Хинччн Александр Яковлевич.
Цепные дроби.
Редактор Л. Ю. Чернышева.
Техн, редактор В. Н. Крючкова.	Корректор k А. Белицкая.
Сдано в набор 9/XII 1960 г. Подписано к печати 7/11 1961 г» Бумага 84xlO8I/sa.
Физ. печ. л. 3,5. Условн. печ. л. 5,74. Уч.-изд. л. 5,31. Тираж 30 000 экз.
Т-01522. Цена книги 16 коп. Заказ № 2026.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Типография № 2 нм. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза.
Ленинград. Измайловский пр., 29.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее, третье издание превосходной книги А. Я. Хин-
чина предпринято Государственным издательством физико-
математической литературы уже после смерти ее автора.
Именно поэтому книга издается без всяких изменений, если
не считать небольших примечаний библиографического харак-
тера, отмеченных буквами (Б. Г.).
Несмотря на то, что А. Я. Хинчин написал эту книгу
уже более четверти века назад, она сохранила всю прелесть
новизны. Недаром за последние десять лет она выдержала
большое число изданий в ряде стран. Более того, в связи
с развитием новых средств вычислительной техники возник
естественный интерес к разнообразным вычислительным алго-
ритмам, в том числе и к алгоритму цепных дробей. В этом
направлении несколько лет назад появилась полезная моно-
графия А. Н. Хованского («Приложение цепных дробей и их
обобщений к вопросам приближенного анализа», Гостехиз-
дат, 1956). Хотя А. Я. Хинчин и не ставил перед собой по-
добных целей, тем не менее его книга может служить пре-
восходным введением как в изучение алгоритма цепных дро-
бей, так и в глубокие и интересные проблемы метрической
теории чисел, развитию которой автор отдал много сил и ини-
циативы. В значительной степени вся третья глава книги яв-
ляется результатом его исследований.
Я надеюсь, что предлагаемая книжка будет прочитана
широким кругом лиц с таким же увлечением, с каким мно-
гие, в том числе и автор этих строк, прочли ее двадцать
пять лет назад.
£>'. В, Гнеденко
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее второе издание перепечатано с первого без
существенных изменений.
Со времени первого издания других монографий о цеп-
ных дробях на русском языке не появилось. Из общих ру-
ководств по теории чисел, содержащих элементарные сведе-
ния о цепных дробях, можно упомянуть курсы Д. А. Граве,
Б. А. Венкова и И. В. Арнольда.
Октябрь, 1949 г.
А. Хинчин
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Теория цепных (или, как их чаще называют, непрерыв-
ных) дробей изучает специальный алгоритм, являющийся од-
ним из важнейших орудий анализа, теории вероятностей, ме-
ханики и в особенности теории чисел. Настоящее элементар-
ное руководство имеет целью ознакомить читателя только
с так называемыми простейшими цепными дробями вида:
, 1
а 0------------=-----
Л I + --i------*
а2 + • • 
и притом преимущественно в предположении, что все «эле-
менты»	— целые положительные числа. Этот наибо-
лее важный и вместе с тем наиболее изученный класс цепных
дробей лежит в основании почти всех арифметических и весьма
многих аналитических приложений теории.
Появление элементарной монографии по теории цепных
дробей я считаю необходимым потому, что эта теория, прежде
составлявшая один из пунктов математической программы
средней школы, в настоящее время из этой программы исклю-
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
5
йена и потому в новые руководства элементарной алгебры
не входит; с другой стороны, программы высшей школы
(даже математических отделений университетов) также этой
теории не предусматривают, вследствие чего и соответствую-
щие новые руководства для высшей школы, естественно,
ничего не говорят о цепных дробях. И специалист, встре-
чающийся с необходимостью овладеть этим элементарным
аппаратом, вынужден разыскивать либо дореволюционные
учебники, либо заграничные специальные руководства.
Имея, таким образом, своей основной целью заполнение
указанного пробела в нашей учебной литературе, предлагае-
мая монография по необходимости вынуждена быть элемен-
тарной и по возможности доступной; этим в значительной
степени предопределяется ее стиль. Содержание ее, однако,
несколько выходит за пределы того минимума, который яв-
ляется абсолютно необходимым для всяких приложений. Это
относится прежде всего ко всей последней главе, содержа-
щей основания метрической (или вероятностной) теории цеп-
ных дробей, — важной новой главе, созданной почти целиком
советскими учеными; это относится затем к целому ряду мест
во второй главе, где я пытался, насколько это возможно в столь
элементарных рамках, оттенить основоположную роль аппа-
рата цепных дробей при изучении арифметической природы
иррациональностей. Я полагал, что раз уже издаются в виде
отдельной монографии основы теории цепных дробей, было бы
жаль оставить без упоминания те моменты и связи этой
теории, которые наиболее занимают современную научную
мысль.
Что касается расположения материала, то здесь нуждается
в пояснении только выделение в особую предварительную
главу «формальной» части учения, т. е. в основном той его
части, где элементы цепных дробей предполагаются любыми
положительными (не обязательно целыми) числами, а часто
и еще общее — просто независимыми переменными. Недо-
статком такого выделения является то, что формальные
свойства изучаемого аппарата преподносятся читателю раньше
его предметного содержания — и потому в отрыве от этого
содержания, — что в педагогическом отношении, несомненно,
представляется нежелательным.
Однако, не говоря уже о том, что этим путем достигается
большая методологическая четкость (ибо читатель непосред-
6
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
ственно видит, какие свойства цепных дробей вытекают из
самой структуры аппарата и какие имеют место лишь в пред-
положении целых положительных элементов), такое предва-
ряющее выделение формальной части позволяет в дальнейшем
развивать арифметическую теорию, составляющую подлинный
предмет всего учения, на готовой формальной базе, а потому
и сосредоточивать все внимание читателя на предметном со-
держании излагаемого материала, не отвлекая его в сторону
чисто формальными рассмотрениями.
Москва, 12 февраля 1935 г	А. Хинчин
ГЛАВА I
СВОЙСТВА АППАРАТА
§ 1. Введение
Простейшей цепной дробью называется выражение вида:
йо +---------------------Ц----	(1)
-
а2 ~Г • • •
Буквы а0, av а2, ... при наиболее общем подходе к пред-
мету означают здесь независимые переменные; в зависимости
от специальных надобностей эти переменные можно заста-
вить пробегать значения той или иной области. Так, можно
считать а0, av а2, ... вещественными или комплексными
числами, функциями одной или нескольких переменных, и т. п.
В соответствии с целями настоящей книги мы будем всегда
считать Яр а2, ... положительными числами-, а0 может
быть любым вещественным числом. Эти числа мы будем
называть элементами данной цепной дроби. Число элемен-
тов может быть либо конечным, либо бесконечным. В пер-
вом случае мы будем записывать данную цепную дробь в виде
и называть конечной цепной дробью, точнее — п-членной
цепной дробью (так что п-члеиная цепная дробь имеет п 4- Г
элементов); во втором случае мы запишем цепную дробь
в виде (1) и будем называть бесконечной цепной дробью.
Всякая конечная цепная дробь представляет собою резуль-
тат конечного числа рациональных действий над ее элементами;
8
СВОЙСТВА АППАРАТА
[гл. I
поэтому в наших предположениях об элементах всякая
конечная цепная дробь выражает собою некоторое веще-
ственное число; если, в частности, все элементы такой
дроби — числа рациональные, то и сама дробь выражает
собою рациональное число.
Напротив, бесконечной цепной дроби мы непосредственно
не можем приписать никакого числового значения; она пред-
ставляет собою, по крайней мере впредь до дальнейших со-
глашений, лишь формальную запись, подобно бесконечному
ряду, о сходимости которого не ставится вопроса. Тем не
менее, она может, конечно, быть предметом математического
исследования.
Условимся в целях технического удобства писать в даль-
нейшем бесконечную цепную дробь (1) в виде
[й0> а\' а2' • • • !
а конечную цепную дробь (2) в виде
[«о! av а2.....................ЙПГ>
(3)
(4)
таким образом,«число членов конечной цепной дроби равно
числу символов (элементов), стоящих после точки с запятой.
Условимся называть цепную дробь
=	«! «2.........йл1>
где 0 k п, отрезком цепной дроби (4); равным образом
при любом мы назовем sk отрезком бесконечной цеп-
ной дроби (3). Очевидно, что любой отрезок любой (конеч-
ной или бесконечной) цепной дроби есть конечная цепная
дробь.
Условимся, далее, называть цепную дробь
rk = \ak-, ak+i..............ап]
остатком конечной цепной дроби (4); подобным же обра-
зом цепную дробь
rk — atl+\> akA2< •••!
мы будем называть остатком бесконечной цепной дроби (3).
Очевидно, что все остатки конечной цепной дроби — также
конечные дроби, все же остатки бесконечной цепной дроби —
также бесконечные цепные дроби.
ПОДХОДЯЩИЕ ДРОБИ
9
§ 2]
Для конечных цепных дробей, как это вытекает из са-
мого их определения, имеет место соотношение:
[<г0; Пр п2, ..., я„] — 1п0; Пр о2, п^_р
(5)
Аналогичное соотношение
[п0; Пр п2, ...] = [п0; п„ п2.....nft_p rft] (&>0)
для бесконечных цепных дробей может иметь смысл лишь
(тривиальной) формальной записи, так как элемент rk в пра-
вой части этого равенства, будучи бесконечной цепной
дробью, не имеет никакого определенного числового значения.
§ 2. Подходящие дроби
Всякая конечная цепная дробь
[п0; в], а2.....................пп]
как результат конечного числа рациональных действий над
ее элементами есть рациональная функция этих элементов и,
следовательно, может быть представлена как отношение двух
многочленов
(По, Пр ..,, п/г)
Q(«o- а..... ап)
относительно п0,	.....ап с целыми коэффициентами.
Если элементы получают числовые значения, то тем самым дан-
ная цепная дробь представляется в виде обыкновенной дро-
би . Однако такое представление, разумеется, не является
единственным. Для всего последующего нам важно иметь не-
которое определенное представление конечной цепной дроби
в виде простой дроби — представление, которое мы будем
называть каноническим. Это представление мы определим
посредством индукции.
Для нуль-членной цепной дроби
= ао
мы в качестве канонического представления принимаем
дробь . Пусть теперь канонические представления опре-
делены для цепных дробей, число членов которых менее п.
10
СВОЙСТВА АППАРАТА
|гл. I
В n-членной дроби [а0; alt ап] мы можем положить
согласно формуле (5)
[«о! Gi....= IG0; /'ll = «0+77 =
здесь
= fl2.........ап\
есть п—1-членная цепная дробь, для которой, следова-
тельно, каноническое представление уже определено; пусть
оно имеет вид
тогда
[а0; йр ..., ап] = а0^-^г=^-±^--,
эту последнюю дробь мы и примем за каноническое пред-
ставление цепной дроби [а0; а1...... ап\\ таким образом,
полагая
г	. р
lGo! «1....«п1	= ~-
= at.........
мы для числителей и знаменателей этих канонических пред-
ставлений имеем соотношения:
Р = «<#+?'. ? =	(6)
Вместе с тем мы видим, что канонические представления
нами теперь однозначно определены для конечных цепных
дробей с любым числом членов.
В теории цепных дробей особо важную роль играют
канонические представления отрезков данной (конечной или
бесконечной) цепной дроби а = [я0; av а,2, ...]; канони-
ческое представление отрезка
sk = 1й0> с1> й2> •••’
этой дроби мы будем обозначать через и называть под-
ходящей дробью порядка k данной цепной дроби а. Поня-
тие это определяется совершенно одинаково для конечных
и бесконечных цепных дробей а; разница лишь в том, что
§ 2]
ПОДХОДЯЩИЕ ДРОБИ
и
конечная цепная дробь имеет конечное число подходящих
дробей, а бесконечная имеет их бесчисленное множество.
Для й-членной цепной дроби а, очевидно,
такая цепная дробь имеет всего п -j-1 подходящих дробей
(порядков 0, 1, 2, .... п).
Теорема 1. (Закон образования подходящих дробей.)
Для любого к'Д-Ъ
Pk = akPk-x-\-Pk-^ |
Qk = akqk_x	J	()
Доказательство. В случае k — 2 формулы (7) легко
проверяются непосредственно. Допустим, что они верны для
всех k < п; рассмотрим цепную дробь
1ЙР й2....Й„1
Г
f	f	Pt
и будем обозначать через —— ее подходящую дробь по-
Чг
рядка г; в силу формул (6)
Рп^а0Рп-1+ч'п-ъ
Чп=Р'п-ъ
а так как по нашему допущению
^-1 = йХ-2+^-3.
Сг^Х-г + Сз
(здесь стоит ап, а не a„_j, так как дробь [су, й2, .... ап]
начинается с av а не с а0), то в силу формул (6)
Рп = а0 (°Л-2 + Л-з) + (йХ-2 Н-з) =
= ап Мп-2 + <-2) + (йоЛ-3 -Нл -з) =
= йлР«-1+Рп-2-
Ч„ = °,Л-2 + Ри 3 = йЛ-1 +^-2,
Ч. и т. д.
12
СВОЙСТВА АППАРАТА
(гл. I
Установленные нами рекуррентные формулы (7), выра-
жающие числитель и знаменатель подходящей дроби порядка п
через элемент ап и через числители и знаменатели двух
предшествующих подходящих дробей, служат формальной
основой всей теории цепных дробей.
Примечание. Иногда удобно бывает вводить в рас-
смотрение также подходящую дробь порядка — 1, причем
полагают p_i — 1 и = Очевидно, при этом соглаше-
нии (и только при этом соглашении) формулы (7) сохраняют
силу и для k = 1.
Теорема 2. Для всех
QkPk -1 — Pk4k -1 =	1 )ft-	(8)
Доказательство. Умножая формулы (7) соответственно
на qk_} и и вычитая затем первую из второй, мы на-
ходим:
QkPk-X — РкЯк-1 — (ffk-lPk-2 Рк-Дк-2>>
а так как
9оР-1 —Ро9-1 = !>
то теорема доказана.
Следствие. Для всех
Pk-i
Як-i Qk QkQk-i'
(9)
Теорема 3. Для всех
ЯкРк-2 РкЯк-2— ( 0 ак-
Доказательство. Умножая формулы (7) соответственно
на Як-2 и Рк-2 и вычитая затем первую из второй, мы на-
ходим в силу теоремы 2:
ЯкРк-2 — РкЯк-2 = ак (.Як-Дк-2 — Рк-Дк-2) = (— О*”1 «А-
ч. и т. д.
Следствие. Для всех
Рк-2 Рк(-^~1аЬ
Як-2 як якяк_2
(10)
§ 2]
ПОДХОДЯЩИЕ ДРОБИ
13
Полученный ряд простых результатов позволяет нам
легко сделать весьма важные заключения о взаимном рас-
положении подходящих дробей данной цепной дроби. В самом
деле, равенство (10) показывает, что подходящие дроби чет-
ных порядков образуют возрастающую последовательность,
а подходящие дроби нечетных порядков — убывающую по-
следовательность, так что эти две последовательности идут
друг другу навстречу (все это, разумеется, при сделанном
нами предположении о положительности всех элементов, на-
чиная с О]). Так как в силу равенства (9) каждая дробь не-
четного порядка больше дроби непосредственно следующего
четного порядка, то, очевидно, и любая подходящая дробь
нечетного порядка должна быть больше любой подходящей
дроби четного порядка, и мы приходим к следующему за-
ключению:
Теорема 4. Подходящие дроби четного порядка
образуют возрастающую, а подходящие дроби нечетного
порядка — убывающую последовательность. При этом
любая подходящая дробь нечетного порядка больше любой
подходящей дроби четного порядка.
Очевидно, в частности, что для конечной цепной дроби а
всякая подходящая дробь четного порядка меньше а, а вся-
кая подходящая дробь нечетного порядка больше а (исклю-
чение составляет, разумеется, последняя подходящая дробь,
равная а).
Мы закончим настоящий параграф доказательством двух
простых, но крайне важных предложений, касающихся числи-
телей и знаменателей подходящих дробей.
Теорема 5. Для любого /г (1 Л я)
1«о-> «р с2...=	(11)
'k-\k' 4-2
(здесь pt, qL, rt относятся к цепной дроби, стоящей в левой
части равенства).
Доказательство. В силу формулы (5)
(«о! Ср «2....an]~fa0; а}, а2.......ak_}, rj.
Цепная дробь, стоящая в правой части этого равенства,
очевидно, имеет в качестве подходящей дроби порядка k— 1
14
СВОЙСТВА АППАРАТА
[гл. I
дробь Рк подходящая же ее дробь порядка k, — ,
qk-i	qic
равна ей самой, а так как по формулам (7)
Pk —Рк-1Г к +/4-2' Qk — Qk-\rk + <7fe-2>
то теорема доказана.
Теорема 6. Для любого k 1
<4 г
—= ak_x............С1].
4-i
Доказательство. Для k=\ это соотношение очевидно,
так как оно получает вид
пусть k > 1, и пусть уже доказано, что
Q. 1
- - = [cft_1‘, ак_2,	cj;	(12)
4-2
в силу соотношения (7)
Qk — akQk-i +?fe-2
мы имеем:
а отсюда в силу формул (5) и (12)
= ак_х....................................flj,
Jk-i
ч. и т. д.
§ 3. Бесконечные цепные дроби
Каждой бесконечной цепной дроби
[а0; ах, а2, ...]
(13)
соответствует бесконечная последовательность подходящих
дробей
То Pi	Рк
qi....... <4 ’ ’' ’
(14)
§ 3]
БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
15
Каждая подходящая дробь есть некоторое вещественное
число; в случае, если последовательность (14) сходится,
т. е. имеет единственный определенный предел а, естественно
считать это число а «значением» цепной дроби (13) и писать:
а — [а0;	а2, ... ]
Сама цепная дробь (13) в этом случае называется сходя-
щейся', если же последовательность (14) определенного пре-
дела не имеет, то мы называем цепную дробь (13) расхо-
дящейся.
Сходящиеся бесконечные Цепные дроби по своим свой-
ствам во многом аналогичны конечным цепным дробям.
Основным их свойством, позволяющим весьма далеко про-
вести эту аналогию, является следующее предложение.
Теорема 7. Если бесконечная цепная дробь (13)
сходится, то сходятся и все ее остатки', обратно, если
хоть один из остатков цепной дроби (13) сходится, то
сходится и сама эта цепная дробь.
р.
Доказательство. Условимся обозначать через — под-
r k
ходящие дроби данной цепной дроби (13) и через — под-
Qk
ходящие дроби какого-либо из ее остатков, например гП.
На основании формулы (11) мы, очевидно, будем иметь:
Рп-\ ~~Г + Рп-2
Р^=\ай', а}, а2......ап+к]=------------------(А=0, 1,...). (15)
Чл+S	pk
Яп—t ~ 4~ Qn—2
4k
Отсюда непосредственно следует, что если сходится
/
остаток г , т. е. если дробь —у- при /г>сс стремится
4k
к пределу, который мы также будем обозначать через г ,
то дробь —"+fe при этом также стремится к пределу а, ко-
торый равен
а^Рд-,г„ + р„2;	16
Чп-и'пЛ-
16
СВОЙСТВА АППАРАТА
(ГЛ. I
разрешая же соотношение (15) относительно —, мы совер-
4k
шенно таким же путем убеждаемся в справедливости и
обратного заключения, чем и завершается доказательство
теоремы 7.
Заметим, что установленная нами для сходящихся беско-
нечных цепных дробей формула (16) совершенно аналогична
формуле (11), доказанной нами ранее для конечных цепных
дробей; таким образом для сходящихся бесконечных цепных
дробей имеет место теорема, аналогичная теореме 5 для
конечных цепных дробей.
Для сходящихся бесконечных цепных дробей из теоремы 4
предыдущего параграфа, очевидно, вытекает следующее пред-
ложение.
Теорема 8. Значение сходящейся бесконечной цепной
дроби больше любой подходящей дроби четного порядка
и меньше любой подходящей дроби нечетного порядка.
Далее, следствие теоремы 2 предыдущего параграфа
приводит нас в силу теоремы 8 к следующему результату,
играющему основную роль в арифметических приложениях
теории цепных дробей.
Теорема 9. Значение а сходящейся бесконечной
цепной дроби (13) при любом k^>0 удовлетворяет нера-
венству '):
а_ Pk_	1
4ь 4k4k+i
Очевидно, теорема 9 имеет место и для конечной цеп-
ной дроби
а = [а0; аг, а2, .... а„]
при всех k < п, причем только для случая k = n— 1 нера-
венство заменяется равенством, так как а. — —-.
Если а есть значение сходящейся бесконечной цепной
дроби (13), то элементы этой дроби мы будем во всем даль-
нейшем называть также элементами числа а; подобным же
‘) Заметим, что в наших предположениях qp > 0 для всех
/г'>0, ибо q0 = 1, q} — alt а отсюда в силу второй из формул (7)
мы посредством индукции находим > 0 и для всех k > 1.
§ 3]
БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
17
образом подходящие дроби, отрезки и остатки цепной
дроби (13) мы будем называть соответственно подходящими
дробями, отрезками и остатками числа а. В силу теоремы 7
все остатки сходящейся бесконечной цепной дроби (13) имеют
определенные вещественные значения.
Для бесконечных дробей может быть естественно поста-
влен вопрос о признаках сходимости, подобно тому как он
ставится для бесконечных рядов; в рассматриваемом нами
случае, т. е. когда at > 0 для (^>1, можно указать чрезвы-
чайно простой и удобный признак сходимости.
Теорема 10. Для сходимости цепной дроби (13)
необходимо и достаточно, чтобы ряд
(17)
был расходящимся-
Доказательство. Очевидно в силу теоремы 4, что для
сходимости бесконечной цепной дроби необходимо и доста-
точно, чтобы те две последовательности, о которых идет
речь в этой теореме, имели один и тот же предел (суще-
ствование предела для каждой отдельной последовательности
вытекает, разумеется, из теоремы 4 во всех случаях). А это,
как показывает формула (9), имеет место тогда и только
тогда, если
адй+1-^°°	(£->оо).	(18)
Условие (18), таким образом, необходимо и достаточно
для сходимости данной цепной дроби.
Пусть ряд (17) сходится; в силу второй из формул (7)
^>^-2	(*>!)•
Поэтому для любого k мы имеем либо qk > либо
> qk_2- В первом случае вторая из формул (7) дает
< akClb + ?Л-2>
а отсюда при достаточно больших k (когда ак < 1, что
в силу сходимости ряда (17) должно иметь место при /е^>/г0)

2 Зак. 2026. -А.' ййспнш.ш
18
СВОЙСТВА АППАРАТА
[ГЛ. I
во втором случае та же формула дает при ak < 1
1 uk
таким образом для всех k k0 мы имеем
где I < k\ если I k0, то к qt можно применить то же не-
равенство; продолжая эти рассуждения, мы, очевидно, придем
к неравенству':
qk < (l-«fc)(l-«z)...(l-«r) ’	(19)
где k > I > ... > г k0 и s < k0. Но в силу предположен-
ной сходимости ряда (17) бесконечное произведение
По—
как известно, сходится, т. е. имеет положительное значением
которое мы обозначим через К. Очевидно,	|
k	4
(1-Cfc)(l-Cz) ... (1 — ar) >• П (1 — ап) = k;
n = k„
поэтому, обозначая через Q наибольшее из чисел q0, qlt . . .
. ... qk0-i> мы из неравенства (19) можем заключить:
Qk < 4	(/г > k0),
следовательно,
О2
Qk+iQk<-^- (k^.k0),
и соотношение (18) не может иметь места, а следовательно,
данная цепная дробь расходится.
Пусть теперь ряд (17) расходится. Так как qk >
для всех k^>2, то, обозначая через с наименьшее из чи-
сел q0, q}, мы для любого /г^-0 будем иметь qk^>c; поэтому
вторая из формул (7) дает нам
Qk>Qk-^cak
§ 4] ЦЕПНЫЕ ДРОБИ С НАТУРАЛЬНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ 19
Последовательное применение этого неравенства дает нам
<12k>	к - +• f 2 Я2л
И	k
^2fe+l	
откуда	2ft+1.
	> Qq 4~ <h + с X ап> П = 1
иначе говоря, для всех k	k
Qk Ч-?*-! > С hi ап'
/1 = 1
Мы доказали выше это неравенство для нечетных k,
однако очевидно, что таким же путем оно устанавливается
и для четных k.
Но отсюда следует, что в произведении qkqk_x по мень-
k
шей мере один из сомножителей превышает У, с„, а так
П = 1
как другой множитель во всяком случае не меньше, чем с,
то мы получаем
к
. с2 V
Qk4k — 1 > 2	&п’
П~1
в силу предположенной расходимости ряда (17) отсюда сле-
дует соотношение (18), а следовательно, сходимость данной
цепной дроби. Этим теорема 10 доказана полностью.
§ 4. Цепные дроби с натуральными элементами
Начиная с настоящего параграфа и до конца книги мы
будем предполагать элементы а2, ... данной цепной
Дроби натуральными, т. е. целыми положительными числами.
Что касается а0, то оно — также целое число, но не обяза-
тельно положительное.
Если такая цепная дробь бесконечна, то на основании
теоремы 10 она всегда сходится. Поэтому мы впредь без
20
СВОЙСТВА АППАРАТА
[гл. I
всяких оговорок можем считать любую бесконечную цепную
дробь сходящейся и говорить о ее «значении» или «величине».
Если такая цепная дробь конечна и если последний ее
элемент ап—1, то, очевидно, гп_1 — ап_1-^-1 есть целое
число; таким образом в этом случае мы данную п-членную
дробь [а0; Ср а2, .... ап_р 1] можем написать и в виде
п— 1-членной дроби [а0; аг, а2, ..ап_1 -[- 1 ], причем в этом
новом виде последний элемент заведомо больше единицы.
Благодаря этому замечанию мы можем во всем дальней-
шем исключить из рассмотрения конечные цепные дроби,
последние элементы которых равны единице (за исключением,
конечно, нуль-членной дроби [1]). Это замечание играет
важную роль в вопросе о единственности представления чисел
цепными дробями (см. гл. II, § 5).
Очевидно, что числители и знаменатели подходящих дро-
бей в рассматриваемом нами теперь случае — числа целые
[для 9_], р0, q0 это видно непосредственно, а для
остальных следует из формул (7)]. Кроме того, мы имеем
следующее весьма важное предложение.
Те о р ема 11. Все подходящие дроби несократимы.
Доказательство непосредственно вытекает из формулы (8),
так как всякий общий делитель чисел рп и qn является
вместе с тем делителем выражения qnpn^ — РДп-v
Вторая из формул (7) показывает, что для всякого й^.2,
qk > gk-v таким образом последовательность
<71. <7г- •••• 4 k.
всегда возрастающая. Мы можем высказать о порядке роста
чисел qk и значительно более сильное предложение.
Теорема 12. Для любого1)
fe-i
2 •
Доказательство. При
4k = ak4k-\	4k-i +?*-2	^4k-2'>
*) Здесь и всюду в дальнейшем надо, конечно, подразумевать
в случае конечной цепной дроби только те значения k, для кото-
рых qk имеет смысл.
§ 41
ЦЕПНЫЕ ДРОБИ С НАТУРАЛЬНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
21
последовательное применение этого неравенства дает
Яги ~	2*7]	2 ;
эти неравенства, очевидно, доказывают теорему.
Таким образом знаменатели подходящих дробей возра-
стают не медленнее, чем по закону геометрической прогрессии.
Промежуточные дроби. Пусть k 2 и i — любое не-
отрицательное целое число. Разность
Pfe-l(Z+ 0 + ^-2	Рк-11+Рк-2
D + 9ft_2	^-lZ + ?ft-2 ’
равная, как легко убедиться,
(-1)*
имеет для всех I 0 один и тот же знак, зависящий только
от четности или нечетности k. Отсюда следует, что дроби
Pk-2 Pk-2 ~Ь Pk-1 Pk-2^~^Pk-1 Pk-2 ~b akPk-l Pk Y20)
образуют при четном k возрастающую, а при нечетном
k — убывающую последовательность (см. теорему 4). Край-
ние члены этой последовательности — подходящие дроби
одинаковой четности; промежуточные между ними члены
(если таковые имеются, т. е. если ак > 1) мы будем назы-
вать промежуточными дробями. В арифметических приложе-
ниях эти промежуточные дроби играют значительную роль,
хотя и не столь большую, как подходящие дроби. Для
лучшего уяснения их взаимного расположения и закона их
последовательного образования целесообразно ввести понятие,
так называемой медианты двух дробей.
Медиантою двух дробей и с положительными зна-
менателями называется дробь
а -|- с
Уф?'
Лемма. Медианта двух дробей всегда заключена
между ними по величине.
22
Свойства аппарата
(гл. I
Доказательство. Пусть для определенности
тогда Ьс — ad'^> 0, и, следовательно,
а -f- с а _ Ьс — ad n a-j-с с ad — be п
b + d ~~~b~ b(b+d)	— 7ЦГ+rf) U’
ч.	и т. д.
Мы непосредственно видим, что каждая из промежуточные
дробей ряда (20) является медиантою предшествующей дроби
р,,,
и дроби  продвигаясь в ряду (20), мы, таким образом,
qk-i
путем последовательного образования медиант продвигаемся
от подходящей дроби ^~2- по направлению к подходящей
. Pk-i
дроби -	; заключительным шагом этого продвижения
qk-i
Рк
является тот, когда построенная медианта совпадает с
г-	г-	ръ-\
эта последняя дробь заключена, таким образом, между —-—-
9Л-1
и ^*~2 , что мы уже знаем из теоремы 4. Мы знаем также,
* 2	Рь -
что значение а данной цепной дроби заключено между -к-
9Л-1
и и что дроби ~и > порядки которых оба четные
или оба нечетные, расположены по одну и ту же сторону
числа а. Отсюда следует, что весь ряд (20) расположен
« pk-i
по одну сторону числа а, дробь же —---------по другую его
qk-i
г}	-« Рь - I Рк __ 2	Pk — \
сторону. В частности, дроби	'Ть*— и	всег;[-а
расположены по разные стороны а. Иначе говоря, величина
цепной дроби всегда заключена между любой подходящей
дробью и медиантой, образованной этой дробью и пред-
шествующей. (Мы рекомендуем читателю сделать себе схе-
матический чертеж, рисующий взаимное расположение всех
этих чисел.)	"
ЦЕПНЫЕ ДРОБИ С НАТУРАЛЬНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
23
§ 4]
Это замечание дает простой способ, с помощью которого
Р Ь 9	Ph 1
можно, зная подходящие дроби и -л’"1 , построить
°‘k-1	^k-l
р.
следующую подходящую дробь —, не зная элемента ак
°-k
(но пользуясь зато знанием величины а цепной дроби). В самом
деле, строим сначала медианту двух данных дробей, затем
Р'к.-х
4k-x
медианту этой медианты с
и т. д., всякий раз строя
р.
медианту только что полученной медианты и дроби -	;
4kx
мы уже знаем, что эти последовательные медианты будут
вначале приближаться к а; последняя медианта этого ряда,
лежащая от а по ту же сторону, что и исходная
.	9	Pk г,
дробь -----, и есть —. В самом деле, мы уже знаем,
^_2	qk
что — среди этих медиант найдется и будет лежать от а
Pk-2
по ту же сторону, что и - - ; нам остается поэтому по-
4k—2
казать только, что следующая медианта будет лежать уже
по другую сторону а; но следующая медианта есть	р к-х
4k ' ^k-x
и действительно лежит в силу сделанного выше замечания
уже по другую сторону числа а.
Другое, еще более важное следствие выясненного нами
взаимного расположения числа а и его подходящих и про-
межуточных дробей получается из следующих соображений.
Промежуточная дробь	, будучи заключена между
Ръ
и а, лежит к — ближе, чем а, т. е.
4k
k
Pk + Pk’X Pk
4k + 4k+x 4k
1
4k(4k + qk+i)
(знак равенства здесь невозможен потому, что это означало бы
~_Pk+Pk + X = Pk + 2
4к^4к + }	9к+%
ak+2 — h
24
СВОЙСТВА АППАРАТА
[ГЛ. I
т. е. а было бы конечной цепной дробью с последним эле-
ментом 1 — случай, который мы с самого начала исключили
из рассмотрения).
Таким образом мы приходим к следующему важному
предложению.
Теорема 13. Для всех /г^>0
1
clk
(21)
Неравенство (21), которое дает нижнюю границу для
Pk	-
разности а—	, очевидно, дополняет собою установлен-
ное нами выше неравенство теоремы 9, дающее верхнюю
границу этой же разности.
ГЛАВА II
ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ
§ 5. Цепные дроби как аппарат для представления
вещественных чисел
Теорема 14. Каждому вещественному числу а соот-
ветствует единственная цепная дробь, имеющая это
число своим значением. Эта дробь конечна, если число а.
рационально, и бесконечна, если оно иррационально ’).
Доказательство. Обозначим через aQ наибольшее целое
число, не превосходящее а; если а — не целое число, то
соотношение
а = ао + ~	(22)
' 1
позволяет определить Число Гр при этом, очевидно, > 1,
так как
1 ,
— = а—а0< 1;
вообще, если гп— не целое число, то мы обозначим через ап
наибольшее целое число, не превосходящее гп, и определим
число гп+1 из соотношения:
гп = апЛ
1
Гп + 1
(23)
Этот процесс, очевидно, может быть продолжен до тех
пор, пока какое-либо гп не окажется целым числом; при
этом очевидно, что rn > 1 (п^-1).
’) Мы напоминаем, что рассматриваем цепные дроби с целыми
элементами, причем а, > О для Z > 1, и последний элемент всякой
конечной цепной дроби должен быть отличен от единицы.
26	ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ [ГЛ. II
Соотношение (22) показывает, что
a=[c0: rj;
пусть, вообще,
а = [а0’,а1,а2.....ап_1,	rn];	(24)
тогда соотношение (23) и формула (5) гл. I показывают, что
<z = [a0; Ср а2...an_v ап, г„+1];
таким образом, формула (24) справедлива для всех п (пред-
полагая, разумеется, что г2......гп_] — не целые числа).
Если число а рационально, то, очевидно, и все гп ра-
циональны; легко видеть, что в этом случае наш процесс
окончится после конечного числа шагов; в самом деле, если,-
например, гп = у, то
г —л — а~Ьап _ С
ГП П b Ь ’
где с < Ь, так как гп-—ап < 1; соотношение (23) дает:
_ Ъ
Гп + 1— г
(если только с не равно нулю, т. е. если гп—не целое
число, в этом случае наше утверждение было бы доказано);
таким образом, гп+1 имеет меньший знаменатель, нежели гп,
откуда и следует, что после конечного числа шагов мы
в ряду Гр г2, ... должны прийти к целому числу гп — ап\
но в таком случае формула (24) показывает, что число а
изображается конечной цепной дробью, последний элемент
которой ап = rn > 1.
Если число а иррационально, то и все гп иррациональны
и наш процесс является бесконечным. Полагая
i«0; av а2..........ап\ =
(где дробь несократима и > 0), мы в силу фор-
\	Чп	/
мулы (24) и формулы (16) гл. I будем иметь:
„ Рп-^пЛ- Рп-1
Чп-1гп~^ Чп-2
(п > 2);
§ 5] аппарат для представления вещественных чисел 27
с другой стороны, очевидно,
Рп __ Рд-1ап ~1~ Рп- 2
Чп 7n-ifln + Чп-2
отсюда
СХ —	= (Рч~ 1Чп-2 Чп—l Рп — 1) (гп ап)
Чп {Чп-\гп"\- Чп-г)(Чп-1апЛ~ Чп-z)
и, следовательно,
________________________________1_______________< _1_.
(?„_/„ + Чп_2) (4n_fn + <Z„_2)__________________% ’
таким образом
Рп
ПРИ л—>оо;
но это, очевидно, и означает, что бесконечная цепная дробь
[с0; о]( а2, ...] имеет своим значением данное число а.
Таким образом мы показали, что число а всегда может
быть представлено цепной дробью; эта дробь конечна, если
число а рационально, и бесконечна, если оно иррационально.
Нам остается показать единственность полученного разложе-
ния. Заметим прежде всего, что эта единственность, в сущ-
ности, вытекает уже из рассуждений § 4 гл. I, где мы
видели, что, зная величину дайной цепной дроби, мы можем
последовательно построить все ее подходящие дроби, а сле-
довательно, и все ее элементы. Однако требуемая единствен-
ность может быть установлена и значительно проще. В самом
деле, пусть
а = [а0;	а2, .	=	а\, а\, . ..],
причем эти цепные дроби могут быть как конечными, так
и бесконечными. Условимся обозначать вообще через [х]
наибольшее целое число, не превосходящее х. Прежде всего
очевидно а0 — (ос] и а'й = [ос], откуда а0 — а'; далее, если
уже установлено, что
a. = af. (i = 0, 1, 2, ..., и),
то, в легко понятных обозначениях,
Pi^P'i 1
J
(z = 0» 1, 2, ..., n).
28
ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ
[гл.
и в силу формулы (16) гл. I:
Pnrn^ + Pn-X	Pnr'n + l + Рп-1	Р,Уп..} +РПЛ
а —----------------- — _____----— —-----------------5
ЧпГп + Х +	1	^П^п-\Л	^п— 1 ^ПГП-т\ Яп~1
°™уда rn+. = rn+v а так как ЙВ(1=Ыи <+1=K+i]j
то а ., = а' ,,, т. е. данные дроби полностью совпадают,
ч. и т. д.
Заметим, что последнее рассуждение было бы невозмож-
ным, если бы мы допускали конечные цепные дроби с по-
следним элементом 1; в самом деле, если, например, ап+1 = 1
есть такой последний элемент, то гп=ап-Д-1 и ап^=[гп],
Мы убедились, таким образом, что вещественные числе
однозначно изображаются цепными дробями. Основное зна-
чение такого изображения заключается, разумеется, в том
что, зная изображающую вещественное число а цепнук
дробь, мы можем определить это число с любой наперев
заданной степенью точности. В силу этого аппарат ценны,
дробей может претендовать в изображении вещественны,
чисел, по крайней мере принципиально, на такую же роль;
как, например, и аппарат десятичных или вообще система'
тических (т. е. расположенных по той или иной систем:
счисления) дробей.
Каковы же основные преимущества или недостатки цеп'
ных дробей как аппарата для изображения вещественны,
чисел по сравнению с гораздо более распространенными си;
стематическими дробями? Чтобы ответить на этот вопрос
надо прежде всего дать себе ясный отчет в том, какие тре
бования могут и должны быть предъявляемы к такого род;
аппарату. Очевидно, первое и основное теоретическое тре.
бование должно состоять в том, чтобы аппарат возможне
полнее отображал в себе свойства того числа, которое oi
изображает, так, чтобы свойства эти могли быть возможш
полно и возможно просто выявлены всякий раз, как дане
изображение числа этим аппаратом.
В отношении этого первого требования цепные дроб!
имеют несомненное и значительное преимущество перед дро-
бями систематическими (и в частности десятичными). В это*
мы постепенно убедимся на протяжении всей настоящей
главы; до некоторой степени, впрочем, это ясно и из априор
§ 5] АППАРАТ для представления вещественных чисел 29
ных соображений: в то время как всякая систематическая
дробь связана с определенной системой счисления и потому
неизбежно отражает в себе не столько абсолютные свойства
изображаемого ею числа, сколько его взаимоотношения
именно с этой выбранной системой счисления, — цепные дроби
ни с какой системой счисления не связаны и в чистом виде
воспроизводят свойства изображаемых ими чисел. Так, мы
уже видели, что рациональность или иррациональность изо-
бражаемого числа находит себе полное выражение в конеч-
ности или бесконечности соответствующей ему цепной дроби.
Известно, что для систематических дробей соответствующий
признак значительно сложнее: конечность или бесконечность
изображающей дроби зависит здесь, кроме природы изобра-
жаемого числа, существенным образом и от того, в каком
отношении оно стоит к выбранной системе счисления.
Однако, кроме указанного нами основного теоретического
требования, ко всякому аппарату, служащему для изображе-
ния чисел, естественно должны быть предъявляемы и требо-
вания практического характера (некоторые из них могут,
впрочем, иметь и известное теоретическое значение). Так,
очень существенным является требование, чтобы аппарат
позволял с возможною простотою находить приближенные
значения изображаемого числа с наперед заданною степенью
точности. Этому требованию аппарат цепных дробей удо-
влетворяет в высокой степени, и во всяком случае лучше,
чем аппарат дробей систематических; более того, мы скоро
убедимся, что приближенные значения, даваемые этим аппа-
ратом, в известном, чрезвычайно простом и важном смысле,
обладают свойством наилучших приближений.
Есть, однако, другое, еще более существенное практи-
ческое требование, которому этот аппарат совершенно не
удовлетворяет. Потребности счета заставляют нас желать от
всякого изображающего аппарата, чтобы, зная изображения
нескольких чисел, мы могли с достаточной легкостью нахо-
дить изображения и простейших функций этих чисел (прежде
всего их суммы и произведения). Короче говоря, удобный
в практическом отношении аппарат должен допускать доста-
точно простые правила арифметических действий, без чего
он не может служить орудием счета. Известно, каким удоб-
ством в этом отношении обладают систематические дроби. На-
против, для цепных дробей никаких практически приемлемых
30	ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ [гл. 0
правил арифметических действий не существует; уже задача
отыскания цепной дроби для суммы по цепным дробям,
изображающим слагаемые, чрезвычайно сложна и в счетной
практике невыполнима.
Указанные нами преимущества и недостатки цепных дро-
бей сравнительно с дробями систематическими в значительной
мере предопределяют собою и разграничение областей при-
менения этих двух изображающих аппаратов. В то время как
в практике счета пользуются почти исключительно система-
тическими дробями, в теоретических исследованиях при изу-
чении арифметических законов континуума и арифметических
свойств отдельных иррациональностей находит себе преиму-
щественное применение аппарат цепных дробей, являющийся
наилучшим и незаменимым орудием этого рода исследований.
Проследить этот аппарат в этой его роли — основная задача
всего последующего.
§ 6. Подходящие дроби в качестве наилучших
приближений
Желая представить иррациональное число а с той или
иной степенью точности в виде обыкновенной рациональной
дроби, мы можем, естественно, пользоваться для этой цели
подходящими дробями изображающей а цепной дроби. Сте-
пень достигаемой при этом точности устанавливается теоре-
мами 9 и 13 гл. I; именно, мы имеем:
______1______
Qntfln + Чп+i) I I QnQn+\
Задача аппроксимации (приближенного выражения) ирра-
циональных чисел с помощью рациональных дробей в про-
стейшем своем виде ставится обычно так, что ищется рацио-
нальная дробь с наименьшим (положительным) знаменателем,
отличающаяся от данного иррационального числа не более
чем на некоторую наперед заданную величину. Поставленная
таким образом задача может, впрочем, иметь смысл и в том
случае, когда данное число а является рациональным; так.
если а представляет собою дробь, числитель и знаменатель
которой весьма велики, может встать вопрос о приближен-
ном представлении этого числа при помощи дроби, числи-
тель и знаменатель которой были бы меньшими числами,
6] ПОДХОДЯЩИЕ ДРОБИ И КАЧЕСТВЕ ПРИБЛИЖЕНИЙ 31
С чисто практической точки зрения между этими двумя слу-
чаями (рационального и иррационального а) нет в сущности
даже различия, ибо на практике всякое число задается лишь
с известной степенью точности.
Непосредственно ясно, что для решения этой задачи
аппарат систематических дробей совершенно непригоден, ибо
даваемые им аппроксимирующие дроби имеют знаменатели,
определяемые исключительно выбранной системой счисления
(в случае десятичных дробей — это степени числа 10) и
совершенно не зависящие от арифметической природы изобра-
жаемого числа. Напротив, в случае цепных дробей знамена-
тели подходящих дробей полностью определяются изобра-
жаемым этой дробью числом, и потому мы имеем все осно-
вания ожидать, что эти подходящие дроби, будучи тесным
и естественным образом связаны с изображаемым числом и
полностью им определяясь, должны играть существенную'
роль в решении задачи о наилучшей аппроксимации этого
числа рациональными дробями ]).
Условимся называть рациональную дробь у (£> > 0) наи-
лучшим приближением вещественного числа а, если всякая
другая рациональная дробь с тем же или меньшим знамена-
телем лежит на большем расстоянии от а, иначе, если из
0 <.d у =/= у необходимо следует:
с
а —у
Теорема 15. Всякое наилучшее приближение числа а
есть одна из подходящих или промежуточных дробей
изображающей это число цепной дроби.
') Два интересных алгоритма для представления иррациональных
чисел были предложены М. В. Остроградским незадолго до смерти.
Его краткие замечания на этот счет были найдены на клочках
бумаги в рукописном фонде Академии наук Украинской ССР. Эти
заметки были расшифрованы в статье Е. Я. Ремеза «О знакопере-
менных рядах, которые могут быть связаны с двумя алгорифмами
М. В. Остроградского для приближения иррациональных чисел >,
УМН 6, 5 (45), 33—42, 1951. Как выяснил Е. Я. Ремез, алгоритмы
М, В. Остроградского в некоторых случаях дают приближения луч-
шие, чем цепные дроби. К сожалению, до сих пор детальное их
изучение, в том числе и для вычислительных целей, не осущест-
влено. (S. Г.)
32	ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ [гл. ц
Предварительное замечание. Для того чтобы
это предложение не допускало исключений, необходимо, как
мы условились в § 2, ввести в рассмотрение подходящие
дроби порядка—1, полагая /?_,= !, д_х~0. В самом деле,
дробь X является, например, как легко убедиться, наилуч-
, 1
шим приближением числа но не входит в число его под-
ходящих и промежуточных дробей, так как совокупность
этих дробей, если начинать с подходящей дроби порядка
О 1
нуль, исчерпывается двумя членами, -у и напротив, если
принять дробь X в качестве подходящей дроби порядка— 1,
то эта совокупность получает вид:
X £ X X X X
О ’ 1 ’ 1 ’ 2 ’ 3 ’ 4
, 1
и содержит дробь
О
Доказательство. Пусть у есть наилучшее приближение
в
числа а: тогда прежде всего у<>с0; в самом деле, в случае
а „	г ап	а
<^а0 дробь у-, отличная от у и имеющая знаменатель
не ббльший, чем Ь, лежала бы к а ближе, чем у, вслед-
ствие чего у не было бы наилучшим приближением.
Совершенно аналогичным рассуждением мы можем пока-’
зать, что
J < «о+ 1-
Таким образом, мы вправе допустить, что а0 < у < а0 -f- I
случае у = а0 или у = с0 Ц- 1 теорема была бы доказана,
в0 Ро	йо + 1	Ро + Р-1
так как	есть подходящая, а	r г------npoi
межуточная дробь числа а).
§ 6J ПОДХОДЯЩИЕ ДРОБИ В КАЧЕСТВЕ ПРИБЛИЖЕНИЙ 33
Если дробь ~ не совпадает ни с одною подходящей или
промежуточной дробью числа а, то она должна заключаться
между двумя последовательными такими дробями, т. е. при
надлежаще выбранных k и г (Л > О, O^r < ak+l или k — 0,
1 г < Cj) между дробями
Pkr + Pk-y и Р^ + П+р^ •
вследствие чего
Ч Pkr + Pk-x < Pfefr+n + zy, Pkr + Pk^ =
Ь	qkr + qk_x
_ 1
“ {^(r + n + ^J {v + ^-J ’
Но, с другой стороны, очевидно,
а	Pj + Pk-, ___	™
ь чг+ч-х b^kr+qk-y)’
где т — некоторое целое положительное число, и, значит,
по меньшей мере равно единице; следовательно,
	1 _ 1
W + ^-l)	{МГ+!) + <У1}	+
откуда	Ik (г + О + tfk-i <
Дробь	PfeO-'+D+Pfe-,	9_. ^(r + D + ^Z	( }
имея, таким образом, знаменатель меньший, чем Ь, лежит
к числу а ближе, чем дробь
Pkr+Pk-x
4r + ^k-i
(ибо вообще в силу результатов § 4 всякая последующая
промежуточная дробь лежит к а ближе, чем предыдущая),
а значит, и ближе, чем дробь у, заключенная между (25)
и (26); но это противоречит определению наилучшего при«
ближения, и, таким образом, теорема 15 доказана.
3 Зак. 2026. А. Я. Хинчин
34
ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ
|гл. И
При определении лежащего в основании этой теоремы
понятия наилучшего приближения мы оценивали близость
рациональной дроби к числу а малостью (по абсолютному
.	а,
значению) разности а —-у, что, конечно, представляется
наиболее естественным; однако в теории чисел часто бывает
важнее или удобнее рассматривать с этой целью раз-
ность Ьа— а, которая только множителем b отличается от
предыдущей и малость которой (по абсолютному значению)
также может поэтому служить критерием близости дроби у
к числу а. Этот переход от одной характеристики к другой
на первый взгляд может показаться тривиальным и действи-
тельно во многих случаях является таковым; однако это
не всегда так, и мы в этом сейчас убедимся; дело в том,
что множитель Ь, отличающий эти две разности друг от
друга, не есть постоянная величина, но связан с самой
аппроксимирующей дробью и меняется при ее замене.
Условимся называть теперь те наилучшие приближения,
о которых шла речь в теореме 15, наилучшими приближе-
ниями первого рода\ условимся, далее, называть рациональ-
ную дробь у (Ь > 0) наилучшим приближением второго
рода числа а, если из у =}=	0 < d ft необходимо
следует
| da — с | > | Ьа — а[.
Наилучшие приближения второго рода определяются, таким
образом, с помощью характеристики |fta — а[ совершенно
аналогично тому, как наилучшие приближения первого рода —
с помощью характеристики |а—-у|.
Нетрудно показать, что всякое наилучшее приближение
второго рода вместе с тем обязательно есть и наилучшее
приближение первого рода.
В самом деле, если бы мы имели
ft

§ 6] ПОДХОДЯЩИЕ ДРОБИ В КАЧЕСТВЕ ПРИБЛИЖЕНИЙ 35
то, перемножая почленно первое и последнее из этих нера-
венств, мы получили бы:
| da — с | С | Ъа — а |;
другими словами, если бы дробь не была наилучшим
приближением первого рода, то она не могла бы быть и
наилучшим приближением второго рода, ч. и т. д.
Обратное утверждение было бы, однако, неверным: наи-
лучшее приближение первого рода может не быть наилучшим
приближением второго рода. В самом деле, очень легко,
К	Г 1
например, убедиться, что дробь у есть наилучшее прибли-
1
жение первого рода числа у-; однако наилучшим прибли-
жением второго рода оно не является, что видно из нера-
венств:
114-°|<|з4-4 ‘<3-
Из сделанных замечаний и теоремы 15 вытекает, что все
наилучшие приближения второго рода являются подходящими
или промежуточными дробями. Однако — ив этом лежит
основной залог той роли, которую для наилучших прибли-
жений второго рода играет аппарат цепных дробей, — мы
можем установить гораздо более точное предложение.
Теорема 16. Всякое наилучшее приближение вто-
рого рода есть подходящая дробь.
Доказательство. Пусть дробь у есть наилучшее при-
ближение второго рода числа
a —1«0; «р «2> • • • L
подходящие дроби которого будем обозначать через — г
qk
Если бы было -г- < то мы имели бы:
Ь и
| 1 • а — а01 < |a — у ||Ьа — о |, 1<^Z>,
т. е. у не было бы наилучшим приближением второго рода;
таким образом, у aQ. Но в таком случае дробь у, если
3*
36	ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ
(гл. И
она не совпадает ни с одною из подходящих дробей, должна '
либо быть
л Pk—l
бями ——1 
qk-X
чем —
<h
заключенной между двумя
и
?fe+i
первом
одинаковой четности,
случае
Pk-x
?fe-i
откуда
с другой
ПОДХОДЯЩИМИ дро-
либо быть больше,
a Pk-x
b qk-x
pk __Pk-X
qk qk-x
(27)
стороны,
Pk+x	a
qk+x	b
1
4+1 
и, значит,
В
a
T
1
W^x
и
1

b>4k>
pa —,
qk+x
в то время как
I	I /	1
Jk+x
откуда
(28)
соотношения (27) и (28) показывают, что у не есть наилуч-
шее приближение второго рода.
Во втором случае ^т. е. если у > -yj мы имеем:
1„_£| I Р*_____1
I b Г | qx Ь | bqx ’
откуда
с другой стороны, очевидно,
*	и	1^1
Н •« —й0|<^->
“•I
так что
|(>а — а | > 11 • а — аа |, 1 Ь,
§ 6] ПОДХОДЯЩИЕ ДРОБИ В КАЧЕСТВЕ ПРИБЛИЖЕНИЙ
37
что снова противоречит понятию наилучшего приближения
второго рода. Таким образом, теорема 16 доказана пол-
ностью.
Рассмотрим теперь вопрос о возможности обращения
теорем 15 и 16. Прежде всего, теорема 15, как легко
видеть, необратима; промежуточные дроби могут не быть
наилучшими приближениями первого рода; так, для числа
4	1
« = -g- дробь у является, как легко видеть, промежуточной
дробью; но она не есть наилучшее приближение, ибо
|_4 _ j_l I 4__JI
I 5	1 I < | 5 2 I’
1 <2.
Подобного рода примеров можно построить сколько
угодно, в чем читатель без труда может убедиться само-
стоятельно.
Напротив, теорема 16 допускает почти полное обраще-
ние, что, конечно, чрезвычайно увеличивает ее значение.
Теорема 17. Всякая подходящая дробь есть наи-
лучшее приближение второго рода\ единственное (тривиаль-
ное) исключение представляет
п „ I 1	Ро  ао
л	I/O	1
Предварительное замечание. В случае а =
дробь — = действительно не является наилучшим при-
<7о	*
ближением второго рода, ибо
11 • а —(с0+1)| = 111 • а —с0|.
Доказательство. Рассмотрим форму
| уа — х |,
(29)
где у пробегает значения 1, 2, ..., qk, а х может прини-
мать любые целые значения. Обозначим через у0 то значе-
ние у, при котором форма (29) после соответственного
подбора х принимает наименьшее возможное значение (если
таких значений у несколько, то за у0 мы принимаем наи-
меньшее из них). То значение х, при котором | уоа — х|
достигает своего минимума, обозначим через х0. Легко
38
ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ
[гл. II
убедиться, что это значение — единственное. В самом деле,
если бы мы имели
то, очевидно, было бы
Мы утверждаем, что эта дробь несократима. В самом деле,
если х0Ц-х' = /р, 2у0 — lq (/>1), то в случае Z>2 мы
имеем:
Ж Уо>
а^Р-
Я
!?«—/’| = о,
что противоречит определению у0; если же I = 2, то q — у0,
|9а—р| = [уоа— р| = 0< |уоа — х0|,
что противоречит определению х0.
Разлагая рациональное число а в цепную дробь, мы будем
поэтому иметь:
а=='£’’ рЖхь + х'О- 4n = ^=arfln_l+qn_v ап^2;
поэтому, если ап > 2 или если ап~ 2, п>1, мы будем
иметь qn_l < у0; но
19п-1а —/’„-i I = — = 2^-< уС 1ла ~ хо I 
что противоречит определению у0; если же м—1, ап — 2,
то а —у0=1, и мы имеем как раз исключенный
нами случай.
Итак, значения у0 и х0 определяются заданными усло-
виями единственным образом. Отсюда непосредственно выте-
кает, что у5- есть наилучшее приближение второго рода
числа а, ибо неравенства
Ра а I I Уоа хо I (у ~м~ ’ b Уо) • I
\и Уо	/	У
§ 6] ПОДХОДЯЩИЕ ДРОБИ В КАЧЕСТВЕ ПРИБЛИЖЕНИЙ
39
очевидно, противоречили бы определению чисел х0, у0.
В силу теоремы 16 мы имеем поэтому:
*о=А. Уо = ^ . («С^-
Если s — k, то теорема доказана; но если бы было s < k,
то мы имели бы:
до—ps\>t+~o——+Г’ \cl^~Pk\<-a—•
'МДОл qk-\^ Qk	qk+X
а так как в силу определения чисел ps = х0 и qs — у0
1до—	Pk\>
то
11
+ qk+x
т. е.
ДО1 < ДО4"ДО1>
что невозможно в силу закона образования чисел qk. Таким
образом, теорема 17 доказана.
Те свойства аппарата цепных дробей, которые устано-
влены нами в настоящем параграфе, исторически послужили
первым поводом к открытию и изучению этого аппарата.
Гюйгенс, задавшись целью построить с помощью зубчатых
колес модель солнечной системы, был поставлен перед зада-
чей определения числа зубцов колес таким образом, чтобы
отношение этих чисел для двух связанных между собою
колес (равное отношению времени полного оборота их) было
по возможности близко к отношению а времен обращения
соответствующих планет. Вместе с тем число зубцов по
техническим причинам не могло, разумеется, быть чрезмерно
большим. Таким образом, встал вопрос об отыскании такой
рациональной дроби, числитель и знаменатель которой не
превосходили бы данного предела и которая вместе с тем
возможно ближе лежала бы к данному числу а (это число
теоретически может быть и иррациональным, практически же
в данном случае задается рациональной дробью, числитель
и знаменатель которой очень велики); мы уже видели, что
теория цепных дробей дает возможность полностью решить
Поставленную таким образом задачу.
40
ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ
[ГЛ. II
§ 7. Порядок приближения
В предыдущем параграфе мы занимались оценкой малости
в сравнении с другими разностями того же
Pk
разности а —
типа. Здесь мы займемся оценкой малости той же разности
самой по себе, безотносительно к другим разностям этого
вида. Очевидно, естественный путь для оценки того, на-
состоит в том, чтобы
сравнивать ее с какой-либо убывающей функцией от qk.
В этом направлении теорема
водит нас к неравенству * *):
Pk
а.---—
Qk
сколько мала величина
Pk
Qk ’
9 гл. I непосредственно при.
(30)
а —
1
Поэтому прежде всего возникает вопрос о том, нельзя ли
усилить это неравенство, т. е. заменить его правую часть
другой функцией f (qk) знаменателя qk, которая при всех 1
удовлетворяла бы неравенству
Легко видеть, что если мы хотим, чтобы усиленное Таким
образом неравенство (30) выполнялось для любого а при
всех значениях k, то никакого существенного усиления
в этом направлении достигнуть невозможно; точнее говоря,
сколь бы мало ни было е > 0, всегда можно указать такой
случай, когда
Pk
а------
Qk
1—е
Qk
чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть число
а = [0; П, 1,	7 , 6Ч ,
1 ’ ’ ’ J п {п 4- 2)
Рь
*) В случае а — (когда теорема 9 неприменима ввиду отсут*
Qk
ствия ^+1) неравенство (30) становится тривиальным,
§ 7]
ПОРЯДОК ПРИБЛИЖЕНИЯ
41
для которого
?1 = м. Рз = л-|-1. 9з — п (п ~Ь2).
и потому
|а_л.|=|^_А.|==	1
I 0i I I 03	01 I П (п + 2)
стоит только выбрать п согласно неравенству
> 1 — е,
чтобы иметь
Pi
01
1—3
oi
Но если отказаться от требования, чтобы усиленное не-
равенство выполнялось при любом а для всех без исклю-
чения значений k, то можно прийти, как мы сейчас покажем,
к ряду интересных и важных предложений.
Теорема 18. Если число а имеет подходящую дробь
порядка k > 0, то обязательно имеет место по меньшей
мере одно из двух неравенств".
Pk-i <	1
0fe-l 20fe-l
1 R __________
0й М ’
Доказательство. Так как а
и то
а I а pk-i I	Pk pk-\
^k~i I	^k-i
заключено между
Рь-i
^k-i
^A+i 4-x
(последнее неравенство выражает собою тот факт, что сред-
1 1
нее геометрическое величин — и —— меньше их среднего
0fe	0fe-i
арифметического; знак равенства был бы возможен лишь
при Яь — Чь-Л' что в данном случае исключено). Отсюда,
очевидно, непосредственно вытекает утверждение теоремы,
42	ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ [ГЛ. II
Доказанное нами предложение особенно интересно потому,
что оно допускает в известном смысле обращение.
Теорема 19. Всякая несократимая рациональная
дробь , удовлетворяющая неравенству
есть подходящая дробь числа а..
Доказательство. В силу теоремы 16 достаточно дока-
зать, что дробь — является для числа а наилучшим при-
ближением второго рода. Пусть
|da —с|<|6а —а|<^- (d > 0,
тогда
I____с I 1
|a	2М
и, следовательно,
с другой стороны, так как ~ Ф -у > то
|_с__________________________al.	1
поэтому неравенство (31) дает
1 b±d
bd 2&2rf ’
откуда d > Ь", таким образом дробь ~ действительно есть
наилучшее приближение второго рода числа а, и теорема 19
доказана.
Дальнейшим усилением теоремы 18 является следующая
значительно более глубокая
Теорема 20’). Если число а имеет подходящую
дробь порядка А>1, то обязательно имеет место по
*) Некоторое упрощение приведенного здесь доказательства
дано в заметке И. И. Ж о г и н а, «Вариант доказательства одной
теоремы из теории цепных дробей», УМН 12, 3, 321—322 (1957).
§ 71
ПОРЯДОК ПРИБЛИЖЕНИЯ
43
меныией мере одно из следующих трех неравенств'.
а —
Pk
1
 V 5^ ’
а —
4k-l
Pk-x
а-----—-
4k-x
1
1
K5^-i
Доказательство. Положим для k 1
2	I	»
я——%. ?й+^=фй-
*й-1
Лемма. Если k
5, то
Vfe -----2
В самом деле, так как
1
Чп
¥л + 1	Чп-1
(32)
ТО
¥я+1
а потому в силу условий леммы
откуда
гп+1
^-^=ЧпЛ-Гп = ^п,
(/б-Ц/б-
 или, так как <f>k— рациональное число,
О,
и
и
1
1

откуда, так как > 0, получаем
\2 , 1
<4 ’
44
ИЗОБРАЖЕНИЕ чисел цепными дробями [гл. II
и, следовательно,
5	/ 1
2 'f’fe < 2 ’
/5— 1
% >	2
что и доказывает лемму.
Допустим теперь, что в противоположность нашему
утверждению
а—	>—-Ц- (n = k, k— 1, k — 2);
qn 175?2
в силу формулы (16) гл. I мы имеем:
1а_ Ря I	\Рп.Гп+\+Рп-Х	Ря|_
I Яп\	I СпГп+l+Qn-l	Чп\
_ 1______________1 _ 1
~ W„+l + ^-l) ~ ^(Г„+1 + ^+1)- ^п+1 '
и, следовательно,
ф„+1-С 1^5	(n — k, k—1, k — 2).
На основании нашей леммы мы заключаем отсюда, что
а значит, в силу равенства (32),
«й =------
?й+1
что невозможно; полученное противоречие, очевидно, и
доказывает теорему 20.
Теоремы 18 и 20 производят очевидное впечатление
начала цепи предложений, допускающей и дальнейшее про-
должение. Однако это впечатление ошибочно. В самом деле,
рассмотрим число
а = [1; 1, 1, ...];
полагая, как обычно, а=1-)~—, мы, очевидно, имеем
г 1
гг — а, откуда
а — 1Ч- —, а2 — а — 1=0,
1 а	‘
§ 1]
ПОРЯДОК приближения
45
и, следовательно,
а 1±£5
2
Так как, очевидно, гп~а при любом п, то
qka + qk-l‘
и, следовательно,
a_£fe _	1	1
„2/ , ^-1V
Но в силу теоремы 6 гл. I мы имеем:
-^-=[1; 1, 1, .... 1]->а	(А->оо),
4k-i
откуда
qk-i 1 ।	/5—1
_Л_Г—__]_eft =----_----(eft->0 при А->оо).
Таким образом,
а__Рй ______________1_____________ 1
- 2//5+1	/5-1	\	^(/5 + eft)‘
9k\~2------г~2----+ Efe/
Это показывает, что, каково
для достаточно больших k мы
. . 1
бы НИ было ЧИСЛО С <
/ 5
необходимо будем иметь
qk
Таким образом, постоянная
в теореме 20 не может быть
заменена никакой меньшей постоянной, если мы хотим, чтобы
соответствующее неравенство выполнялось для бесчисленного
множества значений k при любом а. Для всякой меньшей
постоянной найдется такое а (именно а =	которое
V	* г
46	ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ (гл. И
может удовлетворять требуемому неравенству не более чем
для конечного числа значений k. В частности, цепь предло-
жений, начинающаяся с теорем 18 и 20, на этой последней
теореме и обрывается, не допуская дальнейшего продолжения.
§ 8. Общие законы аппроксимации
До сих пор мы специально интересовались приближе-
ниями, даваемыми подходящими дробями, и выяснили ряд
основных вопросов, связанных с этой задачей. Но так как
мы при этом убедились, что подходящие дроби в известном
смысле являются наилучшими приближениями, то мы можем
рассчитывать, что полученные результаты позволят нам
в полной мере изучить законы, которыми управляется при-
ближение иррациональностей рациональными дробями, неза-
висимо от какого-либо специального изображающего аппа-
рата. К этому кругу проблем мы теперь и обращаемся.
В рамках настоящей элементарной монографии мы не можем,
конечно, дать сколько-нибудь полного изложения основ
соответствующей теории, и не только за недостатком места,
но главным образом потому, что это имеет лишь косвенное
отношение к нашей задаче. Мы, естественно, ограничимся
тем, что приведем ряд элементарных предложений, которые
должны будут иллюстрировать собою применение цепных
дробей к изучению арифметической природы иррациональ-
ностей.
Первая естественно возникающая здесь в связи с резуль-
татами предыдущего параграфа задача формулируется сле-
дующим образом: для каких постоянных с неравенство
(33)
имеет при любом вещественном а бесчисленное множество
решений в целых р и q (q > 0)?, Заключительный результат
предыдущего параграфа легко приводит нас к следующему
предложению.
Теорема 21. Неравенство (33) имеет при любом
вещественном а бесконечное множество решений в целых
Р « Я (Я > 0). если с ‘> если же с <	, то при
§ 8]
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ АППРОКСИМАЦИЙ
47
надлежаще выбранном а неравенство (33) будет иметь
не более конечного числа таких решений.
В самом деле, первое утверждение является непосред-
ственным следствием теоремы 20 (в случае, когда а = у
рационально и потому имеет лишь конечное число подходя-
щих дробей, первое утверждение теоремы 21 может быть
тривиальным образом доказано, если мы положим q = nb,
р = па, п— 1, 2, ...). Пусть поэтому с	положим,
как в § 7,
« = Ш2. = 11; 1.
Если целые числа р и q (q > 0) удовлетворяют неравен-
ству (33), то в силу теоремы 19 -- есть подходящая
числа а; но в конце § 7 мы видели, что среди этих подхо-
дящих дробей имеется не более конечного числа таких,
которые удовлетворяют неравенству (33), если, как мы пред-
положили, с <	. Этим, очевидно, наше утверждение
доказано полностью.
Таким образом, вообще говоря, т. е. если учитывать все
возможные’ вещественные числа а, порядок приближения,
„ 1
характеризуемый величиною -==—, не может быть пре-
V 5q2
взойден. Но это не значит, конечно, что не существует
таких отдельных иррациональностей а, для которых воз-
можны аппроксимации значительно более высокого порядка.
Напротив, имеющиеся в этом направлении возможности
совершенно неограниченны, и проще всего убедиться в этом
именно с помощью аппарата цепных дробей.
Теорема 22. Какова бы ни была положительная
функция <р(<?) натурального аргумента q, найдется ирра-
циональное число а, для которого неравенство
|а~у | <т(?)
имеет бесчисленное множество решений в целых р и q
(<? > 0).
48
ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ
[гл. II
Доказательство. Построим бесконечную цепную дробь а,
выбирая последовательно ее элементы так, чтобы они удо-
влетворяли неравенствам
йй+1 >
1
(^>0),
что, конечно, можно сделать
собов (с0 при этом может
Тогда для любого k 0
бесчисленным множеством спо-
быть выбрано произвольно).
Pk
а-----—
1 1 1
<---------=----------------------<--------у < <₽(Vb).
qk^k+i ^k(.ak+^k~^ ^k-l) ak-t\4k
что и доказывает теорему.
Заметим теперь, что в самом общем случае неравенства
1
или, что то же.
1
Qk (ak+i +1 4—
\	4k /
1
Qktfk + ^л+1)
Pk
4k
?Л+1
Pk
a-----=-
4k
1
(fKi+v)
дают
1	a _ Pk
4dak^+2) 4k
p.
откуда видно, что при данных a0, at, ..., ak дробь — тем
4k
ближе аппроксимирует число а, чем больше следующий
элемент oft+1; а так как подходящие дроби во всех случаях
являются наилучшими приближениями, то мы приходим к вы-
воду, что хорошие приближения рациональными дробями
должны допускать те иррациональности, среди элементов
которых встречаются большие числа; это качественного
характера замечание находит себе количественное выражение
именно в неравенствах (34). В частности, наихудший порядок
аппроксимации будут допускать иррациональности с ограни-
ченными элементами. Таким образом, становится понятным,
почему мы уже неоднократно, желая получить иррациональ-
ное число, которое не допускало бы приближений выше
1
<72A+i
(34)
§ 8]
ОБЩИЕ 'ЗАКОНЫ аппроксимации
49
определенного заданного порядка, выбирали для этой цели
число

из всех иррациональностей оно обладает, очевидно, наимень-
шими возможными элементами (не считая а0, которое не
играет здесь никакой роли) и потому хуже всех аппрокси-
мируется рациональными дробями.
Те специфические особенности аппроксимации, которые
свойственны числам с ограниченными элементами, находят
себе полное выражение в следующем предложении, кото-
рое после всего замеченного нами становится почти оче-
видным.
Теорема 23. Для всякого иррационального числа а
с ограниченными элементами неравенство
с
(33)
при д с паточно малом с не имеет решений в целых
р и q (g > 0). Напротив, для всякого числа а с неогра-
ниченным рядом элементов неравенство (33) при любом
с > 0 имеет бесчисленное множество таких решений.
Иначе говоря, иррациональности с ограниченными эле-
ментами допускают порядок аппроксимации не выше
1
Q2 ’
и,
напротив, всякая иррациональность с неограниченными эле-
ментами допускает более высокий порядок аппроксимации.
Доказательство. Если среди элементов цепной дроби,
изображающей а, имеются сколь угодно большие, то при
любом с > 0 найдется бесчисленное множество значений k.
для которых
ak+i
а следовательно, в силу второго из неравенств (34) мы
будем иметь для бесчисленного множества значений k\

с
чем доказывается второе утверждение теоремы.
4 Зак. 2026, А, Я, Хинчин
50
ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ
[ГЛ. 1!
Если же существует такое М > 0, что
а^<_М	(А=1, 2, ...),
то в силу первого из неравенств (34) мы будем иметь для
любого А^-0:
>______1_____
| q* ql(M + 2)'
Отсюда для любой пары целых чисел р и q (q > 0),
определяя индекс k из неравенств
и помня, что все подходящие дроби являются наилучшими
приближениями первого рода, мы будем иметь:
|а — — |>|а — — >~г—--------=
I	] qk ql(M + 2)
_ 1 п у______________1 . (w=
q*(M + 2)\qJ ^9*(Л1 + 2)\ 94 )
, 1 ( ?*-.
94^+2)	+
1 1 1
> 92 (Л1 + 2) (ab + I)2 > (Ж + 2) (Ж + I)2 92 ’
таким образом, если мы выберем
1
с < (М + 2) (Ж + I)2 ’
то неравенство (33) не может быть выполнено ни для одной
пары целых чисел р и 9 (9 > 0); этим доказано и первое
утверждение, теоремы.
До сих пор мы всюду оценивали близость аппроксимации
малостью разности а — £; однако мы могли бы и здесь,
подобно тому как мы это делали в § 6, рассматривать вместо
этого разность qa — р, и во всех доказанных нами пред-
ложениях сделать соответствующие изменения формулировок.
Это простое замечание непосредственно приводит к некото-
рой новой и чрезвычайно важной точке зрения на изучаемую
нами проблему.
§ 8)
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ АППРОКСИМАЦИИ
51
Простейшее однородное линейное уравнение с двумя не-
известными х, у:
ах— у— О,	(35)
где а — данное иррациональное число, не может, разумеется,
быть точно разрешено в целых числах •)'. однако можно
поставить задачу о приближенном его решении, т. е, о под-
боре таких целых чисел х, у, для которых разность ах — у
достигает той или иной степени малости. Очевидно, что все
предшествующие теоремы настоящего параграфа могут быть
истолкованы как утверждения о закономерностях, управляю-
щих такого рода приближенным решением уравнения (35)
в целых числах. Так, например, теорема 21 показывает, что
всегда существует бесчисленное множество таких пар целых
чисел х и у (х > 0), для которых
|ах — у |<	(36)
_ 1
если С — положительное число, не меньшее, чем —==.
1'5
С этой новой точки зрения представляется естественным
перейти от однородного уравнения (35) к неоднородному
уравнению
ах — у = р,	(37)
где р — любое данное вещественное число, и исследовать
возможность и характер его приближенного решения в це-
лых числах х, у, иначе говоря — исследовать закономерно-
сти, возникающие при попытке сделать разность ах — у — р
возможно малой надлежащим подбором целых чисел х, у.
Эта задача была впервые поставлена великим русским
учесчм П. Л. Чебышевым, который и получил первые основ-
ные связанные с нею результаты. В настоящее время раз-
работка ее интенсивно продолжается, главным образом со-
ветской арифметической школой.
Первая основная особенность, отличающая неоднородный
случай от однородного, заключается в том, что для возмож-
ности сделать величину | ах — у — р | сколь угодно малой
подходящим выбором целых чисел х и у при любом р суще-
ственно необходимо, чтобы число а было иррациональным
’) Не считая, конечно, тривиального решения л = у = 0.
52	ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ [ГЛ. II
(тогда как в однородном случае величина | ах — у | может
быть сделана как угодно малой при любом а).
В самом деле, если а = , где b > 0 и а — целые числа,
и
то, полагая р = мы при любых целых х и у будем иметь:
так как 12 (ах — by) — 1 |, будучи нечетным целым числом,
по меньшей мере равно единице.
Таким образом, во всем дальнейшем мы будем считать
число а иррациональным. При этом условии, как мы теперь убе-
димся, не только всегда можно сделать величину | ах — у — р |
как угодно малой, но аналогия с однородным случаем про-
стирается еще значительно дальше.
Теорема 24 (Чебышев). Для любого иррационального
числа а и для любого вещественного числа р неравенство
| ах— у — Р1<—имеет бесчисленное множество решений
в целых х и у (х > 0) ’).
Предварительное замечание. Очевидно, что этот
результат вполне аналогичен соответствующему свойству одно-
родных уравнений, находящему себе выражение в теореме 21;
различие заключается лишь в том, что на месте постоян-
ной —Дт здесь появляется 3; порядок же аппроксимации
V 5
остается прежним. Заметим еще, что число 3 не является
здесь наименьшим возможным и что точное значение нижней
грани тех чисел, которыми оно может быть заменено без
нарушения справедливости теоремы 24, значительно меньше.
Доказательство. Пусть — — любая подходящая дробь
числа а; тогда мы имеем
“ =	(0<1Ч<1);	(38)
’) Простое доказательство несколько более сильной теоремы
найдено А. Я. Хинчиным в работе «Принцип Дирихле в теории
диофактовых приближений», УМН 3, вып. 3, 1948 (см. стр. 17—18).
Дальнейшие уточнения содержатся в статье А. Я. Хинчина «О за-
даче Чебышева», Изв. АН СССР, сер. матем., 10, 281—294,
1946 (Б. Г.).
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ АППРОКСИМАЦИИ
53
далее, каково бы ни было вещественное число (3, мы можем
найти такое число t, что
1?₽—
откуда
t В'
₽ = <39>
Так как числа р и q не имеют общих делителей кроме ± 1,
то существует пара целых чисел х, у, удовлетворяющих
соотношениям '):
^-^.х<-~, px — qy = t.
Но в таком случае мы будем иметь в силу соотношений
(38) и (39):
|aX_y_p| = |2Z+^_y_£_^| =
г 1	\ q ' q2 Л q 2<? |
_I jcB _B' I x . 1
—q2 ' 2q ’
а так как
2
q>^x.
TO
i	n ।	,	3	3
наконец, число q может быть выбрано как угодно большим,
а так как	то и х как угодно велико; этим, оче-
видно, теорема доказана.
*) Вот доказательство: если у есть подходящая дробь числа а,
непосредственно предшествующая —, то
q
qr—ps = t—±\, q(ert)— p(zst) — tz2 = t,
и при любом целом k
р (kq — t.st) — q (kp — zrt) = t\
но k может быть выбрано так, что
q .	,	, 3q
% < л = kq — zst .
54
ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ	[ГЛ. II
Но задача о приближенном решении в целых числах урав-
нения (37) может быть поставлена еще в другом виде, по-
жалуй даже несколько более естественном. Так как сущность
проблемы заключается в том, чтобы сделать величину | ах —
— у — PI возможно малою посредством выбора возможно
небольших целых чисел х, у, то наиболее естественно по-
ставить задачу следующим образом. Мы знаем (в силу
только что доказанной теоремы 24), что если задано как
угодно большое положительное число п, то при любом ир-
рациональном а и любом вещественном р можно найти целые
числа х > 0, у, удовлетворяющие неравенству:
| ах — у — р |	;	(40)
однако теорема 24 не дает нам, вообще говоря, никаких
указаний на то, в каких пределах придется искать эти числа
для того, чтобы достигнуть требуемой точности, характери-
зуемой величиной ; эта цель была бы, например, достиг-
нута, если бы мы могли указать число N, зависящее от п,
но не зависящее ни от а, ни от р, и такое, что неравенству (40)
всегда можно было бы удовлетворить при дополнительном
условии
|x|<N.
Очевидно, эта новая постановка задачи существенно от-
личается от той, с которой мы имели дело до сих пор; если
прежде (как в теореме 24) точность аппроксимации опреде-
лялась в зависимости от величины числа х, то теперь мы
эту точность задаем заранее и спрашиваем себя, наоборот,
сколь большим придется выбрать число х для того, чтобы
достигнуть этой заданной точности. Соответственно этому
различию в постановке задачи и ответ ее получает иной ха-
рактер; в частности, мы получаем существенно различные
результаты для однородного и неоднородного случая.
В случае однородного уравнения (р = 0) поставленная
задача получает весьма простое решение.
Теорема 25. Каковы бы ни были вещественные чи-
сла и>1 и а, найдутся целые числа х, у, удовлетворяю-
щие неравенствам
х^п, |ах — у|<—.
§ 8]
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ АППРОКСИМАЦИИ
55
Доказательство. Если а рационально, а = ~ и 0 < b п,
то теорема доказывается тривиальным образом, полагая
х — Ь, у = а; если а в такой форме представлено быть
не может, т. е. если а есть либо иррациональное число,
либо рациональная дробь со знаменателем, превосходящим п,
то, определяя индекс k из соотношения
Qk < « < Qk+i
(где через — мы обозначаем подходящие дроби числа а),
\	Qk	/
мы будем иметь:
1 1
а — ~	,
Ч	Qkn
и, следовательно,
la?A —0<^<п,
что и доказывает теорему.
Теперь мы естественно должны поставить вопрос о том,
нельзя ли и в случае неоднородного уравнения (37) уста-
новить такой же порядок аппроксимации. Другими словами,
можно ли утверждать, что для любого иррационального
числа а найдется такое положительное число С, что, каковы бы
ни были числа и р, существуют целые числа х и у,
удовлетворяющие неравенствам:
О < х Сп, |ах — у —Р|<-^?
(Очевидно, при этом мы требуем даже меньше того, что
доказано для однородного случая, так как допускаем зави-
симость С от а, тогда как в однородном случае С = 1 является
абсолютной постоянной). Нетрудно привести некоторые априор-
ные соображения против возможности такого предложения;
прежде всего, для рациональных а оно заведомо неверно,
ибо в этом случае, как мы видели выше, величина | ах — у — р |,
вообще говоря, (т. е. при произвольном Р), не может
Даже быть сделана как угодно малой; это обстоятельство
позволяет ожидать, что если а иррационально, но чрезвы-
чайно близко аппроксимируется рациональными дробями, то
величина | ах — у — р |, хотя и может быть в силу теоремы 24
56
Изображение чисел цепными дробями
|гл. И
сделана как угодно малою, однако потребует для этого, при
надлежаще выбранном р и заданной степени точности, срав-
нительно больших значений х и у. Эти же соображения по-
зволяют далее предполагать, что приближение разности ах — у
к любому вещественному числу р будет достигаться тем
легче, чем хуже число а аппроксимируется рациональными
дробями, т. е. чем труднее достигается приближение вели-
чины ах — у к нулю; это же в свою очередь требует, как
мы знаем, чтобы элементы числа а не возрастали слишком
быстро.
Все эти предварительные соображения находят себе как
подтверждение, так и точное количественное выражение
в ’ следующем предложении.
Теорема 26. Для того чтобы существовало поло-
жительное число С, обладающее тем свойством, что при
любых вещественных и р найдется пара целых чи-
сел х и у (х > 0), удовлетворяющих неравенствам
х Сп, | ах — у — Р | < — ,
необходимо и достаточно, чтобы иррациональное число а
представлялось цепной дробью с ограниченными элемен- Г
тами.
Доказательство. Пусть
а — [й0; Ср д2, ... ],
и пусть at < Al (I = 1, 2, ...). Пусть, далее, т 1 и р —
р.
любое вещественное число. Обозначая через подходящие
дроби числа а, определим индекс k из неравенств
т < Чь+й
тогда
а-----'
1 1
Mft+1 < m4k ’
или
Рь , 8
а = — -4-------
(41)
§ 8]	ОБЩИЕ ЗАКОНЫ АППРОКСИМАЦИИ	57
Далее выберем целое число t так, чтобы иметь
откуда
с8^1’-	<42>.
Наконец, как при доказательстве теоремы 24, найдем
пару целых чисел х, у, удовлетворяющих соотношениям:
хрк~ yqk = t, 0<x^qk.	(43)
Из (41), (42) и (43) следует:
ах		₽1 =	xpk	t	х8	8'		
	У		Ч У				
	х8	8'	X	1	1	1	4k+\	
			- mqk ' 2qk	m	2^+1		
		„ 1	1	(п	। 11	1	Л4 + 1		м 4-3
		т		т	1 2т		2т
До сих пор число т 1 оставалось совершенно про-
извольным; если теперь, при данном п^-1, положить
____	4~ 3	х*	. .
т = -——п, то мы будем, очевидно, иметь /п>1, и,
следовательно, на основании предыдущего, выбирая указан-
ным образом числа х и у:
О < х ^.qk^_ т — М + п,
\ах~у — ^\<~,
чем и доказывается первая часть теоремы.
Для доказательства второй части допустим, что среди
элементов ak числа а встречаются сколь угодно большие.
В таком случае, как показывает теорема 23, сколь бы мало
ни было положительное число е, найдутся целые числа
<7 > 0, р, удовлетворяющие неравенству
откуда
а-£-
(1
—
< ^2
„ Р | 8е2
(14 < 1).
58
ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ
[ГЛ. II
Положим теперь п = у и [3 — тогда при любых це-
лых х, у (0<х<^Сп) мы будем иметь:
	1 -	лЬе2	|	| 2 (хр—yq)—1 , лее2
л Р|	У	2? '		1— 1 2q
I 2 (ХР — УЧ) — 11	1 Се __ 1 —2Се __ 1 — 2Се 1
2?	q2 2q q ’ 2q	2е ' п "
следовательно, для любых
Но, как бы велико ни было С, при достаточно малом е
х	1—2Се .
мы будем иметь —— > 1, и,
целых х, у (0 < х Сп)
|ах— у— р | > А ,
чем доказывается и вторая часть теоремы.
Резюмируем полученные нами результаты. Исследуя при-
ближенные решения уравнения (37) в целых числах, мы
в качестве «нормального» случая должны рассматривать тот,
когда точность, характеризуемая величиной , может быть
достигнута для любого п 1 при некотором х < Сп, где
С — постоянная (могущая зависеть от а). Однородное (т. е.
получающееся при р = 0) уравнение всегда допускает нор-
мальное решение (теорема 25). Теорема 26 показывает, что
общее (неоднородное) уравнение допускает нормальное ре-
шение в том и только том случае, если соответствующее
однородное уравнение не имеет «сверхнормального» реше-
ния, т. е. если ему нельзя при любом е > 0 и надлежаще
й 1
выбранном п удовлетворить с точностью до — целыми чи-
слами х > 0 и у, из которых х < en. С этой точки зрения
результат нашего исследования может рассматриваться как
разновидность общего закона решения линейных уравне-
ний (алгебраических, интегральных и т. д.): неоднородное
уравнение в общем случае решается «нормально», если
соответствующее однородное уравнение не допускает
«сверхнормального» решения.
Заметим еще, что в теореме 26 мы требовали независи-
мости С от Р; можно было бы, сохраняя тот же результат,
допустить, что С является функцией от Р; только доказатель-
ство (в его второй части) было бы несколько сложнее, J
§ 9] АППРОКСИМАЦИЯ алгебраических ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ 59
§ 9. Аппроксимация алгебраических иррациональностей.
Трансцендентные числа Лиувилля
Пусть
/(х) = «0 + с1х4- •••	(44)
—многочлен степени п с целыми коэффициентами а0, аА.ап;
число а, являющееся корнем такого многочлена, называется
алгебраическим. Так как всякое рациональное число ® = у
может быть определено как корень уравнения первой сте-
пени Ьх — а = 0, то понятие алгебраического числа, оче-
видно, является естественным обобщением понятия рациональ-
ного числа. Если данное алгебраическое число удовлетво-
ряет уравнению f (х) = 0 степени п и не удовлетворяет
никакому уравнению низшей степени (с целыми коэффициен-
тами), то его называют алгебраическим числом степени п;
в частности, рациональные числа могут быть определены
как алгебраические числа первой степени; число ]/2 , будучи
корнем многочлена х2 — 2, является алгебраическим числом
второй степени, или, как говорят, квадратической ирра-
циональностью-, подобным же образом определяются ирра-
циональности кубические, четвертой степени т. д. Все не-
алгебраические числа называют трансцендентными; к числу
последних принадлежат, например, числа е и я. Ввиду той
значительной роли, которую играют алгебраические числа
в современной теории чисел, вопросу об их свойствах в от-
ношении аппроксимации рациональными дробями посвящено
много специальных исследований. Первым значительным ре-
зультатом в этом направлении была следующая так называе-
мая теорема Лиувилля.
Теорема 27. Для всякого вещественного иррацио-
нального алгебраического числа а степени п существует
такое положительное число С, что при любых целых р
и q (q > 0)
Доказательство. Пусть а является корнем многочлена (44).
Как известно из алгебры, мы можем написать:
/(х) = (х-а)Л(х),	(45)
60
Изображение чисел цепными дробями
(гл. п
где (х)— многочлен степени п—1; при этом легко ви-
деть, что /j(a)=£0; в самом деле, в случае /1(а) = 0 мно-
гочлен Д(х) делился бы без остатка на х — а, а значит,
многочлен / (х) — на (х — а)2; но в таком случае производ-
ный многочлен /'(х) делился бы на х — а, т. е. мы имели
бы р (а) ~ 0, что невозможно, ибо f' (х) есть многочлен
степени п—1 с целыми коэффициентами, а а — алгебраиче-
ское число степени п. Таким образом, мы имеем:
/1 (а) Р 0,
а следовательно, можно найти такое положительное число 8,
что	Л(х)¥=0 (a —8<х<а4-8).
Пусть р и q (д > 0) — любая пара целых чисел; если
ство (45) х — ~-
и потому, подставляя в тожде-
мы находим:
Числитель последней дроби есть число целое и притом от-,
личное от нуля, так как иначе мы имели бы a —	, в то время
как а по условиям теоремы — число иррациональное. Сле-
довательно, этот числитель по меньшей мере равен единице
по абсолютному значению; обозначая через М верхнюю
грань функции J\ (х) в интервале (а — 8, а —8), мы поэтому
получаем из последнего неравенства.
В случае же, если
мы имеем и подавно
§ 9] АППРОКСИМАЦИЯ АЛГЕ1РАИЧЕСКИХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ 61
обозначая поэтому через С любое положительное число,
меньшее, чем 8 и -i-, мы во всех случаях (т. е. для лю-
бых целых q > 0, р) будем иметь:
что и доказывает теорему 27.
Теорема Лиувилля, очевидно, утверждает, что алгебраи-
ческие числа не допускают такой аппроксимации рациональ-
ными дробями, которая по своей точности превосходила бы
некоторый определенный порядок, зависящий в основном от
степени данного алгебраического числа. Главное историче-
ское значение этой теоремы состояло в том, что она впер-
вые позволила доказать существование трансцендентных чи-
сел и дать конкретные примеры таких чисел. Для этого,
как мы видим, достаточно построить число, которое, будучи
иррациональным, чрезвычайно близко аппроксимировалось
бы рациональными дробями, а в этом отношении, как мы
знаем из теоремы 22, наши возможности ничем не огра-
ничены.
Конкретно теорема 27 показывает, что если для любого
С > 0 и любого натурального п существуют целые числа р
и q (^ > 0), удовлетворяющие неравенству
то число а трансцендентно. Но с помощью аппарата цепных
дробей очень легко построить сколь угодно таких чисел.
Для этого стоит только после того, как уже выбраны эле-
Рь
менты а0, alt .... ak, построить подходящую дробь — и
взять
я
й+1
ибо тогда
Ръ 1	1	1
&ak+x + ' ’
вследствие чего неравенство (46), очевидно, выполняется
Для всех достаточно больших значений ft, каковы бы ни были
С > 0 и натуральное число п.
62
ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ
[ГЛ. II
§ 10. Квадратические иррациональности
и периодические цепные дроби
Для квадратических иррациональностей а теорема 27
показывает, что существует такое (зависящее от а) поло-
жительное число С, при котором неравенство
не может иметь решений в целых р и q (q > 0). В силу
теоремы 23 отсюда следует, что элементы всякой квадрати-
ческой иррациональности ограничены. Однако для квадра-
тических иррациональностей еще задолго до Лиувилля Ла-
гранжей было найдено гораздо более содержательное свой-
ство изображающих их цепных дробей, являющееся к тому
же и характеристическим. Оказывается, что ряд элементов
квадратической иррациональности всегда есть ряд периоди-
ческий и что, обратно, всякая периодическая цепная дробь
изображает некоторую квадратическую иррациональность.
Доказательству этого предложения и будет посвящен на-
стоящий параграф.
Условимся называть цепную дробь
СС — [«0;	®2’ * ' ' 1
периодической, если существуют такие целые положитель-
ные числа k0 и h, что для любого k^>k(j
ak+h — ak’
аналогично десятичным дробям мы будем обозначать такую
периодическую дробь следующим образом:
а == 1«о!	^2................^^с+1......dko+h—l]- (47)
Теорема 28. Всякая периодическая цепная дробь
изображает квадратическую иррациональность и, обратно,
всякая квадратическая иррациональность изображается
периодической цепной дробью.
Доказательство. Первое утверждение доказывается в не-
многих словах. В самом деле, очевидно, что остатки перио-
дической цепной дроби (47) удовлетворяют соотношению:
rk+h=rk	41
§ Ю]
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
63
Поэтому в силу формулы (16) гл. I мы имеем для k~^>kQ-.
О’ —	P-k-2 _ Pk+h-irk + hJr Ръ + Ь- _ Pk+h-irkJt~Pk+h-2
9*-irfe+?fe-2	(1k+h-irk+h'lr<1k+h-2	^k+h-^k^^k+h^’
(48)
откуда
Pk-Irk + Pk-2 _ Pk+h-irk + Pk+h-2 .
^-1Гй + ^й-2 4k t-h-irk + ^k+h-2 ’
таким образом число rk удовлетворяет квадратному уравне-
нию с целыми коэффициентами и, следовательно, является
квадратической иррациональностью; но в таком случае пер-
вое из равенств (48) показывает, что и а есть квадратиче-
ская иррациональность.
Обратное утверждение доказывается несколько сложнее.
Пусть число а удовлетворяет квадратному уравнению:
fla2-]- ba-}- с — 0	(49)
с целыми коэффициентами. Подставляя в него вместо а его
выражение
a  Pn-^n-V Рп-2
Яп-\Гп Qn-2
через остаток порядка п, мы видим, что гп удовлетворяет
уравнению
Л„г*-|-В„г„ + С„ = 0,	(50)
где Ап, Вп, Сп — целые числа, определяемые формулами:
Ап = «PLi +	+ cql-v
Bn~2aPn-lPn-2~\-b {рп-\ЯП-2Л-РП-2Яп--У^~^СЯп-1Яп-2’
Сп = ^п-2 + ЬР п-2Ч п-2 +	_2>
откуда, в частности, следует:
Сп — Ап-1-
(51)
(52)
С помощью этих формул легко непосредственно прове-
рить, что
в/г—4Д„С„ = (/?2—4ос)(р„_19л_2- ?„_1Р„-2)2 = 62—4йС, (53)
64
ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ
[ГЛ. II
т. е. что дискриминант уравнения (50) для всех п один и
тот же и равен дискриминанту уравнения (49).
Далее, так как
то
Pn-l = ^n-l+~~
(IViK.i);
поэтому первая из формул (51) дает нам:
= (яа2 Д- to Д- с) Д- 2оа8п_1 Д-а -ф-
'Zn-l
откуда в силу уравнения (49)
в* Ail 2оа8п_1Д- а 2 Тп-1	< 21 аа | Д- | а | Д-1 b |,
и далее на основании равенства (52)
|С„| = |^_1|<2|йа| + |«| + |^|.
Таким образом коэффициенты Ап и Сп уравнения (50)
ограничены по абсолютной величине и, следовательно, при
изменении п могут принимать лишь конечное число различ-
ных значений. В силу равенства (53) отсюда следует, что
и Вп может принимать лишь конечное число различных зна-
чений.
Таким образом, при возрастании п от 1 до со мы мо-
жем встретить лишь конечное число различных уравне-
ний (50); но в таком случае гп может иметь лишь конечное
число различных значений, и потому для надлежаще выбран-
ных k и h
rk — rk+h>
это показывает, что дробь, изображающая а, периодическая.
Тем самым доказана и вторая часть нашего утверждения.
Для алгебраических иррациональностей более высоких
степеней неизвестно никаких свойств изображающих их цеп-
§ 10]	ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ	65
ных дробей, аналогичных только что доказанному. Вообще,
все, что известно об аппроксимации алгебраических ирра-
циональностей высших степеней рациональными дробями,
исчерпывается элементарными следствиями теоремы Лиувилля
и некоторых более новых усиливающих ее предложений.
Любопытно отметить, что до настоящего времени неизвестно
разложение в цепную дробь ни одного алгебраического числа
степени выше 2. Неизвестно, может ли такое разложение
иметь ограниченные элементы; неизвестно, может ли оно
иметь, наоборот, неограниченный ряд элементов и т. д. Во-
обще, вопросы, связанные с разложением алгебраических
чисел выше второй степени в цепные дроби, исключительно
трудны и почти еще не изучены.
ГЛАВА Ш
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
§11. Введение
На протяжении всей предшествующей главы мы видели,
что вещественные числа могут быть весьма различны по
своим арифметическим свойствам. Помимо основных делений
вещественных чисел на рациональные и иррациональные, на
алгебраические и трансцендентные, возможен ряд значительно
более тонких подразделений этих чисел го целому ряду
признаков, характеризующих их арифметическую природу,
и прежде всего — по характеру той аппроксимации с помощью
рациональных дробей, какую допускают эти числа. Во всех
таких случаях мы до сих пор удовлетворялись простым
установлением того, что числа, обладающие тем или другим
арифметическим свойством, действительно существуют. Так,
мы знаем, что существуют числа, допускающие приближенное
выражение с помощью рациональных дробей у лишь с точ-
ностью, порядок которой не выше чем — (таковы, напри-
мер, все квадратические иррациональности); но мы знаем
также, что существуют числа, допускающие аппроксимацию эр
более высокого порядка (теорема 22 гл. II). У нас, естест- я]
венно, встает вопрос, какое же из этих двух прет ;вопо- »
ложных свойств мы должны признать более «общим», какой
из этих двух типов вещественных чисел «встречается чаще»?
Если мы хотим поставленному таким образом вопросу
дать точную формулировку, то мы должны иметь в виду,
что всякий раз, когда мы высказываем какое-либо свойство
вещественных чисел (например, иррациональность, или транс- -Ж
цендентность, или обладание ограниченным рядом элементов Щ
§ Hl
ВВЕДЕНИЕ
67
и т. п.), совокупность всех вещественных чисел разбивается
по отношению к этому свойству на два множества: 1) мно-
жество чисел, обладающих данным свойством, и 2) множество
чисел, не имеющих этого свойства. Вопрос, который мы
хотим поставить, очевидно, сводится к задаче сравнительного
изучения этих двух множеств с целью определить, которое
из них охватывает собою больше чисел, и которое—меньше.
Но множества вещественных чисел могут быть сравниваемы
друг с другом с различных точек зрения и с помощью раз-
личных характеристик; можно ставить вопрос об их мощ-
ности, об их мере и ряде других измерителей; наиболее
интересной как по своим методам, так и по своим резуль-
татам оказалась метрическая проблематика, изучающая меру
числовых множеств, задаваемых теми или иными свойствами
входящих в них чисел. Соответствующее учение, которое
можно назвать метрической арифметикой континуума,
за последнее время получило значительное развитие и при-
вело к большому количеству простых и интересных законо-
мерностей. Как при всяком изучении арифметической природы
иррациональностей, и здесь аппарат цепных дробей является
естественным и наилучшим орудием исследования; однако
для того чтобы сделать этот аппарат орудием метрической
арифметики, т. е. чтобы применять его к исследованию меры.
множеств, задаваемых тем или иным арифметическим свойст-
вом входящих в него чисел, мы, очевидно, прежде всего
должны подвергнуть самый этот аппарат детальному и все-
стороннему метрическому анализу — должны, другими сло-
вами, научиться определять меру множества чисел, раз-
ложения которых в цепные дроби обладают тем или
другим заранее заданным свойством. Вопросы этого рода
могут иметь весьма различный характер; мы можем спраши-
вать о мере множества чисел, для которых ai — 2, или для
которых ql0 < 1000, или которые обладают ограниченным
рядом элементов, или среди элементов которых не встречается
четных чисел, и т. д., и т. п. Совокупность методов, слу-
жащих для решения подобного рода задач, образует собою
метрическую теорию цепных дробей, элементам и элемен-
тарным приложениям которой и посвящена настоящая глава.
При этом, так как от прибавления к данному вещественному
числу любого целого числа его основные арифметические
свойства не меняются, мы ограничимся во всем дальнейшем
5*
68
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
[ГЛ. Ill
рассмотрением вещественных чисел, заключенных между О
и 1 (т. е. полагаем всегда со = О). Для метрической теории
такое ограничение конечным интервалом является, впрочем,
даже необходимым, если мы хотим, чтобы мера множества
не оказывалась в общем случае бесконечно большою.
Мы предполагаем у читателя знакомство с основными
предложениями теории измерения линейных множеств ’).
§ 12. Элементы как функции изображаемого числа
Каждое вещественное число а единственным образом
разлагается в цепную дробь
СС * [Сд, ^Т» ^'2* • * • 1>
каждый элемент ап поэтому однозначно определяется зада-
нием числа а, т. е. является однозначной функцией от а:
«л = (GO-
ES построении метрической теории цепных дробей первым
шагом должно явиться такое изучение природы этой функ-
ции, которое позволило бы нам составить себе хотя бы
общее представление об ее ходе. Этой задаче и посвящен
настоящий параграф.
Как мы уже заметили в § 11, мы всюду полагаем а0~ 0;
ради сокращения записи мы будем при этом вместо
а — [с0; Ср с2, ... [
писать короче:
а = [Ср с2, ...],
полагая, следовательно,
Г	,	1
[Ср С2, . . . ] =-------j---.
Й1 "* а 4---
а2 “Г • • •
Рассмотрим сначала первый элемент ах как функцию
от а. Так как
— — а, Д——;------,
а 1 С2 + •  •
') Более чем достаточными для понимания настоящей главки
являются сведения, имеющиеся в книге П. С. Александров!
иА. Н. Колмогорова, Введение в теорию функций действи!
тельного переменного, ГТТИ, 1933, глава шестая.	J
§ 12] ЭЛЕМЕНТЫ КАК ФУНКЦИЙ ИЗОБРАЖАЕМОГО ЧИСЛА
69
то, очевидно,	«I —	L а 1 *	т.	е. а} есть	наибольшее целое
число, не превосходящее 1	1^1 а, — 1 для 1 -С — < 1	а			2 а ;2,	Таким образом, 1 т. е. у < а 1,	
аг = 2 для	2<	а	;з,	1 т. е. у <	. 1 2 >
flj = 3 для	з<	-< а	 4,	1 т- е- "ф <	, 1 а <.-5-, и т. д. О
Вообще,
ах= k для	<й4~1, т. е. < а'
Функция «j = С; (а) претерпевает таким образом разрыв при
всех тех значениях а, для которых есть целое число,
и безгранично возрастает при а—>0. Ее графическое изобра-
жение дано на рис. 1.
Отметим еще, что о, постоянно в каждом из интервалов
(ITfT < а	7г) * К0Т0РЬ1е мы будем называть интервалами
70
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
[гл. Ill
первого ранга, и что
1
J" (a) da =	00 >
.. о
так как этот интеграл, очевидно, эквивалентен расходяще-
муся 'ряду
эо	со
k=l	к=1
Перейдем теперь к изучению функции й2(а). С этой
целью рассмотрим сначала какой-нибудь неизменный интер-
вал первого ранга:
1 / 1
/?+! k ’
В этом интервале всюду а-^ — k, и, следовательно,
1
“ =------г,
причем 1 г2 < со и а2 = [г2]. По мере того как г2 возра-
стает от 1 до со, а возрастает		1 ОТ 	 Л + 1 первого	1 до k ранга.	, пробегая, При этом
таким образом, очевидно, что	данный интервал			
а2 — 1 при с2 = 2 при а2 = 3 при и вообще а2 — 1 при 1	‘ '	СО	н- Л	/Л	/Л ЬО5	ьс*	ьо5 4-	АЛЛ Ф*	СО	to Н	Ч	Ч	Ч О’	Р	р	Р	1		1
		fe + 1 ' 1	a <	i
		1		1
		_ +1 w| -j		‘+4’ 1
		k h7		k + / +1
§12) ЭЛЕМЕНТЫ КАК ФУНКЦИИ ИЗОБРАЖАЕМОГО ЧИСЛА
71
Таким образом, в закрепленном нами интервале первого
ранга графическое изображение функции о2(а) имеет вид,
показанный на рис. 2.
Функция я2(а) постоянна в каждом из интервалов
1 1
»+т' ‘ + тЬ
которые мы будем называть интервалами второго ранга-,
каждый интервал первого ранга разбивается, следовательно,
на счетное множество интервалов второго ранга, идущих
слева направо (напомним, что интервалы первого "ранга
образуют последовательность, идущую справа налево).
Множество точек, в которых аг = k, есть один интервал
первого ранга; множество точек, в которых а2 — 1, есть
счетное множество интервалов второго ранга (по одному
в каждом из интервалов первого ранга). Каждый интервал
первого ранга определяется условием вида а1 — k; каждый
интервал второго ранга — условиями вида a}—k, са> — 1.
Пусть вообще мы определили уже интервалы ранга п и
исследовали течение функций с, (а), я2(а), •••• °л(а)- Каждая
система значений
а^^, a2=k2.............. anr=kn	(54)
72
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ	[ГЛ. III
определяет собою некоторый интервал Jn ранга п. Чтобы
исследовать ход функции о„+1(а) в интервале Jn, заметим,
что произвольное число а этого интервала может быть пред-
ставлено в виде
a = [A1, k2........kn, r„+1],	(55)
где rn+l принимает всевозможные значения от 1 до со.
Обратно, при любом rn+1 (1 < гп+1 < со) выражение (55)
дает нам число а, для которого выполняются условия (54)
и которое, следовательно, принадлежит интервалу Jn; так
как ап+1 = [гп+1], то мы видим, что внутри каждого интер-
вала ранга п, ап+1 (а) принимает все целые значения от 1
до со. Чтобы составить себе более точную картину, усло-
р
вимся обозначать, как обычно, через — подходящие дроби
qk
ч с ia а. Тогда
а __ Рпги+1 + J’n-t
Qnfn+i + Qn-i ’
причем, когда а пробегает данный интервал Jn, гпЛЛ возра-
стает от 1 до со, а рп, qn, рп~}, дп_1 остаются постоян-
ными, так как они полностью определяются числами а},
а2.....ап, имеющими для всех точек интервала Jn одни и
те же значения. В частности, полагая гп+1=1 и гп+1—>оо,
мы получаем в качестве концов интервала Jn точки
Рп + Рп-1 jj Рп .
Яп + Яп-i Яп'
так как
а _ Рп . Pnrn+\ + рп-\ Рп^ (—0й ,
Яп Яп>~п+1 Ч~ Яп-1 Яп Яп(.ЯпГП+1~\~ Яп-l)
то а есть монотонная функция от гп+1 в интервале (1, со);
следовательно, и обратно, гп+1, а значит и ап+1 — монотон-
ная функция от а в интервале
Рп + Рп-1 \.
Яп + Яп-1 Г
таким образом, когда а пробегает интервал Jn, ап+1(а) после-
довательно пробегает значения 1, 2, 3.....разбивая интер-
вал Jn на счетное множество интервалов ранга n-j-l. Эта
последовательность расположена справа налево при четном п
И слева направо при нечетном п.
§ 12] ЭЛЕМЕНТЫ КАК ФУНКЦИИ ИЗОБРАЖАЕМОГО ЧИСЛА 73
Таким образом, строение функций с„(а), по меньшей
мере с его качественной стороны, полностью выясняется.
Условившись называть интервал (0,1) (единственный) интер-
валом ранга нуль, мы прежде всего последовательно покры-
ваем его сетью .все более мелких интервалов, помещая
в каждый уже построенный интервал ранга п последова-
тельность интервалов ранга п —1; эта последовательность
располагается справа налево, если п четно, и слева направо,
если п нечетно. Функция оп+1(а) (п = 0, 1,2, . . .) постоянна
в каждом из этих интервалов ранга п-\-1; она монотонна
и принимает все целые значения от 1 до со в каждом интер-
вале ранга п. Каждой системе значений
Gi==^i> а.% —k2...... ап —kn
соответствует единственный определенный интервал ранга п,
и обратно. Более общая система значений
..... ==
определяет собою, вообще говоря, счетное множество интер-
валов.
Первый вопрос, который естественно ставит себе ме^и-
ческая теория цепных дробей, состоит в определении меры
множества тех точек отрезка (0, 1), для которых ап = k;
мы уже знаем, что это множество всегда представляет собою
систему интервалов; речь идет, следовательно, об определе-
нии суммы длин этих интервалов. Задача эта в первом npi -
ближении решается очень легко.
Условимся во всем дальнейшем обозначать через
Е Пг........ЛА
\fei, k2,..., kJ
множество точек отрезка (0, 1), для которых выполняются
условия:
== anj = k^, . •., 0-ns ==
здесь, разумеется, все nz и kt— натуральные числа, причем
все п(. различны между собою. Мы знаем уже, что такое
множество всегда представляет собою систему интервалов.
В частности, множество
74
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
[ГЛ. Ill
есть, как мы знаем, интервал ранга п, характеризуемый
соотношениями:
ai — ^t (i= 1, 2,	п).
Очевидно, мы всегда имеем:
.,	п1+1, ..., ns'
fy-i, ki, ki+i,..., ks.
Щ-i, гц+1,..., «Л
\ki, ...>	ki^i.....ks)
Условимся, наконец, обозначать через 9Ji£ меру мно-
жества Е.
Рассмотрим теперь произвольный интервал
/1, 2, .... п \
\A|, Ag, .* >>
ранга п и содержащийся в нем интервал
Jn+
1, 2,
Л, k2,
n, n + 1\
ранга «-[-1. Мы уже знаем, что концами интервала Jn
служат точки
Рп и Рп + Рп-1 ,
Яп Яп~Ь Qn-i
тде вообще через ~
рядка k цепной дроби
обозначена подходящая дробь по-
[Ap k2, ..., kn\.
С другой стороны, для всех точек интервала мы имеем
апи ~	~s>
откуда	|,
s<rn+i<s + 1-
в
Таким образом, среди всех точек
а = РпГп+1 ~EPn-i	'II
Qnrn +1 Т~ Qn -1	Л
§ 12] ЭЛЕМЕНТЫ КАК ФУНКЦИИ ИЗОБРАЖАЕМОГО ЧИСЛА 75
интервала Jn интервалу J^+i будут принадлежать те, для
которых sги+1 < s-|~ 1, откуда, в частности, следует,
что концами интервала будут точки
Pns 4~Рл-1 и Pn(s 4~ 1) 4-Р«-1
4ns Чп-i Чп (s + 1) + Чп-1
Отсюда
jpjj __ I Рп_Рп 4~ Рп-1 I _______1_______________1_____
” I Чп Чп~\~Чп-1 I Чп(Чп~\~ Чп-д „2Л 1 4n-i\
Jn\ Чп )
ВД r(s}, = I Pns+Pn-1 _ Pn(s+ 1) + р«-1 I _
"+ IPnS + Чп-, Чп(^ + 1) + Чп-1 1~
________________1_________________
\4ns + Чп-1] l4n (s + 1) + Чп-il
и, следовательно,
SRJ„
j	1+-^-
2__________Чп__________.
s2
\ s4n )\ s s4n )
здесь второй множитель правой части, очевидно, всегда
меньше, чем 2, и больше, чем -1 ^последнее в силу того,
ЧТО -----^.1 и 1 <--------_|_ 4_n-J_	3 \. поэтому мы по-
14-	^-1 '	s ' s4n /
S4n	J
лучаем:
1	9*411 , 2
3s2	s2 *	V ’
Это показывает, что в любом интервале ранга п тот
интервал ранга п —1, который характеризуется значением
Q	1
— s, занимает часть данного интервала порядка .
Весьма важно, что устанавливаемые неравенствами (57) гра-
ницы совершенно не зависят не только от чисел kv k2....kn,
76
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
[ГЛ. III
но даже и от ранга п и определяются исключительно числом s.
Переписав эти неравенства в виде
3s2	n+1 s2 ’
суммируя по всем интервалам Jn ранга п (или, что то же,
по kx, k2..kn в пределах от 1 до оо) и замечая, наконец,
что при этом, очевидно,
и 2^+i==№Ct1)>
мы находим:
чем в первом приближении и решается поставленная нами
задача. Мы видим, что мера множества точек, в которых
некоторый определенный элемент имеет данное значение s,
всегда заключена между v,-, и~Ди есть, следовательно,
J 3s2 s2 \
в частности величина порядка j.
§ 13. Метрическая оценка роста элементов
Мы теперь располагаем уже достаточными данными для
решения задач о мере множеств, в определение которых
входит бесконечное число элементов. В качестве первого
примера такой задачи мы докажем следующее простое пред-
ложение.
Теорема 29. Множество всех чисел отрезка (0, 1)
с ограниченными элементами имеет меру нуль.
Доказательство. Обозначим через Ем множество чисел
отрезка (0, 1), все элементы которых меньше, чем М. Пусть
Jn — какой-нибудь интервал ранга п, точки которого под-
чинены условиям:
а.	(£=1, 2.....п);	(58)
точки интервала Jn, удовлетворяющие дополнительному
условию flra+j = &, образуют интервал ранга который
мы обозначим через /«*+1. В силу первого из неравенств (57)
§ 13]
МЕТРИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА РОСТА ЭЛЕМЕНТОВ
77
откуда
Щ 2 jS.>isw„
k>M	k^M
> — 3KJ V____1— •> — ВД j С — —	1 ад/
3 JJiJn ^M + iy > 3 n J И2 — 3 (Af + 1)
Z = 1	At+l
а так как
co
2/(*) _ r
j n + 1 -Jn>
k=1
то, следовательно,
2R 2 7«+i >{1 “зЛлАпу	<59)
k<M	'
где положено
_ . 1
T 3 (Al + 1) ’
причем, очевидно, т < 1, если М > 0.
Обозначая через Ем множество чисел отрезка (0, 1),
характеризуемых условиями (58), мы из неравенства (59)
видим, что часть множества Е^+1\ заключенная в некотором
интервале Jn ранга п, имеет меру меньшую, чем так
как, очевидно, интервал ранга п, не принадлежащий мно-
жеству	не удовлетворяющий условиям (58)], не может
содержать ни одной точки множества £^+1)> то, суммируя
неравенство (59) по всем интервалам ранга п, входящим
в множество Е$, мы получаем:
WE&+1) < т2КЕ$;	(60)
последовательное применение этого неравенства, очевидно,
дает нам
2»£Й+1) <	(п > 1),
откуда
ЗЙЕ^^-0	(w->co),
78
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
[ГЛ. III
так как т< 1. Но определенное нами выше множество Ем,
очевидно, содержится в каждом из множеств Ем, вследствие
чего
№Ем = 0.
Полагая теперь
СО
Ъем=е.
Л1 = 1
мы будем иметь
Л1 = 1
Но всякое число с ограниченными элементами принад-
лежит, очевидно, множеству Ем при достаточно большом М,
а значит, принадлежит и множеству Е, чем теорема и доказана.
Мы знаем (теорема 23 гл. П), что числа с ограниченными
элементами — это такие числа а, которые допускают при-
ближенное выражение рациональными дробями не лучше,
чем по закону
(61)
(к этим числам принадлежат, между прочим, все квадрати-
ческие иррациональности). Мы видим теперь, что все такие
числа образуют лишь множество меры нуль; иными словами,
почти все (т. е. все за исключением множества меры нуль)
числа допускают лучшую аппроксимацию рациональными
дробями. Очевидно, что основной задачей метрической тео-
рии аппроксимации является вопрос о том, какова мера мно-
жества чисел, допускающих ту или другую заданную степень
приближения с помощью рациональных дробей. В частности,
каков наилучший закон аппроксимации, допускаемый почти
всеми (т. е. всеми, кроме множества меры нуль) числами;
иначе говоря, в каких пределах закон, устанавливаемый
неравенством (61), может быть улучшен, если мы условимся
пренебрегать множеством чисел а, имеющим меру нуль.
Решение этой задачи мы дадим в следующем параграфе;
здесь же мы докажем еще следующее предложение.
Теорема 30. Пусть <р (и) — произвольная положитель-'
ная функция натурального аргумента п\ неравенство
an = an(a)><t(n) 	(62)
§ 13] МЕТРИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА РОСТА ЭЛЕМЕНТОВ
79
для почти всех- а выполняется бесконечное множество
1
раз, если ряд	расходится-, напротив, неравен-
пЛ V
ство (62) для почти всех а выполняется не более конеч-
СО
, V 1
ного числа раз, если ряд /л ~~(п) схо^ится-
п = \
Предварительное замечание. В частности, пола-
гая функцию <р(я) равной постоянному положительному
числу М, мы заключаем из теоремы 30, что множество Ем,
которым мы пользовались при доказательстве теоремы 29,
есть множество меры нуль. Таким образом, теорему 29 можно
рассматривать как один из простейших частных случаев
теоремы 30.
Доказательство. Первое утверждение теоремы дока-
зывается совершенно аналогично теореме 29. Пусть Jm+n—.
интервал ранга т -j- п, для всех точек которого
am+i < f (« +0	(«=1,2...п) (63)
(на av а2, .... ат мы никаких условий не налагаем).
Сохраняя обозначения, введенные нами при доказательстве
теоремы 29, мы найдем аналогично неравенству (59):
Эй	< {
k < (т+п+1)
__________1__________I ЭД J
3 (1 + (m + п + 1) ) ( VJni+n-
Суммируя это неравенство по всем интервалам ранга
т-\-п, подчиненным условиям (63), и обозначая множество
всех чисел отрезка (0, 1), удовлетворяющих этим условиям,
через Ет,п, мы находим:
$1Е и + 1 << I —5TT~i-------7--7---Г~7ТТ f и’>
m, n Н '' (	3(1 -р у (ffi -р п -р 1) ) J т.п’
последовательное же применение этого неравенства дает:
п
№Ет _ < ЫЕт , ТП 1 - э7Гт
т'а	3(1+?(« + /))
80
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
[ГЛ. III
Если ряд	Расх°Дится> то и Ряд
n=i Y
S 3(1 +¥(т + /))
1 = 2
при любом
из теории
ведение
т, очевидно, расходится, а отсюда, как известно
бесконечных произведений, следует, что произ-
п
JJV ~ 3(1 +
к нулю при п->оо. Таким образом, мы при
стремится
любом т имеем:
№т>„^0	(«-оо).
Но всякое число а, для которого
cm+z<T(m + O	(/=1,2,
принадлежит, очевидно, всем множествам
(п=1, 2, ...);
т, п
поэтому множество всех таких чисел, которое мы обозначим
через Ет, должно иметь меру нуль. Полагая, наконец,
£'141£'2+ •••
мы видим, что 9JIE ~ 0; но всякое число а, для которого
неравенство (62) выполняется не более конечного числа раз,
должно, очевидно, при достаточно большом т принадлежать
множеству Ет, а следовательно, должно входить и в мно-
жество Е. Этим доказано первое утверждение теоремы.
СО
Пусть теперь ряд У - - сходится. Пусть ./„ — один из
п=1
интервалов ранга п, а $+1— интервал ранга «4-1, содер-
жащийся в Jn и определяемый дополнительным условием
an+l = k. В силу второго из неравенств (57) мы имеем:
§ 13] МЕТРИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА РОСТА ЭЛЕМЕНТОВ	81
откуда
Л>у(и+1)	»>Т(п+1)
со
< L {<p(n + D + z}2 <
«=о
(	S’ 1
/чад/ Z 1_________L- / — 1
^^«1 ?(/г+1) +“ J «И ?(« + !)•
\	<р (п + 1)	)
Обозначая через Fn множество чисел отрезка (0, 1), для
которых ап -f (п), и суммируя полученное неравенство по
всем интервалам Jn ранга п, мы находим:
ярр г? 4
П+1 <р (л 1) ’
так как	1. Таким образом, меры множеств F1(
F2, .... Fn, ... образуют сходящийся ряд. Обозначая через F
множество таких чисел отрезка (0, 1), которые принадлежат
бесконечному числу множеств Fn, мы поэтому имеем *):
WlF = 0.
Но множество F, очевидно, есть как раз множество
чисел, для которых неравенство (62) выполняется беско-
нечное множество раз. Таким образом, доказано и второе
утверждение теоремы.
') Это — известное предложение метрической теории множеств;
впрочем, вот доказательство; очевидно, что множество F при
СО
любохМ т содержится в множестве 2 ^п» мера которого не превы-
п=т
со
шает ЭДсТп, и следовательно, при достаточно большом т, может
п=т
быть сделана как угодно малою.
6 Зак. 2026. А. Я. Хиичии
82
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
(гл. III
§ 14.	Метрическая оценка роста знаменателей
подходящих дробей. Основная теорема метрической
теории аппроксимации
Теорема 31. Существует никое абсолютно постоян-
ное положительное число В, что почти всюду при доста-
точно большом п
Яп = Чп^<еВп-
Предварительное замечание. В § 4 гл. I (тео-
рема 12) мы видели, что знаменатели qn для всех чисел а
возрастают с ростом п не медленнее, чем некоторая гео-
метрическая прогрессия с абсолютно постоянным знамена-
телем. Теорема 31 показывает, что для почти всех а
числа qn растут не быстрее, чем некоторая другая геоме-
трическая прогрессия также с абсолютно постоянным знаме-
нателем. Это положение вещей можно выразить еще так:
существуют такие две абсолютные постоянные а, А (1 <
< а < А), что для почти всех чисел а отрезка (0, 1) при
достаточно большом п
е < УТп < А-
На самом деле имеет место значительно более сильное
предложение: существует такая абсолютная постоянная у,
что почти всюду
•	п __
V (п^съу,
однако доказательство этой теоремы значительно сложнее i
и требует для своего проведения тех более глубоких вспо-
могательных средств, с которыми мы ознакомимся в § 15
и 16. К сожалению, рамки настоящей книги не позволяют
поместить в ней это доказательство* 1). Впрочем, для нашей
ближайшей основной цели — теоремы 32 — того свойства
') Доказательство этого факта было получено А. Я. Хинчиным
в 1935 г. (см. «Zur metrischen Kettenbruchtneorie, Compositio Ma-
thematica, т. 3, вып. 2, 1936, 275—285. Вскоре французскому мате-
матику П. Деви удалось найти явное выражение для постоянной у,
^2
именно, 1п у = тят—я (см. Р. Levy, Theorie de 1’addition des vari-
1	12 In 2 '	J
ables aleatoires, Paris, 1937, 320). (Б. Г.)
§14] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ АППРОКСИМАЦИИ	83
чисел qn, о котором говорит теорема 31, совершенно до-
статочно.
Доказательство. Обозначим через Еп (g) (п > 0, g 1)
множество чисел отрезка (0, 1), для которых
°i°2 ••• a„>g;
очевидно, что это множество представляет собою систему
интервалов ранга п; длина какого-либо из этих интервалов
равна, как мы знаем из § 12:
£«  Рп + Рп-1 =	1 -L <<	1
Яп +	+	-Vl)2’
так как венства	последовательное применение очевидного нера- ли > апЯп-1
дает	Яп > апап-1 • • • a2av
Поэтому	^iEn (g) <	2 2	2^ ’	(64) a^...an>ganan-l —
где суммирование распространяется на все комбинации нату-
ральных чисел flj, а2, .... ап, удовлетворяющие неравенству
ага2 ... ап g. Чтобы оценить эту сумму, заметим, что
и, следовательно,
g
где Jn(g) есть п-кратный интеграл
‘dxt dx2 ... dxn
... х*
84
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
[ГЛ. III
распространенный на область
.	xz 1 (Z — 1, 2, ..., п),
. х„ > g.
При g 1 эта область становится, очевидно, областью
1 xz < со (Z = 1, 2, .... к), и мы получаем:
l' со ' П
=	=1	(65)
Покажем теперь, что при g > 1
я-1
(66>
1=0
в самом деле, при п = 1 это равенство получает вид
СО
J X2 ~ g ’
о
т. е. оказывается верным; допуская же, что оно выполняется
для п — k, мы имеем:
,о°	s
Jk+i(g)= f	[ Jk(u)du =
I xk+l v fe + l/	« "
= y! f Jk(u)du± f Jk(u)du}.
S lo	1	J
Выражая в первом интеграле Jk(u) по форму/е (65),
а во втором —по формуле (66), которую для n — k, g^l
мы предположили уже установленной, мы находим:
Й-1 го 1	k
1 = 0	J 1=0
что и требовалось доказать.
Таким образом,
я-1
i=Q
§ 14] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ АППРОКСИМАЦИИ	85
В частности, полагая g = eAn, где Л>1 постоянно, мы
будем иметь:
n-i ;
(еЛп) < е" <’г2 * * * * *-Л>	Цг •
«=о
В полученной сумме, как легко видеть, каждый член
меньше, чем
(Лп)" ,
п! ’
поэтому, пользуясь для оценки факториала формулой Стир-
линга и обозначая в дальнейшем через Ср С2 положитель-
ные абсолютные константы, мы будем иметь:
У1Е(еАп) < е«(1к2-Л)п(^1 <
'	п\
< С,еп№~	< с yyle-n{A-\SA-\S2-\\
п"е~пУп 2
Но если А достаточно велико, то
А — 1g А — 1g 2 — 1 >0,
и, следовательно, WlEn(eAn) меньше, чем n-й член некото-
рого сходящегося ряда. Так как ряд
2 №Еп(еА")
Л = 1
таким образом сходится, то всякое число отрезка (0, 1), за
исключением множества меры нуль, принадлежит не более
чем конечному числу множеств Еп (еАпу, но это означает,
что для почти всех чисел отрезка (0, 1) мы должны иметь
при достаточно большом п
ага2 ... ап< еА\
а так как
Чп ВпЧп-\~^~ Чп-2 <<^‘Bn4n—V
и, следовательно,
Чп flncn_j ...
то почти всюду при достаточно большом п
qn < 2«еЛ« = еВп,
где положено В — A -f- 1g 2; этим теорема 31 доказана.
86
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
[ГЛ, III
Полученный результат, имеющий и достаточный само-
стоятельный интерес, особенно важен нам в данный момент
потому, что он позволяет дать простое решение основной
задачи метрической теории аппроксимации, поставленной
нами еще в предыдущем параграфе.
Теорема 32. Пусть f (х) — положительная непре-
рывная функция положительного аргумента х, причем
xf (х)— функция невозрастающая. Тогда неравенство
р| < /(9)
9 1	9
(67)
имеет для почти всех а бесконечное множество решений
в целых р и q(q > 0), если при некотором с > 0 интеграл
J* f(x)dx
(68)
расходится’, напротив, неравенство (67) имеет длч почти
всех а не более конечного числа, решений в целых р и q
(q > 0), если интеграл (68) сходится.
Предварительное замечание. . В частности,
в силу теоремы 32, например, неравенство
q21g 9
имеет почти всюду бесконечное множество решений, напро-
тив, неравенство
92 lg1+e9
имеет при всяком постоянном е > 0 почти всюду не более
конечного числа решений. По этим данным мы можем со-
ставить себе примерное представление о том, насколько из-
меняется общий закон приближения, если мы условимся пре-
небрегать множеством меры нуль.
Доказательство. 1) Пусть интеграл (68) расходится.
Положим
^(х) —eBxf (еВх),
§14] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ АППРОКСИМАЦИИ	87
где В — постоянная, фигурирующая в теореме 31. Тогда
интеграл
А	ВА
f = i J f(u)du,
а	Ва
где А > а > 0, безгранично возрастает при А->оо, а так
как функция <р(х) по условиям теоремы — невозрастающая,
то ряд
СО
2<? («)
Л = 1
расходится. В силу теоремы 30 мы отсюда заключаем, что
почти всюду неравенство
. 1
выполняется для бесчисленного множества значений I. Но
при выполнении этого неравенства мы имеем:
а —
Л
< 1 < 1 <
(69)
В силу теоремы
большом I
откуда
31 мы имеем почти всюду при достаточно
9i < eBl,
1>~В’
поэтому неравенство (69) почти всюду при достаточно боль
шом I приводит к неравенству
это последнее неравенство выполняется почти всюду для
бесчисленного множества значений I, чем и доказывается .
Первое утверждение теоремы.
88
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
(ГЛ. Ill
2) Допустим теперь, что интеграл (6S), а следовательно,
и ряд
2/(«)
П = 1
сходится. Обозначим через Еп множество чисел а отрезка (0,1),
которые при подходяще выбранном целом k удовлетворяют
неравенству
I п I п
^очевидно, множество Еп есть просто совокупность интер-
2/(n)	1 2
валов длины  > , имеющих свои центры в точках • • •
п — 1	/п /(п)\	{. f(n) Л]
... , ——, и интервалов 0, ——) и 1 —, I . Мы
п	г \ п /	\ п
имеем:
Ш?Д„<2/(п)
^знак < имеет место в случае f (п) > -i-). Таким образом,
ряд
СО
2 Ж
Л = 1
сходится; отсюда мы заключаем, как мы это делали уже
неоднократно, что почти всякое число а отрезка (0, 1)
может принадлежать не более чем конечному числу мно-
жеств Еп, а это означает, что почти все числа а отрезка (0, 1)
при достаточно большом целом положительном' q и любом
целом р удовлетворяют неравенству
а-ДКЖ,
Q I Q
чем доказывается и второе утверждение теоремы.
В следующем параграфе мы познакомимся с методом, -
который позволяет решать значительно более глубокие за-
дачи метрической теории цепных дробей.
§ 15]	ПРОБЛЕМА ГАУССА И ТЕОРЕМА КУЗЬМИНА
89
§ 15. Проблема Гаусса и теорема Кузьмина
В настоящем параграфе мы рассмотрим проблему, которая
исторически была первой задачей метрической теории цепных
дробей. Эта задача, поставленная еще Гауссом, получила
свое разрешение лишь в 1928 г.1).
Полагая, как обычно,
а = [0; аь а2, ..., ап, . .
/'п = /’п(а) = [йш an + V аП+2- •••!.
обозначим через z„ — zn(a) величину цепной дроби
[°: й«+1- сп+2. •••].
т. е. положим
%п гп ^п'
Очевидно, что всегда
°О„<1;
обозначим через тп(х) меру множества чисел а отрезка (0,1),
для которых
z„(a)<x.
В одном из своих писем к Лапласу Гаусс утверждал,
что ему удалось найти доказательство теоремы, в силу
которой
lim тп (х) = -g *	(0<х<1);
там же он указывал на то, что весьма желательно было бы
оценить порядок малости разности
/«„(x)-’g^±^	(70)
при больших значениях п, что, по его словам, ему совер-
шенно не удалось. Доказательство Гаусса, по-видимому,
нигде не было опубликовано; других доказательств этого
') В работе Р. О. Кузьмина «Об одной задаче Гаусса»,
ДАН (А), 1928, 375—380. Иное решение было предложено в статье
Р. L ё v у «Sur les lois de probabilite dont dependent les quotients
complete et incomplets d’une traction continue», Bull. See. Alath. 57,
1929, 178—194. (Б. Г.)
90
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
[ГЛ. III
предложения также не было известно вплоть до 1928 г.,
когда появилось доказательство утверждения Гаусса, най-
денное Р. О. Кузьминым; вместе с тем, Р. О. Кузьмин нашел
и очень хорошую оценку для разности (70). Задачей настоя-
щего параграфа является изложение этих результатов
Р. О. Кузьмина, а также и некоторых их обобщений, нужных
нам для дальнейшего *).
Уже Гауссу было известно, что последовательность
функций
М4 Wi(x), m2(x)...........w„(x),	...
удовлетворяет функциональному уравнению:
СО
тп+1(х) = ^ {тй(1) —	п>0); (71)
*=i
в самом деле, неравенство
2л+1 < х
в силу очевидного соотношения
1
"	ап+1+гп+1
выполняется в том и только том случае, если при надле-
жаще выбранном целом положительном k выполняются нера-
венства:
1	^2.
k + X	k '
а так как мера множества чисел, удовлетворяющих этим
неравенствам, есть, очевидно,
/1 \ / 1 \
т„ -г- — т„ -Т-.— |,
n\k )	n\k-\-x )
То отсюда и вытекает соотношение (71).
Легко непосредственно проверить, что функция
«р (л:) = С 1g (14-х)	|
') Р. О. Кузьмин, подобно Гауссу, формулирует полученныеЭ
им результаты в терминах теории вероятностей, что, конечно,
меняет их метрического содержания.	«
§ 15] ПРОБЛЕМА ГАУССА И ТЕОРЕМА КУЗЬМИНА
91
удовлетворяет при любом постоянном С соотношению;
*=1
что вероятно, и послужило Гауссу указанием на правильное
выражение предела функции тп(х) при п->со.
Формальное дифференцирование уравнения (71) дает
m«+i (х) = 2 (А 4-х)2 ^(а-Рх)’’	(72)
k=l
нетрудно убедиться, что соотношение (72) выполняется и по
существу; в самом деле, так как, очевидно, z0(a) = a, то
т^(х) — х, и, следовательно, /п'(х)=1; если же вообще
при каком-либо п функция т'п{х) ограничена и непрерывна,
то ряд, стоящий в правой части соотношения (72), равно-
мерно сходится в отрезке (0, 1); сумма этого ряда поэтому
также ограничена, непрерывна и равна ш„+1(х) по известной
теореме о почленном дифференцировании рядов. Таким обра-
зом соотношение (72) доказывается посредством индукции.
Уравнение (72) значительно удобнее для исследования,
чем уравнение (71). К нему относится основной результат
Р. О. Кузьмина, к доказательству которого мы теперь и
переходим.
Теорема 33. Пусть j\(x), /2(х), .... fn(x), ...—
последовательность вещественных функций, определенных
на отрезке (0, 1) и удовлетворяющих на этом отрезке
соотношению-.
СО
f л+1 (*) — X (А 4-х)2’	°)-	<73)
Й = 1
Если для 0<х<1
0</0(х)<Л1 и |/'(х)|<[л,
то
fnM = ^ + ^Ae~''v*
где	1
f fv&dz, 14 <1.
О
92	мётричёскАй теорий цепных дробей (гл. ш
X — абсолютная положительная постоянная, и А — поло-
жительная постоянная, зависящая только от М и р.
Ввиду сложности доказательства мы предпошлем ему
несколько элементарных лемм.
Лемма 1. Для любого п^-0
(«)
fn <*)=2 /о(С”+Z"-,1) .у  (74)
\Чпт хЧп-\ / \Чпд^лЧп-\)
где Рп^~Рп- 1 — любой интервал ранга п и где сум-
\ Я Яп ~г Яп-у /
мирование производится по всем интервалам ранга п
(или, что то же, по элементам ах, а2, .... ап в преде-
лах от 1 до со).
Доказательство. Для п = 0 соотношение (74) становится
тривиальным, так как в этом случае имеется единственный
интервал (0, 1), причем р0 — О, <70=1, p_I = l, q_x = 0.
Предполагая же, что соотношение (74) справедливо для
некоторого п, мы в силу основного уравнения (73) имеем:
(Л)	<»
_ у у f I (Pnk + Рп,-у) + *Рп 1 __________1____________
(qnk + qn-i> + xqn I {(Япк + Яп-у) + хдп]^
k = I
(л+1)
_ у f (Рп±у±_ХРп\	1
J°\Яп^\+хдп) (Яп+у A-xqn)2 '
ч. и т. д.
Лемма 2. В условиях теоремы 33 для п^.0

Доказательство. Дифференцируя почленно соотноше-
ние (74), мы находим:
(п>	п-1	(п)
f'n (*) = X Л <«)	+	_ 2 2 А) («) (qn + xqn^ '
§ 151
ПРОБЛЕМА ГАУССА И ТЕОРЕМА КУЗЬМИНА
93
где положено
и — Р" ~1~ ХРп-У
Qn + xqn-i'
и законность почленного дифференцирования следует из равно-
мерной сходимости обеих сумм правой части для 0 х 1.
Замечая, что
12
(Чп + хЦп-!? < 9п(^п + ?П-1)
я что в силу теоремы 12 гл. I
а также учитывая очевидное соотношение:
(«)	,	(п)
V 1	_ у Ai Pn+Pn-i _ г
q(qn-i- 9п-1)	« I qn Qn^qn-i I
мы получаем в силу условий теоремы 33:
ч. и т. д.
Лемма 3. Если
t	т
1 ф X J 4 71 ф X \	'О /•
то и
с	т
ТфТ <^+i(x)<T+7	(°^х<1)-
Доказательство. В условиях леммы основное соотно-
шение (73) дает:
00	00 Т	1
2 т~ 1	< /Г«+1 (х) < 2 ~ 1 (k+x)p ’
или
__________________1___________________
(ife ф- X) (k Ф X 4- 1)
^/л+1(х)< (Афх)(Аф^ф1) :
k~ 1
94
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
(гл. III
или, что то же.
или, наконец,
14-х	i_|_x *
ч. и т. д.
Лемма 4.
1 1
J fn(z)dz~ § fQ(z)dz (n = 0, 1, 2, ...).
о	о
Доказательство. В силу основного соотношения (73)
для п > О
f fn(z)dz~^ f fn-i(-k+r) (k±zy —
0	* = 10
1
oo *	1
= 2 f fn-i(“)da==f fn-x^du,
*=I 1	0
ft+1
откуда посредством индукции и вытекает утверждение
леммы 4.
Доказательство теоремы 33. Функция /0(х) по условию
дифференцируема, а значит, и непрерывна при 0<^х<^1;
будучи по условию положительной в этом отрезке, она
имеет в нем, следовательно, некоторый положительный
минимум, который мы обозначим через т\ из условий
т С /о (х) < М -С х О вытекает:
2(14-х)	< 14-х
или
14v</"W<TFT
где положено
g = ^. Q = 4M.
§ 15]
ПРОБЛЕМА ГАУССА И ТЕОРЕМА КУЗЬМИНА
95
Положим теперь
(O^x^l, и = 0, 1, 2.).
В силу леммы 3 функция F (х)
нению
g
1+л
удовлетворяет урав-
СО
*=1
1
(6 + х)г
(что, впрочем, легко проверить и непосредственно); отсюда
очевидно следует, что последовательность функций
%(*) ?1О)>	¥«(*). •••
удовлетворяет уравнению (73), а потому для нее имеют
место и все выводы, сделанные нами из этого уравнения,
в частности, соотношение (74). Таким образом, полагая, как
прежде, для краткости
и _ Рп~1~хРп-1
Qn + xqn-t '
мы будем иметь:
откуда в силу очевидных неравенств
qn + xqn_1^qn-\-qn^<2qn и %(«)>0
мы находим:
1 W	j
4>п (х) > 2‘	% (“) qn(qn + qn-i) '	(75)
С другой стороны, теорема о среднем значении дает нам:
*	(л)
1 Ди*= 42 »»<»')	- <76>
о
где и' — одна из точек интервала	а
\ Чп Чп~Г Чп-1 >
—у—длина этого интервала. Соотношения (75)
96	МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. Ill
и (76) дают нам:
<х) — у / ?о <2)dz > У X (% 00 — ?о (“')} -д^п	) •
о
(77)
Но так как, очевидно,
I % (х) I < IЛ W । + # < Iх + S	(0<х<1).
то
Ift w-ft WI < (и+й|«-“'I < j <
t* 4~ g м ~Ь g
< <?n	< 2”-« ’
вследствие чего неравенство (77) дает нам:
<?л(*)>4 f^o(z)dz~
о
где положено
1
/==4 /4o<z)dz-
о
Таким образом, мы получаем:
z/..ч^ g I,	n + g	g-4-Z-2-n+1((J,4-g) _ g,
JtAx) -> 1+х -г4	2«	1 + x	1+л
Совершенно подобным образом, вводя в рассмотрение после-
довательность функций
<ге==0’ 11 2- -О
и проделав ход аналогичных рассуждений, мы придем к не-
равенству:
г г и G-r + 2-”+1Q* +G) _ G,
1+а. ~1 + * '
Где положено
1
о
§ 15J	ПРОБЛЕМА ГАУССА И ТЕОРЕМА КУЗЬМИНА
97
Так как I > 0 и I' > 0, то при достаточно большом п
g<gi<Gl<G
а так как
о
Gj - gt < (О - g) 8 + 2~n+2 (|a 4- 0),
где
8 = 1 —	< 1
- абсолютная положительная постоянная.
Резюмируем полученный нами результат. /7з условий
ГфГх < ^(х) < Г+Т’
мы получили, что при достаточно большом п
g<gx<Ol<O. Gl~gl<(G~g)b+ 2-я+2(р -Ь G).
Беря теперь в качестве исходной функции /п(х) вместо
/0(х) и повторяя проведенный ход рассуждений, мы, оче
видно, придем к соотношению:
-	f (х\
причем
gi<g2<G2<Gp
G2 - g2 < 8 (Gt - gl) + 2~"+2 (H + 00.
где [i1 — положительное число, для которого
|/»i<h	(0<х<1).
7 Зак. «гае А. я. Хикчмм
98	МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. III
Продолжая этот процесс далее, мы приходим, вообще,
к соотношению:
-rfr<A,W<r^ (o<*<hr=o. 1. 2....).
причем для г > О
gr_i < gT < От < Ог_р
Ог-gr < 8 (Gr_l - gr_t) + 2~”+2 (Иг_,	(78)
где }!,._! — положительное число, для которого
14-1)л(*)| <^-1	(о<*<1).
На основании леммы 2 мы можем положить
^ = ^^3-+^ (г = 0, 1,2, ...),
и, следовательно, если п выбрано достаточно большим,
j>,r < 57И	(г=1, 2,...);
поэтому последовательное применение неравенства (78) для
г=1, 2, ..., п дает нам:
О„ - g„ < (О - g) 8« + 2“«+2 {(ii 2Ж) 8«"1 +
_|_7MS«-24-7/HS«-34- ... 4- 7МЪ 4-7М}.
Так как 8 < 1 есть абсолютная постоянная, то отсюда, оче-
видно, следует:
Gn — gn<Be-\
где X > 0 — абсолютная постоянная, а В > 0 зависит только
от 7И и |1.
Отсюда прежде всего вытекает, что существует общий
предел
lim Gn = lim gn — a
n ->oo n ->oo
И ЧТО
I /«’ (*) - I < Be~ln (0 < X < I),	(79)
I	1 I л I
откуда, в частности,
1
J fn”(?)dz -> a 1g 2	(w-*oo),
§ 15]
ПРОБЛЕМА ГАУССА И ТЕОРЕМА КУЗЬМИНА
99
и, следовательно, в силу леммы 4
1
о
Пусть, наконец, п2 N < (n 1)2; так как в силу
неравенства (79)
а — 2Ве~)л .. , х . а-\-2Ве~7'п
--1+7- <	“Т+7-
то на основании леммы 3
а— 2Ве~Кп	' а + 2Ве~1п
—Т+Т~ < W	~Т+7 - ’
или
< 2Ве~1п — Ае~1 <«+1> < Ае~^.
где положено А = 2Ве'. Это неравенство, установленное
нами для достаточно больших 7V, можно, очевидно, при
помощи надлежащего увеличения постоянной А сделать
справедливым для всех N 0, чем теорема 33 и доказана
полностью.
Возвращаясь теперь.к проблеме Гаусса и полагая
/„(х) = /»'(*)	(0<х<1),
мы имеем /0(х)=1, вследствие чего выполнены все усло-
вия теоремы 33. Таким образом, мы получаем:
|<<х)~(Г+тда1<Ле~хГ"	(8о>
откуда интегрированием находим:
|	~ | < Ае~> (0 < х < 1),
где А и X—абсолютные положительные постоянные. Этим,
очевидно, не только доказано утверждение Гаусса, но най-
дена и хорошая оценка остаточного члена ’).
1) Метод П. Леви позволяет получить лучшую оценку, а именно,
доказать, что имеют место неравенства:
| тп (х) — - ЦУ/*) | < Ле-хп	(0 < х < 1).
(Б. Г.)
7*
100	МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. III
Применим теперь этот результат к оценке меры мно-
жества точек, для которых ап — k, при больших значениях п.
Так как, очевидно, условие an = k равносильно неравен-
ствам
! . 1
л 4-1	k ’
то
1
Т
Й + I
откуда в силу неравенства (80)
( п\  g	+ 2) } А	х у л—1.	6811
JJ(C\k)	lg2	< k(k + l)e ’
отсюда, в частности, для величины W1E , для которой
нами в § 13 были установлены лишь довольно грубые не-
равенства, мы теперь получаем точное предельное соотно-
шение:
Так, например, мера множества точек, для которых ап=1,
стремится при п -> оо к величине
lg4 —lg3
lg2
Однако теорема 33 позволяет наряду с доказательством
утверждения Гаусса получить и более общий, весьма важный
результат, который нам понадобится в дальнейшем. Обо-
значим через Мп(х) меру множества чисел, принадлежащих
некоторому закрепленному интервалу ранга k и удовлетво-
ряющих, кроме того, условию zk+n < х; иначе говоря,
7И„(х) есть мера множества чисел отрезка (0, 1), удовлет-
воряющих условиям:
«i = ^, о2 = г2.. ak = rk- zk+n<x, (82)
§ 15]
ПРОВЛЁМА гаусса Й ТЕОРЕМА КУЗЬМИНА
101
где гг, г2, .... rk — некоторые закрепленные натуральные
числа, между тем как п^.0 и х (0 х 1) могут меняться
как угодно.
Для выполнения условий (82), очевидно, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись условия:
а1 = ГР а2 = Г2..........
..1
^k+n—I г ’
ак = г»
____1
г + л
где г — некоторое натуральное число. Отсюда следует:
СО
г= I

»<*«).
вследствие чего последовательность функций М'0(х),
М' (х).....М'п (х), ... удовлетворяет уравнению (73).
Любое число а интервала (—,	может быть
\4k (Ik + Qk-i)
представлено в виде
у  pkrk+i^pk-i
^krk+i~^^k~i
1 .
или, так как zk —------.
rk+\
Pk+Vk-i .
,	Рь
при zk < х число а должно быть заключено между —-
‘к
и	откуда
Л4^ (	—-	pk	pk+xpk-l	_	X	Г331
/н0 \л)			^(^+Ч-1ХУ	
Полагая теперь
[\t 2....k\
Мп{х) — ^ЛЕ{’ ' ' "	х„(х)	(п>0, 0<х<1),
VP Г2’ • • •• rk/
мы получим новую последовательность функций:
Хо(х)* Xi(*)....................z«(x).	•••;
102
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
[ГЛ. II!
при этом, очевидно, функции /^(х), которые лишь по-
стоянным множителем отличаются от соответствующих функ-
ций Л4'(х), также удовлетворяют уравнению (73). Так как,
очевидно.
1, 2..........k
2RE
•. rk
Р* Pk+Ръ-х _	1
4k 4k+4k-x Ч^ + Ч^У
то равенство (83) дает нам
ХоО)
(Чк + Ч^х
Чк + Чк-1Х
откуда
(Чк + Чк-S?
и
х£(*) =
таким образом,
<Чк + Чь^ ’
4(*)
~2 < Хо(х) <
|Хо(*)|<4
(0<
1).
Это показывает, что к последовательности функций /'(х)
может быть применена теорема 33, причем числа Л и X оказы-
ваются абсолютно постоянными, т. е., в частности, независи-
мыми от Гр г2, .... rk. Мы получаем таким образом:
x;w=
Ч(х)
/12
Иь г2,

rkj
1
==(l+x)lg2^
^Ae~y Vn, | 0 [ < 1;
интегрируя же это соотношение в пределах от
1 1
7+Тдо 7’
где г — любое натуральное число, мы находим при [ в' [ < 1:
lg{1+ /•(/ + 2) }
1g 2
в'Л
Г (г + 1)
V п.
§ 15]
ПРОБЛЕМА ГАУССА И ТЕОРЕМА КУЗЬМИНА
103
а так как, очевидно.
— Мп(~ЯЛе( 1,2.*.* + « + 1
п\г) п\г + 1) \гь г2.гьг
то
WIE (	+ л +1
Vb г2,..гк, г
Iff 11 4-----1---
а I г (г+ 2)
1g 2
б'Ле-^ Уп
г(г + 1)
ЖЕ
1, 2,
/ь гг.
k\
; Пг) '
Наконец, мы можем суммировать это соотношение по
некоторым (любым) из чисел гр г2, ..., rk в пределах от 1
до со. В результате такого суммирования соответствующие
индексы просто исчезают в обеих частях соотношения, так что
вместо ряда последовательных индексов 1, 2, .... k мы полу-
чаем ряд совершенно произвольных индексов пр п2...пе
причем во всех остальных своих чертах соотношение остается
неизменным. Таким образом мы приходим к следующему
предложению.
Теорема 34. Существуют такие две абсолютные
положительные постоянные А и У, что при п, < и2 < • • •
...<«,< ni+l и при любых целых положительных
П’ Г2....rt> Г
Же(Пь Пг.......nt’ n<+1)	1g! 14—. А у
\Г1, г2....г<, г / _ 6( ^г(г + 2)
п2,.... «Л	1g 2
кг„ г2, .... rj
А
Г (г + 1)

Этот результат показывает, что не только мера множества
чисел отрезка (0, 1), для которых ап = г, стремится при
п->оо к определенному пределу, но что к тому же самому
пределу стремится и относительная мера множества удовле-
творяющих этому условию чисел при любых закрепленных
значениях любой группы предшествующих элементов.
104
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
[гл. III
§ 16. Средние значения J)
Результаты предыдущего параграфа дают нам возмож-
ность доказать следующее общее предложение.
Теорема 35. Пусть f (г) — неотрицательная функ-
ция натурального аргумента г, и пусть существуют
такие положительные постоянные С и В, что
2 .
/(r)<Cz2 °	(г=1, 2, ...).
Тогда для всех чисел отрезка (0, 1), за исключением
самое большее множества меры нуль,
п	со щ 1 1 .------1-- 1
<84)
Предварительное замечание. Сходимость ряда
в правой части равенства (84) вытекает, разумеется, из
условия, наложенного на функцию / (г).
Доказательство. Положим:
1 1
У/(ай)с?а = ий, J {/(aft) — uk}2dv. = bk,
о	о
1
/ {/(о? —«/} (/(«*)— uk}d^ = glk,
о
2 {/ (^) — «*} = sn = Sn («)•
й = 1
Существование всех написанных интегралов легко вытекает
из предположенных свойств функции f (г). В самом деле,
так как
{/Wcc2/-1-28,
то
1	со	со
f {f (ak)]2 dv. = %{f (г)}2ME( kr ) < 2С22	= С1
0	г=1	г=1
') Результат этого параграфа найден в статье А. Я. Хинчина
«Metrische Kettenbruchproblen.e>, Compositia Mathematlca, т. 1,
1935, 361—382. (fi. Г.)
§ 16]
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
105
имеет смысл, откуда на основании неравенства Буняковского—
Шварца легко следует существование и всех написанных
выше интегралов. В частности, отсюда следует, что
1
= f {f(flk)Yda.-u\<Cv
о
ak = ff (ак) da < 1/ J {f (<zft)}2 da < V~Cv
о	' о
Далее, мы, очевидно, имеем при k > i:
i
gik = f f (fli) f (flk} da —Uiuk =
0
co
= 2 W(s)№M-%-
r, S = 1
Но в силу теоремы 34 и заключительных неравенств § 12
s(s+l)
(85)
(86)
< ЗАе-^к~^1Е (* ) ^ ( * ) •	(87)
И
г  /ь.
<Л V (88)
s($4-1)	\s}	4 7
Умножая же неравенство (88) на	и сопоставляя по-
лученный результат с неравенством (87), мы находим:
I тшР’’ k'\—<
I \r, sj \г}	\s/|
< 6Ае_кVk^T=ifffiE,
106
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
[ГЛ. III
вследствие чего соотношение (86) дает нам:
СО
Г,
со
Г, 4=1
замечая, что
оо
2 /(/)/<«)
Г, 4=1
и пользуясь для оценки правой части вторым неравенством (85),
мы получаем отсюда:
| g№ | < GAe-iyk-i-1uluk < 6ЛС1е-х’/*-‘-1.	(89)
Пользуясь оценками .(85) и (89), мы находим для
п > т > 0:
— sm)2(ia=f 2 (f(ak)~ Uk)
k~m±l
2
da =
О
n 1
= 2 J «j2da+
fe=m+l 0
n n 1
+ 2 2 2 f «И {/(«*) — uk}da =
i-m+l k~i±l 0
n	n	n
= 2	ч~2 2	2	—w)4~
k = m + l	i = m+l k-i+1
+ 12ЛС1 2 2	< C2 (n — m),	(90)
i = m+l fc = i+l
где C2 — некоторая новая положительная постоянная.
Обозначим теперь через еп множество чисел отрезка (0, 1),
для которых
|snl>e».
§ 16]
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
107
где е — любое заданное постоянное положительное число.
Очевидно,
I
f s2nda^> f s„da^> sW$ten,
0	en
вследствие чего неравенство (90) (при т = 0) дает:
f s2nda
п Ъ2П2 £2п
Таким образом, ряд
Я=1
сходится, и, следовательно, как мы знаем, почти всякое
число отрезка (0, 1) принадлежит не более чем конечному
числу множеств еп* (п—1, 2, 3, ...). Это значит, что для
почти всех чисел отрезка (0, 1) при достаточно большом п
а так как е произвольно мало, то почти всюду
5».а
Иш~ = 0.	(91)
П^СО 11
Далее, для /г2 <1 Л/< («+I)2 формула (90) дает:
1
J(s/v — Srf)da. < C2(N — п2) < С2(2/г	1)	3C2«.
о
Обозначая через en,N множество чисел отрезка (0,1), для
которых | «л — s(!= | ел2, и полагая
(niir-i
108
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
[гл. ш
мы будем поэтому иметь для п2 N < (пЦ-1)2:
1
f (SW — St?)2 da.^ § (sN — Stf)2 da > e2n4SWe„, N,
0	en,N
Wen,N<^.
(n+tf-l
ЫЕ V We	< 9C*
< 2k ^en’N e!n3 s2n2 ’
N=ri‘
CQ
вследствие чего ряд У, WEn сходится. Почти всякое число
л = 1
отрезка (0, 1) принадлежит, следовательно, как мы знаем, не
более чем конечному числу множеств Еп, а значит, и не
более чем конечному числу множеств en,N. Но это озна-
чает, что почти все числа отрезка (0, 1) при достаточно
большом п и при п2<С Л/< (n-|-I)2 удовлетворяют соотно-
шению:
|$дг—s„t| < еп2.
Иначе говоря, почти всюду при достаточно большом п и
n2<N<(n-H)2
а так как е произвольно мало, то почти всюду
[n->oo, n2<N<(n-H)2].
В силу же соотношения (91) отсюда, очевидно, следует, что
почти всюду
^-->0 [п->оо, п2<Л/<(п+I)2],
а значит, и подавно
SN
N
(N —> со).
§ Гб]	СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ	109
Иначе говоря, почти всюду
N	N
(92)
*=1	fe=l
Но в силу формулы (81) предыдущего параграфа
со	|р J 1 _1__1__I со
=£/« М(‘)_
г=1	г=1
----f г <г + 2) ). < У —Z1Z < А е~х v•
lg-2	г(гД-1) 4 1
r=l
где — новая положительная постоянная. Поэтому
со ]р- J1 -1------1_--1
«й -* 2 / (г)-----ff + 2)
Г=1
а следовательно, и
N	СО 1£Г J 1 -I -----1___I
>•
* = 1	/• = !
Вследствие этого соотношение (92) дает нам:
N	03	IpJ 1 4-__-_____I
fe=l	Л=1
почти всюду в отрезке (0, 1), чем и доказывается теорема 35.
Доказанное предложение позволяет установить целый
ряд свойств цепных дробей, выполняющихся для почти всех
иррациональностей. Положим, например,
/ (г) — 1 для r — k и f (г) — 0 для г Ф k,
где k — некоторое (любое) натуральное число. Очевидно,
что в этом случае сумма
/=1
110	МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ. Ill
представляет собою число, показывающее, сколько раз встре-
чается число k среди п первых элементов данной цепной
дроби. Отношение же
п
«=1
дает нам как бы плотность числа k среди первых п эле-
ментов данной цепной дроби-, наконец, предел
цтМ^.=^(А),
Л->ОО ft
если он существует, естественно интерпретировать как плот-
ность числа k на всем ряде элементов данной цепной
дроби.
Так как определенная нами функция / (/-) удовлетворяет,
очевидно, всем требованиям теоремы 35, то в силу этой
теоремы мы заключаем, что для любого k эта плотность
почти всюду существует и почти всюду одна и та же.
Более того, та же теорема дает возможность вычислить ве-
личину этой плотности; очевидно, мы имеем почти всюду:
=	d(3)=lgl6-4gl5
V / lg2 ’ v ’ Ig2 > V / lg2 ’
и т. д. Таким образом, любое натуральное число встречается
в качестве элемента в среднем одинаково часто в разложе-
ниях почти всех чисел.
Другой интересный результат мы получаем, полагая
/(r) = lgr (/=!, 2, 3, ...);
очевидно, что все условия теоремы 35 при
поэтому мы находим, что почти всюду
п
1
этом выполнены;
2
Г (г + 2)
1g 2
или, что то же,
п
1
1+ •  • ап
г(г + 2)
tg/-
ig?
§ 16]
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
111
Таким образом, среднее геометрическое первых п эле-
ментов почти всюду стремится при п->со к абсолют-
ной постоянной
Igr
1	)'е2
r(r + 2)f
= 2,6 ...
Очевидно, что теорема 35 позволяет установить анало-
гичные результаты и для целого ряда других средних. Но
что касается среднего арифметического
п
<93>
Z = I
то его исследование этим методом невозможно, так как
соответствующая функция /(г) = г не удовлетворяет усло-
виям теоремы 35. Однако легко усмотреть из более элемен-
тарных соображений, что выражение (93) почти всюду ни-
какого конечного предела иметь не может. В самом деле,
в силу теоремы 30 (§ 13) мы имеем почти всюду для бес-
численного множества значений п
an>n\g п.
а значит, и подавно
п	п
д- > n\gn, откуда	> 1g n.
i=t	z=i
Таким образом, величина (93) почти всюду является не-
ограниченной, а потому, как мы и утверждали, не может
иметь конечного предела.
Оглавление
Предисловие к третьему изданию........................... 3
Предисловие ко второму изданию . . ,	. .	4
Из предисловия к первому изданию.................. ...	4
Глава I
Свойства аппарата
§ 1.	Введение........................................... 7
§ 2.	Подходящие дроби..................................  9
§ 3.	Бесконечные цепные дроби ......	... 14
§ 4.	Цепные дроби с натуральными элементами...........  19
Глава II
Изображение чисел цепными дробями
§ 5.	Цепные дроби как аппарат для представления вещест-
венных чисел.................................. 25
§	6.	Подходящие дроби в качестве наилучших	приближений	30
§	7.	Порядок приближения...................... 40
§	8.	Общие законы аппроксимации............... 46
§	9.	Аппроксимация алгебраических	иррациональностей.
Трансцендентные числа Лиувилля............. 59
§ 10.	Квадратические иррациональности и периодические цеп-
ные дроби..................................... 62
Глава III
Метрическая теория цепных дробей
§11.	Введение.......................................... 66
§ 12.	Элементы как функции изображаемого числа.......... 68
§ 13.	Метрическая оценка роста элементов................ 76
§ 14.	Метрическая оценка роста знаменателей подходящих
дробей. Основная теорема метрической теории аппро-
ксимации ............................................. 82
§ 15.	Проблема Гаусса и теорема Кузьмина................ 89
§ 16.	Средние значения................................  104