МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ ^4-1976
Научно-методический журнал Издается с 1934 года
Министерства просвещения СССР Москва «Педагогика»
СОДЕРЖАНИЕ
Некоторые вопросы изучения математики в свете решений XXV съезда 3
КПСС
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Об изучении математики в IX классе
5
О преподавании математики в X классе
11
Упражнения по темам «Принцип математической индукции» и «Элементы
39
Ф. М. Барчуно&а,
комбинаторики»
35
Ю. П. Дудницын
Физические задачи на уроках математики
В. Е. Володарский
К уроку на тему «Признаки параллелограмма»
38
Д. М. Карапетян
О преподавании алгебры в VI классе
39
Т. Л. Сытина
К составлению задач и упражнений по материалам развития народного
39
хозяйства СССР
Технические средства обучения. Учебное оборудование
Учебное оборудование для IV класса Учебное оборудование по алгебре для VI класса
Факультативные курсы
Эксперимент
К изучению перемещений в курсе геометрии VI класса Использование логических связок «и», «или» при изучении операций
над множествами
41
Алгоритмы вычислений 46
Э. Ю. Красс, А. К. Зариня
44 л. И, Апанасенко
Н Б. Демидович, В. М, Монахов
5? Л, В. Виноградова
S3 О. С. Кретинин
В помощь самообразованию учителей
Логически истинные предложения
© Издательство «Педагогика», «Математика в школе», 1976 г.
55 П. М. Олоничев


Внеклассная работа
Операции над множествами О функции знак Мис/тз XXXVIII Московская математическая олимпиада
Задачи
63 Ф. Ф, Нагибин 61 И. А. Марняйснмй
68 А. Н. Колмогоров, Г. А. Гальперин
72
ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ
Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской 80 В. Л Минковскнй
Математический календарь на 1976/77 учебный год
Поздравляем юбиляра
Константин Петрович Сикорский
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Своевременная книга «Встречи с тремя неизвестными» в журнале «Пионер»
ЗА РУБЕЖОМ
ХРОНИКА
Научно-методический семинар «Современные идеи в преподавании
математики в СССР и за рубежом» Зональный семинар по работе в помощь школе
| Федор Федорович Нагибин |
82 А. И. Бородин, К. П. Сикорский
Г. А. Ястребинецкий, Р. С. Черкасов, С. А. Пономарев
25 Н, Я. Авдеев, Г. Я. Куприянова, Т. Т. Фискович 35 Ю. В. Ломакин, С. А. Козырева, Г. А. Соколова
Обзор некоторых зарубежных материалов о преподавании математики 88
Упражнения на бинарные отношения в школах Франции 91
П
95
3. И. Турлакоза Л. А. Одинцова
И. С. Бровиков, Р. С. Черкасов, В. Н. Шапкнна В. Я. Саннинский
Е. С. Канин, Н. Г. Кнлииа, Н. Ф. Семенович, Р. С. Черкасов
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
Главный редактор Р. С. Черкасов. Зам. главного редактора С. А. Пономарев. Члены редакционной коллегии: Н. М. Бескин, В. Г. Болтянский, Б. В. Гнеденко,
Г. В. Дорофеев, Н. А. Ермолаева, А. Н. Колмогоров, Г. Г. Маслова, И. С. Петраков,
А. Д. Семушин, К. П. Сикорский, В. А. Скворцов, 3. А. Скопец, П. В. Стратилатоз, 3„ С. Сухотина, К. И. Шалимова, С. И. Шварцбурд, Г. А. Ястребинецкий.
РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ (представители союзных республик)
А. М. Алиев (АзССР), X. А. Асадов (ТаджССР), Б. Б. Бердыев (ТуркмССР), И. С. Бровиков (РСФСР), Б. П. Бычков (МССР), Г. Д. Глейзер (РСФСР), В. А. Гусев (РСФСР), А. С. Зибертас (ЛитССР), Д. И. Икрамов (УзССР), К. К. Кожаспаев (КазССР), Ю. М. Ко- лягин (РСФСР), Ш. М. Майлиев (КиргССР), В. Я. Миллере (ЛатССР), К. С. Муравин (РСФСР), з. И Моисеева (РСФСР), Р. В. Саркисян (АрмССР), С. Ф. Рубанов (БССР), 3. М,. Слепкань (УССР)с А. Э. Телъглша (ЭССР). И. Ф. Теслепко (УССР). А, М. Хоштария
(ГССР), Р. А. Хабиб (РСФСР),


Некоторые вопросы изучения математики в свете решений XXV съезда КПСС
Первоочередной задачей остается ускорение научно-технического прогресса. jЕго значение, пап вы помните, со всей силой под- черпнул XXIV съезд КПСС. Мы, коммунисты, исходим из того, что только в условиях социализма научно-техническая революция обретает верное, отвечающее интересам человека и общества направление• В свою очередь, только на основе ускоренного развитии науки и техники могут быть региены конечные задачи революции социальной — построено коммунистическое обгцество.
(Из Отчетного доклада Генерального секретаря ЦК КПСС товарища JI. И. Брежнева на XXV съезде K1ICC)
На XXV съезде КПСС с новой силой было подчеркнуто значение науки в ускорении научно-технического прогресса, в создании материально-технической базы коммунизма.
Большую роль в развити научно-технического прогресса призвана сыграть математическая наука. Так, в решении XXV съезда КПСС «Основые направления развития народного хозяйства СССР на 1976—1980 годы» указано: «В области естественных и технических наук: расширять исследования по теоретической и прикладной математике. Развивать научные работы, направленные на усовершенствование и эффективное применение в народном хозяйстве электронной и вычислительной техники».
В настоящее время получило всеобщее признание то, что успех развития многих областей науки и техники существенно зависит от развития разных направлений математики. К таким направлениям относятся теория вероятностей и статистика, вычислительная математика и программирование для ЭВМ, теория алгоритмов, .математическая логика, теория игр, математическое моделирование и оптимизация, линейное и динамическое программирование, теория управления. Средством для применения многих направлений математических теорий в практике являются электронные вычислительные машины и электронная техника. Существенную роль эта техника играет в автоматизированных системах управления производственными процессами, а также в автоматизации оборудования. В нашу эпоху, эпоху строительства коммунистического общества, в условиях научно-технического прогресса методы математики находят все более и более широкое
примененйе. Сейчас практически на каждом крупном предприятии (в учреждении) имеется вычислительная машина, которая широко используется для оперативного решения задач. В штатное расписание многих заводов и фабрик вошла должность «инженер математик».
Математика, таким образом, становится средством решения проблем организации производства, поиска оптимальных решений и в конечном счете содействует повышению производительности труда как важнейшего показателя эффективности и качества выполнения десятой пятилетки. В этом смысле математику следует понимать как реальную производительную силу нашего общества.
Учителю математики приходится учитывать происходящие процессы, постоянно следить за успехами развития современной математики и ее применения в народном хозяйстве.
В десятой пятилетке планируется увеличить по сравнению с девятой пятилеткой выпуск приборов и средств автоматизации в 1,6—1,7 раза, средств вычислительной техники — в 1,8 раза, развивать производство универсальных и управляющих вычислительных комплексов, электронно-клавишных машин.
Особенности научно-технического прогресса в условиях построения коммунистического общества в нашей стране требуют общего повышения образовательного и культурного уровня трудящихся. Полное среднее образование становится общественно необходимым минимумом в подготовке развитой личности нашего общества.
В девятой пятилетке средняя школа проделала большую и ответственную работу
3


задание XXIV съезда КПСС о переходе ко всеобщему среднему образованию, как отметил в своем выступлении на съезде министр просвещения СССР М. А. Прокофьев, в основном выполнено.
В этом переходе существенной перестройке подверглось содержание математического образования. Молено сказать, что в нашей стране уже более века не было столь значительной реформы системы обучения по математике. В основном эта перестройка математического образования соответствует целям и задачам подготовки подрастающего поколения с учетом требований научно-технического прогресса и подготовки сознательных строителей коммунистического общества. Были вновь созданы программы, учебники, учебные и методические пособия с I по X классы.
В десятой пятилетке, как указано в «Основных направлениях развития народного хозяйства СССР на 1976—1980 годы», предполагается «осуществить да7о>нейшее развитие системы народного образования в соответствии с требованиями научно-технического прогресса и задачами неуклонного повышения культурно-технического и образовательного уровня трудящихся».
В свете изложенного совершенствование математического образования — одна из неотложных и первоочередных задач, стоящих перед школой в десятой пятилетке. Несмотря на трудности, которые возникают в этой работе, учителя математики прилагают все усилия для овладения новым содержанием и методикой обучения математике по новой программе. Особое внимание уделяется новым разделам программы, отвечающим требованиям достижений современного научно- технического и образовательного уровня трудящихся, например, вопросам знакомства учащихся с основами работы электронно-вычислительных машин, началам теории множеств и математической логики, основам дифференциального и интегрального исчислений, дифференциальным уравнениям, векторной алгебре, методу координат и др.
При этом важнейшее значение имеет повышение качества математических знаний учащихся как при изучении традиционно сложившихся разделов школьного курса, так и при изучении тех разделов, которые имеют перспективное значение в свете обеспечения успехов в научно-техническом прогрессе страны. Нам необходимо постоянно иметь в виду сказанное Леонидом Ильичем Брежневым в Отчетном докладе на XXV
съезде КПСС: «В современных условиях, когда объем необходимых для человека знаний резко и быстро возрастает, уже невозможно делать главную ставку на усвоение определенной суммы фактов. Важно прививать умение самостоятельно пополнять свои знания, ориентироваться в стремительном потоке научной и политической информации».
Обучение математике в современных условиях требует тесной связи с коммунистическим воспитанием учащихся, органического соединения обучения и воспитания. Материалы XXV съезда партии открывают нам для этой работы широкие возможности.
Важнейшей задачей воспитания на уроках любых предметов становится задача доведения до каждого школьника материалов XXV съезда.
Неотложной задачей преподавателей математики в этом деле является раскрытие учащимся роли математики, которая отводится ей в планируемом научно-техническом прогрессе, в планах десятой пятилетки. Документы съезда следует привлекать на уроках математики, факультативах, во внеклассных занятиях, во всех других формах работы с учащимися.
Материалы съезда следует использовать при объяснении нового программного материала. Делать это можно при изучении диаграмм и графиков в младших классах, при изучении функций в других классах, широкие возможности для этого представляются при знакомстве учащихся с принципами работы ЭВМ. Материалы съезда следует привлекать для сравнения и бесед с учащимися в связи со встречающимися в учебниках устаревшими данными о народном хозяйстве. Их комментирование позволяет наглядно иллюстрировать рост могущества нашей страны за годы пятилеток. Полезно привлекать числовой материал для составления новых задач, в том числе и силами учащихся.
Через задачи учитель может ярко показать, почему девятая пятилетка была «лучшей из наших пятилеток», как ее назвал Л. И. Брежнев. Наглядными и доступными являются здесь примеры, характеризующие развитие математической науки, роста парка ЭВМ в разных областях науки и техники,, народного хозяйства. Другим важным показателем, характеризующим девятую пятилетку, является дальнейшее совершенствование системы народного образования: был опублико¬
ван ряд постановлений партии и правительства о школе, принят Устав школы, в основном завершен переход ко всеобщему
4


среднему образованию и осуществлен переход на новое содержание обучения.
При освещении решений XXV съезда КПСС полезно привлекать наглядный материал, подготовляемый самими учащимися. Графические иллюстрации, диаграммы и другие схематические изображения данных съезда дадут возможность учащимся лучше осознать изучаемые материалы, предначертания партии, перспективы развития науки, народного хозяйства, культуры и народного образования.
В качестве материалов, необходимых для освещения хода выполнения плана десятой пятилетки, полезно использовать периодически публикуемые в центральной печати данные ЦСУ СССР, сведения из научно-популярных журналов.
В ряде случаев целесообразно на уроках математики при изучении основного курса и особенно на факультативных занятиях и во внеклассной работе проводить краткие целенаправленные беседы и лекции. Для разного рода сообщений и особенно для составления рефератов или докладов полезно привлекать и самих учащихся.
Обсуждая задачи молодежи в выполнении решений XXV съезда, следует уделить внимание той роли, которую должен сыграть каждый выпускник школы, среднего ПТУ и среднего специального учебного заведения в дальнейшем подъеме народного хозяйства, улучшении качества выпускаемой продукции, повышении производительности труда и эффективности производства в целом.
Выпускники средних учебных заведений должны отчетливо понимать, что в научно- техническом прогрессе нашей страны особую роль призваны сыграть люди, обладающие высокими моральными качествами, хорошо подготовленные в общеобразовательном плане и по своей профессии. С помощью конкретных числовых данных учащимся надо показать роль теоретической подготовки в повышении квалификации специалиста.
Учащимся старших классов будет весьма интересно сообщение учителя о прикладной ценности и важности ряда вновь введенных разделов (элементы дифференциального и интегрального исчисления, векторной алгебры, теоретико-логического подхода и др.).
Обзор курса математики, соответствующего новой программе, несомненно поможет учащимся оценить значение получаемых ими знаний, умений и навыков в свете их конкретного участия в решении задач, постав¬
ленных на XXV съезде КПСС перед советским народом, в решении вопроса о развитии культуры и общего образования советских людей, в развитии личности каждого члена нашего общества.
Специфика содержания изучаемых в курсе математики вопросов такова, что их абстрактность и отвлеченность во многих местах курса довольно значительны, и поэтому возникает необходимость помимо демонстраций областей применения изучаемого метода (когда это возможно) проводить разъяснительную работу о значении математических знаний в общем образовании, профессиональной ориентации и культурном развитии человека. Особенности такого рода пояснений требуют связывать их с практикой строительства коммунистического общества в нашей стране, с практикой наших пятилеток.
Материалы съезда помимо цифрового отражения в упражнениях общеобразовательного курса математики должны найти свое место и в темах факультативных занятий, л в работе классов и школ с углубленным изучением математики и ее приложений. Так, в прикладном предмете представляются благоприятные условия для рассмотрения места и роли ЭВМ в развитии народного хозяйства в десятой пятилетке, в решении учащимися практических задач.
Широкие возможности для ознакомления с материалами съезда предоставляет внеклассная работа по математике. Несомненный интерес имеет организация встреч с учеными-математиками, сотрудниками вычислительных центров, работниками промышленных предприятий. Полезны также специальные выпуски школьных математических газет и выставки работ учащихся, организация вечеров и общешкольных лекций.
Изучение математики в значительной мере способствует развитию мышления, укрепляет веру в здравый смысл, содействует формированию убежденности, что является одним из показателей всесторонне и гармонично развитой личности.
Изучение материалов XXV съезда на уроках математики имеет важное воспитательное значение.
При решении всех задач обучения нам необходимо помнить критерий успешности нашей работы, высказанный на съезде Л. И. Брежневым: «Коммунистическая идейность — это сплав знаний, убеждений и практического действия».


МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
ОБ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ В IX КЛАССЕ (Методическое письмо1}
Тема I. Принцип математической индукции
В этой теме учащиеся узнают, что метод рассуждений, ведущий от рассмотрения частных примеров к общему выводу, называется индукцией. Значение неполной индукции велико для естественных наук, где экспериментальные данные наводят ‘на гипотезу, догадку. Большую роль играет она и в математике, позволяя «догадаться», найти метод решения той или иной задачи.
Учащиеся знакомятся с двумя методами логических доказательств: а) с методом полной индукции, применимым для конечного числа случаев; б) с методом математической индукции, применимым для доказательства справедливости предложений на множестве всех натуральных чисел (или на множестве всех натуральных чисел, начиная с некоторого, большего единицы).
При изложении материала учитель должен иметь в виду следующее:
1. 	Основная задача — разъяснить логику рассуждений при доказательстве методом математической индукции. Формирование навы¬
1 Методическое письмо Главного управления школ Министерства просвещения СССР и Научно-исследовательского института содержания и методов обучения АПН СССР публикуется в сокращенном виде.
Методические рекомендации к темам IV—VI по алгебре и началам анализа и к темам II—III по геометрии были опубликованы в журнале «Математика в школе», 1975, № 6.
ков в решении задач не предусматривается. При таком подходе к изложению темы, как показал опыт первого года работы, пяти уроков оказывается достаточным для того, чтобы учащиеся свободно понимали доказательство, проводимое методом математической индукции. Такие доказательства встречаются при изучении дальнейших тем курса (см., например, п. 7, 9, 46 учебного пособия).
2. Для иллюстрации метода рассуждений желательно использовать задачи, разнообразные по характеру: на суммирование, делимость, доказательство неравенств.
3. Следует обратить внимание на пример 2 в п. 1, так как доказываемое в нем неравенство |а-\-Ь | ^ | а\ -f-1 b | находит применение в дальнейшем.
4. Неравенство Бернулли (см. пример 3 в п. 2) необязательно для изучения в этом месте курса. Для случая h^>0 его можно легко вывести с помощью формулы Ньютона (п. 9). Для этого достаточно в формуле (а-\-Ь)п=
/"'О п , , п—т гт , . s-,n %п
— сп а + а Ь -\-...~\-СпЬ положить а = 1, b — h^'0. Очевидно, что (1 -f- h)n > > С°„ + cl h, т. е. (1 + /г)" > 1 + л/г.
Заметим, что это неравенство вообще можно опустить и дальше вести изложение без его использования.
Тема М. Элементы комбинаторики
Основной задачей в этой теме является выработка умения решать несложные комбинаторные задачи. Как показал опыт, чрезвычайно полезным оказывается применение наглядных схем (см., например, «Математика в школе», 1975, № 4, с. 17).
В результате изучения п. 4—6 учащиеся должны уметь в конкретной ситуации установить, о чем идет речь: о числе перестановок, числе размещений или числе сочетаний. Для этого полезно после введения всех изучаемых комбинаций предлагать учащимся задачи из дидактических материалов, в которых требуется определить вид комбинации (работа II—3). От учащихся требуется знание формул (3) из п. 4, (3) или (4) из п. 5, (2) или (3) из п. 6. Знать промежуточные рекуррентные формулы необязательно.
Среди упражнений встречаются такие, в которых предлагается преобразовать выражения, содержащие факториалы. Эти упражнения помогают понять, что: 1) произведение k последовательных натуральных чисел можно представить в виде отношения факториалов;
2) 	дробь вида — , где п и k — натуральные
числа, большие единицы, сократима (упр. 36).
G


При выполнении ряда упражнений (например, 33, 39) может быть использована таблица факториалов (п. 4, с. 18).
Таблицу п. 6 («Треугольник Паскаля») полезно использовать при изучении каждого из свойств числа сочетаний (п. 7, 8). Так, например, с ее помощью можно подметить, что
cl = Cl с\ + с\ = ch сл + cl + с\+cl +
+ d -f С5 — 25,
и выдвинуть соответствующие гипотезы. Заметим, что учитель может дать другую, более компактную запись вывода формулы (1) из п. 8:
ш I т -f■ 1 ^ ^ ^ ^
п ‘ п m\(ti—т)\ ' (/n-|-l)!(^—tn—1)! ~
_ _ п\{(т -fl)+ (п — т)) ^ (п -f 1)! рт + 1
(т -f 1)! (п — т)\ = (т -f 1)! (п—т)\ Л+1
При изучении п. 9 можно не требовать от учащихся воспроизведения вывода формулы Ньютона в общем виде. Свойства биномиальных коэффициентов вначале выясняются на конкретных примерах, а затем формулируются для общего случая. Эти свойства учащиеся должны знать, по их необязательно перечислять в порядке, приведенном в учебном посо- .бии. (При установлении свойств биномиальных коэффициентов полезно опять обратиться к «треугольнику Паскаля».)
Тема III. Действительные числа.
Бесконечные последовательности и их пределы
Третья тема систематизирует сведения о множестве действительных чисел (§ 5) и знакомит учащихся с понятием предела бесконечной числовой последовательности (§ 6, 7).
Изучение п. 12—15 рекомендуется построить в виде беседы, в процессе которой должны быть четко выделены следующие мысли:
1. Все числа, с которыми учащиеся встреча-
9
например, -~;
а
0,257; —2,3; У 5; тс и др.), являются действительными числами. Термин «действительное число» применим и к рациональным числам,
т. е. к числам, представимым в виде — (т £ Z,
л£М), и к иррациональным числам, для которых такое представление невозможно (например, У 7 — см. упр. 200, lg5 — см. упр. 201).
2. Любое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дро¬
би периодической, если это число рациональное, или непериодической, если оно иррациональное. Верно и обратное: любая бесконечная десятичная дробь является представлением некоторого действительного числа.
2а. Бесконечная десятичная дробь, являющаяся записью рационального числа и полученная в результате алгоритма деления, не может иметь 9 в периоде. Это утверждение в учебном пособии доказано петитом. Если не рассматривать бесконечные десятичные дроби с периодом 9, то между множеством действительных чисел и множеством бесконечных десятичных дробей (их записью) устанавливается взаимно однозначное соответствие2.
3. Представление действительного числа в виде бесконечной десятичной дроби задает десятичные приближения этого числа (по недостатку и по избытку) с любой точностью.
Заметим, что понятие «десятичное приближение с точностью до 10~п» — новое для учащихся и не совпадает с понятием приближенного значения этого числа с той же точностью. Например, 2,26 является приближенным значением числа 2,3 с точностью до 0,1, так как 12,3—2,26|<0,1, но не является десятичным приближением 3 числа 2,3.
4. Действительные числа, заданные бесконечной десятичной дробью или в другой форме, можно сравнивать, а также производить с ними действия сложения, вычитания, умножения и т. д. При этом остаются в силе в;:е законы этих операций.
Понимание этих фактов проверяется па конкретных примерах при выполнении упражнении (например, № ИЗ, 114, 116, 119, 121 (а, в), 122). Воспроизведение теоретического материала, в частности, определения периодической дроби, правила сравнения бесконечных десятичных'дробей, определения суммы и произведения действительных чисел, доказательства теоремы 1 (п. 13) требовать от всех учащихся не следует.
Серьезное внимание следует уделить изучению п. 16, 17, в которых разъясняется, что между действительными числами и точками координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие (каждому числу а ставится в соответствие точка с координатой а и обратно, каждой точке координатной прямой соответствует число — координата этой точки). Особо следует выделить формулу расстояния между двумя точками координатной прямой. Хорошее усвоение связи геометриче-
2 Сведения, приведенные в п. 2 а, со всеми учащимися не изучаются.
6 Это замечание предназначено для учителя: еглч
у учащихся не возникнут вопросы, то останавливаться па этом не следует.
лись в восьмилетием школе


ских и алгебраических понятий, например, понимание геометрического смысла неравенства \х — a\<Cb и умение решать его с использованием понятия расстояния, послужит основой для успешного изучения центральных тем курса. С этой точки зрения очень важными являются упражнения № 135—145. (Заметим, что введенная в п. 17 запись множества {х €: читается так: «Множество
действительных чисел х, таких, что а ^ х ^ ^ Ь».)
Понятие предела последовательности, которое вводится и изучается в двух следующих параграфах, не является новым для школы, ранее оно изучалось в курсе геометрии IX класса. Однако всегда изучение этого понятия вызывало большие затруднения. Одна из причнн — сложная логическая структура определения предела последовательности: lim хп—а,
/2->оо
если для любого s^>0 существует N такое» что для всех п^> N выполняется неравенство I х„ - а I < S.
Поэтому при изложении этого материала необходимо больше опираться на представления о связи действительных чисел с их геометрическим изображением, полученные при изучении п. 16, 17, максимально использовать наглядное, геометрическое истолкование понятия предела. При введении определений, доказательстве теорем, выполнении упражнений формальное изложение должно сопровождаться (а иногда и предваряться) графическими иллюстрациями. Например, в упражнении 161 можно ограничиться следующим рассуждением: «Так как все члены последовательности равны одному и тому же числу с, то все они изображаются одной и той же точкой координатной прямой. Поэтому какую бы г-окрестность точки с мы ни взяли, в нее попадают все члены этой последовательности». Заметим, что сформулированная в этом упражнении теорема используется в дальнейшем (см. п. 27, следствие из теоремы 2).
Теорему о единственности предела последовательности (п. 22) можно доказать, используя геометрическое истолкование предела. Пусть последовательность (хп) имеет два предела: lim хп — а и lim хп = Ь, причем
П—>оо П~>оо
афЬ. Построим непересекающиеся s-окрестности точек а и Ъ
Так как а = Мтхп, то согласно определе-
П->оо
нию предела все члены последовательности, начиная с некоторого, будут содержаться в e-окрестности точки а. Но тогда все эти
члены (бесконечное множество членов) окажутся вне e-окрестности точки b, а это значит, что число b не может служить пределом последовательности (хп).
Заметим, что воспроизведения доказательства этой теоремы в том или ином виде требовать от всех учащихся необязательно.
При изучении п. 22 можно опустить пример 1 из текста и упражнения 163 (в, г).
После рассмотрения п. 22 можно перейти к материалу § 7, отнеся изучение п. 23—24 на более поздний период.
Изучение п. 26 целесообразно начать с введения понятий ограниченной последовательности (с иллюстраций на координатной прямой) и закрепить его при решении упражнений 173(a), 174- (в них требуется указать промежуток, которому принадлежат все члены рассматриваемой последовательности). Полезно привести несколько примеров последовательностей, не являющихся ограниченными. Нет необходимости рассматривать большое число упражнений на доказательство неограниченности последовательности, достаточно рассмотреть пример 3 из п. 26 учебного пособия.
В результате изучения п. 27 и 29 учащиеся должны усвоить формулировки рассматриваемых в них теорем и уметь применять их для вычисления пределов; не следует требовать от всех учащихся умения воспроизвести доказательство теоремы 1 из п. 27.
Рассмотрение примеров на вычисление пределов (п. 29) полезно начать с таких случаев, когда можно непосредственно воспользоваться
теоремами о пределах: Ит(2 + —Y Нт(3 —
П-+оо V Я / п~>оо \
—и т. д. После этого можно перейти к рассмотрению примера 1 из п. 29.
В п. 31. 32 напоминаются определения возрастающей и убывающей последовательностей и вводятся понятия невозрастающей и неубывающей последовательностей. Напомним, что в восьмилетней школе монотонными назывались возрастающие или убывающие функции, в частности возрастающая и убывающая последовательности. По терминологии IX класса, монотонная функция — это невозрастающая и неубывающая функция. Следует иметь ввиду, что в случае такого толкования термина «монотонность» монотонная функция не всегда обратима.
Полезно, чтобы учащиеся умели привести примеры каждого из видов монотонных последовательностей и понимали, что, например, в случае изображения членов возрастающей последовательности точками координатной прямой каждая следующая точка располагается
можно взять S:
')•
8


правее предыдущей. (В случае изображения членов последовательности точками координатной плоскости каждая следующая точка оказывается выше предыдущей.)
Для обоснования ответов к упражнениям в п. 31 можно привлекать известные учащимся свойства функций, графические иллюстрации. Так, в упражнении 184 (а) достаточно ограничиться рассуждением:
«Последовательность (Ьп), заданная формулой bn = 2ri1, является возрастающей. Действительно, эта последовательность есть функция, заданная формулой вида х=ах2, где а^>О и jc^N; эта функция возрастающая (рассуждение иллюстрируется на графике).
Аналогично в упражнении 186(a) последовательность (уп), где уп = 2~4—, убывающая.
Действительно, последовательность задана формулой вида у = kx + b, где k<C0 и x£N; эта функция является убывающей (иллюстрация на графике).
Последовательность (Ъп), заданная формулой Ьп = не является монотонной; ее члены с нечетными номерами отрицательны, а с четными положительны (иллюстрация на графике)».
В тех случаях, когда характер изменения членов последовательности (уп) не очевиден (упр. (186 (б)), следует сравнить значение разности ул+1 — уп с нулем, или, если члены последовательности положительны, значение ча- у , 1
стного —— с единицей.
Уп
После рассмотрения понятия монотонной последовательности формулируется достаточное условие сходимости последовательности — теорема Вейерштрасса (п. 32). Содержание теоремы желательно проиллюстрировать на чертеже. Упражнение 193 к п. 32 может быть опущено.
Затем рассматривается вопрос об обращении бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные. Доказывается теорема: lim qn = 0, если \q\<i\. В учебном
П-> ОО
пособии приведены два доказательства этой теоремы: в одном используется неравенство Бернулли (п. 23), в другом — теорема Вейерштрасса (п. 32). Учитель может ограничиться изложением лишь одного из этих способов. Равенство lim <7"= 0 используется при нахожде-
/2—>оо
нии предела последовательности (Sn), где S„— сумма первых п членов геометрической прогрессии со знаменателем | q | <1 (п. 24).
Заметим, что вычисление предела последовательности (S„) может быть проведено с ис¬
пользованием уже изученных теорем о пределах (см. п. 27). Например, так:
Пусть (хп) — геометрическая прогрессия, где | q | < 1 и хх =h 0.
Известно, что Sn = ^ • Так как
lim <7П = 0, то lim Sn = lim х% =
П-> со n->oo П->оо Я
Таким образом, при |^|<^1 существует предел суммы п первых членов геометрической
прогрессии (хп); он равен
В п. 25 обязательным для изучения является лишь материал, относящийся к вопросу об обращении бесконечной периодической дроби в обыкновенную. Можно ограничиться рассмотрением текста п. 25 до определения числового ряда и примеров 2 и 3. Слово «ряд» в этом случае не следует употреблять. Речь будет идти о нахождении суммы бесконечной геометрической прогрессии (|?|<1). Из упражнений нужно выполнить № 169—171.
Учитель может дать учащимся еще один способ обращения периодической дроби в обыкновенную, основанный на понятии действительного числа и действий с ними. Покажем этот способ на примере упражнения 169 (б):
3, (27) = 3 + х, где * = 0, (27), т. е. х = 0,272727... .
Тогда 100* = 27 + 0,2727..., или 100* =
27
— 27 + х. Отсюда 99л; — 27 и х=-^.
Ответ: 3,(27)= 31^=34.
В упражнении 169 (г) предварительно нужно
оо 1Л/Л1 Ч 2810, (01)
записать число 2Ь,10(01) в виде —щ—а затем уже обратить числитель 2810,(01) в обыкновенную дробь.
Кроме того, можно изменить порядок изложения материала § 6 и 7 следующим образом: начать с понятия монотонной и ограниченной последовательности. Во-первых, определения этих понятий проще по своей логической структуре. Последовательность (хп) называется возрастающей (убывающей), если для любого п выполняется неравенство
Я 77 . f 1 | ] <С А' п ) .
Последовательность (хг,) называется ограниченной, если существует число гп и существует число М такие, что для любого п выполняется неравенство m^xTl^M. Во-вторых, нагл ял*
9


пая интерпретация этих понятий поможет создать достаточный запас геометрических образов, необходимых для понимания смысла определения предела.
Приводим один из возможных вариантов такого порядка изучения этого материала.
1. Бесконечные числовые последовательности. Геометрическое изображение последовательности. Монотонные последовательности. Понятие ограниченной последовательности (3 ч).
2. Наглядные представления о пределе последовательности. Геометрический смысл понятия предела последовательности. Единственность предела. Необходимое условие сходимости (3 ч).
3. Определение предела последовательности. Теоремы о пределах. Примеры вычисления пределов (3 ч).
4. Существование предела монотонной и ограниченной последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при \Ч\ <1 (2 ч).
5. Число л и длина окружности (1 ч).
Геометрия
Тема !. Основные понятия стереометрии.
Параллельность в пространстве
Материал § 1 дается в ознакомительном плане. Учащиеся не должны воспроизводить его содержание, но должны знать, какие понятия стереометрии являются основными. Например, не следует заучивать предложение «Множество всех рассматриваемых в стереометрии точек называют пространством».
На материале § 2 и 3 учащиеся получают представление о логической структуре геометрии.
Сформулированные в § 2 аксиомы и следствия из них (§ 3) используются при доказательстве многих теорем, а также при решении задач на построение сечений многогранников (§ 5). Умение воспроизвести но памяти всю систему этих аксиом от учащихся не требуется, но они должны уметь ссылаться на них. Доказательство теоремы о том, что прямая и плоскость могут иметь единственную общую точку (§ 2, с. 5), учителю следует использовать для демонстрации применения аксиом. Воспроизведения этого доказательства от учащихся также не требуется.
Формулировку аксиомы 9 целесообразно заменить следующим более простым предложен
нием: «На каждой плоскости пространства выполняются все известные из планиметрии свойства плоскости».
Материал п. 1 из § 3 можно использовать для проверки умения проводить несложные доказательства, материал и. 2 -того параграфа дается в ознакомительно'! плане.
При изучении § 2, 3, также как и при изучении всего курса стереометрии, следует помнить, что изучение логического строения геометрии в школе можно проводить только в тесной связи с наглядными представлениями. Для этого нужно использовать различные модели, систематически приучая учащихся моделировать или представлять себе расположение рассматриваемых объектов.
В § 6 учащиеся встречаются с примером теоремы о существовании. Следует разъяснить, что всякое определение в математике нуждается в доказательстве существования определяемого объекта, т. е. в показе того, что это определение не противоречит известным ранее фактам. Например, можно «определить ромбоид»: «Ромбоидом называется плоский
четырехугольник, у которого все углы конгруэнтны, но не являются прямыми». Однако такое «определение» противоречит теореме о том, что сумма внутренних углов плоского четырехугольника равна 360°. Нельзя дать и такое «определение»: «Прямая называется
параллельной к плоскости, если она параллельна каждой прямой, лежащей в этой плоскости», и т. д.
В результате изучения § 7 учащиеся должны знать возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости, определение параллельности прямой и плоскости и уметь доказывать теоремы 2 и 3. Знание термина «связка параллельных прямых» необязательно.
Для того чтобы учащиеся могли увидеть, что теорема 3 является обратной к теореме 2, теорему 3 полезно сформулировать следующим образом: «Если прямая и плоскость параллельны, то данная прямая параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости».
В результате изучения § 10 учащиеся должны знать три случая взаимного расположения плоскостей, определение параллельности двух плоскостей и уметь доказывать признак параллельности плоскостей.
Свойства параллельной проекции (§ 12) даются без доказательств.
Кроме задач, отмеченных знаком *, можно считать необязательными задачи 15, 23? 26(2), 34, 43, 55, 84, 95, 118.
10


О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В X КЛАССЕ
В 1976/77 учебном году на новые программы по математике переходят десятые классы школ с русским, украинским и белорусским языками обучения, в 1977/78 учебном году — все десятые классы страны.
Цель данной статьи — оказание помощи учителю, который будет вести преподавание математики в X классе по новой программе.
Помещаем рекомендации \ относящиеся к теме I по алгебре и началам анализа и к темам I и II по геометрии.
Алгебра и начала анализа
Начинается курс с производных тригонометрических функций и гармонических колебаний. Строгое обоснование и полный вывод формулы производной синуса необязательны для всех учащихся, но они должны знать, на основе каких положений, принимаемых без доказательства, выводится формула для производной синуса.
Изложение гармонических колебаний согласовано с соответствующим материалом курса физики и изучается почти одновременно с ним.
Производная применяется для рассмотрения возрастания, убывания, нахождения экстремумов тригонометрических функций. Рассмотрение свойств и графика синуса тесно связывается с рассмотрением арксинуса и решением уравнения sinA:=a. Точно так же изучаются функции косинус и тангенс, а изучение свойств функции котангенс не обязательно для всех учащихся.
Построение графиков тригонометрических функций связывается с преобразованиями плоскости и, следовательно, графика основной функции (например, функции косинус, когда строят график функции z/=/lcos(cD/-f-q?).
По сравнению с прежней программой предусматриваются более простые тригонометрические уравнения и неравенства. Рассматриваются лишь простейшие случаи преобразований выражений, а преобразование произведения тригонометрических функций в сумму — необязательный материал.
Некоторые упражнения и пункты отмечены звездочкой — это дополнительный материал,, его не рассматривают в классе, но им полезно пользоваться на факультативных занятиях или в индивидуальной работе с учащимися.
1 Рекомендации являются кратким изложением содержания «Книг для учителя» (находящихся в печати) по алгебре и началам анализа и по геометрии. Примерные контрольные работы опубликованы в журнале «Математика в школе», 1976, № 3.
В разделе «Знания и умения» в общих чертах перечисляются основные знания и умения, которыми должен овладеть учащийся после изучения данного пункта. Они ориентируют учителя в требованиях к учащимся; в X классе особенно важно со вниманием отнестись к этим рекомендациям.
В организации повторения учителю поможет раздел «Материал для повторения». Целесообразно проводить учет того, что уже усвоено учащимися и что еще подлежит усвоить, планировать повторение в процессе изучения и после завершения изучения нового материала.
Глава VL Тригонометрические функции, их графики и производные
75. 	Производная синуса |1 ч)
Знания а умения. Знать вывод формулы производной синуса. Знать без доказательства факт непрерывности косинуса и что
t. sin х 1
lim = 1,
лг-*0 *
уметь применять формулу производной синуса.
Методические рекомендации. Вывод формулы sin'^ = cosx основан на двух допущениях, принимаемых без доказательства:
а) функция косинуса непрерывна для любого значения аргумента xgR, т. е.
jc0£R limcosx==cosA:0,
X -> Д'о
и, в частности,
lim cos ( х г ^t-) = cosa:;
Ajr-*0 v z '
б) lim -sin — = 1. Учащиеся убеждаются
лг-И) Х
в справедливости допущения лишь на основе наглядных геометрических представлений. Полное доказательство приведено в п. 78* и рекомендуется для учащихся, проявляющих интерес к математике.
При изучении теоретического материала данного пункта необходимо повторить: преобразование разности синусов в произведение, правило дифференцирования сложной функции.
Материал данного пункта используется на первых уроках физики в X классе.
На уроке решить: № 1, 4, 5, 11. Н а д о м: № 2, 6, 7, 9, 10.
Замечания к упражнениям
2. Предварительно преобразуем формулу для £(*). С этой целью можно использовать формулу (из VIII класса) sin(jt-f-a) —— sin a.
11


Далее по формуле производной сложной функции получаем
g' (x) = (— sin-i-*) = — cos -гг* =
1 1
= —2" cos ~2~ х-
Можно производить вычисление и по-другому:
g' (■*) = (sin (4_Л: + 1Г)) =
= cos + тс) ("Т •* + w) :
1 / 1 , \ 1 1
= -^-cos \ -2~х + ) ——2" cos~2~ х-
13. /г'(х) — 1 — 2cosx; h'(x) — 0 при
cos х = На единичной окружности существуют две точки Р % и Р „, которые имеют Т з
абсциссу -J-. Поэтому соэл: = -|- при х —
= —g—|- 2izk, k £ Z.
h'(x)^>0 при cosx<-i-, т. e. при xgj ^--r
-\~2nk; ■^•4- /г'(л:)<0 при cosx>-^-,
т. e. при + 2«£;4-2ic£|\ & £ Z.
В точках + 2тс£ производная меняет знак с « — » на « + », поэтому в этих точках функция имеет минимумы; в точках —+ 2izk,
k£Z производная меняет знак с «+» на « —», в этих точках функция имеет максимумы. Функция возрастает на промежутках
[-J- + 2icfc-|-ic+2icA], k £Z;
убывает на промежутках
[- + 2icA; + 2*Л], А € Z.
76. 	Производные косинуса, тангенса и котангенса (2 ч)
Знания и умения. Знать вывод формул производных косинуса, тангенса и котангенса. Уметь их применять при выполнении упражнений на дифференцирование и нахождение уравнений касательных к графикам тригонометрических функций.
Методические рекомендации. При доказательстве формул производных косинуса, тангенса и котангенса используются формулы производной синуса, правило дифференциро¬
12
вания сложной функции, производная частного и формула дополнительного угла
sin = cosx.
Следует обратить внимание на то, что каждая из доказанных формул справедлива во всех точках области определения соответствующей функции. В связи с этим уместно вспомнить, что равенство sin2a -f- cos2 а = 1 справедливо для любого равенство tg ос = ^.11
/ « , 1 L cos а
справедливо при &ф —\~ ctg а = -s-.ng-
справедливо при а тг/г, tga-ctga = l справедливо при хф ~?г п, я £ Z.
Наряду с дифференцированием тригонометрических функций рассматриваются упражнения на нахождение уравнений касательных.
На первом уроке выполнить: № 15, 18, 20, 29. На дом: № Гб, Г9, 21, 22, 30.
На втором уроке: № 23, 25, 27; проводится работа С-1. На дом: № 24, 26, 28, 31.
79. Вторая производная
Знания и умения. Знать вторую производную синуса и косинуса.
Методические указания. Из п. 79 учащимся сообщается материал лишь первого абзаца. Остальной материал не рассматривается.
80. 	Дифференциальное уравнение гармонического колебания (2 ч)
Знания и умения. Знать дифференциальное уравнение гармонического колебания у" = = —со 2у. Знать, что функция вида у= = Л COS (со/-(-ф) при любых постоянных А и Ф есть решение дифференциального уравнения у" = —со2*/; уметь для заданного гармонического колебания записывать его дифференциальное уравнение.
Методические рекомендации. В п. 80 показано, что при любых постоянных А и ф функция
у = A cos (a)/ -|- ср) (1)
есть решение дифференциального уравнения
у" = — (О? у. (2)
Доказательство того, что любое решение уравнения (2) может быть записано в виде (1), несколько сложнее; учащимся его давать не надо.
Любое из бесконечного множества решений дифференциального уравнения (2) выделяется заданием дополнительных условий: координатой и скоростью в какой-либо момент времени.
Упражнения к данному пункту двух типов. Упражнения № 52—55 — на приведение урав¬


нений гармонических колебаний, записанных в другом виде, к виду (1); упражнения № 56— 59 — на закрепление формулы (1)—общего вида решений дифференциального уравнения (2).
На первом уроке можно изучить первый абзац п. 79 и часть п. 80. Выполнить № 52, 54. Н а до м: № 51, 55, 57.
На втором уроке рассмотреть оставшуюся часть материала п. 80. Выполнить № 56 и провести самостоятельную работу С-3. Н а дом: № 58, 59.
Замечания к упражнениям
52. 	Подставляя в общую формулу гармонических колебаний у = A cos(wt + cpj значения
л о г 2тс 2тс 4 71
А = о,5, о) = — =-3—= —, <р = -у , по-
— тс
лучаем у = 3,5cos (^-t + -у-).
54. 2 sin cos х + 2 sin х cos = 2 sin + ^ = 2cos ^ х^ =2 cos — лс)=
= 2 cos (Ос —y') = ^cos
56. Общая формула для гармонических колебаний, удовлетворяющих дифференциальному уравнению у" = —со2у, у = A cos (со/ + ф).
В данном случае о = 5, поэтому у = = Л cos (5^ + 9), где А £ R и ср £ [0; 2тс [ — произвольные числа указанных промежутков.
57. jc' = — 6 sin (2/ -f- тс), х" = — 12cos (2/ + + тс) = ~ 4х.
81. 	Графики гармонических колебаний (2 ч)
Знания и умения. Знать определение сжатия к оси Ох {О у), знать последовательность преобразований, переводящих график функции у=г cos х в график функции у=А cos(co*+(p) при конкретных Л, со и ф.
Методические рекомендации. Из простейших преобразований здесь не рассмотрены переносы параллельно оси ординат: для построения графиков гармонических колебаний такие преобразования не нужны. Следует обратить внимание на применяемую терминологию: для единообразия сжатие и растяжение названы одним термином сжатие. При желании учитель может использовать и тот, и другой термины — сжатие и растяжение. Заметим также, что любое отношение можно заменить равным ему отношением натуральных чисел. Например, вместо того, чтобы говорить: в отношении 1 : 72, можно говорить: в отношении 2:1. При этом «сжатие в отношении 0,5» означает «растяжение в 2 раза».
График гармонического колебания у=
= A cos (о)л: + ф) можно получить кз графика у = cosx, выполняя простейшие преобразования и в другой последовательности. Однако следует подчеркнуть, что простейшие преобразования 1 и 3 нельзя менять местами. Если сначала выполняется сжатие к оси Оу в отношении 1 : 1/со, а затем параллельный перенос г (ф; 0), то график функции y = f(x) переходит сначала в график функции y=g(x), где g(x)=f(сох), а затем график функции у — = g{x) переходит в график функции y = h(x), где h(x)—g(x—ф), т. е. в график функции g(x—ф) = f(co(x—ф)) = f(ох— охр). Если же сначала выполняется параллельный перенос
г (ф; 0), а затем сжатие к оси Оу, то график функции y = f(x) переходит в график функции y=g(х), где g(x)=f(x—ф), а затем график функции y=g(x) в график функции у = — h(x), где h(x)=g(сох), т. е. в график функции g(o)x) =f(oix — ф). То же самое относится к паре преобразований, связанных с изменением ординаты: сжатию к оси Ох и не рассматриваемому в данном пункте переносу параллельно оси Оу, т. е. переносу г (0; Ь), где Ь—некоторое число; эти преобразования не перестановочны между собой. В остальных случаях (таких случаев, как нетрудно видеть, четыре) простейшие преобразования перестановочны между собой. Так, в примере 3 сжатие к оси Ох в отношении 1 : 3 можно выполнить как первым, так и вторым способом; однако если параллельный перенос выполняется до сжатия к оси Оу в отношении 1 : 1/2у то перенос должен быть другим: г (—4; 0).
Рассуждение, обосновывающее в общем виде неперестановочность преобразований 1 и 3, при работе со всем классом воспроизводить нецелесообразно. При желании (или при необходимости) учитель может доказать неперестановочность этих преобразований на простом примере: достаточно взять любую точку и проследить за образом этой точки при каждом из преобразований. Например, при параллельном переносе г (1; 0) начало координат переходит в точку (i; 0), затем при сжатии в 2 раза к оси Оу точка (1; 0) переходит в точку (0,5; 0). Если же выполнить сначала сжатие в 2 раза к оси Оу, а затем перенос
г (1; 0), то начало координат при первом преобразовании останется на месте, а при втором перейдет в точку (1; 0), т. е. получится другой результат.
Во избежание ошибок лучше всего всегда проводить преобразование в каком-либо определенном порядке, например в порядке, указанном в учебном пособии.


Один из способов проверки правильности выписанной последовательности преобразований состоит в следующем. Пользуясь определениями параллельного переноса и сжатий к осям, выписываем результат, который получается после выполнения данной последовательности преобразований. При этом можно пользоваться простыми правилами: параллельный
перенос г (а; 0) соответствует формальной замене аргумента * на х— а; сжатие к оси Оу в со раз (т е. в отношении со = 1 : 1/со) соответствует замене х на со*; сжатие к оси Ох в А раз (в отношении А = 1 : 1/Л) — замене зависимой переменной у на Ау. Для примера 3 из п. 81 последовательно выписываем: 1) график функции у — cos л; переходит в график функции у— cos 2*; 2) график функции у — cos 2х переходит в график функции у-— cos 2 (а* — — (— 2)) — cos (2*4-4); 3) график функции
у = сos (2-V-J-4) переходит в график функции 7зУ = cos (2^+4), т. е. в график функции у — = 3cos(2x4-4). Напомним еще раз, что «сжатие в 7з раза» означает «растяжение в 3 раза» (преобразование 3).
При выполнении упражнений можно попутно задавать вопросы на повторение: попросить учащихся назвать параметры данного колебания, дифференциальное уравнение колебания.
Следует обратить внимание на следующие два момента:
1. Так как графики гармонических колебаний можно получить последовательностью простейших преобразований из «стандартной» синусоиды (графика функции y^slnx), то зти графики также называют синусоидами.
2. В данном пункте вводится обозначение для вектора (параллельного переноса) с координатами х и у: г (х; у). При этом для обозначения вектора всегда употребляется одна и та же буква — буква г. (Сравните с обозначением точки с координатами х и у: М (х\ у).)
Для контроля можно проверить правильность полученного графика, вычисляя значения функции в отдельных точках. В примере 3 при построении графика функции у == 3cos(2* +4) находим у(— 2) = 3cos (2-(—2)+4) = 3, а при
х—~—2^ — 1,2 имеем: y = 3cos — =0.
Такую же проверку можно осуществлять и при выполнении промежуточных преобразований.
Построение графиков гармонических колебаний можно выполнять и на основании исследования функции по стандартной схеме, так же как это делается в п. 85—88 при построении графиков основных тригонометриче¬
ских функций sin л:, cosx, tg.v и cigx. Получаемые при исследовании особенности графика (промежутки монотонности, экстремумы) повторяют особенности графика соответствующей основной функции (так как первый график получается из второго последовательностью простейших преобразований: переносов и сжатий к осям).
На первом уроке можно разобрать части 1) —3) из п. 81 и решить № 60, 63 и 65. На дом: № 61, 62, 64.
На втором уроке разобрать оставшуюся часть пункта и упражнение № 68. На дом: № 66, 67.
Замечания к упражнениям
Г рафик функции у — sin * получается из графика функции у cos* параллельным переносом 0^. Далее, где это удобно,
в качестве основного графика используется график функции y = sin*.
60. 	График функции f получается из синусоиды у = sin * сжатием к оси О у в отношении
1 :-i- = 2:l.
63. График функции g получается из графика функции y=cos* сжатием к оси Ох
в отношении 1 : —= 3:2.
65. График функции v получается из графика функции y~=cosx параллельным переносом г (3; 0).
66. График функции F получается из графика функции y — cosx следующей последовательностью преобразований:
1) сжатием к оси О у в отношении 1 :-д-;
-* / 2 4
2) параллельным переносом г (
3) сжатием к оси Ох в отношении 1 : 2.
82. 	Сложение гармонических колебаний с общим периодом (1 ч)
Знания и умения. Знать, что сумма гармонических колебаний одинаковой частоты есть гармоническое колебание той же частоты.
Методические рекомендации. Теоретические сведения не обязательны для учащихся. Получить результаты этого пункта и вывести формулы, связывающие параметры полученного колебания, можно несколькими способами (см. упражнение 70 и 260).
Замечания к упражнениям
69. 	В силу условия задачи за время / точка Р пройдет со^+ф радиан. По определению функции косинус координата проекции точки
14


P(t) на ось Ох равна Лсоэ^+ф). Следовательно, мы имеем гармоническое колебание с амплитудой Л, частотой со и начальной фазой ф.
70. Пусть мы имеем два гармонических колебания частоты со:
Xi(t) — Л jcos (со/4~ф0 > (1)
%2 (0 — Л^соб (со ^ —(— фг) • (2)
Точки Рх и Р<2 равномерно движутся по окружностям радиусов Аг и Л2, проходя ш радиан за единицу времени, и пусть в начальной момент времени t = 0 точки Р1 и Р2 образуют углы cpj и ср2 с положительным направлением
оси Ох (рис. 21,6’ учебного пособия). В этом
случае проекции точек Рг и Р2 на ось Ох совершают гармонические коле0ания (1) и (2). Таким образом, хг (t) и х2(t) — координаты
х~> и х ► векторов ОРх и ОР2. Координа-
OPi ОР<х
та вектора а, равного ОРх + ОР2, равна
хх + х2. Отметим также, что так как отрезки ОРг и ОР2 вращаются с одинаковой угловс й скоростью о), то весь параллелограмм ОРхРР2 вращается как жесткая фигура с той же угловой скоростью. Итак, четвертая вершина Р параллелограмма ОР{РР2 движется равномерно, проходя а) радиан за единицу времени.
В упражнении 69 было показано, что координата проекции точки Р на ось Ох совершает гармоническое колебание частоты со, аплн- туды \ОР\. С другой стороны, как уже отмечалось, эта координата равна xx(t)-'rx2(t). Следовательно, сумма гармонических колебаний есть гармоническое колебание той же частоты.
83. 	Формулы приведения (3 ч)
Знания и умения. Знать доказательство формул приведения, уметь применять их при выполнении упражнений.
Методические рекомендации. Из курса VIII класса учащимся известны формулы приведения для синуса и косинуса углов —a, 90°d=a, 180°zha. Целесообразно повторить некоторые из доказательств, имеющихся в учебнике геометрии для VIII класса.
На первом уроке рассматривается материал п. 83 учебного пособия, упражнения № 71, 73, 75, 85, 97, 109. На дом: № 76, 78, 86, 98, 110.
На второ м уроке: № 87, 91, 99, 112, 114; проводится самостоятельная работа С-5. Н а дом: № 89, 95, 96, 106, 112, 113.
На третьем уроке: № 116, 118 и некоторые из дополнительных упражнений к этой главе учебного пособия. На дом: № 115, 117.
84. 	Обратная функция к непрерывной возрастающей (убывающей) функции fi ч|
Знания и умения. Уметь формулировать теорему о свойствах функции, обратной к непрерывной возрастающей (убывающей) функции и применять ее для конкретных функций.
Методические рекомендации. Используя теорему, сформулированную в этом пункте, учащиеся в дальнейшем при изучении тригонометрических и показательной функций должны делать заключение о существовании обратной функции для каждой из названных функций. В порядке повторения можно предложить учащимся найти, например, обратную для функций у = 2х+1, у—4х, где х^О, и начертить их графики в одной и той же системе координат. При этом они повторяют свойство симметрии графиков взаимно обратных функций относительно прямой у = х.
Рассмотрим примеры.
1. Найдите точки пересечения графиков функции у=х2, где х ( [0; оо[, и обратной ей функции. Изобразите схематически эти графики.
Ответ: (0; 0) и (1; 1).
2. Для функции у — х2— 1, х£ [0; оо [ найдите обратную. Изобразите схематически их графики в одной и той же системе координат.
Ответ: y=^Yx-\-1, х£[ — 1; оо[.
Доказательство теоремы п. 84 учебного пособия выходит за рамки школьного курса: строгое доказательство основано на свойствах непрерывных функций, которые не изучались. Опишем для ориентации учителя примерную схему доказательства, которое учащимся не излагается. Основой доказательства служит теорема Больцано-Коши: пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а\ Ь] и принимает на концах этого отрезка неравные значения f(a)=A и f(b)—B, тогда для любого С, лежащего между Л и В, найдется точка с £ [а; Ь)у такая, что f(f)—-С. Из теоремы Больцано-Коши выводится, что если областью определения (любой) непрерывной функции служит некоторый промежуток /, то множество значений этой функции есть некоторый промежуток /.
Возрастание (убывание) обратной функции доказывается при помощи несложного логического рассуждения (для случая возрастающей функции доказательство имеется, например, в учебнике VIII класса, с. 88).
В классе: п. 84 и самостоятельная работа С-6. На дом: повторить общую схему исследования функций (п. 5 из раздела «Материал для повторения»).


85. 	Свойства и график функции синус.
Функция арксинус и решение уравнения
sin х—а (3 ч)
Знания и умения. Уметь проводить исследование функции синус с помощью производной и строить ее график. Знать определение функции арксинус и ее свойства (возрастание, нечетность, область определения, множество значений) и уметь строить ее график. Уметь решать уравнения вида sin х=а. Уметь применять свойства функции sin *.
Методические рекомендации. В основном материал данного пункта известен из VIII и IX классов. Новым является исследование функции синус при помощи производной.
При исследовании функции синус надо определить ее критические точки и промежутки монотонности. Для этого учащиеся должны уметь решать простейшие уравнения и неравенства: cos*=0, cos*>Q, cos*<0. Для их решения достаточно уметь определять знаки значений функции косинус (см. п. 67 учебного пособия для IX класса).
Учителю полезно обратить внимание на то, что в этом пункте идейно объединены три вопроса— исследование функции синус (с помощью производной), рассмотрение функции арксинус и ее свойств и решение уравнения вида sin х = а. Расширять изложение материала об обратных тригонометрических функциях не следует.
Функция sin* необратима, так как каждое свое значение эта функция принимает бесконечнее число раз. Для того чтобы иметь возможность все-таки рассматривать обратную функцию, приходится рассмотреть другую функцию, которая совпадает с sin*, на более узкой области определения. При этом новая область определения выбирается, вообще говоря, произвольно.
Рассмотрим функцию у=х2. Ее графиком является парабола. Эта функция необратима, так как любое положительное значение а функция принимает два раза: в точках х = — У а и х = — Vа . Однако, если рассмотреть функцию у=х2, например, на множестве D1 = [ 1; 4], то полученная функция будет обратимой. Выбор Dj = [l; 4] в качестве новой области определения обладает недостатком: на этой области определения функция принимает не все значения из множества значений R0= £0; оо [ функции у=х2. Если рассмотреть функцию у = х2 на R0= [0; оо [, то полученная функция также будет обратимой, но указанного недостатка уже не будет.
Для того чтобы получить обратимую функцию, выбирают такой промежуток области опре¬
деления заданной функции, на котором она возрастает (или убывает) и принимает все значения. Например, для функции sinx выбирают
промежуток *£■
промежуток [0; тс].
Некоторые трудности возникают при выводе формулы для решения уравнения sinx = a. Эти трудности связаны с тем, что на любом промежутке длины 2тс (наименьший период синуса) функция sinx принимает каждое свое значение, за исключением +1, два раза.
Так как период синуса равен 2тс, то достаточно найти все решения на любом промежутке длины 2тс. Естественно, что удобно «добавить» к множеству значений арксинуса — отрезку
^-тг| — справа или слева отрезок длины 2тс. Для определенности такой отрезок «пристроен» справа. Решение, принадлежащее
[TZ 3 1
g-; — тсJ , получено при помощи
формулы приведения sin л; = sin (тс — х), что геометрически соответствует симметричности
графика синуса относительно прямой х =
Отметим, что если бы мы «пристроили» отре-
зок |-тс; —то получили бы решение
— тс—arcsina. Это менее удобно, так как тогда было бы труднее объединить полученные формулы в одну.
При выполнении упражнений 126—136 требуется лишь отметить множества на окружности, но не требуется явного выписывания получающихся множеств. На данном этапе важно, чтобы учащиеся научились пользоваться формулой х — ( — 1)* arcsin а + тс&,
Ha первом уроке можно разобрать содержание п. 85 (до примера 5) и выполнить № 126—128, 137, 142. Сначала же полезно напомнить решения уравнений s\nx = 0 и smx= = + 1, а также неравенств sinx<;0 и sinx>>0. На дом: № 129—131, 138, 140, 143.
На втором уроке — оставшуюся часть пункта (свойства функции синус) и № 119, 121, 122, 135, 139, 144. На дом: № 120, 123, 125, 136, 146.
На третьем уроке: самостоятельная работа С-7, упражнение № 145 и опрос учащихся. Н а дом: № 124, 132—134, 141.
Замечания к упражнениям
Упражнения 119—125 можно выполнить устно. При выполнении упражнений 126—136
; для функции cos х —
15


важно, чтобы учащиеся могли объяснить, ка -
ким образом строятся соответствующие множества. При выполнении упражнений 137— 141 важно добиться понимания учащимися того, что задание сводится к выбору такого из углов с данным синусом, который лежит в
тгУ
“тг]- Упражнения 142-
промежутке
146 направлены на усвоение формулы (4) п. 84 учебного пособия; решать более сложные уравнения на данном этапе нецелесообразно.
145. Пользуясь таблицами Брадиса, находим arc sin 0,6«'0,64, поэтому я—(—l)fe*0,64-f- к £ Z.
86. 	Свойства и график функции косинус.
Функция арккосинус. Решение уравнения cos л:—а (2 ч)
Знания и имения аналогичны указанным к п. 85.
Методические рекомендации. Содержание этого пункта аналогично содержанию п. 85, большинство замечаний к нему применимы и к данному пункту. Поэтому ограничимся лишь краткими замечаниями.
Прежде всего отметим, что все свойства и график функции косинус можно получить из
равенства cosx = sin + х^), даже уравнение cos х = а можно заменить уравнением
sin х^ = а.
Для нее cos а:
sin а
у/' а2 + 1 ’
sinar
г, tg а =
а.
87. 	Свойства и график функции тангенс.
Функция арктангенс и решение уравнения tg х = а (3 ч)
Знания и умения аналогичны указанным к п. 85.
Методические рекомендации. В отличие от п. 85 и 86 здесь меньше сложностей. Это объясняется тем, что период тангенса равен тс
и на любом промежутке длины тг
вида
]—Y + ^k\ -тг + nk , k £ Z ^ функция тан-
гонс принимает каждое свое значение только один раз. В данном пункте не доказано, что множество значений функции тангенс — числовая прямая R. Это считается известным и достаточно очевидно из наглядных соображений. Впрочем, можно указать точку единичной окружности, для которой соответствующее значение тангенса равно а: это точка М (
\ / Д2+ 1 ’
" cos a
Упражнения 190—194 предполагают исполь- зование линии тангенсов, поэтому ее необходимо ввести.
На первом уроке можно изучить содержание пункта и выполнить № 182—185, 190, 192, 195, 197, 201. На дом: № 186, 188, 191, 196, 198, 200.
На втором уроке: № 187, 189 и самостоятельная работа С-8. На дом: № 193, 194, 202, 203.
Замечания к упражнениям
196. Так как tg-| = -±=- и <=] - то arctg—
202. Зл:= arctg3,5 +
По таблицам Брадиса находим arc tg 3,5:=^ ?t;l,29, поэтому л:^0,43 +
89. 	Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента (2 ч)
Знания и умения. Уметь по данному значению одной из тригонометрических функций находить значения остальных тригонометрических функций того же аргумента.
Методические рекомендации. Используя известные учащимся основные тригонометрические тождества, по заданному значению одной из тригонометрических функций легко найти возможные значения остальных функций. Полученные формулы дают (как правило) два ответа. При нахождении значений всех (остальных) тригонометрических функций нужно иметь в виду, что, несмотря на то что в каждой из трех формул знак можно выбирать произвольно, имеется всего две серии решений: после выбора знака в первой из формул остальные знаки находим однозначно из определения тангенса и котангенса.
В конце второго урока можно провести самостоятельную работу С-Ю.
В качестве дополнительных упражнений можно использовать упражнения 613—622 из IX класса (например, без указания ограничений на а).
Замечания к упражнениям
249. 2 sin2.* = 3cos^c < = > 2(1 — cos2х) =
= 3cosх. Обозначим cosx через у, тогда
2у2 + Зу — 2 = 0, откуда ух = —2, у2 = -i-; | cos х К1, поэтому eos х не может быть равен
17


—2. Решая уравнение собл; = -^, исходим: х = + arccos + 2тск; заменяя arccos-™- его значением получим -^-4-2тс& , k$Z.
90. 	Тригонометрические функции половинного аргумента (2 ч)
Знания и умения. Знать формулы, выражающие функции синуса, косинуса и тангенса половинного аргумента через косинус данного аргумента, уметь их выводить и применять при выполнении упражнений.
Методические рекомендации. Перед объяснением нового материала полезно повторить с учащимися формулу для косинуса двойного аргумента.
На первом уроке: № 252, 254, 256. Н а дом: № 251, 253, 255.
На втором уроке: № 257, 260, самостоятельная работа С-11 и некоторые из дополнительных упражнений к этой главе учебного пособия. На дом: № 258 и некоторые из дополнительных упражнений к этой главе учебного пособия.
91. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента (1 ч)
Знания и умения. Знать формулы, выражающие синус, косинус и тангенс данного аргумента через тангенс половинного аргумента.
Методические рекомендации. Изложение начать с напоминания тригонометрических формул двойного аргумента, указать, что любой аргумент можно рассматривать как двойной.
Например, За = 24х = 2*2х, 5х=2-~~,
а = 2--^-. Затем предложить учащимся разложить по формуле двойного аргумента sin а, cos а, tg а.
При решении тригонометрических уравнений тсто sinx и cosx выражают через tg-^-no формулам
cos х = и sinx = — .
1 + *g2 "2“ 1 + tg2 ~2~
Однако в соответствии с текстом учебного пособия необходимо обратить внимание на область определения функции tgx. Левые части указащуьис формул определены при любых х,
а правые — при условии, что tg - 9- существует,
т. е. -J- ф (2л + 1), хфк(2п + 1), поэтому
в процессе решения уравнений указанным спо- собом может произойти потеря корней вида jc = тс (2п + 1), п € Z, и, следовательно, необходима проверка.
Пример. Решим уравнение
sin х + 2 cos х ^ — 2.
1 4- tg2"9~ 1 + (g2 "2"
Обозначив tg — = у, получим уравнение 2У 1 _ о
1 + -у2 1 + у - •
Учитывая, что 1 + у2 ф 0, имеем 2у + 2 — 2у2— — 2 — 2у2, 2у = — 4, у = — 2. Тогда tg =
= —2, откуда х = — 2 arctg2 -f- 2тся, n£Z.
Проверка показывает, что числа вида х= = jt(2k-\-\) являются корнями данного уравнения:
sin (тс + 2izk) + 2 cos (it 4- 2izk) =
— sin тс 4- 2 cos тс = —2.
Ответ. —2 arctg2 4-2тс/г, n^Z\ к-\-2ък, k^Z.
Примечание. Если бы указанное уравнение решили приведением к однородному уравнению, то потеря корней не произошла бы.
В классе можно решить № 261, 263, 265. Н а д о м: № 262, 264.
93. 	Решение простейших тригонометрических неравенств (2 ч]
Знания и умения. Уметь решать тригонометрические неравенства, не сложнее приведенных в данном пункте учебного пособия.
Методические рекомендации. Для изучения этого пункта небходимо повторить периодичность тригонометрических функций. По существу, с решением неравенств вида sin.vX), cosx<0 и т. п. учащиеся уже встречались. В данном пункте учебного пособия рассматриваются неравенства вида f(x)>a, где f(x) — одна из тригонометрических функций. При решении таких неравенств необходимо:
I) 	найти период функции /(*); 2) решить эго неравенство на любом интервале, длина которого равна периоду данной функции; 3) решением исходного неравенства помимо найден- ных значений х будут значения, отличающиеся от них на любое целое число периодов.


В учебном пособии предлагается графический способ решения неравенств: строятся
график данной функции y = f(x) и прямая у = = а и находятся абсциссы точек, ординаты которых меньше (больше) а.
Наряду с таким способом учитель может показать учащимся и другой — при помощи круга. Нужно иметь в виду, что при таком способе решения учащиеся часто ошибаются в выборе границ. Решая неравенство sinx<; / 1
, мы должны получить ответ
х -g- + 2тг£.
В классе: № 296, 298, 299, 302, 306, 308. На дом: № 294, 295, 297, 300, 301, 303, 307.
На втором уроке можно провести самостоятельную работу С-14.
94. 	Примеры решения тригонометрических уравнений (2 ч)
Методические рекомендации. Следует обратить внимание учащихся на то, что при введении новой переменной необходимо учитывать условия, которым удовлетворяет эта переменная. Например, если в уравнении /(sin х) = 0 введена новая переменная у = = sin х, то | у | < 1, т. е, данное уравнение
jf(y) = 0
равносильно системе j j ^ j ^ j (от учащихся эту
запись можно не требовать).
При решении уравнений, однородных относительно синуса и косинуса, необходимо, чтобы учащиеся понимали, почему обе части уравнения можно делить на sin х или cosx, почему в этом случае не происходит потери корней.
В классе: № 311, 310, 315, 314, 316, 321, 323. На дом: № 312, 313, 317, 318, 320, 322, 324.
95 Доказательство тригонометрических тождеств (2 ч)
Знания и умения. Уметь доказывать тождества, не сложнее приведенных в учебном пособии.
Методические рекомендации. Полезно учащимся на одном примере показать три способа доказательства тождеств: а) преобразовать левую часть и получить выражение, записанное в правой части; б) преобразовать правую часть и получить выражение, записанное в левой части; в) преобразовать и левую, и правую часть и получить одно и то же выражение.
В классе: № 326, 328, 330, 332, 334, 331. Надом: № 325, 327, 329, 333.
Дополнительные упражнения к главе VI
В упражнениях 346, 347 правую часть уравнения гармонического колебания полезно привести к виду Acos(wx + ср), где и ср £ [0; 2т:[.
346. а) у — 3cos (2х + —б) у =
= 2 cos (4х +
348. Наименьший положительный период функции равен = Построим график
2~3~
функции на отрезке £о; тгJ.
1. /'(*) = - 4 sin (2 А х + ■£-).
2. Для нахождения критических точек функции определим, какие из корней уравнения
— 4 sin ^2 ~ х -|- = 0 принадлежат проме¬
жутку J^O; ти .
2 те
Имеем 2 -д- х + "9"” ^ € Z. Есть смысл
подставлять только положительные k. При k --= 1 хх = при k = 2 jc2 ~ ^ тс, при £>2
^ 13
получаем т* е- соответствующий ко¬
рень не принадлежит промежутку |0;
Таким образом, в промежутке |^0;
функция / (х) = 1,5 cos ^2 х + имеет
те 17
две критические точки: -д- и т..
3. Чтобы выяснить вопрос о возрастании и убывании функции /, надо решить неравенства
— 4 sin (2 х + ) > 0, (1)
— 4sin^2 а: + -§-)<0. (2)
Заменим неравенства (1) и (2) равносильными
неравенствами
sin (2 х + -£-)<0, (Г)
sin (2 -g- x -f (2')
19


Синус отрицателен в третьей и четвертой
четвертях, т. е. в промежутках J — да + 2да&;
2да£ [, k б Z, поэтому для (1') имеем — да + 2да&<
< 2 л: + < 2да/г, £ £ Z, откуда
5тс 3nk ^ ^ £ 7
— "12 ^ 24 ' 4 ’ R^L-
71 ^ ^ 17
При /г = 1 получим -у < х < тс.
Аналогично, так как синус положителен в промежутках ]2да£; да + 2да&[, k£Z, то для (2') имеем
(2ък <2-|-л: + -^-0 + 2izk^ < = >
/ тс , Зтс& ^ ^ те \ и 7 .
<“>(-W+ — о<-т + —> ^z-
При А = 0 и £ = 1 получим — < л; <
17* . ЛЗте
И "24" < ^ < ~12~ •
Отметим, что можно было бы поступить следующим образом: функция /' (х) непрерывна на всей числовой прямой, в частности в проме-
жутке |0; ; этому промежутку принадле-
, 7С 17U ^
жат два нуля функции — и Следова¬
тельно, /'(х) имеет в каждом из промежутков
тс Г 1 « 17теГ 12Z2L. 3jl\
т J 3 ; 24 L* J 24 ; 4 J
один и тот же знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти значение функции f'(x) в какой-либо точке каждого из указанных промежутков.
Результаты исследования сводим в таблицу.
X
0
ML
я
J
1М4
11 Я 24
№*Н
Т*
т
2Г-137
—
0
+
0
—
*=-7,37
fM
»7,47
X
-15
1,5
*1,4/
nrun
max
Строим график на промежутке £(); tcJ , а
затем параллельным переносом на всей области определения.
3*50. / (х) == cos (2х —-- уравнение гармонического колебания с частотой со = 2, оно удовлетворяет дифференциальному уравнению
у" ^ —4у.
20
352. у == 3 cos (Зх + -^0 + 4 sin (Зх + =
== 5 ("Т cos (Зл: ж) Т sin (Зл: 12 ))•
Так как (-L)2 + (-1)2 = 1, то существует
3 . 4
угол ср, такой, что costp = —, smcp = —, на-
пример ср = arccos Поэтому
У = 5 ^cos 9 cos (j3x + + sin <р sin (Зх -f
-f- -у2"^ = 5cos ^Зх-j- -у2 — arccos —)•
355. у = 4 — 8cos2х = 4 — 4 (1 +cos2x) = = 4cos(2x + тс).
Геометрия
Тема «Координатный метод в пространстве» является новой для школы. Главная цель ее введения в школьную программу — ознакомление учащихся с применением векторов при изучении некоторых вопросов аналитической геометрии: длина вектора, величина угла между векторами, уравнение плоскости, уравнение сферы, сечение сферы плоскостью, координатные формулы преобразования (перемещение, гомотетия) К
Учащиеся должны научиться выполнять операции над векторами в координатной форме, уметь вычислять расстояния между точками и углы между векторами, уметь составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данному вектору, а также знать геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении плоскости. Они должны получить навыки решения задач такой сложности:
1. Даны точки А(2; —3; 1), В(3; —2; 2)
->
и вектор k(—5; —3; 2).
Найдите: а) на оси аппликат точку, равноудаленную от точек Л и В; б) угол между век-
торами АВ и k.
2. Постройте точки пересечения плоскости, заданной уравнением 2х — у + 3z — 1 = 0, с координатными ясями.
3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М( 1; 2; 2) и перпендикулярной к прямой ОМ (О — начало координат).
Примеры оформления записи решения задач на применение координатного метода имеются в учебном пособии.
В учебном пособии нет теоретических сведе¬
1 См. статью, напечатанную в журнале «Математика в школе», 1976, № I, с. 25.


ний о взаимном расположении двух плоскостей— этот материал не входит в программу средней школы. Поэтому вопрос о параллельности или пересечении двух плоскостей каждый раз решается на основе рассмотрения векторов, перпендикулярных этим плоскостям. В соответствии с тем, коллинеарны или некол- линеарны эти векторы, данные плоскости будут параллельными или пересекающимися. Перпендикулярность плоскостей равносильна перпендикулярности их нормальных векторов.
Изучение уравнения прямой не предусмотрено программой. Решение задач на вычисление расстояния от точки до плоскости, на взаимное расположение двух плоскостей и на взаимное расположение прямой и плоскости проводится только в ознакомительном плане.
Глава «Многогранники» учебного пособия «Геометрия 10» включает примерно такой же круг вопросов, как и учебник стереометрии А. П. Киселева.
В курсе геометрии X класса многогранник определяется как объединение простой замкнутой многогранной поверхности и ее внутренней области. Используемые в этом определении понятия легко моделируются. Это обстоятельство, а также возможность использовать аналогию с определением многоугольника из курса планиметрии обеспечивают доступность определения многогранника.
Из курса геометрии VIII класса учащиеся знакомы с понятиями грани, ребра, вершины многогранника, с определениями прямой призмы и пирамиды, с формулами для вычисления площадей их поверхностей. Поэтому в учебном пособии нет формулировок определений основания, боковой грани, высоты пирамиды, доказательства формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды. Уменьшение объема теоретических сведений достигается также за счет исключения из обязательного курса теорем о площади боковой поверхности и объеме усеченной пирамиды.
В соответствии с рекомендациями программы сведен к минимуму материал о правильных многогранниках.
При рассмотрении некоторых свойств многогранников эффективно используются геометрические преобразования пространства. Так, свойства параллелепипеда доказываются с помощью свойств центральной симметрии. Свойства гомотетии пространства позволяют упростить доказательство теоремы о сечении пирамиды, параллельном основанию (теорема 31).
Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника (теорема 30) применяется для рационального вычисления площадей сечений прямых призм и площадей поверхностей неко¬
торых пирамид, при доказательстве формулы объема наклонной призмы (§ 57) и в курсе физики.
В теме «Многогранники» решаются задачи на построение, доказательство и вычисление. Учащиеся должны научиться выполнять построение сечений треугольных и четырехугольных призм и пирамид. Например: «Дана призма ABCDA\B\C\D\\ точки М и N принадлежат соответственно ребрам ВВЛ и ССЬ точка Р является внутренней точкой основания ABCD. Постройте сечение призмы плоскостью MNP». Образцы оформления решения таких задач имеются в учебном пособии.
Развитию пространственных представлений учащихся способствует решение задач, связанных с нахождением центра симметрии, осей симметрии и плоскостей симметрии данного многогранника. Пользуясь моделями и рисунками, учащиеся должны уметь правильно ответить на такие вопросы: Сколько осей (плоскостей) симметрии имеет правильная треугольная призма? Имеет ли эта призма центр симметрии?
При решении задач на доказательство и вычисление следует уделить внимание задачам на применение геометрических преобразований. Учащиеся должны научиться решать задачи такого типа: «Докажите, что плоскость, проходящая через середину диагонали параллелепипеда, разделяет его на два многогранника, объемы которых равны». Или: «Все ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны. Найдите угол между прямыми BD и SM, где М — середина отрезка АВ» (решается с применением векторов).
При изучении темы «Многогранники» нужно систематически решать задачи с применением тригонометрических функций. Следует уделить также внимание задачам с практическим содержанием, их решение рекомендуется доводить до числового ответа. Вычисления производятся с помощбю логарифмической линейки и таблиц.
В задачах с приближенными данными ответ должен быть округлен по правилам подсчета верных цифр. Если данные числа являются точными, то в ответе могут быть сохранены все цифры, которые будут найдены с помощью таблицы (линейки). По указанию учителя ответы в этом случае могут быть округлены, например, до трех значащих цифр.
Примеры записи решения задач на вычисление (с применением тригонометрических функций) приведены в тексте учебного пособия (например, с. 42). При изучении темы «Многогранники» не следует предлагать для самостоятельного решения всем учащимся задачи
21


на вычисление более сложные, чем следующая: «Основанием прямой призмы АВСА\В\С\ служит прямоугольный треугольник ABC с ги-
Л
потенузой \АВ\=с и углом А — а. Плоскость, проходящая через (АС) и Ви составляет с плоскостью основания призмы угол ф. Найдите объем призмы».
Примеры пояснений (полных, но кратких) к решению задач должны быть рассмотрены на уроке; они помещены в тексте учебного пособия и в пособии для учителя (указания к задачам). Учитель сам принимает решение, в каком случае учащиеся должны занести в тетради весь текст пояснений, в каком — ограничиться фрагментарной записью или вовсе обойтись без записей пояснений.
Приводим более подробные методические указания к главам IV и V*
Глава IV. Координатный метод в пространстве
§ 42. Координаты вектора. Правила действий над векторами, заданными своими координатами (2 ч)
Изучение первого пункта можно начать с повторения теоремы о разложении вектора по трем некомпланарным векторам. После этого вводится понятие прямоугольного базиса
(/; /; k) и координат вектора в данном базисе.
Переходя ко второй части параграфа, следует повторить определение суммы и разности векторов, а также определение произведения ^вектора на число. Доказательство правила 1 следует провести на уроке; правила 2 и 3 могут быть доказаны самостоятельно.
На втором уроке доказывается правило скалярного умножения векторов в координатах. Учащиеся должны усвоить понятие координат вектора в прямоугольном базисе, а также соответствующую терминологию и символику. Им необходимо знать формулировки правил действий над векторами, заданными с помощью координат, уметь обосновывать эти правила.
Полученные теоретические сведения учащиеся должны уметь применять при решении задач.
На первом уроке решить: № 1 (1, 3, 5), 2(1, 3), 3(2), 4(1). На дом: № 1(2, 4, 6), 2(2), 3(1, 3), 4(2).
На втором уроке решить: № 5, 6(1), 7,(2). На дом: № 6(2), 7(1).
Решения и указания
4. 	Воспользуемся правилом умножения вектора на число;
! V ■*_ / 3 _1_ 3 \ / 3 _2_. _3_ _1__
1 ’ Л — V7 ’ 2 ’ 4 У — V 2 " 7 ’ 2*3’
-И-40)-4*
—> 2 —^ —у-
Итак, а поэтому векторы а и b кол-
линеарны.
"V —> —>•
5. 	Равенство b = ka, где а=£ 0, является
необходимым и достаточным условием колли- -> ->
неарности векторов а и Ь. Для данного случая это равенство имеет вид:
(1; у; — 3) — (kx\ —2/Ь; 5k).
Пользуясь единственностью разложения вектора по трем некомпланарным векторам, получим систему уравнений
\ —kx у = — 2k -3 = 5k.
^ , 3 5 6
Отсюда k — х = g-, у — -у.
7. 	Для ненулевых векторов тип имеет место равносильность (§ 25, свойство 1):
(т JL га) <=>(т-л —0).
1) а-Ь = (—2)-6 + 1-(—5) + 3-7 = 4, следо-
вательно, векторы а и b не перпендикулярны. -> ->■ -»•
2) c-d — О, отсюда c±d.
§ 43. Вычисление длины вектора и угла между двумя векторами по их координатам |1 ч)
В этом параграфе рассматривается решение двух задач.
Большое значение имеет формула для вычисления длины вектора по его координатам, полученная в результате решения первой задачи. Она имеег широкое применение также и при решении задач. Формулу, полученную в результате решения второй задачи, запоминать не следует. Важно усвоить метод решения задач на вычисление угла <р между векторами
а = (луг; zx) и Ь = (х2; у2; г2). При этом рекомендуется каждый раз пользоваться формулой
а- b
COS ср = ——— .
|й|-|6|
После записи этой формулы следует выразить
в координатах а-Ь, |а|, \ Ь\.
Учащиеся должны знать формулу для вы- цислрния длины вектора по его координатам
22


и ее вывод, уметь применять эту формулу при решении задач. Они должны также уметь вычислять угол между векторами, заданными своими координатами.
На уроке решить: № 8(1, 3), 9, 10(1), 13, 15(2, 4); дополнительно № 14(1). На дом: № 8(2), 11(2), 12, 15(1, 3).
Решения и указания
13. Находим координаты векторов с = а — b и d, = а b, затем вычисляем косинус угла между векторами с и d:
7- а-Ь = ( 1 - 2; 2 — (— 1); 1 - 0) =
= (— 1; 3; 1),
d = a+% = (\ +2; 2 +( — 1); 1 +0) =
= (3; 1; 1),
/\
cos (с, d) -:c, d_, =
ММ
—1-3 + 3-1 + 11 1
у'1+9+1 -/9+1+1 _ П '
—>
14. 1) Пусть а = (х; у; г). Единичный век-
-> -> _> тор е, сонаправленнуй с а, имеет вид: е =
1 / X У 2
= — « = ( — ; -г-; —
\а\ \|сг| \а\ \а\
По формуле для вычисления косинуса угла между двумя векторами имеем:
/\
cos a =cos(a, i) =
X • 1 -ь у 0 -f 2-0 X
\а\
/\
Аналогично cos р = cos (a, у)=^—, cos у
Следовательно,
— cos (а, &);
^ — (cosa; cosp; cos 7).
2) 	По формуле для вычисления длины вектора имеем:
I £ I = У cos2 a -f cos2 (3 -)- cos2 у.
Отсюда, после возведения в квадрат, получим: cos2 a 4- cos2 р + c^s2 у — 1.
3) 	Значение cos 7 найдем из последнего ра~
q 1
венства, полагая cosa = cosp = ^-.
15. 	Применяем формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами, учитывая, что i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1).
-> -> а• i
1) cos (a, /) =
I a l-l i I
1 • 1-f-l -0-fl 0 _ J__
V3
у 3-/l
/\
/\
Аналогично находим cos (a, j) и cos (a, k).
§ 44. Прямоугольная система координат.
Координаты точки (1 ч)
Перед изучением материала этого параграфа полезно напомнить учащимся, что прямоугольную систему координат на плоскости
удобно задавать упорядоченной парой (i; /) единичных взаимно перпендикулярных векторов, отложенных от одной и той же фиксированной точки О — начала координат.
Прямоугольная система координат в пространстве вводится аналогично: выбирается пря- —> -> ->
моугольный базис (i; /; k) и фиксированная точка О — начало координат. При первом знакомстве с прямоугольной системой координат в пространстве можно воспользоваться моделью, изготовленной по рис. 8 учебного пособия.
Формулы, выведенные в результате решения задачи 2, учащимся запоминать не обязательно. В необходимых случаях они легко воспроизведут рассуждения, проведенные при решении задачи 2, тем более что из курса IX класса уже известно:
АВ - О В - О А.
Формула расстояния между двумя точками, полученная в результате решения задачи 3, является следствием формулы для вычисления длины вектора (§ 43, задача 1), поэтому решение задачи 3 учащиеся могут выполнить самостоятельно.
Учащиеся должны знать названия и обозначения координатных осей и плоскостей, уметь построить точку по ее координатам (при заданном изображении системы координат), знать формулу расстояния между двум:: точками и уметь ее выводить.
На уроке решить: № 16(3), 17(1), 19, 21. Н а дом: N? 16(2, 4), 17(2), 18, 20(3).


Решения и указания
18. Абсцисса точки В равна нулю, а ордината и аппликата точки В равны соответственно ординате и аппликате точки А(2; —3; 1).
Таким образом, ОБ = (0; —3; 1), | О В | = = /0+9+1 =>'Тб.
19. Искомую точку обозначим через М(0; у; 0), учитывая, что абсцисса и аппликата любой точки координатной оси Оу равны нулю. По условию задачи \АМ\ — \ВМ\. Выразив | AM | и ] ВМ | через координаты точек А, В, М (задача 3), получим уравнение
ОМ-
1
= 3.
Тогда
|OAf| = /f + -i-+9,
182
/\ cos ABC;
ВА-ВС | ~ВА | • | Ъс |
Тогда
BC = OC-OB = ( 1; -1; -2).
/X, 0-1 + (—3)-(—1) + (—4)-(—2)
cos ABC =
у 0 + 9+16-/ 1 + 1 + 4 11
5/6 *
21. 	Чертеж — иллюстративный.
По формуле расстояния между двумя точками
> (2 — О)2 + (— 1 — у)2 + (1 — 0)2=
= >'0* + (1 -у)2 + 32.
Отсюда у = 1.
20. 	1) Для того чтобы найги длину медианы ААЬ нужно знать координаты точки Ах {хх\ yt; zt). Воспользуемся векторной формулой для
>- ji >- >■
середины отрезка: ОА1 = -^-{ОВ + ОС). Перейдя в этой формуле к координатам, получим:
^ = 4-, у j = —, zl = 4. Тогда I ААХ | =
= )/(з - 4-J+ (-2 - ±у+ (1 - 4)2 =
= Y T5J5.
Аналогично находим \ВВХ\.
2) 	Для вычисления координат точки М(х; у; г) пересечения медиан треугольника ABC воспользуемся формулой
3 ■ (ОА ОВ -|- ОС).
Перейдя в этой формуле к координатам, получим:
10 1
х — з , у — — 3 ,
3) 	Найдем, например, величину угла ABC. Согласно определению скалярного произведения
Осталось найти координаты векторов В А, ВС и произвести вычисления. Имеем:
ВА = ОА
О В = (0; -3; -4),
| АС | = /(1 ■+3)2 + (■-3-1 )2 + (0 -1 )2 = }/33.
Для вычисления | BD | нужно знать координаты точки D(x{, yt zx). Они могут быть найдены с помощью векторной формулы для середины 5 отрезка BD, если будем знать координаты точки 5 (лг2; у2; z2). Точка S является
серединой отрезка АС, поэтому OS =
= -^-(СМ + ОС). Отсюда х2— — 1, у2 — — 1,
1
z2= — •
>- | >■ >
По формуле OS— ~(ОВOD) находим
координаты точки D. Имеем: — 1= у(— 2+^),
— 1=4"(4 + У1), -2~ = 4"(1 + Отсюда = 0, У\= — б, zx = 0, тогда | BD | =
= /(-2-0)2 + (4 + 6)2 + ( —1 - О)2 = /Ж Длину диагонали BD можно вычислить и по
правилу параллелограмма: BD = В А + ВС.
22. 	Четырехугольник ABCD является параллелограммом, если АВ = DC. Проверим, выполняется ли это равенство:
АВ = ОВ -ОЛ = (-1; -3; 1);
DC = О С — OD = (— 1; -3; 1).
> >
Итак, АВ = DC. Однако из этого равенства нельзя сделать вывода, что ABCD — параллелограмм. Нужно еще убедиться в том, что точки А, 5, С не принадлежат одной прямой.
Для этого достаточно проверить, что А В Ф
фк'АС. Это очевидно:
АС — (—4; -4; 9), АВ = (-1; -3; 1).
§ 45. Уравнение плоскости (3 ч)
Учащиеся знают, что графиком уравнения 2х — Зу — 6 является прямая, а график урав¬


нения х2+у2 = 9 есть окружность радиуса R = 3 с центром в начале координат. Система уравнений
2х — Зу = 6 х2 у2 = 9
задает на координатной плоскости точки пересечения прямой и окружности. Перейдя к объяснению нового материала, учитель вводит понятие уравнения фигуры в заданной прямоугольной системе координат, как такого уравнения, которому удовлетворяют координаты всех точек, принадлежащих данной фигуре, и не удовлетворяют координаты никаких других точек. В координатном пространстве рассматриваются уравнения с тремя переменными, так как в пространстве каждая точка имеет три координаты.
Задача па составление уравнения плоскости является примером отыскания уравнения заданной фигуры. Главное назначение этой задачи состоит в том, чтобы обеспечить изучение теоремы 26, утверждающей, что любое уравнение первой степени вида
ax-\-by-{-cz~\-d = 0 (1)
задает в координатном пространстве плоскость. Уравнение плоскости а(х — *i) + + Ь(у — ух)-{-с(г — Zi)=0, полученное в результате решения упомянутой задачи, также применяется при решении многих задач.
Важно подчеркнуть учащимся, что уравнение (1) задает плоскость только в том случае, когда хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю. Если же а = Ь = с=0, то при йфО множество решений уравнения (1)—пустое множество, а при d=0 — пространство. Особое внимание нужно обратить на то, что коэффициенты а, 6, с в уравнении (1) являются координатами вектора, перпендикулярного к плоскости. Этот факт широко используется при решении задач.
С помощью векторов можно выяснить, параллельны или перпендикулярны две плоскости, заданные своими уравнениями (см. задачи № 31, 33). Пусть, например, требуется выяснить, как расположена плоскость а, заданная уравнением Ъх — 7у + 11 = 0, относительно координатных
осей. Рассмотрим вектор п ==(5; —7; 0), перпендикулярный к плоскости а. Замечаем, что
—> —>■
вектор п и координатный вектор k = (0; 0; 1)
взаимно перпендикулярны (n-k -=~- 0), поэтому птоскость а параллельна оси Oz.
Из частных случаев уравнения плоскости достаточно рассмотреть лишь один (а = Ь = 0), применяемый в дальнейшем при исследовании пересечения сферы и плоскости (с. 54).
Учащиеся должны знать уравнение штос-кости, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данному вектору, уметь доказывать теорему 26 и пользоваться ею при решении задач.
На первом уроке решить: № 23, 26, 27(1). На дом: № 25, 27(2);.
На втором уроке решить: № 24(1),
29(1), 30(1). На дом: № 24(2), 29(2), 30(2).
На третьем уроке решить: № ЗГфГ), 32(1), 33(1). На дом: № 31(2), 32(2), 33(2).
Решения и указания 24. Достаточно построить точки пересечения данной плоскости с координатными осями. Эти точки, взятые попарно, определяют искомые прямые.
1) 	Координаты точки Ах(х\ 0; 0) пересечения данной плоскости с осью абсцисс удовлетворяют уравнению плоскости. Из этого условия находим х=3, Ai(3; 0; 0). Аналогично вычисляются координаты точек А2(0; 2; 0) и Л3(0; 0; —6), в которых данная плоскость пересекает соответственно оси ординат и аппликат.
27. 1) Данная плоскость проходит через точку А{2; 3; —1) и перпендикулярна вектору
СВ = ОВ~ОС = (4; —1; 1). Следовательно, ее уравнение имеет вид:
4(jc — 2) + (—1)-(У — 3) + 1 + 1) = О,
или
4х — у + z — 4 = 0.
29. 1) Пусть | ОМ | — искомое расстояние.
Вектор ОМ коллинеарен вектору п = (2; —2;
■1 ■ >
1), поэтому ОМ = рп. Обозначив через хг, ух, Zj координаты точки М, из последнгго равенства получим: хг = 2р, yt = — 2p, zx = p. Тогда | ОМ | = У(2р)2 (—2р)2 /?2 = 3\ р\.
Число р найдем, зная, что координаты точки М удовлетворяют данному уравнению плоскости: 2-2/? -f 2-2р + р — 6 = 0. Отсюда р =
= и тогда \ОМ\ = 3-^- = 2.
30. 1) В качестве вектора, перпендикул*яр» ного к искомой плоскости, можно взять век-
тор /= (0; 1; 0). Тогда уравнение этой плоскости запишется в виде:
0 • (х - 0) +1 • (у - 2pR)>. (z - 0) = 0, или у—2=0.
Эту задачу можно решить, исходя из следующих соображений: плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная оси ординат, есть множество всех точек пространства, которые имеют ординату, «равную 2. Следова¬
25


тельно, уравнение у —2 является уравнением данной плоскости.
3) 	Найдем координаты вектора, перпендикулярного плоскости а. В плоскости Оху проведем 10С]„1_(Л£), тогда [ОС]1_а. Точка С(х; У; г) является серединой отрезка АВ, поэтому
ОС = ~2~(ОА -j- О В) = (3/ + 3 j) = ~2 (/ -f- у).
Отсюда х = , у = -g-, г = 0 и ОС = ;
* Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору ОС:
4 (* - 3) + 4 (У - 0) + 0 (г - 0) =- о,
откуда
д: -|- у — 3 = 0.
‘4х/ Так как искомая плоскость а перпендикулярна плоскости Оху и D £ а, то а содержит и прямую, перпендикулярную к плоскости Оху и проходящую через точку D. Следовательно, а содержит ось О г. Единственная плоскость, проходящая через точку С и ось Oz, это плоскость Охг. Уравнение этой плоскости известно: у = 0.
32. 1) Рассмотрим вектор /г = (3; 1; —1), перпендикулярный к данной плоскости а. Век-
тор п перпендикулярен также любой плоскости, параллельной а. Следовательно, искомое уравнение имеет вид: 3 (х — 1) + 1 (у — 3) —
—-1 (z + 1) = 0, или Зх + у — z — 7 = 0.
§ 46. Координатные формулы преобразований.
Гомотетия (2 ч)
Учащиеся в курсе геометрии VIII класса изучали, что симметрия относительно оси абсцисс может быть задана формулами х\ = х, у 1 = —у, а формулы *i = —х, у\ — —у задают симметрию с центром в начале координат. После повторения этого материала изучаются координатные формулы преобразований пространства: симметрия относительно одной из
координатных плоскостей, симметрия с центром в начале координат, симметрия относительно одной из координатных осей (задача 35). Координатные формулы, полученные в результате решения таких задач, запоминать не нужно, за исключением координатных формул параллельного переноса (вектора) и гомотетии.
Теорема 27 может быть рассмотрена на втором уроке.
Учащиеся должны уметь выводить координатные формулы вектора и гомотетии, умегь
26
доказывать теорему 27 и применять координатные формулы преобразований при решении задач.
На первом уроке решить: № 34, 37. На д о м: № 35(1, 2).
На втором уроке решить: № 35(3),
38(1). На дом: 38(2), 39, 47; дополнительно № 48.
Решения и указания
35. 1) Пусть М(х; у; г) —произвольная точка, а М\(хи Уи Z\) —ее образ при симметрии Z0.
Согласно определению центрально симметричных точек О—- — ОМ. Переходя в этом равенстве к координатам, получим: х1 = — х, У! = -У. zx = -z.
2) Любая точка М(х; у; г) и ее образ М\(хь у\\ Z\) при симметрии относительно плоскости 2 = 0 имеют равные абсциссы, равные ординаты и противоположные аппликаты. Следовательно, х\ = х, у\=у, Z\ = —2.
3) Если точки М(х\ у; г) и М\(х\\ у\\ Z\) симметричны относительно оси аппликат, то их проекции на плоскость 2 = 0 симметричны относительно начала координат. Аппликаты точек Mi и М равны. Таким образом,
xi = ух = —у, Zi = 2.
38. Грани данного и построенного тетраэдра соответственно гомотетичные треугольники. Из планиметрии известно, что отношение площадей гомотетичных (подобных) многоугольников равно квадрату коэффициента гомотетии. Аналогичное свойство можно точно также доказать и в стереометрии.
гг 5 11
Для первого пункта задачи -£- = — = _ ,
а для второго пункта = 4.
40. 	Пусть а = (х\ у\ z). По условию задачи
\а\ = \, т. е. Vх2 + У2 + г2 = 1. Кроме того,
а-Ь = 0 и а-с = 0, так как a & и а±с. Два последних равенства запишем в координатах: хЛ + у • 1 + г-0 = 0, Х'0 + У' 1 + z • 1 = = 0. Имеем систему уравнений ( х2 + У2 + ~2 = 1 \х + у = 0 [ У+ z = 0.
Решим ее способом подстановки, найдем координаты двух векторов:
* ( L. _1_. М
йх \ у з"’ /з* v 3 /'
у 3 у 3 /з]


41. 	Точка М принадлежит прямой АВ в том и только в том случае, если векторы AM и АВ коллинеарны, т. е. при АМ = р-АВ. Из
>- >- у >-
этого равенства имеем ОМ — ОА=р (ОВ—ОА). Перейдя к координатам, получим (л: — 6; у, 6)= ==(—5^; —Зр; 2р). Пользуясь единственностью разложения вектора по координатным векторам, из последнего равенства получаем: х — 6 = — 5р, у = — Зр, 6 = 2р.
Отсюда р = 3, х = — 9, у = — 9.
44. 2) Обозначим через <рх угол между осью
абсцисс и данной плоскостью а. Тогда угол
->
между координатным вектором / и вектором и, перпендикулярным а, равен 90° — rvl или 180°— _ ^90° — (pj = 90° + <рр Модуль косинуса каждого из этих углов равен sincpj. Следовательно, /\
, 7- \i-n\ 1
Sincpj = | cos (г, n)\= = -9- *
m 1 ^ 1
Аналогично находим sin<p2 и sin^3.
47. Рассмотрим гомотетию Но и угол ABC. При А> 0 гомотетия отображает каждый луч на сонаправленный с ним луч. Отсюда вытекает, что в этом случае стороны угла ABC и его образа АХВХСХ соответственно сонаправ- лены. Такие углы, как известно, конгруэнтны. Если же /г<С0, то стороны угла и его образа А]В1СХ противоположно направлены. Поэтому
ABC можно отобразить на /_АХВХСХ центральной симметрией, центром которой является середина отрезка ВВХ.
Глава V. Многогранники § 47. Многогранная поверхность. Многогранник (1 ч|
При введении понятий многогранной поверхности и многогранника используются наглядные представления о многогранниках, полученные учащимися в VIII и IX классах. Определение формулируется аналогично определению многоугольника (объединение простой замкнутой линии и ее внутренней области называется многоугольником).
Учащиеся замечают, что понятие многоугольника определяется через понятия замкнутой ломаной и внутренней области замкнутой ломаной. В определении многогранника используются понятия замкнутой многогранной поверхности и ее внутренней области. Свойства простых многогранных поверхностей демонстрируются на моделях.
Определение простой многогранной поверхности учащиеся не заучивают, однако они должны различать понятия простой и не¬
простой, замкнутой и незамкнутой многогранных поверхностей, пользуясь моделями и ри~ сунками. Учащиеся должны уметь формулировать определение многогранника и не смешивать понятия многогранника и многогранной поверхности. Знания определений вершины, грани, ребра многогранной поверхности (и многогранников) не требуется.
В связи с разделением многогранников на вьшук'лые и невыпуклые следует напомнить учащимся определение выпуклой фигуры.
На уроке решить: № 49, 51, 54(1). На дом: № 50, 54(2, 3).
Решения и указания
50. 2) По определению замкнутой многогранной поверхности каждая сторона пятиугольника содержится только в двух гранях многогранника, поэтому многогранник цмеет не менее шести граней.
53. 	1) Пересечение двух выпуклых фигур — выпуклая фигура. Следовательно, многогранник, являющийся пересечением двух выпуклых многогранников, — выпуклый. Следует отметить, что пересечение двух многогранников не обязательно является многогранником: оно может быть пустым множеством, точкой, отрезком, многоугольником.
§ 43. Призма (2 ч)
Из курса VIII класса учащиеся знакомы с понятием прямой и правильной призмы. Поэтому основное внимание уделяется изучению наклонной призмы. При этом нельзя опускать в определении призмы упоминание о числе углов основания и числе боковых граней: многогранник, две грани которого — многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммы, может и не быть призмой.
Учащиеся должны знать определения призмы, прямой призмы, правильной призмы, понимать смысл терминов: основание, боковая грань, боковое ребро, боковая поверхность, высота призмы. Воспроизведение доказательства существования призмы не обязательно.
На первом уроке решить: № 55, 56П), 59. На дом: № 57, 60(1, 2).
На втором уроке решить: № 61,
63(1, 2). Н а до м: № 62(1), 64.
Решения и указания
57. 	Данная призма имеет всего 18 диагоналей, что в два раза больше числа диагоналей основания, т. е. N = 2(d—6). Из них 12 имеют длину 2а, 6 —длину a}f5. Равенство
27


длин диагоналей можно обосновать с помощью признаков конгруэнтносги треугольников.
61. 	Приводим образец возможной записи (для случая пятиугольного сечения).
Дано: ABCDAXBXCXDX = Ф — призма,
M£[AAl], N€[BBX], />€[СС,].
Построить: 0[](MNP)~0C\ol. Построение:
1) [MN] = o.^\ABBxAx, [NP] = a(\BCC1B1;
2) [ЕЕХ}^= BDDXBX П АССХА{,
3) [MP}f][EEx] = F; 4) (NF)П(DDX) = Q;
5) (PQ) П [CXDX\ = Qx, (MQ) П HXA] = Q2;
6) [QiQ2] = a n A\BiCiDx\
MNPQxQ2 — искомое сечение.
§ 49. Свойства параллелепипеда (2 ч]
Основное внимание рекомендуется сосредоточить на доказательстве теоремы 28, которое проводится с помощью свойств центральной симметрии. До формулировки теоремы повторяется определение центра симметрии фигуры. Понятие центрально симметричной фигуры было введено (для пространства) при решении задач в IX классе (с. 39, задача 163).
Запись доказательства (рис. 31 учебного пособия) может быть такой.
Дано: ABCDAlB1ClDl = Ф — параллелепипед, \BO\ = \OD}\.
Доказать: Е0(Ф) = Ф1. Доказательство: 1) Z0(B) = Dx;
2) ([BA) t! [DA)) => (Z0 ([BA)) = [DA)), (\BA\ = \DC\, \DC\ = \D1C1\)=>( BA\ = = | DA IX Z0(A) = CX;
3) Аналогично Z0(C) = Аъ Z0(D) = Bv Следовательно, Z0 (Ф) = Фх.
Следствия 1 и 2 рассматриваются как устные задачи.
Доказательство теоремы 29 учащиеся могут провести, пользуясь рис. 35 учебного пособия. Приводим два варианта ее доказательства. L В заданной прямоугольной системе координат (рис. 35 учебного пособия) находим координаты точек £(0; 0; 0) и D\ (а; Ь\ с). По формуле расстояния между точками (§ 44): | BDX |2 = (а — О)2 + (& — О)2 + (с- О)2 =
= а2 + Ь2 + с2.
II. 	Имеем BD1 — (a\ b\ с). По формуле длины вектора (§ 43):
| BDX12 = а2 + Ь2 + с2.
Учащиеся должны знать определения параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда, уметь доказывать теоремы 28 и 29 и применять их к решению задач.
Па персом уроке решить: № 65, 69(1). На дом: № 69(2), 58.
На втором уроке решить: №66,
70(2, 3). Н а дом: № 67, 70(1).
Решения и указания
65. Следует воспользоваться теоремой о центре симметрии параллелепипеда (теорема 28).
1) В случае затруднений учащимся можно предложить указать несколько пар симметричных точек:
(ZM(B) = DX, ZM(Bl) = D)=> ->(ZM{(BBl)) = (DDl)) и т. п.;
2) Заметим, что
Zм (\ЛВ)) = [ОД), ZM ([AD)) = \СХВХ), ZM(\AAX))^\CXC). Поэтому ZM (/_ ABDDX) = ^CXDXBXB.
67. 	2) Искомый параллелепипед можно задать с помощью параллелограммов (не прямоугольников) ABCD и АВВ\Аи лежащих в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Плоскостью симметрии является плоскость а, проведенная через середину М ребра ВС параллельно плоскости грани АВВ\А\\ осью симметрии — перпендикуляр / к плоскости симметрии, проведенный через центр симметрии параллелограмма MNPQ.
70. 	1) Следует воспользоваться теоремой косинусов. Теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма не изучалась в восьмилетней школе.
§ 50. Площадь ортогональной проекции многоугольника {2 ч)
Учащиеся должны знать формулировку теоремы 30 и уметь применять ее к решению задач. Требовать от учащихся воспроизведения ее доказательства не рекомендуется.
На уроке решить: № 72, 74. На дом: № 73, 75; дополнительно № 76.
Решения и указания
75. 2) Если ср < 45°, то проекцией сечения на плоскость ABC является квадрат ABCD,
отсюда 5С0Ч =—-—. Если 45°«<ср<;90о (се-
еч COS ср \ т \ V
чение BCPQ), то удобнее рассмотреть проекцию сечения на плоскость ВССг. Угол между этой плоскостью и плоскостью сечения рав.н 90° — <р, поэтому
^ а2 а2
сеч cos (90° — ср) sin?
§ 51. Площадь поверхности призмы (1 ч)
Учащиеся должны уметь формулировать определение площади поверхности многогранника, уметь доказывать формулу площади боковой поверхности произвольной призмы и по¬


лучать из нее как следствие аналогичную формулу для прямой призмы (эта формула изучалась и в VIII классе).
На уроке решить: № 77(1), 79. 82. На дом: № 77(2), 83; дополнительно № 85.
Решения и указания
83. Приводим образец краткой записи решения.
Дано: ABCAiBlCl — призма, | АВ |=| ВС |= /\ /\
= \АС\ = \АА1\ = а, А1АВ = А1АС = 60°.
Найти: 5пр.
/\
Решение. Обозначим В1ВС = х, тогда
D г> Г> Г' ^ > ^
--'\вс , ВВ1 = АА1, ВС — АС — АВ,
cos л:

ВВГВС = ААХ-(АС- А£) =
= a2 cos 60° - a2 cos 63° = 0,
(cos х = 0) => (х = 90°),
Sup — %Saaxb,b + SbBiCiC + 25 Авс =
= 2a2 sin 60° + cl2 + a2 s'm 60° = a2 (l ,5 ]/ 3+1).
§ 52. Пирамида (2 ч)
Повторение определения пирамиды, смысла терминов «основание», «вершина», «высота» не требует специального времени и проводится в ходе решения задач. Затем провести доказательство существования пирамиды (рассматривается пересечение многогранного угла и полупространства).
После решения задач № 86 и 87(1) можно перейти к повторению формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды.
На втором уроке излагается вывод формулы
^бок
COS <р
На первом уроке решить: № 86, 87(1 )\ 89(1). На дом: № 87(2), 88, 91(1).
На втором уроке решить: № 92, 94, 95; дополнительно № 90. Н а дом: № 93, 96.
1Решения и указания
87. 1) б) Ось симметрии — прямая /, где [МО] с /. Действительно,
(Sl(A) = C, St(M) = M)=> ->(Sl([AM]) = [CM]}.
Аналогично Sz-( [SAf]) = [DM]. Отсюда следует, что при симметрии Si пирамида MABCD отображается на себя.
в) 	Отдельно рассмотрите случаи п=2k и п = 2&+1.
2) 	а) Каждая из плоскостей, проходящих чэрез высоту и боковое ребро правильной треугольной пирамиды, является ее плоскостью симметрии. Пусть (МРС) = а. Так как (АВ) J_a и \РА\ — \РВ\, то 5а(Л) = 5. Коохмг того, 5а (М) = М, Sa (С) = С, поэтому Sa(MABC)= = МАВС.
б) Плоскостями симметрии правильной четырехугольной пирамиды MABCD являются (АМС), (BMD), (MPQ), (MKL).
88. Рассмотрим правильную пирамиду МАВС, докажем, что [A8]_L[MC].
Применив свойства векторов, можно решить задачу без дополнительных построений. Находим:
АВ-МС = (МВ—Л1А)-^С =
—*
MB I2 cos ВМС
— /\
IМА |2cos АМС.
. Рис. 45 учебного пособия можно
заменить более простым изображением треугольной или четырехугольной пирамиды. Запись условия задачи для треугольной пирамиды может быть такой.
/\ /Ч /\ Дано: SABC — пирамида, АВ= ВС = АС=
— ср.
Доказать: 5б0К = ——.
00к COS 'f
Учащиеся должны знать определения пирамиды и правильной пирамиды, верно употреблять термины «основание», «вершина» и т. п., знать формулы для вычисления Sбок правильной пирамиды и пирамиды, у которой равны величины двугранных углов при всех сторонах основания, и уметь применять при решении задач.
Из определения правильной пирамиды следу- /\ /\
ет: \МВ\ = \ МА\, ВМС = АМС, поэтому ~АВ -~МС = 0 и ~АВ ±МС.
§ 53. Усеченная пирамида (1 ч)
Изучение свойств усеченной пирамиды проводится с помощью свойств гомотетии пространства. Полезно отметить, что из гомотетичное™ оснований усеченной пирамиды следует параллельность их соответственных сторон, пропорциональность длин этих сторон, а также конгруэнтность соответственных углов оснований.
Изображение усеченной пирами ды удобно получать путем построения изображения пирамиды и ее сечения, параллельного основанию.
Учащиеся должны уметь доказывать теорему 31, знать смысл терминов «усеченная пирамида», «правильная усеченная пирамида»,
29


«основание», «высота», «боковое ребро», «боковая грань» применительно к произвольной усеченной пирамиде, «апофема» применительно к правильной усеченной пирамиде. Эти понятия они должны уметь употреблять при решении задач.
На уроке решить: № 99, 100(1), 101(1). На дом: № 102, 103; дополнительно
№ 101(3).
§ 54. Понятие о правильных многогранниках (1 ч)
Следует предупредить распространенную ошибку относить правильную призму и правильную пирамиду к правильным многогранникам (см. задачу 105). Учащиеся должны знать определение правильного многогранника, уметь решать задачи, связанные с правильными тетраэдрами, октаэдрами и кубом.
В ознакомительном порядке полезно сообщить учащимся теорему о существовании только пяти видов правильных многогранников. В связи с этим стоит упомянуть о правильных додекаэдре и икосаэдре.
На уроке решить: № 105, 106, 108, 110. На дом: № 107(1), 109; дополнительно
№ 107(2).
Решения и указания
106. Не все многогранные углы шестигранника имеют одинаковое число ребер.
107. 1) и 2) Все многогранные углы построенного многогранника имеют одинаковое число ребер, а следовательно, и граней. Из конгруэнтности треугольников вытекает, что все его грани — конгруэнтные правильные треугольники.
Ф. М БАРЧУНОВА, Ю. П. ДУДННЦЫН
(Москва)
УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕМАМ
«ПРИНЦИП МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ»
и «элементы комбинаторики»
Принцип математической индукции
Большая часть приведенных упражнений может быть использована учителем при организации подготовительной работы с учащимися перед изучением основного содержания темы.
Упражнения 1—4 дают возможность учащимся повторить различные приемы доказательства справедливости утверждений на некоторых множествах значений входящих в них переменных.
Упражнения 5—8 предназначены для повторения понятия логического следования, с которым учащиеся впервые знакомились в курсе алгебры VII класса.
С помощью упражнений 9—И учитель может формировать навыки применения отдельных этапов принципа математической индукции.
1. Докажите, что при любом значении т справедливо неравенство:
а) (т -}- 2)т ^ 6т — 4;
б) 2m2+2(3m—4)<(3m-f 2) (m+4) + l.
2. Докажите, что при любом значении х предложение х2—2х-\-8ф0 обращается в истинное высказывание.
3. Докажите, что при любом натуральном значении п справедливо равенство
п2—7/i-f-12 = (п—3) (п—4).
4. Верно ли, что формулы ап — п — 1 и Ьп =
п- — 1
= -q—j- задают одну и ту же последовательность?
5. Докажите, что для /tgN:
а) (2<я<8)=> (/г> 1);
б) (3,70<9)=>(д>4).
Решение, а) Неравенство 2^п^.8 обращается в истинное высказывание при значениях п, равных 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Каждое из указанных значений п обращает неравенство п> 1 в истинное высказывание.
6. Верно ли, что:
а) (х2 — 5л: + 6 = 0) => (лг — 2);
б) (л; — 3 = 0) => (х2 — 5х + 6 = 0)?
Решение, а) Равенство х2—5х+6 —0 обращается в истинное высказывание при значениях х, равных 2 и 3. При значении 2 равенство х — 2 обращается в истинное высказывание; при значении 3 равенство х-—2 обращается в ложное высказывание. Поэтому высказывание (х2—5*+6 = 0) = '(х = 2) Ложно.
7. Верно ли, что:
а) (а (а — 2) = 0) => (а > — 5);
б) (х2 + у2 = 0)->(х = у);
в) (х — У = 0) => (1*1 = |у|)?
Решение, в) Равенство х—у = 0 обращается в истинное высказывание при подстановке вместо х и у любых равных значений. Всякая пара равных значений х и у обращает в
30


истинное высказывание равенства |л:| — \у\, поэтому предложение (х — у — 0) =>- (\х\ — — \ У\) — истинное.
8. Верно ли, что:
a) (JC; 10) => (аг:5)*; б) (х \ 5)-> (х ■ 10); в) (tgx==-^"-^)=>(sin2x + cos2x = l)?
Решение, в) Предложение tg л: —
обращается в истинное высказывание при любом значении х из множества величин углов, кроме тех, при которых косинус угла равен 0. При любом из указанных значений х равенство sin2x+cos2x = 1 обращается в истинное вы¬
сказывание, sin * ' cos х,
поэтому предложение ^tg л; = > (sin2х + cos2л: = 1) — Истинно.
9. Через А (п) обозначено предложение: 2п > 2п ~f 7, где п £ N.
а) Запишите Л(1), Л(3), А (о), А (к), А (к + 1).
б) Проверьте истйнНость высказываний А (2), А (4).
10. Через А (п) обозначено предложение: 62;‘ -f 19;? — 2//~1 при любом натуральном значении п кратно 17.
а) Прочитайте Л(1), А(2), A(k), A (k — 1).
б) Проверьте истинность высказывания Л( 1), А (2).
11. Через А(п) обозначено предложение: п (п — 2) (п — 4) (п -f 1) (п — й) (п — 4)
3 — 2 ’
где #£N.
а) Проверьте истинность Л(1), А(3), А (4), А уб).
б) Найдите все значения я, при которых истинно высказывание А (п).
12. Докажите методом математической индукции справедливость равенств при любом натуральном значении п:
а) 1-2 + 2.5 + 3-8 + .
= га- (га -f 1);
1,2,3
. + га (Зга — 1) =
б)
в)
2з “I • •
-Ж' -4)-
п
2?Г
= 2 - 1
п 4-2,
2" ’
(,п + I)2
' 2(л + 1) •
Решение, в) Обозначим это предложение через Л (га).
1) Проверим истинность /1(1):
1 1+2 4 2(1 + 1)
1
— истинно.
2) Докажем истинность предложения А (к) ■- A(k-\-1). Составим A(k):
X
4 JV 9 ) - ‘ ' V* (*"+ k + 2
0-4-Х‘-4-)-0-orh?)-
'2(ft + 1)
и A{k + 1):
0 4-)0 г) - - - С1 — (F+тр) X
X
О {к + 2)*)
k -f- 3
2 {k + 2) •
При условии, что Л(Л) истинно, получим:
40(‘--Р '■ ’
1 \ к ' 2
(/г + 2)'-/~
О
х(.
X
-)••■('-tm?)
С1 — (Т+Тр)
2 (/г +1)
_ (к + 2) {{k 4- 2)2— 1) 2(А + 1)(й+2)» -
(^ + 2) (/г + 1)(*+3) к
2у - 2 (/г + 2)
начениях А, при которых
1 Знак ’ заменяет слово «делится».
2(* + 1)(й
Значит, при всех истинно A(k), будет истинно и Л(&4- 1).
3) На основании принципа математической индукции А(п) истинно при любом натуральном значении га.
13. Пользуясь методом математической индукции, докажите, что число диагоналей выпуклого га-угольника можно вычислить по d)OD-
п (п — 3) муле —~—.
14. Докажите, пользуясь методом математической индукции, что при любом натуральном значении га значение выражения:
а) 62л — 1 кратно 35;
б) 7п+2 4- 82п+1 кратно 57;
в) 32п+2 — 8га — 9 кратно 64;
г) 4-6" 4- 5га — 4 кратно 25;
д) 62" 4-191 — 2п~х кратно 17.
Решение, г) Обозначим это предложение
через А{П).
1) Проверим истинность Л(1):
4 • 61 4- 5 • 1 — 4 кратно 25 — истинно.
2) Докажем истинность предложения A (k)^> = >A{k 4-1).
Составим A(k)\ 4-6* 4-5& — 4 кратно 25 и A(k4-1): 4-6*+14-5(& 4- 1) — 4 кратно 25.
Преобразуем сумму 4-6*+> 4- 5(£ 4- 1) _ 4; 4-6*+1 + 5(Jfe + 1) —4 = 24-6* +5J& +5 —4 = = 6(4-6* 4- 5k — 4) — 25k 4- 25.
Так как второе и третье слагаемые кратны 25, то делимость всей суммы на 25 зависит только от делимости первого слагаемого. Следовательно, если 4-6/i4-5&—4 делится на 25, то и 4-6ft+I-j-5(&4-l)—4 делится на 25. Зна-
31


чит, при всех значениях &, при которых истинно А (к), истинно и А (6+1).
3) На основании принципа математической индукции А(п) истинно при любом натуральном значении п.
Перестановки. Число перестановок
1. Дана функция у=Рх (число перестановок из х элементов).
а) Укажите область ее определения.
б) Содержит ли график этой функции точку, принадлежащую оси абсцисс (оси ординат) ?
в) Сколько нечетных чисел принадлежит множеству значений этой функции?
г) Является ли эта функция возрастающей?
д) Укажите множество, на котором функция у=Рх возрастает.
е) Постройте график функции у = Рх, где х £ {0; 1; 2; 3; 4}.
Решение, a) Z0; б) нет (у(0) = 1); в) одно (1); г) нет; д) N; е) см. рис. 1-
I?
О 1
Рис. 1
\ 6! а> "5Г ’
Решение.
б)
8! —7! 7!
в)
5!+6! 4!
81 — 7! 718 — 71 _ 71(8— 1) ?
71 71 7J
71 ~ 71
5. Сократите дробь:1
а) <л~ 2>' • б)• в) т! а> (п+ 1)1 ’ °' nl • т — 1
6. Замените произведение отношением факториалов:
а) 10-9*8-7; б) п(п - 1 )(п - 2).
7. Упростите выражение:
а) х!(х + 1); б) 2(п + 1)! п(п + 1)!;
» Г) £*8 — ^6» Л) Р k—l Pk+1*
v 1 k
В' k\ (k + 1)!
a)
8. Решите уравнение: Pn _0fl.
a)
n+2
Решение. Pn
= ~; 6) 6Px = Px+2; в)
x+l
x-1
12.
/2 + 2
0,1 r7. П\ 1
(я+1)(/г + 2) = 30; (n + \)(n + 2) = 5• 6;
n -[- 1 = 5; n = 4, 4 £ Z0.
Ответ: 4.
Упорядоченные множества и размещения
1. Дана функция у = А*.
а) Укажите область ее определения и множество значений.
б) Содержит ли график этой функции точку, принадлежащую оси абсцисс (оси ординат)?
в) Является ли эта функция возрастающей^
г) Укажите множество, на котором эта функция возрастает.
д) Постройте график этой функции. Решение, а) {0; 1; 2; 3; 4}, {1; 4; 12; 24};
б) нет (у (0) = 1); в) нет; г) {0; 1; 2; 3}; д) см. рис. 2.
2. Сколько простых чисел в разложении числа Р6 на простые множители?
3. Запишите выражение без знака факториала:
а) (2тг+2)!; б) 2nl; в) (3>г)!
4. Найдите значение выражения:
Рис. 2
2. Сравните числа: а) Аз и Аь> б) Аз и Ад\ в) At и Лб«
32


3. Представьте в виде произведения выражение:
а) Ах + Ах\ б) Ах — Ах*, в) Ап+2 + Ап+2*
4. Сократите дробь: А]
a) if; б)^-1; в)
' ' AZ ' ' д2
Л + 1
5. Решите уравнение:
a) A3tt = ±AU б) Л5„ = 18Л*_2; в) Alc= 100Al; г) х:А3х = 0,05;
д)
AiP
Ап+ 2 р
: 90; е) -х-~—х~п- = 0,05.
jr лг —5
д:+4
Решение.
в) Л2дг=Ю0Л^ {л:|л:>2 и *€Z0};
2л; (2л; — 1 )(2* — 2)= 100л: (л; — 1); 2(2*-1)(jc-1) = 50(jc-1);
2л;-1=25; л:=13.
Ответ: 13-
А П+2Р
^ f -L.9* V
е)
D*+4
: 0,05;
{х\х^> — 2 и *€Z0};
^лг+2
^лг+4
^jr+2
■ 0,05,
1
Лг+2(*+3)(* + 4) 20 ’
(л: + 3)(х + 4) = 4-5; л;+ 3 = 4; х = 1.
Ответ: 1.
Число подмножеств конечного множества
1. Сколько элементов содержится в множестве Л, если известно, что число его одноэлементных подмножеств равно 7?
2. Сравните число двухэлементных и число четырехэлементных подмножеств шестиэлементного множества.
3. Множество А содержит 140 элементов. Множество В его пятиэлементное подмножество. Сколько элементов содержит дополнение множества В до множества А?
4. Объясните смысл написанных равенств и выражений:
а) С°; б) С”; в) Ch г) С|; д) С"; е) С°4 + С1 + С1+С34 + Ct] ж) С°4= Ci; з) d = d; и) Cl=Cl; к) С” = СГт,
где т < п.
5. Вычислите без применения формул:
а) С is; б) Си", в) Сюо> г) Сз -f- Сз 4* Сз Сз.
6. Сравните числа, не производя вычислений: а) С) и Ch б) С7 и С|; в) С? + С?
и Cg + Cl; г) Ci и Сг, д) С9 + С9 и С}0; е) Csg и Cl
7. Дана функция y = Ci.
а) Укажите ее область определения и множество значений.
б) Укажите значения х, для которых она принимает наибольшее и наименьшее значение.
в) Имеет ли график функции точки, принадлежащие оси абсцисс (оси ординат)?
г) Имеет ли график функции ось симметрии? Напишите уравнение этой прямой. Какое свойство иллюстрирует симметрия графика?
д) Постройте график этой функции.
Решение, а) {0; 1; 2; 3; 4}, {1; 4; 6}; б) при
х=2 функция имеет наибольшее значение, равное 6, при х=0 и х=4 — наименьшее значение, равное 1; в) нет (*/(0) = 1); г) уравнение оси симметрии х=2. Симметрия графика иллюстрирует то свойство подмножеств конечного множества, что число подмножеств, содержащих некоторое число элементов, равно числу дополнений этих подмножеств до всего множества; д) см. рис. 3.
Рис. 3
-I—
8. Решите уравнение:
a) Cl = 21; б) Схш.Сх = - j-; в) С* = ^ г)С*=0.
Решение.
в)
{±|л:>4 и х€1&.
х(х—1)(лт — 2)(х — 3) 15л: (л:—1)
1-2-3-4 ~ 4 ’
2 Математика в школе, № 4
33


(х — 2) (х — 3) = 90; (x-2)(x-3) = lQ-9;
A" — 2 = 10; x = 12.
Ответ: 12.
Некоторые свойства числа сочетаний
1. Представьте в виде дроби:
а) 	СГ2; б) CZ+\\ в) ci+l
2. Найдите значение выражения:
а) 	Сб -I- Се -J- Се "Ь С6 -1- С6 -I- Се; б) С? + С? + Ст + Ст.
3. Решите уравнение:
а) С^Т1 = 36; б) С$+\ -f 2C*_i = 7(х — 1):
в) 	С1х=Съх’, г) С?8 = Cf3+2; д) С* * + С£ 2+... ... + С$~9 + Сх~Ю = 1023. Решение.
б) Сж+1 + 2С|_1 = 7(х — 1){х|х>4 и x€Z0}; (лг + 1> ЛГ(ЛГ — 1) , 2(х — 1) (а: — 2) (jc — 3)
1-2-3 1-2-3
— 7(х —1) = 0; (х — \)(х2-\-х + 2(х2 — 5х+ -f 6) — 42) == 0; х2 — Зх — 10 = 0; х= — 2 или х —5, —2 <4, следовательно, —2 не является решением данного уравнения.
Ответ: 5.
г) 	Сю = С is 2 {х | х < 16 и xeZ0}, х х -f- 2 = 18, х = 8.
Ответ: 8.
д) с]с 4~ С\ -f-... "4* Сх “Ь Сх — 1023 {х | х ^ 10 и х 6 Z0}; Сх + Сх + С\ + • • • + С х + С1х =
— 1024; Cj + Ci + ...+ Ci° = 2i°; * = 10.
Ответ: 10.
Рекуррентная формула числа сочетаний
1. Упростите выражение:
а) С' + СГ1; б) Cftl + Cft!; в) Cjfcf-f Cfcl.
2. Решите уравнение:
a) 	d + Cl — С*; б) Cl + Cl = 15(x-1);
в) С2Х+1 + Cj+i = 7х; г) -S+1rt C'+1 = А.
jc+2
Решение, а) с\ — Сгх.
Ответ: 9.
б) С*+С* = 15(х--1) {*1*>3 и x€Z0}; 34
Cl+1 = 15 (х - 1); -
— 15 (х — 1) = 0; (х — 1) (х2 + х —90) = 0;
х — 1 = 0; х = 1; 1 < 3,
следовательно, 1 не является решением данного уравнения; (х — 9) (х + 10) = 0, jc = 9 или х= — 10, “10 3 — не является решением
данного уравнения.
Ответ: 9.
Задачи по теме «Комбинаторика»
1. а) Сколько различных расписаний уроков на один день можно составить, если должно быть 5 уроков и 5 различных предметов?
б) Измените текст задачи так, чтобы ответ был At
Решение, а) Каждое расписание фиксирует определенный порядок уроков на один день.
Ответ: Р5.
б) Вместо 5 различных предметов следует взять 8. В этом случае на каждый день выбирается пятиэлементное подмножество и устанавливается в нем определенный порядок.
2. а) Сколькими способами можно распределить 5 человек, прибывших в гостиницу, по 6 одноместным номерам?
б) 	Измените текст задачи так, чтобы ответ был Р5.
3. а) Сколькими способами можно повесить пальто на вешалке, имеющей 6 крючков?
б) 	Как изменится ответ задачи, если будут
2 различных пальто?
4. Сколько сложных красок можно составить из 7 основных, если смешивать их по 3?
5. а) На плоскости даны 8 точек, никакие
3 из которых не лежат на одной прямой. Сколько всего треугольников можно построить с вершинами в этих точках?
б) 	Как изменится ответ задачи, если 3 точки из 8 будут лежать на одной прямой?
Решение, а) Число треугольников равно числу трехэлементных подмножеств множества из 8 элементов.
Ответ: Cl.
б) 	Так как 3 точки, лежащие на одной прямой, не могут быть вершинами треугольника, то всего треугольников будет cl — 1.
6. а) В команде, прибывшей на соревнование по волейболу, 12 человек. Сколькими способами может тренер выбрать из них 6 участников на начало игры?
б) 	Как изменится ответ задачи, если вопрос задачи сформулировать так: сколькими способами из этих 12 человек можно составить


2 команды по б человек для совместной тренировочной игры?
Решение, а) Группа из 6 участников на начало игры есть шестиэлементное подмножество всей команды.
Ответ: Си-
б) 	Так как обе команды составляют вместе полное количество приехавших на соревнование,
то способов составления команд Ci2.
7. 	а) Пусть а, b, с — стороны треугольника, а и р — углы треугольника, противолежащие сторонам а и Ь. Сколько различных задач на построение треугольников можно составить, используя каждый раз три из названных элементов?
б) 	Как изменится ответ задачи, если один из пяти элементов будет постоянным для всех треугольников?
Решение: а) Три любых элемента образуют трехэлементное подмножество в множестве из данных пяти элементов.
Ответ: cl = Cl.
б) 	К постоянному элементу будем присоединять двухэлементные подмножества из множества четырех оставшихся элементов.
Ответ: С\.
8. 	В формулы суммы п членов и п-то члена арифметической прогрессии входят аи an,n,Sn и d. Сколько основных задач на нахождение двух из этих пяти элементов по трем данным можно составить?
В. Е. ВОЛОДАРСКИЙ
(г. Кокчетав)
ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
Решение многих задач по физике требует от учащихся глубоких математических знаний. Бывает, что физический смысл задачи учащимся понятен, но возникают затруднения в применении нужного математического аппарата. Решения таких физических задач поучительны с точки зрения математики, поэтому их целесообразнее ставить учителям математики на своих уроках (в удобное для них время— при изучении, углублении или повторении определенных тем), где можно показать сущность и тонкости тех или иных математических приемов в действии, в их практическом приложении.
Так, например, значительную трудность для учащихся представляют физические задачи, решение которых математически сводится к системе нескольких уравнений с несколькими переменными.
Рассмотрим такие задачи.
1. 	Элемент замыкается спиралью один раз сопротивлением Rh другой раз — сопротивлением R2. В том и в другом случае количество тепла, выделяющегося в спиралях за одно и то же время, оказывается одинаковым. Каково внутреннее сопротивление элемента г?
Используя условия задачи, записываем:
Qi = Q2=> = i\R4 -> /i/?i = /*/?j.
На основании закона Ома для полной цепи имеем:
E = Il(Rl+r), E=I2(R2+r)^Ii(Ri+r) = = Ы#2+г), где /ь /2 — ток в цепи.
Получаем систему двух уравнений с тремя переменными /ь h» т. Имеет ли она решение? Пока не ясно. Но стоит записать уравнения в другом виде:
11 *1 f R4 . 11 R2 4- г
/2 — У Ri ’ /2 — Д| + г ’
как разрешимость системы становится очевидной: r=\r RiR2.
2. 	Автомобиль трогается с места с постоянным ускорением аЛ и, достигнув скорости v, некоторое время идет равномерно, затем тормозит с постоянным ускорением а2 до остановки. Определить время t движения автомобилям если он прошел путь S.
Математически решение этой задачи сводится к системе семи уравнений с семью переменными.
t=t\+t2+tz,
S — Sj -j—*S2—|—*s3,
a xt\ с _L
о j — 2 »
S2 = vt2i
a2t\
S3 — vt3 2“ *
v=axtu v—a2t3 = 0,
где 11 — время ускоренного движения, t2 — время равномерного движения, t3 — время замедленного движения, Sj — путь при ускоренном движении, S2 — путь при равномерном движении, S3— путь при замедленном движении, t — общее время движения. На уроке физики эту задачу обычно решают графически.
2*
35


На уроках математики, посвященных повторению и углублению понятий о пропорциональных переменных, о коэффициенте пропорциональности, о графиках функций y=kx,y=k/x, полезно рассмотреть зависимость центростремительного ускорения или центростремительной силы (в зависимости от постановки этого урока во времени) от радиуса вращения.
Можно подать этот материал в виде занимательной задачи-рассказа.
3. 	Два ученика перед уроком физики вели спор у классной доски по поводу домашнего задания. Надо было изучить зависимость силы, удерживающей тело при его движении по окружности, от длины радиуса окружности и представить графически эту зависимость в прямоугольной системе координат с осями F, R.
Один ученик записал формулу F=mv2/R и графически зависимость силы от длины радиуса представил гиперболой; другой записал формулу F = mcd2R и представил зависимость графически прямой линией. У каждого нашлись противники и защитники. Кто же прав?
Прежде всего надо рассмотреть математическую сторону вопроса. Учащиеся обычно считают, что запись y=kx выражает прямую пропорциональную зависимость. Между тем если о k ничего не известно, то эта запись может выражать любую зависимость (например, синусоидальную y=kx=sin*, если k=sinx/x). Функция y=kx выражает прямую пропорциональность лишь тогда, когда k=const (во всяком случае, k не зависит от х).
В задании не было конкретизировано, при каких условиях рассматривается зависимость одной величины от другой (в частности, при каких прочих величинах, остающихся неизвестными). Пока эти условия не уточнены, вопрос о том, какова зависимость центростремительной силы от длины радиуса, не может быть поставлен.
Таким образом, в разобранном примере «парадокс» исчезает: при v = const центростремительная сила обратно пропорциональна радиусу, при со=const она прямо пропорциональна ему.
Теперь становится яснее и эксперименталь- но-физическая сторона вопроса. Если сравниваются между собой равномерные движения тела по окружностям с одинаковыми для разных окружностей линейными скоростями, то центростремительная сила будет тем больше, чем меньше длина радиуса окружности. Для движений тела с одной и той же угловой скоростью (например, в разных местах вращающейся карусели центростремительная сила
больше там, где больше радиус). Следовательно, оба ученика по своему правы.
Аналогичные рассуждения можно проиллюстрировать на примере анализа зависимости количества теплоты, выделяющейся в проводнике за единицу времени, от сопротивления проводника (Q = I2Rt\ Q = U4/R). При / = =const Q пропорционально R, при U — const Q обратно пропорционально R.
На уроках математики целесообразно иногда решать и такие задачи, в которых не очевидная с точки зрения физики функциональная зависимость физических величин наглядно раскрывается математически.
Приведем примеры задач, из анализа которых учащиеся понимают, что если при решении задачи в общем виде какая-нибудь величина исключается, то искомый результат от этой физической величины не зависит.
4. Из верхней точки вертикального диаметра некоторой материальной окружности по струнам, натянутым вдоль различных хорд этой окружности, одновременно начинают скользить без трения шарики-бусинки. Определитьчерез какое время шарик достигнет конца своей хорды.
Решение. Вдоль хорды шарики будут двигаться под действием составляющей силы тяжести:
F=mgcos а, где а — угол между хордой и вертикалью. Шарик будет двигаться по хорде (в том числе и по диаметру) с ускорением a=gcosa. Длина хорды /=dcosa, где d — диаметр окружности. Шарики движутся согласно уравнению равноускоренного движения
/=а/2/2,
где t — время движения шариков по хордам.
21 1 Г 2d cos а л Г 2d
а V g cos a V g
Следовательно, время скольжения по различным хордам зависит только от диаметра окружности и не зависит от угла наклона, поэтому все шарики достигнут окружности одновременно.
Аналогичная ситуация встречается и в следующей задаче.
5. Сравните тормозные пути порожнего и груженого автомобилей.
В решении доказывается независимость тормозного пути от массы автомобиля при прочих одинаковых условиях.
В удобное для учителей математики время можно решать из разных разделов физики интересные задачи на максимум и минимум, не выходя за пределы программы средней школы по математике.
36


Решение таких задач сводится к составлению уравнений вида y=f(x), выражающего зависимость между данными в задаче величинами и последующим исследованием полученной функции на максимум и минимум.
Например, зависимость между исследуемыми физическими величинами х и у может быть выражена квадратной функцией вида у = ах2-\-Ьх-{-с.
Учащиеся знают, что квадратный трехчлен можно представить следующим образом:
9 I u I \2 . 4ас — Ь2
ах + Ьх с = а[х + ^— .
Если + = т0 П0ЛУЧИМ
экстремум функции. При а<С0 функция имеет максимум, при а > О — минимум.
Воспользуемся этим приемом для решения задач.
- 6. Тело брошено вертикально вверх с на- ! чальной скоростью v. На какую максимальную высоту взлетит тело? (Сопротивлением воздуха пренебречь.)
Решение. Пройденный телом путь h выражается квадратной функцией от времени h — vt — gt /2, где коэффициент при t2 равен —g/2<Z0. Значит, при t=v/g функция имеет максимум, который легко определяется подстановкой значения t = v/g в первое уравнение:
V gV2 V2
~Т ~~ ^g2 ~~ W'
7. 	Проволоку требуется разрезать на две части так, чтобы получить максимальное общее сопротивление при параллельном соединении полученных частей проволоки.
Решение. Величина, обратная сопротивлению, равна сумме обратных величин сопротивлений параллельных ветвей:
~ ~ ж R—Ri => г== ^)
где г — искомое сопротивление соединенных параллельно кусков проволоки, R— сопротивление всей проволоки, R\ — сопротивление одной из ее частей.
Получена квадратная функция г — у которой коэффициент при R\ отрицателен. Значит, функция г имеет максимум при
R__
2 ‘
Ri = ;
Подставляя полученное значение Rx в формулу (1), получим
г — _-L BL 4- А. — А.
шах /? ’ 4 * 2 4 е
Таким же методом можно решить следующую задачу.
8. Докажите, что максимальное значение мощности, отдаваемой во внешнюю цепь гальванического элемента, получается при равенстве внешнего и внутреннего сопротивлений.
Из курса математики учащиеся знают, что среднее арифметическое двух положительных чисел а и & не меньше их среднего геометри-
д + й . т f—г о> 4" Ъ
ческого, т. е. —^— !> у ab, причем —g— =
= Vab тогда и только тогда, когда а — Ь.
Отсюда следует теорема о постоянном произведении: если произведение двух положительных величин постоянно, то их сумма будет наименьшей тогда и только тогда, когда эти величины примут равные значения.
Следствием этой теоремы является то, что сумма двух взаимно обратных положительных
чисел а и — не меньше 2: а + — >>2. По-
а а
этому если имеем функцию у— —, то (у +x)mln= = 2.
Воспользуемся этим математическим аппаратом для решения задач.
9. Во сколько раз минимально можно уменьшить емкость батареи, состоящей из двух параллельно соединенных конденсаторов, при замене параллельного соединения последовательным?
С СУС» * * I * Ci-fCg
^парал ^ 1 I ^2’ п С ' С ГГ ’
г '-'ПОСЛ W ^2
С с
Ст.™ — г j> » гДе Си С2 —емкости отдель-
W Т ^2
С
Спосл — емкости
'поел
ных конденсаторов, ~параЛ| батарей при параллельном и последовательном соединении.
^парал //о | /о \, C\Cz
r i" ^2/ * Г -U Г
^поел «1 т ^2
- (Cl + Сг)2 = £i- + £l + 2>4.
CiC2 С-2 '-’l
Наименьшее значение отношения
'парал
равно 4
при СХ = С2. Таким же приемом можно решить следующую задачу.
10. 	Нагревательный прибор состоит из двух параллельно соединенных сопротивлений Ri и R2. В каких пределах уменьшится мощность, потребляемая прибором, при замене параллельного соединения сопротивлений последовательным?
Из равенства ^ 1fab следует теорема
о постоянной сумме: если сумма двух положительных величин постоянна, то их произведение будет наибольшим тогда и только тогда,
37


когда величины примут равные значения (это можно легко показать учащимся).
Рассмотрим задачу, решение которой основано на указанном свойстве.
И. Диэлектрик, имеющий форму пластинки толщиной d, разделили плоскостью на две пластинки толщиной d\ и d2 так, что они стали служить диэлектриками двух плоских конденсаторов, соединенных между собой параллельно. В каком отношении следует делить пластинку, чтобы общая емкость батареи из двух полученных конденсаторов оказалась наименьшей?
Решение. С— С!+С2, (1)
где С— емкость батареи конденсаторов с емкостями Ci и С2.
с=£+£’ <2>
где г — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, S — рабочие площади пластин.
При постоянной сумме dx-\-d2—d произведение d{d2 имеет максимальное значение при d\ = d2.
Поэтому Cmin получится при di — d2~d/2.
Решение широкого круга физических задач сводится к составлению уравнения y=f(x) с входящими в него тригонометрическими функциями и последующим исследованием его на максимум и минимум.
12. 	Какой угол наклона должна иметь крыша, чтобы вода стекала за минимальное время?
Решение, b — /cos а, где 26 — ширина основания крыши, I — длина уклона для стока воды, а — угол наклона крыши к ее основанию.
Капля движется равноускоренно согласно уравнению
где а — ускорение движения капли воды (а = = g-sina).
b = Art2g sin a • cos a = > t2 = —.
2 g sin 2a
Время стекания капли будет наименьшим, когда sin 2a будет иметь наибольшее значение, т. е. при sin2a=l, или а=45°.
Аналогичным методом решается и следующая задача.
I 13. Тело бросают под некоторым углом к горизонту. При какой величине угла будет достигнута максимальная дальность полета?
Д. М. КАРАПЕТЯН
(г. Степанаван)
К УРОКУ НА ТЕМУ
«ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА»
Начало урока планировалось провести так, чтобы помочь ученикам сформулировать признаки параллелограмма самостоятельно. Для этого классу предлагалось начертить четырехугольники, у которых: 1) противоположные стороны попарно конгруэнтны двум данным отрезкам; 2) две противоположные стороны параллельны и конгруэнтны данному отрезку.
Сравнив результаты своих построений, учащиеся приходят к выводу: обе задачи имеют бесконечное множество решений. Однако все полученные четырехугольники имеют одну особенность: они похожи на параллело¬
граммы.
Теперь учащиеся формулируют оба признака параллелограмма и приступают к их доказательству.
Доказательство первого признака проводим так, как оно изложено в учебнике; второй признак доказываем иначе.
38
Дано: ABCD — четырехугольник, \AB]^z
[CD], [АВ] || [CD] (см. рис.).
Доказать: ABCD — параллелограмм, т. е, [ВС] II [AD].
Доказательство. Проведем диагональ АС и поделим ее пополам точкой О. Лучи АВ и CD параллельны (по условию) и противоположно направлены, так как они лежат в разных полуплоскостях с границей (АС). Тогда при центральной симметрии относительно точки О луч АВ отобразится на луч CD; при этом А—>С (Ое[ЛС] и |ЛО| = |ОС|) и B-+D (|ЛВ| = |CZ)|). Следовательно, прямые ВС и AD центрально симметричны, отсюда [£С]|| || [AD], что и требовалось доказать.


Т. Л. СЫТИНА
(Москва)
О ПРЕПОДАВАНИИ АЛГЕБРЫ В VI КЛАССЕ (Из опыта работы)
В течение последних лет учителя математики работали по учебному пособию «Алгебра 6» и пользовались примерным тематическим планом изучения материала, приведенным в книге для учителя. Опыт работы показал, что в распределение времени на отдельные главы курса VI класса целесообразно внести некоторые изменения. Это вызвано тем, что, по имеющемуся планированию, на конец года приходилось изучение очень важного материала (формулы сокращенного умножения, разложение на множители, решение систем линейных уравнений), на котором основана работа в последующих классах. Этот материал изучался в быстром темпе и недостаточно закреплялся. Из-за непрочного усвоения важных разделов курса VI класса учащиеся испытывают затруднения в VII—VIII классах, допускают ошибки вычислительного характера. Для лучшего изучения и закрепления этого важного материала можно предложить учителям шестых классов распределить время по главам учебного пособия «Алгебра 6» следующим образом:
Глава I. Употребление букв в алгебре. Вместо 16 ч отвести 12 ч. Провести 2 контрольные работы.
Глава II. Прямая и обратная пропорциональность. Вместо 20 ч отвести 16 ч. Провести 2 контрольные работы.
Глава III. Функция. Оставить 14 ч. Провести 1 контрольную работу.
Глава IV. Одночлены. Оставить 16 ч. Провести 2 контрольные работы.
Глава V. Многочлены. Вместо 47 ч отвести 51 ч. Провести 5 контрольных работ.
Глава VI. Системы уравнений. Вместо 20 ч дать 22 ч. Провести 3 контрольные работы.
Таким образом, за год будет проведено не 18 контрольных работ, а 15.
На итоговое повторение при таком распределении времени остается 9 ч.
Контрольные работы составляет сам учитель, ориентируясь на примерные контрольные работы, данные в «Дидактических материалах», но с учетом соответствующих изменений в распределении материала из-за изменения часов в планировании. При составлении контрольных работ можно руководствоваться следующим: первые три задания в контрольной
работе составляются так, чтобы проверить знания основного материала, отработанного на уроках; последующие задания содержат материал, который позволяет проверить, как учащиеся могут применить полученные знания в более сложных ситуациях.
Например, контрольная работа № 2.
Вариант I
1. Найдите корни уравнения:
а) 0,8(х—4) — 3(0,5*+1) =0,8;
б) (х—2)(*+3)=0.
2. В одной пачке в три раза больше тетрадей, чем в другой. Если из первой пачки переложить во вторую 12 тетрадей, то тетрадей в пачках станет поровну. Сколько тетрадей было в первой пачке?
3. Покажите на числовой прямой множество решений неравенства —2^£<3 и запишите его.
4. Существует ли такое значение переменной с, при котором значение выражения -у—; больше 1?
К СОСТАВЛЕНИЮ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИИ ПО МАТЕРИАЛАМ РАЗВИТИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА СССР 1
Публикуемые данные представляют хороший материал для построения графиков, диаграмм; они могут быть широко использованы для различных вычислительных работ в IV— VIII классах, в частности, для процентных вычислений, например, в VIII классе с помощью логарифмической линейки.
1 Материалы подобраны К. П. Сикорским.
В своей практике учителю рекомендуется использовать не только публикуемые здесь данные в целом по СССР, но и местные из публикаций статистических и плановых органов.
При составлении таблиц 1 и 2 использованы 1) Основные направления развития народного хозяйства СССР на 1976—1980 годы. М., Политиздат, 1976; 2) Сообщение ЦСУ СССР. Об итогах выполнения Государственного плана развития народного хозяйства СССР в 1975 году. — «Правда», 1 февраля 1976 г.;
3) 	ЦСУ СССР. Народное хозяйство СССР в 1974 г. Статистический ежегодник. М., «Статистика», 1975.
39


Производство важнейших видов промышленной продукции в целом по СССР
(за год)
Единица
измерения
1980
1960
1965
1970
1971
1972
1973
1974
1975
(по плану десятой пятилетки)
Электроэнергия. . .
млрд.
292,3
506,7
740,9
800
857
915
976
1038
1340—1380
Нефть (включая газовый конденсат)
кВт.ч млн. т
147,9
242,9
353,0
377
400
429
459
491
620—640
Газ •••••••«
млрд.
45,3
128
198
212
221
236
261
289
400—435
Уголь
куб. м млн. т
510
578
624
641
655
668
685
701
790—810
Сталь
»
65,3
91,0
116
121
126
131
136
141
160—170
Готовый прокат черных металлов
43,7
61,7
80,6
84,1
87,5
91,5
94,3
98,6
115—120
Минеральные удобрения (в услов. единицах)
13,9
31,3
55,4
61,4
66,1
72,3
80,4
90,2
143
Синтетические смолы и пластические массы
тыс. т.
312
803
1673
1864
2042
2320
2493
2840
5396—5964
Химические волокна и нити
» ■
211
407
623
676
746
830
887
955
1450—1500
Автомобили ....
тыс. шт.
523,6
616,3
916,1
1142
1379
1602
1846
1964
2100—2200
в том числе: грузовые .... легковые ....
1»
362,0
379,6
524,5
564
597
629
666
696
800—825
»
138,8
201,2
344,2
529
730
917
1119
1201
| 1300—1375
автобусы ....
я
22,8
35,5
47,4
49
52
56
61
67
Тракторы
я
239
355
459
472
478
500
531
550
580—600
млн. л. с.
11,4
21,0
29,4
31,3
33,4
36,3
39,8
41,8
55
Комбайны зерно- убороч
тыс. шт.
59,0
85,8
99,2
102,0
95,7
84,8
88,4'
97,5
125
Целлюлоза
тыс. т
2282
3234
5110
5412
5684
6070
6340
6840
9230
Цемент
млн. т
45,5
72,4
95,2
100
104
110
115
122
143—146
Ткани всех видов . .
млн. кв. м
6636
7498
8852
9242
9384
9676
9832
9956
12 500—13 100
Трикотажные изделия
млн. шт.
583
903
1230
1274
1294
1360
1389
1417
1800—1900
Комбикорма ....
млн. т
9,3
15,5
23,7
26,7
28,3
31,7
37,7
41
53
Численность населения (на конец года)
млн. чел.
216,3
232,2
243,9
246,3
248,6
250,9
253,3
255,5
Производство важнейших видов сельскохозяйственной продукции в целом по СССР
(в среднем за год)
Ед. изм.
1956-1960
1961-1965
1966-1970
1971—1975
1976—1980 по плану
Валовой
сбор
зерна
Хлопок-
млн. т
121,5
130,3
167,6
181,5
215—220
сырец
Сахарная
»
4,36
4,99
6,10
7,67
8,5
свекла
Мясо
•
45,6
59,2
81,1
76,0
95—98
(в убойном весе)
я
7,9
9,3
11,6
14,1
15,0—15,6
Молоко
п
57,2
64,7
80,6
87,5
94—96
Яйца
млрд.
шт.
23,6
28,7
35,8
■
51,5
58—61
*
Таблица 1
Таблица 2
40


Технические средства обучения. Учебное оборудование
Э. Ю. КРАСС (Москва) А. К. ЗАРИНЯ (г. Даугавпидс)
УЧЕБНОЕ ОБОРУДОВАНИЕ ДЛЯ IV КЛАССА
В 1975 г. был издан новый учебник для IV класса, существенно отличающийся от ранее изданного как структурой, так и содержанием. Изданы и новые учебные средства.
Поэтому возникла необходимость пересмотреть имеющееся учебное оборудование и привести методические рекомендации о его применении на уроках в соответствии с новым учебником.
Для удобства пользования помещенной в статье таблицей приводим полный перечень учебных средств, в том числе и тех, которые были опубликованы в журнале «Математика в школе» (1974, № 3) в статье «Учебное оборудование для IV класса».
Кинофрагменты1
1. Изображение прямоугольного параллелепипеда (п. 14).
2. Прямоугольный параллелепипед (п. 14).
3. Понятие объема (п. 24).
4. Объем тела (п. 24).
5. Объем прямоугольного параллелепипеда (п. 26).
Диафильмы 2
1. Линия, поверхность, геометрическое тело.
2. Линии на плоскости.
3. К урокам математики во II классе. Геометрический материал.
4. Геометрические фигуры и их взаимное расположение.
5. Мурашкина геометрия.
6. Изображение чисел фигурами.
7. Множество. Множество решений неравенств.
1 Производство киностудии «Школфильм». В скобках указаны номера пунктов учебника, при изучении которых можно применять эти кинофрагменты.
2 Все диафильмы, за исключением № 19, описанного в книге «Комплексы учебного оборудования по математике», выпущены студией «Диафильм».
8. К урокам математики в I классе. Геометрический материал.
9. Углы и их виды.
10. Мурашка в стране Углов.
11. Прямоугольный параллелепипед.
12. Объем прямоугольного параллелепипеда.
13. Доли величины. Дроби.
14. К урокам математики в III классе. Геометрический материал.
15. Точечные множества и операции над ними.
16. Как люди научились считать.
17. Треугольник и его элементы.
18. Диаграммы.
19. Прямоугольный параллелепипед и его объем.
20. Геометрические построения.
Серии диапозитивов3
1. Основные понятия геометрии.
2. Геометрический материал для I—II классов.
3. Измерение площадей.
4. Углы.
5. Задачи на составление уравнений. Весы.
6. Прямоугольный параллелепипед. Часть 1.
7. Прямоугольный параллелепипед. Часть 2.
8. Десятичные дроби.
Таблицы 4
1. Латинский алфавит.
2. Прямая. Луч. Отрезок.
3. Шкалы.
4. Множества.
5. Углы.
6—7. Весы.
8. Прямоугольный параллелепипед.
9. Действия с десятичными дробями.
10. Измерение углов транспортиром.
11. Обыкновенные дроби.
12. Сложение и вычитание. Умножение и деление.
13. Формулы объема прямоугольного параллелепипеда.
14. Вычисление объема прямоугольного параллелепипеда.
3 Серия № 2 выпущена заводом «Физэлектроприбор» № 4, остальные серии — производство студии «Диафильм».
4 Таблицы № 1—18 из серии «Таблицы по математике для IV класса», изд. 2-е. М., «Просвещение», 1973. Таблицы № 20—24 из серии «Таблицы по математике для V класса», М., «Просвещение», 1972. Таблица № 19 самодельная. В нее по мере изучения вписываются трудные математические термины.
41


Таблица
Номер
пункта
учебника
Диафильмы
Диапозитивы
Таблицы
Приборы, мололи, наборы
4
5
7
8 9
10
11
12
13
14
15—16
19
20 21
22
23
24
25
26
27
28
29—30
31
32
33 34—35
36
37—38
39
40
41
42
43 44—48
49
50
51
52
53
54
55
56
57 58—60
3(31 *,32*, 33)
13(16*,17*,18*)
1 (13*, 14*,26*,27*), 2(2*), 3(2,4)
2 (3,4*,5*,6*,7*,8*,9,10,11*, 12*, 13*) 3(3), 4(12*, 13*, 15*,29*,30*,34*)
2 (14*, 15,16,17*1-8*),
4(14*,31*,32*,33*,36*)
6(10,И,12*,13*,14*,15*,17) 7(4—9), 16(3,4)
7(11—21), 15 (3,4*,5*,6*,
7*,8*), 16(3,4)
7(22,23)
13 (23*,24*,25*,26*)
П (3—9,10*,11*,12*,13*,14*, 15*, 16*, 17*, 18), 12(3,4),
19 (2—5)
14(21—24)
7 (28—30)
13(19*,20*.21*) 12(9—16), 19(14—31) 7(31—36)
12(17—32), 19(32—41)
4(24—25), 9(30,31),
15 (12—17,19—21)
13 (30*,31*)
2(21*), 9(3*,4*,5*,6*,7*,8*) 13(32,33)
9(9—11,13*)
9(15*,16*,17*)
8(29,30,31*), 9(19)
9 (20,21*,22*,23*,24)
6(26,27)
9(25)
9(26*,27*)
2(41,42,43) 3(10)
1 (4*,6*,15)
1 (10*, 13), 2(18) 1(4*,5*,6*), 2(4*)
1 (4*)
2(39*)
1 (5*)
3(1*)
1(13,19)
3(1), 6(1—3,14*, 16,18*, 19* 20*)
1(11*), 5(1-10), 6(17,18*, 19*,20*)
2(30,35*,36*,37*,38*),
3(l*,2*,3*,4*)f 6(8—11,18*, 19*,20*)
7(1-3)
6(18*, 19*,20*), 7(4—13,15, 17,18—20)
1(5*), 3(1* ,10*)
4(1*,2*,3*)
2(20*), 4(3*,4*,13,15*) 4(3)
1(18*)
2(19), 4(3,13) 2(22), 4(3,13)
5(11—14,15*) 7(14,16)
8(1)
8(3*,4*,5) 8(2*)
4(6)
8 (6*,7*,8*. 9*)
19
И
1,2,19
1,3
1,2,19,23
1,2
2
1.4
1.4
1.4
1,19
3,6,7,11
1.4.19
1.8.19
1.4.19
6.7
6.7
6.7.19
18
11
6*7,18
1,13,14,19
3,19
21
1,15,17
1.5 1,12,15,17
1,5,19
15.16
1.5
1.15.16 15,16,17
1,6,7,15,16,17
1.5 12,15,16
1.5 20 11
3
6,7
1,5,10,19,24
9,12,15,16,17
4,13 	(ж)
1,4,7 13 (а, б, в)
9
2,4,13 	(а,в)
4,13(a), 14
4,13 	(а)
5
4.5.13 (а) 8,11
4.10.13 (а)
5
6,12 13 (г, д)
10
3,10
3,4,10,13(a) 8
4.10.13 (а)
4.7.10.13 (а) 8
4.10.13 (а)
6.8.10.13 (г, д)
4.9.10.13 (а) 5
4,13(а*б), 10
4.13 (а, б) 1.13(b)
4.13 (а, б), 10
10
4.13 (а, б)
10
1,13(в)
4.13 (а, б)
1.13(b)
13(6)
4.13(a)
7.13 (а, б)
2,4
4,10,13(a)
13 (ж)
13(в)
11.13 (ж) 4.13(a), 10
42


Продолжение
Номер
пункта
учебника
Диафильмы
Диапозитивы
Таблицы
Приборы, модели, наборы
61
8(6*,7*,8*,9,10*,11*,17*)
62
8(8*.14)
63
9(36*,38*)
4 (3,5*,7*,8*,9*,10*,15*)
64
8(7*,12*,13)
65
8(8*,15,16*)
66
2(29*,30*)
4(3,5,13)
67, 76
3(1*)
68
6(8), 18(26—33)
69
8(7*,8*,18*,19*)
70
3(1*,2*)
71
20(36,37)
72
8 (6*, 7*, 8*)
73-74
17(21,22)
75
17(14,15)
77—78
10,16
8(20)
9.12.15.16 9,16
1,5
9.12.15.16
9.12.15.16 2,19,22
9,12,15,16
19
24
9,12,16
1,6,7,9,12,13,
15,16,17,18
4.13 (а)
4.13 (а)
13 (б,в) 1,7,13(в)
4.13 (а)
11
4.13 (а) 10 11
4
15. Действия с единицей и нулем.
16. Законы арифметических действий (умножение).
17. Законы арифметических действий (сложение). ~ '
18. Знаки ^ и
19. Пиши правильно.
20. Простые числа.
21. Операции над множествами (рабочая).
22. Перпендикулярные прямые.
23. Параллельные прямые.
24. Виды треугольников (рабочая).
Приборы, модели, наборы5
1. Прибор «Углы и их виды» (1971, № 3, обложка).
2. Прибор «Шкалы» (1972, № 2, обложка).
3. Прибор «Весы» (1970, № 6, обложка).
4. Прибор «Числовая прямая» (1975, № 3, обложка).
5. Прибор «Электросветовое табло» (1975, № 5, обложка).
6. Каркасный куб.
7. Набор «Доли и дроби» (1971, № 5, обложка).
8. Набор для лабораторных работ по измерению длин, площадей и объемов в IV—VIII классах.
9. Набор раздаточных отрезков (1974, № 3, с. 45).
10. Комплект цифр, букв и знаков с магнитным креплением (1975, № 3, обложка).
5 В скобках указано, в каких номерах журнала «Математика в школе» описан данный прибор (модель, набор). Если такого указания нет, значит, этот прибор (модель, набор) изготавливается промышленностью.
11. Демонстрационный набор «Треугольники» (1974, № 3, с. 45).
12. Набор геометрических тел.
13. Набор резиновых штемпелей.
а) Числовые прямые (единичный отрезок 1 см, единичный отрезок 0,5 см).
б) Палетки: 6ХЮ (сторона единичной клетки—1 см) и 4X7 (сторона единичной клетки—1,5см).
в) Окружности (одна разделена на 12 частей, другая — на 36 частей).
г) Прямоугольный параллелепипед.
Д) Куб.
е) Транспортир.
ж) Таблица классов и разрядов.
В таблице использования учебного оборудования указываются номера учебных средств, данных в. списке, а в скобках — кадры диафильмов (диапозитивов), резиновые штемпели. Кадры, отмеченные звездочкой, целесообразно проецировать на классную доску или на светлый пластиковый экран, чтобы на них можно было цветным мелом делать дополнительные изображения.
К некоторым пунктам учебника в таблице дано несколько диафильмов или диапозитивов. Это не означает, что необходимо демонстрировать четвероклассникам все эти средства обучения. Предполагается, что при изучении соответствующего пункта учебника учитель отберет из рекомендуемых те диафильмы и диапозитивы, которые более соответствуют цели урока.
Следует иметь в виду, что применение на уроках математики разнообразного учебного оборудования — трудное дело, требующее от
43


учителя тщательной подготовки к уроку. Особенно это относится к использованию диафильмов и диапозитивов. Так, диафильмы и диапозитивы ранних выпусков не всегда соответствуют формулировкам определений, изложению учебного материала, символике и формам записи, принятым в действующем учебнике. Бывают и досадные опечатки. Так, например, в кадре № 22 диафильма «Углы и их виды» сказано: «Из одной точки проведено шесть лучей», а на рисунке изображено толь¬
ко пять. Однако учитель может использовать это несоответствие с максимальной пользой: он проецирует кадр на классную доску, мелом дорисовывает недостающий шестой луч и проводит опрос учащихся по тексту кадра. Можно и изменить задание, предложив четвероклассникам самим дорисовать на доске шестой луч, чтобы выполнялось, например, заданное учителем соотношение острых, прямых и тупых углов на чертеже.
Л. И. АПАНАСЕНКО
(г. Сумы)
УЧЕБНОЕ ОБОРУДОВАНИЕ ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ VI КЛАССА
Коллектив научных сотрудников лаборатории математики НИИ ШОТСО АПН СССР разрабатывает системы учебного оборудования. В настоящее же время на уроках следует использовать то учебное оборудование, которое уже создано.
Цель данной статьи — ознакомить учителей с имеющимся учебным оборудованием по алгебре для VI класса. В некоторых случаях можно использовать отдельные кадры диафильмов и диапозитивы, предназначенные для других классов.
Диафильмы
1. Прямая и обратная пропорциональность (О. А. Боковнев, 1974).
2. График уравнения. Графическое решение систем уравнений (Ю. Н. Макарычев,
Н. 	Г. М индюк, 1973).
3. Линейная функция (Ю. Н. Макарычев, 1972).
4. Функция (Ю. Н. Макарычев, 1971).
5. Множества решений уравнения и неравенства с 2 переменными (С. В. Кудрявцев, Ю, Н. Макарычев, 1971).
6. Точечные множества и операции над ними (Ю. Н. Макарычев, 1970).
7. Графики функций (И. Б. Вейцман, 1968).
8. Графики функций и графическое решение уравнений (И. Б. Вейцман, 1967).
9. Степенная функция с целым показателем (Ю. Н. Макарычев, 1967).
10. Преобразование графиков функций (В. С. Семаков, 1965).
11. Графическое решение уравнений и систем уравнений (А. М. Пышкало, 1964).
12. Прямоугольная система координат и простейшие графики (А. М. Пышкало, 1963).
Диапозитивы
1. Функции и графики в VI классе (А. Ю. Михайловская, К. С. Муравин, 1972).
2. Графики функций (О. А. Боковнев, А. М. Пышкало, 1972).
3. Преобразование графиков функций (А. Ю. Михайловская, К. С. Муравин, 1973).
4. Метод координат. Простейшие графики (К. С. Муравин, В. Н. Руденко, 1973).
5. Неравенства (А. Ю. Михайловская, /(. С. Муравин, 1974).
Кодопозитивы
1. Квадратичная функция (В. Г. Болтянский, Г. Г. Левитас, 1974).
Приборы. Модели
1. Электросветовое табло (см. описание в кн.: В. Г. Болтянский, М. Б. Волович,
Э. 	Ю. Красс, Г. Г. Левитас. «Оборудование кабинета математики». М., «Просвещение», 1975, с. 94).
2. Комплект кривых для магнитной доски (выпускается Одесской фабрикой учебно-наглядных пособий).
3. Комплект цифр, букв и знаков с магнитным креплением (см. «Математика в школе», 1975, № 3, обложка).
4. Модель числовой прямой (см. «Математика в школе», 1975, № 3, обложка).
5. Прибор «Функция» (см. «Математика в школе», 1974, № 1, обложка).
Таблицы
Серия таблиц по алгебре для VI класса (К. С. Муравин, В. Н. Руденко. М., «Просвещение», 1972).
Все данные об использовании учебного оборудования сведены в таблицу. В графах, соответствующих видам учебного оборудования, приведены номера учебных средств, номера
44


Номер
пункта
учебника
Приборы,
модели
Диафильмы
Диапозитивы, кояопозитивы
Таблицы
6
1, з, 4
6(28—36)
4(6—8); 5(2—6)
3
7
1 (3-11)
8
1 (13—19)
9
1(16)
рис. 1
10
1 (21—27)
13
1 (29—34)
16
5
4(3-9)
1 (2-11)
9
17
2,5
4 (10—15)
1 (2-11)
9, рис. 4
18
5
8(4)
1(19)
рис. 4, 5
19
2,5
4(17—30); 7(8—10); 8(4—6); 12(13—16)
1 (12—18); 4 (26—35)
4, 5, рис. 4, 5
20
5
4(31—35); 8(7, 8, 14, 15)
рис. 4, 5
21
2
4(32—35); 8(10); 12(17—21)
1 (20—22); 2 (15, 16)
7, 6, рис. 6
22
2
7(9); 8(39—41); 12(32—37)
1 (23—25)
6, 8, рис. 6
24
2
8(24, 25, 28, 29);
9 (4—6); 10(2—5); 12(39—42)
1(26-28); 2(2, 3, 22, 23); к/п 1 (1—4, 7-10) :
11, рис. 7
25
2
9(7, 8, 16, 18); 10(11-13); 12(11)
1 (29, 30); 2(35)
5, рис. 7
26—29
рис. 2
45—49
3
рис. 3
50
5
3(3—6, 31-35); 8(12, 13); 12(22—30)
51
2
3(7—18, 31—35); 7(8); 8(11); 12(22—30)
1 (31—35); 2 (17—20); 3 (5)
13, рис. 8
52
3(19—35); 12(22—30)
1 (31—35)
13, 14, рис. 9
53
2(3); 5(3)
54
2
2(4—19); 5(4—9)
15
55
2
2(20, 21); 5(10—12); 11(10, 11)
56
1,2
2(22—30); 5(13—15); 8(42); 11 (12, 23, 24, 27—31)
1(36); 2(11, 12, 38—40); к/п 1 (1—10)
16
57
2
2 (33—38);
8(16—20, 42); 11 (13—20)
1 (37); к/п 1 (1—3, 5, 11)
58
1
11 (15)
1(39); 2(21)
62
2(31, 32); 5(16)
к/п 1 (1—10)
кадров диафильма, номера диапозитивов (в таблице ссылка на кодопозитивы условно обозначена через к/и). В графе «таблицы» не указаны № 1,2, 10, 12 из серии таблиц по алгебре для VI класса: справочные таблицы № 1 и 2 используются при изучении всего курса алгебры, с таблицами № 10 и 12 целесообразно проводить самостоятельные работы с учащимися соответственно по темам «Одночлены» и «Многочлены». Дополнительно к выпущенным таблицам по алгебре для VI класса полезно также использовать таблицы, разработанные в лаборатории математики НИИ
ШОТСО АПН СССР (см. «Математика в школе», 1975, № 4, с. 45—49). В отличие от таблиц, выпущенных издательством «Просвещение», ссылки на эти таблицы даются с указанием номеров рисунков, под которыми они помещены в журнале.
Из таблицы видно, что по некоторым пунктам учебника отдельные кадры диафильмов и диапозитивов дублируют друг друга, поэтому учитель может воспользоваться тем или иным средством по своему усмотрению. В первую очередь целесообразно использовать те диафильмы и серии диапозитивов, которые в таблице имеют меньший порядковый номер.
45


Факультативные курсы
Н Б. ДЕМИДОВИЧ, В. М. МОНАХОВ
(Москва)
АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ 1
В данной статье мы рассмотрим алгоритмы, типичные для вычислительной практики. Особенности записи этих алгоритмов и информации, необходимой для их работы, возникающие при этом новые понятия и методы решения задач могут послужить фундаментом для дальнейшего изучения программирования.
1. 	Выполнимость вычислительного алгоритма. Корни уравнения ах2 + Ъх + с = 0 (а Ф 0) находятся по хорошо известной формуле:
Х = =]Ц^Ъ' (1)
(нАЧАЛсР)
2 а
где D = Ъ2 — 4ас.
Считая извлечение корня элементарным действием, напишем согласно формуле (1) блок- схему алгоритма вычисления обоих корней (рис. 1). Можно ли гарантировать, что ЭВМ, способная выполнить четыре арифметических действия и извлечение квадратного корня, всегда исполнит этот алгоритм? Всегда — это значит при любых а, Ь, с, с единственным по
условию ограничением: а Ф 0. Очевидно, что такой гарантии дать нельзя: второй
сверху прямоугольник содержит действие нахождения квадратного корня, а его, как известно, можно выполнить лишь для неотрицательных чисел. Любая ЭВМ в этом месте в случае отрицательного числа должна прекратить дальнейшее выполнение алгоритма (впрочем, точно так же поступит и формально работающий по этой блок-схеме вычислитель). Блок-схема на рис. 1 принципиально дефектна.
с
D'—bb~^ac
L
| s:=Yn
X
x,: = (-b+s)/(2a)
Г
xz:=(-b-s)/(2aj\
' Г
( КОНЕЦ ^
Рис. 1
Эта статья продолжает начатый в предыдущем номере разговор о содержании факультативного курса «Алгоритмы и программирование».
В ней отсутствует гарантия выполнимости написанного алгоритма. Для обеспечения такой гарантии необходимо составить более сложный алгоритм, в котором явно должны быть зафиксированы как полный анализ условий его выполнимости, так и «аварийные» действия в случае невозможности его «нормального» выполнения.
Составитель алгоритма может провести, например, такой анализ его работы: «Во всех
случаях, согласно условиям задачи, можно считать число а неравным нулю (иначе данное уравнение по существу перестает быть квадратным); значит, выполнимость действия деления всегда гарантирована. Что касается чисел Ъ и с, то они могут быть любыми действительными числами. Для извлечения квадратного корня необходимо, чтобы дискриминант D — Ь2 — Аас был неотрицателен. Если же D < 0, то уравнение корней не имеет. Чтобы зафиксировать такой случай, нужно положить, например, хх и х2 равными очень большому числу (пусть таким числом будет 10 000 000 000), т. е. такому, какое при всех возможных значениях коэффициентов никогда не будет фактическим значением корня уравнения. Случай равных корней можно особо не анализировать и считать по общей схеме».
Теперь по результатам такого анализа составляем уточненную блок-схему алгоритма, который назовем КВУР (вычисление корней квадратного уравнения). Попутно примем во внимание, что в вычислительных алгоритмах элементарными обычно считаются только четыре простейших арифметических действия, поэтому действие извлечения корня V~D в блок-схеме КВУР следует заменить обращением к некоторой подчиненной блок-схеме (назовем ее КОРЕНЬ), которая будет составлена в следующем пункте. Блок-схема алгоритма КВУР изображена на рис. 2.
Рис. 2
46


2. 	Метод последовательных приближений. Только что при вычислении корней квадратного уравнения мы столкнулись с такой задачей, названной нами КОРЕНЬ: используя четыре арифметических действия, вычислить для данного 0 значение 5 = = V 5. Естественно, что это может быть еде* лано только приближенно; следовательно, необходимо считать, что нам задана требуемая точность вычисления корня.
Идея описываемого ниже алгоритма заключается в следующем. Пусть нам известно некоторое приближенное 'значение х искомого
корня S = VD. Тогда если л:<5, то
если же х >5, то, наоборот, ~<^S. В обоих
случаях искомое значение S заключено между
х и . Среднее арифметическое -§-(•* +
дает для 5 приближенное значение, но более точное, чем х. На этом соображении и основан метод вычисления все более точных приближений квадратного корня, известный еще Г ерону.
Зададимся начальным нулевым приближением искомого корня S0. Следующее приближение S, найдем по формуле
Si==~r(S° + ~Si) ■
Затем по аналогичной формуле найдем второе приближение
52 = 4"(51 + ■57) и т- д-
‘ S,_i
Можно доказать, что указанный процесс через некоторое число шагов приведет к значению квадратного корня со сколь угодно высокой заранее заданной точностью, независимо от значения первоначального приближения (т. е. последовательность S0, Si, S2, ... сходится к значению S = \ D J.
Формулу (2) можно положить в основу циклического алгоритма вычисления квадратного корня (рис. 3). Отметим ряд особенностей этой блок-схемы:
а) начальное приближение квадратного корня из любого числа удобно всегда полагать равным 1;
б) наряду с числом х — значением подкоренного выражения—задается положительное число е, как условие окончания приближений. Это значит, что вычисление У' х должно быть выполнено с точностью до е;
* * JL
Рис. 3
\y-=S, I ,
• ♦ ШЕЕ
(конец)
(2)
в) 	поскольку нет надобности в запоминании всех последовательных приближений корня, в блок-схеме фигурируют обозначения только двух величин: S0 (предыдущее значение корня, i—1-е приближение) и S\ (новое приближенное значение корня, t’-e приближение). Перед началом очередного повторения цикла новое значение корня занимает место предыдущего согласно действию So: = Su
3. 	Параметры блок-схемы. Одно усовершенствование в оформлении последней блок-схемы заслуживает особого внимания. До сих пор в рассмотренных нами примерах подчиненная блок-схема была неразрывно связана с подчиняющей (за исключением предыдущего примера, где нетрудно обнаружить несоответствие: подчиненная блок-схема имеет наименование КОРЕНЬ (х, е, у), а обращение к ней из подчиняющей представлено как КОРЕНЬ (D, е, S)). Прежде эти блок-схемы связывало единство обозначений. В то же время это единство обозначений резко ограничивало возможности использования уже составленной подчиненной блок-схемы с другими подчиняющими блок-схемами, если только у них не совпадали обозначения. Ясно, однако, что извлечение квадратного корня настолько распространенное действие, что следовало бы иметь возможность, составив однажды алгоритм КОРЕНЬ, использовать его в любой задаче, тде это действие потребуется, не переписывая для каждой задачи заново. Для этой цели необходимо ввести в рассмотрение более гибкие средства согласования обозначений в подчиненной и подчиняющей блок- схемах.
В постановке любой задачи, как правило, указывается, какие величины являются данными, а какие — искомыми. Величины, как данные, так и искомые, входящие в формулировку задачи, будем называть параметрами этой задачи, а также блок-схемы, изображающей алгоритм решения задачи. При составлении алгоритма решения задачи ее параметры указываются в блок-схеме алгоритма: они до¬
47


бавляются к имени блок-схемы (в овале, содержащем фиктивное действие НАЧАЛО) и заключаются в круглые скобки. Если задача КОРЕНЬ поставлена так: найти значение квадратного корня из числа х > 0 с точностью до е и это значение присвоить величине у, — то полное имя такой задачи будет КОРЕНЬ (х, е, у) у а блок-схема ее решения имеет вид, изображенный на рис. 3.
Если блок-схема с параметрами используется в качестве подчиненной, то обращение к ней в подчиняющем алгоритме тоже должно содержать ее параметры. Однако в подчиняющей блок-схеме эти параметры могут быть обозначены не так, как в самой подчиненной блок-схеме, а так, как это нужно для подчиняющего алгоритма. Считается, что операция обращения к подчиненной блок-схеме вызывает ее «настройку»: подчиненная блок-схема
всегда работает так, как будто каждый ее параметр заменен (во всей блок-схеме), соответствующим параметром, указанным в обращении. Таким образом, при каждом обращении к подчиненной блок-схеме ей фактически даются указания о том, как в данном случае должны пониматься ее параметры. В частности, обращение КОРЕНЬ (Z), 8, S) в подчиняющей блок-схеме КВУР, представленной на рис. 2, настраивает блок-схему КОРЕНЬ (х, 8, у) на работу с параметрами Z), 8, 5.
Если же к блок-схеме КОРЕНЬ (*, е, у) обратиться так:
КОРЕНЬ (2, 0,001, а),
то при работе этой блок-схемы будет выполнено действие а : = V2 с точностью до 0,001. Таким образом, блок-схема извлечения квадратного корня, изображенная на рис. 3, может использоваться с разными подчиняющими блок-схемами, где требуется извлечение квадратного корня; она называется универсальной, или стандартной блок-схемой.
Аналогично, если задачу КВУР обозначить с указанием ее параметров КВУР (а, Ъ, с, е, *и *2), то для решения, например, приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0 можно воспользоваться блок-схемой, изображенной на рис. 2. Для этого достаточно обратиться к этой блок-схеме так:
КВУР (1, р, е, хи х2).
Удобство указания параметров в блок-схеме проявляется не только тогда, когда этот алгоритм должен использоваться во многих различных задачах, но даже в пределах одной задачи. Например, если использовать стандартную блок-схему извлечения квадратного корня (рис. 3), то алгоритм вычисления зна¬
48
чения у = ]Л, 23 +
+ V4M-VT& с точностью до 0,001 изобразится весьма лаконично (рис. 4).
Следует заметить, что вместо фактического переписывания подчиненной блок-схемы в процессе ее настройки можно ограничиться построением системы отсылок, т. е. установлением явного соответствия между обозначениями параметров в заголовке подчиненной блок-схемы и во «флажке» подчиняющей блок- схемы.. В подчиненной блок-схеме для каждого ее параметра создается кружок, рядом с которым пишется имя параметра. В доомент обращения из каждого кружка протягивают стрелку — «отсылку» к соответствующей ячейке (или кружку) подчиняющей блок-схемы. Исполнение подчиненной блок-схемы можно уточнить так: встретив в ней параметр, необходимо обратиться к соответствующему кружку, откуда по уже протянутой стрелке — «отсылке»— к ячейке или кружку подчиняющей блок-схемы. В случае кружка описанный процесс повторяется по следующей отсылке. В конце концов очередная стрелка-«отсылка» обязательно приведет к ячейке. Эта ячейка и представляет в данный момент параметр подчиненной блок-схемы: именно над ней необходимо выполнить указанное действие.
4. 	Рекуррентное задание последовательности. Формула (2), с помощью которой вычислялись последовательные приближения квадратного корня, является примером так называемого рекуррентного соотношения, связывающего однотипной зависимостью любые два соседних члена последовательности приближенных значений квадратного корня. Рекуррентное соотношение (или рекуррентная зависимость) является весьма распространенным мощным инструментом в вычислительной математике. Оно может связывать между собой не только два и необязательно соседние члены последовательности. В качестве примера рассмотрим процесс получения чисел Фибоначчи. Числа Фибоначчи образуют такую последовательность 1, 1,2, 3,5,8,....
Первые два ее члена равны 1, а каждый последующий равен сумме двух предыдущих. Найти числа Фибоначчи можно по блок-схеме, изображенной на рис. 5, где п= 1, 2, 3, 4, ... ]
(начало }
^КОРЕНЬ/У,23, 0,001,z) I " ¥
^корень (4,56, 0,001, у)\
. т
I z:=z-H/[
*
^корень (789, 0,001,У)[
ЩВО ♦
( КОНЕЦ )
Рис. 4


n tun *□ «[=□ «[=□ *с=з
Рис. 5
1-2.3
1-2.3-4.5 + • • •
1-2.34.5-6-7
при \х\ 1 с точностью до 0,001.
Найдем рекуррентную зависимость между
2 Блок-схема УМНОЖ приведена в предыдущей статье («Математика в школе», 1976, № 3).
коэффициентами ряда. Для коэффициентов при четных степенях х имеем:
йо — 0-2 = Я4 = ... = Й2Й == 0.
Для коэффициентов при нечетных степенях х построим систему соотношений: *
«1 = 1;
аз= ~ 1-2-3 = а! 2^з) »
а.
1-2-3-4-5 й'3 ( ;
Cl2k+1 :
(-1)*
= &2Л-1
Отсюда ясно, что
d2k+lX2k+1
1*2.... *(2& — \)2k (2k -j- 1) 1 \
2k (2k + 1)>
(l2k-lX
■2k— 1
r>)
Ответом в конце работы блок-схемы является значение величины /3. Полезно дать учащимся задание самостоятельно разобрать работу блок-схемы на рис. 5 и сравнить ее с блок-схемой УМНОЖ 2.
5. Степенные ряды. Известные элементарные функции ах\ sinx, logx, а также многие другие функции, встречающиеся в научно-технических расчетах, можно представить в виде бесконечных степенных рядов следующего общего вида:
f (х) = а0 + ахх + а2х2 + ... + ахх1 + ...,
где di (i = 0, 1, 2, ...)—некоторые числовые коэффициенты. Индекс указывает номер соответствующего коэффициента в степенном ряду и в данном случае равен показателю степени при аргументе х. Степенные ряды позволяют с любой наперед заданной точностью вычислять значения элементарных функций. Для этого достаточно взять подходящее число членов ряда, причем условие окончания определяется в самом процессе счета. Степенные ряды являются основой многих вычислительных алгоритмов. Следует заметить, что часто между коэффициентами ряда обнаруживается простая рекуррентная зависимость. В качестве примера рассмотрим алгоритм вычисления значения функции
• уЗ у5
Sin X = X — -т-оо +
2k (2k
Эта рекуррентная зависимость между соседними нечетными членами ряда позволяет построить циклический алгоритм. Остается определить, сколько повторений цикла необходимо сделать для достижения заданной точности 0,001. Так как |*| ^ 1, то модули членов ряда образуют монотонно убывающую последовательность. Так как ряд знакочередующийся, то, просуммировав конечное число членов, мы сделаем ошибку, не превосходящую по модулю первого отброшенного члена. Значит, достаточно потребовать, чтобы этот модуль был меньше 0,001. Блок-схема алгоритма вычисления у — sin* приведена на рис. 6. Обратите внимание на то обстоятельство, что, несмотря на математическую новизну решения задачи, в блок-схеме нет никаких принципиально новых элементов.
6. Рекурсия. Рассмотрим задачу о вычислении факториала
п\ = 1 -2-...-п.
(3)
Рис. 6
49


Задача вычисления факториала подобна уже рассмотренной задаче УМНОЖ— разница состоит лишь в том, что там все множители были одинаковыми, тогда как здесь каждый следующий множитель на 1 больше предыдущего, Блок-схема вычисления факториала составляется аналогично блок-схеме УМНОЖ.
Другое, более интересное, решение этой задачи можно получить, основываясь на рекуррентном представлении факториала, легко вытекающем из его определения:
(1, если п = 1,
*!=1/ 1ч, (4)
\(п — 1 м 47
если п^> 1.
Для вычисления, например, величины у =10! придется рассуждать так. Значение 10! можно было бы найти очень просто по второй из формул (4), если бы было известно число 9! Найти 9! было бы можно с помощью той же формулы, если бы было известно 8!. Как найти 8!?... Продолжая рассуждать таким образом, мы в конце концов придем к вопросу: как найти 1!, ответ на который дает первая из формул (4). После этого только остается осуществить намеченный предыдущими рассуждениями план, последовательно применяя вторую из формул (4). Характерной особенностью формул (4J, определяющих п\ как функцию натурального числа пу является то, что она выражается через ту же самую функцию, но уже с другим аргументом п — 1. Блок- схема вычисления п\ изображена на рис. 7. Хотя она содержит обращение к подчиненной блок-схеме, тем не менее является полным изображением алгоритма ФАКТОРИАЛ: подчиненным этому алгоритму является этот же самый алгоритм. Обращение алгоритма к самому себе как к подчиненному называется рекурсией. Рекурсией нередко пользуются при описании алгоритмов.
Несмотря на внешнюю простоту блок-схемы, изображенной на рис. 7, фактическая ее работа вследствие рекурсии оказывается довольно сложной. Чтобы разобраться в этой
(конец”)
работе, полезно представить себе дело таким образом, как будто при обращении алгоритма ФАКТОРИАЛ к самому себе к работе приступает не та блок-схема, которая работала до этого, а некоторая ее копия — другой экземпляр той же блок-схемы. Например, для вычисления значения 3! последовательность действия может быть представлена тремя экземплярами копий алгоритма ФАКТОРИАЛ.
7. Непрерывные дроби. Рассмотрим метод представления любого рационального числа а в виде конечной непрерывной дроби — выражения вида
а — #о Н
а\ +
1
а2 +
1
аг +
+
1
Для иррационального числа соответствующая непрерывная дробь будет бесконечной. Вычисляя ее до некоторого подходящего знаменателя, мы можем получить значение иррационального числа с любой заданной точностью. В качестве примера представим в виде непре- рывлой дроби число Y2 .
На рис. 8 изображен квадрат со стороной, длина которой равна 1, и окружность единичного радиуса с центром в вершине С квадра-
та: |ЛС| = ]/2~,
\АС |
\ВС\ - 1
|/2.
(5)
Рис. 8
По теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки, имеем
| АВ |2 = | AE\-\AD\,
(6)
или
\АВ I
I АЕ\
I AD\ | АВ\ '
Но I АЕ | — | AD | + | DE \ == | AD | + 21 ВС | и | ВС | = | АВ |, поэтому (б) переписывается в виде:
Рис. 7
| ЛВ\ | АЕ | \AD\ -f 2| ВС | \AD\~ \AB\~~ ~\ВС I
= 2 +
\АР | /ВС |
50


или
I ВС I _9 \AD\ I ad I IBC |
(7)
Возвращаемся к соотношению (5), учитывая, что |С£>| = |£С|:
т/о-_ \ЛС | _ | CD | + \АР | _ [ ВС\ + | Л£> | _ V \ВС\ ~ |ВС| |ВС| ~~
=1 +
\АР\
\ВС\
1 +
1
I ВС\
I ad\
\ВС\
Воспользуемся выражением для из (7):
1 * . 1
У 2 — 1
2 +
1 АР\ ВС I
= 1 +
2 + '
\ВС\
\АР\
Неоднократная подстановка выражения из (7) даст нам непрерывную дробь вида
1
2 +
1
2 +
1
2 -г
\AD | \ВС\
I вс\
\АР |
(8)
Рис. 9
Составим алгоритм вычисления приближенного значения У 2 до 7-й двойки этой дроби. Если обозначить через U/ выражение, стоящее после знака « +» при i-й двойке, то справедливо очевидное рекуррентное соотношение:
и‘-'=2+т- (9)
При построении алгоритма нам не надо оценивать число вычислений по формуле (9) — согласно условию задачи достаточно считать его равным 8, а из окончательного результата вычесть 1. Блок-схема алгоритма приведена на рис. 9.
8. Алгоритмы и приближенные вычисления. Для решения одной и той же задачи часто можно составить несколько различных алгоритмов. Построим, например, алгоритм вычисления значения многочлена п-й степени
у = а0 + агх + а2х2 -f ... + апхП (Ю)
с заданными коэффициентами ао, #2, .. ап и аргументом х.
По сути дела, формула (10) уже является алгоритмом, который можно рассматривать как совокупность вычислений последовательных степеней х, умножения их на коэффициенты и суммирования полученных произведений. Но существует и другой способ вычисле¬
ний значения этого же многочлена, который называется схемой Горнера:
у = ((ап х -|- ап—\ ) х -f- ап—ч) х -f- ...
... + аг)х + а0. (И)
Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в тождественности этих формул и составить блок-схему алгоритма, реализующего формулу (11). Какая из двух предложенных формул лучше? Очевидно, вторая. Во-первых, она требует гораздо меньше фактических вычислений. Во-вторых, если вычисления производить приближенно (т. е. с определенной точностью), то формула (11) приведет к более точному ответу, чем формула (10).
Последнее можно проиллюстрировать на конкретном примере:
у — 6х4 + Ах6 — 5х2 -f- бх + 4.
Если произвести вычисления при х = 2,05 с округлением на каждом шаге вычислений до сотых, то модуль погрешности приближенного значения результата по первой формуле равен 0,07, а модуль погрешности приближенного значения результата по второй формуле равен 0,02. Естественно, что для получения значения модуля погрешности пришлось вычислить значение у при х = 2,05 без округления на каждом шаге.
Практическая нетождественность формул (10) и (11) делает вполне обоснованным то положение, что понятие алгоритма обязательно включает в себя задание строгой последовательности действий: только при этом условии составитель алгоритма может полностью влиять на вычислительный процесс.
51


Эксперимент
Л. В. ВИНОГРАДОВА
(г. Петрозаводск)
К ИЗУЧЕНИЮ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ Vi КЛАССА
При формировании в VI классе понятия «перемещение» большее внимание обращается на то, что перемещение сохраняет расстояние, и значительно меньшее на то, что перемещение является отображением плоскости на себя. Однако последнее понятие требует, на наш взгляд, специального рассмотрения.
Этот материал в VI классе нами был рассмотрен в следующем порядке: 1) отображение фигуры на фигуру; 2) отображение плоскости на плоскость; 3) отображение плоскости на себя; 4) перемещения. Чтобы переход от
1) 	к 3) сделать более плавным, мы после изучения п. 13 «Отображение фигур» рассматривали пример отображения плоскости на плоскость. Вот этот пример. Взяли две плоскости Р и Q и (вне этих плоскостей) точечный источник света S (см. рис.). Произволь-
плоскости и каждой точке X этой плоскости ставили в соответствие точку Х\ лежащую на луче ОХ, такую, что \ОХ'\ = 2\ОХ\. Учащиеся находили образы нескольких точек плоскости и указывали, образом какой точки является наперед заданная точка. В качестве второго примера был взят поворот плоскости, рассмотренный в п. 16.
При сопоставлении рассмотренных примеров учащиеся делали вывод, что в обоих случаях мы имели дело с отображением плоскости на себя, однако в первом примере расстояние между точками и их образами различное, а во втором — одинаковое. Первый пример был рассмотрен с той целью, чтобы у учащихся не возникало ошибочной ассоциации, что всякое отображение плоскости на себя будет непременно перемещением.
После изучения § 2 «Конгруэнтность фигур и перемещения» материал этого параграфа может быть логически упорядочен (см. схему).
Схема
Центральная
симметрия
ной точке М плоскости Р поставили в соответствие точку М\ плоскости Q, которая является пересечением луча SM с плоскостью Q. Далее выяснили, что каждой точке плоскости Р ставится в соответствие единственный образ второй плоскости и каждая точка плоскости Q является образом некоторой точки первой плоскости. Так как в данном примере выполняются все свойства отображения фигуры на фигуру, то мы имеем отображение плоскости на плоскость.
При изучении в п. 16 «Поворот плоскости вокруг точки» отображения плоскости на себя нами были рассмотрены два примера. В первом примере брали некоторую точку О
Эту схему можно оформить в виде таблицы, которая после изучения параллельного переноса может быть дополнена.
По схеме полезно провести следующую работу. Доказать, что перемещение переводит отрезок в отрезок, окружность в окружность и выяснить, обладают ли данным свойством поворот, центральная симметрия и т. д. Доказать, что при параллельном переносе отрезок переходит в параллельный и конгруэнтный отрезок, и выяснить, обладают ли этим свойством остальные виды перемещений. Такая работа направлена на формирование подвижности связей между рассматриваемыми понятиями.
52


О. 	С. КРЕТИНИН
(г. Нижний Тагил)
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ СВЯЗОК «И», «ИЛИ»
ПРИ ИЗУЧЕНИИ
ОПЕРАЦИЙ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Преподавание математики на новом, более высоком уровне потребовало специального изучения на уроках элементов математической логики и теории множеств.
В статье А. Н. Колмогорова «О системе основных понятий и обозначений для школьного курса математики» («Математика в школе», 1971, № 2) приводится минимальный запас общелогических и теоретико-множественных понятий, подавляющее большинство которых уже вошло в учебники.
В настоящее время определилась задача разработки методики изучения этих понятий не изолированно друг от друга (как это пока имеет место), а дополняя изучение одних понятий другими.
Определился и один из возможных подходов ее решения. Он состоит в изучении отношений между множествами одновременно с установлением соответствующих отношений между их характеристическими свойствами. В частности, изучение операций над множествами мы сопровождали рассмотрением соответствующих операций над их характеристическими свойствами.
Действительно, характеристическое свойство пересечения (объединения) данных множеств может конструироваться с помощью логической связки «и» («или») из характеристических свойств этих множеств.
Так, если множества А и В заданы характеристическими свойствами:
А = {х\Ра{х)1 В = {х\Рв(х)}9
то
А ,ПВ = {х\РА{х) u Рв(х)},
A (J В — {х\РА(х) или Рв{х)}.
Например: А = { 1, 3, 5, 15} — множество
делителей числа 15; В = {1, 2, 3, 6, 9, 18} — множество делителей числа 18. Тогда А(]В = = {1, 3} — множество делителей числа 15 и числа 18; А\}В = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 15, 18} — множество делителей числа 15 или числа 18.
Таким образом, уже в V классе при изучении операций над множествами появляется возможность упражнять учащихся в использовании логических связок «и», «или», если наряду с заданием множеств списками будет
рассматриваться задание множеств характеристическими свойствами.
Вначале мы рассматривали конечные множества, задаваемые списками и характеристическими свойствами. Ниже указаны римскими цифрами виды упражнений, предлагавшихся учащимся. Каждый вид проиллюстрирован соответствующими упражнениями.
I. Множества заданы списками своих элементов. Учащиеся должны записать обозначения операций над данными множествами и списки элементов их пересечения и объединения. В учебнике 1 имеются упражнения этого вида.
II. Множества заданы списками элементов и характеристическими свойствами. Требуется указать одно из следующих трех условий: операцию над множествами, список элементов и характеристическое свойство пересечения или объединения данных множеств, если известны два других.
Упражнения
1. А = {с, л, о, в, а, р, ь}— множество разных букв, входящих в слово «словарь»; В = = {б, у, к, в, а, р, ь} —множество разных букв, входящих в слово «букварь». Вместо точек поставьте нужный знак («П» или «U»)*
а) А ... В = {в, а, р, ь} — множество разных букв, входящих в слово «словарь» и слово «букварь»;
б) Л...В=={с, л, о, в, а, р, ь, б, у, к} — множество разных букв, входящих в слово «словарь» или слово «букварь».
2. С = {—1, 0, 1, 2} — множество целых решений неравенства —2 < х < 3; D — {1, 2, 3, 4} — множество целых решений неравенства О < х < 5. Запишите в фигурных скобках список элементов объединения и пересечения множеств С и D, если известно, что
а) C[)D = { }—множество целых решений неравенства —2 < х < 3 или неравенства 0 < х < 5;
б) Cf|£ = { } — множество целых решений неравенства —2 < х < 3 и неравенства О < х < 5.
3. К = {0, 2, 4, 6, 8} — множество однозначных чисел, кратных 2; L = {0, 3, 6, 9} — множество однозначных чисел, кратных 3; М = = {0, 4, 8} — множество однозначных чисел, кратных 4. Вместо точек подставьте нужную связку в характеристическом свойстве множества:
1 «Математика 5». Под ред. А. И. Маркушевича. М., «Просвещение», 1976, № 20, 34, 40, 47.
53


а) /CflL = {0, 6} — множество однозначных чисел, кратных 2 ... кратных 3;
б) ЯиЛ4 = {0, 2, 4, 6, 8} — множество однозначных чисел, кратных 2 ... кратных 4;
в) L П М = {0} — множество однозначных чисел, кратных 3 ... кратных 4;
г) L [J М = {0, 3, 4, 6, 8, 9} — множество однозначных чисел, кратных 3 ... кратных 4.
III. 	Множества заданы списками элементов и характеристическими свойствами. Требуется определить два из следующих трех условий: операцию над множествами, список элементов и характеристическое свойство пересечения или объединения данных множеств, если указано одно из этих условий.
Упр ажнения
1. А = {1, 2, 7, 14} — множество делителей числа 14; 5 = {1, 5, 7, 35} — множество делителей числа 35; С = {1, 3, 7, 21}—множество делителей числа 21.
В фигурных скобках запишите список элементов пересечения и объединения данных множеств, а в их характеристических свойствах вместо точек поставьте нужную связку:
а) А [}В = { } — множество делителей
числа 14 ... числа 35;
б) В 0 С = { } — множество делителей
числа 35 ... числа 21;
в) Л (J С = { } — множество делителей
числа 14 ... числа 21.
2. М = {м, о, л, к} — множество разных букв, входящих в слово «молоко»; N = {о, б, л, а, к} — множество разных букв, входящих в слово «облако»; Р-{м, ы, л, о} — множе- ство разных букв, входящих в слово «мыло». Вместо точек запишите нужные знаки операций и логические связки:
а) М ... N = {о, л, к} — множество разных букв, входящих в слово «молоко» ... слово «облако»;
б) М ... Р = {м, о, л, к, ы} — множество разных букв, входящих в слово «молоко» ... слово «мыло»;
в) N ... Р — {о, л} — множество разных букв, входящих в слово «облако» ... слово «мыло».
3. К = {7, 8, 9, 10, И, 12} — множество целых решений неравенства 6 <*<13; L =
— {5, 6, 7, 8, 9} — множество целых решений неравенства 4 < х < 10. Вместо точек поставьте нужный знак операции над множествами К и L, а в фигурных скобках запишите список элементов:
а) 	множества целых решений неравенства 6 < х <С 13 или неравенства 4 < х < 10 —
— К ... L — { };
б) 	множества целых решений неравенства 6 < х <С 13 и неравенства 4<х<10-
-К... L = { }.
В VI классе можно рассматривать аналогичные упражнения с бесконечными множествами, в частности с числовыми и точечными (геометрическими фигурами). Выполнение таких упражнений облегчается привлечением наглядных геометрических образов.
IV. 	Числовые множества заданы своими характеристическими свойствами. По известным обозначениям операций над данными множествами требуется указать характеристические свойства их пересечения и объединения, и наоборот. Выполнение упражнений в случае необходимости дополняется рассмотрением соответствующих промежутков на числовой прямой.
Упражнения
1. А — множество чисел, кратных 2; В — множество чисел, кратных 3. Вместо точек поставьте знак такой операции над множествами, чтобы получилось:
а) А ... В — множество чисел, кратных 2 и кратных 3.
б) А ... В — множество чисел, кратных 2 или кратных 3.
Можно ли короче сформулировать данные условия? Назовите элементы полученных множеств, большие 1 и меньшие 20 (большие —20 и меньшие —1).
2. ] —оо; 5 [ — множество решений неравенства х < 5; ] — 1; + °° [ — множество решений неравенства х >—1. Вместо точек запишите такой знак операции над множествами, чтобы получилось:
] — оо; 5 [...] — 1; + °° [ — множество решений неравенства х < 5 и неравенства х > —1.
Можно ли по-другому обозначить полученное множество? Покажите на числовой прямой этот числовой промежуток.
3. С — множество целых решений неравенства х < 3; D — множество целых решений неравенства х > —2. Вместо точек запишите нужную связку:
а) C(]D — множество целых решений неравенства х < 3 ... неравенства х >> —2;
б) C'JD — множество целых решений неравенства х <С 3 ... неравенства л: > —2.
Покажите, на числовой прямой элементы множества С f| D.
4. ] 3; 8 ] — множество решений неравенства 3 <С * ^ 8; [5; 10 [ — множество решений неравенства 5 ^ д: < 10. Вместо точек запишите нужную связку:
54


а) ] 3; 8] П [5; 10 [ — множество решений неравенства 3 < х ^ 8 ... неравенства 5 ^ ^*<10;
б) ] 3; 8] (J [5; 10 [ — множество решений неравенства 3<x^8... неравенства 5^ ^ х < 10.
Можно ли короче записать обозначения полученных числовых множеств? Покажите на числовой прямой соответствующие промежутки.
V. 	Геометрические фигуры изображены на рисунке и заданы характеристическими свойствами. По указанным характеристическим свойствам пересечения и объединения данных фигур требуется записать соответствующие обозначения операций над данными фигурами, и наоборот.
Упражнения
1. 	Даны треугольники ABC и ADC (рис. 1).
Вместо точек поставьте такой знак операции над множествами, чтобы получилось:
а) A ABC ... Д ADC—множество точек, принадлежащих треугольнику ABC и треугольнику ADC.
б) A ABC ... A ADC — множество точек,
принадлежащих треугольнику АБС или треугольнику ADC.
Какие фигуры образуют полученные множества точек?
2. Даны две пересекающиеся прямые АВ и CD. Прямая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости Pi и Р2, (CD) разбивает плоскость на полуплоскости Р3 и Р4 (рис. 2). Поставьте нужные знаки «П», «U» или связки «и», «или» в выражениях:
а) Р1ПР2—множество точек, принадлежащих полуплоскости Р\ ... полуплоскости /V,
б) Pi U Рз — множество точек, принадлежащих полуплоскости Pi ... полуплоскости Р3;
в) Р3 ... Р4—множество точек, принадлежащих полуплоскости Р3 или Р4;
г) Pi ... Р4—множество точек, принадлежащих полуплоскостям Pi и Р4.
Какие фигуры образуют полученные множества точек?
3. На рисунке 3 указаны углы АОВ и COD. Какие знаки и связки нужно поставить вместо точек, чтобы выражение
«Z АОВ ... Z COD — множество точек, принадлежащих углу АОВ ... углу COD» характеризовало фигуру: а) угол AOD\
б) 	угол СОВ?
Следует отметить, что изучение элементов математической логики в связи с теоретикомножественными понятиями помогало решать и важные методические задачи. Так, приведенная система упражнений обеспечивала более успешное использование учащимися логических связок «и», «или» при решении систем (совокупностей) уравнений и неравенств.
В помощь самообразованию учителей
П. М. ОЛОНИЧЕВ
(г. Винница)
ЛОГИЧЕСКИ ИСТИННЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
I. 	Проблема внедрения элементов математической логики в школьную математику в настоящее время привлекает пристальное внимание научно-педагогических кругов.
Понятие логически истинного предложения (логической истины), очевидно, следует считать центральным логическим понятием, представляющим логику в различных рассуждениях и доказательствах. В настоящей статье предлагается разработка введения этого понятия для нужд школьной математики. Содержание статьи доступно ученикам старших и средних классов и может быть использовано учителем в его повседневной работе.
II. 	Каждая наука имеет свой специфический словарь. Так, в физическом словаре можно встретить слова «масса», «путь», «время», «скорость» «ускорение», «сила», «электрон» и другие; в химическом словаре — «молекула», «реакция», «магний» и другие; в математическом словаре — «единица», «число», «сложение», «многоугольник» и другие.
55


Постараемся выяснить, какие слова входят в логический словарь и какие предложения называются логически истинными. Для этой цели рассмотрим предложение: «Если все люди смертны и все герои — люди, то все герои смертны». Конечно, это предложение истинное. Заменим в нем слова «люди», «смертны», «герои» соответственно словами «животные», «дышат», «киты». Получим новое предложение: «Если все животные дышат и все киты— животные, то все киты дышат». Это также истинное предложение. При любой такой замене мы всегда будем получать истинные предложения. Слова из научного словаря служат в предложении носителями того, что принято называть содержанием или смыслом предложения. Следовательно, наше предложение обладает удивительной стойкостью: его истинность не нарушается при замене содержания. Если мы «очистим» предложение от содержания, то останется его форма:.
«Если все I |ji }2 и все | |3 есть LJi, то
все LJ31 12»«
И эта форма такова, что, подставляя в нее одни и те же слова в одинаково нумерованные просветы, мы будем всегда получать истинные предложения.
Такие предложения, истинность которых зависит только от формы и не зависит от содержания, называются логически истинными предложениями (л-истинными) или просто логическими истинами (л-истинами) ].
Логических истин бесконечно много. Вот некоторые из них:
1) Я пойду или не пойду в кино.
2) Если треугольник не равнобедренный и не прямоугольный, то он не равнобедренный и прямоугольный.
3) Из того, что если я отдыхаю, то я читаю, следует, что если я не читаю, то я не отдыхаю.
4) Если существует х такое, что f(x) — О, то не для всех х не имеет места f(x) = 0.
Слова, из которых строится форма предложения, составляют логический словарь. Это такие слова, как «и», «или», «не», «если...,
то...», «тогда и только тогда», «существует», «все», «некоторые», «никакой» и другие.
Одна из основных задач логики — изучение логических истин. Но критерий истинности в логике принципиально отличен от критерия истинности в естественных науках. Действи¬
1 Придерживаясь исторических традиций, логически истинные предложения называют также и аналитическими предложениями.
тельно, логическая истинность предложения связана с синтаксической структурой предложения, а не с его содержанием, а истинность, например, в физике или биологии связана с содержанием. Поэтому для установления логической истинности не требуется совершать путешествия, наблюдать, экспериментировать, нужно заняться анализом форм предложений. А вот для проверки того, будет ли предложение «Волга впадает в Каспийское море» истинным, необходимо совершить путешествие или поверить тому, кто это сделал.
В математике критерий истинности во многом определяется структурой предложений. Действительно, математик, отвечая на заданный вопрос, не спешит взяться за лопату или сесть за микроскоп. Свой ответ он всегда связывает со значками, изображенными на бумаге. При аксиоматическом построении математики теорему можно рассматривать как утверждение о логической истинности некоторого условного предложения. Например, теорема из эвклидовой геометрии «Сумма углов треугольника равна 180°» (если расшифровать ее и представить на языке первичных понятий и отношений, а в посылках отм)етить все аксиомы) будет хотя и очень громоздкой и сложной, но все же логической истиной.
III. 	Прежде чем перейти к более детальному обсуждению логических истин и их употребления в математических рассуждениях, вкратце познакомимся с основными понятиями и символикой, используемыми в математической логике.
Высказыванием называется предложение, о котором имеет смысл спросить, истинно оно или ложно. Например, «2 > 3», «не существует наибольшего простого числа» — высказывания, а «5 +3», «л: > 3» высказываниями не будут. Для обозначения высказываний мы используем буквы р, q, г, .... Об истинном высказывании говорят, что его истинностное значение— «истина» («и»), а о ложном, что его истинностное значение — «ложь» («л»).
Переменной называется буква (например, х) с соотнесенным с ней классом объектов, называемых значениями переменной.
Предикатом называется предложение, содержащее хотя бы одно переменное и обращающееся в высказывание для некоторых наборов значений всех переменных, входящих в предложение. Например, х > 3, с областью значений для х — классом действительных чисел, будет предикатом. При х = 5 мы получаем из него истинное высказывание 5 >> 3, а при х = 0 — ложное высказывание 0 >■ 3. Предикаты х>3 или х2>х называются одноместными, так как в них входит единствен*
56


ная переменная х, а предикат х — у — 0 — двухместным из аналогичных соображений. Заметим, что предложение «Для каждого х найдется такое у, что х — у = 0» следует отнести не к предикатам, а к высказываниям. В этом предложении замена переменных записями их значений бессмысленна.
В нашей школе предикат называют предложением с переменными. За рубежом распространены термины «замкнутое предложение» и «открытое предложение» для высказывания и предиката соответственно.
Договоримся обозначать предикаты с помощью символов Р(х), Р(х, у), Q(z), ... .
Из высказываний и предикатов с помощью приставки «не» (знак «~») и четырех логических связок «и» (знак «Л»), «или» (знак «V»), «если..., то...» (знак «.->»), «тогда и только тогда» (знак «ч->») составляются более сложные предикаты и высказывания. Приставка называется отрицанием, а связки, в порядке их записи, называются конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией, эквивалентностью. Так, например, о сложном предикате p-*Q(x) мы будем говорить как об импликации высказывания р с предикатом Q(x).
В логике особую роль играют еще две приставки: «для каждого х(у, г,...)» и «суще¬
ствует такое х(у, zy...)». Первую из них называют квантором общности и обозначают (v^O ((Vy)* (Vz)---)* а вторую — квантором существования и обозначают (Эх) <(ЗУ)> (З^Х-)- Приставляя квантор к одноместному предикату, мы получаем высказывание. Например, из предиката «х^>0» мы получаем высказывания:
(V*)(*>°) и (3*)(*>0)*
В логике принято однозначно определять истинностное значение сложного высказывания через истинностные значения входящих в него высказываний, пользуясь следующей договоренностью:
1) Отрицание истинного высказывания ложно и отрицание ложного высказывания истинно.
2) Конъюнкция двух высказываний истинна в единственном случае, когда оба высказывания истинны.
3) Дизъюнкция двух высказываний ложна в единственном случае, когда оба высказывания ложны.
4) Импликация двух высказываний ложна в единственном случае, когда условие (первое высказывание в импликации) истинно, а заключение (второе высказывание в импликации) ложно.
5) Эквивалентность двух высказываний истинна в двух случаях, когда оба высказыва¬
ния одновременно истинны и одновременно ложны.
Принятую договоренность удобно представить в таблицах. Приведем, например, таблицы для отрицания и импликации.
~р р-> q ли И И И
ил и л л
~2—Г л И И
лил 1 2 1
В последних столбцах таблиц (порядок заполнения столбцов указан под чертой) отмечены истинностные значения соответственно высказываний ~р и p—>q при выбранных истинностных значениях высказываний р и q.
6) Высказывание (ух)Р(х) истинно в одном сЛучае, когда для каждого значения х высказывание Р(х) будет истинным.
Предикат Р(х) называется истинным, если и только если (улг)Я(л;)-— истинное высказывание.
7) Высказывание (Эх) Р(х) истинно в одном случае, когда найдется хотя бы одно значение х, при котором высказывание Р(х) будет истинным.
Эта сводка правил позволяет находить истинностное значение сложного высказывания, если известны истинностные значения состав- ляющих его высказываний. На двух примерах покажем, как это делается практически:
а) (5>1 \/1 =0)—> — (5 = 0)
И И Л И И Л
12 13 2 1
Таким образом, приведенное высказывание истинно.
б) Пусть значениями для х служат неотрицательные целые числа:
(Э^) (х = 0 Vх>0)—*
И Л
1 3
— ((¥*)(■* =£0)Л(3*)С* — 1 =0))
Л ЛИ
1 2 1
Значит, высказывание ложно.
IV. 	Уточним понятие логической истины и познакомимся с методикой проверки логической истинности данного предложения.
Простейшим типом л-истины является логически истинное высказывание, в которое не входят предикаты и кванторы и которое, следовательно, формируется из высказываний с помощью логических связок.
57


Пример. Если треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, то он прямоугольный.
Убедимся в том, что нами записана л-исти- на^ Для этого рассматриваемое высказывание символически запишем так: (р /\q) Р- Это высказывание будет л-истиной тогда и только тогда, когда при замене в нем р и q любыми высказываниями будем получать истинные высказывания. Но истинностное значение сложного высказывания представляет функцию от истинностных значений составляющих его компонент. В разбираемом случае этими компонентами будут высказывания. Следовательно, при проверке логической истинности высказывания следует забыть о действительных истинностных значениях компонент р и q, а придавать им любые возможные истинностные значения. Если при этом окажется, что для любых наборов истинностных значений компонент мы будем получать истинные высказывания, то мы имеем дело с л:истиной.
Эти элементарные расчеты удобно свести в таблицу. Поскольку для высказываний р и q логически допустимы 4 набора значений (л, и), (и, и), (л, л,), (и, л), то таблица будет иметь вид:
(р Ля) — Р л л и и л
и и и и и
л л л и л
и л л и и
12 13 1
Приведенная таблица называется таблицей истинности для высказывания (р Д q) р. Для таблицы характерно, что столбец под номером 3, заполняемый последним, состоит целиком из букв «и», что и служит необходимым и достаточным признаком логической истинности высказывания (p/\q)-^p, т. е. принадлежности его к классу л-истин. Понятно также, что любое высказывание формы (РАЯ)-^Р также будет л-истиной, так как его таблица истинности совпадает с приведенной. А вот высказывание формы (р\/ q)-*p, как легко проверить, л-истиной не будет.
Общую таблицу истинности для высказываний одной формы называют также и таблицей истинности для этой формы.
Метод таблиц истинности позволяет установить логическую истинность и некоторых предложений, содержащих кванторы, но его нельзя рассматривать как универсальный метод распознавания л-истин среди такого рода предложений. Следующие два примера иллюстрируют это положение.
Пусть значениями для хну служат действительные числа. Высказывание ( V^)(3y)(^>
>у) л ~(Э*)(УУ)(*> у)) — (vac) (ЗУ) (х >
^>у) представляет л-истину, поскольку оно имеет форму (р /\ q) —<• р. А высказывание
(\М0(ЭУ)(*>У) -» ~ (3*)(vy)(~ (х >у))
хотя и является л-истиной, как мы убедимся ниже, но метод таблиц истинности оказывается слишком грубым, чтобы обнаружить этот факт. Действительно, если обратить внимание лишь на его построение из высказываний, то ivfbi получим форму р-+- ~ q, которая, очевидно, не будет формой логической истины, так как в третьем столбце таблицы истинности для таких высказываний присутствует буква «л».
p-*~q И Л Л И НИИ Л ЛИЛИ Л ИИ Л 13 2 1
Выше мы встречались с примерами л-истин, являющимися высказываниями. Рассмотрим теперь логическую истину — предикат (1 ф =^0Aa:>1)-^(1=^0). Убедимся, что мы записали действительно л-истину. Заменим входящие в предикат двухместные предикаты х Ф у и х > у предикатными символами Р(х, у) и Q(x, у) соответственно, а 1 и О — буквами а и Ь:
(Р(а, Ь) A Q(x, а))-+Р(а, Ь).
Мы получили форму данного предиката. Та- кую же форму имеет, например, и предикат ((АВ) 1 (CD) /\ х\\ (АВ)) (АВ) ± (CD), где (АВ) и (CD) —конкретные прямые, а х — переменная, значениями которой являются произвольные прямые.
Любой предикат полученной формы будет истинным, так как при допустимой подстановке он обращается в высказывание, представляющее собой л-истину уже встречающегося нам типа (p/\q)->p (например, (1=^0Д д0> 1)-М ФО).
При доказательстве логической истинности предложения можно взамен таблицы прибегнуть к рассуждениям. Покажем на примере, как это делается.
Если а $> 0 или а > 1, то из а > О следует а> 1. Переходя к символической записи, получим
(~ р V я) (р -> я) •
Будем считать р и q произвольными, но фиксированными высказываниями. Убедимся, что любые высказывания такой формы — истинные высказывания. Действительно, каж¬
58


дое из них может быть ложным только в одном случае, когда посылка в импликации истинная, а заключение ложное. Но этот случай не вмещается в нашу форму, так как при ложном заключении p-+q обязательно истинно р и ложно q, что влечет, в свою очередь, ложность посылки ~р\/ q.
Для опровержения утверждения, что данное предложение представляет собой л-истину, необходимо и достаточно найти контрпример, т. е. ложное высказывание той же формы, что и предложение.
Пример. Пусть р — треугольник равносторонний; q — все углы в треугольнике конгруэнтны. Составим предложение (p-^q)-*- р-> ~q). За контрпример можно взять высказывание (О > 1 1 > 0) —* (~ (0 > 1) —> ~ (1 > 0)).
Л И ИЛИ ЛЛЛ И 1 2 1 4 2 1 3 2 1
Логические истины рассмотренного нами типа назовем в-логическими истинами. Форма в-логических истин характеризуется тем, что она состоит только из букв и связок, и любая в-логическая истина получается из такой формы заменой букв предложениями2.
Рассмотрим второй и более сложный тип л-истин, которые мы назовем к-логическими истинами. Их логическая структура существенно определяется характером вхождения кванторов.
Пример l.(V*)(3y)(*> у)
-*~(3-*)I(vy)(~(*>y)).
Запишем форму этого предложения:
(У*)(ЗУ)^(*, У) - ~(Зх)(ЧУ)(~Р(х, у)).
Убедимся, что любое предложение такой формы — истинно. Действительно, допустим противное, что нашлось такое лс0, для которого при любом у Р(хо, у) —ложное высказывание. Но в таком случае мы получаем противоречие с посылкой, в которой утверждается, что для любого Ху в частности и для х0, найдется у, такое, что Р(х, у)—истинное высказывание.
Пример 2. Некто утверждал, что предложение «если для фигур х и г найдется фигура у, подобная л; и г, то л: подобна г» равносильно предложению «для любой фигуры у, если х подобна у и у подобна г, то х подобна г». Можно ли логически оправдать это утверждение?
Запишем утверждение символически: ((ЗУ)(ЛооуДусчэ2) —
-.jco32)<—>(Vy)((* — хоо.г).
2 См. в следующем пункте о понятии расширения предложения.
Его формой будет следующее выражение: ((ЗУ) {Р{х, У) А Я (у, *))-..
— Р (х, Z)) <-> (vy) ((Р (х, у) А Р (у, z)) -» -Р(Х, г)).
Докажем, что любое предложение такой формы — л-истина. Поскольку при фиксированных х, z двухместный предикат Р(х, г) обратится в высказывание, а трехместный предикат Р(х, у) АР (У, z) —в одноместный предикат относительно у, то нам достаточно доказать, что высказывание
((Зу) Q (у) - р) <-> (vy) (Q (у) - р)
истинно.
Разобьем доказательство на два частных случая:
1) Высказывание р истинно. В этом случае правая и левая части эквивалентности одновременно истинны.
2) Высказывание р ложно.
а) Высказывание (3y)Q(у) истинно. Тогда левая часть—ложное высказывание. Теперь рассмотрим уо, для которого Q(yo) истинно. Тогда Q (у0) -> р ложно и правая часть также ложное высказывание, а эквивалентность — истинное высказывание.
б) Высказывание (зу) Q (у) — ложно. Тогда левая часть — истинное высказывание. Но в этом случае Q(y) при любом у — ложное высказывание, а значит, Q(y)-+p — истинное высказывание, и поэтому правая часть эквивалентности— также истинное высказывание, как и вся эквивалентность 3.
V. 	Поскольку логические истины целиком характеризуются своей формой, то при систематизации, изучении и использовании логических истин, естественно, обращаются к их формам.
Форма логической истины называется логическим законом (л-законом).
Соответственно вводятся понятия в-логиче- ского закона (в-закона) и к-логического закона (к-закона).
Как, например, из закона коммутативности а + b = Ь + а Для сложения действительных чисел подстановкой мы получаем математические истины 2+1 = 1+2 и 1,3+ 0,7 = = 0,7 + 1,3, так и из логических законов подстановкой в них конкретных предикатов и высказываний мы получаем логические истины.
Приведем список некоторых известных л-за- конов.
3 Заметим, что общего эффективного метода (вроде табличного для бескванторных высказываний) для решения вопроса о том, будет ли предложение к-логиче- ской истиной или нет, не существует.
59


В-1
:PV~P
Закон
исключен-
НОГО '
гретьего
В-2
~(рА~р)
Закон
противоре-
чия
В-3
р <—> ^ р
Закон
двойного
отрицания
В-4
СрЛя)-*р
Закон
упрощения
В-5 (p—*q) <—> (~<7—>~/?)
Закон
контрапози-
ции
В-6
{p->q)<—>(~jpV^)
В-7
~(р\/я) <-> i~p А
Закон
двойствен-
A~q)
ности
В-8
((р~* я) Ар)— я
Закон
отделения
К-1
~(ух)Р(х) <_>
К-2
(ух)Р(х)^ Р{у)
Закон
снятия V
К-3
(v-*) (MQ (■*))<->
Закон
ограничения
<->(PA(y/x)Q(x))
К-4
(зAT)(vy) P(x, у) —
Закон
коммута-
— (УУ)(Зх)Р(х, у) тивности
Дополнительно к этому списку л-законов опишем, не вдаваясь в детали, один очень естественный и простой способ образования новых л-истин и л-законов из уже известных.
Если в предложении заменить входящие в него простые предложения сложными, то полученное предложение называется расширением первоначального.
Расширение л-истины будет опять л-истиной потому, что конструкция расширения из простых предложений с помощью связок и кванторов начиная с некоторого момента осуществляется по программе, предписанной формой начальной л-истины. Например, предложение ((х > 0 —»■ 1=0) /\ 2 > 1) -> 2 > 1 будет логически истинным предложением как расширение л-истины (1 = 1Д2> 1) -> 2 > 1.
Аналогично можно говорить о расширении формы предложения вообще и логического закона в частности. Очевидно, что расширение л-закона опять будет л-законом.
пР и мер 1. Возьмем закон отделения ((p->q) /\ р) -*■ q. Его расширениями будут л-законы: (((р У я) -*■ ~ г) Д (р V я)) ~ г,
((~q-+- (p-+r)) A ~q) (р^г) и т. д.
В этих законах сохранена структура закона отделения, которую удобно изобразить так:
((U-*L_!2)AUj)-L!2.
Пример 2. Возьмем закон ограничения
(V-*) (Р A Q (*)) <—> (Р А (V-*) Q (•*))• Ег0 логи¬
ческую структуру можно представить следующим образом:
(V*) (LLaL^W (LliA(VJf)L£l2)-
| f I *
Следующие два л-закона будут его расширениями:
(V*) ((R (у) — р) A Q (•*))<_> ((R (у) —р)Л A(v-*)Q(*)X (у/х) (р (у) A Q О*. у)) <~>{Р(у) A(v*)Q(x, у)) И т. д. А вот форма (Vк)(R(х)АQ(x)) <-> (R(х)А(>/x)Q(x)) расширением закона К-3 не будет4, так как его структура
(V*) (М, A L£k)<-> (I£Ь Л L£Ja)
I t t I t
отлична от структуры /С-3. Действительно, в левой части эквивалентности переменная х> которую «связывает» квантор, теперь входит уже как в i?(x), так и в Q(x).
VI. 	Вкратце коснемся вопроса о том, как используется логическая истина в рассуждениях. С помощью логически истинных предложений истина переносится с одних предложений на другие. Например, если принять за истинные высказывания: «треугольник ABC
прямоугольный или равнобедренный» (p\J q) и «треугольник ABC не равнобедренный» (~ q), то из л-истинного высказывания {{p\J q) Л ~q) ->р мы заключаем, что высказывание р также будет истинным.
Но в математических рассуждениях обращают на себя внимание две особенности: во- первых, истинность посылок носит чисто условный характер, и поэтому в математике предпочитают говорить не об истинности предложений, а об отношении следования между ними; во-вторых, математическая теория строится как упорядоченная система аксиом, определений, теорем, в которой при доказательстве последующей теоремы можно пользоваться предыдущими аксиомами, определениями и теоремами.
Поэтому целесообразно говорить, что «предложение р (высказывание или предикат) логически следует из предложений q, г, ..s», когда импликация (q Л т Л • • • Л s) -*Р представляет собой логическую истину и «предложение р следует из предложений qy г, ..., s» или «предложение (q Д г Д ... /\ s) -+р — теорема», когда р логически следует из q, г,
..., s и всех предшествующих аксиом, опреде¬
4 Она не будет и л-законом, в чем можно убедиться, подобрав подходящий контрпример.
60


лении и теорем, принятых или доказанных в рассматриваемой теории.
Утверждение о том, что (q Д г Д ... /\ s) ->р — теорема, часто записывается так:
1. q
2. г п. S
Приведем простой пример теоремы. Пусть а и b — прямые, лежащие в одной плоскости, и пусть р — прямые а и b параллельны; q — прямые а и b совпадают; г — прямые а и b пересекаются. Тогда предложение (pf\~q)-+-~r будет теоремой, так как если внести определение параллельных прямых p*-+(q\/ ~г) как посылку, то получим логическую истину: ~ г)) ЛрЛ'~ д)->~ г.
Рассмотрим несколько примеров использования идеи логической истины (логического закона) в элементарной математике.
1. В рамках аксиоматики А. Н. Колмогорова школьной геометрии найдем необходимые и достаточные условия, при выполнении которых три различные точки не принадлежат одной прямой. Обозначим предложение: «Точка В лежит между точками А и С» через ABC, а предложение: «Три различные точки Л, В, С принадлежат одной прямой» — через р. Тогда поиск условий можно представить следующей последовательностью эквивалентностей:
Г1) р <_> (ABC V АСВ V ВАС);
^2) ~~р<->~(АВС\/АСВ\/ВАС);
—23) ~ р <—> (~ ABC Д ~ АСВ Д'—' ВАС)\ г4) ABC <—> | АВ | + I ВС | — | АС |; _,I5) ~ ABC <—> | АВ | + | ВС | Ф | АС |;
•6) \ АВ\ + \ВС\=£\АС\<->\АВ\ + \ВС\>
>\АС |;
*7) — ABC <—> | АВ | -f-1 ВС | > | АС |; '8) ~р <—> (| АВ | + | ВС | > | АС | Д | АВ\ + + \АС | > | ВС | А \ВС\ + | АС | > | АВ I).
Здесь предложения 1), 4), 6) приняты за посылки, логическое следование отмечено слева стрелками, а очевидные повторения для АСВ и ВАС в пунктах 4—7 опущены.
2. Проанализировать рассуждение:
1) logflx = loga-§";
2) 21oga-g- > loga -gS
При анализе можно ограничиться замечанием, что раз пункты 2) и 4) не следуют из предыдущих, то рассуждение не обосновано.
Но мы предпочтем другой анализ. Для оправдания перехода от пункта 1) к пункту 2) требуется ввести посылку 0<а<1, а для оправдания перехода от пункта 3) к пункту
4) 	—посылку а > 1.
Таким образом, в предложенном доказательстве неявно используется несозместная система посылок (a< 1 и а>1). А тогда нет ничего странного в том, что получено ложное заключение. Действительно, из несовместной системы посылок следует любое предложение, в частности и у> -Jp В нашем случае этот переход
можно выполнить так: из а^> 1 следует
~ (a< 1), а из а<11 и ~ (а < 1) следует наше 1 ^ 1
заключение — > -g- на основании л-истины
(а<1 А—(«<!))— (4~ >4")-
В заключение хотелось бы подчеркнуть, что наличие несовместных посылок не дает оснований считать рассуждение неверным. Так, в нашем примере если отнести а < 1 и а > 1 к посылкам, то получим верное рассуждение.
3. 	Доказать теорему
1) (V-*)(Vy)(V2)(JC>yAy>«-*x>z)\
2) (у*)(~ (*>*)).
(V-*/ (vy)(*>y — ~(У>*))-
Ниже, при анализе доказательств, мы будем ссылаться не на логические истины, а как обычно принято в математике, на соответствующие логические законы.
3) 	l0gfl4~>10ga -J-;
Доказательство
(1) (Vx)(Vy)(V*)(x>
> у/\у> z->x>z)
(2) jc> уАУ> х.->х>х
(3) ~ (х > х) -> ->~(х>у/\у>х)
(4) ~(х> х)->
-* (~ {х >y)V~(y> X))
(5) (ух) (~ (х > х))
(6) ~{х>х)
(7) ~{x>y)V~(y>x)
(8) (х> у)-+~(у> х)
(9) (у*) (УУ) (x > У -*
~ (У > -*))
4) 	4->
Анализ
Посылка
Следует из пункта (1) и закона снятия у Следует из пункта (2) и закона контрапозитива
Следует из пункта (2) и закона двойственности
Посылка
Из пункта (5) и закона-снятия у
Из пунктов (4) и (6) и закона отделения Из пункта (7) и закона В-6 Из пункта (8), так как все, что справедливо для фиксированных, но неопределенных л: и у, будет справедливо для любых хну


VII. 	Выскажем теперь несколько общих замечаний и советов учителю, которого заинтересовала идея логического закона.
Для удобства разделим логическую подготовку школьника на три этапа и охарактеризуем каждый из них.
L Подготовительный этап. В процессе обучения надо обращать внимание на логическую структуру предложений, на то, как в них входят слова «и», «или», «не», «если..., то...», ^необходимо», «достаточно», «все», «некото- рБЮ» и др., постепенно приучать находить истинность или ложность сложных предложений в зависимости от их логического строения и истинностных значений составляющих их предложений. Ученик должен, например, твердо усвоить, что 5^5 — истинное высказывание.
Краеугольным камнем логической подготовки ученика, очевидно, следует считать правильное понимание им условного предложения. Он должен без колебаний относить предложения «Если 0> 1, то 1 = 1» или «Если О = 1, то 1 = 2» к истинным высказываниям и не должен возмущаться тем, что арифметический закон х — y-^xz = yz справедлив при любых значениях х, у, z, и в частности для х = 1, г/ = 2, z = 3 или х = 1, у = 2, г = 0.
Многие выпускники средних школ делают грубые ошибки и при выводах, связанных с условными предложениями. Например, из аксиомы «Для любых точек А и В, если А Ф В, то найдется прямая, проходящая через А я В», они заключают, что точки или прямые существуют, а также не могут понять, почему для системы, состоящей из единственной прямой и единственной точки на ней, эта аксиома справедлива.
Обучение логике серьезно облегчается и приносит больший эффект, если в разумных пределах и там, где это дает преимущества, пользоваться логической символикой5. Следует обучить школьника записывать символически простые фразы, например «все рациональные числа — действительные числа» или «некоторые действительные числа — рациональные числа», и основные логические законы, например (/?-> q)<-+( ~ q-+- ~р) или
~ (Ул-)Р(*)^(Я.*) ~Р(х)-
2. 	Формирование понятия о логическом законе. Идея логического закона должна фор¬
6 См. об этом статью А. Н. Колмогорова «Научные основы школьного курса математики» в «Математике в школе» (1969, № 3, с. 17), а также статьи В. Г. Болтянского в этом же журнале: «Как устроена теорема?» (1973, № 1, с. 41—49) и «Использование логической символики при работе с определениями» (1973, № 5, с. 45—51).
мироваться у ученика постепенно, и не следует стремиться к формальным и строгим определениям. Вначале нужно выделять примеры логических истин, подчеркивая их отличие от не логических, фактических истин. Затем научить замечать общую форму логических истин, прибегая к символике, доказывать простые логические законы и опровергать ошибочные гипотезы о логической истинности предложений.
3. 	Выработка навыков использования логических законов в рассуждениях. Естественно, что важнейшим условием успешного решения задачи о логической подготовке школьника следует считать хорошую логическую подготовку самого учителя. Если учитель глубоко понял идею логического закона, убедился в преимуществах сознательного и явного использования логических законов в рассуждениях и доказательствах и приобрел соответствующие практические навыки, то он непременно будет уделять должное внимание логической подготовке своих учеников.
Но пока дело обстоит не так. В педагогических кругах еще распространено традиционное мнение, отводящее логике в школьной математике в общем-то закулисную роль: ею пользуются, но о ней мало говорят. При таком подходе многие ученики, имея смутное представление об отношении следования, способны лишь заучить доказательство, но часто беспомощны в своих попытках самостоятельно его выполнить. Очевидно, обучение логике должно быть составной частью обучения математике. Логический анализ доказательств и ошибок в доказательствах, внимание к логическим законам, используемым в доказательствах, специальные логические упражнения и т. д. — все это должно органически включаться в школьную математику.
В новых стабильных и экспериментальных учебниках заметно вырос удельный вес логических элементов. Хочется надеяться, что совершенствование учебников в этом направлении будет продолжаться.
VIII. 	Вы воды. Форма предложения конструируется из предложений следующим об разом:
А. Если предложение — бескванторное вы оказывание, то в нем сохраняют логические связки и скобки, а высказывания заменяю; буквами р, q, г, ...
Б. Если предложение содержит кванторь: или является предикатом, то в нем сохраняю: скобки, переменные, логические связки и кванторы; заменяют все конкретные предикать буквами Р, Q, R, ... (с добавлением, если тре¬
62


буется, скобок и запятых), а имена всех конкретных объектов — буквами а, b, с, ... .
Два предложения имеют общую форму, если они одинаково составлены из высказывании, предикатов, логических связок, кванторов и имен конкретных объектов. Предложение называется логически истинным, если оно истинно одновременно со всеми предложениями, имеющими с ним общую форму.
Внеклассная работа
ф. Ф. Нагибин (г. Киров)
ОПЕРАЦИИ
НАД МНОЖЕСТВАМИ
Что такое «алгебра множеств»? Это один из разделов теории множеств, в котором изучаются свойства операций над множествами. Алгебра множеств заслуживает особого внимания учителя математики прежде всего потому, что широкое использование теорети- ко-множественных понятий в школьной математике служит одной из основ обновления ее содержания. Кроме того, на материале алгебры множеств можно строить изложение, например, понятия алгебраической операции, общего понятия алгебры (в частности, можно указать на связь алгебры множеств и алгебры высказываний), понятия изоморфизма.
Эти вопросы, не говоря уже об использовании алгебры множеств в решении школьных задач, например при решении уравнений или систем неравенств, интересуют в настоящее время многих учителей и методистов. Материал данной статьи мог бы оказаться полезным во внеклассной работе.
§ 1. Основные операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение
Напомним определения важнейших и одновременно наиболее простых операций над множествами.
Объединением множеств А и В (обозначается A (J В) называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят в А и л и В (здесь, как и вообще в языке математики, союз или используется в неразделительном смысле, т. е. элементы, принадлежащие и Л, и В, считаются входящими в их объединение).
Пересечением множеств А и В (обозначается А(]В) называется множество тех и только тех элементов, которые одновременно входят в А и В.
Прежде чем говорить о третьей основной операции над множествами — операции взятия дополнения, необходимо ввести понятие универсального множества. Универсальное множество (обычно его обозначают буквой U) — это исходное, основное множество в проводимом конкретном исследовании. Например, если нас интересуют подмножества множества натуральных чисел, то U — это множество натуральных чисел; в планиметрии U — это множество точек плоскости. Количество примеров можно было бы и увеличить. Важно учесть, что понятие универсального множества относительно; что именно представляет собой универсальное
Форма логически истинного предложения называется логическим законом.
Многолетний опыт работы в педагогическом институте убедил автора в том, что идеи логической истины и логического закона в их семантическом толковании с успехом могут быть приняты за центральные и унифицирующие идеи логической подготовки школьника и учителя,
множество U, зависит от того, какие объекты в данной теории рассматриваются.
Пусть U — универсальное множество; зафиксируем это множество и будем предполагать его непустым. Следовательно, все множества, которые мы собираемся изучать, являются его подмножествами. Операцию взятия дополнения можно теперь определить так: дополнением множества А (обозначается А) называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые не принадлежат А.
Рассмотренные операции над множествами представляют частный случай понятий унарной и бинарной алгебраической операции. Приведем определения этих понятий. Бинарной алгебраической операцией, заданной на множестве Л, называется отображение, которое каждой паре элементов множества А сопоставляет однозначно определенный этой парой элемент множества А. Унарной алгебраической операцией, заданной на множестве Л, называется отображение, которое каждому элементу множества Л сопоставляет однозначно определенный этим элементом элемент множества А. Иными словами, бинарная алгебраическая операция — это отображение квадрата данного множества в само множество Л, а унарная алгебраическая операция — отображение данного множества в себя.
Чтобы выполнить бинарную алгебраическую операцию, нужно иметь два элемента (аргумента операции), и результат снова будет элементом того же множества. Операции объединения и пересечения — бинарные алгебраические операции, определенные на семействе множеств универсального множества. Действительно, для выполнения, например, операции объединения нужно иметь два множества (множества — это как раз аргументы операции над множествами), и в результате получится снова некоторое множество, т. е. объект той же природы, что и аргументы.
Взятие дополнения — унарная алгебраическая операция, убедиться в этом можно аналогично предыдущему.
Перечислим часто используемые свойства введенных операций над множествами. Эти свойства имеют вид равенств, которые справедливы для любых множеств, т. е. они являются тождествами.
1. Объединение и пересечение множеств коммутативно:
а) 	ЛиВ = ВиЛ, б) ЛПЯ = ВГ)Л.
2. Объединение и пересечение множеств ассоциативно:
а) Л U (В U С)* (Л1)Я)иС,
б) Л Г) (£ П С) = (Л П £) П С.
3. Каждая из операций объединения и пересечения дистрибутивна относительно другой:
а) Ли(ЯПС) = (ЛиВ)П(ЛиС),
б) Л П (В U С) = (Л П В) U И ПС).
4. И объединение, и пересечение двух одинаковых множеств равно самому этому множеству (это тождество называется идемпотентностью):
а) 	Л U Л = Л, б) А П А—А.


5. Дополнение к объединению (пересечению) двух множеств равно пересечению (объединению) дополнений к обоим аргументам (эти тождества называются формулами де Моргана):
а) 	А U В =~А П В, б) Л~гГв = A\J~B-
6. Дополнение к дополнению множества совпадает с исходным множеством:
Л = А.
Следующие тождества описывают свойства универсального и пустого множеств по отношению к рассматриваемым операциям !.
7. а) £/1М = £/, б) 0П А = 0.
8. а) 0 и А = А, б) U П А = А.
9. а) 77 = 0, б) 0-U.
10. а) А и А = U, б) А П А = 0.
Как могут быть проверены эти и другие тождества для операций над множествами?
Первый способ (наглядный). Будем изображать исходные множества какими-нибудь фигурами на плоскости, например кругами или прямоугольниками, а за универсальное множество возьмем некоторый фиксированный прямоугольник (т. е. множество его точек). На рис. 1 ,а изображены с помощью прямоугольников два множества: А (оно обозначено гори-
ггггтттгггт:
АПВ
5)
Рис. 1
(АПВ)и(АПВ)
S)
зонтальной штриховкой) и В (оно обозначено вертикальной штриховкой). Тогда фигура с двойной штриховкой изображает, очевидно, пересечение множеств Л и Б, а вся заштрихованная фигура — их объединение. Подобного рода рисунки называются диаграммами Эйлера — Венна. Для проверки справедливости тождества следует взять два экземпляра рисунка, на каждом из которых изображены исходные множества, и на одном из них с помощью подходящей штриховки изобразить результирующее множество, стоящее в левой части изучаемого тождества, а на другом — в правой. Если полученные множества окажутся одинаковыми, значит, тождество справедливо. Заметим, что этот способ больше подходит для того, чтобы на нем почувствовать справедливость тождества, а не для доказательства.
Второй способ. Воспользуемся следующим свойством: если каждое из множеств является подмножеством другого, то они равны. На его основе доказательство тождества проводится так: показывают, что каждый элемент множества, определяемого левой частью тождества, содержится в множестве, определяемом правой его частью, и наоборот. При этом фактически совершается переход от операций с множествами к операциям с высказываниями. Этот способ проверки может рассматриваться как строгое доказательство.
Третий способ. Из уже имеющегося запаса тож¬
деств можно выводить новые совершенно так же, как
в обычной «числовой» алгебре выводятся из основных свойств операций над числами (ассоциативность, коммутативность сложения и умножения и т. д.) другие свойства, например формула бинома Ньютона.
Упражнение 1. Показать с помощью первого способа справедливость формул 3.
Доказать с помощью второго способа формулы де Моргана.
Доказать с помощью третьего способа тождество
(ЛПЯ)и(ЛП£)=Л.
Можно заметить, что некоторые из написанных нами формул 1—10 выводимы из остальных с помощью третьего, «алгебраического» способа.
Упражнение 2. Доказать, что только из тождеств а) формул 1—5, 7—10 и тождества 6 следует
любое тождество б) этих же формул. _ __
Решение. Докажем, например, что А П В = A U В. Из тождества 5 а) следует, что
A\jB = 7 П 7Г.
Но А~=А, В —В (тождество 6), тогда
A U В = А П В.
Применив операцию дополнения к обеим частям этого равенства, получим
1 Напомним, что пустое множество — это множество, в котором нет ни одного элемента. Обозначение пустого множества 0.
A U В = АП В, т. е. А и В = А П В.
На этом примере виден общий прием доказательства любого из тождеств б): основная его идея состоит в том, что следует начать с написания «соседнего» тождества, т. е. соответствующего тождества а), но для дополнений аргументов, и применить к обеим частям полученного тождества операцию дополнения.
Можно доказать, что все записанные тождества выводятся и из тождеств 1, 2, 3, 8, 10 и даже из тождеств 2, 3, 8, 10.
Упражнение 3. Вывести тождества 6 и 9 из 8 и 10.
Указание. Взятие дополнения — алгебраическая операция. Поэтому если для какой-нибудь пары множеств А, В удастся доказать что A\}B — U и А[\В — = 0, то, следовательно, А = В.
Операции объединения и пересечения в приведенном списке основных свойств естественно сопоставлены. Из каждого тождества получается записанное с ним рядом, если сделать такие замены: во-первых, поменять местами У и П и, во-вторых, поменять местами U и 0.
Вообще, если в формуле, составленной из символов множеств Ль А2, АПу 0, U с помощью операций U, П-1 сделать эти две замены, то полученная формула называется двойственной исходной. В теории множеств доказывается следующее утверждение, называемое принципом двойственности: если на основе тождеств I—Ю можно доказать некоторое равенство (оно, следовательно, будет тождеством), то двойственное ему равенство также будет тождеством. Способ рассуждения, при помощи которого эта теорема может быть доказана, был, в сущности, использован при решении упражнения 2.
В заключение этого краткого обзора рассмотрения основных свойств операций U, П“. отметим, что между вторым и третьим способом доказательства тождеств имеется некоторая разница (которую читатель, возможно, уже заметил). Второй способ (называемым иногда способом «поэлементного счета»), безусловно, является наиболее универсальным, потому что никаких ограничений на рассуждения практически не накладывается — лишь бы они были строго логичными. В отличие от второго, третий способ разрешает пользоваться только основными тождествами. Возникает поэтому во*


прос: можно ли доказать чисто алгебраически, третьим способом, любое теоретико-множественное тождество 2? Оказывается, да. Этот факт принадлежит к числу наиболее глубоких свойств операций над множествами.
§ 2. Построение новых операций над множествами
С помощью рассмотренных нами операций над множествами можно приводить много примеров других бинарных операций. Например, отображение, которое каждой паре множеств А, В сопоставляет множество А П В, является бинарной алгебраической операцией. В самом деле, оно выполнимо для любой пары множеств Л, В, а результатом ее служит однозначно определенное аргументами множество. Определенная здесь операция называется разностью множеств Л и В и обозначается Л\В (используется также обозначение Л—В).
Упражнение 4. Приведите определение разности множеств, рассматривая принадлежность элементов: разностью множеств Л и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые... . Изобразите диаграмму Эйлера—Венна для разности множеств (см. рис. 1,6).
Упражнение 5. Докажите, что разность множеств удовлетворяет таким тождествам:
(Л \ В) и В = А и В; А и (Л \ В) = Л;
(Л \ В) U (В \ С) и (С \ Л) U (Л П В П С) =
= л и В и с\
Определяя с помощью операций (J, П,“ новые операции, можно натолкнуться на такие отображения, которые, как может показаться, бинарными не будут.
Упражнение 6. Рассмотрите отображение, которое паре Л, В сопоставляет множество Л°В, равное (Л Г) В) U (Л П В) U (А П В) (J (Л П В). Покажите, что (Л ПВ) U (Л ПВ) U (ЯП В) [)ЛПВ) = и.
Таким образом, AoB = U — тождество, т. е. результат не зависит от того, какие взяты аргументы. Но и это отображение также считается бинарной операцией. Подобные операции можно сопоставить с обычными числовыми функциями, которые принимают одно и то же числовое значение на всей области определения.
Приведем еще один пример. Рассмотрите операцию Л^-В, определенную по формуле Л^В=(ЛГ)В)и и (Л ПВ). Из упражнения 1 следует, что эта (бинарная!) операция не зависит от второго аргумента.
Из бинарных операций над множествами, которые строятся описанным способом, рассмотрим более подробно операцию, называемую симметрической разностью множеств.
Определение. Симметрической разностью множеств Л и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат только одному из множеств Л, В. Симметрическую разность множеств Л, В будем обозначать так: ЛДВ (очень
употребительна — и читатель вскоре поймет, почему — также запись Л+В). Легко_ проверить, исходя из определения, что ЛДВ = (Л Г) В) U (4 П В) (см. рис. 1,в).
2 Конечно, предполагается, что в записи тождества над множествами используются только операции U, П,“ а рассматриваемые формулы включают только символы переменных множеств, 0 и U.
3 Ни в правой, ни в левой частях этого равенства мы не указали порядок выполнения операции объединения (а в левой части — и пересечения). Почему это можно не делать? Потому что операция объединения ассоциативна, результат не зависит от порядка ее выполнения. По той же причине не пишут скобки, когда используют арифметические выражения типа а-\-Ь-\-с.
Чтобы объяснить особую роль операции симметрической разности, вспомним определение коммутативной группы.
Определение. Множество А, на котором задана бинарная алгебраическая операция (обозначим ее о), называется коммутативной группой, если выполняются условия: 1) эта операция коммутативна и ассоциативна, 2) существует нейтральный элемент 0, т. е. такой элемент, что xob = box = х для всех х£А, 3) для любого элемента х £ А существует единственный элемент хг, для которого хох' = х'ох = 0, этот элемент называется симметричным к данному.
Для обозначения операции в группе применяют обозначения + или •; при этом используют обычные термины: сумма, нуль, противоположный элемент в первом случае и произведение, единица, обратный элемент во втором.
Теорема. Семейство всех подмножеств универсального множества U с операцией симметрической разности является группой.
Доказательство. 1) Коммутативность симметрической разности почти очевидна. Для проверки ассоциативности воспользуемся диаграммой Эйлера—Венна. Рис. 2 — диаграмма для (ЛЛВ)АС; это множество изображают четыре заштрихованные прямоугольника.
А
ж
в
W/M
18!
В
Рис. 2 Ал(ВаС)=(АаВ)аС
Но тот же рисунок — диаграмма и для ЛА(ВАС) (укажите на этой диаграмме изображения ВАС и ЛАВ). Поскольку диаграммы для (ЛАВ)ДС и Л А (ВАС) одинаковы, то (ЛДВ) АС=Л Д (ВАС). Строгое доказательство этого равенства с помощью поэлементного счета или же вывода его из основных тождеств довольно громоздко и мы его здесь не приводим.
2) Роль нейтрального элемента играет пустое множество.
3) Можно проверить, что для операции симметрической разности выполняется тождество ЛДЛ=0, более того, равенство ЛДВ = 0 выполняется только если В —Л. Но это как раз и означает, что любое множество Л симметрично самому себе относительно операции Д, т. е. что для операции симметрической разности А'—А. Тем самым теорема доказана.
Упражнение 7. Покажите, что из равенства ААС = ВАС следует равенство Л = В и что уравнение ААХ = В имеет (единственное) решение, равное ЛДВ.
Точно так же, как была показана ассоциативность симметрической разности, можно убедиться и в том, что в рассматриваемом множестве всех подмножеств U операция пересечения дистрибутивна относительно симметрической разности, т. е.
Л Г) (В Д С) = (Л П В) Д (Л П С).
Действительно, обе части этого равенства изображаются одной и той же диаграммой.
Упражнение 8. Показать, что равенства Ли (ВАС) — (ЛиВ) Д (ЛиС) (Д вместо П в формуле За), ЛД (BflC) = (ЛДВ)П(ЛДС) (Д вместо U в формуле За), не тождества (см. рис. 3).
Упражнение 9. Какие групповые свойства выполняются, если рассматривать семейство множеств
3 Математика в школе, № 4
65


ш.
А Ц(ВлС)ф(АUВ)Л (AUС)
Рис. 3
1) 	относительно операции объединения, 2) относительно операции пересечения?
Наряду с понятием группы, понятие кольца — одно из важнейших понятий, нужных для школьной алгебры. Напомним определение.
Определение. Коммутативным кольцом называется множество Л\ в котором определены две бинарные операции—«сложение» (обозначается знаком Ф) и «умножение (обозначается знаком О), удовлетворяющие условиям: }) относительно сложения множество К является коммутативной групцой; 2) умножение коммутативно и ассоциативно; 3) умножение дистрибутивно относцте^Н° сложения, т. е. для всех элементов х, г/, z^K
xQ (yQz) = (х<Эу) Ш (х<Эz).
Рхли, кроме того, в К существует нейтральный по «умножению» элемент (назовем его единицей), то К называется кольцом с единицей.
Теорема. Множество всех подмножеств универсального множества относительно операций «сложения» (Л) и «умножения» (0) образует коммутативное кольцо с единицей.
Доказательство, То, что К — группа по «сложению», только что доказано. Коммутативность и ассоциативность «умножения» известны. Дистрибутивность «умножения» относительно «сложения» была отмечена. Наконец, единицей в кольце К служит U.
Упражнение 10. Покажите, что множество всех подмножеств U является кольцом относительно таких операций:
«сложение» ЛфВ— (A U В) П (Л U В);
«умножение» А<ЭВ — А IJ В.
Указание. Воспользуйтесь принципом двойственности и двумя предыдущими теоремами.
При проведении преобразований в определенном кольце К можно пользоваться обычными свойствами преобразований числовых выражений. В некоторых отношениях производить преобразования в К даже «проще». Например, все показатели степени можно опускать, а все коэффициенты заменять на 1 или 0, смотря по тому, нечетны они или четны 4.
§ 3. Операции с тремя и более множествами.
Базисы операций над множествами
Операции над множествами эдожно выполнять не обязательно с одним или двумя аргументами. Например, отображение, которое каждым трем множествам А, В, С сопоставляет множество ср(Л, В, С) = = А У (В П С),— это тоже некоторая алгебраическая операция над множествами, но имеющая три аргумента. Дадим общее определение.
Определение, п-арной алгебраической операцией на множестве А называется отображение, которое каждому (упорядоченному) набору из п элементов мно¬
4 Коммутативное кольцо с единицей, в котором выполняется тождество х<Эх — х, называется булецым колыюм Рассмотренное нами кольцо К является простейшим примером булева кольца. Эти кольца играют большую роль во многих разделах современной математики.
жества А сопоставляет однозначно определенный этим набором элемент множества Л. В § 1 были определены частные случаи алгебраических операций: при дг = = 1 — унарные и при п = 2 — бинарные.
В самом начале статьи было сказано, что алгебра множеств изучает свойства операций над множествами. Это не вполне верно, точнее — это излишне широкое толкование термина. В действительности, основная задача алгебры множеств — изучать операции (J. Л,“~ и те операции, подобные рассмотренным, которые строятся с их помощью. Такие операции называются операциями алгебры множеств.
Таким образом, /г-арная операция алгебры множеств имеет вид
ф(Ль А2, ..., An)=t(Au Л г, Ап, 0, U), где /(Ль ..., U)—фррмула, составленная из символов Л], ..., и, 0 с помощью символов операций U, )],“•
Назовем базисом (полной системой) операций алгебры множеств всякий набор этих операций, если через них можно выразить все остальные. Когда число отобранных операций нельзя уменьшить, базис называется минимальным. Основной базис — это, очевидно, базис, состоящий из операций U, П,“ — рни прямо указаны в определении. Однако имеются и другие базисы.
Пример 1. Операцию объединения можнр выразить через операции пересечения и допрлнен^я. Проверьте, что
А П В = A g В.
Следовательно, набор только из операций пересечения и дополнения служит базисам. Действительно, если через эти операции можно выразить операции основного базиса, то через них можно выразить и все операции вообще.
Упражнение 11. Покажите, что система из операций и,- — базис.
Пример 2. Система, состоящая из операций пересечения и симметрической разности, является базисом. Действительно:
А = A AU\ A U В = (Л п В) А А А В.
Пример 3- Удицительно, но есть система, состоящая всего из одной операции и все-таки являющаяся базисом. Вот эта операция: с (Л, /?) = Л fi В\ она называется операцией Шеффера.
Вот как выражается дополнение через операцию Шеффера:
А = ЛГИ/ = с (Л, U).
Упражнение 12. Выразите через операцию Шеффера операции пересечения и объединения. Выразите, кроме того, через операцию Шеффера нулевую операцию, т. е. операцию, которая сопоставляет каждой паре множеств пустое множество.
Количество различных п операций очень быстро растет с ростом п. Естественно встает задача: найти общий способ для задания таких операций. Описание этого способа, конечно, будет разным в зависимости от того,, калой базис мы возьмем. Рассмотрим наиболее известный случай представления операций, когда в качестве базиса рассматривается система U, П,“*
Определение. Пусть Аи А2, Лп —подмножества U. Тогда любое множество вида С1ПС2П-П П Сп, где равно Л г либр Аи называется
конституентой относительно Ль ..., Лп.
Существует, очевидно, 2я различно записанных кон- ституент от п множеств. Заметим, что различно записанные коцституенты не пересекаются. Действительно,
66


если (fx n Cg П ... П <?„—дру-
гая конституента (от тех же множеств) и, скажем, то, поскольку одна из этих конституент содержится в Cv а другая—в равном, очевидно, С1, то эти две консти- туенты не пересекаются. Можно показать (это несложно, но довольно громоздко), что всякое множество вида t (Аъ А>,..., Ап> 0, (J), не равное 0, можно представить в виде объединения подходящего набора конституент 0т
Аг Ап. Отсюда следует, что существует всего не
9п
более 2 л-арных операций алгебры множеств. Действительно, каждая из 2п конституент может в записи операции быть либо использована либо неиспользова- на. Возможностей для записц таких объединений
9 П
2 —1, так как хотя одна конституента в объединение,
должна войти. Кроме того, есть еще нулевая операция, которая сопоставляет каждому набору п множеств пустое множество.
Упражнение 13. При п== 2 имеется 4 конститу- енты: A f| Вч А[\В, А{]В, А[\В. На рис. 4 заштриховано изображение множества, равного значению бинарной алгебраической операции А о В. Выразите эту операцию в виде объединения конституент.
Полный список бинарных операций приведен, например, в статье С. Г. Гиндикина [2].
Литература
1. Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. М., «Наука», 1972.
2. Гиндикин С. Г. Сколько существует операций над множествами? «Квант», 1973, № 7.
3. Калужнин Л. А. Введение в общую алгебру. М., «Наука», 1973.
4. Куратовский КМостовский А. Теория множеств. М., «Мир», 1970.
И. А- Марнянскнй
(г. Николаев)
О ФУНКЦИИ ЗНАК ЧИСЛА
В математике рассматривается функция sgn х (латинское слово signum означает знак):
{1 при х > О,
О при х = О,
—1 при х < 0.
х
От функции у = -j-yj, которая эстречается в курсе
IX класса при изучении производной функции \х\, она отличается лишь тем, что ее область определения содержит точку х = 0.
Задачей, приводящей к функции sgn х, может служить следующая: найти тзкую нечетную функцию f(x)y чтобы при всех действительных значениях х было верно равенство
х=[(х)\х\ (или \х\ =f(x)x).
Покажем, как можно было бы использовать функ- цию сигнум в школьной алгебре.
В задаче 342 (Алгебра. Учебное посрбие для 8 класса средней школы. М., «Просвещение», 1974, с. 86) требуется доказать обратимость функции у = х3. Решив эту задачу, учащиеся убеждаются в том, что обратная функция определена на множестве всех действительных чисел. Позднее, на с. 98, приведена формула
3
у-^=ух для функции, обратной функции х3, но рассматриваемой только на множестве неотрицательных чисел. Естественно, возникает вопрос о представлении функции, обратной функции *3, на всей ее области опреде¬
ления. Используя знак арифметического корня, можно эту функцию записать так: з _
У х при х > 0,
3
— У —х при jt<Q.
Запись окажется более компактной, если использовать функцию сигнум:
3
у = Sgn X У\х\.
В задаче № 386 этого же учебного пособия (с. 103) требуется внести под знак корня числовые и буквенные множители с учетом их знаков. Использовав соотношение r = sgnx|x|, легко получить общую формулу, полезную для решения подобных задач: п п
х У а = sgnx У а \х\п.
В IX кдассе при изучении предела и непрерывности функции полезно рассмотреть функцию r/=(sgnjt)2, которая определена в точке х = 0, имеет предел в этой точке, но не является непрерывной в ней. Наконец, при изучении производной можно рассмотреть следующее свойство функции сигнум: она не является постоянной, хотя ее производная равна нулю при .всех действительных значениях ху за исключением л: = 0. Этот пример показывает, что если в одной точке промежутку производная от функции не определена, то функция может не быть постоянной на промежутке, несмотря на обращение в нуль значений производной во всех других точках.
Из вышеизложенного следует, что в VIII классе наряду с функциями модуль числа, целая и дробная часть числа полезно остановиться и на прямой их «родственнице» — на функции сигнум, назвав ее, для простоты, знаком числа. Определить ее можно как функцию, значение которой для каждого числа х=^0 х
равно отношению-щ-, а при * = 0 равно 0.
67


А. 	Н. КОЛМОГОРОВ, Г. А. ГАЛЬПЕРИН
(Москва)
XXXVSII МОСКОВСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
С 23 февраля по 23 марта 1975 г. проходила XXXVIII Московская математическая олимпиада школьников.
Первый тур олимпиады проводился в этом году только среди учащихся X класса, в заключительном туре принимали участие школьники VII—X классов. Общее количество участников было около 4000; число участников в каждом классе приблизительно было одно и то же (хотя самых младших школьников — семиклассников, как и раньше, было больше всего).
В приведенных таблицах указано количество решивших ту или иную задачу в своем классе на заключительном туре (значок + ставился за полностью решенную задачу; ± ставился, если в решении имелись мелкие погрешности). В скобках указан номер задачи в приведенном ниже списке.
VII класс
1(1)
2(2)
3(3)
4 (4)
№
а
б
+
175
34
13
114
4
±
35
6
1
26
0
VIII класс
3(1)
4 (б)
5(4)
№
1(2)
2(5)
а | б
а
б
1 в
+
187
168
25
6
5
136
12
15
4~
48
24
33
4
3
49
25
9
IX класс
1(2)
2(1)
3(6)
4(7)
5(9)
X
а
б
+
191
188
25
23
11
10
±
10
21
7
23
2
0
X класс
i(D
2(7)
3(3)
4(8)
5(9)
+
37
20
44
10
11
±
4
7
19
5
0
Мы видим, что наиболее трудные задачи (кроме задачи 4 в VIII кл.) были решены не менее чем 10 уча¬
щимися, а наиболее легкие — более чем 150 учащимися (кроме X кл.).
Приведем условия задач второго тура и их решения. В скобках после условия задачи указаны фамилия ее автора и класс, в котором она предлагалась. Некоторые из задач будут опубликованы в журнале «Квант».
1. Какое из двух чисел больше:
2 \ з \
а) 22'” j п раз или З3*'# ] (/г—1) раз;
б) З3“* } п раз или 44**’ | (/2 — 1) раз?
(Г. А. Гальперин; VII — X кл., в VII кл. предлагался только пункт а) при п = 100.)
Замечание. Возведение в степень осуще¬
ствляется «сверху вниз»: например,
Предполагается п > 1.
Решение, а) При п = 2 22 > 3. При п = 3 2'^ = = 16 <27 = З3; по индукции получаем, что при всех п > 3
2 3
22’" } п раз <33**- } (п—1) раз.
б) 1-е р е ш е н и е. Обозначим
Лл = 33’“ } п раз, Вп = 44’** } п раз.
Докажем, что при всех п выполняется неравенство
Ап > Вп—,. Будем доказывать по индукции даже более сильное неравенство Ап > 2Вп—г. При п = 2 А2 = = 33> 2-4 = 2ZJ,.
Индуктивный шаг: дохажем, что Ап+г > 2Вп в предположении, что неравенство Ап > 2Bn—t выполнено. Имеем:
3Лл ■> з2вл-1 „ 9вл-1 _ (2,25)В',-1-4В'’-1 > 2-4В"-',
т. е. Ап.и > 2Вп, что и требовалось.
2-е решение. Оказывается, справедливо двойное неравенство
З3‘*‘ i п раз > 22*“ } (п -f- 1) раз > 44”’ 1 (п— 1) раз.
В пункте а) левое неравенство уже доказано. Дока¬
жем правое индукцией по п.
При а > 1 имеет место неравенство 22“> 4*3, по¬
скольку 2а > 2а при а > 2. Предположим справедли-
2 v 4 .
вость неравенства 22*“ ) (п ■+■ 1) раз>44“' } (п — 1) раз при некотором /г. Тогда
о2*“ 2}(я+1) раз 4...4 }(/г—1) раз
2 > 4 ]
Этим неравенством индуктивный переход и завершается.
2. В окружность вписан выпуклый семиугольник. Известно, что величины каких-то трех его углов равны 120°. Доказать, что какие-то две его стороны имеют одинаковую длину.
(В. И. Арнольд; VII—IX кл.)
Решение. Докажем сначала, что какие-то два из трех углов по 120° прилегают к одной стороне семиугольника.
Предположим, что это не так. Тогда мы имеем ситуацию, изображенную на рисунке 1 (углы А, В, С, величина каждого из которых 120°, идут через один по часовой стрелке), с точностью до поворота и ориентации плоскости. Обозначим через а, р и у дуги, дополнительные к дугам, на которые опираются углы А, и С со-
68


ответственно (вершина А лежит на дуге а, В — на дуге р и С — на дуге у)- Дуги а, р и У могут иметь попарно не более одной общей точки (конца дуги). Так
как при этом а = р = У = 120°, то объединение дуг
а, р и у является окружностью (а + р + V = 360°). Это противоречит тому, что в окружность вписан семиугольник (седьмая вершина исчезает).
Итак, имеется сторона (обозначим ее NK), к которой прилегают углы по 120° (рис. 2). Рассмотрим симметрию относительно серединного перпендикуляра к [Лг/С]. Получим совпадение точек N и К, а также точек М и L. Следовательно, [МУУ] совпадает с [KL], что и доказывает утверждение задачи: |A1/V| = \KL\.
3. Коля и Витя играют в следующую игру. На столе лежит кучка из п камней. Мальчики делают ходы поочередно, причем начинает Коля. При каждом ходе играющий делит каждую кучку, в которой больше одного камня, на две меньшие кучки. Выигрывает тот, кто после своего хода оставляет кучки по одному камню в каждой. Сможет ли Коля играть так, чтобы выиграть при любой игре Вити?
(С. В. Фомин; #VII кл. я — 31, в X кл. /г = 100.)
Решение. Для числа п найдется единственное натуральное число &, такое, что 2k — 1 ^ п < 2/г+1 — 1.
Докажем, что если п > 2й—1, то Коля выигрывает при любой игре Вити.
Первым ходом Коля делит кучку из п камней на две по 2k—1 и m = п—(2й—1) камней (m ^ 2k—1). Как бы получившиеся кучки ни делил Витя, в одной из новых кучек будет больше 2/{_1 — I камней, так как (2^-1—1) -f (2/i_1 — 1) = 2h — 2 < 2h—1. Тогда своим ходом Коля сделает число камней в большей кучке равным 2k~l — 1. Кучка из m камней была не больше первой, и ее можно поделить на не большие части.
И далее Коля придерживается этой стратегии. Он добивается того, чтобы каждый раз после его хода максимум числа камней в кучке был равен шах = 2°—1, где а — некоторое натуральное число. Тогда после следующего хода Вити будет выполняться неравенство 2a-i — 1 < max < 2а — 1, и наибольшую кучку можно будет разделить на две, сделав шах == 2а-1 — 1 (ход Коли), а остальные (меньшие) кучки разбить на не большие части. Своим последним ходом Коля реализует п кучек по одному камню в каждой и выигрывает.
Если же п — 2h — 1, то Коля с Витей меняются ролями и Коля проигрывает.
Ответ: при я = 31=25 — 1 Коля проигрывает; при п— 100 ф 2h — 1 Коля выигрывает.
4. В последовательности 19752... каоюдая цифра, на- чиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырех цифр. Встретится ли в этой последовательности а) набор цифр 1234? 3269? б) вторично набор 1975? в) набор 8197?
(Г. А. Гуревич; VII кл. только а), б), VIII кл. полностью.)
Решение, а) Заменим каждую цифру получившейся последовательности нулем, если она четная, и единицей, если она нечетная. Получим последовательность
1111011110111101..., в которой после четырех единиц следует нуль, а далее опять четыре единицы и т. д. Наборам 1234 и 3269 соответствуют четверки цифр 1010 и 1001, которые в нашей последовательности не встречаются.
б) В решении используются две идеи: 1) Имеется
лишь конечное число наборов четырехзначных чисел. Поэтому в нашей последовательности какие-то два набора из четырех идущих подряд цифр образуют одно и то же число abed (так как последовательность бесконечна). Обозначим два ближайших таких набора через A j и Л2:
1975.. .abed,. .abed... .
А\ А?
2) Нетрудно видеть, что если Х\, х2, *з, *4 — идущие подряд цифры и по ним определяется следующая цифра *5, то по цифрам х2, *з, х4, х$ однозначно восстанавливается Х\ (например, можно воспользоваться арифметикой вычетов по модулю 10). Поэтому имеющуюся бесконечную вправо последовательность можно продолжить неограниченно влево с сохранением условий задачи.
Пройдемся по последовательности вправо от числа А\ до числа Л2. Докажем, что в промежутке обязательно встретится число 1975.
Для этого заметим, что бесконечная в обе стороны последовательность периодична с периодом, равным длине промежутка от А\ до Л2. И если бы число 1975 не встретилось в промежутке между А\ и Л2, то оно не встретилось бы вообще в последовательности, что противоречит условию.
Итак, набор 1975 встретится вторично как во всей, так и в первоначальной последовательности (даже счетное число раз!).
Примечание. Геометрически обе идеи можно высказать так. По некоторому правилу строится набор точек, связанных стрелками, причем имеется способ доказать, что где-то образуется цикл (рис. 3,а). Если потом выясняется, что по некоторому обратному правилу можно «раскрутить» эту последовательность назад, то в результате образуется «чистый» цикл (рис. 3,6). Последний результат " используется в дальнейших исследованиях.
в) Результат этого пункта почти автоматически следует из рассуждений пункта б).
Определим • цифру х, стоящую в бесконечной в обе стороны последовательности перед набором 1975: х -j- 1 +9 + 7 5 (mod 10) -<=>- х + 7 = 5 (mod 10) -<=>■
-<=> X — 8.
Мы видим, что набор 8197 в этой последовательности встретился. Следовательно, он встретится и в первоначальной (бесконечной вправо) последовательности.
5. 	Имеются две страны: Обычная и Зазеркалье. У каж-
Рис. 3
69


даго города в Обычной стране есть «двойник» в Зазеркалье, и наоборот. Однако если в Обычной стране какие-то два города соединены железной дорогой, то в Зазеркалье эти города не соединены, а любые два несоединенных в Обычной стране города обязательно соединены железной дорогой в Зазеркалье. В Обычной стране девочка Алиса не может проехать из города А в город В, сделав менее двух пересадок. Доказать, что Алиса в Зазеркалье сможет проехать из любого города в любой другой, сделав не более двух пересадок (пересадки делаются только в городах).
(Е. А. Тимофеев; VIII кл.)
Решение. В Обычной стране города А и В не соединены дорогой — иначе из А в В можно было бы проехать, сделав 0 пересадок. Следовательно, они соединены дорогой в Зазеркалье.
Пусть С — произвольный город (С ф А, В). В Обычной стране он не мог быть соединен одновременно и с Л, и с В (иначе из А в В достаточно сделать 1 — меньше 2 — пересадку). Следовательно, в Зазеркалье из С в один из городов А или В ведет железная дорога. Это же верно и для любого другого города D.
Чтобы в Зазеркалье попасть из С в D, надо сначала из С попасть в А или В (что, по доказанному, возможно), проехать, если понадобится, по дороге АВ и после этого попасть в D (что гоже возможно; рис. 4). При этом Алиса сделает либо 2 пересадки (рис. 4,я), либо 1 (рис. 4,6), т. е. не более 2, что и требовалось доказать.
В)
Отсюда вытекает, что команда с номером $ могла (2/1—5— 1)5
набрать не более = 2п — s — 1 очков
(поскольку она в первой группе команд от 1 до s занимает последнее место).
Команды 5 + 1, п сыграли между собой (п—s)(n — s — 1)
игр, набрав (п — s) (п — 5— 1) очков. Следовательно, команда s + 1 могла набрать не (п — s)(n— s— 1)
менее
■ = п — s — 1 очков.
Рис. 4
Поэтому максимальный разрыв в очках у команд s и s + 1 не превосходит (2п — s — I) — (п — s — 1) = п. Разрыв в п очков может достигаться, например, в следующей ситуации: команда № 1 выигрывает у всех остальных, набирая 2п — 2 очков, а остальные команды играют между собой вничью и набирают п — 2 очков (2я — 2— (л — 2) == п).
7. 	В государстве Мантисса города соединены дорогами. Длина любой дороги меньше 500 км, и из любого города в другой можно попасть, проехав по дорогам меньше 500 км. Когда одна из дорог оказалась закрытой на ремонт, выяснилось, что из каждого города можно проехать по оставшимся дорогам в любой другой. Доказать, что при этом можно проехать меньше 1500 о.
(С. Елисеев; IX—X кл.)
Решение. Пусть существуют два города X и У, которые нельзя соединить путем длины меньше 1500 км. Пусть XY— кратчайший путь длины не меньше 1500 км, Тогда между точками, находящимися одна в 500 км от X и другая в 500 км от У вдоль этого пути, расстояние не меньше 500 км. Следовательно, строго внутри дуги между этими точками есть город. Обозначим его через М. Тогда вдоль пути ХМ больше 500 км и путь МУ больше 500 км.
До закрытия дороги существовал другой путь ХМ, короче 500 км. Теперь его нет (иначе путь XMY не кратчайший). Поэтому этот другой путь имел вид ХАВМ, где Л В — закрытая дорога между городами А и В. Значит, сумма ХА + ВМ меньше 500 км (пути ХА и ВМ открыты; рис. 5).
Задача, хотя и имеет длинную формулировку, проста, и ее многие участники решили. Она является одной из самых простых теорем в теории графов, в которой фигурируют объекты — графы (у нас — города с дорогами в Обычной стране) и дополнительные графы (Зазеркалье), дополняющие друг друга до полного графа (в полном графе любые две вершины соединены ребром).
6. 	В футбольном турнире принимают участие п команд. Каждая команда встречается с каждой по одному разу, при этом выигравшей команде присуждается 2 очка, сыгравшей вничью — 1 очко, проигравшей — 0 очков. Какой максимальный разрыв в очках может быть между командами, занявшими соседние места?
(С. В. Конягин;VIII—IX кл.)
Решение. Пусть команды, занявшие места s и s+1, имеют максимально возможный разрыв в очках. Команды с номерами 1, 2, ..., 5 сыграли между собой
s (s — 1) л s(s — 1)
с> игр и набрали 2- ^= 5 (s — ч очков.
Кроме того, они сыграли с командами 5 + 1, 5 + 2,...,/? s(n—s) игр и набрали в игре с ними не более 25 х Х(п—s) очков.
Количество очков, набранных командами 1, 2, ..., s, не превосходит, следовательно,
s(s — 1) + 2s(/2 — s) = (2n — s — 1) s.
M
Рис. 5
Имелся также путь MY короче 500 км, видп МАВЧ или MBAY. В первом случае ёсть открытые пути МА + + BY меньше 500 км, во втором — MB + AY меньше 500 км. В первом случае путь XAMBY имеет длину меньше 1000 км, во втором — длина пути XAY меньше 1000 км: мы нашли более короткий, чем XMY, путь.
Полученное противоречие доказывает, что существует путь XY длины меньше 1500 км для любых городов X и У.
Замечания. I. Оценка 1500 км точная—ее нельзя уменьшить. Пример точности (рис. 6): длины дорог АХ, XY, YB и ВА равны соответственно 500—2t 500 — е, 500 — 2е и 8 — условие задачи выполнено. Если дорогу А В закрыть на ремонт, то из Л в в можно будет проехать по пути AXYB длиной 1500—5».
70


Рис. б
2. Число дорог в Мантиссе предполагалось конечным, но это в действительности не имеет значения.
8. Арена цирка освещается п различными прожекторами. Каждый прожектор освещает некоторую выпуклую фигуру. Известно, что если выключить один произвольный прожектор, то арена будет по-прежнему полностью освещена, а если выключить произвольные два прожектора, то арена полностью освещена не будет. При каких п это возможно?
(Г. А. Гальперин; X кл.)
Р е ш е н и е. п может быть любым натуральным числом, п ^ 2. Докажем это.
Занумеруем прожекторы числами 1, 2, п. Поскольку при выключении прожекторов i и / (i ф j, i, j = 1, п) apetja полностью не освещена, а при выключении каждого из них в отдельности она освещается полностью, то па арене должна иметься точка, освещаемая только прожекторами i и / и не освещаемая никакими другими.
Кроме того, любым прожектором должна освещаться выпуклая фигура. Заметив, наконец, что пар построим следующую конструкцию из прожекторов.
Расположим над круглой арекой п круглых дисков того ж: рядиуса, что и арена. В каждый диск впишем
о " (" - ; ) Г
правильный г* -угольник одинаковым образом.
Отрежем теперь
п(п 1) 2
стороной
раз маленькие сегменты, п (п -
1)
2
угольника и
Рис. 8
с£ —6
Рис. 7
а) Входящая вершина х четырехугольника не может принадлежать границе дМ многоугольника М, в противном случае четырехугольник не располагался бы внутри М (рис. 9:а).
б) Если Ч1 и Ч2 — два четырехугольника, то их входящие вершины не совпадают (в противном случае Ч\[\Ч2Ф0 — противоречие) (рис. 9,о).
ооразованпые 2
~п (п _ (у ^ частью окружности, к ней примыкающей,
по одной вертикали у всех дисков, кроме выбранных дьух (рис. 7), так что в результате у каждого диска будет отрезано (п—1) сегментов. Полученная система прожекторов—требуемая.
3 а м е ч а н и е. Из приведенного решения следует, что при любом п аналогичную конструкцию можно построить из п трехмерных' и, вообще, ^-мерных прожекторов. Для этого надо' взять прямое произведение двумерной конструкции с (/г — 2) прямыми.
В одномерном случае прожекторов может быть только п = 2 (отрезок может быть покрыт только двумя такими же отрезками с требуемыми свойствами, но это нуждается в доказательстве!). Если рассматривать покрытие окружности S1 дугами с требуемым условием, то таких дуг может быть максимум 3 (рис. 8). Эти примеры служат иллюстрацией бедности одномерной геометрии.
9. Можно ли какой-нибудь выпуклый многоугольник разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников?
(С. Елисеев; IX—X кл.)
Решение. Нельзя. Докажем утверждение от противного. Предположим, что выпуклый многоугольник М разрезан на k невыпуклых четырехугольников. Вершину четырехугольника, угол при которой больше зт, будем в дальнейшем называть входящей и обозначать буквой л' с индексом.
Отметим у каждого четырехугольника его входящую вершину. Полученных точек х2, ... будет столько же, сколько и четырехугольников, т. е. k, — это следует из б). Кроме того, все точки хх, ..., Хн расположены строго внутри М — это следует из а) (рис. 9,е).
Найдем сумму всех углов с вершинами в точках *г(1 ^ i ^ k). Она равна сумме k развернутых углов: Si = 2 nk.
Найдем сумму углов всех k четырехугольников. Она равна 22 == 2nk (сумма углов одного четырехугольника равна 2л).
Но множество о2 всех углов четырехугольников включает в себя (строго!) множество Gt всех углов при вершинах Хи Xk (хотя бы потому, что в множестве 02 содержатся углы при тех вершинах четырехугольников, которые совпадают с вершинами многоугольника М). Следовательно, должно выполняться строгое неравенство S2 > которое не выполняется в силу предыдущих подсчетов.
71


А
а)
Противоречие доказывает исходное утверждение.
Замечания. 1. Условие на выпуклость М существенно: треугольник легко разрезать на три выпуклых четырехугольника (рис. 10,а).
2. Существенно, что требуется разбить Л1 на конечное число четырехугольников. На рис. 10,6 показано, что треугольник можно разбить на бесконечное число невыпуклых четырехугольников.
3. Сферу можно разбить на конечное число невыпуклых четырехугольников (стороны их — дуги больших кругов, рис. 10,б). Здесь существенно то, что площадь поверхности сферы конечна.
Задачи
ЗАДАЧИ
ДЛЯ IV—V КЛАССОВ
1706. В двузначном числе зачеркнули цифру, и оно уменьшилось в 31 раз. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?
Г. Н. Розова (г. Тамбов)
1707. Среди первых ста натуральных чисел найдите два числа, наибольший общий делитель которых наибольший, и два числа, наименьшее общее кратное кото- рых наибольшее.
1708. Часы бьют по одному удару каждые полчаса, а каждый час — число часов. Утром часы пустили; сделав 29 ударов, они остановились. В котором часу это произошло?
В. И. Ключко (г. Алма-Ата)
1709. Найдите два двузначных числа, куб одного из которых равен квадрату другого.
И. А. Терехов (Чечено-Ингушская АССР, с. Харачой)
1710. На трех полках лежат 44 книги. Если 3 книги с третьей полки переложить на вторую, то на первой и третьей полках книг будет поровну, а на второй в 2 раза больше, чем на первой. Сколько книг было на каждой полке?
В. 	Г. Махров (Калужская обл.)
ЗАДАЧИ
ДЛЯ VI—VIII КЛАССОВ
1711. Докажите, что при помощи циркуля и линейки можно разделить угол в р° на р равных частей, если р — натуральное число, не кратное 3 и 5.
1712. В трапеции ABCD параллельно ее основаниям АВ и CD проведены два отрезка, концы которых принадлежат боковым сторонам трапеции. Вычислите длины этих отрезков, если они делят трапецию на три равновеликие части и \АВ\ = a, |CD| = Ъ.
Б. И. Кашин (Калининская обл., г. Осташков)
1713. Даны две пересекающиеся прямые I и m и не принадлежащие ни одной аз них две различные точки Ох и 02. Постройте точку Х£1 и точку Y £т так, чтобы площади ориентированных треугольников ОгХУ и 02XY были равны данным числам S1 и S2.
А. С. Т и х о м и р о в (г. Ярославль)
1714. Даны восемь точек Аи А2, А3, Л4, Л5, Аб> A1t А8. Точки Въ В2, В3, В4, Вг„ В6, В7, Bs, X, Y, Z, Т —середины отрезков АаА2у А2А3, А3А4, А^АЪ, A^Aq, AqA>2, A>jA8y AgAi, В\В3, В2В±, В^В^, BqB8, До-
—>■ —>
кажите, что ХУ = TZ.
Я. Н. С у к о н н и к (г. Киев)
1715. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АВ построены высота CD и перпендикуляр DE к стороне ВС (Е £[ВС}). Точка М—середина отрезка DE. Докажите, что отрезки АЕ а СМ перпендикулярны. (Попытайтесь найти решение методом геометрических преобразований.)
ЗАДАЧИ
ДЛЯ IX—X КЛАССОВ
1716. Решите уравнение
4 1 3
X ~h X2 X X — Ух2 — X х '
1717. При каких k уравнение
\х + 1 | — \х — 1 | = &.* + 1
имеет единственное решение?
1718. Имеются ли в последовательности квадратов натуральных чисел конечные и бесконечные подпоследовательности, являющиеся арифметическими прогрессиями?
1719. Докажите, что если при некотором фиксированном a£R и любом х из области определения функции f(x) выполняется равенство
/(дг+й)“-тЬ)'’
то f(x)—периодическая функция. Приведите пример функции и числа а, удовлетворяющих данному равенству.
1720. Является ли функция у = {х} -f sin* периодической?
1721. В пространстве даны девять точек с целочисленными координатами. Докажите, что хотя бы один из отрезков с концами в данных точках имеет середину с целочисленными координатами.
Т. А. Иванова (г. Горький)
1722. Скрещивающиеся прямые I и /, пересекают три параллельные плоскости а, (3, у соответственно в точках А, В, С и Аг, Ви Сх. От произвольной точки О отложены векторы ОМ ^ ААг, ON —
72


= ВВЪ OP = CCj. Докажите, что точки М, TV, Р принадлежат одной прямой.
М. X. П р и е д е (г. Даугавпилс)
1723. Тетраэдр A BCD пересечен плоскостями а и р, каждая из которых параллельна прямым АВ и CD. Докажите, что сечения равновелики, если расстояние от (АВ) до плоскости а равно расстоянию от (CD) до плоскости р.
М. X. П р и е д е
1724. Найдите необходимые и достаточные условия того, чтобы композиция двух осевых симметрий пространства была перестановочна.
Л. И. Кузнецова (г. Горький)
1725. Докажите, что отношение объема V правильной п-угольной пирамиды к объему Vi вписанного в нее шара удовлетворяет неравенству
71
V *8 ~п 21/, ^ _п_ •
п
Э. 	Г. Г о т м а н (г. Арзамас)
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
Производная
1726. Что можно сказать о дифференцируемой функции f(x)y если ее производная — периодическая функция?
1727. Существует ли функция, производная которой на интервале ] 0; 2 [ равна {*}?
Интеграл
1728. Пусть непрерывная функция f(x) на отрезке fa; b] монотонно возрастает и принимает положительные значения. Докажите, что если g(*)—обратная функция к /(*), то
ь f{b)
^ / U) dx + ^ g (*) dx = bf (b) — af (a).
a /(a)
С. 	Т. Б e p к о л а й к о (Белгородская обл., с. Котово)
Применение преобразований
1729. Дан треугольник ABC. Из точки D каждая его сторона видна под углом 120° Для прямых DA, DB и DC построены симметричные им относительно прямых, содержащих биссектрисы углов А, В и С треугольника. Докажите, что построенные прямые пересекаются в одной точке D' и что основания перпендикуляров, проведенных из D' к прямым ВС, С А и АВ, являются вершинами равностороннего треугольника.
А. 	А. Я г у б ь я н ц (г. Ростов-на-Дону)
1730. На сторонах треугольника ЛВС вне его построены треугольники ABM, BCN и САР так,
/\ /\ /\ что АМВ = 150°, | АМ\ = | МВ\, САР = CBN = 30°
/\ /\
и АСР= ВС N = 45°. Докажите, что т реугольник MNP— равносторонний.
3. 	А. Скопец (г. Ярославль)
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ в № 6 ЗА 1975 г.
1606. При каких а, b, с справедливо равенство abc • abc • abc — abebeba?
Решение. Цифра а не может быть больше 2, так как при а^З число abc3 содержит более 7 цифр. Цифра а не может равняться и 2, так как 2Ьс3 ^ 8 000 000. Если а = 1, то и с = 1, так как только цифра 1 в ку- бс оканчивается на 1. В этом случае b 2, при b >» 2 \bI3 ^ 1303 >> 2 000 000. Не удовлетворяют условию и b = 0, 1,2, что проверяется непосредственно. Следовательно, данное равенство не является справедливым ни при каких а, b, с.
1607. Сколько решений имеет система уравнений / ab + cd — efg,
I {a. b} U {с, 4 = {е, U g}?
Решение. Сумма двух двузначных чисел меньше 200, поэтому е — 1, а следовательно, и одна из цифр a, b, с, d тоже равна 1.
Пусть а=1, тогда из равенства \b + cd = 1 fg видно, чтчэ с == 8 или с = 9. Если с — 8, то \b + 8d = 18g или \b + 8d = 1Г8, так как 8 £{1, /, g}; но первое равенство невозможно, поскольку правая часть больше левой, а из второго равенства следует, что [ — 0, поэтому либо b = 0, либо d = 0, так как 0 £ {1, b} U {1, d]\ при этих значениях цифр получаются тоже неверные равенства. Аналогично, если с = 9, то \b + 9d = 19g или \b + 9d = 1 /9, но первое равенство невозможно, так как правая часть, очевидно, больше левой, а из второго равенства следует, что либо / = 0 и мы получаем два решения 10 + 99 = 109 и 19 + 90 = 109, либо / = 1 и равенство не достигается ни при каких b,d £{1,9}. _ _
Пусть аф 1, b= 1, тогда из равенства а\ + cd = = \ fg видно, что d=/= 9, так как в противном случае g = 0, а следовательно, а = 0 или с = 0 в силу второго равенства данной системы. Поскольку d < 9, то аЛ -f- cd = Id (d + 1), так как d £ {1, /, d + 1} и d=f=. 1, но {а, l}U{c, d] = {1, d, d + 1} и а ф 1, поэтому либо Ж -I- (rf-f- 1 )d = 1 d{d -f 1), либо (d+ 1) 1 +dd = = \d (d + 1), либо (d + 1) 1 + (d + 1) d = Id (d + 1), причем первые два равенства выполняются при условии, что d + (d + 1) = 10 + d, т. е. при d = 9; но у нас d < 9, а третье равенство выполняется при d = 8, и мы получаем еще одно решение: 91 + 98=189.
В случае с = 1 или d = 1 мы получим симметричные решения.
Итак, данная система имеет б решений: 10 + 99 = = 109, 99 + 10 = 109, 19 + 90 = 109, 90+ 19 = 109,
91 + 98 = 189, 98 + 91 = 189.
1608. Существует ли квадрат, у которого длина стороны—целое число, а площадь равна
111...1?
1977
Решение. Сумма цифр 1977 данного числа делится на 3, но не делится на 9, значит, и данное число делится на 3, но не делится на 9, а поэтому оно не является квадратом целого числа. Следовательно, требуемого квадрата не существует.
1609. Сколько существует трехзначных чисел, имеющих ровно пять делителей?
Решение. Пусть р и q — различные простые числа, тогда число pq имеет четыре делителя (1, ру qy pq), а число p2q имеет уже шесть делителей (1, р, р2, q, pq, p2q), поэтому искомые числа должны иметь аид рп. Так как число рп имеет п + 1 делитель, то пять делителей оно будет иметь при п = 4. Число рА является трех-
73


значным только для р — 5, т. е. условию задачи удовлетворяет только одно число 54 = 625.
1610. Однажды несколько друзей обменивались рукопожатиями. В некоторый момент времени оказалось, что среди любых четырех из них имеется хотя бы один человек, который уже успел пожать руки трем остальным. Докажите, что друзьям еще осталось сделать всего не более трех рукопожатий.
Решение. Пусть А и В к данному моменту не пожали друг другу руки. Среди остальных друзей нет пары С и D, которая не совершила бы рукопожатия, так как в противном случае среди четырех друзей Л, В, С и D не нашлось бы того, кто пожал руки трем остальным. По той же причине среди остальных друзей нет и такой пары С и D, каждый из которой не совершил бы рукопожатия либо с Л, либо с В. Но один человек, который не пожал руку Л или В, может оказаться, поэтому осталось сделать не более трех рукопожатий.
1611. Через вершину А параллелограмма ABCD проведен луч, пересекающий диагональ BD в точке М, сторону CD в точке Р, продолжение стороны ВС в точке Q. Доказать, что \МА |2 = \МР\ • |AfQ|.
Решение. Из гомотетии треугольников MAD и MQB, MPD и МАВ имеем соответственно
\ МА\ I AID I
|A*Q|
[ MD |
| MB| ’ | МР |
о)
(2)
IО А | Решение.
+
|ОВ|2_|ОС|2 +IODI
Так
как [АО) и [ВО) — биссектрисы
углов DAB и ABC, a DAB +'АВС = 180°, то J40B =
«=90°. Аналогично получаем, что COD = 90°.
Из треугольников АОВ и COD имеем соответственно
?АОВ
\ АВ |
\ОА\ •\ОВ\
VIОА |2 + | ОВ | IОС MODI
(1)
V\0C\
| OD |2
где г — радиус данной окружности. Из (1) и (2) следует, что
|ОЛ|2 + |0£|2 | ОС |2 4- | OD |
|ОЛ|2-|ОВ|2 “ | ОС |2-| OD |2
откуда
|ОЛ|2 + |ОВ|2 ~ IОС|2 ^ [оЩ
+
1
| МВ\ - I МА\ •
Из (1) и (2) следует, что | МА \2 = | МР || MQ |.
1612. В трапецию ABCD {[АВ] и [CD]—боковые стороны) вписана окружность с центром О. Доказать, что
1111
Через точку О проведем прямую, перпендикулярную стороне АВ и пересекающую ее н точке Р. В четырехугольнике OPBF углы Р и F прямые, поэтому он имеет описанную окружность, построенную на |/?0) как на диаметре. Поскольку [OiE] является средней
линией треугольника АОВ, то | 0,£ | = -g-, откуда следует, что точка Е принадлежит окружности с цент*
/\ /\ /\ ром О*. Следовательно, EFO = ЕВО = 30° и EFK = = 60°. Учитывая, что \FE\=*\ FK |, заключаем, что треугольник EFK равносторонний.
б) Если центр О описанной Окружности расположен вне трапеции, то рассуждения аналогичны (рис. 1,6).
в) Если О £ [Л£>], то легко показать (рис. 1,6), что
/\ /\ /\
FEK = EKF = EFK « 60°.
Ре ш е н и е 2. Рассмотрим повороты R$°, Rlp0°, Rq°.
Композиция этих поворотов отображает точку D на точку А:
<о
£>r,u~n £>180° Об0°/П\
Rfi 0 Нр °Rq '■ ) !
л.
Полученная композиция представляет собой поворот (-) R^° , где N—вершина положительно ориентирован¬
ного равностороннего треугольника ADN (рис. 2).
A/-Q
1613. В окружность радиуса R вписана трапеция ABCDt у которой I АВ\ = | CD | = R. Доказать, кто середины радиусов О А и OD и сереоина основания ВС являются вершинами равностороннего треугольника.
Решение 1. Центр О описанной окружности может находиться внутри трапеции, вне ее и на основании AD.
а) Пусть О находится внутри трапеции A BCD (рис. 1,а). Прямая OF (F — середина [ВС]) является осью симметрии трапеции и поэтому \FE\ = IF/CI, где £ и А соответственно середины радиусов ОА и OD.
Рис. 2
74


Если отобразить точку О при повороте /??Г. то по-
лучим точку Р, причем &NOP — равносторонний и ориентирован отрицательно.
С другой стороны,
/$°(0)-0, ^80°(O)=Q, tf«0°(Q) = P,
причем равносторонний треугольник OQP ориентирован положительно. Отсюда N = Q и Я]р°°(0) = N, т. е. | OF | = | FN |.
Итак, |£F| = y | A/V|> I ^ I =■ 4"IDJVI’ |£K,“
= | AD\y откуда следует, что Д EFK — равносто¬
ронний.
1614. Доказать, что для прямоугольного треугольника выполняется неравенство
<
• Y 8
ч\
где та, тъ — длины медиан, проведенных к катетам, г — радиус окружности, вписанной в треугольник.
Решение. Известго; что
b2 -f с2 а2 , а2 4- с2
та =
2
ml =
b2 4
поэтому
т1 + ть =с2 +
а2 + Ъ2
5с2 4 *
Легко показать, что для прямоугольного треугольника г — р— с, где р — его полупериметр. Тогда
г2 4г2 4 (р — с)2 (а 4- Ь-
— 5^2 = '
с)2
т\+гп\
Оценим частное
5 с2 а + b — с
5 с2
. На основании неравенства между средним арифметическим и средним гео- а -}- b с
метрическим Ихмеем —^— < —~, или а + су 2.
а Л- b — с Значит, <
2
г/2-
т. е.
а -f b — с с
<
< V 2 — 1.
Поскольку левая и правая части последнего нера- (в + Ь — cf ^
Z5 -**3— у 8, от-
венства положительны, то куда и следует, что
т~а + Щ
<
3— /8
1615. Ианы равносторонние одинаково ориентированные треугольники ABC и А]В\Сь Прямые АВ и А\В]ч ВС и £,СЬ С А и С\А\ пересекаются в точках М, N, Р соответственно. Доказать, что окружности, проходящие через тройки точек М, А, Ль N, В, В\\ Р, С, Си имеют общую точку.
Решение. Два равносторонних треугольника подобны. Так как ABC и А\ВХС\ одинаково ориентированы, то существует подобие первого рода, при котором Л->Л], ВВ1, С-*С 1. Точка S пересечения окружностей, проходящих через тройки точек Л, М, А] и В, М, В\, неподвижна при этом подобии (рис. 3). Точки пересечения окружностей, проходящих через тройки В, N, В\ и С, N, Си С, Р, Ci и Л, Р, А и также неподвижны. По¬
скольку подобие Tie может иметь более одной неподвижной точки, то все три точки совпадают с точкой S.
Заметим, что доказанное предложение имеет место для любых подобных и одинаково ориентированных треугольников. Условие, что треугольники ЛВС и А\В)С\ — равносторонние, использовано лишь для установления подобия треугольников.
^616. Пусть А некоторое множество, состоящее из положительных рациональных чисел. Будем говорить, что число х £ А предшествует
числу у £ А, если в представлении чисел х = ,
г
у = -j- в виде несократимых дробей с положительными числителями и знаменателями выполняется не равенство р<г. Задает ли это правило порядок на множестве АР Если нет, то Привести примеры.
Р е ш е н и е. Пусть для некоторых элементов множества S установлено правило предшествования х У- Говорят, что на множестве задан порядок, если выполняются следующие два условия: 1) из того, что х у
и у -< г, следует, что х г; 2) из того, что х -< у
и у х, следует, что х = у. Такой порядок называется частичным. Если сравнимы любые два элемента из S, то порядок называется линейным. В этом смысле на множестве Л указанное правило предшествования задает частичный порядок. Этот порядок может и не быть линейным, если в множестве Л имеются несократимые дроби с равными числителями и различными знаменателями. Интересно отметить, что если в условии строгое неравенство р <С г заменить нестрогим р ^ г, то такое правило предшествования может и не задавать порядок, так как условие 2) не будет выполняться для несократимых дробей с равными числителями и различными знаменателями.
1617. Пусть Л={ 1, 2 п}, В=:{1, 2, ..., k}.
Сколько существует подмножеств С а А таких, что СПВ Ф0?
Решение. Множество, состоящее из m элементов, имеет 2т подмножеств, так как для каждого из m элементов есть только две возможности — входить или не входить в подмножество. Отсюда следует, что при п ^ k любое непустое подмножество множества Л удовлетворяет условию и таких подмножеств 2П—1. При п > k удобно сначала подсчитать число подмножеств С а А, таких, что С f| В = 0 Такие подмножества С состоят из элементов k + 1, k-\-2, ..., п, и поэтому их имеется 2й ”к. Поскольку Л имеет всего 2п подмножеств, то условию задачи удовлетворяют остальные 2n — 2п ~ h подмножеств.
Итак, если п ^ k, то число искомых подмножеств равно 2п—1, а при n>k равно 2я—2п~к%
75


1618. 	Найта хотя бы два иррациональных числа а и р, таких, что а?—число рациональное.
Решение. Искомыми числами будут, например, а = |^2~ и P=log^~3. Число Y2 является извест-
т
ным иррациональным числом. Пусть log^~3 = —, т
тогда (i/"2*) Л = 3, откуда 2т = 32Л, что не выполняется ни при каких целых тф 0 и пфО, поэтому и число l°g^2"3 — иррациональное. Число же
(/2 )10^2 3 = 3
- рациональное.
1619. 	Последовательность (ап) задана правилами: 2 11
А, а2 = В, —
1 ап an—i
Доказать, что lim а/г = 0.
П->со
+
(Л>£>0).
Решение. Из условия следует, что 1111
а
п — 1
ап +1
т. е. последовательность является арифметиче-
1
1 1 ( ской прогрессией с общим членом = -д- +
— (п“ *)• 0тС1°Да
В
АВ
11 ~ В + (А—В) (п — 1) и, следовательно, lim ап = 0.
П-^оо
1620. Найти острые углы а и р, если COS а + COS р — COS (а + р) = 1,5. Решение. Имеем последовательно:
COS а + COS р — COS (а + Р) = 1,5,
а + Р а— Р 2 COS о COS
4 cos'
2
а + Р
а -f- Р
2 cos2 —о— +1 = 1,5,
- 4 cos
а + Р
-cos
2
а— Р
2
-f cos2
i1)-
— cos2 •
2 cos
- cos
+ 1= 0,
a — В + sin2 2 = °-
P
Отсюда из равенства sin —^ ^ следует, что a =
«4-
(а и p — углы острые), а из равенства 2 cos—j- tz-p
cos
“2— при a = p следует, что 2 cos a — I, т. e.
IP
Итак, a = p = -g“.
1621. Доказать, что если многочлен
ай хп 4- ах хп-1 4- а.г хп~2 +... 4- ап
равен нулю при любом значении х, то а0 = ах = а2 = ... = ап = 0.
Решение 1. Проведем доказательство индукцией по п. Если п = 0, то а0 = 0. Пусть утверждение справедливо для п—1 и / (х) = я0 хп 4- .. • 4- ап = 0. Тогда / (2х) = 0, а следовательно, g (х) — / (2*) — — 2/2/(jt) = 0, и поскольку g (х) не содержит хп, то, согласно индуктивному предположению, а1 = а2=...
.. . = ап = 0, но тогда и а0 = 0.
Решение 2. Пусть / (х) = а0 хп-{- ... 4~ ап = тогда при jt = 0 получаем, что ап = 0 и / (*) = =x-g(x) еее 0, гд —ь ^U) = 0
при х=^=0, поэтому lim g (х) = 0. Но limg(A') =
х-у0 х-+0
= £(0), так как g (х) — непрерывная функция, а следовательно, g(jt) = 0 при любом х, откуда при х = О получаем ап—х = 0. Аналогично устанавливаем, что ап—2 = а,2—з = ... = а0 = €.
Решение 3. Если / (х) = 0, то /' (л') = 0. f" (*) = s0 fw(x) = 0, но ап = /(0),
<2п —
/(п)(0)
л!
следовательно, а0 = aj = ... = ап = 0.
1622. В пространстве даны две прямые. Указать все осевые симметрии, отображающие одну из данных прямых на другую (рассмотреть различные случаи взаимного расположения прямых).
Решение, а) Если прямые совпадают, то искомыми симметриями будут симметрия относительно данной прямой и симметрии относительно прямых, пересекающих данные под прямым углом.
б) Если прямые параллельны и различны, то каждая из них отображается на другую при симметрии относительно средней линии данных прямых и при симметрии относительно любой прямой, перпендикулярной к плоскости данных прямых и пересекающей их среднюю линию.
в) Если прямые пересекаются, то существуют две осевые симметрии, при которых каждая из прямых отображается на другую. Оси этих симметрий лежат в плоскости данных прямых и делят пополам углы между ними.
г) Если прямые скрещиваются, то существуют также две искомые осевые симметрии. Оси симметрий лежат в плоскости, параллельной данным прямым и проходящей через середину их общего перпендикуляра, и делят пополам углы между ортогональными проекциями данных прямых на эту плоскость.
1623. В круге проведена хорда AD. Построить параллельную ей хорду ВС так, чтобы трапеция ABCD имела наибольшую площадь.
Решение. Пусть ABCD — искомая трапеция, вписанная в данный круг с центром О и радиусом R. Концы
искомой хорды ВС принадлежат большей из дуг с кон¬
цами А и D. В самом деле, если допустить противное, то можно построить на большей дуге точки Вх и С\ такие, что (ВС) || (BiCu , [ВС] ^ [BiCi]. В этом случае высота трапеции AB\C\D больше высоты трапеции ABCD, что противоречит допущению.
/\ /\ /\
Обозначим AOD = ср (ср <; 180°), АОВ = COD = х,
/\
Тогда ВОС = 360° — (2x4- <р); Sabcd^Saod^
1 1
+ ^вое = ” R2 sin <Р 4- R2 sin х — — R2 sin (2х 4- <р).
Исследуем на экстремум функцию S (л) == sin х —
76


— -~2~ sin (2х 4 ср). Из того, что S' (х) = cos х —
— cos (2х + ср) = 0, имеем 2х + ср = + х 4- 360° k, т. е#
360%— ср
при Jfj = 360°& -
и х2 = ■
функция S (л:)
им ет экстремум. Так как, согласно условию задачи, 360° — ср
0° < х < 9 , то трапеция ABCD имеет наи¬
большую площадь при х ■■
360°
Следовательно,
тетиях Н\ и tff, где LA = kLAx и LA = k'LA[, сфера отображается на искомые сферы со и о/. Если прямая LA касается сферы то искомая сфера одна.
Если /Па = 0, то 1\\т. Сфера, удовлетворяющая условию задачи, имеет радиус, равный расстоянию d от прямой / до плоскости а. Следовательно, задача имеет решения, если сфера с центром Лис радиусом d имеет с прямой / общие точки.
Если vfe но то задача решений не имеет.
Если ^ = 6, то решений бесконечное множество.
1625. 	Одна из высот треугольника видна из центра описанной около него окружности под прямым углом. Найти зависимость между углами этого треугольника.
Решение 1. Пусть высота СС\ треугольника ABC видна из центра его описанной окружности под прямым углом. Тогда из треугольника СОС\
/\
I ОС 1 = ] С Сх 1 cos OCCi.
/\
Вычислим величину угла ОССг. Из рис. 5 легко за
/\ /\
метить, что АСО = С*СВ = 90° — В, откуда
/\ л ^ ^ ^
ОС С\ - 180°—(Л + В) —2 (90° — В)= В —А.
точки В и С делят большую из дуг AD на три равные части.
Построение хорды ВС в общем случае нельзя выполнить циркулем и линейкой, так как построение точки В сводится к трисекции дуги ЛД а эта задача неразрешима циркулем и линейкой.
1624. 	Построить сферу, проходящую через две данные точки и касающуюся двух данных плоскостей.
Решение. Данные плоскости а и (3 либо параллельны, либо пересекаются. Задача может иметь решение лишь в том случае, когда данные точки А и В принадлежат слою с границами аир при а||р или одному из четырех двугранных углов, определяемых а и р.
Центр сферы есть точка, равноудаленная от плоскостей а и Р и точек Л и В.
1. Если а|| р, то радиус R сферы равен половине расстояния между плоскостями аир; центр — точка пересечения серединной плоскости для плоскостей аир и двух сфер с центрами Л и В и с радиусами R.
2. Пусть аПр = ^. Центр искомой сферы принадлежит прямой I пересечения биссекторной плоскости у двугранного угла, содержащего точки Л и В, и плоскости симметрии (б) точек Л и В. Построим сферу coi с центром в точке 01 £ /, касающуюся плоскости а (рис. 4).
В
Рис. 5
Из прямоугольного треугольника ССгВ находим,
что | ССг | = | СВ | sin В, и, применяя лемму о стороне вписанного в окружность треугольника, получаем, что
| CCj | = 2R sin A sin В, а тогда
R = 2R sin A sin В cos (В — Л), откуда
2 sin A sin В cos (Л — В) = 1.
Решение 2. Нетрудно показать, что
С)A -f ()В -j- ОС 4- OD ОС\ = 2 •
Умножив обе части этого равенства скалярно на ОС,
получим ОА ОС + ОВ ОС + OD-OC 4- ОС2 = 0, откуда
cos 2В + cos 2Л — cos 2 (Л — В) 4- 1 =0,
или
2 sin A sin Б cos (Л — В) = 1.
1626. 	Доказать, что если 0 < а < Ь, то b Ь — а a~a~> Ь + а-
Решение. Площадь криволинейной трапеции, огра-
1
ниченной линиями х = а, х = Ь, у = 0, у = ,
ь
С dx Ь
равна \ -гг- = in -
Касательная к кривой у = ■
1
в точке
' а 4- Ь
отсекает от криволинеинои
2 ’ а 4- b,
трапеции трапецию, высота которой равна b — а, сред-
2 b—а
няя линия а"—-g, так что ее площадь равна 2
b b — а
Отсюда следует, что In > 2 . Тот факт, что
указанной касательной отсекается трапеция, а не треугольник, может быть установлен вычислениями. Дей-
( 1 Y 1
ствигельно, = —~^2 > а следовательно, угло-
77


вой коэффициент касательной равен
(а + bf
и сама
касательная задается уравнением у- 4
a -j- '
(а + bf
( a -f b\
■ ( х — —2—из которого при х — Ь 4а
получаем у = ьу > °> а это 11 доказывает, что от¬
секаемая фигура есть трапеция.
1627. Доказать, что число 345 876 + 266 343 ^2
не является квадратом числа вида т -J- п V2, где т, л £ Z.
Решение 1. Так как (т 4- п -/2 )2 = т2 4- 2лг2 -f-
-j- 2тп j/2", то должны выполняться равенства
| m2-f 2л2 = 345 876,
\ 2тп « 266 343.
Но последнее равенство не выполняется ни при каких т, /2 £ Z, поскольку слева и справа стоят числа разной четности.
Решение 2. Если
(ж + /г /2 )2 = 345 876 + 266 343 /2,
то
(т _ п /2 )2 = 345 876 — 266 343 /2.
Правая часть последнего равенства отрицательна, и из полученного противоречия следует доказываемое утверждение.
1628. Дан тетраэдр МАВС, у которого все углы при вершине Л1 прямые. Доказать, что для любой точки D, принадлежащей грани ЛВС, имеет место равенство
$\вс I MD I2 - S%CD | MA p + S2cad I MB 1= +
+ S'.\bd I MC |
(1)
В частности:
1) 	если D — центр окружности, вписанной в грань ABC. то
Л Л
MD |2 =
,9 . о «>
о~ 4- с] с
= Л1£ Л4С), откуда р равно отношению объ¬
емов параллелепипедов, построенных на ребрах MD,
MB, МС и MA, MB, МС, или р -BDC
Аналогично найдем, что
§слп
ЪАВС
$АВС ’
>АВГ)
'ЛВС
После возведения в квадрат равенства (4) (учитывая, что трехгранный угол при вершине М прямой) будем иметь
| MD |2 = р21 МЛ |2 4- q21 MB |2 -f г21 МС |2. (5)
Подставляя в равенстзо (5) найденные значения р, q и г, получим равенство (1).
Если D будет центром окружности, вписанной в треугольник ABC, то площади треугольников ABC, BCD, CAD, ABD будут соответственно равны 1 1 1
Р\Г* —ахг,
-bf.
~С\Г.
Подставляя эти значения в равенство (1), полупим равенство (2).
Если D — цейтр описанной окоЛб треугольника ABC окружности, то площади треугольников ABC, BCD, CAD, ABD соответственно равны
йлЬлСл 1 1 ~ 1
-Jfi1, ~2~ si*1 2i4, —tf2s!n2C.
При подстановке этих значений в равенство (1) получим равенство (3).
1629. 	Прямая I пересекает плоскость а в точке М. Для прямой I и каждой прямой ш, лежащей в плоскости а и проходящей через точку М, построены двг оси симметрии. Доказать, что множество точек, принадлежащих всем этим осям, есть коническая поверхность второго порядка.
Решение, а) Пусть а и а,— оси симметрии прямых m и I. Тогда прямые а, а^ к I лежат в одной плоскости. Через произвольную точку L£l проведем прямую т, так, что тх || т, тх(\а = A, miC\al = Ах (рис. 6). В треугольнике АМАг угол АМАХ — прямой. В силу параллельности прямых т и т1 и симметричности L и т относительно а и <2, имеем
/\ /\ /\ /\
LAM = LMA, LAtM'-LMAu
(2) откуда следует, что | LA | = | LAX | = | LM |
где а^=\МА\, 6=|-Мб|, c=|AfC|, а, = |йС|,
6, = | С А |, Ci — | АВ |, 2 р, = й, + 6, + с,;
2) 	если D — центр описанной около треугольника ABC окружности. то
ARb -
I ЛШ2 « - —r(a2 sin22A 4-&2sin22£ 4-c2stn22C), (3) 1 a\b\ с\
где R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Решение. Условие принадлежности точки D плоскости ABC запишется следующим образом:
Тю=рМА+дШ+гМС, (4)
где р 4- q 4- г — 1.
Умножая равенство (4) скалярно на векторное произведение MB X МС и учитывая, что МВ-(МВхМС)*= «4), МС.(МВ X МС) = О, получим (MD 1мВ МС) - 78
Любая прямая, проходящая через точку L и параллельная т, лежит в плоскости К проходящей через L и параллельной плоскости а (на рисунке плоскость \ не изображена). Следовательно, ось симметрии прямых


/ и т при любом положении прямой т пересекает плоскость X в точке, удаленной от точки L на расстояние \LM\.
б) 	Если точки В и 8) принадлежат прямой пи проходящей через точку L и \LB\ — \LBi\ = \LM\1 то в треугольнике ВМВ\ имеем
/\ /\ /\ /\ /\
LBM = LMB, LBXM = LMBi, ВМВ, = 9 0°.
Через точку М проведем прямую п, так что п\\пх. Тогда прямые MB и МВ\ — оси симметрии прямых I и п.
Таким образом, множество точек, принадлежащих всем осям симметрии прямых I и т, где т — любая прямая, лежащая в плоскости а и проходящая через точку М, а I — данная прямая, есть коническая поверхность с вершиной М й направляющей — окружностью, лежащей в плоскости Я||а, имеющей центр в точке L = l[\k и радиус \ML\.
1630. 	В пространстве даны пять точек А\, Л2, Л3, Л4> As, таких, что существует аффинное преобразование пространства, при котором А\ отображается на А2, А2— на Л3, Л3— на Л4, Л4 — на Л5, Л5 — на А\. Доказать, что данные пять точек принадлежат одной плоскости.
Решение. Пусть при некотором аффинном преобразований f пространства Л1->-Л2, Л2-^Л3, Л3->Л4,
Л4 —>■ Л5, Л5 —>■ Л j. Допустим, что точки Ль Л 2, Л3, Л4, Л5 не принадлежат одной плоскости. Тогда согласно свойствам аффинного преобразования никакие четыре из данных точек не могут принадлежать одной плоскости.
/5 есть тождественное преобразование. Отсюда следует, что f — эквиаффийное преобразование первого рода. Действительно, поскольку тождественное преобразование E — f5 не меняет ориентацию пространственных фигур, то и преобразование f не меняет ориентацию. Так как при всяком аффинном преобразовании для объема V фигуры и объема V* ее образа имеет место
равенство V' = kV (k — отличное от нуля действитель¬
ное число), то из f5 = E следует, что V — k5V. Ввиду того, что уравнение kb—1=0 имеет только один действительный корень &=1, то f — эквиаффйнное преобразование.
V -> > -У >■ >
Обозначим А1А2 = a, A2Az=-b, Л3Л4 = с, Л4Л3 =
= d, Л5Л, = е.
Так как при преобразовании / тетраэдр Л,Л?Л3Л4 отображается на тетраэдр Л2Л3Л4Л5 и /— эквиаффйнное преобразование первого рода, то (Л,Л5) || (Л2Л3Л4). Следовательно, существует единственное разложение вектора е по векторам b и с : е = ub + vc.
Аналогично доказываем, что
(Л,Л2) И (Л3Л4Л5), (Л2Л3) 11 (A^AbAi), (Л3Л4) II (Л5Л1Л2), (Л4Л5) || (A,A2AZ).
Итак, получена система
а = me -f nd,
->■ —> —> . b = pd -f re,
с = se -j- ta, d — ka -f- lb, e = ub -f vc.
Так как a, b, с — некомпланарные векторы, то йз ра¬
венства а = тс -f- п (ka -f- lb) следует, что т = 0, 1 = 0, nk = 1.
Из с = s (ub + vc) -f ta следует, что
t = 0, и = 0, sv = 1.
^ —>•
Из b = р (ka ■+ /6)-f г (ub -f vc) имеем pi -f г и = 1. Получено противоречие, ибо I = 0 и « = 0. Следовательно, наше предположение неверно й точки Аи А2, Л3, Л4, Л5 принадлежат одной плоскости.
СВОДИЛ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО N2 6 ЗА 1975 г.
Андриевский С. А. (Омская обл.)' — 1609, 1611, 1614, 1617—1619, 1621, 1623, 1626, 1627. Апанасюк В. Н.
(г. Брест) — 1611—1614, 1617, 1622, 1627, 1628. Бабаян Г. А. (АрмССР, г. Горне) —1606, 1608, 1609, 1611 — 1614, 1620. Бабиенко Л. Н. (Одесская обл.) — 1608,
1609, 1611, 1617—1621, 1627. Багдасарян С. С. (АзССР, пос. Гадрут) — 1606—1615, 1617—1620, 1624. Баламе- тов И. Г. (АзССР, г. Кусары) — 1606, 1608—1612, 1614,
1617, 1619, 1620, 1627. Балицкий В С. (Алтайский край, г. Алейск) — 1616—1630. Ветров К. В. (г. Братск) — 1606, 1608, 1610—1613, 1616, 1617, 1619, 1620, 1623,
1625. 	Владимиров А. С. (Свердловская обл., г. Асбест) —1606, 1608, 1610—1616, 1618—1621, 1623—1628. Власова Т. (г. Могилев) — 1608, 1610—1612, 1614. Вой- нов И. И. (Орловская обл., г. Волхов) — 1606—1612, 1614, 1616—1621, 1623—1628. Головачев Е. А. (Белгородская обл., пос. Ворйсовка) — 1606—1612, 1614, 1617—1621, 1624—1630. Гусейнов Ш. Э. (АзССК г. Сиа- зань) — 1611, 1612, 1614, 1618, 1620, 1626? 1627. Дама- ев Г. X. (Саратовская обл.) — 1608, 1611, 1614, 1618, 1619, 1626, 1627. Ермолаев Н. К. (Ульяновская обл.) — 1608—1612, 1614, 1619, 1621, 1624, 1626, 1627. Зуби- лин Н. И. (Орловская обл.) — 1608, 1610—1612, 1614, 1616, 1618—1621, 1623, 1625. Исаев Э. И. (АзССР, с. Али-Байрамлы) — 1606, 1608, 1610—1612, 1614, 1616,
1618, 1619, 1621, 1623—1627. Касумов С. А. (АзССР, с. Ени-гюнь)— 1606, 1608. 1609, 1611, 16Й, 1617, 1619 — 1621. Курганов Т. К. (УзССР, г. Чирчик) — 1606, 1608— 1612, 1614, 1616—1620, 1626, 1627. Макаров М. Ф. (Орловская обл.) —1606, 1608 -1612, 1614, 1616, i618- 1621. Ментиков Л. Е. (г. Южпо-Уральск) — 1606, 1608,
1610, 1616, 1617, 1619. Мйхаелян М. К. (АзССР, Мар- дакертский р-н) — 1606, 1009, 1612, 1614, 1619—1621. Мойсеенко А. Е. (г. МЬгилсв) — 1606, 16d8, 1609, 1611, 1612, 1614. Мосян М. А. (г. Краснодар) — 1608, 1609,
1611, 1612, 1617—1621. Нарожмый П. П. (Воронежская обл.) —1606, 1608, 1611, 1612, 1614, 1§ J 6—1618, 1620, 1621, 1627. Невзоров А. Л. (г. Кременчуг) — 1606, 1608—1614, 1617—1621, 1623. Повелйй В. Й. (^ойенская обл.) — 1606, 1608, 1612, 1614, 1615, 1617, 1619, 1620, 1623, 1626—1628. Попов А. Н. (г. Уфа) — 1606, 1608—
1612, 1614, 1618—1620, 1624, 1626—1628, Ручкин Д. Д. (Марийская АССР, с. Арино) — 1606, 1608, 1609, 161 1, 1612, 1614, 1618, 1626, 1627. Сабитов А. М. (г. Целиноград) — 1606, 1608, 1609, 1611, 1617—1620, 1627. Сарг- сян В. Г. (АрмССР, г. Иджеван) — 1608, 1612, 1619,
1621, 1627. Саркисян А. В. (АзССР, пос. Гадрут) — 1608—1621, 1624. Симеонов А. А. (Болгария, г. Своге) — 1625—1629. Сулейманов X. И. (Ошская обл.) — 1606, 1608, 1611, 1613, 1614, 1617. Сысуев Г. Я. (Хабаровский край, с. Князе-Волконка) — 1608, 1611, 1612, 1614,
1619—1621. Томко Н. Ф. (Винницкая обл.) — 1608, 1609, 1611, 1612, 1617, 1618, 1620. Утемов В. А. (Свердлов-
(Продолжение см. на с. 81)
79


ПЕДАГОГИ- МАТЕМАТИКИ
ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ МОРДУХАЙ-БОЛТОВСКОЙ
(К 100-летию со дня рождения)
Д. Д. Мордухай-Болтовской родился 9 августа 1876 г. в семье инженера в г. Павловске Петербургской губернии. Образование получил в Петербурге — сначала в гимназии, а потом на физико-математическом факультете университета. Окончив университет в 1898 г., он по рекомендации своих университетских учителей А. А. Маркова и К. А. Поссе начинает преподавательскую деятельность ассистентом профессора Г. Ф. Вороного в Варшавском политехническом институте.
Напряженная педагогическая работа не стала помехой для подготовки к магистерским экзаменам. Сдав экзамены в 1900—1901 гг., Дмитрий Дмитриевич развертывает интенсивную научную деятельность в области математического анализа; он печатает 6 работ и в 1906 г. защищает в Петербургском университете диссертацию на ученую степень магистра чистой математики по теме «О приведении абелевых интегралов к низшим трансцендентным». Степень доктора физико-математических наук была присуждена Д. Д. Мордухай- Болтовскому — тогда уже автору более сотни ценных работ — в 1935 г. без защиты диссертации.
В 1909 г. Дмитрий Дмитриевич избирается профессором математики Варшавского университета. Во время первой мировой войны он вместе с университетом переезжает в г. Ростов-на-Дону. С 1915 по 1950 г. в университете и пединституте этого города протекала научно-педагогическая деятельность Д. Д. Мордухай- Болтовского, если не считать перерыва, вызванного тяжелым ранением осколками вражеской бомбы в 1942 г. и эвакуацией. В 1950 г. он перешел на работу в пединститут г. Пятигорска. Приехав в 1952 г. на зимние каникулы в г. Ростов, Д. Д. Мордухай-Болтовской 7 февраля скоропостижно скончался.
За скромной хронологической канвой жизни Дмитрия Дмитриевича Мордухай-Болтовского скрывается огромный труд исключительно разностороннего ученого и педагога. В трех сотнях его публикаций исследовались вопросы различных отделов анализа, теории чисел, геометрии, теории вероятностей, математической логики, математической биологии, небесной механики, психологии, истории математики и методики преподавания математики. Столь же разнообразной была и лекторская деятельность Дмитрия Дмитриевича: в университете и пединституте ему приходилось читать в разное время почти каждый из обязательных математических курсов, многие спецкурсы, а иногда и курсы астрономии и механики.
Разнообразие научных интересов не помешало Д. Д. Мордухай-Бол- товскому оставить глубокий след в разработке очень многих проблем математики, ее истории и методики преподавания.
Д. Д. Мордухай-Болтовской внес свою лепту в исследование 22-й проблемы Гильберта. В 1913 г. он обнародовал свои первые изыскания о трансцендентных числах (дополненные впоследствии в 1926 г.), являющиеся серьезным подступом к решению 7-й проблемы Гильберта, полно¬
стью решенной з 1934 г. другим советским математиком — А. О. Гель- фондом.
Богаты интересными результатами работы Д. Д. Мордухай-Болтовского по интегрированию трансцендентных функций в конечном виде и решению дифференциальных уравнений в квадратурах. В частности, в 1926 г. им обобщен известный результат Чебышева относительно интегрируемости дифференциального бинома в элементарных функциях включением случая иррациональных показателей.
Большой вклад внес Д. Д. Мордухай-Болтовской в разработку неевклидовой геометрии. Ему принадлежит решение основных задач на построение в плоскости Лобачевского, что положило начало созданию общих основ теории этих псстроений. Он исследовал и диаметральные свойства алгебраических кривых в той же плоскости, а также разработал многие вопросы механики для пространства Лобачевского.
В работах Д. Д. Мордухай-Бол- товского, относящихся к многомерной геометрии, дано применение начертательной геометрии трех- и четырехмерных пространств для построений в ограниченной части плоскости и доказан ряд стереометрических теорем методом проектирования из пятимерного пространства в трехмерное.
Более трех десятков работ Дмитрия Дмитриевича посвящены истории математики. Исключительно ценным вкладом в русскую научную литературу являются его переводы с латинского математических сочинений Ньютона (1937) и с греческого «.Начал» Евклида (1948—1950). Каждое из этих изданий существенно обогащено весьма содержательными математическими, историческими и методическими комментариями, отражающими итоги многолетних исследований Д. Д. Мордухай-Болтовского. В других его публикациях по истории математической мысли анализируется происхождение таких основных понятий, как число, функция, уравнение, предел и т. д. Нельзя не заметить, что в историко-математических работах Дмитрия Дмитриевича проявлено не только поразительное знание и понимание текстов классических произведений, но и старых, большей частью забытых, учебников и пособий.
Дмитрий Дмитриевич не представлял своего существования без научной работы. Но с не меньшим энтузиазмом он относился и к своей педагогической деятельности.
Формирование методических взглядов Д. Д. Мордухай-Болтовского началось с последних лет прошлого века. Выполняя обязанности асси¬
80


стента профессора Г. Ф. Вороного, Дмитрий Дмитриевич вступал с ним в горячие споры, доказывая, что его оригинальный и очень строгий курс анализа для будущих инженеров «в методическом отношении не выдерживает никакой критики, так как студенты, не будучи в силах его одолеть, можно сказать, по задачникам приобретают только формальные навыки дифференцирования и интегрирования». [1] В частности, начинающий педагог категорически возражал против заполнения одной трети раздела дифференциального исчисления детально изложенной теорией иррациональных чисел Г. Кантора. Эта полемика была глубоко принципиальной: одна сторона опиралась на тезис, что не существует двух наук — для посвященных и непосвященных, а другая ратовала за построение курса математики в соответствии с основным профилем данного учебного заведения.
Перейдя к самостоятельной преподавательской работе, Дмитрий Дмитриевич остро ощутил недостаточность предусмотренных учебным планом форм общения профессора со своими студентами. И в 1911 г. он организует математический семинар, весьма интересный по тематике, который за 14 лет своего существования заслушал и обсудил доклады не только студентов, но и самого руководителя. Прекращение работы этого семинара было вызвано тем, что Д. Д. Мордухай-Болтовской переключился на руководство методическим коллоквиумом, организованным в связи с преобразованием физмата университета в отделение его педфака (1924). Этот коллоквиум сразу стал высшей школой методики для преподавателей и студентов старших курсов университета, а затем и многих учителей школ города и приобрел значение общегородского научно- методического центра. Его тематика отличалась большим разнообразием: в ней находили отражение актуальные вопросы не только преподавания математики в средней школе, но и высшей математики. Коллоквиум провел около сотни занятий. Многие из докладов, апробированных на его собраниях, появились в печати, в частности на страницах журнала «Математика в школе».
Руководство коллоквиумом требовало от Дмитрия Дмитриевича непосредственного знания школы. С этой целью он в разное время работал по совместительству в средних общеобразовательных школах, техникумах и на различных курсах.
В некоторых воспоминаниях о Д. Д. Мордухай-Болтовском указывается. что он не был блестящим лектором. Действительно, в его лек¬
циях не было внешнего блеска, допускались паузы для раздумья, для подыскания наиболее подходящего слова, выражения, порой и продолжения доказательства, но слушатели непрерывно ощущали, что они являются свидетелями и в некоторой степени участниками творческого развертывания живой мысли. Все это побуждало к проявлению самостоятельности, к желанию задать вопрос и высказать свое мнение.
Очень большое значение в организации учебной и научной работы Дмитрия Дмитриевича и его учеников имел математический кабинет, организованный при университете. По богатству и оригинальности своих коллекций он был уникальным. Все изготовлялось собственными руками Д. Д. Мордухай-Болтовского или под его руководством студентами, аспирантами и мастерами-специа- листами. Особо сильное впечатление производили оригинальные стеклянные модели, относящиеся к многомерному пространству. Среди них были и такие, которые представляли собой своеобразную материализацию новых идей Мордухай-Болтовского. Сам Дмитрий Дмитриевич называл их своей окристаллизованной мыслью.
Д. Д. Мордухай-Болтовской больше всего ценил в себе качества учителя. На экземплярах своих книг и оттисков статей, преподносимых ученикам, он неизменно указывал: «От старого учителя». Этим, вне сомнения, подчеркивалось особое уважение к учительской профессии. Недаром еще в 1914 г. он писал, что «проблема создать ученого: научить знанию и научной работе — более простая проблема, чем проблема создать учителя: научить учить». [2]
Дмитрий Дмитриевич высмеивал тех работников высшей школы, которые кичились своим негативным отношением к методике. Он был убежден: методика отрицается просто потому, что ее не знают и не подозревают даже, какие «она таит в себе огромные возможности дл.ч развития». [3] Но это непризнание чревато тяжелыми последствиями: оно превращает профессора в лекционную и экзаменационную машину. Исходя из тезиса, что за методикой средней школы рождается методика высшей, Д. Д. Мордухай- Болтовской в 1914 г. писал: «Каждый профессор должен знать среднюю школу, должен пройти через нее, раньше чем быть допущенным к чтению курса в университете». [2]
Но с особой остротой Дмитрий Дмитриевич ставил вопрос о необходимости усиления внимания к интенсивной разработке методических проблем в пединститутах СССР, которым для этого предоставлены исклю¬
чительно благоприятные возможности. Пединститут, как вуз, готовящий учителей, утверждал Д. Д. Морду- хай-Болтовской, должен иметь и свою специфическую область исследовательской работы — педагогику, психологию, методику. Необходимо только полностью преодолеть вредное и глубокое заблуждение — взгляд на методику, как на ненаучный придаток чего-то, а также осознать, что эту науку, как имеющую дело с живым человеком, следует отнести к разряду самых трудных.
Такой высокой оценки методических исследований Дмитрий Дмитриевич придерживался на протяжении всей своей педагогической деятельности. Признание его собственных заслуг в области методики выразилось, в частности, в факте включения Д. Д. Мордухай-Болтовского в состав Русской национальной подкомиссии Международной комиссии по математическому образованию (1910).
Д. Д. Мордухай-Болтовской придавал очень большое значение разработке проблем истории методики математики. Во-первых, утверждал он, даже среди исторически преодоленных методических заблуждений можно «высмотреть и методическую правду». [4] Во-вторых, каждому педагогу-математику для осознания своей творческой миссии необходимо понять, что все методическое настоящее— это результат незаметной работы многих поколений педагогов.
Д. Д. Мордухай-Болтовской неоднократно подчеркивал, что методика математики в большей степени наука будущего, чем настоящего. По его мнению, она достигнет необходимой высоты научного уровня только тогда, когда, опираясь на строго установленные психологические требования, окажется способной решать следующую проблему: возможно ли
определенное положение разъяснить и обосновать для лица определенного возраста. Однако он был совершенно чужд нигилистического подхода к возможностям возраста. Наоборот, он утверждал, что «не следует смотреть на ребенка, изучающего математику, как на существо, способное в настоящее время постигнуть только то, что постигал Евклид; необходимо воспитать те способности, тот характер мышления, который дается ближайшими к нам стадиями эволюции человеческой мысли».
[2]
Искусство методиста и заключается в разработке такой системы изложения, которая позволяет преодолеть антагонизм психологических и логических требований. Такая обработка математического материала абсолютно необходима, так как возможность вывода математических по¬
81


ложений из аксиом не означает еще возможности их познания — познание не дается одной логикой. Возникающая потребность в воспитании интуиции не только является неизбежным методическим коррективом, но и обязательным условием для развития творческйх способностей в области математики. «Интуиция, — утверждал Дмитрий Дмитриевич, — а не формальная логика с логическими обозначениями представляет те крылья, на которых мы улетаем в самые отдаленные области абстракции». [5]
Д. Д. Мордухай-Болтовской настойчиво пропагандировал включение истории математики в цикл обязательного материала для изучения в средней школе. Он указывал на целесообразность издания систематизированных исторических комментариев к учебникам. Написание таких дополнений к учебным книгам, по его мнению, следовало поручать лицам, обладающим солидной историко-математической подготовкой, даром слова и популяризации.
Несколько слов о Дмитрие Дмитриевиче как человеке. Общение с ним доставляло подлинное удовольствие.
Сердечный, очень простой, по-доброму требовательный человек, он был подлинным учителем и наставником молодежи.
Д. Д. Мордухай-Болтовской воспитал многих учеников, ставших известными математиками. Таковы
Н. 	Я. Авдеев, А. Ф. Бермаит, Н. В. Ефимов, Р. И. Кйрийшев, Б. Я. Левин, К. К. Мокрищев, Н. В. Наумович, Н. М. Несторович, М. Г. Хапла- нов, М. П. Черняев и многие другие.
После Д. Д. Мордухай-Болтовско- го осталось в рукописях около полутораста (!) неопубликованных научных работ. Они хранятся в Ленинградском отделении архива АН СССР и ждут своих исследователей. Кроме работ по анализу, теории функций, теории чисел, механике, геометрии, философии, логике, методике, Истории науки есть работы по биологии («Биологическая аксиоматика», «Деление яйца и планиметрические конфигурации» и многие другие) и даже по генеалогий (например, «О великорусском элементе в литовско-русском боярстве XVI века»).
Славное имя Д. Д. Мордухай-Бол- товского навсегда сохранится в исто¬
рии отечественной математики и ее преподавания.
В настоящем очерке в некоторой степени использованы и машинописные рукописи методических рабог Дмитрия Дмитриевича. За их предоставление в мое распоряжение выражаю сердечную благодарность Ф. Д. Мордухай-Болтовскому.
Литература
[1] Мордухай-Болтовской Д. Д. Научная строгость и методика математики (рукопись).
[2] Мордухай-Болтовской Д. Д.
Второй всероссийский съезд преподавателей математики. Варшава, 1914,
[3] Мордухай-Болтовской Д. Д.
Об аспирантуре в педагогических институтах. — «Народное образование», 1948, № 4.
[4] Мордухай-Болтовской Д. Д.
Основы арифметики в середине XVIII в. — «Математика в школе», 1941, № 4.
[5] Мордухай-Болтовской Д. Д.
Четыре лекции по философии Мате- матики. Варшава, 1913.
В. 	Л. Минковский
(г. Орел)
Математический календарь на 1976/77 учебный год
Сентябрь
2 сентября — 80 лет со дня рождения советского математика и историка науки, академйка АН УзССР Ташмухамеда Ниязовича К а- ры -Ниязова (1896—1976) (см.:
«Математика в школе», 1966, № 4).
15 сентября — 90 лет со дня рождения французского математика, члена Парижской АН Поля Леви (1886—1971). Леви был учеником Ж. Адамара. Работал в Политехнической школе в Париже. Его основные труды относятся к теории вероятностей и функциональному анализу. В теории вероятностей Леви был одним из основоположников общих предельных теорем и теории случайных процессов. Он является также одним из создателей функционального анализа. Леви принимал участие в разработке операционного исчисления, теории функций, топологии и механйки. В топологии известна так называемая проблема Леви в некоторых расслоениях. На русский язык переведены егб книги: «Конкретные проблемы функционального анализа». М., 1968; «Стохастические про¬
цессы и броуновское движение». М., 1972 (см.: БСЭ, 3-ё изд.).
17 сентября —150 лет со дня рождения знаменитого немецкого математика Георга Фридриха Бернхарда Р и м а и а (1826—1866).
Работы Римана оказали большое влияние на развитие математики второй половины XIX в. и XX в. Риман положил начало геометрическому направлению теории аналитических функций; им введены так называемые римановы поверхности; разработана теория конформных отображений и даны в связи с этим основные идеи топологии. В ряде работ Риман исследовал разложимость функций в тригонометрические ряды и в связи с этим определил необходимые и достаточные условия интегрируемости в смысле Римана, что имело значение для теории множеств и функций действительного переменного.
В 1854 г. Риман дал общую идею математического пространства (по его словам, многообразия), включая функциональные и топологические пространства. Он рассматривал здесь геометрию в широком смыс¬
ле как учение о непрерывных гс-мер- ных многообразиях.
Риман подробно рассмотрел «римановы пространства», обобщающие пространства геометрии Евклида, Лобачевского и Римана, характеризующиеся специальным видом линейного элемента и рагвил учение об их кривизне.
Предложенные Риманом идеи и метЬды раскрыли новые пути в развитии математики и нашли применение в механике и физике (См.: БСЭ, изд. 3-е; Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии, пер. с нем. Ч. I . М.—Л., 1937; Г. И. Глейзер. История математики в средней школе. М., «Просвещение», 1970).
19 сентября-—240 лет со дня смерти представителя передовой для своего времени культуры Феофана Прокоповича (1681—1736).
Феофан Прокопович окончил Киевскую академию и *коллегиум в Риме. Первым в России он стал излагать в курсе философии теорию Коперника о движении Земли вокруг Солнца, резко осуждал римского папу за преследование Галилея.
Прокопович активно участвовал в создании Академии наук, принимал
82


деятельное участие в судьбе молодого Ломоносова. Биографы Прокоповича писали, что у Иего «глубокие сведения в математике и неописанная охота к этой науке».
По возвращении из Рима Прокопович начал педагогическую деятельность в Киезо-Могилянской академии. В 1707/08 учебном году им был прочитан самостоятельный курс математики. Арифметическая часть этого курса отличается широтой охвата предмета и имеет в частности сходство с «Арифметикой» Магницкого, однако в отличие от нее у Прокоповича задачи классифицируются не по содержанию, а по методам их решения.
«Геометрия» Прокоповича стоит на уровне хороших учебных пособий того времени и характеризует автора как выдающегося педагога-ма- тематика. В своей «Геометрии» Прокопович как сторонник «Начал» Евклида приводит теоремы и задачи почти всюду со строгими доказательствами. Оригинальными в «Геомет- оии» являются IX и X главы, где излагаются квадратура круга, конические сечения и спирали.
Задачу о квадратуре круга Проко- побИч решает при помощи квадра- трйсы, способ построения которой по ряду точек он приводит в начале IX главы.
Математический курс Феофане Прокоповича сыграл видную роль в распространении и развитии математического просвещения в России (см.: Академия наук СССР.—«Вопросы истории естествознания и техники», вып. 24. М., 1968; А. П. Юшкевич. История математики в России. «Наука», М., 1968).
24 сентября — 475 лет со дня рождения итальянского математика, философа и врача Джероламо (Иеро- нимус) К а р д а н о (см.: «Математи¬
ка а школе», 1966, № 4).
24 сентября — 80 лет со дня рождения советского математика-педагога Василия Леонидовича Г о н ч а- р о в а (см.: «Математика в школе», 1967, № 3).
24 сентября — 60 лет со дня рождения советского математика, члена-корреспоидента АН УССР (1964) Павла Феодосьевича Фильма к о в а, Он родился в Петрограде, окончил Киевский университет (1940), доктор физико-математических наук (1953), профессор (1958). С 1945 г, работает в Институте математики АН УССР. Основные труды П. Ф. Фильчакова относятся к области приложений теории функций комплексного переменного к различным производственным задачам, приближенным и численным методам. Им предложен метод последовательных кон¬
формных отображений и метод, основанный на тригонометрической интерполяции. Эти методы позволяют с помощью простых расчетных формул получить отображаемую функцию с требуемой точностью. Ему принадлежит монография «Приближенные методы конформных отображений» (Киев, 1964); он написал ряд ценных пособий для студентов и учителей: «Тригонометрия» (Киев, 1951; совместно с И. Б. Погребысским), «Математический практикум. Вычисление» (Киев, 1958) и др.
26 сентября — 250 лет со дня смерти французского математика, члена Парижской АН Антуана Пара- на (1666—1716). Паран окончил курс права, занимался естествознанием и математикой. Многие его работы остались в рукописи. Из опубликованных работ заслуживают внимания работы, относящиеся к исследованию шаровой и других поверхностей, а также работы о цилиндрической и винтовой линии, в которых Паран первый дал уравнения поверхностей в прямоугольной системе координат (см.: Г. Вилейтнер. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М., 1966).
Октябрь
6 октября исполняется 70 лет со дня рождения педагога-математи- ка Сергея Михайловича Ч у к а н ц о- в а. Он родился в бёдной крестьянской семье. Только Великая Октябрьская революция дала возможность ему получить среднее, а затем и высшее образование. С. М. Чуканцов окончил физико-математическое отделение педагогического факультета Смоленского государственного университета. Учителем математики он работал в школах Брянска и Калуги.
С. М. Чуканцов—участник Великой Отечественной войны, за боевые заслуги он награжден орденами и медалями.
Работая в Калужском пединституте им. К. Э. Циолковского преподавателем и заведующим кафедрой элементарной математики и методики математики, С. М. Чуканцов защитил кандидатскую диссертацию «Решение задач в курсе алгебры советской общеобразовательной школы в связи с осуществлением политехнического обучения».
С. М. Чуканцов — автор многих статей в методических сборниках Учпедгиза и в журнале «Математика в школе». В 1961 г. Учпедгизом была выпущена книга С. М. Чуканцова «Лабораторные работы по математике», а в Калуге в 1976 г. его работа «Где
ошибка?», в которой дан анализ типичных ученических ошибок.
С. М. Чуканцов поддерживает активную сгязь со своими бывшими учениками — учителями математики городских и сельских школ, оставаясь для них большим авторитетом.
13 октября — 200 лет со дня рождения английского физика и математика Петра Барлоу (1776— 1868). В физике известен тем, что указал средства к уничтожению влияния корабельного железа на компасы и хронометры, находящиеся на судне. В математике является автором распространенных таблиц; занимался так называемыми совершенными числами. В свое время пользовалась известностью его книга «Теория чисел» (Лондон, 1811) (см.: Энциклопедический словарь Брокгауза й Ефрона).
24 о к т я б р я — 70 лет со дня рождения советского математика, члена-корреспондейта АН СССР Александра Осиповича 1“ е Ji ь ф о н- д а (см.: «Математика в школе»,
1969; № 1).
28 Ькт^бря — 80 лёт с b дня рождения советского матёМа1йка, чле- на-кОр|эёспондента АН СССР Ивана Александровича Л а п h о-Д а н й л е в- с к о г о (см.: «Математика в школе», 1971, № 4).
30 октября — 350 лет со дня смерти голландского астронома, геодезиста, физика и математика Вил- леборда Снелл я (1581—1626). Снелль был профессором математики в ЛейденскоМ университете. После Архимеда Снелль и Гюйгенс были первыми, кто внес новые идеи в созданный Архимедом метод спрямления окружности. Снелль решил основную геодезическую задачу, которая была названа «задачей Потено- та», создал метод триангуляции и с его помощью измерил земной меридиан. Он впервые в Европе ввел в рассмотрение полярный треугольник, сформулировал правило для вычисления площади треугольника по двум сторонам и углу между ними (1627). (см.: Ф. Кэджори. История элементарной математики. Пер. с англ. Одесса, 1910; Г. Вилейтнер. История математики от Декарта до серединь* XIX столетия. М., 1966).
30 октября — 70 лет со дня рождения советского математика и геофизика, Героя Социалистического Труда, лауреата Ленинской и Государственной премий Андрея Николаевича Тихонова (см.: «Математика в школе», 1*966, N2 4).
А. И. Бородин
(г. Донецк), К. П. Сикорский (Москва)
83


Поздравляем юбиляра
КОНСТАНТИН ПЕТРОВИЧ СИКОРСКИЙ
{К 80-яи*г#;ю со дня рождения)
9 августа 1976 г. исполняется 80 лет со дня рождения замечательного методиста математики, члена редакционной коллегии журнала «Математика в школе», заслуженного учителя школы РСФСР Константина Петровича Сикорского.
Константин Петрович родился в г. Ряжске Рязанской губернии в семье железнодорожного служащего, его мать — учительница начальной школы. В силу материальных условий семьи Константин Петрович, еще будучи учеником Рязанской гимназии, был вынужден регулярно вести репетиторскую работу. Рязанскую гимназию он окончил с золотой медалью.
Увлечение школьной математикой, работа с учащимися, уважение к труду матери позволили Константину Петровичу выбрать полюбившуюся ему профессию учителя. Получив в дальнейшем математическую подготовку в педагогическом институте им. К. Либкнехта, К. П. Сикорский с 1938 по 1941 г. работал учителем математики в школе им. Лепешин- ского, а с 1944 по 1960 г. — в школе № 43 Фрунзенского района Москвы. В эти же годы сн руководил педагогической практикой студентов педагогического института им. В. И. Ленина.
С 1945 г. Константин Петрович ведет большую методическую работу, являясь до 1955 г. методистом Фрунзенского района Москвы, а с 1955 по 1965 г. — методистом городского института усовершенствования учителей Москвы. До 1966 г. он по совместительству работал также методистом Ленинского района Москвы.
Сикорский-методист неотделим от Сикорского-учителя. Методическая работа, начатая им в 1945 г., является естественным продолжением его деятельности в роли учителя. Тонкая наблюдательность и знание детской психологии, доброта и терпение в отношении учащихся всех возрастов, глубокая заинтересованность в передаче им прочных знаний, педагогическое мастерство и знание предмета принесли ему искреннее уважение со стороны всех его учеников. Школа, ученическая аудитория всегда служили для Константина Петровича лабораторией, в которой он проверял и отшлифовывал свои методические идеи. Лекции, читавшиеся Си- корским в МГИУУ и во многих районах Москвы, опирались на большой практический опыт и содержали много ценных советов, рекомендаций. Сотни учителей Москвы слушали эти лекции в течение ряда лет, а учителям Ленинского района (бывшего Фрунзенского) посчастливилось работать рядом с Константином Петровичем и пользоваться его повседневной помощью. Многие из его коллег
и слушателей с гордостью считают себя его учениками.
С 1950 г. К. П. Сикорский — член математической комиссии ученого методического совета Министерства просвещения РСФСР, а с 1970 г.— член комиссии по математике УМСа Минпроса СССР. Как рецензент, он оказывает действенную помощь авторским коллективам в работе над новыми учебниками и пособиями.
С 1969 г. он является членом редакционной коллегии журнала «Математика в школе», где ведет большую работу, рецензируя и редактируя статьи по методике преподавания математики.
За свою активную творческую работу Константин Петрович награжден значком «Отличник народного просвещения», а в 1957 г. ему было присвоено почетное звание заслуженного учителя школы РСФСР.
Константин Петрович автор нескольких методических книг — учебников и пособий для средней школы. Наиболее значительные его работы: «Сборник задач по математике для повторения» (совместно с К. С. Богу- шевским), 1954 г.; «Методические
указания к преподаванию математики в VIII—IX классах» (совместно с К. С. Богушевским), 1959 г.; «Алгебра, ч. II» (совместно с В. М. Бра- дисом, Н. С. Истоминой и А. И. Мар- кушевичем), 1960 г.; «Алгебра и элементарные функции» (совместно с А. И. Маркушевичем и Р. С. Черкасовым:), 1968 г.
Константин Петрович щедро делится своим методическим опытом. Им написано много методических статей, опубликованных в журнале «Математика в школе» и в различных методических сборниках.
Поздравляя Константина Петровича со славным юбилеем, горячо желаем ему доброго здоровья и еще многих лет плодотворной работы.
Г. А. Ястребинецкий, Р. С. Черкасов,
С. 	А. Пономарев
(Окончание. Начало см. на с. 79)
ская обл., г. Красноуфимск) — 1606, 1608, 1610—1612, 1615—1621, 1623—1629. Иваньков И. Т. (Гомельская обл.) — 1606, 1608, 1610—1613, 1617, 1618, 1620, 1622— 1624, 1626, 1627. Чепкасов Г. С. (г. Краснодар) — 1606, 1608—1612, 1614, 1618—1620, 1623, 1625. Шабанов И. Н. (АзССР, Кедабекский р-н) — 1606, 1608, 1610, 1612,
1619, 1621. Шалтаев А. Н. (Ульяновская обл.) — 1606— 1608, 1611, 1612, 1614, 1617—1620, 1624, 1627. Юда- ков В. А. (Крымская обл., пос. Армянск) — 1606—1621,
1624—1630. Яцкевич И. А. (г. Брест) — 1611 —1614, 1617—1619, 1625—1628.
Математические кружки: 31-й шк. Чимбайского р-на Каракалпакской АССР (рук. К. А. Амирбаев) — 1606,
1608, 1610—1612, 1616, 1618—1620, 1623; 46-й шк.
г. Мурманска (рук. В. Е. Андреев) — 1606, 1608, 1609, 1611, 1616—1618, 1620, 1621, 1627; 10-й шк. г. Ангарска (рук. В. А. Васильева) — 1606—1613, 1616, 1627;
54-й шк. г. Барнаула (рук. И. С. Емелюшин) — 1608,
1609, 1611, 1612, 1620, 1621; 173-й шк. г. Киева (рук. Р. П. Ушаков) — 1606—1614, 1616—1628.
84


КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Н. 	Я. Авдеев, Г. Я. Куприянова, Т. Т. Фискович
(г. Ростов-на-Дону)
СВОЕВРЕМЕННАЯ КНИГА 1
Эпиграф к книге «Трудных наук нет, есть трудные изложения...» хорошо характеризует эту работу. Тематика, избранная автором, близка преподавателям математики не только педагогических институтов, но и технических вузов, и университетов (сухой академизм последних — не лучшая основа для контакта лектора со студентами).
Некоторые пути оптимального подхода к решению основной педагогической задачи вуза — обеспечить высокий научный уровень преподавания в согласованности с активным восприятием студентов — можно выбрать, прочитав книгу М. В. Потоцкого.
Эта книга, адресованная преподавателям вузов, с успехом может использоваться и в школе, так как в ней — итоге больших и долгих раздумий автора — убедительно намечена связь математики и методики ее преподавания с психологией (логика и психология, легкое и трудное в обучении, анализ ошибок и др.).
М. В. Потоцкий затрагивает проблемы, которые волнуют и начинающих и опытных преподавателей: как научить обучающегося думать, как совместить всесторонность и узкую специализацию, в чем состоит строгость изложения и т. д.
С пятью главами книги М. В. Потоцкого читатель ознакомится с удовлетворением, так как большинство ее страниц интересны и по содержанию, и по форме.
Книга, несомненно, издана своевременно. Трудно работать по новым программам в школе и в вузе. Каждый раз, готовясь к занятиям, педагог думает о способах сделать изложение живым и выразительным, о речи, дикции и о многих других сторонах учебного процесса. Книга М. В. Потоцкого — добрый помощник в трудном деле преподавания математики.
1 Потоцкий М. В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте (из опыта работы). М., «Просвещение», 1975.
Ю. В. Ломакин, С. А. Козырева, Г. А. Соколова (г. Вологда)
«ВСТРЕЧИ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ»
В ЖУРНАЛЕ «ПИОНЕР»
В 1966 г. в № 9 журнала «Пионер» впервые появилась математическая рубрика «Встречи с тремя Неизвестными». Организаторы «Встреч» объясняли название рубрики тем, что трое Неизвестных: Икс, Игрек и Зет — издавна путешествуют по страницам научных книг и простых учебников. Каждый раз они приносят с собой новую тайну, хитроумную задачу, невиданную головоломку, математический фокус-покус.
В этом году «Встречи с тремя Неизвестными» отмечают свое десятилетие.
В основной состав, готовящий «Встречи с тремя Неизвестными», входит редактор отдела науки журнала «Пионер» В. А. Близненкова и математики: А. И. Орлов и А. Л. Розенталь. Все они являются большими энтузиастами прекрасного начинания.
Приятно отметить, что эта рубрика всегда красочно и увлекательно оформлена. Безусловно, в этом немалая заслуга художника Б. П. Кыштымова.
По содержанию «Встречи» можно разбить на пять направлений:
1. Теоретический материал.
2. Задачи.
3. Математические игры.
4. Олимпиады, конкурсы.
5. Информация.
Остановимся на каждом направлении в отдельности.
1. 	Теоретический материал
Авторы рубрики углубляют знания учащихся по математике, знакомят их с теми разделами этой науки, которые не изучаются в школе.
Так, в 1969 г. (№ 1, 2, 4) и в 1972 г. (№ 6) во «Встречах» печатался материал о различных системах счисления. Приводились разные алфавиты счета у майя, египтян, древних греков, римлян, арабов и двоичная система счисления, которой предпочитают пользоваться в современных вычислительных машинах (1969, № 4). В этом же номере даны таблицы сложения и умножения в двоичной системе.
В 1972 г. (№ 9, 10, 12) у ребят появились знакомые из семейства ЭВМ — Робик, его дедушка БЭМЦ-1, их родственник Постик и гость другой планеты Марсик. Авторы «Встреч» познакомили читателей с составлением программы для ЭВМ (№ 9), общими принципами работы ЭВМ (№ 10), алгоритмами решения (№ 12). Здесь же были рекомендованы доступные школьникам книги про программирование и ЭВМ, статьи в журналах «Математика в школе», «Квант».
Затрагиваются в рубрике и вопросы о делимости чисел. В заметке «Кто больше? Поиски продолжаются» (1969, № 10) говорится о том, что в 1883 г. сельский священник Шадринского уезда на Урале Иван Михеевич Первушин доказал, что число 261 — 1 — простое. Далее авторы ведут рассказ издалека, вооружившись книгой «История арифметики» И. Я. Депмана. Они описывают «охоту» за простыми числами. Так, математик Лемер потратил целый год на то, чтобы доказать: число
2257 — j — простое, хотя он уже мог пользоваться кое- какими счетными машинами (это было в 1932 г.). А через 20 лет электронная машина подтвердила его результаты, потратив на это 48 секунд. Не исключено, что, узнав эти факты, некоторые ребята заинтересуются простыми числами.
«Диссертация рассеянного магистра» (1969, № 1, 2) посвящена делению чисел на И, а в заметке «Зна¬
85


комьтесь: высшая арифметика!» (1972, № 1) очень занимательно рассказано об арифметике остатков от деления на 7.
С элементами теории вероятностей ребята познакомились в № 10, 12 за 1971 г. Перед читателями «Пионера» выступил академик Б. В. Гнеденко.
Затем им были предложены задачи: «Сколько нужно врачей?» и «Как поймать случай?», при решении которых демонстрировались методы теории вероятностей.
В заметке «Сорок тысяч имен для кошки» (1973, № 12) предлагается дать имя котенку. Имя должно состоять из четырех букв, причем первая и третья — согласные, а вторая и четвертая — гласные. Далее чита тели узнают, что с помощью интересной области математики — комбинаторики — выясняется: таких имен может быть 40 тысяч.
Авторы «Встреч» знакомят # рабят с графами (1973, № 10), диофантовыми уравнениями (1971, № 9), с графиками, помогающими решать трудные задачи (1970, № 11, 12), множествами (1968, № 12; 1970, № 3, 9).
2. 	Задачи
Задачами насыщены все выпуски «Встреч с тремя Неизвестными». Они прекрасно оформлены, даны в забавной и увлекательной оболочке, и потому математика перед тысячами ребят предстает в качестве интересной и живой науки, тесно связанной с жизнью общества.
В 1966 г. в № 9, когда мы впервые встретились с Икс, Игрек и Зет, был объявлен «Конкурс Икс». Ребята решали самые разнообразные по содержанию задачи и отправляли решения в редакцию журнала «Пионер». С 1970 г., т. е. со времени появления «Олимпиад трех Неизвестных», «Конкурс Икс» превратился в подготовительный материал к очередной олимпиаде—«Задачник трех Неизвестных».
В рубрике часто помещаются логические задачи, всегда облеченные в занимательную форму.
Довольно типична для «Встреч» и такая задача: «Каких чисел среди всех чисел от 0 до 999 999 больше: тех, в записи которых встречается 1, или тех, в записи которых ее нет?» (1968, № 12).
Почти в каждой из «Встреч» учащимся предлагаются математические ребусы. Например:
а) 	Хитрые мыши превратили старинные рукописи в обрывки. Попробуй определить, какие это были цифры (вместо отсутствующих цифр поставлены звездочки): 1 Ж 2 | 2 >К
_ 7*
>к ж о
б) 	Расшифровать запись, в которой цифры заменены буквами:
КОРОВ А+ТРАВ А = МОЛОКО.
С такими ребусами ребята возятся с большим удовольствием.
3. 	Математические игры
В лагере «Математик-74» для учащихся сельских школ Вологодской области мы проводили с ребятами следующую игру: в комнате прятали предмет и одному ученику, который предварительно был отправлен за дверь, предлагали его найти, задавая вопросы. На вопросы можно было отвечать только «да» или «нет». Одна девочка нашла математический способ поиска. Она стала делить всю комнату: сначала пополам, спросив, в какой половине находится предмет, затем ту половину, где он находится, еще разделила на 2 части и т. д. Таким образом она довольно быстро смогла отыскать предмет.
Когда мы спросили, как она догадалась применить метод деления пополам, девочка сказала, что о нем она прочитала в журнале «Пионер». Действительно, в К° 12 (1970), 1, 2, 4, 6 (1971) имеютч'.я задачи: «Почти как Шерлок Холмс», «Ищем фальшивую монету» и другие, которые решаются методом деления пополам.
Издавна играют ребята в «крестики-нолики», «морской бой», «камешки». Часто они даже не задумываются над тем, что к этим играм можно найти математический «ключик», с помощью которого можно играть «без проигрыша». Авторы «Встреч» знакомят ребят с такими «ключиками» (1967, № 1; 1969, № 9, 10, 12; 1970, № 9).
4. Олимпиады
В № 3 за 1970 г. появились 12 задач первой «Олимпиады трех Неизвестных» — всесоюзного турнира юных математиков. Среди задач этой олимпиады можно отметить следующие: «Потерянная спица», «Весы и монета», «Загадки VI класса», «Кащей Бессмертный против Ива- на-царевича», «Битва» шахматных королей». В этой олимпиаде не было разделения задач для учащихся по классам, а всем были предложены одни задачи.
Трое Неизвестных и жюри олимпиады поздравили всех, кто принимается за решение задач, с началом олимпиады и пожелали находчивости и удач.
Во вторых номерах журнала за 1971 —1975 гг. публиковались задачи соответственно второй-шестой «Олимпиад трех Неизвестных». Новым в этих олимпиадах было то, что в них давались специальные задачи для «лягушат», т. е. для учащихся III—IV классов.
В следующих номерах журнал помещал ответы и решения олимпиадных задач, называл имена победителей.
В первой олимпиаде (1970) участвовало 1500 школьников, во второй (1971)—2000, в третьей (1972) — 2300, в четвертой (1973)—2700 учащихся в основном IV—VII классов. От олимпиады к олимпиаде возрастает число коллективных писем.
Итоги пятой олимпиады были подведены в статье «Что в письмах было и чего не было» (1974, № 7). Авторы так обратились к ребятам: «А теперь — вперед, будем учиться на ошибках! Перечитайте условия в «Пионере» № 2, а потом решения и ответы в «Пионере» № 5. Положите эти журналы рядом с собой, возьмите бумагу и ручку». Далее в журнале идет разбор наиболее трудных задач. Затем называются победители пятой олимпиады. В заключении есть «Слово к тем, кто на этот раз не стал победителем олимпиады», которое заканчивается так: «Уверены, что вы получите много радости от занятий математикой».
Особенно теплые слова хочется сказать в адрес авторов «Встреч с тремя Неизвестными» за открытие «Лягушатника». Один из Неизвестных — Зет — представил его читателям так: «В математике, как и везде, прежде, чем научишься плавать на глубоких местах, пробуешь на мелких. Вот мы и открыли наш «Лягушатник» — так спортсмены называют учебный бассейн. Здесь могут побарахтаться ученики III—IV классов, может быть, даже и второклассники» (1970, № 9).
Авторы «Встреч» очень серьезно подходят к этому разделу. Они помещают в нем не только задачи, но и новый материал. Так, в № 11 (1974) Икс рассказывает «древнюю легенду»: «Кто ушел без шляпы?» о загадочных и удивительных бесконечных множествах.
К сожалению, в пятой олпмпиаде не было выделено задач для «лягушат».
5. Информация
В № 3 (1972) было напечатано интервью с академиком А. Н. Колмогоровым об интернате для школьников при МГУ. Через 2 года в № 3 за 1974 г. журнал снова рассказал оО интернате при МГУ. Авторш
Ь6


«Встреч» знакомят ребят с ЗМШ (1974, № 1), BMII1 (1970, № 2, 9; 1974, № 9). В № 5 (1973) интересно показана работа математического кружка в г. Угличе.
Заслуживают похвалы подборки «Что читать?», которые напечатаны в номерах 2 (1970) и 1, 3 (1972). Из них ребята узнают о занимательной и популярной литературе по математике.
Как же использовать эти интереснейшие материалы для приобщения ребят к математике?
Хотя организаторы и авторы рубрики «Встреч с тремя Неизвестными» обращаются прямо к ребятам, но везде они имеют в виду, что и учителя не останутся в стороне от этих интересных материалов и помогут учащимся в них разобраться.
Дело в том, что 1,5 миллиона подписчиков «Пионера» для нашей многомиллионной армии учащихся не такая уж большая цифра, т. е. далеко не во всех семьях имеется этот журнал, а вот в каждой школе он есть обязательно.
Желательно, чтобы все учителя математики IV— VII классов, а также большинство учителей начальных классов проводили работу по рубрике «Встречи с тремя Неизвестными».
Можно использовать материалы «Встреч» для математических кружков и конкурсов, для выпуска интересных стенгазет. На пионерских сборах следует предлагать ребятам небольшие задачи или проводить рекомендованные журналом игры.
Интересно было бы организовать в школе клуб «Встреч с тремя Неизвестными» и проводить его заседания раз в месяц с выходом очередного номера журнала «Пионер». На заседаниях следует рассказывать о публикациях «Встреч», предлагать интересные задачи из этой рубрики. Перед членами клуба можно поставить цель: принять участие в олимпиаде журнала «Пионер». Тогда некоторые заседания клуба будут посвящены обсуждению решенных дома олимпиадных задач и оформлению их для отправки в журнал.
Первые клубы «Встреч с тремя Неизвестными» созданы в школах № 11, 27, 29 г. Вологды. Такие клубы преследуют несколько целей: воспитание актива октябрят и пионеров, приучение учащихся к чтению журналов и, конечно, самое главное — развитие интереса к математике.
Кафедра математики Вологодского государственного педагогического института имеет некоторый опыт применения материалов «Встреч с тремя Неизвестными» для работы со школьниками. В летних математических лагерях, которые мы устраиваем для учащихся сельских школ Вологодской области, эти материалы широко используются для занятий с учащимися VI—VII классов. Студенты отделения математики ВГПИ организуют «математические огоньки» для учащихся IV—V классов. При подготовке этих «огоньков» они также обращаются к публикациям журнала «Пионер», заимствуя интересные задачи, занимательную форму их подачи, математические игры, увлекательные беседы и многое другое.
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
Государственная научная педагогическая библиотека им. К. Д. Ушинского АПН СССР в 1977 г. продолжит выпуск в издательстве «Педагогика» ежеквартального указателя «Литература по педагогическим наукам и народному образованию», который информирует о новой педагогической литературе (книги, статьи из журналов, сборников, ученых записок, трудов), вышедшей в СССР на русском языке. Расположение материала в указателе систематическое. Литература по методике преподавания математики представлена в специальном подразделе «Математика» IV раздела «Ме1*одика преподавания школьных учебных предметов». Здесь литература систематизируется следующим образом: общие вопросы обучения математике в школе, математика в начальных классах, в IV—-X классах, в вечерней (сменной) и заочной общеобразовательной средней школе.
Классные руководители могут получать регулярную информацию о новой литературе, освещающей опыт воспитательной работы, вопросы педагогического руководства комсомольской и пионерской организациями
в школе, совместной работы школы и семьи, организации общественно полезного труда школьников и другие вопросы.
Рецензии на учебники, учебные пособия и методики по математике вы найдете в разделе «Приложения».
Издание предназначено научным работникам, учителям, методистам, аспирантам, преподавателям и студентам педагогических вузов, библиотечным работникам.
В 1977 г. данное издание будет распространяться по твердым, гарантированным заказам покупателей через специализированные книжные магазины и специализированные Отделы универсальных книжных магазинов.
Индивидуальные покупатели Moryt оформить заказ на почтовой открытке с указанием обратного адреса, а учреждения и предприятия оформляют^ заказ гарантийным Письмом.
Для библиотечных коллекторов и библио-гёк сохраняется прежний порядок заказа.
О поступлении книги в Магазин покупатели будут извещены.
В розничную продажу это издание не поступит.
87


3. 	И. ТУРЛАКОВЛ
(г. Тирасполь)
ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ЗАРУБЕЖНЫХ МАТЕРИАЛОВ О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ
Изменение содержания математического образования привело к целому ряду педагогических проблем. Сложность и важность появившихся задач привлекли внимание математиков, педагогов, психологов.
Мы познакомим читателей с некоторыми вопросами преподавания математики в средней школе, обсуждающимися на страницах зарубежной печати. В конце этой работы приведен список используемой литературы. Статьи [1] — [5] из этого списка опубликованы в сборнике «Actes du premier Congres international de l’enseignement mathematique» («Труды Первого международного конгресса по преподаванию математики». Лион, 1969). Статьи [1] — [8] переведены на румынский язык в книге «Invatamintul matematic in lumea contemporana» («Математическое образование в современном мире». Бухарест, 1971); в дальнейшем при указании страниц в ссылках будем иметь в виду это издание.
I. 	Обучение детей всему тому, что намечается новыми программами, и реализация тех идей, на базе которых они составлены, оказалось делом значительно более трудным, чем создание программ. Переход от традиционного содержания к новому, приближение содержания, языка и методоз школьной математики к современной науке, построение школьной математики как единой, цельной системы, в которой отражалось бы огромное практическое значение математической науки, применение новых форм преподавания, опирающихся на творческую активность учащихся, потребовали от школьных работников усилий, к которым они еще недостаточно подготовлены.
Несколько лет работы по-новому показали, что программы перегружены, а учебные пособия недостаточно учитывают возрастные особенности учащихся; стало очевидным, что наибольшие трудности встречаются там, где реформа преподавания наиболее резкая — в курсе геометрии для среднего школьного звена (учащиеся 12—13 лет).
Анализ первых результатов перестройки преподавания, стремление учесть уроки проводимых реформ
привели к идее открытых программ, т. е. таких, которые легко поддаются изменению, улучшению, дополнению. Открытые программы — это гибкие, динамичные, постоянно усовершенствующиеся конструкции, способные избавить впредь школьных работников от тех потрясений, которые сопутствуют резкой реформе. Мысль о создании открытых программ содержится в работе
А. 	3. Крыговской [7]. Польский 1*едагог-математик отмечает, что объективные критерии выбора содержания и принципы построения таких программ еще не выработаны, они только намечаются. Крыговска предупреждает, что учителя математики нужно готовить к правильному восприятию открытых программ. Постоянный пересмотр должен оцениваться им не как необходимое зло, а как основной закон человеческого творчества в любой области деятельности.
Американский психолог Дж. Брунер (J. Bruner) в работе [8] и датский педагог-математик Б. Кристиансен (В. Cristiansen) в статье [2] высказывают ту мысль, что программа по математике должна строиться спиралеобразно. Математические идеи, понятия, структуры следует преподносить первоначально в конкретной, хотя бы не вполне точной, форме на языке, соответствующем возрасту детей; к ним нужно возвращаться, постепенно увеличивая точность, пока в конечном итоге дети не усвоят их полностью. На каждом уровне следует учитывать подготовленность ученика. По мнению Брунера, эта подготовленность зависит от умения преподавателя переводить математические идеи на язык и понятия того возраста, к которому обращается учитель.
И. В центре обсуждений находится исследование процесса обучения. В этой области значительным достижением современной педагогики является принцип активного обучения математике. Это отмечают как психологи, так и математики-педагоги.
Активный метод обучения — это собственное исследование ученика, самостоятельное открытие (с точки зрения обучаемого) тех истин, которые предусмотрены программой.
Известный психолог Ж- Пиаже (J. Piaget) говорит, что полное овладение некоторым понятием или некоторой теорией наступает только при переоткрытии. Это один из самых общих психологических законов. После словесного изложения учителя ученик может повторить услышанное, может произвести впечатление усвоившего материал, но настоящее понимание достигается переоткрытием.
При таком методе обучения, отмечает Дж. Брунер, роль учителя еще более значительна, чем в традиционном обучении. Он создает проблемные ситуации, следит за ходом работы ученика, когда ученик ошибается, дает ему пример, противоречащий его выводам. Учитель помогает ребенку преобразовать свои действия в представления, присмотреться к своим собственным результатам, осознать их.
Но все переоткрывать нельзя. А. 3. Крыговска указывает, что не всякий программный материал поддается изучению путем открытия и что в этом нет надобности. Когда ученик знакомится с аксиоматическим изложением какой-либо теории, он обычно поставлен в такие условия, которые не содействуют открытию. Современное обучение, говорит Крыговска, должно научить ребенка различным видам математической деятельности. Развивать творческую активность не единственная задача изучения математики. Не менее важно научить ученика анализировать чужую мысль, уметь слушать и следить за ходом чужого изложения, уметь пользоваться различными источниками информации. Метод активного обучения, метод открытия не исключает изложение учителя, а ограничивает его. Активного мышления ученика можно и нужно добиваться и в
88


те периоды, когда он слушает. Разумное сочетание этих методов — серьезная педагогическая задача.
III. В зарубежной педагогической литературе по-но- вому оценивается роль интуиции, подчеркивается, что без нее нет открытия. С помощью интуиции создаются гипотезы, рождаются догадки. Учителю необходимо «освободиться от привычки тормозить интуитивное мышление ребенка и искать пути, содействующие его развитию» ([8], с. 331).
Преподавание без опоры на интуицию рождает формализм, ученик теряет веру в свои силы. Умелое использование интуиции учит детей не только опираться на нее, выдвигая ту или иную гипотезу, но и понимать пределы применения интуиции, ее несовершенство, необходимость проверять интуитивные выводы [8].
IV. Уделяется внимание вопросу формирования математических понятий. В традиционной школе изучение понятий часто начиналось с определения. Это рождало формальные знания. Свои предложения по поводу того, как желательно вводить новые понятия, известный голландский математик X. Фрейденталь (Н. Freudenthal) иллюстрирует прекрасными примерами в статье и.
Мы показываем ромб и называем его. Ученик имеет о нем представление. Он встречал ромб в орнаментах, в упражнениях на покрытие пола различными геометрическими фигурами. (В некоторых школах Голландии такие упражнения делались.) Ученик устанавливает целую серию свойств ромба: его можно разложить па два равнобедренных треугольника двумя различными способами, на четыре прямоугольных конгруэнтных треугольника, противоположные стороны ромба параллельны, противоположные углы конгруэнтны, диагонали взаимно перпендикулярны, все его стороны конгруэнтны, диагонали делят друг друга пополам и т. д. Свойств много, но они связаны определенными отношениями. Все они являются логическим следствием одного (например, конгруэнтности сторон ромба).
Если ученик понял это, то он понял смысл формального определения не только ромба, но и многих определений, строящихся аналогично. Теперь ученик будет в состоянии самостоятельно искать определения других понятий.
Другой подход иллюстрируется Фрейденталем на примере принципа математической индукции. Он утверждает, что следует предоставить возможность ученику несколько раз применить этот принцип инстинктивно, затем предложить найти общий элемент в выполненных упражнениях и проконтролировать на новых примерах, усвоил ли ученик принцип. Убедившись, что усвоение произошло, учитель предлагает ученику сформулировать принцип словесно.
Здесь применяется теория о том, что в обучении математике учащиеся должны проходить различные этапы: первый — инстинктивное переоткрытие, второй —
сознательное применение и наконец — формальное определение.
Вопрос о формировании математических понятий затрагивается и в статье Кристиансена [2]. В ней приводится мнение известного математика и педагога Дьенеша, который считает, что ребенок должен формировать математические понятия в сложной жизненной обстановке. Если каждый раз облегчать ребенку процесс усвоения, выдвигая на первый план главное, если сделать ситуации ясными, то ученик приобретет такие знания, которыми он не сумеет воспользоваться в более трудной обстановке. Кристиансен соглашается с Дьенешем только тогда, когда речь идет о формировании первичных понятий. Что же касается производных понятий, то их число в курсе математики слишком велико. Формировать все понятия только в трудных \,сюаиях их открытия невозможно. Если первичные и
производные понятия стали для ученика активными, то они могут служить базой создания новых понятий без индуктивного метода, неэкономного с точки зрения использования времени. Кристиансен подчеркивает, что материал, на который мы ссылаемся при формировании понятий, должен принадлежать такой области, в которой ученик имеет богатый опыт.
V. Математика наука дедуктивная. Какова роль индукции и дедукции в ее преподавании? Ответы на эти вопросы находим в статье [2]. Начальная школа — это индуктивная фаза обучения. Здесь формируются некоторые операции мышления, накапливаются геометрические представления, знания о числах и операциях над ними. Знания, полученные учениками на основе обобщения опыта, сохраняются в виде общих суждений. В дальнейшем логические объяснения даются на основе этих общих суждений. Таким образом, на среднем школьном уровне можно строить много дедуктивных конструкций. Тот факт, что общие посылки получены недедуктивным образом, не влияет на сами конструкции.
Навыки, приобретенные таким образом, полноценные и необходимые. Кристиансен говорит, что если не допускать интуитивные аргументации как промежуточные звенья при построении частных выводов, то появится серьезная опасность воспитать таких учащихся, которые не будут обладать ни здравым смыслом, ни интуицией.
Индуктивно и интуитивно формируются многие понятия. Ученик получает первое представление о предмете— объекте изучения — уже тогда, когда впервые его видит. Дотрагиваясь руками до предмета и манипулируя с ним, ученик меняет, обогащает свое первое впечатление. Размышления над свойствами объекта исследования с точки зрения их связи со знаниями, добытыми ранее, ассоциации между новыми и прежними знаниями снова модифицируют представления ребенка. Описание предмета, применение его свойств расширяют и уточняют эти представления. Понятия кристаллизуются, обобщаются. Предлагая ученику описывать интуитивно известные ситуации и отношения, учитель приводит ученика к осознанию того факта, что описание не соответствует описываемому объекту: то ли объект недостаточно изучен (в этом случае надо вернуться к его изучению), то ли язык не точен. Таким образом можно подойти к точному математическому описанию. Чтобы аксиоматическое построение стало доступным учащимся, индуктивно-интуитивный метод следует применять в значительно большей степени, чем в традиционном изложении.
VI. Замечательна статья [4] А. 3. Крыговской о математическом тексте. Крыговска справедливо отмечает, что основной источник знаний — книга. Если ученик покинул школу без навыка чтения математической книги, то, значит, он не получил современного хорошего образования. Чтобы справиться с математическим текстом, недостаточно знать алфавит, символику. Работа над текстом требует особых творческих усилий: умения сотрудничать с автором, следить за его мыслью, анализировать определения и доказательства, охватить теорию в целом. Чтобы понять прочитанное, нужно строить модели вводимых понятий, иллюстрировать общие положения конкретными примерами, схемами, графиками, иной раз придется сделать вычисления, построить некоторые логические звенья, которые автору показались очевидными, решить задачи.
Лаконичность математического языка требует, чтобы читатель запоминал определения, на которые автор ссылается, и привык к целому ряду соглашений.
Логическая безупречность математического текста не обеспечивает его психологической ясности. Умственные усилия читающего превращают логичеч'кую ясчость я
89


ясность психологическую, формируют важные умственные» операции.
С этой точки зрения школьный учебник должен удовлетворять двум условиям: 1) содержать примеры, интуитивные описания и рассуждения, на основе которых ученик мог бы строить различные математические формализации (определения, гипотезы, другие абстракции); 2) содержать математические тексты (дедуктивные конструкции), разбор которых учил бы школьника сотрудничать с автором.
Эти два вида работы не могут заменять друг друга, так как формируют различные интеллектуальные операции.
VII. 	Успех реформы программ и методов обучения в большой мере зависит от учителей, способных реализовать идеи, заложенные в программах. Подготовка учителей — важная государственная задача.
Что значит хорошо подготовленный учитель, какими качествами он должен обладать? Швейцарский математик А. Делесерт (A. Delessert) отмечает, что недостаточно призывать учителей вводить в своих классах элементы исследования, пора также кончать с лозунгами, призывающими работать от «конкретного к абстрактному», «обучать через пробы и ошибки», «создавать проблемные ситуации», «работать творчески». Учителю нужно дать хорошую научную подготовку [3],
[7]. Он должен изучить те разделы математики, которым будет обучать, знать несколько вариантов изложения этого материала непосредственно в классе.
Учитель должен иметь описания проблемных ситуаций, творческих актов. Конечно, тот, кто прошел вузовский курс математики, встречался с такими явлениями в процессе усвоения курса, но годы работы стерли эти впечатления. Мы забываем, говорит Крыговска, что труд ученого и труд ученика — открывателя — имеют много общего. Анализ работы ученого поможет преподавателю.
Так же как и ученик, учитель должен усвоить все это сам. НикТ'о це вложит ничего ему в голову без его активности. Знающий учитель чувствует себя свободнее в классе, рамки программы его не стесняют.
Учителя надо снабдить хорошими учебниками, пособиями, таблицами, фильмами, технической аппаратурой, облегчающей хотя бы проверку'знаний учащихся.
Крыговска предупреждает, что учитель должен иметь не только серьезную математическую подготовку, но и хорошие знания7 в педагогике и психологии. Тот, кто знает только то, что'будет излагать в школе, пе ищет, не сравнивает, не терзается сомнениями. Зная только один путь, такой учитель не задает себе вопросов, он самодоволен. «Современное содержание» не спасает положения, : формализм возрождается, многие из тех, кто преподают по современным модернизированным программам',; не менее «формалисты», чем коллеги, работающие традиционно [7].
Учитель должен знать практическое значение математики, учить детей применять ее в сложных жизненных ситуациях. Некоторые считают, ’ что неумение учащихся применять знания в жизни не такое уж страшное явление. Фрейденталь предупреждает о той опасности, которая содержится в безразличии к практическому применению математики: «Те, кто применяют математику, восстанут и сумеют отпять у математиков право преподавать математику па среднем уровне» ([6], с. 53).
Нельзя забывать еще об одной стороне дела. Преподаватель формируется еще в школе. Образ школьного учителя решает многое при выборе профессии. С этой точки зрения плохой учитель опасен тем, что вызывает у хороших учеников отвращение, а у плохих— соблазн к профессии преподавателя^ [3].
Учитель математики должен быть подготовлен с
учетом перспективного развития как самой математики, так и педагогических методов. Он должен видеть возможности интеллектуального творчества не только в «чистой науке», но и в собственной профессии [7].
VIII. В 1972 г. Пиаже выдвинул такой принцип: все или почти все дети способны усвоить математику и физику достаточно глубоко. Отсталые дети отстают по всем предметам. Те, которые не успевают по математике или физике, но успевают по другим дисциплинам, могут усвоить как математику, так и физику. Эти дети не понимают не сам предмет, а те уроки, которые им преподносятся. Гипотеза Пиаже заключается в том, что так называемые способности, отличающие детей, которые хорошо учатся по математике и физике, состоят прежде всего в умении этих учащихся адаптироваться к форме обучения. В то же время учащиеся, «слабые» в этих областях, по хорошо успевающие по другим предметам, фактически могут усвоить те задачи, которые кажутся им непосильными при использовании других методов преподавания [9].
Женевский психолог пришел к такому выводу после 120 серьезных исследований, проведенных под его руководством сотрудниками Международного центра генетической эпистемологии в Женеве. (Подчеркнем здесь, что советская школа всегда руководствовалась этим принципом, который выдвигается Пиаже как основа обучения лишь в будущем.)
, Американский психолог Кэрол (Carroll) высказал аналогичную гипотезу: все или почти все учащиеся могут быть доведены до нужного уровня в любой дисциплине, но объем обучения' для различных учащихся различен. В статье [1] Е. Бигл (Ё. Begle) описывает эксперименты, подтверждающие гипотезу Кэрола. Учащимся с низким коэффициентом «умственной одаренности»1 предложено было изучить программный материал ие за год, как положено, а за два года. Оказалось, что эти дети догнали своих сверстников с более высоким коэффициентом «умственной одаренности». Был проведен и такой эксперимент: в одном классе, учащиеся которого поделены на основании тестов на «одаренных», «средних» и «отсталых», изучался небольшой математический материал; с «сильными» — один день, со «средними» — два, с «отсталыми» — той. При проверке все показали одинаковые знания.
Брунер идет еще дальше. Он выдвигает гипотезу, что любому ребенку, па любой стадий развития можно преподносить любой предмет в достаточно полной форме. Руководствуясь этой гипотезой, Дьенеш приходит к выводу, что одпа-едпнствснная конкретизация недостаточна для .того, чтобы передать суть понятии. Он выдвигает принцип многократных интерпретаций. Ж- Пиаже считает, что работа Дьепеша полезна, его усилия говорить с детьми на их собственном языке заслуживают одобрения. Однако ожидаемые им эффекты от некоторых игр и упражнений слишком оптимистичны [9].
IX. Интересна статья [5] румынского психолога Е. Фишбейна (Е. Fischbein). Автор показывает, что изучение математики может содействовать развитию интеллектуальных структур. Е. Фшибейн исходит из того, что эволюция мышления совершается по следующим этапам, указанным Ж. Пиаже: сепсомотор- ный (до 1,5—2 лет), доиопятийпын (до 4 лет), интуитивного мышления (от 4 до 7 лет), конкретных операций (от 7 до 12 лот) и этап формальных операции (от 12 до 15 лет). Возникает вопрос: возможно ли ус¬
1 Детям 6 лет американская школа приписывает на основании тестов коэффициент «умственной одаренности». По этому поводу см. книгу А. С. Жуковой «Страна «Ай-Кыо». М., 1969.
90


корить развитие мышления? Пиаже отвечает на него отрицательно. Он считает, что развитие мышления подчиняется внутренним законам. Порядок формирования мыслительных структур, характеризующих этапы развития, у всех людей одинаковый. Обучение должно строиться согласно тем структурам, которые уже сформировались.
Фишбейн описывает эксперименты, проводимые им с детьми 9—10 лет и 12—13 лет по изучению элементов теории вероятности. С помощью графов его десятилетние ученики достигли таких результатов, которые, по теории Ж. Пиаже, возможны только в 12—15 лет.
Таким образом, подтверждается принцип, которым советская психология руководствовалась всегда: правильно организованное обучение ведет за собой развитие.
Литература
[1] Begle Е. G. The role research in the improuvement of mathematics learning (Роль исследований в улучшении преподавания математики).
[2\Cristiansen В. Induction and deduction in the learning of' mathematics and in mathematical instruction (Индукция и дедукция в изучении математики и в математическом образовании).
[3] Delessert А. De quelques problemes touchant a la formation des maitres de mathematiques (По поводу некоторых задач, касающихся формирования преподавателей математики).
[4] Krygowska A. Z. Le texte mathematique dans l’enseignement (Математический текст в обучении).
[5] Fischbein Е. Enseignement mathematique et deve- loppement intellectuel (хЧатематическое образование и умственное развитие).
[6] Freudenthal Н. Enseignement des mathematiques modernes ou enseignement moderne des mathematiques? (Преподавание современной математики или современное преподавание математики?). «L’enseignement mathematique», fasc. 1—2, 1963.
[7] Krygowska A. Z. Methodologie de l’enseignement des mathematiques sujet d’etudes au niveau superieur (Методика математического образования — вузовская дисциплина). «Tendances nouvelles de l’enseignement des mathematiques», UNESCO, v. I, 1966.
[8] Bruner J. On learning mathematics (Об изучении математики). «Essays for the left hand», N-Y., 1966.
[9] Piaget J. Вазe §tijntifice pentru educatia de miine (Научные основы воспитания в будущем). «Revista de pedagogic», Bucure§ti, 1972, N 9—10.
Л. А. ОДИНЦОВА
(г. Барнаул)
УПРАЖНЕНИЯ НА БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ В ШКОЛАХ ФРАНЦИИ
Программа французской средней школы по математике уделяет большое внимание изложению теории бинарных отношений, и в частности отношений эквивалентности и порядка, начиная с VI класса1. Указанные понятия повторяются каждый год.
Обогащение математической терминологией и символикой авторы учебников проводят постепенно, число новых терминов и символов ограничено разумными рамками.
Вопросы организации ц содержания математического образования в средних школах Франции достаточно подробно освещались на страницах журнала «Матема- тика в школе» (см. [8], [9], [10]).
Отметим только, что при формировании понятий произведения множеств, бинарного отношения, свойств бинарных отношений, отношений эквивалентности и порядка используется индуктивный подход. Неформальному усвоению этих понятий способствует употребление различных способов представления бинарных отношений: граф, таблица, диаграмма.
Учебники по математике содержат многочисленные упражнения, имеющие различное назначение.
Одни из них служат для иллюстрации вновь вводимых определений. Так, в учебнике Nonnotte М., Favi- er A. «Mathematiques, classe de 5е» [4] авторы подводят учащихся к понятию декартова произведения множеств, исходя из следующего примера. Товарищи решили занести в блокнот оценки от 1 до 5, которые учитель им поставил за последнюю контрольную рабо¬
ту. Они обозначили себя начальными буквами своих имен, например А, В, С, D, и получили упорядоченные пары, состоящие из букв и цифр следующих множеств: Е'*= {А, В, С, D), Er= {1, 2, 3, 4, 5}. Гак для ученика Dupont, работа которого оценена тройкой, записали (D; 3). Авторы подчеркивают, что эту упорядоченную пару можно.рассматривать как один из элементов нового множества, обозначаемого Е X Ег и называемого декартовым произведением множеств Е и Е'. Затем приводится следующее определение: «Произведение
Ву^Е' ДЕух множеств есть множество таких пар (х\ х'), что х£Е и х' ££'. Обозначают Р=£Х £' = {(*; х')\х£Е и х'€ £'}»([4], с. 34)
Отмечается, что для изображения пар можно использовать диаграмму (рис. 1 , а), в которой, например, элемент О первого Множества Е соединен стрелкой с
/
2
3
и
5
А
В
С
D
Ш
о)
6)
Рис. 5
1 Нумерация классов в средней школе Франции не совпадает с нумерацией классов нашей школы. Соответствующий номер класса в нашей школе может быть получен по формуле 11 — /г, где п — номер класса во французской школе.
элементом 3 второго множества Е'. Можно указать в таблице (рис. 1, б) пару (D; 3), находящуюся на пересечении строки D и столбца 3.
В том же учебнике рассматривается два примера, подводящие к понятию бинарного отношения. В одном из них отмечается, что четыре товарища (см. предыдущий пример), записав оценки своих работ, установили отношение R «заслужил оценку...» между множеством отправления Е и множеством прибытия Е'.
Подчеркивается, что соответствующие пары (Л; 5),
91


ш
.3
М
5)
(а;5)
№)
Рис. 2
ПИАНИНО
СКРИПКА
ВИОЛОНЧЕЛЬ
СРЛЕЙТА
Alain
®
о
Brigitte
*
Caroline
О
о
о
*
Frangoise
о
®
Ernest
о
Gustave
®
о
(В\ 1), (С; 4), (D; 3) составляют множество, называемое графом G отношения R : G == {(Л; 5), (В\ 1), (С; 4), (D; 3)}.
Указывается, что множество G есть подмножество де- картового произведения Е X Е': G cz Е X Е'.
Пара (х; у), удовлетворяющая отношению R, записывается так: xRy.
Затем делается вывод: «Определить отношение R между множествами Е и Е' — это значит определить подмножество произведения Е X Е', иначе говоря, множество пар, называемое графом G отношения R» ([4], с 35).
Далее дается графическое представление • отношения R «заслужил оценку...» при помощи диаграммы (рис. 2, а) и таблицы (рис. 2,6).
Следующие упражнения предназначены для уточнения понятия декартова произведения множеств, бинарного отношения, некоторых операций над отношениями, установления свойства некоммутативности декар¬
това произведения множеств.
1. Дополнить следующие множества А и В и произведение А X В: А — {а, Ь, ...}, В — {..., ..., 5},
АХВ = {(а; 7), (а; ...), (а; ...), (6; ...), (b; 3),
(Ь; ...), (с; ...) } ([4], упр. 2).
2. Семья состоит из отца (Р), матери (М), бабуш¬
ки (G) и четырех детей: Henri (h), Caroline (с), Fran- goise (/), Alain (а). По случаю семейного праздника каждый из трех взрослых вручил подарок каждому из детей. Как распределены подарки? Изобразить диаграмму произведения А X В множеств А — {Р, М, G}, В = {h, с, f, а). Что соответствует произведению ВХА? Можно ли сказать, что декартово произведение множеств коммутативно ([4], упр. 3)?.
3. Дан граф G — {(a; е), (b; i), (а; о), (d\ е),
(d; и)} отношения R между двумя множествами А (отправления) и В (прибытия).
1) Каковы множества А и В? (Дать наиболее простое решение.)
2) Нарисовать диаграмму отношения R ([4], упр. 16).
4. Даны множества E = fAlain, Brigitte, Caroline, Ernest, Frangoise, Gustave} детей семьи и M = {пианино, скрипка, виолончель, флейта} четырех музыкальных инструментов. Таблица (рис. 3) задает отношения R\ «играет на...» (пары графа Gi обозначены значком X) и R2 «владеет патефонными пластинками...» (пары графа 6'г обозначены значком О).
Что представляют CExmGu CexmG2, Gi[}G2, Gifl^? Определите эти четыре графа ([4], упр. 44).
Уточнению сущности свойств рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности бинарных отношений посвящены такие упражнения.
5. Andre, Bernard, Frangoise — братья и сестра одной семьи, Guy, Daniel, Eric, Christian — братья и сестра другой семьи.
1) 	Эти семеро детей образуют множество R. Изобразите его диаграмму (каждого ребенка обозначьте
Рис. 3
начальной буквой его имени) и представьте стрелками отношение «имеет брата...», определенное на этом мно жестве.
2) Воспроизведите ту же диаграмму и представьте отношение «имеет сестру...» на том же множестве.
3) Являются ли указанные отношения симметричны- ми, транзитивными? Каких детей надо выбросить из множества R, чтобы отношение «имеет брата...» было симметричным и транзитивным в R ([3], упр. 16)?
6. Диаграмма (рис. 4) задает отношение R в множестве Е. Покажите, что R антирефлексивно, но не симметрично, не антисимметрично и не трапзитивно. Воспроизведите три похожих диаграммы и дополните с помощью необходимых стрелок и петель: первую так, чтобы R стало рефлексивным; вторую так, чтобы R стало симметричным; третью так, чтобы R стало транзитивным ([4], упр. 74).
Приведем примеры упражнений, целью которых является конкретизация понятий: отношение эквивалентности, класс эквивалентности, отношение порядка.
7. Дано множество множеств R == {А, В, С, /)}, представленное диаграммой (рис. 5).
Рассмотрим отношение включения, обозначаемое с:, на множестве R.
Изучите свойства отношения d на множестве R. Является ли оно отношением порядка? Является ли оно отношением эквивалентности? ([1], упр. 3.6).
8. Рассмотрим множество месяцев в году и введем отношение «...имеет то же число дней, что...». Докажите, что оно является отношением эквивалентности. Укажите фактор-множество ([1], упр. 3.11).
9. Рассмотрим множество N X гДе N — {0, 1, 2, 3, ...}. Два элемента — (а; Ь) и (а'; Ь') — этого множества находятся в отношении R, если а-\-Ь' = Ь-\-а'.
Докажите, что R есть отношение эквивалентности. Определите классы эквивалентности элементов (3; 2), (5; 5), (1; 3) ([2], упр. 3.11).
10. В множестве целых чисел Z говорят, что b делится на а Ф 0 тогда и только тогда, когда существует такое целое число k, что b — ak.
а) 	Покажите, что отношение, определенное на множестве Z следующим образом: х — у делится на 5, есть отношение эквивалентности. Записывают х = у (mod 5) и говорят, что х и у эквивалентны по модулю 5.
92


б) Докажите, что класс эквивалентности элемента х, обозначаемый х, имеет единственного представителя х0, такого, что 0 ^ х0 ^ 4.
в) Докажите, что имеется 5 классов эквивалентности: 0, 1, 2, 3, 4. Множество их обозначают Z5 ([5], упр. 13).
11. Пусть Р — множество точек плоскости. С каждой точкой М плоскости свяжем пару (х\ у) координат точки М по отношению к системе хОу и рассмотрим отношение «М предшествует М'», обозначаемое М<(М' и определяемое следующим образом: М<^ М' ■<=>
■<=> (х .<: хг и у <с у').
а) Является ли это отношение отношением порядка?
б) Является ли оно отношением полного порядка?
в) Охарактеризуйте множество точек, предшествующих данной точке А (а;Ь) ([5], упр. 17).
Целью ряда упражнений является оправдание того или иного результата или формулы. Например, упражнение 12 предназначено для подтверждения того факта, что всякое разбиение некоторого множества определяет на этом множестве отношение эквивалентности.
Предполагается, что учащиеся владеют понятиями: бинарное отношение, отношение эквивалентности, разбиение множества; знают, что каждое отношение эквивалентности на множестве определяет некоторое разбиение этого множества, а всякое разбиение множества определяет на множестве отношение эквивалентности.
12. Даны две диаграммы (рис. 6), задающие два различных разбиения одного и того же множества М (слов).
Найдите отношения эквивалентности, связанные с этими двумя разбиениями, и дополните эти диаграммы стрелками и петлями для задания найденных отношений ([4], упр. 80).
Литература
1. Breard С. Mathematiques, classe de sixieme. Paris, 1969.
2. Condamine М., Vissio P. Mathematiques. Premiere С et E. Algebre et analyse. Paris, 1968.
3. Nonnotte М., Favier A. Mathematiques, classe de 6e. Paris, 1969.
4. Nonnotte М., Favier A. Mathematiques, classe de 5®. Paris, 1970.
5. Queysanne М., Revuz A. Mathematiques, classe de troisiemme. Paris, 1968.
6. Queysanne М., Revuz A. Mathematiques, classe 2® A. Paris, 1969.
7. Horaires et programmes de l’enseignement de second degre 31® ed. Paris, 1970.
8. Верченко А. И. Преобразование содержания курса математики в средних школах Франции. «Математика в школе», 1974, № 1.
9. Верченко А. И. Подготовка перехода средней школы Франции на новое содержание математического образования. «Математика в школе», 1975, № 2.
10. Сосинский Б. А. Новые учебники математики во французской средней школе. «Математика в школе», 1975, № 2.
ХРОНИКА
«мм—I |.г 1—in lyrwi I п1ттт*т\твшмшявпшм.шхяш**вям
И. С. Бровиков, Р. С. Черкасов,
В. 	Н. Шапкина (Москва)
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР «СОВРЕМЕННЫЕ ИДЕИ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В СССР И ЗА РУБЕЖОМ» 1
5 ноября 1975 г. на 82-м году жизни скончался профессор И. К. Андронов, организатор и идейный руководитель этого семинара. За 16 лет существования семинар внес большой вклад в решение трудной задачи усовершенствования математического образования. На его заседаниях было прочитано и обсуждено 105 докладов на самые разные темы. Широта тематики семинара во многом определялась разносторонними научнопедагогическими интересами его руководителя, И. К. Андронова, его большой эрудицией и той творческой одержимостью, которая была ему присуща.
На заседаниях семинара обсуждались новые школьные программы ио математике, советские и зарубежные; делались обзоры научно-методических журналов, отечественных и зарубежных; докладывались результаты исследования роли выдающихся представителей отечественной культуры в развитии математического образования в России; рассматривалось состояние математического образования в зарубежных странах с выявлением передовых тенденций в преподавании математики и знакомством с деятельностью отдельных известных педагогов-математиков: В. Литцмана, Э. Кастельнуово,
У. 	Сойера и др.; докладывалось о переводных работах по методике математики; обсуждались тематика и содержание факультативов для студентов пединститутов, раскрывающих перед ними новые идейные направления школьного курса математики.
В работе семинара принимали активное участие учителя, аспиранты, преподаватели пединститутов и высших учебных заведений из разных городов Советского Союза. На семинаре выступали профессора Н. Ф. Чет- верухин, П. А. Шеварев, В. А. Крутецкий, Н. С. Мен- чинская и др. Гостями семинара были педагоги-математики зарубежных стран, выступавшие с докладами: профессора П. Иванов (Болгария), С. Крыговска (Польша), Махачек (Чехословакия), Ж. Папи (Бельгия).
1 Сообщения об образовании и работе семинара см. в журнале «Математика в школе», 1960, № 3; 1963, № 2; 1967, № 4; 1972, N° 5; 1974, № 5.
93


Все новое, интересное стремился вынести И. К. Андронов на семинар. Особой содержательностью, глубиной анализа и оригинальностью постановки самой проблемы отличались сообщения И. К- Андронова. Им было прочитано 15 докладов, 15 глубоких исследований, проведенных в историко-методологическом ключе, которым он владел в совершенстве.
Ниже мы даем отчет о работе семинара за 1974/75 учебный год. Было проведено 8 заседаний по обсуждению различных проблем школьного математического образования и подготовки учителя математики.
10/Х 1974 г. Н. Б. 'Шапошникова (г. Тула) сообщила о работе известного итальянского педагога-математйка Эммы Кастельнуово «О математическом творчестве учащихся римских школ». Она рассказала о многолетней и плодотворной работе Э. Кастельнуово по связи классических методов в преподавании математики с современными идеями модернизации.
14/XI 1974 г. В. И. Сухорукое (г. Балашов) в докладе «Возникновение предмета методики математики и его развитие» рассказал о проведенном им исследовании Методических трудов П. Рамуса, А. Клсро, представителей французской школы Пор-Рояля (А. Арно, П. Николь, Б. Паскаль), С. Лакруа, И. Г. Песталоцци, А. Дистервега, а также русских педагогов-математиков
А. 	С. Гуриева, Е. А. Евгушевского, С. И. Шохор-Троц- кого и др. Материал исследования послужил основой спецсеминара по методике преподавания математики, который автор ведет для студентов III и IV курсов.
12/XII 1974 г. доклад Н. Я. Третьяковой (г. Омск) «Развитие математики бесконечных процессов и вопросы ее преподавания» был посвящен проблеме подготовки современного учителя математики. Докладчик рассмотрела два направления в решении этой проблемы:
1) совершенствование преподавания курса математического анализа для студентов пединститутов и усиление в преподавании роли историко-генетического метода;
2) проведение для студентов старших курсов пединститута спецсеминаров и спецкурсов по основам анализа в историческом аспекте.
6/1 1975 г. в докладе Л. В. Потаповой (г. Свердловск) «Методика изучения цопррсов многомерной геометрии на факультативных занятиях с учащимися старших классов» Оыли рассмотрены некоторые задачи, приводящие к необходимости использования пространства размерности, большей, чем 3. Дана методика введения многомерного пространства аналитическим путем (как множества со многими параметрами) и наглядно геометрическим/ Предложен факультатив, содержащий удачные призеры использования идей многомерной геометрии в физической химиц, программировании, теории информации.
10/11 197§ г. X. Ж. Ганеев (г. Свердловск) в докладе «Из истории развития школьного математического образования на Урале» рассказал о значительном вкладе уральских цедагогор-математиков (таких, как Б. И. 06- реймо 13, К. А. Торопов, Н. И. Шемяков, М. Н. Хитрин) в практическое осуществление идей реформистского движения, В создание учебно-методической литературы, в работу над совершенствованием программ и решение проблем внеклассной работы.
13/111 1975 г. /7. А. Буданцев (г. Тула) в выступле¬
нии «Некоторые соображения по улучшению учебных пособий по математике для 8-летней школы» критически рассмотрел изложение в основном двух тем («Функции» и «Уравнения») в школьных учебных пособиях, составленных в соответствии с новыми программами.
10/1V 1975 г. доклад О. //. Федяева (Москва) был посвящен анализу некоторых основных понятий школьного курса геометрии на основе группы преобразований. В число этих понятий вошли пропорциональность отрезков, ориентация, угол. Помимо этого, автор показал, как па основе свойств группы растяжений евклидова пространства возникает понятие аффинного векторного пространства. В заключение доклада были сформулированы методические выводы относительно возможных и целесообразных путей использования геометрических преобразований в школьном курсе геометрии.
15/V 1975 г. В. А. Андреев (Калининград) в докладе «Введение в механику па основе математики бесконечных процессов на факультативных занятиях в VIII классе» предложил для учащихся VIII классу факультативный курс по изучению основ дифференциального и интегрального исчисления в связи с введением основных понятий и решением некоторых задач механики. Целесообразность такого курса докладчик обосновал двумя причинами. Во-первых, учащимся, интересующимся физикой и техникой, недостаточно знания числовой математики для описания процессов и явлений, происходящих в реальных условиях. Во-вторых, синтез основ механики и математики бесконечных процессов в рамках одного факультативного курса оправдывается многовековой историей их развития и, как показывает опыт преподавания, способствует более глубокому усвоению понятий и методов обеих наук.
16/Х J975 г. Н. Б. Шапошникова (г. Тула) сделала очередной обзор научно-методического итальянского журнала «Архимед» за 1973/74 учебный год, остановившись на основном направлении журнала — развитие науки должно способствовать улучшению преподавания математики.
12/XII 1975 г. состоялось заседание семинара, посвященное памяти И. К. Андронова. Коллеги и ученики покойного (С. В. Кудрявцев, А. К. Окунев. Р. С. Черкасов, П. В. Стратилатов, В. Н. Шаикипа, 3. А. Кузнецова и др.) говорили о большой, разносторонней и плодотворной деятельности И. К. Андронова на ниве математического просвещения; о его богатом научнопедагогическом наследии и необычайной одаренности как личности, общение с которой всегда обогащало и побуждало к новым творческим поискам; о той школе квалифицированных методистов, которую создал И. К. Андронов.
В заключение заседания были зачитаны письма, присланные в адрес семинара от коллективов методикоматематических кафедр различных педагогических институтов СССР (г. Харькова, г. Гродно и др.), в которых выражалась скорбь о невосполнимой утрате и пожелание сохранить семинар, созданный И- К. Андроновым, как один из методических центров по развитию передовых научно-методических идей.
Ныне семинар продолжает свою работу под руководством профессора, члена-корреспондента АПН СССР И. С. Бровикова.
94


В. 	Я. Саннинский
(г. Тула)
ЗОНАЛЬНЫЙ СЕМИНАР ПО РАБОТЕ В ПОМОЩЬ ШКОЛЕ
В марте 1976 г. в Тульском педагогическом институте состоялся семинар преподавателей математических кафедр пединститутов и заведующих кабинетами математики институтов усовершенствования учителей Центральной зоны РСФСР.
Основная задача семинара состояла в том, чтобы обсудить имеющийся опыт совместной работы в помощь школе (особенно сельской) математических кафедр и кабинетов математики ИУУ при переходе на цо- вое содержание и методы обучения математике, наметить меры улучшения этой работы.
Со вступительным словом к участникам семинара обратился ректор Тульского пединститута В. Н. Молчанов.
На семинаре были заслушаны следующие доклады:
1. Некоторые итоги работы выпускников математического факультета Тульского пединститута в школах области (заведующий облоцр Б. Б. Воронцов).
2. Из опыта работы Тульского ИУУ в помощь школе (заместитель директора ИУУ Б. Б. Пеньков).
3. О содержании и формах совместной работы математических кафедр института и кабинета математики Тульского ИУУ (В. Я. Саннинский).
4. Некоторые итоги перехода школы на новое содержание обучения математике (Ю. М. Колягин).
5. Проблемы проверки и закрепления знаний, умений и навыков учащихся при обучении алгебре в средней щколе (С. В. Кудрявцев и И. С. Бровиков).
6. Проект норм оценки текущей успеваемости учащихся IV—X классов по математике (Л. Д. Семушин и С. В. Кудрявцев).
По вопросам, представляющим интерес для собравшихся, с сообщениями выступили: И. М. Уваренков
(г. Смоленск), II. Н. Шоластер (г. Коломна), П. А. Бу- данцев, А. Р. Есаян, Т. Я. Федотова и Р. Д. Пименова (г. Тула), М. И. Осипова (г. Калуга), В. В. Ветров, Н. А. Ильина и В. Д. Селютин (г. Орел), В. А. Оганесян (г. Ереван), М. С. Королева (г. Орехово-Зуево).
Прослушанные доклады и сообщения подверглись обсуждению. Особенно активным было обсуждение первых итогов работы по новым учебным пособиям в девятых классах. При этом были высказаны полезные предложения по усовершенствованию этих пособий.
Участники семинара приняли рекомендации в адрес математических кафедр и кабинетов математики ИУУ.
В принятых рекомендациях, в частности, отмечается, что в настоящее время закапчивается процесс стабилизации содержания обучения математике в средней школе и освоении этого содержания учителем. Наступает пора совершенствования методов обучения этому содержанию и на этой основе — повышения качества знаний учащихся по математике. В этих условиях усиление методической работы на местах — в масштабах школы, района, области, зоны — приобретает особо важное значение. Прямой долг преподавателей математических кафедр — принять в этой работе самое активное участие.
ФЕДОР ФЕДОРОВИЧ НАГИБИН
20 апреля 1976 г. после тяжелой болезки скончался профессор кафедры математического анализа и
методики преподавания математики Кировского государственного педагогического института им. В. И. Ленина Федор Федорович Нагибин. В расцвете творческих сил ушел из жизни преданный делу партии коммунист, талантливый педагог-математик, видный советский методист, известный популяризатор математики среди школьников.
Федор Федорович родился в феврале 1909 г. в деревне Корпухино Вологодской области. Окончив в 1933 г. физико-математический факультет кировского пединститута Ф. Ф. Нагибин поступил в аспирантуру при Научно-исследовательском институте школ НКП РСФСР. Решающую роль в формировании молодого ученого-педагога сыграли его научные руководители — Александр Яковлевич Хинчин и Елизавета Савельевна Березанская.
Возвратившись в г. Киров, Федор Федорович работает преподавателем, деканом физико-математического факультета, ректором института, заведующим кафедрой математического анализа и методики преподавания математики, профессором кафедры. Научно-методические интересы Федора Федоровича были щиро- ки и разнообразны. Его первая статья появилась в журнале «Математика в школе» в 19В5 г., и с этого времени он постоянно сотрудничал в журнале как автор и как ис¬
ключительно внимательный, но строгий рецензент многих статей начинающих свой творческий путь молодых методистов. Наибольшую известность Федор Федорович получил как автор задачников и книг для учащихся. На конкурсе новых учебников в 1964 г. «Геометрия», соавтором которой был Федор Федорович, завоевала М премию (I премия не присуждалась). Всего Федор Федорович написал свыше 80 книг и статей.
Последние семь лет жизни Ф. Ф. Нагибина характерны ростом научной активности: за эти годы издано более 30 работ (книг, учебных пособий, статей) по методике преподавания математики, написанных Ф. Ф. Нагибиным лично или ё соавторстве с другии учеными. Много сил отдал Федор Федорович работе в составе авторского коллектива, возглавляемого академиком А. Н.' Колмогоровым, по созданию пробных учебников по геометрии для VI—VII классов и пособий для учителей по преподаванию геометрии в этих классах.
Научные интересы Ф. Ф. Нагибина в основном были связаны с проблемами преподавания математики в средней школе. В последние годы его особенно интересовали вопросы содержания и методов обучения школьной геометрии.
Труды Ф. Ф. Нагибина публикуются центральными, республиканскими, местными, а также зарубежными из¬
95


дательствами. Например, на Украине выпущена книга «Формирование научного мировоззрения учащихся в процессе преподавания математики» (Киев, 1972), созданная в соавторстве с В. И. Солдатовым и А. Ф. Семеновичем. В 1973 г. издана книга Ф. Ф. Нагибина «Экстремумы» на литовском языке. В Болгарии опубликована его книга «Максимумы и минимумы» (на болгарском языке).
Большую помощь оказывал профессор Ф. Ф. Нагибин начинающим научным работникам и преподавателям педагогических институтов. На математических кафедрах Кировского педагогического института работают 33 преподавателя. Почти половине из них путевку в науку дал Федор Федорович. Многие преподаватели педвузов Волго-Вятского района и Уральской зоны считают себя учениками профессора Ф. Ф. Нагибина. Выпускники аспирантуры, которой долгие годы руководил Федор Фе¬
дорович, работают сейчас во многих педвузах СССР.
Огромную работу вел Федор Федорович Нагибин с учителями математики средней школы. Он был блестящим лектором, часто выступал с докладами и лекциями, принимал активное участие в работе Кировского института усовершенствования учителей, был научным руководителем методического семинара при Кировском пединституте, активными слушателями которого являются как преподаватели вуза, так и учителя математики средних школ. В помощь учителю математики кафедра математического анализа и методики преподавания математики Кировского пединститута издала в последнее время ряд учебных пособий и сборников статей.
Ф. Ф. Нагибин принимал активное участие в общественной жизни института, города и области. В последние годы он активно работал в Ки¬
ровском областном комитете защиты мира, совете ветеранов комсомола.
Многосторонняя деятельность профессора Ф. Ф. Нагибина отмечена правительственными наградами: орденом «Знак Почета», медалями, грамотой Президиума Верховного Совета РСФСР.
Человек высокой эрудиции, большой силы воли, выдержки, огромного трудолюбия, неиссякаемой энергии, исключительной скромности и честности — таким мы знали Федора Федоровича Нагибина. Память о нем как о видном математике-методисте, прекрасном педагоге, замечательном человеке навсегда останется в сердцах его друзей, учеников и всех, кому пришлось с ним вместе работать и сотрудничать.
Е. С. Канин, Н. Г. Килика, Н. Ф. Семенович, Р. С. Черкасов
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
В издательстве «Педагогика» в мае 1976 г. вышли следующие книги:
Аверичез Ю. П. Организация трудового обучения и воспитания школьников. (Из опыта работы). 80 с.
Атутов П. Р. Политехнический принцип в обучении школьников. 192 с.
Воспитание школьников в труде. Под ред. А. А. Шибанова. 104 с.
Литература по педагогическим наукам и народному
образованию. Библиографический указатель. Вып. 3(100), июль — сентябрь 1975 г. 168 с.
Луначарский А. В. О воспитании и образовании. Под ред. А. М. Арсеньева, Н. К. Гончарова, И. А. Каи- рова, М. А. Прокофьева, В. А. Разумного. 640 с.
Подготовка детей к школе в семье. Под ред. Т. А. Марковой, Ф. А. Сохина. 192 с.
Развитие логической памяти у детей. Под ред. А. А. Смирнова. 256 с.
Зав. редакцией 3. В. Шепелева Художественный редактор Б. Ф. Рябов
Технический редактор Л. С. Владимирская Корректор Э. М. Боклажепко
Сдано в набор 22.06.76 г. Подписано в печать 29.07.76 г. Формат 84X1087,6.
Бумага тип. № 2. Печ. л. 6,0. Уел. печ. л. 10,08. Учетно-изд. л. 11,33. Тираж 420 230 экз. Заказ 264 Цена 45 коп.
Адрес издательства: 107066, Москва, Б-66, Лефортовский переулок, д. 8.
Телефон редакции 283-85-83.
Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР и Государственного комитета Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Московская типография № 13 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 107005, Москва, Б-5, Денисовский пер., д. 30.


ШКАФЫ
ДЛЯ ХРАНЕНИЯ
ТАБЛИЦ
Нами изготовлены специальные шкафы, каждый из которых вмещает 80 таблиц. Такой шкаф можно поместить в любом классе не только городской, но и сельской школы. Общий вид шкафа дан на рис. 1. Две боковые стенки его — прямоугольные трапеции (рис. 1,а); передняя стенка состоит из двух прямоугольников, нижний из которых обшит фанерой (рис. 1,6). В верхнем прямоугольнике сделаны горизонтальные пазы (по типу школьного пенала), по которым свободно движется вправо или влево фанерная стенка (рис. 2, а).
Для подвески таблиц внутри шкафа на бо- ковых стенках из алюминиевого уголка длиной 1200 мм изготовлено специальное приспособление для поддержки таблиц (рис. 3).
На одной грани уголка (рис. 4) на расстоянии 30 мм делаются прорези с двух сторон под прямым углом, а затем выгибается «двугранный угол», немного больше прямого, в который свободно входит конец планки с таблицей.
На каждом уголке получится 40 «двугранных углов». Так как таблицы на картоне кле- ются с двух сторон, то в одном шкафу помещается 80 таблиц. Независимо от размеров таблиц длина планок, прикрепленных к ним, одна и та же. К таблице вверху прибиваются с двух сторон две планки (одна около 1200 мм, а вторая на 30 мм меньше, для того чтобы первая могла свободно войти в из-
Рис. 1