/
Author: Чандрасекхар С.
Tags: астрономия астрофизика исследование космического пространства геодезия физика механика жидкостей и газа
Year: 1973
Text
ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ
ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ
С. ЧАНДРАСЕКХАР
ELLIPSOIDAL FIGURES
OF EQUILIBRIUM
BY
S. CHANDRASEKHAR
NEW HAVEN AND LONDON, YALE UNIVERSITY
PRESS, 1Й69
ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ
ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ
С. ЧАНДРАСЕКХАР
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
В. Н. РУБАНОВСКОГО
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
В. В. РУМЯНЦЕВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1973
УДК 52 + 53
В книге дано подробное изложение классической
задачи о фигурах равновесия вращающейся жидкой
массы. Особенность ее — широкое применение разра-
ботанного автором так называемого вириального
метода. После краткого исторического вступления
Чандрасекхар выводит вириальные уравнения до 4-го
порядка включительно и излагает принципы своего
метода. Далее даны выражения для потенциала
однородных и неоднородных тяготеющих эллипсо-
идов и рассмотрена устойчивость различных эллипсо-
идальных фигур, бифуркация фигур равновесия и
влияние вязкости на устойчивость фигур.
Книга представляет большой интерес для спе-
циалистов по механике жидкости, теории устойчи-
вости, астрономии и космогонии.
Редакция космических исследований^
астрономии и геофизики
0264-115
4 041(01 >73
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Настоящая монография принадлежит перу крупного специа-
листа в области теоретической астрофизики и математической
физики, профессора Чикагского университета С. Чандрасекхара,
хорошо известного советскому читателю по переводам ряда его
книг.
Монография посвящена теории эллипсоидальных фигур равно--
весия вращающейся однородной гравитирующей жидкости и их
устойчивости.
Теория фигур равновесия привлекает к себе пристальное
внимание ученых в течение вот уже более трех столетий. Ею
занимались такие ученые, как Ньютон, Маклорен, Якоби, Лиу-
вилль, Дирихле, Дедекинд, Риман, Пуанкаре, Ляпунов; Дарвин,
Лихтенштейн, Четаев и многие другие. Интерес к этой теории
обусловливается ее значением для астрофизики и космогонии,
в частности важностью ее выводов для теории фигур небесных
тел, в том числе и Земли, а также привлекательностью ее
задач, сочетающих изящество и простоту постановки с боль-
шими трудностями решения.
На русском языке имеется ряд превосходных книг по теории
фигур равновесия вращающейся жидкости. В отличие от них
в предлагаемой вниманию читателя монографии классическая
теория эллипсоидальных фигур равновесия однородной вра-
щающейся жидкости излагается по-новому, на основе последо-
вательного применения вириального метода, разрабатываемого
автором и его коллегами. Вириальный метод представляет собой
разновидность метода моментов; примененный к решению гидро-
динамических задач, он позволяет достаточно элементарно полу-
чать как точные стационарные решения задач, так и иссле-
довать в первом приближении устойчивость таких решений.
Благодаря единому новому подходу классические результаты,
полученные в свое время разными методами, объединены в логи-
чески стройную упорядоченную систему, позволяющую охватить
в целом всю совокупность эллипсоидальных фигур равновесия
и усмотреть тесные связи между отдельными семействами этой
совокупности. При этом автору удалось также в ряде вопросов
получить новые результаты и тем самым значительно дополнить
теорию эллипсоидальных фигур.
6 Предисловие редактора перевода
В книге имеются многочисленные библиографические заме-
чания и ссылки на оригинальные работы и обзоры, посвященные
рассматриваемому кругу вопросов. Некоторые из этих заме-
чаний дискуссионны. Бросается также в глаза отсутствие
ссылок на работы Ляпунова, имя которого упоминается лишь
в одном месте и то вскользь. Это тем более поразительно, что,
как хорошо известно специалистам, именно Ляпунову принад-
лежат фундаментальные вклады как в общую теорию фигур
равновесия вращающейся жидкости, так и в теорию устойчи-
вости этих фигур, в частности эллипсоидов Маклорена и Яко-
би, а также грушевидных фигур. Чтобы как-то восполнить этот
пробел, мы сочли необходимым дать в соответствующих
местах несколько ссылок на работы Ляпунова.
Книга полезна и интересна научным работникам в области
математической физики, астрономии, теоретической и небесной
механики, а также студентам механико-математических и физи-
ческих факультетов университетов.
В. Румянцев
предисловие
Когда в 1962 г. меня попросили принять участие в Силлиманов-
ских мемориальных чтениях в 1963 г., я был занят вместе
с Норманом Р. Лебовицем пересмотром классической теории
о вращающихся жидких массах в рамках нового метода и но-
вого подхода. В четырех лекциях о „Вращении небесных тел",
которые мною были прочитаны в апреле 1963 г., я пытался дать
широкий обзор этого предмета в духе следующей выдержки
из замечательной лекции Е. Т. Уиттекера „Вращение во Все-
ленной" :
„Вращение является универсальным явлением; Земля и все
другие планеты солнечной системы вращаются вокруг своих
осей, спутники вращаются вокруг Солнца, а само Солнце яв-
ляется членом Галактики, или системы Млечного Пути, кото-
рая вращается весьма замечательным образом. Отчего проис-
ходят все эти вращательные движения? Чем обеспечивается
их неизменности или что вносит изменение в них? И какую
роль они играют в системе мира?"
Лишь последняя из четырех лекций была посвящена тому,
что составляет содержание этой книги. Однако в 1963 г. я не
знал, сколь неполной была классическая теория и как много
еще оставалось сделать; кроме того, мне даже не было изве-
стно о существовании фундаментальных работ Дирихле, Деде-
кинда и Римана. Вот почему я предпочел посвятить всю книгу
развитию последней лекции; в этом отношении книга может
считаться завершенной, на что я не могу претендовать в отно-
шении более общих вопросов, служивших темой других лекций.
Завершением этой работы, которая является существенной
частью настоящей книги, я во многом обязан д-ру Норману Р.
Лебовицу, который постоянно сотрудничал со мной и кому при-
надлежат многие существенные идеи. Я также благодарен мисс
Донне Д. Эльберт за ее постоянную помощь, а также д-ру
Эдварду П. Ли, который прочитал всю рукопись и помог устра-
нить недостатки и ошибки.
16 апреля 1968 г. С. Чандрасекхар
Глава 1
ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
1. ньютон
Изучение гравитационного равновесия однородных равно-
мерно вращающихся масс было начато исследованием Ньютона
фигуры Земли („Начала", книга III, предложения XVIII — XX)1).
Ньютон показал, что медленное вращение фигуры должно при-
водить к незначительной сплюснутости и, далее, что при рав-
новесии тела имеет место прямая пропорциональность между
результатом вращения, измеряемым сжатием
8 =
экваториальный радиус — полярный радиус
средний радиус (Я)
(1)
и его причиной, измеряемой величиной
центробежное ускорение на экваторе
Ш = " - ....... 1 — - - — — -- 1 ------ =
среднее гравитационное ускорение на поверхности
Q2R _ Q2R2
' ~ GM/R2 ~ GM ’ 1’
где G обозначает постоянную тяготения, а М — массу тела.
Более точно Ньютон установил соотношение
е = m (3)
для однородного тела. Аргументация, использованная Ньютоном
при выводе этого соотношения, столь убедительна, что ее стоит
напомнить.
Ньютон представил себе мысленно скважину с единичной
площадью поперечного сечения, пробуренную от точки на эква-
торе к центру Земли, и аналогичную скважину, пробурен-
ную от полюса к центру; далее он представил себе, что эти
скважины заполнены жидкостью (рис. 1, соответствующий под-
линному рисунку Ньютона в „Началах"). Из того факта, что
*) Русский перевод: И. Ньютон, Математические начала натуральной
философии. В книге: А. Н. Крылов, Сочинения, т. 7, Изд-во АН СССР, 1936. —
Прим, перев.
10
Глава 1
жидкость в скважинах будет находиться в равновесии, Ньютон
заключает, что „веса" экваториального и полярного столбов
жидкости должны быть равны. Однако ускорение, действующее
вдоль экваториального радиуса и вызываемое силами притяже-
ния, ослабляется центробежным ускорением. Поскольку для
однородного тела оба эти ускорения изменяются пропорцио-
нально расстоянию от центра, фактор ослабления остается
Рис. 1. Иллюстрация
из «Начал», относящаяся
к доказательству Нью-
тоном уплощения Земли
вследствие ее вращения.
' Полюс Полюс
Полюс полюс
' НЬНЗТОН КАССИНИ
Рис. 2. Старинная карикатура,
относящаяся к полемике меж-
ду противоположными школами
Ньютона и Кассини в вопросе
о фигуре Земли.
постоянным и дается его значением на поверхности, а именно
величиной т.
Если через а обо'значить экваториальный радиус, то вес
экваториального столба жидкости определяется выражением
вес экваториального столба = а#9Кватор С1 — т)> (4)
где Яэкваюр — ускорение, определяемое силой притяжения на эква-
торе. Аналогично, если через b обозначить полярный радиус,
то
вес полярного столба = у bgnomoc. (5)
Поскольку эти веса должны быть равны, то
экватор 1 bgполюс ‘
Но для слегка сплюснутого тела
. ^полюс. = t + * е_|_ О (в2).
Экватор О
(7)
Историческое введение 1Т
Из уравнений (6) и (7) и определения величины е (= 1 — Ь/а)
теперь получаем
1—т==(1—е)(1 +|8) + о(е2) = 1-|£ + о(€2), (8)
откуда и следует соотношение Ньютона (3).
Во времена Ньютона уже было известно, что
m = "290 ’ (9)
Поэтому Ньютон заключил, что если бы Земля была однород-
ной, то она имела бы величину сжатия
. _ 5 1________________________1_
е — 4 290 230 • 'lU'
Этот вывод Ньютона противоречил астрономическим дан-
ным того времени, и „два поколения лучших астрономов-на-
блюдателей, принадлежащих к школе Кассини, напрасно бо-
ролись против авторитета и доводов Ньютона" (Тодхантер,
„История", 1, стр. 100). Противоположность взглядов Ньютона
и Кассини замечательно проиллюстрирована на старой кари-
катуре (рис. 2). Тем не менее лишь геодезические измерения,
проведенные Мопертюи и Клеро (1738) в Лапландии, оконча-
тельно подтвердили явление уплощения поверхности Земли
у полюсов. Как писал, Тодхантер: „Успех арктической экспе-
диции в большой мере следовало бы приписать искусству и
энергии Мопертюи, и его имя стало широко известно. На гра-
вюрах того времени его изображали в костюме лапландского
Геркулеса и меховой шапке, надвинутой на глаза; в одной
руке он держал дубину, а другой сжимал земной глобус".
А Вольтер, в то время друг Мопертюи, тепло поздравил его
с „прижатием полюсов и сторонников Кассини". Позднее Мопер-
тюи и Вольтер были вовлечены в трагикомическую полемику,
и Вольтер написал
Vous avez confirmd dans les lieux pleins d’ennui
Ce que Newton connut sans sortir de chez lui1).
Теперь мы знаем, что величина действительного сжатия Зем-
ли ~ 1/294 существенно меньше значения ~ 1/230, предсказан-
ного Ньютоном, и .это расхождение объясняется неоднородностью
Земли.
*) И подтвердили вы среди пустынь теперь
Лишь то, что Ньютон знал, не выходя за дверь.
12
Глава 1
2. МАКЛОРЕН
Следующий успех (1742) теории связан с именем Мак-
лорена, который обобщил результат Ньютона на случай, когда
сжатие, обусловленное вращением, нельзя считать малым.
До этого Маклорен решил задачу о притяжении сплюсну-
того сфероида во внутренней точке; в частности, он показал,
что ускорение, вызываемое силами притяжения, на экваторе
и полюсах имеет значения
^экватор = 2nGpa ~ 3g2) - [arc sin е - е (1 - e2)'/s]
И
£полюс = 4лСра (1 ~ з ) [е — (1 — е2)Лагс sin е], (11) *
где р — плотность сфероида, а —его большая полуось и е —
эксцентриситет. Поскольку центробежное ускорение в эквато-
риальной плоскости и ускорение, вызываемое силами притяже-
ния, линейно зависят от координат, рассуждения Ньютона
справедливы и в этом случае, и можно написать
2
бэкватор = Йполюс (1 #2)2
ИЛИ
^2 = [^экватор £полюс (1 ““ £2) 2 ] • (12)
/
Подставляя сюда выражения для £экватор и £Полюс из уравне-
ний (11), получим формулу Маклорена
1
^- = -^P^2(3-2e2)arcsine--J-(l-e2). (13)
Из приведенного выше вывода не следует, что быстро вра-
щающаяся масса непременно принимает форму сплюснутого
сфероида. Но Маклорену удалось показать, «1) что равнодей-
ствующая сил притяжения сфероида и центробежных сил все-
гда направлена по прямой, перпендикулярной к поверхности
сфероида; 2) что столбы жидкости поддерживают или уравно-
вешивают друг друга в центре сфероида и 3) что любая час-
тица в сфероиде побуждается к движению одинаково во всех
направлениях».
Чтобы оценить перечисленные результаты Маклорена, необ-
ходимо вспомнить, что в то время еще не была создана теория
Историческое введение
13
гидростатического равновесия, дающая достаточные условия
для поставленной задачи, поэтому Маклорен ограничился дока-
зательством того, что все известные необходимые условия рав-
новесия выполняются. Учитывая уровень знаний в его время,
можно только восхищаться достижением Маклорена в выводе
точного соотношения (13). Как замечает Тодхантер: «Макло-
рен вполне заслуживает соединения его имени с именем вели-
кого ученого в посвящении, гласящем, что он был назначен
профессором математики в Эдинбурге ipso Newtono sua-
dente1)».
Замечательная особенность формулы Маклорена была от-
мечена Томасом Симпсоном (1743): для любого значения угло-
вой скорости, меньшего определенного максимального значе-
ния, существуют две и только две возможные «сплюснутые»
фигуры. Этот результат интересен тем, что из условия малости
угловой скорости еще не следует, что сфероид мало отличается
от сферы; при S22 —*0 имеем два решения: первое действительно
приводит к сфероиду малого эксцентриситета, а второе — к силь-
но сплюснутому сфероиду. Принято считать, что первым, кто
обратил внимание на это свойство соотношения Маклорена,
был Даламбер; однако Тодхантер отметил: «Хотя первым этот
результат опубликовал Даламбер, но еще Симпсон дал таб-
лицу, в которой представлен этот результат».
3. ЯКОБИ
Почти 100 лет после открытия Маклореном сфероидов (по-
лучивших его имя) считали, что только они представляют при-
емлемые решения задачи о равновесии равномерно вращаю-
щихся однородных масс. Предполагавшаяся общность решения
Маклорена никогда не подвергалась сомнению — даже Лагран-
жей, который в своей «Аналитической механике» (1811) фор-
мально рассматривал возможность существования эллипсоидов
с неравными осями, удовлетворяющих условиям равновесия.
Получив два определяющих уравнения, в которые две эквато-
риальные оси входят симметричным образом [см. ниже урав-
нения (17)], Лагранж, однако, делает заключение, что обе оси
должны быть равны, хотя из полученных соотношений можно
вывести только достаточность, но не необходимость этого усло-
вия. Якоби (1834) обратил внимание на неполноту доказатель-
ства Лагранжа2), отметив следующее: «Было бы глубоко
’) По рекомендации самого Ньютона (лат.).
2) Точнее, как указывает Дирихле в его «Gedachtnissrede auf Carl Gustav
Jacob Jacobi», сомнение Якоби было вызвано употреблением слова «необхо-
димость» автором «хорошо известного учебника», рассматривавшим исследова-
ния Лагранжа.
14
Глава 1
ошибочно считать, что сфероиды вращения являются единствен-
ными допустимыми фигурами равновесия, даже если ограни-
читься рассмотрением только поверхностей второго порядка»»
Делая последнее утверждение, Якоби ссылается на следующее
обстоятельство: в то время как соотношение Маклорена дает
в пределе при Q2 —>-0 два решения, одно с е—>0 и другое
се~*1, Лежандр показал, что в предположении фигуры, близ-
кой к сфере (так что притяжение в точке на ее поверхности
может быть разложено по степеням отклонения точек этой по-
верхности, от сферы), мы получим только первое из этих двух
решений и «ни в каком-либо приближении, а вполне геометри-
чески строго1)». Согласно Якоби, из доказательства Лежандра
можно вывести заключение, что фигуры равновесия могут су-
ществовать, и это заключение не следует из существования пре-
дельных сферических фигур. Якоби заключает: «В самом деле,
простое рассмотрение показывает, что эллипсоиды с тремя не-
равными осями вполне могут служить фигурами равновесия;
при этом экваториальное сечение можно взять в форме произ-
вольного эллипса и определить третью ось (наименьшую из
трех. осей) и угловую скорость вращения так, чтобы этот эл-
липсоид быЛ фигурой равновесия».
Существование этих эллипсоидов Якоби, как и соотноше-
ний, служащих для их определения, можно установить простым
обобщением оригинального доказательства Ньютона.
В то время, когда Якоби сделал свое открытие, было изве-
стно, что проекции силы притяжения gi (i= 1,2,3) на направ-
ления главных осей эллипсоида имеют вид
' gi = 2nGpAlxl, (14)
где At = a^a3 f > (15) o' (<Ч + «)Д
и A2 = (a2 + и) {al + «)(a2 + «). (16)
Эти формулы для составляющих силы притяжения впервые
были получены Гауссом (1813) и независимо от него Родригом
(1815). Однако в менее симметричной форме, как их обычно
представляют с целью приведения к стандартным эллиптиче-
ским интегралам первого и второго рода, они были известны
значительно раньше: как утверждал Лежандр, они имелись
уже в рукописях Маклорена, а для эллипсоидов с тремя нерав-
*) Сходимость последовательных приближений впервые доказана А. М. Ля-
пуновым. Собр. соч., т. III, Изд-во АН СССР, М., 1959, стр. 114—146.—
Прим, перев.
Историческое введение
15
ными осями впервые1) встречаются у Лапласа в «Theorie du
Mouvement et de la Figure Elliptique des Planetes» (1784).
Возвращаясь к обобщению доказательства Ньютона на слу-
чай трехосных эллипсоидов, представим себе, что вдоль на-
правлений главных осей эллипсоида от его поверхности к цент-
ру пробурены три скважины, целиком заполненные жидкостью.
Из условия равновесия жидкости в этих скважинах следует
равенство ве</ов трех столбов жидкости (с единичной пло-
щадью поперечного сечения). Таким образом, имеем
2 V? - =2 V! - = 2А4 (17)
Из этих соотношений следует (если =# а2 ¥= «з)
Q2
лОр
„2 „2
fllj
л Я|Л?— Л2«2 - Г udu
2-Ц-----=2ata2a3 ,2
0J (а1+и)(^ + «)Д
Имеем также следующее чисто геометрическое условие:
д1-4л3=л2-4а
а\ а2
или
В явном виде последнее соотношение запишется так:
со со
л2„2 f du _ 2 f du
’Ч (а? + «)(а| + «)Д 30J Н + »)Д’
(1$)
(19)
(20)
(21)
Именно в таком виде уравнения (18) и (21) приведены в ра-
боте Якоби. Далее Якоби утверждает, что при любых выбран-
ных и а2 уравнение (21) служит для определения величины
а3, удовлетворяющей неравенству
_L>_L + _L
а23 а| ’
(22)
а в случае, когда at = аг, уравнения (18) и (21) определяют
конфигурацию, общую для сфероидальных и. эллипсоидальных
последовательностей фигур равновесия.
i) Как отмечает Тодхантер, сами формулы встречаются в рукописях Да-
ламбера, хотя «он намеренно отбрасывает их... это, быть может, са^ая стран-
ная из всех его (Даламоера) странных ошибок». А по поводу работы Лапласа
Тодхантер пишет: «Таким образом, Лаплас оценил и нашел применение сокро-
вищу, которое Даламбер намеренно отбросил».
16
Глава 1
Томсон и Тэт об этом открытии Якоби пишут в «Натураль-
ной философии» (2, стр. 530): «Эта любопытная теорема была
найдена Якоби в 1834 г. и, по-видимому, была высказана им
как вызов французским математикам». В «Истории» Тодхан-
тера нет намека на то, что Якоби бросал какой-либо вызов.
Однако Тодхантер ссылается на сообщение Пуассона Париж-
ской академии от 24 ноября 1834 г. и пишет: «Пуассон сначала
ссылается на письмо, недавно посланное Якоби Парижской
академии, в котором были изложены два результата. Один из
них представляет то, что мы называем теоремой Якоби, а имен-
но, что эллипсоид есть одна из возможных форм относитель-
ного равновесия вращающейся жидкости; другой результат
связан с притяжением неоднородного эллипсоида... Сообщение
Пуассона относилось ко второму результату».
4. МЕЙЕР И ЛИУВИЛЛЬ
В своей краткой заметке по обсуждаемому вопросу Якоби
не полностью исследовал связь найденных им эллипсоидов со
сфероидами Маклорена. Первым, кто это сделал, был Мейер
(1842). Основной результат Мейера состоит в доказательстве
того, что последовательность эллипсоидов Якоби «ответвляется»
(согласно более поздней терминологии Пуанкаре) от последо-
вательности сфероидов Маклорена в точке, для которой экс-
центриситет е = 0,81267. Этот результат легко может быть по-
лучен из уравнений Якоби (18) и (21). В самом деле, полагая
в этих уравнениях at = а2, получим соотношения
J ------—-------Т (23)
° (»;+«)>(«=+»)"
и
---------du-----= ------du-----(24)
0 (a j + u)3 (af + «)2 ° (a2 + «)(a2 + «)2
при этом левую часть уравнения (23) следует теперь отожде-
ствить с функцией Маклорена (13). Можно показать (см. разд.
39), -что уравнения (23) и (24) одновременно удовлетворяются,
когда
е = 0,81267 и Q2/nGp = 0,37423. (25)
Известно, что максимальное значение, принимаемое вели-
чиной Q2/nGp для последовательности сфероидов Маклорена,
равно 0,4493. Поэтому для £22/л6р < 0,37423 существуют три
возможные фигуры равновесия: два сфероида Маклорена и
Историческое введение
17
один эллипсоид Якоби; для 0,4493 > Q2/nGp > 0,3742 воз-
можны только фигуры Маклорена, и, наконец, для Q2/nGp >
>0,4493 фигур равновесия не существует1). Такой перечень
возможных случаев указан Мейером.
В 1846 г. Лиувилль вновь получил результат Мейера, взяв
вместо угловой скорости в качестве параметра величину мо-
мента количеств движения, и показал, что в то время как
вдоль последовательности сфероидов Маклорена величина мо-
мента количеств движения возрастает от нуля до бесконечно-
сти, фигуры Якоби возможны только для значений момента
количеств движения, превосходящих определенное его значение
(а именно значение, соответствующее точке бифуркации на
ветви сфероидов Маклорена).
5. ДИРИХЛЕ, ДЕДЕКИНД И РИМАН
Поскольку не существует фигур равновесия для равномер-
но вращающихся тел, если угловая скорость превосходит опре-
деленный предел, возникает вопрос: что случится, когда угловая
скорость превзойдет этот предел? Именно к решению этого во-
проса обратился Дирихле зимой 1856—1857 гг. Несмотря на то,
что он включил эту тему в свои лекции об уравнениях с част-
ными производными в июле 1857 г., при жизни он не опублико-
вал никаких подробностей своих исследований. Результаты
Дирихле были восстановлены по его рукописям и подготовле-
ны к печати Дедекиндом. Как писал Риман, «в последней рабо-
те, подготовленной к печати Дедекиндом, Дирихле поразитель-
ным образом открыл совершенно новый путь исследования
движения самогравитирующего однородного эллипсоида. Даль-
нейшее развитие этого замечательного .открытия представляет
особый интерес для математиков, совершенно независимо от
его связи с вопросом о форме небесных тел, который послужил
поводом этих исследований».
Точная формулировка проблемы, которую в своей работе
проанализировал Дирихле, такова: при каких условиях воз-
можна конфигурация, которая в любой момент времени имеет
форму эллипсоида и в которой движение в инерциальной си-
стеме отсчета описывается линейной функцией координат? Ди-
рихле вывел общие уравнения задачи (в форме Лагранжа)
и дал их полное решение для случая, когда граничная поверх-
ность представляет собой сфероид вращения. Дирихле не дал
полного исследования фигур равновесия, допустимых при об-
щей постановке его задачи. Позднее Дедекинд (в приложении
1) Более точно, для Q2/itGp > 0,4493 не существует эллипсоидальной
фигуры равновесия. — Прим, пере в:
18
Глава 1
к работе Дирихле) доказал следующую теорему (хотя, как за-
метил Риман, в неявной форме она уже содержится в уравне-
ниях Дирихле): Пусть однородный эллипсоид с полуосями ait
а2 и а3 находится в гравитационном равновесии с предписан-
ным движением, проекции поля скоростей которого вдоль мгно-
венных направлений главных осей эллипсоида в инерциальной
системе отсчета даются выражением
ц(0) =
«11
«21
«31
«12 «22 «13 «23 x2l a2 = A Xj/a, x2/a2
«32 «33 x3/a3 Хц/а3
(26)
тогда этот эллипсоид будет представлять собой фигуру равно-
весия также и в случае, если движение таково, что отвечает
транспонированной матрице А', т. е. ц(°У дается выражением
- «11 «21 «31 Х/Й! Х1/Я1
u<°)' = «12 «22 «32 х21а2 = А' х21а2 (26')
«13 «23 «33 х3/а3 х3!а3
Будем называть конфигурацию с движением, отвечающим
матрице А', сопряженной конфигурации с движением, описы-
ваемым матрицей А.
В частности, Дедекинд исследовал конфигурации, конгруэнт-
ные эллипсоидам Якоби и являющиеся для них сопряженными
в смысле, определенном выше.
Движение эллипсоида Якоби, равномерно вращающегося
с угловой скоростью £2 вокруг оси %з, может быть представлено
в виде
0 — Йй2 0 Xj/Д]
u(0) = Qaj 0 0 х2/а2 • (27)
0 0 0 Хз/а3
Для сопряженной конфигурации движение характеризуется
скоростью
0 Q«i 0 xjav
u(or — _ Qa2 о 0 x2/a2 , (28)
0 0 0 x3/a3
или в проекциях
= „w=0. .(29)
' Очевидно, это движение удовлетворяет условию
( 2 2 2 \
Э+Э+Э-1=0’ (30)
U| Ur> Ug f
Историческое введение
19
необходимому для сохранения эллипсоидальной границы. Дви-
жение, описываемое формулами (29), представляет собой так-
же движение с равномерной завихренностью
g=-Q A + ±l) = _A±^q. (31)
\ Я1 a2J aia2
Это эллипсоиды Дедекинда, конгруэнтные эллипсоида^ Яко-
би. В инерциальной системе отсчета они стационарны и сохра-
няют свою форму за счет происходящих в них внутренних дви-
жений. (Ламб ошибочно приписывает Ляву установление этой
связи между эллипсоидами Якоби и Дедекинда.). Очевидно
также, что эллипсоиды Дедекинда ответвляются от сфероидов
Маклорена в той же самой точке, что и эллипсоиды Якоби.
Полное решение задачи о стационарных фигурах, допусти-
мых при общих предположениях Дирихле, было дано Риманом
в его знаменитой статье. Риман сначала показал, что при усло-
вии линейной зависимости поля скоростей от координат наибо-
лее общий тил движения, совместимого с условием сохранения
эллипсоидальной формы фигуры равновесия, представляет со-
бой суперпозицию равномерного вращения Я и внутренних дви-
жений с равномерно распределенной завихренностью жидкости
g (во вращающейся системе координат). Более точно, он пока-
зал, что эллипсоидальные фигуры равновесия возможны лишь
в следующих трех случаях: а) в случае равномерного вращения
без внутренних движений, б) в случае, когда направления век-
торов Я и g совпадают с направлением одной из главных осей
эллипсоида, и в) в случае, когда векторы Я и g лежат в одной
из главных плоскостей эллипсоида. Случай (а) приводит к по-
следовательности эллипсоидов Маклорена и Якоби. Случай (б)
приводит к последовательностям эллипсоидов, для которых от-
ношение f = g/Я остается постоянным (последовательности
Якоби и Дедекинда являются частными случаями этих общих
«последовательностей Римана» для f = 0 и оо соответственно).
И наконец, случай (в) приводит к трем другим классам эллип-
соидов. Риман получил уравнения для определения этих эллип-
соидальных фигур равновесия и в пространстве (а1,а2,аз) опре-
делил область, занимаемую ими. (Более детальное описание
свойств этих эллипсоидов будет приведено в гл. 7.) Риман пы-
тался также исследовать на основе энергетического критерия
устойчивость этих эллипсоидов. Но его критерий, как недавно
показал Лебовиц, ошибочен, так что выводы Римана, за исклю-
чением тех, которые относятся к последовательностям эллип-
соидов Маклорена и Римана для f —2, ошибочны.
Несмотря на то что работой Римана был сделан значитель-
ный шаг вперед в решении общей задачи Дирихле, еще много
вопросов оставалось без ответа. Действительно, не была даже
20
Глава 1
выяснена связь эллипсоидов Римана со сфероидами Макло-
рена. Эти вопросы оставались нерешенными более 100 лет. При-
чиной этого частично является эффектное открытие Пуанкаре
(см. ниже разд. 6), которое послужило источником последую-
щих исследований в, казалось бы, перспективных направле-
ниях, но после долгих поисков оказавшихся безрезультатными.
6. ПУАНКАРЕ И КАРТАН
Исследования, относящиеся к равновесию и устойчивости
эллипсоидальных фигур равновесия, для которых Дирихле и
Риман заложили такой прочный фундамент, приняли неожи-
данный оборот (из которого не было выхода в течение после-
дующих 75 лет), когда в 1885 г. Пуанкаре установил, что на
последовательности Якоби существует точка бифуркации, по-
добная точке бифуркации на последовательности Маклорена,
в которой от последовательности Якоби ответвляется новая по-
следовательность грушевидных конфигураций, подобно тому,
как от последовательности Маклорена ответвляется последова-
тельность Якоби1)- Этот результат Пуанкаре эквивалентен
утверждению (в современной терминологии), что на ветви Яко-
би существует точка, для которой отвечающий ей эллипсоид
имеет нейтральную форму колебания, относящуюся к третьей
гармонике. Следствие, которое также было высказано Пуан-
каре, состоит в том, что на ветви Якоби должны существовать
следующие точки бифуркации, для которых эллипсоид Якоби
имеет нейтральные формы колебания, принадлежащие к чет-
вертой, пятой и более высоким гармоникам. И Пуанкаре вы-
двинул гипотезу о том, «что бифуркация грушевидного тела
приведет далее, устойчиво и непрерывно, к образованию пла-
неты со спутником; бифуркация в четвертой зональной гармо-
нике, вероятно, неустойчиво ведет к образованию планеты
с двумя симметричными относительно нее спутниками; бифур-
кация в пятой гармонике — к планете с двумя спутниками с од-
ной ее стороны и одним с другой и т. д.» (Дарвин). Затем Дар-
вин высказал мысль о том, что происхождение двойных звезд
можно искать в подобной неустойчивости; так, в вопросе о про-
исхождении двойных звезд возникла «теория деления»2). По-
!) Это заключение было сделано Пуанкаре из исследования уравнений
лишь первого приближения. Еще до опубликования работы Пуанкаре (1886 г.)
аналогичное утверждение было высказано А. М. Ляпуновым (1883 г.) (Собр.
соч., т. III, Изд-во АН СССР, М., 1959, стр. 5—113, см. Положение IV на
стр. 113). С полной строгостью существование бесчисленного множества но-
вых фигур равновесия, которые до этого были известны лишь в первом при-
ближении, было установлено А. М. Ляпуновым (Собр. соч., т. IV, Изд-во АН
СССР, М., стр. 5 — 645). — Прим, перев.
2) Несостоятельность этой космогонической гипотезы Дарвина об образо-
вании двойных звезд из грушевидных фигур равновесия стала ясна после до-
Историческое введение
21
строенная таким образом грандиозная умозрительная панорама
была столь впечатляющей, что последователи Пуанкаре не пре-
кращали работы над нею. Во всяком случае, Дарвин, Ляпу-
нов *) и Джинс затратили многолетние усилия на доказатель-
ство этих гипотез; и эта работа была столь целеустремлен-
ной2), что никто не занимался исследованием устойчивости
сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби3) на основе пря-
мого анализа нормальных форм колебания. Наконец, в 1924 г.
Картан установил, что эллипсоид Якоби становится неустойчи-
вым в его первой точке бифуркации4) и в этом отношении со-
вершенно отличается от соответствующего сфероида Макло-
рена, который в отсутствие какого-либо механизма диссипации
устойчив по обе стороны от той точки бифуркации, от которой
ответвляется последовательность Якоби.
И тем самым этот вопрос был окончательно решен.
7. РОШ, ДАРВИН И ДЖИНС
Важная проблема в теории эллипсоидальных фигур равно-
весия была поставлена Рошем (1847—1850 гг.). Рош исследо-
вал равновесие бесконечно малого спутника (плотности р), об-
ращающегося около твердой сферической планеты (массы М')
по кеплеровой круговой орбите (радиуса Я); он показал, что
равновесные фигуры невозможны, если угловая скорость Q ор-
битального вращения превосходит предел
< 0,090093. (32) 5)
лир лр/с ' '
Нижний предел для 7?, получаемый из этого неравенства,
называется пределом Роша. Рош также исследовал случай, ко-
гда масса спутника конечна, и показал существование нера-
казательства А. М. Ляпуновым неустойчивости грушевидных фигур. Собр.
соч., т. IV, Изд-во АН СССР, М., 1959, стр. 381—554. — Прим, перев.
!) Работы А. М. Ляпунова по теории фигур равновесия помещены в по-
следних трех томах его собр. соч., тт. Ill, IV, Изд-во АН СССР, М., 1959;
т. V, изд-во «Наука», М., 1965. — Прим, перев.
2) Так что вопрос о том, существует ли на ветви Дедекинда нейтральная
точка, подобная соответствующей точке на конгруэнтной ветви Якоби, не рас-
сматривался и даже не возникал.
з) Строгое исследование устойчивости эллипсоидов Маклорена и Якоби
впервые дано А. М. Ляпуновым. Собр. соч., т: III, Изд-во АН СССР, М.,
1959, стр. 5—113, 237—360. — Прим, перев.
4) Неустойчивость эллипсоида Якоби, от которого ответвляется последо-
вательность грушевидных фигур, впервые строго установлена А. М. Ляпуно-
вым. Собр. соч., т. III, Изд-во АН СССР, М., 1959, стр. 207—236, 237—360,
т. IV, стр. 381—554. — Прим, перев.
5) Первоначально данное Рошем значение постоянной в правой части
этого неравенства было 0,092; приведенное значение получено на основе не-
давних исследований.
22
Глава 1
венств, аналогичных (32). Но во всех исследованиях Роша не-
изменным было предположение о наличии твердого сфериче-
ского возмущающего тела. В 1906 г. Дарвин, имея в виду
приложение к двойным звездам, пытался приближенными ме-
тодами исследовать взаимное возмущение компонент; однако
его усилия лишь частично увенчались успехом.
Интересный случай, когда в проблеме Роша учитываются
только приливные силы, был исследован Джинсом (1916). Рав-
новесие и устойчивость эллипсоидов Джинса, Роша и Дарвина
составляет отдельную главу в теории эллипсоидальных фигур
однородных масс.
В настоящей книге будет предпринята попытка объединить
эти классические результаты, относящиеся к эллипсоидальным
фигурам равновесия. Изложение ведется не в хронологическом
порядке; оно основано преимущественно на серии работ, опу-
бликованных Лебовицем и автором, порознь и в соавторстве,
главным образом в Astrophysical Journal (т. 134—157) в тече-
ние 1961—1969 гг. (Список этих работ, пронумерованных
римскими цифрами, приведен на стр. 282; ^ тексте в случаях
необходимости ссылки на них будут отмечаться соответ-
ствующими им римскими цифрами.) В’ этих работах системати-
чески использовался новый метод исследования целого класса
задач, исторический обзор которых представлен в этой главе.
Однако в противоположность оригинальным работам в этой
книге основное усилие направлено на внесение в рассматривае-
мый предмет порядка и связи с некоторой общей точки зрения.
Библиографические замечания
Пособием, служащим источником необходимых сведений о всех исследо-
ваниях по теме этой книги от времен Ньютона до Лапласа, является
Todhunter /., History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure
of the Earth, London, Constable, 1873; переиздано New York, Dover Publi-
cations, 1962.
Разд. 1 и 2. Изложение, относящееся к результатам Ньютона и Маклоре-
на, основано главным образом^на «Истории» Тодхантера. Читателям, интере-
сующимся этими вопросами, можно также рекомендовать:
Cajori~ F., Newton’s Principia, Berkeley, University of California Press, 1946.
Maclaurin C., A Treatise on Fluxions, 1742.
Разд. 3. Изложение основано на работах:
Jacobi С. G. 3., Uber die Figur des Gleichgewichts, Poggendorff Annalen der
Physik und Chemie, 33, 229—238 (1834), перепечатано в Gesammelte Wefke,
vol. 2, Berlin, Q. Reimer, 1882, S. 17—72.
Dirichlet G. L., Gedachtnissrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi gehalten in der
Akademie der Wissenschaften am 1 Juli 1852, Gesammelte Werke, vol. 2,
Berlin, G. Reimer, 1897, S. 243.'
См. также:
Thomson W., Tait P, G., Treatise on Natural Philosophy, Pt. 2, Cambridge,
England, Cambridge University Press, 1883, p. 324—335.
Историческое введение
23
Разд. 4 и 5. Полезный исторический обзор предмета со ссылками на
результаты, полученные в течение 1830—1880 гг., дан в книге
Hicks IF. Af., Recent progress in hydrodynamics, Reports to the British Asso-
ciation, 1882, p. 57—61.
Упомянутые работы Дирихле, Дедекинда и Римана:
Dirichlet G. L.t Untersuchungen fiber ein Problem der Hydrodynamik, J. Reine
Angew. Math., 58, 181—216 (1860).
Dedekind R.y Zusatz zu der vorstehenden Abhandlung, J. Reine Angew. Math.,
58,217—228 (1860).
Riemann B.t Untersuchungen fiber die Bewegung eines fliissigen gleichartigen
Ellipsoides, Abh. d. Konigl. Gesell. der Wis. zu Gottingen, 9, 3—36 (1860);(
см. также Gesammelte Mathematische Werke, Leipzig, B. G. Teubner, 1892,
S. 182. (Русский перевод: Б. Риман, О движении жидкого однородного
эллипсоида. Сочинения, Гостехтеориздат, М. — Л., 1948, стр. 339—368.)
Отдельный обзор работы Римана о фигурах равновесия можно найти в
Bassett A., A Treatise on Hydrodynamics, vol. 2, Cambridge, England, Deighton,
Bell and Co., 1888; переиздано New York, Dover Publications, 1961.
См/ также:
Lamb H., Hydrodinamics, Cambridge, England, Cambridge University Press,
1932, 722—723. (Русский перевод: Г. Ламб, Гидродинамика, Гостехиздат,
М. —Л., 1947.)
Разд. 6. Список основных работ Пуанкаре и Картава:
Poincare Н., Sur 1’equilibre d’une masse fluide animee d’un mouvement de rota-
tion, Acta Math., 7, 259—380 (1885).
Cartan H.t Sur les petites oscillations d’une masse fluide, Bull. Sci. Math., 46,
317—352, 356—369 (1922).
Cartan H.y Sur la stabilite ordinaire de$ ellipsoides de Jacobi, Proc. Internatio-
nal Math. Congress, Toronto, 1'924, 2, Toronto, University of Toronto Press,
1928, p. 2—17.
Относительно методов Картана и его основных результатов см.
Lyttleton R. A., The Stability of Rotating Liquid Masses, Cambridge, England,
Cambridge University Press, 1953, ch. 9.
Разд. 7. Список работ Роша, Дарвина и Джинса:
. Roche М. Ed., Memoire sur la figure d’une masse fluide (soumise a 1’attraction
d’lin point fcloigne), Acad, des Sci. de Montpellier, 1, 243—262, 333—348
(1847—1850).
Darwin G. H., On the figure and stability of a liquid satellite, Phil. Trans.'
Roy. Soc. (London), 206, 161—248 (1906); см. также Scientific Papers,
vol. 3, Cambridge, England, Cambridge University Press, 1910, p. 436.
Jeans J. H., The motion of tidally-distorted masses, with special reference to
theories of cosmogony, Mem. Roy. Astron. Soc. London, 62, 1—48 (1917).
Jeans J. H., Problems of Cosmogony and Stellar Dynamics, Cambridge, Eng-
land, Cambridge University Press, 1919; см. также Astronomy and Cosmo-
gony, Cambridge, England, Cambridge University Press, 1929, ch. 7, 8.
Обзор, дающий представление об исследованиях Джинса, приведен в
Milne Е. A., Sir James Jeans, a Biography, Cambridge, England, Cambridge
University Press, 1952, ch. 9.
Исторический обзор, данный в этой главе (за исключением разд. 7),
воспроизводит статью ХХХШ (стр. 283).
Глава 2
Вириальные уравнения различных порядков
8. ВВЕДЕНИЕ
Стандартная процедура исследования интегро-дифференци-
альных уравнений математической физики состоит в со-
ставлении моментов исследуемых уравнений и рассмотрении
укороченной системы получаемых уравнений. Преимущество
этих моментных уравнений заключается в том, что уравнения
наименьших порядков часто допускают простую физическую
интерпретацию. Более того, во многих случаях решения этих
уравнений при подходящих предположениях относительно их
«замкнутости» подсказывают единые методы получения при-
ближенных решений точных уравнений. Вириальный метод, из-
лагаемый в этой книге, по существу представляет собой, метод
моментов, примененный к решению гидродинамических задач,
в которых учитывается поле притяжения вещества, имеющего
определенное распределение. Вириальные уравнения различных
порядков на самом деле представляют собой не что иное, как
моменты соответствующих гидродинамических уравнений.
В то время как уравнения, выведенные в этой главе, имеют
общее значение, их особая ценность для задач, обсуждавшихся
в гл. 1, состоит в том, что они дают возможность совершенно
элементарным путем получить точные решения этих задач.
9. МОМЕНТЫ, ОПИСЫВАЮЩИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ,
ДАВЛЕНИЯ И СКОРОСТИ
Как было отмечено, в вириальном методе мы берем мо-
менты уравнений движения. Естественно, эти уравнения долж-
ны содержать моменты распределения плотности, давления,
скорости и потенциала сил притяжения. В разд. 9 и 10 мы рас-
смотрим эти моменты.
Исследуем распределение массы в объеме V. Возьмем си-
стему отсчета, начало которой (в каждый момент времени) сов-
падает с центром масс. В силу такого выбора системы отсчета
будем иметь
/,= Jp(x)xidx = 0 (/ = 1,2,3), (1)
V
Вириальные уравнения различных порядков 25
где р(х) — плотность1) в точке х. Масса
М— J р (х) dx (2)
v
и ее момент инерции
/ = J р(х)|хМх=4ш2 (3)
v
представляют грубые интегральные характеристики, которые
определяют линейную шкалу k для распределения массы: ра-
диус гирации k есть радиус эквивалентной сферы. Тензор инер-
ции
1ц = J px{xj dx (4)
V
дает больше информации относительно распределения: он опре-
деляет эквивалентный ориентированный эллипсоид. Очевидно,
что тензор симметрический; более того, его след представляет
собой скалярный момент инерции
/П=Л (5)
Для большинства задач элементарной механики нет необходи-
мости рассматривать моменты распределения плотности выше
второго порядка; тем не менее в нашей работе будут рассмат-
риваться также моменты третьего и четвертого порядков, опре-
деляемые тензорами более высоких порядков
hlk= j pxix}xkdx и Iilki= J pXiXjXkXidx. (6)
V V
Аналогично имеющееся распределение давления р (предпо-
лагаемого здесь изотропным) приводит нас к рассмотрению мо-
ментов
II = J pdx, Щ — J pXidx, П//= j pXiXjdx и т. д. (7)
V V V
Поскольку нас интересуют главным образом возможные
Движения жидкости, нам понадобятся некоторые моменты пре-
обладающего распределения макроскопических движений для
того, чтобы описать их основные особенности. Наиболее
’) Все эти величины (включая объем К) будут, вообще говоря, также и
Функциями времени t. Но в данном случае эта зависимость от времени никак
влияет, и потому она здесь не указана.
26
Глава 2
важной в этом отношении величиной, конечно, является полная
кинетическая энергия системы
£ —у J* Pl u Мх,
V
(8)
,где |и |2(=ы^4-н|4-ы|) есть квадрат скорости жидкого эле-
мента, находящегося в точке х. Подобно тензору инерции, тен-
зор кинетической энергии
о I f
«7/ = у J рщи/йх,
V
О)
след которого есть 2, является более информативной величи-
ной, и, подобно lij, он тоже симметричен относительно своих
индексов. Следующие моменты, которые будут представлять
интерес, суть .'
%ц-, * = у / QUiUjXkdx
и , V (10)
£</: м = у / <&•
V '
Рассматривать моменты более высоких порядков нет необхо-
димости.
Следует ' отметить, что при рассмотрении энергии системы
интеграл от давления р будет представлять внутреннюю энер-
гию, так что уПб// сравнимы с
10. ТЕНЗОРНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ И ТЕНЗОРЫ
ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
. Сила притяжения в точке х, вызываемая распределением ве-
щества с плотностью р (х), определяется ньютоновым потен-
циалом
»(x)-G (11)
v
где G обозначает постоянную тяготения. Потенциальная энер-
гия связана с этим потенциалом соотношением
23 = -1 Jp23<Zx. (12)
V
Вириальные уравнения различных порядков
27
Так же как и в случае момента инерции I и кинетической
энергии £, нам понадобятся тензорные обобщения 53ъ- и ЗВ//
величин S3 и ЗВ, такие, что
.23 = 33// и 2В = 2В„. (13)
Требуемые обобщения определяются соотношениями
23О (х) = G j р (xz) — ix-^p d*' <14)
V
и
2В// = -у fpS^x. ; (15)
V
По определению эти тензоры, очевидно, симметрические, и ясно,
что условия (13), налагаемые на следы тензоров, выпол-
няются.
Из определения следует другая форма SEBij, представляю-
щая тензорное обобщение известного результата
^=/px‘"SHx- <16)
В самом деле,
2Bz/ = —у J p53z/dx =
= ~ i G J J P WP<x') — |x-xZ|3 dxdx' =
V V
= ~G f / P (x) P (x') x' p') dx dx' =
V V
= 0 JdxpCxlx.^-J*'^, (17)
V ’ V
или
f PXi-^-rfx; (18)
v 1
и свертка последнего тензора приводит к уравнению (16).
Кстати, уравнение (18) устанавливает симметричность (не оче-
видную) интеграла в правой части относительно индексов i и /.
Моменты от 53//, аналогичные k и 2//;м, суть
23//: Л-lfpS//X4rfx (19)
28
Глава 2
И
338//; м = — 4 / ^ijXkXi dx. (20)
V
Однако оказывается, что всякий раз, когда фигурирует 2В//;м,
имеется также и связанная с ней величина
fe; I ~ ~2 J Л ^Х> (21)
V
где
©</: * W = G / Р <Х') < (22)
J ’ •/ | л Л |
есть «8г?>, порожденная распределением рхд. Подставляя по-
следнее выражение для k в уравнение (21) и меняя поря-
док интегрирования, можно показать, что
k\ i ~ 2 / ixk (23)
v
так что 2В//;Л;ь подобно и симметрична по k и I
(помимо ее очевидной симметрии по i и /).
В связи с введением различных тензорных потенциалов воз-
никает важный в практическом отношении вопрос о наиболее
удобном способе их определения. Оказывается, что для этой
цели лучше всего представлять их при помощи иерархии нью-
тоновых потенциалов
'Фф и т* (24)
получаемых от распределений
рхй рХ/Х/, pX/X/Xfc и т. д. ’ (25)
соответственно. Эти ньютоновы потенциалы могут быть выра-
жены через интегралы в форме
©/(х) = О / rfx'» (х) = G j dx' и т. д. (26)
v v
Покажем теперь, как, например, 5SZ/ может быть выражена
через Имеем
dxt J r I x — x |3
' V
и
093 r (x} — x'{}
-^-G I p (xz) ; 7 'I dx'. (27)
dx, j r v x — x |3 v '
/ V
Вириалъные уравнения различных, порядков
29
Из этих уравнений следует, что
93i/ = -xi-^- + ^L. (28)
4 1 * * * V дХ} ' дх; ' ’
Последнее уравнение легко обобщается; так,
(29>
потому что это есть „53/у“, порождаемое распределением рх*,
так что D* в (29) играет роль „53“ в уравнении (28). Анало-
гично представляющее порождаемое распределе-
нием рхр7, дается выражением
xi dXj + dxf •
что при. различных способах макроскопиче-
распределения вещества с помощью моментов
вводятся интегралы, связанные не только с по-
Естественно,
ского описания
в рассмотрение
тенциалом сил притяжения S3, но также с потенциалами ©г-,
и т. д., выводимыми из ядер различных тензоров инерции.
Иногда бывает полезно выражение для 53i7- через скалярный
потенциал
%(х) = —G | р(х')| х — x'|rfx' (31)
v
вместо $)/. Действительно, так как
_ G J р(х') rfx' (32)
1 V
и
1 1 V V
(33)
(здесь и далее бг/ —символ Кронекера: бг/=1 при i = j и
б// = 0 'при I ф j. — Перев.), то имеем
(34)
Свертывая последнее уравнение, получаем
V2X=-2(B, (35)
а применяя к этому уравнению оператор V2, находим
V4x = 8nGp. (36)
30
Глава 2
Таким образом, вместо иерархий ньютоновых потенциалов S)£,
и т. д. можно рассматривать последовательность скалярных
потенциалов 23, %, Ф и т. д., определяемых уравнениями
V223 = - 4«Gp, V4% = 8«Gp, 76Ф = - 32л Gp и т. д. (37)
Как будет подробно показано в гл. 3, для однородных
эллипсоидов могут быть даны в явном виде не только ньюто-
нов потенциал 23, но также и потенциалы ®г, ©£Jfe и т. д.
11. ВИРИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ
Рассмотрим идеальную жидкость с плотностью р(х, t) и
изотропным давлением р(х, t). Предположим далее, что, кроме
сил барического градиента, единственными силами, под дей-
ствием которых происходит движение жидкости, Являются силы
взаимного притяжения между ее частицами. При этих усло-
виях гидродинамические уравнения, описывающие движение
жидкости и отнесенные к инерциальной системе координат,
имеют вид
где
1-^1 /ол\
есть полная производная по времени: она определяет измене-
ние со временем любой величины, связанной с жидким элемен-
том, если следить за ним при его движении.
Вириальные уравнения различных порядков теперь просто
получаются посредством умножения уравнения (38) последова-
тельно на 1, Xjt XjXk, XjXkXi и т. д. и интегрирования по всему
объему V, занимаемому жидкостью в текущий момент вре-
мени. Но сначала сформулируем одну лемму, которой мы по-
стоянно будем пользоваться в выкладках.
Лемма. Если Q(x,t) есть какая-либо характеристика жид-
кого элемента, то
J р(х,/)Q(x,/)dx== J р(х, 0-^-dx. (40)
/у у
Эта лемма непосредственно следует из условия постоянства
массы любого жидкого элемента во время его движения:
4/р(х,0*-^- = 0. (41)
У"
Вириальные уравнения различных порядков 31
а) Уравнения первого порядка
Уравнения первого порядка получаются непосредственным
интегрированием уравнения (38) по объему V, занимаемому
жидкостью в текущий момент времени. Получаем
£ / рИ/ dx = - / -g- dx + J Р(х)-^- dx=
V V' 1 V 1
— — J р dS{ — G J j р (х) р (х') у*'--'хПз dx dx'- (42)
3 _ V V
Здесь при записи выражения в левой части мы воспользова-
лись леммой. Во второй строке правой части S обозначает сво-
бодную поверхность, ограничивающую объем V, a dSi — эле-
мент этой поверхности. Оба интеграла во второй строке
уравнения (42) исчезают: первый — в силу равенства нулю дав-
ления на свободной поверхности, а второй — в силу очевидной
антисимметричности подынтегрального выражения относительно
х и х'. Итак, приходим к уравнению [см. уравнение (1)]
4 J putdx=-^ Jpx4dx=-g- = 0, (43)
V V
которое просто выражает равномерность движения центра масс;
оно не дает существенно новой информации.
' б) Уравнения второго порядка
Эти уравнения получаются посредством умножения уравне-
ния (38) на Xj и интегрирования по объему V. Воспользовав-
шись леммой и определением тензора Zij [уравнение (9)], член,
получаемый в левой части уравнения, можно представить в виде
С du, г Г d 1
J р ~ИГ Xidx = J р [~dt ~ UiUi\ dx =
V V
! pUiX>dx ~ <44)
• . v
Первый член в правой части уравнения (38) после интегриро-
вания по частям дает [см. уравнение (7)}
— / xi-frTdx = dU Jp^x = 6//n- (45)
V 1 V
Здесь было использовано условие равенства нулю давления р
На границе области V. Наконец, используя уравнение (18),
имеем - а
/px/"&4xe28V- (46)
V- 1
32 Глава 2
Собирая эти результаты, получаем основное уравнение
-^-Jp«zx/dx = 22:/z + 2B</ + dz/n. (47)
V
Уравнение (47) приводит к системе девяти моментных урав-
нений.
В силу того что все тензоры в правой части уравнения (47)
симметричны относительно i и /, антисимметрическая часть тен-
зора слева должна обратиться в нуль, т. е.
-^-J р(цгХу — u/xz)dx = 0. (48)
v
Это уравнение выражает сохранение момента количеств движе-
ния системы.
В условиях стационарного состояния уравнение (47) дает
2£г/ + ^/ = -6//П- (49)
Уравнение (49) приводит к шести интегральным соотношениям,
которые всегда должны выполняться в условиях стационар-
ности.
Можно также заметить, что из рассмотрения симметриче-*
ской части тензора в левой части уравнения (47) получаем
Ide 1 d2 е 1 d2Itj
TdFj P(Mix/ + “/xi)dx = '2'dt?'J Pxix/rfx=T-d72“- (50)
V V
Следовательно, должны иметь
1 d2lu * •*
2-^ = 2^ + ^ + ^. (51)
в) Уравнения третьего порядка
Эти уравнения получаются путем умножения уравнения (38)
на x3Xfc и интегрирования по объему V.
Используя обозначения (7) и (10), мы можем теперь напи-.
сать
J р XjXk dx = J р (u{x/Xk) — (uiu^k + u(ukxj)j dx = \
V V
~~di / PMi5/Xfc dx. —2 (S//; k + £y) (52):
v
и
“ J \‘Xk dx = б/'П* + <53)J
V i
Вириальные уравнения различных порядков 33
—_— — . '
Аналогично, используя обозначения (14) и (19), имеем
f дЗЗ < _____
J P~d^xlXkd*~
= -G J / р(х)р(ХЭ^5^йхЛ'^
V V
1 Г Г . , ~ (XiXk —х'1х'ъ)(х£--х';)
= —,-2 G J j р (х) Р (х') —-|Y_-, |3-- dx dx' =
V V
. _ -- в j f р(х) р (х')ЛЛ- -
V V
= -1 j р (xz) ^23z/ (х') dx' - 4 / Р (X) х^{к (х) dx =
V V
— 28i/; k 4- /• (54)
Собирая приведенные здесь результаты, получаем
J (>UiXlXk dx — 2(£z/. k + у) + 2В/у. к 4" / "Ь 4~ S/felly.
V
(55)
Уравнение (55) приводит к системе восемнадцати моментных
уравнений;
В условиях стационарного состояния уравнение (55) Дает
2 (£//; Л 4" £«;/) 4" 2В//: fe 4" / =—fii/IIft — 5«П/. (56)
В заключение можно отметить, что посредством симметри-
зации уравнения (55) по отношению ко всем трем индексам I,
j и k получаем
"б др 2 ($</; ft 4- $/ft; i 4“ ^ft/: /) 4“ 28,/; k 4" 2®/ft; / 4“ 2Bfti; I 4"
.4-бг/Щ4-6/Л4-б^П/. (57)
г) Уравнения четвертого порядка
Уравнения четвертого порядка получаются после умноже-
ния уравнения (38) на х,хкх( и интегрирования по объему V.
Преобразование интегралов, содержащих duildt и - dpldxit
проводится так же, как в двух предыдущих случаях, Но
2 Зак. 312
34
Глава 2
преобразование интеграла, содержащего требует неко-
торого пояснения. Указанный интеграл имеет вид
J p-g^-xlxkxidx =
V 1
1 Л f f , . , ... (XiXbX, —х'.х'ьх'Мх, —х',}
= -yG J J p(x)p(x')f_VГ ------------------~dxdx'. (58)
Теперь, заменяя (х,хйх; — х'х'кх'^ на
Т Кх/ xi) хьх1 х/ (ха хк) xi x'ix'k (xi ~ xi) "Ь
+v (х* - x't) xixi + Xk (xi ~ x'i) xt + XkX'l (xj ~ x/) +
4* (xz xz) XjXft 4- xz (xz xz) xft 4~ xixt (xfe xQ] (59)
и используя обозначения (14), (19), (20) и (21), замечаем, что
рассматриваемый интеграл равен
у (2233*/; м 4- 223В**; ц 4- 22В**. 4- 2ВВ*/; *. * 4~ 2В**. ь f 4~ 2В**. *). (60)
Тогда вириальное уравнение четвертого порядка записывается
в виде
~dt I РИ/Х/ХЛ dx = 2 (Zi}. ы 4- $Zft. tl 4- %ц. tk) 4"
v
4- у (2233*/. ki 4- 2233**; ц 4- 2233**; /* 4- 23В*/; * 4- 23В**; / 4* г, а) 4"
4" 6*/П** 4- д**П*/ 4- д**Пу*. (61)
Уравнение (61) приводит к дополнительной совокупности трид-
цати моментных уравнений.
Вириальные уравнения четвертого порядка в силу их слож-
ности и многочисленности почти не используются. В связи
с этим в конце этой главы мы ограничимся рассмотрением
уравнений только второго и третьего порядков.
12. ВИРИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ
СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА
В следующих главах мы будем иметь дело главным обра-
зом с конфигурациями жидкой массы, которая равномерно вра-
щается с угловой скоростью й. Для задач, связанных с равно-
весием и устойчивостью таких конфигураций, уравнения дви-
жения удобно относить к системе координат, вращающейся
Вириальные уравнения различных порядков
35
с этой угловой скоростью. В такой вращающейся системе ко-
ординат уравнение (38) заменяется уравнением
dut др 1 д Л
P-rfT = -^7 + + 2-p-^l Q X X F + 2ре«„И/Ои, (62)
где -~J Q X х |2 и 2u X Q представляют собой потенциал цент-
робежных сил и ускорение Кориолиса соответственно1)- Не-
трудно описать вклад этих двух дополнительных членов в ви-
риальные уравнения.
а) Уравнения второго порядка
Вместо уравнения >(47) мы имеем теперь
-£ / PulXl dx = 2Ztf + ЗВц + £22Л/ - W»/ + 6//П +
V
+ 2sitmQm J рщх/Лх. (63)
v
Если состояние стационарное, то уравнение (63) принимает вид
+ fy/П + 2eilmQm J рщх/ dx=0. (64)
v
Представляют интерес частные соотношения, к которым
приводит уравнение (64) в отсутствие относительных движений
жидкости (в рассматриваемой вращающейся системе коорди-
нат). В этом случае удобно направить ось х3 вдоль вектора Я;
при таком выборе ориентации координатных осей уравнение
(64) в условиях равновесия дает
+ = (65)
Записывая в явной форме уравнение (65) для различных ком-
понент, получаем
2ВН + = 2В22 + Q2/22 = Ж33 = - П, (66)
2B12 + Q2Z12 = 2B21 + Q2Z21=0,
2В1з + Й2Лз = 0, ®з1=0
и
®2з + Й2/2з = 0, 2В32 = 0. . (67)
*) Здесь и далее ег7т — символ Леви-Чивита, определяемый следую-
щим образом: а) &ит = 0, если в числе индексов Z, Z, tn, принимающих значе-
ния из совокупности чисел 1, 2, 3, имеются одинаковые; б) ъцт = 1, если ин-
дексы i, /, tn различны и расположены в порядке 123 или получаются из него
круговой перестановкой; в) &цт = —1, если в следовании различных индексов
*, /, т этот порядок нарушается. — Прим, перев.
2*
36
Глава 2
В силу симметричности тензоров и It} из уравнений (67)
следует, что
2313 = ^23 = 0 и Лз=/2з = 0. (68)
Однако не требуется, чтобы 2Bj2 и 1ц тождественно были равны
нулю; единственное, что необходимо, это чтобы они были свя-
заны соотношением
2В12 + Й2/12 = 0.
(69)
Часто представляется удобным исключить П из соотноше-
ний (66) и получить два интегральных соотношения, никоим
образом не зависящих от дополнительных соотношений, кото-
рые могут иметь место. Эти два соотношения суть
28n-2822 + Q2 (Zn-Z22) = 0
(70)
28ц + 2®22 - 22В33 + Q2 (ZH + Z22) = 0. (71)
Отметим, в частности, что уравнения (69) — (71) не требуют
равенств hi —I22 и 2Вц = ЯВ22, а также 2В12 = 0 и Zi2 = 0
в качестве условий равновесия. Наибольшее, что можно заклю-
чить относительно тензоров ЗЗВг^ и hj (помимо требуемой по
определению симметричности), это чтобы они приводились
к виду
28н 2812 0 hi I12 0
2В£/ = 2В21 2В22 0 и 1ц = /2Ь ^22 0 • (72)
0 0 2В33 0 0 /33
Однако за счет поворота системы координат вокруг оси %з мож-
но добиться обращения в нуль величины ZJ2; тогда 3Bi2 также
должна быть равна нулю и тензоры 23^ и hj станут диаго-
нальными.
Важно заметить, что вириальные уравнения не добавляют
ничего к общему ожиданию, что симметрия относительно оси
вращения должна иметь место для любой формы, обусловлен-
ной осесимметричностью поля центробежных сил. Как уже от-
мечалось в гл. 1, открытие Якоби, сделанное в 1834 г. и со-„
стоящее в том, что вращающаяся несжимаемая масса жидко-
сти может принимать форму точного трехосного эллипсоида
(если ее момент количеств движения превосходил некоторое
определенное значение), было наиболее неожиданным.
Вириальные уравнения различных порядков
37
б) Уравнения третьего порядка
Вместо уравнения (55) теперь мы имеем
-£r f pUiXjXk dx=2 (2^/; k + /) + 2В//; k + / +
at J
V
+ &lijk — + fy/Щ + 6/feII/ + 2e,nmQm J piitXjXk dx, ^3^
v
Если состояние стационарное, то уравнение (73) дает
2 (2//; ft 4“ ^Ift; /) 4" 2В//; ft + 2Bfft; / + ^hjk &iQlhik +
+ 2eHmQm j puix^ dx = — б0Щ — d/ftnz. (74)
' v
Представляют интерес частные соотношения, к которым
приводит уравнение (74) в отсутствие относительных движений
жидкости (во вращающейся системе координат). В этом случае
удобно направить ось х3 вдоль вектора Q. Тогда уравнение (74)
дает
2В//: ft + 2B/ft; 1 + Q2(A/ft - бп/з/ft) = - - д«П/. (75)
Опуская условие суммирования и считая, что i =И= / =Л k обо-
значают различные индексы, можно восемнадцать соотношений,
получаемых из уравнения (75), сгруппировать следующим об-
разом:
2SS„; t + й2 (Iltl - W3«) = - 2П6 (76)
2В„. i + ЗВ//: j + Й2 (Iin - 6l3I3ll) = - nz, (77)
22Bf} + Й2 (h n - 6l3I3ll) = 0 (78)
и
2Si/: ft + 2Blk. j + Й2 (hlk - &t3I3lk) = 0 (79)
(i j #= k и нет суммирования по повторяющимся индексам).
Имеем три уравнения типа (76), по шесть уравнений каждого
из типов (77) и (78) и только три уравнения типа (79) (по-
тому что оно симметрично относительно j и k).
Записывая в явной форме три соотношения, к которым при-
водит уравнение (79), получаем
2В12; з 2В13; 2 4" 12з = О,
2В23; 1 4“ 2®21; 3 4" й2/123 =г О
И
2В31; 2 4- 2Вз2; 1 = 0. (80)
Из этих уравнений следует, что
2323:i=SSi3; 2 = 0 и 2В12:з4-Й2/12з = 0. (81)
38
Глава 2
В этой связи можно также отметить, что, полагая в уравнении
(78) i = 3 и j = 1 или 2, находим
Вз1:1=8Вз2;2 = 0. (82)
Как и в случае уравнений второго порядка, удобно исклю-
чить величины Пг из соотношений (76) — (79) и рассматривать
пятнадцать соотношений, никоим образом не зависящих от до-
полнительных соотношений, которые могут иметь место. По-
членно складывая уравнения (76), (77) и (78), предварительна
умножив их на 1, —2 и —1 соответственно1), получим
5/// + Q2 [1щ — 3/ш — б*з(Лн *’“• 4//) + 26/3/3//] = 0, (83)
где
SiU = - 43В//; / - 22В//; i + 22ВП; z (84)
(i =/= j и нет суммирования по повторяющимся индексам).
Уравнение (83) вместе с уравнениями (78) и (79) приводит
к искомой системе пятнадцати уравнений.
Аналогично могут быть рассмотрены уравнения четвертого
порядка. Но мы ими пользоваться не будем.
13. ВАРИАЦИИ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ МАЛЫМИ ОТКЛОНЕНИЯМИ
ОТ РАВНОВЕСИЯ. ЛАГРАНЖЕВО И ЭЙЛЕРОВО ИЗМЕНЕНИЯ
Вириальные уравнения удобны не только для получения ин-
тегральных соотношений, которые имеют место в условиях рав-
новесия; они полезны также в исследованиях отклонений от по-
ложения равновесия. Для этих последних целей необходимо
получить «линеаризованную» форму вириальных уравнений,
описывающих такие отклонения. Прежде чем выводить эти
уравнения, сначала рассмотрим некоторые общие принципы,
лежащие в основе аналитической трактовки «смежных тече-
ний».
Пусть Q есть какая-либо характеристика (такая, как ско-
рость, плотность ил^ц потенциал сил притяжения), связанная
с элементом жидкости. Вообще говоря, значение этой характе-
ристики будет зависеть от мгновенного положения х рассмат-
риваемого элемента. Будем обозначать через Q(x, t) значение
характеристики, соответствующее элементу жидкости, положе-
ние которого в момент времени t характеризуется вектором х.
В частности, эту функцию для некоторого исходного течения
обозначим через Qo(x,7)« (В большинстве случаев рассматри-
ваемое исходное течение будет стационарным, но это ограниче-
9 Выбор этой частной комбинаций оказывается удобным для дальней-
шего (см. гл. 6, разд. 42).
Вириальные уравнения различных порядков
39
ние несущественно для данного рассмотрения.) Предположим,
что исходное течение слегка возмущено. Будем описывать воз-
мущенное течение, указывая в каждый момент времени пере-
мещение g(x,/), которое получает элемент жидкости в возму-
щенном течении относительно его положения х в момент вре-
мени t в невозмущенном течении. Определенный так вектор
§(х, 0 называется лагранжевым перемещением, вызванным
возмущением. Будем предполагать, что g(x, t) мало и что ве-
личинами второго и более высокого порядков малости по срав-
нению с g можно пренебречь. Другими словами, мы будем учи-
тывать лишь возмущения, вызванные лагранжевыми бесконеч-
но малыми перемещениями.
Рассмотрим теперь значение, характеристики Q возмущен-
ного течения для элемента жидкости, находящегося в момент
времени t в точке х + £(х, t). В невозмущенном течении этот
элемент жидкости находится в точке х (в тот же момент вре-
мени /). Назовем разность
AQ = Q (х + § (х, 0,0- Qo (х, 0 ’ (85)
лагранжевым изменением характеристики Q, вызванным воз-
мущением. Ясно, что это изменение отличается от изменения,
которое фиксировал бы внешний наблюдатель, сравнивающий
значения характеристики Q в возмущенном и невозмущенном
течениях в одной и той же точке и в один и тот же момент
времени. Это последнее изменение
dQ==Q(x, /) —Q0(x, t) (86)
называется эйлеровым изменением характеристики Q. Из опре-
делений (85) и (86) очевидно, что
AQ = 6Q + |/^-. (87)
В силу того что это соотношение справедливо для любой ха-
рактеристики, отсюда следует, что операции Дид связаны со-
отношением
4=6 44/^- (88)
Очевидно, что скорость и является одной из характеристик
элемента жидкости. Лагранжево изменение Ди скорости и пред-
ставляет собой по определению скорость элемента жидкости
в возмущенном течении, находящегося в момент времени t
в точке х + £(х,/), по отношению к скорости того же самого
элемента (в невозмущенном течении), который в момент
40
* Глава 2
времени t находится в точке х. Из этого определения следует,
что [уравнение (39)]
дп । _ dl,
Ди—дГ + и1 -д^—dt • • <89>
где и определяет поле скоростей невозмущенного течения.
Отметим теперь некоторые элементарные следствия приве-
денных выше определений.
Если характеристика Q не является внутренней для эле-
мента жидкости (подобно давлению или плотности), а пред-
ставляет собой некоторую характеристику, зависящую лишь от
занимаемого им положения (как, например, значение потен-
циала у | Q X х I2 действующих на него центробежных сил), то
ее эйлерово изменение исчезает, но лагранжево изменение не
обращается в нуль. Если мы отнесем символ F(x) к такой .
внешней характеристике, то будем иметь
6F==0 и = (90)
С другой стороны, для внутренней характеристики, такой, как
плотность или давление, ни эйлерово, ни лагранжево измене-
ния, вообще говоря, не обращаются в нуль. В частности, из
условия сохранения массы любого элемента жидкости во время
его движения следует, что
Др = — р div § (91)
и, стало быть,
бр = — р div § — 5 • grad р = — div (р§). (92)
Если изменение давления в жидком элементе, сопровождае-
мое изменением плотности, происходит адиабатически, то
(93)
где у обозначает отношение удельных теплоемкостей. Поэтому
из уравнений (88) и (91) следует, что
Др = —ypdivS
и
бр = — YP div § — § • grad р. - (94)
Из определения эйлеровых изменений (поскольку они пред-
ставляют собой изменения характеристики в данной точке и в
данный момент времени) очевидно, что операции б и частного
дифференцирования коммутативны:
» 5-57-=^7««- <95>
Вириальные уравнения различных порядков
41
Наоборот, операции Д и частного дифференцирования не ком-
мутативны. Действительно,
а / \__/д I t д \ 3Q _ д I d2Q _________
А ( дх,] ( ’ dxk / дх, дх, ™ дх. дх,
+ ,96>
или
(97)
I дх, / дх, ' дх, дхь х '
Аналогично
А(т) = ^-<ад-т<' (98)
\ / . й
Важным следствием приведенных здесь соотношений
является то, что операции
' А и 4=4 + Ы/-£_ (99)
коммутативны. В самом деле, из равенств (97) и (98) получаем
bldQ\ — \ldQ -l-п д®\ —
а(,-йг)=а(-5г + й/-^;-
д (КГ>\ । I, д к Г) «/ I л„ лосп
= 5f(AQ)—5Faj- + «/ar-AQ-u/-5-^- + A«4g-, (ioo)
/5 J J ft ft
или
4(т)=4<а®+(л“‘-^Х- <10l>
В силу равенства (89) второй член в праной части последнего
соотношения исчезает, и мы непосредственно приходим к вы-
сказанному выше утверждению. С другой стороны,
5(^)=-я-<“»-^(4г)-' <102)
14. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ МАЛЫЕ ОТКЛОНЕНИЯ
ОТ ИСХОДНОГО ТЕЧЕНИЯ
Уравнения, описывающие исходное течение, в равномерно
вращающейся с угловой скоростью £2 системе координат могут
быть записаны в виде
du, 1 др dU , л
“5Г=~7^7 + ‘^7 + 2eitmUlQm’ {103)
где
Ц =23 + ±| Q X х I2
•4
(Ю4)
42
Глава 2
есть полный потенциал. Мы будем рассматривать уравнения,
описывающие как эйлерово, так и лагранжево изменения, вы-
званные малым возмущением исходного течения.
Как было отмечено в разд. 13, операция 6 не перестано-
вочна с d)dt\ но в силу равенств (88), (89), (101) и (102) можно
написать
\ ж / аи} \ v / \ и t 4 и / а и, \
ИГ) =^\~dFj ~~dt^u^ ~d^\~dF/ =
d2h д ldut\
di2 dxf \ dt Г
(105)
Результат действия оператора д на правую часть уравнения
(103) может быть сразу представлен благодаря его перестано-
вочности с операторами частного дифференцирования. По-
этому, снова используя равенства (88) и (89), получаем
d2^ д / duA др др 1 ддр ddU
dfl dxj \ dt / p2 dx. p dxt dxt
(dii Ou, \
st-tnsfr 006)
Рассматривая далее результат действия на уравнение (103)
оператора А и вспоминая, что теперь А и djdt перестановочны,
получим [используя также соотношения (89), (97) и (98)]
d^t__ Др др 1 <5Др , d\U ,9 dh о >
dt2 “ р2 дх{ р дх. дх{ dt
дЬ / 1 др dU\
' +4(т^-^)- <107)
Легко проверить, что, заменяя в правой части уравнения
(107) лагранжевы изменения на соответствующие эйлеровы из-
менения в соответствии с соотношением (88), мы снова полу-
чим уравнение (106) (если принять во внимание уравнения,
описывающие исходное течение).
Если рассматриваемое исходное состояние представляет со-
бой одно из положений статического равновесия (во вращаю-
щейся системе координат), то
л 1 др ди
ы‘ = 0 и = <108)
и уравнения (106) и (107) принимают вид
d2li .... бр др 1' д др . ddU + 28z/m^-Qm (109)
dt2 р2 dxt р дх. dxi
и d2h Др dt2 р2 др 1_ д Ар дх4 р дхл . d\U dxj (ИО)
Вириальные уравнения различных порядков
43
Отметим, что в этом случае уравнения, описывающие эйле-
рово и лагранжево изменения, имеют один и тот же вид.
15. ПЕРВЫЕ ВАРИАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН
И ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ ФОРМА ВИРИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Рассмотрим интеграл
7 = j Qo (х,/) dx (щ)
V
от характеристики Q (для исходного течения) по объему V,
мгновенно занимаемому жидкостью. Тот же интеграл для воз-
мущенного течения записывается в виде
J Q(x,/)dx, (Ц2)
У+ДУ
где V + ДV обозначает объем, получаемый из V при сообщении
точкам его границы перемещений Назовем
67 = j Q(x, t)dx — J Q0(x, t)dx
У+ДУ V
первой вариацией интеграла J, обусловленной возмущением.
Используя в первом интеграле преобразование
х — |(х, t) = x', (114)
можно сделать одинаковыми объемы, по которым вычисляются
два интеграла, определяющие 67. Но подынтегральное выра-
жение в первом интеграле будет содержать тогда дополнитель-
ный множитель (1 + div|), представляющий собой якобиан
преобразования (114). Следовательно, с точностью до членов
первого порядка малости относительно перемещения
67 = j (1 + div 5) Q (х' + 0 dx' — / Qo (х, t) dx =
V V '
~ J [Q(x + §, 0 —Qo(x, O + Qo(x, /)div£]dx (115)
v
или
67= J (AQ + Qdivg)dx, (116)
V
где AQ есть лагранжево изменение Q, вызванное перемещением
Равенство (116) служит основной формулой теорищ
Глава 2
Применяя формулу (116) к интегралу
J pdx,
V
в силу соотношения (91) мы получаем
6 J р dx = | (Др + р div §)dx = 0.
V V
(117)
(118)
(119)
Обратно, результат (118), полученный из условия постоянства
массы, заключенной в произвольном объеме V, занимаемом од-
ними и теми же элементами жидкости, может быть использован
для вывода соотношения (91).
Непосредственным следствием результата (118) является
то, что для любой характеристики
б У pQ dx = У р AQ dx.
v v
В частности, если F(x) есть какая-либо внешняя
тика, то в силу уравнения (90)
б J pFdx = yp|/^-dx
V V 1
характерис-
(120)
или, в более общей форме,
d J J р (х) р (х7) F (х, х') dx dx'
v v
д
дХ]
v. v
Равенства (120) и (121) могут
лучения первых вариаций многих
в вириальнЫх уравнениях. Так,
j-1/ (х7) -““у"! F (х, х7) dx dx'.
dXj
(121)
быть использованы для по-
интегралов, фигурирующих
6Л/ = 6 / pXiX} dx = J Р (hXj + IjXi) d*.
у v
(122)
Аналогично
= б У px{XjXkdx = У р fax/Хь + + IkXiXj) dx.
V V
Введем обозначения
(123)
.(124)
Вириальные уравнения различных порядков
45
Соответствующие несимметризованные величины обозначим через
/= J Рё/X/dx и }k= | pliXjXkdx. (125)
V V
Найдем теперь первые вариации тензоров потенциальной
энергии 2В// и Рассматривая сначала 628//, мы можем
применить результат (121) к интегралу,. определяющему SB//;
таким образом [равенство (17)],
— 262В/, = 6G J J р (х) р (х') -fe . dx dx' =
v v
= dxp (х) 1/ (х) J dx'p (х') +
V 1 V
+ G f dx'p (х') I, (х') Л. J dxp (х) =
= 2 J р (х) (х) д^хМ dx (126)
v 1
или
62Sz/ = -J Pli~dx. (127)
v 1
Свертывая последнее равенство, получаем известный результат
(128)
V 1
Рассмотрим теперь первую вариацию величины 2В,/; имеем
— 262В//; к = б J pXkSSif dx = J Plk^a dx +
V V
+ G J dxp (x) xkli (x) j dx'p (x') fe +
V L V
+ G J dx'p (x') gz (x') -^7 J dxp (x) xk =
V 1 V
t=jplk^ildx+ / px£i^-dx + jph^^-dx, (129)
V V 1 V 1
46
Глава 2
где было использовано определение данное равенством
(22). Вместе с тем мы можем написать
- - 2б5Вг/: к = J pg,-^ (хкКц + ©0. к) du. (130)
v 1
Первые вариации и следуют просто из определения
этих величин и равенств (89) и (119). В самом деле,
26J// = б J рщи) dx = J (ри/ кщ + рщ Д«у) dx —
v v
=Jp(M/-S-+u^)dx <131)
V
и
2d$i/; j. = J р [хк (и/ &ut + щ hut) + UtUjlk] dx. (132)
v
Аналогично
6 j putXjdx == j" P dx 4- j* pUiljjlx (133)
V V V
и
6 J putXjXk dx = J p \utXjXk dx = j put (ltxk + gAx,) dx. (1.34)
V ' V V
Вычисление первой вариации интеграла, фигурирующего в
правой части уравнения (63), несколько сложнее. Очевидно, что
вне знака интеграла операции б и d/dt перестановочны. По-
этому мы можем написать
б J putXj dx = -^ J р Д^х, dx + J р^ dx. (135)
V V V
Исключая первый интеграл в правой части равенства (135)
при помощи соотношения [равенство (125)]
= -^f J PliX/ dx = J p Д^х, dx + J Р&/И/ dx, (136)
v v v
получаем
d г d2V> t dr
b~dt J PU/*/dx = ~dt^~ + 7t J p ^Ui ~ ^1и№- (137)
V , V
Точно так же находим
puiXjXkdx^-jj- j pbuixjxkdx+-£i j pWid/^+^X/JtZx, (138)
V V V
Вириальные уравнения различных порядков
47
и так как
/Ь Г Г
—£~ = J Р buiXjXk dx + J pgt (UjXh 4- ukxf) dx, (139)
V V
то мы можем написать
dr ' d2Vt fk
Ъ-Ji i 9utxtxkd*.=—jF—
V
d л
^7 J P [(ljxk + Zkxj) ul ~
V
— (UjXk + ukXj) gj dx. (140)
В гл. 7, посвященной эллипсоидам Римана, нас будет инте-
ресовать специальный случай, когда поле скоростей в исходном
стационарном состоянии представляет собой линейную функ-
цию координат вида
ыг=<Эг/Х/, (141)
где Qjj — некоторая постоянная матрица. Для этого частного
случая уравнения (131)—(140) принимают вид
f dVi-1
J p kuiXi dx = — QjiVi-1, (142)
v
d C . d2Vi-f . ~ dV4-k Л dVi-k
b~dt J 9ulxjdx HQ/* dt Qik > (143)
v
26£г/ = Qjk J p dx 4- Qik J p A«/Xft dx =
V V
=Q/* +Qik -^r - > + Q“VI-<144)
Г dV/• 1
' d J QUiXj dx = —J— 4- QikV I- k — QlkVi, k, (145)
v
f d^ {• ib
j p klLiXjXk dx — (QimV i- km 4" QkmVi\ jm)> (146)
V
d г d2Vf. d
6 “57 J Puixixk d* ~ ---b "dt kl "I"
V-
dVi Ы dV t
(147)
48
Глава 2
26Jz/; k = Qu J Р ^UiXkxi dx + Qu J p biijXkXi dx +
v v
+ QilQjm J &%кх1хт&Х = Qll ( QfemVi-lm QlnVi\ kmj 4"
V
+ Qz/ ( — Qk«y Г> Im — QlmV/; kmj + QilQlmVк, Im (148)
И
d J pU[XjXk dx = —Jj——(QfmVI; km~bQkmVI; /m)-j~Qlm (У/; jm)-
V
(149)
Остается рассмотреть первые вариации таких величин, как
П и Ilf. Если изменение давления, сопровождаемое изменением
плотности, происходит адиабатически, то лагранжево измене-
ние Др давления р дается равенством (94), и, применяя фор-
мулу (116), мы находим
6П = j (Др + р div §) dx = — J (у — 1) р div § dx (150)
v v
и
6П/=j (pli+xf kp+Xip div?)rfx=J р[Sz—xz(у— l)div§] dx.
V
(151)
Если бы жидкость была несжимаемой, то 6П и 6П< не во-
шли бы в уравнения и уменьшенное число оставшихся уравне-
ний должно быть дополнено условием, чтобы в этом случае
рассматривались только те перемещения, для которых дивер-
генция равна нулю [разд. 23, в].
Наконец, обращаясь к первым вариациям вириальных урав-
нений (63) и (73) второго и третьего порядков, имеем
S4 J Ры*х/ dx = + б28‘/ + ^УЧ ~ ^Vkt +
+ df/SII + 2en/nQmS j puzxz dx (152)
v
и
6 J pUiXjXk dx = 2 k + /) + k + / +
v
+QVj/fc—QjQ/V6Щ+6^б11/+2вптЙтд J puiXfXk dx. (153)
v
Вириальные уравнения различных порядков
49
В приведенные уравнения теперь можно внести выражения,
полученные нами для первых вариаций различных входящих
в эти уравнения величин.
Библиографические замечания
Дополнительную к этой главе информацию можно найти в статьях I, II,
IV, VII, IX и XXXV в списке на стр. 282; в общих обзорах, содержащихся
в статьях VI, XXII (гл. 1 и 2) и XXIII, показаны различные аспекты данногб
предмета.
Разд. 13. Исследование малых отклонений от начального течения в этом
разделе основано на работе
Chandrasekhar S., Lebovitz N, R.t Non-radial oscillations of gaseous masses,
Astrophys. J., 140, 1517—1528 (1964).
См. также:
Lynden-Bell D., Ostriker J, P., On the stability of differentially rotating
bodies, Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 136, 293—310 (1967),
Глава 3
Потенциалы однородных и неоднородных,
эллипсоидов
16. ВВЕДЕНИЕ
Определение потенциала сил притяжения однородного эл-
липсоида составляло главную задачу математики в течение
почти столетия после Ньютона. Она привлекала пристальное
внимание ряда наиболее выдающихся математиков своего вре-
мени: Маклорена, Даламбера, Лежандра, Лапласа, Гаусса,
Якоби, Пуассона и Дирихле. Одна из важнейших теорем, от-
носящихся к этому вопросу, охарактеризована Кельвином как
«замечательная теорема Маклорена». И в то время как фор-
мулы, дающие потенциал, принадлежат, как мы знаем, Гауссу
(1813) и Родригу (1815), выводы этих формул независимо
были даны Пуассоном, Кэли и Дирихле.
Последующие исследования потенциалов неоднородных эл-
липсоидов (Грина, Пуассона, Кэли, Феррерса, Дайсона, Ни-
вена, Рауса и Гобсона) привлекли значительно меньше внима-
ния. Тем не менее для целей этой книги решающее значение
имеет статья Феррерса (1877), где даны выражения для потен-
циалов эллипсоида, плотность которого изменяется как х^х^х*.
Эти выражения представляют собой не что иное, как потен-
циалы фг-, ©fj, ©ijfe и т. д. (введенные в гл. 2, разд. 10) для
однородных эллипсоидов 9- Как мы увидим, систематическое
использование результатов Феррерса исключает в целом необ-
ходимость рассмотрения эллипсоидальных функций2) — аппа-
рата, введенного Пуанкаре, использование которого для иссле-
дования (или даже пояснения) данной задачи, несмотря на
большие усилия Дарвина и значительные достижения Картана
в исследовании устойчивости эллипсоида Якоби, сопряжено
с большими трудностями.
Поэтому ввиду особой важности потенциалов эллипсоида
для вопросов, рассматриваемых в этой книге, данная глава
будет посвящена этим потенциалам.
!) В этой связи уместно отметить, что ни в одной из распространенных
книг, посвященных теории потенциала, нельзя найти каких-либо сведений о
потенциалах неоднородных эллипсоидов (и результатах Феррерса). Един-
ственной книгой, в которой автору удалось найти некоторые сведения по
этому вопросу, является .«Аналитическая статика» Рауса (1892, т. 2). Но Рау-
са, конечно, и самого интересовал этот вопрос.
&ти функции называют также функциями Лямэ. — Прим, пере®.
Потенциалы однородных и неоднородных эллипсоидов
51
17. ТЕОРЕМА НЬЮТОНА И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ТЕОРЕМЫ
О ПОТЕНЦИАЛЕ ВНУТРИ ГОМЕОИДАЛЬНЫХ 1) ОБОЛОЧЕК
к доказательству теоре-
мы Ньютона о равенстве
нулю притяжения внутри
гомеоидальных оболочек.
Мы начинаем с определения.
Определение. Гомеоид есть оболочка, ограниченная двумя
подобными концентрическими эллипсоидами, в которой слои
равной плотности являются также эллипсоидами, концентриче-
скими и подобными граничным эллипсоидам.
Теорема 1 (теорема Ньюто'на). Сила притяжения в любой
внутренней точке однородного гомеоида равна нулю.
Доказательство. Построим некоторый элементарный конус
с телесным углом d& и вершиной в какой-либо внутренней
точке О гомеоида (рис. 3). Пусть обра-
зующие конуса пересекают гомеоид по
усеченным конусам PQQ'P' и RSS'R'.
Если р — плотность, то масса элементар-
ного слоя конуса толщины dr, находя-
щегося на расстоянии г от точки О, рав-
на prl 2drdco, а ее вклад в величину силы
притяжения) в точке О есть Gpdadr. Силы
притяжения GpdcoPQ и GpdaRS двух вы-
резанных усеченных конусов будут иметь
противоположные направления. Но так
как граничные эллипсоиды подобны, то
на любой хорде они отсекают равные
отрезки; следовательно, PQ равно /?S
и силы притяжения двух усеченных
конусов равны по величине и противоположно направлены.
После суммирования по всем телесным углам теорема дока-
зана.
Следствие. Теорема верна для любого неоднородного гомео-
ида, в котором слои равной плотности суть эллипсоиды, кон-
центрические и подобные граничным эллипсоидам.
Доказательство. Следствие непосредственно вытекает из тео-
ремы, так как потенциал неоднородного гомеоида можно рас-
сматривать как сумму потенциалов бесконечно тонких гомео-
идальных оболочек постоянной плотности.
Теорема 2. Постоянное значение потенциала внутри одно-
родной гомеоидальной оболочки, заключенной между эллипсои-
дами с полуосями ai и таг (а^ а2 а3 а пг <!), дается вы-
ражением
33 Gp(l — m2) j r2d(o, (1)
s
l) Для таких оболочек употребляется также термин «гомотетические». —
Прим, перев.
52
Глава 3
где г — радиус-вектор, проведенный из центра в точку поверх- 1
ности (S) (внешнего) граничного эллипсоида
3 X2 I
= (2)') -
i=l г
Доказательство. По теореме 1 сила притяжения в любой
внутренней точке гомеоидальной оболочки равна нулю. По-
этому потенциал имеет постоянное значение всюду внутри -
этой оболочки и равен его значению в центре. Рассматривая
некоторый элементарный конус с телесным углом da> и верши-
ной в центре, будем иметь для той части величины S3, которая 4
возникает от усеченного конуса, отсекаемого гомеоидом, вы-
ражение.
Гг i
G J pr dot dr =-у Gp(г* — rf)do, (3) |
п ' ' I
где г2 и Г1 — радиусы внешней и внутренней поверхностей го- ?
меоида в направлении оси конуса. Вспоминая, что rj = tnr2, f
мы получим сформулированный результат при интегрировании
выражения (3) по всем телесным углам (элементарным ко- j
нусам). J
Следствие. Внутренний потенциал тонкой гомеоидальной "
оболочки массы М дается выражением .
S3 = MQ— Г г2 do-. (4)
. 4яа1в2аз J ' '
S ;
Доказательство. В силу того что масса М гомеоидальной 1
оболочки, рассмотренной в теореме 2, есть
4
М = у (1 — ^3)> (б)
мы можем написать
4 1 — т3
“о* 3X01^2^3
J г2 do. (6)
Предел этого выражения при tn —► 1 й фиксированном зна- i
чении М дается равенством (4).
*) В этой главе условие суммирования опускается; в случае необходи-
мости суммирование будет указываться явно, как в уравнении (2).
Потенциалы однородных и неоднородных эллипсоидов
53
Теперь мы докажем ряд лемм.
Лемма 1. При условиях теоремы 2
со
f г2 d® = 2na1a2a3 f (7)
s о w
где
А2 = (а2 + и) (а2 4- и) (а2 + и). (8)
Доказательство. В сферических полярных координатах урав-
нение поверхности S имеет вид
-L = =i’+sin’O('^4i + ^. (9)
Г й3 \ ^1 #2 J
где О есть полярный угол, отсчитываемый от оси х3. Поэтому
л/2 л/2
f 2 , of f _____________Sin О dfr dtp_________
J Г ° J j, cos2 O/a2 + sin2 b (cos2 <p/a2 + sin2 tp/af) *
Подстановка
* = tg<P (H)
приводит этот интеграл к виду
л/2 со
[г2 dco=8 f d$ sin О f —2 --о-;--277 г ^2/—m-------9—• (12)
J о о sin2 + с°з2^/аз + Z2 (sin2'O’/af 4-cos2-O'/ag)
Интегрирование no t проводится элементарно, и у нас остается
интеграл
Л/2
f о . А f sin Ь db
J г2 d® = 4л I --------------’--j------------- j =
S о (sin2 '0,/a2 + cos2 O/af)2 (sin2 O/a2 + cos2 f>/a2)~2
n/2
л of sec2 О sin О dO
= 4naia2a2l --------------i-------------p. (13)
0 (а? + «з*82*)2 («г + аз*^2*)2
Преобразованием переменных
M = a|tg2<>, du = 2a|sin,fl'sec3'fl'dO (14)
мы получаем искомый результат.
Обозначая
1=а№ J-f-, ~ (15)
о
54
Глава 3
результат этой леммы можно представить в виде
Jr2d(o = 2jiZ. (16)
$
Лемма 2. Если Ц (г == 1,2,3) суть направляющие косинусы
радиуса-вектора г, соединяющего центр эллипсоида с точкой
на его поверхности, то
J г2/2</® = 2ла2Лр (17)
s
где
со
Ai=ala2aA-/-d“ . (18)
Доказательство. Рассмотрим, в частности, интеграл
| г2/2 da = J г2 cos2 О da. (19)
3 S
Поступая так же, как и при преобразовании интеграла в лемме
1, мы замечаем, что интегрирование по q> не зависит от нали-
чия добавочного множителя cos2,&. Таким образом, у нас
остается интеграл
| г2/2 da = 2ла,а2а3 j СОд du. (20)
з о
Но в силу равенства (14) cos2 О = аЦ(а2 + и); поэтому
| г2/|й<о = 2ла|Л3. (21)
s
Общий результат (17) теперь следует в силу симметрии.
Лемма' 3.
з
%а2А{=1 (22)
Первое из этих соотношений получается посредством сум-
мирования по i результата (17) и использования равенства
(16), а второе может быть непосредственно проверено исходя
из принятых обозначений.
Потенциалы однородных и неоднородных эллипсоидов 55
Лемма 4.
з
2 А, =2.
(24)
Доказательство. Для величины Д, определяемой по формуле
(8), имеем
з
1 dA _ 1 yi 1
Д du 2 а2 + и
(25)
Следовательно,
з
о
___ SoiOjOj I ________ q
— l0
3 \ ос
£ „г * ) -у = 2а,а2а3 [
=, ai + “ / д 0J
1 dA .
-г — du =
Д2 du
(26)
Лемма 5.
[ r4Z? dto = ла3{ .
J 1 1 да,
s 1
Доказательство. Дифференцируя соотношение (16) по а^
получаем
(27)
f dr , di
J da{ da{
(28)
s
С другой стороны, дифференцируя уравнение (9), переписан-
ное в форме
I 3 l2
L — V_L
,2 Zj „4 ’
(29)
получаем
1 dr l2t
T’
(30)
r3 dat a°{
Подставляя последнее соотношение в равенство (28), мы по-
лучаем требуемый результат.
Интегралы, представляющие величины Ai, могут быть выра-
жены через стандартные неполные эллиптические интегралы
первого и второго рода
г -
£(0, ф)= J (1 — sin2 0 Sin2 ф)2 dtp
о *
и
f -1
F(0, <р)= j (1 — sin2Osin2<p) 2 dtp
о
(31)
56
Глава 3
с обозначениями
1
(_,2 2 \ о
0| — йп | 2
“2-----Г - И
«1 - «3 /
й<з
cosq>= —. (32)
ai
Имеем
А< “ («. ф) - £ (в. ч>)1. (33)
sin ф sin и
4 = 2 . з г;?. 2й к(9.<P)-F(0,ф)cos20——sin20sinФ1 (34)
sin ф sin 0 cos v ( a2 J
И
. _ 2ага3
3 a2 sin3 Ф cos2 0
— sin ф — Г(0, ф) .
. a3
(35)
Приведенные здесь формулы непосредственно применимы, если
01 > 02 > 0з- Если ах=а2> 03, то интегралы, определяющие Л/,
элементарные, <ц мы имеем
2
, - (1-е2)2 . 1-е2
Л1 = А2 =-----arcsin е---------
и
1
— 2(1 arcsin е, (36)
где
е=(1-а|/а2)1 (37)
есть эксцентриситет сплюснутого сфероида. Аналогично, если
а2==а3, то получаем
л^-Ц^п-^-г-^
и
л _ л _ 1 1-е’. 1+е
А2 — А3— ег 2е3 In j _ g ,
где
e=(i -аЦа^
есть теперь эксцентриситет вытянутого сфероида.
(38)
(39)
Потенциалы однородных и неоднородных эллипсоидов 57
18. ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА
ВО ВНУТРЕННЕЙ ТОЧКЕ
Теорема 3. Потенциал во внутренней точке Xi сплошного
однородного эллипсоида (с полуосями а^ дается выражением
93 = jtGp(/ — 2 (40)
\ /=1 7
Доказательство. Построим элементарный конус с телесным
углом rfco и вершиной в точке х$. Вклад в потенциал в точке Xi
от вещества, заключенного между образующими конуса, дается
соотношением
-d23=lGp(/?2 + ^rf®, (41)
где Ri и Т?2 — высоты двух полостей конуса, выходящих из
точки х^ Искомое выражение для 23 получается в результате
интегрирования соотношения (41) по всем телесным углам и
учета того обстоятельства, что в соответствии с процессом ин-
тегрирования каждый элементарный конус будет повторяться
дважды. Поэтому
83=±Gp/(/?? + /?l)d«>. (42)
S
Пусть Ц обозначают направляющие косинусы радиуса-век-
тора г, проведенного из центра параллельно оси рассматривае-
мого элементарного конуса. Координаты точек пересечения оси
конуса с эллипсоидом суть
+ HR\ и + hRz, (43)
а так как эти точки леэкат на эллипсоиде, то, очевидно, R\ и R%
являются корнями уравнения
з
(44)
Раскрывая уравнение (44) и вспоминая, что
1 3 /2
7=2^- <«>
i=l ‘
мы можем написать
9 3 f 3 9
<«)
58
Глава 3
Из этого уравнения следует, что
/ 3 , \2 / 3 2\
= +2г2 1-У4 . (47)
\/-1 ai ) \ Д ai /
Подставляя последний результат в уравнение (42), получаем
de>
или
На основании лемм 1 и 5 мы можем теперь написать
53 = лбр
(48)
(49)
(60)
УХ2/ 1 д!
Д \а/ dai
Используя теперь лемму 3, получаем искомый результат.
19. ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА
ВО ВНЕШНЕЙ ТОЧКЕ. ТЕОРЕМЫ МАКЛОРЕНА И АЙВОРИ
Начнем с некоторых элементарных результатов, относящих-
ся к геометрии софокусных эллипсоидов.
Определение. Две точки Р(хг) и Р'(х/)> находящиеся соот-
ветственно на эллипсоидах
называются соответственными, если
xilat “ xilai- (52)
Лемма 6 (лемма Айвори). Если Р, Р' и Q, Q' суть пары
соответственных точек на двух софокусных эллипсоидах
Потенциалы однородных и неоднородных эллипсоидов
59
Доказательство. Пусть двумя парами рассматриваемых точек
будут х') и Тогда по определению
xi __. ai
Х'1 $ +
Следовательно,
(PQ')2 - (P'Q)2 = S [(*< - I'tf - « -I,)2] -
(54)
Теорема 4. Рассмотрим два бесконечно тонких однородных
софокусных гомеоида равных объемов и плотностей. Пусть Р
и Р' будут двумя соответственными точками на двух софокус-
ных эллипсоидах Е и Е', расположенных внутри и вне гомеои-
дальных оболочек соответственно. Тогда потенциал внешней
гомеоидалъной оболочки в точке Р представляет собой то же
самое, что и потенциал внутренней гомеоидалъной оболочки
в точке Р'.
Доказательство. Рассмотрим два равных элементарных объ-
ема около двух соответственных точек Q и Q' на двух гомеои-
дальных оболочках; далее, пусть эти два элементарных объема
ограничены поверхностями, образуемыми соответственными
точками1)- В силу леммы 6 PQ' = P'Q. Следовательно, вклад
J) Здесь необходимо некоторое пояснение. Пусть do и da' — площади
двух треугольных элементов около точек Р и Р', вершинами которых тоже
служат соответственные точки; пусть также р и р'— перпендикуляры, опу-
щенные из общего центра эллипсоидов на касательные плоскости в точках
Р и Р'. Объемы тетраэдров (основания которых суть da и da', а общей вер-
шиной служит точка О) равны — pda и — р'da'. В то же время очевидно,
о о
что эти объемы находятся в отношении ‘ 0i02a3 [поскольку объем тетра-
эдра, вершиной которого служит начало координат, а треугольное основание
имеет свои вершины в точках (а = 1, 2, 3), дается выражением ~-|| х^
Поэтому pda: р' da'=^a 2а3: а'а^; а так как любой элемент площади около
60
Глава 3
в потенциал в точке Р от элементарного объема около точки
Q', лежащей на Е', равен вкладу в потенциал в точке Р' от
элементарного объема около точки Q, лежащей на Е, Сумми-
рованием по всем таким парам элементарных объемов рас-
сматриваемых оболочек мы получаем искомый результат.
Следствие. Эквипотенциальные поверхности вне тонкого го-
меоида представляют собой эллипсоиды, софоуусные гомеоиду.
Доказательство, Это утверждение представляет собой пря-
мое следствие теорем 1 и 4. В силу теоремы 1 потенциал Е' на
поверхности Ё принимает постоянное значение. Следовательно
(по теореме 4), поверхность Е' является эквипотенциальной по-
верхностью для Е, а так как Е' представляет собой произволь-
ный софокусный эллипсоид, внешний по отношению к Е, то от-
сюда и следует приведенное утверждение.
Теорема 5. Потенциал тонкого гомеоида массы М во внеш-
ней точке Xi дается выражением
S3 =4 GM J ------------------—---------------->
к [(а^ + и)(а2 + «)(а1 + и)]т
(56)
где X — эллипсоидальная координата точки xit определяемая
эллипсоидом, проходящим через точку х{ и софокусным го-
меоиду, т. е, К является (алгебраически) наибольшим корнем
кубического уравнения
= 1.
(57)
[Заметим, что для внешней точки, такой, как точка, рассматри-
ваемая в теореме 4, эллипсоидальная координата X положи-
тельна.]
Доказательство, По теореме 4 искомый потенциал равен по-
стоянному значению потенциала внутри софокусной гомеои-
дальной оболочки той же массы М, проходящей через точку
а последнее, согласно следствию из теоремы 2 и равенствам
точки Р (или Р') может быть разбит на треугольники, то указанное соотно-
шение имеет общий характер. Поскольку толщина гомеоидалыюго слоя равна
kp, где k — некоторая постоянная, то объемы соответственных элементов двух
тонких гомеоидов находятся в постоянном отношении, и, очевидно, это отно-
шение является не чем иным, как отношением' полных объемов двух оболочек.
Если толщина оболочек такова, что они имеют равные объемы (как в фор-
мулировке теоремы 4), то соответственные объемные элементы будут тоже
иметь равные объемы, и это последнее равенство существенно для доказа-
тельства теоремы 4.
Потенциалы однородных и неоднородных эллипсоидов
61
(7) и (8), дается выражением
-------------------------------—------------У . . (58)
' • 0 [(«Г+«') («Г + «О U2+«')]2
Но a'i = а? + Л; поэтому, заменяя переменную интегрирования
на и = и' -j- X, получаем искомый результат.
Теорема 6 (теорема Айвори). Рассмотрим две соответствен-
ные точки Р и Р' на двух софокусных эллипсоидах равно#
плотности Е и Е' с полуосями at и а\. Тогда
притяжение Е в точке р' вдоль оси х/ а1а2а3а^
притяжение Е' в точке Р вдоль оси Х[ a\a'2a3ai
(59)
будут
Доказательство. Пусть
уравнениями эллипсоидов Е и Е'
3
3 2
Xi = 1
а? + X
(60)
соответственно, и пусть х{ и х'{ — две рассматриваемые (соот-
ветственные) точки. Так как Е' проходит через точку X/, то Л
есть наибольший корень уравнения •
Пусть /?S-некоторая элементарная Рис 4 иллюстрациях
прямоугольная пластинка в Е, парал- доказательству теоремы
лельная оси a R'S'— соответствую- Айвори.
Щая пластинка в Е' (рис. 4). Если попе-
речные сечения этих двух пластинок соответственно равны
dx2dx3 и dx2dx'3t то по способу их построения
dx2 dx3 a2ai
dx2dx3 a2a3
(63)
Если f'(r) = df/dr — закон силы (в зависимости от расстоя-
ния), а р — плотность (предполагаемая одинаковой для Е и Е'),
62
Глава 3
то составляющая силы притяжения в точке Р' в направлении
оси Xi, создаваемая пластинкой RS, дается выражением
— р dx2 dx3 j f' (r) cos Z P'QS dxx =
R
S
= pdx2dx3 J -g- -gj-dx! = pdx2 dx3 [f (P'S) - f (P'R)l (64)
R 1
Точно так же составляющая силы притяжения в точке Р в на-
правлении оси Xi, создаваемая пластинкой R'S', дается выра- '
жением .
pdx'2dx'3[f(PS') — f(PR')]. (65)
Но по лемме 6 P'S = PS' и P'R — PR'. Поэтому, учитывая |
(63), величины этих двух сил притяжения находятся, в отноше- I
нии dx2 dx3: dx'2 dx'z = а2аз а'2аз; и это отношение не зависит от ;
выбора пластинки Следовательно, суммируя вклады от всех
пластинок (таких, как и R'S'), на которые могут быть раз-
биты эллипсоиды Е и Е', мы получаем соотношение |
притяжение Е в точке Р' вдоль оси х^ д2а3 I
притяжение Е' в точке Р вдоль оси х{ а2а'3 |
I
Аналогичные результаты для составляющих сил притяжения 4
в других направлениях следуют по симметрии.
Теорема 7. Сила притяжения сплошного однородного эллип- |
соида Е во внешней точке х\ дается выражением ч |
0°
— 2nGpaia2a3x'i f , , (67) f
к 4ai + u) f
;(
где К есть эллипсоидальная координата точки x'i. |
Доказательство. В тех же обозначениях, что и в теореме 6, f
сила притяжения в точке P(Xi), создаваемая Е', дается выра-
жением (теорема 3) !
— 2nGpaia'2a'3Xi Г---------------------—----------j---------. (68) J
о [(af + u')(a^ + «')(a32 + «')F(af + “') <
Потенциалы однородных и неоднородных эллипсоидов 63
По теореме 6 сила притяжения, создаваемая £, во внешней
точке дается выражением
du
a\a2a3ai
—2яОра{а2а'зХ1 j------------------------------,-------- , , ,
_o [(af + „/) + «') (a^ +
== — 2nGpaia2a3x'i j---------------1, (69)
о [(a'2 + „/) (a'2 + (a'2 + «')] 7(a<2 + u')
где мы также использовали соотношение (62). Поскольку
а' =а| + Л, получаем результат (67), заменяя переменную ин-
тегрирования на и = и' + К.
Теорема 8 (теорема Маклорена). Силы притяжения двух
софокусных эллипсоидов во внешней для них точке пропорцио-
нальны их массам и совпадают по направлению.
Доказательство. Рассмотрим силы притяжения двух различ-
ных софокусных эллипсоидов (с плотностями pi и р2 и полу-
осями аг и си) в некоторой внешней для них (фиксированной)
точке Хг. Тогда, согласно (69), эти силы притяжения будут на-
ходиться в отношении р^д^Яз '• Ргсс^аз; другие множители оди-
наковы, так как а^ являясь полуосями эллипсоида, проходя-
щего через точку xit имеют одни и те же значения для обоих
рассматриваемых эллипсоидов. Кроме того, силы притяжения
действуют в одном и том же направлении, так как все три
проекции этих сил находятся в одном и том же отношении.
Теорема 9. Потенциал однородного эллипсоида Е во внеш-
ней точке Хг дается выражением
°° < / з 2 \
г du / х t в
2} = лСра1а2аз] — l-V-TY- , (70)
где
Д2 = (a2 + и) (a2 + и) (a2 + и), (71)
a X — эллипсоидальная координата рассматриваемой точки,
представляющая собой положительный корень уравнения
3 2
Х1
о2 X
(72)
Доказательство. По теореме Маклорена значение потен-
циала 23' эллипсоида Е' (софокусного эллипсоиду Е той же
64
Глава 3
плотности и проходящего через точку хг) в точке х{ равно от-
ношению (а'^аз/а^аз), умноженному на значение потенциала
33 эллипсоида Е в той же точке. Но по теореме 3
^'=пОра\а'заз f —---------------------------fl—V '» (73)
0 l(af2 + “0 (а22 + и')(а'з + д,)12 i=1 а* U
поэтому
00 du ( 3
^—nGpa\O2Ci3 J ----------------------------( 1— V
о [(af + «')(a^ + »')H2 + «Tk i=1
• (74)
Ho a'l — a2t + K\ следовательно, заменяя переменную интегри-
рования на и = и' + Л, мы получаем сформулированный ре-
зультат.
20. ПОТЕНЦИАЛЫ НЕОДНОРОДНЫХ ЭЛЛИПСОИДОВ
Обратим теперь наше внимание на потенциалы неоднород-
ных эллипсоидов. На первых порах ограничимся рассмотрением
специального'случая, когда слои равной плотности представ-
ляют собой эллипсоиды, подобные и концентрические с гранич-
ным эллипсоидом.
Пусть at обозначают полуоси граничного эллипсоида. При
сделанном предположении слои равной плотности представляют
собой тогда эллипсоиды с полуосями /па,, где m — параметр,
непрерывно изменяющийся от единицы до нуля (для сплощного
эллипсоида) или от единицы до некоторого конечного нижнего
предела (для гомеоидальной оболочки). Уравнение слоя равной
плотности имеет вид
3 2
. (75)
Мы будем предполагать, что
Р — Р (tn2). (76)
Теорема 10. Потенциал в точке х^ внешней по отношению
к неоднородному эллипсоиду описанного типа, дается выраже-
нием
со 1
' » = nGaia2a3 / -у- / dtn2p(m2), (77)
К т2 (и)
Потенциалы однородных и неоднородных эллипсоидов 65
где функция т2(и) определяется уравнением
3 2
V Xi 2
У “з------=
(78)
а Z есть эллипсоидальная координата точки х^ рассматривае-
мой относительно граничного эллипсоида.
Доказательство. Рассмотрим сплошной эллипсоид как со-
стоящий из серии бесконечно тонких гомеоидальных оболочек,
ограниченных эллипсоидами с полуосями mat и (m-\- dm)at.
Масса такой оболочки равна
dM (т) = 4nata2a3p (m2)т2 dm. (79)
По теореме 5 вклад в потенциал во внешней точке Xi от гомео-
идальной оболочки dM(m) равен
оо
2nGa1a2a3p(m2) т2 dm Г ---------------—-------------р-,, (80)
х [(т2а2 + v) (т2а2 + о) (т2а| + и)]~
где к(т2) есть эллипсоидальная координата точки х{ относи-
тельно эллипсоида с полуосями та{, т. е. Х(т2) есть положи-
тельный корень уравнения
Интегрируя. равенство (80) по интервалу изменения пара-
метра т, для полного потенциала получим выражение
23=2лОЬ1а2а3 f dmm2p(m2) J —--------------—------------г- (82)
о К (m2) [(т2а2 + ч) (/п2а| Я- о) (т2а2 + v)]2
Полагая
о = щ2и и К (т2) = т2ц (т2), (83)
где ц(т2) неявно определяется уравнением
мы можем переписать уравнение (82) в форме
1 оо
23 —пСау^аз j dm2p(m2) j (85)
0 * И (т2)
3 Зак. 312
66
Глава 3
где Д имеет свое обычное значение. Изменим теперь порядок
интегрирования в равенстве (85). Замечая, что
ц->оо, когда т—>0,
ц = Л(= эллипсоидальной координате относительно
граничного эллипсоида), когда т = 1, (86)
и считая, что /и2(и) обозначает функцию, определяемую урав-
нением (78), мы можем написать
ОО 1
23 = яОа^аз J J dm2p(m2). (87)
X /п2(«)
Это и есть требуемый результат.
Удобно ввести функцию
и2
ф (tn2) = J dm2p (/и2), так что = р (/п2). (88)
1
Тогда равенство (87) примет вид
ОО "
^ = nGala2a3 J -у-[ф(1) — ф(т2 («))]. (89)
л,
Заметим, что для точки на граничном эллипсоиде (для которой
Х = 0)
ОО
23 = лва^аз j [ф (1) — ф (/и2 (и))]. (90)
о
Теорема 11. Потенциал в любой внутренней точке гомеои-
дальней оболочки, ограниченной эллипсоидами с полуосями at
и nat (n < 1), дается выражением
ОО
23 = лСа1а2а3[Ф(1) —Ф(л2)] J <91)
о
Доказательство. Мы знаем, что потенциал внутри беско-
нечно тонкой гомеоидальной оболочки имеет постоянное значе-
ние, а в силу следствия из теоремы 2 вклад от гомеоидальной
Потенциалы однородных и неоднородных эллипсоидов 67
оболочки dM(tn) (рассматриваемой в доказательстве теоре-
мы 10) в ее внутренний потенциал есть
оо
2nGaia2a3p (m2) m2 dm J--------------——;---------r-y =
° + o) (m2a2 + f) (m2a2 + v)]2
00
— nGaia2a3p(m2)dm2 J (92)
о
где Д имеет свое обычное значение. Последний интеграл в (92)
не зависит от т; поэтому, .интегрируя последнее выражение -по
интервалу изменения параметра m (а именно от 1 до п), мы
получим выражение (91).
Теорема 12. Потенциал во внутренней точке Xi неоднород-
ного эллипсоида (рассмотренного типа) дается выражением
оо
S3 = nGaia2a3 J [ф (!) - ф (т2 («))]. (93)
о
Доказательство. Мы можем рассматривать два .вклада в по-
тенциал во внутренней точке: вклад от сплошного эллипсоида,
для которого рассматриваемая точка не является внутрен-
ней, и вклад от гомеоидальной оболочки, для которой точка Xj
не является внешней. Пусть nai обозначают полуоси эллипсои-
да равной плотности, проходящего через точку Тогда в силу
равенств (90) и (91) два указанных вклада будут
00
пва^аз J [-ф (n2) —1|> (т2 (и))] (94)
0.
И
со
x.Ga{a2a3 [ф (1) — ф (n2)] J (95)
о
[Заметим, что для рассматриваемого случая пределы интегри-
рования по т2 в равенстве (87) суть га2 и т2(и), и этим объяс-
няется различие между (90) и (94).] Складывая равенства
(94) и (95), мы получаем требуемый результат.
Частный случай теоремы 12, имеющий большое значение для
вывода потенциалов и т. д. (разд. 22), состоит в сле-
дующем.
Пусть
(3 2 \ п
1 - у 4 , (96)
z-i а‘ J
3*
68
Глава 3
где С есть постоянная, а п— некоторый положительный пока-
затель степени. В этом случае [равенство (88)]
г[(т2) = - -^-(1 - m2)n+1, ' (97)
а г|)(т2(и)) дается выражением [равенство (78)]
с I -2, v2 \п+1
1|)(/п2(ы)) =--------------— • (98)
п + 1 \ jiZ] ai + “ J
ч Поэтому из теоремы 12 теперь получаем
г 00 . / 3 2 \«+1
JB = nGa1a2a3—— [ 1 1 - У . (99)
га + 1 о д \ S «z + “ /
Результат, полученный для этого частного случая, ввиду
его важности сформулируем в виде теоремы.
Теорема 13. Для неоднородного эллипсоида, в котором рас-
пределение плотности имеет вид
' 3 2
р=С£га, где Е = (100)
£ ai
а С есть постоянная, потенциал во внутренней точке Xt дается
выражением
' оо
j-^Qre+1, (101)
< о
где.
3 2
о»2»
/s=1 “Г «
21. ИНДЕКСНЫЕ СИМВОЛЫ
Ниже (разд. 22) мы покажем, как при помощи теоремы 13
можно очень просто получить явные выражения для потенциа-
лов Фг-, ©г-;, ©ijfe и т. д. Но эти выражения наиболее удобно
записываются при помощи некоторых индексных символов, ко-
торые мы сейчас определим.
, Определение, Индексные символы Аць... и Вць... опреде-
ляются равенствами .
оо
Ailk...=W3^ Д(а2 + „)(а2+“и)(а2 + и)ф.ф (ЮЗ)
Потенциалы однородных и неоднородных эллипсоидов
69
И
со
вик = ¥&( ~П-----------чгГ d\ n-----ч---. (104)
. 1 2 3 J Д(а2 + и)(а2 + и)(а2+я) »
где Д имеет то же самое значение, что и в равенстве (8).
Определенные так символы Л^/^... и Вць..., очевидно, сим-
метричны относительно своих индексов. Кроме того, очевидно,
Вцм... — tfAijki...- (Ю5)
Дополнительные соотношения, непосредственно следующие из
определений, суть
аМ/м... 4" (а? “ а/) Вцм... (106)
и
Ацн... Ара... = (az а/) (107)
Соотношения, не столь очевидные, как приведенные выше, со-
держатся в следующей лемме.
Лемма 7. Индексные символы Aijh первых четырех порядков
удовлетворяют следующим соотношениям:
2 Al = 2, (108)
/я=1
2ДН + УЛ„ = 4.. (109)
/=1 ai
2Ai{j + 4- У Aj/i =22» (НО)
S aial
3
. ZAiijk + 2Aink + 2А{/кк + V Atiki = —yi~2 • (Hl)
Д aiaiak
Доказательство. Соотношение (108) уже было установлено
(лемма 4), а соотношения (109)—(111) точно так же полу-
чаются в результате интегрирования по интервалу изменения
переменной и тождеств
— 2 — 7-2-——Г I -Т— + X ~Г— L (И2)
du &(а2 + и) к(а2 + и) уа2 + и ~ а2 + и J
_2 — 1 =
du А (а2 + к) (а2 + и)
( 2 2 3 1 \
а? + и "I” а, + и + a2t + и j
70
Глава 3
И
_2 _d____________1__________=
du Д (я, + и) (ау + и) (я| + и)
( 2 2 2 3 1 \
а} + и Яу + и "I" ак + и я22 + «у
(114)
Соотношения (108) — (НО) могут быть преобразованы та-
ким образом, чтобы получить далее некоторые полезные тожде-
ства. В самом деле, считая, что i =/= j ф k, мы можем перепи-
сать равенство (109), используя предшествующее равенство
(108), в форме
ЗАна* + АИа2 + А1ка2 = 2 = А{ + Лу + Ак (115)
или соответственно
зл(.^ + (А^ + л/-Л) + (АХ+Л-4)=злр (не)
Использование соотношений, следующих из равенства (107),
упрощает теперь равенство (116) и дает
ЗАна2 + А..а2 + Aika2k = ЗА, k). (117)
Подобным образом из равенств (НО) и (111) могут быть вы-
ведены следующие соотношения:
^il/a2f "J" ^iikak =
^aia2 + ЗА,па2. + А,^а2к — 5А,,,
1А,ц,а2 "Ь
“Ь ^^iiifl2 “Ь ~^^цр
ЗЛг7/^ + ЗА,Цка2 + 3Aiikka2k == 7Aifk (i j Ф k). (118)
22. ПОТЕНЦИАЛЫ ®zy и
Сначала мы сформулируем следующую лемму.
Лемма 8. Если ~23 есть потенциал сил притяжения, обуслов-
ленный некоторым непрерывным распределением плотности
р(х), обращающейся в нуль на границе конфигурации, а в
остальном произвольной, то потенциал сил притяжения, обус-
Потенциалы однородных и неоднородных эллипсоидов 71
ловленный «распределением плотности» др/дх(, дается произ-
водной д$/дх{.
Доказательство. Мы имеем
= G f р (х') ——гг dx' = — G [ р (х') -^7 ——тт dx'.
дх, J г ' ’ дх, х — х I J г 4 ' дх', х — х'
1 v v
(119)
Лемма следует в результате интегрирования по частям по-
следнего равенства и условия, что р обращается в нуль на гра-
нице области V.
Очевидно, что основное условие справедливости этой леммы
состоит в равенстве нулю плотности на границе конфигурации.
Следствие. Если р(х) и gradp(x) одновременно исчезают
на границе конфигурации, то потенциал, индуцированный рас-
пределением «плотности» d2pfdxidxj, дается производной
d25B/dXi dxj, где S3 есть потенциал сил притяжения, отвечающий
плотности р(х).
Очевидно, что это следствие может быть распространено на
частные производные от р более высокого порядка, лишь бы р
и все необходимые производные меньших порядков обращались
в нуль на границе рассматриваемой конфигурации.
Теорема 14. Потенциал
£)f(x) = G / dx' (120)
V
во внутренней точке однородного эллипсоида дается выраже-
нием . ‘ z
/ 3 \
—। Aflx] j хг (121)
\ Z«=l /
/
Доказательство. В силу теоремы 13 распределение «плот-
ности»
(з 9 \
(122)
имеет потенциал
оо
^Gp"= — Т а?а1а2аз J ~ Q2* (123)
о
Очевидно, что распределение (122) равно нулю на границе
эллипсоида. Лемма 8 применима, и мы заключаем, ч!о распре-
деление «плотности»
<124>
72
Глава 3
индуцирует ньютонов потенциал
<£)i 19 f° du dQ2
-те- = — -т- а{аха<>а.> -т- —
лир 4 1 2 з j д дх,
о
00 я ( 3 2
— а]а{а2а f —г-1 1 — У — -
/ 3 . к
Xi = a]Xi | А’ ’
\ /=1 J
(125)
откуда и следует сформулированная теорема.
Следствие 1. Тензорный потенциал 23^- во внутренней точке
' однородного эллипсоида дается выражением
/ з
jjGp"= ^ijxixj “Ь a2fiu (А — А/х/) • (126)
Это выражение для 23i} следует из равенств (40), (121) и
соотношения
(127)
выведенного в гл.,2 [равенство (28)]. [Заметим, что для полу-
чения специальной формы соотношения (126) было использо-
вано равенство Bf/ = Af-~
Следствие 2. Тензор потенциальной энергии Я&ц для одно-
родного эллипсоида дается выражением
SSr = -2^„ (128)
где
= Ma2fii/ (м = Масса = у na,a2a3pj (129)
есть тензор инерции.
Это утверждение следует из обоих представлений величины
8Вг/ = — 1 j р53о dx или j pxt dx. (130)
V V 1
Теорема 15. Потенциал
(х) = G ( р (х') dx' (131)
Потенциалы однородных и неоднородных эллипсоидов 73
во внутренней точке однородного эллипсоида дается выражением
/ 3 \
Ивр = а2а21 А/ “ Ащх21 j xixi +
\ /==1 /
(3 з 3 ч
В, - 2 S В,,*? + S S В,,„хК I (132)
/=1 Z=1 m=l J
Доказательство. Легко проверить справедливость тождества
XrV/='8aifl7 dx{dXj +‘2az6//^- - (133)
В силу того что d&ldxi (i = 1, 2, 3) обращаются в нуль на
границе эллипсоида, применимо следствие из леммы 8, и мы
можем написать
atai Г du d~Q^ 1 г du
_____IL. . = ..1 1_________-___I___а2Ь _______О2
пвра{а2а2 24 J Д dxidxf 4 “ru J Д 4
Легко проверить, что
02Q3 Х;Х: 6бн
... — 24______L2________о_______У П2
дх^Х/ (а| + «)(«/ + и) (а2 + и)
(135)
Подставляя это соотношение в равенство (134), находим
®И , 2 f du ~ ,
----=а2.а,х,х1а.а„а, —7-7 ггз rQ +
nGp 1 1 1 1 1 2 з J д(а2 + м)(а’ + «) К
ОО
+ 7^„«,»а1 (136)
и раскрывая последнее равенство, получаем соотношение (132).
Следствие. Тензорные потенциалы во внутренней точке
даются выражениями
®z/; k = 2alBubxixixk (^'t^ ^)>
/ = a2ixi (~ ва + вшх2 + 35///х/ + BnA) У k),
®Zi; Z—a2xi[aiAU ^BU~^~(^BHi aiAiii)Xi~^l^((^BlU aiAiil)XlJ,
(137)
где множитель nGp опущен.
74
Глава 3
Эти выражения получаются в результате подстановки в со-
отношение
k ~ дх{ Xi
d®k
дх.
(138)
полученных нами выражений для и
Теорема 16. Потенциал
®Uk (х) = G J р (х') [1'^1 dx'
V
(139)
однородного эллипсоида во внутренней точке дается выражением
= a?a2.al (Л,.,. — V А.х.х.хь +
лир 1 1 « I ИМ i I i i ь 1
\ z==i /
(3'33 ч
-2 2 + 2 2 B4>^A U +
1=1 1=1 m=l /
3 3’3 x
+ T “Ж1 - 2 S + S 2 8,.,*, +
\ 1=1 1=1 m=l J
( 3 3 3 ч
&ki — kiltf S S BkilmXlXm] Xk* U^O)
1=1 1=1 m=l /
Доказательство. Легко проверить справедливость тождества
д3Е3
XiXjXk — 48 dx^ dXj дх^
-1 (“’“А- (14>)
В силу того что d2E3/dXidXj и dE2/dxi обращаются в нуль1)
для любой комбинации индексов, применимо следствие из лем-
мы 8, и мы можем написать
^i/k________a2ia2ial F du d3Q\
7tGpala2a3 192 Д
<142)
o' z . R • 1
9 Ца границе эллипсоида. — Прим, nepeq.
Потенциалы однородных и неоднородных эллипсоидов
75
Легко проверить, что
d3Qi = _ 192 —О 4-
dxt dxj dxk (of + u) (4 4 и) (a| + и)
j-4802 Xi{>,k + Xl(>ik Д- Xfedf/
L (4 +u) (4+“) (4+4 (4 + “) (4+“) (4 +4
<5Q3
dXj
= _6Q2_J1_
a‘i + u
(144)
Подставляя приведенные'здесь соотношения в равенство (142),
получаем
2 2 2 f QdU I
--------= aja‘alxlxixb —7-5-------гт-5----------г 4-
nGpala2a3 «/*«/*} ^(4 + 4(4 + “)(4 + 4
1 f° и du Г a^Xfbf/,
J___f)2________ _____1 J t JR
+ 40J4 Д [(4 + „)(a* + „)
__44fAi_
(4+4(4 + “)
44*Л/
44 4 4(4 + 4 Г
(145)
а раскрывая последнее равенство, мы получаем соотношение
(140).
23. ПЕРВЫЕ ВАРИАЦИИ ТЕНЗОРОВ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
В гл. 2 (разд. 15) мы вывели общие выражения для первых
вариаций тензоров потенциальной энергии 2В// и Эти ва-
риации необходимы, если для исследования устойчивости кон-
фигурации используется линеаризованная форма вириальных
уравнений [гл. .2, уравнения (152) и (153)].Для однородных эл-
липсоидов искомые вариации можно вычислить в явном вйде,
так как тензорные потенциалы^/ и *, представленные со-
ответствующими выражениями, известны.
В силу того что 33// и ©>•/-,* являются теперь полиномами
относительно координат [равенства (126) и (137)], то из формы
выражений, представляющих S2B// и д2В//; * [гл. 2, равенства
(127)' и (130)], очевидно, что эти вариации можно выразить
как линейные комбинации симметризованных величин [гл. 2, ра-
венства (122) —(125)]
= Jp^-£-(w*---)dx- (146)
V 1 .
76
Глава 3
а) Вариация d2Bi3- для однородных эллипсоидов
Мы имеем [гл. 2, равенство-(127)]
•65ВО = -Jp^^Ldx. (147)
v 1
Подставляя в это равенство выражение (126) для 23^- и при-
нимая во вним.ание равенство (146), получаем
г 2
= + . (148)
Z=1
Для использования в дальнейшем мы можем здесь отметить,
что первые вариации частных комбинаций величин кото-
рые были указаны в гл. 2 [равенства (70) и (71)], имеют вид
•^яёр6^2' = - + <ЗВ22 “ В‘2>722 + - В>з)узз
(149)
и
йЭВц + 6ЖВгг-26Жз_
= — 3 (Вп + В12 — 2В13) Vц — (3Z?22 + В]2 2Взз) 1^22 4~
-^(бВзз-Вш-Вгз)^. (150)
б) Вариация 6Я53^; д для однородных эллипсоидов
Имеем [гл. 2, равенство (130)]
- 262B//;fe = / + £)z/?fcMx. (151)
v 1
Подставляя в это равенство известные выражения для 23^ [ра-
венство (126)] и [равенство (137)], мы можем теперь вы-
разить d2Sjj; k в виде линейной комбинации величин Ввиду
сложности формул, дающих удобно здесь различать те
же самые случаи. Находим
— 2д2В//; k = 2Bij-, kVtfk, (152)
2d2Bz/.. = a2fBtiy [lt + (2BZ/ + За^Вщ) Vtjl + a^B^y ikk ailBiy t,
(153)
- 2d28/z., = - a2Aih у ш - a2Alk; уjkk + (2BZZ;, - а*Ащ ,)Vzz/ +
+ a^Al + aJAl/)Vj, (154)
-262BZZ. z = [2(BZZ + 2a2SziZ)-a2AZZ; z] Vil( + a2(2Bzz/ - Az/; Z)KZ//+
+ «?(2BHft - Alk; z)7zftft + a2(Xz + a2Azz - 2BZZ)KZ (155)
(в приведенных здесь формулах i =/= j =5^ k),
Потенциалы однородных и неоднородных эллипсоидов 77
где для краткости мы ввели дополнительные сокращения
Av-, & = и ь ~ ви -Ь ak^ijk- . (156)
Снова, для использования в дальнейшем мы можем здесь отме-
тить первую вариацию величины определенную в гл. 2 [ра-
венство (84)], /
6S{jj = [(2а? + а?) Вщ - 5а*Вш - 2Bit]Vltt +
+ 3 [BJt + Btl + (а? + 2а?) В1П - а?Вн/] V ц, +
+ [(2«? + Biik - За*ВЦк] Vlkk + [За?Вп - (2а? + а?) BJ Vt (157)
(г ¥= / ¥= k).
в) Ограничения на соленоидальные перемещения
В то время как выражения -для б5Вгу и данные ра-
венствами (147) и (152) — (155), имеют общее значение, в даль-
нейших главах нас будут интересовать лишь такие перемеще-
ния которые сохраняют постоянную плотность недеформиро-
ванных эллипсоидов. Для таких перемещений дивергенция
равна нулю, и это требование соленойдальнбсти |, как мы
сейчас покажем, эквивалентно некоторой бесконечной последо-
вательности линейных соотношений между величинами Уцк...-
Теорема 17. Соленоидальное перемещение, сообщаемое од-
нородному эллипсоиду с полуосями ait должно удовлетворять
соотношениям
У itk-2-^=Vilk...P. (158)
9=1 ао
Доказательство. В силу равенства (146) мы можем написать
3 v /
-llk-2pq4 = J р§ • grad I XiXjXk ..
9=1 аЧ V \
3 2 \
ХрУ^Трх, (159)
9=1 аЧ }
В результате интегрирования по частям интеграл в правой ча-
сти уравнения (159) принимает вид (ввиду того что р предпо-
лагалась постоянной)
3 2 2
f Р 2 2 xixixk • • • хр1 dS — j р div § J} -f xixfa ... xpdx =
S <1=1 V 9=1 a<?
= | pXiXjXk .. • dS, (160)
s
78
Глава 3
так как = 1 на поверхности S рассматриваемого элли-
псоида и div § = 0 внутри него. Поэтому
3 у
2 -‘"‘г'™ = J pxzX/Xft ..Хр§ • dS =
= J Р? • grad (xix}xk ... Xpjdx. + j pdiv ?xzxzxft ... xpdx —
V V . .
= Vijk...P (161)
в силу дальнейшего приложения теоремы Гаусса.
В частности, мы можем здесь отметить, что для соленои-
дальных перемещений величины второго и третьего по-
рядков должны удовлетворять соотношениям
и
2-^=0 (162)
Zi ai
(163)
/=1 а1
Библиографические замечания
При изложении классической задачи о потенциале однородного эллип-
соида мы предпочли следовать давно забытому простому стилю и подходу
ученых XIX в., например Рауса. В самом деле, большая часть изложения
в разд. 17—20 основана на обзоре Рауса:
Routh Е. J., A Treatise on Analytical Statics, vol. 2, Cambridge, England, Cam-
bridge University Press, 1892, p. 67, 194—231, 239—254.
Подобные, но несколько сокращенные обзоры см. в
Webster A. G., The Dynamics of Particles and of Rigid, Elastic, and Fluid Bo-
dies, Leipzig, B. G. Teubner, 1925, pp. 409—424. (Русский перевод:
А, Вебстер, Механика материальных точек, твердых, упругих и жидких
тел. Лекции по математической физике, М. — Л., Гостехтеориздат, 1933.)
Ramsey A. S., An Introduction to the Theory of Newtonian Attraction (Cam-
bridge, England, Cambridge University Press, 1952, ch. 7.
Распространенным пособием (хотя эта глава не опирается на него)
служит
Kellogg О. D.t Foundations of Potential Theory, New York, Frederick Ungar.
1929.
Потенциалы однородных и неоднородных эллипсоидов 79
Разд. 22. Как отмечалось в разд. 16, Феррере был первым, кто поставил
и решил задачу о потенциале неоднородного эллипсоида, в котором плотность
изменяется, как xpcfxtf. Его результаты имеют решающее значение для целей
этой книги.
Ferrers N. М, On the potentials of ellipsoids, ellipsoidal shells, elliptic lami-
nae, and elliptic rings, of variable densities, Quart. J. Pure and Appl. Math.,
14, 1—22 (1877).
При изложении настоящей главы .мы очень близко следовали обзору ав-
тора в статье XXII. Также связаны с изложенными в этой главе вопросами
статьи VIII, IX, XIII, XVI и XXXV. Дополнительно ^ожно отметить
Roberts Р, Н., On the superpotential and supermatrix of a heterogeneous ellip-
soid,.Astrophys. J., 136, 1108—1114 (1962).
Глава 4
Задача Дирихле и теорема Дедекинда
24. ВВЕДЕНИЕ
Как мы отмечали в гл. 1 (разд. 5), впервые сформулировал
основную задачу рассматриваемой теории Дирихле. Он поста-
вил следующий общий вопрос — при каких условиях однородная
жидкая масса, находящаяся под действием сил взаимного при-
тяжения ее частиц, может сохранять все время эллипсоидаль-
ную фигуру (оси которой могут изменяться со временем) и
иметь внутренние движения, поле скоростей-которых в инер-
циальной системе координат выражается линейными функциями
положения. В такой формулировке эта задача,, очевидно, зави-
сит от системы отсчета: инерциальной системы, неподвижной в
пространстве, или подвижной системы, оси которой все время
совпадают с главными осями эллипсоида. Подвижная система
будет иметь переменцую ориентацию, и задача написания гид-
родинамических уравнений в такой подвижной системе, вообще
говоря, интересна сама по себе. Такие подвижные системы, по-
видимому, впервые были рассмотрены Гринхиллом (1880),хотя
для частного случая задачи Дирихле использование подвижной
системы лежало в основе исследования Римана.
В этой главе мы сначала рассмотрим общее преобразование
к подвижным системам, а затем укажем.вид вириальных урав-
нений второго порядка в таких системах. После этого мы пе-
рейдем к основным уравнениям, описывающим задачу Дирихле,
и доказательству теоремы Дедекинда. В основу этой части на-
шей -работы будет положена изящная форма исследования Ри-
мана, данная Лебовицем. И наконец, мы покажем, каким обра-
зом вириальные уравнения второго порядка, представленные
в соответствующей форме, становятся идентичными точным
уравнениям задачи Дирихле. Эта идентичность подчеркивает
удобство вириальных уравнений для исследования эллипсои-
дальных фигур.
25. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПОДВИЖНОЙ СИСТЕМЕ
Рассмотрим две системы отсчета с общим началом: инер-
циальную систему (Хь Х2, Х3) и подвижную систему (хь х2, х3).
Ориентацию подвижной системы относительно инерциальной
Задача Дирихле и теорема Дедекинда
81
системы будем предполагать зависящей от времени. Пусть
Т(0 будет матрицей линейного преобразования, связывающего
координаты (Ль Лг, Л3) и (хь Хг, х3) точки в двух системах.
Тогда
х = ТХ, (1)
или в явной форме
xt = T{jXj. (2)
В силу того что матрица Т должна представлять ортогональное
преобразование, будем иметь
ТТ' = 1, ‘ (3)
где Т' есть транспонированная матрица.
Из равенства (3) следует, что матрица
= (4)
антисимметрическая, так как
- й‘ + й‘' =4г Г + т ЧГ =7Г (гг') = °- (5)
Дуальный вектор й матрицы й* есть вектор, компоненты кото-
рого связаны с компонентами^ матрицы й* равенствами
и (6)
Очевидно, й(/) представляет собой зависящее от времени об-
щее вращение системы (хь х2, Хз) по отношению к инерциаль-
ной системе.
Пусть F(/) будет каким-либо вектором в инерциальной си-
стеме координат, зависящим от времени. Его проекции на мгно-
венные координатные оси подвижной системы даются равен-
ством
F(X) = TF, (7)
что эквивалентно
F = T'F(X). (8)
Дифференцируя последнее равенство по времени, получаем •
а проектируя это уравнение на направления мгновенных коор-
динатных осей подвижной системы, мы получаем [используя ра-
венство (4)]
T-^=-Q*(TF) + ^(TF). (Ю)
82
Глава 4
В силу произвольности вектора F операторное уравнение
T4=(4-ajT («к
применимо к любому вектору, определенному в инерциальной
системе.
В применении к вектору положения X и вектору скорости
dX/dt уравнение (11) дает
т-у=й—а')тх (|2>
и
т4£=(4-а')т^- о3)
Пусть
U^p d^^ z/x ..
= Т^Г и и=^Г <14)
обозначают скорости в инерциальной системе (в проекциях на
мгновенные координатные оси подвижной системы) и по отно-
шению к наблюдателю, покоящемуся в подвижной системе, со-
ответственно; тогда равенства (12) и (13) мы можем предста-
вить в виде
U=u —О*х (15)
и-
т d2X du О*1Т ,1АА
т-??-=^Г-йи- <16)
Левая часть равенства (16) представляет собой ускорение
в инерциальной системе координат, выраженное, однако, в про-
екциях на мгновенные направления координатных осей подвиж-
ной системы. Поэтому гидродинамическое уравнение, описываю-
щее движение жидкости по отношению к инерциальной системе,
принимает вид
Р ~ рй*и =х— grad р + р grad 33, (17)
где градиент вычисляется в подвижной системе координат,, а
du
dt
dU . j it
-^- + u-gradU.
(18)
С учетом последнего равенства мы можем переписать уравне-
ние (17) в обозначениях тензоров в декартовой системе коор-
динат в виде
dUi . dUi гт др 1
Р 1" Р^ь ”3 = Р^;«, U ч Ь P "л— > (19)
r dt г « дх^ tm m dXf г дх^ * V 7
Задача Дирихле и теорема Дедекинда
83
тогда как уравнение неразрывности сохраняет свой обычный
вид
^- + 4-(р«.)-0. (20)
В уравнении (19) U должно быть выражено через и при по-
мощи соотношения (15) или эквивалентных ему равенств
== и{ ^ikxk ~ui + &Hk^jXk- (21)
26. ВИРИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В ПОДВИЖНОЙ СИСТЕМЕ
Чтобы получить вириальные уравнения второго порядка
в подвижной системе, умножим уравнение (17) на х$ и проин-
тегрируем по объему V, занимаемому. жидкостью. Преобразо-
вание различных членов выполняется точно так же, как в
разд. 11,6 (гл. 2), и мы находим
j pUtX}dx = j pUiuldx+ j pQ,*imUmXidx + U.6if + (22)
v v ‘ v
где П и имеют те же самые значения, что и в гл. 2.
Выражая U через и при помощи равенства (21), после не-
которых элементарных преобразований и перегруппировок мы
получаем
£ J puiXj dx - 4 / рОГ1тхтх} dx = / рм .Ы/ dx +
V V V
+ j* №'im(umxf - u/xm)dx - J PWiWdx + ndz/ + (23)
V V
Соответственно этому мы можем также написать
7Г ( - 4 (ЧЛ,,) - 21„ + Пб„ + ,В„ -
И
- Л/ + / рфт («тХ/ - U/Xm) dx, (24)
v
где /,/ обозначают моменты тензора инерции.
Частный случай, когда и является линейной функцией х,
представляет особый интерес. В этом случае, полагая [гл. 2,
равенство (141)]
u, = Q„x,( (25)
84
Глава 4
находим, что уравнение (24) приводится к матричному урав-
нению
(QI - Q’l) = QIQ' + Q* (QI - IQ') - й*21 + SS + Ш, (26)
где ЖВ = (2В//) и !=(///).
27. ФОРМУЛИРОВКА РИМАНА - Л ЕБОВИЦА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
Пусть Х(/) характеризует вектор, определяющий положение
жидкого элемента в некоторой неподвижной инерциальной си-
стеме. В задаче Дирихле мы рассматриваем однородную жид-
кую массу, сохраняющую эллипсоидальную фигуру все время,
тогда как Х(/) представляет собой линейную функцию коорди-
нат элемента жидкости в некоторый выбранный начальный мо-
мент времени t = 0.
Пусть ai, а2 и аз обозначают (переменные) полуоси эллип-
соида. Условие постоянства массы требует, чтобы
а^аз = const. (27)
Пусть подвижная система, рассмотренная в разд. 25, выбрана
теперь так, что ее координатные оси совпадают с • главными
осями эллипсоида. Без ограничения общности предположим, что
в выбранный начальный момент времени / = 0 инерциальная
и подвижная системы совпадают, так что
Х/(0) = х/(0).. (28)
Как мы знаем, в задаче Дирихле предполагается, что Х(/) пред-
ставляет собой линейную функцию х(0). Оказывается, что эту
предполагаемую линейную зависимость удобно выразить
_ в форме
(0)
Л,(0=2р„(0^-. (29)
7=1 1
где аДО) есть значение при t = 0. Вопрос теперь заключается
в том, допускает ли сформулированная задача имеющее смысл
решение и, в частности, может ли быть выведено для матрицы
Р уравнение, совместимое с требованиями гидродинамики.
Полагая
<7| 0 0
А = 0 а2 0 (30)
0 0 а3
выразим условие (29) в виде
Х(0 = РАо"'х(0). (31)
Задача Дирихле и теорема Дедекинда
85
С учетом последнего равенства мы можем написать [равен-
ство (1)]
А-'х = А_1ТХ = А-1ТРА71х(0) (32)
или, полагая
S = A"‘TP, (33)
мы можем соответственно написать
А"‘х = SAJ’x (0). (34)
Другими словами, S(/) представляет собой линейное преобразо-
вание (в предположении, что оно. существует), которое величине
А-1 х в момент времени 1 = 0 ставит в соответствие ее значение
в момент времени t.
Рассмотрим, в частности, элементы жидкости, находящиеся
на границе эллипсоида. Поскольку не может существовать дви-
жения, нормального к свободной границе, элементы жидкости,
образующие границу, должны всегда быть одни и те же. Для
элемента жидкости на границе эллипсоида А^х представляет
собой единичный вектор; поэтому он должен оставаться еди-
’ ничным вектором. Из равенства (34) следует, что матрица S
должна быть такой, чтобы она преобразовывала единичный
вектор в другой также единичный вектор. Следовательно, мат-
рица S должна быть ортогональной, т. е.
SS' = 1. (35)
Теперь точно так же, как ортогональная матрица Т дала
нам возможность определить антисимметрическую матрицу й*,
, ортогональная матрица S дает нам возможность определить
антисимметрическую матрицу
(36)
Компоненты матрицы Л* связаны с компонентами ее Дуаль-
ного вектора Л равенствами
~euiAk и \ (37)
Таким образом, задача Дирихле приводится к выяснению воп-
роса— существует ли матрица Р, которая определяет вектор
Х(/) равенством вида (31) и которую в то же время можно
представить с помощью двух ортогональных матриц Т и S
в виде
P=T'AS, (38)
при этом
-g-=A‘S, -^=Q’T и S(0) = T(0) = l. (39)
86
Глава 4
Непосредственным следствием приведенных выше соотношений
является то, что перемена ролей матриц Л* и й*-приводит к пе-
ремене ролей матриц S иТ и замене матрицы Р ее транспони-
рованной матрицей Р'.
Мы уже видели, что й* эквивалентна некоторому вращению,
зависящему от времени. Смысл матрицы Л* станет очевидным,
если мы запишем компоненты скорости жидкости. Имеем
U=T-^- = T-^-Ao-,x(O) = T-fLS'A-1x, (40)
или, принимая во внимание выражение (38) для Р,
U_T(T'A-£ + ^AS + T'4is)s'A-!x, (41)
или
и =(aA*A-1-Q4-^A“’)x. (42)
Сравнение равенств (15) и (42) показывает, что движение
жидкости слагается из равломерного вращения с угловой ско-
ростью й и внутреннего движения, для которого
и =(ал’А-’ + А”’)х (43)
в такой системе, где ориентация осей эллипсоида остается не-
изменной. Компоненты вектора и (в подвижной системе) суть
Ы1=^Л3х2-^Л2х3+^-^х„ •
«2=fA.x3-fA3xl+.±^x2, (44)
“3 = "аГ ЛгХ1 — аГ Л’Х2 о? “df”Хз’
Таким образом, это движение представляет собой суперпозицию
однородного вихревого движения, компоненты вихря g которого
суть
2 I 2
tk =---77-^ Aft (i #= / k), (45)
и расширения с компонентами
1
-ff-Xi (без суммирования по повторяющимся индексам).
(46)
Возвращаясь -к уравнению движения (17), вычислим сначала
dM/dt-, для U, определяемого равенством
U=[(AA‘-Q‘A) + ^-]A-|x, . (47)
Задача Дирихле и теорема Дедекинда
87
имеем
4М4<АА'-а,А>+4г-]А-1>‘+
+ [<АА--0-А) + ^]4(А-х)- (48)
Но в силу равенства (34)
ао-'х(°)=4г8,А~’х =Л*А-1х, (49) '
»2
поэтому
<AA’ ~ q*a)+4f A’ + AA‘2 ~ Q‘AA’] A’’x- (5°)
Комбинируя последний результат с — Q’LJ, получаем
44 - !ги - №+it <АА' - а’А>+44А' - °- 44+
' + АЛ’2 + Й*2А - 2О‘АА‘] А~'х.
С другой стороны, имеем [гл. 3, равенство (40)]
О
(51)
Ai
gradS? = — 2jtGp 0 А2
0
Поэтому уравнение (17) приводит
₽[4£+4 <АА' - °'А>+4гА
(52)
О
О х = —2лОрЯ1х.
Аз
к следующему:
- Q* + АЛ’2 + й’2А -
- 24ГАА’ + 2nGpSlA] А"*х = - grad р. (53)
В силу того что левая часть последнего уравнения представ-
ляет собой однородную линейную функцию координат, интегри-
рование этого уравнения даст для р выражение вида
з
Р =Pc(t) +1 S] «о (i)XiXh
' (54)
О
где рс обозначает давление в центре, а ац — некоторые функ-
ции времени. С другой стороны, граничное условие для р тре-
бует, чтобы оно обращалось в нуль тождественно на поверхно-
сти эллипсоида. Чтобы необходимое и достаточное условия вы-
полнялись, р должно приводиться к виду
Поэтому
gradp = — 2рсА 2х,
(55)
(55)
88
Глава 4
и подставляя последний результат в уравнение (53), найдем,
что оно приводится к виду
+ 4 (АЛ’ - (ГА) + 4гЛ* “ Й* + АА’2 + Q‘2a “
— 2Й’АЛ* = - 2nGpSlA 4- А-1. (57)
Уравнение (57) вместе с условием (27) приводит в итоге к де-
сяти уравнениям для десяти неизвестных аь а2, яз, Рс и компо-
нент векторов Лий. Тот факт, что мы смогли таким образом
вывести совместную систему уравнений, означает, что задача
Дирихле допускает решения, определяемые уравнениями (27)
и (57).
Уравнение (57) эквивалентно -системе уравнений, впервые
полученных Риманом дл^ этой задачи; данный способ вывода
этих уравнений указан Лебовицем.
28. ТЕОРЕМА ДЕДЕКИНДА
Из уравнения (57) мы можем вывести теорему Дедекинда;
она утверждает, что если движение, определяемое уравнением
Х(0 = Р(0 Ао-1х(ОЬ (58)
допустимо при условиях задачи Дирихле, то движение, опреде-
ляемое транспонированной по отношению к матрице Р матри-
цей Р', также допустимо.
Эта теорема следует из рассмотрения транспонированного
уравнения ’(57). Поскольку А* и Й* — антисимметрические мат-
рицы, их транспонированные матрицы отличаются от них только
знаком. Поэтому в результате транспонирования уравнение (57)
приводится к уравнению"
+ 4 (- А’А + АЙ’) - А’ 4 + 4- Й’ + А*2А + АЙ’2 -
-2A’Afi’ = -2nGpSlA+-4A_1- (59)
Заметим, что это уравнение совпадает с уравнением (57), если
в последнем поменять местами А* и й*. Поэтому, если мы имеем
решение для некоторых А, Л* и й*, то для той же самой мат-
рицы А существует другое решение, в котором Л* и Й* поме-
нялись ролями. Но согласно замечаниям, следующим из урав-
нений (38) и (39), изменение ролей Л* и й* эквивалентно за-
мене матрицы Р ее транспонированной матрицей Р'. Теорема
Дедекинда непосредственно следует из этих замечаний.
Задача Дирихле и теорема Дедекинда
89
Будем называть две конфигурации жидкости, отвечающие
матрицам Р и Р', сопряженными. Поле скоростей в сопряжен-
ной конфигурации может быть получено из уравнения (47)
перестановкой матриц Л* и Q*. Поэтому мы получаем
U'=[(АЯ* — А*А)+ -^-] А-1х (60)
или
U' = [(AA’-Q*A) + 4J-],A-ix. (61)
Следовательно, поля скоростей в сопряженных конфигурациях
получаются посредством умножения на А^х матриц, являю-
щихся транспонированными одна к другой.
Опуская условие суммирования и считая, что i j =/= k, на-
ходим, что типичными диагональными и недиагональными эле-
ментами уравнения (57) являются
<UW + Ai) + (S? + S®l +
+ 2 (а,л,а, + о,Л,О,) = - 2nGf>Ala, + , (62)
2 4 ~а‘^ + а1^ + a^i +
4- HyQyQ; — 2tz^A^Qy=0 (63)
и
2 4 (afQft - at\k) - а{ + а, +
-j- — 2dt^Q/Ay = 0 (64)
[в уравнениях (62) — (64) i =# j =£ k].
Очевидно, приведенные выше уравнения не изменятся, если
(Лг-, Aj, Л/г) >и (й^ Йа) заменить соответственно на
(Лй—Aj,—Ла) и (йг,—й;,—Йа). Поэтому если мы имеем ре-
шение для некоторых А, А и fl, точ получим другие решения
в результате изменения знаков любой одной и той же пары
компонент векторов А и Q. Однако в отличие от решения, полу-
чаемого в результате изменения ролей матриц Л* и й*, другие
решения, получаемые посредством изменения знаков некоторой
пары компонент векторов А и Q, существенно не отличаются
одно от другого.
Важный специальный класс решений задачи Дирихле пред-
ставляют собой самосопряженные решения, т. е. решения, для
90
Глава 4
которых Л* — Q*. Отождествляя Л* и Q*. в уравнении (57),
получаем
4*+4(A«’-Q4) + ^_£r4L+ -
4- АЯ*2 4- й*2А - 2Я*АЯ* = - 2лСр81А 4- —- А-1. (65)
I р
Поскольку это уравнение совпадает со своим транспонирован-
ным уравнением, заключаем, что уравнение (65) вместе с усло-
вием (27) приводит в итоге к семи уравнениям для определения
семи неизвестных аь а2, а3, рс и компонент вектора й, и не-
тривиальные решения уравнений (27) и (65) легко могут быть
построены (гл. 7, разд. 53,в). Если предположить, что началь-
ными условиями решение определяется единственным образом,
то можно заключить, что решение, являющееся в начальный
момент самосопряженным, всегда будет оставаться самосопря-
женным. Но не исключена возможность, что некоторые из са-
мосопряженных решений задачи Дирихле могут быть особыми
в определенном смысле.
29. ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЯ (57)
Уравнение (57) допускает три интеграла, представляющих
собой интегралы сохранения энергии, величины вектора мо-
мента количеств движения и циркуляции.
Интеграл энергии получается в результате умножения урав-
нений (62)—(64) соответственно на
— и —(t =/=/¥= k) (66)
и суммирования по различным системам индексов (i, /, k; i =/=
=/=/=#&); после некоторых громоздких, но элементарных пре-
образований получаем
= (67)
В уравнении (67) каждое из суммирований проводится по чле-
нам, получаемым из приведенного посредствохм циклической пе-
рестановки индексов. Второй член в правой части исчезает 9
в силу постоянства произведения а первый член с уче-
том уравнения (23) гл. 3 приводится к виду
(3 3 \
vi di dctf 1 । ~ ~ di
da" ~dt 1S ~а[ ~dT) = 2jlGp ~dt '
f=i ‘ - i=i 1 /
. *) Более общо, этот член равен —2рсд(р_|)/Л-
Задача Дирихле и теорема Дедекинда
91
Таким образом мы приходим к интегралу
+ т S (А? + йЭМ + »Э-
js=l
— 2 — 2nGp7 = const. (69)
i^l^k
Далее, умножая уравнения (63) и (64) соответственно на
ai ря^уЦ^ (а2 я2) ЛJ (70)
и
+ <71>
складывая их и суммируя по различным системам индексов
(Z, /, k\ i =/= / #= &), выводим, что
2 <га>
I =5®/
Поскольку основные уравнения инвариантны по отношению
к перемене ролей Л* и Я*, мы можем заключить, что существует
следующий интеграл:
<ЛЦ2о<а/Л* ~ +=const (73)
В рассматриваемом случае компоненты вектора момента ко-
личеств движения' определяются выражением
Li — ellk j pxjUkdx, (74)
V
и, используя для вычисления этого выражения равенство (42),
получаем
Lt = |M[(a/24-al)Q/-2o/aftA/] (/¥=/=#6). (75)
Поэтому равенство (73) представляет собой интеграл сохра-
нения L2.
Смысл интеграла (72) станет понятным, когда мы подста-
вим для величин Ak их выражения (45) через составляющие
завихренности после этой подстановки равенство (72) при-
водится к виду
S (2Qfe + cj2 = const. (76)
I j k
92
Глава 4
В рассматриваемом случае компоненты циркуляции С (в инер- Г
циальной системе координат) определяются выражением j
Cft=«aza/(2Qft + ^) (i^j^k). (77) |
Поэтому равенство (76) представляет собой интеграл сохране- |
ния С2.
Ч
30. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ВИРИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ |
X - т
При условиях задачи Дирихле поле скоростей и внутрен-
него движения в .эллипсоиде (в системе, где главные оси' его |
остаются неподвижными) определяется равенством (43). Заме-
тим, что и представляет собой частный случай общего вида f
(25), рассмотренного в разд. 26, для которого
Q = AA*A“’ + -^-А"1. (78)
Покажем теперь, что для этого специального вида матрицы 4}
вириальное уравнение (26) тождественно с уравнением Лебо-
вица (57).
В силу того что для эллипсоида $
1=70А2, где /о = 4-М =-^-ра1а2а3, (79) .1
ОАО
нетрудно проверить, что для Q, заданного равенством (78),
^(QI - Q‘I) = /0{ А + (^-)2 + (АА* - (ГА)] А +
+ (АЛ‘-1ГА)4т-}, (80)
QIQ' = /0 [- АЛ*2 А + (4)2 - -4-А‘А + АЛ* -4] (81)
и
(Г (QI - IQ') = 2(ГАЛ*А/0. (82) f
Кроме того [гл. 3, равенства (128) и (129)],
ЯВ = — 2лСр/0ЖА2. (83)
С учетом приведенных здесь подстановок уравнение (26) при-
нимает вид j
Г ^2А | d / Л А * Л* А \ . iZA А * Л» tZA V
L^+-й А) +—А^г+ М <
" + АЛ*2 + Q’2A - 2£2*АЛ*1 А = - 2лСрЖА2 + £-1. (84) 1
J Л) 1
Задача Дирихле и теорема Дедекинда
93
А это уравнение, очевидно, эквивалентно уравнению (57).
В самом деле, можно проверить, что для р, заданного равен-
ством (55),
.П=(р*х=Лц. (85)
V
Итак, мы показали, что для решения задачи Дирихле вириаль-
ные уравнения второго порядка дают необходимые и достаточ-
ные условия. Поэтому для исследования равновесия и устой-
чивости допустимых эллипсоидальных фигур вириальные урав-
нения дают всю необходимую! информацию. И мы увидим, что
они дают также наиболее удобный способ исследования эллип-
соидальных фигур равновесия.
Библиографические замечания
Основные статьи, относящиеся к изложенным здесь вопросам, это, ко-
нечно, работы Дирихле, Дедекинда и Римана. Подробные справки об этих ра-
ботах уже были, даны в гл. 1 (разд. 5).
Разд. 24. Ссылка на Гринхилла в этом разделе относится к его статье
Greenhill А. 6., On the general motion of a liquid ellipsoid under gravitation
of its own parts; continuation of a paper on the rotation of a liquid ellip-
soid, Proc. Cambr. Phil. Soc., 4, 4—14 (1880).
Подвижные системы отсчета рассматриваются также в
Basset A. B.t A Treatise on Hydrodynamics, 1, Cambridge, England, Deighton,
Bell and Co., 1888; перепечатано New York, Dover Publications, 1961,
c 20—25.
Ramsey A. S., A Treatise on Hydromechanics, Part II: Hydrodynamics, London,
G. Bell and Sons, 1949, p. 24.
Lamb H.t Hydrodynamics, Cambridge, England, Cambridge University Press,
1932, p. 12.
Разд. 27 и 28. Формулировка задачи Дирихле в разд. 27 и доказательство
теоремы Дедекинда в разд. 28 основаны на изложении Лебовица оригиналь-
ного исследования Римана. Изложение его результатов можно найти в статье
XXVII, включенной в список на стр. 283.
Относительно возрождения интереса к задаче Дирихле на основе теории
групп см.
Dyson Fr. J., Dynamics of a spinning gas cloud, J. Math. Meeh., Г8, 91—101
(1968).
Сфероиды Маклорена
31. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе мы начинаем изучение основных типов эллип-
соидальных фигур, их равновесия и устойчивости. Изучение бу-
дет основываться на вириальных уравнениях, выведенных
в гл. 2. Эти уравнения, как мы видели в гл. 4 (разд. 30), дают
информацию, которой вполне достаточно для полного анализа
этих задач.
Эта глава будет посвящена простейшим из эллипсоидаль-
ных фигур: сфероидам Маклорена, которые возникают, когда
однородные тела вращаются с постоянной угловой скоростью.
Мы рассмотрим эти фигуры достаточно подробно, так как они
послужат образцом для большей части дискуссии в оставшихся
главах.
32. ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ
Для определения фигур равновесия мы будем использовать
вириальные уравнения второго порядка в форме, данной в гл. 2
(разд. 12,а). Для случая, когда ось х3 направлена вдоль оси
вращения, уравнения имеют вид [гл. 2, уравнение (65)]
ЗВ// + а2(Л/-д/3/з/) = -бг/П. (1)
Сфероиды Маклорена представляют собой решение уравне-
ния (1), когда жидкость однородная и, кроме того, ось вра-
щения предполагается осью симметрии. При этих условиях не-
диагональные компоненты уравнения (1) тождественно удов-
летворяются, тогда как диагональные компоненты дают
аВн + Ог/п^аВзз»-!!, 28n=2B22 и /п=/22. (2)
Подставляя вместо 2Вц и 5Взз их значения, приведенные в гл. 3
[равенство (128)], получаем
-2A1Ill + Q2Ill = -2A3I33. (3)
1
В уравнении (3) Q измеряется в единицах (лОр)2; эта еди-
ница частоты будет использоваться в дальнейшем в этой книге
Сфероиды Маклорена
95
(если явно не будет оговорено противное). Уравнение (3) дает
[гл. 3, равенство (106)]
где
/ Дл А
Q2 = 2 Л,--------1-Аз 1 = 2е2В13,
е2 — 1 — а2[а2
й/ 1
(4)
(5)
определяет эксцентриситет меридиональных сечений. Подстав-
ляя вместо А[ и Л3 их значения, данные в гл. 3 [равенства
Рис. 5. Квадрат угловой скорости (в единицах лСр) вдоль последователь-
ностей Маклорена и Якоби. В обоих случаях по оси абсцисс отложен эксцен-
триситет сечения плоскостью (хн х3).
(36)], мы вновь получим . формулу Маклорена [гл. 1, уравне-
ние (13)]
Й2 = 2 о Г/г)2 (3 _ 2е2) arcsin е - £ (1 - ё2). (6)
В самом деле, для этого следует лишь отметить, что урав-
нение (4) тождественно с уравнением Маклорена [гл. 1, урав-
нение (12)], которое он вывел, опираясь на рассуждения Нью-
тона, связанные с рассмотрением скважин.
В табл. 1 приведены значения й2 для различных значений
эксцентриситета е. Зависимость й2 от е показана, кроме того,
на рис. 5.
96
Глава 5
Табл. 1 включает также значения величины момента коли- J
честв движения L, измеренного в единицах (GM3d)2, где d==
1
= (Фз)3 ~~ радиус сферы, имеющей ту же массу М, что и
сфероид; момент количеств движения»определяется выражением
—^-г=Хг- Гй [а = (а?а3)т1 (7)
1 5 \ а ) l \ 1 з/ j ' /
(GM3a)2
Изменение этой величины вдоль рассматриваемой последова-
тельности показано на рис. 6.
Таблица I
Изменения Q2 и L вдоль последовательности Маклорена
е Й2/л(?р £/(0М’а)2 е П2/лдр l/(gm8o) 2
0 0 ,0 { 0,85 0,40583 0,33833
0,10 0,00534 0,02539 0,86 0,41378 0,34895
0,15 0,01204 0,03829 0,87 0,42136 0,36029
0,20 0,02146 0,05144 0,88 ' 0,42845 0,37247
0,25 0,03363 0,06491 0,89 0,43490 0,38563
0,30 0,04862 0,07882 0,90 0,44053 . 0,39994 '
0,35 0,06647 0,09329 0,91 0,44507 0,41563
0,40 0,08727 0,10846 0,92 * 0,44816 0,43302
0,45 0,11108 0,12450 0,93 0,44933 0,45254
0,50 , .0,13799 0,14163 0,94 0,44785 0,47480
0,55 0,16807 0,16013 0,95 0,44264 0,50074
0,60 0,20135 0,18037 0,95289 0,44022 0,50912
0,65 0,23783 ->0,20286 0,96 0,43193 0,53194
0,70 0,27734 - 0,22834 0,97 0,41257 - 0,57123
0,75 0,31947 0,25792 0,98 0,37802 0,62486
0,80 0,36316 0,29345 0,99 0,31030 0,71209
0,81 -0,37190 0,30153 0,995 • 0,24371 0,79443
0,81267 0,37423 0,30375 0,999 0,12540 0,97380
0,82 0,38059 0,31001 0,9999 0,04286 1,22633
0,83 0,3891V 0,31893
0,84 (Г,39761 0,32835
Заметим, что в то вр^емя как величина момента количеств
движений (для Данной массы) монотонно возрастает вдоль
этой последовательности, угловая скорость этим свойством не
обладает; тот факт, что Q2 достигает максимума на этой по-
Сфероиды Маклорена
97
следовательности, выясняется уже из первых вычислений То-
маса Симпсона в 1743 г. (см. стр. 13).
Максимум й2 достигается для эксцентриситета, для которого
dQ2 2 ,п п 2(9 — 8е2) . л /оч
(9 - 2е2)----1-----j arcsin е = 0. . (8)
е4(1 —е2)2
Значение е, получаемое из этого уравнения, равно
е=0,92995, (9)
и для него
а2 = 0,449331 = Q2max. (10)
Поучителен другой путь определения положения этого мак-
симума. В точке, где Q2 достигает- своего максимума, должны
Рис. 6. Величина момента количеств движения\в единицах(GM3a) 2 / вдоль
последовательностей Маклорена и Якоби. В обоих случаях по оси абсцисс
отложен эксцентриситет сечения плоскостью (*j, х3).
удовлетворяться не только определяющие уравнения (2), но
также должны обращаться в нуль первые вариации этих урав-
нений для перемещения, сохраняющего сфероидальную фигуру
и постоянную плотность жидкости. Другими словами, в точке,
где й2 достигает максимума, наряду с уравнением (2) должно
также удовлетворяться уравнение
Шп + Й2/н=д2Взз (Н)
4 Зак. 312
98
Глава 5
для перемещения, удовлетворяющего условиям
62ВН = 63В22, = б/н = d/22 = V22 (12),
и
а?
^11 + ^22 =----Г ^33* (13)
а3
Последнее условие (13) гарантирует, что плотность останется
постоянной и неизменной [гл. 3, равенство (162)]. Используя
равенство (150) гл. 3, теперь получаем
Q2Vn = 62В33 - 6®н = 2 (2ВН - В13) - (ЗВ33 - В13)У33, (14)
где мы воспользовались тем/ что, когда а\ ~ а2 для сфероида
Маклорена, индексный символ не изменится, если всюду ин-
декс 2 заменить на индекс 1, и наоборот. Равенства (13) и (14)
теперь дают
а?
Q2 = 2 (2ВП - В13) + 2 4 (ЗВзз - В13); (15)
ai
и это уравнение должно удовлетворяться одновременно с урав-
нением (4). Комбинируя уравнения (4) и (15) и используя со-
отношения между индексными символами [данные равенством'
(117) гл. 3], найдем, что условие, которое должно удовлетво-
ряться при максимуме й2, есть
2ВП=В13, или, что то же, 241=ЗВ13. ' (16)
Эти равенства представляют собой альтернативные формы урав-
нения (8).. *
33. ВТОРЫЕ ГАРМОНИКИ ФОРМ КОЛЕБАНИЯ
Линеаризованная форма вириальных уравнений второго по-
рядка, которые описывают малые колебания сфероида Макло-
рена около равновесия, может быть получена из уравнений
(89), (131), (133), (137) и (152) гл. 2, если в них положить Uf
(внутреннее движение) равными нулю. Мы имеем
- /i1 — (V а ~ 5/3И3/) +
+ 20еПз/ p-^-X/dx + МП. (17)
V
Будем теперь предполагать, что лагранжево перемещение
g(x, t) представляется в виде
5(Х, = (18)
Сфероиды Маклорена
99
где X есть подлежащее определению характеристическое зна-
чение параметра. Для выбранной формы g уравнение (17) при-
нимает вид
/ - 2AQeZZ3yZ: I = 628z/ + Q2 (Vit - di3V3l) + 6Z/6II. (19)
Девять уравнений, к которым приводит уравнение (19), рас-
падаются на две независимые группы из четырех и пяти урав-
нений, различающихся их кратностью (т. е. нечетностью или
четностью) по отношению к индексу 3. Удобно записать эти
уравнения в явном виде. Уравнения, нечетные по отношению
к индексу 3, имеют вид
Л%:1=д8В31=-2В13У1з, (20)
А2У3:2 = 62В32 = -2В13У23, (21)
А%; 3 - 2А£Ж2; 3 = 62В13 + QV13 = (—2В13 + Q2) V13 (22)
и "
А¥2; 3 + 2AQVI; 3 = 62823 + Q%3 = (-2BI3 + й2) И23, (23)
где вместо 62BZj- мы подставили значение, даваемое равенством
(148) гл. 3, и учли, что в данном случае Bi3 = В23; кроме того,
мы опустили общий множитель nGp, соизмеримый с единицей
1
(nGp)2, принятой нами для измерения частоты. Уравнения,
четные по отношению к индексу 3, имеют вид
Х%;з=д2В3з + бП,
A2VI;! - 2А£Ж2; i = б2Вц + £2%, + §П,
А%:2 + 2AQV 1; 2 = 6ЭВ22 + QPVn + 6П,
А2У1; 2 - 2А£2У2;2 = 63812 + Й%2 = (—2В„ + Q2) У12,
A2V2:! + 2Wj: i = 6Э812 + QV12 = (—2Bn + Q2) V12.
Эти уравнения должны быть дополнены условием
-^ + ^ + 4=0,
of о2 аз
налагаемым соленоидальным характером § (см. гл. 3,
разд. 23, в).
а) Поперечно-скошенные формы
Рассмотрим сначала уравнения, нечетные по отношению
к индексу 3. Почленно складывая уравнения (20) и (22), а так-
же уравнения (21) и (23), получаем
(А2 + 4В13 - Q2) Ku - 2A£2V23 + 2AQV3; 2 = 0 (30)
и
(А2 + 4В13 - Q2) У23 4- 2AQVi3 - 2AQV3; i = 0. (31)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
4*
100 Глава 5
Исключая из этих уравнений Уз-1 и Уз-, 2 при помощи уравнений
(20) и (21), имеем
X (X2 + 4В13 - Й2) V13 - 2Й (X2 + 2В13) К23 = 0 (32)
и
Х(Х2 + 4В13 — Й2)И23 + 2й(Х22В13) К13 = 0. (33)
Если К13 и К23 не равны тождественно нулю, то мы должны
Иметь
X2 (X2 + 4В13 - Й2)2 + 4Й2 (X2 + 2В13)2 = 0. (34)
Полагая -
X — ia (35)
(так что вещественному значению о отвечает устойчивость),
мы можем уравнение (34) разложить на множители и получить
уравнение
о (о2 - 4В13 + й2) - 2Й (а2 - 2В13) = 0 , (36)
и аналогичное уравнение с заменой й на —й. Далее уравне-
ние (36) может быть разложено на множители
(<у - Й) (а2 - ай — 4В13) = 0. (37)
Корнями этого уравнения являются
а = Й и а=у[й±(16В13 + й2)'2]. (38)
\
Заменяя здесь й на —й, мы получим остальные корни; эти
дополнительные’ корни соответствуют просто тому факту, что
уравнение (34) четно относительно X, так что если X есть ко-
рень, то корнем будет также и —X.
Три частоты, даваемые уравненйем (38), все вещественны;
следовательно, они представляют устойчивые формы колебания.
Можно было бы также отметить, что для этих нечетных форм
решение не зависит от условия соленоидальности (29).
Когда X2 является корнем характеристического 'уравнения,
уравнения (32) и (33) дают
Fis _ 2О(Х* + 2Д18) ,
у23 — х (х2 + 4В13 - а2) ’ w
или, принимая во внимание, что X2 удовлетворяет уравнению
(34),
V13 = ±/V23. (40)
Но отношение уравнений (20) й (21) приводит к требованию,
чтобы , '
Кз;1/Кз; 2 = ^,37723; (41)
Сфероиды Маклорена
101
поэтому мы должны иметь
V3; 1/V3; 2 = И1; з/V2; 3 = ± (42)
Из уравнений (20) и (21) теперь следует, что
б) Тороидальные формы
Обращаясь к уравнениям, четным по отношению к индек-
су 3, мы можем скомбинировать уравнения (25) — (28) так, что
получим пару уравнений
W12 + Ш (Кп - V22) = 2 (-2ВП + Q2) К12 (44)
и
у Х2(ИП - - 2ХЙИ12 =б28„ - 4- Й2 (И„ - У22) =
= (-2BU + Q2)(7n - И22), (45)
где при написании альтернативной формы правой части урав-
нения (45) использовано равенство (149) гл. 3. Перегруппиро-
вывая члены в уравнениях (44) и (45), имеем
[Х2 + 2(2В11-Й2)]И12 + ХЙ(И11-У22)=0 (46)
и
[Л2 -ф 2 (2ВН - й2)] (Ип - Vv) - 4ХЙИ12 = 0; (47)
а эта пара уравнений приводит к характеристическому урав-
нению
[X2 + 2 (2В„ - Й2)]2 + 4Х2Й2 = 0. (48)
По-прежнему, полагая X = io, уравнение (48) можно разло-
жить на множители и получить уравнение
о2 - 2оЙ - 2 (2Bn — й2) = 0 (49)
и аналогичное уравнение с заменой й на —О. Корнями урав-
нения (49) являются '
о = Й±(4Вн-Й2)7. (50)
Если X2 есть корень характеристического уравнения, то из урав-
нений (46)—(48) следует, что
Уц ~ ^22________4XQ_________4-9/ /кп
Vtt ~ X2 + 2 (2ВП — Q2) — = W
Для этих форм
Изз = 0 (52)
и условие соленоидальности (29) дает
Иц » —- Ищ. _ (53)
102
Глава 5
С.другой стороны, из уравнений (27) и (28) получаем (вычи-
танием)
V (У1; 2 - И2; i) = ЛЙ (7Н + И22). (54)
Поэтому, если X 0 и Уц = —У22, то мы должны иметь
У1:2=У2;1. (55)
Следовательно, для этих тороидальных форм
У1; 1 = — У2; 2 = ± *У1; 2, У1;2==У2;1, (56)
а все остальные величины Vi; j равны нулю.
Заметим, что, согласно равенству (50), когда
Й2 = 2ВН, то а =0 — тривиальный’) корень. (57)
Однако величина о не становится кратной в этой точке; она
становится кратной, когда
Q2 = 4BH и о = й — двойной корень. (58)
Таким образом, в то время как сфероид Маклорена нейтрален
по отношению к деформации, соответствующей этой форме ко-
лебания при й2 = 2Вн, он становится неустойчивым при Й2 =
= 4Вц вследствие существования колебаний с частотой Й и
возрастающей амплитудой. Найдено, что эти две точки соот-
ветствуют значениям
е = 0,812670, когда Q2= 2ВН =0,374230,
и
е = 0,952887, когда Й2 = 4ВП = 0,440220. (59)
В гл. 6 мы покажем, что точка й2 = 2Вц является точкой
бифуркации: в этой точке ответвляется^ последовательность
Якоби. Она является также точкой, в которой, как будет по-
казано ниже в разд. 37, неустойчивость может быть вызвана
каким-либо механизмом диссипации.^_Наоборот, в точке й2 =
= 4Вц наступает динамическая неустойчивость; эта точка
впервые была определена Риманом на основе метода, к кото-
рому мы обратимся в гл. 7, разд. 53, а.
в) Пульсационная форма
Пока мы нашли пять нормальных форм колебаний. Остается
определить шестую форму колебания.
1) Сам автор называет этот корень нетривиальным. — Прим, перев.
Сфероиды Маклорена
103
Комбинируя уравнения (24)—(26) таким образом, чтобы
исключить 6П, имеем [см. гл. 3, равенство (150)]
| Л2 (К н + К22) + 2W (V1; 2 - V2,0 - VF33 =
= 628u 4- - 2б2Взз + Q2 (К,, 4- К22) =
= (—4ВП 4- 2В,з 4- ОЖ 4- V22) 4- (6В33 - 2В13) V33. (60)
Если отбросить корень % — 0, то при помощи равенства (54)
можно исключить (Vi;2—V2;i), так как теперь мы должны
Рис. 7ал Характеристические
частоты (в единицах (лбр) 2 )
двух четных форм вторых гар-
моник колебания сфероида
Маклорена. Для точки бифур-
кации, где ответвляется после-
довательность Якоби, е=0,8127.
В точке О2 (е — 0,9529) сфе-
роид Маклорена становится
динамически неустойчивым. Ве-
щественная и мнимая части
частоты за точкой О2 показаны
сплошной и пунктирной кри-
выми соответственно.
предполагать, что (Vn + V22) =/= 0. Таким образом мы получаем
*2 [у(Ип4-К22)-Кзз] =
= (—4ВП 4- 2В13 - Q2) (Уп 4- V22) 4- 2 (ЗВ33 - В13) Кзз- (61)
Из этого уравнения, используя условие соленоидальности (29),
можем исключить теперь (Уц-j- У22). В результате для частоты
колебания получим уравнение
°2 4 + 4) = (4Вц - 2В13 + Q2) 4- 2 4 (ЗВзз - В13). (62)
\ 2 а\ 1 а[
104
Глава 5
Другая форма stoeq уравнения, получаемая в результате под-
становки вместо Q2 выражения (4), имеет вид
/ 1 _2 \ 2
I 1 йо \ do •-
°2 Т + 4 = 4Вп + 4 (6Взз - 4В13). (63)
\ 2> (Zj у aj
Для этой пульсационной формы колебания единственными от-
личными от нуля величинами К; j являются
a? Q
И1;1=У2;2 =------Г^3*.3 И У"1;2 = — 142; 1 = ± 2/-1Л;Ь (64)
2а3 а
Таблица II
Характеристические частоты колебаний сфероида Маклорена
Поперечно-скошенные формы Тороидальные формы Пульса- ционные формы
<V(nGp)2 ^/(ЛОД2 1 <Jp/(nGp)2
0 1,03280 1,03280 1,03280 1,03280 1,03280
0,2 1,11156 0,96509 1,16273 0,86978 1,04569
0,3 1,15547 0,93498 1,21513 0,77416 1,06209
0,4 1,20254 0,90713 1,25786 0,66704 1,08552
0,5 1,25272 0,88124 1,28865 0,54570 1,11631
0,6 1,30555 0,85682 1,30319 0,40574 1,15438
0,7 1,35937 0,83274 1,29270 0,23943 1,19788
0,8 1,40841 0,80578 1,23624 0,03099 1,23792
0,81 1,41246 0,80263 1,22632 0,00664 1,24075
0,81267 9 1,41350 0,80176 1,22349 0 1,24143
0,82 1,41624 0,79932 1,21527 0,01856 1,24314
0,83 1,41967 0,79584 1,20296 0,04471 1,24501
0,85 1,42527 0,78821 1,17382 0,10028 1,24669
0,90 1,42633 0,76261 1,06057 0,26688 1,22978
0,92 1,41687 0,74742 0,98559 0,35331 1,20698
0,94 1,39558 0,72636 0,86841 0,47002 1,16581
0,95289 2) 1,37084 0,70735 0,66349 ±0/ 1,12302
0,96 1,35102 0,69381 0,65722 d =0,14762/ 1,09541
0,98 1,24641 0,63158 0,61483 d :0,27887/ 0,93919
0,99 1,12160 0,564^5 0,55705 ±0,30598/ 0,78555
0,999 0,70871 0,35459 0,35412 ±0,23529/ 0,40898
0 Точка бифуркации.
*) Точка начала динамической неустойчивости.
Сфероиды Маклорена
i 105
В табл. II приведены характеристические частоты, соответ-
ствующие различным формам колебаний; кроме того, измене-
ние этих величин вдоль последовательности показано на рис. 7а
и 76.
Рис. 76. Характеристические
частоты (в единицах (лбр) 2 )
пульсационной формы и двух
нечетных форм вторых гармо-
ник колебания сфероида Макло-
рена. Соответствующие кривые
помечены символами ар и а0
г) Собственные решения для перемещений
В некотором отношении замечательно, что девять линеаризо-
ванных вириальных уравнений второго порядка дали возмож-
ность найти точное решение задачи о собственных значениях,
связанной с вторыми гармониками колебаний, без каких-либо
упрощающих или аппроксимирующих предположений. Оказы-
вается, что это же имеет место также для третьих и четвертых
гармоник колебаний: 18 вириальных уравнений третьего по-
рядка и 30 вириальных уравнений четвертого порядка точно
так же дают точное решение связанных с ними задач о соб-
ственных значениях. (Доказательство для уравнений третьего
порядка будет приведено в гл. 6, разд. 42,6, а для уравнений
четвертого порядка см. в статье XXXV.) Кроме того, очевидно,
то же самое должно иметь место и для всех колебаний более
высокого порядка.
То обстоятельство, что вириальных уравнений различных
рорядков как раз достаточно для того, чтобы решить задачи
106
Глава 5
о собственных значениях для различных гармоник, должно
означать, что задания величин V... также достаточно для
нахождения собственных решений и наоборот. Эта взаим-
ная связь между величинами & и УУ/ь... будет более ясна,
если будут однородными полиномами относительно коорди-
нат хг линейными — для вторых гармоник колебаний, квадра-
тичными— для третьих гармоник колебаний и т. д. Отсюда
следует, что общие формы перемещений соответствующие
вторым и третьим гармоникам колебаний, имеют вид
з
= 2 тХт (для вторых гармоник колебаний) (65)
т=1
и
3
I/ = 2 Li-тпХщХп (для третьих гармоник колебаний), (66)
т, п=1
где Li;m и Li;mn— постоянные. Девять и восемнадцать по-
стоянных в этих выражениях для & будут определяться един-
ственным образом заданием девяти величин Vi-j и восемнад-
цати величин Vi-jk, и наоборот. Таким образом, рассматри-
вая, в частности, вторые гармоники колебаний, будем иметь
з
f PV/*‘=TML<>/4 <67>
m=l V
где М обозначает массу эллипсоида и нет суммирования по
повторяющимся индексам. Следовательно,
Используя соотношение (68), можно теперь написать в яв-
ном виде собственные решения, соответствующие различным
формам колебаний, рассмотренным в разд, а) — в).
1) Поперечно-скошенные формы:
Ь = ±*'-7Г-^з и ёз=-Л!-(х1±»х2), (69)
Ма% Ма^ Ма]
где Vi;3 и Уз;1—-две постоянные, отношение которых дается
равенством (43)»
2) Тороидальные формы:
S== ъл 2 ^2 == 2 ( ^2 ~ ^1) И ^3=0, (70)
Ма} Ма\ f
где Уу 1 есть произвольная постоянная,
Сфероиды Маклорена
107
3) Пульсационная форма
£1 — 2 I Х1 Н- 2/ — х2
Ма\ \ а
5V,. 1 ( л.
.. *2 I *2 + 2/ Xj
Mai \ о»
И
10Fi; 1 х
М<% 3*
где Vi-, 1 есть произвольная постоянная.
(71)
34. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ТОЧКИ
БИФУРКАЦИИ
В разд. 33 мы видели, что для сфероида Маклорена суще-
ствует деформация, вызываемая перемещением вида (70), по
отношению к которой он нейтрален, когда й2 = 2Вц. В гл. 6,
разд. 39, будет показано, что в этой точке от последователь-
ности Маклорена ответвляется последовательность Якоби;
В связи с этим точка й2 = 2Вц называется точкой бифурка-
ции. Сейчас мы сформулируем это понятие в более общей форме.
Рассмотрим некоторую последовательность равновесных
конфигураций, «линейно» упорядоченную по отношению к не-
которому параметру (такому, как эксцентриситет е для после-
довательности Маклорена). Предположим, что при продвиже-
нии вдоль такой последовательности мы приходим в точку, из
которой исходят ответвляющиеся последовательности. В такой
точке, как писал Дарвин, «эволюционирующий физический
объект должен сделать пересадку в пути». Более того, на от-
ветвляющихся последовательностях мы имеем две различные
равновесные конфигурации там, где раньше была только одна.
Тогда говорят, что мы пришли в точку бифуркации. При таком
определении точки бифуркации предполагается доказанным
существование равновесных конфигураций на обеих ветвях.
Наличие точки бифуркации означает существование такого
нетривиального лагранжева перемещения что деформация'
конфигурации этим перемещением оставляет ее в равновесии.
Указанное перемещение представляет собой фактически пере-
мещение, которое будет деформировать конфигурацию из «фи-
гуры», которую она имеет на одной из ветвей, в фигуру, отве-
чающую другой ветви. Из факта существования перемещения
%, которое оставляет равновесие неизменным, можно вывести
два заключения: первое, что в точке бифуркации равновесная
конфигурация должна характеризоваться собственной формой
колебания, по отношению к которой она является нейтральной;
и второе, что если J есть какая-либо интегральная характери-
стика, обращающаяся в нуль в силу условий равновесия, то
108
Глава 5
ее первая вариация, соответствующая перемещению в точке
бифуркации также должна быть равна нулю. Теперь мы сфор-
мулируем подробнее второе из этих заключений.
Интегральные характеристики, с которыми мы будем иметь
дело, представляют собой характеристики, которые фигурируют
в вириальных уравнениях, служащих для определения положе-
ний равновесия. В общем случае они имеют вид
J = j р (х) Qi (х) dx + j* j р (х) р (х') Q2 (х, х') dx dx', (72)
V V V
где Qi(x) и Qi(x, х') суть функции, определенные соответ-
ственно для любых точек х и пар точек (х, х') объема V, зани-
маемого жидкостью. Первая вариация /, отвечающая переме- -
щению имеет вид [гл. 2, равенство (120)]
67= fp(x)g,(x)^%^rfx4-
V * ‘ -
+ f f P (x) P (x') ta (x) -/- + £/ (X') /г
V V L . . dxl dxl .
Q2 (х, х') dx dx'.
(73)
Утверждение состоит в том, что если
J = 0 в силу условий равновесия, (74)
то
Ы = 0 в точке бифуркации для некоторого нетривиального (75)
Определим теперь нейтральную точку на последовательности
равновесных конфигураций как точку, где обращается в нуль
характеристическая• частота, соответствующая некоторой соб-
ственной нормальной форме колебания. Очевидно, что точка
бифуркации должна быть также нейтральной точкой; однако
нейтральная точка не обязательно должна быть точкой бифур-
кации.
Основное заключение, которое может быть выведено из при-
веденных выше рассуждений, состоит в следующем. Если J есть
какая-либо интегральная характеристика, которая обращается
в нуль в силу условий равновесия, то необходимое условие
существования нейтральной, точки (и, a fortiori, точки бифур-
кации) состоит в том, чтобы существовало нетривиальное ла-
гранжево перемещение g, для которого 6/ = 0. Чтобы этот кри-
терий можно было использовать, необходимо, чтобы б/ не об-
ращалось тождественно в нуль для возможных форм в
противном случае условие 6J = 0 не может служить для вы-
деления нейтрально^ точки среди каких-либо других точек. Од-
нако для выделения на последовательности точки бифуркации
и ее определения несущественно, если сама характеристика /
Сфероиды Маклорена
109
тождественно обращается в нуль, лишь бы только ее первая
вариация не обращалась тождественно в нуль. Примером этого
может служить вириальнбе соотношение
/ = SB12 + Q2/12=0. (76)
Оно тождественно равно нулю на последовательности Макло-
рена, но его первая вариация для этой последовательности
тождественно в нуль не обращается, и, как мы сейчас увидим
в разд. 35, требование равенства нулю 6/ действительно выде-
ляет точку бифуркации й2 = 2Вц.
Г
35. ВЫДЕЛЕНИЕ ТОЧКИ № = 2Ви НА ОСНОВЕ РАССМОТРЕНИЯ
ВИРИАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ
Проиллюстрируем идеи, описанные в разд. 34, показав, как
из рассмотрения интегральных характеристик, даваемых вири-
альными соотношениями второго порядка [гл. 2, равенства
(68) — (71)], на последовательности Маклорена может быть вы-
делена точка бифуркации, от которой ответвляется последова-
тельность небсесимметричных фигур равновесия. Первые ва-
риации этих интегральных характеристик дают' равенства
д$В1з = дЗВ2з = 0, 6/13 = 1^13 = 0, б/2з = Угз ==^> (77)
63В12 + Й2У12 = 0, (78)
dSB1I-d2B22 + Q2(VI1-722) = 0 (79)
и
6SBn + SSB22 - 2бЗВзз + Й2 (Уп + Уй) = 0 (80)
в качестве условий, которые должны быть удовлетворены в ней-
тральной точке.
Используя равенства (148) — (150) гл. 3 и вспоминая, что
в рассматриваемом случае имеет место равенство величин Вп,
В12 и В2г, равно как и В13 и В2з, находим^ что уравнения-
(77)—(80) приводят к равенствам
У13=У23 = О, -(81)
(Й2 — 2Вц)У12 = 0, (82)
(Й2-2В11)(У11-У22) = 0 (83)
и
[Й2 - 2 (2В„ - В13)] (У„ + И2) + 2 (ЗВ33 - В13) У33 = 0. (84)
Здесь можно отметить, что уравнение (84) при Уп = У22 сов-
падает с уравнением (14), использованным для выделения мак-
симума й2.
110
Глава 5
Дополнительное условие, чтобы лагранжево перемещение
оставляло неизменной начальную постоянную плотность жид-
кости, требует присоединения к уравнениям (81)—(84) равен-
ства (29).
В точке бифуркации, где ответвляется новая последователь-
ность конфигураций без вращательной симметрии, можно счи-
тать, что
=# Г22. (85)
При этом условии нетривиальное решение уравнений (82) — (84)
возможно лишь в случае, когда
Q2 = 2BU; (86)
и в точке, для которой удовлетворяется это равенство, мы бу-
дем иметь
JZ13 = jZ2з =Кзз — 0, V\2 =А 0 'll' (или) = *— К22. (87)
Перемещение, удовлетворяющее требованиям, представлен-
ным в (87), и деформирующее сфероид в трехосный эллипсоид,
очевидно, существует. Следовательно, доказана возможность
существования последовательности трехосных эллипсоидов, от-
ветвляющихся от последовательности Маклорена при й2==2Вц.
36. УСТОЙЧИВАЯ ЧАСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МАКЛОРЕНА КАК
КРИВАЯ БИФУРКАЦИИ ПО ЧЕТЫРЕМ РАЗЛИЧНЫМ ПУТЯМ
Прежде всего внесем ясность в понятия, лежащие в разд. 35
в основе определения точки бифуркации на последовательности
Маклорена.
Сфероид Маклорена, вращающийся с постоянной угловой
скоростью ймс, в системе отсчета, вращающейся с той же са-
мой угловой скоростью, кажется находящимся в гидростатиче-
ском равновесии без внутренних движений. Бесконечно малое
лагранжево перемещение, деформирующее его в трехосный эл-
липсоид, имеет вид
Si=a*2, £2=P*i и §з = 0, (88)
где а и р — две (бесконечно малые) постоянные. Такая дефор-
мация в общем разрушит гидростатическое равновесие, наблю-
даемое в выбранной системе; например, первая вариация инте-
грального свойства (76), именно
4 (QL-2Bn)^12 при К12 = |м(а + Р)а2^0, (89)
не уничтожается для произвольно выбранного члена последо-
вательности Маклорена, Следовательно, при смещении (88) ре-
зультатом деформации сфероида должно быть состояние не-
Сфероиды Маклорена
111
прерывных движений (снова наблюдаемых в выбранной си-
стеме), за исключением случая, когда Йл1с = 2Вц'.
Приведенные замечания поясняют, почему точка бифурка-
ции должна быть также и нейтральной точкой. Лагранжево
смещение, деформирующее сфероид в трехосный эллипсоид,
должно быть также решением соответствующей задачи о соб-
ственных значениях; в противном случае мы не можем быть
уверены, что все условия, необходимые для равновесия, удов-
летворяются. Однако в разд. 33, б мы показали, что при
= форма колебания, соответствующая характеристи-
ческому значению
а = й^— (4В11 — Q м с)2, (90)
действительно становится нейтральной, и собственное решение
(70), отвечающее значению о, деформирует сфероид в эллип-
соид.
В связи с высказанными здесь соображениями относительно
существования точки бифуркации при ймс = 2Вц естественно
возникает вопрос: может ли быть «нейтрализована» определен-
ная нормальная форма колебания некоторого выбранного сфе-
роида Маклорена рассмотрением его в системе отсчета, вра-
щающейся с надлежащей угловой скоростью й =/= ймс- Сейчас
мы покажем, как может быть осуществлена такая нейтрали-
зация.
Предположим, что сфероид Маклорена рассматривается в
системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью Й, отлич-
ной от Ймс, но вокруг той же самой оси. Мы будем называть
систему, из которой наблюдается сфероид, системой наблюда-
теля. В системе наблюдателя сфероид Маклорена будет ка-
заться имеющим внутренние стационарные движения с постоян-
ной завихренностью относительно оси %з
£ = 2(Й^-Й). (91)
Поскольку поперечные сечения являются круговыми, движение,
связанное с £, является чисто вращательным с угловой ско-
ростью, в точности равной разности величин Й и Ймс- В си-
стеме наблюдателя компоненты внутреннего движения равны
«! = —(Ож —й)х2, и2 = + (О/ис — Q)*1 И и3 = 0. (92)
Вириальные уравнения, управляющие малыми колебаниями,
при этих более общих предположениях могут быть полу-
чены1) на основе использования уравнений (141)—(145) и
*) В разд. 49 и 50 гл. 7 указанные уравнения действительно приведены и
решены при весьма общих предположениях относительно эллипсоидов Римана».
112
Глава 5
(152) гл. 2; и эти уравнения могут быть решены для характе-
ристических частот, вычисляемых в системе наблюдателя. Од-
нако искомые характеристические частоты могут быть найдены
без громоздких вычислений при помощи метода, хотя в чем-то
и косвенного, но в то же время поучительного.
Как и в разд. 33, рассмотрим колебания сфероида Макло-
рена в системе, вращающейся с той же самой угловой ско-
ростью Ямс- Так как здесь мы имеем дело со слабо возмущён-
ным однородным сфероидом, то его внутреннее состояние может
быть полностью описано движением граничной поверхности и,
в частности, составляющей перемещения, нормальной к по-
верхности, а именно величиной
5- + х22 ( _ о g1X| + l2x2 t о g3x3
а I 9 ’Т’ О / -- " 2 I 9 •
dXj \ af ад/ af аз
(93)
Подставляя для g его выражения, данные для различных форм
колебаний равенствами (69) — (71), получим
Л-с = 4-Л (xi + х^ е1о°Жф (94)
(где индекс п-с означает поперечно-скошенную форму),
Хтор = Аор(х? + х1)^/+2|ф •/ (95)
и
24Vz4 об)
«1 «3 /
где Дп-с> Дюр и Лпульс — постоянные, а со, ое и ар — характер
ристические частоты колебаний, определяемые уравнениями1
(38), (50) и (63) соответственно. Кроме того, в уравнениях
(94) — (96) ф обозначает азимутальный угол, измеряемый в эк-
ваториальной плоскости в том же самом направлении, что и
вектор ймс-
Исследуем теперь движение поверхности, описываемое во
вращающейся с угловой скоростью Ямс системе уравнениями
(94) — (96), в системе наблюдателя, вращающейся с угловой
скоростью Я, отличной ОТ Ямс-
Пусть фо обозначает азимутальный угол в системе наблюда-
теля. Он связан с углом ф соотношением
Фо = Ф (® Оме) (97)
Поэтому в системе наблюдателя движение поверхности будет
описываться уравнениями
*п-с = лп-схз (*1 + х2р ехР h + (Q - z'+ 4} • (98)
Лор = Лор и + XD exp (z К + 2 (Я - Я^)] t + 27фр} (99)
Сфероиды Маклорена
413
Я и
( 2 2 2 \
2 2 2 ) ехР (ЮО)
а1 ^3 /
У Из этих уравнений следует, что в то время как движения, свя-
занные с пульсационной формой колебания, описываются не-
зависимо от выбора системы наблюдателя, для поперечно-ско-
; шенных и тороидальных форм колебаний это не так. В системе
наблюдателя этим последним формам колебаний отвечают ха-
рактеристические частоты
i Со (Й) == (То 4” (Q — Оме) (101)
г и а
1 (Те (Q) = (Те 4“ 2 (Q (102)
" I
где во избежание двусмысленности мы написали величины о
; в функции от угловой скорости вращения системы, к которой
I они относятся. Подставляя вместо сто и ое их значения, опреде-
ляемые уравнениями (38) и (50), получаем.
| 2a0(fi) = 2Q-Q^±(16B13 + Q^)? (103)
I и - .
} ae(Q) = 2Q-QAfc±(4B1I-Q^)l (104)
Из уравнений (103) и (104) следует, что поперечно-скошен-
ные и тороидальные формы колебаний исследуемого сфероида
Маклорена могут быть нейтрализованы при его рассмотрении
' в системах, вращающихся с угловыми скоростями
У if 11
Й=у[йл1Ст(16В13 + й^)2] (105)
И
Q = (Ю6)
। ' Из уравнения (104) в соответствии с полученным ранее ре-
4 зультатом мы заключаем, что при выборе знака минус ое — 0
А для Q = ймс и £2мс = 2Вц; однако отметим также, что при вы-
боре знака плюс ое = 0 для Q = 0 и того же самого значения
□мс=2В11, Эти две возможности нейтрализации той или иной
из двух тороидальных форм колебаний при £2^ = 25* t соответ-
ствуют тому обстоятельству, что в этой точке ответвляются две
различные последовательности: последовательности Якоби и
I Дедекинда (гл. 1, разд. 5, а также гл. 6, где эти две последова-
тельности исследуются детально).
114
Глава 5
Возвращаясь к уравнениям (105) и (106), заметим, что в то
время как уравнение (105) для Q дает вещественные значения
(для выбранной системы наблюдателя) вдоль всей последова-
тельности Маклорена, уравнение (106) для Q дает веществен-
ные значения только при Ймс*С4Вц,т. е. лишь для устойчивой
части этой последовательности. Следовательно, мы можем за-
ключить, что каждая точка динамически устойчивой части по-
следовательности Маклорена является точкой бифуркации че-
тырех различных последовательностей, а точки оставшейся не-
устойчивой части этой последовательности служат точками
бифуркации двух различных последовательностей. Как мы уви-
дим более подробно в гл. 7 (разд. 48,6 и 51, в), эти четыре
типа эллипсоидальных фигур, которые ответвляются от после-
довательности Маклорена, представляют собой эллипсоиды
Римана.
В заключение можно отметить, что если сфероиды Макло-
рена рассматривать в системе, вращающейся с угловой ско-
ростью то характеристическими частотами (соответ-
ствующими поперечно-скошенным и тороидальным формам ко-
лебаний) будут
а0(у= ± у <16В“ + (Ю7)
и !
Ое (у Qjfc) = ± (4ВН - QLF. (108)
При таком выборе системы наблюдателя завихренность t, =
= £2мс и [гл. 4, равенство (45)]
л (у Q J 1 ®мс- (109)
\ -j- а2 2
Можно также проверить, что в этой системе направления глав-
ных осей эллипсоида остаются неизменными. Следовательно,
движения, связанные с этими колебательными формами, яв-
ляются самосопряженными в смысле теоремы Дедекинда (гл. 4,
разд. 28 и гл. 7, разд. 53).
37. ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОЙ ДИССИПАЦИИ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
СФЕРОИДА МАКЛОРЕНА
В разд. 33 мы видели, что хотя сфероид Маклорена при
й2 = 2Вц допускает нейтральную форму колебания, он не ста-
новится неустойчивым в этой точке; он становится неустойчи-
ВЫУ лишь в последующей точке, где Q2 = 4Вц. Эти результату
Сфероиды Маклорена
115
были выведены на основе анализа, в котором предполагалось,
что жидкость идеальная. Сейчас мы покажем, что если осла-
бить это предположение и считать рассматриваемую жидкость
вязкой, то сфероид Маклорена становится неустойчивым уже
при Q2 = 2Вц. Неустойчивость, которая обнаруживается толь-
ко при наличии некоторого механизма диссипации, называется
вековой неустойчивость^. Она отличается от «обыкновенной»,
или динамической, неустойчивости, которая имеет место неза-
висимо от любого механизма диссипации, тем, что для нее
время е-кратного отклонения возмущенного движения oj не-
возмущенного прямо пропорционально эффективности дейст-
вующего процесса диссипации1).
При исследовании вековой неустойчивости сфероида Макло-
рена будем предполагать, что напряжения, вызываемые обыч-
ной вязкостью, определяются коэффициентом кинематической
вязкости v (имеющим размерность см2-с-1). Настоящее иссле-
дование будет основываться на линеаризованной форме вири-
альных уравнений второго порядка, соответствующим образом
обобщенных с тем, чтобы учесть наличие вязких напряжений.
Эта задача будет решена в приближении малых чисел Рей-
нольдса, т. е. когда эффекты, вызываемые вязкой диссипацией,
считаются малыми и во внимание принимаются лишь в первом
порядке.
Анализ этой части основан на исследовании Розенкилда.
а) Вириальные уравнения второго порядка с учетом вязкой дис-
сипации
Уравнения Навье — Стокса, описывающие движение вязкой
жидкости, могут быть записаны в форме
33? др ( дР{к
Р dt Р дх{ dxf дхк ’
где
(ди, ди, 2 ди, \
^+4-ззТ>) Ш1)
определяет напряжения, вызываемые вязкостью. Граничное
условие, соответствующее уравнениям (НО) и (П1), состоит
в том, что на свободной поверхности должна обращаться в нуль
нормальная составляющая полного напряжения, а именно ве-
личина
(-pbik+Pik)nk (112)
(где п обозначает единичный вектор внешней нормали).
9 О влиянии вязкости жидкости на устойчивость форм равновесия (не
обязательно эллипсоидальных) см. А. М. Ляпунов, Собр. соч., т. Ш, Изд-во
АН СССР, М., 1959, стр. 359—>360. — Прим, перевк
lie
Глава 5
Из уравнения (110) обычным путем посредством умноже-
ния его на Xj и интегрирования по объему V, занимаемому жид-
костью, можно вывести соответствующую форму вириального
уравнения второго порядка. Преобразования выполняются
точно так же, как и в разд. 11, а, с той лишь разницей, что те-
перь мы должны учесть дополнительный член,. характеризую-
щий вязкие напряжения. Имеем
/ ( .д^ + dxk ) J Х1 (~ P^ik + Pik) dS +
v s
4-/ pdx- / Pndx. JI 13)
V V
Интеграл по поверхности равен нулю в силу граничного усло-
вия, которое должно выполняться на свободной поверхности.
Таким образом получаем [гл. 2, уравнение (47) J
j pUiXj dx = 2SJ -|- 2Вг/ + д^П— ^ij,
v
(114)
где
^a^jPiidx (115)
v
можно назвать тензором энергии сдвига.
Легко указать форму, которую принимает уравнение (113)
во вращающейся системе. В силу того что скорость, опреде-
ляемая во вращающейся системе, отличается от скорости,
определяемой в инерциальной системе, членом х X й, в обеих
системах выражения для формально имеют один и тот же
вид. Поэтому мы имеем [см. гл. 2,,уравнение (63)]
J puiXjdx — 22^ 4- 2B// + Q2(7// — й/з^з/) +
v
4- 2en3Q J putxj dx 4- 6//П — $г/, (116)
v
где предполагалось, что направление вектора й совпадает
с направлением оси х$. .
Теперь мы переходим к выводу линеаризованной формы
уравнения (116), которая будет описывать малые отклонения
от начального течения. Все члены, за исключением уже
были рассмотрены в гл. 2, разд. 15. Искомая первая вариация
Сфероиды Маклорена
117
величины может быть получена при помощи уравнений {97)
и (119) гл. 2. Имеем 4
м Г Г ! д Ьи, д \и, 2 д Ди>
= Jр гЫг+-
дх^ dxk dXi dxk 3 dxt dxk “*~
(duf du> 2 du, . \1
-^+-^--3^^)]^ <117>
где [гл. 2, равенство (89)]
a“=#=# + “/5;- d 18)
В случае если начальной состояние является стационарным
и отсутствуют какие-либо внутренние движения, приведенное
выше выражение для значительно упрощается и прини-
мает вид
= f pv^(^ + -^ —(119)
J Ul у у j
Соответствующая линеаризованная форма вириального уравне-
ния (116) имеет вид [см. уравнение (17)]
62ВО + Q2 (У И - 6Z3K3/) + 2QeZZ3 J р > М* +
v J
г д (dh dl., 2 дЪ \
+ МП-]ру^(^ + ^-у#8„)л. (120)
Наконец, если предположить, что лагранжево перемещение
имеет форму (18) и удовлетворяет условию соленойдальности,
то уравнение (120) примет вид
Л%;/-2Ш8„3К,;, = 628,, +^(7, -д/3У3/) + д06П-(121)
где
»!'<=Ч + "22)
у ' 1 ч 1
б) Приближение, соответствующее малым числам Рейнольдса
Несмотря на то, что уравнения (121) и (122) являются точ-
ными, нахождение их решений способом, использованным в
разд. 33 для уравнений соответствующей задачи для идеальной
118
Глава 5
жидкости, требует, чтобы также были выражены через ве-
личины Vi-j. В общем случае это, очевидно, невозможно. Од-
нако в приближении, соответствующем малым числам Рей-
нольдса, когда эффекты, возникающие от вязкой диссипации,4
рассматриваются как малые возмущения течения идеальной
жидкости, для вычисления может быть использовано соб-
ственное решение в предельном случае идеальной жидкости.
Как мы видели в разд. 33, г, собственное решёние в этом пре-
дельном случае представляет собой линейную функцию коорди-
нат и может быть выражено через величины j; таким обра-
зом [см. равенства (65) и (68)],
\ __ V 5F^
Mal
fe==l R
(123)
Для gi, определяемого этим выражением, имеем
— -(124)
х ai /
С этим выражением для 6^- уравнение (121), как и в предель-
ном случае идеальной жидкости, содержит лишь величины Vi,j,
и его решение может быть получено аналогичным образом,
в) Влияние вязкой диссипации на тороидальные формы
колебаний
Мы будем рассматривать только четные формы колеба-
ний. Вместо уравнений (25) — (28) теперь имеем
AVi; 1 - 2WV2; j = б5Вц + QVn + 6П - Vn, (125)
W2:2 + 2ЛОУ1:2 = 65В22 + Й%2 + 6П - К22, (126)
а1
2 - 2Ш2;2 = - (2Bn - Q2) У12 - У12 (127)
, а1
и
AV2;i + 2WVI:I = -(2B11-Q2)VI2-^-|Z12. (128)
Комбинируя эти уравнения так же, как и в разд. 31,6, вместо
уравнений (46) и (47) теперь будем иметь
ЮЛу '
Л2-|-2 (2Bn — Q2)+
V12 + W(r11-722) = 0
(129)
и
V + 2 (2ВН - Q2) + -^1 (Уп - У22) - 4ЛОУ12 = 0. изо)
а.
Сфероиды Маклорена
119
Эта пара уравнений приводит к характеристическому уравнению
[уравнение (49)]
ст2 — 2ой — 2 (2ВИ — Q2) —z =0, (131)
ai
где мы положили Л = /ст.
В силу того что мы рассматриваем приближение, соответ-
ствующее малым числам Рейнольдса, можно написать
ст = ст0 + * Лст 4-О (v2), ' (132)
где сто есть характеристическая частота для предельного случая
идеальной жидкости. Используя эту подстановку, из уравнения
(131) получаем
да = ,522—
ai(сто ^)
(133)
Для формы колебания, которая становится нейтральной •)
при й2 = 25ц, имеем
1
а0 = й — (45в — Q2)2, (134)
где квадратный корень (для й2 < 45ц) взят с положительным
знаком. Равенство (133) теперь дает
Ла=.-4 (135)
(«.,-оу
Заметим далее, что для этой формы колебания
1
. А 5v (4В„ — Q2)2 - Q
IV Да = - -2- и--->—1--. (136)
1 (4Вц-ау
Из уравнения (136) следует, что в то время как до нейтраль-
ной точки й2 = 25 п эта форма колебания демпфируется, она
возрастает в интервале
45ц>Й2>25ц.
Следовательно, даже самая незначительная вязкость будет вы-
зывать неустойчивость в интервале между нейтральной точкой
’) Оговорка «в отсутствие вязкости» здесь не является необходимой, та#
Как До обращается в нуль одновременно с Ор,
120
Глава 5
и точкой начала динамической неустойчивости. Однако время
е-кратного отклонения возмущенного движения от невозму- щенного пропорционально a^v и Таблица III дается выражением Время т е-кратного j отклонения возмущенного 2 /. D О2\*2 движения от __ а1 у^и ) /< невозмущенного т v 2 9 '' (1 измерено в единицах 5[Q— (4Вп — Q2)2] a|/v) Табл. III дает краткий перечень зна-
е % е чений постоянной пропорционально- т сти в этом соотношении.
0,812670 0,82 0,84 0,86 0,88 оо 6,4464 1,5537 0,7899 0,4743 0,90 0,92 0,94 0,95, 0,952887 xlo pdDCnLlDa \ 1 ОО ) очевидно, 0,2974 чт0 за точкой динамической не- 0J790 устойчивости при Й2=4Вц неустой- 00848 чивость, порождаемая вязкостью, не 00330 существейна. Особенность, кото- q рую имеет решение при Q2 = 4Вц, является кажущейся: она возникает
вследствие недопустимости пер-
воначальной подстановки (132) в окрестности этой точки; без
использования этой подстановки уравнение (131) дает 7
<f = Q ±рфА2 (1+i) + o(v) при Й2 = 4Вц. (138)
\ а1 /
Библиографические замечания
В настоящей главе была предпринята попытка собрать воедино^ методы и
идеи, связанные со сфероидами Маклорена и рассеянные по статьям, список
которых приведен на стр. 282. В самом деле, способ определения положения
максимума Q2 на последовательности Маклорена взят из статей XVI и XXII;
исследование колебаний сфероида Маклорена основано на статье II Лебовица,
а также на отчете,‘приведенном в статье XXII; идеи, описанные в разд. 34—36,
изложены^ статьях IX, XVI, XXV (разд. 9) и XXVIII (разд. 5) и, наконец,
анализ в разд. 37 основан на статье XXXVII Розенкилда.
Разд. 37. Относительно другого способа исследования влияния вязкой
диссипации на устойчивость сфероида Маклорена см.
Roberts Р. H.t Stewartson К., On the stability of a Maclaurin spheroid of small
viscosity, Astrophys. J., 137, 777—790 (1963).
Глава 6
Эллипсоиды Якоби и Дедекинда
38. ВВЕДЕНИЕ
Эта глава посвящена главным образом изучению двух со-
пряженных последовательностей Якоби и Дедекинда. Неустой-
чивость вдоль этих двух последовательностей устанавливается
формой колебания, относящейся к третьим гармоникам; от по-
следовательности Якоби в точке начала неустойчивости от-
ветвляется известная последовательность грушевидных конфи-
гураций Пуанкаре? Мы узнаем, что различные задачи, связан-
ные с равновесием и устойчивостью вдоль этих двух последо-
вательностей конфигураций, в прошлом, часто считались «труд-
ными», найдем их решения, естественно, методами, развитыми
в предыдущих главах.
В эту главу мы также включили результаты, относящиеся
к третьим гармоникам колебаний сфероида Маклорена, так как
они наиболее просто получаются в результате упрощения урав-
нений, соответствующих эллипсоиду Якоби.
39. ЭЛЛИПСОИДЫ ЯКОБИ: РАВНОВЕСНЫЕ ФИГУРЫ
Возвратимся к уравнению (1) гл. 5 и выясним, допускает
ли оно в качестве решений эллипсоидальные фигуры с тремя
неравными осями в том же самом предположении об однород-
ности.
Записанное в явной форме, вириальное уравнение второго
порядка дает
28n + Q2/n= 2ВИ 4-62/22 = ®зз, (1)
или, подставляя известные выражения для тензоров потенци-
альной энергии и инерции, имеем
Q2g2 — 2AiOi = Q2«; — 2Д2Я2 = — 2Л3а2. (2)
Прибавляя 2afat4i2 к каждой из трех частей тройного равен-
ства (2), получаем
af (Q2 - 2В12) = a2 (Q2 _ 2В12) 2 (Al2afal - А3а%). (3)
122
Глава 6
£ти уравнения будут допускать решения с а\ =И= а2 в том и
только том случае, если
ф22л12 = азлз (4)
и
Q2 = 2В12. (5)
Уравнение (4) налагает геометрическое ограничение на эллип-
соид: оно определяет единственное соотношение между отноше-
ниями осей a2/ai и аъ/а^ при котором вообще возможно равно-
весие; оно выражает отличительную особенность фигур Якоби.
Значение Q2, соответствующее каждой из фигур Якоби, дается
выражением (5).
Отметим, что уравнения (4) и (5) имеют в точности такой
же вид, в котором они впервые были выведены Якоби [см.
гл. 1, уравнения (18) и (21)].
«Первый» член последовательности Якоби представляет со-
бой сфероид, определяемый уравнениями
а1Лп=азЛз (6)
и
Й2 = 2В13. (7)
Этот сфероид принадлежит также последовательности Макло-
рена, ввиду того что вдоль последовательности Маклорена
[гл. 5, уравнение' (4)]
Й2 = 2(1 -4)Я1з» (8)
и одновременное удовлетворение уравнений (7) и (8) требует,
чтобы
w - “3 4=(°? - - “Ии) “<?«„ =°?и, - 44) о)
или ч
«Мп «D Аз+ (10)
а это уравнение в точности'совпадает с уравнением (6). Следо-
вательно, последовательность Якоби, определяемая уравнения-
ми (4) и (5), ответвляется от последовательности Маклорена,
определяемой уравнением (8), в точке, где О2 = 2ВИ. Этот ре-
зультат согласуется с результатом, который был установлен
в гл. 5, разд. 35, а именно, что в точке, где Q2 = 2Вц, сфероид
Маклорена может быть квазис^гатически деформирован в смеж-
ный трехосный эллипсоид.
Существует альтернативный способ вывода формулы (5),
проясняющий ее происхождение. Предположим, что эллипсоид
с неравными осями («1 а2 ф а$), вращающийся вокруг оси
Эллипсоиды Якоби и Дедекинда
123
х3 с постоянной угловой скоростью Q, представляет собой до-
пустимую фигуру равновесия. Тогда в системе отсчета, вра-
щающейся с угловой скоростью Q, не имеет, очевидно, значе-
ния выбор направления, от которого мы отсчитываем азиму-
тальный угол <р. Другими словами, равновесие. эллипсоида не
может быть нарушено при сообщении ему перемещения
11=аХ2, g2== ₽Х! И £з=0, (11)'
где а и р — две бесконечно малые постоянные, так как это
приводит только к повороту ориентации эллипсоида в плоско- '
сти (xi,x2) на угол
б<р
Для перемещения (11)
У12 = б/12 = 6 J рх,х2 dx = J р(11Х2-Н2*1Мх=а^22 + РЛ1¥=0, (13)
V V
аа2 + Ра?
„2 „2
^2 ^1
(12)
и первая вариация вириального соотношения
2В12 + Й2/12 = 0, (14)
а именно уравнение [гл. 3, уравнение (148)]
d3Bl2 + Q%2 = (Q2-2Bl2)VI2 = 0, (15)
не может быть удовлетворена, если Q2 не определяется уравне-
нием (5). Следовательно, уравнение (5) выражает инвариант-
таблица IV
Свойства эллипсоидов Якоби
Os/fli 27(nGp) _1_ Lf(Glffla) 2 as/ai arfai □г/(лОр) 1 д/(ОМ’а)2
1,00 0,582724 0,374230 0,303751 0,48 0,372384 0,302642 0,369473
0,96 0,570801 0,373987 0,303959 0,44 0,349632 0,287267 0,385940
0,92 0,558330 0,373190 0,304602 0,40 0,325609 0,269678 0,406073
0,88 0,545263 0,371785 0,305749 0,36 0;300232 0,249693 0,430872
0,84 0,531574 0,369697 0,307467 0,32 0,273419 0,227153 0,461750
0,80 0,517216 0,366837 0,309837 0,28 0,245083 0,201946 0,500777
0,76 0,502147 0,363114 0,312956 0,24 0,215143 0,174052 0,551140
0,72 0,486322 0,358424 0,316938 0,20 0,183524 0,143610 0,618069
0,68 0,469689 0,352649 0,321923 0,16 0,150166 0,111044 0,710927
0,64 0,452194 0,345665 0,328081 0,12 0,115038 0,077281 0,848770
0,60 0,433781 0,337330 0,335618 0,08 0,078166 0,044168 1,079302
0,56 0,414386 0,327493 0,344796 0,04 0,039688 0,015415 1,58276 ’
0,52 0,393944 0,315989 0,355941 0 0 0 оо
124
Глава 6
ность равновесия эллипсоида относительно выборе! ориентации
координатных осей в экваториальной плоскости.
В табл. IV приведены свойства эллипсоидов Якоби, а на
рис. 5 и 6 (см. стр. 95, 97) изменения Q2 и
L Уз af + al Г- — 1
Т = “То d5 ® = (Л1й2аз)3 J Q6) .
(GAPa)2 .
[гл. 5, уравнение (7)] вдоль последовательности- Якоби сопо-
ставлены с изменениями этих величин вдоль последовательно-
сти Маклорена.
40. ОТВЕТВЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ГРУШЕВИДНЫХ
КОНФИГУРАЦИЙ ПУАНКАРЕ ОТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЯКОБИ
Как объясняется в гл. 5, разд. 34, в точке бифуркации неко-
торая собственная форма колебания должна становиться ней-
тральной; кроме того, первая вариация любого интегрального
свойства (получаемого в силу равновесия), происходящая от
квазистатической деформации собственным перемещением, при-
надлежащим нейтральной форме колебания, должна исчезать.
Поскольку перемещение которое деформирует эллипсоид
в грушевидную фигуру, должно быть квадратичным по коорди-
натам, ни одна из интегральных характеристик, даваемых ви-
риальными уравнениями второго порядка, не может служить
для определения связанной с этим перемещением точки бифур-
кации: их первые вариации для таких перемещений тожде-
ственно равны нулю. Однако соотношения (78), (79) и (83)
гл. 2, даваемые вириальными уравнениями третьего порядка,
будут выделять нейтральные точки, относящиеся к таким квад-
ратичным перемещениям. В самом деле, необходимое и доста-
точное условия существования нейтральной точки, относящейся
к квадратйчным относительно координат перемещениям, со-
стоят в том, чтобы уравнения
6®//:fe + 623ifc;/ + Q2(Vi/ft-6i3V3/fe)=0, (17)
265ВО: I + Q2 (Уш - tn3V3lf) = 0 (18)
и
&S/// + &2[Уш — in — 6;3(Vза — Узц) + 2д/3У3//] =0 (19)
[i =/=/¥= k, и в уравнениях (17), (18) и (19) нет суммирования
по повторяющимся индексам]
были удовлетворены для некоторой нетривиальной совокупно-
сти величин Vijk.
Выражения для д2В(-/; * и д$ш были представлены равен-
ствами (152) —(157) гл. 3; эти выражения содержат те же са-
Эллипсоиды Якоби и Дедекинда - 125
мые величины 1^, которые явно входят в уравнения (17) —
(19). Исследование уравнений (17) —(19) и выражений, для
62Bi/:fe и dStjj показывает, что эти уравненйя распадаются на
четыре независимые группы, отличающиеся их нечетностью или
четностькг по отношению к индексам 1, 2 и 3. Таким образом,
имеются три уравнения [получаемые из уравнений (17)], кото-
рые нечетны по всем трем индексам, и три системы, по четыре
уравнения в каждой [получаемые из уравнений (18) и (19)],
которые нечетны по одному из трех индексов и четны по остав-
шимся двум .индексам. Для деформаций, которые сохраняют
симметрию относительно плоскостей (хьхз) и (xi,x2) и разру-
шают лишь симметрию относительно плоскости (х2, хз), нам
необходимо исследовать систему только четырех соотношений,
которые нечетны по индексу 1 и четны по индексам 2 и 3; вели-
чины Vuk, четные, по индексу 1, будут тождественно уничто-
жаться для таких деформаций, а две системы, четные по Ин-
дексу 1, не дадут полезной информации для нашей задачи.
Уравнения, которые мы должны рассмотреть, имеют вид
6/1 = — 26SB12; 2 — QV122 = 0, (20)
6/2 = — 262В13; з — QV133 = 0, (21)
б/3 = 6S122 + Q2 (V ш - ЗУ 122) = 0 (22.)
и
б/4 = 6S133 + Q2(Vin -У133)=0. (23)
В точке бифуркации эти четыре уравнения должны удовлетво-
ряться нетривиальным образом.
Мы заметим сначала, что выражения для d2BI2; 2, 62Bi3. 3,
б$122 и 6S133 включают дополнительно к Уш, У122 и У133 также
момент первого порядка
У^/p^dx. (24)
г
Не ограничивая общности, будем предполагать, что
У/=0 (/ = 1,2,3). (25)
Смысл этого предположения состоит в том, что мы ограцичи-х
ваемся деформациями, оставляющими неизменным центр масс.
Поскольку единственным движением, которое может совершать
центр масс самогравитирующей массы, является равномерное
движение, то никакой потери общности при этом предположе-
нии не происходит.
Далее, подставляя соответствующие выражения для 62В//. /
и dSjjf, входящих в уравнения (20) — (23), мы получим си-
стему четырех линейных однородных уравнений относительно
126
Глава 6
Vnj, V122 и Vi33. Эти уравнения могут быть записаны в форме
bJi = <i 1111) Уш+О 1122) y122+<i 1133> 7133 (i = 1.4), (26)
где (j| 111) и т. д. являются некоторыми матричными элемен-
тами.
Если бы мы потребовали, что в действительности мы и
должны сделать, чтобы рассматриваемое лагранжево переме-
щение было бы также соленоидальным, то мы должны были бы
присоединить к уравнениям (26). дополнительное условие [гл. 3,
уравнение (63)]
-^+-^ + -^- = 0.
«1 «2 а3
(27)
Теперь мы можем заключить, что для существования нетриви-
альной нейтральной формы колебания, принадлежащей к треть-
им гармоникам и деформирующей эллипсоид Якоби в груше-
видную фигуру, не обладающую симметрией относительно ко-
ординатной плоскости, перпендикулярной ее наибольшей оси,
необходимо, чтобы для некоторого члена последовательности
Якоби ранг .(4X3)-матрицы, с помощью которой записано
уравнение (26) [или (5X3) -матрицы, если рассматривается
также и уравнение (27)], был равен по крайней мере 2.
Рассматривая сначала (4 X 3)-матрицу, с помощью которой
записано уравнение (26), и считая, что обозначает опреде-
литель 3-го порядка, получаемый вычеркиванием i-й строки
матрицы, мы найдем, что определители'Д^, действительно, одно-
временно обращаются в нуль в некоторой единственным обра-
зом определяемой точке последовательности Якоби. Этот факт
очевиден из табл. V, в которой приведены значения определи-
телей Д{ для эллипсоидов Якоби в окрестности общей нейтраль-
ной точки. То, что характеристический вектор (Упь У122, У1зз)>
отвечающий определенной так нейтральной точке, удовлетво-
ряет также условию соленоидальности (27), очевидно, потому
что определитель Д12 системы, образуемой уравнениями (27)
и (26) при i — 1 и 2, одновременно обращается в нуль вместе
с другими определителями (см. табл. V, в которой приведены
значения Д12).
Тот факт, что ранг (5X3)-матрицы, отвечающей уравне-
ниям (26) и (27), равен 2 в единственным образом определяе-
мой точке последовательности Якоби, мог бы быть установлен
путем непосредственного аналитического доказательства. Такое
доказательство не проводилось, а косвенное доказательство бу-
дет приведено ниже.
В заключение можно отметить, что посредством интерполя-
ции значений, приведенных в табл. V, находим, что нейтраль-
Эллипсоиды Якоби и Дедекинда
127
Таблица V
Определение положения точки бифуркации из вириальных
соотношений .
aa/ai 0,431 0,432 0,433 0,434
Д1 —0,00'01179 -0,0000223 +0,00007377 +0,0001705
&2 —0,0001791 -0,0000339 +0,00011227 +0,0002597
Дз +0,00001002 +0,00000191 -0,000006323 -0,00001468
Д4 +0,00001002 +0,00000190 -0,000006324 -0,00001468
&12 —0,01754 -0,00330 +0,01083 +0,02487
ной точке на последовательности Якоби при деформации эллип-
соида в грушевидную фигуру соответствуют значения
ajat =0,432232, a3/ai = 0,345069 и Q2 = 0,284030. (28)
(Эти'значения мало отличаются от обычно приводимых значе-
ний, вычисленных Дарвином).
а) Прямое определение точки бифуркации
Вопрос, к которому мы обращаемся, состоит в следующем:
может ли эллипсоид Якоби быть деформирован квазйстатиче-
ски в грушевидную фигуру без нарушения какого-либо из ус-
ловий равновесия. В общей, форме указанная задача может
быть сформулирована следующим образом.
Для равномерно вращающейся однородной конфигурации
уравнение гидростатического равновесия после интегрирования
дает
у = 33 (х) + у Q2 (xj + х|) 4-const. (29)
И если
$(хМ (30)
представляет собой граничную поверхность, то на этой поверх-
ности давление должно тождественно обращаться в нуль при
соответствующим образом выбранном значении постоянной ин-
тегрирования в уравнении (29).
Для недеформированного эллипсоида Якоби
128
Глава 6
и при выполнении условий (4) и (5)
(32)
где множитель лбр опущен в силу предположения о том, что
для й2 в качестве единицы измерения принята величина nGp.
Рассмотрим теперь деформацию эллипсоида Якоби лагран-
жевым перемещением £ и найдем условия, при которых дефор-
мация не будет нарушать ни одного из условий равновесия.
В результате перемещения § уравнение граничной поверх-
ности принимает вид
S = S7
(33)
в то время как 53(х) и й2 получают приращения .
=°«J =° I » (*'> -
V V 1
= -G^_ f PWkWrfx'
dxi J x — x'| (o4)
v
И
= (35)
\ hi / 41 hi
Для 653 и 6Й2, определяемых через j приведенными выше ра-
венствами, давление в деформированной конфигурации дается
выражением
£ = S3, (х) + у Q; ($ + х%) + № (х) + у 6й2 (x2+x2)+const, (36)
• или, принимая во внимание уравнение (32),
/ 3 х2 \
£ = а23А3 1 - V + 62? (х) +=6Й2 (х2 + 4) + const. (37)
р \ zS ai J 2
В последнем уравнении постоянная имеет порядок |£|.
Граничное условие требует, чтобы давление, определяемое
уравнением (37), обращалось в нуль на деформированной по-
верхности (33). Поэтому, используя уравнение (33), мы можем
написать, что .
(-) =-2аМзУ ^+ 653 (x) + y6Q2(xi+x2)+const=0. (38)
Д at 2
Эллипсоиды Якоби и Дедекинда
129
Поскольку выражение (p/p)s, даваемое равенством (38), имеет
порядок |g|, достаточно будет потребовать, чтобы оно обраща-
лось в нуль на начальном недеформированном эллипсоиде. Это
последнее требование приводит к искомым условиям для
Применим описанный метод к исследуемой задаче. Прежде
всего заметим, что самое общее квадратичное перемещение, ко-
торое будет деформировать несжимаемый эллипсоид в груше-
видную фигуру, не обладающую симметрией относительно ко:
ординатной плоскости, ортогональной ее наибольшей оси, могло
бы быть представлено в виде линейной комбинации следующих
пяти перемещений:
§(0) = (1, 0, 0), ?(1>=(х2, —2XjX2, 0), §<2) = (х2, 0, 0),
§(3> = (4 0, 0) И |W>=(0, XjX2,-XjX3). (39)
Несмотря на то что эти пять соленоидальных перемещений ли-
нейно независимы как векторы, они не являются линейно не-
зависимыми по модулю эллипсоида в том смысле, что никакая
их нетривиальная комбинация не сможет деформировать гра-
ницу Sj = О1). В самом деле, перемещения
$25<2) + $з£(Э) и . (40)
где S2, <$з и S4 — произвольные постоянные, деформируют эл-
липсоидальную границу в поверхности
Х2 о Х3
S2 — + S3 —1 = 0
а\ - а\ /
и
/ X2
Sj 2S4x 11 2
\а2
соответственно. Поэтому перемещение
5<4>-4§(2,+4§<з)
Sj 2х(
4 =0
«з/
(41)
(42)
будет оставлять поверхность Sj = 0 неизменной; и мы .можем
написать
§(4) в §(2) _ §(3) (mod Sj = о). (43)
а3
i) Точнее было бы сказать: «...в том смысле, что найдется их нетривиаль-
ная комбинация; которая не сможет деформировать границу Sj = 0». —
Прим перев.
5 Зак. 312
. 130
Глава 6
Следовательно, для g достаточно рассматривать линейную ком
< бинацию четырех перемещений g(°\ ..., g<3>. Мы будем иметь
3 1— (44) .3 £
1=0
где для удобства в Перемещением вана в поверхность 3 2 S = S^-I+2x, i=d дальнейшем взят знак минус. (44) граница эллипсоида будет де Sa Si / Sn S] \ Sq 4-+Ч-x + H~2 4 xl+-r a, af I af a2 / af d гформиро- =0. (45} 6
Как было отмечено ранее [равенство (25)], не ограничивая общности,'мы можем наложить на § условие К1 = /рМх = 0. (46) V Это условие дает , 5So + S1a| + S2a2 + S3a| = O. (47) Используя общие формулы (34) и (35), мы . находим теперь, что 6Q2 = 0 . • (48) и 3 653 = 2 Si 6«(<>, (49) t*j==O где в силу равенств (40) и (131) гл. 3 / 3 \ бй(0)=^Гр-2Л^ =-2ЛЛ ' (50) \ /«1 / и
бй(1)=-^п__2^Ь 6ЭЗ(2) = и 653(3, = -^-. (51)
oxi дх2 ’ дх\ дхг ' '
Подставляя выражения для ©//, даваемые равенствами (132)
гл. 3, находим’, ,
SSKO = (-4ЛП1а*4- Вша?)хЗ + {-2Ата\+Вта^Ата\а^Х^
+ ( 2Л113а* 4” 13^1)1*3 (2Лпа| 2aja|412)xp (62)
653(2) = В112^2*? 4" (^122^2 2Д122Л2) + В12з#2*1*3 ^12^2* Р (^3)
б23(3> = 4~ ^123^3*1*2 + (Вi33a| 2Л133а|) : В13а3хг (54)
Эллипсоиды Якоби и Дедекинда
131
С учетом приведенных здесь в явной форме различных величин
уравнение (38) запишется в виде
Go I
1 ,0* + 2 —2" ^3/ ^1“1в^112а2^2’,Ь^ПЗаЗ^З
‘ а1 /
xi
4“ ((8112^*— ^112а1 4“ ®^122а1а2 2 4"
/ Л2 \
I I D ~2 _ О Л ~4 1 О 3~ -
\ 7 -
4" I ^122^2 2-4122aj + 2 2 Л3) S2 4- В123^з53 х2 +
4“ (®1!За1 2Л113й^)31 + ^123^2^2 4*
л2
аз
4” (Bl33af 2Л133а* 4- 2 2 Л31S3 х3 4*
“1
+ - 2Л, + 2 4 А ) 5о + S, -
' . ~~ ^12а2^2 & 13^3^3j “I” COlist =
==x^Qix2+Q2x2 + Q3x2+Q0)-}-const, (55)
где Qo, .... Q3 представляют собой известные линейные комби-
нации So,..., S3.
Мы уже отмечали, что достаточно потребовать, чтобы (p/p)s,
даваемое теперь равенством (55), обращалось в нуль на исход-
ном недеформированном эллипсоиде, Чтобы удовлетворить это-
му граничному условию, очевидно/ необходимо и достаточно,
чтобы
Qo~ Qat = ^2а2 = @за3‘
Уравнение (56) вместе с (47) дает систему четырех линейных
однородных уравнений для постоянных So, ..., S3. Чтобы эти
четыре постоянные не. могли все тождественно уничтожиться, мы
должны потребовать, чтобы определитель этой системы был ра-
вен нулю. Это условие определяет единственным образом и без
какой-либо неопределенности точку на последовательности Яко-
би, в которой эллипсоид Якоби может быть квазистатически де-
формирован в грушевидную фигуру без нарушения какого-либо
из условий, требуемых для равновесия. Мы находим, что этой
точке соответствуют значения
a^Ui =0,432232, aja} =0,345069 и О2 = 0,284030 (57)
в точном согласии со значениями (28), полученными из вириаль-
ных соотношений.
5*
132
Глава 6
Кроме того, мы находим, что грушевидная фигура в точке
бифуркации получается деформированием эллипсоида Якоби,
соответствующего этой точке, сообщая ему перемещение
5 = SO(1 - 14,180*2 - 19,744*1) 1Хг, (58)
где So ес/ь произвольная постоянная, а 1Х, — единичный вектор,
направленный по оси *ь [Отметим, что собственное перемещение
(58) не содержит перемещения $4 Этот факт может быть
установлен непосредственно из соответствующих уравнений; од-
нако мы опускаем доказательство.] Этого непосредственного оп-
ределения перемещения достаточно, чтобы установить, почему
вириальные соотношения (20) — (23) вместе с условием соленои-
дальности (27) должны совпадать при определении одной и той
же нейтральной точки.
В заключение на рис. 8 (взятом из статьи Дарвина) мы пока-
зываем относительные размеры критического эллипсоида Якоби
и его деформацию в грушевидную фигуру сообщением ему пере-
мещения (58). Дарвин отметил, что «сравнение с эскизом Пуан-
каре показывает, что эта фигура является значительно более вы-
тянутой, чем он предполагал».
41. ТОЧКИ НА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МАКЛОРЕНА,
В КОТОРЫХ ОТВЕТВЛЯЮТСЯ ГРУШЕВИДНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ
Соотношения (20) — (23) можно использовать для определе-
ния нейтральных точек на последовательности Маклорена, сле-
дующих за точкой, от которой ответвляется последовательность
Якоби. Эти последующие нейтральные точки относятся к фор-
мам колебания третьих гармоник.
Выражения для б2В//:у и 68щ, даваемые равенствами
(153) и (157) гл. 3, упрощаются для сфероида Маклорена, так
как теперь и аг равны и любой индексный символ не изме-
нится, если индекс 2 всюду, где он фигурирует, заменить на 1,
и наоборот. Таким образом мы находим, что
Ю,я=-2(В11+а!В,1,)(И,11-ЗГ„), (59)
и уравнение (22) дает
- 2(В„ + (Иш(60)
Поэтому для нейтральной точки
□2 = 2(в11 + а2Вш) (61)
при выборе перемещения, для которого
^111^31^122 и И133 = 0. (62)
Эллипсоиды Якоби и Дедекинда
133
Находим, что уравнение (61) удовлетворяется для значений
е = 0,89926 и Q2 = 0,44015. (63)
Рассматривая теперь соотношения (20), (21) и (23), мы
должны положить в них
И,и=ЗУ122, (64)
для того чтобы не могло быть несовместности с соотношением
Рис. 8. Дарвинская иллюстрация критической фигуры Якоби, от которой
ответвляется последовательность грушевидных конфигураций; показаны три
эллиптических сечения (сверху вниз) в плоскостях (х3, х2), (х2, *0 и (хь х3).
Сплошными кривыми показана грушевидная деформация эллипсоидальной
фигуры (изображенной точечными кривыми) перемещением (58), по отноше-
нию к которому она является нейтральной.
(22) и равенством (60). Кроме того, при этих же самых предпо-
ложениях условие соленоидальности дает
1 О,
^22=ТИ111=--^Г1зз, (65)
ь 3
и мы находим, что уравнения (20) и (21) приводятся к сле-
дующим:
Q2 = 2 (Вп + За2Вш) - 4а2В113 (66)
и
Q2 = 2B13 + 3a2B133-a2BII3. (67)
Можно показать, что уравнения (66) и (67) эквивалентны одно-
другому — правые части этих уравнений одинаковы в силу соот-
134
Глава 6
ношений, связывающих индексные символы, а также совместны
с уравнением (23) при определении следующей нейтральной
точки при
е = 0,96937, где Й2 = 0,414132. (68)
42. ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ ГАРМОНИКИ
КОЛЕБАНИЙ ЭЛЛИПСОИДА ЯКОБИ
Различные характеристические частоты колебания эллип-
соида Якоби, относящиеся ко вторым и третьим гармоникам, мо-
гут быть все вычислены при помощи линеаризованных форм
вириальных уравнений второго и третьего порядков.
а) Вторые гармоники колебаний
Исследование вторых гармоник колебаний выполняется прос-
то; оно может быть проведено точно так же, как для сфероидов
Маклорена в гл. 5, разд. 33, лишь с незначительными изменения-
ми в этом анализе.
Задаче соответствуют уравнения (20) — (28) гл. 5 с единствен-
ными изменениями, состоящими в том, что в уравнениях (21)
и (23) вместо Bj3 должна быть написана величина В23, а в урав-
нениях (27) и (28) вместо Вц — величина В)2. [Последняя за-
мена в уравнениях (27) и (28) обращает в нуль правые части
этих уравнений в силу формулы, определяющей й2.]
Рассматривая сначала нечетные формы колебания и посту-
пая точно так же, как в разд. 33, а, находим, что уравнение (32)
не изменяется, тогда как в уравнении (33) Bj3 заменяется вели-
чиной В23. Поэтому вместо уравнения (34) гл. 5 теперь мы имеем
X2 (Х2+4В13-Й2) (Х2+4В23-Q2)+4Q2 (X2+2 В13) (X2 + 25^) = 0, (69)
или, полагая Х2 = —а2, получаем .
а2 (а2+Й2 - 4В13) (о2 + Й2-4В23)-4Й2 (а2-2В13) (а2-2В23)» 0. (70)
Кроме корня <т2 = й2, который допускает уравнение (70), имеем
а2 = 2В13 + 2В23 + 4- Й2±[(2В13 + 2В23 + | Й2)2-16В13В23]2. (71)
Обращаясь теперь к четным формам колебания, мы заме-
тим сначала, что поскольку правые части уравнений (27) и (28)
гл. 5 теперь равны нулю (как мы отмечали ранее), то
Х = 0 есть двойной корень; (72)
и если мы исключим эти корни, то должны иметь
XV1:2 — й V22 и XVг-, 1 = — QVi(. (73)
Эллипсоиды Якоби и Дедекинда 135
Далее, исключая 6П из уравнений (24) —(26) гл. 5, мы получаем
у Л2 (Vu - И22) - 2XQ712 = 62ВП - 62822 + Q2 (Vn - 722) (74)
И
-i- V(Vn + V22) - W33 + 2№(V2 - 72:,) =
= 62Bu + 62B22 - 262B33 + Q2(Vn + V22). (75)
Используя соотношения (73), находим, что приведенные выше
уравнения могут быть представлены в виде
Л2 + Q2) (Ип - У22) = 62ВП - 62В22 (76)
И
(4 X2 + Q2) (Кп + V22) ~ W33 = 62Sn + 62В22 - 262В33. (77)
Явные выражения для величин, входящих в правые части урав-
нений (76) и (77), были даны равенствами (149) и (150) гл. 3.
Рис. 9. Квадраты характеристических частот (в единицах ябр) нечетных
(о2 и а2) и четных (а3 и о2) форм колебания вторых гармоник эллипсоида
Якоби.
Эти выражения представляют собой линейные комбинации Vn,
V22 и Йзз’, поэтому уравнения (76) и (77) вместе с условием
соленоидальности
V11 | V22 | 33
2 • " 2 "» 2
«! а2
(78)
136
Глава 6
дают систему трех линейных однородных уравнений для Vn, V22
и Узз- Искомое характеристическое уравнение для X2 = —о2 мо-
жет быть приведено к виду
Q24-3Bn-B13- 4 a2 . B12-B23
^6 »
Q2+3 (Вп-Взз)+В12-В2з
-В12 — в12
й2+ЗВ22-В23—L a2 Q2+3 (В22-Взз)+В12-В13
1
а2
_L + _L + _L
«1 af af
= 0.
1
(79)
Изменения характеристических корней, определяемых урав-
нениями (71) и (79), вдоль последовательности Якоби пока-
заны на рис. 9.
б) Колебания, относящиеся к третьим гармоникам
Линеаризованная форма вириальных уравнений третьего по-
рядка была приведена в гл. 2 [уравнения (132), (134), (140) и
(153)]. Поскольку в рассматриваемом случае в начальном не-
возмущенном состоянии отсутствуют внутренние движения, эти
уравнения значительно упрощаются и приводятся к виду
= №ц; k +' 623Zft; / + Q? (Vi/k - ВД +
4* 2eZZ3Q J p XjXk dx + бц 6Щ -|- 6ZZs бПу. (80)
v
Мы будем теперь предполагать, что лагранжево перемещение
|(х;/) имеет вид
§(х, /) = §(х)ем, (81)
где К есть параметр, характеристические значения которого под-
лежат определению. Для § указанного вида уравнение (80) дает
fk — 2Л£2е^зК ц k + / + Q2 (Vз/&) +
+ б/7бЩ + б«бП/. (82)
Уравнение (82) приводит к системе восемнадцати уравнений.
Эти восемнадцать уравнений распадаются на две независимые
системы десяти и восьми уравнений, различающиеся их крат-
ностью (т. е. четностью или нечетностью) по отношению к ин-
Эллипсоиды Якоби и Дедекинда
137
дексу 3. Удобно эти уравнения записать в явном виде. Урав-
нениями, четными относительно индекса 3, являются
W3: 31 - 628,3; 3 - 62ВзЗ; 1 = 6ПЬ
Я,2У 3; 32 — dS®23; 3 — б28зз; 2 = 6П2,
Л2У 1; п - 2ШК2; 11 - Q2Vni - 2628ц.,, = 2 6ПЬ
Л2У2; 22 4~ 2Л£2У I; 22 — Й2У222 — 2 65^22; 2 = 2 6П2,
№V 1; 22 — 2Л£2У2; 22 — £22У122 — 2 628,2; 2 — 0, .
vy2;ii 4-2WVl; n -Q%11 -2628,2:1=0, ( )
MV 1; 12 — 2ХЙУ2; 12 — 112 — 62811; 2 — 62812; 1 = 6II2,
MV2; 12 "l" 2Л£2У 1; 12 — Q2V122 — 6’2822: 1 — 62812; 2 = 6П1,
XVi; 33 - 2ШУ2; 33 - QV133 - 2 62813; з = 0,
MV2; 33 + 2А.ЙУ1; 33 — Q?V233 — 2 62В2З; 3 = 0.
А уравнениями, нечетными относительно индекса 3, служат
Л2У3; 11 —2 62813: 1=0,
MV3; 22 — 2 62823; 2 = 0,
MV 3; 12 — 62813; 2 — б2Вгз; 1=0,
%%;зз-262Взз;з = 26Пз,
ЛТ1; 13 - 2№У2; 13 - О2У из - 62311;3 - 628i3; , = 6П3, (84)
MV2; 23 4" 2ЛЙУ 1; 23 — Й2У223 — 62822; 3 — 62823; 2 = 6П3,
XV1; 23 - 2ШУ2; 23 ~ Q?V 123 ~ 62В12; 3 ~ 62B,3; 2 = 0,
Х-2У 2; 13 + 2W71; 13 - Й2У123 - 22821; 3 - 62В23; 1=0.
По причинам, которые мы уже объясняли, не ограничивая
общности, можно дополнить приведенные уравнения тремя до-
полнительными условиями (25), выражающими неизменность
центра масс по отношению к рассматриваемой деформации.
Рассматривая сначала уравнения (83), мы убеждаемся, что,
соответствующим образом комбинируя эти уравнения так, чтобы
исключить 6ПГ и 6П2, а также несимметризованные величины
Vi; jk (в отличие от симметризованных величин Уш), можно
привести эти уравнения к следующим четырем уравнениям:
(Л2 - 3Q2) (у122 - j ^ш) + (^И2 - | ^222) + 6S122 = 0, (85)
(Л2 - 3Q2) (у112 -1У 222) - 2ЛЙ (У 122 -1 Уш) + 6$112 = 0, (86)
138
Глава 6
к (Л2 + 4Q2) [(X2 - Q2) У133 - у (Л2 + Q2) Иш + &$133] +
+ 2Q (Л2 + 4Q?) (QV112 + 2 62В12; 0 - 2QA2 (О^гзз + 2 д2В23:3) +
+ 4Q2X (Q2V133 + 2 д2В1з: 3) = 0, (87)
Л (X2 + 4Q2) [(Л2 - Q2) У233 - у (V + Q2) Vm + 6S233] -
- 2Q (V + 4Q2) (QTi?2 + 2 62В12; 2) + 2QX2 (QV133 + 2 62B13; 3) +
+ 4а2%(ЙТгзз4-2б9323:3)=О. (88)
Из равенств (153) и (157) гл. 3 видно, что вариации 62В^; j
и 6S{jj, входящие в уравнения (85) —(88), представляют собой
линейные комбинации тех же самых шести величин Уць, кото-
рые фигурируют в этих, уравнениях.' Следовательно, уравнения
(85) — (88) вместе с двумя условиями соленоидальности
и
К11 | К 22 | К 33
9 2 ”Г 9
а1 а2 а3
V’sil I У 222 I ^233
2 " 2 2
а\ а2 аЪ
(89)
(90)
•образуют систему шести линейных однородных уравнений отно-
сительно шести величин Кд. Требование, чтобы определитель
этой системы был равен нулю, приводит к характеристическому
уравнению относительно X2. Убеждаемся, что это характеристи-
ческое уравнение седьмой степени относительно Л2; однако вслед-
ствие приведенных преобразований оно имеет один фиктивный
корень X2 — —4Q2, так что только шесть из семи корней яв-
ляются истинными ’)•
Аналогично, уравнения (84), соответствующим образом ском-
бинированные так, чтобы исключить 6П3 и несимметризованные
величины Vi- д, приводят к следующим трем уравнениям:
Х(Х2—2Q2) Кгз + X2Q (Упз-Квз) + Л dSi23-2Q (S2813; i-62B23. 2)« 0,
(91)
X4 113 + 1^223 — у 333 ) + Л2 [2Q2 (VII3 + V223) + 6S113 + 6S223] +
+ 4XQ (б5В1з; 2 - бЗВгз; i) - 8Q2 (S2B13; t + d2B23; 2) = 0, (92)
X3 (Kia ~ V223) - 4X2QV123 + A,[2Q2 - V113) + 6Sil3 - 6S223] +
+ 4Q (62B13; 2 + d2B23; i) = 0, (93)
П Относительно подробного разъяснения этого замечания, равно как в
дальнейших деталей изложения (здесь значительно сокращенного) смотри
оригинальную статью XIII, лежащую в основе настоящего изложения.
Рис. 10а. Квадрат характеристической частоты (в единицах л(?р) колеба-
ния эллипсоида Якоби, относящейся к форме, которая становится неустой-
чивой в точке, где ответвляется последовательность грушевидных конфи-
гураций.
Рис. 106. Квадраты характеристических частот (в единицах л(?р) двух
наинизших четных форм колебания третьих гармоник эллипсоида Якоби»
140
Глава 6
, где в уравнении (91) [гл. 2, равенство (84)]
6S123 — — 2 62812; з — 2 б2Вгз; i — 2 б2Вз[; 2 =
= 2 [В12 + В23 + В31 + (а? + а* + а|) В123] 7123. (94)
Уравнения (91)—(93), дополненные условием соленоидаль-
ности
V113 | ^223 । Иззз _Q
af al а^
• образуют систему четырех линейных однородных уравнений от-
носительно четырех величин Vijk, которые нечетны по отноше-
(95)
Р и с. 10в. Квадраты характеристических частот (в единицах пбр) остав-
шихся девяти форм колебания третьих гармоник эллипсоида Якоби и вели-
чина 4Q2. Сплошные кривые относятся к четным, а пунктирные кривые —
z к нечетным формам.
нию к индексу 3. Условие, чтобы определитель этой системы об-
ращался в нуль, приводит ко второму характеристическому урав-
нению относительно X2. Это характеристическое уравнение пятой
степени относительно X2, так что всего мы имеем одиннадцать
характеристических корней, относящихся к третьим гармоникам.
Характеристические уравнения, которые следуют из уравне-
ний (85) — (90) и (91) —(95), были решены для ряда эллипсои-
дов Якоби. Изменение корней этих уравнений вдоль последо-
вательности Якоби показано на рис. 10а, 106 и 10в. Заметим, что
эллипсоид Якоби неустойчив только по отношению к той форме
колебания, которая становится нейтральной в точке, от которой
Эллипсоиды Якоби и Дедекинда
141
ответвляются грушевидные конфигурации. В этом> отношении
распределение устойчивости вдоль последовательности Якоби
отличается от распределения устойчивости вдоль последователь-
ности Маклорена: в точке, где ответвляется последовательность
Якоби, сфероид Маклорена не становится динамически неустой-
чивым; он становится неустойчивым лишь в вековом смысле.
Это различие в поведении последовательностей Якоби и Макло-
рена противоречит первоначальным бжиданиям Пуанкаре и Дар-
вина; этот факт впервые был строго доказан Картаном (мето-
дами, весьма отличающимися от методов, рассматриваемых
в этой книге).
43. ТРЕТЬИ ГАРМОНИКИ КОЛЕБАНИЙ СФЕРОИДА МАКЛОРЕНА
В гл. 5 мы рассмотрели вторые гармоники колебаний сферои-
да Маклорена. Конкретизация приведенного в разд. 42 анализа
для случая, когда ai = а2, дает нам возможность решить соот-
ветствующую задачу для третьих гармоник колебаний сфероида
Маклорена; и это решение имеет некоторый интерес.
Прежде всего заметим, что, согласно равенству (157) гл. 3
[также равенству (59)], '
(эв>
И
«5„г=б(в„ + <>;ви|)(иН!-4иш), . (97)
когда ai = а2. Поэтому уравнения (85) и (86) для случая сфе-
роида Маклорена принимают вид
[V—ЗСР + 6 (В,, + <.;в,„)](и|и-1иш) + 21Q (И1|2-1 |/и!) =0
(98)
И
[Л=-ЗЙ! + 6(В„ + а;вш)] 1^) - 2М!(v,2 -4 Уш) =0,
(99)
Следовательно, эти уравнения можно рассматривать независимо
от условий соленоидальности и оставшейся пары уравнений.
Уравнения (98) и (99) приводят к характеристическому урав-
нению
[Л2 - 3Q2 + 6 (Вп + a2BH1)J2 4- 4VQ2 = 0, (100)
или, полагая Л2 = —о2, это уравнение после разложения на мно-
жители можно представить в виде
а2 - 2йа + [3Q2 - 6(ВП + а2Вш)] = 0 (101)
142 . Глава 6
и в виде аналогичного уравнения с заменой о на —о. Корни
уравнения (101) равны
а = Q ± [6 (Вн + а2Вш) - 2Й2]Т. <102)
Поэтому эта форма колебания становится нейтральной, когда
Q*e2(5n + a2Bni) (<У = 0), , (103)
и неустойчивой, когда
Q2 > 3(ВН + ajBni) (а — комплексное число). (104)
Результат (103) согласуется с результатом, полученным в
разд. 41 [уравнение (61)].
Точка, где эта форма колебания становится нейтральной,
уже была определена [см. уравнение (63)]; а точка, в которой
наступает неустойчивость, находится там, где
е = 0,96696 и £22 = 0,41972. (105)
Обращаясь к двум оставшимся уравнениям (87) и (88), мы
можем теперь положить
=3V 122 И И222 =ЗКц2 (Ю6)
для того, чтобы исключить корни, даваемые уравнением (100),
и чтобы не было несовместности с уравнениями (98) и (99).
С учетом подстановок (106) уравнения (87) и (88) принимают
вид
X (X2 + 4Q2) [(X2 - Q2) У133 - (К2 + Q2) У122 + &S133] +
+ 2Q (X2 + 4Q2) (Й2У112 + 2 62BI2; i) - 2QX2 (Й^гзэ + 2 S2B23:3) +
4-4Q2l'(Q2Vi334-2d2BI3;3) = 0 (107)
и
X (X2 + 4Q2) [(%2 - Q2) У233 - (X2 + Q2) У112 + &$2зз] -
- 2Q (X2 4- 4Й2) (£22У 122 + 2 62Вк-, г) 4-' 2QX2 (Й2У 13з 4- 2 62313; 3) 4-
4~ 4Q2X (О^гзз 4- 2 62В23:3) = 0. (108)
Условия соленоидальности (89) и (90) с учетом равенств
(106) и того обстоятельства, что ai = аг, теперь дают
У122 =----~2 ^133 И ^112 =-----------“7 ^233- (Ю9)
4<?3 4а3
Тогда уравнения (107) и (108) становятся уравнениями отно-
сительно V122 и Унг. Характеристическое уравнение, к которому
они приводят, легко может быть записано; оно определяет остав-
Эллипсоиды Якоби и Дедекинда
143
шиеся четыре корня, соответствующие четным формам колеба-
ния (дополнительно к фиктивному корню —4Q2, относительно
которого было сказано в разд. 42).
Рассматривая далее уравнения (91) — (93), описывающие
нечетные формы колебания,-находим, что при ai = а2 эти урав-
нения приводятся к виду
rn+VQ (Упз-ИазН* (6S123-2Q2Vi23)+2Q (дЭВ-гз; 2-д2В13;,) = О,
(110)
Л3 (Упз - ^223) ~ 4W123 + X [2Q2 (К223 - Унз) > 6S113 “ +
+ 4Q (62В13; 2 + 6^23; 1) = о (111)
и
М (Ииз +, ^223 - 4 и333) + Л2 [2Q2 (Упз + У223) + 6SII3 + 6S223] -
- 8Q2 (62813; i + 62В23.2) = 0. (112)
Можно заметить, что в уравнении (112) отсутствует член XVi23.
Это обусловлено тем, что для сфероидов S2Bi8; 2 = 62В23; i [ра-
венство (152) гл. 3].
Уравнения (ПО) — (112) должны быть, кроме того, дополнены
условием соленоидальности
Уцз'+1/223 =-----г'^ззз- (ИЗ)
аз
Рассматривая уравнения (НО) —(113), мы сначала заметим,
что в силу равенств (153) и (157) гл. 3
-2628^, + 2б2В23;2 = 2(В13 + а2В113)(У113 -У223) (114)
И -
«s,„ - -|3 (В„ + ви) + (5а; + в, ,j (|/, „ - V„). (115)
С этими подстановками мы находим (после некоторых допол-
нительных преобразований), что уравнения (ПО) и (ill) при-'
нимают вид
[V + Л[3(В„ + В„) + (5aJ + aJB,„ - 20=]} (V, ,3 - IZJ -
-4Q[X! + 2(B„ + <i;bu1)]Vi!1~0 (II6)
{V + >. [2В„ + 4В„ + (4а> + 2о*) В,„ - 20*]} V,a +
+ Й [V + 2 (В„ + а’В, „)] (И,„ - И, J - 0. (117)'
Поэтому эти уравнения содержат1 только (Уц3— У223) и И123.
Следовательно, их можно рассматривать независимо от уравне-
ний (112) и (113).
Qt0Q1
Рис. 11a. Квадрат характеристической частоты (в единицах лС?р) колеба-
ния сфероида Маклорена, относящейся к форме, которая становится не-
устойчивой в точке (е == 0,9694), где ответвляется последовательность груше-
видных конфигураций.
Рис. 116. Квадраты характеристических частот (в единицах л£?р) двух из
пяти нечетных форм колебания третьих гармоник сфероида Маклорена.
Эллипсоиды Якоби и Дедекинда
145
Рис. 11в. Квадраты характеристических частот (в единицах лбр) оставшихся
восьми форм колебания третьих гармоник сфероида Маклорена.
Прежде чем выписывать характеристическое уравнение, ко-
торое следует из уравнений (116) и (117), мы можем отметить,
что коэффициент при Уш— У223 в уравнении (116) равен коэф-
фициенту при У12з в уравнении (117); их разность, а именно
Вн — В13 4- — а|) В113, очевидно, равна нулю. Поэтому резуль-
тирующее характеристическое уравнение принимает вид
Л2 [V + 3 (Вц + В13) + (5ц2 + а|) в113 - 2Q2f +
+ 4Q2 [V + 2 (В13 4- а|В113)]2 = 0. (118)
146
Глава 6
i
Заменяя %2 на —а2, можно разложить уравнение (118) на мно-
жители, после чего получим
аз + 2Qa2 - [3 (В„ + В13)Ч- (5а? + а2) В113 - 2Q2] а -
- 4Q(B13 + а2Впз) = 0 (119)х
и аналогичное уравнение с заменой а на —о. Можно было бы
отметить, что при выводе уравнения (119) не было использовано
условие соленоидальностц (113).
Остается рассмотреть уравнения (112) и (113). Для совмест-
ности этих уравнений с уравнениями (116) и (117) мы должны
теперь положить
^113=^223 и ^123 = О’ (120)
После этого условие соленоидальности дает
а?
Уцз =1^223 = — ^333- (121)
2а3
С учетом этих подстановок находим, что уравнение (112) после
некоторых дальнейших преобразований приводит к характери-
стическому уравнению
/2 а? \ (
- ч—7 а4 + 2 Г(а? + 2а2) В,33 - 5а2В3,3 - 2В331 -
\ 3 ' а$ / 1 lx * о ззз ззj
а2 1
- 4 [2Й’ + 3 (В„ + В„) + (7а? + В, ,3 - а! -
«з )
-8Q2
й1^133
ai
«3
(В13 + 2а2В113) =0. (122)
Были вычислены характеристические частоты сфероида Мак-
лорена, относящиеся к третьим гармоникам; эти результаты по-
казаны на рис. Па, 116 и 11 в.
44. ЭЛЛИПСОИДЫ ДЕДЕКИНДА
Непосредственным следствием теоремы Дедекинда является
то, что для любого состояния движений, сохраняющих постоян-
ную эллипсоидальную фигуру, существует сопряженное состоя-
ние движений, сохраняющих ту же самую эллипсоидальную фи-
гуру. Как мы уже показали в гл. 1, разд. 5, конфигурациями,
сопряженными с эллипсоидами Якоби, являются эллипсоиды Де-
декинда; они стационарны в инерциальной системе и сохраняют
свои эллипсоидальные фигуры вследствие существования внут-
Эллипсоиды Якоби и Дедекинда
147
ренних движений с равномерной завихренностью около наимень-
шей оси.
Завихренность £ внутренних движений в эллипсоиде Деде-
кинда связана с угловой скоростью вращения 2 конгруэнтного
эллипсоида Якоби соотношением [гл. 1, равенство (31)]
£2 =
Л2Л2
О
Q2 = 2
(123)
а геометрия эллипсоида Дедекинда определяете^ тем. же самым
уравнением (4). Несмотря на то, что эти результаты, относя-
щиеся к эллипсоидам Дедекинда, следуют из общей теории,
поучительно вывести их ab initio из соответствующих форм ви-
риальных уравнений.
Прежде всего отметим, что состояние равномерно завихрен-
ного относительно оси х3 движения, описываемого уравнениями
w1=Q1x2, «2 = Q2^i и «з = 0, (124)
где Qt и Qz—постоянные, будет удовлетворять кинематическо-
му условию
Л / ^2 2
О / X] Х2 х3
“/+ -J + -£ ~ 1
OX I у flj , О>2
«2*2
7 dxj \ cq а2
лишь в случае, если
Поскольку завихренность, соответствующая
дается выражением
(126)
движению (124),
$ = Q2 — Qi>
(127)
то можно написать, что
«1
Qi 2 I 2
а, + а2
£ И Q2 — +
j?.
ар + а§-
(128)
2 2
*1 , Х2
*2
2
й2
Вириальные уравнения второго порядка при рассматривае-
мых условиях стационарности требуют, чтобы
.-2^/ + ^ = (129)
Для внутренних движений, описываемых уравнениями (124),
тензоры Zij и являются диагональными (в рассматривае-
мой системе), более того,
tll«yQl/22, t22=yQ2Zll И £зЗ = 0. (130)
Уравнение (129) теперь дает
Qlal-2Ala2l=Qla2l-2A^-2A3al. (131)
148
Глава 6
Прибавляя 2л^Л12 к каждой из трех частей уравнений (131),
мы получаем
/n2 J
\ а
2В12 = «!-2В12 =2(а?а|Л12-a*A3). (132)
Так как
Q22 nU Л2
\а2 ___ Q2al __ а{а2 п
~Г~ — ~2~ — /2 , "Г2\2" ь — — Ч1Ч2,
а1 а2 “Г а2)
то из равенств (132) следует, что
— Q1Q2
___^2______Г2 — 2В и а2 а2 А —а2 А
(af + а2)2_12 И а1и2^12 — аз^з-
(133)
(134)
Таким образом, мы вновь получили уравнение (123) и геомет-
рическое условие (4).
45. УСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЛИПСОИДОВ ДЕДЕКИНДА
И ТОЧКА БИФУРКАЦИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ГРУШЕВИДНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ
Один результат, относящийся к нормальным формам колеба-
ния эллипсоида Дедекинда, который может быть выведен непо-
средственно из общей теоремы Дедекинда, состоит в том, что
характеристические частоты колебания (в инерциальной систе-
ме), относящиеся ко вторым гармоникам, должны быть теми
же самыми, что и для конгруэнтного эллипсоида Якоби (во вра-
щающейся системе). Это равенство частот имеет место вслед-
ствие того факта, что в процессе колебания, относящегося ко
вторым гармоникам, эти фигуры остаются эллипсоидами, а
хтак как равновесные конфигурации являются сопряженными,
то они должны оставаться сопряженными в процессе колеба-
ний1)- Однако это равенство частот колебания, относящихся ко
вторым гармоникам, не может быть распространено на колеба-
ния высших гармоник. В частности, точки, где от последователь-
ностей Дедекинда и Якоби ответвляются грушевидные конфигу*
рации, не могут быть одними и теми же; интересно явно пока*
зать — в чем проявляется это различие.
Для определения нейтральной точки, отвечающей третьим '
гармоникам, мы можем использовать первую вариацию соотно*
шения, получаемого из условий равновесия,
2(£//: £ + ^ik- /) + 2В/Л; / + 8®//; k = ~ Щ6// —- П/6/fc, (135)
9 Подробное доказательство атих фактов смотри в оригинальной статье
XXIV.
Эллипсоиды Якоби и Дедекинда
149
которое следует из вириальных уравнений третьего порядка [см.
гл. 2, уравнение (56)].
Пятнадцать соотношений, к которым приводит уравнение
(135), после исключения величин П, разбиваются на три различ-
ных типа [гл. 2, уравнения (78), (79) и (83)]:
228</;/ + 42:</:/ = 0, (136)
2В/Г, * + / + 2(5,/; k + Zlk. /) = О (137)
и
5ш4-2/?ш=0, (138)
где
Rij! — — 45//; / — 25//: i + 25//; it (139)
[i ф j ф k и в уравнениях (136) — (139) нет суммирования по
повторяющимся индексам], а Зщ имеет тот же самый смысл,
что и в уравнении (84) гл. 2.
В нейтральной точке первые вариации соотношений (136) —
(138) нетривиально должны быть равны нулю; как и в случае
эллипсоида Якоби достаточно будет рассмотреть лишь соотноше-
ния, которые нечетны относительно индекса 1 и четны относи-
тельно индексов 2 и 3. Таким образом, для определения'положе-
ния точки бифуркации, где ответвляется последовательность
грушевидных конфигураций, мы должны рассмотреть уравнения
[уравнения (20)—(23)]
б/i =-2д5В12; 2 -4 6512; 2 = 0, (140)
672 = -262813; 3-46513-, з = 0, (141)
673 = 6S122 4* 2 6/?i22 = 0 (142)
и
674 = 6S1334-26/?i33 = 0. (143)
В силу равенств (153) и (157) гл. 3 62812; 2, 62Bi3; 3, 6S122 и
6S133 могут быть представлены в виде линейных комбинаций
И1Н, ^122 и V133. Остается выразить величины 65//;*, входящие
в уравнения (140) — (143), через нечетные относительно индекса 1
величины Vj; 7*.
В гл. 2 [равенства (141) — (149)] были получены выражения
для первых вариаций различных тензоров для случая, когда
скорость Ut внутреннего движения является линейной функцией
координат вида
Ui^QijXj, (144)
где Q есть некоторая постоянная матрица. В частности, для
квазистатических деформаций равенство (148) гл. 2 дает
2 65//; ft = QilQjmVk; Im Qjl (QkmVi; Im 4” Qi/nV^i; km)
— Qil (QkmV j- Im 4“ QlmVI; km)- (145)
150
Глава 6
Для рассматриваемого сейчас случая единственными отлич-
ными от нуля элементами матрицы Q являются
Qi2 = Qi и Q21 — Q2, (146)
и из уравнения (145) мы находим, что
2 6£Н; 1 = - 2Q!Q#1; ц - 22, (147)
2 6^22; 1 = — 4Q1Q2H2; 12 + QlV’i; п, 2 62зз; 1 — 0, (148)
2 6J12: 2 — — Q1Q2 (И 1; 22 + У 2; 21) — Q$V 1; 11 (149)
и'
26^13; 3 = — Q1Q2V3; ЗЬ (150)
Соответствующим образом комбинируя приведенные здесь
уравнения, находим
26/?i22 =(2q! — 4QiQz)Vi; п + (4Q1Q2 — 2Qi)V i- 22 4- IZQiQzVi-, 12
(151)
и я
2 б/?1зз = - 4Q,Q271; п - 2<Ж 22 + 4QIQ2V3; зь ’ (152)
Уравнения (149) — (152) вместе с известными выражениями
ДЛЯ 62812; 2, 62В13; 3, 6S122 и &$1зз'дают нам возможность выра-
зить б/j в виде линейных комбинаций пяти величин Vi;jk, кото-
рые нечетны относительно индекса 1 и четны относительно ин-
дексов 2 и 3. Таким образом, можно написать, что
6/i = <i|l; 11>К1; п + <i|1; 22)У1.22 + (<|1; 33)У1:зз +
+ </12; 12) V2. 12 + <Л 3; 13) У3: 13, (153)
где (i|l; 11) и т. д. представляют собой некоторые известные
матричные элементы. Уравнение (153), дополненное условием
соленоидальности
4^; и + 22 + 2^2; 12) + 4^; зз + 2У3:13) = 0, (154)
af «2 а3
дает систему пяти линейных уравнений относительно входящих
в них пяти величин V/k- Равенство нулю определителя этой
системы уравнений является необходимым и достаточным усло-
вием для определения нейтральной точки. Оказывается, что для
нейтральной точки
= 0,441330, а3/а1 = 0,350409, 2В12 = 0,287813
и
2=1,45237. (155)
Эллипсоиды Якоби и Дедекинда
151
Эти значения можно было бы сравнить со значениями, давае-
мыми равенствами (28) для соответствующей точки бифурка-
ции на последовательности Якоби.
Библиографические замечания
В настоящей главе собраны результаты, относящиеся к эллипсоидам
Якоби и Дедекинда, а также результаты, относящиеся к третьим гармоникам
колебаний сфероидов Маклорена. —
Разд. 39. Соображения этого раздела, относящиеся к происхождению фор-
мулы Якоби Q2 = 2В12, кратко изложены в статье XXIII.
Разд. 40. Большая часть обсуждения в этом разделе основана на статьях'
IX и XVI. Прямое определение точки бифуркации в разд, а) ранее не было
опубликовано. По-видимому, основная идея, лежащая в основе определения,
по существу содержится в методе, разработанном Джинсом:
Jeans J. Н., Problems of Cosmogony and Stellar Dynamics, Cambridge, England,
Cambridge University Press, 1919, p. 78—85, а также Astronomy and Cosmo-
gony, Cambridge, England, Cambridge University Press, 1929, p. 216—219.
В противоположность исследованию Джинса, которое потребовало слож-
ного аппарата эллипсоидальных гармоник, у нас не было повода даже упо-
минать о них. Сравнение исследования этой задачи Джинсом (не упоминае-
мого Дарвином) и исследования, приведенного в настоящей главе, служит
иллюстрацией того, что систематическое использование потенциалов Феррерса
дает возможность придать исследованию этого предмета по существу элемен-
тарный характер.
Понятие линейной независимости перемещений по модулю эллипсоида,
введенное в этом разделе, использовано в статьях XXX и XXXII, где фигуры
Маклорена и Якоби были рассмотрены в посленьютоновском приближении на
основе общей теории относительности.
Рис. 8, иллюстрирующий критический эллипсоид Якоби и его деформацию
в грушевидную фигуру, взят из следующей работы:
Darwin G. Я.,Оп the pear-shaped figure of equilibrium of a rotating mass of
liquid, PhiL Trans. Roy. Soc. (London), 19|, 301—331 (1901); см. также
Scientific Papers, vol. 3, Cambridge, England, 1910, p. 314.
Разд. 41. Основные результаты этого раздела взяты из статьи XVI.
Разд. 42 и.43. В этих разделах дано сжатое изложение анализа, который
более детально приведен в статьях XIII и XIV. Для приведенного в настоящей
книге изложения читателю может быть полезна библиография к этим статьям.
Как мы упоминали в гл. 1, Картав впервые строго показал, что эллипсоид
Якоби становится неустойчивым в точке бифуркации грушевидных конфигура-
ций. Относительно распространения метода Картана для решения задачи
о собственных значениях см.
Yabushita S., Initial motions of a Jacobi ellipsoid away from its unstable form,
Astrophys. J., 141, 232—239 (1965).
Разд. 44 и 45. Содержание разделов вытекает в основном из статьи XXIV.
Равенство характеристических частот колебания конгруэнтных эллипс'оидов
Дедекинда и Якоби, относящихся ко вторым гармоникам, в статье XXIV уста-
новлено непосредственно, без ссылки на теорему Дедекинда.
В статье XXXV нейтральные точки на последовательностях Маклорена
И Якоби, относящиеся к четвертым гармоникам, определены из вириальных
152
Глава 6
уравнений четвертого порядка. Например, показано, что на последователь-
ности Маклорена существуют три нейтральные точки при -
2 = 0,93275, когда Q2 = 2(bh + а^Вш + а|Ви11) = 0,44923,
е — 0,98097, когда й2 = 2ВИ + 7 я2 (вн1 — азВшз) = 0,37290,
и
е = 0,98531, когда Й2 = 0,34619.
С другой стороны, на последовательности Якоби имеется только одна ней-
тральная точка при
а2/Л1= 0,2972 и а3М1 == 0,2575.
Глава 7
Эллипсоиды Римана
46. ВВЕДЕНИЕ
Центральным пунктом этой главы является данное Риманом
решение задачи о стационарных эллипсоидальных фигурах, до-
пустимых в общей постановке Дирихле. Как мы видели в гл. 4,
однородная жидкая масса, которая все время сохраняет эл-
липсоидальную фигуру за счет ее собственной гравитации, до-
пускает следующее описание. Координатная система, связанная
с главными осями эллипсоида, вращается с угловой скоростью
Я(0 относительно инерциальной системы; и в этой вращающей-
ся системе эллипсоид имеет внутренние движения с равномер-
ной завихренностью g(/). Данное РиманОхМ исследование допу-
стимых фигур относится к случаю, когда Я и g не зависят от
времени и постоянны. Вместе с рассмотрением этих стационар-
ных фигур Римана мы также будем заниматься их устойчи-
востью.
Несмотря на то что работа Римана, посвященная задаче
Дирихле, отмечена печатью его великолепного мастерства, в
в ней имеются некоторые весьма удивительные погрешности и
несколько определенно ошибочных заключений. Возможно, что
допущенные Риманом недосмотры в этой работе в какой-то сте-
пени связаны с обстоятельствами его жизни в 1860 г. и его лич-
ным отношением к Дирихле, кафедру которого в Гёттингене он
занял'лишь годом раньше.
47. ТЕОРЕМА РИМАНА
При рассматриваемых условиях стационарности мы можем
предполагать, что главные оси эллипсоида неподвижны в систе-
ме отсчета, вращающейся с постоянной1 угловой скоростью Я, и
что в этой вращающейся системе существуют внутренние дви- •
жения, имеющие однородную постоянную завихренность g. При ~
сделанных предположениях мы ищем условия, при которых
однородный эллипсоид с полуосями aif а2 и а3 будет фигурой
равновесия.
Пусть ориентация координатных осей вращающейся системы
выбрана так, что они совпадают с главными осямй эллипсоида,
и пусть в этой системе компонентами векторов Я и g будут Яь
^2 И йз И gi, g2 И £з.
154
Глава 7
Кинематическое требование, чтобы поле скоростей (и), от-
вечающее g, сохраняла эллипсоидальную границу, приводит к
следующим выражениям для его компонент:
а\ а\
Щ— Г i ~ 2
a f + а2 ау +
2 2
_ а2 । а2
Щ ~ Y Ь1^3 П 2
а2 + а3 а2 +
„2 „2
__ а3 у „ | а3
^3 — 2 I 2 I 2 Г 2
а3 + а\ а3 + а2
?2Х3,
£зхь
С1Х2-
(1)
Чтобы получить условия гравитационного равновесия эллип-
соида, мы воспользуемся вириальными уравнениями второго по-
рядка в форме, данной уравнением (64) гл. 2. Мы имеем
2Zii + + £22Л/ “ + 2eHmQm J Р^Х/ dx = — д^П. (2)
v
Рассмотрим сначала недиагональные компоненты уравнения
(2). Компоненты этого уравнения с i = 2, j = 3 и i — 3, j = 2
дают
2$23 £^2^3^33 2Q3 J p«!X3dx = 0 ‘ (3)
и V
22;32 — Q3Q2Z22 4“ 2Q2 J pU]X2^x = 0, (4)
V
так как в выбранной координатной системе тензоры । и ЗВ,)
являются диагональными и, более того, для и, определяемого
равенством (1),
J рщХ]Лк = 0, если I = /. (5)
у
Складывая и вычитая уравнения (3) и (4), получаем
4^23 — £2гйз (Z22 + Z33) 4- 2 J рщ (£^2-^2 — £2з^з) = 0 (6)
v
н
^2^3 (^22 Z33) — 2 J pU| (£22-^2 4“ ЙзХз) == (7)
V
Эллипсоиды Римана
155
Для поля скоростей/определяемого равенствами (1), #меем
а2а2
2г“=-(4+^+«Эьь/'' <8)
И
2 2
Г а1 г ат
Р«Л dx =------ГТ-Г Ыя и P«iM* = ч—2—2 &/зз- (9)
J ^+а2 j а1+Д3
Подставляя эти соотношения в уравнения (6) и (7) и заменяя
1ц их значениями, выраженными через массу и - полуоси эл- .
липсоида, после некоторых перегруппировок находим
2_|_ 2_1_ 2а'аз S2 2а1а2 S3 ।_____2а|а|а3 £2 S3
3 а?+ 4 О2 а| + а2Й3 (a| + a|)(af 4-а|) Q3
И
о , 2flia3 S2 2 2й1д2 S3
3-,_ а2 + а| Q2 “ 2-Г а2 + а2 Q3 ’
(Н)
где при написании этих уравнений в данной форме явно
предполагали, что й2 и ^з отличны от нуля.
Полагая теперь
о_______аз S2 ,____________________а2 S3
₽” a2 + a32Q2 V“ a2 + a2\Q3’ ( '
мы можем переписать уравнения (1.0) и (11) в виде
„2 । „2 2 Л
Uo *т* йп Oq On
f + = (13)
Из этих уравнений получаем для 0 и у уравнения
4а? + al — а| al
Р2----<Z32₽ + _|=0 (14)
И
। л2 л2 л2
V2- ' ,Г 4 + 4=0- (15)
а^
Корнями этих уравнении являются
5 = W - “I + “I ± /[“»? - (“г + +)2] - (о, - а.)2!) (15)
и
v “ {+«? - +2 + <? ± УМ-(+ + о.)2|Иог-(а2-<1Л, (17)
156
Глава 7
где в обоих выражениях знаки перед радикалами берутся оди-
наковыми. В последующем будет видно, что два корня для 0
и у, даваемые равенствами (16) и (17), отвечают тому обстоя-
тельству, что в соответствии с теоремой Дедекинда два состоя-
ния внутренних движений совместимы с одной и той же внеш-
ней фигурой.
Из равенств (12), (16) и (17) следует, что если Q2 и Q3 от-
личны от нуля, то отношения £2/&2 и £з/£2з могут быть опреде-
лены. В частности, уравнение (14), выраженное через '£2/Й2,
имеет вид
2 I 2
/ г \2
1 — 1
\^2 /
ala3
0.
(18)
С другой стороны, если Qi также отлично от нуля, то компо-
ненты уравнения (2) с i = 1, j — 2 и i — 2, j = 1 привели бы
аналогичным образом к уравнению
/ ?2 У | / , о 2 I 24 “з I ?2
I "z-1 4* (Аа1 — а2 “Ь а?)—9~9~ I тг"
\й2/ V - 7 2aia3 \а2
——— = 0
2„2 V"
ala3
(19)
Уравнения (18) и (19), очевидно, несовместны, если не выпол-
няется равенство ai = а3; аналогичное рассмотрение уравнений
относительно £3/й3 привело бы к требованию, чтобы = а2.
Поэтому отсюда следует, что нетривиальные решения полу-
чаются только тогда, когда не более чем две из трех пар ком-
понент (gb Qi), (^2, йг) и (g3, й3) отличны от нуля. Это есть
фундаментальная теорема Римана.
Другая формулировка теоремы Римана состоит в том, что
равновесие требует, чтобы или g и й были параллельны и оба
направлены вдоль одной из главных осей эллипсоида или g и
Q были не параллельны, но лежали в одной из главных плоско-
стей эллипсоида.
Важно заметить даже на этой стадии, что два случая, раз-
личаемые теоремой Римана, приводят к существенно различным
типам конфигураций: конфигурации, которые появляются, ког-
да только одна пара компонент, скажем (g3, й3), отлична от
нуля, являются в некотором смысле «частными случаями» кон-
фигураций, которые появляются, когда, две пары компонент,
скажем (g2, Й2) и (g3, й3), отличны от нуля. Мы обнаружим,
что в первом случае равновесные фигуры, которые мы будем
называть эллипсоидами типа S, могут быть упорядочены в ли-
нейные последовательности (частными случаями которых яв-
ляются последовательности Якоби и Дедекинда)? тогда как в
последнем случае они представляют собой три различных типа
с совершенно различными структурой и свойствами.
Эллипсоиды Римана
157
48. РАВНОВЕСНЫЕ ФИГУРЫ В СЛУЧАЕ, КОГДА g И Q
ПАРАЛЛЕЛЬНЫ: ЭЛЛИПСОИДЫ ТИПА S
В этом и в двух следующих разделах мы будем рассматри-
вать равновесие и устойчивость эллипсоидов Римана, для кото-
рых направления g и й параллельны и совпадают с направле-
нием одной из главный осей. Очевидно, что мы не ограничим
общности, если предположим, что й и g имеют направление оси
х3 и что ' '
(20)
Компоненты поля скоростей внутреннего движения, имею-
щего заданную завихренность g в направлении оси х3, могут
быть записаны в форме, [см. равенства (124) — (128) гл. 6]
U1 — Ql-^2, U2 = Q2XI, и3=0, (21)
где а? л F тт Л — _ 2 J 2 ' f (22)
41 — . 2 . 2 и Ч2 — 1 2 । 2 =• а, +а2
Из этих формул следуют некоторые элементарные соотношения,
которые окажутся полезными в дальнейшем, а именно
^2 = -^, И ^ = -^0^2, (23)
где
Q1Q2 —
2 2
ата;
1 2 f 2
(а? + а22)2£'
(24)
'В данном случае недиагональные компоненты уравнения
(2), рассмотренного в разд. 47, тождественно удовлетворяются,
тогда, как диагональные компоненты дают
2^11 Ч~ й^/ц Ч" “I” 2й j* p^2^i dx =
v
= 2S22 + Q2/22 + 2В22 - 20 J pU|X2 dx = SB33. (25)
v
Для внутреннего движения, характеризуемого равенствами
(21), уравнения (25) дают
(Q2 + 2Q2O) - 2А,а2 =
= a2Q2 + а2 (О2 - 2Q,Q) - 2А2а2 = - 2А3а2. (26)
158
Глава 7
С учетом соотношений (23) мы можем уравнения (26) перепи-
сать в виде
- Q(Q2) - 2Ataf - a2 (Q2 - Q,Q2) - 2A2a* =
2afa2
= -2A<*32--rHHa- (27)
“1 T “2
Прибавляя 2afa%Al2 к каждой из трех частей этого равенства,
получаем
Л?(й2 - QA - 2В12) = - Q,Q2 - 2В12) =
/ 2 2 \
/ aitto \
= 2 «М - «Из - тст• (28)
\ » а2 /
Из этих равенств следует, что
Q2_^q2==2B12 (29)
и
2 2
а 1 cf-n
-^тЩ = ау2А12-а1А3. (30)
а( + а2
Мы определим теперь последовательность Римана как по-
следовательность, для которой Отношение
f = £/Q (31)
Постоянно. Согласно этому определению, последовательности
Якоби и Дедекинда представляют собой последовательности
Римана для f = 0 и f — ±оо соответственно.
Мы имеем соотношения, выраженные через f,
tZaO Л ' а,а2 ,
Qj «= 2 I 2 Q2 = 4“ 2 । 2 f И Q1Q2 = / 2 г 2\2 f • (^2)
af + а$ af + а$ (af + а2)
Уравнения (29) и (30) принимают вид
1
1 + /2IV2 а2 = 2д12 <33)
(а1+«2Г
и
2 2
(34)
“I "Г «2
Исключая из уравнений (33) и (34) Q2, получаем
/ 2 +1=0. ' (35)
(aj+a^)2 «Из — aia2Ai2 ai+«2
Эллипсоиды Римана *
159
Для заданного f уравнение (35) определяет отношения осей тех
эллипсоидов, которые совместимы с условиями равновесия; зна-
чение Q2, соответствующее частному решению уравнения (35),
определяется после этого из уравнения (33).
Напомним, что ось а1 была определена как наибольшая из
двух осей в плоскости, перпендикулярной общему направлению
векторов g и Q {выбранному параллельным оси х3).'Мы сейчас
покажем, что при таком выборе а^ является также наибольшей
из трех осей.
Прежде всего заметим, что равенства (27) могут быть за-
писаны в виде пары уравнений
а? — а?
Q2 - Q1Q2 + 2Q2Q = 2 -Ц-2- В13 (36)
а1
и
а? — а?
Q2 ~ Q1Q2 ~ %№= 2 2 -2 3 В23. (37)
#2
Подставляя для Qi и их значения, данные равенствами (32),
находим, что левая часть уравнения (36) может быть представ-
лена в форме
(38)
Lk ai + <*2 Л (“1 + <4)
Это выражение положительно определено, так как по условию
at «г! из уравнения (36) теперь следует, что
at^a3. (39)
а) Сопряженные эллипсоиды Римана и теорема Дедекинда
Положим
Тогда соотношения (32) и (33) принимают вид
~ 1 — Q1Q2 = j _|_ хг В12,
Q.Q-----2В..^гЬ,
в то время как уравнение (35) переходит в следующее:
х2 4--2<2а|аг2'2< х + 1 = 0. -
«3>*3 а1а2^12
(40)
(41)
(42)
(43)
160
Глава 7
Из уравнения (43) очевидно, что если х является корнем, то
корнем также будет и \/х. Поэтому эллипсоид Якоби, отвечаю-
щий данному значению f, служит также фигурой равновесия
для
Из общей теоремы Дедекинда мы можем заключить, что две
конфигурации, связанные с f и f*, должны быть сопряженными
одна к другой в смысле, определенном в гл. 4, разд. 28. Поучи-
тельно проверить, что это действительно так.
Если через й и Й1 обозначить угловые скорости, соответст-
вующие решениям х и 1/х, то, согласно первому из соотноше-
ний (41), 2
(й+)2 = 2В12Г£-2 = Й2х2, (45)
так что мы можем написать
= = (46)
О| + а2 “Ь &2
[Очевидно, выбирая в уравнении (46) положительный знак, мы
ни в чем существенном не теряем общности.]
Для того чтобы показать, что конфигурации, соответствую-
щие хи 1/х, являются сопряженными одна к другой, мы долж-
ны в инерциальной системе рассмотреть поле скоростей и<°>
движения жидкости.' Так как
u<°> = u + QXx, (47)
то из равенств (21) и (22) следует, что
/ а2- \
Ы(.0) = и. — ЙХ, = — Й | 1 Н-я--2 f )Х2>
А «1+«2 /
/ а2 \
= и2 + ЙХ, = + й I 1 4--2 f j X]
\ «1 + «2 /
И
ц(°)=0. (48)
Поэтому, используя равенства (40) и (46), для отличных от
нуля компонент и<0> мы можем написать выражения
Ы<°) = -й(1 +-^-х)х2 = -(а2Й + а1Й+)^-
1 \ ^2 / «2
И
«<°) = + й(1 +^-х)х1 = + (а1Й + а2Й^)^-. (49)
Эллипсоиды Римана
161
Следовательно, замена в правых частях равенств (49) Q на £2*
(и Й+ на Q) приводит лишь к перестановке, не считая измене-
ния знака, коэффициентов при х2/а2 и Xi/a4; этот результат пе-
рестановки и составляет содержание теоремы Дедекинда, отно-
сящейся к сопряженным в рассматриваемом смысле конфигу-
рациям.
Поскольку постоянные, соответствующие сопряженным кон-
фигурациям, были получены в результате замены в соответст-
вующих формулах х на 1/х, то из равенств (41) и (42) следует,
что при переходе от некоторой конфигурации к сопряженной ей
значения Q2 и — Q1Q2 меняются ролями, в то время как QiQ и
Q2Q не изменяются. Так как, согласно уравнению (43),
*+- =-------, (50)
х а3А3 — а|а2Л12
то выражения (42) для QiQ и Q2Q можно переписать в явно
«инвариантных формах»
(?!□ = + 4- («Из - С1аИ12) И ^2^ = -(51)
а2 at
Можно отметить следующий факт, вытекающий из равенств
(47). Завихренность £<°> в инерциальной системе связана с за-
, вихренностью £ во вращающейся системе соотношением
£«’) = C + 2Q = (2+'DQ. (52)
Из этого равенства следует, что последовательность Римана
для f = —2 является безвихревой (т. е. £<°) = 0).
Этот раздел мы закончим вычислением момента L количеств
движения в инерциальной системе относительно оси х$. По оп-
ределению,
L = j р [х^о - x2«f] dx (53)
v
или, используя выражения для и)0) и и^\ даваемые равенст--
вами (48), находим, что
L=-M(af + a|)Q[l +
5
2afa| '
(af + 4)2 Г
(54)
Момент L + количеств движения сопряженной конфигурации
дается выражением
Г 2 2
о ' L + a2j j
6 Зак» 312
162
Глава 7
или в силу равенств (44) и (46)
= + 2//).’ (56)
Мы замечаем, что L+ обращается в нуль, когда f = —2. Следо-
вательно, конфигурации, сопряженные безвихревым эллипсои-
дам, имеют равный нулю момент количеств движения.
б) Устойчивые сфероиды Маклорена как первые члены
последовательностей Римана
Покажем теперь, что устойчивый сфероид Маклорена для
наблюдателя, находящегося во вращающейся системе отсчета,
в которой четная форма колебания, относящегося ко вторым
гармоникам, является нейтральной (в смысле, рассмотренном
в гл. 5, разд. 36), представляет собой предельную форму эл-
липсоида Римана.
Как мы уже отмечали в гл. 5, разд. 36, сфероид Маклорена,
вращающийся с угловой скоростью Qmc, для наблюдателя в си-
стеме отсчета, вращающейся с угловой скоростью Q, будет ка-
заться имеющим стационарные внутренние движения с равно-
мерной завихренностью
5 = 2(Qw-Q). (57)
В то же самое время из равенства (24) следует, что, когда
ах = а2 (что имеет место для случая сфероида Маклорена),
QiQz----|?2 = -(ЙЛ1с-Й)2. (58)
Но для того чтобы этот сфероид Маклорена можно было рас-
сматривать как некоторый эллипсоид Римана, необходимо, что-
бы удовлетворялось уравнение (29). Следовательно, угловая
скорость Q, которая должна быть ему приписана для того, что-
бы его можно было рассматривать как некоторую предельную
форму эллипсоида Римана, должна удовлетворять уравнению
Q2 + (QMC-Q)2 = 2Bn, (59)
или ________
. й = -^-(йл/с± ]/4Вц — ймД (60)
Соответствующее значение С есть
£ = Qmc +• 4Вп — Qmc’ (61)
Та[ким образом, сфероид Маклорена, вращающийся с угловой
скоростью ЙМс, можно рассматривать как первый член после-
Эллипсоиды Римана
163
довательности Римана для
f_р QMc ~ У4311 ~ °Мс rt______р QMc + V43ll —®Мс /R9\
ЙМс + V 4ВН — QMc — v 4Bn — QMc
Следовательно, можно сказать, что эти две последовательности
Римана ответвляются от последовательности Маклорена при
&Мо
Сравнение уравнения (60) с уравнением (106) гл. 5 пока-
зывает, что бифуркация двух последовательностей Римана из
точки QMc на последовательности Маклорена находится в соот-
ветствии с тем фактом, что две четные формы колебания сфе-
роида Маклорена нейтрализуются для наблюдателей в системах
отсчета, вращающихся с угловыми скоростями, даваемыми
равенством (60).
Имеется несколько заслуживающих внимания особенностей,
обусловленных этой связью последовательностей Римана с по-
следовательностью Маклорена.
1) Только устойчивые члены последовательности Маклорена
можно рассматривать как предельные формы эллипсоидов Ри-
мана. Сфероиды Маклорена становятся неустойчивыми, когда
в этом случае Q и £, даваемые равенствами (60) и
(61), будут комплексными, что несовместимо с их смыслом веще-
ственных величин.
2) Определения f и совместимы с соотношением (44),
так как теперь оно требует, чтобы
Г = 4/А (63)
и это соотношение удовлетворяется.
3) Когда £2^=0, то
f = f+ = -2, £22 = ВП и £2 = 4ВП, (64)
где
Вп=4/15 (65)
есть значение, соответствующее сфере. Другими словами, безвих-
ревая последовательность Римана для f = —2 ответвляется от
невращающейся сферы. Однако сфера, рассматриваемая как пер-
вый член безвихревой последовательности, наблюдается из си-
стемы, вращающейся с угловой скоростью £2 = ^51!.
4) Когда £2мс = 2Вц, то
f = 0, £2==£2М(? и : = 0
f+=±oo, £2+ = 0 и ? = 2£2Л<С. (66)
6*
Рис. 12. Изменение f (сплошные кривые) и f* (пунктирные кривые) вдоль
последовательности Маклорена (Мс) и последовательности удлиненных
сфероидов (Р).
Эллипсоиды Римана
165
Таким образом, в этой точке сфероид Маклорена одновременно
является первым членом последовательностей Якоби и Дедекин-
да. Когда он рассматривается как первый член последовательно-
сти Якоби, его следует наблюдать из системы, в которой он ка-
жется неподвижным; но если он рассматривается как первый
член последовательности Дедекинда, то его надо наблюдать
в инерциальной системе, в которой ему приписывается вихревое
движение, соответствующее его вращению. Эти результаты нахо-
дятся в соответствии с уже известными для этих двух последова-
тельностей результатами.
5) Когда ймс = 4Вц, то
f==f = 2 и S = (67)
6) Сфероиды Маклорена с угловыми скоростями из интер-
вала 0^ймс<2Вц являются первыми членами последователь-
ностей Римана для f в интервалах —2 < / < 0 и —2 f > —оо;
а сфероиды Маклорена с угловыми скоростями из интервала
2Вн < представляют собой первые члены последова-
тельностей Римана для f в интервалах 0 < f ^2 и + оо > f
2. Так как каждому значению f соответствует некоторый сфе-
роид Маклорена, то мы заключаем, что не существует последо-
вательности Римана, которая не ответвлялась бы от последова-
тельности Маклорена.
Изменение f и /+ вдоль последовательности Маклорена по-
казано на рис. 12.
в) Граничные самосопряженные последовательности
Из уравнений (40) — (43) очевидно, что любой совокупности
значений ai, а% (<tfi, по определению) и (<fli, как мы дока-
зали), совместной с этими уравнениями, отвечает некоторое ре-
шение. Единственное ограничение состоит в том, чтобы уравне-
ние (43) для х допускало вещественные корни. Условие веще-
ственности х требует, чтобы
а1 12 I ^1^2^12 Я3Л3 |. (68)
Это условие эквивалентно двум неравенствам:
и
аз
А аха2А\2 + В12
(случай 1) (69)
а?
—- Д3 а^А^ #12
а 1^+2
(случай 2).
(70)
166
Глава 7
Используя соотношения между индексными символами, нахо-
дим, что эти неравенства приводятся к виду
Мз < а2Д2 + аД (случай 1) (71)
Д '~- «Из > Мг - М (случай 2). (72)
Когда неравенства (69) и (70) вырождаются в равенства,
уравнение (43) допускает два равных корня:
х — — 1 в случае 1 и х = +1 в случае 2, (73)
и мы приходим к двум самосопряженным последовательностям,
вдоль которых
---1, = Q2 = _Q1Q2=BI2>
(74)
Q1Q = + ^-B12 и q2q = --^b12
(*1
И
*“ + !> f «=Л = + 1 -t 2 > Q2 “ — Q1Q2 = #12>
a 2 a (75)
Q1Q = —%Bi2 и Q2Q = + -g-B12.
Уравнениями, определяющими две самосопряженные после-
довательности, являются
—А3 = (2^2-412 + В12 (X 1) (76)
И —— А3 = aja2A12 — В]2 а\й2 (х = +1). (77)
Заметим, что, когда ai=sa2, эти уравнения принимают вид
CIq А3 = tfAn + Вп = Л1 ai (х==—1) (78)
и Вп == At ai -2ВП (х = +1); (79)
из них следует, что самосопряженные последовательности х=?—1
и х «в 4* 1 пересекают последовательность Маклорена в точках,
где
»*-’ и (80)
Таблица VI
Свойства эллипсоидов Римана для самосопряженных последовательностей
Последовательность х~—1 Последовательность х= + 1
Й2 аз f Qi Qi Оц Q2 f Qi
0 0 0 — оо 0 0 0 + оо 0
0,08 0,10361 0,028055 -12,58000 2,09371 —0,013400 0,057817 0,016884 12,58000 —1,62423 0,010395
0,12 0,16154 0,050998 —8,45333 1,88190 —0,027099 0,079299 0,027893 8,45333 — 1,39178 0,020042
0,1Ф 0,21970 0,075026 —6,41000 1,71193 —0,043825 0,098178 0,038445 6,41000 —1,22546 0,031372
0,20 0,27691 0,098533 —5,20000 1,56950 —0,062780 0,11513 0,048172 5,20000 — 1,09740 0,043896
0,24 0,33250 0,12067 —4,40667 1,44740 —0,083370 0,13056 0,056956 4,40667 —0,99440 0,057277
0,28 0^38609 0,14103 -3,85143 1,34121 —0,105151 0,14476 0,064793 3,85143 —0;90909 0,071272
0,32 0,43746 0,15946 —3,44500 1,24787 —0,12778 0,15794 0,071724 3,44500 —0,83692 0,085700
0,36 0,48651 0,17594 —3,13778 1,16514 -0,15100 0,17025 0,077817 3,13778 —0,77488 0,100424
0,40* 0,53322 0,19055 —2,90000 1,09129 —0,17461 0,18181 0,083143 2,90000 —0,72086 0,11534
0,441 0,57760 0,20339 —2,71273 1,02498 -0,19844 0,19270 0,087777 2,71273 —0,67335 0,13036
0,48 0,61971 0,21461 -2,56333 0,96513 —0,22237 0,20302 0,091789 2,56333 —0,63118 0,14542
0,52 0,65961 0,22434 —2,44308 0,91086 —0,24630 0,21281 0,095245 2,44308 —0,59350 0,16048
0,56 0,69740 0,23272 —2,34571 0,86145 -0,27015 0,22214 0,098204 2,34571 —0,55960 0,17549
0,60 ’ 0,73316 0,23988 —2,26667 0,81629 —0,29386 0,23105 0,100721 2,26667 —0,52894 0,19042
0,64- 0,76700 0,24594 -2,20250 0,77488 -0,31739 0,23958 0,102843 2,20250 —0,50108 0,20524
0,68а ' 0,79900 0,25101 -2,15059 0,73678 -034069 0,24775 0,104616 2,15059 —0,47565 0,21994
0,72 0,82927 0,25520 —2,10889 0,70163 —0,36373 0,25560 0,106076 2,10889 —0,45235 0,23450
0,76 0,85789 0,25861 —2,07579 0,66913 -0,38649 0,26316 0,107260 2,07579 —0,43093 0,24890
0,80 0,88497 0,26131 —2,05000 0,63898 -0,40895 0,27044 0,108198 2,05000 —0,41117 0,26315
0,84 0,91058 0,26338 —2,03048 0,61096 —0,43109 0,27746 0,108916 2,03048 —0,39289 0,27722
0,88 0,93481 0,26490 -2,01636 0,58487 —0,45292 0,28425 0,Ю9441 2,01636 —0,37593 0,29112
0Д)2' 0,95774 0,26592 -2,00696 0,56052 —0,47442 0,29081 0,109793 2,00696 —0,36016 0,30484
0,96 0,97945 0,26654 —2,00167 0,53778 —0,49562 0,29714 0,109988 2,00167 —0,34546 0,31838
1,00 1,00000 0,26667 —2,00000 0,51640 —0,51640 0,30333 0,110055 2,00000 —0,33175 0,33175
168
Глава 7
соответственно. Другими словами, сфера является первым чле-
ном самосопряженной последовательности х — —1, в то время
как сфероид Маклорена, соответствующий границе динамической
неустойчивости, представляет собой первый член самосопряжен-
ной последовательности х = +1.
Мы заключаем, что область, занимаемая эллипсоидами Ри-
мана, для которых направления й и g параллельны, ограничена
устойчивой частью последовательности Маклорена и самосопря-
женными последовательностями х = —1 и x=+L
В табл. VI приведены характеристики эллипсоидов Римана
вдоль двух самосопряженных последовательностей?
г) Безвихревая последовательность, g(°> = 0 и f = —2
Среди различных последовательностей Римана наибольший
интерес, помимо последовательностей Якоби и Дедекинда, Пред-
ставляет безвихревая последовательность для f = —2. Как мы
уже отмечали, эта последовательность ответвляется от сферы;
конфигурации, сопряженные конфигурациям этой последова-
тельности, имеют равный нулю момент количеств движения.
Полагая в уравнениях (32), (33) и (35) f = — 2, получаем
2a^Q „
Q1 = + ^74’ Q2 = -<R’
Q2... B
of + 6a?a? + a2 12
(81)
(82)
и
(«Мз - ФИ12) W + + «1) = (a? + aD B12. (83)
Важным свойством этих безвихревых эллипсоидов является
то, что все они вытянутые, т. е.
ах а$ а%*
Этот результат следует после подстановки в уравнение (37) зна-
чений Qi и (?2> даваемых равенствами (81). Мы находим
- 4) (За? + а!) а2 - а? |
. Л2\2 W — 2 ~2-- Я23. (85) ?
Vх! *• а2) а2 I
Поскольку левая часть этого равенства неотрицательная, то мы f
должны иметь |
(86) .Д
комбинируя этот результат с неравенством (39), справедливым |
для всех последовательностей Римана, получаем (84). |
Эллипсоиды Римана
169
Таблица VII
Свойства безвихревых эллипсоидов 9
ф 0° 30° 45° 55° *57° 59° 60°
0 48°,828 54°,2405 59°,822 61°,190 62°,656 63°,4267
а2М1 1,00000 0,86603 0,70711 0,57358 0,54464 0,51504 0,50000
a3Mi 1,00000 0,92647 0,81899 0,70608 0,67822 0,64829 0,63252
Q2 0,26667 0,26715 0,26875 0,26882 0,26811 0,26686 0,26598
Q1Q2 -0,26667 -0,26170 -0,23889 -0,20029 -0,18921 -0,17688 -0,17023
Q 0,51640 0,51687 0,51841 0,51848 0,51779 0,51659 0,51573
Qi 0,51640 0,59070 0,69121 0,78026 0,79867 0,81657 0,82517
0,2 -0,51640 -0,44303 -0,34561 -0,25670 —0,23691 -0,21661 —0,20629
-2,00000 -2,04167 -2,25000 -2,68430 —2,83391 -3,01755 -3,12500
О+ 0,51640 0,51156 0,48876 0,44754 0,43499 0,42057 0,41259
Qi 0,51640 0,59682 0,73314 0,90394 0,95071 1,00301 1,03147
Q* -0,51640 -0,44762 -0,36657 -0,29739 —0,28201 -0,26606 —0,25787
Ф 70° 71° 72° 75° 78° 80° 85°
6 72°,618 73°,6775 74° ,756 78°,074 81 °,4035 83°,535 87°,991
0,34202 0,32557 0,30902 0,25882 0,20791 0,17365 0,08716
а3/«1 0,44248 0,42025 0,39752 0,32685 0,25417 0,20603 0,09389
Q2 0,23768 0,23164 0,22475 0,19825 0,16228 0,13332 0,05285
Q1Q2 -0,08914 -0,08029 -0,07153 -0,04666 -0,02578 -0,01515 -0,00158
Q 0,48753 0,48129 0,47407 0,44525 0,40283 0,36513 0,22988
Qi 0,87294 0,87034 7,86550 0,83459 0,77228 0,70888 0,45630
Q2 -0,10211 -0,09225 -0,08265 —0,05591 —0,03338 —0,02138 -0,00347
f+ -5,33280 —5,77022 -6,28381 -8,49760 -12,58839 -17,59680 -66,82684
0,29856 0,28335 0,26745 0,21601 0,16057 0,12310 0,03977
Qi 1,42543 1,47832 1,53414 1,72030 1,93752 2,10269 2,63759
—0,16674 -0,15669 -0,14650 -0,11524 —0,08375 -0,06340 —0,02004
Ч cos Ф=ча2/Л1; sin 0=* (а?“ аз)/(а1 ~
В та0л. VII приведены свойства этих безвихревых эллипсои-
дов. В некотором отношении наиболее поразительным свойством
этой безвихревой последовательности является чрезвычайная
чувствительность фигуры к очень малым изменениям величи-
170
Глава 7
ны й2: так, й2 изменяется меньше чем на 1% ее значения 4/15
(в единицах лбр) для фигур, заключенных в интервалах
1 a2fa\ 0,5 и 1 а3/а\ 0,6325 (рис. 13).
д) Вытянутые сфероиды среди эллипсоидов типа S
Мы видели, что все конфигурации безвихревой последова-
тельности являются вытянутыми (т. е. а\ а3 а2); однако
все эллипсоиды последовательности Якоби, представляющей со-
бой последовательность Римана для f = 0, являются сжатыми
Рис. 13. Изменение Й2/лбр вдоль безвихревой последовательности (кривая I)
и сопряженных конфигураций с нулевым моментом количеств движения
(кривая II).
(т. е. ai >= а2 а3). Более тога, так как все последовательности
Римана для f 4= —2 имеют в качестве своих первых членов сфе-
роиды Маклорена, для которых Й^с > 0, то очевидно, что все
эти последовательности начинаются со сжатых объектов. В са-
мом деле, из замечания 6) в разд, б) следует, что все эллип-
соиды Римана для положительных значений f должны быть
сжатыми, так как они изображаются точками, расположенными
в плоскости (a2/ai, а3/а\) ниже геометрического места точек, со-
ответствующих эллипсоидам Якоби и Дедекинда. Тем не менее
последовательности Римана, по крайней мере для некоторых
отрицательных значений f, должны заканчиваться вытянутыми
объектами. Возникает вопрос — каким образом среди последова-
тельностей Римана для отрицательных значений f появляются
вытянутые эллипсоиды и, в частности, вытянутые сфероиды. На
этот вопрос можно ответить, исследуя уравнение (43),
Эллипсоиды Римана 171
Когда а2 = а3, то
^1^2^12 = ^2^2 а\
и уравнение (43) принимает вид
х2 + 2-^-х+1 =
а2
или
(2
4-
а2
Выраженное через эксцентриситет
е=(1-а|/а2;
решение для х записывается в виде
^12 = afB12 (87)
О, (88)
1)2. (89)
(90)
(91)
гь
(92)
Соответствующее выражение для f е<
г _ 2 ~ *2
1 ~ 1 ± е *
Это решение для f принимает все значения, меньшие, чем —V?
(рис. 12, на котором также показано изменение f в зависимости
Рис. 14. Изменение Q2/jtGp вдоль последовательности удлиненных сфе-
роидов для двух сопряженных конфигураций, соответствующих каждой фигуре.
от е). Значит, на всех последовательностях Римана для / <Z —Уз
имеются вытянутые сфероиды; поэтому на плоскости (а^/ац
Рис. 15. Изображение последовательностей Римана на плоскости (а2,
K(ai положено равным 1). Устойчивая часть последовательности Маклорена
представлена отрезком O2S прямой а2=1* В точке О2 сфероид Маклорена
становится неустойчивым вследствие появления колебаний с растущей
амплитудой, а в точке М2 ответвляются последовательности Якоби и Деде-
кинда (отмеченные цифрой 0).
Различные последовательности Римана отмечены соответствующими им
значениями величины f; эти последовательности ограничены двумя самосопря-
женными последовательностями (точечные кривые х = —1 и х = +1). По-
следовательности, соответствующие значениям f из интервала —2 f 2,
образуют семейство непересекающихся непрерывных кривых, которые
соединяют точки прямой O2S с началом координат. Последовательности,
соответствующие f < — 2 и f > + 2, изображаются кривыми (не показан-
ными на рисунке), которые состоят из двух частей: части, соединяющей
точку прямой SM2 (или М2О2) с точкой на самосопряженной последова-
тельности для х = — 1 (или х = + 1), и части, соединяющей точку на
самосопряженной последовательности с началом. На самосопряженной
последовательности х = —1 неустойчивость, обусловленная формой колеба-
ния, относящейся ко вторым гармоникам, начинается в точке Х2, а гео-
метрическое место точек, в которых начинается неустойчивость от этой
формы, изображается кривой, соединяющей Х2 с началом. Кривая AND
есть геометрическое место нейтральных точек, соответствующих третьим
гармоникам, на последовательностях Римана для —2 f + 2, а кри-
вая BN*C — геометрическое место точек для конфигураций, сопряженных
эллипсоидам Римана, занимающим область, заключенную между теми же
последовательностями f = —2 и f = +2. Продолжение геометрических мест
точек AND и BN^C в областях, заключенных между последовательностями
х=-1 и f = —• 2 (и аналогично'между последовательностями х = +1 и
f = +2), представляется кривыми (не показанными на рисунке), соединяю-
щими точки Л и В с Л3—) на последовательности х =—1 (и аналогично
кривыми, соединяющими точки D и С с Хз+) на последовательности х=+1)’>
Х(3-) и 4+) являются нейтральными точками, соответствующими третьим
гармоникам, на самосопряженных последовательностях х==—1 и х = +1
соответственно.
Таблица Vlll
Физические параметры вытянутых сфероидов, содержащихся среди эллипсоидов Римана
е f £2 Qi Qi f+ (а+)! «Г «2
0 —2,00000 0,26667 0,51640 —0,51640 ' —2,00000 0,26667 0,51640 ' —0,51640
0,05 — 1,90238 0,28018 0,50411 -0,50285 —2,10263 0,25350 0,52999 -0,52866
0,10 — 1,80909 0,29289 0,49199 —0,48707 -2,21111 0,23963 0,54391 -0,53847
0,15 — 1,71957 0,30566 0,48075 -0,46994 —2,32647 0,22592 0,55919 —0,54661
0,20 — 1,63333 0,31810 0,47000 -0,45120 —2,45000 0,21207 0,57563 —0,55261
0,25 — 1,55000 0,33016 0,45968 -0,43095 —2,58333 0,19810 0,59344 -0,55635
0,30 — 1,46923 034177 0,44970 -0,40923 —2,72857 0,18403 0,61284 —0,55769
0,35 — 1,39074 0,35285 0,44001 -0,386 Ц —2,88846 0,16989 0,63412 —0,55644
0,40 — 1,31429 0,36324 0,43050 —0,36162 —3,06667 0,15568 0,65760 —0,55238
0,45 — 1,23966 0,37281 0,42109 —0,33582 —3,26818 0,14141 0,68372 —0,54526
0,50 — 1,16667 0,38131 0,41167 —0,30875 -3,50000 0,12710 0,71303 —0,53477
0,55 — 1,09516 0,38846 0,40211 —0,28047 . —3,77222 0,11278 0,74628 -0,52053
0,60 — 1,02500 0,39386 0,39224 —0,25103 -4,10000 0,09846 0,78448 —0,50206
0,65 —0,95606 0,39692 0,38183 -0,22051 —4,50714 0,08420 0,82904 —0,47877
0,70 —0,88824 0,39682 0,37055 —0,18898 -5,03333 0,07003 0,88209 —0,44986,
0,75 —0,82143 0,39225 0,35789 -0,15658 -5,75000 0,05604 0,94688 —0,41426
0,80 —0,75556 0,38112 0,34297 . —0,12347 —6,80000 0,04235 1,02892 —0,37041
0,82 —0,72945 0,37409 0,33606 —0,11009 —7,37556 0,03700 1,06860 —0,35007
0,84 —0,70348 0,36508 0,32838 —0,09668 —8,09000 0,03175 1,11360 —0,32784
0,86 —0,67763 0,35364 0,31972 —0,08325 -9,00286 0,02662 1,16536 —0,30346
0,88 —0,65191 0,33908 0,30974 -0,06988 -10,21333 0,02164 1,22597 —0,27658
0,90 —0,62632 0,32045 0,29794 —0,05661 — 11,90000 0,01687 1,29868 —0,24675
0,92 —0,60083 0,29628 0,28350 —0,04354 — 14,42000 0,01234 1,38884 —0,21333
0,94 —0,57546 0,26412 0,26491 -0,03084 — 18,60667 0,00817 1,50636 —0,17534
0,96 —0,55020 0,21944 0,23900 —0,01874 —26,96000 0,00448 1,67300 —0,13116
0,98 -0,52505 0,15146 ' 1 0,19656 —0,00778 —51,98000 0,00153 1,95570 —0,07745
174
Глава 7
аз/а\) кривые, представляющие собой эти последовательности
Римана, пересекают прямую а2 = а3. Таким образом, мы заклю-
чаем, что последовательности Римана для f < —!/2 начинаются
как сжатые объекты и заканчиваются как вытянутые объекты,
в то время как последовательности Римана для f > —V2 цели-
ком состоят из сжатых объектов.
Наконец, можно отметить, что, согласно уравнениям (41)
и (45), значения величины Q2, соответствующие вытянутому сфе-
роиду эксцентриситета е, равны
Q2 = (1 ± е) В12(е). (93)
В табл. VIII приведены свойства этих вытянутых сфероидов,
а на рис. 14 показано изменение величины Q2 вдоль этой после-
довательности.
Основные результаты этого параграфа проиллюстрированы
на рис. 15. На этом рисунке показана область, занимаемая эл-
липсоидами Римана типа S; кроме того, отмечены некоторые
типичные последовательности Римана, включающие последова-
тельность Якоби — Дедекинда. (На этом рисунке также отме-
чены результаты исследования устойчивости в разд. 49 и 50.)
49. УСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЛИПСОИДОВ ТИПА S ПО ОТНОШЕНИЮ
ко ВТОРЫМ ГАРМОНИКАМ КОЛЕБАНИЙ
Займемся теперь вопросом об устойчивости эллипсоидов Ри-
мана типа S по отношению к колебаниям, связанным со вто-
рыми гармониками. Для этой цели, как и в гл. 5 и 6, рассмот-
рим линеаризованную форму вириального уравнения второго по-
рядка. Поскольку теперь внутренние движения линейны по коор-
динатам, мы должны использовать уравнение (152) гл.. 2, раз-
личные члены которого имеют значения, даваемые равенствами
(143) — (145) той же самой главы. Если при исследовании этих
уравнений предполагать, что лагранжево перемещение §(х, t)
имеет форму
5(х, /) = ex,5(x), (94)
где % есть подлежащее определению характеристическое значе-
ние параметра, то вириальное уравнение дает
I — 2XQ/zVr/; z — 2Шепз7/; j — ^^u3(QikVj. k ~~ QjiYi-, k) +
+ / + Q2aVh t = Q2 (Vif - d<3V3/) + 623г/ + МП. (95)
Как обычно, это уравнение должно быть дополнено условием
^ + -^ + -^=0,
«1 а2
(96)
вытекающим из соленоидального характера вектора
Эллипсоиды Римана
175
Для рассматриваемых эллипсоидов Римана типа S матрицы
Q и Q2 имеют простые формы
0 Q, 0 Q1Q2 0 0
Q = Q2 0 0 и Q2 = 0 Q1Q2 0 (97)
0 0 0 0 0 0
Принимая во внимание специальную форму матриц Q и Q2,
запишем в явном виде различные компоненты уравнения (95).
Пятью уравнениями, четными относительно индекса 3, являются
1х2Узз = 62В33 + 6П> (98)
(у*-2 + QA ~ Q2) Vii - 2XQiVi; 2 - 2%QV2; 1 -
- Q (Q2Vn - QiV22) = 62ВП + 6П, (99)
(у & + Q1Q2 - Q2) V22 - 2KQ2V2.1 + 2A.QF1; 2 +
+ Q (Q1V22 - Q2V11) = 62^22 + 611, (100)
A2/ i; 2 — W u + Q1Q2V12 — WV 22 =“ 63B12 4“ Q27 12 =
----(2B12 — Q2) V12, (101)
Л272; 1 — AQ1^22 + QlQy 12 4" Ц = 62B]2 4" S2712 =
=—(2Bl2-Q2)Vl2, (102)
где в уравнениях (101) и (102) 6ЗВ12 мы заменили известным вы-
ражением. Аналогично четырьмя уравнениями, нечетными отно-
сительно индекса 3, являются
Ж 1; 3 — 2ЛЙИ2; 3 4" О.\ОУ3; 1 — 2QQ2V3; 1 ==
= 6‘®134-Q%3 = -(2B13-W13, (103)
2; 3 4“ 2AQK1; 3 4" Q1Q2V3; 2 4“ 2QQ1V3. 2 =
, = 6Ж23 4- Q2V23 = - (2B23 - Q2) Ии, (104)
V73; i - 2AQiV3: 2 4- QiQ273; i = 6S®31 = -2B137I3, (105)
А.27з: г — 2А,Рг7з; i 4~ Q1Q2V3; 2 = 68832 = —2B2y2з. (106)
а) Характеристическое уравнение для четных форм колебания
Рассматривая сначала уравнения (98) — (102), описывающие
четные формы колебания, замечаем, что с учетом соотношения
(29) уравнения (101) и (102) принимают вид
-WV22 =0 (107)
и
Л%:1- W22 4-Urn=0. (108)
176
Глава 7
Исключая возможность того, что А, может быть нулем, — воз-
можность, к которой мы вскоре обратимся, — из уравнений
(107) и (108) можно заключить, что
A,71:2 = Q2V11+QV22 (109)
и
W2..i=QiV22-QVn. (ПО)
Исключая из уравнений (99) и (100) У1;г и У2; i, получаем
(у А,2 + Q2 — QtQ2 - QQ2)У n - 3QQ.F22 = 65BU + 6П (111)
И
(у А,2 + Q2 — QtQ2 + QQ1) У 22 + 3QQ# „ = 65822 + MI. (112)
Далее, исключая из уравнений (111) и (112) 6П при помощи
уравнения (98), получаем пару уравнений
(4 А2 + 2В12 - QQ2) Уп - ЗадУ22 - 4 АЛУ33 = 628ц - 62В33 =
= - (ЗВИ - В13) Ун + (В23 - в12) У22 + (ЗВзз - В13) Узз (113)
И
(4 А2 + 2В12 4- QQ,)У22 + 3QQ2yn - 4^33 =653822 -62833 =
= — (ЗВгг — В2з) У22 4~ (В13 — ^12) У п + (ЗВ33 — S23) Узз, (114)
где использовано соотношение (29) и, кроме того, вместо
62ВН — бЗВзз и 63В22 — 65В33 подставлены выражения, даваемые
равенством (149) гл. 3 *).
Уравнения (113) и (114) вместе с уравнением (96) приводят
к следующему характеристическому уравнению для А,2:
у А.2 -|- 2В12 — QQ2 4~ ЗВц В13
В[2 — В23 3QQ1
z?i2 в13 -j- 3QQ2
1
а2
4 А,2 + 2В12 + QQ1 + ЗВгг - Ви
i
-4*2-ЗВ3з + В13
1\2 по , о
-~Л2~ЗВзз + В23
1
а2
= 0.
(115)
для 63811 — дЗВ33 и ЙЭ3322 — 6ЗЗ33 получаются
в результате их почленного сложения и вы-
J) Более точно, выражения
из равенств (149) и (150) гл. 3
витания соответственно. — Прим, перев.
Эллипсоиды Римана
177
Несколько более простой формой уравнения (115) является
25(2 QQ2 4” 35ц 5]3 В[2 — В23 — 3QQ]
В12 — В\2 4" 3QQ2 2"^2 4- 2512 4“ QQi -4~ 3522 — 5гз
1 1
а1 а2 .
3 (512 4“ 5ц — 5зз) — 52з — Q (Q2 4* 3Q0
3(512 4* 522 — 533) — 513-|-Q(Q[ + 3Q2) _q (116)
_т4_Л’ + _т
«2 а3
Возвращаясь к уравнениям (107) и (108) и возможности су-
ществования тривиального корня %2 = 01), замечаем, что, дей-
ствительно, имеется такой корень, соответствующий собствен-
ному решению, связанному с возможностью
1^11 =1^22 = 1^33 “ 3 и V12 0. (117)
Другими словами, все эллипсоиды Римана допускают нетри-
виальную нейтральную форму колебания. В гл. 6 [уравнение
(72)] мы убедились в этом для частного случая эллипсоида
Якоби.
б) Характеристическое уравнение для нечетных форм колебания
Обращаясь теперь к уравнениям (103) — (106), описываю-
щим нечетные формы колебания, сначала перепишем их в виде
(X2 4- 2513 - Q2) Hi; з + (251з - Q2 4- Q1Q2 - 2QQ2) V3-1 -
-2ШУ2;з = 0, (118)
(X2 4- 2523 - Й2) V2-3 4- (252з - Й2 + Q1Q2 4- 2QQi) V3,2 +
4-2Л,£2У|.;з = 0, (119)
(Л2 4- 2513 4- Q1Q2) V3.1 4- 2S13F1., 3 - 2AQiK3:2' = 0, (120)
(Л2 + 25гз 4* Q1Q2) Уз-, 2 4“ 25гз1^2; з — 2KQ2V3; i = 0. (121)
С другой стороны, в силу равенств (36) и (37) '
2513 “ (Q2 - Q1Q2 4- 2QQ2) = 2 4 51з (122)
а1
и
а2
2^23 (^2 Q1Q2 2QQ|) = 2 -у /?2з* (123)
а2
9 Автор называет этот корень нетривиальным. —- Прим, перев,
178
Глава 7
С учетом этого упрощения коэффициентов при Уз:1 и Из;г
в уравнениях (118) и (119) уравнения (118) —(121) приводят ,
к следующему характеристическому уравнению: |
Х2 + 2В13- Q2 -2XQ 0 |
2BI3 k2 + 2Bl3 + QlQ2 0 -2М& |
2XQ 0 Л2 + 2В23 - О? 2а2В23/а2 , i
О' — 2kQ2 2В23 Х2+2В23+С^2 j
(124) д
' $
(Преобразовав этот определитель, можно показать, что уравне- •
ние (124) допускает корни
Х2 = -Я2 и X2 = Q,Q2. (125)
фпуская множитель (%2 + й2) (X2 — Q1Q2), находим, что харак-
теристическое уравнение приводится к виду
%4 + (4B13 + 4B23 + 2B12)A2 + (4B13-QQ1)(4B23 + QQ2) = 0. (126)
Заметим, что характеристические уравнения (116) и (126) |
с точностью до постоянных, зависящих только от полуосей эл- I
липсоида, содержат Я, Qi и Q2 лишь в комбинациях QQi и QQ2; J
эти комбинации одни и те же для некоторой конфигурации и ?
для сопряженной ей [как это очевидно из уравнений (51)]. По-
этому корни уравнений (116) и (126) одни и те же для сопря-
женных конфигураций; более того, корни —Я2 и Q1Q2, которые
также допускает уравнение (124), меняются ролями при пере-
ходе от некоторой конфигурации к сопряженной ей. Таким обра-
зом, характеристические частоты колебания сопряженных кон-
фигураций, принадлежащие вторым гармоникам, одинаковы. Это
равенство характеристических частот мы могли бы вывести из
общей теоремы Дедекинда, как это было сделано в гл. бразд.45
для частного случая эллипсоидов Якоби и Дедекинда. Настоя-
щий анализ дает непосредственную проверку для эллипсоидов
типа S в общем случае.
Дополнительный факт, представляющий некоторый интерес, 4
заключается в том, что для безвихревого эллипсоида одним из
корней уравнения (126) снова является Q1Q2, так что в этом
случае четыре характеристических корня, соответствующих не-
четным формам колебания,' суть
Х2 = — ft2, X2 = Q1Q2 (двойной корень) и |
Л2 = -(4В)з + 4В2з + О2). (127) |
Эллипсоиды Римана
179
в) Геометрическое место точек границы устойчивости
Из анализа уравнения (116) следует, что характеристические
частоты, определяемые этим уравнением, всегда вещественные.
Следовательно, неустойчивость от четной формы колебания не
возникает. Этот факт находится в соответствии с тем обстоятель-
ством, что последовательности Римана ответвляются от после-
довательности Маклорена вследствие нейтрализации некоторой
четной формы колебания. Случай, отмеченный в разд, а), когда
X2 = О есть тривиальный корень, связан с тем же самым обстоя-
тельством.
Обращаясь теперь к уравнению (126), описывающему нечет-
ные формы колебания, заметим, что одна из этих форм может
привести к неустойчивости. В самом деле, геометрическое место
точек границы устойчивых конфигураций будет определяться
уравнением
(4B13-QQ1)(4B23 + QQ2)=0. (128)
Покажем теперь, что
4В23 QQ2 > О,
(129)
так что на плоскости (a2/ai, аз/ai) геометрическое место точек
границы устойчивости будет определяться уравнением
4В13 — QQi,
(130)
или с учетом выражения для QQi, даваемого равенствами (51),
уравнением
4а?В|3 = а2А3 - а2а2А.2. (131)
Другой формой этого уравнения, которая йам будет полезна, яв-
ляется
(4«1 + а?-а|)В13-а|В12 = 0. (132)
Остается доказать неравенство (129). Подобно тому как урав-
нение (130) было приведено к уравнению (132), находим .
4В23 + nQ2 = 4- [(4а* + а2 - а|) В23 - a2Bt2], (133)
ai
или, подставляя вместо индексных символов их интегральные
выражения, получаем
лп а2аз + of udu
чо2з т “42 —---- I ГЗ ГЗ / 7ТЗ \Т=
at J \ а3 + м «]+«/ \а2 +и)д
ОО
[(“? + <$(“?- “Э + 3»! + (4о?- Й)-]^>0, (134)
о
180
Глава 7
так как подынтегральное выражение в силу неравенства а\ а3
является положительно определенным.
Возвращаясь к геометрическому месту точек границы устой-
чивости, даваемым уравнением (131), покажем сейчас, что оно
пересекает самосопряженную последовательность х = —1, опре-
деляемую уравнением (76). В точках пересечения — если пред-
полагать, что они существуют — оба уравнения (76) и (131)
должны удовлетворяться одновременно; это требование дает
4^2^513 = а\В[2' (135)
Подставляя это соотношение в уравнение (132) [которое пред-
ставляет собой другую форму того же самого геометрического
места точек (131)], получаем
4а22 - 40.0, + а2 - 02 = 0, (136)
или
[2а2 — (а1 + а3)] [2а2 — — а3)] = 0. (137)
Поэтому пересечение может иметь место, когда
2а2 = 01 + 03 или 2а2 = а{ — а3. (138)
В действительности пересечение имеет место, когда
2а2 = 01~-0з- (139)
[В разд. 51,6 и 51, г мы увидим, что оба геометрических места
точек (138) определяют самосопряженные последовательности,
ограничивающие эллипсоиды типов I и III, если а\ и а2 меняются
ролями в соответствии с допущением, принятым в разд. 48 в от-
ношении координатных осей.]
В табл. IX геометрическое место точек границы устойчивых
конфигураций, определенное уравнением (132), задано числен-
но. Кроме того, на рис. 15 показано очертание этого геометри-
ческого места точек.
Приведенный выше анализ показывает, что никакая форма
колебания, относящаяся ко • вторым гармоникам, не приводит
к неустойчивости для последовательностей Римана при f —2.
[Устойчивость безвихревых эллипсоидов вдоль последовательно-
сти f = —2 для нечетных форм колебания очевидна из явных
выражений (127) для характеристических корней X2.] Однако не-
четная форма колебания приводит к неустойчивости вдоль всех
последовательностей для f < —2; эта область неустойчивости
ограничена малым сегментом (рис. 15).
Таблица IX
Свойства гранично устойчивых эллипсоидов вдоль кривой бифуркации,
примыкающей к областям эллипсоидов типов S и III1)
(аг/Д1)| j j (Пз/П1)| J J (a2/ai)$ (аз/<*1)$ Q Qi
3,3746 1,3746 0,29633 0,40734
3,4 „ 1,3718 0,29412 0,40348 0,40404 0,106768 —1,2342
0,36301 0,118835 —1,3737
3,6 1,3511 0,27778 0,37530 0,42480 . 0,085852 —1,1126
0,30907 0,118001 —1,5293
4,0 1,3143 0,25000 0,32857 0,42439 0,062645 —1,0023
0,25058 0,106098 —1,6976
4,4 1,2828 0,22727 0,29154 0,41323 0,048004 —0,9294
0,21122 0,093916 —1,8182
5,0 1,2436 0,20000 0,24873 0,39173 0,033872 —0,8468
0,16936 П,078346 —1,9586
5,6 1,2121 0,17857 0,21645 0,36969 0,024927 —0,7817
0,13959 0,066016 —2,0703
6,4 1,1789 0,15625 0,18420 0,34234 0,017372 —0,7115
0,11118 0,053490 —2,1910
7,2 - 1,1530 0,13889 0,16014 0,31806 0,012622 —0,6543
0,09088 0,044175 —2,2901
8,0 1,1325 0,12500 0,14156 0,29676 0,009477 —0,6065
0,07582 0,037095 —2,3741
9,0 1,1123 0,11111 0,12359 0,27376 0,006870 —0,5564
0,06183 0,030418 —2,4638
10,0 1,0966 0,10000 0,10966 0,25410 0,005146 —0,5146
0,05146 0,025410 —2,5410
11,0 к,0841 0,09091 0,09855 0,23715 0,003960 —0,4791
0,04356 0,021559 —2,6087
12,0 \ 1,0739 0,08333 0,08949 0,22241 0,003115 —0,4485
0,03738 0,018534 —2,6690
13,0 1,0655 0,07692 0,08196 0,20948 0,002496 —0,4219
0,03245 0,016114 —2,7233
14,0 1,0586 0,07143 0,07561 0,19805 0,002033 —0,3984
0,02846 0,014147 —2,7727'
’) Пои допущении относительно осей, принятых на рис. 16, цифры первых двух
колонок относятся к эллипсоидам типа III, в то время как цифры следующих двух коло-
нок относятся к эллипсоидам типа S. Пары цифр в последних трех колонках, для каждого
значения (а2/аь a3/at)t относятся к самосопряженным эллипсоидам.
182
Глава 7
50. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА НЕЙТРАЛЬНЫХ ТОЧЕК, ОТНОСЯЩИХСЯ
К ТРЕТЬИМ ГАРМОНИКАМ, В ОБЛАСТИ, ЗАНИМАЕМОЙ
ЭЛЛИПСОИДАМИ ТИПА S
В разд. 49 мы видели, что эллипсоиды Римана для f —2
устойчивы по отношению ко всем формам колебания, относя-
щимся ко вторым гармоникам. По аналогии с последовательно-
стями Якоби и Дедекинда можно ожидать, что неустойчивость
на последовательностях для f —2 будет появляться прежде
всего для формы колебания, относящейся к третьим гармоникам.
Тем не менее получаемые точки начала неустойчивости не будут
одними и теми же для сопряженных последовательностей.
В этом разделе мы покажем, как интегральные свойства, да-
ваемыё вириальными уравнениями третьего порядка, позволяют
определить в области, занимаемой этими эллипсоидами, геомет-
рические места точек, которые отделяют области устойчивости
от областей неустойчивости.
В условиях стационарности вириальные уравнения третьего
порядка дают [гл. 2, уравнение (74)]
2 (St/-, k + /) + й2 (lijk — ^ishjk) + 2В^; / + 2В//; k +
+ 2QeZZ3 J pu/X/Xfe dx = — 6//П* — (140)
V
где мы учли то обстоятельство, что в рассматриваемом случае
вектор О имеет направление оси х3.
В нейтральной точке, относящейся к третьим гармоникам,
первые вариации уравнений, получаемых из уравнения (140), не
должны удовлетворяться тождественно. Указанное выше вариа^
ционное уравнение имеет вид
2 (62//: k + 6Ji£; /) + Q2 (у iJk — 6/з1/ 3j k) + 62В/й; j + бЗВ//;£ +
+ 2QeiZ3d j putXjXk dx = — д£/6Пй — dZfe dll/. (141)
v
Поскольку рассматриваемое внутреннее движение линейно отно-
сительно координат, первые вариации величин 2//;йи член, за*
висящий от ускорения Кориолиса, и содержащийся в уравнены!
(141), равно как и вариации величин 2BZ/;*, выражаются линей^
ными комбинациями величин Vij- к- Таким образом, уравнения
(148) и (149) гл. 2 при данных квазистатических условиях дают
2d JZ/; к = QilQjmVк-, 1т — Qil (QknVi; Im + QlmVZ; km) —
-r Qil (QkmV I; Im + QlmV j-, km) (142)
И
d j* pUiXjXk dx = Qim (V j- km + Vk-, }m) ~ QjmVZ; km ~ QkmVl- jm- (143)
V
Эллипсоиды Римана
183
Уравнения (142) и (143) вместе с известными выражениями для
62В//;*, приведенными в гл. 3 [равенства (152) — (155)], дают
нам возможность записать правую часть уравнения (141) в виде
линейной комбинации величин Vij-k-
Для выделения нейтральной точки достаточно рассмотреть
пять уравнений, которые нечетны относительно индекса 1 и чет-
ны относительно индексов 2 и 3. Это следующие уравнения:
462ц: 1 + 262311; 1 + QVin + 4Q (Q271: н - Q>y2; i2) = - 26ПЬ (144)
26212; 2 + 262га, i 4" 62312; 2 4" 62В22! i + Й2У i22 +
+ 2Q (Q2Vi: и - QiV2i i2) = - 6ПЬ ' (145)
26213; з “Ь 262зз; i 4~ 62В13; з 4- б2Взз; i = — бП» (146)
462i2; 2 + 262312-2 4-QVi^ = 0, (147)
46213; з 4~ 262813; з 4" 1зз 4~ 4й<22Уз; 31 == 0, (148)
где в соответствии с уравнением (143) при вычислении члена,
зависящего от ускорения Кориолиса, мы использовали для рас-
сматриваемого случая форму матрицы Q, даваемую равенствами
(97). Исключая 6П1 из приведенных выше уравнений, дополни-
тельно к уравнениям (147) и (148) получаем пару уравнений
26Я122 4- 6S122 4- Win - ЗУ 122) = 0 (149)
и
267?1зз 4- 6S133 4- Й2(Уin — Уш) 4" 4QQ2V1; п —
- 4QQ1V2; 12 - 4QQ2K3; 13 = 0, (150)
где
6Stll = - 462В;/; / - 262В/Л i 4- 2623»; I (151)
и
ЬИщ = - 462г/; I - 262//; i 4- 262»; t (152)
[в равенствах (151) и (152) нет суммирования по повторяю-
щимся индексам].
Выражения для 6SBi2; 2, 62Bi3; 3, 6Si22 и 6S133 в виде линей-
ных комбинаций У]п, У122 и У133 могут быть получены из ра-
венств (153) и (157) гл. 3, а выражения для 62i2; 2, 62i3; 3,
6/?122 и 6^1зз> имеющие место для рассматриваемого здесь слу-
чая, были даны равенствами (149) —(152) гл. 6. Поэтому урав-
нения (147) —(150) вместе с условием соленоидальности
4^1:11 4-4(У';22 + 2У2; 12)4-4^>:зз4-2Уз;1з)=0 (153)
а, аз
Дают систему пяти линейных однородных уравнений для пяти
величин У1; п, У1; 22, У1-, зз, у2; 12 и У3; 1з- Условие определения
нейтральной точки состоит в том, что определитель этой системы
Нейтральные точки вдоль последовательностей Римана, относящиеся i к третьим гармоникам Таблица X
Нейтральные точки вдоль последовательностей Римана для
f=-2 f=- 1,8 f = -l,5 | / = —1,2 /=-1,0 f = 0>) f=0,5 f—1.5 f = l,9 f=2,0
a2la\ 0,32098 0,33855 0,36492 0,38859 0,40152 0,43223 0,42253 0,36898 0,33948 0,33202
ad 0,41397 0,42886 0,44579 0,45130 0,44657 0,34507 0,28004 0,19716 0,17787 0,17379
a2 0,22981 0,24582 0,27018 0,29207 0,30315 0,28403 0,23315 0,14336 0,12036 0,11556
0,07784 0,07348 0,06304 0,04794 0,03624 0 0,00749 0,03402 0,04026 0,04134
Qi 0,86922 0;80067 0,68805 0,56344 0,47415 0 —0,20486 —0,49988 —0,59104 —0,61239
Qi -0,08955 -0,09177 —0,09162 —0,08508 —0,07644 0 0,03657 0,0680t> 0,06812 0,06751
>) Цифры в этой колонке относятся к последовательности Якоби.
Нейтральные точки для сопряженных конфигураций вдоль последовательностей Римана для
f=~2 1 f ,8 f——1.5 I f = = -1,2 -1,0 f=0‘) f=0,5 /=1.5 f=1.9 f=2,0
f* —3,02418 —3,22397 —4,02098 —5,28598 —6,53927 ±oo 15,02537 4,65671 3,21389 2,85043
а21а\ 0,51407 0,53308 0,51530 0,49391 0,48185 0,44133 0,43336 0,45760 0,50989 0,54174
а3/ах 0,64729 0,65904 0,62111 0,56900 0,53188 0,35041 0,28412 0,21660 0,21528 0,22030
(а+)2 0,17645 0,16089 0,11744 0,07546 0,05169 0 0,00785 0,04738 0,07159 0,08068
-q+q+ 0,26681 0,28817 0,31480 0,33242 0,33800 0,28781 0,23599 0,14708 0,12110 0,11499
Qt 1,00481 1,00700 1,08882 1,16733 1,20657 -1,21560 -1,12099 —0,83810 -0,68251 -0,62594
Q2 -0,26553 -0,28616 —0,28912 —0,28477 —0,28014 0,23677 0,21052 0,17549 0,17744 0,18370
’) Цифры в этой колонке относятся к последовательности Дедекинда.
Нейтральные точки вдоль последователь- Нейтральные точки вдоль самосопря-
кости вытянутых сфероидов женных последовательностей" для
/=—0,61563 f = -10,65076 х= = -1 x== + l
f=/+ -2,71414 2,10714
а2/аг 0.41815 0,46386 0,43966 0,72189
ada\ 0,41815 0,46386 0,57722 0,25597
Q2 0,31111 0,02021 • 0,20328 0,10614
—Q1Q2 0,01494 0,33406 0,20328 0,10614
Qi 0,29228 1,24601, ’ 1,02550 —0,45130
<?2 —0,05110 —0,26810 —0,19823 0,23518
к* г-;,,, > Г-
Эллипсоиды Римана
185
равен нулю. В результате использования этого условия уже были
определены нейтральные точки на последовательностях Якоби
и Дедекинда (гл. 5 разд. 40 и 45). Аналогичным образом най-
дены нейтральные точки на других последовательностях Римана,
а при рассмотрении сопряженных конфигураций вдоль тех же
самых последовательностей также определены положения ней-
тральных точек для этих конфигураций. Точно так же были оп-
ределены две нейтральные точки на последовательности вытяну-"
тых сфероидов, а также на двух самосопряженных последова-
тельностях. Результаты этих вычислений собраны в табл. X. На
рис. 15 в области, занимаемой этими эллипсоидами Римана, по-
казаны геометрические места точек, отделяющих области устой-
чивости от областей неустойчивости.
51. ЭЛЛИПСОИДЫ РИМАНА, В КОТОРЫХ НАПРАВЛЕНИЯ Q И £
НЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ; ЭЛЛИПСОИДЫ ТИПОВ I, II И III
Согласно теореме Римана, если й и g не параллельны одной
из главных осей эллипсоида, то они должны лежать в некоторой
главной плоскости эллипсоида. Далее мы будем предполагать,
что йг и Йз отличны от нуля, в то время как Й1 и gi, равны нулю.
Таким образом, мы выделяем ось а^ тем, что ни£1,ни g не имеют
составляющих вдоль нее. При этих предположениях проекции
скоростей и внутреннего движения равны
. ai о л ai ai
Щ= 2 2 4“ * 2 I л2 ^2*^3 ^3Y “"V *2 ^2? “У
а1 + а2 + а3 а2 а3
Г а2
.^2 = Н 2 = — £2зуХ1>
«2 + а1
4
Из = — 2 , 2* $2^1 = “Ь £^20X1, (154)
а3 -f- at
где 0 и у определены равенствами (12). Отношения ?2/й2 и £3/Q3
определены решениями для 0 и у, даваемыми равенствами
(16) и (17).
Остается определить значения й2 и Q3, соответствующие
рассматриваемому эллипсоиду. Необходимый дополнительные
условия следуют из диагональных компонент уравнения (2).
Когда □!=?!= 0, уравнение (2) дает
2£п + (Qf + Q.D /п + + 2 J рх1 (Й3ы2 - Q2«3) dx = - П, (155>
V
2^22 + Йз;22 + ^22 - 2Й3 J pu/2 dx = - П (156)
186
Глава 7
и
22,, + Q2/,, + 28,3 + 2Q, [ pu.x.dx = - IL (157)
ОО 1 Z ОО 1 ОО Z J • 1 о '
V
Вычисляя компоненты тензора кинетической энергии и входя-
щие в эти уравнения моменты скоростей, находим
Q2 1-2y+4y2 +£>! 1-2р + 4₽2 /п4-2Вп = -П, (158)
\ а2 / '- а3 /-
/ а2\
Q32 y2-2Y+4 /п + 2В22 = -П (159)
\ ai /
и
( г \
р2-2р + -| 7н + 2Взз'-П. (160)
«1 /
Из уравнений (14) и (15), служащих для определения р и у»
получаем соотношения
2 2 2 2 2 2
P2-2P + J = ^P, у2-2у + 5-=^у, (161)
2 л 2 2 о 2
ai _ — a9 •— Зйо
1-2P + 4p2=^—------4 (162)
a3 ^a3
и
,_2v+4^-^v. (ie3)
- ^2 %a2
Подставляя эти соотношения в уравнения (158) — (160) и ис-
пользуя известные выражения для тензоров потенциальной энер-
гии, находим
1 / QnB \ 5П
Н₽ + й2у) - - (4а2 - а2 - а2) И + -# + 2Я, = , (164)
£, \ ид 1*2 / zri 1*1
а? — Л „ 5П 2 4“ 2Л2 = 2 2а| зг 2 - М<4 (165)
И а? — а, . , п , 5П -2 = Q2P + 2А3 =*= г, 2а| 2 3 Ма| ’ (166)
где М обозначает массу эллипсоида. Соответствующим образом
комбинируя уравнения (165) и (166), получаем пару уравнений
PQ2 + уй32 - 4 5аз-Л2а.2. = 4д23 (167)
а2
Эллипсоиды Римана
187
И
1 / । азУ \ । 0 . _____ 5П
2 \ а3 а2 / 23 Afafa3 ”
Из уравнений (164), (167) и (168) теперь находим
5П ______2В23 + (4л? л2 “ аз) ^23 4"
ZMa^a^al 4а* — а% (л? + л3) + л2л3
(168)
(169)
Подставляя это соотношение в уравнения (165) и (166) и произ-
водя упрощения, получаем формулы
П2Л _ 4а3 а1 ($а2 4а1 ~Ь аз) ^23 + a2 "" ^Заз)
2 a2 — a3 4aj — а? (а? + а?) + а2аз
И
4а2 а2 (За2 — 4а2 + а2) В23 + а2 (Л^2 — А2а2)
и3у 2 2
а3 - а2
(170)
— + а%) + а$а%
(171)
Для нас будет полезен также другой вид приведенных выше
формул:
О2О __ 4a3 (а2 — al) (4а1 + а2 аз) 523 а2^ 12 7179^
W2p / 2 9\ ,4 „2Г2. 2\. 22
[а2 — a3j 404 7- \ а2 + a3j + а2а3
И
02 ___ 4a2 (a3 ““ al) (4а1 + а3 — а1) #23 — a3513 ,| 7qx
W3Y- (a2_a2) 44-a2(a2 + a2) + a2a2 ’ ( }
Уравнения (172) и (173) вместе с уравнениями (16) и (17) опре-
деляют угловые скорости и завихренности, соответствующие эл-
липсоиду С полуосями Ль «2 и а3.
Наконец, заменяя входящие в уравнения (169), (172) и (173)
индексные символы их интегральными выражениями (гл. 3,
разд. 21), находим
Q2p = 4a1a2a3 f K4a' “ aD “ +
+ a? (4a? + a? - a*) - ajaft (174)
Q|y = 4a,a2a3 , 2, J [(4a? — a?) и +
(a3 a2)u о
+ a?(4a? + - a?) - a?a|] (175)
188
Глава 7
И
^=iJ(3o» + 6O;u + z>)^, (176)
1 z d о
где
D = 4af - a2 (a2 + a2) + a2a2. (177)
Уравнения (174) — (176) по существу были даны - Риманом,
хотя его способ вывода весьма отличался от приведенного.
а) Область, занимаемая в плоскости (a2ja\, a3ja\)
Очевидно, что всякая совокупность значений (ai, «2, Яз), ко-
торые совместимы с уравнениями (16), (17), (169), (172) и (173)
[или, что эквивалентно, с уравнениями (16), (17) и (174) — (177)]
и приводят к реализуемым значениям различных физических
параметров, дает допустимое решение. Покажем, как физические
требования того, чтобы р, у, й2 и й3 являлись вещественными
и чтобы П О, ограничивают область, занимаемую в плоскости
(a^Jau a3/ai) этими эллипсоидальными фигурами равновесия.
Прежде всего заметим, что, так как все уравнения симмет-
ричны относительно индексов 2 и 3, область в плоскости (a2/ai,
a3/ai), занимаемая этими эллипсоидами, должна быть симмет-
рично расположена относительно прямой а2 = аз, наклоненной |
под углом 45° к оси а2. Поэтому, не теряя общности, мы можем |
ограничиться частью плоскости, для которой I
а2>а3. (178).
Далее заметим, что условие вещественности р и у требует, чтобы :
или 2а1^(а2 + а3), или 2а^\ а2 —а3\ = а2 —а3; (179) ?
эти два случая должны быть рассмотрены отдельно.
1) Случай I: 2ai (а2 + ^з) и а2^ а3. При- ограничениях $
этого случая
4af ± (а2 - а2) >(а2 + а3)2 ± (а2 - а2) > 0. (180) •
С учетом этого неравенства из уравнений (14) и (15) следует,
что
0>О и у > 0. (181) ?
Вещественность йг и Йз требует теперь, чтобы величины в пра-
вых частях равенств (174) и (175) были положительными. Оче- <-
видно, что *
Р>а2(а2 + а3)2-а2(а2 + а|) + а^>0. (182) .=
Эллипсоиды Римана 189
Кроме того, используя неравенство (180), имеем
±(а2-а2)]-а2а2>
> 4 (а2 + аз)2 [(«2 + «з)2 ± (а2 ~ - а2а3 ' (183)
Правая часть этого неравенства есть
1а2[(«2 + аз)3-2а2аз] или Таз[(аз + а2)3-2аза2Ь <184)
и в обоих случаях она положительна. 'Поскольку 4а\ — а| и
4af — а2 также положительны, то подынтегральные выражения
в правых частях равенств (174) и (175) являются положительно
определенными; поэтому эти интегралы положительны. Так как
уже было показано, что D и ₽ положительны, отсюда следует,
что условие вещественности й2 приводит к требованию, чтобы
a2>«i- (185)
Следовательно, в этом случае мы ограничены областью
2а|>(а2 + аз) и a2>aj>a3. (186)
При этих ограничениях вещественность йз также гарантируется.
Более того, так как D > 0, то величина в правой части равен-
ства (176), очевидно, положительно определена и гарантирует,
что П > 0. Следовательно, все эллипсоиды, представленные на
рис. 16 в треугольнике SMcRi, являются допустимыми фигурами
равновесия: будем называть их эллипсоидами Римана типа I.
2) Случай 2Я) < (а2 — «з) и а2^ а3. При этом
4al<al-ai (187)
так как 2at необходимо меньше, чем а2 + а3. Из уравнений (14)
и (15) теперь следует, что
р<0 и у > 0. (188)
Кроме того, при ограничениях этого случая подынтегральное вы-
ражение правой части равенства (175), определяющего й|у,
очевидно, отрицательно, а так как было показано, что у положи-
тельно и а2 аз (по определению), то условие вещественно-
сти й3 требует, чтобы (а| — Поэтому
или а3 < а, и D < 0,
или а3> at и D > 0; (189)
и эти два случая должны быть рассмотрены отдельно.
3) Случай II: 2а\ (а2 — а3) и аз а\. В этом случае мы
Должны потребовать [см. (189)], чтобы
Р=4^-а2(а2 + а2) + ф2^0. (190)
Рис. 16. Область на плоскости (а2Мь a3/ai), занятая эллипсоидами Римана.
Устойчивая часть последовательности Маклорена изображена отрезком O2S
прямой а2==а1. В точке О2 сфероид Маклорена становится неустойчивым
из-за возникновения колебаний с нарастающей амплитудой.
Эллипсоиды Римана типа S (для которых направления вращения и зави-
хренности совпадают с осью аз) заключены между самосопряженными по-
следовательностями, изображенными кривыми SO и О2О. Вдоль дуги Х^О •:
эллипсоиды Римана типа S становятся неустойчивыми от нечетной формы
колебания, относящейся ко вторым гармоникам.
Эллипсоиды Римана, в которых направления вращения и завихренности не s
совпадают, но лежат в плоскости (а2, а3), образуют три типа I, II и III; <
области, занятые ими, показаны на рисунке. Эллипсоиды типа I примыкают
к последовательности Маклорена и с одной стороны (S/?i) ограничены
самосопряженной последовательностью. Вдоль геометрического места
которое ограничивает область эллипсоидов типа II, давление равно нулю.
А вдоль геометрических мест точек Х^О' и Х%0", ограничивающих область.
эллипсоидов типа III, направления О и g совпадают с одной из главных
осей (осью а3 в случае, когда а2 > а3, и осью а2 в случае, когда а2 < а3)-
Геометрическое место точек Х<£) (для случая, когда а2 > а3) переходит
в Х^О, если поменять местами и а2; одновременно область А' х'р
точно так же преобразуется в область АХ\^О. Пунктирная кривая
определяет среди эллипсоидов типа III геометрическое место конфигураций,
для которых одна из форм колебаний, относящихся к вторым гармоникам,
имеет нарастающую амплитуду-
Эллипсоиды Римана
191
Это ограничение на D имеет следствием неравенство
«3^/4-MV (191)
I 2 2 / *
а\ \ ^2 а1 !
Можно проверить, что ограничение, соответствующее этому слу-
чаю, а именно
^-<-^--2, (192)
уже гарантирует выполнение неравенства (191) для отношения
a2/ai, заключенного в интервале
2<a2/ai<l + /3; (193)
однако вне этого интервала мы должны требовать, чтобы нера-
венство (191) выполнялось. При таком ограничении условие ве-
щественности Q3 гарантируется.
Обращаясь теперь к равенству (172), определяющему Qip, и
переписывая его в виде
л____а1(«2~«1) 7 (М + а2 ~ аз «2 \ «*«
2Р“ 1 2 3 (а2-я|)П J \ aj + u + и J (а%-%-и) & ’
замечаем, что подынтегральное выражение положительно, так
как
М~аз , „2 / 1 _ - 1
2 । ' ^21 2 > 2 ।
Я3 + U \ Я3 + U Я) 4- U
Поэтому интеграл в правой части равенства (194) положителен,
а так как, кроме того, а2 а\ аз, D < 0 и р < 0, то условие
вещественности Й2 также гарантируется. С другой стороны, так
как D < 0, то положительная определенность величины П не
очевидна из равенства (176). В самом деле, требование [см.
другую форму (169) выражения для П], чтобы
2В234-(4а2-а|-а2)Л234-Л1С0, (196)
дает предел изменения отношения Яз/а, для данного значения
аг/Я1(^2), который, как будет видно, является-более строгим,
чем и (191), и (192). Более удобной формой условия (196) яв-
ляется'
^2з(а22 + «1-2а?)>1. (197)
Геометрическое место точек на плоскости (яг/яь Яз/я,), для
которых неравенство (197) обращается в равенство, численно
представлено в таблице XI. На рис. 16 кривая, помеченная бук-
вами RiRu, определяет это геометрическое место точек.
Таблица XI
Свойства эллипсоидов типа II вдоль предельного геометрического
места точек П = 0
аг[а{ а3(Л| Ct
2,0 0 0 0 0 0
2,4 0,2140 0,9441 0,2526 1,2345 4,6133 0,3612 0,4214 —1,1870 —1,0175
2,8 0,3590 1,1403 0,2296 0,7219 3,5853 0,3498 0,4726 —1,4920 —1,1042
3,2 0,4625 1,2360 0,1944 0,5103 3,2441 0,3102 0,4789 —1,6820 —1,0895
3,6 0,5397 1,2912 0,1633 0,3908 3,0893 0,2702 0,4702 —1,8234 —1,0476
4,0 0,5994 1,3260 0,1380 0,3130 3,0071 0,2351 0,4559 —1,9378 —0,9991
4,4 0,6468 1,3492 0,1177 0,2581 2,9586 0,2055 0,4397 —2,0346 —0,9509 '
4,8 0,6854 1,3654 0,1014 0,2173 2,9279 0,1808 0,4231 —2,1191 —0,9054
5,2 0,7174 1,3770 0,0881 0,1860 2,9074 0,1601 0,4069 —2,1941 —0,8632
5,6 0,7443 1,3856 0,0772 0,1611 2,8929 0,1427 0,3914 —2,2617 —0,8245
6,0 0,7672 ' 1,3920 0,0682 0,1411 2,8825 0,1279 0,3767 —2,3232 —0,7890
' 7,0 0,8117 1,4024 0,0514 0,1051 2,8660 0,0997 0,3439 —2,4565 —0,7123
8,0 0,8439 1,4081 0,0401 0,0814 2,8569 0,0800 0,3160 —2,5677 —0,6496
9,0 0,8681 1,4115 ч 0,0322 0,0650 2,8512 0,0656 0,2923 —2,6628 —0,5976
10,0 0,8868 1,4135 0,0263 0,0531 2,8474 0,0548 0,2718 —2,7456 —0,5537
11,0 0,9016 1,4145 0,0220 0,0442 2,8447 0,0465 0,2541 —2,8187 —0,5161
12,0 0,9135 1,4155 < 0,0186 0,0373 2,8426 0,0400 0,2387 —2,8840 —0,4835
’) Пары цифр в последних четырех колонках, для каждого значения (Лз/Ль tyM»
относятся к сопряженным эллипсоидам.
Эллипсоиды Римана
193
Мы будем называть эллипсоиды, представленные в области,
ограниченной осью а2 и неравенством (197), эллипсоидами Ри-
мана типа II.
4) Случай III: 2ах (а2— Яз) и а2 > аз > аь В этом слу-
чае ai является наименьшей осью и
D = 3af + (a2 - a2) (а2 — а|) > О, (198)
как того требует неравенство (189). Так как D > 0, то П необ-
ходимо положительно. Вещественность, йз была уже обеспечена.
Остается обеспечить вещественность й2. Поскольку 0 отрица-
тельно [см. (188)], то условие вещественности требует, чтобы
[равенство (172)]
(4а2 + а2 _ _ а|В12 0. (199)
А это неравенство требует, чтобы для данного значения а2
(>3,3746, как мы вскоре увидим) величина аз (^а2) превосхо-
дила некоторый нижний предел. Этот предел определяется из
условия, чтобы
(4а2 4-а2-а2)523-а2Д12 = 0. (200)
Мы будем называть эллипсоиды, ограничиваемые геометриче-
ским местом точек (200) и прямой 2ai = a2 — аз, эллипсоидами
Римана типа III.
б) Эллипсоиды типа III, ответвляющиеся от эллипсоидов типаЭ
вдоль кривой бифуркации
Из способа определения геометрического места точек (200)
очевидно, что вдоль этого геометрического места точек
Й2 = £2 = 0. (201)
Поэтому для этих эллипсоидов единственными отличными от
нуля компонентами векторов й и g являются составляющие Йз
и g3 вдоль оси х3. Следовательно, эти эллипсоиды относятся
к типу S, рассмотренному в разд. 48—50. Однако для сохране-
ния допущения, принятого в разд. 48, а именно, что at является
наибольшей осью, мы должны поменять местами индексы 1 и 2,
так как в соответствии с принятым здесь предположением а2
является наибольшей осью эллипсоидов типа III. При этом гео-
метрическим местом точек, ограничивающим область этих эллип*
соидов, становится (рис. 15 и 16)
а2 = 0, 2а2 = а{ — а3 ' (20^)
и
(4ai4-a2-a2)BI3-a2B12 = 0. (203)
Видно, что геометрическое место точек (203) тождественно с гео-
метрическим местом точек границы устойчивости эллипсоидов
7 Зак. 312
194
Глава 1
типа S, определенным в разд. 49 [уравнение (132)]. Более того,
учитывая соотношение (139), которое имеет место в точке пере-
сечения геометрического места точек (132) с граничной само-
сопряженной последовательностью х = —1, заключаем, что кри-
вая, вдоль которой эллипсоиды Римана типа S становятся
гранично неустойчивыми, является кривой, вдоль которой от-
ветвляются эллипсоиды Римана типа III. Следовательно, можно
сказать, что эллипсоиды типа III ответвляются от эллипсоидов
типа S вдоль геометрического места точек, на котором должна
происходить смена устойчивости. 4
в) Сфероиды Маклорена как предельные формы эллипсоидов
Римана типа I
В разд. 48, б мы видели, что устойчивые члены последователь-
ности Маклорена можно рассматривать как предельные формы
эллипсоидов Римана типа S. Сейчас мы покажем, что всю после-
довательность Маклорена можно рассматривать как предельные
формы эллипсоидов Римана типа I.
Пусть az/ai-*!, в то время как величина а$ остается конеч-
ной. Из равенств (16) и (17) находим, что для этого предела
0=-b |3“i + ± (“?-“»]
TtU ।
И
Y = [5a? - a| ± /(9af - a2)(a? - af)]. (a, = a2). (204)
В то же время из равенств (172) и (173) следует, что
Q2p = 0 и Qfy = 4B13. (205)
Из равенств (12) теперь можно заключить, что
£2 = 0 и ?з= — 2уйз. (206)
Следовательно, на прямой а\ = «2 эллипсоиды Римана типа I *
становятся сфероидами и им соответствуют параметры
Q| = 4B13/y, g3 = —2yQ3 и ?2 = П2 = 0 (a2->ai), (207)
в то время как стремится к конечному значению.
Соотношения (207) дают
. + = ров)-
Теперь, когда а\-^а2, уравнение (15), служащее для определе-
ния у, имеет вид
у2_
2+т('
аП
«1 /-
у 4-1=0
(209)
Эллипсоиды Римана
195
ИЛИ
(y-1)2=|y(1 -4-).
" \ UJ /
(210)
С учетом последнего соотношения уравнение (208) принимает
вид
(й3+4г3)!=2в„(1 -<ф.э=^ (sin
t или >
+ = (212)
Но равенство (212) в точности то соотношение, которое должно
выполняться, если? что мы на самом деле и предполагаем, сфе-
роид Маклоренаравномерно вращается с угловой скоростью QMe
(в инерциальной системе). Следовательно, эллипсоиды Римана
типа I вырождаются в сфероиды Маклорена, когда aa->ai
(справа); однако они рассматриваются в такой системе отсчета,
где они имеют внутренние движения с завихренностью £э.,
Из уравнений. (207) и (211); дающих Q3 и ймс, выводим
£2з — ОзОмс = 4В1з
—(1
L2Y\
„2 yi2
а3 |
ai /J .
(213)
или, используя уравнение (210), получаем
Оз — ОзОмд — 4В1з = 0
Visb13 + QL.]-
(214)
или
(215)
1
Y
Сравнение равенства (215) с равенством (105) гл. 5 показы-
вает, что бифуркация' эллипсоидов типа I от последователь-,
ности Маклорена совместима е тем фактом, что две нечетные
формы колебания сфероида Маклорена нейтрализуются, если
наблюдать его в системах отсчета, вращающихся с угловыми
скоростями, даваемыми равенством (215).
В заключение можно отметить, что поскольку мы определи-
ли «1 как наибольшую ось (а не как ось, вдоль которой ни О,
ни £ не имеют составляющей), то гипотенузой = аг + аз
прямоугольного треугольника (S Me Ri на рис. 16), который в
данном случае ограничивает область эллипсоидов типа I, будет
прямая 2a2 = ai4-a3 [уравнение (138) и замечания, следующие
за уравнением (139)].
7*
196
Глава 7
г) Сопряженные эллипсоиды и теорема Дедекинда
Для любой пары значений (a2/fli, азМ), которая представ-
ляет некоторую точку в допустимой области, занимаемой эл-
липсоидами Римана типов I, II и III, существуют два состояния
движения, совместимые с условиями равновесия и соответст-
вующие двум корням для р и у, даваемым равенствами (16) и
(17), за исключением прямых
а2 + а3 = 2а1 и а2 — а3 = 2а1, (216)
где эти два корня совпадают. Ясно, что две физически различ-
ные конфигурации, которые, вообще говоря, так получаются,
должны быть сопряженными одна к другой в смысле теоремы
Дедекинда. Подобным образом эллипсоиды типа I на прямой
«2+аз = 2^ и эллипсоиды типа III на прямой а2— а3 = 2«i
должны быть самосопряженными. Эти факты можно проверить
непосредственно на основе соответствующих уравнений; однако
мы поступим иначе.
Как было уже отмечено, ai мы определили как наибольшую
ось; поэтому эллипсоиды типа I должны быть ограничены
осью Оз и прямыми а2 = ai и at + а3 — 2а2, а эллипсоиды типа
III — осью а3, геометрическим местом точек границы устойчи-
вости эллипсоидов типа S и прямой at — а3= 2а2.
д) Дискообразные эллипсоиды на оси а2
Когда а3->-0, то эллипсоиды типов I и III становятся ди-
скообразными и их асимптотические свойства представляют не-
который интерес.
Легко можно показать, что в пределе при
8 = а3/а1->0 (217)
индексные символы А{ изменяются так:
=а18, Л2 = а2е и Л3 = 2, (218)
где eq и а2 — известные постоянные, выражаемые через полные
эллиптические интегралы [гл. 3, разд. 17, равенства (31)—(35)]
л/2 J_ Л/2 1
£(0) = J d<p(l — sin2Osin2<p)2 и Г(0)= j dtp(1—sin2Osin2<р) 2
о о
(219)
с аргументом
0 = arc sec (a2/«i). (220)
Так,
ai=^m--mc°S20] И a2=-^[F(0)-£(0)]. (221)
Эллипсоиды Римана
197
Соответствующими формами двухиндексных символов являются
5зз = у •
и Вз1=₽318,
Вц =Рц8,
В12 = ₽12е»
^22 = ₽22e,
^23 = ₽238
(222)
где
(«j — а2) 4 *
₽11="з(а^1Г’
а2а2— ctjaf
Р12 =
(°1 - «г)
023 =«2 И ₽31=«1-
(223)
Из равенств
предела
л 2 „2
4а а2
(16) и (17)
находим, что для того же
самого
Р — л 2
2af
пЛ2 „2
Т = 2, = и
4ау — а2 2а1
(224)
3(al-af) ’
2 2
где Р+ и у+ относятся к сопряженным конфигурациям.
— выше асимптотические формы раз-
(172) и (173), находим
Подставляя приведенные
личных величин в равенства
Л 1
Q2=(D282, Д3 = (0з82,
где
Q2 = ®282 и Й3+ = со£е~, (225)
®з = (2а2)2,
2а2 1
®2 = —7 21—2? (^а2 + ai) #2 — бага?!2,
х a2(4af — а2)
©2 = ®2р = ~ [2 (Зо&2 + Ch) #2 — 8«2fl2] 2 И ©3 = (8<х2)2. (226)
«2 с*2
Соответствующими асимптотическими формами для компонент
завихренности являются
где
?2 ‘— ^2® 2 9 ^3 — ^3® 2 ’
£=ф2 И g=Z*82,
(227)
z2 =
2^ — — " —
22 4а2 —
,2 „2
4а< ап
• 2— Ш2>
2af
2а?
7“2
а2
„2.2
9 _ 9 а1 + а2
Z3 — — 2----п--®3»
*2
а? + а?
л, ь*1 г ы-2 .
и гз =---------ГТ~ ®з •
3 2af 3
(228)
Свойства дискообразных эллипсоидов типа I, определяемых
данными выше формулами, приведены в табл. XIL Примеры
198
Глава 7
Таблица XII
Асимптотические свойства дискообразных эллипсоидов типа I
0=arcsec (а2/Л1) 42° 43° 44° 45° 50° 58°
a2/ai 1,34563 1,36733 1,39016 1,41421 1,55572 1,88708
(д2 +2,05429 +2,13629 +2,22576 +2,32434 +3,05912 + 11,27045
Сдз + 1,46610 +1,45084 + 1,43516 + 1,41906 + 1,33207 + 1,16871
z2 -2,24870 -2,27560 -2,30081 —2,32434 -2,41628 -2,47347
Z3 -4,55156 —4,45371 -4,35556 —4,25717 -3,76491 -2,99380
+ +2,24870 +2,27560 +2,30081 +2,32434 +2,41628 +2,47347
®з +2,17905 +2,12215 +2,06473 +2,00685 + 1,71248 + 1,23864
.4 -2,05429 -2,13629 -2,22576 -2,32434 -3,05912 -11,27045
4 —3,06236 -3,04484 •—3,02747 -3,01027 —2,92858 -2,82477
эллипсоидов типа II не приведены, так как они оказываются не-
устойчивыми [см. ниже равенство (234)].
52. УСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЛИПСОИДОВ ТИПОВ I, II, III
ПО ОТНОШЕНИЮ КО ВТОРЫМ ГАРМОНИКАМ КОЛЕБАНИЙ
Устойчивость эллипсоидов Римана типов I, II и III по от-
ношению к колебаниям, принадлежащим вторым гармоникам,
как и в других случаях, может быть исследована на основе ли-
неаризованной формы вириальных уравнений второго порядка.
Фактически основным уравнением является то же самое урав-
нение, которое было использовано в разд. 49 в связи с рас-
смотрением эллипсоидов типа S. Тем не менее так как теперь
направление Q не совпадает с направлением оси а3, уравнение
(95) следует заменить более общим уравнением
W,, - (QnV, - 0„И,; ,) +
+ «У, +41У,; ,.= - одИц + + e„sn. (229)
В рассматриваемом случае матрица Q имеет вид [равенства
(154)] ... . ...
О $12 Q13
Q21- О О
Q3] Q' О
.. (230)
Эллипсоиды Римана
199
где
Q12 = + ~, Q21 = — £2зУ>'
а2
а?
Q13 ~ — ^2? ““«Г и Q31 = Н” (231)
а3
Эта форма матрицы Q не позволяет нам, как прежде, сгруппи-
ровать девять уравнений, которые следуют из уравнения (229),
в системы «четных» и «нечетных» уравнений: все эти девять-
уравнений должны рассматриваться вместе. Тем не менее 6П
следует исключить и результирующие восемь уравнений допол-
нить условием соленоидальности
Д1+Д£+^Т- = р. (232)
Oj #2 ^3
Получающиеся таким образом девять уравнений являются ли-
нейными и однородными относительно девяти величин Vj; j и
приводят к вековому определителю девятого порядка.
Мы не будем приводить явный вид этого векового опреде-.
лителя или указывать форму, к которой его можно привести.
(Читатель, интересующийся этим, может ознакомиться со Стать-
ей XXVIII, в которой содержатся некоторые подробности.) Од-
нако мы сформулируем некоторые теоремы, которые могут
быть установлены.
1) Вековую матрицу можно привести к форме, из которой
очевидно, что характеристические частоты колебаний эллипсои-
да и ему сопряженного одинаковы, как это на самом деле
требуется теоремой Дедекинда.
. 2) Характеристическое уравнение допускает две характери-
стические частоты |й| и |й + |.
3) Характеристическое уравнение также допускает две не-
тривиальные нейтральные формы колебаний.
’Характеристическое уравнение, которое следует йз уравне-
ний (229) и (232), было решено для нескольких сотен эллипсои-
дов из областей, занимаемых ими, а интерполяцией корней, по-
лученных таким образом, построены геометрические места то-
чек границы устойчивости (точнее, границы неустойчивости).
Результаты вычислений собраны в табл. XIII, а геометрические
места точек границы неустойчивых конфигураций отмечены на
рис. 16 и 17.
Можно заметить, что среди эллипсоидов типа I имеются две
несвязные, области устойчивости по отношению к рассматри-
ваемым колебаниям. Существование области устойчивости, со-
200
Глава 7
пряженной устойчивым сфероидам Маклорена вдоль SO2, ко-
нечно, следовало бы ожидать. Однако существование второй
области, ограниченной отрезком D2Ri оси а2, является неожи-
данным. Точка a^di = 1,3707 (последний столбец табл. XIII, б),
служащая границей устойчивых дискообразных эллипсоидов
типа I, была определена с помощью отдельного асимптотиче-
ского вычисления, которое показывает, что в пределе при
азМ1 -* 0 характеристические частоты ведут себя как
_i_
<г-><т0(аз/Я1)2 (oq — некоторая постоянная, зависящая от aja^.
(233)
Кроме того, эти вычисления показывают, что все эллипсои-
ды типа П являются неустойчивыми. В частности, дискообраз-
ные эллипсоиды типа II допускают собственную форму колеба-
ния, которая становится неустойчивой и имеет следующую за-
висимость от времени:
ехр
„2_,„2 „ V
^2 Cig I
' 2 “ ®2/
а2 а1 1
(234)
где аз — постоянная, определенная уравнениями (220) и (221).
(Для дискообразных эллипсоидов типа I эта форма является
устойчивой, так как для этих объектов а2 < 2ab)
Наконец, Обращаясь к эллипсоидам типа III, находим, что
существует граница устойчивых конфигураций (устойчивых по
отношению к рассматриваемым колебаниям), окаймляющая
границу Х2О' области заполнения (рис. 16). Как было показано
в разд. 51, перестановка индексов 1 и 2 преобразует геометри-
ческое место точек Х2(У в геометрическое место точек X(2S)O гра-
нично устойчивых эллипсоидов типа S (рис. 17). Можно было
бы ожидать, что при этих обстоятельствах устойчивость пере-
ходит от эллипсоидов типа S к эллипсоидам типа III вдоль их
общей кривой бифуркации; так в точности оно и есть. Тем не
менее, так как эллипсоиды типа S становятся неустойчивыми
при форме колебания, относящейся к третьим гармоникам, до
начала неустойчивости, обусловленной нечетной формой коле-
бания, относящейся ко вторые гармоникам, весьма вероятно,
что все эллипсоиды типа III являются неустойчивыми по отно-
шению к третьим гармоникам колебания.
Тогда оказывается, что устойчивые эллипсоиды могут быть
только среди эллипсоидов типов I и'$.
Рис. 17. Геометрическое место точек на плоскости (а2М1> «з/^i) гранично устойчивых конфигураций. Эллипсоиды типа S
ограничены двумя самосопряженными последовательностями (SO и О2О) и устойчивой частью последовательности Маклорена,
представленной SO2. Вдоль дуги Х^О эллипсоиды типа S становятся неустойчивыми от формы колебания, относя-
щейся ко вторым гармоникам, и вдоль этой же самой дуги устойчивость переходит к эллипсоидам типа III, областью
которых является ДХ^5^- Заштрихованная область, лежащая между Х(2П1)О и xf*O, представляет собой область эллип-
соидов типа III, устойчивых по отношению к колебаниям, относящимся ко вторым гармоникам.
Эллипсоиды типа I заполняют треугольник SMcRr, зона устойчивых членов заключена в двух областях, отмеченных
словом «устойчивость». Область SO2X2* устойчивых эллипсоидов, примыкающая к устойчивым сфероидам Маклорена, не
является неожиданной; однако область D2QRb содержащая дискообразные эллипсоиды вдоль отрезка прямой D2R\t
является неожиданной.
Таблица XIII
Свойства гранично устойчивых эллипсоидов Римана (угловые скорости
и завихренности выражены в единицах (л(?р)^2)
а) Тип I (вдоль геометрического места точек О2Х^)
a2/ai adax 1,0000 0,3033 1,0526 0,3712 1,1111 0,4230 1,1765 0,4560 1,2500 0,4703 1,3333 0,4676 1,4286 0,4474 1,5385 0,4053 1,6722 0,3278
Q2 0 +0,1283 +0,2153 +0,2942 +0,3639 +0,4269 +0,4877 +0,5550 +0,7107
Q3 +0,7073 +0,7176 +0,7098 +0,6901 +0,6633 +0,6329 +0,5999 +0,5635 +0,5142
$2 0 -1,5014 — 1,8984 -2,1276 —2,2794 —2,3842 —2,4626 -2,5307 -2,4011
—2,7417 -2,5977 —2,3978 —2,1787 -1,9637 — 1,7621 -1,5752 — 1,3984 -1,1673
б +0,4898 +0,6812 +0,8032 +0,8778 +0,9150 +0,9178 +0,8807 +0,7107
Q3 + 1,3708 + 1,2972 + 1,1922 + 1,0751 +0,9579 +0,8458 +0,7400 +0,6390 +0,5142
0 —0,3931 -0,6000 —0,7794 —0,9450 — 1,1125 — 1,3082 -1,5937 -2,4011
& -1,4147 -1,4371 -1,4275 — 1,3984 -1,3599 — 1,3186 — 1,2768 -1,2330 — 1,1673
б) Тип I (вдоль геометрического места точек D2Q)
a2'«i «3^1 1,1582 0,1411 1,1846 0,1238 1,21,24 0,1057 1,2418 0,0866 1,2727 0,0666 1,3050 0,0455 1,3707 8
Й2 +0,0618 +0,0558 +0,0480 +0,0389 +0,0286 +0,0176 +2,1492е’/2
+0,5209 +0,4903 +0,4554 +0,4146 +0,3658 +0,3044 +1,4485е'/2
Ъ2 -4,1927 1 —4,7796 —5,4901 —6,4045 —7,6880 -9,7572 / —2,2795e-,/l
S3 / — 1,8047 — 1,6695 — 1,5236 — 1,3629 — 1,1810 —0,9654 —4,43908'*
^2 +0,5802 +0,5829 +0,5737 +0,5506 +0,5098 +0,4436 +2,2795е1/2
й* +0,8927 +0,8229 +0,7479 +0,6658 +0,5737 +0,4661 +2,11358*'*
—0,4469 -0,4573 —0,4598 -0,4523 , —0,4308 —0,3873 —2,14928*'*
+- со -1,0530 -0,9947 —0,9277 —0,8488 -0,7529 —0,6305 —3,04228*'*
г) Тип III (вдоль геометрического места точек
в) Тип I (вдоль геометрического места точек
a2/ai as/aj 1,2907 ОД 573 1,4954 0,1563 1,6417 0,1431 1,7679 0,1233 1,8651 0,0976 а2(ах a3/ai 4,0000 1,7210 ; 4,4141 1,6000 4,9777 х 1,4933 5,3909 1,4000
^2 +0,0979 +0,1427 +0,1769 +0,2211 +0,2856 Q2 +0,4966 +0,5410 +0,5567 +0,5497
О3 +0,5082 +0,4633 +0,4219 +0,3784 +0,3310 Q3 +0,3281 +0,2553 +0,1968 +0,1657
$2 —4,6947 —5,1812 -5,5580 —6,0132 -6,7416 £2 +0,5283 +0,3190 +0,1992 +0,1430
£з -1,6093 -1,3221 -1,1381 —0,9802 —0,8341 £з — 1,9954 —2,1577 —2,2'582 +2,2936
80 Ю-+ +0,7206 +0,7908 +0,7788 +0,7280 +0,6299 Й* +0,2198 +0,1440 +0,0914" +0,0676
й| +0,7791 +0,6109 +0,5056 +0,4200 +0,3471 й| +0,4787 +0,4641 +0,4359 +0,4113
(ГС Ю-J. -0,6376 —0,9355 — 1,2612 — 1,8137 -2,8546 tr+ + 1,0946 + 1,2088 + 1,1951 + 1,1610
£ -1,0498 -1,0027 —0,9496 —0,8829 —0,7942 — 1,4219 — 1,1826 -1,0190 —0,9242
204
Глава 7
53. КЛАСС КОЛЕБАНИЯ СФЕРОИДА МАКЛОРЕНА.
С КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДОЙ
Общие уравнения задачи Дирихле, выведенные в гл. 4, мож-
но использовать для получения некоторого класса конечно-амп-
литудных колебаний сфероида Маклорена. Эти колебания обна-
руживают некоторые неожиданные соотношения между после-
довательностью Маклорена и самосопряженной последователь-
ностью Римана х = +1 (разд. 48, в):
Ограничимся случаем, когда единственными отличными от
нуля компонентами А и Q являются компоненты по оси аз
эллипсоида:
А1 —— Л-2 Qj =Qj —— 0 и Ад — Л, Qj = Q. (235)
При этих допущениях уравнение (62) гл. 4, записанное в явной
форме для трех компонент, дает
х d2a< 2р 1
~dT - а> (Q2 + Л2) + 2а*ло = - 2Л>а* + тй' ’ (236)
-$ - а2 (Q2 + Л2) + 2а,ла = - 2А2а2 + (237)
и
+ (238)
Эти уравнения допускают интегралы [уравнения (69), (71) и
(75) гл. 4]
3 d .2
+4(a? + a2)(A2 + ^2)-2M2AQ-2/> (239)
1=1
#=(«i +a^Q-2alfl2A (240)
и * ,
^-=(a2 + «DA-2«i^ (241)
где E, L и С обозначают энергию, момент количеств движе-
ния и циркуляцию, сохраняющие постоянные значения.
В рассматриваемом здесь случае уравнений (236) — (238)
вместе с интегралами (239) —(241) достаточно для определения
решения. В самом деле, из этих уравнений можно совсем ис-
ключить Л и Q. Так, из уравнений (240) и (241) находим
' (a1-a2)2(Q + A)-A(L + C) = 2/C1 (242)
И
{а, + a2)2 (Q - Л) = А (£ - С) = 2^; (243)
Эллипсоиды Римана
205
используя эти соотношения, можно представить уравнения (236)
и (237) в виде
2Л|О| + ^ (244)
at2 (aj — а£)3 (аг + а2)3 1 1 1 paj v '
। 2*- 2Ла + (245)
di3 + (ax - a2)3 (at + a2)3 ~ + pa2 ' (245)
Интеграл энергии (239), выраженный через Ку и К2, есть
1 уч (dat\2 Ki ।
2 Zd\ dt ) "Г («I — а2)2 (ах + а2)г
/я=1
(246)
Из уравнений (242) и (24J5) следует, что для ограниченной
системы, с конечной энергией постоянная Кх должна быть ну-
лем, если в каждый момент времени ax(t) = a2(t). Поэтому
для ограниченных систем, в некоторый момент времени^ прохо-
дящих через состояние, для которого ах = а2, следует положить
^=0, Q = -A, L = — C и К2 = К. (247)
Другими словами, единственными Системами, которые могут
проходить (или прошли) через некоторое сфероидальное состоя-
ние с ах == а2, являются системы, которые можно классифици-
ровать как самосопряженные в смысле теоремы Дедекинда.
Когда Кх = 0 и Кг = К, соответствующими уравнениями ляв-
ляются d2a{ 2*’ 2Л „ 1 гр.. (248)
~dK~~~ (а, + а2)3 1 1 + pai
d3a2 2К2 2п 2 2Аоа» + (249)
(ах + а2)3 2 2 1 ра2
и dt2 ~ -2А3а3 + -^, (250)
в то время как интеграл энергии принимает вид
£=т5(“3г) + (ах + а2)* ~21’
f==l
где можно напомнить, что
(ax + a2)2Q=K.
(251)
(252)
206
Глава 7
а) Конфигурации с экстремальной или минимальной энергией
Форма выражения (251) для энергии Е допускает следую-
. щую интерпретацию:
1 / б/fl»
у У ("5Г/ = Кинетическая энергия (253)
4*
К2
(Д1 -|- а2)г — 27 == IF = Потенциальная энергия. (254)
Из такой интерпретации энергии на основе общих положений
мы можем заключить, что равновесные конфигурации (или
установившееся состояние) возможны лишь тогда, когда по-
тенциальная энергия IF экстремальна Для изменений at, аг и а3,
сохраняющих постоянство объема, т. е. произведения ata2a3. .
Кроме того, можно ожидать, что эти равновесные конфигура-
ции будут устойчивыми только в случае, если IF имеет истин-
ный локальный минимум. Однако следует отметить, что «устой-
чивость» в -этом контексте означает устойчивость лишь по от-
ношению к возмущениям, которые совместимы с различными
ограничениями (такими, как непрерывное сохранение эллипсои-
дальной фигуры и отсутствие любых компонент Q или Л, за ис-
ключением составляющих по оси х3), при которых были выведе-
ны уравнения (248)—(250).
Мы будем теперь искать условия, когда IF будет иметь
экстремум, т. е. когда •
№ =о и m =0. (255)
V /a^a^const V ^а2 /a^a^const
Прежде всего заметим, что если /(а^ а2> аз) есть явная
функция а1г а2 й а3, то
( df \ _ а3 gf и _ df df
\ dal 'a.o^const dal al da* \dai) da? «2 даз '
(256).
Вычисляя частные производные от IF в соответствии с (256)
и используя соотношение [равенство (23) гл. 3]
V-1.2.3), (2S7) )
находим, что
<258)
и
(289) :
Эллипсоиды Римана
207
Следовательно, для экстремума W мы должны иметь
<260>
Существуют два различных пути, на которых может быть
удовлетворено тройное равенство (260).
Если мы предположим, что ai = az, то второе равенство в
(260) тождественно удовлетворяется, а первое требует, чтобы
№ = 8а2(44, -а2Л3) = 8а2(а2-а2)В13 (261)
или, учитывая равенство (252),
Q2 =Т(! - 4/«?)В13 »
Следовательно, эти конфигурации представляют собой не что
иное, как сфероиды Маклорена, рассматриваемые в системе
отсчета, вращающейся с угловой скоростью
С другой' стороны, если мы предположим, что ai Ф az, то
второе равенство в (260) требует, чтобы
а2А2-а,А, = ^=^-а23А3. (263) ,
Отметим, что это геометрическое место точек совпадает с гео-
метрическим местом точек, даваемым уравнением (72), которое
определяет самосопряженную последовательность х = 4-1.
Можно было бы также убедиться, что значение К, даваемое
первым равенством в (260), совместимо с этим отождествле-
нием. Для К, даваемого соотношением (252), это равенство
принимает вид
(аг + а2) Q2 = а1Л1 -~А3 (264)
UJ
или, используя уравнение (263),
1 а, а.Л| ОоЛо
Q2 = ---—---- U[At 4-------(й1Д1 — й2Л2) = 2 2- = ^12>
(ai 4- а2) |_ ai аг J ai а2
(265),
что представляет собой одно из соотношений (74), которые
имеют место для самосопряженной последовательности х=4-1.
Остальные соотношения, устанавливающие самосопряженный
характер рассматриваемого геометрического места точек, сле-
дуют из того, что й = —Л для рассматриваемого случая.
Итак, мы доказали, что в соответствии с основными допу-
щениями, которые приводят к уравнениям (248) — (250), равно-
весные конфигурации с экстремумом потенциальной энергии W
208
. Глава 7
имеют место только на последовательности Маклорена и на
самосопряженной последовательности х = 4-1. В этой связи
важным фактом является то, что самосопряженная последова-
тельность х — +1 ответвляется.от последовательности Макло-
рена в точке начала динамической неустойчивости.
Обращаясь к вопросу, имеет ли потенциальная энергия Н7
в точке ее экстремума истинный локальный минимум, рассмот-
рим изменение 61Г величины W, обусловленное приращениями
6ai и ба2 величин at и а2. Для этого изменения совокупность
членов первого порядка относительно указанных приращений,
очевидно, обращается в нуль в точке экстремума, а совокуп-
ность членов второго порядка дается выражением
ХГО7 1 d2W . , . о d2W . .
dw — — I —5- ба? 4- 2--------да. да,
2 \ daf 1 dat да2 ,1' 2
. (266)
* ' aia2o!3=const
Вторые производные в этом выражении для dW должны
быть вычислены сначала при помощи равенств (258) и (259) с
учетом формул (256); и только после их вычисления таким спо-
собом следует учесть равенства (260), характеризующие экстре-
мум. Ограничим это исследование последовательностью Макло-
рена а1 = а2.
Из соображений симметрии очевидно, что вдоль последова-
тельности Маклорена
/ d2W \ (d2W\
Нт =та • <26Z)
' 1 ' aia2«s=const; а^а2 ' /a1a2^3s=const; а^а2
Поэтому в этом случае можно переписать уравнение (266)
в виде
d2W d2W \ .
—j— -—-—) (ба! — ба2)2 +
дат да, да, ] . ,
1 1 'a^a^const; ai=a2
. 1 fd2W . d2W \ /я t я \2
+ '7(_гт + “—~) (^ai + 6a2)2.
4 \ da, da{ da9 /
4 1 1 z const; a^a2
Записывая
/ dW \ _ _ 2K2 . 2H
\ да1 'a^a^const “ (at + a2)3 + at ’
где
H = a^4j — а|Л3,
(268)
(269)
(270)
находим
a*—гзц pro
dai dat da9 / x at \ dat da^ }
I ' 1 ' aia?aj=const Г V ' * t / -J
Эллипсоиды Римана
209
l dal дах да<> )
к 2 12 ' aia2a3=const
12К2 . 2 Г (dH
z=z'; и"21I а
(al + a2y q [ \daj
^-\ - Н — а3(1 + -2Ц —1. (272)
иCt 2 J у О2 ) 5с&з I
Легко проверить, что
<-=i№.-“’A.)’ ^-=—k(3aiB»-aA,)
И
да2 ~ а2 (.a2iBn азВгз)-
(273)
Подставляя соотношения (271)—(273) в уравнение (268) и заме-
чая, что вдоль последовательности Маклорена (а, = а2) в соот-
ветствии с (261) можно заменить в правой части равенства (272)
член, содержащий К2, на бЯ/aJ, находим.
6Г =
-^)(Ч-Ы +
ZU| V «
+ [4 (<№> - a2Bi3) + (da, + Ъа2)2
Поскольку '
оо
a^B,, agS13 == а,а2а3 (а, а3) J —дз О,
о
(274)
(275)
то очевидно, что выражение (274) для SW является положи-
тельно определенным, пока
Q^<4B„. (276)
Следовательно, для таких сфероидов Маклорена потенциальная
энергия W имеет истинный локальный минимум. Однако это не
имеет места для случая, когда Q2Mc > 4В„: существуют прираще-
ния, для которых б№ < 0. Следовательно, мы можем заклю-
чить, что сфероиды Маклорена при Q?Mc > 4ВП неустойчивы,
а при Q^c^4BnycTofl4HBbi по отношению к рассматриваемым
допустимым возмущениям. Это находится в соответствии с за-
ключениями, которые были установлены в гл. 5 на основе пря-
мого определения характеристических частот колебания. Дан-
ный способ вывода заключения о неустойчивости сфероидов Мак-
лорена для Q2Mc > 4ВИ принадлежит Риману. Этот результат
содержится в его статье, опубликованной в 1860 г. Следствие
210
Глава 7
из приведенного анализа, которое в дальнейшем будет пред-
ставлять интерес, состоит в следующем.
Рассмотрим уравнение
<^-2/=,^, . (277)
где
Wmc = — 2 (al Л1 + 2азАз)Мс и ^c = 2(Qai)Mc (278) .
обозначают энергию и момент количеств движения данного сфе-
роида Маклорена. Так как WMc есть истинный локальный ми-
нимум при ймс^4Вц, то геометрическое место точек, опреде-
ленное уравнением (277), в этих случаях сводится к единствен-
ной точке Qmc в окрестности линии Маклорена. С другой стороны,
для £2мс>4Вц геометрическое место точек (277) «развертывает-
ся» в лемнискатоподобную кривую с вершиной в точке Qmc;
происходит эю потому, что сфероид Маклорена не располагает-
ся на дне потенциальной впадины, а находится на потенциаль-
ном гребне, склоны которого расходятся вниз в некоторых на-
правлениях. Два направления нулевого изменения?), по кото-
рым из точки ймс расходятся две ветви лемнискаты, опреде-
ляются уравнением [равенство, (274)] -
/ба| + 6д2\2 _ з°1(ймс-4Вц) <279)
\daj-da2/ — agB13) + ба^зз
Таблица XIV
Направления нулевого изменения 6IF
е
0,9529 — 1,0000 —1,00000 0 0
0,96 —1,2879 —0,77648 0,08060 —0,06259
0,97 —1,5260 —0,65529 0,12788 —0,08380
0,98 —1,8004 . —0,55542 0,15928 —0,08847
0,99 —2,2362 —0,44719 0,17438 —0,07798
0,995 —2,6728 —0,37413 0,16708 —0,06251
0,999 —3,6967 —0,27051 0,12057 —0,03262
0,9999 —4,8742 —0,20516 0,05479 —0,01124
Табл. XIV дает краткий перечень направлений нулевого из-
менения, определяемых уравнением (279). Эта таблица содер-
!) Имеется в виду нулевое изменение величины 6W, — Прим, перед,
Эллипсоиды Римана
211
жит также значения направлений ба3/ба2, определяемых равен-
ством
= 1V (280)
ба2 ai \ оа2 1 ) ' '
б) Сфероидальные колебания
Существует один особенно простой случай' (рассмотренный
Дирихле в его последней работе, опубликованной в 1860 г.),
для которого достаточно интеграла энергии (251), чтобы найти
Таблица XV
Диапазон изменения а3/а в течение сфероидального
колебания конечной амплитуды
ai (Mc)/a (Me)/a Q (Яз/ФпИп (лз/а)тах
ЗХЮ-3 0,884 1,13
3X10-2 0,673 1,48
LOO 1,0000 1X10-1 0,470 2,07
ЗХЮ"* 0,226 3,97
ЗХЮ-3 0,496 0,605
ЗХЮ-2 0,391 0,737
1,35 0,5487 1ХЮ-1 0,281 0,920
. ЗХЮ-1 0,136 1,28
3X1J0-® 0,389 0,392
1,60 0,3906 3X10-4 0,379 0,403
зхю-3 0,354 0,429
ЗХЮ-3 0,159 0,161
2,50 0,1600 зхю-4 0,155 0,165
ЗХЮ-3 0,144 0,177
решение уравнений (248) — (250). Это случай, когда в течение
всей эволюции конфигурация сохраняет сфероидальную фор-
му, так что
........ (281)
Л | (0 е МО-
Из условия постоянства объема, которое теперь требует, чтобы,
х а3а3 — а3 = const, (282)
следует, что
dai ai da3
dt 2a3 dt 9
(283)
i
212
Глава 7
и интеграл энергии дает
2а|
— 2/ = £.
(284)
Уравнение (284) может быть проинтегрировано для различ-
ных заданных начальных значений К и Е. На практике удобно
дать величине К значение Кмс, соответствующее некоторому вы-
бранному сфероиду Маклорена, и приписывать величине Е
значения, превосходящие WMc [определенные равенствами
(278)], при помощи дробных величин
• (285)
w Me
Очевидно, что, пока q < 1, аз будет совершать колебания.
В табл. XV (составленной Росснером) приведены величины
максимальных и минимальных амплитуд, допустимых при та-
1 ких колебаниях для некоторых заданных значений at(Afc)/a и q.
в) Эллипсоидальные колебания
Уравнения (248) — (250) были проинтегрированы Росснером
для некоторого числа характерных случаев. В этих вычислениях
было удобно дополнить уравнения (248) — (250) уравнением для
величины 2рс/р вместо того, чтобы исключать ее и использовать
условие постоянства произведения а^Оз. Для этого сначала
скомбинируем уравнения (248) — (250) так, чтобы
у 1 d2ai — 2К2 ! । у 1 .
ai df2 + р i=i *
затем, используя соотношение
п1 dai\ V1 1 d2ai
° dt\21 a, dt l ~2л at dt2
* / i==i 1
получаем
у LL _ 1K' + 4
(288)
Уравнения (248) — (250) вместе с уравнением (288) дают
замкнутую • систему уравнений. Поскольку при выводе уравне-
ния (288) было использовано условие постоянства произведения
а^газ в форме (287), кажущиеся эффекты, возникающие вслед-
ствие возможного возрастания с ростом t величины 1п(О1О2Оз),
Эллипсоиды Римана
213
могут затруднить интегрирование Зтих уравнений. Однако мож-
но избежать таких эффектов, требуя, чтобы произведение
имело все время одно и то же значение.
а2
Рис. 18а. Кривые нулевой скорости [определенные уравнением (291)] для
двух случаев ai 1,60а и 2,50а, когда q = 3* 10“3, 3-10~4 и 3-10“6. Оба
случая соответствуют сфероидам Маклорена, которые вначале неустойчивы.
Отметим, что при q -> 0 эти кривые стремятся к лемнискатоподобному виду.
Ординатой и абсциссой являются полуоси а2 и Яз, измеряемые в едини-
— 1
цах {аха2аз) 3 . Прямые с тангенсами углов наклона 1, — и —2 предста-
вляют геометрические места точек а2« аз, ai = а3 и ах =« а2 соответственно.
Кривая № +1 определяет самосопряженную последовательность Римана,
а две точки на этой кривой указывают особые эллипсоиды Римана/которые
обладают той же самой энергией, что и сфероиды Маклорена, располо-
женные в вершинах двух лемнискат для а\«« 1,60a и 2,50a. »
Индексные символы Ai вследствие зависимости от пред-
ставляют собой также функции времени. Вместо того чтобы
вычислять их в каждый момент времени по формулам, выра-
жающим их через а» более удобно определять эти символы как
214
Глава 7
решения дифференциальных уравнений
б/Л. / da, dat dab\
— = — (ЗаМ» 4- a}Ai} + akAtk , (289)
получаемых из соотношений
^- = Х(Л,_ЗаМ„) и (290)
[* у= j у= k, и в уравнениях (289) и (290) нет суммирования по
повторяющимся индексам].
Рис. 186. Траектория для вначале устойчивого сфероида Маклорена
с а! = 1,35а при <7==3«10“2. (Объяснения см в подписи к .рис. 18а.);
При интегрировании дифференциальных уравнений задачи
мы приписываем величине К значение, соответствующее неко-
торому выбранному сфероиду Маклорена, и даем величине Е
значения, превосходящие WMc [определяемое равенствами
(278)], пр^ помощи различных дробных величин q [равенство
(285)].
Эллипсоиды Римана
15
Поскольку 0102^3 = а3, то интегральные кривые могут быть
представлены как траектории на плоскости (а^а, а^а). Очевид-'
но, Что на этой плоскости траектория для некоторых заданных
Рис. 18в. Траектория для вначале устойчивого сфероида Маклорена
с at = 1,35а при <7 = 3-10-1. (Объяснения см. в подписи к рис. 18а.)
£ и /Смс должна быть заключена внутри кривой нулевой ско-
рости [уравнение (277)]
(а{ + а2)2
- 27 = Е.
(291)
Из обсуждения, приведенного после уравнения (277), явст-
вует, что для определенная здесь кривая нулевой
скорости вырождается в одну-единственную точку, когда
Е = WMc и q = 0; однако для Qmc > 4Вц кривая нулеврй ско-
рости для q = 0 представляет собой лемнискатоподобную кри-
вую, ветви которой расходятся по направлениям; определенным
равенствами (279) и (280). Примеры кривых нулевой скорости
(построенные Росснером) показаны на рис. 18а; они находятся
в соответствии с теоретическими выводами,
216
Глава 7
На рис. 186, 18в и 18г показаны примеры траекторий, вычис-
ленных Росснером.
Рис. 186 и 18в показывают эти траектории Для устойчивого
в начальной стадии сфероида Маклорена с большой осью а1==
= 1,35 а и для q = 3 X Ю-2 и 3 X ЮЛ
Рис. 18г. Траектории для двух вначале неустойчивых сфероидов Макло-
рена с aj = 1,60а и 2,50d для q == 3 • 10~3. Кривые нулевой скорости, соот-
ветствующие этим двум случаям, показаны на рис. 18а. (Объяснения см»
в подписи к рис. 18а.) Два кружочка на самосопряженной последователь-
ности х = +1 указывают положения особых равновесных эллипсоидов Ри-
мана, имеющих те же самые энергии, что и возмущенные сфероиды Мак-
лорена, описывающие изображенные траектории.
На рис. 18г показаны траектории двух неустойчивых в на-
чальной стадии сфероидов Маклорена с ai = 1,60 а и ai =
= 2,50 а и для значения q — 3 X Ю“3 в обоих случаях. В слу-
чае когда ai = 1,60 а, «горловин^» кривой нулевой скорости не
достаточно узка для того, чтобы «запереть» рассматриваемую
траекторию. Однако во втором случае траектория оказывается
действительно запертой; в самом деле, видно, что она распо-
лагается вблцзр равновесного положения, соответствующего ca*
Эллипсоиды Римана
217
мосопряженному эллипсоиду Римана (на последовательности
% = +1), имеющему ту же самую энергию, что и возмущенный
сфероид Маклорена. Последний факт говорит о том, что сфе-
роид Маклорена, расположенный на потенциальном гребне за
точкой ймс=4Вц, имеет тенденцию к скатыванию в ложбину,
следующую за кривой самосопряженной последовательности
х==+1.
Библиографические замечания
Работа Римана «Ein Beitrag zu den Untersuchungen uber die Bewegurrg-
eines fliissigen gleichartigen Ellipsoides», сообщенная Der Koniglichen Gesell-
schaft der Wissenschaften zu Gottingen 8 декабря 1860 г., является выдаю-
щейся по богатству содержащихся в ней новых результатов и широте охвата
целого ряда задач. По мнению автора этих строк, эта весьма недооцененная
работа — ей уделено меньше одной фразы в биографической заметке Ве-
бера и ни одной у Леви; на нее нет никаких ссылок в работах Пуанкаре,
Дарвина и Джинса — заслуживает более широкой известности подобно другим
работам Римана. Однако, как мы отметили в вводной части этой главы, в
данной работе имеются некоторые весьма неожиданные погрешности и не-
сколько определенно ошибочных заключений.
Чтобы указать погрешности и ошибки в их истинном виде, необходимо
прежде всего определить достоинства этой работы. При их перечислении бу-
дут использованы язык и терминология этой главы, даже если они не совпа-
дают с употребляемыми Риманом.
1) Во всей общности сформулирована задача Дирихле и выведена основ-
ная система девяти уравнений [эквивалентная матричному уравнению (57))
гл. 4]; указаны интегралы энергии, момента количеств движения и цирку-
ляции.
2) Далее выведена теорема Дедекинда на основе замечания о том, что»
транспонирование матричного уравнения (57) эквивалентно перемене ролей
А* и Q*. Как указывает Риман, «в этом замечании содержится теорема вза-
имности Дедекинда».
3) Доказано, что при условиях стационарности эллипсоидальные фигурьв
возможны лишь в следующих двух случаях: или £ и Q параллельны, и в этом»
случае они должны лежать на некоторой главной оси эллипсоида, или ? и ft
не параллельны, и в этом случае они должны лежать в некоторой главной
плоскости эллипсоида. (В разд. 47 мы назвали этот результат «теоремой Ри-
мана».) Далее Риман показывает, что соответствующие этим двум случаям
равновесные фигуры представляют собой существенно различные виды объ-
ектов.
4) Дан полный анализ эллипсоидов типа S (как мы их назвали) в том
смысле, что выведены основные уравнения, служащие для определения раз-
личных параметров, и установлено, что занимаемая ими область ограничена
последовательностью Маклорена и двумя самосопряженными последователь-
ностями. Кратко сказано о безвихревой последовательности в связи с рас-
смотрением ее устойчивости.
5) Детализация областей, занимаемых эллипсоидами типов I—III — так-
же служившая предметом исследования Римана — является исключительно
полной. В частности, ясно и отчетливо сформулировано, что эллипсоиды
типа I примыкают к последовательности Маклорена; эллипсоиды типа II
Подчинены требованию, чтобы П 0, и наконец, одной из границ, отделяю-
щих область, занимаемую эллипсоидами типа III, служит последовательность
эллипсоидов типа S,
218
Глава 7
6) Существенная часть работы посвящена обсуждению зависимости от
времени уравнений (244) и (245), справедливых для случая, когда Л и ft
остаются параллельными оси я3. В частности, показано, как в особом случае,
когда Л = — ft, эти уравнения можно привести к стандартной лагранжевой
форме. Лагранжева форма этих уравнений позволяет просто доказать устой-
чивость эллипсоидов типа S по отношению к возмущениям, совместимым с
теми ограничениями, которые лежали в основе вывода рассматриваемых урав-
нений. Этот результат эквивалентен устойчивости эллипсоидов типа S по отно-
шению к четным формам вторых гармоник колебания, исследованной
в разд. 49, в.
7) И наконец, на основе рассуждения, эквивалентного приведенному в
разд. 53, в, Риманом установлена (для начальной стадии) динамическая не-
устойчивость сфероидов Маклорена для О?Мс > 4В1Ь (Однако Риман не от-
метил связь этого исследования с тем фактом, что самосопряженная последо-
вательность х = +1 ответвляется от последовательности Маклорена в той же
самой критической точке Q^c “ 4Вц.)
Перечисленное представляет собой положительный вклад этой статьи. Не-
сомненно, мало работ, если таковые вообще имеются, которые написаны на
эту тему и имеют сравнимое содержание или широту охвата. Однако в вопро-
сах, относящихся к устойчивости эллипсоидов, носящих имя Римана, содер-
жатся ошибки. Лебовиц (в статье XXIX) проанализировал эти части работы
Римана и указал происхождение его ошибок. За деталями читателю следует
обратиться к статье Лебовица. Здесь мы только укажем, чем заключения
Римана /отличаются от заключений, полученных в настоящей книге (и в
статьях XXV и XXVIII) на основе прямого определения характеристических
частот колебания.
Прежде всего следует отметить, что Риман ограничился рассмотрением
возмущений, линейных относительно координат, т. е. рассмотрением начала
неустойчивости с формами, относящимися ко вторым гармоникам. Риман четко
отмечает это ограничение; в самом деле, он говорит о важности «более об-
щего обсуждения». (Анализ, проведенный в разд. 50 для эллипсоидов типа S,
содержит это более общее обсуждение.)
Как мы уже отмечали выше (замечание 6), заключение Римана, касаю-
щееся устойчивости эллипсоидов типа S для четных форм колебания^которые
не нарушают начальных направлений завихренности и угловой скорости), яв-
ляется правильным. Однако его общий вывод состоит в том, что все эллип-
соиды типа S в области, заключенной между безвихревой последователь-
ностью f = —2 и самосопряженной последовательностью х = —1, являются
неустойчивыми. Это утверждение ошибочно: эллипсоиды типа S неустойчивы
только в меньшей области, заключенной между геометрическим местом то-
чек (132) и самосопряженной последовательностью х = —1.
Риман также сделал вывод о том, что все эллипсоиды типов I, II и III
неустойчивы. Снова его заключения, касающиеся эллипсоидов типов I и III,
ошибочны: среди эллипсоидов типа I существуют две различные области
устойчивости — одна область, примыкающая к устойчивой части последова-
тельности .Маклорена, и другая область, содержащая дискообразные объекты
(рис. 17). Среди эллипсоидов типа III имеется кайма устойчивых конфигура-
ций, граничащая с геометрическим местом' точек, общим для этих эллипсоидов
и эллипсоидов типа S.
Удивительным в ошибке Римана является то, что его заключения противо-
речат некоторым из его главных результатов; трудно понять, почему он не
заметил противоречия.
В самом деле, рассмотрим его выводы относительно неустойчивости эллип-
соидов типов III и S. Риман ясно отмечает, что эти два типа эллипсоидов
имеют одну общую последовательность. Заключение о том, что вдоль этой
общей последовательности эллипсоиды типа S должны характеризоваться ней-
Эллипсоиды Римана
219
тральной формой колебания, казалось неизбежным; более того, что смена
устойчивости происходит на той же самой последовательности, также могло
бы показаться весьма резонным. Как случилось, что Риманк не увидел связи
между существованием общей последовательности этих двух типов эллипсои-
дов и их устойчивостью?
Рассмотрим также его заключение о неустойчивости всех эллипсоидов ти-
па I. Риман явно отмечает, что эти эллипсоиды прилегают ко всей последова-
тельности Маклорена; он также доказал, что сфероиды Маклорена устойчивы
для 4Вц. Заключение, что известная устойчивость вдоль этой части по-
следовательности Маклорена должна распространяться в область эллипсоидов
типа I, могло бы казаться неизбежным. Как случилось, что Риман не обра-
тил внимания на это очевидное соображение?
Завершая эту оценку выдающейся работы Римана, автор видит в ее
ошибках — находящихся в столь явном несоответствии с некоторыми ее основ-
ными результатами — трагический элемент. Были ли они некоторым образом
связаны со страстным желанием воздать Дирихле достойную дань «почти-
тельной благодарности»? Мы уже Приводили (стр. 17) теплые слова Римана
в адрес Дирихле, которыми начинается его работа. Заканчивается она следую-
щими словами:
«Так как исследование вопроса об устойчивости приводит к линейным
дифференциальным уравнениям, то оно может быть проведено известными ме-
тодами. Но в настоящей работе мы оставим в стороне этот вопрос, поскольку
мы ставили своей задачей лишь дальнейшее развитие той прекрасной мысли,
которой Дирихле увенчал свою научную деятельность».
Укажем три обзора по работам Дирихле, Дедекинда и Римана:
Hicks №. М., Recent progress in hydrodynamics, Reports to the British Associa-
tion, 1882, pp. 57—61.
Basset A., A Treatise on Hydrodynamics, vol. 2, Cambridge, England, Deighton,
Bell and Co., 1888; переиздано New York, Dover Publication, 1961.
Lamb H., Hydrodynamics, Cambridge, England, Cambridge University Press,
1932, pp. 722—723.
Обзор Хика содержит современную оценку; перечисление результатов и
изложение теорем Дирихле, Дедекинда и Римана занимают центральное место
в этом обзоре. Это единственный обзор, содержащий формулировку «замеча-
тельного закона взаимности» Дедекинда. Однако изложение, касающееся за-
ключений Римана об устойчивости эллипсоидов, носящих его имя, ошибочно.
В гл. 15 своей «Гидродинамики» Бассет предпринимает попытку дать
адекватный обзор исследований Дирихле и Римана. С формальной стороны
этот обзор, действительно, является адекватным. Исследование Дирихле, осно-
ванное на решениях уравнений (244) и (245), представлено особенно полно.
Однако следует признать, что ему не удался обзор работы Римана. В самом
деле, в то время как основные уравнения и их интегралы выведены подробно,
отсутствует ссылка на теорему Дедекинда или тот факт, что два состояния
движения являются совместимыми с одной и той же эволюцией внешней фи-
гуры. В то время как анализ Римана, касающийся областей, занимаемых эл-
липсоидами типов I—III, излагается полностью, отсутствует указание на связь
этих эллипсоидов с эллипсоидами типа S или последовательностью Макло-
рена. Тем не менее данный Бассетом вывод критерия Римана устойчивости
сфероида Маклорена является ясным и подробным: оригинальное изложение
Римана является чрезвычайно сжатым.. Обзор Ламба представляет собой по-
просту сокращенный вариант обзора Бассета (включая и его ошибки).
Наконец, можно сослаться на следующие две работы Гринхилла:
GreenhiU А. 6., On the rotation of a liquid ellipsoid about its mean axis, Proc.
Cambr. Phil. Soc^ 3, 233—246 (1879).
220 Глава 7
Greenhitl A. G., On the general motion of a liquid ellipsoid under gravitation of
its own parts; continuation of a paper on the rotation of a liquid ellipsoid,
Proc. Cambr. Phil. Soc., 4, 4—14 (1880). ' 4
Первая работа содержит довольно утомительный вывод уравнений, опре-
деляющих эллипсоиды типа S; эти уравнения соответствующим образом спе-
циализируются для того, чтобы определить последовательности Якоби, Деде-
кинда и безвихревую последовательность. Во второй работе Гринхилл при-
водит вывод основных. уравнений Римана с его выбором «подвижных си-
стем» (гл. 4). Однако ни в одной из этих работ нет какой-либо ссылки на
теорему Дедекинда или на ее приложения к рассматриваемым им задачам.
Что касается настоящей главы, то она, за исключением разд. 53, в, пред-
ставляет собой сокращенное, но более логически упорядоченное, изложение
двух статей автора об эллипсоидах Римана (статьи XXV и XXVIII). Указание
на обзор Лебовица (статья XXVII) в связи с данным им выводом уравнений
Римана уже было дано в библиографических замечаниях к гл. 4.
Результаты, изложенные в разд. 53, в, принадлежат Росснеру (статья
Глава 8
Эллипсоиды Роша
54. ВВЕДЕНИЕ
До сих пор мы занимались эллипсоидальными фигурами,
которые может принимать однородная масса, когда кроме ее
собственной гравитации учитываются центробежные и кориоли-
совы силы, возникающие при движении жидкости. В предыду-
щих четырех главах мы видели, как с полной математической
строгостью можно построить теорию этих конфигураций и в
отношении их равновесия, и в отношении их устойчивости.
В этой последней главе мы рассмотрим следующий класс эл-
липсоидальных фигур, появляющихся тогда, когда в дополнение
к уже упомянутым силам учитываются в некотором приближе-
нии приливные эффекты от соседней массы. Простейшая в этом
более общем смысле задача впервые была сформулирована в
1850 г. Рошем в .серии статей, написанных, как отметил Дарвин,
«в стиле исключительной скромности».
Несмотря на приближенный характер общей теории при ис-
следовании этих эллипсоидов Роша, обнаруживаются некоторые
новые соотношения между динамической и вековой неустойчи-
востью (гл. 5, разд. 37); эти соотношения представляют некото-
рый общий интерес.
55. ЗАДАЧА РОША
Задача Роша касается равновесия и устойчивости однород-
ного тела («первое тело» — тело, которым мы интересуемся),
вращающегося около другого тела («второе тело» — тело, ко-
торое вызывает приливные эффекты у первого тела) так, что их
относительное расположение остается одним и тем же.
Пусть М и М' — массы первого и второго тела соответствен-
но, R— расстояние между их центрами масс и й— постоян- -
ная угловая скорость вращения около общего центра масс.
Выберем координатную систему с началом в центре масс
первого тела, осью Xi, направленной в центр масс второго тела,
и осью х3, параллельной направлению О. В этой координатной
системе уравнение движения жидких элементов массы М есть
____2L_i_0_£_(2J_l.9)' + 1q2[L У-1-хгВ I
Р rf/ — дх( + Рдх( (" + '“+ з у [уч М+М'} +х2]) +
f 2рйец3«г, (1)
222
Глава S
где S3' обозначает приливный потенциал, обусловленный мае- 1
сой М'. I
В частной задаче Роша вторым телом является твердая сфе- I
ра. Тогда приливный потенциал 23' может быть разложен в 5
ряд / 1 1 \ i
/ 9 1 2 1 2 \
GAf' I Xi 2” *2 ~2 Хз I (9\ *
ss,==TV+^’ +----------~7?2.. "+•••/. 2 !
и в приближении, лежащем в основе этой теории, удержим в
этом разложении 23' лцшь явно выпиеанные члены и прене-
брежем всеми членами, имеющими более высокий порядок. При
таком предположении уравнение движения принимает вид
р dt ~~ dxt ® + 2 ^2(х1 + Х2) + р(Х1 2 Х2 2 Хз)+
+ (т-"ТО + (3)
где введено обозначение
н =-рГ- (4)
До сих пор Q2 не было выбрано. Если теперь мы будем счи-
тать, что Q2 имеет «кеплерово значение»
= (5)
то в правой части уравнения (3) «нежелательный» член, со-
держащий xlf уничтожается и у нас остается
P~dF = Р ~дх^ + *2 Q2 (Х1 + х1) + Р Х2~Т хз) +
+ 2pQen3Wp (6)
Это есть основное уравнение этой теории; и задача Роша ка-
сается равновесия и устойчивости однородных масс, описывае-
мых уравнением (6).
а) Вириальное уравнение второго порядка для задачи Роша
При исследовании задачи Роша мы будем использовать те'
же самые методы, основанные на в.ириальной теореме и ее
обббщениях. Однако наличие в уравнении. (6) члена, содержа-
щего ц, изменяет обычную форму вириального уравнения, и мы
имеем .
j puiXl dx = 22,, + 2В,i + (Q2 - ц) Itl - й2б,3/3/ + ЗцбиЛ, +
V
+ 2QeH3 j puixj dx + 6„П. (7)
Эллипсоид# Роша
223
56. ЭЛЛИПСОИДЫ РОША: РАВНОВЕСНЫЕ ФИГУРЫ
Когда в рассматриваемой системе координат отсутствуют
движения жидкости и имеет место гидростатическое равновесие,
уравнение (7) принимает вид
+ (Q2 — и) Л/ — Й2д/3/3/ 4- Эрд^/ц = — б0П. (8)
Диагональные элементы этого уравнения дают
+ (Q2 + 2р) /„ = ^ 4- (Q2 - р) /22 = 2В33 - р/зз = - П, (9)
в то время как недиагональные элементы дают
SB12 + (Q2 + 2р) /12 = ЗВ21 + (Q2 - И) /21 = О,
2В,з + (Q2 + 2р) /1з = 2В31 - р/31 =ь О, (10)
*®23 + (Й2 — И) /йЗ = -®32 — Р/32 = 0*
Принимая во внимание симметричность тензоров 1ц и ЗВ;;, из
уравнений (10) можно заключить, что
28z/ = 0 и 1ц = 0 для г#=/. (11)
Другими словами, в выбранной координатной системе тензоры
ЯВц и 1ц должны быть диагональными.
Уравнения (9) и (11) являются совершенно общими: они
никоим образом не зависят от каких бы то ни было других со-
отношений.
Полагая
р = М/М', так что Q2=(l+p)p, (12)
и подставляя вместо 2Вг,- и 1ц их известные выражения для од-
нородных эллипсоидов, получаем
(3 4- р) yutf — 2A1aJ — pp.a% — 2Д2а2 = — pa2 — 2Д3а2. (13)
[В уравнении (13) й2 и р измерены в единицах nGp; это усло-
вие принято в оставшейся части этой книги.]
Из уравнений (13) мы получаем пару уравнений
[(3 4- Р) а2 4- а3] И = 2 (Да2 - Да2) = 2 (а2 - а2) В13 (14)
и
(pal 4- а2) р = 2(А2а1 - А3а%) = 2(а2 - а2)В*. ' (15)
Поэтому связь между а2/а! и a3/ai (для заданного р) опреде-
ляется уравнением
(3 + p)af + af _ (а2-Оз)в13
ра22 + 0% («2 ~аз) ^23’
а значения р и Q2 '[ = (1 4~ Р)р]> соответствующие частному ре-
шению уравнения (16), следуют из уравнений (14) или (15).
Таблица XVI
Свойства эллипсоидов Роша для р = О и р = 1
р=0 P=1
arc cos аз/fli «г/ai as/ai Q2 arccos a^ax ailat a2
24° 0,93188 0,91355 0,022624 12° 0,98660 0,97815 0,009293
36° 0,84112 0,80902 0,047871 24° 0,94376 0,91355 0,036152
48° 0,70687 0,66913 0,074799 36° 0,86345 0,80902 0,076342
57° ' 0,57787 0,54464 0,088267 48° 0,73454 0,66913 0,118726
60° 0,53013 0,50000 0,089946 54° 0,64956 0,58779 0,134284
61° 0,51373 0,48481 0,090068 59° 0,56892 0,51504 0,140854
62° 0,49714 0,46947 0,089977 60° 0,55186 0,50000 0,141250
63° 0,48040 0,45399 0,089689 61° 0,53451 0,48481 0,141298
66° 0,42898 0,40674 , 0,087201 66° 0,44429 0,40674 0,135785
71° 0,34052 0,32557 0,077474 69° 0,38813 0,35837 0,127424
72° 0,32254 0,30902 0,074648 71° 0,35022 0,32557 0,119625
75° 0,26827 0,25882 0,064426 72° 0,33119 0,30902 0,115054
79° 0,19569 0,19081 0,047111 73° 0,31213 0,29237 0,110044
75° 0,27405 0,25882 0,098753
78° 0,21726 0,20791 0,078934
81° 0,16126 0,15643 0,056499
Эллипсоиды Роша
225
Несмотря на то что мы вывели уравнения, определяющие
равновесную фигуру эллипсоида Роша, используя интегральные
свойства, даваемые вириальной теоремой, легко можно пока-
зать, что эти уравнения являются одновременно необходимыми
и достаточными., Они те же самые, что и уравнения, полу-
чающиеся при непосредственном интегрировании уравнения
Рис. 19. Изменение Q2 вдоль последовательностей Роша. Кривые отме-
чены значениями р, которым они соответствуют; кривая, отмеченная зна-
ком оо, соответствует составной последовательности Маклорена — Якоби.
Максимумы кривых определяют предел Роша.
гидростатического равновесия и требовании, чтобы результи-
рующее выражение для давления обращалось в нуль на грани-
це эллипсоида.
Решения уравнений (16) для двух важных случаев р = 0 и
р = 1 приведены в табл. XVI. На рис. 19 представлено измене-
ние Q2 вдоль последовательностей Роша для р = О, 1, 4, 20 и
100.
Можно заметить, что в пределе при
ц—>0, р—+оо и цр->й2 ' (17)
уравнения (13) сводятся к уравнениям, определяющим последо-
вательности Маклорена и Якоби. Из рис. 19 очевидно, что в
этом пределе последовательность Роша стремится к составной
последовательности Маклорена — Якоби — последовательность
Маклорена предшествует точке бифуркации, а последователь-
ность Якоби следует за этой точкой.
8 Зак. 312
226
Глава 8
а) Сфероиды Джинса и приливная задача
Некоторый вариант задачи Роша, который можно рассмат-
ривать как ее частный случай, представляющий «чисто» при-
ливную задачу, был детально исследован Джинсом. Этот ча-
стный случай возникает, когда уравнение движения (3) рас-
сматривается в инерциальной, а не во’ вращающейся системе.
Тогда это уравнение принимает вид
др д Г / Л 1 Л 1 М GM'
~дх^ 1Г Хз/] “Ь р “^2“ fyl- (18)
Можно теперь «нейтрализовать» постоянную силу GM'!R\ дей-
ствующую в направлении оси xit относя движение к движущей-
ся равномерноускоренно системе (в смысле, описанном в гл. 4,
разд. 24). В такой подвижной системе центр тяжести массы М
всегда будет оставаться в начале координат, и уравнение (18)
будет иметь вид
dut др д Г / 1 Л 1 Л1
Р~ЗГ~~ oijc7+ p77l i~"2x2 — у хз)]’ (19)
Сравнение уравнений (6) и (19) теперь показывает, что эту
приливную задачу формально можно рассматривать как част-
ный случай задачи Роша [уравнение (12)] для
Р (20)
так что в этом случае р не равно М/М'.
Уравнения, определяющие равновесные фигуры, следуют из
уравнений (14) и (15) в результате подстановки р = —1.
Имеем ________
If (2а2 + а|)ц = 2(а2-а2)В13 (21)
И
(а2-а2)р = 2(а2-а2)В23. (22)
Уравнение (22) показывает, что для совместимости с определе-
нием ц как положительной величины (= GM'/R3) мы должны
потребовать, чтобы
«г = «з- (23)
Следовательно, равновесными конфигурациями являются вытя-
нутые сфероиды. Используя явные выражения для индексных
символов, соответствующих этому случаю [даваемые уравне-
ниями (38) гл. 3], из уравнения (21) находим, что
где (
е=(1 -a22/af)2 (25)
обозначает эксцентриситет.
Эллипсоиды Роша ~ , 227
Таблица XVII
Последовательность Джинса
е И е Ц- е н
0 0 0,50 0,046219 0,88 0,125514
0,05 0,000445 0,55 0,056209 0,8830265 0,125536
0,10 0,001781 0,60 0,067135 0,90 0,124760
0,15 0,004017 0,65 0,078864 0,92 0,121293
0,20 0,007164 0,70 0,091137 0,94 0,113683
0,25 0,011240 0,75 0,103451 0,96 0,099288
0,30 0,016262 0,80 0,114839 0,98 0,072040
0,35 0,022254 0,82 0,118754 0,995 0,030569
0,40 0,029235 0,84 0,122038 0,999 0,009236
0,45 0,037222 0,86 '0,124419 0,9999 0,001381
Табл. XVII дает значения ц для различных значений а; за-
висимость р, от е проиллюстрирована далее на рис. 20. Заметим,
Рис. 20. Изменение |х/лбр вдоль последовательности Джинса; р дости-
гает максимума при е = 0,8830 (где сфероид Джинса становится неустой-
чивым).
что, как и для других последовательностей Роша, |л(е) дости-
гает некоторого максимального значения; оно имеет место при
е = 0,88303, где ц = 0,12554. (26)
8*
<Q
Эллипсоиды Роша
229
б) Упорядочение решений
Решения для различных последовательностей Роша и соот-
ношения, которые существуют между этими последовательно-
стями и последовательностями Маклорена, Якоби и Джинса,
наиболее удобно представить на плоскости (впервые использо-
ванной для этой цели Джинсом), на которой каждый равновес-
ный эллипсоид изображается’точкой с координатами
а{ = а1/(о)а2аз)^ и й2 = а^а^а^. @7)
При такой нормировке объем (а в силу однородности также и
масса) всех эллипсоидов является одним и тем же.
На рис. 21 на плоскости (alt а2) представлены решения для
различных последовательностей Роша. На этой плоскости не-
возмущенная сфера представлена точкой ch = а2 = 1; это есть
точка $ на рис. 21.
Рис. 21. Соотношения между последовательностями Маклорена, Якоби,
Джинса и Роша. Ординатами и абсциссами служат нормированные значе-
1 I
ния ai «в ai/(aia2a3)3 и а2 — q2f(aia2a3) 3 двух главных осей равновесного
эллипсоида (или сфероида). Невозмущенная сфера отмечена буквой S; после-
довательность Маклорена SM", последовательность Якоби ЛТ2/, последова-
тельность Джинса ST и последовательности Роша (отмеченные значениями
р ss М/М', которым они соответствуют) образуют область, ограниченную
составной последовательностью Маклорена — Якоби SM2J и последователь-
ностью Роша SRq для р = 0. Первой точкой бифуркации на последователь-
ности Маклорена является М2 (е = 0,8127); М3 (е= 0,8993) и (0 = 0,9694)
являются следующими нейтральными точками, соответствующими третьим гар-
моникам. В точках О2 (е = 0,9529) и О3 (е = 0,9670) сфероид Маклорена стано-
вится неустойчивым от форм колебания с растущей амплитудой, относящихся
ко вторым и третьим гармоникам; в точке Afmax (е “ 0.9300) Q2 достигает сво-
его максимума среди значений вдоль SM". Эллипсоид Якоби становится
неустойчивым от формы колебания, относящейся. к третьим гармоникам,
в точке J3 («! = 1,8858; а2 = 0,8150), где ответвляется грушевидная после-
довательность; кроме того, вдоль всей последовательности М2/ эллипсоиды
Якоби характеризуются нейтральной формой колебания, относящейся ко
вторым гармоникам. В точках Т2 (0 = 0,8830) и Т3 (е = 0,9477) сфероиды
Джинса становятся неустойчивыми от форм колебания, относящихся ко вто-
рым и третьим гармоникам. Предел Роша, где Q2 и g достигают своих
максимумов вдоль различных последовательностей Роша, представлен пунк-
тирной кривой, соединяющей М2 и Т2; геометрическое место точек, где на-
чинается неустойчивость при формах колебания, относящихся ко вторым
гармоникам, изображено сплошной кривой, соединяющей М2 иТ2. Геометри-
ческое место нейтральных точек (соответствующих третьим гармоникам)
изображено кривой, соединяющей Г3 и /3. Отметим, что эллипсоиды Якоби
можно рассматривать как неустойчивые в пределе при р -> оо.
230
Глава 8
. Сфероиды Джинса, будучи вытянутыми, представлены псев-
догиперболическим геометрическим местом точек
М= 1; (28)
это есть кривая ST.
Сфероиды Маклорена, будучи сжатыми, представлены пря-
мой линией
(>1); (29)
это есть прямая линия SMa. Последовательность Якоби ответ-
вляется от последовательности Маклорена в точке М2, где
а, =а2 = 1,19723; (30)
в этой точке й2 = 0,37423.
Последовательность Якоби представлена кривой М2/. По-
скольку эллипсоиды последовательности Якоби в конечном
счете, становятся удлиненными, то геометрическое место точек
М2/ асимптотически приближается к ST при at -* 00. К тому же
эллипсоиды Якоби становятся неустойчивыми в точке /3, где от-
ветвляется грушевидная последовательность.
Последовательности Роша для различных значений р пред-
ставлены однопараметрическим семейством кривых, ограничен-
ных частью SM2 последовательности Маклорена, последова-
тельностью Якоби М21 и последовательностью Роша SRo для
р = 0. Это следует из наших более ранних замечаний, а из
рис. 21 теперь очевидно, что в пределе при р—*оо последова-
тельность Роша становится составной последовательностью
Маклорена — Якоби, представленной ломаной кривой SM2J.
в) Предел Роша
Мы видели, что й2 и ц одновременно достигают максимумов
в некоторой определенной точке последовательности Роща. По-
этому для расстояний R, меньших расстояния, соответствую-
щего максимальному достижимому значению ц, равновесные
фигуры не возможны. Этот предел, определяющий расстояние
наибольшего сближения, при котором возможно равновесие, на-
зывается пределом Роша.
Предел Роша наиболее удобно определить с помощью ме-
тода, аналогичного описанному в разд. 32 для определения по-
ложения максимума й2 на последовательности Маклорена.
В силу того что структура эллипсоидов Роша определяется
только уравнениями (9), очевидно, что в точке, где й2 и ц до-
стигают своих максимумов, должны удовлетворяться не только
эти уравнения, но также и их первые вариации для перемеще-
ния, которое сохраняет эллипсоидальную фигуру и постоянную
ллотность. Другими словами, для максимумов кроме уравнений
Эллипсоиды Роша
231
(9) должны быть также удовлетворены уравнения
623П + (Q2 + 2ц) 1/н = 6®22 + (Q2 _ и) у22 = б2В33 - (31)
для перемещения, у которого
Это последнее условие обеспечивает сохранение того же са-
мого постоянного значения плотности.
Уравнения (31) эквивалентны паре уравнений
(Q2 + 2ц) У„ -• (Й2 - И)У22 = 62В22 - (33)
и
(Q2 + 2И)7Н + (Q2 - н)У22 + 2ЦК3з=- (628ц +б®22 - 2д2В33). (34)
С учетом равенств (149) и (150) гл. 3 уравнения (32)—(34)
становятся линейными и однородными относительно Vn, 1/22 и
Узз- Условие того, что эти уравнения допускают нетривиальное
решение, имеет вид
Q2 4~ 2р. — ЗВц 4“ В12 4“ Ц 4“ ЗВ22 ““ В12 В 23 *“ -®13
224-2ц—(ЗВц4”-®12“"2В1з) Q2—-(ЗВ224"-®12—2В2з) 2|л4"6Взз—В13—В2з
1 ===0-
2 2 2
_ а1 а2 а3 _ .
(35)
Это уравнение определяет точку, где й2 и ц достигают своих
максимумов. Посредством некоторых элементарных преобразо-
ваний уравненйе (35) можно привести к более простой форме
Й2 4- 2ц. — ЗВц + В ]3 В23 “” В12 Ц 4* ЗВ33 — Вц
В1з — В\2 й2 ц — ЗВ22 4* Д>з Н 4* ЗВ33 — В23
1 1 3
9 О О
«1 а2 «з
= Дпредел Роша = 0. (36)
Точки на различных последовательностях Роша, где й2 и g
достигают своих максимумов, определяемых уравнением (36),
приведены в табл. XVIII.
Точку, где ц достигает своего максимума на последователь-
ности Джинса, можно получить из уравнения (36), полагая
Q2 = 0 и вспоминая, что сфероид Джинса является вытянутым.
Находим **
** = ~ё? Ра1ВП 2°2^22 (Й1 “Ь ^12]* (37)
232
Глава 8
Таблица XVIII
Предел Роша и постоянные критического эллипсоида
(Й2 и Ц измерены в единицах л(?р)
р Й2 max ^max 5i 52 53
—1 0 0,125536 1,6558 0,7771 0,7771
0 0,090093 0,090093 1,5943 0,8152 0,7694
1 0,141322 0,070661 1,5565 0,8418 0,7632
4 0,216861 0,043372 1,4944 0,8913 0,7508
20 - 0,306396 0,014590 1,3989 0,9821 0,7279
100 0,350562 0,003471 1,3224 1,0642 0,7106
оо 0,374230 0 1,1972 1,1972 0,6977
На рис. 21 геометрическое место точек, где Q2 (и/или ц) до-
стигают своих максимумов, представлено пунктирной кривой,
соединяющей точки Т2 и А42. Это геометрическое место точек
определяет предел Роша.
57. УСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЛИПСОИДОВ РОША ПО ОТНОШЕНИЮ
КО ВТОРЫМ ГАРМОНИКАМ КОЛЕБАНИЙ
Теперь мы обращаемся к вопросу об устойчивости эллипсои-
дов Роша по отношению к колебаниям, относящимся ко вторым
гармоникам. Как и в предыдущих главах, мы будем рассмат-
ривать этот вопрос на основе линеаризованной формы соответ-
ствующих вириальных уравнений второго порядка.
Из уравнения (7) очевидно, что уравнение, которое для эл-
липсоидов Роша мы должны рассматривать, есть
Wf; z- - 2WeiZ3V/; /=62Bz/+(Q2-p)К//-£22д/зКз/+3Ив/171/+д//йП,
(38)
где X — параметр, характеристические значения которого подле-
жат определению.
Девять уравнений, даваемых уравнением (38), распадаются
на две независимые группы, различающиеся их кратностью по
отношению к индексу 3. Уравнениями, нечетными относительно
индекса 3, являются „ „
XV3; 1 = 62Вз1 - рУ13 = - (2В13 + и) V13, (39)
Х2Уз:2 = 62В32 _ 23 _ (2В23 + Ц) у23, (40)
ХТ1; 3-2XQV2; з=б281з + (Q2+2p) /13= - (2BI3-Q2_2g) 713> (41)
Х2|/2; з+2АЙИ1; 3=d2B23 + (Q2 - ц) И23 = -(2Вгз - Q2 + р) У2з, (42)
Эллипсоиды Роша
233
где 62Bij заменены выражениями, даваемыми равенством (148)
гл. 3. Аналогично уравнениями, четными относительно индекса
3, являются
Х2И3; 3 = б2Взз -т цИзз + 6П, (43)
XVi; 1-2W72; 1 = 62311 + (й2 + 2р) Гц + бП, - (44)
XV2; 2+2AQF1; 2 = 62822 + (й2 - ц) v22 + 6П, (45)
Х2К1;2-2ХЙ172;2 = 62В124-(Й2 + 2И) К12=—(2В12—Q2—2И) V12, (46)
XV2; 1+2ЛЙУ1; i = 62B2i 4- (Й2 - ц) V12 =—(2BI2 — Й2 4- ц) V12. (47.)
а) Характеристическое уравнение для нечетных форм колеба-
ния
Почленно складывая уравнения (39) и (41), а также и урав-
нения (40) и (42), получаем
(X2 + 4В1з — й2 — ц) Vis - 2ХЙ72з + 2ХЙУ3.2 = 0 (48)
и
(X2 4- 4Вгз — й2 4- 2ц) 7гз 4- 2ХЙ V[3 — 2XQV3; i = 0. (49)
Исключая из приведенных уравнений И3;1 и V3;2 при помощи
уравнений (39) и (40), имеем
X (X2 4- 4В13 — й2 — ц) V13 - 2Й (X2 4- 2В23 4-Ц) V23 = 0 (50)
и
X (X2 4- 4В2з - Q2 4- 2ц) V23 4- 2й (X2 4- 2В13 4~ Ц) V13 = 0; (51)
эти два уравнения приводят к характеристическому уравнению
X2 (X2 4- 4В1з - Q2 - ц) (X2 + 4В23 - Q2 4- 2ц) 4- .
4-4Q2 (X2 4~ 2В23 4~ ц) (X2 4-2В13 4“ ц) = 0. (52)
Можно заметить, что, полагая в уравнении (52) ц = 0, мы
снова, получаем уравнение для нечетных форм колебания эл-
липсоида Якоби (или сфероида Маклорена, если не делать раз-
личия между индексами 1 и 2).
Для случая сфероида Джинса (й2 = 0 и а2 = йз) уравне-
ние (52) принимает вйд
X2 (X2 + 4В12 - ц) (X2 4- 4В22 4- 2ц) = 0. (53)
Поэтому квадратами характеристических частот являются
0, 4В12 — ц и 4В22 4" 2ц. (54)
234
Глава 8
б) Характеристическое уравнение для четных форм колебания
Обращаясь теперь к четным уравнениям (43) — (47) и ком-
бинируя их так, чтобы исключить 6П, получаем четыре уравне-
ния
(V + 4В12 ~ 2Q2 - ц)У12 + Ш (7П - Г22) -= 0, (55)
X2(7i;2-72;I) = XQ(71i+722) + 3p7i2, (56)
уХ2(7ц—722)—2XQ712=63Bn—d3822+(Q2-]-2|x)7iI—(Q2—р)722, (57)
1х2(7и + 722) + 2XQ (71; 2 - Vi, 1)-X2733=62BI1 + д2822 - 2д2В33 +
+ (Q2 + 2ц) 7П + (02 - ц) 722 + 2ц733. (58)
Перегруппировывая члены уравнения (57) и исключая из урав-
нения (58) (Vi; 2 — 72;i) при помощи уравнения (56) (и перегруп-
пировывая члены), получаем пару уравнений
(у X2-Q2-2p) V, j -(4 X2-Q2+|x) Va-2MiVl2 =62Bu-dSB22, (59)
(lx2 + Q2 — 2p)7n + (1X2 + Q2 + |1)У22-(Л2+2И) 733+^7,2 =
= S2Bn + 6SB22 - 262B33. (60)
Учитывая равенства (149) и (150) . гл. 3, видим, что уравнения
(32), (55), (59) и (60) являются линейными и однородными от-
носительно 7ц, 7гг. 7зз и 7i2; они приводят к характеристиче-
скому уравнению (61) (см. далее).
После некоторых элементарных преобразований уравнение
(61) можно привести к более простому виду (62), где при пере-
ходе от уравнения (61) к (62) опущен множитель X2 [см. урав-
нение (88) ниже, в разд. 59].
Уравнение, соответствующее сфероидам Джинса, можно
получить, если в уравнении (62) положить Q2 = 0 и не делать
различия между индексами 2 и 3. Находим, что результирую-
щее уравнение разлагается на множители и дает
[1а2(2а2 + а2) - 6а2В„ - 4а2В22 + 2(а2 + а2) В12 + (4а2 - а2)ц] X
Х(а2-4В12 + ц)(о2-4В22-2ц) = 0, (63)
где положено о2 = —АЛ Из уравнения (63) следует, что повто-
ряются два не обращающихся в нуль корня, данные в (54), в
то время как третий корень есть
9
’ = 'зст + 4а’в« -2 (“? + “Эв^ - (4“? - aS 4 ,64>
"т* tig
236
Глава 8/
Сравнение с уравнением (37) показывает, что величина о2, да-
ваемая уравнением (64), обращается в нуль в точке, где ц
достигает своего максимума, и а2 < 0 за этой точкой. Мы за-
ключаем, что сфероид Джинса неустойчив за точкой, где ц
достигает своего максимума.
в) Точка начала динамической неустойчивости
на последовательности Роша
В табл. XIX приведены характеристические частоты колеба-
ния для последовательности Джинса и для последовательно-
стей Роша при р = 0 и 1. Изменение о2 вдоль различных после-
довательностей Роша для формы, при которой эллипсоиды Роша
Рис. 22. Квадраты характеристической частоты (измеренной в едини-
цах лбр), соответствующей форме, при которой эллипсоиды Роша и сфе-
роиды Джинса становятся неустойчивыми. Кривые для различных последо-
вательностей Роша отмечены значениями р, которым они соответствуют;
кривая, отмеченная знаком оо, относится к составной последовательности
Маклорена — Якоби, а кривая, отмеченная цифрой —1, относится к последо-
вательности Джинса.
становятся неустойчивыми, представлены на рис. 22. Видно, ка-
ким образом форма, которая при р =—1 является неустойчи-
вой после ртах, становится при р -> оо нейтральной вдоль всей
якобиевой части составной последовательности Маклорена —
Якоби.
Таблица XIX
Квадраты характеристических частот, относящихся ко вторым гармоникам
(о2 измерено в единицах л(?р)
Последовательность Джинса
е ? а* °2 °3 , е_ °1 °2
0 1,06667 1,06667 1,06667 0,75 0,79312 1,52033 +0,42239
0,05 1,06692 1,06805 1,06342 0,80 0,73210 1,59802 +0,28087
0,10 1,06326 1,07332 1,06016 0,82 ' 0,70341 1,63172 +0,21799
0,15 1,05914 1,08165 1,05151 0,84 0,67162 1,66700 +0,15169
0,20 1,05316 ' 1,09343 1,03917 0,86 0,63609 . 1,70389 +0,08239
0,25 1,04528 1,10881 1,02273 0,88 0,59593 1,74242 +0,01092
0,30 1,03535 1,12793 1,00167 0,8830265 0,58938 1,74839 0
0,35 1,02323 1,15098 0,97525 0,90 0,54987 1,78259 —,0,06117
0,40 1,00860 1,17823 0,94275 0,92 0,49595 1,82434 —0,13103
0,45 0,99121 1,20996 0,90304 0,94 0,43090 1,86754 —0,19319
0,50 0,97060 1,24656 0,85493 0,96 0,34854 1,91189 —0,23617
0,55 0,94627 1,28844 0,79684 0,98 0,23394 1,95671 —0,23051
0,60 0,91751 1,33612 0,72689 0,995 0,09355 1,98961 —0,12693
0,65 0,88337 1,39020 0,64289 0,999 0,02782 1,99798 —0,04361
0,70 0,84255 1,45134 0,54229 0,9999 0,00415 1,99980 —0,00709
Последовательности Роша
as arccos —- ai Четные формы Нечетные формы
°2 °3 °5
) Р = 0 -
0° 1,067 1,0667 + 1,0667 1,067 1,0667 0
24 1,323 1,1239 +0,7007 1,272 0,9370 0,0241
36 .1,429 1,1393 +0,4866 1,412 0,8718 0,0551
48 1,569 1,0445 +0,2574 1,577 0,7757 0,0954
57 1,697 0,8788 +0,0836 1,708 0,6640 0,1234
60 1,740 0,8070 +0,0285 1,752 0,6.168 0,1301
61 1,754 0,7814 +0,0109 1,767 0,5997 0,1318
62 1,767 0,7552 —0,0063 1,781 0,5822 0,1333
63- 1,783 0,7284 —0,0232 1,793 s 0,5642 0,1344
66 1,824 0,6442 —0,0695 1,833 0,5063 0,1356
71 1,886 0,4948 —0,1278 1,893 0,3987 0,1284
72 1,898 0,4640 —0,1357 1,903 0,3758 0,1253
75 1,928 0,3711 —0,1495 1,933 0,3049 0,1125
79 1,962 0,2482 —0,1416 1,963 0,2076 0,0865
238
Глава 8
Продолжение табл, XIX
а3 arccos —- Д1 Четные формы Нечетные формы
°2 °3 *4 °1 °6
0° 1,067 1,0667 + 1,0667 1,067 1,0667 0
12 1,280 1,0333 +0,8740 1,181 0,9799 0,0094
24 1,392 1,1398 +0,6294 1,313 0,9078 0,0380
36 1,494 1,1901 +0,4045 1,464 0,8440 0,0854
48 1,602 1,1410 +0,1952 1,625 0,7610 0,1440
54 1,673 1,0468 +0,1011 1,705 0,6994 0,1713
59 1,738 0,9309 +0,0303 1,770 0,6321 0,1884
60 1,752 0,9040 +0,0171 1,782 0,6166 0,1909
61 • 1,765 0,8760 +0,0044 1,795 0,6004 0,1930
66 1,830 0,7210 —0,0521 1,853 0,5088 0,1965
72 1,901 0,5127 —0,0976 1,914 0,3771 0,1803
78 1,955 0,3000 —0,1054 1,961 0,2298 0,1354
81 1,975 0,1999 —0,0905 1,978 0,1559 0,1017
В табл. XX указаны точки, в которых начинается неустой-
чивость вдоль различных последовательностей Роша, а на
рис. 21 сплошной кривой, соединяющей Af2 и Г2, представлено
геометрическое место этих точек граничной устойчивости.
Таблица XX
Точка, в которой начинается неустойчивость на последовательностях
Роша (Й2 и Ц измерены в единицах лбр)
р а* Ц 51 52 53
—1 0 0,125536 1,6558 0,77712 0,77712
0 0,090067 0,090067 1,6107 0,81096 0,76557
1 0,141229 0,070614 1,5805 0,83502 0,75771
4 0,216581 0,043316 1,526 0,8808 0,7439
20 ”0,305937 0,014568 1,430 0,9683 0,7222
100 0,350303 0,003468 1,343 1,0523 0,7078
оо 0,374230 0 1,197 1,1972 0,6977
Из рис. 21 очевидно, что эллипсоиды Роша для любого ко-
нечного 0 не становятся динамически неустойчивыми для
предела Роша, где Q2 и р достигают своих максимумов.
Эллипсоиды Роша
239
Тот факт, что две точки — точка, где Й2и ц достигают своих
максимумов, и точка, где начинается динамическая неустойчи-
вость,—не совпадают, следует из сравнения уравнения (36),
определяющего первую точку, и уравнения
(4В12 — 2Q2 — ц) X
—Q2—2|л+ЗВц—В\2 ^2з В1з
Q2 4* В\2 В1з М’4“ЗВзз £?2з
___
„2
а3
— Зр + 3 (Вц — В22) + В1з В2з
2 I 2 ~ 2
а\ а2 а3
== Одинам, неуст == (65)
— ЗцЙ2
1
2
а1
^13 — ^23
1
4
—Эр.4-3 (Ви—В22)4"^13—В23
Q2 4“ 3 (В22 В33) 4“ Bi2 В13
_L + J_ + J_
«1 of a2
определяющего вторую точку. То, что эти два уравнения
обязательно будут разными, можно видеть непосредственно из
сравнения уравнений (33) и (34) и предельных форй уравне-
ний (59) и (58) при Х->0. В самом деле, в то время как в пре-
деле при X = 0 уравнение (59) совпадает с уравнением (33), в
отношении уравнений (34) и (58) это не так. В последнем слу-
чае это различие объясняется тем, что в силу уравнений (55) и
(56) дополнительный член в уравнении (58), а именно
2XQ (У 1;2 - У2; i) = 2Q2 (У „ + У22) 4- У12 =
+VK) -бй’и + . (66)
стремится не к нулю при X -> 0, а к некоторому конечному пре-
делу. Другими словами, уравнение, получаемое при рассмот-
рении ab initio1) квазистатической деформации, не совпадает с
уравнением, получаемым из рассмотрения нормальной формы с
временной зависимостью ем и последующего предельного пере-
хода при X—*0. Вопрос о том, что «в действительности» проис-
ходит в точке начала неустойчивости [согласно критерию (65)],
был решен Лебовицем (статья XX) на основе отдельного ис-
следования- форм, которые оказываются «нейтральными» при
анализе, в котором зависимость перемещения от времени пред-
полагалась как eKt.
Мы уже отмечали, что при переходе от уравнения (61) к
уравнению (62) был опущен множитель X2. Поэтому казалось
*) С самого начала (лат.).
240
Глава 8
бы, что Л = 0 есть характеристический корень, кратности 2.
С другой стороны, полагая в уравнениях (32) и (55) —(58)
Л = dldt = 0, найдем, что существует только одна-единственная
определяемая стационарная форма: она относится к собствен-
ному перемещению, для которого
= V22 = У33 = У12 = 0 и Vi;2 = — V2; i= const. (67)
Эта форма представляет простое вращение- эллипсоида как
твердого тела (вокруг оси вращения). Поскольку такая стацио-
нарная форма единственная, мы заключаем, что вторая форма
колебания, которой в анализе нормальных форм соответствует
значение X = 0, -должна иметь линейную зависимость от вре-
мени. Нецосредственной подстановкой в уравнения (32) и
(55) — (58) [в которых X теперь заменяется оператором dldt}
убеждаемся, что такая форма существует и, кроме того, соот-
ветствующее ей перемещение [даваемое ниже равенством (696)]
деформирует эллипсоид в бесконечно близкий эллипсоид на
равновесной последовательности с соответствующей ему угловой
скоростью. Эта вторая форма становится стационарной для
предела Роша (и только для предела Роша).
Возвращаясь к точке начала неустойчивости согласно кри-
терию (65), сначала заметим, что анализ нормальных форм по-
зволяет предположить, что здесь ?. = 0 есть корень кратности 4.
На основе предыдущего заключаем, что только одна из этих
форм может быть действительно стационарной и одна из них
должна иметь , линейную зависимость от времени. Поэтому
остальные две формы должны иметь квадратичную или куби-
ческую зависимость от времени. Чтобы найти эти формы, сде-
лаем подстановку '
Vi, / = и?/ + V^it + + V^t3 (68)
в уравнениях (32) и (55) — (58) (в которых Л снова отождеств-
ляется с d/dt). Непосредственное; вычисление показывает, что
уравнения действительно допускают такие решения, коль скоро
для точек начала динамической неустойчивости удовлетворяет-
ся условие (65); кроме того, 'четыре линейно независимые ре-
шения, соответствующие четырехкратному корню % = 0, суть
7ц = У22 ~Узз ~ 712 = 0, 71; 2 — — 72;i= const, (69а)
Vn=H0?, V22 = V®, V33==^3), +
(v1:2-iM=[m-mk ( }
Vn=y№, ^22 = ^, Vfy = V%t, И12=У<1;)2 + КУ?)1,
(vI;2-k2;1)=[HT2-<]^ (69b)
Эллипсоиды Роща
241
И
Ун = И°1) + И?/2, V22 = V% + V$t2, Изз-Изз+УзМ
712 = [01!)2 + ^‘)1]Л (69г)'
Постоянные, фигурирующие в приведенных здесь решениях, не
являются произвольными: они имеют определенные отношения.
Например, если в решении (69в) разность 7(i% — 7г% задана,
то 7(ц, V22, 7зз, 7(1% и 72% определяются через нее. Решения
(69а) и (696) имеют место не только в точке начала неустойчи-
вости, но и вдоль всей последовательности Роша.
Теперь ясно, что в точке начала неустойчивости «смены ус-
тойчивости» в обычном смысле не происходит: до точки начала
неустойчивости решения имеют колебательный характер, за
точкой начала неустойчивости решения имеют экспоненциаль-
но возрастающую или убывающую зависимость от времени,
а в точке начала неустойчивости решения имеют полиномиаль-
ную зависимость от времени, даваемую уравнениями (69в) и
(69г).
58. НЕЙТРАЛЬНАЯ ТОЧКА, СООТВЕТСТВУЮЩАЯ
ТРЕТЬИМ ГАРМОНИКАМ
Как и в других изученных нами случаях, расположение ней-
тральной точки, соответствующей третьим гармоникам, может
быть определено при помощи вириальных уравнений третьего
порядка.
Прежде всего заметим, что дополнительный член в уравне-
нии (6), содержащий ц и зависящий от приливного потенциала,
изменяет обычную форму вириального уравнения третьего по-
рядка [уравнение (73) гл. 2] в следующую:
J QUiXjXkdX. = 2 (£//; k + /) + ЗВ//; k + 3B/fe. / +
+ (Q2 — + ЗрбиЛ/fc +
+ 2£28пз ]* ?UiXjXk dx + 6//Щ + fyfcllp (70)
v
При стационарных условиях и в отсутствие внутренних движе-
ний уравнение (70) дает
ЗВ//; k + ЗВ^; / + (Q2 — ц) lijk — Й2б/з7зм + Зрбц/i/fe =
— — 6//Щ — д/ftll/. (71)
Необходимое (и достаточное) условие существования ней-
тральной точки, соответствующей третьим гармоникам, состоит
242 Глава 8
в том, чтобы существовало нетривиальное лагранжево пере- |
мещение, для которого удовлетворяется первая вариация урав-
нения (71). Тогда уравнение, которое мы должны рассмат-
ривать, есть • s
62В//; k + / -f- (Q2 — ц) Vцк — з/s + ЗцблИi/a =
= — 6// — ^ik 6П/, (72)
и, как мы знаем, левую часть этого уравнения можно предста-
вить в виде линейной комбинации величин Vi,k-
Для определения нейтральной точки достаточно рассмотреть
уравнения [получаемые из уравнения (72)], которые нечетны от-
носительно индекса 1 и четны относительно индексов 2 и 3. Это
следующие уравнения:
262811:1 + (Q2 + 2ц) Гт = - 2 6ПЬ (73)
62В22; 1 + 63В21; 2 + (^2 — Ц) ^221 = — бП], (74)
бЗВзз; 1 + б2Вз1; з — цКзз! = — 6П,, 1 (75)
2 62812; 2 + (Q2 + 2ц) V122 = 0, (76)
2628,3; з + (Q2 + 2ц) V 1зз = 0. (77)
Исключая 6П1 из уравнений (73) — (75), получаем пару уравне-
ний [см. уравнения (22) и (23) гл. 6]
6SI22 + (Q2 + 2ц) 7П1 - 3QV122 = 0 (78)
и
6S133 + (Q2 + 2ц) - Q?V 1зз = 0, (79)
где 6S122 и 6S,33 имеют тот же смысл, что и прежде.
Используя даваемые равенствами (153) и (157) гл. 3 выра-
жения для 62812; 2, 628,3; з, 6S122 и 6S133, из уравнений (76) — (79)
вместе с условием соленоидальности 1
получаем систему пяти линейных однородных уравнений для
Vm, V122 и Ут- Существование7 нетривиальной нейтральной фор-
мы, относящейся к третьим гармоникам, требует, чтобы для не-
которого члена рассматриваемой последовательности Роша
ранг матрицы порядка (5X3) системы уравнений (76) — (80)
был не более 2.
Вычисляя для частной последовательности Роша определи-
тели шести различных систем уравнений, которые можно обра-
зовать, рассматривая уравнение (80) и любые два из четырех
уравнений (76) —(79), находим, что все шесть определителей
ifi
Эллипсоиды Роша
243
(порядка 3) одновременно обращаются в нуль в некоторой
точке. Этот результат подтверждает, что для определенного
члена последовательности ранг системы уравнений (76) —(80)
действительно равен 2. Мы заключаем, что искомая нейтраль-
ная точка существует.
Замечания, сделанные в гл. 6 в связи с аналогичными рас-
смотрениями последовательности Якоби и приведеннйе после
табл. V, справедливы и для настоящего случая. Возникающие
вопросы единственности могут быть разрешены (в случае на-
добности) аналогичным образом.
Таблица XXI
Нейтральная точка на последовательностях Роша, соответствующая
третьим гармоникам (Q2 и ц измерены в единицах лбр)
р Q2 У- Si &
—1 0 0,10913 2,142 0,6833 0,6833
0 0,07754 0,07754 2,080 0,7091 0,6780
1 0,12073 0,06036 2,044 0,7258 0,6741
4 0,1825 0,03649 1,989 0,7535 0,6671
20 0,2496 0,01188 1,923 0,7912 0,6572
оо 0,2840 0 1,886 0,8150 0,6507
В табл. XXI приведены нейтральные точки для различных
последовательностей Роша, определенные на основе описан-
ного способа. На рис. 21 геометрическое место этих точек есть
кривая, соединяющая Т3 и Уз-
59. ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОЙ ДИССИПАЦИИ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
ЭЛЛИПСОИДА РОША
В разд. 57 мы видели, почему эллипсоид Роша не теряет
устойчивости на расстоянии наибольшего сближения (со вто-
рым телом), совместимом с условиями равновесия; он становит-
ся неустойчивым лишь в тех точках на последовательности, где
это расстояние несколько больше. Однако этот результат был
получен из анализа, основанного на предположении, что жид-
кость является идеальной и что отсутствует механизм диссипа-
ции. Теперь мы покажем, что если отказаться от этого предпо-
ложения и рассматривать вязкую жидкость, то между пределом
Роша и точкой начала динамической неустойчивости эллипсоид
Роша становится неустойчивым в вековом смысле от чисто вяз-
кой формы.
244
Глава 6
При рассмотрении вековой неустойчивости эллипсоида Ро-
ша будем предполагать (как и в разд. 37), что напряжения
возникают от обыкновенной вязкости, определяемой коэффи-
циентом кинематической вязкости v. Тогда уравнение (38) сле-
дует заменить уравнением [см. уравнения (121) и (122) гл. 5]
W/; / - 2KQeit3Vh i = dSSif + (Q2 - p) Vu - QW3/ +
+ 3|xdilV1/ + dz/6n-d^i/, (81)
где бфг-; — первая вариация тензора энергии сдвига [определен’
ного равенствами (111) и (115) гл. 5].
Утверждения разд. 37, б применимы и в настоящем случае,
и выражение для бф,-, в приближении, соответствующем малым
числам Рейнольдса, есть
6^/=5м7-^- + -Ц^ (82)
\ а/ ai /
(нет суммирования по повторяющимся индексам).
Рассмотрим влияние вязкой диссипации лишь на четные
формы. (Отдельное исследование нечетных форм показывает, что
все они демпфируются вязкостью.)
При добавлении в уравнение (81) члена бфи уравнения (59),
(58), (55) и (56) соответственно принимают вид
_ Q2 _ 2И + _ (±Х2 _ Q2 + ц + ^1^ _
\2 . ai ) \2 а2 /
- 2№У12 = 628ц - 62822, (83)
/1Л2— Q2 —2цкп + (-Л2-Q2 + V22 -(к2 + 2И + ^-Узз+
\2 / \2 / \ аз /
+ 2W (И,; 2 - У2; i) = 62311 + 62В22 - 2 62Взз, (84)
(V + 4В12 - 2Q2 - р) У12 + Ш (7ц - У22)+
+ lOAvf-Ц^ + = 0 (85)
\а2 а1 /
И
Л2 (VI; 2 - V2; 1) - w (Vn + V22) - 3pV12 = 0. (86)
С учетом известных выражений для 62Вц — 63В22 и 63Вц -J--
+ SSB22— 2б2Взз уравнения (83) — (86) вместе с условием соле-^
ноидальности (32) образуют систему пяти линейных однородных
уравнений для Vn, V22, V33, Vi;2 и V2; /; и мы приходим к харак-
теристическому уравнению (87) . Соответствующим образом ком-
бинируя строки и столбцы характеристического уравнения (87),
можно привести его к виду (88).
у V-Q2-2g +
+3Bn-B12+5Xv/a2
-yX2 — Q2 — 2ц +
+ 3B„ + B12 ““ 2B13
XQ
-XQ
1
yX2- fl2 —2g +
-|-3Bj j—В j2"b 5Xv/a2
Q2 + Bj2 —- Bi3
XQ
— XQ
1
-1Г4-22-ц- —ЗВ22"ЬВ|2“~ бХУ^Д^ Bj3 — B23 — 2XQ — 2XQ
lx2-Q2 + g + - X2 — 2ц — 6B33 + — 2XQ
2 4" 2Xfl
ЗВ22 4" B12 2B23 +B134-B23 15Xv/a2 X2 + 4512 — 2a2 - X2+4B12-2Q2- = 0, (87)
— XQ 0 — Ц + 10Xv/a2 — g + 10Xv/a2
— XQ 0 X2 - 3ц — X2 — 3g
1 1 0 0
2 a2 a3
— 3ц 4“ ЗВ и—3B224" + В1з — В2з + 4- 5Xv (a]-2 — a^2) В]з — В2з — 2XQ 0
Q2 4- 3B22 — ЗВ33 + + B12 ~ B13 + 4- 5Xv (a2 2 — a3 2) 0 —-i-X2 — g—ЗВ33 + B23 *"“ 5Xv/Og 0 Q (X + Зц/Х) X2 + 4B12 - 2fi2 — —g + 5Xv (a] 2 + a2 2) 0 5Xv(a^2 — af2' ) = 0. (88)
— 2XQ 0 -3g X2
_L+_L+-L 1 0 0
9 । 9 • 2 «2 аз «3
246
Глава 8
Из уравнения (88) видно, что в отсутствие вязкости корнем
является
А2 = 0, (89)
при наличии вязкости корнем будет лишь
Л = 0. (90)
Как мы видели в разд. 57, в, из двух форм, которые в отсут-
ствие вязкости отвечают значению А = 0, только одна является
стационарной, в то время как другая имеет линейную зависи-
мость от времени. Как и следовало ожидать, стационарная фор-
ма не разрушается вязкостью, так как она попросту отвечает
вращению эллипсоида как твердого тела. Следовательно, фор-
ма, которая в отсутствие вязкости имеет линейную зависимость
от времени, при наличии вязкости приобретает конечное харак-
теристическое значение. Мы будем называть ее вязкой формой.
а) Вязкая форма
При рассмотрении уравнения (88) следует помнить, что оно
справедливо лишь до членов первого порядка относительно v
и допустимыми являются только те корни, которые можно пред-
ставить в виде
К = Ло + const v + О (V2), (91)
где Ао есть характеристический корень задачи для идеальной
жидкости. Поэтому, разлагая вековой определитель (88) по эле-
ментам последнего столбца, в миноре, отвечающем элементу
5Av(аГ2 — аГ2), можно пренебречь членами, содержащими v. Та-
ким образом мы получаем (92), где исключен корень А = 0.
Из уравнения (92) теперь очевидно, что в соответствии с рас-
сматриваемым приближением, отвечающим малым числам Рей-
нольдса, характеристическое значение, соответствующее вязкой
форме, можно получить, если А и v одновременно устремить
к нулю в первом определителе (который стоит множителем при
А), а во втором определителе (который является множителем
при v) устремить А к нулю. В результате получаем (после неко-
торых элементарных преобразований определителей)
А = -1бИ(Ц------П—Ре^Л—' (93)
\ а2 а1 / Одинам, неуст
где Дпредел Роша и Ддинам. неуст суть те же самые определители,
что входят в уравнения (36) и (65). Эти определители были
вычислены и они положительны до соответствующих допустимых
Таблица XXII
Характеристические значения 1 для вязкой формы для
последовательностей Роша р = 0 и р=1 (X/v измерено в единицах а”2)
р=0
а2/ах Я2/Л(?р
0,500 0,472081 0,090039 —26,430 *
0,502 0,473929 0,090056 —50,432
0,503480 I) 0,475298 0,090067 ±00
0,504 0,475779 0,090070 + 111,02
G,506 0,477628 0,090081 + 16,438
0,508 0,479479 0,090088 +5,6499
0,510 0,481330 0,090092 + 1,5500
0,511345 2) 0,482576 0,090093 0
0,512 0,483182 0,090093 —0,57191
0,514 0,485035 0,090090 —1,8452
0,516 0,486888 0,090084 —2,6773
0,518 0,488742 0,090074 —3,2512
0,520 0,490596 0,090062 —3,6612
р-1
Qz/ai £22/л(?р A/v
0,526 0,477388 0,141192 —39,907
0,528 0,479131 0,141224 —247,23
0,528319 1) 0,479409 0,141229 ± оо
0,529 0,480003 0,141239 + 105,98
0,530 0,480875 0,141252 +38,998
0,532 0,482620 0,141276 + 14,302
0,534 0,484366 0,141294 +7,0568
0,536 0,486113 0,141308 +3,6324
0,538 0,487861 0,141317 + 1,6593
0,540 0,489610 0,141321 +0,39176
0,540814 2) 0,490322 0,141322 0
0,541 0,490485 „ 0,141322 —0,082010
0,542 0,491360 0,141321 —0,48056
>) Точка начала динамической неустойчивости.
2) Предел Роша.
Эллипсоиды Роша
249
пределов и отрицательны после перехода через эти пределы. По-
этому отсюда следует, что
Л < 0 до предела Роша и после точки начала
динамической неустойчивости (94)
и
Л > 0 только в интервале между пределом Роша и
точкой начала динамической неустойчивости. (95)
Итак, эллипсоиды Роша становятся неустойчивыми от чисто вяз-
кой формы точно в интервале (и только, в интервале), который
разделяет предел Роша и точку начала динамической неустой-
чивости..
В табл. XXII приведены выводимые из уравнения (93) зна-
чения X/v для последовательностей Роша р = 0 и р — 1 в корот-
ком интервале, в котором форма, демпфированная вначале,
становится недемпфируемой, а затем снова демпфируемой.
б) Влияние вязкой диссипации на оставшиеся три четные формы
Влияние вязкой диссипации на оставшиеся три четные фор-
мы можно определить, полагая в уравнении (92)
v Х=Х0+.дХ, (96)
где Хо— определенное характеристическое значение задачи для
идеальной жидкости, и разлагая до членов первого порядка от-
носительно 6Х и v определитель, стоящий множителем при %
(которое положено равным Хо), и полагая X = Хо в определи-
теле, стоящем множителем при v. Очевидно, что 6Х будет пропор-
ционально v; формула, определяющая постоянную пропорцио-
нальности, легко может быть выписана. Используя выведенную
Таблица XXIII
Влияние вязкой диссипации на форму, которая становится
динамически неустойчивой
р *=» 0 р = 1
ajax о2 arfai 1 °г dX/v
0,501 —0,002559 +8,490 0,526 —0,001628 + 13,39
0,502 —0,0015290 + 16,95 0,528 —0,0002246 + 117,11
0,503 —0,0004960 +60,75 0,5283199 ° —
0,5034809 0 — 0,529 +0,0004802 —59,48
0,504 0,505 +0,0005391 +0,0015765 —63,71 —24,47 0,530 +0,0011871 —25,97
Точка начала динамической неустойчивости.
2S0
Глава 8
таким способом формулу, находим, что две четные формы, кото-
рые являются устойчивыми вдоль всей последовательности Роша,
всегда демпфируются вязкостью. Однако форма, которая стано-
вится динамически неустойчивой, демпфируется лишь до точки
начала неустойчивости: она не демпфируется после перехода че-
рез эту точку. Это поведение очевидно из табл. XXIII, в которой
даны значения бХ/v для этой формы.
60. ЭЛЛИПСОИДЫ РОША-РИМАНА
Очевидно, не возникает трудности при допущении, что в рам-
ках задачи Роша существуют внутренние движения с равномер*
ной завихренностью, а также при исследовании методами гл. 7
равновесия и устойчивости результирующих эллипсоидов
Роша — Римана. Эта задача в довольно общей постановке была
исследована Айзенманом. Настоящее изложение будет ограни-
чено частным случаем, когда завихренность g внутренних движе-
ний параллельна направлению Q. В этом случае из соображе-
ний симметрии очевидно, что ориентация главных осей эллип-
соида будет той же самой, что и в задаче Роша, рассмотренной
в разд. 56. Вириальные уравнения, определяющие равновесные
фигуры, можно сразу же записать в результате комбинирования
членов в уравнении (9), соответствующем простым эллипсоидам
Роша, и в уравнении (26) гл. 7, которое соответствует эллипсои-
дам Римана типа S. Имеем
a2Q2 4* (й2 4- 2Q2Q) 4" 2а — 2А1О] =
□= #2Q2 4- (й2 — 2Qi й) — a2[i — 2А2Д2 — — ца2 — 2Азйз, (97)
где
Заменяя в уравнении (97) Q] и Q2 их значениями, получаем
пару уравнений
Л2 2 пЛ2 Л2 л
' 22.2 S2 4- (й2 4- 2р.) 4- -тА Ф 4-4 Р = -г Uia?- А3а$ (99)
(af + aff a\ + a| a\ af
„2 „2 <>£ r? 9
у 2 ' 4 £2 4" (Й2 — P) + 2 ? 2 4" 4 P = ~ (-^2a2 — Азйз)- (100)
(a, + a2) ai + a2 a2 a2
Полагая, как в уравнении (40) гл. 7,
01^2 5
(101)
a2 4- a| Q ’
Эллипсоиды Роша
261
можно переписать уравнения (99) и (100) в виде
а» 1 / а%
х2 + 2 — х + 1 4 1 3
ai
'3 \
-4- 91 =______
1 + р af J Q2
2 (^12а^а2 А^з) “Ь &12
и
(Ю2)
Х2 _|_ 2-1-х + 1
а2
1 / „2
1 / а3
1 4-р Va2
—АГ1
Q2
2 (^12а1 а1 Ааз) “Ь В12
(ЮЗ)
Вычитая из
первого уравнения второе, получаем
1
а3^3 а1а2^ 12 L 1 + Р
1 / За2а2
~2 72
а1 ~ а2
(Ю4)
2
¥
aj I — .
И наконец, исключая из уравнения (102) [или (103)] Q2 при
помощи уравнения (104) и производя упрощения, получаем
[уравнение (43) гл. 7]
х2 +...2aia2*‘* % + —£— +
а3^3~ ala2^l2 1 + Р
1 За? (а| — а?)
+ ла. -----------2-^ТТ а1В<2 - 2 2--" В23 = 0.
(1 +р)(«3Л3“ а1а2Л12) I а1~ а2 J
(105)
Для заданных значений р и х уравнение (105) определяет
отношения осей эллипсоида, совместимого с условиями равнове-
сия; а значения £, Q2 и ц, соответствующие частному решению
уравнения (105), следуют из уравнений (12), (101) и (104).
Для допустимости решения уравнений (104) и (105) необхо-
димо, во-первых, чтобы два корня для х, даваемых уравнением
(105), были вещественными, и, во-вторых, чтобы правая часть
уравнения (104) была положительна. В аналогичном случае эл-
липсоидов Римана типа S у нас было условие, эквивалентное
первому и определявшее две граничные самосопряженные после-
довательности х= + 1 их=—1; однако у нас не было условия,
эквивалентного второму, так как вещественность х влекла за
собой вещественность Q [как это очевидно из равенств (41)
гл. 7]. Однако в данных условиях может случиться так, что один
из двух корней для х приводит к вещественной £2, а другой не
приводит. Другими словами, хотя равновесная фигура, опреде-
ленная уравнением (105), будет, вообще говоря, совместима
с двумя физически различными ситуациями, не существует про*
стой теоремы, аналогичной теореме Дедекинда.
Рис. 23. Область эллипсоидов Роша — Римана на плоскости (azla^ az/ai). Две конфигурации, которые соответствуют
двум корням уравнения (107), определяют эллипсоиды типов и
Для а2 < эллипсоиды обоих типов заполняют область ОМ1МСМ2* Для ^2>ai эллипсоиды типа S+заполняют область
YRMP-, однако эллипсоиды типа S— ограничены областью QURMP: вдоль QU угловая скорость эллипсоидов типа S— стре-
мится к бесконечности.
Последовательность Маклорена (представленная прямой CR) не содержится в области заполнения. Последо-
вательность Дедекинда (представленная кривой ONMW) ответвляется от прямой Маклорена. Эллипсоиды Дедекинда
являются предельными членами эллипсоидов Роша — Римана на бесконечности.
Кривая BBXD является геометрическим местом точек граничной устойчивости для эллипсоидов $+ от нечетной формы
вторых гармоник колебания. Вдоль этой кривой ответвляется новый класс эллипсоидов Роша — Римана, в которых на-
правления завихренности £ и угловой скорости Q не' совпадают, но лежат в плоскости (а2, Дз) эллипсоида. Аналогично
кривая UVT есть кривая, вдоль которой от эллипсоидов S— ответвляется класс эллипсоидов, в которых g и й лежат
в плоскости (аь а3) эллипсоида.
Рис 24а. Геометрические места точек граничной устойчивости эллипсоидов типов S+ (рисунок слева) и (рисунок
справа) на плоскости (а21аъ aja\) для а2 < Яр В областях с вертикальной штриховкой неустойчивость возникает от
четной формы колебания, в то время как в областях с горизонтальной штриховкой неустойчивость вызвана, нечетной
формой колебания.
Кривая ОАС, изображенная точками, представляет последовательность Роша для р = 0. Предел Роша находится
в точке Л, и динамическая неустойчивость начинается в той точке, где кривая О АС перетекает площадь с вертикальной
штриховкой. Ближайшему ко второму телу эллипсоиду в этой области соответствует точка В.
Рис. 246. Геометрические места точек граничной устойчивости эллипсоидов типов S+ (рисунок слева) и S— (рисунок
справа) на плоскости (а2Мь «зМ1) Для а2 > av За исключением указанных областей, эти эллипсоиды являются неустой-
чивыми. (Относительно значения кривой UVT см. пояснение к рис. 23.)
* Эллипсоиды Роша
255
а) Решение для случая р = 0
Для случая р = 0 уравнения (104) и (105) становятся
2
¥
1 / 30^2
а%А3 - a2ta%Al2 \ а? - af
(Ю6)
и
Х2 +
1
4Л3 а1а2/112
2а1а2В12х -|- о2В12
За?(а|-а|)
2 2
ay — a*2
В23 «=0.(107)
Равновесные фигуры, которое следуют из уравнений (106)
и (107), были определены Айзенманом. Его результаты, относя-
щиеся к области, занимаемой этими эллипсоидами на плоскости
(a2/ai, Оз/ai), приведены на рис. 23. Можно заметить, что среди
них имеются эллипсоиды Дедекинда. Это естественно, так как
они представляют допустимые равновесные фигуры на «беско-
нечности», когда имеют место лишь внутренние движения. Мож-
но также отметить, что области эллипсоидов, отвечающие двум
корням уравнения (107) и отмеченные S+ и S-, различны.
Устойчивость этих эллипсоидов Роша — Римана типа S мо-
жет быть исследована по аналогии с исследованием в разд. 49
эллипсоидов Римана. Результаты этого анализа представлены
на рис. 24а и 246. Можно отметить, что вдоль нейтральных гео-
метрических мест точек ответвляются другие более общие типы
конфигураций аналогично тому, как от эллипсоидов типа S от-
ветвляются эллипсоиды Римана типа III. Описание свойств бо-
лее общих классов элипсоидов Роша — Римана можно найти
в статье Айзенмана.
61. ЗАДАЧА ДАРВИНА
Задача Дарвина отличается от задачи Роша лишь в одном
отношении: в ней принимаются во внимание взаимные прилив-
ные взаимодействия между первым и вторым телами. Таким об-
разом, в то время как отправные точки двух задач одни и те же,
а именно уравнение (1), в задаче Дарвина делается попытка
учесть приливное возмущение второго тела (со стороны первого
тела) при вычислении его приливного потенциала 5В'.
При вычислении 5В' оказывается удобным рассматривать его
в координатной системе (Xi, Х2, Х$), начало которой совпадает
с центром масс М', а ориентация относительно М' та же самая,
что и у координатной системы (хь х2, х8) относительно М. Для
этих систем формулы преобразования координат имеют вид
Xj = — (Xj —~ х2 = Х2 и х8 = А8. (108)
256
Глава 8
Разложим теперь 23'(Хь Х2, Х3) в ряд Тейлора в окрестности
(/?, О, 0), предполагая, что второе тело обладает симметрией от-
носительно трех плоскостей. Тогда
»'(Х„ Х2, Х3) = 2т 0, 0) + (X, - 0>0 +
+ j(X,-fl)2
'д2Ж\ . 1 хг(дг&\
^ko.o 2 2 И Л,
о, о
+ •••;
0,0
(109)
следующие члены разложения мы не будем рассматривать.
Подставляя разложение (109) в уравнение (1) и принимая во
внимание равенства (108), можно написать
d«£ = _2L + p jLta+±y
Н dt dxt ~ Р дх( | 2 £
4
‘LUxJa.o.o^
'5® + т°!М + >'Э-
\аЛ//Я, 0,0 2 -
-j^rQ2]}4-2pQ8n3«/.
(НО)
Если теперь дать Q2 (пока не заданному) значение
Q2 = -
М + М' Гдф' \
M'R \ дХ-у)ц, о, о ’
(Н1)
то уравнение (ПО) примет вид
р-^1
р dt
(з \
b + +2pBs„3U1,
k=*l J
где
и
₽n=Q2 +
д*&\
дх* /д,
0.0
0,0
<ЭгЗУ\
$Х2 /я. О, о
____/д2®'
. M32ko.o- W
(112)
(ИЗ)
(114)
Следовало бы отметить, что при выводе уравнения движения
(112) для жидких элементов массы М мы предполагали, что
масса М' неподвижна; в противном случае величина Q2, опреде-
ленная ^равенством (111), не будет постоянной (разд. 63).
Очевидно, уравнение (112) допускает стационарные решения
без внутренних движений, приводящие к эллипсоидальным фи-
гурам равновесия. С другой стороны, так как постановка задачи
симметрична по отношению к обоим телам (в стационарном дви-
жении), то ясно, что стационарные решения, выводимые из урав-
нения (112), будут справедливы лишь в случае, когда выбор
системы отсчета, допускающей сведение (1) к (112) [в силу оп-
Эллипсоиды Роша
257
ределения (lll)J, не зависит от-частного тела, которое мы же-
лаем рассматривать. Очевидно, это не так в нашем случае; вы-
ражение (111) для Q2 не симметрично относительно М и М'.
В самом деле, определение Q2 из равенства (111) допустимо
строго только в двух случаях: когда М = М' и, кроме того, оба
тела являются конгруэнтными, и в «особом» случае М/М -*-0,
когда возмущением второго тела со стороны первого тела (бес-
конечно малой массы!) можно пренебречь. Во всех других слу-
чаях значения й2„ которые будут устранять в уравнении (НО)
для М и в аналогичном уравнении для М' «нежелательные»
члены, содержащие Xi и Xi, различны. Другими словами, только
в двух указанных специальных случаях поставленная так за-
дача Дарвина имеет непротиворечивое решение.
а) Вириальное уравнение .второго порядка
для задачи Дарвина
В предположении постоянства Рп, Р22 и рзз, очевидно, что ви-
риальным уравнением второго порядка, которое следует из урав-
нения (112), является
J ри{х} du — 2Z{j + + (Pl)f/ + + 2Qe»3 J puiXjdx, (115)
v . к.
где
₽n
0
0
0 0
P22 0
о Рзз
(H6)
В условиях гидростатического равновесия уравнение (115)
дает
SBiZ + (₽I)0 = -W . (117)
Недиагональные компоненты уравнения (117) будут тожде-
ственно удовлетворяться, а диагональные компоненты дают
1®11 + Р11Л1 = -®22 + р22^22 = ®33 + РззЛз ~ — Ц. (118)
Уравнений (118) будет достаточно для определения равновес-
ных фигур.
62. ЭЛЛИПСОИДЫ ДАРВИНА
Покажем, как для двух указанных в разд. 61 случаев могут
быть построены равновесные фигуры.
а) Случай M/M' — Q
В этом случае первое тело имеет бесконечно малую массу по
сравнению со вторым телом и можно считать, что его не возму-
щает наличие первого тела. Тогда отклонение второго тела от
9 Зак, 312
258
Глава 8
сферической формы определяется только потенциалом центро-
бежных сил. Поэтому второе тело является сфероидом Макло-
рена или эллипсоидом Якоби. Однако будет, показано, что реше-
ния задачи Дарвина существуют лишь для членов последова-
тельности , Маклорена с эксцентриситетами меньшими, чем
0,40504. Поэтому нет необходимости рассматривать якобиеву
. форму второго тела.
Итак, рассмотрим сфероид Маклорена с эксцентриситетом е.
Его угловая скорость вращения дается выражением [см. равен-
ство (6) гл. 5]
= 2 <ЦД1(3 - 2е2) arcsin е - -Д-(1 - е2), (119)
где рМс обозначает плотность сфероида. Можно отметить, что
в уравнении (119) мы вновь написали множитель лОрМс (обычно
опускаемый), так как теперь мы имеем дело с двумя однород-
ными объектами (второе и первое тела), плотности которых не
обязательно одинаковы.
Для того чтобы рассматриваемый «спутник» мог вращаться
синхронно со сфероидом Маклорена, необходимо, чтобы он опи-
сывал около него круговую орбиту с той же самой угловой ско«
ростью Q. Поэтому орбита должна описываться на таком рас-
стоянии чтобы динамическое условие (111) приводило к тому
же значению Q, что и уравнение (119). Уравнение, выражающее
это равенство, можно получить следующим образом.
В экваториальной плоскости однородного сфероида потен-
циал притяжения на расстоянии со от центра дается выражением
8У
nGpMc
е Мс
ш2
л2„2
е аМс
2 arcsin
&2 I
(120)
где аМс обозначает большую полуось сфероида. Из уравнений
(111) и (120) теперь находим •
Q2 = _ 1 /д%'\
nGpMc nGpMc^ \dXl/R,0,0 .
2 (1 — е2)2
е3
(2 2
1
Эллипсоиды Роша
259
Поскольку значения Q2, даваемые равенствами (119) и (121),
хдолжны совпадать, имеем
arcsin
/ еаМ с
к Я /
еаМс (i
R V R2 ) ~
== (3 — 2e2) arcsin e — 3e (1 — e2)2.
(122)
Уравнение (122) определяет R!aMc вдоль последовательности
Маклорена. В этой связи можно отметить, что если масса сфе-
роида задана (как это имеет место в настоящем случае), то
вдоль последовательности будет изменяться амо ^При этих усло-
виях постоянной является величина а^(1 — е2)2. Поэтому для
измерения R удобной единицей служит
аМе = аМе(\-е2)\ ' (123)
Возвращаясь к уравнению (120) и вычисляя его вторые про-
изводные относительно Xi и Хъ, находим, что для значения Q2,
даваемого равенством (121), коэффициенты р^-, определяемые
равенствами (ИЗ) и (114), становятся
P„=<7Q2, р22 = 0 и Рзз — — (^ — 2) Q2, (124)
где
е2
учетом
дают
Q2 .
_ Q2 в4МжЛ3( \2 '
jrGpMc \ R Д 1 - e2a2MclR2)
этих значений величин р вириальные уравнения
(125)
С
(118)
Я “ ЭД = “ «7 - 2)
или, в другой форме,
q af _ А,а2 — А2а2
<7 - 2 а2 А2а2 - А3а|
и
о ^2а2
лор qa\
‘3“3» v*-''/
(127)
(128)
Уравнения (122), (125), (127) и (128) определяют орбиту и
фигуру бесконечно малого спутника, вращающегося синхронно
со сфероидом Маклорена. Следующий алгоритм решения этих
уравнений выясняет связи между ними.
9*
260
Глава 8
Возьмем сфероид Маклорена с некоторым заданным эксцен-
триситетом. Его угловая скорость вращения определяется равен-
ством (119). Расстояние, на котором спутник должен обращать-
ся по орбите так, чтобы он мог вращаться синхронно со
сфероидом, находится из уравнения (122); уравнение (125) слу-
жит для определения значения q, которое появляется в после-
дующих формулах. Затем уравнение (127) определяет соотно-
шение между (а2/аь Оз/ai), которое должно удовлетворяться,
если спутник находится в равновесии. И решение становится
определенным в силу требования, чтобы значение Q2, получаемое
из уравнения (128), было равно значению, соответствующему
исходному сфероиду Маклорена с эксцентриситетом е.
Таблица XXIV
Последовательность Дарвина для М1М' = б
&мс = W1 ~ — az/(a,a2a3)1/3)
е й2/ л Ср RI^Mc Q Й! а, аз
0,390 0,08287 2,5309 3,0153 1,3726 0,8790 0,8288
0,400 0,08727 2,4883 3,0168 1,4566 1,7663 0,8537 0,7732 0,8042 0,7322
0,402 0,08816 2,4799 3,0171 . 1,4851 1,7244 0,8455 0,7830 0,7964 0,7406 ,
0,404 0,08906 2,4717 3,0174 1,5282 1,6680 6,8333 0,7967 0,7852 0,7525
0,4050349 0,089529 2,4675 3,0175 1,5943 0,8155 0,7691
0,405 0,08951 2,4676 3,0175 1,5818 1,6073 0,8188 0,8121 0,7721 0,7661
0.404982) 0,089504 2,4677 3,0175 1,6110 0,8111 0,7653
Предел Роша.
2) Точка начала динамической неустойчивости.
Результаты, собранные в табл. XXIV для случая р = рМс,
были получены методом, описанным в настоящем разделе. На
рис. 25а и 256 результаты для этих эллипсоидов Дарвина сопо-
ставлены с результатами для соответствующих эллипсоидов
Роша, приведенных в табл. XVI. Можно заметить, что резуль-
таты для двух систем эллипсоидов являются очень близкими.
Это близкое сходство результатов для двух случаев обусловлено
тем обстоятельством, что значения q для сфероидов Маклорена
с рассматриваемым диапазоном эксцентриситетов отличаются
Эллипсоиды Роша
261
от 3 (значение, соответствующее твердой сфере) на величину,
которая едва превосходит 0,5%.
Заметим, что в этом случае задача Дарвина не имеет реше-
ния для сфероидов Маклорена с эксцентриситетами, превосходя-
щими значение етах( = 0,405034). Максимум угловой скорости и
расстояние наибольшего сближения имеют место для одного и
Рис. 25а. Изменение Q2 вдоль последовательностей Дарвина и Роша для
случая М/ЛГ = 0. Точками R. L, и S. L. отмечены предел Роша и предел
устойчивости соответственно. Вдоль обеих последовательностей пределу
• Роша соответствует точка, где Q2 достигает своего максимума/
того же сфероида. И можно убедиться, что предел Роша (опре-
деленный как точка на последовательности, где эллипсоид мо-
жет быть деформирован в смежный эллипсоид сообщением бес-
конечно малого перемещения, не нарушающего равновесия и
сохраняющего эллипсоидальную форму и одинаковую постоян-
ную плотность) достигается для этого же сфероида.
Устойчивость этих эллипсоидов Дарвина может быть иссле-
дована на основе линеаризованной формы вириального уравне-
ния (115). (Не возникает двусмысленности, если в этом уравне-
нии величины р не рассматривать как постоянные, что имеет
место для задачи, рассмотренной ниже в разд, б.) Этот анализ
вполне аналогичен тому, который был описан в разд. 57 для
случая эллипсоидов Роша, так что нет необходимости его повто-
рять. Находим, как и следовало ожидать, что динамическая не-
устойчивость начинается в точке, следующей за пределом Роша
(см. цифры в последней строке табл. XXIV). Кроме того, ясно,
что, как и в случае эллипсоидов Роша, вековая неустойчивость
будет иметь место между двумя пределами*
262
Глава 8
б) Случай конгруэнтных тел
Рассмотрим теперь случай, когда массы и плотности двух тел
одинаковы. Тогда тела системы будут конгруэнтными и приведе-
ние к стационарному решению в общей вращающейся системе
может быть выполнено без какой-либо неопределенности. Задача
Рис. 256. Изменение расстояния между центрами масс двух компонент
в задачах Роша и Дарвина для случая =» 0. Вдоль обеих последова-
тельностей разделяющее расстояниё измерено в единицах главного радиуса
центрального тела. (В задаче Дарвина центральное тело есть сфероид
Маклорена.) Точки /?. £. и S. L. имеют тот же смысл, что и на рис. 25а.
Вдоль обеих последовательностей пределу Роша соответствует расстояние
наибольшего сближения.
состоит в том, чтобы определить геометрию эллипсоидальных фи-
гур равновесия (в рамках приближения, принятого в разд. 61),
когда центры масс двух тел находятся на расстоянии R один от
другого и тела вращаются одно относительно другого с постоян-
ной угловой скоростью Q, совместимой с их фигурами и расстоя-
нием между ними. Решение этой задачи может быть получено
следующим образом.
Рассмотрим однородный эллипсоид с массой М и полуосями
uj. Согласно уравнениям (70) и (72) гл. 3, потенциал притяже-
ния S3 во внешней точке х есть
°° / 3 2 \ »
S(x) = a1a2a3 J fl —,
(129)
Эллипсоиды Роша1
263
где Л — положительный корень уравнения
у */
(130)
[В уравнении (129) множитель лбр опущен.]
Для применения метода, описанного в разд. 61, нам понадо-
бятся первые и вторые производные от S ро пространственным
координатам в точке (R, 0,0). Для этой точки
Х = /?2-а2 (131)
и
A (X) = R [(/?2 + a* - a2) (R2 + а2 - а2)]2. (132)
Кроме того, при вычислении производных от 23, определяемого
равенством (129), следует иметь в виду, что величина X, опреде-
ленная уравнением (130), является неявной функцией координат
и что
(133)
<ЗХ 2xt y*
dxt af + X j“(a2 + X)2
Непосредственным вычислением теперь находим
где
оо
f du
J,
—Gj
(134)
(135)
(136)
Коэффициенты а,, определенные равенством (136), аналогич-
ны индексным символам Др данным в гл. 3. Они удовлетворяют
соотношению
а, + а2 + а3 = (137)
и могут быть выражены через эллиптические интегралы Е (9, <р)
и F(9, <р) первого и второго рода с аргументами
. /а? — . /а2_а2\Т
e = arcsin|-5---г и фо = arcsin . (138)
264
Глава 8
В самом деле,
«.= --а2азз sin2e [^(е, ФЛ) — £(9, фЛ)],
(а*-а!)2
2а1а2а3 1
’ ч sin2 0 sin qpn coscpD ‘
e (6, Фд) — f (e, фд) cos2 e---------------------&—
(1 — sin2 0 sin2 фд)2
аз = -- 'ага-4 —[(1 — sin2 0 sin2 фй)2 tg фЛ - E (0, фЛ)]’
(139)
(140)
(141)
С учетом различных производных от 53, определенных равен-
ствами (134) и (135), уравнения (111), (ИЗ) и (114) теперь
дают
Q2 = 4ab Рп = 2 (2aj + a2 4-a3), ]322 = 2 (2a[ — a2)
и
Рзз “ — 2a3. (142)
Для этих значений коэффициентов из (142) вириальные
уравнения (118) дают
a __________~ ,^заз___________________Л2а2 — Л3а|___ (143)
1 (2+a2/a1)a2 + (a2 + a2)a3/aJ (2 — «г/06!)0! + аз«з/а1 ’
Напомним, что индексные символы Aj выражаются через те же
самые эллиптические интегралы, но с аргументами ср =
= агссо8(азМ1) (который отличается от фя) и 0 (который яв-
ляется тем же самым, что и в уравнениях, определяющих aj).
Удобный метод решения уравнений (143) и определения рав-
новесных фигур состоит в следующем.
z Сначала задаем угол еря. Затем для некоторого выбранного
Ф [= arccos (a3/ai)] методом проб и ошибок определяем угол 0
(входящий в выражения для А и а), который будет удовлетво*
рять второму из двух уравнений в (143). Для произвольно взя-
того ср значение 0, требуемое первым из равенств (143), не будет
равняться значению, которое следует из уравнения (139) при
заданном фд. Поэтому задача состоит в «подборе» такого ф, что-
бы для заданного фн совпадали значения ab требуемые равен-
ствами (139) и (143)
Эллипсоиды Роша
265
Результаты, собранные в табл. XXV, были получены методом,
описанным в этом разделе. '
Таблица XXV
Эллипсоиды Дарвина для случая конгруэнтных компонент
фд = arcsin V(а\ — R2 , ф = arccos «3/ар
____________________ 1 1
6 = arcsin V(a, - - а|) , R = R^a^) 3, а, = 3
Ф е й2/лСр R 51 а2 5з
5° 21°,898 53°,798 0,03023 4,4572 1,0416 0,9933 0,9665
6° 24°,408 54°,559 0,03721 4,1613 1,0526 0,9911 0,9585
7° 26°,751 55°,355 0,04424 3,9308 1,0643 0,9886 0,9504
8° 28° ,95? 56°, 180 0,05125 3,7457 1,0767 0,9858 0,9421
9° 31 °,050 57°,032 0,05819 3,5936 1 0899 0,9826 0,9338
10° 33°,047 57° ,910 0,06502 3,4667 1,1039 0,9790 0,9253
11° 34°,961 58°,811 0,07169 3,3595 1,1187 0,9750 ' 0,9168
12° 36°,802 59°,732 0,07817 3,2682 1,1343 0,9707 0,9082
13° 38°,578 60°,673 0,08441 3,1901 1,1508 0,9659 0,8996
14° 40°,296 61 °,630 0,09037 3,1231 1,1683 0,9606 0,8910
15° 41 °,962 62°,601 0,09603 3,0657 ' 1,1867 0,9550 0,8824
16°' 43°,580 63°,585 0,10134 3,0166 1,2062^ 0,9488 0,8738
17° 45°, 154 64°,578 0,10628 2,9749 1,2268 0,9422 0,8651
18° 46°,688 65°,578 0,11082 2,9398 1,2485 0,9352 0,8564
19° 48°, 184 66°,583 0,11494 2,9108 1,2715 0,9277 0,8478
20° 49°,647 67°,590 0,11869 2,8874 1,2959 0,9197 0,8391
21° 51°;077 68°,596 0,12179 2,8692 1,3216 0,9112 0,8304
22° 52°,476 69°,599 0,12449 2,8559 1,3489 0,902.3 0,8216
23° 53°,848 70°,596 0,12668 2,8473 1,3778 0,8929 0,8128
24° 55°, 193 71 °,585 0,12836 2,8433 1,4085 0,8831 0,8040
24°,4035 !) 55°,728 71°,981 0,12888 ' 2,8429 1,4214 0,8790 0,8004
24°,4065 2) 55°,732 71 °,984 0,12889 2,8429 1,4215 0,8790 0,8004
25°,0434 3) 56°,569 72°,605 0,12954 2,8438 1,4425 0,8724 0,7947
4) «Предел Роша»; точка наибольшего сближения.
2) Точка, где эллипсоиды находятся в контакте.
’) В этой точке имеет место нейтральная форма.
Наиболее важная особенность этой последовательности Дар-
вина состоит в том, что в определенной точке последовательности
= 2^1 два тела приходят в соприкосновение. После этой точки
< 2«i и два тела частично совпадают. Поэтому эти решения
не имеют физического смысла.
266
Глава 8
Вычисления указывают, что на расстоянии наибольшего сбли-
жения два тела находятся почти, но не совсем, в соприкоснове-
нии; из двух конгруэнтных фигур равновесия, которые формаль-
но получаются как решения соответствующих уравнений для
каждого расстояния, вытянутые фигуры с большими удлинения-
ми частично налагаются одна на другую; поэтому эти вторые
решения не имеют физического смысла.
63. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНГРУЭНТНЫХ ЭЛЛИПСОИДОВ ДАРВИНА
Как уже отмечалось в разд. 62, а, обсуждение устойчивости
эллипсоидов Дарвина в случае MIM' = 0 не представляет труд-
ности; в этом случае любое возмущение спутника ввиду его
бесконечно малой массы не будет оказывать влияния на цен-
тральный сфероид Маклорена. Однако в случае конгруэнтных
тел общее исследование устойчивости системы представляет
определенные трудности. В самом деле, хотя легко найти точку
начала неустойчивости (динамической или вековой) от есте-
ственной формы колебания одного из двух тел при условии не-
подвижности другого, исследование общих связанных форм ко-
лебания не является таким простым. Существует класс синхрон-
ных связанных колебаний, поддающийся исследованию на основе
обобщения методов, которые были использованы в других слу-
чаях; будет показано, что две из пяти форм колебания, принад-
лежащих к этому классу, вызывают неустойчивость вдоль всей
последовательности Дарвина.
а) Природа синхронных колебаний
Колебания, которые мы хотим рассмотреть, связаны с одина-
ковыми деформациями двух эллипсоидов, происходящими одно-
временно, так что все время они остаются конгруэнтными. Более
точно, будем предполагать, что 1) длины полуосей эллипсоидов
изменяются периодически, 2) направления наибольших осей двух
эллипсоидов изменяются также периодически, так что они не
всегда лежат на одной линии, и 3) направления наименьших
осей остаются неизменными и перпендикулярны плоскости орби-
ты. Кроме того, мы найдем, что в этом случае центры масс двух
эллипсоидов также совершают синхронные колебания, всегда
оставаясь на противоположных концах отрезка, проходящего че-
рез их общий центр масс.
Деформация эллипсоида, совместимая с указанными выше
допущениями, может быть осуществлена лагранжевым переме*
щением § с компонентами
= Li; о + L\. 1X1 + Li; 2X2,
|2 = L?; О + ^2; 1X1 + ^2; 2Х?
Эллипсоиды Роша
267
И
g3 = £з; 3*3,
(144)
где Li;i суть некоторые постоянные.
В результате сообщения перемещения (144) границей эл-
липсоида
2 2 2
±_ + _^2 _L
2 । 2 * 2
а\ а2 а3
(145)
становится
J х2 I х3 j ?2х2 , £зх3
2 "1" Л2 ”Т- 2 Z Л2 ‘ Л2 ' 2
а1 а2 а3 \ а1 а2 а3
(146)
или, что с точностью до членов первого порядка относительно
перемещения эквивалентно,
(Х1 ~~ М; о)I 2
af(l +2L1; О
I у-2 -2: и/ . -3________О Ц2 . 2; I .
a22(l+2L2,2y a23(\+2L3,3y 12^af а2)
(147)
Уравнение (147) представляет эллипсоид с центром в точке
(Li;o, £2; о, 0) и длинами полуосей
а\ (1 + £i: i), й2(1 + £г; г), #з(1 + £з;з). (148)
Кроме того,
под углом
наибольшая ось эллипсоида наклонена к оси х{
б0==/-Ь|2 4
k “I
Г \
С*2. 1 \ ujug
2 |~2 ТГ*
4^2 / &2
(149)
Удобно выразить приведенные результаты смещения (144)
эллипсоида (145) через величины Vi и В самом деле, в силу
равенства (68) гл. 5, длины полуосей изменяются на величину
дау 5 Fyy
ау 2М а2
(150)
в то время как эллипсоид поворачивается вокруг оси Хз на угол
60
М aj —
(151)
одновременно центр эллипсоида перемещается в точку
jUjpMx, J o') =-^(К„ v2, 0). (152)
\v V J
268
Глава 8
б) Приливный потенциал между двумя слегка
повернутыми Эллипсоидами
Поскольку мы рассматриваем незначительное изменение
ориентации двух эллипсоидов (как на#рис. 26) в процессе коле-
баний, нам понадобятся первые и вторые производные от внеш-
него потенциала 23 в точке (7? cos 60, —7? sin 60, 0), немного уда-
ленной от продолжения наибольшей оси.
Рис. 26. Иллюстрация относительной ориентации эллипсоидов Дарвина при
синхронных колебаниях.
Из уравнений (129) и (130) следует, что с точностью до чле-
нов первого порядка относительно 7?60 решение уравнения (130)
есть
Z = /?2-a2 + O(/?2602), " (153)
т. е. значение X с требуемой точностью то же самое, что и для
точки (/?, 0, 0) на продолжении этой оси. Отсюда следует, что
это справедливо также и для d23/dxI и д2ЯЗ/дх2, т. е. с точностью
до членов первого порядка относительно /?60 выражения для
этих производных совпадают с выражениями, даваемыми равен-
ствами (134) —(136) для точки (/?, 0, 0). Однако д23/дх2 и
д2^&1дх\дх2 отличаются от нуля — чему они равны в точке
(/?, 0, 0) — на величины первого порядка относительно /?60; и
их мы должны сохранить. Имеем
Л°______________
— =-2й1а2а3х2 J (а2 + „)д(„) (154)
2 А,
И
6^53 2fl!jfl!2^3^2 6Х (155)
дх}дх2 (а| + Л)Д(Х) дх1 *
С учетом равенства (133) уравнение (155) примет вид
д2% = 4а1а2а3х1х2 Г у, -xj I"'
дх{ дх2 (а? 4- Л) (а2 + X) Д (Л) (a'j + %)2
Эллипсоиды Роша
269
Следовательно, до требуемого порядка
| = 20^ 60 +О (/W) (157)
R cos 60, —R sin 60, О
дхъ
И
==------------4а1ага3/?де-------r4-O(£2602).
\^i<MRcosee>_/?sinee,o (/?2 + а|-а?)2’(/?2 + а|-аОТ
(1.58)
в) Уравнения, описывающие движения жидкости
в эллипсоидах при синхронных колебаниях •
При выводе уравнений, описывающих движения жидкости
для каждого из двух конгруэнтных эллипсоидов, мы будем ис-
пользовать систему отсчета, которая в некотором отношении яв-
ляется более общей, чем принятая в разд. 61. Как и там, мы
будем относить движения к системе, вращающейся с угловой
скоростью Q вокруг общего центра масс двух эллипсоидов и пер-
пендикулярной плоскости орбиты; однако в противоположность
разд. 61 будем рассматривать Q как функцию времени, которую
мы будем теперь задавать. В этих предположениях уравнение
(НО) заменяется уравнением
+ 2pQB„1«,-p-^«lo(-iR-x)i, (159)
где звездочками у скобок, заключающих различные частные про-
изводные от внешнего потенциала S3' другого эллипсоида, мы
указываем, что они вычисляются в его координатной системе
(Xi, Х2, *з) [равенства (108)] в точке (У? cos 60, —R sin 60, 0).
Поскольку теперь мы рассматриваем возможность изменения
эллипсоидами их относительной ориентации и расстояния, а так-
же и их форм (впрочем, сохраняя их эллипсоидальные фигуры),
мы должны допустить, что различные частные производные от
S3' являются функциями времени. По этой причине мы рассмат-
риваем Q как функцию времени, так что теперь мы можем поло-7
жить [как и в разд. 61, равенства (111) и (142)]
= (160)
270
Глава 8
Для заданного таким способом Q2(/) уравнение (159) можно
переписать в виде
dui дР д Г 1 / д%' \ ]
+ + Т ^mXiXm — Х211 Н-
I * L V 4 / »J
+ 2pQeZZ3HZ —p-^-eZZ3(yR —х)/( (161)
где диагональные компоненты р/т по-прежнему даются (фор-
мально) теми же самыми выражениями (142), в то время как
единственной отличной от нуля недиагональной компонентой яв-
ляется
<162>
Формы вириальных уравнений, соответствующих рассматри-
ваемой задаче, могут быть выведены из уравнения (161) обыч-
ным способом. Имеем
J puz dx = Pzm lm — Mt>{2 + 2Й8Кз J puz dx —
V 2 V
+ (163)
и
— J рщх, dx = 23z/ 4- + pZm/m/ + 2QeZZ3 J puzxz dx —
V V
“ (S). 7'df2 + + 6z'n- (164)
Уравнения (163) и (164), очевидно, допускают те же самые
решения для равновесных фигур, что и полученные в разд. 62, б.
г) Вириальные уравнения, описывающие синхронные
колебания эллипсоидов Дарвина
Для определения характеристических частот описанного в
разд, а) типа синхронных колебаний из линеаризованных форм
уравнений (163) и (164) нетрудно получить следующие урав-
нения:
= $imVm - M6l2 + 2ШецзУ1 + у A. №MRbl2 (165)
И 4
MVt-d — 2ЛЙ8ш1//; / — ASQena/// == 62B/; + ^imV+ 6P/m/m/ + d//6II.
(166)
Эллипсоиды Роша
271
Можно было бы отметить, что при написании уравнений (165)
и (166) были взяты вариации не только от тензора потенциаль-
ной энергии SB,;, но также и от коэффициентов [+, определяю-
щих приливные эффекты другого эллипсоида. Кроме того, в
уравнении (165) опущены члены 8^т1т и zmlid^/dt, а в уравне-
нии (166)—члены (д%Ь'/дХ2\ 1/8{2 и zit2Rilj dQ/dt, так как они
являются членами второго порядка относительно перемещения.
д) Преобразование вириального уравнения второго порядка
Для рассматриваемых синхронных связанных колебаний
единственными неравными нулю величинами среди Vi и Vi-,, яв-
ляются Vi, V2, V1; i, V2;2, Vi;2, У2;1 и Уз;3, так как при выводе
уравнения (161) предполагалось, что направление оси а3 остает-
ся неизменным и, кроме того, центры двух эллипсоидов не совер-
шают в этом направлении колебательных движений. Вспоминая
затем, что для равновесных фигур тензоры /^ и 0,j являются
диагональными и что среди величин 60ij единственным ненуле-
вым недиагональным элементом является 6012, находим, что
уравнение (166) для различных компонент дает
4 А+Зз = 62Взз + 0ззК3з + 60зз4з + 6П, (167)
4 А2Уц - 2ШУ2;! = 628ц Ч- 01.F11 + 5011Л1 + 6П, (168)
1W22 + 2WKI; 2 = 6®22 + 02^22 + 6022/22 + 611, (169)
А^ 2 - АЙУ22 - A 6Q/22 = - (2В12 - 0Н) У12 + 6012/22 (170)
и
AV*! + АЙУИ + Л 6Q/n = - (2В12 - 022) У,2 + 6012/1Ь (171)
где вместо 63В12 подставлено известное выражение.
Исключая 6П из уравнений (167) — (169) и комбинируя урав-
нения (170) и (171), получаем
(А2 + 4В12 — 011 — 022) У ,2 + AQ (Ун У22) + A 6Q (/ ц — /22)=
= б012(/п+/22), (172)
А2 (У2 - V2; 1) = Ай (У „ + Уй) + A 6Q (/„ + /22) +
+ (011 - 022)K12-60i2(/ii -/22), (173)
у А2 (V11 + У 22) + 2AQ (У!; 2 - У2; i) - А%з = 62Вt! + 62В22 - 2 62В33 +
+ 11 + ^22^22 — 2рззК3з + бЗц/ц + 6IW22 — 2др33/33 (174)
и
4А2 (Уп -У22) — 2АЙУ|2 =
= S5Bn S3B22 + РцИц —IW^22 4" бРц/ij 7“ 6р22^22* (175)
272
Глава 8
Исключая далее (И1;2 — И2; i) из уравнений (173) и (174) и под-
ставляя вместо 628ц + S3B22 — 26Ж33 и S'®H — S2B22 их известные
выражения [гл. 3, равенства (149) и (150)], получаем уравне-
ния
(*2*3^11 ^12 Pi( —2^2 — ЗВ22 + В12 + р2г)И22 +
+ (В 13 ^23) И33 2WK12 6(8ц/н + 6^22^22 = 0, (176)
(±Л2 4- ЗВП + В12 - 2В|3 + 2Q2 - Рн) Ип +
4* 4~ ЗВ22 4" ^12 2В23 4~ 2й2 — Рг2 j V22 4“
4- (— А,2 — 6В33 + В13 4- Вгз 4" 2р33) К33 4*
4-2 (рн - fe) (QA) И12 + 2 Q W., 4-/я) -
— (2Q/A.) (Zu /22) бр12 бРц/ц — 6Р22/22 4" 2бр33/33 — 0 (177)
и
A.QVц — WV22 4~ 4~ 4В]2 — Рп — Р22Ж 12 4"
4- Ш2 (/ц - /22) - б₽12 (/и + /22) = 0. (178).
Остается выразить фигурирующие в этих уравнениях величины
брг-,-.через Vi и Vi,.
Рассматривая сначала вариации диагональных компонент р^
и величины Q, в соответствии с равенствами (142) имеем
дрп = 4 ddi 4- 2 баг 4- 2 ба3, дРгг = 4 6aj — 2 6а2) бРзз = — 26а3
и
Q6Q = 2dab (179)
где 6а,- обозначают изменения величин ад обусловленные изме-
нениями полуосей (а,) эллипсоидов и расстояния (/?) между их
центрами. Поэтому
з
Vi до., dat
да/ = 2^6а*+-й-д/?- <18°)
z fe=i *
Мы уже знаем, каким образом вариации 6aj связаны с величи-
нами Vjj [равенство (150)]; теперь же заметим, что 5R связано
с Vi соотношением [равенства (144) и (152)]
d7? = -2Li;0=-A7b (181)
Эллипсоиды Роша
273
так как в процессе колебаний два эллипсоида сближаются и
удаляются в фазе. Поэтому можно написать, что
з
5 Vi 1 да, 2 да,
6а/=^лтТ— 182
1 2М ak dak ™ М dR 1 х '
fe=l
Из определения величин а, с помощью равенства (136) теперь
непосредственно следует, что
6«1 = [5 (QiiV’ 11 «12^22 ai3K33) + 4^RV J, (183)
6a2 = ~2м [5 (Q2i^п За22И22 — «23^зз) + 4^2^ 1] (184)
и
баз = -g^jr [5 (Фз1И п — а32К 22 — За33/33) + 493/?V J, (185)
где
Qu = <71 — 3an, Q21 = Q2 ~~ «21» Q31 = <7з— «31
н
41 (а* + Л)Д(Л) -tf + aj-a* ’
В приведенных здесь уравнениях ац обозначает «двухиндекс-
ный» символ
со.
________ f du
CLij — Я]#2й3 / 2 , \ / 2 . \ а / \ *
2 2 (aZ + «) (а/+ “) Д (“)
R ““Gj
Комбинируя даваемые равенствами (183)—(185) величины 6az
способом, требуемым равенствами (179), можно выразить брн,
б₽22> й₽зз и Q6Q через Иь Уп, V2-> и V33; затем в силу равенств
(151), (158), (162) имеем
Лй — 5 4Raia2a3 Vi2 naR.
б₽12--^--------------J----------• °88)
(^4-aj-a?)2(/?2 + a32-af)2 1 ‘
. Таким образом, в уравнениях ((76) — (178) вариации 601; могут
быть выражены через Уь Уц, ^зз и Vi2.
274
Глава 8
Наконец, подставляя в уравнения (176) —(178) вместо 6pt-j
их выражения через величины Vi и Уц, получаем
[lx2 + 3B11-B12-pil-2(a2-a2)Q11-(a24-a2)QI2-a2QI3]rii+-
+1 - ЗВ22 + В12 + ₽22 + 2 (а2 - а12 +
+ 3 (а2 + а|)а22 + afaj^ +
х “Ь [В13 ^23 + 2 а13 + (^1 + #2) а23 ^^?азз] ^33
- 2Z2Q (V12/Л) - ± /ф (а2 - а2) </, + (а2 + a*) q2 + а2?3] V, = О,
(189)
[1 Л2 + ЗВ„ + В|2 - 2В13 + 2Q2 - р„ - (а2 - a2) QI2 -
- (а2 + 2а2) Q13] К„ + [|л2 + ЗВЙ + В12 -2В* +
+ 2Q2 — ₽22 Ч- 3 (а2 - а2) а22 + (а2 + 2а2) а23] V22 +
+[-^-6В33 + В,3+В23 + 2рзз4-(а2-а2)а23 + 3(а2+2а2)а33]У33+
+ 2Q рц — р22 +
4Raia2a3 1 7i2
3 I X
- 4 [(a2 - a2) q2 + (a2 + 2a2) ?3] У t == 0 (190)
И
I [Q2 + И-»Э 0„K„ 4|O= + И-ag «,J r3J +
+ %2 + 4B12 ~ ₽U — ₽22
4^a]a2a3
(R2 + a22-
+ (4/5Q) a*) Rqy 1 = 0. (191)
К этим уравнениям мы должны 41рисоединить условие соленои-
дальности
^г + -^г + ^Г = 0, (192)
ai ^9
Эллипсоиды Роша
275
е) Преобразование вириальных уравнений первого порядка
Возвращаясь к уравнению (165) и подставляя в соответствии
с равенствами (151), (157), (179) и (181) выражения для (д237дХ2),
и бй, получаем
- 2ЛЙену, - + -^4 V126i2 -
а\ - cf2
- у л 4 [5 (Q11H11 - а,#22 - а13Кзз) + 4^,] бг2 = 0. (193)
Из этого уравнения следует, что, не ограничивая общности, мож-
но положить Уз = 0, и уравнениями для Vi и Уг являются
(Л2-₽и)К1-2ЛЙК2 = 0 (194)
и
(Л2 - ₽22)У2 + 2-4 (Q2 - q^V, + -^4 V12 -
й a f — «2 .
- у X 4 (Q.1V.1 - а121/22 - а13Узз) = 0. (195)
ж) Динамическая неустойчивость конгруэнтных эллипсоидов
Дарвина
Приравнивая нулю определитель уравнений (189) — (192),
(194) и (195), получаем характеристическое уравнение для X2;
определяемые из этого уравнения квадраты характеристических
частот приведены в табл. XXVI. На основе этих вычислений вы-
ясняется, что эллипсоид Дарвина вдоль всей своей последова-
тельности неустойчив от двух из пяти форм связанных колеба-
ний. Также можно отметить, что обыкновенная неустойчивость,
когда амплитуды возрастают экспоненциально со временем,
заменяется неустойчивостью, при которой амплитуды колебаний
возрастают экспоненциально, в некоторой определенной точке.
Кроме того, одна из двух неустойчивых форм становится ней-
тральной в точке, расположенной немного дальше точки контак-
та (см. последнюю строку табл. XXV).
з) «Предел Роша»
Вдоль последовательности Дарвина можно определить точку,
аналогичную пределу Роша вдоль последовательности Роша, из
условия, что в этой точке оба эллипсоида допускают тождествен-
ные и одновременные квазистатические деформации, не нару-
шающие ни одного из условий гидростатического равновесия (во
вращающейся с постоянной угловой скоростью Й системе от-
счета). Искомое условие может быть выведено из вириальных
уравнений (172) —(175), (194) и (195). В самом деле, полагая в
276
Глава 8
Таблица XXVI
Квадраты характеристических частот связанных форм колебания
конгруэнтных эллипсоидов Дарвина
фд °? °2 °3 °4 °5
5° 2,1398 1,1388 0,85091 —0,02512 ± 0,01665/
8° 2,1191 1,1889 0,71887 —0,04659 ±0,01968/
10° 2,0950 1,2220 0,63782 —0,06316 ±0,00546/
10°-084С1 2,0938 1,2233 0,63453 —0,06390 —0,06390
10° • 1 2,0936 1,2233 0,63394 —0,06636 —0,06171
10° -2 2,9923 1,2251 0,63008 —0,07127 —0,05856
12° 2,0639 1,2537 0,56315 —0,11372 —0,04910
12°-5 2,0551 - 1,2614 0,5454В —0,12443 —0,04798
15° 2,0067 1,2968 0,46278 —0,18013 —0,04241
16° 1,9858 1,3092 0,43211 —0,20346 —0,03986
18° 1,9430 1,3297 0,37424 —0,25155 —0,03384
20° 1,9016 1,3423 0,32008 —0,30060 —0,02644
22° 1,8655 1,3435 0,26848 —0,34937 —0,01751
24° 1,8389 1,3300 0,21826 —0,39665 —0,00669
24°-5 1,8340 1,3240 0.20574 —0,40809 —0,00360.
*) Точка начала неустойчивости.
уравнениях (172) — (175) X = 0, что соответствует квазистатиче-
ским деформациям, находим, что эти уравнения тождественно
удовлетворяются, если
62811 + б2®22 — 2д2В33 + рцУц 4” р22^22 — 2p33V33 4-
+ Wn + 6fW22 2бр33/33 = 0, (196)
62ВП — д2В22 + рнИ ц — Ргг^гг + 6Р11Л1 6Р22Л2 = 0 (197)
И12 = 0; (198)
причем последнее из этих условий приводит к тому, что 6012 = 0
[уравнение (188)]. При тех же самых условиях из уравнений
(194) и (195) следует, что
7! = 72 = О. (199)
С учетом известных выражений для 62Bn4-6SB22— 262Взз и
62Вц — 6®22 и равенств (179) и (183) —(185) (полагая Vi рав-
ным нулю в последней группе равенств) уравнения (196) и (197)
становятся парой линейных однородных уравнений для Vn, V22
и Узз; э™ Два уравнения вместе с условием соленоидальности
Эллипсоиды Роша
277
(192) приводят к определяющему уравнению (200) для искомой
точки
ЗВН — в12 — —
— 2 (а] — а2)<2ц ~~
(а1 4" аг)^12 аГ?1з
ЗВИ + В12 — 2В13 —
~ ₽П 2(а! + ““
— (aj — a2)Ql2 —
— (a j + 2а3) Q13
1
— зв22 + в12 + р22 + в13 — В23 +
+ 2 (а| - а2) а,2 + +2(а? — а2) а13 +
+ 3 (af + а2) а22 4* ^ча2з 4“ (я? + #2) «23'4* ЗЯ}СС33
ЗВ22 + В12 — 2В23 — — 6В33 + В13 + В23 +
— р22 + 2(aj + а2) а12+ +2033 + 2(af + 4)а1з +
+ 3 (а\ — а2) а22 + + (а\ — а2) а23 +
+ (а2х + 2а3) а23 + 3 (а2 + 2а3) а33
г (200)
Находим, что уравнение (200) удовлетворяется при
R = 2,8429, Q2 = 0,12888, а2/ах = 0,61842, а3/ах = 0,56312,
ах = 1,4214, а2 = 0,87900 и d3 = 0,80040. (201)
Как и следовало ожидать, в этой точке расстояние между цен-
трами двух эллипсоидов является наименьшим. Таким образом,
определенная нами точка в этом отношении действительно ана-
логична пределу Роша на последовательности Роша. Можно за-
метить, что предел Роша (201) предшествует точке, где два эл-
липсоида приходят'в соприкосновение (табл. XXV).
Заканчивая обсуждение устойчивости эллипсоидов Дарвина,
напомним, что в связи с этой задачей Дарвин высказал предпо-
ложение, что конфигурацией предельной устойчивости является
та, для которой полный момент количеств движения (включаю-
щий также момент количеств орбитального движения каждого
из двух тел) достигает своего минимального значения. Предел
частичной устойчивости достигается для той конфигурации, для
которой момент количеств движения, «представляющий всю под-
верженную изменению часть момента количеств движения в ус-
ловиях, когда не может происходить приливов и отливов»
(Джинс) на другом теле, является наименьшим. Настоящий
анализ не дает каких-либо оснований для таких предположений:
как мы видели, вся последовательность Дарвина является не-
устойчивой.
Библиографически© замечания
, Ссылки на имеющие историческое значение статьи Роша, Дарвина и
Джинса даны в библиографических замечаниях к гл. 1. Обзор этих ранних
работ см. в
Milne Е. A.t Sir James Jeans, a Biography, Cambridge, England, Cambridge
University Press, 1952, pp. 110—112.
278
Глава 8
Исследования равновесия и устойчивости эллипсоидов Роша в разд. 56—58
основаны в значительной мере на статье XIX (в которой исследованы все во-
просы, рассмотренные в этих разделах) и статье XX Лебовица (который дал
правильную интерпретацию форм, отвечающих характеристическим частотам,
обращающимся в нуль в анализе нормальных форм).
Сфероиды Джинса рассматриваются в тексте как специальный случай
эллипсоидов Роша. Исследование этих сфероидов, не зависимое от задачи
Роша, можно найти в статье XV (также в статье XVI). Роуб распространил
метод Картана (первоначально разработанный для задачи устойчивости эл-
липсоида Якоби) на исследование колебаний сфероидов Джинса и эллипсои-
дов Роша:
Robe И., Note sur les oscillations du spheroide de Jeans, Bull. Acad. Roy. Bel-
gique, 49, 1148—1155 (1963).
Robe H., Note sur les oscillations de 1’ellipsoTde de Roche, Bull. Acad. Roy. Bel-
gique; 50, 1252—1267 (1964).
Кроме того, Роуб был первым, кто обнаружил, что эллипсоиды Роша
становятся неустойчивыми в вековом смысле для предела Роша.
Однако исследование в тексте (разд. 59), приводящее к явной оценке
характеристического времени е-кратного отклонения возмущенного движения
от невозмущенного для малых чисел Рейнольдса, взято из статьи XXXVI.
Эллипсоиды Роша — Римана (разд, 60) были рассмотрены достаточно
подробно Айзенманом (статья XXXIX); однако изложение в книге ограничено
только наиболее простым их классом.
Исследование задачи Дарвина в разд. 61 и 62 взято из статьи XXI. Об-
щая постановка задачи в этих разделах (а также в статье XXI) основана на
обзоре Джинса:
Jeans J. Н., Problems of Cosmogony and Stellar Dynamics, Cambridge, Eng-
land, Cambridge University Press, 1919, p. 55—-64, 85—86, 118—128, 134—
136, Fig. pp. 50 and 86.
Поскольку автор не сделал какой-либо попытки связать методы и резуль-
таты разд. 62 с методами и результатами Дарвина, следует сделать ссылку
на статью
Darwin G. H.t On the figure and stability of a liquid satellite, Phil. Trans. Roy.
Soc. (London), 206, 161—248 (1906); см. также Scientific Papers, 3, 436
(1910).
Исследование устойчивости конгруэнтных эллипсоидов Дарвина в разд. 63 .
взято из статьи XL.
эпилог
За исключением гл. 2, настоящая книга касается исключи-
тельно однородных жидких масс. Критик может присоединиться
к Эддингтону1) и сказать: «Не достаточно иметь дело с теоре-
тическими жидкими массами. Астроном желает знать — как из-
менятся эти результаты, когда мы примем во внимание неодно-
родность или газообразность действительных звезд». Критика,
вероятно, не убедит довод Римана о том, что этот предмет «для
математика представляет интерес совершенно независимо от
вопроса о форме небесных тел, который послужил поводом для
этих исследований». Однако автору, может быть, позволительно
изложить, почему в течение девяти лет он в основном занимался
задачами, изложенными в этой книге.
Эта тема привлекала внимание многих выдающихся матема-
тиков и астрономов. Тем не менее она была оставлена в незавер-
шенном состоянии со многими пробелами и упущениями и неко-
торыми явными ошибками и неверными представлениями. Было
бы жалко оставлять ее в таком виде. Автор не может судить
о том, оправдывают ли себя усилия, затраченные на ее рекон-
струкцию.
Имеется, однако, другая сторона этого вопроса. Как отмеча-
лось во вступительном разделе гл. 2, метод вириала не ограни-
чивается однородными жидкими массами. Вообще этот метод
состоит в замене уравнения движения, описывающего задачу,
его моментами относительно координат; эти моментные уравне-
ния могут служить для вывода определенных соотношений, ко-
торым должны удовлетворять решения, или для разработки си-
стематического приближенного метода решений. В самом деле,
9 Выдержка из Presidential Address Эддингтона Королевскому астроно-
мическому обществу «в связи с присуждением золотой медали доктору
Джеймсу Хопвуду Джинсу за его вклад в теории космогонии» [Mon. Not. Roy.
Astron. Soc., 82, 279 (1922)]. В этом же самом адресе Эддингтон говорит:
«Лично я считаю трудным противиться мнению, что при распаде рассеянных
газообразных масс, когда мы вынуждены в силу математической необходи-
мости пренебрегать радиационным давлением, наше положение подобно тому,
как если бы театральная афиша извещала о трагедии Гамлета без принца
датского». И это — в адресе, превозносящем исследования Джинса о равно-
весии и устойчивости жидких масс!
280
Эпилог
этот метод нашел применение также в теории радиальных и
нерадиальных колебаний газообразных масс.
Этот метод не ограничивается только гравитационными зада-
чами. В рамках магнитной гидродинамики вириальное уравне-
ние второго порядка принимает вид
4 / Р«^/ dx = 22z/ + 28z/ - + 6Z/ (П + 3»), (1)
' v
где
= H^dx (2)
обозначает тензор магнитной энергии, след которого Э?(=5ЯН)
есть энергия магнитного поля Н. [В уравнении (2) интеграл
можно распространить на все пространство.] Аналогично для
жидкой капли, подверженной также поверхностному натяжению,
соответствующей формой уравнения является
f puiXj dx = 2XZ / - 2®z/ + Пдф (3)
V
где
<5z/ = -l-7’(4)
s
T есть поверхностное натяжение, an — единичный вектор внеш-
ней нормали к границе S. В уравнении (3) есть тензор по-
верхностной энергии, след которого ©( = ©«) представляет по-
верхностную энергию системы. Если бы жидкая, капля была
заряженной, то в левую часть уравнения4 (3) нужно было вклю-
чить дополнительный член, учитывающий электростатическую
энергию (определяемый совершенно аналогично 358^). Эти более
общие вириальные уравнения также нашли применение.
Автор предполагал сначала включить в эту книгу обзор при-
ложений вириального метода к указанным более сложным за-
дачам. Однако это привело бы к значительному увеличению
объема книги и потере точности, связности и полноты в задачах,
к которым он применялся. ч
. Поэтому автор ограничивается списком избранной литерату-'
ры, которая может служить введением в эти другие области.
Отдельные работы
Примеры применения вириального метода к задачам рассмотренного типа,
не относящимся к однородным массам, можно найти в следующих работах:
Сжимаемые массы
Ledoux Р., On the radial pulsation of gaseous stars, Astrophys. J., 102, 143—
153 (1945).
Отдельные работы
281
Ledoux Р., Stellar stability, Stellar Structure, eds. L. H. Aller and D. B. Mc-
Laughlin, Chicago, University of Chicago Press, 1965, p. 548—550, 558—561.
Chandrasekhar 8., Lebovitz N. R.f On the oscillations and the stability of ro-
tating gaseous masses, Astrophys. J., 135, 248—260 (1962).
Chandrasekhar 8., Lebovitz N. R., On the oscillations and the stability of rota-
ting gaseous masses, II. The homogeneous, compressible model, Astrophys.
J., 136, 1069—1081 (1962).
Chandrasekhar S., Lebovitz -N. R., Non-radial oscillations and the convective
instability of gaseous masses, Astrophys. J., 138, 185—199 (1963).
Tassoul M., Tassoul J. L.f Adiabatic pulsations and convective instability of
gaseous masses. I, Astrophys. J., 150, 213—221 (1967).
Tassoul Tassoul J. L., Adiabatic pulsations' and convective instability of
gaseous masses. II, Astrophys. J., 150, 1031—1040 (1967).
Tassoul J. L., Ostriker J. P., On the oscillations and stability of rotating stel-
lar modes. I, Astrophys. J., 154, 613—626 (1968).
Магнитная гидродинамика
Chandrasekhar 8., Fermi E., Problems of gravitational stability in the presence
of a magnetic field, Astrophys. J., 118, 116—141 (1953).
Chandrasekhar 8., Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, Clarendon
Press, Oxford, 1961, p. 577—587.
Woltjer L., Emission nuclei in galaxies, Astrophys. J., 130, 38—44 (1959).
Woltjer L., On the magnetospheres of self-gravitating bodies, Astrophys. J.,
148, 291—293 (1967).
Parker E. The dynamical state of the interstellar gas and field, Astrophys.
J., 145, 811—833 (1966).
Parker E. M, The gross dynamics of a hydromagnetic gas cloud, Astrophys. J.
Suppl., 3, 51—76 (1957).
Wentzel D. G., Hydromagnetic oscillations of a self-gravitating fluid, Astro-
phys. J., 135, 593—598 (1962).
Tassoul J. L., Adiabatic pulsations and convectivd instability of gaseous mas-
ses. Ill, Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 138, 123—136 (1968).
Жидкие капли
Chandrasekhar 8., The stability of a rotating liquid drop, Proc. Roy. Soc. (Lon-
don), A286, 1—26 (1965).
Rosenkilde С, Ё., Surface-energy tensors, J. Math. Phys., 8, 84—88 (1967).
Rosenkilde С. E., Surface-energy tensors for ellipsoids, J. Math. Phys., 8,
88—97 (1967).
Rosenkilde С. E., Stability of axisymmetric figures of equilibrium of a rotating
charged liquid drop, J. Math. Phys., 8, 98—118 (1967).
Общая относительность
Chandrasekhar 8., The post-Newtonian effects of general relativity on the
equilibrium of uniformly rotating bodies, I. The Maclaurin spheroids and
the virial theorem,'Astrophys. J., 142, 1513—1518 (1965).
Chandrasekhar 8., The post-Newtonian effects of general relativity on the
equilibrium of uniformly rotating bodies, II. The deformed figures of the
Maclaurin spheroids, Astrophys. J., 147, 334—352 (1967).
Chandrasekhar 8., The post-Newtonian effects of general relativity on the
equilibrium of uniformly rotating bodies, III. The deformed figures of the
Jacobi ellipsoids, Astrophys. J., 148, 621—644 (1967).
БИБЛИОГРАФИЯ
I. Chandrasekhar S., The virial theorem in hydromagnetics, J. Math.
Anal. Appl., 1, 240—252 (1960).
II. Lebovitz N. R., The virial tensor and its application to self-gravita-
ting fluids, Astrophys. J., 134, 500—536 (1961).
III. Chandrasekhar S., A theorem on rotating polytropes, Astrophys. J.,
134, 662—664 (1961).
IV. Chandrasekhar S., Lebovitz N. R.f On super-potentials in the theory
of Newtonian gravitation, Astrophys. J., 135, 238—247 (1962).
V. Chandrasekhar $., Lebovitz N. R., On the oscillations and the sta-
bility of rotating gaseous masses, Astrophys. J., 135, 248—260 (1962).
VI. Chandrasekhar §., An approach to the theory of the equilibrium and
the stability of rotating masses via the virial theorem and its exten-
sions, Proc. 4th U. S. Nat. Congress Appl. Meeh., 9—14 (1962).
VII. Chandrasekhar S., Lebovitz N. R., On the superpotentials in the
theory of Newtonian gravitation, II. Tensors of higher rank, Astro-
phys. J., 136, 1032—1036 (1962).
VIII. Chandrasekhar S., Lebovitz N. R., The potentials and the superpoten-
tials of homogeneous ellipsoids, Astrophys. J., 136, 1037—1047 (1962).
IX. Chandrasekhar S., On the point of bifurcation along the sequence of
the Jacobi ellipsoids, Astrophys. J., 136, 1048—1068 (1962).
X. Chandrasekhar S., Lebovitz N. R.f On the oscillations and the stabi-
lity of rotating gaseous masses, II. The homogeneous, compressible
model, Astrophys. J., 136, 1Ю69—1081 (1962).
XI. Chandrasekhar S., Lebovitz N, R., On the oscillations and the stabi-
lity of rotating gaseous masses, III. The distorted polytropes, Astro-
Йъ. J., 136, 1082—1104 (1962).
indrasekHar S., Lebovitz N. R,, On the occurrence of multiple fre-
quencies and beats in the Beta Canis Majoris stars, Astrophys. J.,
136, 1105—1107 (1962).
XIII. Chandrasekhar S.f Lebovitz N. R., On the stability of the Jacobi el-
lipsoids, Astrophys. J., 137, 1142—1161 (1963).
XIV. Chandrasekhar S.t Lebovitz N. R., On the oscillations of the Maclaurin
spheroid belonging to the third harmonics, Astrophys. J., 137, 1162—
1171 (1963).
XV. Chandrasekhar S.t Lebovitz N. R.f The equilibrium and the stability of
the Jeans spheroids, Astrophys. J., 137, 1172—1184 (1963).
XVI. Chandrasekhar S., The points of bifurcation along the Maclaurin, the
Jacobi, and the Jeans sequences, Astrophys. J., 137, 1185—1202 (1963).
XVII. Chandrasekhar S., Lebovitz N. R., Non-radial oscillations and the con-
vective instability of gaseous masses, Astrophys. J., 138, 185—199
(1963).
XVIII. Chandrasekhar S., Roberts P. H., The ellipticity of a slowly rotating
configuration, Astrophys. J., 138, 801—808 (1963).
XIX. Chandrasekhar S., The equilibrium and the stability of the Roche
ellipsoids, Astrophys; J., 138, 1182—1213 (1963),
Библиография
283
XX. Lebovitz N. R., On the principle of the exchange of stabilities, I. The
Roche ellipsoids, Astrophys. J., 138, 1214—1217 (1963).
XXI. Chandrasekhar S., The equilibrium and the stability of the Darwin
ellipsoids, Astrophys. J., 140, 599—620 (1964).
XXII. Chandrasekhar S., The higher order virial equations and their appli-
cations to the equilibrium and stability of rotating configurations,
Lectures in Theoretical Physics, Vol. VI, Boulder, 1963, Boulder, Uni-
versity of Colorado Press, 1964, pp. 1—72.
XXIII. Chandrasekhar S., Lebovitz N. R., On the ellipsoidal figures of equi-
librium of homogeneous masses, Astrophys. Norvegica, 9, 323—332
(1964).
XXIV. Chandrasekhar S., The equilibrium and the stability of the Dedekind
ellipsoids, Astrophys. J., 141, 1043—1055 (1965).
XXV. Chandrasekhar S., The equilibrium and the stability of the Riemann
ellipsoids, I, Astrophys. J., 142, 890—921 (1965).
XXVI. Chandrasekhar S., The post-Newtonian effects of general relativity
on the equilibrium of uniformly rotating bodies, I. The Maclaurin
spheroids and the virial theorem, Astrophys. J., 142, 1513—1518
(1965).
XXVII. Lebovitz N. R., The Riemann ellipsoids, lecture notes Inst. Ap.,
Cointe-Sclessin, Belgium, 1965, p. 29.
XXVIII. Chandrasekhar S., The equilibrium and the stability of the Riemann
ellipsoids, II, Astrophys J., 145, 842—877 (1966).
XXIX. Lebovitz N. R., On Riemann’s criterion for the stability of liquid
ellipsoids, Astrophys. J., 145, 878—885 (1966).
XXX. Chandrasekhar S., The post-Newtonian effects of general relativity
on the equilibrium of uniformly rotating bodies, II. The deformed
figures of the Maclaurin spheroids, Astrophys. J., 147, 334—352 f
" (1967).
XXXI. Chandrasekhar S., Virial relations for uniformly rotating fluid masses
in general relativity, Astrophys. J., 147, 383—384 (1967).
XXXII. Chandrasekhar S., The post-Newtonian effects of general relativity
on the equilibrium of uniformly rotating bodies, III. The deformed
figures of the Jacobi ellipsoids, Astrophys. J., 148, 621—644 (1967).
XXXIII. Chandrasekhar S., Ellipsoidal figures of equilibrium — an historical
account, Comm. Pure & Appl. Math., 20, 251—265 (1967).
XXXIV. Lebovitz N. R., Rotating fluid masses, Ann. Rev. Astron. Astrophys.
(Palo Alto, California), 5, 465—480 (1967).
XXXV. Chandrasekhar S., The virial equations of the fourth order, Astrophys.
J., 152, 293—304 (1968).
XXXVI. Chandrasekhar S., The effect of viscous dissipation on the stability
of the Roche ellipsoids, Publ. of the Ramanujan Inst., I (1969) (в
печати).
XXXVII. Rosenkilde С. E., The tensor virial-theorem including viscous stress
and the oscillations of a Maclaurin spheroid, Astrophys. J., 148,
825—832 (1967).
XXXVIII. Rossner L. F., The finite-amplitude oscillations of the Maclaurin
spheroids, Astrophys. J., 149, 145—168 (1967).
XXXIX. Aizenman M. L, The equilibrium and the stability of the Roche —
Riemann ellipsoids, Astrophys. J., 153, 511—544 (1968).
XL. Chandrasekhar S., The stability of the congruent Darwin ellipsoids,
Astrophys. J., 157, 1419—1434 (1969).
УКАЗАТЕЛЬ
Айвори лемма 58
— теорема 61
Безвихревые последовательности 161,
168
Бифуркации точки на последователь-
ности Дедекинда 20
----------Маклорена 107, 114, 132
----------Якоби 127
-----условие существования 107
Вариаций интегральных величин 43
— тензора инерции 44
—- тензора кинетической энергии 47
— тензора потенциальной энергии 45
Вековая неустойчивость 115
Вириальные уравнения 24, 30
-----в задаче Дарвина 257
-----во вращающейся системе отсче-
та 34
-----в подвижной системе 83
-----линеаризованная форма 43
-----первого и второго порядков 31,
35, 83, 115, 275
-----третьего порядка 32, 37
-----четвертого порядка 33
Вторые гармоники колебаний сферо-
идов Маклорена 98
--------эллипсоидов Римана типа S
174
-------------типов I, II, III 198
--------— Якоби 134
Вязкая диссипация 114, 118, 243
— форма колебаний 246
-----во вращающейся системе 34
Гомеоид 51
— софокусный 58, 60
— потенциал во внешней точке 60
Гомеоидальные оболочки 51
-----внутренний .потенциал 52, 66
Грушевидных конфигураций последо-,
вательность 20, 124, 132, 148
Дарвина задача 21, 255
— эллипсоиды 257
Дедекинда последовательность 19,
113, 148, 158
— теорема 18, 88, 159, 196
— эллипсоиды 19, 146
Джинса последовательность 236
— сфероиды 22, 226
Дирихле задача 17, 80, 84
Дискообразные эллипсоиды 196
Индексные символы 68
Кривая нулевой скорости 215
Лагранжево перемещение 39
Леви-Чивита символ 35
Ляпунова работы 21
Гидродинамические уравнения в по-
движной системе 80
Маклорена последовательность 109,
208
----- как часть последовательности
Роша 225
Указатель 285
— сфероиды 94 как предельная форма эллипсо- идов Римана 113, 162, 194 Якоби 16, 122 колебания с конечной амплиту- дой 204 с максимальной угловой ско-~ ростыо 96 — теорема 50, 63 — формула 12, 95 Неоднородные эллипсоиды 64 потенциал во внешней точке 64 во внутренней точке 67 Нейтральные точки, выделение 109, 132, 182, 241 условие существования 108, 124 Нормальные формы колебаний 98 поперечно-скошенные 99, 106 пульсационные 102, 107 тороидальные 101, 106, 118 Ньютона соотйошение 9, 11 — теорема 51 Однородные эллипсоиды 50 потенциал во внешней точке 58, 62 во внутренней точке 57, 71 Подвижная система 80 Потенциал сил притяжения 50 ' гомеоидальной оболочки 52, 59 неоднородного эллипсоида 64 однородного эллипсоида 14,' 57, 62 Потенциальной энергии тензоры 26, 72 первые вариации 45, 75 Пуанкаре последовательность 20 Римана последовательности 19, 158, 174 — работы 217 — теорема 153, 156 — эллипсоиды 114 типа S 156, 168 типа I, II, III 185 устойчивость 157, 174, 200 Римана — Лебовица формулировка 84 Роша задача 221 — последовательность 236 — предел 21, 230, 261, 275 — эллипсоиды 223, 243 Роша — Римана эллипсоиды 250 Самосопряженные движения 114 — последовательности 165 — решения 89 Соленоидальные перемещения 77 Сопряженные конфигурации 18, 89, 161, 178 — эллипсоиды 146, 159, 196 Сфероида гравитационный потенциал 56 Тензор инерции 25, 72 — кинетической энергии 26 — энергии сдвига 116 Тензорные потенциалы 26, 72 Третьи гармоники колебаний сферо- идов Маклорена 141 эллипсоидов Римана типа S 182 Роша 232 Якоби 136 Устойчивость синхронных колебаний . 266 — сфероидов Маклорена 102, 114, 209 — эллипсоидов Дарвина 266 Дедекинда 148 Римана 157, 174, 198 Роша 232, 243 Якоби 134 Эйлерово изменение 39 Якоби последовательность 124, 131, 158 — формулы 15, 121 — эллипсоиды 14 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода............... . ..................5
Предисловие ....................................................... 7
Глава 1. Историческое введение......................................9
1. Ньютон...................................................... 9
2. Маклорен ...................................................12
3. Якоби . . . ,.......................... . . ................13
4. Мейер и Лиувилль.......................................... 16
5. Дирихле, Дедекинд и Риман................................. 17
•6. Пуанкаре и Картан .................................... 20
7. Рош, Дарвин и Джинс.................................. . . 21
Библиографические замечания.....................................22
Глава 2. Вириальные уравнения различных порядков...................24
8. Введение ................................................. 24
9. Моменты, описывающие распределение плотности, давления и ско-
рости ................................. . -...................24
10. Тензорные потенциалы и тензоры потенциальной энергии .... 26
11. Вириа'льные уравнения различных порядков ...........30
12. Вириальные уравнения во вращающейся системе отсчета .... 34
13. Вариации, вызываемые малыми отклонениями от равновесия. Ла-
гранжево и эйлерово изменения................................. 38
14. Уравнения, описывающие малые отклонения от исходного течения 41
15. Первые вариации различных < интегральных величин и линеаризо-
ванная форма вириальных уравнений........................ .... 43
Библиографические замечания....................................49
Глава 3. Потенциалы однородных и неоднородных эллипсоидов .... 50
16. Введение ................................................. 50
17. Теорема Ньютона и связанные с ней теоремы о потенциале внутри
гомеоидальных оболочек .ч . . '...........................51
18. Потенциал однородного эллипсоида во внутренней точке .... 57
19. Потенциал однородного эллипсоида во внешней точке. Теоремы
Маклорена и Айвори............................................ 58
20. Потенциалы неоднородных эллипсоидов ........................64
Оглавление
287
21. Индексные символы......................................... .68
22. Потенциалы ф<, и ............................................70
23. Первые вариации тензоров потенциальной энергии...............75
Библиографические замечания....................................78
Глава 4. Задача Дирихле и теорема Дедекинда.........................80
24. Введение ....................................................80
25. Гидродинамические уравнения в подвижной системе...........*80
26. Вириальные уравнения второго порядка в подвижной системе . . 83
27. Формулировка Римана — Лебовица задачи Дирихле ...... 84
28. Теорема Дедекинда......................................... .88
29. Интегралы уравнения (57) .90
30. Эквивалентность вириальному уравнению................ 92
Библиографические замечания............................... . 93
Глава 5. Сфероиды Маклорена...................................... 94
31. Введение ................................................... 94
32. Фигуры равновесия .......................................... 94
33. Вторые гармоники форм колебания............................98
34. Необходимое условие существования точки бифуркации .... 107
35. Выделение точки Q2 = 2ВП на основе рассмотрения вириальных
соотношений ................................................. 109
36. Устойчивая часть последовательности Маклорена как кривая би-
фуркации по четырем различным путям.......................... НО
37. Влияние вязкой диссипации на устойчивость сфероида Маклорена 114
Библиографические замечания .................................. 120
Глава 6. Эллипсоиды Якоби и Дедекинда............................ 121
38. Введение ................................................. 121
39. Эллипсоиды Якоби: равновесные фигуры...................... 121
40. * Ответвление последовательности грушевидных конфигураций Пуан-
каре от последовательности Якоби............................. 124
41. Точки на последовательности Маклорена, в которых ответвляются
грушевидные конфигурации .................................... 132
42. Вторые и третьи гармоники колебаний эллипсоида Якоби .... 134
43. Третьи гармоники колебаний сфероида Маклорена . . . . .141
44. Эллипсоиды Дедекинда .................................. . 146
45. Устойчивость эллипсоидов Дедекинда и точка бифуркации последо-
вательности грушевидных конфигураций..........................148
Библиографические замечания.................................... 151
Глава 7. Эллипсоиды Римана...................................... 153.
46. Введение ...................................................153
47. Теорема Римана............................................ 153
48. Равновесные фигуры в. случае, когда ? и 9 параллельны: эллип-
соиды типа S ........ .......................................157
288
Оглавление
49. Устойчивость эллипсоидов типа S по отношению ко вторым гармо-
никам колебаний............................................... 174
50. Геометрические места нейтральных точек, относящихся к третьим
гармоникам, в области, занимаемой эллипсоидами типа S . . . . 182
51. Эллипсоиды Римана, в которых направления Q и ^непараллельны;
эллипсоиды типов I, II и III....................................185
52. Устойчивость эллипсоидов типов I, II и III по отношению ко вто-
рым гармоникам колебаний.......................................198
53. Класс колебаний сфероида Маклорена с конечной амплитудой . . 204
Библиографические замечания ...................................217
Глава 8. Эллипсоиды Роша..................,.................... . 221
54. Введение : . . .............................................221
55. Задача Роша................................................. . 221
56. Эллипсоиды Роша: равновесные фигуры .......................
57. Устойчивость эллипсоидов Роша по отношению ко вторым гармо-
• никам колебаний...............................................232
§8. Нейтральная точка, соответствующая третьим гармоникам . . ,241
59. Влияние вязкой диссипации на устойчивость эллипсоида Роша . . 243
60. Эллипсоиды Роша — Римана . '..........................250
61. Задача Дарвина . ...........................................255
62. Эллипсоиды Дарвина..........................................257
63. Устойчивость конгруэнтных эллипсоидов Дарвина...............266
Библиографические замечания.....................................277
Эпилог ............................................................279
Отдельные работы ................................................. 280
Библиография ......................................................282
Указатель.............................................................284
С. Чандрасекхар
ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ
Редактор Э. А. Медушевская
Художник М. И. Тельцова ,
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Т. А. Максимова
Корректор А. Я. Шахтер
Сдано в набогр 13/IX 1972 г. Подписано к печати 2/II 1973 г. Бумага № 3 60X90Vie—
= 9 бум. л. 18 печ. л. Уч.-изд. л. 17,58. Изд. № 27/6637. Цена 1 р. 96 к. Зак. 312
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР> Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении
Соколовой «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств» полиграфии .и книжной торговли
г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29