ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.
Бесконечно разнообразны те ошибки, которые соверша-
совершались и совершаются в различных математических рассужде-
рассуждениях. Рассмотреть с учащимися средней школы хотя бы не-
некоторые такие ошибки полезно по днум причинам: во-первых,
хорошо ознакомившись с какой-нибудь ошибкой, мы страхуем
себя от повторения такой ошибки в будущем; во-вторых,
самый процесс разыскания ошибки легко сделать весьма
увлекательным для учащихся, и изучение ошибок становится
средством поднять интерес к изучению математики.
Рассуждение, в котором допущена та или другая ошибка,
в большинстве случаев легко довести до получения явно
неверного вывода. Получается видимость доказательства ка-
какой-нибудь явной нелепости, или так называемый софизм.
Разобрать софизм — это значит указать ту ошибку, которая
была допущена в рассуждении и из-за которой получился
нелепый вывод.
Известен целый ряд подобных ошибочных рассуждений
из разных разделов математики, и существует несколько
сборников таких рассуждений. Однако эти издания давно
разошлись, и этим оправдывается выпуск в свет настоящего
сборника. Он предназначен для учащихся неполных средних
и средних школ и содержит материал разной трудности,
который учителя могут рекомендовать в соответствующих
классах школы от V до X включительно. Этот материал
удобнее всего использовать в работе школьных математиче-
математических кружков, но некоторые вопросы можно разобрать с поль-
пользой для дела и на обычных классных занятиях, особенно при
повторении.
Отметим, что при работе по разбору ошибок безусловно
необходимо добиваться полной ясности: учащиеся должны

совершенно отчетливо установить, в чем заключается допу-
допущенная в рассуждении ошибка и как ее исправить. Учитывая
это, авторы снабдили подробным разъяснением почти каждое
ошибочное рассуждение, приведенное в настоящем сборнике.
Разумеется, читать это разъяснение следует не сразу после
ознакомления с постановкой вопроса, а после настойчивых
попыток разобраться в вопросе самостоятельно. Во многих
случаях читатели найдут разъяснение самостоятельно или
после небольших указаний со стороны учителя. Особое вни-
внимание следует обращать на точность формулировок. Дело
в том, что недостаточная точность обычной у учащихся сло-
словесной формулировки теоремы может быть иногда причиной
недоразумения (хороший пример такого недоразумения дает
§ 1 главы III *), а неточности встречаются не только в от-
ответах учащихся, но и в общепринятых формулировках...
Основой настоящего сборника послужило сочинение Хар-
Харчевой А. К. «Математические софизмы и их применение в
школе», представленное ею при окончании Калининского
педагогического института в качестве дипломной работы **•
Окончательная редакция книги и несколько добавлений
к первоначальному тексту принадлежат Брадису В. М.
1937 год Авторы: В. М. Брадис
А. К. Харчева
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.
Книга В. М. Брадиса и А. К- Харчевой «Ошибки в мате-
математических рассуждениях», изданная в 1938 году и давно
исчезнувшая из продажи, имела в свое время значительный
успех среди учителей. По договоренности с авторами я пред-
предпринял ее переработку для переиздания. При подготовке
нового издания использована моя статья «Опыт классифика-
классификации упражнений на опровержение ложных математических
рассуждений», напечатанная в 1956 году в «Ученых записках
кафедр физико-математического факультета Орловского го-
государственного педагогического института» (том XI, вып. II,
стр. 122—148), исключены некоторые менее удачные раз-
разделы первого издания книги, добавлено несколько новых
* В настоящем втором издании это пункт 7 второго раздела гл. I.
** В те годы, до введения государственных экзаменов, выпускники
педагогических институтов должны были выполнять н защищать дип-
дипломные работы.

ошибочных рассуждений, а разъяснения вынесены в отдель-
отдельные разделы соответствующих глав.
В предлагаемой вниманию читателя книге «Ошибки в ма-
математических рассуждениях» ложные доказательства рас-
расположены по предметно-классификационному принципу. Это
означает, что традиционное деление материала на арифмети-
арифметический, алгебраический, геометрический и тригонометриче-
тригонометрический сохранено, но внутри названных разделов школьного
курса математики осуществлено распределение предлагаемых
упражнений в соответствии с изложенной в первой главе
классификацией.
При составлении настоящего сборника авторами были ис-
использованы различные источники, в том числе:
Обреимов В. И., Математические софизмы, изд. 3,
Пб., 1898.
Горячев Д. Н. и Воронец А. М., Задачи, во-
вопросы и софизмы для любителей математики, М., 1903.
Л я м и н А. А., Математические парадоксы и интересные
задачи, М., 1911.
Л я н ч е н к о в М. С, Математическая хрестоматия, Пб.,
1911—1912.
Надеюсь, что лица, ознакомившиеся с книгой и имеющие
замечания, не откажутся поделиться ими, направляя их
в редакцию математики Учпедгиза, по адресу: Москва, И-18,
3-й проезд Марьиной рощи, дом 41.
В. Л. Минковский

Глава I.
ОБ УПРАЖНЕНИЯХ НА ОПРОВЕРЖЕНИЕ
ОШИБОЧНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
И ИХ КЛАССИФИКАЦИИ.
ВВЕДЕНИЕ
В науке принято всякое доказываемое или опровергаемое
утверждение называть тезисом. Например, Доказы-
Доказывая какую-либо теорему, мы имеем тезис — текст этой тео
ремы.
Оправдать тезис — это значит установить его истинность;
опровергнуть тезис — показать его ложность.
Проверка тезиса состоит в его оправдании или опровер-
опровержении
Опровержение доказательства не означает еще опровер
жения тезиса Если тезис истинен, то опровержение доказа
тельства свидетельствует лишь о том, что в его защиту при
ведены неудачные аргументы или допущена оплошность в рас
суждении Однако истинность тезиса до тех пор остается
под вопросом, пока не будут представлены должные аргу
менты и логически безупречная схема доказательства
При просмотре доказательства, подтверждающего истин
ный или кажущийся истинным тезис, далеко не во всех слу-
случаях легко заметить наличие ошибки Задача значительно
облегчается, когда мы, зная заранее, что в доказательстве
содержится ошибка, исходим из специальной установки на
ее обнаружение
Если тезис выражает ложное суждение, то и любое дока-
доказательство этого тезиса всегда оказывается ложным. Умение
б

опровергнуть доказательство тезиса в случае его ложности
столь же необходимо, как и умение доказать тезис в случае
его истинности.
В ходе политических, научных и житейских споров,
в процессе судебного следствия и разбирательства, в поисках
решения различных задач приходится не только доказывать
но и опровергать.
В. И. Ленин, анализируя сознательные и бессознательные
ошибки в области логического мышления своих политических
противников, напоминал о тех рассуждениях, «..которые ма-
математики называют математическими софизмами и в кото-
которых,—строго логичным, на первый взгляд, путем,— дока-
доказывается, что дважды два пять, что часть больше целого
и т. д.», и указывал, что «Существуют сборники таких м iте-
iтематических софизмов, и учащимся детям они приносят
свою пользу» *.
В методическом письме Министерства просвещения РСФСР
«О преподавании математики в V — X классах» A952, стр. 41)
указывается, что «весьма полезным подспорьем для разви-
развития логических способностей учащихся являются всевозмож-
всевозможные софизмы».
I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ
И ИХ ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ РОЛЬ.
Софизм — слово греческого происхождения, в переводе
означающее хитроумную выдумку, ухищрение или голово-
головоломку. Речь идет о «доказательстве», направленном на фор
мально-логическое установление абсурдного положения.
Математические софизмы представляют собой тот част-
частный случай ошибок в математических рассуждениях, когда
при разительной неверности результата ошибка, приводящая
к нему, более или менее хорошо замаскирована. Раскрыть
софизм — это значит указать ошибку в рассуждении, с по-
помощью которой была создана внешняя видимость доказа-
доказательства. Осознание ошибки обычно достигается противо
поставлением ложному рассуждению истинного.
В основном математические софизмы строятся на невер
ном словоупотреблении, на неточности формулировок, очень
часто на забвении условий применимости теорем, на скрытом
выполнении невозможных действий, на незаконных обобще
* В. И. Л е н и н, Сочинения, т. 7, изд. 4, М., 1946, стр 78.

ниях, особенно при переходе от конечного числа объектов
к бесконечному, и на маскировке ошибочных рассуждений
или предположений с помощью геометрической «очевидности»,
В. И. Ленин дает обобщающую формулировку, характеризуя
софистику, как «...выхватывание внешнего сходства случаев
вне связи событий...» *.
Математический софизм тем более замысловат, чем более
тонкого характера проводимая в нем ошибка, чем менее она
предупреждена обычным школьным изложением предмета и
чем искуснее она замаскирована неточностями внешнего
выражения. С целью маскировки обычно усложняют завязку
софизма, т. е. формулируют такое положение, в процессе
доказательства которого приходится использовать несколько
истинных математических утверждений, способствующих от-
отвлечению того лица, кто ищет ошибку, на ложный путь
В некоторых софизмах достижению подобного отвлечения
удачно содействует оптическая иллюзия.
Основная цель введения софизмов в школу заключается
в приобщении к критическому мышлению, к умению не только
воспроизводить определенные логические схемы, определен-
определенные мыслительные процессы, но и критически осмысливать
каждый этап рассуждений в соответствии с усвоенными прин-
принципами математического мышления и вычислительной
практики.
Практика преподавания убедительно подтверждает, что
возможности целесообразного использования математических
софизмов возрастают по мере продвижения учащихся по сту-
ступеням классной лестницы, по мере роста их интереса к логи-
логической структуре науки. Особенно серьезно и углубленно
эта работа может быть поставлена в математическом кружке
учащихся старших классов, где обычно проявляется повы-
повышенный интерес к логическим основам методов математиче-
математического доказательства.
Математические софизмы заставляют особо внимательно,
с большой настороженностью прочитывать их тексты, тща-
тщательно следить за наличием должной точности в формули-
формулировках и записях, за соблюдением всех условий примени-
применимости теорем, за отсутствием незаконных обобщений, запре-
запрещенных действий, ссылок на кажущиеся свойства фигур
и вспомогательных построений. Все эти моменты ценны в ме-
методическом отношении, так как они направлены на содержа-
содержательное усвоение предмета, противопоставляемое формаль-
¦ В. И. Л е н и н, Сочинения, т. 21, изд. 4, М., 1948, стр. 100.
8

ному, для которого «характерно неправомерное доминиро-
доминирование в сознании и памяти учащихся привычного внешнего
(словесного, символического или образного) выражения
математического факта над содержанием этого факта»
(А. Я- Хинчин).
Прочность же усвоения математического факта значи-
значительно повышается усилением элемента эмоции при восприя-
восприятии, вызываемым абсурдным утверждением формулировки
софизма.
Упражнения в раскрытии софизмов не гарантируют от
появления подобных же ошибок в самостоятельных рассуж-
рассуждениях учащихся, но дают возможность в случае появления
ошибки скорее ее обнаружить и в ней разобраться. В педа-
педагогическом плане высказанная мысль реализуется в том,
что математические софизмы, предлагаемые вниманию уча-
учащихся, должны, как правило, использоваться не столько
для предупреждения ошибок, сколько для проверки степени
сознательности усвоения и закрепления определенного мате-
материала. На этом положении базируется практика работы наших
лучших учителей математики, использующих в некотором объе-
объеме материал софизмов на заключительном этапе упражнений
по разделу и при повторении.
Ошибки же учащихся педагог предупреждает путем все-
всестороннего рассмотрения изучаемых понятий в классе. Хо-
Хорошее знание самим педагогом типичных ученических оши-
ошибок, причин их возникновения и материала математических
софизмов способствует лучшему достижению этой цели. Сте-
Степень подготовленности в этом направлении педагога ощути-
ощутительно сказывается в подборе примеров, в выявлении всех
существенных в пределах данного типа вариаций с целью
предупреждения возникновения односторонних ассоциаций
и неправильных обобщений.
Большинство педагогов сходится на том мнении, что при
объяснении нового материала в подавляющей массе случаев
следует избегать фиксации внимания учащихся на ошибках,
еще только могущих возникнуть, чтобы не создавать ложных
наглядных представлений.
Педагогически оправданное использование математиче-
математических софизмов не исключает, а, наоборот, часто предполагает
как предварительную стадию работы постановку вопросов
в отвлеченной форме на мотивы поучительных ошибок. На
эти вопросы ученик не находит готовых ответов в тексте
учебника. Здесь от него требуется понимание сущности прой-
пройденного теоретического материала, самостоятельное размышле-
9

ние и сознательное оперирование с известным запасом мате-
математических фактов. К числу таких вопросов относятся:
1. Когда -г- равно единице?
2. Из того, что а>Ь, можно ли заключить, что и ja'>|fr|?
3. Из равенства (а—ЬJ={т — пJ можно ли сделать
вывод, что а — Ь=т — п?
4. При всех ли значениях к и у имеет место формула:
5. При любом ли действительном значении к справедливо
тождестве
lgx*=2 lg x ?
6. Определить смысл знака V в записи 2a\Ja, положив
а равным: a) lg—, б) lg cos <х. где 0<а^:90о, и сделать обобще-
обобщение.
7. При каких значениях х теряют смысл выражения:
Xs — 1 1 3 X .
X—1 ' Жа—1 ' COS X ' lg Ж
8. Установить неправильность и исправить формулировку
теоремы, взятую из одного учебника геометрии: «Прямая,
параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от него
треугольник, подобный данному».
9. Может ли в прямоугольном треугольнике медиана,
опущенная на катет, совпасть с биссектрисой?
Необходимое условие применимости того или иного мате
матического софизма в обучении ученика состоит в наличии
в распоряжении последнего предпосылок для раскрытия
этого софизма. Несоблюдение этого необходимого условия
не только полностью обесценивает применение софизмов
но и делает их вредными: ученик, не имеющий возможности
разобраться в существе вопроса, беспомощно хватающийся
за внешние приемы, сводящий свою работу к простой догадке,
теряет равгговесие, вырабатывает в себе черты нерешитель-
нерешительности. Все это. конечно, не имеет ничего общего с задачей
постепенного и настойчивого воспитания осторожности в
утверждениях, как с осознанной потребностью разобраться
в условиях вопроса и в средствах для его ответственного
решения. Кстати, во всяком месте курса учитель должен
быть вполне искренним с учеником, откровенно указывая
10

ему те логические пробелы своего изложения, которые являют-
являются следствием сознательного педагогического корректива.
II. КЛАССИФИКАЦИЯ УПРАЖНЕНИЙ НА ОПРОВЕРЖЕНИЕ
ЛОЖНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ.
В истории развития науки математические софизмы (в свое
время парадоксы) играли существенную роль: они способ-
способствовали усилению требований содержательного анализа и
строгого доказательства и порой приводили к длительному
отказу, по крайней мере официальному, от использования тех
понятий и методов, которые не были еще доступны для строго
логической обработки. Отсюда понятен и рано возникший
интерес к изучению, систематизации и педагогическому ис-
использованию заведомо ложных доказательств.
Осознание педагогической роли математических упраж-
упражнений на опровержение ложных доказательств порождает
стремление к выявлению и характеристике их основных ви-
видов как необходимого условия для рационального отбора
и использования этого материала в школе.
Первый опыт составления сборника геометрических со-
софизмов был предпринят автором «Начал» Евклидом из Алек-
Александрии. К великому сожалению, этот труд Евклида, носив-
носивший название «Псевдария», считается безнадежно утерянным.
О его назначении и содержании рассказывает нам Прокл
D10—485). Из слов Прокла видно, что работа предназнача-
предназначалась для начинающих изучать геометрию. Она ставила своей
задачей научить учащихся обнаруживать ложные заключения
и тем самым иметь возможность их избегать.
Для обнаружения ошибок Евклидом были предложены
остроумные методы, которые он, перечисляя в определенном
порядке, сопровождает соответствующими упражнениями.
Ложному выводу Евклид противопоставляет истинный и по-
показывает, как иногда интуиция может служить источником
заблуждения.
Выдающийся русский педагог-математик В. И. Обреимов
A843—1910) предложил свой «опыт группировки» упражне-
упражнений указанного типа и перечислил эти группы.
Первые три группы классификации В. И. Обреимова
(равенство неравных, неравенство равных и меньшее пре-
превышает большее) охватывают те ложные доказательства,
тезисы которых противоречат применению критериев срав-
сравнения, т. е. понятий больше, меньше и равно.
И

Четвертая группа — геометрические несообразности. В нее
включены такие умозаключения, в которых нелепый вывод
возникает из-за ошибки чертежа при безукоризненном про-
проведении всех остальных логических рассуждений.
Пятая группа — «мнимое реально». Здесь нашли себе
место ложные доказательства, связанные с неправильной
трактовкой понятия мнимого числа.
Классификация В. И. Обреимова не свободна от недо-
недостатков. Во-первых, при перечислении видов делимого поня-
понятия не выдержан принцип единственности основания деле-
деления: критерии сравнения, с одной стороны, и принадлеж-
принадлежность к геометрии или к данному разделу курса алгебры
(мнимые числа), с другой. Во-вторых, за основание первых
трех групп классификации В. И. Обреимова выбран чисто
внешний, весьма общий и несущественный для характеристики
ложных доказательств признак деления. В силу этого ма-
материал, относящийся к уяснению одной и той же ошибки,
разбросан по разным разделам. Недоразумения в связи
с делением на нуль изложены в первом и во втором разделах,
а недоразумения из-за отсутствия перемены знака при умно-
умножении обеих частей неравенства на отрицательное число —
во втором и третьем разделах, и т. п.
Положительным моментом классификации В. И. Обреимова
является выделение в особую группу ложных доказательств,
основанных на ошибках построения.
Перейдем теперь к рассмотрению указаний на классифи-
классификацию ложных доказательств немецкого ученого Германа
Шуберта A848—1911). Он высказывается за выделение четы-
четырех видов ложных доказательств, основанных на делении
на нуль, на двузначности квадратного корпя, на геометри-
геометрическом обмане (ошибка в построении) и на приписывании
сумме бесконечного множества чисел бесконечно большой
величины.
Ценным в предложении Г. Шуберта является распределе-
распределение ложных доказательств по характеру тех ошибок, которые
приводят к ложным выводам. Однако классификация по
избранному принципу осталась неразвернутой. Перечислен-
Перечисленные Г. Шубертом четыре вида ложных доказательств не
исчерпывают даже минимального объема рассматриваемого
понятия. В частности, ничего не сказано о ложных доказа-
доказательствах, построенных на излишнем доверии к геометриче-
геометрической интуиции в тех случаях, когда прямой геометрический
обман не имеет места.
12

Французский педагог и историк математики Е. Фурре
относит к геометрическим софизмам все те софизмы, форму-
формулировки которых касаются геометрических объектов. Таким
образом, сюда включаются и геометрические воплощения
алгебраических софизмов, основанные на допущении чисто
алгебраических ошибок. Разумеется, эти ошибки могут быть
замаскированы не только различными геометрическими пред-
предложениями, но и относящимися к другим отделам матема-
математики. Ясно, что классификация, основанная на внешней
форме ошибочного рассуждения, есть чисто внешняя классифи-
классификация.
Геометрические софизмы в указанном широком смысле
этого термина Е. Фурре разделяет на два вида: основанные
на ошибках в построении и основанные на ошибках в рас-
рассуждении. В ошибках рассуждения Е. Фурре различает
ошибки, связанные с отклонением от точных определе-
определений и с выполнением недозволенных опегаций над чис-
числами.
Теперь мы предложим вниманию читателя наш опыт клас-
классификации упражнений на опровержение ложных математи-
математических рассуждений по важнейшим разделам ошибок в речи
и мышлении, которые, обычно не именуя их, упорно пред-
предотвращает учитель всей практикой своей повседневной ра-
работы как при изучении теории, так и при выполнении упраж-
упражнений.
Предлагаемая классификация рассчитана прежде всего
на учителя. С этой целью в ней подчеркивается уже назва-
названием каждого вида специфическое педагогическое назначение
того или иного упражнения, что создает возможности для
быстрой ориентировки в материале и предупреждает бес-
бессистемность в его использовании
Наш педагогический опыт позволяет утверждать, что эта
классификация полезна и ученикам старших классов, у ко-
которых рассуждения начинают совершаться не только в соот-
соответствии с определенными принципами, но и на основе осозна-
осознания этих принципов. В этот переходный период учащиеся
ощущают настоятельную потребность в проверке точности
своих познаний, их логической обоснованности, степени
своего понимания и удовлетворительности словесного выра-
выражения.
Мы далеки от мысли, что предлагаемая классификация
свободна от недостатков. Она, конечно, не свободна от тех
недостатков, которые характерны, например, для классифи-
классификации арифметических задач по существенным особенностям
13

способов их решения. Использование более широкого опыта
работы и критика помогут внести в нее необходимые коррек-
коррективы. Однако мы позволяем себе думать, что и в настоящем
виде она представляет некоторый шаг вперед по сравнению
с существующими классификациями, преследующими, как
и данная, чисто педагогические цели.
Перейдем теперь к конкретному рассмотрению вопроса.
1. Неправильности речи.
Систематический анализ софизмов был дан впервые Ари-
Аристотелем C84—322 до н. э.) в особом трактате, посвященном
софистическим опровержениям, в котором все ошибки раз-
разделяются на два класса: «неправильности речи» и ошибки
«вне речи», т. е. в мышлении.
Нет необходимости доказывать, что каждый правильно
спланированный и проведенный урок по предмету математики
является одновременно и уроком по развитию речи учащихся.
На страницах методической литературы неоднократно под-
подчеркивалось благотворное влияние математики на совершен-
совершенствование речи ученика в смысле ее точности и последова-
последовательности. Однако эти цели не достигаются автоматически.
Для их достижения необходима повседневная работа учи-
учителя математики над словом ученика, над формой выражения
его мысли как при устных ответах, так и при выполнении
различных письменных работ. Интенсивному искоренению
неправильностей, встречающихся в речи учащихся, способ-
способствует привлечение самих учащихся к корректированию
ответов своих товарищей. Следует отчетливо довести до созна-
сознания учащихся, что неправильности речи не только затрудняют
изучение математики, но и являются одним из источников
различных заблуждений.
Двусмысленность слова.
Как правило, каждое понятие в математике обозначается
своим особым термином. В исключительных же случаях,
т. е. когда один и тот же термин употребляется в разных
смыслах, необходимы специальные указания, в каком именно
смысле здесь употреблен данный термин, если это неясно
из самого контекста. К числу неоднозначных математических
терминов относятся, например, следующие: квадрат (показа-
(показатель степени и геометрическая фигура), корень (в смысле
14

решения уравнения и как синоним слова радикал), число
(количественное и порядковое, отвлеченное и именованное,
точное и приближенное).
Пример. Отец и сын прибыли в город на постоянное
жительство. Мальчик, знавший из рассказов редчтелей, что
в городе 25 тыс жителей, поспешил уже на вокзале заявить,
что теперь в городе жителей 25 002. Отец засмеялся и начал
что-то объяснять сыну Что сказал отец?
Двусмысленность произношения.
Здесь речь идет об искажении первоначального смысла
фразы из-за измененной постановки ударения в каком-нибудь
слове.
Пример. Сто сорок да сто сорок будет двести сорок
Двусмысленность конструкции.
Имеется в виду такая конструкция предложения, которая
допускает разное восприятие его смысла.
Пример. Сколько будет трижды три и семь?
Со смыслом этой фразы согласуются два различных, друг
друга исключающих, порядка действий, а именно: 3-3+7
и 3.C+7).
Ошибка распределения
Эта ошибка имеет место, когда термину, употребленному
в собирательном смысле, придается значение разделительного.
Пример. Все углы треугольника равны двум прямым
углам.
Здесь слово «все» употреблено в смысле «сумма». Однако
выГоэ термина неудачен, так как можно его понимать и в
смысле «каждый». Мысль становится абсурдной: «Каждый
угол треугольника равен сумме двух прямых углов».
Ошибка составления.
Ошибка, противоположная предыдущей. Она возникает
тогда, когда термину, употребленному в разделительном
смысле, придается значение собирательного.
II р и м е р. Все углы треугольника меньше двух пря-
прямых углов.
Здесь слово «все» употреблено в смысле «каждый». Однако
выбор термина нельзя признать удачным, так как его можно
понимать и в смысле «сумма». Мысль для системы евклидовой
15

геометрии становится абсурдной: «Сумма углов треуголь-
треугольника меньше двух прямых углов».
Разбор ошибок «вне речи» мы начнем с ложных доказа-
доказательств, построенных на поспешных, непродуманных обобще-
обобщениях. Рассмотрение некоторых из них в школе весьма по-
полезно, так как «прежде всего совершенно ясно замечается
тенденция к расширенному пониманию тех правил, с кото-
которыми оперирует элементарная память» (Д. Д. Мордухай-
Болтовской).
2. Распространение на исключительные случаи.
Здесь речь идет об использовании действительно общего
правила, но в таком специальном случае, при котором не-
некоторые дополнительные обстоятельства исключают возмож-
возможность его применения.
Большая часть софизмов этой категории возникает по-
потому, что из поля зрения неопытного вычислителя ускользает,
что предложенное или полученное выражение содержит ука-
указания на действия, невозможные над величинами,, входящими
в его состав.
Учащийся должен хорошо осознать, что обе формы -^
и -Q-суть только рисунки из математических знаков, только
кажущиеся формулы, потому что всякая математическая
формула теряет смысл, как только делитель делается равным
нулю. Осознанию этой мысли весьма содействует разбор соот-
соответствующих математических примеров. В этой связи они
приводятся не только в книгах по элементарной математике,
но и в учебниках математического анализа.
Пример, принадлежащий Б. Больцано A781—1848).
«Если а и Ь—пара различных величин, то будут иметь место
два тождества:
а— Ь=а — Ь;
b — а—Ъ — а
Сложение дает:
а—а=Ь — Ь, или а-A — l) = fe-(l — 1).
Если допустить деление обеих частей равенства на мно-
множитель, равный нулю, то мы получим нелепый результат;
а=Ь при всяких а и Ь». («Парадоксы бесконечного», Одесса,
1911, стр. 56.)
16

Заметим, что Больцано не предпринимает попытки деле-
деления па нуль. Дойдя до выражения a-0 — b-Q, он обращает
внимание на то, что деление на нуль послужило бы причиной
абсурдного вывода.
Учитель математики должен помнить, что «задача состоит
как раз в том, чтобы приучить учащихся никогда не пред-
предпринимать попытки деления на нуль» (А. Я- Хинчин).
3. Приписывание свойств определенного вида всему роду.
Особенно часто встречаются ошибки этого типа, состоя-
состоящие в отождествлении любой возрастающей или убывающей
функции соответственно с прямой или обратной пропорцио-
пропорциональной зависимостью.
Однако перенесение свойств вида па род может относиться
к самым различным вопросам. Об этом красноречиво говорят
знаменитые парадоксы Валлиса, И. Бернулли, Л. Карно,
Даламбера и многие другие.
Учащихся обычно интересуют геометрические воплоще-
воплощения, которыми представляются некоторые из этих софизмов.
Пример. Во всяком л
прямоугольном треугольнике
катет больше гипотенузы.
Возьмем разность квадратов
гипотенузы и одного из кате
товЛВ2— ВС2 (черт. 1). Это
выражение можно предста-
представить в виде произведения
АВ*— ВС*=(АВ+ВС)-(АВ—
— ВС), или АВ2— ВС2 = ЧерТ )
= (АВ + ВС) ¦ (ВС — АВ).
Разделив обе части последнего равенства на произведение
— (АВ+ВС)-(АВ — ВС), получим пропорцию:
"S
А В-ВС ВС—АВ
—{АВ+ВС) АИ—ВС
Так как положительная величина больше отрицательной, те
АВ+ВС>—(АВ+ВС). Но тогда и ВС — АВ>АВ — ВС,
а потому 2ВС>2АВ, или ВСуАВ.
Разъяснение. Утверждение, что если а : b=c : d
и а>Ь, то и c>d, справедливо для положительных чисел;
на множество чисел, включающее отрицательные, оно не
распространяется.
3 Заказ № 226 17

4. Неправильное применение принципа непосредственных
умозаключений путем обращения.
Ученики средней школы далеко не сразу достигают по-
понимания необходимости доказывать обратные теоремы. Пси-
Психологическую подоплеку этого явления можно видеть в том,
что в учебнике за прямыми теоремами, естественно, следуют
только те из обратных, которые оказываются справедливыми.
Отсюда в умы учащихся навязчиво вкрадывается ложное пред-
представление о неизбежной справедливости обратной теоремы
в силу установленной истинности прямой. Противодействуя
этому впечатлению, учителю неоднократно приходится при-
приводить разительные примеры, убедительно свидетельствующие
о незаконности такого обращения.
Еще большую трудность для учащихся представляет
самостоятельное формулирование вывода, непосредственно
вытекающего путем обращения некоторого общеутвердитель-
общеутвердительного суждения. Часто на основании того, что «всякое S есть
Р», хотя сказуемое Р и не распределено, ученики склонны
утверждать, что «все Р суть S», вместо частпо-утвердителыюго
«некоторые Р суть S». Конечно, даже самый плохой ученик
на основании того, что вертикальные углы равны, не станет
утверждать, что все равные углы обязательно вертикальны.
Однако даже хороший ученик ^орой впадает в ошибку этого
типа, когда неправильно выполненное обращение приводит
к такой ошибке в содержании суждения, которая не бросается
ему в глаза. На последнем построены некоторые математиче-
математические софизмы.
Пример 1. Любые два числа друг другу равны.
Пусть афЬ. Напишем тождество: —а—Ь—(а+b) и
—Ь—а—(а-\-Ь). Так как (—a)-b=a-(—ft), то [b—(a-\-b)]-b—
= [а—(ей Ь)]-а. Раскрыв квадратные скобки, будем иметь:
b'1—(a-\-b)-b—a'z—(a-\-b)-a. Прибавив к каждой части равен-
/а I Ь\2
ства -п—1 » дополним их до квадрата разности двух чисел:
Из равенства квадратов двух чисел заключаем о равенстве
оснований:
, а-\-Ь а-\-Ь ,
b—^f-=a ~, откуда а=Ь.
Разъяснение. Здесь допущена ошибка в обраще-
обращении суждения: «Если основания равны, то и квадраты их
J8

равны». Из этого суждения мы непосредственно заключили,
что «если квадраты равны, то и основания равны». На самом
деле, имеет место частно-утвердительное суждение: «Если
квадраты равны, то основания могут быть равны». Происхо-
Происходит это потому, что сказуемое исход-
исходного суждения не распределено: квад-
квадраты равны не только равных чи-
чисел, но и чисел, равных только по
абсолютной величине.
П р и м е р 2. Во всяком
треугольнике все углы равны.
Обозначим углы произвольно
взятого разностороннего треуголь-
треугольника ABC через а, р, г, а стороны,
лежащие против этих углов, через
а, Ь, с (черт. 2).
На продолжении сторон В А и С А
отложим отрезки AD и АЕ, соот-
В
'a
Черт. 2
ветственно равные Ъ и с. Соединим теперь точки D и С, И и В.
Так как в д ВЕС ^Е=-*-,а ^:СВЕ = В + -*-, то по тео-
реме синусов имеем:
A)
sinC | —
sin-v,-
Так как в /\BDC
же теореме имеем:
^Z)=|, a
sin
Ъ I с
Ti
= Тттг> то по той
B)
В равенствах A) и B) правые части равны, следовательно,
равны и левые:
Ь+с
Ь+с
откуда
а потому
19

Продолжив стороны АВ и СВ и повторив аналогичные
рассуждения, придем к выводу, что a=f, чем и заканчивается
доказательство сделанного утверждения.
Разъяснение. На основании того, что
можно сделать три предположения:
]- Is + -vr = Т +-7Г или
или a+?-hT = 18°c-^ гДе *=1» 3> 5>—
з- ?+ -|- = 360= - * -I- (т -1--J-)
или р—т=360"-А, где k=l, 2, 3,...
Первое и третье предположения следует отбросить. Одно
как приводящее к абсурду, другое как содержащее невозмож-
невозможное требование, чтобы разность двух положительных углов,
из которых каждый меньше 180°, равнялась бы 360° -ft, где
ft—1,2, 3,... Остается второе предположение, которое при
к— 1 не противоречит смыслу задачи и связывает углы тре-
треугольника известным соотношением.
Из сказанного видно, что и здесь ошибка изучаемого нами
сейчас типа. Тот факт, что равные углы имеют равные синусы,
не дает еще основания заключать о справедливости обрат-
обратного утверждения. Можно только сказать: «Если синусы
двух углов равны, то и углы могут быть равны».
Английский математик Чарлз Доджсои A832—1898)
считал, что с непосредственными умозаключениями путем
обращения полезно знакомить детей на примерах житейского
обихода задолго до периода серьезного изучения математики.
В своей широко известной в мировой литературе детской
книге «Алиса в стране чудес», выпущенной им в Англии
в 1865 году под псевдонимом Льюис Кэрролл и выдержавшей
в этой стране свыше трехсот изданий, он приводит следую-
следующий разговор между героями сказки:
«— Ты думаешь, что знаешь ответ?— спросил Заяц.
— Вот именно,— сказала Алиса.
— Тогда говори, что думаешь,— закончил Заяц.
20

— Я это и делаю,— поспешно сказала Алиса,— по край-
крайней мере... я думаю, что говорю, а это одно и то же, знаете!
— Совершенно не одно и то же!— воскликнул Шляпоч-
Шляпочник.— Может быть, ты скажешь еще, «я вижу то, что ем»
и «я ем то, что вижу» — тоже одно и то же?
— Может быть, ты скажешь ещё,— добавил Заяц,— что:
«я люблю всё, что имею» и «я имею всё, что люблю»— тоже
одно и то же?
— Может быть, ты скажешь ещё,— продолжала Соня,
которая, по-видимому, говорила во сне,— что: «Я дышу,
пока сплю» и «я сплю, пока дышу» — тоже одно и то же?
— Это и есть одно и то же — для тебя!— сказал Шля-
Шляпочник—и на этом разговор оборвался»*.
5. Подмена точных определений геометрической
интуицией.
Доказательство всякого математического суждения долж-
должно быть основано: на первичных понятиях, на точных опре-
определениях всех остальных понятий, аксиомах, ранее дока-
доказанных теоремах данной научной области и только на них.
Определения устраняют неопределенность используемых по-
понятий (терминов), которая часто служит причиной разнооб-
разнообразных заблуждений. Известное правило Паскаля A623—
1662) предупреждает, что для проверки нужно подставлять
определения вместо терминов.
Однако нередко возникают ошибки из попыток учащихся
устанавливать в качестве дополнительных оснований дока-
доказательства какие-либо данные опыта, извлекаемые из нагляд-
наглядного изображения. Это дало повод для появления еще в
середине прошлого века среди ярко выраженных умов ана-
аналитического склада тенденции к изгнанию чертежа из мате-
математики.
Созерцание чертежа производит' на начинающих изучение
курса математики сильное впечатление. Оно выступает в ка-
качестве бесспорного факта, которому надлежит только поды-
подыскать подходящее объяснение. Даже студенты под влиянием
наглядного образа порой склонны забывать о точных опре-
определениях тех или иных понятий, особенно там, где зритель-
зрительное впечатление, казалось бы, полностью дает непосредствен-
непосредственный ответ на поставленный вопрос, не требуя косвенной про-
проверки.
* Льюис Кэрролл, Алиса в стране чудес, П , 1923, стр. 68-69.
21

м
Итак, рассматриваемый вопрос достаточно сложен, а пра-
пильное его понимание имеет исключительно большое идей-
по-образовательное значение. Последнему способствует разбор
специально подобранных примеров, построенных на излиш-
излишнем доверии к геометрической интуиции, которая, казалось бы,
выступает в качестве эквивалента соответствующих точных
определений. Пожалуй, это особенно относится к примене-
применению понятия предела. Софизмы на эту тему нашли свое отра-
отражение и в некоторых методически обработанных задачниках
по математическому анализу.
Пример. Сумма катетов равна гипотенузе.
В прямоугольном треугольнике ABC с катетами a, b
и гипотенузой с разделим последнюю на две равные части
(черт. 3). Из точки деления F
опустим перпендикуляры на
катеты. Легко видеть, что
длина полученной ломаной
линии AEFDB равна сумме
катетов а-\-Ь. Если взять
теперь точки К и L в сере-
середине отрезков AF и FB, то с
помощью такого же построе-
построения получим ломаную
AMKNFPL QB, длина которой
равна той же сумме катетов
Черт 3 а-\-Ь. Наконец, мы можем
мыслить такой процесс не-
неограниченно продолжающимся, однако длина каждой из
последовательно образованных ломаных линий будет оста-
оставаться неизменной. Но, с другой стороны, по мере возра-
возрастания числа своих звеньев ломаная все более и более
приближается к гипотенузе треугольника. В самом деле, так
как длины отрезков, составляющих ломаные линии, неогра-
неограниченно уменьшаются, а их концы неограниченно приближа-
приближаются к гипотенузе, то выходит, что ломаная стремится к сли-
слиянию с гипотенузой. Но тогда пределом длины ломаной слу-
служит длина гипотенузы. Однако одна и та же величина
не может иметь . двух пределов, а потому остается поло-
положить, что с=а-\-Ь.
Разъяснение. В приведенном рассуждении до-
допущен произвольный вывод: из стремления ломаной слиться
с гипотенузой в том смысле, как это указано в тексте, нет
оснований заключать, что пределом длины ломаной является
длина гипотенузы. Таким образом, это предположение оста-
22

лось необоснованным. Обосновать его и нельзя, так как
оно ложно В самом деле, мы здесь не находимся в условиях
применимости понятия предела: разность между переменной
величиной, в частном случае постоянной (длина ломаной),
и ее предполагаемым пределом (гипотенузой) не является ни
бесконечно малой величиной, ни ее частным случаем — нулем.
Для лучшего понимания вопроса и во избежание механи-
механического переноса этого вывода на определение длины окруж-
окружности следует провести контрастное сопоставление.
Выдающийся популяризатор знаний почетный академик
Н. А. Морозов A854—1946) считал, что софизмы типа «гипо-
«гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме его кате-
катетов» «имеют научный интерес, так как обращают наше вни-
внимание на важные особенности математических методов или
самых наших математических представлений и генезиса этих
представлений в наших головах».
6." Ошибки построения.
Мы уже рассматривали вопрос об ошибках, могущих
возникнуть при пользовании верным чертежом. Здесь мы
проанализируем основные типы заблуждений, возникающих
в силу той или иной ошибки чертежа.
Взгляд некоторых математиков на сведение на нет роли
чертежа в геометрии не мог найти сколько-нибудь значитель-
значительного числа последователей. И это вполне закономерно, так
как вся многовековая история геометрии убедительно сви-
свидетельствует об исключительно большом значении чертежа
в выявлении новых геометрических положений и изыскании
способов их доказательства. Однако проблема взаимоотно-
взаимоотношения логики и интуиции в процессе творчества и преподава-
преподавания и в связи с этим проблема правильного использования
наглядных изображений остается до сих пор в числе актуаль-
актуальных вопросов методологии и методики математики.
Во всяком случае учащимися должно быть хорошо осоз-
осознано, что геометрическое наглядное представление еще не
гарантирует истину или по крайней мере логическую стро-
строгость; что нельзя судить об условиях теоремы по тому впечат-
впечатлению, которое производит чертеж. Одновременно с этим
учащиеся должны проникнуться сознанием, что верный чер-
чертеж, как правило, помогает сделать правильную догадку,
оказывая неоценимую услугу познанию; неправильный же
чертеж, наоборот, способствует порождению различных оши-
SS

бок. Исключительной педагогической сложностью и важно-
важностью этой проблемы объясняется то особое внимание, которым
она пользуется в нашей методико-матсматической прессе
последних лет (работы проф. II. Ф. Четверухина,
проф. М. Л. Франка, доц. Г. А. Владимирского и др.).
При изложении геометрических доказательств, связанных
с точками пересечения различных линий, в учебниках обычно
ведутся рассуждения на основании готового чертежа, r ко-
котором точки пересечения взяты в надлежащем месте. Вопрос
о том, пересекаются ли рассматриваемые линии, и если да,
то где находится точка их пересечения, как правило, не
обсуждается. Однако умение осмысленно и правильно решать
перечисленные вопросы имеет весьма существенное значе-
значение для овладения методами геометрических доказа-
доказательств.
Пониманию учащимися целесообразности высказанных
требований и проверке развития их критического чутья
служат геометрические софизмы, основанные на ошибках
в построении, среди которых мы выделяем шесть разновид-
разновидностей.
Совпадающие точки рассматриваются как различные.
При м е р. Внешний угол треугольника равен внутрен-
внутреннему, с ним не смежному.
Пусть в четырехугольнике
ABCD .^А дополняет ^.С до Id
{черт. 4). Так как любые три
точки, не лежащие на одной
прямой, вполне определяют по-
положение окружности, то, сле-
следовательно, можно утверждать,
что через точки А, В и D
проходит едчнетвенпая окруж-
окружность. Точку пересечения этой
окружности со стороной DC
обозначим через Е. Соединив
ее отрезком прямой с точкой
В, получаем четырехугольник
ABED, вписанный в окруж-
окружность. В нем сумма двух любых
противоположных углов составляет Id.
Подводя итоги, выписываем два соотношения:
1) ^A + ~<zC=2d;2) ^A+^BED = 2d. Из'них, как легко
Черт. 4.
24

видеть, следует, чтб ^lBED—^C, т. е. внешний угол АВЕС
равен внутреннему, с ним не смежному.
Разъяснение. Так как в первоначально взятом
четырехугольнике сумма противоположных углов равна 2d,
то все его вершины, в том числе и С, должны лежать на окруж-
окружности. Выходит, что точки Е и С не различные, а совпадаю-
совпадающие. В силу этого треугольник ВЕС вообще исчезает.
Различные точки рассматриваются как совпадающие.
Пример. Площадь равностороннего треугольника рав-
равна нулю.
В равностороннем треугольнике ЛВС проводим высоту
AD (черт. 5). Рассматриваемый треугольник равновелик
прямоугольнику ADCE,
смежными сторонами кото-
которого являются отрезки AD
и CD. На продолжении AD Hf
откладываем отрезок DF, рав-
равный CD. На отрезке AF,
как на диаметре, описываем
полуокружность, которая пе-
пересечется с продолжением
DC в некоторой точке К-
Тогда KD*=AD-DF. Квад-
Квадрат KDIH, как и прямо-
прямоугольник ADCE, равновелик
треугольнику ABC.
Представляя /\СЕА сдви-
сдвинутым вдоль АС так, что С
совпадает с Л\ Е с // и А
с L, заметим, что кпадрат
KHID состоит из фигуры
CLID и фигуры, равновеликой BMID, следовательно, квадрат
KHJD равновелик трапеции CBML. Отсюда следует, что
площадь равностороннего треугольника ALM равна нулю.
Разъяснение. Утверждение, что при указанном
параллельном перенесении точка Е совпадает с точкой Н,
ошибочно. Для того чтобы в этом убедиться и иметь возмож-
возможность оценить численную величину ошибки, найдем отрезки
HQ и LI. '
^KC=KD — CD= У AD-CD
-f [
2 Заказ Mi 226

где буквой а обозначена сторона /\АВС.
A1=AD—ID= у V3"
в 1 _/i _
T/3J/3
Откуда находим:
\
Точка берется там, где она не может быть.
Пример. Каждая точка диаметра окружности лежит
на самой окружности.
Пусть С—любая точка диа-
диаметра АВ. Построив к точкам
А, В, С четвертую гармониче-
гармоническую D, делим пополам отре-
отрезок CD и обозначаем его сере-
середину через //. Тогда, если М
обозначает центр окружности,
имеем но известной теореме*
MC-MD-=MA-.
Напомним читателю вывод
этой теоремы. Из чертежа не.
посредственно усматриваем, что
пропорцию
AC_AD
C'BTDff
имеющую место для четырех гармонических точек А, В,
С и D, можно переписать так:
МСMA+MD
Черт. 6.
МА
MD--MA
Воспользовавшись свойством пропорции, по которому
сумма членов первого отношения так относится к их разности,
26

как сумма членов второго отношения к их разности, заклю-
заключаем:
МА_ MD
МС~ МА'
откуда
MA-=MC-MD.
Заметив, что МС=МН — СИ и MD=MH+CH, утвер-
утверждаем:
1) МЯ2— CH2=MC-MD или МН*—СН*=МА*.
С другой стороны, если перпендикуляр в точке Н к АВ
пересечет окружность в точке Е, то
2) уИ?а=МЯа4-Я?а и
3) СЕ*=СН*+НЕ*. Вычитая почленно 3) из 2), будем иметь:
4) МН1— СН*=МЕ*— СЕ*=МА*— СЕК
Но из 1) и 4) следует, что МАъ=МАг — СЕ2, откуда
С?2=0, т. е. точка С лежит на окружности, и так как С есть
произвольно взятая точка диаметра, то это справедливо для
любой точки диаметра АВ.
Разъяснение. В пропорции
АС
св
произведем перестановку
AD
~ DB
крайних членов:
DB AD
СВ~АС-
Так как AD>AC, то, следовательно, и DB должно быть боль-
больше СВ. А потому точка Н, которая должна быть серединой
отрезка CD, лежит не внутри круга, а вне его, правее точки В.
Итак, ошибка явилась следствием неправильного чертежа:
точка Н нами была взята там, где она не может быть.
Классическим софизмом этого типа является «доказатель-
«доказательство» утверждения, что нет треугольников, отличных от
равнобедренных. Индийский математик Сундара Роу при-
приводит его в качестве примера такой ошибки, самую возмож-
возможность появления которой исключают геометрические упраж-
упражнения с куском бумаги. «Было бы совершенно правильно,—
утверждает Роу,— требовать от учеников складывания этих
чертежей на бумаге. Это давало бы им отчетливые и точные
фигуры и невольно запечатлевало бы в их умах истины пред-
предложений».
2* 27

Предположенная точка пересечения на самом деле отсутствует.
В
Профессор Н. Ф. Четверухин в своей фундаментальной
работе «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии»
(М., 1946), анализируя педагогическую постановку задачи
о построении изображений, подчеркивает следующее поло-
положение: «Особенно же велико значение изображений простран-
пространственных фигур в воспитании пространст-
пространственного воображе-
с н и я (разрядка автора.— Авт.)
у учащихся, в выработке у них
более тонкого, более развитого
пространственного мышления,
столь необходимого в условиях
современной сложной техники»
(стр. 7). Некоторую роль в ре-
решении этой ответственной за-
задачи может играть и разбор
стереометрических вариантов не-
некоторых софизмов.
Пример. Прямой угол
равен тупому.
Пусть имеем четырехуголь-
четырехугольник ABCD (черт. 7), у которого
сторона DA образует со сторо-
? " ной А В прямой угол и равна
L стороне ВС, образующей сАВ
рт' тупой угол.
Восстановим из середины стороны А В перпендикуляр
к плоскости четырехугольника ABCD, а из середины стороны
DC перпендикуляр к этой прямой, пересекающий перпен-
перпендикуляр к АВ в некоторой точке S. Соединим точку 5 с точ-
точками А, В, С и D.
Из прямой теоремы о трех перпендикулярах легко усмо-
усмотреть, что AD±SA, т. е. .- SAD~-90°.
Замечая, что по построению AS~=SB (как наклонные
к одной прямой, имеющие равные проекции) и DS=SC (как
наклонные к прямой DC, имеющие равные проекции), а по
условию AD — BC, утверждаем, что SAD /SBC
Из равенства этих треугольников имеем:
=90°. Применяя обратную теорему о трех перпендикулярах
утверждаем, что ВС перпендикулярна к АВ, а потому
ACAB что и требовалось доказать.
28

Разъяснение. При использованном построении
&DSC является равнобедренным, что и приводит к противо-
противоречию, так как при равенстве наклонных SD и SC их проек-
проекции DF и CF оказываются неравными, что видно из рас-
рассмотрения ADAF и лСВУ- (AF~-=FB, AD^BC, но DF<CF,
так как ^Л< .<г?). Отсюда вывод, что прямые S/7 и 5? не
могут иметь общей точки.
Источник анализируемой весьма грубой ошибки состоит
в том, что при построении постулировалось существование
точки пересечения 5 как точки пересечения плоскости (пер-
(перпендикулярной к прямой DC и делящей отрезок DC пополам)
и прямой (перпендикуляром к данной плоскости, восставлен-
восставленным к ней из середины отрезка АВ). Короче говоря, при
построении исходили из предположения, что плоскость и
прямая всегда пересекаются.
Ломаная принимается за прямую.
Пример. Софизм 64=65 и его обобщение.
Этот софизм исключительно ценен по своему идейно-обра-
идейно-образовательному значению. Обобщенная трактовка этого со-
софизма, привлекающая теорию непрерывных дробей, изложена
Игнатьевым *. Более элементарное изложение этого обобще-
обобщения дано в главе IV.
Прямая принимается за ломаную
Ошибка, обратная предыдущей.
Пример. Два треугольни-
треугольника равны, если они имеют по две
соответственно равных стороны и
по равному углу, противолежаще-
противолежащему одной из них.
Легко увидеть,что в этом предло-
предложении «обобщен» четвертый приз- g
нак равенства треугольников. В
самом деле, обычный признак
предусматривает, что угол берется
против большей стороны. В при-
приведенной же формулировке это
ограничение снято.
Итак, даны треугольники ABC
"Игнатьев Е, В царстве смекалки,
стр. 163—167.
кн 2, Спб., 1909,

и А'В'С, причем ВС=В'С, АВ^А'В', ^А
требуется доказать, что /\АВС= АА'В'С.
Доказательство. Приложим АА'В'С и ААВС
один к другому так, чтобы их равные стороны ВС и В'С
совместились (черт. 8), причем точка В' совпала бы с точкой
В, точка С— с точкой С. Соединяем точки А и А'. На осно-
основании равенства отрезков В А и В А' заключаем, что ABA А'
равнобедренный, а, следовательно, ^ВАА' — ^сВА'А. А так
как по условию теоремы дано, что ^А — ^А', то в зависи-
зависимости от вида треугольника с помощью сложения или вычита-
вычитания получаем соотношение: ^САА'^^СА'А. Значит, АСАА'
равнобедренный, а потому СА — СА'. Ссылкой на третий
признак равенства треугольников заканчивается доказа-
доказательство теоремы.
Разъяснение. По условию имеем:
ЛВ=Л'й'г=С; ВС-^В'С=--а; ^А = ^А' = ч
Из ААВС находим:
. р с-sin а , .^
SillC-* — • I 1 I
a y '
Из
АВ
sin С
АА'В
А'В'
sin С
ВС
с
sin A ' sin
'С находим:
В'С с
sin A"
sin
С
С/
а
sin а
а
sin а
i /¦" c-sin a ,»,
Slli О ¦— • (^/
a v
Так как в соотношениях A) и B) правые части равны, то
равны и левые:
sin C=sin С.
Относительно углов С и С возможно сделать три пред-
предположения:
1) ^С=~<С. В этом случае мы имеем действительно
равные треугольники. Их равенство устанавливаем по 1-му
или 2-му признакам равенства треугольников.
В/В1
Черт 9.
30

2) ^С-=180°—.--С'. В этом случае ,-C-i-^C' = 180o. Сле-
Следовательно, приведенный чертеж неправилен: стороны АС
и А'С лежат на одной прямой (черт. 9). Прямая была при-
принята за ломаную, и все наше доказательство, как построен-
построенное на неправильном чертеже, рушится.
Таково конкретное проявление ошибки. Однако источ-
источник ее в другом — в неполном перечислении возможных
случаев.
3).-<:С=360о I----C". Этот случай невозможен, так как
разность двух углов треугольника не может быть равна
360°.
Опровержение же утверждения «теоремы» легко дости-
достигается путем построения треугольников, удовлетворяющих
требованиям «теоремы», но неравных между собой (см. черт.
45, стр 161).
7. Ошибки, являющиеся следствием буквального
толкования сокращенной (условной) формулировки
некоторых геометрических утверждений.
Некоторые из геометрических истин в постоянной прак-
практике отбора нужных теорем для решения различных задач
приобретают сокращенную, чисто условную, формулировку.
Когда же потребность в применении той или иной теоремы
возобновляется после относительно длительного перерыва,
то часто из памяти исчезает существо вопроса, а сохранив-
сохранившаяся лаконическая формулировка, вроде «по стороне и двум
углам треугольники равны», может стать источником любо-
любопытных заблуждений. Углубленный разбор подобных заблуж-
заблуждений учащихся и отдельных софизмов этого типа приобре-
приобретает исключительно важное воспитательное значение.
Пример. Хорда, не проходящая через центр окруж-
окружности, равна диаметру.
Дана окружность, в которой проведен диаметр АВ. Про-
извольно взяв на окружности какую-нибудь точку С, соеди-
соединим ее с точкой А. Обозначим середину хорды АС через D
и проведем через нее и точку В хорду BE. Теперь соединим
точки С и Е.
Рассмотрим треугольники ADB и ОСЕ. Они равны по
стороне и двум углам: AD*=DC по построению, ^В=*^С
как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу АЕ;
^cADB — ^cCDE как вертикальные. А. так как в равных
треугольниках против равных углов лежат и равные сто-
стороны, то АВ^ЕС.
31

Разъяснение. К ошибке привело буквальное истол-
истолкование чисто условной формулировки. Для сравнения вспом-
вспомним правильную формулировку второго признака равенства
треугольников. Она гласит: «Два.
треугольника равны, если сторо-
сторона и два прилежащие к ней угла
в одном треугольнике равны соот-
соответственно стороне и двум при-
\я лежащим к ней углам в другом
треугольнике». Посмотрев снова
на чертеж, видим, что мы прене-
пренебрегли требованием, чтобы равные
углы треугольников прилежали
к их равным сторонам. В самом
Черт. 10. деле, углы ADB и CDE сопостав-
сопоставлены верно, но углы ABD и DCE
ошибочно, так как первый из них не прилежит к стороне
AD, а лежит против нее.
8. Нарушение смысла условных записей.
Подстановка в буквенную формулу численных значений,
заведомо не выходящих из области ее существования, рас-
рассматривается как задача чисто механическая. Однако нельзя
забывать, что в записи некоторых формул имеет место мо-
момент условности. Здесь автоматическая подстановка чревата
абсурдными выводами. Так, если, например, в записи
п\ — \ -2-3-... -(п—1)-л, поясняющей понятие факториала,
положить п=3 и произвести «бездумную» подстановку, то по-
получим такой «результат»: 3!~1-2-3-...-2-3. Подобную
ошибку склонны совершать учащиеся при пользовании
формулой бинома Ньютона.
Пример. Единица равна двум.
Напишем формулу бинома Ньютона:
Так как законность ее использования для любого натураль-
натурального п доказана в учебнике, то нет препятствий положить,
что, например, п=\. Подстановка этого значения « формулу
бинома Ньютона дает:
(а+ЬУ=а+Ь+0+...-\-0+а-\-Ь, откуда а+Ь=2{а+Ь).
32

В частном случае, когда а-\-Ь—0, этот результат не приводит
к противоречию. Но в общем случае, когда а-{-ЬфО, сокра-
сокращение на этот множитель приводит к утверждению: 1=2.
Разъяснение. Осуществляя «бездумную» подста-
подстановку, мы упускаем из внимания, что разложение бинома
имеет (п + 1) член, где п — показатель степени бинома. После-
Последовательное выписывание слагаемых правой части для дан-
данного натурального п обрывается появлением первого нулевого
слагаемого, представляющего собой (я+2)-й член разло-
разложения.
9. Уклонение от тезиса.
Некоторые софизмы построены на том, что в ходе доказа-
доказательства абсурдный тезис софизма подменяется каким-либо
истинным утверждением. Отождествление истинного с ложным
достигается наличием внешнего сходства в их формулиров-
формулировках. В силу же такой
подмены «доказательство»
ложного суждения полу-
получает вид безукоризненно-
безукоризненного доказательства. Ска-
Сказанное станет более рель-
рельефным, если вспомнить,
например, софизм Прокла.
Прокл в своих ком-
комментариях к Евклиду рас-
рассказывает о том, что п
греческой науке существо-
существовала попытка опроверг- Черт 11.
нуть постулат параллель-
параллельности. С этой целью стремились показать
мые не пересекаются между собой и тогда,
что две пря-
когда, будучи
пересечены третьей, они образуют такие внутренние углы,
сумма которых меньше двух прямых.
Пусть две прямые ЛВ и CD пересечены третьей прямой
EF (черт. 11). По ту сторону от EF, по которую сумма внут-
внутренних углов меньше Id, отложим на прямых АВ и CD от-
отрезки АК и CL, равные-¦ -. Точки К и L совпасть не могут,
ибо в этом случае получился бы треугольник А КС (или CLA),
в котором сумма двух сторон равна третьей, что невозможно.
Соединим теперь отрезком прямой точки К и L. На пря-
прямых АВ и CD отложим, сохраняя направление, отрезки
33

КМ и LN, равные—. Легко видеть, что но соображениям,
высказанным ранее, точки М и N совпасть не могут.
Так как подобные рассуждения можно повторять сколько
угодно раз, то приходим к выводу, что прямые АВ и CD не
пересекутся.
В этом доказательстве мы сталкиваемся с подменой те-
тезиса. В самом деле, здесь вместо того чтобы доказать отсут-
отсутствие точки пересечения, доказывается только, что ее дей-
действительно невозможно достигнуть с помощью охарактери-
охарактеризованного процесса рассуждений.
В простейшем случае, когда углы CAB и ACD равны,
рассуждение сводится к воспроизведению софизма «Ахиллес
и черепаха» и так же опровергается.
Характеризуя случай, когда углы CAB и ACD не равны,
заметим, что из того факта, что первый отрезок на АВ не пере-
пересекает первый же отрезок на CD, второй отрезок одной пря-
прямой не пересекает второй же отрезок другой прямой и т. д.,
было бы поспешным заключать, что вообще ни один отрезок
прямой АВ не пересекает ни одного отрезка прямой CD.
В парадоксальном же рассуждении как раз и допускалась
только возможность пересечения п-го {п=1, 2, 3...) отрезка
прямой А В с одноименным же отрезком прямой CD и молча-
молчаливо исключалась всякая возможность обнаружения этой
точки как точки пересечения двух неодноимеиных отрезков.
Анализируемую чисто логическую ошибку мы представим
себе еще более выпукло, если сопоставим ее со следующим
рассуждением аналогичной структуры.
Посылки. Отец семьи X не знает отца семьи Y; мать
первой семьи не знает матери второй семьи; единственный
сын одной семьи не зиает единственного сына другой семьи.
Вывод. Ни один член семьи X не знает ни одного члена
семьи У.
Софизмы этого же типа могут быть построены и на том,
что под видом привлечения к решению задачи другого спо-
способа происходит не изменение способа решения или во вся-
всяком случае не только его, но и изменение самой задачи.
Пример. Отец, умирая, оставил своим трем сыновьям
завещание, в котором распорядился, чтобы после его смерти
братья поделили между собой стадо в 17 верблюдов так:
старшему — половину, среднему — третью часть, а млад-
младшему — девятую.
Завещание старика казалось не поддающимся точному
выполнению, так как братья м не допускали мысли резать

верблюдов на части. Однако, воспользовавшись разумным
советом, они начали с того, что одолжили одного верблюда
у соседа и присоединили его к своему стаду. После этого
осуществление дележа не вызывало уже затруднений. В ре-
результате его старший получил 9 верблюдов, средний — 6,
а младший — 2. Теперь потребность в верблюде соседа отпала,
и он был возвращен своему хозяину.
Таким образом, выходит, что завещание отца по крайней
мере теоретически может быть точно выполнено не только
в дробных, но и в целых числах.
Разъяснение. Отец составил завещание непре-
~ «1,1,1 17
дусмотрительно. Сумма долей -^4- -g—r -g- составляет -yg-, а
не единицу. Точное выполнение завещания, не считающееся
с требованиями целесообразности и практической реализа-
17
цией, предполагает передачу старшему сыну—- голов стада,
среднему -^ и младшему -%-. Это в, сумме составит -,~б-= 16-гз,
о У 1о 1о
a yg от одного верблюда остаются вне требований раздела.
Мудрый совет состоял в такой подмене тезиса завещания,
'благодаря которой бралось yj частей не от 17, а от 18 еди-
единиц, что как раз совпадает с численностью стада, подвергае-
подвергаемого дроблению. Такое решение вопроса представляет собой,
однако, не точную реализацию завещания, а только целе-
целесообразное приближение к выполнению его требований. В са-
самом деле, старший фактически получил больше на 9—о"=-о"
верблюда, средний на 6 — -j—-t* а младший на 2 — у=-о1 •
Эти прибавки в своей сумме исчерпывают остававшиеся
согласно завещанию вне раздела jg от одного верблюда.

Глава II.
АРИФМЕТИКА.
I. ПРИМЕРЫ ЛОЖНЫХ РАССУЖДЕНИЙ.
1. Размещение по одному тринадцати человек
в двенадцати комнатах.
Администратор одной гостиницы не отказался от решения
следующей, казалось бы, неразрешимой задачи: разместить
в двенадцати одноместных комнатах тринадцать человек,
не допуская поселения в одной комнате двух человек.
Предупредив тринадцатого (под этим номером занесен-
занесенного в список приехавших), что он временно помещается
в первой комнате, предприимчивый администратор принялся
за размещение остальных по одному в каждой комнате, начи-
начиная с первой.
В итоге расселения в первой комнате оказалось два чело-
человека; третий человек был помещен во второй комнате, чет-
четвертый — в третьей, пятый — в четвертой н так до двенад-
двенадцатого, который, очевидно, был вселен в одиннадцатую ком-
комнату.
Двенадцатую комнату, которая, как видим, осталась сво-
свободной, администратор предоставил временному жильцу пер-
первой комнаты — тринадцатому клиенту гостиницы.
Выходит, что задача разрешима: 12—13.
2. На двух нормальных руках одиннадцать пальцев.
В наличии десяти элементов в некоторой совокупности
можно с одинаковым успехом убедиться как с помощью счета
36

от одного до десяти, так и
посредством так называе-
называемого обратного счета. Од-
Однако, если мы отнесем чи-
числительные к пальцам
каждой из двух вполне
нормальных рук так, как
это предложено на прила-
прилагаемой иллюстрации, и
результаты сложим, то
число пальцев окажется
равным одиннадцати.
3. Квадратные рубли.
Как известно, всякие два равенства можно перемножать
почленно. Применяя эту теорему к следующим двум равен-
равенствам:
а рублей=100а копеек,
1 рубль=100 копеек,
мы получим новое равенство:
а рублей —A00а-100) копеек,
или
а рублей=10 000а копеек,
что явно неверно.
4. 45-45=45.
Некто упорно утверждал, что 45 — 45—45.
В подтверждение своей мысли он рассуждал так.
Записываем вычитаемое в виде суммы последовательных
натуральных чисел от 1 до 9, а уменьшаемое в виде суммы
тех же чисел, но взятых в обратном порядке (от 9 до 1).
Расположив вычитаемое под уменьшаемым
1) 94-8+74-64-5+4+3+2+1
2) 14-2+3+4+5+6+7+8+9,
приступаем к вычислению разности. С этой целью будем
последовательно вычитать числа второй строки из чисел
первой строки, начиная с вычитания 9. Так как 9 из 1 вы-
'честь нельзя, то, занимая единицу из двух, имеем: 11 — 9=2.
Подобным же образом получаем в качестве разностей чисел
37

11 и 8, 12 и 7, 13 и 6, 14 и 5 соответственно 3, 5, 7 и 9. Вы-
Выполнение же вычитания из пяти четырех, из семи трех, из
восьми двух и, наконец, из девяти единицы, не требуя зани-
занимания, дает последовательно такие результаты: 1, 4, 6, 8.
Итак:
9+8+7+6+5+4+3+2+1
~1+2+3+4+5+6+7+8+9
8+6+4+1+9+7+5+3+2
Нетрудно установить, что
8+6+4+1+9+7+5+3+2=45.
Итак, 45 — 45=45.
5. 40:8=41
Маленький Петя очень не любил считать устно.
Решая задачу о дележе 40 орехов между 8 мальчиками
поровну, он и в этом случае обратился к схеме письменного
деления.
Выполнение действия деления у него выглядело так:
40
32
8
8
0
8
41
Полученный ответ, естественно, смутил Петю. Он хорошо
понимал, что не может каждый из мальчиков получить больше
орехов, чем их было у всех вместе, но своей ошибки в деле-
делении все-таки обнаружить не мог.
Помогите маленькому Пете понять свою ошибку.
6. Дважды два — пять!
Возьмем в качестве исходного соотношения следующее
очевидное равенство:
4 : 4=5 : 5. A)
После вынесения за скобки общего множителя из каждой
части равенства A) будем иметь:
4.A : 1)=5-A : 1)
или
B-2).A : 1)—5-<1 : 1). B)
38

Наконец, зная, Что 1 : 1 = 1, мы из соотношения B) уста-
устанавливаем:
2-2=5. C)
7. Есть ли здесь пропорциональность?
Рассмотрим несколько задач вместе с их решениями, по-
получаемыми в результате применения простого тройного
правила.
I. Самолет поднялся на высоту 8 км за 32 мин.
На какую высоту он поднимется за 4 часа?
Ответ. На 8х^х4 =60 {км).
II. Мотор в 1-|- лошадиной силы, установленный на
лодке, придает лодке скорость в 8 км в час. Какую скорость
придаст этой лодке мотор в 10 лошадиных сил?
Ответ, -р—- = 64 (км в час).
III. Победитель на состязании в беге пробежал 100 м за
10,2 сек. Сколько он пробежит за 1 час?
Ответ. Ш**Х*жЗо,3 (км).
IV. Мальчик бросил диск в 800 г на 12 ж. Па какое
расстояние он бросит диск в 20 г?
„ 12x^00 .ОЛ , ,
Ответ. —^— = 480 (м).
V. С помощью секундомера установили, что промежуток
времени от первого до шестого последовательных ударов
молотка в пружину часов с боем составил 6 сек. (секундомер
был включен при первом ударе, остановлен при шестом).
За какое время часы сделают 12 последовательных ударов?
Ответ . ^~2 = 12 (сек.).
8. 100% экономии.
На обложке технического журнала находится несколько
объявлений. Одно, рекомендующее некоторое усовершенство-
усовершенствование в паровой машине, сулит 40% экономии топлива;
другое, предлагающее иное усовершенствование, незави-
независимое от первого, обещает 35 % экономии, и, наконец, третье
39

патентованное нововведение, независимое от первых двух,
дает 25% экономии.
Некто, реализовав усовершенствование первое, затем вто-
второе и, наконец, третье, был весьма удручен тем, что машины
без топлива все-таки не работали. Он считал себя обманутым
и обвинял рекламные объявления в научной и деловой не-
недобросовестности .
— Ведь эти же объявления,— жаловался разочароваЕ-
шийся,— обещали в своей совокупности стопроцентную эко-
экономию топлива, так как каждому ясно, что сумма 40, С-5
и 25 составляет 100.
Очевидно расчет неправилен. Какую же экономию топлива
дает в действительности введение этих трех изобретений?
9. Как вычислять средний процент?
Рассмотрим несколько более сложную задачу.
Фабрика выпустила:
в I квартале 161 т изделий, в том числе I сорта —85%
во II » 207 » » » » » » —62%
в III » 120 » » » » » » » -—88%
» IV » 185 » » » » /> » » —86%
Найти средний процент выпуска I сорта за год.
Определяя количество тонн изделий I сорта по каждому
кварталу, предварительно находим, что всего за год выпущено
673 т и в том числе I сорта:
161.0,85+207-0,62+120-0,88-Н85.0,86,=529,89 (т),
что составляет 78,7% всего выпуска.
Если взять просто среднее число процентов выпуска
I сорта по кварталам, то получим (85 \-62+88--86) : 4—
=80,25(%), что заметно больше правильного ответа.
Чем объяснить это расхождение?
10. Что даст ежегодный прирост в 40% за пять лет?
Некоторое предприятие согласно установленному для него
плану должно за пятилетку утроить свою производитель-
производительность. В течение первых трех лет оно ежегодно увеличивало
свою производительность на 30% (но сравнению с предшест-
предшествующим годом). Выполняет ли предприятие свой пятилет-
пятилетний план или нет?
40

Напомним, что производительностью предприятия на-
называется количество продукции, выпускаемой за какую-
нибудь определенную единицу времени, например за сутки
(суточная производительность). Если принять производи-
производительность к началу пятилетки за 100%, то (при ее утроении
за пятилетку) к концу пятилетки производительность должна
стать ранной 300?о, т. е. возрасти на 200%. Таков прирост
производительности за 5 лет, за один же год она должна
получать прирост в среднем на 200% :5^40%. Следова-
Следовательно, рассматриваемое предприятие, дающее ежегодный
прирост в 30%, своего пятилетнего плана но выполняет.
Однако это заключение совершенно неправильно. В рас-
рассуждении содержится ошибка. Укажите ее.
П. Новое правило умножения дробей.
Один ученик заявил своему учителю математики: «Я нашел
новое правило умножения смешанных чисел, гораздо
более простое и понятное, чем то, которое вы нам объяснили
и о котором пишут в учебниках. Дело в том, что при сложе-
сложении смешанных чисел надо отдельно складывать целые и от-
отдельно дроби; например:
То же самое делается и при вычитании:1 из целых вычи-
вычитаем целые, из дроби — дробь, в случае надобности делаем
«заем»; например:
т-2-4-=5т-2т = E-2) + D-т) =
Очевидно, так же надо поступать и при умножении смешан-
смешанных чисел: надо целые умножить на целые, дробь на дробь;
например:
4
Мое правило и проще для применения, и более понятно,
чем ваше».
41

В самом деле, нельзя ли производить умножение смешан-
смешанных чисел так, как предлагает юный изобретатель?
12. Куда делся рубль?
В ларьке было две корзины с грушами, в каждой по 150
штук. Цена на груши определялась следующим несколько
своеобразным расчетом: из нерпой корзины груши должны
продаваться по рублю за десяток, а из второй корзины по
рублю за полтора десятка. Таким образом, за все груши пер-
первой корзины надо было получить 150 : 10—15 (руб.), за все
груши второй корзины 150 : 15—10 (руб.), а всего 25 руб.
Продавец рассудил, что, взяв из первой корзины десяток
груш, а из второй — полтора, он должен продать 2у десятка
груш за 2 руб. Поэтому он смешал груши из обеих корзин
вместе и продавал эти 150-2=300 (груш) но 2 руб. за 2-я-де-
сятка. В результате получил 2-C00 : 25)=24 (руб.), т. е.
на 1 руб. меньше предполагаемой суммы выручки.
Куда делся рубль?
13. Откуда появился лишний гривенник?
В буфете было две корзины с грушами разных сортов,
по 60 штук is каждой. За этот товар предполагалось полу-
получить 9 руб. 50'коп. при следующем несколько необычном
расчете: 30 коп. за 4 груши из первой корзины и 50 коп.
за 6 груш из второй корзины.
Однако буфетчица для упрощения своей работы решила
смешать груши обоих, сортов и продавать десяток смеси за
80 коп.
Но в результате продажи груш денег оказалось на гри-
гривенник больше: не 9 руб. 50 коп., а 9 руб. 60 кои.
Откуда появился этот лишний гривенник?
14. Завещание отца.
По завещанию умершего родителя три сына должны были
поделить между собой табун в 7 лошадей так, чтобы старшему
досталась половина табуна, среднему — четвертая часть, а
младшему — восьмая.
42

Завещание отца весьма смутило наследников. В самом
деле, его реализация была связана с необходимостью резать
лошадей на части.
Однако выход из затруднительного положения нашелся.
Старик сосед, присоединив к подлежащему разделу табуну
своего коня, предложил, к удивлению братьев, приступить
к разделу.
В результате его осуществления старший сын получил
четыре лошади, средний — две, а младший — одну. Что же
касается лошади соседа, то в ней теперь потребность мино-
миновала, и она с благодарностью была возвращена своему муд-
мудрому хозяину.
Таким образом, выходит, что завещание отца допускает
решение и в целых числах.
Так ли это?
15. 2-3=4.
Некто взялся доказать, что 3 раза по 2 будет не 6, а 4.
Выполняя свою странную затею, он взял в руки обыкновен-
обыкновенную спичку и попросил присутствующих внимательно сле-
следить за ходом его мысли.
— Переломив спичку пополам,— заявил странный мате-
математик,—¦ будем иметь один раз 2. Проделав то же самое над
одной из половинок, будем иметь второй раз 2. Наконец,
проделав эту же операцию над второй из половинок, получим
третий раз 2.
Итак, беря три раза по два, мы получили четыре,
а не шесть, как принято обычно думать.
Укажите заблуждающемуся на его ошибку.
II. АНАЛИЗ ПРИМЕРОЗ.
1. В рассуждении допущена ошибка: второй клиент гости-
гостиницы остался без комнаты, так как об его существовании
просто «забыли» при распределении номеров гостиницы.
Однако здесь нельзя ограничиться одним указанием ошиб-
ошибки. Следует объяснить, почему эта грубая ошибка далеко
не каждому сразу бросается в глаза.
Объяснение же этого факта состоит в том, что понятие
и злого положительного числа не является однозначным: оно
может быть и количественным и порядковым. Путем созна-
сознательного смешения понятий количественного и порядкового
43

чисел и достигается иллюзия правдоподобности приведенного
рассуждения. В самом дело, мы рассуждали так: «в итоге
расселения в первой комнате оказалось два человека»—
число количественное; «третий человек был помещен во вто-
второй комнате»—число порядковое. Подобная структура рас-
рассуждения и дала возможность отвлечь внимание читающего
текст софизма от факта пропуска второго клиента.
Этот софизм указывает на необходимость четко уяснить
себе, какой смысл вкладывается в используемый термин,
особенно тогда, когда он принадлежит к числу неоднознач-
неоднозначных математических терминов.
2. В рассуждении допущено намеренное отождествление
понятий порядкового и количественного чисел.
Ошибка возникает потому, что для пальцев правой руки
совпадение порядкового и количественного чисел не имеет
места.
3. Отметим, что, взяв вместо денежных единиц единицы
длины и поступая точно так же, мы не получим ничего не-
неверного:
а я — 100« см,
1 ,к^-100 см,
а кв. м -= A00а-100) кв. см,
или
а кв. ,vt—10 000a кв. см.
Получив от умножения чисел, выражающих метры, чис-
число, выражающее уже не простые (линейные), а квадратные
метры, мы догадываемся, в чем была допущена ошибка,
когда мы имели дело с деньгами: умножить а рублей на
1 рубль нельзя, так как никаких «квадратных рублен» и
«квадратных копеек» не существует.
Иногда говорят, что множимое может быть и отвлечен-
отвлеченным, и именованным числом, множитель же должен быть
обязательно числом отвлеченным. Уже такое умножение,
как 2лгХЗ.<и—6 кв. м, показывает, что это неверно. Можно
указать еще сколько угодно примеров умножения именован-
именованного числа па именованное. Так, количество работы, которую
надо затратить для выполнения некоторого задания, выра-
выражают обычно числом рабочих дней, т. е. произведением числа
рабочих на число дней, в течение которых они будут заняты;
работу транспорта характеризуют числом пассажи ро-киломст-
ров (произведением числа пассажиров на число километров).
Каждый раз умножение двух именованных чисел приводит
к некоторой новой, сложной единице. Почленное умножение
44

Двух равенств между именованными числами законно всегда,
когда существует соответствующая сложная единица. Так,
имея равенства:
1 т^ Ю00 кг, 1 км---1000 м.
мы можем перемножить их почленно и получим совершенно
правильный результат:
1 т!км^Л 000 000 кг/м.
Это показывает, что для подъема груза в 1 т на высоту в
1 км надо затратить в миллион раз больше работы, чем для
подъема груза в 1 кг на высоту 1 м.
4. Ошибка состоит в том, что мы занимаемую единицу
возводили в ранг десятка.
Возникает вопрос: случайно ли сумма таким образом по-
полученных разностей равна 45?
Нет, не случайно. В самом деле мы занимали пять раз
по единице и каждую из занимаемых единиц считали де-
десятком.
Таким образом образовалась сумма пяти лишних девяток,
составляющих ЛЬ
Допускаемая грубая ошибка не каждым сразу обнаружи-
обнаруживается в результате ложной аналогии с выполнением вычи-
вычитания чисел, записанных но принципам позиционной деся-
десятичной системы счисления.
Имела место попытка предлагать тезис этого софизма
«•15 — 45—45» в качестве задачи для отыскания ее «решения».
«Как из 45 (сумма, которая составляется из сложения чисел
от 1 до 9) вычесть 45, чтобы в итоге получилось ... 45?»
(Журнал «Огонек», 1953, Л« 26, стр. 32.) Разумеется, подоб-
подобная постановка вопроса должна вызвать решительный про-
протест со стороны представителей методико-математической
мысли.
5. Грубая ошибка маленького Пети, как показывает опыт-
опытная проверка, не всем детям сразу бросается в глаза, а объяс-
объяснить ее затрудняются многие. Это происходит потому, что
в основе рассуждений мальчика, как это ни странно, лежит
правильная мысль. Она состоит в тст, что точное деление
(деление без остатка) сводится к последовательному вычи-
вычитанию делителя из делимого до получения разности, равной
нулю.
Производя деление 40 на 8, Петя должен был установить,
сколько раз из 40 можно вычесль 8. Он установил, что это
можно сделать четыре раза (8-4—32) и еще один раз (8-1=8),
45

т. е. выполнить Деление так:
40 : 8=C2-i 8) : 8 =32 : 8+8 : 8-4 + 1.
Однако в силу неправильного использования записи
при вычислении единицы первого слагаемого возведены
Петей в ранг десятков: 4+1 оказались у него приравненными
4-10+1, т. е. 41. В этом его ошибка.
6. Из курса арифметики известно, что от деления членов
отношения на одно и то же число, отличное от нуля, вели-
величина отношения не изменяется. Вопреки этому, в анализируе-
анализируемом рассуждении величина отношения, в данном случае рав-
равная единице, умножалась на число, являющееся общим наи-
наибольшим делителем членов отношения.
В рассуждении создана иллюзия правдоподобия па основе
ложной аналогии с распределительным свойством умноже-
умножения относительно сложения..
Существенно заметить, что подобные ошибки становятся
невозможными при использовании в качестве знака деления
черты дроби. В самом деле:
4 : 4 =-±- = 4. -I- -4.A : 4)
и 5 : 5 |- = 5.-i-==5-(l : 5).
7. Неправильность полученных ответов бросается в глаза
(за исключением пятого, неправильность которого не столь
очевидна). Все они получены в предположении, что между
теми двумя величинами, о которых идет речь в задаче, имеет-
имеется прямо или обратно пропорциональная зависимость; в дей-
действительности же зависимость между величинами, с кото-
которыми мы имеем дело в каждой из этих задач, более сложная.
Решая первую задачу, мы пришли к заключению, что
за 4 часа самолет поднимется на 60 км. Это было бы верно,
если бы высота набиралась пропорционально времени: во
сколько раз больше продолжительность подъема, во столько
раз больше и достигнутая высота. В действительности же
такой пропорциональности нет: по мере того как увеличи-
увеличивается высота подъема, растет и время, нужное для подъема
на каждый следующий метр, и всякий самолет имеет свой
«потолок», т. е. такую высоту подъема, превзойти которую
он уже не может.
Во второй задаче решение дано в предположении, что
скорость моторной лодки пропорциональна числу лошади-
46

ных сил (мощности) мотора. Оказалось, что сравнительно
небольшой мотор, всего в 10 лошадиных сил, даст лодке
скорость в 64 км в час, т. е. скорость курьерского поезда.
Этот расчет тоже неправилен, так как в действительности
увеличение скорости моторной лодки, как и вообще всякого
судна с механическим двигателем, происходит гораздо мед-
медленнее, чем увеличение мощности мотора. Опыты показы-
показывают, что мощность растет приблизительно пропорционально
кубу скорости: чтобы увеличить скорость в а раз, надо уве-
увеличить мощность не в а раз, а в а-а-а—ал раз. Чтобы дать
лодке скорость в 64 км в час, т. е. увеличить скорость в 8 раз
по сравнению с уже имеющейся и указанной в условии задачи
(8 км в час), мощность мотора надо увеличить в 8x8x8=
—512 раз, т. е. мотор в 1,25 лошадиных силы надо заменить
мотором в 1,25x512—640 (сил). Замена же мотора в 1,25 си-
силы мотором в 10 сил, т. е. в 8 раз более мощным, даст лишь
удвоение скорости, так как 2x2x2—8, и моторная лодка
будет делать вместо 8 всего 8x2-= 16 (км в час).
Решение третьей задачи гласит, что челопек, пробегаю-
пробегающий 100 м за 10,2 сек., пробежит за час больше 35 км. Как
показывает опыт, силы человека при таком быстром беге
очень быстро истощаются, и каждые следующие 100 м чело-
челочек будет бежать уже гораздо дольше, а затем и вовсе оста-
остановится. О пропорциональности между продолжительно-
продолжительностью пробега, начатого с такой большой скоростью, и прой-
пройденным расстоянием не может быть и речи.
Четвертая задача решена в предположении, что человек
бросает диск на расстояние, обратно пропорциональное весу
диска. Полученный фантастический ответ (диск забрасывается
на 480 м — почти полкилометра!) показывает неправиль-
неправильность этого предположения. Объясняется это тем, что лишь
при очень небольших изменениях веса бросаемого диска про-
пролетаемое им расстояние изменяется приблизительно обратно
пропорционально весу (точнее: если бросать снаряд в без-
безвоздушном пространстве под одним и тем же углом к гори-
горизонту и сообщать ему одно и то же количество энергии, то
для увеличения пролетаемого им расстояния в 2, 3, 4, вообще в
а раз, надо вес снаряда уменьшить в 2x2— А раза, 3x3=
=9 раз, 4x4—16 раз, вообще а-а=а"- раз). Когда диск бро-
бросают в воздухе, то при уменьшении веса диска и увеличении
его скорости все большее и большее влияние на дальность
его полета оказывает сопротивление воздуха. Кроме того,
диску очень малого веса нельзя сообщить при бросании его
рукой всего того количества энергии, какое можно сообщить
47

Диску 6o.iee тяжелому. В силу этих причин очень малые
диски летят не дальше, а ближе более тяжелых, и расчет
дальности полета, основанный на применении обратно про-
пропорциональной зависимости, даег результаты совершенно
неправильные.
При решении пятой задачи мы исходили из предположения,
что количество ударов и время находятся в прямой пропор-
пропорциональной зависимости. Однако эти две величины связаны
между собой иной, причем более сложной зависимостью.
Это ясно из следующих соображений.
Так как любые из двух последовательных ударов отде-
отделены друг от друга одним промежутком, то, очевидно, шесть
ударов, следующих один за другим, отделены друг от друга
пятью промежутками. Итак, за 6 сек. происходит б ударов,
отделенных друг от друга пятью промежутками, длитель-
длительность каждого из которых составляет 1,2 сек.
Паше утверждение об отсутствии пропорциональности
следует нз того факта, что, считая двенадцать ударов, мы
имеем не десять, а одиннадцать промежутков между ними.
Теперь не представляет труда дать ответ па вопрос задачи:
за какое время часы сделают 12 ударов?
Очевидно, часы сделают 12 ударов за A2-|-/) секунд, где
мы буквой / обозначили длительность в секундах проме-
промежутка времени между двумя последовательными ударами
(/=1,2 сек.).
Из всего сказанного надо сделать вывод о необходи-
необходимости соблюдения большой осторожности при решении за-
задач посредством тройного правила: всякий раз, прежде чем
применить это правило, надо убедиться, что рассматриваемые
в задаче величины действительно находятся в пропорциональ-
пропорциональной зависимости. Можно привести сколько угодно примеров
нелепых выводов, основанных на применении тройного пра-
правила в случаях, когда его применять нельзя. Мы с ними еще
встретимся.
8. Здесь допущена ошибка при вычислении процента
экономии топлива. При наличии всех трех усовершенство-
усовершенствований расчет экономии топлина должен быть проведен сле-
следующим образом: 40% экономии топлива, получающиеся
от введения первого изобретения, нужно взять от всего коли-
количества топлива, потребляемого машиной. 35% экономии
от введения второго изобретения вычисляются от остатка
после вычета экономии от первого усовершенствования. 25%
экономии топлива, получающиеся от введения третьего усо-
усовершенствования, вычисляются от второго остатка. Расчет
48

будет верен и в том случае, если мы проведем вычисление в
другом порядке, т. е. начнем со второго или третьего усовер-
усовершенствования. Возьмем конкретный пример. Допустим, что
машина потребляет 100 кг топлива; тогда расчет должен
быть проведен следующим образом:
40% от 100 равны 40 100 — 40 = 60 (кг)
35% » 60 » 21 60 — 21 = 39 »
25% » 39 » 9,75 39 — 9,75 = 29,25 {кг).
Следовательно, при наличии трех усовершенствований
в топку нужно будет заложить вместо 100 кг только 29,25 кг.
Результат может быть выражен так:
100-A — 0,40)-A — 0,35) A — 0,25)=29,25 (кг).
Это выражение показывает, что общий процент экономии
не зависит от того, в каком порядке мы вводим отдельные
усовершенствования.
В ошибочном решении этой задачи мы сталкиваемся с
использованием ложной аналогии.
Привыкая принимать при решении очень многих задач
данное первоначальное количество за 100% (например, в рас-
рассматриваемой задаче: «если принять количество топлива,
употребляемого машиной, за 100%»), ученики довольно часто
склонны полагать, что проценты следует всегда вычислять
от указанного в задаче первоначального количества («основ-
(«основного, стопроцентного числа»), и считают возможным прене-
пренебрегать необходимостью учитывать изменение этого коли-
количества (новое, другое «основное, стопроцентное число») в
результате определенных действий (в данном случае в резуль-
результате последовательного введения усовершенствований, даю-
дающих экономию топлива).
9. Необходимо твердо помнить, что при вычислении
среднего процента х по нескольким группам (или, как го-
говорят статистики, по нескольким частным совокупностям)
простое среднее арифметическое из чисел рх, рг, ps, ..., рп.
выражающих соответствующий процент по каждой группе
отдельно, дает правильный ответ лишь в том случае, когда все
эти группы одинаковой численности (имеют одинаковый вес).
Если же среди этих групп не все одинаковой численности,
средний процент х необходимо вычислять по формуле взве-
взвешенного среднего, а именно:
x={piai+p2a-i-rpnas+. . . \-рпа„) :"(а1+а2-г. . .+а„),
где аъ аг, аз,...,а„—числа, выражающие численность (вес)
5 Заказ Jfe 226 49

каждой группы. В случае ai—az=a3—...—an Зта формула
приводится к формуле простого, т. е. не взвешенного сред-
среднего арифметического х~(pi+рг+рз+...+р,,) ¦ п-
10. Для осознания ошибки начнем с противопоставления
правильного рассуждения ложному.
Пусть имеем ежегодный прирост в 40% по сравнению с
предшествующим годом. К началу первого года производи-
производительность была 100% , к концу его она стала уже 100%+40% =
= 140%. Новый 40-процентный прирост за второй год надо
вычислить не от первоначальной производительности в 100%,
а от той, какая была к началу второго года, т. е. от 140%.
Следовательно, прирост за второй год равен 40% от 140%,
т. е. 56%, и к концу второго года производительность соста-
составит 140% +56% = 196%. Прибавив сюда 40% от 196%, найдем,
что к концу третьего года мы будем иметь уже 196%+78,4%—
=274,4%. К концу четвертого года будем иметь 274,4% плюс
40% от 274,4%, или 274,4% + 109,76%=384,1696, а к концу
пятого года уже
384,16% плюс 40% от 384,16%, или 384,16% +153,66% =
=537,82%.
Таким образом, ежегодный прирост производительности
в 40% даст не утроение, а более чем пятикратное увеличе-
увеличение производительности за пятилетку.
Чтобы иметь за пятилетку утроение, мы должны взять
за год не 40% прироста, а меньше. Взяв 20%, убедимся,
что к концу первого, второго и так далее лет пятилетки мы
будем иметь 120%, 144%, 172,8%, 207,36% , 248,83%, и утрое-
утроения за пятилетку не получим. При 25% ежегодного прироста
утроение за пятилетку уже обеспечено — к концу пятилетки
получим 305,18% производительности. Ежегодный прирост
в 30% даст к концу пятилетки 371,29%.
Ошибка первого рассуждения, которое привело к заклю-
заключению, что 30% ежегодного прироста утроения за пятилетку
не дадут, состояла в том, что там не были учтены проценты
на проценты: 30% прироста за год надо считать не от произ-
производительности к началу пятилетки, принятой нами за 100%,..
а от производительности к началу каждого года. Другими
словами, здесь мы имеем дело не с простыми, а со сложными
процентами. Более точный расчет, основанный на примене-
применении формулы сложных процентов:
(для решения нашей задачи надо взять А=3а, п—5 и про-
провести вычисление р посредством логарифмов), приводит к за-
50

ключению, что ежегодный прирост в р=24,6% уже обеспе-
обеспечивает утроение за пятилетку C00,32%), а ежегодный при-
прирост в р—24,5% его не обеспечивает B99,12%).
11. Рассмотрим задачу: если человек проходит по 6у км
в час, то сколько он пройдет за 2-т- часа? Решим эту задачу,
не пользуясь никаким правилом умножения дробей, ни ста-
старым, ни новым.
За час человек пройдет6—/см или 6500.и, за 2 часа 6500Х
х2=13 000 (л), за четверть часа 6500 : 4=1625 (м), а всего
за 2-^- часа 13 0004-1625=14 625 (м), или 14 км 625 м, или
14-л- км.
о
Казалось бы, задачу эту можно решить одним действием —
умножением 6у на 2-j. Действительно, при любом целом числе
часов пройденный путь равен пути, пройденному в 1 час,
повторенному столько раз, сколько часов продолжалось
движение, т. е. равен произведению 6— на число часов. Есте-
Естественно ожидать, что и при дробном числе часов результат
должен получаться посредством того же действия умноже-
умножения. Но если принять новое правило умножения, то произ-
произведение 6-у на 2-^-, как мы видели выше, оказывается равным
12-Q-, а не 14-ц-, как должно быть. Обычное же правило умно-
умножения в настоящем случае дает:
с 1 oj 13-Э_ И7. 4 5
° 2 " Z 4 - 2-4~ 8 ~iq Я '
т. е. именно тот результат, который мы получили выше,
обходясь без дробей (посредством раздробления километров
в метры).
Итак, «новое правило» умножения смешанных чисел
приходится забраковать. Но интересно выяснить, по-
почему сложение (и вычитание) смешанных чисел можно вы-
выполнять, складывая (и вычитая) отдельно целые и отдельно
дроби, а умножение выполнять таким образом (т. е. умножая
целое на целое, а дробь на дробь) нельзя.
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, нуж-
нужно это третье число прибавить к одному из слагаемых, остав-
оставляя другое неизменным. Например, чтобы к 8+5 прибавить
5* 51

2, мы должны взять либо (8+2)+5—10+5, либо 8+E+2) =
=8+7. В обоих случаях получается правильный результат
A5). Мы имеем здесь формулу:
(a-{-b)+c=a+{b+c),
выражающую так называемое «сочетательное» свойство суммы.
Используя «переместителыюе свойство» суммы (а \-Ь—Ь-\-а),
мы получим (а+6)+с=(?+а) trc—bJr(a-\-c) = (a+c)+b и при-
придем к другому выражению «сочетательного свойства» суммы:
(а+Ь) \-с-={а \-с)-\-Ь.
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье
число, надо умножить на это третье число одни из сомножи-
сомножителей, оставляя второй неизменным. Например, чтобы умно-
умножить 3-4 на 5, надо взять либо C-5)-4 —15-4, либо 3-D-5)^=
=3-20. В обоих случаях получается правильный результат
F0). Здесь имеем формулу:
(a-b) ¦ с=а-(Ь-с),
выражающую «сочетательное» свойство произведения.
Мы рассмотрели случаи, когда дважды выполняется одно
и то же действие: два раза сложение или два раза умноже-
умножение. Теперь возьмем случай, когда выполняется сначала
сложение, затем умножение. Чтобы сумму двух чисел умно-
умножить на третье число, оказывается, нельзя ограничиться
умножением одного лишь из данных чисел: надо умножить
каждое слагаемое. Например, чтобы умножить на 5 сумму
3+4, нельзя взять 3-5+4=15+4 = 19 или 3+4-5=3-20--23
необходимо взять 3-5+4-5=15+20—35. Таким образом
здесь нельзя ограничиться простым сочетанием третье-
третьего числа с одним из двух первых. Здесь второе
действие (умножение) как бы распределяется между двумя
числами, над которыми производится первое действие (сло-
(сложение). Говорят, что произведение суммы обладает распре-
распределительным свойством, которое выражается формулой:
{a+b)-c^=ac-\-bc.
Итак, прибавляя к сумме двух чисел третье число, мы
должны применять сочетательное свойство, а умножая сумму
двух чисел на третье число, должны применять распредели-
распределительное свойство.
Теперь вернемся к действиям над дробями. Всякое сме-
смешанное число можно рассматривать как сумму двух чисел,
52

целого и правильной дроби, например, 6—= 6-f—. Скла-
дывая два смешанных числа, например, о— и 2-, мы можем
прибавить к 6-- сначала 2, потом -т. Чтобы прибавить к 6-j =
=Q-\— число 2, мы увеличим на 2 первое слагаемое F), а
второе 1-к) оставим без изменения. Получим F + 2)+-9-.
К эгой сумме двух слагаемых F-[-2) и -у остается прибавить
еще -г. Пользуясь еще раз сочетательным свойством, оста-
оставим первое слагаемое (()-(-2) без изменения, а второе /-^-j уве-
увеличим на -г. Окончательно имеем:
Рассмотрим умножение смешанных чисел 6— и 2-^-.
Чтобы умножить 6—=(]-}-— на 2—, мы должны, исполь-
зуя распределительное свойство, умножить на 2—р как пер-
первое слагаемое F), так и второе слагаемое (у), а затем про-
произведения сложить:
Но для получения произведения 6-2^ или 2^- • 6 или
2+-?-)¦ 6 опять используем распределительное свойство:
Точно так же поступаем и для получения произведения
-г-- 2-,-, а именно:
I 4
53

В конце концов оказывается, что наше произведение двух
смешанных чисел равно сумме четырех частных произведе-
произведений, а именно:
6f 21-6-2+6.1+т-2 + Т-Т
Теперь ясно, что, умножая целое на целое и дробь на
дробь, мы получаем не все произведение, а лишь часть его:
теряются второе и третье частные произведения F-^- и -j-ty,
т. е. произведение целой части первого сомножителя на дроб-
дробную часть второго и целой части второго на дробную часть
первого.
1
Черт 12
Применяя умножение для вычисления площади прямо-
прямоугольника но основанию и высоте, мы можем очень наглядно
представить все четыре частных произведения, входящие
в произведение двух смешанных чисел. Взяв, например,
прямоугольник со сторонами 6у и 2^-, видим (черт. 12), что
его площадь состоит из 4 частей: большого прямоугольника
со сторонами 6 и 2, узкой длинной полоски — прямоуголь-
прямоугольника со сторонами 6 и —, более широкой полоски справа —
прямоугольника со сторонами — и 2, маленького прямоуголь-
прямоугольника со сторонами -^ и —.Площадь большого прямоугольника
содержит 12 квадратов (кв. единиц), площадь узкой длин-
длинной полоски — 6 четвертей квадрата, или 1—= 1у квадрата,
площадь полоски справа — две половины, или 1 целый квад-
квадрат, а площадь маленького прямоугольника есть половина
одной четверти, или одна восьмая квадрата. Всего имеем
12+i-i+l+i-= н4- квадрата, как и должно быть.
Z о о
54

Если обозначить целые и дробные части обоих сомножи-
сомножителей буквами, то мы получим не что иное, как известное
из курса алгебры правило умножения двучленов:
(а+6) (c+d)^ac \ bc+ad+bd,
наглядно изображенное на чертеже 13.
12. Из второй корзины A5 груш п ^
на 1 руб.) продавец мог брать по
15 штук всего 10 раз. Добавляя к
каждым 15 грушам по 10 штук из
первой корзины A0 груш на 1 руб ),
он вынет из нее только 100 груш.
Составленные таким образом десять
совокупностей по 25 груш он про-
продаст за 20 руб. После этого оста-
останется 50 груш только из первой кор-
ас
к
ad
bd
Черт. 13
зины; из них каждый десяток груш он должен был продавать
по рублю и получить за все 50 груш 5 руб.; иа самом же де-
деле он эти 50 груш продал за 4 руб. (по 2 руб. за 25 штук) и,
таким сбразом, потерпел 1 руб. убытка.
Разъясняя этот софизм, надо напомнить ученикам и пра-
правильный расчет стоимости 25 груш в случае продажи смеси.
Так как стоимость 150 груш, находящихся в первой кор-
корзине, составляет 15 руб., а стоимость 150 груш, находящихся
во второй корзине, составляет 10 руб., то стоимость каждой
15+Ю 25 I , ,, ^
груши смеси составит J = -жл= ТочРУб-)- Следовательно,
1 25
стоимость 25 груш составит -r^--25 = у, (руб.). Всего же сово-
совокупностей по 25 груш из множества груш двух корзин можно
выделить 300:25—12. При их продаже будет выручено
55
•j2 ¦ 12 =25 (руб.), т. е. столько же, что и при раздельной про-
продаже по различным ценам.
В анализируемом рассуждении мы столкнулись с откло-
отклонением от тезиса: под видом изменения способа решения одна
задача заменена другой, не равносильной первой.
Задача, эквивалентная первоначальной, формулируется
так: «Каждые 25 груш, составленные из 10 груш первой
корзины и 15 груш второй, продаются по 2 руб.; остаток
груш первой корзины продается по ранее установленной
для них цене».
В ошибочном же рассуждении исходная задача подменена
следующей, ей не эквивалентной: «150 груш одного сорта,
стоящие 15 руб., и 150 груш другого сорта, стоящие 10 руб.,

решили смешать и продавать по 2 руб. за 25 штук. Какая
сумма будет выручена при реализации груш по указанной
цепе (сопоставить с первоначально установленной стоимостью
этого товара)?»
13. В этом рассуждении допущена та же самая ошибка,
что и в рассуждении п. 12.
Оно предназначено для самостоятельного опровержения
учащимися, которое становится им доступным на основе
предварительного анализа подобного же рассуждения под
руководством учителя.
14. В завещании умершего родителя допущена оплош-
и „1,1,1 7
ность. В самом деле, сумма долей—-г-г+-5- составляет „-, а
z 4 о о
не единицу. Точное выполнение завещания предполагает
передачу старшему сыну—- голов табуна, среднему -j и млад-
7 „ 49 „ 1 7
шему —. Это в сумме составит -^ =6 тг, а -^ от одной лошади
о о о о
остаются вне требований раздела.
Старик сосед своими действиями подсказал такую под-
подмену тезиса завещания, благодаря которой бралось — не
от 7, а от 8 единиц. Однако такое решение вопроса неточ-
неточностью реализует завещание, так как старший сын получил
больше на 4 — "гг=1Г лошаДи> средний на 2 — -r= -j-, а младший
на 1 —~я~~~я" ^ти пРи^авки в своей сумме исчерпывают остав-
7
шиеся вне раздела-д- от одной лошади.
15. В рассуждении допущено уклонение от тезиса: вопрос
о числе, составляющем произведение двух единиц на три,
подмечен вопросом о числе обломков спички, полученных
в результате определенного процесса, привлеченного для
ложной иллюстрации анализируемого рассуждения.
Мы называем иллюстрацию ложной потому, что в ней
в качестве множимого сначала выступают две половины
от целой спички, а затем две четверти от той же спички.

Гла в a 111.
АЛГЕБРА.
I. ПРИМЕРЫ ЛОЖНЫХ РАССУЖДЕНИЙ.
16. Половина рубля равна пяти копейкам.
Каждый, конечно, согласится, что
j руб. = 25 коп. A)
Однако, извлекая квадратный корень из обеих частей ра-
равенства A), получим:
у руб. = 5 коп., B)
т. е. половина рубля равна пяти копейкам.
17. 6=2.
Ученику предложили решить уравнение:
\Т+х=2. A)
Он быстро и уверенно записал в своей тетради следую-
следующие выкладки:
1"х~ = 2—х; х = 4—4х+х'л;
х2—5х-{ 4 = 0 B)
JCi = 4; *2=1.
Будучи твердо уверен в правильности проделанных пре-
преобразований и вычислений, ученик был весьма обескуражен
результатами подстановки значения a'i в уравнение A). Ему
казалось, что он доказал явно абсурдное: 6=2!
Помогите ученику понять свою ошибку.
4 Заказ Л"» 226 57

18. 12-6-0
В тетради одного юноши, самостоятельно занимающегося
математикой, была обнаружена любопытная запись, которую
мы полностью воспроизводим.
«Решить уравнение:
Решение.
Т= — х — 2 A); 9дс=д*+4*+4;
х2— 5х+4-0
Х\—4; хг=1.
Проверка. При х=А имеем:
3|/4+4+2=12, т. е. 12=0. (!)
При х— 1 имеем:
3-1-1+2=6, т. е. 6=0. (!)
О т в е т».
На этом запись решения уравнения обрывалась.
Помогите товарищу преодолеть его затруднения.
19. Делимость многочленов и делимость чисел.
Установив, что некоторое утверждение о свойстве чисел
оказывается верным в ряде частных случаев, т. е. для ряда
определенных чисел, мы отнюдь не можем быть уверены, что
это утверждение окажется верным всегда: заключать о т
частного к общему можно лишь в виде предполо-
предположения, догадки, которая в дальнейшем должна быть либо
доказана, либо опровергнута. Но если такое доказательство
проведено, то мы можем смело применять наше общее утверж-
утверждение в каждом отдельном случае: заключение от общего
к частному вполне законно. Так, уменьшая на единицу квад-
квадраты простых (первоначальных) чисел, больших 3, а именно
чисел 5, 7, 11, 13, 17 и т. д., мы получим числа 24, 48, 120,
163, 288 и т. д., кратные 24. Естественно сделать догадку:
не будут ли кратными 24 все числа вида р2— 1, где р(/?>3)
простое число? Представив р2—1 в виде (p-fl)-(p—1), .заме-
.замечаем, что числа р-|-1 и р—1 оба четные, причем одно из них
даже четно-четное, т. е. делится не только на 2, но и па 4,
а потому р2—1 кратно 8. С другой стороны, из трех последо-
последовательных целых чисел р—1, р, рт\ одно непременно крат-
58

но 3, а так как р, будучи числом простым, большим 3, ие
может быть кратным 3, то кратным 3 оказывается одно из
чисел р—1 или р + 1. а следовательно, и их произведение.
Итак, каково бы ни было простое число р>3, всегда рг—1
кратно 8-3=24. Доказав это утверждение в обшем виде,
мы можем быть уверены, что оно окажется справедливым
и в каждом частном случае, т. е. для всякого числа, удовлет-
удовлетворяющего поставленным условиям.
Положим, однако, что некоторое утверждение, доказан-
доказанное в общем виде, оказывается неверным в каком-либо част-
частном случае. Ясно, что здесь непременно имеет место какая-
нибудь путаница или просто ошибка: либо общее утверждение,
которое мы считали доказанным, на самом деле неверно,
т. е. ошибка была допущена в доказательстве, либо непра-
неправильно само указание на то, что в данном случае наше общее
утверждение не оправдывается.
Любопытный пример такого рода путаницы мы имеем
в следующем рассуждении.
Возьмем двучлен хп—а", где п произвольное натураль-
натуральное (т. е. целое положительное) число; хна произвольные,
неравные друг другу, действительные числа, причем афО.
Полагая— —у, имеем:
х=ау,
хп —ап =ал(ул— 1^
х — а—а(у — 1),
ап~1( х— а)—а"(у — 1).
Замечая, что а" делится на а, а у"— 1 делится на у — 1 (раз-
(разность степеней всегда делится на разность оснований), за-
заключаем, что
х"—а" делится на а"~1(х—а).
Таково общее доказанное нами утверждение. Применим его
к частному случаю, когда а—2, х~3, п=3.
Имеем: хп— а"=3!— 23=--19, ап~1{х — а)^22C — 2)=4,
и, следовательно, 19 делится на 4!!!
В чем тут дело?
20. Произвольно взятое число а равно нулю.
Пусть а есть произвольно взятое действительное число,
отличное от нуля.
Составим квадратное уравнение:
ж2—ах=—4а2. A)
О
4* 59

Решая это уравнение в множестве действительных чисел,
\ ченик рассуждал так.
Умножим обе его части на —За, а затем прибавим к обеим
частям разность хя— as; получаем:
— Зол;2 \-Ъагх^а?
х3—
Пользуясь формулой куба разности двух чисел, пере-
перепишем полученное уравнение в более коротком виде:
(х — аK— х3,
а после извлечения из обеих частей кубического корня будем
иметь:
х - а=х, B)
откуда а=0. Итак, оказалось, что произвольно взятое дей-
действительное число а, отличное от нуля, равно нулю.
21. 7=13.
Уравнение
х+о г 4х—40 ,.
х-7""°— "Тз=х V>
может быть преобразовано так:
х \-о—5(*—7) 4х—А0,
х—7 13—Л '
АХ—40_4х—Юш Ах—10__4х—40
х—7 ~ М—х ' 7—х ~ 13—х
Из соотношения B) делаем вывод, что 7—13.
B)
22. Положительная единица равна отрицательной единице.
Пусть b есть положительное число, отличное от единицы.
Определим число а так, чтобы
*я=—1. A)
Исходя из этого соотношения, утверждаем, что &2" — 1.
Легко видеть, что а—0, так как по условию b-1-Л.
Из этого же вывода следует, что Ьа =1. B)
Сопоставив соотношения A) и B), устанавливаем, что
01)

23. Другое «доказательство» равенства положительной
и отрицательной единиц.
Из курса алгебры X класса известно, что мнимая единица
обозначается буквой /, а квадрат этой мнимой единицы равен
— 1, т. е. г'2=— 1
Однако, с другой стороны,
1==У-\ и] -1 \ -1 = 1 • (_i).(_i)=yi =i,
а поэтому, очевидно, г2=1.
Итак, выходит, что отрицательная единица равна поло-
положительной единице
24. Мнимая единица и действительная отрицательная
единица равны.
Пусть х= — 1. Тогда ,vf —(—1L= + 1, а так как +1 =
—(—1)-(—1), то
Извлекая из обеих частей корень 4-й степени, получаем:
^ / 1 / 1 / ^ \ *
— [ 1-1 =[' I = 1, (?)
где буква i обозначает, как обычно, мнимую единицу, т. е.
квадратный корень из числа — 1 (i—-\ — 1). Производя
преобразования, показанные в строке B), мы воспользо-
воспользовались следующими теоремами алгебры: 1) корень из корня
можно заменить одним корнем, показатель которого равен
произведению показателей данных корней; на основании об-
обратной теоремы мы заменили корень 4-й степени корнем
квадратным из квадратного корня от подкоренного выраже-
выражения; 2) корень из произведения равен произведению корней
из сомножителей; 3) действие извлечения квадратного корня и
возведения в квадрат взаимно уничтожаются.
В строке B) мы установили, что x=i. Но мы исходили из
того, что х-=—1. Следовательно, i——1, т. е. мнимая еди-
единица и действительная отрицательная единица равны.
Где же ошибка, допущенная нами, которая привела нас
к такому абсурду^
'•I

25. *»= 1.
Равенство
1 _--!
-1 ~" 1
не вызывает у нас никаких сомнений.
Используя операцию извлечения квадратного корня, имеем:
\'Т уГГГ
у~-\ у Г
1 i
т. е. .
а отсюда
26. Всякое отрицательное число больше положительного,
имеющего то же абсолютное значение.
Нижеследующее рассуждение основано на очевидной исти-
истине: если предыдущий член первого отношения некоторой
пропорции больше последующего его члена, то и предыду-
предыдущий член второго отношения этой пропорции больше своего
последующего. Короче говоря, если
ауЬ и а : b~c : d, то и cyd.
Берем произвольное положительное число а и, замечая,
что
и (— а) : (+а)=— 1,
составляем пропорцию:
Здесь предыдущий член первого отношения больше по-
последующего его члена, так как +а>— а. Согласно сказан-
сказанному выше, в таком случае и предыдущий член второго отно-
отношения больше своего последующего. Счедовательно, имеем,
что —¦ «>+«.
27. Если ayb, то а>2Ь.
Возьмем два произвольных положительных числа а и Ь,
причем предположим, что а>Ь. Умножив обе части этого

неравенства на b, получим новое неравенство аЬуЬг. Отняв
от обеих частей по а2, придем к неравенству ab — а2>&2— a2,
или, что то же, к неравенству:
a(b - a)>(b+a) (b - а). (I)
После деления обеих частей на b — а имеем соотношение:
а>Ь\-а. B)
Если к этому последнему неравенству прибавить почлен-
почленно исходное неравенство о>?>, то получим неравенство
2а>2Ь \-а, или, после отнимания от обеих частей по а, не-
неравенство:
а>2Ь. C)
Итак, если а>Ь, то a'ylb. Например, из того, что 10>9,
заключаем,согласно доказанному, что 10>18.
28. Если а и Ь положительные числа, то а>& и Ь>а.
Как известно, имея два неравенства одинакового смысла,
т. е. оба со знаком > (больше) или оба со знаком < (меньше),
мы можем сложить или перемножить их почленно, и новое
неравенство будет того же смысла, что и оба данных: из не-
неравенства а>?> и с>с( вытекает, что
a+c>b+d, acybd.
Возьмем два положительных числа а и b и напишем два
следующих совершенно бесспорных неравенства:
а> — Ь, ?>> — Ь.
Перемножая их почленно, придем к заключению, что
aby-b*, или, после деления обеих частей на b F>0), по-
получим:
Если же напишем два других тоже бесспорных неравенства:
?>> — а, а> — а,
то окажется, что bay а1 и
Итак, из любых двух положительных чисел каждое больше
другого.
63

29. Положительное число меньше нуля.
Пусть а и Ь — произвольно взятые положительные числа,
удовлетворяющие неравенству:
а>Ь. A)
Умножив обе части соотношения A) на b — а, имеем'
a(b — a) >b{b — a).
Дальнейшие преобразования не требуют пояснений
ab — cP>b2 — ab,
0>а2— 2ab+b\
by. B)
Однако (а—Ь)г, где а+b, есть число положительное,
так как квадрат всякого действительного числа, отличного
от нуля, положителен.
Итак, соотношение B) позволяет утверждать, что поло-
положительное число меньше нуля.
30. Сумма натуральных чисел, каждое из которых
превосходит единицу, больше их произведения.
Будем исходить из несомненного равенства.
а~-Ь-\-с+ +1 а
abc I abc I y '
Воспользовавшись логарифмированием обеих частей ра-
равенства A), запишем:
, а-Ь-c-r -г-1 ,а\Ь-\с- -\ I /О.
От соотношения B) перейдем к неравенству:
2la\-b+c+ +1 д+Ъ+с+ +j
Z1R abc I >lg abc I
которое перепишем в следующем виде:
. (а+Ь+с+ .+
Потенцируя, имеем:
(а+Ь+с+ ,+Л'
\ abc I ) > abc \
СА

Наконец, разделив обе части неравенства D) на
а-\-Ь+с-\- .+1 .
—1ыГ1—<^{>
откуда
а + Ь+с+. . .+l>abc . . . I.
31. Чему равен квадратный корень из числа а2?
Ученикам была дана задача: найти числовое значение
выражения 2х-~-\'г\—2х \-х° при х—3. Эту нетрудную за-
задачу ребята решили быстро, но оказалась странная вещь:
одни прямо подставляли вместо х данное число 3 и, выполняя
действия над числами, пришли к ответу 8, другие же, заме-
заметив, что подкоренное выражение есть квадрат разности чисел
1 и х, предварительно преобразовали данное выражение
к виду 2я+|/A — хK=2х-\-A —х)=\-\-х и получили после
подстановки другой ответ: 1-|-3—4.
32. Еще одно «доказательство» равенства нулю
произвольно взятого числа.
Пусть Ъ — произвольное число, отличное от нуля.
Если а=—¦ Ь, A)
то, очевидно, а2=63. B)
Прологарифмировав соотношение B), будем иметь:
21g a=21g b. C)
Введя новые обозначения:
Ig а-=з, lg b=% D)
можно записать:
10я -a; 103 -=b.
На основании соотношений C) и D) утверждаем, что
a = [3, а потому:
10" =10?, т. е. a- b. E)
Складывая почленно равенства A) и E), имеем:
2а=0, т. е. а=0.
Отсюда делаем вывод, что произвольное число, отличное
от нуля, равно нулю.

33. Число не изменяется, если в нем переставить
любые цифры!
Чтобы доказать «теорему», формулировка которой дана
в заголовке настоящего параграфа, рассуждаем следующим
образом.
Всякое число, сумма цифр которого равна нулю, са-
само необходимо равно пулю, так как все его цифры —
нули.
Возьмем два произвольных, хотя бы трехзначных, числа:
N =
где буквы а, Ь, с, аь Ьъ ст означают произвольные цифры.
Первое число имеет сумму цифр s=a-\-b-{-c, второе — Si~
=a1-f6i+Ci.
Рассмотрим разность
Сумма цифр этого последнего числа ,V — N1 равна
(a — ai)+F — bt) f (с — ci) ^a — cti+b — bt-\-c — d=
= {a-\-b-\-c) — (ai !-^i-|-Ci)-=s — sb
Если взятые числа N и Л/i имеют одинаковые суммы цифр,
т. е. если s—si, то сумма цифр числа N — Ni равна
нулю.
Саедовательно, при s=Si имеем всегда M=Ni.
Числа N и Ni, отличающиеся одно от другого лишь по-
порядком цифр, имеют одну и ту же сумму цифр. Следователь-
Следовательно, такие числа всегда равны друг другу (например, 257=723!).
«Доказательство», проведенное для трехзначных чисел,
без существенных изменений применимо к любым много-
многозначным числам.
34. Что говорит теорема о существовании корня
в алгебре комплексных чисел?
Один человек слыхал, что в высшей алгебре доказывается
теорема, которая утверждает, что всякое уравнение имеет
по крайней мере один корень, действительный или мнимый.

Человек этот был очень смущен, встретившись с иррацио-
иррациональным уравнением
+Vx=-l, A)
которое после освобождения от радикала приводится к урав-
уравнению х~1. «Решив» это последнее уравнение, он нашел его
единственный корень 1. Помня, что почленное возведение
обеих частей уравнения в степень может дать посторонние
корни, он сделал подстановку найденного корня в данное
уравнение и убедился, что корень этот данному уравнению
не удовлетворяет. Следовательно, данное уравнение корней
не имеет вовсе По как же быть с теоремой о существовании
корня?
Заметим, что можно указать сколько угодно уравнений,
вовсе не имеющих корней, подобно уравнению A). Таково,
например, уравнение:
УЧ-х-г Yb— х — Yx,
так как оба значения х{=0 и хг=4, которые получаются,
если решать это уравнение, освобождая его от радикалов,
ему не удовлетворяют.
35. Об одном стсобе получать правильные результаты,
применение которого требует большой осторожности.
Как известно, всякая несократимая дробь —-, у которой
знаменатель п содержит хотя бы один первоначальный мно-
множитель, отличный от 2 и 5, при обращении в десятичную
дробь дает бесконечную периодическую дробь. Поставим
себе обратную задачу: имея какую-нибудь бесконечную пе-
периодическую дробь, найти ту обыкновенную дробь, от обра-
обращения которой в десятичную она получилась. При этом огра-
ограничимся «чистыми» периодическими дробями, т. е. такими,
у которых период начинается сразу после знака дробности.
Пусть дана, например, дробь 0,242424..., т. е. чистая
периодическая дробь с целой частью 0 и периодом 24. Обо-
Обозначив величину этой дроби через х, возьмем равенство
х-0,242424...
и умножим обе его части на 100; получим:
100х=24,242424...=24+0,242424...
67

Замечаем, что это последнее равенство можно переписать
в новом конечном виде (бесконечное повторение периода
исключено):
ЮОх-24-fA-.
Мы получили уравнение первой степени, решение кото-
О Л- Я ft
рого дает х= ^—,,-,-,¦ Для проверки обращаемое десятич-
десятичную дробь и после деления 8 на 33 действительно получаем
данную периодическую дробь 0,242424...
Этим способом можно обратить в обыкновенную дробь
любую чистую периодическую дробь, но только умножать
надо не всегда на 100: если в периоде /г цифр, то умножать
надо на 10/г. Для обращения в обыкновенную дробь «смешан-
«смешанной» периодической дроби, т. е. такой, у которой между зна-
знаком дробности и периодом находятся еще цифры, надо пред-
предварительно преобразовать смешанную дробь так, чтобы свести
вопрос к обращению чистой периодической дроби. Например,
если дана дробь х—0,8333..., то сначала умножаем обе части
этого равенства на 10, а потом, получив
1(к=8,33333. ..-=8-1-0,333...,
полагаем у=0,333... и находим v—4- и х — (8 -}--з-):]0—
"¦§¦• Проверка (делением 5 па 6) показывает, что задача
решена правильно.
Характерной особенностью примененного нами метода
было исключение бесконечного повторения периода.
Вот еще задача, где применяется аналогичный прием.
Г
I / /
Надо найти \ 2 +к 2Jr[-/ \-..., предполагая, что дей-
действие извлечения квадратного корня повторяется неогра-
неограниченное количество раз. Полагая
х—у 2-\-V 2+V 2+..., возводим обе части эчого равен-
равенства в квадрат и убеждаемся, что после переноса числа 2
налево в правой части опять получается выражение, обозна-
обозначенное нами через х. Делая замену, исключаем бесконечное
множество корней и приходим к квадратному уравнению,
из которого и определяем х:
R8

л-2=2+ У 2 + V 2+V2i-...,
xl~2= У 2 А -К 2+1/2+...;
x?— 2-^x, x2— x — 2=0,
a-^0,5 -1-^2,25^0,5+1,5=2, x2=0,5 — 1,5=— 1.
Пригодным, разумеется, является лишь положительный
корень. Итак, искомое выражение равно 2.
Правильность нашего утверждения легко проверить, про-
произведя следующие вычисления:
*1==|/2~= 1,414;
Xi= V 2 + V 2=V 2+Xi=VWL = 1.848;
хл= V 2j\-Xt=l,9GU
л-4= \ ''2+'*» =1,990;
x5= У 2+х4 = 1,997;
Хв = V 2+^6= 1,999.
Как видим, последовательность чисел
jci = V 2, *Я=К 2 + |/,
Xi = |/ 2+-1/2+У2ГГ,
которую можно продолжать как угодно далеко, состоит из
чисел, действительно приближающихся к указанному зна-
значению 2, как к своему проделу (насколько можно об этом
судить по нашему небольшому вычислению, проведенному
с точностью до тысячных).
Наш прием исключения бесконечного ряда повторяющихся
операций в рассмотренных двух случаях привел к правиль-
правильным результатам. Но рассмотрим еще одно применение этого
приема.
Возьмем какое угодно положительное число а и обозна-
обозначим буквой х сумму бесконечного множества слагаемых,
равных а; затем производим исключение бесконечности и
приходим к неожиданному заключению, что а—О:
х-^алс а-\-а-\-...,
х—а-\-х,
0=а.
69

Применение нашего приема исключения бесконечности
привело здесь к противоречию между заключением (а=0)
и исходным условием (а>0).
Вот еще пример: обозначив через х значение алгебраи-
алгебраической суммы бесконечного множества слагаемых
1 —2+4 — 8+16 — 32+....
имеем:
х=1 — 2+4 — 8+16 — 32+...,
х=1 — 2-A — 2 |-4 —8+16— ...),
х-=\ — 2х, х+2х^\, Зх=1, х=~.
о
Ответ явно неверный, так как, находя суммы последо-
последовательно возрастающего числа слагаемых, мы получим ряд
целых чисел:
Ла=1, х2=-1 —2— 1,
хз=1 — 2+4=3,
A-i=l — 2+4 — 8=—5,
*б=1 — 2+4 — 8+16-11 и т. д.,
не обнаруживающих никакого приближения к найденному
нами числу -гг. Итак, примененный нами способ устранения
О
бесконечности, дающий иногда правильные результаты, иногда
дает результаты явно неправильные, а потому его примене-
применение требует осторожности: необходимо выяснить, при каких
условиях этот прием дает правильные результаты.
36. О сумме 1—1 + 1—1 + ...
Пусть имеется сумма (алгебраическая) бесконечного мно-
множества слагаемых, равных поочередно плюс единице и минус
единице; попробуем найти значение этой суммы. Обозначив
ее через х, имеем:
х=\ — 1 + 1 — 1 + 1 — . . . A)
Переписав равенство A) в несколько преобразованном
виде, а именно:
замечаем, что в скобке у нас получилась снова первоначально
взятая сумма; заменяя ее через х, имеем уравнение х=1 — х,
корень которого равен 0,5.
Но если мы будем находить значение х интересующей
нас суммы A), предварительно заключив в скобки каждую
70

пару слагаемых, состоящую из одного положительного и
одного отрицательного слагаемого, то получим:
*-A- 1LA- 1L-0-1)+... ,
х=0 I 04-0+... ,
х=0.
Можно действовать еще по-другому. Будем соединять
слагаемые в пары, начиная не с первого, а со второго слагае-
слагаемого, и ставить перед каждой парой слагаемых знак минус.
Тогда получим, что
х=1 -A-1) _(i_i)_...,
х=\ _0 — 0—...,
х=1.
Наконец, переставив каждое положительное слагаемое
на место отрицательного и обратно, мы придем к сумме:
х=— 14-1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1+...,
*=_ i+(i _ i)-j-(i _ 1)+A _ 1) + ...,
х=— 14 0+0+0+...,
х=— 1.
Итак, действуя четырьмя различными и, казалось бы,
одинаково правильными способами, мы пришли к четырем
различным заключениям о значении х, а именно: х оказался
у нас равным 0,5, 0, + 1,— 1. Это можно рассматривать как
«доказательство» явной нелепости, что
0,5=0=4-1=— 1.
37. Всегда ли целое больше своей части?
Рассмотрим множество N всех натуральных чисел, т. е.
совокупность всех чисел 1, 2, 3, 4,... и т. д., и множество Q
квадратов всех целых чисел, т. е. совокупность всех чисел
1«=1, 2--4, 32-9, 42=16, 52=25 и т. д. (Числа 1, 4, 9, 16,
25 и т. д. будем называть квадратными числами.)
Всякое натуральное число является «элементом» множества
N, всякое квадратное — «элементом» множества Q Каждое
из этих множеств бесконечно, но ясно, что второе множество
является лишь частью первого: ведь среди натуральных
чисел 1, 2, 3, 4, ... мы встречаем все без исключения квадрат-
квадратные числа: 1, 4, 9, 16, ..., по, кроме того, еще сколько угод-
угодно чисел, не являющихся квадратами, как 2, 3, 5, 6, 7 и т. д.
71

Теперь напишем натуральные числа в порядке их воз-
возрастания в одну строку и под каждым натуральным числом
подпишем его квадрат. Получим две бесконечно длинные
строки, начала которых приводим:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 12, ,
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144,
Сопоставление этих двух строк приводит к совершенно
неожиданному заключению: оба взятых множества, а именно
множество всех натуральных чисел (первая строка) и мно-
множество всех квадратных чисел (вторая строка) имеют равное
число элементов Другими словами: сколько существует
натуральных чисел, столько же существует и квадратных
чисел, и обратно. Следовательно, часть (множество Q) равна
своему целому (множеству N).
Неравенство есть некоторое отношение между величи-
величинами. Оно, естественно, должно обладать некоторыми общими
свойствами. Одно из этих свойств выражено восьмой аксио-
аксиомой первой книги «Начал» Евклида: «И целое больше части»*
Возникает вопрос всегда ли целое больше своей части'
38. Еще одно «доказательство» равенства двух
произвольно взятых чисел.
Возьмем два произвольных числа а и bj>a и напишем
тождество'
a2— 2ab+b^b2— 2ab+a\ A)
где алгебраические суммы в правой и левой частях отличают-
отличаются одна от другой лишь порядком слагаемых.
Равенство A) перепишем в более коротком виде, пользуясь
формулой квадрата разности.
(a— by=(b-ay B)
Извлекая из обеих частей квадратный корень, получим.
а — b — b — а, C)
откуда, после перенесения членов, приведения подобных
и деления обеих частей на 2, имеем.
а-\ a^b+b, 2«-=2?>, a=b D)
* «Начала» Евклида, книги I—VI, М , 1948, стр 15
72

39. Сумма двух произвольных одинаковых
чисел равна нулю.
Возьмем произвольное неравное нулю число а и напишем
равенство:
х^=а.
Производим над этим равенством следующие преобразо-
преобразования:
— Аах=— 4а2,
х2— 4ах+4аг=-х2,
(х —2аJ=х2, A)
х — 2а=х. B)
Заменяя в последнем равенстве х равным ему числом а,
получим:
а — 2а^=а,
— а~-а,
0=а+а,
40. Число не изменится, если к нему прибавить 1.
Возьмем произвольное число п и будем исходить из тож-
тождества:
гс2— лBл-г 1) = (« -IJ— (гс+1) Bя + 1),
справедливость которого легко проверить, раскрывая скобки.
Прибавив к обеим частям этого тождества по | < ) , пе-
перепишем его в таком виде:
или в таком:
откуда следует, что
_*+!._„ .,,_i!+I, B)
ИЛИ
П — П+ 1.
73

41. Ахиллес и черепаха.
Отметим на горизонтальной прямой две точки Л и б на
расстоянии 100 м одна от другой (А левее, В правее). По-
Положим, что по этой прямой движутся две точки М и N, одно-
одновременно выходящие из точек А и В, обе слева направо,
но точка М со скоростью 10 м в секунду, точка N со скоро-
скоростью лишь 1 м в секунду (обе скорости предполагаются по-
постоянными).
Будем доказывать, что точка М, догоняющая точку N,
никогда ее не догонит.
Когда точка М достигнет точки В, точку N она здесь
уже не застанет: эта последняя будет уже впереди, в неко-
некоторой точке Bi. Когда точка М доберется до точки Bt, точ-
точки N здесь опять-таки уже не будет, так как она успеет перейти
в некоторую новую точку Вг, расположенную правее В г.
Когда М достигнет Б2, точка N будет уже в точке 6s, распо-
расположенной еще правее. Повторять это рассуждение можно
сколько угодно раз, а потому приходится признать, что
точка М никогда не догонит точки N, хотя движется быстрее
ее в 10 раз.
Где же ошибка в этом, с виду правильном, рассуждении,
которое привело нас к такой нелепости?
Только что сформулированный софизм был указан гре-
греческим философом Зеноном еще в V в. до н. э. Зенои дока-
доказывал, что как бы быстро ни бежал Ахиллес (легендарный
греческий герой), он никогда не догонит медленно ползущую
черепаху.
42. О некоторых ученических ошибках.
В заключение настоящей главы, отведенной рассмотре-
рассмотрению ошибок в алгебраических рассуждени?х, проанализи-
проанализируем две очень простые, но, к сожалению, очень часто допус-
допускаемые ошибки, а затем предложим несколько вопросов
для самостоятельных размышлений читателя.
Первая из них относится к сокращению алгебраических
дробей: зачеркивают одинаковые буквы в числителе и зна-
знаменателе дроби, не заботясь о том, означают ли эти буквы
множители всего числителя и всего знаменателя или нет.
Так, производят сокращение дроби ¦ на х и получают
дробь -т-г--—, забывая о том, что сократить дробь — значит
разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число
74

и что, хотя для деления одночленного числителя агх на х
достаточно зачеркнуть в нем х, для деления двучленного зна-
знаменателя №-\ сх на х надо разделить на х каждый член, как
Ь-, так и сх. После деления на х данная дробь примет такой
вид:
W
Т
а вовсе не-г-„—. Наше «сокращение» привело к неудобной
«трехэтажной» дроби, и делать его здесь, конечно, не сле-
следует.
Итак, надо твердо помнить, что при сокращении алге-
алгебраических дробей можно зачеркивать лишь одинаковые
множители всего числителя и всего знаменателя. Не соблю-
соблюдая этого правила, легко прийти к такому заключению:
2аЬ __ЧЬ _ 2 ,
+б"~Н~Ь~Т+Т
Совершаемая при таком «сокращении» ошибка сводится
к нарушению распределительного закона (или распредели-
распределительного свойства) для частного от деления алгебраической
суммы. Закон этот говорит, что для деления суммы на неко-
некоторое число надо разделить на это число каждый член этой
суммы, и выражается формулой:
(а-\-Ь) : с—а : с-тЬ : с.
Другая, тоже очень распространенная, ошибка заклю-
заключается D почленном извлечении корня из суммы: считают,
что для извлечения корпя из суммы надо извлечь корень
из каждого слагаемого отдельно, т. е. что У а2+й2=а-| Ь.
Ясно, что это неверно: ведь (a-\-by равно а--\-2аЬ-тЬ2, а
не а- \-Ьг. Равенство^/ЛоЧ-?>2=а-!-?> является очевидной не-
нелепостью и с точки зрения геометрии: ведь оно выражает
равенство гипотенузы и суммы катетов в произвольном
прямоугольном треугольнике! Оказывается, что действие
извлечения корня не обладает распределительным свойством
по отношению к сумме и разности, но обладает им по отно-
отношению к произведению и частному:
У a : b =Va :
75

Отметим, что действия второй ступени (умножение и де-
деление) обладают распределительным свойством по отноше-
отношению к результатам действий первой ступзни (сложению и
вычитанию). Действия третьей ступени (возведение в сте-
степень и извлечение корня) обладают распределительным свой-
свойством по отношению к результатам действий второй ступени
п не обладают им по отношению к результатам действий
первой ступени.
Всякий ошибочный ответ противоречит одному из исход-
исходных принципов или одному из ранее полученных выводов
данной отрасли знания. Возникает возможность постановки
вопроса: существуют ли условия, и если да, то какие, при
соблюдении которых ошибочное (в общем случае) утвержде-
утверждение оказывается справедливым.
В практике преподавания следует воспользоваться неко-
некоторыми из ученических ошибок как поводом для проведения
весьма ценных в педагогическом отношении элементарных
исследований. От учащихся здесь требуется установить, при
каком дополнительном условии ошибочное соотношение ока-
окажемся справедливым. Подобными упражнениями достигается
углубленное осознание теории и допущенной ошибки. Эти
же упражнения играют известную роль в развитии функцио-
функционального мышления учащихся, так как па каждое выраже-
выражение вырабатывается взгляд как на функцию входящих в не-
него букв.
Конкретизируем высказанные утверждения на анализе
одного примера.
Ученик VII класса, выполняя действие сложения двух
дробей, сложил их числители и знаменатели отдельно, пер-
первую сумму взял за числитель, вторую за знаменатель, т. е.
выполнил сложение дробей так:
Несмотря на явную неправильность формулы A), если
под буквами разуметь произвольные числа, можно указать
бесконечное множество таких значений для а, Ъ, с и d, при
которых равенство A) будет иметь место. К числу таких
значений принадлежат, например, следующие: а=—12, /? = 2.
с=3, d—l. Вообще равенство A) будет удовлетворяться
любой системой из четырех чисел, взятых при условии:
Ь^О, ЛФО, b+d^O и у=-5-
76

К последнему соотношению приходим с помощью сле-
следующих элементарных выкладок:
-т- -г -4- = ,° "'" СА \ ad (b + d) + be (b + d) = bdla + c);
OHO —- Д
aW + arf2 + 62f + ^flf = a&rf + bed;
или
Придавая произвольные значения b, с и d, исключая b=0,
d — 0, b -\- d = 0 и находя соответствующие значения а по
формуле B), получим бесконечное множество систем из че-
четырех чисел, удовлетворяющих формуле A).
Равенство A) справедливо тогда и только тогда, когда
выполнено дополнительное условие B). Подобные формулы
не имеют, конечно, практического значения. С их помощью
можно только пополнить коллекцию арифметических курье-
курьезов.
Формула же -j- + -Д- — ° Т. ° не связана ни с какими
ограничениями, если не считать требования, чтобы bud
были отличными от нуля, выражающего запрет деления на
нуль. Разумеется, только эта формула выражает правило
сложения алгебраических дробей.
Теперь предложим упражнения для самостоятельного
проведения подобных исследований.
I Q-r & _ 1 +Ь
ас с
В каких частных случаях эта грубейшая ошибка не при-
приведет к заблуждению?
Тот же вопрос.
III. ]/^+b =
Аналогичный вопрос.
77

II. АНАЛИЗ ПРИМЕРОВ.
16. Если исходить из того, что в математике как науке
все действия производятся над отвлеченными числами, то
переход от соотношения A) к B) не имеет смысла.
Однако можно дать и другое объяснение этой ошибки,
указав на то, что никаких «квадратных рублей» и «квадрат-
нмх копеек» не существует, а потому операция извлечения
корпя из обеих частей соотношения A) бессмысленна.
Иллюзорная правдоподобность этого рассуждения осно-
основывается на неоднозначности термина «число», в данном слу-
случае на смешении понятия отвлеченного числа с именованным.
17. Ученик, очевидно, забыл о неоднозначности термина
«корень» (в данном случае: истинный и посторонний). В част-
частности, забыл он и о том, что при решении иррационального
уравнения могут быть получены посторонние корни. Только
этим можно объяснить, почему он рассматривал проверку
лишь в плане подтверждения истинности произведенных им
преобразований и вычислений, а не в качестве органической
части предлагаемого им решения.
Не допустив этого, нельзя понять его смущения в связи
с получением неверного равенства F=2), которое представ-
представляло возможность сделать правильный вывод.
Выявим причину смущения ученика.
С этой целью нам следует ответить на два вопроса:
1) Почему появился посторонний корень?
2) Корнем какого уравнения он является?
Для достижения возможно большей ясности полезно ис-
использовать прием решения, несколько отличный от исполь-
использованного учеником. Он состоит в том, что мы уравнение
A) преобразуем к виду /(л:)—0, а затем умножаем левую и
правую его части на такой множитель, чтобы в левой части
иметь разность квадратов двух функциональных выражений.
Итак, уравнение A) представляем в виде:
У~х — B — х)=0.
Умножим обе части его на множитель:
Тогда, очевидно, получим:
х — B — хJ=0, или х2— 5.V-J-4-0.
Мы пришли к уравнению B), стр. 57, корни которого
равны 4 и 1.
78

Корень х=4 является посторонним Для уравнения A).
Он появился в результате умножения обеих частей уравнения
на множитель fi(x) — \/~x +B — х), корнем которого он и яв-
является. В самом деле, /1D)-= 1/4-(-B — 4)-=2 — 2^0.
Способ решения, использованный учеником, конечно,
равносилен способу сейчас рассмотренному, но с помощью
последнего отчетливее выявляется тот множитель, который
может дать посторонние корни.
18. Отсутствие корней у уравнения A) легко усмотреть
из того факта, что его левая часть ЗУх неотрицательна и
имеет смысл при х>0, а правая часть — х —2 при этом усло-
условии отрицательна. Следовательно, полученные решения хх—4
и хг = \ являются корнями функции /i(x) = 3|/ х—¦ (х+2),
в чем легко убедиться непосредственной подстановкой.
19. Самая тщательная проверка доказательства дели-
делимости разности хп —а" на ап~\х— а) не обнаруживает ни-
никакой ошибки. Точно так же не вызывает никаких сомнений
и рассмотренный частный случай: при х=3, а—2, п=3 раз-
разность ха—а" = 19 не делится на ап~[(х— а)=4.
Попробуем найти частное отделениях"—а" на ап~'](х—а) =
=ап~1х—ап; оно равно:
Дроби, появившиеся во всех членах частного, кроме
последнего, заставляют насторожиться и сразу указывают,
в чем источник путаницы: слово «делиться» в алгебре и
в арифметике имеет различный смысл.
Когда в алгебре говорят, что один многочлен, располо-
расположенный по степеням какой-нибудь главной буквы, напри-
например х, «делится» на другой многочлен, расположенный по
степеням того же х, то под этим разумеют возможность полу-
получения целого частного, т. е. многочлена, тоже расположен-
расположенного по степеням х. Будут ли при этом коэффициенты отдель-
отдельных членов частного числами целыми или дробными — со-
совершенно безразлично. Например, двучлен ах'1—¦ аА делится
на х — аи дает в частном ах+аг; коэффициенты а я а2 могут
при этом оказаться и целыми и дробными. Двучлен хг— аа
делится на ах — а2 и дает в частном—х+1; коэффициент
1 .
— опять-таки может иметь при этом и целое значение (на-
(например, при а=у] и дробное (например, при а—2).
79

В арифметике же в применении к натуральным числам
слово «делится» имеет совсем другой смысл: если натураль-
натуральное число а делится на натуральное число Ь, то существует
такое натуральное же число с, которое, будучи умножено
на Ь, дает а.
Поэтому из делимости одного многочлена на другой
(в алгебраическом смысле!) еще не вытекает делимость (в ариф-
арифметическом смысле!) тех чисел, которые получатся, если за-
заменить в многочленах буквы числами. Делимость чисел будет
вытекать из делимости многочленов лишь в том случае, когда
все коэффициенты частного — целые алгебраические выра-
выражения, а не дроби (при условии, разумеется, что все буквы
заменяются натуральными числами и что делитель получает
значение, отличное от нуля).
Отметим еще одно различие между делением многочленов
и делением натуральных чисел. При делении многочлена
на многочлен степень остатка (относительно главной буквы)
всегда ниже степени делителя, при делении же натуральных
чисел остаток всегда меньше делителя. Деление многочленов,
выполненное совершенно правильно, может после замены
букв числами привести к такому случаю деления чисел,
которое не будет правильным в арифметическом смысле.
Например, при делении многочлена х'— 3x2+4.v~| 3 па
х2 — 2-v-j-l получаем в частном х—• 1 и в остатке х-1-4. Если
заменить х через 3, делимое принимает значение 15, делитель
4, а частное и остаток равны 3—1 — 2 и З-г-4—7 (вместо
правильных значений 3 и 3), т. е. остаток оказывается больше
делителя.
Итак, не всегда правильное в алгебраическом смысле,
правильно и с точки зрения арифметической!
20. В рассуждении допущена грубая ошибка. Из урав-
уравнения х — а~х, где а—произвольно взятое действительное
число, отличное от нуля, не следует, конечно, что а=0.
В самом деле, решение уравнения х — а—х приводит
к следующим выводам:
х — х ~а, откуда A — \)-х—а или~^0-л:=а
Так как но условию афО, то уравнение 0-х—а не имеет
решений: нет такого числа, которое, будучи умножено на
нуль, дает число, отличное от нуля.
Однако у читателя возможно возникло сомнение: законен
ли переход от (х — а)ъ=хг к х — а~х?
so

Подобный переход вполне законен, если возведенные в куб
числа оба действительные: кубический корень из действи-
действительного числа, если ограничиваться только действительными
значениями, имеет только одно значение (положительное,
если подкоренное число положительно, и отрицательное,
если оно отрицательно).
Из сказанного следует, что полученный результат — урав-
уравнение B) не имеет корней — указывает на отсутствие корней
во множестве действительных чисел у уравнения A).
21. Корнем уравнения A) является число 10, в чем легко
убедиться.
При х=10 соотношение B) принимает такой вид:
0__0_
—3~
Так как частное от деления нуля на любое число, отлич-
отличное от нуля, равно 0, то, очевидно, из соотношения-у=-^
нельзя делать заключения о равенстве bud, если а=0.
Мы здесь встретились с использованием ложной анало-
аналогии, а именно: с распространением некоторого утверждения
(если-^-=4' и офО, то b=d) на случай исключения (а=0).
22. Во множестве действительных чисел соотношение A)
не имеет смысла: люб'ая степень положительного числа есть
положительное число.
Соотношение A) приобретает смысл, если рассматривать
вопрос в множестве комплексных чисел. В этом случае, по-
положив b=i, а а=2 мы имеем правильное соотношение /3=— 1,
не приводящее, как известно, к противоречиям.
Однако при такой постановке вопроса мы выходим за те
пределы, в которых проводилось анализируемое ошибочное
рассуждение.
23. Понятие арифметического корня во множестве ком-
комплексных чисел не вводится.
Правильное вычисление произведения У— 1 • "J/ — 1
предполагает следующий ход рассуждений:
±;a= ± 1,
который приводит к тому же результату, что и извлечение
квадратного корня из единицы: ]/ 1 = ±1.
Если же взять для каждого из сомножителей произве-
произведения У—1 • У—1 одно и тоже значение корня квадрат-
квадратного из минус единицы, то мы получим в результате —1.
7 Заказ Да 226 fil

В самом деле:
24. И в этом рассуждении, как и в рассуждении п. 23,
мы подвергли забвению положение о том, что во множестве
комплексных чисел понятие арифметического корня не вво-
вводится.
Преобразования, выполненные в строке B), ошибочны.
Для лучшего осознания допущенных здесь ошибок про-
противопоставляем ложному рассуждению истинное:
4 г
- у v
Пг
Если множители подкоренного выражения взять с оди-
одинаковыми знаками, то х — ]/'г2 = ±/.
Если множители подкоренного выражения взять с раз-
разными знаками, то х — у' 1 =±1.
Следовательно, в результате извлечения корня 4-й сте-
степени из произведения (— 1)-(—1) получено четыре значе-
значения х, а именно: 1, —1, /, —/.
Легко проверить правильность полученных результатов.
В самом деле, числа 1, — 1, / и — / должны удовлетворять
уравнению х4— 1,что и имеет место: 14=(— IL—td—(—С\*—\.
Тот же результат можно получить, решая уравнение
хх— 1=0 способом разложения левой части па множители:
Итак, уравнению A) удовлетворяет каждое из четырех
чисел: 1, —1, /", —i. Одно из значений х, естественно, должно
совпадать с исходным предположением, что и имеет место.
Неверное заключение отпало.
Поставим теперь вопрос шире, рассматривая правило ум-
умножения квадратных корней не только из отрицательных
чисел, а из чисел комплексных, т. е. чисел вида z~x-\-iy,
где х и у числа действительные. Как известно из курса
математики X класса средней школы, всякое такое число
82

X
Черт. 14,
изображается определенной точкой плоскости, а именно
точкой с абсциссой х и ординатой у, и может быть представ-
представлено в тригонометрической форме z = r (cosa-~ i sin а), где
«модуль» г действитель-
действительное положительное (или
равное пулю) число, вы-
выражающее расстояние
этой точки от начала
координат, а «аргумент»
а выражает угол между
положительным направ-
направлением оси X и лучом,
проведенным из начала
в эту точку (черт. 14).
Угол а, взятый в гра-
градусной или радианной
мере, может выражаться любым действительным числом (по-
(положительным, отрицательным, равным нулю), но это число
всегда можно «привести» в интервал 0°; 360°, прибавляя или
отнимая целое число, кратное 360°, а потому будем считать,
что 0°-<а<360°.
Правило умножения комплексных чисел, выраженных
в тригонометрической форме, дается известной формулой
Моавра:
если 2=r(cos a-|-/ sin а), 2i=/"i(cos а.\-\-1 sinai),
то zzi=/Ti[cos(a+ai)-H sin (а-fai)],
которая легко получается, если перемножить выражения
для z и 2ь применяя обычное правило умножения многочле-
многочленов, заменяя I2 через — 1 и пользуясь формулами для си-
синуса и косинуса суммы двух углов.
Теперь найдем, чему равен квадратный корень из числа
z=r(cos a-p/ sin а). Полагая, что он равен некоторому ком-
комплексному же числу w=p(cos e + i sin a), найдем неизвестные
р и <р по данным г и а. По условию,
и>=]Лг, откуда шг=2.
По формуле Моавра:
оJ —pp[cos ('f+?)+t sin (tp + -f ]=p2(cos2?-Hsin2<f).
Имеем равенство:
P2(cos 2cp + t sin 2<f)=r(cos a+/ sin a).
Два комплексных числа, заданных в тригонометрической
7* 81

форме, равны (и изображают, следовательно, одну и ту же
точку плоскости) тогда и только тогда, когда их модули
равны, а аргументы либо равны, либо отличаются друг от
друга па целое число, кратное 360°. Отсюда заключаем, что
р2—г, 2»=а-Ь360°-п, где п любое целое число. Модуль р,
как действительное неотрицательное число, равен арифмети-
арифметическому (положительному) значению квадратного корпя из
неотрицательного действительного числа г: р=+}//¦, а аргу-
аргумент ср имеет бесконечное множество значений, определяемых
формулой <?=-^а-\-1Ъ0° -п при произвольном целом п. Однако
если из всего этого бесконечного множества значений <? вы-
выбросить те, какие отличаются от других на целое число, крат-
кратное 360°, то останутся только два значения, соответствующие
числам п=0 и л=1, а именно:
и мы приходим к заключению, что существует два и только
два значения квадратного корня из числа
Z=/-(cos a+isin а),
а именно:
= + VT(cos -jj-a+i sin ya ],
u>i
= — Уr fcos-7j-
причем u>2=—<Di-
На чертеже 15 точка А изображает данное число г,
точки Вх и Въ—оба значения У г (здесь OA=r, OBi=
а именно точка В\— первое значение y~z=u>i, точка В% —
второе значение "|/z=i»2=—u>i.
Аргумент а, как мы видели выше, всегда можно считать
удовлетворяющим неравенству 0°<а<360°, а потому
0°<Ia<180oI80°<-i<x-T-180o<360o.
Таким образом, из двух значений квадратного корня одно
84

всегда изображается точкой верхней полуплоскости (т. е.
той части плоскости, которая расположена выше оси абс-
абсцисс) или в крайнем случае (при а=0°) точкой положитель-
положительной части оси X, а другое— всегда точкой нижней полу-
полуплоскости, или в крайнем случае (при а=0с) точкой отри-
отрицательной части оси X,
Вг
Черт. 15.
В случае, когда корень извлекается из действительного
положительного числа, имеем а=0°, и первое значение i»i
есть не что иное, как арифметическое значение корня +уг.
Поэтому одно из двух значений квадратного корня из ком-
комплексного числа г, а именно то его значение, которое выра-
выражается точкой положительной полуоси X или точкой верх-
верхней полуплоскости, будем называть «первым» или «арифме-
«арифметическим» значением корня. Другое значение корня, а именно
то, которое изображается точкой отрицательной полуоси
X или нижней полуплоскости, будем называть «вторым»
или «неарифметическим» значением корня.
Возьмем теперь два произвольных комплексных числа:
г = r(cosa+/ sin a)
и г'—т''(cos a''-|-i sin a'),
где 0°<a<360°, 0°<a'<360°,
85

и найдем «первые» значения их квадратных корней:
i ]
i-+> г
sln-ja'j
Перемножим их, применяя правило Моавра:
Кроме того, найдем произведение чисел г и г' и оба зна-
значения квадратного корня из него:
zz'=/r'[cos(a+a') + ? stn(a+a')],
Теперь у нас подготовлено все нужное для решения во-
вопроса о том, дает ли произведение «первых» значений квад-
квадратного корня из двух произвольных комплексных чисел
«первое» значение квадратного корня из произведения этих
чисел, или пег.
Как видим, произведение «первых» значений квадратного
корня из чисел
z=r(cos a+i sin a) и z' = r'(cos а'-И sin a'),
а именно
\' 7-f-a'
WjCU
/ i i —7i' i-\-a.' , . . 7-f-a'i
!= + [' ГГ'[COS ~t \-l Sin—jj—j,
равно одному из значений квадратного корня из числа гг',
а именно числу:
Но возникает вопрос, является ли это последнее число
и «первым» значением корня из гг', или этим «первым» зна-
значением является другое значение корня из гг', обозначенное
у пас буквой v.
86

Из условий 0°<а<3603 и 0°< а'<360п выводим, что
0°<а+а'<720° и 0с<у(а+а')<360°. Значит, точка, изо-
изображающая число и, может лежать и на положительной
части осиХ(при^у^ = 0°),ивышеосих(при 0°<^~^< 180°),
и на отрицательной части оси X [при^-^- = 180°],
и ниже оси X (при 180°<^4^_<360с V Таким образом, про-
произведение «первых» значений корней из 2 и г' может быть
равно в некоторых случаях «первому» значению корня из гг',
а в других случаях «второму» его значению.
Рассматривая вместо значений полусуммы аргументов
-^¦(а-\-а') значение целой суммы а-\-а.' и объединяя попарно
установленные выше четыре случая, придем к следующим
двум случаям:
Случай I. Если a+a'<360°, то либо сЦ^-=0э, либо
0°<^^-<180°; число и изображается либо точкой положи-
положительной части оси X, либо точкой верхней полуплоскости;
и равно «первому» значению корня из zz'.
Случай II. Если a-|-a';>360\ то либо ^-jA- = 18СР, либо
^^°, число и изображается либо точкой отри-
отрицательной части оси X, либо точкой нижней полупло-
полуплоскости; и равно «второму» значению корня из zz'.
Теперь получаем окончательный вывод: произведение
«первых» значений квадратных корней из комплексных чисел
гиг' равно «первому» значению квадратного корня из про-
произведения этих чисел, тогда и только тогда, когда сумма
аргументов этих чисел меньше 360° (предполагается, что
аргументы приведены в границы 0°; 360°).
Замечая, что «второе» значение квадратного корня равно
«первому» его значению, взятому с противоположным знаком,
легко составим, пользуясь последним предложением, следую-
следующую «таблицу-умпожения» квадратных корней из комплексных
чисел («первое» значение квадратного корня будем обозна-
обозначать знаком плюс, поставленным перед знаком корня, «вто-
«второе»— знаком минус); как и раньше, будем предполагать,
что аргументы а и а' чисел гиг' заключаются между 0°
и 360°.
87

Случай I, <x-fa'<360° Случай II, a+a'>360°.
Вернемся теперь к тому частному случаю умножения
корней, которым мы занимались в начале настоящего па-
параграфа: пусть гиг' два действительных отрицательных
числа. Всякое такое число можно написать в виде г=л;+/-0,
где х действительное отрицательное число, а потому такое
число г изображается точкой отрицательной полуоси X.
Следовательно,
а=180°, а' = 180°, а+а'
и здесь мы имеем случай II: произведение «первых» значений
квадратных корней из двух действительных отрицательных
чисел разно «второму» значению квадратного корня из про-
произведения этих чисел.
25. Для осознания ошибки противопоставим неправиль-
неправильному рассуждению, которое привело к абсурдному выводу,
правильное.
Исходя из соотношения —г=-т- и используя операцию
извлечения квадратного корня, будем иметь:
т. е.
а отсюда
Это соотношение ни к какому противоречию не приводит
при соответствующем выборе знаков. В самом деле:
1.1=(__!) - с—1 >—* - С—0—С—0 - «=-«•= 1;
Ч1)AИ@21
26. Внимательно просматривая все рассуждение в по-
поисках ошибки, которая привела нас к этому абсурдному
выводу, мы обнаруживаем, что она заключается в той «оче-
«очевидной истине», с формулировки которой мы начали этот

параграф. Для чисел положительных это утверждение пра-
правильно: если а : Ъ~с : d, и а>&, причем все четыре числа
а, Ь, с и d— положительны, то, полагая а : b=q, заключаем,
что <7>1; н0 отношение с : d тоже равно q, а если отношение
двух положительных чисел больше 1, то первое число больше
второго; следовательно, с><±
Для чисел рациональных, как показывает настоящий
софизм, это заключение может быть и неверным. Кроме рас-
рассмотренной в нем пропорции (-га) : (—а) — (—а) : {-\-а), можно
привести сколько угодно других, для которых «очевидная
истина» начала настоящего параграфа не оправдывается.
Например:
15 : 3=(—15) : (—3),
15 : (—3) = (—10) :2.
В настоящем софизме мы имеем очень поучительный при-
пример того, как легко ошибиться, доверяясь «очевидной истине»,
т. е. принимая без доказательства некоторое утвержде-
утверждение, представляющееся с первого взгляда правильным. При-
Принимая некоторое утверждение без доказательства, мы долж-
должны внести его в список аксиом. Все же утверждения, не вклю-
включаемые в список аксиом, должны рассматриваться как теоремы
и подлежат доказательству (на основе принятых аксиом и
определений, а также ранее доказанных теорем). Слово «оче-
«очевидно» хорошо бы вовсе изгнать из употребления в математи-
математических рассуждениях: вместо ссылки на «очевидность» не-
необходима либо ссылка на определенную аксиому, либо дока-
доказательство, т. е. сведение нового утверждения к аксиомам
и ранее доказанным теоремам.
С другой стороны, настоящий софизм показывает пример
того, как может перестать быть верным утверждение, дока-
доказанное для некоторых чисел (в данном случае положитель-
положительных), после перехода к числам более общего вида (в данном
случае рациональным). Уже при переходе от целых чисел
к дробным ученик, привыкнув к тому, что умножение на
целое связано с увеличением (при множителе, большем 1),
а деление — с уменьшением взятого числа, с большим тру-
трудом привыкает к тому, что при умножении и делении на пра-
правильную дробь все происходит наоборот.
В дальнейшем мы встретим еще ряд примеров ошибок,
происходящих от подобного применения теорем, справедли-
справедливых при некоторых условиях, в таких случаях, когда эти
условия не выполняются.
27. Легко убедиться, взяв хотя бы числовые значения,
G Заказ Kb 220 89

Что ошибка сделана при переходе от неравенства A) к нера-
неравенству B), т. е. при делении обеих частей неравенства A)
на разность Ь — а, имеющую при ауЬ отрицательное зна-
значение. Дело в том, что деление обеих частей неравенства
на одно и то же число приводит к неравенству того же смысла,
т. е. к неравенству с тем же из двух знаков (> и <), лишь
тогда, когда делитель положителен; при отрицательном же
делителе смысл неравенства изменяется. Доказательство этого
свойства неравенств можно найти в любом руководстве алгеб-
алгебры. Если при переходе от неравенства A) к неравенству
B) примем во внимание перемену смысла неравенства, то
получим, что а<6 \-а и неверный вывод о том, что а>26
отпадает.
28. Теорема об умножении неравенств, приведенная в на-
начале п. 28, формулирована у нас неточно: она верпа лишь
для неравенств, все части которых положительны. Вот ее
точная формулировка: можно перемножать почленно два
неравенства одного и того же смысла, если все части его по-
положительны; новое неравенство будет того же смысла, что
и каждое из данных неравенств. Если же применять эту
теорему к таким неравенствам, как 5>—1 и 2>—15, может
получиться нелепость: 5-2>(—1)-(—15), т.е. 10>15. Не-
Неосторожное умножение неравенств и привело к абсурдному
выводу, что а>& и &>а.
29. Ошибка допущена при умножении обеих частей нера-
неравенства а>Ь па b — а. Дело в том, что разность чисел Ь
и а отрицательна, так как по условию а>&. Следовательно,
умножая на Ь — а, т. е. на число отрицательное, надо было
изменить знак неравенства на противоположный. Однако
этого сделано не было, что и привело к абсурдному выводу.
30. Ошибка допущена при переходе от равенства B)
к неравенству C). Здесь сознательно подвергнут забвению
тот факт, что так как логарифм правильной дроби отрица-
отрицателен, то в соотношении C) должен быть поставлен не знак
больше, а, наоборот, знак меньше: удвоенное отрицательное
число меньше этого отрицательного числа.
31. Тщательно проверяя оба решения, мы находим только
один сомнительный пункт: имеем ли мы право считать, что
+ 1/A —х)г~\— х? Другими словами: всегда ли арифме-
арифметическое значение квадратного корня из квадрата какого-
нибудь числа равно этому числу, всегда ли +"|/а2=Ч- а?
Последняя формула, очевидно, верна при а>0, но при а<0
она должна быть заменена другой, а именно формулой
90

-(-"|/qs=—а, так как, если а отрицательно, то для получе-
получения арифметического (положительного) значения корня надо
взять не а, а —а. Обе эти формулы можно соединить в одну:
Решая поставленную выше задачу вторым способом, мы
брали 4-1/A — хJ— 1 —х. Это верно, если 1 —х>0, т. е.
если х<Л. Но в дальнейшем мы заменяли х числом 3, т. е.
делали разность 1 — х отрицательной. Значит, для полу-
получения положительного значения квадратного корня из
A — xY, при таком значении х, надо брать не 1 — х, а
—A—л;) или х—1. Правильным будет такое решение:
[—A — х)\-=2х — 1+л;=Зл;—1 =
=3-3—1=8.
Получено то же, что и при вычислении первым способом.
32. Равенство lg x2=21g x верно, если х>0, и неверно,
если л;<0.
Если л;<0, то Igjc2=21g(—x).
Вообще, если хфО, то имеет место равенство:
Ig *2=
Из сказанного ясно, что в анализируемом рассуждении
из соотношения а2=Ь2 B) должно следовать не соотношение
21g a—-2lg b C), которое является ложным, а соотношение:
21g|a|-21g|6|.
Из последнего равенства заключаем:
\a\-\b\,
которое не противоречит соотношению а—— b A) и не даст
оснований для нелепых выводов.
Анализируемое ложное рассуждение сыграло настолько
значительную роль в истории развития математики, что на
этом вопросе следует остановиться несколько подробнее.
В истории математики XVIII в. весьма заметное место
по своему научному и методологическому содержанию за-
занимает дискуссия о том, существуют ли действительные зна-
значения логарифмов отрицательных чисел.
При разработке проблем интегрирования Лейбниц A646—
1716) и Иоганн Бернулли A667—1748) столкнулись с вопро-
вопросом о логарифмах отрицательных чисел. Вначале они, забо-
заботясь лишь о выработке определенных алгоритмов интегри-
6* 91

ровании, чисто формально подходили к логарифмированию
чисел той или иной природы. Но в 1712—1713 годах между
названными учеными возникает оживленный спор в форме
переписки, посвященный уже существу проблемы. В своих
письмах Бериулли оспаривает мнергие Лейбница, что лога-
логарифмы отрицательных чисел мнимы, утверждая, что они
действительны, так как, по его убеждению, lnx=ln(—х).
В 1745 году переписка Лейбница и Бернулли была обна-
обнародована. Ознакомившись с ней, Л. Эйлер A707—1783)
в 1749 году опубликовал статью «О споре между Бернулли
и Лейбницем о логарифмах отрицательных и мнимых чисел»,
в которой дал блестящее решение вопроса. Установив пра-
правоту Лейбница, Эйлер не удовлетворяется его аргумента-
аргументацией, достигая решения вопроса с помощью своей формулы
для мнимых показателей.
Однако публикацией работы Эйлера спор еще не закан-
заканчивается. Авторитетную поддержку взгляд Бернулли находит
у Даламбера A717—1783). Он ее осуществляет публикацией
в 1761 году полемической статьи «О логарифмах отрицатель-
отрицательных чисел» и в том же духе написанной статьей о логариф-
логарифмах для XX тома знаменитой «Энциклопедии» A778). Точка
зрения Бернулли — Даламбера разделяется и некоторыми
другими математиками XVI11 в.*
Отголоском этого интересного спора и является сохранив-
сохранившийся до нашего времени весьма распространенный софизм,
носящий имя И. Бернулли.
Бернулли, исходя из бесспорного равенства (—аJ = (+аJ,
утверждал, что так как 1п(—аJ=1п(+а)а, то 21п(—а) =
= 2ln(-f-a), а потому ln(—a) = ln(+a). Отсюда он делал вы-
вывод, что логарифмы отрицательных чисел имеют действитель-
действительные значения.
Здесь при переходе от равенства ln(—aJ=ln(+aJ к ра-
равенству 2ln(—a)=21n(+o) совершается ошибка. Дело в том,
что в то время как множества значений 1п(—а)'1 и ln(+aJ
совпадают, множества значений 2 Щ—а) и 2 In (-|-a) не толь-
только не совпадают, но даже и не имеют общей части.
Разберемся в этом вопросе подробнее.
Из формулы Эйлера для мнимых показателей е'У =
=cosy+tsiny непосредственно усматриваем, что е2пт' = 1 и
In \=2n-i, где п равно 0, +1, ±2,...
Из формулы, дающей тригонометрическую форму комплекс-
* Достаточно подробно и очень хорошо история этого вопроса из-
изложена в книге А И Маркушевича «Элементы теории аналити-
аналитических функций», М., 1944, стр. 42—46
92

ного числаg=r(cos » + » sin ?)=/¦<?'? =/-е'^+2/гЧгде/гравно0, ±1,
±2,..., находим, что Inz—1пг-Н(?+2п-), откуда 1п(—1) —
= ln \ + i(-+2nr.)=iBn + \)r..
Возможность равенства 1п(+1) и 1п(—1) исключена, ибо
множества {2птЛ\ и \Bп+\)гй], где п равно 0, ±1, ±2 не
пересекаются, т. е. не имеют ни одного общего элемента.
Итак, из равенства 1п(—1J = 1п(+1J незаконно заклю-
заключить, что 21п(—1)=21п(-И). Из равенства можно только за-
заключить, что 1п(—1) + 1п(—1) = 1п(+1)-|-1п(-|-1). Здесь в каж-
каждой части выступают в качестве слагаемых, вообще говоря,
неравные значения 1п(—1) и неравные значения 1п(+1).
В самом деле, переходя от последнего соотношения к соот-
соотношению:
видим, что, например, при fZi=O, n2=0, па=1, «4=0 равен-
равенство удовлетворяется.
33. Ошибку настоящего ложного доказательства легко
обнаружить, рассматривая разности a—аь Ь—Ьь с — си
которые появляются при вычитании A'i из N. Будут ли эти
разности цифрами в обычном смысле этого слова, т. е. всегда
ли каждая из них является одним из чисел 0, 1, 2, 3,4, 5,
6, 7, 8, 9? Если N=257, N^725, то
а=2,
&=5,
с=7,
п!=7,
&i=2,
Ci=5,
a —ai=— 5,
b — Ь!=3,
с— Ci=2,
и разность a — ct\ отрицательна. Легко понять, что если
числа N и Ni имеют одну и ту же сумму цифр, то по край-
крайней мере одна из разностей a — au b — b\, с — ci отрица-
отрицательна (исключением является лишь тот случай, когда а— Ь=
=с— a1=bi=ci и когда перестановка цифр действительно
числа не меняет). В самом деле, переписывая равенство
a-\-b-\-c~ai-\-b\-\-c\ в виде
(а —
убеждаемся, что если одна из этих разностей положительна,
93

то по крайней мере одна из двух других должна иметь отри-
отрицательное значение
Итак, записав разность N — Ni в виде 100(а— Oi) +
+ 10F—bi)-\-(c — Ci), мы не имеем права утверждать, что
в числе N — yVi имеется а — ах сотен, Ь — Ьх десятков,
с—Ci единиц Вместо разностей надо взять их абсолютные
значения
а — а/,
\Ь-ЬХ\,
с — ci
Сумма цифр числа N — Л/х равна не алгебраической сумме
(а — ах)+(& -&i) + (c-Cl),
а арифметической сумме
\а — ai|-b|b — Ьг\ г] с — CiL
и все дальнейшие преобразования, проведенные в нашем
«доказательстве», отпадают
34 Недоразумение разрешается очень просто Теорема
о существовании корня в алгебре комплексных чисел отно-
относится лишь к уравнению вида
а0к"+а1х"-1+а2Х>!-*+ . . . -\ап.лх \ ап=0, B)
где п некоторое натуральное число, т е. имеет одно из зна-
значений 1, 2, 3, 4, , а все коэффициенты а0, а\, аг, , ал_ь
о„ произвольные комплексные числа, причем а0 / 0 Отно-
Относительно такого уравнения доказано, что оно всегда имеет
по кранней мере один корень (действительный или мнимый)
Надо твердо помнить, что эта теорема высшей алгебры (или
теорема Гаусса, как ее называют по имени великого немец-
немецкого математика, впервые почти безупречно ее доказавше-
доказавшего) относится только к уравнениям вида B) и что она
ничего не говорит об уравнениях другого вида, как, напри-
например, об уравнении A) Существенна и сделанная выше ого-
оговорка относительно значений коэффициентов Если, например,
мы возьмем уравнение
0 х | 1=0, C)
то окажется, что никакого корня оно не имеет какое число
мы ни возьмем вместо х, всегда произведение 0-х будет 0,
и левая часть уравнения всегда окажется равной 1, равен-
равенство левой и правой частей, таким образом, невозможно ни
при каком значении х Это обстоятельство ничуть не проти-
4-1

воречит теореме Гаусса: в уравнении C) коэффициент стар-
старшего члена ао—О, между тем как в условиях теоремы указы-
указывается, что а0ф0.
Из теоремы Гаусса легко выводится следствие, гласящее,
что левая часть уравнения B) всегда разлагается на /? линей-
линейных множителей, т. е. что уравнение B) всегда можно пред-
представить в виде:
ао{х — Я].) (х — я2) {х — я3) .... (х — а„)-0. D)
Числа ях, а2, а3, . . ., а„, которые могут быть и действи-
действительными (положительными, равными нулю, отрицатель-
отрицательными) и мнимыми, как неравными, так и равными друг другу,
представляют собой не что иное, как корни уравнений B)
и D); замена в уравнении D) х одним из этих чисел ссь
а2, а3, . . ., а„ превращает уравнение D) в тождество 0—0.
Поэтому это следствие теоремы Гаусса можно формулировать
иначе: всякое уравнение вида B) имеет (при ao=f-O) ровно
п корней, т. е. столько корней, сколько единиц в показателе
его степени.
Зная следствие теоремы Гаусса лишь в последней его фор-
формулировке, можно прийти в недоумение, встретившись, напри-
например, с уравнением х8—0. Ведь оно имеет лишь один корень
л;=0, так как никакое неравное нулю число, ни действи-
действительное, ни мнимое, не даст 0 после возведения в куб. След-
Следствие теоремы Гаусса в первой его формулировке в приме-
применении к уравнению л:8 = 0 гласит, что левую часть этого урав-
уравнения можно разложить на три линейных множителя вида
х—а. Но это сделать очень легко: хл — (х — 0) (х — 0) (х — 0).
Теперь становится ясным, что уравнение х'=0 имеет три
корня, но что все эти корпи равны между собой.
Применяя следствие теоремы Гаусса, никогда не следует
забывать о возможности равенства некоторых (или даже
всех) корней уравнения.
35. Во всех рассмотренных нами примерах, как в первых
двух, когда использованный способ решения дал правильные
результаты, так и в последних двух, когда он привел
к неверным выводам, все выполненные нами преобразования
не вызывают никакого сомнения: все делалось в строгом
соответствии с правилами алгебры. Единственная операция,
для которой нельзя указать основания в виде некоторого
правила алгебры, это само обозначение результата бесконеч-
бесконечной совокупности операций буквой х, над которой мы в даль-
дальнейшем производим действия, предполагая, конечно, что эта
буква х обозначает некоторое определенное, хотя нам пока
95

еще неизвестное число Ведь все правила алгебры относятся
к действиям над числами' Причина появления в результатах
наших рассуждений в примерах третьем и четвертом нелепых
выводов в том и заключается, что в этих примерах не суще-
существует определенного числа, которое получалось бы после
бесконечного повторения рассматриваемых операций Выра-
Выражаясь точнее, можно сказать, что в примере третьем мы имеем
дело с бесконечной последовательностью чисел
которая при а>0 не имеет никакого предела, так как эти
числа неограниченно возрастают как бы велико ни было
данное число А, всегда можно указать такой номер п, что
все члены нашей последовательности, имеющие номера выше
п, будут больше А (для этого достаточно взять п>—) Обоз-
Обозначив «сумму» бесконечного множестьа равных чисел буквой
х и произведя над х действия так, как будто этот х обозначал
число, мы и пришли к нелепому выводу
Подобным же образом обстоит дело и в примере четвер-
четвертом Здесь мы имеем последовательность чисел Х\=\, xt = — I,
л;з=3, Xt=—5, хъ~П, . . , которая никакого предельного
значения не имеет Неправильным было само обозначение
этого несуществующего предельного значения буквой х и
действия над этим х, как над определенным числом
Теперь появляется вопрос а как узнать существует ли пре-
предельное значение у рассматриваемой бесконечной последо-
последовательности чисел или нет? Ответ на этот вопрос дают раз-
различные признаки существования предела у бесконечных
последовательностей Простейший признак такого рода
изучается в IX классе если дана бесконечная последователь-
последовательность возрастающих чисел
аъ a2>ai, а3>аг, а^а3, аь>а., . ,
но каждое из этих чисел меньше некоторого числа Ь, то числа
аъ а2, а3, стремятся к пределу, который либо меньше Ь,
либо равен Ь
В первом рассмотренном выше примере мы имели по-
последовательность бесконечного множества возрастающих
чисел
*i«0,24, х2-=0,2424, л;8=0,242424, . ,
ЯР

но каждое из этих чисел меньше, например, 0,3. Следователь-
Следовательно, предельное значение существует. Обозначив его буквой
х, мы можем спокойно оперировать над х, как это было еде-
о
лано выше, и придем к заключению, что *=зз~- Точно так же
и во втором примере мы имеем бесконечную последователь-
последовательность возрастающих чисел:
но каждое из этих чисел меньше 2, так как каждое подкорен-
подкоренное выражение меньше 4. Следовательно, и здесь предельное
значение существует, и его можно обозначить через х.
Итак, применяя прием исключения бесконечности, мы
только тогда можем быть уверены в правильности получае-
получаемого результата, когда предварительно установим, что иско-
искомое предельное значение действительно существует.
36. Читатель, уже ознакомившийся с п. 35, конечно,
давно понял, в чем тут дело: наша сумма бесконечно большого
множества слагаемых вообще не имеет никакого определен-
определенного значения, так как последовательное суммирование все
большего и большего числа слагаемых не дает приближения
ни к какому предельному значению:
Xl=l, ЛГ2=1 1—0, Х8-1—1 + 1 = + 1, *4=1 —1+1 —1=0, ...
Ошибка первого рассуждения, которое привело к зна-
значению 0,5, заключалась в том, что мы производили над х
действия, не установив предварительно, что буква х озна-
означает определенное число.
Во втором рассуждении, которое дало х—0, мы восполь-
воспользовались сочетательным свойством алгебраической суммы:
в любой алгебраической сумме, состоящей из определенного
числа слагаемых, можно заключить произвольное число сла-
слагаемых в скобки. Перенесение этого сочетательного свойства
на сумму бесконечного множества слагаемых ничем не оправ-
оправдано, и полученный результат (определенное числовое зна-
значение, а именно 0, для выражения, явно не имеющего ника-
никакого определенного числового значения) обнаруживает, что
такое перенесение может привести к неверному заключению.
В третьем рассуждении, приведшем к значению х—-\,
мы опять незаконно использовали это сочетательное свой-
свойство алгебраической суммы в применении к сумме бесконеч-
бесконечного множества слагаемых.
В четвертом рассуждении, в котором мы нашли, что
х=—\, мы имеем опять-таки незаконное использование соче
9?

тательного свойства, но, кроме того, незаконное же исполь-
использование свойства псреместительного: как известно, значение
алгебраической суммы определенного числа слагаемых не
изменяется от перемещения слагаемых, если каждое слагае-
слагаемое переносить с тем знаком, какой стоит перед ним: пере-
перемещая же слагаемые в сумме, содержащей бесконечное мно-
множество слагаемых, мы в некоторых случаях изменяем зна-
значение этой суммы.
Итак, все паши четыре рассуждения — сплошное нагро-
нагромождение ошибок, основанных на применении к сумме бес-
бесконечного множества слагаемых таких приемов, которые
законны лишь в применении к суммам определенного числа
слагаемых.
Ошибки охарактеризованного типа имеют поучительную
историю, а потому остановимся па некоторых подробностях.
Операции сложения и вычитания в области действитель-
действительных чисел всегда выполнимы и однозначны. Математикам
XVIII в. это было хорошо известно по крайней мере в при-
применении к рациональным числам, но они не были склонны
ограничить применение принципов арифметики областью
сумм с ограниченным числом слагаемых. На пути же про-
произвольного расширения материала арифметических сужде-
суждений возникли непримиримые противоречия. «Сохранение»
однозначности за операцией сложения заставляло прибегать
к уловкам, подчас остроумным, но явно стоящим в противо-
противоречии с законом достаточного основания.
Желая, например, найти «сумму» ряда 1—1 + 1—1+. . .,
вычислители писали 5=1 — 1 + 1—1+. .., откуда, перенося
первое слагаемое правой части в левую, находили 5— 1=
=— 1 + 1 — 1-Н— . . ., т. е. 5— 1=—5, а потому заклю-
чал и, что S— -2-.
Но от математиков не могли ускользнуть и другие вполне
прозрачные «ответы», как, например:
S-(l—1) + A—1)+A—1) + . . .=0 или
S=i_(l_i)_(i_i)_(l_l)_ . . . = 1.
Естественно возникал вопрос: на каком же решении, как
единственно верном, надо остановиться?
Итальянский математик Гвидо Гранди, желая установить
аргументы для подтверждения справедливости ответа S=-w ,
излагает любопытные размышления. Допустим, рассуждает
Гранди, что некий отец, умирая, оставил своим двум сы-
98

новьям драгоценный камень. В своем завещании родитель
указал, что по прошествии каждого года наследство должно
переходить от одного сына к другому. Подсчитаем же исходя
из приведенных условий долю богатства каждого наслед-
наследника. Выражая для этой цели год обладания камнем одним
из братьев за +1, а год, в течение которого он будет у другого
брата, за —1, получим ряд: 1—1 + 1—1+. . .,
1
который должен равняться -g-, так как братья имеют одина-
одинаковые права на оставленное им наследство.
Вокруг этого вопроса возникла длительная и оживлен-
оживленная дискуссия-переписка, в которой, кроме самого Гранди,
приняли участие Лейбниц, Вольф, Вариньон и Николай
Бернулли старший. Лейбниц указал, что ряд 1—1 + 1—1 + ¦ • •
не имеет никакого отношения к примеру Гранди. Ведь братья
будут в равной степени обладать камнем, если они будут
иметь его, например, сто лет, но сумма ста членов ряда равна
все-таки нулю, а не половине. Однако и Лейбниц считал
1
ответ -?- единственно правильным, мотивируя его истинность
метафизическими рассуждениями о законе справедливости
в природе.
Равенство рассматриваемого ряда половине отстаивал и
Эйлер, утверждая, что так как при последовательном сумми-
суммировании получается то 1, то 0, а ряд не имеет конца, то долж-
0-1-1 1
но получиться среднее, т. е.—^~—^т-
Этот любопытный спор математиков XVIII в. был разрешен
установлением точного понятия о сходящемся ряде и осозна-
осознанием незаконности формального распространения свойств
сумм с определенным числом слагаемых на ряды. Ряд, по-
послуживший предметом дискуссии, является, как известно,
расходящимся, т. е. таким, для которого понятие суммы
вообще не имеет смысла *.
37. Прежде всего заметим, что математики предпочитают
говорить не о равенстве бесконечных множеств, а об их
«эквивалентности»: два множества, конечные или бескопеч-
* Мы здесь формулируем одно из основных положений классичес-
классического анализа. Это необходимо заметить, так как самый вопрос о смысле
того или иного выражения становится содержательным только при ука-
указании условий рассмотрения Дело в том, что и ряду 1 —1 + 1—1 + 1--1 + ...
можно однозначно отнести число "тг, если условиться под суммой ряда
So-+S,->- ..-\-Sn „
понимать lim j—^ , где i>n означает сумму п первых членов
ряда п—> то
99

ные, называются эквивалентными, если каждому элементу
первого соответствует один и только один элемент второго,
и обратно, каждому элементу второго множества соответ-
соответствует один и только один элемент первого.
Итак, имеем два факта: 1) множество Q есть часть мно-
множества N; 2) множества N и Q тем не менее эквиваленты.
Во избежание недоразумений отметим еще раз, что речь
идет о множествах бесконечных, состоящих из всех квадрат-
квадратных и всех натуральных чисел. Если взять конечное мно-
множество из натуральных чисел, не превышающих, например,
один миллион, и множество квадратных чисел, тоже не пре-
превышающих один миллион, то никакой эквивалентности в этих
двух множествах мы, конечно, не обнаружим: на миллион
натуральных чисел у нас придется лишь тысяча чисел квад-
квадратных, часть окажется меньше своего целого.
Если же рассматривать все натуральные и все квадрат-
квадратные числа, не ограничивая ничем их величину, то окажется,
что множество Q, будучи частью множества N, в то же время
эквивалентно ему: часть равна своему целому.
Получив такой вывод, мы непременно усомнимся в пра-
правильности наших рассуждений, так как привыкли считать
одной из основных общематематических истин, что часть
меньше своего целого (это утверждение составляет одну
из аксиом 1 книги «Начал» Евклида). Но рассуждения
безупречны, и этот вывод приходится принять. Аксиома «часть
меньше своего целого» верна лишь для конечных множеств,
бесконечное же множество может быть и равно своей части.
На вопрос, какое множество называется бесконечным, иногда
отвечают так: бесконечным называется всякое множество,
у которого есть часть, эквивалентная всему множеству.
Кроме алгебры конечных чисел, существует еще алгебра
бесконечных (или «трансфинитных») чисел. Ее изучает мате-
математическая наука, носящая название «Теория множеств».
Как видим, обе эти алгебры резко отличны одна от другой.
Мы получаем новое подтверждение сказанного в п. 35: если
мы обозначаем некоторую величину буквой х и выполняем
над этим х операции по правилам обыкновенной алгебры, мы
только тогда можем быть уверены в правильности получен-
полученных выводов, если предварительно убедимся, что х опреде-
определенное число.
38. Взяв вместо а и Ь какие-нибудь определенные числа,
например, а=3, 6=1, легко убедимся, что равенства A)
и B) верны, равенства C) и D) уже неверны. Следовательно,
ошибка допущена при переходе от равенства B) к равенству
100

C). Этот переход был сделан на основе того соображения, что
извлечение корня одной и той же степени из двух равных
чисел должно привести к равным же результатам. Это, ко-
конечно, совершенно справедливо, если мы имеем дело с одними
положительными числами: если хну два положительных
числа, а п произвольное натуральное число, то из равенства
хг-=уп вытекает равенство х=*у. Действительно, если бы
было х>у или х<у, то и х" было бы больше или меньше уп.
При п=2 теорему эту можно формулировать так: если два
квадрата имеют одну и ту же площадь, то стороны их равны.
Все это так, если числа хну — положительные. Если же
они оба (или одно из них) могут быть и положительными и
отрицательными, то из равенства степеней этих чисел еще
нельзя заключить о равенстве самих чисел. Например, при
х=5 и у——5 мы имеем равенство квадратов, так как хг—
=г/*=25, но здесь х>у.
Принимая во внимание правило знаков при возведении
рациональных чисел в квадрат, легко придем к такому за-
заключению: если квадраты двух рациональных чисел равны,
то самые эти числа либо равны, либо противоположны (т. е.
имеют одно и то же абсолютное значение, но разные знаки).
Короче: из равенства xi—yi вытекает одно из равенств: х=у
или х=—у. Какое именно — надо выяснять каждый раз
особо на основании тех сведений о числах хну, какими мы
располагаем.
В изложенном выше рассуждении, которое привело нас
к ложному заключению о равенстве чисел а и Ь, мы имели
равенство (а—Ь)*={Ь— аJ. Если а>6, как было пред-
предположено, то а — Ь число положительное, a b — а число
отрицательное. Таким образом, здесь мы имеем дело с числами
рациональными и должны считаться с тем, что из равенства
квадратов этих чисел вытекает одно из двух: либо эти числа
а—Ь и b— а равны друг другу, либо противоположны.
Но числа а— b и b — а имеют разные знаки; возможность
их равенства отпадает, остается лишь возможность их про-
противоположности. Равенство C) в приведенном выше рассужде-
рассуждении надо заменить таким:
а— Ь=— (Ь — а),
откуда
а — Ь=— Ь+а, а — а—Ь — Ь,
а не
a+a=b+b,
как было получено выше, и нелепый вывод устранен.
101

Для разъяснения настоящего софизма часто ограничи-
ограничиваются просто указанием на то, что извлечение квадрат-
квадратного корня дает результат с двумя знаками (плюс и минус).
Для полной ясности необходимо добавить еще несколько
указаний. Извлекая квадратный корень из обеих частей ра-
равенства B), мы должны писать результат в виде ±(а— Ь) =
— ±(Ь — а), где любой знак левой части может браться
одновременно с любым знаком правой части. Вместо одного
равенства C) мы имеем теперь четыре равенства:
+(а—Ь) = -\-(Ь — а),
+(а—Ь)=—(Ь — а),
—(а—Ь) = +(Ь — а),
-(а-Ь)=-{Ь-а).
Меняя знаки обеих частей в последних двух равенствах
на противоположные, мы сведем эти четыре равенства к двум:
+{а— Ь) = + (Ь — а),
+(а—Ь)=—(Ь — а),
а пользуясь двойным знаком ±, даже к одному:
а — b = ±(b — а),
в котором надо еще произвести выбор знака.
Ошибки, обусловленные переходом от х*=у* к х—у,
встречаются очень часто. Необходимо твердо помнить, что
из xi=yi вытекают два равенства: х=у и х=—у, или, короче,
х=±у, и никогда не забывать о необходимости выяснения
вопроса о выборе знака.
39. Ошибочным является равенство B): из равенства A)
вытекает, что либо х—2а~х, либо х—2а=—х. В силу усло-
условия х—а имеем: х—2а,—а—2а=—а, а потому равенство B)
отпадает (при афО число х—2а, равное —а, не может рав-
равняться х, равному а) и должно быть заменено другим: х—2а—
=—х. Но из него следует, что 2х—2а—О и х=а. Мы пришли
к исходному равенству, устранив нелепый вывод.
40. Как в п. 39 ошибка допущена при извлечении квадрат-
квадратного корня из обеих частей равенства A): из равенства A)
следует, что выражения в скобках либо равны, и тогда имеет
место равенство B), либо эти выражения равны по абсолют-
абсолютной величине, но противоположны по знаку, и тогда вместо
B) надо написать равенство:
Щ C)
Легко убедиться в правильности равенства C), а не B).

41. Посмотрим, как расположены те точки А, В, Вь
Вг, Вз, В^ и т. д., о которых была речь, и сколько времени
надо точке М, чтобы пройти отрезки АВ, ВВЪ В\Вг, ВгВз
и т. д. По условию, ЛВ = 100 м. Отрезок BBi точка N, дви-
двигаясь со скоростью 1 м в сек., проходит за то время, в тече-
течение которого точка М, двигаясь со скоростью 10 .и в сек.,
проходит отрезок ЛЙ = 100 м, т.е. за 100 : 10=^10 (сек.);
легко видеть, что B?i = 10 м. Точно так же устанавливаем,
что для перехода от В к В\ точке М нужна 1 сек. (в течение
которой точка N пройдет отрезок 66г=1 м), а для перехода
от Вг к Вч. нужно 0,1 сек. (за этот промежуток точка /V пройдет
отрезок ВгВз—0,1 м). Повторяя эти рассуждения, легко
убедимся, что расстояния (в метрах) между точками А и
В, В и Вх, Вг и Вг и так далее образуют бесконечно убываю-
убывающую геометрическую прогрессию:
100; 10; 1; 0,1; 0,01; 0,001;..,
а промежутки времени (в секундах), в течение которых точка
М проходит эти расстояния, образуют другую такую же
прогрессию:
10; 1; 0,1; 0,01; 0,001;...
Приведенное выше рассуждение, «доказывающее», что
точка М никогда не догонит точку N, действительно доказы-
доказывает, что точка М не догонит точку N в течение времени, рав-
равного сумме любого числа п промежутков 10; 1; 0,1; 0,01;
0,001; . . . Но сумма п членов этой прогрессии равна:
__Ю—10.0,1л 10 !0-0,1л
10 10 1,1 г-
и всегда меньше числа . п =-- = 11—. Следователь-
1—U, 1 и,У У
но, наше рассуждение доказывает лишь то, что точка М
не догонит точки N ни в какой промежуток времени, мень-
меньший 11— сек. А в этом утверждении ничего абсурдного нет:
точка М сближается с точкой N на 10—1—9 (м в сек.) и
догонит ее, т. е. сблизится на все первоначально бывшее
между ними расстояние в 100 м, как раз через 100 : 9=
= 11—(сек.), но не раньше.
У
Только что рассмотренный софизм был указан греческим
философом Зеноном.
103

В древнейшей греческой математике в число основных
аксиом этой науки входило утверждение, по которому «сумма
бесконечно большого числа любых, хотя бы и чрезвычайно
малых, протяженных величин обязательно должна быть
бесконечно большой»*. На этот момент обращает внимание
комментатор Аристотеля Симпликий (умер в 549 г.)
С признанием приведенной аксиомы связаны знаменитые
«апории»— доказательства Зенона, жившего в V в. до н. э.
Диоген Лаэрций (писатель конца II и начала III в.) свиде-
свидетельствует, что Зенон обладал необыкновенным даром крас-
красноречия, написал произведения, выявляющие большую силу
его ума и глубокую ученость, и приобрел известность в фи-
философии и политике. В философии его имя связано с отрица-
отрицанием возможности выразить движение в научном понятии,
а в политике с активной поддержкой сил реакции в открытой
политической борьбе против античной демократии.
Зенон выступал как противник некоторой вполне опре-
определенной математической теории, по которой одновременно
постулировалось существование минимального, далее недели-
неделимого, отрезка пространства или времени и бесконечная де-
делимость величин. Своим скептическим воззрениям античный
философ придал блестящую форму великолепно построенных
апагогических доказательств.
«Есть четыре рассуждения Зенона о движении («Дихо-
(«Дихотомия», «Ахиллес и черепаха», «Стрела», «Ристалище»—
Авт.),— говорит Аристотель,— доставляющие большие за-
затруднения тем, которые хотят их разрешить». «Второе,—
продолжает Аристотель,— так называемый Ахиллес. Оно
заключается в том, что существо более медленное в беге
никогда не будет настигнуто самым быстрым, ибо пресле-
преследующему необходимо раньше прийти в место, откуда уже
двинулось убегающее, так что более медленное всегда имеет
некоторое преимущество»**.
Психологической основой приведенного парадокса яв-
является интуитивное отождествление суммы бесконечного мно-
множества членов с бесконечно большой величиной, хотя на
самом деле речь идет лишь о сумме бесконечно убывающей
геометрической прогрессии 1-| Н (—) + (—) + •••> равной
* С. Я. Лурье, Теория бесконечно малых у древних атомистов,
М, 1935, стр. 31.
** Аристотель, Физика, пер. В. П. Карпова, М., 1936,
стр. 119—120.
104

дроби —^-р, где п указывает, во сколько раз Ахиллес дви-
двигается быстрее черепахи.
Уровень философской и математической культуры Гре-
Греции времен Зенона Элейского не позволяет допустить, что
описанная грубая ошибка могла бы ввести в заблуждение
выдающихся мыслителей этой эпохи. Заметить, что сумма
как угодно большого числа членов подобного ряда не пре-
превзойдет все-таки некоторого числа, не могло составить для них
большого труда. Все дело в том, что греческий ученый под-
подходил к разрешению этого вопроса, исходя из безоговороч-
безоговорочного признания двух противоречивых воззрений: неограни-
неограниченной делимости и существования последних элементов
деления. Истинный смысл «Ахилла» и состоит в иллюстра-
иллюстрации того факта, что сумма бесконечно большого числа
неделимых является всегда величиной бесконечно большой.
На подобном толковании парадокса Зеиона сходятся
авторитетные историки и математики. Впервые эта гипотеза
была выставлена П. Таннери. Крупнейший советский зна-
знаток Эллады С. Я- Лурье, разделяя мнение Целлера, Нестле
и Гиса, оспаривает точку зрения Таннери, что в противниках
Зенона следует видеть пифагорейцев. Лурье указывает, что
«все, что нам известно об Анаксагоре, говорит за то, что он,
с античной точки зрения, был повинен как раз в том проти-
противоречии, на котором сыграл Зенон»*. Однако профессор
Лурье не утверждает, что Зенон имел в виду именно Анак-
Анаксагора E00—428), считая, что современное состояние науки не
дает еще достаточных оснований для решения этого вопроса.
Таким представляется «Ахилл» Зенона в плане воззрений
современной ему философии и математики.
Но уже Аристотель лишает апорий Зенона о движении
той базы, на которой они возникли. Он признает бесконеч-
бесконечную делимость непрерывных величин и отрицает существо-
существование последних элементов деления (неделимых)**. Благодаря
этому у Аристотеля та сумма, о которой говорится в «Ахил-
«Ахилле», не является уже величиной бесконечно большой.
Аристотелево объяснение парадокса Зенона лишило его
математической базы. Однако дискуссия о подлинных гно-
гносеологических истоках апорий Зенона не сходила со страниц
историко-философской литературы на протяжении многих
столетий. Только диалектика позволила до конца показать
несостоятельность философии Зенона, в частности, его апо-
* С. Я. Лурье, Теория бесконечно малых у древних атомистов,
М., 1935, стр. 34.
** Аристотель, Физика, пер. В. П. Карпова, М.. 1936,стр. 105.
105

рий. В. И. Ленин, вскрывший сущность Зеноновьгх апорий,
подчеркивал, что пространство делится в данном случае абст-
абстрактно, в уме, что па самом деле, т. е. в процессе движения,
оно и делимо, и неделимо одновременно, так как реальное
движение представляет собой противоречивое единство непре-
непрерывности и прерывности пространства и времени*.
,. . О)
Весьма распространенная ошибка: сокращение на общий
множитель знаменателя с одним из слагаемых числителя.
Исследование дает: ас-\-Ьс=ас \-abc; bc=abc или b—ab,
так как знаменатель с не может быть равен нулю. Из соот-
соотношения b A—а)=0 следует, что равенство C) будет спра-
справедливо только в двух частных случаях: во-первых, когда
Ь=0 и формула C) принимает вид ?.——; во-вторых, когда
а=1 и формула C) принимает вид — = ~,
с с
„ а а а
Типичная и весьма упорная ошибка.
Исследование дает:
abc^ac (b+c)+ab (b-\-c); abc—abc-\-ac--'~abiJrabc;
ас*+аЬ2-\-аЬс=0; a (b*+c*+bc)=0.
Из последнего равенства следует, что или а=0, или
Ь*+сЧ-Ьс^0.
Однако трехчлен №—с*-\-Ьс ни при каких действительных
отличных от нуля значениях b и с в нуль не обратится. В са-
самом деле, если Ьфс, то или &2>jfc| или с2>|йс|, если Ь—с,
то Ьг=с2—Ьс. А потому во всех случаях
Выходит, что «формула» D) оказалась справедливой толь-
только в том тривиальном случае, когда а-^0.
Мы не случайно остановились на" примерах, относящихся
к тождественным преобразованиям над алгебраическими дро-
дробями и к действиям над ними. Дело в том, что очень большое
число массовых ошибок учащихся падает именно на эти
вопросы.
* В. И. Ленин, Философские тетради, М, 1947, стр. 242—24а.
106

III. У"а2+Ь =a\/b . E)
Ошибки этого типа весьма распространены и требуют
упорной работы по их предупреждению.
Исследование дает:
a*b; a*=b (a2—1); Ъ^-?-^. F)
Формула E) имеет место во множестве действительных
чисел, когда а>1 и выполнено соотношение F).
Если, например, а=2, то Ь—-^ и
а. 1=2 l/l
' 3 z У 3-

Глава IV
ГЕОМЕТРИЯ.
1. ПРИМЕРЫ ЛОЖНЫХ РАССУЖДЕНИЙ.
43. Отрезки параллельных прямых, заключенные
между сторонами угла, равны.
Возьмем произвольный угол и пересечем его стороны
двумя произвольными параллельными прямыми. Пусть АВ
и CD будут отрезки параллельных, заключенные между сто-
сторонами этого угла, а точка Е — его вершина (черт. 16).
Как известно, параллельные прямые отсекают от сторон
угла пропорциональные отрезки; следовательно,
АЕ:СЕ=ВЕ:DE
AE-DE=BE-CE. A)
Умножив обе части равенства A) на разность АВ — CD,
производим следующие преобразования:
— BE-CE-AB=AE-DE-CD — BE-CE-CD,
АВ (AE-DE — BE-CE) = CD (AE-DE — BE-СЕ). B)
Разделив обе части последнего равенства на разность
AE-DE — ВЕ-СЕ, получим равенство AB—CD; таким обра-
образом отрезки параллельных, заключенные между сторонами
данного угла, всегда равны.
44. Отрезок прямой равен своей правильной части.
Пересечем произвольно взятую прямую в точках А я В
прямыми MN и PQ, перпендикулярными к АВ (черт. 17).
Проведем прямую, пересекающую MN, АВ и PQ соот-
соответственно в точках Е, С и D.
108

Из подобия треугольников CBD и АСЕ устанавливаем:
BD С В .._.. BD AB-AC .у.
CB _
АС ИЛИ АЕ
АС
Пересечем в точках F и Н стороны CD и BD треугольника
CBD прямой, параллельной его третьей стороне.
Черт. 16.
Черт. 17.
Из подобия треугольников CBD и FHD устанавливаем:
BD_BC BD_ AB—AC .„.
HD~TE' ИЛИ Ш)~ FH ' ^'
Определяя из соотношений A) и B) BD, соответственно имеем:
АЕ-(АВ-АС)
BD=-
Следовательно,
АС
НР-(АВ-АС) .
FH
АЕ-(АВ-АС) HD-(AB-AC)
FH
Освободившись от знаменателей и раскрыв скобки, получим:
AE-FH-AB— AE-FH-AC^AC-HD-AB — AC*-HD.
Прибавив к обеим частям последнего равенства разность
109

AE-HF-AC— DH-AB-AC, после приведения подобных
членов и вынесения общих множителей за скобки, имеем:
AB-{AE-FH — AC-IID)=AC-(AE-FH — AC-HD) D)
Наконец, из соотношения D) устанавливаем:
АВ=АС. E)
45. Все треугольники равновелики.
Обозначим стороны произвольно взятого треугольника
буквами а, Ъ и с, соответственные высоты —Аь Ы и Лз, пло-
площадь — 5.
Используя другие произвольно взятые треугольники,
будем придерживаться тех же обозначений, но для отличия
снабдим их соответствующим числом штрихов.
Из курса геометрии известно:
bh2
Определяя из соотношений A) и B) S, соответственно
имеем:
С/ Д^1 . С С" ^^2
aft i a h."i
Следовательно,
с/ ah\ q/, bh%
° " a'ft'i ~ ' a"*"', '
или, освобождаясь от знаменателей:
S'ahia"h=S"a'h'1bh2 C)
Умножив обе части равенства C) на разность S—S'
и раскрыв скобки, будем иметь:
SS'ah1a"h—S'2ahia"h=SS"a'h'1bh2—S'S"a'h'ibh2. D)
Прибавив к обеим частям равенства D) разность
S''2a!iia"h"i—SS"a'h\bhi, после приведения подобных чле-
членов и вынесения общих множителей за скобки получим:
S (S'ah1a"h"l—S"a'h'1bh2)-^S'(S'ah1a"h—S"a'li'1bh2). E)
Наконец, из соотношения E) устанавливаем:
S=S' F)
lii)

46. Сумма оснований любой трапеции равна нулю.
Для «доказательства» этой удивительной «теоремы» нам
понадобится известное из элементарного курса алгебры свой-
свойство ряда равных отношений: есди несколько отношений
равны между собой, то сумма всех предыдущих членов отно-
относится к сумме всех последующих, как один из предыдущих
относится к своему последующему.
Возьмем произвольную трапецию ABCD (черт. 18) и про-
продолжим нижнее основание а, хотя бы направо, на отрезок,
равный верхнему основанию Ъ. Верхнее же основание Ь
продолжим в противоположную сторону, т. е. налево, на
отрезок, равный нижнему основанию а. Проведем диагонали
трапеции и обозначим буквами х, у, z три отрезка, на кото-
которые диагональ АС делится другой диагональю 3D и прямой,
соединяющей концы продолженных оснований, т. е. пря-
прямой FE.
Из подобия треугольников CDG и ABG имеем пропор-
пропорцию (х+у) : z-=a : b, а из подобия треугольников AFH и
СЕН пропорцию (y-\-z) : х—-а : Ь, что дает новую пропорцию
(х+у) : z=(y+z) : x. Умножив оба члена второго отношения
на—1, придем к пропорции
(х+у) : z=( — у— z) : (— х).
Применяя к этой пропорции упомянутое выше свойство
ряда равных отношений, получим, что
(х+у) : z=(x+y — у — г) : (г — х) =
= (х — z) : (г — х)=— 1, т. е. (х+у) : 2= —1
JJJ

Сопоставляя полученный результат с пропорцией
(х-\-у) : z=a : b, находим, что а : Ь=— 1, откуда а=— b
и а+Ь=0.
47. Объемлемая и объемлющая.
На чертеже 19 мы имеем две ломаные с общими концами,
объемлемую ADC и объемлющую А ВС. Как известно, вы-
выпуклая объемлемая всегда короче своей объемлющей. Сле-
Следующее рассуждение приводит к результату, находящемуся
в противоречии с этой теоремой.
Черт. 19
Пусть отрезки АВ и ВС взяты произвольно, отрезки же
AD и DC взяты не произвольно, а пропорциональными отрез-
отрезкам А В и ВС, т. е. AD=k-AB, DC=k-BC, где k некоторая
з
правильная положительная дробь (на чертеже 19 взято k=-~).
Из последних равенств вытекает, что
— AD = k (-AB),
— DC=-k (— ВС),
( - AD)+( — DQ^k [( - АВ)+( — ВС)],
[( - AD)+( — DQ] : [( — АВ) + ( — BQ]=k,
но k^AD : АВ,
следовательно,
[(—AD)+{— DQ) : [(—AB)+(—BC)]=AD : АВ. A)
В пропорции A) предыдущий член второго отношения
меньше последующего его члена; следовательно, и преды-
предыдущий член первого отношения меньше своего последующе-
последующего, т. е.
(-AD)+(-DC)< (-AB)+(~BC). B)
112

Перенося все члены из первой части неравенства во вто-
вторую, и из второй в первую, имеем:
АВ+ВС< AD+DC.
Таким образом, объемлющая ABC оказывается не длин-
длиннее, как должно бы быть, а короче своей выпуклой объем-
лемой ADC.
48. Еще о пропорциональности.
В п. 7 (глава II) мы имели несколько примеров ошибок,
происшедших из-за того, что за пропорциональные величи-
величины принимались величины, отнюдь не пропорциональные.
Вот примеры ошибок в вопросах геометрического харак-
характера, обусловленных тем же обстоятельством.
I. На плане с масштабом в 1 : 10 000 изображен прямо-
прямоугольник, имеющий на плане стороны 2 см я 3 см. Какова
площадь этого прямоугольника в натуре? Здесь дробь
1 : 10 000 («численный масштаб») является отношением длины
любого отрезка на плане к длине соответствующего отрезка
в натуре.
Правильно ли утверждение, что площадь прямоугольника
в натуре B см-3 см)-10 000-=60 000 кв. cai=6 кв. м?
II. Имеются три банки в форме прямых круглых цилинд-
цилиндров. Вторая имеет вдвое больший поперечник (диаметр)
основания, чем первая, но зато вдвое меньшую высоту. Третья
имеет, наоборот, вдвое меньший поперечник основания по
сравнению с первой, но зато двойную высоту. Правильно ли
утверждение, что удвоение одного измерения компенсируется
уменьшением вдвое другого измерения, и что в силу этого
объем у всех трех банок один и тот же?
III. Модель сооружения в-go" натуральной величины из-
изготовлена из того же материала, из которого будет строиться
само сооружение. Взвешивание показало, что эта модель
весит 3 кг. Следует ли ожидать, что само сооружение будет
весить 3 кгХ 20=-60 кг?
IV. Желая сравнить два участка, человек обмерил их
границы (периметры), и, найдя границу первого участка
равной 60 м, а границу второго — равной 50 м, заключил,
что площадь первого участка больше площади второго на
20%. Так ли это?
9 Заказ .V> 226 |[3

49. Две окружности разного радиуса имеют
одну и ту же длину.
Возьмем два колеса радиусов R и /¦< R и представим себе,
что они насажены на общую ось. Будем катить колесо
радиуса R без скольжения по прямой DE (черт. 20). Когда
точка А па окружности этого колеса, находившаяся в началь-
начальный момент на прямой DE, совершит полный оборот и снова
окажется на прямой DE, совпадая с точкой Аг, то путь ССъ
пройденный за это время центром окружности С, будет равен
отрезку ААи который равен в свою очередь длине окруж-
окружности колеса 2-R.
Черт. 20.
Если второе (меньшее) колесо насажено на общую ось
с первым и наглухо с ним скреплено, то оба колеса совершат
один полный оборот одновременно. Но можно считать, что
в то время как первое колесо катится по прямой DE, второе
колесо катится по прямой FG. Совершив один полный оборот,
второе колесо пройдет путь ВВЪ равный длине своей окруж-
окружности, т. е. 2-г. Но ВВ1=СС1, а потому 2-*r=2~R, т.е. длины
двух окружностей разных радиусов оказываются равными!
В чем ошибка нашего рассуждения?
50. Сумма катетов равна гипотенузе.
Возьмем произвольный прямоугольный треугольник ABC
и разделим его гипотенузу ВС на п равных част?й, где п не-
некоторое натуральное число, а затем через каждую точку
деления проведем пару прямолинейных отрезков, один парал-
параллельно катету ЛВ, другой параллельно катету АС. Продол-
Продолжив эти отрезки до их взаимного пересечения вне треуголь-
треугольника, получим ступенчатую ломаную, изображенную на чер-
чертеже'21. Сумма Sn всех звеньев этой ломаной от точки В до
114

точки С равна сумме катетов Л В-{-ВС, так как с}мма всех
проведенных отрезков, параллельных одному из катетов,
равна этому катету.
Будем теперь неограниченно увеличивать число п, при-
придавая ему последовательно значения 2, 4, 8, 16, ... и т. д.
Число звеньев в нашей ломаной линии ВС будет при этом
Черт 2!.
неограниченно возрастать (оно равно 2/г), но длина каждого
звена будет стремиться к нулю, и ломаная линия будет все
меньше и меньше отличаться от прямой ВС. В пределе при
я-t-M ломаная сольется с гипотенузой ВС, а потому
пред. Sn=BC. A)
Но каково бы ни было натуральное число п, всегда имеем,
как мы видели выше, равенство Sn=AB-\-AC. Следовательно,
и пред. Sn при П-+СО равен той же сумме:
пред. Бп=АВ+АС.
B)
Сопоставление равенств A) и B) приводит к заключению,
что А В |-ЛС=ВС, т. е. что сумма катетов произвольного
прямоугольного треугольника равна его гипотенузе.
51. Длина полуокружности равна ее диаметру.
Возьмем полуокружность радиуса г вместе с ограничи-
ограничивающим ее диаметром и разделим последний на п равных
частей. На каждом полученном отрезке диаметра построим
новые маленькие полуокружности, располагая их поочеред-
поочередно по одну и по другую стороны диаметра. Получаем зигзаго-
9* 115

образную кривую, вьющуюся
около диаметра (черт. 22). При
неограниченном увеличении чи-
числа п эта кривая линия дела-
делается все менее и менее отлич-
отличной от прямой и в пределе,
при л->со, с ней совпадает.
Черт. 22 Обозначив длину этой кривой
линии из п равных полуокруж-
полуокружностей буквой L,,, имеем в силу этого:
пред. Z.n=2r. A)
Mo длина каждой маленькой полуокружности, постро-
построенной на диаметре— и с радиусом —, равна Bт:. — ) : 2 =
=— а потому Ln~—-п—тег. Iакимобразом,полная дли-
длина нашей кривой линии равна всегда длине первоначальной
взятой полуокружности; этой же длине равен и предел дли-
длины этой кривой линии:
пред. Ln=-r. B)
Сопоставление равенств A) и B) приводит к выводу,
что ъг=2г, г.—2. Следовательно, длина произвольной полу-
полуокружности равна длине своего диаметра, и число тс, выра-
выражающее отношение длины всякой окружности к своему диа-
диаметру, равно 2.
52. Боковая поверхность круглого прямого конуса
с радиусом основания г и высотой h выражается
формулой P=r.r(r+h).
Возьмем круглый прямой конус с радиусом основания г
и высотой h и проведем в нем сечения плоскостями, перпен-
перпендикулярными к оси конуса и отстоящими одна от другой на
расстоянии —, где п некоторое натуральное число. Каждое
из полученных п — 1 круговых сечений примем за верхнее
основание цилиндра, имеющего высотой отрезок—. Получим
всего п — 1 цилиндров, образующих в своей совокупности
ступенчатое тело, вписанное в данный конус. Разрез конуса
и этого ступенчатого тела по оси конуса представлен на чер-
чертеже 23.
116

Найдем боковую поверхность тела. Она состоит из суммы
боковых поверхностей всех цилиндров и суммы площадей
колец, остающихся на верхнем основании каждого цилиндра
за вычетом площади, занятой нижним основанием ближайше-
ближайшего выше расположенного цилиндра; у самого верхнего цилинд-
цилиндра верхнее основание надо взять целиком.
Черт 23.
Установив из подобия треугольников, что радиус осно-
основания нижнего цилиндра равен г(\ ), второго снизу
9 3
гA ~), третьего снизу г(\ -—) и так далее— до самого
верхнего, у которого радиус основания равен г
легко находим, что сумма боковых поверхностей всех цилинд-
цилиндров равна:
или
или

Что касается площадей колец, то их сумма равна пло-
площади основания нижнего (самого большого) цилиндра, т. е.
г. г A — —) . Для боковой поверхности ступенчатого тела
получаем формулу:
Р„ = г.ГП 1 -Г
или, после упрощений:
Замечая, что при неограниченном увеличении числа п
ступенчатое тело будет приближаться к конусу, как к пре-
пределу, находим для боковой поверхности Р конуса формулу,
указанную в заголовке:
Р=пред. Р„=пред. -/
P=r.r(h+r).
Но эта формула существенно отличается от той, которая
выводится в любом курсе геометрии (P=r:rl, где / образую-
образующая конуса), так как сумма отрезков h и г, являющихся ка-
катетами прямоугольного треугольника, всегда больше его ги-
гипотенузы /.
53. В данной точке на прямой можно восставить
два перпендикуляра к этой прямой.
На прямой MN точка А является данной. Восставим
из точки А перпендикуляр АК к этой прямой.
Начертим окружность про-
произвольного радиуса, проходя-
проходящую через точку А. Обозначив
буквой В вторую точку пере-
пересечения окружности с прямой
MN, проведем диаметр ВС.
Наконец, соединим точки А и С.
АС перпендикулярно к MN:
_____ угол ВАС, как вписанный,
М tf^V /A N опирающийся на диаметр, ра-
^- -^ вен 90°.
Таким образом, в точке А к
Черт. 24. прямой MN восставлены два
перпендикуляра: АК и АС.
118

54. Через одну точку можно провести две прямые,
параллельные данной прямой.
произвольно взятая
Пусть MN — данная прямая, а К
точка, не лежащая на этой прямой.
Проведем через точ-
точку К прямую PQ,
параллельную прямой
MN. Соединив точку К
с произвольно взятой
на прямой MN точкой L,
описываем на отрезке
KL, как на диаметре,
полуокружность. Нако-
Наконец, в точке L восста-
восставляем перпендикуляр,
пересекающий дугу по-
полуокружности в неко-
некоторой точке Е.
Прямая КЕ параллельна MN. В самом деле, угол KEL,
как вписанный, опирающийся на диаметр, равен 90°.
Таким образом, к прямой MN проведены через точку К
две параллельные прямые: PQ и КЕ.
55. Окружность имеет два центра.
Построим произвольный угол ABC и, взяв на его сторонах
две произвольные точки D и Е, восставим из этих точек пер-
м
Черт. 25.
Черт. 26а.
Черт. 26G.
пендикуляры к сторонам угла (черт. 26а и 266). Перпенди-
Перпендикуляры эти должны пересечься (если бы они были
119

параллельны, параллельны были бы и стороны АВ и СВ).
Обозначим их точку пересечения буквой F.
Через три точки D, E, F проводим окружность, что всегда
возможно, так как эти три точки не лежат на одной прямой.
Если при этом точка В окажется вне окружности (черт. 26а),
то после соединения точек пересечения // и G с точкой F
мы получим два вписанных в окружность прямых угла GDF
и HEF. Отсюда заключаем, что каждая из дуг GHEF и HGDF
равна полуокружности (вписанный угол измеряется поло-
половиной дуги, на которую он опирается!), а потому отрезки
GF и HF — диаметры нашей окружности. Счедователыю,
точки О и Ох, делящие отрезки GF и HF пополам, представ-
представляют собой не что иное, как два центра этой окружности.
Предположение, что точка В окажется внутри окружности,
проведенной через точки D, E, F (черт. 266), приводит к тому
же заключению.
56. Из точки на прямую можно опустить два
перпендикуляра.
Возьмем какой-нибудь треугольник ABC и на сторонах
его АВ и ВС, как на диаметрах, опишем окружности I и II
Черт. 27.
(черт. 27). Точки D и Е пересечения этих окружностей со сто-
стороной АС соединим с точкой В. Угол BE А, будучи вписан-
вписанным в окружность / и опирающийся на диаметр, есть пря-
прямой, а потому BE S, АС. Угол BDC, как вписанный в окруж-
120

иость // и опирающийся на ее диаметр, тоже прямой и сле-
следовательно BD lAC. Таким образом, из точки В опущены
на прямую АС два перпендикуляра BE и BD.
57. Через две данные точки можно провести
две прямые.
Возьмем произвольный треугольник ABC (черт. 28) и
на каждой из его сторон АВ и АС, как на диаметрах, по-
построим по окружности. Пере-
Пересекаясь в точке Л, эти две ок-
окружности пересекутся еще в
одной точке; обозначим ее бу-
буквой D. Угол ADB, как
вписанный в окружность и
опирающийся на ее диаметр
АВ, есть прямой. По той
же причине угол ADC, опи-
опирающийся на диаметр АС,
тоже прямой. Углы ADB и
ADC, имеющие общую вер-
вершину D, общую сторону AD
и составляющие в сумме 2d,
имеют две другие стороны
BD и DC на одной прямой.
Следовательно, линия BDC Черт. 28.
не ломаная, как показано на
чертеже, а прямая. Итак, на чертеже получаются две пря-
прямые, соединяющие точки В и С: прямая BDC и прямая ВЕС.
58. Любой треугольник — равнобедренный.
Возьмем произвольный треугольник ABC и предположим,
что АСуВС. Проведем биссектрису СС\ угла АСВ и ось
симметрии DDi стороны АВ (осью симметрии отрезка назы-
называют прямую, делящую отрезок пополам и перпендикуляр-
перпендикулярную к нему). Эти две линии СС\ и DDi не могут ни совпадать
друг с другом, ни быть параллельными, так как в обоих
этих случаях биссектриса служила бы одновременно и вы-
высотой, что возможно лишь в равнобедренном треугольнике,
т. е. при АС—ВС. Следовательно, прямые CCi и DDi обязатель-
обязательно пересекаются в некоторой точке Е. Относительно этой
g Заказ .N4 22в
121

точки Е возможны три предположения: либо точка Е нахо-
находится внутри треугольника ABC, либо вне его, либо па сто-
стороне АВ.
Чертеж 29а соответствует первому предположению Про-
Проводим отрезки АЕ и BE, а также EF ^АС и EG ..ВС. Пря-
Прямоугольные треугольники CEF и CEG равны по гипотенузе
СЕ и катетам EF—EG (точка Е, находясь на биссектрисе
угла С, одинаково удалена от его сторон), а потому CF—CG.
Прямоугольные треугольники ADE и BDE тоже равны — по
общему катету DE и равным катетам AD — BD, а потому
АЕ=ВЕ. Наконец, прямоугольные треугольники AEF и
BEG равны в силу равенства гипотенуз АЕ и BE и кате-
катетов EF и EG; следовательно, AI:=BG. Почленное сложение
равенства CF—CO и AF—BG приводит к равенству АС—ВС,
противоречащему условию АС^>ВС. Получается, что вся-
всякий неравнобедренный треугольник есть в то же время равно-
равнобедренный!
• Г
Черт 29д
К тому же заключению мы придем, сделав предположе-
предположение, что точка Е не внутри, а вне треугольника ЛВС (черт 296).
Рассмотрение треугольников EFC и EGC, EAD и EBD,
EAF и EBG позволяет установить, что CF—CG, AF=BG,
а почленное вычитание последних равенств приводит к вы-
выводу, что АС=ВС.
Ничего не меняет и предположение, что точка Е оказы-
оказывается на стороне АВ, т. е. совпадает с точкой D (черт. 29в).
Равенство треугольников ADF и BDG, CDF и CDG влечет
за собой равенства AF—BG, FC—GC, откуда опять АС—ВС.
122

Итак, при каждом из трех сделанных предположений
получается один и тот же нелепый вывод. В чем же ошибка?
59. Катет прямоугольного треугольника равен
его гипотенузе.
В прямоугольном треугольнике ABC (черт. 30) ВО — бис-
биссектриса угла В, D — середина катета AC, DO l AC, OE LAB,
OF^BC.
Легко видеть, что прямоугольные треугольники ВОЕ
и BOF равны, как имеющие общую гипотенузу ВО и равные
катеты ОЕ и OF, В равных же треуголь-
треугольниках против равных углов лежат рав-
равные стороны:
BE=BF. A)
Рассмотрим теперь другую пару пря-
прямоугольных треугольников: ОЕА и OCF.
Они также равны по гипотенузе и кате- F
ту: ОА = ОС (каждая точка перпендику-
перпендикуляра, проходящего через середину отрез- с
ка, равноудалена от его концов) и ОЕ=
OF. Из равенства же этих треугольни-
треугольников следует:
AE=FC.
Черт 30
B)
Складывая почленно A) и B), имеем:
АВ=-ВС.
60. Прямой угол равен тупому
(планиметрический вариант).
Пусть в четырехугольнике ABCD (черт. 31)
^cCyd и BC-^DA.
Из середин сторон АВ и CD восставим перпендикуляры,
которые пересекутся в точке О; соединим точку О со всеми
вершинами четырехугольника.
Из попарно равных прямоугольных треугольников АКО
и ВКО, DLO и CLO устанавливаем:
АО=ОВ, OC=OD,
(О
125

Так как DA = BC, ОА^ОВ, OD=OC, то Д
Из равенства же этих треугольников следует
B)
Вычитая почленно из ра-
равенства B) равенство A),
имеем:
т. е. прямой угол равен
тупому.
61. 64 кв. сж=65 кв. см.
Возьмем квадрат со сто-
стороной в 8 см и разрежем его
на четыре части: две трапе-
трапеции и два прямоугольных
треугольника, как показано
на чертеже 32а. Укладывая
эти четыре части в другом порядке, а именно так, как пока-
показано па чертеже 326, мы получим прямоугольник с осно-
основанием 5 см-\-8 см—\Ъ см и высотой 5 см. Площадь этого
"¦к
I
Черт. 32й.
D
Черт. 326.
прямоугольника равна 13 СЛ1Х5 см =65 кв. см, в то время
как площадь первоначально взятого квадрата равнялась
8 см X 8 си=64 кв. см.
Каким же образом могло получиться, что простое пе-
перекладывание частей фигуры привело к увеличению их об-
общей площади? Площадь первоначально взятого квадрата
124

равна 64 кв. см — в этом не может быть никакого сомнения.
Площадь каждой получившейся после разрезания трапеции
равна-тт-ХE см+3 см)х5 еж=20 кв. см, площадь каждого
прямоугольного треугольника равпа-^-ХЗ сиХ8 си=12 кв. см.
Следовательно, общая площадь всех четырех частей рав-
равна B0 кв. ел+12 кв. си) х2=64 кв. см, как и должно быть.
Из этих четырех частей общей площадью в 64 кв. см никоим
образом нельзя построить фигуру площадью в 65 кв. см.
Между тем у нас получился прямоугольник со сторонами
5 см и 13 см, площадь которого равна 65 кв. см. Естественно
возникает вопрос: действительно ли является прямоуголь-
прямоугольником фигура, получившаяся у нас после перекладывания?
62. Задача о заплате.
Мастеру поручили поставить заплату на шубу из доро-
дорогого меха, чтобы уничтожить дыру, имеющую форму разно-
разностороннего треугольника. Мастер взял шкурку, полученную
им для заплаты, положил ее на стол мехом вниз, а сверху
положил шубу мехом вверх. Очертив фигуру дыры, он вы-
вырезал заплату и, приступив к вшиванию, спохватился, что
вырезал заплату не той стороной, какой надо было. Считая
дело непоправимым, он готов был выбросить приготовленную
заплату и искать материал для новой. Прав ли он, или есть
возможность исправить допущенную ошибку?
М. АНАЛИЗ ПРИМЕРОВ.
43. В рассуждении допущена ошибка: почленное деление
равенства B) на разность AE-DE — BE-СЕ недопустимо,
так как эта разность в силу равенств A) равна нулю; нулю же
равны и обе части равенства B).
44. В анализируемом рассуждении, содержащем значи-
значительное число вполне правильных соображений, допущена
ошибка при переходе от правильного равенства D) к непра-
неправильному равенству E). В самом деле, разность AEFI1 —
— AC-HD, на которую мы разделили обе части равенства
D), равна нулю. Это ясно из пропорции АЕ : AC^DH : FH,
имеющей место для сторон подобных треугольников АСЕ
и HFD.
125

45. Ошибка допущена при переходе от правильного ра-
равенства E) к неправильному равенству F). В самом деле, раз-
разность
S'ah1a"h—S"a'h\bh2,
на которую мы разделили обе части равенства E), равна
нулю. Это ясно из анализа уменьшаемого и вычитаемого,
каждое из которых равно произведению 4SS'S", так как
\ah^S, ~a"h'\=S", ±a'h\ = S', ±bh*=S.
Выявление типичной ошибки (распространение на слу-
случай исключения) в этом несколько громоздком в отношении
записи софизме требует проявления известной самостоятель-
самостоятельности мысли ученика.
46. Нелепость вывода очевидна, но самый внимательный
просмотр всего рассуждения нигде ошибки не обнаруживает.
Приходится заподозрить правильность указания на свой-
свойство ряда равных отношений. Вспомним, как это свойство
доказывается.
Пусть ах : b\=ai. : b%=q. Здесь Ьъ Ъг, q совершенно про-
произвольные числа, причем 6it=0, 6г=^0. Числа а\ и аг опре-
определяются равенствами a1=b1-q, az=bi-q. Сложив эти два
равенства почленно, получим новое равенство:
(bi-\-bi) • q.
Если 6i+62=jt0, это последнее равенство можно преобра-
преобразовать к виду (ai+az) : {bi-\-b?)=q, и мы приходим к свой-
свойству ряда равных отношений:
Как видим, свойство это доказано при двух существенных
оговорках: ни одно из чисел Ьг и Ь2 не равно нулю, и, кроме
того, сумма Ь\-\-Ьъ также не равна нулю. Если сумма Ь\-\-Ьч.
равна нулю, то, в силу равенства а1+а2=F1+б2) -q и сумма
а\-\-аг равна нулю, и последнее отношение имеет вид 0 : 0.
Число же 0 : 0 выражает, как известно, какое угодно число.
Итак, применяя свойство ряда равных отношений, мы
всегда должны убедиться, что сумма последующих членов
не равна нулю. Если же она равна нулю, применять свой-
свойство ряда равных отношений нельзя.
Не получилась ли нелепость в приведенном выше рас-
рассуждении о сторонах трапеции в силу того, что применение
свойства ряда равных отношений было здесь незаконным?
Не равна ли нулю та сумма последующих членов г и —х,
126

которую мы там имели, т. е. не равны ли два отрезка г и х>
Чертеж как будто подтверждает это подозрение. Следующий
простой расчет показывает, что это действительно так.
Две пропорции, полученные выше из подобия треуголь-
треугольников, после освобождения от знаменателей получают такой
вид:
Ьх — az=—by,
ах — bz=by.
Решая эти два уравнения относительно х и г, получаем,
предполагая афЬ:
х—-Ьу : (а— b), z—by:(a—b).
Значит, отрезки х и z действительно равны.
Случай а~b надо рассмотреть особо. В этом случае про-
пропорции дают .v-f-y—2 и x=y-\-z, откуда х—у-\-х-\-у, 2у—0,у=0
и х~ z. Итак, и в этом случае отрезки х и z равны.
Причина получения нелепого вывода вполне вы-
выяснена: получив пропорцию а : Ь~(х-\-у) : z и отношение
(х — z) : (z—¦ х), мы отнюдь не можем считать, что последнее
отношение равно —1, так как оно в силу равенства x~z
равно не —1, а чему угодно.
47. Ошибка допущена при переходе от равенства A)
к неравенству B). Дело в том, что оба члена первого отноше-
отношения равенства A) отрицательны, а потому нужна особая
осторожность при сравнении их величины: имея пропорцию
(—1) : (—2) = 1 : 2, мы не можем утверждать, что —1<—2.
48. I. Ответ 2 смХЗ смХ 10 000 = 60 000 кв.см = б кв. м
неверен, так как площади подобных фигур (прямоугольник
A BCD на плане и прямоугольник AiB\C\Di в натуре по-
подобны) не пропорциональны сторонам, а пропорциональны
квадратам сторон. Стороны прямоугольника J4iB1C1Di боль-
больше соответствующих сторон прямоугольника ABCD в 10 000
раз, площадь же больше не в 10 000 раз, а в 10 0003 раз,
а потому площадь
Л1В1С1О1=6Х 100 000 000=600 000 000 (кв. см), т. е. 6 га.
11. Это утверждение было бы правильным, если бы объем
V цилиндра был пропорционален и высоте h, и поперечнику
основания d. Но формула F=0,25 izd2h показывает, что
объем цилиндра пропорционален не поперечнику основания,
а его квадрату. Отсюда заключаем, что вторая банка имеет
объем вдвое больший, чем первая, а третья — вдвое мень-
меньший, чем первая. Это подтверждают и формулы;
для первой банки Vi=0,2o'Kd2h,
127

для второй банки V2=0,25(
для третьей банки V'3-=0,25--@.5dJ-2/г-=0,125-сг2/г=0,51/х.
III. Модель сооружения и само сооружение являются
телами, геометрически подобными, а объемы подобных тел,
как известно из геометрии, пропорциональны кубам их ли-
линейных размеров, веса же пропорциональны объемам (если
тела сделаны из одинакового материала). Поэтому увели-
увеличение размеров модели до размеров самого сооружения,
а именно увеличение в 20 раз, вызовет увеличение объема
и веса в 20 "—8000 раз, и само сооружение будет весить
3 кгX8000-24 000 кг=24 т.
IV. Простое рассмотрение нескольких фигур, хотя бы
простейшей прямоугольной формы, сразу показывает, что
между площадями и периметрами определенной зависимости
нет. Так, прямоугольник со сторонами 10 м и 15 м имеет
периметр 50 м, площадь 150 кв. м, а прямоугольник со сто-
сторонами 5 м и 20 м, имея такой же периметр, имеет площадь
значительно меньшую (только 100 кв. м), прямоугольник же
со сторонами 12 м и 13 м имеет периметр 50 м, а площадь
уже 156 кв. м. Судить о площадях двух фигур по их перимет-
периметрам можно лишь в том случае, если фигуры эти геометрически
подобны. Тогда площади их пропорциональны квадратам
их периметров. Два геометрически подобных участка, имея
периметры в 60 м и 50 м, имеют площади, отношение которых
602 : 502—1,44, а потому площадь первого участка больше
площади второго на 44% площади последнего. Если же
участки с периметрами 60 м и 50 м не подобны, то об их пло-
площадях ничего сказать нельзя.
49. Мы предположили, что большее колесо катится по
прямой DE без скольжения. Это означает, что при каждом
полном обороте колеса центр его проходит путь, равный
длине его окружности. Конечно, мы в праве считать, что
меньшее колесо, насаженное на общую ось с большим и на-
наглухо с ним скрепленное, катится по прямой FG. Но будет
ли это меньшее колесо катиться тоже без скольжения? Ко-
Конечно, нет, так как при одном полном его обороте его центр
проходит путь CCi, не равный длине его окружности 2-г,
а больший этой длины (CCi=2-R,Ryr, 2-R>2тгг). Следо-
Следовательно, меньшее колесо не только катится по прямой FG,
но и скользит по ней.
Что же касается математической сущности этого рассужде-
рассуждения, то она состоит в возможности установления взаимно одно-
однозначного соответствия между множеством точек любых двух
концентрических окружностей, наглядно осуществляемою
128

проведением радиусов из их общего центра. Разумеется,
что установлением подобного соответствия утверждается не
равенство длин, а только равномощность двух точечных
множеств. Таким образом, мы здесь сталкиваемся с характе-
рическим свойством бесконечных множеств, позволяющим
отобразить целое на его правильной части.
Анализируемое рассуждение — знаменитое так называе-
называемое «аристотелево колесо». Эта проблема, которую Аристо-
Аристотель причислял к наиболее изумительным в области меха-
механики, изложена им в качестве 25-й главы «Проблем механики».
Разъяснение этого рассуждения Аристотелем не было
достаточно четким. Не удовлетворяясь им, Галилей A564—
1642) в «Беседах по механике» предложил свое приближенное
решение проблемы, основанное на сравнении катящегося
круга с последовательно прилегающим к прямой правильным
многоугольником с большим числом сторон*. Наконец, вскры-
вскрытие математической сущности «аристотелева колеса» достигает-
достигается использованием канторовского (Г. Кантор, 1845—1918)
определения эквивалентных множеств.
50. Найти ошибку, которая привела нас к этому нелепому
выводу, совсем легко, если вспомнить точное определение
предела: число а является пределом переменной величины
х, если абсолютная величина разности х — а в процессе из-
изменения переменной величины х стремится к нулю, т. е. с
некоторого момента становится и в дальнейшем остается
меньше любого наперед заданного числа. В нашем рассужде-
рассуждении мы имеем дело с переменной величиной Sn, выражающей
сумму всех звеньев ломаной ВС и принимающей значения
Sa, Sit Se, Sie и т. д. Все эти значения равны между собой,
так как всегда Sn=AB-\-AC. Следовательно, величина Sn
является лишь кажущейся переменной, по существу же
эта величина постоянная. Но это ничуть не мешает
поставить вопрос о пределе Sn при п-*-оо. Ясно, что пределом
для Sn не может быть никакое другое число, кроме того,
которое выражает сумму длин обоих катетов АВ-\-АС: если
а отлично от АВ-\-АС, то абсолютное значение разности
Sn—а—АВ+АС — а, будучи постоянной и неравной нулю
величиной, отнюдь не стремится к нулю. Следовательно,
написанное выше равенство A) неправильно и должно быть
заменено другим, а именно пред. Sn—AB-\-AC, т. е. равен-
равенством B). Нелепый вывод, как видим, отпадает.
* Галилео Галилей, Сочинения том I, пер. С Н Долгова,
М , 1934, стр 78—85
129

Настоящий софизм очень поучителен. Он показывает,
как внимательно и критически надо относиться к тому,
что нам дает наглядное представление. Ступенчатая лома-
ломаная, из п одинаковых ступенек, которую мы видим на черте-
чертеже 21, при неограниченном увеличении числа п все менее
и менее отличается от гипотенузы ВС. При достаточно боль-
больших значениях п наш глаз не в состоянии будет отличить
эту ломаную от прямой: представьте себе, например, что
мы взяли п равным 1 000 000! Эта ломаная линия связана
с целым рядом переменных величин: можно говорить о длине
ломаной, о площади фигуры, ограниченной катетами АВ
и АС и этой ломаной, о сумме площадей всех треугольников,
расположенных между гипотенузой ВС и ломаной, о сумме
периметров всех этих треугольников, о сумме их внутренних
углов и т. д. К какому пределу стремится каждая из этих
переменных величин и стремится ли она вообще к какому-
нибудь пределу — эти вопросы надо решать, основываясь
не на зрительном образе, а на точном определении понятия
предела. Зрительный образ помогает, да и то не всегда, сде-
сделать правильную догадку, вопрос же решает рассуждение.
Любопытно отметить, что при решении вопроса о пределе
площади Qn фигуры, ограниченной катетами АВ и АС и
ступенчатой ломаной, наглядное представление приводит
к совершенно правильному заключению о том, что этим пре-
пределом является площадь треугольника ABC. Действительно,
полагая AB=b, AC~h, находим, что площадь каждого
треугольника, образованного двумя соседними звеньями ло-
\ Ь h bh
манои и гипотенузой, равна у • — • —= n-j, а сумма площа-
bh bh „
деи всех таких треугольников равна ^ • «=^- Для площа-
площади всей фигуры получаем формулу Qn=^-^bh 4- гг = -x-bh A -\—)
и убеждаемся, что предел Qn есть -^bh, так как предел — ра-
равен 0, При n-t-схз.
51. Равенство B) правильно, равенство A) ошибочно.
Здесь допущена та же ошибка, что и в п. 50.
52. Конечно, верна формула P=~rl, а не полученная
нами формула P=vr (h+r). При выводе последней мы при-
приняли без доказательства, что пред. Рп=Р, а это неверно.
Замечая, что ъг (h+r)=~r2-\-2~.{~-r\.h, убеждаемся, что пре-
пределом для Рп служит не боковая поверхность конуса, а сумма
130

площади основания конуса и боковой поверхности цилиндра
1 „ ,
с радиусом основания -^-г и высотой п.
53. Чертеж, изображающий прямые АК и АС раздельно,
ошибочен: эти прямые совпадают. В противном случае сумма
углов, лежащих по одну сторону от прямой линии, превос-
превосходила бы 180°. В самом деле, ^DAK+^KAC+^CAN^
= 1803 h^/C4C>180°. Этим самым методом приведения к про-
противоречию устанавливается равенство угла К АС нулю, т. е.
совпадение прямых АК и АС.
Итак, этот софизм основан на ошибке построения: совпа-
совпадающие точки Z и С рассматриваются как различные.
54. Этот софизм построен на ошибке чертежа: совпадаю-
совпадающие точки Е и F рассматриваются как различные.
Прямая LE должна удовлетворять двум требованиям:
1) она перпендикулярна PQ (так как по построению перпен-
перпендикулярна MN, a MN || PQ), т. е. образует с этой линией
прямой угол, стороны которого проходят через концы диа-
диаметра KL; 2) является стороной вписанного угла, опираю-
опирающегося на диаметр KL-
Из сказанного делаем вывод, что вершина вписанного
угла должна находиться и на прямой PQ, и па полуокруж-
полуокружности, т. е. в точке их пересечения F.
55. Два сделанных предположения о положении точки
В относительно окружности не исчерпывают всех возмож-
возможностей: эта точка В может находиться не вне и не внутри,
а на окружности.
Тогда две точки G и Н пересечения окружности со сторо-
сторонами угла сливаются в одну, совпадающую с Б, и вместо
двух диаметров GF и HF мы получим один, а именно BF.
Противоречие, к какому приводят предположения о том,
что точка В находится вне или внутри окружности, доказы-
доказывает, что единственно правильным является третье предпо-
предположение, при котором неправильный вывод отпадает.
56. В получившемся противоречии опять виноват чертеж.
Обозначив вторую точку пересечения окружностей I и II
буквой F и соединив F с точками А, В и С, легко убеждаемся,
что ^AFB — ^CFB = d, а потому отрезки AF и CF лежат
на одной прямой АС. Следовательно, эта прямая АС пере-
пересекается окружностями / и // не в двух различных точках
D и Е, а в одной точке F, и существует один только перпен-
перпендикуляр BF, опущенный из точки В на прямую АС.
57. Конечно, приведенное рассуждение показывает лишь
то, что точка D лежит на прямой ВС, совпадая с точкой Е:
131

окружности, построенные на сторонах АВ и АС треуголь-
треугольника ABC, как на диаметрах, пересекаются в точке Е, кото-
которая является основанием перпендикуляра, опущенного из
вершины А на сторону ВС.
58. Аккуратное выполнение чертежа сразу укажет, в чем
причина противоречия, но установить ее можно и без нового
чертежа следующим рассуждением.
Опишем около ААВС окружность. Ось симметрии DDlt
будучи перпендикуляром к хорде АВ, проведенным через
середину этой хорды, пройдет через середину дуги АВ, кото-
которая стягивается этой хордой. Но биссектриса угла АС В
тоже должна пройти через середину этой дуги: иначе вписан-
вписанные углы АСС\ и ВСС\, измеряемые половинами соответ-
соответствующих дуг, не были бы равны друг другу. Огедовательно,
эта середина дуги АВ, являясь общей точкой биссектрисы
и медианы, есть не что иное, как их точка пересечения Е.
Итак, точка Е находится непрелтенно вне треугольника —
предположения первое и третье отпадают, остается предпо-
предположение второе, которому соответствует чертеж 296.
Четырехугольник АЕВС оказывается таким образом впи-
вписанным в окружность. Но у всякого вписанного в окруж-
окружность четырехугольника сумма каждых двух противолежащих
углов равна, как известно, Id, а потому об углах ЕАС и
ЕВС можно сделать два предположения: либо оба они пря-
прямые, либо один из них острый, другой тупой. Если имеет
место первое, то перпендикуляры EF и EG — опущенные
на стороны АС и ВС, совпадают со сторонами ЕА и ЕВ,
и прямоугольные треугольники АСЕ и ВСЕ равны, как
имеющие общую гипотенузу СЕ и равные катеты АЕ—ВЕ.
Следовательно, АС=ВС, что противоречит условию АС>ВС.
Таким образом, предположение, что ^EAC=^EBC^d от-
отпадает, и из этих двух углов один острый, другой тупой.
Отсюда заключаем, что расположение треугольников AEF
и BEG, показанное на чертеже 296, не соответствует дей-
действительности: обе точки F и G не могут быть вне треуголь-
треугольника ABC, так как тогда оба угла ЕАС и ЕВС были бы тупые.
Правильным будет лишь расположение, показанное на чер-
чертеже 33, где одна из точек F и G находится внутри треуголь-
треугольника ABC, другая же вне его. Но тогда из равенств CF=CG
и AF—BG отнюдь не вытекает, что АС=ВС, так как АС=
=AF+CF, a BC=CG — BG, и никакого противоречия с усло-
условием АС^>ВС не получается.
59. В «доказательстве» рассмотрены не все возможные
предположения. В самом деле, мы ограничились предполо-
132

Черт. 33.
жением, что биссектриса угла В и ось симметрии отрезка
СА (т. е. прямая, перпендикулярная к СА в середине D этого
отрезка) пересекаются внутри треугольника АБС. Между тем
необходимо было рассмотреть
и все другие возможные пред-
предположения: 1) точка пере-
пересечения лежит на отрезке
С А, 2) точка пересечения
находится вне треугольника
ABC.
На основе анализа всех
случаев следовало выяснить,
какие из них возможны.
Докажем, что единствен-
единственно возможным является слу-
случай третий: в любом прямо-
прямоугольном треугольнике ABC
биссектриса угла В пересе-
пересекается с осью симметрии ка-
катета СА вне этого треуголь-
треугольника.
Опишем около А Л ВС окружность (черт 34). Ее центр,
находящийся на середине отрезка А В, обозначим буквой
К- Легко видеть, что радиус КО, перпендикулярный к хорде
С А, разделит пополам и
эту хорду, и стягиваемую
ею дугу. Таким образом,
точка О есть середина ду-
дуги СА.
Проведем теперь бис-
биссектрису угла В. Так как
точка В лежит на окруж-
окружности, а биссектриса делит
угол В пополам, то и
биссектриса угла В прохо-
проходит через точку О.
Следовательно, пересе-
пересечение биссектрисы угла В
с осью симметрии катета
С А в любом прямоуголь-
прямоугольном треугольнике ABC
ц 34 происходит вне этого тре-
треугольника.
133

Сказанным устраняются возможности для абсурдного
вывода.
60. В «доказательстве» рассмотрены не все возможные
предположения. В самом деле, кроме рассмотренного, можно
указать следующие: 1) точка О находится внутри четырех-
четырехугольника ABCD; 2) точка О лежит на DC, т. е. является
серединой этого отрезка.
Однако и в этих случаях легко получить тот же самый
абсурдный вывод: прямой угол равен тупому.
Для выяснения не-
недоразумения надо заме-
заметить, что рассмотрен-
рассмотренный нами в тексте со-
софизма случай необходи-
необходимо в свою очередь под-
подразделить на два, а
именно: тупой угол BCD
и треугольник ВОС ле-
лежат 1) по одну сторону
от прямой ВС (черт. 31),
2) по разные стороны
от прямой ВС (черт. 35).
Допущение первого
предположения приво-
приводит к абсурдному вы-
выводу, в чем мы уже убе-
убедились.
Допущение второго
Черт. 35. предположения не при-
приводит к нелености: пря-
прямой угол ADC, как и раньше, представляется разностью
двух углов (^ADO и ^ODQ, а тупой угол BCD допол-
дополняет до 360° сумму двух таких же углов ( ^ВСО и
^OCD). Рассуждая методом приведения к противоречию,
устанавливаем, что только второе предположение случая
третьего является единственно возможным.
61. Трапеция ABCD с основаниями АВ—5 см и
CD=3 см и высотой AD—Ъ см имеет при вершинах
А и D прямые углы. Прикладывая к ней треугольник
CDE с прямым углом при вершине D и катетами
CD=3gm и DE—8cm, мы получим новую фигуру,
ограниченную снизу прямолинейным отрезком АЕ, так как
два прямых угла ADC и CDE дают в сумме развернутый
угол. Но будут ли лежать на одной прямой линии стороны
134

ВС и СЕ? Хотя на глаз кажется, что это так, но уже тщатель-
тщательно выполненный чертеж ясно показывает, что в действитель-
действительности линия ВСЕ — ломаная, а не прямая. Всякое сомнение
в этом вопросе устраняется, если мы заметим, что в случае
прямолинейности ВСЕ у нас получается пара подобных тре-
треугольников ЛВЕ и CDE, у которых отношение вертикальных
катетов ЛВ и DC, лежащих против общего утла Е, равно
5 : 3—1,666 . . . , а отношение горизонтальных катетов АЕ
и DE равно 13 : 8—1,625. Таким образом, фигура, получен-
полученная после перекладывания, не прямоугольник. Она превра-
превращается в прямоугольник лишь после добавления к ней длин-
длинного и узкого параллелограмма, хорошо видного на чертеже
36 и имеющего площадь как раз в 1 кв. см.
Черт. 3G.
Итак, в настоящем недоразумении виноват наш глаз,
не замечающий небольшой разницы в направлениях отрез-
отрезков ВС и СЕ\
Полученный нами вывод из рассмотрения частного слу-
случая F4=65) допускает обобщение.
Рассмотрим 3 чертежа, изображающие фигуры, состав-
составленные из одних и тех же кусков, а именно: двух равных
трапеций и двух равных треугольников (черт 37а, 376,
37в).
Обозначив площадь каждой фигуры буквой S с соответ-
соответствующим индексом, запишем следующие очевидные равен-
равенства:
Sl^(x-l-y)z=x2-ir2xyJrу2 (черт. 37а);
Su^-~MN-HK=±-2x-Bx+y)=2xt+xy (черт. 376);
Ss=Bx+y)-By — х)+2х2=4ху — 2х*+2у* — ху+2х*=
= 3ху+2у* (черт. 37в).
135

Установим условие, при котором будет справедливо равенство:
5г=52=5з. A)
Для этого найдем разности:
Sa— Si=*2 — xy — уг;
Ss— Si=y*+xy — xJ=— (xa — xy — г/3).
Итак, соотношение A) будет иметь место при выполнении
равенства х2— ху — у2=0 B). Решим это уравнение отно-
относительно х:
2
Произведя выбор знака, определим отношение х к у:
=1±?. C)
Соотношение C) указывает, что х и у — несоизмеримые
отрезки, т. е. их отношение не может быть выражено рацио-
рациональным числом. Отсюда приходим к мы-
мысли, что если взять числа х и у рациональ-
рациональными, в частности целыми положитель-
положительными, но такими, чтобы их отношение
I I I/*5~
подходило к величине дроби —~— с оп-
определенной степенью точности, то при пе-
перекладывании частей фигуры восприятие
различия в направлении отрезков, ис-
'/V
Черт. 37в.
пользуемых для составления прямой, останется вне поля
нашего зрения.
136

Прежде всего обратим внимание на свойство функции
F (х, у)=х2— ху — /Д выражающееся в том, что F (х, у)=
=— F (х+у, х). В самом деле, F (х+у, х)=(х+уJ-~ {х-\-у)х—
— х2=х2+2ху+у2— х2— ху — хг=— (л;2— ху — tf)^-
=— F (х, у).
Установленная закономерность позволяет указать такие
последовательные целочисленные значения аргумента, которые
не меняют абсолютной величины значения функции.
2
3
4
5
6
7
8
9
I
0
1
1
2
3
5
8
13
21
У1
1
0
1
1
2
3
5
8
13
1
— 1
1
j
1
1
j
¦4
У/
0
1
Л5
у as (,667
1,6
1,625
ш« 1.615
Предельная абсо-
абсолютная погрешность
0,619
0.382
0,119
0,019
0,019
0,007
0,003
Таблица содержит последовательные пары целых неотри-
неотрицательных значений х и у, для которых абсолютные величины
разностей 5г—Sj и Ss—Si равны единице.
Закон ее составления довольно простой:
у-^х—х,, xl^1=xi+yi, где i равно 1,2, 3, ...
Для достижения должной иллюзии при перекладывании
фигур следует брать значения таблицы, начиная с шестой
строки. Беря за х и у соответственно 5 и 3, получаем прибли-
приближение к иррациональной дроби 1 ZL , разнящееся в сотых
долях единицы, беря 21 и 13 — в тысячных и далее со все
возрастающей степенью точности.
62. Если взять неравносторонний треугольник ABC
(черт.38а) и перевернуть его другой стороной, то он после сов-
совмещения точки Л с С, а точки С с А займет положение тре-
треугольника ABiC, не совпадающего с треугольником ABC.
Но нельзя ли разрезать треугольник ЛВС на такие части, чтобы
137

каждая часть в отдельности переворачивание допускала?
Ясно, что всякий равнобедренный треугольник допускает
переворачивание, а потому перед нами задача: разрезать
данный неравносторонний треугольник так, чтобы каждая
часть представляла собой равнобедренный треугольник. Чер-
Чертеж 38 б показывает, как это сделать. Сначала проводим
BD LAC, затем из вершины D прямого угла каждого из по-
полученных прямоугольных треугольников проводим медианы
DE и DF (точка Е есть середина отрезка АВ, точка F — се-
середина отрезка ВС).
Л
Черт. 38а.
Черт. 38E"
Легко доказать, что медиана всякого прямоугольного
треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна
половине гипотенузы. Поэтому все четыре треугольника
ADE, BDE, BDF, CDF, полученные на чертеже 38 б, равно-
равнобедренные (AE=DE=BE, DF=CF=BF). Разрезав приго-
приготовленную заплату на четыре таких части, а затем перевернув
каждую из них в отдельности, мастер получит возможность
исправить свою ошибку (конечно, ему придется не только
вшивать всю заплату на место, но и предварительно сшить
между собой треугольники первый, второй, третий и четвер-
четвертый). Чтобы лучше уяснить себе все дело, рекомендуется вы-
вырезать чертеж 38 б из бумаги, одна сторона которой за-
закрашена.
Отметим, что равнобедренный треугольник — далеко не
единственная фигура, допускающая переворачивание. Пе-
Переворачивание допускает всякая фигура, имеющая хотя бы
одну ось симметрии. К таким фигурам принадлежит и всякий
прямоугольник B оси симметрии), и квадрат D оси симмет-
симметрии), и ромб B оси симметрии), и всякий правильный п-уголь-
ник {п осей симметрии), и окружность (осью симметрии слу-
13?

жит любой диаметр), и еще бесконечное множество более
сложных фигур.
Воспользовавшись сказанным в предыдущем абзаце, мож-
можно упростить решение задачи о заплате. В самом деле, четы-
четырехугольник BFDE, как имеющий ось симметрии EF, до-
допускает переворачивание. Следовательно, для исправления
ошибки мастера достаточно сделать не три, а два разреза,
выполняя их по направлениям DE и DF. Это, разумеется,
целесообразнее, так как придется сшивать не четыре, а три
куска.
III. РАССКАЗЫ-ОБЪЯСНЕНИЯ ПО ПОВОДУ ОШИБОЧНЫХ
РАССУЖДЕНИЙ.
63. Подобные треугольники с равными сторонами.
Возьмем два подобных разносторонних треугольника и
обозначим стороны первого в порядке возрастания буквами
а, Ь, с (а<Ь<.с), а сходственные стороны второго буквами
ai, b\, Ci. В силу пропорциональности сходственных сторон
подобных многоугольников имеем: ai=aq, b1=bq, Ci=cq,
где q коэффициент подобия, а потому ai<6i<Cx.
Если q— 1, то все стороны наших двух треугольников
соответственно равны, равны и треугольники. Равенство
треугольников является, таким образом, частным случаем
подобия.
Может показаться, что раз треугольники подобны, но
не равны, то равных сторон у них нет. Ошибочность такого
заключения показывает простое рассмотрение треугольни-
треугольников со сторонами 8, 12, 18 см и 12, 18, 27 см. Стороны второго
в 1у раза больше соответствующих сторон первого, а по-
потому эти треугольники подобны (но не равны). Как видим,
эти два треугольника имеют две пары соответственно равных
сторон.
Установим условия, которым должны удовлетворять два
подобных, но не равных треугольника, имеющие две пары
соответственно равных сторон.
Будем считать <?>1. Наименьшая сторона а первого
треугольника (со сторонами а, Ь, с) меньше наименьшей
стороны Й1 второго треугольника (со сторонами ai=aq,
b\=bq, Ci=cq) и не может равняться ни одной из сторон
последнего.
Средняя по величине сторона Ъ первого треугольника
может равняться только наименьшей стороне а.\ второго
139

треугольника (так как Ь меньше b\=bq и подавно меньше
Ci=cq), а наибольшая сторона с первого треугольника равна
либо наименьшей стороне ах, либо средней стороне Ъ\ вто-
второго треугольника. В случае, когда две стороны первого
треугольника равны двум сторонам второго треугольника,
должно быть b=ai, c—bi. Отсюда выводим, что b=aq, c=bq=
=aq-q=--aq%. Таким образом, стороны первого треугольника
образуют геометрическую прогрессию a, aq, aq2. Стороны
второго треугольника равны aq, aq2, aq3, и представляют
собой второй, третий и четвертый члены той же геометриче-
геометрической прогрессии.
Сторона а может быть какой угодно. Но число q не впол-
вполне произвольно. Оно должно удовлетворять неравенству
а<?2< a-\-aq, так как наибольшая сторона треугольника дол-
должна быть меньше суммы двух других сторон. Разделив обе час-
части этого неравенства на а, получаем неравенство q2—q—1<0,
которому должно удовлетворять число q (к этому же нера-
неравенству приводит и рассмотрение второго треугольника). Раз-
Разлагая квадратный трехчлен q"—q—1 на множители, переписы-
переписываем это неравенство в виде (q , а—)• \q ^~—]<0
или в виде (q—0,5—0,5j/ 5)-(q—0,5+0,5^5)<0 и замечаем,
что выражение во второй скобке при <?> 1 всегда положи-
положительно. Следовательно, выражение в первой скобке должно
быть отрицательным, а потому:
q < 0,5+0,5"|/5, <7< 0,5+0,5-2,236 .... <?<1,618...
Итак, два подобных неравных треугольника имеют две
пары соответственно равных сторон тогда и только тогда,
когда стороны первого треугольника равны a, aq, aq2, a
стороны второго aq, aq2, aq3, причем сторона а произ-
произвольна, а число q заключается между 1 и 0,5+0,5)/ 5^1,618.
Можно указать сколько угодно пар таких треугольников.
64. Трисекция угла.
Выполнить трисекцию угла — это значит разделить угол
на три равные части. Сделать это, конечно, совсем нетрудно.
Можно, например, измерить данный угол транспортиром,
разделить найденное число градусов на три, а затем отло-
отложить посредством того же транспортира угол, содержащий
полученное в частном число градусов. Но можно обойтись
|40

и без транспортира, применяя метод «последовательных
приближений»: построив произвольным радиусом дугу, для
которой данный угол является центральным, возьмем на
глаз хорду, соответствующую третьей части дуги, и отложим
эту хорду последовательно три раза по дуге, начиная от
одного из ее концов. Если после этого мы окажемся на дру-
другом конце дуги, задача решена. Если же, как это обыкновенно
я бывает, мы не дойдем до другого конца дуги, или перейдем
через него, то взятую нами на глаз хорду надо исправить,
увеличив или уменьшив ее на одну треть расстояния от по-
полученной точки до конца дуги, причем эту одну треть берем
опять-таки на глаз. Эту исправленную хорду снова откла-
откладываем на дуге и в случае надобности вновь исправляем
тем же способом. Каждая новая (исправленная) хорда будет
давать все более точное решение, и, наконец, повторив опе-
операцию несколько раз, мы получим хорду, которая уложится
на данной дуге практически ровно три раза, и трисекция
угла будет выполнена. Конечно, эти два способа позволяют
делить данный угол не только на три, но на любое число
равных частей.
Однако, когда математики говорят о проблеме трисек-
трисекции угла, они имеют в виду не эти весьма ценные в прак-
практическом отношении, но все же лишь приближенные спо-
способы, а точный способ, притом основанный на применении
исключительно циркуля и линейки. Необходимо еще отме-
отметить, что имеется в виду использование одного лишь ребра
линейки и что линейка должна служить только для прове-
проведения прямых (не допускается использование, например,
масштабных делений), а циркуль — только для вычерчи-
вычерчивания окружностей. Наконец, искомый способ должен да-
давать решение задачи посредством конечного числа операций
проведения прямых и окружностей. Последнее замечание
очень существенно. Так, установив (по формуле суммы гео-
геометрической бесконечно убывающей прогрессии), что
±_±4-±4-±4—Lj_
3 4"rI6"r64'r256"t''-"
можно предложить следующее решение задачи трисекции
угла, требующее применения только линейки и циркуля:
делим данный угол на 4 равные части, что, как известно,
выполнимо посредством циркуля и линейки, а затем к полу-
полученному углу прибавляем поправку, равную четверти его
самого, т. е. rg данного угла, потом вторую поправку, рав-
141

ную-т- первой, т. е. gr данного угла, и т. д. Точное решение
задачи этим способом требует бесконечно большого числа
операций (делений углов на 4 равные части), а потому не
является тем классическим решением, какое имеют в виду,
когда говорят о решении задачи трисекции угла и других
задач на построение.
Итак, у нас будет идти речь о точном решении задачи
трисекции угла посредством проведения конечного числа
прямых и окружностей.
Для некоторых углов эта задача решается весьма про-
просто. Так, для трисекции угла в 180° достаточно построить
угол в 60°, т. е. угол рав-
равностороннего треугольни-
треугольника, а для трисекции углов
в 90° и 45° — углы в 30°
и 15°, т. е. половину и
четверть угла равносто-
равностороннего треугольника. Од-
Однако доказано, что наря-
наряду с бесконечным мно-
множеством углов, допускаю-
___ щих трисекцию, сущест-
0 д вует бесконечное же мно-
множество углов, не допу-
допускающих трисекции (в
В
Черт 39
указанном выше смысле). Так, нельзя разделить на три
равные части (посредством проведения конечного числа пря-
прямых и окружностей) ни угол в 60°, ни угол в 30°, ни угол в
15°, ни угол в 40°, ни угол в 120°, ни бесконечное мно-
множество других углов *.
Теперь выясним, правилен ли следующий часто рекомен-
рекомендуемый способ деления произвольного угла ABC на три рав-
равные части. Из вершины В произвольным радиусом проводим
дугу окружности, которая пересечет стороны угла в точках
D и Е (черт. 39). Делим хорду DE на три равные части и
соединяем точки деления F и G с В. Углы DBF, FBG, GBE
окажутся, будто бы, равными, и трисекция произвольного
угла ABC, следовательно, будет выполнена так, как тре-
* См, например, книги. Адлер А, Теория геометрических по-
построений, Л, 1940, стр. 173—180; Александров И, Геометрические
задачи на построение и методы их решения, М, 1934, стр. И4—150;
Аргунов Б. и Балк М, Геометрические построения на плоскости,
М, 1957, стр. 214—218.
148

буется, т. е. посредством проведения конечного числа пря-
прямых и окружностей: деление отрезка DE на три равные части,
которое здесь требовалось, выполнимо, как известно, имен-
именно так.
Предлагающие такое решение полагают, что равенство
отрезков DF, FG, GE, на которые мы разделили хорду DE,
влечет за собой и равенство дуг DH, HI, IE, которые полу-
получатся, если продолжить BF и BG до пересечения с окруж-
окружностью. Так ли это? Если эти дуги равны, то равны и углы
DBH, HB1, IBE (пусть каждый из них равен а), равны и
стягивающие их хорды DH, HI, IE. Но отрезок HI больше
отрезка FG (это утверждение подсказывается чертежом, но
ниже мы его докажем), а отрезок DH равен отрезку DF,
так как углы DFH и DHF равны:
=x+ -1A80°—За) = 90° — ~ь,
= yA80° _ а) = 90°—4«.
Следовательно, при равенстве отрезков DH и HI отрезки
DF и FG вопреки условию неравны, и предположение о ра-
равенстве DH и HI надо отвергнуть.
Опустив перпендикуляр ВК из вершины В на хорду
DE, замечаем, что вся фигура симметрична относительно ВК'-
перегнув чертеж по ВК, мы приведем обе его половинки
к совпадению. Отсюда заключаем, что отрезок /// перпенди-
перпендикулярен к ВК, а в силу этого отрезок FG параллелен HI,
и треугольники BHI и BFG подобны, что дает: HI : FG=
=ВН : BF. Но BH>BF, а потому и HI>FG, как мы и
утверждали выше.
Итак, деление хорды на три равные части не дает деления
на равные части соответствующей дуги и не дает, следова-
следовательно, три секции соответствующего центрального угла: сред-
средний угол окажется непременно несколько больше каждого
крайнего. Правда, при небольшом угле ABC разница будет
невелика, и на практике этим способом иногда пользуются
для приближенного деления малого угла на три равные
части.
Приведем еще одно доказательство неправильности пред-
предположения, что из равенства отрезков DF, FG, GE вытекает
равенство дуг DH, HI, IE и углов DBH, HBI, IBE. Допустив,
что все это так, и положив а—23, мы легко получим формулы:
D/CBtftap, FK^BK-\g p; 'но DK^SFK, откуда tg 3?»
143

=3 tg |i. Но, применяя формулу тангенса суммы двух углов
легко найдем, что
Сопоставляя это безусловно правильное соотношение с
полученной выше формулой tg 3,3=3 tg p, мы придем к
равенству 9 tg8ji=tgsC или 8 tgs8=O, верному лишь при
tg В—0. Отсюда вытекает, что при равенстве отрезков DF,
FG, GE соответствующие центральные углы не могут быть
равными.
65. Еще о трисекции угла.
Вот способ деления произвольного угла на три равные
части (посредством «вставки»), указанный еще в древней
Греции (возможно Архимедом, жившим около 287—212 г.г.
до н. э.)*.
Черт. 40.
Может показаться, что этот способ дает то решение задачи
о трисекции произвольного угла, о котором говорилось
выше, как о невозможном для бесконечного множества углов.
Продолжим одну из сторон данного произвольного угла
^.АВС—% (черт. 40) за вершину В и начертим произвольным
радиусом г полуокружность с центром в В; пусть эта полу-
полуокружность пересекает вторую сторону угла в точке D. Затем
берем линейку и делаем на ее ребре две метки Е и F на рас-
расстоянии г друг от друга. Укладываем линейку так, чтобы
ее ребро проходило через точку D и чтобы метка Е оказалась
на продолжении В А. Метка F окажется при этом либо вне
* Ц е й т е п Г., История математики в древности и в средние века,
М., 1932, стр. 64—67.
144

полуокружности, либо внутри ее, либо на ней. В первых
двух случаях будем переметать линейку, соблюдая оба ука-
указанных условия (линейка должна проходить через точку
D, а метка Е должна лежать на продолжении ВА), и добьем-
добьемся того, чтобы метка F оказалась на полуокружности. Как
говорят, выполнена «вставка» отрезка EF=r между прямой
ВА и окружностью, причем эта «вставка» делается на луче,
исходящем из точки D.
Теперь мы получили равнобедренный треугольник BFE
{EF=BF=r). Обозначив каждый из двух равных углов
при его основании через 3, имеем, что ^ BFD=2$. Но тре-
треугольник BDF тоже равнобедренный, а потому ^ BDE—
= ^ BFD — 2fi. Остается рассмотреть треугольник BDE, для
которого угол ABC—а, как внешний, равен сумме ^_ BED—$
и ^ BDE^=2'i. Итак, а—33, и ^ BED = fi есть, следователь-
следовательно, ровно треть данного произвольного угла а.
Черт. 41.
Мы решили задачу трисекции произвольного угла посред-
посредством циркуля и линейки, и с первого взгляда представляется,
что это решение опровергает то, что сказано в п. 64 о невоз-
невозможности трисекции очень многих углов. Но более внима-
внимательное рассмотрение показывает, что никакого противоре-
противоречия здесь нет. Доказано, что не всякий угол можно разде-
разделить на три равные части посредством проведения конечного
числа прямых и окружностей. Но при решении по способу
«вставки» линейка была использована не только для прове-
проведения прямых линий, а и для выполнения более сложной
операции — самой «вставки» радиуса между продолжением
ВА и полуокружностью: линейка была использована не так,
как предусмотрено теорией. В сущности говоря, мы исполь-
использовали линейку для вычерчивания особой кривой, так назы-
11 Закш № Ж \А$

ваемой конхоиды: вращая линейку около точки D
и одновременно перемещая ее так, чтобы точка Е все время
была на прямой ВА, мы заставляем вторую метку (точку F)
двигаться по плоскости, вычерчивая кривую, показанную
на чертеже 41. Эта кривая и называется конхоидой. В нашем
решении была использована точка F, пересечения конхоиды
с полуокружностью.
Итак, решение задачи трисекции угла по способу «встав-
«вставки» основано на построении, кроме прямых и окружности,
еще и конхоиды, и ни в какой мере не опровергает доказы-
доказываемую в теории геометрических построений теорему о не-
невозможности трисекции произвольного угла посредством ко-
конечного числа прямых и окружностей.
66. Квадратура круга.
Знаменитая задача о квадратуре круга была поставлена
еще задолго до начала нашего летоисчисления, окончатель-
окончательно же ее решили лишь в 1882 г.*. Состоит эта задача в том,'
что требуется построить квадрат, равновеликий данному
кругу, т. е. имеющий одинаковую с ним площадь. Обозначив
радиус данного круга буквой г, а сторону искомого квадрата
буквой х, имеем уравнение т:г2=л:2, из которого находим
х=гУ~т;. Так как число it, выражающее отношение длины
окружности к диаметру, известно с очень большой точно-
точностью, а извлечь квадратный корень из любого числа можно
с произвольно высокой точностью, то для х легко получаем
следующее выражение:
л^г/3,14159265^/-• 1,77245385,
где значения к и |ЛГ взяты с восемью десятичными знака-
знаками. Однако, говоря о решении задачи о квадратуре кру-
круга, имеют в виду не это вычисление, а построение стороны
искомого квадрата по данному радиусу круга, притом по-
построение, выполняемое посредством проведения конечного
числа прямых и окружностей, т. е. при употреблении только
линейки и циркуля, и дающее сторону искомого квадрата
•точно, а не приближенно. Доказано, что в такой постановке
* См историю Вопроса в книге Рудио Ф. «О квадратуре круга»,
1еревод с немецкого под редакцией академика Бернштейна С. Н,
М, 1936.
не

задача эта неразрешима. Однако попытки решения этой за-
задачи людьми, мало знающими математику, продолжаются
и до сегодняшнего дня.
Рассмотрим следующий давно известный способ построе-
построения квадрата, равновеликого данному кругу. Возьмем пря-
прямой круглый цилиндр, основанием которого служит данный
круг радиуса г, высоту же цилиндра сделаем равной -^-г.
Если катить этот цилиндр без скольжения по плоскости,
на которую он кладется так, чтобы его ось была параллельна
плоскости, то при одном обороте он покроет на плоскости
прямоугольник, равный его развернутой боковой поверх-
поверхности, а именно прямоугольник со сторонами Чъг и -^ т. Но
площадь этого прямоугольника равна 2w • -^r—ъг*, т. е.
равна площади данного круга. Теперь остается лишь пре-
превратить полученный прямоугольник в равновеликий квадрат,
а для этого, как известно, достаточно построить отрезок,
являющийся средним пропорциональным между двумя смеж-
смежными сторонами прямоугольника.
Было бы большой ошибкой думать, что это решение опро-
опровергает сказанное выше о невозможности решения задачи
о квадратуре круга. Ведь здесь, кроме циркуля и линейки,
которые были нужны для деления радиуса г пополам и для
построения среднего пропорционального между 2тсг и -к- г,
мы пользовались еще одним инструментом, а именно тем
цилиндром, который катили по плоскости.
67. Об одном доказательстве теоремы о сумме
внутренних углов треугольника.
Возьмем произвольный треугольник ABC и совершим
обход по его периметру из вершины А через вершины б и С
снова в А. Представим себе, что, совершая этот обход, я
держу перед собой руку, вытянув ее по направлению своего
движения. Двигаясь от Л до В, я сохраняю направление
руки неизменным. Достигнув вершины В, я вращаю руку
против часовой стрелки на угол ВХВС (черт. 42). Далее,
при движении от В до С направление руки снова остается
неизменным. В точке С рука делает новый поворот — на
угол CiCA. Затем при движении от С до Л направление руки
Н* 14Г

не меняется и, наконец, в А рука делает последний поворот —
на угол АхАВ. Обход закончен, я вернулся в исходную точку,
рука вернулась в исходное положение — она вновь направ-
направлена от Л к В. Во
время своего обхода
рука совершила один
полный оборот, т. е.
повернулась на 360°.
Но этот полный обо-
оборот является суммой
трех поворотов, а
именно на углы
BiBC, dCA, AxAB,
которые являются
внешними для дан-
ного треугольника
ABC. Итак,
В В,
Черт. 42
+ ^.АХАВ = 360°.
Но каждый из внешних углов можно заменить разностью
между 180° и соответствующим внутренним углом. Поэтому
имеем:
A80°—
где ^с А, ^.В, ^ С — внутренние углы треугольника ABC.
Раскрывая скобки и делая приведение подобных членов,
приходим к равенству:
Это простое и понятное доказательство не опирается
ни на какие теоремы геометрии, кроме теоремы о сумме двух
смежных углов, в частности, не ссылается на теоремы о па-
параллельных прямых и не зависит, следовательно, от аксиомы
о параллельных. Это обстоятельство было бы огромным пре-
преимуществом нашего доказательства, если бы только в ходе
доказательства мы не опирались незаметным образом на
некоторую новую аксиому.
В том, что это так, мы убеждаемся в силу следующего
соображения. Возьмем сферу и на ней три точки D, Е, F,
притом так, чтобы дуги DE, EF', FD больших кругов сферы
равнялись бы каждая 90° (можно за точку D принять Север-
Северный полюс, точки Е и F взять на экваторе). Все приведенное
выше рассуждение, доказывающее, что сумма внутренних
148

углов плоского треугольника ABC равна 180", применимо
без каких бы то ни было изменений и к нашему сферическому
треугольнику DEF; надо только иметь в виду, что под направ-
направлением дуги на сфере разумеют направление касательной
к этой дуге (в рассматриваемой точке). Итак, наше рассужде-
рассуждение доказывает, что и сумма внутренних углов сферического
треугольника DEF равна 180°. Но это неверно, так как каж-
каждый из внутренних углов взятого нами сферического тре-
треугольника равен 90°, а их сумма, следовательно, равна 270°.
Обходя сферический треугольник с рукой, вытянутой
по направлению движения, и вернувшись в исходное поло-
положение, мы совершим рукой, таким образом, поворот не на
360°, как в случае обхода плоского треугольника, а на дру-
другой угол. Утверждая, что после обхода плоского треуголь-
треугольника и возвращения к исходному положению мы имеем по-
поворот на 360°, мы высказываем не что-то само собой разу-
разумеющееся и верное при всяких условиях, а основываемся па
следующем свойстве плоскости, которого не имеет сфера:
обход всякого треугольника на плоскости связан с поворо-
поворотом на 360°. Принимая это свойство плоскости за очевидное,
мы и вводим новую аксиому.
Итак, утверждение, что мы доказали теорему о сумме
внутренних углов треугольника, не пользуясь ни аксиомой
о параллельных, ни некоторой новой аксиомой, является
ошибочным. Еще более ста лет назад наш гениальный геометр
Николай Иванович Лобачевский A792—1856) до-
доказал, что невозможно устранить из нашей (евклидовой)
геометрии аксиому о параллельных, не вводя взамен нее не-
некоторую другую аксиому.
68. Как вычислять объем усеченной пирамиды?
Как известно, площадь трапеции можно получить, взяв
произведение полусуммы ее оснований на высоту, или же
взяв произведение ее средней линии на высоту. Оба способа
дают одно и то же, так как трапеция равновелика прямо-
прямоугольнику, основанием которого служит средняя линия тра-
трапеции, а высота одинакова с высотой трапеции.
В связи с этим возникает вопрос: нельзя ли вычислить
объем усеченной пирамиды вместо обычного способа, ос-
основанного на формуле 1/=—Л {Вх-\-Вг-\-УЪ\Вг), где h вы-
О
сота усеченной пирамиды, Вх и Вг площади двух ее осно-
149

ваний, другим способом, основанным на замене усеченной
пирамиды призмой, основанием которой служит среднее
сечение усеченной пирамиды, а высота одинакова с высотой
усеченной пирамиды? Средним сечением усеченной пирамиды
называют такое ее сечение, которое производится параллель-
параллельно ее основаниям через середину высоты.
Заметим, что в технике при вычислении объема усечен-
усеченной пирамиды (например, при обмере куч песка, заготовлен-
заготовленного для дорожных работ) поступают обычно именно так:
находят площадь среднего сечения, затем умножают ее на
высоту усеченной пирамиды.
Многие думают, что этот способ дает результаты вполне
точные, подобно тому, как точные результаты дает вычисле-
вычисление площади трапеции как произведения средней линии на
высоту. Выясним, так ли это, ограничиваясь рассмотрением
лишь простого случая, когда основания усеченной пирамиды —
квадраты со сторонами а и Ь <а.
Объем такой усеченной пирамиды выражается форму-
формулой V = уЛ (а2+Ь2-\-аЬ). Среднее сечение представляет со-
собой квадрат со стороной -^(а+Ь). Объем призмы, основанием
которой служит это среднее сечение, а высота равна высоте
усеченной пирамиды, вычисляется по формуле Vi=-jh(a-{- bJ.
Найдем разность V— Vi. Как показывает расчет, она равна
-j2"A(a—бI, а потому является всегда величиной положитель-
положительной. Итак, Vi не равно V, а всегда меньше V.
Как велико может быть расхождение между V и V\? Вы-
Выражение для разности V—Vi показывает, что она растет с
возрастанием разности между а и Ь. Самым неблагоприятным
случаем будет тот, когда 6—0, т. е. когда верхнее основание
усеченной пирамиды обращается в одну точку и пирамида из
усеченной делается полной. В этом случае V = -^-cPh, V\ —
= -jcffi, V—V-i=jgPh=-fV, и вычисление по формуле для
Vi дает значение объема, меньшее истинного его значения
на 25% последнего.
Чтобы оценить погрешность в общем случае, когда 6=^=0,
положим ^— = х и выразим в зависимости от х отношение
у у
v l. Так как 6=аA —х), то подстановка дает, после со-
150

\
\
кращения на а1 и Л, формулу ¦¦->¦ -1 -» -—; . Если х
? 12(l-x+_L л»)
О
малая дробь, ее значением сравнительно с 1 можно пренебречь,
тем более можно пренебречь и дробью -j-x2. Все выражение
в скобке в знаменателе дроби заменится при этом единицей,
и мы приходим к формуле:
V—Vt 1 , а—Ь
Х ГДе Х
V ~ 12Х ' ГДе Х~ а •
Эта формула говорит, что при разнице между аи Ь, например,
в 0,1 от a, V\ меньше V приблизительно на -г-^-0,12= -.. QQ-
от V. Действительно, взяв а=Ю см, 6=9 см, к—\2см, по-
получаем по точной формуле \/=1084 куб. см, а по приближен-
приближенной Vi=1083 куб. см. Разность V— Vi равна 1 куб. см, что
составляет около пп от V.
При небольших значениях разности а — b сравнительно
с а приближенная формула дает, как видим, довольно точ-
точные результаты.
Конечно, этот же прием приближенного вычисления объема
применим и к вычислению объема усеченного конуса: берется
произведение среднего сечения усеченного конуса на вы-
высоту; среднее сечение усеченного конуса есть окружность
с радиусом (диаметром), равным полусумме радиусов (диа-
(диаметров) обоих оснований усеченного конуса.

Глава V.
ТРИГОНОМЕТРИЯ.
1. ПРИМЕРЫ ЛОЖНЫХ РАССУЖДЕНИЙ.
69. -S--0.
Будем исходить из равенства, справедливость которого
вполне очевидна:
1 + sin -J- — cos i = tgj-, A)
так как
sin-J = cos- tg~ = 1.
т 4
Используя соотношение tg — = и освобождаясь от
COS—
знаменателя, имеем:
COS -^--f SilW- COS ^- — COS1 x = s
откуда
cos ^-(siiw — cos^-) =siiw — cos^-. B)
Из соотношения B) устанавливаем, что cos -^ = 1. C)
Следовательно,
Т = 2fe, D)
что при ^==0 дает требуемый результат:
152

70. Синус угла уменьшается, если к углу
прибавить 360°.
Пусть а какой-нибудь угол, заключающийся между 0°
и 180°. Его половина, которую мы обозначим буквой х, за-
заключается, следовательно, между 0° и 90°. Синус и косинус
этого угла первой четверти положительны. Прибавив же
к х еще 180°, получим угол третьей четверти, у которого
и синус и косинус, как известно, отрицательны. Но всякая
отрицательная величина меньше положительной, а потому:
sin A80°+х) < sin х, cos A80° +х) < cos*. A)
Перемножив эти два неравенства почленно, получим не-
неравенство:
sin A80°+a;)-cos A80°+дг) < sin x-cosx, B)
которое можно переписать короче, используя формулу си-
синуса двойного угла (sin 2a=2 sin a-cos a), а именно:
у sinC60°-|-2;t) <y sin 2x.
После умножения обеих частей последнего неравенства
на 2 и замены х через -^ а имеем окончательно:
sin C60°+a)<sin a,
что и «доказывает» высказанное в заглавии настоящего пункта
утверждение, противоречащее тому общеизвестному факту,
что ни одна из тригонометрических функций не меняется от
увеличения угла на 360°.
71. Косинус любого острого угла больше единицы.
Взяв произвольный острый угол а, напишем тождество
cos a—cos a и прологарифмируем его (хотя бы по основа-
основанию 10); получим:
lg cos a= lg cos a. A)
Заменим равенство A) неравенством, увеличивая вдвое
левую его часть:
2 lg cos a> lg cos a, B)
или, что то же:
lg cos2 a> lg cos a. C)
10 Заказ Л 226 J53

Принимая во внимание, что при основании, большем 1,
большему числу соответствует больший логарифм, и обрат-
обратно, ич неравенства C) выводим, что cos2 л _> cos у.
Разделив обе части последнего неравенства на положитель-
положительное число cos а, получим неравенство того же смысла:
cos а > 1,
и придем к противоречию с определением косинуса острого
угла как отношения прилежащего катета к гипотенузе.
72 ±>-L
Будем исходить из несомненного равенства:
sln-7-= sin—. A)
Воспользовавшись логарифмированием его обеих частей, за-
запишем:
От соотношения B) перейдем к неравенству:
2 lgsin^->lg sln-J, C)
которое перепишем в следующем виде:
Ig sin2-J > lg sin-J.
Потенцируя, имеем:
sin — > sin-т-. D)
Неравенство D) утверждает, что
73. 22=42.
Обе части известного из курса тригснометрии соотношения
cos2 х—\— sin2 х A)
возведем в степень -т-:
cos3 х = A— sin2 хJ •
154
B)

Увеличим каждую из частей равенства B) на три единиць
и полученные суммы возведем в квадрат:
(cos1.? \3J= [A — sin2x)T4-3p. C
Подставляя в соотношение C) значение х, равное, напри
з
мер, у, получаем верное равенство: @-f-3J= [A — IJ +3]a
т. е.
Однако, подставляя в это же соотношение значение х
равное, например, it, получаем неверное равенство:
т. е.
= 1A-0) J
22=42.
Объясните причину мнимого парадокса.
74. Площадь прямоугольника равна нулю.
Возьмем тригонометрический круг и отметим на его окру»
ности точку М, представляющую собой конец некоторо
дуги AM первой чет-
четверти (черт. 43). Про-
Проведя MMi 1 А Аи
MQiBBu /HiQiLBBi
где ААХ и ВВх пара
взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных диаметров триго-
тригонометрического круга,
ПОЛУЧИМ ПРЯМОУГОЛЬНИК fil
Мл и займемся
вычислением его площа-
площади S. Основание прямо-
прямоугольника QiMi равно
отрезку ОР, который
является линией коси-
косинуса для угла а и ра-
равен в силу этого г cosa,
где г радиус триго-
тригонометрического круга.
Высота MLM прямо-
/ п.
[
1 °
^ч
г/
/а
р
j
в,
Черт. 43.
10*

угольника представляет собой сумму двух отрезков РМ и
PMi. Первый из этих отрезков есть линия синуса для угла а
и равен г sin а, второй же является линией синуса для угла
и равен г sin (—а)——г sina. Далее получаем:
A)
—r sina |-(—г sin a) —r (sina—sina) —0,
75. Существуют равные треугольники, у которых
не все стороны равны.
Чтобы убедиться в равенстве двух треугольников, нет
необходимости знать о равенстве всех элементов этих тре-
треугольников; достаточно убедиться в равенстве некоторых
из них. Действительно, первый признак равенства треуголь-
треугольников требует равенства двух сторон и угла, второй признак—
двух углов и стороны и, наконец, третий признак — трех
сторон.
Итак, для утверждения равенства двух треугольников
требуется знать о равенстве трех элементов их, среди которых
представлен по крайней мере один линейный.
Рассмотрим треугольники со сторонами:
а.\—18 си, bi—12 см, ci~ 8 си,
а^—27 см, Ьг—18 си, а —12 см.
Легко видеть, что треугольники этой пары имеют по две
равные стороны.
С помощью формул
b)ipc) 3 _-м/(р—а)[р—с)
p.p. oj '' ]g2'-y ~ pip-bf
(p -a)lp -b)
Pip—c)
устанавливаем, что для каждого из углов одного тре-
треугольника найдется равный ему среди углов другого.
В самом деле: Jj?1=a-i±|-1+-1=19, рг—ai=l, pi—bi=7.
Pi—ci=ll; ра=а^*-—= 28,5, pa-a2= 1,5,
156

Следовательно,
ГТл\
10.5-10.5
/~ТГ
Значит,
r6-5J:A
J0 5-28.5
11-19
16
.5-28,5 *> '2
Итак, пять элементов одного треугольника, среди кото-
которых два линейных, равны пяти элементам другого треуголь-
треугольника. Отсюда делаем вывод о равенстве этих треугольников.
Итак, существуют равные треугольники, у которых не все
стороны равны.
76. Каждый треугольник—прямоугольный.
ABC—произвольно взятый треугольник, со сторонами
а, Ьу с, углами a, f3, y и высотой Л, которая опущена па сто-
сторону с и делит ее на отрезки р и q.
Из чертежа без труда устанавливаем:
sin <х= г- , cos а =4" > sin 3 — — и cos ri—--.
Ь о ' а ' а
Используя соотношения A), придадим формуле:
sin(a+i") = sina cos'
несколько иной вид, а именно:
ab
A)
B)
C)
157

Для дальнейших преобразований формулы C) вспомним,
что:
x, b=2Rsinр, c-2/?sinT.
где R — радиус описанной около этого треугольника окруж-
окружности. Подстановка этих соотношений в правую часть фор-
формулы C) преобразует ее к виду:
sin ,..
^- D)
Наконец, заметив, что A=&sina = 2/?sinasin ?, приходим к
выводу:
sin(a+3) = sin7, E)
откуда:
F)
что, очевидно, может иметь место лишь при условии равен-
равенства у прямому углу.
II. АНАЛИЗ ПРИМЕРОВ
69. Ошибка допущена при переходе от верного равенства
B) к неверному равенству C). Ложность равенства C) объяс-
объясняется тем, что оно получено в результате деления обеих час-
частей равенства B) на разность sin-^— cos-^ , которая рав-
равна нулю.
70. В результате почленного умножения двух неравенств
одинакового смысла, все части которых положительны, по-
получается новое неравенство того же смысла. Умножение же
неравенств, не удовлетворяющих этому требованию, может
давать что угодно: и неравенство другого смысла, и даже
равенство.
В неравенствах A) левые и правые части равны по абсо-
абсолютной величине, но различны по знакам:
sin A80°+¦*)=— sin х и cos A80°+x)=—cos x.
Почленное их перемножение приводит к двум равным по
абсолютной величине произведениям, имеющим знак плюс,
а потому равным друг другу. Неравенство B) в силу этого
неправильно и должно быть заменено равенством:
sin A80°+x) -cos A80°+*)= sin лг-cos x,
которое приводит к общеизвестной формуле:
sin C60°+2x) = sin 2х и sin C60°+a)=sina.
158

71. При переходе от равенства A) к неравенству B) мы
умножили на 2 левую часть равенства A).
Но действительно ли это умножение на 2 есть увеличение?
Всегда ли 2а>а? Перенося в этом последнем неравенстве
число а из правой части в левую, убеждаемся, что из нера-
неравенства 2а>а вытекает неравенство а>0. Следовательно,
если а не больше нуля, а меньше нуля или равно нулю, то
нераиепство 2а>а не может иметь места.
Итак, переход от равенства а=а к неравенству 2а>а
возможен исключительно при а>0. Но косинус острого угла
всегда заключен между нулем и единицей, десятичный лога-
логарифм этого косинуса отрицателен, а потому из равенства
lg cos &¦= lg cos а не вытекает неравенство
21g cosa> Jg cos a.
72. Ошибка допущена при переходе от равенства B)
к неравенству C). Здесь упускается из внимания, что так как
sin j-~^y- , т. е. правильной дроби, то Jg sin-^ отрицателен,
а потому в соотношении C) должен быть поставлен не знак
больше, а, наоборот, знак меньше: удвоенное отрицательное
число меньше этого отрицательного числа.
73. Ошибка основана па забвении определения арифме-
арифметического корня. В соответствии с этим определением"!/' а2 Фа,
а он равен а\, т. е. У~а?=а, если а>0, и|/а*=—а, если
а<0.
В анализируемом примере: (cos2x) 2 = i/cos6;t— cos*x, если
—'-+2k- ^х< -^-\-2for, ny^cosiv ==—cos8x, если х не при-
принадлежит множеству значений, указанному двойным нера-
неравенством. В частности, при значении х равном т. левая часть
соотношения C) должна быть взята в виде: (— cos'x-j ЗJ.
Абс\'рдный вывод, естественно, устраняется.
74. Ошибка настоящего рассуждения заключается, ко-
конечно, в неправильном вычислении высоты прямоугольника.
Приписывая отрезку определенный знак (+ или —), мы тем
самым указываем, в каком направлении этот отрезок откла-
откладывается, или, что то же, в каком направлении мы этот отре-
отрезок проходим. Для линии синуса знак плюс указывает, что
она откладывается вверх от горизонтального диаметра, ми-
минус --вниз. Рассматривая такие направленные отрезки и
обозначая каждый отрезок двумя буквами, всегда предпо-
предполагают, что первая буква означает начало отрезка, вторая —
169

его-конец. Поэтому два направленных отрезка АВ п В А не
тождественны: имея одинаковую длину, они имеют противо-
противоположные направления, и в силу этого АВ =—В А.
На чертеже 43 отрезок РМ откладывается вверх, а по-
потому PM — -\~r sin а, отрезок же РМХ—вниз, и следователь-
следовательно, PMi=— r sin а. Чтобы получить высоту прямоуголь-
прямоугольника со знаком плюс, мы должны двигаться от точки Mi
к точке М в одном и том же направлении, а именно вверх.
Поэтому формула A) неверна, правильной же является фор-
формула М1М=М1Р-\-РМ, или, что то же MiM = PM-\-MiP.
Замечая, что МгР=—PMi——(—г sin a) — -\~r sin а, имеем:
M\Nl~=r sin aJ~r sin а=2г sin а,
как и должно быть.
Разъяснить настоящий софизм можно было бы гораздо
короче, просто указав, что при вычислении площади прямо-
прямоугольника мы должны брать лишь длины его основания
и высоты, не принимая во внимание их знаков. Однако,
во-первых, нередко и площадям приписывают определен-
определенные знаки (-|- и —); во-вторых, важно выяснить, как, зная
направленные отрезки, ведущие от некоторой дайной точки
к концам некоторого интересующего нас отрезка, получить
длину этого отрезка (в нашей задаче вопрос заключался
именно в этом: надо было найти длину отрезка МгМ, зная
направленные отрезки, ведущие от точки Р к точкам Mi
и М).
75. На основе анализа трех признаков равенства треуголь-
треугольников методом неполной индукции сделан ложный вывод:
«Итак, для утверждения равенства двух треугольников тре-
требуется знать (т. е. достаточно знать!) о равенстве трех эле-
элементов их, среди которых представлен по крайней мере один
линейный».
На самом же деле, равенство трех основных элементов
одного треугольника трем основным элементам другого тре-
треугольника, включая по крайней мере и один линейный эле-
элемент, является необходимым, но недостаточным условием
для равенства рассматриваемых фигур. Взглянув на чер-
чертеж 45, мы легко убеждаемся в недостаточности этого ус-
условия.
Приняв ложное утверждение за истинное и применив
его к анализу примера, в котором речь идет о подобных тре-
треугольниках со сторонами 18, 12, 8 и 27, 18, 12, мы пришли
к утверждению нелепости: существуют равные треугольники,
у которых не все стороны равны.
160

Этот софизм мы уже рассматривали в геометрии (гл. I.V,
п, 63). Там же было дано подробное раскрытие его.
Черт. 45.
76. Ошибка сделана при переходе от соотношения E)
к соотношению F). Она состоит в неправильном применении
принципа непосредственных умозаключений путем обраще-
обращения. Тот факт, что равные углы имеют равные синусы, не
дает еще основания заключать о справедливости обратного
утверждения. Здесь можно утверждать только следующее:
«Если синусы двух углов равны, то и утлы могут быть равны».
Относительно углов (а+р) и у возможно сделать три пред-
предположения:
1) а — 3 —= у. В этом частном случае мы действительно
будем иметь прямоугольный треугольник. Но этот случай,
как видно из дальнейшего, не исчерпывает всех возможных
случаев.
2) =сЧ-р—=180°—т- в этом случае а ^-]-т-^180о, что не
противоречит смыслу задачи и связывает углы треугольника
известным соотношением. Однако этот случай не дает никаких
оснований для абсурдного вывода о наличии прямого угла
в любом треугольнике.
3) a-L3—360°-|--7. Этот случай невозможен, так как раз-
разность суммы двух любых углов треугольника и его третьего
угла не может быть равна 360°.
Как видим, абсурдный вывод устраняется.

Глава VI.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
РАССКАЗЫ-ОБЪЯСНЕНИЯ ПО ПОВОДУ ОШИБОЧНЫХ
РАССУЖДЕНИЙ
77. Сколько лет древней статуе'
На вопрос о том, сколько лет древней статуе, хранящей-
хранящейся в музее, служащий музея ответил: «Ей 4008 лет». Дальше
последовал вопрос: «Каким образом возраст такой древней
веши установили с такой высокой точностью?». Служащий
объяснил, что он поступил работать в музей еще восемь лет
назад и узнал тогда от директора музея, что этой статуе
4000 лет; с тех пор прошло восемь лет, а потому возраст
статуи в настоящее время ¦1000+8—4008 (лет).
Как отнестись к такому объяснению?
Служащий музея, очевидно, не понимает, что возраст
статуи определен в четыре тысячи лет не точно, а лишь при-
приближенно: известно, сколько тысячелетий прошло с того
времени, когда эта статуя была сделана, но сколько с. тех
пор прошло веков, десятков лет, тем более отдельных лет —
остается неизвестным. Заменяя неизвестные цифры в ука-
указанном директором возрасте статуи знаками вопроса, мы
должны записать проделанное служащим сложение в таком
виде:
4???
+ 8
4008.
Но совершенно ясно, что от прибавления 8 к числу, вы-
выраженному неизвестной нам цифрой единиц первого сла-
слагаемого, может получиться число с какой угодно цифрой
единиц, а вовсе не обязательно с цифрой 8. Точно так же
ничем не оправдана и постановка нулей в качестве цифр
162

десятков и сотен суммы. Единственно правильным будет
такой результат:
4???
+ "8
4???
Следовательно, возраст статуи, определенный первона-
первоначально в 4 тыся га лет, остается таким Ж2 и по прошест-
прошествии 8 лет.
Складывая и вычитая числа, известные нам не абсолют-
абсолютно точно, а лишь с некоторым приближением, мы всегда
должны выяснить, какие цифры результата заслуживают
доверия, а какие нет, и вовсе отбрасывать последние.
Положим, получен ящик с прибором; на ящике надпись:
вес брутто (т. е. вес товара вместе с упаковкой) 35 кг. Пусть
вес самого прибора (вес нетто) оказывается, как показало
взвешивание на точных весах, равным 2,853 кг. Заключение,
что упаковка (тара) весит 35—2,853 = 32,147 (кг), является
неправильным; все цифры после запятой не заслуживают
никакого доверия, результат надо округлить до целых: упа-
упаковка весит 32 кг.
78. Все большие числа приЗлиженно равны между собой.
Условимся считать числа, начиная с миллиона, большими
и докажем, что, например, 1000 000^2 000 000.
Утверждение, что для всякого большого числа N можно
считать
N^N+1, (I)
не вызывает возражений.
Последовательно подставляя в соотношение A) 1 000 000,
1 000 001, 1 000 002 1 999 999, имеем:
1 000 000=^1 000 001;
1000 001^1000 002; B)
1 000 002 ^г-1 000 003;
1 999 999^2 000 000.
163

Перемножая левые и правые части миллиона приближен-
приближенных равенств B), получим:
1 000 000-1 000 001 • 1 000 002- ... -1 999 999^
^1 000 001 ¦ 1 000 002-1 000 003- ... -1 999 999-2 000 000 C)
Сократив обе части приближенного равенства C) на
1 000 001 • 1 000 002-1 000 003- ... • 1 999 999,
получим требуемое соотношение:
1 000 000^2 000 000.
В чем здесь дело?
К числу законных математических операций относится
почленное перемножение равенств. Однако здесь имеются
в виду точные равенства. Что же касается приближенных
равенств, то они, по своему математическому смыслу, пред-
представляют из себя неравенства: запись х'^а с точностью до
10~л равносильна записи а— 10-"<х<а->-10~л, а с точностью
до 10+" записи а—10"<х<а+10л.
Из сказанного ясно, что почленное перемножение при-
приближенных равенств следует трактовать как перемножение
соответствующих неравенств. Но, как известно, при почлен-
почленном умножении неравенств одинакового смысла (а только
такие и можно перемножать) неравенство усиливается. В са-
самом деле, имея неравенства а—а<л:<а-- а и Ь—3<*/<6-|-й,
выводим отсюда, что ab — ab — $а.-та.Ъ<Сху<.иЬ-\-з-Ь-!г$а |-ай,
т. е. перемножение двух двойных неравенств усиливает каж-
каждое.
Естественно, что при перемножении большого числа нера-
неравенств (в анализируемом примере миллиона) неравенство
усиливается весьма разительно.
Таким образом, абсурдный вывод устраняется.
Этот софизм построен на двузначности термина «равен-
«равенство»: равенство точное и равенство приближенное.
79. О точности произведения приближенных чисел.
Положим, требуется найти произведение двух чисел 124-^-
и 2 -;. Не желая иметь дело с обыкновенными дробями, пере-
переходим к десятичным, ограничиваясь точностью до десятых.
Так как— = 0,33..., — = 0,13..., то выполняем умножение де-
сятичных чисел 124,3 и 2,1, и получаем произведение 261,03.
164

Сомножители были взяТы с точностью до десятых. Считая,
что с такой же точностью получен и результат, пишем окон-
окончательно: 1244 • 2% =~ 261,0.
Так ли это?
Производя умножение без предварительного обращения
сомножителей в десятичные дроби, мы найдем, что. произве-
произведение равно 265^ или 265,698... Следовательно, в получен-
полученном выше результате, вопреки нашему ожиданию, неверпа
не только цифра десятых долей, но и цифра целых единиц.
Для того чтобы попять, почему так получилось, запишем
приближенные сомножители в виде 124,3? и 2,1?, заменяя
знаками вопроса неизвестные цифры сотых долей, и выпол-
выполним умножение так, как будто эти цифры сотых были нам
известны. Умножая неизвестные цифры, в частных произве-
произведениях ставим в соответствующих местах тоже знаки вопроса:
124,3?
X2,1?
1 = 213?
_24: 86?_
26! 1,03??
Все цифры произведения направо от вертикальной пунк-
пунктирной черты получены от сложения неизвестных цифр с
известными или одних неизвестных цифр друг с другом,
а потому никакого доверия не заслуживают. Отбрасывая
эти цифры результата, записываем произведение в виде
260 или, еще лучше: в виде 26о; уменьшенный размер нуля
целых указывает, что этот пуль поставлен вместо неизвест-
неизвестной нам цифры единиц.
При умножении приближенных чисел следует руковод-
руководствоваться правилом: в произведении двух приближенных
чисел следует сохранять столько значащих цифр, сколько
их имеет тот сомножитель, у которого значащих цифр меньше.
Под значащими цифрами числа разумеют все его цифры,
т. е. цифры как целой, так и дробной его части, за исключе-
исключением нулей, которые стоят левее первой отличной от нуля
цифры, и тех нулей, которые могут быть у числа справа, если
эти нули поставлены взамен неизвестных цифр (например,
числа 20,6, 206, 0,00206 имеют по три значащие цифры каж-
каждое).
В применении к рассмотренному выше примеру умноже-
J65

ния приближенных чисел это правило рекомендует сохра-
сохранить в произведении лишь две первые значащие цифры,
так как приближенное множимое A24,3) имеет 4 значащие
цифры, приближенный же множит \ль B,1) —только 2. Но
мы убедились, что точько эти две первые цифры произведе-
произведения в нем и верны. Взяв множитель 2——2,1370 ... в виде
десятичной дроби не с 2, а с 3 значащими цифрами B,14),
мы получили бы произведение 266,002, в котором следовало бы,
согласно правилу, сохранить уже 3 первые значащие цифры,
и мы имели бы 124-г-2=-^ 266, т. е. как раз то, что получается,
если точное произведение 265,698... округлить до 3 значащих
цифр. Взяв множитель с 4 значащими цифрами B,137), мы
получили бы произведение 265,6291, в котором согласно
правилу надо бы было сохранить 4 первые значащие цифры.
И, действительно, расхождение между этим приближенным
произведением и точным его значением B65,698...) начинается
лишь после четвертой значащей цифры.
Пользоваться этим очень удобным правилом округления
произведения приближенных чисел можно и тогда, когда
одни из сомножителей — число точное. Надо только считать,
что в этом сомножителе бесконечно много значащих цифр,
и сохранять в произведении столько значащих цифр, сколько
их имеет второй (приближенный) сомножитель. Например,
если взять тс-^-3,14 и находить длину окружности с диамет-
диаметром ровно в 2,6 см, то в произведении 3,14-2,6—8,164 следует
сохранить 3 первые значащие цифры, которые и являются
единственными верными цифрами этого произведения (взяв
"^3,14159, мы получили бы тт.2,6-8,1681 ...).
Следует заметить, что могут быть случаи, когда произ-
произведение двух чисел имеет больше верных цифр, чем можно
ожидать на основании этого правила, так как один прибли-
приближенный сомножитель может быть меньше соответствующего
точного значения, а другой — больше. Точно также может
случиться, что последняя цифра, которую мы сохраняем
в произведении согласно правилу, будет не вполне точной;
теория указывает, что в этой последней цифре может быть
неточность, приближающаяся в исключительных случаях
к 6 единицам этого разряда, но никогда не превосходящая
этого предельного значения *.
* О деталях, касающихся сбосневлния и применения этого привила
округл ния нр.)и.«едения приближенных чисел, см книгу В М Б р а-
д и с а «Ср2ДС1ва и способы элементарных вычислений», М , 1954, § 13.
166

Подобные же правила надо соблюдать и при выполнении
других действий над приближенными числами: в частном
Двух приближенных чисел следует сохранять столько зна-
значащих цифр, сколько их имеет то из данных чисел (делимое
и делитель), в котором меньше значащих цифр; при возесде-
нии в квадрат и куб в результате надо сохранять столько
значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень при-
приближенное число; квадратный и кубический корни из при-
приближенного числа надо извлекать со столькими значащими
цифрами, сколько их имеет подкоренное число *.
80. Верна ли формула ^
„ , .. Sin a .
Один ученик, ознакомившись с формулой =tga,
решил проверить ее. Выписав из таб'.ицы значения всех
трех функций при а=89э42', а именно sin a= 1 0000, cos a =
= 0,0()"J, t? а--- 191,0, он разделил sin a= 1,0000 на cos a =
— 0,0052, но получил не число 191,0, как ожидал, а число
192,3 ... и заключил, что либо неверна формула, либо не-
неверно по крайней мере одно из трех взятых табличных зна-
значений
Конечно, причиной расхождения является то обстоятель-
обстоятельство, что все выписанные табличные значения, как и подав-
подавляющее большинство других табличных значений, являются
числами п р и б л и ж с н н ы м и, дающими лишь несколь-
несколько первых значащих цифр соответствующих точных значе-
значений. При делении двух приближенных чисел частное полу-
получается, разумеется, не точно, а лишь приближенно. Правила,
о которых была речь в п. 79, указывают, сколько значащих
цифр следует сохранять в таком частном. В настоящем слу-
случае делимое A,0000) имеет пять значащих цифр, делитель
@,0052) только две, а потому и в частном мы должны сохра-
сохранить лишь две первые значащие цифры. Получив частное
192,3..., округляем его так, чтобы оставались лишь две пер-
первые значащие цифры, и получаем число 190, которое совпа-
совпадает в пределах первых двух значащих цифр с табличным
значением tg 89°42\ равным 191,0.
Чтобы получить частное с четырьмя значащими цифрами,
надо повысить точность делителя, взяв его не с двумя, как
* О деталях, касающихся обоснования и применения этих правил,
см книгу В М Брадиса «Средства и способы элементарных вычисле-
вычислений», М„ 1954, § 14 и 19.
167

было у нас, а по крайней мере тоже с четырьмя значащими
цифрами (чтобы получить четыре вполне надежные знача-
значащие цифры частного, делимое и делитель лучше брать с одной
«запасной» цифрой, т. е. не с четырьмя, а с пятью значащими
цифрами). Итак, найдя (по более точной таблице), что
cos89°42'-=0,0052360, делим 1,0000 на 0,0052360 и получаем
в частном 190,98... или, после округления до четырех зна-
значащих цифр, как раз табличное значение tg89°42', а именно
191,0.
81. Сколько цифр надо знать в подкоренном числе,
чтобы получить корень с заданной точностью?
Положим, что мы желаем вычислить значение sin 15°
по формуле sin 15е—0,5к 2—]/3, причем ставим себе зада-
задачей получить это значение с четырьмя десятичными знаками.
С какой точностью необходимо извлечь УЗ, чтобы обеспе-
обеспечить при втором извлечении квадратного корня (из 2—|/3)
требуемую точность результата? Часто рассуждают так:
для получения каждой следующей цифры квадратного корня
нужна новая грань из пары цифр подкоренного; следова-
следовательно, для получения четырех цифр после запятой в зна-
значении корня из 2—у 3 в этом последнем числе необходимо
иметь 2-4—8 цифр после запятой. Руководствуясь этим
соображением, извлекают корень из 3 с восемью десятичными
знаками и, получив У 3—1,73205081, находят 2—|/ 3=
=0,26794919; после этого вычисляют V 2—У 3=0,5176 и,
наконец, sin \o°=b,bV2— У~3=0,2588.
Как показывает справка в таблице синусов, все четыре
десятичных знака полученного результата верны. Но тот же
самый результат дает и следующее вычисление, требующее
значительно меньше выкладок:
У 3"= 1,7321,
2—УЗ"=0,2679,
V 2 — |/3~=0,5176,
sinI5°=0,5l/— У =0,2588.
Этот пример наводит на мысль, что для получения каж-
каждой лишней цифры в значении квадратного корня ист надоб-
надобности знать целую лишнюю грань, т. е. две лишние цифры в
168

подкоренном числе. И действительно, не трудно доказать целе-
целесообразность такого правила: при извлечении квадратного
корня из приближенного числа, имеющего п значащих цифр,
надо брать в корне тоже п значащих цифр *. Последняя
цифра полученного корня будет при этом или вполне точна,
или отлична от точной на одну единицу. Поэтому для полу-
получения квадратного корня с п значащими цифрами, подкорен-
подкоренное число достаточно брать тоже с п значащими цифрами
(или, если желательно иметь полную гарантию точности
последней цифры, то с л4-1 значащей цифрой).
Рассмотрим еще пример. Пусть требуется найти значение
х— Л/ 28-=- с точностью до сотых долей. Замечая, что корень
содержит лишь одну цифру в целой части, видим, что его
значение надо найти с тремя значащими цифрами (цифра
целых единиц, цифры десятых и сотых долей). Поэтому и
2
число 28у достаточно взять с тремя значащими цифрами,
т. е. в виде 28,3. Извлекая корень из этого последнего числа,
имеем окончательный результат 5,32. Для проверки найдем
тот же корень другим способом, а именно, сводя вопрос к
извлечению корня из целого числа:
j/287=|/^==y]/l386=T. 37,229... = 5,318.. .%5,32.
82. Зачем освобождаются от иррациональности
в знаменателе?
Нередко необходимость освобождения от иррациональ-
иррациональности в знаменателе дробного выражения объясняют тем,
что благодаря этому достигается повышение точности. Так,
в пользующейся известностью книге Шмулевича П. И.
«Дополнения к курсу алгебры, требуемые программами кон-
конкурсных экзаменов» (изд. 10, 1917 г.) мы находим
(на стр.63) утверждение, что, вычисляя корень до —,
мы получим численное значение выражения
а— в b раз точнее, если предварительно преобразуем это
т ,
V
выражение к виду ^~~ г—
•Обоснование этого правила см в книге В. М Б р а'д и с а «Сред-
«Средства и способы элементарных вычислений», М , 1&54, §19.
160

Действительно ли это так?
Рассмотрим пример. Пусть *¦• , где а««1, Ь^Ю, m»*2, и
надо найти значение х, извлекая кооень с точностью до де-
десятых. Подставляя числовые значения непосредственно, имеем
Xi =—^~5-0=0-3125. Применяя предварительное уничтожение
Vl 0 4 2
иррациональности в знаменателе, получаем Xi— i--~ —=0,32.
Сравнивая оба найденных приближенных значения с более точ-
точным, равным Q,iy 10=0,1 -3,1622...=0,31622..., убеждаемся,
что первое из них (лгх) имеет погрешность 0,31622...—0,3125=
=0,00372... по недостатку, второе же {хг)—погреш-
{хг)—погрешность 0,032—0,31622...=0,00378... по избытку. Как
видим, вопреки утверждению, в книге уничтожение иррацио-
иррациональности в знаменателе отнюдь не повысило точность в
6=10 раз, а даже немного ее понизило.
Легко показать, что при замене корней их приближен-
приближенными значениями, отличающимися от точных их значений
меньше чем на — долю единицы, мы получим значение
а п <- а
выражения с погрешностью, не больше чем , а значе-
УГ У&г
ния выражения -цл/~Ът~х—с погрешностью, не большей-^-
Эти границы погрешности при т=2 равны, что и подтвер-
подтвердил только что рассмотренный пример. При /га>2 и 6>1
вторая граница погрешности меньше первой, но не в Ь раз,
mi
как утверждает книга, а лишь в у 6т-2раз.При/га>2ий<1
вторая граница больше первой.
Рассмотрим еще пример. Пусть требуется найти значение
выражения х——=—^ при с = 1,02, 6 = 1,01, имея в
У а+У Ь
своем распоряжении четырехзначную таблицу квад-
квадратных корней. Таблица дает \/~Е= 1,010, уТ= 1,005, и,
делая подстановку непосредственно в данное выражение,
мы получим х\ —Yb\h~ 0-4963. Если же предварительно пре-
преобразовать данное выражение, уничтожая (посредством умно-
умножения числителя и знаменателя на Уа—УТ) иррациональ-
иррациональность в знаменателе, то получим:
Y7T — YF УТЖ—УпоГ ^ 1,010—1,005 п -
**" а—Ь " "" 0,01 ~ 0,01 —и-0-
170

В то время как первое вычисление дало значение х с четырьмя
десятичными знаками второе дало его лишь с одним, т. е.
значительно менее тсчно.
Как видим, уничтожение иррациональности в знамена-
знаменателе далеко не всегда повышает точность результата вычис-
вычисления, а иногда даже понижает ее.
Зачем же тогда ведут эту «борьбу с иррациональностями
в знаменателе»?
Дело в том, что вычисление производится в громадном
большинстве случа в значительно удобнее, если в знамена-
знаменателе нет корней, чем в тех случаях, когда там корни имеются.
Например, для вычисления —— мы должны произвести
деление на многозначное приближенное значение корня,
а после уничтожения иррациональности в знаменателе деле-
деление выполняется гораздо проще
Попробуйте упростить выражение:
у'За+1 +}^3а
сначала уничтожив предварительно корни в знаменателе
каждой дроби, а затем не прибегая к этому приему, и польза
«борьбы с иррациональностями в знаменателях» станет вполне
очевидной. Не надо, однако, думать, что вести эту борьбу
надо всегда. Во многих вопросах высшей математики (при
разыскании пределов, при интегрировании иррациональ-
ностей и т. д.) нередко приходится делать обратное: уничто-
уничтожать иррациональности в числителе, переводя их в знамена-
знаменатель. Вот простой пример. Надо установить, что делается
с разностью
V~x+l—Vx
при неограниченном возрастании х,
т. е. вычислить lim (Ух + 1 —|/ х).
Из элементов теории пределов, изучаемой в курсе алгебры
IX класса, известно: предел разности двух переменных,
имеющих пределы, равен разности их пределов.
Легко видеть, что в этом примере нельзя применить тео-
теорему о пределе разности, так как пределов уменьшаемого
и вычитаемого не существует (выражение оо—оо просто не
имеет никакого смысла).
171

Однако мы легко справимся с поставленной задачей, если
воспользуемся следующими преобразованиями выражения,
находящегося под знаком предела:
= 0.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к первому изданию 3
Предислопие ко второму изданию 4
Глава I. Об упражнениях на опровержение ошибочных
математических рассуждений и их классификации.
Введение 6
I. Математические софизмы и их педагогическая роль . , 7
П. Классификация упражнений на опровержение ложных
математических рассуждений 11
1. Неправильности речи 14
2. Распространение па исключительные случаи . . 16
3. Приписывание свойств определенного вида всему
роду 17
4. Неправильное применение принципа непосредст-
непосредственных умозаключений путем обращения .... ]8
5. Подмена точных определений геометрической инту-
интуицией 21
6. Ошибки построения , . . 23
7. Ошибки, являющиеся следствием буквального тол-
толкования сокращенной (условной) формулировки
некоторых геометрических утверждений ...» 31
8. Нарушение смысла условных записей . , . . , 32
9. Уклонение от тезиса 33
Глава II. Арифметика,
I. Примеры ложных рассуждений 36
1. Размещение по одному тринадцати человек в
двенадцати комнатах
2. На двух нормальных руках одиннадцать пальцев —
3. Квадратные рубли .... 37
4. 45—45=45 ' ' ' _
5. 40 • 8=41 38
6. Дважды два — пять! —
7. Есть ли здесь пропорциональность? , 89
71

8. 100% экономии 39
9. Как вычислять средний процент? , . 40
10. Что даст ежегодной прирост в 40% за пять лет? —-
11. Новое правило умножения дробей 41
12. Куда делся рубль? 42
13. Откуда появился лишний гривенник? —
14. Завещание отца —
15. 2-3=4 43
II. Анализ примеров 43
Глава III. Алгебра.
I. Примеры ложных рассуждений 57
16. Половина рубля равна пяти копейкам
17. 6=2 -
18. 12=6=0 58
19. Делимость многочленов и делимость чисел ... —
20. Произвольно взятое число а равно нулю .... 59
21. 7=13 60
22. Положительная единица равна отрицательной еди-
единице —
23. Другое сдоказательство» равенства положительной
и отрицательной единиц . , 61
24. Мнимая единица и действительная отрицательная
единица равны —
25. /«=1 62
26. Всякое отрицательное число больше положитель-
положительного, имеющего то же абсолютное значение . . —
27. Если о>Ь, то а>2Ь , —
28. Если о и Ь положительные числа, то а> Ь и Ь>а 63
29. Положительное число меньше нуля 64
30. Сумма натуральных чисел, каждое из которых
превосходит единицу, больше их произведения . —
3J. Чему равен квадратный корень из числа а3? . 65
32. Еще одно сдоказательство» равенства нулю про-
произвольно взятого числа —
33. Число не изменяется, если в нем переставить
любые цифры! 66
34. Что говорит теорема о существовании корня
в алгебре комплексных чисел? —
35. Об одном способе получать правильные резуль-
результаты, применение которого требует большой осто-
осторожности 67
36. О сумме 1 — 1+1 — 1 + 70
37. Всегда ли целое больше своей части? ...... 71
3S. Еще одно «доказательство» равенства двух про-
произвольно взятых чисел 72
39. Сумма двух произвольных одинаковых чисел равна
нулю 73
40. Число не изменится, если к нему прибавить еди-
единицу —
41. Ахиллес и черепаха 74
42. О некоторых ученических ошибках
II. Анализ примеров 78
174

Главе IV, Геометрия.
I. Примеры ложных рассуждений 108
43. Отрезки параллельных прямых, заключенные меж-
между сторонами угла, равны —
44. Отрезок прямой равен своей правильной части —
45. Все треугольники равновелики ПО
46. Сумма оснований любой трапеции равна нулю Ш
47. Объемлемая и объемлющая 112
48. Еще о пропорциональности 43
49. Две окружности разного радиуса имеют одну
и ту же длину Ч*
50. Сумма катетов равна гипотенузе —
51. Длина полуокружности равна ее диаметру . . 
52. Боковая поверхность круглого прямого конуса
с радиусом основания г и высотой Л выражается
формулой Р=пг (г+Л) "о
53. В данной точке на прямой можно восставить два
перпендикуляра к этой прямой По
54. Через одну точку можно провести две прямые,
параллельные данной прямой ПЭ
55. Окружность имеет два центра
56. Из точки на прямую можно опустить два перпен-
перпендикуляра 120
57. Через две данные точки можно провести две пря-
прямые 121
58. Любой треугольник — равнобедренный —
59. Катет прямоугольного треугольника равен его
гипотенузе 123
60. Прямой угол равен тупому ~
61. 6* кв. ли=65 кв. см J24
62. Задача о заплате 125
II. Анализ примеров ~~
111, Рассказы-объяснения по поводу ошибочных рассужде-
ний 1>"
63. Подобные треугольники с равными сторонами . ~
64. Трисекция угла **"
65. Еще о трисекции угла ?2д
66. Квадратура круга *4"
67. Об одном доказательстве теоремы о сумме внут-
внутренних углов треугольника Jj^
68. Как вычислять объем усеченной пирамиды? . . 1"
Глава V. Тригонометрия.
I. Примеры ложных рассуждений. 152
69.-J=0 -
70. Синус угла уменьшается, если к углу прибавить
360° 153
71. Косинус любого острого угла больше единицы —
72. 7>Т 154
73. 2«=4» . . . . , —
Ш

74. Площадь прямоугольника равна нулю 155
75. Существуют рапные треугольники, у которых не
все стороны равны .' 156
76. Каждый треугольник — прямоугольный .... 157
II. Анализ примеров , . 158
Глава VI. Приближенные вычисления.
Рассказы-объяснения по поводу ошибочных рассужде-
рассуждений 162
77. Сколько лет древней статуе? —
78. Все большие числа приближенно равны между
собой 163
79. О точности произведения приближенных чисел . 164
si па
80. Верна ли формула cos g~*gg? * '67
81. Сколько цифр надо знать в подкоренном числе,
чтобы получить корень с заданной точностью? . 168
82. Зачем освобождаются от иррациональности в зна-
знаменателе? ........,*„, i »,,..,,. 169
Владимир Модестович Брадис
Владимир Львович Минковский
Августа Константиновна Харчева
ОШИБКИ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЯХ
Редактор Я. И. Лепёшкина
Обложка художника В. П. Белякова
Художественный редактор А. В. Максаев
Технический редактор В. Л. Коваленко
Корректоры И. И. Багаева и К. А. Иванова
Сдано в набор 16/П 1959 г. Подписало к печати 11/VII 1959 г. 84Х108'/з2
Печ. л. 11 (9,02). Уч.-изд л. 7,99. Тираж 40 000 экз А 06062. Заказ №226.
Цена без переплета 2 руб. 15 коп., переплет 80 коп.
Учпедгиз Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Полиграфический комбинат Ярославского Совета народного хозяйства.
Ярославль, ул. Свободы, 97.