Author: Мордкович А.Г.
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа алгебра математика
ISBN: 5-346-00051-8
Year: 2001
Text
A.r. МОРДКОВИЧ
AJlflB PA
7
КЛАСС
ЗАДАЧНИК
дПЯ общеобразовательных учреждений
4--е издание, исправленное
Рекомендовано
МИllистерством образоваllИR
Российской Федерации
s
Москва 2()(Н
УДК 373.16"7.1:51'2
ББК 22.141я721
М79
МОРДКОВИЧ A.r. и др.
М 79 .Алrебра. 7 КЛ.: Задачник для общеобразоват. учрежде
нийjА.r. МОРДКОВИЧ, Т.Н. Миmустина, Е.Е. Тульчинская.
4 e изд., испр. М.: Мнемозина, 2001. 160 С.: ил.
ISBN 5 346 00051 8
Задачник содержит разнообразные системы упражнений, тщательно
выстроенные на четырех уровних по степени нарастании трудности.
В задачнике учтен опыт работы учителей.
УДК 373.167.1:512
ББК 22.141и721
Учебное издание
Мордкович Ап:ексаидр rриrорьевич
МmпyCТИllа TaTbllHa Николаевна
Ту.пьЧИИСК8И Елена Ефимовна
АлrЕ6РА
7 класс
ЗАДАЧНИК
дЛЯ общеобразовательных учреждений
Директор издательства М. Н. Беэвuкоппая
rлавный редактор К. Н. Куровскuй
Редактор Е. В. Смольпuкова
Оформление и художественное редактирование: Т. С. Боzдапова
Технический редактор С. П. Передерuй
Корректор Л. Н. Наумова
Компьютерная верстка: Т. В. Батракова
Лицевзии ИД:Ni 02085 от 19.Q6.2oo0.
ПОДПИС8Во в печать 24.07.01. Формат 60х90 1 / 18 .
Бумarа офсетная :Ni 1. rарнитура .Школьная.. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 10,0. Доп. тираж 100 000 экз. Захаз :Ni 2855 (lCp r.).
ИОЦ .Мнем03Ива.. 111141, Москва, ул. Перовская, 4.7.
Тел. (095) 309 27 77, 368 86 80; фахс (095) 368 65 80, 368 86 80.
Отпечат8ВО с rOТOBblx диапозитивов на rосударственном
унитарном предприитии Смоленский полиrрафический комбинат
Мииистерства Российской Федерации по делам печати,
телерадиовещ8ВИИ и средств массовых коммуникаций.
91An9.n .... "nIlA'II' ll. ул. См:OJIЫIиивова, 1
ISBN 5.346.00051-8
.0 .Мнемозииа., 1997
О .МвемЬэина., 2001, с изменениими
О Художествеииое оформлеиие.
.Мвем03Ива., 2001
Все права защищены
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Издательство" Мнемозина" опубпиковало комплект книr для изучения
курса алrебры в 7 M классе общеобразовательной школы:
A.r. МОРАКОSНЧ. Алrебра 7. Учебник (переработанное издание).
A.r. МОРАКОSНЧ, Т.Н. МНШУСТННд, Е,Е, ТУЛЬЧННСКдR. Алrебра 7.
Задачник (переработанное издание).
A.r. МОРАКОSНЧ. Алrебра 7 9. Методическое пособие для учителя
(новое издание).
Ю.П. ДУАннцьiн, Е.Е, ТУЛЬЧННСКдR. Алrебра, 7 9. Контрольные pa
боты (под ред. A.r. МОРАКОSНЧд).
A.r. МОРАКОSНЧ, Е.Е. ТУЛЬЧННСКдR. Алrебра, 7 9. Тесты.
У вас в руках вторая книrа указанноrо комплекта задачник. Названия
ero rлав и параrрафов в точности соответствуют учебнику. Для изучения
курса аnrебр".в 7 -М классе ваши ученики должн... иметь две книrн: учеб
ник и задачник.
Обращаем ваше внимание на то, что это издание задачника суще-
ственно отличается от изданий 1997 -1999 rOAoB: упражнения переструк
турированы, появились новые упражнения, исключены некоторые упраж
нения, оказавшиеся малоудачными, проведена ревизия ответов. Все из
менения сделаны на основе изучения опыта работы учителей с предыду
щими изданиями задачника.
Задач и упражнений в задачнике избt.почно мнoro. идя на зто, авторы
Хотели предоставить учителю объемный и разноплановый набор упраж
нений с тем, чтобы ему не пришлось искать дополнительный материал в
друrих учебных пособиях и у Hero была бы возможность выбора. Разу
меется, далеко не все упражнеюiя Д лжн". б",т" peWeH'" учениками
в КЛассе, дома или в порядке повторения. Опыт использования предыду
ЩИХ Изданий показал, что учителя иноrда стремятся прорешать со своими
1*
3
учащимися все упражнения, боясь упустить чтcrлибо интересное или важ
ное. Оrраничивайте себя, иначе вам не удастся вписаться в жесткое
поурочное планирование, представленное в указанном BbIwe методичес
ком пособии.
В задачнике нет спеЦl1альноrо раздела "Задачи на повторение", KOTO
рый обычно помещают в конце для орrанизаЦl1И итоrовоrо повторения.
Причина уже указана BbIwe избыточность материала. Зная, какие уп
ражнения вы пропустипи в процессе текущеrо изучения материала, зная
состояние Bawero класса, продиаrностировав уровень обученности, вы
сами отберете материал для повторения из соответствующих параrpафов.
Во всех параrpафах задачника достаточно материала для работы с уча-
щимися на уроках (в том числе для YCTHoro реwения примеров), проведе-
ния самостоятельных работ, выпопнения Домаwних заданий. Как правило,
в каждом номере содержится по 2 или 4 примера с таким расчетом, что
бы примеры а (или а и б) разбирались в классе, а примеры б (или в и r)
включались в AOMaWHee задание.
К отбору материала и ero расположению авторы подходили очень
тщательно. В каждом параrрафе упражнения рассредоточены по отдеЛIr
ным подтемам, соответствующим теоретическому материалу учебни
ка; внутри подтем достаточно четко ВlolДержнваетсяllИНИЯ нарастани
трудности. Это позволит учителю осуществлять дифференцированный
подход к обучению.
В каждом параrрафе упражнения сконцентрированы по двум бло
кам. Первый (до черты) содержит задания базовоrо и cpeAHero уровней
трудности; номера примеров cpeAHero уровня трудности снабжены
значком О, к этим номерам даны ответы в конце задачника. Второй блок
упражнений (после черты) включает дополнительные задания cpeAHero
уровня трудности и задания повыwенной трудности. HOMep трудных
примеров отмечены значком.. PJIД этих примеров peweH в пособии для
учителя (третья книrа указанноrо BbIwe комплекта). Практически ко всем
примерам BToporo блока даны ответы.
Таким образоМ, в задачнике 810. найдете упражнения четырех уров-
ней трудности. Не исключено, что в pJlДe случаев вы не соrласитесь с нами
в оценке трудности Toro или иноrо задания (например, задание помеще-
но в параrpафе после черты, а вам представляется, что ero место до
черты). Это вполне возможно, поскольку определение уровня TPYAHcr
сти задания процедура до некоторой степени субъективная.
Хотя задачник составляет единое целое с упомянутым BbIwe учебн
ком, ero при желании MorYT ИСПОЛЬЗОвать и учителя, работающие по дpy
rим учебникам алrебры.
Авторы
rЛАВА
1
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
1. ЧИСЛОВЫЕ И АлrЕБРАИЧЕСКИЕ
ВЫРАЖЕНИЯ
Используя термины "сумма" и "разность", прочитайте BЫ
ражениеи найдите ero значение:
1. а) 3,5 + 4,5;
б) 3,5 + ( 4,5);
2. а) 3,5 4,5;
б) 3,5 ( 4,5);
в) 3,5 + 4,5;
r) 3,5 + ( 4,5).
В) 3,5 4,5;
r) 3,5 ( 4,5).
3. яя 11 И '11 И'J. е В виде числовоro выражения и найдит ero з:вачение:
а) сумма чисел 15 и 7,5;
1
б) разность чисел 36,6 и 5з;
В) произведение чисел 13,7 и 3,5;
2 1
r) частное от деления числа 7 3 на число 23 .
Используя термивы "произведение" и "частное", ПРОЧИТ8Йте
выражение и найдите ero значение:
4. а) 1,5 . 3; в) 1,5 . ( 3);
б) 1,5' 3; r) 1,5' ( 3).
5. а) 1,5 : 3;
б) 1,5 : 3;
в) 1,5 : ( 3);
r) 1,5 : ( 3).
Используя термины "сумма", "разность", "произведение" и
"частное" , прочитайте выражение и найдите ero значение:
6. a)(2i+3 )-6;
1 1
б ) 2 + 3 .6'
2 3 '
7. а) (4i+ 3 ): 113;
б) 17 : ( 4 3 ):
в) 2.!. . 6 + 3.!.;
2 3
r) 2.!..2+3.!.'3,
2 3
в) (6 7 )-( + ):
r) ( 15 4 )- ( 3 : 2 ).
Найдите значение числовоro выражения:
1 1
8. а) 7 : 2 + 4 : 1 ;
3 3
( 2 1 ) 3
б) 12 6 : 7 ;
5 5 4
1 1 5
В ) 8 4 : 3 '
7 7 8'
1 6 1 3
r)2 . 2 : 5 .
3 7 4 4
9. а) (0,018 + 0,982) : (8 . 0,5 0,8);
б) 27,3 . 5,1 . ( 2,2) : ( O,0018);
в) (0,008 + 0,992) : (5' 0,6 1,4);
r) 13,5 . 9,1 . ( з,3) : ( 0,00013).
Запишите в виде числовоro выражения и найдите ero значение:
1
10. а) Сумма числа 3 3 и произведения чисел 2,5 и 16;
1 4
б) разность между произведением чисел 2"7 и 2 5' и числом 2,4;
в) произведение суммы чисел 24 и 5,6 и их разности;
6 25
r) част:вое от деления разности чисел 1 19 и 38 на болыпее из НИХ.
1
11. а) Сумма чисел 2"3 и произведения чисел 2,4 и 15;
2 9
б) разность междупроизведениемчисел 2 25 и 1 16 ичислом1,25:
в) произведение суммы чисел 25 и 5,2 и их разности:
8 1
r)частное от деления разности чисел 4 15 и 1 "3 на меньшее из них.
12. Составьте числовое выражение, значение KOTOporo равно 7, ис
пользуя при этом:
а) только одно действие;
б) сложение и умножение:
в) ВЫЧИТ8Вие и деление;
r) сложение и ВЫЧИТ8Вие.
13. СоставьтеЧИCJIовое выражение, значение KOTOporo равно 2,5,
используя при этом:
а) только одно действие;
б) CJI0жение и деление:
в) вычита.иие и умножение;
r) CJIожение и ВЫЧИТ8Вие.
14. Кахие свойства действий позволяют, не выполняя вычисле
ний, утверждать, что верны равенства:
а) 247 + 35 = 35 + 247:
б) 96 . 18 = 18 . 96;
в) 14 + (21 + 971) = (14 + 21) + 971;
r) 13 . (4 + 18) = 13 . 4 + 13 . 181
Вычислите наиболее рациОнальным способом:
1 2 1 1
15. а) + 2 + 1 +1 '
2 3 2 3'
( 3 2 1 )
в) + .14'
14 7 2 '
2 3
б ) 3 . 2 . 5 . 7'
5 7 '
( 2 2 2 )
r ) 12 +24 16 . 2
9 3 15"
i (; а) 4,16 + 2,5 + 6,04 + 3,5;
б) 7,3 + 1,6 0,3 0,6;
в) I,06 + 0,04 7,04 + 2,16;
r) 18,9 6,8 5,2 4,1.
1;' а)7,8'6,3+ 7,8' 13,7;
б) 6,95 . 3,42 . 5,05:
в) 17,96' 0,1 0,1 . 81,96;
r) 4,03 . 27,9 17,9 . 4,03.
1 1
'a ) 7 .68+7 .32'
2' 2' ,
1 1
В ) 32 5. 16 5. '
'4 '4'
3 3
б) 42 4. 2 4 . .
, 4 ' 4'
1 1
r) 65' 4,8+65.5,2.
J 9. Найдите:
а) чиCJIО секувд в а часах;
б) ЧИCJIО мивут В х сутках:
В) скорость в метрах в мивуту, если ова равва х км/ч;
r) скорость в кИJIОМетрах в час, если ова равва и м/с.
20. Найдите значение выражения 3х, если:
а) х = 3,5;
б) х = 1;
4
в) Х = ;
7
1
r)x=3 .
3
21. Найдите значение выражения 5y, если:
a)y= l; б)у=О; в)у=l;
r) у:::; 3,4.
22. Найдите значение выражения:
а) 48с + 12d при с = 3, d = 2;
б) и 3uи при и = 6, v = 1;
в) 8z llt при z = 8, t = 2;
r) 5р 4qприр= З,q=6.
3аполнитетаблицу:
2а.
1 1
а 1 2 3 3 2 1
4 4
1 1
Ь 1 3 2 2 3 1
3 3
2а 2Ь
24.
1 1
а 1 2 3 3 2 1
4 4
1 1
Ь 1 3 2 2 3 1
3 3
2аЬ 1
025. Известно, что а+ Ь= 10, с= 7. Найдите:
) а+Ь+с
в .
2 '
а) а + Ь + 2с;
б) а + Ь с;
2
r) 7(а+Ь)+2с .
3c 1
26. а) Если а Ь = 12, то чему равно Ь а?
б) Если с d = О, то чему равно d с?
а 2 ь 2
27. Вычислите ь и а + Ь, если:
a
а)а=1,Ь=2;
б)а=3,Ь=1;
в)а=1,4,Ь=1;
r) а = 3, Ь = 1.
8
а) х:::; 2, У = 3;
3 1
б) х = "2' у == "3:
2х2 2 у 2
( )( ) , если:
х+у x y
в) х= 2, у= о;
28. вычислите
r) х = 1,3, У = 0,5.
Найдите значение выражения:
.: 9 5х 3у, если:
а) х = 7, у = 4:
б) х = 6,5, у == 2,1:
2 2
в) х= 12 , y=9 :
5 3
r)x= 18, у= 7,4.
ба + 7Ь
4Ь ' если:
3a
а) а = 20, Ь = 12: в) а = 10,8, Ь = 6:
б) а = 2,4, Ь = 0,8: r) а = 12, Ь = 5,6.
'1. Вычислите х 2 + 2ху + у2 и (х + у)2, если:
а) х = 8, у = 3: в) х = 10, У = 2,6:
б)х=7,6,у=1,4: r)x=1,5,y==3.
Э2.
а 2 2аЬ + ь 2
и а Ь, если:
a b
а) а = 13, Ь = 12:
б) а = 2,4, Ь == 2,3:
в) а = 3,5, Ь == 2,5;
r) а = 7,4, Ь = 3,6.
При каких значениях переменных имеет смысл выражение:
:за. а) х 2 + 5: 3 в) 7у2 + 8: 9
б) : r) ?
а 5ь
;ц.a) ; б) а б ; 25 r) 47+с ?
B) '
х+3 а+2 9+d' с+13
% t т п ?
а) . б) 4бt 90' в) . r) 3б 6п
5% 15 ' 9т 81'
Решите уравнение:
а) 5х = 150; в) o, 7х = 343:
1 1
б)6х= 54; r) "2x= 4'
37. а)7х+9=100;
б) 1,4х 0,8 = 7;
038. а) 9 + 13х = 35 + 26х;
7 2
б) gX + 3 = "3Х + 5;
111
в) 2 Х "3 = 6";
r) 17,5х 0,5 = 34,5.
в) 0,81х 71 = 1,11х + 1;
2 1 1
r)"3Y 2Y=4y 5.
039. Найдите значения квадрата суммы и суммы квадратов чисел
и и и, если:
а) и = 1,5, v = 2,4;
б) и = 3,1, v = 0,8;
в) и = 14, v = 1,4;
r) и = 1,2, v = 2,8.
040. а) При каком значении переме:вной значе:вие выражения 3Х 2
равно 101
б) При каком значении переменной значение выражения 4у 1
равно 3у + 51
41. а) При каком значении переменной значение выражения 5k в
два раза меньше, чем 4k + 121
б) При каком значении переменной значение выраже:вия р + 3 в
четыре раза больше, чем 7р 331
5
42. Составьте числовое выражение, значение KOTOporo равно 6'
используя при этом:
а) только одно действие;
б) сложение и вычитание;
в) умножение и деление;
r) сложение и деление.
43. Составьте числовое выражение, значение KOToporo равно
1
3 5 ' используя при этом:
а) только одно действие;
б) сложение и деление;
в) деле:вие и умноже:вие;
r) сложение и умножение.
44. Найдите значение числовоro выражения:
( 7 17 ) 1
а) 8 12 2 36 .2,7 4з:О,65;
( 11 13 ) 8
б ) 1 + . 1 44 . о 5625'
24 36 ' 15' ·
( 8 21 ) 1
В ) 6 4 .4 5 2 '0 52'
15 45 ' 6'"
( 9 12 ) 8
r) 22 +1 зз ,1,32 lз .О,1625.
10
45. Даны два числа 18 и 12. Запишите выражение и найдите ero
значение:
а) произведение большеrо из чисел и разности квадратов этих
чисел;
б) частное от деления меньшеro из этих чисел на их полусумму:
В) сумму большеro из этих чисел и частноro от деления боль
. шеro на ме:вьшее;
r) разность произведения этих чисел и их частноrо.
46. Даиы два числа 7,2 и 6,4. Запишите выражение и найдите ero
значе:вие:
а) произведениебольшеro из чисел и полуразности этих чисел;
б) частное от деления меньшеrо из этих чисел на разность их
квадратов;
в) сумму большеro из этих чисел и частноro от деления большеrо
на меньшее;
r) разность произведения этих чисел и их частноro.
047. Заполните таблицу:
а 3 2 1 О 1 3 6
Ь 2 4 6 3 5 2 О
с 7 3 5 2 4 1 8
а 2 + 2ьс + 7
а 2 + ЗЬ 2 + с
(а+Ь)(Ь+с)
(а+ь)2
6(а+Ь+с)
a b c
(а+ЗЬ)с а2
а 2 Ь 2 + 2с
48. Равна ли нулю дробь:
(2 1 : 2 1'8 ) '0'4+ 0,3
а) .
3,15 : 22,5 '
( 1,24 1 ) '2,5 !: !
б) 25 6 3 ?
1,4: 0,1 2
11
49. Имеет ли смысл дробь:
) 3,5.1,24
а .
10 +1,6: ( .o,4 0,4)'
б) 4,2: 2 1 ?
!+ { 08'! !)
9 9 ' 6 3
850. В выражении 7' 6 + 24 : 3 2 расставьте скобки так, чтобы ero
значение было:
а) наименьшим; б) наибольшим.
851. Составьте числовое выраже:вие, значение KOToporo равно 100,
используя перечисленные цифры и не меняя порядок их следо
вания:
а) 1,2,3,4,5;
б) пять единиц;
в) пять пятерок;
r) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9.
852. Составьте числовые выражения, JlСПОЛЬЗУЯВ их записи только
четыре четверки так, чтобы эти выражения принимали следую
IЦиезначения:О, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
2. ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК
Запишите на математическом языке:
53. а) Сумму чисел а и Ь;
б) разность чисел с и d:
в) произведение чисел х и у;
r) частное от деления числа t на число и.
54. а) Полусумму чисел z их;
б) полуразность чисел р и q;
в) Квадрат числах;
r) куб числа у.
55. а) Сумму числах и произведения чисел а и Ь;
б) разность числа у и частноrо от деления числа а на число Ь;
в) произведение числа а и суммы чисел Ь и с;
r) частное от деления числа z на разность чисел х и у.
12
56. а) утроенНУЮ сумму чисел т и п;
б) удвоенную разность чисел р и q;
в) произведение полусуммы чисел х и у и числа z;
r) частное от деления числа р на полуразность чисел а и Ь.
57. а) Квадрат суммычиселаи Ь;
б) куб разности чисел х и у;
в) разность квадратов чисел t и ш;
r) сумму кубов чисел с и d.
58, а) Отношение суммы чисел т и п к их произведению ;
б) отношение разности чисел с и d к удвоенной сумме этих чисел:
в) отношение суммы квадратов чисел т и п к их произведению;
r) отношение разности кубов чисел р и q к их удвоенной сумме.
Переведите с математическоrо языка на обычный следующие
алrебраические выражения:
59, а) х + 2; б) с d; в) 8z; r) Е..
q
60. а) а 2 + Ь2; б) х 2 у2; в)zЗ + t З ; r)тЗ пЗ.
Ы, а) (8 + р)2; б) (и и)2; в) (р + q)З; r) (f q)З.
б' ) х+ У. б) а; Ь ; в) ху . r) Х + У .
а ' 2(х У)' ху
(): , Запишите на математическом языке следующие утверж
дения:
а) от перестановки мест слаrаемых сумма не изменится;
б) от перестановки мест множителей произведение не изме
нитс.я;
в) чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, можно сначала
прибавить к нему первое слarаемое, а затем к полученной cyм
ме второе слаrаемое;
r) чтобы к числу прибавить разность двух чисел, можно сначала
прибавить к нему уменьшаемое, а затем из полученной суммы
вычесть вычитаемое.
Переведите с математическоro языка на обычный следующие
утверждения:
()4, а)а+(Ь+с)=(а+Ь)+с;
б) а (Ь + с) = а Ь с;
B)a+O a;
r)a'l=a.
13
о
б) ;=О,rдеа:jl:О;
а
в) i=a;
1
r)a' =I,rдеа:jl:О.
а
а5.а)а'0=0;
Переве,ците с математическоro языка на обычный:
66. а) 3(х + у)2; в) 2(р q)2;
б) 2(а + Ь)2; r) 3(z r)3.
( т п ) 2
67. а) 2 ;
( t + ш)2
б) 2 ;
( а + Ь ) '
В ) .
3 '
r) (p q)2 .
4
Запишите на математическом языке следующие утверждения:
68. а) Для TOro чтобы умножить сумму на число, можно YМHO
жить наэто число каждое слarаемое и полученные резудьта
ты сложить;
б) для Toro чтобы умножить число на разность двух чисел, мож
но это число умножить на уменьшаемое и на вычитаемое, а
затем из первоro произведения вычесть второе;
в) для TOro чтобы из числа вычесть сумму двух чисел, можно из
этоro числа вычесть первое слarаемое, а затем из полученной
разности вычесть второе слarаемое:
r) для Toro чтобы из числа вычесть разность двух чисел, можно
из этоro числа вычесть уменьшаемое, а затем к полученной
разности прибавить вычитаемое.
69. а) Величина дроби не изменится если ее числитель и знамена
тель умножить на одно и то же число, не равное нулю;
б) величина дроби не изменится, если ее числитель и знамена
тель разделить на одно и то же число, не равное нулю;
в) чтобы умножить дробь надробь, нужно перемножить отдель
но числители и знаменатели, первое произведение взять в Ka
честве числителя произведения, а второе в качестве ero зна
менателя;
r) чтобы разделить одну дробь на дрyryю, надо делимое YМHO
жить на число, обратное делителю.
14
70. а) чтобы найти число Ь, составляющее р% от числа а, надо ум-
ножить число а на р и разделить полученное произведение
на 100;
б) чтобы найти число а, зная, что р% от Hero равны числу Ь, Надо
число Ь умножить на 100 и полученное произведение разде-
лить нар;
в) в верной пропорции произведение крайних членов равно про-
изведе:вию средних:
r) если в верной пропорции поменять местами средние члены или
крайние, то полученные пропорции также верны.
9 3. ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Перейти от словесных моделей к математическим:
71. а) Произведение чисел х и у равно 9:
б) частное от деле:вия числа а на число Ь равно 2;
в) числа Ь и с равны;
r) числа 2р и 3q равны.
72. а) Число а на 18 больше числа Ь;
б) число Ь на 39 меньше числа с:
в) число х в 6 раз больше числа У;
r)число а в29 раз меньшечислаЬ.
73. а) Сумма чисел а и Ь равна 43:
б) разность чисел т и п равна 214;
в) сумма чисел а и Ь на 6 меньше их произведения;
r) разность чисел р и q на 17 больше их частноrо.
74. Для чисел а, Ь, с, d:
а) сумма первых двух чисел равна разности четвертоrо и третье-
ro чисел;
б) разность первоrо и четвертоrо чисел равна сумме BToporo и
Tpeтbero чисел;
в) первое число равно сумме трех остальных:
r) сумма первых двух чисел равна удвоенной разности двух п -
ледних.
Составьте математические модели данных ситуаций:
75. Первый рабочий выполняет порученное задание за t ч, а вто-
рой это же задание за v ч, при этом первый работает на 3 ч
больше, чем второй.
15
76. Три килоrрамма яблок стоят столько же, сколько два кило
rpaMMarpym. При этом известно, что 1 кrяблок стоитх руб., а
1 Kr rpym стоит у руб.
7"/ Стоимость стака:ва ма:вдариновоrо сока а руб., а стакана ви
HOrpaднoro сока Ь руб. Известно, что 5 стаканов виноrрадноrо
сока стоят столько же, сколько 6 стаканов мавдариновоrо сока.
078. В первой корзине было х Kr оrypцов, а во второй в 3 раза боль
ше. После Toro как в первую корзину добавили 25 Kr оrурцов, а
из второй взяли 15 Kr оrypцов, в первой корзине оrypцов стало
больше.
079. В первой бриrаде работает а человек, а во второй Ь человек.
Если половину членов первой бриrады перевести во вторую,
то в первой бриrаде людей станет меньше.
8О. В первом BarOHe находится х т rруза, а во втором у т. Если из
4 1
первоrо виона выrрузить 5"5 т, а во второй добавить 145 т, то
в обоих вионах rруза ста:вет поровну.
81. Первое число равно х, второе в 1,5 раза больше первоrо. Если
к первому числу прибавить 3,7, а из BToporo числа вычесть
5,36, то получатся одинаковые результаты.
82. Первое число равно z, а второе на 6 больше первоrо, при этом
1 1
3' первоrо числа равна "4 BToporo.
83. На стройке работало 5 бриrад по а человек в каждой и 3 бриrа
ды по Ь человек в каждой, при этом Bcero на стройке работало т
человек.
084. Пусть х зв.дума:вное число. Если к этому числу прибавить 7,
полученную сумму умножить на 3 и из произведения вычесть
47, то получится задума:вное число.
85. У Миши х марок, а у Андрея у марок. Если Миша отдаст Aнд
рею 8 марок, то у Андрея станет марок вдвое больше, чем OCTa
нется у Миши.
086. Во втором цехе работают х человек, в первом в 4 раза боль
ше, чем во втором, а в третьем на 50 человек больше, чем во
втором. Bcero в трех цехах завода работают 470 человек.
16
оРо7. Первое число равно с, второе число в 1,4 раза больше первоrо.
Если из BToporo числа вычесть 5,2, а к первому прибавить 4,8,
то получатся равные результаты.
В первом букете d роз, а во втором в 4 раза больше, чем в пер
вом. Коrда к первому букету добавили 15 роз, а ко второму
3 розы, 11 обоих букетах роз стало поровну .
Первое число равно х, а второе на 2,5 больше первоrо. Извест
1 1
но, что "5 первоrочисларавна"4 BToporo.
По заданным математическим моделям придумайте COOТBeтCТBY
ющие им реальные ситуации:
а) х = у; б) а = 2Ь; в) 3с = 2d; r) 6т = llп.
iH. а) а 1 = Ь;
б) а + 2 = Ь;
fJ2.a)a+7=b;
б) а Ь =.3;
fjJ. а) а = 4Ь:
И. а) 7(х + 1 ) = у;
б) 2(а + Ь) = 3;
B)z+3=2z;
r)x+3=2y.
в) а + 2 = Ь + 8:
r)a 3=b+1.
б) х;= k:;
3
в) 3с + 2d = 8;
r) 3т + 7п = 12.
3n 4
r) m = .
7
в) c=5d + 2;
Решите звдачи, выделяя три этапа математическоrо моделиро
вания:
15. Расстояние между rородами мотоциклист проехал за 2 ч, а Be
лосипедист за 5 ч. Скорость велосипедиста на 18 км/ч меньше
скорости мотоциклиста. Найдите скорости велосипедиста и MO
тоциклиста и расстояние между rородами.
c:!Jt). В одном доме на 86 квартир больше, чем в дрyrом. Сколько
квартир в каждом доме, если в двух домах 792 квартиры?
17 В жилом доме Bcero 215 квартир. Сколько из них OДHOKOM
натных, если известно, что трехкомнатных квартир на 10
меньше, чем двухкомнатных, и на 5 больше, чем OДHOKOMHaT
ных?
CA' . В двух залах кинотеатра 460 мест. Сколько мест в большом
зале, если в нем в 3 раза больше мест, чем в малом?
17
099. На двух книжв:ых полках Bcero 48 кНИI'. Сколько к:ниr ка первой
полке, если известно, что их в 2 раза больше, чем на второй?
0100. 3а два дня мастери уче:вик изrотовили 312 деталей. Сколько
деталей изrотовлял КWКДый из них за один день, если извест
но, что мастер производит за день в 3 раза больше деталей, чем
ученик?
0101. На двух станках изrотовлено 346 деталей, причем на первом
изrотовили на 10 деталей меньше, чем на втором. Сколько дe
талей изrотовили на KWКДOM ставке?
0102. С двух участков собрано 39,6 т зерна. Сколько зерна собрали
с каждоrо участка, если со BToporo участка собрали в 1,2 раза
больше, чем с первоrо?
0103. На доске записано некоторое число. Один ученик увеличил
это число на 23, а дрyrой уменьшил на 1. Результат первоrо
оказался в 7 раз больше, чем результат BToporo. Какое число
записаво на доске?
0104. Маме и дочке вместе 35 лет. Сколько лет дочке, если она на
25 лет моложе мамы?
0105. На двух садовых участках имеются 84 яблони. Если с пер
Boro участка пересадИТЬ на второй одну яблоню, то на нем ста
нет в 3 раза больше яблонь, чем оста:вется на первом. Сколько
яблонь на KWКДOM участке?
Перейдите от словесной модели к математической:
106. а) Сумма чисел а и Ь в 7 раз больше их произведения;
б) число х при делении на число у дает в частном 3 и в остатке 1;
в) разность чисел с и d в 3 раза меньше их частноrо;
r) число а при делении ка число Ь мет в частном 12 и в остатке 5.
107. а) Двузначное число N содержит а десятков и Ь единиц;
б) трехзначное число М содержит а сотен Ь десятков и с единиц;
в) четырехзначное число содержит а тысяч и Ь десятков;
r) трехзначное число содержит k сотен и т единиц.
Решите задачи, выделяя три этапа математическоrо модели
ровавия:
108. От пристави отошел теплоход со скоростью 22 км/ч, а от дpy
roй пристаии навстречу ему через 3 ч отошел теплоход со CKOpoc
тью 26 км/ч. Расстоsпmе между приставями 306 км. Сколько
времени был в пути каждый из теплоходов до встречи?
18
109. На треХ полках находится 75 книr. На первой полке в )'""8а
раза больше книr, чем на второй, а на третьей на 5 книr MeHЬ
те, чем на первой. Сколько книr на каждой полке?
t Р в трех цехах работают 310 человек. В первом цехе рабочих в
1,5 раза больше, чем во втором, ина 110 человек меньше, чем
в третьем. Сколько рабочих в каждом цехе?
t . Периметр треyrольника АВС равен 44 см. Сторона АВ вдвое
меньше стороны ВС и на 4 см меньше стороны АС. Найдите
длины всех сторон треyrольника.
1 ''2 В школе 900 учащихся. Сколько учащихся в начальных, cpeд
них и старших классах, если известно, что в начальных клас
сах их в 3 раза больше, чем в старших, и в 2 раза меньше, чем
в средних?
Решите старинные задачи:
't rоворят, что на вопрос о том, сколько у Hero учеников, дpeBHe
rреческий математик Пифarор ответил так: "Половина моих
учеников изучает математику, четверть ИЗУ".lет природу , ceдь
мая часть проводит время в молчаливом размышлении, осталь
ную часть составляют три девы". Сколько учеников было у
Пифaroра?
По контракту рабочим причитается по 48 франков за каж
дый отработанный день, а за каждый неотработанный день с
них взыскивается по 12 франков. Через 30 дней работы выяс
нилось, что работникам ничеrо не причитается. Сколько дней
они отработали на самом деле за это время?
Спросил некто у учителя: "Скажи, сколько у тебя в классе
учеников, так как я хочу отдать тебе в ученье cBoero сына"
Учитель ответил: "Если придет еще столько же, сколько
имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, то будет у
меня 100 учеников". Спрашивается, сколько было у учителя
учеников?
Идет по морю корабль, на нем 120 человек мужчин и жен
щин. Вcero они заплатили 120 rривен, причем мужчина пла
тил 4 алтына, а женщина 3 алтына. Сколько было на кораб
ле мужчин и женщин, если 1 rривна составляет 1 О копеек, а
1 алтын 3 копейки?
19
rЛАВА
2
СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ
ПОКА ЗА ТЕЛЕМ И ЕЕ СВОЙСТВА
9 4. ЧТО ТАКОЕ СТЕПЕНЬ
С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗА ТЕЛЕМ
Запишите произведение в виде степени, назовите OCHOBa
ние и показатель степени:
117. а) 3 . 3 . 3 . 3;
6) 7' 7' 7' 7' 7' 7;
118.а)х.х.х.х х.х.х.х;
6) у' у' у' у' У:
119. а) ( 4)' ( 4)' ( 4)' ( 4)' ( 4);
6) ( }( ). ( ю . ( }
в) 0,5 . 0,5;
r) 8,4 . 8,4 . 8,4 . 8,4 . 8,4.
в) z. z. z. z. z. z;
r)q.q.q.
в) ( 2,5)' ( 2,5)' ( 2,5);
r) ( 5 }( 5 }
120. а) ( e). ( e). ( e)' ( e);
6) ( d). ( d). ( d);
121. а) (аЬ). (аЬ). (аЬ). (аЬ);
6) (pq) . (pq) . (pq);
122. а)(е d). (е d). (е d):
6) (z + t) . (z + t);
в) (р q). (р q) . (р q) . (р q):
r) (х + у) . (х + у) . (х + у) . (х + у) . (х + у) . (х + у).
в) ( r), ( r)' ( r)' ( r), ( r);
r)( s)' ( s), ( s)' ( s)' ( s). ( s).
в) (тп). (тп). (тп). (тп) (тп);
r) (ху) . (ху) . (ху) . (ху) . (ху) . (ху).
Запишите выражение в виде произведения степеней, назови
те основание и показатель каждой степени:
123. а)13 . 13' 13' 13' 13' 5' 5' 5; B)( 0,45)' ( 0,45)' 7' 7' 7;
6)0,7. 0,7{ }( } r) . . . 0,1. 0,1.
20
124. а) 5' 7.5' 7' 5 . 7;
3 3
6) ( '3)'5'( '3)'5;
в) 7,95' 13' 13' 7,95 . 13;
r) ( 2 }17,8'17,8{ 2 }( 2i}
Представьте в виде произведе:вия одинаковых множителей:
125. а) х 8 ; 6) ( 2a)4; в) ( y)12; r) (3Ь)6.
126. а) (4pq)2; 6) ( J : в) (z х)З; r) ( : J
127. Вычислите 2 п , если:
а) п = 1; 6) п 2; в) п = 5; r) п = 4.
128. Вычислите аЗ, если:
a а = 3; 6) а = о: B)a= 2; r) а = 1.
129. Вычислите( 5)п. если:
а) п = 2; 6) п 1; в) п = 3; r) п = 5.
130. Вычислите Ь\ если:
а) Ь = 1; 6) Ь 3: 1 1
в) Ь = ; r) Ь = .
2 3
131. Вычислите значение степе:ви, если:
а) основа:вие равно 3, показатель равен 5;
6) основа:вие равно ( 0,5), показатель равен 4;
в) основа:вие равно ( ) , показатель равен 3;
1
r) основа:вие равно 1;;, показатель равен 2.
132. Вычислите площадь квадрата, сторона KOTOporo равна:
1
а) 3 см; 6) 7 см; в) 1,5 см; r) "4 см.
133. Вычислите объем куба, ребро KOToporo равно:
а) lЗ м;
6)4 м;
в) 0,6 м;
3
r);; м.
Вычислите:
134. а) ( з)s;
6) ( )3:
в) ( 0,4)2;
r) ( J .
21
135. а) 171; 6) 115; в) 321; r) 072.
136. а) 72; 6) ( 1)4; в) ( О,5)З: r) 82.
137. а) ( J; 6) ( 1 J ; B) ( J; r) ( o,I)4
0138. а) 3' ( 4)2: в) 81. 71;
6)( 2)5. 3: r) ( o,5)2 . ( 2)2.
(3J 1 6) 34 -( J: в) 1: ( i J: (3J 2
0139. а) "4 1з; r)"5 13.
024 1,8 1 1,6
0140. а) o i 6)(7; в)п; r) (о,4(
0,3 ....0,1
0141. а)( 2 J; 6) ( зi J : B)( I J; r) (5 J
Запишите произведевие в виде степени, назовите основа:вие
и показатель каждой степени:
142. а) 2.2 ... 2;
9 1d08.1IТ8.II8A
б) 18.18.._ 18:
45 ".o*R'NMI
143. а) .x ... ;
711В
6) ab)'(ab)... (аЬ) ;
a2.. 1f'I'&II8
144. а) .6 ... 6,:
т 1IВ 8Т8.1181
6) 7H 7) ... ( 7). ;
" lIВо итепеА
145. a) xy).(xy) ... (ху), :
а -вo -ТU8A
6) cdH cd) ... ( cd), ;
т MВO*1IТ8JI8A
22
в) 5)'( 5) ( 5) ;
17.,.0 ; .,..,.8A
r) 9H 9) ...( 9) .
12 ... ..;........
в) Z y).(z у) ... (z У), ;
105 ... ..........A
r) r + s)'(r + s) ... (r + s)..
31 ... итеп.
в) 'a ... а, :
" lIВo II'I'8JI.1
r) Ь. Ь ... Ь .
т IIIIВожителей
в) т п)-(т п)... (т п) ;
" мвожитепеА
r) t + v).(t + и) ... (t + и) .
а "Н lI'NJIей
146. а) с' с ... с d . d ... d :
............... '----
" IIВО.8'1'....А " ".0. B'I'...eA
б) aH a) ... ( a)
n. lIIВ 08 nu..
.ь:..Ь ;
" IIIВ...,.,..A
в) a Ь).(а Ь) ... (а Ь). . (х z):
".
r) (р q).(p q). x у) ... (х у)..
". IIИ08......А
147. Вычислите полную поверхность куба, ребро KOТOporo равно 7 см.
148. Сколько потребуется обоев, чтобы оклеить Стены квадратной
комнаты, высота которой равна 3 м, а площадь пола равна 9 м 2 ?
149. Сколько нужно краски, чтобы покрасить пол в квадратной
комнате, длина каждой стены которой 4 м, если на покраску
1 м 2 нужно 200 r краски?
150. Сколько литров воды потребуется, чтобы наполнить аквари.
ум, имеющий форму куба, ребро KOTOpOro равно 40 см?
Вычислите:
151. а) 3' 24 + 2 . 34;
б) 7 . 32 + 3 . 72;
152. а) 7' 103 8 . 102;
в) 5 . 33 + 3 . 52;
r) 7 . 52 + 5 . 72.
б) 92 . 3 + 100. (0,1)2.
153. а) ( J 27 + (0,1)4 . 5000;
154. а) (2 J (I J;
б) 100: 52 ( J 128.
б) ( 1 )4 + (2 1 J
ПреДСТ8Вьте заданное число в виде произведения степеней и
простых чисел:
155. а) 228; б) 432;
156. а) 3969; б) 64800;
в) 600;
в) 21600;
r) 752.
r) 17640.
157. Сравните значения выражений:
а) 22 . 23 И 22+3; в) 71 . 72 И 71+2:
б) 32 . 31 И 32+1; r) 41. 43 И 41+3.
5. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ СТЕПЕНЕЙ
158. 3аполните таблицу степеней:
n 1 2 3 4 5 б
3"
5"
7"
а) 16;
159. Представьте в виде квадрата HeKoToporo числа да:вное число:
в) 0,81;
25
r) 64 .
4
б) 49 ;
160. Представьте в виде куба HeKoтoporo числа да:вНое число:
а) 125;
1
б) 64 ;
Вычислите:
161. а) 15; б) ( 1)6;
162. а) 0101;
б) 115. 02;
в) 0,216;
343
r) 512 '
в) ( 1)3;
r) 17.
в) ( 1)5. 16; r) 17. ( 1)4. 03' 19.
163. а) ( I)IЧ 012 + 145; в) 012 + 141 + ( 1)11;
б) ( 1)6+ ( 1)7 08; r) 0502 114 + 113 + ( 1)2.
164. а) ( 1)4 + ( 1)3 + ( 1)2 + ( 1); в) ( 1)2 ( 1)3 ( 1)4 ( 1)5;
б) ( 1)7 +18 + 015 + 119 + ( 1)4; r) ( 1)12 + 01 124 + 03 ( 1)5.
165. а) 103; б) 104; в) 105; r) 107.
166. 3апишите в ВИДе степени числа 10:
а) 1000000000; в) 1000000;
б) 10; r) .
n иупеА
Вычислите:
167. а) ( 2)5;
б) ( 3)4;
168. а) ( 2,5)2 + 1,52;
б)( J ( J;
24
в) ( 0,5)3;
r)( iJ
в) ( 0,5)3 + ( 0,4)2;
r)( J ( iJ
ВместО мноrоточия поставьте нужный знак неравенства:
1 ()!) а) а 2 ... о; в) (х + 5)2 ...0;
б) a2 ... о; r) 3(x 7)2 ...0.
l' O. а) х 2 + у2 ... о;
б) (а + 51)2 + (Ь 2 13)2 ...0;
в) 5(а 2 + Ь 2 ) ...0;
r) 94(x + у)2 ...0.
I 71 Используя таблицу степеней простых однозначных чисел,
найдите k и т, если:
а) 2 k = 512; б) 5 т = 625; в) 7 т = 343; r) 3 k :::; 729.
172. Запишите число, представленное суммой разрядных слarае
мых:
а) 3' 105 + 4 . 104 + 7 103 + 2 . 102 + 8 . 10 + 4;
б) 8 . 106 + 9 . 103 + 5;
в) 1 . 104 + 1 . 102 + 1;
r) 3' 105 + 5 . 103 + 4 . 102 + 8.
i 73. Запишите число в виде суммы разрядных слаrаемых:
а) 17285; б) 213149; в) 1495643; r) 75003400.
17.i. Найдите значения выражений:
а) a2,( a)2, а2ПРJlа=I,а= I,a=O,a=10;
б) Ь\( Ь)5, Ь5приЬ=I,Ь=0,Ь= I,Ь=10;
в) с 2 +( c)3 +с 4 при с= 1, с==о, с= 10, с= 1;
r) d4 d2+d+lприd= I,d=O,d=I,d=10.
t 75. Вычислите:
24 24
a)3 9;
( 2)2 52
б)23 4;
В ) ( 2)3 .
5 22'
14 24
r) за ( з(
t 76. Сравните:
а) 322 и о;
б) ( 54)2 И о;
в) 32 И 23;
r)( J и( J.
177. Укажите, какое из чисел больше:
а) ( 17,2)2 или ( 17,2)3; в) ( о,з)З или ( O,3)2;
б) ( J или ( J ; r) ( J или ( J
178. Не производя вычислений, расположите в порядке возраста
ни.я следующие числа:
а) ( O,4)3, ( 1,5)2, ( J ' ( 7)3;
б)( li J, ( 1,8)2, ( J' ( 2,1)2;
в) ( 1,5)2, (0,8)3, ( 1,1)2, ( i J ;
r)( J, ( J, O,32,( 1,2)2.
179. Вычислите п + k, если:
а) 2 n = 1024; 3 k == 81; б) 7 n = 49; 5 k = 625.
180. Найдите х, если:
а) 22% = 128;
б) 3% 3 = 243;
r
в) 52 = 125;
r) 2Нх = 256.
6. СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ
С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗА ТЕЛЕМ
Представьте произведение в виде степени:
181. а) х 2 ха; б) у6 . у4; в) Z5 . Z12; r) t 10 t 24 .
182. а) а 5 а; б) Ь Ь 6 ; в) с 7 с; r) d n d.
183. а) 83 85 88; В) т 13 т 8 т'
,
б) r4 r 12 ":11. r) п 4 . п п 1О .
,
184. а) и 15 и 23 и. и 7 ; В) v 3 . v 9 v 4 . v;
б) r4 1'12 ":11 . r) q13 q8. q7 q21.
,
185. а) (а Ь)3 . (а Ь)2;
б) (с + d)7 . (с + d)8;
В) (q + r)15 . (q + r)8;
r) (т п)5. (т п)4.
186. а) (ах)5 . (ах)7 . (ах);
б) ( Ьу)2 . ( Ьу)3. ( Ьу)7;
В) (cd)8 (cd)8. (cd);
r) ( pq)13 . ( pq)' (pq)8.
28
187 Представьте выражение х 25 в виде произведения двух степе-
ней с одинаковыми основа:виями так, чтобы одна из степеней
была равна:
а) х 7 ; б) х 9 ; в) х; r) х 24 .
Замените знак. степенью с основа:вием r так, чтобы выпол-
н.ялось p BeHCTBO:
]88. а) r3 . = r l1 ;
б) . . rl4 = r 10 ;
в) r 13 .. r 18 = r4 3 ;
r). r2 1 r l1 = r4 0 .
, 9. а) r 12 . . . r3. . = r2 6 ;
б) r4 4 . r.. = ,-51;
в). . r 7 ..,.з r 13 = r4 8 ;
r) r. r 14 . . . r20. . = r 72 .
190. Вычислите:
а) 25 24; б) 33 . 32;
в) 72 7;
r)9'9 2 .
191. Запишите в виде степени с основа:вием 2;
а) 4 2; б) 32 8; в) 64.512;
r) 16 . 32..
192. Запишите в виде степени с основа:вием 5:
а) 5 25; б) 53 625; в) 54 . 125;
r) 59 3125.
193. Определите знак числа а:
a)a=( 13)9 ( 13)8;
б) а = ( 17)17 ( 17)71;
в) а = ( 28)2 ( 28)6;
r) а = ( 43)41 . ( 43)14.
0194. Решите уравнение:
а) х 73= 75;
б) 122. Х = 123;
в) 46 . Х = 48;
r) х . 56 = 59.
Представьте частное в виде степени:
195. а) х 7 : х 4 ; б) у16 : у12; в) Z13 : z;
r) т 28 : т 27 .
196. а) а 12 : а 1О : а;
б) Ь 45 : Ь 15 : Ь 29 ;
в) с 3 : с : с;
r) d 43 : d 14 : d 5 .
197. а) (а Ь)3: (а Ь)2;
б) (z + r)13 : (z + r)8 : (z + r)3;
в) (с + d)8 : (с + d)5;
r) (т п)42 : (т п)12 : (т п)29.
Вычислите:
198. а) 1013 : 108;
б) 1217 : 1216;
в) ( 324)3 : ( 324)2;
r) (0,751)27: (0,751)26.
27
78
199. а) & ;
7
б ) 0,67 .
0,6" ,
0200. а) (1 J8 : (1 J7
б) ( 2} J : ( 2 J ;
в) ( 0.2)6 .
(....(),2)2 ·
(11 4
1
3
r) (I J'
3аме:вите знак * степенью с основанием х так, чтобы выпол
н.ялось равенство:
201. а) х 5 : * = х 3 ;
б) х 18 : * = х ll ;
0202. а) * : х 1О : * = х 4О ;
б) хН . * х: * = х 51 ;
( 2 ) 23 ( 2 ) 21
в) 3 : 3
9 9
( 7 ) 10 ( 7 ) 14
r) 18 : 18
в) х 49 : * = х 13 ;
r) * : х 5 = х 99 .
в) х 45 : * : х 15 * = х;
r) * : * : х = х 73 .
0203. Каким должно быть натуральное число n, чтобы выпол:в.ялось
равенство:
а) 128 п : 12856 = 12842;
б) 2163 : 216 п = 216;
в) 395 п : 395 = 3959;
r) 5484 : 548 п = 5483.
0204. Решите уравнение:
а) х : 25 = 23; б) 36 : х = 34;
Вычислите:
73.712
205. a)"""""""l4 ;
7
101" .107
б) 1019 :
3 12
206. а (0,3) (0,3)
) (0,зi 3
( ! J6 !
8 8.
б) (Н' '
в)7 8 :х=7 4 ; r)x:5 2 =5.
15.1513
в) 1512 ;
(0,09)" (0,09)4
в) (0,09)7
(! J (! J
r ) 3 3
1 .
З
4312
r) 436.43. .
2()7. используя правила умножения и деления степеней, упрос
тите выражение:
х 5 х 8
a) :
х Э
7 9
б ) JL:JL. .
5 '
У
C l2 c lO
B) ;
С
d l8 d l2
r) d l5
2О8. Запишите в виде степени с основанием х:
а) (х3)2: б) (х 5 )6: в) (х 7 )12; r) (x IO )13.
209. Представьте 240 в виде степени с основанием:
а) 28: б) 210: в) 220; r) 24.
:НО. Запишите в виде степени с показателем з:
а) m 18 ; б) п 48 ; в) а 54 ; r) Ь 21 .
211. Вычислите:
а) (73)2: б) (33)2;
в) (42)3:
r)(22)5.
212. Замените знак * таким выражением, чтобы выполн.ялось pa
венство:
а)(*)5=оа 3О ; б)(*У=Ь 14 ; B)(z')3=zI2: r)(p12)'=p24.
,213. Упростите выражение:
а) (а 3 )6 а 4 ; б) Ь 5 (Ь 3 )4;
в) с 6 (с 2 )3;
r)(cf!)4 d 23 .
214. Используя правила умножения и деления степеней, упрос
тите выражение:
а 2 а 5 ; а 6
а) .
а 7 а 8 : a l4 .
zЭ Zl7
B)
Z
б ы э b 12 ; Ь Э
) ь 20 ь 4 : Ь ;
т 79 т 4
r) 99
т
215. Известно, что х 2 = у. Чему равно:
а) х 6 ; б) X12; в) Х2О;
Упростите выражение:
216. а) (х5)4 (х6У; в) (zI3)3
б) (у8)2 (y12)3: r) (t 25 )2
217 a)(z5)6: Z7; б) (р)4 :pIO;
(хЭ )4 х 7
218. а) 15 ;
Х
б) (у5)7 (у2 )4
(уэУ4
q4Э q2
q44
т 6Э т 57
т 9В
r) х 4О ?
(Z5)9;
(t 10 )4.
в) (и 14)3 : и 2О ;
r) (q8)9 : q70.
( СЭ )5 с 5
в)
(с 6 )Э
Э
(d 2 ) d l5
r)
( d 4 )Э
29
219. Возведите в степень:
а) (х3)n; б) (уn)5; в) ( a4)2n;
220. Вычислите:
2' '(23)5
а) 18
2
(56)3 5'
б) 522 ;
(36 )2
в) 3 ;
3 .9
r) ( Ь3)6n.
47 16
r) .
( 42)4
9 7. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ
С ОДИНАКОВЫМИ ПОКА ЗА ТЕЛЯМИ
Представьте выражение в виде произведения степеней:
221. а) (2а)4;
222. а) ( 2p)3;
223. а) (тп)6:
224. а) ( ac)17;
225. а) (ху3)2;
226. а) (3 p 2,s)5;
б) (3Ь)5;
б) ( 5q)4;
б) (аЬ)4;
б) ( aт)8;
б) (а 2 Ьс 3 )4;
б) (6а 5 Ьх 3 )3;
в) (6п)3;
в) ( 7c)2;
в) (pq)3;
в) ( rs)3;
в) (p3cd 6 )18;
в) (10а 2 Ь 5 )4;
r) (8п)2.
r) ( 3d)5.
r) (Cd)10.
r) ( xy)12.
r) (и 5 v 4 t 7 )9.
r) (4r5q8p9)2.
Представьте выражение в виде степени произведения:
227. а) 36а 2 ; б) 49Ь 2 ; в) 81с 2 ; r) 64d 2 .
228. а) а 2 Ь 2 с 2 ; б) x 3 y3z3; в) m 5 n 5 S 5 ; r) p12q 12 r 12 .
229. а) 16x 4 y4z4; б) 125c 3 d 3 z3; в) 81m 2 p 2 q 2; r) 32r5s 5 q5.
Запишите выражение в виде стеПени с Показателем 2:
230. а)а 2 Ь 1О ;
231. а) х 4 у6;
б) х 8 у12;
б) 16 q 18 r 4 ;
в) x 2 y4z24;
в) 81c 8 d I6 f28;
r) p8q10z30.
r) 121mI2nI6r54.
232. Найдите наиболее рациональным способом значение Bыpa
жения:
а) 23 53; в) 0,66 56;
б) ( y 1,57;
30
r)( :: J ( J ( J
Возведите дробь в степень:
233. a)( }2
234. a)( J
( з5 ) 2
235. а) 72
б) ( )17
б)( ; J
б)( J
в)( J
B)( J
в)( :2 J
236. Пред ставьте в виде степени дроби:
з8 79 т 3
а) 58 ; б) 119 ; в)-в ;
r) ( J
r) ( : J
r) [ ( 3)3 ] 2
( 7)2
с 4
r) 16 .
237. Представьте в виде степени споказателем, отличным от единицы:
а) Ь 3 х 3 ; б) 25а 4 ; в) 32х 1О у 5; r) 16а 8 Ь 12 .
Найдите наиболее рациональным способом значение BЫpa
жения:
238. а) 85 0,1255;
б) 46 0,256;
239. а)( %J ,C J;
( 7 ) 10 ( 8 ) 10
б)
8 7
в) 54 0,44;
r) (1,25)7 87.
в) ( )' С:У
r) ( J, ( J
Найдите наиболее рациональным способом значение BЫpa
жени.я:
240. а) 56 '1;5 ; з ll .27 25.8 168
б) ; в) "'"""""3 ; r) 47 .64 .
25 9 4
28. з8 з5.45 7 11 .9 11 28.88
241. a)"'""II; б) ; в) . r) .
6 123 63'iO ' 167
272.94 1012 518. з18 128
242. а) 2; б) . в) 1514 r)
81 28.56 ' з5.45
31
243. Решите уравнение:
(х 8 )4. ( )O
а) == 5;
(х 15 )4.(х 4 )4
( х 45 ) 2 . ( х 40 ) 2
в) . = 1347;
(х5)4; х 11
(х5 1 ( (х 14 )7 Х
r) 4 = 349.
х300 : (х 25 )
х 17 . х 23
б) 3 5 = 104;
( х 8 ) х 5 . ( х 2 )
9 8. СТЕПЕНЬ С НУЛЕВblМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
244. Найдите ( J, если:
a)k=3; б)k==О;
в) k = 1;
r) k = 5.
245. Найдите а 5 , если:
а)а==1; б)а=О;
B)a= 2;
r) а = 10.
Сравиите зиачения выражеиий:
246. a)( J и ( J;
в) ( 2)3 И ( 2)0;
б)( J и ( J;
r) 5 0 и5 4 .
247. а) 23 и 20;
( 1 ) 2 О
B) '2 и ( 2) ;
б)( J и ( J;
r) 55 и 50.
0248. Вычислите:
а) 35 + 44 + 80;
в) 30 25 152;
б)( J +( J ,( J
r) (1,5)3 + 44 + 150.
249. Выполиите действия:
а) а 12 . а 5 : а 17 ; в) Ь 13 : Ь 5 : Ь 8 ;
б) СО: (с 5 . с 4 ); r) d 15 d 4 : d 10 .
32
250. упростите выражение:
а) (а Ь)10 (а Ь) : (а Ь)l1;
б) (f J . ( J : ( J
В) (k + l)4 : (k + l)З . (k + l)2 : (k + l)З;
r) ( pq)14 . ( рq)lЗ : ( pq)27.
251. Вычислите:
а) (%)2 : ( 2: }(%J
б>(1J.( i): (1J
В) 1,54: ( 1,5)3 ( 1,5)2: 1,5;
r) ( 287): (iJ. ( J
252. Выполните действия:
а) 1,62 (3,8)0 16.0,4 + 0,42 .
1,88 0,22 '
б) 1,22 1,82
1,20 . 0,6 1,80.0,96'
з ( 1 ) 2
В) 4 (12")3 1"2 + 43 .0,1;
r) (( 8)0}5 62. i 52.0,2.
2. 3аи. 2855 МОР.!1ИОВИЧ. 7 КЛ. 3аДВЧНИИ.
r ЛАВА
3
ОДНОЧЛЕНЫ.
ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ
9. ПОНЯУИЕ ОДНОЧЛЕНА.
СУ АНДАРУНЫЙ ВИД ОДНОЧЛЕНА
Выясните, является ли данное выражение одночленом;
если да, то укажите коэффициент и буквенную часть:
253. а) 3ху;
254. а) О;
1
б) '2 а 2 Ьс 3 ;
б) у;
б ) 3р3 .
4 q 4 '
в) 0,3c d9;
в) 0,6; r) z".
r) ( 2)зuпzпwп.
255. а) x у;
в) 2(с 2 + d 2 );
с 3 + d 3
r) ----з---------з .
с d
9с б) 6cd .
256. а) 13d ; 11 ' в) 12т3n2;
257. Используя переменные а, Ь, С, запишите:
а) два любых одночлена с КОэффJЩИе:вт8МИ, отличвыи ОТ нуля;
б) два разных одночлена с коэффициентами, равными 1;
в) два одночлена с одинаковыми коэффициентами и разными
буквенными частями;
r) два разных одночлена с оди:ваковыми бyroJеШlЫмичастями.
18т 3
r) .
19n
258. Используя переменные р и q, запишите:
а) три разных одночлена с одинаковой буквенной частью;
б) три разных одночлена с одинаковыми коэффициентами.
259. Найдите значение одночлена:
а) 7х 3 , еслих=О, х= 1, x== 1;
б) 9у2, еслиу=2,у= 2,у=10;
в) 0,04cd 2 , если с = 15, d"'= 2;
3
r)врqЭ, еслир= 1, q = 2.
Приведите одночлен к стандартному виду и укажите коэффи
циент и буквенную часть:
а) 3т 4 . т; в) 42 у 5 11 у12;
б) 5х 10у2; r) 7z3 .4t 8 .
а) 7 а зь. 4с;
б) 15q 2 р 2 4r;
в) 8и 4 4vЗ ( 2W5);
1
r) с 12 2d 18 810.
2
"'!) . Найдите значение одночлена:
а) a 2 b 1 0cd 2 , еслиа=0,2, Ь= l, с= 15, d= 2;
4
б) "9 8 З t 4 ,ю, если 8 = 1, t = 2, r = 1.
Приведите одночлен к ста:вдартному виду и укажите коэффи.
циент и буквенную часть:
а) 13а . 2Ь 4Ь 8а;
б) 5 2 pq2 ( 4)2qpq;
1
:4;4. а) 0,45а 2 Ьс 5 .1 a7Ь8c;
9
1
б ) О 4Ь 3х4 у . ьxa y 7 .
, 24 '
::!li:"5. а) 17х"1Iz З 2xy5z4;
( 1 56 )
б) 12p3q 2 r 10 12 pr q ;
в) 43c3d6( 5)2cd2c4d;
r) 24х9у8( 2)2( х)4( у)З.
в) 6 р4 п а ( п2p2 ):
r) 3а 2 Ь 4 ( aaЬ4 ).
в) 2x3c5d8( C6dX ):
( 1 " t m )
r) 99arп8"t" ЗЗ а 8 .
Приведите одночлены к стандартному виду и укажите те из
них, у которых одинаковая буквенная часть:
а) 3аЬ. 4а 2 ; 2,5Ь 2 5а З ; 1,2а 2 5Ь; 7а 2 Ь 12аЬ;
б) 8pq. 3р2; 1,4р2 15pq; 0,7 12р3; 4,3р2 . 3q;
в) О, 1258t 2 8t 2 ; 0,25t 4 48; 2,5t 88t 5 ; 0,28t 14t 3 ;
r) 15тп 3 2т2; 4т 3 3п 2 ; 7,8п 3 5т2; 2т 2 п 6,4п 2 .
2 .,
..
35
10. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ
Выясиите, являются ли даивые одиочлеиы подобвыми:
267. а) За и 4а;
б) 19х 2 И 35х 2 ;
268. а) 3а 2 ЬЗс и 4а 2 Ь З с;
2 9
б) "7 х З у 4 z И 10 x 3 y4z;
в) 31/ и 3у3;
r) т n и 5т n .
в) o,2т2n4p8 и O,38т2p8n4;
3 11
r) rs 2 t 5 и rs 2 t 5
13 18'
б) 6х 2 И 15х 5 ;
в) 17,8с З d 6 и 3,0Ic 12 d 4 ;
1 1
r) "2у2zи "3yz2.
269. а) 7а 2 и ЗаЗ;
270. Вместо зиака * поставьте одиочлеи, подобный да:виому и та-
кой. коэффициеит KOТOpOro в 3 раза больше, чем у даииоrо од.
иочлена:
а) 1,7х 2 у 6 и .; в) с 3 d 12 z 5 и*;
б) . и 3,6a 2 b 2 c Q ;
1
r) "3 т 2 n 8 р 14 и *.
271. Среди даииых одиочлеиов найдите подобиые:
а) 3х 2 у; 7х 2 у; 10 ху 2; 0,25х 2 у;
б) 12а 2 Ь 2 ; 5а 2 Ь 2 ; 1,2а 2 Ь З ; 2,04а 2 Ь 2 ;
в) 9с 5 Ь 12 ; 0,1c 5 d 12 ; c 5 d 12 ; c 3 d T ;
1 1 3
r)"2 т Т n 1О ; "7 т 11 n 15 ; "8 т 11 n 15 .
272. Приведите одиочлеиы к стаидартиому виду и укажите те из
них, которые подобны одиочлеиу 7 т Q:
а)т т 2 .т З 8.т; в) 36т З т 2 т.0.l.т 4 ;
12 1
б) 13 т тЗ т 5 ; r)"2 т 1З . т Т .0,5.
Выполиитедействи.я:
273. а) 3х + 5х; в) 3р + 5р + р;
б) 6у + 7у; r) 7q + 9q + 4q.
27.:1. а) 1,2с + 1,2с; в) 3,5d + 8,4d;
1 1 1 3
б)"2 т +"4 т ; r)'5 n + 10 n;
36
275. а) lзх 2 + 20х 2 ;
1 3
б) "2 р7 + "7 р7 ;
а) 1, 7d 4 0,7d 4 ;
б) 7 р 8 3 р 8 2 р 8;
' 17. а) 20у 12у У 2у;
2а 2 а 2
б) 3 3;
'278. а) 5х 2 у + 6х 2 у;
1 1
б ) с3d+ c3d'
22'
в) 2,lzЭ + 3,05z 3 ;
1 1
) q . + q .'
r 3 4'
в) т 4 т 4 ;
r) 2.хН .хН.
в) 30х 2 15х 2 7х 2 ;
3 2 Ь 1 2 Ь
r) a a .
4 4
в) 3,5d + 8,4d;
з 1
r)1 8 т Э пЧ3 16 т 3 п 4 .
Вместо знака. поставьте такой одночлен, чтобы получилось
верное равенство:
379. а) 5а 2 Ь 3 + . = 13а 2 Ь 3 ;
б) 12x3 . = 24x3;
:.: SO. а) 18a5b7 . = о;
б) 12x3yz . = 24x 3 yz;
в) 7,4pq . = 4pq;
r). + 0,5т 2 п = 1,7т 2 п.
в). + 6st 4 = 1,2st4;
r) 13xyz . = 18,3xyz.
281. а) Представьте одночлен 6cd 2 в виде суммы одночленов не-
сколькими способами.
б) Представьте одночлен 49х3у2 в виде суммы одночленов не-
сколькими способами.
Упростите выражение:
282. а) 5х. 2у + 3х. 6у + 2х. 7у;
б) 3у2х + 6х . 3у 2у + 2уху;
в) 1lab + а. 8. Ь + 5аЬ;
r) аЬ 2 + 9аЬЬ + 3ЬаЬ + аЬЬ.
'.283. а) 3а 2 Ь + 7а. 9Ьа + 10Ь. 3а 2 ( 1);
б) х 2 у2. 7 + 19х' 2хуу 9х. 3уху;
в) аz Э + 7 az 3 6z . 2az 2 5az 3 ;
r) т 8 п 4 + 2т 3 3т5п4 7т 8 п 4 .
Решите уравнение:
284. а) 5х + 4х = 9;
б)llх 4х=14;
в) 19х 3х + 4х = 80:
r) 20х 13х 12х = 6.
37
'''Н:) a) X+l!.X X= I'
. 5 2 10 '
5 7 17 1
б)9Х 4Х+ 18 Х = 4;
'286. а) О, 71х 13 = 10 0.29х;
1 7 11 1
б) Х+ Х Х = 2 .
9 18 27 2 '
3 8
,,287 а) 1 2 + X = x+0.78;
. . , 10 15
2 28
б) X X + 3Х = 26 х;
27 9
1 1 1
B) X+ X X = 5.
3 4 12 '
х х х
r) + + = 24
2 3 6 .
в) 8х + 0,73 = 4,61 8х;
13 1
r) Х 18 Х == 3 .
5 7
в) 12 Х + 1,3 = 0,53 + аХ;
r) !.x O 82 = x 137.
6 ' 8 '
Решите задачи, выделяя три этапа математическоrо модели.
рования:
2
()288. Коrда ученик прочитал "5 всей кииrи. ему осталось прочи.
тать еще 240 страниц. Сколько страниц в книrе?
3
0289. Коrда спортсмен пробежал "8 дистанции, ему осталось про-
бежать еще 3125 м. Определите длину дистанции.
0290. Вкладчик положил в ба:вк некоторую сумму денеr из расчета
10% rодовых. Через rод ои с:в.ял со cBoero вклада 600 руб., в
результате чеrо на ero счете осталась сумма, равная половине
первоначальноro вклада. Сколько денеr будет на счету у вклад
чик а в конце BToporo rода хранения?
5
0291. Масса двух моторов равна 52 Kr. Масса одиоrо из них в 2"7
раза больше дрyrоrо. Найдите массу каждоrо мотора.
8
0292. Сумма трех чисел равна 496. Второе число составляет 15 от
3
первоrо, а первое число меньше TpeTbero в 2"5 раза. Найдите
каждое из чисел.
0293. Сумма двух третей неизвестноrо числа и ero половииы на
7 больше caMoro неизвестиоrо числа. Найдите это число.
38
:l!J.t. Сумма ОДИОЙ четверти и ОДИОЙ mестой частей неизвестноrо
числа на 5 меиьше ero полови:вы. Найдите это число.
Первое число в 2,5 раза больmе BToporo. Если к первому чис
лу прибавить 1,5, а ко второму 8,4, то получатся одинаковые
результаты. Найдите эти числа.
Первое число в 1,5 раза больше BTOporo. Известно, что YДBO
ениое первое число на 24 больше, чем третья часть BToporo.
Найдите эти числа.
Выполиите действия:
а) 42b 2 c 3 d 2 + 54b 2 C 3 d 4 + 48b 2 c"d 2 + 12b 2 c 3 d 2 ;
б) 1,8тзn z8 + 3,2т3n z8 + 1,05тзп z8.
) !.а2Ь2с' + !.а 2 Ь 2 с' + !.а 2 Ь 2 с..
а 2 3 8 '
1 1
б) 3,09x"y"z" + 10 x"!/'z" + O,Olx"y"z" + 20 x"!/'z".
а) 1,4a3 ( 0,09a3) + ( 1,5a3) + 2а 3 ;
б) 3,9x + ( 2, 7.rt) ( 0,8x ) + ( 2.rt).
. а) + ( ) ( ) :0 ;
б) !!.. ( 2P ) !!.. + ( L }
5 3 4 60
Упростите выражение:
:ЮI а)3х.2у+5х 2у+6х 2у;
б) 1,2а 2 Ь + 3,2аЬа + 6,8ааЬ + 8,8Ьаа;
1 1 1
в) xy2x + xyxy + xy2x;
2 3 6
3 7 3
r)l тп3rB + n2,.sn,.зт+ тr7n2m.
5 10 20
.\02. а) 21хух 2 у 3 х 8х 2 у 2 хуху 2ху3х3у 3х 4 у3у;
б) 5z"q" 3z" lq"z q" l zqz" l.
:-,1 ,: . Упростите выражение:
1 3 1 5
а) 2 аЬса + 4Ь( a)ca 12 асЬа + 24 ( Ь)aca;
3 ( 2 ) 2 2 ( l1ь
б) Зnтk'4n 8nт. 23 . nk+gn т. 42 Т'
304. К разности одночленов 16х 2 у4 и 13х 2 у4 прибавьте сумму OДHO
членов 23х 2 у4 и 10х 2 у 4.
305. К сумме одночленов 43а 3 Ь 2 и 27a3b2 прибавьте разность oд
ночленов 34а 3 Ь 2 и 20a b2.
306. К сумме одночленов 2,38n 4 р и 1,48n4p прибавьте разность
одночленов 4.72n 4 р и 1,28n 4 р.
307. Из разности одночленов 2,57k 3 n 4 и 1,43k 3 n 4 отнимите сумму
одночленов 8,39kЗn4 и 5.39k З n 4 .
308. В данном выражении вместо знаков * расставьте знаки .+.
и . . так. чтобы получилось верное равенство:
а) 25а 2 Ь 4 = 3а 2 Ь 4 * 5а 2 Ь 4 * 7а 2 Ь 4 * 10а 2 Ь 4 ;
б) 43х 3 у9 == 50х З у 9 * 7 х 3 у9;
в) 79c 8 d 10 == 85c 8 d 10 * 10c 8 d 10 * 4c 8 d 10 ;
r) 99pnqnzn == 100pnq n zn * 10pn q n zn * 15pnqnzn * 4p"q n zn.
Решите задачи. выделяя три этапа математическоrо модели-
рования:
а09. в маrазин завезли апельсины и бананы. причем бананов в
2
3 раза больше. Коrда продали половину бананов и 3 апельси-
нов. оказалось. что бананов осталось на 70 Kr больше, чем
апельсинов. Сколько бананов и сколько апельсинов завезли в
мarазин?
: 1 О. Туристы отправились в трехдневный поход. В первый день
7 1
они прошли 22 Bcero пути. во второй "3 оставшеrося пути.
а в третий последние 25 км. Найдите длину туристскоro
маршрута.
а 11. Кирпичный завод обеспечивает кирпичом три стройки. В
1
начале рабочеro дня на первую стройку отправили 5" Bcero
1
количества кирпича со склада, а на вторую 3 остатка. Пос-
ле обеда на третью стройку отправили 120 поддонов кирпи-
3
ча, что составляло "4 остатка кирпича на складе завода.
Сколько поддонов кирпича было на складе завода в начале ра-
бочеro дня?
40
312. Некоторое число уменьшили на 15%, а затем результат YBe
личили на 10%. После этоrо получили число, которое на 13
меньше первоначальноrо. Найдите первоначальное число.
;31 ; . 3адум:анноечисло сначалауве.личили на 12%, азатемрезуль
тат уменьшили на 24 % . Полученное при этом число оказалось
на 186 меньше задуманноrо. Найдите задуманное число.
:;lt. На школьном празднике присутствовали все ученики ceДЬ
мых классов школы. Шестая часть присутствующих участво
2
вала в викторине, а 3 участвовали в концерте. Известно, что
все ученики 7 А класса (а их 21 человек) участвовали либо в
викторине, либо в концерте. Ученики 7 А класса составили 30%
активных участников праздника. Сколько Bcero в школе уче
ников седьмых классов?
9 11. УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ.
ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА
В НАТУРАЛЬНУЮ СТЕПЕНЬ
Выполните умнОжение:
н а) 2х. 3у; б) 7а. 5Ь; в) 31с. 3d; r) 15z. 3t.
:.tI6.a)7a 2Ь.3с; B)10т.5n.2q;
б) 10х 2 2 у 2 3Z3: r) 17 р 2 2 q 2 0,583.
iJ7 а) 7х 2 5х 2 . 6х3; в) 71x 2 Jtz8 2xyz;
1 1 1
б)"2 а 2 . 3 Ь 3 "6 с 4 ; r) 54c 2 d 2 f3 cd 3 f.
: !8. а) 5a2b . ( 6ab2);
б) 41c 2 d . ( 4cd);
) 19. а) 0,2c 2 d 5,4с 3 d Э ;
1 1
б) 23 т 2 р 3. 57 тр;
:\:20. а) 0,6х 2 у Э z 0,8 xy 2 z ;
1 1
б) 6"2 n 2 q. 7 13 nq3;
в) 17хЭу' ( 2x2y2);
r) lЗт2п2рЭ. ( 2тп2p).
в) b3 0,5Ь 2 ;
r) 8х 2 ( 1 у).
в) о, 75d 3 . ( d4):
3 40
r) x2 y . x y 2
20 41 .
41
0321. а) 5,l р З q 4 ( 2M8);
б) 2, 7z З ( Z4);
в) 7,81аЬсЗ 2аЬ 2 с;
r) ( fy2 .( o,lx2y3).
Возведите в степень:
:322. а) (3а 2 с)2;
б)( iху2 J;
32:З. а) ( бх3у3)О;
б) ( 5аЗх2)З;
в) ( 0,2сЗd)4;
r) ( aЬc J
в) ( 10x2y4)5;
r) ( 2ахЗу2)4.
:З2.1. Представьте данный одночлен в виде произведения oд
ночленов:
а) 56х 2 у З z 8; в) 0,21с 9 d 14 f4З;
б) 102т 2 п 3 р 4;
1
r)"2 r 7 s9t 12 .
: 2!). Пред ставьте одночлен 24x6y9 в виде произведения:
а) двух одночленов; в) четырех одночленов;
б) трех одночленов; r) пяти одночленов.
:1:1Н. Замените знак * таким одночленом, чтобы выполиялось
равенство:
а) * 3Ь 2 == 9Ь З ;
б) 8а 2 Ь 4 . * = 8a5Ь5;
в) 4аЗЬ4 * = 16а 7 Ь 9 ;
r) 17a8b12 ( *)==34а9ыl..
;127 Возведите одночлен:
а) 6х З у 6 в квадрат;
б) 2аЬЗ в четвертую степень;
в) тЗп в пятую степень;
r) 3а2ЬсЗ в куб.
328. Представьте данный одночлен в виде Квадрата HeKoToporo
одночлена:
а) 81а 4 ; б) 36Ь 6 ; в) 144c 12 ; r) lб9d 4 .
329. Представьте данный мноroчлен в виде куба HeKoToporo oд
ночлена:
а) 0,008Ь 6 ;
42
б) 0,027Ь 9 ;
в) о,ООl у 24;
8 6
r) a
27
Упростите выражение:
а) 20а З (5а)2;
б) 0,4x5 (2х З )4;
а) (3х 6 у3)4. ( :1 ху2 );
б) (i X2ya J. ( 9x4Y
а) (0,2Ь 6 ) 5Ь;
б) р7 . ( 1! р4 ) 0 ;
16 3
в) ( сЗ)2 12с 6 ;
r) (4ас 2 )З (0,5а З с).
в) (3а 2 )2. ( 6аЗ);
r) ( X2ya )-(2Х 6у )4
в) (2аЬ)4 ( 7a7b);
r)( 3i a2 J. 81а 5
Упростите выражение:
.i; 3. а ) !!а2Ь2с 5аЬ 2 с 3 . !ас 2 .
53'
1
б) 8 х 5 у 4 z З ( 8хуЗz);
в) 3,5хz З . ( 3 X2Z )- ( 5xz);
r) 2сd З . ( Cd2 )- ( 2C2d2).
:): .1. а) аЬ ( a2b) ( ab2);
б) х2у ху ( x2y2);
в) тп. ( т2п5) ( т8п4);
r) ( рЗq4) ( pq) ( 2p2q2).
:{:{iэ, а) 1 cd. ( c3<f ); в) О, 75d З ( d4);
4 2 Ь 3 7 ( 1 1 Ь 7 8 ) ( 2 4 2 а 6 )
б) 5a с. 15 а с; r) 14xyz. б-Х у z .
;{;16. а) (0,2а З Ь 4 )4; в) ( 0,3b8C7d6)2;
б)( 1 x2ifz8 J ;
; :)7. а) ( 0,5а2ЬЗс9)2;
б) ( 11 x2y5z8 J a .
"3 '
r) ( азхаif J
в) ( 2a8b5c9)8;
r)( х2уЗz8 J
43
338. а) ( а2ЬЗс5)О; в) ( 1,6тЗn2р9)2;
6)( 1 p2q2z8 J ; r)( 2 r9s15e2 J .
339. Представьте заданный одночлен А в виде вп, rде В HeKOТO
рый одночлен, если:
а)А == 81а 6 Ь 8 с 12 , n = 2;
6)А == 144а6ы1с18,' п == 2;
в) А == 125x 3 y9z27, n == 3;
r) А = 256x 4 y12z24, п = 4.
340. Представьте заданный одночлен С в виде Dп, rде D некоторый
одночлен, если:
а) С == 216с 9 Ь 12 р7 , п == 3;
б) С == 243x 10 y25z40, п = 5;
в) С = 1024 p 20 q l00 r l000, п== 10;
r) С == 256аЗ6Ь216с1296, n = 4.
341. Можно ли представить одночлен А в виде куба HeKoToporo
одночлена В, если:
а)А=7а 9 ; б)А==27Ь 4 ; в)А==81Ь 1О с 27 ; r)A==37x 9 y81?
342. Можно ли представить одночлен С в виде ку6а HeKoToporo
одночлена D, если:
а) С = 25а 5 ; б) С = 16Ь 7 ; в) С == 15с 8 ; r) С == 36d4?
Упростите выражение:
:343. а) (10а 2 у)2 (3 ау 2)З;
6)( XY3 J (4у5)2;
344. а) ( 4аЗЬ )2 0,25Ь 7 ;
б)( pq4 J. ( 27pq5);
:345. а) ( 4,5a3Ь2y)2 ( 2aЬy);
б) ( 3Ьс3d)З . ( :7 b 2 cd ):
346. а) ( 6a3x2)2 '( a2X2 J ;
б) ( 4тЗп2)5 . ( тn4 J ;
в) (3х6у2)З ( x2y)4;
r) ( 5ab6)4 (О,3а 6 Ь)4.
в) (0,4а 2 Ьс)2 ( 1 ,5аЬ З с 4 );
r)( т4n J ( 32т4n).
в) ( 0,8рЗх2z)2 ( 2,5pX3z4);
r) ( 3 a2 J 81а 7
в)( a2c4 J .( 3а5сз)2
r)( a7Ь4 J. ( аБЬ J
.:) 17 Замените знаки? и * одночленами так, чтобы получилось Bep
ное равенство:
а) (?У (*)3 = 4а 3 Ь 2 с 5 ;
б) (*)3 (?)2 = 27p3x"y2;
в) (*)" (?)3 = 8c 4 d 13 n 3 ;
r) (?)5 (*)2 = 81b 13 n 5 t 4 .
9 12. ДЕЛЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН
Выполните действия:
.: ' . а) а 3 : а 2 ; б) у;8 : х 3 ;
в) у20 : у18;
1 5 ( 25 )
';49.а)-з х : 3 ; б) у: ; В)"7 а : 49 ;
:;:JO. а) 8x : ( 4x); б) 3с : с; в) 7а : ( a);
: 51. а) 6х 3 : х 2 ; в) 15z8 : z8;
б) 27y2 : ( 9y2); r) 90p" : ( 5p).
. :):!. а) 19a : ( 19a); в) 100cd: 20cd;
б) 45Ь : ( 15Ь); r) 18dy: 6dy.
:);'): . а) 16аЬс : 8а; в) 42cdm : 12с;
б) 24pqr: ( 4pq); r) 99xyz : ( 9x).
.)-i. а) 4,8аху : 1,6ху;
б) ( 8,8aЬc) : 1,lЬ;
.,!;'). а) 18а 12 : ба";
б) 24Ь 1О : БЬ 1О ;
;1)6. а) 44а 3 Ь 2 с 6 : llа 2 Ьс 5 ;
б) 198x"y"z2 : 2x 4 1/z;
r) Z5" : z5D.
r) 13 Ь: ( 26 ) .
15 45
r) 9Ь : ( Ь).
в) 0,81pq8 0,009pq;
r) 6,5xz: ( 1,3z).
в) 12а 7 у" : 6а 2 у3;
r) БЬ 5 х 3 3Ь3 х 2.
В) 144m 8 n 9 k" 12m 2 n 7 k;
r) 258 p 8 q "r 11 3p6q 2 r 15 .
:;;)7 Какое из предложенных заданий корректно, а какое HeKOp
ректно:
а) разделить 8с 3 на 4с 1О ; в) сложить 15а 3 и 2а 2 ;
б) сложить 12аЬ, 5aЬ и 8аЬ; r) разделить 4с 1О на 8с 3 ?
; ;)B. Можно ли разделить одночлен 24а 3 Ь 4 с 5 на одночлен:
а) 2abcd: б) 8а 2 Ь2 с 2 ; в) 12а 3 Ь; r) 3а 3 Ь 5 с"?
;3;')9. Вместо знака * поставьте такой одночлен, чтобы получи-
лось верное равенство:
а) 30x 5 y6 z 1 * = 5x 3 y2z6;
б) * : 5а 3 Ь"с 1О = 15а 5 Ь 7 с 21 ;
в) * : p3 m 2 q 7 = p8 m 4 q 9;
r) d 2 n 3 z 10 : * = dn 2 Z 5 .
45
Упростите выражение:
а60. а) (5а 2 Ь 2 )3 : (5аЬ)2;
б) (10х 3 у3)4 : (2х 4 у3)2;
361. а) (2т 2 п 2 )4 : (4тп)2;
б) 55 p 3 q 4 : (5pq)o:
( ) 2
2с 3 8с 5
362. а) у у ;
(4с 2 у)3
3
(9а Э Ь 4 )
б) 2 :
(3а 2 ь) 27 а 4 ь 9
6
( lОхЭу5)
ана. а) э 2 ;
( 4х2уЭ) . ( 5x2y4 )
э
( 6a5x9)
;Ш.l. а) э 5 ;
(4а 3 х 4 ) . ( 2ax2)
(3а 5 ь Э ) 4 . (2а Э Ь 2 )6
365. а) 5 ;
(6а 7 Ь 4 )
В) (49z 1 0t 14 ) (7zt)O;
r) ( x2Y3Z)4 : xyz.
В) ( x2Y3Z4)5 : ( xYZ)6;
r) ( 5ac3d)3 : (5cd)2.
(3х 2 с э )2 9х 15 с 4
В) 5 ;
(3х 2 с)
(7а з ь э )2 '( а2Ь)Э
r) з '
( 2аЭЬ2)
( 2a3x5)4 ( 9a3x5)2
б) о '
( 6a4x7 )
( 2а4ЬЭ)3 . (3а 3 Ь 9 )2
б) 8 '
( 2a2b3)
б
(lОа 6 х 5 )
б) 4 о '
(5а 2 х 2 ) (2а 9 х б )
[ПАВА
4
мноrОЧЛЕНЫ.
ОПЕРАЦИИ НАД мноrОЧЛЕНАМИ
9 13. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Установите, какие из данных выражений являются MHO
I'очленами:
:Н)6. а) За + 4Ь:
б) 5х 2 3у2;
1
а ) 5х2 6х 2 + .
х '
3а 2 ь
б) 4аь 2 ;
7
:;[;8. а) 3х2 + 5у + :
с
аН ь 6 с 4 d 3
б) + + .
4 5 7 9'
в) 5(5х 2 12 у 2);
1') (а + l)(Ь 2).
ь 2 аЬ
в) + 12z2 ;
4 5
1') 0,3 р 2 + 13р 1.
.
B)9r 4y2 5;
10 2 5 11
I' ) + +
i Z3 Z2 Z'
Ю9. Даны одночлены: 5а; 4ab; 8а 2 : 12а: 2,5аЬ; a2.
Составьте из них:
а) МНОl'очлен, в КОТОроМ нет подобных членов;
б) мноroчлен, в КОТОРОМ есть подобные члены;
в) два мноroчлена. в каждОМ из которых нет подобных членов,
используя при ЭТОМ все данные одночлены;
1') выражения, которые не являются МНОl'очленами.
370. Даны одночлены: 0,5х 2 у; ху2; 12ху; 3х 2 у; 0,2ху;
4 ху 2. Составьте из них:
а) МНОl'очлен, в КОТОрОМ нет подобных членов;
б) мноrочлен, в КОТОрОМ есть подоБНЬJeчлены;
в) два МНОl'очлена, в кажДОМ из которых нет подобных членов,
используя при ЭТОМ все данные одночлены;
1') выражения, которые не являются мноroчленами.
47
Приведите мноrочлен к стандартному виду:
371. а) 5xZ 3x z хз; в) 1,2с 5 + 2,8с 5 4с 5 ;
б)7 у З + 11 + 12 у З; r) !.d" !.d" + !.d".
2 3. 6
372. а) 5х 2 зху 2ху;
б) 7 а 2 Ь 5а 2 Ь + аЬ 2 + 2аЬ 2 ;
в) 3t 2 бt 2 11t 3t 2 + 5t + 11;
r) zз + 2z2 + ZЗ 4z Z2.
373. а) 4Ь 2 + а 2 + 6аЬ 11Ь 2 6аЬ;
б) 3а 2 х + 3ах 2 + 5а З 3ах 2 8а 2 х 10а З :
в) 9х З 8ху 6у2 9х З ху;
r) т 4 3т З п + п 2 т 2 т 2 п 2 .
374. а)тттт пппп;
б)рqрq qpqp;
в) 38' 2r+ 2r8 + 4r. 88;
r) 12т . 2п 3т . 4п 7т . 8п.
375. а) 4 р З 2р + 3р2. 4р + 2 р 2. 2 р 2 2 р З. 4;
б) у' 2у 3у у2 5 + 2уу у' 5 + у' 7у2;
211
В ) х . x + х + О 8х х . х х'
3 4' 6 '
5 1
r ) aa+ a O 6аа+а.0 1а.
6 з' ,
376. а) 2х . 4у 3х . 2у 0,2х. 5у + у . 5х 5ху + 8ху;
б)хрхх р' 3px p' 4х З + 7рхр;
в)7хах+а. 2ах+х. 9xa 8axa;
r) 15,-18 5r8r 38rrr + 2r8r.
С)377. Приведите мноroчлен к стандартному виду и запишите ero
члены в порядке убывания степеней переменной ;
а) 15р + 18 р 2 + 4 12р + 3р2 р4;
б) 1,4х 2 4,lх З + х 3,1 + х + 1,3х З ;
в)!.а + a2 a2 +! 3. а .
4 5 4 8 з'
r) 0,2 у4 3,5у 1,2у4 1 + 3,5у.
o: 7R. Найдите значение мноrочлена, предварительно приведя ero
к стандартному виду:
а) аЗЬ + а 2 Ь 3аЬ + 2а 2 Ь + 2аЬ 2 при а: 1, Ь::: 2;
115 3
б) x y3 +0,3x x+ y2 прих=5'У= 4 ;
239
1 1
в) т 4 3т З п + т 2 п 2 тЗп 4т 2 п 2 при т: , п == ;
2 3
r) 6p2q 5pq2 + 5 р З + 2 pq 2 8 р З 3p2q при Р : 2, q = 0,5.
179. Приведите мноrочлен к стандартному виду и выясните, при
каких значениях переменной ero значение равно 1 :
а) х З + 2х2 + 7 х + 8х х3 х 2 х 2 ;
б) 0,511 + 2,7 у 2 + 3,5у + 6,5у 0,5 у З 2 у 2 0,7 у 2;
В) 3z4 Z2 + 4z + Z + Z2 2Z4 Z4 + 8;
r) 6 р З р2 + 4 р З + р2 10рЗ 3р + 19.
:"$fЮ. Дан МНOI'Очлен 3а + 11. Полаrая а::: 5х + 4, составьте новый
мв:оrочлен и приведи те ero к стандартному виду.
;{81. Дан мноroчлен 14 8а. Полаrая а ::: 3х 2 4х + 2, составьте
новый мноroчлен и приведите ero к стандартному виду.
З82. Приведите мноrочлен к стандартному виду:
1 1
а) с "2 с 0,lс 5 с З +сс 2 . 2c2 c. ВС + ССС;
1 1 1 1 2 1
б ) тт т. тт+О 5т+тт' т т + т'
9 2 ' 832'
в) аЬа + аа а . 2аЬ + ЬаЬ 2Ьа . 2Ь 6а . 2Ь 2 аа;
r) у . 2уу У . 5ху + х . 3ху ху' 6у + х . 12ху уЗ.
383. Приведите мноroчлен к стандартному виду и запишите ero
члены в порядке убывания степеней переменной:
а) 12т. 0,2т 2 + 3,5т 2т 27 + 4,5т 2 . 0,2т 15т;
б) 3,6k. 5k З 0,4k 2 . 7k + 1,4k З 10k 2 . 2k + 15k . 0,5k 2 ;
в) 9а З . 0,3а 12а. 0,4аЧ 7а. 0,2а З + 1, 7а 2 . ( 3a) 13а. 0,5а;
r) 0,5Ь. 4Ь 2 5Ь . 0,3Ь 3Ь 2 . ( 0,2b) + 14Ь 2 0,5 25Ь . 0,3Ь 2 .
384. Вместо знака · поставьте такой одночлен, чтобы получен
ный мноrочлен стандартноrо вида не содержал переменной а:
а) 5а 13 + 8а 7а + 25 + *; в) 12а 23 + 2а 3а + Ь + *;
б) 7Ь 15 + 10а 2а+ 13 *; r) 8а 3 7а 2 4 + *.
49
385. Вместо знака. поставьте такой одночлен, чтобы полученный
м:воrочлен cтaвдapтHoro вида не содержал членов, подобных а 2 :
а) а 2 + 2a2 b2 Зс + *;
б) Зах 2 5хЗ + 4а 2 + 8х 2 а 5 + 11а 2 + *;
в) 2х2+ Зах 9а 2 + 8x2 5ах + 8а 2 + *;
r) 2y2 5ау + а 2 + 7у2+ 3ау 5а 2 + *.
386. а) Дан мноroчлен 7х + 4у 11. Считая, что у = 3х 2 12х + 5,
запишите мноroчлен, в который входит одна переменная, и
приведите ero к стандартному виду.
б) Дан мноroчлен 1За + 6Ь 7. Считая, что Ь = 4 а 2 + За,
запишите мноroчлен, в который входит одна переменна.я, и
приведите ero к стандартному виду.
387. Пусть х == За + 12, у == 1З а, z == 5 + 4а. Составьте выражение
и приведите к стандартному виду мноroчлена:
а) х + у + z; в) у х + z;
б)х у+z; r)z x y.
388. Пусть а == Зх 2 + 4х + 8, Ь == 1,2 2х2 7х,
с = 12,5 х 2 З,5х + 21,8. Составьте выражение и приведите к
стандартному виду мноrочлена:
а) а + Ь + с; б) а Ь + с; в) Ь а с; r) с Ь а.
-:389. Пусть k = 5а З + 4а 2 Ь + 8аЬ 2 24Ь 3 , 1 == 7а 3 13а 2 Ь 4аЬ 2 + 17Ь З ,
т == 12a3 + 9а 2 Ь 4аЬ 2 + 15Ь 3 . Составьте выражение и приве
дите к стандартному виду мноroчлена:
a)k+l+m; б)l+k т; B)m l k; r)l k+m.
9 14. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
мноrОЧЛЕНОВ
390. Найдите р(а) == Рl(а) + Р2(а), если:
а)Рl(а)==2а+5; Р2(а)==За 7:
б)Рl(а)==7 2а; P2(a)= 1 5a;
в) Рl(а) = За 4; Р2(а) == 11 3а;
r) Рl(а) = 4 За; Р2(а) = 7 8а.
сЗ91. Найдите р(х) =: Р1.(х) + Р2(Х)' если:
а) Рl(Х) = 2х 3 + 5; Р2(Х) = зх3 + 7;
б) Рl(Х) = бх 2 4; Р2(Х) 5х 2 10;
В)Рl(Х) == 4х 5 + 2х + 1; Р2(Х) = х 5 + х 2;
r) р.(х) = хН + х' 3; pix) = 2х11 + Зх 6 + 1.
Найдите р(а,Ь) == P1(a,b) + р 2 (а.Ь), если:
а) p1(a,b) = а + 3Ь; р 2 (а,Ь) == 3а 3Ь;
б) P1(a,b) == а 2 5аЬ 3Ь 2 : р 2 (а,Ь) == а 2 + Ь 2 ;
в) P1(a,b) == 8а З + 3а 2 Ь 5аЬ 2 + Ь З ;
pz<a,b) == 18а З 3а 2 Ь 5аЬ 2 + 2Ь З ;
r) P1(a,b) = 10а 4 7 аЗЬ а 2 Ь 2 + б;
pz(a,b) == 17а 4 10а З Ь + а 2 Ь 2 + 3.
:Ш3. Найдите Р(У) == P1(Y) р 2 (у), если:
а) P1(Y) = 2!/ + 8у 11; Р 2 (У) == 3!/ 6у + 3;
б) P1(Y) = 4 у 4 + 4у2 13; Р 2 (У) = 4у 4 4у2 + 13;
в) P1(Y) =!/ У + 7; Р 2 (У) =!/+ 5у + 11;
r) P1(Y) :;:15 7у2; Р 2 (У) ==!/ 11 15.
): 94. Найдите p(c,d) == P1(c,d) P 2 (c,d), если:
а) P1(c,d) == 3с 2 + d; P 2 (c,d) = 2с 2 3d;
б)р1(с,d) == 5с 4 + 3c 2 d; p 2 (c,d) = 2с 2 + 3c 2 d+ d 2 ;
в) p1(c,d) ==12c 2 d 3cd 2 + 4; p 2 (c,d) = 6c 2 d 5cd 2 + 2с;
1') p1(c,d) = с 2 + 2cd + d 2 ; P 2 (c,d) = 5с 2 6cd 7d 2 .
Решите уравнение:
а95. а) (5х 3) + (7х 4) = 8 (15 llх);
б) (4х + 3) (10х + 11) = 7 + (13 4х);
в) (7 10х) (8 8х) + (10х + 6) = 8;
1') (2х + 3) + (3х + 4) + (5х + 5) = 12 7х.
а96. а) Y ( Y 1,25)= 0,55;
б ) x ( !х 2 4 ) = o 4.
8 3 ' , ,
в) x (о,25х 3) = 1,2;
4
1
r) 2Х (2,5х 3) == 1,8.
:Ш7 Турист был в пути 4 ч. За первый час он прошел х км, а в каж
дый следующий час проходил на 0,5 км меньше, чем в преды
дущий. Найдите путь, пройденный туристом:
а) за третий час; в) за первые два часа;
б) за последние три часа;
r) за все время ходьбы.
51
398. Даны три мноrочлена: P1(a) = 2а 3 + За 2 а + 1,
pi a ) == 4а 4 + ба 3 2а 2 + 2а, р з (а) = 2а 5 + За 4 а З + а 2 .
Найдите:
а)р(а) == P1(a) + р 2 (а) + р з (а); в)р(а) = P1(a) + р 2 (а) р з (а);
б) р(а) = P1(a) р 2 (а) + рз(а); r) р(а) == P1(a) р 2 (а) рз(а).
399. Даны три мноrочлена: p1(x,y) == 27х З 27х2у + 9 ху 2 уЗ,
Р2(Х'У) == 20х 3 15х2у + 4 ху 2 Зу3,
Р3(Х'У) = 10х 3 + 12х2у 5 ху 2+ у3.
Найдите:
а) р(х,у) = P1(X,y) + Р2(Х'У) + Р 3 (Х'У);
б) р(х,у) = p1(x,y) Р 2 (Х,у) + Р 3 (Х'У);
в) Р(Х,У) = P1(X,y) + Р 2 (Х,у) Р 3 (Х'У);
r) р(х,у) = Pl( 'Y) Р 2 (Х,у) РЗ<Х,У).
400, Решите уравнение:
а) 2х2 (2х 2 5х) (4х 2) = 5;
б) 3 у 3 (ЗуЗ 6у) (Зу + 4) = 2;
в) (х2 7х 11) (5х 2 1Зх 18) == 16 4х2;
r)(y2 5у 19) (5 у 2 бу 9) = 26 4у 4 у 2.
401. Запишите во втором столбце такой мноroчлен, чтобы ero CYM
ма с мноroчленом из первоro столбца БЫЛ,а равна Мноrочлену,
записанному в третьем столбце:
а) 5х + б
б) а 3 + 2а 2 Ь + Ь 3
в) т 2 + 2тп + п 2
r) 2c 2 d + Зсd 2 8
9х+ 7;
аЗ + 2а 2 Ь + Ь 3 ;
т 2 2тп + п 2 ;
О.
8402. Преобразуйте в мноrочлен стандартноrо вида:
а) ба 2 (2 (1,5ба (а 2 + 0,З6а» + (5,5а 2 + 1,2а 1»;
б) (а 2 + 2х2) (5а 2 1,2ах + (2,8х 2 (1,5а 2 0,5ах + 1,8х 2 )));
в) 12,5х2 + у2 (8х 2 5у2 ( 10х 2 + (5,5х 2 6у2)));
r) (уЗ+ З z 2) (уЗ 6az + (2у3 (Зz 2 + 4az 1,2 у З))).
9 15 . УМНОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНА
НА ОДНОЧЛЕН
Выполните действия:
40: . а) 2х(х2 + 5х + З); в) Зу(уЗ Зу 4);
б) 2xy(x2 + 2xycf у2); r) 5тп(т3 + Зт 2 п п 3 ).
404. а) х2у2(х + у); в) р5q8(рЗ + Зрq q4);
б) c3d4(C2 d 3 ); r) r7 8 12(rlO+ 2r8 85).
405. а) 3х(х + у) 3х 2 ;
б) 7а(а Ь) 7а 2 ;
06. а) 3х(х 5) 5х(х + 3);
б) 2у(х у) + у(3у 2х);
в) 5е(е 2 d 2 ) 5е З ;
r) 10т(т 5 + п 6 ) 10т 6 .
в) 2а(а'" Ь) + 2Ь(а + Ь);
r) 3р(8е + 1) 8е(3р 5).
, ,407. Найдите значения выражения:
а) 5х(2х'" 3) 2,5х( 4х'" 2) при х = O,Ol;
б) 5а(а 2 4а) 4а(а 2 5а) при а = 3;
1
в) 12(2 p)+29p 9(p+ l)ПРИР="4;
4
r) 3(3d 1) + 7(2d + 1) при d = 2 23 .
Решите уравнение:
)408. а) 3(х 1) 2(3 7х) = 2(х 2);
б) 10(1 2х) = 5(2х 3) 3(l1х 5);
в) 2(х + 3) 3(2 7х) = 2(х 2);
r) 5(3х 2) = 3(х + 1)'" 2(х + 2).
2х + 1
)409. а) """"""""5 = 1;
11 3х 1
б) 4 = "2;
3х+76х+4
в) """"""""5 = """"""""5 :
7 х 3 5х + 1
r) = -----т--- .
41 О ) 2х + 1 3х + 1 2 .
о .a + ,
5 7
б ) 8х 3 3х + 1 = 2.
7 10 ·
В ) 2х 2х + 3 = х 6 .
3 з'
r) % + 14 6% + 1 = 2.
5 7
0411. а) 2х2 х(2х 5) 2(2х 1) 5 = о;
б) 6х(х+2) 0,5(12х 2 7х) 31 = о;
в) 12х(х 8) 4х(3х 5) = 10 2бх;
r) 8(х 2 ... 5) 5х(х + 8) = 3х 2 11х+ 18.
Решите задачи, выделяя три этапа математическоrо модели-
рования:
0412. Из пунктаА в пункт В со скоростью 12 км/ч выехал велоси-
педист, а через полчаса вслед за ним выехал друroй велосипе-
дист, проезжавший в час 14 км и прибывший В пункт В одно-
временно с первым велосипедистом. Найдите рассто.яв:ие меж-
дуАиВ.
>1 ':{. Лодка плыла 6 ч по течению реки, а затем 4 ч против тече
ния. Найдите собственную скорость лодки (т.е. скорость в
стоячей воде), если известно, что скорость течения реки
равна 3 км/ч, а Bcero лодкой пройдено расстояние 126 км.
or поселка до станции велосипедист ехал со скоростью 10 км/ч, а
возвращался со скоростью 15 км/ч, поэтому он затратил на
обратный путь на ч меньше. Найдите расстояние от поселка
до станции.
r '. Катер плыл 4 ч по течению реки и 3 ч против течения, пройдя
за это время расстояние 93 км. Найдите собственную скорость
катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
Выполните действия:
4j Н. а ) 14а. а + 2 + 25а2 . 4 За .
7 5 '
б ) 24Ь3 . ь 2 + Ь 1 + 26Ь 2 ь 3 зь 2 + 4 .
б 13 '
в) 3k 2 5k 2 4 + 5k 7 k 3 3k ;
0,1 0,5
13а 3 12а 2 + 5
r)&
0,4
442 + 12а 1
9а 2
0,3
а 2 3а + 1 2
417.а) 18а 2 а
9
а 3 3а 2 + а
+ а 4 3а 3 + а 2 .
0,4 '
% + у 2% У
б)12х 27y y(y+1);
) 33с Э с + 1 lОс е3 5е 2 + с 4 ЗС .
В . +с
11 5 '
Р + 5р 1 Р 3 + 5р 2 Р
) 28 2 2 3 2 4 10 3 2 2
r р. p +р+ p p.
0,7 0,1
418. Пусть а= 3х 2 + 4x 8, Ь== 2х2 7х + 12, с = 5х 2 + 3х 27.
Составьте требуемое выражение и полученный мноrочлен за
пишите по степеням убывания переменной х:
а) 2а + 3с 4Ь; в) 72%а 4Ь + 3хе + 4;
б) 7ах 12хЬ + 15хе 13; r) 0,lх 2 а + 0,5хс О,6х 3 Ь 17.
.419.Пустьх=3а 2 +4; y;12a 13; z=a2 a+1; k;5a 3 ;
1 12а 2 ; т = 4а. Составьте требуемое выражение и получен
ный мноroчлен запишите по степеням убывания переменной а:
а) 2х + ky lz; в) kx + ly mz;
б) lx 3ту; r) тх lz + 4kx 14.
12О. Докажите, что выражение х(3х + 2) х 2 (х + 3) + (х3 2х + 9)
при любом значении переменной х принимает одно и то же зна
чение.
121. Докажите, что выражение 6х(х 3) 9(х 2 2х + 4) при лю
бом значении переменной х принимает отрицательное значе
ние.
Решите уравнение:
422 ) 2x 3 7x 13 5 2x 1 .
.а + + x
3 6 2 '
x 2 2x 5 4x 1
б) + + =4 х;
5 4 20
5х 4 3х 2 2х 1
B ) + + ;3x 2'
3 6 2 '
) 2 5 3 зх2 5х 7 1
r х х + = .
3 3
42:3. а) 2х + х(3 (х + 1» = х(2 х) + 12;
б) х(2х + 3) 5(х 2 3х) = 3х(7 х);
в) х(4х + 11) 7(х 2 5х) = 3x(x + 3);
r) х(12 х) 5 = 4х х(10 (3 х».
Решите задачи, выделяя три этапа математическоro модели
рования:
424. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 17 км,
вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 15 мин из В в А
навстречу ему выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Ka
кое расстояние до встречи преодолел велосипедист, а какое
пешеход?
425. РасстояпиеАВ, равное 110 км, турист прошел за три дня. За
второй день пути он прошел на 5 км меньше, чем за первый,
3
а за третий деНЬ "7 расстояния, пройденноro за два первых
дня. Сколько километров проходил турист за каждЫЙ день
пути?
55
426. Из двух аэропортов, расстояние между которыми 2400 км,
вылетели одновременно HaвcTpetIy дрyr дрyry два самолета. Че
рез 30 мин им оставалось пролететь до встречи 1400 км. Най
дите скорости самолетов, если известно, что скорость одноrо
из них в 1,5 раза больше скорости друroro.
427. Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми равно
10 км, одновременно в противоположных направлениях Bыe
хали велосипедист и леrковой автомобиль. Через 24 мин pac
стояние между ними стало равным 40 км. Найдите скорость
велосипедиста, если известно, что она в 4 раза меньше CKOpoC
ти автомобиля.
428. Один фермер убирал в день на 2,5 ra картофеля больше, чем
друroй, и, проработав 8 дней, убрал на 2 ra больше, чем второй
фермер за 10 дней. Сколько l'eKTapoB картофеля убирал каж
дый фермер за день?
429. Мастер.изrотовляет на 8 деталей в час больше, чем ученик.
Ученик работал 6 ч, мастер 8 ч, и вместе они изrотовили
232 детали. Сколько деталей в час изrотовлял ученик?
4:30. В трех поселках 6000 жителей. Во втором поселке вдвое боль
ше жителей, чем в первом, а в третьем на 400 жителей MeHЬ
ше, чем во втором. Сколько жителей в каждом поселке?
4:Н. Во втором цехе завода рабочих в 1,5 раза меньше, чем в пер
вом, и на 200 человек больше, чем в третьем. Всеro в первом и
третьем цехах работают 800 человек. Сколько рабочих во BTO
ром цехе?
4а2. Три цеха изroтовили 2648 деталей. Второй цех изrотовил де-
талей в 3 раза больше, чем третий, а первый цех столько, сколь
ко второй и третий вместе. Сколько деталей изroтовил каж-
дый цех в отдельности?
8433. Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми равно
2 км, одновременно в одном направлении отправились пеше
ход и велосипедист. Через 48 мин велосипедист опережал пе
шехода на 10 км. Найдите, K oe расстояние будет между ними
через 2 ч, если известно, что расстояние между ними все время
увеличивалось .
8434. Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми равно
1 км, одновременно в одном направлении отправились пеше
ход и велосипедист. Через 45 мин расстояние между ними ста
ло равным 7 км. Найдите, какое расстояние между ними будет
через 1,5 часа, если изв стно, что расстояние между ними все
время увеличивалось.
9 16. УМНОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНА
НА мноrОЧЛЕН
Выполните действия:
435. а) (х + l)(х + 2); в) (Ь + 10)(Ь 4);
б) (а 3)(а + 8); r) (у 5)(у 9).
436. а) (х 5)(9 х); в) ( 8 а)(Ь + 2);
б)(у 10)( у б); r)( 7 Ь)(а 4).
437. а) (2а + 4)(5а + б); в) (8с + 12)(3с 1);
б) (7Ь 3)(8Ь + 4); r) (15d + 27)( 5d 9).
438. а) (т 2 + п)(т + п);
б) (2х 2 l)(х + 3);
439. а) (3а + 5)(3а б) + 30;
б) (8 у)(8 + у) (у2+ 4);
440. а) 0,3а(4а 2 3)(2а 2 + 5);
б) 1,5х(3х 2 5)(2х 2 + 3);
441. а) (3т 3 + 5)(3т 2 10);
б) (4п 5 1)(2п 3 + 3):
.-142. а) (а + 2)(а 2 а 3);
б) (5Ь 1)(Ь 2 5Ь + 1);
в) (3у2 + 5)(у б);
r) (7с 2 l)(с 3).
в) х(х 3) + (х + l)(х + 4);
r) (с + 2)с (с + 3)(с 3).
в) 3р(2р + 4) 2р (2р 3);
r) 0,5y(4 2у2)(у2 + 3).
в) (5k 4 + 2)(бk 2 1);
r) (б р 8 4)(2 р 2 + 5).
в) (т п + 1)(т + п);
r) (с 2d)(c + 2d 1).
143. а) (х 2 ху + у2)(х + у); в) (а + х)(а 2 + ах + х 2 );
б) (п 2 + пр + р2)(п р); r) (с 2 + cd + d 2 )(c d).
;444. а) (2а + 3Ь)(4а 2 баЬ + 9Ь 2 ); в) (5 2а + а 2 )(4а 2 3а 1);
б) (5х + 2у)(25х 2 10ху + 4 у 2); r) (т 2 т + 2)(3т 2 + т 2).
445. Найдите значение выражения:
а) (а l)(а 2) (а 5)(а + 3) при а = 8;
1
б) (а 3)(а + 4) (а + 2)(а + 5) при а = 6" :
в) (а 7)(а + 4) (а + 3)(а 10) при а = 0,15;
r) (а + 2)(а + 5) (а + 3)(а + 4) при а = 0,4.
57
Решите уравнение:
0446. а) 12х2 (4х 3)(3х + 1),:::; 2;
б) (х + 1)(х+2) (х + з)(х + 4),:::; О:
в) 10х 2 (2х 3)(5х 1) 0= 31;
r) 16х 2 (4х 1)(4х 3) = 13.
0447. а) (3х + 5)(4х 1) 0= (6х 3)(2х + 7);
б) (5х 1)(2 х) 0= (х 3)(2 5х):
в) (5х + 1)(2х 3) = (10х 3)(х + 1);
r)(7x l)(х + 5) = (3 + 7х)(х + 3).
Решите задачи, выделяя три этапа математическоrо модели-
рования:
0448. Длина прямоyrольника на 20 м больше ero ширины. Если
длину прямоyrольника уменьшить на 10 м, а ширину увели.
чить на 6 м. то ero площадь увеличится на 12 м 2 . НlЩдите сто-
роны прямоyrольиика.
0449. найдитечетырепоследовательllыx натуральных числа, если
известно, что разность между произведением двух больших
чисел и произведением двух меньших чисел равна 58.
,_:.450. Периметр прямоуrольника равен 60 см. Если длину пря.
моyrольника увеличить на 10 см, а ширину уменьшить на
6 см, то площадь прямоyrольника уменьшится на 32 см 2 . Най.
ДИТе площадь прямоyrольника.
0451. Найдите три последовательных натуральных числа, если из.
вестно, что квадрат меньшеro из них на 65 меньше произведе-
ния двух дрyrих чисел.
Выполните действия.
452. а) а(3а 2 4)(3а 2 + 4);
б) (а 5)(а + 5)(а 2 + 25);
453. а) (3,5р 1,2k)(3,5p + 1,2k);
б) (1,78 + 0,3t 2 )(0,3t 2 1,78);
в) (2.4т 2 0,8п 2 )(0.8п 2 + 2,4т 2 ):
r) (1,зх 3 1,8у2)(1,8у2 + 1,3х 3 ).
454. а)(а 2 + а 1)(а 2 а + 1);
б) (т 2 + 2т 1)(т 2 2т + 1);
в) (2х 2 + 3х + 2)( 2x2 + 3х 2);
r) (Ь 3 + 5Ь + 3)( b3 5Ь + 3).
в) (а 2 + 9)(а + 3)(а 3);
r) (а 2 + 16)(а 4)(а + 4).
..i);). а)(т l)(т 3 + т 2 + т + 1);
б) (2 8)(16 + 88 + 482 + 283 + 84);
в) (х + у)(х 3 х 2 у + ху2 уа);
r) (а + 3)(81 27а + 9а 2 3а 3 + а 4 ).
Решите задачи, выделяя три этапа математическоrо модели
рования:
":56. Два прямоyrольника имеют периметры 122 см. Длина перво
ro прямоyroльника больше длины BToporo на 5 см, а площадь
BToporo прямоyrольника на 120 см 2 больше площади первоrо.
Найдите площадь каждоrо прямоyroльника.
_57. Периметр прямоyrольника равен 240 см. Если длину прямо
yrольника уменьшить на 14 см, а ширину увеличить на 10 см,
то ero площадь увеличится на 4 см 2 . Найдите стороны прямоу
rольника.
458. Даны три числа, из которых каждое следующее на 3 больше
преДЫДущеrо. Найдите эти числа, если известно, что произве
дение меньшеrо и большеrо на 54 меньше произведения боль
шеrо и среднеro.
459. Даны три числа, из которых каждое следующее на 12 больше
предыдущеrо. Найдите эти числа, еслиизвестно,'что произве
девие двух меНьших на 432 меньше произведения двух боль
ших.
460. Из четырех чисел второе больше первоrо на 3, третье больше
BToporo на 5, а четвертое является суммой первоrо и BToporo.
Найдите эти числа, если известно, что произведение первоrо и
BToporo на 74,2 меньше разности между квадратом TpeTbero
числа и четвертым числом.
9 17. ФОРМУЛЫ
СОКРАЩЕнноrо УМНОЖЕНИЯ
Раскройте скобки:
461. а) (а + х)2;
462. а) (х + 1)2;
463. а) (7 а)2;
464. а) ( x + 1)2;
б)(Ь у)2; в)(е + d)2; r)(m n)2.
б) (у 2)2; в) (а 5)2; r) (е + 8)2.
б) (9 + Ь)2; в) (4 + n)2; r) (12 р)2.
б) ( z 3)2; в) ( n + 8)2; r) ( т 10)2.
59
465. а) (2а + 1)2;
466. а)(8х + 3у)2;
467 а) ( 3a + 5х)2;
б) ( 6y 2Z)2;
б) (3с 2)2; в) (6х 3)2;
б) (6т 4п)2; в) (9р 2q)2;
B)( 3т + 4п)2;
r) ( 12z 3t)2.
r) (7у + 6)2.
r)(10z + 3t)2.
468. а) (0,2х 0,5а)2; B)(6a J
б) ( т+ 3п J r) (10с + 0,lу)2
469. а) (х 2 + 1)2; в) (р2 10)2;
б) (у2 6)2; r) (q2+ 8)2.
470. а) (а 2 + 3х)2; в) (т 2 6п)2;
б) (Ь 2 5у)2; r) (r + 48)2.
471. а) (с 2 + d 2 )2; в) (р2 q2)2;
б) (т 2 п 3 )2; r) (Z2 + t 3 )2.
472. а) (а 3 + 3Ь)2; в) (5т2 + 3п 2 )2;
б) (4х 2 3с)2; r) (6р2 8g3)2.
(1 1 J B)( 1,2X 4 yJ;
473. а) 2 a l b :
3 14
( 13 J r) ( 2,3a+ 1 2 2 з ь J
б) О,9х + 1 27 у ;
Используя формулы для (а :t Ь)2 , вычислите:
474. а) 792: б) 392; в) 592; r) 692.
475. а) 212; б) 312; в) 612; r) 912.
476. а) 422; б) 622; в) 822; r) 322.
477. а) 982; б) 282; в) 882; r) 582.
478. а)( 12 : 2 J б)( 7 J в)( 13 1 J r)( 7 1 J
( 12J б)( 14 : J ; ( 39J r)( 15 : J
479. а) 12 13 ; в) 39 40 ;
Выполните умножение:
-1НО. а) (а Ь)(а + Ь); в) (т п)(т + п);
б) (с d)(c + d); r) (р q)(P + q).
нН. а) (х l)(х + 1); в) (9 а)(9 + а);
б) (с 2)(с + 2); r) (12 t)(12 + t).
482. а) (3Ь 1)(3Ь + 1); в) (10т 4)(10т + 4);
б) (6х 2)(6х + 2); r) (8а 1)(8а + 1).
483. а) (4а Ь)(Ь + 4а); в) (4Ь + 1)(1 4Ь);
б) (х + 7)(7 х); r) (5т + 2)(2 5т).
484. а) (3х 5у)(3х + 5у); в) (13с 11d)(13c + 11d);
б) (7а 8Ь)(7а + 8Ь); r) (8т 9п)(8т + 9п).
485. а) (5х 2 у 2)(5х + 2у2); в) (10рЗ 7q)(10рЗ+ 7q);
б) (2с 3а 2 )(3а 2 + 2с); r) (8d + 6с З )(6с З 8d).
486. а) (4х 2 2 у 2)(4х 2 + 2 у 2); в) (3п 4 т 4 )(3п 4 + т 4 );
б) (10а З + 5Ь2)(10а З 5Ь 2 ); r) (10т 8 + 8п 8 )(10т 8 8п 8 ).
Используя формулу (а + Ь)(а Ь) = а 2 Ь2. вычислите:
487 а) 69 71; б) 31 29; в) 89 91; r) 99 101.
'188. а) 58 62; б) 82 78; в) 42 38; r) 18 22.
489. а) 0,49 0,51; в) 0,67 0,73;
б) 0.78 0,82; r) 1,21 1,19.
1 6
490. а) 107 97;
2 1
в) 99з 100з;
2 5 4
б) 107 97; r) 75" 8,2.
Выполните умножение:
491. а)(х 1)(х 2 + х + 1); в) (х + 3)(х 2 3х + 9);
б) (х 2)(х 2 + 2х + 4); r) (х + 4)(х 2 4х + 16).
492. а) (5т + 3п)(25т 2 15тп + 9п 2 );
б) (2а 3х)(4а 2 + 6ах + 9х 2 );
в) (4х 5у)(16х 2 + 20ху + 25 у 2);
r) (3х + 5у)(9х 2 15ху + 25у2).
Преобразуйте в мноrочлен стандартноrо вида:
493. а) 3(х у)2; в) 6(5т п)2;
б) Ь(l + 2Ь)2; r) c(3a + с)2.
494. а) а 2 + (3а Ь)2;
б) 9р2 (q 3р)2:
в)(5с + 7d)2 70cd:
r) (8т п)2 64т 2 .
495. а) (а 4)2 + а(а + 8); В) (у 5)2 (у 2);
б) (х 7)х +(х + 3)2; r) Ь(Ь + 4) (Ь + 2)2.
496. а) (За Ь)(3а + Ь) + Ь2; В) (5с 6d)(5c + 6d) 25с 2 ;
б) 9х 2 (у + 4х)(у 4х); r)(7m 10п)(7т + 10п) 100п 2 .
497. а) 2(а 2)(а + 2); в) 5с(с + 3)(с 3);
б) х(х + 4)(х 4); r) 7d 2 (d 1)(d + 1).
0498. а) (а с)(а + с) (а 2с)2;
б) (х 4)(х + 4) (х + 8)(х 8);
в) (3Ь 1)(3Ь + 1) (Ь 5)(Ь + 5);
r) (т + 3п)2 + (т + 3п)(т 3п).
0499. а) (Ь 5)(Ь + 5)(Ь2+ 25);
б) (3 у)(3 + у)(9 + у2);
в) (а 2)(а + 2)(а 2 + 4);
r) (с 2 1)(с 2 + 1)(с 4 + 1).
0500. Докажите, что
(2а Ь)(2а + Ь) + (Ь с)(Ь + с) + (с 2а)(с + 2а) = О.
Найдите значение выражения:
0501. а) (а + 3)2 (а 2)(а + 2) при а = 3,5;
б) (х 3)2 (х + 3)(х 3) при х = 0,1;
в) (т + 3)2 (т 9)(т + 9) при т = 0,5;
1
r) (с + 2)2 (с + 4)(с 4) при с =4"'
0502. а) (5а 10)2 (3а 8)2 + 132а при а = 6;
б) (3p 8)2+(4p+6)2+100p прир== 2;
в)(5Ь 3)2+ (12Ь 4)2 4Ь при Ь = 1;
2
r) (13 5т)2 (12 4т)2+ 4т при т = З'
Решите уравнение:
0503. а) 8х(1 + 2х) (4х + 3)(4х 3) = 2х;
б) х 3х(1 12х) = 11 (5 6х)(6х + 5);
в)(6х 1)(6х + 1) 4х(9х + 2) == 1;
r) (8 9х)х = 40 + (6 3х)(6 + 3х).
с:504. а) (х 6)2 х(х + 8) == 2;
б) 9х(х + 6) (3х + 1)2= 1;
В) х(х 1) (х 5)2== 2;
r) 16х(2 х) + (4х 5)2= 1.
05()5. а) 9х 2 1 (3х 2)2= О;
б) х + (5х + 2)2= 25(1 + х 2 );
В) (2х 3)2 2х(4 + 2х) = 11;
r) (4х 3)(3 + 4х) 2х(8х 1) = о.
:>06. а) (х 1)(х + 1) = 2(х 3)2 х 2 ;
б) 3(х + 5)2 4х 2 = (2 х)(2 + х);
в) (2х + 3)2 4(х 1)(х + 1) = 49;
r) (3х + 1)2 (3х 2)(2 + 3х) = 17.
Раскройте скобки:
;Ю7. а) (10х 2 3ху3)2; в) (0,6Ь 3 5Ь 2 с 4 )2;
б) (8 р 3 + 5p2q)2; r) (3z 7 + 0,5z 3 t)2.
508. а) (20x3z + O,03Z2)2; в) (0,15k 4 n 3 10п 4 )2;
б)( пЗ+4тп2J; r)(6a2 abJ
. )09. а) (х n 2 3 )(х n + 23); В) (сп d 3n )(c n + d 3n ):
б) (а 2n + Ь n )(а 2n Ь n ); r) (а n +1 bn 1)(an+l + Ь Н ).
:j 1 О. а) (3х 2 2)(9х 4 + 6х 2 + 4); в) (8Ь 2 + 3)(64Ь 4 24Ь 2 + 9);
б) (5х 2 + 3)(25х 4 15х 2 + 9); r) (7а 2 1)(49а 4 + 7а 2 + 1).
Пред ставьте в виде мноrочлена:
,') 11 а) (х 2)2(х + 2)2; в) (т 6)2(т + 6)2;
б) (у 4)2(у + 4); r) (п 7)2(7 + п).
;j 12. а) (х у)(х + у)(х 2 + у2); в) (р3 + q)(P3 q)(P6 + q2);
б) (3а Ь)(3а + Ь)(9а 2 + Ь 2 ); r) (э4 + r4)(s r)(s + r)(s2 + r2).
513. Упростите выражение:
а) (3х 2 + 4)2 + (3х 2 4)2 2(5 3х 2 )(5 + 3х 2 );
б) (4а 3 + 5)2+ (4а 3 1)2 2(4а 3 + 5)(4а 3 1);
В) р(р 2С)(р + 2с) (р с) (р2 + рс + с 2 );
r) т(2т 1)2 2(т + 1)(т 2 т + 1).
;)Н. а) (а Ь)(а + Ь)(а 2 + Ь 2 )(а 4 + Ь 4 )(а 8 + Ь 8 );
б) х 32 (х 1)(х + 1)(х 2 + 1)(х 4 + 1)(х3 + 1)(х 16 + 1).
Замените знаки * одночленами так, чтобы ВЫПОЛНJLЛось ра о
венство:
:')]5. а) (6а 5 + *)2= * + * + 25х 2 ;
б) (10т 5 + *)2= * + * + 36т 4 п 6 ;
5] G. а) (* + 4d 4 )2= * + 24c 2 d 5 + *;
б) (* 8а 4 )2= 81а 6 Ь 2 * + *;
в) (* 4х 7 )2= 25х 4 у2 * + *;
r) (8a3 *)2= * * + 49а 8 Ь 6 .
в) (4p2q2+ *)2= * + * + 0,01q8;
r) (8q4t 3 *)2= * * + 0,16t 4 .
63
517. а) (* *)2= * + 70Ь З е + 49е 2 ;
б) (* *)2= 81х 2 * + 100х 4 у6;
В) (* + *)2= * + 70х 3 у2+ *;
r) (* *)2= * 48e5d3 + *.
518. а) (* 15а)(* + *) = 4е 2 *; в) (* хз )(* + *) = 0,25 у 4 *;
б) (* + *)( * 11е) = 81а 2 *; r) (* *)(* + 0,4п 2 ) = 100т 6 *.
519. а) (* 10z2)(* + *) = 0,49х 6 *;
16
б) (* + *)(7 р 6 *) = * 121 q4;
В)( 1 x7 * )(* + *) = * 64y4 z 1 0;
r) (* *)2 = * 60а 4 х 2 + *.
520. Найдите значение выражения:
4
а) 125 (5 3х)(25 + 15х + 9х 2 ) при Х = 3;
1
б) 25 (2 3а)(4 + 6а + 9а 2 ) при а = ;
3
1
в) 127 + (5е 3)(25с 2 + 15с + 9) при с = 1 ;
5
2
r) 64 (4 3а)(16 + 12а + 9а 2 ) при а = .
3
8521. Найдите значение числовоrо выражения:
а) (2 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) 216;
б) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) 232.
8522. Докажите равенство:
(32 + 22)(34 + 24)(38 + 28)(316 + 216) = 0,2(332 232).
18. ДЕЛЕНИЕ мноrОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН
Выполните действия:
523. а) (12а + 8) : 4; в) (44у + 22) : 11;
б) (54d + 36): ( 18); r) ( 15 5у): ( 5);
524. а) (а аЬ) : а;
б) (х ху) : ( x);
525. а) (а 2 + 3аЬ) : а;
б) (т 3 т 2 п) : т 2 ;
в) ( т тп) : т;
r) ( e + ed): ( e).
в) (е 2 2cd) : с:
r) (р4 p3q) : р3.
52б. а) (4аЬ2 + 3аЬ) : аЬ;
б) (1,2cd 3 0,7 cd) : cd;
>:127. а) (3х2у 4ху2) : 5ху;
б) (4х + 12у 16) : ( 4);
в) ( 3,5т2п О,2тп) : тп;
r)( xy + хзу ): ху.
в) (2аЬ + 6а 2 Ь 2 4Ь 2 ) : ( 2Ь);
r) ( a5Ь3 + 3а 6 Ь2) : 4а 4 Ь2.
0528. Найдите значение алrебраическоrо выражения:
а) (18а 4 27а 3 ) : 9а 2 lОа 3 : 5а при а == 8;
1
б) (36х2у 4 ху 2): 4ху + у при х = 9 : у = 0,2745.
,.)529. Придумайте три одночлена, на которые делится данный MHO
roчлен:
а) 5х 2 6х 4 + 48х 6 12х 3 :
б) 14х 6 28х + 7 х 5 + 84х 4 56х 8 ;
в) 15а 2 Ь 3 + 25а 4 Ь 2 30а 6 Ь 3 75а 4 Ь7;
r) 45т 6 п 2 + 30т 3 п 5 + 60т 4 п 3 90т 4 п 5 .
_,5ао. "У"становите, корректно ли задание: разделить мноrочлен
2.ry2+ 3х 2 у 5х 4 у4 на одночленА: если задание Корректно, то
выполните ero:
а)А = xyz; б)А = х 2 у2; в)А == ху; r)A == x2y.
Выполните действия:
531 ) 12а8ь& + 60а&Ь В .
. а 4a, s b s '
15а 7 х 9 45а 9 х 7
б) 5 & & :
ах
532. а) (7а 2 + 10а 3 Ь) : а 4 ;
б) (4х 2 3х) : ( x2):
132n З р 2 44n 2 р З + 110n 2 р 4
В ) .
22nр ,
108k 4 n 2 144k 3 n 3 180k 2 n 4
r) 36kn
в) (27а 3 81Ь3) : 9а 3 Ь 3 ;
r) (42.ry 63 ху 3 + 14ху) : 7ху.
533. Запишите два не подобных между собой одночлена, на KOТO
рые делится данный мноrочлен:
а) 13k 3 l 4 + 21k 4 l 6 2k2[8 + 32k 9 l 5 ;
б) 18p6q3+ 27p2q4 63p8q5 72p9q7;
в) 16c 6 d 4 + 24c 5 d 8 + 32c 9 d 7 48c 2 d 3 :
r) 36х 6 у5 48х 4 у8 + 84х 9 у 3 144х 3 у4.
534. Запишите пять не подобных между собой одночленов, на KO
торые делится данный мноrочлен:
а) 4Ь 4 с 5 Ь4 с 4 + 13Ь2 с 6: в) 5z 5 m 7 25z 8 m + 40Z 12 m 2 ;
б) 12х 3 у4 16х 2 у3 + 24х 2 у2; r) 3,2k2[4 1,4k 3 l 4 + 4,3kl 6 .
3. Звк. 2855 Мордкович. 1 КЛ. Задачник.
65
535. Из данных одночленов выберите те, на которые делится
мноrочлен 12x 2 y3z 3xy2z2 + 4 ху 2 z З :
а) x 2 yz; 3x 2 y2z; ху; xyz4; х 3 ;
б) xy2z; 6x1l'z; 5z; 6xyz; 20ху;
в) у2; 3; 142xyz; 15х; 24z2;
r) 4ху2; y2z; 8; 7xyz; 2xy2z.
Замените знаки. одночленами так, чтобы выполн.ялось pa
венство:
15а 4 Ь * + 24а 2 Ь 3
8536. а) 5а 2 ь = * 7аЬ + *;
* 24а 3 х 4
в) * == 7а 2 8ах З ;
* l00а 2 ь 4 + 75аь 5
б) 25003 = 3а 2 * + *;
57c 4 d 3 38с З d 2
r ) == 3cd 2 *.
* '
42а 2 х 4 21а 3 х 3 + 72а 4 х 2
8537. а) * == * *+12a2x;
б) 30k 3 p 3 1}5k2 p 4 * = 3k 2 * 14р2;
45 IO d 3 54 n+2 d 7 *
в) с + с = * + 3,6c"d 5 2c6d8;
*
* * + 63а"х 5
r) * = 2а 5 х 3 3а 6 х 2 + 4,5a" 3X.
8538. Выясните, какой из данных мноrочленов может быть част.
ным от деления мноrочлена 30а 4 Ь 3 12а 2 Ь 4 на некоторый oд
ночлен. Найдите делитель, если он существует:
а) 3а З l,2аЬ; 30а 4 Ь 12аЬ 2 ; в) 30а 3 Ь 2 12аЬ; 6a3b2 3аЬ З ;
б) 5Ь 3 2Ь 4 ; 15а 2 Ь 4Ь; r) 15a4b 6а 2 Ь 4 ; 3а 2 l,2Ь.
8539. Выясните, какой из данных мноroчленов может быть част.
ным от деления мноrочлена 42х 5 у 4 + 56х 4 у2 на некоторый oд
ночлен. Найдите делитель, если он существует:
а) 21х 4 у3 + 18х 3 у6; 5,25ху3 + 7у6; 6х 4 у3 + 8х 3 у;
б) 6х 3 у3 + 8х 2 у6; 42ху + 56у2; 21х 2 у3 + 28ху;
в) 42х 2 у + 56х; 21х З у 3 + 28х 3 у; 4,2 х 4 у2 + 5,6х 3 ;
r) 5,25 ху 3 + 14ху6; 10,5х 2 у3 + 14ху; 6х З у + 8х 2 .
АВА
РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНОВ
НА МНОЖИТЕЛИ
5
19. ЧТО ТАКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
мноrОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
И ЗАЧЕМ ОНО НУЖНО
Решите уравнение:
540. а) х(х + 2) = о; в) z(z + 1,6) = о;
б) У(У 8) '" о; r) t( t ) = о .
511. а) (х + 1)(х + 4) '" о; в)(у + 2)(у 6) = о;
б) (с 12)(с + 25) = о; r) (d 7)(d + 1,4) '" о.
,).:J. . а) (2х + 3)(3х 6) '" о; в) (4а 8)(6а 12) = о;
б) (l1Ь + 44)(13Ь + 26) = о; r) (25с 125)(54с 108) = о.
!).i3. а) т(т + l)(т + 2) = о; в) р(р + 13)(р 17) = о;
б) п(п 3)(п 8) '" о; r) q(q 21)(q 105) = о.
0544. а)(4х + 12)(15х + 30)(17х + 34)-=0;
б) (9у + 18)(12у 48)(36у 72) = о;
в) (23z 46)(45z + 90)(3z + 24) -= о;
r) (4t 1)(8t 3)(12t 17) = о.
0545. а) х 2 х -= о;
05.16. а) х 2 16", о;
б) у2 25 = о;
б) 2х 2 + 4х 0= о; в) 3х 2 7х == о;
B)Z2 36=0;
r) t 2 100 = о.
r) х 2 = 4х.
0547. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) 532 432;
B)(6 J (5 J
r)(7 J (з J
б) 1082 982:
3 ...
..
67
548. Решите уравнение:
а) 0,25а 2 9 0= о;
б) 0,04Ь 2 4 0= о;
В) 4х 2 1440= о;
r) 0,25у 2 25 = о.
Вычислите наиболее рациональным способом:
910
549. а) 1372 1232 ;
2742 342
б) 960
3242 362
В) 1440 ;
3522 522
r) 808
1442 182
550. а) 15з2 902 ;
532 272
б) 792 512 ;
551. а) 7,8-8,7 + 7,8.1,з ;
100
б ) 13,2.9,8+13,2.2,2 .
24 '
782 302
В) 662 62 ;
1012 312
r) 1392 2g2 .
в) 2,6.5,4+5,4.0,6 ;
10,8
) 4,5.3,1 + 4,5.2,1
r .
0,1
10. ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕrо МНОЖИТЕЛЯ
ЗА СКОБКИ
552. Запишите три одночлена, на которые делится каждый из за
данных одночленов:
а) 2т2, 2т, 4; в) 15аЬ 2 , 25аЬ, 30а 2 Ь;
б) 4х, 16х, 8ху; r) 56xyz, 42x 2 z, 14y2z.
Разложите на множители:
553. а) 3х + 3у; б) 5а 5Ь; В) 7а + 7у;
554. а) 3х + 6у; б) 5а 15Ь; В) 7а + 14у;
555. а) 8х + 12у; В) 21а + 28у;
б) 15а 25Ь; r) 24х 32а.
556. а) 2,4х + 7,2у; в) О,Оlа + О,озу;
б) 1,8а 2,4Ь; r) 1,25х 1,75а.
55 7 ) 1 4 б ) а .!!b- ) 18 12
. а з-Х+з- У ; 9 27' В 25 а + 35 У ;
r) 8х 8а.
r) 8х 32а.
12 3
r) x y.
49 28
.);)Н. а) З!.х + 3..! у;
5 15
2 1
б) 4 a l Ь.
7 14
:""i.j9. а) 3Ь 2 3Ь; б) а 4 + 2а 2 ;
. )O(). а) х 3 3х 2 х;
б) у5 2 у 4 + у2;
)Ш. а) аЬ а 2 Ь;
б) p2q2 pq;
в) 4с 2 12с 5 ;
r) 8d 4 32d 2 .
в) 2т 6 4т 3 + 6т;
r) 9 р 4 18 р 2 27р.
в) х 2 у ху2;
r) т 3 п 2 п 3 т 2 .
;,62. а) 2z5q2 4z3q + 6z2q3;
б) ху3 + 5х 2 у2 3х 2 у;
563. а) 15 ry 2 + 10х 2 у 20х 2 у3;
б) 12а 2 Ь 4 36а 2 Ь + 44аЬс;
:564. а) 3х(а + Ь) + у(а + Ь);
б) т(х у) (х у);
;>65. а) 15с(а + Ь) + 8(Ь + а);
б) п(2а + 1) + т(l + 2а);
566. а) а(Ь с) + 3(с Ь);
б) 6(т п) + в(п т);
:)567 а) (х у)2 а(х у);
б) 5(а + 3)3 (а + 3);
Решите уравнение:
568. а) х 2 3х о;
б) у2 5у = О;
0569. а) 0,45 р 2 + 18р = о;
б) 9т 2 + 0,27т = о;
в) 7а 4 Ь 3 14а 3 Ь 4 + 21а 2 Ь 5 ;
r) 8 ry 3+ 88х 2 у3 16х 3 у4.
в) 195с 6 р 5 91с 5 р 6 + 221c 3 p lO;
r) 42а 4 Ь 48а 3 Ь 2 78а 2 Ь 3 .
в) (с + 2) d(c + 2);
r) 5p(r в) + 6q(r в).
в) 4а(х + у) 9Ь(у + х);
r) IIp(c + 8d) 9(8d + с).
в) 4(р q) a(q р);
r) 7z(x у) 5(у х).
в) 8с(т + п)2 + 9d(m + п);
r) (р2 6) q(P2 6)2.
B)a2+10a 0;
r) Ь 2 + 20Ь = о.
в) 4q2+ 3q о;
r) 7х 2 + 2х=0.
0570. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) 1542 + 154 46; в) 1672 167 67;
б) 0,23 + 0,22 0,8; r) 0,93 0,81 2,9.
571. Разложите на множители:
а) а(2а Ь)(а + Ь) 3а(а + Ь)2;
б) 5х 2 (3х 8) + 10х(3х 8)2;
в) 4с(4с 1) 3(4с 1)2;
r) 6d 2 (2d 5)2 12d 2 (2d 5)(d + 5).
572. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) 0,7562 0,241 0,756 0,415 0,756;
б) 2,49 1,63 2,1 . 1,63 + 1,632;
в) 0,252 . 2,4 + 0,25 . 2,42 0,25 . 2,4 . 0,65;
r) 0,16.6,41 1,25 0,16 1,252 0,162 . 1,25.
573. Докажите, что значение выражения:
а) 116+ 175 кратно 18; в) 317 + 315 кратно 30;
б) 428 + 427 кратно 43; r) 223 + 220 кратно 72.
.574. Докажите, что значение выражения:
а) 87 218 кратно 4; в) 97 + 312 кратно 90;
б) 106 57 кратно 59; r) 810 227 кратно 14.
21. СПОСОБ rруппировки
575. Из да:в:вых выражений вынесите общий множитель за скобки
и затем выпишите попарно те из них, которые будут содержать
одинаковые двучлены:
а) 2х х 2 , 3ax + 2х 2 , 2ах 2 3а 2 х; 4ху 2х 2 у;
б) аЬ 3Ь 2 , а 2 3аЬ, 5 + 10х, а + 2ах;
в) п 2 пт, 6а 2 9аЬ, тп п2, 2аЬ 3Ь 2 ;
r) 4х 8, х 2 2х, 5 15т, 21тп + 7п.
576. Из дав:ных выражений выпишите попарно те, которые после
вынесения общеrо множителя будут содержать в скобках оди-
наковые двучле:вы:
а) 2Ьу bz, 4ах az, 2ау az, 4Ьх bz;
б) 6ах 3х, 2a + 1, 3Ьу 3у, с сЬ;
B)a3 2a2, 4ab 2a2b, 5ac2 10ас, 3a 6:
r) 3тп 2 6т 2 п, аЬп 2аЬт, а 2 х 3 9а 2 х, 9х 2 х 4 .
Разложите на множители:
0577. а) 3а + 3 па п; в) ах 3х 4а + 12;
б) 6тх 2т + 9х 3; r) 2тх 3т 4х + 6.
0578. а) 7kn 6k + 14п 12; в) 9т 2 9тп 5т + 5п;
б) 5а 2 5ах 7а + 7х; r) 6а 2 2аЬ 3ае + Ье.
0579. а) 7с 2 с с з + 7; в) 2Ь 3 6 4Ь 2 +3Ь;
б) х 3 + 28 14х 2 2х; r) х 3 6 + 2х 3х 2 .
0580. а) 16аЬ 2 + 5Ь 2 с + 10с 3 + 32ас 2 ;
б) 18а 2 + 27аЬ + 14ас + 21Ьс;
в) 20п 2 35а 14ап + 50п;
r) 2x 2 yz 15yz 3xz 2 + 10 ху 2.
70
0581. Найдите значеНИе выражения ах 2а 3х + 6, если:
а) а = 5; х = 4; в) а = 1,5; х = 3,5;
б) а = 3; х = 4,5; r) а = 0,97; х = 2.
J582. Найдите значение выражения 2а + Ь + 2а 2 + аЬ, если:
a)a= I;b=998; B)a=7,4;b= 2;
2
б)а=45,5;Ь= 3; r)а= 0,5;Ь=8з,
0583. Найдите значение выражения 5аЬ 7Ь + 5а 2 7 а, если:
а)а=0,2; Ь=I; B)a=3,7;b= 3,7;
б)а=2,5;Ь= 0,5; r)a=I,4;b=1l.
Разложите на множиТели:
584. а) 40а 3 Ьс + 21Ьс 56ас 2 15а 2 Ь 2 ;
б) 16 ху 2 5y2z 10z 3 + 32xz 2 ;
,)I)З0х 2 + 10с 25сх 12х;
r) 18x 2 z 10kxy + 20k 2 y 36kxz.
585. а) ах 2 ау Ьх 2 + су + Ьу сх 2 ;
б) ху2 Ьу2 ах + аЬ + у2 а;
в) ах + Ьх + сх + ау + Ьу + су;
' ) аЬ а 2 Ь 2 + а 3 Ь 3 с + аЬс са 2 Ь 2 .
586. Найдите значение выражения 21а 2 Ь 4Ь 12а + 7аЬ 2 , если:
1
а) а = ; Ь = 2;
3
1
В) а = 1 "7 : Ь = 0,5;
2
r) а = '3 ; Ь = 3.
1
б) а = 4; Ь = ;
7
Вычислите наиболее рациональным способом:
587. а) 2,7 6,2 9,3 1,2 + 6,2 9,3 1,2 2,7;
б) 125 48 31 82 31 43 125 83;
в) 14,9 1,25 + 0,75 1,1 + 14,9 0,75 + 1,1 1,25;
r ) з!. 4! + 4 2 + 3! . 2 + 2 8 .
35'З 35'З
588. Е}) 109 9,17 5,37 72 37 9,17 + 1,2 72;
б) 19,9 18 19,9 16 + 30,1 18 30,1 16;
в) 15,5 20,8 + 15,5 9,2 3,5 20,8 3,5 9,2;
r) 77,3 13 + 8 37,3 77,3 8 13 37,3.
71
Разложите на множители, представив о,l(ин из членов MHoro
члена в виде суммы подоб:вых слаrаемых:
5tШ. а) х 2 + 6х + 8; в) х 2 + 3х + 2;
б) х 2 8х + 15; r) х 2 5х + 6.
iJUO. а) а 2 7а + 6;
б) Ь 2 + 9Ь 10:
:у91 а) а 2 + 8аЬ 9Ь 2 :
б) а 2 + 16аЬ + 55Ь 2 ;
Решите уравнение:
8;J!):!,. а) х 2 3х + 2 = о;
б) х 2 + 8х + 15 ==0;
..)!)а. а) 2х 2 5х + 2 == о;
б) 3х 2 + 1 ох + 3 == о;
в) у2 10у + 24;
r) Z2 18z 40.
в) х 2 + 4ху 12у2;
r) х 2 + 16ху + 39 у 2.
в) х 2 6х + 8 = о;
r) х 2 3х 4 == о.
в) 4х 2 + 5х 6 = о;
r) 3х 2 Х 2 = о.
21. РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНА НА
МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ
СОКРАЩЕнноrо УМНОЖЕНИЯ
;-) И. Представьте в виде квадрата одночлена задаНlIЫе выражения:
а) 4z2, 9Ь4, 25т2, 64р2;
б) 16а 2 Ь4, 81х 6 у4, 49s2t 8 , 25k 2 t 10 ;
16
В ) p 2s4t2
25 '
r) 0,01a 4 ЬS,
.2!..m4n12 a2b12 25 х4 у 8z1б.
16 '49 '81 '
0,04х 6 у 6, 0,49k 8 [10, 1,21т 6 п 4 .
Разложите на множители:
595. а) 4 36а 2 ; в) 400 121с 2 ;
б) 100 49Ь 2 ; r) 225 144d 2 .
!')!Ю. а) а 2 9Ь 2 ; б) с 2 16d 2 ; в) т 2 64п 2 :
597 а) 49х 2 121а 2 ; в) 9т2 16п 2 ;
б) 64р2 81q2; r) 144у2 81,-2.
5Н8. а) х 2 у2 1: б) c 2 d 2 4; в) т 2 п 2 25;
599. а) 25 36р 2 с 2 ; в) 49х 2 у2 400;
б) 100т 2 п 2 81; r) 225 144c 2 d 2 .
()UО. а) c 2 d 2 т 2 ;
б) а 2 х 2 0,25 у 2:
72
r) р2 100q2.
r) p2q2 100.
в) 16y2z2 4а 2 п 2 ;
r) х 2 у2 0,25 p 2 q 2.
<Н. а) 144а 4 625с 2 ;
1
б) 25 р l0 '9 q12;
Решите уравнение:
а) х 2 49 = о;
б)у2 100=0;
а) 4х 2 1 = о;
б) 25 у 2 49 = о;
В) 169х 8 400у16;
1
r) 4Ь 16 16 d 4 .
в) Z2 625 = о;
r) t 2 1 = о.
в) 36а 2 25:: о;
r) 144z 2 1 = о.
u(;4. Запишите сумму и неполный квадрат разности одночленов:
а)аиЬ; б)т 2 и2п 2 ; в)2си3d; r)3ри4 q 2.
(Ю5. Запишите разность и непол:вый Квадрат суммы одночленов:
а) k и l; б) 5а 2 и Ь 2 ; в) 3р и 2т; r) 48 и 3t 2 .
,ос. Представьте в виде куба одночлена заданные выражения:
а)а 3 Ь З , х 6 у9, 8т З п 9 , 125k 9 t 27 ;
б ) 1 9 2718 1 12 125 а24.
64 Р, 125 8, 343 т, 216 '
в) 0,064а 3 Ь 3 , 0,125х 9 у З, 0,216т 3 п I8 , 0,008 p 9 q I2;
r) 125x3y6z9, 216а12Ь36с24, 8т 6 п 3 р 12, 0,343k 9 [l8 p I5.
Разложите на множители:
607 а) аЗ + 8; б) Ь 3 27; в) с З 64; r) d 3 + 125.
608. а) 216 т 3 ; б) 1000 + т 3 ; в) 729 + р3; r) 343 qЗ.
609. а) 64а З + 1; в) 512Ь 3 125;
б) 27d З 8; r) 216с 3 + 1000.
610. а) а 3 Ь З 1; б) 8 + сЗd З ; в) тЗпЗ 27; r) рЗqЗ+ 64.
611. а) а 2 2аЬ + Ь 2 ;
б) х 2 + 2ху + у2;
\}12. а) т 2 + 4т + 4;
б)а2 12а+36:
(Н3. а)р2+ 10р + 25;
б) х 2 14х + 49:
(эВ. а) 4у2 12у + 9;
б) 9р2 + 48pq + 64q2:
(Н5. а) 9х 2 + 24ху + 16 у 2:
б) 36а 2 84аЬ + 49Ь 2 :
в) Z2+ 2zt + t 2 ;
r)m2 2тп + п 2 .
в) 1 2Ь + Ь 2 ;
r) у2+ 18у + 81.
в) 225 30у + у2:
r)64+16z+z 2 .
в) 9т 2 + 24т + 16;
r) 9а 2 30а + 25.
в) 4т 2 28тп + 49п 2 ;
r) О,25х 2 + 3ху + 9 у 2.
73
616. Определите знак выражения, предварительно разложив ero на
множители:
а) а 2 10а + 25;
б) 49 + 14а + а 2 ;
В) a2 4а 4;
r) a2 12а 36.
Вычислите наиболее рациональным способом:
617. а) 342 + 2 34 36 + 362; В) 982 2 98 8 + 82;
б) 272 2 27 13 + 132; r) 76,42 + 13,62 + 2 76,4 13,6.
618. а) 2572 1432; В) 1652 652;
б) 73,62 26,42; r) 72,52 47,52.
Разложите на множители:
619. а) (х+l)2 25; в) (z+10)2 36;
б) (у 2)2 4; r) (t 7)2 100.
620. а) 49 (т 3)2; в) 625 (п + 12)2;
б) 400 (а + 9)2; r) 121 (Ь 13)2.
621. а) (а + 4)2 (Ь + 2)2: в) (т + 10)2 (п 12)2;
б) (х 5)2 (у + 8)2; r) (с 1)2 (d 23)2.
622. а) (3х + 1)2 (4х + 3)2; в) (15z + 4)2 (3z 2)2;
б) (6у 7)2 (9у + 4)2; r) (13t 9)2 (8t 7)2.
Решите уравнение:
623. a) a2 = о;
16 25
9 81
B) c2 == О.
16 100 '
б) Ь2 16 = О. r) d2 64 = о.
49 121' 1225 441
624. а) (2х 5)2 36 = О; в) (5z 3)2 9Z2= о;
б)(4 llу)2 1 == о; r)(4t 3)2 25t 2 = о.
625. а) (а + 1)2 (2а + 3)2= о; в) (5с + 8)2 (с 10)2= о:
б) (3Ь 2)2 (Ь + 1)2= о; r) (7d 13)2 (9d 25)2= о.
Разложите на множители:
б) 64 з 729 d З.
c+
343 1000'
) 125 3 216 3
в 512 Х 343 У ;
) 1 з 125 3
r m+ n.
729 216
1 8
626. а ) a3 b3'
8 27'
627. а) а 6 8;
б) 27 + Ь 9 ;
1
B ) ,r6+ '
8 '
1 6
r) у
64
74
'.J 8. а) х 3 у3 с 3 :
б) а 3 + т 3 п 9 :
1
,i2H. а) a6 Ь 9 ;
8
в) т 6 п 3 p12:
r) ct + c 15 d 18 .
1
В ) x3 + У 6.
125 '
8
б ) a3 + х 9 .
27 '
11.10. а) (2с + 1)3 64;
б) (3р 4)3+ 1;
н:н. а) (6Ь + 8)3 125;
б) 1000 + (3q + 12)3;
r) 64 т3 343 п6.
729 1000
В) 8 (3 k)3;
r)(5a + 4)3 27.
В) 8r (5х 3)3;
r) (3х + 2у)3 + 729у3.
(): 2. а) ...!.а 2 2аЬ + 16 ь 2 ;
16 9
9 25
б) a6b2 + а'Ь' + а2Ьб.
25 36'
1
В ) " +tib' + a"
4 '
r) 0,01х 4 + у2 0,2х 2 у.
баз. Докажите, что:
а) 51 3 263 делится на 25;
б) 433 + 173 делится на 60;
В) 543 143 делится на 40;
r) 383 + 373 делится на 75.
Вычислите наиболее рациональным способом:
(;34. а) (532+ 222 472 162): (652 2 65 59 + 592):
б ) 5gЗ 413 + 59.41'
18 '
В) (1092 2 109.61 + 612) : (792 + 732 492 552):
r) 673 + 5 67 52.
119
6З5.а) ( 9734 533 + 97 53)= (152,52 27.52);
б)(36'52 27'52):( 5739 333 57 33}
в) ( 793 3 8 413 + 79.41): (133.52 58,52):
r) (94,52 30,52): ( 693;8293 69. 29 }
75
Замените знаки * такими одночленами, чтобы выполн.ялось
равенство:
636. а) а 2 + * + Ь 2 = (а + Ь)2;
б) Ь 2 + 20Ь + * = (Ь +10)2;
637. а) Ь 2 20Ь + * = (* 10)2;
б) * 42pq + 49q2 = (: p *)2;
1 ( 1 ) 2
в) 25а 2 + * + 4" Ь 2 = * +"2 Ь ;
r) 0,01Ь 2 + * + 100с 2 = (О,lЬ + *)2.
638. а) * + 56аЬ + 49Ь 2 = (4а + *)2;
б) 225х 2 * + 64у2= (15х *)2;
в) * + 96ху + 36у2 = (8х + *)2;
r) 100а 2 + * + 49Ь 2 = (10а + *)2;
639. а) т 2 + 40т + * = (* + 20)2;
б) * 70pq + * = (7р *)2;
в) * 56а + 49 = (4а 7)2;
r) * 12с + * = (3с 2)2.
в) * + 42ас + 49с 2 = (* + *)2;
r) 25z2 * + * = (* 8t)2.
23. РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНА
НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ
КОМБИНАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ПРИЕМОВ
Разложите на множители:
640. а) 5x2 5; б) 10x2 10у2; в) 3a2 12;
641. а) 9х3 81х; в) 64a аЗ;
б) уЗ lOOy; r) Ь З 144Ь.
642. а) с 3 25с; в) 0,048 8а 2 ;
r) 9b3 Ь.
б) 50т 2п 2 т;
16
r) p2q qЗ.
49
643. а) 5а 2 + 10аЬ + 5Ь 2 ; в) 3т 2 + 3п2 6тп;
б) 2х 2 + 4ху + 2у2; r) 8п2 16п + 8.
644. а) 3x2 + 12х 12; в) 5p2 10pq 5q2;
б) 2a2+ 20ab 50Ь 2 ; r) 12z3 12z2 3z.
645. а) а 4 16; б) Ь 4 81; в) у8 1;
r) x4 Z4.
646. а) 4т 3 4п 3 ;
б) 13а 3 + 13Ь 3 ;
в) 15с 3 + 15d З ;
r) 2183 21t 3 .
76
,; 7. а) 6х 5 у 24 ху З;
б) 3а 4 Ь 2 + 24аЬ 5 ;
1i-\. а) (т + 3)З 8;
б) (с 1)З+ 27;
'/0, а) (х 2 + 1)2 4х 2 ;
б) (у2 + 2у)2 1;
;;Ю. а) (а 2 + 2аЬ + Ь 2 ) с 2 ;
б) 16 (х 2 2ху + у2);
Н51. а) x2 2хе + e2 d 2 ;
б) а 2 + 2а Ь 2 + 1;
\652. а) х 2 + 2ху т 2 + у2;
б) е 2 а 2 + 2аЬ Ь 2 :
653. а) хз ry ху2 + уЗ:
б) а З + a2Ь aЬ2 ь з ;
в) 0,3 у 2 2,7 у 6;
r) 0,1х 4 у 2,7 ху4.
B)(a 12)З 125;
r) (ь + 4)3+ 64.
в) 81 (е 2 + 6е)2;
r) 16т2 (т п)2.
в) 1 т2 2тп п 2 ;
r) 4 p2 2pq q2.
в) е 2 d 2 + 6с + 9;
r) r S2 10s 25.
в) т2 п2 8тп + 16;
r) 9 р2+ q2 6q.
в) е 2 + 2e d 2 + 2d;
r) т2 2п т 4п 2 .
Разложите на множители:
654. а) x2(x 3) 2x(x 3) + х 3;
б) (1 а)2 4а(1 а)2+ 4а 2 (1 а)2.
655. а) а З + 8Ь З + а 2 2аЬ + 4Ь 2 ;
б) 8е З d З + 4е 2 + 2ed + d 2 .
656. а) ХЗ+ 8 у З+ х 2 + 4ху + 4у2; б) 8 р З </+ 4р2 4pq + q2.
8657. а) аЗ а 2 2а + 8; б) Ь З 6Ь 2 6Ь + 1.
Разложите на множители, использовав метод выделения пол
Horo квадрата двучлена:
658. а) х 2 10х + 24; в) Ь 4 + 4Ь 2 5;
б) у2 14у + 40; r) а 2 6а + 5.
659. а) 4а 2 12аЬ + 5Ь 2 ; в) 25а 2 20аЬ 12Ь 2 ;
б) 9е 2 24ed + 7d 2 ; r) 9т 2 30mk + 16k 2 .
Разложите на множители, представив один из членов MHoro
члена в Виде суммы подобных слarаемых:
660. а) а 2 + 7а + 10; в) Ь 2 зь 4:
б) х 4 + 7 х 2 + 12; r) у4 5у2 + 4.
661. а) х 2 + 5ху + 6у2;
б) 4т 2 5тп + п 2 ;
в) р2 pq 2q2;
r) а 2 + 7аЬ + 6Ь 2 .
77
Решите уравнение:
062. а) х3 х = О; В) с 3 + с 2 = О;
б) 16у у3:::;; о; r) d 3 + d:::;; О.
8663. а) х8 + х 2 4х 4:::;; О; в) 9z + 9 Z3 Z2= О;
б) у3 + 2 у 2 4у 8 = о; r) р3 р2 4р + 4 = О.
8{)()4. Пусть Х 1 + Х 2 = 7, х 1 х 2 = 2. Вычислите:
) 2 2 ) 2 2.
а Х 1 Х 2 + х 1 х 2 ; в Х 1 + х 2 ,
б) (Х 1 + х 2 )2;
r) Х; + х;.
8665. Пусть Х 1 + Х 2 = 5, Х 1 Х 2 = 3. Вычислите:
а) х: + х;; В) x x: + xix;;
б) (Х 1 х 2 )2;
) 24 42
r Х 1 Х 2 + х 1 х 2 .
24. СОКРАЩЕНИЕ АлrЕБРАИЧЕСКИХ
ДРОБЕЙ
()66. Найдите общий делитель для данных одночленов:
а) 3а 2 Ь 3 , 12а 3 Ь 2 ; в) 6х 2 у, 9у5;
б) 15Ь 12 с 2 , 25Ь 3 с 4 ; r)p5q2, 12p2q5.
Сократите дробь:
4
667 а) L;
уЗ
8 t 4 zo
( 't!" ) .
)\JO. аз,
zt w
. 3a2ь
669. a) ;
9a
670. а) 15a(p q) ;
2OЬ(p q)
2Ь(т + n)
б) .
6Ьс(т+n)'
671. а) 5(x y) ;
15(у х)
б 150а 2 ь З (z t)
) 300005 (t z) ;
78
Z5
б) ------В----;
z
т 1О
B) ;
ти
m15n4r8
б) 19 21 6 ;
т n r
a12x19z5 .
в)
а40хЗlz6 '
7х 4 у .
б)
49хуЗ '
2lcd4
В ) .
14сd З '
в 8а 2 Ь З (а + ь) .
) 20002 (а + ь) '
44с З d 8 (с d)
r) 10Oc 5 d 4 (c d) .
в) 2(т n) ;
a(n т)
13х З y4z5 (с d)
r) 26xy5z7 (d с) .
n19
r) .
n4
bl00 у6 Z
r) 101 з 4 .
ь у z
30р2 q З
r)
48 р З q 3 .
72 ) 2а(х+ у) .
6 . а ( )( ,
8а х + у х у)
в) 3(a b)(a+b) .
6(a+b)(a b) ,
З(п 2 + п + 1)
r) (п I)(п2+п+l)'
(a l)(a2+a+l)
б) .
а 2 + а + 1 '
673. а) (а Ь): ;
(Ь а)
б ) 16(х у)2 .
2 '
48(у х)
674. а) (х + 5): ;
(х + 5)
(у 8)10
б) (y 8)8 ;
675. а) 6а+6Ь ;
7 а + 7Ь
676. а) 8х 8у ;
9у 9х
677. а) 4а 2 9ь 2 ;
2а 3ь
х 2 9
678. а) ;
3х+9
а 3 8
679. а) 2 ;
а + 2а + 4
б) х з + 1
x2 x+l
680 ) (х+у)2.
. а 2 2 '
Х y
б) (m п)2 ;
т 2 п 2
) 12a3b5(p q)2.
в 2 '
36a 2 b(q р)
) 49ху(с d)2
r 2
7X2(d C)
) c(z 15)3.
В 4 '
8c(z 15)
3а(Ь 2)
r) 6(Ь 2)2 .
б) xz 3yz ;
х 2 3ху
в) 3т 6п ;
12п 6т
б) та + а ;
mc с
82 + s
B) ;
58+5
б) 36 у2 ;
6 y
б) у2 144 ;
12 У
8 3с
В ) .
9с 2 64 '
) 4 d2
B ;
Зd+6
в) 125 у 3+1 .
1 5у + 25 '
) 4t2 2t + 1
r .
8t З + 1
2(а2 Ь 2 )2
в) 2 ;
(а + Ь)
12а3(р2 q2)
r) .
36а 2 (р + q)
2p 4q
r) .
16q 8р
3с З + 3cd 2
r) .
6ос 2 + бd 3
) 100 49d 2
r .
7d + 10
) с2 5с
r .
25 с 2
...
79
а 2 + 2аЬ + Ь 2
681. а)
а+Ь
р2 2pq + q2 .
б) ,
p q
у2 х2
682. а)
х 2 2ху + у2 '
б) 1 2р ,
1 4р + 4р2
ax Ьх .
ау + Ьу ,
683. а)
4х 2 у 4х 3 .
б)
12х2у2 12 ху 3 '
х 2 ху
x2y xy2 '
0684. а)
pq4 cq4 .
б)
cq3 pq3 '
0685. а) х 2 4х + 4 ;
3х 6
а 2 + 2а + 1
б)
а 2 1
0686. а) 5 2т .
4т2 20т + 25'
б) 4п 2 4п + 1 .
2 4п '
15а 4 ь 2 15а 2 .
0687. а)
45а 4 Ь + 4003 '
б) 18а 4 Ь 72а 2 ь .
48аь 2 24а 2 Ь 2 '
0688. а) (d+2)2 ;
7d 2 + 14d
б ) 6pq 18р .
2 '
(q 3)
x y
В)
х 2 2ху + у2 '
т 2 +2тп+ п 2
r) 2
(т+ п)
В) ь 2 49
Ь 2 14Ь + 49
r) с 2 18с + 81 .
9 c
т 3т2 .
В)
2т1 6т4'
Зn 8 + 2n 4
r)
1мВ +1on 8
та 2 т 2 а
В) ;
т2 тa
r) 2nd 4 4pd 4
3nd 3 6 pd 3
В) 4 4х
х 2 2x+l '
r) Зq2 + 24q
q2 + lбq + 64
В) зх 2 6ху + 3у2 .
6х 2 6у2 '
r) 16с 2 1
lбс 2 8с + 1
) 17а3Ь+17а4с
В .
5la 2 ь 2 51а 4 с 2 '
r) 36а 3 Ь 2 с 36а 3 Ь 3
48аЬ 5 48аЬ 3 с 2
В) т 2 + 6тп + 9п 2 .
4т2 + 12тп '
4п 2 4п+l
r)
4п 2 1
1 с 2
CiС:Б9. а) 1 З;
с
ь 2 4
B) ;
ь З ..,. 8
) 16z2 9
r .
27 64z З
б) 3 + 3п + 3п 2 ;
п З 1
Зqp2 27q .
)(j90. а) ,
27q рЗ q
б) 8тп 2 2т
8тп 4 + тп
х. у.
в) з з ;
Х +у
у. + уЗ
r) .
у. 1
Найдите значение алrебраической дроби, предварительно
сократив ее:
а 2 2а
-,Н91. а) при а = 108;
6 3a
3Ь+9
б) приЬ=3,l;
Ь 9
692. а) х 2 + 12х + 36 при Х:::; 102;
х+6
У 2 14 у + 49
б) приу:::; 4;
y 7
40х 2 5ху
,)693. а) 2 при Х = 2, у:::; 10;
у 8ху
б) 21а 2 12аЬ при а = 10, Ь = 3;
20ь 2 35аЬ
в) 15с 2 IOcd при с = 6, d = 4;
8d 2 12cd
r) 25z2 20zt при z = 3. t = 2.
16t 2 20zt
аЗ + 27
0694. а) при а = 15;
а 2 за + 9
ь 2 + 2ь + 4 1
б) приЬ= ;
ь З 8 3
с 2 4
в) при с:::; 26;
6+ 3с
х 2 9
r) 2 З прих=3.
3х +х
Z2 8z + 16
в) при z = 16;
Z2 16
t 2 100
r) при t = 8.
е + 20t + 100
в) с з + 64 при с = 5;
3с 2 12с + 48
d 2 5d + 25
r) з при d :::; 4,5.
2d + 250
81
Сократите дробь:
270а 1О ь 8 с Т .
695. а)
810а 4 ь 12 с '
140m25nl0lr64
в) ;
42m14n202r61
132x 5 yl0z11 .
б)
144x 6 y6z22 '
32а 4 ь 5 с 2а 4 ь 3 с 3 .
а 3 Ь 4 с 3 4а 3 ь 5 с 2 '
540 р12 q 43 t 54
r)
36p2q 54 t 55
6а 2 ь 4 с 4 9а 2 ь 3 с 5 .
в)
54аЬс Т 24оо 3 с 5 '
хnу2n+l + хn+lу2n . 2x!'+211' 1 + 3х"'"111'
б) ,r) .
х2n+2уn х2nуn+2 fbt!' 111'+3 4i""111'+1
32а 4 ь 80а 3 ь 2 + 50а 2 ь 3 . 18а 4 ь 2 30а 3 Ь З .
в)
20аЬ 3 lба 2 ь 2 ' 75а 2 ь 5 90а 3 ь 4 + 27 а 4 ь 3 '
18а 3 ь 2 + 36004 .
б)
96а 2 ь 5 + 96а 4 ь 3 + 24а 6 ь '
696. а)
697. а)
4а 3 Ьс 3 4а 2 ь 2 с 2 + аЬ 3 с
698. а)
2ба 3 с 13а 2 ь
16x 2 y6z4 + 8x 4 y3z4 .
б)
2x 5 y4z + 8х 3 уТ Z + 8 xy l0 z '
в) 36х 2 у 12 ху 3 ;
27x 4 yz 18x 3 y3z + 3x 2 y5z
6а 4 ь 4 с ll + 24a 4 b 4 c 7 d 4 + 24a 4 b 4 c 3 d 8
r)
6a 5 b 3 c 5 d 4 + 3а 5 ь 3 с О
18х 5 72х 3 у2 .
699. а)
12х З у 2 48х 2 у3 + 48 ху 4 '
72а 2 ьс 3 96а 4 ьс 2 + 32а 6 ьс .
б)
lба 5 Ь 2 с 3 36аЬ 2 с 5 '
х 3n хnу2n .
700. а)
3х 3n + 6х 2n у n + 3х n у 2n '
a3n 1ьn+l 4an 1ьn+l .
б)
4anьn 1 4a2nьn 1 + a3nьn 1 '
2а n + 1 4a 2n + 1 + 2а Зn + 1
в)
4а Зn 4а n
54 ху Зn z n 72x n + 1 y2n z n + 24x 2n + 1 yn z n
r)
12x2n+2yn 1z"+1 27 х2уЗn lz,нl
r) 30а 5 ь + 15а 3 Ь З
lOa 2 b 8 + 40а 4 ь 6 + 40а 6 ь 4
135а З Ь 3 + 180а 2 ь 4 + 60005
в) .
225а 5 ь 100а 3 Ь З '
r) 150x 5 y2z 24х З у 6 z
40xy5z2 200x 2 y3z2 + 250x 3 yz2
а) а2 аЬ Ьс с 2 .
I!J
Ь 2 а 2 + 2ас с 2 '
б) 2xy 3+3x 2y .
9 + 12у + 4у2 '
х 2 yz + xz у2 .
:-О:!. а) 2 2 '
Х + yz xz у
х2 у2 .
б)
3х 2х2 + 3у 2ху ,
70 . Вычислите:
275 + 274 .
а)
98 + 97 + 99 '
167 166 .
б)
810 89 + 88 .
473 + зз 3 .
704. а)
4 72 47 33 + 332 '
233 113 .
б) 2з2 + 23 11 + 112 '
482 2.48.18 + 182
/"05. а)
482 182
852 172 .
б) 852 2 85. 17 + 172 .
в) ах 2 2х2 ау3 + 2 у 2 ;
ах + ау 2х 2у
r) 3ху 2х 3у + 2
х 2 2х + 1
аЗ + 2ас + с 2 .
в)
а 2 +ac ax cx'
r) 12z 2 9rz + 4nz 3rn
20z 2 + 3rn 15rz 4nz
811 8]0 89
в) .
415 414 413 '
923 + 922 + 92]
r)
2714 2713
273 133
в) .
272 + 27 13 + 1з2 '
873 + 433
r) .
872 87 43 + 432
732 2 .73 23 + 2з2
в)
262 242
482 122
r) 892 + 2 89 31 + 312 .
706. Найдите значение алrе6раической дроби:
а+Ь+а 2 b2
а) Ь 2 2аЬ Ь2 при а = 3, Ь = 5;
a +а +
с d + с 2 d 2
б) d 2 2 d d2 прис 8,d= 2;
c +с С +
т n+тx nx 1 1
В ) П р и х = У = т = 1256 n = 4516'
т n + ту nу 2 ' 3 ' , ,
pz + qz + р + q
r) прир = 2,5, q = 0,5, z = 25, t = 12.
pt+qt+p+q
15. ТОЖДЕСТВА
Выясните, являются ли данные равенства тождествами:
707. а) а + Ь = Ь + а; в) аЬ == Ьа;
.б) (а + Ь) + с = а + (Ь + с); r) (аЬ)с == а(Ьс).
708. а) а(Ь + с) = аЬ + ас;
б) а + О = а;
709. а) а ( b) = ab;
б) а Ь = а + ( b);
в) а 1 = а;
r) а + ( a)= О.
в) ( a)( b) = аЬ;
r)a 0=0.
Какие свойства действий позволяют утверждать, что тожде-
ственно равны выражения:
710. а) а + 7Ь и 7Ь + а;
б) (х + 4) + у и х + (4 + у);
в) т 7п и 7пт;
r) 5(с + d) + 3 и 5с + 5d + 3?
711. а) 2с 4 и 8с;
б) (р p)q и о;
в) 4t + 8sr и 8rs + 4t;
r) (а + Ь) 2 и 2а + 2Ь?
Докажите тождество:
712. а) х у == (у х); в) 2а 3Ь == (3Ь 2а);
б) (т п)2 = (п т)2; r) (3с 4d)2 = (4d 3с)2.
713. а) 10а ( (5a + 20)) = 5(3а + 4);
б) ( 7x) (6 + 5х) = 2(х 3);
в) 12у (25 (6у 11)) = 18(у 2);
r) 36 ( (9c 15)) = 3(3с + 7).
714. а) а 2 + 7а + 10 = (а + 2)(а + 5);
б) х 2 9х + 20:::; (х 4)(х 5);
в)(Ь 8)(Ь + 3) = Ь 2 5Ь 24;
r) (с 4)(с + 7) ==с 2 + 3с 28.
0715. а) (а 4)(а + 2) + 4 = (а + l)(а 3) 1;
б) 16 (х + 3)(х + 2) = 4 (6 + х)(х 1);
в) (у 3)(у + 7) 13 = (у + 8)(у 4) 2;
r) (z l1)(z + 10) + 10 = (z 5)(z + 4) 80.
0716. а) (а + Ь)2 + (а Ь)2 == 2(а 2 + Ь 2 );
б) (а + Ь)2 (а Ь)2== 4аЬ;
в) а 2 + Ь 2 = (а + Ь)2 2аЬ;
r) (а + ЬУ 2Ь(а + Ь) = а 2 Ь 2 .
717. Докажите, что выражениеА + в с тождественно равно выра-
жениюС B A, если A=2x 1, В= 3х + 1 иС= 5х.
718. Установите, является ли данное равенство тождеством и если
да, то укажите допустимые значения переменных:
х 4 4х 2
а) = х 2 + 2х;
х 2 2x
б) зх 5 24х 2 = х 2 + 2х + 4 .
6х 5 12х 4 2х 2 '
в) 2а 3 12112 + 18а = а 3 ;
4а 4 3002 2а 2 + 6а
а 6 Ь 2 27а З ь 2 аЗ + 3а 2 + 9а
r) 2а3ЬЗ 6а2Ь3 = 2ь .
719. Докажите тождество:
а)(х + у)(х у) + (у + а)(у а) == (х а)(х + а);
б)( а Ь)( а + Ь) (а с)( а + с) (с Ь)( с + Ь) = о;
в) (х + а)(х + Ь) = х 2 + (а + Ь)х + аЬ;
r) (т а)(т Ь) = т 2 (а + Ь)т + аЬ.
720. Докажите, что если а + Ь = 9,
то (а + l)(Ь + 1) (а l)(Ь 1) = 18.
721. Докажите, что выражение
(Ь + с 2а)(с Ь) + (с + а 2Ь)(а с) (а + Ь 2с)(а Ь) тожде
ственно равно нулю.
Докажите тождество:
722. а) (2а Ь)(2а + Ь) + (Ь с)(Ь + с) + (с 2а)(с + 2а) = о;
б) (3х + у)2 (3х у)2= (3ху + 1)2 (3ху 1)2;
в) (х 3у)(х + 3у) + (3у с)(3у + с) + (с х)(с + х) = о;
r) (а Ь)(а + Ь)«а Ь)2+ (а + Ь)2) = 2(а 4 Ь 4 ).
.723. а) (а 1)3 4(а 1) = (а l)(а + l)(а 3);
б) (х 2 + 1)2 4х 2 = (х l)2(х + 1)2;
в)(а + 1)3 (а + 1) = а(а + l)(а + 2);
r)4b2c2 (Ь 2 + c2 а 2 )2 =(а + Ь + с)(а Ь + с)(а + Ь с)(Ь + с а).
r ЛАВА
6 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
9 26. КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ
72 1. Запишите координаты точек, изображенных на рис. 1.
м в N D А Р С Q
I I I I I I I I I I
О 1 х
Рис. 1
725. а) Изобразите на координатной прямой точки:
А(5), В( 3), C( 8), D( 1,5);
М(6), N( l), Р(2,5), 0(0);
Q( 3,5), R( 5), 8(2), Z(4,5);
E( 7), Р(9), К(3,5), L( 0,5).
б) Найдите расстояние между точками:
РиВ, DиР, АиQ, В иN;
DиА, ВиС, NиQ, МиD;
МиN, RиQ, АиС, РиQ;
МиQ, NиР, АиР, ВиD.
7 в. На координатной прямой даны точкиА( 3), В(5); м середи
на отрезка АВ. Найдите:
а) расстояние между точками А и В;
б) расстояние между точками А и М;
В) расстояние между точками В и М;
r) координату точки М.
727. «Число с больше числа d.. Запишите это утверждение:
а) на алrебраическом языке (с помощью знака неравенства);
б) на rеометрическом языке (с помощью координатной прямой).
728. Число х меньше числа у". Запишите это утверждение:
а) на алrебраическом языке (с помощью знака неравенства);
б) на rеометрическом языке (с помощью координатной прямой).
729. Число а больше числа Ь, но меньше числа с». Запишите это
утверждение:
а) на алrебраическом языке (с помощью знаков неравенств);
б) на rеометрическом языке (с помощью координатной прямой).
Изобразите на координатной прямой числовой промежуток,
назовите ero, запишите аналитическую модель промежутка,
используя знаки неравенств:
730. а)(3, + 00); б)( оо, 5);
731. а) [1, + 00); б) ( oo, 4];
732. а) (3, 5); б)[ 5, 1];
733. а) [6, 8); б) ( 2, 4];
735. а)
б)
//////////. ..
1 а
o"///////
3 5 У
///////.
3 5 У
Р
736. а)
б)
."/////0
О 1
б) ///////.
7 6
737. а)
р
в) ( 2, +00);
в) ( oo, 2];
в) [4,6];
B)[ 3, 1):
r) ( 00, О).
r)[ l, + 00).
r) (О, 1).
r) (5, 7].
B) ///////////
3 х
r) //////////0
4
."/////////
8
r) ////////
4
в)
в)
(/'//////0
1 О
Дана rеометрическая модель числовоrо промежутка. Назови
те этот числовой промежуток, обозначьте ero, запишите aHa
литическую модель:
734. а) (/'////// ///
5 х
б) ////////////0
7 х
/////////
2 а
."//// ///.
9 10
t/////o
1 1
r) ////////.
3 5
r)
в)
х
а
а
У
У
р
р
87
По названию числовоrо промежутка запишите ero обозначе
ние, постройте reoметрическую и аналитическую модель:
738. а) Открытый луч с началом в точке 5;
б) луч с началом в точке 2;
в) интервал с началом в точке 1 и концом в точке 3;
r) полу интервал с началом в точке 6 и концом в точке 10.
7: 9. а) Отрезок с началом в точке 2 и концом в точке О;
б) открытый луч с концом в точке 7;
в) полуинтервал с началом в точке 4 и концом в точке 9 (точ
ка 9 не входит в полуинтервал);
r) луч с концом в точке 12.
По данной аналитической модели назовите соответствующий
числовой промежуток, запишите ero обозначение, постройте
rеометрическую модель:
740.а)х>3; б) х 3; в) х < 3; r) х 3.
741.a)2<x<4; 6) 3 х < 5; B)0 x 7; r) 5 < х 8.
7 -12. а) х 2; б) 5 < х < 2; в) х < о; r) 4 х < 8.
74а. а) 1 х 3; б) 6 < х 7; в) х 1; r) 6<x< 2.
744. Принадлежит ли промежутку ( 8, 4) число:
а) 6; б) 8; в) О; r) 41
745. Принадлежит ли промежутку (2, 6] число:
а) 4; б) 2; в) 6; r) 51
746. Принадлежит ли промежутку [3, 7) число;
а) 3; 6) 5; в) 7; r) 6,51
747. Принадлежит ли промежутку (3, +00) число:
а) 6; б) 125; в) 10365: r) 31
748. Принадлежит ли промежутку ( oo, 12) число:
а) 8; 6) 250; в) о; r) 121
749. Принадлежит ли промежутку [8, 12] число:
1 3
а) 15; 6)8з; в) 127"; r)251
750. Какие из чисел 4, 3,5, 1, О, 10, 9, 1, 3, 12 принадле-
жат промежутку:
а) (3, 5]; б) ( 8, О); в) ( 12, 9); r) (1, +00).
,I!. Какие из чисел О, 5, 7, 8, 2, 9, 12 принадлежат про
межутку:
а) [4, 7); б) [5, +00); в) [ 8, +00); r) (5,9 ]?
Придумайте три положительных и три отрицательных Heцe
лых числа, принадлежащих промежутку:
а) ( 6, 8); б) [ 10, 15] ; в) [ 3, 6]; r) ( 10, 4).
Существует ли целое число, которое принадлежит промежутку:
а) (О, 1); б) [3,5, 4); В) [2, 3); r) (7,5, 8]?
j4 Сколько целых чисел принадлежит промежутку:
а) [5, 7]; б) ( 3, 1); в) (О, 6]; r)[ 7, 2)?
;);). Сколько натуральных чисел принадлеЖит промежутку:
б) ( О, ):
Укажите наибольшее число, принадлежащее промежутку:
а) [ 15, 11]; б) [5, 7); в) [5, 7]; r) ( oo, 8,2].
а) [ 2, 1];
в) (О, 1);
r) [ 5, 4]?
Ука.жите наименьшее целое число, прШl8ДЛежащее промежутку:
а) [5, 7); б) (О, +00); в) (9,3, 12); r) [5,1, +00).
.")R. Принадлежит ли промежутку ( oo, 5) число 4,98? Укажите два
числа, большие 4,98, принадлежащие этому промежутку .
,,'}9. Определите, корректно:Ли предложенное задание. Если зада
ние корректно, то выполните ero:
а) что больше, а или Ь, если а наименьшее натуральное число,
принадлежащее лучу ( oo, 4], а Ь наименьшее целое число,
принадлежащее тому же лучу;
б) что больше, а или Ь, если а наименьшее натуральное число,
принадлежащее интервалу (1, 6,4), а Ь целое число, при
надлежащее интервалу (5,6)1
Интервал (а r, а + r), rде r положительное число,
называют окрестностью точки а, а число r радиусом OKpec
тности. Для данноrо интервала укажите, окрестностью Ka
кой точки он является и чему равен радиус окрестности.
7()0. а) (3, 7);
б)( 4, 4);
в) (2, 10);
r)( 7, 1).
( 13 15 )
r) 7' 7 .
i!;!. а) (2, 5);
б) (1,98, 2,02);
в) ( 11, 2);
89
\
762. Обоснуйте с помощью координатной прямой утверждение:
если а > Ь, то a < b. Рассмотрите следующие случаи:
а) а и Ь положительные числа;
б) а и Ь отрицательные числа;
в) а положительное число, Ь отрицательное число;
r) а:::; О, Ь отрицательное число.
763. Дана точкаА( 4). Найдите координаты точек, отстоящих от
данной на 7 единичных отрезков. Сколько таких точек имеет
ся на координатной прямой?
8764. Дана точка М(1,5). Найдите координаты точек L и N таких,
чтоМN =,2МL,еслиNL=' 10,5. Сколько решений имеет задача?
8765. Дана точка К( 1). Найдите координаты точек Р и М таких,
чтоРМ=8иКР=3КМ.
27. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ
766. Назовите абсциссу и ординату точки:
а) М(2; 4); в) Р(12; 4);
б) N( 3; 6); r) Q( 3: 0,5).
Не производя построения, ответьте на вопрос, в каком коорди
натном yr ле расположена точка:
767. а) М(2; 4), N( 3; 6), Р(12; 4), Q( 3; 0,5);
б) X( 14; 5), Y( 7; 38), К(l; О), L(O; 4);
в) A( 23; 6), В(13; 16), С(19; 25), D( 2; %}
( 5 1 ) ( 4 1 ) ( 17 41 ) ( 15 1 )
r) R 8; 7" ,S 11 ; 12 ,Е 21 ; 43 ,F 31 ; 16 .
768. Замените знак * каким либо числом так, чтобы:
а) точкаА(5; *) принадлежала первому координатному уrлу;
б) точка В(*; 3) принадлежала второму координатному уrлу;
в) точка С (*; 7) принадлежала третьему координатному yrлу;
r) точка D (12; *) принадлежала четвертому координатному
yrлу.
Не производя построения, ответьте на вопрос, в каком коорди
натном yrле расположена точка:
769. а) А(а; 10), если а > о; в) C( c; 5), если с > о;
б) В(17; Ь), если Ь < о; r) D( 8; d), если d < О.
[" а) Р(х; у), если х > о, у > о;
б) Q(x; у), если х> о, у < о;
в) Щх; у), если х < о, у > о;
r) S(x; у), если х < о, у < о.
;71. а) М(а; Ь), если а < о, Ь < о;
б) N( a; Ь), если а > о, Ь < о;
в) К(а; Ь), если а < о, Ь> о;
r) Ц a; Ь), если а > О, Ь > О.
772. Найдите координаты точек, изображенных на рис. 2:
а)А, В, С, D; в) Х, У, Е, Р;
б)М,N,Q,R; r)S,K,P,Z.
77: . Найдите координаты точек, изображенных на рис. 3:
а)А, S, К; б) D, N, В; в) Р, Q, с; r) R, М, L.
774. Найдите координаты точек, изображенных на рис. 4:
a)Al, , ,A.,,; в) C 1 ' С 2 ' СЗ' С 4 ;
б) Bl' В2' В з ' В 4 ; r) Dl' D 2 , Dз, D4'
775. Найдите координаты точек, изображенных на рис. 5:
а) N 1 , N 2 , N 3 . N 4 ; в) Kl' К 2 , Кз, К 4 ;
б) M 1 . М 2 . М3' М.,,; r) Ll' L 2 . L3. L4'
Постройте прямую, удовлетворяющую уравнению:
7"i(). а) х == 3; б) У = 3; в) у = 1; r) х = 8.
у
у с
м
lВ.
Р S
.Е 11
...
О Х
IK Е N
D
Q X Z
R
Рис. 2
у
с
N
S
р L R
О 1 А В х
n
w"
Q
Рис. 3
y
]
t:.:l tJ, .А 1
2
,..,2
I
I(.;я О 1 В ж
:h .А
;.. B,j
D4 ..
Рис. 4
777 а) х = 2;
778. а) х = 0,5;
б) у = 4;
б) у == 1,5;
у
1 N 'V я IV 4
"l.r .
1\111 '2 l' 3 "" 4
[.1
Т7 О 1 Т7 Т> ....
А] .fi.2 .п. 3 I" q
1 19 L L
....1
Рис. 5
B)y== 5;
в) у == 3,5;
r) х== 1.
r) х = 6,5.
779. Какая прямая удовлетворяет уравнению:
а) х = о; б) у == о?
780. Как расположены в координатной плоскости все точки, имею
щи е абсциссу, равную:
а) 5; б) 7; в) 9; r) 1?
781. Как расположены в координатной плоскости все точки, имею
щие ординату, равную:
a) 3; б) 8; B) 12; r)4?
На координатной плоскости хОу постройте точки:
782. а) А(5; 7); б) В( 2; 8); в) С(7; 1); r) D( 3; 5).
783. а) М(2; 8); б) L( 5; 3); в) 8(9; 3); r) Щ 1; 4).
784. а) Е(6; О);
б) Р(О; 1);
в) 0(0; О);
r) Р(О; 4).
785. Постройте прямую, проходящую через точки:
а) А(2: 7), В(3; 4); в) М(О; 2), N(8; О);
б)С( l; 5), D(6; 4); r)P( 3; 4), Q( 7; 1).
786. Постройте отрезок, зная координаты ero концов:
а) L( 4; 3), К(0,5; 2), в) Щ5; 3,5), 8(2; 3);
б) Е(2; 7), M( l; 6); r) Х(7; 1), Y( 4; 6).
92
0787. Постройте треуrольник по
координатам ero вершин:
а) А(3; 4), В( 5; 6), с(о; 8);
б) М(6; О), N(2; 7), K( 4; 5);
B)P( 7; 3), D( 3; 5), Е(5; 1);
r) L(8; 2), 8(3; 5), P( 4; 6).
) 788. Постройте прямоуrольник
EFGH по координатам ero вер-
шин:
а) Е(l; 2), P( 1; 2),
G( l; 2), Н(l; 2);
б) E( 2; 3), Р(2; 3), G(2; 3),
H( 2; 3);
в) E( 1; О), P( 1; 4), G(1; 4),
Н(l; О);
r) Е( 2; 1), P( 2; 1), G(2; 1),
Н(2; 1).
YJ
I \
1 \
,
О 1 х
I 1\
11 \
Рис. 6
0789. Воспользовавшись рис. 6, найдите:
а) координаты вершинизображеШlоroчетырехyroлъника;
б) координаты точек, в которых стороны четырехyrольника
пересекают оси координат;
в) координаты вершин четырехуrольника, расположенноro
выше нарисованноrо на 4 единицы;
r) координаты вершин четырехуrольника, расположенноro
левее нарисованноro на 3 единицы.
0790. Даны три вершины А(l; 1), В(l; 3), с(з; 1) квадрата AВCD.
Найдите координаты точки D, постройте этот квадрат и еще
три квадрата, один из которых расположен ниже данноro на
пять единиц, второй на две единицы правее данноro, третий
на три единицы ниже и пять единиц левее данноro. Назовите
координаты вершин TpeTbero квадрата.
791. Что на координатной плоскости хОу является rpафиком урав-
нения:
а)х 2 =4; б)у2=4; B)x2 5x==0; r)y2+2y=0?
792. Запишите координаты точек, с помощью которых можно по-
строить цифры, изображенные на рис. 7:
а) цифра 1; б) цифра 3; в) цифра 5; r) цифра 8.
у у. У У
J / 1" / "
I
I
.L 0/ 1/ , " , 1 /,
n 1'0. i'I. .х / (] 1 " х
О х
1
& "- 1/ " / " /
О х
Рис. 7
79:3. Постройте на координатной плоскости точкиА(3; 4), в(о; 5),
C( 3; 4), D( 3; 4), Е(О; 5), Р(3; 4). Соедините эти точки
последовательно отрезками так, чтобы получился мноroУI'оль
ник. Запишите координаты точек, в которых стороны MHOI'O
yrольника пересекают ось х.
794. Найдите координаты вершин С и D KвaдpaTaAВCD, если изве-
стны координаты вершинА(3; 1) и в(з; 4). Сколько решений
имеет задача?
795. Известны координаты двух противоположных вершин KBaд
рата AВCD: А(2; 2) и C( 2; 2). Найдите координаты двух
дрyrих вершин. Сколько решений имеет задача?
796. Длина стороны KвaдpaTaAВCD равна 6, а координаты верши
ны А равны ( 2; 3). Найдите координаты остальных вершин,
зная, что сторона АВ квадрата параллельна оси ординат и что .
начало координат лежит внутри квадрата. .<
797. Квадрат со стороной 8 расположен так, что центр ero находит
ся в начале координат, а стороны параллельны осям коорди-
нат. Определите координаты вершин квадрата.
На координатной плоскости постройте точки по заданным ко-
ординатам и последовательно соедините их отрезками. Какая
фиrура при этом получится?
-798. а) 1( 1; 5), 2( 3; 5), З( 3; 9), 4( 2; 10),5(3; 10),6(3: 4),7(0; 1),
8(3; 1), 9(3; 1), 10( 3; 1), 11( 3; 1), 12(1; 5),13(1; 8),
14( 1; 8);
б) 1(0; 7), 2( 1; О), 3(0; О), 4(0; 2), 5(2; 2), 6(2; О), 7(3; О),
8(3; 2), 9(2: 2),10(2: 4),11(0: 4),12(0: 2), 13( 3; 2),
14( 3: О), 15( 2; 7).
_799. а) 1(4; 2), 2(4; 4),3(3; 5), 4( 1; 5), 5( 2; 4), 6( 2; 5), 7( 1; 6),
8(3; 6), 9(4: 5), 10(4: 1), 11(3: О), 12(0; О), 13(0; 3),
14(2; 3), 15(2; 2), 16(2; 2), 17(2; 4), 18(0; 4), 19(0; 2):
б) 1( 1; 3), 2( 3, 3), 3( 3; 5), 4( 2: 6), 5(2: 6), 6(3: 5), 7(3: 2),
8( 1: 5), 9( 3: 5), 10(1: 2), 11(1: 4), 12( 1: 4).
-800. а) 1(8; 2),2(11; 2), 3(8; 9),4(4: 10), 5(2; 9), 6( 1: 13), 7( 8: 10),
8( 9; 9), 9( 8; 7), 10( 12; 7), 11( 1l: 10), 12( 15: 12),
13( 19; 11), 14( 15; 9), 15( 14; 3), 16( 7: 5), 17( 5; 3),
18( 6; 6), 19( 2; 6), 20( 3; 4),....21( 3; 3), 22(4: 3),
23(5; 3), 24(3; 5), 25(3; 6), 26(7; 6), 27(6: 5), 28(8: 7);
б) 1(0; 7), 2(3; 2), 3(6; 2); 4(7; 5),5(7; 10),6(6; 16), 7(9; 16),
8(5; 18), 9(2; 11), 10(1: 13), 11( 9, 11), 12( 10, 11),
13( 9, 7), 14( 8; 7), 15( 9; 5), 16( 4; 1), 17( 2; 2),18( 2; 10),
19(4; 10).
8801. а) 1( 3; 5), 2( 3; 3), 3( 1; 3,5), 4( 2,5; 2), 5( 8,5; 2), 6( 1; О),
7(0; О), 8( 3; 4), 9( 1; 6,5), 10( 2,5; 7), 11(0; 7),
12( 1: 3), 13(1; 2,5), 14(3; 2,5), 15(3; 3), 16(7: 3),
17(8; 5), 18(8; 3), 19(4; 1), 20(0; 2), 21(0; 3),22(4; 3,5),
23(0; 4,5), 24( 1; 3,5);
б) 1(5; 5,5),2(2,5; 8,5), 3(1; 8), 4(0,5; 5), 5(1,5: 3,5),6(0,5; 4),
7( 2; 3,5), 8( 4,5; 1), 9( 5; 0,5), 10( 5,5; 5), 11( 3,5; 1,5),
12( 4; 3,5), 13( 2,5, 2), 14( 2: 3,5), 15( 2,5; 3,5),
16( o,5; 8,5), 17( 1; 10), 18(1,5; 10), 19( 0,5; 8,5),
20( 0,5; 0,5), 21(3; 2,5), 22(2: 5,5), 23(2,5; 6,5).
8802. Постройте на координатной хОу плоскости rрафик уравнения:
а) ху + 2 2у х о; в) ух2 + 9у = о;
б) ху2= 4х; r) 4 + ху + 2(х + у)= о.
9 28. ли!-! ;'tiОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ И ErO rРАФИ!{
803. Я1iляетс.я ли линейным MJVlRR OO уравнение с двумя Переменв:ыми:
а) 5х + 3у +7 = о: в) 12с 17d 3 = О:
б) 6а 4Ь 1 = О: r) 45t + 48 + 19 = 01
95
804. Объясните, почему следующие уравнения ие являются лив:ей-
ными уравнеииями с двумя перемеииыми,Z
а) 2х 3 = 8: в) 3х 2 + 5у 1 = о:
б)4+5у 12: r)8x 7y2+2=0.
805. Является ли решеиием уравнения 5х + 2у 12 = О пара чисел:
а) (3; 2); б) (1; 3,5): в) (12: 5); r) (4: 4)1
806. Является ли решением уравнения 7 а 5Ь 3 О пара чисел:
а) (1; }
б) (2; 8);
в) (15: 1):
r) (8: 10,6)1
807. а) Какая из пар чисел (6; 2), (О: 20), (4; 8), (6; 5) является
решеиием уравнения 3х + у = 20?
б) Какая из пар чисел (2; О), (1; 1), (2,5; 2,5), (7; 8) является
решением уравнения 5х у = 101
808. Какие из пар чисел, указанных в таблице,
а 8 18 2 О 9 5 3 44
Ь 12 4 1 2 1 20 1 26
5
являются решеииями уравнения:
а) а + 5Ь + 2 = О: в) 7а Ь 15 = О:
б) 2а + Ь 4 = о; r) а 9Ь 18 = 01
809. Даны лииейиые уравиеиия с двумя перемеииыми:
а) х + у 10 = о; в) х у 8 = О:
б) х у з = о; r) х + у 12 = О.
Составьте их словесные модели. Что представляют собой их
reометрические модели на координатиой плоскости хОу?
810. Не выполняя построеиия, ответьте на вопрос, какие из точек
М(5: 7), N(O: 3,5), К(7: О), L(2; 3) принадлежат rрафику ypaB
нения х + 2у 7 О.
811. Является ли пара (2 ; 5*) решением уравиеиия х + у 8 == О?
Укажите еще три решения этоrо уравнения.
8 t 2. Составьте какое нибу дь линейиое уравнеиие с двумя перемеи-
ными, решением KOToporo служит пара чисел:
а (2; 3); б) ( 6; 5); в) (6; 5); r) ( 7; О).
Для каждоrо из да:виых линейиых уравнеиий иайдите зиаче-
ние у, соответствующее заданному значеиию х:
13. а) 3х + 2у 6 = О, если х = о;
б) 5х 7у 14 = О, если х == о;
в) 15х 25у 75 = О, если х == о;
r) 81х 15у 225 = О, если х = о.
;)HJ4. а)8х + 6у 11 =0, если х== 1;
б) llx + 13у 16 = о, если х = 5;
в) 19х lly 24 = О, если х = 3;
r) 3х + 2у + 30 = О, если х = 8.
,")815 а) 6х + 2у 1 = о, если х = 0,1;
1
б) 7 х у 4 = О, если х = 2 ;
7
в) 3х + 5у 10 = о, если х = 0,5;
2
r) 9х 2у 3 = О, если х = 8"9
Для К8ЖДоrо из да:в:вых линейных уравиеиий иайдите зиаче
Ние х, соответствующее заданному зиачению у:
816. а) 6х + 12у 42 = О, если у = о;
б) 17 х 5у + 85 = О, если у = о;
в) 8х 35у = 96, если у = о;
r) 16х + 54у = 64, если у = О.
0817. а) 4х + 7у 12 = О, если у = 4;
б) 23х 9у + 5 == О, если у = 2;
в) 5х 3у 11 == О, если у = 3;
r) 2х + 4у + 9 == О, если у = 1.
1
0818. а) 6х + 3у 2 = О, если у = 3"3 ;
б) 3,5х 5у 1 = о, если у = 0,5;
в) 4х 2у + 11 = О, если у= 1,5;
2
r) 8х + 5у 3 == О, если у == 4"5
4. Заи. 2855 Мордкович. 7 кл. Задачнии.
97
0819. а) На прямой, .являющейс.яrpaфикомуравнения7х 3y 12=0,
взята точка, абсцисса которой равна 3. Найдите ординату
этой точки.
б) Известно, что ордината некоторой точки прямой, явля-
ющейся rрафиком уравнения llх + 21у 31 О, равна 2.
Найдите абсциссу этой точки.
На координатной плоскости хОу постройте rpафик уравнения:
0820. а) х + у 4 = о; в) х + 2у 3=0;
б) 2х у + 5 = о; r) x у + 6 == о.
0821. а) 5х + 3у 15 == о;
б) 7 х 4у + 28 = о;
в) 6х + 3у + 18 о;
r) 8х 3у 24 == о.
0822. На координатной плоскости t08 постройте rpафик уравнения:
а) 7t + 98 + 63 = о; в) 5t 28 = 10;
б) 3t 48 == 12; r) 4t + 98 + 36 == О.
0823. а) Докажите, что прямые 5х+ 11у=8и 10х 7у== 74 пересека
ютс.я в точкеА(6; 2).
б) Докажите, что прямые 12х 7у = 2 и 4х 5у 6 пересекают
ся в точке В( 1; 2).
0824. Найдите точку пересеч ения прямых:
а) x y== l и 2х +у=4;
б) 4х + 3у = 6 и 2х + у = 4.
Дано ли:вeй1l0еурав:вение сдвумя перемеJIНЫМИ. Используя ero,
выразите каждую из переменных через дрyryю:
825. а) 3а + 8Ь = 24; в) 12т 3п = 48;
б)6с+5d=30; r)7x 8y=56.
826. а) 3t 2z + 6 = о;
б) 78 + 9t 63 = о;
в) llи + 2и + 22 = о;
r) 25r 4ш 100 = о.
827. Среди решений уравнения х + 3у 20 = О найдите такую пару,
которая состоит:
а) из двух одинаковых чисел;
б) из двух таких чисел, одно из которых в 2 раза больше дpyroro.
628. Найдите значение коэффициента а в уравнении ах + 5у 40:::; О,
если известно, что решением уравнения является пара чисел:
а) (3; 2);
б) (9; 1);
в) ( ; о}
r) ( 2; 2,4).
:<.:Н Найдите значение коэффициента Ь в уравнении 6х + Ьу 35 = О,
если известно, что решением уравнения является пара чисел:
B)( ; 11);
а) (О; 1);
б) (3; 8,5);
r) ( 5; 13).
8:30. Найдите значение коэффициента с в уравнении 8х + 3 у с = О,
если известно, что решением уравнения является пара чисел:
в) (0,125; ю;
б) ( 3 ; 4Ю ; r) (о; О).
'"
831. При каком значении m решением уравнения тх + 4у 12т О
является пара чисел:
а) (2; 1);
а) (О; 3);
б) ( 2; ) ;
в) (12; О);
r) ( 1; 3 ) .
Решите задачу, испоJIЪЗОвав для составления матемаТW:Jеской
модели две переменные и построив затем rpафики соответству-
ющих линейвые уравнений:
832. Сумма двух чисел равна 5, а разность равна 1. Найдите эти
числа.
833. Сумма двух чисел равна 7. Если одно число увеличить в 2 раза,
а дpyroe оставить без изменения, то в сумме эти числа дадут 8.
Найдите исходные числа.
834. Разность двух чисел равна 1. Если первое число оставить без
изменения, а второе увеличить в 3 раза, то в сумме эти числа
дадут 9. Найдите исходные Числа.
835. Разность двух чисел равна 3. Найдите эти числа, если извест-
но, что уменьшаемое больше вычитаемоrо в 4 раза.
836. В шахматном турнире участвовало 10 учеников. Мальчиков
было в 1,5 раза больше, чем девочек. Сколько мальчиков и
сколько девочек участвовало в турнире?
4':'
99
837. Брат старше сестры иа 2 rода. Вместе им 14 лет. Сколько лет
каждому?
838. На ветке сидело 9 птиц. Среди иих воробьев было в 2 раза боль.
ше, чем синиц. Сколько воробьев и сколько синиц сидело иа
ветке?
Решите задачу, используя три этапа математическоrо модели
рова:ви.я:
839. В седьмых классах девочек в 1,3 раза больше, чем мальчиков.
Сколько Bcero учеииков в седьмых классах, если девочек иа 12
больше, чем мальчиков?
840. В математическом кружке на 7 человек больше, чем в истори-
ческом. Сколько учащихся в каждом кружке, если Bcero в обо'
их кружках заиимается35человек?
841. Первое число составляет 25% BToporo. Найдите эти числа, если
в сумме оии составляют 52,5.
842. Первое число составляет 87% BToporo. Найдите эти числа, если
второе число больше первоrо иа 3,9.
843. Первое число составляет 124% BToporo. Найдите эти числа,
еслиихсуммаравиа 112.
8844. При каком зиачении р задаиная пара чисел является решеии.
ем уравиеиияр2х + ру + 8 = о:
а) (1; 6); б) ( 1; 2)?
Постройте rрафик уравиеиия:
8845. а) х 2 у2 = о; в) у2 = 9х 2 ;
б) х 2 = 4у2; r) 16x2 25у2= о.
8846. а) x2 6ху+ 8у2= о; в) х 2 + xy 2у2= о:
б) 2х2+ 5ху + 2у2= о; r) 3x2 10ху +.3y2 о.
29. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ rp АФИК
Устаиовите, задает ли уравиеиие линейиую функцию
у = kx + т. и если да, то чему равиы коэффициеиты k и т:
847.a)y 2x+3; B)y=19x 15;
б)у х 6; r)y= x+11.
848.a)y 0,7x+9,1; B)y= 0,7x+9,1;
б) у = 5, 7x 3,5; r) у = 1,4x 2,5.
100
4 1
Н.Ш. а) У == 5" + эх;
1 8
б)У= 2 9Х:
15х 7
н:>О. а) У 2 ;
б) 8х + 3
y ;
5 3х
851. а) У ;
б) 6 + х
y= ;
3
3 15
B)Y= 4+ 17 Х;
1
r)Y=7 x,
) 19х 11
в у== ;
5
r) у = 9х + 7 .
5
) 12 + 7 х
в y ;
5
) 16 4х
r у= .
8
Преобразуйте лииейиое уравиеиие с двумя перемеииыми Х и у
к виду лииейиой функции у = kx + т и выясиите, чему равиы
коэффициеиты k и т:
852. а) 8х + 3у = 24; в) 3Х + 4у == 12;
б) 5х 2у = 10; r) 7х 5у = 35.
853. а) 12х + у = 17; в) у + 36х = 40;
б)у+19х=5; r)15x+y=53.
854. а) х у 9; в) у Х = 15;
б)у 7х 11; r)35x y=8.
855. а) 5х + 6у == о; в) 15х 12у = о:
б)7х 9у=11; r)2x+3y=57.
856. Найдите зиачеиие линейной функции при даииом зиачеиии
apryмe:втa:
а) у = 5х + 6 при х == 1;
б) у = 7 х 8 при х = о;
в) у = 12х + 1 при х =: 3;
r)у==9х 7прих=2.
857, Найдите зиачение лииейиой функции у == 2х + 1, если зиачеиие
ее арryмеита равио:
а) 3; б) 4,5; в) 2; r) 3,8.
858. Найдите значеиие лииейиой функции у = О, 5х 4, если зиаче-
иие ее арrумеита равио:
а) 6; б) 3,2; в) 7; 1') 8,9.
859. Найдите зиачение аРl'умеита, при котором лииейиая функция
у = 5х 3,5 прииимает зиачеиие:
а) 13,5; б) о; в) 3,5; 1') 6,5.
101
0860. Найдите зиачеиие арrумеита, при котором лииеЙllая функция
у = 4,3х + 2,8 принимает значение:
а) 24,3; б) 13,55; в) 4,52; r) 1,07.
() 1. Заполиите таблицу и постройте rрафик лииейиой функции:
а)у=5х+6. ; в)у=2х+6, : I о 1 2 ;
б)у=2Х l, ; r)Y=3X 4, .
Постройте rрафик ли:вейной функции в соответствующей сис-
теме координат:
862. а) у = х + 2;
б) у х 3:
863. а) у 4х 6;
б) у 5х + 7;
864. а) у = x + 2;
б)у х 3;
865. а) у = 3x + 2;
б) у = 4x + 1;
0866. а) у = 0,4х + 2;
б) у = 3.5х 1;
@67lJa) у = 2,5x 3;
. б ) У o 5х + l'
') ' ,
0868. а) s = 1,5t + 0,5;
б) s = 3,5t + 4,5:
2
0869. а) 8 =з t 1;
1
б) 8 = "2t + 1;
1 1
0870. а) и =4 z + 4;
1 1
б) у = з Х 3;
в) у,:::; х + 5;
r)y=x l.
в) у = 3х 3;
r) у = 2х + 1.
в)у= x + 1;
r)y= x 8.
в) у = 7x + 3;
r) у = 5x + 2.
в) у = О,2х 4:
r) у = 2,5х + 5.
в)у= l,5x+8;
r) у = 3,5x 2.
в) s = 4,5t 2,5;
r) s = 2,5t 3,5.
1
в) s = "2t 2;
2
r)s= зt+1.
5 1
в)Ь= a+ ;
3 3
3 2
r) s = 10 t + 5'
0871. Найдите точку пересечения rpафиков ли:вейиых функций:
а) у = х + 4 и у = 2х; в) у = 2x + 3 и у = 2х 5;
б) у x и у = 3х 4: r) у = 3х + 2 и у,:::; O,5x 5.
102
0872. Постройте rрафик лииейиой функции у == х + 4. Найдите:
а) коорди:ваты точек пересечения rpафика с осями координат;
б) зиачеиие у, соответствующее зиачению apryмe:втa. равиому
2; 1; о; 1;
в) зиачеиие apryмe:втa. соответствующее значению у, равиому
4; 1; 2; 7;
r) выясиите, возрастает или убывает заданная линейная
функция.
,A 73. Постройте rрафик лииейиой функции у = 4x + 8. Найдите:
а) координаты точек пересечеиия rpафика с осями коорди:ват;
б) зиачеиие у, соответствующее значению арryмеита, равиому
о; 1; 2: 3;
в) значение apryм:eнтa, соответствующее зшче:вию у. равиому
0;4;8;
r) выясиите, возрастает или убывает задаиная лииейная
функция.
0874. Постройте rрафик лииейной функции у = 2х 1. Найдите:
а) коорди:ваты точек пересечения rpафика с осями коорди:ват;
б) зиачение у, соответствующее значению apryмe:втa, равному
3: 1; 2; 0,5;
в) значеиие apryмeHTa, соответствующее зиачению у, равному
5; 1; 7;
r) выясиите, возрастает или убывает заданная линейная
функция.
0875. Постройте rрафик лииейной функции у== O,5x + 2. Найдите:
а) координаты точек пересечения rрафика с осями координат;
б) значение у, соответствующее зиачеиию арryмеита. равному
2; 4; 6;
в) зиачеиие apryм:e:втa, соответствующее значению у, равному
1;0; 2;
r) выясиите, возрастает или убывает заданная линейная
функция.
v 0876. Постройте rрафик лииейиой функции у = 3x + 6.
а) Выделите ту ero часть, которая лежит выше оси абсцисс.
Какие значения apryмe:втa соответствуют выделе:вной час
ти rрафика? Укажите иекоторые из иих. Какие по зиаку
зиачеиия ординаты у соответствуют выделенной части
rpафика?
б) С ПОМОЩЬю построенноrо rрафика решите уравиеиие
3x + 6 == О.
103
в) С помощью построеииоrо rрафика решите иеравенство
3x + 6 > о.
r) С помощью построеииоrо rрафика решите иеравеиство
3x + 6 < о.
0877. Постройте rрафик лииейиой фуикции у = 2х 6.
а) Выделите ту ero часть, которая лежит ииже оси абсцисс.
Какие зиачеиия арryмеита соответствуют выделе:нной части
rрафика? Укажите иекоторые из иих. Какие по зиаку зиаче
иия ордииаты у соответствуют выделе:нной части rрафика?
б) С помощьюпостроеиноro rpaфика реlШlтеуравнение 2х 6 =0.
в) С помощью построеииоrо rрафика решите иеравенство
2х 6 > о.
r) С помощью построеииоrо rрафика решите иеравеиство
2х 6 < о.
0878. Постройте rрафик лииейиой фуикции у = 3х 6 и с ero помо
Щью решите иеравеиство:
а) 3х 6 > о; в) 3х 6 < о;
б) 3х 6"; о; r) 3х 6'# о.
0879. Постройте rрафик лииейиой фуикции у = 4х + 4 и с ero помо-
щью решите иеравеиство:
а) 4х + 4> о; в) 4х + 4 < о;
б) 4х + 4 ..; о; r) 4х + 4 ;;. о.
0880. Постройте rрафик лииейиой фуикции у = x 2 и с ero помо-
щью решите иеравенство:
а) x 2 > о; в) x 2 < о;
б) x 2"; о; r) x 2'# о.
0881. Постройте rрафик лииейиой фуикции у = 2x + 4 и с ero помо
щью решите иеравеиство:
а) 2x + 4 > о; в) 2x + 4 < о;
б) 2x + 4"; о; r) 2x + 4;;' о.
Постройте rрафик лииейиой функции у = 2х + 3 и выделите ero
часть, соответствующую заданному промежутку оси х:
882. а) [о, 1]; б) [ 2, 2]; в) [1,3]; r) [ 1, 1].
883. а) ( oo, 1); б) ( 2, +00); в) ( oo, 2); r) (о, +00).
884. а) ( oo, 1]; б) [ 2, +00]; в) ( OO, 2]; r) [о, +00).
5. а) ( 2, о); б) ( 2, 1); в) ( 1, 1); r) ( 1. 3).
104
Постройте rрафик ли:вейной функции у = 3x + 1 и выделите
ero часть, соответствующую зада:вному промежутку оси х:
Я6. а) [1, 2); б) ( 2, 1]; в) [О, 1); r) ( 1, О].
,.,87 а) ( oo, О]; б) (2, +(0); в) ( oo, О); r) [1, +(0).
888. а) [0,2]; б) (1,3); в) [ 1, 1); r) ( 2, 1].
Найдите иаимеиьшее и иаибольшее значения линейной Функ
ции на заданном промежутке:
r \ 89.a)y=x+3, [ 2, 1]; в)у=х+3, [ 3, 1];
б)у= х+5, [ 1,4]; r)y= x+5, [2,5].
.H90.a)y=4x l, [ 1,2]; B)y=3x 2, [ 1,1];
б)у= 2х+5, [0,4]; r)y 5x+7, [0,2].
0891. Постройте rрафик линейной функции у = 3х 9 и с ero помо
щью найдите:
а) координаты точек пересечеиия rрафика с осями координат;
б) все зиачеиия aprYMeIOa, при которых выполняется Hepa
веиство у < о;
в) какой нибудь отрезок оси х, иа котором выполняется Hepa
веиство у > О;
r) наименьшее и иаибольшее зиачеиия лииейиой функции на
отрезке [1,2].
В92. Постройте rрафик линейной функции у = 2x + 6 и с ero помо
щью иайдите:
а) коорди:ваты точек Пересечеиия rрафика с осями координат;
б) какой-иибудь отрезок оси х, иа котором выполняется нера-
веиство у < о;
в) все значеиия арryмеита, при которых выполняется Hepa
венство у > о;
r) наимеиьшее и иаибольшее значения линейной функции на
отрезке [ 1, 4].
А\93. Постройте rpафик линейной функции у = х + 5 и с ero помощью
иайдите:
а) координаты точек пересечения rрафика с осями координат;
б) все зиачеиия apryмeIOa, при которых выполняется Hepa
венство у < о;
в) какой-иибудь отрезок оси х, иа котором выполняется нера-
веиство у > о;
r) наимеиьшее и наибольшее значеиия лииейиой функции иа
отрезке[ 4,l].
105
0894. Постройте rрафик линейиой функции у = 3x + 6 и с ero помо-
щью найдите:
а) координаты точек пересечения rрафика с осями координат;
б) какой-нибудь отрезок оси х, иа котором выполняется нера-
венство у < о;
в) все значения арryмеита, при' которых выпол:в.яется нера-
венство у> о;
r) иаимеиьшее и иаибольшее значеиия лииейной функции на
отрезке [ 1, 2].
895. Найдите коорди:ваты точек пересече:ния с осями координат rpa-
фи ка лииейной функции:
а) у = 7,5х + 45: в) у = 3,4х 27,2;
б) у = 2,6х 7,8: r) у = 18,lх + 36,2.
896. Выясните, проходит ли rрафик лииейной функции у = 3.2х 5
через точку:
а) А(3; 4,6);
б) В(1,2: о);
в) С(7,5; 4);
r) D(2,2; 2,04).
Найдите наименьшее и наибольшее значения лииейной функ-
ции ка заданном промежутке:
897. а) у = 0,5х + 3, (2,3);
б) у = 0,5x + 1, [ 2, +(0);
в) у = 2,5х 4, [1, 2]:
r) у = 2,5х 4, ( oo, о].
1
898. а) у =4 х + 2, [ 4, 4];
1
б) у =4 х + 2, [О, +(0);
1
в)у= зх l. ( 00,6];
1
r) у = х 1, ( 3, 3).
3
899. а) Найдите точку rрафика линейной функции у = 3х 12, абс-
цисса которой равна ординате.
б) Найдите точку rрафика лииейной функции у = 5х + 4, абс-
цисса которой равка ординате.
900. а) Найдите точку rрафика линейной функции у = 2х + 9, абс-
цисса и ордината которой противоположиые числа.
б) Найдите точку rрафика лииейиой фуикции у = 3х + 8,
абсцисса и ордината которой противоположные числа.
901. а) Найдите точку rрафика линейной функции у = х + 15, абс.
цисса которой в 2 раза меньше ординаты.
б) Найдите точку rpафика линейной функции у = 2х 35, абс-
цисса которой в 3 раза больше ординаты.
902. Найдите зиачеиие т, если известио, что rрафик линейиой
функции у = 5x + т проходит через точку:
а) N(l; 2); б) К(0,5; 4); в) N( 7; 8); r) Р(1,2; 3).
106
,Ю:j. Найдитезначениеk, если известно, ЧТОl'рафиклинейнойфувк
ции у == kx + 4 проходит через точку:
а) С(3; 5);
б)D( ; 1}
в) E( 6; 8);
I')F( ; 8}
904. Пусть А наибольшее значение линейной функции у == 2х 3
на отрезке [0,2], а В наибольшее значение линейной Функ
ции У:::; О,5х 4 на том же отрезке. Что больше: А или В? Cдe
лайте rpафическую иллюстрацию.
'105. Пусть С наименьшее значение линейной функции у:::; Х 4 на
луче [О, +00), а D наименьшее значение линейной функции
у:::; 4 хналуче( оо, 1]. Что больше: СилиD1 Сделайтеl'рафи
ческую иллюстрацию.
906. Определите знаки коэффициентов k и т если известно, что rpa
фик линейной функции у == kx + т проходит:
а) через первый, второй и третий координатные yrлы плоско
сти хОу;
б) через первый, второй и четвертый координат:вые yrлы плос
кости хОу;
в) через первый, третий и четвертый координатные Уl'лы
плоскости хОу;
1') через второй, третий и четвертый координатные yrлы плос
кости хОу.
907. как расположен в координатной плоскости хОу I'рафик линей
ной функции у:::; kx + т, если известно, что:
а) k > О, т;;; о; б) k < О, т:::; 01
8908. При каких значенияхр I'рафик линейной функции у:::; р2 2рх
проходит через заданную точку:
а) (1; 3); б) (о; 9); в) (О; 4); r) ( 2; 5)1
30. ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
И ЕЕ rРАФИК
Установите, задает ли прямую пропорциональность ypaB
нение:
909. а) у :::; 8х;
б) у:::; 12x;
в) у:::; х;
1') у:::; x.
х
910. а) у:::; 5;
5
б) у :::; ;
х
в)у==7х 2 ;
l')у;;;х+3.
107
Определите коэффициеит прямой пропорциоиальиости:
911.а)у:::;х; б)у:::; 8х; в) у:::; 15х; r)y== x.
912. а) у:::; О,lх;
б) у:::; 7,5x;
в) у :::; 6,06x: r) у:::; 5,4х.
5х
913. а) у :::; 14 ;
1
б) у == x;
3
х х
в) y== 17 ; r) у== 21 .
914. Заполиите таблицу и постройте rрафик прямой пропорцио
иальиости:
а) у:::; 5х, . B)y:::; 2x, .
у , у ,
б) у == 4x, . r) у ==6х. .
у ,
Постройте rрафик прямой пропорциоиальиости:
915. а) у:::; 2х; б) у:::; 3x; в) у:::; 6x; r) у:::; х.
916. а) s = 0,5t;
б) s = 1,и;
3
в) s :::; t;
7
t
r) s :::; .
2
917. Зависимость между перемеииыми у и х выражеиа формулой
у:::; kx. Определите k и выясиите, возрастает или убывает ли
иейиая фуикция у:::; kx. если:
а) у:::; 12 при х:::; 3; в) у :::; 45 при х :::; 9;
б) у:::; 25 при х:::; 5; r) y:::; 99 прих:::; ll.
918. Постройте rрафик прямой пропорциоиалЬИости у == kx, если
известио, что ему прииадлежит точка:
а) М(2; 8); в) М(3; 18);
б) M( 16; 32); r) М(6; 9).
919. Прямая АВ проходит через иачало коордииат и точку В(l; 4).
Является ли эта прямая rрафиком прямой пропорциоиаль
иости:
а)у:::;2х; б)у:::; 2х; в)у:::;4х; r)y:::; 4x?
0920. Задайте прямую пропорциоиальиость формулой s == kt, если
известно, что ее rрафик ка коордииатной ПЛОСКОСТи tOs прохо
дит через точку:
а) А(5; 7); б) В(2; 8); в) С(3; 9); r) D( 4; 12).
921. Какие из точекА(О; О), В(2; 4). С(5; 3), D( 4; 8) ПРИИ8Длежат
rрафику прямой пропорциоиальиости у:::; 2x?
108
922. Постройте rрафик прямой пропорциональности и укажите,
внутри каких координат:вых yr лов он расположен;
а) у = 4,5х;
1
б)у= X;
4
в) у:::; 2,5x;
1
r)y:::; x.
6
с923. Постройте rрафик прямой пропорциональности у= О,4х. Най
дите по rрафику:
а) значение у, соответствующее значению apryмeDa, равному
о; 5; 10; 5;
б) значение apryмeDa, соответствующее значению у, равному
о; 2; 4; 2;
в) решения неравенства О,4х > о;
r) решения неравенства О,4х < О.
::,92.1. Постройте rpафик прямой пропорциональности У:::; 2 ,5х. Най
дите по rрафику;
а) значение у, соответствующее значению aprYMeHTa, равному
о; 2; 2;
б) значение aprYMeDa, соответствующее значению у, равному
о; 5; 5;
в) решения неравенстВа 2 ,5х о;
r) решения неравенства 2 ,5х <; О.
Найдите наиме:вьmее и :ваибольmее значения линейной функции:
0925. а) у == 3х на ОТрезке [О, 1];
б) у = 3х на луче [1, +00);
в) у:::; 3х на луче ( , I];
r)у=3хнаотрезке[ I.I].
0926. а) у == 2x на полуинтервале [ 2, 2);
б) у:::; 2x на луче [О, +00);
в) у:::; 2x на луче ( oo, 1];
r) у = 2x на полуинтервале( I, О].
0927. Напишите уравнение прямой пропорциональности, rрафик
которой изображен:
а) на рис. 8; в) на рис. 10;
б) на рис. 9; r) на рис. Н.
928. Определите знак yrловоrо коэффицие:вта линейной фу:вкции,
rpафик которой изображен:
а) на рис. 12; в) на рис. 14;
б) на рис. 13; r) на рис. 15.
109
lu
,/
J
In I
I
1.1 I
I
1/
I
I
I
Рис. 8
1/
1
i.-- ..-
....
.... "... """'" О х
.-
Рис. 10
у /,
"
I
J,
/ о х
/
,
Рис. 12
110
,1
'\
"-
1,
1"\ ,
"
о '1 :r.
,
r\..
,
Рис. 9
и
'\
1\
O х
\
,
Рис. 11
,и
/
1 ./
.L' '"
О -'" х
"
Рис. 13
\у
,
,
1 r\
.L ,
О \. х
1\
\
\
Рис. 14
у
.... ..... .
..... ...... .L
(]' .....1 x
......
....... .....
Рис. 15
0929. Определите знаки коэффициентов k и т, если известно, что
rрафик линейной функции у = kx + т изображен:
а) на рис. 12; в) на рис. 14;
б) на рис. 13; r) на рис. 15.
Найдите наименьшее и наибольшее значения линейной функ
ции на зада:вном промежутке:
930. а) у = О,4х, [О, 5]; в) у = 0,4х, ( , О];
б) у = О,4х, [ 5, +00); r) у = 0,4х, ( 5, 5).
3
931. а) у = 4 х, [ 4, 4];
3
б) у = 4 х, (О, +00);
3
B)Y= X, [ 4, +00);
4
3
r)Y:::; 4x, (0,4].
932. На рис. 16 изображены rpафики линейных функций у:::; 3х,
у:::; 3x, у = х + 3. Укажите, ка-
кая формула соответствует
тому или иному rрафику.
933. Выясните, корректно ли зада
ние: найти точку пересечения
указа:вных Пpslмых; если зада
ние корректно, то выполните
ero:
а) у = 2х, у:::; 2х 3;
б) у = 3х, у = 2х 1;
B)y:::;5 x,y:::; x;
r)y=4,y:::;x+3.
х
Рис. 16
111
Составьте уравнение прямой У kx + т, цзображенной на
заданном рисунке:
934. а) рис. 17; б) рис. 18;
935. а) рис. 21; б) рис. 22;
у
1/
1/
l/
'/
l/
l/
L о r
/
/
Рис. 17
у
l'
[\..
[\..
s;
:\.
'\.
О "\ х
[\..
"
"'
Рис. 19
у
/ .....
101 J ,,,r
/ r
/ -'
./ .....l-t 'о х
..
Рис. 21
112
в) рис. 19;
r) рис. 20.
r) рис. 24.
в) рис. 23;
у .,
J
1... I
1'"' j
1/
j
oV 2 х
j f.L
"
I
I
Рис. 18
у
I
........r--,.
L:t........ о .
....... х
........ ....... In
........ t--....
........
Рис. 20
, у
\
1\
\
1\ о ...
х
- \
\
,
1\ .
"
Рис. 22
у
/
О " х
1/
7
1......
Р "I:
Рис. 23
у
1\.
,
:\
с; \
О ,,\ х
1\
,
Рис. 24
31. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
rРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Не выполияя построеиия, устаиовите взаимиое расположеиие
rрафиков лив:ейиых функций:
936.а) у :::; 2х и у = 2х 4;
б) у == х + 3 и у 2х 1;
1
937.а) у = 0,5х + 8 и У=;"2 х + 8;
3
б) у:::; Х 2 и у == 7 х 4;
10
14
938.а) у :::; 2 х 5 и у == 7 х + 3;
1
б) у :::; бх + и у :::; 7 + бх;
3
в) у == 4х + 6 и у:::; 4х + 6;
r)у=12х 4иу:::; х+ 1.
10
в) У = 5х + 8 и у == х 2;
2
3
r)y= 105x 11 иу= x+ 15.
8
12 8 15 4
в) У == 16 х + 10 и у == 20 х + 5';
8 1 8 1
r)y== x иу:::; Х+ .
9 7 9 10
Под ставьте вместо зиаков * такие числа, чтобы rрафики ли
иейиых функций были параллельиы:
939.а) у:::; 8х + 12 и у == *х 3; в) у == *х + 6 и у = 12 7х;
б) у:::; *х 4 и у = 5 + 6х; r) у = 4х 1 и у:::; *х + 11.
940.а) у == *х + 5 и у:::; *х + 7; в) у:::; 45х 9 и у:::; 45х + *;
б)у:::; *х 3иу=*х+1; r)у=1,3х+21иу:::;1,3х *.
113
Подставьте вместо знаков * такие числа, чтобы rрафики ли
нейных функций пересекались:
941. а) у == 6х + 1 и у == *х 3; в) у == 7х + 8 и у == *х 4;
б) у == *х + 5 и у == 9х 1; r) у == *х 15 и у == 3х + 2.
942.а)у==2х+ * иу==2х *; в)у:::;*х 6иу==*х 7;
б) у== *х 1 и у== *х +3; r)y== *х + 17 и у== *х + 9.
Подставьте вместо знаков * такие числа, чтобы rрафики ли
нейных функций совпадали; установите, в каких случаях это
задание некорректно:
943. а) у = *х+5 и у:::; Х + 7;
б) у == *х + 8 и у == 5х + 8;
944. а) у == 8х + * и у:::; 7х + 8;
б) у== 4,5х *и y=4,5x *;
в) у :::; 0,35х * и у == 0,35х *;
r) у == 2х + * и у :::; 2х + *.
в) у:::; 6х 3 и у:::; *х 3;
r) у == 7х 9 и у == *х 8.
в каких случаях задание, состоящее в нахождении точки пе
ресечения прямых, корректно, а в каких нет? Если задание
корректно, то выполните ero:
0945. а) у == 2х + 3 и у == 3х + 2;
б) у== 15x 14 и y== 15x + 8;
в)у=7х+4иу:::; х+4;
r) у==7х+6иу=7х+9.
0946. а) у:::; 15х + 17 и у == 15х + 17;
б) у== 3х+4иу=2х 1;
в) у==13х 8иу=13х 8:
r) у== 5х+3иу==х 3.
0947. а) у == х + 5 и у = х + 7;
б) у == 1,5х + 4 и у == 1,5х + 4;
в) у == 2x + 8 и у== 2x + 10;
r) у = 79х и у:::; 75х.
948. Даны две возрастающие линейные функции у == k 1 x + т 1 ,
у = k 2 x + т 2 . Подберите такие коэффициенты k 1 , k 2 , т 1 , т 2 ,
чтобы их rрафики были параллельны.
949. Даны две убывающие линейные функции у == k 1 x + т 1 и
у == k 2 x + т 2 . Подберите такие коэффициенты k 1 , k 2 , т 1 , т 2 ,
чтобы их rрафики совпадали.
114
950. Да:вы две линейные Функци.и а:::;а 1 t + Ь ! и s:::;a 2 t + Ь 2 . Подбер.''Т'е
такие коэффициенты a 1 , а 2 , Ь 1 , Ь 2 , чтобы их rрафmcи пересека
ЛИСЬ.
-951. rрафики линейных функций у= kx + т и у:::; ах + Ь пересекают
ся в точке, лежащей внутри третъеrо координатноrо yrла KO
ординат ной плоскости хОу. Определите знаки коэффициентов
k, т, а, Ь, если известно, что прямая у = kx + т не проходит
через второй координатный yroл, а прямая у = ах + Ь проходит
через начало координат.
8952. rрафики л'инейных функций у = kx + т и у == ах + Ь пересекают
ся в точке, лежащей внутри BToporo координатноrо yrла KOOp
динатной плоскости хОу. Определите знаки коэффициентов k,
т, а, Ь, если известно, что прямая у:::; kx + т не проходит через
третий координатный yrол, а прямая у == ах + Ь проходит через
первыЙ координатный yrол.
rЛА8А
7 функция у == х 1
32. функция у == х 2 И ЕЕ rРАФИК
Найдите значение функции у= х 2 , соответствующее за
данному значению aprYMeHTa:
953. а) 1: б) 3; в) 2; r) О.
954. а) 2; б) 1,5; в) 3; r) O,5.
1
955. а) 2 3;
1
б) 2з;
1
в) 34;
1
r) 3 .
4
Найдите значения aprYMeHTa, которым соответствует задан
ное значение функции у= х 2 :
956. а) 4; б) 9; в) 1;
957. а) 0,25; б) 6,25; в) 2,25;
r) 16.
r) О.
с помощью rрафика функции у = х 2 найдите несколько значе
ний apryMeHTa, ПрII которых значение функции:
958. а) Больше 1; в) больше 1;
б) больше о; r) больше 6.
959. а) Меньше 5; в) меньше 2;
б) меньше 3; r) меньше 7.
Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит
ли rрафику функции у:::; х 2 заданная точка:
960. а) А(2; 4), б) В(3; 6), в) С(4; 8), r) D( 3; 9).
961. а) ЩО,5; 0,25); в) Е(1,5; 3);
б) 8(1,2; 2,4); r) P( 2,5; 6,25).
962. а) K(i; ). б)Р( ; ). B)L( ; :: } r)M( ; : }
116
96:3. Постройте rрафик функции у=: х 2 И С ero помощью ответьте на
следующие вопросы:
а) при каких значениях х выполняется равенство у:::;; о;
б) при каких значениях х выполняется неравенство у > о;
в) при каких значениях х выполняется неравенство у < о?
Используя выделенную часть rрафика функции у:::; х 2 , найдите
наибольшее и наименьшее значения функции и ответьте на
вопрос, какому промежутку оси абсцисс соответствует Bыд
ленная часть:
964. а) на рис. 25;
б) на рис. 26;
965. а) на рис. 29;
б) на рис. 30;
966. а) на рис. 33;
б) на рис. 34;
967. а) на рис. 37;
б) на рис. 38;
в) на рис. 27;
r) на рис. 28.
в) на рис. 31;
r) на рис. 32.
в) на рис. 35;
r) на рис. 36.
в) на рис. 39;
r) на рис. 40.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у:::; х 2
на заданном отрезке:
968. а) [1, 2]; б) [о, 2];
969. а) [ 1, о]; б) [ 2, 1];
970. а) [ 1, 1]; б) [ 2, 3];
в) [о, 1];
в) [ 2, о];
в) [ 3. 2];
r) [2, 3].
r) [ 3, 1].
r) [ 1. 3].
и
1\
\ "
\ t
I
\ /
\ /
, :/
1 О 1 х
Рис. 25
о 1 2 х
Рис. 26
117
LJ
9
1\ I
,
, ,
, I
. ,
\ I
1,
,
I
1\ /
\ I
"- ./
2 О 1 х
\ у I
9
, I
,
\ 1
\ 1I
1\
\ I
\ /
" ./
1 О :3 х
Рис. 27
Рис. 28
\ у ,
9
,
\ I
\ I
, . I
6
\ I
, I
4
'( /
2 О 1 3 х
\ у ,
9
,
,
,
\ ,
I
\
\ /
\ /
./1
я О 1 х
Рис. 29
Рис. 30
Р71. Не выполняя построения rрафика, найдите наименьшее зна
чение функции у == х 2 на заданном отрезке:
а) [ 1,5, 0,3],
[ 32 7 ]
в) 101 ' 19 '
б) [ 185 ' 1,257 J.
[ 45 23 ]
r) 49 ' 31 .
118
Найдите наименьшее значение функции у = х 2 на заданном
луче:
972. а) [ 3, + 00);
у
9
1\
\ I
\
, J
\
\ I
""ж
\ "
\ ",'
, .1 /
...
О 1 2 Н х
Рис. 31
, у ,
9
, I
\ I
\ 1
I
\ I
\ I
IX /
О 1 х
Рис. 33
973. а) ( oo, О];
б) [1, + 00);
б) ( oo, 1];
у
9
х
Рис. 32
I у ,
9
\ 1
1
\ ,
I
\ 11
\ /
\ /
" .1 JI
....
О 1 х
Рис. 34
в) [2, + 00);
r) [3, + (0).
в) ( OO, 2];
r) ( OO, 3].
Найдите точки пересечения параболы у = х 2 И заданной прямой:
974. а) у:::; 1; б)у=О; в)у=4; r)y:::; 3.
119
\ у
9
\ I
\ I
, ,
4
\ I
\ I
/
2 О 1 :3 х
Рис. 35
у
9
х
Рис. 36
у
9
\ "
\ .
I
, I
\ I
I
./
3 2 О 1 х
у
9
\
, I
\
\ I
. I
"%
\ /
\ /
,.1. /
-..
О 1 2 3 х
Рис. 37
0975. а) у = 2х;
0976. а) у:::;х + 2;
б) у = х 3;
0977. а) у = 2х + 3;
5
б)у= зх 5;
Рис. 38
б) у:::; 3x;
B)y:: x+2;
r) у = х 5.
В) у:::; 3 2х;
5
r) у = х 5.
3
В) у:::; х;
r)y:::; x.
120
\ у I
n
"
'. I
\ J
\ I
J
\ I
\ I
1. /
'"
О 1 2 х
\ у I
,
\ ,
,
\ /
\ 11
1\ /
\ /
\ 1. ",,1
....
3 1 О 1 х
Рис. 39
Рис. 40
ПостРойте rpафик функции у = х 2 на заданном промежутке:
978. а) (1, 3); б) ( 2, 2); в) (0,2); r) ( 2, 1).
979. а) (О, +00); б) ( 1, +00); B)( OO, 0,5); r)( oo, О).
980. а) ( oo, 1]; б) ( oo, 2]; в) [2, +00); r) [1,+ 00).
9Я1 а) [О, 1); б) [О, 2); В) (О, 3]; r) (О, 2,5].
982. а) ( 1, 3]; б)( l, 1]; в) [ 1, О); r)[ l, 2).
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у :::; х 2
на заданном промежутке:
98:З. а) [ 2, 0,5]; В) [ 2,5, 1,5];
б) [ 1,5, О]; r) [ 3, 2].
984. а) [0,5, + 00);
б) [ 2,5, + 00);
в) [ 0,3, + 00);
r) [1,2, + 00).
Н85. а) ( , }
б) ( , J:
в) ( oo, }
r) ( , ].
986. Пусть А наименьшее значение функции у :=: х 2 на отрезке
[ 2, 1], а В наибольшее значение той же функции на отрезке
[ 3, 1]. Что больше: А илиВ? Сделайте rpафическую иллюст
рацию.
121
987. Пусть С наибольшее значение функции у == х 2 на отрезке
[1, 2], а D наименьшее значение функции у == 2х + 3 на отрезке
[ 1, 1]. Что больше: С или D? Сделайте rpафическую иллюст
рацию.
988. Пусть М наибольшее значение функции у == х 2 на отрезке
[ 1, 3], а N наименьшее значение функции у == х на том же
отреЗКе. Что больше: М или N1 Сделайте rpафическую иллюст-
рацию.
989. Пусть L наименьшее значение функции у = х 2 на отрезке
[ 2. 1], а N наименьшее значение той же функции на отрез
ке[l, 2]. Что больше: L или N1 Сделайте rpафическую иллю
страцию.
990. Пусть Р наименьшее значение функции у:: х 2 на луче ( oo , 3],
а Q наименьшее значение той же функции на луче ( OO , 2].
ЧТО больше: Рили Q 1 Сделайте rрафическую ИЛЛlOCтрацию.
991. Пусть А наибольшее значение функции у:::; х 2 на полуинтер-
вале ( 1, 2], а В наименьшее значение функции у:: Х + 2 на
луче [3, + (0). Что больше: А или В1 Сделайте rpафическую
иллюстрацию.
992. Пусть А наибольшее значение функции у:::; х 2 на полуинтер
вале [ 3, 2), а В наименьшее значение функции у:::; 3х на луче
[ 1. + (0). Что больше: А или В1
993. Пусть R наименьшее значение функции у == х 2 на отрезке
[ 4, 4], а S наименьшее значение той же функции на отрезке
[ 17, 10]. Не выполняя построения, установите, что больше:
R или S.
994. Найдите точки пересечения параболы у:::; х 2 И прямой:
a)y::2x 1; B)y= 2x 1;
б) у:: 4х 4; r) у:::; 4x 4.
33. rРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
в одной системе координат постройте rрафики задан
ных функций и найдите координаты точек их пересечения:
0995.а)у=х+3 и у:::;2х+1; в) y:::; x и y=3x 4;
б) у:::;х 2 И у:::; 9; r)y:::;x 2 и y= 2x.
122
Решите rpафически уравнение:
o!I!II>. а) х 2 == 1; б) х 2 == 4; в) х 2 == о;
[>'1Н7 а) х 2 = 2х;
б) х 2 = 3x;
0998. а) х2= х + 6;
б) х 2 == x + 2;
0999. а) х2:::; 2х + 3;
б) х 2 == 3x 2;
r) х 2 :::; 1.
в) х 2 :::; 2x;
r) х 2 :::; 3х.
в) х 2 :::; Х + 2;
r) х 2 :::; x + 6.
в) х 2 :::; 2x + 3;
r) х 2 :::; 3х 2.
1000. а) На rpафике функции у:::; Х + 4 найдите точку, абсцисса
которой равна ординате.
б) На rрафике функции у = х 2 найдите точку, абсцисса
которой равна ординате.
1001. а) На rрафике функции у = 2х 4 найдите точку, ордината
которой на 8 меньше абсциссы.
б) На rpафике функции у :::; х 2 найдите точку, абсцисса и
ордината которой противоположные числа.
Решите rрафически уравнение:
1002. а) х 2 + 2х 3 == о; в) х2 + 4х + 3 = о;
б) х 2 4х:::; 3; r) х2 х :::; 6.
1003. а)х 2 +х+2=0; B)x2 x+6:::;0;
б) х 2 Х + 4 = о; r) х2 + х + 8 = О.
1004. а) х 2 2х + 1:::; о; в) х 2 + 2х + 1 = о;
б) х 2 + 4х + 4 = о; r) х 2 4х + 4 == О.
1005. а) х 2 = 1,5х 6; в) х2:::; 1.5x 6;
5 5
б)х2=зх 5; r)х2:::; зх 5.
34. ЧТО ОЗНАЧАЕТ В МАТЕМАТИКЕ
ЗАПИСЬ У == ((х)
Дана функция у = '(х), rде '(х) = 8х. Найдите:
1006.a)f(0); б)f( 2); B)f(l); r)f( ).
1007 а) '(а);
1008. а) '(Ь + 2);
б) '( a);
б) '(Ь 1);
в) '(2а);
в) '(Ь 8);
r)f( 4a).
r) ,(Ь + 7).
123
Дана функция у = '(х), rде '(х):::; 5х + 6. Найдите:
1009. а) ,( ): б) '( 3); в) 1(0,5); r) '( 6 ) .
1010. а) '(а);
01011. а) '(а + 1);
б) '(а 3) + 1;
б) '(3а); в) '( 7a);
в) '(а 5);
r)f(a + 4) 2.
r) {( 5a).
Дана функция у:::; '(х), rде '(х):::; 3x + 2. Найдите:
01012. а) 1(0); б) '(а); в) {(1); r) '(2а) + 4.
01013. а) {(х) + 8; б) (f(x»2; 11) {(х) 2; r) (f(x) 2)2.
01014. а) {( x); б) '(2х); в) {( 8x); r) '(4х).
01015. Дана функция у == '(х), rде '(х) == 1,6х + 3,5. Найдите:
а) {(х + 2); б) {(х 5); в) {(х + 9); r) {(х 6).
01016. Дана функция у ==f(x), rде '(х) == 3,7x 5,2. Найдите:
а) {( x); б) {( x2); в) {(2х 3 ); r) {( x) + 5,2.
Дана функция у = '(х), rде '(х):::; х 2 . Найдите:
01017. а) '( 2); б) '(3а); в) {(3); r H ( a ) .
01018. а) '( x); б) '(х + 2); в) '(5 х); r) '(2х + 3) 9.
01019. а) '(х 2 ); б) {(х 2 2); в) {(х 3 ); r) {(х 3 + х).
01020. а) I(х б ); б) '( хб); в) {(3х 5 ); r) {( 3x5).
01021. Дана функция у:::; '(х), rде
{(х) == { ЗХ 2, если х< 3;
2x + 5, если х> 3.
Вычислите:
а) '(1); б) {( 3);
в) {( 4);
r) '(О).
01022. Дана функция у == '(х), rде
{(х):::; { Х +5,7, еслих< 1,3;
5, если х 1,3.
Вычислите:
а) {( 5); б) {( 20);
в) '(О);
r) '(1,273).
124
01023. Дана функция у == '(х), rде
'(х) == { Х 2 , еслих< 4,5;
-4.х + 7, ec.JШ Х > 4,5.
Вычислите:
а) '( 5);
б) '( 4);
в) 1(3);
Постройте rрафик функции:
01024.а) у:::; { 2. если 4';;;; х';;;;О;
-4.х+7, если 0< х < 1;
б) у :::; { Х2, если 2 х 3;
9, ес.,'IИ 3 < х .;;;; 5.
{ r если 3 х ';;;;0;
01025.а)у:::; ,
х, если О < х 4;
{ х. если 2 х О;
б) у :::; 2
х, если х > О.
01026.а) = { l. ec.JШ 4';;;;х';;;; 1;
у 2х+3, ec.JШ 1<х';;;;1;
{ О ес ли 5';;;;х';;;; 2 , '
б) :::; ,
у х+2, ec.JШ 2 <х';;;;2.
{ Х+З. ec.JШ 2 x 1;
01027.а)у== .2 .
, если 1 < х 2,
б) у:::; { Х 2 , если 3 x 2;
2х+8, если 2 <х';;;;О.
01028. Для функции из упражнения 1025а найдите:
а) область определения;
б) наименьшее и наибольшее значения;
в) промежутки убывания и возрастания;
r) точки разрыва.
01029.Для функции из упражнения 1027анайдите:
а) область определения;
б) наименьшее и наибольшее значения;
в) промежутки убывания и возрастания;
r) точки разрыва.
r) '( 4,5).
125
{ Х если 4 x < 1;
l() Ю.Данафункцияу:::; {(х), rдеу == 2,
2х, если 1< x 5.
Выясните, корректно ли предложенное задание, и если да, то
выполните ero:
а) вычислите {( 4);
б) вычислите {(1);
в) вычислите f( 4,5);
r) вычислите {(4,9).
1031. Можно ли считать, что у == f(x) функция, rде
а) {(х) == { Х 2 , если 4 х О;
2х, если х 1;
б ){(х)== { Х+2, еслих<О;
r, еслих l?
1032. Дана функция у = {(х), rде
j x + 3,4, если х < 2;
{(х)= 2x+5, если 2 х 3,5;
х 2 , если х > 3,5.
Вычислите:
а) {( 3); б) {( 2); в) {(3); r) {(4).
1 03; . Дана функция у:::; {(х), rде
{ 1,5X + 2,9, если х < 5,3:
((х) = r, если 5,3 х 4,8;
7,4 + 3,2х, если х > 4,8.
Вычислите:
а) {( 5,4); б) {( 3,5); в) {(3,5); r) 1(5,5).
1034. Составьте аналитическую запись функции у = {(х) и построй
те rрафик функции, заданной следующими условиями:
а) значения функции равны 5 при всех отрицательных значе
ниях apryмeнтa и равны 2 при всех неотрицательных зна
чениях apryмeHTa;
б) значения функции равны 1 при всех положительных зна
чениях apryмeHTa и равны 4 при всех неположительных
значениях apryмeHTa;
в) значения функции равны 3 при всех неположительных зна
чениях apryмeHTa и равны 7 при всех положительных зна-
чениях apryмeHTa;
r) значения функции равны 6 при всех неотрицательных зна-
чeHияx apryMeHTa и равны 1 при всех отрицательных зна-
чeHияx apryмeHTa.
126
Постройте rpафик функции:
j r,
1035. а) у:::: х,
r,
если 2':;;;x':;;; 1;
если 1 < х':;;;1;
если 1 < х':;;; 2;
j 1
б) у:::; ,
r,
если 4':;;;х ':;;; 1;
если 1 < х':;;;l;
если 1 < х':;;; 3.
j X+2, если 4':;;;х':;;; 2;
1036.а)у= О, если 2 <х':;;;l;
r, если 1 < х':;;;3;
х
если 6':;;; х':;;; 2;
2'
б) у:::; r, если 2 < х .:;;; 1;
3 2х, если 1 < х':;;; 5.
Используя заданные rрафики функций, установите:
а) какова область определения функции у:::: (х);
б) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;
в) является ли функция непрерывной; если нет, то в каких
точках она претерпевает разрыв;
r) при каких значениях apryмeHTa значение функции равно
нулю, больше нуля, меньше нуля;
д) rдефункция возрастает, rде убывает.
Ответьте на эти вопросы для функций, rpафики которых
изображены:
1037 а) На рис. 41; в) на рис. 43;
б) на рис. 42; r) на рис. 44.
1038. а) На рис. 45;
б) на рис. 46;
1039. а) На рис. 49;
б) на рис. 50;
в) на рис. 47;
r) на рис. 48.
в) на рис. 51;
r) на рис. 52.
1040. а) На рис. 53;
б) на рис. 54;
в) на рис. 55;
r) на рис. 56.
127
..
"- I:F r7
" /
"- /
'" .. 1/
7
о
Рис. 41
;т
'" .
..
2 О '\.1 ,
r\.
"-
"-
Рис. 43
I:l
"" I
..
I
О/ 1 .x
/
/
V
Рис. 42
..
:Т. /
/
2 17
. . 1
О ..
Рис. 44
Составьте аналитическую запись функции по ее rpафику, пред-
ставленному:
81041. а) На рис. 41;
б) на рис. 42;
в) на рис. 43;
r) на рис. 44.
81042. а) На рис. 45;
б) на рис. 46;
81043. а) На рис. 49;
б) на рис. 50;
81044. а) На рис. 53;
б) на рис. 54;
в) на рис. 47;
r) на рис. 48.
в) на рис. 51;
r) на рис. 52.
в) на рис. 55;
r) на рис. 56.
128
..
, ;7
\
\ 1
j(
Or'\.: i
"-
"
Рис. 45
У.
"
А
I
I
1 I
./
о ...
Рис. 47
:7,
\
\ n
\ ... /
1
'" /
о 1 2
Рис. 49
5. Заи. 2855 МОРДКОВИЧ, 7 кл. Задачник.
:7
"
J
I
1 IJ
( .)
о ...
1 1 2
Рис. 46
y
u V
/
\ /
\ 1 /
'(
о rr
2 1 5 х
Рис. 48
:7
"
I
I
1 I
4 2 /':
А 2
:/ h
Рис. 50
129
..
'"
А
1\. "
n
" V J
" 1 I
K
4 О 1
Рис. 51
у
\
\ /
1\ /
\ V
, V
'{ ./
о 1 х
Рис. 53
у
. J
\ А I
r\ I
n
\ u I
\, I
\
2 О х
Рис. 55
130
"
,
n
U I
\ 1 I
'...1
1 о х
Рис. 52
у /
А /
"- . I
1\. n V
"
1
'- .J
4 1 О ..1
Рис. 54
у
I
\ I
\ I
"Й
J
\ I
\ I
'" ./
1 О х
Рис. 56
I
i I
11
I ;
i\\'
L 1 ';;;;-:
.';/'.
:i .
1045. Дана функция y {(x), rде
(X) { r, если 2<х<0;
О, если О < х < 3.
а) Вычислите ( 2), (О), (2), ( 1), (3);
б) постройте rpафик функции у:::; (х);
в) опишите свойства функции у ( х) с помощью построенно-
ro rpафика.
1046. Данафункцияу (х), rде
{ r, если 2<х<0;
(х) 4х, есJШ О < х < 1;
4, если 1 < х < 3.
а) Вычислите ( 1), (2), (1), (1,5), ( 2);
б) постройте rpафик функции у:::; (х);
в) опишите свойства функции у :::; ( х) с помощью построе:в:во.
ro rpафика.
1047. Данафункцияу (х), rде
{ 1' если 3<х< 1;
(х):::; r, если l<x<l:
х, если1<х<б.
а) Вычислите (( 2), (4), ( 1), (1), (5);
б) постройте rpафик функции у {(х);
в) опишите свойства функции у:::; {(х) с помощью построенно-
ro rрафика.
1048. Дана функция у (х), rде
{ 1' если 3 <x< l;
(х):::; х 2 , если 1<x<2;
2х + 2, если 2 < х < 4.
а) Вычислите ( 3), (2), {(О), ( 1), ((.ю;
б) постройте rpафик функции у:::; (х);
в) опишите свойства функции у:::; (х) с помощью построенно.
ro rpафика.
5*
131
Постройте rpафик функции:
2х 2 х 2
81049. а) у:::; ; б) у:::; .
х х
х 2 9
81050. а) у 3 ;
x
х з + зх 2
81051.a)y 3 ;
х+
х. х 2
81052. а) у = (х 1)(х + 1);
х. 4х 2
б)У:::;(Х 2)(Х+2)'
х 2 4
б)у== .
х+2
хЗ х2
б) У == .
x 1
r ЛАВА
8
СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
35. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1053. Является ли пара чисел (1: 1) решением линейноrо ypaвHe
пия с двумя переменными:
а) 7х + 3у:::; 10: в)6х+8у=l;
б) 6х 2у:::; 4: r) 15х 12у == 31
1054. Подберите несколько решений линейноrо уравнения
3х 2у == 5.
1055. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, реше-
нием KOTOpOro служит пара ЧИсел:
а) (2: 5); б) ( 3; 1); в) ( 7; 2); r) ( 4: 5).
1056. Найдите все пары натуральных чисел, которые удовлетвор.я
ют уравнению х + у:::; 15.
1057. Является ли пара чисел (60; 30) решением системы уравнений:
а) { 4Х 7у :::; 30, б) { зх + 5у :::; 330,
4х 5у :::; 90; 6х 8у :::; 1101
1058. Какая из пар чисел является решением системы уравнений
{ 2Х + llу :::; 15,
1 Ох llу = 9 :
а) (20; 18); б) (2; 1):
в) (1: 2):
r) (3: 1)?
1059. Является ли решением системы уравнений
{ 4Х 3y:::; 7,
5х + 2у :::; 26
пара чисел: а) (1; 2),
б) (4; 3),
B)( 2; 5),
r)(O; 1)1
1ЗЗ
I ()(Ю. Убедитесь, что пара чисел (12; 15) нвляется решением систе-
мы уравнений:
) { Х + у:::; 27,
а 2x 4у == 36;
б) { 2Х у == 9,
4у :::; 5х.
01061. Даны два линейных уравнения с двумя переменными:
х у :::; 2 их + у == 8.
Найдите пару чисел, которая:
а) является решением первоrо уравнения, но не является pe
шением втором;
б) является решением втором уравнения, но не является pe
шением первом;
в) является решением и первом, и BToporo уравнений;
r) не является решением ни первом, ни BTOpOro уравнения.
Решите rpафически систему уравнений:
01062. а) { Х == у,
3x y==4;
б) { У = 5х,
3х + у :::; о;
{ Х у == 1,
01063. а) 3 9
х+ у= ;
б) { 2Х + у :::; 1,
2х+у:::; 3;
01084. а) { Х + у :::; 5,
3x y:::; 7;
01065. а) { Х 2у == 7,
3х + 2у :::; 5;
{ Х 3у == 8,
01066. а) 2х 3у:::; 10;
в) { зх + у == о,
4х У :::; 3;
r) { Х 4у :::; о,
х + у == 5.
в) { зх 2у :::; 12,
х + 2у = 4;
r) { Х 3у = 2,
2х 6у :::; 4.
б) { Х 2у :::; 1,
у х:::; 1.
б) { Х + у == 2,
2х у :::; 4.
б) { зх у :::; 4,
2х+3у == 10.
1067. Составьте систему двух линейных уравнений с двумя пере
менными, если известно, что решением этой системы являет
ся пара чисел:
а) (о; 6); б) ( 3; 4); в) ( 1; 2); r) (5; 7).
134
1068. Решите rрафически систему уравнений:
{ 5X 2Y:::;6, б ) { 7Х 3У== 1,
а) 7 Х + 2у :::; 6; 4х 5у :::; 1 7 .
1069. Объясните с помощью rрафических иллюстраций, почему
имеет единстве:вное решение система уравнений:
а) { Х + У :::; 8,
x y:::;4;
б) { 2Х + У :::; 1,
2х У :::; 7;
в) { 4Х + 3У :::; 6,
2х + у :::; 4:
r) { Х У :::; 15,
3Х+У:::; 5,
1070. Объясните с помощью rрафических иллюстраций, почему не
имеет решений система уравнений:
{ 6Х 5у :::; 4,
а) 12х 10у = 5;
б) { Х У:::; 1,
3Х 3У :::; 2:
) { 8Х + 7 У == 2,
в 16х + 14у :::; 3:
{ 2Х + 3У :::; 12,
r)
4х + 6у :::; О.
1071. Объясните, почему имеет бесконечное множество решений
система уравнений:
{ Х+У = О, { 12Х+12У:::; 24,
а) в)
5х + 5у == о; Х + У :::; 2;
б) { 8Х 8у :::; 4, r) { 3Х У :::; 5,
2х 2у :::; 1; 12х 4у = 20.
1072. К каждому из следующих уравнений подберите второе ypaв
нение так, чтобы полученная система имела единственное
решение:
а) 3Х 2у :::; 8:
б) 5x + 4у :::; 1;
в) 3X 7у 2;
r) 5х + 6у:::; 9.
1073. к каждому из следующих уравнений подберите второе ypaB
нение так, чтобы полученная система имела бесконечно мио-
ro решений:
а) 8х + У :::; 5;
б)3х 2у:::; 1;
в) 7х + 8у 4:
r) Х У :::; 3.
1074. К каждому из следующих уравнений подберите второе урав-
нение так, чтобы полученная система не имела решений:
а) 7х 5у:::; 3: в) 45х 31у:::; 13;
б) 6х + НУ == 8; r) 54х 23у:::; 40.
135
I ! 17: Найдите значе:ви.я коэффициента а в уравнении ах + 8у:::; 20, если
известно, что решением этоro уравнения является пара чисел:
а) (2; 1); б) ( 3; 2).
1 )7 - ) Д u { Х + ау = 35,
.« I '. а ана система уравнении
Ьх+2у:::; 27.
Известно, что пара чисел (5; 6) является ее решением. Най-
дите значения а и Ь .
u { ах 3у = 7,
б) Дана система уравнении 5х + Ьу :::; 26.
Известно, что пара чисел (10; 5) является ее решением. Най-
дите значения а и Ь.
{ ах + 3у :::; 11,
Решите rрафически систему уравнений 5х + 2у :::; 12,
если известно, что первое уравнение этой системы обращает
ся в верное равенство при х:::; 5 и у 3.
о'
9 36. МЕТОД подст АIiОВКИ
в заданном уравнении выразите одну переменную через
дрyryю:
i07X. а)2х+4:::;4;
lOi'!1 а) 6х + у = 18;
б) 4а + 5Ь = 20;
fOXO. а) 38 2t:::; 8;
б) 7z + 4q:::; 11;
б)х + 6у:::; 9; в) 3а + Ь= 12;
в) 18т 12п = 3;
r) 45р 9q :::; 4.
r) с + 8d:::; 15.
B)9r 138:::;17;
r)5u+7v:::;21.
Решите систему уравнений методом подстановки:
{ У :::; 3х 1,
01081. а) 2 3
х+ у = 8;
б) { У 1 7 х,
4x y=4;
{ Х = У + 2,
HIR2. а)
3х 2у = 9;
б) { Х = 2у 8,
х 3у :::; 8;
136
) { У :::; 3 х,
в х + 2у = 3;
) { У :::; х 1,
r 5х + 2у :::; 16.
) { Х 2у 3,
в 3х + 2у = 7;
r) { х:::; у + 8,
х 3у 4.
{ Х == 4у,
()В:З. а) х + 5у = 99;
б) { У :::; 6х,
4х + у :::; 150;
{ Х :::; 10у.
1 nВ1. а) 2х + 3у :::; 46;
б) { У == 1,5х,
2у +5х = 64;
108.). а) { 5Х 3у :::; 14,
2х + у = 10;
б) { Х 2у = 5,
2х + у == 9;
, { 2Х У :::; 2,
ul086. а) 3х 2у = 3;
б) { зх + 4у :::; 55,
7х у:::; 56;
в) { У :::; 4x,
. х у :::; 10;
) { Х :::; 5y,
r x 4y:::; 18.
{ У = 2,5x,
в) 5х + 4у = 75;
{ Х :::; 0,5y,
r)
6x 2у :::; 9.
) { Х + 5у == 35,
в 3х+2у:::; 27;
r) { Х + 3у :::; 2,
2х+3у = 7.
) { 5 У х :::; 6,
в 3x 4y = 4;
r) { 4 У х :::; 11,
6у 2х :::; 13.
Решите систему уравнений:
{ 4Х 3у = 12,
1087. а) 3 4 24
х+ y:::; ;
б) { 5Х + 2у :::; 20,
2х 5у :::; 10;
{ 4X 5Y = 1,
1088. а) 2х 3у == 2;
б) { зх + 4у :::; О,
2х + 3у = 1;
{ 4Х 7у :::; 33,
1089. а) 2х + 5у 25;
б { 5Х 2у :::; 48,
) 2х + 3у :::; 23;
{ 2Х 3у :::; 12,
в)
3х + 2у :::; 6;
r) { 5Х 3у = 5,
2х+7у = 4.
{ 4Х 3у :::; 7,
в)
5х + 2у :::; 26;
{ 3X 5Y = О,
r)
8y 3x:::; 13.
в) { 5 У 6х :::; 2,
8х 3у :::; 1;
{ 4Х 3у == 1,
r)
10x 4y:::; 1.
137
1090. а) { 6Х + 5у = 1,
2х 3у = 33;
б) { 5Х + 6у :::; 4,
3х + 5у = 1;
1091. а) { 4(Х у):::; 2,
3х + 2у = 5 2(х + у);
б) { 2(Х + у) = 8,
14 3(х у) = 5у х;
1092. а) { 2 3х :::; 2(1 у),
4(х + у) :::; х 1,5;
б) { 6Х + 3 :::; 8х 3(2у 4),
2(2х 3у) 4х = 2у 8;
j X у
1093. а) "2 + 3:::; 3,
х у 8
+ :::; .
3 2 з'
j =- + :::; 5
б) 3 2 '
5х Ну :::; 1;
j 6 Y 5х = 1,
1094. а) х 1 + у + 1 :::; 10'
3 2 '
j X + 2у + 3х У :::; 5
5 3 '
2х 3у :::; 1;
j 5X + 9у :::; 2х + 3у ,
1095. 3 2
х 3у 2х 3у .
3 '
j 2X у + 2х + у :::; 3,
б) 6 9
х + у Х у :::; 4'
3 4 '
138
{ 4Х 5у = 2,
в)
3х+ 2у:::; 13;
r) { зх 7у:::; 1,
2х+3у 16.
) { з(х + у) = 6,
в 6 5(х у) :::; 8х 2у;
) { 5(Х у) = 10,
r 3х 7у :::; 20 (х + у).
) { 2Х 3(2у + 1) :::; 15,
в 3(х + 1) + 3у = 2у 2;
r) { 4 У + 20 :::; 2(3х 4у) 4,
16 (5х + 2у) :::; 3х 2у.
в) j i :::; 4,
+ 1t :::; 2'
2 4 '
j 4X+7 Y =1,
r) Х у 1
+ = .
5 6 2
j 3х + 2у + х 3у :::; 3
в) 5 6 '
2х + 7у + 43 = о;
j 7 х 10у :::; 5,
r) 4х + 1 5х 3У = 3.
3 4
j х + у + Х у = 5,
в) 8 6
х + у + Х у = 10'
4 5 '
j X + 3 5у = 3Х 4у + 3,
r) 2 3
6 + эх у 12х у
3 4 .
9 37. МЕТОД АлrЕБР АИЧЕскоrо СЛОЖЕН.,Я
Решите методом алrебраическоrо сложения систему
уравнений:
{х у :::; 5, {2Х+ у:::; 11,
о 1096. а) в)
х + у :::; 7; 3x y= 9;
б) {х + у:::; 9, {зх у:::; 4,
r)
х у :::; 3; 3х + у :::; 8.
{2Х + Ну:::; 15, {X 6Y:::;17,
01097. а) в)
10х 11у == 9; 5х + 6у :::; 13;
{9Х + 13у:::; 35, {6Х 7у == 19,
б) r)
29х 13у = 3; 5х + 7у = 25.
01098. а) {4X 7Y:::; 30, { 5X+ 7у:::; 6,
в)
4х 5у :::; 90; 2х+7у:::;76;
{7X 6Y:::; 32, r) { 2X+ 4у:::; 11,
б)
7х+ 5у:::; 230; 4х+4у=1.
1099 {x 3у:::; 5, ) {зх + у = 1,
о . а)
3х + 2у :::; 4; в 2x 3y = 14;
{зх 5у :::; 14, {5Х + у = 24,
б) r)
х + 2у :::; 1; 7х + 3у == 24.
01100. а) {40Х + 3у :::; 10, {3Х+8 У :::; 13,
в)
20х 7у == --4; 5х 18у :::; 6;
б) {5Х + 2у = 1, {6Х+5 У :::;1,
r)
15х+ 3у == 3; 2x 3y:::; 33.
{ 4х 5у :::; 2, {зх 7у :::; 32,
01101. а) в)
3х+ 2у = 13; 2х 3у :::; 3;
{9Х + 8у == 50, {з у 4х :::; 6,
б) r)
5х+ 36у = 12; 5х 9y:::; 10.
139
01102. а) { 4Х + 5у :::; 1,
5х+7у:::; 5;
б) { 3X 5Y = 25,
4х + 3у :::; 43;
) { 7 х 5у = 5,
в 5х + 3у = 43:
) { 4Х 3у = 12,
r 3х + 4у :::; 66.
Решите систему уравнений:
1103. а) { зх + 7у = 46, в) { 5Х + 2у = 20,
4х 3у :::; 12; 2х 5у :::; 10;
б) { зх + 4у :::; 24, r) { 5Х 3у :::; 15;
5x+3y:::; 15; 2х+7у:::;47.
{ 1 1
1104.а) 2х зу:::;1,
6х 5у :::; 3;
{ 1 1
x+ y= l
б) 5 4 '
2х 3у = 54;
{ !х !y:::; 4,
в) 4 3
4
x 3у:::; 7;
5
{ 1 1
x + y:::; 5,1,
r) 3 5
3
x 2y=8.
5
1105. а) { :Х = %' б) { 3:: O :::; 112 '
5х + у :::; 1; 5х + у :::;
3х + 11 9х + 2у 5'
Составьте уравнение прямой, проходящей через заданные
точки:
81106. а) А(2; 3); В( 1; 4);
б) C( 6; 7); п(4; 3);
81107. а) А(5; О); В(О; 2);
б) C( 6; О); п(О; 4);
в) M( 3; 1); N(2; 5);
r) Р(6; 2); Q( 1; 3).
в) Е(7; О); Р(О; 1);
r) L( 2; О); к(о; 4).
81108. Составьте аналитическую запись линейной функции, rрафик
которой изображеи:
а) иа рис. 57; б) на рис. 58; в) на рис. 59; r) на рис. 60.
81109. Составьте аиалитическую запись системы линейиых ypaBHe
ний, rеометрическа.я иллюстрация которой представлена:
а) иа рис. 61; в) на рис. 63;
б) иа рис. 62; r) на рис. 64.
140
" J
J::: -;
}
1/
/
J 1
/
/ 3 О 1
I
Рис. 57
"
......
,
v "'
......
1 .....
'"
о 4 ",..
Рис. 59
\ l!I "
.
-ж
\
\ I
\ I .
...
1 I ,О 1 х
I \
I \
4
J \
. ,
Рис. 61
"
\
.\
\
\
1 r\
\
О 1 :1 \ J
'\
Рис. 58
у ,
J
1 I
...
О I
I
I
О,
I
Рис. 60
"
:
, \
\
\ ./
\ / /'
,у 7, \.
/
/ /' :!; \
/' .L \
/
" О 2 \ х
1
\
Рис. 62
141
11
,
\.
4
,
\
... \
.
о 1 х
\
1\.
\
11
., I
/
I
/
01
1/. ,.,...
/ ... ..".
..,.
3 Oj. ,.., ..... 3 x
J
L,. ,.., i-"""
.... r7
"
Рис. 63 Рис. 64
38. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
КАК МА ТЕМА ТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ
() 1110. Расстояние между двумя пу:вктами по реке равно 80 км. Это
расстояние лодка проплывает по течению реки за 4 ч, а про
тив течения за 5 ч. Найдите собственную скорость лодки и
скорость течения реки.
1) 11] 1. Поезд прошел первый переrон за 2 ч, а второй за 3 ч. Вcero за
это время он прошел расстояние 330 км. Найдите скорость
поезда на каждом переrоне, если на втором переrоне она была
на 10 км/ч больше, чем на первом.
:J 1112. Два пешехода отправились одновременно навстречу дpyr дру-
ry из пувктов М И N, расстояние между которыми 38 Км. Че-
рез 4 ч расстоя:ниемежду:вими сократилось до 2 км, а еще через
3 ч первому пешеходу осталось пройти до пункта N на 7 км
меньше, чем второму до М. Найдите скорости пешеходов.
142
01113. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 30 хм, Ha
встречу дpyr дpyry одновреме:в:во въппли два пешехода и BCТpe
тились через 3 ч'20 мин. Если бы первый вышел на 2 ч раньше
BToporo, то встреча произошла бы через 2,5 ч после выхода
BToporo. Найдите скорости пешеходов.
01114. Катер проходит по течению реки 34кмза то же время, что и
26 км против течения. Собственная скорость катера равна
15 км/ч. Найдите скорость течения реки.
01115. Автобус проходит расстояние 120 км за время, которое авто-
мобиль тратит на прохожде:вие 180 км. Найдите скорость aв
тобуса, если известно, что она на 20 км/ч меньше скорости
автомобиля.
2
01116. Два числа в сумме дают 77. Найдите эти числа, если "3 одноrо
4
числа составляет 5 дрyrоrо.
о 1117 Найдите два числа, если известно, что утроенная разность
этих чисел на 6 больше их суммы, а удвоенная разность этих
чисел на 9 больше их суммы.
01118. Если числитель дроби умножить на 2, а из знаменателя вы.
честь 2, то получится 2. Если же из числителя вычесть 4, а
1
знаменатель умножить на 4, то получится 12 Найдите эту
дробь.
о 1119. Если к числителю и знаменателю дроби прибавить по едини
1
це, то получится "2' а если из них вычесть по единице, то
1
получится "3' Найдите эту дробь.
1120. Одно число на 140 меньшедрyrоrо; 60% большеrо числа на
64 больше 70% ме:въшеrо. Найдите эти числа.
1121. Известно, что 30% числа а на 20 больше, чем 25% числа Ь, а
30% числа Ь на 8 больше, чем 20% числа а. Найдите числа
аиЬ.
1122. Среднее арифметическое двух чисел равно 32,5. Найдите эти
числа, если известно, что 30% одноrо из них на 0,25 больше,
чем 25% дрyrоrо.
143
1123. Полуразность двух чисел равна 14,9. Найдите эти числа, если
известно, что 24% первоrо числава 0,6 меньше BToporo.
1124. Путь ПО морю от rородаА до rорода В на 60 км короче, чем по
шоссе. Теплоход проходит путь от А до В за 5 ч, а автомобиль
за 3 ч. Найдите скорости теплохода и автомобиля, если из-
вестно, что скорость теплохода составляет 40% скорости ав'
томобиля.
1125. Туристы сиачала плыли иа теплоходе по реке 2 ч, а затем ШJШ
5 ч пешком до конечноrо пункта. Известно, что по реке они
проплыли в 3 раза большее расстояние, чем проШли пешком.
Найдите скорости туристов и теплохода, если известио, что
скорость теплохода иа 26 км/ч больше скорости туристов.
Сколько времени понадобилось бы туристам, чтобы пройти
весь путь пешком?
1126. По течению реки лодка за 3 ч 20 мии проходит расстояиие
30 км, а проТИв течения за 4 ч расстояние 28 км. Какое
расстояние по озеру пройдет лодка за 1,5 ч?
1127. Велосипедист ехал от поселка до станции сначала 30 мии по
rрувтовой дороre, а затем 40 мии по Шоссе. С какой CKOpoC
тью ехал велосипедист по шоссе, если она ка 4 км/ч больше,
чем скорость по rpувтовой дороrе, а расстояние от поселка до
стаиции 12 км?
1128. По окружности, длина которой 100 см, движутся paBHO
мерно две точки. Они встречаются через каждые 4 с, двиrа.ясь
в противоположных нanравле:вия:х, и через каждые 20 с, дви-
rаясь в ОДиом иаправлении. Найдите скорости этих точек.
1129. Два тракториста вспахали вместе 678 ra. Первый тракторист
работал 8 дней, а второй 11 дней. Сколько reKTapoB вспахи-
вал в средием задень каждый тракторист, если первый трак-
торист за каждые 3 дия вспахивал иа 22 ra меиьше, чем вто-
рой за 4 дня?
1130. Две бриrады работали на уборке картофеля. В первый день
одиа бриrада работала 2 ч, а вторая 3 ч, причем ими было
собрано 23 ц картоФеля. во второй день первая бриrада за 3 ч
работы собрала на 2 ц больше, чем вторая за 2 ч. Сколько цe:вт
неров картофеля собирала каждая бриrада за 1 ч работы?
144
1131. Зерно перевозилосъ на двух автомашинах различной rрузо.
подъемности. В первый день было вывезено 27 т зерна, при-
чем одна машина сделала 4 рейса, а дрyrая 3 рейса. На сле-
дующий день вторая машина за 4 рейса перевезла на 11 т зер-
на больше, чем первая машина за 3 рейса. Сколько тонн зер-
на перевозили на каждой машине за один рейс?
1132. Двое рабочих изrотовили 162 детали. Первый работал 8 дней,
а второй 15 дней. Сколько деталей изrотовил каждый рабо
чий, если первый изrотовил за 5 дней на 3 детали больше, чем
второй за 7 дней?
1133. В мarазин поступили учебники по физике и математике. Kor-
да продали 50% учебников по математике и 20% учебников
по физике, что составило в общей сложности 390 книr, учеб
ников по математике осталось в 3 раза больше, чем по физи-
ке. Сколько учебников по математике и сколько по физике
поступило в мarазин?
1134. На двух полках находится 110 книr. Если со второй полки
переставить половину книr на первую, то на первой окажется
в 4 раза больше книr, чем останется на второй. Сколько книr
нак8ЖДОЙ полке?
1135. Для учащихся приобрели футбольные и волейбольные мячи,
причем волейбольных в 5 раз больше, чем футбольных. На
следующий roд приобрели новую партию мячей, причем фут-
больных стало в 6 раз больше, чем было, волейбольных в
4 раза больше, чем было, а Bcero мячей стало 52. Сколько
мячей закупили в первый roд?
1136. Среднее арифметическое двух чисел равно 185. Если одно чис-
ло разделить надрyrое, то в частном получится 2 и в остатке
40. Найдите эти числа.
1137. Сумма цифр двузначноrо числа равна 14. Если ero цифры
поменять местами, то полученное двузначное число будет
на 18 меньше первоначальноrо. Найдите исходное число.
1138. Сумма цифр двузначноrо числа равна 11. Если это число раз-
делить на разность ero цифр, то в частном получится 24 и в
остатке 2. Найдите исходное число.
145
81139. Если двузиачиое число разделить иа сумму ero цифр, то в ча
стиом получится 5 и в остатке 3. Если же разделить ero иа
сумму цифр, увеличеииую иа 2, ТО в частиом получится 5 и в
остатке 5. Найдите исходиое число.
81140. Две фрезеровщика, одии из которых работал 5 дией, а дрyrой
8 дией, изrотовили 280 деталей. Затем, примеиив иовую
фрезу, первый повысил производительиость труда иа 62,5 % ,
а второй иа 50%, и уже за 4 дия совместиой работы оии
изroтовили 276 деталей. Сколько деталей изrотовили бы оии
с новой фрезой, если бы, как и раиьше, первый рабы'ал 5 дней,
а второй 8 дней?
81141. Имеются две отливки стали двух сортов, одиа из которых
содержит 5%, а дрyrая 10% иикеля. Сплавив их вместе,
получили отливку, содержащую 8% никеля. Найдите массу
каждой отливки до переплавки, если известио, что вторая
от ливка содержала иикеля иа 4 т больше, чем первая.
81142. Имеется лом стали двух сортов с содержа:вием 5% и 40% ии
келя. Сколько тони ст и каждоrо сорта иужио взять, что
бы, сплавив их, получить 140т стали, в которой содержится
30% иикеля?
81143. Купили иекоторое количество яблок по 30 руб. за 1 Kr и HeKO
торое количество rpym по 38 руб. за 1 Kr. Все количества вы-
ражаются целыми числами (BKr). Сколько всеroкупилифрук'
тов, если за покупку заплатили 400 руб. ?
81144. Из двух пунктов, расстояние между которыми равио 580 км,
вышли иавстречу дpyr дрyry два поезда. До встречи первый
был в пути 4 ч, а второй 3 ч, причем оба двиrались с посто
.явиыми скоростями и без остановок. Найдите скорости поез
дов, если известио. что обе оии выражаются целыми числа
ми, кратиыми 10, и обе больше 50 км/ч.
81145. Какое двузначиое число обладает следующим свойством: если
между ero цифрами поместить цифру о, то число увеличится в
6 раз?
ОТВЕТЫ
rлава 1
50 18
19. а) 3600а; б) 1440х; В) 3 Х; r) 5 u. 25. а) 24; б) 2; В) 8,5; r) 4,2.
5 13
29. а) 23; б) 26,2; В) 33; r) 67,8.30. а) 17; б) 5; В) 147"; r) 8 17 .31. а) 121;
б) 81; В) 158,76; r) 20,25. 32. а) 1; б) 0,1; В) 1; r) 3,8. 38. а) 2; б) 18; В) 240;
r) 60. 39. а) 0,81; 8,01; б) 5,29; 10,25: В) 237,16; 197,96; r) 16; 9,28.41. а) 2:
59 2
б) 5. 44. а) 6' ; б) 2,32; В) 5 15 : r) 2,24. 45. а) 3240: б) 0,8: В) 19,5: r) 214,5.
10
46. а) 2,88; б) 17 ; В) 8,325; r) 44,955. 48. а) Да; б) да. 49. а) Нет; б) нет.
а а
78.х+25> 3X 15. 79.a "2 <Ь+"2' 84.3'(x+7) 47 x.87.c+4,8 1,4c 5,2.
95.12;30;60.96.353;439.97.65.98.345.99.32.100.39;117.101.168;178.
102. 18: 21,6. 103. 5. 104.5. 105.22 и 62. 106. а) а + Ь 7аЬ; б) Х 3у + 1;
с
B)3(c d)=d; r)a 12b+5. 107.a)N 10a+b; б)М 100а+l0Ь+с;
В) 1000а + 10Ь; r) 100k + т. 108. 5; 8. 109. 32; 16; 27 книr. 110. 75; 50;
185 рабочих. 111. 10; 14; 20. 112.270; 540 и 90 учащихся. 113.28. 114.6.
115. 36. 116. 40; 80.
rлава 2
331
138. а) 48; б) 96; В) 56; r) 1. 139. а) "4; б) 24; В) 27; r) "5.140. а) 25000 ;
121 1000 625 441
б)20;в) 1000;r)10.141.а) 25 ;б) 27;В) 81;r) 16 .147.294см2.
148. 36 м 2 . 149. 3,2 Kr. 150. 64 л. 151. а) 210; б) 210; В) 210; r) 420.
5 1 857
152. а) 6200; б) 244. 153. а) 6;б)2. 154.а)14 з ; б) 128 172. а) 347284;
б) 8009005; В) 10101; r) 305408. 173. а) 1. 104 + 7' 103 + 2. 102 + 8' 10 + 5;
б) 2 . 105 + 1 104 + 3 . 103 + 1 102 + 4 . 10 + 9;
В) 1 108 + 4 . 105 + 9 . 104 + 5' 103 + 6 . 102 + 4 . 10 + 3:
64 23 47 34
r)7 107+5'106+3'103+4'102. 175.a) 9; б). 4; B) 20 ; r) 27
147
7
179. а) 14; б) 6.180. а) "2; б) 8; в) 6; r) 2. 194. а) 49: б) 12: в) 16; r) 125.
1 225 841 7
200. а) 13 : б) 49 : в) 81 ; r) 1"8.203. а) 98; б) 2; в) 10; r) 1.204. а) 28; б) 32;
1
в) 74; r) 53. 213. а) а 22 : б) Ь 17 ; в) с 12 ; r) d 55 . 214. а) 1; б) ь; в) zq; r) т 8 .
215. а) УЗ; б)!f; в) уl0; r) у20. 216. а) х 62 ; б) у52; в) Z84: r) t lЮ . 217. а) z2З; б) р2; в) и 22 ;
r) q2. 218. а) х 4 ; б) у; в) с 2 ; r) d 9 . 219. а) r'"; б) у5": в) а 8 "; r) b t8 ". 220. а) 8: б) 625;
в) 2187: r)4.240.а)5:б)9:в)4;r)16.241. а) 36; б) 144;B)63:r) 16. 242. а) 729;
41
б) 26. 56: В) 225; r) 12. 243. а) 5; б) 104; В) 1347; r) 349. 248. а) 500; б) 72 ;
2
в) 193; r) 260, 375. 250. а) 1; б) 1; в) 1: r) 1. 251. а) 1; б) 1: в) 2,25; r) 3 .
252. а) 2; б) 5: в) 3,9; r) 10.
rлава 3
64
262. а) 2,4; б) 9 263. а) 832а 2 Ь 2 ; б) 400p2 q 4: в) 1600c 8 d 9 ; r) 64x13yl1.
1 1 1
264. а) 2 а 9 Ь 7 с 6 ; б) 60 Ь 4 х 7 у 8; в) 2 р 6 п 5; r) 3 а 5 Ь 8 . 265. а) 34х"+l у lЗ z 7; б)р4tf z I5;
в) X 4 c l1 d 9 : r) 3a т +"s"+ht"+т. 282. а) 42ху; б) 41у2х; в) 2аЬ; r) 14аь 2 . 283. а) 36а 2 Ь;
б) 18х2у2; в) 9az3: r) 0.285. а) 1; б) 1: в) 10; r) 24. 286. а) 23; б) 27; в) 0,2425;
6
r)"5 287. а) 1,8; б) 27; В) 1,68; r) 2,64. 288. 400 стр. 289. 5000 м. 290.550
руб. 291. 14 и 38 Kr. 292. 120,64 и 312.293.42.294.60.295. 11,5 и 4,6.
23
296. 13,5 и 9.297. а) 156ь 2 с З d 2 ; б) 6,05т З п 4 z8. 298. а) 24 a 2 ffc"; б) 3,25X"y"z".
р
299. а) 0,8IаЗ; б) О. 300. а) 0,15c; б) "5.301. а) 28ху: б) 20а 2 Ь; в) х2у2:
13
r) 2,45тп 3 ,в. 302. а) 8х4у4; б) z"q". 303. а) 24 а 2 Ьс; б) 10n 2 mk. 304. 36х2у4.
305. 30а З ь 2 . 306. 6,9n 4 р. 307. 7k З п 4 . 308. а) + + +; б) ; в) +;
r) + +. 309. 84 апельсина и 252 банана. 310. 55. 311. 300. 312. 200.
313.1250.314.84.318. а) 30а З Ь З ; б) 164сЗd2; в) 34х 5 у З; r) 26т З п 4 р 4.
3
319. а) 1,08c 5 d 4 ; б) 12т З р 4; В) 0,5Ь5; r) "2 х2у. 320. а) 0,48r'y5z2; б) 46п З у 4:
6 3
B) O, 75d 7 ; r) 41 r'уЗ. 321. a) 10,2 p 4 q I2; б) 1,62z7; B) 15,62а 2 Ь З с 4 ; r) 40 r'y5.
326. а) 3Ь; б) a3b; в) 4a4b5; r) 2аЬ. 330. а) 500а 5 ; б) 6,4xI7; в) 12с 12 ; r) 32а 6 с 7 .
9
331. а) x25yI4; б) 24х14у9: в) 54a7; r) 2х26у7. 332. а) Ь 7 ; б) 16 р7: в) 112allb5;
148
r) 3000а 11 . 333. а) а 4 Ь 4 с 6 ; б) x6y7z4; в) 61,25x 4 z 5 ; r) 2c 4 d 7 . 334. а) а 4 Ь 4 ; б) Ty4;
64 196
в) т ll n 1О ; r) 2p6q7. 335. а) c4d3; б) 75 а3ы1с15:: в) o, 75d 7 : r) 5 х Э у 4 z 7.
64
336. а) 0,0016а I2 ы 1; ; б) 27 x 6 y15z24; в) 0,09bI6CI4dI2; r) 1. 337. а) 0,25а 4 Ь 6 с I8 :
64 27 625
б) 27 x6yI5z24; В) 256а64Ь40с72: r) 64 x 6 y9z24. 338. а) 1: б) 256 p8cfz32;
169
в) 2,56т 6 n 4 р18: r) 25 r18s30t24. 339. а) В 9а 3 Ь 4 с 6 ; б) В 12а Э Ь 5 с 9 :
в) В 5xY3Z9: r) В == 4xY3Z6. 340. а) D 6c 3 b 6 f9; б) D 3x 2 y5z8; в) D == 2p2ql0zl00;
r) D == 4а 9 Ь 54 с3 2 4, 341. а) Нет: б) нет; в) нет; r) нет. 342. а) Нет; б) нет; В) нет;
r) нет. 343. а) 2700а 7 у8; б) 2x3yI9; в) 27x26ylO; r) 5,0625а 28 Ь 28 . 344. а) 4а 6 Ь 15 ;
1
6) 27JXt; в) 0,24a5b5c6; r) "2 т 16n4. 345. а) 40, 5а 7 Ь 5 у; 6) b 5 c 1 0d 4 ; в) 1 ,6 р 7 х 7 Z6;
4 1024 1 9
r) 3000а 13 .. 346. а) "3 а 12 х 1О ; б) 2187 т 22 n 38 ; в) "9 а14 с 14; r) "4 а 14 ЬВ. 356. а) 4аЬс;
б) 99yz; в) 12 m 6 n 2 k 3 ; r) 86 p2q2Z2. 357. а) Нет; б) да; в) нет; r) да. 358. а) Нет;
б) да; в) да; r) нет. 359. а) 6x2 y 4 z ; б) 75а 8 ыl 3 1;; в) pll m 6 q l6; r) dnz 5 . 360. а) 5а 4 Ь 4 ;
б) 2500х4 у 6; в) 49z 1 0t 14 ; r) x 7 yl1Z3. 361. а) т 6 n 6 ; б) 55]i'q4; в) x4y9z14; r) 5a3c7d.
1 1 49
362. а) "2 су4; б) 3аЬ; В) 3 х 9 с 5 ; r) 8 а 3 Ь Э . 363. а) 625х8уlЭ: б) 1296а 18 х ЭО ;
27 9ь 11 27 9 2
в) 256 ах 5 ; r) 32а6 .364. а) 256 ах 5 : б) 32 а 2 Ь 3 . 365. 3 а Э Ь 4 ; б) 1600а 28 х 22 .
rлава 4
3 5 7
377. а) p4 + 21 р 2 + 3р + 4; б) 2,8x3 + 1,4х2 + 2x 3,1; в) 20 a2 12 а +"8
53 7 1 1 7
r) y4 1. 378. а) 2;6) 64 ; в) 48 ; r)31,5. 379. а) 15 : б) 10 ; в) '5; r) 6.
3 3 2
380. 15х +23. 381. 24x2 + 32х 2.382. а) 1,9с 5 + "8 с 2 ; б) "8 т3 "9 т 2 + т;
.
в) a2b 15аЬ 2 ; r) у3 ll ху 2+ 15х 2 у. 383. а) 3,3т 3 + 7т 2 15т 27:
б) 18Jt1 lз,9k3; в)4,lа 4 9,9a3 6,5а 2 : r) 4,9ЬЗ+ 5,51>2. 384. а) -----ба; б) 80; В) 11а;
r) a2. 385. а) 3a2: б) 15а 2 : в) а 2 ; r) 4а 2 . 386. а) 12.r2 41х + 9; б) 6а 2 + 31 а + 17.
387. а) 6а + 30; б) 8а + 4; в) 6; r) 2а 20. 388. а) 13,5х 2 6,5х + 31:
б) 17,5х 2 + 7,5х + 28,6; в) 17,5x2 7,5х 28,6; r) 11,5х 2 0,5х + 12,6.
389. а) 8Ь 3 : б) 24а 3 18а 2 Ь + 8аЬ 2 22Ь Э ; в) 24а 3 + 22Ь 3 + 18а 2 Ь 8аЬ 2 :
r) 10аЧ 56Ь Э 8a2b 16аЬ 2 . 392. а) 4а; б) 2а 2 5ab 21>2: в) 26a3 10аЬ 2 + 3Ь 3 ;
r) 27а 4 17а 3 Ь + 9. 393. а) 11 + 14у 14; б) 8у2 26; в) 6y 4: r) 30 у3 6y2.
149
394. а) сЧ 4d; 6) 5с 4 2с 2 d 2 ; в) 6c 2 d + 2cd 2 2с +4; r) 4сЧ 8cd + 8d 2 .
395. а) о; б) 14; 'в) 13/8; r) 0.396. а) 8,4; б) 67 ,2; в) "":3,6; r) 0,6.
397. а) x 1; б) 3x 3; в) 2x 0,5; r)4х з. 398. а) 2a + 7а 4 + 7а 3 +2а 2 +а+ 1;
б) 2a а 4 5а З + 6а 2 3а + 1; в) 2a + а 4 + 9а З + а + 1;
r) 2a 7а 4 3а З + 4a2 3а + 1. 399. а) 57х3 30х 2 у + 8 ху 2 3у3; б) 17х3 + 31/;
в)37х3 54х 2 у+ 18xy2 51/; r) 3x3 24х 2 у+ 10хуЧ уЗ. 400. а)3;б)2; в) 1,5;
r) 7,2.401. а) 4х + 1; 6) о; в) 4тn; r) 2C2d 3cd 2 + 8. 402. а) 0,5а 2 1;
б) 2,5а2+0,7ах+r; B)0;r) 3,21/ +6zЧI0аz. 407.а)0,1; б) 27; в)17;
1 1 4 9 3
r)54. 408. а) з;6) 3З;В) 21;r) 14 .409.а)2;б)3;в)l;r) 4.410.а)2;
1
б) 3; в) 1; r) 1. 411. а) 3; б) 2; в) "5; r) 2. 412. 42 км. 413. 12 км/ч.
414.30 км. 415. 13 км/ч. 416. а) 15а З + 22а 2 + 4а; б) 6Ь" 2Ь 4 4Ь З + 8Ь 2 ;
в) 220k 4 150k 2 ; r) 140а 4 600а З + 30а 2 + 100а. 417. а) 2а 4 + 6а З 2а 2 ;
б) 2х2 + 2 у 2 4ху у; в) 2с 4 + 13с З 2с 2 3с; r) 12 р 4 + 60рЗ 12 р 2.
418. а) 13х 2 + 45х 145; б) 72х З + 157х 2 605х 13;
в) 231х3 + 289х 2 629х 44; r) 1,2x + 4,5х 4 4,3х3 + О, 7х 2 13,5х 17.
419. а) 48а 4 53а З 6а 2 + 8; б) 36а 4 96а 2 + 156а; в) 15a + 160а З 152а 2 4а;
r) 60a 12а 4 + 104а З 12аЧ 16а 14. 422. а) 2; б) з; в) 1; r) 1,5.423. а) 6;
1
б) о; в) о; r)"3 424. 12 и 5 км. 425. 41, 36, 33 км; 426. 800 и 1200 км/ч;
427. 15 км/ч. 428. 9 и 11,5 ra. 429. 12 деталей. 430. 1280, 2560 и 2160
жителей. 431. 400 рабочих. 432. 1324, 993 и 331 деталь. 433. 22 КМ.
434. 13 км. 442. а) аЗ + а 2 5а 6; б) 5l,з 26Ь 2 + 10Ь 1; в) т 2 п 2 + т + п;
r) с 2 4d2 с+ 2d. 443. а)х3 + уЗ; б) пЗ Р; в) аЗ + х3+ 2а 2 х+ 2ах 2 ; r)сЗ d 3 .
444. а) 8а З + 27Ь З ; б) 125х 3 + 8 у З; в) 4а 4 11а З + 25а 2 13а 5;
r) 3т 4 2т З + 3т 2 + 4т 4.445. а) 25; б) 21; в) 1,4; r) 2. 446. а) 1; б) 2,5;
16 2
в) 2; r) 1. 447. а) 19 ; б) 3; в) о; r) 1,4.448. 12 и 32 м. 449. 13, 14, 15, 16.
450.221 см 2 . 451.21,22,23. 452. а) 9a 16а; б) а 4 625; B)a4 81; r)a4 256.
453. а) 12,25 р 2 1,44k 2 ; б) 0,09t 4 2,8982; в) 5, 76т 4 0,64п 4 ;
r) 1,69х 6 з,24 у 4. 454. а) а 4 а 2 + 2а 1; б) т 4 4т 2 + 4т 1; в) 4x4 + х 2 4;
r) Ь6 10Ь 4 25Ь2 + 9. 455. а) т 4 1; 6) 32 85; в) х 4 у4; r) a + 243.
456. 720 см 2 , 840 см 2 . 457. 76 и 44 см. 458. 12, 15, 18.459. 6, 18, 30.
460. 1,2; 4,2; 9,2 и 5,4.498. а) 4ас 5с 2 ; б) 48; в) 8Ь 2 + 24; r) 2т 2 + 6тп.
499. а) Ь 4 625: б) 81 It; в) а 4 16; r) с 6 1. 501. а) 8; б) 18,6; в) 87; r) 1.
1 1
502. а) lЗ2; б)О; в) 324; r) 49.503. а) 1,5; б) 7; в) о; r) "2 . 504. а) 1,7; б) 24 ;
5 19 71
в) 3; r) 3. 505. а) 12 ; б) 1; в) 0,1; r) 4,5.506. а) 12 ; б) 30 ; в) 3; r) 2.
507. а) 100х 4 60х31/+ 9х 2 у6; б) 64 р 6 +80p q+ 25p4tf; в) 0,36Ь6 6Ь сЧ 25Ь 4 с 6 ;
r) 9z'4 + Зz'Оt+ 0,25z 6 t 2 . 508. а) 400x6z 2 + 1,2х З z З + 0,0009z 4 ;
150
9 1
б) 64 n 6 + 3тn 5 + 16т 2 n 4 ; в) 0,0225k8n6 3k 4 n 7 + 100n 8 ; r) 36а 4 4а З Ь+ "9 a2ff.
509. а) rп 64; б) а 4n Ь2n; в) с2" d""; r) а 2n + 2 Ь2n 2. 510. а) 27.х6 8; б) 125.х6 + 27;
в) 512ьв + 27; r) 343а 6 1. 511. а) х 4 8х 2 + 16; 6) уЗ 4y2 16у + 64;
в) т 4 72т 2 + 1296; r) n 3 7n2 49n + 343. 512. а) х 4 у4; б) 81а 4 Ь 4 ;
B)p12 q4; r) 88 r8. 513. а) 36х 4 18; б) 36; в) с з 4рс 2 ; r) (т 2)(2т 2 + 1).
514. а) а 16 Ь18; б) 1. 520. а) 64; б) 16; в) 116; r) 8. 521. а) 1; б) 1.
3 4 3 1
527. а) "5Х "5 у; 6) x 3у + 4; в) 2Ь 3a2Ь а; r) "4a2 "4 аЬ. 528. а) 24;
б) 1. 530. а) Нет; 6) нет; в) 2х 2 у + 3х 5х3у3; r) 5 ry 2 2ху 3.
531. а) 3а 3 Ь+ 15аЬ3; б) 3a.r+ 9а 3 х; в) 6n 2 р 2 nр 2 + 5 nр 3; r) 3k3n 4k 2 n 2 5kn 3 .
7 10Ь 3 3 9
532.а)2+ ;б) 4+ ;в) 3 3; r)6x2 9y2+2.
а а х Ь а
rлава 5
1 3 5 1
".... a) 3 ' 2 ' 6) :l:2'4'B ) :l: 2 ' 8 'r ) 1 5 4 5 а )0 ' I ' б)0 ' 2'в )0 '2 '
. " " "4'8' 12' . " , , , 3'
2
r) 4; О. 546. а) .:1:4; б) :1:5; в) :1:6; r) :1:10. 547. а) 960; б) 2060; в) 113 ; r) 44.
1 1
548. а) :1:6; б) :1:10; в) :1:6; r) :1:10. 549. а) "4; б) 77; в) 72; r) 150. 550. а) 1з;
4 1 1
б) '7 ; в) 1"5 ; r) "2.551. а) 0,78; б) 6,6; в) 1,6; r) 234.562. а) 2z2q(Z3q 2z + 3q2);
б) ху(у2 + 5ху 3х); в) 7а 2 Ь3(а 2 2аЬ + 3Ь2); r) 8х 2 у З(х + 11 2ху).
563. а) 5х 2 у(3ху + 2 4 у 2); 6) 4aЬ(3aЬ3 9а + llс); в) 13с3р5(15сЗ 7с 2 р + 17р5);
r) 6a2Ь(7a2 8aЬ 13Ь2). 567. a)(x y)(x y а); б)(а + 3)(5а 2 + 30а + 44);
в) (т + n)(8ст + 8сn + 9d); r) (р2 6)(1 qp2 + 6q). 569. а) о; 40; б) о; 0,03;
3 2
в) о; "4; r) о; '7' 570. а) 30800; б) 0,04; в) 16700; r) 1 ,62.
571. a) a(a +Ь)(а +4Ь); б) 5x(3x 8)(7x 16); в) (4c 1)(3 &); r) 90d'2(2d 5).
572. а) 0,0756; б) 3,26; в) 1,2; r) 1.577. а)(а + 1)(3 n); б)(3х 1)(2т + 3);
в) (х 4)(а 3); r) (т 2)(2х 3). 578. а) (k + 2)(7n 6); 6) (5а 7)(а х);
в)(9т 5)(т n); r)(2a с)(3а Ь). 579. а)(1 + с 2 )(7 с); б)(х 2 2)(х 14);
в) (Ь 2)(2Ь2 + 3); r) (х 3)(х 2 + 2). 580. а) (Ь2 + 2с 2 )( 16а + 5с);
6) (2а + 3Ь)(9а + 7с); в) (2n + 5)(10n 7а); r) (xz + 5у)(2ху 3z).
5
581. а) 4; б) о; в) 2,25; r) О. 582. а) о; б) 4092; в) 107,52; r) 36" . 583. а) 7 ,2;
6) l1;в)О; r)O. 584. a)(5a2Ь 7c)(8ac 3Ь); б)(у2 +2z2)(16x 5z); B)(5x 2)(6x 5с);
151
r) 2(х 2k)(9xz 5ky). 585. а) (х 2 ..., у)(а lr с); 6) (у2 а)(х Ь + 1);
2
в)(х + у)(а + Ь + с): r) (аЬ с)(а 2 Ь 2 аЬ + 1). 586. а) 8 3; 6) о; в) о; r) 18.
587. а) 60; 6) 8250; в) 32; r) 28. 588. а) 360; 6) 100; в) 360: r) 200.
589. а) (х + 2)(х + 4); 6) (х 3)(х 5); в) (х + 1)(х + 2); r) (х 2)(х 3).
590. а) (а l)(а 6): 6) (Ь 1)(Ь + 10); в) (у 6)(у 4); r) (z + 2)(z 20).
591. а) (а + 9Ь)(а Ь); 6) (а + llb)(a + 5Ь); в) (х 2у)(х + 6у);
1
r)(x+3y)(x+13y). 592. а)1: 2; б) 5; 3; в)2;4; r) 1;4. 593. а) "2;2;
132
6) 3; 3: в) 2; 4"; r) 3; 1.619. а) (x 4)(х + 6); 6)у(у 4); в) (z + 4)(z+ 16);
r) (t 17)(t + 3). 620. а) (10 т)( 4 + т); 6) (11 а)(29 + а); в) (13 п)(37 + п);
r) (24 Ь)(Ь 2). 621. а) (а Ь + 2)(а + Ь + 6); 6) (х У 13)(х + у + 3);
в) (т п + 22)(т + п 2); r) (с d + 22)(с + d 24). 622. а) (x + 2)(7х + 4);
4
б) 3(3y + 11)(5у 1); в) 12(2z + 1)(9z + 1);r) (Ы 2)(21t 16). 623. а) I"5;
14 6 20 5 3 3 1 1
6)I u ;B)::!::"5; r)::!::g' 624.a) 0,5;5,5; 6)11;11 В)8;1"2 r) 3;з,
625. а ) ' 2'6 ) '!'B ) 4!'!' r ) 2 '6.
3' , 2'4' 2'З' 8'
( 1 2 Х 1 2 1 4 2 } ( 4 9 Х 16 2 18 81 2 )
626. а) a Ь a + aЬ + Ь 6) c + d c cd + d .
2 3 4 3 9 7 10 49 35 100 '
( 5 6 Х 25 2 15 36 2 } ( 1 5 Х 1 2 5 25 2 )
в) x y x + xy+ y r) т+ п т тп+ п .
8 7 64 28 49 9 6 81 54 36
627. а) (а 2 2)(a4 +2а 2 +4);6) (3+Ь3)(9 3Ь3 +Ь 6 );
( 1 2 Х 112 4 ) ( 1 2 Х l 12 4 }
в) x + x +х . r) +y y +у
2 4 2 ' 4 16 4
628. а) (ху с)( х 2 у2 + хус + с 2 ); 6) (а + тп 3 )( а 2 атп 3 + т 2 п 6 );
в) (т 2 п р4 )(т 4 п 2 + т 2 пр 4 + р8): r) (q + c 5 tf)( q2 c 5 d 6 q + c 10 d 12 ).
629. а) ( a2 ь 3 Х a4 + a2Ь3 + ь 6 } 6) ( a + х 3 Х a2 ax3 + х 8 }
( 1 2 Х 1 2 1 2 4 ) ( 4 7 2 Х 16 2 14 2 49 4 }
в) x+y x xy +у 'r) т п т + тп + п
5 25 5 ' 9 10 81 45 100
630. а) (2c 3)(4c2 +12c+21);6)9(p I)(3p2 9p+7);
в) (k 1)(19 8k + k2); r) (5а + 1)(2002 + 55а + 37).
152
631. а) 9(2Ь + 1)(12Ь2 + 42Ь + 43); б) (22 + 3q)(124 + 42q + 9q2); 2
в) 9 ( : Х)(1:Х 2 J 2X+ ( 3); r)I(3X J 11y)(9x2 15ху + 67у2). 632. а) ( a Ь J ;
б) б-аЗЬ + 6аЬЗ ; в) ь 4 + "2а2 ; r) (0,lх 2 у)2. 634. а) 23; б) 10000; в) ;
r) 225. 635. а) 1; б) 1; в) 1; r) 5. 647. а) 6ху(х 2 2у)(х 2 + 2у);
б) 3аЬ2(а + 2Ь)(а 2 2аЬ + 4Ь2); в) 0,3 у 2(1 3 у 2)(1 + 3 у 2);
r) о, lху(х 3у)(х2 + 3ху + 9у2). 648. а) (т + l)(т 2 + 8т + 19);
б) (е + 2)(с2 5с + 13); в) (а 17)(а 2 19а +109); r) (Ь + 8)(Ь 2 + 4Ь + 16).
649. а) (х 1)2(х + 1)2; б) (у + 1)2(у2 + 2у 1); в) (с + 3)2(9 с 2 6с);
r) (3т + п)(5т п). 650. fI) (а+ Ь + с)(а + Ь с); б) (4 х + у)(4 +х у);
в)(1 т п)(1 + т + п); r)(2 р q)(2 + Р + q). 651. а)(х с d)(x с + d);
б) (а + 1 Ь)(а + 1 + Ь); в)(е + 3 d)(c + 3 + d); r)(r s 5)(r + s + 5).
652. а) (х у т)(х + у + т); б) (е а + Ь)(с + а Ь); в) (т 4 п)(т 4 + п);
r)(q 3 p)(q 3 + р). 653. а)(х y) x+ у); б) (а + ЬУ(а Ь); в)(с+ d)(c d + 2);
r) (т + 2п)(т 2п 1). 654. а) (х 1)2(х 3); б) (1 а)2(1 2а)2.
655. а) (а 2 2аЬ + 4Ь 2 )(а + 2Ь + 1); б) (4е 2 + 2cd + d 2 )(2c d + 1).
656. а) (х + 2у)(х 2 2ху + 4у2+ х + 2у); б) (2p q)(4p2+ 2pq+q2+2p q).
657. а) (а + 2)(а 2 за + 4); б) (Ь + I)(ЬЭ 7Ь + 1). 658. а) (х 4)(х 6);
б) (у 10)(у 4); в) (Ь I)(Ь + l)(Ь2 + 5); r) (а 5)(а 1).
659. а) (2а 5Ь)(2а Ь); б) (3с 7d)(3c d); В) (5а 6Ь)(5а + 2Ь);
r) (3т 8k)(3m 2k). 660. а) (а + 2)(а + 5); б) (х 2 + 3)(х 2 + 4); в) (Ь + 1)(Ь 4);
r) (у 1)(у + 1)(у 2)(у + 2). 661. а) (х + 2у)(х + 3у); б) (т п)(4т п);
в) (р + q)(P 2q); r) (а + Ь)(а + 6Ь). 662. а) о; z.1; б) о; z.4; в) о; 1; r) О.
663. а) 1; ::1::2; б) ::1::2; в) 1; ::1::3; r) 1; ::1::2. 664. а) 14; б) 49; в) 45; r) 301.
1 2 x 2
665. а) 13; б) 37; в) 45; r) 279. 684. а) ; б) q; в) a; r) d. 685. а) ;
у 3 3
а + 1 4 3q 1 1 2п х у 4с + 1
б) ;в) ;r) .686.а) ;б) ;в) ( ) ;r) .
a 1 l x q+8 5 2т 2 2х+у 4c 1
aЬ I. За(а+2). а. За2 d+2. 6р.
687.а) ,б) ,в) ( ) ,r) ( ) .688.а) ,б) ,
за 4ь 3 Ь ас 4ь с + Ь 7d q 3
) т + 3п . ) 2п 1 689 ) 1 + е . б) ' ) Ь + 2 .
в ,r ..а 2 ' ,в 2 '
4т 2п+l l+с+е п 1 Ь +2Ь+4
( 4z + 3 ) 3 ( p + 3 ) 2 ( 2п 1 ) У З
r) .690. а) ; б) ; в) х З уЗ; r) .
16z 2 +12z+9 р2+3р+9 п(4п2 2п+l) y3 1
5
691. а) 36: б) 30: В) 8; r) О. 692. а) 108; б) 11: в) : r) 9. 693. а) 1; б) 2;
3
15 15 3 абс б 11 у 5 10m 11 r 3
в) : r) . 694. а) 18: б) ; в) 3: r) 1. 695. а) """""""""4; б) """""""""11: в) 101 ;
8 8 5 3ь 12xz 3п
15 p l0 2a(4Ь + с) у' aь2 х 2
r) 11.696. а) : б) ( ; В) : r) 2( .
q t Ье х' x y) 2е(3с+2Ь) у зу 2х)
153
697. а) а (5Ь 4а) ; б) 3ь . в 2а . r За .
2Ь 4а(2Ь 2 +а 2 )' ) b(3a 5b)' ) 2Ь 3 (Ь 2 +2а 2 )
Ьс(2ас ь) 4xz 3 4 2Ь( с 4 + 2d 4 )
698. а) ; б) ; в) ; r) 2 '
13а у(х2 + 2у3) хz(зх у2) ас
зх2(х+2у) 2a(2a2 3c) зЬ 2 (3а+2.Ь) Зх 2 у(5х+2 у 2)
699. а) 2 : б) ; в) 2 ( ) ; r) ( )
2у (x 2y) Ьс 2 (2а 2 +3с) 5а 3a 2b 5z 5x 2y2
х" y" Ь 2 (а" +2) а(а" 1) 2у(2Х" зуп)
700. а) ;б) ( ) ;в) ( ) ;r) ) .
3( х" + у" ) а а" 2 2 а" + 1 xz( 2х" + 3у"
(а + С ) Х 1 Зу 2 х + у + z х у
701. а) ;б) ;B)x y;r) .702.a) ;б) ;
Ь + а с 2у + 3 х 1 х + у z 3 2х
а + с 3z + n 4 5
B) ; r) 70З. а) ; б) ; в) 10; r) 94,5. 704. а) 80; б) 12; в) 14;
а х 5z n 11 7 19
53379
r) 130. 705. a) ; б) ; в) 25; r) . 706. а) 4; б) ; в) ; r) 2.
11 2 20 11 8
rлава б
759. а), б) Задания некорректны. 760. а) 5; r 2; б) о; r 4; в) 6; r 4; r) 4; r З.
1
761. а)З,5; r 1,5;б)2; r O,02; в) 6,5: r 4,5: r)2;r 7' 763.К(З), C( l1).
764. N i (22,5), N2( 19,5), LP2), L2( 9). 765: РР1), P2( 13). 790. ( 4; о),
( 4: 2), ( 2; о), ( 2; 2). 791. а) Две прямые (х 2, х 2); б) две прямые
(у 2, У 2); в) две прямые (х о, х 5); r) две прямые (у О, У 2).
793. ( 3; о), (3; о). 794. C i (8; 4), D i (8; 1); C2( 2; 4), п2( 2; 1).795. В(2; 2),
D( 2; 2). 796. В(4; 3), С(4: 3),п( 2; З). 797. (4; 4),( 4; 4), ( 4; 4), (4; 4).
798. а) 2; б) 4. 799. а) 6; б) 7. 800. а) Верблюд; б) страус. 801. а) Беrун;
1
r) журавль. 814. а) ; б) 3; в) 3; r) 3. 815. 1) 0,8; б) 19; в) 1,7; r) 35,5.
2
4 3
817. а) 10;б) I; в) 4; r) 6,5. 818. а) з;б) 1; в) 3,5; r) 28' 819. а) 3;б) I.
( 20 40 )
824. а)(l; 2); б)(3: 2). 827. а)(5; 5); б)(8; 4), 7; 7 .828. а) 10; б) 5; в) 120;
r) 14. 829. а) 35; б) 2; в) 3; r) 5. 830. а) 13; 6) 12; в) 1: r) о. 831. а) 1; 6) 0,2;
в) любое число; r) 1. 832. 3 и 2.833.1 и 6.834.3 и 2. 835. 4 и 1.
836.6 мальчиков, 4 девочки. 837. 8 и 6 лет. 838. 6 воробьев, 3 синицы.
839.92 ученика. 840. 14 и 21 человек. 841. 10,5 и 42. 842. 26,1 и 30.
154
843. 62 и 50. 844. а) 2 или 4: б) 2 или 4. 860. а) 5: б) 2,5; в) 0,4; r) 0,9.
871. а) (4; 8): б) (1; 1); в) (2; 1); r) ( 2; 4). 876. б) 2; в) х < 2; r) Х > 2.
877. б) 3; в) х > 3; r) х < 3. 878. а) х > 2; б) х,;;;; 2; в) х < 2; r) х ;;. 2.
879. а)х > 1; б)х';;;; 1; В)Х < 1; r)x;;' 1. 880. а)х< 2: б)х;;' 2; в)х> 2;
r) х ,;;;; 2. 881. а) х < 2; б) х ;;. 2: в) х > 2; r) х <. 2. 889. а) 1, 2; б) 1, 6; в) О, 2;
r) О, 3. 890. а) 5, 7; б) 3, 5; в) 5, 1; r) 3, 7. 891. а)(3; 0),(0; 9); б) х < 3;
r) 6, 3. 892. а) (3; 0),(0: 6); в) х < 3: r) 2, 8. 893. а) ( 5: 0),(0; 5); б) х < 5;
r) 1, 6. 894. а) (2; 0),(0; 6); в) х < 2; r) 0,9.895. а) ( 6; 0),(0; 45); б) (3: 0),
(о; 7,8); в) (8; О), (о; 27,2); r) ( 2; 0),(0; 36,2). 896. а) Да: б) нет; в) нет;
r)да. 897. а) Не существуют; б)у нанб. 2; B) 1,5; 1: r)y нвнб. 4. 898. а) 1,3:
б) У наи . 2; в) У иаим. 3; r) не существуют. 899. а) (6; 6); б) ( 1; 1).
900. а) ( 3; 3); б) (4: 4). 901. а) (15; 30); б) (21; 7). 902. а) 7; б) 6,5; в) 27;
1
r) 3. 903. а) : б) 6: в) 2; r) 36. 904. А > В. 905. С < D. 906. а) k> О, т> О:
3
б) k < О, т > о; в) k> О, т < о; r) k < О, т < 0.908. а) 3; 1; б) ::1::3; в) нет
7
решений; r) 1; 5. 920. а) s s-t; б) s 4t; в) s 3t; r) s 3t. 925. а) 0,3;
б) Уивим. 3: в) Уивиб. 3; r) 3, 3. 926. а) У ианб . 4: б) У нвнб . о; в) У нанм . '"' 2:
r) У нанм. О. 930. а) О, 2; б) У ванм . '"' 2; в) У ианб . о; r) не существуют.
931. а) 3, 3; б) не существуют: в) У. внб . :::;о 3; r) У. вим . 3. 933. а) и в) Некор'
ректное задание; б) ( 1; 3); r) (1; 4). 945. а) (1; 5); б) и r) некорректное
задание: в) (о; 4). 946. а) и в) Прямые совпадают; б) (1: 1); r) (1; 2).
947. а) и в) Некорректное задание; б) прямые совпадают; r) (О; О).
951. k;;' О, т < О, а > О, Ь 0.952. k < О, т ;;. О, а > О или а < О, Ь> О.
rll888 7
975. а) (о; О); (2; 4); б) (о; О); ( 3; 9): в)(О; О); (1; 1); r) (О; О); ( 1; 1).
976. а) ( 1; 1): (2; 4); б) и r) точек пересечения нет; в) (1; 1); ( 2; 4).
977. а) ( 1; 1); (3; 9); б) точек пересечения нет; в) (1; 1); ( 3; 9); r) точек
1
пересечения нет. 983. а) 0,4; б) 0,2,25: в) 0,6,25; r) О, 9.984. а) У. вим . "4;
1
б ) У О. В ) У О. r ) У 1 44 985 а ) б ) В ) У О. r ) У
каим. ' нанм. ' Н8НМ. ,. ." НВНМ. ' НаНМ. 25 .
986. В >А. 987. С > D. 988.М> N. 989. L N. 990. P Q. 991. в >А.
992.А> В. 993. R S. 994. а)(l; 1); б)(2: 4); B)( I; 1); r)( 2; 4). 995. а)(2; 5);
б) (3: 9); ( 3; 9); в) (1; 1); r) (о; О); ( 2; 4). 996. a)::I::l; б) ::1::2; в) о; r) нет корней.
997. а) о; 2; б) о; 3; в) о; 2; r) о; 3. 998. а) 3; 2; б) 1; 2; в) 1; 2; r) 3; 2.
999. а) 1: 3; б) 1; 2: в) 1: 3; r) 1: 2. 1000. а) (2; 2); б) (о; О); (1; 1).
1001. а) ( 4: 12); б) ( 1; 1). 1002. а) 1; 3; б) 1; 3; в) 1; 3; r) 3; 2.
1003. а), 6), в), r) нет корней. 1004. а) 1; б) 2; в) 1; r) 2.
1005. а), б), в), r) нет корней. 1011. а) 5а + 11; б) 5а 8; в) 5а 19:
r) 5а + 24. 1012. а) 2; б) 3a + 2: в) 1; r) 6a + 6. 1013. а) 3x + 10:
155
б) 9х 2 12х + 4; в) 3х; r) 9х 2 . 1014. а) 3х + 2; б) 6x + 2; в) 24х + 2;
r) 12x + 2.1015. а) 1,6х + 6,7; б) 1,6х 4,5: в) 1,6х + 17,9; r) 1,6х 6,1.
1016. а) 3, 7х 5,2; 6) 3, 7х 2 5,2; в) 7,4.r 5,2; r) 3,7х. 1017. а) 4: б) 9а 2 ;
1
в)9: r) ga 2 .1018. а)х 2 ; 6)х 2 +4х+ 4; в) 25 10х +х 2 ; r) 4х 2 + 12х.l019. а)х 4 ;
б) х 4 4,r + 4: в).х8; r).x8 + 2х 4 + х 2 . 1020. а) X12: б) X12; в) 9X10; r) 9x 10 .
1021. а) 3; б) 11; в) 14; r) 5. 1022. а) 0,7; б) 14,3; B) 5; r) 5. 1023. а) 25;
б) 23; в) 5; r) 25. 1028. а) [ 3; 4); б) УНОЛ". "" О при Х О, Ун.нб. 9 при Х 3;
в) убывает на [ 3, О] и возрастает на (0,4]; r) нет. 1029. а) [ 2, 2]; 6) унол". О
при Х О, Ун.иб. 4 при Х 2; В) убывает на ( 1, О], возрастает на [ 2, 1] и
на [О, 2]; {') т. разрыва: Х 1. 1030. а) 16; б) некорректное задание;
в) некорректное задание; {') 9,8. 1031. а) Да; б) нет. 1032. а) 6,4; б) 9;
в) 1; r) 16. 1033. а) 5,2; б) 12,25; в) 12,25; r) 10,2.
{ X, Х <: О: { 2Х, Х <: 1; { 2, Х.;;; 2; { 2, Х.;;; 2;
1041.а)у= б)у= ;в)у= ;r)y:o
Х, Х > О. 2, Х > 1. X, Х > 2. Х, Х> 2.
1042. а) у = { Х2, Х <: о; 6) у :о { Х2, k х <: 2; В) у = { \ 5 .;;; х <: 1;
x, Х> О. 4, х > 2. х , 1 < х .;;; 2.
{ I Х2, х<:о; j 2' 4 ';;;;x<: 2;
х 2 2 < х <: l'
r) у =' , 1043. а) у:о Х, О < х < 2; б) У = х, 2 < х < 1;
х, 1 < х < 5.
2, х> 2. 3х 2, 1 <: х <: 2.
j x, 4 <: х .,; о; 1 3, 5 < х <: 1;
х 2 х < l'
в) у = 3х, 0< х < 1: r) у = 3x, 1 < х.,; о; 1044. а) у = { ' ,
2 Х, Х ;;;.1.
3, х > 1. х , 0< х < 2.
l x' 4 < х .,; 1; j 2X х <: О.
" х 2 х+l x 2
б)у= х 2 , 1<x<l: в) у= 3x(x l) r)y= / l( ) .
2 . 1 ' х> о; х + 1) х 2)
х, х;;;. . х 1
rлава 8
1062. а) (2; 2); 6) (о; О); в) (3; 9); r) (4; 1). 1063. а) (3; 2); б) нет; в) (2; 3);
r) любые (х; у). 1064. а) ( 3; 2); б) ( 3; 2). 1065. а) (3; 2); б) ( 2; О).
1066. а) (2; 2); б) (2; 2). 1068. а) (1; ); б) (2; 5). 1069. а) (6; 2); б) (2; 3);
в)(3: 2); r)(5; 10).1075. а)6: 6) 12. 1076. а) а 5: Ь 3; б)а 2,2; Ь 4,8.
1077. (2; 1). 1081. а) (1; 2); 6) ( 151 ; 2 1 2 1 } в) (3; О); r) (2 ;1*}
156
1082. а) (5; 3); 6) ( 8; О); в) (1; 2); r) (10; 2).1083. а) (44; 11); 6) (15; 90);
в)(2; 8); r)( 10; 2).1084. а) (20; 2); б)(8; 12); B)( 15; 37,5): r)( 4,5; 9).
1085. а)(4; 2): 6) (4 ; ): в)(5; 6): r)(5; 1).1086. а)(l; О); 6)(9: 7); в)(4; 2):
. . . ( 4 ' 10 ) . ( З ' 1.!.!. ) .
r)(7,4,5). 1087.a)( 0,96,5,28),6) 29' 29'В) 13' 13'
( 6 10 ) ( 2 1 )
r) 1 41 ; 41 .1088. а) ( 3,5; 3); 6) ( 4; 3); в) (4; 3); r) 79; 4з .
1089. а)(10; 1); 6)(10; 1); в) ( ; 1} r) ( ; 1).1090. а)(6; 7): 6)(2: 1);
B)( 3; 2); r)(5: 2).1091. а) ( ; } б) нет решений; в)(l; 1); r)( 4; 6).
1092. а) ( i; ): 6)( 1,5: 1); B)( 0,6; 3,2); r)(2; 1). 1093. а)(4,4; 2,4);
б) (9; 4); в) ( 6; 4); r) ( 5; 3). 1094. а) (IЗ; 11); 6) (4; 3); в) (3; 7); r) (5: 3).
1095. а) (о; о); 6) (6; 6); в) (20; 20); r) (1; О). 1096. а) (6; 1); 6) (6; 3); в) (4: 3);
r) (2; 2). 1097. а) (2; 1); 6) (1; 2); в) (5; 2); r) (4; ) 1098. а) (60; 30);
6)(20; 18); в)(10; 8); r) ( 2; 1 ) 1099. а)(2; 1); 6)(3; 1); B)( 1; 4): r)(6; 6).
1100. а) ( 1 ; 127 ): 6) ( ;o): в) (з; ): r) (6; 7). 1101. а) ( 3; 2);
6) ( 6; } в) (15; 11); r) ( 4; 1 ) 1102. a)( 6; 5); 6)(10; 1); в)(5; 6);
( 132 75 ) ( 120 10 )
r)( 6; 12). 1103. а)(6; 4); 6) 29 ; 29 ; в) 29 ; 29 : r)(6; 5).
1104. а) (8; 9); 6) ( 15; 8); в) (20; 3); r) (15; ) 1105. а) (4; 3); 6) ( 3; 11);
1 11 5 16
l1 06.a )y x+ ; 6 )y 04x+46' В )у ""12х+26' r )y x .
3 3 " , , , . 7 7
2 1
1107. а) у 0,4x + 2; 6) У о:::: зх + 4; в) у "7Х 1; r) у 2x 4.
157
5 3
1108. а) у x + 5; б) у 2x+ 4; в) У x + 3;r) у 3x 3.
З 4
1109. а) { у:::; 4х + 4, б) { У = 0,5х + 2,; в) { У = 4, ; r) j y:::; %х + 3,
у :::; 4x 4; у :::; 2x + 7 у :::; 1,5х + 1 1 1
у:::; x .
3
1110. 18 и 2 км/ч. 1111.60 км/ч и 70 км/ч. 1112. 5 км/ч и 4 км/ч.
1113.13,5 км/ч и 4 км/ч. 1114. 2 км/ч. 1115.40 км/ч. 1116.42,35.
7 3
1117. 9; 6. 1118. . 1119. . 1120. 340; 200.1121.200; 160.1122.30;
9 7
35. 1123. 40; 10,2. 1124. 24 км/ч; 60 км/ч. 1125. 30 и 4 км/ч; 20 ч.
1126. 12 км. 1127. 12 км/ч. 1128. 15 см/с; 10 см/с. 1129. 38 ra; 34 ra.
1130. 4 ц; 5 ц. 1131. 3 т; 5 т. 1132. 72, 90 деталей. 1133. 720; 150
учебников. 1134.66 и 44 книrи. 1135.12 мячей. 1136. 260; 110. 1137.86.
1138.74.1139.75.1140.435 деталей. 1141. 40 т; 60 т. 1142.40 т; 100 т.
1143. 12 Kr. 1144. 70 и 100 км/ч или 100 и 60 км/ч. 1145. 18.
оrЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для учителя........................ ...................... 3
r:taBa 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
1. Числовые и алreбраические выражения......... ...... ... 5
2. Что такое математический язык 12
3. Что 'l'aкQe математическа.я модель .......................... 15
rдава 2. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЕ СВОЙСТВА
4. Что такое степень с натуральным показателем ......... 20
5. Таблица основных степеней..... ..... .... ... ..... ............ 24
6.Свойствастепенейснатуральнымпоказателем ........ 26
7. Умножение и деление степеней
содинаковымипоказателями .,. .., ...... ... ... ... ........... 30
8.Степеньснулевымпоказателем ............................. 32
r.1UIЗa 3. ОДНОЧЛЕНЫ. ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ
9. Понятиеодночлена. Стэ.вдартныйвидодночлена .....34
10. Сложение и вычитание одночленов .........................36
11. Умножение одночленов. Возведение одночлена
в натуральную степень .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. 41
12. Деление одночлена на одночлен. .............. ..............45
r лава 4. мноrОЧЛЕНЫ. ОПЕРАЦИИ НАД мноrОЧЛЕНАМИ
13. Основные понятия................................ ............... 47
14. Сложение и вычита:вие мноrочленов ....................... 50
15. Умножение мноrочленана одночлен .......................52
16. Умножение мноrочленана мноrочлен .....................57
17. Формулы сокращенноroумв:ожения .......................59
18. Деление мноrочлена на одночлен ............................64
159
rдава 5 РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНО8 НА МНОЖИТЕЛИ
19. Что такое разложение мноrочленов на множители f
и зачем оно нужно ...............'...............................67 1
20. Вынесение общеrо множителя за скобки..... ...... .. . ... . 68
21. Способ rруппировки ............................................. 70
22. Разложение мноrочлена на множители
с помощью формул сокращенноrо умножения........... 72
23. Разложение мноrочлена на множители
с помощью комбинации различных приемов ............. 76
24. Сокращение алrебраических дробей ........................ 78
25. Тождества............. .............................................84
rлава 6. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
26. Координатная прямая... ...... ...... .. . .. . .. ...... ... .......... 86
27. Координатная плоскость ...................................... 90
28. Линейное уравнение с двумя переменными
и ero rpафик ........................................................ 95
29. Линейнаяфувкция и ее rрафик ..... ....................... 100
30. Прямаяпропорциональность иееrрафик ..............107
31. Взаимное расположение rрафиков
ливейвыхфувкций .... .................. ...... ........... .....113
rлава 7. ФУНКЦИЯ у х 2
32. Функция у = х 2 И ее rрафик ................................. 116
33 .I»афическое решение уравнений .......................... 122
34. Что означает в математике записьу=f(х) ..............123
rлава 8. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
35. Основные понятия .............................................133
36. Метод подстановки ................ ............................ 136
37. Метод алrебраическоrо сложения......................... 139
38. Системы двух линейных уравнений
с двумя переменными
как математические модели реальных ситуаций...... 142
ОТветы.............................................. ...................... 147