
Степенным рядом с комплексными членами называется ряд
вида
а0 + агг + а2г2 + ... + апгп + ... , (4)
где г = х + 1у — независимая переменная; а0, аь а2, ..., ап —
постоянные действительные или комплексные числа.
Круг с центром в точке 2=0, обладающий тем свойством, что
во всех внутренних его точках ряд (4) сходится, а в точках,
лежащих вне этого круга,— расходится, называется кругом сходимости
ряда (4). Радиус этого круга называется радиусом сходимости ряда
(4); он находится с помощью признака Даламбера, применяемого
к ряду, составленному из модулей членов ряда (4).
13.116. Показать, что ряд
\ 2! 2* / \п\ 2п )
сходится к числу е + 10*.
Решение. Ряд
л=0
составленные из действительных частей членов данного
ряда, сходится к числу е, так как этот ряд представляет
собой разложение функции е* при * = 1. Ряд
264

л=1
сходится абсолютно.
Решение. Так как ——
ут
2i-5+i+A+...+A+....
составленный из мнимых частей членов данного ряда,
представляет собой сумму членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, первый член которой 5, а
знаменатель.равен —. Следовательно, сумма этого ряда равна
Ч"--10-
Таким образом, данный ряд сходится к числу е + 10L
13.117. Показать, что ряд
= 1, то ряд, составлен-
00 1
ный из модулей членов данного ряда, имеет вид V —— .
л=1
Последний ряд, как известно, сходится (см. задачу 13.17).
Отсюда вытекает абсолютная сходимость заданного ряда.
В задачах 13.118—13.127 исследовать заданные ряды
на сходимость. Там, где это возможно, найти сумму ряда.
i8.„e.(i + i,)+(i+i,)+Qr-+i<)+...+
+ {i=r + i ') + - '
13.119. (1 + 0.20 + |i- + 0,22Л + ("у + °-23') +
+ • • • + l-j+0,2ni\-t-
13.120. (5 + 0 + {±-±1) + (±+± ,)+...+
+ UL + (— 1)я —-— Л + • • • •
Т [ 6я V ' (2л + 1) I J
265

13.121. (i_0 + (-JL-f) + (JL-.l. i) + ... + ,
L (2n)! n\ J
13.122. 1 + 2Ч + ЗЧ + ••• +n*i+ •■• •
ta.it>.(3+.±.i) + ±-i + ±i + ...+±ri+.: .
■ 3,25. (I+0+^+i,) + (_L. + i,).+ ...+
*'*(i-i')+(fH') + (l-T')+- +
+ [7 + <-"'7TT']+--
,„.„+„ + (_£ +JL«) + (±-JL«) + ...+
L л2 л! J
13
13.128. Показать, что следующие ряды сходятся
абсолютно:
(4 — Ы)п
1/5" ) п\ ' ~' *-* п\
1ST. 129. Найти круг и радиус сходимости ряда V — .
LU п
п=\
Решение. Построим ряд, составленный из модулей
со
-—!— . Согласно признаку Да-
266

ламбера, этот ряд сходится при тех и только тех
значениях г, для которых
lim/l£rL:i£ll\ = U|
л-со\Л + 1 П )
<1.
Следовательно, | г | < 1 — круг сходимости данного ряда,
a R = 1 — его радиус сходимости.
В задачах 13.130—13.135 найти круг и радиус
сходимости следующих рядов.
00 00
13.130. J] JLZ\ 13.131. 2 (3 — Щпг\
00 00
13.132. V . 13.133. У Ч-tl г".
£ Q-trVTT £, /1(2 +УТ/У
,3.134. V _Ы1П£1_. ,8.185. У b-'W гп.
ZJ (Л+1) (8—б/)""1 ^ пеп
П=\ /1=1
§ 9. РЯДЫ ФУРЬЕ
Тригонометрическим, рядом Фурье для функции Ц(х) на
отрезке [—те, тс] называется ряд вида
До
/ (х) ~ — + (ах cos * + &х sin x) + (а2 cos 2ж + b2 sin 2л?) + • •« -f
+ (an cos л* -f 6Л sin nx), (1)
коэффидиенты которого, называемые коэффициентами Фурье для
£(дг), вычисляются по следующим формулам:
тс
а0 = — j*/(*)<**. (2)
—ТС
ТС
а„ = — I / W cos/wЛс (/1 = 1,2,...). (3)
—тс
тс
Ьп = — Г / (*) sin rt*d* (л = 1, 2, . . .) . (4)
—тс
Условия, которые достаточно наложить на функцию ((.г) #ля
того, чтобы ее ряд Фурье сходился именно к этой функции,
определяются теоремой Дирихле.
267

Теорема Дирихле. Если функция I (x)t заданная на отрезке
[—тс, тс], удовлетворяет в этом промежутке условиям Дирихле, т. е.
1) непрерывна за исключением только конечного числа точек
разрыва I рода*;
•* 2) имеет конечное число экстремумов,
то ряд Фурье этой функции сходится на всем отрезке [—тс, тс] и
сумма этого ряда:
равна fXx) во всех точках непрерывности данной функции,
лежащих внутри промежутка; (—тс, тс);
/(* + 0)+/(*-0)
равна во всех точках разрыва;
/(-« + 0)+/(*-0)
равна — на концах промежутка.
Так как члены ряда — функции периодические с периодом 2я,
то из сходимости ряда на отрезке [—тс, тс] вытекает его сходимость
на всей числовой оси, причем сумма этого ряда является
периодической функцией с тем же периодом 2я. Тогда для того чтобы ряд
Фурье функции 1(х) сходился именно к этой функции на всей
числовой оси, надо и ее считать периодической с периодом 2я.
Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Если функция
f,(x) — четная, т. е. /(—х) = /(*), то ее коэффициенты Фурье
вычисляются по следующим формулам:
1С
а0 = — \ f(x)dx, (5)
о
1С
2 Г
ап = — /И cos nx dx, (6)
о
Ьп = 0.
Таким образом, четная функция разлагается в ряд Фурье
по косинусам:
а0
f (х)~ — 4 ax cos х 4 а2 cos 2x 4 • • • 4 an cos nx 4 • • • •
Если функция 1(х) — нечетная, т. е. £(— а*) = — [(х), то
оо = 0, ап = 0,
1С
Ьп = — I / (*) sin nxdx. (7)
о
Следовательно, нечетная функция разлагается в ряд Фурье
по синусам:
/ (х) ~ Ьг sin х 4- Ь2 sin 2x-f- • • * 4 bn sin nx 4 - • *
* Это означает, что в точке разрыва xq функция имеет
конечный левый предел /(л*о— 0) и конечный правый предел £(xq+ 0).
268

13.136. Разложить в ряд Фурье периодическую
функцию f(x) с периодом 2я, заданную в интервале [—я, я)
следующим образом:
/(*) =
а: при — гс<*<0,
О при
0<Х<1Г.
■7*.
in -ft
J ft X
Рис. 47
Решение. График данной функции изображен на
рис. 47, Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле,
следовательно, ее можно разложить в ряд Фурье. Найдем
коэффициенты Фурье для f(x) в интервале [— я, я) по
формулам (2), (3), (4). Имеем
тс /0 тс \
а„ = -~ (7(x)dx=-M fxdx+ fo.<ix| =
—тс \ — тс 0 /
ТС 2 -тс
1С
ап = — f / (*) cos ях dx =
—тс
= — I f x cos nx dx + f 0 • cos nx dx J.
Второй из интегралов, стоящих в скобке, равен нулю; для
вычисления первого интеграла воспользуемся методом
интегрирования по частям. Пусть и = х, dv = cos nx dx\
тогда du = dx, v = — sin nx; следовательно,
n
о о
Г xcosnx dx = х- — sin nx f sin nx dx=
•> ft I—-re n J
269

= — cos nx \ = — (cos 0 — cos mr) = *——.
Итак,
a^J^JYL
I 0, если n — четное;
= 1 2
n'n
•, если n — нечетное.
2 2
Отсюда aj = —, a2 = 0, a3 = , a4 = 0,....
Остается вычислить коэффициенты 6П:
6n = — Г / (я) sin ял; dx =
1С
j / 0 1С \ 0
= — I f л; si пял; d* 4- f 0 • sin их dx J =.— f xs'mnx dx.
\—ic • 0 / • — ic
i nx dxA- f 0 • sin nx dx \ =.
о
Аналогично предыдущему имеем:
и = х, sin nx dx = dv\ du = dx, v = cos nx\
n
о о
[ x sin nxdx = — x • — cos ля H Г cos nx dx =
J n L_TC я J
= xcosnx
n
о i io -
H sin ля =
—ic П2 — ic
= cos nn = — (— 1)л+1.
я n
( \\n+l
Отсюда bn = -—-— т. e.
n
*i = 1> b2 = " ' 63 = J A = — — » • • • •
Подставляя найденные значения a0t aiy a2, ..., 64| b2t ..
в формулу (1), получим
f(x)~ —4- [— cos x + sin x) sin 2x+
4 \ тс /2
+ (-^- cos 3*+ — sin 3*) +
V 32tc ^ 3 ;
или
270

f(x)~ —— Ч (cos* H cos3x H cos5jc+-
5a
+
+
(sin x —
— sin 2x+ — sin 3a: + ...).
2 о J
Полученный ряд сходится к f(x) при любом х из
промежутка (—я, я). В точках х = ± я ряд сходится к
/(тс — 0) -f /(rc-f 0) _ 0-^-гс __ _
13.137. Разложить в ряд Фурье периодическую
функцию с периодом 2я, заданную в интервале [—я, я)
уравнением f(x) = х.
Решение. График данной функции изображен на
рис. 48. Эта функция нечетная, следовательно, она
разлагается в ряд Фурье по синусам. По формуле (7) имеем
*-и
х sin nxdx=
тс |_ п
х cos пх +
• sin пх
п
10 J
= — / — — COS ic/Л = — — (_ 1)" = — (— l)«+i.
К \ fl J П П
Таким образом,
bi = 2, b2 = — 1, b3 = —, 64 = — — , Ъь = —,... .
Рис. 48
Следовательно, ряд Фурье данной функции записывается
в виде
о / . sin 2х , sin 3* sin 4* , \
2 sinx ).
/(*)■
2 3 4
Этот ряд сходится к f(x) = х в каждой точке jc, принад-
271

лежащей промежутку (—я, я). В точках х=±я ряд
сходится к
/(ic-Q)+;(ic + 0) _ « + (-*) = 0
ч " 2 2
13.138. Разложить в ряд Фурье периодическую
функцию f(x) с периодом 2я, которая на отрезке [—тс, тс]
задается уравнением
— х при — тс<*<0
х при 0<^х^тс.
/(*>-
М = {
1
-Зя
-2П
f(x)>
-ft 0
i
УГ
2*
Jff х
Рис. 49
Решение. Данная функция является четной (рис. 49).
Таким образом, она разлагается в ряд Фурье по
косинусам. По формуле (5) имеем
__J2_p,___2_*2|* 2_ тс2 _
0 тс J ~~ тс 2 L ~~~ * .2 ~" "
Теперь по формуле (6) найдем
I
2/1 1 \ 2 (— 1)Л— 1
= — COS тсл ] = — . -i 1
я \fi2 Л2 / 1С Л2
ап = — ( х cos nx dx = — Г— к sin ллс +— cos пх\*
к I п п2 J0 =
Итак,
2 (-!)"-! I
^71 = —• ■ : — 1
О, если п — четное;
4
, если п — нечетное.
ft2ic
Отсюда
а4 = —
~7> a2 = Q* Л8= ^-»а4 = °. а5
3%
5а* '
272

Следовательно, ряд Фурье для данной функции имеет
вид
/М~ y~ "t(cos*
cos Sx , cos Ъх ,
З2
52
Рассматриваемая функция непрерывна на всей
числовой оси, поэтому ее ряд Фурье сходится к этой функции
при любом х.
В задачах 13.139—13.144 заданные функции разложить
в ряд Фурье в. интервале (—я, я) и определить сумму ряда
в точках разрыва и на концах этого интервала.
13.139. /(*) = -. 13.140. /(x) = i±£.
13.141. /(*)=?
13.142. f(x)
— 1 при — те < х < 0,
1 при 0<x<ic.
х + к при —ic<x<0
при 0 <^ х < ic.
(* + *
\те— X
13.143. Дх) =
-т при
*<*< —-
0 71 ^ _ 7С
при < х < —
4 4
— При < X < 1С.
4 4 .
Рис. 50
13.145. Разложить в ряд Фурье функции, графики
которых изображены на рис. 50.

ГЛАВА 14
КОМБИНАТОРИКА
§ 1. ОБЩИЕ ПРАВИЛА КОМБИНАТОРИКИ
В основе решения задач на комбинаторику лежат следующие
два правила.
1. Правило сложения. Если некоторый элемент А можно
выбрать т способами, а другой элемент В — п способами,
исключающими друг друга, то выбор какого-нибудь одного из этих
элементов (либо А, либо В) можно осуществить т + п способами.
2. Правило умножения. Если элемент А можно выбрать т
способами и если после каждого такого выбора элемент В можно
выбрать п способами, то выбор пары элементов (А, В) в
указанном порядке можно осуществить т-п способами.
Эти правила легко обобщаются на случай произвольного
конечного количества элементов. .--—-,.
\ 14.1. Сколько
/ 2 j трёхзначных чисел
можно составить из
цифр 1, 2, 3, если
никакую из этих
цифр не
использовать более одного
раза?
Решение.
Задача сводится к
подсчету числа -всех
возможных групп,
которые можно
составить из цифр 1, 2,
3, используя каждую
из цифр не более
одного раза. Прежде
всего выпишем все эти группы. При этом процесс
составления таких групп будем изображать в виде так
называемого «дерева» (рис. 51). Для этого из некоторой точки О
проведем три отрезка, соответствующие числу различных
выборов, которые можно сделать на первом этапе (в
качестве первого элемента группы может быть взята любая из
цифр 1, 2, 3). Из конца каждого построенного отрезка
проведем по два отрезка, что соответствует числу выборов,
/ J 2
г 1 j
г j 1
j г 1
з 1 г
Рис. 51
274

которые можно сделать на втором этапе, если в первый
раз был выйран данный элемент (например, если в качестве
первой цифры группы была взята цифра 2, то в качестве
второй цифры можно взять любую из цифр 1, 3). Далее, из
конца каждого из полученных отрезков проведем по
отрезку, соответствующему выбору, который можно сделать на
третьем этапе, если на первых двух этапах были
выбраны данные цифры.
Двигаясь всеми возможными путями из точки О к
крайней правой вершине «дерева», мы получим 6 трехзначных
чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3.
Это же число можно получить сразу, используя
правило умножения. Так как для выбора первого элемента
группы имеется три способа, для выбора второго — два способа,
а третьего — один способ, то по правилу умножения выбор
трех элементов, составляющих группу, можно произвести
3 • 2• I = 6 способами.
\^1^^Сколько трехзначных и четырехзначных чисел
можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если каждая цифра при
составлении числа используется не более одного раза?
Решение. В задаче требуется найти количество
трехзначных и четырехзначных чисел, которые можно
составить из цифр 1, 2, 3, 4 или, что то же самое, число
способов, которыми можно составить либо трехзначное,
либо четырехзначное число из этих цифр. По правилу
умножения четырехзначное число можно составить
4-3-2-1 = 24 способами, трехзначное число 4-3-2 = 24
способами. Тогда выбор либо трехзначного, либо
четырехзначного числа может быть осуществлен по правилу
сложения 24 + 24 = 48 способами. Таким образом, общее
количество трехзначных и четырехзначных чисел, которые
можно составить их цифр 1, 2, 3, 4, используя при
составлении числа каждую цифру не более одного раза,
равно 48. #Ч*?ц
14.3. Из пункта А в пункт В ведут 3 дороги, а из
пункта В в пункт С — 4 дороги. Сколькими способами можно
сов§рщить поездку из Л в С через 5?
(14.4^На школьном вечере присутствуют 14 девушек и
17 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них
пару для танца?
14.5. При составлении одного варианта письменной
контрольной работы по математике преподаватель
располагает 4 задачами по геометрии, 8 — по алгебре и 3 —
по тригонометрии. Сколькими способами можно составить
275

этот вариант, если в него должно войти по одной задаче из
перечисленных разделов? *
х. 14.6. Из двух полуфинальных групп, каждая из
которых содержит по 6 команд, в финал выходит по одной
команде. Сколько может быть различных вариантов участ-
• ников финального матча? j /
\ 14.7. В забеге участвуют 5 спортсменов. Сколькими
способами могут распределиться места в результате забега?
ч| 14.8. Сколько четырехзначных чисел можно составить
из цифр 1, 2, 3, 5, 6, 7, если никакая из цифр в составлении
чисдале должна использоваться более одного раза?
A Qi;?^^ книге из 20 страниц на каких-либо трех
страницах надо поместить по одной иллюстрации. Сколькими
способами это можно сделать? "
14.10. В первенстве области по баскетболу участвуют
команды 11 районов. Сколько существует различных
способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на
первое место могут претендовать только 4 определенные
команды? t!Q
\ 14.11. Имеется 9 белых, 12 красных и 11 синих
шаров. Сколькими способами можно разложить эти шары по
двум урнам так, чтобы каждая урна содержала не менее
четырех шаров каждого цвета?
14.12. В урне содержится 3 синих, 5 красных и 2 белых
шара. Сколькими способами можно вытащить из урны
либо два белых шара, либо два цветных шара, из которых
один синий, а другой — красный? у \ -\ |
14.13. Имеется 6 различных конвертов без марок, 4
различные марки и 3 различные конверта с марками.
Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для
отправки письма?
14.14. Семья новоселов хочет приобрести письменный
стол, книжный шкаф и диван. В мебельном магазине
имеется 6 письменных столов, 4 книжных шкафа и 12 диванов.
Кроме того, есть 2 гарнитура, содержащие письменный
стол и диван, и 8 гарнитуров, содержащих книжный шкаф
и письменный стол. Сколькими способами может быть
сделана покупка? j .-. .; у ■
§ 2. РАЗМЕЩЕНИЯ
Размещениями из п различных элементов по к называются
всевозможные группы, содержащие k элементов, взятых из
данных п элементов, и отличающиеся друг от друга или составом
элементов, или их порядком.
276

Число размещений из п различных элементов по k без
повторений определяется по формуле
Число размещений из п различных элементов по к с
повторениями находится по формуле
Л* = л*. (2)
14.15. В местком избрано 6 человек. Из них надо
выбрать председателя и его заместителя. Сколькими
способами4 это можно сделать?
Решение. Задача сводится к нахождению числа
размещений (без повторений) из шести элементов по два,
так как здесь существенно и то, кто будет выбран в
руководство месткома, и то, как распределятся обязанности
между ними. Таким образом, искомое число равно
Л1 = 6-5 = 30.
14.16. Сколько трехзначных чисел можно составить
из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Решение. Каждое трехзначное -число, составленное
из указанных цифр, можно рассматривать как размещение
с повторениями, составленное из трех цифр, взятых из
данных семи. Поэтому искомое число равно
Л? = 73 = 343.
14.17. Студенту необходимо сдать 5 экзаменов в
течение 12 дней. Сколькими способами можно составить
расписание экзаменов?
у'14.18. Сколько различных четырехзначных чисел
можно составить из цифр 0, 1, 2, ..., 9, если каждая цифра в
обозначении числа встречается не более одного раза?^^
14.19. Сколько словарей надо иметь, чтобы можно было
непосредственно выполнять переводы с любого из четырех
языков: русского, английского, французского, немецкого
на любой другой из этих четырех языков? /:у
14.20. Сколькими способами можно преподнести 4
различных подарка шести ученикам таким образом, что
каждый ученик получил: а) не более одного подарка; б) не
более четырех подарков?J^t '/
14.21. Местком должен выделить из имеющихся в его
распоряжении путевок на турбазы, в дома отдыха л в
спортивные лагери по одной путевке четырем лицам.
Сколькими способами это можно сделать?
277

14.22. Сколькими способами можно преподнести трем
лицам по одному сувениру из имеющихся пяти различных
сувениров, если один из этих, сувениров должен быть
обязательно преподнесен? •*•-'%
14.23. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные
числа, каждое из которых содержит три или четыре цифры.
Сколько таких чисел можно составить, если повторения
цифр в числах запрещены?
14.24. На складе имеются б ящиков с различными
фруктами и 3 ящика с различными овощами. Сколькими
способами можно каждой из двух овощных палаток выдать
по одному ящику с фруктами и овощами?
§ 3. ПЕРЕСТАНОВКИ
Перестановками из п различных элементов называются
всевозможные группы из этих п элементов, отличающиеся друг от
друга только порядком элементов.
Число перестановок из п различных элементов без повторений
определяется по формуле
Рп=п\ (1)
Число перестановок из п различных элементов с повторениями,
которые можно сделать из k\ элементов первого типа, кг элементов
второго типа, ..., kn элементов л-го типа, находится по формуле
р<*1. *„-....**)- kilk%iaaaknl <2>
14.25. Сколько различных четырехзначных чисел
можно составить из цифр й, 1, 2, 3, если каждая цифра в
изображении числа встречается один раз?
Решение. Рассматриваемое четырехзначное число
может быть представлено как некоторая перестановка из
цифр 0, 1, 2, 3, в которой первая цифра отлична от нуля.
Так как число перестановок из четырех цифр равно ?4=
= 4! и из них 3! перестановок начинаются с нуля, то
искомое количество равно ^0
4! — 3! = 3-3! = 1.2.3-3 = 18.
14.26. Сколькими способами можно нанизать на нить
4 зеленых, 5 синих и 6 красных бус?
Решение. Речь идет об отыскании числа
перестановок с повторениями, которые можно сделать иЗ /?i= 4
элементов первого типа (зеленых бус), k2— 5 элементов
второго типа (синих бус) и k3= 6 элементов третьего типа
(красных бус). По формуле (2) получаем
278

p/4 5> 6) = (4 + 5 + 6)! = 15! = 630630.
v ' ' ' 4! 5! 6! 4! 5! 6!
Г"'14.27. Сколько перестановок можно сделать из букв
слова: а) врач; б) папа?
J"14.28. Сколько различных шестизначных чисел,
начинающихся цифрой 2 и оканчивающихся цифрой 5, можно
составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что каждая
цифра в обозначении числа встречается один, раз? Гц
14.29. Сколько различных восьмизначных чисел
можно получить, используя в их написании цифру 1 два раза,
а цифры 2 и 3 — по три раза? Г '"■ - -
v^/l4.30. Энциклопедия состоит из восьми томов — с
первого по восьмой. Сколькими способами ее можно
поставить на полке в беспорядке, т. е. так, чтобы тома не
следовали один за другим в порядке их номеров? т%-\
-у 14.31. В кассе кинотеатра осталрсь 2 билета в партер,
3 билета в бельэтаж и 1 билет на балкон. Сколькими
способами кассир может выдать по одному билету шести
различным лицам? Г
14.32. Сколькими способами можно разбить т + п + р
предметов на три группы, так чтобы в первой было т, во
второй /г, а в третьей р предметов?
УЛ4.33. Пассажирский поезд состоит из трех багажных
вагонов и восьми купированных. Сколькими способами
можно сформировать состав, если багажные вагоны дол-
Ж1ш^дд£одиться в его начале? %' ^
^Ц.4.34Т^Четыре мальчика и четыре девочки
рассаживаются в ряд на восемь подряд расположенных мест,
причем мальчики садятся .на четные места, а девочки — на не-
четцые-Длюлькими способами они могут это сделать?
04.35Н&колькими способами можно посадить за круг-
лыи^та7 трех мужчин и трех женщин так, чтобы никакие
два лица одного пола не сидели рядом?
§ 4. СОЧЕТАНИЯ
Сочетаниями из п различных элементов по к называются
всевозможные группы, содержащие к элементов, взятых из данных п
элементов, и отличающиеся друг от друга по крайней мере одним
элементом.
Число сочетаний из п различных элементов по к без повторений
определяется по формуле
С* = (1)
п к\ (п - k)! V '
279

Число сочетаний без повторений из п различных элементов по k
равно числу сочетаний из этих же п элементов по п — k:
С* = С»-*. (2)
Число сочетаний из п различных элементов по к с
повторениями находится по формуле
С«-С„+*-, -kl (n_X)l • (3)
14.36. Сколько различных правильных дробей можно
составить из чисел 1, 2, 3, 5-, 7, 11, 13, берущихся попарно?
Решение. Различных пар из данных чисел, в
которых первый элемент меньше второго, будет, очевидно,
столько, сколько можно составить сочетаний из семи
элементов по два. Отсюда по формуле (1) получаем искомое
число
С?-1^-21.
2
14.37. В кондитерском магазине продаются три сорта
пирожных: наполеоны, эклеры и слоеные. Сколькими
способами можно купить 9 пирожных?
Решение. В задаче требуется найти число
всевозможных групп по 9 элементов, которые можно составить из
данных трех различных элементов, причем указанные
элементы в каждой группе могут повторяться, а сами группы
отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Это
задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из
трех элементов по девять. Следовательно, по формуле (3)
получим
3 912! 2
"^ 14.38. Сколькими способами из десяти человек можно
избрать комиссию, состоящую из четырех членов? (^
4^14.39. Сколько прймых можно провести через 8 тоад£,
никакие три из которых не лежат на одной прямой?' VV
N/14.40. Найти число диагоналей л-угольника. Cy^-Yv
J 14.41. Сколькими^способами можно'группу в 20
человек разбить на две подррулпы по 10 человек?
14.42. Стрелок сделал п выстрелов, причем k из них
попали в цель. Сколькими способами можно распределить
эти k попаданий между указанными п выстрелами?
280

^14.43. В киоске продается мороженое шести сортов.
Сколькими способами можно купить 10 мороженых? С
v 14.44. Лифт шестиэтажного дома поднимает с первого
этажа 10 человек. Сколькими способами может
распределиться между этажами количество человек, вышедших на
каждом этаже?
14,45. Сколькими способами можно 5 одинаковых
предметов распределить между тремя лицами?
\yl4.46. Сколько различных вариантов хоккейной
команды можно составить из 8 нападающих, 5 защитников
и 2 вратарей, если в состав команды должны войти 3
нападающих, 2 защитника и 1 вратарь?
§ 5. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
.47. Компания из 15 человек разделяется на две
группы, одна из которых состоит из 6 человек, а другая —
из 9 человек. Сколькими способами это можно сделать?
Ч/14.48. Сколькими способами можно поставить на
книжную полку 15 книг так. чтобы три определенные книги
оказались рядом? 15' 5;
\/14.49. В пространстве даны 7 точек, никакие четыре
из которых не лежат в одной плоскости. Сколько различных
плгскостей можно провести через эти 7 точек? (V-*
^Р*4.50. В группе 10 детей. Сколькими способами их
можно поставить в ряд парами?
14.51. Сколькими способами можно составить три
двузначных числа так, чтобы в каждом из них количество
десятков не превосходило пяти, а количество единиц было
в пределах от шести до девяти? fj$ * Jk-ц
14.52. Сколькими способами можно переставить буквы
слова «хорошо» так, чтобы три буквы «о» не шли подряд?
14.53. Сколько точек М (х\ у) можно образовать, если
абсцисса х и ордината у могут принимать значения 1, 2,
3, 4, 5, 6?
14.54. В команду должны быть отобраны четыре
спортсмена из имеющихся десяти. Сколькими способами это
можно сделать, если два определенных спортсмена должны
войти в команду? С'}
ь/ 14.55. В партии содержится 30 деталей, из них 8
дефектных. Сколькими способами из этой партии можно
отобрать 6 деталей так, чтобы четыре из них были
качественные и две дефектные?
14.56. Сколько различных натуральных чисел можно
.281

составить из цифр 0, 1,2, если в обозначение каждого числа
каждая из данных цифр входит не более одного раза?
й/ 14.57. В урне 6 белых и 8 черных шаров. Из нее
одновременно вынимают два шара одного цвета. Сколькими
способами это можно сделать? Сф'^й
14.58. Сколькими способами можно о шариков
разбросать по восьми лункам, если каждая лунка может
вместить все 5 шариков? /■■ ^
14.59. В лифт восьмиэтажного дома вошли 5
пассажиров. Сколькими способами может выйти по одному
пассажиру на каждом этаже, начиная со второго?
14.60. В корзине 12 яблок, 10 груш и 20 слив.
Сколькими способами могут разделить между собой эти фрукты
двое ребят, так чтобы каждый из них получил не менее
четырех фруктов каждого вида?
§ 6. БИНОМ НЬЮТОНА
Формулой бинома Ньютона называется следующее равенство:
(а + х)п = С°пап + С\ап-*х + С\ ап'Ч* +••• + Cknan'kxk + ... +
+ С^ах^+С^х». (1)
Коэффициенты С„ в формуле (1) называются биномиальными
коэффициентами.
Отметим некоторые свойства формулы бинома Ньютона.
1. Число всех членов разложения равно п + 1.
2. Общий член разложения имеет вид Tk+1 = Cknan"kxk, где
£ = 0, 1, 2 п.
3. Коэффициенты членов, одинаково удаленных от конца раз-
ложения, равны между собой.
4. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2п.
5. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных
местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на
нечетных местах.
14.61. Раскрыть скобки в выражении:
1) (4 + г)5; 2) (2 — Зг2)4.
Решение. 1) По формуле бинома Ньютона, полагая
п = 5, а = 4, х = z, получим
(4 + zf = С\ -45 + Cl -44z + Cl4W+&42z* +
+ Cs-424 + C5.Z5 = 1024 + 5 • 256z + 10 • 64za +
282

+ 10 • 1бг3 + 5 • 4г4 + 2» = 1024 + 12802 + 640г2 +
+ 160г3 + 20z4 + г5.
2) Полагая в формуле бинома Ньютона п = 4, а — 2,
х = — Зг2, получим
(2 — Зг2)4 = [2 + (— Зг2)]4 = С$ • 24 + С\ ■ 23(—Зг2) +
+ С\ • 22 (— Зг2)2 + С? • 2 (—Зг2)3 + С* (— Зг2)4 =
= 16 — 4 • 8 • Зг2 + 6 • 4 • Эг4 — 4 • 2 • 27г* -+■ 81г8 =
= 16 —96г2 + 216г4 —216гв + 81г8.
14.62. В разложении (УТ—з"^~| вычислить
член, не содержащий г.
Решение. Полагая в формуле (1) п = 15, а = УТ,
2_
х = з~=~> вычислим (А + 1)-й член разложения:
тк+1
(2_\15-Л / _ J_\k 15—6 *'
Приравнивая нулю показатель при 2 в выражении
Тш, найдем А:
15-* л_ = 0. 45 — 3^ — 2^ = 0; £ = 9.
2 3
Таким образом, z не содержит 10-й член разложения;
он равен
79+1 = С?5(—2)9 = —5005 • 512 = —2 562560.
14.63. Раскрыть скобки в выражении:
1) (3 - xf\ 2) (5 + 2*з)4; з) (YJ + -1 У;
2/а
14.64. Найти:
I) третий член разложения f 3 _ + 4У"а~
283

2) шестой » » f —~r — — V;
\x Ух з J
(2 4/ \10
о „ + у b3 | ;
6/6 j
(a*Vb
\ v 26
\7
4) средний »
Б) два средних члена
14.65. Найти:
1) член разложения (-^- Н ^")~\ не содержащий х\
,10
2) » » (бсу^с3 ] , » » с;
14.66. Найти:
1) член разложения [ =г- 4- j/T*5") , содержащий х3;
и/. /
2) » » М б^—^. » z_1;
3) > * 1>— —j • »
14.67. Найти показатель степени бинома
(26 а2 \л
-х I если его четвертый член не зависит от а.
14.68. Коэффициент третьего от конца члена разло-
(и2 1 \п
— Ь з —' I равен 36. Найти тот член этого
4 У У I
разложения, который содержит t/4.
14.69. Биномиальные коэффициенты 4-го и 9-го членов
разложения ( }/~х ] равны. Найти тот член раз-
\х\Гх )
ложения, который не содержит х.
14.70. Найти тот член разложения бинома/——z3Yz) »
который содержит 2е, если сумма биномиальных
коэффициентов этого разложения равна 256.

Г Л А В А 15
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Если испытание может привести к одному и только к одному,
из п различных равновозможных исходов (называемых элементарными
исходами) и если т из этих исходов благоприятствуют появлению
события А, то вероятность события А определяется формулой
Это — классическое определение вероятности.
Отметим основные свойства вероятности.
1. Вероятность любого события заключена между нулем и
единицей:
О < Р (А) < 1.
2. Вероятность достоверного события /, т. е. такого события,
которое при испытании обязательно произойдет, равна единице:
Р(1) = 1.
3. Вероятность невозможного события О, т. е. события,
которое в результате испытания не может произойти, равна нулю:
Р(0) = 0.
4. Сумма вероятностей двух противоположных событий А и
А, т. е. таких событий, что появление одного из них исключает
появление другого, равна единице:
Р(А)+Р(А) = \:
• 15.1. Из урны, в которой находится 4 белых, 9 черных
и 7 красных шаров, наугад вынимают один шар. Какова
вероятность появления белого шара?
Решение. Здесь элементарным исходом является
извлечение из урны любого шара. Число всех таких
исходов равно числу шаров в урне, т. е. п = 20. Число
исходов, благоприятствующих появлению белого шара
(событие Л), очевидно, равно числу белых шаров в урне, т. е.
т = 4. Поэтому по формуле (1) находим
Р(Л)=-1 = -1.
4 ' 20 5
285

* 15.2. Игральный кубик бросают два раза. Какова
вероятность того, что сумма выпавших очков окажется
равной восьми?
Решение. Обозначим через Atj событие, состоящее
в том, что при первом подбрасывании выпало i очков, а
при втором — у очков. Тогда 36 событий
^li» ^12i •••» ^16'»
^21» ^22» ...» ^26*,
Ави ^62» ...» Лее
можно рассматривать как элементарные исходы опыта.
Следовательно, число всех элементарных исходов п = 36.
Появлению события А (сумма выпавших очков равна
восьми) благоприятствуют исходы Л2в, A35t Л44, А53у А62-
Таким образом, т = 5. Отсюда получаем
15.3. (Задача о выборке.) В партии из S изделий
имеется Т нестандартных. Определить вероятность того, что
среди выбранных наудачу s изделий нестандартными
окажутся / изделий.
Решение. Элементарным исходом является
выборка любых s изделий из их общего числа S. Число всех таких
исходов равно числу сочетаний из S по s, т. е. п = С|.
Интересующее нас событие А — это извлечение s изделий,
из которых / — нестандартные. Следовательно,
благоприятными для А являются такие группы по s изделий, в
которых s—/ изделий — качественные, а / — нестандартные.
Число таких групп
m = Cs—т'Ст t
ибо группу из / нестандартных изделий можно образовать
С*т способами, а группу из s—t качественных изделий —
С$1*т способами, причем любая группа исправных изделий
может комбинироваться с любой группой нестандартных
изделий. Отсюда
* 15.4. Две грани симметричного кубика окрашены в
синий цвет, три — в зеленый и одна — в красный. Кубик
286

подбрасывают один раз. Какова вероятность того, что
верхняя грань окажется зеленой? %
« 15.5. Какова вероятность того, что при однократном
подбрасывании игрального кубика выпадет.четное число
очков? *f и-
15.6. Цифры 1, 2, 3, ..., 9, выписанные на отдельные
карточки, складывают в ящик и тщательно перемешивают.
Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность
того, что число, написанное на.этой карточке: а) четное;
б) нечетное; в) составное; г) однозначное; д) двузначное.
1/15.7. Из урны, содержащей 6 шаров, пронумерованных
цифрами от 1 до 6, наугад вынимают один за другим вс^
шары. Какова вероятность того, что шары будут вынуты
в порядке возрастания их номеров? y^v
15.8. В забеге участвуют пять спортсменов: А, Б, В,
Г и Д, каждый из которых имеет одинаковые шансы на
успех. Какова вероятность того, что первые три места
займут соответственно бегуны А, Б и В?
^/15.9. Из восьми букв разрезной азбуки составлено
слово «институт». Затем карточки с буквами перемешивают
и вновь собирают в произвольном порядке. Какова
вероятность того, что снова получится слово
«институт»?
s/15.10. Слово «учебник» составлено из букв разрезной
азбуки. Затем карточки с буквами перемешивают и из
них извлекают по очереди 6 карточек. Какова вероятность
того, что эти шесть карточек в порядке выхода составят
слово,«ученик»?
15.11. Трехзначное число образовано наугад
выбранными тремя неповторяющимися цифрами из числа цифр
1, 2, 3, 4, 5. Какова вероятность того, что это число четное?
15.12. В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны
случайным образом вынимают сразу два шара. Найти
вероятность того, что оба шара белые.
15.13. Из урны, содержащей 6 белых и 8 черных шаров,
наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что
вынутые шары одного цвета?
15.14. На полке лежат 12 учебников, из них 7—по
математике. Студент берет наудачу 5 учебников. Какова
вероятность того, что взяты учебники по математике?
15.15. Десять книг на полке расставлены наудачу.
Какова вероятность того, что при этом три определенные
книги окажутся рядом?
15.16. Восемь шаров случайным образом размещаются
287

по восьми ящикам. Найти вероятность того, что каждый
ящик будет занят.
15.17. Автобус должен сделать 8 остановок. Найти
вероятность того, что ««какие два пассажира из пяти,
едущих в автобусе, не выйдут на одной и той же
остановке.
15.18. Из 15 билетов выигрышными являются четыре.
Какова вероятность того, что среди шести билетов, взятых
наудачу, будет два выигрышных?
15.19. В классе учится 15 мальчиков и 25 девочек. По
жребию выбирают пять учеников этого класса. Какова
вероятность того, что среди них окажется две девочки?
15.20. На книжной полке в случайном порядке стоит
энциклопедический справочник, состоящий из пяти томов.
Какова вероятность того, что хотя бы один из томов этого
справочника стоит не на своем месте?
Решение. Обозначим через А событие,
заключающееся в том, что хотя бы один из томов справочника стоит
не на своем месте. Найдем вероятность противоположного
события А — все пять томов стоят на своих местах:
Р(А) = —.
Отсюда по свойству 4 имеем
Р(Л)= 1-Р(Л)= 1 * П9
5! 120
15.21. Монета подброшена два раза. Найти вероятность
того, что хотя бы один раз появится цифра.
15.22. В урне 30 шаров, из них 5 белых, 10 зеленых,
4 красных и 11 синих. Из урны наугад извлекают один
шар. Какова вероятность того, что этот шар цветной?
15.23. В партии из 100 деталей содержится пять
бракованных. Какова вероятность того, что среди выбранных
наудачу 50 изделий будет хотя бы одно бракованное?
§ 2. ГЕОМЕТРЦЯЁСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Если результат испытания определяется случайным положением
точки в некоторой области, причем положения точек в этой
области, равновозможны, то вероятность события находится по формуле
р=—. о)
где S — геометрическая мера (длина, площадь или объем) всей облас
ти, S0— геометрическая мера той части области, попадание в которую
благоприятствует данному событию.
£88

15.24. В круг вписан квадрат. Какова вероятность
того, что точка, наудачу поставленная в круге, окажется
внутри квадрата?
Решение. Площадь круга S = яг2, площадь
квадрата S0= 2ra, где г — радиус круга (рис. 52). Отсюда по
формуле (1) находим искомую вероятность:
Р =
^
А.
5
2г*
15.25. Известно, что телефонный звонок должен
последовать от 11 ч до 11 ч 30 мин. Какова вероятность того,
что звонок произойдет в
последние 10 минут указанного
промежутка, если момент звонка
случаен?
Решение. Воспользуемся
геометрической схемой. Для это-
30
Э'в
10
Рис. 52
Рис. 53
го промежуток времени от 11ч до 11 ч 30 мин
представим в виде отрезка А В длиной в 30 единиц, а
промежуток времени от П.ч 20 мин до 11 ч 30 мин — в виде
отрезка СВ длиной в 10 единиц (рис. 53). Случайный звонок
в некоторый момент рассматриваемого получаса
изображается наугад взятой точкой на отрезке АВ. Тогда
вероятность того, что звонок произойдет в интервале от 11 ч
20 мин до 11 ч 30 мин, в полученной схеме означает
вероятность того, что точка, наугад взятая на отрезке ЛВ.
окажется принадлежащей отрезку СВ. Эта вероятность,
очевидно, равна
р зо з
15.26. В любой момент времени промежутка Т равно-
возможны поступления в приемник двух сигналов. Прием-
10—682
289

ник считается забитым, если разность по времени между
сигналами меньше т < 7\ Какова вероятность того, что
приемник будет забит?
Решение. Рассмотрим прямоугольную декартову
систему координат хОу. Пусть х и у — моменты поступления
в приемник соответственно первого и второго сигналов.
Тогда все возможные комбинации поступления сигналов
изобразятся точками квадрата 0 < х ^ Г, О К у КТ.
Так как моменты поступления
lt сигналов равновозможны в
течение промежутка времени Г,
то положения точек (х\ у) в
области рассматриваемого
квадрата также равновозможны.
Выясним, какие точки
квадрата благоприятствуют
интересующему нас событию А
(приемник забит). Событие А
может произойти лишь в том
случае, если разность по времени
между сигналами будет
меньше т, т. е. если
1
т
/
>
_ 0
У
J№
с
/*г=г
, /
\f
Г Л
Рис. 54-
\х — у\<%.
(*)
Таким образом, область квадрата, благоприятствующая
событию А (на рис. 54 она заштрихована), состоит из точек,
координаты (х\ у) которых удовлетворяют неравенству
п.
Площадь квадрата S = Г2; площадь заштрихованной
области S0= Г2— 2- — (Г — т)2= Г2— (Г — т)2. Отсюда
Р(А)=^ =
Я — (Г — т)"
J4
=>-(>--)'
\ 15.27. В некоторой точке С, положение которой на
телефонной линии АВ длиной 1 км равновозможно, произошел
разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена
от точки А на расстояние: а) не большее чем 400 м; б) не
меньшее чем 400 м.
15.28. Решить задачу 15.26 при условии, что один из
сигналов поступил в приемник в середине временного
интервала Т.
290

I 15.29. В круг вписан равносторонний треугольник.
Какова вероятность того, что точка, наудачу поставленная
в круге, окажется внутри треугольника?
15.30. Внутри круга радиуса 20 см проведены две
непересекающиеся окружности — одна радиусом 5 см,
другая — радиусом 10 см. Найти вероятность того, что точка,
взятая наудачу внутри большого круга, окажется лежащей
внутри одной из малых окружностей.
15.31. Квадрат со стороной а разбит на четыре части
отрезками прямых, соединяющих середины
противоположных сторон. В этот квадрат брошена монета радиуса
г<—. Найти вероятность того, что монета не пересечет
4
ни одной из сторон квадратов, на которые разбит основной
квадрат.
15.32. Двое друзей условились встретиться в опреде:
ленном месте между 13 и 14 часами. Пришедший первым
ждет второго в течение 20 минут, nqone чего уходит.
Определить вероятность встречи друзей, если моменты их
прихода в указанном промежутке времени равновозможны.
15.33. На отрезке длины L наугад берутся две точки.
Какова вероятность того, что расстояние между ними меньше
К U
§ 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее
в появлении хотя бы одного из этих событий.
Произведением нескольких событий называется событие,
состоящее в совместном осуществлении всех этих событий.
Теорема сложения вероятностей. Если события Аи Л2, ... , Ап
несовместны, т. е. никакие два из них не могут осуществиться
вместе, то
P(Ai+ Л2+ ...+ Ап) - Р Mi) + РШ + ... + Р(Ап) (1)
Вероятность события Л, вычисленная в предположении, что
произошло событие В, называется условной вероятностью события
А при условии В и обозначается Р (AIB).
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения
нескольких событий равна произведению вероятности одного из
них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность
каждого последующего события вычисляется в предположении что
все предыдущие события уже произошли:^
Р(Ах*Аг-Аь ... Ап)=*
*= P+AJ-P (А2/Аг) * Р{А3/АгА2) ... Р (Ап/АгА, ... Ап^). (2)
10* 291

Если события Аи ЛЬ, ..., Ап независимы, т. е. осуществление
любого числа из них не меняет вероятностей осуществления
остальных, то
PtAi-A* ... Ап) = Р(Аг) • Р(А2) ... Р(Ап). (3)
15.34. В партии из 50 изделий содержится пять
бракованных. Какова вероятность того, что из выбранных
наудачу 30 изделий не более одного бракованного?
Решение. Пусть А — событие, состоящее в том,
что 30 изделий выборки — качественные, В — в
рассматриваемой выборке из 30 изделий только одно
бракованное, С — не более одного бракованного. Тогда,
очевидно, С = А + В. Так как события А и В несовместны,
то по формуле (1) имеем
Р(С) = Р(А) + Р(В).
Найдем вероятности событий А и В (см. задачу 15.3):
сзэ с29 с1
Р (А) = -£ « 0,007, Р (5)=-ii--L » 0,065.
50 и5Э
Отсюда Р{С) «0,072.
15.35. Два станка работают независимо друг от друга.
Вероятность бесперебойной работы первого станка в
течение некоторого времени t р.авна р{= 0,9, второго —
р2= 0,8. Какова вероятноеп/бесперебойной работы обоих
станков в течение указанного промежутка времени?
Решение. Рассмотрим следующие события: А{ и
А г— бесперебойная работа соответственно первого и
второго станков в течение времени t\ A — бесперебойная
работа обоих станков в течение указанного времени. Тогда
событие А есть совмещение событий Ai и Л2, т. е. А =
= AiA2. Так как события Л4 и А2 независимы (станки
работают независимо друг от друга), то по формуле (3)
получим
Р(А) = P{At)-P{Aj = 0,9*0,8 = 0,72.
15.36. В задаче 15.35 определить вероятность
бесперебойной работы хотя бы одного из двух станков в течение
времени / (событие В).
Решение. Первый способ. Рассмотрим
противоположное событие В, означающее простой обоих
станков в течение времени t. Очевидно, что событие В есть сов.
мещение событий А{ и Л2— простоев первого и второго
292

^станков, т. е. В = AtA2. Так как события Л4 и А9
независимы, то
Р(В) = Р(А{).Р(А2) = [1—P(^i)Hl - Р(А2)] =
= 0,Ь 0,2 = 0,02.
Отсюда
Р(Я) = 1 — Р(Я) = 0,98.
Второй способ. Событие В происходит в том
случае, когда имеет место одно из следующих трех
несовместных событий: либо.ЛгЛ2—совмещение событий At
и Л2 (первый станок работает, jBjopofi — не работает),
либо Лi- Л2— совмещение событий Л4 и Л2 (первый станок
не работает, второй — работает), либо Л4Л2— совмещение
событий Ai и Л2 (оба станка работают), т. е.
В = АГА2+ ArA2+ AVA2.
По формуле (1) получим
Р(В) = Р(АГА2) + Р(АГА2) + Р(АГА2).
В силу того, что события Ai и Л2, а следовательно,
Ai и А2у Ai и А2 независимы, имеем
P(fi)= Р(АХ).Р(А2) + РЩ.РЩ + P{Ai).P(A2) =
= Р(Л1)[1-Р(Л2)]+[1-Р(Л1)]Р(Л2)+Р(Л1).Р(Л2)=0,98.
15.37. При увеличении напряжения может произойти
разрыв электрической цепи вследствие выхода из строя
одного из трех последовательно соединенных элементов;
вероятности отказа элементов соответственно равны 0,2;
0,3; 0,4. Определить вероятность того, что разрыва цепи
не произойдет.
Решение. Пусть события Ait Л2, Л3 означают выход
из строя соответственно первого, второго и третьего
элементов. Их вероятности по условию соответственно равны:
P{Ai) = 0,2; Р (Л2) = 0,3; Р(АВ) =_0,4._Тогда вероятности
противоположных событий Л"ь Л2, Л3 (соответственно
первый, второй и третий элемент не вышел из строя)
равны: Р(ЛТ) = 1 - P(At) = 0,8; Р(А2) = 0,7; Р(А3) =
= 0,6.
293

Событие Л, состоящее в том, что разрыва цепи не прЩ
изошло, есть совмещение независимых событий Ait А2, As:
А =^гА2'А3. Следовательно, по формуле (3)
получаем ■--
Р(А) = P(Ji).P(J2).P(J3) = 0,8-0,7.0,6 = 0,336. >
15.38. В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара.
Последовательно вынимают три шара. Найти вероятность
того, что первый шар окажется черным, второй — красным
и третий — белым.
Решение. Рассмотрим следующие События: А —
первый вынутый шар черный, В — второй шар красный,
С — третий шар белый. Обозначим через D событие,
заключающееся в том, что шары вынуты в
последовательности: черный, красный, белый. Очевидно, D = ABC.
По формуле (2) имеем
P(D) = Р{А)-Р{В/А)-Р{С/АВ).
Найдем вероятности, входящие в правую часть*этого
равенства. Вероятность того, что первоначально вынут
черный шар, Р(А) =— = — . Вероятность извлечения из
15 5
урны красного шара при условии, что первоначально был
вынут черный шар, Р(В/А) = — , так как после изъя-
14
тия черного шара в урне осталось 14 шаров и из них —*
5 красных. Вероятность извлечения из урны белого шара
после того, как были извлечены черный и красный шары,
Р(С/АВ) = — (после изъятия черного и красного шаров
в урне осталось 13 шаров и из них — 4 белых).
Таким образом,
Рф) = ±.±.А.= ± «0,044.
' '5 14 13 91
15.39. Электрическая цепь между точками М и N
составлена по схеме, изображенной на рис. 55. Различные
элементы цепи работают независимо друг от друга. Вероятг
ности безотказной работы элементов за время Т
следующие:
294

элемент
вероятность
А,
0,6
А2
0,8
Аз
0,7
А4
0,9
Определить вероятность безотказной работы системы за
время Г.
Рис. 55
Решение. Участок MN электрической цепи
пропускает ток (событие А)в случае совмещения следующих трех
событий: /4i—работает элемент Аь Л4—работает элемент
А4 и В — работает хотя бы {?дин из двух элементов А2 и Аз,
т. е. А = Ai-Ab-B.
Так как события Ait Ak и В независимы, то
Р(Л) = Р(Л1).РИ4).Р(В).
Для нахождения Р(В) вычислим вероятность события В,
заключающегося в том, _что_элементы А^и А3 вышли из
строя. Поскольку В = А2 -А3 и события Л2 и А3
независимы, то __ . _
Р(В) = Р(Л2).Р(Л3) = [1 - Р(Л2)][1 - Р(Л3)] =
= 0,2-0,3 = 0,06.
Отсюда Р(В) ='*1 — Р(В) = 0,94. Таким образом,
Р(А) = 0,6-0,9-0,94 = 0,5076.
15.40. В технической системе дублированы не все, а
только некоторые (наименее надежные) узлы. Надежность
(вероятность безотказной работы) каждого из узлов дана
на рис. 56. Определить надежность системы.
Решение. Безотказная работа системы (событие А)
возможна только в том случае, когда работает хотя бы, один
из двух элементов Ai (событие Л4), работают элементы А2
295

и Аз (события А2 и Аг) и работает хотя бы один из трех
элементов А4 (событие Л4), т. е.
А = АиАгАуАь.
Так как события Ait A2, AZt Ak независимы, то
Р(Л) = Р(Л1).Р(Л2).Р(Л3)-Р(Л4).
Найдем вероятности, входящие в правую часть этого
равенства. Вычисляя Р{А{) и Р{Ак) точно так же, как это
было сделано в задаче 15.36 (первый способ), получим
P(Ai) = 1 - (1 -Pi)2, Р(Аь) = 1-0 -р4)3.
Отсюда
Р(А) = р«р,П - (1 -Р1)2Ш - (1 - Р4)3].
Р,\—Л
П—Г2.
Рч
Рч
Рис. рб
15.41. Пассажир ждет автобус одного из двух
маршрутов возле остановки, у которой останавливаются автобусы
шести маршрутов. Считая, что автобусы всех маршрутов
приходят в среднем одинаково часто, найти вероятность
того, что первый же подошедший к остановке автобус
следует по нужному пассажиру маршруту. ::
15.42. Два стрелка производят по мишени по одному, '*
выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого
стрелка равна 0,6, для второго — 0,8. Найти вероятность /
того, что оба стрелка попадут в мишень.
15.43. Решить задачу 15.38 при условии, что послеН
каждого вынимания шар возвращают в урну и шары в ^
урне перемешивают. |
15.44. Игральный кубик подбрасывают три раза. Ка-^
кова вероятность того, что при первом бросании выпадете
четное число очков, при втором — 5 очков, при третьем -»;$
число очков, кратное трем? ^
296

if■'■■ 15.46. Из урны, содержащей 7 красных и 9 синих
шаров, вынимают один за другим два шара. Найти
вероятность двукратного извлечения синего шара.
15.46. Решить задачу 15.8, используя теорему
умножения.
15.47. В кассе кинотеатра осталось 8 разрозненных
билетов на места 20-го ряда и 4 разрозненных билета на
места 10-го ряда. Какова вероятность того, что первые
четыре человека, стоящие в очереди, каждый из которых
покупает только один билет, получат оставшиеся билеты
10-го ряда?
15.48. Какова вероятность того, что выбранное
наудачу изделие окажется первосортным, если известно, что
3% всей продукции составдяют. нестандартные изделия,
а 75% стандартных изделий удовлетворяют требованиям
первого сорта?
15.49. По каналу связи с одинаковыми вероятностями
передаются 10 сигналов. Ввиду помех четыре из
переданных сигналов при приеме искажаются. Найти вероятность
того, что из трех наугад взятых сигналов хотя бы один
будет принят неискаженным.
15.50. Электрическая цепь состоит из двух
последовательно соединенных элементов, которые могут выйти из
строя независимо друг от друга с вероятностями pi= 0,1
и р2= 0,2 соответственно. Определить вероятность
перерыва питания цепи.
15.51. Вероятность боя стеклянной тары при погрузке
на автомашины равна 0,06, а при транспортировке на
автомашинах — 0,05. Какова вероятность боя стеклянной
тары?
15.52. Вероятность брака из-за нарушения режима
обработки деталей равна 0,02, а вследствие неисправности
станка — 0,08. Какова вероятность выпуска бракованных
деталей?
15.53. В условиях задачи 15.42 найти вероятность того,
чтав мишень попадет только один из двух стрелков.
у15.54. Для проверки собранной схемы последовательно
послано три единичных импульса. Вероятности
прохождения каждого из них не зависят от того, прошли остальные
импульсы или нет, и соответственно равны pi= 0,8; р2—
= 0,4; рз& 0,7. Определить вероятность того, что пройдут
не менее двух из посланных импульсов.
15.55. Для того чтобы сдать коллоквиум, студент
должен ответить на два из трех вопросов, предлагаемых пре-
297

подавателем. Студент не знает ответов на восемь вопросов
из тех сорока, которые мэгут быть предложены. Какова
вероятность того, что студент сдаст коллоквиум?
к 15.56. Решить задачу 15.39 для схем, изображенных
на рис. 57, а—г.
15.57. Решить задачу 15.40 для технической схемы,
изображенной на рис. 58.
Рис. 57
\р~,
т
Pj
Рч
~Pf
И
Рис. 58
Ы 15.58. В электроприборе вышел из строя некоторый
элемент. Для его замены решили воспользоваться двумя
некомплектными приборами. Вероятность того, что
нужный элемент есть в каждом из двух приборов, равна 0,8,
а вероятность того, что этот элемент работает, равна 0,4
для каждого прибора. Найти вероятность того, что
испорченный элемент будет заменен.
298

§ 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА
БАЙЕСА
Если с некоторым опытом связано п исключающих друг
друга событий (гипотез) Ни #2, ..., Нп и если событие А может
осуществиться только при одной из этих гипотез, то вероятность
события А вычисляется по формуле полной вероятности:
Р(А) = P(Hi)-P(A/Hi) + Р(Н2)-Р(А/Н2) + ... + Р(Нп)-Р(А/Нп).
Если до опыта вероятности гипотез были Р(Нг), Я(#2), ... .
Р(Нп), то после проведения опыта, в результате которого
осуществилось событие Л, вероятности гипотез можно переоценить по
формуле Байеса:
gfPm-PWHt)
15.59. Имеется три урны с шарами. В первой урне 4
белых и 5 черных, во второй — 5 бедых и 4 черных, в
третьей — 6 белых шаров. Некто выбирает наугад одну из
урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что:
а) этот шар окажется белым; б) белый шар вынут из второй
урны.
Решение, а) Пусть А — событие, означающее, что
извлечен белый шар. Рассмотрим три гипотезы:
#i— выбрана первая урна;
#2— » вторая » ;
#з— » третья » .
Так как урна, из которой извлекают шар, выбирается
наугад, то
Р(Я1) = Р(Я2) = Р(Я3)=4-
Условные вероятности события А соответственно равны:
Р(А/Н{) =-£- (вероятность извлечения белого шара из
первой урны),
Р(А/Н2) = -д- (вероятность извлечения белого шара из
второй урны),
Р(А/Н3) = 1 (вероятность извлечения белого шара из
третьей урны).
Отсюда ао формуле лолной вероятности получим
299

б) Для определения вероятности того, что белый шар
извлечен из второй урны, воспользуемся формулой Байеса:
_L JL
Р(И /А\ - Р(^)Р(Л/Н2) _ 3 ' 9 _ 5
^ 15.60. По линии связи передаются два сигнала Л и В
соответственно с вероятностями 0,72 и 0,28. Из-за помех
-g- часть Л-сигналов искажается и принимается как В-сиг-
налы, а -у- часть переданных 5-сигналов принимается как
Л-сигналы.
а) Определить вероятность того, что на приемном пункте
будет принят Л-сигнал.
б) Известна, что принят Л-сигнал. Какова вероятность
того, что он же и был передан?
Р е ш е н и е. а) Пусть событие Л — на приемном.пункте
появился Л-сигнал. Введем гипотезы: На — передан
сигнал Л, Нв—передан сигнал 5. По условию Р(НА) = 0,72;
Р(НВ) = 0,28.
Вероятность того, что принят Л-сигнал при условии,
что он же послан, равна
. р(л///„) = 1-4- = -г-
Вероятность того, что принят Л-сигнал при условии,
что послан 5-сигнал, равна
Р(А/НВ)=-^.
Отсюда по формуле полной вероятности получаем
Р(А) = Р{НАуР{А1НА) + Р(НВ).Р(А/НВ) =
= 0,72—+0,28—= 0,64.
б) Вероятность приема Л-сигнала при условии, что он
же был передан, найдем по формуле Байеса:
Р(И /АЛ Р(Нл)'Р(Л/НА) 0,72-у- 0,6 „Q4 J
Р(На/А) = щ- = -^- = w «0,94. ..
15*61. Турист выходит из пункта О и на разветвлен^
дорог выбирает наугад один из возможных путей. Cxesttl
300 .ЛЯ

рдорог изображена на рис. 59. Какова, вероятность того,
что турист попадет в пункт М?
15.62. Прибор может работать в двух режимах:
нормальном и ненормальном. Нормальный режим
наблюдается в 90% всех случаев работы прибора, ненормальный —
в 10%. Вероятность выхода прибора из строя за время Т
в нормальном режиме равна 0,1, в ненормальном — 0,6.
Найти вероятность выхода прибора из, строя за время 7\ч
\У15.63. На заводе 30% продукции производится цехом
I, 45% — цехом II, а остальные 25% — цехом III. Цех I
дает 0,5%брака всей
производимой им продукции,
цех II — 1% и цех IIL—
0,4%. Наугад выбранная
единица продукции
оказалась браком. Какова
вероятность того, что она была
произведена цехом II?
15.64. Три стрелка
делают по мишени по
одному выстрелу с
вероятностями попадания
соответственно 0,8; 0,7; 0,9. а) Найти
вероятность того, что
наугад взятый стрелок
попадет в мишень, б) Известно,
что в мишень сделано одно
попадание. Какова вероятность того, что это попадание
сделано вторым стрелком?-
15.65. Студент, явувццшся на экзамен последнем, берет
наугад один из оставшихся шести билетов. Вероятности
того, что он получит положительную оценку, отвечая
на каждый из этих билетов, следующие: 0,5; 0,5; 0,6; 0,7;
0,8; 0,9. Какова вероятность того, что студент получит
положительную оценку?
\/15.66. Число пассажирских пароходов, проплывающих
по реке мимо навигационного знака, относится к числу
грузовых пароходов как 2 \ б. Вероятность того, что знак
будет сбит пассажирским пароходом, равна 0,01, а грузовым
пароходом — 0,03. Найти вероятность того, что знак не
будет сбит проходящим пароходом.
t 15.67. В ящике имеются три детали, из которых но
крайней мере одна качественная. Из_ ящика вынимают
наудачу одну деталь. Какова вероятность того, что выну-
301

тая деталь качественная, если все возможные
предположения о количестве качественных деталей в ящике
равновероятны?
U 15.68. Для сигнализации о том, что режим
автоматической линии отклоняется от нормального, используется
индикатор. Он принадлежит с вероятностями 0,2; 0,3 и
0,5 к одному из трех типов, для которых вероятности
срабатывания при нарушении нормальной работы линии равны
соответственно 1; 0,75 и 0,4. От индикатора получен сигнал.
К какому типу вероятнее всего принадлежит индикатор?
§ 5. СХЕМА ПОВТОРНЫХ ИСПЫТАНИЙ.
ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ
Если при одних и тех же условиях определенный опыт
повторяется п раз и если вероятность появления некоторого события
А в каждом опыте равна р, то вероятность того, что событие А в
серии из п опытов произойдет ровно к раз, находится по формуле
Бернулли:
Pn(b) = Cknpkqn-k, где q = 1 - р. (1)
Число ko появлений события А в серии из п опытов,
вероятность которого наибольшая, называется наивероятнейшим числом
наступления события А в п опытах. Это число находят по формуле*
*о= [пр + р]. (2)
Если число пр + р — целое, то наивероятнейшим будет также
и число ko— 1 с той же вероятностью Pn(ko).
15.69. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает
в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того,
что среди взятых на испытание 30 деталей две детали будут
нестандартными. Каково наивероятнейшее число
нестандартных деталей в рассматриваемой выборке из 30 деталей
и какова его вероятность?
Решение. Здесь опыт заключается в проверке
каждой из 30 деталей на качество. Событие А — появление
нестандартной детали; его вероятность р = 0,04, тогда
q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли находим
Рго (2) = Cfo (0,04)2 (0,96)28 « 0,202.
"Символом [х] обозначают целую часть числа х. Для ее
нахождения дробная часть числа х отбрасывается. Например, [3,14] —
= 3, |2— 1 = 2 и т. д.
302

- Наивероятнейшее число нестандартных деталей в
данной выборке вычисляется по формуле (2):
k0= [30-0,04 + 0,04] = [1,24] = 1,
а его вероятность равна
Рзо( 1) = <&> • 0,04i • (0,96)29« 0,305.
15.70. Вероятность попадания в цель при одном
выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что в серии из
четырех выстрелов будет: а) хотя бы одно попадание; б) не
менее трех попаданий; в) не более одного попадания.
Р е ш е н и е.-Здесь п = 4, р = 0,8, q = 0,2. а) Найдем
вероятность противоположного события — в серии из
четырех выстрелов нет ни одного попадания в цель:
р4(0) = С?рУ=0,24= 0,0016.
Отсюда находим вероятность хотя бы одного попадания
в цель:
pk(k > 1) = 1 — 0,0016 = 0,9984.
б) Событие В, заключающееся в том, что в серии из
четырех выстрелов произошло не менее трех попаданий
в цель, означает, что было либо три попадания (событие С),
либо четыре (событие D), т. е. В = С + D. Отсюда Р(В) =
=Р(С) + P(D); следовательно,
P,(k> 3) = Р4(3) + Р4(4) = С] p*q* + C\ pV =
= 4-0,83-0,2 + 0,84 = 0,8192.
в) Аналогично вычисляется вероятность попадания в
цель не более одного раза:
PAk< 1) = РАФ) + Р*(1) = 0,0016 + С\ pi q* =
= 0,0016 + 4 • 0,8 • 0,23 = 0,2576.
15.71. Что вероятнее: выиграть у равносильного
партнера три партии из четырех или пять партий из восьми?
15.72. Монету под0расывают 6 раз. Найти вероятность
того, что цифра выпадет: а) не более двух раз; б) более
двух раз.
15.73. Вероятность появления некоторого события в
каждом из 5 независимых опытов равна 0,7. Найти ве-
303

роятность появления этого события по крайней мере два
раза.
15.74. Вероятность появления события А в каждом из
8 независимых испытаний равна 0,6. Найти вероятность
того, что событие А появится: а) не менее трех и не более
шести раз; б) не менее трех раз; в) не более двух раз.
15.75. Прядильщица обслуживает 1000 веретен.
Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной
минуты равна 0,003. Найти наивероятнейшее число обры-
Zhhth в течение одной минуты.
15.76. Первый рабочий производит в данный промежу-
времени 60 изделий с вероятностью брака 5%, а второй
рабочий за то же время — 70 изделий с вероятностью
брака 4%. У какого рабочего наивероятнейшее число
качественных изделий больше?
15.77. В урне 4 белых и 13 черных шаров. Опыт
заключается в извлечении одного шара из урны с последующим
его возвращением. Каково наивероятнейшее число
появлений белого шара в 50 опытах?
15.78. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком
в цель при четырех независимых выстрелах равна 0,9919.
Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
Указание. Воспользовавшись тем, что Р4(0)=1 — 0,9919=»
= 0.0081, найти q из уравнения C°4p°q* = 0,0081.
15.79. Стрелок производит три выстрела. Вероятность
того, что он попадет в цель по крайней мере один раз,
равна 0,992. Какова вероятность попадания в цель при
одном выстреле?
§ 6. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
15.80. В ящике находятся карточки с номерами от
1 до 50. Какова вероятность того, что номер первой
наудачу извлеченной карточки не содержит цифры 4?
15.81. Из мешка, содержащего 8 шаров,
пронумерованных цифрами от 1 до 8, наугад последовательно вынимают
три шара. Найти вероятность того, что: а) шары вынимают
в порядке возрастания их номеров; б) номера всех трех
шаррв нечетные.
15.82. Имеется 12 различных книг, из которых шесть
стоят по 1 рублю каждая, четыре по 75 копеек и две — по
50 копеек. Какова вероятность того, что взятые наудачу
три книги стоят 2 рубля?
304

15.83. Какова вероятность того, что при бросании трех
игральных кубиков хотя бы на одном из них появится
цифра 3?
15.84. В куб вписан шар. Какова вероятность того,
что точка, взятая наудачу внутри куба, окажется внутри
шара?
15.85. В партии из 20 деталей содержится 4
нестандартных. Найти вероятность того, что среди эыбранных наудачу
шести деталей не более одной нестандартной.
15.86. В урне имеется 8 черных и 5 белых шаров. Найти
вероятность двукратного извлечения черного шара: а)
если вынутый шар возвращают обратно в урну; б) если
вынутый шар в урну не возвращают.
\/15.87. Два стрелка производят по мишени по одному
выстрелу. Вероятность промаха для одного из них равна
0,1, а для другого — 0,3. Найти вероятности следующих
событий: а) ни одного попадания; б) только одно попадание;
в) по крайней мере одно попадание; г) два попадания.
15.88. В урне 25 шаров, из них 10 красных, 7 синих
и 8 зеленых. Какова вероятность того, что первый
извлеченный шар будет красным, второй — синим и третий —
зеленым? (Вынутые шары в урну не возвращают.)
15.89. Решить задачу 15.39 для схем, изображенных на
рис. 60.
Н®-* н н*
®—К^Ь*
Рис. 60
^05.90. В электрическую цепь включены параллельно
три прибора. Вероятности того, что каждый из них
проработает определенное число часов, равны 0,6; 0,4; 0,7. Найти
вероятность того, что указанное количество времени
проработает: а) хотя бы один прибор: б) не более одного прибора;
в) не менее двух приборов; г) ровно два прибора.
15.91. Радиолампа может принадлежать к одной*из
трех партий с вероятностями 0,5; 0,3; 0,2. Вероятности
306

гого, что лампа проработает определенное число часов, для
этих партий соответственно равны 0,7; 0,9; 0,8. Найти
вероятность того, что лампа проработает заданное число
часов.
15.92. Известно, что 20% всех приборов собирает
специалист высокой квалификации, а 80%—средней
квалификации. Надежность прибора, собранного специалистом
высокой квалификации, равна 0,9, надежность прибора,
собранного специалистом средней квалификации, равна
0,7. Взятый прибор оказался надежным. Найти
вероятность того, что он собран специалистом высокой
квалификации.
^ 15.93. Для участия в отборочных спортивных
соревнованиях выделено 5 студентов из I группы, 4 — из II
группы и 6 — из III группы. Вероятности того, что студент
I, II и III группы попадет в сборную команду,
соответственно равны 0,7; 0,9 и 0,7. Выбранный наудачу студент
в итоге соревнования попал в сборную. Определить, к
какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент.
15.94. Вероятность появления некоторого события в
отдельном испытании равна 0,75. Какова вероятность
того, что при восьмикратном повторении испытания это
соСйлтие появится менее пяти раз?
, / 15.95. По мишени производится 6 независимых
выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле
равна 0,7. Определить вероятность того, что будет: а)
хотя бы одно попадание; б) только одно попадание; в) не
более^ трех попаданий; г) не менее четырех попаданий;
д) от двух до пяти попаданий.
15.96. В результате постоянных наблюдений было
установлено, что вероятность выпадения дождя Л июня в
некоторой местности равна . Каково наивероятнейшее
число дождливых дней 1 июня для данной местности за
ближайшие 100 лет?

ОТВЕТЫ
Глава 1
1.4. 1) 1; 2) 10; 3) 4; 4) 2. 1.5. В (3). 1.7. 1) W-^-V,
2) М (0)
; 3) М Ш ; 4) М (-3). 1.10. 1) -5 у- ; 2) 7; 3) 0.
1.11. 1)2; 2) 6. 1.12. М (1). 1.13. 3. 1.14. М U —\ . 1.17. Во
II; в IV; в I; в III. 1.18. 1) В III или IV; 2) в I или IV.
1.19. (0; —3). 1.20. 1) На прямой, перпендикулярной оси абсцисс;
2) на прямой, перпендикулярной оси ординат; на биссектрисе I и
III координатных углов. 1.22. Для точки А: (—3; 1), (3; —1), (3; 1);
для точки В: (0; 4), (0; —4), (0; 4). 1.23. 1) (0; 0), (5; 0), (5; 5),
(0; 5); 2) (0; 0), (5; 0),(5; -5), (0; -5); 3) (0; 0), (-5; 0), (-5; 5),
(0; 5)М) (0; 0), (—5^0), (-5;-5), (0; -5). 1.24.(^2 L0), (0;/2),
(-/2; 0), (0; -/2). 1.25. 1) (0; 0), (4; 0), (2; 2/3 ); 2) (0; 0),
(4; 0), (2; -2/3 ) ; 3) (0; 0), (-4; 0), (-2; 2/3 ); 4) (0; 0),
(—4; 0), ( —2; —2/3 ). 1.27. 1) 5; 2) 10; 3) 13; 4) 5/5 .
1.28. 1) 5; 2) 12; 3) 26; 4) 17; 5) 12. 1.29. 18. 1.31. 1)
Прямоугольный; 2) тупоугольный; 3) остроугольный. 1.33. (0; 0), (—12; 0),
(0; 16). 1.34. 12, 1.35. D (5; —1). 1.36. (10;10) или (2; 2).
■J-) . 1.39. 1) (1; ^-2); 2) (1; 2);. 3) (-|- ; - -|Л 1.40. /26.
V26, 4]/2\ 1.41. /—|-; 0]. 1.43. (0; 3). 1.44. — УТ.
1.45. (- -i, б) , (-|- ;3) . (-^-; l) . 1.47. В (-5; -2).
1.48. С (5; 7). 1.49. С (12; 7), D (4; — 2). 1.50. D (4; 1). 1.51. Л (3;—5),
В (-6; 4). 1.53. С(-Я-; l) . 1.54. (о; -£-) и (-£-. о) .
1.55. С I —; —) . 1.57. 1) Точки В, D и В принадлежат,
точки А и С— нет. 1.62. 1) (1; 3); 2) (3; 4), (3;—4); 3) (0; 1);
4) (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; -2). 1.64. Ах + 6у + 13 = 0.
1.65. х+Ъу — 5 = 0. 1.66. у»= 6* —9.-1Л7. (х — а)2 +
+(У—Ь)2 = г2. 1.68. х2 + у2 = 5. 1.69. х+2у-5=0. 1.70. *2+*/2=
= 16. 1.72. (1; 0), (4; -3), (4; 1), (-±-; - -|-) , (0; -1).
1.73. (1;0),(0;2), (-1; 0), (-1; 0), (1; 0). 1.75. 1; -1; 4"
о
307

1.76. 1) f=0; 2) /=1; 3) /=2; 4) точка D не принадлежит данной
линии; б) *=4; 6) / =5; 7) /=3; 8) точка Р не принадлежит данной
.1 i-
линии. 1.77. За- — 2у + 2 = 0. 1.78. хг + у3 = 1. 1.79. 0 =
=а "К*" — 2. 1.80. дг = a cos f, */ = fc sin f. 1.81. дг=а sin / sin 2/,
у = a cos / sin 2/. "1.83. Л (1; —1), В (—1; 3), С (—6; 6).
1.84. Г) (—6; 0); 2) (—2; 2); 3) (—6; 3); 4) (—1; 4). 1.85. (8; —6) и
(-8; 6). 1.86. (-3;-2). 1.87. А (0; 2), В (1; -/Г). ^88.
л (rsyr),, ££.,_ JJg-) ,с (- ЦП, _ ^L).
,.„,. „ (!=р_, 1±р-> 2, № т. з, (J2^L:
-Л1£— J; 4) (1; 1). 1.91. y = x2. 1.92. 0 = — . 1.93. va-
— y2= 2. 1.94. jr2 +y2= r2. '
Глава 2
2.1. Да; да; нет; да; да; да. 2.2. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) нет;
5) да; 6) нет. 2.5. * + 1 = 0, у — 2 = 0. 2.6. д- — 3 = 0. 2.7. ~х =
= 0, у = 0, л- — 5=0, £/ + 5 = 0. 2.8. л- = 0, у = 0, х + 2 =
2
= 0, (/—2=0. 2.9. *=0, у=0, *+2=0, «/+3=0. 2.10. */=—— * —
- 4- • 2П- о 4"- 2> 0; 3) .4"; 4> ~2-2-12- *> агс1бт;
о 4 91 О
2) arctg — ; 3) 180°— arctg — ; 4) 135°; 5) 0. 2.14. 1) х —
2 3
_ ty + з = 0; 2) V^3 л- — г/ + 3 = 0; 3) х + у — 3 = 0;
4) УЪх + у — 9= 0. 2.15. 1)*—0 = 0; 2) /3* — 0 = 0;
3) /3* + i/ = 0. 2.16. 5* + у + 3 = 0. 2.17. 1) х — */ + 1 = 0;
2) у + 5 «= 0; 3) 4х + 30 = 0. ,2.19. 2л- — 5f/ — 15 = 0.
2.20. /3* + 0—2 = 0. 2.21. УЪх + 3*/— 3 = 0, У5 х + Ъу+
+ 3 = 0, х = О. 2.22. 2дг — £/ + 3 = 0, 2* +j/ + 3j= 0, 2* —
_^__ 3 = 0. 2.23. У2х-+У2у—а = 0, ]/2дг—"К2у + а = О,
У2х+ УТу + а= 0, У2х— Y2y — а = 0. 2.24. У£х—Ъу+
+ 9/3" = 0, /3 * + Ъу — 9 /3 = 0, у = О, I/ = 2 /3.
2.26. ,,^+X-u 2)^+_JL-=1; 8)f +
+ "J"= 1; 4) ~v~~ + ^v~ = L 2'27' 4jr"Зу + 12 = °"
2.28. Ъх — 20 — 10 = 0. 22.29. 5л- — 7г/ — 35 = 0. 2.30. 1) 60б;
УЪ\ 2) 45°; —1; 3) arctg — ; 1; 4) 180°— arctg 3; —3.
2.31. 1) а = —Ь\ 2) а = Ь\ 3) а = — Ь УЪ\ 4) а = ЬУЪ.
2.32. 3* + 80 — 12 = 0, 3* — 80 + 12 = 0, 3* + 80 + 12 = 0,
Здг — 80 — 12 = 0. 2.33. 20 кв. ед. 2.35. 6л- + 4у — 24 = 0.
308

2.36. 3* + у + 12 = 0. 2.38. /3 х + у + 3 — 2/5"= 0.
2.39. "КЗ"* — у + 1 + 2УТ= 0. 2.40. * + и + 1 = 0. 2.41. х —
__0 + 8=О, * + £+8 = 0. 2.42. 2х +Jy — 4 = 0, 2л- — 3f/ —
— 4 = 0. 2.43. у - 3 = k(x + 4); 1) /3 * - Зу + 9 +4^3= 0;
2) х —у + 7 = 0; 3) /3* - */ + 3 + 4/3 = 0; 4) У3х+у+
+4 /Т-З = 0; 5) х + у+ \ = 0. 2.44. дг + ^ — 3 = 0.
2.46. 1) Зл- — е/ — 11 = 0; 2) */ + 5 = 0; 3) л- — 2 = 0;
4) 4л- + у — 3 = 0. 2.48. 1) 4х — Зу — 19 = 0; 2) * — 4*/ + 12 =
= 0; 3) х + 3 = 0; 4) £/ + 2 = 0. 2.49. 5* + 2у — 6 = 0.
2.50. х — у — 2 = 0 (MN), Зх — 4# — 20 = 0 (WP), 8л- + у + 5 =
±= О (MP). 2.51. (3; 1). 2.52. 3* — 4у + 18 = О (АВ), 4х + Зу+
4- 24 = О (ВС), 2х — у + 2 = О (АС), 7х — у+ 17 = 0 (т^д),
16л- — 13£/ + 46 = 0 (твс), 2л- — \\у + 12 = 0 (тАС). 2.53. * +
+ 1у + 26 = 0. 2.54. 2 ц . 2.55. 60°. 2.57. 1) Да; 2) да;
3) нет. 2.58. —10. 2.59. М (— — ; — —) . 2.60. х + 4t/—14=0.
2.61." 1) Параллельны; 2) параллельны; 3) совпадают; .
4) I— —; 0) ; 5) (0; 2); 6) совладают; 7) параллельны;
8) (— ; — —) ; 9) параллельны; 10) (1; 5); И) I— — ; —].
2.62. х —у — 3 = 0. 2.63. 20 + 2/Т0. 2.64. 1) Нет- 2) да; 3) да;
4) да. 2.65. т = 2; (1; —1). 2.67. 1) 2х + Зу — 10=0; 2) у— 4=0;
3) х + 1 = 0; 4) х + у — 3 = 0; 5) 2х — Ъу + 22 = 0. 2.68. 4х +
+ Зу + 5 = 0. 2.69. 2х + у + 5 = 0. 2.70. * — у + 1 = 0.
2.71. 2х — 3# — И = 0. 2.72. Ъх + 6у — 35 = 0, 7л- + 3# +
+ 5 = 0, 2л- — Зу — 14 = 0. 2.73. х — Ъу — 14 = 0. 2.75. х —
__^_-6 = 0, 2дг+Зу'—17 = 0. 2.76. Зл- — 5# + 18 = О (АВ),
11л- — 3// — 26 = О (ВС), Зх — Ъу — 28 = О (CD), 11* — Зу +
+ 20=0 (AD). 2.78. 3* + I/ = О (ВС), х — 4у — 27 = О (CD).
2.80. Прямые (1) и (5), (3) и (6) попарно параллельны; прямые
(1) и (3), (1) и (6), (2) и (4) попарно перпендикулярны.
2.81. 4а- + Ъу + 2 = 0, Ъх — 4у + 23 = 0. 2.82. 7х — 2у = 0.
2.83. Да, угол Л — прямой. 2.84. х + 4# — 14 = 0. 2.85. * —
— 20 + 5 = 0. 2.86. х — 2^ + 3 = 0. 2.87. 4х + 5# + 2 = О,
5л- — 4# — 18 = 0. 2.88. 5* + Зу + 12 = 0. 2.89. (—9; —6).
2.91. (1; —1). 2.92. 5. 2.93. 2.. 2.94. 2УТб. 2.95. 2 /13.
2.96. Точка В. 2.97. К прямой Зх + Ъу — 8 = 0. 2.99. Зл* — 4«/ —
— 8=0 и 5* + \2у — 32 = 0. 2.101. Ъх + 12*/ + 71 = (У и
/28 16 \
5* + 12i/ — 59 = 0. 2.102. (—2; —2) и I— ; — 1 .
/20 15 \ 3
2.103. (0; —5) и I— ; — —1. 2.105. 1) 45°; 2) arctg — ;
1 11 7
3) arctg — ; 4) arctg — . 2.106. 45°. 2.107. arctg —— и
о о 17
309

arctg — .
2.109. A = 180°— arctg — ,
о
В = arctg •
1
14
arctg — .
2.110. 2л- — £/+4 = 0 или х + 2y — 3 = 0.
2.112. AC: x+2y— 7 = 0; AB: Зх + у — 6 = 0 или
jr — Ъу + 8 = 0. 2.113. Ix — 3i/ + 20 = 0 (ЛЯ), Здг + 70 —
— 8 = 0 (ЯС), 1х_ — 3# — 9 = 0 (CD), 3* + ly + 21__= 0 (4D).
2.114. (2 +^/3 ) x + у + 1 = 0 (AB), (2 - /3 ) x + у +
+ 2/l[-5=0 (ВС), (2+ /3)*+ i/ -5— 2/3 = 0 (CD),
(2-/3) x + 0+ 1 = 0(4D). 2.115. _1) у -2 = 0; 2) *+4 = 0;
3) x+ y+ 2 = 0; 4) /3"* +0 + 4/3 — 2 = 0 или г/ — 2 = 0;
8 /13
5) 5x — 4i/ + 28 = 0. 2.117. lo . 2.118. mA: 2д-+11г/—10=0;
13
5 /5;
24 /TO
x + 2y + 2 = 0;
24
25
/5; lA: л* +3r/ = 0;
2.119. x+ 6^—28 = 0, 5a-+ 30 — 5=0, 4a- —
11 38
5 / 11
_3^__4 = 0. 2.120. arctg —. 2.121. —-
о \ 5
-)
2.122. 8a-— 0—4=0. 2.123. (—3;2);2/5. 2.124. (— —; — \ ;
LI2- # 2.125. (—1; 2); L 2.126. x + у + 6 = 0 (AB),
x — 40 + 21 = 0 (ВС), Зх — 20 — 7 = 0 (ЛС), a- + 1 = 0 (ЛМ1),
a-+60— 9 = 0 (BM2), 2a- —30+7 = 0 (CM3). 2.127. 2a-+
+ 50 = 0. 2.128. (-—; —-j . 2.129. 6a-— 70 + 30 = 0,
3a- + 50 — 2 = 0, 9a- — 20 + 28 = 0; f — — ; 2]
2.130. Sx +
+ 15t/ + 4 = 0, 8a-+ 150—98 = 0. 2.131.45°, 90°, 90° и 135°.
о 9 /34
2.132. 96 кв. ед. 2.133. 45°; — . 2.134. 4* — 0 — 24=0 (AB),
33
кв. ед. 2.135. 2 и
17
х __ 7 = 0 (ВС), х + 80 + 27 = 0 (АС);
4,8. 2.136. (1;3), (—1; 7). (3; 5), (5; 1); 12 кв. ед. 2.137. (0;/Г)
(3 19' \
— —; ,
(-у; --f-)- 2.139. (-8; 0) и (-2; -4). 2.140. 5а-+
+ 120 - 39 = 0, 5а- + 120 + 39 = 0. 2.141. дх - 2>у + 19 = 0,
За- + 30 + 1 = 0.

Глава 3
3.1. 1) (х — 4)»+ (у + 7)"= 25; 2) (ж+6)*+ {у - 3)*=2;
3) (х - 3)»+ (у + 2)2= 9; 4) jra+ («/ + 2)*= + ; 5) (х + 1)* +
4
+ #2= 3. 3.2. Точки А, Е и Z7 лежат на окружности, точки 5 и С—
вне окружности, точки D и К — внутри окружности. 3.3.
Проходит. 3.4. (х — 12)2+ (у + 5)2= 169. 3.5. (х + I)2 + (,,+2)2=34.
/ 5 \2 169
3.6. 1х + — + (у + б)2 = -р . 3.7. х2+ (у + б)2 = 25.
3.8. (х - 4)2+ у2= 36. 3.9. (х + 9)2+ (у — 4)2= 169 и (х - 8)2+
+ (j, + 13)2= 169. 3.11. (х +_ 10)2+ (у + io)«= 100 и (Х + 2)2+
+ (у + 2)2= 4. 3.12. (а--/5)2 + (y+Vb)*= 5. 3.13. (а-+1)2+
+ to_l)2=1 и (х+ 3)2+ (</ + 3)2= 9. 3.14. (а- ~2)2 +
+ (,, + i)2= 25. 3.15. (х - 1)2+ (у - 5)2= 25. 3.16. (х + 2)2+
+ (у + 3)2= 100. 3.17. (л-+13)2+(1,-2)2=169. 3.19. 1) 5(4; -6);
г =9; 2) 5 (-8; 10), г =13; 3) $(о;--Ц' ,= -LL;4)S(3; 0),
5 V* -. 5) S (-2; 4), г = 4- ; 6> ^ (4; -1), г = -^-
2 ' ' х • ' 2 3
3.20. 1)(1;0), (3;0), (0;-1), (0; -3); 2) (-3-0), (0;-1), (0;-10);
3)(-т4 (т:0)'(0:-т)-(0:т)-3-2,-^+3)а+
+- (^ _ 2)2= 100. 3.22. 17. 3.23. (—1;0) и (—6;— 5).
3.24. 20а- — Щ + 45 = 0. 3.25. 15а- — 8*/+44=0. 3.26. 1)
Прямая пересекает окружность; 2) прямая касается окружности;
3) у прямой и окружности нет общих точек. 3.27. 2а* + у +
+ 1=0. 3.28. 4а- — 2у — 1 = 0. 3.29. (х — 8)2+ (у — 6)2= 36.
3.30. 2а- + Ъу + 13 = 0. 3.31. 4а-— Ъу +5=0. 3.32. 2а-—Ъу—
— 26 = 0. 3.34. 1) 2а = 10, 2Ь = 8; Ai (—5; 0), А2 (5; 0),
3
Bi (0; —4), В2 (0; 4); Fi (—3; 0), F2 (3; 0); е = — ; 2) 2а = 6,
26 = 4; Лх (—3; 0), А2 (3; 0), £i (0; —2), Я2 (0; 2)
- Vb
Fx (__ 1^5; О), F2 (VT; О); е = •L— ; 3) 2а = 6, 26 = 8
о
Лх (-3; 0), А2 (3; 0), £i (0; -4), В2 (0; 4); Fi (0;- VT), F2 (0;/Г)
е= - ; 4) 2а =12, 26=20; Лх (—6; 0), Л2 (6; 0), Ях (0;—10),
4
4
Я2 (0; 10); Fi (0; —8), F2 (0; 8); е = —- . 3.35. Точки Л и D лежат
5
на эллипсе, точки В, Си F—вне эллипса, точка Е—внутри эллипса.
х2 у2 х2 у2
3.36.—-+ ~=1. 3.37. —+ -^-=1; М-1; 0), F2(l; 0).
lb о 4 о
+ &-'•"•■-£■+.-£-■='--if •«'•-£- +
зп

1. 3.42.
+
-; о
/То
- 1; Fi
[-—■■*)■
3.43.
81
45
1.
3.44. e=
. 3.47. 1) 0'(— 1; 2); 2a=8, 2b=*6;e-
2
VT
+ -£-
^ 676
3.45. •= 5 . 4
/4i(-5; 2), Л2 (3; 2), Bi (-1; -1), B2 (-1; 5); F t (- yT-1^_2).
F^yT-l; 2); 2) 0' (0; -2); 2a = 2/T5, 26 = 6; e =-^ ;
* (0; 1);
(*+!)'
25
+ <ta!-i. 3.50. ^.w)2
i4i ( - /10;-2). Лз()Л0; -2), Bi (0;-5),
(*—2)3 u»
Л (-1; -2).Л (1; -2). 3.48. -5-^- + |j. =1.3.49.
16
Fi(0;-3), F2(10;-3).
3.5,. (3; m (3;-m ••«•(^ tH"^^) •
64 /5 *2 У2
3.53. кв. ед. 3.54. —- + —-; 4 и 8. 3.55. 5.
5 36 27
/з/7 з/7\ / зуТ зуу\ / з/f 3yy\
»•»• (—=—И-~!-гМ-_т-;-—) •
MP)-
3.58. 3r/ — 4 = 0. 3.59. (2 /2 ; 3) , ~(- 2/J; 3) ,
26
(-21/2"; -3),(2 /I; -3). 3.6<K -^ . 3.62. 1) 2a=10, 26=4/5";
о
Лх (-5; 0), Л2 (5; 0), Fi (-3/5"; 0 ), F.( 3 /Si o); e = ^^- ,
2 /Г , 5
(/ = ± ——x; 2) 2a = 8, 26 = 12; Ax (-4; 0), Л2 (4; 0) ,
о
УТз 3
Fi (-2/13; 0), f 2 (2 /73; 0); г = -*-y- , у = ± — x; 3) 2a=6,
26 =- 8; Ai (0; -4), Л2 (0; 4), F\ (0; -5), F2 (0; 5); e'= —;
у = ±-~x\ 4) 2a =4/f, 26=12; <4i (0; -6), Ла (0; 6),
fi (0; --8), Fe (0; 8); e ••
J- ■ ?/7
e = -|- ; ft (-5; 0), ft (6; 0). 3.64. -£-
■У"
1. 3.65.
144
25
x* u*
x. 3.63.—---^- = 1;
-6 8
V2
- 1; Fx (-13; 0),
312

л аз; о) или - -jJ-+-fg- =!; л (°; -13). F» (°;13)-
3.66. /3~* — у + 6 = 0, yT* — 0—6 = 0. 3.67. Зл- —
-2y+ 19 = 0, Зж + 2«/ + 11 = 0. 3.68. -£---£"= ^ e=T *
o4 ob 4
«2
3.69. -^- — — = 1; # = ±/2 *. 3.70. 60°; e =
2 /3
12 24 ' * ' ' 3
y2 w2 y2 ji2 v2
3.71. — - -£-= 1. 3.72. — _ -i- = 1. 3.73 4- -
18 8 25 11 64
«2 у 2 w2 у 2 .2
--^-- = 1. 3.74.- — + -^-=1. 3.75. -—+ Л-=1;
225 8 T 18 20 . 16
у = ± Y^^' 3'76' "li" + "£"= L 3'77' X* ~~ y2 = 9"
3.78. a-2— i/2= 16. 3.79. — x2+ i/2=49. 3.81. 1) 0' (2; —3);
2a = 6, 26 = 8; Ai (—1; —3), Л2 (5; —3), Fi (—3; —3),
F2 (7; -3); e = -J-; */ + 3 = ± -у (* - 2); 2) 0' (-2; -5);
2a = 4;_26 = 4; Ai (—4; —5), A2 (0; —5), Fi (—2— 2 /5;—5),
F2 (2/2-2; -5); e = /2 ; у +_5 = ± (a- + 2); 3) 0' (0; 1).
2a = 4/3, 26 = 4; 4i(-2/3;l), Л2(2/3"; l),Fi^-4;l)*,
2/зГ /з" (*-3)2
F2(4; 1); e = —f- ; y-l=±.*—*. 3.82. з§ -
I/2 (* + 4)2 (y — 2)2
-|g-=l. 3.83. 25 ^ 144 =1; ^(-17; 2), F2 (9; 2);
У-2 = ±-y-(*+4). 3.84. (дг —1)* —fe+5)"= 8; у+ 5 =
= ±(*-l). 3.85. 1). (4УТ; -:4'^lf) и (^J^T"^'
/ 8 \ / 15 3 \
2) нет точек пересечения; 3) 110;—-о- и ( —~; -g" . 3.86. 1,35.
3.87. (7; 4), (—7; 4), (—7; —4), (7; —4). 3.88. 2/Т7.
3.90.1 ) F (2; 0); х + 2 = 0; 2) F (-3; 0); х - 3 = 0; 3) f( 0; -g-Y,
2*/ + 5 = 0; 4) F (0; —4); #—4 = 0. 3.92. 1) *2= 16#; 2) *a=
= —\2y; 3) #a= 24*; 4) #a= —10*. 3.93. y2= 48* или #2= —48*.
3.94. *2= — 18f/; F Г0; — — V 3.95. y2= 48*; F (12; 0); * + 12=0;
t = I2-3- . 3.96. #a= —6*; F (——; 0). 3.97. (25; 30) и (25; —30).
3.98. x + y + 2= 0; (—4; 2). 3.99. 4/П). 3.100. 64. 3.101. 1) (1; 3)
и (4; —6); 2) нет точек пересечения; 3) (4; 6). 3.102.(-«-; 2/15]
и (—; —2/T5J. 3.103. ,^4 = 0; 24. 3.104. 24/^2 .
3.106. 1) О' (3; -1), F (2; -1); #+1 = 0, * - 4 = 0;
313

2) °' (-"Г;-"Г)' F'(-"T' ~2); 2x+ l = 0,r/ + 3 = 0;
3) 0' (3; 7), F (3; 5); a* — 3 = 0, */ - 9 = 0; 4) 0' (0; —4).
F[— 5 -Д 0+4=0, 4* + 1=0; 5) 0' (-5; 0), F (—5; — "5") •
* + 5=0, 2y — 3 = 0. 3.107. /53". 3.108. (y — 4)2=
= 6{x + 2). 3.109. (a- — 7)2= 12(y — 2). 3.110. y2= —48(a - 3);
F (—9; 0); a* — 15 = 0. 3.111. x2 = 6(*/ + 5); F
2f/ + 13 = 0. 3.112. (f/+ l)2 = 6(a—3). 3.113. > + 3)2' =
= —2(*/ — 4). 3.114. (y + 4)2 = 2 (a- + 8); у ■+ 4 = 0; 2a + 17=
= 0; F ( — -o-, — 4)). 3.115. 48 м. 3.116. 60 см. 3.117. 16 м.
(,-Ц
2
3.118. р = 10-g~. 3.119. 1) Эллипс; 2) окружность; 3) парабола;
4) гипербола; 5) гипербола; 6) парабола; 7) гипербола.
256 х2 и2
3.120. -g-VT кв. ед. 3.121. -щ- + -^ = 1- 3.122. 9,6.
3.123. 1 и 2,6. 3.124. (а- — 2)2+ У2= 64. 3.125. а-2 = у + 3 или
*2= —5(у - 3). 3.126. 90° и 2 arctg— . 3.127. -|j- + -|- = 1.
3.128. х — */ + 4 = 0; —£-. 3.129. х2= - 4(# — 2) или а2 =
= 4(J/ — 4). 3.130. 240 кв. ед. 3.131. у2= - 8(а — 2); (1; 2/2) и
(1; —2>/2)"; 5 = 3(2/2"+ УЪ) кв. ед.3.132. 180°—arctg -—■.
3.133. у2 = — 4(а+ 5). 3.134. (х — З)2 = —32 (у - 2) или
(д- — 3)2= -Щ -8). 3.135. а-2-#2= 32, -—- +7^ = 1.
Глава 4
4.5. а) |а| < 0,215; б) |а| <0,1; в) |-дг| < 0,046.4.6. а)&=
= 0,1; б) & = 0,031; в) Ь = 0,01. 4.10. 1) 0; 2) + оо; 3) 0; 4) — оо;
5) + оо. 4.13. 1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) + оо. 4.15. 5. 4.16. —. 4.17. 0.
4.18. —3. 4.19. Т/ЗГ 4.20. + оо. 4.21. —-g-. 4.22.-£-. 4.23.-j-.
4.24. Зтс. 4.25. 4- оо. 4.26. + оо. 4.27. + оо. 4.28. — оо. 4.29. + оо.
4.30. + оо. 4.31. — оо. 4.32. + оо. 4.33. 0. 4.34. 0. 4.36. + оо
и — оо. 4.37. — оо. 4.38. + оо и — оо. 4.39. + оо и 1. 4.40. — оо.
4.41. — оо. 4.42. Я. 4.43. -у и — -j\ 4.44. — оо. 4.46. 2. 4.47. —4.
13 4 9
4.48. — -27". 4.49. — . 4.50.5. 4.51. —3-4.52.——. 4.53. 1.
1 12 4 За 1 .
4.54. — -g- . 4.55. — . 4.56. -д- . 4.57. — . 4:58. —^ 4.59. 4.
314

1 3 8 2 5
4.60. — —. 4.61. 1. 4.62. — . 4.63. -у . 4.64. -g-. 4.65. — -gj-.
2 2
4.66. — . 4.67. —3. 4.68. —2. 4.69. оо. 4.70. 0. 4.71. оо. 4.72.— .
4.73. --|-. 4.74.3. 4.75.^-. 4.76. — . 4.77. -—. 4.78.-1.
4.79. -^-. 4.80. 0. 4.81. —3. 4.82. 0. 4.83. 0. 4.84.0. 4.85. + оо.
7 3
4.86. 0. 4.87. — оо. 4.88. 5 и + оо. 4.89. — — и — оо. 4.90. —
2 3 2 — "v
и + оо. 4.91. _1 и —1. 4.92. -д- и — — . 4.93. — . 4.94. j/2.
4.95. 0. 4.96. -1/2Г4.97. 0. 4.98. I^L . 4.99. -g- . 4.100. — .
4.101. 0. 4.102. 00. 4.103. 2л. 4.104. -g- . 4.105. 100. 4.106. —-у .
1 5 1
4.107. — . 4.108. ~y 4.109. 2. 4.110. 0. 4.111. 2. 4.112. — .
4.113. е. 4.114.-~.4Л15 е2. 4.116 е3. 4.117. -jr . 4.118. — .
4.119. е. 4.120. — . 4.121. — . 4.123. 1) ? (*) и Цх) — бесконечно
малые одного порядка; 2) -f (дг) — бесконечно малая высшего
порядка чем Цх); 3) ч (дг) — бесконечно малая низшего порядка чем Цх);
4) 7(*) и Цх) — эквивалентные бесконечно малые. 4.124. При х -> 1
бесконечно малая 1 — х имеет высший порядок малости по
сравнению с j/l — х. 4.127.При х -» 0 бесконечно малая sin дг — tg дг
г- 3
имеет высший порядок малости по сравнению с х2ух. 4.134. -т- .
18 1 25
4.135. -25" . 4.136. Т". 4.137. — . 4'138' 32> 4'139' + °°-
5 1 16 2
4.140. 12. 4.141. -J" • 4.142. — . 4.143. 1. 4.144. -у . 4.145. — .
Глава 5
5.2. Ьу = 7. 5.3. а) —3; б) — — ; в) 15. 5.4. а) 1 ~~ ^ ;
б) 1; в) 0. 5.5. а) —0,25; б) —3; в) 0,36. 5.6. а) —2; б) —3,125;
в) 108. 5.7. а) 0,41 см2; б) — 0,76 см2. 5.8. 12,36 п см2 и 31,836 тс см3.
5.17. дг = 2 — точка разрыва II рода. 5.18. х = —5 — точка
разрыва II рода. 5.19. х = — 1 и х = 1 —точки разрыва II рода.
5.20. х = 1 и х = 3 — точки разрыва II рода. 5.21. х = 0 —точка
разрыва II рода. 5.22. х = 0 — точка разрыва I рода. 5.23. х =
= 3 —точка разрыва II рода. 5.24. дг.= 0 — точка разрыва I рода,
х = — 1 и х = 1 — точки разрыва II рода. 5.25. х = 0 — точка
разрыва II рода. 5.26. дг = 0 — точка разрыва I рода. 5.27. х =
= яя (п = 0,±1,±2, ...)—точки разрыва II рода. 5.28. х-*=
= 0 — точка разрыва I рода. 5.30. х = 1 — точка разрыва I рода.
5.31. Функция непрерывна на всей числовой оси. 5.32. х = 0 —
315

точка разрыва II рода. 6.33. х = 0 — точка разрыва II рода; х =».
я ' -
= — — точка разрыва I рода. 5.35. у > 0, если — оо < х <0,
1 < х < + оо ;и < 0, если 0 < х < 1. 5.36. у > 0, если — оо < д*<
< 2, 2 < а- < + оо. 5.37. у > 0, если — оо < а- < — 2, — 1 <
< х < + оо; у < 0, если — 2 < *<— 1. 5.38. у > 0, если —1<
<*<1; #<0,если —оо<д-<—1, 1 <*<+ оо. 5.39. у>0,
если — 2 < х < 0, 2 < л- < 3; у < 0, если — оо < л- <—2, 0 <
<дг<2, 3<дг<+оо. 5.40. у>0, если — оо<д-<1,
3<д-<4, 4<д-<+оо; */<0, если 1 < д-<3. 5.41. */>0,
если 1 < х < 2, 3 < х < + оо; */ < 0, если — оо < х < 1, 2<
< дг<3. 5.42. у > 0, если 3 < д- < + оо; у < 0, если 0 < х <
<3. 5.43. */>0, если —2<д-<1; # < 0, если — оо< х <—2.
5.44. */>0, если — оо <д- < —3, — 1 <* < 3, Ъ < * < + оо;
*/ < 0, если —3 < х < — 1, 3 < х < 5. 5.45. */ > 0, если
0 < х < + оо; #<0, если — оо < х < 0. 5.46. # > 0,
если — oo<jir<;i; # < 0, если 1 < дг < + оо. 5.47. у >0,
если — оо<дг<;0, 2-< дг < + оо;" у <0, если 0 < д: «< 2.
5.48. у>0, если 0,1 < * < + оо; */< 0, если 0<д-<0,1.
5.49. у > 0, если 0<*<+oo;#<0, если — 1 < х <0.
5.50. |/ > 0, если — оо <; х < 4; ^ < 0, если 4 < дг < 5.
5.51. */ > 0, есди 0 < дг <С""д" ; У <С 0, если -д- < дг < + оо.
5.52. у > 0,если — 3 < х < —2; у < 0, если — 2 < д: < + оо.
5.53. у>0, если 1 < д- < + оо; у < 0, если 0<дг<1.
5.54. */ > 0, если 0 < дг < я; у < 0, если тс«<дг«С2я.
ТС 7С
5.55. # > 0, если — -у < дг < -о" ; # < 0, если — тс<; дг <
тс Я тс
<—— , "2"<^ <те- 5.56. у > 0, если 0<дг<; —; */ < 0, если
— -y-<*<0. 5.57. */>0, если —-у < * < —; */<0,
если — < д- < -у . 5.59. —2 < * < 3. 5.60. — оо < д- < — 3,
1 <*<+ оо. 5.61. — оо < х < — 1, 1 < X <+ оо.
5.62. —1<д-<0. 5.63. — оо<дг<— 2, — 2<*<0,
3<дг<+оо. 5.64. — оо <д- < 1, 2<д-<3. 5.65.
—оо<д-< — 2, —1<д-<1, 2<*<+оо. 5.66. 0<д-<3.
5.67. —оо<а-<0, 1<д-<5. 5.68. — оо<*<0. 5.69.
— 1 <*<+ оо. 5.70. — 2<д-<—1. 5.71. О < д-< 0,01.
5.72. 2< х < + оо. 5.73. 10 < х < + оо.
Глава 6
6.2. у'= 5. 6.3. */' = 2д\ 6.4. у'= 2а- + 3. 6.5. */' = За*2— 4.
6*в* У'= 2Ух~=2' 6*7* У' = ~ (X-W 6*8* У' = со$х'
6.9. ,'=-3sin3*. 6.10 ^=-^2Г 6.11. ГО) =2.
6Л2*4 ^(x)^6-13^)^--2' Г(*) =Г— 6.14. /'[-ф
= -у, /'(0) не существует. 6.15. /'(0) = -у, /'(1) не существует.
6.19. */' = — 5. 6.20. #' =8* —0,6. 6.21. у' = ЗЗ*2 + 4* 6.24. / =
316

= За*3 + 2(6—2а)* + За + 26. 6.27. г' = — 0,96<p-* + O.llqr* +0,24.
•6.30. / = 3--^Г-+-^---2^"- 6.33./ = 14*5/2-22,5*3/2-
-5/2 о о 1 3,—
— 3* . 6.36. t/'=— -4г- — -4-. 6.39 1/'= 1 + 24*j/*2 —
04 5/— 14
—-g-y*8—-^-. 6.42. у' = (12*2 —4х — 5)(*2 — 7х) +
+ (4*з_2**-5ж)(2*-7). 6.45. / = (-Д±- + -|-^7* - з) +
+ 7(буТ-^. 6.48. «/'=^^.6.51. (/' =
ж2 — 6л 4
= 5 • (х_3}, 6.64. у' = Э/—/3/- ТГ • 6-57' У' =
(—2ж + 2)(^ — 2) — (—*2 + 2* + 3)-3*2 , sin*
= (^TajS ' • 6.60. /—pj=" +
у— *sin* + cos*
- + 2 yT cos* + ^— . 6.63. tf =t~
/л ,/—\ sin*
cos* (2+ )/*)—^=-
= ~5 (2 + № ' *Ж y,==
4 cos *(2 — 3 cos *) + (1 -f 4 sin *) 3 sin *
= ■ (2-Зсю> • ^ У'=2**х +
2 l^F
^ -^(ctgx-D-fjW
+ COS2* * 6Л2- У - (Ctg*-1)2
1 2
* cos * — 2 cos * 2 —5- s-
6Г75. */' = ^ + -j- x 6 cos* — *3 sin*. 6.78. */'=
sin*' л л # arccos* l/*~
•= cos*-arccos* —— ■ ■ 6.81. у
l/l—*2 2 У* |/l—*2
ППз -3arctg*
. 6.84. */'= — -4 . 6.87. if =
У 1-х2 arcsin2*
= (l + nh^)(arct6 *~2*) + (*-arctg ^)(rTF - 2J. 6.90. y' = 0.,
6.93. ff = e*tg * + -^p 6.96. / = ^(*2 + yT- 1) +
.+.(^^).a,9.,-^'--<:-3'-.
Л!ЛЛ > » W+ctg/'c< 2 6
6.102. .'--8 (e<_1)2 . 6.105. !/' = -+-
317

1 __ log2* + 1
6.108. / = 3—p 6.111. </'=-* 3— l .
6.114. </' = (e*_x)i ••<". / =
(3 cos * + sin x)x tg * — (3 sin x — cos *)( tg * + cos2jc )
6Л20. /= —< ; -=33 -У
— e*sin x —p
6.120. «/'= —< 3^
\nx tg*
cos^T" + ~]T~~fg*'ln**ln5
6.123. y' = g? . 6.126. tf =
= (e*cos * — e*sin *— 4)(*2 — e*sin *) + (e*cos * — 4*) (2* — e*sin.
-**cos*). 6.131. /'(1)=2, Г(4)=36, /'(4")--134"-
4
6.132. —. 6.133. ±2, ±4, 6.134. —1. 6.138. y' = 2cos(2* — 1).
1 In2*
6.141. у' = ш . 6.144. */'=3-——. 6.147. y' =sin2*.
1/4 —*a *
2 2,/Jfln 2
6.150. у' = з . 6.153. y' = -J
3/ tg * cos2* x
2* 4* 5
6.156. </' = 1+(3 ^)t «-159. /=2(2*2-5*+l)ln3-
5~*ln5 „ -„- , cosarcctg*
6.162. (/' = - 1+5-,x- 6.165. </' = - l+J
fi lfiR f/ L_ fi 171 ,/ 10sin5*
6.168. у - -j—jjjj—r 6.171. у = C0S25JC
6.174. y' = e2* .2*ln2. 6.177. */' => 2*
|Л-.(*» —1)»
„ „лл , cos* „ „«« г 2*2cos *2 — sin *2
6-180- У = u5iT| • 6Л83- у ?
1 2to * 2*
6.186. / = . 6.189. tf'= —2^- + : г-.
6-Ш- »'=Т^7-4-- 6.195. ^^—1+ (х~2)х_
V*2 4- 1
* .«о / 1/7 п ™« , 2х sin 3* — 3(*2 — !)<*» 3*
6.198. y' = eVx. 6.201. </'= — ^j 1
4 cos 2* 2
318

>2X
g
6.210. у' =- (егл+е-гху • 6.213. */' = я sin (1 — я*) • у \ - е'
COS(l — ГС*)^2* , „ ,
— v ; . 6.216. у' =— ecos*sin* "[/sin* +
l/l — е2*
+ ,cos x _£°i__- . e.219. / = 8^-7** -^- .
2l/sin* cos *
2cosec2*-f2 lntg* # 2 ctg 3*
6.222.1,' = д-~ -— 6.225. </' = - —z=T
* 1/7 — 4*
- 3>/T=T* . 6.228. </ = —Lsin _L tg JL+_LC0S2^~
sin23* * 3 3*2^2 *
r.osa ——■
/ я \ Z2x2-*
6
« x
cos2---
co
(я \ 3 2*2—*
-5--3*)-—m \
1 cos2 ("§-"" 3*
3[ln(3*—1)+ 7] , *
6.234. #' = v —L-L . 6.237. */' = arc sin —.
1/1 — 7* + 1/1+7* arcsin 7*
6.240. / = 7.- , ^ ,—= 6.243. / =
y (1 —7*)2l/l +7* *
2*--3
as sin2* cos *(6 cos2* -f 7) — 4 sin4* cos *. 6.246. y' = о/ 2 __ Qv\ —*
2 .._. cos(2*-f)
-17ТГ-- tf'249- »' = TT^- в.252. 1Г-
j/ sin (2*—-jj
6.255. / = -^-. 6.258. , _ !«!gS2_. 6.261. у _
= ctg* . 6.264. „__ cos д;
___>_. 6.270. У = Я(*-1)Чп-(_-*)
■)
—-— 6 270 V - ___±_______il__i
cos*/ °*^7U- ^ - 2*-*2
« <*-« / sin 2*
6.273. y' = ----j-
6.279.
6.276. {/' =
c,(-L)
^ *2sin2—,
^-*in-(-4-)[2in(-4-)-8]-
]/sin x .
л л , cos*e , , v 6sin3.
6.282. / = ___ (1 + l^sin x) 6.285. / = —5-
21/sin* cos **

• (K*a-f 1 -sin)/**-!- 1 + cos}/*2-}- 1). 6.294. y" =
i ..... . -« ., ^ .
rlcos——8* sin ~o").
—cos*-ctg2*.e2 . 6.297. */'= _
2sin)^ln л -f У In * cos]^ In
9^
6.300. / =
6.303. y' =
4 si n-g- cos3 -g-
, Vex — 1
6.306. </' = —2
6.309. / = — 4cosjg . 6.312. y' = 3 ecos 3*(cos 3* + tg23x).
6.315. */'== — — .
6.318. /-6tgtogff + 1)- •.«.V-aw-80, + 4.
2
6.323. #" = 24 (2x + 5) 6.324. */" = - —. 6.325. */"= — 2 cos 2*.
6.326. ^ = 2^-^(2^—1). 6.327. у" = 5 * ln_5 (yTln5--l).
4*/x
54 * a:
6.328. (/" = — : . 6.329. и" = — —
y 0 + 9*2)2 * VWTW
4 cos 2x
6.330. и" = 4 (cos 2* — *sin2*). 6.331. y" = — ———6.332. */"=
sin2 2*
* — 2e*sin*. 6.333. y" = -|- (e*x + e~*x). 6.334. /"L-yj=-9,
f» (0) = o, ri^A = - y ■ 6-335-г" (~° = 7*' r"(b) = 2*
r" (2 — У2) = 0. 6.339. /" (—3) = 0, /'" (—1) = 2e'lt f° (0) = 3.
6.342. yin) = a (a - 1) ... [a — (n — 1)] jc""" . 6.343. y{n) = 2* In" 2.
6.344. (/<"> = sin (x.+ -^"] • 6.346. / = - у . 6.347. </'= —-~y.
9* x2
6.348. /=—-.- 6.349. y' = - —- .
4# */2
sin (* + у) „^ , t/ sin2 */
6.350. / « - . , . , ч • 6-351. I/' = , ,-,, •
* i + sin (x + y) ^ x sin2 у + 1
320

З*2 — 2хц2 и2
к». / - (, + «,)>. 6.353. / = 2xiy + 3y2 6.354. / = —
3/-72- , 1 — 5У
1 + ^' . 6.358. «/" = — (1 + у')*.
355.
.357. #"
,359. у" = УТ-*"у . 6.360. у" = - _UUL- .
,х*у у
,361.0"=--%-. 6.362. */"= 2(*+ УУ' ) . 6.364. 5ап5— 1).
у3 1 — у2
♦365
1 COS * —
_</3 1-У2
..... 4^ 6.370. #' = л:*+1(1п* + ^^-1Л. 6.371. #'
тс -}- 2 \ х J
* ^ln 2x (2cos 2* In * + ■!iyi) . 6.372. у' = (У7)*в 2* х
<[_!££_ + J12L1 6.373. «,'= (cos .) ^" Г—^- Ш с
- У х tg * J . 6.374. */' = (sin 3*)*2-1 [2x In sin 3* + 3 (*2«-l) cfg 3jc].
(.375. y' = (cos 2x)s[n x [cos л; In cos 2x — 2sin * tg 2x].
,—- Г * In arctg x 1 1
1.376. y' = (arcfg x)Yx2+x +
f L V*2 + 1 V*2 + 1 arc«g л; J
/ j v aro sin x г in jc arc sin * 1
«"•"—(t) l"7fE:5+—t-J-
/3._\cos3*r cos3* 1
1.378. */' = (/*) |-sina*ta* + -^-J.
1.379. / = 8 (tg 4*)s,n 8x [cos 8* In tg 4* + l]f
l
TT In (л:2 — 1) 2 1
1.381. /=(/Т^^Г2 L ln(l-^b2 3^ 1 6.382. / (l)=l + ln2.
1.383. y' = (2x + 3)9(5x — 2)(x-^\) ' б 5
f.384. £/'=(2jc — 5)4 (3*+ l)8 (x — 2)8
k.385. /-Vu+2)1 (*2 - D»V*=3 |^-^^-
i.386. /Mfrto + QM*-5il[ 9 ,_L.__<LJ
| фс + 7)3 L2(6jc+5) 4л: = 5 2jc + 7Je
^'(D=l +
1
2x+ 3 + 5*~-2
1 8 15
x— 1
3
2*"—5 + 3* + 1 + jc —2
2 6*
_lT2(x-4)J
11-682
(321

e* arc sin x Г 1 2* "I
6.388. 0' = 1 + _ — .
In8 x г з i -l
6.389. и' = - ——- —— — — 2ctg2* .
V7ZTisin2* L*ln* 2(^—1) J
1 dy 3*4-1
6.390. |/'(0) = 0. 6.391. * = — 3, x = — — 6.393.-—= J .
2 dx Ъ
6.394.JL^_3_ 6.395. (JUL) =_£.
dx fyj \ dx A», 2
б-з9Ч^Ц=-/г-б-397-Ш-1=3-
dr/ 5 0 rf2^ 15 <fy d20
3sin8f W?2/p=o \d<p»/„_.£.
6.403. f-^"\ =2, f-^A =4. 6.405. 1) 2*+ 0-7 = 0,
\ dx //=1 \ dx2 ]t=*\
x — 20 + 4=0; 2)5* + 0 + 3 = O, * —50+11 = 0, 3)2* + 0-
— 3 = 0, x — 20 + 1 = 0 и 2дг — (/ — 5=0, jt + 2(/ — 6 = 0.
6.406. л:— 1=J). 6.407. 30°. 6.408. 2x+y— 6 = Ои2*-0 + 2 =
= 0. 6.410. /5* —20 —1 =0. 6.411. (0; 0) и (2; - 4).
6.412. (2я&; 0), где /г = 0, ±1, ±2, ... 6.413. 3jt — 0 — 1=0 и
3* — у — 2 = 0. 6.414. * — 0 — *[=Ои*-0 + 8 = О. 6.417. 2* +
+ 0—4 VT= 0, * — 20 + 3/2=0. 6.418. (5; 1) и (4; 3).
6.419. 0+1 = 0, jr —1 = 0. 6.421. i>(0) = 0, v(2) = — 4 м/с,
v (3) = — 21 м/с; д (0) = 2 м/с2, a (2) = — 10 м/с2, а(3) — —25 м/с1.
6.422. Через 3 с. 6.423. 8 Дж. 6.425. ©=—18 рад/с, а ■»
= — 10 рад/с2; через 5 с. 6.427. Юте м/о. 6.428. 24 м2/с 6.429. Если
0<*<т» то быстрее изменяется ордината точки; если
4
1 1
х > —. то быстрее изменяется абсцисса точки; если х = —■, то
4 4
скорость изменения абсциссы и ординаты одинакова. 6.431. dy —
2 3 2Ах
= - — Д*. 6.432. dy=*~ — Д*. 6.433. dy = .
ж3 (jc —- 1)я 1 + 4*а
322

6.434. dy = * X . 6.435. dy = sin 2* A*. 6.436. dy =
1 + *2
= | 5*2 2x arccos — In 5 + 5*2 # ) Да:. 6.437. d^ =
V * x V*2 - 1 /
= ZVx—JMbVx) ^x 6 439 д^ = 00333) dy = 0 0330>
4л: yx cos2 }/7
dy — Ay
Idy — Ay | =0,0003, .
I Ду
d^ = — 0,01 |dy —Ay | = 0.0001,
:0,9%. 6.440. Ay =«0,0099,
dy — Ay 1
»■!%. 6.442. 0,0225 m.
АУ
6.447. 2,03. 6.448. 1,0035. 6.449.0,849. 6.450. 0,9954. 6.451. 0,5005.
6.452. 2,999. 6.453. 0,88. 6.455. 1) by = | cos jr | Ajtj 2) by =
I 2 I
= | ctg дг | Ддг; 3) Ay= "1ЙПьГ|
Глава 7
7.5. Интервал убывания (— оо, 2), интервал возрастания
(2, + оо). 7.6. Интервалы убывания^— оо, 0) и (~. + оо).
интервал возрастания (0. —) 7.7. Интервалы возрастания 1-^ оо,
~ ) и 1 о • +°°). интервал убывания I — -JL—, J-—) .
7.8. Интервал убывания ( —оо, —-—), интервал возрастания! — — ,
+ оо). 7.9. Интервалы возрастания (— оо, 1) и (1, + оо).
7.10. Интервалы убывания (— оо, 3) и (3, +оо). 7.11. Интервалы воз
растания (—оо, —1) и (3, +оо), интервалы убывания (—1, 1) и (1, 3).
7.12. Интервал убывания 10, ~). интервал возрастания I —,
+ оо). 7.13. Интервалы убывания (— оо, —1) и (0, 1), интервалы
возрастания (—1, 0) - и (1. + оо). 7.14. Интервал возрастания
(— оо. + оо). 7.15. Интервал убывания I 0 I . интервал воз-
V /Г/
растания! , + оо I . 7.16. Интервал возрастания (— оо, 1),
5
интервал убывания (1. + оо). 7.22. Минимум при дг =— .
7.23. Максимум при х — 1, минимум при х = 3. 7.24. Минимум
при дг = 1 и х = 5, максимум при х = 3. 7.25. Минимум при
1И 323

дг=—-1. 7.26. Минимум при дг = —1, максимум при х = I.
7.27. Максимум при х = — 1, минимум при х = 1. 7.28. Макси-
3
мум при х = — ~Т" > минимум при дг = 1. 7.29. Экстремальных
точек нет. 7.30. Минимум при х = 0. 7.31. Максимум при х = 0.
7.32. Минимум при дг = 2. 7.33. Максимум при х = 0. 7.34.
Максимум при дг = е. 7.35. Минимум при х = — }^2, максимум при
дг = Y2. 7.36. Максимум при х = — + 2£я, минимум при х =
4
5* ,
= ——\-2kn, где k = 0, ±1, ±2 7.37. Минимум при дг= 1.
7.38. Минимум при х = 2&rt, максимум при дг = (2& + 1)Л, где
& = 0,.±1, ±2, ... . 7.40. Наибольшее значение 1, наименьшее
значение —7. 7.41. Наибольшее значение —8, наименьшее значение
—6]^3---8. 7.42. Наибольшее значение 3, наименьшее значение 0.
7.43. Наибольшее значение —, наименьшее значение 0. 7.44. Наи*
6
большее значение е, наименьшее значение ——. 7.45. Наиболь-
е
шее значение 1, наименьшего значения нет. 7.46. Нет ни наиболь-
шего, ни наименьшего значения. 7.47. Наибольшее значение у,
наименьшего значения нет. 7.48. Наибольшее значение 2я + 1,
Зтс mm 7 7
наименьшее значение — . 7.51. — и —-. 7.52. —и ——.
2 2 2 2 2
7.53. Квадрат со стороной 5 см. 7.54. Квадрат со стороной 5 см.
7.55. с * и LjL 7.56. Стороны прямоугольника равны
* R и —1—R. 7.58. Стороны прямоугольника равны a Y.2 и
5 5
Ь уг2. 7.59. 18 см и 24 см. 7.60. В сечении должен быть квадрат со
стороной У . 7.61. г = l/ —м, h = 2 у — м, где г—
радиус основания, a h — высота цилиндра. 7.62. Высота бака и
сторона его основания равны 3 м. 7.63. 7 см. 7.64. Высота ци-
_ 4
линдра равна R У~2. 7.65. Высота конуса равна—/?.
о
7.66. п : Г2 = 2 i 3, где гх — радиус основания искомого цилиндра,
п *i D V3 D VI
а г2 — радиус основания конуса 7.67. х = —i— , у = —1— .
о о
2
7.68. При у = —h. 7.76. Интервалы вогнутости (— оо, 2) и (3,
о
+ оо), интервал выпуклости (2, 3). Точки перегиба (2; —19) и (3; б).
7.77. Интервал выпуклости (— оо, 3), интервал вогнутости
(3, + оо). Точка перегиба (3; —5). 7.78. Интервал вогнутости
324

(—оо, —2), интервал выпуклости (—2, + оо). Точек перегиба нет.
7.79. Интервалы выпуклости (— оо, — У~2>) и (О, У~Ъ). интервалы
вогнутости (— УЗ, 0) и (КзТ + °°)- Точки перегиба
(- УЪ\ - ¥Е\ , (0; 0) и (УТ\ ¥р\ 7.80. Интервалы вогнутости
(—оо, 0) и (1, +оо), интервал выпуклости (0, 1). Точка перегиба (1; 0).
7.81. Интервал вогнутости (0, + оо). Точек перегиба нет.
7.82. Интервал выпуклости (— оо, — 2), интервал вогнутости
(—2,+оо). Точка перегиба (—2; 4). 7.83. Интервал выпуклости (0, я),
интервал вогнутости (я, 2я). Точка перегиба (я; 0). 7.84.
Интервалы выпуклости (—оо, —1)и (1,+оо), интервал вогнутости (—1,1).
Точки перегиба (—1; In 2) и (1; In 2). 7.85. Интервал вогнутости
(0, + оо). Точек перегиба нет. 7.86. Интервал вогнутости (— оо, 0),
интервал выпуклости (0, + <»). Точка перегиба (0; 0). 7.87.
Интервалы вогнутости I — оо, — I— 1 и (-^—» + °°) интервал
выпуклости I — J-—', -ll— )• Точки перегиба I — -L— ; Л£-) и ( ' ;
V 2 2 ) \ 2 е ) \ 2
J—). 7.88. Кривая всюду вогнута. Точек перегиба нет. 7.93.06-
«7
ласть определения (— оо, + оо). В интервалах (— оо, 1) и
(4, + оо) У > 0; в интервале (1, 4) у < 0. В интервале I — оо, —J
функция убывает, в интервале (~, + °о I— возрастает. Точка
/5 9 \
минимума! —; ——). Кривая всюду вогнута. Точек перегиба
нет. 7.94. Область определения (— оо, -)- оо). В интервалах (— оо, 0)
и (0, 1) у < 0, в интервале (1,'+ оо) у > 0. В интервалах (— оо 0)
в I —, + оо] функция возрастает, в интервале (0, —) — убы
V 3 ' V 2 4 \
вает. Точка максимума (0; 0), точка минимума I — \ — —-1 .
В интервале! — оо, -—И кривая выпукла, в интервале (~, + °о)
/1 2 \
— вогнута. Точка перегиба 1~5 — —^z— 1"- 7.95. Область
определения (— оо, —2), (—2, + оо). В интервалах (— оо, —2) и
(0, + оо) и > 0, в интервале (—2, 0)у < 0. В интервалах (— оо, —2)
и (—2, + оо) функция возрастает. Экстремальных точек нет.
В интервале (— оо, —2) кривая вогнута, в интервале (—2, + оо) —
выпукла. Точек перегиба нет. 7.96. Область определения (—оо,+ оо).
Функция четная. В интервале (— оо, + оо) у > 0. В
интервале (— оо, 0) функция возрастает, в интервале (0, + оо) —
убывает. Точка максимума (0; 1). В интервалах ( — оо, — " 1
325

I " , + оо j кривая вогнута
— выпукла. Точки перегиба
\ " ' / \ "
7.97. Область определения (— оо, —1), (—1, 1), (1, + оо).
Функция четная. В интервалах (— оо, —1) и (1, + оо) у > О, в интер-.
вале (—1, 1) у < 0. В интервалах (— оо, —1) и (—1, 0) функция
возрастает, в интервалах (0, 1) и (1, + оо) — убывает. Точка
максимума (0; —1). В интервалах (— оо, —1) и (1, + оо) кривая
вогнута, в интервале (—1, 1)—выпукла. Точек перегиба нет.
7.98. Область определения (—оо, -f оо). Функция нечетная. В
интервале (— оо, 0), у < 0, в интервале (0, + оо) у > 0. В интервалах
(—оо, —1) и (1, + °°) функция убывает^ в интервале (—1, 1)
— возрастает. Точка минимума I—1; — ~). точка максимума
I 1; — ]. В интервалах (— оо, — У~Т) и (о, УЗ ) кривая выпукла, в
интервалах (-/3, 0)и (/3, +оо) — вогнута. Точки перегиба
(—УЬ; - J^L") и [УЪ\ -^Г-)' 7'99- 0бласть определения
(—оо, —1), (—1, 1), (1, + оо). Функция нечетная. В интервалах
(— оо, —1) и (0, 1) у < 0, в интервалах (—1, 0) и (0, + оо) у > 0.;
Функция убывает во всей своей области определения. Экст*'.
ремальных точек нет. В интервалах (—оо, —1) и (0, 1) кривая:
выпукла, в интервалах (—1, 0) и (1, + оо) — вогнута. Точка
перегиба (0; 0). 7.100. Область определения (— оо, 1), (1, +оо).ч
В интервале (— оо, 1) у < 0, в интервале (1, + оо) у > 0. В ин-;
тервалах (—оо, 1), (1, + оо) функция убывает. Экстремальных
точек нет. В интервалах I—оо, ——-—/ и (0, 1) кривая вы-
г.
] и (0, 1)
пукла, в интервалах I — —-— , 0 I и (1, + оо) — вогнута. ТочкиЩ
( V 4 2 I ч;1
перегиба I ——-—; —-о-/ и № —!)• 7.101. Область определи-.^
ния (— оо, 0), (0, + оо). Функция четная. В интервалах (—оо, 0) йИ
(0, + оо) у > 0. В интервалах (— оо, —1) и (0, 1) функция уЙЙЙ
вает, в интервалах (—1, 0) и (1, + оо)—возрастает. Точки минй^|
мума (—1; 2) и (1; 2). В интервалах (— оо, 0) и (0, + оо) криваяЦ
вогнута. Точек перегиба нет. 7.102. Область определения (— оо, Щщ
(0, + оо). Функция нечетная. В интервале (—оо, 0) у < 0t шЛ
интервале (0, + оо) у > 0. В интервалах (— оо, —2) и (2, + о&Щ
функция возрастает, в интервалах (—2, 0) и (0, 2) — убывает. ТочдаЙ
максимума (—2; —4), точка минимума (2; 4). В интервале (— оо, вш
кривая выпукла, в интервале (0, + оо) — вогнута. Точек neperfe$l|]
нет. 7.103. Область определения (— оо, 0), (0, + оо). В интерва/|1
326 '.^М

ШАХ (— оо, 0) и {0, 2) у > 0, в интервале (2, + оо) у < 0. В интер-
W ( ЗГ~\
$Вйлах \—оо, — 2V 2/ и (0, + оо) функция убывает, в_ интервале
I—2 К 2, 0/— возрастает. Точка минимума \— 2 У 2; Ъу 2/.
в интервалах (— оо, 0) и (0, + оо) кривая вогнута. Точек
перегиба нет. 7.104. Область определения (— оо, 0), (0, + оо) В
интервалах и (0, + оо) г/>0, в интервале
у < 0. В интервалах (— оо, 0) и (0, 2) функция убывает, в
интервале (2, + оо) — возрастает. Точка минимума (2; 12). В
интервалах \—оо, — 2 у 2 / и (0, -Н оо) кривая вогнута, в интервале
(— 2уТ", О) — выпукла. Точка перегиба (—2 V~2~\ о). 7.105.
Область определения (—оо, —2), (—2, 2), (2, + оо). Функция четная. В
интервалах (— оо, —2) и (2, + оо) у > 0, в интервале (—2, 2) у < 0.
В интервалах (— оо, —2) и (—2, 0) функция возрастает, в
интервалах (0, 2) и (2, + оо) — убывает. Точка максимума (0; — -г-).
В интервалах (— оо, —2) и (2, + оо) кривая вогнута, в интервале
(—2, 2) — выпукла. Точек перегиба нет. 7.106. Область
определения |0, + оо). В интервале (0, 1) у < 0, в интервале (1, + оо)
у > 0. В интервале (0, —1 функция убывает, в интервале
I— , +оо —возрастает. Точка минимума I —; —— J. В интервале
(0, + оо) кривая вогнута. Точек перегиба нет. 7.107. Область
определения (-!- оо, + оо). В интервалах (— оо, 0) и (1, + оо) у > 0,
в интервале (0, 1) у < 0. В интервале I — оо, — J функция
убывает» в интервале [—, + оо) —возрастает. Точка минимума
/1 1 \ V 8 /
I—i —— 1. В интервалах (—оо. 0) и (1 + оо) кривая выпукла, в
интервале (0, 1) — вогнута. Точки перегиба (0; 0) и (1; 0).
7.108. Область определения I — оо, — — — + оо J.
Функция четная. В интервалах I — оо, — — 1 и I— , + оо) у > 0.
В интервале [.— оо, ) функция убывает, в интервале
/1 \ \ ■' 2 У
I — , + оо ] — возрастает. Экстремальных точек нет. В интервалах
I — оо,— — J и ("Г"» + оо г кривая выпукла. Точек перегиба нет.
7.109. Область определения [—3, 3). Функция четная. В интерва
ле (—3, 3) у > 0. В интервале (—3, 0) функция возрастает, в
интервале (0* 3) — убывает. Точка максимума (0; 3). В интервале
(—3, 3) кривая выпукла. Точек перегиба нет. 7.110. Область
определения (—оо, + оо). Функция четная. В интервале (— оо, -f оо)
у > 0. В интервале (— оо. 0) функция убывает, в интервале
<0,+оо) — возрастает. Точка минимума (0; Vb). Кривая всюду во -
327

гнута. Точек перегиба нет. 7.111. Область определения [4, + оо).
В интервале (4, + оо) функция положительна и возрас-
тает. Экстремальных точек нет. В интервале 14, 1 кривая
/16 \
выпукла, в интервале 1—т—, + оо 1 — вогнута. Точка перегиба
(—-; ■ и 7.112. Область определения [—6, + оо). В
интервале (—5, 0) у < 0, в интервале (0, + оо) у > 0. В интервале
1 — 5, ———[функция убывает, в интервале I — ~~г~ , + «>)
—возрастает. Точка минимума I — -— ; — —L_ ). В интервале
(—5, + оо) кривая вогнута. Точек перегиба нет. 7.113. Область
определения [—2, + оо). В интервале (—2, + оо) функция
положительна и возрастает. Экстремальных точек нет. В интервале (—2, 0)
кривая выпукла, в интервале (0, + оо)—вогнута. Точка
перегиба (0; 2"^2). 7.114. Область определения (— оо, 0], [1, + оо). В
интервалах (— оо, 0) и (1, + оо) у > 0. В интервале (— оо, 0)
функция убывает, в интервале (1, + оо) — возрастает. Экстремальных
точек нет. В интервалах (—оо, 0) и (1, + оо) кривая выпукла.
Точек перегиба нет. 7.115. Область определения [0, 1]. В
интервале (0, 1) у > 0. В интервале (О, — J функция возрастает, в
интервале I— , 1) — убывает. Точка максимума I — ; -—). В
интервале (0, 1) кривая выпукла. Точек перегиба нет. 7.116. Область
определения (— оо, 0), (0, + оо). В интервалах (— оо, 0) и (0, + оо)
функция положительна и убывает. Экстремальных точек нет. В ин-
/ 1п2\ / In 2
агервале I—оо, —~Т/ кривая выпукла, в интервалах I———, 0)
и (0, + оо) —вогнута. Точка перегиба (——— j 2~2^ln 2).
7.117. Область определения (—оо, + оо). В интервале (— оо, 0)
у < 0, в интервале (0, + оо) у > 0. В интервале (— оо, 1) функция
возрастает, в интервале (1, + °°) — убывает. Точка максимума
(" т)-
В интервале (—оо, 2) кривая выпукла, в интервале
(2, + оо) — вогнута. Точка перегиба 12; —). 7.118. Область
определения (— оо, + оо). Так как е* > х при любом дг, то
функция положительна на всей числовой оси. В интервале (— оо, 0)
функция убывает, в интервале (0, + оо) — возрастает. Точка
минимума (0; 1). Кривая всюду вогнута. Точек перегиба нет.
7.119. Область определения (0, + оо). В интервале (0, 1) у < 0,
в интервале (1, + оо) у > 0. В интервале (0, е) функция возра-
328

стает, в интервале (е, + оо) — убывает. Точка максимума \е\ —1 .
В интервале (0, еУТ) кривая выпукла, в интервале (е УТ, + оо)
— вогнута. Точка перегиба I еУ е\ — I . 7.120. 06-
ласть определения (—оо, —1), (1, + оо). Функция четная. В
интервалах (— оо, — У2 ) и (]/~2, + оо)#>0, в интервалах (—1^2,—1)
и (l, УТ) у < 0. В интервале (— оо, —1) функция убывает,
в интервале (1, + оо)—возрастает. Экстремальных точек нет. В
интервалах (—оо,—1) и (1, + оо) кривая выпукла. Точек
перегиба нет. 7.121. Область определения (— оо, 0), (0, + оо). В
интервале (— оо, 0) у > 0, в интервале (0, + оо) у < 0. В интервалах
(—оо, 0) и (0, +оо) функция возрастает. Экстремальных точек нет.
В интервале (— оо, 0) кривая вогнута, в интервале (0, + оо) —
выпукла. Точек перегиба нет. 7.122. Область определения (0, + оо).
Так как х > \пх в интервале (0, + оо), то функция положительна
во всей своей области определения. В интервале (0, 1) функция
убывает, в интервале (1, + оо) —возрастает. Точка минимума (1; 1).
В интервале (0, + ©о) кривая вогнута. Точек перегиба нет.
7.123. Область определения (—оо, + оо"). Функция периодическая
/ л \ / 5те. \
с периодом 2я. В интервалах 10, —I и I , 2я I у < 0, в ин-
/ * 5тс \ ) Зте \ I 7те \
тервале I— , 1 у > 0. В интервалах 10, —- и 1~т~ , 2я I
/ 3* 7п \
функция возрастает, в интервале I , 1 — убывает. Точка
максимума I ; 1^2"), точка минимума I-—; — У~2 ]. В интер-
валах 10, —I и I , 2я] кривая вогнута, в .интервале
/ те 5я \ / те \ / 5т: \
I — , —выпукла. Точки перегиба I — ; 0 и I ; 0).
7.124. Область определения (—оо, + оо). Функция четная и
/ те \ / 5те \
периодическая с периодом я. В интервалах 10, — 1 и I——, те)
/ те 5те \ / те \
у < 0, в интервале! — , \у > 0. В интервале 10,
—(функция возрастает, в интервале I— , те] — убывает. Точка минимума
(0; —1), точка максимума I—; 3). В интервалах 10, ~) и
/ Зте \ /те Зте \
I , я 1 кривая вогнута, в интервале I— , I — выпукла.
329

Точки перегиба! —; 1)и( ——; 1) 7.125. Область определения
тс
(—оо, + оо). Функция четная и периодическая с периодом —.
В интервале!0. —)^>0. В интервале 10, — 1 функция убывает,
/ тс тс \
в интервале I— , —1 — возрастает. Точка максимума (0; 1), точка
/ * [ \ о (л * \ I 3* * \
минимума! — \ —]• В интервалах 10. ~)и (~Т~- "7") кривая
/тс Зтс\ ^ /тс 3\
выпукла, в интервале I •— . — I — вогнута. Точки перегиба I —; —I
/ 3* 3 \
и ; —1.7.126. Область определения (— оо, + оо). Функция
\ 8 4 ./
нечетная. В интервале (—оо, 0) у <0, в интервале (0, + оо) у > 0.
Функция возрастает на всей числовой оси. Экстремальных точек нет.
В интервале (— оо, 0) кривая выпукла, в интервале (0, + оо)—вогну-
*та. Точка перегиба (0; 0). 7.127. Область определения (2я£, я + 2я£),
где k = 0, ± 1, ±2, ... Функция периодическая о периодом 2я.
В интервалах 10, —J I— я) у < 0. В интервале (0, .—)
функция возрастает, в интервале I — , я 1 — убывает. Точка
максимума ("5"; 0) В интервале (0, я) кривая выпукла. Точек
(тс тс
— "Г" + 2nk, — +
+ 2я&), где k = 0, ±1, ±2 Функция четная и периодическая
с периодом 2я. В интервалах I — — 0) и (0, — 1 у < 0. В
интервале I — —- , 0) функция возрастает, в интервале 10, —)
(тс тс \
вая выпукла. Точек перегиба нет.
i
Глава 8
8.2. -£-+c.8.lf + C. 8.4^+0.8.5--^ +С.
jfi 5jc3 Зг4 t2
8.6. — + 3jc + C.8.7. + 2f3 +С. 8.8. * -
5 3 4 2
— хъ + Xs + *а + х + С. 8.9. ^- + Xs + х2 + С. 8.10. -^- —
4 5
330

Р За* 2 и8 л*4 х7 \Гх 2х Vlx
w т+т+с- ••"• x-i+т+с-8-12- -1-+с- 8-,3--1- +
—_ 5у3 з
+ С. 8.14. 4уУу — —- + С. 8.15. 3/* +С. 8.16. 81п|*| + С.
о
8.17. 1п|х|-3* + 2*' + С. 8.18. --L+-A-—^1_ + С.
х2 2 2
8.19. — — 2* +С. 8.20. 2х — *a-f —- ]/Т3— — УхТ + С.
2 3 5
«к -V" ~^H+_f- 8-22- ^FJ—з +
+ бУх+С. 8.23. 2/*3 —84/W + 4yrxi — 4yGe3~+C.
8.24.
з3/*Т
-3* +
973
~зг—
3/* +С. 8.25.
2V'x
+ 2х + С. 8.26. — — х + С
8.27.
з3/**"
з3/Б
■ +
+4х+С.
8.28. 3* •
eVF"
+ С. 8.29. — 2cos*+C.
8.30.
sin*
+ С.
8.31. — 7 cos x — 4 sin x + С. 8.32.
1 4 /. З*"1
8.33.-—sin а+5 cosu+4/w7 + С. 8.34. +С. 8.35. ,
2 1пЗ 1+1пЗ
2 \*
а-6 — 6 sin х + С.
- +С.
8.36.
Ш"
+
ш
1пЗ
In 2 — 1
+ С. 8.37.
16*
In 16
+ С. 8.39.
(&?)л
1 + 1п5
-е* +
In 4
5*
+ С. 8.38.
9*
In 9
+
In 5
•х + С. 8.40. 4ех-
— 3cos*-fC. 8.41. Ssincp — Д^!- + С. 8.42. —tgx + C.
In 6 2
8.43. tg x — 3 ctg л* + С 8.44. sin a- — 4 tg jr+C. 8.45. —cos x—
2
—ctgjr+C. 8.46, 2tg* — x+C. 8.47. — 2cos*+C. 8.48. —sin^+C.
о
2
8.49. — —- cos x + C. 8.50. —ctg л* — 2л* + С. 8.51. 2 cos л* + С.
б
8.52. 2cos*+,C. 8.53. — — ctg x + С. 8.54. — sin * + С.
8.55. tg л- — х+С. 8.56. — ctg л- — х + С. 8.57. tg х — ctg л* + G.
A*—SH1A* , л 3(A* + sinA*) , л A* + tgA*
8.58. + С. 8.59. v L + C. 8.60. * + С.
£ z z
8.61. — tg х — ctg лг+C. 8.62. sin a-+cos х+С. 8.63. a-+ arcsin x +
+ C.
+ C.
+ С 8.64. arcsin x + С 8.65. arcsin x — In | x + V 1 + *2
8.66. — In
2
1+*
1
+ C. 8.67. In
1
x + Yx2 -r- 1 — — In
\+x\
1—*
331

8.68. arctg* + С. 8.69. x + arctg x + C. 8.70. f-
x
+ 2 arctg * + C. 8.71. In
1— x
+ C. 8.72. — * — In
1+*|
+ C.
1—л:|
8.74. — 5ctg* + 2 tg* + C.
. 1+*
1 I 1 — x I 1
8.73. —In —-U—+C.
2 I 1 -f- -*: | *
6* ж 1
8.75. —— + arccos x +C. 8.77. —3 cos —+C. 8.78. — sin 4*+C.
In 6 3 4
1 /я \ 3"* 1 4бЛГ"1
в-л7«(т-2ж)+с-в-в0---ьГ+с- 8'81 Т"ТЛ"+С-
8.82. —- e2-3*+C. 8.83. -^-(8* +5)11 + С. 8.84. - -p" (3-2*)7+C
о 88 14
8-85- "777"^ ^- + C 8.86. -J" V №*— 5)3 +C
8(5 —4*)2 9 '
8.87. — -j- V (2-3*)7 +.C. 8.88. - - /1 — 4* -I- C.
1 8 у
1
8.89. -т-/(9* + 4)2 + С. 8.90. — ln|7*+9|+C.
о 7
8.01. — — Inl 11—6x | +C. 8.92. ln|*—1|+C. 8.93. x— ln|*+l|+C.
о
8.94. -jarctg 3*+C. 8.95. -^ arctg — + С 8.96. - In I ^±? I + С
j I з 2x I л; 1 3a;
8.97. — In + C. 8.98. arcsin — + С 8.99. — arcsin — + C.
12 13+2* I 5 3 4
8.100. — In | Ax + /16*2 + 1 l+C. 8.101.— In |3* + /9*2—25 | + С
8-102- -F^fa + C 8Л03--Т^Г + С- «•^.iln(,2+l)+C.
1
1
8.105. —- — — ln(*2+l) + C 8.106. —In | j^e—31 +- C. 8.107.
2 2 о
In |^2—^—4 i+c. 8.Ю8. —In |4+3*—x2 | +C. 8.109. 2 /з*2—5*+1 +С.
2. In (ex + 4
:. 8.115. In |s
8.110./2a:—*2 +C. 8.111. In | *3—5*2I + С 8.112. In (e* + 4) + С
1
8.113. — —V In | 1—6* l+C. 8.114.—In | cos* |
In 6 | x I 1
+ C. 8.116. — 4ln cos— +C. 8.117. — In
4 3
C. 8.115. ln|sin*|+
sin
1
1
+ C.
8.118. —n | cos I—— 2*|| + C. 8.119. ——In |sin (1—тс*)| + C.
2 | \ 4 /I я
8.120. -7- (7 + /* )5 + С 8.121. - '-i— + С
5 (5+/*)2
1 / 3/—\в л л л.л. 4 4y
8.122.—{i+V* У +C 8.123. ln|ln*|+C. 8.124. —4/Wx + С
6 i
8.125. -e*+C. 8.126. —— .б^' + С. 8.127. ТГТ-3*'+С-
In 6 2 Ф 3
33?

/(еЗЖ__9)4
8.128. — —+С. 8.129. —}f\^-e*x+C. 8.130.
4
3>
1
-_./(5+4*)-+С. 8-131.-in
+ С. 8.133. arcsin^ + C 8.134.
\+efi*
8.135.
sin**
3 з
1-е6*
1
In 6
+C.8.132. —arcfg8*+
In (6* + /36* + 1 ) +C.
5 б/
C. 8.136. — —/cos^l+C. 8.137. — |/ sin9 * +C.
3 2 r 9
8.138.— VW*+C- 8.139. "-Vfi5^ + C. 8.140.-—y^tgTT+C.
6 3 5
8 14l (arcsin *-l)2+c 8Л42^ _ln|arccos;g|+c 8.143.-^arctg** +C.
2 4
8.144.— + C. 8.145. ——cos*3 + С 8.146. 7^-sin5* + С.
arcctg * 3 In 5
о 3 о
8.147. ——У (1 —sin*)3 + C. 8.1484. — — / (2cos* + l)2 + C.
О 4
у sin 2%
8.149. (- +C. 8.150. 2* — sin2* + C. 8.151.
Z 4
— In I cos* +-/1 + cos2* \ + C. 8.152. —In
sin *—2
+ C.
1 / cos * \ ———■^——
8.153.—arcctg ——) +С 8.154.-In | ctg* +/2+ctg2* | + С
8.155. arcsin
^) + C. 8.156. -in
2 / 6
1 /arctg *\
8.157. —arctg I — ] + C. 8.158.
+ C. 8.159,
?)-
— -r-sin — +C.
3 *
sin *+2
In* —3 I
In (4*+ /16* + 9) +
8.160. — In | arcsin 2* |+
In 4
+ C 8.161. -tg** + C. 8.162. — -ex* + C.
4 2
8.163. In tg —
. cos3* , л л . » sin4*
+ - l-C. 8.167.
+ '
+ C. 8.164. In tg'f-j- + -|-) +C. 8.166. —cos* +
sin34* 3 sin 2*
\-C. 8.168.—*+ — u
t 12 8 4^
. r> л - л 3 sin* , sin2* , л л „ ctg3*
fto +C. 8.169. — * — + C. 8.170. — -^— +
32 8 2 16 3 ^
3
sin 4*
+ C. 8.171. —
1
—— —In | sin* l + C. 8.172. —
2sin2* ' • 10cos2 5*
+
+ —- In | cos 6* | + C. 8.173. ctg * — -Ц-£ + * + С. 8.174, ——
о 3 8
sin 4* , л л х
+ С. 8.175
32
16
sin 4* sin3 2* к
—— — +С. 8.176.
S4 48 16
333

1 +4-+c.
3 sin3 x sin x
8.179.
COS3 X COS6 X
—Т- + —Г- + С.
sin 12* sin8 6*
— ■ 4- - + C. 8.177.
192 T 288
sin4* sin»*
8.178. —; —-T-+C.
4 6
4 * 4 ж 2 1
8.180. —sin3 -r sin6--+C. 8.181. sin *— -—sin3 *4~-sin6 x+C.
3 4 5 4 3 5
12 1 1
8.182. — — cos 3* 4 — cos3 3* — — cos6 3* + C. 8.183. — — cos 5*+
3 У АО 1U
+ — cos x + С 8.184. — sin 10* 4 — sin 4x + C. 8.185. — sin 4*—
1 *
— — sin 6* + C. 8.187. 8 arcsin —
12 J z
у Т/"П X2)'S
8.188. 4 С 8.189. v — — V 1 — *2 + С
8Л90. ГЩк._^1ЕЕ^. + С 8.,9«.-iarcsin-L +
5 3 2 ж
:/l6-
+ C.
У*2 — 1 „
2*2
8.192. -J—-J + C
16*
8.193.
In
/ % arctg *\
18 (t+ —
1 ,_—_.
V x2 4-1 13
- -1— + C. 8.194. — — arcsin — + C.
x 3 *
8.195. —1/(*2—4)3 4 4 /F^l + C 8.197. sin* —* cos* 4 C.
о
8.198. — * sin 4* 4 — cos 4* 4 C. 8.199. (2*— 3) sin * 4 2 cos x + C.
4 16
8.200. (2*—0,5)cos 2*—sin 2* 4 C. 8.201. — (3 In * — 1) 4 C.
(x2 \ x2
8.202.1 — — * In*—— + x + C. 8.203.2/* In*— А\ПГ + С.
8.204. * tg * 4 In | cos * \+C. 8.205. — — * ctg 3* 4 —In | sin3*|4 С
о У
е-ъх
8.206. хе2Х + С. 8.207. —— (3*—5) 4 С. 8.208. (*2—2* + 2)ел +
+ С. 6.209. *1п(14*2)— 2* 4 2 arctg * +С. 8.210. * arcsin* 4
+ УТ^72 + С. 8.211. * arctg* —— In (14*2)+C. 8.212. *ln* —
*-* 4- С. 8.213. * lna * — 2* In * + 2* + С. 8.214. * In (x+VT+x2)-*
— У 1 4 x2 + С. 8.215. -^-^ [(* f 2) In 3 — 1] + С.
ln23
1 * 4- 3
8.217; — arctg ^ + С. 8.218.
2 2 * + 4
+ С. 8.219.— In
5
+с.8.220. _i_ln|_^_
х—4|
н-
+ С. 8.221. "Аг arctg J*±L £.
334

P— x% 2
Й2- — -H2jt — 6arctg(* — 1) + C 8.223. — x8 + 3*1 + 11* —
g~-21 ln|-—-I -hC. 8.224. -4" arctg ^T^+C. 8.225. In
й" *— i з з
*—21 .
*—3
4 с
8,226. In
t| + C. 8.227. arcsin—+C. 8.228. arcsin(2* —I)+
2* — 1 2
+ G. 8.229. In |* — 2+ /*a — 4* + 5 | + C. 8.230. In | * + 3 +
+ /FT6F+T | + С 8.231 —— arcsin * J1"— + C. 8.232.
/2
У^з
In
з Т К з Т.З
-J-in
6
* —1
-l-C 8.234. ~ In |*a+*—2|—
, + С 8.235. —In (*2 — 2* + 2) + 4arcfg(* — 1) +
x -+• 2| 2
I 7 9:£ — *>
+- C. 8.236. —- In (*a — 5* -I- 7) + arctg —— + С
11 1*1
8.237. 3 In | * + 21 4- _' , 0 + С 8.238. 3 In | ^-^|— 2 ln|2*a+*|+C.
x + 2
8.239. — In I *a+3*—4 14 — In ^—t
2 10 *— I
2*+l|
+C. 8.240. 2 In (*2+5*+ 8) —
5
- -^T arctg -^zr -f С 8.241. *— -f- In (*a + 5* + 8) —
Vl Vl 2
9 2* -I- 5
- —— arctg—^+0. 8.242. *+3 In (*a—8*+' 17)+8arctg(*—4)+
/7 /7
+ C. 8.243. V *a—2*+3 +C 8.244. /*a + 8* + 7 — 6 In | * + 4 +
+ V*a-h8* + 7 1 + C
8.245 —У 12—3*a — —— arcsin — +
/3 2 T
2*—1
+ C. 8.246. —2 V 1 + * — *2 — 9 arcsin it" + С
/5
5 1
8.247. — arcsin (2* — 2) — — V—3 + 8*—4*a + C.
2 4
-8.248. — У 4*a + 8* + 9 4 — In I 2* -f 2 + /4*a -f 8* + 91 + C.
8.249. -4"ln (*2 + Vх + *4 )+c- 8-250. —^T arctg 2 (1 2) + С
2 /14 V7
8.251.
1
• In
2 + 3*
psx
1
4ШЗ -2-^ + C- 8'252- iT(8*-,)+C- 8-253- f e"+C-
tc3 2* tg6 2*
8.254. -£—- + -^— + C. 8.255. 2 In | 9 + 3* — *a | + C.
8.256. — — arctg (cos 5*) + С 8.257. (* + 2) sin * + cos * + С
5
335

8.258. — — x ctg 6* + — In | sin 6x\ + C. 8.259. In (x2 — 4x + 6) +
6 36
+ 7 arctg (x — 2) + C. 8.260. — — cos 8* — — cos 2* + C.
16 4
14- In x 2^ + ]
8.261. — -3-—- + C. 8.262. ——■ + С 8.263. —ctg e* + C.
x In 2
8.264. — — У—3a:2 + 8* — 4 — arcsin——— + С
3 ЗУ? 2
8.265. x arc cos 2*—— У1— 4a:2 +C. 8.266. — — [sin Ax + | +
2 4 \ sin4*/
+ C. 8.267. -j- (У(3* + l)3 - У (to - l)3) + С
'2 I
8.268
In 3—In 2
- 2x + Ct 8.269. —— arctg
+ C.
1 /? """ ^ tn '
8.270. (*+ 1) arctg УГ—УГ+С. 8.271. —(3A:-sjn 4a:+ ^if) + С
128 \ 8 /
8.272. —^— + -V" + C* 8.273. —У4*2 — 4* + 3 +
9 7 4
5
+ — In | 2a:—1+ У 4a:2 — 4a: + 3 | + C. 8.274. arc sin x + У1 — a:2+C.
8.275. In
tgl — arcsin a: J
+ У1— x2 +C.
Глава 9
1 3 2
9.2. 19. 9.3. 144. 9.4. 3. 9.5. 190—. 9.6.- 9.7. 24—-.
2 2 3
9.8. 12. 9.9.-6. 9.10. -12. 9.11. Зб3+2б2—17. 9.12.
я
"ёо"
1+Зе2
\ г- УЗ я п
9.13. . 9.14. 2(УЗ — 1). 9.15. -1—-. 9.16. —. 3.17. — .
2 2 ~~
в8 —1 36 124 1
9.18. . 9.19. — . 9.20. sin3—-ГГГ. 9.21.-(In 5—In 2).
Зе3
In 2
6
In 5
a- rc + 2 1
9.22. 1п(УТГ + 2). 9.23.—^—; 9.24. — (In 3 — In 2).
. 8 2
9.25. --^-In3. 9.26. — (2У2 — 1). 9.27. Уз" - 1- -^ .
^ .
9.28. — - e 4 . 9.29. — 9.30. —(In 3 — In 5),
(A/~ \ 14 8 8 o
9.31. 2 (УЗ — lj. 9.32. 0. 9.33. — . 9.34. - — .9.35.-е9.
9.36. 4. 9.38. 9,75. 9.39. 2. 9.40. — . 9.41. — (e2 — e).
У о

V2 те те- 1 r-
9.42. - . 9.43.——. 9.44. - . 9.45. —. 9.46. 3—У 5 .
6 180 6|/у 9
9.47. -^-In 6. 9.48. —?— . 9.49. ln(3 + 2}^2~) — In (2 + /Г).
12 6 In 3
9-50. ——г—.9.51. —l— (In5-21n3). 9.52. 4( УТ- 1).
121n4 2 In 2 '
11 те 1
9.53 —.9.54. (1 — cos 1). 9.55. —. 9.56. —In 3.
6 5 6 8
e— 1 4l/*2" VT те*
9.57. . 9.58. \ . 9.59. — -~—•. 9.60. -—. 9.61. 2 In 10.
те 3 32 6
9.62. 2/Г — 2 — -£-. 9.63. 6 + 41n2. 9.64. —6 (2+ In 7).
6
те /Г
9.65. 12 (3+ln3). 9.66. — + — . 9.67. Зя.
_ 6 8
2 — j/Y те , те
9.68. ^ . 9.69. —.9.71. 4еб+1. 9.72. "Г" —2. 9.73. Зе—5.
9.74. —.9.75. — — —-In 2. 9.76. 2(г2 — 1). 9.77.——.
9 4 2 _ 9
9.78. я —1. 9.79. я УТ + 6 In 2. 9.80. 2 In (/5—2)+У1Г—1.
4 те — 2 54 — In 3
9.81. — (5в*+1). 9.82.- . 9.83. : . 9.84. я.
2 те те Зте 8
9.85. — . 9.86. . 9.87. . 9.88. In 2 Н . 9.89. — .
35 4 6 4 15
те —2 14 8
9.90. . 9.91. 0. 9.92. е2(е — 2). 9.93. . 9.94. .
8 17 3
9.95. 2(4 + 3 In 3 -^ 3 In 7). 9.96. — (12 — те УТ).
1 г- 3 1
9.97. — (3 УТ— те). 9.98. . 9.99. — (12 /3 — 12 — я).
3 80 6
9.100. —.
■те
Глава 10
2
10.6. 56 кв. ед. 10.7. 8 кв. ед. 10.8. 18 — кв. ед.
о
е3— 1 14 УЪ— 1
10.9. ——— кв. ед. 10.10. кв. ед. 10.11. кв. ед.
2е2 3 2
5те/3 — 9 In 3 е2—\
10.12. — кв. ед. 10.13. кв. ед. 10.14. 6я кв. ед.
18 . е
25 , , _ч 4те+3/3
10.15. — (я + 6— 6УТ) кв. ед. 10.16. J—L кв. ед.
\£ 2
337

10.17. — (ic + 6 — ЗуЧГ) кв. ед. 10.18. 36 кв. ед, 10.19. 36 кв. ед
о
2
10.20. 10 — кв. ед. 10.21. в1 — 3 кв. ед. 10.22. е* — 3 кв. ед;
3 • 1 4—УТ—VT
10.23. — кв. ед. 10.24. —кв. ед. 10.25. •— кв. ед.
4 2 2
10.26. 2 hi 2 кв ед. 10.27. 2—уТ кв. ед. 10.28. —* кв. ед.
10.29. 21— кв.ед. 10.30.4 кв. ед. 10.32. 48 кв. ед. 10.33. 8 кв. ед.
о
10.34. 7— кв. ед. 10.35. 4 — In 3 кв. ед. 10.36. 8 — 2 In 3 кв. ед.
2
2
10.37. 18 кв. ед 10.38. 36 кв.ед. 10.39. 42—кв. ед.
1 1 63
10.40. — кв. ед. 10.41. 114 — кв. ед. 10.42. —; h 18 кв. ед.
3 3 8 In 2
1 1 Зге—2
10.43. — кв. ед. 10.44. 13 — кв. ед. 10.45. кв. ед.
8 2 6
10.46. 4л — 8 кв. ед 10.47. Зя кв. ед. 10.48. 5л — 10 в
15я + 10 кв ед 10.49. Зя + б кв. ёд. 10.50. я кв ед.
те I Зтг 1 4
10.51. — + — и —- — —кв. ед. 10.52. 2% + — и
4 38
6я — — кв. ед. 10.55. 57,6 я куб. ед. 10.56. —— я куб. ед.
56 тс (Зтс+2)
10.57. -— я куб. ед. 10.58. куб. ед. 10.59. 4я куб. ед.
70
/и
10.60. 48 я куб. ед. 10.61. 18,6 я куб. ед. 10.62. —— я куб ед
о
2nb2 Va2—b2 2a2+b2)
10.63. 24 я куб. ед. 10.64. - ^ =L-L" Куб ед
20 32
10.65. -— я куб. ед. 10.67. —- я куб. ед. 10.68. 97,2 я куб. ед.
О и
8 256
10.69. —я куб. ед. 10.70. —— те куб. ед.
3 35
10.71. 2те (-—/Г— 1) куб ед 10.72. —~ куб. ед.
\ 3 у 4 In 2
8 Л04
10.73. 39,6 я куб. ед. 10.74. —я куб ед. 10.75.——я куб. ед.
10.79. »7,3 м. 10.80. 24,5 м. 10.81. 20 м. 10.82. Через 6 о.
10.83. 0,045Дж. 10.84. — n?gR2H2 10.85. « 16,41 кДж.
10.86. «7,7 Дж. 10.87. — pg##3. 10.88. «39,69 МН
о
10.89. -^|— . 10.90. « 0,176 Н 10.91. « 183,75 МН
338

11.5. 1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) да. 11.6. 1) Нет; 2) да; 3) да;
4) да. 11.8. s= — 2 cos/. 11.9. у = л*2, # = *2+ 1, */ = л-2— 3.
.12 18
11.10. у=*— — , У = — ♦ У= — •
11.12. 2 V У = С + —
х
11.13. у=
1 + С(х+ 1).
11.14. arctg х — tg у = С. 11.15. arc sin i/ = С + V\ — х2.
11.16. sini;=Ccosw. 11.17. еУ = С + In |1 — **|.
11.18, Ь^Ч--^- = С. 11.19. *-*2+ln(j/2+ 1) = C.
11.20.
(ij
ху
In
12У
In 12
С. 11.21. С "|Л+*2=
*У
V+1 '
11.22. sin i/ = С*. 11.23. i/2 — 1 = Сх. 11.24. е4У = 2 е2* + С.
1
</-!
0+1
11.26. х = }Л/—1. 11.27. */ = 2(1+*3). 11.28. —^- In |
= arctg*—1. 11.29. arc sin x = 1—e~~y2.
4cos2jc . . . . ^ 1
11.31. */=*2
1.30. 0= — £Г* {X+I)
. 11.33. #=fcln|*| + C. 11.34. у
11.37. За 30 мин 11.38. 1 см/с. 11.39. «44% 11.41. х = Сех
.11.42. *3 = С(2*/—*). 11.43. у = х (С — In | х |) 11.44. # = G?
* i/
arc cos —
11.45. х=*Се х~у . 11.46. х = Се х . 11.47. In |C*| =
—2- tg-2-
= — е х. 11.48. у = хвСх. 11.49. * = Се *.
11.50. (х—у)* =
= С(х + у). 11.51. ln^ = —cos-|- . 11.52. In*
11.53. ctg-^- = l/n3— In*.
х
3 arctg-"
11.54.
x + y=2xy.
11.55. yx*+y* = e
1 3
11.56. #= — x* —— *.
* 2 2
11.57. y = —x In *. 11.58. 0 =
2*
jc+2
. 11.59. у = 1 —
я С
11.61. # = — + — П.62. y = x* + Cx*. UM. y= (x + C)ex*.
1
1. 11.65. у = Or6* + — e-2X.
3
11.64. у = Ce
11.66. */ = C(*+l)+(*+l)3. 11.67. # = Ccos* + l. 11.68. f/ =
339

С х
— -— +х\пх — — . 11.69. #=(С + *)е*. 11.70. # =
= (arcfgх + С) yiF+T 11.71. # = —z=r (С + arcsin*).
V\ - x*
1 2 1
11.72. y=xe-*Px. 11.73. у = — <Г4*0+*3)- П.74. j/= .
3 хь х
х sin*-}-l r
11.75. у = . 11.76. у= -—. 11.77. y=x2+l—2Vx2+\.
sin* х
11.78. у = — . 11.79. у=— *2. 11.80. ж 6,2 А. 11.81. VT+y*=
= Су\+х*> 11.82. #=С(1+*2). 11.83. у=— +1 + —.
Сх2 1 1 —
11.84. * = — -"ас-- П-86- У^-—1п^-2^ = С.
11.86. у = [С+ In (а: + УМ7*2)]- 11.87. С*=1п — + 2.
/1 +*2 *
11.88. у = - ^(1 + 1п х) . П.89. у = (С-*) (*+ VT+15).
11.90.
In С*
у = Се*-**' - е- ^
11.91. Сх
Tarctg-^-
11.92. 3— In— = — .11.93. 1пС* = — еу . 11.94. у =
* *
«=(С + 3*)1п*. 11.95. 21п(3*+1) = (Зу-1)а + С. 11.96. )Л+*2 +
j. 1/ТТй2 = 4. 11.97. 1п2* = . 11.98. */2 = 2 In —Е— .
cos # 2
— 3 х и
11.99. У In3* = — arcsin2^. 11.100. y=xlg—■. 11.101. *=sin — .
4 2 *
11.102. cost/ =
-1
e—1
11.103. */ = (*2—*)ln
*—1
11.104. e
0
ln*+l.
11.105. 1П*:
n 1
~ arc sin — — —- . 11.107. # = — — cos 2*+Cx* + C2.
* 6 4
11.108. p~ :^-(?4 + ?3-?2) + C19 + C2. 11.109. У = -д- e"3Jf +
+ 2*a + Cx* + C2. 11.110. s = C!^+C2. 11.111. i/=*ln|*|—*+C1*+C2.
*2 In | * |
З*2 б2,
—- + d* + C2. 11.114. y =
*tt
5
11.112. f(/ =
11.115. у —
cos 2*
-j- — — -* + 2. 11.117. s = /(ln<+l). 11.118. у =
340
— +— + ,-1.11.116.,=— +
+

+ -^+*--Ц-. 11.119. s(t) = t*-t* + t. 11.120. 63 м.
11.121. /»8c; s^l04 м. 11.126. у = С^'™ + С2е*х. 11.127. у~
X
в= С^-ы+Съе-**. 11.128. y^Ci+Ctf**. 11.129. у^Л 2 + С2е***
11.130. #='<r3Jf(Ci + C2*). 11.131. у = еЬ*(С1+С2х). 11.132. (/=-
= Сх cos 4* + С2 sin Ах. 11.133. у = Сх cos 7* + С2 sin 7x.
11.134. #=е~* (Сх cos x+C2 sin *). 11.135. у=е2Х(С1 cos 3*+С2 sin 3*).
11.137. (/ = 2—е~**. 11.138. . у = —cos 2* + —— sin 2*.
11.139. 0=~***—-г-*-*. И.140. */=^(*+2). 11.141. у -.
3 3
=e* (cos 2*-sin 2*) 11.147. у « С^-** + C2*** + x* - a; - 4- .
11.148. у = A** + C2e** + ("J" + l)Г*. П.149. y-C^ + C2e** +
+ 5xe9X. 11.150. #=Сх cos 4* + C2 sin 4* + (2x+\)e'x. 11.151. у «
= e-x (Cx cos x + C2 sin x) +(-|- + 4^ <r2Jf. 11.152. y=Cx + C2e»* ~
__ 3^2 + x. 11.153. у = C^-* + C2e4Jf — (2*a + 3*) *-*.
11.154. у = Q + C2*-** + M- ** + -i- * j e-f.
11.155. y=e-*x (Ci+C^) + — x*e~*x. 11.156. у = Cx + Cae-^ +
3
+ 4cos3*+4sin3*. 11.157. y=e-x(C1+C2x)—4 cos* +— sinx.
11.158. (/ = C, cos 5x + C2 sin 5* + 4x sin 6*. 11.159. у =* С* cos 3*+
/8 3 \
+ C2 sin 3* + xl — — cos 3* + — sin 3x . 11.160. j/=e4Jf (CxCos2*+
+ C2sin2*) +4 cos 4x +—sin 4*. 11.161. y=—8ex+3eiX+(x+b)e~x.
11.162. i/=e* (—6 cos 3* + sin 3*) + 12 cos 3* + 2 sin 3*.
11.163. t/ = 3 — 2^-f- 3*ев*. 11.164. # = — cos2* + sin2* +
-f- I — *-f 1 le"2-*. 11.165. y=— 3cos* -f-rcsin*+* (4 cos*—3sin*).
Глава 12
12J. (1; -2), (-3; -4), (0; 2), (- y"S; 1), (6; 0), (-8; 0),
(0; —1^2), (5; 12). 12.4. 1) Прямая х = 2, перпендикулярная
действительной оси; 2) прямая # = —2, параллельная действительной
оси, 3) полуплоскость, лежащая ниже действительной оси; 4)
биссектриса II и IV координатных углов. 12.5. 1) —3—5/; 224+ i\
3) —6 + 6/; 4) 8 - 3*; 5) li\ 6) — Ы. 12.7. 1) г = 2/2, ф =
Зя п 5п ' ,
= _ ;2) г = 8, ф = — ; 3) г = 10, ф = - — ; 4) г = 5, ф =
4 з а
34 1

«= 36°52'; 5) г = 13, ф = -67°23'; 6) г = ]/1; ф = - _ ; 7) г *■*
»6, ф = и:; 8)г= 7,ф =-L ; 9) г= /2,ф = 0. 12.9. 1) Часть
плоскости, лежащая вне круга с центром в точке (0; 0) и радиусом
б; 2) часть плоскости, лежащая внутри круга (включая границу) с
центром в точке (4;0) и радиусом 2; 3) часть плоскости, лежащая
вне круга (включая границу) с центром в точке (0; —2) и радиу»
сом 4; 4) окружность с центром в точке (0; 3) и радиусом 3; б) часть
плоскости, лежащая внутри круга с центром в точке (—1; 1) и
радиусом 2; 6) кольцо между концентрическими окружностями,
имеющими центр в точке(0; 0) и радиусы 1 и 3; 7) биссектриса I и III
координатных углов. 12.10. г = 3,6 + 4,8/. 12.11. 1) 6 + б/; 2)
— 1 + 3/; 3) —10 — 2/; 4)—11 + 6/; 5)8; 6) 0. 12.12. 1) —7 —/;
2) —8 —7/; 3) 0,3 — 2,15/; 4) (4х — 2у) + {—5x+3y)i. 12.13. 1) 3+
+ /; 2) —5 + б/; 3)6 + 2*; 4) —4— 3/; 5) — 4/; 6) 0. 12.14. 1) 20 —
— 12/; 2) —15 + 11/; 3) —0,2 —3/; 4) (За- — 4у + 2г) +
+(-2л-+7£-5г)/. 12.17. 1)*=4, */=2; 2) х =- -1, у = - -1 ;
3) х = 3, у = — 2; 4) х = —1, у = —2. 12.20. 1) —10 — 6/; 2) *
—27+21/; 3) 3+2/; 4) 2rs+8r2/. 12.21. 1)13+26/; 2) —2+100/; 3)/3+
+ /6+ (]/1-3)/; 4)21; б) т + т; 6) -а2-б2. 12.22.
1)-Л/; 2) 3-3/; 3) 0,4+1,2/; 4)_^^^_Л
12.23. 1) — 1,5 + 1,5 /; 2) /; 3) 2,6 + 0,2 /; 4) — i- — -Д /.
53 53
12.24. 1) - ——^-; 2) -^ + -^1-; 3) £—1.1)—^ +
2т V п 38 44
+ ИРТ7Г^ 5> <*• 12.25.1)-1,3-0,9/; 2)--gg- + -g5 /;
3) 1,1 — 0,7/; 4) — m + ni. 12.27. г = р2+?2. 12.28. М (— 1,5;4,7).
12.29. 1) (а+Ы) (а—Ы)\ 2) (т+4ш) (т—4ш); 3) (Зр+5?/) (Зр—5?/);
4) (4- + 4** )(4"""-г'); 5) {^7к + У1ь^ О^-У"0;
6) (^7 + ^5/) (|/^7 —у^5 t) ; 7f (1 + /tga) (1 -fig a).
12.31. 1; —1; /; —/; /; 1; —1; —/. 12.32. 1) 2/, 32/;— 64 — 64*;
2) — 2r, 8 + 8/, —64. 12.33.' 1) — 5 + 12/; 2) 24— 10/; 3) — 7 — 24/;
4)— 11—2/; 5) 2-Ц/; 6) 26-18/. 12.35. 1)JJ+-L*;
2) — — — -^-/; 3) —3,4—6,2/; 4) 92/; 6) — 1. 12.36. r = 18/2",
<p = — — . 12.37. 1) Re ш = *2 — */2, Imai = 2xy\ 2) Re w =
4
Imw=— ——: ; 3) Rew = x3 — 3jcr/2 — xt Imai =»
x2 + y2 *2 + y2
1 l/~5
= 3x2y — y3 — y. 12.39. 1) /; 2) — — ^ *; 3) e2 (cos б +/ sin 5);
342

'*)V (cos 1—/ sin 1); 6) — r*. 12.41. 1) / sh 1; 2) cos 1 ch 1 —/ sinl sh 1;
3> /sin3; 4) cos5; 5)ch2cos 1 — ish2sin 1. 12.44. 1}Rew«=
esirijcchj/, Imo; = cos*sh(/;2)Rea;=»sh*cos0f Jmo; = ch*siny;
3) Rea> = e* (л:cost/ — 0sin#), Ima/=e* (x sin^ + j/cos #);
4) Re a; —.
*a + </2
. (* cos y+y sin y), Im w=-
x* + y'<
-(x sin #— у cos y).
тс/
12.51. 1) /1 [cos ( - -1 j + / sin (- -1-)] = V~2e 4 ;
2) V 2 ( cos -%- + / sin -£ J = /1 e 4 ; 3) 2 (cos-^- + / sin j)
«=2*V; 4)2/l[cos (-"t) +'sin(-T")J =
=2/2<T~; 5) 5[cos (---|-) + /sin (-^-jj = Бе" Т ;
0 + i sin 0 = e0'1 ; 7) 2 /1 [ cos -|l + / sin-|i) = 2 /5",
6) cos
2rc/
. 3
12.52. 1) 2*™= — 2; 2) 3e2=3/; 3) 4e3 = 2 + 2/*3/;
4) 8e 6 = 4/1-4/; 5) e4 = - ^-j- + I ^ '• 6> 7* = 7-
12.53. 1) — (cos ic + / sin ic) = — _ ; 2) <?4 ( cos JL + / sin — )=
= /e4; 3) 6 ( cos — + / sin JL) = 3 + 3 /37; 4) 3 | cos f — JL) +
/ ic \1 3/2 3/1 r / 2ic 2ic\
+ /sinl — ~Х}\ = —2—~~—2— /; 6> «l cos —+ /sin -3-I =-
= ^ + -^|— /. 12.55. 1) 12/; 2) 2/1 + 2/2 /; 3)
/ 5тс 5ic\ _ 2
2 ^co* -у2"+ / sin -jj I; 4) 3 + /3 /; 5) — 9 — 3 /1/; 6) —— /;
7) ^|"cos(_-!L) + /sin( 1)1; 8)-3/1. 12.56.1) -6/2+
-- л --/ я ic \ /"6 /6
+ 6/75/; 2) 4/2^cos-j2 +/sin^-j; 3)_;1—+ -ig- ^
5M r- r~ /1 1 /2
+ /sin-f2-j 12.57. l)/l+/2 /; 2) -*j-+ — /; 3) - -^-+
/6 —
+ "%- '; 4) /1 — /; 5) 8/; 6) —1 —/1 /. 12.58. 1)2/3 + 2/;
Й-
-f+ "f <'• 3)/2-/6/; 4) 2/57; 5) ^(cos^j +
+ /sin^j; 6) 4/2 + 4/2/. 12.59. 1) —-j- + -
//3
; <2) 4 +
343

+ 4/3/; 3)^--^p i\ 4) —243; 5) - 32 + 32 }Гз i;
V* 1 32
6)— JL£ — — /; 7) —128—128/; 8) 512; 9) — 27; 10)— /.
' 64 64 ' . ;243
120° + 360°fc . 120° + 360°Лг ,
12.60. 1) cos -1- + / sin -1- , k = 0, 1, 2;
2) 2 cos
rc + 2fo:
+ / sin
rc + 2fot
■)•
k = 0t 1, 2, 3;
4 4
150° + 360°fc . 150° + 360°fc ,
3) cos +/sin r- , k=0t 1, 2, 3, 4;
5 5
2/гт: 2/гтс
4) cos— + /sin—, fc = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6;
5) 3 cos
(■
— 135° + 360°fe
+ / sin
•к
135° + 360°fe
■)■
k = 0, 1, 2;
6) 2 I cos -£_ + /sin -£
■ + 2/bc
, fc = 0, 1, 2, 3, 4;
7) 4^2
8) ^12
cos
• — + 2b
4 ^
* sin
■ — +■2^
, * = 0, 1;
cos 1- +/sin £_ / , k = 0t 1, 2;
.cos (-
/ 2Ы 2kn\
9) 5 ( cos — + / sin — J , k = 0, 1, 2; 10) 2
+ /sin — J , /г = 0, 1, 2, 3; 11) 2 cos —^ +
« + 2Ы \
+ / sin —• , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5; 12) cos
5*
+ / sin
5rc
— — + 2Ы
Ё 1, /г = 0, 1, 2, 3; 13) У 2
4
+ 2kn
+
— + 2fac) j / - — +2fac
+ /sin JL_ /,fc = 0, 1, 2, 3,4; 14)— 1 cos £- +
5 / 6 \ 3
+ /sin
-т+2Ы]
, ft=0, 1,2. 12.61.1)41^2 (cos-j +
sin Щ ; 2) ^ [ cos ( - -fij + i sin ( - ^)J; 3) 32.+
344

( Х+2Ь ^-+2*
+ 32/; 4) 8/; 5) /1 I cos —j + i sin -i—
it те >
— —+2/гте — — + 2/гте 1
Л = 0, 1, 2, 3; 6) у/" 2 I cos i- + * sin
* = 0, 1,2. 12.62. "V" —"V" '' !2,63# *)—20/5 + 20/5/;
2)/2[.os(-^) + /sin(-^)];3)8/-2(cos^ +
+ /sin -jg-j; 4)-^--*g- /; 5)- 4"» 6) 27-
7ic/ Hit/ Зтс/
12.70. 1) 4 /1 e 12 ; 2) /"2 e11"; 3) 16 /1 e 4 ;
f+2*r 5f+2A*
4) /le 3 , Ы0, 1, 2;6)V2e 4 , k = 0, 1,2,3.
— — 5 /"2 - — /"2 - —
12.71. 8e3 . 12.72. 1) 16e6 ; 2) —*j— e l2 ; 3) ~ e 12;
4) 32e 6 ; 5) 1296W = 1296; 6) 2e 3 , fc=0, 1, 2;
*+2*\, * "f+2**
7) 3* 4 , fc = 0, 1, 2, 3; 8) 2* 4 , fc = 0, 1, 2, 3;
T +***
9) 3 ]f<2e 3 , fc = 0, 1, 2. 12.74. zx = 2/1+ 2/2/, z2 •.
2/1-2/1/. 12.75. z1==3, z2=^^+AJp/, z8:
3 3 /3 —
-y-—y- /. 12.76. Z! = 2/, z2= /3-/, z3 = -/3
12.77. Z! = 1 + f, z2 = — 1 + /, z3 = — 1 — /, z4 = 1 — /. 12.78. z1=
ft / Зте . . Зте \ / 5те . 5те \
( cos — -р t sin —I , z2 = 2 I cos — + / sin — 1 , z3 =
=2[cos (-т-)+",п (-t)] • г<=2 [cos (-t)+
+ tsin (-у)]- 12.79. ?1=)/l(cos-^- + tsin -jjj, га=в
= /"2 ( cos !jj + / sin ijj), г3= |Г5[ cos ( - ^-) +
+'M-S)]-«-^H-^)+<-(--S)]-
12.80. г1= ^(cos-^+'sin-yj, г2 = »r 2(cos Ц- +
343

5тс\ о / 7« 7«\
+ f sin —I, г3 =-у~2 I cos — + i sin —1 , z4 =
-^l[«..(-f) + .-.(-i)]. »_Л[.(-Ь) +
+ .-.(_Ь||.*-М[-.(-Ь) + г-.(-Ь)]:
л I тс тс \ в> / 7тс
12.81. 21=e/2^cos — + *sin —J, г2~/1( cos — +
7т: \ б^/ Зтс , Зтс\
+ i sin — j , 23 = /21 cos — 4-1 sin —I , г4 =»
-Vi[-(-5)+'*(-ff))-*-V[-(-|)+
+-ЮЬ-НЧ-т)+<Ч-т)]-
12.82. 1) Кольцо между концентрическими окружностями
(включая границы), имеющими центр в точке (0; 1) и радиусы 4 и 5;
2) часть плоскости, лежащая вне круга (включая границу) о
центром в точке (0; —2) и радиусом 7; 3) биссектриса II и IV
координатных углов; 4) точка (1; 1). 12.83. 1) х2 + 4 «= 0; 2) х2 4
+ (1—0*+18+13*; 3) х2 + 14/*- 58 = 0; 4) х2 + 3 — М =0.
12.84. 1) —8 — ВУ1 t\ 2) 9/: 3) — JlC? -f- 1С? /;
тс тс \
— — f 2fet — — + 2kn |
cos - -Msin 1 I fe = 0, 1, 2, 3;
4 4 /
/ Зтс _ Зтс л \
/ - — +2fac - — + 2*тс\
б) 2 /2 I cos i— +/sin 1- J *=*0t I, 2;
4) 2 \^
6) /2^
2* ft. 2тс „. \
— +2*тс —+ 2йтс
cos -£_ + / sin -i— / , k = 0, 1, 2, 3, 4, 6;
6 6 ' /
К 2 /1 1 }Лз
7) /; 8) — 1. 12.85. 1) *; 2) - -*y- + -*у- /; 3) — - ^ i\
лГЪ \ /"3 1
4)-^-^ — —*. 12.87. 1) 1J'—— i\ 2)*-* (cos(-4) +
+ /sin .(—4)1; 3) ie 2 .12.88.1) Rew = *2 — (# — l)a, 1тш о
= 2*(8,-l>;2> *.__£=i:?-,ta.--—TL_:
3) Re до = cos xchyt Im до => — sin x sh #; 4) Re до =■ ch * cos yt Im до=»
1 /3
«shjtsinv 12.89. 1) ch 1; 2) -j- eh 1 + < ^y sh I;
7/1 7 V~2
3) 0; 4) cosl sh2 — / sin 1 ch2. 12.90. 1) *i= —— — —£— i,
346

7/"2 , 7/1 . лч „. ЬУЪ , 5 t
— —— + —g— l; 2) 2i = ""6f; *2 = —2— + ."2" '• *3 "*
--^Mp+ -§"'"• 3) zx = 2/2 + 2 /l/,z2=-2/"2 + 2/2>,
|^ = — 2/1 —2/2/, z4 = 2/1 — 2/1 i; 4) zx = cos -^ +
Зт: 5т: 5т: / Зтс \
^ + /sin—, z2 = cos —+ *sin — , z3 = cos( — — 1 +
-+fsin(--y)' 24=cos(-YJ + /sin (—j)' 5) 2l=^ +
:+ff z2 = -/"3 + t, z3 = -/l-i, z4 = /3-r, 6) zx =
^•[-(-^)+'-(-т?)]—'[-(-^+
Глава 13
1111 1 о 11 1
13Л- U 3 • 7 ' 11 ' 15 ' 19:2)~ 3 * 7 ' ~ 11 '
1 1.^1 1 1 il ^..п 1 1 -L 1
16 '~ 19 ' ' 2 ' 4 ' 8 * 16 ' 32 ' ' • 2 ' ' 4 ' 5 *
1111 1111
13.2. ,) 1+ _+_+_+_; 2) ,__ + ___+--;
1 1 _1_ J_ J_ J_ _1_ J_ __1_
3) 8 + 35 + 80 + 143 + 224 ; 4) " 3/ 2 + */! ~\П + \П> '
2 2 1 ( Пл-1 / n
5) 2+0+ — + О + -25 • 13.3.1)2^:2) / ; 3) r-w;
(_1)Л+1 1 . n n
4) TT+V • ,3-4- l) у • 2) (-1)n"1 мТ: 3) "FT;
4) (— l)""1. 13.6. S = — . 13.7. 5 = 2. 13. ft. Сходится. 13.19.
Сходится. 13.20. Сходится. 13.21. Расходится. 13.22. Сходится
13.23. Расходится. 13.24. Расходится. 13.28. Сходится.
13.2.9..Сходится. 13.30. Сходится. 13.31. Сходится. 13.32. Сходится. 13.33. Рас
ходится. 13.34. Сходится. 13.35. Сходится. 13.36. Сходится
13.37. Расходится. 13.38. Расходится. 13.39. Сходится. 13.40. Схо
дится. 13.41. Расходится. 13.42. Сходится. 13.44. Сходится
13.45. Сходится. 13.46. Расходится. 13.47. Сходится. 13.48. Схо
дится. 13.49. Расходится .13.51. Д5з < 0,000025. 13.52. 5 членов
13.57. Сходится абсолютно. 13.58. Сходится абсолютно. 13.59. Схо
дится условно. 13.60. Сходится абсолютно. 13.61. Расходится,
347

13.62. Расходится. 13.63. Сходится абсолютно. 13.64. Сходится,
абсолютно. 13.65. Сходится абсолютно. 13.67. При х = — 1 и х —
4
= — ряд сходится, при х = 2 — расходится. 13.71. х = 0.
13.72. — 1 < х < 1. 13.73. л- = 0. 13.74. — 1 < х <1. 13.75. —оо<
< х К оо. 13.76. — 3 < а- < 3. 13.77. — 2 < д- < 2. 13.78. — 7 <*<
< 7. 13.79. — оо < х < оо. 13.80. — 4 < * < 4. 13.81. — е < х < <?.
13.85.^ = 1 + "^+^+. ■■+J^L+ .- ;-оо<^<оо.
13.86. Г' = 1 - -Jy f Jp + ...+(-1)"-^-+ ...;-оо <*<оо.
,3.87. sin 3,= -- — +...+(- ,)«-1-±_ + ...;
X X2 X*
г- оо < х < оо. 13.88. cos — = 1 — —■— + — — ... +
2 22-2! 24-4! ^
х2П I х \
+ <-1)Л1^Г+-:-~<*<~ •"•M.'n(i-T)-p
* *2 *а х"
в""Т" 32.2 " Зз.З -••'"" 3".* ;-3<дс<3'
16х2 64л:3 (4х)л
13.90. 1п(1+4*) = 4*- ——+ ——-,. „ + (-l)«-i^L;
2 3 п
— — < х < — . 13.91. (1 + хГ2 = 1 — 2х + Зх2 - 4*3 + ... +
4 4
+ (-1)л("+1) *я+...;-1 <*<1. 13.92. J-^ = l+^ +
+ *« + ... + *зл + ... ;->1<х< 1. 13.93.^1 + *3 = 1 + —^
л* 3*9 1
— (- -т — ... ; — 1 < х < 1. 13.94. . => 1 4.
22.2! ^ 2з.З! VI—х» Т
*2 Зх4 3-5
+ Т + 1^2Г + 1^Г*в+",;~1<с*<1* 13-96- arcsi"* =
1 х3 1-3 х5 >
-*+т-т+21-т+-"5-!<*<1- 13-97-
, 1 х? 1-3 X6
In (* + Vl+**) = *- — • Y + 2ll ... I -!<*<!.
(• sin дг , x3 x6
13.98. j _*_,__+__...+
0
x x
-f(—1)л ; 13.99. \e-x2dx = x——4-——«*
^ } (2n + l) (2ri + l)! J 3 ^ 5.2!
X
0
7 f» 2 — 2 —
348

7 9
2 —- 2 —-
+ ТТГ х2 + Т7Г *2 + ••• • W.101. l/l — *3 dx =
72! ' 9-3!
З*1*
4-2 7-22:2! 10-23-31
13,102. cos Л**
JC4 Я9 X13
= x — + — — +... . 13.105. cos20° ж 0.939:
5-2! ^ 9-4! 13-6! ^
AS2< 0,001. 13.106. In 1.2 « 0,183; AS3 < 0.001. 13.107. yTo«
«3.12; A58<0.01. 13.108. ^1« 1,39. 13.109. sin 12°«0,208.
13.1 lO.cos 1° = 1.000. 13.111. ^80«2,991. 13.113. « 0,748.
13.114. «0,440. 13.115. «0,2002. 13.118. Сходится; S =— + i.
13.119. Расходится. 13.120. Сходится; 5 = 6 + i sin 1.
13.121. Сходится; 5 = cos 1 — ei. 13.122. Расходится. 13.123.
Сходится; 5 = 3 + — i- 13.124. Расходится. 13.125. Расходится.
13.126. Расходится. 13.127. Сходится. 13.130. \г\ <3, R = 3.
13.131. \г\< —. Я = — • 13.132. \г\< }^2, R = /"2.
13.133. |z| <3. Я = 3. 13.134. \г\ < 10. R = \0. 13.135. \г\ <
ее 11
< — , R = — . 13.139. / (х) ~ — sin х + — sin 2л: — — sin 3*+
& & it о
■к I sin 2*
+ ...; S(±*) = 0. 13.140. f (*)-"£- +lsinjr-——+
+ ^ + ^+...);S(±«)=0, S(0)=0. 13.142. /(*)-
7: 4 / cos3*, cos5jt \
e , ч Зя 1 / cos * cos 2* cos 3* cos bx
«.из./W~- _+T(-7T + _1_ + I?T_-Ff_
cos 6* cos 7*. \ л , rc / n \ %
ic 2 / cos 3* cos 5* \
W.,44./W-T + T(«*+—+ —+...) +
„ v P Зтг 2 / cosx 2 cos 2* , cos3* cos5*
13.145. a) f{X) ^T-f — ^—_-^r_ + __ + _-_
2cos6x cos7x \ e / 2 \ . 1
349

+(т -t)sin3*+т sin4*+(i+s)sin5*+-
Глава 14
14.3. 3 - 4 = 12. 14.4. 14 • 17 = 238. 14.5. 4.8-3 = 96.
14.6. 62= 36. 14.7. 5-4.3.2.1=5!= 120. 14.8. 6-5-4 • 3=
= 360. 14.9. 20-19.18 = 6840. 14.10. 4-10-9-8-7.6-5-4-3»2.1 —
= 4-10! 14.11.2.5-4=40. 14.12. 3-5+1 = 16. 14.13.6-4 +
+ 3 = 27. 14.14. 6-4-12 + 2-4 + 8-12 = 392. 14.17. Л^2=95040.
14.18. Л?0 — Л| = 4536. 14.19. Л^ = 12. 14.20. а^ А* = 360;
б)Л^=1296. 14.21. Л* = 81. 14.22. 3 - Л^= 36. 14.23. А\+
+ А\= 180. 14.24. А\- Л| = 120. 14.27. а) Р4= 24; б) Р (2,2) ^
= 6. 14.28. Р4 = 24. 14.29. Р (2, 3. 3) = 560. 14.30. Р8 - 1 =
= 40 319. 14.31. Р(2, 3, 1) =60. 14.32. Р(т,п,р)= (т+"+Р>! .
т\п\р\
14.33. Рз • Ра= 241920. 14.34.(4!)2 = 576. 14.35. 2.(3!)*= 72,
14.38. Cf0= 210. 14!39. С| = 28. 14.40. С2п - п = "("~3) ,
14.41. Cg = 184.756:- 14.42. С*. 14.43. С*0 = eg = 3 003.
14.44. ~С\0=С514= 2002. 14.45. Cf= Cf= 21. 14,46. С|с|-2=
= 1120. 14.47. С?5 = 5 005. 14.48. (15—3+1)-3! (15'-3)1 = 78-12!
14.49. С?7 = 35. 14.50. С2Х0 . С% - С% - С\ - С\ = 123 400.
14.51. С|-А|= С^Л| = 240. 14.52. Р (3, 1, 1, 1) — 41,-96.
14.53. 7l\ = 36. 14.54. С\ = 28. 14.55. С^ - С28= 204 820.
14.56. 10. 14.57. С\ + С\ = 43. 14.58. If=45 568. 14.59. Jf =
= 2 520. 14.60. 5 - 3 - 13 = 195. 14.63. 1) (3 — *)* = 243 — 405*+
+ 270*2 — 90*з + 15л-4 — *6; 2) (5 + 2л*),* = 625 + 1000*» +
+ 600*« + 160*9 + 16*12; 3) ( 1/Т + —J—: ] =а2 + £а У"а +
\ 2 /Т/
'3 у— 1 1 / з,— 1 \в
+ — V* + -Т7= + —; 4) [ 2 /Г - — = 64** -
з^- J60_ 60 12 1
448 _ 28
1926 УЬ + 240 /Г - —^= + —£-=. ■Г:=- +
14.64. 1) Г2+1 = —; 2) Г6+1=- — *'; 3) Г,+1-9606»^*.;
4) Т8+1 = - -f • ^Ц^г ; 5) Г3+1 = - ЗБ> ^Г. 6) Тш = 35г'.
z b2 у Ь
210 21
14.65. 1) Гв+1 = ——; 2) Г7+1 = - 40; 3) Г3+1 =
16ав
350

14.66. 1) 7V, - -j ж»; 2) Г6+1 = - 21а"агЧ 3) Тм =■• 210 cfib*.
21
14.67. л = 21. 14.68. Гв+1= — у*. 14.69. Г9+1 = ~ 1375.
lb
14.70. 7^ = 70*.
Глава 15
.5.4. -1-. 15.6. 4" •
д) 0. 15.7. р = — «0,001.
2141
; 0.0003. 15.10. р
15.6. а) •
15.8. р =
1
11. 15.13;
_4_
9 '
1 .
60
•ь
^0,016.
^0,0002. 15.11.
Р
в) -|-; г) 1;
15.9. р =
2Л2
4
Г2
81
С2
= 0,4. 15.12. р = -± «0,11. 15.13.
С?1
С5 1
15.14. р = —1-^0,027. 15.15. р =—« 0,066. 15,16. р«
/^5 15
12
81 Л5 С • С*
= "gj- « 0,002. 15.17. р = -2- « 0,2. 15.18. р = 4 П «
^0,39. 15.19. р = ^11-^5.^0,21. 15.21.-^. 15.22. ~-•
Г60 2 3
15.23. р =-1 - -25. ъ 0,972. 15.27. а) — ; б) -g- • 15-28- Р =
= — . 15.29. —f— . 15.30. — • 15.31. р=
Г 4тс 16 я2
5
15.32. —
9
15.43. —-. 15.44. — . 15.45.0,3. 15.47. р =— ^ 0.002.
225 Зо . 495
15.48. р «0,73. 15.49. р«0,93._ 15.50. р — 0,28. 15.51. р%
« 0,12. 15.52. р^ 0,099. 15.53. р= 0,44. 15.54. р = 0,712.
15.65. р « 0,89. 15,56. а) 0,92; б) 0.644; в) 0.536; г) 0,976.
15.57.Р = piP8P4 [1 — (1 - р2)8] И— (1 - Р6)41 15.58. р ^ 0,54.
13
15.61. -—. 15.62. р — 0,15. 15.63. p^0,64 15.64. а) 0,8;
Зо
2
б) « 0,29. 15.65. р = 0,7. 15.66. pss 0,976. 15.67. —. 15.68. Ко
■ ■ о
второму типу. 15.71. Вероятнее выиграть три партии из ^еты-
рех. 15.72. а) «0,34; б) « 0,66. 15.73. ^0,97 15.74. а) ^0,74;
б) «0,95; в) ^0,05. 15.75. 3. 15.76. У второго 15.77. 11 или 12.
351
15.33. р=1 — (l — -j-Y. 15.41. -^-. 15.42.0,48.

15.78: p=0,7. 15.79. p = 0,8. 15.80. 0,72. 15.81. а) —".б)—,
6 14
91 «
15.82. ж 0,32. 15.83. —•. 15.84. —. 15.85. ^ 0,19.
15.86. a) ъ 0,38; б) ъ 0,36. 15.87. a) 0,03; 6) 0,34; в) 0,97;
г) 0,63. 15.88. ^ 0,04. 15.89. a) 0,4824; 6) 0,8784. 15.90. a) 0,928;
б) 0,396; в) 0,604; r) 0,436. 15.91. 0,78. 15.92. % 0,76.
15.93. К HI группе. 15.94. ^0,32. 15.95. a) ^0,999; 6) ^0,011;
в) *; 0,256; r) ^0,744; д) ^0,871. 15.96. 21.
Подольский Владимир Алексеевич
Суходский Андрей Матвеевич
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Редактор Ж. И. Яковлева
Художник А. И. Демко
Художественный редактор В. И. Пономаренко
Технический редактор Н. А. Битюкова
Корректор Г. Н. Буханова
Сдано в набор 4/IX 1973 г. Подп. к печати 17/1 1974 г.
Формат 84X108V32- Бум. тип. № 2. Объем 11 печ. л.
Усл. п. л. 18,48. Уч.-изд. л. 17,93. Изд. № ФМ-543.
Тираж 100 000 экз. Заказ № 682. Цена 64 коп.
План выпуска литературы издательства «Высшая школа»
(вузы и техникумы) на 1974 р. Позиция №250
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14,
Издательство «Высшая школа»
Ярославский полиграфкомбинат. «Союзполиграфпрома» при
Государственном комитете Совета Министров СССР по
делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Ярославль, ул. Свободы, 97.