Как надо вычислять? - Брадис В.М.

Author: Брадис В.М.

Tags: математика

Year: 1960

Similar

Счетная логарифмическая линейка

Арифметика

Ошибки в математических рассуждениях

Text

В. М. БРАДИС
V Ч П Е
ГИЗ
I960
В. М. БРАДИС
КАК НАДО
ВЫЧИСЛЯТЬ?
ПОСОБИЕ
ДЛЯ УЧАЩИХСЯ V И VI КЛАССОВ
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва — 1960
Владимир Модестович Брадис
КАК НАДО ВЫЧИСЛЯТЬ?
Редактор Г. С. Уманский
Технический редактор Н. Н, Махова
♦ ♦ ♦
Сдано в набор 7/IV 1960 г. Подписано к печати
15/VIII 1960 г. 84X108732.
Печ. л. 5 (4,1) Уч.-изд. л. 3,75
Тираж 85 тыс. экз. А 08719
♦ ♦ ♦
Учпедгиз. Москва, 3-й проезд
Марьиной рощи, 41.
Полиграфкомбинат
Саратовского совнархоза,
г. Саратов, ул. Чернышевского, 59.
Заказ № 1381.
Цена 95 коп.
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ.
Это небольшое пособие представляет собой переработку 1 в
II выпусков книги, вышедшей в свет под тем же заглавием в серии
«Рабочая библиотека по математике для школ II ступени» под ре-
дакцией А. М. Воронца тремя выпусками. Выпуск I (первое из-
дание в 1929 г., переиздания в 1930 и 1932 гг.) содержал материал
по приближённым вычислениям на пятом году обучения; выпуск II
(первое издание в 1931 г., переиздание в 1932 г.) — разные до-
полнительные сведения о вычислительной работе на шестом, седь-
мом, восьмом годах обучения; выпуск III (1934 г.) — о вычисле-
ниях с помощью таблицы логарифмов и счетной логарифмической
линейки.
Настоящее издание предназначается для учащихся V и VI клас-
сов и содержит главным образом простейшие сведения по прибли-
жённым вычислениям, позволяющие с наименьшими затратами вре-
мени и сил решать те арифметические задачи практического ха-
рактера, в которых данные не подобраны искусственно с целью
упрощения необходимых выкладок Например, если сумму в 145 руб.
36 коп. надо с точностью до копеек разделить пропорционально
числам 5, 7, II, то ответ получается без затруднений благодаря
тому, что число 14 536 является кратным числу 5 + 7+ 11 = 23,
но затруднения возникают уже при замене подлежащей разделу
суммы, например, суммой 150 рублей. Такого рода затруднения
легко преодолимы, если пользоваться некоторыми простейшими
понятиями и правилами приближённых вычислений, дополняющими
обычный школьный курс арифметики и рассмотренными в пред-
лагаемом пособии.
Предназначенное для учителя более глубокое изложение вопро-
сов арифметики приближённых вычислений можно найти в книгах:
В. М Б р а д и с, Средства и способы элементарных вычисле-
ний, Учпедгиз, 1954;
В. У. Грибанов, Приближённые вычисления в средней
школе, Учпедгиз, 1958.
Попытки построения учебника арифметики для учащихся V
и VI классов средней школы, включающего важнейшие сведения
по арифметике приближённых вычислений, имеются в книгах:
И. К. Андронов, Арифметика дробных чисел и основных
величин, Учпедгиз, 1955;
И. К. Андронов и В. М. Брадис, Арифметика, Уч-
педгиз, 1957.
Методические соображения автора, которыми он руковод-
ствовался при написании настоящего пособия, изложены в его книге
«Методика преподавания математики в средней школе» (издание 3,
Учпедгиз, 1954). Основная его идея: обычный школьный курс
3
арифметики» рассматривающий почти исключительно операции
над числами, которые являются точными значениями соответст-
вующих величин, нуждается в небольшом, но существенном до-
бавлении, дающем важнейшие понятия и правила арифметики
приближённых вычислений. Необходимость такого добавления
становится всё более и более острой по мере того, как школьная
математика в соответствии с ходом общей перестройки школы пе-
рестраивается в направлении сближения с требованиями практи-
ческой жизни. Судя по многочисленным статьям, публикуемым в
наших журналах, эта основная идея завоёвывает себе всё большее
и большее признание. В деталях её реализации ещё много раз-
ногласий, и автор отнюдь не претендует на то, что рекомендуемые
им пути ознакомления учащихся с элементами приближённых
вычислений являются единственно возможными.
По-видимому, в настоящее время нельзя включать в обяза-
тельную программу школьного курса арифметики весь предлагае-
мый в книге материал. Однако кое-что можно использовать в круж-
ках и дополнительных заданиях. Кроме того, если сам учитель
признает его ценность и будет его использовать на уроках арифмети-
ки, не делая предметом специального изучения, он сэкономит мно-
го времени и сил, затрачиваемых учащимися на решение задач,
и создаст у них некоторые хорошие вычислительные навыки.
Буду весьма признателен за отклики на предлагаемую книгу
В. Брадис.
§ 1. ЧИСЛА ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ.
Всякое вычисление состоит в том, что мы, имея неко-
торые данные числа, находим посредством их некоторые
другие, искомые числа. Так, желая вычислить, сколько
листов стёкол надо купить для застекления дома, мы дол-
жны прежде всего сосчитать, сколько в доме рам, сколько
в каждой раме стёкол, затем должны узнать длину и ширину
каждого стекла, а также длину и ширину продажного
листа. Как видим, некоторые данные получаются путём
счёта, некоторые — путём измерения. Считая предметы,
мы иногда узнаём число их вполне точно. Так, мы точно
узнаём число стёкол в одной раме (положим, 6) и число
рам во всём доме (положим, 12). Но так бывает лишь тог-
да, когда числа сравнительно невелики. Пересчитывая
*же какое-нибудь более значительное собрание предметов,
мы большей частью узнаём число их только приближённо.
Один кружок юных натуралистов захотел выяснить, сколь-
ко деревьев растёт на бульварах и в садах их города. Со-
считали, оказалось 2183 дерева. Другой кружок (в том же
городе) выполнил эту же работу и получил число 2217.
Тогда первый кружок, чтобы узнать, кто же сосчитал верно,
ещё раз пересчитал деревья и получил уже число 2168.
В заключение решили, что в городе растет приближённо
2200 деревьев, и новых подсчётов больше не производили.
Легко понять, что установить точное число всех деревьев,
растущих в городе, очень трудно, даже, быть может, не-
возможно. Как тщательно ни организуй работу, всегда
остаётся опасность, что некоторые деревья при счёте бу-
дут пропущены, а некоторые сосчитаны дважды. Засох-
шие или полузасохшие деревья один счётчик будет счи-
тать, другой нет. В отношении деревьев, расположенных
на окраине города, трудно будет решить, считать ли их
в черте города или нет. Различая деревья и кусты, мы час-
то будем затрудняться при решении вопроса о том, счи-
тать ли данное растение деревом или кустом. Подобные
5
затруднения, а также многие другие встречаются при счё-
те всякого .большого собрания предметов. Поэтому при
счёте большого числа предметов получаются обыкновенно
только приближённые значения этого числа, или, как го-
ворят короче, приближённые числа. Сосчитать, сколько
на руке пальцев или сколько человек находится сейчас
в той комнате, где мы занимаемся, можно совершенно
точно. Но сосчитать, сколько человек живёт в городе или
сколько зёрен ржи идёт на 1 кГ, можно только прибли-
жённо.
Кроме счёта, данные для вычисления доставляет нам,
как мы видели, также измерение: измерение длины, веса,
времени и т. д. Измерение никогда не даёт точных чисел,
а всегда только приближённые. Положим, нужно узнать,
сколько весит железный гвоздь. Поместив его на одну
чашку весов, постепенно загружаем другую чашку гирь-
ками. Оказалось, что 18 Г мало (перетягивает гвоздь),
а 19 Г много (перетягивает чашка с гирьками), причём
при 18 Г стрелка коромысла отклонена от положения рав-
новесия меняле, чем при 19 Г. Если у нас нет гирек меньше
1 Г, то на этом и придётся закончить взвешивание; мы
установили, что вес гвоздя приближённо равен 18 Г. Имея
гирьки для долей грамма, мы можем взвесить гвоздь точ-
нее, если только наши весы эти доли грамма чувствуют.
Имея гирьки весом в дециграммы (сотни миллиграммов),
мы могли бы установить, что гвоздь весит, положим, боль-
ше 18,2Г и меньше 18,ЗГ. Если во втором случае стрелка
отклонена меньше, чем в первом, то мы скажем, что вес
гвоздя приближённо равен 18.3Г. Теперь мы знаем вес
гвоЗдя с большей точностью, чем раньше: тогда мы имели
вес с точностью до граммов, теперь — до десятых долей
грамма. Взяв гирьки ещё мельче и весы более чувстви-
тельные, мы могли бы узнать вес гвоздя ещё точнее: до
сотых и даже до тысячных долей грамма. Но мы никогда
не получим совершенно точного веса уже по той простой
причине, что сами гирьки не вполне точны. Так, продаж-
ная гирька в 1 Г считается верной, если она имеет вес,
отличающийся от I Г не более как на 3 мГ (на 3 миллиграм-
ма, или 0,003Г). Гирька же в 10 мГ (самая мелкая из тех,
какие приходится применять в школе) допускается к
употреблению, если имеет вес больше меньше 11 мГ.
Заметим ещё, что при самых точных взвешиваниях, про-
изводимых в специальных лабораториях со всеми мерами
6
предосторожности, вес предмета несколько изменяется
при каждом его перекладывании: вещество предмета сти-
рается, к предмету пристают пылинки и т. д. Это обстоя-
тельство ясно показывает, что узнать вес предмета можно
было бы лишь приближённо даже в том случае, если бы
гирьки были совершенно точны.
Так же обстоит дело и с измерением других величин:
длины, ёмкости, времени, силы тока и т. д. Например,
измерив длину и ширину прямоугольника посредством
линейки с делениями на сантиметры и миллиметры, мы
устанавливаем, что эта длина приближённо равна, поло-
жим, 57,3 см, а ширина приближённо равна 35,8 см. Здесь
мы узнали длину и ширину прямоугольника до десятых
долей сантиметра, или до миллиметров. Другими словами:
мы узнали целые сантиметры и десятые доли сантиметра,
т. е. миллиметры, сотые же доли сантиметра, равно как
и тысячные, десятитысячные и т. д., остались неизвест-
ными.
Производя вычисления с приближёнными данными,
мы получаем, конечно, только приближённые значения
искомых величин. Эти найденные вычислением приближён-
ные значения в свою очередь могут служить данными в
других задачах. Легко поэтому понять, что громадное боль-
шинство данных в разного рода задачах — числа приближён-
ные. Точные данные встречаются гораздо реже. Иногда
во избежание недоразумений их отмечают даже особым
знаком.
Конечно, нет надобности каждый раз указывать, что
данное число — точное, так как часто это бывает ясно и
без особого указания. Так, в задаче: сколько весят 5 кир-
пичэй, если вес одного кирпича 4,1 кГ— мы имеем два
данных числа, из которых первое (5) точное, второе (4,1)
приближённое.
Итак, получая для вычисления какие-либо данные,
мы прежде всего должны подумать о том, точные они
или приближённые.
Упражнения.
Укажите, какие из приведённых ниже данных являются
числами точными, какие — приближёнными.
1. Площадь пола классной комнаты 45 кв. м. В ней
4 окна площадью 3,6 кв. м каждое.
7
2. Школьник приобрёл 12 учебников. В школьной биб-
лиотеке 32 тысячи книг.
3. Билет для проезда в автобусе на расстояние в 164 км
стоит 27 руб. 50 коп.
§ 2. ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ.
Имея многозначные числа, точные и приближённые,
мы часто должны бываем округлять их, т. е. отбрасывать
одну или несколько последних их цифр. Напомним пра-
вило округления.
Если первая из отбрасываемых цифр есть 5 или более 5,
то последнюю из оставляемых цифр надо усилить, т. е.
увеличить на одну единицу. Усиления не делают, если
первая из отбрасываемых цифр меньше 5. Так, округляя
до целых числа 82,37 и 75,62, мы получаем числа 82 и 76.
Усиление делают для того, чтобы уменьшить так называе-
мую погрешность округления, т. е. разницу между перво-
начальным и округлённым числами. Действительно, за-
менив число 75,62 числом 75, мы имеем погрешность
округления, равную 75,62 — 75 = 0,62, заменив же его
числом 76, мы имеем погрешность округления, равную
только 76 — 75,62 = 0,38. Следовательно, здесь усиление
полезно. Но, заменяя число 82,37 числом 82 или 83, мы по-
лучаем погрешность округления, равную 82,37 — 82=0,37
(в первом случае) или 83 — 82,37 = 0,63 (во втором). Здесь
усиление не нужно. Говорят, что округление сделано
по недостатку или по избытку, смотря по тому, оставлена
последняя цифра без изменения или усилена.
Бывают случаи, когда округлять число можно только
по недостатку, и случаи, когда годится округление лишь
по избытку. Например, если класс, в котором 43 ученика,
взялся собрать один центнер (100 кГ) желудей, то на долю
каждого приходится 100 : 43=2,325...кГ. Округляя это част-
ное до десятых долей, мы получаем 2,3 по недостатку и 2,4
по избытку. Значение 2,3 ближе к точному, но если каж-
дый соберёт по 2,3 кГ, то всего получится 2,3-43 = 98,9 кГ,
т. е. меньше, чем надо. Поэтому здесь частное 2,325...
округляем по избытку и получаем задание для каждого
ученика 2,4 кГ. Другой пример: если у меня имеется 400 руб.
на 27 дней, я могу ежедневно тратить 400 : 27 = 14,814...
рубля, или, при округлении до целых, только 14, а не 15 руб-
8
лей, так как при ежедневном расходе 15 рублей на 27 дней
потребуется 15 - 27 = 405 рублей; здесь пригодно округ-
ление только по недостатку.
Особого упоминания требует случай, когда округление со-
стоит в Отбрасывании одной только цифры 5. Здесь погрешность
округления оказывается одинаковой в обоих случ1ях, т. е. при
усилении последней цифры и без такого усиления Так, округляя
до целых число 28,5, мы можем взять либо 28, либо 29: погрешность
округления равна оба раза 0,5 В таком случае применяют пра-
вило чётной цифры: если отбрасывается одна только цифра 5,
то последняя сохраняемая цифра оставляется без изменения, если
она чётная, и усиливается, если она нечётная. Например, округляя
по этому правилу числа
17,5; 18,5; 19,5; 20,5; 21,5; 22,5; 23,5
до целых единиц, получаем числа
18; 18; 20; 20; 22; 22; 24.
При соблюдении этого правила округление примерно одина-
ково часто будет увеличивать значение первоначального числа и
уменьшать его. Чётные же цифры предпочитают нечётным един-
ственно ввиду того, что иногда (например, при делении на 2J
чётные цифры более удобны, чем нечётные.
Следует заметить, что необходимости в соблюдении этого пра-
вила чётной цифры нет: в случае, если отбрасывается одна только
цифра 5, можно поступать по общему правилу, т. е. усиливать
последнюю сохраняемую цифру.
Числа округляют до целых, до десятых, до сотых и т. д.,
а также до десятков, до сотен и т. д. Это значит, что послед-
ней сохраняемой цифрой должна быть цифра целых, де-
сятых, сотых и т. д. или цифра десятков, сотен и т. д.
Так» округляя число 0,30851 до тысячных, получим 0,309,
а округляя число 86 435 до сотен, получим 86 400. Отбра-
сывая цифры в целой части числа, всегда заменяют их ну-
лями. Вместо «округлить до десятых» говорят «округлить
до первого десятичного знака», вместо «округлить до со-
тых» — «округлить до второго десятичного знака».
«Округлить до шестого десятичного знака» — значит то же,
что «округлить до миллионных долей».
Термин «десятичные знаки» не следует смешивать с
термином «значащие цифры». Десятичными знаками на-
зываются те цифры десятичной дроби, которые располо-
жены справа от запятой. Значащими цифрами числа на-
зываются все его цифры, кроме нулей, стоящих левее пер-
вой отличной от нуля цифры, и нулей, стоящих в конце
2 В. М. Брадис.
9
числа, если они стоят взамен неизвестных или отброшенных
цифр. Так, число 84,036 имеет 5 значащих цифр, но толь-
ко 3 десятичных знака. Число 0,0078 имеет 2 значащие
цифры, но 4 десятичных знака. Число 86400, которое мы
получили выше при округлении до сотен числа 86435,
имеет три значащие цифры, так как нули в конце числа
поставлены взамен отброшенных цифр и в счет значащих
цифр не идут. Но, говоря, что 1 м = 1000 .ям, мы имеем
в числе 1000 четыре значащие цифры. Здесь нули постав-
лены не взамен неизвестных или отброшенных цифр,
а обозначают отсутствие единиц некоторых разрядов:
метр содержит одну тысячу миллиметров и ни одной
сотни, ни одного десятка, ни одного отдельного милли-
метра.
Теперь становится понятным выражение «округлить
до стольких-то значащих цифр». Так, округляя числа
71,12 до двух значащих цифр, получим число 71, до трёх
—71,1, до одной — 70. Округляя число 0,02974 до трёх
значащих цифр, получим число 0,0297, до двух — 0,030,
до одной — 0,03.
Как видим, цифра нуль, находящаяся в конце целого
числа, может иметь два смысла: либо она означает отсут-
ствие единиц некоторого разряда и является значащей
цифрой, либо она поставлена взамен неизвестной или от-
брошенной цифры и значащей цифрой не считается. Хо-
рошо было бы употреблять нуль только в первом смысле,
т. е. как знак отсутствия единиц, а для обозначения неиз-
вестных или отброшенных цифр взять какой-нибудь дру-
гой знак, например знак вопроса (?). Тогда, округлив чис-
ло 71,12 до одной значащей цифры, мы получили бы в
результате число 7?. Запись: в городе 7??? жителей —
означала бы тогда, что нам известно число тысяч жителей
(7), но неизвестны цифры сотен, десятков, единиц. Такая
запись, однако, употребляется крайне редко. Мы иногда
будем ею пользоваться, но обычно будем обозначать неиз-
вестные или отброшенные цифры, подчёркивая их. Число
7??? записывать будем в виде 7000. Запись 65000 означа-
ет приближённое число с тремя значащими цифрами. В
нём известны цифры разряда десятков тысяч (6), разряда
тысяч (5), разряда сотен (0), цифры же десятков и единиц
неизвестны. Очень удобна запись такого числа в виде
«650 сотен» или как 6,50- 104 (104 является сокращённой
записью произведения 10-10-10-10).
10
Упражнения.
1. Округлите число 1,06682 до десятых долей, до со-
тых долей, до тысячных долей, до десятитысячных долей,
до целых.
2. Округлите число 0,505805 до 1, 2, 3, 4, 5 знача-
щих цифр.
3. Округлите число 409,51241 до сотых долей, до це-
лых, до десятков, до сотен.
4. Округлите число 6356,909 (расстояние от центра
Земли до её полюса в километрах) до 1,2, 3, 4, 5, 6
значащих цифр.
5. Сколько поездок должна сделать пятитонная маши-
на, чтобы перевезти 42 тонны груза? Перегрузка машины
не допускается.
6. Сколько детских платьев выйдет из 40 м ситца,
если на каждое требуется 2,4 м?
§ 3. О ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ.
Взвешивая гвоздь (§ 1), мы получили приближённое
значение его веса с двумя значащими цифрами, а именно
18 Г. Затем, применяя более мелкие гирьки, мы получили
другое приближённое значение, а именно 18,3 Г, имеющее
уже три значащие цифры. В первом случае мы установили
цифры десятков граммов (1) и единиц, т. е. целых грам-
мов (8), но ничего не могли сказать о долях грамма. Во
втором случае мы к первым двум ранее полученным циф-
рам присоединили ещё цифру десятых долей (3); но циф-
ры сотых, тысячных и т. д. долей грамма остались неизвест-
ными. Взяв гирьки ещё мельче и весы более чувствительные,
можно было бы узнать и цифру сотых долей грамма.
Положим, при этом получили число 18,27 Г. Три най-
денных числа: 18; 18,3; 18,27 — представляют собой при-
ближённые значения одной и той же величины (веса гвоздя),
взятые с разной точностью, а именно с 2, 3, 4 значащими
цифрами. Чем больше значащих цифр имеет приближён-
ное число, тем точнее оно выражает соответствующую вели-
чину. Заметим, что в школьной практике редко встречаются
приближённые числа, имеющие больше 4 значащих цифр.
При научных измерениях, когда принимаются все меры к то-
му, чтобы добиться наибольшей точности, удаётся получать
2*
11
приближённые числа до 8 значащих цифр и лишь в исклю-
чительных случаях более.
Сделаем два важных замечания о записи приближённых
чисел, касающихся употребления цифры 0.
Во-первых, получая (в результате счёта, измерения,
округления, вычисления) приближённое число с нулями
в конце дробной части, мы не должны этих нулей отбрасы-
вать, так как иначе наш результат будет искажён. Так,
установив, что некоторый предмет весит 8,30Г, мы узнали,
сколько целых граммов (8), десятых долей (3) и сотых
долей грамма (0) содержит его вес. Неизвестными ос-
тались более мелкие доли грамма, начиная с тысячных до-
лей. Вес найден приближённо с 3 значащими цифрами.
Зачеркнув же цифру 0 на конце, мы получим приближённое
значение веса (8,ЗГ) лишь с 2 значащими цифрами: о
цифре сотых долей мы уже ничего не знаем. Таким образом,
зачёркивание нулей в конце дробной части приближённого
числа равносильно его округлению. Понятно далее, что
приписывание нулей в конце дробной части приближённого
числа совершенно недопустимо, так как давало бы невер-
ное представление о точности этого приближённого чис-
ла. Узнав, например, что некоторый отрезок (на чертеже)
имеет длину 26,5 мм, мы не имеем права сказать, что он
имеет длину 26,50 мм, так как это означало бы, что мы
сумели узнать не только десятые доли миллиметра, ко-
торых оказалось 5, но и сотые его доли, которых оказалось
0, тогда как в действительности мы о цифре сотых ничего
не знаем. Конечно, в точном числе нули приписывать мож-
но. Например, вместо того чтобы сказать, что 1 мм = 0,1см,
мы можем сказать, что 1 мм = 0,10 см или 0,100 сл1ит. д.
Во-вторых, напомним ещё раз о необходимости разли-
чать двоякий смысл цифры 0, находящейся в конце целого
числа. Как мы уже указывали в предыдущем параграфе,
такой 0 может быть значащей цифрой, но может быть по-
ставлен взамен неизвестной или отброшенной цифры. В
последнем случае будем цифру 0 подчёркивать. Так, желая
выразить, что стакан вмещает 2 сотни кубических санти-
метров, причём десятки и единицы кубических сантимет-
ров остаются неизвестными, мы будем писать так: «стакан
вмещает 200 куб. см». Запись «стакан вмещает 200 куб. см»
означала бы, что нам известны не только сотни куби-
ческих сантиметров (2), но и десятки (0) и единицы их
(тоже 0). Отметим, что подчёркивания нулей можно избе-
12
жать, выражая приближённые числа в единицах высшего раз-
ряда. Например, вспоминая, что 1000 куб. см= \куб. дм,
можем вместо 200 куб. см написать 0,2 куб. дм. Вместо
того чтобы писать, что население города 2650 человек,
можно написать 2,65 тысячи человек.
Упражнения.
1. На плане, приложенном к проекту устройства водо-
провода, помечено, что одна указанная на плане точка рас-
положена выше другой на 8,00м. Объясните, зачем здесь
поставлены в конце два нуля.
2. Какая разница между двумя записями: «температура
37°» и «температура 37,0°»?
3. Какая разница между записями 8000, 8000, 8000,
8000?
4. Запишите следующие приближённые числа, пользуясь
более крупными мерами: 146000 Г, 320 мм, 27000 кв. м
§ 4. КАК НАДО СЧИТАТЬ И ИЗМЕРЯТЬ?
Если, считая какие-либо предметы, мы не надеемся
узнать число их точно, то счёт надо произвести несколько
раз, по крайней мере три раза, а затем взять арифмети-
ческое среднее из всех полученных чисел. Положим, на-
пример, нам дано некоторое количество ржи и предложено
узнать, сколько зёрен приходится на каждые ЮГ веса.
Конечно, отвесив 10 Г, мы могли бы сосчитать совершенно
точно, сколько здесь зёрен. Но так как зёрна не вполне
одинаковы, да и отвесить 10 Г вполне точно нельзя, то дру-
гие ЮГ могут содержать несколько иное число зёрен.
Интерес представляет среднее число, а потому возь-
мём несколько, скажем 5, «навесок» ржи по ЮГ каждая,
причём взвешивание будем вести по возможности точнее,
по крайней мере до десятых долей грамма, т. е. берём не
по 10, а по 10,0 Г. Сосчитав число зёрен в каждой навеске,
мы получим, положим, такие числа:
308, 332, 326, 341, 305.
Берём сумму этих чисел и делим её на их число. Деле-
ние 1612 на 5 даёт 322,4. Остаётся выяснить, какие цифры
13
в этом среднем надёжны, какие нет, и надлежащим обра-
зом округлить результат’. Каждый раз, считая число зё-
рен, мы получали по 3 сотни. Цифра сотен (3) поэтому
безусловно надёжна. Цифра же десятков получалась не
одна и та же, она колебалась от 0 до 4. Следовательно, в
среднем арифметическом цифра десятков не вполне надёжна.
Что же касается цифры единиц и тем более цифры десятых
долей, то при не вполне надёжной цифре десятков они уже
никакого доверия не заслуживают и являются безусловно
ненадёжными. Надёжную цифру сотен и не вполне надёж-
ную цифру десятков мы сохраним, остальные же две от-
бросим, заменив цифру единиц подчёркнутым нулём. Итак,
приходим к окончательному заключению, что Каждые 10 Г
ржи из данного образца содержат в среднем приближённо
320 зёрен. Здесь мы получили результат в виде приближён-
ного числа с двумя значащими цифрами.
Итак, определив среднее арифметическое, его округ-
ляют, сохраняя в нём все надёжные и одну не вполне на-
дёжную цифру, все же последующие цифры отбрасывают.
Подобным же образом надо поступать и при измерении.
Желая, например, найти расстояние от школы до почты,
отмечают прежде всего те точки, от которой и до которой
будут измерять, а также выясняют ту линию, вдоль ко-
торой будут измерять, и делают измерение несколько раз.
Такое измерение удобнее всего делать рулеткой. Положим,
измерение сделано 4 раза и получены такие числа:
2805,8 м9 2889,3 м9 2895,0 м9 2830,5 м.
Здесь среднее равно 11420,6 : 4 = 2855,15 (м). Цифры
тысяч и сотен во всех измерениях получились одинаковые,
цифра же десятков колеблется. Поэтому среднее округляем
до десятков и получаем для искомого расстояния число
2860 м9 или 2,86 км.
Если цифра какого-нибудь разряда в результатах изме-
рений (или счёта) колеблется очень мало, то цифру соот-
ветствующего разряда в среднем арифметическом можно
считать вполне надёжной. В таких случаях удобнее найти
уклонения результатов отдельных измерений от среднего
арифметического, т. е. разности между этими результатами
и средним. Пусть некоторое измерение было проделано
три раза и дало такие результаты:
3997, 4002, 4005.
14
Здесь среднее равно 12004 :3 = 4001,3... Как его
округлить? С первого взгляда может показаться, что здесь
мы не имеем ни одной вполне надёжной цифры и только
одну не вполне надёжную — первую цифру 4. Но посмот-
рим, как велики уклонения результатов отдельных изме-
рений от среднего арифметического.
Результаты отдельных
измерений.
3997
4002
4005
Уклонения.
4001,3 — 3997 ^4,3
4002 — 4001,3 ^0,7
4005 — 4001,3 ^3,7
Уклонения, как видим, достигают нескольких единиц,
но не достигают одного десятка. Это позволяет нам счи-
тать первой не вполне надёжной цифрой среднего арифме-
тического цифру единиц. Поэтому среднее округляем
до целых и получаем в окончательном результате число
4001 (приближённое число с 4 значащими цифрами).
При вычислении среднего арифметического в большин-
стве случаев в частном получается периодическая дробь.
Полезно принять за правило всегда округлять это частное,
сохраняя в нём лишь одну цифру сверх тех, какие имеются
в результатах отдельных измерений, а потом уже находить
уклонения.
Рекомендуем записывать всё вычисление, как пока-
зано ниже:
Результаты отдель- ных измерений (в метрах) Уклонения от среднего
51,63 0,352
52,12 0,138
52,20 0,218
51,87 0,112
51,91 0,072
52,16 0,178
Сумма 311,89 Среднее 51,982
Окончательный результат 52,0 м.
15
В некоторых случаях можно и не делать повторных
измерений, так как в результате сразу получается прибли-
жённое число, все цифры которого надёжны. Например,
измеряя длину карандаша посредством линейки с деле-
ниями на миллиметры, мы легко установим приближён-
ное значение этой длины с точностью до миллиметра. Так,
получив для длины карандаша число 134 мм, мы имеем
здесь все цифры надёжные.
Итак, все приближённые результаты счёта и измере-
ния будем всегда округлять так, чтобы в них оставались
только надёжные цифры и лишь одна не вполне надёжная.
Тогда по самому виду приближённого числа, без каких
бы то ни было дополнительных указаний, можно судить
о его точности. Например, если написано, что предмет
весит 241,0 Г, то это значит, что взвешивание дало целые
граммы и десятые доли грамма, неизвестной остаётся
иирра сотых долей. Запись: «предмет весит 241 Г» —
означала бы, что взвешивание произведено до граммов, т. е.
что десятые доли грамма остаются неизвестными.
Упражнения.
1. Желая узнать, сколько человек пришло в школу
на спектакль, четверо ребят принялись считать всех на-
ходящихся в зале. Один насчитал 187 человек, другой —
192, третий — 191, четвёртый — 185. Найдите среднее и
округлите его надлежащим образом.
2. Взвешивая один и тот же кусок металла 5 раз, по-
лучили числа: 31,16 Г, 31,57 Г, 31,33 Г, 31,41 Г, 31,27 Г.
Найдите среднее и округлите его.
3. Измерив расстояние между двумя телеграфными
столбами, получили числа 39,85 м, 40,04 м, 39,79 м,
39, 98 м. Как оценить это расстояние? (Найдите среднее и
округлите его.)
4. Начертите квадрат со стороной в 10,00 см и измерь-
те как можно точнее его диагональ.
5. Начертите прямоугольник со сторонами 8,00 см
и 12,00 см, проведите в нём диагональ и измерьте (транс-
портиром) как можно точнее углы, которые диагональ
составляет со сторонами прямоугольника.
6. Начертите на клетчатой бумаге (каждое деление
5 мм) круг радиусом в 10,0 делений (как можно точнее)
и сосчитайте, сколько квадратиков оказалось внутри кру-
!б
га. Когда квадратик находится на самой границе, то сяк*
тайте его, если внутри круга находится часть его, большая
половины, и не считайте, если внутри круга находится
меньше его половины. Повторите счёт несколько раз,
каждый раз вычерчивая новый круг, и возьмите среднее.
7. Найдите среднее число своих шагов, которые де-
лаете на расстоянии в 100 м.
8. Начертите на глаз отрезок длиной в 50 мм и про-
верьте точность построения, измеряя этот отрезок милли-
метровой линейкой. На сколько миллиметров он оказал-
ся больше или меньше, чем требуется? Сколько процен-
тов от 50 составляет эта ошибка (или погрешность) постро-
ения?
§ 5. О ВЫЧИСЛЕНИЯХ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ДАННЫМИ.
В учебнике арифметики подробно рассмотрены дей*
ствия над точными числами, как целыми, так и дробными.
Некоторые дополнительные сведения о вычислениях с
точными числами будут даны ниже, в § 13 и 14. Теперь же
мы займёмся вычислениями с приближёнными числами,
о которых в учебнике говорится очень мало. При этом мы
будем рассматривать только действия над приближёнными
целыми числами и приближёнными десятичными дробя-
ми, совершенно оставляя в стороне дроби обыкновенные.
Дело в том, что любую обыкновенную дробь простым деле»
нием числителя на знаменатель можно обратить в дробь
десятичную; действия же над десятичными дробями во-
обще выполняются проще, чем над дробями обыкновен-
ными. Поэтому обыкновенными дробями на практике
пользуются только тогда, когда знаменатели этих дробей
малы, как например у дробей^, —и т. д. Встречая
х о о 4 о
37
же дробь с многозначным знаменателем, вроде, заме-
няют ее десятичной дробью = 0,17209...). При обра-
щении обыкновенной дроби в десятичную большей частью
получается бесконечная пер юдическая др )бь, и в каждом
отдельном случае надо сссбразить, со сксл! кими цифрами
следует брать приближённее частнсе. В дальнейшем
выясняются те правила, какими при этом приходится
руководствоваться, а пока решим одну простую задачу.
3 В. М. Бради^
17
Книга имеет 248 страниц и толщину (без переплёта)
13 мм. Другая книга имеет 326 страниц и толщину (тоже!
без переплёта) 15 мм. Требуется вычислить, в какой кни-
ге бумага толще и на сколько.
Первая книга содержит 248 страниц, т. е. 124 листа,
вторая —326 страниц, т. е. 163 листа. Толщина листа
13
первой книги равна, следовательно, мм, а второй —
15
У63- мм, Чтобы сравнить эти две обыкновенные дроби, их
надо либо привести к одному знаменателю, либо обратить
в десятичные. Последний способ проще, его и приме-
няем:
13 : 124 = 0,1048... 15 : 163 = 0,0920...
Ограничиваясь тысячными долями миллиметра, за-
мечаем, что в первой книге бумага имеет толщину листа
приближённо 0,105 мм, а во второйГ—0,092 мм, т. е. на
0,013 мм меньше, чем в первой. Правила, о которых речь
будет идти дальше, говорят, что в этом ответе последняя
цифра (3) ненадёжна. Её следует отбросить и формулиро-
вать ответ так: во второй книге бумага тоньше, чем в пер-
вой, приближённо на 0,01 мм. Следует, заметить, что ты-
сячная доля миллиметра называется короче микроном.
Итак, во второй книге бумага тоньше, чем в первой,
на 10 микронов.
Рассмотрим последовательно различные арифметиче-
ские действия над приближёнными числами, выраженными
десятичными дробями.
§ 6. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ.
Положим, требуется найти сумму х десяти дробей:
х = 4" + iV Г* ’
О / У 11 10 10 1/ 1У Z1 ZO
обратив предварительно каждую из них в десятичную с
точностью до сотых долей. Выполняя такое обращение,
получаем:
х 0,33 + 0,14 + 0,11 + 0,09 + 0,08 + 0,07 +
+ 0,06 + 0,05 + 0,05 + 0,04.
х^ 1,02.
18
Здесь, как и в дальнейшем, мы ставим знак чтобы
показать, что равенство только приближённое.
В каждом из 10 слагаемых было два десятичных знака,
с двумя же десятичными знаками мы получили и сумму.
Естественно возникает вопрос, насколько надежён второй
десятичный знак в этой сумме. В каждом слагаемом мы
отбрасывали цифру тысячных долей (и все последующие),
усиливая согласно правилу округления цифру сотых,
если цифра тысячных есть 5 или больше. Не повлияло ли
это десятикратное отбрасывание тысячных на цифру со-
тых в сумме, не произошло ли накопления погрешностей?
Вспомнив, что некоторые слагаемые округлены по недо-
статку, другие по избытку, мы вправе высказать пред-
положение, что погрешности одних слагаемых, по крайней
мере отчасти, исправляют погрешности других слагаемых
и что в результате в силу этого цифра сотых все же должна
^ыть сохранена, хотя она и не вполне надёжна. Чтобы
проверить справедливость такого предположения, прове-
дём вычисление х ещё раз, обращая все слагаемые в де-
сятичные дроби уже не с двумя, а с четырьмя десятичными
знаками.
Теперь получаем:
х 0,3333 + 0,1429 + 0,1111 + 0,0909 + 0,0769 +
+ 0,0667 + 0,0588 + 0,0526 + 0,0476 + 0,0435 = 1,0243.
х 1,0243.
Как видим, первое вычисление дало точную цифру
сотых долей суммы. Наше предположение вполне под-
твердилось. В других случаях последний десятичный знак
суммы приближённых слагаемых, имеющих поровну де-
сятичных знаков, может оказаться и не вполне точным.
Можно искусственно подобрать даже и такие примеры,
где он будет совсем неверен. Однако более глубокие со-
ображения, понимание которых возможно лишь при зна-
нии высшей математики, показывают, что, складывая или
вычитая приближённые числа, получаемые в результате
счёта или измерения и имеющие одинаковое число деся-
тичных знаков, мы можем с доверием отнестись и ко всем
десятичным знакам результата, если только число слага-
емых не слишком велико.
Иначе обстоит дело в тех случаях, когда приближённые
данные имеют разное число десятичных знаков. Положим,
нам известно, что стеклянный пузырёк весит 52,3 Г, пробка
з*
19
к нему—0,75 Г. Мы влили в него 35 Г воды, отмерив её
мензуркой (стаканчик с делениями). Каков общий вес
пузырька с водой и пробкой? В первом слагаемом мы знаем
Десятые доли, но не знаем ни сотых, ни тысячных. Во
втором — знаем десятые и сотые, но не знаем тысячных.
В третьем — знаем только целые. Перепишем все слага-
емые, заменив неизвестные их цифры знаками вопроса,
и выполним сложение:
52,3??
+ 0,75?
35,???
88,05?
Чтобы получить цифру сотых суммы, мы должны сло-
жить неизвестную цифру сотых первого слагаемого с
цифрой 5 второго слагаемого и неизвестной же цифрой
третьего слагаемого. Мы написали в сумме цифру 5, но
совершенно ясно, что никакого доверия она не заслужива-
ет. Так же обстоит дело и с цифрой десятых. Необходи-
мо отбросить совсем ненадёжные Цифры десятых и сотых
долей суммы. Получаем число 88 Г, которое и даёт от-
вет на поставленный вопрос.
Подобным же образом приходится поступать и при
вычитании. Отнимая, например, от приближённого чис-
ла 2,8 приближённое же число 1,248, мы получаем в ре-
зультате число, в котором только цифры целых и десятых
заслуживают доверия, остальные же должны быть отбро-
шены:
2,8???
— С 248?
~Т,552?~
1,6
Рассмотренные примеры убеждают нас в целесообразно-
сти такого правила: при сложении и вычитании прибли-
жённых чисел в результате следует сохранять столько
десятичных знаков, сколько их имеет наименее точное
данное, причём менее точным данным считается то, в ко-
тором меньше десятичных знаков.
20
Заметим, что точные данные, если они имеются, в рас-
чёт принимать вовсе не надо, так как в точном числе мож-
но приписать сколько угодно нулей справа.
Так, вычисляя сумму:
2,4 + 13,85 4- 0,047,
где первое слагаемое точное, второе — приближённое, имею-
щее два десятичных знака, и третье — приближённое, име-
ющее три десятичных знака, мы должны округлить резуль-
тат до сотых:
2,4000
, 13,85??
0,047?
16,2970
16,30
При сложении и вычитании целых приближённых чи-
сел приходится руководствоваться теми же соображения-
ми, что и при сложении и вычитании дробных прибли-
жённых чисел. Пусть нам приближённо известна числен-
ность населения четырёх городов: в первом 26 тысяч че-
ловек, или 26 000, во втором 3800, в третьем 2900, в чет-
вёртом ИЗО. Таким образом, численность населения пер-
вого города известна с точностью до тысяч, второго и
третьего — до сотен, четвёртого — до десятков (понятно,
что чем меньше город, тем точнее можно сосчитать число
его жителей). Желая узнать численность населения всех
четырёх городов вместе, складываем данные числа и замеча-
ем, что в результате только две первые цифры надёжны.
Только их и сохраняем, отбрасывая все последующие.
26 090
3800
“Г 2 900
1 130
33 830
34 000
Итак, население всех 4 городов вместе — 34 тысячи
человек.
Служащий одного музея уверял, что хранящаяся в
этом музее статуя сделана 4008 лет назад, и доказывал
21
это лицам, сомневавшимся в возможности столь точного
определения возраста статуи, следующим образом: «Когда
я поступил на Службу в музей, — говорил он, — директор
музея сказал мне, что статуе 4000 лет. Я служу в музее
уже 8 лет. Значит, теперь статуе 4000 + 8 = 4008 лет».
Служащий, очевидно, не понимал, что число 4000 лет —
приближённое, имеющее, по-видимому, лишь одну на-
дзжнуо значащую цифру (4). Число это, таким образом,
правильнее было бы написать в виде 4000, или 4 тысячи.
Сумму 4008 надо, следовательно, округлить, сохраняя
в ней только одну цифру тысяч, что даст опять то же самое
число 4000, или 4 тысячи. Служащий мог бы служить в
музее не 8, а 80 лет, и все же возраст статуи оставался бы
всё время один и тот же: четыре тысячи лет.
Чтобы покончить со сложением и вычитанием прибли-
жённых чисел, упомянем .об одном неприятном для вы-
числителя явлении — о так называемой «потере точности
при вычитании» (правильнее было бы говорить «потеря
значащих цифр»). Чтобы понять это явление, рассмотрим
пример. Расстояние от центра Земли до любой точки на
экваторе равно 6378,4 км, а до каждого из полюсов 6356,9 км.
(Згмля, таким образом, немного сплющена.)' На сколь-
ко первое расстояние длиннее второго? Произведя вычи-
тание, находим, что разность равна 21,5 км. Число деся-
тичных знаков в разности одинаково с числом десятичных
знаков в каждом из данных — везде по одному. Но число
значащих цифр резко изменилось: в каждом из данных
было по 5 значащих цифр, разность же их имеет только 3.
Это обстоятельство, как мы увидим далее, имеет большое
значение, если над полученным результатом придётся
выполнять ещё другие действия, кроме сложения и вы-
читания.
Подобная «потеря значащих цифр» имеет место всегда,
если приходится производить вычитание чисел, близких
друг к другу.
Упражнения.
1. Найдите значение Г^8'““Гс^32“с4’
обращая все дроби в десятичные с 3 десятичными знаками.
Для проверки сделайте вычисление ещё раз уже в обык-
новенных дробях и сравните результаты.
22
2. В стену каменного дома заделан нивелировочный
знак (репер), относительно которого известно, что он
находится выше уровня моря на 62,342 м. Конёк крыши
дома согласно нашему измерению находится выше репера
на 15,3 м. Найти высоту конька крыши над уровнем моря.
3. Обрезок стальной оси представляет собой цилиндр
с цилиндрической же головкой и выступом. В цилиндре
сделан канал (дырка) для шпильки. Найти объём обрезка,
зная, что согласно произведённым измерениям и вычисле-
ниям объём цилиндра равен 161,7 куб.см, головки—
21,9куб. см, выступа—0,287 куб. см, канала — 2,90 куб. см.
4. Начертите произвольный пятиугольник, поставив
наудачу 5 точек и соединив их отрезками прямых линий,
и измерьте транспортиром каждый из внутренних углов,
а затем найдите их сумму. Проделайте эту работу несколь-
ко раз, каждый раз с новым пятиугольником.
5. Найдите значение х по формуле
__i_ । 1 j__L । 1 । 1 । 1
Х ~ 1-2 ' 2-3 ' 3.4“г 4-5 |'5.6-г' 6-7 ' 7-8 + 8-9’
обращая каждое слагаемое в десятичную дробь с тремя
десятичными знаками. Затем,' заменяя каждое слагаемое
разностью двух дробей (догадайтесь, каких), сообразите,
каким значительно более простым способом можно найти
х, и вычислите х этим способом с 5 десятичными знаками,
§ 7. УМНОЖЕНИЕ ПРИБЛИЖЁННЫХ ЧИСЕЛ.
Положим, имеется прямоугольник, стороны которого
равны приближённо 45,6 см и 21,8 см, и надо найти его
площадь. Как известно, для этого надо перемножить числа,
выражающие длины сторон. Выполнив умножение, полут
чаем число 994,08 кв. см. Какие же цифры этого произве-
дения надёжны и какие ненадёжны и должны, следователь-
но, быть отброшены?
При сложении и вычитании приближённых чисел мы
смотрим, сколько десятичных знаков имеет каждое при-
ближённое данное, и сохраняем в результате столько деся-
тичных знаков, сколько их имеет наименее точное данное,
причём наименее точным данным считается то, в котором
меньше десятичных знаков. При умножении же количе-
ство десятичных знаков для оценки точности никакого
значения не имеет, так как при изменении положения
23
•апятой во множимом (или во множителе, или в обоих вме-
сте) в произведении изменяется лишь положение запятой,
цифровой же состав произведения остаётся неизменным.
То правило, какое мы получили для определения числа
надёжных цифр в сумме и разности, для произведения,
очевидно, совершенно непригодно.
Рассмотрим подробно умножение двух данных выше
приближённых сомножителей, поставив знак вопроса вме-
сто неизвестной цифры сотых долей в каждом.
у 45,6?
х 21,8?
?!??."?
36 148 ?
45 >6?
912 '?
994,;08 ??
994
От умножения множимого 45,6? на неизвестную цифру
множителя (?) получается первое частное произведение,
содержащее либо 4, либо 5 цифр. Например, при умноже-
нии на 2 получилось бы число, изображаемое четырьмя
значащими цифрами (91,2?), при умножении на 5—уже
пятью значащими цифрами (218,0?), при умножении на
9— тоже пятью цифрами (400,4?). Таким образом, цифра
старшего разряда первого частного произведения, обозна-
ченная знаком «?», есть самое большее 4. Рассматривая,
как произошла каждая цифра окончательного произве-
дения, видим, что две первые его цифры вполне надёжны,
третья1 же, происшедшая от сложения знака вопроса с
цифрами 6, 5, 2, уже не вполне надёжна, тем более что
в неё должны перейти десятки, получаемые при сложении
цифр ближайшего справа столбца. Четвёртая и пятая
цифры произведения (0 и 8) уже вовсе ненадёжны. Отсюда
заключаем, что в произведении следует сохранить три пер-
вые цифры, последние же две надо отбросить. Итак, ис-
комая площадь прямоугольника приближённо равна
994 кв. см. Здесь, перемножая два приближённых числа с
тремя значащими цифрами каждое, мы получили произве-
дение тоже с тремя значащими цифрами. Выразив дац-
24
ные в миллиметрах, мы получили бы в произведении
99 400 кв. мм. Выразив их в дециметрах, мы получили бы
в произведении 9,94 кв. дм.
В рассмотренном примере два числа с тремя значащи-
ми цифрами дали в произведении (до его округления) чис-
ло с пятью значащими цифрами. Чаще, однако, произведем
ние двух чисел с тремя значащими цифрами есть число
с шестью значащими цифрами. Так, умножая 95,6 на 21,8
получаем 2084,08. Здесь уже первые три цифры про-
изведения надёжны, четвёртая и последующие — нена-
дёжны, в чём легко убедиться, рассматривая происхо-
ждение каждой цифры окончательного произведения:
у 95,6?
х 21,8?
!? ?? ??
7'6 48 ?
9'5 6?
191-2 ?
208’4,08 ??
208 0
В первом частном произведении либо 4, либо 5 знача-
щих цифр, причём пятая с конца цифра может быть уже
самое большее 8, так как 95,6?-9 = 860,4?. Как видим,
в результате всего умножения получилось число, в кото-
ром третья значащая цифра (8) может иметь лишь очень
незначительную погрешность (от перехода десятков, по-
лучаемых при сложении цифр ближайшего справа столб-
ца). Сохраняя три первые значащие цифры произведения
и отбрасывая последующие его цифры, получаем ответ
2080.
Рассматривая разные примеры умножения прибли-
жённого числа с тремя значащими цифрами на другое
с таким же числом значащих цифр, мы встретим случаи,
когда даже в третьей значащей цифре произведения бу-
дет довольно значительная погрешность, а также случаи,
когда не только первые три, но и четвёртая цифра про-
изведения оказываются надёжными. Однако такие случаи
встречаются редко, а в громадном большинстве случаев
произведение двух приближённых чисел, с тремя знача-
щими цифрами в каждом, имеет как раз три надёжные
цифры, которые только и следует сохранять, отбрасывая
4 В. М Брадис.
25
все последующие. Точно так же при умножении двух при-
ближённых чисел с двумя значащими цифрами получа-
ются две надёжные цифры в произведении, двух чисел с
одной значащей цифрой в каждом—одна цифра, двух
чисел с четырьмя значащими цифрами — четыре цифры
и т. д. Вообще получаем следующее практическое правило
умножения приближённых чисел: при умножении двух
приближённых чисел, имеющих поровну значащих цифр,
в произведении следует сохранять столько значащих
цифр, сколько их было в каждом сомножителе.
Важно заметить, что при применении этого прави-
ла может получиться число, последняя цифра которого
имеет довольно значительную погрешность, а именно до-
ходящую до 6 единиц, но не выше (при условии, что дан-
ные приближённые сомножители получены посредством
округления некоторых точных чисел). Пусть, например,
имеются точные сомножители 10,49 и 9,949, дающие точ-
ное произведение 104,36501. Округляя эти сомножите-
ли до двух значащих цифр, получаем приближённые чис-
ла 10 и 9,9, имеющие по две значащие цифры каждое. Их
произведение 99,0 округляем согласно правилу до двух
значащих цифр и получаем приближённое произведение
99. Сравнивая его с точным произведением (104,36501),
убеждаемся, что оно имеет погрешность около 5~ едини-
цы (разряда последней цифры). Однако такая большая
погрешность может встретиться лишь при исключитель-
но неблагоприятном стечении обстоятельств, что бывает
крайне редко. Действительно, более глубокие соображе-
ния показывают, что в среднем на каждые 100 умножений
двух приближённых чисел, имеющих равное число (на-
пример, по три) значащих цифр и полученных путём
округления точных чисел, 92 раза встречается погреш-
ность не превышающая одной единицы разряда третьей
значащей цифры произведения, 6 раз — погрешность, боль-
нГая 1 и меньшая 2 единиц этого разряда, 2 раза — по-
грешность, большая 2 и меньшая 3 единиц. Погрешность
от 3 до 4 единиц встречается в среднем 5 раз нр каж-
дые 1000 умножений, а погрешность от 4 до 6 — лишь 6
раз на каждые 10 000 умножений. Погрешности, большие
6 единиц, не могут встретиться никогда (при условии, что
данные сомножители получены в результате округления
соответствующих точных чисел).
26
Чтобы получить эти числа («числа частот»), необхо-
димо применение высшей математики. Однако нетрудно
сделать опыт, который приблизительно подтвердит пра*
вильность этого расчёта. Такой опыт требует большой вы-
числительной работы и труден, если его производить од-
ному. Но при коллективной работе группы в 20—30 чело-
век сделать его можно в 15—20 минут. Пусть каждый
участник группы возьмёт несколько пар совершенно про-
извольных трёхзначных чисел (цифры пишутся каждым
наудачу) и проделает с ними такие операции: 1) перемно-
жит числа каждой пары и поставит запятую после двух
первых значащих цифр произведения (эти произведения
будем считать точными); 2) округлит все взятые произ-
вольные трёхзначные числа до целых десятков (ко-
нечно, соблюдая правила округления, рассмотренные в
§ 2); 3) перемножит округлённые числа каждой пары и
поставит запятую после первых двух значащих цифр
каждого произведения (эти произведения — приближён-
ные); 4) найдёт разницу между точным и приближённым
произведениями. При этом каждый записывает свои вы-
числения по следующей «схеме».
I пара II пара III пара IV пара
Произвольные трёхзнач- ные числа (Л и В). . . . 195 и 927 747 и 853 331 и 252 684 и 122
Их произведение (АВ) (запятая после 2 цифр). . 18,0765 63,7191 83,412 83,448
Те же числа после округ- ления до 2 значащих цифр (а и Ь)......... 20 и 93 75 и 85 33 и 25 68 и 12
Их произведение (ab) (запятая после 2 цифр) . . 18,60 63,75 82,5 81,6
Разница между АВ и ab (погрешность ab) 0,5235 0,0309 0,912 1,848
Здесь сделано 4 умножения, причём погрешность три
раза оказалась меньше 1 и один раз между 1 и 2.

27
Вот результат такого действительно проделанного «мас-
сового» опыта, когда было взято 200 пар чисел:
погрешность меньше 1 встретилась 186 раз, или в сред-
нем 93 раза на 100;
погрешность от 1 до 2 встретилась 10 раз, или в среднем
5 раз на 100;
погрешность от 2 до 3 встретилась 3 раза, или в среднем
1,5 раза на 100;
погрешность от 3 до 4 встретилась 1 раз, или в среднем
0,5 раза на 100;
погрешность от 4 до 6 встретилась 0 раз, или в среднем
0 раз на 100.
Всего 200 умножений.
Сопоставляя результаты этого опыта с теми «числами
частот», какие были приведены выше, замечаем, что опыт
теорию подтверждает. Некоторое расхождение между ре-
зультатами опыта и теорией объясняется тем, что теория
даёт только средние числа, к которым результаты опыта
тем ближе, чем больше проделано умножений.
Возьмём ещё пример на применение правила умножения
приближённых чисел.
3 1
Надо найти произведение обращая каждый
сомножитель в десятичную дробь с четырьмя значащими
цифрами.
12 = 1,4285... 1,429; 4 = 0,022222...
7 4о
0,02222;
1,429 . 0,02222 = 0,03175238^ 0,03175.
Здесь мы округлили произведение до четырёх знача-
щих цифр, так как столько их имеет каждый сомножитель.
Для проверки найдём произведение данных обыкновенных
дробей, не обращая их в десятичные, но обращая в деся-
тичную дробь результат:
4 Г5-^-а = °.°31746(>
Сравнивая это точное произведение с неокруглённым
произведением приближённых сомножителей 0,03175238,
замечаем, что в этом последнем три первые значащие цифры
(3, 1, 1} точны, четвёртая же не вполне точна (надо 4, а
там 5). Поэтому мы сделали правильно, округлив это произ-
ведение приближённых сомножителей до четырёх значащих
28
цифр. Округление точного произведения до четырёх зна-
чащих цифр даёт тот же результат 0,03175.
Теперь посмотрим, сколько надёжных цифр имеет
произведение, получаемое от умножения двух приближён-
ных чисел, данных с разным числом значащих цифр. Най-
5 1
дём произведение уу на 2у, обращая первую дробь в де-
сятичную с двумя значащими цифрами, а вторую — с
четырьмя:
А = 0,4545... ж 0,45; 2 1= 2,1428...» 2,143;
0,45 • 2,143 = 0,96435.
Чтобы узнать, какие цифры этого приближённого
произведения следует сохранить, какие отбросить, найдём
произведение точно и обратим его в десятичную дробь:
5 о 1 5-15 75
— -2 — =------ = — = О 9740
11 7 11-7 77
Как видим, уже вторая значащая цифра приближён-
ного произведения не вполне точна. Следовательно, в дан-
ном случае в произведении (числа с двумя значащими циф-
рами на число с четырьмя значащими цифрами) следует
сохранить две значащие цифры, остальные отбросить:
0,45-2,143 = 0,96435 0,96.
К тому же заключению приходим, рассматривая про-
5 1
изведение ур на бу и обращая первый сомножитель в де-
сятичную дробь, например, с двумя значащими цифрами,
а второй — с тремя:
^=0,4545...0,45; бу = 6,1428 .
0,45 . 6,14 = 2,7630^2,8.
Проверка:
5 д 1 ___ 5-43 _ 215 _ су 7Q
11 ’ 7 - ТГТ“ 77 ~ z’ Уф"
Рассматривая произведение двух приближённых чи-
сел различной точности, можно опять воспользоваться
знаками вопроса: 2 143?
Х 0,45?
?;? ????
107 15?
857 2?
"0964 35??
6,14;
0,96!
6,|4?
х0,45?
1?? ???
3'|07 О?
2 4.56 ?
2,7;63 О??
2,8!
29
Мы приходим, таким образом, к правилу: при умноже-
нии приближённых чисел в результате следует сохранять
столько значащих цифр, сколько их имеет менее точное
данное, причём менее точным считается то число, у кото-
торого меньше значащих цифр.
Более детальное рассмотрение показывает, что, при-
меняя это правило, мы большей частью будем иметь лишь
незначительную погрешность в последней значащей цифре
округлённого произведения. Только в крайне редких,
исключительных случаях погрешность может оказаться
в несколько единиц разряда последней цифры, но во вся-
ком случае она будет меньше 6. Проверить это можно по-
средством массового опыта, подобного тому, какой описан
выше.
Это же правило применяется и в случае умножения
приближённого числа на точное (или наоборот). Действи-
тельно, всякое точное число можно считать имеющим
неограниченное число значащих цифр (возможно припи-
сывание скольких угодно нулей справа). Так, желая
узнать периметр правильного восьмиугольника, каждая сто-
рона которого оказалась по измерении равной 6,57 см,
мы должны приближённое число 6,57 умножить на точное
число 8 = 8,000... Здесь приближённое число с тре-
мя значащими цифрами есть менее точный сомножитель,
а потому и в произведении надо сохранить тоже три зна-
чащие цифры:
6,57 см-8 = 52,56 си ^52,6 см.
Упражнения.
1. Узнайте, чему равны произведения 5-д .2^-; 4^*^;
з 11
11’18’ ДВУМЯ способами: во-первых, обращая каж-
дую обыкновенную дробь в десятичную, перемножая де-
сятичные Дроби и округляя результат; во-вторых, пере-
множая обыкновенные дроби и обращая результат в де-
сятичную дробь. При обращении чисел первой пары возь-
мите по 4 десятичных знака, второй — по 3, третьей —
по 2. Сравните результаты, полученные обоими способами.
2. В рассказе, переведённом с английского, читаем,
что отряду пришлось пройти 216 миль. Зная, что англий-
ская миля составляет 1,609 км, найти, сколько километ-
ров прошёл отряд.
30
3. Сосчитайте, сколько букв содержит в среднем одна
строчка этой книги и сколько строк содержит в среднем
одна её страница, а затем найдите, сколько приближённо
букв во всей книге.
4. Сторона правильного шестиугольника приближённо
равна 2,82 см. Найти его периметр.
5. Зная, что сторона квадрата 2,13 м, найти, сколько
квадратных метров содержит его площадь.
6. Земля в своём движении вокруг Солнца делает
приближённо 30 км в 1 сек. Какой путь проходит Земля в
1 час?
7. Объём стеклянной пластинки 156 куб. см. Найти
её вес, если 1 куб. см стекла весит 2,5 Г.
8. Диаметр колеса равен 67 см. Зная, что длина всякой
окружности приближенно в 3,14 раза больше её диаметра,
найти длину окружности колеса.
9. Если растягивать железную проволоку, то она ра-
зорвётся при нагрузке около 40 кГ на каждый квадрат-
ный миллиметр сечения. При какой нагрузке разорвётся
проволока с сечением в 18 кв. мм?
10. Среднесуточный съём стали с 1 кв. м площади мар-
теновской печи в пятой пятилетке (1951 —1955 гг.) увели-
чился по сравнению с предыдущей пятилеткой на 22,2%.
Чему равен съём стали с 1 кв. м площади в конце пя-
той пятилетки, если в четвёртой пятилетке он равнялся
•5„36 т?
§ 8. ДЕЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЁННЫХ ЧИСЕЛ.
При делении приближённых чисел применяются те же
самые правила, что и при умножении, а именно: при деле-
нии двух приближённых чисел, имеющих одинаковое число
значащих цифр, в частном следует сохранять столько зна-
чащих цифр, сколько их в каждом из данных; если же дан-
ные имеют не поровну значащих цифр, то в частном сле-
дует сохранять столько значащих цифр, сколько их в ме-
нее точном данном, причём менее точным считается число,
имеющее меньше значащих цифр.
Положим, мы установили (измерением длины и взве-
шиванием), что железная полоса длиной в 2,18 м весит
9,36 кГ, и желаем узнать, сколько весит 1 м этой полосы.
Для этого надо разделить 9,36 (приближённое число с
тремя значащими цифрами) на 2,1*8 (тоже приближённое
31
число с тремя значащими цифрами). Выполняем деление,
псставив вместо неизвестной четвёртой цифры каждого
числа знак вопроса:
9,36:? : 2,18? = 4,29
8,72?
64!??
43;б?
20:4??
19:62?
•78??
Все цифры правее вертикальной пунктирной черты со-
вершенно ненадёжны, а потому производить деление даль-
ше нельзя. Как видим, при делении двух приближённых
чисел, имеющих по три значащие цифры каждое, оказа-
лось в настоящем случае возможным получить три знача-
щие цифры в частном, но не более.
2 1
Сделаем ещё двумя способами деление числа 2— на 3-=-
о 7
1-й с п о с о б: 2-| =2,6666... як 2,667; Зу =3,1428...«
як 3,143; 2,667 : 3,143 = 0,84855... 0,8486.
2-й способ: 2-|- : 3^- = = 0,848484... як
0,8485.
Выполняя деление первым способом, мы округлили
частное до четырёх значащих цифр, так как каж-
дое из данных имело по четыре значащие цифры. Срав-
нивая полученные обоими способами результаты, заме-
чаем, что наше правило подтвердилось и здесь: при деле-
нии двух приближённых чисел с четырьмя значащими
цифрами четвёртая значащая цифра частного оказалась
не вполне точной. Сохранить эту четвёртую цифру част-
ного, однако, стоит, так как погрешность в ней невелика
(1 единица), брать же последующие цифры частного нет
никакого смысла.
Рассмотрим теперь пример на деление приближённых
чисел, имеющих разное число значащих цифр.
Кусок алюминия весит 654,7 Г. Зная, что алюминий
в 2,6 раза тяжелее воды и что 1 куб. см воды весит 1 Г,
найти объём этого куска алюминия.
32
Здесь нам надо выполнить деление числа 654,7 (при-
ближённое число с четырьмя значащими цифрами) на чис-
ло 2,6 (приближённое число с двумя значащими цифрами).
Поступаем согласно правилу, т. е. берём в частном столь-
ко значащих цифр, сколько, их имеет менее точное данное,
а именно две:
654,7 : 2,6 = 6547 : 26 = 251,8 ...^ 250.
Итак, вода в объёме взятого куска алюминия весит
250 Г, или 0,25 кГ, а потому объём куска 250 куб. сму или
0,25 куб. дм.
Чтобы убедиться в том, что здесь действительно можно
получить лишь две заслуживающие доверия цифры в
частном, выполним деление со знаками вопроса:
654,7? : 2,6? = 65!47? : 26? = 250
52;?
1347
1з;о ?
|47?
Цифры, написанные правее пунктирной вертикальной
черты, вовсе ненадёжны, деления дальше продолжать
нельзя. Замечая с самого начала, что частное должно иметь
3 цифры (цифры сотен, десятков, единиц), приписываем
к двум найденным его цифрам (2 и 5) ещё цифру 0, но под-
чёркиваем её, чтобы показать, что она заменяет какую-то
неизвестную цифру.
Как и произведение приближённых чисел, частное двух
приближённых чисел, округлённое согласно правилу, мо-
жет в исключительных случаях иметь довольно значитель-
ную погрешность в последней цифре. Теория приближённых
вычислений устанавливает, что при делении, например,
приближённого числа с двумя значащими цифрами на
другое с таким же числом значащих цифр (предполагая,
что оба эти числа получены путём округления точных чи-
сел) на каждые 100 делений мы получим в среднем 93 ра-
за частное с погрешностью, не превосходящей 1 единицы
разряда второй значащей цифры, 6 раз — с погрешностью
от 1 до 2 и только 1 раз — с погрешностью больше 2. При
этом погрешность больше 2 и меньше 4 встречается в
среднем 13 раз на 1000 делений, больше 4 и меньше 6 встре-
чается 7 раз на 10 000 делений, больше 6 и меньше 10
встречается 2 раза на 10000 делений. Погрешность больше
5 В. М. Брадис
33
10,5 единицы разряда второй значащей цифры частного
встретиться никогда не может.
Проверить правильность этого расчёта можно посред-
ством опыта, производимого целой группой. Вот образец
вычисления, • какое должен проделать каждый участник
такой работы:
I пара II пара III пара IV пара
Произвольные трёхзнач- ные числа А и В 792 и 128 822 и 501 551 и 354 672 и 872
Частное от деления А на В (запятая после 2-й значащей цифры) 61,87... 16,407... 15/56... 77,38...
Те же числа А и В, округлённые до 2 значащих цифр (а и Ь) 79 и 13 82 и 50 55 и 35 67 и 87
Частное от деления а на b (запятая после 2-й значащей цифры) 60,76... 16,40... 15,71... 77,01...
А а Разница между — и — В b Ml 0,007... 0,15... 0,37...
Проделав такой опыт с большим числом пар чисел,
убедимся, что действительно в частном от деления двух
двузначных приближённых чисел следует сохранять две
первые значащие цифры, но не более.
Упражнения.
1. Найдите частные от деления 4-^- на 12-j-; 74 на
о 4 7
1 3 7
8 з"• 1 "Тб на ДВУМЯ спос°бами (во-первых, обращая каж-
дое данное в десятичную дробь и производя деление деся-
тичных дробей; во-вторых, производя деление в обыкно-
венных дробях и обращая частные в десятичные дроби).
Числа первой пары обратите в десятичные дроби с двумя
значащими цифрами, второй — с тремя, третьей — с че-
34
тырьмя. Результаты, полученные обоими способами, срав-
ните.
2. Отвесив 250,ОГ свинцовой дроби и всыпав эту дробь
в мензурку с водой, мы заметили, что объём этой дроби
равен приближённо 22 куб. см. Сколько граммов весит
1 куб. см свинца?
3. Измерив окружность круглого бревна и его диаметр,
получили числа 108 см и 34 см. Во сколько раз эта окруж-
ность длиннее своего диаметра?
4. Зная, что отношение длины окружности к её диаметру,
обычно обозначаемое буквой л (читается «пи»), прибли-
жённо равно 3,14, найти значение —•
тс
5. Чтобы найти диаметр проволоки, её намотали на
палку, укладывая витки рядом друг с другом и притом
как можно плотнее. Оказалось, что 22 витка заняли 9,0 мм
по длине палки. Найдите диаметр проволоки.
6. Поезд прошёл расстояние в 166 км = 166000 м за
3 часа 48 минут = 228 минут. Найти среднюю скорость
поезда в метрах в секунду.
7. Находясь на расстоянии 2,0 км от фабрики, мы за-
мечаем, что между моментом появления облачка пара над
гудком (на фабричной трубе) и моментом, когда мы слышим
звук гудка, проходит около 7 сек. Найти скорость звука.
8. Какой ширины должна быть полоса земли, чтобы
при длине 164 м она имела площадь 860 кв. м?
9. Железная трубка, имевшая при температуре в 16°С
длину 1000,0 мм, при пропускании через неё паров кипя-
щей воды удлинилась до 1001,0 мм. Найти удлинение, вы-
зываемое нагреванием на 1° (температура паров кипящей
воды 100°С).
§ 9. ОКРУГЛЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.
Если для решения задачи надо выполнить несколько
действий, то окончательный результат мы получаем после
выполнения последнего действия; промежуточные действия
дают результаты промежуточные. Округляя каждый про-
межуточный результат согласно рассмотренным выше пра-
вилам, мы к погрешности от неточности данных присое-
диняем ещё погрешность округления. Эти погрешности
округления накопляются и могут в конце концов оказать
заметное влияние на окончательный результат. Оказы-
5*
35
вается, что влияние это можно устранить почти целиком,
если во всех промежуточных результатах брать не столько
цифр, сколько указывают рассмотренные выше правила,
а одной цифрой больше. Эту запасную цифру, как не-
надёжную, будем подчёркивать. В окончательном резуль-
тате её, конечно, надо отбрасывать.
Поясним это правило округления промежуточных ре-
зультатов двумя примерами.
Положим, надо вычислить сумму произведений
х = 2,18.3,6 + 3,74 . 1,8 + 4,06.2,4 + 8,61 . 0,90,
где первый сомножитель каждого произведения — при-
ближённое число с тремя значащими цифрами, второй же —
с двумя.
Проведём это вычисление: 1) без запасной цифры в
промежуточных результатах, 2) с одной запасной цифрой,
3) с двумя запасными цифрами. Решение записываем по
следующей схеме (умножения выполняются где-нибудь
в стороне): С одной С двумя
Без запасной цифры запасной запасными
цифрой цифрами
2,18-3,6 «7,8 7,85 7,848
3,74-1,8 «6,7 6,73 6,732
4,06-2,4 «9,7 9,74 9,744
8,61-0,90 « 7,7 7,75 7,749
Сумма х « 31,9 32.07 32,073
х« 31,9 32,1 32,1
Как видим, сохранение одной запасной цифры в данном
случае оказало заметное влияние на окончательный резуль-
тат. Вторая же запасная цифра оказалась бесполезной.
Узнаем ещё, сколько граммов весит 1 куб. см дубового
дерева, если измерения показали, что находящийся в
нашем распоряжении дубовый брусок (в форме прямо-
угольного параллелепипеда) имеет размеры 4,3сл<х5,8 смХ
XIZJcm, а вес его 260Л
Проведём вычисления, как и в предыдущей задаче, три
раза.
Площадь основания:
4,3 . 5,8^25(кв. см)-, 4,3 . 5,8 ^24,9(/св.ои);
4,3 • 5,8 « 24£4(кв.см).
36
Объём бруска:
25 • 12,7 as 320 (куб.см)-, 24,9 . 12,7 as 316 (куб.см)-,
24,94 • 12,7^316,7 (куб.см).
Вес 1 куб. см:
260 : 320 ^0,81(Г); 260 : 316^0,82 (Г)-
260 : 316,7 as 0,82 (Г).
Здесь, как и в предшествующей задаче, сохранение од-
ной запасной цифры в промежуточных результатах ока-
зало некоторое влияние на последнюю цифру окончатель-
ного результата, вторая же запасная цифра ничего не из-
менила.
Иногда, особенно при решении задач в 2—3 действия,
бывает, что вычисление с одной запасной цифрой в проме-
жуточных результатах приводит к тому же окончательному
результату, что и вычисление без запасной цифры. Одна-
ко осторожности ради будем всегда брать эту одну запас-
ную цифру. При решении особенно сложных вычислитель-
ных задач лучше брать даже две запасные цифры, так как
это в некоторых случаях может способствовать получению
более точного результата.
Упражнения.
1. Зная, что ребро куба имеет длину 2,54 см, опреде-
лить его объём. Вычисление произвести три раза (без за-
пасной цифры в промежуточном результате, с одной за-
пасной цифрой, с двумя запасными цифрами).
2. Найти произведение разности чисел 18,94 и 17,5
на число 65, считая все данные приближёнными числами.
Вычисление провести два раза (без запасной цифры и с
одной запасной цифрой).
§ 10. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ОКРУГЛЕНИЕ БОЛЕЕ ТОЧНЫХ
ДАННЫХ.
Пусть требуется сложить 4 приближённых числа:
2,4; 7,1645; 1,2517; 0,8813.
Так как первое приближённое слагаемое имеет один
десятичный знак, остальные же по четыре десятичных
37
знака, то согласно правилу сложения приближённых чи-
сел в сумме сохраняем только один десятичный знак:
2,4
7,1645
4- 1,2517
0,8813
11,6975
11,7
Здесь более высокая точность трёх последних слагаемых
оказалась бесполезной и их лишние десятичные знаки
доставили только лишнюю вычислительную работу. Ес-
тественно, возникает вопрос: нельзя ли заранее округлить
эти более точные слагаемые с таким расчётом, чтобы точ-
ность окончательного результата от этого не пострадала
и чтобы бесполезной работы делать не приходилось? Ока-
зывается, такое предварительное округление более точ-
ных данных вполне возможно, надо только, чтобы не ввести
заметной лишней погрешности, сохранить в каждом бо-
лее точном слагаемом один запасной десятичный знак
сравнительно с наименее точным (по числу десятичных
знаков) слагаемым. В самом деле, сделаем сложение ука-
занных выше приближённых слагаемых ещё раз, предва-
рительно округляя последние три слагаемых до одного
десятичного знака (запасной цифры нет), а затем повто-
рим сложение, округляя предварительно каждое более
точное слагаемое до двух десятичных знаков, т. е. ос-
тавляя одну запасную цифру:
2,4 7,2 1,3 0,9 Н.8 2,4 _1_ 7,16 “Г 1,25 0,88 11,69 11,7
Кяк видим, предварительное округление данных с
сохранением одного запасного десятичного знака привело
к тому же самому результату, что и сложение без предва-
рительного округления. Предварительное же округление
без запасной цифры дало результат, немного отличающий-
ся от этого более точного (11,8 вместо 11,7).
38
То же самое приходится делать и в отношении действий
умножения и деления, если данные имеют разную точность
(напомним, что при этих действиях точность данных оце-
нивается не по числу десятичных знаков, а по числу зна-
чащих цифр). Те данные, которые имеют больше значащих
цифр, чем другие данные, надо предварительно округлять,
сохраняя в них только одну лишнюю (запасную) значащую
цифру.
Встречая в старых книгах данные в старых русских
мерах, мы часто бываем вынуждены переводить их в со-
временные метрические. Положим, требуется перевести
в килограммы вес, равный 3 пудам 18 фунтам, или 128 фун-
там. Известно, что 1 фунт равен 0,40951241 кГ. Для ре-
шения задачи надо умножить это последнее число (при-
ближённое число с восемью значащими цифрами) на 138
(приближённое число с тремя значащими цифрами). Со-
гласно правилу умножения приближённых чисел резуль-
тат надо будет округлить до трёх значащих цифр. Сделаем
это умножение: 1) без предварительного округления более
точного сомножителя, 2) с предварительным его округле-
нием до четырёх значащих цифр, т. е. с сохранением одной
запасной цифры, 3) с предварительным его округлением
до трёх значащих цифр, т. е. без сохранения запасной цифры:
0,40951241 X 138 0,4095 X 138 0,410 XI 38
3 27609928 3 2760 1 38
12 2853723 12 285 55 2
40 951241 40 95 56,580
56,51271258 56,5110 56,6
56,5 56,5
Как видим, предварительное округление более точного
данного с сохранением одной запасной цифры привело к
тому же самому результату (при значительном уменьше-
нии вычислительной работы), что и умножение без предва-
рительного округления. Предварительное округление без
сохранения запасной цифры дало результат, немного от-
личающийся от первоначального.
Узнаем ещё, чему равен диаметр круглого столба,
длина окружности основания которого оказалась по из-
мерении равной 87 см. Как известно, всякая окружность
длиннее своего диаметра в 3,1415926... раза. Это число
39
обычно обозначается греческой буквой я. Итак, для реше-
ния нашей задачи надо разделить 87 (приближённое чис-
ло с двумя значащими цифрами) на число л (выше указа-
но приближённое значение л с восемью значащими цифрами).
Сделаем это деление три раза, округляя л до 2, 3, 4 знача-
щих цифр:
87 : 3,1 = 870 : 31 = 28,0... « 28
62
250
248
20
87 : 3,14 = 8700 : 314 = 27,7... « 28
(28
2420
2198
2220
87 : 3,142 = 87000 : 3142 = 27,6... « 28
6248
24160
21994
21660
Как видим, здесь даже при отсутствии запасной цифры
результат получился тот же, что при одной или двух за-
пасных цифрах. Итак, искомый поперечник столба равен
28 см.
Осторожности ради мы всегда, делая предварительное
округление более точных данных, будем сохранять в них
одну запасную цифру.
Число л, с которым мы сейчас имели дело и которое
показывает, во сколько раз окружность длиннее своего
диаметра, встречается в вычислениях очень часто. Смотря
по тому, какова точность других данных, входящих в ту
же задачу, это число л приходится брать с различной точ-
ностью. Так, при умножении или делении л на число, имею-
щее лишь одну отдельную цифру, для л следует брать зна-
чение 3,1. В других случаях л приходится брать с 3, 4, 5
и т. д. значащими цифрами (3,14; 3,142; 3,1416 и т. д.).
Покойный Я. И. Перельман, автор ряда инте-
реснейших книг по математике и физике, предложил за-
40
помнить фразу: «Что я знаю о кругах». Заменяя каждое
слово этой фразы цифрой, выражающей число букв, по-
лучаем число 3,1416, представляющее собой значение л
с точностью, достаточной для решения большинства прак-
тических задач.
Упражнения.
1. Найдите сумму 18600 + 3720 + 4145 + 1839 три
раза (с предварительным округлением более точных дан-
ных без запасных цифр, с одной запасной цифрой, с дву-
мя запасными цифрами).
2. Найдите, скольким лошадиным силам равна мощность
электростанции с объявленной мощностью в 40 000 кило-
ватт, если известно, что 1 киловатт 1,360 лошадиной
силы. Вычисление проведите, как и в предшествующей
задаче, три раза.
3. Найдите вес чугунной отливки объёмом 9364 куб. см,
зная, что 1 куб, см чугуна весит 7,ЗГ.
4. Город с населением в 12465 человек занимает плсщадь
в 9,6 кв. км. Сколько человек живёт в среднем на 1 кв км?
5. Всякая окружность длиннее своего диаметра в 3,14159...
раза. Чему равен диаметр круглого резервуара для нефти,
имеющего 27 м в окружности?
§ 11. ПРИМЕРЫ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
с приближенными числами
Решим несколько задач, применяя все установленные
выше правила действий над приближёнными числамй.
I. Вычислить выражение
Н
12
двумя способами: 1) обращая все обыкновенные дроби в
десятичные с двумя десятичными знаками и проводя вычис-
ление в десятичных дробях; 2) проводя вычисление в
обыкновенных дробях и обращая в десятичную дробь лишь
окончательный результат.
41
Первый способ. 1) 2—= 2,833... .^2,83;
г 6
2) 11= 1,875 1»88; 3) 23- = 23,333... ^23,33; 4) 2^ =
= 2,916... ^2,92; 5) 2,83-1,88 = 0,95; 6) 0,95 . 23,33^
^0,95 . 23,3 = 22,135^22,1; 7) 22,1 : 2,92 = 7,568..*«
7,6.
Итак, ответ мы получили только с двумя значащими
цифрами, хотя все приближённые данные мы имели с тремя
и даже четырьмя значащими цифрами. Причина этого —
потеря одной значащей цифры при вычитании в действии
(5). В действии (6) мы должны были умножить приближённое
число с двумя значащими цифрами на приближённое чис-
ло с четырьмя значащими цифрами и применили предвари-
тельное округление последнего до трёх значащих цифр.
о v х lx о5 .7 о20 .21 23
Второй способ. 1) 2g-- 1- = 2й— 1—
9ч?3 9Ч1 _ 23 . 70 _ 805. 0x805.911 _ 805- 12 _ 161 _ 23 _
Z'24’Zd3 24-3 36 ; J,36 ,212 “ 36 • 35 3-7 “ 3 “
Итак, первый способ дал число 7,6 (приближённое
число с двумя значащими цифрами), второй же — число
2
7х- (точное). Чтобы сравнить эти результаты, обращаем
О
2
последнее число в десятичную дробь. Получаем 7Т=
= 7,666... Оба способа, таким образом, дали согласные ре-
зультаты. Заметим, что неокруглённый окончательный
результат, полученный первым способом, имел третью
значащую цифр^ вовсе неверную, и мы сделали совершен-
но правильно, округлив его согласно правилу деления при-
ближённых чисел до двух значащих цифр.
II. На паровой машине установлен измеритель давле-
ния пара в котле (манометр), показывающий давление в
старых русских мерах: фунтах на 1 квадратный дюйм.
Выразить в метрических мерах, а именно в килограммах
на 1 квадратный сантиметр, давление, равное согласно
показанию этого манометра 80 фунтам на квадратный дюйм,
считая, что в последнем числе обе цифры заслуживают
доверия.
Из справочника узнаём, что 1 дюйм^2,540 см и
1 фунт ^0,4095 кГ.
42
Решение.
1) 80 фунтов в килограммах 0,410-80 32,8;
2) 1 кв. дюйм в кв. см 2,54-2,54 ^6,4516^6,45;
3) Искомое давление в кГ на 1 кв. см 32,8 : 6,45 =
= 5,08... ^5,1.
Ответ. Давление в 80 фунтов на 1 кв. дюйм равно
давлению в 5,1 кГ на 1 - кв, см.
При решении этой задачи мы имели одно приближённое
данное (80) с двумя значащими цифрами и два приближён-
ных данных (2,540 и 0,4095) с четырьмя значащими цифра-
ми каждое. Эти последние, более точные данные мы округ-
лили, сохраняя в каждом лишь по три значащие цифры.
III. Желая узнать, бколько граммов весит 1 куб. см
керосина, взяли небольшой стеклянный пузырёк и взве-
сили его три раза: первый раз — пустым (оказалось 24,8 Г),
второй раз — с водой (оказалось 74,6 Г), третий раз — с
керосином (оказалось 64,9 Г). Водой и керосином пузырёк
наполняли до одного и- того же уровня (до чёрточки на
горлышке). Пользуясь этими данными, легко вычислить,
сколько граммов весит 1 куб. см керосина. Надо только
помнить, что 1 куб. см воды имеет вес 1 Г, причём это по-
следнее данное считаем точным, пренебрегая, следователь-
но, тем небольшим изменением веса 1 куб. см воды, какое,
как известно, вызывается изменением температуры.
Приводим ход решения и результаты, получаемые в
каждом действии:
Вес керосина в пузырьке 64,9 — 24,8= 40,1 (Г).
Вес воды в пузырьке 74,6 — 24,8= 49,8 (Г).
Объём пузырька (до чёрточки) 49,8 куб. см.
Вес 1 куб. см керосина 40,1:49,8 = 0,8052... 0,805 (Г).
Ответ. 1 куб. см керосина весит 0,805 Г.
IV. Имеется прямоугольный кусок листового железа
и нужно по возможности точнее найти его толщину. Не-
посредственное измерение линейкой с делениями даёт
эту толщину весьма неточно: она оказывается равной при-
ближённо ^мм = 0,05 см (приближённое число с одной
значащей цифрой, да и то не вполне надёжной). Лучший
результат даёт применение особого прибора («микрометра»),
позволяющего найти эту толщину с точностью до сотых
долей миллиметра. Но такой точности можно достичь и
без этого прибора, а именно определяя сначала вес куска
43
(взвешиванием), затем его объём (вычислением, пользуясь
тем, что вес 1 куб. см железа известен и равен 7,8 Г), по-
том его площадь (находя длину и ширину непосредствен-
ным измерением) и, наконец, его толщину (рассматривая
кусок листа как прямоугольный параллелепипед с очень
малой высотой, которая является толщиной листа).
Вот запись всего решения:
Вес куска железного листа 149,3 Г (найдено взвешиванием).
Вес 1 куб. см железа 7,8 Г (взято из справочника).
Объём куска 149,3:7,8 — 19,14... 19,1(кг/б. см).
Длина и ширина куска 32,3 см и 12,7 см (найдено измерением).
Площадь куска (площадь основания параллелепипеда)
32,3-12,7 = 410,21 % 410,2 (кв. см).
Толщина куска (высота параллелепипеда)
19,1:410,2 = 0,0465... « 0,047 (см).
Ответ. Толщина данного куска железного листа 0,047 см, или
0,47 мм.
Итак, косвенный способ измерения толщины че-
рез взвешивание дал значительно более точное приближён-
ное её значение, чем способ непосредственного
её измерения линейкой. Теперь мы знаем толщину листа
с двумя значащими цифрами.
V. Имеется кожаный ремень и надо выяснить, какое
натяжение он может выдержать, не разрываясь. Из спра-
вочников известно, что ремень разрывается, если на каж-
дый квадратный сантиметр поперечного сечения приходит-
ся напряжение («нагрузка») от 240 до 280 килограммов.
Измерения показали, что толщина нашего ремня колеб-
лется от 3 до 4 мм, а ширина его составляет приблизитель-
но 25 мм. Примем среднюю толщину ремня равной 3,5 мм,
или 0,35 см (приближённое число с одной надёжной зна-
чащей цифрой), ширину — равной 25 мм = 2,5 см (прибли-
жённое число с двумя надёжными значащими цифрами),
разрушающую нагрузку — равной 260 кГ на 1 кв. см (при-
ближённое число с одной надёжной значащей цифрой).
Отсюда:
площадь поперечного сечения ремня:
0,35-2,5 = 0,875 0,88(/св. см),
нагрузка, разрывающая ремень:
260-0,88 = 228,80 « 230(ке),
44
Если мы будем считать допустимой нагрузку, состав-
ляющую одну третью часть той, при которой происходит
разрыв ремня, т. е. примем, как говорят, «трёхкратный
запас прочности», то нам останется разделить число 230
на 3. Получая в частном 76,6..., округляем это число до
одной значащей цифры и получаем в окончательном отве-
те число 80 кГ. Итак, допустима нагрузка ремня до 80кГ
(приближённое число с одной значащей цифрой).
У пражнения.
к 1 . . 5
5 —г- 4 —
1 d 3^6 «р2
1. Вычислите выражение ---j-----7
7----6 —
2 12
двумя способами: 1) обращая все обыкновенные дроби в
десятичные с тремя десятичными знаками и проводя вы-
числение в десятичных дробях; 2) проводя вычисление в
обыкновенных дробях и обращая в десятичную дробь
только окончательный результат. Все данные считаем
точными.
2. Желая узнать вес 1 куб. см железа, взяли прямоуголь-
ную железную пластинку, нашли её длину, ширину и тол-
щину и потом её взвесили. Оказалось, что длина пластинки
12,3 см, ширина 8,4 см, толщина 3,2 см, вес 2576 Г. Най-
ти вес 1 куб. см.
3. Латунную гирю в 500 Г взвесили, погрузив её в
воду (привязав её предварительно на тонкой нитке к чашке
весов), и оказалось, что в воде она весит только 442 Г.
Припоминая, что всякое тело теряет при погружении в
жидкость столько, сколько весит жидкость в его объёме
и что I куб. см воды весит 1 Г, найти вес 1 куб. см латуни,
из которой сделана гиря.
4. Медную прямоугольную пластинку покрыли тонким
слоем никеля с одной стороны. Желая найти толщину слоя
никеля, пластинку взвесили перед никелировкой (оказал-
ся вес 48,7 Г) и после неё (оказался вес 49,5 Г), а также
нашли её длину (11,3 см) и ширину (6,5 см). Согласно спра-
вочнику удельный вес никеля 8,9, т. е. 1 куб. см никеля
весит 8,9 Г. Пользуясь всеми этими данными, найти тол-
щину слоя никеля.
45
5. Принимая, что Земля движется вокруг Солнца по
кругу радиуса 149 миллионов километров и совершает
полный оборот в 365,26 суток, вычислить, какой путь
проходит Земля в 1 сек. (окружность длиннее своего диа-
метра в 3,14159... раза).
§ 12. ВЫЧИСЛЕНИЯ С НАПЕРЕД НАЗНАЧЕННОЙ ТОЧНОСТЬЮ»
В задачах на вычисление нередко бывает заранее ука-
зано, с какой точностью (т. е. с каким числом значащих
цифр или с каким числом десятичных знаков) надо полу-
чить окончательный результат, данные же при этом можно
брать с произвольной точностью (до известной степени).
Пусть, например, требуется найти значение х по формуле
1 1 I 1 1 I 1 1 । 1 1
3 5 7 9 1 11 13 ‘ 15 17
до сотых долей, обращая каждую из данных обыкновенных
дробей в десятичную. Со сколькими десятичными знаками
вести это обращение? Очевидно, не меньше чем с двумя,
так как, взяв значение дробей с одним десятичным знаком,
мы и значение х получим тоже только с одним десятич-
ным знаком. Однако здесь, как и в других подобных слу-
чаях, выгодно брать один лишний (запасной) десятичный
знак, который в окончательном результате отбрасывается,
и вести вычисление не с двумя, а с тремя десятичными зна-
ками. Действительно, проведём вычисление с двумя, тре-
мя, четырьмя, пятью десятичными знаками, полагая х =
гДе$ =3 + 7 +-п+т5’ 51 Э'^Тз'^ТГ*
1 5 0,20 0,200 0,2000 0,20000
9 0,11 0,111 0,1111 0,11111
1 13 0,08 0,077 0,0769 0,07692
J_ 17 0,06 0,059 0,0588 0,05882
S> 0,45 0,447 0,4468 0,44685
46
1 3 0,33 0,333 0,3333 0,33333
1 У 0,14 0,143 0,1429 0,14286
j_ н 0,09 0,091 0,0909 0,09091
1 15 0,07 0,067 0,0667 0,03667
Сумма S 0,63 0,634 0,6338 0,63377
Сумма Sl 0,45 0,447 0,4468 0,44685
х = S — S| 0,18 0,187 0,1870 0,18692
X 0,18 0,19 0,19 0,19
Как видим, вычисление с одной запасной цифрой дало
результат несколько более точный, чем без неё. Большее
же число запасных цифр ничего не дало в смысле точности,
но потребовало более сложных вычислений. Итак, одну
запасную цифру брать стоит, более же чем одну — бес-
полезно.
Если наперёд указано число значащих цифр результата,
а получить его надо путём сложения или вычитания, то
приходится сначала грубо приближённо оценить этот ре-
зультат («прикинуть» его), чтобы выяснить, сколько в
нём должно быть десятичных знаков, а потом уже выпол-
нять действие обычным способом. Так, если требуется
найти разность а — Ь с тремя значащими цифрами,
где а =^6378,200, b = 6356,818, то прежде всего замечаем,
что при вычитании исчезнут тысячи и сотни и разность
начнётся с цифры десятков. Следовательно, третьей зна-
чащей цифрой будет цифра десятых долей.
Итак, мы должны получить разность до десятых долей,
а потому берём данные до сотых долей, т. е. с одной за-
пасной цифрой
__6378,20
6356,82
21,38
21,4
47
Выполняя действия умножения и деления с наперёд
назначенной точностью, мы должны брать в данных по
одной запасной цифре, а именно по одной лишней знача-
щей цифре.
Пусть, например, надо найти с двумя значащими циф-
рами число кубических метров в объёме куба, ребро ко-
торого 2,1336 метра Проведём вычисление без запасной циф-
ры, потом с одной, двумя, тремя запасными цифрами:
2,1
4,41
9,26
9,3
2,13
4,537
9,664
9,7
2,1336
4,55225
9,71267
9,7
имеет
2,134
4,5540
9,7182
9,7
i
объём 9,7 куб. см.
что одну запасную
Ребро ...........
Площадь грани • • .
Объём V .........
V по округлении до
2 значащих цифр. .
Итак, рассматриваемый куб
Здесь, как и раньше, оказалось,
цифру брать стоит, а больше чем одну — бесполезно.
Решим ещё одну задачу
Старая русская мера для жидкостей — ведро; оно вме-
щает 30,03 фунта воды (холодной). Вычислить, сколько
литров воды вмешает одно ведро, зная, что 1 литр воды
(холодной) весит 1 кГ и что I фунт 0,40951241 кГ.
Ответ надо получить с тремя значащими цифрами.
Задача решается посредством одного умножения. Про-
изводим его, взяв данные с 3 + 1 =4 значащими цифрами:
0,4095 . 30,03 = 12,297285 12,3.
Итак, 1 ведро вмещает 12,3 литра.
Возьмём далее задачу на пропорциональное деление:
сумму в 150 руб.00 коп. надо с точностью до копеек раз-
делить между тремя лицами А, Б, В пропорционально
числам 5, 7, 11. Здесь возможны два способа.
I способ. Всего имеем 5 + 7+11 =23 части, на
каждую часть приходится 15000 : 23 = 652^ (коп.)
Zo
А получает 652 я • 5 » 3260^ коп. як 32 руб. 61 коп.
Zu Zu
Б получает 652^ • 7 = 4564|| = 4565^ коп. як
Zu Zu Zu
як45 руб. 65 коп.
В получает 652^ . 11 = 7172 = 7173^ коп. як
Zo Zu Zu
sk71 руб. 74 коп.
Всего 150 руб. 00 коп.
48
II способ. Грубо приближённый предварительный
подсчёт («прикидка») показывает, что на одну часть при-
ходится 150 : (5 + 7 + 11) = 150 : 23 ~ 6 (рублей), а на
долю каждого приходится около 6 • 5 = 30 руб., 6 - 7 =
= 42 руб., 6 . 11 =66 руб. и доля каждого, вычисленная
с точностью до копеек, выражается четырёхзначным чис-
лом (десятки рублей, рубли, десятки копеек, копейки).
Таким образом, в ответе мы должны получить 4-значные
числа, а расчёт надо вести с одной запасной цифрой, т. е.
с 5 значащими цифрами.
На 1 часть приходится 15000:23=652,174...^652,17 (коп.).
А получает 652,17 коп. • 5 = 3260,85 коп. 3261 коп.=
= 32 руб. 61 коп.
Б получает 652,17 коп. - 7 = 4565,19 коп. ^4565 коп. =
= 45 руб. 65 коп.~
В получает 652,17 коп.-11 = 7173,87 коп. ^7174 коп. =
= 71 руб. 74 коп.
Всего: 150 руб. 00 коп.
Оба способа привели к одному и тому же результату
и потребовали почти одинакового количества работы. В
более сложных задачах этого типа более выгодным ока-
зывается второй способ.
Упражнения.
1. Найдите с точностью до сотых значение выражения
1 д- _ _ -|—— ---------!---1----!----
1 1 1-2 1-2-3 1-2-3-4 1-2-3-4-5
+______!____+______1_____
1-2-3-4-5-6 1-2-3-45-6-7
2. Бригада из 4-х человек заработала 583 рубля, причём
один участник работал 14 часов, второй — 17,5, третий —
18,25, четвёртый — 13. Считая эти данные точными, рас-
пределите заработанную сумму пропорционально числу
часов работы каждого с точностью до рубля.
3. Надо изобразить посредством круговой диаграммы
распределение населения земного шара по частям света.
Известно, что в Европе живёт 569 миллионов человек, в
Азии — 1535 миллионов, в Америке — 371 миллион, в Аф-
рике — 224 миллиона, в Австралии и Океании — 15 милли-
онов.
49
Вычислите с точностью до целого градуса центральное углы
секторов, изображающих численность населения каждой ча-
сти света, предполагая, что всё население земного шара изо-
бражается целым кругом, т.е. ему соответствует угол в 360°.
4. Найдите до сотых долей произведение чисел 5,6493
и 0,012784.
5. Дача принадлежит трём семьям, занимающим пло-
щади 28 кв. м, 32 кв. м, 36 кв. м. Перестилка полов стоила
1885 руб. Сколько должна заплатить каждая семья? Рас-
чёт сделать с точностью до рубля.
§ 13. ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ ТАБЛИЦ.
Чтобы ускорить и облегчить вычислительную работу,
применяют различные вспомогательные средства вычис-
ления: таблицы, счётные приборы, графики. Одним из
лучших вспомогательных средств вычисления являются
таблицы. Правда, главное применение в школе таблицы
находят на старших годах обучения, но некоторые таблицы
всё же можно с выгодой применять и на V — VI годах.
Прежде всего о самодельных табличках произведений.
Если какое-нибудь число несколько раз служит множи-
телем или делителем, то следует составить таблицу про-
изведений этого числа на последовательные целые числа
от 1 до 9. Тогда и умножение и деление на это число будут
существенно облегчены. Положим, например, надо рас-,
считать зарплату 12 рабочих по ставке 23 руб. 87 коп. за
день, если первый проработал 23 дня, второй — 17 дней,
третий — 31 день и т. д. Нужно сделать 12 раз умножение
23 руб. 87 коп. = 2387 коп. на числа дней. Составим пред-
варительно следующую маленькую табличку:
Дни Плата в коп.
1 02 387
2 04 774
3 07 161
4 09 548
5 11 935
Дни Плата в коп.
6 14 322
7 16 709
8 19 096
9 21 483
10 23 870
Эту табличку легче всего составить последовательным
сложением: 2387+2387 = 4774, 2387+4774 = 7161,2387 +
+ 7161 = 9548 и т. д., обязательно доводя вычисление
до получения десятикратного значения исходной величины,
50
так как получение числа, действительно в 10 раз превосхо-
дящего 2387, даёт проверку правильности всей таблички.
Для получения последовательных сумм нет надобности
писать слагаемые ещё раз где-то на стороне: можно либо
складывать 2387 с каждым из последующих чисел таблицы
через промежуточные числа, либо написать 2387 на ниж-
нем краю бумажной полоски и прикладывать его к каж-
дому вновь полученному числу сверху. Желательно, чтобы
все произведения в такой маленькой табличке имели цифр
поровну: слева, когда надо, приписываем нули. Это
уменьшает шансы ошибки при записи последовательных
частных произведений, а также при применении счётов,
о чём — дальше.
Имея такую табличку произведений, мы имеем готовые
частные произведения для умножения числа 2387 на лю-
бое число. Всякое умножение сведётся теперь только к
записи нужных частных произведений, взятых из таблич-
ки, и к сложению их. Например:
2387-23 2387-17 2387-31
07161 16709 02387
04774 02387 07161
054901 040579 073997
Если под руками имеются конторские счёты, то про-
цесс умножения при наличии таблички произведений ме-
ханизируется почти полностью: каждое частное произве-
дение берётся из таблички и кладётся на счётах, записы-
вается же только окончательный результат (и притом сра-
зу в соответствующей графе платёжной ведомости1). Вы-
полнив все умножения, необходимо в целях проверки най-
ти сумму полученных произведений и сумму всех чисел
дней (опять на счётах) и проверить соответствие этих двух
сумм (ещё одно умножение посредством таблички).
Понятно, что деление какого угодно числа на 2387 све-
дётся при наличии таблички произведений к вычитанию
готовых произведений последовательно находимых цифр
1 Чтобы не сбиться при откладывании на счётах последователь-
ных частных произведений, полезно передвигать вдоль длинной Сто-
роны рамки счётов какой-нибудь маленький предмет (например, пу-
говицу), отмечая таким образом ту проволоку, на которой положе-
на последняя (или лучше первая) цифра каждого частного произве-
дения.
51
частного на 2387. Табличка облегчает, кроме того, и опре-
деление цифр частного. И здесь соединение таблички
произведений со счётами делает излишней какую бы то
ни было запись (кроме записи окончательного результата):
делимое откладывается на счётах, а из него последователь-
но вычитаются соответствующие частные произведения,
цифры же частного записываются сразу на надлежащее
место ведомости.
Заметим, что выгода от предварительного составления
таблички произведений тем больше, чем длиннее
множитель или делитель, т. е. чем больше в нём цифр.
Убедившись в выгоде применения табличек произве-
дений, естественно поставить вопрос: нельзя ли составить
раз навсегда таблички произведений всех чисел (до неко-
торого, конечно, предела) и пользоваться ими при умноже-
нии и делении? Подобные собрания табличек произведе-
ний действительно составлены и напечатаны в виде отдель-
ных книжек. Из этого рода изданий особенно удобны
«Таблицы умножения», составленные инженером О’Рур-
ком. Таблицы эти дают в готовом виде произведения каж-
дого трёхзначного числа на все однозначные и двузначные
числа. Применение их заметно ускоряет также умножение
и деление любых многозначных чисел. Научиться поль-
зоваться таблицами, имея их в руках, совсем нетрудно.
Упражнения.
1. Продано 5 партий товара весом 432 кГ, 249 кГ, 288 кГ,
369 кГ и 451кГ по цене 1 руб. 37 коп. за 1 кГ. Вычислите
стоимость каждой партии товара, составив предваритель-
но табличку произведений числа 137 на числа от 1 до 9.
Для проверки найдите общий вес и общую стоимость всех
5 партий.
2. С зарплаты делается удержание в размере 2,75%.
Рассчитайте удержание с зарплаты в 78 руб. 60 коп.,
57 руб. 24 коп., 70 руб. 18 коп., 66 руб. 31 коп.,
101 руб. 30 коп., 80 руб. 27 коп., составив предварительно
подходящую табличку. Для проверки найдите сумму всех
удержаний и сравните её с 2,75% от всей выплаченной
суммы.
3. Школьную рулетку сравнили (для проверки) с ме-
таллической мерной лентой. Оказалось, что 20 м рулетки
на самом деле имеют длину 19,84 м. Составьте «табличку
поправок» на целые метры (от 1 до 10), т. е. укажите, сколь-
62
ко надо отнимать от 1, 2, 3, 4 и т. д. метров, полученных
посредством рулетки, чтобы устранить влияние этой неточ-
ности рулетки. Пользуясь этой табличкой, найдите действи-
тельную длину отрезков, оказавшихся по измерении рулет-
кой равными 15,80 м, 9,45 м\ 27,16 м. Все расчёты вести
с точнссгью до миллиметра и округлить окончательные ре-
зультаты с точностью до сантиметра.
§ 14. ПРОСТЕЙШИЕ СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ.
Существует множество различных приборов, весьма
упрощающих вычисления. Упомянем прежде всего о всем
известных конторских счётах, при помощи которых очень
легко делать сложение и вычитание. Применение счётов
облегчает также выполнение действий умножения и деления,
особенно если счёты сочетать с таблицей произведений или
с палочками Непера,о которых речь будет идти
дальше. Занимаясь вычислениями, необходимо иметь счё-
ты под руками.
53
Палочки Непера представляют собой неболь-
шой и очень простой прибор, который легко изготовить
самому.
Палочки Непера дают произведение любого многознач-
ного числа на любое одиозна шое и заменяют, таким об-
разом, подробную таблицу
произведений. Чтобы их из-
готовить, надо взять кусок
плотной бумаги или тонкого
картона и расчертить его так,
как показано на рисунке 1.
Разрезав этот рисунок на
полоски по вертикальным
линиям, мы получим палоч-
ки Непера. Следует сделать
по крайней мере четыре де-
сятка таких палочек, начер-
тив четыре такие фигуры.
Каждая палочка Непера
представляет собой таблич-
ку произведений одного из
чисел О, I, 2..., 9 на числа
от 1 до 9, причём в каждом
произведении цифра десятков
отделена от цифры единиц
наклонной чертой.
Чтобы получить произве-
дения какого-нибудь данного
числа, например числа 13248,
на все однозначные числа,
возьмём палочки, имеющие в заголовках цифры 1, 3, 2,
4, 8, и уложим их рядом (см. рис. 2).
Складывая цифры смежных палочек, оказавшихся меж-
ду двумя смежными наклонными линиями, получаем, идя
сверху вниз, следующие произведения данного числа 13248:
на 1 .............. 13 248 наб.......... 79 488
2 ............. 26 496 7 92 736
3 ............. 39 744 8 105 984
4 ............. 52 992 9 119 232
5 ............. 66 240
Легко понять, что сложение цифр, оказавшихся между
смежными наклонными линиями, есть не что иное, как пе-
54
Рис. 3,
ренос десятков, получающихся от умножения цифры ка-
кого-нибудь разряда, в следующий высший разряд.
Имея дело с палочками Непера
впервые, лучше читать произведе-
ния справа налево, т. е. начиная
с цифры младшего разряда. В
дальнейшем надо, однако, обяза-
тельно перейти к чтению произве-
дений слева направо, т. е. на-
чиная с цифры старшего разряда.
При некотором навыке это ника-
ких затруднений не вызывает,
запись же взятых с палочек про-
изведений существенно при этом
ускоряется.
Палочки Непера дают, таким
образом, произведения любого мно-
гозначного числа на все одно-
значные числа. Тем самым
они существенно облегчают труд
выполнения умножения и деления
любых многозначных чи-
сел. Чтобы перемножить два мно-
гозначных числа, составляют по-
средством палочек произведения
одного из них на все однозначные
числа, берут с палочек его произве-
дения на все цифры второго, а за-
тем складывают на бумаге или на
счётах эти частные произведения.
Чтобы разделить одно многознач-
ное число на другое, составляют
посредством палочек произведения
делителя на все однозначные числа
и сводят дело к ряду последова-
тельных вычитаний тоже на бу-
маге или на счётах.
Таким образом, палочки Непера не дают полной меха-
низации действий умножения и деления. Однако опыт по-
казывает, что применение палочек всё же сокращает вре-
мя, нужное для выполнения этих действий, в 2—4 раза,
а также заметно понижает шансы сделать случайную ошиб-
ку. Наконец, и это далеко не маловажно, работа с палоч-
55
ками Непера утомляет вычислителя гораздо меньше, чем
выполнение действий умножения и деления обыкновенным
письменным способом. Выгода от применения палочек Не-
пера тем значительнее, чем больше цифр содержат данные.
При умножении двузначных чисел пользоваться ими не стоит.
Этот простой и остроумный прибор придуман Джо-
ном Непером, знаменитым изобретателем логариф-
мов, в конце XVI века и описан им под названием «счёт-
ных палочек» в книге, вышедшей в 1617 г. в Эдинбурге1.
С тех пор и до настоящего времени не прекращаются по-
пытки изобретателей усовершенствовать прибор Непера.
Дело в том, что палочки Непера в их первоначальном, опи-
санном выше, виде имеют три существенных недостатка.
Первый — трудно устранимый — заключается в том, что
перенесение десятков не механизировано: нужно всё вре-
мя выполнять сложения, правда очень малых, а именно
однозначных, чисел. Второй недостаток — необходимость,
при каждом действии выбирать из пачки палочек те, ко-
торые соответствуют цифрам множимого (или делителя).
Наконец, третий недостаток — неудобная для обращения
внешняя форма прибора: он не представляет собой чего-то
целого, а состоит из большого числа отдельных, друг с
другом не связанных частей.
Последние два недостатка полностью устранены в том
видоизменении прибора, какой был предложен в 1901 г.
инженером И. А. Г р и г о р о в и ч е м. Его прибор внеш-
не имеет вид небольшой книжки (размер около 15 см X 20см)
в обычном картонном переплёте и был выпущен в продажу
под названием «Численник для умножения и деления мно-
гозначных чисел». В раскрытом виде прибор изображён
на рисунке 3.
Десять полосок, образующих один комплект палочек
Непера, положены друг на друга в одну стопку и прочно при-
креплены нижними своими концами к нижнему краю пере-
плёта. Другой конец каждой полоски выступает из-под сле-
дующей верхней полоски и имеет цифру, показывающую,
произведение какого числа помещено на этой полоске. Свер-
ху вся стопка покрыта белой полоской, не закрывающей,
однако, выступающих концов. Отогнув вниз эту белую
полоску, мы увидим полоску с произведениями нуля; ото г»
1 Есть, однако, указания, что идея счётных палочек была выска-
зана ещё в XV веке одним арабским математиком,
56
нув эту последнюю, увидим
полоску с произведениями
единицы; далее идут полос-
ки с произведениями 2,3,4
и так далее до 9.
Выступающие концы по-
лосок позволяют сразу от-
крывать ту, какая требует-
ся. Прибор содержит 10 та-
ких стопок, устроенных
совершенно одинаково, и
позволяет составлять про-
изведения любого много-
значного числа, имеющего
не более 10 цифр.
На рисунке 4 прибор
изображён в том положе-
нии, при котором он даёт
произведения числа 314159.
Отгибаемые полоски в силу
упругости материала, из
которого они сделаны (плот-
ная бумага), стремятся вер-
нуться к первоначальному
'положению, т. е. закрыть-
ся, и их приходится при-
держивать рукой (левой).
Правая же рука остаётся
свободной для записи полу-
чаемых с прибора произве-
дений. На левом и правом
краях внутренней стороны
переплёта видны' крупные
цифры 1, 2, 3,...,9, облег-
чающие разыскание нужно-
го частного произведения,
хотя особой надобности в
них нет: две жирные гори-
зонтальные черты, разде-
ляющие все произведения
на три группы, позволяют
сразу находить требуемые
произведения.
о
□иап
3
2
и
н
(1
И
в
И
н
и
Рис. 4.

57
При небольшом навыке в переплётном деле прибор
можно изготовить и самому. Чтобы полоски ложились
ровнее, нужно взять 11 листочков бумаги по фор-
мату прибора и склеить их по одному краю, причём
ширина склеиваемой части должна быть не меньше 1 см,
и только после этого разрезать бумагу на полоски.
Чтобы полоски выдерживали большое число отгибаний,
материал на них надо поставить прочный.
Прибор изготовить очень легко, если воспользоваться
обыкновенным блокнотом, расчертив его листики надле-
жащим образом и аккуратно разрезав их. Блокнот лучше
брать небольшой, не больше 10 см X 11 см. Предварительно
следует проклеить листочки у корешка, где они бывают
снабжены рядом дырочек для облегчения отрывания.
Конечно, прочность такого самодельного прибора невелика,
но её можно повысить, склеивая листочки по два или даже
по три.
Как видим, прибор свободен от второго и третьего из
указанных выше недостатков палочек Непера (в их пер-
воначальной конструкции). Подыскание нужных палочек
делается моментально, прибор представляет собой одно
целое.
Сочетая палочки Непера со счётами, мы механизируем
процесс умножения и деления почти полностью. Во вся-
ком случае записывать при этом приходится только дан-
ные и окончательный результат. Из других счётных при-
боров упомянем ещё широко распространённый в СССР
арифмометр системы Однера, известный у нас под назва-
нием «Феликс». Это уже настоящая счётная машина,
дающая результаты совершенно механическим путём: уста-
новив надлежащим образом данные, мы получаем резуль-
таты после нескольких оборотов рукоятки. Арифмометр
позволяет делать вычисления в 10—12 раз быстрее, чем
при помощи обычных письменных приёмов производства
действий, причём даже продолжительная работа на ариф-
мометре не утомляет головы, устаёт только рука. На-
учиться складывать, вычитать, умножать и делить числа
посредством арифмометра можно в 15—20 минут.
Арифмометр «Феликс» — одна из простейших счётных
машин. Существует много других вычислительных машин,
несравненно более сложных и способных с колоссальной
скоростью выполнять не только 4 арифметических действия
над числами, но и множество других операций. Такие бы-
58
стродействующие вычислительные машины, надлежащим
образом налаженные, за немногие минуты выполняют
работу, которая, если применять обычные способы пись-
менного вычисления, потребовала бы нескольких меся-
цев труда.
Упражнения.
1. Приготовьте палочки Непера и научитесь находить
с их помощью произведения любого многозначного числа
на любое однозначное число. Произведения берите- с па-
лочек сперва справа налево, затем обязательно научитесь
брать их слева направо.
2. Поупражняйтесь в умножении посредством палочек
многозначного числа на многозначное, а также в делении
многозначных чисел. Проверяйте умножение делением и
деление умножением.
3. Приобретя некоторый навык в пользовании палоч-
ками, поставьте следующий опыт: взяв несколько пар про-
извольных пятизначных чисел, перемножьте числа каж-
дой пары обычным письменным способом, заметив по ча-
сам с секундной стрелкой время начала и конца всего вы-
числения; затем те же умножения проделайте ещё раз,
применяя палочки и опять замечая время. Рассчитайте,
какую экономию во времени даёт применение палочек.
Повторите опыт, взяв для умножения числа с меньшим чис-
лом цифр. Выясните, при каких числах применение пало-
чек выгодно, а при каких оно заметной выгоды не пред-
ставляет. (Обыкновенно оказывается, что применение па-
лочек не даёт заметной экономии, если перемножаемые
числа имеют не больше чем по две цифры.)
4. Поставьте подобные же опыты с делением многознач-
ных чисел.
Обратите внимание на количество ошибок, встречающих-
ся при вычислении посредством палочек и без них.
§ 15. СТРОГИЙ УЧЁТ ПОГРЕШНОСТЕЙ
ПО СПОСОБУ ГРАНИЦ.
Имея дело с приближёнными числами, полученными
как в результате округления, счёта, измерения, так и в
результате арифметических действий над приближёнными
числами, мы всегда придерживались основного правила
обращения с приближёнными числами: сохранять в них
69
все надёжные цифры и одну не вполне надёжную (первую
сомнительную), а все последующие отбрасывать. Прави-
ла, какие были установлены для отдельных действий,
получили название правил подсчёта цифр. Мы не
знаем, как велика погрешность приближённого числа, округ-
лённого согласно правилам подсчёта цифр, но знаем толь-
ко что в больши <стве случаев погрешность эта бывает не-
значительной. В громадном большинстве вычислений та-
кая неполная определённость ответа никаких неудобств
не представляет. Однако бывают случаи, когда желатель-
но получить ответ вполне определённый. Если по суще-
ству дела оказывается невозможным дать ответ точный,
то довольствуются ответом приближённым, но указывают
совершенно определённым образом, между какими грани-
цами заключается неизвестный точный ответ, т. е. указы-
вают два числа, из которых одно меньше искомого (его
нижняя граница, или сокращённо — НГ), а другое боль-
ше искомого (его верхняя граница, или сокращённо —
ВГ). Например, мореплаватель, желая определить дол-
готу и широту того пункта земной поверхности, где в
данный момент находится его судно, старается получить
не только приближённые значения этих «координат», но
и совершенно определённое указание на то, как велика
может быть при самом неблагоприятном стечении обсто-
ятельств разница между истинными значениями долготы
и широты и вычисленными им приближёнными их зна-
чениями. Зная эту наибольшую возможную разницу,
легко найти и границы (НГ и ВГ). Так, проходя с курсом
на восток мимо группы подводных рифов, указанных на
карте под широтой 16°38', к северу от экватора, и уста-
новив приближённое значение широты корабля в 16°3б',
мореплаватель выясняет, как велика может быть разни-
ца между неизвестным истинным значением широты ко-
рабля и найденным приближённым её значением. Если
окажется, что эта разница может доходить до 2', но не
более, то неизвестное, точное значение широты корабля
заключается между 16°36' —2' = 16°34' и 16°36' + 2' =
= 16°38' и он, конечно, сейчас же изменит курс корабля,
а именно:повернёт к югу, чтобы устранить всякий риск
наскочить на риф. Если же оказалось бы, что эта разница
не превосходит Г, то неизвестное точное значение широты
корабля заключается между 16°35' и 16°37х и в измене-
нии курса надобности нет: до рифа остаётся расстояние,
60
во всяком случае большее, чем 1' (по широте), т. е. большее
1,85 км (один градус по широте равен 10000 : 90 «=
= 111,1 км, а одна минута —111,1 : 60 = 1,8£2 км).
Устанавливая границы неизвестного точного значе-
ния искомой величины, мы, как говорят, производим
вычисление со строгим учётом погрешностей. Вычисления
же, какими мы занимались до сих пор и в результате ко-
торых мы получали приближённые значения, имеющие
некоторую неизвестную, но небольшую погрешность в
последней цифре, можно назвать вычислениями без стро-
гого учёта погрешностей (но с применением правил под-
счёта цифр).
Посмотрим сначала, как производится строгий учёт
погрешностей в результатах измерений.
Во многих случаях, выполняя.то или иное измерение,
мы бываем в состоянии сразу указать границы результата
измерения. Так, изморпя отрезок на чертеже посредством
миллиметровой линейки, мы легко устанавливаем, что
этот отрезок, положим, больше 53 мм и меньше 54 мм.
Если концы отрезка указаны достаточно определённо,
лучше всего тонкими поперечными штрихами, то эти гра-
ницы возможно бывает ещё более сблизить, уменьшая
разницу до 0,5 мм и даже до 0,2 мм. Ещё легче установить
НГ и ВГ при взвешивании: если при нагрузке чашки с
разновесками в 16 Г перевешивает чашка с взвешиваемым
телом, а в 17 Г — перевешивает чашка с разновесками,
то эти числа 16 Г и 17 Г и являются НГ и ВГ искомого
веса. Чем чувствительнее весы и чем мельче имеющиеся
в нашем распоряжении разновески, тем более удаётся
сблизить границы и тем точнее, следовательно, произве-
дено взвешивание.
Труднее найти НГ и ВГ в тех случаях, когда измерение
приходится повторять несколько раз, получая в силу не-
избежных случайных погрешностей каждый раз новый
результат. Так бывает, например, при измерении значи-
тельных расстояний (рулеткой или мерной цепью). Тогда
находят среднее результатов всех отдельных измерений,
затем уклонения этих результатов от среднего, т. е. раз-
ницы между каждым из этих результатов и средним (см.
выше, § 4), и, наконец, среднее из этих уклонений, или
среднее уклонение (все уклонения берутся со знаком +).
Вычитая это среднее уклонение из среднего результата,
получим число, которое можно принять за НГ искомой
61
величины. Прибавляя среднее уклонение к среднему ре-
зультату, получим число, которое можно принять за её ВГ.
Рассмотрим ещё. раз задачу, уже решённую ранее без
строгого учёта погрешностей (см. выше, § 4): некоторая
длина измерена‘6 раз, результаты отдельных измерений
таковы (в метрах):
51,63; 52,12; 52,20; 51,87; 51,91; 52,16.
Найдя среднее (51,982) и вычислив уклонения, опре-
деляем среднее уклонение (1,070 : 6 = 0,178). Отсюда за-
ключаем, что НГ искомой длины есть 51,982 — 0,178 =
= 51,804, а её ВГ есть 51,982 + 0,178 = 52,160. Замечая,
что расхождение между НГ и ВГ начинается уже со вто-
рой значащей цифры, округляем обе границы до трёх зна-
чащих цифр и получаем окончательно, что искомая длина
больше, чем 51,8 м, и меньше, чем 52,2 м. Для сравнения
напомним, что при вычислении без строгого учёта погреш-
ностей мы получим в ответе число 52,0 м.
Округлять нижнюю границу можно только по недостат-
ку, верхнюю — только по избытку. Действительно, если
мы уверены, что, например, НГ х = 15,7, то и подавно мож-
но считать, что НГ х = 15. Принять же НГ х = 16 нельзя,
так как может случиться, например, что точное значение
х есть 15,8.
Переходим теперь к вопросу о том, как произвести
строгий учёт погрешностей в результатах вычислений с
приближёнными числами. Такой строгий учёт погреш-
ностей достигается тем, что все вычисления проводятся
два раза: первый раз с таким расчётом, чтобы получить
число, заведомо меньшее искомого, т. е. нижнюю границу
этого искомого; второй раз так, чтобы получить число,
заведомо большее искомого, т. е. его верхнюю границу.
Рассмотрим несколько простых примеров.
1. В стену дома заделан нивелировочный знак (репер).
Известно, что его высота h над уровнем моря больше, чем
62,340 м, и меньше, чем 62,344 м. Наши измерения пока-
зали, что конёк крыши этого дома выше этого репера на
hr м, где больше 15,2 м и меньше 15,4 м. Какова высота
Н конька крыши над уровнем моря?
Ясно, что H=h-\-hl. Таким образом, если бы были изве-
стны точные значения h и нужно было бы только сло-
жить их. Не зная этих точных значений, возьмём НГ h =
62,340 и НГ hY = 15,2 и сложим их. Так как с уменьше-
62
йием каждого слагаемого сумма тоже уменьшается, td
сложение НГ h и НГ hY даст нам число, заведомо меньшее
Я, т. е. НГ Н, равную 62,340 + 15,2 = 77,540 м. Точно
так же сложение ВГ h = 62,344 и ВГ hi = 15,4 даст
ВГЯ = 77,744 м.
Обе найденные границы отличаются друг от друга на
число, имеющее три значащие цифры (77,744 — 77,540 =
= 0,204). Округлим границы так, чтобы их разность вы-
ражалась однозначным числом. Получаем НГ Н = 77,5 и
ВГ Н = 77,8. Итак, хотя искомая высота конька крыши
над уровнем моря остаётся неизвестной, но мы установили
с полной определённостью, что эта высота больше, чем
77,5 м, и меньше, чем 77,8 Mi
Для сокращённой записи границ удобно пользоваться
двойным неравенством. Только что полученный резуль-
тат можно записать так: 77,5 м < Н < 77,8 м.
Решая настоящую задачу, мы воспользовались прави-
лом: чтобы найти НГ суммы, надо найти сумму НГ слага-
емых; чтобы найти ВГ суммы, надо найти сумму ВГ сла-
гаемых.
Конечно, здесь имеется в виду сумма в арифметическом,
а не в алгебраическом смысле. Правило это верно для лю-
бого числа слагаемых.
2. Найти площадь S прямоугольника, длина которого
а больше 14,8 см и меньше 14,9 см, а ширина b больше
2,5 см и меньше 2,6 см.
Здесь дело сводится к вычислению произведения S =
= ab. Легко сообразить, что тут надо руководствовался
таким правилом: чтобы найти НГ произведения, надо най-
ти произведение НГ сомножителей; чтобы найти ВГ про-
изведения, надо найти произведение ВГ сомножителей.
НГ S = НГа • НГ Ь = 14,8 . 2,5 = 37,00 (кв. см).
ВГ S = ВГа • ВГ Ь = 14,9 . 2,6 = 38,74 (кв. см).
Округляя границы, получаем, что 37 < S < 39 (кв. см).
3. Вес бутылки с водой р, вес пустой бутылки pv Най-
ти вес х воды, если известно, что 158 < р < 158,5 (Г)
и что 35,5 < рг < 36 (Г).
Искомый вес воды получается по формуле х = р — рг.
Как получить НГх, т. е. число, заведомо меньшее х? Раз-
ность убывает при уменьшении^ уменьшаемого и увеличе-
нии вычитаемого, а потому для получения НГх надо от
НГр отнять ВГрР Точно так же, принимая во внимание,
63
что разность растёт с увеличением уменьшаемого и умень-
шением вычитаемого, замечаем, что для получения ВГх
надо взять ВГр и вычесть HFpf.
НГх - НГр — ВГР1 ~ 158 - 36 = 122 (Г);
ВГх = ВГр — НГр! = 158,5 — 35,5 = 123 (Г).
Итак, 122 < х < 123 Г.
Правило вычисления границ разности формулируется
так: чтобы получить НГ разности двух чисел, надо взять
НГ уменьшаемого и вычесть ВГ вычитаемого; чтобы по-
лучить ВГ разности, надо взять ВГ уменьшаемого и вы-
честь НГ вычитаемого.
4. Диаметр d круглого абажура больше 28,0 см и мень-
ше 28,5 см. Длина С его окружности, измеренная гибкой
тесьмой, оказалась больше 88,5 см и меньше 89,0 см. Най-
ти отношение длины окружности к её диаметру, т. е. число л.
Для решения задачи надо разделить С на d. Замечая,
что частное убывает при уменьшении делимого и увеличе-
нии делителя, а возрастает при увеличении делимого
и уменьшении делителя, устанавливаем такое правило:
чтобы найти НГ частного двух чисел, надо НГ делимого
разделить на ВГ делителя; чтобы найти ВГ частного, надо
ВГ делимого разделить на НГ делителя.
Руководствуясь этим правилом, находим такие грани-
цы для л:
НГл = НГС : ВГЛ = 88,5 : 28,5 = 3,105 ...
ВГл = ВГС : НГЛ = 89,0 : 28,0 = 3,178...
Округляя найденные границы до сотых долей, полу-
чим, что искомое отношение больше 3,10 и меньше 3,18.
Заметим, что обычно указываемое в учебниках приближён-
ное значение числа л, а именно 3,14, находится как раз
посредине этих границ.
5. Вычислить х по формуле х = если из-
вестно, что 2,83 < а < 2,84; 1,87 < b < 1,88; 23,33 <
< с < 23,34; 2,91 < d< 2,92.
Для решения задачи последовательно применяем пра-
вила отыскания границ разности, произведения, частного.
Запись решения располагаем по схеме, содержащей три
столбца; в первом столбце записываются вычисляемые
буквенные выражения, во втором — соответствующие ниж-
ние границы, в третьем — верхние границы. Те арифмети-
64
ческие действия, которые трудно выполнить в уме, запи-
сываются вне схемы под номерами, одинаковыми с номера-
ми соответствующих строк схемы, причём умножения и
деления сделаны посредством таблицы О’Рурка.
1 НГ ВГ
1 а 2,83 2,84
2 b 1,87 1,88
3 (\)а~Ь 0,95 0,97
4 с 23,33 23,34
5 (а — Ь)- с 22,1 22,7
6 d 2,91 2,92
7 (,)х=(а-&)-с d 7,56 7,81
7) 22,1 : 2,92
2210 : 292 = = 7,568...
22100
21900
20000
19856
144
5) 0,95-23 = 21,85
0,95- 0,33= 0,3135
22,1635
0,97-23 =22,31
0,97- 0,34 = 0,3298
22,6398
22,7 : 2,91
227) • 291 = 7,800...
22700
22698
200
Ответ: 7,5< х <7,9.
Восклицательный знак (!) на строчках (3) и (7) постав-
лен для того, чтобы напомнить, что на этих строчках при-
ходится вышенаписанные числа соединять согласно пра-
вилам вычисления границ крест-накрест: для вычисления
НГ (а — Ь) надо взять НГа и отнять ВП> и т. д.
Итак, вычисление со строгим учётом погрешностей
показывает,что искомое значение х больше 7,56 и меньше
7,81. Округляя эти результаты так, чтобы разность гра-
ниц выражалась однозначным числом, получим оконча-
тельно, что х заключается между 7,5 и 7,9.
Эта самая задача была уже решена без строгого учёта
погрешностей (см. выше, § 11). причём был получен от-
вет 7,6. Заданы были точные значения букв a, b, с, d в
виде обыкновенных дробей, которые после обращения в
десятичные (до сотых) и дали • указанные выше границы.
Поэтому здесь возможно сравнение найденного приближён-
ного решения, а именно: 7,56 < х - 7,81 или 7,5 < х <
< 7,9, с тсч:-1ым значением х, вычисленным без сбрзщения
обыкновенных дробей в десятичные и равным, как мы уже
9
видели, 7— = 7,666 . . . Таким образом, точное значе-
ние х действительно заключается между этими границами.
65
6. Куплено р = 250 Г голого медного провода диамет-
ром d 0,40 мм. Не разматывая мбтка, найти (вычисле-
нием) длину купленного провода.
Сначала решим задачу без строгого учёта погрешностей,
применяя правила подсчёта цифр. Данное значение веса р
можно считать приближённым числом с 3 значащими циф-
рами, данное значение диаметра d — приближённым чис-
лом с 2 значащими цифрами (0,40). Удельный вес меди
А1, т. е. вес в граммах 1 куб. см меди, согласно справочни-
ку равен 8,9— приближённое число с 2 значащими цифра-
ми. Сначала по весу провода р и удельному весу А находим
объём цилиндра V по формуле V = р: А , затем по фор-
муле объёма цилиндра V =~* mPh, где d означает диа-
метр основания цилиндра, т. е. диаметр провода, нахо-
дим высоту цилиндра Л, т. е. искомую длину провода,
для чего надо разделить V на f лсР. Согласно правилу
предварительного округления более точных данных (см. вы-
ше, § 10) ограничиваемся приближённым значением л с 3
значащими цифрами (nss3,14). Промежуточные резуль-
таты берём с 3 значащими цифрами, окончательный — с 2.
Ниже приводим все вычисления полностью (умножения
и деления опять посредством таблицы О’Рурка).
3) 250:8,9
1 2 3 4 5 б 7 8 Р Д V=p : Д d d* — d* 4 7’“'’ Л = V: —Kd» 4 или или 250 Г 8,9 28,1 куб. см 0,40 мм == 0,040 см 0,0016 кв. см 0,00040 кв. см 0,00126 кв. см 22300 см 22000 см 220' м 2500:89=28,08... 2492 800 7) 3.14 0,00040 - 0,0012560 8) 28,1:0.00126 2810000:126 = 22301... 2772 3800 3780 200 126 ' 74
Ответ: h^220 м
1 Греческая буква Д («дельта большая»), часто употребляемая
для обозначения удельного веса.
66
Итак, вычисление показывает, что длина купленного
провода составляет около 220 м. Цифра единиц осталась
совершенно неизвестной, цифра же десятков, будучи по-
следней сохранённой значащей цифрой приближённого
окончательного ответа, как всегда при округлениях со-
гласно правилам подсчёта цифр, может иметь в себе не-
которую погрешность, но, вероятно, небольшую.
Теперь проведём вычисление со строгим учётом погреш-
ностей, которое должно дать совершенно определённое
указание на те границы, в которых содержится искомая
длина. Прежде всего надо установить границы для веса р
и толщины провода d.
Взвешивание на лабораторных весах с применением
разновеса до грамма показало, что р больше 252 и меньше
253 Г: магазин отпустил провод с небольшим «походом».
Чтобы определить поточнее диаметр провода, намотаем
кусок его на круглый карандаш, укладывая витки в один
слой, и как можно плотнее друг около друга, и измерим
место, занятое 20 витками. Оказалось, что эти 20 витков
заняли по длине карандаша немного больше, чем 8,0 мм,
но меньше, чем 8,5 мм. Таким образом, диаметр провода d
больше 8,0 : 20 = 0,40 мм, или 0,040 см, но меньше
8,5:20 = 0,425 мм, или 0,0425 см. Для удельного веса Д ме-
ди в справочниках указывают иногда число 8,8, иногда число
8,9. Примем эти Два числа за её границы. Для числа л возь-
мём границы 3,14 и 3,142.
Теперь у нас есть всё, что нужно для вычисления границ Л,
которое и приводим, опуская все вспомогательные выкладки.
НГ ВГ
1 2 3 4 5 6 7 8 рГ Л (f) V—р\А куб см d см d2 кв. см — d2 кв. см 4 1 — r.d2 кв см 4 (!) h=V: ~ izd2 см или в метрах 252 8,8 28,3 0,040 0,0016 0,00040 0,00125 19700 197 253 8,9 28,8 0,0425 0,00181 0,000453 0,00148 23100 231
Ответ: 190 м < А < 240 м.
67
Итак, сделанное вычисление позволяет утверждать,
что длина купленного провода заключается между 197 м
и 231 м, или, по округлении, что она между 190 м и 240 м.
Измеряя его длину с целью проверки непосредственно (мы
это сделали, вбив на полу два гвоздя на расстоянии 5 м
друг от друга и наматывая провод на эти гвозди), мы
установили, что в действительности h равно 227 м, т. е.
находится внутри указанных границ.
В заключение этого параграфа отметим ещё раз, что
строгий учёт погрешностей применяется на практике срав-
нительно редко: в громадном большинстве случаев доста-
точно бывает того результата, какой даёт вычисление без
строгого учёта погрешностей, но с применением правил
подсчёта цифр.
Упражнения.
1. Установите границы суммы ~ + ~
. 1.1
э представляя каждое слагаемое десятичной
дробью с 4 десятичными знаками. Для проверки восполь-
зуйтесь тем, что точное значение этой суммы есть .
2. Найдите границы веса тела, объём которого боль-
ше, чем 550 куб. см, но меньше, чем 560 куб. см, а удель-
ный вес (т. е. вес одного куб. см) больше, чем 8,4 Г, и мень-
ше, чем 8,7 Г.
3. Найдите границы разности -1— ~ , обращая пред-
варительно каждую из данных дробей в десятичную с
точностью до тысячных. Сделайте проверку, выполняя
вычитание В обыкновенных дробях.
4. Кусок алюминия имеет объём V куб. см и вес р Г.
Найдите удельный вес, зная, что 64 < V < 67 и что 165 <
< р < 166.
5. Ребро куба больше, чем 10,2 см, но меньше, чем
10,3 см. Установите границы его объёма.
6. Желая найти высоту дерева х, измерили длину его
тени а и одновременно длину тени b отвесно поставлен-
ного шеста длиной с. Оказалось, что 12,6 м < а < 12,8 м,
141 см < b < 145 см, 164 см < с < 166 см. Найдите гра-
ницы для х, зная, что высота (дерева и шеста) пропорци-
ональна длине тени.
68
§ 16. ПОНЯТИЕ О ГРАНИЦЕ АБСОЛЮТНОЙ И ОТНОСИТЕЛЬНОЙ
ПОГРЕШНОСТЕЙ.
При вычислениях со строгим учётом погрешностей
вместо того, чтобы указывать нижнюю и верхнюю грани-
цы, употребляют другой способ, тоже дающий вполне
определённые указания о точности приближённых резуль-
татов, но несколько более удобный на практике. Пусть,
например, установлено, что 25 <, х < 29, т. е. что число х
заключается между 25 (НГх) и 29 (ВГх). Берём полусум-
му этих границ, т. е. число 1(25 -р29) = 27, и принимаем
это число за приближённое значение х, что сокращённо
записываем так: х^27. Далее замечаем, что для полу-
чения НГх надо из 27 вычесть 2, а для получения ВГх
надо к 27 прибавить 2. Такое число, вычитание которого
из приближённого значения х даёт НГх, а прибавление
к этому 2*е приближённому значению х даёт ВГх, назы-
вают границей абсолютной погрешно-
сти данного приближённого значения х. Итак, в рассма-
триваемом примере мы имеем приближённое значение х, рав-
ное 27, и границу его абсолютной погрешности, равную 2.
Записывается это так:
х^27( ± 2),
и читается: х приближённо равен 27 с погрешностью в ту
или другую сторону, не превосходящей 2.
Итак, зная НГ и ВГ некоторой величины, легко найти
приближённое значение этой величины и границу её аб-
солютной погрешности: надо взять полусумму обеих гра-
ниц и их полуразность; полусумма принимается за прибли-
жённое значение величины л, а полуразность является
границей абсолютной погрешности этого приближённого
значения. Например, если НГх = 29,7 и ВГх = 30,1, то
находим (30,1 + 29,7): 2 = 59,8:2 = 29,9 и (30,1 — 29,7) : 2
= 0,4 : 2 = 0,2. Полученный результат сокращённо за-
писываем в виде
х^29,9(±0,2).
Теперь можно утверждать с полной уверенностью,
что неизвестное точное значение искомого числа х отли-
чается от найденного приближённого значения 29,9 (полу-
суммы НГ и ВГ) меньше, чем на 0,2 (меньше, чем на грани-
цу абсолютной погрешности, равную полуразнэсти ВГ и НГ).
69
Иногда в качестве приближённого значения для х при-
ходится брать не полусумму границ, а какое-нибудь близ-
кое к этой полусумме круглое число. Тогда и граница по-
грешности уже не равна полуразности границ, а становит-
ся несколько больше. Возьмём, например, результат,
полученный в задаче 2 § 15: НГх = 37,00, ВГх = 38,74.
Поступая, как указано выше, найдём, что х 37,87 (±* 0,87).
В этом приближённом значении (37,87) две последние циф-
ры сомнительны. Его необходимо округлить, сохраняя
лишь одну сомнительную цифру, т. е. до десятых. Полу-
чаем х 37,9. Какова же граница абсолютной погреш-
ности этого нового приближённого значения? Прежняя
граница (0,87) уже не годится, так как разность 37,9 —
— 0,87 = 37,03 уже несколько больше НГ. Очевидно,
надо взять в качестве новой границы абсолютной погреш-
ности число 0,9. Действительно, тогда разность 37,9 —
— 0,9 даст как раз НГх = 37, а сумма 37,9 + 0,9 даст
38,8, что несколько больше ВГх = 37,87, а потому -может
быть принята за новую ВГх (напомним, что НГ можно
только уменьшать, а ВГ только увеличивать).
Легко убедиться в справедливости такого правила:
если приближённое значение а неизвестного точного чис-
ла х отличается от полусуммы НГх и ВГх, то границей
абсолютной погрешности числа а служит наибольшая из
разностей а — НГх и ВГх — а.
Если имеется несколько приближённых значений од-
ной и той же величины вместе с соответствующими грани-
цами абсолютных погрешностей, то чем меньше эти гра-
ницы, тем точнее соответствующие приближённые зна-
чения, так как тем меньше соответствующие разности меж-
ду ВГ и НГ. Положим, например, что один раз получили
для длины отрезка значение 264 ( + 8) см, а другой раз —
значение 266 (±1) см. Ясно, что второй раз измерение
произведено гораздо точнее, чем первый. Таким образом,
граница абсолютной погрешности представляет сбоой удоб-
ное средство для сравнения точности нескольких прибли-
жённых значений одной и той же величины. Однако для
сравнения точности приближённых значений различных ве-
личин граница абсолютной погрешности оказывается не-
достаточной. Пусть, например, измерена длина каранда-
ша, причём в результате получено 20 (±1) см, и длина
фасада здания, причём в результате получено 10,00
(±0,01) м = 1000 (±1) см. Границы абсолютных погреш-
70
костей в обоих случаях одинаковы и равны 1 см. Тем • не
менее каждый скажет, что первое измерение выполнено
очень грубо, а второе довольно точно. Для сравнения точ-
ности приближённых значений различных величин поль-
зуются границей относительной погрешности: так называ-
ют частное от деления границы абсолютной погрешности
на само приближённое значение; выражают это частное
обыкновенно в процентах. Так, в нашем примере граница
относительной погрешности при измерении карандаша
равна или 5%, а при измерении длины фасада — ,
или 0,1 %. Следовательно, второе измерение выполнено в
50 раз точнее, чем первое.
Ясно, что как границу абсолютной погрешности, так
и границу относительной погрешности при округлении
можно только увеличивать и нельзя уменьшать: если мы
ручаемся, что данное приближённое значение а отличает-
ся от истинного значения х меньше, чем, например, на 3,5,
то и подавно можно утверждать, что а отличается от х
меньше, чем на 4, но нельзя утверждать, что а отличается
от х меньше, чем на 3.
Заметим, что иногда границу относительной погреш-
ности определяют как частное от деления границы абсо-
лютной погрешности на точное (неизвестное) значение
рассматриваемой величины. На практике это приводит
к тем же результатам, что и наше определение, а потому мы
и берём его, как более удобное.
Итак, зная НГ и ВГ неизвестного значения какой-
нибудь величины х и взяв приближённое её значение а,
мы легко найдём сначала границу абсолютной его погреш-
ности, обозначаемую обыкновенно символом Да (читает-
ся «дельта а»), а затем и границу его относительной погреш-
Ьа Да-100 о/ п
ности — ,или —-—%. Рассмотрим несколько примеров.
1. Всякая выпускаемая в продажу гирька с надписью
«10 мГ» имеет действительный вес более 9 и менее И мГ.
Обозначая неизвестный истинный вес гирьки через х,
имеем НГх = 9, ВГх = 11, а = 10. Составляя разности
а — НГх = 1 и ВГх—а=1, видим, что граница
абсолютной погрешности Да=1. Остаётся разделить
Да на а, и мы получаем, что граница относительной по-
грешности указанного приближённого веса гирьки есть—.
71
или 1О°/о. Итак, х^10(±1) мГ, .или х №
л10( + 10%) мГ.
2. Взвешивание показало, что некоторый груз весит
больше 346,5 Г и меньше 347 Г. Если в качестве прибли-
жённого значения веса груза х взять а = -^-(346,5 + 347) =
— 346,75, то получим Да = 0,25 и а будет иметь две со-
мнительные цифры. Поэтому, округляя, берём а = 346,8.
Составляя разности 346,8 — 346,5 = 0,3 и 347 — 346,8 =
= 0,2, находим, что Да = 0,3 и — = °’± % 0,09 %.
а о4о,о
3. При решении задачи 6 § 15 мы установили (на стр. 67),
чтоНГй = 197, ВГй =231. Указать приближённой зна-
чение h и границы его погрешности.
Вычисляя полусумму и полуразность границ, полу-
чаем h^214 (±17). Необходимо округление; принимаем
h =210. Сравнивая разности 210 — 197 = 13, 231 —
— 210 = 21, видим, что ДЛ = 21, --°--% =10%,
»210(±10%).
Если известно приближённое значение (а) величины х
и его граница относительной погрешности (—), а нужно
указать НГх и ВГх, то сначала находим Да (умножением
— на а), а затем НГх = а — Да и ВГх = а + Да.
а
Пусть, например, измерение дало для некоторой дли-
ны х приближённое значение 624,72 м, причём известно,
что применённый способ измерения даёт результат с по-
грешностью до 0,5%, но не выше. Каковы границы для х?
Здесь а = 624,72, Да ^0,5% от 624,72 = <
< 3,13. Следовательно, НГх = 624,72 — 3,13 = 621,59,
ВГх “624,72 4- 3,13 = 627,85. Наеденное значение Да
указывает на необходимость округления данного прибли-
жённого значения а: в нём три сомнительные цифры.
Округляя его до целых и соответственно увеличивая Да,
получаем х 625 ( ± 4) м.
Отметим, что тот способ учёта погрешностей в ре-
зультатах повторных измерений, о каком шла речь в на-
чале § 16, сразу даёт границу абсолютной погрешности
среднего арифметического: за Да принимают среднее укло-
нение от арифметического среднего. Здесь граница абсо-
72
лютной погрешности Да вычисляется раньше, а НГ и ВГ
лишь посредством Да.
Решим в заключение одну задачу, требующую приме*
нения границ абсолютной и относительной погрешностей,
а также применения способа границ.
Коэффициент х полезного действия трансформатора
можно найти двумя способами: либо по формуле х = а : Ь,
либо по формуле х = а : (а + с) = 1 : (1 + -^), где
а — количество энергии, получаемой от трансформатора,
b — количество энергии, подведённой к трансформатору,
с — количество энергии, потерянной в трансформаторе
(всё за один и тот же промежуток времени). Измерения
показали, что a ss 359 ( + 1%) ватт, Z>sx373 (±1%) ватт,
csx 12 (+20%) ватт. Найти хх = а : b и х2 = 1 : (1 +^-)
со строгим учётом погрешностей.
Заметим прежде всего, что значение с можно получить
и без особого измерения — простым вычитанием по форму-
ле с = b — а. Результат, однако, будет очень неточен
(потеря точности при вычитании,*см. § 6).
Действительно:
Да = 1 % от 359 3,6;
НГ ВГ
ь 369,2 376,8
а 355,4 362,6
(1) с^Ь—а 6,6 21,4
Д6 = 1 % от 373 sx3,8;
21,4
6,6
28.0:2= 14,0
14,8:2 = 7,4
css 14.0( ± 7,4)
или css 14,0( ±53°/0)
Поэтому, хотя непосредственное измерение даёт с очень
неточно (граница относительной погрешности, как ука-
зано выше, составляет 20%!), но всё же с меньшей погреш-
ностью, чем вычисление с через а и Ь.
Переходим к вычислению х, и х2.
Вычисление хх = а : 6.
0,983
НГ ВГ
а 355,4 362,6
b 369.2 376.8
(!) х^а'.Ь 0,943 0,983
0,943
1,926-2 = 0,963
0,040:2 = 0,020
Xjss 0,963 ( ± 0.020)
sx0,96( ± 0,023).
Ответ. Xj а 0,96 ( ± 2,4“/0).
73
Вычисление х2=1 :(1 +-j).
Дс = 20% от 12 = 2,4;
I | НГ ВГ
с 9,6 14,4
а 355,4 362,6
(!) с:а 0,026 0,041
1 4- с:а 1,026 1,041
(!) х2 0,960 0,975
0,975
0,960
1,935:2 = 0.9675
0,015:2 = 0,0075
х2 0,9675 ( ± 0,0075)»
» 0,968 (± 0,008).
Ответ: х2 ~ 0,968 ( ± 0,9°/о)«
Получился довольно неожиданный результат: вычис-
ление по второй формуле посредством менее точного чис-
лового данного с дало более точный результат, чем по
первой. Отметим, что так будет всегда при высоких зна-
чениях коэффициента полезного действия, т. е. при значе-
ниях, близких к 100%.
Итак, мы ознакомились с двумя способами характери-
зовать точность приближённых результатов. Можно ука-
зывать, во-первых, НГ и ВГ неизвестного точного значе-
ния и, во-вторых, указывать а и Да (или а и ). Оказы-
вается, что второй способ имеет некоторое преимущество
и употребляется на практике чаще первого. Особенно
важно то, что, зная границы погрешностей всех данных
приближённых значений, мы можем вычислить и границу
погрешности результата, не находя его НГ и ВГ. Но такой
расчёт требует знания некоторых теорем, которые мы здесь
рассматривать не можем.
Упражнения.
!• Зная, что некоторый угол а больше 24°30' и меньше
24°50', указать приближённое значение а этого угла и
границу его погрешности (абсолютной и относительной).
2. Найти приближённое значение х и границы его по-
грешности, если известно, что НГх = 841,8 и ВГх = 844,5.
3. Мощность w паровой машины, вычисленная посред-
ством индикаторной диаграммы, равна 16473 лошадиным
силам. Зная, что этот способ измерения мощности даёт
результаты с погрешностью до 5%, указать границы для
w и надлежащим образом округлить указанное выше при-
ближённое значение ш.
Ц •
4. Электрическая лампочка накаливания с номиналь-
ной мощностью в 25 ватт (надпись на цоколе 25 w) должна
иметь силу света согласно стандарту от 15,60 до 19,00
свечей. Укажите приближённое значение силы света та-
кой лампочки и границу его погрешности.
5. Ребро куба имеет длину, равную согласно измере-
нию 12,0 см с относительной погрешностью* не выше 1%.
Вычислите по способу границ объём этого куба U и срав-
ните границу его относительной погрешности с границей
относительной погрешности данного значения длины
ребра.
§ 17. СВОДКА ПРАВИЛ'
Напомним в заключение важнейшие рассмотренные
нами правила, которых надо придерживаться при всяком
вычислении.
1. Необходимо различать, какие данные точны, ка-
кие приближённы. Приближённые числа надо округ-
лять, сохраняя в них только надёжные цифры и не
более одной не вполне надёжной и отбрасывая все по-
следующие.
2. Особое внимание надо обращать на цифру нуль,
если она находится в конце приближённого числа,
непременно выясняя, является ли этот нуль значащей
цифрой или он поставлен взамен неизвестной цифры.
3. Производя над данными числами какое-либо дей-
ствие, необходимо помнить, что в результате получа-
ется столько надёжных цифр, сколько их имеет наиме-
нее точное данное. При этом наименее точным данным
при сложении и вычитании считается то, в котором
меньше десятичных знаков, а при умножении и деле-
нии — то, в котором меньше значащих цифр.
4. В промежуточных результатах следует сохранять
одну ненадёжную цифру, т. е. брать не столько цифр,
сколько их имеет наименее точное данное, а на одну
больше. Эту запасную цифру надо подчёркивать; в
окончательном результате она отбрасывается.
5. Если при выполнении какого-либо действия ока-
зывается, что данные резко различаются по своей точ-
ности, то более точные данные следует предварительно
округлять, сохраняя в них лишь по одной лишней циф-
ре, сравнительно с наименее точным данным.
75
6. Если окончательный результат надо получить
с некоторой наперёд указанной точностью, а данные
можно брать с произвольной точностью, то в этих дан-
ных следует брать по стольку цифр, сколько нужно
для получения результата с одной лишней цифрой.
В ,окончательном результате эта лишняя цифра отбра-
сывается.
7. В тех случаях, когда нельзя мириться с той не-
определённостью последней цифры результата вычис-
ления, которая получается при применении рассмот-
ренные правил, надо вычислять отдельно нижнюю и
верхнюю границы искомого числа, т. е. переходить
к вычислению со строгим учётом погрешностей по спо-
собу границ.
* *
♦
Закончим настоящую книгу указанием на важность
проверки правильности найденных результатов и
необходимость хорошей записи вычислений. Как
бы тщательно мы ни вычисляли, всегда есть опасность
сделать случайную ошибку. Поэтому надо стараться ре-
шать одну и ту же задачу по крайней мере двумя различ-
ными способами. Тогда согласие полученных результатов
будет, вероятно, свидетельствовать о правильности каждо-
го из них. В случае же, если эти два способа дадут резуль-
таты различные, надо искать ошибку либо в одном, либо
в другом вычислении (иногда случается, что оба резуль-
тата неверны). Очень полезно решать одну и ту же задачу
вдвоём или втроём, но независимо друг от друга, и срав-
нивать результаты.
Надо обращать самое серьёзное внимание на аккурат-
ность записи чисел и на целесообразное расположение всех
вычислений. Небрежно написанные цифры часто приводят
к досадным ошибкам (человек напишет небрежно цифру 6,
а потом прочтёт её как 0, и т. д.). Вычисление должно быть
записано так, чтобы весь его ход был понятен без особых
устных пояснений и облегчал проверку. Записывать дей-
ствия и промежуточные результаты надо по определённой,
заранее обдуманной схеме; все вычисления, которые не
умещаются в схеме и не могут быть выполнены в уме, вы-
полнять на особом, отведённом для них месте.
ОТВЕТЫ.
К § 1. 1. Площади (45 кв, м. и 3,6 кв. м) выражаются прибли-
жёнными числами; число окон (4) — точное. 2. Число учебников
(12)— точное; число книг в библиотеке (32 тысячи) — приближён-
ное* 3. Расстояние (164 км) выражено приближённым числом; стои-
мость билета (27 руб. 50 коп.) —число точное.
К § 2. 1. 1,1; 1,07; 1,067; 1,0668, 1. 2. 0,5; 0,51; 0,506; 0,5058;
0,50581. 3 . 409,51; 410; 410; 400. 4. 6000. 64^0 6360; 6357; 6356,9;
6356,91. 5. 42:5=8,4^9. 6. 40:2,4= 16.66... % 16.
К § 3. 1. Запись 8,00 означает, что известны не только цифра
целых (8), но и цифры десятых (0) и сотых (0) долей, неизвестны
цифры тысячных и последующие. 2. Запись 37J указывает, что изме-
рение сделано с точностью до градуса, доли градуса неизвестны, а
запись 37м,0— что измерение сделано с точностью до десятых долей
градуса (их 0), неизвестны сотые и более мелкие доли градуса.
3. Подчёркнутые нули поставлены взамен неизвестных цифр, непод-
чёркнутые— означают отсутствие единиц соответствующих разрядов.
4. 146 кГ\ 32 см=3,2 длс=0,32лс. 5. 270_ аров = 2,7 гектара.
К § 4. 1. Среднее 188,8, по округлении 190. 2. Среднее 31,348 Г,
по округлении 31,3 Г. 3. Среднее 39,915 м, по округлении 39,9 jh,
4. При точном построении и измерении диагональ оказалась
бы равной 14,142... см\ у нас могут быть получены только
первые 4 цифры, т.е. число 14,14, причём в цифре сотых может быть
небольшая погрешность. 5. Измерение транспортиром может дать
только целые градусы и десятые доли градуса, результаты 56°,3 и
33°,7 можно считать хорошими. 6. При точном построении и точном
подсчёте среднее арифметическое будет немного больше, чем 314,
но меньше 315 (квадратиков). Ответ 310 или 320 квадратиков можно
считать хорошим.
К § 6. 1. Вычисление в десятичных дробях даёт 0,328, в обык-
21
новенных 64 = 0.3281...» 0,328. 2. 77,6 м. 3. 181,0 куб.см.
4. Точное построение и измерение давало бы каждый раз ровно 540° .
Наш ответ можно считать удовлетворительным, если сумма окажет-
ся равной 540°. 5. Вычисление в десятичных дробях даёт х 0,889.
1 1 1 11^1
Заменяя дробь через 1 — » Дробь ^73 через %—3’ » ДР°бь ^74
14 18
через §—4* и т. д., получаем х = 1 —-g = -д- 0,8888 ...
77
к § 7. 1. Вычисление в десятичных дробях даёт 13,140381 «
» 13,41; 1,48695 « 1,49; 0,1647 « 0,16; вычисление в обыкновенных
дробях даёт 13у = 13,142...; ly = 1,500...; g~= 0,1666...
2. 348 kjh. 3. Около 180 тысяч знаков. 4. 16,9 см. 5. 4,54 кв.м.
6. ПО тыс. км. 7. 390 Г= 0,39 кГ. 8. 210 ли = 2,1 jh. 9. 700 кГ =
= 0,7 т. 10. 5,36- 1,222 = 6,54992 » 6,55 т.
К § 8. 1. Вычисление в десятичных дробях даёт 0,358... «0,36;
0,8571... » 0,857; 5,4296... » 5,430. Вычисление в обыкновенных
52 6 3
дробях даёт= 0,353...; у = 0,8571...; 5у = 5,4285... 2. 11 Г.
3. 3,2 раза. 4. 0,318. 5. 0,41 мм. 6. От деления числа 166000 на
число 228 • 60= 13680 получаем в частном 12,1. 7. 0,3 км = 300 м
(в одну-секунду). 8. 5,2 м. 9. 0,012 мм.
К § 9. 1. 16,4; 16,4; 16,4. 2. 9 1; 9 4.
К § Ю. 1. 28200; 2830 J; 283Э0. 2. 56 тысяч; 54 тысячи; 54 тысячи»
3. 68 кГ. 4. 1300= 1,3 тысячи. 5. 8,6 м.
К § 11. I. Вычисление в десятичных дробях даёт 136, в обыкно-
венных 136 — . 2. 7,8 Г. 3. 8,6 Г. 4. 0,01 мм. 5. 29,7 км.
77
К § 12. 1. 2,72. 2. 130; 163; 169; 121. 3. 75°,4; 203d,5; 49°,2;
29",7; 2\0. После округления до целых 75’; 204°; 49э; 30"; 2\ 4.0,07»
5. 550; 628; 707.
К § 13. 1. 591 руб. 84 коп.; 341 руб. 1&коп.; 394 руб. 56 коп.;
505 руб. 53 коп.; 617 руб. 87 коп.; всего 1789 кГ на сумму
2450 руб. 93 коп. 2. 2 руб. 16 коп.; 1 руб. 57 коп.; 1 руб. 93 коп.;
1 руб. 82 коп.; 2 руб 79 коп.; 2 руб. 21 коп.; всего 12 руб. 48 коп.,
что составляет как раз 2,75и/0 от всей выплачиваемой суммы
453 руб. 90 коп. 3. Действительные длины 15,67 м, 9,37 м; 26,94 м.
К § 15. 1. Искомая сумма больше, чем 0,4995, и меньше, чем
1093
0,5002. Точное значение этой суммы есть 2Т87 = 0,499771...
2. Искомый вес больше, чем 550-8,4= 4620, и меньше, чем
560-8,7= 4872 Г. Можно принять, что НГ равна 4,6 кГ, а ВГ 4,9 кГ.
•3. 0,142 < у-< 0,143; 0,111 < -у < 0,112, поэтому 0,030 <-у—
— у- < 0,032. Вычисление в обыкновенных дробях даёт у- — -g- =
2 165
-= = 0,0317 ... 4. Искомый удельный вес больше, чем уу =
166
= 2,462..., и меньше, чем -gj- = 2,593.. . Можно принять,
что НГ есть 2,4, а ВГ есть 2,6. 5. Искомый объём больше, чем 1061,208,
и меньше, чем 1092,727 куб. см. Можно принять, что НГ есть
1,06 куб. дм, а ВГ 1,10 куб, дм. 6, Имеем пропорцию х : а = с : Ь,
78
ас 12,6-164 2066,4 „
откуда х = у. НГх=—Ц5~=]45 =14,24..., ВГх =
12,8-166 2124,8 „ п
= —-------= |4|~ = 15,06...; окончательно имеем 14,2<х<
<15,1 м.
К § 16. 1. а « 24°40'(±Ю')^ 24°4О'(±О,7°/о). 2. х « 843(± 1,5).
8. 15600 < w < 17 300, w 16,5 тысячи лошадиных сил.
4. 17,30(±1,70) или 17(±2). 5. 11,88s < V < 12,12s, 1676 < V <
< 1781, Vv 1728,5( + 52,5) куб. см, V « 1,73(±0,06) куб. дм, У
1,73 (±ЗИ) куб. дм%
СОДЕРЖАНИЕ.
Предисловие для учителя ............3
§ 1. Числа точные и приближённые......................5
§ 2. Округление чисел..................8
§ 3. О точности приближённых чисел....................ц
§ 4. Как надо считать и измерять?....................13
§ 5. О вычислениях с приближёнными данными...........17
§ 6. Сложение и вычитание приближённых чисел........18\
§ 7. Умножение приближённых чисел....................23
§ 8. Деление приближённых чисел.................... 31
§ 9. Округление промежуточных результатов............35
§ 10 Предварительное округление более точных данных ... 37
§ 11. Примеры более сложных вычислений с приближёнными чис-
лами ........................................41
§ 12. Вычисления с наперёд назначенной точностью.......46
§ 13. Вычисления посредством таблиц....................50
§ 14. Простейшие счётные приборы.......................53
§ 15. Строгий учёт погрешностей по способу границ ..... 59
§ 16. Понятие о границе абсолютной и относительной погрешностей £9
§ 17. СводкаГ правил...................................75
Ответы..............................................77
Цена 95 коп.
С 1/-1961 г. — 10 коп.